/
Author: Шварц А.С.
Tags: физика математика квантовая теория квантовая теория поля атомиздат
Year: 1975
Text
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ОСНОВЫ
КВА! !ТОВОЙ
ПЕОРИИ ПОЛЯ
А. С. ШВАРЦ
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ОСНОВЫ
КВАНТОВОЙ
ТЕОРИИ ПОЛЯ
МОСКВА АТОМИЗДАТ 1975
УДК 530.145
Шварц А. С. Математические основы квантовой теории
поля. М., Атомиздат, 1975, с. 368.
Книга содержит изложение основных понятий
квантовой теории поля, во многом отличающееся от
существующих изложений. Подробно рассматривает-
ся теория рассеяния в гамильтоновом и в аксиомати-
ческом подходе, а также связь между этими двумя
подходами к квантовой теории поля.
Книга рассчитана как на математиков, желаю-
щих познакомиться с квантовой теорией поля, так и
на физиков, интересующихся более глубоким анали-
зом основ этой теории. Она будет интересна также
специалистам по квантовой теории поля — не только
благодаря оригинальности указанного в книге построе-
ния квантовой теории поля, но и потому, что она со-
держит ряд новых результатов, в том числе резуль-
таты, полученные автором и его сотрудниками.
Список литературы—66 наименований.
20402—116
034(01)—75
14 — 76
© Атомиздат, 1975
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга адресована математикам и физикам, которых
интересует четкое изложение основ квантовой теории поля.
Было приложено немало усилий для того, чтобы удовлетво-
рить обе категории читателей. Я стремился, чтобы книга
была понятной математику, не знающему квантовой меха-
ники, и интересной физику — специалисту по квантовой
теории поля, чтобы строгость доказательств была достаточ-
ной для математика, но не мешала читать физику. Было бы
хорошо, если бы эта попытка удовлетворить одновременно
физиков и математиков удалась хотя бы отчасти.
В настоящей книге излагаются почти исключительно ре-
зультаты квантовой теории поля, не зависящие от предпо-
ложения лоренц-инвариантности (лоренц-инвариантным
теориям посвящена только последняя глава). В этом сос-
тоит, пожалуй, наиболее существенное отличие ее от из-
данных до сих пор книг. Другой важной чертой книги яв-
ляется то, что в ней рассматривается как гамильтонова,
так и аксиоматическая квантовая теория поля и устанав-
ливается связь между ними.
В существующих книгах по квантовой теории поля не-
редко приходится встречаться с тем, что в процессе вычис-
лений «правила игры» (основные определения) вдруг ме-
няются или производятся формальные манипуляции с бес-
смысленными выражениями, а в результате получается
осмысленный конечный ответ*. Это, естественно, сильно
* Полностью свободны от недостатков такого рода, пожалуй,
только книги Н. Н. Боголюбова, Д. В. Ширкова [1] и Хеппа [2].
Даже замечательная книга А. И. Ахиезера и В. Б. Берестецкого
[24], в которой очень хорошо раскрыто физическое содержание
процедуры перенормировки, в этом отношении небезупречна. От-
дельным вопросам квантовой теории поля посвящены написанные
на математическом уровне книги Уайтмана [3], Фридрихса [4, 5] и
Сигала [6]. Содержание настоящей книги лишь в малой степени
пересекается с содержанием перечисленных книг.
3
затрудняет изучение книги математически настроенному
читателю. Он, конечно, понимает, что, изменяя по ходу де-
ла правила игры, физики меньше всего подражают играю-
щим в крокет героям Л. Кэролла, — за ними стоит физи-
ческая интуиция, широкое использование аналогий и,
в конечном счете, эксперимент. Но от признания, что фи-
зики поступают правильно, математику не становится легче.
Я попытался изложить основные понятия квантовой
теории поля таким образом, чтобы, не стремясь к абсолют-
ной математической строгости, добиться максимальной чет-
кости и ясности. (Впрочем, большая часть книги написана
так, что доведение доказательств до полной строгости
не составит труда для квалифицированного математика.
Первые две главы книги и § 12 содержат краткое изло-
жение основ квантовой механики, предназначенное для ма-
тематиков. В § 13, 20 — 22 излагаются основные факты,
касающиеся фоковского пространства и операторов в этом
пространстве; на них базируется все дальнейшее.
Глава 4 посвящена изучению оператора эволюции в
представлении взаимодействия S (t, t0) и его адиабати-
ческого аналога Sa (t, /о)- В гл. 5 излагается теория рас-
сеяния в квантовой механике. От этих глав дальнейшее
формально мало зависит (например, содержание § 14
существенно используется лишь в § 23, посвященном
диаграммной технике теории возмущений для оператора
S (t, t0), и в § 46, а содержание § 16.— в § 25, 33 и 41).
Однако пропускать эти главы при чтении, видимо, не стоит:
формально, конечно, можно изучать рассеяние частиц
в квантовой теории поля, не зная теории потенциального
рассеяния, но реального понимания при этом достичь
трудно. Глава 7 посвящена изучению функций Уайтмана
и Грина в наиболее простой ситуации; от нее существенно
зависит только § 29, содержащий построение операторной
реализации трансляционно инвариантного гамильтониана
с помощью' предельного перехода от конечного объема.
При первом чтении эту главу и § 29 можно пропустить.
В § 28 вводится понятие трансляционно инвариантного га-
мильтониана и его операторной реализации; этот параграф
необходим для понимания гл. 9 и 11. Квантованию класси-
ческих трансляционно инвариантных систем с бесконечным
числом степеней свободы посвящен § 30; его содержание
используется в § 35 и 49. В гл. 9 излагаются различные
конструкции матрицы рассеяния трансляционно инвари-
антного гамильтониана; доказательство эквивалентности
4
этих конструкций проводится в гл. 11. Главы 10 и 12 по-
священы аксиоматической теории рассеяния (в гл. 12
рассматриваются лоренц-инвариантные теории). Наконец,
в гл. 11 рассматриваются в рамках теории возмущений
трансляционно инвариантные гамильтонианы; при этом су-
щественно используются результаты изложенной в гл. 10
аксиоматической теории рассеяния и описанное в § 34
фаддеевское каноническое преобразование. Математику
естественно начать чтение этой главы с § 46.
Наиболее математически настроенные читатели, прочи-
тав первые пять глав и § 20 и 21, могут сразу перейти к ак-
сиоматической теории рассеяния (гл. 10 и первые парагра-
фы гл. 12). После этого можно читать § 28, 30, 49, 46.
Физик, который хочет прочесть книгу на математическом
уровне строгости, может получить необходимую для чтения
математическую информацию в дополнении. Если же его
устраивает более низкий уровень строгости, он может огра-
ничиться имеющимися у него математическими знаниями.
Ему следует тогда начинать чтение с четвертой главы, озна-
комившись предварительно с приведенным в начале книги
перечнем обозначений. Понятие предгильбертова прост-
ранства он может не отличать от понятия гильбертова про-
странства; понятие эрмитова оператора — от понятия са-
мосопряженного оператора. Под измеримой функцией мож-
но понимать произвольную функцию, а под пространством
с мерой — «-мерное евклидово пространство (точнее гово-
ря, если для функций на множестве X определено понятие
интеграла, то множество X называется пространством с ме-
рой). Утверждения, в которых встречаются незнакомые ему
понятия, физик может пропустить без ущерба для понима-
ния дальнейшего.
В тексте книги обычно не отмечается, кому принадлежат
доказанные в ней результаты (ссылки на оригинальные ра-
боты появляются лишь в случае, если результат формули-
руется, но не доказывается). Это объясняется тем, что мно-
гое из содержащегося в этой книге (как и во всякой науке)
не может быть приписано определенному автору, а являет-
ся плодом некоторой эволюции; многие теоремы, хотя и
не содержатся в таком виде, как сформулированы здесь,
ни в одной из предшествующих публикаций, следует счи-
тать известными. Ниже перечисляются некоторые работы,
использованные в книге. Первые примеры представлений
канонических соотношений коммутации (CCR), не эквива-
5
лентных фоковскому представлению, принадлежат Сигалу
[331, Фридрихсу [4] и ван Хову [34].
Исследование функций Уайтмана в гл. 7 и 8, в част-
ности доказательство теоремы реконструкции, повторяет
рассуждения, примененные Уайтманом в аксиоматической
квантовой теории поля [151. Спектральное представление
(представление Челлена—Лемана) было впервые получено
в работах [35, 36]. В § 32 излагаются результаты Лемана,
Симанчика, Циммермана [14]. Теорема эквивалентности
принадлежит Чисхольму [37]; строгое доказательство этой
теоремы основано на теории рассеяния Хаага—Рюэля.
Одевающие операторы впервые рассматривались, видимо,
Гринбергом и Швебером [38]. Позже они строились во мно-
гих работах (см., например, [36, 5, 2, 40]), в основном в
конкретных ситуациях; первая общая конструкция одеваю-
щего оператора принадлежит Л. Д. Фаддееву [39]. Данное
в книге описание широкого класса одевающих операторов
основано на работе [41]. Связь между матрицей рассеяния
и адиабатической S-матрицей, описанная в § 33, указана
в [42]. Построение аксиоматической теории рассеяния яв-
ляется заслугой прежде всего Хаага [16] и Рюэля [19]
(см. также работы [17, 20, 43]). Доказательство адиабати-
ческой теоремы в аксиоматической теории рассеяния (§ 41)
содержится в [44].
Разумеется, упомянутые статьи далеко не исчерпывают
всех работ, имеющих отношение к излагаемым в книге ре-
зультатам. То же замечание следует сделать по поводу ли-
тературы, указанной в тексте введения.
Естественным дополнением к настоящей книге является
другая моя книга [23].
Математику было бы полезно после прочтения настоя-
щей книги ознакомиться с книгой [23], во многих отноше-
ниях дополняющей изложенные здесь результаты. Для
физика, видимо, более целесообразен обратный порядок
чтения этих книг.
Разумеется, материал, изложенный в настоящей книге,
даже если дополнить его материалом книги [23], составляет
лишь небольшую часть современной квантовой теории поля.
Более того, он не охватывает многих вопросов, рассмотрен-
ных в широко распространенных книгах по квантовой тео-
рии поля [1, 24 — 28]. Многие аспекты аксиоматической
квантовой теории поля также не затронуты в этой книге;
для ознакомления с ними можно рекомендовать моногра-
фии [13, 29 — 32].
6
Я признателен Ю. С. Тюпкину и В. А. Фатееву, оказав-
шим мне помощь в работе над книгой.
Пользуюсь случаем выразить благодарность Ю. М. Бе-
резанскому, Ф. А. Березину, В. М. Галицкому, О. И. Завья-
лову, А. Я. Повзнеру, М. К. Поливанову, В. Н. Сушко,
И. Тодорову, Л. Д. Фаддееву, Е. С. Фрадкину и другим
математикам и физикам, проявившим интерес и внимание
к этой книге.
ВВЕДЕНИЕ
Развитие квантовой теории поля началось с квантовой
электродинамики, основные уравнения которой были напи-
саны еще в конце двадцатых годов (Дирак, Гейзенберг, Пау-
е2
ли). В этих уравнениях содержится малый параметр »
« yl?, поэтому для их решения естественно было приме-
нить теорию возмущений по этому параметру. Оказалось,
однако, что только в низшем порядке теория возмущений
приводит к конечным, согласующимся (с некоторой точ-
ностью) с экспериментом результатам. В высших порядках
теории возмущений получаются расходящиеся интегралы,
что не только не позволяло уточнить результаты первого
приближения, но и вызывало серьезные сомнения в кор-
ректности всей теории.
Это затруднение в течение долгих лет мешало развитию
квантовой электродинамики. Существенный Сдвиг произо-
шел лишь через два десятилетия. Он начался с работ Бете,
Швингера, Томонага [7 — 9] и достиг своей кульминацион-
ной точки в создании Фейнманом [10] метода, позволяюще-
го из расходящихся интегралов высших порядков теории
возмущений извлекать конечные результаты, находящиеся
в поразительном согласии с экспериментом (ковариантная
теория перенормировок). Фейнмановский метод оказался
применимым к целому классу теорий (к так называемым
перенормируемым теориям); он был развит во многих рабо-
тах, среди которых прежде всего следует отметить статью
Дайсона [11], и поставлен на твердую математическую ос-
нову в статье Н. Н. Боголюбова и О. С. Парасюка [12].
С появления упомянутых работ начинается период бур-
ного развития квантовой теории поля во многих направле-
ниях. Это развитие не обошлось без задержек и разочаро-
ваний. Более того, за прошедшие годы не была разрешена
8
сколько-нибудь окончательно ни одна из стоящих перед
квантовой теорией поля основных задач. По-прежнему
квантовая электродинамика является единственной кван-
товополевой теорией, убедительно подтвержденной экспе-
риментом.
Успехи достигнуты также в теории слабых взаимодей-
ствий и в теории сильных взаимодействий, но они носят
весьма ограниченный характер. Например, современная
теория слабых взаимодействий неперенормируема, и поэ-
тому в ней — на уровне квантовой электродинамики трид-
цатых годов — приходится ограничиваться низким поряд-
ком теории возмущений*. Сильные взаимодействия можно
пытаться описывать перенормируемыми лагранжианами,
но параметр, по которому приходится вести разложение
в ряд теории возмущений, оказывается большим и рассчи-
тывать на то, что первые члены ряда теории возмущений
дают сколько-нибудь удовлетворительный результат, не
приходится, а эффективный выход за рамки теории возму-
щений сейчас неизвестен. По-прежнему вопрос о связи
ряда теорий возмущений и точного решения и о самом су-
ществовании точного решения даже для перенормируемых
теорий остается открытым.
Однако теперь мы существенно лучше понимаем мате-
матическую структуру квантовой теории поля. Немалый
вклад в это понимание внесло развитие аксиоматической
квантовой теории поля в работах Н. Н. Боголюбова,
Б. В. Медведева и М. К. Поливанова; Лемана, Симанчика и
Циммермана; Уайтмана; Хаага и др. [13—21], в частности
построение теории рассеяния в рамках аксиоматического
подхода. В последние годы интенсивно развивается на-
правление, получившее название конструктивной кванто-
вой теории поля**.
Сегодня квантовая теория поля представляет обширную
область деятельности не только физику, но и математику,
давая возможность поставить большое количество четко
сформулированных математических задач.
* Недавно были предложены перенормируемые лагранжианы,
с помощью которых можно описывать слабые взаимодействия;
однако за перенормируемость приходится платить введением
в теорию полей, которым соответствуют «лишние» (не наблюдавшие-
ся в эксперименте) частицы.
** В работах этого направления (см., например, [22]) изуча-
ются конкретные гамильтонианы локальной квантовой теории
поля с помощью математически строгого анализа предельного пе-
рехода от нерелятивистских гамильтонианов.
9
Эта книга ставит своей целью дать введение в Квантовую
теорию поля. Она во многом отличается от опубликованных
ранее книг. Одно из основных отличий состоит в том, что
в ней проведено максимально полное разделение проблемы
перенормировок и проблемы расходимостей. Уже давно
стало ясно, что даже при отсутствии расходимостей в кван-
товой теории поля нельзя пользоваться стандартным в кван-
товой механике определением матрицы рассеяния — оно
должно быть модифицировано в связи с тем, что в кванто-
вой теории поля голые частицы, описываемые свободным
гамильтонианом, не совпадают с физическими (одетыми)
частицами, описываемыми полным гамильтонианом (гово-
ря языком физиков, можно сказать, что . при построении
матрицы рассеяния в этом случае возникают конечные пе-
ренормировки).
В релятивистской локальной квантовой теории поля
расходимости могут отсутствовать только в одномерных
моделях, поэтому рассмотрение перенормировок и расхо-
димостей обычно проводится вместе; в наиболее четком
с математической точки зрения изложении квантовой тео-
рии поля, принадлежащем Н. Н. Боголюбову и Д. В. Шир-
кову [1], эти два вопроса полностью совпадают.
Однако большая часть того, что известно в квантовой
теории поля, не зависит от предположений релятивистской
инвариантности и локальности. Поэтому в основной части
книги квантовая теория поля строится без этих предполо-
жений, и лишь в самом конце книги в качестве предельного
случая рассматриваются лоренц-инвариантные локальные
теории. Это позволяет не только сделать более простым
изложение важнейших положений квантовой теории поля,
но и добиться большей ясности при рассмотрении вопроса
об устранении расходимостей.
Квантовая теория поля может быть охарактеризована как кван-
товая механика сйстем с бесконечным числом степеней свободы.
Как известно, при квантовании классической системы с конечным
числом степеней свободы обобщенным импульсам р1г ..., рп и'Обоб-
щенным координатам qlt ..., qn соответствуют самосопряженные
операторы р1( ..., рп, qi, ..., ?п> подчиненные соотношениям
lpk< Pil^Ipk, ?z] = 0; [рь, 9/]=убАг (1)
(каноническим коммутационным соотношениям).
В классической механике систем с бесконечным числом степе-
ней свободы имеем дело с бесконечным числом импульсов л (g) и
10
координат <р (g) (здесь 1 меняется непрерывно или пробегает беско-
нечный дискретный ряд значений). Естественно предполагать, что
в квантовой механике систем с бесконечным числом степеней сво-
боды придется рассматривать операторы л (g), ц> (5), удовлетворяю-
щие соотношениям:
(л (g)> л (Г)1 =4ф (S), <р(Н1=о; [«(g), фШ1= в');
л+(5)=л(£); ф+(В) = $(В) (2)
(здесь 6 (g, 5') обозначает символ Кронекера, если В пробегает
дискретный ряд значений, и 6-функцию, если | меняется непрерыв-
но; в непрерывном случае, строго говоря, л (5) и <р (g) представля-
ют собой операторные обобщенные функции 5).
Будем говорить, что операторы п (g), <р (g), удовлетворяющие
соотношениям (2), образуют представление канонических комму-
тационных соотношений (CCR). Легко видеть, что операторы
«(?)= утНт (?)+>«(?));
«+(ё) = -^=(<P(g)-in(g))
удовлетворяют соотношениям:
[а (g), «О = [«+(£)> а+(Г)1=0;
[«(g), а+ (В')1 = 6 (В, В').
Очевидно, что задача о построении операторов а (В), а+ (В), удов-
летворяющих соотношениям (3), эквивалентна задаче о построении
операторов л (В), <р (В), удовлетворяющих соотношениям (2), поэ-
тому семейство операторов а (В), а* (В), подчиненных условиям (3),
также будем называть представлением CCR. В то время как в слу-
чае конечности числа степеней свободы (т. е. в случае, когда В про-
бегает конечное число значений) имеется по существу только одно
неприводимое представление CCR, для бесконечного числа степеней
свободы можно построить много разных (не связанных унитарной
эквивалентностью) неприводимых представлений CCR. Простейшие
из неприводимых представлений CCR — фоковские представления
(т. е. такие системы операторов а (В), а+ (В), подчиненных соотно-
шениям (3), для которых можно найти вектор 0, удовлетворяющий
условию а (В) 0 =0). Пространство, в котором действуют операторы
а (В), а+ (В), образующие фоковское представление, называется фо-
ковским пространством, а вектор 0 — фоковским вакуумом. Ока-
зывается, что фоковское представление по существу единственно
(т. е. два фоковских представления унитарно эквивалентны).
Наиболее важные функции Гамильтона в случае конечного чис-
ла степеней свободы — функции вида
Ж(р, ?)=-“• 2 Pk+U(qi, ..., qn). (4)
2 *=1
11
При квантовании классических систем с такими функциями Гамиль-
тона возникают, как известно, квантовые системы с гамильтониана-
ми вида
т 2 pk+u^~ • (5)
2 k= 1
где рд, <?k —операторы, подчиненные соотношениям (1). Легко
видеть, что операторы рй (/) = exp (i Hi) pk exp (— i Hi)-, qk(t) =
= exp (i Я/) exp (— \Ht) (гейзенберговские операторы) удовлетво-
ряют соотиошеииям:
Pl (01 = (0- <7z(01=0;
[pfe(0. oi(01 = -p6^; p^(0 =Pfe(0; (0 = ?й(0? (6)
(Z) n in-
~=Pk(f),
dPk(i) du_ . v
.. — — , (<71 (0> ?n (0)>
di dqk
exp (i/fr) ph (t) exp (—i Ят) = pft (/-f-r);
exp (i Ят) qk (t) exp ( — i Ят) = qk (<+?)
(O
(8)
соотношения (7) иосят название гейзенберговских уравнений;
видим, что они формально выглядят точно так же, как классические
уравнения Гамильтона).
Обратимся теперь к классической системе с бесконечным чис-
лом степеней свободы, описываемой функционалом Гамильтона
<р)=у Jn4g)^ + V(V), (9)
где
V (<р) = 2 J т (£1..Вт) Ф (Bi) ••• ф (Вт) ... d£m. (10)
т
Величины п (£) здесь рассматриваются как обобщенные импульсы,
Ф (£) — как обобщенные координаты, £ — непрерывный параметр.
Будем считать ради определенности, что £ пробегает трехмерное
пространство; в этом случае ф (£) естественно рассматривать как
12
классическое поле в трехмерирм пространстве. Уравнения Гамиль*
тона в рассматриваемом случае имеют вид:
a<p (g, о
di
0;
(П)
« Г (ВЛ1.......gm-1) Ф (Bl) ... <р
Ot т о
При квантовании классической механической системы с функ-
ционалом Гамильтона (9) возникает одна из наиболее простых
кваитовополевых систем.
Естественно считать, что эта система описывается гамильто-
нианом
я=ур2 (BMB + V,
(12)
где
V=S$Vm(Bi, .... Вт)ф(В1) $(Bm)dmB, (13)
m
л (В), Ф (В) — самосопряженные операторы, удовлетворяющие
CCR, В пробегает трехмерное пространство. Так обычно и считают
физики. Одиако придать точный смысл этим словам не просто.
Прежде всего, как уже было отмечено выше, существует много раз-
личных семейств операторов л (В), Ф (В), удовлетворяющих соот-
ношениям (2) (различных представлений CCR), и необходимо ре-
шить, каким из этих представлений следует пользоваться. Физики
используют, как правило, фоковское представление CCR [точнее,
представление, которое является фоковским для операторов а+ (£),
а (£), удовлетворяющих соотношениям (3) и лииейио выражающих-
ся через операторы л (£), ф (£)]. Одиако в наиболее интересных слу-
чаях оказывается, что выражение (12) ие определяет оператора
в фоковском пространстве; это делает рассуждения, которые про-
водятся обычно в физических книгах, некорректными (хотя конеч-
ные результаты, разумеется, оказываются верными).
Для того, чтобы преодолеть описанные затруднения, можно
написать гейзенберговские уравнения:
дф (В, 0 ~
—— =Il(b’
at
ал (g, t)
dt
= -2 m Vm a, u .... U-1) Ф (Bi, t) ... Ф (Bm-i> t) I, (14)
m ”
13
соответствующие гамильтониану (12), и искать решения этих урав-
нений, удовлетворяющие естественным условиям [гамильтониан
(12) при этом рассматривается как формальное выражение, и урав-
нения выводятся с помощью формальных вычислений; можно счи-
тать также, что уравнений (14) получаются из классических урав-
нений Гамильтона (11) заменой классических полей л (В, /), <р (В, /)
операторами л (В, /), <р (В, /)]. Точнее говоря, можно определить
операторную реализацию формального гамильтониана (12) как со-
вокупность самосопряженного оператора Н (оператора энергии)
и операторов (операторных обобщенных функций) <р (В, /), л (В, О
в гильбертовом пространстве подчиненных следующим условиям:
1) при каждом t операторы л (В, t), Ф (В> О удовлетворяют CCR:
[л (В, /), л (В', *)1 = [ф(£> О, ф(Ь, 01=0;
[л (В, О, ф(В'. /)]= уб(В, в');
ф+ (В, t) = <р (В, 0; (В, о = л (В, t);
2) операторы л (В, /), Ф (В, /) удовлетворяют гейзенберговским
уравнениям- (14);
3) оператор Н определяет зависимость ф (В, /) и л (В, 0 от
времени t по формулам:
exp (i Нт) ф (В, 0 exp (— 1 Нт) = <р (В, t +т);
exp (1 Йт) л (В, t) exp (— i Нт) = л (В, t +т);
4) оператор Н имеет основное состояние Ф; в гильбертовом
пространстве Jz? ие существует подпространства, инвариантного
относительно операторов ф (В, t) и содержащего вектор Ф.
Построение операторной реализации можно провести с по-
мощью предельного перехода от конечного числа степеней Сво-
боды.
Особый интерес представляет рассмотрение трансляционно
инвариантных гамильтонианов вида (12) [гамильтонианов с функ-
циями Vm, зависящими только от разностей аргументов: Vm (Bi, • • •
Ьп) = vm (Bl — Bm..... — £m)l- В книге рассматривают-
ся почти исключительно трансляционно инвариантные гамильто-
нианы как вида (12), так и более общего вида:
# = 2 п (ki, < km | h> •••> 1«) 6 (ki+-..
tn, П J
... +km- h- ... - In) a+ (kx)... a+ (km) а (Ц)... a (ln) dm k 1, (15)
где a+ (к), a (k) удовлетворяют CCR. (Всякий трансляционно инва-
риантный гамильтониан вида (12) может быть записан в форме (15),
14
если выразить q> (В), л (£) через а+ (к), а (к) с помощью соотноше-
ний:
Ф (£) = (2л)~3/2 С ^-^т==—- exp ( — i kJ) dk,
J у/ Л8 (К)
jx(J) = (2n) 3/2 С (а+ (к)—а ( — к)) ехр ( — i kJ) dk,
J /2
где е (к) — четная положительная функция, и привести полученное
выражение к форме (15), пользуясь CCR и отбрасывая получающие-
ся при преобразовании бесконечные константы.) Если гамильто-
ниан (15) порождает поляризацию вакуума (т. е. Ат 0 0),
то он не может определять оператор в фоковском пространстве.
Однако для гамильтонианов вида (15) можно ввести определение
операторной реализации, аналогичное указанному выше опреде-
лению операторной реализации для гамильтонианов вида (12), и
рассматривать построение операторной реализации как придание
операторного смысла формальному выражению (15).
Основная часть книги посвящена теории рассеяния. В иереля-
тивистской квантовой механике из гамильтониана Н, описывающего
рассматриваемую систему частиц, естествеиио выделяется гамиль-
тониан Но, описывающий свободное движение частиц; по операто-
рам Н, Но можно определить матрицу рассеяния с помощью фор-
мулы
3=33-3-, (16)
где 3_, 3+ — операторы, определяемые соотношениями
5 , =s lim exp (i Hi} exp (—iHoi) (17)
i - ± 00
(матрицы Мёллера). В квантовой теории поля не существует естест-
венного деления гамильтониана Н на «свободный» гамильтониан
Но и «взаимодействие» V = Н — Но; для гамильтонианов вида (15)
определение матрицы рассеяния как оператора в фоковском прост-
ранстве, задаваемого формулами (16), (17), оказывается возможным
лишь в случае, когда Н = На + V, где
Но = J е (к) а+ (к) а (к) dk;
V= 2i f vm, n (kj..km I lx.. 1«) 6 (k!^-...— (18)
m. nJ
-11- ... — ln) a+(kt)... a+(km) a (Ij)... a (ln) d"1 к d" 1;
vm, o==O, °m, 1 = 0, 8 (k) > 0
15
(в этом случае основное состояние 0 гамильтониана Но — «голый
вакуум» — и «голое одночастичное состояние» а+ (к) 0 оказываются
стационарными состояниями полного гамильтониана Н). Для га-
мильтонианов вида (18) удобно определить in- и out-операторы
вщ (k), «out (Ю формулами:
S_a (к) = а1п (к) Sw,
S-l-й (к) = <?out (к) S+;
если матрицы Мёллера унитарны, то
а in (к) = s lim exp (i.e (к) t) exp (i Hi) a (k) exp (— i Hi) =
out t - T oo
= s lim exp (i g (k) t) a (k, t).
t -> 4: 00
Наблюдаемые в эксперименте величины (дифференциальные эффек-
тивные сечения) выражаются через так называемые амплитуды рас-
сеяния [матричные элементы матрицы рассеяния в базисе а+ (kJ...
... а+ (kn) 0]:
$т, п (ki, •••> kTO I li, ..., ln) =
= <Sa+ (lj) ... a+ (ln) 0, a+ (kJ ... a+ (km) 0> =
= (flin (li) ... «in (In) 0, flout (kJ ... aout (km) 0>-
В общем случае определение матрицы рассеяния должно быть из-
менено (физики говорят по этому поводу, что в квантовой теории
поля следует рассматривать перенормированную матрицу рассея-
ния; необходимость перенормировки связана с отличием «голого
вакуума» и «голых одночастичных состояний» от «одетого вакуума»
и «одетых одночастичных состояний»). Существуют различные кон-
струкции матрицы рассеяния, пригодные для гамильтонианов вида
(15); одна из наиболее, простых конструкций основана на построе-
нии операторной реализации гамильтониана и на определении
in- и out-операторов с помощью формул
fljn (k) = lim Л (к) exp (i со (к) t) а (к, i) (19)
out t -► т °о
(здесь функция со (к) подбирается из условия существования пре-
дела, а функция Л (к) — из условия, чтобы операторы йГ\~п(к),
out
ain (к) удовлетворяли CCR; предел понимается как слабый предел
out
операторных обобщенных функций). Через in- и out-операторы
амплитуды рассеяния выражаются формулой
$т, п (ki...km I li, ..., 1jJ =
= (flin (1J ... flin (In) Ф, flout (kJ ... flout (km) Ф>, (20)
16
где Ф — основное состояние. Матрица рассеяния может быть
определена как оператор в фоковском пространстве, матричными
элементами которого являются амплитуды рассеяния (20).
Для гамильтониана Н, представленного в виде Н = На + gV,
где Но — свободный гамильтониан (гамильтониан, приводящий к ли-
нейным гейзенберговским уравнениям), строится разложение
матрицы рассеяния и других физических величин по степеням g
(это разложение записывается с помощью предложенных Фейнма-
ном диаграмм).
В лоренц-инвариантной квантовой теории поля естественно
исходить из гамильтонианов, получающихся при квантовании ло-
ренц-инвариантных классических систем. Из классических систем,
описываемых функционалами Гамильтона вида (9), очевидно, ло-
ренц-инвариантны системы, для которых
Пф)= уJ(v<p(£))М+ у /п2 J<P2(g)dg+
+ (21)
(они приводят к лоренц-инвариантным уравнениям движения
—Д<р+т2<р+ S non<P"-1=0 ) .
dt2 п^з J
Однако при квантовании систем с функционалом Гамильтона (21)
встречаемся с трудностями, вызванными сингулярностью функ-
ций Vn (si...... £п) = (£i — Вп) ••• (Вп-1 — ^п)- Именно,
при вычислении членов ряда теории возмущений встречаемся с не
имеющими смысла выражениями (в координатном представлении —
с произведениями обобщенных функций, в импульсном представле-
нии—с расходящимися при больших импульсах интегралами). Эти
трудности могут быть преодолены в случае, когда рассматриваются
гамильтонианы, не содержащие членов степени больше 4 по <р
(т. е. сп = 0 при п > 4); в этом случае с помощью предельного пере-
хода от гамильтонианов с несингулярными функциями Vn по рас-
сматриваемому семейству гамильтонианов удается (в рамках тео-
рии возмущений) построить семейство лоренц-инвариантных мат-
риц рассеяния. При этом приходим к процедуре ковариантной пере-
нормировки.
В настоящей книге почти не исследуются устранение рас-
ходимостей и ковариантные перенормировки; в книге [23] указан-
ные вопросы рассмотрены более подробно с той же точки зрения.
(В книге [23] изучаются гамильтонианы вида (12) на несколько
более формальном уровне, чем здесь; в частности, большее вни-
мание уделено анализу ряда теории возмущений для таких га-
мильтонианов.)
17
Условные обозначения
X|JB — объединение множеств Л й В;
ЛПВ — пересечение множеств А и В;
А X В — произведение множеств А и В (множество
пар (а, Ь), где а С Л, 6 g В);
Еп — n-мерное евклидово пространство;
L2 (X) — гильбертово пространство квадратично ин-
тегрируемых комплексных функций на пространстве с ме-
рой X;
<х, у} — скалярное произведение элементов гильбер-
това (или предгильбертова) пространства (для скалярного
произведения векторов х, у £Еп может употребляться как
обозначение <х, у>, так и обозначение ху);
(В") — пространство гладких (бесконечно дифферен-
цируемых) убывающих быстрее любой степени функций п
переменных;
Q — куб с ребром L в пространстве Б3, выделяемый
неравенствами Ь х L, 0 у L, 0 z L;
То — множество векторов вида к = -j- п, где п — це-
лочисленный вектор;
<Рк — ортонормированный базис в пространстве L2 (£2),
образованный функциями <pk = L-3/2 exp (—ikr), где
к 6 Т я;
— прямая сумма гильбертовых пространств
и (пространство, состоящее из пар (hlt h2), где
^6^,626^2)!
4- 3tn + ••• — прямая сумма бесконечной по-
следовательности гильбертовых пространств Жп (прост-
ранство, состоящее из последовательностей (/гъ ..., hn,...),
где hn £ 21 hn 12 < 00);
n
F (Ж) — фоковское пространство, построенное по гиль-
бертову пространству Ж (если Ж = L2 (X), то F (L2 (X)) —
~ Fo + + ... + Fn + ..., где в бозевском случае про-
странство Fn состоит из квадратично интегрируемых сим-
метричных функций фп (хъ хп) п переменных g X;
•в фермиевском случае симметричные функции заменяются
на антисимметричные);
[Д, В] = АВ — ВА — коммутатор операторов А и В;
[Л, В]+ = АВ В А — антикоммутатор операторов
А и В.
18
Два оператора Л и В в гильбертовом пространстве назы-
ваются сопряженными друг с другом, если (Ах, у}=(х, By}
для любых х из области определения оператора 4 и у из
области определения оператора В;
Л* — тот из сопряженных с Л операторов, который име-
ет максимальную область определения;
Л+ — тот из сопряженных с Л операторов, область опре-
деления которого совпадает с областью определения опера-
тора Л (для операторов, определенных на всем гильберто-
вом пространстве, А* = Л+; будем употреблять в этом слу-
чае обозначение Л*);
s Игл Лп — сильный предел последовательности опера-
торов Лп;
w lim Ап—слабый предел последовательности опера-
торов Лп (предполагается, что все операторы Лп имеют одну
и ту же область определения D; оператор Л с той же об-
ластью определения называется сильным пределом последо-
вательности Лп, если Ах = Игл Апх для всех x£D, и
слабым пределом последовательности Лп, если (Ах, у} =
= lim (Апх, у) для всех х, y£D)-,
8k, i = 6/ — символ Кронекера (6*. z = 0 при k =/= I,
6*, k ~ 1);
б (£, ц) — 6-функция [здесь J-, т] принадлежат прост-
ранству с мерой; если q g £"> то б (J-, т]) = б (£ — т])];
О (/) = 0 при /<0, 9 (/)==! при /^0;
—-— = lim —!— = — f 0 (/) exp (i®/) dt;
co + iO e-»4-0® + ie i J
_ a2 a2____d2 _ JL— d2_______Д.
J — dt2 dx2 dy2 dz2 ~ dt2
supp f—носитель функции f (замыкание множества точек,
где функция f отлична от нуля).
Для импульсной переменной будем пользоваться обозна-
чениями k, р, 1, q; энергетическая переменная обычно обо-
значается буквой о. Для обозначения координатной пере-
менной используются буквы х, у, q, время обозначено
буквами t и т.
В книге используется система единиц, в которой по-
стоянная Планка h и скорость света с приняты равными
единице.
ГЛАВА 1
ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ
КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
§ 1. Состояния квантовомеханической
системы
Почти все современные физические теорий построены
по следующей схеме. Прежде всего говорится, какой мате-
матический объект ф4 описывает состояние рассматриваемой
физической системы в момент времени t. Далее указывается
уравнение, управляющее изменением со временем объекта
ф4 [обыкновенно это уравнение имеет вид = А (ф()].
И, наконец, выясняется, каким образом по объекту ф( мож-
но вычислить наблюдаемые на опыте величины.
Сформулируем постулаты квантовой теории, следуя этой
схеме.
Состояние квантовомеханической системы в фиксиро-
ванный момент времени описывается ненулевым вектором
ф комплексного гильбертова пространства /?; при этом
считается, что два вектора ф и ф' = Сф, отличающиеся друг
от друга только ненулевым численным множителем С, опре-
деляют одно и то же состояние. Если выбрать С = || ф ||-1,
то вектор ф' будет нормированным, и, значит, всякое сос-
тояние может быть представлено нормированным вектором,
который определен, конечно, лишь с точностью до множи-
теля, по модулю равного 1. В дальнейшем, если не будет
оговорено противное, будем представлять состояния кван-
товомеханической системы нормированными векторами
гильбертова пространства.
§ 2. Эволюция вектора состояния
По вектору ф;0, описывающему состояние квантовомеха-
нической системы в момент времени /0, можно однозначно
восстановить вектор состояния ф( в любой момент времени.
Иными словами, существует оператор U (t, /0) — оператор
эволюции, ставящий в соответствие вектору ф^ вектор ф(.
20
Оператор U (t, t0) обладает групповым свойством: U (t2, 4)X
x U (4, 4) — U (t2, to), U (to, to) = 1. Оператор эволюции
U (t, to) удовлетворяет уравнению Шредингера
i^^=H(t)U(t, to)
(2-1)
с начальным условием U (t0, t0) = 1. Здесь Н (f) — само-
сопряженный оператор, носящий название оператора Га-
мильтона (гамильтониана) квантовомеханической системы.
Уравнение Шредингера можно записать также в виде
\^ = H(t)^t,
di
(2-2)
однако эта запись менее корректна, поскольку оператор
Н (t) может быть определен не на всем гильбертовом про-
странстве R, а оператор U (t, t0) определен всюду.
Легко проверить, что U* (t, ta) = U (t0, t), и вывести
отсюда и из группового свойства, что оператор U (t, t0)
унитарен.
Если гамильтониан Н не зависит от времени явно, мож-
но записать U (t, to) в виде U (t, ta) = exp (—\Н (t — to)).
В частном случае одной одномерной нерелятивистской
частицы пространство состояний R можно считать прост-
ранством L2 (Е1) квадратично интегрируемых функций
ip (х) одной переменной х, где —<x><zx<Z°o. Оператор
Гамильтона в этом случае можно записать в виде Н (f) ~
1 d‘2 л
= — + Т (X, t), где (х, о — оператор умножения
на функцию V (х, t) (t играет роль параметра)*. Такой
гамильтониан описывает нерелятивистскую частицу с мас-
сой т, движущуюся в зависящем от времени поле с потен-
циалом (х, t).
§ 3. Вычисление вероятностей значений
измеряемой величины
Каждой наблюдаемой величине а в квантовой механике
ставится в соответствие самосопряженный оператор А
в пространстве R. Зная этот оператор и состояние квантово-
* Легко видеть, что V (х, f) = V (х, /), где х — оператор
умножения на х.
21
механической системы, описываемое нормированным век-
тором ф Е R, можно предсказать распределение вероятно-
стей значений, которые получаются при измерении вели-
чины а в состоянии ф. Именно, вероятность р, (а) того, что
при измерении величины а получится значение =Са, посту-
лируется равной (еа (Л) ф, Ф>» где еа W —функция, рав-
ная 1 при а и равная 0 при А, > а.
Этот постулат можно сформулировать в несколько ином
виде, потребовав, чтобы для любой функции f среднее зна-
чение f (а) = f f (a) dp (а) величины f (а) в состоянии ф
задавалось формулой f (а) = </ (Д) ф, ф>.
Если величинама1( ..., ап соответствуют коммутирующие
друг с другом операторы Аъ ..., Ап, то величины alt ...
..., ап являются одновременно измеримыми в том смысле, что
для каждого состояния ф можно говорить о совместном
распределении вероятностей значений, которые получаются
при измерении величин аг, ..., ап. Именно, вероятность
ц («!, ..., ап) того, что при измерении этих величин в со-
стоянии ф получатся значения, удовлетворяющие нера-
венствам ar =< alt ...,ап^ап, постулируется равной
(бд,,ап (Д1> •••> Ап) ф, ф), где еа1 (Ai, ..., Z,n)—
функция, равная 1, если Oj, ..., Кп ап, и 0 в про-
тивном случае.
Как и для случая одной величины, этот постулат мож-
но переформулировать, потребовав, чтобы для любой функ-
ции f (fli, ..., ап) среднее значение f (с^.ап) величины
f (аг, ап) в состоянии ф задавалось формулой
/(Gi, ..., ап) = (/Hj, ..., Дп)ф, ф>.
В упомянутом выше частном случае одной одномерной
частицы-физической величине х (координате частицы) со-
ответствует оператор х умножения на %, импульсу ча-
'1 d р3 Id3
стицы - оператор р = ТТх, оператор - = - соот-
ветствует кинетической энергии, а оператор умножения
на Ж (х, t) представляет собой оператор потенциальной
энергии. Импульс и кинетическая энергия одновременно
измеримы, так же как координата и потенциальная энер-
гия, однако говорить о совместном распределении вероят-
ностей координаты и импульса нельзя.
Если А — самосопряженный оператор с дискретным
спектром, то в 7? существует ортонормированный базис из
собственных векторов г; оператора А; соответствующие
22
собственные значения обозначим аг. Матрицы операторов
А и ел (Л) в базисе гг диагональны; диагональные матрич-
ные элементы оператора А равны ait оператора ел (Л)
равны ел (а,). Если нормированный вектор ф = 2с;г«> то
I
<ек (Л) -ф, ф> = 2 ci с* е>. (а^) (rh r}> = 2 е>. (^) I |2.
i.j i
Отсюда ясно, что при измерении значений физической
величины, соответствующей оператору Л, с ненулевой
вероятностью получаются только а,- — собственные зна-
чения оператора Л. Вероятность получить при измерении
в состоянии ф значение а равна У | <ф, гг->|2, где сумма
i
берется по тем I, для которых Лгг = art.
Ставя в соответствие каждому вектору ф последователь-
ность (cj, ..., ct, ...) коэффициентов разложения вектора ф
по базису rt, состоящему из собственных векторов опера-
тора Л, получаем изоморфизм пространства R и пространст-
ва Z2; этот изоморфизм называется А-представлением,
а последовательность (сг, ct, ...), соответствующая
при нем вектору ф, называется Л-представлением вектора
ф. Таким образом, по Л-представлению вектора ф очень
просто вычисляются вероятности различных значений ве-
личины а в состоянии ф.
Понятие Л-представления может быть определено и
тогда, когда оператор Л имеет непрерывный спектр, а также
обобщено на случай, когда имеем дело с семейством ком-
мутирующих самосопряженных операторов. Именно, если
Л1, ..., Лй — коммутирующие друг с другом самосопря-
женные операторы, то (Ль ..., Лй)-представлением назы-
вается такой изоморфизм гильбертовых пространств R
и L2 (2И), при котором операторы Alt ..., Ak переходят
в операторы умножения на функции аг (т), ..., ak (т)
(М — пространство с мерой, т£М). Здесь также по (Лъ
..., Лй)-представлению вектора ФЕ/? легко вычисляется
распределение вероятностей величин Л1; ..., Лй в состоя-
нии ф. Можно доказать, что (Л1; ..., Лй)-представление су-
ществует для любой системы коммутирующих самосопря-
женных операторов Ль .... Лй. (Если операторы Аъ ...,
Лй имеют дискретный спектр, это означает, что сущест-
вует ортонормированный базис пространства R, состоящий
из общих собственных функций операторов Alt ..., Лй.)
23
В общем случае понятие (Xn Лй)-представления
тесно связано с понятием обобщенной собственной функ-
ции операторов Ak. Именно, пусть гт, где т про-
бегает пространство с мерой М, — обобщенный базис
в пространстве Д, нормированный на 6-функцию (см. до-
полнение, § Д.8). Если этот базис является собственным
для операторов А1г ..., Ah [т. е. Лггт = аг (т) гт], то изо-
морфизм пространств R и L2 (Й4), при котором соответст-
вующие друг другу элемент х £ R и функции a (m) £ L2 (2И)
связаны соотношением a (m) = <х, rm>, является (Лд, ...,
Дй)-представлением.
В дальнейшем будем отождествлять физическую вели-
чину с соответствующим ей самосопряженным оператором.
§ 4. Гейзенберговские операторы
До сих пор векторы состояний считались зависящими
от времени, а операторы физических величин — постоян-
ными (шредингеровская картина). Возможен, однако,
другой, эквивалентный подход, при котором операторы
зависят от времени, а векторы состояний постоянны (гей-
зенберговская картина).
Определим для каждого оператора А зависящий от вре-
мени оператор At (гейзенберговский оператор) по формуле
At = U* (t, 0) AU (t, 0).
Отметим следующие соотношения:
(AB)t = U* (t, 0) ABU (t, 0) =
= и* (t, 0) AU (t, 0) U* (t, 0) BU (t, 0) = At Bt;
(Л*)( = U* (t, 0) Л* U (t, 0) = (U* (t, 0) AU (t, 0))* = (4f)*;
(f (A))t = Д* (t, 0) f (A) U (t, 0) = f (U* (/, 0) AU (t, 0)) = f (At)-
(Д^ф, ф> = (JJ* (t, 0) AU (t, 0)ф, ф> =
= (AU (t, 0) ф, U (t, 0) ф> = (Дф(, ф;>.
Комбинируя два последних соотношения, можно убе-
диться, что, вычисляя распределение вероятностей по опе-
ратору А и состоянию ф( = U (t, 0) ф, получаем тот же
ответ,- что и при вычислении распределения вероятностей
по оператору At и состоянию ф. Именно в этом смысле эк-
вивалентны шредингеровская и гейзенберговская картины.
24
Из уравнения (2.1) и эрмитово сопряженного уравнения
1 —Qt~ = —Л 0) Н (0 вытекает уравнение для опе-
ратора At (гейзенберговское уравнение движения)-.
чМ[Н<’ А(],
где Ht = U* (/, 0) Н (/) U (t, 0). В случае, когда гамиль-
тониан Н не зависит от времени, Ht = Н, At =
= exp (i/Я) A exp (—itH), а гейзенберговское уравнение
принимает вид
di *
Покажем на конкретном прймере, как записываются
гейзенберговские уравнения движения. Пусть R — прост-
ранство квадратично интегрируемых функций одной пере-
п2 ~ - 1 4
менной х, а Я = + У (х, /), где р = у , х — оператор
умножения на х. Пользуясь выписанными выше соотно-
шениями, можно написать, что
Н, = -± + г,(м).
[В случае, когда Н не зависит от времени, Н = Ht, но и
Pt ' 1
тогда удобно переписать Н в виде Н = — ф- (х).
Из соотношения [р, (х)] =-— (х) следует, что
i
Д. + = -^'(4 0. и- значит, -^- =
2tn J 1 at
=—T"(xt,t). Аналогично устанавливается, что =
dt
= ~ pt. Подобные рассуждения всегда применяются.
т
когда нужно написать гейзенберговские уравнения для
конкретного оператора.
§ 5. Интегралы движения. Стационарные
состояния
Физическая величина А называется интегралом дви-
жения, если для любого вектора ф распределение вероят-
ностей величины А в состоянии ф( = U (t, 0) ф не зависит
25
от времени t. Переходя к гейзенберговской картине, убе-
ждаемся, что величина А является интегралом движения,
когда гейзенберговский оператор At не зависит от /. В даль-
нейшем в этом параграфе будем предполагать, что гамиль-
тониан 77 не зависит от времени. Тогда из гейзенбергов-
ского уравнения ясно, что величина А будет интегралом
движения в том и только том случае, когда оператор А
коммутирует с гамильтонианом 77. В частности, интегралом
движения будет физическая величина, соответствующая
самому оператору 77; она имеет смысл энергии.
Состояния, описываемые собственными векторами опера-
тора 77 (состояния с определенным значением энергии Е),
называются стационарными состояниями. В самом деле,
если 77ф = Еф, то ф( = ехр (—iEt) ф— решение уравне-
ния Шредингера. Таким образом, ф; отличается от ф толь-
ко численным множителем и, следовательно, описывает
то же состояние; это и оправдывает название стационарно-
го состояния для решения уравнения 77ф = Еф (стацио-
нарного уравнения Шредингера). Заметим, что в случае,
когда вектор ф< = U (t, 0) ф для любого t отличается лишь
численным множителем C(t) от вектора ф, из уравнения
Шредингера следует, что iC (0 ф = С (0 77ф, откуда
С (0 = ехр (—iEt) и 77ф = Еф. Это показывает, что лю-
бое состояние, не меняющееся во времени, стационарно
в ойределенном выше смысле.
Стационарное состояние, отвечающее наименьшему зна-
чению энергии, называется основным состоянием. Легко
убедиться, что основное состояние можно охарактеризо-
вать также как состояние с наименьшим средним значе-
нием энергии; иными словами, если Фо— основное со-
стояние, а ¥ — любое другое состояние, то <7747, Т>>
> <77Ф0, Фо> (предполагаем, что Фо и ЧТ — нормированные
векторы). В самом деле, ограничиваясь для простоты слу-
чаем, когда гамильтониан 77 имеет только дискретный
спектр, разложим вектор ЧТ по собственным векторам Фп
оператора 77. Тогда
<7747, Т> = </72спФ„, =
= 2£п|сп|2>£о2кп|2>£о = <-^фо. фо>
(здесь Еп — собственные значения оператора 77, отвечаю-
щие собственным векторам Фп, Ео = min Еп — энергия
основного состояния).
ГЛABA 2
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА ОДНОЙ
ЧАСТИЦЫ И СИСТЕМЫ
НЕТОЖДЕСТВЕННЫХ ЧАСТИЦ
§ 6. Квантовая механика одной
скалярной частицы
Для того чтобы описать конкретную квантовомехани-
ческую систему, необходимо задать гильбертово прост-
ранство /? состояний этой системы и оператор Гамильтона
Н, управляющий эволюцией состояний системы, а также
выписать операторы основных физических величин. Рас-
смотрим, как описываются простейшие квантовомехани-
ческие системы.
Состояние одной скалярной частицы описывается вол-
новой функцией — квадратично интегрируемой функцией
Ф (г) на трехмерном пространстве [т. е. пространство R
представляет собой в рассматриваемом случае пространство
L2 (£3)]. Оператор Гамильтона для нерелятивистской час-
тицы в поле с потенциальной энергией (г) записывается
в виде Н= — А + (г), где т — масса частицы, А —
оператор Лапласа, а ЧУ (г) — оператор умножения на функ-
цию ЧУ (г). Оператор х координаты х является оператором
умножения на х [т. е. хф (г) = хф (г)], операторы у и z
координат у и z определяются аналогично. Поскольку опе-
раторы х, у, z коммутируют, можно говорить о совместном
распределении вероятностей величин х, у, z в состоянии
ф(г). Из основных постулатов сразу следует, что плот-
ность этого распределения вероятностей равна | ф (г) |2
(как всегда, считаем вектор состояния — функцию ф (г) —
нормированным). Операторы компонент импульса равны
~ 1 д 1 д 1 д
соответственно рх= у ру = у pz = у . Операторы
компонент момента импульса определяются формулами:
Мж = ypz — zpy, Му = zpx — xpz, Mz = xpu — ypx. Ра-
ди краткости будем говорить обычно о векторных опера-
торах г = (х, у, z); р = (рх, Ру, pz\, М = г X р = (Мх,
27
My, Mz). Наряду с термином компоненты импульса (мо-
мента импульса) будем использовать термин проекции век-
тора импульса (момента импульса).
Уравнения движения для гейзенберговских операторов
г( и р( имеют вид
_ Pf . dpt __ дУ /р\
dt т ’ dt dr *
До сих пор состояния одной частицы описывались функ-
циями ф (г), где г£Е3 (координатное представление).
Если а — унитарный оператор, отображающий простран-
ство L2 (£3) на пространство L2 (Л4), где М — какое-то
пространство с мерой [изоморфизм пространства L2 (Е3)
и пространства L2 (7И)1, то можно с равным успехом пред-
ставлять состояние функцией ФЕЕ2 (Е3) и функцией
ф = афЕЛ2(Л1). Каждому оператору А в пространстве
Е2 (£3) при этом будет соответствовать оператор А =
= аАа-1 в пространстве L2 (Л4), и из соотношения
</ (Д) ф, Ф> = (/ (Д) ф, Ф> вытекает, что вычисление ве-
роятностей по оператору А и функции ф приводит к тому же
результату, что и вычисление вероятностей по оператору. А
и функции ф.
Рассмотренный переход от одного представления век-
тора состояния к другому во многих случаях оказывается
полезным. Пусть, например, а — это преобразование
Фурье, т. е. ф (р) = (2л)~3/2 J ехр (—ipr) ф (г) dr (в дан-
ном случае М = Е3). При преобразовании Фурье опера-
1 <3
тор рх = — переходит в оператор умножения на не-
зависимую переменную: рх/ф (р) = ржф (р); аналогично,
Руф (Р) = РуФ (Р)> РгФ (Р) = Pz Ф (P)- Пользуясь этим, лег-
ко убедиться, что плотность совместного распределения
вероятностей величин рх, ру, pz равна | ф (р) |2,
Разумеется, описанная выше поцедура перехода от од-
ного представления вектора состояния к другому приме-
нима и полезна не только в случае одной частицы.
Рассмотрим сейчас на примере одной частицы общий прием,
позволяющий выяснить, как следует записывать операторы компо-
нент импульса и момента импульса. Заметим, что каждому движе-
нию Т трехмерного пространства Е3 естественно сопоставляется
28
унитарное преобразование пространства L? (£8); именно, опе-
ратор WT, показывающий, как преобразуются волновые функции
при движении Т, записывается в виде (1Ггф) (г)=ф(Т-1г). Легко
видеть, что = WT т , т. е. операторы образуют уни-
тарное представление группы движений.
Оператор проекции импульса на ось может быть записан как
оператор бесконечно малого сдвига вдоль этой оси; точнее, оператор
« IFr —1
рх, например, может быть определен как i lim----5—, где Та—
а->0 а
сдвиг на расстояние а вдоль оси х [т. е. Та (х, у, г) — (х + а, у, г)].
Оператор проекции момента импульса на ось можно определить как
оператцр бесконечно малого поворота*вокруг этой оси; это значит,
что Afz определяется как ilim—(lFS(p—1), где обозначает
поворот на угол ф вокруг оси г [т. е. (х, у, г) = (х cos ф —
— у sin <р, х sin ф + у cos ф, г)].
Пользуясь определением импульса и момента импульса через
операторы легко понять, при каких условиях они будут интег-
ралами движения. Например, если гамильтониан инвариантен при
повороте вокруг оси z (т. е. если Н коммутирует с операторами
IP's ), он будет, очевидно, коммутировать с оператором Mz, и, зна-
чит, Mz будет интегралом движения.
§ 7. Квантовая механика частицы
со спином
Состояние частицы со спином описывается столбиком ф
из k квадратично интегрируемых функций на трехмерном
пространстве
/Фг (г)\
Ф = 1 : .
\Фа (О/
или, иными словами, функцией ф (г), значениями которой
являются столбики из k чисел. Вместо обозначения ф; (г)
для функций этого столбика будем" употреблять обозначе-
ние ф (г, г), рассматривая i как переменную, которая может
принимать дискретный ряд значений 1, 2, ..., k, и говорить,
что волновая функция частицы со спином зависит от точки
г и дискретной переменной i, принимающей k значений.
Можно сказать, что пространство состояний в данном
случае представляет собой пространство квадратично ин-
тегрируемых функций ф (5), где | = (г, г) £ Е3 X В,
г£Е3, i£B = {1, ..., k}. Интегрирование по | понимает-
ся при этом как интегрирование по г и суммирование по г,
29
например скалярное произведение двух функций ср £ R
и ф g R определяется так:
____ k - _____
<Ф, Ф> = J Ф (5) Ф Ф dl = J ф (г, г) ф (г, i) dr.
Операторы координат и компонент импульса, а также
оператор Гамильтона, если частица находится в потенци-
альном поле, записываются точно так же, как для бесспи-
новой частицы. Дискретная переменная при действии пе-
речисленных операторов на функцию ф (|) — ф (г, z) рас-
сматривается как параметр. Операторы проекций момента
импульса Мх, Му, Mz записываются в виде Мх = /х +
+ sx; Му = 1У + Sy-, Mz=l+ Z где 1 = (lx,Jv, О -
оператор орбитального момента, a s = (sx, sy, sz) — опе-
ратор спинового момента. Оператор орбитального момента
действует по тем же формулам, что и оператор момента для
бесспиновой частицы (т. е. 1 — г X р); оператор спинового
момента действует только на дискретную переменную [го-
ворят, что оператор А действует только на дискретную пе-
ременную, если он определяется матрицей аи, где 1 i,
k
/ <£, по формуле Дф (г, г) = У аг/ф (г, /)].
/= 1
К такой записи оператора момента нетрудно прийти, если
исходить из приведенных в § 6 соображений. Каждому вращению
Т трехмерного пространства должно соответствовать унитарное
преобразование WT пространства R, однако теперь оно уже не сво-
дится к замене аргумента у волновой функции. Например, если
/Фг (г)\
ф (г) = фа(г) —векторная функция от г, то оператор Wr, кро-
\Фз(г)/
ме пространственного аргумента, преобразует по обычному вектор-
ному закону значения функции ф (г); т. е. функция ф' = П7ГФ за-
дается равенством ф,' (г) — S (Т^г), где Ttj — матрица
/ = 1
преобразования Т. В общем случае оператор Wj- должен быть за-
писан в виде
k
(Ц7гф)(г, Q =
/= 1
Этот вид оператора сразу приводит к написанным выше форму-
лам для операторов проекций момента импульса, которые отожде-
ствляются с операторами бесконечно малого поворота вокруг осей.
30
Операторы WT должны удовлетворять условию Wy г
(определять унитарное представление группы вращений). Отсюда
ясно, что матрицы DT определяют ^-мерное унитарное представле-
ние группы вращений. Зная конечномерные унитарные представ-
ления группы вращений, нетрудно установить, какой вид могут
иметь операторы проекций спина. Соответствие вращений Т с опе-
раторами W'p, а следовательно, с матрицами D'r может быть дву-
значным (оператор WT и матрица Оу. определены тогда с точностью
до знака). Это ничему не мешает, так как вектор состояния в кван-
товой теории определен лишь с точностью до множителя.
Как известно, для каждой размерности k 0 существует ров-
но одно (с точностью до эквивалентности) ^-мерное унитарное, не-
приводимое представление группы вращений. При k нечетном это
представление однозначно, при k четном оно двузначно. Говорят,
/Ф1(г)\
что функция Ф (г) = I • I,
W)/
стве представления, описывает
принимающая значения в простран-
частицу со спином s =
k—\
. 2
Эта тер-
минология оправдывается тем, что проекции спина изменяются от
—s до s (т. е. каждый из операторов Sx, sy, sz, построенных указан-
ным в этом параграфе способом, имеет собственные значения —s,
—S + 1, ..., S — 1, s).
Особенно важным является случай частиц со спином 1/2, по-
скольку многие элементарные частицы, в частности электрон,
протон, нейтрон, имеют спин 1/2. Операторы проекций спина мо-
гут быть записаны в этом случае с помощью матриц:
1/0 14
Sx ~~~ I I »
2 V1 0 Г v
1 /0 —1\ ~ 1 /1 0\
— ; $z = — .
2 \ i 0 / г 2 \0 —1/
Описанный выше аппарат полностью пригоден, если у частицы
есть какие-либо другие внутренние квантовые числа, кроме спина
(например, изоспин). Единственная разница состоит в том, что
в случае, когда нет внутренних квантовых чисел, кроме спина,
представление группы вращений матрицами DT неприводимо;
в противном случае оно приводимо.
§ 8. Квантовое описание системы
нетождественных частиц
Два электрона (или два протона) обладают одинаковой
массой, одинаковым зарядом; они неразличимы и по другим
свойствам. Именно это имеют в виду, говоря, что все элект-
роны являются тождественными частицами. Если в си-
стеме частиц какие-либо две частицы являются тождест-
венными, приходится существенно изменять квантово-
механическое описание этой системы, Рассмотрим в этом
31.
параграфе только такие системы частиц, среди которых
никакие две не являются тождественными.
Если рассматривается система из п бесспиновых частиц,
то гильбертово пространство состояний такой системы
представляет собой пространство L2 (Е3п) квадратично ин-
тегрируемых функций п пространственных переменных.
Рассмотрим теперь п частиц со спином и предположим,
что /-я частица в отдельности описывается функцией
ф(£), определенной на множестве Bj (в координатном пред-
ставлении Bj является множеством пар (г, г), где г —точка
трехмерного пространства, a i пробегает дискретное мно-
жество 1, 2, ..., kj). Тогда пространство состояний всей си-
стемы является пространством R = L2 (Bt X ... X Вп)
квадратично интегрируемых функций ф (£1; ..., |п) пере
менных |г, ..., |п, пробегающих соответственно множества
Bt, ..., Вп. В координатном представлении волновая функ-
ция ф (хь г/i, z1; г\, ..., хп, уп, zn, in) системы частиц зависит
от координатных (Xj, yj, Zj) и спиновых переменных ij
каждой из частиц.
Каждый оператор, соответствующий физической ве-
личине, связанной с /-й частицей, естественным образом
определяет оператор в пространстве /?. Например, в коор-
динатном представлении операторы Xj, yj, Zj координат
/-й частицы действуют в R как операторы умножения на xj,
yj, Zj\ операторы Pjx, pjy, pjz компонент импульса /-й
частицы р,- действуют в R. как операторы дифференцирова-
1 д 1 д
ния по координатам j-и частицы: р}х = — Pjy = 7-77 ,
1 д ( ' 11 д А 3
Piz~~g^ I можно написать короче: Р/ = 7у/-
Вообще, если в пространстве L (В}) оператор А перево-
дит функцию ф (|) в функцию ф' (|) = J А (£, т]) ф (т])(/т],
то соответствующий ему оператор в пространстве Ё пере
водит функцию ф (£г, ..., |п) в функцию
Ф' (£1, U = J A (lj, Т)) Ф (|ь ..., Т]> В/+1, •••> U
Оператор полного импульса Р задается формулой
п п I
Р= 2 Р;= 2 —
/=1 j=i 1
д
drj
(8.1)
32
Оператор Гамильтона системы п частиц в простейшем
случае записывается в виде
н= Sr+?'(ri"-r»)= У (--^-)+^(гп->гп)
2т} \ 2т.!
i=i J i=i J
(8-2)
[функция V обычно имеет вид V (п.....гп) = +
/=1
+ 2 ^7(|г — гг|)].
Если F (гп гп) = (rj + ... + “3^n (rn) (случай
невзаимодействующих частиц во внешнем поле), задача
о движении п частиц сводится к п одночастичным задачам.
Найдем, например, стационарные состояния системы п
невзаимодействующих частиц. Обозначим фб’> (^).......
ФгП (5j)> ••• стационарные состояния /-й частицы [т. е.
~ 2
собственные функции оператора Н} = (г})
в пространстве L2 (Bj)], а Е^’ — соответствующие собст-
венные значения. Легко видеть, что функция ср*'’ (SJ X
X Фгз’ (£,2) является стационарным состоянием
гамильтониана Н = Нг + ... + Нп в пространстве R
с собственным значением Е),1’ + ... + Е^. Если для
каждого / функции фР'’ (gj) образуют полную ортонор-
мированную систему в пространстве L2 (В,-), то произведе-
ния ф'Р (51)'(Ы образуют полную ортонор-
мированную систему в пространстве R.
До сих пор состояния системы п частиц представлялись
функциями координат и спиновых переменных, т. е. исполь-
зовалось координатное представление. Пусть теперь для
каждой из частиц осуществлен переход к другому представ-
лению, т. е. выбран изоморфизм a.j пространства L2 (Bj) и
пространства L2 (Mj), где Mj— некоторое пространство
с мерой. Тогда нетрудно построить изоморфизм а прост-
ранства R = L2 (В1 X ... X Вп) и пространства L2 (Мг X
... X Мп) квадратично интегрируемых функций п перемен-
ных (mlt ..., тп), пробегающих соответственно множества
Mlt ...» Мп. Иначе говоря, состояния системы из п частиц
можно представлять функциями ф (mlt тп), где т3 g Mj.
Если обозначить пространство состояний . /-й частицы
2 Зак. 82 33
через 7?;, то пространство состояний R системы п частиц
изоморфно тензорному произведению ® ... ® Rn (это
сразу следует из определения тензорного произведения;
см. дополнение, § Д4). Отсюда очевидна независимость
от выбора представления.
В частности, нередко бывает удобен переход к импульс-
ному представлению. В импульсном представлении со-
стояние системы п частиц описывается вместо функции
ф (гъ iv, ..., rn, in), зависящей от координат и спиновых
переменных, функцией
Ф(Pi> h, •••> Рп. М =
= (2л)~3п/2 fexpf— i 2 РлгЛф^!, ...,rn, in)dnr
J \ k=i /
импульсных и спиновых переменных.
Оператор импульса г-й частицы рг в импульсном пред-
ставлении сводится к умножению на рг; оператор полного
импульса Р = 2Р; (сумма операторов импульса отдельных
частиц) — к умножению на рх + ... + рп-'
§ 9. Частица в ящике с периодическими
граничными условиями
Рассмотрим в качестве примера скалярную частицу,
которая свободно движется в кубе О, определяемом нера-
венствами О х L, О 'С у L, О С £. Для того
чтобы задача о движении такой частицы приобрела точный
смысл, нужно фиксировать условия, которым удовлетво-
ряет волновая функция стационарного состояния на гра-
нице куба; предполагаем граничные условия периодиче-
скими. Пространство состояний R в данном случае состо-
ит из всех квадратично интегрируемых функций в кубе й,
а гамильтонианом является оператор //=(—1/2/т?)Д с перио-
дическими граничными условиями (более точно определе-
ние гамильтониана будет сформулировано ниже).
Поставим в соответствие параллельному переносу на век-
тор а в трехмерном пространстве унитарное преобразова-
ние Wa. в пространстве R, положив (1Гаф) (г) = ф (г — а),
где ф (г) — периодическое продолжение функции ф (г),
заданной в кубе й, на все трехмерное пространство. Опе-
раторы проекций импульса рх, ру, pz можно определить
34
теперь как операторы бесконечно малого параллель-
ного переноса вдоль осей х, у, z ^например, рх =
= i Пт .
а-о а I
Легко убедиться, что = 4^; оператор рх опреде-
лен на функциях ф g L2 (О), для которых Ц g L2 (Q) и
удовлетворяются периодические граничные условия ф(0,
у, г) = ф (L, у, z). Через оператор р гамильтониан записы-
вается в виде // — 2^i Р2-
Функции ери = А~3-/2ехр (—ikr), где к пробегает ре-
2зт
шетку Та, состоящую из векторов вида -j-n (и—-вектор
с целочисленными координатами), образуют полную орто-
нормированную систему общих собственных функций
операторов Н, рх, ру, pz. Всякая функция ф f R может
быть представлена в виде ф (г) = У фк (г) (сумма по ре-
шетке Та); функция сь на решетке Та называется волновой
функцией в импульсном представлении.
§ 10. Одномерный гармонический
осциллятор
Рассмотрим одномерную частицу [частицу с простран-
ством состояний Р = L2 (£х)1, гамильтониан которой
Н = ~ =----+ 4~х2 (гармонический осцил-
22 2 ах 2
лятор).
Найдем прежде всего гейзенберговские операторы pt и
xt из гейзенберговских уравнений
Эта система операторных уравнений линейна и благода-
ря этому может быть решена как соответствующая сис-
тема числовых уравнений. Один из возможных путей ре-
шения состоит во введении вспомогательных операторов
ц = ^=г(х-Нр); а+ = ~т=-(х—ip).
2*
35
Уравнения для гейзенберговских операторов at и я<+ имеют
чрезвычайно простой вид
da. ~
—-1Я,; —- = mZ,
dt * di
откуда at = я+ exp (i/); я4 = яехр(—i/). Из этих соотно-
шений сразу получаются формулы х( = ~= (at + а*) и pt =
V
yg Ч-
Операторы d+ и а очень удобны при решении задач,
связанных с гармоническим осциллятором.
Заметим, что гамильтониан выражается через эти опе-
раторы формулой 77 = я+ я + 1/2, их коммутационные соот-
ношения с гамильтонианом имеют вид [Н, я+] = а+, [Н,
а] = —а, а их коммутатор [a, я+1 = 1.
Займемся теперь задачей отыскания стационарных сос-
тояний гамильтониана Н. Воспользуемся следующим ут-
верждением: если Яф = Еф, то Н (яф) = (Е— 1) Яф (т. е.
если ф — стационарное состояние и Пф =£ О, то Яф также
является стационарным состоянием). Это утверждение
следует из соотношении Н (яф) = а (Н — 1) Ф =
= (Е — 1) Яф.
Аналогично можно утверждать, что Н (я+ф) = я+(Я +
+ 1) Ф = (Е + 1) я+ф.
Отметим прежде всего, что основное состояние ф0 долж-
но удовлетворять условию Яф0 = 0 (в противном случае
Яф0 — стационарное состояние с меньшей энергией). Ре-
шая уравнение яф0 = ( х + — ф0 = 0, приходам к вы-
|/2 \ dxJ
воду, что ф0= л-1/4 ехр — х2^ (константа л-1/4 возни-
кает из условия нормировки), а соответствующее собствен-
ное значение Ео = 1/2. Из ф0 получается бесконечное
множество стационарных состояний фп = сп (я+)пф0 —
(ZN I X \
х — -р I 1/4 exp — v (сп— нормировоч-
ная константа). Поскольку применение оператора я+ увели-
чивает энергию на 1, имеем Яфп — Фп- Легко
36
видеть, что функции фп имеют вид ф„ (х) = Hn (x) X
X ехр ----х2^, где Нп (х) — полином n-й степени;
оказывается, что полином Нп (х) с точностью до множителя
совпадает с n-м полиномом Эрмита. Вычислим нормиро-
вочные константы сп, считая, что все они выбраны дейст-
вительными и положительными. Очевидно, что фп =
= Ъа+фп-1> где = Cntcn-x. Скалярный квадрат этого
равенства дает соотношение
Ь- <Ф„, Фп> = ?«<а+фп-1, а+фп_1> = уКаа+Фп-ь Фп-х> =
= V» <(( # + ~ ) Фп-1, Фп-?> = ПУп,
откуда уп=1/|/7ги сп = (п!)~1/2.
Полученная ортонормированная система стационарных
состояний фп==^Ца+п ф0 с уровнями энергии Еп =
=^п + 1/2 исчерпывает все стационарные состояния.
Это можно проверить, например, доказав полноту функ-
ций фп в пространстве L2 (Е1). Можно дать и более непо-
средственное доказательство. Пусть ф — стационарное
состояние. Обозначим символом п наименьшее из чисел, для
которых а"ф0 = 0 (такие числа обязательно существуют
в силу ограниченности снизу собственных значений га-
мильтониана Н). Тогда я"-1 ф == Л.ф0, где % Ф 0. При-
меняя к этому равенству оператор (я+)'!-1, после неслож-
ных преобразований получим, что ф пропорционально
Фп-1-
р2 ^|^q2 у2
Более общий гамильтониан Н — -)--— приво-
дится к, рассмотренному выбором другой системы единиц.
Можно, однако, в этом случае использовать проведенные
выше рассуждения, положив
а — —^=г(Утах+ -7—V а+~-^=(Утах----------
1/2 \ Ута] У 2 \ Ута]
Эти операторы по-прежнему связаны соотношением
[а, а+] = 1, но гамильтониан через них выражается фор-
мулой Н — а (а+а + 1/2), и в соответствии с этим [Н, а] —
=—аа, [Н, я+] — аа+. Зависимость операторов at и я/ от
времени имеет вид at = яехр (—ico/), я/ = я+ехр (ico/)-
37
Стационарные состояния выражаются через основное со-
стояние <р0 формулой фп = (п!)~1/2 (я+^фо, а их энергии
Еп = (п+ 1/2)®.
Через операторы а+ и а бывает удобно выражать и га-
мильтониан ангармонического осциллятора. Если, напри-
мер, Н —F ах3 + рх4, то через а+ и а га-
мильтониан Н выражается так:
Н = -у- + ®н+ а + у (а+ + а)3 + 6 (а+ + й)4,
где у — а (2т&)~3?2, 8 = р (2m®)-2.
§ 11. Система связанных осцилляторов
Рассмотрим квантовомеханическую систему с прост-
ранством состояний R = L2 (Еп) и гамильтонианом
« .12 ,,
Н = — V а} — + V ktjXi х,
ft 13 1 3
(здесь а;->0, а квадратичная форма ^JznXiXj положительно
определена). В таком виде может быть записан гамильто-
ниан системы осцилляторов, связанных упругими силами.
С помощью линейной замены переменных
!
(перехода к нормальным координатам) гамильтониан Н
может быть приведен к виду
1 у, дг
2 ft*
(Это сразу получается из теоремы о том, что симметричную
матрицу ортогональным преобразованием можно привести
к диагональному виду-, или из.эквивалентного утверждения,
что две квадратичные формы, одна из которых положи-
тельно определена, линейным преобразованием одновре-
менно можно привести к сумме квадратов.)
В новой форме гамильтониан Н представляет собой
систему из п невзаимодействующих одномерных осцилля-
торов и исследуется совершенно тривиально (см. § 8). За-
метим здесь лишь, что, введя операторы at = -4= (У®; 4- —
38
1 д \ - l/т л— е I 1 д Л
—-7^— ; V СО/ + -7= — , можно записать
Valdai. V2 V Vto/^i/
п
гамильтониан Н в виде Н = ^jco; (at at + 1/2). Для one-
раторов at, at (1 СС i -gZ п) выполнены соотношения
[а/', а/] = [а,, а7] = 0; [аг, af] = 6;,
(эти соотношения, которые носят название канонических
соотношений коммутации, еще встретятся). Основное сос-
тояние Ф гамильтониана Н удовлетворяет условиям цгф =
= 0 для всех i = 1, ..., п. Все стационарные состояния по-
лучаются из Ф применением некоторого числа операторов
at, т. е. имеют вид af*'а^2 ... Ф, где .v^ .... vn —
целые неотрицательные, числа; их энергии равны +
+ —) 4- ) юп.
Часто приходится рассматривать гамильтониан Н',
отличающийся от Н ангармоническими членами: Н’ =
= Н 4- V, где V — Ck,... kn Xi1 ... х„п. Гамиль-
fe,,
тониан Н' также бывает удобно выражать через операторы
at, а^. Получаем
11' ~ const + у ®г at а, +
< = 1
+ 2 rfcl,....,m|z1...........inat 1...а+ na‘i...a1-,
kv...,km
1n
где коэффициенты Г;. । / могут быть выражены через
...kn
В общем случае не удается вычислить стационарные
состояния гамильтониана Н' и другие физические величины,
связанные с этим гамильтонианом. Однако в случае, если
ангармонические члены V рассматриваются как малое
возмущение, можно построить весьма удобную технику
для вычисления разложений физических величин, связан-
ных с Н', по степеням малого параметра. Эта техника (ди-
аграммы Фейнмана) описана в § 23.
ГЛАВА 3
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА СИСТЕМЫ
ТОЖДЕСТВЕННЫХ ЧАСТИЦ
§ 12. Система п тождественных частиц
Как уже упоминалось в § 8, два электрона являются
тождественными частицами и описывать систему двух элект-
ронов с помощью рецептов § 8 нельзя. Если описывать
систему двух электронов волновой функцией ф(^ь £2),
где = (гг, Si) — совокупность координатной переменной
гг и спиновой переменной s,, то числу У, | ф (гь sb r2, s2) |2 =
31» sa
— Р (ri> га) естественно придать смысл плотности вероят-
ности того, что первый электрон будет находиться в точке
гъ а второй — в точке г2. Однако первый и второй элект-
роны физически неразличимы, поэтому имеет смысл лишь
плотность вероятности нахождения одного из электронов
(безразлично, первого или второго) в точке гь а другого —
в точке г2. Выход из положения следующий. В качестве
волновых функций системы двух электронов нужно рас-
сматривать лишь те из квадратично интегрируемых функ-
ций ф (£1( £2) = ф (гъ sn r2, s2), которые антисимметричны
по переменным 1т. е. ф (|2, = —ф (glt £а)]. Тогда,
очевидно, р (гь г2) = р (г2, гг), и эта величина будет иметь
смысл плотности вероятности нахождения одного из элект-
ронов в точке гь а другого в точке г2. Для системы двух
протонов, двух нейтронов, двух р,-мезонов ситуация точно
такая же. Если рассматривается система двух л0-мезонов,
то в качестве волновых функций следует брать функции
ф (гь г2), симметричные по переменным гь г2.
Перейдем к точным определениям.
Все частицы делятся на два класса — бозоны и фермионы.
Пространством Fn состояний системы п тождественных
бозонов (фермионов) является гильбертово пространство
квадратично интегрируемых функций п переменных
Ф (11» •••» Вп), симметричных (соответственно антисиммет-
ричных) по переменным (£х, ..., |п) (здесь g, g X, а X —
40
пространство с мерой). Желая отметить, что имеем дело
с бозонами, будем для пространства Fn применять обозна-
чение Fn, в случае фермионов — Fn- Пространство
L2 (Хп) = L2 (X х ... X X), подпространствами которого
являются Fn и Fn, обозначим Здп.
Эксперимент показывает, что частицы с полуцелым
спином (электроны, протоны и т. д.) являются фермионами,
а частицы с целым спином (л-мезоны, фотоны и т. д.) —
бозонами; в релятивистской квантовой теории поля этот
вывод может быть получен и на основе теоретических со-
ображений.
Нетрудно проверить, что пространство Fn полностью
определяется гильбертовым пространством состояний
одной частицы и числом п [и не зависит от способа представ-
ления пространства Fx состояний одной частицы в виде
L2 (X)]. В самом деле, как уже упоминалось в § 8, изомор-
физм а пространства L2 (X) и пространства L2 (Y) естест-
венным образом порождает изоморфизм ап пространств
I2 (X") = L2 (X X ... X X) и L2 (Yn) = L2 (Y X ... X У);
легко видеть, что при изоморфизме ап симметричные функ-
ции переходят в симметричные и антисимметричные — в ан-
тисимметричные.
Если 33 — гильбертово пространство состояний одной части-
цы, то пространство состояний п тождественных частиц Fn может
быть описано как n-я симметричная тензорная степень пространст-
ва в случае бозонов и как л-я антисимметричная тензорная сте-
пень пространства 33 в случае фермионов.
Определим в пространстве = L2 (X") операторы
симметризации Р* и антисимметризации Ра формулами
П1 л
1)УяФ(я(В))
Ш л
(здесь g = (£ь ..., Вп)€Х", л — перестановка (ilt ..., in)
индексов 1, ..., п, л (t) = (g;i, ..., g,n) £ X", уя —четность
перестановки л, 2 — сумма по всем перестановкам л).
Л
В частности, при п = 2
ps ф (?i, в2)=4 у+ф £));
41
Очевидно, что Psffin = F„; РаЗВп — Fn', Ps^ = Ф> если
Ф€К, Раф = ф, если ty^Fn.
Легко проверить, что Ps и Ра — операторы ортогональ-
ного проектирования пространства на подпространства
Fn и Е„-
Пусть Н — оператор в Sin, коммутирующий с операто-
рами Ps и Ра. Тогда Fsn и F“ являются для Н инвариант-
ными подпространствами. Если гр £ .@n — собственная
функция оператора Н, то Р8гр и Рагр (если они не равны ну-
лю) — очевидно, также собственные функции оператора
Н, лежащие соответственно в и F“ и принадлежащие то-
му же собственному значению.
Рассмотрим систему п невзаимодействующих тождест-
венных частиц, т. е. систему, гамильтониан которой пере-
водит функцию гр (5Ь ..., 5П) в функцию
Ф(11, 1п) =
= 2 Иг) (ё1, ^-1, Иг» ^+1,
(12.1)
в частности» одночастичный гамильтониан Нг переводит
функцию гр (£) в функцию гр (£) = f А (£, л) Ф(л) т- е.
обобщенная функция А (|, г]) является ядром оператора
Ht). Формула (12.1) определяет, очевидно, оператор Нп* *
в пространстве ®п, коммутирующий с операторами Ps и
Ра и, стало быть, переводящий в себя пространства Fn
и Fn- Операторы на пространствах Fn и F“, действие кото-
рых задается соотношением (12.1), будем обозначать соот-
ветственно Нп и Нап', это и есть гамильтонианы системы п
невзаимодействующих бозонов и системы п невзаимодейст-
вующих фермионов.
* Более аккуратно оператор Нп может быть описан как само-
сопряженный оператор в £R,n, переводящий функцию вида <pt (5i)
• •• Фп (5П)> гДе Функции (pi принадлежат области определения опе-
ратора Ht, в функцию Еф! (51) ... ф(._] (5(-_1) (HiSpi) (51) х
i= 1
Хф1-|_] (§/4-1) ••• фп (Sn) (такой оператор существует только один).
42
Предположим для определенности, что одночастичный
гамильтониан Ну имеет дискретный спектр, и обозначим
q>n полную ортонормированную систему его собственных
функций, а Еп — соответствующие собственные значения.
Тогда, очевидно, функции fa) ... ф^ (gn) образуют
полную ортонормированную систему оператора Нп в про-
странстве (см. § 8). Из сказанного выше следует, что
(£i) ••• Wn (D — собственные функции гамильто-
ниана Нп и лежат в пространстве F„, a Pa^k, (£1) ...
фй (£n) — собственные функции гамильтониана Н„ и лежат
в Fn (соответствующие собственные значения в обоих слу-
чаях равны Ek, + ... + Ekn)- В случае фермионов функ-
ции Pa^k, (£1) ••• rp*„ (£п) следует рассматривать лишь
для значений индексов klt ..., kn, попарно отличных друг
от друга, поскольку при совпадении хотя бы одной пары ин-
дексов оператор антисимметризации дает нуль*. Легко
проверить, что функции Р/р/г, (£1) ... ф*п (L) образуют
полную систему функций в Fn, а функции P^fk. (£1) •••
... фйп (?п) — полную систему функций в Г°; эти функции
не нормированы, однако можно утверждать, что две функ-
ции, принадлежащие одной из этих систем, либо ортого-
нальны друг другу, либо пропорциональны. В координат-
ном представлении пространство состояний одной частицы
реализуется как пространство L2 (£® X В), где В — ко-
нечное множество, поэтому пространство состояний систе-
мы п тождественных частиц реализуется как пространство
квадратично интегрируемых симметричных (антисиммет-
ричных) функций ф (гп Zj, ..., rn, in) координатных пере-
менных Гд, ..., rn £ Es и дискретных переменных i1( ..., in£ В
(функции ф в случае бозонов не меняются, а в случае фер-
мионов меняют знак при одновременной перестановке коор-
динат гг и rm и дискретных переменных it и im).
Оператор полного импульса Рп и гамильтониан Нп
системы п нерелятивистских тождественных частиц запи-
сываются точно так же, как и в § 8 [формулы (8.1), (8.2)];
единственное отличие состоит в том, что массы тождествен-
ных частиц равны, а потенциальная энергия V'n (г1; ...,гп)
* Иными словами, в системе невзаимодействующих тождест-
венных фермионов никакие два фермиона не могут находиться в од-
ном и том же стационарном состояний. (Это утверждение носит
название принципа Паули.)
43
должна быть симметричной функцией координат; будем
предполагать всегда, что
п
П(гь...,гп)=2 ^(^)+ 2 ^(1^-М)
1=1 l-Cjd-Cn
(первая сумма отвечает потенциальной энергии частиц
во внешнем поле, а вторая — парному взаимодействию
между ними). Легко видеть, что операторы Рп и Нп пере-
водят симметричные функции в симметричные и антисим-
метричные в антисимметричные, т. е. могут рассматри-
ваться как операторы в пространствах Fsn и F„. Операторы
— 4-^-, очевидно, этим свойством не обладают; это свя-
зано с тем, что для тождественных частиц бессмысленно го-
ворить об импульсе /-й частицы.
В случае отсутствия взаимодействия оператор потенци-
альной энергии имеет вид 2^n(fi, гп) = (п) + ••• +
+ (гп); как было показано выше, отыскание стационар-
ных состояний системы п частиц при отсутствии взаимодей-
ствия легко сводится к одночастичной задаче.
§ 13. Фоковское пространство
В § 12 мы фиксировали пространство с мерой X и рас-
смотрели гильбертовы пространства Fn и Fn квадратично
интегрируемых симметричных или антисимметричных
функций ф (Bi, •••,. Вп)» зависящих от п переменных |j,
..., In €-X. Нередко бывает удобно вместо пространств
Fn и F„ рассматривать прямые суммы
Fs = Fj + Fj + ...-f-F’ + ...,
Fa = Fg + F?+...-i-F*+...
Здесь Fs0 и F“ — пространства констант (функций, завися-
щих от нуля переменных), т. е. одномерные пространства.
Пространства Fs и Fa называют фоковскими пространст-
вами. Элементы этих пространств представляют состояния
системы тождественных бозонов или фермионов, число
которых не фиксировано. Говоря одновременно о бозонах
и фермионах, будем применять обозначение F для одного
из пространств Fs или Fa. Векторы из пространства Fs
44
или Fa можно, очевидно, рассматривать как последователь-
ности (/о, fi, •••, fn, ••), где fn £ Fsn (соответственно fn £ К),
оо
удовлетворяющие условию 211 fn ||2<оо. Иными словами,
п = 0
элементами пространства F можно считать столбики
образованные из симметричных (антисимметричных) функ-
ций fn (^, ..., %п) и удовлетворяющих условию*
о©
2 f 1/п&>•••>U№...dln<оо.
n = 0 J
Линейная комбинация и скалярное произведение двух
таких столбиков определяются естественным образом, на-
пример скалярное произведение столбиков fug
<f,g> = 2 Уп&,---Лп)ёпа1,:--Лп) db...dtn.
n=0 J
Пространства Fn естественно вложены в фоковское
пространство F (вектору f £Fn соответствует последова-
тельность (/0, ..., fn, ...)£F, для которой fn = f, fk = О
при k Ф п).
Введем оператор числа частиц
N = N о + + • • • 4- Nn + • • •,
где Nn — оператор в пространстве Fn, сводящийся к умно-
жению на число частиц п. Собственными подпространства-
ми оператора Af являются пространства Fn.
Оператор импульса Р и гамильтониан системы нереля-
тивистских частиц Н в фоковском пространстве определя-
ются как прямые суммы введенных в § 12 операторов Рп
и Нп.
Р — Pq + P1 + + f*n + ',
н=нй + нг + • • + Нп 4—
* Такие столбики носят название фоковских столбиков.
45
(операторы Р и Н действуют в фоковском пространстве, по-
строенном по пространству с мерой Е3 X В).
В нерелятивистской квантовой механике операторы всех
наблюдаемых величин оставляют инвариантными прост-
ранства Fn<=:F (т. е. коммутируют с оператором числа час-
тиц Af). Однако даже в нерелятивистском случае техниче-
ски очень удобно выражать операторы физических величин
через вспомогательные операторы, не коммутирующие
с АЛ В качестве таких вспомогательных операторов введем
сейчас операторы а (/) и а+ (/) — операторы уничтожения
и рождения частицы с волновой функцией f £ L2 (X).
Прежде всего определим операторы ап (f), где f g L2 (X),
действующие из пространства Fn в пространство F^.
Именно, будем считать, что оператор ап (/) переводит функ-
цию <p(g1; ..., в функцию ф (^, ...., gn_j) eFn-i,
определяемую формулой
Ф (Si, -, L-0 = Vn J ф (^,..., g) f ® dl
(оператор aQ (/) переводит пространство Fo в нуль).
Оператор (/), заданный на пространстве En_j
и принимающий значения в пространстве Fn, определим
как оператор, сопряженный с ап (f). Легко вычислить, что
оператор (J) переводит функцию ф (£1т ..., £ra-i) в
бозевском случае в функцию У п Ps (ф (^,^.., ^n_j) /(£„)),
а в фермиевском случае — в функцию У п Ра (ф (^,
L-О Ж))-
Выделим в пространстве F подмножество D, состоящее
из финитных последовательностей (ф0, фп, ...) (иными
словами, D представляет собой наименьшее линейное мно-
гообразие в Е, содержащее все подпространства Fn). Опе-
раторы а (f) и а+ (/), где f £ 'L2 (X)', зададим на множестве
D, считая, что последовательность (ф0, ..., ф„, ...) они пере-
водят соответственно в последовательности
(«i(f) Tt. а2(0ф2, •••, an+i (f)Фп+i.
(°, «:(Лфо.-> «пЮфп-ь
Очевидно, что эти операторы переводят множество D
в себя и сопряжены друг другу на множестве D.
Легко видеть (см. § 20), что в фермиевском случае опе-
раторы a (J), а+ (/) ограничены (|| a (f)|| = ||/|[), и их можно
46
по непрерывности продолжить на все пространство F;
в бозевском случае операторы а (/), а+ (/) неограничены
(II ап (/)|| = Уп IB-
Непосредственным вычислением без труда устанавли-
вается, что операторы а (/), о+(/) в бозевском случае удов-
летворяют следующим коммутационным соотношениям:
I«(D, a(g)l = [a+(f)- a+(g)l=0; [«(/), «+ (g)l = g>
(13.1)
(каноническим коммутационным соотношениям — CCR).
В фермиевском случае имеют место аналогичные равенства
для антикоммутаторов:
la (f), a (g)]+ = [а+ (f), а+ (g)J+ = 0; [a (f), а+ (g)J+ = <f, g>
(13.2)
(канонические антикоммутационные соотношения — CAR).
Операторы a (f) линейно зависят от функции f £ L2 (X).
Это означает, что их можно рассматривать'как операторные
обобщенные функции на X, т. е. ввести в рассмотрение
символы а (х), а+(х),. связанные с операторами a (f),
а+ (f) соотношениями
а (П = f W а (х) dx;
а+ (f) = J f (%)а+ (•*) dx.
Символам а (х), а+ (х) не придаем никакого операторного
смысла; соответственно интеграл вида J f (х) а (х) dx по-
нимаем просто как другое обозначение для оператора a (f).
Заметим, однако, что при желании символу а (х) можно
придать смысл оператора на некотором подмножестве про-
странства F, а символу а+ (х) — смысл оператора, дейст-
вующего из пространства F в некоторое более широкое
пространство (см. дополнение, § Д.7).
В дальнейшем придется рассматривать также выраже-
ния вида
А = Jf (%!, ..., хт\у1.уп) а+ (%!) ...а+ (хт)а(у1) ...
...a(yn)dmxdny, (13.3)
47
где f — обобщенная функция. Такое выражение очевидным
образом определяет оператор на множестве D, если функ-
ция / имеет вид
fl (*1) - frn (Хт) §1 (У1) • •• gn <Уп), (13.4)
а А» gt € L2 (X) [тогда следует считать, что А = а+ (Л) ...
a (gj ... а (£п)1 и, стало быть, также когда функ-
ция f является конечной суммой произведений вида (13.4).
Без труда проверяется, что при этом условии оператор А,
действуя на последовательность ср = (ср0, ..., <рй, ...)£О,
переводит ее в последовательность ф = (ф0, ..., ф&, ...)££),
для которой
....
г /И)!
Фп-т+Л (?!’ х1> хп) f (?Л-т+11 •••• I ХЪ
...,Xn)dnX (13.5)
(Р обозначает оператор симметризации в бозевском и анти-
симметризации в фермиевском случаях).
Для произвольной функции f будем считать, что опера-
тор А определяется формулой (13.5); область определения
оператора А в этом случае состоит из всех последователь-
ностей ср££), для которых функции фй (Вг, ..., полу-
ченные по формуле (13.5), квадратично интегрируемы.
Когда речь идет о выражении вида
А= 5 { Ат, п (х1, хт] У1, Уп) а+ (хг) ...
m,ir
«+ (хт) а (У1) ••• а (Уп) dmxdny, (13.6)
то каждому слагаемому будем придавать смысл оператора
описанным выше способом, а сумму ряда понимать в силь-
ном смысле. Представление оператора А в виде (13.6)
называется представлением в нормальной форме (в выра-
жении (13.6) операторы рождения стоят левее операторов
уничтожения!).
Всякий ограниченный оператор может быть представ-
лен в виде (13.6), если сходимость ряда понимать в слабом
смысле.
48
В фоковском пространстве F особую роль играет вектор
0, определяемый последовательностью (1, 0, 0, ...). Этот
вектор соответствует состоянию, не содержащему ни одной
частицы (OgFo), и называется вакуумным вектором; он
удовлетворяет условию а (/) 0 = 0 для любой функции
f^LF(X). Легко проверить, что вектор Q^F — цикли-
ческий относительно семейства операторов а+ (/). Можно
написать явное выражение любого вектора ср = (сро,
Фп. через обобщенные операторные функции а+ (х)
и вектор 0; именно, применяя формулу (13.5), видим, что
f = f ^(U &)-«+ 03.7)
Рассмотрим простейшие операторы в фоковском прост-
ранстве. Начнем с операторов вида
J А(х, у) й+ (х) а (у) dxdy. (13.8)
Последовательность (ф0, ..., срй, ...)gZ) оператор (13.8)
переводит в последовательность (ф0, ..., ...), где
Фь &....U = kP J % &,..., х) A (^, х) dx. (13.9)
Нетрудно проверить, что в случае, когда функция А (х, у)
является ядром самосопряженного оператора в L2 (X),
оператор вида (13.8) существенно самосопряжен в F.
Обозначим А самосопряженное расширение оператора
J А (х, у) а+(х) а (у) dxdy. Оператор А коммутирует с опера-
тором N и, следовательно, переводит в себя пространства Fn;
индуцируемый оператором А оператор в пространстве Fn
обозначим Ап. Операторы вида Ап уже встречались ранее—
именно в такой форме записывался гамильтониан системы
п тождественных невзаимодействующих частиц. В § 12
были найдены собственные функции и собственные значе-
ния оператора Ап в предположении, что оператор Аг яв-
ляется самосопряженным оператором с дискретным спект-
ром в LF (X). Из этого результата легко получить описание
собственных векторов и собственных значений самосопря-
со
женного оператора А. Именно, векторы П («+(ср,))"/0
/=1
образуют полную систему собственных векторов рассмат-
49
риваемого оператора, а соответствующие собственные зна-
оо
чения равны (здесь фп фг, ... — полная система
i=i
собственных функций оператора Дг; Ег, ..., Еп, ... —соот-
ветствующие собственные значения; числа /гг образуют
финитную последовательность, причем в фермиевском слу-
чае /гг равно 0 или 1, а в бозевском п = 0, 1, 2, ...). Доказа-
тельство в основном сводится к замечанию, что вектор
а+ (/j) ... а+ (fn) 0 лишь численным множителем отличается
от вектора, соответствующего в фоковском пространстве
F функции Pfi (h) ... fn (In) Q^Fn (напомним, что Fn
естественно вложено в F).
Операторы
В = J В (х1г х21 уъ у2) а+ (%i) а+ (х2) a (yt) а (у2) dx1 dx2 dy^ dy2
(13.10)
также коммутируют с оператором числа частиц (как и все
операторы (13.3), у которых т = п). Таким образом, опе-
ратор В переводит подпространство Fn в себя; из формулы
(13.5) следует, что определяемый им в пространстве Fn
оператор Вп задается соотношением
Фа (£ь U =
— k(k 1) Р Jtjpfc (|1, ..., ^А-2> Х2) X
X В (^-i, ^а I -^1» х2) dXi dx2. (13.11)
Теперь можно записать в нормальной форме определен-
ные выше операторы 2V, Р и Н.
Оператор N может быть представлен в виде
N = ^a+(l)a(l)dl (13.12)
[или, если быть более точным, оператор N можно записать
формулой (13.8), где A (I, rj) = б (£, т])]. Это очевидным
образом вытекает из соотношения (13.9), в силу которого
оператор N переводит последовательность (<р0, ..., <pft, ••)€
£D в последовательность (ф0, ..., ...), где фЛ (£ь ...,
£а) = kP f Фа (^ £a-i. х) 6 (£а> х) dx = kPqh (£ь ...,
Q = Ma (Si. •••> U-
Оператор импульса Р и гамильтониан системы нереля-
тивистских тождественных частиц Н были определены в фо-
50
ковском пространстве, построенном по пространству с ме-
рой Е® X В. Операторы, действующие в этом пространст-
ве, удобно выражать через операторные обобщенные функ-
ции а+ (х, s), а (х, s) в координатном представлении и через
операторные обобщенные функции а+ (k, s), а (к, s) в им-
пульсном представлении (здесь х, к£Е®, s£B). В даль-
нейшем иногда будем пользоваться обозначениями at (к) =
= а+ (к, s), as (к) = а (к, s). Снова, используя соотноше-
ние (13.9), легко видеть, что в координатном представ-
лении можно записать оператор импульса в виде
Р= 2~т~ J а+ (х’s) а (13.13)
или, подробнее, формулой
Р = 2 I (х, s, у, s') а+ (х, s) а (у, s') dx.dy,
s, s'
где A (x, s, y, s') = 6s • — — 6 (x—у). В импульсном пред-
i дх
ставлении оператор Р имеет вид
P = Sj ka+(k, s)a(k, s)dk. (13.14)
С помощью соотношений (13.9) и (13.11) нетрудно
убедиться, что гамильтониан 77 системы нерелятивистских
тождественных частиц может быть представлен в виде сум-
мы операторов вида (13.8) и (13.10). Именно в координатном
представлении
Н = J а+ (х, s) f ) а (х, s) dx. -j-
+ 2 ?Пх) й+(х) а (х) dx + 2 "2~ J (I X1 —х21) «+Хх!, s) х
S S
Ха+(х2, s)a(x2, 5)а(хъ s)dxxt/x2, (13.15)
в импульсном представлении
/7 = 2 [“й+(к. s)a(k, s) dk +
S V
+ 2 J (ki--k2)«+(ki, s)a(k2, s)dk1 dk2 +
s
51
+ 2tJ ^(к1-к4)6(к1 + к2^к3-к4)х
s
x a+ (kx, s) a+ (k2, s) a (k3, s) a (k4, s) d4 k, (13.16)
где (к), W (к) — преобразования Фурье функций (х),
W (|х|).
Легко построить примеры выражений вида (13.6), не оп-
ределяющих оператор в фоковском пространстве. В част-
ности, выражение
Л = |а(хх, ...; хт) а+(хх) ...a+(xm)dx1 ...dxm (13.17)
может определять оператор в фоковском пространстве
лишь в случае, если функция а квадратично интегрируема.
Действительно, по общему определению оператор., опреде-
ляемый выражением (13.7), должен переводить последова-
тельность (фо, ..., фп, в последовательность (ф0,
..., фп, ...), где
Фп (В1, Лп) = 1ЛP(fn-m (Bl, .... Вп-пг) х
Г I «4 Illi 1 .
X a (Bn-rti+i, •••, Вп)*
Если функция а квадратично интегрируема, функции фп
также будут квадратично интегрируемы, и, значит, выра-
жение (13.17) определяет оператор на всем множестве D,
и этот оператор переводит множество D в себя. Однако,
если функция а не принадлежит пространству Е2, функция
фп может быть квадратично интегрируема только при ус-
ловии фп_т^0. Это означает, что в область определе-
ния оператора, задаваемого выражением (13.17), может
входить лишь нулевой вектор; иными словами, выражение
(13.17) не задает никакого оператора, поскольку область
определения должна быть плотна в фоковском пространст-
ве.
Рассмотрим в фоковском пространстве F (L? (Е3)), по-
строенном по пространству с мерой Е3, операторы, опреде-
ляемые выражениями вида
m-f-n^s „
А= 2 pm,n(kl............kmlll.....ln)6(ki + ...+
т, п *
+ km—h—• — 1п) а+ (кх) ... а+ (кт) а (14)... a (ln) dm к dn 1
(13.18)
52
(эти операторы характеризуются тем, что они коммути-
руют с оператором импульса). Будем предполагать, что
функции Ат> п принадлежат пространству (£'3<т+"))
гладких быстро убывающих функций. В пространстве F
выделим подмножество состоящее из последователь-
ностей (фо, ..., фА, ...)£D, удовлетворяющих условию
Фа (E3k)- В дальнейшем будет удобно рассматривать
операторы в пространстве F (Л2 (Е3)) только на множестве
С помощью соотношения (13.5) легко установить, что
в случае, если А т, 0 = 0, в область определения операто-
ра, задаваемого выражением (13.18), входят все элементы
множества этот оператор переводит всякую последо-
вательность из множества в последовательность,
принадлежащую тому же множеству. Если хотя бы одна
из функций Am fj не равна тождественно нулю, из прове-
денных выше рассуждений вытекает, что выражение (13.18)
не может определять оператор в фоковском пространстве,
поскольку функция ЛП1>0(к1, •••. km) б (кг + ... + km)
не является квадратично интегрируемой.
В фермиевском случае среди векторов фоковского про-
странства F = У, Fn, построенного по пространству с мерой
0<П<оо
X, удобно выделить четные векторы — векторы, принадле-
жащие прямой сумме подпространств Е2П, и нечетные век-
торы — векторы, принадлежащие прямой сумме подпрост-
ранств F2n+1. Оператор в фоковском пространстве на-
зывается ферми-четным, если он переводит четный вектор
в четный и нечетный вектор — в нечетный. Если ввести
в F инволюцию т, переводящую последовательность (ф0,
Ф1> , Фгп, Фгп+1> •••) в последовательность (ф0, —фь
..., Фап,—фап+i, •••), то четный вектор можно определить
условием тх = х, нечетный вектор — условием гх = —х,
ферми-четный оператор — требованием тЛ = Лт. Оператор,
записанный в виде (13.6) (в нормальной форме), будет фер-
ми-четным в случае, если функции Л п Отличны от нуля,
лишь тогда, когда числа тип имеют одинаковую четность.
Операторы, соответствующие физическим величинам,
должны быть фер!ии-четными. В частности, гамильтониан
всегда считается ферми-четным оператором.
ГЛАВА 4
ОПЕРАТОР ЭВОЛЮЦИИ.
ОПЕРАТОРЫ S(t, t0) и Sa(t, t0)
§ 14. Нестационарная теория возмущений
Пусть гамильтониан Н (/) имеет вид Н (f) = Но + gv (0>
где Но — гамильтониан, для которого можно найти опера-
тор эволюции Uо (t, to) = ехр (—)Н0 (t— to)). Поставим
задачу найти оператор эволюции U (t, t0) для гамильтони-
ана Н (/) в виде ряда по степеням параметра Удобнее
будет ввести связанный с U (t, t0) оператор S (/, t0) =
= ехр (iHot) U (t, t0) ехр (—iT70/0) и вычислять его. Позд-
нее выяснится, что оператор S (/, t0) весьма важен и сам по
себе. В случае, если будет нужно отметить, что операторы
U (t, t0) и S (t, t0) зависят от параметра g, будем использо-
вать обозначения U (t, tQ!§•) и S (/, Z0|g-).
Оператор U (t, t0) удовлетворяет уравнению (2.1).
Из этого уравнения без труда получается и уравнение для
оператора S (/, t0)'
i^^l=gV(t)S(t,t0), (14.1)
где V (/) = ехр (iHot) V (/) ехр (—\Hot); начальное, усло-
вие записывается в виде S (Zo, t0) = 1.
В некоторых физических.ситуациях оператор Но имеет
смысл свободного гамильтониана (т. е. описывает невзаимо-
действующие частицы), а оператор Н — Но = gV (f) пред-
ставляет собой гамильтониан взаимодействия; эту терми-
нологию обычно употребляют и в квантовой теории поля.
Однако в квантовой теории поля, как станет ясно позже,
разделение гамильтониана на свободный и гамильтониан
взаимодействия весьма условно; будем избегать этих терми-
нов, порождающих вводящие в заблуждение ассоциации.
Будем искать оператор S (/, t0) в виде разложения в ряд
по степеням g:
оо
S(t, /0)= VgnSn(/, t0).
п= О
54
Подставляя это разложение в уравнение для S (/, /0),
получаем рекуррентные формулы
. dsn(t t0) =y(t)S t ).
dt
Пользуясь начальным условием S (/0, /0) = 1, убежда-
емся, что So (/0, /0) = 1 и Sn (/0, /0) = 0 при п > 1; таким
образом, для n > 1
(14.2)
Вместо разложения S в ряд
переписать уравнение для S
интегрального уравнения
по степеням g можно было бы
с начальным условием в виде
S (t, t0) = 1 +g J V (r) S (t, t0) dx
и решать это уравнение методом итераций.
Из (14.2) заключаем, что
sn (t, t0)
Tn-1
2 ••• f *
Можно сказать, что
n
где Гп — область, определенная неравенствами / > тг
... тп ^о-
Введем обозначение
T(V(T1)...V(Tn)) = V(Tii)...V(4),
55
где ix, ln — перестановка индексов 1, п, обладаю-
щая тем свойством, что т(- > ... :> т? . Иными словами,
Т (У (тх) ... V (т„)) (хронологическое или Т-произведение
операторов V (тх), ..., V (тп)) определяется как произве-
дение операторов V (тх), ..., V (тп), расположенных в по-
рядке убывания времен тг. Если некоторые из времен т;
совпадают, то перестановка, при которой ri1 > ... > Т/
не единственна, но, как легко видеть, Г-произведение не бу-
дет зависеть от выбора перестановки. С помощью Т-произ-
ведения можно записать Sn (t, t0) в виде
sn (t, q=± (-у У J • /T (Ti) • r dxi -dXn-
^0 to
В самом деле, область интегрирования в этом интеграле
можно разбить на п! областей Gp, поставив в соответствие
каждой перестановке, Р = (/х, ..., /п) индексов 1, ..., п
область Gp, выделяемую неравенствами / тХ1 > ... >
> Tjn > t0. Ясно, что
... V(T„))drx...dxn =
= ( —У -dxn,
°р
а этот интеграл простым переобозначением переменных
приводится к интегралу, определяющему Sn (t, /0)- Таким
t t
образом, § Т (Ti) (Tn)) dxi d'tn Раз-
бивается на п\ одинаковых интегралов, равных Sn (/, Zo);
это доказывает нужную формулу. Весь оператор S (/, /0)
можно представить рядом
(14.3)
56
Этот ряд принято коротко записывать в виде
/1 \
(Л. t0) = Т exp I — g J V (т) dr I (14.4)
\ А> /
и называть Т-экспонентой. Если оператор V(t) ограничен
при каждом t и непрерывно (в сильном смысле) зависит
от t, ряд (14.3) сходится по норме [кстати, отсюда следует
в рассматриваемой ситуации существование решений у урав-
нений (2.1) и (14.1)]. В самом деле, при этих условиях
sup II V W ||= sup || V (т) || < оо и ||Sn(/, /0) IK
t0 < X < t t0 < и < t
— ( sup || V (t) ||)n 11—t01". В тех случаях, когда
га! t0 х < t
доказать сходимость ряда (14.3) не удается, полученный
результат имеет условный характер [если разложение
в ряд по g возможно, то этот ряд имеет вид (14.3)]. Без
предположения о возможности разложения в ряд по g мож-
но доказать соотношение
dnS(t, <„|g)
dg"
g = 0
=(т-)"! J ?(v 'v dxv' 'dXn‘
I» to
Если гамильтониан H представлен в виде Но + V,
где Но и V не зависят от времени, то бывает удобно рас-
смотреть вспомогательный гамильтониан На (/) = Но +
+ ехр (—а|/|) V. Введем оператор Sa (t, t0) =
= exp (\Hot) Ua (t, t0) exp (—iHoto), где Ua (t, t0) — опе-
ратор эволюции, построенный по На (t).
Эквивалентным образом можно определить оператор
Sa (t, t0) как решение дифференциального уравнения
i д8а£ = exp (—a | /1) V (t) Sa (t, t0)
с начальным условием Sa (t0, t0) = 1 [здесь' V (t) =
= exp (iHot) Vexp (—i/70^)l- Проведенные выше рассуж-
дения позволяют записать Sa(t, t0) в виде Т-экспоненты:
/ t .
Sa (t, t0) = T exp / у- J exp (—a (т |) V (t) dr | .
\ /
57
Особую роль играет оператор Sa (оо, —оо)= slim Sa (t, Zo);
t-*-COt Iq-*- — oo
его будем называть адиабатической S-матрицей и обо-
значать просто Sa- Два других важных оператора
Sa (0, ± оо) = slim Sa (0, t) будем обозначать Sa+ и Sa-
£-»-±оо
и называть адиабатическими матрицами Мёллера.
В ситуациях, когда Но можно считать свободным
гамильтонианом, а V — взаимодействием, рассмотрение
гамильтониана На (t) с а О отвечает использованию
адиабатического (бесконечно медленного) включения и
выключения взаимодействия; это объясняет введенную
выше терминологию. Вместе с гамильтонианом Н = Но +
+ V часто бывает полезно рассматривать семейство гамиль-
тонианов Hg = Но + gV, где g — константа, которую
называют обычно константой связи. Операторы Sa (t, t0),
Sa (оо, —oo), Sa (0, ±оо), построенные по гамильтониану
Hg, будем обозначать соответственно Sa (t, /0|g), Sa (оо,
—O°|g) = Sa(g) И Sa (0, ±oo|g) = Sa± (g).
§ 15. Стационарные состояния
гамильтониана, зависящего от параметра
Рассмотрим семейство гамильтонианов Н (g), где
О < g < g0. Предположим, что для каждого g существует
нормированный собственный вектор cpg оператора Н (g)
с собственным значением Е (g), дифференцируемо завися-
щий от параметра g. Без ограничения общности можно
считать, что
О
В самом деле, если это соотношение не выполнено, .то всегда
можно подобрать такой фазовый множитель ехр (ia (g)),
что векторы qg = ехр (—ia (g)) qg будут обладать нуж-
ными свойствами; именно., следует взять a (g) =
= -i- J <^<px, dX (функция a (g) действительна, no-
o
скольку, дифференцируя условие нормировки (срх. фх> = 1,
можно получить, что
/ \ . / \ / rf(Pb\,
, / d(Px\
+\Ч>>” Т/ °/
58
Продифференцировав по g соотношение
Н (g) <Pg = Е (g) q>g)
получим
(H(g)-E(g))^= —+ (15.1)
ag ag
Скалярно умножив это соотношение на ф,, видим, что
dE (g) / dH (g) \
(15.2)
Рассмотрим чаще всего встречающийся случай, когда
Я (g) = Но -|- gV; тогда, очевидно,
= (15-3)
tig
(Ho+gV-E (g)) = «УФ,, ф,>-V) ф,. (15.4)
Обычно предполагают, что вектор ф, аналитически зависит
от g в окрестности точки g = 0, и ищут разложения век-
тора ф, и собственного значения Е (g) в ряд по степеням
g (стационарная теория возмущений). Формулы (15.3) и
(15.4) при g = 0 дают линейные по g члены в этих рядах
(первые поправки); именно,
Е (g) = Е (0) + g <Уф0, ф0> +...,
<Pg = <Po + g^+---
где ф удовлетворяет условию
(Но—£(0))ф = «Уфо, ф0> —У)Ф0. (15.5)
Считая, что вектор ф, удовлетворяет требованию
Z(pg> = 0, получаем еще одно условие на вектор ф:
(ф, ф0> = 0.
(15.6)
59
Если Е (0) — простое собственное значение гамильтониа-
на Но, условия (15.5) и (15.6) однозначно определяют век-
тор ip. Указанный выше вывод соотношений (15.3), (15.4)
имеет четкий смысл, если все операторы Но + gV имеют
одну и ту же область определения.
Был оставлен в стороне более тонкий вопрос о существовании
собственных векторов <pg, дифференцируемо зависящих от парамет-
ра. В достаточно широких предположениях на этот вопрос отвеча-
ет следующая теорема [45].
Пусть На — самосопряженный оператор; V — эрмитов опера-
тор, область определения которого содержит область определения
оператора Но; Еа — простое изолированное собственное значение
оператора Но; <р0 — соответствующий собственный вектор. Тогда
для достаточно малых g: 1) оператор Н (g) — Но + gV является
самосопряженным оператором с той же областью определения,
что и оператор Но; 2) существует собственный вектор <pg операто-
ра Н (g), аналитически зависящий от g и переходящий при g = 0
в вектор <р0; 3) соответствующее собственное значение Е (g) также
аналитически зависит от g и является простым; 4) имеют место
соотношения (15.3), (15.4).
Не будем заниматься прямым вычислением членов более
высокого порядка по g в рядах для и Е (g). Вместо этого
докажем формулу, позволяющую получать разложения
собственных векторов и собственных значений в ряд по сте-
пеням g из нестационарной теории возмущений. Пусть при
0<g<go самосопряженные операторы Н (g) = Но +
+ gV имеют одну и ту же область определения, Е (g) —
простое изолированное собственное значение оператора
И (g), непрерывно зависящее от параметра g в интервале
O^g^go, <Pg— отвечающий этому собственному зна-
/
чению собственный вектор, для которого \Tg, = 0.
Тогда
<р„ = lim ехр ( i 'l Sa (0, — оо | g) <р0;
a->0 \ a /
<p^=limexp (i Sa (0, + oo | g) <р0,
a->0 \ a )
(15.7)
где С (g) = § ——-----— dE, а Sa (0, +оо |g) — адиабати-
о
ческие матрицы Мёллера, построенные по паре операторов
И (g), Но. Это утверждение доказано в следующем пара-
графе.
60
§ 16. Адиабатическое изменение
стационарного состояния
Пусть гамильтониан Н (t) медленно (адиабатически)
меняется с течением времени.
Покажем при некоторых условиях, что. решение урав-
нения Шредингера (2.2) с начальным условием i|y0 = <р0,
где <р0 — стационарное состояние гамильтониана Н (t0),
отвечающее невырожденному уровню энергии, в каждый
момент времени t мало отличается от стационарного со-
стояния гамильтониана Н Q,}. (Когда говорим о стационар-
ном состоянии гамильтониана Н (/), всегда считаем, что
речь идет о собственном векторе оператора Н (/) при фик-
сированном /.) Ради определенности ограничимся случаем,
когда имеется семейство гамильтонианов Hg, зависящее
от параметра g, и гамильтониан Н (0 определяется форму-
лой — где а — малое положительное число.
Тогда уравнение (2.2) с помощью замены переменной
g = at сводится к уравнению
ia^M = ^^(g), (16.1)
которое и будем рассматривать в дальнейшем.
Итак, пусть Hg — семейство самосопряженных опера-
торов с одной и той же областью определения D, гладко
зависящее от параметра g в интервале g0 g gr (т. е.
для любого x£D вектор Hgx гладко зависит от g). Пред-
положим, что каждому g в интервале g0 g gi соот-
ветствует стационарное состояние <pg гамильтониана Н„,
гладко зависящее от параметра g. Уровень энергии Е (g),
соответствующий состоянию <pg, будем считать изолирован-
ным и невырожденным. Состояние <pg будем предполагать
/ d(Pg\
нормированным и удовлетворяющим условию \<pg, / =
d”<fg I
предположим, что
= 0 при
= 0. Наконец,
п = 1, 2, ...
Лемма 1. При перечисленных условиях решение уравне-
ния (16.1), совпадающее с <pge при g = g0, может быть за-
писано в виде
ф (g) = ехр Г — -i- С (g)l (<pg + asg + a? r (g, a)),
61
g
где C (g) = j E (%) dk, sg определяется соотношениями
fe)) s,, Ts> = 0, s„, - 0,
а норма вектора r (g, а) ограничена сверху константой,
не зависящей от g и a (g меняется в конечном промежутке
go =С g < gi).
Переходя к доказательству леммы, сделаем прежде
всего замену ф (g) — ехр -~C(g) a (g), которая приводит
уравнение (16.1) к виду
1а £(g))°(g)- Решение уравнения (16.2) будем искать в форме (16.2)
o(g)= 2 an(Jn(g)- n = Q (16.3)
Приравнивая члены с одинаковыми степенями а, получаем
соотношения
Е (£))ffo(£)=°; s-£(g))o1(gr); dg (16.4) (16.5)
= g-E(g))an(g), dg °n(go) = O при n> 1. (16.6)
Умножая эти соотношения скалярно на <р5, убеждаемся, что
/ dOn \ n / d01 \ A <-V’4>=0; (16-7) (16.8)
\ dg (16.9)
62
Уравнению (16.4) и соотношению (16.7) можно удовлетво-
рить, положив о0 (g) = <pg. Тогда ох (g) находится из со-
отношений (16.5) и (16.8); видим, что (g) = sg. Рекур-
рентным образом из соотношений (16.6), (16.9) можно най-
ти следующие о„ (g). Существенно отметить, что ап (g)
находятся из этих соотношений однозначно [это следует
из невырожденности и изолированности собственного зна-
чения Е (g)J и оказываются гладкими функциями от g.
Из условия _ =0 вытекает, что все выпи-
санные соотношения могут быть удовлетворены.
Покажем теперь, что
<Ч£)= 2 a"Mg) + ^+I (16.10)
п = 0
где \rN(g, а)\^.К. В самом деле, подставляя (16.10)
в (16.3), видим, что rN (g, а) удовлетворяет уравнению
^(g.a) /и с / хх / х d(SN^ /1С11х
ia-----—£ (g‘))^(g,a) —1—2^— (16.11)
с начальным условием rN (g0,. а) = 0. Обозначив V (g)
унитарный оператор, определяемый соотношениями
iajm=(Hg_E(g))V(g),
ag
V(go)-1,
сделаем в уравнении (16.11) замену fN(g, a) =
= V (g) PN (g< a) • Получаем уравнение
. дрл/U, «) 1 a = — dg из которого видно, что IIM£> a) II = II PN (g, a) К <_1_ fl d°N (g') a J 1 dg' §0 dg fl 4pN(g', «) || 1 ag < JI dg || go ldg'^_£2^L. (16.12) 1 a
63
Замечая, что
fN (g, а) = (g) + arN+1 (g, a),
и применяя оценку (16.12) к rw+1, убеждаемся в спра-
ведливости нужной оценки для rN:
II г к (g, a) || < || (g) || + a -con-—< const.
a
Поскольку r (g, a) = t\ (g, a), из этой оценки при N = 1
получается утверждение леммы 1.
Замечание 1. Анализ проведенного выше рассуждения
показывает, что вместо гладкой (бесконечно дифференци-
руемой) зависимости Hg и от g для доказательства лем-
мы достаточно потребовать трехкратной дифференцируе-
d"<Pg|
мости; условие _ = 0 достаточно наложить при
п = 1.
Замечание 2. Если не требовать, чтобы = 0,
dg I g =
то из указанного выше доказательства видно, что утверж-
дение леммы 1 справедливо для решения уравнения (16.1),
удовлетворяющего начальному условию ф5о ~ ф^ 4-
+ asg0-
Покажем теперь, каким образом с помощью леммы 1
можно получить соотношение (15.7). Будем считать, что
для семейства гамильтонианов Hg выполнены условия лем-
dnqg
мы 1, за исключением требования 1
и рассмотрим оператор эволюции Ua (t, Т), построенный
по гамильтониану На (/) = Hh(at), где h (т) — гладкая
функция, заданная при 0 и принимающая значения
в интервале Е^о, gj. Предположим, что функция h (т) — g0
при т а. Тогда для семейства гамильтонианов —
= Hh(M при X из отрезка [а, 0} и векторов ф?. = фмм
выполнены уже все условия леммы 1, включая требование
dKn
dnh(K)
d№
дим, что
II t/a f0, — фа~ехр
\ a /
= 0 (последнее вытекает из соотношения
Л = а
= 0). Применяя утверждение этой леммы, ви-
X — и
64
о
где С = J Е (h (A.)) d'/.. Таким образом,
а
<РЛ(О) =фо = Нтехр [ — О») Ua ( 0, — ) срА (а). (16.13)
а->0 \ сс у \ сс у
Вводя оператор
Sa (t, Т) = exp (i Hg01) Ua (t, T) exp (—i Hgt T),
можно переписать равенство (16.13) в виде
Фл (0) = lim exp
а->0
О
-^-^[E(h(K))—E(h(d))]dkx
а
X Sa (0, — j фЬ(а).
к а /
(16.14)
Поскольку За — 1 при Т<^- и h (%) — h (а) при
Х<а, пользуясь соотношением (16.14), можно заклю-
чить, что
0
Фй (О = limexp — f [£(Л(Л))—E(h(—оо))|</Тх
а->0 ос J
X Sa (0, — °о) ф/г (— оо) •
(16.15)
Для того чтобы из (16.15) получить равенства (15.7), сле-
дует взять в качестве семейства гамильтонианов Hg семей-
ство Но -Т gV, где 0=С g =С gi, а в качестве h (т) — функ-
цию gexp (—а|т|). Функция ехр (—а|т|) не удовлетворяет
условию финитности, наложенному на функцию h (т),
поэтому, строго говоря, не имеем права применять равенст-
во (16.15). Однако, пользуясь сделанным выше замечанием
2, нетрудно провести аккуратное доказательство равенст-
ва (15.7).
Замечание 3. Если семейство гамильтонианов Hg зави-
сит еще от параметра О, то нетрудно указать условия, при
которых предельный переход в (16.15) равномерен по й
(для этого следует провести равномерные по й оценки в рас-
суждениях леммы). В частности, если Hg — Но + gVs
(O^g^gi, й^б), то предельный переход в (16.15)
будет равномерным по g и Й, если нормы операторов Vй
ограничены константой, не зависящей от Q, и можно найти
такое 6, что в интервале (£й (g) — 6, Ей (g) + 6) при лю-
бых й и g нет собственных значений оператора Яй кроме
Еа (g) (см. [46]).
Зак. 82
ГЛАВА 5
ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОГО
РАССЕЯНИЯ
§ 17. Формальная теория рассеяния
Пусть Н и Но — два самосопряженных оператора в про-
странстве Матрицы. Мёллера S+ и S_ пары операторов
(Н, Но) определим как сильные пределы:
S_ — slim ехр (i///) ехр (— = S (0,/); (17.1)
/—► —оо /—►— оо
S+ = slim ехр(itH) exp(— i//70) = slim S(0,£). (17.2)
f-t-f-OO f->4~OO-
Операторы S_ и S+ изометричны как сильные пределы
унитарных операторов, но не обязательно унитарны. Если
они унитарны, то можно утверждать, что
Si. = slim ехр (i Шо) ехр (— ИН);
t-+—~ оо
Si == slim ехр (i Шо) ехр ( — ИН)
оо
(см. дополнение, § Д.5).
S-матрицу пары операторов [Н, Но) определим соотно-
шением
s = s;s_.
Если операторы S+ и S_ унитарны, то S-матрица тоже
является унитарным оператором,, и ее можно записать
в виде
S= slim S(t,t0), (17.3)
/-*00, /0-* — оо
где
S (t, t0) = ехр (i Но i) ехр (—i Н (t—t0)) exp (—i Ho t0).
Однако S-матрица может оказаться унитарным опера-
тором и в случае, когда матрицы Мёллера неунитарны.
Именно, для унитарности S-матрицы достаточно (и необ-
66
ходимо), чтобы множества значений операторов S_ и S+
совпадали: S_/? = S+R.
В дальнейшем увидим, что при некоторых условиях
с помощью S-матрицы можно описывать процесс рассея-
ния частиц; в этих условиях удается, как правило, дока-
зать унитарность S-матрицы.
Будем считать, что операторы Н и Но имеют одну и ту
же область определения; обозначим символом V оператор
Н— Нп. Укажем простое достаточное условие (условие
Кука) существования матриц Мёллера.
Если интеграл J || Vехр (—iHol)x\\dt сходится для
о
векторов х из всюду плотного множества TaR, то матрицы
Мёллера S+ и S_ существуют.
Доказательство. Рассмотрим вектор Фя (f) = ехр (iHt) х
Хехр х и заметим, что
d<Dx (/)
dt
= || i exp(i Ht) V exp( —i#0 Z)x|| =
= ||Vexp(—i Hot)x||.
Таким образом,
d®x {t)
dt
dt II
= || V exp (—i Ho t) x || dt
it
и, в силу сделанного предположения, для х£Т имеем
ИтЦФЛ^)-ФжО| = 0,
когда 4 и /2 оба стремятся к +оо или к —оо. Отсюда сле-
дует существование пределов Фя (/) при t ±<х> для
х^Т и, следовательно, существование этих пределов для
любого x£_R (см. дополнение, § Д.5).
Рассмотрим связь матриц Мёллера S± и S-матрицы S
X построенными в § 14 адиабатическими матрицами Мёлле-
ра Sa± и адиабатической S-матрицей Sa. Сделаем предпо-
ложение, что при конечных t и t0
slim Sa (t, t0) = S(t,t0).
a-to
3*
67
Легко проверить, что это предположение выполнено, если
оператор V ограничен (тогда предельный переход имеет
место даже по норме); оно справедливо и во много более
общей ситуации.
Докажем теперь, что из условия Кука вытекают соот-
ношения
slimSa+ =<$+;
а-+о
slim Sa- = S_.
a-> О
(17.4)
(17.5)
При условии унитарности оператора S+ из соотношений
(17.4) и (17.5) следует равенство
slim Sa — S.
a-*o
(17-6)
Рассмотрим для доказательства векторы
0я(/) = 5а(0, /)х = $*(*,0)х,
где х^Т. Очевидно, что
= 77а(0,/) V ехр ( — а|/ |)ехр(—i Д0/)х|| =
аг II
= ехр(—a j/1)|| У ехр(— i Д0^)х||,
откуда
II ф“ (*i)—&) К $ IIV ехр ( — i Но t) х || ехр (—a \ t |) dt <
/ 2
|| V ехр (— i Но t) х || dt.
ц
Из полученного неравенства вытекает существование пре-
делов Ф“ (±оо) и, значит, операторов Sa±. Более того,
оно показывает, что предельный переход
lim Ф“ (£) = Ф“ (± оо)
^->±оо
68
равномерен по а, и, значит, под знаком этого предельного
перехода можно устремить а к нулю. Сделав это, получаем
для х £ Т соотношение
limSa±x = lim lim Ф^(/) = lim limSa(0()x =
a-*o a-*o f-»±oo /->±ooa-+0
= lim S(0, t)x = S±x,
откуда уже вытекает, что сильный предел Sa± при а -> О
равен S±.
Если V — ограниченный оператор, то
$ ехр(-аИИ
Это неравенство доказывает, что в соотношениях (17.4)—
(17.6) имеет место сходимость по норме, поэтому операторы
Sa+, Sa_, Sa являются унитарными операторами.
Устремляя i к ±оо в легко проверяемом тождестве
ехр (i Нх) S (0, t) = S (0, t + т) ехр (i Но т),
получаем важное соотношение
ехр (i Нх) S± == S± ехр (i HQ т),
откуда
HS± = S±H0; H0S = SH0. (17.7)
Если S± — унитарные операторы, то это соотношение уста-
навливает унитарную эквивалентность между операторами
Н и Но. Отсюда ясно, что, если, например, Но не имеет диск-
ретного спектра, а Н имеет, операторы S+ и S_ не унитар-
ны (легко видеть, что области значений операторов S+ и
S_ ортогональны тогда собственным функциям дискрет-
ного спектра).
Пусть — полная система обобщенных собственных функций
оператора Но, нормированная на 6-функцию, Е^ — соответствую-
щие уровни энергии (ради простоты обозначений предполагаем,
что у оператора Но нет дискретного спектра). Тогда функции ф± =
= S-i-Фх — обобщенные собственные функции оператора Н с теми
же собственными значениями Е}, поскольку
<px = S± Но ЧК = ЕК S± =
69
Матричные элементы S-матрицы в базисе легко выражаются
через функции ф^. Именно,
<5<РЛ, Фц>=<51 S- П, Фц> = <5- Фл, 5+ФЦ> = <11’л, ^ц>.
Поэтому интересно получить уравнения для определения функций
ф^. С этой целью рассмотрим операторы
± оо
S±e— ±е exp (—е 1t1 )S(0, t) dt.
о
Легко видеть, что в случае, если операторы S+ н S_ существуют,
lim 2±e = S±,
О
Для доказательства достаточно воспользоваться соотношением
±оо
lim ± е exp ( — е |/1) f (t)dt = f(± <х>), (17.8)
е- + °° J
справедливым, если векторная функция / (/) ограничена и имеет
пределы f (±00) = lim f (t)*. Очевидно, что ф£ = lim фФ®, где
/-►±оо е-4-0
±оо
^Ае==2±еФл = ±е f ехр(—e|?|)exp(iH^)exp( —=
О
± ie
= Н-Ек ± ie
Таким образом, ф^е удовлетворяет уравнению
(Н-Ек± ie) ф£® = ± ieq>X(
которое можно переписать в виде
Фх 6 = Фл + (£Х-ЯоТ18)-1Иф±е; (17.9)
* Если ||/(/)[[< Л и при t^T имеем ||f (0“/( + °°) II
то
оо
е J ехр (—(0 dt — f ( + °°)
о
ОО
J ехр( — st)(J(t) —
о
-f( + ^))dt
< 2еТА + 6.
70
Если существует в подходящем смысле предел lim (Ej — Нй ±
в-+ о
± ie)-i= ± Ю)-1, то в уравнении (17.9) можно устре-
мить е к нулю и получить уравнение для ф^:
Это уравнение называется уравнением Липпмана—Швингера*.
Можно указать также выражение матричных элементов S-матрицы
через одни только функции ф^ (илн одни только функции ф^).
<5Фх, Фц> = <’1’л, ’Plt> = 6(A,-p)-2niS(EA,-Etl)<q>M Уф+> =
= S(X_p)-2raS(Ex-E(x)<^f Фи>. (17.10)
В самом деле, с помощью уравнений Липпмана—Швингера убеж-
даемся, что
<Ч»Х , Фц> = <Ч’х, ,Ч’11> + <(£х-^о + 1О)-1ГФх, фц> +
+ <Фх, ^>+<Ж, (Ёх-^о-Ю)-1 X
X(Eti-E0_iO)-^+> = S(X-p)+<^Y>(Ex-i/f0-iO)-4tl>4-
+<(^-Яо+1О)-1<рЛ( Иф+>- —-1—" - «Фх-ФХ, W>~
-№ Л;_ФЛ..8(1-И)+ \j~~-) х
x<v«. v+(£|iJ1+10+x=v) ''♦:> <17 н>
Здесь была использована формула
(£х~ (Е~~На~ Ю)-1= — 1 X
X [(Ех-^о-Ю)-1-^-^-^)-1]. (17.12)
Обе части этой формулы рассматриваем как обобщенные опе-
раторные функции от Л н р. Под числовой обобщенной функцией
——* — можно с равным успехом понимать функции (Е^—Е 4~
£Л~£ц *
+ iO)-1, (El — Е„ — i0)~J илн Р ——, отличающиеся друг
£Л-£ц
* Не будем здесь останавливаться на деликатном вопросе
о придании точного смысла уравнению Липпмана—Швингера.
Дальнейшие рассуждения в этом параграфе также носят формаль-
ный характер.
71
от друга на сб (Е^— Е^),—формула (17.12) останется справедли-
вой в любом случае, поскольку
Заменяя в равенстве (17.11) —-----—— на —---------—— или на
—----1------ , получаем нужные соотношения.
§18. Одночастичная задача рассеяния
Рассмотрим рассеяние нерелятивистской бесспиновой
частицы в потенциальном поле V (х), достаточно быстро
убывающем на бесконечности. Пространство состояний 7?
в этом случае является пространством I? (Е3), а гамильто-
ниан частицы имеет вид Н = ра/2т + (х). Когда части-
ца находится далеко от рассеивающего центра, потенциаль-
ную энергию можно считать равной нулю и описывать дви-
жение частицы гамильтонианом Но = ра/2т. В соответст-
вии с этим рассеяние частицы в поле V (х) можно описы-
вать матрицей рассеяния S, построенной по паре операто-
ров (Я, Яо).
Проверим, что в случае, когда потенциал V* (х) квад-
ратично интегрируем, выполнено условие Кука и, следо-
вательно, существуют матрицы Мёллера. Для этого
заметим, что для плотного множества функций f£R
имеет место неравенство |Д (х) | С|/|~3/2, где ft =
= ехр (—iHof) f (доказательство этого неравенства см.
в § 38, лемма 2). Отсюда следует, что норма функции
= V ехр (—iHot) f не превышает С| / | ~3/а j | (х) |adx,
поскольку ф( (х) = (х) ft (х). Это доказывает условие
Кука. Более сложные рассуждения позволяют ослабить
условие квадратичной интегрируемости.
Если потенциал V1 (х) одновременно квадратично ин-
тегрируем и абсолютно интегрируем (?/'£ Ls f] L1), то
можно доказать, что S-матрица унитарна. Не будем приво-
дить доказательство этого совсем не тривиального факта.
Укажем лишь, что установлению унитарности S-матрицы
в различных предположениях посвящено много работ.
Для потенциального рассеяния унитарность S-матрицы
была впервые установлена А. Я. Повзнером [47]. В приве-
денной выше формулировке теорема доказана в [48].
72
Введем обозначение
5(р, q) = <S<pq, <рр>,
где фр = (2 л)2 ехр (ipx) — обобщенная собственная
функция оператора импульса [S (р, q) можно назвать яд-
ром оператора S в импульсном представлении!.
Поскольку оператор S коммутирует с Но, функция
5 (р, q) имеет вид
S (Р, q) = (Р, q) 6 (Р2- 72) = 6
Величина
dcr = л21 (k, р) |2 d®, (18.1)
где d® = sin 9d0dф — элемент телесного угла, а к — век-
тор, по длине равный р и направленный в угол d®, имеет
физический смысл дифференциального эффективного се-
чения (т. е. смысл числа частиц, отклоняющихся за едини-
цу времени в телесный угол d® при условии, что на рас-
сеивающий центр падает поток частиц с импульсом р, имею-
щий единичную плотность)*.
В силу формулы (17.10)
/ «2 k2 \
S(k, Р) = <5фр> <рк> = 6 (к-р)-2ni6 Фк>,
поэтому формула для дифференциального эффективного сечения мо-
жет быть записана также в виде
do = 16m2 л4 | ( Уф~ t epk) |2 dco.
Для того чтобы выяснить физический смысл величины (18.1)-
предположим, что рассеиваемая частица при t-+—оо описыва,
ется волновой функцией ехр (—ср (иными словами, предпо-
ложим, что без учета взаимодействия с полем частица описывалась
бы в момент времени t = 0 волновой функцией ср). Из определения
S-матрицы вытекает, что при t —► -фоо волновая функция частицы
будет тогда иметь вид ехр (—\Hat) Sq>. В импульсном представле-
нии
(Sep) (р) = ф (р) == j S (р, q) ср (?) dg;
/ р2 \
(ехр-(—\Н0 1) Sep) (р) = ехр I — i —-t ф(р),
* Рассматриваем только отклонения на ненулевой угол.
73
и, стало быть, вероятность того, что импульс рассеянной частицы
направлен в телесный угол й, равна
fl ф(р) |2rfP=fdPf dqdq'S(p, q)S(p, q')<p(q)<p(q').
Й Q
В реальных экспериментах по рассеянию никогда не бывает
известна волновая функция рассеиваемой частицы в системе от-
счета, связанной с центром рассеяния. В классической механике
это соответствует тому, что известен начальный импульс .рНач
рассеиваемой частицы, но неизвестен ее прицельный параметр
(т. е. расстояние, на котором пролетела бы частица от рассеиваю-
щего центра, если бы она все время двигалась по прямой линии).
Поэтому в классической механике рассматривается поток частиц
с одним и тем же начальным импульсом рНач и с разными прицель-
ными параметрами; предполагается, что этот поток имеет единич-
ную плотность (т. е. считается, что через единичную площадку,
ортогональную к Рнач> за единицу времени проходит одна части-
ца). Дифференциальным эффективным сечением рассеяния в телес-
ный угол dQ называют число частиц из этого потока, которые откло-
няются за единицу времени в телесный угол dQ.
В квантовой механике понятие прицельного параметра не име-
ет прямого смысла. Можно, однако, рассмотреть семейство волно-
вых функций
Ра(Р)=« (Р) еХР (>Ра)>
где а (р) —• нормированная волновая функция, отличная от нуля
лишь в малой окрестности Рнач, в вектор а ортогонален рНач, и
считать, что вектор а является аналогом прицельного параметра
(напомним, что умножение на ехр (ipa) в импульсном представлении
равносильно сдвигу на вектор а в координатном представлении).
Эффективное сечение рассеяния в угол й частицы с начальным им-
пульсом рнач естественно определить как
<TQ= f рР I Фа (Р) |2>
а-1-Рнач В
где фа = Spa. Поскольку
Фа (р) = f S (р, q) Ра (q) rfq = f si (p. q)-« (q) exp (iqa) dq,
можно написать, что
aG= f da f dpf dq dq'(p, q) (p, q')X
a ± pHa4 a
6 (p— q) 6 (p — q') —
X-----—----- •--~n— a (q) a (q') exp (i (q —q ) a).
Интегрируя по а, получаем
<Jq = (2л)2 f dp f dq dq' (p, q) Si (p, q') 2 ~ X
X a (q) a (q') 6 (q—q') 6 (qT—4r)
74
[здесь qT, Ят —проекции векторов q и q' на плоскость, ортогональ-
ную вектору Рнач! мы воспользовались тем, что
J ехр (i (q—q') a) da = (2n)2 6 (qT — q')]_
a-L Рнач
Легко проверить, что
6 (?-<?') 6 (qT — q;> = 2?6 (q2 — q'2) 6 (qT — q^ =
=2?б(^-^2) б (Чт-чО = у- 5 (qn~Q'n)s (<h—q0 +
+ -y~6(gn+q;)6 (qT—q;) = -^-[8 (q — q') + 6 (Zq—q')]
(здесь qn, qn — проекции векторов q, q' на вектор рНач, I — сим-
метрия относительно плоскости, ортогональной рнач)- Пользуясь
содержащимися в подынтегральном выражении о-функциями,
можно взять интеграл по dq', а также, перейдя к сферическим коор-
динатам в интеграле по dp, проинтегрировать по dp. Получаем
С Cl 2 Q
oQ = n2 J sin 0 dO dtp j dq St (q, 0, <p| q) -1 a (q) |2 +
a> I
+ n2 J sin 0 d0 dtp J dq Sx (q, 0, ф | q) Sx (q, 0, ф | Zq)X
<o
(q \ _
—----- a(q)a(Zq)
qn )
[здесь <o — область, в которой меняются сферические координаты
0, ф, когда р пробегает й; если р — вектор со сферическими коор-
динатами (р, 0, ф), пишем (р, q) = Sx (р, 0, ф| q)J. Если функция
Sj (р, q) непрерывна, когда q меняется в окрестности точки Рнач,
а р в угле й, то при условии Рнач С Н отсюда следует, что
Oq — л2 J| (рнач, 0, ф|рнач) |2sin0d0dф.
(1)
Это согласуется с написанным выше выражением для дифференци-
ального эффективного сечения [было использовано то, что для нор-
мированной функции a (q) с носителем в малой окрестности точки
Рнач и непрерывной функции f (q)
J / (Ч) I “ (q) I2 dq ~ f (рнач),
75
если к тому же рНач ¥= О, то
ff(q)a(q)M7q)dq»O]*.
Посмотрим, как выглядят в рассматриваемом случае уравне-
ния Липпмана—Швингера. За полную систему обобщенных собст-
венных функций гамильтониана На выберем функции фр (х) =
= (2л)—З/2 ехр (ipx). В импульсном представлении гамильтониан На
сводится к умножению на £—, оператор (Eq—Но ± ie)-1— к ум-
ножению на У -3—— 3— ± ie V1, а оператор (Еч — Но ± iO)-1 —
\2т 2 т )
к умножению на обобщенную функцию ± -1, Та-
ким образом, в импульсном представлении уравнения Липпмана—
Швингера имеют вид
f^(p—р')ф± (p')dp'
Ф£ (Р) = 6 (p-q) +----------
Л—_ JL— т i0
2т 2т
(18.2)
где
^(р) =(2n)-3/2j‘ 'Г(х) ехр (—ipx) dx.
Учитывая, что
С ехр (ipx) dp , exp(±igx)
t ----------- = —4/7ИГ-? -----’
I g2 р2 x
J Л__Л_ ±i0
2m 2m
можем написать уравнение Липпмана—Швингера в координатном
представлении:
, т (* . , ехр (=F ig I х —х'I) , ,
< (X) = <₽g (X)-— dx ------------ . ----- <^(х')ф± (X').
I A A |
(18(3)
Вычислим асимптотику функции (х) при х -» оо. Поскольку по-
тенциал (х) достаточно быстро убывает на бесконечности, при
х оо можно считать, что в интеграле, входящем в формулу
(18.3), х > х', и заменить в показателе экспоненты | х — х' |
* Не представляет труда превратить изложенные рассуждения
в строгое доказательство. Для этого надо рассмотреть последова-
тельность нормированных функций ап, носители которых стяги-
ваются к точке Рнач^О. и заметить, что для такой последовательно-
сти и непрерывной функции / (д) имеют место соотношения
f f (q) I ап (q) Р dq -* f (рнач)>
(q) “n (q)<b(/?)rfq ->0.
76-
нах—-5- х', а в знаменателе | х — х' | — на х. Получаем, что при
больших х
. ( х \ ехр (=F iqx)
-ф± (х) ж фч (X) +/± (j — J,
где
tn Г*
ft (е)= — d*' ехР (-1?ех')У (х') ф± (х').
2Л J
Отсюда видно, что
(е) = —m 1/2л <1/т|з±, <рк>, (18.4)
где к = qe.. Формула (18.4) вместе с соотношениями (17.10) и (18.1)
позволяет выразить матричные элементы 5-матрицы и эффективное
сечение через функцию (е), определяемую асимптотическим по-
ведением на бесконечности функции (х). Например, дифферен-
циальное эффективное сечение рассеяния в телесный угол das равно,
do — (2л)3 |/“ (е) |2 dw (18.5)
здесь р — импульс падающих частиц, е — единичный вектор
направленный в угол da>). Функция ф+ (х) удовлетворяет уравнению
(~ д(х) М(х)=%*(х) (18-6)
и граничному условию на бесконечности
Нетрудно проверить, что эти два свойства характеризуют
функцию (х). Иными словами, функция ф“ (х) может быть опи-
сана как решение стационарного уравнения Шредингера, которое
на бесконечности представляется в виде суммы плоской волны и
расходящейся сферической волны. Функция ф+ (х) описывается
аналогично (с заменой расходящейся сферической волны на сходя-
щуюся).
Таким образом, приходим к стационарной постановке задачи
о рассеянии нерелятивистской частицы. В этой постановке нахож-
дение сечения рассеяния сводится к отысканию решения стацио-
нарного уравнения Шредингера с граничным условием (18.7).
Полезно отметить, что в случае, если V (х) = V (—х),
^(х) = %-(-х)
77
(это вытекает из замечания, что при комплексном сопряжении
сходящаяся сферическая волна переходит в расходящуюся, а урав-
нение (18.6) остается инвариантным). Отсюда ясно, что (е) =
=/~ (е), и, следовательно, сечение рассеяния может быть записано
также в виде
d<J = (2л)3 (е) |2 dot.
§ 19. Многочастичная задача рассеяния
Многочастичную задачу рассеяния будем рассматри-
вать в фоковском пространстве F, построенном по прост-
ранству с мерой Е3 X В, где В — конечное множество.
Оператор импульса Р в этом пространстве определяется
формулой (13.14). Рассмотрим трансляционно инвариантный
гамильтониан Н в пространстве F (т. е. самосопряженный
оператор Н, коммутирующий с оператором импульса Р).
При рассмотрении задачи рассеяния в системе из п
частиц данное в § 17 определение матрицы рассеяния ока-
зывается не всегда пригодным, поскольку в процессе стол-
кновения возможно образование составных частиц. Напри-
мер, если исходными частицами были протоны и нейтроны,
то в конце процесса может образоваться дейтрон (связан-
ное состояние протона и нейтрона) или а-частица (связан-
ное состояние двух протонов и двух нейтронов). Поэтому
следует прежде всего обобщить понятие частицы, чтобы оно
включало в себя объекты, которые естественно называть
составными частицами.
Вектор Ф (к), описывающий одночастичное состояние
с импульсом к, должен быть собственным вектором опера-
торов Р и Н [в одночастичном состоянии, имеющем опреде-
ленный импульс к, энергия имеет определенное значение
со (к)]. Поскольку у оператора Р есть лишь один норми-
рованный собственный вектор (фоковский вакуум), вектор-
ная функция Ф (к) должна быть обобщенной. Высказанные
соображения позволяют дать следующее определение час-
тицы.
Под частицей, соответствующей гамильтониану Н,
будем понимать обобщенную векторную функцию Ф (к),
удовлетворяющую условиям
НФ (к) = со (к) Ф (к); (19.1)
РФ (к) = кФ (к); (19.2)
<Ф (к), Ф (к')> = б (к — к'). (19.3)
78
Функция (о (к) называется энергией одночастичного состоя-
ния (законом дисперсии).
Например, частицами, соответствующими гамильто-
ниану
= 2 f е» (k)а* (k) «з (k) dk, (19.4)
s = 1 J
являются обобщенные векторные функции
<DS (k) = at (k) 0. (19.5)
Те же обобщенные векторные функции можно рассматри-
вать также как частицы, соответствующие гамильтониану
Н = Но + W, (19.6)
где
V = 2 $ п (к1> к-1 ‘1....а+ (к*) • • •
m>2 d
л>2
... а+ (km) а (1 х)... а (1 n) dm kdn 1. (19,7)
Они называются элементарными частицами. Для трансля-
ционно инвариантного гамильтониана вида Но + V, где
V — произвольный оператор, частица называется элемен-
тарной, если она получается из частицы at (к)0, соответ-
ствующей гамильтониану До, по теории возмущений (ины-
ми словами, если гамильтониану Яо + gV можно сопоста-
вить частицу Yg (к), непрерывно зависящую от параметра
g из отрезка 10; 1], и при этом 4% (к) = at (к)9, то частица
(к) называется элементарной частицей гамильтониана
Но+ V).
Частицы Ф (к), Ф' (к) называются ортогональными, если
<Ф (к), Ф' (к)) = 0; система частиц {Фх (к), ..., Ф/v (к)} на-
зывается полной, если не существует частицы, ортогональ-
ной ко всем частицам Фг (к).
Например, для гамильтониана Нй = f е (к)а+ (k)a(k)dk,
где е (к) — строго выпуклая функция, система частиц, со-
стоящая из единственной частицы Ф (к) = а+ (к)0 (элемен-
тарной частицы), является полной. В самом деле, пусть
(к) = 2 Фп (к, к1...кд)«+ (кх)... а+ (кп) 0
79
есть частица, соответствующая этому гамильтониану. Из
условия Р ¥ (к) = к¥ (к) вытекает, что
(кх +-----|- kjxp„ (к, ki. •.•Лп) = Нп(к,к1.kJ,
откуда
Фп(к, кх...kj = 6(k—ki----------kn)tPn(k1,..., kn).
Условие НУ (к) = ы (к)Чг (к) дает соотношение
(»(кх) +.--h е (kJ) (к, кх,..., kJ = со (к) фп (к, кх,..., kJ,
из которого ЯСНО, ЧТО
(ю (кх + ... + kJ — е (кх) — ... — е (кп))срп (кх, ..., kJ =
= 0. (19.8)
Равенство (19.8) позволяет заключить, что срп = 0 при 1
(для того чтобы сделать такое заключение, следует заме-
тить, что строго выпуклая функция не равна постоянной
величине на множестве положительной меры и что функция
е (р) + е (к •— р) — строго выпуклая функция переменной
р). Таким образом, W (к) = срх (к)а+ (к)0; это доказывает
нужное утверждение.
Полная система частиц не всегда может быть составлена
из одних только элементарных частиц. Возможна ситуация,
когда существуют частицы, ортогональные к любой элемен-
тарной частице (составные частицы).
Рассмотрим, например, .гамильтониан
Н = J а+ (к) а (к) dk J- -i- J W7 (кх— к3) а+ (кх) х
X а+ (kJ а (kJ a (kJ б (кх + к2—к3 — kJ dk± dk2 dk3 dkit
(19.9)
описывающий систему тождественных бесспиновых бозонов
(см. § 13). Этот гамильтониан коммутирует с оператором
числа частиц N, поэтому достаточно ограничиться отыска-
нием частиц, лежащих в «-частичном пространстве Fn,
которое, как говорилось выше, представляет собой про-
странство симметричных функций ср (кх, ..., kJ, где к, £ Е3.
Введем новые переменные
р кх~Ь • • • -j-kn
п ’
Pi=kx —kn (i=l.......п— 1)
80
и определим пространство F'n как пространство таких функ-
ций ф (рх, рп_х), что функции f (р)ф (рх, рп_х), где
/(р)^Е2(Е3), принадлежат пространству Fn. Функции из
пространства F'n можно рассматривать как волновые функ-
ции относительного движения п частиц; переход к описанию
движения п частиц с помощью функций из пространства
F'n соответствует отделению движения центра инерции. Мате-
матически возможность отделить движение центра инерции
для гамильтониана Нп означает, что существует такой га-
мильтониан Н’п в пространстве F'n, что для любой функции
f (р)Ф (Р1, •••> Рп-1) € Fn,
где (Е3), ф Е Fn, имеет место соотношение
Нп (f (Р) Ф (Р1, • • •, Р„-1)) = (f (Р) ) Ф (Р1, • • •. Рп-1) +
\ 2гшг /
+/(р) (я;ф)(рь pn_i).
Пусть ф Е Е„ — (нормированная) собственная функция
оператора Н'п с собственным значением Е. Легко убедиться,
что обобщенная векторная функция
Ф (к) = б (к — р)ф (рх, .... р„_х)
является частицей в смысле данного выше определения;
при этом
НФ (к) = (—4-Е^Ф(к).
\2ntn J
При п > 1 частица Ф (к) представляет собой составную
частицу (связанное состояние системы из п частиц).
Займемся теперь вопросом о том, что следует называть
матрицей рассеяния гамильтониана вида (19.6) (для более
общих трансляционно инвариантных гамильтонианов опре-
деление матрицы рассеяния будет дано в гл. 9). Естественно
попытаться определить матрицу рассеяния гамильтониана
(19.6) как Е-матрицу, построенную по паре операторов (Л,
Но). Это оказывается, однако, разумным лишь в случае,
когда элементарные частицы Ф., (k) = as+ (к)0 образуют пол-
ную систему частиц (не существует составных частиц). С фи-
зической точки зрения понятно, что Е-матрица пары опера-
торов (Н, Но) не может описывать актов рассеяния, в кото-
рых участвуют составные частицы. Если такие акты рассея-
ния могут иметь место, то S-матрица, построенная по паре
операторов (Н, Но), не будет унитарным оператором.
81
Формулируя определение матрицы рассеяния, ограни-
чимся ради простоты бозевским случаем.
Заметим прежде всего, что всякую частицу Ф (к) можно
записать в форме
ОО
Ф(к) = 2 2 ^(k-ki-------------kn) X
«=! й...in J
х <рп (кх, ч,к„, t„) a/t (к!)... atn (kJ Odkx... dkn.
Сопоставим частице Ф (к) операторную обобщенную функ-
цию А (к), положив
СО
Л(к)= 2 2 ^(к-кх-------------к„) х
^=1 й....‘п J
х фп (кх, 1\.к„, 1„) ait (кх)..,^ (к„) dkx... dkn.
Операторная обобщенная функция А (к) однозначно опреде-
ляется условиями: 1) А+ (к)9 = Ф (к) (оператор А+ (к)
рождает частицу Ф (к) из вакуума), 2) А (к) является су-
перпозицией операторов вида (кх) •••«/ (кп),т. е. может
быть представлен в форме
Л (к) = 2 S \ (к, кх, i"i, и,, kn, in) X
Й.............. г’п
X аг1 (кх)... агп (kJ dkx... dkn.
Определим теперь in- и out-операторы А-п (к,х) и 40ut (к,т),
соответствующие частице Ф (к), как пределы
Л1п(к,т) = Игл exp (i(o (к) (t—т))Л(к,7), (19.10)
— со
A>ut(k,t)= lim exp (i co (к) (t—r)) A (k,/), (19.11)
f + 00
где A (k, t) = exp (iHt)A (k)exp (—iHt), © (k) — закон
дисперсии частицы Ф (к), предел понимается в смысле обоб-
щенных функций (точнее, для всякой функции f (k) £
€ (В8)
С/(к) Л1П (к, т) dk= lim С f (к) exp (i © (к) (t—x))A(k,t)dk
J out , t ->Too J
в смысле сильного операторного предела на линейном много-
образии D — наименьшем линейном многообразии, содер-
жащем все Fn). Говоря одновременно об операторах Л,п
и Доиь будем пользоваться обозначением Лех-
82
При некоторых условиях на гамильтониан Н (в частности,
для гамильтонианов вида (19.9), если потенциал взаимодей-
ствия квадратично интегрируем) можно доказать, что: 1) пре-
делы (19.10), (19.11) существуют; 2) если частицы Фх (к), ...
.... Фт (к) ортогональны, то соответствующие им операторы
Лех (к, I, т), Л^ (к, [, т), где i=l,..., /п, при фиксиро-
ванном т подчинены каноническим коммутационным соот-
ношениям (CCR)
[ЛЛ (k, i, т), Ле1 (к', i', т)] = [Лех (к, t, т), Лех (к', Г, т) = 0;
[Лех (к, I, т), Ле+Х (к', Г, т)] = 6*. 6 (к—к');
3) Лех (к, t, т) — ехр (1Ят)Лех (к, 0 ехр ( —i/ft) =
= ехр (—ico; (к)т)Лех (к, 0,
где Лех (к, 1) = Лех (к, I, 0);
4) Лех (к, 00 = 0, Ле+Х (к, 00 = Фг (к).
Доказательства этих утверждений приведены, напри-
мер, в [32] (последние два доказываются тривиально).
Обобщенные векторные функции
Tln (ki, l"i> •••> kn, i„) — Л*п (k1( li)... Л1! (kn, in) 0;
Tout (ki, i"i,..., kn', i„) = Л^ (k1( 0) ... Л^{ (kn, i„) 0
называются in- и out-состояниями.
Нередко оказывается полезным то, что векторы Vin и Тои{
можно, раскрыв определение операторов Лы и Л out, представить
также в виде
^ех (kx> h... kn, tn) = lim exp ( — i (со;, (ki) + ... +<o/n (kn)) X
X Л+ (кп ilt t) ... A+ (kn, in, t) 6. (19.12)
Применяя формулу (17.8), можно получить из (19.12) следующее
представление in- и out-состояний:
YJn (кх, к„, in) = ± Нт ia (//—to; (kj) +
out “-»<>
+ •..+«/„ (kn)) ± ia)-1 Л+ (kj, /х)... A+ (kn, in) 0.
Будем считать, что фиксирована полная ортогональная си-
стема частиц Фх (к), ..., Фуу (к) и операторы Лех (к, 1), ...
..., Лех (к, N) построены по частицам этой системы.
83
Матричными элементами S-матрицы (или амплитудами
рассеяния) условимся называть функции
$т, п (^1> Ч, •••> km, ЬпПь /1, •••> ln> in) =
= <^in(li, /1) ••• Ajt,(ln, in) Aout (kj, l'i) ••• Aout (km, lm)
Через эти матричные элементы можно выразить вероятность
того, что при столкновении п частиц с квантовыми числами
Л, • ••, к, in получатся'частицы с квантовыми числами
ki, fj, кт, im (в более общей ситуации об этом говорится
в гл. 10.)
Рассмотрим связь аппарата in- и out-операторов с опре-
делением S-матрицы, данным в § 17. Предположим, что
матрицы Мёллера ST, построенные по паре операторов
(77, 77О), унитарны (вероятно, это предположение выполнено
всегда, когда нет связанных состояний). Операторы A (k, s),
соответствующие элементарным частицам Ф., (к) = а/ (к)0,
равны, очевидно, as (к). Покажем, что
Ain (к, s) = Щп (к, s) = S_ as (к) SI; (19.13)
Aout (к, s) = «out (k, s) = S+ as (к) 5ф. (19 14)
В самом деле, используя соотношения (17.1) и (17.2), ви-
дим, что
ST as (к) Si = slim ехр (i Ht) exp (—i Ho t) as (k) x
=F oo
X exp (i 77O t) exp (—i 777) =
= slim exp (i es (k) 7) as (k, 7) = Ain (k, s).
i ф oo out
Из соотношений (19.13), (19.14) следует
<аФ(1, crj ... яф (ln, (Уп)9, sj ... flo+ut (km, sTO)0> =
= (S_ Act, (lx) ... a^n (ln) 0, S+ flt, (kJ ... as+m (kTO) 0) =
= (Sa^ (1J ... (ln)0, flj* (kJ ... asm(km)0)
(было использовано то, 4TO-S10 =s S^.0 — 0). Иными сло-
вами, величины, названные в этом параграфе матричными
элементами S-матрицы, при сделанных предположениях
совпадают с матричными элементами оператора S в обоб-
щенном базисе а£ (kJ ... a? (km)0.
В случае, когда связанные состояния существуют, так-
же можно построить оператор S, матричными элементами
которого являются функции Sm, п. Для этого нужно ввести
пространство Fas — пространство асимптотических состоя-
84
ний — как фоковское пространство, построенное по про-
странству с мерой Е3 X N, где N — множество, элементы
которого находятся во взаимно однозначном соответствии
с типами частиц. (Напомним, что фиксирована полная ор-
тогональная система частиц.) Операторы рождения и унич-
тожения в Fas обозначим b+ (k, [) и b (к, [) (здесь I g N).
Векторы из пространства Fas изображают начальные и ко-
нечные состояния процесса рассеяния (например, вектор
(fi) ••• Ь?п (fnfi, где bi (f) = f f (k) b (k, i) dk„ соответст-
вует состоянию, в котором присутствуют частицы типов
ij, ..., tn с волновыми функциями Д, ...,~fn)- Определим изо-
метричные операторы S_ и S+, действующие из пространства
Fas в пространство F, с помощью соотношений
4in(k, i)S_ = S_ b (k, i), S_0 = 0; (19.15)
40Ut (k, i) S+ = S+b (k, i), S+ 0 = 0. (19,. 16)
(Такие операторы существуют и определяются соотношения-
ми (19.15), (19.16) однозначно; доказательство этого факта
проведено в § 20.) Матрицей рассеяния назовем оператор
S = S^S_, действующий в пространстве Fas. Очевидно,
$т, п (^1> •••> /1> !п)~
= (-^т(11> /1) •••-^in (1П> /п) A>iit (^1, if) ... A^ut (кщ> im) 9) =
= <s_ь+ (1ЬЛ)...ь+ (1п, /п)0, s+&+ (kbг\)...&+ (km, im)0>=
==<S&+(11,/1) ... b+ (ln, jn) 0, ^(kbQ ...b+(km, im)0>.
Иными словами, матричные элементы оператора S в обоб-
щенном базисе b+ (k1; if) ... b+(km, im) 0 совпадают с функ-
циями Sm, п.
Благодаря тому, что гамильтонианы вида (19.9) комму-
тируют с оператором числа частиц, можно исследовать от-
дельно «-частичную задачу рассеяния при п = 2, 3, ...
При п = 2 эта задача сводится к рассмотренной в предыду-
щем параграфе задаче о потенциальном рассеянии. Доказа-
тельство унитарности матрицы рассеяния для трехчастичной
задачи было получено Л. Д. Фаддеевым [49]; метод Фаддеева
основан на указании и исследовании уравнений для in-
и out-состояний. Уравнения Фаддеева оказались полезны-
ми и в вычислительном отношении; они были обобщены раз-
личными способами также на случай «-частичной задачи
рассеяния при «>3. По-видимому, методом Фаддеева мож-
но доказать унитарность матрицы рассеяния для любого
85
числа частиц, но попытки сделать это натолкнулись на
большие технические затруднения. Вопрос об унитарности
матрицы рассеяния для «-частичной задачи при п > 3
остается до сих пор открытым.
В заключение представим данное в этом параграфе определение
матриц Мёллера S± и матрицы рассеяния S в форме, удобной для
переноса на существенно более общую ситуацию (гл. 10). Назо-
вем оператор В правильным, если он может быть представлен в виде
2 2 f f О1!’ si’ • • • ’ кт> sm) X
Xa+(ki)... a+j(km)dk1... dkm
и удовлетворяет условию
B0 = J<p(k) Ф; (k) dk,
где Ф; (k) — одна из частиц, содержащихся в фиксированной пол-
ной системе частиц (к), .... Фп (к). Изометрический оператор
S_ (S+), действующий из пространства Fas в пространство F,
назовем матрицей Мёллера, если для любых правильных операторов
Bj.... Bm и гладких финитных функций /ц (р), .... fm (р)
lim BJA, t)... Bm(fm, Z)0 =
оо
= ST6+(q>ifi, A)... b+(sfmfm, tm)0.
Здесь операторы Be (fa, t) задаются формулой
Ba(fa, 0=У7а(х, t)Ba(x,t)dx,
где
Ва(х, Z) = exp (IHt— iPx) Ваехр (—fT/Z-f-iPx);
Га (х. 0 = ехр (-icoia (р) t +ipx) fa (р) —;
числа ia и функции <ра (р), а>га (р) определяются соотношениями
^ae = f *Ра(Р) Ф'а (₽) dP >
H®ia (р)=<% (Р)ф*а (₽)•
Матрица рассеяния S, как всегда, определяется через матрицы
Мёллера формулой S = S* S_.
Для того Чтобы установить, что приведенное только что опреде-
ление матрицы Мёллера эквивалентно сформулированному ранее,
заметим, что правильный оператор Ва может быть, очевидно, пред-
ставлен в виде
Sa = f‘Pa (Р) (Р) dp,
86
где At (р) — операторная обобщенная функция, сопоставленная
выше частице Ф; (р). Воспользовавшись очевидным равенством
ехр (—iPx) Af (k) ехр (iPx) = exp (— ikx) A{ (k),
убеждаемся, что
Ba(fa, 0=f Та(х. 0 ехр (—ikx) <ра (к) Л+а (k, t) dk =
= Jexp(— i а>/а (к) t) fa (к) <ра (к) (к, t)dk,
откуда
slim Ba(fa, Z) = J (к) <ра (к) Aj+ (к, ia)dk. (19.17)
/->^=оо out
Чтобы доказать эквивалентность двух определений матриц Мёлле-
ра, осталось отметить, что в силу соотношений (19.17), (19.15),
(19.16) имеет место равенство
* lim ВНЙ, 0 0 = f fi (ki) <Pi (ki) (ki> й)..-
...fn(kn) Фп (kn) Ain (kn, tn)d«k0 = ST 6+(fi$i, «1)...
...6+ (/пФп, *n) 6-
ГЛАВА 6
ОПЕРАТОРЫ В ФОКОВСКОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
§ 20. Представления соотношений
коммутации и антикоммутации.
Фоковское представление
Если каждому вектору f предгильбертова пространства
S3 поставлены в соответствие операторы а (/) и а+ (/) =
— (а (/))+ в гильбертовом пространстве Ж так, что a (f)
линейно зависит от f [т. е. а (X/ pg) = Ха (f) ра (g)],
и при этом выполнены соотношения
[«(/). a(g)] =
= [а+(Л, a+fe)]-0, [а(/), а+(g)] = <f, g> (20.1)
или соотношения
[а(/), a (g)]+ -
= 1«+ (/), а+ (g)]+ = 0, [а (0, а+ (g)]+ = <f, g> (20.2)
(f, g g ®, X, p — комплексные числа), то говорят, что в про-
странстве Ж задано представление канонических соотноше-
ний коммутации — CCR (соответственно, представление
канонических соотношений антикоммутации — CAR)*.
Будем употреблять также обозначения a (f, —1) =
= a (f), a (f, 4-1) = a+ (/); пользуясь этими обозначе-
ниями, CCR и CAR можно записать в следующей форме:
[a(f,e), a(g, е')]т = А|-<f, g>, (20.3)
где Al' — матрица с элементами А} = Ал} = 0, А_| = 1,
AL1 = +1 (верхний знак в случае CCR, нижний — в слу-
чае CAR).
В случае CAR операторы a (/) и а+ (/) ограничены (из
равенства a (f)a+ (f) a+ (/)a (f) = вытекает, что
* В определении представления CCR и CAR считаем, что все
операторы a(f), a+ (/) заданы на одном и том же линейном много-
образии D, всюду плотном в пространстве 3%, и переводят много-
образие D в себя; операторы а (/) и а+ (/) сопряжены друг с другом
(т. е. <а (/) х, у> = <х, а+ (/) у> для всех х, у £ D).
88
<a (fix, a (fix) + <o+ (fix, a+ (fix) = </, f)<x, x), откуда
ясно, что || a (f) || |]/Ц, || (/) || ||/||. Поэтому можно,
считать, что операторы а (/), а+ (fi определены на всем Ж.
В случае CCR операторы а (/), а+ (/) неограничены.
Говоря одновременно о CCR и CAR, будем применять
термин «канонические соотношения» и сокращение GR.
Когда нужно отметить, что CR построены по предгильбер-
тову пространству S3, будем использовать обозначение
CR (S3). Если в пространстве S3 выбран ортонормированный
базис фп, то операторы ап = а (срп) и а„ = а+ (срп) удовлет-
воряют. соотношениям
®nl = 0, 1 ^т, п (20.4)
в случае OCR и
l^mr ^nl-h = 1+ = 1^уг» ~ п (20.5)
в случае CAR (эти соотношения также носят название CR).
Важнейшим примером операторов, удовлетворяющих
CR, являются операторы рождения ц+ (/) и уничтожения
a (f), определенные в § 13. (Они задают представление CCR
в бозевском случае и представление CAR в фермиевском
случае.) Операторы a+(fi, а (/) по аналогии называют опе-
раторами рождения и уничтожения также в других случаях,
хотя это не всегда соответствует их физическому смыслу.
Еще одно важное представление CCR задается опера-
торами
N
a(f)= 2 fn ап>
П=1
N —
a+(f) = 2/Х,
п= 1
где йп, ап — удовлетворяющие соотношениям (20.4) опе-
раторы, построенные в § 11 при исследовании системы свя-
занных осцилляторов (здесь / = (/1( ..., In) пробегает ком-
плексное A-мерное пространство).
Представление CR назовем фоковским, если в его про-
странстве Ж существует вектор 0, удовлетворяющий усло-
вию а (/)0 = 0 и циклический относительно операторов
89
a+ (f), a (f). Вектор 0 называется вакуумным вектором*
(см. § 13).
Докажем, что два фоковских представления эквивалентны
друг другу в том'смысле, что существует унитарный опера-
тор а, отображающий пространство на пространство
и удовлетворяющий условиям аах (/) = аг (f)a, а0х =
= 03 (здесь at (j) — фоковское представление CR в про-
странстве Ж с вакуумным вектором 0;). В случае CCR ра-
венство аа± (/) = а3 (f)a должно выполняться на всюду
плотном подмножестве пространства J^x [не обязательно на
всей области определения операторов а1 (/)].
Приступим к построению оператора а. На векторах вида
«1 (А, ех) ... ах (fn, еп)0х (20.6)
определим оператор а, положив
“«1 (fi, ех) — (fn, en)0x = а2 (flt ех)...а3 (fn, еп)03.
Если х и у — два вектора вида (20.6), то <х, у> ==
= <осх, а«/>; это следует из того, что скалярное произведе-
ние векторов вида (20.6) можно вычислить, пользуясь лишь
CR и соотношением аг (f)Qt = 0. Обозначим Sx линейное
многообразие, состоящее из линейных комбинаций векто-
ров вида (20.6); оператор а по линейности продолжается на
Sx и удовлетворяет условию (х, у) = <осх, ау) для любых
х, у £ Sx. Из цикличности вектора 0; относительно операто-
ров «j (Д е) вытекает, что множество Sx плотно в 5^х, а мно-
жество S3 = aSx плотно в й^3. Оператор а продолжается на
Sx = по непрерывности; плотность множества S3 в Ж2
влечет за собой соотношение а$?х = Ясно, что на мно-
жестве Sx имеем аах (/, е) = а3 (f, е)а; это завершает доказа-
тельство эквивалентности двух фоковских представлений**.
Таким образом, достаточно описать одно фоковское пред-
ставление; это сделано в § 13 (и будет еще раз сделано в не-
сколько иных терминах позже).
* Пользуясь CR, легко проверить, что всякий вектор вида
a (fl, &i)...a(fn, en) 9 представим в виде линейной комбинации
векторов вида а+ (<рх) ... а+ (<рт)9 и, значит, 0 является цикличе-
ским вектором также относительно семейства а+ (/).
** Если первое представление CR является фоковским, а про
второе известно лишь, что в его пространстве Т?2 существует вектор
02, удовлетворяющий условию а2 (/) ё2 = 0, то точно так же
можно построить оператор а, удовлетворяющий условиям адх (f) =
= а2 (/) а, а0х = 92, но он будет, вообще говоря, не унитарным,
а изометричным (это утверждение использовано в § 19 для пост-
роения операторов S_ и S+).
90
Пространство фоковского представления CR (S3) будем
называть фоковским пространством и обозначать F (Й).
Пусть теперь предгильбертово .пространство S3 реализо-
вано как всюду плотное подмножество квадратично инте-
грируемых функций на евклидовом пространстве Ег [т.е.
S3 с L2 (£'')]• Тогда наряду с операторами а+ (/)), a(f)
удобно ввести операторные обобщенные функции а+ (х),
а (х) на Ег, полагая
a(f) = f f (x)“ (x)dx\ а+ (7) = f f (х) а+ (x)dx.
Функции а+ (х), а (х) удовлетворяют соотношениям
[а(х), a(i/)b = [п+ (х), а+ (у)Ь = 0; 1
[а(х), а+(у)]т = 6 (х, у); а(х)0 = О. J
Данное определение обобщенных операторных функций
а+ (х), а (х) буквально переносится на случай, когда S3 —
всюду плотное подмножество пространства L2 (X), где X =
= Er X В — совокупность пар (е, s), е£Ег — точка
евклидова пространства, a s£B — элемент конечного
множества В (тогда интегрирование по X понимается как
интегрирование по евклидову пространству и суммирование
по конечному множеству). Оно применимо и в еще более об-
щем случае, когда X— произвольное пространство с мерой,
но в такой общности оно здесь не понадобится. В дальней-
шей части этого параграфа под X следует понимать про-
странство с мерой, но при желании читатель может считать
просто, что X = Ег или X = Er X В.
Операторные обобщенные функции а+ (х), а(х) в случае
фоковского представления CR уже рассматривались в § 13.
В этом параграфе было показано, в частности, как выра-
жениям вида (13.3) можно придать смысл операторов, дей-
ствующих в фоковском пространстве. Для произвольного
представления CR выражению (13.3) легко придать смысл
в случае, когда фигурирующая в нем функция имеет вид
(13.4). Если f — произвольная функция, то ее можно пред-
ставить как предел функций fh вида (13.4) и оператор А,
соответствующий функции f, определить как предел опе-
раторов Ah, отвечающих функциям fh. Разумеется, это оп-
ределение оператора А нуждается в уточнении, поскольку
не указано, в каком смысле понимается предел функций
fh и операторов Ah. Не будем заниматься этими уточнениями;
заметим только, что в1 случае, когда S3 = & (Е3) и для любых
векторов и, v £ D функционал <а (/, e)w, у> непрерывно за-
91
висит от / в топологии пространства & (А3), пользуясь опе-
раторным аналогом теоремы о ядре (см. дополнение,
§Д.5), можно определить оператор (13.3) для функций
f(xlt ...» ХщЦу!, ..., Уп) ИЗ Пространства (£3(m+ny
В случае, когда ЗВ = Z? (X), всякий элемент Ф фоков-
ского пространства можно единственным способом записать
в виде
ф = 2 $ fn(xi...*п)й+(*1) ••• a+(xn)Qdx1 ... dxn, (20.8)
где функции fn (хъ ..., х„) — симметричные в случае CCR
или антисимметричные в случае CAR функции аргументов
хь ..., хп £Х; норма вектора Ф равна
2 П\ $ |/п(хъ ..., xjpdxj ... dxn\
обратно, всякой последовательности' /0, А (х), ..., fn (хп ...
..., хп), ... симметричных (антисимметричных) функций,
удовлетворяющей условию
2 «I $ ....xn)l2dxi ••• i/xn<oo,
соответствует вектор фоковского пространства. Это описа-
ние фоковского пространства проще всего получить, вос-
пользовавшись указанной в § 13 конструкцией фоковского
пространства в виде фоковских столбиков; достаточно убе-
диться, что фоковский столбик
Фо
Ф1 (*i)
Фп(*1. .... хп)
представляется в форме
Ф = 2 ’М*!’ •••> Ой+(*1) •••
... а+ (xn)0dxx ... dxn.
Доказанное утверждение можно сформулировать также
в несколько иных терминах. Именно, можно сказать, что
векторные обобщенные функции а+ (ху) ... а+ (хп)0, где
п = 0, 1, 2, ..., образуют обобщенный базис пространства
92
F (L2 (X)) в следующем смысле: каждый вектор из F (L2(X))
может быть разложен по этим векторным обобщенным функ-
циям [т. е. представлен в виде (20.8)1, и если коэффициент-
ные функции fn предположить симметричными (антисим-
метричными), то такое разложение единственно. (Позволяя
себе некоторую вольность, употребляем здесь слова «обоб-
щенный базис» не совсем в том смысле, который указан
в дополнении, § Д.7.) Обобщенные функции
Xk \ylt ..., «/;) =
= <Ла+ (У1) ...а+ (yf) 0, а+ (Х1) ...а+ (xs) 0>
носят название матричных элементов оператора А в обоб-
щенном базисе а+ (xj) ... а+ (хп)0.
В заключение приведем пример нефоковского представ-
ления CCR. Рассмотрим в пространстве F (L2(En)) опера-
торные обобщенные функции b (х) — а (х) + ср (х), Ь+ (х) =
= а+ (х) + <р (х), где ф £ — числовая обобщенная функ-
ция. Операторы b (х), Ь+ (х) определяют, очевидно, представ-
ление CCR (каждой функции f £ of сопоставляются опера-
торы
\f(x)b(x)dx = a(jf) + J f (х) q> (х) dx\
b+(f) = lf(x)b+(x)dx = a+(f) + \f(x) <p(x)dx).
Легко видеть, что это представление CCR может быть фо-
ковским лишь в случае, если функция <р квадратично ин-
тегрируема. В самом деле, пусть вектор g £ F (Е2(ЕпУ)
удовлетворяет условию
b (х)| = а (х)| + Ф (х)| = 0. (20.9)
Тогда
<В, а+ (х) 0> = <а(х) 0> = -ф (х) <|, 0>.
Для всякого вектора ££ F (L2 (£Д) функция а+ (х)0>
квадратично интегрируема, поскольку эта функция входит
в фоковский столбик, отвечающий вектору |*. Это озна-
чает, что в случае, когда функция ф L2 (Еп')> уравнение
(20.9) не имеет решений.
* Здесь было использовано то, что <£, 0> =/=0. Если <£, 0> =
= 0, то из соотношения <g, а+ (xj а+ (х2) ... а+ (хп) 0> =
= —ф (xt) <|, а+ (х2) ... а+ (хп) 0> с помощью индукции по п мож-
но вывести, что <£, а+ (х0 ... а+ (хп) 0> = 0 и, значит, 1 = 0.
93
Более широкий класс представлений CCR описывается
формулами
Ь (/) = а (ФП + а+ (Wf) + $ f (х) Ф (х) dx-
b+ (f) = a (47) + a+ (Of) + $ fW FW dx
(20.10)
[ради определенности будем считать, что f^^f(En),
(Еп), Ф и Т — операторы, действующие из простран-
ства of (Еп) в пространство L2 (/?*)].
Легко видеть, что соотношения (20.10) определяют
представление CCR в случае, если выполнены условия
ф*ф _ = 1;
Ф*Т — Т*Ф = 0,
где операторы Ф, Т определены формулами Ф/ = Ф/,
47 — yVf. Соотношения (20.10) можно записать также
в виде
6 (х) = $ Ф (у, х) а (у) dy + Jj Т (у, х) а+ (у) dy + f (х);|
( xj • 1 1 )
b+ (х) = $ 4f (у, х) а (у) dy + $ Ф (у, х) а+ (у) dy + f (x)J
где Ф (х, у) и Чг (х, у) — ядра операторов Ф и 4е.
Можно доказать, что определяемое формулами (20.10)
представление CCR будет фоковским в том и только в том
случае, если функции Т (х, у) и f (х) квадратично интегри-
руемы (см. [50], где доказано также аналогичное утвержде-
ние для случая CAR).
Описываемый формулами (20.11) переход от операторов
а+ (х), а (х) к операторам b+ (х), b (х), удовлетворяющим
тем же коммутационным соотношениям, называется линей-
ным каноническим преобразованием. Если операторы b+ (f),
b (/) порождают фоковское представление CCR, то по дока-
занному выше можно найти унитарный оператор U, удов-
летворяющий условию
Ua (DU-1 = b(D,
Ua+ (DU-1 = 6+ (D,
в противном случае такого унитарного оператора не суще-
ствует.
94
§ 21. Простейшие операторы в
фоковском пространстве
Выберем в пространстве 53 ортонормированный базис фй,
где индекс k пробегает множество М, и операторы а+ (фй),
а (<рй) в фоковском пространстве F (S3) обозначим at, ak.
Будем употреблять также обозначение a (k, е) = а®, где
е = ±1, считая, что ai = a (k, 1) = at, ак1 = a (k, —1) =
= Oft-
Рассмотрим в фоковском пространстве F (S3) операторы
Nk = atak.
Легко видеть, что все операторы Nk коммутируют между
собой. Найдем их общие собственные функции. Рассмотрим
сначала случай CCR. Тогда коммутационные соотношения
Nk с операторами at, at имеют вид
[^k, al\ = lal , l^ft, Oil— —
Если ф — общий собственный вектор операторов Nh, т. е.
А/'дФ = ад, то Nkatq = аг+А/йф=адг+ф при l=£k, Nkatq =
= at (Nk + 1) ф = (nk + 1)а^ф. Аналогично А<йагф =
= /гйагф при I =# k, Nkakfp = (пк— 1)ад. Из этого сразу
видно, что векторы вида ... ctkr 0, где щ — целые
неотрицательные числа, £, =/= k}, образуют полную орто-
гональную* (но не нормированную) систему общих собствен-
ных векторов операторов Nk, причем собственное значение
оператора Nk в состоянии at,' ... dk"r 9 равно nit если
k = и нулю, если k не совпадает ни с одним из kj.
Обратимся теперь к случаю CAR. Для операторов Nk
тогда выполнено соотношение Nl = Nk, из которого сразу
вытекает, что собственные значения Nk равны 0 или 1.
Далее, пользуясь равенствами Nhat — afNk, Nkat = atNk
при I =£k, atNh = 0, Nkak = 0 и Nkat = at (1— Nk),
ahNk = (1 — Nt)ak, можно рассмотреть действие операторов
at, ah на общий собственный вектор ф операторов Nh. Имен-
но, если Nk<p — nk<p и П; = 1, то at ср = 0, если же nt = 0,
то аг+ф — собственный вектор операторов Nh, причем
Nkat<p = nkat<p при I =/= k, Nkat<p = atq>. Аналогично при
nt = 0 имеем агф = 0, а при пг = 1 агф — собственный
вектор операторов Nh, причем = nha^ для I =t=k,
* Точнее говоря, два вектора такого вида либо совпадают,
либо ортогональны. Полнота построенной системы векторов выте-
кает из цикличности вектора 0 относительно семейства операторов
a+(f).
95
Nhakq> = 0. Отсюда ясно, что векторы ... а^0, где все
kt различны, образуют полную ортогональную* (не норми-
рованную) систему общих собственных векторов операторов
Nk, причем Nk.at ... ak§ = att ... и Nhatt ... akQ = 0,
если k не равно ни одному из kt. В целях единообразия со
случаем CCR будем векторы построенной полной системы
обозначать at?1 ••• помня, что в случае CAR числа
nt не могут быть больше единицы (т. е. «г = 0, 1).
Оператор Nk называется оператором числа частиц в
состоянии фА, а операторы at и ak — соответственно опе-
раторами рождения и уничтожения частицы в состоянии <рй.
Перечисленные свойства операторов Nk, at, ak согласуются
с этим названием. Оператор N = ^Nk = ^а^ак называ-
ется оператором числа частиц, состояние х£ F(33), удовлет-
воряющее условию Nx = пх, называется «-частичным.
Легко видеть, что эти определения согласуются с опре-
делениями § 13; в частности, множество «-частичных состоя-
ний совпадает с подпространством Fn. Отсюда следует, что
оператор числа частиц N не зависит от выбора ортонорми-
рованного базиса <рй.
Рассмотрим теперь гамильтониан
= = (21.1)
где (ой — действительные числа**. Заметим прежде всего,
что для этого гамильтониана гейзенберговские операторы
ah (/) = ехр ak ехр (—\Hof) и at (t) = ехр (i//o0 а£ X
X exp (—iHof) легко могут быть вычислены; в самом деле,
ясно, что операторы ak (/) = ak ехр (—i<oftZ) и at (0 =
= at ехр (icoft/) удовлетворяют гейзенберговским урав-
нениям
^P = i[H0, ak(t)]^-i^kah(ty,
da£ (i)
= at(t)] = ^hat(ty
dt
* Точнее, два таких вектора либо пропорциональны, либо ор-
тогональны.
** Оператор На является существенно самосопряженным опе-
ратором при любом выборе действительных чисел со* (это вытекает,
например, из того, что у оператора На имеется полная система
собственных векторов). В частности, существенно самосопряженным
является оператор числа частиц N. Как всегда, отождествляем
существенно самосопряженный оператор с его самосопряженным
расширением.
96
Оператор Но коммутирует с операторами Nkt- поэтому
построенная выше система векторов ... а* 0 яв-
ляется полной системой собственных векторов оператора
Г
Но с собственными значениями
«=1 1
Найдем основное состояние гамильтониана Но. В случае
CCR, если хотя бы одно < 0, спектр энергий не ограни-
чен снизу и основного состояния нет. Если же все <ой > О,
то все уровни энергии ^0 и основным состоянием является
вакуумный вектор 0. В случае CAR низший уровень энер-
гии равен Ео = ^ <ak, где сумма берется по множеству/,
fefcb
тех k, для которых < 0. Основное состояние Ф полу-
чается из вакуумного вектора 0 применением всех опера-
торов at, для которых k g L [т. е. Ф = (Пд^)0]. Если мно-
k£L
жество L бесконечно, то основного состояния не существует.
Введем операторы bh формулами bh = at при k £ L, bk =
= 'ak при k L. Операторы bt, bk удовлетворяют соотно-
шениям (20.5). Чтобы проверить, что они порождают пред-
ставление CAR, строго говоря, нужно определить операторы
b+ (f), b (/) для всех /£59; это нетрудно сделать, положив
b (Л = а+ (Pf) + а ((1 — P)f), где Pf = £ </, <pfe>q?fe. Га-
keL
мильтониан Но обычно бывает удобно выражать именно че-
рез операторы bt, bh. Если множество L конечно, то
#o = SI®fe|^+ bk+ 2 coft,
l
а основное состояние гамильтониана Но является вакуум-
ным вектором для операторов bk, т. е. удовлетворяет усло-
вию ЬкФ = 0. Если множество L бесконечно, то вектора,
удовлетворяющего условию ЬкФ = 0, в пространстве F (59)
не существует. Иными словами, операторы b+ (f), b (/) ре-
ализуют нефоковское представление CAR.
Операторы, действующие в фоковском пространстве
F ($), где ® = I? (X), удобно выражать через операторные
обобщенные функции ц+(х), а (х), удовлетворяющие соот-
ношениям (20.7). Утверждения этого параграфа могут быть
перенесены на операторы в пространстве F (59), выраженные
через а+ (х), а (х). В частности, можно ввести коммути-
рующие друг с другом операторы (операторные обобщенные
4 Зак. 82 97
функции) N (х) = tz+ (х)а (х). Оператор числа частиц N вы-
ражается через операторы N (х) формулой
N = f N (х) dx
(подробнее об операторе числа частиц см. в § 13). Полную
систему обобщенных собственных векторов (обобщенный
собственный базис) оператора
Но = ® (х) а+ (х) а (<) dx = § »(х) N (х) dx (21.2)
образуют векторы (векторные обобщенные функции)
a+ixj)... а+ (х„) 0.
Операторы вида (21.1), (21.2) принадлежат к числу про-
стейших в фоковском пространстве. Чуть более общие опе-
раторы (13.8) рассматривались в § 13. Несколько сложнее
анализируются гамильтонианы вида
И = § А (х, у) а+ (х) а (у) dxdyA~^B (х, у) а+ (х) а+ (у) dxdy+
+ § В (х, у) а (у) а (х) dx dy 4-
+ С (х) а+ (х) dx± §С(х)а (х) dx (21.3)
(квадратичные гамильтонианы). Они при некоторых усло-
виях могут быть приведены к виду (21.2) с помощью линей-
ного канонического преобразования (20.11). Весьма полное
исследование гамильтонианов (21.3) содержится в книге
[50J. Много тяжелее ситуация для гамильтонианов степени
более высокой, чем вторая, по операторам'рождения и унич-
тожения. Для них очень редко удается точно вычислить
собственные значения и собственные векторы, поэтому при-
ходится прибегать к приближенным методам. В гл. 11 бу-
дет изложен способ получения оператора эволюции и соб-
ственных значений гамильтониана Н = Но + gV, где Но =
— 'y(j)hakah, в виде степенных рядов по параметру g (тео-
рия возмущений).
В этом параграфе коснемся лишь вопроса, при каких
условиях формальное выражение
Я = 2 2 Г£,е1.....кт,гт<% ...ае™ (21.4)
т k(, ef т т т
определяет оператор в фоковском пространстве F (®) (здесь,
как всегда, al = ail = а+ (<рА), ай1 = ah = a (cpft), где <pft —
ортонормированный базис в ®, пробегают множество М,
8
= ±1). В случае CAR имеет место следующее утвержде-
ние: если числовой ряд
V v гт
^1. е„ .... кп,’ Е™
т kit в, т т
(21.5)
абсолютно сходится, то операторный ряд (21.4) также
абсолютно сходится (в смысле сходимости по норме) и оп-
ределяет ограниченный оператоо в F (S)). Доказательство
сразу получается, если заметить, что в случае CAR ||а*||
||ф/(|| = 1 и, следовательно, || ... || С 1.
Если к тому же выполнено условие
Г£.е....т.в,П=Г^-вго......(21.6)
(условие формальной эрмитовости), то оператор Н, опреде-
ляемый формулой (21.4), — самосопряженный (поскольку
ограниченный эрмитов оператор самосопряжен).
В случае CCR можно воспользоваться тем, что для
«-частичного состояния х имеют место оценки
II *11^ V^-IMI,
II aek\ ... а^х II < Уп - Vn + m-\ ||х|| (21.7)
(первая из них может быть получена из соотношения
II аь х li2 = ah х, х> < <2 at ah х, х> = {Nx, х> = п\\ х ||2,
k
вторая вытекает из первой).
Пользуясь оценкой (21.7), без труда убеждаемся, что
выражение (21.4) задает оператор с всюду плотной в F (.®)
областью определения, если это выражение полиноминально
(Г£,е1...km, вт = 0 при m>s) и числовой ряд (21.5) аб-
солютно сходится. В самом деле, очевидно, что ряд
т=1 ki,Bi т т т
сходится при х g Fn и, значит, в область определения опе-
ратора Н входит D — наименьшее линейное многообразие,
содержащее все пространства Fn. Если выполнено к тому
же условие формальной эрмитовости (21.6), то оператор Н
будет на многообразии D эрмитовым. Однако вопрос о том,
будет ли этот оператор существенно самосопряженным на D,
4* 99
оказывается нетривиальным; результаты в этом направле-
нии см., например, в [22]. Впрочем, интересные для физики
операторы оказываются ограниченными снизу и, следо-
вательно, определяют самосопряженный оператор с по-
мощью фридрихсовского расширения (см. дополнение, § Д.5).
Изучение оператора Н, определяемого выражением (21.4),
резко упрощается, когда П", Е1.Sm =£ 0 лишь при усло-
вии Bi + ... + ет == 0 (т. е. оператор Н коммутирует с опе-
ратором числа частиц N). Дело в том, что тогда можно рас-
сматривать оператор // отдельно в каждом из пространств
Fn. Дальнейшее расширение класса выражений вида (21.4),
которые определяют самосопряженные операторы, полу-
чается из замечания, что, прибавив к самосопряженному
оператору (например, к Но) ограниченный самосопряжен-
ный оператор, вновь получим самосопряженный оператор.
Не будем останавливаться на вопросе об условиях, при
которых выражение вида
// = 2 5 $ Г™ОД 8Х, хп, sn)a(xl, ej ...
т Е1, ...,ет
... а(хп, ejdx! ... dxn (21.8)
определяет оператор в пространстве F (®) = F (L2 (X));
отметим лишь, что для случая X = Ег некоторые результа-
ты в этом направлений содержатся в § 13.
В случае CAR оператор, задаваемый выражением (21.4)
или (21.8), называется ферми-четным, если Г"1 = 0 для не-
четных т. (Более общее определение ферми-четного опера-
тора см. в § 13.)
Оператор, соответствующий физической величине (в част-
ности, гамильтониан),- всегда должен быть ферми-четным
оператором.
§ 22. Нормальная форма оператора.
Теорема Вика
Будем говорить, что оператор С в фоковском простран-
стве F (®) представлен в нормальной форме, если он запи-
сан в виде
С = 2 Гт>„(^......km\lr, ... a} ati ... at (22.1)
m, n l m n
100
(здесь ah = a (<pft), где <pft — ортонормированный базис
в операторы рождения стоят левее операторов уничто-
жения, по повторяющимся индексам kit lj, как обычно, под-
разумевается суммирование). Сумма в написанной выше
формуле может быть бесконечной, тогда сходимость ряда
понимается как сильная операторная сходимость. Множест-
во индексов у операторов ак обозначим символом М. По-
скольку М счетно, можно отождествить М с множеством
натуральных чисел;.однако это не всегда удобно.
Разумеется, произведение любого числа операторов
at, o-i, взятых в любом порядке, так же, как и всякая ко-
нечная сумма таких произведений, легко записывается в нор-
мальной форме с помощью последовательного применения
CR. Можно показать, что всякий ограниченный оператор
записывается в нормальной форме, если только сходимость
в (22.1) понимать в слабом смысле.
Представление оператора в нормальной форме особенно
удобно при вычислении вакуумного среднего <-С0, 0>
оператора С: очевидно, что <С0, 0> = Го> 0 (свободному чле-
ну представления оператора С в нормальной форме).
Пусть Сь ..., Ch — операторы, записанные в нормальной
форме. Поставим вопрос: как записать в нормальной форме
произведение ... Ch этих операторов?
Прежде чем отвечать на этот вопрос, займемся более
простой (но в некотором смысле более общей) ситуацией.
Пусть Л1( ..., Ат, Вх, ..., Вп— операторы, обладающие тем
свойством, что коммутаторы [Аа, Вр] являются числами
(т. е. кратны тождественному оператору). Число ВрЛа =
— [Аа, Вр] назовем связкой операторов Аа и Вр. Произве-
дением В^... ВпА1 ... Ат с одной связкой В$Аа будем на-
зывать это произведение с исключенными из него операто-
рами Вр и Аа и включенным в него сомножителем ВрЛа-;
обозначать произведение со связкой ВрЛа, будем так: Bx...
... Вр ... ВпА1... Аа ... Ат. Под произведением Вг ... ВпА!...
... Ат с k связками B^Aai, ..., Вр^Лад будем понимать
произведение, из которого исключены операторы Вр„ ....
Bpft, Лй1, ..., Л«й и вместо них включены связки
Вр.Аа,, .... ВрйЛай. Таким образом, для того, чтобы за-
дать произведение ck связками, необходимо выбрать k опе-
раторов Вр„ ..., Bpft (порядок, в котором они записаны,
101
не играет роЛи) и каждому из этих операторов поставить
в соответствие один из операторов Alt...,An, следя за тем,
чтобы разным индексам |Д, соответствовали разные
индексы а1; ah.
Имеет место следующее утверждение, которое будем
называть теоремой Вика, хотя оно представляет собой
лишь простейшую форму этой теоремы:
Произведение ... АтВ1...Вп равно произведению
Вг ... ВпА^.. Ат, к котовому прибавлены слагаемые, рав-
ные произведению Вг ... ВпА1 ... Ат со всевозможными на-
борами связок.
Например,
А1А2В1В2 — В1В2А1А2 + В]В2А]А2 + В1В2А1А2
|_____________________________) 1___________!
+ В1В2А1А2 + В1В2Л1Д2 + В1В2А1А2 + В1В2Д1Д2.
Это утверждение интуитивно очевидно: при «перетаскива-
нии» операторов В$ налево пользуемся соотношением Л аВр=
.= В$Аа + В$Аа, поэтому при каждом перетаскивании
оператора Вр через один из операторов Аа из каждого сла-
гаемого возникает два: одно с тем же количеством комму-
таторов, что и в исходном слагаемом, а другое с количеством
коммутаторов на единицу большим. В результате получаем
нужный ответ.
Для того чтобы провести формальное доказательство,
надо сначала убедиться (непосредственно или с помощью
метода индукции по т), что
A J ... А тВ = В A j ... А т 4* ВА} ... А т + ВДу42 ... А т +
+ ВА1...Ат, (22.2)
I I.
т. е. проверить теорему Вика для п = 1. Далее можно вос-
пользоваться методом математической индукции по числу
операторов Вр; совершая шаг индукции, нужно исполь-
зовать формулу (22.2).
Рассмотрим теперь приведение к нормальной форме
произведения двух операторов К и L, записанных в нормаль-
ной форме; без ограничения общности можно считать, что
K = K(klt ..., МЛ, ..., 1п)а^ ... a^ai, ... а,п;
А-А(Л, .... рг| <71, qs)a^ - ар+гаЧ1 ...-а^
102
(по повторяющимся индексам здесь и в дальнейшем произ-
водится суммирование по множеству М).
Займемся сначала случаем CCR. Тогда, применяя к про-
изведению ati ... ainapt ... аРг теорему Вика, можно ска-
зать, что KL равно выражению
K(ki, ..., km\lt, ..., ln)L(pi, ..., pr\qlt ..., qs)X
Xat, ... а£та+ ... a^atl ... atnaqi ... aq^
к которому прибавлены слагаемые, получающиеся из этого
выражения с помощью всевозможных связок между опера-
торами ар. и ai, (напомним, что а^аг — [а/, ар] = 8Р1).
Например, если К ~ К (k\l)atai,
L = L (рь р2 1^, <72) а^ aqi.aq,, то
KL = к (k I /) L (Pi, р21 qt, q2) at а* а + аг a4l аЧг +
+ К | /) L (Pi, р21 qx, q2) at cfi af2 at a4l аЧг -ф
+ К (к I /) L (Pi, p21 qly q2) at ap\ a+t at aq, aq2 =
।____________________________________(
= К (k 11) L (ръ p2 | q., q2) at a* at a4l аЧг +
+ К (k | /) L (I, p21 <71, </.,) at a+ a41 aq, +
+ К (k 11) L (pi, 11 <?,, q2) at af, аЧ1 аЧг.
Функции К(К, ..., km\li, ..., ln) и L (р^ ..., pr\qt, ..., qs)
можно считать симметричными по каждой группе индексов.
В дальнейшем это предположение будем считать всегда вы-
полненным. Воспользовавшись этим, можно существенно
сократить число слагаемых в выражении для KL, поскольку
слагаемые, соответствующие одному и тому же числу свя-
зок, одинаковы. В рассмотренном примере, пользуясь вы-
сказанным только что соображением, можно объединить
одинаковые второе и третье слагаемые.
Приведение к нормальной форме удобно производить,
пользуясь графическим изображением операторов, предло-
женным Фейнманом. Оператор К = К (къ ..., km\li, ...
..., ln)at, актй1, ... at будем изображать диаграммой,
состоящей из одной вершины, в которую входит т пунктир-
ных линий и выходит п пунктирных линий (под линией
понимаем топологический отрезок, на котором выбрано оп-
ределенное направление). Такую диаграмму будем называть
103
звездой (рис. 1). Начало входящей линии будем называть
входным концом, конец выходящей линии — выходным кон-
цом. На входных концах поставим индексы klt km£ М,
на выходных концах — индексы 1Ъ ..., ln g М, в вершине
напишем функцию К (klt ..., km\lr, ..., /п). Оператор L
изображается аналогичной диаграммой.
Нормальную форму оператора KL можно тогда изобра-
зить совокупностью всех различных диаграмм, состоящих из
диаграмм операторов К и L, в которых некоторые из вы-
ходных концов диаграммы оператора К соединены (сплош-
ными) ЛИНИЯМИ С ВХОДНЫМИ КОН-
цами диаграммы оператора L;
на этих линиях напишем связки
\ ар at = [ah = 81р, где / —
----------индекс выходного конца, ар —
/'--------индекс входного конца, соеди-
.Xх к ненных рассматриваемой линией.
Направление на линии всегда
Рис- 1 будем считать от выходного кон-
ца к входному. Каждой такой
диаграмме сопоставим произведение, в котором верши-
нам диаграммы соответствуют написанные в них множи-
тели К (&U • • •» kт | /1, ..., /п) и L (pi, ..., рг | ^i, • •., Qs)i
где klt ...,кт,ръ ..., рг — индексы концов линий, вхо-
дящих в эти вершины, а 11У ..., ln, ..., ^ — индексы
концов линий, выходящих из них, всякой сплошной
линии соответствует написанная на ней связка apai — 81Р
и, наконец, пунктирным линиям со свободным концом.соот*
ветствуют операторы а£ или ak в зависимости от того, будет
ли рассматриваемая линия входящей или выходящей. По
индексам всех концов подразумевается суммирование по
множеству М. Операторы а£, at считаются расставленными
в нормальном порядке.
В самом деле, нетрудно проверить, что оператор, сопо-
ставленный диаграмме по описанному рецепту, совпадает
с одним из слагаемых, фигурирующих в данном ранее пред-
ставлении произведения операторов К и L в нормальной
форме. Поэтому оператор KL равен сумме операторов, сопо-
ставленных всем возможным диаграммам (или, как говорят
коротко, сумме диаграмм).
По индукции без труда получаем теперь рецепт для при-
ведения к нормальной форме произведения г операторов
Къ ..., Кг, где Kt = Kt (ki, ..., kmi\lly ..., ln)a^ ...
104
... at .... 0(n,. Нормальная форма оператора Ki ... К
изображается суммой диаграмм, состоящих из диаграмм опе-
раторов Ki, ..., Кг и некоторого числа линий, каждая из ко-
торых соединяет выходной конец диаграммы оператора К,
с входным концом диаграммы одного из операторов К]
(здесь i, j = 1; ..., г; i <_ j). Рецепт, по которому каждой
диаграмме ставится в соответствие оператор, остается преж-
ним.
Если оператор Кг=2КГ’", где КТ’п=КТ’п (kr,...
т, п
..., ln)a£t...atmait ... atji, то диаграммой оператора
Kt называется совокупность нескольких звезд-диаграмм
«тИ, П
операторов д.
Нормальная форма оператора Ki ... Кг представляется
тогда, очевидно, совокупностью диаграмм, состоящих из
г звезд—по одной звезде из диаграммы каждого из операто-
ров Къ •••, Кг— и нескольких линий, соединяющих выход-
ной конец звезды из диаграммы какого-либо оператора Ki
с входным концом звезды из диаграммы какого-либо из сле-
дующих операторов Kj-
Описанная диаграммная техника применима для приве-
дения к нормальной форме произведения операторов в слу-
чае CCR. Совершенно аналогичная диаграммная техника
может быть построена и в случае CAR; единственное отли-
чие заключается в появлении перед диаграммами знаковых
множителей. Не будем подробно останавливаться на пра-
вилах, по которым пишутся эти знаковые множители; сфор-
мулируем аккуратно лишь аналог теоремы Вика для рас-
сматриваемого случая.
Пусть Alt ..., Ат, Blf ..., Вп — операторы, обладающие
тем свойством, что антикоммутаторы [Ла, Вр]+ являются
числами. Число ВрАа = [Bp, Да]+ назовем связкой опера-
торов В@ и Аа. Произведение Bt... BnAr ... Ат ck связками
B^tAai, ..., B^kAak определяется как оператор, получаю-
щийся, если исключить из произведения Вг ... BnAt ... Ат
операторы В^, ..., Bpk, Аа1, ..., Аа вместо них вклю-
чить связки B^Aai, ..., BpkAak и умножить результат
на знаковый множитель (—1)т'1+*+ц) Где X — сумма длин
всех связок, р,— число пар пересекающихся связок (длиной
связки ВрАа называем число п — Р + а, две связки В^АЛ
105
и называются пересекающимися, если (|У — р)(а'—
-^Г>0).
Введя такое определение, можно сформулировать теоре-
му Вика в форме, пригодной в обеих рассматриваемых нами
ситуациях.
Произведение Аг ... Ат BL ... Вп равно сумме произведе-
ний В} ... ВпАг ... Ат со всеми возможными наборами свя-
зок (здесь не исключается случай, когда число связок равно
нулю).
Например, в случае, если антикоммутаторы [Ла, Вр]+
являются числами,
А1А2В1 В2 = (— I)2-2 В1В2А1А2 + (—1)2' 2+2£ В2 А лч
1________________________________________________1
+ 1 )2• 2 + 3 В1 в2 А1 л2 + (_ J)2.2 В1 Вг дА2 +
1______I -----'
+ (-l)2-2+2BiB2XiX2 + (_1)2.2 + 4BiB2yliyl2 +
+ (-l)2’2 + 4+1B1B2X1X3.
Для оператора, действующего в фоковском пространстве
F ($f), где S3 — 1_г (X), под представлением в нормальной
форме понимается представление в виде
А = S \km>n(xi...........................................................хт\у!.........................yn)a+(xj ...а+(хт)х-
ха(У1.) ... а (уп) d/,lxd'‘у
(22.3)
[здесь X — пространство с мерой, а+ (х), а (х) — оператор-
ные обобщенные функции, удовлетворяющие условиям
(20.7)1. Развитая выше диаграммная техника применима
также для того, чтобы представить в нормальной форме про-
изведение операторов, записанных в виде (22.3). Единствен-
ное изменение, необходимое в рассматриваемом случае,
состоит в том, что роль индексов k£M теперь играют эле-
менты пространства X, соответственно суммирование по
106
множеству М заменяется интегрированием по пространству
X*.
Применим доказанные выше результаты для того, чтобы
получить некоторые полезные соотношения. Определен-
ности ради будем рассматривать случай CCR.
Прежде всего вычислим скалярное произведение
< а+ (Л)... а+ (fm) 6, а+ (gj ...а+ (gn) 0> =
= <a(gn)... a (^) а+ (ft)... а+ (fm) 0,0>.
Оператор a (gn) ... а (gj) а+ (Д) ... а+ (fm) можно привести
к нормальной форме с помощью теоремы Вика; он равен
сумме произведений а+ (Д) ... а+ (fm)a(gn) ... «(й) со всеми
возможными наборами связок. Вспоминая, что вакуумное
среднее оператора равно свободному члену представления
этого оператора в нормальной форме, видим, что рассматри-
ваемая величина равна сумме таких произведений а+ (/у) ...
... a+(fm) a (gn) ... a(gs) со связками, в которых все операто-
ры связаны (т. е. т = п равно числу связок). Заметив, что
а+ (ft)а (gi) = [я (&), а+ (ft)l = <gj>
} _ I
получаем нужную нам формулу
< а+ (Л) ... а+ (fm) 0, а+ (gj . .. а+ (gn)ff) =
= 6"S<fi,gG> <f2.gG> • • • <Ugim> (22.4)
[сумма берется по всем перестановкам Р — (1Ъ ..., tm)l.
Из формулы (22.4) вытекает равенство
< а+ (xt) ...а+ (хт) 0, а+ (у±) ...а+ (уп) 0> =
=-Х2 6 (xlt ylt)... Ь(хт, yim), (22.5)
* Полезно отметить, что в случае, когда в пространстве 33
выбран ортонормированный базис (рь, где /г — Л1, естественно стро-
ится изоморфизм пространств S3 и L2 (М) [множество М превраща-
ем в пространство с мерой, считая, что мера подмножества равна
числу его элементов; тогда интеграл от функции f (k) по множеству
равен 2 f (£)!• Это замечание позволяет утверждать, что запись
k£M
оператора в виде (22.1) представляет собой частный случай записи
оператора в виде (22.3); соответственно, описанная только что диа-
граммная техника — обобщение развитой выше техники.
107
где а+ (х), а (у) — операторные обобщенные функции, удов-
летворяющие соотношениям (20.7).
Пользуясь соображениями, высказанными в этом пара-
графе, можно найти связь между коэффициентными функциями
X’m.nte, ..., Xml У±..Уп), фигурирующими в представлении опе-
ратора А в виде (22.3) (в нормальной форме) и матричными эле-
ментами оператора А в обобщенном базисе а+ (xj ... а+ (хт) 0. Для
этого можно, например, привести оператор Аа+ (у^ ... а+ (уп) 0
к нормальной форме с помощью теоремы Вика, а затем вычислить
матричный элемент
Ат, п (*1.....*тп| У1, • • •, Уп) — <Аа+ (у,).. ,а+ (уп) 0, а+ (х,) ...
• • а+ (хт) 0>,
пользуясь формулой (22.5). В результате получается следующая
формула:
Am, п (xi, • • • , хт | У1, • • • > Уп) —Кт, п (*1, ..., Хт | yi, ...
..., t/n)^!n! + S Кт-1, п-1 (х1> • •, Xi-i, xi+i, . ..
i. i
• хт\У1.......У]-1, Уз+ъ •• •, Уп)Ь(х1— У]) (п— 1)! (п—1)! + ...
• ••+ 2 Кт-г, n—r (Xj,t ёл ly/t/ёВ) X
А, В, а -
X п S(xi—Уа(г))(т—г)! (п—Г)! + ...
ieA
(здесь А и В состоят из г элементов, А с{1...т}, Вс{1,..., п),
а — взаимно однозначное соответствие между А и В, сумми-
рование производится по всевозможным А, В, a; Km-r, n-r (х1,
t € А \у], j В) обозначает функцию Кт-г, п-r аргументов xi и z/j,
подчиненных условию i 6 A, j 5 В).
В заключение этого параграфа приведем некоторые по-
лезные определения. Пусть К и L — операторы, записан-
ные в нормальной форме:
т, п J
... а+ (km) a(ZJ ... a(ln)dmkdnl\
tn, n J
...a+ (kmfaUJ ...a(ln)d"*kd"l.
Нормальным произведением операторов К и L в случае
CCR называется оператор
2 ..............in)Lr,s(pi,-->
...,Pr\qi, .-,qs)a+ (ЙО ... a+ (km) a+ (^)... a+ (pr) a (I J...
-a (In) a (<7i) • • • a (qs) dm kd“ ldT pds q,
108
а в случае CAR — оператор
N(KL)= 2 (-irfKm>n(^-^m|/i................ln)LriS(P1>...
tn» nt rt s J
t..,pr[q1,...,qs)a+ (kt) ...a+ (km)a+(Pl)...a+ (Р1)а(1г) ...
...a (ln) a (Qx) ...a (qs) dm kdn ldr pds q
(вместо символа N (KL) для нормального произведения при-
меняется также символ :/(L: ). Иначе говоря, нормальное
произведение получается, если привести произведение K.L
к нормальной форме по описанным выше правилам, и от-
бросить все слагаемые, содержащие хотя бы одну связку
(т. е. отбросить все .диаграммы, содержащие хотя бы одну
сплошную линию). Нормальное произведение п операторов
Ai, ..., Кп можно определить по индукции:
N (Ai An) = N (N (Аь ..., Ап-1)Ап).
Нормальной экспонентой оператора А называется оператор
А (ехр А) = 2
п—О п-
§ 23. Диаграммная техника
Рассмотрим гамильтониан Н = Но + gV (/), где
Я0 = 2е(£)а£ай; (23.1)
V (t) — 2 2 ®т, п (^1> • •> | Pi, •• •> Рп | 0 ^kl ••• ^km X
т, п k., .... к1П
Р‘.Рп
X aPl... аРп
(здесь at = а+ (<pft), ah = а (<рЛ) — операторы в фоковском
пространстве F (&), соответствующие полному ортонорми-
рованному базису <pfe £ S3, индекс k пробегает множество М).
Все рассуждения в этом параграфе проводятся ради опреде-
ленности для случая CCR; однако они без труда переносятся
на случай CAR (в случае CAR гамильтониан Н, как всегда,
предполагается ферми-четным, т. е. считается, что каждое
слагаемое в операторе Н содержит четное число операторов
а+ и а (/и + п четно)).
Используя представление оператора S (/, Q в виде
Т-экспоненты (14.4) и теорему Вика (§ 22), построим диа-
109
граммную технику, с помощью которой можно написать
в нормальной форме разложение оператора S (/, /(|) по
степеням g.
Напомним, что звездой называем диаграмму, состоящую
из точки, в которую входит т линий и из которой выхо-
дит п линий. Линии, принадлежащие звезде, изображаются
у пунктиром (на рис. 1 изображена
звезда с тремя входящими и дву-
мя выходящими линиями).
Диаграммой оператора S
будем называть совокупность
нескольких звезд и нескольких
ребер (направленных сплошных
линий, каждая из которых начи-
нается в выходной вершине ка-
кой-либо звезды и кончается во
входной вершине другой звезды).
Условимся считать, что две ли-
нии, принадлежащие диаграмме,
могут иметь только одну общую
вершину и не могут иметь общих
внутренних точек. Две вершины,
принадлежащие одному ребру,
не могут принадлежать одной
и той же звезде.
Вершины, принадлежащие
ребрам, будем называть внутрен-
ними, остальные вершины внеш-
ними.
Все вершины диаграммы бу-
дем считать перенумерованными
таким образом, что вершины,
принадлежащие одной и той же
звезде, нумеруются соседними
числами. Две диаграммы считаем
одинаковыми, если существует
топологическая эквивалентность
между этими диаграммами, при которой вершины с одина-
ковыми номерами соответствуют друг другу.
На рис. 2 изображены примеры диаграмм. Диаграммы а
и б топологически эквивалентны, но различны, диаграммы
а и в одинаковы.
Каждой диаграмме поставим в соответствие оператор
с помощью следующей конструкции. Будем считать, что
НО
каждой вершине диаграммы соответствуют индекс kt^M.
и действительное число /г (время), причем вершинам одной
звезды соответствует одно и то же время (время этой звезды).
Каждой звезде сопоставим функцию vm, п (kt, ..., km\p1, ...
pn|Z), ПЮ t — время этой звезды, klt ..., km — индексы
входных вершин этой звезды, plt ..., рп — индексы выход-
ных вершин, каждому ребру сопоставим функцию
ехр (— i е (^) (ir— tj) 8^ 0 (^—/2),
где индекс £ М и время соответствуют началу ребра,
ki £ М и tz —• концу ребра, каждой свободной входной вер-
шине сопоставим оператор а£ (Z) = ехр (is (k)t)a£, свобод-
ной выходной вершине — оператор ah (Z) = ah ехр (—ie(^)Z)
(k и t — индекс и время, соответствующие вершине).
Всей диаграмме сопоставим оператор, получающийся из
произведения функций, соответствующих звездам и ребрам
диаграммы, и операторов, соответствующих внешним вер-
шинам, суммированием по индексам всех вершин по мно-
жеству М и интегрированием по временам всех звезд по
интервалу tQ t sg: tv (Операторы считаем расположен-
ными в нормальном порядке.) Кроме того, в оператор, со-
поставленный диаграмме, условимся включать множитель
, где п — число звезд.
Запишем, например, оператор, соответствующий диа-
грамме а рис. 2:
2 5 ^2 dt3 1>1 2 (&1 | kz, k3 I ZjJ О2 1 (&4, k5 I ka |/2) X
X l>2,i (ke, k11 kg | Z3) exp ( is (&3) (/x Z3)) 6fc3 e (j t3) x
X exp (—i e(&2) (Zi~ Z2)) 6^0 (Zj —tj exp (—is (&e) (Z2—t3)) X
X б*; 0 (/,—13) exp (i s (kJ tx + i e (kJ t2—
— ie(&9) tj ala£ak,.
Покажем, что оператор S (t, tj может быть представ-
лен в виде суммы всех различных диаграмм (т. е. в виде суммы
операторов, соответствующих этим диаграммам). Разумеет-
ся, это высказывание (и другие аналогичные высказывания)
означает лишь, что сумма диаграмм дает разложение опера-
тора S (/, /0) в ряд по g (без всяких утверждений о сходи-
мости этого ряда).
111
Перед тем, как переводить к доказательству этого утвер-
ждения, сделаем несколько замечаний о структуре диаграмм-
ного представления оператора S (/, /0) и рассмотрим пример.
Отметим прежде всего, что можно не рассматривать диаграм-
мы, содержащие п звезд, соединенных в циклическом поряд-
ке ребрами. (Говорят, что п звезд соединены в циклическом
порядке ребрами, если их можно перенумеровать так,.что
для каждого 1, 1- i ^п, существует ребро, начинающееся
в вершине t-й звезды и кончающееся в вершине (I + 1)-й
звезды; при этом (и + 1)-я звезда отождествляется с пер-
вой.) В самом деле, пусть времена этих звезд обозначены
...,тп; тогда сплошные линии вносят множитель 0 (тх—
— т2) ... О (тп_! — тп) 0 (т„ — тх), и, следовательно, в ин-
теграле, определяющем нашу диаграмму, подынтегральное
выражение не равно нулю лишь при тх = т2 = ... = т„,
что обеспечивает равенство нулю интеграла.
Легко убедиться, что двум топологически эквивалент-
ным диаграммам соответствует один и тот же оператор, по-
этому обычно рисуют лишь одну из класса эквивалентных
диаграмм и умножают ее на число эквивалентных ей диа-
грамм.
Рассмотрим в качестве примера гамильтониан системы
нерелятивистских тождественных бозонов в ящике объема
Ls: И = Но + V, где
На — л, - di dk",
2т
(гУ 2 (ki-P2) № х
2 ' L ' k„ k2, pi, р2
х dit di2 dpt dp2,
k, kb k2, Px, p2 пробегают решетку в трехмерном простран-
стве с шагом 2n/L.
Напишем слагаемые, соответствующие в разложении ади-
абатической S-матрицы Sa диаграммам рис. 3. Первой из
этих диаграмм отвечает оператор
оо
-ЯтУ f 2 Wi-pM+P:exp(-a|T|)x
\ L. I J . 1
—оо ki. k2. Р1- Ра
X «Й (т) йк+2 (т) аР1 (т) аР2 (г) dr =
112
1 . 2л V
1
kt, к2, Р1, р2
2а . ... .. ..
—---------------у-у--- а^а^а^ар..
( __ _ Plf+ct2
\ 2m 2т 2т 2т /
Оператор, соответствующий второй диаграмме, имеет вид
2 2 т(тУ^<к1~р^х
л» •/ , , /
к,, к2. р„ р3 кх, к2. Pi. р2
X 6pi^₽: ехр (—а I тх I) ехр i (тх—т2)) 6^ 6 (тх—т2) х
xexpf— i^Чтх—т2Йе(тх—т2) 6^?/?- (к'—р^)6р^р? X
X ехр (—а | т2 [ )ак+, (тх) < (тх) (т2) ар'-(т2)
(по кг, Pt и к/, р/ производится суммирование по решетке).
Третья диаграмма эквивалентна второй; ее можно, сле-
довательно, учесть, просто поставив множитель 2 при вто-
рой диаграмме.
Дальнейшее сокращение числа диаграмм, которые не-
обходимо вычислять, может быть достигнуто, если заметить,
что оператор, соответствующий несвязной диаграмме, ра-
вен нормальному произведению операторов, отвечающих ее
связным компонентам.
Приступим теперь к вуводу диаграммного представле-
ния оператора S (t, t0). Прежде всего заметим, что для пред-
ставления в нормальной форме оператора V(tx)... V (тп)
может быть использована диаграммная техника, развитая
113
в § 22, с небольшими изменениями. (Для того чтобы в этом
убедиться, достаточно воспользоваться формулой
V (т) = ехр (i Но т) V (т) ехр (— i Но т)=
= 2 2 .....km\plt ..., pn\r)atl (т)...
т. п ki, .... km
P^....рп~
... aim (т) aPl (т)... аРп (т) =
ХРт,п(А1, Pi..................Рп\х)а^ ..atTaP1 ... а„п.)
Опишем подробнее диаграммное представление оператора
V (rj ... V (тп). Оно состоит из диаграмм, каждая из кото-
рых представляет собой совокупность п звезд и нескольких
ребер, направленных в сторону возрастания номера верши-
ны (напомним, что вершины диаграммы считаем пронумеро-
ванными).
Каждой вершине диаграммы сопоставляется индекс
k g М. Каждой входной (выходной) свободной вершине
соответствует оператор at (тг) [соответственно, ah (тг)[,
где k — индекс, сопоставленный вершине; i — номер звез-
ды, которой принадлежит вершина; t-й звезде соответствует
функция vm> п (/гх, ...,йт|л, ..., Рп|тг), где &!, ..., /гт(Рх, ...
...., Рп) — индексы входных (выходных) вершин звезды;
ребру отвечает функция ехр (—ie (&)(тг—т,))6/, где й, / —
индексы начала и конца ребра; i, j — номера звезд, кото-
рым принадлежат начало и конец ребра. Оператор, соот-
ветствующий диаграмме, получается из произведения опе-
раторов и функций, сопоставленных свободным вершинам,
звездам и ребрам, суммированием по индексам всех вер-
шин. (Операторы располагаем в нормальном порядке.)
Соображения, высказанные в § 22, показывают, что опе-
ратор V (тх) ... V (тп) равен сумме операторов, соответствую-
щих всем различным диаграммам.
Из указанной только что диаграммной техники для при-
ведения к нормальной форме оператора V (тх) ... V (тп)
без труда получается диаграммная техника для приведения
к нормальной форме оператора Т (V (тх) ... V (тп)), где
все времена различны. Она отличается от диаграммной тех-
ники для оператора V (тх) ... V (тп) тем, что в ней рассматри-
114
ваются произвольные диаграммы с п звездами (без ограни-
чения на направление ребер), а ребру сопоставляется функ-
ция ехр (—is (й)(тг —Т;))6/0 (тг — Т;). В самом деле, мно-
жители 0 (тг — Tj), дополнительно включенные в функции,
сопоставленные ребрам, равны 1 для диаграмм, в которых
ребра идут в направлении убывания времени, и обращают
в нуль все остальные диаграммы. Это означает, что те из опи-
санных диаграмм, которые не равны нулю, совпадают с диа-
граммами из диаграммного представления для V (т,,) ...
.,. V (т(- ), где t1( ..., ti( — перестановка, для которой
Тц > ... > Т/п. Поскольку V (т(1) ... V (т<п) — Т (V (т^ ...
... V (тп)), это доказывает нужное нам представление.
Для того чтобы получить диаграммное представление
оператора S (/, /0), достаточно теперь сослаться на выраже-
ние этого оператора в виде Т-экспоненты (14.4) и отметить,
что в интеграле по т1( ..., несущественно значение подын-
тегральной функции на множестве, где хотя бы две из пере-
менных Tj, ..., тп совпадают.
Диаграммное представление оператора S (/, t0) легко
обобщить на случай, когда индекс k пробегает произвольное
пространство с мерой X. Точнее говоря, рассмотрим фо-
ковское пространство F (L2(X)), где X — пространство с ме-
рой, и в этом пространстве операторные обобщенные функ-
ции а+ (k), a (k), удовлетворяющие соотношениям
[и (й), а (&')] = [и+ (й), а+ (&')] = 0;
[a (k), а+ (&')! = § (k, k'); a = 0.
Фиксируем гамильтониан Н = Но.+ gV (0, где
Но = J е (k) а+ (k)a (k)dk-,
V(i) = 5 n(^i...........km\plt ..., pn\t)a+(ki) ...
... a (pn) dm kdtl p, (23.2)
и поставим задачу о приведении к нормальной форме опе-
ратора S (/, /0). Для решения этой задачи строится диаграм-
мная техника, совершенно аналогичная описанной выше.
Единственное отличие состоит в том, что каждой вершине
диаграммы вместо индекса k £ М сопоставляется точка
k f X и суммирование по М заменяется интегрированием
по X.
ГЛАВА 7
ФУНКЦИИ УАЙТМАНА И ГРИНА
§ 24. Функции Уайтмана
В этой главе будем считать, что в гильбертовом простран-
стве Ж заданы гамильтониан Н с основным состоянием Ф
и семейство операторов {а (Х));.е.л, замкнутое относительно
операции эрмитова сопряжения (точнее, будем считать, что
все операторы а (X) определены на всюду плотном множестве
РсЖи для каждого оператора а(Х) существует оператор
а (%), удовлетворяющий условию <а (Х)х, у> = <х, а (Х)у>
при любых х, y£D). Символом a (fa, t) обозначены гейзен-
берговские операторы а (X, t) = ехр (iHt)a (X) ехр (—iHt).
Будем считать, что операторы а (X) и ехр (iHt) перево-
дят множество D в себя. Отметим, что при сделанных пред-
положениях операторы а (Хх, ... a (Xn, tn) также пере-
водят множество D в себя и
(а (\, /х) ... а (Кп, /„))+ = a+(fan, tn) ... а+ (^ =
= a (Xn, tn) ...а (fat, /х).
Будем предполагать, что основное состояние Ф принадлежит
множеству Z); его энергию обозначим через до-
определение. Функцией Уайтмана wn (Ах, tn)
гамильтониана Н называется среднее значение оператора
d (^1> ^1) ••• # (^n> tn}
по основному состоянию Ф гамильтониана Н:
wn (Хх, 4, ..., Xn, tn) = <а (Хх, /1) ... а (Кп, tn)&, Ф>.
Все дальнейшее содержание этой главы без труда пере-
носится на случай, когда а (X) — обобщенная операторная
функция параметра X. Тогда, естественно, функция Уайт-
мана будет обобщенной функцией переменных ..., Кп.
116
Нетрудно доказать следующие свойства функций Уайт-
мана:
1, Инвариантность при сдвиге по времени
wn (Хх, tr + т, X(l, tn + т) = wn (Xx, tu X„, tn). (24.1)
2. Эрмитовость
--An, tn)^wnfin,tn, .... Xx, tj. (24.2)
3. Положительная определенность. Пусть fn 4, ...
..., Xn, tn) — отличная от нуля лишь для конечного числа
значений п последовательность функций, каждая из кото-
рых равна нулю для всех, кроме конечного числа, значений
Xlf tlt ..., Х„, tn- Тогда имеет место неравенство
2 h, Xm, tm) fn (щ, ?!, .... H„, r„) x
m, П, Л;, Ц.,, t;, T.
c J 1 J
XWm+n G4 ? ^1> •••> bi» •••> Hi, TX) > 0 (24.3)
(сумма по Хь И; €Л и no tn, n = 0,1, — oo <; tt ,tj< oo).
4. Спектральность
f exP (—i®a)u)n (Xi, tlt..., Xft, th, Xft+1, tk+1 +
+ a,Xn, tn + a)da = 0, (24.4)
если число и + Eo не принадлежит спектру гамильтониана
Н (в частности, соотношение (24.4) выполнено для любого
св < 0).
Доказательство свойства 1 получается сразу, если заме-
тить, что ехр (—1Ш)Ф = ехр (—iEg/)®. Второе свойство
вытекает из соотношения <а (Хх, tr) ...а (Хп, Д)Ф, Ф> =
= <Ф, а (Хп, /п) ... а (Х^ /Х)Ф>. Свойство 3 представляет
собой неравенство (АА+Ф, Ф> 0, примененное к опера-
тору
А = 2 /т(^1А1, ••• AmAm)a (^1А1) •••
т, ti
(сумма по т = 0, 1, ...; Хг £ Л; —оо < ti < оо).
Свойство 4 следует из соотношения
§ехр(—i Ра) <ехр (i Ва) Ya) da = 0,
117
справедливого, если число |3 не принадлежит спектру само-
сопряженного оператора В (см. дополнение, § Д.5) (нужно
положить В = Н, Ч^ = ОФ, Ч^ = V+Ф, где
U = а (Лй+1, A+i) (&п> tn), V — a (^i, ti) ••• ci /a))-
Если -гамильтониан H действует в пространстве некото-
рого представления CR [например, в фоковском пространст-
ве F (S3)], в качестве семейства операторов а (X) естественно
выбрать семейство a (k, е) операторов рождения и уничто-
жения, построенных по некоторому орто нормированному
базису <pft Е ® [здесь k Е М, е = ±1, a (k, в) = а (<pft,e)].
Таким образом, функциями Уайтмана гамильтониана Н,
действующего в пространстве некоторого представления
CR относительно ортонормированного базиса <pft простран-
ства 5В, называются функции.
wn (kr, е1( ..., kn, e„, Q =
= <«(£i, en tr) ...a(kn, En, /ДФ, Ф>.
В случае CAR операторы a (k, e, t) ограничены, и, сле-
довательно, определение функций Уайтмана всегда имеет
смысл. В случае CCR будем всегда считать, что основное со-
стояние Ф принадлежит области D определения операторов
a (k, в) и что область D инвариантна относительно операто-
ров ехр (iHt).
Для гамильтонианов, действующих в пространстве пред-
ставления CR, укажем еще одно свойство функций Уайт-
мана.
5. Перестановка аргументов. Пусть функция Wn} по-
лучается из wn перестановкой (ki, eit t}) и (k1+1, ei+1, /i+1)
С изменением знака в случае CAR. Если t, = ti+1, то
еь fu ..., kn, En, tn) =
= wn(klt Ё,, A, ..., kn, e„, Q+A^+16ft.,fti+1X
X®n-a(^b Б1> Л» •••> ^i-l, 8j-l> ti-11 ei+2< ti+2' •••>
kn, e„, tn) (24.5)
[здесь ASS' — матрица, фигурирующая в формуле (20.3)1.
В самом деле, из коммутационных соотношений в форме
(20.3) получаем
[a (k, е, t), a (k', б', ^)]т = [a (k, s), a (k', е')]т = Al 8kk-,
откуда сразу следует (24.5).
118
Функции Уайтмана без труда могут быть вычислены для
гамильтониана Но — (k)a+ (k)a (k) в фоковском про-
странстве, поскольку для этого гамильтониана a (k, в, t) =
= ехр (iem (k)t)d(k, е), и, следовательно,
Wn(klt 8Х, Д, ..., kn, E„, tn) =
= ехр(1(е1<й(й1)Д + +ena(kn)tn)) (a(kly ej ...
••• a(kn, е„)Ф, Ф>.
В случае CCR оператор Но ограничен снизу при условии
0; тогда Ф = 0 (см. § 21) и функция w2 (klt е1( Д,
/г2, в2, t2) лишь в случае ех = —1, е2 = 1 может быть не
равной нулю; в этом случае
Ш2 (&!— 1, k2— 1, t2) =
= 8kli k2 exp (—i ft) (kr) Д + i ft) (k2) t2).
В случае CAR основное состояние Ф = П а+(й)0; в этом
<A(k)<0
случае функция w2 tr, k2, e2, Д) не равна нулю,
лишь если выполнены условия е2<й (&2) > 0, (kf) < 0;
тогда
u.'2 (^i > ^2 > ё2, Д)2=2 exp (i e^ (0 (^1) Д i e2 ft) (Д2) Д) •
Иначе говоря,
u>a(&i, e1; tu k2, e2, Д) =
= 0 (e2 co (&2)) 0 ( — ex w (/Д)) k2 X
X exp (i (ex ft) (^1) Д + e2 ro (k2) t2)).
Для гамильтонианов, действующих в пространстве пред-
ставления CR (.®), можно дать и более инвариантное опре-
деление функций Уайтмана, не зависящее от выбора базиса
в пространстве 3%. Именно, функцию Уайтмана wn (Д, ех,
Д, fn, е„, Д>), где Д С®, е; = ±1. — оо<Д<оо, оп-
ределим как среднее значение оператора а (Д, ех, Д) ...
...a (fn, е„, tn) по основному состоянию Ф гамильтониана Н
(wn — линейный функционал от Д, ..., Д). Если про-
странство Sit = L2(X), то оператор a (f, е) можно записать
в виде a (f, е) = J f (х)а(х, e)dx, где а (х, в) — обобщенная
операторная функция (х С X, е = ±1). Легко видеть, что
Wn(fi< £1. Д. fn, е», Д) =
= УЛ*1) ••• fn(xn)wn(x1, Ei, Д, ..., хп, Еп, tn)dXi ... dxn,
119
где wn (%!, Ej, A. ...,xn, &n, tn) — функция Уайтмана, постро-
енная по обобщенной операторной функции а (х, е) и га-
мильтониану Н.
§ 25. Функции Грина
Функции Грина определим для гамильтонианов, дей-
ствующих в пространстве представления CR. Как и в § 24,
пусть a (k, е) = a (<pft, е), где <pft— ортонормированный
базис в ®.
Введем Т (a (kr, еп t^...a(kn, е,г, AJ) [Т-произведение
гейзенберговских операторов a(klt е1( A)-..a (kn, еп, Д)] как
произведение операторов a (klt ех, ... a (kn, еп, tn), рас-
ставленных в хронологическом . порядке (в порядке убы-
вания времен). В случае CAR это произведение берется со
знаком минус, если для расстановки операторов в хроноло-
гическом порядке требуется нечетная перестановка, и со
знаком плюс, если для этого нужна четная перестановка.
Иными словами:
Т(а(^, Ej, ... a(kn, en, ^)) =
= (—l)Vfl(^t, g/i, t{i) ... a(kin, Ein, tin), (25.1)
где P = (A, ..... fn) —перестановка, для которой A\ > ...
...'> t-t , у = 0 в случае CCR и у равняется четности пере-
становки Р в случае CAR (здесь kt £ М, е; = +1, все вре-
мена ti различны).
Для п = 2 можно написать
Т (a (klt Elt ZJa (k2, e2, A)) =
= 9 (A — /2)a (klt En ty)a (k2, e2, A) ±
± 9 (A — tj)a (k2, e2, A) a (klt 8j, A)
(верхний знак всюду в этой главе относится к случаю CCR,
нижний — к случаю CAR). -
Функцией Грина гамильтониана Н назовем среднее зна-
чение Т-произведения Т (a еь t-^...а (kn, еп, А)) по ос-
новному состоянию Ф гамильтониана Н:
(^-1» » А * • • • > , ^п)
= <.Т (п(^1> е1, А)---«(^п, еп, Д))Ф, ф>.
120
Функции Грина легко выражаются через функции Уайт-
мана. Например,
G2 (/4, ех, 4, k2, е2, 4) = 0 (tr — t2)w2 (klt ех, 4, k2, е2, /2) ±
± 0 (4 — 4>2 (^2> е2, 4> klt ех, 4).
Общее выражение функций Грина через функции Уайтма-
на может быть записано следующим образом:
^4 (4> е1> 4> •••> ^п, 4г> 4) ~
= 2(__1)?щ)М) Ё1( Ёп> и (25.2)
Л
где сумма берется по всем перестановкам л = (4, i2> • ••> in),
0Л (0 = 0 (4, — 4„) 9 (h, —ti3) ... О (4П_Х — 4Л). функция
w" определяется равенством
(klt ех, 4..kn, еп, tn) =
= etl, tilt ..., kin, Ein, tin),
а у (л) = 0 в случае CCR и четности перестановки л в слу-
чае CAR.
Данное определение функций G„(/ix, ех, 4, ..., kn, еп, 4)
имеет смысл только'в случае, когда все времена 4, ..., tn
различны. Множество, на котором функция Грина не задана,
имеет меру нуль, поэтому интегралы от функции Грина,
умноженной на обычную (не обобщенную) функцию от
4, .... 4» вполне осмысленны. Это означает, в частности, что
функцию Gn можно рассматривать как вполне определенную
обобщенную функцию переменных 4, •••, 4- В единственном
месте (в § 27) потребуется Доопределить функции Грина
в случае, когда некоторые из аргументов 4, ..., 4 совпадают.
Сделаем, это, потребовав, чтобы в случае, когда некото-
рые из времен совпадают, соответствующие множители
в Т’-произведении располагались в нормальном порядке
(т. е. Т-произведение определим с помощью такой переста-
новки индексов (4, ..., 4), что 4, > ... 4П и в слУчае
tt — t{ выполнено неравенство e;ft 4s 8<z)-
Укажем следующие простые свойства функций Грина:
1. Симметричность.
Функции Грина Gn (klt ех, 4, ..., kn, еп, tn) в случае
CCR не меняются, а в случае CAR меняют только знак при
перестановке (kit еь 4) и (k}, ty.
121
2. Инвариантность при сдвиге по времени.
(^1, Т" Я, •••» ^n, &п, tn “F = Gn (^1, 81» ^1» •••>
kn , , Al) •
3. Gn (&!, е1( t + 0, £2, е2, /, £3, е3, /3, .... kn, еп, 4) Т
+ Gn (klf е1; t, k2, е2, t + 0, k3, е3, /3, ..., kn, 8n, tn) =
$kt, k2 A £2Gn~2 (k3, 83) t3, ..., kn, 8n, tn)-
Первое из перечисленных свойств следует из того, что
под знаком Т-произведения можно переставлять сомножи-
тели, третье — из коммутационных соотношений. Как и для
функций Уайтмана, можно дать определение функций Гри-
на, не зависящее от выбора базиса <pft. Именно, следует по-
ложить
Gn(h, 8i, tt, .... fn, 8„, tn) =
= <Т (a (fi, еъ h) ...a (fn, 8n, tn)) Ф, Ф)
(здесь fifzffi, ei= + l, —оо < tt < оо). Если SS =
= L2(X), то '
Gn (fl, 8i, ti, ..., fn, £n, tn) =
-=$fi(^i) ••• fn(xn)Gn(Xi, &i, ti, .... xn, 8n, tn)dXi ... dxn,
где Gn (Xi, e1( tlt ..., xn, en, tn) —функция Грина, построен-
ная по обобщенной операторной функции а (х, е).
Для функций Грина легко построить разложение в ряд теории
возмущений и диаграммное представление ряда теории возмущений.
Наметим сейчас способ, которым это можно сделать.
Пусть гамильтониан Н, по которому строятся функции Грина,
представлен в виде Н = На + gV. Основные состояния гамильто-
нианов Н и Но обозначим соответственно Ф и Фо. Воспользуемся
вытекающим из (15.7) соотношением
фь=Нт Ci (а) 3 (0, — оо) Фл _Пт С2(а) 3 (0, 4~оо) ф0
а^О а^О
(25.3)
(поскольку целью является разложение в ряд теории возмущений
функций Грина, достаточно знать, что соотношение (25.3) справед-
ливо в рамках теории возмущений в случае, если основное состои-
ние Фо гамильтониана Но невырожденно). Если (ilt ..., гп) — пе-
рестановка, для которой t, > ... > t,- , то
1 п
Gn (*i. er, G, kn, еп, tn) = Hm Сг (а) С2 (а)Х
а -О
Х<а(йг1,ег1Дг1) ... a(kin, ein, /;„) S„ (0. - -) Ф„. Su (0, У х-) ф0>.
122
Введем операторы
a (k, е, t) = ехр (i На t) a (k, е) ехр ( — i На t).
Легко видеть, что
a (k, е, t) = ехр (i Ht) ехр (— '1Н0 t)a (k, е, t) ехр (i Но t) X
Хехр (— i Ht) = 3 (0, t) a (k, 8, t) S (t, 0).
При фиксированном t и a -> 0 можно написать приближенные ра-
венства:
3(/, 0) ~ Sa (/, 0); 3(0, t) «Sa(0, /);
a(/s,8, t) =Sa(0, t)a {k, e, t)Sa(t, 0).
Воспользовавшись этими равенствами, видим, что
Gn (^i> 8j, t±, ..., kJlt ^п> tn) — lim Ct C2 (ex) X
a-0
X<3a(0, ttl)a (kit , efl , tit)Sa(tit , 0)Sa(0, /;2). . - X
X " <Чг> ehi> {1п)8а^1п> °)Sa (°>—°°) фо> Sa(0>+°°) фо> =
. (Ла Фо, Фо/
= lim------------------------ ,
а^О <Sa (оо, — ос) ф0, Фо>
где Ax=Sa (°°> а (k‘i > Sa (t/j,.
a (^in, &in, tin) Sa (tin , —oo). (25.4)
При преобразованиях было использовано групповое свойство
Sa(/", /) = За(/", t')Sa(t', t),
а также соотношение
1 = <ф, ®> = limCi (a)C?(a)<Sa(0,-oo) Фо, Sa (0, +00) Фо> =
a->0
= lim Ct (a) С2 (a) <Sa (со, — 00) ф0, Фо>.
a-o
Равенство (25.4) можно переписать следующим образом:
Ла ~ Т a (&i, 81, <i) .. . й (kn, 8а, tn) X
(ОО , .
1 С - 1 ! § \п
— gexp ( —а|т|) V(T)dt = У — — X
1 J // n=o «’Ai/
— 00
X Т (~a(klt 81, Н)...'а(йп, ел, tn) ехр ( — а | Tj |-
V
-----а|тл\)У(Т1)...У(тл))4«т.
123
Оператор Аа принято коротко записывать в виде
Ла = Т ( а (йг, ег, /г). .. a (kn, en, tn) Sa (оо, — оо)).
Пусть теперь гамильтониан Н = Но + gV записан в виде (23.2)
с функциями Vm, п, не зависящими от времени. Для оператора
Sa (’°> —эо)> построенного по этому гамильтониану, можно пост-
роить диаграммное представление с помощью результатов § 22.
Пользуясь этим представлением, нетрудно построить также диаг-
раммное представление для оператора Аа. Диаграммное представ-
ление для чисел <ЛаФ0, Фо> и <Sa(x>, —оо) ф0, ф0) получается,
очевидно, если нз диаграмм операторов Аа и Sa (оо, —ос) выбрать
диаграммы, в которых каждая вершина принадлежит одному из
ребер. Пользуясь тем, что несвязная диаграмма разлагается-в про-
изведение диаграмм, соответствующих ее компонентам, нетрудно
построить диаграммное представление для выражения
------^аФв-Ф°>------ (25.5)
<Sa (оо, •—оо) Фо, Фо>
(оно состоит из тех диаграмм для <Аа Фо, Фо>, которые не со-
держат в качестве компоненты диаграмму для <Sa(oo, —оо) ф0,
Фо>). Для того чтобы построить диаграммное представление для
функции Грина Gn (klt е1; tlt ..., kn, еп, tn), остается устремить a
к нулю в диаграммах для выражения (25.5).
§ 26. Представление Челлена—Лемана
Функцию Уайтмана wn гамильтониана Н относительно
семейства операторов а (X) легко выразить через матричные
элементы операторов а (X) в базисе из собственных векторов
гамильтониана Н. Получим сейчас такое выражение для
функции оно называется представлением Челлена—Ле-
мана. Предположим сначала, что у оператора Н дискрет-
ный спектр, т. е. .существует ортонормированный базис Фп
из собственных векторов оператора Н\ соответствующие
собственные значения обозначим Еп. Тогда
W'l (^1> G, ^2» ^2) = (а (Л11 ^1) а (^2> ^2) Ф, Ф) =
= (а (%2, Ф, а (Хъ tj) Ф) =
= 2 <а (Ч. Q Ф. Фп> <Фп, а Q Ф> =
п
= S<exp(i/f/2)a(X2)exp(—1/Л2)Ф, Фп> х
п
X <Ф;1, ехр (i Htj) a (XJ ехр (—i Htt) Ф> =
= 2 ехр (i (Еп—Ео) tz) (а (Х2) Ф, Ф„> х
п
xexp(i(E0— Еп)^) <ФП) а(Ч)Ф>.
124
Вводя обозначение = <Ф„, а (%)Ф>, получаем нуж-
ное представление
&МЧ. h, К, Q = 2ехр[ —i (En—B0)(/i — f2)lp^ р*«.
п
Если у оператора Н имеется также непрерывный спектр,
то полная система собственных векторов состоит из норми-
рованных собственных векторов Фп и обобщенных собствен-
ных векторов Ф¥ (считаем векторы Фп ортонормированными,
Ф¥ — нормированными на 6-функцию; соответствующие
собственные значения обозначаем Еп и Ev). Повторяя про-
веденные только что преобразования и пользуясь соотноше-
нием
<х, у) 2 <Х, Фп> <ФП, г/> + 5 <х, Фу> <Фу, у) dy,
п
убеждаемся, что
G. К, Sexp[ — i(En—Ео)(^—(2)] р£ р*« +
п
+ §ехр[-—i(Ev—Е0Ш~^)1Рт* Pv'dy, (26.1)
где
р£ = <Фп, а(%)Ф>, Ру = <Фу, а(Х)Ф>.
Из полученных формул видно, что асимптотика функции
w2 при — t2 -> оо определяется только дискретным
спектром, поскольку вклад от непрерывного спектра при
/1 — t2 -> оо изображается интегралом от быстро осцилли-
рующей функции*.
Отметим, что утверждение об асимптотике функции w2
в отличие от всех остальных утверждений этой главы не
переносится прямо на случай, когда а (X) — обобщенная
операторная функция.
Функцию w2 можно выразить также через величины
ох,. ^2 (p,j = (%j а (X) ф, Ф>,
где Ец = Су, (И) — спектральное разложение оператора
Н (напомним, что (х) = 1 при х р, (х) = 0 при
х > р). Именно,
(%!, tlt %2, t2) = j ехр (i (р — E0)(t2 — (р).
* Строгое доказательство этого факта требует предположения
об абсолютной непрерывности непрерывного спектра (определение
абсолютной непрерывности см., например, в [51]).
125
в самом деле,
да2. (%!, tx, А,2, t2) — \й (л2, /2) Ф, а (%1( /х) Ф) —
— (ехр (i Я£) а (Х2) ехр ( — i Ёо t2) Ф, ехр (i Ht^ X
X a (XJ ехр (—i Ео Ф> =
= (ехр Н (Я-Ео) &-/1)] а (Х2) Ф, a (XJ Ф> =
= ^exp[i(p—£0)(/2—/1)]d(£|xa(X2) Ф, а(^)Ф> =
= 5 ехр [i (р—£ъ) (^ — Я)! dcfr- (р).
Поскольку функция Грина G2 оператора, действующего
в пространстве представления CR, простой формулой
G2 (&ц е1> ^ii е2> ^г) ~ ® (^1 е1> ^2» е2, ^2) i
i 6 (^2 (k2, ^21 ^2» ^1, 61> G)
выражается через функцию w2, из полученных представле-
ний для w2 вытекают представления для функции G2. На-
пример, для операторов с дискретным спектром
G2 (^j, Bj, Zj, k2, е2, t2) =
= 0 (Я-Л) 2ехр [ -i (£п—£0) (Я~Я)] Р**' ~£1'рп2'82 ±
п
± 0 (Я~Я) 2 ехр [ -i (Еп~Е0) (t.-k)] pkn- ~£^1'El
п
(здесь рп’ 6 = (Фп, a (k, е) Ф>, Фп — стационарные состоя-
ния гамильтониана Н, Еп — соответствующие собственные
значения).
Рассмотрим еще фуйкции
w2 (kj., еь coj, k2, е2, ®2) =
= (2л)-1 ехр [i (ет cOj + е2<в2 Z2)]
да2(^!, е1э ti, k2, е2, t2) х dtxdtz',
G2 (klt e1; ®x, k2, e2, co2) =
= (2л)-1 exp [i (excoj + e2 co2 Z2)J x
xG2(^!, ex, tT, k2> e2,
(функции Уайтмана и Грина в энергетическом представле-
нии).
126
Полученные выше представления функции w2 и G2 дают,
конечно, представления функций w2 и G2. В частности, для
операторов с дискретным спектром
G2(&1; 1, k2, —1, <b2)=G(^1, k2, —co2),
где
G (&!, k2, co) = §exp (i cot) G2 (klt 1, t, k2, —1, 0)dr —
—i ~k2, — i — i
= i у т У —. (26.2)
n co — (En—£o) + iO “« + (£„—£0) — i 0
Таким образом, точкам дискретного спектра соответст-
вуют полюса функции G по переменной со. При наличии
непрерывного спектра к выражению (26.2) прибавляется еще
интеграл по непрерывному спектру, который оказывается
во всех физических примерах непрерывной функцией ®.
§ 27. Уравнения для функций Уайтмана и
Грина
Пусть гамильтониан Н, действующий в пространстве
предстайления CR (53), записан в нормальной форме:
Я= S 2 Г'"-«(^1, ..., km\lly ..., 1п)а^ ...
т, п k^ 1]
где at = a+ (<pft), ah = a (<ph), <pft — ортонормированный
базис в 53, функции Г"1, п симметричны по переменным kt
и по переменным I, в случае CCR и антисимметричны по
этим переменным в случае CAR. Тогда гейзенберговские
уравнения для операторов ah (/) = ехр (iHf)ah ехр (—iHf),
at (t) = ехр (iHf) at exp (—iHf) можно записать в виде
± = ah(t)] =
1 dt
=— 5 2 mVm-n(k,k1, ..../n)X
m- n ....km-V li...ln
X att (f) ... atm_t (t) atl (t) ... aln (/);
127
i dt
= 2 2 «г^, .... km\it.........i^k)*
m-nk'...km-t'...ln-l
X a$t (f) ... atm (/) atl (t) ... (t).
Из этих уравнений сразу получаются уравнения для функ-
ций Уайтмана
wn (^i> ®i> •••> kn, en, tn).
Выпишем, например, выражение производной функции wn
по переменной через функции Уайтмана (выражения для
производных wn по ti записываются аналогично). Легко
видеть, чта
4- е3, /ъ ..., kr, er, tr) =
i dt!
= — 6е?! 2 2 mTm-n(k!, Pi, ... ..., qn) X
m, n pt, qj
X 1 (pi> 1 > • ••> Pm-it 1» ~~~ 1j
• *?n> 1 > ^2> • • м ^rt ^r) 4“
+ ^‘12 2 nVm-n(p1, ..., pm\qlt ....
m, n pv q.
...,qn-!, k^Wr+m + ti-llp!, 1,/х, ...,pm, 1, G, <71, — l,/i, ••
•••, 9n-i> —1, ti, k2, e2, t2, ..., kr, er, Q. (27.1)
Из полученных уравнений для функций Уайтмана (или не-
посредственно из гейзенберговских уравнений) нетрудно
вывести уравнения для функций Грина. Вычислим, напри-
мер,
7~ (klt k2, e2, /2) =
at!
= 4->s(k!, ex, /j, kz, e2, Z2) e (/1—12) ±
oti
± w2 (k2, e2, t2, klt e1( /x) e (Z2—G)] =
= 0 (tj —12) ~ w2 (klt eH Zi, k2, e2, fj) ±
dti
±Q(t2—ti)^-w2[k2, 62, t2, klt 6^71) +
6/^1
+ 6 (/j—12) [w2 (ki, Ej, tr, k2, e2, t2) т
+ ^(^2, e2, t2, klt ex, fj)].
128
Из CR (или из свойства 5 функций Уайтмана) следует,
что
6 (4 4)^2 ®1, 41 *4, е21 4) “F W2 е21 41 4, е11 4)) “
— 6 (4 ---- 4) 8klt кгг
J.
а первые два слагаемых в формуле для с помощью урав-
нений (27.1) выражаются через функции Грина. В резуль-
тате получаем
~ ~ <4 (^ii eii 41 ^г> е2> 4)— ~б (4 4) -^4 &kt, k2
1 dt! 1
~-6e_*i 2 2 mTn’n(kltplt ...,Чп)Х
т, п рр q}
X Gm+n (.Pit 11 4i •• •> Pm-It 11 4i Я1> 4 4i
•••• qn> —4 4i k2, 82, 4)+
+ fy2 2 пГт^(Р1, ...,pm\q!, ...,qn-!,k!)X
m. n pi,qj
xGm+n(Pi, 1. 4- •••> Pm, 4 4, Pi, —4 4, •••
9n-i, — 4 4, k2, ea, t2).
Аналогично mohjho написать и уравнения для функций
Грина Ga. Не будем их сейчас выписывать ввиду того, что
в рассматриваемой общей ситуации они имеют весьма гро-
моздкий вид.
5 Зак. 82
ГЛABA 8
ТРАНСЛЯЦИОННО ИНВАРИАНТНЫЕ
ГАМИЛЬТОНИАНЫ
§ 28. Трансляционно инвариантные
гамильтонианы
в фоковском пространстве
Рассмотрим операторы, действующие в фоковском про-
странстве F (33), где S3 = L2 (Е3) — пространство квадра-
тично интегрируемых функций ф (к) на евклидовом про-
странстве Е3. Переменную к будем называть импульсной
переменной*.
Эти операторы бывает удобно выражать через опреде-
ленные в § 13 операторы (точнее, обобщенные операторные
функции) а+ (к), а (к), удовлетворяющие соотношениям
(а (к), а (к')]т = [п+ (к), а+ (к')]т = 0;
[а (к), а+ (к')]т == 6 (к—к')
Гамильтониан Н называется трансляционно инвариант-
ным, если он коммутирует с оператором импульса Р =
= J кп+ (к)п (k)dk. Примером трансляционно инвариант-
ного гамильтониана может служить гамильтониан системы
взаимодействующих нерелятивистских тождественных час-
тиц, рассмотренный в § 13.
Имеет место следующее утверждение: вакуумный вектор
0 является собственным вектором трансляционно инвариант-
ного гамильтониана Н.
* Рассматриваемый случай 33 = L2 (Е3) отвечает тождествен-
ным частицам без спина. Если частицы имеют спин или имеется
несколько сортов частиц, следует в качестве пространства 33 рас-
сматривать пространство L3 (Е3 X В), где В — конечное множество.
Все результаты настоящей главы и последующих глав без труда
обобщаются на случай 33 = 13 (Е3 X В); нет необходимости под-
робно останавливаться иа этом обобщении. Следует отметить, что
реально существующие фермионы всегда имеют спин, поэтому
в случае CAR рассматриваемая в тексте ситуация 33 = Еа (Е3)
не реализуется в природе.
130
Для доказательства заметим, что у оператора импульса
Р существует единственный (с точностью до множителя)
собственный вектор 9, отвечающий нулевому собственному
значению (здесь речь идет об обычных — нормированных —
собственных векторах; разумеется, обобщенные собственные
векторы у оператора Р есть). По предположению, оператор Н
коммутирует с оператором Р и, значит, переводит собствен-
ный вектор оператора Р снова в собственный вектор этого
оператора. Таким образом, 7/0 = Х0, что доказывает нужное
утверждение.
Пусть гамильтониан Н записан в нормальной форме
Н= 2 ^Гот,п(рд, ..., pro|qi, ..., qn)a+(Pi) ...
т>
... a+(pm)a(qi) ... a(qn)d^p^q. (28.1)
Легко проверить, что он будет трансляционно инвариант-
ным в том и только в том случае, если функции Гт1 п имеют
вид
Гт, п (Р1, •••, Pm I Ч1> •••> Яп) ~
^Ат.Ир!.......pm|qlt .... qn)6(p1 + ... + pm—qx—...—qn).
Доказанное выше утверждение означает, что выражение
(28.1) не может определять самосопряженного оператора
в фоковском пространстве в случае, если для некоторого т
функция Гт10 ф 0 (физики говорят в этом случае, что га-
мильтониан Н порождает поляризацию вакуума)*.
Это утверждение не мешает, однако, рассматривать
трансляционно инвариантные гамильтонианы с поляриза-
цией вакуума вне рамок теории операторов в фоковском
пространстве; можно сказать, что не эти гамильтонианы
плохи, а фоковское пространство тесно для этих гамиль-
тонианов**.
Будем рассматривать трансляционно инвариантные га-
мильтонианы как формальные выражения вида (28.1), со-
ставленные из символов а+ (к), а (к), и покажем, каким об-
разом трансляционно инвариантному гамильтониану сопо-
ставляются различные физические величины. В частности,
* На самом деле, в случае, если есть поляризация вакуума,
выражение (28.1) вообще не определяет оператора в фоковском
пространстве (подробнее см. в § 13).
** Для того чтобы построить по трансляционно инвариантному
гамильтониану с поляризацией вакуума оператор в фоковском
пространстве, следует сделать обрезание по объему (см. ниже).
5* 131
в гл. 9 дано определение матрицы рассеяния для трансля-
ционно инвариантного гамильтониана.
Пойдем при этом по следующему пути. Пусть Н — транс-
ляционно инвариантный гамильтониан, т. е. формальное
выражение вида
Н 2 Л-т, п 04, • • •, кт | 1 j, ..., 1л) X
т, п
х6(к14-... + кт—1, — х
Xa+(ki) ... a+(km)a(l!) ... a(ln)dmkdnl. (28.2)
Выражение И будем считать формально эрмитовым [т. е.
предполагать, что Am> л (кп ..., кт|11(.... 1л) = Лл, т (1П ...
..., IJkm, .... kj)]. Определим гамильтониан Я, обрезанный
по объему й. Пусть й — куб с ребром L в координатном
пространстве (0 йС х йС L, О у йС L, 0 sC z fiC L), Bq =
= L2 (Й) — пространство квадратично интегрируемых
функций ф (г), где г £ й, Fq = F (Ва) — фоковское про-
странство, построенное по пространству Bq. В пространст-
ве Bq выберем ортонормированный базис из функций <рк =
= А-3/2 ехр (—ikr), где к пробегает решртку Tq с шагом
— 1т. е. к = — п, где п — целочисленный вектор!. Опера-
торы а+ (<рк), а (<рк) в Fq, построенные по этому базису, бу-
дем обозначать а£, а*.
Оператор Hq в пространстве Fq зададим формулой
__ -г, 9 \— (m-j-n—2)
на= 2 2 (т)2 лт>л(к1, ...,km|i1,...,in)x
т, п к;, 1. \ ** /
* J
X 6к1+...+кт> 1,+...+1ПОД+, ••• aimait ... atn (28.3)
[иными словами, выражение для Hq получается из выраже-
и + /1 \ л \ !L W2 + W2
ния для Н, если заменить а+ (к), а (к) на (— од, ( —) од,
\2л/ \2л/
интегрирование — на суммирование по решетке Tq и умно-
/ 2л \ ®
жение на I — 1 > функцию 6 (kj-j- ... + km~ lx—... — 1л) —
НЭ Skl+ - +km’ll+ - +'Л
Сделаем предположение, что формула (28.3) определяет
самосопряженный оператор в пространстве Fq. Есть все
основания считать, что если функции Лт, л достаточно хоро-
132
шие, это будет так. Например, в случае CAR имеют место
следующие утверждения.
Если коэффициентные функции Лт> п достаточно-быстро
убывают на бесконечности (быстрее, чем ^-з<т+л)-е) где
q = + ... + k*m + /? + ... + Z*)‘/2, e > 0) и Лт,п = О
при т + п s, то формула (28.3) определяет ограниченный
самосопряженный оператор в пространстве Fq. Если га-
мильтониан Н представлен в виде Но V, где Но =
= f со (к)а+ (к)я (k)dk, а коэффициентные функции выра-
жения V достаточно быстро убывают на бесконечности, то
формула (28.3) определяет самосопряженный оператор*
в пространстве Fq.
Доказательство этих утверждений вытекает из сообра-
жений, высказанных в конце § 21.
Отметим, что оператор Hq коммутирует с оператором
Ра = S kok+flk (оператором импульса).
к6Га
Физические величины, связанные с формальным гамиль-
тонианом Н, будем определять с помощью предельного пере-
хода Q -> оо.
Например, будем говорить, что число Е принадлежит
спектру (является уровнем энергии) формального гамиль-
тониана Н, если можно найти такие собственные значения
Eq гамильтонианов На, что lim (Eq — Eq) = Е (здесь Eq
Q->oo
обозначает энергию основного состояния Фа гамильтониана
Н). Будем говорить, что у гамильтониана Н существует
уровень энергии Е с импульсом к, если существуют векторы
Ч'Ъ С Fq, удовлетворяющие условиям Hq Yq = EqWq;
PaVa = каЧЪ; Ит (Eq — Eq) = Е-, lim ка = к.
Другой возможный путь исследования трансляционно
инвариантного гамильтониана состоит в построении опера-
торной реализации этого гамильтониана.
Пусть в гильбертовом пространстве Ж действуют комму-
тирующие самосопряженные операторы Н и Р = (Рц Р2, Рз)
(оператор энергии и оператор импульса) и операторные
функции a (k, е, t), обобщенные по переменной к [здесь к £ Е3,
е = ±1> а (к, 1, t) = а+'(к, —1, /)].
Будем говорить, что операторы Н, Р, операторные обоб-
щенные функции а (к, е, I) и вектор Ф £ Ж образуют one-
* В случае CCR при наложенных на коэффициентные функции
условиях можно утверждать лишь, что выражение (28.3) опреде-
ляет эрмитов оператор.
133
раторную реализацию (Ж, Н, Р, а (к, е, /), Ф) формального
гамильтониана (28.2), если:
1. Операторные обобщенные функции а (к, е, t) удовлет-
воряют гейзенберговским уравнениям, формально напи-
санным по гамильтониану (28.2):
i да(к> ~Х’ Z) rn$Am ;l(k, кь ..., km_j(1Ъ In) х
tn, п
X S (кkj 4-... 4- km-i — Ij —... — 1„)а(к1, 1, t) ...
...a (km_j, 1, t) a (llt — 1, t) ... (ln, — 1, t) dm~1 kdn 1;
i ^k’J’-1 = -2п$Лт,п(кь .... km| 11( .... ln_1(k)x
dt iZn
X 6 (kj4~ ••• 4“k„i —... — — к) а (кь 1, t) ...
... a(km, 1, t)a(h, —1, 0 ••• а(1п-ъ 1, t)dmkdn~l I. (28.4)
2. exp (i rH) a (k, e, t) exp (—i rH) — a (k, e, t 4~t);
exp (i aP) a (k, e, t) exp (— i a P) = exp (i a к e) a (k, e, t).
3. Операторы a (f, e, t) = f f (k)a (k, e, t)dk, где f g
g Д’ (E3), определены на всюду плотном подмножестве D
пространства Ж и переводят это подмножество в себя; если
Tj, W2£D, то <a (/, е, Z)^, непрерывно зависит от
f g (Es). Операторы a(f, е, t) при фиксированном t задают
представление CCR.
4. Вектор Ф является основным состоянием оператора
энергии Н и удовлетворяет условию НФ = РФ = 0.
5. Вектор Ф является циклическим вектором семейства
операторов a (f, е, Z).
Отметим, что в силу условия 3 выражениям вида
^(ki, ..., k„)a(k1, е1( tj ... a(k„, е„, ZJdkj ... dkn,
где f 6 Д’ (ESn), можно придать смысл оператора, определен-
ного на множестве D, с помощью операторного аналога тео-
ремы о ядре (см. дополнение, § Д.7). Это замечание позво-
ляет придать точный смысл правой части равенств (28.4)
в случае, если функция Л1Д (к) — гладкая и все производ-
ные ее имеют не более чем степенной рост, а остальные функ-
ции п принадлежат пространству Д’. -Производная
да в лев°й части равенств понимается в слабом
смысле.
134
Функции Уайтмана и Грина операторной реализации
трансляционно инвариантного гамильтониана определим
формулами
^n(ki, tlt ..., kn, en, tn) =
= <a(kn en ZJ ... a(k„, e„, / J Ф, Ф>;
Gn (^1, ^1, ^ni ^Zl)
= <T(a(k1; Eb Zj) ... a(kn, еп, /П))Ф, Ф>.
Функции wn точнее следовало бы назвать функциями Уайт-
мана в (к, Z)-представлении. Их преобразования Фурье по
переменным кп ..., к„ — функции
^n(xi, еъ tk, ..., хл, еп, tn) =
_ з
= (2л) 2 n)exp(iSejx/kj)ffi»n(k1, ех, tt, .... kn, En,tn)dnk
будем называть функциями Уайтмана в (х, /)-представле-
нии, а преобразования Фурье по переменным tlt tn
^(kj, «1. ®i, •••> kn, «n, ®n) =
__i_
= (2n) 2 " exp(i£exG)jZj)Qyn (kj, ex, Zx, ..., k(i, en, tn)dni
— функциями Уайтмана в (x, ^-представлении. Аналогич-
но определяются функции Грина в (х, Z)- и (к, ^-представ-
лениях; они обозначаются Gn и Gn.
В следующих параграфах этой главы будут определены
функции Уайтмана и Грина трансляционно инвариантного
гамильтониана предельным переходом от конечного объема
и установлена их связь с определенными выше функциями
Уайтмана и Грина операторной реализации трансляционно
инвариантного гамильтониана. Будет показано также, ка-
ким образом операторную реализацию можно построить
предельным переходом от конечного объема. В главе 11
рассмотрен вопрос о построении операторной реализации по
теории возмущений.
Здесь же ограничимся тем, что напишем представление
Челлена—Лемана для функций ю2 (kx,. ех, tlt к2, е2, Z2) и
(кх, ei» ^i, к2, е2, Z2).
135
Для этого фиксируем полную систему обобщенных соб-
ственных функций операторов Н и Р:
Wx = E(X)¥x;
P¥v=k(X)¥x.
Докажем ррежде всего, что обобщенная функция
(а (к, е, ^)Ф, имеет вид
(а (к, е, t) Ф, Ч'х) = ехр (i Е(Л.) t) б (ек—к (X)) р (е, %). (28.5)
В самом деле,
(а (к, е, Z) Ф, Чгх> — (ехр (i Ht) а (к, е) Ф, Ч*\> =
= (а(к, е)Ф, ехр (—— ЧГЛ,> ==
= ехр (iE (%)^)(а(к, е)Ф, Ч\>.
Функция (а (к, е)Ф, Ч'х) удовлетворяет соотношению
ехр (i еак) (а (к, е) Ф, Ч\> =
= ехр (i ак (X)) (а (к, е) Ф, Ч'х), (28.6)
доказываемому преобразованиями
(ехр (i еак) а (к, е) Ф, Ч'х) =
= (ехр (iaP) а (к, е) ехр (—i аР) Ф, Ч\> =
= (а(к, е)Ф, ехр(—iaP)4fx> =
= ехр (i ak (X)) (а (к, е) Ф, Ч\>.
Из соотношения (28.6.) вытекает, что функция (а (к, е)®,^^)
имеет вид р (е, Х)б (ек — к (X)); это и доказывает нужное
утверждение.
С помощью равенства (28.5) можно написать представле-
ние функции Уайтмана
й'2 (кь еь tlt к2, е2, Q = (а (кь еъ а (к2, е2, t2) Ф, Ф> =
= <а(к2, е2, /2)Ф, а(кь —еь ^)Ф> =
= §<а(к2, е2, 7,)Ф, 4f?l><a(k1, —ei. /j) Ф, Ч\> ей ==
= ехр (i Е (X) (/2—Л)) б (ех кх + е2 к2) б (ej кх + к (X)) х
X р (е2, X) р (—е1( %) dk (28.7)
136
Поскольку
G2 (^1, 81, ^1, k2, 82, Л2) = 0 (^1 ^2) (кц 81, /1, к2, 82, Л2) ±
±0(^2—^1) i)(k2, е2, t2, ki, 61, /1),
исходя из соотношения (28.7), получаем представление
функций G2 через функции р (8, %) (представление Челлена—
Лемана). В частности,
^(Кь 1» ti, ^2» 1> ^2) — G04, ^2),
где
G(k, 0 = 0 (0$exp(—i£ (%) t) 6 (k + k (%)) |p (— 1, %)|2d%±
±0(—0$exp(i£(%)06(—k + k (%)) | p (1, %)|2d%. (28.8)
Переходя к (k, (в)-представлению, можно написать
G2(ki, 1, (»i, k2, — 1, co2)=G(ki, (Bjfi^i—<n2)6(ki-k2),
где
G (k, <b) = exP (i G (k, 0 dt —
= i f I p(—W 6 (k + k (%))
J <o-E(X) + iO v l v "
+ i f X)ln 6 (- k + k (*)) d%. (28.9)
J (O-|-E (A) —1 0
§ 29. Теорема реконструкции
Функции Уайтмана wn(k1, < tlt ..., kn, 8n, tn) трансля-
ционно инвариантного гамильтониана H определим соот-
ношением
^n(ki, 8i, 4, ..., kn, 8Л, tn) =
= lim (^)2 rf(ki, 81, ii....kn,8nJn) (29.1)
(здесь (kj, 8i, tlt ..., kn, 8n, tn) = (a^(^) ...
••• (tn) Фа, Фа) —
137
функции Уайтмана гамильтониана Hq, построенные по ба-
зису <рк, где к 6 Tq). Соотношение (29.1) требует некоторых
пояснений, поскольку в нем функция непрерывного ар-
гумента определяется как предел функций аргумента,
пробегающего решетку. Этот предел будем понимать в смыс-
ле обобщенных функций: для всякой основной функции
гр (к1; ..., kn) должно выполняться соотношение
У<р(къ ..., kn)wn(k1,81,l1,..., кл, е„, fn) dkx... dk„ =
= lim (2 V гр (къ ..., kn) w° (къ е1( ^ ...
kn, en, tn). (29.2)
Будем предполагать, что предел (29.1) существует (су-
ществование этого предела может быть проверено в рамках
теории возмущений).
Функции^ (къ еъ tt,..., kn, en, tn) считаем обобщенными
функциями по переменным kn ..., kn и обычными функция-
ми по переменным tlf ..., tn.
Функции Грина Gn (кп en tly ..., kn, en, tn) трансляцион-
но инвариантного гамильтониана Н определим так же, как
и функции Уайтмана, с помощью предельного перехода от
конечного объема Q. Именно, положим
(ki, е1, •••, кп» еп, ^п)
Зп
— li,T1 Gn (ki> ®i» •••> kn, en> ^n),
Q->oo \ /
где Gn (kj, e1( tu..., kn, en, /n)=<7’ (a^ (tj ... ak" O<Dq, <Dq>
— функции Грина гамильтониана Hq, построенные по
базису фь, где k £ Tq. Предельный переход понимается так
же, как соответствующий предельный переход в определе-
нии функций Уайтмана.
Функции Грина Gn легко выразить через функции Уайт-
мана wn трансляционно инвариантного гамильтониана.
138
Именно, предельным переходом в соотношении (25.2), при-
мененном к функциям Gn и w^, получим равенство
Gn (kj, elt tlt ..., kn, en, tn) =
= 2 ei; tl, .... kn, en, tn) (29.3)
n
(обозначения такие же, как в § 25).
Определение функций Грина в (х, ^-представлении Gn
и в (к, ®)-представлении Gn аналогично соответствующему
определению для функций Уайтмана.
Легко видеть, что определенные в этом параграфе функ-
ции Уайтмана w (klf ег, ..., kn, еп, С) трансляционно ин-
вариантного гамильтониана Н имеют следующие свойства.
1. Инвариантность при сдвиге по времени:
®n(ki, 8i, h, kn, ел, tn) =
= ю(къ еъ ^ + т,..., kn, en, tn+r).
2. Эрмитовость:
^(кь 8Ъ tly..., kn, en, tn) = w(kn, — en, tn, ....k^ — e1( tj.
3. Положительная определенность.
Для любой последовательности основных функций fn (кг,
еъ tu kn, en, tn), отличных от нуля лишь для конечного
числа индексов п, имеет место неравенство
^4 С fт (kj, 8j, ti, • ••, km, 8m, tm) fn (Чп, Lii 1 • •
m, nea, op
•••» 41, 0^1, Tl) Z&m+n (ki, 8j, ti, ..., km, &m, tm, 41, <?!, Tl, ...
..., чп, ап, тп) dm kdn qdmtdnr'^ 0.
4. Спектральность:
Jexp(—i®a)t«n(k1, eb ......kr, er, tr, kr+1, er+1, tr+i + a,...
• ••, kn, en,tn + a) da = 0, (29.4)
если co < 0. Соотношение (29.4) имеет место и при более
слабом условии: ® не принадлежит спектру гамильтониана
Н.
5. Перестановка аргументов.
139
Введем обозначение
wn } (kj, 8Х, tlt кг, 8г, tit кг+1, 8г+1, £г+1, kn, 8n, tn) =
zfc Wn (kj, 81, ..., kj^-i, 8;^.i, kj, 8;, ti, kn, 8n, ^n)
(знак плюс — в случае CCR, минус — в случае CAR).
Иными словами, получается из wn перестановкой кг,
8г, ti с кг+1, 8г+1, ti+1 с изменением знака в случае CAR.
Если ti = ti+1, то
w(nl) (к1( еь tlt ..., kn, 8n, tn) = wn (kb eb tt.kn, en, tn) +
+ Л^б(кг—k;)ffi»n_2(kb 8b tltкг_ь 8H1, t^,
k;+2> Si+2, ^г+2, kn, 8n, Zn) (29.5)
(определение матрицы см. в §20).
6. Трансляционная инвариантность:
(ki, вь tr..kn, 8n, tn) =
= vn (кь 8Ь tu ..., kn, 8n, tn) 6 (^8, к,)
[в (х, ^-представлении это свойство записывается равенством
wn (хь 8Х, tt, ..., хп, еп, tn) = wn (хх + а, гъ tlt .... хп + а,
®п» ^п)1-
Все перечисленные свойства (за исключением свойства 6)
без труда устанавливаются, если вспомнить, что функции
шп получаются предельным переходом из функций для
которых аналогичные утверждения доказаны в § 24.
Теорема реконструкции. Существование. По семейству
функций ayn(k15 еъ ..., tn), обладающих свойствами 1 — 6,
можно построить гильбертово пространство 4 комму-
тирующих самосопряженных оператора Н, Р, операторные
функции а(к, 8, f), обобщенные* по переменной к, действую-
щие в Ж, и вектор Ф так, что будут выполнены следую-
щие требования:
а) дап(кь 8Ь..., kn, 8n, Q = <a(k1;e1, ?,) ... a(kn,8n,
U®, ф>;
б) ехр (1гН) а (к, 8, t) ехр (—ixH) = а(к, 8, ^ + т),
ехр (iaP) а (к, 8, f) ехр (—iaP) = ехр (ieak) а (к, 8, fp,
* Пространством основных функций считаем пространство
SP (Е3) [т. е. всюду в формулировке теоремы функция f (Z?3)].
140
в) операторы a(f, 8, f) — § f (к) а (к, 8, t)dk определены
на всюду плотном подмножестве D пространства 3$ и пе-
реводят это подмножество в себя-, операторы a (f, 8, t) при
фиксированном t задают представление CR; выражение
(a(f, 8, Z)Yi, Та) непрерывно зависит от f в топологии про-
странства для всех Yi, Y2 £ £);
г) вектор Ф является основным состоянием оператора
энергии Н и удовлетворяет условиям НФ — 0 и РФ = 0;
д) вектор Ф является циклическим относительно опера-
торов a (f, 8, f).
Единственность. Если 3ti, Hit Рг, (к, 8, f), Фг —
два набора (1 = 1,2) объектов, удовлетворяющих условиям
а), б) и в) теоремы реконструкции, то существует унитар-
ный оператор U, отображающий пространство 3€г на про-
странство 3t2 и удовлетворяющий условиям: иФг = Ф2,
UH1 = H2U, UP1 =Р2/7, а также соотношению Ua^, s,t)=
— а2 (f, s, f)U на некотором всюду плотном подмножестве
пространства 3tr (иными словами, оба набора изоморфны).
Доказательство начнем со второй части теоремы. Рас-
смотрим множество Ж таких последовательностей функций
f = {fn (ki, 8Х, tr.kn, 8n, tn)}, что: 1) каждая из функ-
ций fn является линейной комбинацией функций вида
(kj., 8i)6 (^i ^i)--- (km, 8m)6 (tm ^m)>
где %г (кг, 8г) — основные функции; 2) только конечное
число функций fn отлично от нуля. Каждой последователь-
ности f £ N сопоставим векторы YJ, где i = 1, 2, по фор-
муле
оо
^=2 2 Jfn(ki,8i,^l, ...,kn,8n, Ua{(kl,81Лl)...
n=I 81,...,8/
...af(kn, 8n> tn)dnkdnt.
Совокупность векторов Yf, где f g «/Г, обозначим Ска-
лярное произведение <Y|, Yg> двух векторов из совокуп-
ности Di легко выразить через последовательности f, g
и функции Уайтмана:
<Yf, Y|> = 2 2 f fm (kx, 8i, .....km, 8m, fm) x
m. nea,aaJ
X fn (41> <h, *1- 4n, <Tn, Tn) wm+n (ki, 81, /1, ...
•••> km, 8m, tm, on, Tn,..., Qi, —-Oi, Tj) dnkdn(]dmtdnt.
(29.6)
141
Без труда проверяется, что
at (ф)ЧЧ = Ч^ (29.7)
[здесь <р — ф (к, е, t) = А (к, е)6 (t — т), где А (к, е) — ос-
новная функция, «j (ф) — У, f ф (к, е, t)ai (к, е, t) dk dt =
В
е) а (к, е, г) dk, qf £ .#* — последовательность,
В
n-й член которой равен ф (кь 4) /n_i (к2, е2, t2, ..., к„,
еп, ^п)1- Из условия б) вытекает, что
ехр(-Шгт)Ч^--=Ч^; ехр (-iaP) 4^ = 4^, (29.8)
где и !Fa / £ </Г задаются соответственно после-
довательностями функций с n-ми членами
fn (ki, еъ tr — г, ..., kn, en, tn — г),
exp (—i^akfij)fn (kb ex, tr, .... kn, гп, tn).
Построим теперь оператор U на множестве Dt, положив
UWf =
В силу соотношения (29.6) этот оператор сохраняет скаляр-
ное произведение, поэтому его можно по непрерывности про-
должить в унитарный оператор, отображающий в .7f2-
Из соотношений (29.7) и (29.8) следует, что построенный
оператор удовлетворяет нужным требованиям.
Проведенное доказательство второй части теоремы ука-
зывает путь к доказательству первой ее части.
Итак, пусть задана система функций Уайтмана w. Введем
в множестве Л' скалярное произведение по формуле
<f. £> = 2 2 ffm(ki, 81,/1,..., km, em, Qfn(qi, Qi.Tp ...
m, nea>
•••> 4n, &n, Tn) wm^.n (ki, 8i, /i.km, 8m, tm, qn, <rn, тп, ...
..., qb —оу, ту) dm kdn qd,n tdnт.
В силу свойства 3 </, /> >= 0. Элементы назовем
эквивалентными (/ ~ g), если <f — g, f — ^> = 0. Мно-
жество классов эквивалентности обозначим через D, класс
эквивалентности элемента / 6 «/Г обозначим через Ч^.
Иными словами, множество D состоит из символов Ч^, где
f С #*, причем символы Чг/ и 4fg задают один и тот же эле-
мент множества D, если f ~ g. Скалярное произведение эле-
142
ментов Ту, £ D определим формулой (Ту, = </, §>.
Один и тот же элемент множества D может быть разными
способами представлен в виде Ч^, однако скалярное произве-
дение в D не зависит от выбора представления, поскольку
из соотношений f ~ f, g ~ g' следует, что </, §> = </', g'y.
(Аналогичные рассуждения — проверку корректности оп-
ределения — приходится проводить и для других операций
в D.) Линейную комбинацию элементов из D определяем
формулой
при этом линейная комбинация X/ + p,g последовательно-
стей f и g определяется обычным образом (почленно). Таким
образом, множество D стало предгильбертовым простран-
ством.
В пространстве D определим операторную обобщен-
ную функцию a (f, е, f) — J f (k)a (k, e, t) dk, положив
a (f, e, f) 4fg = ¥fpg, где~<р (кд ст, т) = f (к) 6^ Е 6 (t —т), и
семейства операторов VT, Wa, положив VT4rg — 4fVztg,
Определим теперь гильбертово пространство № как по-
полнение предгильбертова пространства D.
Операторы Vi, Wa, как легко проверить, отображают
множество D на себя и сохраняют скалярное произведение,
поэтому их можно по непрерывности продолжить в унитар-
ные операторы в пространстве Получим соответственно
однопараметрическую и трехпараметрическую группы уни-
тарных операторов в их производящие операторы обозна-
чим через Н и Р [иными словами, Vx = ехр (—i/fr), IFa =
= ехр (—iaP)]. Символом Ф будем обозначать вектор Те,
где 0 — последовательность, у которой /0 = 1, fn = 0 при
п > 0. Операторные обобщенные функции a (f, t, е) уже
определены на плотном множестве D cz
Таким образом, по функциям Уайтмана построены все
объекты, существование которых утверждается в теореме
реконструкции. Тривиально проверяется, что они обладают
всеми нужными свойствами. Единственный пункт, требую-
щий некоторых разъяснений, — это доказательство того,
что вектор Ф является основным состоянием гамильтониана
Н. Выведем этот факт из следующей леммы.
143
Число со не принадлежит к спектру оператора Н, в том
и только в том случае, если для всех функций Уайтмана
J ехр (—icoT)®n (кх, ех, Ч.кьег,тг, кг+х, ei+x, fi+14-т,...
kn,en,/n+t)dT = 0. (29.9)
В силу свойства 4 функций Уайтмана из леммы следует
неотрицательность оператора Н. Поскольку НФ — 0, ясно,
что Ф — основное состояние.
Для доказательства леммы заметим прежде всего, что
функции wn являются функциями Уайтмана оператора Н
относительно операторной обобщенной функций a (k, , f)
в смысле § 24 и, следовательно, в силу свойства 4 (§ 24),
если со не принадлежит спектру оператора Н, выполняется
соотношение (29.9). Чтобы доказать обратное утверждение,
достаточно проверить, что для гладкой финитной функции
X (со), не равной нулю лишь при со, удовлетворяющих соот-
ношению (29.9), выполнено равенство J х (О ехР (jHf)dt — О,
где X (0 — j* ехР (—i<°0x (m)d(o (см. дополнение, § Д.5).
Легко убедиться, что
jx(O<exP (IHt) Т2>Л = 0,
если Тг = a (f\l\ е1!0, t\l}) ... a (jty, е^?, Z^) Ф; для
этого достаточно выразить
J Х(0 <ехрД/Д) Тх, Т2>Л =
— J х (®) <ехр (i (Н—со) t) Ч^, Т2> da dt
через функции Уайтмана. В силу цикличности вектора Ф
из доказанного соотношения вытекает, что J X (О х
X ехр (iHf) dt = 0.
Таким образом теорема реконструкции доказана.
Из доказанной леммы вытекает, что всякая точка спект-
ра оператора Н принадлежит спектру трансляционно ин-
вариантного гамильтониана Н в смысле § 28. Аналогично
доказывается следующее утверждение: если точка (k, Е)
принадлежит спектру семейства коммутирующих операторов
(Р, Н), то у гамильтониана Н существует уровень энергии
Е с импульсом к.
144
В заключение убедимся, что при некоторых условиях
пространство операторы Н, Р, операторные обобщенные
функции a (k, е, f) и вектор Ф, построенные при доказатель-
стве теоремы реконструкции, образуют операторную реали-
зацию трансляционно инвариантного гамильтониана Н
в смысле § 28. Именно докажем, что это утверждение имеет
место, если в формуле (28.2), задающей гамильтониан Н,
функция Л1д (к) — гладкая, все производные -ее имеют не
более чем степенной рост, а остальные функции Лт п при-
надлежат пространству & (как замечено в § 28, при этих
условиях уравнения (28.4) имеют точный смысл). Для того
чтобы провести доказательство, достаточно проверить, что
операторные обобщенные функции a (k, е, f), фигурирующие
в теореме реконструкции, удовлетворяют гейзенберговским
уравнениям (28.4), ^юрмально написанным по гамильтониа-
ну Н (остальные условия определения операторной реали-
зации выполнены в силу теоремы реконструкции). Эту
проверку легко осуществить, заметив, что функции Уайт-
мана, построенные по гамильтониану Н, подчиняются урав-
нениям
—®1» h, -, К, er, tT) =
oti
= n f’Am, „ (pi........pm | qn ..., qn-i, ki)6(P1-|-...+
tn, n J
+ Pm—41 •••' Чп-l ki)tiyr4-m-|_rt —2 (Pl, 1, tlt ...
Pm. 1. tlt q1( —1, tr, ..„ qn-i, —1, tr,
k2, e2, t2, ..., kr, er, tT) dm q—
— S-tlj m f Am, n(ki, Pi, .... Pm-11 91, 4n) X
m, n v
Хб (кх-+р1 + ... + Pm-x—qi— ••• — qn)av-f-m+n-2(Pi, 1» ^i,-••
Pm-i. ti, qi, 1, tlt ..., qrl, 1, tlt k2, e2, t2,...
..., kr, er, tr) d”1-1 pdraq (29.10)
и аналогичным уравнениям для производных по другим
временным аргументам. (Уравнения (29.10) получаются,
если, следуя рассуждениям § 27, написать уравнения для
функций и перейти в них к пределу Q-> оо; условия,
наложенные на функции Лт, п, обеспечивают возможность
а
перехода к пределу, поскольку предполагается, что wr стре-
мится к wT в смысле обобщенных функций.) Из уравнений
145
(29.10) без труда выводятся гейзенберговские уравнения
(28.4); для вывода достаточно выразить через функции
Уайтмана величину
/±a(f,f)Wa, ТА,
х at /
где а, £ 6 воспользовавшись при этом уравнениями
типа (29.10).
Из доказанного утверждения вытекает, что функции
Уайтмана трансляционно инвариантного гамильтониана,
определенные в § 29, являются функциями Уайтмана опера-
торной реализации этого гамильтониана в смысле, указан-
ном в § 28. Аналогичное утверждение справедливо для
функций Грина. В дальнейшем будем пользоваться опреде-
лением § 28 , но употреблять более короткий термин § 29.
Кроме функций Уайтмана и Грина в квантовой теории поля
важную роль играют функции Швингера, определение которых
будет сейчас дано.
Рассмотрим операторы ехр (Шт), где т — комплексное число.
В силу неотрицательности оператора Я эти операторы ограничены,
если т лежит в верхней полуплоскости (Im т ;> 0). Поэтому естест-
венно сделать предположение, что при условии Im т ^>0 оператор
ехр (Шт) переводит множество D в себя; тогда, в частности, этим
свойством обладает оператор ехр (—Но), где <j 0. При этом
предположении можно определить функции Швингера соотноше-
нием
Sn (ki, еъ .....kn, en, tn) = <.a (k1( e1( 0) exp (— H (ij—/2)) X
X a (k2, e2, 0)... exp ( — H tn)) a (kn, en, 0) Ф, Ф>
(считаем, что ... tn)- Впрочем, функции Швингера можно
определить и без дополнительных предположений. В самом деле,
в силу инвариантности при сдвиге по времени функцию Уайтмана
wn можно записать в виде
wn (ki, Bj, .., kn, en, tn) — Vn (ki, e1( ...,
kn, 8n, t%— ii, ..., tn — tn-l)-
Функция Vn (kj, bv ..., kn, en, tv ..., t„_j) аналитически продол-
жается по переменным тг.......xn—i в область ImTj^O, ...,
Im тга_(чтобы убедиться в этом, следует представить vn
в форме
vn (ki, ®1, • • •, kn, Ед , Ti, • • • > xn-i) —
— § exp (i S (iij Tj j Vn (k2, ..., en, toj, ..., <on-i) dra-1 to
146
и заметить, что в силу условия спектральности носитель функции
vn содержится в множестве a>i^0, tora_]^>0). Аналити-
ческое продолжение функции vn будем обозначать тем же символом,
что и саму функцию.
Функции Швингера определяются теперь равенством
Sn (ki> 8i, ^i, • • •, kn, , tn) —
= vn (ki, 81, ..., kn, en, i (/j — Z2), ..., i (tn-i tn))
(это определение имеет смысл при ...
Легко указать свойства функций Швингера, аналогичные пере-
численным выше свойствам функций Уайтмана, и доказать аналог
теоремы реконструкции для функций Швингера; не будем на этом
останавливаться.
§ 30. Взаимодействия вида V (<р)
В этом параграфе рассмотрен важный класс трансля-
ционно инвариантных гамильтонианов. Гамильтонианы это-
го класса возникают при квантовании классических систем
с бесконечным числом степеней свободы; они могут быть
приведены к виду (28.2), что позволяет применить для их
изучения результаты исследования гамильтонианов вида
(28.2).
В настоящем параграфе будет удобно отказаться от при-
нятого в книге условия Й = 1.
Напомним, что при квантовании классической механи-
ческой системы с функцией Гамильтона вида
п р!
= 2 V + (30.1)
fe=i 2
где ph — обобщенные импульсы, qh — обобщенные коорди-
наты, возникает квантовомеханическая система, описывае-
мая гамильтонианом
" 1
2 у ...,?„), (30,2)
6=1
где pk, qk — самосопряженные операторы, подчиненные
коммутационным соотношениям
[Pk> рЛ = [qk, чЛ = 0; [pk, чЛ = у
147
(в качестве операторов pk, qk можно выбрать операторы
в пространстве квадратично интегрируемых функций
ф (<7i, qn), определяемые формулами р^ф =---------ф;
i dqh
Гейзенберговскиеоператорырь (z)=exp (iHf)pkexp(—iHt),
qk (f) — exp (iHt) qh exp (—iHt) удовлетворяют уравнениям
dpk(t) du r - ...X
-j— = —T—Wi (0, -,qn (0);
dt dtfi
dq. (i)
Рассмотрим теперь аналог классической системы с функ-
цией Гамильтона (30.1) для случая бесконечного числа сте-
пеней свободы. Именно, пусть классическая система описы-
вается функционалом Гамильтона
Ж (л, <р) = -i- J л2 (х) dx + V (ф);
У (ф) = s У Уп (Х1, • • •, Хп) ф (Х1)... ф (xn) dxt „., dxn
п d
где л (х) — обобщенные импульсы; ф (х) — обобщенные
координаты. Ради определенности будем считать, что х
пробегает трехмерное евклидово пространство, и рассматри-
вать только трансляционно инвариантный случай [т. е. бу-
дем полагать, что функции Vn (хъ ..., хп) имеют вид
vn (хг — хп, ..., хп_г — хп)]. Естественно предположить,
что при квантовании такой системы.возникает квантовая
система, описываемая гамильтонианом
Н = J л2 (х) dx +
+ 2 С Vn(xb,.., xn)q>(x1)...^(xn)dxll.,dxnt (30.3)
п J
где л (х), ф (х) — эрмитовы операторы (точнее, операторные
обобщенные функции), удовлетворяющие коммутационным
соотношениям
[л (х), л (х')1 = [ф (х), ф (х') ] = 0;
[л (х), ф (х')1 = -7-6 (х—х'). (30.4)
148
Однако, пытаясь корректно описать эту квантовую систему,
сталкиваемся с трудностями, уже встретившимися при изу-
чении гамильтонианов вида (28^2): имеется много существен-
но различных систем операторов, удовлетворяющих соот-
ношениям (30.4); при наиболее простых конструкциях опе-
раторов я (х), ср (х) выражение (30.3), как правило, не опре-
деляет оператора. Эти трудности могут быть преодолены
аналогичными способами. Здесь остановимся только на
способе, основанном на решении гейзенберговских уравне-
ний, формально написанных по гамильтониану (30.3).
Именно, будем рассматривать гамильтониан Н вида
(30.3) как формальное выражение и определим операторную
реализацию гамильтониана Н как совокупность гильберто-
ва пространства Ж, оператора энергии Н, оператора им-
пульса Р, вектора Ф и операторных функций ф (х, /), обоб-
щенных по переменной х, удовлетворяющих следующим
условиям:
1 * ° = ЧГ <х> Х1...........x"-i) х
dt2 п J
Хф(хь f) ...ц>(хп_ъ ^dxx.-.dx^. (30.5)
2 . ехр / — т#') ф (х, /) ехр /тН) = ф (х, 14- т);
\ h J \ h /
ехр (^р-аР^ ф (х, t) ехр f аР^ — ф (хЦ-а, /).
3. Операторы ф (Д f) = f f (х) ф (х, f) dx и я (Д t) =
= ^Ф (Д 0 = ^(х)^ф(х> 0^х, где /6<У(£3 4), определены
на всюду плотном подмножестве D пространства Ж и пере-
водят это подмножество в себя; если функция f действитель-
на, то эти операторы эрмитовы. Выражения <ф (Д
и <я (Д Z)Ti, Тг) непрерывно зависят от функции (Е3)
в топологии пространства & (Е3) для любых ЧД, Т2 £ D:
При всех t выполнены соотношения
[я(Д /),«(/=', 0] = [ф(Д 0,ф(Г, 0]=0;
[л (f, t), Ф (Г, о] = Y J f (*) f' (х) dx.
4, Операторы Н, Plt Р2, Р3 коммутируют. Вектор Ф
является основным состоянием оператора энергии Н и удов-
летворяет условиям НФ = 0, РФ = 0.
149
5. Вектор Ф является циклическим вектором семейства
операторов <р (f, t).
Вопрос о придании точного смысла уравнениям (30.5)
в наиболее простых случаях может быть разрешен так же,
как и в § 28, с помощью операторного аналога теоремы
о ядре.
Для гамильтонианов вида
Но = — f л2 (х) dx + -i- f v (х—у) ф (х).<р (у) dx dy (30.6)
2 J 2 J
(свободных гамильтонианов) операторную реализацию легко
построить. В самом деле, предположим, что функция v (к) =
= J ехр (—ikx) v (х) dx почти везде положительна (если
это условие не выполнено, то операторной реализации га-
мильтониана Но не существует; см. § 2 в 1231). Пусть Sf, Н,
Р, Ф, ф (х, t) — операторная реализация гамильтониана
Но. Построим операторные обобщенные функции
a (k, е, = (к)ф(ек, 0 + у===л(ек, /)],
где со (к) = ]/% (к); ф (к, f) = (2л)3/2 f ехр (—1кх)ф (х, t)dx-,
л (к, /) = ф (к, /). Легко проверить, что эти операторные
обобщенные функции вместе с операторами Н, Р и вектором
Ф образуют операторную реализацию гамильтониана
h f и (k)a+ (к)а (k)dk в смысле § 28. Это подсказывает сле-
дующую конструкцию операторной реализации гамильто-
ниана (30.6). В качестве пространства следует взять фо-
ковское пространство F (L2 (Е3)), операторы энергии Н
и импульса Р определить формулами
Н = h J со (к) а+ (к) а (к) dk;
Р = Е J ка+ (к) а (к) dk,
а операторную обобщенную функцию ф (х, t) — соотноше-
нием
Ф (х, f) = (2л)~3/2 Й1/2 J (а+ (к) ехр (ко (к) t—ikx) +
+а (к) ехр (—ico (к) t + ikx)) .
у 2<d(k)
150
Основное состояние Ф совпадает с фоковским вакуумом 0.
Легко видеть, что перечисленные объекты действительно
удовлетворяют условиям определения операторной реали-
зации и что любая другая операторная реализация унитар-
но эквивалентна описанной (подробнее см. [23]).
Рассмотрим теперь произвольный гамильтониан Н вида
(30.3) и выразим его через символы а+ (к), а (к), удовлет-
воряющие CCR, полагая
<р (х) = (2л) 3/2 Й1/2 J (а+ (к) ехр (—ikx) +
+ а(к) ехр (ikx)) ;
V 2а> (к)
л (х) = (2л) -3/2й1 /2 J1 (а+ (к)ехр(—ikx) —
—а (к) ехр (ikx)) dk,
где со (к) — почти везде положительная функция. Найден-
ное выражение приведем к нормальной форме с помощью
CCR; получающуюся при этом константу (вообще говоря,
бесконечную) отбросим. В результате имеем формальное
выражение Н вида (28.2).
Легко видеть, что задача о построении операторной реа1
лизации гамильтониана Н эквивалентна задаче о построении
операторной реализации гамильтониана Н. Например, если
Ж, Н, Р, Ф, a (k, е, t) — операторная реализация гамиль-
тониана Н, то операторную реализацию гамильтониана Н
можно получить, оставив прежними гильбертово простран-
ство операторы Н, Р, вектор Ф и определив операторные
обобщенные функции <р (х, /) формулой
<р (х, t) = (2л)-3/2 Й1/2 J (a (k, 1, t) ехр (—ikx) +
+ <!(k,-l,()exp(ikx))vg=..
Это замечание позволяет перенести на гамильтониан вида
(30.3) все, что известно для гамильтонианов вида (28.2).
ГЛАВ A 9
МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
ТРАНСЛЯЦИОННО ИНВАРИАНТНОГО
ГАМИЛЬТОНИАНА(ОСНОВНЫЕ
ФАКТЫ)
§ 31. Матрица рассеяния трансляционно
инвариантного гамильтониана в
фоковском пространстве
В этой главе изложены основные положения теории рас-
сеяния для трансляционно инвариантного гамильтониана;
часть из них приведена с доказательствами, не претендую-
щими на полную математическую строгость (§ 32, 35),
другие сообщены почти без доказательств (§31, 33, 34).
В дальнейшем на базе аксиоматической теории рассеяния
доказано большинство результатов этой главы (см. гл. 11).
Для того чтобы построить матрицу рассеяния трансля-
ционно инвариантного гамильтониана, нельзя прямо при-
менить общую конструкцию формальной теории рассеяния
(§ 17). Первым препятствием для применения этой конструк-
ции является то, что такой гамильтониан может определять
самосопряженный оператор в фоковском пространстве лишь
при отсутствии поляризации вакуума (§ 28); однако даже
для трансляционно инвариантных гамильтонианов, опреде-
ляющих оператор в фоковском пространстве, трудности
остаются. Эти трудности связаны с тем, что в рассматри-
ваемом случае, Как правило, не существует естественного
деления гамильтониана Н на «свободный» гамильтониан
Но и «взаимодействие» V.
В качестве гамильтониана Но разумно выбрать гамиль-
тониан вида f 8 (k)a+ (k)a (k)dk, поскольку такой гамиль-
тониан описывает систему невзаимодействующих тождест-
венных частиц. Будем считать поэтому, что трансляционно
инвариантный гамильтониан Н, определяющий оператор
в фоковском пространстве F (L2 (£3)), представлен в виде
Н = Но + V, где
Но — J 8 (к) а+ (к) а (к) dk;
2 n(ki, •••> kjnlPi, ...,pn)a+(k1)...
(31-1)
...a+ (km)a(pj) ...a(pn)dmkdnp
152
[здесь Vm,n (ki....kjnlpj,..., pn) = vm< n (kb km| pn ...
•••> Pn) (kj+ ... + km—p!—... — pn)].
Однако деление гамильтониана H на слагаемые Но
и V, как мы увидим, имеет физический смысл лишь при усло-
вии х = 0; в противном случае такое деление диктуется
лишь соображениями удобства и может быть произведено
разными способами.
Имеет место следующее утверждение: если Vm< г ф 0
(т. е. во «взаимодействии» есть слагаемые, содержащие только
один оператор уничтожения), то матрицы Мёллера S± не
могут быть определены соотношениями формальной теории
рассеяния (17.1), (17.2). В самом деле, если существует
предел, фигурирующий в соотношениях (17.1), (17.2), то
для любого вектора х g F
lim
<2^ — 00
(Л> G-’-H"00)
ехр (iHt) V ехр (—iHot) xdt
= 0.
[Чтобы убедиться в этом, достаточно воспользоваться соот-
ношением
ехр (UH) Vехр (—ИН0) х — — ,
i dt
где l,(t) = exp([Ht)exp(iHot)x, и, следовательно,
^2 ..
j ехр (iHt) V ехр (—iHot) xdt = -у-(| (/2)—g (^))
Заметим, однако, что при х= J f (k) а+(к) dkB
|| | = || ехр (IHt) V ехр (— iHot) х || = ||V ехр (—iHJ) х ||
не зависит от t. Действительно, в этом случае
ехр (iHot) х = J ехр (ie (к) t) f (к) а+ (к) dk0;
V ехр (—i Hot) x = ^\fn (кь ..., kn 1t) а+ (kJ .а+ (кп) dn к0,
п
где
fn(kb кп|0 =
~ vn,i 04.....кп | kx+...+k„) f (кх4-...4-кп) ехр (— i/e (kj-j-
+ «-- + М)«
153
Если заметить, что
||V ехр (—i#0/)x|| = 2 n! f \fn ....kn|0|M«k,
п
независимость || Н от t становится очевидной. Те же самые
|| d2? |1 ||d
рассуждения показывают, что = -77 (ехр (iHf) х
X V ехр (— iHot) х) Л = || ехр (—iHt) (HV — VH0) х
X ехр(—iHof) х ||=|| (HV—У#0)ехр (—iHof) х || не зависит от t.
Теперь для проверки нужного утверждения достаточно при-
менить к вектору т] (/) = следующую лемму: если || т] (/) |1
не зависит от t и || ограничена сверху, то f т] (/) dt
не может стремиться к нулю при tlf t2-> оо.
Математический факт — невозможность дать определе-
ние матриц Мёллера таким же образом, как в теории потен-
циального рассеяния, — имеет ясную физическую основу.
Дело в том, что состояния а+(к)0 —одночастичные состоя-
ния — в рассматриваемом случае собственные для гамиль-
тониана Но, но не для полного гамильтониана Н. В § 19
введено понятие частицы (одночастичного состояния) для
гамильтониана Н как обобщенной векторной функции
Ф (к), удовлетворяющей условиям (19.1)—(19.3).
С помощью этого понятия высказанное утверждение мож-
но переформулировать следующим образом: обобщенная
векторная функция а+ (к)0 является одночастичным состоя-
нием гамильтониана Но (голым одночастичным состоянием),
но не является одночастичным состоянием гамильтониана
Н (одетым одночастичным состоянием). В несовпадении
голых и одетых частиц и лежит физическая причина необ-
ходимости модифицировать определение матрицы рассея-
ния.
Отметим, что в случае vm, 0 = vm, г = О голые частицы
совпадают с одетыми, и необходимости в изменении опреде-
ления матрицы рассеяния не возникает.
Укажем вкратце, каким образом можно произвести не-
обходимые видоизменения определения матрицы рассеяния
для трансляционно инвариантного гамильтониана, опреде-
ляющего оператор в фоковском пространстве.
Сформулируем три определения матриц Мёллера S±,
пригодные в ситуации, когда нет различия между голыми
154
и одетыми частицами (т. е. когда гамильтониан имеет вид
(31.1) и vm< х == 0), и укажем, как каждое из этих определе-
ний переносится на рассматриваемый случай (если опреде-
лены матрицы Мёллера S±, то матрица рассеяния опреде-
ляется формулой S — S+S-).
Первое из этих определений — то, из которого исходили
в формальной теории рассеяния [см. (17.1), (17.2)]. Далее,
можно определить матрицы Мёллера как сильные пределы
адиабатических матриц Мёллера Sai при а->0. В § 17
указаны условия, при которых второе определение экви-
валентно первому [см. (17.4), (17.5)]. Наконец, третье опре-
деление основано на предварительном введении in- и out-
операторов с помощью формул
«in (k) = slim ехр (ie (к) t) а (к, /);
out
ait (к) = slim ехр (—ie (к) t) а+ (к, t).
out Г>Тоо
(31.2)
Если известны in- и out-операторы, то матрицы Мёллера
могут быть определены соотношениями
S_ ain (к) =а (к) S_, S_0=0;1
S+ «out (к) —a (k) S+, S+0=0J
(об эквивалентности этого определения первому опреде-
лению говорилось в § 19).
Начнем с переноса на рассматриваемый случай треть-
его Определения. Предел, фигурирующий в (31.2), не су-
ществует при j ф 0; это становится ясным из выше до-
казанного отсутствия предела при t -> ±°° У выражения
ехр (1Н1) ехр (—\Hot) J f (k) а+ (k) 0dk =
= J f (k) exp (— ie (k) f) a+ (k, t) Qdk.
Однако высказанные соображения не мешают существо-
ванию слабого предела у выражений вида ехр (iсо (k) t) «(к, /).
Поэтому in- и оФ-операторы (операторные обобщенные
155
функции) ain (k), ait (k), Gout (k), a0+ut (k) определим соот-
ношениями
flin (k) = wlimA (k) exp (ia> (k) t) a (k, /);
—oo
a+ (k) = wlimA(k) exp ( —ico(k)Z) a+ (k. z1);
—oo
flout (k) == wlim A (k) exp (ico (k) t) a (k, /);
/ "4“ OO /
a+t (k) = wlimA (k) exp (—ico (k) t) a+ (k, t),
/-►-[- oo
где положительная функция co (k) подбирается из условия
существования предела, а функция Л (к) — из условия,
чтобы операторы а& (к), Gtn (к) и ao+ut (к), aout (к) удов-
летворяли CR:
Гаы (к), Gin (к')1 =[ait (к), ait. (к')1 = 0;
L out out J~ L out out J
[Gin (k), Gi+n (k')l =S(k —k'),
Легко убедиться (см. § 32) в том, что векторные обобщенные
функции Git (к) 9 и GoV(k)0 — одночастичные состояния
гамильтониана Н, и вывести из этого заключение, что функ-
ция со (к) имеет смысл энергии одночастичного состояния:
Hatn (к) 0 = со (к) ait (к)0.
out out
Матрицы Мёллера по-прежнему определяются через in-
и out-операторы соотношениями (31.3).
Второе определение может быть обобщено следующим
образом. Матрицами Мёллера S± называются унитарные
операторы, которые можно представить в виде
S+= slim Sa+t/t; (31.4)
a-О
S_ = slim Sa_ Ua, (31.5)
a >0
где Ua, — оператор вида
exp^— J r (k) a+ (k) a (k) cfkj, (31.6)
функция r (k) подбирается из условия существования пре-
делов (31.4), (31.5).
156
Если хотим определить непосредственно матрицу рас-
сеяния, то можем воспользоваться соотношением
S = slim UaSa Ua, (31.7)
а-» О
где Sa — адиабатическая S матрица, оператор Ua имеет
вид (31.6) и функция г (к) подбирается из условия сущест-
вования предела (31.7).
Наконец, для первого определения можно указать сле-
дующее обобщение.
Матрицами Мёллера S± называются операторы вида
S± = slim ехр (i Ht) Т ехр (—i77as/), (31.8)
i-*±oo
где Т — оператор, удовлетворяющий условиям
Тд = 0,
Та+ (к) 0 = Ф (к)
и имеющий вид Т = N (ехр В), где
В = j Ьп (къ ..., кп) б (2 кг - к) а+ (к,)...
... а+ (кп) а (к) dk dkx... dkn
[Ф (к) обозначает одночастичное состояние гамильтониана
Н, Has = J ® (к) а+ (к) а (к) dk, где и (к) — энергия
одночастичного состояния: НФ (к) = и(к)Ф(к)]*.
В соотношении (31.8) можно заменить описанный выше
оператор Т различными другими операторами. Все опера-
торы D, для которых имеет место соотношение
S± = slim ехр (i/H)L>exp (—НН;®),
i -*±оо
назовем одевающими операторами [название связано с тем,
что они должны переводить голое одночастичное состояние
а+(к)0 в одетое одночастичное Ф(к)]. Можно указать ши-
рокий класс операторов, являющихся одевающими опера-
торами (см. § 34 и § 45).
Все три определения матриц Мёллера оказываются (при
некоторых предположениях) эквивалентными. Они допу-
скают дальнейшее обобщение на трансляционно инвариант-
ные гамильтонианы, порождающие поляризацию вакуума.
* Определение матриц Мёллера с помощью соотношения
(31.8) было предложено И. Я. Арефьевой.
157
При этом, естественно, возникают дополнительные ослож-
нения, связанные с тем, что гамильтониан не задает опера-
тора в фоковском пространстве.
Для определения с помощью in- и out-операторов эти
осложнения преодолеваются, если рассматривать опера-
торную реализацию гамильтониана Н. Остальные опре-
деления следует модифицировать, включив в них обрезание
гамильтониана Н по объему Q и предельный переход Q -> оо
(при этом нужно определять уже не матрицы Мёллера, а
сразу матрицу рассеяния). Подробнее различные опреде-
ления матрицы рассеяния для трансляционно инвариант-
ного гамильтониана будут изучены в следующих парагра-
фах этой главы и в гл. 11.
В § 19 указано, что при наличии связанных состояний
определение матрицы рассеяния требует видоизменений да-
же для простейших гамильтонианов. Аналогичные видо-
изменения необходимы при наличии связанных состояний
и в рассматриваемой ситуации; определение матрицы рас-
сеяния, пригодное и в случае, когда есть связанные со-
стояния, дано в § 42.
§ 32. Определение матрицы рассеяния
с помощью операторной реализации
трансляционно инвариантного
гамильтониана
Пусть Н — трансляционно инвариантный гамильто-
ниан, (М, Н, Р, а (к, 8, t), Ф) —его операторная реализация
(см. § 28).
Определим т-операторы ain (к, 8, t) и out-oneраторы
«out (к, 8, t) как пределы
«in (k, 0 = «in (к,—1, f) =wlimAT (к) х
out out
X ехр (ico (к) т) а (к, —1, г’ + т); (32.1)
«fii (к, t) = ain (к, 1, t) = wlimAT (к) х
out out г» Too
Хехр(—ко (к) т) а (к, 1, г’ + т),
где со (к) подбирается из условия существования предела, а
Лт (к) — из условия, чтобы операторы «й (к, t) и ain (к, /)
[соответственно, aAt (к, t), aout (к, г1)] при фиксированном t
удовлетворяли CR. (Здесь и (к) — положительная почти
везде функция, предел понимается как слабый предел опе-
158
раторных обобщенных функций, е = ± 1. Введя обозна-
чение Лт (k, —1) = Лт (к), Лт (к, 1) == Лт (к), можем
написать, что для всякой функции f б &
t(f, в, 0 = *5 f (k) а{п (к, 8, t)dk =
out out
= wlim (к) Лт (к, 8) exp (—iew (к)т) a (к, e, t’ + 't) dk
oo ’
в смысле слабого предела операторов.)
Данное определение in- и out-операторов отличается от
определения, принятого в теории потенциального рассея-
ния (§ 19), заменой сильного предела на слабый. Появление
множителя Лт (к) связано с этой заменой: сильный предел
сохраняет CR, а слабый — не сохраняет.
Вопрос о существовании in- и out-операторов (т. е. воп-
рос, найдутся ли такие функции со (к) и Лт (к), что пределы
(32.1) существуют и удовлетворяют CR) сейчас обсуждать
не будем (см. гл. 10, 11). Говоря одновременно об in- и out-
операторах, будем употреблять обозначение аех (к, 8, /).
Установим простые свойства in- и out-операторов.
Покажем, что:
1) аех (к, 8,7) = ехр (iHt) аех (к, 8,0) ехр (—iHt) —
= ехр (iea> (к) t) аех (к, 8, 0);
2) ехр (iPa) aex (к, 8, t) ехр (—iPa) = ехр (iska) aex (к, 8, t)’>
3) яех(М)Ф = 0;
4) обобщенная векторная функция Фт (к) = а?х (к, 0) Ф
нормирована на ^-функцию и является обобщенной собствен-
ной функцией операторов Н и Р:
ДФт(к) = ю(к) Фт (к);
РФТ (к) = кФт(к)
(функция Фт (к), удовлетворяющая этим требованиям, опи-
сывает одночастичное состояние; см. § 19).
Заметим прежде всего, что свойство 2) вытекает из со-
отношения
ехр (iPa) а (к, 8, t) ехр (iPa) = ехр (ieka) а (к, s, t).
159
Далее,
аех (к, е, t) = wlim Лт (к, е) ехр (ie® (к) т) а (к, е, t + т) =
Т->=Р оо
=wlim exp(iJ7/)AT(k, е) ехр (ie® (к) т) а (к, е, т) ехр (—iHt) —
*Г-*фоо
= ехр (iHt) (wlimAT (к, е) ехр (ie® (к) т) а (к, е, х)) х
r->=F оо
X ехр(— iHf)=exp (iHt) аех (к, е, 0) ехр (—iHt).
С другой стороны, подставив в соотношения (32.1) р вместо
t + т, получим
аех(к, е, ^) = wlimAT(k, e)exp(ie®(k)(p—t))a(k, е, р) =
р-*Т оо
= ехр (—ie® (к) t) аех (к, е, 0).
Из свойства 1) следует, что
ехр (iHt) ае:. (к, е) Ф = ехр (iHt) аех (к, е) ехр (—iHt) Ф =
= аех (к, е, t) Ф = ехр (ie® (к) t) Ф,
откуда
Наех (к, е) Ф == е® (к) аех (к, е) Ф. (32.2)
Из равенства (32.2) вытекает, что аех (к, — 1) Ф = 0 (если
это соотношение не выполнено, то для к из множества /С,
имеющего ненулевую меру, обобщенная векторная функция
аех (к, —1) Ф является обобщенной собственной функцией
оператора Н и, следовательно, число —© (к), где к € К,
принадлежит спектру оператора Н, что невозможно в силу
положительности оператора Н).
Применяя CR и свойство 3), видим, что обобщенная век-
торная функция Фт (к) — аех (к, 1) Ф нормирована на
6-функцию (<Фт(к), Фт(к')> = <аех(к'> — 1)«ех(к> ОФ.
Ф>= <[аех (к'), aet (к)]т Ф,Ф> = 6 (к — к')). Формула (32.2)
показывает, что Фт (к) — обобщенная собственная функ-
ция оператора Н. Чтобы, убедиться, что Фт (к) является
обобщенной собственной функцией оператора Р, достаточно
вспомнить, что в силу свойства 2)
ехр (iPa) аех (к, е, t) ехр (—iPa) = ехр (ieka) аех (к,, е, t),
160
откуда
ехр (iPa) Фт (k) = ехр (iPa) ael (к, 0) ехр (— iPa) Ф =
= ехр (ека) Фт (к)
и, стало быть, РФТ (к) = кФт(к).
Замечание. Выше было сделано предположение, что фи-
гурирующая в определении in- и out-операторбв функция
® (к) почти везде положительна. От этого предположения
можно отказаться, заменив его условием, что у оператора Н
существует единственное основное состояние. Тогда в слу-
чае CCR легкая модификация проведенных выше рассуж-
дений позволяет убедиться в том, что функция и (к) авто-
матически почти везде положительна. В случае CAR можно
ввести новые операторы а+ (k, t), а (к, t), а?х (к, f), аех (к, /),
также удовлетворяющие CAR по формулам
a(k, t) = Q(a (k))a(k, Z)-|-0(—со (к))а+ (—к, ty
аех (к, t) = 0 (® (к)) аех (к, /) + 0 (—со (к)) aet (—к,/).
Тогда, очевидно,
аех (к, 0 = wlimA^ (к) ехр (i |и (к) |т) а (к, * + т),
оо
где функция | ® (к) | уже почти везде положительна.
Введем пространство асимппютических состояний
как пространство фоковского представления CR (L2 (А3)).
Символом b (к, е) обозначим операторные обобщенные
функции в нем, удовлетворяющие условиям
[&(к, е), &(к', е')]т = А^б(к—к');
&(к, —1)0 = 0; &+(к, — 1) = &(к, 1).
Матрицы Мёллера 8_ и S+ определим как изометричные опе-
раторы, отображающие пространство в пространство Ж
и удовлетворяющие условиям
aln(k, s)S_ = S_&(k, в), 8_0 = Ф; (32.3)
Qout (k, в) S+ = S+ b (к, в), 0 = Ф (32.4)
(из результатов, полученных в § 20, вытекает, что такие опе-
раторы существуют и определяются условиями (32.3),
(32.4) однозначно).
6 Зак. 82 161
Матрица рассеяния трансляционно инвариантного га-
мильтониана Н определяется теперь как оператор S =
= S*+S_.
Легко видеть, что матрица рассеяния S будет унитар-
ным оператором тогда и только тогда, когда пространства
Жт = S_Xaa и Xoni = S+.^as совпадают между собой.
Сделаем предположение, что &С = (т. е.
что унитарным оператором является не только S-матрица,
но и матрицы Мёллера S_ и S+).
Впрочем, некоторые из доказываемых ниже соотноше-
ний, в частности равенство (32.12), верны и без этого пред-
положения.
В пространстве Жаа определим оператор Has (асимпто-
тический гамильтониан) и оператор импульса Ра5 форму-
лами
Has = § ® (к) Ь+ (к) b (к) dk;
Pas = § kb+ (к) b (к) dk
[как всегда, &+(k) = 6(k, 1), b(k) — b(k, —1)].
Легко видеть, что
b (k, е, t) = ехр (iHas t) b (к, е) ехр (—iHaa t) =
= ехр (ie® (к) t) b (к, е);
ехр (iPas a) b(k, е, t) ехр (—iPas а) = ехр (ieak) b (к, е, t).
Используя это соотношение и свойства 1), 2) операторов аех,
убеждаемся, что
HS± = S±Haa-, PS± = S±Pas (32.5)
(т. е. операторы S+ и S_ осуществляют унитарную эквива-
лентность операторов Н и Has, Р и Pas)- Из (32.5) следует,
что матрица рассеяния коммутирует с операторами Has
U Pas.
SHas = HasS-
SPas = Pas S.
162
Докажем, что определенная выше матрица рассеяния
обладает следующими свойствами:
1) S0 = 0 (устойчивость вакуума),
2) S6+(k)0 = c(k)6+(k)0,
где |с (к)| = 1 (устойчивость одночастичных состояний).
Второе из этих свойств будет Доказано лишь при некоторых
условиях на функцию со (к); достаточно потребовать строгой
выпуклости этой функции.
Устойчивость вакуума сразу вытекает из соотношений
S_0 — Ф, S+0 = Ф. Для того чтобы доказать устойчи-
вость одночастичных состояний^ заметим, что
Has Sb+ (k) 0 = SHas b+ (k) 0 = ® (k) Sb+ (k) 0;
Pas Sb+ (k) 0 = SPas b+ (k) 0 = kS6+ (k) 0.
Таким образом, обобщенная векторная функция T (k) =
= Sb+ (k) 0 удовлетворяет условиям Has T (k) =
= а (k) У (k), Pas V (k) = kT (k); легко видеть, что
эта обобщенная векторная функция нормирована на
6-функцию. Зная это, уже нетрудно установить, что T (k)=
= с (к) Ь+ (к) 0, где | с (к) | = 1 (см. § 19).
Остановимся теперь на произволе, имеющемся в опре-
делении in- и out-операторов. Нетрудно видеть, что функ-
ции Л_ (к) и Л+ (к) не фиксируются однозначно условием,
чтобы операторы аех (к, t) удовлетворяли CR. Именно, за-
менив функции Л_ (к) и Л+ (к) на функции Л.'_ (к) и Л'+ (к),
совпадающие по модулю с функциями Л_ (к) и Л+ (к),
получим новые in- и out-операторы а(п (к, t) и aout (к, t):
«in (к, t) = ехр (iq>_ (к)) ain (к, t); 1
«out (к, t) = ехр (i<p+ (к)) aout (к, t) /
(здесь ехр (icpT (к)) = (к) Л±* (к), <рт (к)— действитель-
ные функции).
Можно проверить, что при сделанных предположениях
все возможные in- и out-операторы исчерпываются опера-
торами Вида Оех (к, t).
Легко убедиться, что матрицы Мёллера S'_ и S*, пост-
роенные по операторам а'ех (к, t), выражаются через мат-
рицы Мёллера S_ и S+, построенные по операторам аех (к, t),
формулами
6*
163
где t/T = ехр (i f срт (к) b+ (к) b (к) dk) [это следует из со-
отношения b (к) t/^1 = ехр (i<pT (к)) b (к)].
Таким образом, матрица рассеяния S' — S'*S'_, по-
строенная по новым ех-операторам, связана со старой мат-
рицей рассеяния S == соотношением S' — U*lSU_.
Пользуясь описанным произволом в определении in-
и out-операторов, можно добиться того, чтобы условие ста-
бильности одночастичных состояний выполнялось в сле-
дующей усиленной форме:
Sb+ (к) 0 = Ь+ (к) 0. (32.7)
В дальнейшем всегда будем предполагать, что in- и out-
операторы выбраны таким образом, чтобы выполнялось ус-
ловие (32.7).
Произвол в определении in- и out-операторов при этом
сужается: переход от старых ех-операторов к новым будет
задаваться теперь формулами (32.6), в которых <р_ (к) =
= ф+ (к); соответственно, в формулах преобразования для
матриц Мёллера и матрицы рассеяния U-. — U+.
Покажем, что условие (32.7) выполняется в том и только
в том случае, когда функции Л_ (к) и Л+ (к) выбраны одина-
ковыми'. Л_ (к) = Л+ (к) = Л (к). Для этого напишем раз-
ложение обобщенной векторной функции а+ (к) Ф по обоб-
щенному базису а& (кД ... ain(kn) Ф = Ф_ (кп ..., кп). Это
разложение имеет вид
+ (к)Ф = р(1, к)Ф_(к)+ у -1—Ср(1, ^„...кдх
= 2 V п\
Хб/к-^ кДф.^,..., kn)dnk, (32.8)
\ »=1 ]
где функция р (е, кь ..., кп) определяется равенством
——(а(к, е) Ф, Ф_ (kj,..., кп)> =
/я!
= р(е, ki....кп)6^ е к—кг)
164
Из равенства (32.8) заключаем, что
/ (к) ехр (— ico (к) /) а+ (к, /) Фс/к =
= ^ / (к) ехр (— ico (к) t) ехр (iHt) а+ (к) Фс£к =
= V(k) Р (1> к)Ф_(к)^к+ 2 —L- Ср (1, кх,..., кп)х
J n>2 Vn! J
X 6 ^к—2 кг) ехр (i (со (кх) + ... + <о (кп) —
—®(к))0 Ф_ (кх,..., kn)dn к.
При больших t второе слагаемое содержит быстро осцилли-
рующий множитель и поэтому слабо сходится к нулю при
t -> ± 00. Таким образом,
wlim (к) ехр (— io) (к)/)а+ (к, /) Ф^к =
= ^(к)р(1, к)Ф+(к)Л. (32.9)
С другой стороны, из (32.1) получаем
wlim § f (к) ехр (— ко (к) I) Лт (к) а+ (к, t) Фс/к =
=ф(к)аА (k)®dk = V(k)®T(k)dkt. (32.10)
out
Сравнивая равенства (32.9) и (32.10) и замечая, что в силу
условия (32.7) Ф_ (к) = Ф+ (к), получаем
Л_ (к) = Л+ (к) = Л (к) = (^(ТГк))-\ (32.11)
Таким образом, доказано нужное соотношение Л_ (к) =
= Л+ (к), а также установлена связь этих величин с функ-
цией р(1, к). Воспользовавшись этой связью и представ-
лением Челлена — Лемана, докажем сейчас, что функции
со (к) и |Л (к)| могут быть выражены через функцию
Грина
Оа(Р1, 1, ®х.р2> —1.®2) = G(P1, Их)6(®х—и2) 6(Рх —р2).
Именно, функция и (р) определяет положение полюсов функ-
ции G (р, со) (полюса функции G (р, и) по переменной и
при фиксированном р расположены в точках и (р) и —и (р)),
а функция | Л (р) | равна Z (р)-1/2, где iZ (р) — вычет функ-
ции G (р, и) в полюсе <о (р).
165
В самом деле, выбирая в качестве обобщенного собст-
венного базиса операторов Н и Р базис из векторов
ай (кх) ... ай (кп)Ф=Ф_(кх, ..., кп) и записывая в этом
базисе представление Челлена — Лемана для функции
G (р, ®) (28.9), видим, что
G (Р> Ю) = .JI.Pki.L-p)l2— т +
<0— и(— р) + 10 ®+®(p)—iO
У С |р(—l,ki...........kn) I3
J o> —(o> (kx) + ...+<a (кв)) + Ю
хЛ,- <ik,;=Fi 2 f l|,(+l't---t")l-.
n > 2 J © + <o (kx) +... (kn)~ iO
6(p + kx + ... + kn)x
x6( —p + kx + ...4-kB)dkx... dkn.
В комбинации с формулой (32.11) это соотношение дока-
зывает сформулированные утверждения.
Обобщенные функции
-Sm,n(Pi,..., Чп) =
= <S6+(qx)... 6+(qn)0, 6+(рх)... 6+(pm)0>
[матричные элементы оператора S в обобщенном базисе
b+ (pi) ••• b+ (рт) 0] называются амплитудами рассеяния.
Они легко выражаются через обобщенные векторные функ-
ции а*х (рх) ... айх(рт)0 (через in- и out-состояния).
Именно,
Sm,n(Pl.-, Рт|Ч1.-, Чп) =
= <S_6+(qx)...6+(qJ0, 5+&ф(рх)... 6+(рт)0> =
= <аЙ(qx)-.. ай (q„) Ф, a0+ut (Pi)--. °out (pn)
Знание амплитуд рассеяния Sm,n позволяет вычислить
дифференциальные эффективные сечения рассеяния (см. об
этом в § 40). Оператор S обычно удобно представлять
в нормальной форме:
5= 2 -Т-Г (n(Pi...............Рт|Ч1>--> Чп)6+(Р1)-
т, п т- п- С •••
••• b(qn)dmpdnq.
166
функции ат, „ тесно связаны с амплитудами рассеяния. Эту
связь легко проследить с помощью теоремы Вика (см. § 22);
отметим здесь лишь, что при условии рг q7- (1 i т,
1 < j < л)
•$т,п(Р1.-м Чп) = 0Гт,п(Р1>-. Pml 41 4п)'
Покажем, каким образом функции атп выражаются
через функции Грина трансляционно инвариантного гамиль-
тониана Я.
Имеет место следующая формула Лемана — Симанчи-
ка — Циммермана (LSZ):
от,п (Pi..Pmlfli....Чп)= П Л(Р1)Х
1= 1
X П A(q>) lim lim П (®г—®(Рг)) X
/=1 “г -*“(Р1) z=i
ХП (oj—®(qy))Gm+n(qi, 1, a1,...,qn, l.^lPn—1, их,...
J.— 1
.... pm, -1, Ют), (32.12)
где Ът+п— функции Грина трансляционно инвариантного
гамильтониана Н в (к, (о)-представлении.
Доказательство формулы LSZ проведем для случая CCR
(случай CAR отличается лишь знаками). Заметим прежде
всего, что
flout(кь е1)Т(а(к2, е2, /2)... а(кп, еп, /п)) =
= wlim а(кь et, 4)ехр(—ie1®(k1)4)A(k1, е^Х
<!-»4-ОО
хТ(6(к2, е2, /2)...а(кп, е„, /„)) = wlim ехр( —ie1®(k1)/1)x
11-»-4-00
ХЛ(к1, е1)Т(а(к1, ех^)... а(кп, en, tn)). (32.13)
В самом деле, если Zx>/2,-.., tn, то
а(кх, ex, 4)Т(а(к2, е2, Z2)... a(kn, вп, /п)) =
= Т(а(кх, ex, 4)... а(кп, en, tn)).
Точно так же убеждаемся, что
Т(а(к2, е2, /2).., a(kn, en, tn))aia(kv вх) =
=limЛ(кх, ex)ехр (— iexсо (kx)G)T(a(къ вх, t-^...а(kn, en, tn)).
h-*—°°
(32.14)
167
Комбинируя соотношения (32.13) и (32.14), получаем ра-
венство
flout (кх, e1)T(a(k2, е2, Q... а(кп, en, tn)) —
— Т (а(к2, е2, а(кп, en, Zn))ain(k1( ej =
ОО
= Л(к1,е1) f -y-(exp(—ie1(o(k1)Z1)T (0(^,8!,^)...
J - dt!
— oo
00
• ••a(kn, en, Zn)))dfx = J ЬгТ(а(кг, eb fx)... a(kn,en, fn))
— 00
(32.15)
Здесь использовано обозначение
Ltf(кь ех, kn, 8n> Z„) = A(kf, ег)х
Х-^- (ехр (— ie4со (кг)0f (кх, ех, Zx,..., kn, en, tn)).
dh
Полезно отметить простейшую форму равенства (32.15)
ОО
flout (к, е) — ain (к, е) = J Л (к, е) (ехр (— ieco (к) t) X
— 00
оо
X а (к, е, t)) dt= La (к, е, t) dt
— оо
(уравнение Янга — Фельдмана).
В случае CAR аналогично убеждаемся, что
flout (kj, Ej) Т (a(k2, 82, /2)... fl (kn, en, fn))
— (— I)”-1 T (a(k2, e2, a(kn, en, tn)) aia(klt ex) =
OO
= f A(k1,e1)-y-(exp(—ie1(o(k1)Z1)T(ti(k1, Si, Zx)...
J dt!
— oo
00
• •• a(kn, епЛп)))^1= J L1T(a(k1,E1,t1)...
— oo
a(kn, en, tn)) dtr.
С помощью последовательного применения соотношения
(32.15) можно выразить матричные элементы матрицы рас-
сеяния через функции Грина. Проведем другое, более
короткое рассуждение. Введем операторы с (k, е, t) =
168
= S*_ a (к, e, t) S_, через которые просто выражаются функ-
ции Грина гамильтониана Я:
Gn (ki, е1( tlt..„ kn, еп, tn) =
= <Т (a (kb е1( tx)... а (кп, еп, /п)) S_ 0, S_ 0> =
= <Т(с(кх, еъ ^)... с(кп, еп, tn))Q, 0>.
Умножая равенство (32.15) слева на = SS*_, справа на
5_ и используя соотношения (32.3), (32.4), получаем
[S-T(с(к2, е2, ^)... c(kn, en, Q), 6(кх, ех)] =
= - $ L1S-T(c(k1,ei,Z1)...c(kn,en,U)^i-(32.16)
— 00
Применяя несколько раз эту формулу, убеждаемся, что
[... [S, &(кь 81)]... b(kn, eJ]=--(-irjLn... £1Х
X (S-T(c(k1, е1( tr)... с(кп, en,Z„)))<ftx... dtn. (32.17)
Выражение для функций om> п получаем,‘замечая, что
Pm | Я1..Чп) = (— 1)"Х
X <[... [[... [S, Ь+ (Ч1)]... b+ (qj] b (Р1)1... b (рт)] 0, 0>. (32.18)
Именно, из формул (32.17), (32.18) и соотношения S0 = 0
следует, что
п (Р1,- • •> Pm | Я1» •• ч Яп) ( 1)т X
X Gm_|_n(qi, 1, /j,..., qn, 1, tn, Рх, 1, • • *, Рт» 1 > ^т+п) X
X dtm+n.
Для того чтобы от полученной формулы перейти к соотно-
шению (32.12), остается только проделать преобразование
Фурье по переменным .... tm+n, воспользовавшись тем,
что
J Lf (к, 8, t) dt = J Л (к, е)-^-(ехр(—ieco (к) t) х
X f(k, е, t)) dt = ieA (к, е) lim (и—и (к)) х
0)4-0) (к)
ОО
X ехр (— ieraf) / (к, 8, f) dt.
Строгий вывод (32.12) см. в [32].
169
§ 33. Адиабатическое определение
матрицы рассеяния
Укажем сейчас определение матрицы рассеяния трансля-
ционно инвариантного гамильтониана, не использующее по-
строения операторной реализации. Пусть трансляционно
инвариантный гамильтониан Н представлен в виде Н =
= Но + V, где Но = f е (к) а+ (к) а (к) dk.
Рассмотрим адиабатическую S-матрицу S„=Sa(oo, —оо),
построенную по паре операторов (На, ЯОй) (определение
гамильтониана На, получающегося из гамильтониана Н
обрезанием по объему Q, см. в § 28).
Определение 1. Матрицей рассеяния гамильтониана Н
назовем оператор в пространстве ^аз, имеющий в обобщен-
ном базисе Ь+ (pt) ... Ь+ (р„)0 матричные элементы
(£ \ 3
)— (»»+«) х
т+п j
Pm | | qt,..., qm) | S„ |б) 2
m n
п <рг|5а|рг> П
1=1 1=1
(33.1)
Здесь Sias, как и в § 32, обозначает пространство фоковского
представления CR (Z? (Е3)) (в $fas действуют операторные
обобщенные функции’ b+ (k), b (к), удовлетворяющие CR,
к пробегает Е3). Используются обозначения
<Р1.-, Рт|$|Ч1,..., Чп> =
= <S6+(q1) ... 6+(qn)0, 6+(Pi)- &+(Pm)0>;
<P1...., Pm|Sa к,-. Чп> = <5“ач+1-4Л«р1-«ря10>
(напомним, что оператор S« так же, как и оператор На,
действует в фоковском пространстве Fa, а символами ,
ар обозначены операторы а+(<рр), а (<рр), где <рр (х) =
= Е~3!2 ехр (ipx) и р пробегает решетку Та, состоящую из
2л \
векторов — п].
Смысл предельного перехода в соотношении (33.1) нуж-
дается в разъяснении, поскольку функция непрерывного
аргумента рассматривается в нем как предел функций, за-
170
данных на решетках. С такой же ситуацией имели дело
в § 29; здесь и в дальнейшем будем расшифровывать пределы
такого типа аналогичным способом (т. е. в смысле обобщен-
ных функций). В частности, соотношение (33.1) означает,
что для любой основной функции ф (рх, ..., pm|qi.qn)
5 Ф (Pi Pm I 41.-, qn) <Р1, pm I s I Чг,..Чп> dm pdn q =
= lim hm I —— ) Zi ф(Р1,..., Pm|4i,-. qjx
a->oo Й->оо \ ь J
q / e та
J
<Pi>-.., Pm | S® | qi,..., qa) <6 | S„ | 0> 2
X — .
/ tn n -
V n^|s>>n<<h>
Приведенное выше определение матрицы рассеяния пред-
ставим в несколько иной форме, заметив, что
т-\-п
(Р1..Pm I | Чп) (6 | <Sq | 6) 2
т п
П <Рг | |pf> п <q/!Sa |Ч/>
г= I /= I
— (Р1---> Pm I Ua Sa Ua | qx,..., qn>, (33.2)
где Uq = exp
i f. C + 2 ra (k) ait ak
\ k
(сумма берется по
решетке Тй), С =In <01 10>, Гд(к) =
j \ к К/
_ __ In —1—_!-----(соотношение (33.2) следует из того, что
<0|Sa|0>
U® а£... ajtn 0 = ехр [i (C + r« (kj) +... (kJ)] ak+r.. <0).
Таким образом, можно написать, что
S = lim lim U® Sa U®,
a->o й-+оо
причем сходимость операторов понимается в смысле сходи-
мости матричных элементов в базисе ... а£п 0 к мат-
ричным элементам в обобщенном базисе b+ (kJ ...
... 6+.(kn) 0 (дальше в аналогичных ситуациях сходимость
171
операторов, действующих в пространствах Fq, к оператору
в проетранстве будем определять таким же способом).
Пользуясь результатами главы 4 (см. § 15 и § 16),
можно доказать, что определенная соотношением (33.1)
S-матрица удовлетворяет условиям S0 = 0, Sb+ (k)0 =
= b+ (k) 0 (устойчивость вакуума и одночастичных со-
стояний).
В самом деле, пусть <ра (X) (соответственно, <рк (X)) —
стационарное состояние гамильтониана Но (X) ,= Ноо +
+ ХУа, непрерывно зависящее от параметра и переходящее
при X = 0 в 0 (соответственно ai 0), еа (X) и ев (k, X) —
соответствующие уровни энергии гамильтониана Но (X),
I
Рй = — f — (еа(р) —ea(0))dp,
a J и.
о
I
рй(к) = — Г -^-(еа(к, Х)-ей(к, O))dX,
а J л
о
Из формул (15.7) следует, что
0 = lim ехр (2ipa)Sa 0;
а-»0
0 = lim ехр (2ipa (к)) Sa ai 0.
а-»0
Отсюда заключаем, что при а -> О
<к | S® | к'> « ехр (2ipa (к))б£>; (33.3)
<01 Saa | 0> « ехр (2ipa) (33.4)
и, следовательно,
На « и а =ехр ipa—1'2! (рй (к) — ра) ai akj. (33.5)
Применяя равенства (33.3) и (33.4), видим, что
lim UaSa U® 0 = 0; (33.6)
a-»0
lim Ua Sa J7a 0=ak+ 0. (33.7)
a-»0
Умножив соотношения (33.6) и (33.7) скалярно на век-
торы ai, ... ain 0 и перейдя к пределу й -> оо в получив-
шихся матричных элементах оператора Sa Ua, получаем
(после перестановки предельных переходов й -> оо , а ->
172
-> 0) доказательство устойчивости вакуума и одночастич-
ных состояний.
Отметим, что из проведенного рассуждения вытекает,
«почти унитарность» операторов при а -> 0. Точнее го-
воря, матрица рассеяния может быть представлена также
в виде
3 = lim lim U^S^U^, (33.8)
а->0 Q->oo
где t7« = ехр (—ipa — i 2 (Pa (k) ~ Pa) ak ak)— уни-
тарные операторы.
Разумеется, проведенные рассуждения далеки от стро-
гости.
Данное выше определение матрицы рассеяния можно
несколько видоизменить, введя понятия ^-эквивалентности
и S-эквивалентности операторов, действующих в фоков-
ском пространстве.
Два оператора S и S' в фоковском пространстве Tas на-
зовем N-эквивалентными, если существуют такие унитар-
ные операторы U и V вида ехр [i (J v (k) b+ (k) b (k) dk +
+ C)l, что S' = USV. Если в этом определении считать, что
U — I/-1, получим определение S-эквивалентности опе-
раторов S и S'. Определения ЛЛэквивалентности и S-эквива-
лентности операторов, действующих в фоковском прост-
ранстве Fa, отличаются только тем, что операторы U и V
нужно считать имеющими вид ехр [i (2 ^aft ak + С)].
k
Определение 2. Оператор S в пространстве $£as назовем
матрицей рассеяния гамильтониана Н, если он удовлет-
воряет условиям S0 = 0, Sb+ (к) 0 = Ь+ (к) 0 и может
быть представлен в виде
S = limlimSa, (33.9)
a->0 Q->оо
где Sa — операторы, М-экивалентные операторам Sa-
Напомним, что предельный переход в выражениях типа
(33.9) понимается как сходимость матричных элементов опе-
раторов Sa в базисе а£, ... ajfn О к матричным элементам
оператора S в обобщенном базисе b+ (кх) ... Ь+ (кп) 0.
Из соотношения (33.8) видно, что матрица рассеяния в
смысле определения 1 является матрицей рассеяния в смыс-
ле сформулированного только что определения. Однако в
173
отличие от определения 1 определение 2 задает матрицу рас-
сеяния неоднозначно: используя произвол в выборе опе-
раторов S®, легко убедиться, что оператор, S-эквивалент-
ный матрице рассеяния, сам является матрицей рассеяния
в смысле определения 2. Верно и обратное утверждение:
две матрицы рассеяния гамильтониана Я S-эквивалентны.
Обратим внимание на то, что в § 32 матрица рассеяния также
была определена с точностью до S-эквивалентности.
В рамках теории возмущений можно доказать-, что
определение 2 эквивалентно данному в § 32 определению мат-
рицы рассеяния*. При этом на гамильтониан Н нужно нало-
жить некоторые требования [достаточно потребовать, чтобы
этот гамильтониан относился к классу Л, описанному в § 42,
а функция е (к), фигурирующая в определении гамильто-
ниана Но, удовлетворяла условию е (к2 + к2) < е (kJ +
+ е (к2)1.
Связь между адиабатической S-матрицей и матрицей рас-
сеяния рассматривается в § 41 (в рамках аксиоматической
теории рассеяния) и в § 46 (для гамильтонианов, не порож-
дающих поляризации вакуума). Доказательство эквива-
лентности определения 2 другим определениям матрицы
рассеяния в рамках теории возмущений с частичным сум-
мированием может быть получено с помощью модификации
рассуждений § 41. Другое, менее строгое доказательство
содержится в [42].
§ 34. Фаддеевское преобразование.
Теорема эквивалентности
Рассмотрим гамильтониан Н — Но + V вида (33.1).,
В случае vm> 0 = vm г = 0 матрицу рассеяния гамильто-
ниана Н можно определить с помощью обычного соотноше-
ния формальной теории рассеяния (17.3) (см. § 31). Если
имеем дело с произвольным гамильтонианом Н, то при не-
которых условиях можно заменить гамильтониан Н на
эквивалентный ему в некотором смысле гамильтониан
И' = H'Q + V, для которого матрица рассеяния опреде-
ляется соотношением
S= slim exp(i/ZiOexp(—iH' (t—Z0))exp(—
f-*OO, —00
* Точнее говоря, для того чтобы доказать эту эквивалентность,
нужно провести частичное суммирование ряда теории возмущений
для S®.
174
Эта матрица рассеяния может рассматриваться также как
матрица рассеяния гамильтониана Н.
Рассуждения будут проводиться в рамках теории возму-
щений. Это означает, что гамильтониан Но + V будет
включен .в семейство гамильтонианов HQ H-gV, завися-
щих от параметра g (константы связи), и гамильтониан Н'
будет строиться в виде ряда по степеням g.
Прежде всего докажем некоторые вспомогательные ут-
верждения. Рассмотрим уравнение
[Zt0, х] = г, (34.2)
где /г0, х, г — операторы в фоковском пространстве Fq =
= F (L2, (Q)), соответствующем конечному объему Q:
ho= У e(k)aiJak, (34.3)
к6Гй
положительная функция е (к) удовлетворяет условию
e(ki + k2)<e(ki) + e(k2). (34.4)
Запишем неизвестный оператор х и известный оператор г
в нормальной форме:
X — 2 2 ^пг,п (^1> ••• > | Р1 , ..., Pn) Git, .
т, п кр Pj
•.. Cln •.. dp j
„ m 1 n (34.5)
r~ 2-i Pm,n(^l> ••• > k?n|Pl> > Pn) Ql<i •••
tn, n k; p,
I, J
... Gj^ Gn •.. Gn
m P1 pn
(в этих формулах, так же как и в аналогичных формулах
ниже, подразумевается суммирование по кг, р; £ Tq). Вы-
числяя коммутатор [h0, х}, получаем связь между неизвест-
ными функциями |т> п и известными функциями рт, п:
(е(кг)+ ... +е (кт)—е(рх)— ...—
-S(P„))tffl,n(kl...kmlPl. Prt) =
= Pm,n(ki, •••> km|pi, ... , Pn). (34.6)
Если оператор представлен в нормальной форме, то
слагаемое, содержащее т операторов рождения и п опера-
раторов уничтожения, будем называть слагаемым типа
(т, п). Слагаемые типа (т, 0), (0, т), (п, 1) и (1, п), где т
1, п^2, условимся называть плохими.
175
Докажем следующую лемму.
Если оператор г коммутирует с оператором импульса
Ра = 2 kak ak и содержит только плохие слагаемые, то
уравнение (34.2) разрешимо. Условие, чтобы оператор х
также коммутировал с оператором импульса и содержал
только плохие слагаемые, выделяет единственное решение
уравнения (34.2), которое будем обозначать Г (г). Если
оператор г эрмитов, то оператор Г (г) также эрмитов.
Для того чтобы доказать сформулированное утвержде-
ние, заметим прежде всего, что из соотношения (34.6) можно
по функции рт п найти функцию п в том и только в том
случае, когда для всех значений аргументов кх, ..., кт,
Pi, •••> Ра, удовлетворяющих условию е (кх) -ф ... +
+ е (кт) = е (рх) + ... + е (рп), имеет место равенство
Pm, a (ki, ...» km|p1( ..., рп) = 0. В силу неравенства
е (кх) + ... + е (кт) > 0 по функциям рт,0 и р0, т мож-
но найти функции Нт, 0 и т. Далее, из предположения, что
оператор г коммутирует с оператором импульса, вытекает,
что число pm n (ki, • km|р1( ..., pn) может быть отлично
от нуля только при условии кх + • •• + кт = рх +
+ ... + рп. Это позволяет утверждать, что неравенство
е (кх) + ... + е (кт) > е (р),
справедливое при кх -ф ... + km = р, т > 1, в силу пред-
положения (34.4) гарантирует разрешимость уравнения
(34.6) при /и > 1, п = 1 и при п> 1, т = 1. Таким об-
разом, в условиях леммы уравнение (34.2) разрешимо.
Остальные утверждения леммы доказываются тривиально
[например, единственность при наложенных на решение ог-
раничениях вытекает из того, что при условии е (kJ ф-
+ ... + е (кт) #= е (рх) + ... + е (рД по числу
Рт, пОч, •••> km|pi, ..., рД однозначно восстанавливается
число U, п (ki, •••, km I Pi, •••> Рп)]-
Рассмотрим теперь в пространстве Fq эрмитов оператор
h, коммутирующий с оператором импульса Pq, и поставим
задачу об отыскании такого унитарного оператора w, что
оператор h' = wlwir1 не содержит плохих слагаемых.
Покажем, что в рамках теории возмущений такой опера-
тор w может быть построен. Точнее говоря, убедимся, что
для оператора вида h = h0 + gv, где h0 — рассматривав-
шийся выше оператор (34.3), g — числовой параметр (кон-
станта связи), операторы h' и w могут быть построены
в виде формальных рядов по степеням g. Операторы h' и w,
которые мы сконструируем, будут коммутировать с опера-
176
тором импульса Ра; из этого, в частности, следует, что опе-
ратор h' может быть представлен в виде h' = с + /г' +
+ v', где с — константа [слагаемое типа (0,0)],
/г' = 2 ait ак [слагаемое типа (1,1)], а' =
= 5 5*4.» (ki, km | рп ..., р„) 6k* J Xt ait, -
m, n>2 m
... a£maPi ... a₽n (сумма слагаемых типа (m, n) c mi>2,
a > 2). Оператор w будем искать в виде
= ехр (—ia),
где a — эрмитов оператор, представленный в виде ряда по
степеням g;
00
«= 2 £"“*•
п — 1
Воспользуемся формулой*
ОО
h’ = ехр(—ia)hexp(i a) — [... [h, a]..., a].
n= о n!
Приравнивая члены, имеющие n-й порядок по константе
связи g, получаем равенство
h'n = i thQ, an] + qn, (34.7)
где qn обозначает оператор, выражающийся через h0, v
иа4с^<п-1, а hhgn обозначает член порядка п
в разложении оператора h' по степеням g. Покажем, что
с. помощью индукции по п можно подобрать эрмитовы опе-
раторы an и h'n таким образом, чтобы оператор h'n не содер-
жал плохих слагаемых. Для этого в качестве оператора
следует взять сумму хороших слагаемых из нормальной
формы оператора qn. Тогда оператор h’n — qn содержит
только плохие слагаемые и, стало быть, удовлетворяет ус-
ловиям, наложенным в лемме на оператор г. Поэтому опе-
ратор ап, удовлетворяющий равенству (34.7), существует;
определим его формулой ап = Г (h‘n — qn). Легко проверить,
* Легко видеть, что операторы С (/) = ехр (—ifa) b ехр (i/a)
и D (/) = у [b, а] ..., а] удовлетворяют одинаковым урав-
п=о п‘
dC(t) , „ , , . dD (t)
нениям i------= [a, С (Z)J, i —-— = [a, D (/)] с одним и тем же
dt dt
начальным условием: С (0) = D (0) = b, поэтому С (/) = D (/).
177
что операторы qn — эрмитовы; из эрмитовости операторов
qn вытекает эрмитовость построенных операторов h'n и ап.
Таким образом, указана индуктивная конструкция та-
ких операторов h'n и аге, что оператор h' = h'n gn не со-
держит плохих слагаемых, а оператор w = ехр (—ia) =
= ехр (—i 2ang") осуществляет унитарную эквивалент-
ность между операторами h и h' (т. е. h' = whvir1).
Отметим, что указанная конструкция операторов h'
и w вполне однозначна; будем называть эту конструкцию
фаддеевской, а унитарный оператор а> фаддеевским преоб-
разованием.
Построение операторов h' и ду произведено выше в рам-
ках теории возмущений; иными словами, эти операторы по-
строены в виде формальных рядов по степеням g. Неизвест-
но, сходятся ли эти ряды.
Более того, как при доказательстве леммы, так и при
построении фаддеевского преобразования под оператором
понимали формальное выражение вида (34.5), не останав-
ливаясь на вопросе, определяет ли такое выражение дей-
ствительно оператор в фоковском пространстве. В ситуации,
в которой будем применять фаддеевскую конструкцию, лег-
ко проверить, что формальным выражениям hn и ап соот-
ветствуют эрмитовы операторы; доказательство основано на
соображениях, приведенных в § 21.
На построенное преобразование можно взглянуть с дру-
гой стороны.
Рассмотрим операторы
Ы — wriaiw, bk = от1 «к оу- (34.8)
Эти операторы удовлетворяют, очевидно, тем же коммута-
ционным соотношениям, что и операторы ai, а^:
[bk, bk']=p — [bi, bi']T = 0; [bk, bi'J^F = 8k, k'*
Переход от операторов ak, ai к операторам bk, bi, удов-
летворяющим тем же коммутационным соотношениям, на-
зывается каноническим преобразованием. Из соотношения
h = w^h'w вытекает, что оператор h выражается через
операторы bi, bk так же, какh' через ai, а^, таким образом,
представив оператор h через операторы bi, bk в нормальной
форме, не получим плохих слагаемых.
Вернемся теперь к трансляционно инвариантному га-
мильтониану Н = Но + gV, где Но и V определяются фор-
мулой (31.1). Предположим, что е (к) — гладкая функ-
ция, любая производная которой имеет не более чем сте-
178
пенной рост, а функции wm< n принадлежат пространству И.
Потребуем также, чтобы функция е (к) удовлетворяла не-
равенству (34.4).
Применим фаддеевскую конструкцию к гамильтониа-
нам На, получающимся из Н с помощью обрезания по объ-
ему. Полученный с помощью этой конструкции гамильто-
ниан, не содержащий плохих слагаемых, обозначим H'Q, а
оператор, устанавливающий унитарную эквивалентность
между Н’а и На, обозначим Wa = ехр (—i Ла). Нетрудно
проследить, как ведут себя операторы Н'а и Ла при й->
сю. Именно, оказывается, что оператор Н'а может быть
представлен в виде Н'а = Са + Н'“ + V’a, где Са — кон-
станта, линейно растущая при Q оо;
Я'а = 2^ак+пк;
_ з(^±2—1)
—'j Wm,n(kx.....km I Px...pn) X
tn, n \ 2Л /
. , SP1 + • • • + P„ + +
X 6k,+ . .. +kmQki QkmQPi •”QPn>
функции <ok, Vm,n имеют предел при Q оо*. Введем
обозначения
lim <»а = ® (к);
limv^„(k1, ..., kjnjp!,..., pn) =
= n(ki , ... , km } Pl , ..., pn),
(34.9)
Hg = и (k) a+ (k) a (k) dk;
2 „(ki, •••> kmipi, ..., pn) X
Щ-, n V
x6 (k1+... + km—p1 —... — p„)a+(k1) ...
... a+ (km) a (px)... a (p„) dm kd" p.
* Функции <oa, vma„ представлены в виде рядов по степеням
g", под сходимостью здесь понимаем поточечную сходимость в каж-
дом порядке по g. Полезно отметить, что можно найти функции
vm,n G и функции ог (к), имеющие не более чем степенной
рост, таким образом, чтобы удовлетворить неравенствам
I (.* vm,n)r I I (шк)г I °г (Ю (символом f здесь обозначены
члены порядка г по g в разложении функции /).
179
Трансляционно инвариантный гамильтониан Н' =
= Н'о + V' не содержит плохих слагаемых; будем го-
ворить, что этот гамильтониан получается фаддеевским пре-
образованием из гамильтониана Я. Можно сказать, что
Н' = lim (Н'а— Са) (34.10)
Q->oo
(соотношение (34.10) следует понимать как краткую запись
формул (34.9)].
Оператор Ла ведет себя при Q -> оо таким же образом.
Иными словами, он может быть записан в виде
2 2a“.4kl> ->кт|р1. •••.Рп)Х
т, п ' '
Хбк,+ ... +ктак1-'-актаР1"-аРп’
где функции а®, п (кх, ..., кт | рх, ..., рп) имеют предел при
Q —> оо;
ат, п (кх, • • • , кт | рх, ..., рп) =
= lim ат,п(к1’ •••’ kmlPl....Рп) (34.11)
Q -> оо
в каждом порядке по g. Введя формальное трансляционно
инвариантное выражение
А — 2 \ °Tn, n (к! ’ ’ km I Р1 ’ Рп) X
т, п J
Хб(кх4-...4-кт—рх— ... —рп)а+(кх)...
... а+ (кго) а (рх)... а (рп) kdn р,
соотношения (34.11) можно записать в виде А = lim Ла.
Q->oo
Поведение оператора №а при больших Q более сложно;
этому оператору не удается сопоставить в пределе Q -> оо
даже формального трансляционно инвариантного выраже-
ния. По,построению в выражении V нет слагаемых типа
(т, 0) и (m, 1), поэтому не существует препятствий для того,
чтобы формальное выражение Н' определяло оператор Н'
в фоковском пространстве и чтобы матрицу рассеяния для
гамильтониана Н' можно было построить как 5-матрицу
пары операторов (Я', Я') (см. § 31). В гл. 11 доказано, что
построение S-матрицы пары операторов (Н‘", Н'о) во всяком
случае можно произвести в рамках теории возмущений.
180
Л. Д. Фаддеев предложил называть матрицей рассея-
ния гамильтониана Н S-матрицу, построенную по паре
операторов (//', 77'). Можно доказать, что фаддеевское оп-
ределение матрицы рассеяния эквивалентно другим рассмот-
ренным определениям (доказательство, естественно, про-
водится по теории возмущений, поскольку само фаддеев-
ское определение основано на теории возмущений). Дока-
зательство этого утверждения приведено в § 44, а здесь ука-
жем некоторые обобщения фаддеевской конструкции. Преж-
де всего представим эту конструкцию в несколько ином
виде. Нетрудно убедиться, что 5-матрицу (34.1) можно за-
писать также в виде
5 =± lim lim ехр (i 77'оехр (— i (77'а—Са)(/— /0)) х
/->ор Й оо
t0-> — оо
Хехр( — i H^to)
(предел понимается в смысле, объясненном в § 33).
Пользуясь соотношением 77'а == WqHq (HZ52)-1, мо-
жем написать, что
5= lim limexp(i(77oa4-Cs)/) №аехр( — iHaft—tQ))x
t oo Q—>oo
/0->— oo
x(UZa)-1exp(-i(^'a+Ca)/0). (34.12)
Оператор (IV^)-1 естественно назвать одевающим опера-
тором, поскольку он переводит голый вакуум 0 и голое од-
ночастичное состояние о£0 в стационарные состояния га-
мильтониана Hq, которые естественно назвать одетым ва-
куумом и одетым одночастичным состоянием (действитель-
но, оператор (UZa)“1 переводит стационарные состояния
гамильтониана 77'а в стационарные состояния гамильтониа-
на Hq, а 0 и at0 — очевидно, стационарные состояния га-
мильтониана 77'а).
Формула (34.12) наводит на мысль дать следующее об-
щее определение одевающего оператора (точнее, семейства
одевающих операторов Da, зависящих от параметра Q).
Семейство операторов DQ, действующих в пространствах
Fq, будем называть семейством одевающих операторов для
гамильтониана Н, если найдется гамильтониан 77ав вида
181
Vй + У1 Vk а£ аь, такой, что матрица рассеяния S, построен-
к
ная по гамильтониану Н, может быть представлена в форме
5 = lim lim ехр (i ЯкВ t) (Dq)~ 1 х
i ->оо oo
X exp ( — i HQ Dsexp (— ifOo) •
Формула (34.12) показывает, что семейство операторов
(Wb)-1 является семейством одевающих операторов в смыс-
ле данного выше определения.
В § 45 описан широкий класс семейств одевающих опе-
раторов, включающий в себя семейство операторов (ЭД752)-1.
Теорема о равносильности фаддеевского определения
другим определениям матрицы рассеяния—частный случай
теоремы об инвариантности матрицы рассеяния при кано-
нических преобразованиях (теоремы такого типа называются
теоремами эквивалентности).
Дадим общее определение канонического преобразо-
вания.
Пусть символы b+ (k), b (к) выражаются через символы
а+ (к), а (к) с помощью формул
Ь(к) = ^2 п'ОЧ. Pn) X
X6(k4-kj4- ... +кто—рх——рп)а+(к1)...
... а+ (кта) а (рх)... а (рп) dOT kd'1 р; 3)
6+(к) = ^2 J ст< п (кх, , кт | Рх, , рп) X
Хб(к + кх+ ... 4-кт—рх—... — рп)а+(Рп) •••
• • • а+ (рх) а (кт)... а (ki) d'n kd* р,
где от> п — гладкие функции, все производные которых
имеют не более чем степенной рост.
Переход от символов а+ (к), а (к) к символам Ь+ (к), b (к)
называется каноническим преобразованием, если символы
Ь+ (к), b (к) подчиняются тем же коммутационным (или ан-
тикоммутационным) соотношениям, что и символы а+(к),
а (к) (т. е. подчиняются CR). При этом в случае CCR вы-
числение коммутаторов для символов Ь+ (к), b (к) следует
производить, пользуясь CCR для операторов а+(к), а (к),
дистрибутивностью и соотношением [А В, С] = [А, С]В
4- А [В, С] (вычисление антикоммутаторов в случае CAR
производится с помощью аналогичных соображений).
182
Упоминавшуюся выше теорему эквивалентности можно
(не вполне строго) сформулировать следующим образом.
При каноническом преобразовании (34.13) трансля-
ционно инвариантный гамильтониан Н вида (31.1) перехо-
дит в трансляционно инвариантный гамильтониан Н,
имеющий ту же самую матрицу рассеяния.
(Гамильтониан Н строится по гамильтониану Н и кано-
ническому преобразованию (34.13) следующим образом:
в выражение гамильтониана Н через символы а+ (к), а (к)
подставляем вместо этих символов Ь+ (к), b (к), выраженные
через а+ (к), а (к) с помощью формулы (34.13); далее приво-
дим получившееся выражение к нормальной форме с по-
мощью CR, отбрасывая появляющиеся при этом бесконеч-
ные константы.)
Легко видеть, что гамильтониан Н', получающийся из
трансляционно инвариантного гамильтониана Н приме-
нением фаддеевской конструкции, связан с гамильтониа-
ном Н каноническим преобразованием (это каноническое
преобразование получается предельным переходом Q ->
-> оо из описываемого формулой (34.8) канонического
преобразования, связывающего операторы Ь^, с опера-
торами ai, Ok)-
Таким образом, из теоремы эквивалентности ясно, что
матрицы рассеяния, построенные по операторам Huff,
совпадают; это показывает, что фаддеевская конструкция
приводит к обычной матрице рассеяния.
Доказательство теоремы эквивалентности в рамках тео-
рии возмущений приведено в § 44.
Отметим, что для линейных канонических преобразо-
ваний рассуждения, проведенные в § 44, доказывают теорему
эквивалентности и вне рамок теории возмущений.
§ 35. Квазиклассическое приближение
Уже говорилось, что гамильтонианы квантовой теории
поля получаются с помощью квантования классических
механических систем с бесконечным числом степеней сво-
боды. Это обстоятельство будет сейчас использовано для
того, чтобы получить приближенное решение задач кван-
товой теории поля. Как и в § 30, откажемся здесь от приня-
того в этой книге условия h = 1.
Рассмотрим прежде всего квантовомеханическую си-
стему с конечным числом степеней свободы, описываемую
183
гамильтонианом (30.2). Для того чтобы найти слабо возбуж-
денные состояния (стационарные состояния, мало отлича-
ющиеся по энергии от основного состояния), можно посту-
пить следующим образом. Найдем минимум функции
U (qr, ...,qn) (потенциальной энергии); пусть он достигается
в точке («/I, ..., <7„). Введем новые переменные xt = qt —
— q°i (отклонения от классического положения равновесия)
и разложим функцию U в ряд по степеням хг:
U (91 > •••’< Qn) — U (<7? , ••• , q°n) + xi
2 ciSkxixl xk~¥
d 1 I, j ,k
Если матрица ctj положительно определена, то энергии сла-
бо возбужденных уровней определяются приближенным
выражением
U(ql,..., ^)+-у 2сог+й£п/М;, (35.1)
где со?, ..., — собственные значения матрицы ci}, nt =
= 0, 1, 2, ... — неотрицательные целые числа.
Для того чтобы в этом убедиться, перепишем гамильто-
ниан (30.2) через операторы рг и хг = qt — qf, удовлетво-
ряющие УСЛОВИЯМ [pt, Pj] = [хг, Ху] == 0, [pi, Ху] =
£ S
= -т-оеу; получим
h = h0 + v-,
Ho=-^^Pi + 42Cii Xi +u ...................
V = 4-Vci-yftx/ XyX& + ...,
Операторы pi, xt удовлетворяют тем же коммутационным со-
отношениям, что и pt, qt, т. е. переход к этим операторам
можно рассматривать как каноническое преобразование.
Собственные значения оператора Но определяются вы-
ражением (35.1) (см. § 11). Собственные значения оператора
Н = Но + V можно вычислять по теории возмущений,
рассматривая оператор V как возмущение; легко видеть, что
поправки к энергиям слабо возбужденных уровней малы.
Это становится очевидным, если, пользуясь соображениями
184
§11, выразить Но и V через операторы at, ait удовлетворя-
ющие CCR:
Ho = U(qQ1,-,qn) + ~ii^i + i^lat at;
2 £<1/2) <«*+") x
tn-^n 3.
X 2 ГГ’" i j i at...a;
. . ‘i........lm* 'i....]n 4 <n
Z1’ m’ ’ }n
(ряд теории возмущений легко перестроить в ряд по сте-
пеням Й1/2, причем наименьшая степень й1/2 в выражении
для поправки к энергии равна h3/2\.
Таким образом, для того чтобы исследовать слабо воз-
бужденные уровни гамильтониана Н, следует сделать ка-
ноническое преобразование (перейти к операторам pt, хг),
выделить квадратичную часть Но и рассмотреть V как воз-
мущение.
Обратимся теперь к рассмотрению классической меха-
нической системы, описываемой функционалом Гамиль-
тона
ж (л, <р)=—2 \(х) <^х+
+ 2 2 .....fm(xb ....х^фгДх^ ... (xm)d^x;
(35.2)
Vlt = im(Xi —xm> ..., Xm_t —х,п).
При квантовании этой системы получается гамильтониан
Н = ±-2^(х)(1х +
+ 2 2 $ Г/....гт^Х1’ •'• > xrn) Ф/ (х1)
m Ч....гт 1
••• Ф;га(хто)^х, (35.3)
где
[лг (х), л,- (х')] = [фг (х), ф, (х')] = 0;
[лг(х), фДх')] = Аб.1Уб(х—X')
185
[несколько менее общий гамильтониан (30.3) исследовал-
ся в § 30; все, что известно для гамильтониана (30.3), без
труда переносится на гамильтониан (35.3)].
По аналогии со случаем конечного числа степеней сво-
боды изучение гамильтониана (35.3) разумно проводить
с помощью канонического преобразования: вместо символов
фг (х) следует ввести символы (х) = фг (х) — аг, где
аг — действительные числа; символы лг (х), (х) удов-
летворяют таким же коммутационным соотношениям, как
at (х), Tj (х) (можно было бы ввести символы (х) более
общей формулой ”|г (х) = фг (х) — а, (х), но, поскольку
рассматриваемый гамильтониан трансляционно инвариан-
тен,.естественно считать, что аг (х) не зависит от х). Рассмот-
рим функцию п переменных
V(T1, .... ф„)=2 5 V;......../Л-Ф'т»
т г1....1т
где
. .... im = $ vir.tm (хх, xm_x) d^1 (х)
[функция v имеет физический смысл плотности энергии клас-
сической системы в^состоянии лх (х) = ...=лп (х) =
= 0, фх (х) = фх, ..., фп (х) = фп]. Числа ах, ..., ап,
определяющие рассматриваемое каноническое преобразо-
вание, будем искать из условия
min v (фх, ..., фп) = v (ах, ..., ап).
....<₽п
Точку «-мерного пространства а = (ах, ..., ссп), доставля-
ющую минимум функции v (фх, ..., фп), будем называть клас-
сическим вакуумом.
При некоторых условиях нетрудно проверить, что сде-
ланный выбор чисел ах, ..., ап диктуется предельным пере-
ходом от конечного числа степеней свободы (о представле-
нии гамильтониана (35.2) в виде предела гамильтонианов
с конечным числом степеней свободы см. § 15 в [23]).
Заменив в гамильтониане (35.3) <рг (х) на |г (х) + аг,
получим гамильтониан Н', имеющий по теореме эквивалент-
ности ту же матрицу рассеяния. Выделив из Н’ квадратич-
186
ные члены Но, представим Н’ в виде Но + V, где
#о=-~2р*(х)^х + Мх-У) х
xfj (x)f;(y)dxdy;
V — 2 2 , ..., 1т (Х1 xm> • • • , xm-l xm) X
...1
xf;,(xi)...^m (xm)dmx.
Рассуждения, аналогичные проведенным в § 30, позволяют
построить операторную реализацию гамильтониана Но
и установить, что Но описывает п типов частиц с зависи-
мостью энергии от импульса, определяемой формулой
Ej (р) = h<s>j (-г- ), где о>1 (к), Шп (к) — собственные
\ ъ ) ~
значения матрицы ci} (к) = (2л)-3 j cl} (х) ехр (ikx)dx. Учи-
тывая V как возмущение, получим поправки к энергии одно-
частичных состояний. По теории возмущений можно вычис-
лить также матрицу рассеяния, соответствующую гамильто-
ниану Н’ и, значит, гамильтониану Н (см. подробнее в [23]).
Таким образом, квазиклассическое приближение, как
оно здесь описано, диктует лишь разумный выбор началь-
ного приближения в теории возмущений. Однако оказы-
вается, что оно позволяет сделать важные качественные вы-
воды. Рассмотрим, например, гамильтониан
Я —-у С n2(x)dx (у ф)2<^х+С^(ф(х))^х> (35.4)
где U (ф) = аг ф + а2ф2 + а3ф3 + а4ф4. (Этот га-
мильтониан описывает лоренц-инвариантную теорию
(см; § 49). Он приводит к ультрафиолетовым расходимо-
стям, которые устраняются перенормировкой; мы здесь от-
влекаемся от них.) Легко видеть, что для гамильтониана
(35.4) v (ф) = U (ф). Если U (<р) = а2ф2 + а4ф4, а2>0,
а4 > 0, как обычно считают, то min v (ф) достигается
при ф = 0. Это значит, что при исследовании гамильто-
ниана (35.4) следует пользоваться теорией возмущений,
выделяя Но обычным образом:
Яо =
а2Ф2(х)б/х, (35.5)
187
В общем случае выделение Но с помощью формулы (35.5)
оказывается неразумным (это, впрочем,- очевидно уже по-
тому, что гамильтониан (35.5) при а2 < 0 описывал бы ча-
стицы с мнимой массой; его операторную реализацию нельзя
было бы построить (см. § 2 в [23])). Чтобы прийти к правиль-
ному выбору начального приближения теории возмущений,
нужно найти
min v (<р) = min Я (ф) = min (ах ф + а2 ф2ф-а3 <р3 <р4).
Если этот минимум достигается при ф = а, то, используя
описанное выше каноническое преобразование, приходим
к гамильтониану Н' = Но - V, где
Но jn3(x)dx + y-J(V^2dx + -|-p3 J |3(x)dx,
р3 = Я"(а).
К гамильтониану H' уже можно применять теорию возму-
щений, считая V возмущением. В частном случае, когда
U (ф) = ц2ф3 + а4ф4, ц3 < 0, 0, минимум функции U (ф)
достигается в двух точках а = ± (существует два
различных классических вакуума). Таким образом,
нужное каноническое преобразование и гамильтониан Н'
можно построить двумя способами: Н'± = Но У±, где
V± = <4 § I4 (х) dx ± 2 V2a2 |3 (х) dx.
Это позволяет предполагать, что в рассматриваемом случае
могут быть построены различные операторные реализации
гамильтониана Н. В самом деле, пусть операторную реа-
лизацию гамильтониана Яф можно получить по теории воз-
мущений, считая У+ возмущением. Это означает, что
lim<g(x, О®, Ф> = 0.
Д - о
Исходя из операторной реализации гамильтониана Яф,
можно построить операторную реализацию гамильтониана
Я, для которой
lim <ф (х, /) Ф, Ф> = 1/ +
V 2а4
4-Нт<|(х,0Ф, Ф> = 1/-^->0.
Й—О У 2а4
188
Для операторной реализации гамильтониана Н, построен-
ной аналогичным образом с помощью HL, очевидно,
lim<<p(x, /)Ф, Ф>= —1/ —— <0;
V 2а«
таким образом, построены две существенно различные опе-
раторные реализации.
Отметим, что мы столкнулись здесь с важным явлением,
которое носит название нарушения симметрии. Исходная
функция Гамильтона инвариантна относительно преобра-
зования ф (х) -> — ф (х); в то же время классический ва-
куум не инвариантен относительно этого преобразования
(оно переводит один классический вакуум в другой). Ана-
логичная ситуация наблюдается и в квантовом случае:
гамильтониан Н инвариантен относительно замены ф (х) ->
->—ф (х), поэтому из одной операторной реализации
гамильтониана Н можно получить другую, заменив опе-
раторы ф (х, t) операторами —ф(х, t). Если <ф(х, t) Ф,
Ф>#=0, то при этой замене получается операторная
реализация, не эквивалентная исходной.
Рассмотрим еще один поучительный пример — гамиль-
тониан
H = 4- M—a^dx, (35.6)
Здесь
v (фх> •••. Фп) = (Ф1 + ••• + Фп — а2)2
и, значит, минимум функции v достигается на точках
(сс1( ..., ссп), удовлетворяющих условию Jppl = а2 [клас-
сические вакуумы заполняют (п — 1)-мерную сферу]. Га-
мильтониан (35.6) так же, как и соответствующий класси-
ческий функционал Гамильтона, инвариантен относитель-
но преобразований
ф/ (х) = 2 ai} ф, (х); л- (х) = 2 а^Ч (х),
где aij б О (п) (здесь О (п) — группа ортогональных мат-
риц). Однако в операторной реализации гамильтониана Н
сохраняется меньшая группа симметрии — группа О (n—1).
189
Это становится понятным, если заметить, что операторная
реализация гамильтониана И строится по классическому
вакууму, а для каждого классического вакуума преобра-
зования g 6 О (ti),. переводящие этот вакуум в себя (удов-
летворяющие условию ga = а), образуют подгруппу, изо-
морфную О (п — 1). Преобразования, не входящие в эту
подгруппу, переводят операторную реализацию в другую,
не эквивалентную исходной.
В рассмотренном примере происходит нарушение непре-
рывной группы симметрии. В подобной ситуации всегда
возникают частицы, энергия которых стремится к нулю,
если импульс стремится к нулю (голдстоуновские частицы);
в этом нетрудно убедиться в случае, когда применимы ква-
зиклассические рассуждения, использованные в настоящем
параграфе. В самом деле, в нулевом приближении энергия
частиц определяется собственными значениями матрицы
сц (к). Поскольку эта матрица непрерывно зависит от к,
достаточно исследовать матрицу с£-у (0), которая, как легко
dav
видеть, совпадает с матрицей вторых производных
функции v в точке минимума. Эта матрица обязательно
вырождена, поскольку при сделанных предположениях
минимум не может достигаться в изолированной точке.
Таким образом, в нулевом приближении голдстоуновские
частицы существуют; легко видеть, что учет высших приб-
лижений теории возмущений по V не меняет этого утверж-
дения. В лоренц-инвариантной теории энергия частицы с
импульсом р равна У р2 + т2, где т — масса частицы,
поэтому голдстоуновские частицы' имеют нулевую массу.
Таким образом, гамильтониан (35.3) описывает частицы,
энергия которых при Й -> 0 имеет видйшу (Й-1 р). Однако,
кроме этих частиц, которые можно назвать элементарными,
гамильтониан (35.3) описывает также частицы, энергия ко-
торых при й->0 имеет конечный предел; эти частицы соот-
ветствуют частицеподобным решениям классических урав-
нений. Простейшими частицеподобными решениями явля-
ются солитоны. Решение л^ (х, t), <р£ (х, f) уравнений Га-
мильтона называется солитоном, если функция (х, t)
может быть представлена в виде st (х — Nt). Предполагает-
ся, что энергия этого решения конечна. (Условимся счи-
тать, что энергия отсчитывается от энергии классического
вакуума, т. е. 31 (л, ср) = 0, если лг (х) = 0, фг (х) =
где (аь ..., ап) — классический вакуум. Если это условие
190
не выполнено, следует заменить функционал Гамильтона
(35.2) функционалом
X (я, <р)
+2 . 2 ...im (xn ..., xro) x
m ‘1....гт
x (<₽i, (Xi) ... ф!т (Xm)—ait... a£m) d«x,
приводящим к тем же уравнениям движения.)
Солитон с нулевой скоростью (v =? 0) представляет со-
бой не зависящее от времени решение уравнений движения.
Отметим, что в силу трансляционной инвариантности функ-
ционала Гамильтона (35.2) импульс Р = 2 f лг — dx яв-
i дх
ляется интегралом движения системы уравнений Гамиль-
тона; солитон с нулевой скоростью имеет нулевой импульс.
В лоренц-инвариантном случае из солитона с нулевой ско-
ростью можно с помощью преобразования Лоренца получить
солитон с любым импульсом (и с любой скоростью, меньшей
скорости света).
Оказывается, что устойчивому солитону соответст-
вует квантовая частица (решение фг (х, t), лг (х, t)
называется устойчивым, если каждое решение <рг' (х, /),
я/ (х, t), мало отличающееся от исходного при t = 0, мало
отличается от него также в любой другой момент времени /).
Точнее, если каждому трехмерному вектору р соответствует
устойчивый солитон уравнений Гамильтона, имеющий им-
пульс р’и энергию в(р), то при некоторых условиях среди
частиц, описываемых гамильтонианом (35.3), есть частица,
энергия которой стремится к е. (р) при Й -> 0 [т. е. в
пространстве операторной реализации гамильтониана (35.3)
найдется векторная обобщенная функция Фй(р), нор-
мированная на 6-функцию и удовлетворяющая условиям
НФЙ (р) = Eh (р)ФА(р), РФft (р) = Р1ФЙ (Р), причем
lim ЕА (р) = е(р)1 [62-66].
В качестве примера рассмотрим классическую систему
с функционалом Гамильтона
я?(«, ф)=~ (^)2(1х+
+ jj(<P2(x)—a2)*dx,
191
где х 6 Е1. Уравнения Гамильтона имеют вид
<р (х, t) = л (х, t);
dt
0 = -^- ф(*> 0 —4Ф (х> 0(ф2(*» 0 —а2)-
dt ох2
Если ф (х, t) = s (х), то функция s (х) удовлетворяет урав-
нению
= 4s(s2—а2).
dx2 v ’
(35.7)
Из условия конечности энергии вытекает, что lim |s (х) | =
X ~>±оо
= а; пользуясь этим соотношением и уравнением (35.7),
получаем в рассматриваемом случае солитоны с нулевой
скоростью
s (х) = ± a th )/2 ах;
а3. Солитон с импульсом р
41/2
они имеют энергию р — —
можно найти непосредственно или получить с помощью пре-
образований Лоренца; энергия такого солитона равна
У р2 р,2. Этим солитонам отвечают квантовые частицы.
Отметим в заключение, что с помощью квазиклассическо-
го приближения можно исследовать также более общие га-
мильтонианы (28.2). Для того чтобы убедиться в этом, вве-
дем вместо обобщенных импульсов л (х) и обобщенных ко-
ординат ф (х) комплексные функци ф (х) = -£= (ф (х) +
|/2
+ in (х)), ф (х) = (ф (х) — in(x)). Произвольный
|/ Z
функционал Гамильтона Ж (л, ф) можно выразить через
ф (х), ф (х); будем считать, что
^(ф, ф)= 2 п(Х1, •‘•>Хт|у1, ..., у„)Х
т, п
Хф(Хх) ...ф(хт)Ф(У1) ...ф(у„)(/стХб/«у.
При квантовании функциям ф (х), ф (х) будут соответст-
вовать операторы ф+(х), ф(х), удовлетворяющие коммута-
ционным соотношениям
[ф(х), ф(х')] = [ф+(х), ф+(х')]=0;
[ф (х), ф+ (х') ] = ^6 (х—х'),
192
а функционалу Гамильтона Ж — квантовый гамильтониан
//=2 n(xi. •••. хт1У1> > Уп)Х
т, п
х Ф+ (xi) • • • Ф+ (хт) Ф (У1) • • • Ф (Уп) dm х dn у (35.8)
(при переходе от функционала Гамильтона Ж к квантовому
гамильтониану Н возникает вопрос о расстановке операторов
ф+, ф в выражении для Н\ сделанный выбор отвечает так
называемому виковскому квантованию). Если функционал
Гамильтона Ж трансляционно инвариантен, то с помощью
замены
ф+ (х) — (2л)-3/2 А1/2 ехр (ikx) а+ (k) dk;
ф (х) = (2л)-3/2 £1/2 ехр (—ikx) а (к) dk
гамильтониан (35.8) приводится к виду (28.2). Это позво-
ляет применить для исследования гамильтонианов (28.2)
изложенные в настоящем параграфе соображения.
7 Зак. 8 2
ГЛАВА 10
АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
РАССЕЯНИЯ
§ 36. Основные предположения.
Построение матрицы рассеяния
Пусть в гильбертовом пространстве Ж заданы четыре
коммутирующих самосопряженных оператора Н и Р =
= (Рп Р3, Р3) — оператор энергии и (векторный) оператор
импульса. Оператор ехр (iPa) называется оператором па-
раллельного переноса, оператор ехр (—i Ht) — оператором
временного сдвига. Будем считать, что у оператора энергии
существует единственное основное состояние ф и это со-
стояние инвариантно относительно временных сдвигов и
параллельных переносов: НФ = РФ = 0. Вектор Ф
называется физическим вакуумом.
В рассматриваемой ситуации можно применять указан-
ное в § 19 определение частицы. Сформулируем это опре-
деление в несколько иной форме.
Предположим, что каждой функции / 6 L2 (Е3) постав-
лен в соответствие вектор Ф ('/) £ Ж, линейно зависящий от
функции f. Такое соответствие можно рассматривать, оче-
видно, как линейный оператор, действующий из L2 (Е3)
в Ж; предпочтем, однако, рассматривать его как векторную
обобщенную функцию Ф (к), записывая вектор Ф (/) сим-
волически в виде Ф ('/) = f f (к) Ф (k) dk. Векторная обоб-
щенная функция Ф (к) называется частицей (одночастич-
ным состоянием), если для любых функций f, g g Е3 (Е3)
имеют место соотношения
ЯФ(/) = Ф(М);
РФ(/) = Ф(р/);
<Ф(7), Ф (§)> = </,§>,
где
Й (к) = со (к) f (к);
(р/) (к) = к / (к).
194
Вектор Ф (f) имеет физический смысл вектора состояния
частицы с волновой функцией f, функция <и (к) — смысл
энергии одночастичного состояния (закона дисперсии).
Перечисленные условия эквивалентны соотношениям
(19.1) — (19.3). Последнее из них означает изометричность
оператора, сопоставляющего функции f вектор Ф (/); оно
эквивалентно соотношению (19.3), показывающему, что
функция Ф(к) нормирована на 6-функцию. Разумеется,
может существовать несколько типов частиц [несколько
обобщенных функций Ф(к)1, удовлетворяющих требова-
ниям (19.1) — (19.3). Систему частиц фх (к), ..., ФДк)
будем называть полной, если все частицы ортогональны
друг другу (т. е. <Фг (к), Фу (к')> = 0 при i #= /) и не
существует частицы, ортогональной всем частицам из этой
системы.
Можно доказать, что всякая частица Ф (к) выражается
через частицы полной системы [т. е. найдутся такие функции
А (к), что ф (к) = 2 А (к)фг (к)].
г=1
Будем считать, что фиксирована полная система частиц
Ф^к), ..., ФДк) с законами дисперсии со1(к), ..., cos (к)
и что функции сог (к) являются гладкими строго выпуклыми
функциями. (Предположим ради определенности, что в тео-
рии конечное число s типов частиц, хотя случай бесконеч-
ного числа типов частиц ничуть не сложнее.) Одночастич-
ным подпространством пространства Ж будем называть
наименьшее из подпространств, содержащих все векторы
вида Фг (/) = f f (к) Фг (k)dk. Многочастичным подпро-
странством Л назовем ортогональное дополнение в Ж пря-
мой суммы Жо + где Жо — одномерное подпростран-
ство, порожденное физическим вакуумом Ф.
Пространства Жо, Ж^, Л являются, очевидно, инвариант-
ными подпространствами операторов Н, Р. Совместный
спектр системы коммутирующих операторов Н, Р в про-
странстве Жг (в пространстве Л~) назовем одночастичным
(соответственно, многочастичным) спектром и обозначим 2г
(соответственно, 2j^). Множество является, очевидно,
объединением множеств где 2(9 обозначает множе-
ство точек вида (к, оц (к)).
Предположим, что одночастичный спектр не пересекает-
ся с многочастичным и что существует такое 6 > 0, что
весь спектр оператора Н, за исключением точки 0, соответ-
ствующей физическому вакууму, лежит на луче [6, + оо).
7* 195
Позднее будет указано, как эти требования можно осла-
бить.
Рассмотрим наряду с пространством Ж пространство
асимптотических состояний Ж*s, которое определим как фо-
ковское пространство F (L2 (Е3 X N~)), где N — конечное
множество, элементы которого находятся во взаимно одно-
значном соответствии с частицами из полной системы.
В пространстве Жаз действуют операторные обобщенные
функции at (к), а; (к), подчиненные CCR (см. § 13); они ин-
терпретируются как операторы рождения и уничтожения
частицы i-ro типа с импульсом k g Е3. Асимптотический
гамильтониан Has и оператор импульса Pas определим
формулами
Яаз = 2 S (к)(к) аг (к) dk;
z= i J
Pas = 2 ka^ (k) ai (k) ^k'
i= 1
Если A—оператор в пространстве Ж, то А (х, t) обозна-
чает оператор ехр (i (Ht — Рх)) А ехр (—i (Ht — Рх)).
Ограниченные операторы А и В, действующие в простран-
стве Ж, назовем асимптотически коммутирующими, если
для всякого натурального числа п найдутся такие числа С
и г, что
II [Л,в(х, 0]||^с-Ш£П,
1+|х|п
Семейство Ж ограниченных операторов в Ж, содержащее
вместе со всяким оператором А сопряженный оператор А*,
назовем асимптотически абелевым, если два любых опе-
ратора из Ж асимптотически коммутируют.
Асимптотически абелево семейство, содержащее тожде-
ственный оператор, будем называть асимптотически абе-
левой алгеброй, если вместе с операторами А, В к этому же
семейству принадлежат операторы
ХА 4- нВ, АВ, А (х, f), f (х, t) А (х, f) dx dt
* Отметим, что пространство ^?as можно записать в виде
^?аз = F =2^п, где &Сп -п-я симметричная тензорная сте-
п>0
пень пространства Из этой записи следует, что пространство
J$?ag не зависит от выбора полной системы частиц; точнее говоря,
между пространствами J^?as, соответствующими разным выборам
полной системы частиц, имеется естественный изоморфизм.
196
(здесь %, ц — комплексные числа, х g Es, — оо < t < оо,
f (х, t) — функция из пространства & быстро убывающих
гладких функций). Нетрудно показать, что каждое асимп-
тотически абелево семейство содержится в асимптотически
абелевой алгебре. (Доказательство основано на том факте,
что присоединение любого из перечисленных операторов
вместе с сопряженным с ним оператором к асимптотически
абелеву семейству не нарушает асимптотической абелево-
сти.) Поэтому, не ограничивая общности, можем рассмат-
ривать вместо асимптотически абелевых семейств асимпто-
тически абелевы алгебры.
Будем считать, что фиксирована определенная асимпто-
тически абелева алгебра Л операторов в пространстве Ж
и что физический вакуум Ф является циклическим вектором
алгебры Л.
Покажем, что при сделанных предположениях может быть
построена матрица рассеяния (S-матрица), соответствующая
асимптотически абелевой алгебре Л (можно говорить также
о матрице рассеяния, отвечающей асимптотически абелеву
семейству, понимая под ней матрицу рассеяния, соответ-
ствующую асимптотически абелевой алгебре, содержащей
это семейство). Ради простоты обозначений предположим, что
полная система частиц состоит из одной частицы Ф (к).
Приведем несколько предварительных определений.
Оператор В назовем гладким, если он может быть пред-
ставлен в виде В = J f (х, t) А (х, f) dxdt, где А 6 Л и функ-
ция / принадлежит пространству (Это название связано
с тем, что оператор В (х,‘ t), где В — гладкий оператор,
бесконечно дифференцируем по х и t в смысле дифференци-
руемости по норме.) Гладкий оператор В будем называть
правильным, если: 1) В* Ф = 0; 2) найдется такая функ-
ция <р, что ВФ = J ф (к) Ф (к) dk.
Определение 1. Изометрический оператор 5_ (5+),
действующий из пространства Жя в пространство Ж, на-
зовем матрицей Мёллера, если для любых правильных
операторов Вг, ..., Вп и гладких финитных функций
А (р),fn (р)
lim Bt(A,/)...ВП(/П,/)Ф = 5_ a+(71<i1)...a+(fn^n')d
t-r — oa (+)
(4-оо)
(36.1)
197
[здесь 0 — вакуумный вектор в фоковском пространстве
^as, ф/ (к) = Ф(к)>, функции fj (х|/) определяются
соотношением
fj (X1t) = $ ехр ( — ico (р) t + ipx) f} (p) , (36.2)
операторы Bj (fj, t) задаются формулой
Bj (fj, 0 = $ Tj (XI /) Bj (x, t) d X]. (36.3)
Вектор Bj (fx, t) ... Btl (fn, t) Ф, построенный по правильным
операторам Blt Bn и гладким финитным функциям
fi, , fn, будем обозначать Т (Вг, .., Bn\flt ..., fn\t), aero
пределы при t -> ± оо будем обозначать Т± (В1г ...
..,Вп|Л, -> fn).
Определение 2. Оператор 5 = 5 *_ 5 _, действующий в
пространстве $?as, будем называть матрицей рассеяния,
соответствующей асимптотически абелевой алгебре Л.
Докажем следующие утверждения.
При сделанных предположениях операторы 5_ и S+,
удовлетворяющие условиям определения 1, существуют и
определяются этими условиями однозначно. Имеют место
соотношения
5Т0 = Ф, 5±п+ (к) 0 = Ф (к); (36.4)
Я5Т = STtfas, Р5Т = 5TPas. (36.5)
Из соотношений (36.5) вытекает, что матрица рассея-
ния 5 = коммутирует с гамильтонианом и опера-
тором импульса:
SHa& = HasS, 5Pas = PasS;
соотношения (36.4) влекут за собой устойчивость вакуума
и. одночастичных состояний'.
SQ = 0;
Sa+ (к) 0 = а+ (к) 0.
При совпадении областей значений операторов 5_ и 5+
(5_й6?аз = S+,^as) матрица рассеяния оказывается уни-
тарным оператором и может быть записана также в виде
5 = 5;г5_.
198
Если кроме алгебры Л задана другая асимптотически
абелева алгебра Л', для которой вектор Ф является цикли-
ческим, и алгебры Л и Л' асимптотически коммутируют*,
то матрицы Мёллера и матрица рассеяния S, построен-
ные по алгебре Л, совпадают с матрицами Мёллера и
матрицей рассеяния S', построенными по алгебре Л’.
Доказательство перечисленных утверждений основано
на ряде лемм. Сформулируем сейчас необходимые леммы
и выведем из них указанные утверждения. Доказательство
лемм проведено в § 37.
Лемма 1. Множество векторов вида ВФ, где В пробегает
все правильные операторы из алгебры Л, всюду плотно в одно-
частичном пространстве
Лемма 2. Пусть со (р) — гладкая строго выпуклая функ-
ция, f (р) — гладкая финитная функция,
Г(х U) = Сехр (—ico (р) t + ipx) f (р) -О- , (36.6)
J
тогда
supIHxloKCiUI 3/2;
X
(36.7)
Jir(x|O|dx<C2(|d3/2 +1). (36.8)
Если U — множество векторов вида v (р) = Vco(p), где
р б. supp f, a Uг — s-окрестность множества U, то для
любых п и е найдется такая константа D, что
I Г(Х 10 D (1 + Х2 + t2)-n
(36.9)
при условии £ ие.
[Символ supp f, как обычно, обозначает замыкание мно-
жества точек, где f (р) 0.1
Прежде чем переходить к формулировке леммы 3, введем
понятие усеченного вакуумного среднего.
Вакуумным средним <Л> оператора А назовем число
<ЛФ, Ф>. Усеченное вакуумное среднее <ЛГ ... Ап)Г про-
* Алгебры Л и Л' асимптотически коммутируют, если каж-
дый оператор из алгебры Л асимптотически коммутирует с каждым
оператором из алгебры Л'.
199
изведения п операторов Лх, Ап определим при п = 1,2, 3
следующими формулами:
<^>r = <ЛХ>;
<ЛХ Л2>г = <ЛХ Аг)-<&У {А2У = <ЛХ Л2>—<ЛХ> < Л2>;
<Л А2 А3У = (Aj А2 А3)-(А1 А2У <Л3>г—<Лх>г<Л2 А3У—
-(АгУ(А1А,У-(А1У(АгУ(А3)Т.
При произвольном п усеченное вакуумное среднее определяет-
ся с помощью рекуррентного соотношения
<ЛХ...ЛП>=2 £ <Л(лх)>С..<Л(лЛ)/, (36.10)
k= 1 р еRk
где Rk — совокупность всех разбиений множества {1,...»п}
на k подмножеств; лх, лй — подмножества, из которых
состоит разбиение р С R^ (л)>г — усеченное вакуум-
ное среднее произведения операторов At с индексами из
множества л. (порядок следования операторов по возраста-
нию индекса i).
Пусть каждому X из (конечного или бесконечного) мно-
жества Л поставлен в соответствие оператор Л% из алгеб-
ры Л.
Среднее значение
wn (^ь х1; /х, ..., Хп, xn, tn) = <ЛЛ1 (хх, tl)... АЛп (хп, tn)>
произведения А^ (хх, /х) ... А^п (хп, tn) по основному состоя-
нию Ф назовем (/г-точечной) функцией Уайтмана (см. § 24).
Усеченную функцию Уайтмана (Хх, хх, tlt ..., Xn, xn, tn)
определим как усеченное вакуумное среднее этого произ-
ведения:
гщДХх, хХ) fx,..., х„, ^)=<ЛЛ1(хх, /х)... ЛЛп(х„Дп)>г.
Иными словами,
дап(Хх, Х,7х,..., Xn, Хп, tx)= 2 5 Wak(nh).
k=lpCRk
<36.11)
Здесь аГ обозначает количество элементов в подмножестве
лг; w? (лг) — усеченная функция Уайтмана с аргумен-
тами Х/„ Х/„ tilt ..., X,- xz , t/ , где гх, ..., ia 6 лг
(порядок следования аргументов по возрастанию индек-
200
са г). При га = 1,2, 3 соотношения, связывающие функ-
ции Уайтмана с усеченными функциями Уайтмана, приобре-
тают вид
СЧ- *1, /1) = ^Т(^1, xlt Zt);
®2 (Aj, Xl. G, А2, Х2> =^2 (М> Xl- А2, х2, Q +
+ w’f (Ах, Xj, /j) (A2, x2, /,);
ЦУд (^1» Xl> 1» Aj>, Xg, О, A3, Xg, /3) —~
~ (^1> Xl> A2, X2, ^2’ A3, X3i ^з) +
+ 4(Л-l, Xj, /1) wT2 (A2, x2, /2, Аз, x3, Z3) +
+ w{ (A2, x2, /2) wT2 (Аь хп tlt A3, x3, t3) +
+ ®[ (A3, X3, t3) ™T2 fii, Xl, <0 A2, X2, t2) +
+ w\ (Ax, Xjt, ?i) w\ (A2, x2, Z2) w{ (A3, x3, t3).
Лемма 3. Если все операторы А%. — гладкие, то усе-
ченная функция Уайтмана
(Аъ хъ An/xn, /п) = <Лл1(х1, Zi)... Лп (xn, tn))T
при фиксированных. ilt ..., tn убывает быстрее любой степени
D = max I хг — x7-1 при D' 00.
1<Z, I - ,!
Лемма 4. Пусть f0, — финитные гладкие функции',
А о, An —гладкие операторы, принадлежащие алгебре Л.
Тогда при п 1 имеет место оценка
—L. (п— 1,
1<4(М)...лЛп^)Я^С(1 + И) 2 , (36.12)
где Aj (fj, f) = f fj (x 11) Aj (x [ t) dx. Эта оценка остает-
ся справедливой, если в выражении (Ао(/о> 0 •••
некоторые из операторов Aj (fj, t) заменить их производ-
ными по времени Aj (fj, t), операторами (Aj (fj, /))* или
(Aj (fj, t))*.
Приступим к выводу из перечисленных лемм нужных
утверждений. Прежде всего убедимся в справедливости
соотношений- (36.4). Первое из этих соотношений очевидно;
для того чтобы доказать второе, заметим, что
V (В | f \t) = В (f, /)Ф = ^Г(х|/)В(х, t) Фйх =
= f (х 11) ехр (ПН—iPx) ВФйх = f (х 11) X
X ехр (i/® (р) — ipx) ф (р) Ф (р) dxdp = y (р) <р (р). Ф (р) dp,
(36.13)
201
т. е. Чг (В|/| /) не зависит от /:
~W(B\f\t) = — В(},1)Ф = 0. (36.14)
dt dt
Видим, таким образом, что
Т±(В, /) = f / (р)<р(р)Ф(р) dp,
т. е.
(f f (Р) Ф (Р) dp 6) = f / (р) ф (р) Ф (р) dp. (36.15)
Лемма 1 утверждает, что векторы
ВФ = J фВ(р)Ф(р) dp,
где В пробегает множество правильных операторов, обра-
зуют всюду плотное множество в одночастичном простран-
стве. Это означает, что функции фВ (р), соответствующие
всевозможным правильным операторам В, образуют всюду
плотное множество в L2 (£3), поскольку, ставя функции ф (р)
в соответствие вектор Гф (р) Ф (р) dp, получаем изометрию
между пространством L2 (£3) и одночастичным простран-
ством. Функции / (р) фВ (р), где / (р) — пладкая финитная
функция, также, очевидно,. образуют плотное множество
в £2 (Е3), поэтому из равенства (36.15) вытекает нужное
соотношение.
Далее, покажем, что предел, фигурирующий в соотно-
шении (36.1), существует. Для этого докажем оценку
/— _dV_\ с । 3 (36. ш
\ dt dt / ' v 7
где Т(t) = Т(Вь ..., Bn\f1, ..., Из этой оценки сразу
следует существование предела (36.1), поскольку
если 4^ ^2 и 4 -> + оо или t2 -> —оо.
Для доказательства нужной оценки разложим
о-ад. t)...
... Bn(fn, t)ф, Вх(/Ъ о- О- Bn(fn, 0Ф>“
= 2 <(Вп (/п, 0)*-(ад.<х
хад, 0-ад. О...вп(/П>1/)Ф- Ф>
202
в сумму произведений усеченных вакуумных средних,
воспользовавшись соотношением (36.10).
Каждый множитель в любом члене этого разложения
имеет вид
4,г(0 = \(^;1(Лъ0Г... /))* х
х В (fjlt t)... в ц (f jt, /)/ ,
где точки над операторами обозначают дифференцирование
по времени, которое может встретиться для одного из пер-
вых k операторов и для одного из последних I операторов.
Можно считать без ограничения общности, что 1,
I 1 (в противном случае 4,; = 0 в силу соотношения
ВФ = 0). Если для всех множителей в данном члене
k = I = 1, то этот член равен нулю, поскольку тогда один
из множителей имеет вид или
<(В; (f/; t))* Bj (f}, t)Y = <(Вг (h, 0)* в, (4, t) Ф, Ф>,
или
<(Вг (fh о)* B} (fj, (fh 0)* th (fjt t) ф, ф>,
а оба эти выражения равны нулю в силу соотношения
(36.14). Таким образом, все ненулевые члены в изучаемой
сумме содержат либо хотя бы один сомножитель Ik< г, для
которого k + I 4, либо по крайней мере два сомножи-
теля Ihf i с k + I = 3 (члена, в котором для всех сомножи-
телей, кроме одного, k + I — 2, а для одного сомножителя
k 4- I = 3 не может быть, поскольку общее число опера-
торов четно).
Из леммы 4 вытекает неравенство
в частности
I 4, 1 (О I < 4
14, г (01 < а-з/2
при k + I = 3,
14, г (01 < Ct~s
203
при£ + I 4. Из этих неравенств и из высказанных выше
утверждений вытекает оценка (36.16) для jj- / и, сле-
довательно, существование предела в соотношении (36.1).
Поскольку предел в (36.1) существует, соотношение
(36.1) определяет операторы ST на некотором подмножестве
L пространства Жаа. Однако неясно, будет ли действие опе-
раторов ST определено однозначно, т. е. будет ли вектор
STB = Tzf (Blt ..., Bn\flt .... fn) одним и тем же, если век-
тор В двумя разными способами представлен в виде
В = а+(ф1/1)... а+ (чп1п)в,
где ft — гладкие финитные функции, функции срг соответ-
ствуют правильным операторам.
Покажем, что соотношение (36.1) определяет ST как од-
нозначный оператор и, более того, этот оператор может быть
единственным образом продолжен в линейный изометри-
ческий оператор, заданный на всем пространстве Жаа.
Используем для этого следующее общее утверждение.
Пусть на тотальном* подмножестве L гильбертова про-
странства Ж задано многозначное изометричное отображе-
ние а со значениями в гильбертовом пространстве Ж' (т. е.
каждой точке В 6 L сопоставлено множество точек
а (В) cz Ж' таким образом, что для точек Вь la 6 В,
xlt £ Ж', удовлетворяющих условиям ( a (Bi)»
х2 G а (Вг)> имеет место соотношение <х1( х2> = <Bi, £а>)-
Тогда отображение f на самом деле однозначно (т. е. каж-
дое множество а (В) состоит из одной точки) и может
быть единственным образом продолжено в линейный изо-
метрический оператор, заданный на всем пространстве Ж.
Для того чтобы доказать это утверждение, прежде всего
по линейности продолжим отображение а в многозначное
отображение а, заданное на множестве L линейных комби-
наций точек множества L. Точнее говоря, будем считать, что
х б а (В), если можно представить В и х в виде В =
п п
= 2 М, х = s таким образом, что xt g а (В;)-
i ~ 1 i— 1
Легко видеть, что отображение а обладает свойством линей-
ности: если Bj= Mi + Мг> хг £ a (Bi), х2 £ а (В2), то
М-1 -ф А.2х2 £ ос (В).
* Подмножество называется тотальным, если линейные комби-
нации его точек плотны в &С.
204
Отображение а также является многозначным изомет-
рическим отображением (если х(1) £ а х<2> С а (£(2))>
ТО gd) = 2 XW = 2 Kt Х?>, = 2 Р; ^2>, Х& =
2 Р-;*/2’. где х)1* = а (В)1’), х)2) = а (£/2)), и, значит,
<%(»1%(2)> = 2ХгЙДхр>,хр>> = 2^ЙК1?’Л)2,>-
Покажем теперь, что отображение а на самом деле од-
нозначно. Действительно, пусть хх £ а (£), х26а*(ё). То-
гда из изометричности
<%1, х^У — <(х2, х2> ~ ^л-ij =
Из этого равенства вытекает, что хг = х2.
Таким образом, а — однозначное линейное изометри-
ческое отображение, заданное на множестве L. В силу»,то-
тальности множества L множество L всюду плотно в Ж,
и можем по непрерывности продолжить а в линейный изо-
метрический оператор, заданный на всем Ж.
Для того чтобы применить доказанное утверждение к
установлению нужных свойств матриц Мёллера, нужно
проверить, что множество L векторов вида о+ (фх Д) ...
... а+ (фп/п) 0, на которых операторы ST определены в силу
соотношения (36.1), тотально в пространстве и дока-
зать, что для правильных операторов Blt .., Вп, В{, ..., В'т
и гладких финитных функций Д, ..., /л, Д', ..., f'm имеет
место равенство
<Тт (Вх,..., Вп | Д,..„ fn), (В[,..„ В'т I д,..., fm)y =
= <й+(ф1А)- а+ 0, а+ (ф! Д')... а+ 0>.
(36.17)
Тотальность множества L вытекает из того, что функции
вида фв (k) f (к), где f (к) — гладкая финитная функция,
В — правильный оператор, всюду плотны в L2 (£3) (выше
уже было замечено, что этот факт следует из леммы 1).
205
Для того чтобы доказать соотношение (36.17), предста-
вим левую часть этого соотношения в виде
<тт(В1,..., вп| A,..., fn), (В/А)> =
= lim ^(Вг........Bn\f1,...,fn\t),W(B{,...,Bl^\f{,...,^\t)y =
о°
= lim <(В^(М, 0)*- (В{ (/[, t^BAfi, i)-Bn(fn, 0>
ОО
(36.18)
и разложим выражение, стоящее под знаком предела, по
усеченным функциям Уайтмана. Каждый член получив-
шегося разложения состоит из произведения множителей
вида
i (^(В^ /))*... (B^f'ik, t))* Bh (flt, t)... B}[ (fjp tW.
Из леммы 4 вытекает, что при k + I 3 множители
Rht t (t) стремятся к нулю при t-+ ± С другой сто-
роны, множители г равны нулю, если k = 0 или I = О,
в силу соотношения ВФ = 0. Таким образом, в пределе
t -> ф с» отличны от нуля лишь слагаемые, в которых
все множители имеют вид Rlr (t). Легко убедиться, что
(О = <(В/ (//, 0)* в} (A, tyy = <(В/ (А, о)*в3 (f3, t»=
-<В3({3, ОФ, В- (Д,/)Ф> =
= А (к) ф; (к) Ф (к) dk, J А (к) ф/ (к) Ф (к) dk) =
= <fi Ф/> А' ф/> = <а+ (А Фу) 0, а+ (fl ф/') е>
и, стало быть, Rlt х на самом деле не зависит от t [при пре-
образованиях была использована формула (36.13)].
Из доказанных только что утверждений вытекает, что
п
выражение (36.18) равно 8т ЗП <Ф«А, фАА> [сумма
5=1
берется по всем перестановкам (ц, ..., in)]. Это означает
справедливость равенства (36.17).
Таким образом, проверено, что соотношение (36.1) за-
дает ST как изометрические отображения на тотальном мно-
жестве, и, следовательно, в силу доказанного, можно един-
ственным образом доопределить ST до изометрических опе-
раторов, заданных на всем пространстве Hftas.
206
Для того чтобы доказать соотношения (36.5), заметим,
что справедливо равенство
ехр (— Шт) В (f, t) ехр (iHi) =
= ехр (— \Hi) f (x\t) В (х, t) ехр (iHi) dx —
=^(х 11) В (х ,t—i)dx = J( Jexp( — ico (p)£ + ipx)f(p)j x
xB(x, t—i)dx = J Q exp ( —ico (p) (/—t)-L ipx) ( (p) x
X exp (—ico (p) t) В (x, t—т) dx,
(2л)“ )
откуда
exp (— iHi) В (f, t) exp (Шт) = В (f1, t—t), (36.19)
где fx обозначает функцию Д(р)=/(р) exp (—ico (p) r).
Из равенства (36.19) вытекает, что
ехр(-Шт)Т(В1(..., =
==Т(В1,...,Вп|Д,...,^-т). (36.20)
Переходя в (36.20) к пределу (-> °° и пользуясь тем,
что
ехр (—itfas т) а+ (фх Л)... а+ (<рп Д) 0 =
= а+ (Ф1П)- а+ е.
убеждаемся, что
ехр (—Шт) ST £ = ST ехр (— iHas т) £
для всякого вектора £ g L. В силу тотальности множест-
ва L получаем отсюда, что
ехр (—iHi) ST = ехр (—Шаз т)
и, значит, первое из соотношений (36.5) справедливо (второе
доказывается тем же способом, но еще проще).
Таким образом, из лемм выведены все сформулирован-
ные выше утверждения, кроме теоремы о совпадении матриц
Мёллера, построенных по асимптотически коммутирующим
алгебрам.
Для того чтобы проверить это последнее утверждение,
заметим, что при расширении асимптотически абелевой ал-
гебры матрицы Мёллера не меняются. В самом деле, если
207
алгебра А, удовлетворяющая перечисленным выше усло-
виям, содержится в асимптотически абелевой алгебре А,
то при вычислении операторов ST, соответствующих ал-
гебре А, можем пользоваться лишь такими правильными
операторами, которые принадлежат алгебре А\ из этого
видно, что алгебрам А и А соответствуют одни и тё же мат-
рицыМёллера. Если алгебры А и А' асимптотически комму-
тируют, то семейство А \У А' является асимптотически
абелевым и может быть включено в асимптотически абелеву
алгебру А. Поскольку А с: А и A' сг А, матрицы Мёллера
ST и S^, построенные по алгебрам А и А', совпадают
с матрицами Мёллера, построенными по алгебре А, и, зна-
чит, совпадают между собой. Совпадение матриц Мёллера
влечет за собой, очевидно, и совпадение матриц рассеяния,
построенных по алгебрам А и А'.
В заключение отметим, что матрицы Мёллера и матрица
рассеяния не зависят от выбора полной системы частиц
(напомним, что между пространствами fflas, соответствую-
щими разным выборам полной системы частиц, существует
естественный изоморфизм; поэтому имеет смысл говорить
р совпадении матриц рассеяния, построенных по разным
системам частиц). Для того чтобы проверить это в рассмат-
риваемом случае, когда полная система состоит из единст-
венной частицы Ф (к), учтем, что всякая другая частица
может быть записана в виде
Ф' (k) = ехр (i а (к)) Ф (к),
где а (к) — действительная функция.
Операторы а+ (к), а (к) в пространстве Жas, соответству-
ющие частице Ф (к), связаны с операторами а'+ (к), а' (к)
в fflas, построенными по Ф' (к), равенствами
а' (к) = ехр (— i а (к)) а (к);
а'+ (к) = ехр (i а (к)) а+ (к).
Пользуясь этими соотношениями, без труда проверяем, что
для всякого оператора Bs
= (36.21)
где
<Pf (к) = (В; Ф, Ф' (к)>, ф; (к) = <В; Ф, Ф (к)>.
208
Используя (36.21) и замечая, что левая часть (36.1) не за-
висит от выбора частицы, убеждаемся, что матрицы Мёл-
лера S± также не зависят от выбора частицы.
§ 37. Доказательство лемм
Доказательство леммы 1. Пусть 1 (со, р) — функция
четырех переменных с носителем в множестве А. Рассмот-
рим оператор X (Н, Р) — функцию коммутирующих са-
мосопряженных операторов Н, Р. Легко видеть, что, если
множество А не пересекается со спектром семейства опе-
раторов (Н, Р), оператор X (Н, Р) = 0, а если множество А
не содержит точек, принадлежащих многочастичному спект-
ру 2^, а также начала координат 0, множество значений
оператора X (Н, Р) принадлежит одночастичному подпро-
странству.
Используя это замечание, можно построить правильные
операторы с помощью следующей конструкции.
Рассмотрим функцию a (t, х) g & (Е1), такую, что ее
преобразование Фурье
а (со, р) = а (/, х) ехр (i (со/ — рх)) dx dt
имеет носитель, не пересекающийся с многочастичным
спектром и с полупространством со 0. Тогда оператор
В = f а (/, х) А (х , t) dxdt,
где является правильным.
В самом деле, по построению оператор В является глад-
ким. Вектор
ВФ = ^'а (/, х) А (х, t) <&dx dt =
= а (t, х) ехр (i Ht—iPx) А ехр (— iHt + iPx) <&dx dt =
= a(t, x)exp (i (Ht—Рх)) ЛФс/х dt = а (H, P) ЛФ
по сделанному выше замечанию принадлежит одночастич-
ному подпространству. Вектор
В* Ф = a (t, х) ехр (i (Ht—Рх)) A* (&dxdt =
=Л(—Н,— Р)Л*Ф = 0,
поскольку носитель функции a (—и, —р) не пересекается
со спектром операторов Н, Р.
209
Покажем теперь, что векторы ВФ, где В пробегает пра-
вильные операторы, построенные описанным только что
способом, плотны в одночастичном подпространстве.
Для этого рассмотрим в вектор Ф (X) = J Х(к) х
X Ф (к) dk, где X (к) — гладкая финитная функция, и
построим такую последовательность правильных опера-
торов Вп, что Вп Ф Ф (X) (этого достаточно для дока-
зательства нужного утверждения, поскольку гладкие фи-
нитные функции X (к) плотны в L2 (В3) и, значит, соответ-
ствующие им векторы Ф (X) = f X (к) Ф (к) dk плотны
в^).
В силу цикличности вакуума относительно алгебры .А
существует последовательность операторов Ап £ Л, для
которой Ап Ф -> Ф (К). Нужную последовательность пра-
вильных операторов можно построить, взяв Вп =
— J а (/, х) Ап (х, /) dxd/, где
а(Д х) = I а (со, р)ехр[—i (cof—рх)]
dco dp
(2л)Т
свойства носителя функции а обеспечивают правильность
операторов Вп и функция а удовлетворяет условию
а (и (к), к) = 1 для всех к, принадлежащих носителю
функции X (к). В самом деле,
lim Вп Ф = lim а (Н, Р) Ап Ф = а (Н, Р) Ф(Х) =
П-+ОО П-*ОО
= X (к) а (Н, Р) Ф (к) dk = X (к) а (и (к), к) х
X Ф (к) dk = X (к) Ф (к) dk = Ф (X).
Это завершает доказательство леммы 1.
Прежде чем доказывать лемму 2, проведем некоторые
нестрогие, но наглядные рассуждения. Интеграл (36.6) при
больших t можно приближенно вычислить методом стацио-
нарной фазы. Стационарная точка р0 фазы и (р) t — рх
определяется уравнением v (р0) t = х; обозначая w (|)
решение уравнения v (р) = |, можно записать стацио-
нарную точку в виде р0 = w Метод стационарной
210
фазы дает для f (х [ t) при больших t выражение
/ (х р) ^С/ 3/2 / fw )) j “ (w (7") V +
где
C = (2ni)-3/2|detyift|-i/2;
д2
Т/ь = Д—т— ® (Р) lp= W (2L-) •
dpidpk ₽ U J
Таким образом, f(x\t) при больших t убывает как t~3/2.
Если -у- £ 1/ъ, то = О и стационарная точка
не содержится в носителе функции f (р); в этом случае сле-
дует ожидать, что значение функции f (х 1t) будет очень
мало. К сожалению, приведенные сейчас простые соображе-
ния не позволяют получить необходимых равномерных по х
оценок для функции f (х | /); укажем аккуратное, но доволь-
но громоздкое доказательство этих оценок.
Доказательство леммы 2. Оценим прежде всего f (х р)
при (£ иЕ.
Для этого воспользуемся формулой
$ ехр ( — i cr(p))x (Р) dp = J ехр ( — i о (р)) (М %) (р) dp, (37.1)
где X (р) — гладкая финитная функция; (L%) (р) =
= —div (и (р) х (р)); и (р) = (ш-> например,
[52]).
В рассматриваемой ситуации
a(p) = ®(p)Z— рх; Х(Р) = /(Р);
и(р) =
V (р) t — x
(v(p) t — х|2
t
X
v(p)——
t
X
v(p)-—
t
Если Ue, нетрудно проверить, что
sup u (p) [
p e supp f | г |
211
dl “ I
(здесь D'« = | «I - <h + ». + «„
С здесь и дальше обозначает величину, не зависящую от
хи/, ио, возможно, зависящую от других параметров, на-
пример в данном случае от а и s). Отсюда получаем оценку
sup i(Mx)(p)|^C|/|-n- (37.2)
pesuppf
Формула (37.1) вместе с оценкой (37.2) приводит к неравен-
ству | f (х | /) [ С ьП7|Л - гДе V $ п — произ-
вольное число. Для того чтобы убедиться в справедливости
неравенства (36.9), следует отдельно рассмотреть случаи
| х | at и | х | > at, где а = 2 sup | v (р) |. В первом
р е supp f
из них неравенство (36.9) вытекает из (37.2); во втором
случае можно воспользоваться тем, что
sup | £)(0) u (р) I ~ .
pesupp f | х|
| x | > at
Для того чтобы доказать неравенство (36.7), возьме'м
гладкую функцию р (х), равную нулю при |х| «С и еди-
нице при |х| > va.
Разобьем интеграл, представляющий функцию f (х| /),
на два:
= Jехр (— i со (р) t + ipx) р (/₽ (v (р)-р (р) с/р;
(37.3)
/2 = Jexp (—iсо (р)/ + ipx) (1 — р v(р) — у J/(р)с/р,
(37.4)
5 1
выбрав число р в промежутке < р < у. Интеграл
оценим с помощью формулы (37.1). Введем обозначение
||ф||п= sup |D<“) (р)|,
per *
|a|<n
где под Г понимается множество точек р, для которых
у (р)-----у > vx 11 |_р (вне множества Г подынтегральная
функция интеграла равна нулю). Нетрудно проверить,
что || и ||п «С С| /|“1+(«+1)Р,
212
Далее,
ll^|ln^C||uX]|n+1^C 2 l№l|xll₽,
ct-j— p—n-|-1
откуда
miln<c 2 IHk-..|l«Mxll₽^
Old--+ar+₽ = n+r r
<c-2IN-r+‘"+2r-₽)p|lxll₽-
₽
Чтобы оценить интеграл Ilt следует положить в формуле
Х(Р) = И^р (v(p)—.
Тогда Цх||₽^С|/|₽р, значит,
IЛ1 <C||^xHo<SCR|-r+(2r~ ₽)pllxll₽<
< С ]7 |-г+2гр.
1 5
Взяв г >2р’р убеждаемся, что |Л| С’|г,|~3<'2.
В интеграле /2 заменим в показателе экспоненты со (р) на
®i(p) = <o(Po) + v(po)(p-Po)+ S 2 v Т-"(Р?- X
X (Pi — poi) (Pi—Poj),
где p0 — произвольная точка, для которой v (р0) —
---у-| v2| р, и покажем, что ошибка А при этой за-
мене не превышает С| f|_3/2. Для этого сделаем в инте-
грале
А = (ехр (— i и (р) 14- ipx) — ехр (—i их (р) t + ipx)) х
X (1 —p(/-p(v(p)—2_)))/(р) dp
замену переменных по формуле w = v (р)-у-« Из строгой
выпуклости функции со (р) и финитности функции f (р)
вытекает, что якобиан этой замены ограничен сверху и сни-
зу положительными константами.
213
В силу свойств функции ц можно считать, что интеграл
Д берется по области Гх, где |w| v2|11_р; объем этой
области равен С | /|~3р. В области Г1 можно воспользоваться
оценкой
| (ехр (—ico (р) t + ipx) — ехр (—icox (р) t + ipx)) f (p) |<
< C|/| |p — Pol3 < С1И |w|3^ C2|/|-3p+1; в резуль-
i_6 A
тате |Д| sC C1111 ~6р < С111 ’12 = С|/|~3/2.
Осталось оценить выражение
/2—Д = ^ехр( —icoj (р) t + ipx) f (р) с/р —
— § ехр (— i <ох (р) + ipx) р, (р)---A'j) dp.
Второе слагаемое в этом выражении оценивается точно так
же, как интеграл /х. Оценка для первого слагаемого полу-
чается, если переписать его с помощью преобразования
Фурье в виде
jG(x-y, /)}(у)с/у,
где
f (х) = f f (Р) ехр (ipx) ;
<Ж /) = /-^У/21 detул |->/2 ехр^А-'^Ч Xj хк
a2w(рв) .
= ;—>
K]k — матрица, обратная к yjk.
Неравенство (36.8) получаем, применяя для х g Uet
оценку (36.7), а для х (£ Uet — оценку (36.9).
Замечание. Наложив некоторые условия на поведение
функции со (р) на бесконечности, можно доказать лемму 2
для любой гладкой быстро убывающей функции f (р).
Доказательство леммы 3. Установим прежде всего про-
стое, но важное тождество, связывающее усеченное вакуум-
ное среднее
(АВ {/)У = {АВ (/) Ф, Ф> —<ЛФ, Ф> <ВФ, Ф>
214
с вакуумным средним от коммутатора [Л, В (/)]. Для этого
рассмотрим гладкую функцию h (со), удовлетворяющую
условиям h (со) = 0 при со 0, h (со) = 1 при со 8
[число 6 > О таково, что все точки спектра оператора Н,
кроме точки 0, лежат на луче (6, -Д оо)]. Заметим, что
h (Н) = 1 - Ро; j
h (-Н) = 0, )
(37.5)
где Ро — оператор проектирования на вакуумный век-
тор Ф (эти равенства легко проверить, если воспользоваться
существованием изоморфизма пространства Ж и простран-
ства Z? (/И), при котором Н переходит в оператор умно-
жения на функцию). Всякой функции f (/) g & сопоста-
вим функцию
f/г (со) ехр (i со (т—t))f(r) .
J 2л
Легко видеть, что функция Д Д) также принадлежит про-
странству Д’ (оператор, сопоставляющий функции / функцию
Д, является произведением преобразования Фурье по t,
оператора умножения на h (со) и обратного преобразования
Фурье; каждый из перечисленных операторов переводит
пространство & в себя). Если функция f зависит не только
от t, но и от других переменных, функцию fh строим с по-
мощью преобразования Фурье только по t (другие пере-
менные рассматриваются как параметры). Если функция
f Д, Ху, ..., хп) принадлежит пространству Д’ (Еп+1), то
функция fh принадлежит тому же пространству.
Докажем, что для любой функции f g Д’
J f(t)(AB{t)y dt = \fh(t)([A,B{t)]}dt, (37.6)
В самом деле,
J Д (/) < АВ Д)> dt = J Д (О <А ехр (i Ht) В) dt =
- (Ah (Н) ~f (Н) В) = < А (1 -Ро) 7 (Н) В) =
= $ f Д) (А (1 -Ро) ехр (i Ht) B}dt = ^f (t) (AB Д)>г dt;
(37.7)
fh Д) <B (0 A> dt = J Д (t) (B exp (— i Ht) A> dt =
~(Bh( —H)~f(—H) A> = 0. (37.8)
215
Здесь были использованы соотношения (37.5) и равенства
$ th (О ехр (i art) dt = h (и) ~f (со);
/ (/) ехр (i at) dt= f (а).
Комбинируя (37.7), (37.8), получаем (37.6).
Теперь можно доказать утверждение леммы при п = 2,
Пусть Alt Аг, С £.4, a g А2 = J а(х, t) С (х, t) dxdt.
Введем обозначение D = f ah (х, t) С (х, f) dxdt. Из соот-
ношения (37.6) легко получить
<Л1Л2(х, ^)>Г = <[Л1, D(x, 0]>.
Пользуясь тем, что D 6 Л, и асимптотической абелевостью,
видим, что
I (Х1- *1’ Х2, I = I <Л(Х1, *1) А (Х2, I =
Перейдем к случаю произвольной функции Уайтмана.
Рассмотрим функцию
wn(xl,t1, ...,xn,tn) = (A1 (x^t,) ... An(xn,tn)>
и две функции
4° <Ч> А’ •••> Xik' = <ХЙ’ ••• Aih^h'
(X/P 4 ... x/> OP = <Ah (ХЛ> Oi) -• Ah (*ii>
получающиеся, если операторы Л(, ..., Ап, фигурирующие
в определении функции wn, разбить на две группы
Ati, ..., Ai'h и Ajit Ац (здесь k + I = п, индексы
it, ..., ih, а также-индексы Д, ..., Д расположены в порядке
возрастания, все операторы At считаем гладкими).
Множество индексов Д, ..., ih, относящихся к операто-
рам первой группы, будем обозначать К; множество индек-
сов Д, ..., Д операторов второй группы —L; очевидно,
К U L = {1, 2, .... п}.
Оказывается, что, когда все точки хг, где i g К, рас-
положены далеко от точек х}, где / g L, имеет место при-
ближенное равенство
Wn (Xj, ilt ..., хп, tn) «
« 41’ (хг-„ Д„ ...» xZft, tih) wltiy (xllt th, ..., xh, tj).
216
Точнее говоря, при фиксированных tlt tn функция
wn (хъ 4, xn, tn) —
—41’ (Х,„ tit.... Xik, tik) wi2> (x/t, th.xh, th)
не превышает no модулю Cd~p, где d ~ min |хг — xJ;
iPK. i€L
p — произвольное число; С — константа, зависящая от р,
но не зависящая от хп ..., хп. (Сформулированное свойство
функций Уайтмана носит название свойства асимптоти-
ческой факторизации или кластерного свойства.)
Доказательство свойства асимптотической фактори-
зации проведем сначала для случая, когда множество К.
состоит из чисел (1, 2, ..., k), а множество L — из чисел
(k + 1, ..., п). Тогда оцениваемую разность можно запи-
сать в виде
где
— (xi> 4) ••• (хг<> 4)i
4 =-^A+l (XA+1> 4+1) ••• (xn> 4)-
Далее, вспомним, что операторы Alt ..., Ап — гладкие и,
следовательно, могут быть представлены в виде
Л = J.4 (ХД)#ДХ, 0dxdt,
где ftfzAf, В^Л. Замечая, что
U = § fk+i (li> Ti) • • fn (Ъп-Ю 4-а) Bk+l (ХЛ+1 + 11, tk+l + Ti) •••
• • • Вп (хп + ln_h, tn + тп_&) dn~* ldn~kx =
= $a(4 li —XA+1, •••, ln-k—Xn,Ob ...,On_ft-x)X
X exp (i Ht) Bk+1 (5x, 4+i) Bh+2 (52> tk+2 4-^1) •••
••• Bn tn A-Gn-n-i) exp (—i Ht)dt dn~k ldn~^ G,
где
a ft, 5i,, 5n-s> Oj, ..., Оп-д-х) =/д+1 (5i, t) fh+2 (52, Z-TOx)...
fn (ln-л, + оп_й-х), можем применить соотношение (37.6).
Получаем
йд (t, 5х хп+1, •••, ln-А хп, Ох, ..., Оп_д_х) X
X <[#, Дл+1 (11Д + 4+1)^Л+2 (§2, 14-4+2 +°ri) •••
... Вп (5п-л Д + 4 + оп_й_ 1)1 > dtd«-k ld-~^ о. (37.9)
217
Коммутатор, стоящий в правой, части равенства (37.9), мо-
жет быть с помощью соотношения [KL, ЛИ == [Д', ЛИ L +
+ Д' [L, М] переписан в форме
2 Си [А; (xb tt), Bs (|y_ft, t +t} + DiS,
k+
где Си, Dtj — операторы, ограниченные по норме кон-
стантой, не зависящей от х;, th |г, иг. Из этого факта,
асимптотической коммутативности и формулы (37.9) выте-
кает свойство асимптотической факторизации для случая
Д = {1, ...,&}, L = {k + 1, ..., п}. Общий случай сводит-
ся к этому, уже исчерпанному частному случаю. Пусть мно-
жество К состоит из чисел (ilt ..., ik), множество L — из
чисел (Д, ..., /(), причем ... < ik, ]\ <_ ... < Если
число d = min | хг — Xj | велико, имеет место приближен-
ием, /еь
ное равенство
<Л1 (хъ tj... Ап (х„, tn)> w (Ai{ (xn, ttl)... Aih (xih, tik) x
(37.10)
причем ошибка этого равенства не превышает Cd~m, где
т — произвольное число;' С — константа, зависящая от
т, п, tb ..., tn. Доказательство этого равенства получается,
если воспользоваться тем, что для i £ К, j 6 L имеет место
приближенное равенство
(EAt (xf, tt) А} (xh tj) F) « (EAj (x], t}) A( (xb F>
с указанной только что оценкой для ошибки (здесь Е, F —
произведения операторов Аа (ха, /а), где а £ Д (J L).
Из соотношения (37.10) и свойства асимптотической фак-
торизации в рассмотренном ранее частном случае очевид-
ным образом вытекает свойство асимптотической фактори-
зации в общем случае.
Покажем теперь, каким образом из свойства асимпто-
тической факторизации функций Уайтмана можно вывести
утверждение леммы 3. Предположим, что утверждение лем-
мы справедливо для функций wTn_1, и докажем его для функ-
ций Wn Прежде всего убедимся в справедливости следующей
геометрической леммы.
Пусть N — состоящее из п точек хъ ..., хп множество
в евклидовом пространстве, D — диаметр множества N
(т. е. D = max |хг — хД). Тогда можно разбить это мно-
218
жество на два подмножества Р и Q таким образом, что
р (Р, Q) = min | хг — х; | .
х;6Р, хуе<2 2
Доказательство этого факта проведем индукцией по п.
Пусть D = |ха — хр|. Удалив из множества N точку х7,
не совпадающую ни с ха, ни с хр, получим множество N',
состоящее из и — 1 точек и имеющее тот же диаметр D.
По предположению индукции можно разбить множество
N' на два подмножества Р' и Q' таким образом, что
р (Р', Q') = min | хг — Х;.| > Точка xv не
х^Р', x.£Q' 2
может в силу неравенства треугольника удовлетворять од-
новременно неравенствам р (Р', ху) = min |хг — xv| <
хгее'
<у и р (Q', xY) = min |Ху — xv| < предположим
определенности ради, что р (Р', хт) Тогда нужное
разбиение можно, очевидно, построить, считая, что множе-
ство Р совпадает с Р', а множество Q получается из Q'
присоединением точки хг.
Предположим, что утверждение леммы 3 уже доказано
для функций Wk при k < п. Чтобы доказать утверждение
этой леммы для функции w„, нужно оценить wl (хп ...
..., хп, tn) при условии max |хг- — х;| = D (вре-
мена tlt ..., tn считаем фиксированными). Пользуясь
только что доказанной геометрической леммой, разбиваем
множество {1, ..., п} на два подмножества К и L таким
образом, что min | хг — х, I ~. Для оценки функции w„
/ек. sec 2
заметим, что в правой части соотношения (36.11) (рекур-
рентного соотношения, определяющего функции Wn) все
множители вида w«. (лг), где аг < и, а множество
имеет общие элементы и с К. и с L, по предположению индук-
ции допускают оценку вида CD~~m, где т — любое, а С за-
висит от т. Отсюда вытекает, что каждое слагаемое в правой
части (36.11), содержащее хотя бы один множитель описан-
ного только что вида, также допускает оценку вида CD~m,
поскольку все множители w^ (лг) можно оценить сверху
константой, зависящей только от чисел •••> 1Мп||
219
и числа п (существование такой оценки становится очевид-
ным, если заметить, что
... Лп(х„, tny> |<||Л11|... II Лп ID-
Таким образом, с ошибкой, не превышающей CD~m,
можно написать приближенное равенство
(XjJj, ...,Xn,tn)^WTn (Xj./j, ...,Xn,tn) +
n
+ 2 (37.li)
fe = 2 p 11
где сумма берется только по таким разбиениям р множества
{1, ..., п} на подмножества л}, для которых каждое из под-
множеств лу- целиком содержится либо в /С, либо в L.
Легко видеть, что сумма, фигурирующая в (37.11), равна
произведению wk (х/,, tit....... x/fe, tt) wt (x^, tj,, ...
..., x/;, tj), где (ij, ..., ih) — элементы множества К,
(Л, •••> h) — элементы множества L.
Видим, таким образом, что
Wn (Xj, tlt .., xn, tn) «_wn (xn tlt ..., xn, tn) —
—Wk (X/„ ti„ ..., Xik, tik) Wi (xZ1, tlt, ..., xZj, tj).
Для того чтобы доказать утверждение леммы 3, осталось
сослаться на свойство асимптотической факторизации функ-
ций Уайтмана.
Замечание. Из гладкости операторов At вытекает, что
функция Уайтмана wn (хъ tlt ..., хп, tn) и усеченные функ-
ции Уайтмана Wn (хп tlt.... хп, tn) являются гладкими функ-
циями, причем производные этих функций можно рассмат-
ривать снова как функции Уайтмана или усеченные функ-
ции Уайтмана, но построенные по другим гладким операто-
рам. (Это становится очевидным, если заметить, что для
гладкого оператора А = f f (т, |) В (|, т) d^dr, где f £
(Б4), имеет место соотношение
Б><°) А (х, t) = f (т—t, | — х) В (|, т) =
= § £ (т—t, I—х) В (|, т) dl dx •= С (х, t),
где Z)(a> — дифференциальный оператор: £й“> ~
= -п—! ё х) = (—1)' “1 DW f [t, х); С —
dta« дх^ дх“* дх^ s v v ’ 1 v ’
220
гладкий оператор, определяемый формулой С = f g (т, %) X
X В (|, т) dr; производная оператора понимается
в смысле дифференцирования но норме.) Воспользовавшись
этим фактом и утверждением леммы 3,. можем сказать,
что при фиксированных tlt tn и фиксированном хп
функция Wn (хъ tlt ..., xn, tn), построенная по гладким
операторам, принадлежит пространству if (£3(п-1)).
Требование гладкости операторов ..., Ап, фигури-
рующее в лемме 3, может быть ослаблено. Однако если это
требование совсем отбросить, то приходится ослабить ут-
верждение леммы. Именно, без условия гладкости опера-
торов Дх, ..., Ап можно утверждать, что функция
v (хх, /1( .... хп, У =
У (Х1 11, tl Т1> •••» Хп tn Т„) Wn (^1>
Ти •••> In, Tn) d"t,dnr, где у g if (Ein), при фиксирован-
ных tlt ..., tn и фиксированном хп принадлежит простран-
ству & (Е&
Доказательство леммы 4. Чтобы доказать лемму, нуж-
но оценить величину
/ = <Л(/о,О-Л(/п,О>г = $?о(хо1О ...
-7п (х„ IО<Л (ХО, 0 ... Ап (xn, 0>r dx0... dxn. (37.12)
Перейдем в интеграле (37.12) к новым переменным
х0, 11, In, где Ъ = х; — х0, и воспользуемся оценкой
l<A(x0.<)...4(x„/)ZI< 1+|С|г =
___________с________
l+®+---+£«r/2
вытекающей из леммы 3 (здесь т — произвольное число,
С зависит от т). Применяя эту оценку, получаем
17К Й7о(ХоИ)|(------------Г------£---dXod«K
I I /01 01 1+|Z|3/2 J l+HSIP
< const (1 +111) “2" J17o (XO \t) | dxQ <
<const (1 +111 )~2 (n~1'. (37.13)
221
При преобразованиях использованы неравенства | /7- (х | f) | ==С
< С (1 + рр/2)-1 при />1, J|7o(x|0|dx^
< С (1 + | ^|)3/2, следующие из леммы 2, число т выбрано
настолько большим, чтобы интеграл J (1 +
сходился.
Неравенство (37.13) дает нужную нам оценку величины I.
Для того чтобы завершить доказательство леммы 4, следует
получить аналогичную оценку в случае, если в выражении
(ДДА, 0 An(fn, t))T некоторые из операторов А} (f}, t)
заменены операторами Aj(fjt t) — — Aj (fj, t).
Заметим, что
Aj (fj, i) = yy f Ji (* 10 Aj (x, 0 dx ==
ar J
= f (yyb(x|0) Aj(x, f) dx+ [h(x\t)-~ Aj(x, t) dx =
J \ at j J at
= $ gj (x 11) Aj (x, t)dx + ^ ~fj (X1t) Kj (x, t) dx,
где введены обозначения
K = i[H, A];
ё)(х1П = -у-й<х|0 =
at
= f exp( — i® (p) / + i px) gj(p) ;
J (2л)3
g;(p) = —i®(p)fr(P)«
Таким образом, оператор Aj (fj, t) может быть представ-
лен в виде
Aj(fj,t) = Aj(gj,i) + Kj(fj,t), (37.14)
где gj — гладкая финитная функция; К,} — гладкий
оператор. [В гладкости оператора Kf} легко убедиться,
заметив, что, когда оператор Aj представлен в виде
Aj = J <f7 (т, |) Bj (|, т) d^dr, оператор К; равен
-f <Pj (х. В} (I, г) dldr.'
j у ат /
С помощью формулы (37.14) доказательство леммы в
случае, когда некоторые из операторов А} (fj, t) заменены
операторами Aj (fj, t), очевидным образом сводится к уже
222
рассмотренному случаю. Доказательство леммы в случае
замены некоторых операторов Aj (fj, t) на операторы
(Aj (fj, 0)* или (Aj (fj, 0)* не требует каких-либо новых
идей.
§ 38. Асимптотические поля
(in- и out-операторы)
В § 36 было дано определение матриц Мёллера ST, со-
ответствующих асимптотически абелевой алгебре Л. С по-
мощью матриц Мёллера можно определить in- и out-one-
раторы (асимптотические поля) а\п (к) и а\п (к) соотно-
out out
шениями
S_a+ (к) = ait (к) S_;
S_a (к) = ain (к) S_;
S+a+ (к) = ajut (к) S+;
S+a (к) = aout (к) S+.
Эти равенства определяют, очевидно, ait (к), a,-n (к)
как операторные обобщенные функции в пространстве
J'An = S- Яи и aout (k), aout (k) — как операторные обоб-
щенные функции в пространстве Ж oUt = S+.^as.
В этом параграфе показано, что in- и out-операторы опи-
сывают асимптотическое поведение операторов А (х, f),
где А £ Jl, при t -> ± оо (это и является основанием для
того, чтобы называть их асимптотическими полями).
Прежде чем переходить к точным формулировкам, вве-
дем следующие определения.
Каждой функции f £ & (Es) сопоставим множество
U (f) g Es, состоящее из точек вида да^ , где k g supp f
(т. е. к принадлежит носителю функции /).
Семейство функций Д, ..., fn назовем неперекрывающим-
ся, если fj £ if (Es) и множества U (fj) попарно не пересе-
каются*.
* При наложенном на функции <о (к) условии строгой выпук-
лости семейство функций flr ..., /п будет неперекрывающимся в том
и только в том случае, когда носители этих функций, supp f j попар-
но не пересекаются. Таким образом, в рассматриваемом случае
определение неперекрывающегося семейства может быть упроще-
но. Однако для того, чтобы ослабить условие строгой выпуклости
или рассмотреть случай, когда имеется несколько частиц, необхо-
димо исходить из данного в основном тексте определения.
223
Следующее замечание проясняет физический смысл введенного
понятия.
Если ft...... fn — неперекрывающееся семейство функций,
то динамика _в пространстве ^as при / -♦ ± оо превращает вектор
а+ (/1) ... а+ (fn) 6 в совокупность далеких друг от друга частиц.
В самом деле,
ехр( — i Has t)a+ (Л) ...а+ (fn)Q = a+ (ft1)...a+ (f„) 0 =
= (2я) J fi (Xi I 0 • • • tn (*n I 0 a+ (xi). •.«+ (x„) dxj... dxn 0,
где
(k)=fj(k)exp ( — i co(k) t);
~ f* , dk
4«ехр(! kx)_^r=
= f/jWexp (—ito(k) f-f-i kx) .
Из леммы 2 следует, что функция fj (х \t) при больших t мала вне
множества tUe (fj), где символом Ue (f j) обозначена е-окрестность
множества U(fj). Но при сделанных предположениях для доста-
точно малого е при больших t множества tUe (fj) далеки друг от
от друга.
Вектор вида ЧД (Blt Вп [ fi, .... fn) [соответственно,
вида 4f+ (Bj..Bn\fi, ..., /п)], где Blt ..., Вп — правильные
операторы, /х, ..., fn — финитные гладкие функции, назовем
неперекрывающимся т-вектооом (out-вектором), если
Д,..., fn — неперекрывающееся семейство функций. Мно-
жество линейных комбинаций неперекрывающихся in-
векторов (out-векторов) обозначим SDin (соответственно,
®out); ®in, ®out представляют собой линейные многооб-
разия, плотные соответственно в и J^out-
Докажем сейчас теоремы, позволяющие охарактеризо-
вать in- и out-операторы с помощью асимптотики операторов
А (х, t), где А Е Х .Ради определенности будем формулиро-
вать и доказывать их для случая in-операторов, помня,
что перенос на случай out-операторов совершается с по-
мощью замены предельного перехода t->-------оо на пре-
дельный переход + оо.
Если Alt ..., Ап — правильные операторы, Ч\ £ Ж'щ, то
Ит А (Л, t, ох)... Ап (fn, t, оп) ЧГ1 =
£-*—00
= Oin (Ф1fi, aln (ф„ fn, On) (38.1)
224
Если Alt Ап — гладкие операторы из алгебры Л, удов-
летворяющие требованию <Л; Ф, Ф> = 0, £ ®in,
^2 € то
lim <ЛХ (fltt, ох)... Ап (fn, t, оп) Ч\, Т2> =
1-+ — СО
= <ain(Tifi»^i)---ain(TnL^)1Fi»1Fa> (38.2
пои условии, что <ц, отвечающие тем из операторов Ар
которые не являются правильными, равны друг другу.
В (38.1) и (38.2) fj — гладкие финитные функции, функции.
Ф; задаются соотношением <pj (к) = <Л;Ф. Ф (к)>, выра-
жения Л (f, t, о) определяются формулами
A (f, t, 1) = Л (f, 0 = § f (*\t) А (х> 0dx;
A(f,t, — 1) = Л* (f, t) — f (х 1t) A* (x, t) dx.
(Иначе можно сказать, что для произвольных гладких опе-
раторов Лх, ..., Ап имеет место слабая сходимость опера-
тора Лх (Д,_/, Ox)... Ап (fn^_t,_an) при t -> — оо к опера-
тору ain (tpxfx, Ox) ... ain (<pnfn, on) на множестве Ж при
условии ох = ... = о„; для правильных операторов
Лх, ...» Лл можно утверждать, что имеет место сильная схо-
димость на ®jn.)
Приступим к доказательству сформулированных теорем.
Лемма 1. Пусть Alt ..., Ап £ Л, fly fn —гладкие фи-
нитные функции, ох, ..., оп — ± 1. Если хотя бы для одной
пары индексов i, j, где 1 i j п, множества U (Д)
и U (fj) не пересекаются и ог = Oj, то для любого т най-
дется такое С, что
|<Лх (fl, t, Ох)... Ап (fn, t, on)>q < C (1 + m-1.
Это утверждение остается справедливым, если в выраже-
нии <ЛХ (fx, t, Ох) ... Ап (fn, t, оп)')Т заменить некоторые
из операторов Лг (ft, t, ог) их производными по времени
4 A, (f„ t, а,).
Доказательство. Запишем рассматриваемое выражение
<Ai<h>t>^An(fn,t,on)y (38.3)
в виде
J fl (Pl, Ох) ехр (— i Ох ® (Рх) t)... fn (р„, on) X
X ехр ( — i оп® (pj t) w„ (рх, Oj,.... р„, on) d" p.
8 Зак. 82 225
[Здесь введены обозначения
^(Pi, о1( ...,рп, оп) =
= jj ехр (i 2 р; Ху) <ЛХ (хп t, о,)... Ап (xn, t, on))r dn*\
A (x, t, 1) = A (x, t); A (x, t, — 1) = A* (x, /).]
Из леммы 3 § 36 вытекает, что функция wTn имеет вид
Wn (Р1, Оь .... Pn, Оп) = vn (р2, Рп, Оь .... On) 6 (рх +
+ ... + Рп)> гДе vn — гладкая функция [можно утверж-
дать, что (£3(га-1))[.
Будем считать ради определенности, что ох » о2 и
U (Д) не пересекаются с U (/2). Тогда удобно переписать
(38.3) в виде
<jexp( — i Q(р2,..., pn)0x(Pi. •••> Рп)^Р.--- dpn>
где % — гладкая финитная функция;
Щра. ..., Рп) = о1®( — р2-------р„) +
+ о2 ® (Ра) + аз ® (Рз) И--Ь On ® (Рп).
Заметим, что
5р |р=р2 др |р~р.
откуда ясно, что
на носителе функции %.
Можно поэтому воспользоваться формулой (36.1), счи-
тая все переменные, кроме р2, фиксированными. В рассмат-
риваемом случае
поэтому
f(i/x)(p)l<cp|-r
(38.4)
Неравенство (38.4) приводит к нужной нам оценке.
226
Случай, когда некоторые операторы Лг (fit t, аг) заме-
нены их производными по времени, исчерпывается так же,
как при доказательстве леммы 4 § 36.
Лемма 2. Если flt ..., fn — неперекрывающиеся гладкие
финитные функции, Вг, ..., Вп — правильные операторы,
то для любого т
lim ^||T_(B1,...,BJA,...J„)-T(B1,...
t ->-00
Для доказательства этой леммы достаточно показать, что
для любого т имеет место оценка
....
I \ at at
...,Bn\h,...,fn\t)y
SCC(1 + |Z |«)-4
Эта оценка может быть получена точно так же, как анало-
гичная оценка с т = 3 в § 36, если применение леммы 4
§ 36 заменить использованием только что доказанной
леммы 1.
Лемма 3. Соотношения (38.1) и (38.2) справедливы в
случае, если Ч^ = Ф.
Для того чтобы доказать эту лемму, заметим прежде
всего, что норма вектора £ (/), определяемого формулой
I (О = (A, t, ах) ... Ап (fn, t, оп) Ф,
ограничена сверху константой, не зависящей от t. В самом
деле, (t), £(/)> можно разложить по усеченным функциям
Уайтмана и воспользоваться тем, что все получающиеся
усеченные функции Уайтмана в силу леммы 4 § 36 огра-
ничены. При доказательстве леммы достаточно рассмотреть
случай, когда вектор 4% имеет вид
= ЧД (Вь ..., Вт|gl,..., gm) = lim V2 (О,
— oo
где
Y2(0 = Y(B1,...,Bm|gl....gm|0.
Можно в силу ограниченности || g (t) || и || Чг2 (01| утверж-
дать, что
lim <£(£), Чт2>= lim <£(/), Ч^ (/)>,
—00 —00
8*
227
Скалярное произведение
О)Л2(0> =
= <ЛХ (Л, t, ах)Ап (fa, t, ап) Ф, В, (glt (gm, t) Ф>
можно разложить по усеченным функциям Уайтмана. В си-
лу леммы 4 § 36 при t-^>-оо отличны от нуля произве-
дения, содержащие лишь двухточечные усеченные функции
Уайтмана. Отсюда легко вывести, что
lim <g (/), (0> = <аш (Фх fi> Gi) •••
••• йщ (фп fn’ Ф, а& (фу gy)... а& (fmgm) Ф> =
= <ащ(ф1/1> °1) ••«1п(Фп?п> ап)Ф.ЧГ-(В1( ....Bmlgi,
(38.5)
(здесь символомфг обозначена функция, определяемая форму-
лой ВгФ = J фг (к) Ф (к) dk).
При выводе соотношения (38.5) следует использовать
формулу
Нш<Л{ (ft, t, <тг) Aj (fa, t, Gj))T =
t-»oo
= <«ln (Фг ft. 4) ain Ч)>,
справедливую, если хотя бы один из операторов Лг, Aj
правилен или сопряжен с правильным, а также без этого
предположения при условии аг = (в частности, эта
формула может быть применена в случае Л ,• — В], fj =
= gj-, тогда = фу).
Соотношение (38.5) доказывает равенство (38.2) при
'Ey = Ф.
В случае, если Лу, .... Ап — правильные операторы,
точно так же, как и в § 36, доказывается, что вектор 5 (О
имеет предел при t -> — оо.
Из доказанного уже утверждения вытекает, что век-
тор £ — т], где | = lim g (f), т] == ain (Ф1 fa, ах) ...
_ __ t-> — оо
.... flin (qnfa, an) Ф, ортогонален пространству Жщ- С другой
стороны, простой подсчет, основанный на разложении по
усеченным функциям Уайтмана, показывает, что <5, £> =
= <т], т]>. Поскольку т] Min, это доказывает, что £ — т].
Таким образом, соотношение (38.1) справедливо при 'Ey =
= Ф, что полностью доказывает лемму 3.
228
Приступим теперь к доказательству равенств (38.1),
(38.2) в общем случае.
Пусть Ч\ = 4L (£ь .... Er\hlt ..., hr), Elt .... Er -
правильные операторы, hlt ..., hT — неперекрывающиеся
функции, (t) = У (Elf Er\h!, ...,hr\t).
Из неравенства (36.8) вытекает, что || At (f, t, ст) || sC
С (1 + 1113/2), поэтому из леммы 3 следует, что при
t ОО
II A (fv t, <h) - A а„) (Т,-^ (0) У -> 0.
Таким образом,
Jim, A (fi. t, Gi)... Ап (fn, t, a„) =
= Jim* A (fi, t, Qj)... An (fn, t, an) (t) =
= ^lim^X1 (Л, t, Gi)... An(fn,t, (JnjE^hb t, 1)..,
...ET(hT, t, 1)Ф.
Для того чтобы завершить доказательство, остается со-
слаться на лемму 3.
Замечание. Соотношение (38.2) остается справедливым,
если — произвольный вектор из J^in.
§ 39. Одевающие операторы
В этом параграфе убедимся, что конструкция матрицы
рассеяния, указанная в § 36, эквивалентна другой конструк-
ции, более тесно связанной с наглядной картиной рассея-
ния.
Прежде всего введем понятие одевающего оператора.
Оператор D, действующий из пространства Жаз в про-
странство Ж, назовем in-одевающим (out-одевающим), если
S_=slim ехр (i Ht) D ехр (— iHa3t) (39.1)
f —оо
(S+ — slim exp (i Hi) D exp (i Ha3 i)). (39.2)
f->- 4- oo
Если выполнены оба эти соотношения, оператор D на-
зовем одевающим оператором.
Полезно отметить, что из соотношений (36.4) вытекает,
что как in-одевающие, так и out-одевающие операторы удов-
летворяют условиям
Г>е = Ф; (39.3)
Da+ (к) 6 = Ф (к). (39.4)
229
Эти условия, однако, не являются достаточными для того,
чтобы оператор был одевающим. Заметим, что примером
in-одевающего оператора является сам оператор 5_, а при-
мером out-одевающего оператора — оператор S+.
Укажем сейчас достаточные условия для того, чтобы
оператор D был in-одевающим. Именно, докажем следу-
ющую теорему.
Теорема 1. Пусть а) оператор D имеет норму 1, б) для
всякого неперекрывающегося семейства финитных гладких
функций fi (к), ..., fn (к) и для любых гладких операторов
Лх, ...» Лп € Л при t < 0 выполняется приближенное равен-
ство
(Da+ (f\) ...а+ (ff) 9, A. (gl) ...Ап (gn) Ф> ж
~ 2 (39.5)
ЛбР
с ошибкой, не превышающей Cvn (g) 11 (здесь fi (к) =
= Д (к) ехр (—ico (к) t), Р — множество перестановок
л = (z\,..., in) индексов (1, ..., п), v (g) = max (sup |g,(x) | +
4- J | gi (x)|dx); gi e У (£s); N — произвольное число;
С — константа, зависящая от N, но не зависящая от функ-
ций gi). Тогда оператор D — in-одевающий.
Условия для того, чтобы оператор был out-одевающим,
получаются из перечисленных выше, если заменить соот-
ношение t < 0 соотношением t > 0.
Чтобы доказать сформулированное утверждение, рас-
смотрим вектор х = S_y, где х = (Blt ..., Bn\fi, ...
.... fn); У = а+ (Ф1 fl) а+ (фпГп) 0; В1, .... Вп —пра-
вильные операторы, flt .... fn — неперекрывающиеся функ-
ции, и векторы
хЦ)^-^, ...,Вп\П, ...,f') =
= S-a+Gpj Д) ... a+(<pn f<)0.
Очевидно, что
ехр( — iHa&t)y = a+ (фх/[) ... а+(<рп f‘n)d (39.6)
и, значит, в силу соотношения (36.5)
х (/) = ехр (—iHt) х.
(39.7)
230
При больших t вектор х (t) мало отличается от вектора
£(0 = ^, ftn]O)=B1(ftl, О) ...в,х,0)Ф
(для того чтобы доказать это утверждение, проще всего
заметить, что при t оо
II* (t) -I (/) II = II ехр (i Ht) (х (t) - g (/)) II =
= (Вь ...,В„|Л, ...,fn)-
...,ВП|Л, ...Jn|0||->0), (39.8)
С другой стороны, пользуясь соотношением (39.6),
видим, что
lim <Dexp(— iHa&t)y, £(/)> =
оо
= Hm<Da+fafl)...a+ (фпГО0. ВХ(Д, 0) 0) Ф> =
= 1йиоя2р<Ф(<Р1Л), ви^Ь о)Ф>...
...<ф(<рп^), Bin(ft ,0)Ф> = {у,у>. (39.9;
“ ‘п
Вспоминая, что ||£> ехр (— i/Zas /) у\\ < ||у|| и lim ||g (t) —
— оо
— х (t) || = 0, получаем из (39.9) соотношение
lim <Z?exp (—iHast) у, x(t)) = (y,y\ (39.10)
откуда в силу (39.7)
lim (ехр (i Ht) О ехр (— i Ha&t) у, S^y) —
t — оо
= lim (ехр (i Ht) О ехр ( — i Hast) у, х~) =
t -» —оо
= lim (Dexp(—- iHa6t)y, x(t)> = (y, y)>=-(S_y, S~y).
i — oo
Теперь можно использовать следующую простую лемму.
Если lim (Pt, Л> == <П» П> и II ₽t II С|1 Л Н> то Ит
существует и равен т) (утверждение леммы становится оче-
видным, если записать (0{, т|) в виде
<₽/, Л> = IIPiHnIIcosср(,
где — угол между р( и 7], и заметить, что из неравенств
l| II II Л|1> Icos Td sd 1 вытекает, что || рг || cos ср; может
стремиться к ||т||| лишь в случае, если lim || р( || = ||т)||,
lim cos <р( = 1).
231
Применяя лемму к векторам = ехр (iHt) D х
Хехр (—iHast) у, т] = S-y, убеждаемся, что lim ехр (i//Z)X
t-*—оо
XD ехр (—iHasf) у существует_и равен S_y.
Поскольку векторы у = а+ (<рх Д) ... а+ (<pnfn) 0, для ко-
торых соотношение
lim ехр (i Ht) D ехр (— i Has t)y — S_y
t —00
уже доказано, образуют тотальное множество в простран-
стве <ffaa, видим, что это соотношение имеет место для всюду
плртного множества векторов и, следовательно, для любо-
го вектора у 6 3fas (см. дополнение, § Д.5).
Таким образом, получили достаточные условия для то-
го, чтобы оператор D был in-одевающим или out-одеваю-
щим. Эти условия можно ослабить, заменив требование
|| Z>||=1 предположением, что
lim||Z)a+(ft) ... а+(/1)в|[= Ца+(А) - «+ ОбII (39.11)
t -+ —00
4-со)
(доказательство при этом не меняется).
Можно указать, стало быть, также условия для того,
чтобы оператор D был. одевающим (поскольку оператор
является одевающим, если он одновременно in- и out-оде-
вающий). Эти условия легко сформулировать в несколько
иной форме. Именно, верна следующая теорема.
Теорема 2. Пусть оператор D имеет норму 1 и для
всяких функций Д (х), ..., fn (х) £ НАЕ3), носители которых
далеки друг от друга, и гладких операторов Аг,... ,Ап £ Л
имеет место приближенное равенство
<£a+(fa) ... а+(/□ 0,A (gy) ...ЛП(^П)Ф>«
« 2 - <Ф(Гп), Ч(^п)ф> <39-12)
лег
с ошибкой, не превышающей Cvn (f) vn (g) d~N,
Вдесь Д (x) = f fi (Ю exp (ikx) ; функции gt 6 & (E3);
d — минимальное расстояние между носителями функций
(х); N — произвольное число; С — константа, завися-
щая от М, но не зависящая от функций Д....fn, gi, gn,
сумма берется по всем перестановкам л = (Д, ..., in).\
В самом деле, из соотношения (39.12) можно получить
соотношение (39.5) как при t ^0, так и при t > 0. Для
232
этого следует только заметить, что в силу леммы 2 из § 36
«существенные носители» функций А (х | /) = f ехр (ikx) х
х/^ (к) далеки друг от друга при t-+ ±оо. (По этой
лемме функция ft (х 1t) мала вне множества tu[‘ \ где —
е-окрестность множества U{i}, состоящего из точек вида
, к пробегает supp ft. Множество tU^ естественно
назвать «существенным носителем» функции Д(х|/).)
Для того чтобы провести строгое рассуждение, следует
ввести гладкие функции й£(х) 6 равные 1 на множестве
t/g1 и нулю вне множества {7^. Тогда функции % —
— fi (хЮ будут иметь далекие друг от друга носи-
тели при /-> ±оо, и величину фа+ (ггх) ... а+ ((гп) 0,
Ai (gi) ••• Ап (gn) Ф> можно приближенно вычислить с по-
мощью соотношения (39.12). С другой стороны,
а+ (/[) ... а+ (f*n) 0 «г а+ (0\) ... а+ (^) 0
в силу леммы 2 § 36. Пользуясь этим замечанием, получаем
из соотношения (39.12) соотношение (39.5).
Заметим, что условие ||О || = 1 и здесь можно ослабить,
заменив требованием (39.11) или приближенным равенст-
вом
\\Da+(jJ ...а+[Гп)е\\^\\а+(К) ...a+Ol; (39.13)
это равенство должно выполняться для любых функций
(х), ..., fn (х) 6 носители которых далеки друг от друга,
с ошибкой, не превышающей
Cv” (/) d~”
(N — произвольное число, d — минимальное расстояние
между носителями, С зависит от N).
Следующее утверждение используется в § 46.
Теорема 3. Пусть S и S — матрицы рассеяния, пост-
роенные по операторам энергии Н и Н, оператору импуль-
са Р и семейству операторов Л (это семейство должно
быть асимптотически абелевым как относительно опера-
торов Н, Р, так и относительно операторов Н, Р). Пред-
положим, что Т — унитарный оператор, удовлетворяющий
условиям'.
а) ТФ = Ф, б) ТФ (к) = Ф (к),
233
в) если А то Т~гАТ (здесь Ф и Ф — основные
состояния, Ф (к) и Ф (к) — одночастичные состояния со-
ответственно для операторов энергии Н и Н). Если D —
одевающий оператор для оператора энергии Н, удовлетво-
ряющий условиям теоремы 2, то оператор D = TD яв-
ляется одевающим оператором для оператора энергии Н.
Доказательство этой теоремы состоит в проверке усло-
вий теоремы 2 для оператора D. Эта проверка производит-
ся с помощью следующих преобразований:
<D«+ (fj ... а+ (Тп) 0, А Ы ... Ап (gn) Ф> =
= <D«+(h) ... а+(Гп}В, T~1Ai(gl) ...An(gn)TT~i$> =
= <Da+ (ft ... а+ (Гп) 0, A? (gl) ...Al (g„) Ф> «
~ 2 <Ф (fi), < (gil) Ф> ... <Ф (fn), А?п (gin)Ф> =
Л
= 2<^Ф(А), ТФ>... <ТФ(/П), Лп(^п)ТФ> =
Л
= 2<Ф(М, - <Ф(М,
(здесь использовано обозначение T^AtT = Д[).
Доказанные в этом параграфе утверждения позволяют
дать новое определение матриц Мёллера и матрицы рассея-
ния. Именно, если оператор D удовлетворяет условиям
(39.12), (39.13), то матрицы Мёллера можно определить
равенствами (39.1), (39.2). Матрица рассеяния, как всегда,
может быть определена соотношением S = в случае,
если матрица рассеяния унитарна, это определение экви-
валентно формуле
S = S~IS_= slim ехр (i Яаз t) D-1 х
t -> + оо.
X ехр (—i Я (/ —Q) Dexp (—i Яаз/0). (39.14)
Посмотрим, каким образом формулы (39.1), (39.2),
(39.14) связаны с наглядной картиной рассеяния частиц.
Будем считать при этом фиксированным оператор D,
удовлетворяющий условиям (39.12), (39.13).
Рассмотрим сначала столкновение двух частиц. Одна
частица с волновой функцией / описывается вектором
Ф(Л = V (к)Ф(к)йк = Ра+(/)0.
234
Поставим вопрос: какой вектор пространства Ж следует со-
поставить состоянию, в котором имеются две частицы с вол-
новыми функциями ft и ft?
Прежде чем ответить на этот вопрос, заметим, что по-
становка его в такой общей форме физически бессмысленна:
всегда, когда наблюдаются две (или несколько) частиц и
можно найти волновые функции каждой отдельной частицы,
мы имеем дело с пространственно разделенными частицами.
Поэтому следует установить только, какой вектор про-
странства нужно сопоставить состоянию, в котором име-
ются две частицы с такими волновыми функциями ft (к),
f2 (к), что носители функций ft (х), ft (х) (волновых функций
этих частиц в координатном пространстве) далеки друг
от друга. При этой суженной постановке вопроса на него
можно дать естественный ответ. Именно, такому состоя-
нию разумно сопоставить вектор Da+ (ft) а+ (ft) 0. В са-
мом деле, условие (39.12), наложенное на оператор D, как
раз соответствует наглядному представлению о состоянии
из двух далеких частиц Ф (ft) и Ф (ft).
Аналогично, вектор Da+ (ft) ... а+ (jn) 0 в случае, если
носители функций ft (х), .... fn (х) далеки друг от друга,
описывает состояние из п пространственно разделенных
частиц.
Теперь нетрудно понять, что процесс столкновения двух
частиц можно описывать вектором
х (0 = ехр (—i Ht) S_ а+ (Q а+ (ft) 0,
где ft, ft — неперекрывающиеся функции. В самом деле,
из соотношения (39.1) видно, что при —оо
х (0 » D ехр (— i Has t) а+ (ft) a+ (ft)9 = Da+ (ft) a+ (ft) 0,
поэтому при / -> — oo x(t) изображает состояние из двух
пространственно разделенных частиц Ф (ft) и Ф (f{) (нель-
зя, правда, сказать, что носители функций ft, ft далеки
друг от друга, но можно утверждать, как уже говорилось
выше, что далеки их существенные носители).
В частности, вектор х(0) = S_a+ (ft) а+ (ft) 0 изобра-
жает состояние, в котором находится при t = 0 система
из двух частиц, описываемых при i -» — оо волновыми
функциями ft, ft (если бы каждая из частиц двигалась
свободно, они описывались бы при t = 0 волновыми функ-
циями ft и ft). Аналогично можно истолковать смысл дру-
гих векторов вида S_| и 5+тр
235
Теперь ясно, что оператор S действительно определяет
переход от начального состояния к конечному в процессе
рассеяния частиц. В самом деле, если т] = S£, то вектор
х (t) = ехр (—i Ht) S_ g = exp (—i Ht) S+ t]
изображает процесс столкновения, в начале которого (при
t — оо) имеем дело с состоянием
х (t) w D ехр (—iHast) g,
а в конце (при / -> + оо) — с состоянием
х (t) ж D ехр (—iHast) П-
Посмотрим теперь, каким образом связаны матричные элементы
матрицы рассеяиня (амплитуды рассеяния) с наблюдаемыми на
опыте величинами.
Будем рассматривать ради простоты столкновение двух час-
тиц. Точнее говоря, будем считать, что поток частиц с импульсом q,
имеющий единичную плотность, налетает на покоящуюся части-
цу. В классической механике результат такого процесса рассеяния
описывается следующим образом: области G в Зп-мерном простран-
стве Е3п ставится в соответствие число — эффективное сечение
того, что в конце процесса будет п частиц, импульсы которых р^,...,
рл образуют Зп-мерный вектор (Рх, ..., рп), принадлежащий области
G [считаем все получившиеся частицы тождественными; в соответ-
ствии с этим область G предполагаем симметричной относительно
перестановок, т. е. предполагаем, что вместе с каждым вектором
Pi, Рп) она содержит вектор (рг1, ..., pin)J. Это число показы-
вает, сколько столкновений в секунду завершается образованием п
частиц, импульсы которых pi, ..., рп образуют вектор из области G.
В рассматриваемой ситуации также может быть определено эффектив-
ное сеченне аа, обладающее тем же физическим смыслом (с той лишь
разницей, что в квантовом случае действуют вероятностные законы
и под числом столкновений следует понимать среднее число столк-
новений).
Покажем, что эффективное сеченне ав может быть выражено
через амплитуды рассеяния следующей формулой:
1 1 Г
сто = “Т Т~7ТГ I ISn’2 <P1...Рп I q, 0) I2б (Р!н-НРп—q) х
п! Iv (q) | J
хб(ю(р1)4------Fw(Pn)—®(q)—®(O))dpi ... dPn- (35.15)
Здесь snk — функции, связанные с матричными элементами
Sn k матрицы рассеяния соотношением
Sn, й(Р1....Рп| 41, Чй) = <5а+(Ч1) .. а+ (qft) 0, а+ (pj ...
... а+(рп) 0>=sn, л (Р1, Рп.1 41...qfe)6(pi4-------hPn—'
— Ч1-------Чй) б (® (Р1) + • • • +® (Рп) — ® (Ч1)-® (Чй))
(39.16)
236
(иногда амплитудами рассеяния называют именно функции sn 0.
Символом v (к), как всегда, обозначается функция —- ; счита-
ок
ем, что v (0) = 0. Формула (39.15) доказана ниже в предположении,
что q =/= 0 и функция sn>2 непрерывна в точках (рь .... pn |q, 0),
где (Pi... рл) 6 G.
Для того чтобы перенести понятие эффективного сечения на рас-
сматриваемый случай, воспользуемся конструкцией, аналогичной
построениям, описанным в § 18*.
Именно, будем считать, что процесс столкновения описывается
при t -» — оо вектором Вехр (—гЯ0/) §а, где
ga=(Jexp(ika)f(k)a+(k)dl<)($g(k)a+ (k)dk)©, (39.17)
f (к) и g (k) — нормированные волновые функции, отличные от ну-
ля лишь в малой окрестности точек q и 0 соответственно; a — век-
тор, ортогональный к вектору v (q) (введение целого семейства
начальных состояний, зависящего от вектора а, отвечает тому, что
рассматривается поток частиц с импульсом q).
В соответствии со сказанным выше весь процесс столкновения
изображается вектором
xa(0 = exp( — iHt)S_ ge;
в конце процесса (при t -» +°о) получаем состояние
Dexp(- \На t) (Sga).
Вероятность того, что при начальном состоянии (39.17) получим
в конечном состоянии S£an частиц и Зп-мерный вектор (pi, ..., рп),
образованный импульсами этих частиц, принадлежащий области G,
может быть, очевидно, записана в виде
wa (G)—J j* dkj dk2 S,
'п, 2 (Pi> • , Рп | *4» *4) X
X f (kJ exp (i kj a) g (k2)
2
dpi • • • dPn
(39.18)
G
[следует воспользоваться соотношением
= 2 [“ f $т, 2 (Pi, • • •, Pm I ki, k2) I (kj) X
m ml J
X exp (i kj a) g (k2) a+ (pj ... a+ (pm) Qdpi ... dpm dki Л2].
* Вообще, дальнейшие рассуждения во многом близки к про-
веденным в § 18.
237
Эффективное сечение <тс того, что в конечном состоянии будет п
частиц е импульсами рх, рп, образующими вектор (рх, ..., р„) 6
6 G, естественно-определить формулой*
сто = dawa(G). (39.19)
«±v (q)
Подставляя в (39.19) выражение (39.18) и интегрируя по а, видим,
что
oG =-^j- f dpx ... dpn J dkxdk'xdk2dki (sn,2 (Pi, ...
G
• • • »pn I ki, кг) sn, 2 (Pi> • ♦ •» Pn | kj., k2) f (kx) 7 (ki) X
Xg(k2)g(k£)S(k{— к/)) = Ц- fdpi ... dpn X
«! J
G
X J dkx dk( dk2 dk' (sn, 2 (px, ..., p„ | kx, k2) x
XSn,2(Pi. , Pn | k{, каШМ / (k{)g(k2)i(k')X
X 6 (k{— kxr) 6 (pxH-+Pn —kx —k2) 6 (px-|-----Hpn —
— k^ — к') 6 (o> (px) H-F® (pn) — ® (kJ — co (k2)) x
X 6 (co (px) + ..•+«> (pn) - и (kJ)- co (kJ)) (39.20)
[здесь символами k?\ k/J" обозначены проекции векторов kx, k( на
плоскость, ортогональную вектору v (q)].
Дальнейшие преобразования проведем с помощью следующих
соотношений:
б(Р1Н-----НРп —ki—k2)6(PlH-------FPn —kJ — ki) =
= 6(PiH---гРп— kx—k2) 6(kx + k2—kJ— ki);
6 (<o (Pi) H--г co (Pn) — <o (kx)—co (k2)) 6 (co (px) H-
----F<»(Pn)—«(ki)—w(ki)) = 6(o>(px)-|---F<o(pn) —
—co (kx)—co (k2)) 6 (co (kx)4-ro (k2) —co (ki) - co (ki));
6 (k?—kxr) 6 (kx + k2—k{ —ki) 6 (co (kx) +<o (k2) —co (k() —co (ki)) =
=--------------------6 (kx — kJ) 6 (k2— ki) -f-
(V(kx)-V (k2))v(q) 1 2
+ a(kx, k2)6(k( —p (kx, k2)) 6 (ki — 7 (kx, k2)),
* Строго говоря, эта формула содержит еще предельный пере-
ход: вероятности юа (G) следует определять с помощью функций
fv (k)> §v (k)> носители которых стягиваются соответственно к точ-
кам q, 0 при v -> сю.
238
где £ (kj, k2)s v (kj, k2) — нетривиальное решение системы урав-
нений
®(ki)+®(k2)—а> (₽) —fi>(y) = O;
• ki + k2--P —у = О;
И-₽Г = О
(т. е. решение, отличное от £ = kj, у = к2).
Пользуясь написанными формулами, преобразуем выражение
(39.20) к виду
1 С С / lv(q)l
ог = — | dp,.. .dpn I dk. dk2 ----------------X
° П\ J 4 (V(k1)-V(k2)).V(q)
X | sn, 2 (P1, ..., pn | k1( k2) |21 f (kt) |21 g (k2) |2 X
x 6 (Pi4----hPn — ki—k2) 6 (co (Pj) -j-H®(Pn) —
— «(kj)—<o(k2))^ +"^~ JdPi ••• <iPn Jdkidk2(sn, 2(pi, ...
О
• Pn 1 ki, k2) sn, 2 (Pn Pn|P(ki, k2), ^(k!, k2))X
Xf (ki)7 (P (ki, k2)g(k2)g(y(k1, к2))а(кь k2) X
X 6 (Pi H---HPn — ki — k2) 6 (co (pO +-H<o (p„) — co (ki)—<o (k2))).
Чтобы получить окончательное выражение для aG, достаточно вос-
пользоваться тем, что для нормированной функции / (к) с носите-
лем в малой окрестности точки q и функции X (к), непрерывной
в точке q, имеют место соотношения
p(k) । f (к) m=Mq);
J _ (39.21)
JX(k)f(k)/(p (к)) dk=O
(в формулах (39.21) подразумевается предельный переход, в про-
цессе которого носитель функции f (к) стягивается к точке q; р (к) —
функция, непрерывная в точке q и удовлетворяющая условию
Р (Ч) =£ q)-
§ 40. Обобщения
n° 1. Прежде всего укажем обобщение понятия асим-
птотически абелевой алгебры, позволяющее рассматривать
асимптотически абелевы алгебры, содержащие неограни-
ченные операторы.
Предположим, что в гильбертовом пространстве Ж дей-
ствуют оператор энергии Н и оператор импульса Р = (Рх,
Р2, Р3). Будем считать, как всегда, что Н, Plt Рг, Ps —
239
коммутирующие самосопряженные операторы, спектр ко-
торых удовлетворяет условиям, перечисленным в § 36.
Фиксируем линейное многообразие D, всюду плотное
в 3£, содержащее основное состояние Ф оператора энергии
Н и инвариантное относительно операторов вида ехр (iHt —
— iPx). (В настоящем параграфе эти условия на операторы
Н, Р и множество D все время предполагаются выполнен-
ными.) Семейство Л, состоящее из операторов, определен-
ных на множестве D и переводящих это множество в себя,
будем называть асимптотически абелевой алгеброй, если:
С1. Вместе'с каждым оператором А £ Л семейству Л
принадлежат операторы А+ и А (х, t); вместе с каждыми
двумя операторами А, В £ Л семейству Л принадлежат их
линейные комбинации АД -f- цВ и произведение АВ.
С2. Для любых операторов Д1( ..., Аг £ Л и произволь-
ной функции / € (Е*г) оператор
$f(xi, •••» xr, OA(xlt t^t..AT(xT,t^drxdrt (40.1)
принадлежит алгебре Л и число
\$ИХ1, ^1. • ••» xr> Q Al (xi> Л) A(xr, Q dr x dr t Ф, Ф у
(40.2)
непрерывно зависит от функции f £ Sf (интеграл в (40.1)
понимается в слабом смысле)*.
СЗ. Для любых операторов А, В, А1г Аг £ Л и про-
извольного п найдутся такие числа С и s, что
|<[Л(х, О, ВМ^, тх) ... Д/(^, т/)Ф,
Aj+i (lj+1, Tf+l) «’• A-dr» гг)Ф>.|
<(1 + i 1 I + i I тг.if, (40.3)
1+|х|п \ i=l i=l / ' 7
где k — число, не зависящее от п.
Предположим, что вектор Ф является циклическим век-
тором асимптотически абелевой алгебры Л. Тогда с по-
мощью рассуждений предыдущих параграфов этой главы
можно дать определение матриц Мёллера и матрицы рас-
сеяния, соответствующих операторам Н, Р и алгебре Л,
* Вторая часть условия С2 означает, что функция < (хх, tj)...
... Ar (хг, <r) Ф, Ф> является локально суммируемой функцией,
имеющей не более чем степенной рост.
240
доказать их существование и перенести на рассматривае-
мый случай все результаты этих параграфов. (Практически
все определения, теоремы и доказательства не требуют
сколько-нибудь существенных модификаций.)
Дополним эти результаты следующим утверждением, ко-
торое используется в § 45.
Пусть В (кр) — операторная функция, обобщенная по пере-
менной к и удовлетворяющая условиям:
а) ехр (i Ht—iPa) В (к | Z) ехр (—i //т-j-iPa) — ехр (—ika) X
X В (к Н +т);
б) В+ (к | /) Ф = 0;
в) векторы вида J/ (к) В (к | t) dk Ф принадлежат одночастич-
ному подпространству;
г) функция рт определяемая равенством
Pm, п (kj, tit • • •, km, tm | к £, /{,... ,k^_ j ,t^_ ]) x
X 6(^-1-----Fkm— exk{---------8nk„) =
— (Al (kj | ti) .. Am (km | /m) В (k{, Bj [ /{).. .B (kn, en 10)Д
где At (k 11) == (2л)"8 J At (x, t) exp (ikx) dx; A6 В (к, l|i) =
= B+ (k|/); В (к, —1|/) = В (k|/), принадлежит пространству
(gSim+n— 1)} по переме?1ным kj.....km, k(, ..., к'—! при фикси-
рованных ti, ..., tm, ..., t^_j. [Такие обобщенные функции
будем называть правильными; это название мотивируется тем, что
по каждому правильному оператору В можно построить правиль-
ную операторную обобщенную функцию В (к|/) = (2л)"8£ В (х, t) X
X ехр (ikx) dx.] Тогда для любой системы гладких финитных функ-
ций h (к).../т(к)
lim В \t)...B (ft | П Ф=3± a+ (ф A).. ,a+ (ф fn) 0,
f-»±oo
где
#(к)=Д (k) exp(—i<o(k) t);
= § f\(к) В (к | t)dk;
В (к 10) Ф = ф (к) Ф (к).
Доказательство этого утверждения повторяет рассуждения, выска-
занные в § 36.
Дадим теперь определение асимптотически абелева се-
мейства операторных обобщенных функций.
Семейство SB операторных обобщенных функций
А (х, /) называется асимптотически абелевым, если су-
ществует асимптотически абелева алгебра Л, содержащая
241
все операторы вида A (/) = f f (х, t) А (х, t) dxdt, где А (х, /)
принадлежит семейству S3, / Е & (£4). (Предполагаем, что
вектор Ф является циклическим вектором семейства опера-
торов A (f). Операторы А (/) должны иметь общую область
определения D и переводить ее в себя; область определения
D' операторов, принадлежащих алгебре Л, может не сов-
падать с множеством D, но должна содержать это множе-
ство. Говоря, что алгебра Л содержит оператор А (/), имеем
в виду, что в этой алгебре можно найти оператор, совпадаю-
щий с А (/) на множестве D.)
Матрица рассеяния, соответствующая операторам Н, Р
и асимптотически абелеву семейству операторных обобщен-
ных функций S3, может быть определена как матрица рас-
сеяния, построенная по Н, Р и асимптотически абелевой
алгебре Л, содержащей все операторы A (f). (Легко видеть,
что эта матрица рассеяния не зависит от выбора алгебры <Л.)
Аналогично определяются матрицы Мёллера.
Следующая теорема дает достаточные условия для того,
чтобы семейство операторных обобщенных функций было
асимптотически абелевым.
Пусть семейство £8 операторных обобщенных функций удов-
летворят условиям:
Д1. Для любой операторной обобщенной функции А (х, t) £ 39
операторы Я (/) = (/ (х, i) А (х, t) dxdt, где f £ 3е (Е4), определе-
ны на множестве D и переводят это множество в себя.
Д2. Функционал <Я (/) фр ф2>, где А 6 <®, фх, Фа 6 D,
f £ 3е (Е4), непрерывно зависит от функции f £ 3е (Е4) (т. е. чис-
ловая обобщенная функция <Я(х, f) ф1( ф2> является обобщенной
функцией умеренного роста).
ДЗ. Если Я 6 то
ехр (Шт— iPa) Я (х, /) ехр (—i//r-|-iPa) =Я (x-f-a, t +т).
Д4. Вместе с каждой функцией Я (х, t) в семействе 3] содер-
жится сопряженная обобщенная операторная функция Я+ (х, t).
Д5. Для любых обобщенных операторных функций Аг (х, t),
.... Яг(х, t), А(х, t), 3} (х, t) из семейства 39 найдется такое 6 > О,
что числовая обобщенная функция
Т (х, t,h, И,..., 1г, тг) = <[Я(х + а, /+а), В (а, а)] Я^, tJ...
-Aj (Ij. Ту) Ф, Яу+1 (1у+1, Ту+1). . ,АГ (1г, тг) Ф>
в области, выделяемой неравенством |/| < б | х ], может быть пред-
ставлена в виде
Г(х,/,11,т1,...,|п,тп)= О(а)[р+2 l^l2 + SiT*l2Vx
|Д I i )
Х(1+ 1 X |2 )-» СТ^ „(X, t, li, Tj,..., In, Tn)]
242
(здесь п — произвольное натуральное число; п — ограничен-
ная непрерывная функция; D(a> — дифференциальный оператор
порядка | а | с постоянными коэффициентами; k — число, не зави-
сящее от п).
Д6. Вектор Ф — циклический вектор семейства операторов
А (/), где А (х, 0 е f С SP (Е4).
Тогда семейство SB асимптотически абелево.
Для того чтобы доказать эту теорему, рассмотрим семейство
cS, состоящее из линейных комбинаций операторов вида
J /(хъ tlt....xn> tn)A1(x1, <!)... Ап (хп, tn)dnxdnt, (40.4)
где f £ 93 (Eirl), At (х, t) £ SB. Как показано в дополнении
(§ Д.7), выражения вида (40.4) можно рассматривать как операто-
ры, определенные на некотором линейном многообразии D' и пере-
водящие D' в себя (в качестве многообразия D' следует взять мно-
жество всех векторов вида А ¥, где А £ ¥ £ Р; на множестве
D выражение вида (40.4) определяет оператор в силу операторного
аналога теоремы о ядре). Легко видеть, что множество D' содержит,
множество D и инвариантно относительно операторов ехр (iHt —
— >Ра)-
Нетрудно проверить, что семейство рассматриваемое как
семейство операторов, определенных на множестве D', асимптоти-
чески абелево. Условия С1 и С2 с помощью доказанных в § Д.7
дополнения утверждений проверяются без труда. Например, если
А 'у/ — оператор вида (40.4), то операторы
Л+ =J/(Xj, Zi,...,xn, in)A+n (xj, tn ... At (xn, tn) dnxdn f,
Д (x, t) = J f (xj—x, t.....xn — x, in~ t) X
ХД1 (Xi, t1)...An(xn, tn)dnxdnt
также содержатся в множестве Неравенство (40.3) вытекает
из условия. Д5.
Приведем простейший пример объектов, удовлетворяю-
щих условиям аксиоматической теории рассеяния.
Рассмотрим в фоковском пространстве' Ж = F (L2 (Е3))
свободный гамильтониан Но = f е (к) а+ (к) а (к) dk и опе-
ратор импульса р == f ка+ (к) а (к) dk. Если е (к) — глад-
кая строго выпуклая функция, удовлетворяющая требова-
нию е (kJ + е (k2) >> е (kj + к2), то спектр этих опера-
торов удовлетворяет условиям, наложенным в § 36. [Основ-
ным состоянием является фоковский вакуум 0, а одноча-
стичное состояние определяется формулой Ф (к) = а+ (к) 0.]
Пространство ,^as можно здесь отождествить с простран-
ством гамильтониан Яа5 при этом отождествлении
переходит в гамильтониан Но.
243
Операторные обобщенные функции
а+ (х, t) = (2л)“3/2 § ехр (—i кх) а+ (к, f) dk-,
а (х, f) = (2л)-з/2 § ехр (i кх) а (к, f) dk,
где
а+ (к, t) = ехр (i Но t) а+ (к) ехр (—i Яо t) =
= exp(ico(k)/)a+(k);
а (к, /) = ехр (i Но t) а (к) ехр (—i Но f) = ехр (—ico (к) f) а (к),
образуют асимптотически абелево семейство обобщенных
функций (как обычно, считаем, что эти операторные обоб-
щенные функции действуют в линейном многообразии
составленном из векторов вида
2 Фп (ki.....кп) а+ (кх) ... а+ (кп) № к,
п v
гДе функции фп принадлежат пространству cf и лишь
конечное число этих функций отлично от нуля). Асимпто-
тическую абелевость семейства 3?>0 можно проверить с по-
мощью доказанной выше теоремы. Другое доказательство
асимптотической абелевости семейства S?>() можно получить,
если заметить, что операторы вида
§ f (х, t) а+ (х, t) dx dt и § f (х, t) а (х, t) dx dt,
где ffzaffE*), содержатся в асимптотически абелевой
алгебр^ Ло, состоящей из операторов вида
jj/m,n(ki> -ч MPi.....Pn)a+(kl)-“
• • • а+ (km) a (pj ... a (pn) dm k dn р, (40.5)
где /т, n € & (£'3(m+n)), сумма в (40.5) конечна, операторы
вида (40.5) рассматриваются как операторы, определенные
на множестве eft». Асимптотическая абелевость алгебры <40
легко проверяется непосредственно; она будет следовать
также из результатов, которые сформулированы ниже. Без
труда можно убедиться, что матрицы Мёллера S± и матрица
рассеяния S, построенные по операторам Но, Р и семейству
Ло, тривиальны (являются тождественными операторами).
Иногда удобно бывает считать, что асимптотически абе-
лева алгебра снабжена топологией (это будет полезно в § 41
и 46). Укажем сейчас требования, которые следует предъ-
244
явить к топологической алгебре операторов, чтобы она
оказалась асимптотически абелевой.
Будем считать, что в гильбертовом пространстве Ж за-
даны по-прежнему оператор энергии Н, оператор импуль-
са Р и линейное многообразие D, удовлетворяющие пере-
численным выше условиям, и рассмотрим множество опе-
раторов подчиненное следующим требованиям.
Т1. Множество Л состоит из операторов, определенных
на множестве D и переводящих это множество в себя.
Т2. Множество Л содержит вместе с двумя любыми
операторами А, В их линейные комбинации кА +
(т. е. может рассматриваться как линейное пространство),
их произведение АВ (это означает, что Л является алгеброй
операторов) и сопряженные операторы А+, В+.
ТЗ. Линейное пространство «Д снабжено локально вы-
пуклой топологией; пространство Л должно быть полным,
а произведение операторов и переход к сопряженному опе-
ратору должны быть непрерывны в топологии Л*.
Т4. Вектор АФ^Ж непрерывно зависит от A £ Л в то-
пологии алгебры Л [т. е. найдется такая полунорма р (Д)
в Л, что
|| ДФ|| СР И)].
Т5. Если А £ Л, то оператор А (х, t) £ Л и непрерывно
зависит от х, t в топологии Л\ для любой полунормы р (Д)
в Л и любого компактного множества F^-Л должна найтись
такая полунорма q (Д) и такое число k, что для А £ F,
х £ Е3, — оо < t < оо
р(Д(х,0)<(1 + |хр + 1И6)9(Л).
Тб. Для любой полунормы р (Д) в Л, любого компакт-
ного множества F <= Л и произвольного натурального
числа п существует такая полунорма q (Д), что
р ([Д (х), В])< q^q^
но \ 1+|х|П
для всех Д, В £ F, х £ Е3.
(Если локально выпуклая топология в Л задана фунда-
ментальной системой полунорм || А ||а, то условия Т5 и Тб
можно переформулировать, сказав, что для всякой полунор-
* Условия Т1—ТЗ можно кратко сформулировать, сказав, что
множество Л должно быть полной локально выпуклой топологи-
ческой алгеброй с инволюцией.
245
мы || Л ||а, компакта F с: Л и натурального п должны су-
ществовать полунорма || А ||ь из этой фундаментальной си-
стемы и числа k, С, для которых
ЦЛ(х, /)||а < С(1 +1хIй4-1/р)||Л[I/.,
||[Л (х), В] ||а <
CHIMBS
1+1 х |«
при А, В £ F.)
Т7. Вектор Ф — циклический вектор семейства опера-
торов Л.
Имеет место следующее утверждение:
Семейство операторов Л, удовлетворяющее условиям
Т1—Тб, является асимптотически абелевой алгеброй.
В самом деле, из условий TI, Т2 вытекает условие С1.
Чтобы проверить условие С2, заметим, что для любых Ал,
.... Ап £ Л оператор Аг (хь (г) ... Ап (xn, tn) непрерывно
зависит от Xj, ..., хп, tn в топологии и для всякой полу-
нормы р (Л) в Л найдется такое число k, что
рМПхьМ ...Л„(хп,/„)Х l+|xp + RP (40.6)
(это следует из условий ТЗ и Т5). Сделанные замечания
и полнота алгебры Л позволяют утверждать, что интеграл
(40.1) сходится в топологии Л и определяет элемент алгеб-
ры Л. Из условия Т4 и оценки (40.6) вытекает, что
<Xi (Xj, /j) ... Ап (xn, tn) Ф, Ф>
— непрерывная функция от xlt ..., хп, растущая
не быстрее некоторой степени. Это доказывает-вторую часть
условия С2. Наконец, с помощью условий ТЗ—Тб без
труда проверяем условие СЗ.
Доказанное утверждение позволяет сказать, что усло-
вия Т1—Т7 достаточны для того, чтобы по операторам Н,
Р и алгебре Л построить теорию рассеяния.
Вернемся теперь к рассмотрению операторов Нй —
= J* е (к) а+ (к) а (к) dk, Р = f ka+ (к) а (к) dk и алгебры
Ло, состоящей из операторов вида (40.5). Покажем, что
алгебру можно снабдить топологией таким образом, чтобы
были выполнены условия Т1—Т7. Алгебра Ло может быть
246
представлена как объединение линейных пространств
«^(ш, п)> состоящих из операторов вида
Л= „(кь кт|рь рп) а+ (kj) ... <z+(km) a (pj ...
... a(Pn) dmkdnp.
Элементы пространства л> находятся во взаимно од-
нозначном соответствии с функциями из пространства
(£3(m+n)j. это позволяет перенести в пространство Л(т, л>
топологию пространства (£3 ("*+'>)). Таким образом, п>
можно рассматривать как полное локально выпуклое про-
странство.
В алгебре Ло рассмотрим систему полунорм, которые
являются непрерывными функциями на каждом из про-
странств Л(т> п)с:.у/о- Эта система полунорм определяет
в Ло топологию, которая носит название топологии индук-
тивного предела-, алгебра Ло полна в этой топологии (см.,
например, [53]).
Нетрудно проверить, что алгебра Ло с введенной только
что топологией удовлетворяет условиям Т1—Т7. Проверка
условий Т5 и Тб производится с помощью следующих ана-
литических лемм.
Лемма 1. Для всякой нормы в пространстве
SE (Е31т+п>) Можно найти такую норму || / || 6 в ff1 и такие числа
С, k, что для любой функции f £ SP (Е3 (т+">)
II UtVxf || о, э < с (1 + I Хр + I/р) Н/Н в
[здесь Vx и Ut обозначают операторы в SP (Е3{т+п',)1 перево-
дящие функцию / (kr, ..., km|pi, .... Рп) соответственно в функции
ехрЦ 12 к/~*2 Р/)ХР <к1........кт|Р1.....Рп)!
\\ ; = 1 /=1 / /
(1пг п
—ч 26 (к?)— 26
\/=i /=1
(Pj) ф(к1...........кт I Р1........Рп)
Лемма 2. Для всякой нормы IIЛ1 а, g в пространстве
(£3(m + m' + п j-п'- аг;) и любого W найдутся такие нормы
II / II V, в и НЛ1у',б' в пространствах (£3(т+">) и (£?(m'+re'))
и такое число С, что
С
II К (Vx /, g) ||а, & , II f Hv, в || g llV< , 6>.
* I I x I
247
[Здесь г > О, Хг ( /,g) обозначает функцию
J f, (ki...km | pi,... ,prt_r, qi..Чг)Х
X£(4i......4r, |p[,...,p;,)dq1...dqr. ]
Из леммы 1 вытекает, очевидно, что для любой полунормы
р (Л) в пространстве с^<т> п) найдется такая полунорма а (Л)
в ^(т, п) и такое число k, что для любого оператора Л £ •э'е-т, п
выполнено соотношение
р(Л (х, 0) < (1+|хр + |/|*)<?(Л).
Из леммы 2 следует, что для любой полунормы р (Л) в прост-
ранстве и любого N найдутся такие полунормы q (Л) и q' (Л)
в пространствах с^<т, п> и с^(т',п'), что для любых
Л С ^<т, п), В £ -^(т'.п'), будет выполнено неравенство
1+|х|"
Для того чтобы завершить проверку условий Т5 и Тб, остается те-
перь заметить, что каждое компактное подмножество алгебры
содержится в прямой сумме конечного числа подпространств п>
(см. [53]).
Таким образом, алгебра Ло удовлетворяет условиям
Т1—Т7; как было замечено выше, из этого вытекает ее асим-
птотическая абелевость.
п° 2. До сих пор рассматривалась ситуация, когда име-
ется только одно одночастичное состояние. Обобщение на
случай любого числа одночастичных состояний производится
без труда.
Правильный оператор В можно тогда определить как
такой гладкий оператор, что: 1) В*Ф = 0; 2) найдется ча-
стица Ф; (к) и функция фв (к), для которых ВФ = Ф; (<рв) —
= J <рв(к) Фг (к) dk. [Напомним, что в § 36 условились фик-
сировать полную ортогональную систему частиц Фт (к),
.... ФГ(к).]
Изменения в формулировках и доказательствах сводят-
ся в основном к появлению некоторого количества дополни-
тельных индексов; пожалуй, наиболее существенным изме-
нением является необходимость заменить в формулировке
леммы 1 слова «всюду плотным» на слово «тотальным».
248
Легко убедиться, что матрицы Мёллера и матрицы рас-
сеяния не зависят от выбора полной системы частиц (т. е.
определяются только операторами Н, Р и алгеброй Л}.
п° 3. Все построения этой главы можно с соответствую-
щими видоизменениями перенести на случай, когда на се-
мейство операторов Л, действующих в пространстве 36, на-
ложено вместо требования асимптотической коммутатив-
ности требование асимптотической антикоммутативности
(т. е. для двух любых операторов А, В £ Л и любого п най-
дутся такие Сиг, что
||М,В(х,/)1+|<с
Если рассматривается асимптотически антикоммутатив-
ное семейство Л, наложим еще дополнительное условие, что
всякий вектор вида Аг ... Л2А+1Ф, где Л, £Л, ортогонален
вакууму Ф (это условие не является необходимым для по-
строения матрицы рассеяния). Пространство 36 можно раз-
бить тогда в прямую сумму двух подпространств 36 g и 36 и
таким образом, что вектор Лх ... ЛПФ принадлежит к про-
странству 36 g, если п четно, и к пространству 36 и, если
п нечетно. Векторы из пространств 36 g и 36 и будем назы-
вать соответственно четными и нечетными.
Обозначим символом Л наименьшую алгебру операторов,
содержащую семейство Л. Алгебра Л как линейное простран-
ство может быть представлена в виде прямой суммы Лё+Ли,
причем всякий оператор A £ асимптотически коммутирует
с любым оператором В £ Л, а всякий оператор А £ Ли асим-
птотически антикоммутирует с любым оператором В £ Ли
(в этом нетрудно убедиться, если заметить, что оператор
Aj ... Ат и оператор Вг ... Вп, где At £Л, Bs £Л, асимпто-
тически коммутируют в случае, когда одно из чисел т, п
четно, и асимптотически антикоммутируют в случае, если оба
числа тип нечетны). Операторы из семейства Л8 будем на-
зывать четными, операторы из семейства Ли — нечетными.
Легко видеть, что четный оператор сохраняет четность век-
торов (т. е. переводит пространства 36 g и 36u в себя), а не-
четный оператор переводит четный вектор в нечетный и не-
четный вектор — в четный.
249
Полную систему частиц Фг (к), Ф8 (к) будем считать
выбранной таким образом, чтобы каждая из частиц имела
определенную четность. Иными словами, частицы делятся
на четные, для которых векторы Фг (/) £ Жg, и нечетные,
для которых векторы Фг (/) £ Жи. Четные частицы следует
считать бозонами, нечетные — фермионами. Это означает,
что пространство следует сконструировать как про-
странство фоковского представления соотношений
[аг (к), а,- (к')к - (к), (к')]т = 0;
[аг(к),аГ (к')]т = 6‘6(к-к'),
где антикоммутаторы берутся в случае, когда обе частицы
Фг- (к), Фу (к) нечетны, а коммутаторы — в остальных слу-
чаях. Можно сказать, что
Xs = Es (L2 (Es х Му)) ® Fa (L2 (Е3 х М2)),
где — множество четных частиц, N2 — множество не-
четных частиц.
При данных в этом пункте определениях построение ма-
трицы рассеяния происходит практически так же, как и в
случае, когда семейство Л асимптотически коммутативно.
Описанная ситуация соответствует случаю, когда эле-
ментарными частицами являются фермионы, а бозоны по-
являются только как составные частицы. Если элементар-
ными частицами могут быть как фермионы, так и бозоны,
семейство Л должно быть объединением асимптотически ком-
мутативного семейства Лу и асимптотически антикоммута-
тивного семейства Л2, причем любой оператор из Лу должен
асимптотически коммутировать с любым оператором
ИЗ е^2.
Все результаты гл. 10 так же, как и результаты следую-
щих глав, без труда переносятся на случай, когда среди
рассматриваемых частиц есть фермионы. Не будем останав-
ливаться на необходимых при этом изменениях формулиро-
вок.
п° 4. Выше предполагалось, что одночастичный спектр
не пересекается с многочастичным (иными словами, что за-
коны сохранения энергии и импульса запрещают распад
частицы). Это требование выполнено не всегда. Однако в тео-
рии элементарных частиц если частица стабильна, то ее
250
распад во всех известных случаях запрещен либо одними за-
конами сохранения энергии и импульса, либо этими законами
в комбинации с какими-либо другими законами сохранения.
В этой ситуации можно доказать тем же способом все сфор-
мулированные выше результаты. Точнее, в аксиоматической
теории рассеяния достаточно считать, что пространство Ж
разлагается в прямую сумму инвариантных относительно
операторов Н, Р подпространств таким образом, что при
каждом i спектр операторов Н, Р в подпространстве
не пересекается со спектром этих операторов в подпростран-
стве (здесь Л4 —многочастичное подпространство).
При этом, однако, нужно усилить требование цикличности,
предположив, что векторы вида ЛФ, где А £ Л, плотны в каж-
дом из пространств
п° 5. Требование строгой выпуклости, наложенное на
закон дисперсии ® (р), можно существенно ослабить. Имен-
но, достаточно потребовать, чтобы ни на каком открытом
множестве Gc £’ функция <о (р) не была линейной (т. е.
чтобы в любой окрестности всякой точки р0 g Е3 нашлась
dco(P) I д® (Р)
др |р=Р1 др
такая точка Pi £ Е3, что
Р=Ро 1
При этом определение матриц Мёллера должно быть не-
сколько изменено: в формуле (36.1) нужно рассматривать
только неперекрывающиеся семейства функций Д, ..., Д,.
Изменения, которые при этом следует внести в доказатель-
ства, сводятся в основном к тому, что вместо леммы 2 § 36
нужно использовать лемму 1 § 38.
Те же самые изменения в определениях и доказатель-
ствах позволяют построить теорию рассеяния в одномерном
и двумерном мире (т. е. в случае, когда оператор импульса
Р имеет одну или две компоненты вместо трех).
§ 41. Адиабатическая теорема
в аксиоматической теории рассеяния
Покажем, каким образом в аксиоматической квантовой
теории поля можно выразить матрицы Мёллера и матрицу
рассеяния через их адиабатические аналоги.
Прежде всего определим адиабатические матрицы Мёлле-
ра и адиабатическую матрицу рассеяния в несколько более
общей ситуации, чем это было сделано в § 14.
Пусть в гильбертовом пространстве Ж действуют само-
сопряженные операторы Н (g), где параметр g пробегает
251
отрезок [0; 1]. Фиксируем непрерывную функцию h (т)
действительного переменного т, быстро убывающую на бес-
конечности и равную 1 при т = 0. Символом^ Ua (t, t0) будем
обозначать оператор эволюции, построенный по зависящему
от времени гамильтониану Н (h (ат)), а символом Sa (t, t0) —
оператор ехр (iH (0) t) Ua (t, t0) ехр (—[Н (0) /0). Иначе
можно определить оператор Sa (t, /0) как решение уравне-
ния
dS„(t,ta)
i---а - ехр (Ш (0) 0 (Н (h (а/)) — Н (0)) X
dt
X ехр (—\Н (0) t) Sa (t, t0)
с начальным условием Sa (t0, /0) = 1-
Будем применять также обозначение U (/, /ol^CO) Для
оператора эволюции, соответствующего зависящему от вре-
мени гамильтониану Н (g (т)), где g (т) —функция со зна-
чениями в отрезке [0; 1J; пользуясь этим обозначением,
можно написать, что Ua(t, t0) = U (t, ta\h (ат)).
Операторы Sa (0, ±oo) = slim Sa (0, t) будем называть
£->±оо
адиабатическими матрицами Мёллера, а оператор Sa =
= Sa (оо, —оо) = slim Sa (t, /0)—адиабатической S-ма.
/-><». /0->—оо
трицей. Указанная в§ 14 конструкция адиабатической S-ма-
трицы и адиабатических матриц Мёллера, соответствующих
паре операторов Н, Но, является, очевидно, частным слу-
чаем описанной только что конструкции при Н (g) = Но +
+ g(H — Но) и h (т) = ехр (— |т|).
В дальнейшем ради упрощения доказательства будем
считать, что функция h (т) удовлетворяет несколько более
сильным условиям, чем перечисленные выше. Именно, эта
функция будет предполагаться гладкой четной финитной
функцией, удовлетворяющей условию h (0) = 1 в некоторой
окрестности точки т = 0. Радиус этой окрестности будем
обозначать символом 6, а радиус носителя функции h (т) —
символом Д (т. е. h (т) — 1 при |т | < 6 и h (т) — 0 при
। т| > Д).
Рассмотрим теперь ситуацию, когда в аксиоматической
теории рассеяния оператор энергии зависит от параметра
g. Точнее говоря, предположим, что в гильбертовом про-
странстве Ж действуют операторы энергии H(g), где пара-
252
метр g пробегает отрезок [0; 1], оператор импульса Р=
= (Ръ Р2, Р3) и семейство операторов Л, удовлетворяющие
следующим условиям:
1. Самосопряженные операторы Н (g), Plt Р2, Р3 ком-
мутируют при каждом g. В пространстве Ж существуют век-
тор Ф (основное состояние оператора энергии Н (g), не за-
висящее от параметра g) и векторная функция Ф (k|g),
обобщенная по переменной g и непрерывная по g [одноча-
стичное состояние оператора Н (g)], для которых:
a) H(g) Ф = РФ = 0;
б) #(g)®(k|g) = co(k|g)®(k|g),
где со (k|g) — положительная функция, бесконечно диф-
ференцируемая по k, g и строго выпуклая по к;
в) P®(k|g) = k®(k|g);
г) <®(k|g),®(k'|g)>=6(k-k');
д) для произвольных к0 € Е3, 0 g0 1 можно найти
такой оператор что <Ф (kojgo), АФ> =И= 0;
е) для любых к0 € Е3, 0 g0 1 существуют такие
е > 0, б > 0, что для всякой точки (со, к), принадлежащей
многочастичному спектру операторов (Н (g), Р) и удовлет-
воряющей условию |к — к01 < б, |g — go|<б, выполнено
неравенство со > со (к0 |g0) + е.
2. Семейство .Л состоит из операторов, определенных на
линейном многообразии D и переводящих это многообразие
в себя. Множество D инвариантно относительно операторов
ехр (iPx) и U (t, /0|g (т)), где g (т) — гладкая функция со
значениями в отрезке [0; 1J, и содержит вектор Ф. Вместе
с каждыми двумя операторами А, В £ .Л к семейству^
должны принадлежать их линейные комбинации кА + рВ
и произведение АВ, а также сопряженные операторы А+, В+
(иными словами, семейство Л является алгеброй операторов,
в которой действует инволюция, сопоставляющая операто-
ру А оператор Д+). Будем считать, что в Л введена локально
выпуклая топология, причем Jl полно в этой топологии,
а умножение операторов и инволюция Д->Д+ непрерывны.
Топология в ,Л должна удовлетворять также следующим
требованиям:
а) <ДФ, Ф> непрерывно зависит от А£<Л',
б) если Л g (т) — гладкая функция со значениями
253
в [0; 1], х g £2, —оо < t0, ^<оо, то оператор
U(tlt ШММ(х)£/(М11£(т))М;
для каждой полунормы р (Л) в Л и для каждого компакта
F а Л можно найти такую полунорму q (Л) в Л и такое
число k, что для А £ F
Р (U (^, t01 g (т)) А (х) U (ta,ti I g (т)) С
^(l+l/i-ZoP + IxPW).
(41-1)
В частности, оператор А (х, t]g)E^'> предположим, что
этот оператор является гладкой функцией от g в топологии
Л, оператор g— А (х, Z|g) непрерывно зависит от х, t, g и
(А/П \
^Л(х,П£))<(1+ |хр + |/р)<7(Л), (41.2)
где р(Л):— произвольная полунорма в Л', т— произволь-
ное целое число; полунорма q (Л) в Л и число k зависят от
полунормы р, числа т и компакта F. [Здесь и далее А (х)
обозначает оператор ехр (—iPx) Л ехр (iPx), а Л (х, t |g) —
оператор ехр (iH (g) t) А (х) ехр (—\Н (g) /)];
в) для любой полунормы р (Л) в Л, любого числа п и
компакта F а Л можно найти такую полунорму q (Л) в Л,
что для всех Л, В £ Л, х £ Е3, А £ F
p(M(x),B])<-?(g^.. (41.3)
Перечисленные условия достаточны для того, чтобы
по операторам H(g), Р в алгебре Л можно было построить
матрицы Мёллера S± (g) и матрицу рассеяния S (g) =
=S+(g)S_(g) (несколько неточно можно сказать, что требует-
ся, чтобы для операторов Н(g), Р и алгебры Л были выпол-
нены указанные в § 40 условия Т1—Т7, обеспечивающие
существование матриц Мёллера, и притом равномерно по g).
Покажем, что из этих условий можно вывести соотно-
шения
254
S_ (1) = slim Sa (0, — oo) exp
(41-4)
S+ (1) = slim Sa (0, + °°) exp (— C p (k) Gout (k) «out (k) dk j,
a -0 \ a J 1
(41-5)
где
о
p(k) = J (co (k | h (o))— co(k|0)) do;
— 00
«tn (k) = S_ (0) a(k) S21 (0);
flout (k) = s+ (0) a (k) S;*(0)
— in- и out-операторы, построенные по оператору энергии
Н (0). Доказательство этих соотношений (доказательство
адиабатической теоремы, как будем говорить) является ос-
новным результатом этого параграфа. Разумеется, без труда
можно написать аналоги соотношений (41.4), (41.5) для опе-
раторов S± (g), где 0 g 1; не будем останавливаться
на этом.
Соотношения (41.4), (41.5) очевидным образом эквива-
лентны соотношениям
S_ (1) = slim slim Ua (0, t) S_ (0) Wa (t); (41.6)
a->0 f->—oo
S+(l) = slim slim Ua (0, t) S+ (0) IPa (t), (41.7)
a->0
где lFa (/) — оператор в пространстве определяемый
формулой
Wa (t) = exp (i ra (k 11) a+ (k) a (k) dkj,
о
ra (k 1t) = J co (k | h (ат)) dx
t
(для доказательства эквивалентности достаточно заметить,
что
255
exp(—iH(O)i)S_(O) =
= S_ (0) exp (— i Jco (k 10) t a+ (k) a (k) dk
— p(k)= lim (ra (k |/)—/<» (k| 0))),
05 —oo
Будем доказывать адиабатическую теорему в форме ра-
венств (41.6), (41.7). Доказательство будет основано на ряде
лемм.
Лемма 1. Для любой полунормы р (Д) в Л, любого ком-
пакта F с: Л и любого числа п можно найти такую полу-
норму g (Д) в А и такое число k, что
Р (К/ (4, t01 g (т)) А (х) и (t0, tr I g (T)),BJ) C
1+Ui-fo I*
1 + |X|«
q(A)q(B)
(здесь A, В £F, g (t) — гладкая функция co значениями
в [0; 1], — oo <Z tlt t0<Z oo, x £ E3).
Утверждение этой леммы немедленно вытекает из нера-
венств (41.1) (41.3) и замечания, что оператор U (4, t0 |g (t))
коммутирует с exp.(iPx).
Лемма 3. Если ф (х, t) — кусочно-непрерывная функция,
убывающая на бесконечности быстрее любой степени, то
оператор
J <р (х, t) А (х, 11 g) dx dt,
где А^Л, 1, принадлежит алгебре Л и дифферен-
цируем бесконечное число-раз по g в топологии алгебры ЛУ
причем оператор
С <р (х, t) А (х, 11 g) dx dt
dgk J
непрерывно зависит от <p £ T, A £ Л, g g [0; 1] в топологии
алгебры Л.
[Считаем, что пространство Т кусочно-непрерывных
убывающих быстрее любой степени функций снабжено то-
пологией с помощью системы норм
||ф||х = sup (1 +1 х |* +11 |х)<р(х, 0-]
хбЕ», —oo<f<oo
Доказательство этой леммы основано на полноте алгебры Л
и условии 26).
256
Лемма 3. Пусть Ag, Веб.Л — два семейства операто-
ров, бесконечно дифференцируемых nog в топологии Л. Пред-
положим, что В*ёФ = 0 для всех g (это требование выпол-
нено, например, если Bg— правильные операторы). Тогда
функция
р (к | g) = Ag (х) Ф, Bg Ф> ехр (i к х) dx
бесконечно дифференцируема по к, g.
В самом деле, рассмотрим функцию
Р (х |g) = <Ag (х) Ф, Bg Ф) = (В* Ag (х) Ф, Ф>.
Функция
дт
dgm
в силу леммы 1 допускает оценку
дт s А С
----Р(х g)
dgm r v 1 +| х I"
(здесь т и п — произвольные натуральные числа). Из этой
оценки вытекает, очевидно, бесконечная дифференцируе-
мость функции р (k|g) = J р (х jg) ехр (ikx) dx.
Перед тем как перейти к формулировке следующей лем-
мы, заметим, что векторная обобщенная функция Ф (k|g)
определяется условиями 1 б), в), г) неоднозначно: вектор-
ная обобщенная функция Ф' (k|g) = ехр (i% (k|g)) Ф (k|g),
где %(k|g)— действительная измеримая функция, будет
удовлетворять тем же условиям.
Лемма 4. Можно подобрать такую действительную из-
меримую функцию X(k|g), что для всякого оператора
A g Л функция
< А Ф, Ф' (к | g)> =•< Л Ф, ехр (Щк | g)) Ф (к | g)>
бесконечно дифференцируема по к, g.
Пусть Bg, Bg — два семейства правильных операторов,
бесконечное число раз дифференцируемые по g в топологии
9 Зак. 82 257
алгебры Л; (к |g) и r2 (к | g) —функции, определяемые
соотношением
B'O = Jn(k|g)<I)(k|£)<flG
Рассмотрим функцию
v(x)g) = <B>(x)®, В>Ф>
и заметим, что
v (х | g) = <ехр (i Рх) J Д (к | g) Ф (к | g) dk,
$ Д (k'l g) ® (к I g) dk> =
= J ехр (i кх) д (к | g) г2 (к | g) dk. (41.8)
Из соотношения (41.8) и леммы 3 вытекает бесконечная диф-
ференцируемость функции д (k|g) ra (k|g) по k, g.
Докажем теперь, что для всякой точки (k0, go) найдется
такое бесконечно дифференцируемое семейство правильных
операторов Bg, что
Ф, Ф (к01 g0)> 5^= 0.
Воспользуемся тем, что по каждому оператору А £ Л и глад-
кой финитной функции о (k, со jg), равной 0 при со^О и при
(со, к), принадлежащем многочастичному спектру операто-
ров Н (g), Р, можно построить семейство правильных опера-
торов Bag А по формуле
Bg А = о (х, | g) А (х, 11 g) dx dt,
где
о (х, | g) = J ехр (ikx—i co^) о (к, co | g) dk dat
(см. лемму 1 из § 36). В'силу леммы 2 это семейство беско-
нечно дифференцируемо по g. Легко видеть, что
<В? А Ф, Ф (к | g)> = о (к, со (к | g) | g) <ЛФ, Ф (к | g)>. (41.9)
Для каждой точки k0, g0 можно подобрать функцию о
таким образом, что a (k0, со (k0|g0) |g0) ¥= 0. Это заме-
чание вместе с условием 1д) позволяет проверить, что для
каждой точки k0, g0 найдется такой оператор А что
<В£лФ,Ф(к0Ы>#=0,
258
Теперь можно воспользоваться следующим утвержде-
нием .
Пусть & — {<pY (k)} — такое семейство измеримых ком-
плексных функций на выпуклом подмножестве М евклидова
пространства Еп, что: а) для любых двух функций
Tv € 3F> Фб € функция фт (k) фе (k) бесконечно дифференци-
руема; б) для всякой точки М найдется функция
не равная нулю в точке k. Тогда найдется такая
измеримая действительная функция X (k), что произведение
любой функции фу £ $ и ехр (iX (&)) — гладкая функция.
(Доказательство этого утверждения, основанное на не-
которых теоремах из топологии расслоенных пространств,
содержится в приложении к работе [43].)
Применяя это утверждение, можно найти такую дейст-
вительную функцию A (k|g), что для всякого семейства пра-
вильных операторов 'Bg £ Л, бесконечное число раз диффе-
ренцируемого по g в топологии Л, функция
ехр (i A (k |g)) г (к | g) = ехр (i % (к |g)) <В§Ф, Ф(к| g)>
бесконечно дифференцируема.
Из соотношения (41.9) вытекает, что при том же выборе
функции A(k|g) будут дифференцируемы все функции
вида ехр (iA (k|g)) <ЛФ, Ф (k|g)>, где А^Л; это доказы-
вает утверждение леммы.
Замечание. С помощью рассуждений, используемых при
доказательстве этой леммы, можно проверить, не налагая
условия 1д), что для любого оператора А £Л функция
|<Ф (k 1g), ЛФ>|2 бесконечно дифференцируема. Это поз-
воляет говорить о значениях функции |<Ф (k|g), ЛФ> |
в отдельных точках. Таким образом, условие 1д) имеет чет-
кий смысл.
В дальнейшем всегда будем считать, что одночастичное
состояние Ф (k|g) выбрано таким способом, что для любого
оператора А ^Л функция <ЛФ, Ф(к|§)> бесконечно диф-
ференцируема по k, g [по лемме 4 этого всегда можно до-
биться, заменив, в случае необходимости, Ф (k|g) на
Ф' (k|g) = ехр (iA (к|£))Ф(к|£)].
Лемма 5. Для всякой гладкой финитной функции
f (к | g) можно найти такое семейство правильных опера-
торов Bg, бесконечно дифференцируемое по g в топологии Л,
что
В'Ф = $Нк|£)Ф(к|£)</к.
9*
259
При доказательстве этой леммы удобно воспользоваться
соотношением
= (41.10)
[точнее говоря, если семейство правильных операторов
Bg £ Л бесконечно дифференцируемо по g и
В*Ф = Jip(k|g)<D(k|g) dk,
Ф (k|g)— финитная гладкая функция,
ф (х I g) --=
(2^ J <Р (k I ехр кх) dk’
то формула (41.10) определяет бесконечное дифференцируе-
мое по g семейство правильных операторов, удовлетворя-
ющее условию
В*Ф = $ф(к|£)ф(к|£)Ф(к|£)Л].
Заметим, что для каждой точки (k0, g0) существует
такая окрестность U, оператор A £ Л и функция а, чтофунк-
циТГ<В2,л, Ф, Ф (k|g)> не обращается в нуль в окрестности
U (здесь Bg"4 — семейство правильных операторов, построен-
ное при доказательстве леммы 3). Если носитель функции
/(k|g) содержится в окрестности U, то нужное семейство
Bg можно получить с помощью соотношения (41.10), поло-
жив в этом соотношении Bg = Bg’'4, Bg41 = Bg. Иначе го-
воря, в качестве функции ф (k[g) следует выбрать функцию
(41,9), а в качестве функции q> (k 1g)—функцию
Z(k|g)
<В°’ЛФ, Ф (k I g)>
(эта функция, очевидно, становится гладкой финитной функ-
цией, если доопределить ее нулем там, где и числитель, и
знаменатель обращаются в нуль).
Произвольную функцию f можно представить в виде
конечной суммы функций Д, для которых семейство B!g‘
может быть построено с помощью указанной выше конструк-
ции. Операторы
260
очевидно, бесконечно дифференцируемы по g и удовлетво-
ряют условиям
В£Ф= V (k|g)<D(k|g)dk;
Жф=о.
Они, однако, a priori, могут не удовлетворять входящему
в определение правильного оператора требованию гладкости.
Добиться выполнения также и этого требования можно,
заменив операторы Bfg операторами
Bg= § Н(М i g) В (х, i| g) dx dt,
где
[л (х, 11 g) = —— f p. (k, co | g) exp (i kx— i co/) dkcio;
(2 л)4 J
p (k, co [g) — гладкая финитная функция, равная 1, если
(k, g) €supp /, со = со (к |g).
Лемма 6. Функция v(k]g), определяемая формулой
Ф(.П^>=^(к^Щк)ИкЖ (41.Н)
где f (к), f (к) — гладкие финитные функции, является
гладкой функцией от к, g.
Заметим прежде всего, что по лемме 5 вектор Ф (/|g)
может быть представлен в виде В»Ф, где оператор Bl беско-
d<D if I g)
нечно дифференцируем по g; поэтому производная —
существует. Далее, форма
Ф(Г|£)\
\ dg /
трансляционно инвариантна [т. е. A (f, f) = A (fx, fx), где
fx(k) = exp(—ikx)f(k)] и, следовательно, может быть
записана в виде (41.11).
Рассмотрим функцию
e(x|g) = <^^, Ф(^| g)> =
\ dg /
= 8) ’ ех₽(—1рх)ф(Г1^)> =
/dBf„ i, \
= / _1ф Bfg (х) Ф >.
Х dg s V 7 /
261
Очевидно, что
t(x|g) = $ехр (i kx)v(k|g)f(k)f(kjdk. (41.12)
Из соотношения (41.12) и леммы 3 следует, что функция
v (k |g) f (к) f' (к) — гладкая. Поскольку f (k), f (к) — про-
извольные гладкие функции, отсюда вытекает утверждение
леммы.
Из леммы 6 вытекает, что одночастичное состояние
Ф (k I g) может быть выбрано таким способом, что для любых
Л Г
\^~dg^ ’ °^'lg)/==0- (41.13)
[Если равенство (41.13) не выполнено, то добиться его вы-
полнения можно, заменив Ф (k |g) на обобщенную векторную
функцию
Ф(к|£) = ехр (i т(к |g)) Ф (к | g),
где т (к ]g) определяется как решение уравнения
l^£JA = -v(k|g).]
dg J
В силу леммы 6 т (k|g) —гладкая функция, поэтому после
указанной замены функции <ЛФ, Ф (k |g)> также являются
гладкими для всех А £ Л.
В дальнейшем будем считать, что одночастичное состоя-
ние Ф (k|g) выбрано так,что выполняется условие (41.13).
Обозначим t0 момент времени, удовлетворяющий соот-
ношению (напомним, что символом Д обозначен
радиус носителя фиксированной функции h (т), так что
h (т) = 0 при т <1 а/0).
Лемма 7. Для любой гладкой финитной функции f (к)
Ua(t,t0)<bm =
= ехр (i ra (Р |0 — 1 ra (Р1t0)) (Ф (J| h (at)) + о& (f | at) + ...
• •• + «"МЛа0 + а"+11Ъ+1(А Л Ш
262
где li (fl °) определяется уравнениями,
i fcILLS) = (H (h (а))-® (P | h (a))) lt (f | a); (41.14)
aa
, ф(/'|Л(о))\ =0; (41.15)
\ da /
1о(Ло) = Ф(ЛМо)); (41.16)
£o(f|o0) = 0 при />0 (41.17)
и hn+1 (f,a,t, t0) || гС С (С не зависит от a, t,t0, но может
зависеть от f и п).
Доказательство этой леммы проводится с помощью рас-
суждений, вполне аналогичных рассуждениям в § 16. Век-
тор V (/) = Uа (t, /0) Ф (f|0) удовлетворяет уравнению
1^ = Я(Л(а0)Т(0.
at
Заменой переменной о = at это уравнение может быть при-
ведено к виду
ia —=Я(Л(о))Т(о). (41.18)
do
Будем искать решение уравнения (41.18) в виде
W(a) = exp^-^- ® (Р | Л (o')) do'j (£0 (Л о) + «li (f| °) + •••
••• + «" In (f I p) +a"+ 1 Пп+i (f, a, <*))•
Заметим, что равенство (41.14) определяет вектор
I; (fl°) с точностью до слагаемого, обращающегося в нуль
при действии на него оператора Н (h (о)) — <о (Р | h (о))
(т. е. с точностью до вектора из одночастичного подпростран-
ства). Равенства (41.15)—(41.17) фиксируют это слагаемое
однозначно. Несколько позже будет показано (см. лемму 8),
что вектор £г (f|o) бесконечно дифференцируем по а.
Функция т]п+1 (f, а]о) удовлетворяет уравнению
: „ ^Лп-н (Л а I а)
da
= (И (h (о))-® (Р | h (о))) т]п+1 (/, а | a) —i (41.19)
263
с начальным условием Лп+i (А “|ао) = 0- Из этого
уравнения и из замечания, что ||-^^—^|| оценивается
сверху константой, не зависящей от а, легко получить нера-
венство
II Лп-ы (A —
а
(константа С зависит от f). Замечая, что
Лп (А а I о) = (f I о) + аЛп+i (А а I
убеждаемся, что
IIЛп (А «| о) ||<const.
Это доказывает лемму.
Лемма %. Вектор (/| <т), фигурирующий в формули-
ровке леммы 7, Может быть представлен в виде
^.(/|О) = РроФ,
где Dfi’ ст — семейство операторов, бесконечно дифференци-
руемое по а в топологии at, и, следовательно, этот вектор
бесконечно дифференцируем по о.
Будем доказывать лемму по индукции. Пусть операторы
уже построены. Рассмотрим вектор С/(/1 °), опре-
деленный соотношениями
i = (Н (/l (а)) _ Q (р [ h (а))) (f| а).
аа
<Сг(/1°). Ф(А |/1(о))> = 0,
где A F — произвольные финитные гладкие функции. Этот
вектор может быть представлен в форме
(Л О) = V (И (h (о)), РI h (о)) dh~l . (41.20)
аа
Здесь
Y (®, р|£) = i (со — и (р 1g))-1,
если pg supp А (w, р) принадлежит спектру операторов
Н (g), Р, но со =#= со (p|g); если ® = со(р|g), то у (®, р|^)
обращается в нуль. Функция у (со, р |g) может быть выбра-
на гладкой и обращающейся в нуль для р, находящихся
вне некоторого шара.
264
Пользуясь соотношением (41.20), можно написать, что
Zt (f I °) = S Y x lMa)) E^'-i (x, t1 a) Odxd/, (41.21)
где у(/, x|g) —преобразование Фурье функции у (со, р | g)
по переменным <о, р, F'-L^ = (d/da) Di^. Равенство
(41.21) показывает, что & (/|о) = F\' °, где Л'(-’ст= J у (/,
x |/i (a)) Efi-ai (х, Z|a) dxdt (этот оператор бесконечно диф-
ференцируем по о в силу леммы 2). Вектор может
быть выражен через вектор (/| о) с помощью соотношения
(7 -I а) = Ц (Л а) + Ф (A? f | h (а)), (41.22)
где л” (к) —функция, удовлетворяющая уравнению
f (к) ---- / dZi (Но) л ,,,,, . .. \
I —l— f (к) f (к) dk = — < —, Ф (f I h (a)) \ (41.23)
J да - '
с начальным условием (к) = 0 при о0 < —А. Если
ввести векторные обобщенные функции (к | о) и £г (к | о)
соотношениями (f| a) = f f (к) (к | о) dk, (f | а) =
= j f (к) t,i (к | о) dk, то формулы (41.22), (41.23) можно
переписать в виде
^(к|а) = Сг (к | о) + А"(к) Ф (к |й(а));
^9б(к—к')= — Zaftig! , ф(к'|/1(а))\.
да \ да /
Функция к? (к) бесконечно дифференцируема по о; это до-
казывается точно так же, как утверждение леммы 6. Мо-
жем поэтому выбрать оператор D\' ст в виде
Легко видеть, что оператор D\' ° бесконечно дифференцируем
по а и, стало быть, удовлетворяет условию леммы (диффе-
ренцируемость оператора F]’a уже проверена, а оператор
f
Bh\a) можно представить в виде
(a) = (ст) J Hi (x) (a) (x) d-X,
где (k) = p (k) (k), а символом p (k) обозначена финит-
ная гладкая функция, равная 1 при kg supp/).
265
Замечание. Для всех: о из отрезка [—6, 8], на котором
функция h равна 1, по индукции можно доказать равенства
d^i (f l.?l = 0; (f|o) = 0; /7рст = 0;
da
^7(k) n. nf.a R^f
-------- U; Dt = D t
da
Определим функции ф*’“(х), qA“(k) формулами
фО а (%) = (2л)-3 § (ptr “ (k) ехр (i кх) dk;
Ф*’ “(к) = ф(к) ехр(i го(к|0).
Лемма 9. Пусть ф (к) — гладкая финитная функция.
Для любого целого числа п и любого е > 0 найдется такое
число Сп, Е> не зависящее от х, t и а, что
1+(р(х, V^(<P))-e|O)n
(здесь Уа (ср) — множество точек, которые могут быть
представлены в виде —\га (к 1t), где kgsupp <р, р (х, Д) —
расстояние от точки х до множества А). Существует такая
константа С, не зависящая от х, t, а, что
|Ф<’ “(х)КС|/|-3/2;
§|ф'-“(x)|dx<C(l+|q3/2). (41.24)
Доказательство этой леммы аналогично доказательству
леммы 2 § 36.
Лемма 10. Если f (к), ф (к)— гладкие финитные функ-
ции, то вектор
Г (0 = иа (О, ?о) S- (0) wa (/о) а+ (f ф) 0,
где t0^.—, может быть представлен в форме
Г (0 = $Ф + Rs (/),
где
Qs = Q' (f, Ф, а) = $ “ (х) И** “ (х) dx; (41.25)
ф)«°+1 (1+1Ф2)-
266
В самом деле,
^a(io)Q+(f<p)0-«+(/<(/« “)0.
Поэтому
r(0 = t7a(/,/0)<i)(^»-«|0) =
= ^/а(/,/о)<Р^“(Р)Ф(/|О)-
= Ф'»’“(Р) Ua(t, /о)Ф(НО).
Из лемм 7, 8 и 9 заключаем, что
Г (/) = <р*»•«(Р) ехр (i ra (Р | /) — i ra (Р | /0)) X
х( 2 aili (f\at) + “s + ' 1Ъ+ i (f, a, t, /0)) =
= <pta(P)( 2 РрО/ф)+7?3(0 =
u=o J
= “ (P) N*s' “ Ф + Rs (0 = $ “ (x) Np “ (x) Ф dx + RS (f),
что доказывает нужное утверждение [при выводе оценки
для Rs следует воспользоваться оценкой ||i]s+1.||, указан-
ной в д^емме 7, и неравенством (41.24)].
Замечание. Из соотношения
ua (f, t) Ua (t, t0) = Ua (/', /0)
вытекает, что
6/а(Л 0Г(0 = Г(Г). (41.26)
Пользуясь равенством (41.26) и леммой 9, можем заключить,
что
Ua (t', t) Q/ф = Qf Ф + Rs (t, t'), (41.27}
где || Rs (t, t') || Cas+’, константа С зависит от f и ср
(но не зависит от t, а). Соотношение (41.27) будет сущест-
венно использовано далее.
Лемма 11. Пусть <рх (к), <р2 (Ю — финитные гладкие
функции, носители которых не пересекаются. Тогда сущест-
вует такое число с > 0, что расстояние между множест-
вами Va (<Р1) и Va (ф2) больше, чем с| t\.
Из строгой выпуклости функции со (к | g) вытекает, что
d2<o (k|^)>Mk2 (41.28)
267
(здесь X положительно и не зависит от к, g, если к пробе-
гает ограниченное множество; второй дифференциал берет-
ся только по переменной к).
Неравенство (41.28) влечет за собой неравенство
(Рга (к | /) X111 dk2, из которого можно заключить, что
вторая производная функция ra (k 1f) по любому направле-
нию не может быть меньше, чем Х|/|. В частности, можно
положить
е==7Г-ТТ’ v(0 = ^a(k2 + :e|/)
I кг — к2|
и заключить, что v" (С) А.|/|. Теперь ясно, что
| Vra(k1|/) —Vra(k2|01 >
>|v'(|ki-k2|)-v'(0)|>A|^| | kx-k2|.
Таким образом, если расстояние между множествами
supp <рх и supp q>2 больше, чем е, то расстояние между мно-
жествами Va (<Pi) и Va (<р2) больше, чем Х|/|е. Лемма до-
казана.
Лемма 12. Пусть f\ (k), f2 (к), <рх (к), (р2 (к) — глад-
кие финитные функции и носители функций фх, ф2 не пере-
секаются. Тогда
Р (К + Т, О Q’’‘Ua (t, t + т), Qs2-']) < -^1-
1+| f |
[здесь p (Д) — произвольная полунорма в алгебре <4; п —
произвольное число; — оо<т, /<оо, |т|^|^|; Сиг
не зависят от t, т и а; символ Q‘s’* обозначает операторы
Qs* = Qs (А, <Рп «).
определенные соотношением (41.25)].
Доказательство этой леммы без труда получается с по-
мощью лемм 1, 9 и 11.
Лемма 13. Пусть фх (к), ..., q>n (к) — гладкие финит-
ные функции с непересекающимися носителями, А (к), ...
..., fn (к) — гладкие финитные функции, t sC — aa~E,
А -----a > О, е > О, 1. Тогда вектор
(0 = Ua (t, A) S_ (0) Wa (A) b+ (fl Ф1) - b+ (fn фп) 0
может быть представлен в виде
Vn(0 = Qs’’'••• + (41.29)
268
где
Qs ^Q^fi, чч, a);
||л(ОКС|*-Ма2;
число С не зависит от t, t0 и а.
Легко видеть, что вектор Vn (/) не зависит от t0, если
t0 остается меньше, чем —Д/a, поэтому можно считать, что
t0 = [—Д/a]. Предположим, что t—• целое число, и дадим
доказательство соотношения (41.29) с помощью индукции
по /; переход к случаю нецелого t не вызывает затруднений.
Итак, пусть
vn(0«QsU ...Qs-'ф. (41.30)
Используя равенство (41.27), заключаем, что
vn(/+1) = ua(t+1.
^Ua(t+\, t) Qs’f ... =
= t/a(/ + l,0 Ql'* ...Qr^UattJ+VtUatt + lJ)
« Ua (t+ 1,0 Qs' * ... Qr2’ * Ua (t, t + 1) Uatt + 1, t) x
Х1ШЖЛ,'+1Ф- (41.31)
Дополнительная ошибка, которая возникает при пере-
ходе от приближенного равенства (41.30) к приближенному
равенству (41.31) в силу (41.27), может быть записана в форме
Ua(t + 1, ...Or'-tUalt,
3
, $ Д-
2
где || Rs (t, t + 1)|| Cas+’ (1 Д- | ^|3/2) и всякая полунор-
ма оператора Q~‘z в Л не превышает С (1+ Д |3/2) [последнее
утверждение вытекает из (41.24)1. Используя эти
ния и неравенства 111
но доказать, что при переходе от (41.30) к (41.31)
увеличилась не более чем на const a2.
Далее с помощью леммы 12 убеждаемся, что
замеча-
1, мож-
ошибка
(t + 1) « Ua (t +1Д) <2s ' ‘ ... Qs ~2’' х
Xt/a(Z,/+l)Q?'+1t/a(^+l,OQs_1,<®. (41.32)
Дополнительная ошибка при переходе от (41.31) к (41.32)
также не превышает const а2 (более того, эта ошибка не пре-
вышает const аг, где г — любое). Чтобы установить это,
269
следует привлечь кроме леммы 12 неравенство /<—аа~~е
и указанную выше оценку для Qls’
Снова пользуясь равенством (41.27), получаем
^n(/+l)«t/a(/+l,0Qs’< -
... Q"~2' * Ua(t, t+ 1) Q"’z+1 Q"~11 z+1 Ф.
Используя несколько раз равенство (41.27) и лемму 12,
приходим к выводу, что
Тп('+1)« f+1 ...Q'’Z+IO«
»Qsh<+1 ...Qs’(+1<D. (41.33)
Ошибка, сделанная при каждом из преобразований, не
превышает const а2. Поэтому ошибка при переходе от при-
ближенного равенства (41.30) к приближенному равенству
(41.33) увеличивается не более чем на const а2. Таким об-
разом, совершен шаг индукции. Поскольку при t — t0
равенство (41.29) очевидно, лемма 13 доказана.
Теперь нетрудно доказать основной результат этого па-
раграфа.
Возьмем в формулировке леммы 13 / = ——, где число б
таково, что h (т) = 1 при —б т б. Тогда можно ут-
верждать, что
Фг’“(х) = Ф;(х, /) =
= (2л)~3^фг (k) ехр (ikx-—i(0 (k 11) /) dk; (41.34)
(0 « П ( $ (X, t) ( 2 -6 (х)) dx) Ф;
( = 1 \ \/=о 1 ) /
п/г’“6 = В^бП. (41.35)
а2
(с 1“ * -
—----------
а L « J,
= const а, равенство (41.35) вытекает из замечания к лем-
ме 8.
270
Из определения матрицы Мёллера S_ и из соотношений
(41.34), (41.35) получаем
= lim П ( § фг (х, t) B[i (х, 111) dx) Ф =
= lim exp(i//(l)/) П H <pf (x,/) (x) dx) Ф =
=--lim exp (—i // (1)/) П (4<рг (x, t) M
t-T—oo i= I '
= lim exp ( — iH (1) —П \ f <p£ (x,------X
a - о \ a / \ J \ a /
( S I . A \ \
S vJD]1' (x))dx Ф =
/=о / /
= lim exp [ — i H (1) —Tn ( ——'j =
a -» о \ a/ \ a/
= lim Ua (0, t0) S_ (0) Wa (t0) b+ (Ъ Фг) ... b+ (fn фп) 0. (41.36)
a->0
Для того чтобы вывести равенство (41.6) из соотношения
(41.36), достаточно вспомнить, что в случае, если lim Апх =
= Ах для всюду плотного множества векторов х и нормы
операторов Ап равномерно ограничены, можно утверждать,
что slim Ап = А. Соотношение (41.7) доказывается совер-
шенно аналогично.
Г Л AB A 11
ТРАНСЛЯЦИОННО ИНВАРИАНТНЫЕ
ГАМИЛЬТОНИАНЫ (ДАЛЬНЕЙШЕЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ)
§ 42. Связь аксиоматической теории
с гамильтоновым формализмом
Пусть Н — трансляционно инвариантный формальный
гамильтониан вида (28.3). Предположим, что существует
операторная реализация (Ж, Н, Р, a (k, е, t), Ф) гамильтониа-
на Н (напомним, что здесь — гильбертово пространство;
Н, Р — операторы энергии и импульса; а (к, е, t) — опера-
торные обобщенные функции; Ф — основное состояние).
Рассмотрим семейство Л, состоящее из двух оператор-
ных обобщенных функций
а(х, 1, 0 = (2л)-3/2 § ехр (i kx) a(k, 1, 0dk;
a (x, — 1, t) = (2л)~3/2 § exp (— i kx) a (k, —1,0 dk.
Под матрицей рассеяния формального гамильтониана И
будем понимать матрицу рассеяния, построенную по опе-
раторам Н, Р и семейству Л (при этом предполагается, что
семейство Л и операторы Н, Р удовлетворяют перечислен-
ным в § 40 требованиям, гарантирующим существование
матрицы рассеяния).
Вопросом о связи этого определения с определениями
матрицы рассеяния, предположенными в гл. 9, займемся
позднее. Сейчас заметим только, что в случае, если для га-
мильтониана Н выполнены предположения § 32, то из ре-
зультатов § 38 вытекает совпадение матрицы рассеяния,
построенной в § 32, с определенной только что матрицей
рассеяния.
В самом деле, пусть X (к) £ (£3), f (к) и р (т) — гладкие
финитные функции, В = J X (к) р(т) а+(к, т) dkdr. Очевид-
272
но, что
$f(x|/)B(x, i) dx =
= § f (x 11) exp (— i kx) X (k) p, (r) a+ (k, t + r) dkdx dr —
= J f (к) А (к) p (x) a+ (k, t + t) dk dr
и, стало быть, в условиях § 32
wlim 'f (x| t) В (x, t) dx =
= $ f (к) А (к) p (x) Л-1 (k) Gi+ (k, x) dk dr =
= f (k) A (k) p (<o (к)) Л-1 (k) «t (k) dk, (42.1)
где ай (к, t), ain(k, x) — in-операторы, определенные в
§ 32; p (<o (k)) = j p (x) exp (i® (k) x) dr.
С помощью соотношений (32.8) и (32.11) убеждаемся, что
<ВФ, ай, (р) Ф> =
= § А (к) р (х) <«+ (к, х) Ф, atn (р) Ф> dk dr =
= § А (к) р (<о (к)) <а+ (к) Ф, (р) Ф> dk =
= Ь (Р) Р (® (Р)) р (1, Р) = А (р) р (о (р)) Л-1 (р). (42.2)
Сравнивая равенства (42.1), (42.2) с соотношением
(38.2), убеждаемся, что in-операторы, определенные в § 32,
совпадают с in-операторами, определенными в § 38; ана-
логичное утверждение справедливо для out-операторов и,
стало быть, для матрицы рассеяния.
Существенно отметить, однако, что данное сейчас опре-
деление матрицы рассеяния в отличие от определения § 32
пригодно и при наличии связанных состояний (под связан-
ным состоянием здесь понимаем одночастичное состояние
Ф (к), удовлетворяющее условию <Ф (к), «+ (к', t) Ф> = 0).
Выяснить, существует ли операторная реализация фор-
мального гамильтониана Н и удовлетворяй)? ли операторы
Я, Р и семейство Л требованиям § 40, оказывается нелегкой
задачей.
В настоящей главе покажем, что на эти вопросы можно
получить ответ в рамках теории возмущений; точнее, будем
273
строить интересующие объекты как формальные степенные
ряды по константе связи*.
Рассмотрим формальные эрмитовы трансляционно инва-
риантные выражения вида
/7 = /70 + V=-$e(k)a+ (k) a (k) dk +
+ 2 gr 2 J Ут?п(к1, кго|рь ..., рп) X
1 т, п
Хб(кх+ ... +km—pt —рп)Х
Ха+(кх) ... a+(kro)a(pj)... a(pn)dmkdnp. (42.3)
а+ (к), а (к) — как всегда, символы, удовлетворяющие
CCR. Будем считать, что 8 (к) — гладкая функция, все
производные которой имеют не более чем степенной рост,
а функции Vm^n принадлежат пространству & и для каждого
г только конечное число функции п отлично от тождест-
венного нуля. Число g будем называть константой связи.
В случае, если сумма в (42.3) бесконечна, будем понимать
ее просто как формальный ряд, не делая никаких предполо-
жений о его сходимости. Совокупность формальных выраже-
ний, обладающих описанными свойствами, обозначим бук-
вой Л.
Выражение Н £ Л можно рассматривать как формаль-
ный трансляционно инвариантный гамильтониан (наиболее
интересными являются те гамильтонианы из множества Л,
которые могут быть записаны в виде Н = Но + gW, где
W уже не содержит константы связи g; однако будет удоб-
но рассматривать сразу общий случай).
Операторной реализацией гамильтониана Н РЛ будем
называть гильбертово пространство Ж, в котором действуют
* Иначе говоря, будем рассматривать формальные выражения
вида^^п^”, гДе Ап — числа, векторы или операторы; если Ап —
п
операторы, то будем считать их определенными на одном и том же
множестве. Под суммой и произведением двух (числовых или опера-
торных) формальных рядов ^Ап^1 и '£Bngn понимаем ряды Ип+
п п п
+ Вп) gn и "^(.^AhBi) gn. В дальнейшем в этой главе все рас-
П k-j-1—n
суждения будем проводить в рамках теории возмущений (не всегда
оговаривая это явно): Для того чтобы придать точный математи-
ческий смысл результатам настоящей главы и изе доказательствам,
все доказываемые соотношения следует понимать как равенства
формальных степенных рядов.
274
оператор энергии Н = ^Hrgr, оператор импульса Р, обоб-
щенные операторные функции a ^k, е, t) = ^graT (к, 8, t)
и вектор Ф, удовлетворяющие в каждом порядке по g усло-
виям определения операторной реализации (ряды ^Hrgr
и ^grar (к, 8, /) понимаем как формальные степенные ряды
по g, не делая никаких предположений относительно
сходимости). Предполагается, что по оператору Н = ^grHT
можно построить операторы ехр (iHt) — (t), об-
разующие группу унитарных операторов*. Операторы
Ur (t) и операторы J f (к) аг (к, 8, t) dk должны быть опре-
делены на одном и том же множестве D и переводить это
множество в себя; множество D должно содержать вектор Ф.
В § 44 будет показано, что для любого гамильтониана
Н может быть построена операторная реализация в
описанном выше смысле (для гамильтонианов, порождающих
поляризацию вакуума, предположим, что функция. 8 (к),
фигурирующая в определении гамильтониана Нй, удов-
летворяет требованию 8(кх + М < в (кх) + 8 (к2), одна-
ко это требование не является необходимым).
Произвольный трансляционно инвариантный гамильто-
ниан Н = Но + W можно включить в семейство гамильто-
нианов И о + gW, зависящее от параметра g. Если гамиль-
тониан Но + W удовлетворяет указанным в § 28 условиям,
при которых гейзенберговские уравнения.(28.4) имеют смысл,
то выражение Но + gW £ поэтому для таких гамильто-
нианов операторная- реализация может быть построена
в рамках теории возмущений.
Далее, в §44 будет доказано, что операторы Н = ^grHr,
Р и семейство операторных обобщенных функций, состоящее
из двух функций а (х, 8, t) = "%grar (х, 8, t) = ^\gr х
xjexp (iekx) ar (k, 8, f) dk, e = ±1, удовлетворяют в каж-
дом порядке теории возмущений предположениям § 40. При
этом будет предполагаться, что рассматриваемый гамильто-
ниан принадлежит подмножеству Л множества Л, которое
характеризуется тем, что для входящих в него гамильто-
нианов функция 8 (к) удовлетворяет условию 8 (kt + к2) <
* Естественно говорить, что операторы ^grUr (t) образуют
группу унитарных операторов, если
^Uh (t) Ui (f) Ur (t + f);
(0) = 0 при k > 0;
t/o(O= I-
275
< e (kJ + е (к2) и не является линейной ни на каком от-
крытом множестве (требование е (kx + к2) < е (kJ J- e(kj
здесь уже оказывается существенным).
Отсюда можно вывести, что матрицы Мёллера и матрица
рассеяния существуют в рамках теории возмущений (точ-
нее говоря, матрицы Мёллера S± и матрица рассеяния S
могут быть построены как формальные степенные ряды
S± = 2й'''5±), S = Для того чтобы сделать этот
вывод, следует проанализировать построение матриц Мёл-
лера, указанное в гл. 10, и убедиться, что утверждения,
высказанные в этой главе, сохраняют свою силу, если фи-
гурирующие в них объекты понимать как формальные ряды
по g. При этом, однако, следует модифицировать построение
матрицы Мёллера, считая, что функции /х (к), ...,/п(к),
фигурирующие в формуле (36.1), образуют неперекрывающе-
еся семейство функций* (см. подробнее в § 46).
§ 43. Гейзенберговские уравнения.
Канонические преобразования
Рассмотрим формальный трансляционно инвариантный
гамильтониан Н, принадлежащий описанному в § 42 клас-
су М,. Как отмечалось в § 28, если Vm! о ф 0 (гамильтониан
порождает поляризацию вакуума), выражение Н не опре-
деляет самосопряженного оператора в фоковском простран-
стве. Более того, оператор ехр (iHt) в этом случае нельзя
построить даже в рамках теории возмущений (в качестве
формального степенного ряда по, g).
В этом легко убедиться, например, вычисляя оператор S (t,
/0) = ехр ехр (—iH (t — t0)) ехр (—iHoto) с помощью раз-
витой в § 23 диаграммной техники. В самом деле, например, при вы-
числении диаграммы, изображенной на рис. 4, сталкиваемся с бес-
смысленным выражением
6(кх + ... +km) б (kx—km+J- • - б (km— k2m) 6 (km+i+ ? • • 4*k2m) =
(kxJ-.. • +km) 6 (kx— kjn-j-J... 6(km—k2m).
* Эта модификация определения матрицы Мёллера исполь-
зована с другой целью в п° 5 § 40.
276
Аналогичная ситуация имеет место для любой диаграммы, не имею-
щей внешних вершин (вакуумной петли): в ее подынтегральном вы-
ражении содержится произведение 6-функций, аргументы которых
связаны линейной зависимостью, что делает рассматриваемое вы-
ражение бессмысленным.
Таким образом, даже по теории возмущений нельзя
. dib гт.
написать решение уравнения Шредингера 1 = /гф.
Однако по выражению (42.3) можно формально написать
уравнения Гейзенберга, и они оказываются уже вполне
осмысленными, во всяком случае в рамках теории возмуще-
ний.
В самом деле, уравнения Гейзенберга
2a..(.L..Q. = ц/д а (к, /)]; (43.1)
dt
да+ (к- ° = i [Н, а+ (к, /)] (43.2)
dt
можно записать в виде
i баХМ—е(к)а(к,/) = /(к,/); (43.3)
dt
— i е (к)а+(к, /) = /+(к, /), (43.4)
dt
где
/(к,/)== 2 g' 2 tn\v^’„(k, ki, ..., кщ-ilPi, ..., pn) X
хб(к+2 k;— 2 Py'j a+(ki> 0 •••
\ Z = 1 j = 1 /
... a+(km_x, /)а(рх, 0 ... a(pn, t)dm~' kd"p.
(Эти уравнения получаются, если вычислить коммутаторы
в правой части уравнений (43.1), (43.2) с помощью CCR, за-
кона дистрибутивности и соотношения
[ДВ, С] = [Д, С] В + А I В, С].)
Вместе с начальными условиями а+ (к, 0) = а+(к), а (к, 0) =
= а (к) уравнения (43.3), (43.4) могут быть переписаны
в форме
а (к, t) = ехр (—i 8 (к) /) а (к) +
t
+ § ехр (— i е (к) (/—т)) I (к, т) dr; (43.5)
о
277
а+ (к, t) = ехр (i 8 (к) t) а+ (к) +
t
+ §exp(ie(k)(/—т))/+(к, r)dr. (43.6)
о
Решения уравнений (43.5), (43.6) следует искать в виде
а (к, t) = ехр (— i е (к) t) а (к) 4-
2 ёГ 2 fni, п (кц ... , кт | рх, ..., рп) х
г 1 т, п J
хб|к+ s кг—а+(кх) ...а+(кт)а(р1)...
\ t=i i=i /
... а(р„) dmkdnp; (43.7)
а+ (к, t) = ехр (i 8 (к) t) а+ (к) 4-
+ 2 ёг 2 •••, kro|Pi, ...,рп)х
1 т, п »
(т п \
Ч 2 РЛ а+(р1)...а+(р„)а(к1) ...
i = l j=l 1
... а(кт) dmkdnp. (43.8)
Подставляя эти выражения для а (к, /), а+ (к, t) в (43.5),
(43.6) и приравнивая члены при одинаковых степенях g,
получим рекуррентные формулы для fm*n, из которых
видно, что функции fmfn принадлежат пространству
и в каждом порядке по g (т. е. для каждого г) лишь конеч-
ное число функций /m/п отлично от тождественного нуля.
(Здесь рассматриваются а (к,/) как формальные выраже-
ния, составленные из символов а (к), а+ (к), подчиненных
CCR; все возникающие при решении выражения приводятся
к нормальной форме с помощью CCR. Ряды по g рассма-
триваются как формальные.)
Нетрудно проверить, что ||/m/n||a, р возрастает не бы-
стрее, чем некоторая степень t, т. е.
p<C(l + |m (43.9)
(здесь ||||a, р — норма в пространстве С и k зависят от
г, «, ₽)•
Оценка (43.9) вытекает из следующего утверждения:
Пусть о (klt ..., kn) — гладкая действительная функ-
ция, все производные которой имеют не более чем степенной
рост. Тогда для любой нормы || ||о, р в пространстве
найдутся такая норма || ||т, б в пространстве и такие
числа С, г, что для любой функции <р 6
278
j}exp (i a (^х, .... , ..., fen)||a, p<
<C(1 + |/nh(feb - ,kn)h.6. (43.10)
В самом деле, применяя неравенство (43.10), видим, что
норма функции
gt(ku ..., fen) = jexp(ia(^....kn)(t—r))h%(klt ...,kn)dx
0
удовлетворяют неравенству
II ||a, p C | /| (1 / |r) Slip ||/irllv. 6>
t
с помощью которого оценка (43.9) получается по индукции.
Нетрудно показать, что при фиксированном t выражения
a+ (k, t), а (к, t) удовлетворяют CCR:
[а (к, /), а (к', /)] = [а+ (к, /), а+ (к', /)] = 0;
[а (к, /), а+ (к', /)] = 6 (к — к') (43.11)
(существенно отметить, что при вычислении фигурирующих
в (43.11) коммутаторов не возникает никаких математиче-
ски неопределенных выражений: в каждом порядке имеем
дело с конечными суммами сходящихся интегралов). Для
того чтобы проверить соотношения (43.11), проще всего
продифференцировать их по /; например:
[a (k, t), а+ (к', /)] = i [[Н, а (к, /)], а+ (к', /)] Д-
+ i [а (к, t), [Н, а+ (к', /)]] = i [Н, [а (к, t), а+ (к', /)]],
что вместе с начальным условием [а (к, 0), а+ (к', 0)] =
= [а (к), а+ (к')] = 6 (к — к') позволяет заключить, что
[а (к, /), а+ (к', /)] = 6 (к — к').
Будем говорить, что формулы
6(k) = a(k)a(k)+ 2 gr 2 п(кь , kto|Pi,... ,pn)x
г > 1 m, n а
Хб(к+ 2 к; — 2 P;)a+(M • •
...a+(km)a(Pi) ...a(pn) dm к dn p; (43.12)
6+(k) = a(k) a+.(k) -f-
+ 2 gr 2 \Ът,п (ki,..., kro|p1(..., p„)x
хб(к+ 2 k;— 2 P;| a+(Pi) •••a+(pj x
\ i = 1 /=1/
X a(kx)... a(km) dmk dnp, (43.13)
279
где а (к) — гладкая функция, все производные которой
растут не быстрее степени |k|, и для каждого г
все функции h(m,ni кроме конечного числа, тождественно
равны нулю, задают каноническое преобразование, если вы-
полнены соотношения
[b (k), b (к')] = [6+ (к), Ь+ (к')] = 0;
lb (к), Ь+ (к')1 == 6 (к — к').
Грубо говоря, каноническое преобразование — это пе-
реход от символов (к), а (к), удовлетворяющих CCR,
к новым символам b+(k), b(k), также удовлетворяющим
CCR.
Нетрудно убедиться, что канонические преобразования
образуют группу. Это значит, что в результате последова-
тельного выполнения двух канонических преобразований
1 и (» получаем снова каноническое преобразование Хц
и что преобразование, обратное к каноническому, снова
является каноническим.
Выше было показано, что переход от а+ (к), а (к) к гей-
зенберговским операторам a+(k, f), а (к, /) является кано-
ническим преобразованием; таким образом, всякое выраже-
ние Н определяет однопараметрическое семейство кано-
нических преобразований, эти преобразования будем обоз-
начать Он-
Полезно отметить, что канонические преобразования
Он можно получить предельным переходом от конечного
объема. Именно, пользуясь гамильтонианом На, получаю-
щимся при обрезании Н по объему, введем операторы
ак (0, (0> гДе к £ Та, формулами
ак (0 = ехр (i На 0 ак ехр (—i На t)\
ai (t) = ехр (i Hat) otfexp (— i Ha t).
Операторы ai (/), ak (0 при фиксированном t удовлетворя-
ют, очевидно, CCR; переход от операторов ai, ак к опера-
торам ai (0, ак (I) может быть назван каноническим пре-
280
образованием в объеме Q. Запишем операторы (/), ак (t)
в нормальной форме:
ак (0 = ехр ( — i е (к) t) ак +
+ 2 gr 2 afm, n (kj, ... ,km I Pl , ... , pn) X
r>i к;бгй
Pj 6
X S 1 + km f ai. ... ai ap ... ap ;
P± + + Pn \ L J mi n
ai (t) = exp (i e (k) t) ai +
+ 2 gr 2 fm, n (kj , ... , km I Pl, ... , Pn) X
r>l кгеГя
Pj 6 Ta
Для функций afmfn так же, как и для введенных выше
функций /тЛ, из гейзенберговских уравнений можно полу-
чить рекуррентные формулы. Легко убедиться, что рекур-
рентные формулы допускают предельный переход Q-> оо,
и получить отсюда, что
limaf’r =Г’г .
* Iт, п • т, п
£2->оо
Это равенство мы имели в виду говоря, что каноническое
преобразование ан получается предельным переходом от
конечного объема.
Пусть заданы гамильтониан Н 6 М с помощью формулы
(42.3) и каноническое преобразование А соотношениями
(43.12), (43.13).
Подставим в Н вместо символов а+ (к), а (к) выражения
Ь+ (к), b (к), определяемые формулами (43.12), (43.13),
и приведем полученное формальное выражение к нормаль-
ной форме, пользуясь CCR, отбрасывая получающиеся при
этом бесконечные константы.
Легко видеть, что мы придем к выражению Н будем
говорить, что гамильтониан Н получается из гамильтониана
Н с помощью канонического преобразования X, и писать
Н = К (Н).
281
Заметим, что если каноническое преобразование % мо-
жет быть записано в виде % = а а, где А £ М, то
Н = %(Н) =.lim%а (Н),
□ -►оо
где
%a (77) = exp(i Ма)/7аехр(—iMa) —са
[предел понимается в смысле стремления коэффициентных
функций в нормальной форме оператора %а (Н) к коэффи-
циентным функциям выражения % (Н)]. Справедливость
этого замечания вытекает из того, что, как сказано выше,
каноническое преобразование о1а можно получить предель-
ным переходом от конечного объема; константа са возникает
благодаря тому, что условились отбрасывать бесконечные
константы при проведении канонического преобразования;
можно считать, что
са = <ехр (i Ма)/7а ехр(—iMa)0, 0>.
Если формально вычислить коммутатор [Д, В] двух выражений
А, В £ М, то снова получится выражение, принадлежащее мно-
жеству М. Легко проверить, что множество .Л с введенной только
что операцией [Д, В] и естественным образом определенными опе-
рациями сложения и умножения на число представляет собой ал-
гебру Ли. Группу канонических преобразований & можно рас-
сматривать как бесконечномерную группу Ли. Можно проверить,
что М является алгеброй Ли группы канонических преобразова-
ний. Канонические преобразования образуют, очевидно, одно-
параметрическую подгруппу группы соответствующую элемен-
ту Н алгебры Ли М\ сопоставляя элементу Н £ .^(Каноническое
преобразование ад, получаем экспоненциальное отображение
в Sr. Всякий элемент группы Ли определяет, как известно, авто-
морфизм соответствующей алгебры Ли; в интересующем нас случае
каждому каноническому преобразованию А сопоставляется авто-
морфизм алгебры Ли М, при котором выражение Н переходит
в выражение А (//).
§ 44. Построение операторной реализации
Рассмотрим прежде всего гамильтониан Н = ^Нгёг €
£ Л, не порождающий поляризации вакуума. Формальные
выражения Нг определяют тогда эрмитовы операторы Нт
в фоковском пространстве с областью определения
(см. §13, в котором показано также, что в случае наличия
поляризации вакуума это утверждение перестает быть спра-
ведливым). В рамках теории возмущений можно построить
282
оператор ехр (iHt) — ^g'Ur (О, причем операторы Ur (/)
определены на <5^ и переводят в себя. Доказательство
может быть основано на диаграммной технике, описанной
в § 23; грубо говоря, оно сводится к замечанию, что в рас-
сматриваемом случае все диаграммы представляют собой
математически осмысленные выражения. (При построении
ряда теории возмущений для ехр (iHt) следует представить
гамильтониан Н в виде Н'а + V, где
я; = 77о+ 2 gr<\ oV.’i (k) а+(k) a (k) dk,
1 J
и воспользоваться диаграммной техникой для оператора
S (0, t) — ехр (—iH'ot) ехр (iHt).) Другое доказательство
изложено в § 46.
Операторные обобщенные функции a (k, е, t) =
= Sgrar(k, е, t) определим формулой
а (к, е, t) = ехр (i Ht) а (к, е) ехр (—i Ht),
где а (к, 1) = а+ (к), а (к , —1) = а (к) — операторы рож-
дения и уничтожения в фоковском пространстве. Поскольку
операторы Ur (f) и J* f (k) a (k, е) dk переводят множество
в себя, операторы
J f (к) аг (к, е, t) dk = Д Us (t) Ц f (к) а (к, е) dk) t/r_s (-t)
обладают тем же свойством для любой функции f £
Очевидно, что оператор энергии Н = ^Hrgr, опера-
тор импульса Р = J* кц+ (к) а (к) dk, операторные обобщен-
ные функции а.(к, е, t) = '£igraT (к, е, t) и вектор Ф = 9
образуют операторную реализацию гамильтониана Н 6 М.
Построение операторной реализации гамильтониана, по-
рождающего поляризацию вакуума, проведем с помощью
следующего утверждения.
Пусть % — каноническое преобразование, Н = % (Н) £
£ М — гамильтониан, получающийся из гамильтониана Н
с помощью канонического преобразования %. Тогда оператор-
ную реализацию гамильтониана Н можно получить из опе-
раторной реализации (Ж, Н, Р, a (k, е, t), Ф) гамильтониа-
на Н, оставив пространство Ж, операторы энергии и им-
пульса Н,Р и вектор Ф теми же самыми и заменив опера-
283
торные обобщенные функции а (к, е, /) операторными обоб-
щенными функциями
а (к, —1, /)=а(к, /) = а(к)а(к, /) +
4- 2 2 п (kj, , km | рх, , pn) x
r > 1 tn,
Хб^2кг- 2 Pj-k'p+(k1. i) -
...a+(km,t)a(plt t) ...a(pn,t')dmkdnp; (44.1)
a (k, 1, t) = a+ (k, f} = a (k) a+ (k, t) +
2 §r 2 htn, n (Кь ••• > I Pl.Pn)
r 1 m, n v
x6(2 k* — 2 pj—kW(pi. 0•••
\/=i / = i /
... a+ (pn, t)a (kx, t)... a (km, t)dmkdnp
[считаем, что каноническое преобразование К задается фор-
мулами (43.12), (43.13)].
Для того чтобы доказать сформулированное утвержде-
ние, заметим, что единственным зависящим от конкретного
вида трансляционно инвариантного гамильтониана условием
в определении операторной реализации является требова-
ние, чтобы операторная обобщенная функция a (k, е, f)
удовлетворяла гейзенберговским уравнениям.
Чтобы проверить, что это требование действительно вы-
полнено, следует продифференцировать равенства (44.1)
по /, воспользовавшись тем, что
£±(^е’_.9_ = { [н, а {к, б, О]
в силу определения операторной реализации гамильтониа-
на Н. Выражая а через а с помощью канонического преоб-
разования V1, получаем уравнения, которые удовлетворяют
а (к, е, /); простые, но громоздкие вычисления позволяют
привести полученные уравнения к виду
= i [Н, а (к, е, /)]•
Будем дал§е рассматривать гамильтониан Н = Но -ф V £ Л,
считая, что функция е (к), фигурирующая в определении га-
мильтониана Но, удовлетворяет неравенству е (кх + к2) <
284
< е (кх) + е (kJ. С помощью доказанного выше утвержде-
ния можно без труда свести построение операторной реали-
зации этого гамильтониана к уже решенной задаче о по-
строении операторной реализацйи гамильтониана, не по-
рождающего поляризацию вакуума, если воспользоваться
следующим утверждением, доказанным (в других терминах)
в §34.
Пусть гамильтониан Н — Но + V £ и функция
е (к) — удовлетворяет условию е (кх + к2) < е (kJ + е (к2).
Тогда существует такое каноническое преобразование %,
что гамильтониан И =~-к (И) £ Л может быть представлен
в виде
Н-= HQ + V, (44.2)
где
V~2gr 5 \^fi(kl, kmlPl, ->Pn)X
r m, nd
f m n \
kz— 2 pj )a+(ki)---a+(km)a(Pi)-
v= i j = i J
...a (pn) dmkdttp,
V не содержит слагаемых типа (т, 0), а также слагаемых
типа (т', 1) ст' #= 1 (т. е. 0т!о = 0, 0$, i = 0 при т! =# 1).
Преобразование А. было названо фаддеевским преобразо-
ванием; напомним, что оно строилось в виде од, где А£.М.
Можно сказать, что фаддеевское каноническое преобра-
зование гамильтониан Н переводит в гамильтониан Н, для
которого голый вакуум совпадает с одетым .вакуумом, го-
лое одночастичное состояние — с одетым одночастичным
состоянием.
Докажем теперь, что две любые операторные реализации
гамильтониана Н £ Л унитарно эквивалентны. С помощью
фаддеевского преобразования можно свести задачу к слу-
чаю, когда гамильтониан не порождает поляризации ваку-
ума [напомним, что выше было наложено условие е (^-ф к2)<
< е (kJ + е (к2)]. В самом деле, из двух унитарно неэкви-
валентных операторных реализаций гамильтониана Н с по-
мощью фаддеевского преобразования можно получить две
унитарно неэквивалентные операторные реализации га-
мильтониана, не порождающего поляризации вакуума.
Для того чтобы доказать единственность операторной
реализации в случае, если гамильтониан Н £Л не порож-
285
дает поляризации вакуума, достаточно проверить, что для
любой операторной реализации ($', Н', Р', a' (k, е, f), Ф')
гамильтониана Н выполнено соотношение а' (к, —1, t) Ф' =
= 0 (тогда унитарный оператор U, устанавливающий уни-
тарную эквивалентность этой операторной реализации и реа-
лизации, построенной выше, может быть определен как
оператор, удовлетворяющий требованиям Ua (к, е, 0) =
= а’ (к, е, 0) U, t/Ф = Ф')*. Займемся проверкой соот-
ношения а' (к, —1, /) Ф' = (к, —1, 0) Ф' = 0-
Рассмотрим уравнения для а'г (к, —1, f), вытекающие из
уравнений Гейзенберга. Легко убедиться, что они имеют вид
да’ (к, — 1, /) , .
i ' ’ ~ -l,0 = Fr, (44.3)
ot
где Fr — выражение, составленное из a's (к, 1, t) и
a's (к, —1, t) с s < г. Для того чтобы доказать нужное соот-
ношение, следует убедиться, что а'г (к, —1, /)Ф' = 0;
будем проводить доказательство индукцией по г. Предпо-
ложим, что as (к, —1, t) Ф' = 0 при s < г. В силу отсутствия
поляризации вакуума в каждом слагаемом из выражения
Fr справа будет стоять по крайней мере один оператор вида
a's (к, —1, f), поэтому ГгФ'.= 0. Применяя равенство (44.3)
к вектору Ф, убеждаемся, что
i —— а’г (к, — 1, t) Ф' = е (к) а'г (к, —1, t) Ф',
dt
откуда
а'г (к, — 1, t)®' ==ехр (—i е (к)/) оу (к, —1, 0) Ф'.
* Существование оператора U, удовлетворяющего этим тре-
бованиям, вытекает из результатов § 20 (точнее, из их аналогов,
касающихся унитарной эквивалентности фоковских представлений
CCR, записанных в виде формальных рядов nog). Пользуясь урав-
нениями Гейзенберга, убеждаемся, что Ua (k, е, t) = а' (к,в, /) U.
Из условия б) в определении операторной реализации получаем
UH = H'U, UP = P'U.
286
Вычислим теперь среднее значение энергии в состоянии
J / (к) а' (к, —1, /)йкФ':
m/(k)fl'(k, -1.0АФ'. \f (к)
а' (к, —1,0</кФ'\ =
/ (к) - а' (к,-1, t) йкФ', f / (к) а' (к,-1, t) йкФ'\ =
dt J /
= У -р(к)ЙЙ<-^аак>-МФ'.
1 . \д/
s> г v
s' > г
a s'- (к', -1, t) Ф'\ dk dk’ = C2r g2r + C2r+1 g^+ 1 +... ,
где
C2r = у- J f (к) /Тк7) а'г (к, 1, О Ф', а'г (к', -1,0Ф'\х
X dkdk’ = —s (к) f (к) f (к')ехр (— i (е(к)— е(к')) t} х
X <07 (к, — 1, 0)Ф', а'г (к', — 1, 0)Ф'>йк^к'.
Поскольку
(а'г (к, — 1, 0)ф', а'г (к', — 1, 0)Ф'> = о (к) 6 (к—к'),
где о (к) > О, видим, что
C2r=—jje(k)|/(k)|2ok)dk<0.
Если «г (к, —1, t) Ф' =f= 0, то о(к)=£0, поэтому найдет-
ся такая функция / (к), что Сап <0- Это противоречит не-
отрицательной определенности оператора Н'.
Займемся теперь проверкой условий применимости аксио-
матической теории рассеяния в каждом порядке по g. Рас-
смотрим прежде всего спектр операторов Н, Р в операторной
реализации ($£, Н, Р, ~а (k, s, /), Ф) гамильтониана вида
(44.2). Для такого гамильтониана фоковский (голый) ва-
куум 0 и голое одночастйчное состояние (к) 0 -удовлет-
воряют условиям
Д0 = Р0 = О;
(к) 0 = (е (к) + 2gr v(ir? (к)) а+ (к) 0;
Ра+ (к) 0 = ка+ (к) 0.
287
Таким образом, Q можно рассматривать также как основное
состояние оператора Н (одетый вакуум), а а+ (к) 0 — как
одночастичное состояние операторов Н, Р (одетое одноча-
стичное состояние). Спектр операторов Н, Р состоит из точ-
ки 0, отвечающей основному состоянию, множества точек
(со (к), к) = (е (к) + '£grOjJ (к), к) (одночастичного спек-
тра) и многочастичного спектра, точки которого имеют вид
(® k + 3grk,)> где точка (со, к) принадлежит
г>1 г>1
многочастичному спектру операторов Но, Р (т. е. может быть
представлена в виде (е (кх) + ... + е (кт), кх + ,.^+ кт).
Если гамильтониан Н принадлежит классу М [т. е.
функция е (к) ни на каком открытом множестве не является
линейной функцией и выполнено условие е (кх + к2) <
< е (кг) + е (к2)], то спектр операторов Н, Р удовлетворяет
требованиям, сформулированным в п° 5 § 40.
Для того чтобы закончить исследование рассматривае-
мого случая, осталось проверить, что семейство ® оператор-
ных обобщенных функций, состоящее из двух функций
а (х, 8, t) = (2л)“3/2 ехр (i 8 kx) a(k, е, f) dk, 8— ± 1,
асимптотически абелево в смысле § 40 в каждом порядке по g.
Чтобы убедиться в асимптотической абелевости семейства
S3, заметим, что по доказанному в предыдущем параграфе
операторы вида f f (х) а (х, 8, t) dx содержатся в алгебре
Л, состоящей из операторов вида
S£rS W„(k1( ...,km|P1..........P;l)«+(k)...
m, n J
...a+ (km)a(P1) ...a(pn)dm kdllp,
где функций f$n £ и для каждого г лишь конечное чис-
ло функций f\n,n отлично от нуля. Нетрудно проверить
[снова используя результаты § 43, в частности оценку
(43.9)], чТ0 алгебра .А асимптотически абелева в каждом
порядке по g. (Это утверждение следует также из резуль-
татов § 46.)
Итак, семейство S3 асимптотически абелево.
Обратимся теперь к рассмотрению произвольного га-
мильтониана Н = Но + V 6 -М. С помощью фаддеевского
преобразования построение операторной реализации та-
288
кого гамильтониана сводится к построению операторной реа-
лизации гамильтониана Н вида (44.2). При этом операторы
энергии и импульса в операторной реализации гамильто-
ниана Н совпадают с операторами энергии и импульса в опе-
раторной реализации гамильтониана Н\ это замечание по-
казывает, что они удовлетворяют нужным условиям на
спектр. Операторные обобщенные функции a (k,e, t), фигу-
рирующие в операторной реализации гамильтониана Н,
связаны с операторными обобщенными функциями a (k, е, t)
из операторной реализации гамильтониана Н каноническим
преобразованием [см. соотношение (44.1)]. Отсюда следует,
что семейство S3 из двух операторных обобщенных функций
ц(х, е, /), е = ± 1, по которому следует строить матрицу
рассеяния гамильтониана Н, является асимптотически абе-
левым в каждом порядке по g, поскольку операторы
f / (х) а (х, е, t) du содержатся в асимптотически абелевом
семействе <4.
Таким образом, матрица рассеяния гамильтониана
Н £ Л может быть построена с помощью аксиоматической
теории рассеяния как формальный ряд по g.
Теперь можно применить теоремы аксиоматической те-
ории рассеяния к изучению (в рамках теории возмущений)
матрицы рассеяния в гамильтоновом формализме.
Прежде всего заметим, что из проведенных выше рассуж-
дений вытекает, что матрица рассеяния гамильтониана Н
совпадает с матрицей рассеяния гамильтониана Н, полу-
ченного из Н с помощью фаддеевского канонического преобра-
зования*. В самом деле, эти две матрицы рассеяния строят-
ся по асимптотически абелевым семействам S3 и S3, содержа-
щимся в одной и той же асимптотически абелевой алгебре
.4; в силу результатов гл. 10 построенные по ним матрицы
Мёллера и матрица рассеяния совпадают.
Из доказанного только что утверждения вытекает теоре-
ма экивалентности.
Если гамильтонианы и связаны канониче-
ским преобразованием, то построенные по ним матрицы
Мёллера и матрицы рассеяния совпадают.
* Существенно отметить, что в этом утверждении под фадде-
евским каноническим преобразованием можно понимать любое
каноническое преобразование, переводящее гамильтониан Н в га-
мильтониан вида (44.2), а не обязательно конкретное преобразо-
вание, построенное в § 34.
10 Зак. 82 289
В самом деле, пусть а — каноническое преобразование,
переводящее гамильтониан Нг в гамильтониан Н2\ р — фад-
деевское каноническое преобразование, переводящее га-
мильтониан Н2 в гамильтониан Н вида (44.2). Тогда канони-
ческое преобразование а₽ переводит гамильтониан Нг в га-
мильтониан Н.
По доказанному выше матрицы рассеяния гамильтониа-
нов Hy и Н2 совпадают с матрицей рассеяния гамильтониа-
на И и, значит, совпадают между собой. Аналогичное рас-
суждение справедливо для матриц Мёллера.
§ 45. Одевающие операторы для
трансляционно инвариантных
гамильтонианов
Будем рассматривать в этом параграфе трансляционно
инвариантные гамильтонианы из класса М.
Исследуем сначала случай, когда гамильтониан Н С М
не порождает поляризации вакуума. Одевающий оператор
для такого гамильтониана определяется как оператор,
удовлетворяющий условию
S±= slim exp(i Hf)Dexp(—iHast)f (45.1)
<->±oo
(Рассматриваемый гамильтониан определяет оператор Н
в фоковском пространстве = F (L2 (£3)), асимпотиче-
скоё пространство &(as = F (Л2 (£3)) естественным образом
отождествляется с пространством^?, поэтому матрицы Мёл-
лера 5± действуют в пространстве Off. Символом Наз обозна-
чен асимптотический гамильтониан, также рассматриваемый
как оператор в Ж1.
Наа = со (k) а+ (к) а (к) dk,
где и (к) — энергия одночастичного состояния гамильто-
ниана Н. Все операторы в формуле (45.1), как и всюду в на-
стоящей главе, рассматриваются как формальные ряды по
g. Предел в (45.1) понимается как сильный предел в каждом
порядкё возмущений на множестве линейных комбинаций
векторов вида а+ (fj ... а+ (fn) 0, где А (к), ..., fn (к) — не-
перекрывающиеся гладкие финитные функции.)
Следующая теорема дает описание широкого класса оде-
вающих операторов для не порождающего поляризации
вакуума гамильтониана Н 6 Ж-
290
Пусть D — оператор в фоковском пространстве Ж =
= F , удовлетворяющий условиям-.
1) DQ = 0; (45.2)
2) векторная обобщенная функция Da+ (к) 0 нормиро-
вана на д-функцию и является собственной для оператора Н;
3) оператор D может быть представлен в виде произве-
дения операторов вида ехр А или N (ехр Л), где А ~ +
4* 1А%, А^ £ JU, А% € Л.
Тогда оператор D является одевающим оператором для
гамильтониана Н. (Символ N (ехр А) обозначает нормаль-
ную экспоненту; см. § 22.)
Доказательство теоремы можно провести с помощью
содержащегося в § 39 описания одевающих операторов
в аксиоматической теории рассеяния. В следующем пара-
графе проведено такое доказательство для случая, когда опе-
ратор D представлен в виде произведения операторов вида
ехр А, где А £Л. Сейчас наметим другое доказательство
сформулированной теоремы.
Рассмотрим сначала случай, когда D = N (ехр Л), где
А = 10ч, ..., km)6(k1 + ... + km—р) х
т *
X а+ (kJ ... а+ (km) а(р) dk2... dkmdp.
Заметим прежде всего, что в этом случае имеет место соот-
ношение
[D, а+ (к) ] = В (k)D, (45.3)
где В (к) — обобщенная операторная функция, определен-
ная формулой
В(к)= 2$Лго,1(к1, ..., km)6(k-k1-...-km)x
X а+ (kJ ... а+ (km) dm к
(соотношение (45.3) сразу следует из равенства
[N (Дл), а+ (к)] = В (к) • nN (Л"-1),
которое можно получить, пользуясь формулой
[7?! ... Rm, Д] = 2 7?! ... 7?] 7?г+1... Rm).
Ki-C/n
Соотношение (45.3) перепишем в виде
Da+ (к) = Е (к) D, (45.4)
10* 291
где Е (к) = а+ (к) + В (к). Используя формулы (45.4) и
(45.2), видим, что
Da+ (kJ ... а+ (кп) 0 = Е (kJ ... Е (кп) 0,
в частности
Da+ (к)0 = £(к)0 = а+ (к) +
+ S1(к1, ..•> km)6(k — kt—... — km)a+(kj...
...a+(km)dmk, (45.5)
Из соотношения (45.5) вытекает, что
ехр (i Ht) D ехр (— i Но t) а+ (/J ... а+ (fn) 0 =
= ехр (i Ht) Da+ ) ... a+ (/*) 0 =
=-. exp (i Ht) g (kJE (kJ dk^ ... g fln (k„)E (k„) dkn) 0 =
= ($/1 (kt) E (k1( t) dkt) ...($/* (kn) E (k„, t) dkn) 0
[здесь (k) = exp (—i/и (k)) f (k)].
Для того чтобы проверить, что D — одевающий опера-
тор, достаточно теперь установить, что Е — правильная
операторная обобщенная функция в смысле § 40; это легко
сделать с помощью проведенного в § 43 исследования гей-
зенберговских операторов a (k, е, t).
Отметим, что, зная одночастичное состояние Ф (к) =
= (к) 0, можно с помощью формулы (45.5) найти функ-
ции Ат>1 и, стало быть, весь одевающий оператор рассма-
триваемого типа. Из этого нетрудно вывести, что требование,
чтобы оператор А принадлежал классу + iJt, в рассма-
триваемом случае оказывается излишним (следует восполь-
зоваться тем, что, вычисляя одночастичное состояние по
теории возмущений, получаем его в виде
Ф (к) = Ф (к | g) = ехр (i ст (к | g)) (а+ (к) +
+ 2 Фт (ki.....km)6 (к к2—... km) а+ (kJ
tn J
...а+ (km)dmk] 0,
где ехр (io (к|g)) — произвольный, фазовый множитель;
фт (klt ..., km) = 2 ф™’ (ki, .... km)gr; функции при-
т
надлежат пространствуй, и для каждого г только конечное
число этих функций отлично от нуля).
292
Доказанное утверждение позволяет заключить, что опре-
деление матрицы рассеяния с помощью формулы (31.8),
данное в §31, эквивалентно другим определениям.
Обратимся теперь к несколько более общему случаю,
когда D = N (ехр А), где А £ М + \М (т. е. А — Ах+
+ iA2, Аг € dl, А2 £ di). Запишем А в виде А = 2 Ат, п,
где Ат<п= 2 ^т?п/,
Г
Ат? п ~ Am? п (к1( • • •, km | рх, ..., pn) x
x6(k14-...4-km—px—p„)a+(kx)...
... a+ (km) a (px)... a (pn) kd" p,
и определим оператор А', оставив в формуле для оператора А
только члены типа (т, 1) (т. е. положим А' = 2^m,i)-
Оператор D' = N (ехр А') удовлетворяет требованиям
D'Q = 0;
D'a+ (k) 0 = Da+ (k) 0
[члены, содержащие не менее двух операторов уничтожения,
дают нуль при действии на а+ (к) 0].
Как было доказано выше, оператор D’ = N (ехр А')
является одевающим оператором, т. е.
slim ехр (iHt) D' ехр (—iHas f) = S±. (45.6)
f-»-±oo
Для того чтобы вывести из формулы (45.6) нуж.ное соотноше-
ние
slimехр (iHt)Dwp (—iHast) = S±,
f-+ ioo
достаточно доказать, что
slim ехр (iHt) (D—D') exp (— iHas t) = 0. (45.7)
ioo
Доказательство равенства (45.7) в каждом порядке теории
возмущений сразу вытекает из соотношения
lim IV (W ..Л<'>) о+ ((Г)...о+ (/<) е= о,
293
(Г.)
где по крайней мере один из операторов удовлетворяет
условию tit 2 (т. е. содержит не менее двух операторов
уничтожения), а функции /у (к), fs (к) образуют непере-
крывающееся семейство гладких финитных функций. Таким
образом, доказано утверждение теоремы в случае, когда
оператор D имеет вид N (ехр Л). Доказательство теоремы
в общем случае может быть сведено к уже рассмотренному
с помощью следующих двух лемм.
Лемма 1. Всякий оператор вида ехр (At + iA2), где
Alt Л2 £ М, может быть представлен в видеN(ехр (Л j+iX2)),
где А[, А\ 6 М.
Лемма 2. Всякий оператор вида N (ехр (Лх + 1Л2))х
X N (ехр (Лх + Ы2))> где Лх, Л2, Л', Л' 6 А может быть
представлен в виде Н (ехр (Л" + iA")), где А'(, Л2 6
Не будем приводить доказательства этих лемм.
Обратимся теперь к случаю произвольного гамильто-
ниана Н ^М.. Символ На, как обычно, обозначает оператор
Н, обрезанный по объему (см. § 28); оператор На действует
в фоковском пространстве Fa = F(L2 (й)). По теории воз-
мущений можно вычислить оператор ехр (iHat) (иначе гово-
ря, На может рассматриваться в рамках теории возмущений
как самосопряженный оператор).
Семейство опёраторов Da будем называть семейством
одевающих операторов для гамильтониана Н, если матрица
рассеяния S гамильтониана Н может быть представлена
в виде
S = lim lim ехр (i (cs + Hasa) t) (0й)-1 X
—oo £2->oo
X exp (— iHa (t—/0))£>aexp (—i (ca + Hasa) Q. (45.8)
[Операторы Da действуют в пространствах Fa, символом
Hasa обозначен асимптотический гамильтониан Has, обре-
занный по объему, са — константа, зависящая от объема.
Предел в (45.8) может пониматься в смысле сходимости ма-
тричных элементов (см. § 33) или как соотношение
S= slim slim ia exp (i (cq+ 7/asa)/) (Da)-1 X
—oo Q->eo
X exp (iHa (t—t0))EP exp (—i (ca + Hasa) t0) la,
где la — естественное вложение фоковского пространства
Fa = F (L2 (й)) в фоковское пространство F (L2 (E3)).]
Имеет место теорема.
294
Пусть семейство операторов Da удовлетворяет следую-
щим требованиям'.
1. Оператор Da переводит фоковский вектор 0 и голое
одночастичное состояние aid в нормированные векторы,
являющиеся собственными векторами оператора На.
2. Оператор Da может быть представлен как произве-
дение операторов вида N (ехр Аа) и ехр Аа, где Аа— опе-
раторы, получающиеся с помощью обрезания по объему
из операторов вида А = At + iA2, Аь А2 — формальные
выражения из класса .М, не зависящие от й.
Тогда Da является семейством одевающих операторов.
(Точнее говоря, можно утвержать, что имеет место фор-
мула (45.8), где са определяется формулой НаОав — caDaQ.)
Начнем с замечания, что с помощью аналогов лемм 1 и 2
для операторов' в пространстве Fa можно свести доказатель-
ство к случаю, когда оператор Da имеет вид У (ехр Аа),
где А = At + iA2, € М, А2 £ М. Рассмотрим прежде
всего гамильтониан Н, не порождающий поляризации ва-
куума. Для такого гамильтониана операторы ехр (iHat),
Da = N (ехр Аа), ехр (iHasat) имеют по отдельности предел
при й->оо; они стремятся соответственно к. операторам
ехр (iHt), N (ехр А) = D, ехр (iHast). В этом легко убе-
диться, используя соотношения НВ = 0, HasQ = О, А0 = О
(последнее из этих соотношений вытекает из равенства
£)а0 = 0). Нетрудно проверить, что в правой части равенства
(45.8) можно заменить предел произведения произведением
пределов. Учитывая, что константа са в рассматриваемом
случае равна 0, убеждаемся, что равенство (45.8) эквивалент-
но соотношению
S= slim exp(iHas^)D-1exp(—iH (t—/0)) x
1? -> OO , — oo
X Dexp (—iHas t0),
которое вытекает из уже доказанных соотношений (45.1)
и формулы S = S^.S_, Таким образом, нужное утверждение
доказано для гамильтонианов, не порождающих поляриза-
ции вакуума. Случай произвольного гамильтониана Н £ М
сводится к уже рассмотренному с помощью фаддеевского
преобразования. В самом деле, в силу результатов § 34 су-
ществует такое формальное выражение W £ М, что при
й —> оо
ехр (il^a) Наехр (— il^a) « Hq-\-cq
295
и, стало быть,
ехр (ilFs) ехр (1На t) ехр (—iIFfi) ж ехр (i (На + са) f), (45.9)
где На — не порождающий поляризации вакуума гамиль-
тониан Н', обрезанный по объему; Са — энергия основного
состояния оператора На- Пользуясь формулой (45.9), за-
ключаем, что
Hm ехр (i(ca + Hasa) t) (Da)-1 ехр (—iH0(t—Q) X
X Ds ехр (—i (са + HasQ) t0) =
= Hm exp (iHasaO (D'^exp (—iHa (t—10)) x
X D'sexp (—iHaso^o), (45.10)
где
D's = exp (ira) Da
(при выводе равенства (45.10) использовалось также совпа-
дение асимптотических гамильтонианов На5 и ffas, по-
строенных по гамильтонианам Н и Н'). Применяя утвержде-
ние теоремы к не порождающему поляризации вакуума
гамильтониану Н’, можно убедиться, что операторы О'й
образуют семейство одевающих операторов для гамильто-
ниана Н'. Это означает, что правая часть равенства (45.10)
в пределе оо, t0—>—оо равна матрице рассеяния гамиль-
тониана Н'. Поскольку матрицы рассеяния гамильтонианов
Н и Н' совпадают, из равенства (45.10) вытекает утвержде-
ние теоремы в общем случае.
§ 46. Теория возмущений
в аксиоматическом подходе
Пусть в гильбертовом пространстве № заданы оператор
энергии Но, оператор импульса Р, линейное многообразие
D, всюду плотное в Ж, и полная локально выпуклая тополо-
гическая алгебра с инволюцией Л, состоящая из операторов,
действующих в D. Будем предполагать, что эти объекты
удовлетворяют перечисленным в § 40 требованиям Т1—Т7.
Пусть W — оператор из алгебры <4, удовлетворяющий
условию ЖО ~ 0. Покажем сейчас, что семейство операто-
ров
Н (g) Н()\-gV HQ-r g\W (х) dx
296
вместе с оператором импульса Р и алгеброй Л удовлетворяет
условиям Т1—Т7 § 40 в каждом порядке по параметру g
(интеграл понимается в сильном смысле). Наложив соот-
ветствующие условия на спектр операторов Но, Р, сделаем
отсюда вывод, что матрицы Мёллера S± (g) и матрицу рас-
сеяния S(g), отвечающие операторам H(g), Р и алгебре Л,
можно построить по крайней мере как формальные степен-
ные ряды по g*.
Заметим прежде всего, что оператор V = f W (х) dx
определен на множестве ЛФ (т. е. на множестве векторов
вида ЛФ, где А Е Л) и переводит это множество в себя.
В самом деле,
( [ F(x) dx) ЛФ = J [Г(х),Л]Фах.
G помощью условия Тб убеждаемся, что для любой полунор-
мы р (Л) в Л и любого п
p([lF(x),Xl)<—£-
1 + X
(46,1)
В силу полноты алгебры Л и неравенства (46.1) интеграл
f IW (х), Л] dx сходится в топологии Л и определяет эле-
мент алгебры Л. Это доказывает нужное утверждение.
Далее, убедимся, что при вычислении оператора
ехр (— Ш (g) t) = ехр (—i (Но + gV) f) по теории возму-
щений в каждом порядке по g получаем оператор, опреде-
ленный на множестве ЛФ и переводящий это множество
в себя (это означает, что оператор Н (g) можно рассматри-
вать как самосопряженный оператор по крайней мере
в рамках теории возмущений). В самом деле, из результа-
тов § 14 вытекает, что
ехр(—Ш (g)0 = 2 Ur(iY
* Это утверждение, как и остальные утверждения этого пара-
графа, применимо также к более общим гамильтонианам вида
Яо + ^ flTr(x)dx, где Гге .Л, Wr Ф = 0, ряд по g понима-
Г>1
ется как формальный.
297
где
i z 11
—-exp( —iHQt) Jdrj fdr2...
r' oo
1
r!
t rt
exp (—iH01) J dxt J dr2.
о о
V-l
j* dxr J dr x IF (xx, tJ...
b
t/r(/) =
...IF(xr, rr);
V (r) = exp (iff0 т) V exp (— iH0x) = IF (x, t) dx;
IF (x,r) = exp (i (Hox—Px)) IF exp (—i (Hox—Px)),
Определим оператор Rr(Xi, 4» •••, xr, где А£Л,
по индукции с помощью соотношений
Ro (Л) = Л;
Rr (xx, /x, xr, /J Л) =
= [IF (xx, /J, Rr^ (x2, t2, xr, /ДЛ)].
Нетрудно убедиться, что оператор Rr непрерывно зависит
от хх, /х, xr, tr в топологии алгебры Л и
Р(#г (хх,р...,хг,М Л)<
с(1 + Р1Н+-.- + Hr Is)
1+|Х1 |«+...+|хг |«
(46.2)
(здесь р (Л) — любая полунорма в Л\ п — любое число;
числа s и С зависят от полунормы р и числа п). Доказатель-
ство оценки (46.2) легко провести по индукции с помощью
условий Т5 и Тб.
Заметим теперь, что
IF (хх, ... IF (хг, tr) ЛФ = Rr (хх, /х, ..., xr, tr\ Л) Ф
(это также легко проверить по индукции). Таким образом,
Uг (/) ЛФ = Вг (/) Ф,
где
I t Т, ТГ-1
Br(0 = “7j dXi^dx^... J dxr^drхехр (—iHot)X
r! о о о
X Rr (х1( тъ ..., хг, хг | Л) ехр
Из оценки (46.2) и полноты алгебры Л заключаем, что
для любого Л g Л интеграл, определяющий оператор
Вг (/), сходится в топологии алгебры Л и, следовательно,
Вг (О Е Л. Таким образом, оператор ' Ur (/) определен на
298
множестве <ЛФ и переводит это множество в себя. Из дока-
занного вытекает, что оператор А (х, f |g) = ехр (iff (g)t—
— iPx) А ехр (-1Н (g) t + iPx) также в каждом порядке
теории возмущений определен на множестве «Ж» и переводит
его в себя (т. е.
|g) = 3gr Ar (x,f),
где оператор
ЛДх,0= 2 t/a(-f)X(x)t/r_a(O
a=0
действует в множестве <ЛФ).
Покажем, что оператор Ar (х, t) € Л непрерывен по х, t
в топологии Л и для каждой полунормы р (Л) в Л
р(Лг(х, 0)^(1 +|x|s + |ds)<7H), (46.3)
где число s и полунорма q (Л) в Л зависят от полунормы р
и числа г, А пробегает компактное множество fc Л
(иными словами, убедимся, что условие Т5 § 40 выполнено
для операторов H(g), Р и алгебры Л в каждом порядке тео-
рии возмущений nog). Для этого заметим, что из гейзенбер-
говского уравнения
- = (#о + gV, А (х, 11 g)J
вытекает соотношение
i dt
= [Яо> Ar (Х( Z)J + [У> Л_х (х> t)]_ (46_4)
С помощью соотношения (46.4) и начального условия
Лг(х, 0) = 0 при г 1 выражаем Ar (х, f) через Лг_1(х, /):
Аг (х, t) = ехр (iff01) Ar (х, t) ехр (— iffof);
Х(х, 0 = И ехр(—if/т) [V, Лг_г (х, т)] ехр (iff т) /т =
= i J dx J d|exp (—iff т)[1Г(|), Xr_1(x,T)]exp(iffx). (46.5)
299
Пользуясь этим выражением, нужные утверждения полу-
чаем по индукции. Из предположения индукции вытекает,
что
р (ехр ( —iT/т) [W (|), Дг_! (х, т)] ехр (i#t)) <
Р1(А)(1+ |xp + |qs)
(46.6)
где А Е Л р — любая полунорма; п — любое число; полу-
норма и число s зависят от р и п.
С помощью оценки (46.6) убеждаемся, что интеграл
в (46.5) сходится в топологии Л равномерно по х, t, если х, t
меняются в ограниченной области. Из этого замечания сле-
дует, что Ar (х, t) и непрерывно зависит от х, /; из оцен-
ки (46.6) следует сразу также неравенство (46.3).
Теперь нетрудно установить, что операторы Н (g), Р и
алгебра Л, операторы которой рассматриваются как
операторы в D' = ЛФ, удовлетворяют условиям Т1—Т7
в § 40 в каждом порядке теории возмущений по g. В са-
мом деле, уже доказано, что множество D' инвариантно
в каждом порядке теории возмущений относительно опера-
торов ехр (Ш (§) /). Его инвариантность относительно опе-
раторов ехр (iPx) вытекает из соотношения ехр (—1Рх)ДФ=
= А (х) Ф. Условия Т1—Т4, Тб, Т7 не зависят от выбора
оператора энергии Я (g) и, стало быть, выполнены и в рас-
сматриваемой ситуации. Условие Т5 только что проверено
по теории возмущений.
Покажем сейчас, что спектр операторов Н (g), Р удов-
летворяет условиям на спектр операторов энергии и импуль-
са, сформулированным в § 35 (по крайней мере, в рамках
теории возмущений).
Будем предполагать при этом, что нужные условия*
выполнены при g = 0, и потребуем дополнительно, чтобы
для всякой точки k Е Е3 можно было найти такой оператор
А Е Л, что |(Ф0 (к), ДФ>| =^= 0 (символом Фо (к) обозна-
чается одночастичное состояние оператора Яо). С помощью
рассуждений, примененных в несколько более сложной си-
туации при доказательстве лемм 3, 4 и 5 § 41, доказывается,
что одночастичное состояние Ф (к) можно выбрать так, что
функции <Ф (к), ДФ> для всех А будут бесконечно
* Для того чтобы доказать существование матриц Мёллера и
матриц рассеяния, построенных по операторам Н (g), Р и алгебре
достаточно наложить на спектр операторов Нй, Р условия п°4
и 5 § 40.
300
дифференцируемыми; если одночастичное состояние Ф (к)
выбрано таким образом, то для всякой гладкой финитной
функции найдется такой правильный оператор Bf, что
ВуФ = J/(k) Ф (k) dk (более того, эти утверждения можно
вывести из указанных лемм, если применить их к случаю
Н (g) ss Яо). Основное состояние Ф оператора Но в силу
условия W Ф = 0 является стационарным состоянием опера-
тора Н (g) при любом §; это значит, что при вычислении
основного состояния оператора Н (g) по теории возмущений
получаем вектор Ф. Одночастичные состояния оператора
Я (§) будем искать по теории возмущений в виде
оо
Ф(к|§) = Е^фг(к)>
г=0
пользуясь соотношениями
(Яо + gV) (2 gr Фг (к)) = (2 gr «г (к)) (2 gr фг (к))-, (46.7)
Р(2^фг(к)) = к(2^Фг(к));
<^2ГФг(к), 2£'Фг(к')>=0.
\ dg /
(46.8)
(46.9)
С помощью соотношений (46,7), (46.8) получаем, что
$ (ОГ (к) / (к) f(kj dk = < УФ^ (/), Фо (/')>-
-<Фг-1(<М). Фо(П>---<Ф1(®г-1/). Фо(П>; (46.10)
Фг (f) = Y (Яо, Р) (-УФГ-Х (/) + Фг-Л®! f) + ... + Фо (®г /)) +
+Фо(М), (46.11)
где / (к) — гладкая финитная функция; Фг (/) = f f (к)Фг(к);
у (®, к) — гладкая финитная функция, равная (® —
—®0 (к))-1, если к £ supp f и (®, к) принадлежит многочастич-
ному спектру операторов Н, Р, а также если к = 0, ® = 0,
и равная нулю при ® = со0 (к). Пользуясь соотношениями
(46.9), (46.10) и (46.11), можно найти функции Хг(к), ®г(к)
и векторы Фг (к) и одновременной индукцией по г доказать,
что (к) и Хг (к) — гладкие функции, а вектор Фг (/)
может быть представлен в виде
ФГ(/) = В^Ф, (46.12)
где (Представление (46.12) получается из равен-
ства (46.11) с помощью рассуждений, примененных при до-
казательстве леммы 8 § 41; бесконечную дифференцируе-
301
мость функций ®г (к) и (к) доказываем, слегка модифици-
руя рассуждения леммы 6 § 41.)
Покажем теперь, что матрицы Мёллера S± (g), соответ-
ствующие операторам Н (g), Р и алгебре Л, могут быть
построены по крайней мере в рамках теории возмущений.
Точнее говоря, построим матрицы Мёллера как формаль-
ные ряды
s±(g) = Sgrs^,
где S±r> — операторы, определенные на множестве ZJcr^as,
состоящем из линейных комбинаций векторов вида
а+ (ff) ... а+ (fn)Q (здесь А (к), fn (к) — неперекрываю-
щееся семейство гладких финитных функций, т. е. та-
кое семейство, что для любых kg supp k' g supp fj,
i Ф j, градиенты функции ®0 (к) в точках к и к' не сов-
падают).
Для того.чтобы провести это построение, воспользуемся
конструкцией § 36, рассматривая все объекты, фигурирую-
щие в формуле (36.1), как формальные ряды по степеням g.
Доказательство корректности этого определения проходит
почти так же, как в гл. 10. Следует отметить, однако, что
оценка (36.7) не может быть доказана в каждом порядке
по g [иныйи словами, если f (к) — гладкая финитная функ-
ция
f (х| t) = (2л)~3§ехр (— it 2 gr <вг (Ю + i kx) f (k) dk =
= S g.^(xp),
0
то нельзя доказать неравенство
|Л(Х|/)|<С|И-3/2].
Нельзя поэтому утверждать также, что справедлива в каж-
дом цорядке теории возмущений лемма 4 § 36. Однако при
доказательстве Корректности определения матрицы Мёлле-
ра с помощью формулы (36.1) можно заменить эту лемму лем-
мой 1 из § 38, которая остается справедливой в каждом
порядке по g (при этом функции fx, ..., fn в формуле (36.1)
следует считать неперекрывающимися гладкими финитными
функциями).
Матрица рассеяния S определяется, как всегда, соотно-
шением S = S^S-. (Из доказанного не следует, что S имеет
302
Вид 5 = 2g'rS<r>, где <§<r> — операторы с общей областью
определения, однако матричные элементы
<Sa+ (kJ ... а+ (km)6, а+ (рх) ... а+ (рп)9> =
= <S_«+(k1) ... a+(kTO)9, S+a+feJ ... a+(pn)9> (46.13)
при kj kj, p; y= p7- можно рассматривать как формаль-
ные ряды по g. Точнее, эти матричные элементы можно
представить в виде "£grS^ (кь ...,кт|ръ .... рп), где
Г>0
S<r> — обобщенные функции, определенные на классе ос-
новных функций <р (kj.....kro | р1( ..., рп)С^, имеющих
носитель, для всех точек которого kt к,-, рг р}. Под
матрицей рассеяния будем понимать поэтому именно сово-
купность матричных элементов (46.13).)
Теперь можно использовать результаты гл. 10 для ис-
следования матриц ’Мёллера S± (g) и матрицы рассеяния
S (§), построенных по операторам Н (g), Р и алгебре Л.
Отметим, в частности, что с помощью доказанных выше ут-
верждений без труда проверяются в каждом порядке по
g предположения, сделанные в § 41 при доказательстве
адиабатической теоремы. К сожалению, этого еще недоста-
точно для того, чтобы утверждать, что доказанные в § 41
соотношения, выражающие матрицы Мёллера S± (g) че-
рез адиабатические матрицы Мёллера Sa(0, ±оо |g), верны
в каждом порядке теории возмущений. Анализ доказатель-
ства адиабатической теоремы показывает, что при доказа-
тельстве используются соотношения типа
/1 \ I
ехр —v (к | g) const,
где v (k|g) = %grvr (к) — действительная функция; та-
г>0
кие соотношения очевидным образом неверны в каждом
порядке по g. В частности, при доказательстве леммы 13
§ 41 существенно, что
Фь а)) = Р (Qb< С(1 + ИП),
~ з
где С— константа, не зависящая от а; эта оценка с п =-j-
получается из неравенства
$|ф*'“ (x)ldx <С(1 + И3'2),
303
которое не имеет места в рамках теории возмущений. Од-
нако нетрудно убедиться, что все рассуждения § 41 сохра-
няют силу в рамках теории возмущений, если разрешается
использовать частичное суммирование ряда теории воз-
мущений. Это позволяет сделать вывод, что адиабатическая
теорема, доказанная в § 41, справедлива в рассматривае-
мом случае в рамках теории возмущений с частичным сум-
мированием.
Рассмотрим теперь с помощью полученных результа-
тов гамильтонианы, не порождающие поляризации вакуума.
Выберем в качестве гильбертова пространства Ж фоков-
ское пространство F (LF (£3)), операторы энергии Но и им-
пульса Р определим формулами
Но = § е (к) а+ (к) а (к) dk;
Р = ка+ (к) а (к) dk.
(Функция е (к) предполагается гладкой функцией, все про-
изводные которой имеют не более чем степенной рост. Счи-
таем также, что функция е (к) удовлетворяет условию
8 + к2) < е (к^ + е (к2) и не совпадает с линейной
функцией ни на каком открытом множестве.) В качестве
алгебры Л выберем алгебру операторов вида
J/m,n (ki> •••> km| pj, ..., p„) X
Xa+(kj) ... a+(km)a(pi) ... a(pn)dmkdnp, (46.14)
где сумма в (46.14) предполагается конечной
(операторы вида (46.14) рассматриваются как операторы,
определенные на множестве В § 40 показано, что
операторы Но, Р и алгебра Л удовлетворяют условиям
Т1—Т7. Это позволяет применить к ним все доказанные
в настоящем параграфе утверждения.
Заметим прежде всего, что оператор
H0+2^r(x)dx, (46,15)
где №Г£Л, WrQ = 0, может быть записан в виде
Яо+ 2 gf S ^«(kj, ..., km|Pi, ..., pn)x
r 1 т.п
x6(kj+ ... + km—Pj —... — p„) x
X а+(кг) ... a+(km)a(pj) ... a(pn)d™kdflp,
304
т. е. представляет собой трансляционно инвариантный га-
мильтониан, не порождающий поляризации вакуума.
(Легко видеть, что гамильтониан (46.15) принадлежит опи-
санному в § 42 классу М-~)
Как доказано в настоящем параграфе, гамильтониану
(46.15) можно сопоставить матрицы Мёллера и матрицу
рассеяния как формальные ряды по степеням g (об этом уже
говорилось в § 44, где намечено другое доказательство
этого утверждения).
Теперь можно применить результаты гл. 10 для получе-
ния информации о матрице рассеяния трансляционно ин-
вариантного гамильтониана, не порождающего поляриза-
ции вакуума.
Например, следующее утверждение сразу вытекает из
теоремы 3 § 39, если заметить, что для свободного гамиль-
тониана Но тождественный оператор является одевающим
и удовлетворяет условиям теоремы 2 § 39.
Пусть Вг, ..., Вп£Л—гамильтонианы, не по-
рождающие поляризации вакуума, и оператор D =
=exp(iB3)... ехр (iBn) переводит голое одночастичное состоя-
ние а+ (к) 0 в одночастичное состояние гамильтониана Н.
Тогда оператор D является одевающим оператором для
гамильтониана Н.
Далее, пусть Н = Но + V— гамильтониан, не по-
рождающий поляризации вакуума, и функция е (к) строго
выпукла. Тогда из результатов § 41 можно заключить, что
данное в § 31 определение матриц Мёллера через адиабати-
ческие матрицы Мёллера эквивалентно другим определени-
ям. Отсюда вытекает, что в рассматриваемом случае оп-
ределение 2 матрицы рассеяния из § 33 также равносильно
другим определениям (оба эти утверждения, как было за-
мечено выше, имеют место в рамках теории возмущений
с частичным суммированием).
Г ЛАВ A 12
АКСИОМАТИКА ЛОРЕНЦ-
ИНВАРИАНТНОИ КВАНТОВОЙ
ТЕОРИИ ПОЛЯ
§ 47. Аксиомы, обеспечивающие
лоренц-инвариантность матрицы
рассеяния
Пусть Ж — гильбертово пространство состояний. Чтобы
говорить о лоренц-инвариантности теории, необходимо
прежде всего предположить, что в пространстве Ж задано
унитарное представление неоднородной группы Лоренца Р.
Унитарный оператор, соответствующий элементу g£P,
будем обозначать U (g). Группа Р содержит в качестве под-
группы группу пространственно-временных трансляций
Т; определим операторы энергии Н и импульса Р соотно-
шением
ехр(—i(/fa0—-Ра)) = £/(1, а), (47.1)
где символом (1, а) обозначен сдвиг х' = х + а (вообще,
(Л, а) обозначает элемент группы Р, определяемый преоб-
разованием х’ = Лх + а).
Однако по одному только представлению неоднородной
группы Лоренца нельзя построить матрицу рассеяния. Бу-
дем считать, как и в аксиоматическом подходе к теории
рассеяния, описанном в гл. 10, что в гильбертовом прост-
ранстве Ж задана еще асимптотически абелева алгебра Л, и
укажем, какие условия гарантируют лоренц-инвариантность
матрицы рассеяния.
Прежде всего предположим, что представление U (g) и
алгебра Л удовлетворяют следующим аксиомам.
А1. Спектральность. Оператор энергии Н имеет един-
ственное основное состояние Ф; вектор Ф лоренц-инвариан-
тен (т. е. U (g) Ф = Ф для любого преобразования g£P).
Вектор Ф называется физическим вакуумом.
А2. Цикличность. Вектор Ф — циклический вектор ал-
гебры Л.
АЗ. Лоренц-инвариантность алгебры Л. Если оператор
А £ Л, то для любого преобразования g£P оператор
U (g) AU-1 (g) также принадлежит алгебре Л.
збб
Во всем дальнейшем аксиома 3 может быть заменена сле-
дующим более слабым условием.
АЗ'. Для любого преобразования g£P алгебра Л асимп-
тотически коммутирует с алгеброй U (g) ЛСН1 (g) (т. е.
с алгеброй, состоящей из операторов вида U (g) AU"1 (g),
где А С ^)-
Проанализируем на основе аксиомы А1, как устроен
спектр операторов Н, Р.
Из лоренц-инвариантности вектора Ф вытекает, в част-
ности, что ехр ( — iHt) Ф = Ф и ехр (iPa) Ф = Ф, откуда
НФ = РФ = 0. (47.2)
Нетрудно проверить, что и, наоборот, из равенства (47.2) и
единственности основного состояния вытекает лоренц-
инвариантность вектора Ф.
Поскольку основное состояние Ф оператора энергии Н
в силу равенства (47.2) имеет нулевую энергию, оператор Н
неотрицательно определен. Это означает, что спектр опера-
тора Н расположен на полуоси <о 0, а совместный спектр
операторов Н, Р расположен в полупространстве, сос-
тоящем из точек (®, р), для которых ® 0. Однако сов-
местный спектр операторов Н, Р должен быть множеством,
инвариантным относительно однородных преобразований
Лоренца (см. дополнение, § Д. 9), поэтому можно утверждать,
что спектр операторов Н, Р расположен в конусе W, сос-
тоящем из точек (®, р), удовлетворяющих неравенству
®2 р2 (всякую точку, для которой ®2 < р2, однородным
преобразованием Лоренца можно перевести в точку (®', р')
с о/ < 0). Физическому вакууму Ф соответствует точка спе-
ктра 0 = (0, 0, 0, 0) £W.
Рассмотрим неприводимое инвариантное подпространст-
во К пространства Ж [т. е. подпространство, инвариантное
относительно операторов U (g) и не содержащее нетривиаль-
ных подпространств, также инвариантных относительно
операторов U (g)]. Примером такого подпространства яв-
ляется подпространство А, образованное векторами вида
АФ (вакуумное подпространство). Всякое другое неприводи-
мое инвариантное подпространство не может содержать
вектора Ф (иначе оно содержало бы подпространство А и
было бы приводимым). Будем поэтому считать, что рассмат-
риваемое пространство К не содержит вектора Ф.
Представление неоднородной группы Лоренца Р опе-
раторами U (g), рассматриваемыми как операторы в про-
странстве К, неприводимо. Оператор энергии Н в подпро-
307
странстве К не может быть равен нулю, поскольку иначе
всякий вектор был бы основным состоянием оператора
Н, что противоречит единственности основного состояния
(аксиома Al). С другой стороны, в силу той же аксиомы опе-
ратор Н в подпространстве К (как и во всем пространстве)
неотрицательно определен.
В силу известных фактов о неприводимых представле-
ниях группы Р (см. дополнение, § Д.9) спектр операторов
Н и Р в пространстве К заполняет множество U^, состоящее
из точек (®, р) £Ei, для которых ®2 — р2 = р,2, й О
(здесь р, — некоторое неотрицательное число). Далее, мож-
но утверждать, что существует унитарное отображение (изо-
морфизм) Т пространства L2 (Е3 X N), где N — конечное
множество, на пространство Д, обладающее свойством
t/(g)T(Z) = T(V(g)/), (47.3)
где V (g) — неприводимое представление типа (р,, и), опи-
санное в дополнении, § Д.9. Из соотношения (47.3) вытекает,
в частности, что
ДТ (/) = Т (Л/);
(47.4)
РТ (/) = Т (р/),
где Лир — операторы в пространстве L? (Е3 X N), опре-
деленные формулами
(pf)(k, a) = k/(k,a);
(hf) (k, a) — ]/k24- p,2 f (k, a).
Отображение T можно рассматривать как n обобщенных
векторных функций Ч?а (к), связанных с Ч* формулой
W) = 2 J f (к, а) (к) dk
а 6 N
(здесь п — число элементов в множестве N, а пробегает
множество N). Из унитарности отображения Чг вытекает,
что обобщенные векторные функции 4fa (к) удовлетворяют
условиям
<^a(k), 4Mk')> = 6S'6(k-k')
(ортогональность и нормированность на б-функцию); из ра-
венств (47.4), (47.5) получаем, что
РТа(к)^кУа(к);
ЯТа(к) = /кЧГрта (к).
308
Это означает, что функции Ч^ (к) можно рассматривать как
одночастичные состояния в смысле принятого в этой книге
определения. В обычной терминологии совокупность функ-
ций ЧГ1 (к), (к) (т. е. отображение Т) отождествляет-
ся с частицей, имеющей массу р, и спин s = Частица,
имеющая спин 0, называется скалярной.
Наименьшее из подпространств, содержащих все непри-
водимые инвариантные подпространства, отличные от А,
будем называть одночастичным подпространством и обоз-
начать В.
Легко видеть, что пространство В может быть представ-
лено в виде прямой суммы ортогональных друг другу не-
приводимых инвариантных подпространств Кр, с помощью
описанных выше изоморфизмов Чгг пространств L2 (£3 X
X Nt) и пространств Kt можно построить изоморфизм
Т = 2Чгг пространства L2 (Е3 X N) = SL2 (Е3 X Nt) и
i i
пространства В (N — объединение множеств Nt).
Из сделанных выше замечаний ясно, что определенное
только что одночастичноё подпространство В содержится
в одночастичном подпространстве в смысле определения,
данного в § 36.
Многочастичным подпространством М назовем ортого-
нальное дополнение к прямой сумме А + В (пространство
А + В может быть описано как сумма всех неприводимых
инвариантных подпространств).
Пространство Жаа определим как фоковское пространст-
во F (В).
Воспользовавшись построенным выше изоморфизмом
пространства В и пространства L2(ES X N), можно ввести
в d^as операторные обобщенные функции а+ (к, $), а (к, $),
где k£L3, s£N, удовлетворяющие соотношениям
[а(к, $), а(к', $')1 = [я+(к, $), я+(к', $')] = 0;
[ц(к, $), а+ (к', s')] = 6s' 6(к — к').
Пространство В инвариантно относительно операторов
[7 (g). Представление группы Р операторами U (g) в прост-
ранстве В индуцирует, очевидно, представление группы
Р в пространстве Жа5; операторы этого представления бу-
дем обозначать Uas (g). Асимптотический гамильтониан
309
Has и асимптотический оператор импульса Pas определяют-
ся, естественно, соотношением
ехр(—i(HAsa0—Pasa)) = t/as(l, а),
где (1, а) — преобразование сдвига.
Легко видеть, что через операторы (к, $), а (к, s)
асимптотический гамильтониан и асимптотический оператор
импульса выражаются формулами
$fas = 2 2 '/k2 + pj а+ (k, s) a (k, s) dk;
i seN*
Pas = 2 ^ka+(k, s)a(k, s)dk.
Сформулируем теперь дополнительную аксиому, позволяю-
щую построить теорию рассеяния в рассматриваемой ситуа-
ции (усиленное условие спектральности).
А4. Совместный спектр операторов Н, Р в наименьшем
подпространстве С пространства Ж, содержащем все непри-
водимые инвариантные подпространства операторов U (g),
не пересекается с совместным спектром этих операторов
в ортогональном дополнении к пространству С. В спектре
оператора энергии Я имеется щель (т. е. найдется такое
е > 0, что единственной точкой спектра оператора Я на
луче (— оо, е) является точка 0, соответствующая физи-
ческому вакууму).
Ясно, что пространство С равно прямой сумме вакуумно-
го подпространства А и одночастичного подпространства В,
поэтому совместный спектр операторов Я, Р в пространстве С
является объединением вакуумного спектра (т. е. спектра
операторов Я, Р в пространстве А) и одночастичного спект-
ра (т. е. спектра операторов Я, Р в пространстве В). Из сде-
ланных выше утверждений следует, что вакуумный спектр
состоит из единственной точки 0, а одночастичный спектр яв-
ляется объединением нескольких множеств U^., выделяе-
мых соотношениями ®2 — к2 = р,2, ® 0.
Ортогональное дополнение к пространству С = А + В
было названо выше многочастичным пространством и обоз-
начено символом М, совместный спектр операторов Я, РвЛ-1
назовем многочастичным спектром.
С помощью введенных сейчас определений можно следую-
щим образом переформулировать аксиому 4.
310
А4*. Вакуумный спектр, бдночасТичйый спектр и MHOto-
частичный спектр представляют собой три попарно непере-
секающихся множества.
Таким образом, спектр операторов Н, Р в пространстве
Ж устроен следующим образом. В него входят точка 0, соот-
ветствующая вектору Ф, несколько множеств t/ц. с р,г > О,
образующих одночастичный спектр (множество t/ц. с p,f > О
представляет собой верхнюю полу гиперболоида), и много-
частичный спектр, который не содержит Точки 0 и не пере-
секается ни с одним из множеств
Имеет место следующее утверждение.
В случае, если выполнены аксиомы 1, 2,3, 4, матрицы
Мёллера S± и матрица рассеяния S могут быть определе-
ны так же, как в § 36; с помощью рассуждений § 36 можно
доказать существование матриц Мёллера и матрицы рас-
сеяния. Определенные таким образом матрицы Мёллера и
матрица рассеяная лоренц-инвариантны (т. е. выполнены
равенства
и (g) s± = s± ttas (g); ,47 6,
Uas (g) S =. SUas (g) 1 ’
для любого преобразования g£P).
В самом деле, применимость определений и рассуждений
§ 36 к рассматриваемому случаю не вызывает сомнений.
(Нельзя сказать, что все предположения § 36 выполнены,
поскольку принятое в § 36 определение одночастичного под-
пространства отличается от принятого в настоящем парагра-
фе; это влечет за собой также различие в определениях про-
странства %{as. Однако ввиду того, что одночастичное про-
странство В, определенное в настоящем параграфе, содержит-
ся в одночастичном пространстве в смысле § 36, это не
мешает применять рассуждения гл. 10 в рассматриваемой
ситуации.) Лоренц-инвариантность матриц Мёллера и мат-
рицы рассеяния можно доказать с помощью рассуждений,
использованных для той же цели в § 6 гл. 6 книги [301; не
будем здесь останавливаться на этом доказательстве.
Отметим, что результаты настоящего параграфа остаются
справедливыми, если асимптотически абелево семейство опе-
раторов заменить асимптотически абелевым семейством опе-
раторных обобщенных функций (в смысле § 40). Область
определения этих операторных обобщенных функций пред-
полагается инвариантной относительно операторов U (g),
311
vpsgEP. Условия A2 и АЗ должны быть, конечно, соответ-
ствующим образом модифицированы (следует потребовать,
чтобы вектор Ф был циклическим вектором этого семейства
и чтобы с каждой обобщенной операторной функцией
А (х, /) к рассматриваемому семейству принадлежала так-
же обобщенная операторная функция Ag(x, t) =
= UgA(x, t) Ug1, где g— любой элемент группы Р).
§ 48, Аксиоматика локальной
квантовой теории поля
В § 47 при формулировке системы аксиом мы исходили
из аксиоматической теории рассеяния, построенной в гл. 10,
и добавили к предположениям этой теории аксиомы, обес-
печивающие лоренц-инвариантность матрицы рассеяния.
Сейчас изложим другую систему аксиом, принадлежа-
щую Хаагу и Араки.
Пусть снова в гильбертовом пространстве Ж действует
представление Ug неоднородной группы Лоренца Р, так же,
как в предыдущем параграфе, потребуем, чтобы было выпол-
нено условие спектральности (аксиома А1).
Будем считать, что каждой ограниченной области ОаЕ*
сопоставлена совокупность R (О) ограниченных операторов
в пространстве Ж, замкнутая относительно сложения и
умножения операторов, умножения на число, перехода
к сопряженному оператору и перехода к слабому пределу
(такая совокупность операторов носит название W*-ал-
гебры)'.
Будем считать, что алгебры R (О) обладают следующими
свойствами.
R1. Если 01с0а, то R (O^c^R (0а) (изотония).
R2. Ковариантность относительно неоднородной груп-
пы Лоренца:
UgR (О) Ug1 = R (gO).
R3. Локальная коммутативность: если любая точка
области 0! отделена пространственно-подобным интерва-
лом от любой точки области 0а, то R (0J и R (б2) ком-
мутируют между собой.
R4. Цикличность: физический вакуум Ф цикличен от-
носительно объединения алгебр R (0).
Легко видеть, что объединение алгебр R (О)
асимптотически абелево. В самом деле, пусть A£R (0i)<=
312
<^Я, B^R (О2)с.Я. Тогда по условию R2 А (х, /) =
=ехр (i/Z/ — iPx) А ехр (— iHt + iPx) 6 R (Ог — х), где х =
— (х, /). Поскольку области Сц и О2 ограничены, найдется
такое а, что при | х |а — 11|2 а2 любая точка области
0!— х отделена от любой точки области 03 пространствен-
но-подобным интервалом. Пользуясь условием R3, полу-
чаем, что при | х |2 — | /|2 а2
[А (х, /), В} = 0.
С другой стороны, || А (х, /)|| = ||Д||, поэтому
ИИ(Х, t), В]||<2||А||.||В||.
Комбинируя эти соотношения, видим, что
11И(х,/), fi|Kcl±llt
для любого п (чтобы убедиться в этом, достаточно заметить,
что
1+1 И" ^>^>0 ПрИ Iх|2—
1+1 х|« К 1 1 '
Далее, алгебра Я очевидным образом инвариантна при
преобразованиях Лоренца.
Таким образом, алгебра Я и представление Ug удовлет-
воряют всем требованиям § 47, кроме аксиомы А4.
Если потребуем дополнительно выполнения аксиомы
А4, то соображения, изложенные в § 47, позволяют утверж-
дать, что существует лоренц-инвариантная матрица рас-
сеяния.
Другая важная система аксиом принадлежит Уайтману.
В этой системе аксиом также предполагается, что в гиль-
бертовом пространстве Ж действует представление неодно-
родной группы Лоренца, удовлетворяющее условию спект-
ральности А1.
Сделаем предположение, что в пространстве Ж действует
операторная обобщенная функция ср (х), где х^Е*. Точнее
говоря, предположим, что каждой функции сопо-
ставлен оператор <р (/); все операторы ср (/) определены на од-
ном и том же линейном многообразии D и переводят D
в себя; оператор ср (/) должен линейно зависеть от f и для
любых векторов т](Д> функционал <ф(Л В, т]> должен не-
прерывно зависеть от f в топологии пространства [т. е.
он должен определять обобщенную функцию из пространст-
ва (А4)].
313
Как всегда, будем писать ф (/) = J" ф (х) / (х) dx, опера-
торную обобщенную функцию ф (х) будем называть кван-
тованным полем.
Будем считать, что квантованное поле ф (х) эрмитово
(т. е. операторы ф (/) и ф (/) сопряжены друг с другом).
Будем говорить, что представление U (g) неоднород-
ной группы Лоренца Р й операторная обобщенная функция
Ф (х) (квантованное поле) удовлетворяют аксиомам Уайт-
мана*, если выполнены следующие требования:
W1. Закон преобразования квантованного поля. Опера-
торы Ug оставляют инвариантным многообразие D :
UgD — D. Квантованное поле ф (х) преобразуется по за-
кону
U (g) Ф W U-1 (g) = Ф (gx). (48.1)
Более подробно равенство (48.1) означает, что
и (g) ф (/) и-1 (g) = Ф (fg),
где
fg (*) = f (g^x).
W2. Локальность (локальная коммутативность). Если
точки х, разделены пространственно-подобным интер-
валом, то ф (х) коммутирует с ф (у).
Точнее говоря, требуется, чтобы операторы ф (/) и Ф (g)
коммутировали в случае, когда носители функций f и g
разделены пространственно-подобным интервалом.
W3. Цикличность. Вектор Ф (основное состояние опе-
ратора энергии) является циклическим вектором семейства
операторов ф (/).
Функции Уайтмана wm (Хц •••, хт) определим соотно-
шением
wm (хп ..., xm) = (ср (xj... ф (xm) Ф, Ф>.
В силу теоремы о ядре (см. дополнение, § Д. 7) функцию
wn можно рассматривать как обобщенную функцию из
<У' (Е4т).
С помощью рассуждений, примененных в § 29 при дока-
зательстве теоремы реконструкции, по функциям Уайтмана
wm можно с точностью до изоморфизма восстановить гиль-
* Здесь формулируются аксиомы Уайтмана для случая скаляр-
ного эрмитова поля; формулировку аксиом Уайтмана в более общем
случае см., например, в [31].
314
бертово пространство Ж, представление группы Лоренца и
квантованное поле Ф (х). Легко перечислить семейства,
необходимые и достаточные для того, чтобы функции
и>го (*i, •••, хт) могли служить функциями Уайтмана кванто-
ванного поля, удовлетворяющего аксиомам Уайтмана (эти
условия аналогичны условиям 1—6 из § 29)*.
Покажем теперь, что, прибавив к аксиомам Уайтмана
аксиому А4 § 47, можно дать определение матриц Мёллера
и матрицы рассеяния, доказать их существование и лоренц-
инвариантность. Для этого достаточно рассмотреть семей-
ство операторных обобщенных функций ф (gx), где g про-
бегает неоднородную группу Лоренца Р, и заметить, что это
семейство асимптотически абелево в смысле § 40 и удовле-
творяет условиям А1 —А4 § 47. (Аксиома АЗ сразу следует'
из аксиомы W1, аксиома А2 — из аксиомы W3, условие
Д5 § 40 вытекает из локальной коммутативности, если
положить 6<1.)**
Таким образом, видим, что все утверждения, которые
могут быть получены из аксиом § 47, можно доказать и в ак-
сиоматической теории Уайтмана. Однако есть теоремы,
выведенные из аксиом Уайтмана, которые не доказаны (и,
видимо, не могут быть доказаны) в рамках аксиоматики
§ 47.
Наиболее важным утверждением такого типа являются
дисперсионные соотношения, полученные впервые в [13]
и выведенные из аксиом Уайтмана в [32]. Отметим, еще
TCP-теорему, в силу которой из аксиом Уайтмана может
быть выведена TCP-инвариантность теории (т. е. существо-
вание некоторой дополнительной симметрии). Следующая
теорема Борхерса обычно выводится из ТСР-теоремы:
Если два квантованных поля Ф! (х), ф2 (у) в гильбертовом
пространстве удовлетворяют аксиомам Уайтмана и ло-
кальны по отношению друг к другу (т. е. [фх (х), фа (у)1 = 0
для точек х, у, разделенных пространственно-подобным
интервалом), то они определяют одну и ту же матрицу
рассеяния.
* Подробнее об этом см., например, в [29 — 31].
** Ясно, что аксиомы Уайтмана можно ослабить, сохранив
лоренц-инвариантность матрицы рассеяния. Именно, выполнения
закона преобразования (48.1) достаточно потребовать лишь для слу-
чая, когда g — трансляция, а условие W2 можно заменить требо-
ванием асимптотической абелевости семейства обобщенных опера-
торных функций Ugg> (х) U~r.
315
Однако эта теорема допускает и независимый вывод, по-
зволяющий перенести ее в ситуацию § 47. Именно, ее естест-
венным обобщением является теорема о том, что две асим-
птотически коммутирующие асимптотически абелевы алгеб-
ры определяют одну и ту же матрицу рассеяния (см. § 36).
Остановимся на связи аксиоматики Уайтмана с аксио-
матикой Хаага — Араки. Предположим, что операторы
Ф (/) = f f (х) ф (х) dx, фигурирующие в аксиоматике
Уайтмана, не только эрмитовы, но и существенно самосо-
пряжены для любой действительной гладкой финитной функ-
ции f. Тогда каждой такой функции f можем сопоставить
семейство ограниченных операторов, являющихся функ-
циями от оператора ф (/) (т. е. имеющих вид а (ф (/)), где
а—ограниченная функция). Символом/? (б) обозначим наи-
меньшую й7*-алгебру, содержащую все семейства Уу, где
f — гладкая действительная функция с носителем в мно-
жестве О. Можно проверить, что алгебры 7? (б) удовлет-
воряют аксиомам Хаага — Араки.
§ 49. Проблема построения
нетривиального примера
Построение лоренц-инвариантной квантовой теории ес-
тественно пытаться осуществить с помощью квантования
лоренц-инвариантной классической теории. Напомним, что
в § 30 обсуждался вопрос о квантовании классической тео-
рии, описываемой функционалом Гамильтона
(п> ф)= у У«2(х)с?х + У(ф).
Легко видеть, что такая классическая система лоренц-
инвариантна, если
М (л, ф) = -i- J л2 (х) dx-J ф (х) Аф (х) dx +
+ jt/(q>(x))dx. (49.1)
В самом деле, уравнения Гамильтона для системы, описы-
ваемой функционалом Гамильтона (49.1), имеют вид
dt
-^Л = Аф(х, 0-А(ф(х, 0),
ot
316
где
Г(ф)==^М.
Эф
Таким образом, функция Ф (х) = ф (х, t) удовлетворяет
уравнению
□Ф (х) + F (ф (х)) = О,
которое очевидным образом лоренц-инвариантно (не меняет
своего вида при замене ф (х) на ф (Лх),гдеЛ — преобразо-
вание Лоренца).
В лоренц-инвариантности классической системы, описываемой
функционалом Гамильтона (49.1), можно убедиться также, рас-
смотрев интеграл действия для этой системы. Этот интеграл может
быть представлен в форме
S = — (Уф)2^х—J С/(ф(х)) Эх
и, стало быть, инвариантен при преобразованиях Лоренца.
Рассмотрим прежде всего простейшую систему с функ-
ционалом Гамильтона вида (49.1)—систему, у которой
У(ф(х)) = |т2ф2(х). (49.2)
При квантовании этой системы приходим к гамильтониану
Н = -i- л2 (х) dx-2~ J № d* +
+ y/n2J$2(x)dx, (49.3)
где л (х), ф (х) — символы, удовлетворяющие соотноше-
ниям
л+ (х) = я (х); ф+ (х) = ф (х);
[л(х), зт(у)] = [ф(х), ф(у)]=0;
[л (х), ф (у)] = -~-6(х—у)«
Гамильтониан (49.3) может быть записан в виде (30.6),
где v (х) = — Д6 (х) 4- т2б (х). Операторная реализация
гамильтонианов вида (30.6) (свободных гамильтонианов)
описана в § 30. Пользуясь результатами § 30, убеждаемся, что
317
операторная реализация гамильтониана (40.3) может быть
построена в фоковском пространстве Ж = F (L2 (Е3));
в качестве операторов энергии и импульса следует выбрать
операторы
Н = § о (к) а+ (к) а (к) dk;
Р = кп+ (к) а (к) dk,
где со (к) = ]/к2 + т2; операторы (операторные обобщен-
ные функции) <р (х, t) определяются формулой
Ф (х, f) = (2л)~3/2 § (а+ (к) ехр (i о (к) t — ikx) +
4- а (к) ехр (— i со (к) t + i kx)) у== • (49 -4)
Основное состояние Ф совпадает с фоковским вакуумом 9.
Операторы ф (х) — ф (х, t) удовлетворяют лоренц-ин-
вариантному уравнению
□ф (х) + /п2ф (х) = 0;
естественно думать поэтому, что описанная квантовомеха-
ническая система лоренц-инвариантна. Действительно,
представление группы трансляций в пространстве F (L2 (£3)),
порожденное операторами Н и Р, можно дополнить до уни-
тарного представления неоднородной группы Лоренца та-
ким образом, что
U (g) Ф (*) U-1 (g) = Ф (gx)
(здесь g — преобразование Лоренца, U (g) — соответствую-
щий ему унитарный оператор). Нужное представление груп-
пы Лоренца можно получить, рассмотрев в пространстве
L2 (£3) представление типа (т, 1), описанное в дополнении,
§ Д.9, и заметив, что представление группы в пространстве
L2 (£3) определяет представление в пространстве F (L2 (£3))
(это уже было использовано в § 47).
Без труда проверяется, что определяемая формулой (49.4)
операторная обобщенная функция ф (х, f) и построенное
представление неоднородной группы Лоренца удовлетво-
ряют всем аксиомам Уайтмана.
Описанная квантовомеханическая система носит наз-
вание свободного скалярного поля массы т. Определяемые
ею частицы представляют собой невзаимодействующие бо-
318
зоны со спином 0. Отсутствие взаимодействия между этими
частицами проявляется, в частности, в том, что матрица
рассеяния оказывается тривиальной. Для того чтобы полу-
чить нетривиальную лоренц-инвариантную матрицу рас-
сеяния, естественно попытаться проквантовать- классичес-
кую теорию с функционалом Гамильтона вида (49.1), где
функция U (<р) уже не является квадратичной, К сожале-
нию, такая попытка наталкивается на многочисленные за-
труднения, связанные с тем, что при этом на каждом шагу
приходится сталкиваться с сингулярными выражениями,
которым нелегко придать точный смысл. Например, из-за
того, что ф (х) — обобщенная операторная функция, выра-
жения вида фп (х), где п 2, а также более общие выраже-
ния v (гр (х)), где v (ф) — функция, отличная от линейной,
не определены; поэтому уравнение
□ ф (х) + F (ф (х)) = 0,
которому должны удовлетворять полевые операторы ф (х),
нельзя считать математически осмысленным.
Предположим, что функционал Гамильтона (49.1) пред-
ставлен в форме Ж — + V, где — функционал Га-
мильтона вида (49.2), V ~ f v (ф (х)) dx. Получающийся
при квантовании формальный гамильтониан записывается
в виде
# = /704-V= p2(x)dx — -i-f(p(x)A<p(x)dx +
-f-J- /п2 Сф2(х)dx + Jo(ф (х))dx.
(49.5)
Если попытаться выразить этот гамильтониан через сим-
волы а+ (к), а (к), как это описано в § 30, и затем привести
полученное выражение к нормальной форме с помощью
CCR, то кроме обычной бесконечной константы, которую
условились отбрасывать, получим и другие бесконечные
слагаемые. Поэтому обычно рассматривают формальный
гамильтониан
Н — Но + # § v (ф (х)) dx, (49.6)
где N — знак нормального произведения (т. е. выражают
j" v (ф (х)) dx через п+ (к), а (к) по формулам (30.7), а затем
расставляют эти символы в нормальном порядке, считая их
коммутирующими). Однако переход от формального гамиль-
319
тониана (49.5) к формальному гамильтониану (49.6) поз-
воляет избавиться лишь от наименее существенных беско-
нечностей из числа встречающихся в теории. В частности,
при вычислении по теории возмущений функций Грина га-
мильтониана (49.6) сталкиваемся с расходящимися интег-
ралами*.
К сожалению, до сих пор не существует достаточно по-
следовательного способа преодоления упомянутых затруд-
нений для случая произвольной функции v (<р) и даже для
случая, когда функция v (<р) является полиномом. Однако,
если функция v (<р) является полиномом порядка 4 (т. е.
v (ф) = йф3 + &ф4), в рамках теории возмущений может
быть указан способ построения семейства лоренц-инвариант-
ных частиц рассеяния, которые можно считать соответствую-
щими семейству гамильтонианов вида HQ + N $v (ф (х)) dx.
Этот способ был предложен Фейнманом; он носит название
ковариантной перенормировки.
Остановимся ради определенности на случае, когда
v (ф) = &ф4- Рассмотрим семейство гамильтонианов вида
Н = Но (w) + bV& = у j л2 (х) dx +
+ у J ® (х—У) ф (X) Ф (у) dx dy +
+ t>yA(x1—х4, x2—x4, x3—x4) +
+ Ф (Xi) ф (X2) Ф (x3) Ф (x4) d* x.
Здесь w (x) — произвольная функция, (xx, x2, x3) =
= A3f (Axx, Ax2, Ax3), где функция f&f и удовлетворяет
условию f f (хх, х2, х3) d3x = 1. Легко видеть, что
lim /д (хх, х2, х3) = 6 (хх) 6 (х2) 6 (х3), поэтому в пре-
Л->оо
деле Л оо взаимодействие Уд переходит в V =
= J Ф4 (х) dx; замена V на Уд называется обрезанием
по импульсам. (При определении выражения Уд можно
использовать вместо обычного произведения нормальное;
рассматриваемый класс гамильтонианов при этом не из-
менится.) Функцию w (х) подберем из условия, чтобы
* Следует заметить, что в одномерном пространстве (т. е. в слу-
чае, когда в гамильтониане (49.6) интегрирование ведется по одно-
мерному пространству) вычисление по теории возмущений функ-
ций Грина гамильтониана (49.6) не приводит к расходимостям.
320
энергия частиц, определяемых гамильтонианом Но (w) +
+ bV&, равнялась Ук2 4- яг2; полученный при этом
гамильтониан обозначим Н (т, Ь, Л) (в рамках теории
возмущений такую функцию w (х) нетрудно найти). Пере-
ход к гамильтониану Н (т, Ь, Л) называется перенормиров-
кой массы (число т имеет смысл массы частиц, определяе-
мых гамильтонианом). Матрицу рассеяния, соответствую-
щую гамильтониану Н (т, Ь, Л), обозначим S (т, Ь, Л).
Для того чтобы прийти к лоренц-инвариантной теории,
естественно перейти к пределу Л->оо (снять обрезание по
импульсам). Однако, устремляя Л к бесконечности в членах
ряда теории возмущений, сталкиваемся с расходящимися
выражениями (возможно, впрочем, что, производя точное
вычисление матрицы рассеяния — без помощи теории воз-
мущений, — с этой трудностью не встретимся). Для того
чтобы получить нетривиальную лоренц-инвариантную мат-
рицу рассеяния в рамках теории возмущений, оказывается
необходимым считать, что величина b (голый заряд) в про-
цессе снятия обрезания по импульсам меняется. По теории
возмущений удается доказать следующее утверждение:
можно подобрать такую функцию b (т, Л, g), что матрицы
рассеяния S (m, b (т, Л, g), Л) при Л->оо имеют конечный
нетривиальный лоренц-инвариантный предел S (т, g). (Для
того чтобы найти такую функцию b (т, Л, g), следует счи-
тать, что в процессе снятия обрезания остается фиксирован-
ной некоторая физическая величина g, и выражать голый
заряд через параметр обрезания и эту величину. В качестве
величины g обычно выбирают так называемый физический
заряд.) Этот результат (высказываемый обычно в несколько
иной форме) представляет собой содержание теории перенор-
мировок. Функции Грина Gn (хх, ..., хп\т, Л, ^гамильто-
ниана Н (т, b (т, A, g), А) не имеют конечного предела при
Л->оо, однако можно подобрать такую функцию Z (т, Л, g),
что функции Z-"/2 (т, A, g) Gn (хХ) ..., хп\т, A, g)
имеют при Л->оо конечный лоренц-инвариантный предел.
Перечисленные утверждения подсказывают следующий
путь построения объектов, удовлетворяющих аксиомам
Уайтмана и приводящих к нетривиальной матрице рассея-
ния. Нужно найти такие функции b {т, A, g) и Z (т, Л, g),
чтобы при Л->оо существовал конечный нетривиальный
предел
Пт Z-«/2(m, Л, g)wn(xlt хп\т, Л, g) =
==шп(хх, .... хп\т, g),
11 Зак. 82
321
где wn (хь хп\т, Л, g)— функции Уайтмана гамиль-
тониана Н (tn, b (т, Л, §), Л). Можно надеяться, что пре-
дельные функции wn (xlt хп{т, g) удовлетворяют требо-
ваниям, позволяющим восстановить по ним объекты, для
которых выполнены аксиомы Уайтмана, и что матрица
рассеяния, построенная по этим объектам, окажется нет-
ривиальной. К сожалению, в настоящее время высказанная
выше гипотеза остается недоказанной. Более того, не су-
ществует примеров объектов, удовлетворяющих аксиома^
Уайтмана и приводящих к нетривиальной матрице рас-
сеяния.
Разумеется, построив нетривиальную матрицу рассея-
ния в аксиоматике Уайтмана, получим пример нетривиаль-
ной матрицы рассеяния в аксиоматике § 47. Однако обратное
неверно — построение нетривиального примера в аксио-.
матике § 47 может оказаться более легким.
Для того чтобы проиллюстрировать это, заметим, что Хааг
доказал следующую теорему:
Пусть в пространствах заданы представления U^g) и
U2(g) неоднородной группы Лоренца и два квантованных поля <рх (х~) и
<р2 (х), удовлетворяющих аксиомам Уайтмана, причем одно из этих
полей является свободным эрмитовым полем. Если существует такой
изоморфизм а пространств и что афх (х~) = <р2 (х) а, то
второе из этих полей также является свободным эрмитовым полем.
Эта теорема исключает, в частности, возможность построить
нетривиальный пример уайтмановской теории с помощью обычного
гамильтонова формализма в фоковском пространстве. В то же
время естественно ожидать, что в фоковском пространстве Jzf =
= F (L2 (£3)) можно построить представление неоднородной груп-
пы Лоренца таким образом, что:
а) представление U (g) вместе с семейством .X' операторов вида
J' (к) а (к) dk 4- fg (к) а+ (к) dk, где f, g £ SP (£3), удовлетворяет
аксиомам § 47;
б) матрица рассеяния S, определяемая представлением U (g)
и асимптотически абелевым семейством^, нетривиальна и может
быть получена с помощью обычного соотношения формальной тео-
рии рассеяния (17.3). (Это предположение подсказывается сообра-
жениями, основанными на теории возмущений.)
Сейчас интенсивно разрабатывается направление, ста-
вящее своей целью построение объектов, удовлетворяющих
аксиомам Уайтмана, исходя из гамильтонианов вида (49.6)
(конструктивная квантовая теория поля). Уже получены
весьма тонкие результаты, относящиеся, однако, только
к частицам в одномерном и двумерном пространствах.
(Все определения выше формулировались для теорий в ре-
альном трехмерном пространстве; но эти определения без
322
труда переносятся на пространства произвольной размер-
ности.)
В одномерном случае вопрос можно считать полностью
решенным, поскольку в этом случае построены операторные
реализации широкого класса гамильтонианов вида (49.6);
с помощью этих операторных реализаций строятся примеры
теорий, удовлетворяющих аксиомам Уайтмана и приводя-
щих к нетривиальной матрице рассеяния. (Определение
операторной реализации гамильтониана (49.6) можно дать
с помощью соображений, изложенных в § 29, вводя в га-
мильтониан обрезание по объему и по импульсам и снимая
затем это обрезание. Определение, указанное в § 28, для
гамильтонианов (49.6) оказывается неудобным, поскольку
придать точный смысл гейзенберговским уравнениям для
этих гамильтонианов затруднительно.) Сформулируем не-
которые из результатов, полученные для одномерных га-
мильтонианов вида (49.6) в последнее время. Прежде всего,
если 1>(ф) — четный полином*, доказано существование опе-
раторной реализации гамильтониана (49.6), удовлетворяю-
щей всем аксиомам Уайтмана, кроме единственности ваку-
ума Ф (точнее, в пространстве операторной реализации мож-
но определить действие группы Лоренца так, чтобы были
выполнены.аксиомы Уайтмана) [22]. Если v (<р) = КР (<р),
где Р (q>) — полином четной степени, К > 0, константа свя-
зи А достаточно мала (случай слабой связи), то существует
единственная операторная реализация гамильтониана (49.6);
она удовлетворяет всем аксиомам Уайтмана. При тех же
условиях можно проанализировать совместный спектр опе-
раторов Н и Р в пространстве операторной реализации.
Оказывается, что в этом пространстве существует скаляр-
ная частица массы р (т. е. имеется инвариантное относи-
тельно преобразований Лоренца подпространство К, в ко-
тором реализуется представление типа (р, 1)). Все точки
(со, к), принадлежащие спектру операторов Н, Р в подпро-
странстве, ортогональном вакуумному вектору Ф и под-
пространству К., удовлетворяют условию со2 — к2 > 2р — е
(если А -> 0, то р -> т, е -> 0) [54].
В теории могут a priori существовать и другие частицы;
например, существование частиц, имеющих массу в интер-
вале (р, 2р), доказано при малых А в случае Р (ф) =ф®—ф4
(эти частицы можно интерпретировать как связанные сос-
тояния двух частиц массы р). Это не позволяет утверждать,
* Считаем, что все рассматриваемые полиномы имеют положи-
тельный коэффициент при старшей степени.
11* 323
что выполнена аксиома А4. Однако, пользуясь рассужде-
ниями § 36, можно доказать существование матрицы рассея-
ния частиц массы р (если в теории есть другие частицы, то
следует ожидать, что эта матрица рассеяния не будет уни-
тарной).
В случае, если v (<р) = КР (<р), где Р (<р) — четный по-
лином, а константа связи А достаточно велика, доказано су-
ществование различных операторных реализаций гамиль-
тониана (49.6) [55] (в этих операторных реализациях
<Ф (х, f) Ф, Ф> #= 0, т. е. нарушена симметрия <р -> — <р).
Для одномерных гамильтонианов проанализирован так-
же вопрос о связи точных решений с теорией возмущений.
Именно, для гамильтонианов (49.6) с v (<р) = АР (<р), где
Р (ср) — полином четной степени, рассмотрен ряд теории
возмущений по А для функций Швингера (функций Уайт-
мана от мнимого времени; точное определение см. в § 29) и
показано, что этот ряд является асимптотическим при
А + 0 (иначе говоря, функции Швингера имеют правые
производные любого порядка при А = 0 и эти производные
могут быть получены с помощью формального дифференци-
рования ряда теории возмущений) [56]. Для Р (ф) = ф4
доказано, что при достаточно малых А > 0 ряд теории воз-
мущений суммируется по Борелю и его сумма совпадает
с точным решением [57].
Построение операторной реализации и проверка аксиом
Уайтмана проведены и для некоторых других одномерных
гамильтонианов, например когда и (<р) = Аф4 — рф, р Ф О,
а также в случае v (ф) = Р (ф) — рф, где Р (ф) — поли-
ном четной степени, р достаточно велико (последний
случай исследован столь же подробно, как и случай слабой
связи). Отметим, что среди исследованных гамильтонианов
имеются также гамильтонианы, описывающие взаимодей-
ствие фермионов и бозонов (взаимодействия типа Юкавы).
В двумерном случае получены существенные резуль-
таты, касающиеся гамильтониана (49.6) с v (ф) = Аф4.
В этом случае теория возмущений приводит к ультрафиоле-
товым расходимостям, которые могут быть устранены с по-
мощью перенормировки массы. Это означает, что конечные
результаты в рамках теории возмущений получаются, если
рассмотреть гамильтониан Н\ (т, А), построенный с по-
мощью обрезания исходного гамильтониана по импульсам,
и устремить параметр обрезания по импульсам Л к беско-
нечности, считая массу т зависящей от Л (зависимость
т от Л подбирается из условия конечности предела при
324
Л -> оо). Вне рамок теории возмущений доказано аналогич-
ное утверждение в случае слабой связи [58].
Точнее, в работе [58] построена операторная реализация
рассматриваемого гамильтониана, удовлетворяющая всем
аксиомам Уайтмана, доказано, что в пространстве оператор-
ной реализации существует скалярная частица, и показано,
что ряд теории возмущений для функций Швингера является
асимптотическим при к -> + 0.
Мы не будем приводить весьма тонких доказательств
сформулированных выше теорем. Заметим только, что
большая часть этих теорем доказана с помсщью перехода
к евклидовой формулировке квантовой теории поля. Точнее
говоря, во многих из упоминавшихся работ исходным
пунктом является представление функций Швингера в виде
континуального интеграла. С помощью этого представления
строятся функции Швингера и доказываются их свойства,
позволяющие реконструировать по этим функциям опера-
торную реализацию рассматриваемого гамильтониана и про-
верить выполнение аксиом Уайтмана.
Проведем нестрогие рассуждения, позволяющие прийти к кон-
тинуальному интегралу для функций Швингера. Рассмотрим преж-
де всего функции Швингера гамильтониана (30.2):
Sm («1> ^1> • • • > ат> ?т) — У а, ехР (' ^о) Ш— ^2)) X
X 'Ча2-“ ехР(~(Я—£0) (.tm-i—tm)) Чат Ф, Ф>
(здесь Ф •— основное состояние, Еа — энергия этого состояния,
Z, > > tm)- Матричные элементы оператора ехр (—Ht)
в координатном представлении могут быть записаны с помощью
континуального интеграла (см., например, [23] или [59]); используя
этот факт и соотношение
<ЛФ, Ф>= lim Sp(Aexp( — f/7’))/Sp ехр ( — НТ),
Т -j- 00
нетрудно увидеть, что Sm = lim S? где
T-»oo
S„(ax, tlt ..., ат, tm) = <^ (ax, ..., am, tm)/a^-,
...............am, tm)=$Tai (h) 4am (tm) X
I 1 n T . T \
X exp I ——- \ qldt— \ 64-71(0. ...,qn(t))dt f] <*7a (0
\ Z a=0 00 )
(континуальный интеграл берется по функциям q (t) = (qi (t), ...
Qn (i))> определенным на отрезке [0, 7] и удовлетворяющим пе-
риодическим граничным условиям: q (0) = q (Т); впрочем, при
Т —> оо выбор граничных условий становится несущественным).
Переход от Sm к можно рассматривать как обрезание по (мни-
325
мому) времени. Гамильтонианы вида (30.3) могут быть получены
из гамильтонианов вида (30.2) с помощью предельного перехода
(см., например, [23]). Это позволяет написать выражение функций
Швингера
$т (х1, fl, • > хтп, tm) —• ( ф (Х1 ) ехр ( — И (/]— /2)) • ••
... ехр( — Н — ^т))ф(хт)ф, ф>,
где Н — оператор энергии в операторной реализации гамильтониа-
на Н, <р (х) = <р (х, 0), > ... > tm, в форме
(х1, tl....xm, tm) — Hm O^(Xi, /1( Xm, tm)/°\',
V -><x
(xl» ^1» • • • » tm) = J Ф (X1, ti) • • • Ф (x?n> tm) X
Xexp(—£v(<p)) f] йф(х, t).
(X, 06V
Здесь V — параллелепипед в Ei, выделяемый условиями х f Q,
0 < t < Т;
Ev (ф) — — \ dt \ dx<p2 (х,
2 о а
т
0+2 ^dt^dn-uVn^i,
п о а
xn) X
ХФ(Х1, t) ... ф(хп, /);
интеграл берется по функциям, определенным в V; граничные
условия можно считать нулевыми. (В случае, если Vn С сущест-
вует конечный предел функций при Т фиксированном, Q -> оо,
и можно написать континуальный интеграл для функций о^; однако
для трансляционно инвариантных гамильтонианов введение обре-
зания по пространственным координатам при определении функций
необходимо.) Если гамильтониан (30.3) представлен в виде
Н — H(l + W, где Яо — гамильтониан вида (30.6) (свободный га-
мильтониан), то можно считать, что
a„(xi, ..., xm,tm) = J<₽(x1, t^ ... ф(хт, tm) ехр(— Еу (ф)) tZp.o;
т
EV (ф) = 2 ^dt^dn*Wn(Xi.......хп)ф(х1, t) ... ф(хп, /);
п о а
р0 — гауссова мера, моменты которой J ф (хь fj) ... ф (xm, Zm)dp0
при > ... > tm совпадают с функциями Швингера гамильтониана
Яо-
Разумеется, изложенные выше соображения сохраняют силу в
случае, когда рассматриваются гамильтонианы в евклидовом про-
странстве любой размерности. При попытке применить их к гамиль-
тонианам вида (49.5) возникают затруднения, связанные с ультра-
фиолетовыми расходимостями; в частности, гауссова мера множества,
на котором определен функционал Еу (ф)= f v (ф(х, t))dxdt, оказы-
326
вается равной нулю. В одномерном случае эти затруднения пре-
одолеваются с помощью перехода к гамильтониану (49.6). Указан-
ные выше эвристические соображения позволяют написать конти-
нуальный интеграл для функций Швингера гамильтониана (49.6).
Нет необходимости строго обосновывать эти соображения; удобнее
изменить определение функций Швингера, приняв представление
с помощью континуального интеграла за определение.
Рассмотрим гауссову меру р0 с ковариацией (—Д +
+ ли2)-1 в пространстве 9” (Е2). (Напомним, что под гаус-
совой мерой в пространстве (Еп) понимается мера ц
с характеристическим функционалом
У ехр (i J А. (х) ф (х) dx) d\x = ехр (—
Здесь (Еп), фС<^' (Еп), оператор В называется ко-
вариацией меры |л.) Легко видеть, что моменты меры |л0
есть функции Швингера гамильтониана (49.3). В гиль-
бертовом пространстве L2 функционалов F (ф) на £f'(E2),
квадратично интегрируемых по мере |л0, построим оператор-
ные обобщенные функции ф (х), л (х), a (k) с помощью фор-
мул
Ф (Г) F (ф) = (J f (х) Ф (х) dx) F (ф);
л (f)F (ф) = lim 8-1 (F (ф + е/) — F (<р));
Е—>0
a (k) =2~1/2 (2л)-3/2 У ехр (ikx) (k) ф (х)—
— •—г— л (х)У dx.
Ум*) v ч ______________
(Здесь х £ Е2, k£ Е2, со (k) = Vk2 + т2, f (Е2),
Ф (/) = У f (х) <р (х) dx, л (/) = У f (х) л (х) dx.) Менее акку-
ратно можно сказать, что ф (х) — оператор умножения на
Ф (х), а л (х) — вариационная производная б/бф (х). Легко
видеть, что ф (х), л (х) удовлетворяют соотношениям (30.4),
а а+ (k), a (/г) задают фоковское представление CCR. Опе-
ратор
N (У v (ф (х)) dx'j, (49.7)
где v — полином, N — знак нормального произведения,
коммутирует со всеми операторами вида ф (/), где f £
£ о? (Е2). Отсюда можно вывести, что (49.7) представляет
собой оператор умножения на некоторый функционал;
этот функционал обозначается символом N Ц v (ф (х)) dx} .
327
Определим теперь функции Швингера одномерного гамиль-
тониана вида (49.6) с помощью соотношения
Sm (xlt .... xm) = lim J <р (хх) ... ф (хт)Х
V —>оо
Хехр N (J v (<p(x))dxjj dp0.
Если v (ф) = КР (ф) — полином четной степени, К > О,
то фигурирующий в этом соотношении интеграл существует;
основная трудность состоит в изучении предельного пере-
хода оо. При малых К удается доказать существование
нужного предела; в общем случае можно гарантировать
лишь, что найдется последовательность Vfe->oo, для кото-
рой предел существует. Зная функции Швингера, с помощью
рассуждений, аналогичных доказательству теоремы рекон-
струкции в § 29, можно построить операторную реализацию
рассматриваемого гамильтониана. Проверка того, что в по-
строенной операторной реализации выполнены аксиомы
Уайтмана, основана на работе [60]. (В этой работе перечи-
слены требования, которые нужно предъявить к функциям
Швингера, для того чтобы гарантировать выполнение ак-
сиом Уайтмана.)
Разумеется, изложенные выше соображения представ-
ляют собой только грубую схему длинных и тонких рассуж-
дений, приводящих-к построению объектов, удовлетворяю-
щих аксиомам Уайтмана по одномерным гамильтонианам.
Анализ двумерного взаимодействия v (ф) = Хф4 проводится
по той же схеме, но при определении функций Швингера
следует учесть необходимость перенормировки массы. Очень
близкий подход к рассматриваемым проблемам основан на
понятии обобщенного марковского поля [61, 55].
ДОПОЛНЕНИЕ
§ Д. 1. Гильбертово пространство
Пространство Ж называется линейным пространством,
если в нем определены операции сложения двух элемен-
тов и умножения элемента на комплексное число таким,
образом, что выполняются требования: 1) х + у = у + х\.
2) (х + у) + z = х + (у + z); 3) % (х + у) = Кх + Ку,
4) К (рх) = (Хр) х (здесь х, у, К, р — комплексные
числа). Элементы линейного пространства будем называть
векторами. Размерностью линейного пространства назы-
вается минимальное число векторов, линейные комбинации
которых исчерпывают все пространство; если это число
бесконечно, то говорят, что пространство бесконечномерно.
Символом 0 обозначается вектор, удовлетворяющий усло-
вию х + 0 = х для всех х&М.
Линейный функционал f на линейном пространстве Ж
определяется законом, по которому каждому вектору
х((Ж ставится в соответствие комплексное число f (х) таким
образом, что f (Кх + рг/) = Kf (х) + р/ (у).
Линейное пространство называется предгильбертовым,
если в нем задано скалярное произведение (х, г/>, удовлет-
воряющее аксиомам: 1) <х, г/> = <г/, х>; 2) (Кх, у) =
= К(х, у\, 3) <х + у, z) = <х, г> + (у, г>; 4) <х, х> > О,
причем (х, х> — О лишь при х = 0 (здесь х, у, г&М, <х, г/>
и К — комплексные числа).
Число ||х|| = "|/<х, х> называется нормой вектора х.
Вектор х называется нормированным, если |(х(| = 1.
Два вектора х, у ортогональны, если <х, г/> — 0.
Говорят, что последовательность хпЕЖ сходится к эле-
менту x&ff (пишем х = lim хп), если lim ||х — хп|| = 0,
гг->оо
329
и что последовательность хп£^ слабо сходится к вектору
х£Ж (обозначаем х = wlim хп), если для любого элемента
у£Ж числовая последовательность <хп, г/> стремится к (х, г/>.
Последовательность хп£Ж называется фундаментальной,
если lim ||xm — xn|| = 0.
т, п-+оо
Множество М£Ж называется замкнутым, если всякая
точка х£Ж, которую можно представить в виде предела
последовательности хп£М, сама принадлежит М. Множество
М всюду плотно в Ж, если всякий вектор из Ж может быть
представлен как предел последовательности элементов из М.
Предгильбертово пространство Ж называется гильбер-
товым, если всякая фундаментальная последовательность
в нем сходится. Всякое предгильбертово пространство Ж
можно вложить в гильбертово (пополнить). Точнее говоря,
для всякого предгильбертова пространства Ж можно по-
строить гильбертово пространство Ж‘ (пополнение Ж) и
изоморфное отображение а пространства Ж на всюду плот-
ное подмножество пространства Ж (изоморфным называет-
ся взаимно однозначное отображение, сохраняющее все
операции, имеющиеся в предгильбертовом пространстве).
Пополнение пространства Ж единственно в следующем смыс-
ле: если Жг и Ж2 — два пополнения, ах и а2 — соответст-
вующие изоморфные отображения Ж в Жг и Ж2, то сущест-
вует изоморфное отображение а пространства Жг на Ж2,
обладающее свойством аах = а2.
Предгильбертово пространство называется сепарабель-
ным, если в нем существует счетное всюду плотное мно-
жество. Будем рассматривать только сепарабельные про-
странства.
§ Д.2. Системы векторов
в предгильбертовом пространстве
Множество векторов М£Ж называется линейным много-
образием, если линейная комбинация Хх + цу двух векто-
ров х, у£М также содержится в М. Линейное многообра-
зие называется подпространством, если оно замкнуто.
Множество векторов А из Ж называется полным (или
тотальным), если всякий вектор из Ж может быть представ-
п
лен как предел последовательности векторов вида 2Xja{,
г=1
330
где а^М, — числа (т. е. если наименьшее подпростран-
ство, содержащее А, совпадает с Ж).
Система векторов называется ортонормированной,
если = бр (т. е. каждый ее вектор нормирован и
два различных вектора ортогональны). Поскольку рассмат-
риваем лишь сепарабельные пространства, всякая ортонор-
мированная система конечна или счетна. Полная ортонор-
мированная система носит название ортонормированного
базиса.
Числа <х, Ва> называются коэффициентами Фурье век-
тора х в ортонормированием базисе |а. Для любого вектора
х&№ ряд Ва>Ва (ряд Фурье вектора х в ортонормиро-
а
ванном базисе Ва) сходится к вектору х. Скалярное произ-
ведение (х, г/> выражается через коэффициенты Фурье
формулой
<х, У) = 2 <Х, Ва> <|а, У> = 2 <Х, Ва> <1/, £а>-
а а
В частности, (X, Х> = 2 I <*, Ва> |2-
а
Если Ж — гильбертово пространство, то для того чтобы
последовательность са была последовательностью коэф-
фициентов Фурье вектора х&К, необходимо и достаточно,
чтобы 2 1С«12 < °°-
а
§ Д. 3. Конкретные пространства
1. Пространство I2— это й-мерное пространство Сп
(пространство строк из п комплексных чисел), наделенное
скалярным произведением
п
(х, у> = s Xtyt
i= 1
(здесь х = (х1( ..., Хп) £Сп, у = (г/х, ..., уп) £Сп).
2. Пространство I2 состоит из последовательностей ком-
плексных чисел х=(х1, ..., хп, ...), удовлетворяющих
оо
условию 2 I Xi |2 < оо. Сложение и умножение на число оп-
1=1
ределяются покоординатно, скалярное произведение век-
торов х=(хь ..., Хп, ...) и г/=(ух, ..., уп, ...) равно <х, г/> =
= х^у^ 4~ ... 4- хпУп + • • •
Пространства I2 и I2 гильбертовы.
331
Если — гильбертово пространство, — ортонорми-
рованный базис в Ж, то, сопоставляя вектору х коэффициен-
ты Фурье <х, ga> этого вектора в базисе £а, получаем изо-
морфное отображение этого пространства на I2 (если 3^
конечномерно) или на Р (если $ бесконечномерно).
3. Пространство С2 (Ег) состоит из функций на г-мер-
ном пространстве Ег, непрерывных и квадратично интег-
рируемых (т. е. удовлетворяющих условию J | / (Вх, •••
..., gr) |2 < оо). Сложение функций и умножение
на число определяются обычным образом, скалярное про-
изведение двух функций f и g из С2 (Ег) равно
= ....
Пространство С2 (Ег), является предгильбертовым про-
странством; его пополнение обозначается L2 (Ег).
4. Пространство С2 (Er X S), где S обозначает конечное
множество, состоит из функций f (g, s), непрерывных
по переменной £ и квадратично интегрируемых (т. е. удов-
летворяющих условию s)|2 de. < оо). Здесь
| = (gx, ..., gr) £Er\ s£S; = d1r ... d1T. Скалярное про-
изведение определяется формулой
<А £>-=S $/(l, s)i(|^)^.
s
Функцию f (I, s) можно рассматривать как столбец
из k функций fs (|) = f (I, s), зависящих от переменной
l£Er (k — число элементов в множестве S).
Пополнение пространства С2 (Er X S) обозначается сим-
волом L2 (Er X S).
5. Пусть в множестве М выделено семейство подмно-
жеств 33, содержащее вместе с каждыми двумя множествами
А, В множества A U В, А П В и А\В (кольцо подмножеств).
Предположим также, что множество является объеди-
нением счетной совокупности подмножеств, принадлежа-
щих семейству 33. Говорят, что на семействе 33 определена
счетно-аддитивная мера, если каждому множеству А&В со-
поставлено неотрицательное число р (А) таким образом, что
для всякой счетной совокупности А, Аь ..., Ап, ... множеств
из семейства 33, удовлетворяющих условиям:
323
oo
1) A = U Лп;
n— 1
2) множества Alt ..., An, ... попарно не пересекаются,
oo
имеет место равенство |л(Л) = 2 р-(Л;).
гг=1
Множество М, в котором заданы семейство S и счетно-
аддитивная мера |л, называется пространством с мерой.
Множество RczM (не обязательно принадлежащее се-
мейству ЙЗ) называется множеством меры нуль, если для
каждого е > 0 найдется такое множество Л С®, что RczA,
р (Л) < е. Говорят, что последовательность функций fn (х)
сходится к функции f (х) почти всюду на множестве М, если
множество точек х^М, для которых последовательность
fn (х) не сходится к f (х), имеет меру нуль (вообще, если ка-
кое-либо соотношение выполнено всюду,. за исключением
множества меры нуль, говорят, что оно выполнено почти
всюду или почти везде).
Для функций, заданных в пространстве с мерой, можно
определить понятие интеграла Лебега. Функция /, опреде-
ленная на множестве А£33, называется ступенчатой, если
она принимает конечное число значений уг, ..., уг и мно-
жество At, состоящее из точек, в которых функция f при-
нимает значение у,, принадлежит семейству S3. Интеграл
Лебега* от ступенчатой функции f определяется соотно-
шением
$ f (х) dp = yt р (Лг).
А 1=1
Функция f (х), которая может быть представлена в виде
предела сходящейся почти всюду последовательности сту-
пенчатых функций, называется измеримой. В дальнейшем
будем рассматривать только измеоимые функции. Будем
называть эквивалентными измеримые функции, разность
которых равна нулю всюду, за исключением множества
меры нуль. Эквивалентные измеримые функции условимся
не различать.
Если измеримая функция / ограничена, то ее можно пред-
ставить в виде предела сходящейся почти всюду последова-
тельности ступенчатых функций fn (х), ограниченных свер-
* В основном тексте книги для интеграла Лебега употребля-
ется обозначение f f (х) dx.
333
ху одной константой: |/„(х)|<С; интеграл Лебега от
функции f по множеству А £53 можно в этом случае опреде-
лить формулой
(x)d|* = lim ^/n(x)djx
yj п^-оо
(доказывается, что этот предел всегда существует и не за-
висит от выбора последовательности Д).
Если функция f неограничена и неотрицательна, можно
определить ее интеграл Лебега соотношением
§ / (х) t/ц — 1 i m § fn(x)dp,
A n >!x A
где fn (x) = f (x) при / (x) < n, fn (x) = 0 при f (x) Д- n.
Если множество А не принадлежит семейству 53, но
может быть представлено в виде А = J Ап, где Ап£53, то
п= 1
интеграл Лебега по множеству А от неотрицательной функ-
ции / определяется формулой
§ f(x)dp = lim § /(x)dp.
А п'°° At U U Ап
(Для любой неотрицательной измеримой функции интеграл
Лебега существует, но он не обязательно конечен.)
Измеримая функция f называется суммируемой по Ле-
бегу на множестве Ас: М, если интеграл Лебега от функции
\f (х) | конечен. Для действительной суммируемой функции
интеграл Лебега определяется соотношением
J/(x)dp = ^|/(х)|с1ц— $(|/(х)|—f(x))dp.
А А А
Если функция f (х) комплексна, то ее интеграл Лебега
определяется как J Re / (х) dp + i f Im f (x) dp.
A A
Отметим следующие важные свойства интеграла Лебега:
1. Пусть последовательность fn (х) сходится почти вез-
де к функции f (х) и существует суммируемая функция
g(x), мажорирующая функции fn (х) [т. е. такая, что |/п(х)
g (х)]. Тогда lim f fn (х) dp = f f (x) dp (теорема Ле-
n~+<x> A A
бега о предельном переходе под знаком интеграла).
334
2. Пусть Л1Х и М2 — пространства с мерой. Тогда в мно-
жестве М1 X Л12, состоящем из пар (хх, х2), где хх£Л1х,
х2£М2, можно ввести счетно-аддитивную меру р, положив
р (Лх х А2) = pi (Лх) р2 (Л2) (здесь рг обозначает меру
в Л1г; мера р называется произведением мер'рх и р2).
Если f (хх, х2) — функция на множестве 7ИХ X М2,
суммируемая относительно меры р, то при почти всех х2
функция f- (хх, х2) является суммируемой функцией от хх£Л1х;
двойной интеграл от функции f (т. е. интеграл по мере р)
сводится к повторному:
§ f (хх, х2) dp = § dp2 § f (х, х2) dpx
AtxA2 А2 А,
(теорема Фубини).
Пользуясь интегралом Лебега, можно ввести понятие
меры для некоторых множеств, не входящих в совокупность
53; именно, по множеству AczM можно построить функцию
Хл(х), равную 1 при х£А и нулю при х$А, и положить
рА (Л) = / хл (х) dp. Эта мера рА называется мерой Ле-
м
бега; она определена для множества А, если функция
Хл измерима (тогда и множество А называется измеримым).
Пространству с мерой М сопоставляется пространство
L2 (Л1) квадратично интегрируемых функций* (т. е. таких
измеримых функций, что интеграл Лебега от функции
\р (х)| по множеству М конечен). Скалярное произведение
в пространстве L2 (М) определяется с помощью интеграла
Лебега**:
<f,g> = V (x)g(x)dn.
Можно доказать, что пространство L2 (М) является гиль-
бертовым пространством.
В евклидовом пространстве Ег в качестве меры будем
всегда брать обыкновенный объем; тогда для функций, ин-
тегрируемых в обычном смысле (по Риману), обычный ин-
теграл совпадает с интегралом Лебега. Пространство L2 (Ег)
является пополнением пространства С2 (Ег). Если S — ко-
* Считаем, что две эквивалентные измеримые функции опреде-
ляют один и тот же вектор пространства L2 (Д1).
** Если интегрирование ведется по всему пространству с ме-
рой М, употребляем вместо обозначения J <р (х) dp обозначение
М
f ф (х) dii.
335
нечное множество, то мерой его подмножества А будем счи-
тать число точек в А; пространство L2 (S) в этом случае
изоморфно пространству /*, где/г — число точек в S. В мно-
жестве Er X S определяем меру как произведение мер
в Ег и S; пространство L2 (Er X S), построенное по этой
мере, является пополнением пространства С2 (£2 X S).
§ Д. 4. Операции с гильбертовыми
пространствами
Прямой суммой 31\ + 362 гильбертовых пространств
3£г и 36 2 называется гильбертово пространство, элементами
которого являются пары (/гх, /г2), где Ь&Зб^ h2E362, сложе-
ние пар, умножение пары на число и скалярное произведе-
ние пар определяются соотношениями
(/ii, h2)-]-(^i> h2) = (йх + hlt h^A-h^);
A (/ix, h2) — (A/ix, Z/i2);
<(/ix, /i2), (h’lt /i;)>==</ix, a;>+<a2, h'2>,
Пусть в гильбертовом пространстве 36 выделены два
подпространства 36 г и 36z, такие, что два любых вектора
Лхв3^х, h2£3l2 ортогональны, и любой вектор h£36 может
быть представлен в виде суммы h = /ix + h2, где /ixC,%’x,
/г2€«^2- Тогда говорят, что пространство представлено
в виде прямой суммы подпространств 36г и 36 2’, эта термино-
логия объясняется тем, что в рассматриваемом случае мож-
но построить естественный изоморфизм прямой суммы
36v + 362 и пространства 36, сопоставив паре (/гх, Л2) 6
£,?^х -f- 362 вектор hi /i2£^.
Прямая сумма ^36п последовательности гильбертовых
п
пространств 361, ..., 36п, ... определяется как пространство
последовательностей (/гх, ..., hn, ...), удовлетворяющих ус-
ловию 211М12<°° (Лп— вектор из пространства 36п).
п
Линейная комбинация и скалярное произведение последо-
вательностей определяются формулами
А(йх, ..., hn, + ..., h'n, ...) =
<(/ix, hn, (/ix, ..., hn, ...)>= ^>,
336
Гильбертово пространство Ж называется тензорным про-
изведением гильбертовых пространств ^х и Ж2, если задано
билинейное отображение a (/ix, /i2) пространств Жг и Ж2
в Ж, обладающее следующими свойствами:
1) <а (Лх, /г2), а (h'lt /г^)> = <ЛХ, hi> <й2»
2) множество векторов вида а (/гх, /г2) тотально в Ж (го-
ворят, что задано билинейное отображение, если каждой
паре векторов /гх£^’х, /г2£Ж2 сопоставлен вектор 1г£Ж, ли-
нейно зависящий от hr при фиксированном h2 и от h2 при
фиксированном /гх).
Тензорное произведение определяется указанными выше
условиями с точностью до естественного изоморфизма: если
Ж vi Ж' — два тензорных произведения, а и а' — соответ-
ствующие билинейные отображения, то существует такой
изоморфизм К гильбертовых пространств Ж н Ж', что
Ка = а'.
Тензорное произведение пространств Ж\ и Ж2 будет
обозначаться символом Ж± fx) Ж2, а вектор а (Лгх, h2) —
символом /гх ® /г2.
Легко видеть, что тензорное произведение пространств
1т и In изоморфно Пространству 12тп- Пространство 1тп
можно реализовать как пространство матриц порядка
т X п; тогда билинейное отображение а сопоставляет век-
торам (хх, ..., хт) 61т и (ух, ..., уп) € 1% матрицу с матричны-
ми элементами xtyj.
Тензорное произведение п экземпляров пространства
Ж называется n-й тензорной степенью и обозначается
®Жп:
®Жп = (... ((Ж®Ж)®Ж) ... ®Ж),
Каждой перестановке л индексов (1, ..., п) естественно
сопоставляется изоморфное отображение ря пространства
(У)Жп на себя.
Подпространство Ж*г пространства <$Жп, образованное
векторами, удовлетворяющими условию ря х = х для всех
перестановок л, называется n-й симметричной степенью
пространства Ж', п-я антисимметричная степень Ж“ прост-
ранства Ж. определяется как подпространство, состоящее
из векторов, для которых р„х = (— l)v(It)x, где у (л) —
четность перестановки л.
Отметим важное соотношение
Р (Мх) ® L* (М2) = L2 (Мх X М2)
12 Зак. 82 337
(мера в пространстве X М2 определяется как произве-
дение мер в Л1х и Л12). Билинейное отображение а, фигури-
рующее в определении тензорного произведения, сопостав-
ляет паре функций /Х6£2 (Л1 х), f2£L2 (Л12) функцию f (хх,
х2) = Л (хх) /2 (х2) а2 (Л1 х X М2). Симметричная (антисим-
метричная) тензорная степень пространства L2 (Л1) может
быть реализована как пространство симметричных (анти-
симметричных) квадратично интегрируемых функций п
переменных хх, хп£М.
§ Д. 5. Операторы в гильбертовом
пространстве
Под оператором, действующим из пространства Жг
в пространство Ж2, всегда будем понимать линейный опе-
ратор, определенный на всюду плотном линейном многооб-
разии и принимающий значения в Ж.2 [т. е. оператор
А ставит каждому вектору x£D вектор Ах£Ж2, причем
A (Аххх + А2х2) = АхАхх 4- К2Ах2]. Область определения
оператора А обозначаем Ол- Совокупность векторов, ко-
торые могут быть представлены в виде Ах, называется мно-
жеством значений оператора А.
Оператор А называется ограниченным, если найдется
такое число К, что ||Ах|| К||х|| для всех х£Рд. Число
sup называется нормой оператора А. Если оператор
А ограничен, то он может быть продолжен по непрерывно-
сти на все пространство Жг (т. е. существует единственный
ограниченный оператор в <9?!, совпадающий с А на множест-
ве Da).
Оператор умножения на число А будем обозначать так
же, как это число. В частности, тождественный оператор,
переводящий .всякий вектор в себя, можно рассматривать
как оператор умножения на 1, поэтому он обозначается
символом 1.
Линейная комбинация С = АХАХ 4- А2А2 операторов Ах и
А2 определяется формулой Сх = АхАхх + А2А2х, произ-
ведение F = АХА2 операторов Ах и А2 задается как резуль-
тат их последовательного применения: Fx = Ах (А2х).
При этом линейная комбинация операторов Ах и А2 имеет
смысл, если оба оператора Ах и А2 действуют из Жг в Ж2 и
пересечение их областей определения Da, и Da2 всюду
плотно в Произведение операторов Ах и А2 можно опре-
делить, если оператор А2 действует из Жо в 5^х, оператор
338
Ах— из Жг в Ж2 и множество тех x£Da2, для которых
А2х£Рл, плотно в J^q-
Если множество значений оператора А, действующего
из Жг в Ж2, всюду плотно в Ж2 и этот оператор переводит
в нуль только нуль, то можно определить обратный
оператор А-1, полагая А-1 у = х, если у = Ах.
Если оператор А действует из пространства Жг в Ж2,
а оператор В — из пространства Ж2 в Жг, то они называют-
ся сопряженными, если (Ах, у) = <х, By) для любого х из
области определения Da оператора А и любого у из обла-
сти определения Db оператора В.
Если операторы Вх и В2 сопряжены с одним и тем же опе-
ратором А и оба определены на векторе у^Жъ, то Вгу =
= В2у (это следует из плотности в Жг множества Da).
Символом А* будем обозначать оператор, сопряженный
с оператором А и определенный на всех у£Ж2, для которых
существует г£Жъ удовлетворяющий условию <Ах, у) =
= (х, z> (иными словами, А* является тем из сопряженных
операторов, который имеет максимальную область определе-
ния). Заметим, что, поскольку требуем от оператора, чтобы
он был определен на всюду плотном множестве, оператор
А* не всегда существует.
Если оператор А ограничен, то оператор А* всегда су-
ществует и ограничен, причем ||А*|| = ||А||.
Оператор U, отображающий Жг в Жг, называется изо-
метрическим, если он сохраняет скалярное произведение:
<t/x, Uy) = <х, у)-, для изометричности оператора необ-
ходимо и достаточно выполнение соотношения U*U = 1.
Изометричный оператор называется унитарным, если он
отображает Жг на все Ж2'> условие унитарности может быть
записано в виде UU* = U*U = 1. Иначе можно сказать,
что унитарный оператор осуществляет изоморфизм между
Жг и Ж2, а изометричный оператор — изоморфизм между
Жг и подпространством пространства Ж2-
Если Жг = Ж2 = Ж, то сопряженные друг с другом опе-
раторы действуют в одном и том же пространстве Ж. В этом
случае введем следующие определения.
Оператор А называется эрмитовым, если он сопряжен
сам с собой (т. е. <Ах, у) = <х, Ау) для всех х, уфд).
Оператор А называется самосопряженным, если А* = А.
Если А — эрмитов оператор, В — самосопряженный
оператор, Dacz Db и Ах = Вх для всякого вектора х£Рд,
то оператор В называется самосопряженным расширением
оператора А. Если у эрмитова оператора имеется ровно
12* 339
одно самосопряженное расширение, то он называется суще-
ственно самосопряженным.
Самосопряженные операторы являются важнейшими для
квантовой механики, поскольку именно они соответствуют
физическим величинам. В физических книгах говорят обыч-
но не о самосопряженных, а об эрмитовых операторах и
проверяют для операторов физических величин свойство
эрмитовости. Это не приводит к особым затруднениям, по-
скольку встречающиеся в физйке эрмитовы операторы ока-
зываются в большинстве случаев существенно самосопря-
женными. Отметим, что если эрмитов оператор не является
существенно самосопряженным, выбор различных самосо-
пряженных расширений в физических задачах, как прави-
ло, соответствует выбору различных граничных условий.
Оператор А называется ограниченным снизу, если най-
дется такая константа К, что {Ах, х)^ К {х, х) для любо-
го вектора x£Da- Если константу К можно выбрать рав-
ной нулю, то оператор А называют неотрицательно опре-
деленным (или просто неотрицательным), если константу
К можно выбрать положительной, то оператор А называют
положительно определенным.
Ограниченный снизу эрмитов оператор всегда имеет
самосопряженные расширения. Среди этих расширений
естественно выделяется так называемое фридрихсово (или
жесткое) расширение (фридрихсово расширение Лц можно
выделить среди других самосопряженных расширений опе-
ратора А, например, следующим экстремальным свойством:
если В — самосопряженное расширение оператора А, А —
такое число, что оператор В + А положителен, то <(ЛЦ +
+ А)-1 х, х> <(В + А)-1 х, х». Фридрихсово расшире-
ние Лр, ограниченного снизу оператора Л само является ог-
раниченным снизу оператором; при этом константа К, фи-
гурирующая в определении ограниченности снизу, может
быть выбрана для оператора Лц такой же, как для опера-
тора Л.
Конкретные операторы, рассматривающиеся в книге,
обычно задаются с помощью формальных выражений, сос-
тавленных из более простых операторов (например, из опе-
раторов умножения на независимую переменную и диф-
ференцирования в пространстве L2 (Еп) или из операторов
рождения и уничтожения в фоковском пространстве).
Строго говоря, следовало бы каждый раз описывать область
определения рассматриваемого оператора. Вместо этого раз
навсегда условимся для определяемых формальными выра-
340
жениями операторов в пространстве L2 (Еп), что их обла-
стью определения является пространство if (Еп) гладких
быстро убывающих функций (точное определение простран-
ства if (Еп) см. в § Д.6), а для операторов в фоковском про-
странстве F (Г2 (£”)) областью определения будем считать
совокупность фоковских столбиков, состоящих из функ-
ций fk (х1( ..., хДС^ (Епк), лишь конечное число которых
отлично от нуля.
Говоря, что формальное операторное выражение опре-
деляет самосопряженный оператор, имеем в виду, что этому
выражению соответствует эрмитов оператор, который либо
существенно самосопряжен, либо ограничен снизу (в по-
следнем случае под самосопряженным оператором, опреде-
ляемым рассматриваемым выражением, понимается фрид-
рихсово расширение соответствующего эрмитова оператора).
В случае, если формальное операторное выражение не
определяет эрмитова оператора или. определяет эрмитов
оператор, не имеющий самосопряженных расширений, го-
ворим, что данному формальному выражению нельзя при-
дать смысл самосопряженного оператора.
Оператор Р называется проектором (оператором ортого-
нального проектирования), если Р = Р* и Р2 = Р. Про-
екторы в гильбертовом пространстве находятся во взаимно
однозначном соответствии с подпространствами (каждому
проектору ставится в соответствие его множество значений).
В качестве примера рассмотрим оператор а (х) умноже-
ния на измеримую функцию а (х) в пространстве L2 (М),
где М — пространство с мерой (оператор а (х) переводит
функцию f (х) в функцию а (х) f (х) и определен на тех функ-
циях f (х)£Жа (Л4), для которых функция а (х) f (х) квад-
ратично интегрируема). Легко проверить, что (а (х))* =
= а (х). Отсюда следует, что оператор а (х) будет само-
сопряженным, если функция а (х) действительна, унитар-
ным, если \а (х)| = 1, и проектором, если функция а (х)
принимает значения 0 и 1.
Этот пример в некотором смысле универсален. Имеет
место следующее важное утверждение.
Для всякого самосопряженного или унитарного опера-
тора А в пространстве можно найти пространство с ме-
рой М и изоморфизм а пространства Ж и пространства
L2 (М), при котором оператор А переходит в оператор умно-
жения на функцию [т. е. аЛа-1 = а (х)]; функция
341
a (x) действительна, если A — самосопряженный оператор,
и равна по модулю 1, если А — унитарный оператор.
Сформулированное утверждение позволяет определить
функции от самосопряженного или унитарного оператора.
Именно, если ср (X) — измеримая функция действительного
переменного, то оператор ср (А), где А — самосопряжен-
ный оператор, определяется как оператор, переходящий
при описанном выше изоморфизме а в оператор умноже-
ния на функцию ср (а (х)) [т. е. если аЛа-1 = а (х), то
аср(А)а-1 = ср (а(х))1.
Отметим очевидные соотношения.
1. Если h (%) = yf (%) + ng (%); г (%) = f (%) g (%);
s (X) = f (g (Ж to h (A) = yf (A) + (A); r (A) =
= f(A)g(A);s(A) = f(g(A)).
2. Если В = U~v AU, где U — унитарный оператор
в пространстве Ж, то ср (В) — U-1 ср (A) U.
3. Если ср (%) — ограниченная функция и | ср (%)| М,
то ср (А) — ограниченный оператор, причем ||ср (А)||^Л4.
4. [ср (А)]* =<р(А); если функция ср (%) действитель-
на, то оператор ср (А) самосопряжен, если |ср (Х)| =1,
то ср (А) — унитарный оператор. В частности, унитарным
будет оператор ехр (i tA).
Если ср — измеримая функция на окружности |z[ = 1,
а оператор А унитарен, то совершенно так же определяется
оператор ср (А), обладающий аналогичными свойствами.
Если А — самосопряженный оператор, то нередко
удобно рассматривать проекторы Efl = (А), где ^(Х) —
функция, равная 1 при J. иО при р. Проекторы
Ёц носят название спектральных проекторов (спектрально-
го разложения) оператора А. Из соотношения 1 = f de^
вытекает соотношение
А = J рсАЕц
— 00
(эта формула носит название спектрального разложения
ь
оператора А; при конечных а и b интеграл f p,dE(l опреде-
а
ляется как предел по норме интегральных сумм:
2 Р* (£ua+1—
342
где ц0 = а < < ... < р,п = b; Ли,, = pfe+1 — -> 0;
оо b
интеграл f рДЕц определяется как сильный предел fpdEg
—оо а
при а->оо, Ь-ь—оо).
Будем говорить, что действительное число % не принад-
лежит спектру самосопряженного оператора А, если най-
дется такое число е > 0, что Е%+е = Е\_8. Легко про.
верить, что спектр оператора а (х) умножения на функцию
а (х) в пространстве L2 (М) совпадает с множеством зна-
чений функции а (х). (Напомним, что условились не раз-
личать эквивалентные измеримые функции; в связи с этим
множество значений измеримой функции следует определить
так, чтобы это множество не менялось при замене функции
на эквивалентную. Будем говорить, что число % принадле-
лежит множеству значений функции а (х), если для всякой
функции b (х), отличающейся от а (х) только на множестве
меры 0, и для всякого в > О найдется такое х^М, что
X — в < b (х) < X + в).
Используя это утверждение и упоминавшийся выше изо-
морфизм, при котором самосопряженный оператор перехо-
дит в оператор умножения на функцию, легко доказать сле-
дующие утверждения:
1. Если число Р не принадлежит спектру самосопряжен-
ного оператора Н, то имеет место равенство
J ехр (— iра) ехр (iHa) da = 0.
Точнее говоря, для любых х, у&
С ехр(—ipa)<exp (iHa)x, уУ da = O.
2. Если для всякой гладкой финитной функции % (и),
носитель которой содержится в интервале (а, Ь), выполнено
равенство
J %(/) ехр (iHt) dt=O,
где
X (0 = j ехР (—i®0 % (и) da,
то спектр оператора Н находится вне интервала (а, Ь).
Два оператора А и В, определенных на всем пространстве
Ж, называется коммутирующими, если АВ = В А. Это же
343
определение пригодно в случае, когда операторы Л и В за-
даны на одном и том же множестве!) и переводят его в себя.
Однако для самосопряженных операторов следует пользо-
ваться другим определением коммутирующих операторов:
говорят, что два самосопряженных оператора Л и В в гиль-
бертовом пространстве &С коммутируют, если <р(Л) ф(В) =
= (В) <р (Л) для любых ограниченных функций <р (X),
ф (А,) (только в этом случае будем писать, что АВ = ВЛ).
Отметим, что операторы <рх (Л) и ф2 (Л), где «рц (%) и
<р2(Х) —произвольные действительные функции, Л—само-
сопряженный оператор, коммутируют между собой.
Имеет место следующая теорема.
Для произвольного семейства коммутирующих между
собой самосопряженных операторов Лъ ..., Ап, ... в гиль-
бертовом пространстве Ж можно найти пространство с ме-
рой М и изоморфизм а пространства Ж и пространства
L? (М), при котором каждый из этих операторов переходит
в оператор умножения на функцию [т. е. аЛга-1 = at (х)].
Так же как и в случае одного оператора, эта теорема поз-
воляет определить функции от семейства операторов. Имен-
но, если Лх, ..., Ап — коммутирующие между собой само-
сопряженные операторы, / (Хх, ..., Хп) — измеримая функ-
ция п действительных переменных, то f-(Alt ..., Лп) опре-
деляется как оператор, переходящий в оператор умноже-
ния на функцию f (ах (х), ..., ап (х)) при изоморфизме а.
Пусть Д — открытое множество в n-мерном пространст-
ве. Символом ед (хх, ..., хп) условимся обозначать функ-
цию, равную 1, если (хх, ..., хп) £Д, и нулю в противном слу-
чае.
Проекторы £д = ед (Лх, ..., Лп) называются спект-
ральными проекторами семейства коммутирующих само-
сопряженных операторов Лх, ..., Л„.
Говорят, что точка n-мерного пространства (Хх, ..., Хп)
принадлежит спектру (точнее, совместному спектру) семей-
ства коммутирующих самосопряженных операторов Аи ...
..., Ап, если для любой окрестности U точки (Хх, •••, Хп)
спектральный проектор Еи = еи (Л1Э..., Лп) не равен
нулю.
Если операторы Лп ..., Ап реализованы в пространстве
U (М ) как операторы умножения на функции аг (х), ...
..., ап(х), то совместный спектр этих операторов состоит
из всех точек вида («х (х), ..., ап (х)) (точнее, точка
(Xi, .... Хп) принадлежит спектру тогда и только тогда, ког-
344
да для любых функций bt (х), эквивалентных функциям
аг (х), и любой окрестности U точки (%ь ...,%„) найдется та-
кая точка х(гМ, что (бДх), ..., bn (х)) (-V).
Остановимся на вопросе о сходимости последователь-
ности операторов. Определим три вида сходимости, пред-
полагая, чтобы не делать лишних оговорок, что все опера-
торы ограничены.
Последовательность операторов Ап сходится к оператору
А равномерно (по норме), если || А — Ап||.-> 0.
Последовательность операторов Ап сходится сильно
к оператору А, если lim Апх = Ах для любого вектора х.
Последовательность операторов Ап сходится к оператору
А слабо, если lim <АП х, у) = <Ах, у) для любых векто-
ров X, у.
Равномерную сходимость операторов будем обозначать
символом А — nlim Ап или Ап => А, сильную сходимость —
символом А = slim Ап или Ап -> А и слабую — А =
= w lim Ап или Ап-*-А.
Ясно, что из равномерной сходимости операторов выте-
кает сильная, а из сильной — слабая.
Отметим следующие утверждения:
а) если для всюду плотного множества векторов х су-
ществует предел lim Апх и последовательность |(АП||
ограничена, то последовательность Ап сильно сходится;
б) если lim (Апх, у> существует для х из всюду плот-
ного множества X и у из всюду плотного множества Y, а по-
следовательность ||АП|| ограничена, то последовательность
Ап слабо сходится;
в) если АП-*А, Вп-+В и последовательность || Ап ||
ограничена, то АпВп АВ (аналог этого утверждения для
слабой сходимости несправедлив); если Ап~* А и последо-
вательность || Ай11| ограничена, то Ай1-* А-1;
г) пусть Ап — последовательность унитарных операто-
ров; если Ап => А, то оператор А унитарен, если Ап -> А,
то оператор А изометричен, если Ап -* А, то можно утверж-
дать лишь, что || А |] ^ 1;
д) если Ап -* А, то А£-* А* (для сильной сходимости
аналог этого утверждения не имеет места; однако если
Ап — унитарные операторы, сильно сходящиеся к унитар-
ному оператору А, то А„ = Ай1 -* А* — А-1).
Часто приходится рассматривать семейства операторов,
переводящих в себя фиксированное линейное многообразие
D, плотное в гильбертовом пространстве (т. е. операторов
с областью определения D и с множеством значений, со-
345
держащимся в £)); это семейство операторов будем обозна-
чать Жо. Линейная комбинация и произведение операто-
ров, принадлежащих семейству Жо, также принадлежат
этому семейству. Если для оператора Л£ЖО существует
оператор удовлетворяющий условию (Ах, у) =
= (х, By) для всех x(D, у(Р, то будем говорить, что опе-
ратор В является £)-сопряженным с оператором А, и
обозначать его Л+.
Сильный предел А = slim Ап последовательности опера-
торов ЛПЕЖО определяется как оператор, удовлетворяю-
щий условию Ах = lim Апх для любого слабый предел
А = wlim Ап определяется условием (Ах, у) =
= lim (Апх, у) для любых х, y(D.
§ Д. 6. Локально выпуклые
пространства
Неотрицательная функция р (х) на линейном пространст-
ве R называется полунормой, если р (kx) = | А, | р (х),
р (х + у) р (х) + р (у) для любых х, y(R и произ-
вольного действительного числа k. Нормой называется полу-
норма, обращающаяся в нуль лишь при условии х = 0.
Говорят, что в линейном пространстве R задана локаль-
но выпуклая топология, если в нем фиксирована система
А полунорм ра (х), удовлетворяющая условиям: 1) для вся-
ких двух полунорм ра, р$(А найдется такая полунорма
Ру(А, что ру ра, Ру рр; 2) для всякой точки x(R
найдется полунорма ра(А, не обращающаяся в нуль в точ-
ке х. Пространство, в котором задана локально выпуклая
топология, называется локально выпуклым топологиче-
ским линейным пространством или просто локально выпук-
лым пространством, система А — определяющей системой
полунорм. Если определяющая система состоит из единствен-
ной полунормы (тогда она автоматически оказывается нор-
мой), то пространство называется нормированным.
Функция / (х) на локально выпуклом пространстве R
называется непрерывной в топологии этого пространства,
если для всякого 8 >0 и любой точки x0(R найдется такая
полунорма ра из определяющей системы полунорм в R и
такое 6 > 0, что для каждой точки х, удовлетворяющей
неравенству ра (х — х0) < 6, выполнено соотношение
|/(х) — /(х0)|<е. В качестве примера локально вы-
пуклого пространства рассмотрим пространство (Ет)
бесконечно дифференцируемых функций г переменных, все
346
производные которых на бесконечности убывают быстрее
любой степени. Топология в пространстве (Ег) задается
системой норм
II Ф На, 3 = SUp | X(Ct) £)(3)ф(х)|
х£Ег
здесь а = (ап аг), 0 = (0Х, 0Г) — произвольные на-
боры неотрицательных целых чисел, х<“> = х“* ... х*г,
£)(&)= _£------- ' .
дх^1 ... дхгг /
Будем говорить, что две системы полунорм в линейном
пространстве R эквивалентны (задают одну и ту же тополо-
гию), если всякая функция, непрерывная относительно
одной из этих систем полунорм, непрерывна также относи-
тельно другой системы. Таким образом, в одном и том же
локально выпуклом пространстве можно рассматривать раз-
личные определяющие системы полунорм; среди этих
систем полунорм имеется максимальная, состоящая из всех
непрерывных полунорм. Вместо термина «полунорма, не-
прерывная в топологии локально выпуклого пространства
7?» будем обычно использовать более короткий термин «по-
лунорма в 7?».
Последовательность £п элементов локально выпуклого
пространства 7? называется сходящейся к элементу (, если
для любой полунормы р в 7? последовательность р (£п —. 2)
стремится к нулю. Последовательность 2,г называется
фундаментальной, если для любой полунормы р в 7?
lim р (£го— gn) = 0. В полном локально выпуклом про-
т^-оо, п-+оо
странстве всякая фундаментальная последовательность схо-
дится (не приводим определения полноты, поскольку для
нас существенно только сформулированное свойство пол-
ного пространства).
§ Д. 7. Обобщенные функции
Физики определяют обобщенную функцию f (х) как
символ, который имеет смысл лишь под знаком интеграла
f / (х) ф (х) dx, где ф (х) — «хорошая» функция. Математи-
ческая формализация этого определения такова.
Пусть М — пространство с мерой, 7? — некоторое под-
пространство линейного пространства измеримых функций
на М (элементы пространства 7? носят название основных
347
функций). Тогда обобщенной функцией (точнее, обобщен-
ной функцией с числовыми значениями) на М называется
линейный функционал f (<р) на пространстве R. Обобщен-
ная функция на пространстве М обозначается f (х); при этом
вводится обозначение f f (х) ф(х) dx = /(ф). Отметим, что
f f (х) Ф (х) dx здесь нужно понимать чисто условно — как
другую запись числа f (ф)*- Часто бывает удобно считать,
что пространство основных функций R наделено тополо-
гией, и называть обобщенными функциями лишь непрерыв-
ные линейные функционалы на R. Будем рассматривать то-
пологию в пространстве основных функций только в одном
месте — при определении обобщенных функций умеренного
роста.
Разумеется, определение обобщенной функции зависит
от выбора пространства основных функций R. Множество
обобщенных функций, соответствующих данному прост-
ранству основных функций R, обозначаем R'; множество
R', естественно, снабжается структурой линейного прост-
ранства. Если Rc^L? (М), то всякая функция g£R [и даже
всякая функция g£L2 (Ai)l определяет линейный функцио-
нал на R по формулеg (ф) = f g (х) <р (х) dp; иными словами,
м
всякая основная функция порождает обобщенную функ-
цию, которую будем обозначать тем же символом.
Обобщенную функцию п переменных хъ ..., хп^М оп-
ределим как функционал ..., фп), зависящий от «функ-
ций фх, ..., фпЕ-R, линейный по каждому из аргументов
(иначе говоря, это линейный функционал на тензорном про-
изведении п экземпляров пространства R). Для обобщен-
ной функции п переменных будем использовать символ
f (хъ ..., х„) и писать, что f (фр ..., <р„) = И (хъ ...,xn) к
Xф(xj)... ф (xn) dx1 dxi.-.dxn. Множество обобщенных функ-
ций п переменных обозначаем R'n.
Рассмотрим некоторые примеры обобщенных функций.
1. Пусть С (Ег) — пространство непрерывных функций
на евклидовом пространстве Ег. Символом б (х, а) или
* Подчеркнем, что в то время как J f (х) <p (х) dx понимается
как условная запись числа/ (ср) и имеет смысл в случае, если <р —
основная, a f — обобщённая функция, J f (х) q> (х) dp понимается
как интеграл Лебега от обычной функции/ (х) <р (х) н имеет смысл,
если функция / (х) <р (х) суммируема. (Это соглашение не относится
к основному тексту книги.) Для интегралов по евклидову прост-
ранству Ег в обеих ситуациях употребляем обозначение
f / (х) Ф (х) dx.
348
6 (х — а) будем обозначать обобщенную функцию — функ-
ционал на пространстве С (Ег), сопоставляющий функции
Ф (х) £С (Ег) ее значение <р (а) в точке а (точка ag£r играет
роль параметра). Иными словами, функция б (х — а)
(б-функция) определяется соотношением J* б (х—а) <р (x)rfx=
= <р (а). Ясно, что для любого пространства (ЕД
б-функция может рассматриваться как обобщенная функ-
ция из 7?'.
2. Пусть Сп (Ег) — пространство п раз непрерывно
дифференцируемых функций на Ет. Обобщенную функцию
б<“> (х — а) 6 (Сп (Ег))' определим соотношением
J б(а) (х—а) <р (х) dx = (— 1),а| (D!a} (ф)) (а)
здесь а = (аъ ..., aft) — набор целых чисел аг О,
удовлетворяющий условию |а| = cq + ... + aft п,
Al а I \
£)(а) (ф) = -°------ф ) .
- дх? ... д>Сапп]
3. Если пространство R содержится в пространстве
L2 (М), то обобщенная функция двух переменных б (х, y)^R'^
определяется соотношением
J б (х, у) ф (х) ф (у) dxdy = J ф (х) ф (х) dp..
4. Всякий оператор А в пространстве L2 (М) опреде-
ляет обобщенную функцию двух переменных А (х, у) g (Ра)'2
по формуле
J А (х, у) ф (х) ф (у) dx dy=<Aty, ф>,
функция А (х, у) называется ядром оператора А.
Оператор А можно записать как интегральный оператор
с ядром А (х, у), иными словами,
(Лф) (х) = J А (х, у) ф (у) dy. (Д. 1)
Равенство (Д.1) следует понимать как сокращенную за-
пись соотношения
J (Лф) (х) ф (х) dp = J Л (х, у) ф (у) ф (х) dx dy.
5. Рассматривая числовые обобщенные функции на
пространстве Ег, всюду в этой книге ограничиваемся обоб-
щенными функциями «умеренного роста» — функционала-
349
ми на пространстве (Ег) бесконечно дифференцируемых
функций, все производные которых на бесконечности
убывают быстрее любой степени. Топология в этом про-
странстве описана в § Д.6.
Обобщенная функция умеренного роста определяется как
непрерывный линейный функцйонал f (ф) на пространстве У.
Линейное пространство обобщенных функций умеренного
роста обозначается У (Ег).
Всякая числовая функция а (х), растущая на бесконеч-
ности не быстрее полинома (т. е. допускающая для достаточ-
но больших х оценку | а (х) | С || х ||п) и суммируемая
в любой ограниченной области, определяет обобщенную
функцию а (ф), принадлежащую пространству по фор-
муле
а (ф) = J а (х) ф (х) dx
(интеграл понимается в смысле Лебега).
Определим простейшие операции с обобщенными функ-
циями.
Обобщенная функция f^y называется пределом после-
довательности обобщенных функций, если для любой
функции фО^ предел последовательности fn (ф) равен f (ф)
(иными словами, lim f fn (х) Ф (х) dx = f f (х) ф (х) dx).
Производная А — обобщенной функции f^y опре-
деляется формулой
К dxi /
или, в других обозначениях, формулой
С <p(x)dx = — G(х) dx.
J J дх(
Преобразование Фурье / обобщенной функции ^У оп-
ределяется соотношением
Г(<Р) = Нф)> гдеф(х) = (2л) 2 J ехр (i<k, х» ф (k) dk.
Отметим, что производная функция f^y и ее преобразо-
вание Фурье всегда существуют и принадлежат простран-
ству У ^это становится очевидным, если заметить, что
350
вместе с функцией функции ~ и ф принадлежат
дх[
Следующее важное утверждение называется теоремой
о ядре.
Пусть f (ф, ф) — функционал от ф&'Т’ (Ег), фб-95 (Еп),
принадлежащий пространству У” (Ег) при фиксированном
ф и пространству (Еп) при фиксированном ф. Тогда су-
ществует один и только один функционал (Ег+п), для
которого
/ (фф) = / (ф, ф)
(символом фф обозначена функция
Ф (хь хг) ф (z/j, уп) £ (£’+")].
Совершенно аналогично числовым обобщенным функ-
циям определяются векторные обобщенные функции и опе-
раторные обобщенные функции.
Именно, говорят, что задана векторная обобщенная
функция, если каждой функции ф из пространства основных
функций R поставлен в соответствие вектор f (ф) из линей-
ного пространства F, линейно зависящий от ф. (Иначе го-
воря, векторная обобщенная функция — это оператор,
заданный на пространстве 7?, со значениями в линейном
пространстве F.)
Если каждой функции ф из пространства основных функ-
ций R поставлен в соответствие линейно зависящий от ф опе-
ратор А (ф) из пространства в пространство ^2, то го-
ворят, что задана операторная обобщенная функция (будем
считать, что все операторы А (ф) имеют одну и ту же об-
ласть определения D). Можно сказать, что операторная обоб-
щенная функция — это оператор, заданный на пространстве
основных функций R и принимающий значения в линейном
пространстве операторов с областью определения и
со значениями в М2.
Так же как и для числовых обобщенных функций, для
векторных и операторных обобщенных функций будем
пользоваться условной записью
f (<Р) = f f (х) ф (х) dx.
Приведем примеры векторных обобщенных функций,
воспользовавшись при этом следующей общей конструк-
цией.
351
Пусть линейное пространство L вложено в линейное
пространство К и на пространстве с мерой М задана функ-
ция f (х) со значениями в К, обладающая тем свойством,
что для любой функции <р£7? существует f f (х) <р (х) dp, и
этот интеграл* является элементом пространства L. Тогда,
очевидно, соответствие / (ф) — f / (х) <р (х) dp можно рас-
сматривать как обобщенную функцию со значениями в L,
порождаемую обычной функцией f (х) со значениями в /(.
Для этой обобщенной функции будем применять то же
обозначение f (х).
Пусть, например, х^Ет, R = L2 (Er) = L, К — Of' (Ет).
Рассмотрим функции 6а (х) = б (х — а) и фа (х) =
= (2л)-г/2 ехр (i<a, х» из R = tf' (Ег), зависящие от пара-
метра а£Ег [т. е. функции на Ег со значениями в tf' (Ег)].
Если f (а) Е R = L2 (Ег), то f f (а) 6а (х) da = f (х) £ L =
= L2 (Ег) и f f (а) (ра (х) da = f (х) £ L — L2 (Ег). Таким
образом, построены векторные обощенные функции 6а (х),
фа (х) со значениями в L2 (Ег).
Если D — линейное многообразие в пространство
Ж2 вложено в пространство а каждой точке х простран-
ства с мерой М поставлен в соответствие оператор А (х)
с областью определения D и со значениями в таким об-
разом, что для всякой функции фЕД оператор А (ф) =
= J А (х) ф (X) dp, переводит множество D в то обычной
операторной функции А (х) соответствует, очевидно, обоб-
щенная операторная функция А (ф) со значениями в мно-
жестве операторов, переводящих D в.Ж2.
В частности, если М = Ет, R = L2 (Ет), D = 3tr —
— Fn, Ж2 = Еп+1, где Fn обозначено пространство сим-
метричных (антисимметричных) квадратично интегрируе-
мых функций f (xlt ..., хп) переменных хь ..., хп^Ег,
а (ЕтХп+хх} — пространство обобщенных функ-
ций умеренного роста, зависящих от переменных хх, ...
..., хп+1СЕг, то операторная функция at (х) на Еп, где
at (х) — оператор переводящий функцию f (хь ..., х„) £
ЕЕП в функцию /«+ 1 Р ..., хп) 6(хп+1 —х)1е
определяет операторную обобщенную функцию, дейст-
вующую из Fn в Fn+1, поскольку оператор J ф (х) а+ (х) dx
переводит Fn в Fn+1 (Р здесь обозначает оператор симметри-
* Интеграл здесь можно понимать в любом смысле, лишь бы
он обладал свойством линейности по <р.
352
зации или антисимметризации). Об этой операторной обоб-
щенной функции идет речь в § 13.
Обобщенную векторную функцию / со значениями в Ж
будем называть полной, если линейные комбинации век-
торов f (<р) всюду плотны в Ж.
Если пространство основных функций R является всю-
ду плотным подмножеством пространства L2 (Л1), то обоб-
щенную векторную функцию f (х) со значениями в Ж будем
называть нормированной на 6-функцию при условии
</ (х), f (У)> = 6 (х, у)
(точный смысл это равенство приобретает, если проинтег-
рировать его, умножив на основные функции ф (х), ф (у), т. е.
переписать его в виде
/J f (х) ф (х) dx, j' f (у) ф (у) dy\ =
= р(х, y)tp(x)^(y)dxdy= £ф(х)ф(х)ф
или короче: </(ф), f (ф)> = <ф, ф».
Таким образом, если обобщенная функция f нормирована
на 6-функцию, то, ставя в соответствие функции ф£7?
вектор f (ф)Е^, получаем изометрическое отображение про-
странства R в Ж', это отображение можно по непрерыв-
ности продолжить в изометрическое отображение простран-
ства L2 (М) в продолженное отображение также обозна-
чим символом /. Если векторная функция f является пол-
ной, то изометрическое отображение L2 (Л1) в оказывает-
ся изоморфизмом (т. е. отображением на
Полную нормированную на 6-функцию обобщенную
векторную функцию f будем называть обобщенным базисом.
Сформулированные выше утверждения означают, что вся-
кий вектор можно разложить по обобщенному базису
(т. е. единственным образом представить в виде
а = f (ф) = f Ф W f W dx,
где ф£Ь2 (М)). Если а = f (ф), то функция ф (х) может
быть записана в виде
Ф (х) = <о, f (х)>.
Примерами обобщенных базисов являются введенные выше
векторные обобщенные функции 6а и фа.
353
Если А — оператор в пространстве то обобщенная
функция
<х| 4|«/> = <4f (у), f (х)>
называется матрицей оператора в обобщенном базисе f (х).
Отметим следующее полезное утверждение: если Ап —
последовательность операторов, нормы которых ||ДП|| об-
разуют ограниченную последовательность, и матрицы
<х|Дп|г/> сходятся к матрице <х|Д|г/>, то операторы Ап
слабо сходятся к оператору Л [говоря, что матрицы <х|Дп|г/>
сходятся к {х | А | уУ, имеем в виду, что для любых функций
<р, где R — плотное подмножество L2 (Л4),
lim J <х|Дп|г/>ф(х)ф(г/)йхйг/ = J <х| А | уУ <р(х) ф(г/) dxdy].
Фиксируем пространство основных функций R и всюду
плотное линейное многообразие D в гильбертовом простран-
стве Ж и будем рассматривать только такие операторные
обобщенные функции, которые переводят многообразие
D в себя (т. е. будем считать, что область определения опе-
ратора А (<р), где <р — основная функция, совпадает с D и
все векторы А (<р) а, где a^D, содержатся в D).
Множество таких функций обозначим
Операторные обобщенные функции A^Mq, B£MD на-
зываются сопряженными друг с другом, если для любых
я£О, b£D
(Д (х) a, by = (а, В (х) by
(точнее, если <Д (<p) a, by = (а, В (<р) ЬУ). Будем в этом
случае применять обозначение В = Д+.
Произведением операторных обобщенных функций
Д6-^о, B(zJtD называется операторная обобщенная функ-
ция
С (х, у) = А (х) В (у).
Точнее, операторная обобщенная функция С сопоставляет
функции а (х, у) вида
а (*, у) = 2 <Pv (х) 4>v (У),
V
(Д-2)
где <pv, ipv£7?, оператор
С (а) = f а (х, у) А (х) В (у) dxdy = 2 A (<pv) В (4>v).
J V
354
В некоторых случаях операторную обобщенную функ-
цию С (х, у) можно определить на более широком классе
основных функций, чем функции вида (Д.2). Например,
имеет место следующее утверждение (операторный аналог
теоремы о ядре).
Пусть пространством основных функций является про-
странство & (Ег). Выделим в множестве Мр, множество
состоящее из таких операторных обобщенных функ-
ций A^Md, что: а) функционал <Д (<р) а, Ь) при любых
a, b£D непрерывен в топологии пространства & (т. е. чис-
ловые обобщенные функции <Д (х) а, Ь} принадлежат про-
странству <У'); б) существует операторная обобщенная функ-
ция Д+ сопряженная с А. Если Дх, ..., то
любой функции ф£Дрг можно сопоставить оператор
С (ф) = f ф (хь .... хр) Аг (xj... Ар (хп) dp х, (Д.З)
определенный на множестве D, положив
с(Ф)=
k=1
в случае, когда
Ф= 2 Ф^ (*i) --^(Хр) (Д.4)
k= 1
и
С (ф) = slim С (фп), (Д.5)
где ф„ — последовательность функции вида (Д.4), сходя-
щаяся к ф в топологии пространства <5^, в случае, когда
ф — произвольная функция из пространства <СА
Для того чтобы доказать это утверждение, рассмотрим
выражение
IIС (фт) а—С (фп) а ||2 = <С (фт) а—С (ф„) а, С (фт) а—
-С (фД а> = <(С+ (фт) С (фт) + С+ (ф„) С (фп)-
— с+ (4’m) С ($>п) — С+ (Фп) С (фт)) а, а> =
= J Рт, п (•'-г.хр I Уъ •••> Ур) (Хр) ... А^ (Xj) (z/i)...
... Ар(ур)а, a>dpxdpу, (Д.6)
355
где
Pm,n(xlt ..;Хр\уъ Ур)=^т(Хъ ...,Хр)О/1, -ч «/>>) +
+ Фге(хх....А:р)-фга (^1,..., ур) —
Фп (Хх» •••> хр) фт (z/x> ..., ур) Фщ (Х|, ..., хр) фп (z/x, ..., Ур).
Легко видеть, что при т-> оо, п->оо функция
Pm, п стремится к нулю в топологии пространства У (Е2рг).
Из этого факта с помощью теоремы о ядре можно заклю-
чить, что выражение (Д-6) стремится к нулю при т-> оо,
п^- оо; таким образом, последовательность С (фп) а
является фундаментальной и, следовательно, сходится для
всякого a^D. Тем самым доказана сильная сходимость по-
следовательности операторов С (фп) и возможность опреде-
лить оператор С (ф) с помощью формулы (Д.5).
Рассмотрим теперь множество D', состоящее из линей-
ных комбинаций векторов вида С (ф) а, где а£Р, С (ф) —
оператор вида (Д.З), построенный с помощью операторного
аналога теоремы о ядре, и покажем, что выражению вида
(Д.З) можно сопоставить также оператор, определенный на
множестве D' с помощью формулы
С (ф) (С (ф') а) = (С (ф) С (ф')) а,
где
С (Ф') = J ф' (Хх,.... xq) А[ (Хх) ... Ад (xq) d4 х;
С (ф) С (ф') = J ф (Хх, ..., Хр) ф' (Х', ..., Хд) Лх (Хх)...
... Ар (Хр) Л' (х')... Ад (Хд) dpxd4 х'.
Для того чтобы убедиться в законности этого определения,
следует проверить, что вектор С (ф) d не зависит от способа
представления вектора d в форме d = С' (ф') а, и установить
линейность построенного оператора. Проверка основана
на замечании, что если вектор имеет вид
s(«) (П
<=i
£п -> 0 и последовательность
2 (С(фп)С<°(фпг))) at
1=1
356
имеет предел, то этот предел равен нулю. [Здесь а&Л;
фп’в топологии <У; А^Е^о;
(<А = j q£’ (У1..ур0)) Л</> (У1) ... А&) (У1М) у.]
Справедливость сделанного замечания вытекает из того,
что для любого вектора t,^P
I <Пп, 01 = 1 <0> С+ ш О КIIОIIIIС+ Ш 01 -> 0.
§ Д. 8. Собственные и обобщенные
собственные векторы
Вектор называется собственйым вектором операто-
ра Л, действующего в пространстве &t, если Лф = Аф и
Ф=#0; число А, называется собственным значением, соответ-
ствующим собственному вектору ср. Множество собст-
венных векторов, отвечающих данному собственному зна-
чению А, является линейным пространством; размерность
этого пространства носит название кратности собственного
значения. Собственное значение кратности 1 называется
невырожденным.
Оператор Л называется оператором с дискретным спект-
ром, если его собственные векторы образуют тотальное мно-
жество в пространстве Ж.
Собственные значения самосопряженного оператора дей-
ствительны; собственные векторы, соответствующие раз-
личным собственным значениям самосопряженного опера-
тора, ортогональны друг другу.
Если самосопряженный оператор имеет дискретный
спектр, то спектр этого оператора представляет собой замы-
кание множества его Собственных значений, а спектральный
проектор Ец равен сумме проекторов на линейные под-
пространства где А ц.
Пусть теперь М — пространство с мерой; R — прост-
ранство основных функций, определенных на М\ fax —
обобщенная векторная функция переменной х£М со зна-
чениями в Функция f называется обобщенной собствен-
ной функцией оператора Л, действующего в если
Л/ (х) = а (х) f (х).
Более точно это равенство означает, что
Л ( f (х) q> (х) dx = Г f (х) а (х) ф (х) dx,
357
т. е. A f (<р) = f (а<р); последнее равенство должно выпол-
няться всегда, когда оно имеет смысл (т. е. когда <p£R и
aq£R).
В частном случае, когда М состоит из конечного числа
п точек, a R — пространство всех функций на М, обобщен-
ная собственная функция представляет собой совокупность
обычных собственных функций.
Обобщенная векторная функция <ра = (2л)~г''2 ехр (iax),
определенная в § Д.6, является обобщенной собственной
Id, ,
-г- д— (и вообще для
1 иХр
L JL
i дх±
функцией для операторов
дифференциальных операторов с постоянными коэффициен-
тами):
1 д
— - фа — Я; фа-
1 dxi
Имеет место следующее важное утверждение.
Для любых коммутирующих самосопряженных опера-
торов Alt ...,Ап , действующих в гильбертовом пространстве
Ж, найдется обобщенный базис, собственный для всех этих
операторов (т. е. найдется полная обобщенная векторная
функция f, нормированная на 6-функцию (х), f (у) > —
= 6 (х, г/)) и удовлетворяющая условиям A if (х) =
==а, (х) f (х) при i = 1, ..., п).
Доказательство этого утверждения легко получить,
если вспомнить, что существует изоморфизм а пространства
Ж и пространства L2 (Л4), при котором операторы At пере-
ходят в операторы умножения на функции at (х); в самом
деле, обобщенную векторную функцию f можно определить
формулой
f (<р) = р (х) <р (х) dx^-a-Hp,
где ф(Д2 (М).
§ Д. 9. Представления групп
Пусть каждому элементу g группы G сопоставлен уни-
тарный оператор Tg в гильбертовом пространстве Ж, при-
чем единице группы соответствует единичный оператор и
произведению элементов группы — произведение опера-
торов:
те= 1, Tgh = TgTh. (Д.7)
358
Тогда говорят, что задано унитарное представление груп-
пы G.
Подпространство называется инвариантным,
если каждый оператор представления Т g переводит
в себя. Унитарное представление Ж называется неприводи-
мым, если в пространстве Ж нет нетривиального (отличного
от нулевого подпространства и от всего Ж) инвариантного
подпространства.
Два унитарных представления Т g и T'g в пространствах
Ж и Ж' называются эквивалентными, если существует изо-
морфизм а пространств Ж , удовлетворяющий условию
Tga = aTg.
По всякому самосопряженному оператору А можно по-
строить унитарное представление группы действительных
чисел Е1, сопоставив каждому числу оператор Tt =
= ехр (iAt) (в качестве групповой операции в Е1 рассмат-
ривается сложение, так что равенства (Д.7) принимают вид
Та = 1, Д+х = TtTJ.
Обратно, если задано унитарное представление Tt груп-
пы Е1, такое, что для любых двух векторов а,Ь^Ж функция
{Tta, b} непрерывна или хотя бы измерима, то найдется та-
кой самосопряженный оператор А, что Tt = ехр (iXZ);
этот оператор может быть определен формулой А =
= — lim (теорема Стоуна).
i /-+0 t
Семейство операторов, удовлетворяющих условиям тео-
ремы Стоуна, называется однопараметрической группой
унитарных операторов, а оператор А — генератором (или
инфинитезимальным оператором) этой группы.
Неоднородной группой Лоренца Р называется группа ли-
нейных неоднородных преобразований пространства Мин-
ковского
х' = Ах + а, (Д-8)
сохраняющих пространственно-временной интервал:
(х — у, х — у) — (х' — у’, х' — у').
(Под пространством Минковского понимается четырех-
мерное пространство с неположительно определенным ска-
лярным произведением (х, у) = хйуй — <х, у> = хйу0 —
—Х1У1 — x?lh — хзУз- Пространственно-временной интервал
определяется как (х — у, х — у). Вектор из пространст-
359
ва Минковского записываем в виде х = (х0, х), где х0 £ Е1,
х £ Е3.)
Преобразование (Д.8), рассматриваемое как элемент
группы Р, будем обозначать (Л, а).
Пусть Tg — унитарное представление группы Р, такое,
что для любых векторов а,Ь функция <Tga, b) является
непрерывной функцией переменной g (будем рассматривать
только унитарные представления, удовлетворяющие этому
условию непрерывности). В группе Р содержится подгруп-
па трансляций (1, а), состоящая из преобразований х' =
= х + а: Эта подгруппа коммутативна.
В силу теоремы Стоуна унитарные операторы 7’(1>п),
соответствующие трансляциям (1, а), можно представить
в виде
Л1, а) = ехр [ — 1 (а0Н — — а3Р2 — а3Р3)] =
= ехр [ — i (а0Н — аР)1,
где Н, Plt Р2, Р3 — коммутирующие самосопряженные
операторы.
Оператор Н называется оператором энергии, векторный
оператор Р'= (J\, Р3, Р3) — оператором импульса.
Легко проверить, что совместный спектр операторов
Н, Р является множеством, инвариантным относительно од-
нородных преобразований Лоренца.
Одно из простейших представлений группы Р может
быть описано следующим образом.
Рассмотрим в четырехмерном пространстве множество
Um, выделяемое соотношениями р20 — р2 = /и2, р0 0.
Поставим в соответствие каждой функции L2 (Е3) функцию
f на множестве Vт, определяемую формулой / (р0, р) =
= f (р) Ур0. Это соответствие можно рассматривать как
изоморфизм между пространством L2 (Е3) и некоторым про-
странством функций-на Um. Это пространство функций на
Um обозначим L2 (f7m); скалярное произведение в L2 (Um)
определяется формулой
<F. i> = f f(p0. p) i(p0> p) — •
В пространстве L2 (Um) определим унитарное представле-
ние группы Р с помощью формулы
((7 (A, a) f) (р) = ехр (i (а, р)) / (А-1 р) (Д.9)
360
(проверка того, что формула (Д.9) действительно задает
унитарное представление, основана на замечании, что вы-
ражение /?“1 dp определяет меру на Um, инвариантную
относительно преобразований Лоренца). Построенное пред-
ставление неприводимо; спектр операторов Н, Р в прост-
ранстве L2 ((/т) совпадает с множеством Um.
В силу указанного выше изоморфизма между пространст-
вами L2 (Е3) и L2 (Um) построенное унитарное представле-
ние эквивалентно представлению V (Л, а) в L2 (£3):
У (Л, a)f = U(\, a)f.
Опишем (с точностью до эквивалентности) все неприводи-
мые представления группы Р, в которых оператор энергии
Н неотрицательно определен и не равен нулю.
Для каждого неотрицательного т существует бесконеч-
ная серия унитарных неприводимых представлений, при-
чем совместный спектр операторов Н, Р в этих представле-
ниях есть множество Um. Представления этой серии будем
обозначать символом (/и, ст), где ст — неотрицательное не-
четное число.
Представление типа (т, ст) можно реализовать унитар-
ными операторами в пространстве L3 (Е3 X S),' где S —
множество, состоящее из ст элементов. При этом операторы
энергии и импульса в Z? (Е3 X S) задаются формулами
Hf (р, s) = Vp2 + m2f (р, s);
Pf(p, s) = pf(p, s).
Описанное выше неприводимое представление является
представлением типа (т, 1).
Отметим, что кроме однозначных унитарных представ-
лений группы Р, которые здесь рассматривались, сущест-
вуют двузначные унитарные представления. Неприводимые
двузначные представления, в которых оператор энергии не
равен нулю и неотрицателен, описываются аналогично од-
нозначным (с той лишь разницей, что ст — число элементов
в множестве S — должно быть четным).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Боголюбов Н. Н., Ширков Д, В. Введение в теорию квантовых по-
лей. М., Гостехиздат, 1957.
2. Хепп К. Теория перенормировок. Пер. с англ. М., «Наука», 1974.
3. Вайтман А. Проблемы в релятивистской динамике квантованных
полей. Пер. с аигл. М., «Наука», 1968.
4. Friedrichs К. О. Mathematical aspects of quantum theory of
field. N. Y., Interscience, 1953.
5. Фридрихе К. Возмущение спектра операторов в гильбертовом
пространстве. Пер. с англ. М., «Мир», 1969.
6. Сигал П. Математические проблемы релятивистской физики.
Пер. с англ. М., «Мир», 1968.
7. Bethe Н. A. Electromagnetic shift of energy levels. — «Phys.
Rev.», 1947, v. 72, p. 339.
8. Schwinger J. Quantum electrodynamics: I. A covariant formula-
tion. — «Phys. Rev.», 1948, v. 74, p. 1439; II. Vacuum pola-
risation and self-energy.—«Phys. Rev.», 1949, v. 75, p.4651;
III. Electromagnetic properties of the electron-radiative cor-
rection to scattering. — «Phys. Rev.», 1949, v. 76, p. 790.
9. Tomonaga S. On a relativistically invariant formulation of the
quantum theory of wave fields. — «Progr. Theoret. Phys.», 1946,
v. 1, p. 27.
10. Feynman R. P. Space-time approach to non-relativistic quantum
mechanics. — «Rev. Mod. Phys.», 1948, v. 20, p. 367; Rela-
tivistic cut-off for classical electrodynamics. — «Phys. Rev.»,
1948, v. 74, p. 1430; Theory of positrons. — «Phys. Rev»., 1949,
v. 76, p. 749; Space-time approach to quantum electrodynamics.—
«Phys. Rev.», 1949, v. 76, p. 769.
11. Dyson F. J. Radiation theories of Tomonaga, Schwinger and
Feynman. — «Phys. Rev.», 1949, v. 75, p. 486; S-matrix in
quantum electrodunamics. — «Phys. Rev.», 1949, v. 75, p.
1736.
12. Боголюбов H. H., Парасюк О. С. К теории умножения причин-
ных сингулярных функций. — «Докл. АН СССР», 1955, т. 100,
с. 25; О вычитательном формализме при умножении причинных
функций. — «Докл. АН СССР», 1955, т. 100, с. 429; «Изв.
АН СССР. Сер. матем.», 1956, т. 20, с. 585.
13. Боголюбов Н. Н., Медведев Б. В., Поливанов М. К. Вопросы
теории дисперсионных соотношений. М., Физматгиз, 1958.
14. Lehmann Н., Symanzik К., Zimmerman W. Zur Formulierung
quantisierter Feldtheorien. —«Nuovo cimento» 1955, v. 1,
362
р. 205; Zur Vertexfunction in quantisierten Feldtheorien. —
«Nuovo cimento», 1955, v. 2, p. 425.
15. Wightman A. S. Quantum field theory in terms of vacuum expec-
tation values. —«Phys. Rev.», 1956, v. 101, p. 860.
16. Haag R. On quantum field theories. — «Mat. fys. medd. dan.
vid. selsk.», 1955, v. 29, N 12, p. 1; Quantum field theories
with composite particles and asymptotic conditions. — «Phys.
Rev.», 1958, v. 112, p. 669; The framework of quantum field
theorie. — «Nuovo cimento. Suppl.», 1959, v. 14, p. 131.
17. Araki H., Haag R. Collision cross sections in terms of local ob-
servables. — «Comm. Math. Phys.», 1967, v. 4, p. 77.
18. Haag R., Kastler D. An algebraic approach to quantum field
theory. — «J. Math. Phys.», 1964, v. 5, p. 848.
19. Ruelle D. On the asymptotic condition in quantum field the-
ory. — «Helv. phys. acta», 1962, v. 35, p. 147.
20. Hepp K. On the connection between the LSZ and Wightman
quantum field theory.—«Comm. Math. Phys.», 1965, v. 1,
p. 95.
21. Метод расширенной S-матрицы в квантовой теории поля. —
«Теор. и матем. физ.», 1972, т. 13, с. 3. (Авт.: Б. В. Медведев,
В. П. Павлов, М. К. Поливанов, А. Д. Суханов.).
22. Glimm J., Jaffe A. Boson quantum field models. In: Mathematics
of Contemporary Physics. N. Y., Academic Press, 1972.
23. Шварц А. С. Элементы квантовой теории поля (бозонные взаи-
модействия). М., Атомиздат, 1975.
24. Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика.
М., «Наука», 1969.
25. Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля.
М., «Мир», 1969.
26. Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Реляти-
вистская квантовая теория. Ч. 1. М., «Наука», 1968.
27. Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Релятивистская квантовая
теория. Ч. 2. М., «Наука», 1971.
28. Новожилов Ю. В. Введение в теорию элементарных частиц. М.,
«Наука», 1972.
29. Стритер Р., Вайтман А. РСТ, спин и статистика и все такое.
Пер. с англ. М., «Наука», 1966.
30. Йост Р. Основы теории квантовых полей. Пер. с англ. М.,
«Мир», 1967.
31. Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Тодоров И. Т. Основы аксио-
матического подхода в квантовой теории поля. М., «Наука»,
1969.
32. Хепп К., Эпштейн А. Аналитические свойства амплитуд рассея-
ния в локальной квантовой теории поля. М., Атомиздат, 1971.
33. Segal I. Е. Distributions in Hilbert space and canonical systems
of operators.—«Trans. Amer. Math. Soc.», 1954, v. 88, p. 1.
34. Hove L. Van. Les diffucultes de divergences pour un modele par-
ticulier de champ quantifie. —«Physica», 1952, v. 18, p. 145.
35. Kallen G. On the definition of the renormalisation constants
in quantum electrodynamics. — «Helv. phys. acta», 1952, v. 25,
p. 417.
36. Lehmann H. Ober Eigenschaften von Ausbreitungsfunctionen
und Renormierungskonstanten quantisierter Felder. — «Nuovo
cimento», 1954 v. 11, p. 342.
363
37. Chisholm J. S. R. Changes of variable in quantum field theo-
ries. — «Nucl. Phys.», 1961, v. 26, p. 469.
38. Greenberg 0. W., Schweber S. S. Clothed particle operators in
simple models of quantum field theorie. — «Nuovo cimento»,
1958, v. 8, p. 378.
39. Фаддеев Л. Д. О разделении эффектов самодействия и рассея-
ния по теории возмущений. — «Докл. АН СССР», 1963, т. 152,
с. 573.
40. Арефьева И. Я- Перенормированная теория рассеяния для мо-
дели Юкавы. I. Построение одевающих операторов. — «Теор.
и матем. физ.», 1973, т. 14, с. 3.
41. Фатеев В. А., Шварц А. С. Одевающий оператор в квантовой
теории поля. —«Докл. АН СССР», 1973, т. 209, с. 66.
42. Лихачев В. Н., Тюпкии Ю. С., Шварц А. С. Адиабатическая
S-матрица и квазичастицы. — «Теор. и матем. физ.», 1970,
т. 2, с. 3; Адиабатическая теорема в квантовой теории поля.—
«Теор. и матем. физ.», 1972, т. 10, с. 63.
43. Фатеев В. А., Шварц А. С. К аксиоматической теории рассея-
ния. — «Теор. и матем. физ.», 1973, т. 14, с. 152.
44. Schwarz A. S. Adiabatic theorem in axiomatic quantum field
theory. — «Comm. Math. Phys.», 1974, v. 39, p. 33.
45. Като T. Теория возмущений. Пер. с англ. М., «Мир», 1972.
46. Тюпкии Ю. С., Шварц А. С. Об адиабатическом изменении ста-
ционарного состояния. — «Теор. и матем. физ.», 1972, т. 10,
с. 259.
47. Повзиер А. Я. О разложениях по функциям, являющимся ре-
шениями задачи рессеяния. — «Докл. АН СССР», 1955, т. 104,
с. 360.
48. Kuroda S. Т. On the existence and the unitary property of the
scattering operator.—«Nuovo cimento», 1959, v. 12, p. 431.
49. Фаддеев Л. Д. Математические вопросы квантовой теории рассе-
яния для систем трех частиц. М.—Л., Изд-во АН СССР, 1963.
50. Березии Ф. А. Метод вторичного квантования. М., «Наука»,
1965.
51. Ахиезер Н. И., Глазмаи И. М. Теория линейных операторов
в гильбертовом пространстве. М., «Наука»,'1966.
52. Федорюк М. В. Метод стационарной фазы и псевдо дифференци-
альные операторы. «Успехи матем. наук», 1971, т. 26, вып. 1,
с. 67.
53. Робертсон А., Робертсон В. Топологические аекторные прост-
ранства. Пер. с англ. М., «Мир», 1967.
54. Glimm J., Jaffe A., Spencer Т. The particle structure of the weak-
ly coupled P (ф) 2 model and other applications of high'tempera-
ture expansion. — In: Constructive quantum field theory.
Springer-Verlag, 1973.
55. Добрушии P., Минлос P. Построение одномерного квантового
поля с помощью непрерывного марковского поля. — «Функц.
анализ и приложения», 1973, т. 7, с. 324.
56. Dimock J. Asymptotic perturbation expansion in the P (ф)2
quantum field theory. — «Comm. Math. Phys.», 1974, v. 35,
p. 347.
57. Eckmann J.-P-, Magnen J., Seneor R. Decay properties and
Borel summability for the Schwinger functions in P (<p)2 theories,
Ecole Polytechnique preprint.
364
58. Feldman J. S., Osterwalder K. The Wightman axioms and the
mass gap for weakly coupled (<p4)s quantum field theories. —
Symposium on Mathematical Problems in Theoretical Physics,
Kyoto, 1975; Harvard preprint.
59. Кац M. Вероятность и смежные вопросы в физике. Пер. с англ.
М., «Мир», 1972.
60. Osterwalder К., Schrader R. Axioms for Euclidean Green’s func-
tions. — «Comm. Math. Phys.», 1973, v. 31, p. 83; II, — to ap-
pear in «Comm. Math. Phys.», Harvard preprint.
61. Nelson E. Construction of quantum fields from Markoff fields.—
«J. Funct. Analysis», 1973, v. 12, p. 97.
62. Тахтаджяи Л. А., Фаддеев Л. Д. Существенно нелинейная од-
номерная модель классической теории поля. — «Теор. и матем.
физ.», 1974, с. 21, с. 160.
63. Фаддеев Л. Д. Адроны из лептонов? — «Письма в ЖЭТФ»,
1975, т. 21, с. 141.
64. Тюпкин Ю. С., Фатеев В. А., Шварц А. С. О классическом
пределе матрицы рассеяния в квантовой теории пОля. —
«Докл. АН СССР», 1975, т. 221, с.70.
65. Поляков А. М. Спектр частиц в квантовой теории поля. —
«Письма в ЖЭТФ», 1974, т. 20, с. 430.
66. Тюпкии Ю. С. Фатеев В. А., Шварц А. С. О существовании
тяжелых частиц в калибровочных теориях поля. —«Письма в
ЖЭТФ», 1975, т. 21, с. 91.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие........................................... 3
Введение ............................................... 8
Условные обозначения....................................18
Глава 1. Основные принципы квантовой теории
§ 1. Состояния квантовомеханической системы 20
§ 2. Эволюция вектора состояния.................20
§ 3. Вычисление вероятностей значений измеряе-
емой величины.................................. 21
§ 4. Гейзенберговские операторы ................24
§ 5. Интегралы движения. Стационарные состоя-
ния .............................................25
Глава 2. Квантовая механика одной частицы и системы
нетождественных частиц
§ 6. Квантовая механика одной скалярной частицы 27
§ 7. Квантовая механика частицы со спином . . 29
§ 8. Квантовое описание системы нетождественных
частиц...........................................31
§ 9. Частица в ящике с периодическими гранич-
ными условиями...................................34
§ 10. Одномерный гармонический осциллятор . . 35
§ 11. Система связанных осцилляторов.............38
Глава 3. Квантовая механика системы тождественных
частиц
§ 12. Система п тождественных частиц.............40
§ 13. Фоковское пространство.....................44
Глава 4. Оператор эволюции. Операторы 5 (t, t0) и
Sa(t, t0)
§ 14. Нестационарная теория возмущений ..........54
§ 15. Стационарные состояния гамильтониана, за-
висящего от параметра.............................58
§ 16. Адиабатическое изменение стационарного
состояния.........................................61
366
Глава 5. Теория потенциального рассеяния
§ 17. Формальная теория рассеяния...........,. . 66
§ 18. Одночастичная задача рассеяния............72
§ 19. Многочастичная задача рассеяния...........78
Глава 6. Операторы в фоковском пространстве
§ 20. Представления соотношений коммутации и анти-
коммутации. Фоковское представление ... 88
§ 21. Простейшие операторы в фоковском прост-
ранстве ...................................... 95
§ 22. Нормальная форма оператора. Теорема Вика 100
§ 23. Диаграммная техника......................109
Глава 7. Функции Уайтмана и Грина
§ 24. Функции Уайтмана.........................116
§ 25. Функции Грина............................120
§ 26. Представление Челлена—Лемана.............124
§ 27. Уравнения для функций Уайтмана и Грина 127
Глава 8. Трансляционно инвариантные гамильтонианы
§ 28. Трансляционно инвариантные гамильтонианы
в фоковском пространстве ......................130
§ 29. Теорема реконструкции....................137
§ 30. Взаимодействия вида V (ф)................147
Глава 9. Матрица рассеяния трансляционно инвариант-
ного гамильтониана (основные факты)
§ 31. Матрица рассеяния трансляционно инвариант-
ного гамильтониана в фоковском пространстве 152
§ 32. Определение матрицы рассения с помощью опе-
раторной реализации трансляционно инвари-
антного гамильтониана ........................ 158
§ 33. Адиабатическое определение матрицы рассея-
ния ...........................................170
§ 34. Фаддеевское преобразование. Теорема экви-
валентности ...................................174
§ 35. Квазиклассическое приближение............183
Глава 10. Аксиоматическая теория рассеяния
.§ 36 . Основные предположения. Построение матри-
цы рассеяния...................................194
§ 37. Доказательство лемм......................209
§ 38. Асимптотические поля (in- и out-операторы) 223
§ 39. Одевающие операторы......................229
§ 40. Обобщения ...............................239
§ 41. Адиабатическая теорема в аксиоматической
теории рассеяния ..............................251
Глава 11. Трансляционно инвариантные гамильтонианы
(дальнейшее исследование)
§ 42. Связь аксиоматической теории с гамильтоновым
формализмом....................................272
§ 43. Гейзенберговские уравнения. Канонические
преобразования............................... 276
367
§ 44. Построение операторной реализации.......282
§ 45. Одевающие операторы для трансляционно
инвариантных гамильтонианов...................290
§ 46. Теория возмущений в аксиоматическом под-
ходе .........................................296
Глава 12. Аксиоматика лоренц-инвариантной квантовой
теории поля
§ 47. Аксиомы, обеспечивающие лоренц-инвариант-
ность матрицы рассеяния.......................306
§ 48. Аксиоматика локальной квантовой теории
поля..........................................312
§ 49. Проблема построения нетривиального примера 316
Дополнение
§ Д.1. Гильбертово пространство...................329
§ Д.2. Система векторов в предгильбертовом про-
странстве .....................................330
§ Д.З. Конкретные пространства................331
§ Д.4. Операции с гильбертовыми -пространствами 336
§ Д.5. Операторы в гильбертовом пространстве. . . 338
§ Д.6. Локально выпуклые пространства.........346
§ Д.7. Обобщенные функции.....................347
§ Д.8. Собственные и обобщенные собственные век-
торы ..........................................357
§ Д.9. Представления групп....................358
Списоклитературы....................................362
Альберт Соломонович Шварц
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ
Редактор А. И. Новик
Художественный редактор А. Т. Кирьянов
Художник А. И. Шавард
Технический редактор А. Л. Гулина
Корректор О. Р. Харламова
Сдано в набор 17/П 1975 г. Поди, к печати 30/Х 1975 г.
Т-19110 Формат 84X 108Vas Бумага типографская № 2
Уел: печ: л. 19,32 Уч.-изд. л. 19,94
Тираж 5800 экз. Цена 2 р. 20 к. Зак. изд. 73062
Зак тип. 82
Атомиздат 103031 Москва, К-31, ул. Жданова, 5.
при Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
г. Москва, И-41. Б. Переяславская ул., дом 46