/
Author: Боли Б. Уэйнер Дж.
Tags: механика деформируемых тел упругость деформация физика термодинамика теплообмен термомеханика
Year: 1964
Text
6Л0АИ, Дж. УЭЙНЕР
ТЕОРИЯ
ТЕМПЕРАТУРНЫХ
НАПРЯЖЕНА'
COLUMBIA UNIVERSITY INSTITUTE
OF FLIGHT STRUCTURES
THEORY
OF
THERMAL STRESSES
BRUNO A. BOLEY
Professor of Civil Engineering
JEROME H. WEINER
Professor of Mechanical Engineering
New York • London
JOHN WILEY AND SONS, INC.
1960
Б. БОЛИ и Дж. УЭЙНЕР
ТЕОРИЯ
ТЕМПЕРАТУРНЫХ
НАПРЯЖЕНИЙ
Перевод с английского
Ж. С СИСЛ Я И А и Б. Ф. ШОРРА
Под редакцией
Э. И. ГРИГОЛЮКА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва 1964
УДК 539.30+539.374-.096
Температурные напряжения, возникающие вследствие большие
градиентов температур, в значительной степени определяют поведение
многих современных конструкций. Теории напряжений этого типа и посвя-
щена монография Боли и Уэйнера, в которой с единых теоретических
позиций изложены важнейшие характерные черты данного предмета.
В первой части книги на основе термодинамических законов при-
водятся различные постановки и методы решения задач термоупругости,
во второй — теория теплообмена и формулировки граничных условий,
в третьей — изложены наиболее практические аспекты теории. В за-
вершающей части изучаются вопросы учета температурных напряже-
ний в неупругих телах. Речь идет о различных упруго-вязких моделях
и о пластическом течении.
Книга представляет интерес для студентов старших курсов, инже-
неров и научных работников.
Редакция литературы по математическим наукам
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Монография Боли и Уэйнера посвящена теоретическим методам опреде.
ления напряжений в сплошных средах применительно к различным моде
лям тела, таким, как упругое тело, идеально упруго-пластическая сред;
с упрочнением и без упрочнения, линейное упруго-вязкое тело, тело npi
ползучести и др.
Книга начинается с изложения так называемой связанной теории тем-
пературных напряжений, в которой учитывается превращение механиче-
ской энергии в тепловую, и, следовательно, определение поля напряжений
производится одновременно с определением поля температур. Затем форму-
лируется постановка задачи, в которой поле температур исследуется неза-
висимо от напряжений в теле. Здесь подробно излагается теория теплооб-
мена путем теплопроводности, обсуждаются методы решения задач стацио-
нарной и нестационарной теплопроводности и даются решения ряда част-
ных задач.
Основная часть монографии посвящена многочисленным случаям опре-
деления напряжений в упругих телах (прямые и изогнутые стержни, пла-
стины, трубы), отысканию критических нагрузок, исследованию послекри-
тического поведения и т. д. В книге дается анализ различных моделей неупру-
гого тела и приводятся их уравнения состояния. На основе ряда моделей
исследуются вопросы устойчивости при ползучести, а также вопросы опре-
деления напряжений в пластине и цилиндре за пределом упругости.
Таким образом, в монографии представлен довольно широкий круг
задач о температурных напряжениях, и ее основное достоинство состоит
в том, что авторы дают методы решения многих общих и частных задач.
Не желая вторгаться в авторский текст, я ограничился лишь тем, что
дополнил приведенные авторами списки литературы работами, появивши-
мися на русском языке. Список этих работ, так же как и список основных
работ, относящихся ко всей книге (они отмечаются римскими цифрами), поме-
щен в конце книги.
Нет сомнения, что книга Боли и Уэйнера встретит хороший прием в на-
шей инженерной и научной среде. Уверенность в этом придает актуальность
ее темы—ведь современные технические достижения в самолетостроении,
ракетостроении, атомной технике и других отраслях требуют все более
тонких и в то же время практически удобных методов расчета напряжений,
обусловленных градиентами температур.
Мне хочется рекомендовать настоящий перевод и студентам, и инжене-
рам, и научным работникам.
Э. И Григолюк
Новосибирск, март 1964 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ
К наиболее значительным техническим достижениям последних двух
десятилетий относятся развитие ядерных источников энергии и освоение
на базе ракетной техники высоких скоростей полета. В обоих случаях при-
ходится иметь дело с чрезвычайно высокими температурами, связанными
с процессом получения энергии, а в случае высокоскоростных полетов также
с явлением аэродинамического нагрева. Потребность в материалах, которые
могли бы успешно функционировать при таких высоких уровнях темпера-
туры, является одной из наиболее актуальных и трудных задач, определяю-
щих лицо современной техники. Трудность усугубляется тем, что, помимо
высоких уровней температуры, в рабочих условиях часто возникают также
значительные градиенты температуры. Следствием этих больших разно-
стей температуры являются температурные напряжения, которые нередко
представляют собой важный фактор, определяющий долговечность материа-
ла. В настоящей книге и рассматриваются температурные напряжения подоб-
ного рода.
Конечно, задача о температурных напряжениях возникает во многих
более обычных областях и уже давно является предметом исследования.
Так, еще в 1835 году, т. е. вскоре после того, как были сформулированы
основные положения собственно теории упругости, Дюгамель занимался
изучением задач упругости с учетом влияния изменения температуры. С дру-
гой стороны, исследования по влиянию температуры при неупругом поведе-
нии материалов, что в современных условиях использования высоких уров-
ней температуры и напряжения представляет собой наиболее важную
область, начались совсем недавно. Поэтому теория температурных напряже-
ний охватывает область от классических тем до вопросов, находящихся
еще в начальной стадии изучения. В настоящей книге сделана попытка
на основе ряда исследований, выполненных несколько лет назад по поруче-
нию Райтовского авиационного исследовательского центра охватить оба
типа вопросов. Однако, очевидно, имеются задачи, которые, несмотря на их
важность, не рассмотрены в книге или рассмотрены слишком кратко. В изло-
жении неизбежно подчеркнуты некоторые стороны вопросов, и естественно,
что при этом авторы руководствовались собственными интересами и направ-
лением деятельности. Тем не менее авторы постоянно стремились к тому,
чтобы основные аспекты теории, ее обоснования и допущения, на которые она
опирается, были описаны достаточно основательно и сопровождались под-
робным решением типичных иллюстрирующих задач. Мы надеемся, что в ре-
зультате этих наших усилий читатель получит достаточно прочную баз}
для собственной исследовательской работы и для дальнейшего изучениг
литературы по данному вопросу.
Книга делится на четыре части. В первой части (гл. 1—4) рассматри-
ваются основные положения теории термоупругости, причем изложение
Предисловие
начинается с термодинамических аспектов вопроса и включает различные
формулировки и методы решения задач термоупругости.
Вторая часть (гл. 5—7) касается теории теплопередачи. В гл. 5 обсуж-
даются физические основы вопроса с тем, чтобы сделать возможно более
понятными допущения, вводимые в математические формулировки задач
различного типа. Остальные главы второй части посвящены методам реше-
ния краевых задач теории теплопроводности.
В третьей части (гл. 8—13) излагаются вопросы, относящиеся к тому
аспекту анализа температурных напряжений, который имеет более практи-
ческий характер. При этом главным образом используется теория сопротив-
ления материалов, однако решения сопоставляются также и с более точной
теорией термоупругости. В этой части приводятся методы расчета балок,
пластин и различных составных конструкций, а также рассматриваются
вопросы устойчивости.
Наконец, в четвертой части (гл. 14—16) показано, каким образом можно
ввести температурные эффекты в теорию неупругих деформаций. Так,
в гл. 14 рассматривается общая природа вводимых при этом допущений,
в гл. 15 обсуждаются задачи упруго-вязкого поведения тел, а в последней
главё~Т_ задачи пластического течения.
В общем части 1 и 4 касаются главным образом теоретических аспектов
проблемы, в то время как части 2 и 3— практических. Хотя в книге встре-
чаются частые взаимные ссылки от одной части к другой, все же части 2 и_3
имеют в значительной степени самостоятельное содержание и требуют менее
глубокой теоретической подготовки, чем части 1 и 4. Таким образом, книга
предназначается как для научных работников, так и для инженеров,, а так-
же, разумеется, для студентов; и хотя неизбежно найдутся вопросы, которые
покажутся некоторым изложенными недостаточно полно, авторы надеются,
что изложение основных положений предмета в единой книге с общих и тео.
ретически обоснованных позиций принесет определенную пользу.
Бруно А. Боли
Джером X. Уэйне;:
Колумбийский университет,
мает 1960
ЧАСТЬ 1
ОСНОВЫ ТЕОРИИ
ГЛАВА
Основы механики и термодинамики
1.1. Введение. В первой главе рассматриваются математические зави-
симости, которыми описывается поведение твердого тела при совместном
воздействии нагрева и внешних нагрузок. Как и все исследования, относя-
щиеся к сплошным средам, настоящий анализ опирается на основные пред-
ставления, вытекающие из двух различных наук— механики и термодина-
мики. Поскольку аналогичные вопросы механики рассматривались при ре-
шении задач о поведении тел при постоянной температуре и тщательно об-
суждались в многочисленных работах по теории упругости, здесь они затра-
гиваются лишь вкратце с частыми ссылками на существующую литературу.
Что касается термодинамических аспектов задачи, то их рассмотрение ста-
новится существенным только при решении задач, связанных с непостоян-
ной температурой; поэтому в большинстве руководств по теории упругости
этот вопрос затрагивается лишь поверхностно. Ввиду этого значительную
часть настоящей главы пришлось посвятить изложению принципов термо-
динамики, начиная с относящейся к равновесным системам классической
теории, которая затем используется как основа для соответствующего видо-
изменения постулатов применительно к неравновесным системам, которым,
собственно, и посвящена данная книга.
Таким образом, излагаемая в настоящей главе теория является основой
для всех приведенных в книге последующих решений задач линейной термо-
упругости. На нее опирается приведенная в п. 1.14 общая формулировка
краевой задачи связанной теории термоупругости. Упрощения и видо-
изменения в постановке указанной задачи, к которым обычно приходится
прибегать, чтобы получить практически приемлемые решения, излагаются
в последующих главах. Дополнительно в п. 13 кратко рассмотрен термо-
динамический подход к теории линейного вязко-упругого материала. Эта
теория введена здесь лишь попутно, а специальное обсуждение различногс
рода задач неупругого поведения материалов в другой постановке откла-
дывается до гл. 14.
1.2. Обозначения. В данной и трех последующих главах будет удобнс
использовать компактную систему обозначений, которую часто называют
индексной. Приведем здесь для сведения краткое описание указанной си-
стемы1). Так как эти обозначения используются при обсуждении вопросов
В Общие сведения по используемым ниже разделам векторного и тензорногс
анализа можно найти, например, в книге Джефриса [1]. Для простоты будем рассмат-
ривать только одинаково ориентированные (правые) ортогональные декартовы системь
кооодинат.
12
Глава 1. Основы механики и термодинамики
общего теоретического характера, не касающихся конкретных геометриче-
ских форм или картин нагружения, то все рассматриваемые здесь величины
достаточно отнести к ортогональной декартовой системе координат. Обо-
значим координатные оси этой системы через xlt х2 и х3, или, короче, Xi,
i = 1, 2, 3. Рассмотрим вектор f с компонентами flt f2 и f3 в направлении
осей xt, х2 и х3 соответственно. Проще можно сказать, что f— это вектор
с компонентами ft, i = 1, 2, 3; или, еще более просто, вектор Очевидно,
что не играет роли, какой буквой пользоваться в качестве нижнего индекса,
при условии, конечно, что предварительно оговорены значения, которые она
может принимать. В дальнейшем, если нет других пояснений, принято, что
нижние латинские индексы принимают значения 1, 2, 3, причем это спе-
циально не оговаривается; с другой стороны, греческие нижние и верхние
индексы не обозначают компонент вектора, и области, на которые они рас-
пространяются, должны быть в каждом случае указаны.
Внутреннее, или скалярное, произведение f • g двух векторов (вектора
f с компонентами fi и g с компонентами gj) по определению равно
з
’ 'i-g = figi + fzg2 + f3g3= 2 figi- (1.2.1)
i=l
Так как суммирования такого вида часто встречаются, то принято пользо-
ваться упрощенным обозначением, когда повторяющиеся индексы автома-
тически подразумевают сложение членов, а знак суммы опускается. Так,
равенство (1.2.1) можно сокращенно записать в виде
f-g = f^. (1.2.1а)
Здесь опять несущественно, какой буквой пользоваться для повторяющегося
нижнего индекса в равенстве (1.2.1а). Подобный индекс называют связан-
ным1), так как он должен принимать все три значения в противоположность
свободному индексу, который принимает какое-либо одно из трех значений
1, 2, 3.
Внешнее, или векторное, произведение f X g можно представить в ин-
дексном выражении с помощью альтернативного тензора, компоненты кото-
рого yiJh определяются следующим образом2):
4-1, если ijk —-четная перестановка 12 3,
Yij&= I 0, если любые два индекса из ijk одинаковы (1.2.2)
—1, если ijk — нечетная перестановка 1 2 3.
Тогда fx g представляет собой вектор h с компонентами Лг, где
\ijkfjgh (1.2.3)
или в развернутом виде /ц = (fcgs —fagz), A2=(bg'i —figs) и /г з= (f iga— f ag\)
Если с каждой точкой некоторой области пространства связан перемен-
ный вектор, то говорят о векторном поле, которое можно обозначить симво-
’) В нашей литературе такой индекс называется немым.— Прим. ред.
2) Обычно для альтернативного тензора применяются символы etjk или
известные так же как перестановочные символы (или символы Леви-Чивита.— Прим,
перев.). Принятое в тексте обозначение введено во избежание путаницы с компонентамг
деформации. В выражении (1.2.2) под четными перестановками 1 2 3 понимаются 1 2 3.
2 3 1, 3 1 2, под нечетными 1 3 2, 2 1 3, 3 2 1. По общей терминологии четные пере-
становки получаются в результате четного числа изменений порядка чередования
индексов, нечетные — при нечетном числе изменений. Можно доказать, что четный илг
нечетный характер числа требующихся изменений в чередовании индексов (т. е. их тож
дественность) не зависит от порядка, в котором эти изменения проводятся.
1.3. Деформация. Тензор малых деформаций
13
лами f (Р) или fi(xlt х2, %з), где f (Р) —вектор с компонентами ft, относя-
щийся к точке Р с координатами х1г х2, х3. Если указанные функции диффе-
тототш, ш даа Wi-hux производных ^г/^7-
z = 1,2,3 и / = 1,2,3 представляют собой компоненты ортогонального тен-
зора второго ранга. В индексных обозначениях для выражения частно?
производной по пространственной координате принято вводить запятую,
т. е.
(L2-4:
Число свободных индексов, присутствующих в общей компоненте, всег-
да указывает на ранг тензора, как, например, в приведенном выражении
Так, внутреннее произведение двух векторов представляет собой, согласие
формуле (1.2.1а), тензор нулевого ранга, или скаляр, в то время как внешнее
произведение двух векторов [формула (1.2.3)] является тензором первогс
ранга, или вектором. Указанное обстоятельство полезно иметь в виду пре-
проверке тензорного порядка уравнения, поскольку суммировать можне
тензоры только одинакового ранга. Отметим, что в подобном уравнении длу
свободных индексов в каждом из членов следует пользоваться одинаковыме-
нижними индексами, что указывает на суммирование соответствующих ком-
понент каждого тензора.
1.3. Деформация. Тензор малых деформаций. Когда при перемещениям
частиц сплошной среды расстояния между ними меняются, среду называют
деформируемой. Представление о деформации является чисто геометриче-
ским или кинематическим и не зависит от природы среды и от причин, вызы-
вающих деформацию. В данной главе будут рассматриваться только такие
деформации, которые подчиняются ограничениям, принятым в линейной
теории упругости1).
Пусть перемещение частиц в точке Р с координатами х, в момент вре-
мени t описывается вектором х2, xs, i). Тогда мера деформации при
принятых выше допущениях определится так называемым тензором малых
деформаций с компонентами е;;, равными
е,; =4 (1.3.1)
Вектор скорости vt частицы равен
Vi(xi, х2, х3, t) = ul(xl, х2, х3, t), (1.3.2)
где точкой над функцией обозначается частная производная по времени.
Компоненты тензора вращения со,/ определяются как
СО; j = -g- (Uj . у Uj, (), (1.3.3)
так что
СЩ;=— d)ji, (1.3.4)
и, следовательно, это антисимметричный тензор. В системе трех измере-
ний указанный тензор имеет, если не учитывать знака, только три различ-
ные не равные нулю компоненты, и без ущерба для общности его можно вы-
В Обсуждение указанных ограничений можно найти у В. В. Новожилова [2].
Исследование термодинамики сплошных сред с точки зрения настоящей главы без каких-
либо ограничений природы деформаций можно найти в работе авторов [3].
14
Глава 1. Основы механики и термодинамики
разить трехкомпонентным вектором. Это выполняется с помощью альтерна
тивного тензора. Пусть
— "Ту (1.3.5
так что
= ®32 = — ш23 ИТ. Д.
Вектор о) с компонентами сог называют вектором бесконечно малого враще
ния. Исходя из геометрических представлений линейной теории упругости
можно показать [2], что при заданной деформации среднее вращение эле
мента объема определяется значением вектора w в рассматриваемой точке
иначе говоря, элемент поворачивается на угол | о> | относительно вектора и
как вокруг оси, в право-винтовом направлении для правой системы коорди
нат. Умножая обе части формулы (1.3.5) на yrsk и используя тождество
YrskYkji — Srjbsi (1.3.6
где ди—символ Кронекера [см. ниже формулу (1.4.9.)], получаем соотно-
шение, обратное (1.3.5):
®8Г = yrSk^k- (1.3.7;
1.4. Уравнения движения. Уравнения движения выражают собой за-
коны механики Ньютона, и поэтому их также можно с равным основанием
применять к любым средам и процессам. Рассмотрим тело произвольной
природы, занимающее замкнутую область D-^-B, где В — ограничиваю-
щая ее поверхность1). В каждой точке Р поверхности В приложена по-
(»)
верхностная нагрузка S; (сила, отнесенная к единице площади), причем
верхний индекс п относится к направлению внешней нормали п, поверхно-
сти В в точке Р, а нижний индекс по-прежнему указывает на координатные
направления. На каждый элемент массы тела действует объемная нагрузке
fi (сила, отнесенная к единице массы), включающая инерционные силы
В соответствии с законами механики требуется, чтобы результирующая силе
и результирующий момент всех действующих на тело сил были равны нулю
Эти условия приводят к следующим двум системам уравнений2):
(. (п)
\ \ SidA = Q, (1.4.1;
D В
- ГС
^QYnkfjXkdV+^YijkSjXkdA^O, - (1-4.2;
- d в -
где о = р(х1; х2, Хз) — плотность материала в точке пространства с коорди
натами хь.
Для дальнейшего анализа необходимо ввести гипотезу о напряжениях
согласно которой на любой элемент поверхности внутри тела действуют си-
лы, являющиеся по отношению к этому элементу поверхностной нагрузкой
законы движения в форме уравнений (1.4.1) и (1.4.2), включающие указан
ную нагрузку, применимы к любой области внутри тела так же, как и к тел}
Таким образом, через D обозначается открытая область.
2) Уравнение равновесия для моментов записано в предположении, что момен:
от объемной нагрузки, отнесенный к единице объема, равен нулю. Этот момент може'
отличаться от нуля для некоторых систем напряжений Максвелла, когда вводите;
объемные нагрузки, вызванные электрическим полем. См., например, [4].
1.4. Уравнения движения
15
в целом. Оставим для нагрузок1) по внутренним поверхностям то же обозна-
чение, что и для действительных поверхностных нагрузок. Тогда,
(«)
если п, — нормаль к поверхности внутреннего элемента, то под следует
понимать отнесенную к единице площади силу, которая представляет собой
результат воздействия материала, находящегося со стороны положитель-
ного направления нормали, на материал, расположенный по отрицательную
сторону нормали. В соответствии с указанной выше гипотезой можно от-
нести уравнение (1.4.1) к бесконечно малому тетраэдру, откуда устанавли-
вается2), что при ограниченных объемных нагрузках существует тензор на-
пряжений который как для внутренней, так и для граничной поверх-
ности удовлетворяет условию
(и)
S^Qijnj. (1.4.3)
Подставляя полученное выражение в уравнение (1.4.1), находим
( QfidV+ ? CijtijdA = 0. (1-4.4)
D В
Согласно теореме о дивергенции 3), интеграл по поверхности можно преобра-
зовать в интеграл по объему!), что приводит к уравнению
$ [ai;,; + ehW = 0. (1.4.5)
b
Так как D — произвольная часть тела, то отсюда вытекает, что везде, где
подинтегральная функция непрерывна, справедливо уравнение
а/Л/ + еЛ = 0. (1.4.6)
Аналогичным образом подставляя соотношение (1.4.3) в уравнение (1.4.2),
получаем
j Q\ijkfjXkdV+ j yijkOjmnmxhdA = 0. (1-4.7)
D В
На основании теоремы о дивергенции поверхностный интеграл преобра-
зуется следующим образом:
\ yijh^jm^mXk. dA — \ jmXk)т dV =
В Ь
— (ViJA^/m, m-^-A Т" d№ • (1.4.8)
b
Здесь использовано соотношение хк, т— Ькт> гДе $km—символ Кронекера;
1 1, если k = tn,
Sftni = г. , (1.4.9)
[ 0, если k tn.
Подставляя (1.4.8) в уравнение (1.4.7), получаем с учетом (1.4.6) уравнение
yukOjk dV = 0. (1.4.10)
b
*) Речь идет о напряжениях в среде.— Прим. ред.
2) См., например, работу Сокольникова И. С. [5].
3) Содержание теоремы о дивергенции рассматривается в п. 7.
16
Глава 1. Основы механики и термодинамики
Так как полученное выражение относится к любой внутренней области
и к каждому значению i, то
(1-4.11)
Уравнения (1.4.6) и (1.4.11) являются уравнениями движения, применимы-
ми в соответствии с указанными выше предположениями к любой сплошной
среде. Если помимо объемных сил Ft (отнесенных к единице массы), вызван-
ных каким-либо внешним воздействием, возникают инерционные силы, то
следует считать
— (1.4.12)
и уравнение (1.4.6) примет форму
Vij,j + QFi = QUi. (1.4.13)
1.5. Термодинамика. Основные положения. В качестве следующего
шага развития теории требуется установить связь между функциями, опи-
сывающими деформации и напряжения. Указанная связь зависит от энер-
гии и энтропии системы и потому должна изучаться в рамках термодинами-
ки. Ниже, при изложении вопросов термодинамики, основной упор делается
на представления, которыми широко пользуются при изучении сплошных
сред, в том числе на эффекты неравновесности и рассеивания. Указанные
представления охватывают следующие четыре основных раздела: 1) основ-
ные положения, рассматриваемые далее в настоящем пункте; 2) равновес-
ные системы (п. 1.6); 3) неравновесные системы (п. 1.7—1.11) и 4) специаль-
ные приложения к упругим и упруго-вязким телам (п. 1.12—1.14).
Литература по термодинамике, разумеется, очень обширна, и трудно
привести полный перечень работ, которыми обычно пользуются при ее
изучении. В качестве общих работ по классической термодинамике можно
рекомендовать книги Земанского М. В., Кинана, Пиппарда [6—8], а по
термодинамике необратимых процессов — работы Пригожина И., Де
Гроота, Био [9—II]1).
Определенную часть вещества, подлежащую изучению, будем назы-
вать системой. Ограничимся рассмотрением закрытых систем, т. е., таких,
которые не обмениваются массой с окружающей средой. Иногда будет вво-
диться дальнейшее ограничение, согласно которому отсутствует взаимодей-
ствие между системой и окружающей средой; в этом случае систему назы-
вают изолированной. Предполагается, что система занимает замкнутую
область пространства, а ее вещество химически инертно.
Рассмотрим систему, все части которой находятся в состоянии макро-
скопического покоя. Если имеются все сведения, полностью характеризую-
щие систему в изучаемом аспекте, то считают, что известно ее состояние.
Указанные сведения представляются в форме числовых значений несколь-
ких величин, называемых параметрами состояния, каждым из которых опи-
сывается различное свойство системы. Некоторые из этих свойств, называе-
мые экстенсивными, имеют аддитивный характер, например объем, в тс
время как другие характеризуют интенсивность, например давление, и их
называют интенсивными. Если значения параметров состояния подобной си-
стемы не зависят от времени, то система находится в состоянии термодина-
мического равновесия. Систему называют равновесной, если значения интен-
сивных параметров состояния одинаковы во всех точках тела.
*) Дальнейшие ссылки приведены в п. 7.7.
1.6. Термодинамика равновесных систем
Г
Параметры состояния могут быть оценены также для систем, не находя
щихся в состоянии термодинамического равновесия; в этом случае параметрь
меняются с течением времени, т. е. происходит термодинамический процесс
Может оказаться, что одних только параметров состояния системы недоста-
точно, чтобы полностью характеризовать процесс, и потребуются дополни
тельные характеристики (см. п. 1.9в).
Чтобы ввести некоторые основные понятия, ограничимся в следующей
пункте рассмотрением равновесных систем и процессов, в течение которые
система все время остается в равновесном состоянии; затем эти понятия будут
обобщены для неравновесных систем.
1.6. Термодинамика равновесных систем
а) Уравнения состояния. Вопрос о том, все ли параметры состояниг
являются независимыми, оставался пока открытым. Однако из эксперимен-
тальных наблюдений было установлено1), что если в состоянии термодина-
мического равновесия заданы значения некоторого числа параметров со-
стояния, то значения остальных параметров оказываются вполне опреде-
ленными. Иными словами, параметры состояния связаны рядом функцио
налъных соотношений. Если для системы с (т-Т п) параметрами состоя-
ния Ха (а = 1, ... , тфп) существует т независимых функциональны?
соотношений, то любые п параметров состояния (скажем, Ху,..., Хп) можнс
принять в качестве независимых параметров, причем их выбор опреде-
ляется соображениями удобства. Тогда другие параметры можно выразить
через указанные в виде функциональных зависимостей:
Xa = fа(Ху, ..., Хп), а = п + 1, . . ., п-\-т. (1.6.1)
Уравнения подобного вида называют уравнениями состояния. Числе
и вид таких уравнений зависят от конкретного характера рассматриваемой
системы. Установить их непосредственно путем анализа экспериментальных
данных удается только для простейших систем (например, для газа, харак-
теризующегося небольшим числом параметров состояния). Однако, исходя
из принципов термодинамики, нередко оказывается возможным, выбрав
независимые параметры, получить определенные представления относи-
тельно вида уравнений состояния.
б) Тепловое равновесие и нулевой закон термодинамики2). Пусть две
системы, находившиеся первоначально в состоянии термодинамического
равновесия, войдут друг с другом в совершенный контакт (при этом пред-
полагается, что обе системы остаются закрытыми). Если при этом каждая
система останется в состоянии термодинамического равновесия, то обе
системы считаются находящимися в тепловом равновесии друг с другом.
Две неконтактирующие между собой системы будут в тепловом равнове-
сии, если подобное равновесие сохранится при их контакте.
Опыты показывают, что две системы, каждая из которых находится
в тепловом равновесии с третьей, будут в тепловом равновесии и между
собой. Указанное свойство может быть названо нулевым законом термо-
динамики.
в) Эмпирическая температура. Рассмотрим системы Аа> и Л<2) с па-
раметрами состояния, соответственно равными X)1’, ... , X™ и Х)2>, ...
9 Дальнейшее обсуждение роли эксперимента см. в п. 1.7.
2) Этот закон представляет собой следствие основных законов термодинамики.
Употребляемый авторами термин не принят в русской литературе.— Прим. ред.
2 Боли и Уэйнер
18
Г лава 1. Основы механики и термодинамики
, X™. Опыты показывают, что если указанные системы находятся в теп-
ловом равновесии, то должна удовлетворяться функциональная зависи-
мость следующего вида:
f(xr,х(»; х™ Х22) = 0, (1.6.2!
или, в сокращенном обозначении,
f(l;2) = 0. (1.6.2а;
Аналогичным образом, если в тепловом равновесии находятся системы
А(1) и А<3>, то удовлетворяется функциональная зависимость:
g(l;3) = 0, (1.6.26)
и если системы А(2> и А<3) находятся в тепловом равновесии, то
й(2;3) = 0. (1.6.2в)
Нулевой закон термодинамики требует, чтобы при удовлетворении любых
двух зависимостей из (1.6.2а) — (1.6.2в) третья зависимость также удовле-
творялась. Это возможно только в том случае, когда указанные выражения
можно представить в форме [12]
/ (1; 2) =/у —/2 = О,
g(l;3) = h-h=0, , (1.6.3а)
A(2;3)=f2-f3=0,
где
/г = Ь(Х(ЛД?). (1.6.36)
Тогда очевидно, что существуют такие функции flr [2 и /3, что
fi = h = f3, (1-б.Зв)
или, иными словами, указанные функции должны иметь одинаковое зна-
чение, если системы находятся в тепловом равновесии. Это значение назы-
вается эмпирической температурой данных систем и обозначается через 0..
Разумеется, для описания какого-либо частного состояния теплового рав-
новесия численное значение 0 можно выбирать произвольно [т. е. и в виде
функции 0 = 0(0)1, так что шкала эмпирической температуры устанавли-
вается по желанию. Очевидно, что 0 является функцией состояния и урав-
нение
0 = fi(X)1>, ...,ХЭД . (1.6.4)
представляет собой дополнительное уравнение состояния системы Дп\
Конечно, можно принять 0 в качестве параметра состояния, тогда один
из параметров Хц1’ становится функцией состояния системы А(1>.
а) Работа. Представим систему, занимающую область D + В, на
которую в течение определенного процесса действуют поверхностные на-
(Н)
грузки Sj(Pв, t) (Р в—точка поверхности) и объемные силы, отнесенные
к единице массы, Ft(P, f) (Р — произвольная точка системы). Обозначим
перемещение частицы через Ut(P, t). Тогда скорость W, с которой работа
будет подводиться к системе, равна1)
. . р (п)
W(t)=\ Q[F((P, t)Ui(P, t)]dv+ \ [5; (Рв, t)uf(PB, t)]dA. (1.6.5)
Ь в
Д W представляет собой мощность.— Прим. ред.
1.6. Термодинамика равновесных систем
19
В дифференциальной форме имеем
dW~ \ [pF;(P, t)dut(P, t)] dV -у (PB, t)dut(PB, t)\dA. (1.6.5a)
IJ в
В качестве примера рассмотрим частный случай, когда объемные силы
равны нулю и на тело действует равномерное внешнее гидростатическое
о>) -
давление, т. е. Si(P в, t)= —pnlt где гц— внешняя единичная нормаль
к поверхности В в точке Р в. При этом выражение (1.6.5) принимает вид
1Г = — р n-tUi (Рв, 0 dA — - - pV, (1.6.6)
в
где V — объем системы. В дифференциалах имеем
dW= -pdV. (1.6.6а)
д) Функция внутренней энергии. Для дальнейшего анализа необхо-
димо ввести представление об адиабатической оболочке. Рассмотрим две
системы, каждая из которых находится в состоянии термодинамического
равновесия, но не в тепловом равновесии друг с другом. Если, после тоге
как эти системы будут приведены в контакт через промежуточный раздели-
тельный слой (сболочку), они останутся в состоянии термодинамическогс
равновесия, то такую оболочку называют адиабатической. Адиабатическим
процессом называется такой процесс, на протяжении которого рассматри-
ваемая система, оставаясь равновесной, полностью отделена от окружаю-
щей среды адиабатической оболочкой.
Рассмотрим систему, которая переводится путем адиабатического про-
цесса из своего начального состояния термодинамического равновесия, со-
ответствующего моменту времени t = to, характеризующегося значениями
параметров состояния Ха= Ха(/0). в конечное, также состояние термоди-
намического равновесия при t = Л с параметрами Ха= Ха(4). Экспери-
ментально установлено, что при этом полная работа, подводимая к системе
й
и равная W(f)dt, не зависит от конкретного вида адиабатического про-
цесса, т. е. не зависит от функций в открытом интервале /0< t <.
<1 ti, а определяется исключительно значениями указанных функций в гра-
ничных точках, т. е. значениями Ха(/о) и Ха.(/1). Далее эксперименты по-
казывают, что адиабатический процесс, по крайней мере в одном направле-
нии,-протекает между двумя любыми состояниями. Тогда внутреннюю энер-
гию системы U определяют как адиабатическую работу, а именно как рабо-
ту, подводимую к системе (или совершаемую ею) в адиабатическом про-
цессе, переводящем систему из произвольно выбранного исходного состоя-
ния в рассматриваемое (или наоборот). Из предыдущего ясно, что если ис-
ходное состояние зафиксировано, то U является функцией состояния, т. е.
устанавливается дополнительное уравнение состояния
U = U (Х1; . . ., Х„). (1.6.7)
Из опытов следует, что внутренняя энергия является экстенсивной,
или аддитивной, функцией, т. е. внутренняя энергия системы, состоящей
из двух или более подсистем (независимо от того, находятся они в контакте
или нет), равна сумме внутренних энергий всех подсистем. Два эксперимен-
тальных факта, относящихся к адиабатической работе и экстенсивном)
2*
20
Глава 1. Основы механики и термодинамики
характеру внутренней энергии, образуют основу для первого закона тер-
модинамики равновесных систем. Однако последний удобнее рассматривать
после введения понятия тепла.
е) Тепло. Первый закон термодинамики. Рассмотрим произвольные
процесс, связывающий две конечные точки соответственно с параметрамь
состояния Xa(t0) и Пусть UlX^to), ... , ХД?о)1 = (/(/0) и f/[Xi(/i), ..
... , Xn(/i)]= Полная работа, подводимая в течение данного про-
цесса, равна
W=^W(t)dt, (1.6.8;
to
где W(t) определяется выражением (1.6.5). Если процесс адиабатический,
то согласно определению функции внутренней энергии
[U (Л) -U(to)]~W=O. (1.6.9;
При любом другом процессе разность между изменением U и работой, под-
веденной к системе, не будет равна нулю. Назовем эту разность полным
количеством тепла, сообщенным системе в течение процесса, и обозначим
ее через Q; тогда
\U (^)_[7(/0)]_r= Q. - (1.6.10;
Значения 1Е и Q будут различными для разных процессов, связывающим
две заданные конечные точки, причем Q = 0 соответствует частному слу-
чаю адиабатического процесса. Однако сумма IE + Q, равная изменение
функции состояния U, не зависит от конкретного вида процесса. Уравне-
ние (1.6.10) можно представить в более удобных формах, перейдя от функ-
ций к их производным или дифференциалам
i/=r + Q, - (1.6.10а;
dU = dW-\-dQ. (1.6.106;
Рассмотрим теперь две системы 1 и 2, находящиеся между собой в пол-
ном контакте, но отделенные от окружающей среды адиабатической оболоч-
кой. Для систем 1 и 2 соответственно имеем
Vi = Wi + Qi,
(1.6.11;
H2 = IE2 + Q2,
где работа, совершаемая системой 2 над системой 1, включается в ^и ана-
логично для 1Е2. Для системы в целом в связи с наличием адиабатической
оболочки и в соответствии с законами механики, согласно которым скорость
совершения работы системой 1 над системой 2 по общей поверхности кон-
такта в точности равна по величине и обратна по знаку скорости совершения
работы системой 2 над системой 1, выражение (1.6.10а) принимает форм}
. Й=^ + 1)Ё2. (1.6.11а;
Однако экстенсивный характер функции U требует, чтобы
ЙЧД-.-бД (1.6.116;
и из сравнения последних трех уравнений видно, что
Q1=-Q2- (1.6.12
1.7. Переход к неравновесным системам
21
Поэтому естественно говорить о тепле, как об энергии, перетекающей из
одной системы в другую. При такой интерпретации зависимость (1.6.10)
можно рассматривать как математическое выражение закона сохранения
энергии, который обычно называют первым законом термодинамики.
Дальнейшее обсуждение принципов термодинамики можно было бы
продолжать на основе анализа равновесных систем, отнеся обобщение их на
неравновесные системы к последующему этапу. Однако представляется
более удобным уже на этой стадии перейти к неравновесным системам и об-
судить второй закон термодинамики непосредственно в нужной окончатель-
ной форме.
1.7. Переход к неравновесным системам. В предыдущем обзоре термо-
динамики равновесных систем представлялось возможным вводить термо-
динамические понятия (такие, как эмпирическая температура и внутренняя
энергия) и термодинамические принципы (например, закон сохранения
энергии) как очевидные обобщения экспериментальных результатов. При-
влекаемые сюда эксперименты могли быть описаны прямо в математической
форме, и хотя в действительности точно воспроизвести указанные экспе-
риментальные условия невозможно, к ним можно приблизиться с желае-
мой степенью точности.
На первый взгляд кажется, что можно было бы перейти от теории рав-
новесных систем к теории неравновесных, параметры которых зависят от
положения в пространстве, путем соответствующего предельного процесса,
деля систему на большое число мелких элементов, в каждом из которых по
мере уменьшения размеров состояние все более и более приближается к рав-
новесному состоянию. Однако строго выполнить такой предельный переход
оказывается затруднительным, так как на каждом этапе элементы представ-
ляют собой фактически неравновесные системы, к которым предыдущая
теория не применима. Поэтому термодинамику неравновесных систем сле-
дует рассматривать с более фундаментальных позиций как предмет, имею-
щий свои особые представления и принципы1). При этом теория равно-
весных систем служит своего рода ориентиром, так как по «принципу соот-
ветствия» теории неравновесных и равновесных систем должны приводить
к одинаковым результатам в тех частных случаях, когда они обе применимы.
Из теории равновесных систем вытекает также представление об эмпири-
ческой температуре произвольно малой равновесной системы (например,
термоэлемента), вполне согласующееся с постановкой задачи.
Перейдем к рассмотрению неравновесной системы, образованной един-
ственным однородным сплошным веществом. Величины, представляющие
для равновесного состояния данного вещества интенсивные параметрь
или функции состояния, здесь приобретают значения параметров неравно-
весного состояния, но теперь они зависят от положения точки в простран-
стве. Иногда пытаются дать этим величинам операторное определение
1) Аналогичное положение возникает в механике при попытке вывести законь
движения сплошных сред из механики микрочастиц. Строго говоря, даже в случае
равновесных систем законы устанавливаются как абстракции, опирающиеся на оче
видные экспериментальные факты, но, конечно, не выводятся прямо из них; это ясне
из идеализированного характера экспериментов, описанных в предыдущем пункте
Поэтому фразы типа «эксперимент показывает», которые нередко употреблялис!
в п. 1.6, следует понимать в том смысле, что можно без особых затруднений провеет!
эксперименты, подтверждающие данный закон, и представить их результаты непосред
ственно в форме соответствующих уравнений; но при этом все же предполагается процесс
экстраполяции или синтеза. Интересующиеся указанным вопросом отсылаются к работе
Франка [13].
22
Глава 1. Основы механики и термодинамики
КЗКШ ®н§ их определить во внутренней части ве-
щества. Однако здесь представляется достаточным то, что основанная
на принятом представлении теория предсказывает явления на поверхности,
согласующиеся с экспериментом. Величины, определяющие для равновес-
ных систем экстенсивные параметры или функции состояния, преобразуются
вначале для таких систем в интенсивные параметры путем деления рас-
сматриваемой величины на массу системы; получающиеся в результате
«плотности» сохраняют свой смысл и для неравновесных систем.
В общем виде параметры и функции состояния для неравновесных си-
стем обозначаются через Ха Ха(Р, t), где Р — точка в пространстве.
Предполагается, что число независимых параметров состояния и их выбор
остаются для неравновесной системы такими же, как для равновесной си-
стемы того же вещества, а оставшиеся функции в состоянии термодинамиче-
ского равновесия (т. е. когда все частицы находятся в покое и для любой
точки системы dXa/dt = 0) удовлетворяют тем же уравнениям состояния,
как и в равновесной системе.
1.8. Закон сохранения энергии в неравновесных системах. В преды-
дущем пункте для неравновесных систем были введены путем постулата та-
кие функции состояния, как, например, плотность внутренней энергии е.
Точно так же, не ссылаясь на прямое экспериментальное доказательство,
как это делалось для равновесных систем, постулируем существование за-
кона сохранения энергии и выразим его через введенные выше функции со-
стояния.
Чтобы сформулировать указанный постулат, рассмотрим часть С од-
нородного сплошного вещества, занимающего область D 4- В. Пусть Р —
точка в области D +В, a q и г(Р, /) — соответственно массовая плотностг
и плотность внутренней энергии элемента материала, расположенного в мо-
мент времени t в точке Р. Как это обычно принято в линейной постановке,
будем в дальнейшем считать массовую плотность постоянной, так как учет
ее зависимости от деформации приводит к членам второго порядка малости.
Обозначим через vt(P, f) компоненты скорости частицы в точке (Р, I) и пред-
положим, что на единицу массы тела действует объемная сила с компонен-
тами Р;(Р, 0- Тогда кинетическая энергия X части тела С определится как
~ QVjVi dV. (1.8.1)
D
Внутренняя энергия части тела С в момент времени t равна
U=\oedV. (1.8.1а)
Ь ' -'
Пусть сггДР, /) представляют собой компоненты тензора напряжения.
Тогда результирующие поверхностные нагрузки, действующие на часть
тела С, совершают в единицу времени работу
.. OijnjVt dA,
в
где nj(Pв)— компоненты единичной нормали к поверхности В в точке Р в.
Точно так же компоненты объемной силы Fit действующие на С, совершают
в единицу времени работу, равную
QFiVidV.
о
I.&. Закон Сохранения энергии в нераениееснисл системах
Sc
Предположим далее, что к части тела С через единицу поверхности Ь
подводится энергия путем теплообмена со скоростью — q(P в, I), так ЧТС
полная энергия, подводимая в единицу времени указанным путем к области
D, равна
— qdA.
в
Ограничимся рассмотрением только таких процессов, в которых энер-
гия подводится ко всему телу или к его части одним из трех указанных выше
путей (так, например, исключается подвод электромагнитной энергии)
Тогда, постулируя для указанных процессов закон сохранения энергии,
устанавливаем, что работа, совершенная в единицу времени поверхност-
ными и объемными силами, действующими на тело или его часть, плюс
энергия, подведенная к телу в единицу времени путем теплообмена, равны
скорости возрастания суммы кинетической и внутренней энергий, т. е,
OtjnjVt dA + j QFfVi dV— qdA = ~ qvtVi dV + qs dV^ . (1.8.2)
b'db v v
С помощью теоремы о дивергенции можно преобразовать первый по-
верхностный интеграл приведенного выражения, что дает
j OijVinj dA = j (OtjVi'jj dV. (1.8.3a)
в D
Предполагая перемещения малыми, можно пренебречь изменением пре-
делов интегрирования с течением времени, и дифференцирование право?
части выражения (1.8.2) можно выполнить под знаком интеграла, так чтс
- — (? QViVt dV Щ ? ре dV'} = QViVt dV -|- ? qk dV. (1.8.36)
ul \. £ a .I /
D D D D
Указанная перестановка порядка дифференцирования и интегрирования
может быть обоснована также и без предположения о малости перемещений
если воспользоваться уравнением неразрывности, выражающим закон со-
хранения массы (см. работу Уэйнера и Боли [3]). Так как теперь в уравне-
нии (1.8.2) остается единственный поверхностный интеграл, причем указан-
ное уравнение применимо к любой части тела, то должен существовать1)
вектор теплового потока qt, определяющий тепловой поток через элемент
поверхности с нормалью пг- выражением
qq-Jit, . -. .. . (1.8.Зв)
где под q понимается тепловой поток со стороны поверхности с отрицатель
ной нормалью в направлении положительной нормали. Используя указан-
ный вектор теплового потока, получаем, что
qdA = qitiidA^ qt,tdV. (1.8.3г)
в в Ъ
Теперь уравнение (1.8.2) можно записать в виде
l)(<?o,> + Qfi —Qyi)]^dVy- ? — qt,i — qs] ifl7 = 0, (1.8.4
D D
причем первый интеграл, в силу уравнений движения (1.4.13), обращается
в нуль. Так как предполагается, что уравнение (1.8.4) применимо к любо!
Ч См. работу Карслоу и Егера [III], стр. 3 — 6. Аналогичное доказательстве
существования тензора напряжения см. в работе Сокольникова И. С. [5].
24
Глава 1. Основы механики и термодинамики
произвольно малой части тела, то подинтегральное выражение второго ин-
теграла должно быть тождественно равно нулю в любой точке рассматри-
ваемого тела, т. е.
Представим v-4j в виде суммы его симметрической и антисимметриче-
ской частей
vl, j = ~2 ('-’г; J Ч/, г) ~2 J О = ег7 "г (1.8.6)
где
ем = у (Ui,j + Uj,i), (1.8.6а)
®v = 4 — uh t)- (1.8.66)
Тогда уравнение (1.8.5) примет вид
<тме0 — Qi,i =6е> (1.8.7)
где учтено, что член <тг7(о/7- обращается в нуль, так как представляет
собой симметричный [см. выражение (1.4.11)], а ыг; антисимметричный
тензор. Уравнениями (1.8.5) или (1.8.7) выражается закон сохранения энер-
гии для неравновесных систем.
1.9. Предварительные сведения о втором законе термодинамики для
сплошных сред. Чтобы в дальнейшем соответствующим образом сформу-
лировать второй закон термодинамики для деформируемых сред, необхо-
димо вначале более детально рассмотреть некоторые представления, от-
носящиеся к параметрам состояния и процессам. Для этого введем следую-
щие определения.
а) Исходное состояние. Рассматриваемое состояние вещества может
быть произвольным, но наряду с этим будет использовано представление об
исходном состоянии как о фиксированном состоянии термодинамического
равновесия1).
б) Параметры деформированного состояния. В соответствии с приня-
тым выше определением изучаемых сред предполагается, что при термоди-
намически равновесном состоянии плотность внутренней энергии в теку-
щей точке системы зависит от эмпирической температуры 0 в данной точке
и в некоторых случаях (не обязательно) от деформации частицы тела, за-
нимающей в данный момент эту точку, по отношению к ее исходному состоя-
нию. Соответствующие числовые величины, характеризующие меру дефор-
мации, назовем параметрами деформированного состояния и обозначим их
через £а, а = 1, ... , п, причем диапазон изменения нижнего индекса а.
зависит от рассматриваемого материала. Так, например, для вязкой жид-
кости единственным параметром деформированного состояния является
удельный объем v, в то время как упругое тело характеризуется шестью
параметрами деформированного состояния, в качестве которых можно при-
нять шесть компонент тензора малых деформаций ers (если ограничиться
случаем достаточно малых перемещений и их градиентов). Тогда
<5a=ers; а= 1, ..., 6; г, 8=1, 2, 3; ers=esr. (1.9.1)
1) В некоторых формулировках, относящихся к ряду задач о неупругом поведении
материала, требование о фиксированном состоянии опускается, см. [14] и [15].
1.9. Предварительные сведения о втором законе термодинамики
21
в) Разделение в уравнении энергии параметров деформированного со-
стояния и параметров диссипативной деформации. Для приводимого в сле-
дующем пункте вывода второго закона термодинамики необходимо преобра-
зовать уравнение энергии к такой форме, в которой влияние изменения па-
раметров деформированного состояния выражалось бы отдельными чле-
нами, так как в случае вязких жидкостей или упруго-вязких тел деформа-
ции оказывают дополнительное влияние на энергетические соотношения,
что приводит к возрастанию параметров так называемой диссипативной
деформации. В упругих телах такого влияния нет, и параметры диссипа-
тивной деформации отсутствуют.
Для указанных трех случаев уравнение энергии (1.8.7) можно записать
в следующем общем виде1)
sA + °X-7г,; = ее: а= 1, ..., п; ц = 1, . •т, (1.9.2)
где Д— параметры диссипативной деформации, а и оа— множители
в уравнении энергии, соответственно относящиеся к и £а.
Вывод уравнения (1.9.2) для упруго-вязкого вещества приводится
в п. 1.13; для упругого вещества оно непосредственно вытекает из соотно-
шений (1.9.1), если учесть, что в данном случае параметры диссипативной
деформации, как указано выше, отсутствуют2) .
г) Процесс. Описать процесс для данного элемента материала значит
установить функциональные зависимости зД/), ^(0, <Та(0> £а(0, 9(0,
(о<Д<Дь Возможность определения указанных зависимостей рассмат-
ривается пока в чисто математическом плане, без исследования, можно ли
физически реализовать данный процесс или нет.
Дадим определение трех частных видов процессов, не исключающих
один другого.
5) Ограниченный процесс. Ограниченным процессом назовем такой
процесс, в котором d^f) ~ 0.
е) Локально обратимый процесс. В течение процесса система в общем
случае не находится в состоянии термодинамического равновесия. Поэтому
плотность внутренней энергии е нельзя рассчитать в соответствии с изло-
женной выше общей теорией из уравнений, определяющих ее величину
в равновесном состоянии. Введем дополнительное предположение о том,
что плотность внутренней энергии можно рассчитать по мгновенным зна-
чениям параметров состояния, используя уравнение состояния. В этом
случае процесс называют локально обратимым. Следовательно, для такого
процесса3)
8(0 = 8[ga(0,0(01 (1.9.3)
и .............
(1.9.3а)
*) Следует обратить внимание на то, что повторяющиеся греческие нижние
индексы указывают на суммирование в диапазоне их изменения, хотя, как ранее отме-
чалось, они не характеризуют собой компонент тензора.
2) Случай вязкой жидкости рассмотрен в работе Уэйнера и Боли [3].
3) В дальнейшем на равных правах будут применяться обозначения
Z (?<х, 0) f (gl. • - - In, 0)-
26
Глава 1. Основы механики и термодинамики
где функция е(£а, 0) — та же самая, что и при состоянии термодинамиче-
ского равновесия.
ж) Локально адиабатический процесс. Процесс называется локальнс
адиабатическим, если входящая в уравнение (1.9.2) величина t тождест-
венно равна нулю.
Имея в виду указанные определения, перейдем к следующему этапу
вывода.
Доказательство того, что является функцией
состояния. Покажем, что величины оу, представляют собой функции
состояния, т. е. что
(J-Q, —..., 9)
(1-9-4;
й, с ждолэтс.аж оа зав®г5п толъул от гадатели, лиуфсй-
нюю энергию. Для указанного доказательства требуется дополнительнс
предположить, что величины не зависят от
Покажем вначале, что если начиная с некоторого произвольного со
стояния 0°, ограниченный процесс является локально обратимым и ло
кально адиабатическим, то £a(f) и 0(/) не могут быть заданы совер
шенно произвольно; иначе говоря, между этими величинами в данном слу
чае существует функциональная зависимость. Для доказательства допустил
вначале, что все указанные функции могут быть произвольно заданными
Тогда в предположении, что процесс является ограниченным, локальнс
обратимым и локально адиабатическим, уравнение (1.9.2) примет вид
ffctU ее — е [ д^а 1а г 0 ] ,
или
(1-9.5;
Поэтому в данном случае |а(/) и 0(/) могут быть полностью независимы друг
от друга только при условии, что для рассматриваемого материала де/д&=
----- 0 и что
(1.9.5а)
Если материал таков, что <Э& Д0 0, как это и бывает в общем случае,
то очевидно, что для ограниченного, локально адиабатического процесса,
начавшегося от произвольного состояния 0°, функции |а(0 и 0(/) не
могут быть определены независимо друг от друга. Предположим, однако,
что отойти от указанного состояния можно с помощью такого рода процесса
при произвольном законе |а(0, но что температура должна при этом опре-
деляться зависимостью вида1)
0 = 0(^, ..., U-
]) Следует заметить, что указанное допущение относительно состояний, к которым
можно перейти от произвольного состояния путем адиабатического процесса, связано
с постулатом Каратеодори для рассматриваемых здесь материалов определенного вида.
Однако с целью общности, целесообразно было дать формальное определение постула-
ту, прежде чем перейти к следующему пункту.
1.10 Обоснование по Каратеодори второго закона термодинамики 27
Тогда уравнение (1.9.2) примет форму
Г (Эе де й'0 1 Г л „ с,
[ 6 еаеа^ J ~ °’ (1-9.6)
откуда вытекает, что
<Ta = оа(g?,..., 00). (1.9.7)
Поскольку 00 относятся к произвольному состоянию, зависимость
(1.9.4) при принятых предположениях можно считать доказанной.
1.10. Обоснование по Каратеодори второго закона термодинамики
и его следствий. Трактовка второго закона термодинамики, данная Кара-
теодори [16], отличается отчетливым разграничением постулатов физи-
ческого характера и чисто математических следствий, вытекающих из
указанных постулатов1). Хотя в первоначальной форме постулат Кара-
теодори (т. е. данное им обоснование второго закона термодинамики) от-
носился к равновесным системам, его можно распространить, используя
результаты предыдущего пункта, на неравновесные системы. При этом ма-
тематическое обоснование для введения функции плотности энтропии
и шкалы универсальной абсолютной температуры остается по существу
без изменений. Согласно Каратеодори, второй закон термодинамики для
непрерывных неравновесных систем, характеризующихся параметрами со-
стояния 0, может быть сформулирован следующим образом.
Если задано некоторое начальное состояние системы Jo, характеризую-
щееся в текущей точке Р значениями параметров состояния 0°, то су-
ществуют такие состояния J, характеризующиеся в точке Р значениями
параметров состояния 6, как угодно близкими к 0°, которые не могуп.
быть достигнуты путем перехода из Jo с помощью процессов, локально обра-
тимых и локально адиабатических в точке Р.
Чисто математическая теорема, доказанная Каратеодори, которая по-
зволяет изучить следствия приведенного выше постулата, заключается
в следующем:
Если в окрестности произвольной точки Go имеются точки G, которьи
не могут быть достигнуты перемещением вдоль разрешающих кривых диф-
ференциального уравнения
rj Y
pa{xif ..., х„)^=0, а= 1, ...,«, (1.10.Г
то указанное уравнение интегрируемо.
Некоторые из примененных здесь терминов понимаются в следующее
смысле.
Точка. Группа значений переменных х1; ...,хп.
Разрешающая кривая. Группа n-функций ха(/), которые, будучи под-
ставлены в уравнение (1 10.1), обращают его в тождество.
Интегрируемость. Уравнение типа (1.10.1) считается интегрируемым
если существуют две такие функции Л.(хъ ..., хп) и /7(х1, ..., хп), что
1 г, dxc, dF dF dxa , ,, z, , n .
— Pa= ---------------, a= 1, 2, . . ., n. (1.10.1a
л dt dt dxa dt '
Теперь можно применить теорему Каратеодори к его формулировке
второго закона термодинамики в приведенной выше форме. Если в окрест
ности Jo имеются состояния, которые не могут быть достигнуты путем неко Ч
Ч Эта особенность разъясняется в работах Букдала [17] — [19].
28 Глава 1. Основы механики и термодинамики
торого локально обратимого и локально адиабатического процесса, то к ним,,
в частности, нельзя прийти и путем ограниченного локально обратимого*
и адиабатического процесса, для которого удовлетворяется уравнение (1.9.5).
Так как <за является функцией состояния, то указанное уравнение имеет
тот же вид, что и уравнение (1.10.1). Таким образом, гипотезы теоремы Кара-
теодори приложимы к уравнению (1.9.5) и, следовательно, оно является
интегрируемым, т. е. существуют такие функции Х(£ь ... , ^п, 6), F(^, ...
. .., 0), что уравнение 2
1ЖГб)“ + е 56 ] =-F(ga, 6)
тождественно удовлетворяется для некоторой группы функций £а(/), 0(/).
Поэтому уравнение (1.9.2) для локально обратимого процесса можно пере-
писать в следующей форме, выраженной через вновь введенные функции
состояния X и F
Q& —= •••> In, 9)f(£i, In, 0), (1.10.2а}
= ^п, 0И(£1, - In, 6). (1.10.26).
Функции X и F пока что не получили однозначного определения. Для
их определения поступим следующим образом. Рассмотрим вначале систему,
испытавшую ограниченный процесс, для которого уравнение (1.10. 26}
принимает вид .
0). (1.10.3)
Интегрируя это уравнение с учетом теоремы о дивергенции и выражения.
(1.8.3г), получаем
Q = ^Х(^, 0)F(^, ...Лп, 0)dV,
°
где Q — скорость, с которой энергия в тепловой форме вводится в систему..
Полагая далее, что система равновесна и что теплообмен происходит обра-
тимо в соответствии с законами классической термодинамики, т. е. с бес-
конечно малой скоростью, и принимая во внимание, что при этом функции X
и F становятся независимыми от пространственных координат, записываем
последнее уравнение в виде
- • . . • Q--X/V, ,. ‘
где V — общий объем системы, или в виде ' ~ '
Q = K*FM, ' (1.10.3а)
где М — общая масса системы, причем X*(i«, 9)= Х(£а, 0)/р(£а, 0).
Рассматривая вторую равновесную систему, находящуюся в идеаль-
ном тепловом контакте с первой, можно установить1), что для заданной
шкалы эмпирической температуры имеется единственная (с точностью до
произвольного множителя) функция X*, зависящая только от 0 и одинако-
вая для всех систем. Из вывода также следует, что указанная функция не
может быть знакопеременной и ее принято считать положительной. Уста-
новленная таким образом функция известна как абсолютная температура
') См. работу [17], стр. 216.
1.11. Термодинамика необратимых процессов. Возрастание энтропии 29
и обозначается через T(Q). Поскольку эмпирическая температура сохра-
няет свое определение также и для неравновесных систем, то абсолютная
т'ежйгуату’ра для таких систем также определяется введенной функцией,
являющейся универсальной функцией состояния. Тогда функция F(^a, 0),
соответствующая 770), представляет собой функцию состояния, определяю-
щуюся для каждой системы единственным образом (с точностью до опускае-
мой ниже произвольной аддитивной постоянной). Принято вводить также
функцию S(£a, 0), причем
. . S(ga, 0)=A4F(^, 0), (1.Ю.4)
которую называют энтропией равновесной системы. Очевидно, это S яв-
ляется экстенсивной функцией состояния; отнеся ее к массе системы, полу-
чают интенсивную функцию, которую называют плотностью энтропии и обо-
значают через т](£а> 9), так что
t)(M)=f(M). (1-10.5)
Теперь, заменяя 0 на Т и рассматривая Т в качестве параметра состоя-
ния, уравнения (1.10.2а) можно переписать в следующем виде:
<TaL + e7’r] = Qe, (1.10.6а)
sA — qi,t = QTx]. (1.10.66)
Полученные уравнения имеют силу для любого локально обратимого про-
цесса.
1.11. Термодинамика необратимых процессов. Возрастание энтропии.
Предыдущее изложение касалось расширения классической термодинамики
на неравновесные системы. Теперь перейдем к вопросам, связанным с более
НОВЫМИ термодинамическими представлениями о процессах, необратимые
в целом, хотя по-прежнему локально обратимых.
Из уравнения (1.10.66) следует, что в зависимости от величины qltl
плотность энтропии т] может или возрастать, или убывать. Однако из клас
сической теории равновесных систем известно, что если система отделена
от окружающей среды адиабатической оболочкой, то ее полная энтропия
никогда не убывает. Поэтому желательно так определить плотность энтро
пии, чтобы она имела аналогичные свойства; последнее можно выполнит!
следующим образом.
Рассмотрим часть непрерывной системы, занимающую область D + В
Согласно уравнению (1.10.66), скорость изменения энтропии в этой част!
тела равна
J Q^dV = - J dV + J s»pLdV =
Ь D D
= - $ q~W~dV+ $ S-^dV.
D ’ D D
Применяя к первому интегралу в правой части теорему о дивергенции, по.
лучаем в окончательном виде
- J q-^dA- J q-f^dV+ y^dV. (1.11.Г
D В D D
30
Глава 1. Основы механики и термодинамики
Первый член в правой части этого уравнения характеризует изменение
энтропии системы, связанное с потоком тепла через граничную поверхность
тела В, а два последних члена — изменение энтропии, определяющееся
процессами, протекающими внутри объема (теплопроводностью и измене-
нием диссипативных параметров). Поэтому сумму двух последних членов
естественно назвать скоростью внутреннего возрастания плотности энтро-
пии,обозначив ее через гц, так что
(1.11.2)
Следует обратить внимание на то, что щ не является функцией состояния.
Теперь можно ввести один из важнейших постулатов термодинамики
необратимых процессов, устанавливающий, что скорость внутреннего возра-
стания плотности энтропии в любой точке системы всегда положительна, т .е.
П1>0. (1.11.3)
Как следствие указанного постулата и выражения (1.11.2), получается,
что величины qt, 8И и Т,i/Т2, dIL не могут все принимать произвольные зна-
чения. Между первой qt, sIL и второй группой Т,г/Т2, должна существо-
вать функциональная зависимость, причем величины второй группы иногда
трактуются как обобщенные силы или причины, а первой — как потоки
или следствия. С целью упростить дальнейшее обсуждение введем следующие
обозначения: д; = 8И, — T,t/T2= d^, i = 1,2,3, и соответственно р =
= 1, т+ 2, т+ 3. В первом приближении предположим, что функ-
циональные зависимости между указанными группами линейны, т. е.
= Н’ v = К /п-фЗ, (1.11.4)
где величины АИЛ, не зависят от dv. • ' ;
Вторым важным постулатом термодинамики необратимых процессов,
который был введен Онзагером 120], с позиций статистической механики
устанавливается, что указанные коэффициенты пропорциональности долж-
ны быть симметричными, т. е.
р, v 1, . . ., tn 3. (1.11.5)
Соотношениями (1.11.5) определяются так называемые условия взаим-
ности Онзагера.
1.12. Зависимости между напряжениями и деформациями и уравне-
ние энергии для изотропного упругого тела. На основе полученных выше
результатов перейдем к детальному исследованию применения теории
к частным видам сплошных сред. В следующем пункте рассмотрим случай
упруго-вязкого вещества, а сейчас остановимся на примере упругого
тела. Иными словами, выведем зависимости между напряжениями и дефор-
мациями для изотропного упругого тела, деформации которого подчиняются
ограничениям линейной теории упругости и которое подвергается воздей-
ствию небольших изменений температуры1). После этого можно будет полу-
чить уравнение энергии в удобной для данного случая форме.
’) Какие изменения температуры можно считать небольшими, будет уточнено
в дальнейшем.
1.12. Уравнение энергии для изотропного упругого тела 31
Основное уравнение (1.10.6а) записывается для упругого тела в виде
Oije-ij + QTj] =qs. (1.12.1)
Введем функцию свободной энергии <p(e;y-, Т) , которую определим как
Ф(Чй T) = 8(&0-, Т). . (1.12.2)
Хотя функция <р зависит только от шести независимых компонент симмет-
ричного тензора еи, удобно записывать eiy- в виде 8гу= (1 /2)(&;_,-г 8;,) и рас-
сматривать ф как функцию всех девяти компонент тензора еИ. При таком
способе записи имеет место очевидное тождество
Эср д<р
дгц ~ дгц ‘
(1.12.3)
Подстановка уравнения (1.12.2) в (1.12.1) приводит к-следующему резуль-
тату:
В соответствии с принятыми предположениями коэффициенты при семи
независимых величинах ei7 и Т не зависят от этих величин и поэтому долж-
ны быть тождественно равны нулю. Тогда, используя равенство (1.12.3)
и условие симметричности тензора напряжения получаем
««-«&.. (1.12.4)
Ч = -* (1.12.5)
Подчеркнем, что в силу принятого условия частные производные
от ф берутся в уравнении (1.12.4) по девяти независимым компонен-
там Ец.
Шесть независимых компонент симметричного тензора второго ранга
в трехмерном пространстве определяются их тремя главными значениями
и тремя углами 0Ь 02, 03, указывающими ориентировку трех (взаимно орто-
гональных) главных направлений. Более того, три главных значения такого
тензора определяются его тремя инвариантами. Следовательно, функция
свободной энергии ф(егу, Т) может быть представлена в другой форме
в виде зависимости от трех главных инвариантов тензора деформации
18, ПЕ, ШЕ, трех углов ориентации 01; 02, 0з и температуры Т, т. е.
ф(ег7, Г) = ф(1е, Не, ШЕ, 0ь 02, 03, Т). (1.12.6)
Если ограничиться рассматриваемым здесь случаем изотропного упру-
гого тела, то функция свободной энергии не должна зависеть от углов 0Ь
02, 0з, так что для такого тела
ф(&/у, Т) = ф (1е, Не, ше, Т). (1.12.6а)
Из уравнения (1.12.4) следует, что
/дф aie
у ai£ae;j
= Q
аф апе аФ аше\
апе дец ' аШе дец )
(1.12.7)
-32
Глава 1. Основы механики и термодинамики
Три инварианта тензора деформации определяются следующим образом:
1е = Ец,
(1.12.8)
Ше = $1тп &U t'Jm &kn>
где и 6imn — обобщенные символы Кронекера, причем
f +1, если I и т— неодинаковые целые числа (от 1 до 3),
I а г, / — четные перестановки этих чисел;
= I
vim j —1, если I и т — неодинаковые целые числа, а г, j — не-
j четные перестановки этих чисел;
[ 0 во всех остральных случаях. (1.12.9)
'Символ определяется аналогичными условиями. Отметим, что указан-
ные символы выражаются через компоненты альтернативного тензора,
определяемого согласно (1.2.2) зависимостями
= yijk \lmhi ^1тп ~ Уг]к \lmn- (1.12.9а)
Дифференцируя уравнения (1.12.8), получаем
= б-
^ = 6uIe-6iJ, (1.12.10)
^77 = &гй &Л — б,; 1е 67 И£.
Предположим, что при температуре Т = То существует исходное со-
стояние вещества, при котором материал свободен от напряжений, и чтс
функция свободной энергии <р может быть разложена в степенные ряды пс
аргументам 1Е, Пе, ШЕ и Т', где
Г = 7^’. (1.12.11)
Тогда
ф(1е, Не; Ше, Т ) — — (do -J- аДе "Г б/гПе -J-
-Г а3Ше + а.Г + а5Ц + а6Ш Д а,1Щ + а8Г1е + -..), (1.12.12)
где а0, а1; ... — постоянные. Используя уравнения (1.12.12) и (1.12.4),
можно получить теперь зависимости между напряжениями и деформация-
ми. Имея в виду линейную теорию, ограничимся случаями, когда и Г'
достаточно малы, так что их произведениями в зависимостях между напря-
жениями и деформациями и в уравнении энергии можно пренебречь. При
этом условии зависимости между напряжениями и деформациями прини-
мают вид
или
Оу = аД, + а2 + 2a^ijEkk + asbtjT'
*
Gij = (2а5 +а2) 6,7 еАЙ — a2e,7 + a&bi3T',
(1.12.13
1.12. Уравнение энергии для изотропного упругого тела
33
где принято «!= О, так как в исходном состоянии материал свободен от на-
пряжений.
Постоянные а2, а-ъ и а8 можно выразить через коэффициенты Ламе А
при коэффициент линейного температурного расширения а по формулам
а2 = — 2ц,
а5 = Ц^, (1.12.13а)
а8 = — (ЗА + 2ц) аТ0.
Тогда соотношение (1.12.13) принимает известный вид линейной зависимости
между термоупругими напряжениями и деформациями, а именно
а и = A60eftft + 2цег; — (ЗА + 2ц) бг;а (Г — Го). (1.12.14)
Для того чтобы получить выражение, определяющее теплопроводность
в изотропном упругом теле, воспользуемся принципом возрастания энтро-
пии [условие [1.11.3)]. Так как в данном случае параметры диссипативной
деформации отсутствуют, то соотношением (1.11.4) устанавливается пря-
мая связь (которая здесь принимается линейной) между и T,t (знамена-
тель Т можно включить в коэффициенты указанной зависимости). Наиболее
общая линейная зависимость между величинами qt и T,t, соответствующая
их тензорному порядку, имеет вид
д1 = аТ,г + ЬцТ,3, (1.12.15)
где а и Ьц определяются свойствами материала указанного тензорного ран-
га. Так как тело считается изотропным, то величины Ьц должны представ-
лять собой компоненты изотропного тензора, т. е. такого тензора, компо-
ненты которого имеют одни и те же численные значения в любой декартовой
системе координат. Можно показать1), что наиболее общий изотропный
тензор второго ранга имеет компоненты вида btj=bbij. Тогда уравнение
(1.12.15) принимает простой вид
qt=-kT,i, (1.12.16)
где скаляр k, известный как коэффициент теплопроводности тела, должен
быть положительным, чтобы удовлетворить неравенству (1.11.3). Уравне-
нием (1.12.16) выражается известный закон теплопроводности Фурье [21].
Общее уравнение энергии для рассматриваемого случая упругого тела
и линейной теории можно представить теперь в более удобной форме. Так
как для упругого тела параметры диссипативной деформации отсутствуют,
то уравнение (1.10.66) переходит в
-7г,; = еТц=ет(^.8О. + ^г) (1.12.17а)
или с учетом выражения (1.12.5)
<1-12.176)
Принято вводить величину сЕ, определяемую из условия, что для про-
цесса при е;у= 0, i,j = 1,2,3,
= (1.12.18)
См. работу Джефриса [1].
3 Боли и Уэйнер
34
Глава 1. Основы механики и термодинамики
т. е. сЕ— это удельная теплоемкость при постоянной деформации рас-
сматриваемого упругого тела. Сравнивая два последних уравнения, находим,
что
= (1.12.19)
Из уравнения (1.12.4) следует, что
<92<р _ 1 дац
дгц дТ ~ Г дТ~ •
Поэтому уравнение (1.12.176) приводится к виду
(1.12.21)
Для рассматриваемой линейной теории производную двц/дТ можно вы-
разить с помощью линейной зависимости между термоупругими напряже-
ниями и деформациями (1.12.14), дг,г—с помощью закона теплопроводно-
сти Фурье (1.12.16), а Т = Т0-ф- Т’Т0 можно заменить здесь на То. В ре-
зультате приходим к искомому уравнению энергии для линейной теории
термоупругости
kT,u = qceT + (ЗХ + 2ц) aTokk- (1.12.22)
В дальнейшем полученное уравнение рассматривается как уточненное или
связанное уравнение теплопроводности1), так как пренебрежение взаимным
переходом тепловой и механической энергий приводит к исчезновению по-
следнего члена в уравнении (1.12.22) (см. гл. 5). Аналогично теорию тер-
моупругости, использующую указанное уравнение и поэтому требующую
одновременного определения температуры и деформации, будем называть
связанной теорией термоупругости.
1.13. Зависимости между напряжениями и деформациями и уравне-
ние энергии для изотропного линейно вязко-упругого тела. В этом пункте,
исходя из принцинов термодинамики, выведены зависимости между напря-
жениями и деформациями и уравнение энергии для изотропного линейно
вязко-упругого тела2). Ограничимся изложением линейной теории; в част-
ности, предположим, что допущения, принимаемые при определении пере-
мещений в линейной теории упругости, применимы и в данном случае.
Указанное ограничение имеет здесь более серьезное значение, так как при
наличии вязко-упругих эффектов перемещения нередко достигают значи-
тельной величины. Тем не менее последующий анализ выявляет роль пара-
метров диссипативной деформации, отсутствующих в задаче термоупру-
гости, и, таким образом, показывает возможный термодинамический под-
ход к теориям неупругих деформаций. В гл. 14 будут кратко рассмотрены
различные пути построения подобных теорий; там же обсуждаются модели,
аналогичные приведенной на рис. 1.1, которая используется ниже.
В Указанное уравнение впервые было получено в работах Дюгамеля [22] и [23].
Последняя работа была доложена в Академии наук 23 февраля 1835 г. и, следовательно,
является первой работой Дюгамеля по данному вопросу. Дюгамелем были установлены
аналитические основы термоупругости: в указанных и последующих статьях им были
сформулированы соответствующие граничные условия задачи, рассмотрена допусти-
мость некоторых упрощений и решен ряд частных задач.
Вывод уравнения (1.12.22), по существу совпадающий с выводом, приведенным
выше, можно найти, например, в работе Фойгта [24].
2) Ссылки на другие работы по данному вопросу можно найти у Био [25]. См.
также работы Циглера [26] и Чжу [27].
1.13. Уравнение энергии для изотропного линейно вязко-упругого тела 35
В дополнение к упомянутым уже допущениям необходимо установить,
что представляет из себя вязко-упругое тело с точки зрения кинематических,
механических и термодинамических свойств. Обосновать указанные характе-
ристики можно с помощью типичной механической модели (рис. 1.1), отража-
ющей вязко-упругое поведение тела. Неко-
торые из необходимых представлений будут
введены вначале применительно к данной
одномерной модели тела, а затем распро-
странены на произвольное вязко-упругое
тело и на трехмерное напряженное со-
стояние.
Исходя из допущения о малости пере-
мещений и их градиентов, можно исполь-
зовать тензор малой деформации и его
разложение на упругую и вязкую состав-
ляющие. В соответствии с обозначениями
на рис. 1.1 примем, что е — это полная
деформация всей модели, а еУ- (р. = 1,2,3)—
полная деформация каждого участка1).
Тогда из чисто кинематических соображе-
ний следует, что
Обозначим далее через г11 упругую дефор-
мацию каждого участка, а через е№ — вяз-
кую деформацию. Тогда
+ 1,2,3. (1.13.2)
Пусть s — напряжение, приложенное к
модели в целом, as1'- — напряжение в каж-
дом участке. Из механических соображе-
ний имеем
s = s3 = s1 + s2. (1.13.3)
Рис. 1.1. Модель вязко-упругого
тела.
Скорость Р, с которой работа подводится к модели в течение процесса
деформации, записывается в следующем виде:
Р = se= зЩЩ-- ц-- 1, 2, 3,
(1.13.4)
где использовано принятое правило суммирования. Второе равенство выте-
кает из уравнений (1.13.1) и (1.13.3).
Полученный результат можно непосредственно обобщить на случай
трехмерной задачи. Как и раньше, обозначим через Сц и 8г-7- соответственно
компоненты тензоров напряжений и деформаций. Девиаторы тензоров на-
пряжений Sij и деформаций определяются обычным образом, т. е.
= —босг,
eij — &ij &ijS,
где о = 1/з<Уц, е = х/3 Ец—соответственно среднее напряжение и средняя
деформация.
(1.13.5)
Г1 Верхние греческие индексы, которые, как и раньше, не обозначают компонент
тензора, не следует смешивать с показателями степени.
3*
36 Глава 1. Основы механики и термодинамики
С помощью аналогии с рассмотренной выше моделью можно тепер!
установить следующие дополнительные предположения о деформациях уп-
руго-вязкого тела.
1) Полный девиатор деформаций егу может быть выражен через дефор-
мации элементов ef., р = 1, ... , т, которые связаны с ним и друг с другом
уравнениями типа (1.13.1). Далее
= +dij, р = 1, (1.13.6)
где Гу, dij симметричны по i, j и г« = <41 = 0.
2) Полный девиатор напряжений может быть выражен через напря-
жения в элементах sy-, р = 1, ... , т, которые связаны с ним и друг с другом
уравнениями типа (1.13.3).
3) Зависимости, связывающие ец и еУ., st3 и s^., позволяют предста-
вить мощность, развиваемую напряжениями при искажении элемента и рав-
ную sijetj, в виде
sueu = Sy-cy, (1.13.7)
где суммирование проводится по всем повторяющимся индексам.
4) Параметрами деформированного состояния тела являются е и г$,
так что плотность внутренней энергии е можно записать в виде
е = Б(е, < Г). (1.13.8)
Вывод по-прежнему опирается на основное уравнение энергии для
сплошной среды (1.8.7), которое выражается следующим образом через
средние значения и компоненты девиатора напряжений и деформаций:
Зае + зиви — qhi =ре. (1.13.9)
Подстановка выражений (1.13.6) и (1.13.7) в уравнение (1.13.9) приводит
к зависимости
Зо'Е SpCjj Д Sydy— Qi, i = Qe- (1.13.10)
Напомним, что d^ являются параметрами диссипативной деформации; по-
этому скорость внутреннего возрастания плотности энтропии qt]i, согласно
(1.11.2), равна
(1.13.П)
где условие неравенства вытекает из (1.11.3). Следовательно, между sl3
и qt, с одной стороны, и dy и Т,;, с другой, должна существовать функцио-
нальная зависимость, которая предполагается здесь линейной. Наиболее
общая линейная зависимость между указанными величинами, соответствую-
щая их тензорному порядку, имеет следующий вид:
qi^aT^ + b^Tj + cfd^+f^, (1.13.12а)
s,* = + + m^kldvkl + + <Д (1.13.126)
где величины а, Ьц, .. q^i определяются свойствами материала и описы-
ваются тензорами, ранг которых определяется латинскими нижними индек-
сами.
1.13. Уравнение энергии для изотропного линейно вязко-упругого тела
37
Так как принято, что тело изотропно, то указанные тензоры свойств
материала должны быть изотропными. Можно показать1), что не существует
изотропного тензора первого ранга и что наиболее общие изотропные тен-
зоры второго, третьего и четвертого ранга имеют вид:
Ранг 2: абу,
Ранг 3: byijk, (1.13.13)
Ранг 4: Хбубу + р (6;ft6j7+бггбл) + v (6ift6j7 —бг76л),
где а, 6, X, р, v — произвольные скаляры, — альтернативный тензор,
определяемый формулой (1.2.2).
Подставляя выражения (1.13.13) в уравнения (1.13.12) и учитывая,
что тензоры Sij и d* симметричны (причем Д7- = 0), найдем, что при приня-
тых гипотезах единственно возможной формой уравнений (1.13.12) является
следующая:
qi=-kT,u (1.13.14а)
s^L^d^. (1.13.146)
Полученные уравнения показывают, что между градиентом температуры
и параметрами диссипативной деформации нет перекрестной связи и что
закон теплопроводности Фурье сохраняет свою силу для изотропного вяз-
ко-упругого тела. Требование, чтобы скорость внутреннего возрастания
энтропии была положительной, налагает ограничение, согласно которому
величина k должна быть положительной, а квадратичная форма коэффи-
циентов — положительно определенной.
Из условий взаимности Онзагера (1.11.5) следует, что
= (1.13.15)
Интересно отметить, что указанные коэффициенты взаимссвязи можно
ввести в механическую модель, подобную той, что показана на рис. 1.1,
если пару цилиндров амортизатора соединить трубкой, оказывающей со-
противление перетеканию жидкости из одного цилиндра в другой. Произ-
водя детальный расчет такой системы, можно убедиться, что получающиеся
коэффициенты взаимосвязи действительно симметричны, как это вытекает
из гипотезы Онзагера2).
Для того чтобы получить зависимость о и Sy от е, гу и Т, используем
уравнение (1.10.6а). Для рассматриваемого случая указанное уравнение
приводится к виду
Зое + 5уГу + рТц = Qe. (1.13.16)
Учитывая выражение для функции свободной энергии3)
Ф(е,/-ч, 71) = е (е, rV-., П-7ц(е,гч., Т), (1.13.17)
*) См. гл. 7 работы [1].
2) В работе [20] приведено несколько других частных случаев, когда взаимные
зависимости могут быть найдены без обращения к общей теории Онзагера.
з) При определении <р используется то же самое условие, которое обсуждалось
ранее применительно к уравнению (1.12.3); таким образом, <р рассматривается каь
функция всех девяти компонент тензоров г>1.
38
Глава 1. Основы механики и термодинамики
преобразуем (1.13.16) в уравнение
3oe + s^- = Q (cp4-T]f) = Q + +
или
(3“-e»» + (sS-8^);s-<> + 4)r=o- (1-W.18)
Предполагая, что о и Sy- не зависят от е и гу, из последнего уравнения
получим
3<r=(>^, (1.13.19а)
(1.13.196)
(1.13.19b)
Так как обсуждение ограничивается случаем изотропного тела, то
функцию свободной энергии ф можно выразить через второй и третий инва-
рианты тензоров rij, т. е. через II?, III? (при принятых предположениях
первый инвариант обращается в нуль)
ф —ф(е, II?, III?, Т). (1.13.20а)
Предположим далее1), что определенную таким образом функцию ф можно
разложить в степенные ряды по ее аргументам, так что
ф = — («о + е + Й2еЯ + &ц11? + <\Т' + с2еТ + с2Т 2 .), (1.13.206)
где, как и в формуле (1.12.11), Т' = (Т—Т0ПТ0.
Из зависимостей (1.13.19а) — (1.13.19в), пренебрегая произведениями
членов 8, гу и Т', получаем
Зег = 2а2е ~'гс2Т', (1.13.21)
Sy = — (без суммирования по р), (1.13.22)
П = -~(с2е + 2с3Г). (1.13.23)
Q1 о
Постоянные а2 и с2 можно выразить через коэффициенты Ламе X и р
и коэффициент линейного температурного расширения
2 <2 (1.13.24)
с2 — — 3 (ЗХ, + 2ц) аТ 0.
Тогда уравнение (1.13.21) принимает такую же форму, как в линейной тео-
рии термоупругости, а именно
п = (ЗХ + 2р.)[е-а(7’-Т0)]. .(1.13.25)
Теперь можно объединить уравнения (1.13.6), (1.13.146) и (1.13.22)
с соотношениями, связывающими Sy с s?- и еу с еу, и получить зависимост!
1) Читатель заметит, что последующая часть изложения совпадает с соответ-
ствующей частью предыдущего пункта.
1.14. Основные положения линейной связанной теории термоупругости 39
между Sij, ец и их производными по времени в форме, типичной для линей-
ной теории вязко-упругих деформаций (гл. 14).
Уравнение энергии для линейно вязко-упругого тела можно полу-
чить из (1.13.23). Как и в случае упругого тела, из рассмотрения ограни-
ченного процесса с постоянной деформацией найдем
(1.13.26)
Z 1
где св — это удельная теплоемкость при постоянной деформации рассмат-
риваемого вязко-упругого тела. Объединяя уравнение (1.10.66) с (1.13.14в),
получим уравнение энергии для вязко-упругого тела
Sijdij +kT,ti = qcbT + 3 (ЗА. + 2р) а Тоъ, (1.13.27)
где, как и в п. 1.12, в последнем члене температура Т заменена на То.
1.14. Основные положения линейной связанной теории термоупруго-
сти; теорема единственности. Вернемся к изучению линейно термоупругогс
тела, теория которого обсуждалась в п. 1.12; вязко-упругая среда будет
рассматриваться дальше в гл. 14 и 15.
В п. 1.12, исходя из основных принципов механики и термодинамики,
были получены исходные уравнения линейной связанной теории термоупру-
гости. Но пока остался открытым вопрос о том, образуют ли указанные урав-
нения полную необходимую систему, или, иными словами, достаточны лк
они для получения единственного решения данной задачи. Положительный
ответ на этот вопрос дается для одного класса задач следующей теоремой
единственности х).
Теорема. Для заданной в пространстве регулярной области D -Т
4-В с ограничивающей поверхностью В существует не более одной системь.
однозначных функций oi} (Р, I) и ег-7- (Р, /) класса С(1), и функций щ (Р, р
и Т (Р, f) класса Ст, для точки Р (xir х2, xs) в области D-\-В при t>0.
которые удовлетворяют следующим зависимостям:
для Р в области D при / > 0
kT ,mm = QCET+ mTrfikk, (1-14.1,
пг-Л> = рыг, (1-14.2;
для Р в области D -Т В при t >0
&ij j Ujt i), (1.14.3,
Gtj = + 2p.Sij — btjm (T — To), (1-14.4;
для P на поверхности В при t 0
Т ---F" (Р. t), (1.14.5;
и. = (Д1,(Р, 0, (1.14.6;
’) Более обстоятельное обсуждение смысла и значения теорем единственности дл;
линейной несвязанной теории термоупругости приводится в гл. 2. Из указанной
обсуждения следует, что эту теорему нетрудно распространить на более общие видь
граничных условий. Настоящий пункт по своему содержанию соответствует работе [28]
40
Глава 1. Основы механики и термодинамики
для Р в области D при t = 0
T^F<2,(Pp (1.14.7)
иг = в?(Р), (1.14.8)
ыг = б)3)(Р), (1.14.9)
где k, сЕ, ЗХ-f- 2ц, ц, т и То— положительные величины1).
Доказательство. Предположим, что существуют две такие
системы функций ст)1/ и ст)2/, е)1’ и е)2/ и т. д., и пусть оД = ст)1’—о)2/, е//=
= е)/ — е)2) и т. д.
Очевидно, что в силу линейности задачи указанные разностные функ-
ции будут также удовлетворять уравнениям (1.14.1) — (1.14.3) и однород-
ным уравнениям, соответствующим (1.14.4)— (1.14.9). Так как дальнейший
анализ относится только к разностным функциям, то звездочки в их обозна-
чениях опускаются. Рассмотрим интеграл
jj GijeijdV= J OijUi^dV^ J [(стг7пг),; — (°ДdV> (1-14.10)
D Ъ D
который получен с учетом уравнения (1.14.3) и симметричности тензора
напряжений. На основании теоремы о дивергенции и на основании одно-
родности уравнения вида (1.14.6) имеем
{GijUi)^dV = GijUtnj dA — Q. (1.14.11)
о в
Из уравнения (1.14.2) следует, что
GtjjUtdV^ qutUi dV = ~ ГубнщЛ dV, (1.14.12)
о Ь Ъ
и поэтому уравнение (1.14.10) принимает вид
dV = 0. (1.14.13)
D
Выражая через средние и девиаторные компоненты соответствую-
щих тензоров согласно соотношениям (1.13.5), получаем
CT787 = 3ae + s7ei;. (1.14.14)
Используя соотношение между средним напряжением и средней деформа-
цией (1.13.25) при Го=О и соотношения между компонентами девиатора
напряжений и деформаций s7=2|ie7, которые непосредственно вытекают
из однородности уравнения вида (1.14.4), находим
3(3X4-2ц) ее + 2цег7еу — mT&hk, (1.14.15)
так что уравнение (1.14.13) можно переписать в виде
+ + + dl/ = 0’ О-14-16)
D
г) Для удобства введено обозначение т = (ЗЛ + 2ц) а. Отметим, что для обеспе-
чения механической устойчивости материала при чисто гидростатическом и чисто девиа-
торном напряженных состояниях должны удовлетворяться соответственно неравенства
(ЗХ + 2ц) > 0, ц > 0. (Определение функции класса C(i) см. в сноске на стр. 5^.—
Поим, пеоев.}
Библиография
41
С помощью теоремы о дивергенции легко вывести следующее тождество:
J TT,kkdV+ J (TT,h)\hdV = J TT,knkdA. (1.14.17;
I) D D В
Подставляя в равенство (1.14.17) значение T,kk из уравнения (1.14.1)
и используя однородность уравнения вида (1.14.5), получаем
f Т (qceT + mTa&kk) dV + k ? 7\k7\h dV = 0,
b D
или
Го J mTekhdV=-^^~ J ~~T*dV~k $ TfiT,hdV. (1.14.18)
В D о D
Подставляя выражение (1.14.18) в уравнение (1.14.16) и меняя порядок
дифференцирования и интегрирования, получаем окончательно
J Q(3X + 2p) + + + = $ T^T^dV^O.
D D
(1.14.19)
Интеграл в левой части последнего уравнения в начальный момент
времени равен нулю, так как разностные функции удовлетворяют нулевым
начальным условиям. Однако в соответствии с требованием выведенногс
выше неравенства указанный интеграл должен либо убывать (т. е. стать
отрицательным), либо оставаться равным нулю. Так как его подинтеграль-
ная функция представляет собой сумму квадратов, то возможен лишь вто-
рой случай. Следовательно1),
Г-|(3^ + 2р)е2 + рег7ег> + 1ейгнг + -§|Т2)с1П = 0, t>0. (1.14.20)
о
Из уравнения (1.14.20) видно, что во всем теле в любой момент вре-
мени разностные функции тождественно равны нулю, что и требовалось
доказать.
Уравнениями (1.14.1)—(1.14.4) вместе с граничными и начальными
условиями, принятыми в форме выражений (1.14.5) — (1.14.9), полностью
описывается краевая задача связанной теории термоупругости. В после-
дующих главах будут рассмотрены различные упрощения и видоизмене-
ния в постановке указанной задачи.
БИБЛИОГРАФИЯ
1. Джефрис (Jeffreys И.), Cartesian Tensors, Cambridge Univ. Press, 1931
2. H о в о ж и л о в В. В., Основы нелинейной теории упругости, Гостехиздат
М.-Л., 1948.
3. Уэйнер, Боли (Weiner J. Н., Boley В. A.), Basic concepts of the
thermodynamics of continuous media, W. A. D. C. Tech. Rep. 57—288, April 1958.
4. Рейсснер (Reissner E.), Note on the theorem of the symmetry of the
stress tensor, J. of Math. a. Phys., 23 (1944), 192—194.
5. Сокольников (Sokolnikoff I. S.), Mathematical Theory of Elasticity,
second ed., McGraw-Hill, New York, 1956.
’) Интеграл, стоящий в левой части уравнения (1.14.20), представляет собой тер-
моупругий потенциал Био, дополненный кинетической энергией; см. п. 8.11 (г).
42
Глава 1. Основы механики и термодинамики
6. Земанский (Z emansky М. W.), Heat and thermodynamics, third ed.,
McGraw-Hill, New York, 1951.
7. Кинан (Keenan J. H.), Thermodynamics, John Wiley and Sons, New York,
1941.
8. Пиппард (Pippard A. B.), Elements of classical thermodynamics, Cam-
bridge Univ. Press, 1957.
9. Пригожин (Prigogine I.), Etude thermodynamique des phenomenes
irreversibles, Desoor, Liege, 1947; русский перевод: Пригожин И., Введение
в термодинамику необратимых процессов, ИЛ, М., 1960.
10. Де Гроот (De Groot S. R.), Thermodynamics of irreversible processes,
Interscience Publ., New York, 1952; русский перевод: де Гроот С. Р., Тер-
модинамика необратимых процессов, Гостехтеорнздат, М., 1960.
11. Бно (Biot М. A.), Thermoelasticity and irreversible thermodynamics, J. oj
Appl. Phys., 27, 3 (March 1956), 240—254.
12. Уэплз (Whaples G.), Caratheodory’s temperature equations, J. Rat. Meeh,
a. Analysis, 1 (1952), 301—307.
13. Франк (Frank Ph.), Philosophy of science, Prentice—Hall, Englewood Cliffs,
New J ersey, 1957.
14. Эккарт (Eckart C.), .The thermodynamics of irreversible processes IV: The
theory of elasticity and anelasticity, Phys. Rev. (2), 72 (1948), 373—382.
15. Трусделл (Truesdell C.), The mechanical foundations of elasticity and
fluid dynamics, J. of Rat. Meeh. a. Analysis, 1, 1 (January 1952), 125—300.
16. Кар атеодори (C ar a t h ё о d о г у С.), Untersuchungen fiber die Grund-
lagen der Thermodynamik, Math. Annalen, 67, (1909), 355—386.
17. Букдал (Buchdahl H. A.), On the principle of Caratheodory, Am. J. Phys.,
17 (1949), 41—43.
18. Букдал (Buchdahl H. A.), On the theorem of Caratheodory, там же,
pp. 44—46.
19. Букдал (Buchdahl H. A.), On the unrestricted Theorem of Caratheodory
and its application in the treatment of the second law of thermodynamics, Am. J,
Phys., 17 (1949), 212—218.
20. Онзагер (Onsager L.), Reciprocal relations in irreversible processes,
Parts I and II, Phys. Rev., 37 (February 1931), 405—426 and 38 (December 1931),
2265—2279.
21. Ф у p ь e (F о u r i e r J.), Theorie analytique de la chaleur, Paris, 1822.
22. Дюгамель (Duhamel J.M. C.), Second memoire sur les phenomenes ther-
moimecaniques, Journal de ГЁсо1е Poly technique, 15, 25 (1837), 1—57.
23. Дюгамель (Duhamel J.M. C.), Memoire sur le calcul des actions molecu-
laires developpees par les changements de temperature dans les corps solides, IMemoi-
res... par divers savans, 5 (1838), 440—498.
24. Ф о й г т (Voigt W.), Lehrbuch der Krystallphysik, Teubner, Leipzig
1910.
25. Био (Biot M. A.), New methods in heat flow analysis with application to fligh;
structures, J. of the Aero. Sci., 24, 12 (December 1957), 857—873.
26. Циглер (Ziegler H.), Thermodynamik und Rheologische Probleme, Ing.-
Arch., 25 (1957), 58—70.
27. Ч ж у (C h u В. T.), Thermodynamics of elastic and of some viscoelastic solid;
and non-linear thermoelasticity, Tech. Rep. No. 1, Contract Nonr 562 (20), Browr
University, July 1957.
28. Уэйнер (Weiner J. H.), A Uniqueness theorem for the coupled thermoelas
tic problem, Quart, of Appl. Math., 15, 1 (April 1957), 102—105.
ГЛАВА £
Несвязанная квазистатическая теория
термоупругости
2.1. Введение. Уравнениями (1.14.1)—(1.14.9) описывается развитая
в предыдущей главе общая теория поведения сплошной среды. Указанная
краевая задача представляет значительные математические трудности, так
как она объединяет теорию упругости с теорией теплопроводности при пере-
ходном режиме. К счастью, в большинстве обычных прикладных задач
можно без значительной погрешности ввести некоторые упрощающие до-
пущения. Главнейшие из таких допущений заключаются в том, что в урав-
нении энергии (1.14.1) опускается член, отражающий механическую свя-
занность, а в уравнениях движения (1.14.2) — инерционные члены. В на-
стоящей главе придется ссылаться как на теорию, не использующую ука-
занные допущения, так и на теории, включающие только первое или оба
допущения; для этих теорий будут соответственно применяться термины —
связанная, несвязанная и несвязанная квазистатическая. Однако в осталь-
ных главах книги используется только последняя из указанных теорий1),
распадающаяся на два различных раздела — теорию теплопроводности
и теорию термоупругости. В последующих четырех пунктах данной главы
(п. 2.2—2.5) обсуждаются вопросы взаимосвязи этих теорий и их точности.
В п. 2.6 даны краткие выводы по несвязанной теории термоупругости,
а в последнем п. 2.7 доказывается единственность решения такой теории.
В приложении кратко обсуждается вопрос термоупругого рассеяния энергии.
2.2. Общие замечания о влиянии связанности и инерции. Вначале
рассмотрим в уравнении теплопроводности (1.14.1) член, отражающий
механическую связанность. Данное уравнение показывает, что если внеш-
нее механическое воздействие вызывает изменение деформации внутри тела,
то в общем случае указанные изменения деформации сопровождаются из-
менениями температуры и, следовательно, появлением теплового потока.
В результате всего процесса возрастает энтропия и та часть энергии, кото-
рая не может быть возвращена в механической форме. Чтобы изучить
указанное явление, называемое термоупругим рассеянием энергии, необхо-
димо использовать уравнение связанной теории теплопроводности гл. 1;
очевидно, что для описания подобного диссипативного процесса в уравнении
теплопроводности необходим член, отражающий механическую связанность;
опустить его в данном случае было бы неразумно. Однако деформации от
действия внешних нагрузок сопровождаются лишь незначительными из-
1) За исключением и. 10.11 и 12.7, в которых при расчете термически возбуждае-
мых колебаний, соответственно балок и пластин, учитывается влияние инерции.
44
Глава 2. Несвязанная квазистатическая теория термоупругости
менениями температуры и поэтому вполне резонно вычислять эти деформа-
ции без учета температурного расширения. Точно так же, если деформации
в теле вызываются неравномерным распределением температуры, то интуи-
тивно кажется очевидным, что влияние указанных деформаций на темпера-
туру само по себе не должно быть слишком большим. Следовательно, мож-
но ожидать, что пренебрежение в уравнении теплопроводности членом, от-
ражающим механическую связанность, будет допустимо во всех задачах,
кроме тех, где вопрос термоупругого рассеяния энергии представляет основ-
ной интерес.
Указанное обстоятельство можно наглядно проиллюстрировать сле-
дующим образом. Перепишем уравнение связанной теории теплопровод-
ности (1.14.1) в виде
. (2.2.1;
где введен безразмерный параметр 6, равный1)
„ (ЗХ.+2ц)2а2Г0
е2сл2
(2.2.1а;
причем скорость распространения в упругой среде волн расширения обо-
значена через
Уе=1/Щй. (2.2.16;
В уравнении (2.2.1) член, пропорциональный 6, отражает влияние связан-
ности, и им можно пренебречь по сравнению с единицей, если
gfefe X.—2р./3 1
ЗаТ 6
(2.2.2;
Чтобы провести численные сравнения, нужно оценить значение пара-
метра 6. Так, для алюминия
Х = 0,422-10Ч * 6 кг!см.\
р = 2,77-10~6 к.г-сек21см*,
р = 0,281-10° кг/сл2, (2.2.3;
сг = 0,2 ккал!кг град = 8,3 5 • 106 ---------д- ,
' ' (кг-сек2/см)-грод
а ~ 23,10“61/град,
и если взять для примера То= 336° К (что соответствует примерно 90° С)
то получим
6 = 0,029. (2.2.3а
Для стали
Z= 1,265-106 кг/см2,
q = 8,0-10-6 кг-сек21см\
р = 0,843-106 кг)см2, (2.2.4;
= 0,11 ккал/кг - град =4,59-10* ,
а — 11,7- 10"61/град,
Ч Указанная форма безразмерного параметра будет обоснована в следующеъ
пункте, а здесь вводится формально. Отметим также, что в линейной теориивыраженш
удельной теплоемкости при постоянном объеме cv и при постоянной деформации Cj.
взаимозаменяемы.
2.2. Общие замечания о влиянии связанности и инерции 45
i, принимая Го— 336е К, найдем, что соответствующее значение ё
D3BHO
6 = 0,014. (2.2.4а)
Таким образом, из уравнения (2.2.2) следует, что в обоих случаях
связанность будет малой, если приближенно
^Ц-<20. (2.2.5)
ЗаТ
Если с течением времени поле температур не испытывает очень резких
изменений или внезапных скачков, то из интуитивных соображений можно
ожидать, что скорость изменения по времени температурного расширения
будет величиной того же порядка, что и скорость изменения температуры1).
Таким образом, указанное выше пренебрежение связанностью представ-
ляется обоснованным.
Из предыдущего обсуждения видно, что возможность пренебречь чле-
нами связанности зависит не только от выполнения требования
(2.2.6)
(как это имеет место для большинства металлов), но и от условия, чтобы
скорости изменения деформации были величинами того же порядка, что
и скорости изменения температуры. Последнее условие предполагает, что
изменение перемещений по времени происходит непосредственно вслед за
изменением температуры; иными словами, при движении тела не должно
возникать заметного отставания или колебаний. Поэтому следует ожидать,
что величина инерционных эффектов также будет иметь в данном вопросе
определенное значение, и, следовательно, между упомянутыми выше двумя
направлениями упрощения общей теории должна существовать тесная
взаимосвязь.
Полностью и строго ограничите класс задач, для которых можно вво-
дить указанные упрощения, не представляется возможным. Однако на ряде
частных примеров можно сопоставить расчеты по точной и приближенным
теориям, что и будет детально рассмотрено в трех последующих пунктах.
VW содержание и выводы сводятся в основном к следующему.
В п. 2.3 на основе связанной теории приводится решение физической
задачи о теле с внутренними источниками тепла постепенно возрастающей
интенсивности. Затем в п. 2.4 изучается поведение тела при медленном воз-
растании интенсивности источника. Показано, что по мере убывания ско-
рости процесса решение все ближе приближается к тому, что дает теория,
не учитывающая влияния инерции, однако на данной стадии анализа учет
членов механической связанности в уравнении теплопроводности сохра-
няет свое значение. Но если воспользоваться неравенством (2.2.6), то и этим
эффектом можно пренебречь (п. 2.4). В п. 2.5 на типичном примере для слу-
чая массивных тел разбирается вопрос о том, являются ли практически
встречающиеся скорости изменения температуры достаточно малыми, чтобы
можно было пренебрегать инерционными членами. Аналогичный анализ
2) Можно сделать аналогичные выводы, касающиеся относительных величин
температурного расширения (или напряжения) и температуры. Например, в работе
Гудьера [1]отмечается, что наибольшее температурное напряжение выражается в виде
kEaT, где k — числовой коэффициент, заключенный обычно между 0,5 и 2,5. Однако
местное значение напряжения при наличии отверстий, трещин, надрезов, включений
или других источников концентрации напряжений может превышать указанную вели-
чину.
46 Глава 2. Несвязанная квазистатическая теория термоупругости
для более тонких тел—балок и пластин откладывается соответственно до
п. 10.11 и п. 12.7.
Рассматриваемые в п. 2.3 — 2.5 примеры подтверждают обоснован-
ность применения несвязанной квазистатической теории термоупругости
для большинства практических задач. В п. 2.6 приводится окончательная
математическая формулировка указанной теории, а соответствующая тео-
рема единственности решения доказывается в п. 2.7.
2.3. Решение задачи связанной теории термоупругости. Рассмотрим
первоначально ненапряженную и равномерно нагретую бесконечную среду
с внутренними источниками тепла заданной интенсивности Q(x, (). Функ-
ция Q отнесена к единице объема и задана в виде
Q (х, /) = [Q4 (/) cos-|-, (2.3.1)
где L — константа. Граничные условия предполагаются такими, что ком-
поненты перемещения и, v, w в направлениях х, у, г можно принять в виде
м = м(х, /), v = w = 0. (2.3.2)
Задача описывается следующей системой уравнений1):
Л2Т ЛТ Л2// & дх2~^ = ДГ + (3^ + 2ц) «7'0 ’ (2.3.3а)
дохх ' д2и дх 6 dt2 ’ (2.3.36)
~ Н- 2ц) — (ЗХ 2ц) аТ, (2.3.Зв)
$уу = ^zz “ ^&хх ‘ (ЗХ 2ц) схУ, (2.3.3г)
&Ху — 6yz ~ = &ху ~ &yz — -ZX ~ 0, (2.3.3д)
ди 8хх = ~д^ (2.3.Зе)
при соответствующих начальных условиях, которые вкратце будут указаны.
Из соотношений (2.3.Зв) и (2.3.3г) видно, что в данном случае Т означает
изменение температуры от начального, ненапряженного состояния. Для
начала удобно привести задачу только к двум зависимым параметрам2),
а именно и и Т. Для этого исключим ежж из уравнений (2.3.Зв) и (2.3.3г)
и полученное выражение для <тжж подставим в уравнение (2.3.36). В ре-
зультате получаем уравнение
(X + 2И) -g— (ЗХ + 2И) а = q-g-. (2.3.4)
Разрешая уравнения (2.3.3а) и (2.3.4) относительно и и Т, определяем за-
тем из уравнений (2.3.Зв)—(2.3.Зе) компоненты деформации и напряжения.
Как указывалось в предыдущем пункте, для многих типов задач можно
пренебречь членами связанности в уравнении теплопроводности [т. е.
последним членом в уравнении (2.3.3а) ], хотя в зависимостях между напря-
жениями и деформациями (2.3.3 в), (2.3.3 г) сохраняются температурные
!) Указанные уравнения непосредственно вытекают из системы (1.14.1) —
(1.14.9), за исключением дополнительного числа Q (лг, f) в первом уравнении; его обо-
снование приводится в п. 5.3.
2) Ср. с уравнениями задачи в перемещениях, приведенными в п. 3.2.
2.3. Решение задачи связанной теории термоупругоста
47
члены [второй член в левой части уравнения (2.3.4)]. Поэтому указанные
уравнения удобно переписать в следующем виде:
, д2Т дТ . ,,, д2и _ _ k ~дх? ~~ "Ce~dt ~ 2(’ 0 дх dt +*2“°’ (2.3.5а)
(X + 2И) ~ - Q - (ЗХ + 2И) а2 = 0. (2.3.56)
Таким образом, для связанной теории термоупругости
щ = а2 = а, а для несвязанной1) (2.3.6а)
а1=0, а2=а. (2.3.66)
Для данной задачи, когда интенсивность внутренних тепла принята в виде функции (2.3.1), решение удобно искать в безразмерной форме: источников следующей
= G(r)cos-^~ ,
причем здесь введен безразмерный параметр времени
kt v.t
т — _______—------
ОС,Щ2 Z.2
(2.3.7а'
где х—коэффициент температуропроводности. Тогда уравнения (2.3.5 а).
(2.3.5 б) приводятся к виду
С I dG I (U' = Qi (т) L2 )
где г dr ! dr Tok ' d2F <2-3-8^ F-\- = 6 = K = .k- . (2.3.8а) QCV L@C0Ve
Для связанной теории определение параметра 6 совпадает с тем, что дает
формула (2.2.1 а); для несвязанной 6 = 0.
Решение уравнений (2.3.8) должно удовлетворять начальным условиях
F (0) = (0) = G (0) = 0.
(2.3.Д
Прежде чем переходить к конкретному решению уравнений (2.3.8),
для чего необходимо выбрать определенный вид функции Qi(r), целесооб-
разно рассмотреть решение соответствующих однородных уравнений прг
г) К несвязанной теории термоупругости можно перейти и другим путем, полагая
Та — 0, однако представляется более целесообразным ввести разные обозначения для
коэффициента расширения и использовать То как коэффициент приведения результатов
к безразмерной форме. Далее, при принятом здесь методе можно легко перейтг
к другому типу несвязанной теории, определяемой условиями сц — а, щ = что поз-
воляет вычислить в задаче о термоупругом рассеянии энергии повышение температуры,
связанное с деформациями тела. Краткие замечания, относящиеся к задаче указанного
типа, приводятся в приложении к настоящей главе.
48
Глава 2. Несвязанная квазистатическая теория термоупругости
(2.3.10а)
Qi= 0. Обозначая это решение индексом с, находим, что
Fc (т) = С}ет^х + С2ет^х + С3етз\
Gc (т) = C*emiT + С*е™2т ф- С*ет*х,
где постоянные С3 и С* (j = 1, 2, 3) являются нетривиальными корнями
системы
(1+mX* 2)Cy-6C* = 0. } (2.3.106)
Разумеется, в данном случае индексы не указывают на суммирование. Та-
ким образом, tnj представляют собой три корня характеристического урав-
нения
(1 + rrij) (1 4- -4-W/6 = 0, (2.3.10в)
а постоянные С; и С* связаны соотношениями
q __ 1
С7~ 6
(2.3.10г)
Дискриминант кубического уравнения (2.3.10в) имеет вид
0+A7AG--AK
и поэтому положителен1); следовательно, уравнение (2.3.10в) имеет один
действительный и два сопряженных комплексных корня. На основании
декартова правила знаков очевидно, что действительный корень должен
быть отрицательным. Можно доказать, что действительная часть комплекс-
ных корней также отрицательна2). В этом случае корни уравнения (2.3.10 в)
записываются в виде
/тг1?2=—р + iq, т3~—п, (2.3.11а)
где р и п — положительные числа. Таким образом, отношения г3- приводятся
к виду
И,2 = | [ 1 + (р2 - <?2) К2 + i2pqK2],
1-уи2Х2 (2.3.116)
гз~ б ’
а постоянные С3 запишутся в форме
С^г = ±-(А± iB), С3 = С, (2.3.11b)
где А, В и С — действительны, так как функция Fe действительна. Исполь-
зуя выражения (2.3.11 6), легко доказать, что функция Ge также действи-
х) Так как величина К мала сравнительно с единицей; см. сноску на стр. 5С
и неравенства (2.4.6).
2) Для доказательства положим в уравнении (2.3.10в) mj = R-j-il, затем
сгруппируем действительные и мнимые члены и приравняем соответствующие выраже.
ния нулю. Получим два уравнения относительно R и 7; исключая из них I, приходим
в результате к единственному уравнению для R
47Д + 47?2 + (1 + ! + *) R + А = О,1
которое, в соответствии с декартовым правилом знаков, не имеет положительных кор-
ней.
2.3. Решение задачи связанной теории термоупругости 49
тельна. Окончательно решение однородных уравнений записывается в виде
Fc = {Л cos qx — В sin 9т} 4- Се~пх,
Ge = у е~рг{[(1 4№р2 —К2</2) A + 2pqK2B] cos qx — (2.3.12)
— [(1 +К2р2 —KV)B — 2pqK.2A] sin qx}A~ у (1 + ra2/(2) Ce~m.
Чтобы завершить решение задачи, нужно найти частное решение.
Зададимся для функции Qt выражением частного вида
Qi = Qo (1 - = Qo (1 - e-t/го), (2.3.13)
где Qo и t0— постоянные, причем
т0 = >. (2.3.13а)
Тогда частное решение примет вид
р (г}- Л j ^-Т/То1
Tok V + D J ’
г/г (2.3.14)
с, м- QoL2 Ji , т0(№ + т0)е-т/г°')
+44- Tok р J ,
где
Я = (К2+ 0(1-0 +К- (2.3.14а)
Теперь могут быть вычислены постоянные Л, В и С так, чтобы удовле-
творить начальным условиям (2.3.9). Окончательное решение рассматри-
ваемой задачи принимает вид
и (т) (Х+2ц) kD [(р—п)2+?2] _
sin(x/L) (ЗХ4-2ц) Q0Z.3a2
= {r^e-t/to 4 £) (1 — е~'пх')} [(р — га)2 4 </2] 4
4- е-Рх cos qx {[К2 (1 — т0) 4- +0 (1 4-6)1 (2р — га) п 4- т0 (1 — 2рт0)} 4
4. е-рт +L+ ([у2 (1 — т0) 4- т2 (1 ф 6)] (р2 — </2 — гар) га 4
4 т0 (р — га) — т2 (р2 — у2 — га2)} — е~пх {[№ (1 — т0) 4
40(1 +6)] (2р —га) га4-т0(1 — 2рт0)+т2 [(р —га)24-72]}, (2.3.15а)
Т(х) W[(p-n)24+] =
cos(x/L) Q0L2
— {то (то + №) е^г/г<>4-£) [1 — (1 4-га2№) <?-пЧ} [(р — га)2 + q2] 4-
4- е~Рх cos qx {[№ (1 — т0) + т2 (1 4- б)] (2р — га 4- 1) га 4-
+ 2К2гарт0 (1 — гат0) + т0 1 - 2тор — у^} +
+ e-PTS+HJ|lK2(l_To) + T2(l + 6)] ^_1_ + /г(р2_^_р_„р)] +
4- 2nq2K2x0 (1 - тога) + т0 (р - п) (1 4~ —
ч 'L у
хо(^Р2 q2 — п2 га 4- п9д'2-J
— е~11Г{[К2(1 — т0)4-т2(1 4-6)](2р — п)га4-т0-
- 2рт2 4- т30 [(р - га)2 4 q2]} (1 4 п2К2). (2.3.156
4 Боли и Уэйнер
50
Глава 2. Несвязанная квазистатическая теория термоупругости
При выводе указанных выражений были использованы следующие соотно-
шения между корнями кубического уравнения (2.3.10 в):
2р + п = 1,
№(p2 + 92 + 2n/?) = 1+6, (2.3.16;
№п(р2 + <?2) = 1.
2.4. Исследование решения. Перейдем к исследованию полученногс
в предыдущем пункте решения несложной задачи связанной теории термо-
упругости.
Прежде всего отметим, что решения для перемещений [выражение
(2.3.15 а)] и для температуры Т [выражение (2.3.156)] состоят из членов трех
типов, а именно из членов, описывающих затухающие колебания, пропор-
циональных е~рх, е~пх и остальных, не содержащих указанных экспонен-
циальных множителей. Наше исследование будет касаться главным обра-
зом членов первого типа, так как остальные два типа членов остаются пс
существу без изменений при использовании несвязанной квазистатическог
теории.
Экспоненциальный множитель е~Рх выражает влияние связанности
(иначе говоря, термоупругого рассеяния энергии) и при 6 = 0 обращается
в единицу, так как для указанного случая корни уравнения (2.3.10 в)
принимают значения
р = 0, ? = 1, «=1. (2.4.1)
Выше уже было показано (см. сноску2) на стр. 48), что при всех других
значениях 6 величина р положительна, и, следовательно, этот множитель
действительно выражает влияние рассеяния. Чтобы оценить величину рас-
сеяния, воспользуемся тем, что параметр 6 удовлетворяет неравенству
(2.2.6) и, следовательно, приближенные значения корней уравнения
(2.3.10 в) можно найти, взяв несколько первых членов их разложения
в степенной ряд по 6. ••...•
Тогда
р= 2(1 + К2Т + °(62)’ q = 2К (1+К2)+ 0
т^г + О(«2)- (2-4.2)
откуда видно, что термоупругое рассеяние обычно мало1). Разумеется, как
бы ни был мал коэффициент р, через достаточно большой промежуток вре-
мени величина е~Рх начнет заметно отличаться от единицы. Поэтому можно
сделать вывод, что для короткого промежутка времени рассеянием можно
пренебречь и реакция среды с достаточной точностью' может быть предска-
зана на основе несвязанной теории с учетом инерционных членов. Однако
такое определение пределов применимости теории не удовлетворяет прак-
тическим требованиям, так как процессы большой продолжительности так-
же представляют интерес. Покажем, что полезнее рассматривать значе-
ние связанности в зависимости от скорости подвода тепла, причем выяс-
няется, что если тепло подводится не слишком быстро, то допустимо не
только использование несвязанной теории термоупругости, но при этом
можно пренебречь также и влиянием инерционности. Остается лишь уста-
*) Это следует из рассмотрения выражения для р; выражения для q и п выписаны
здесь лишь потому, что они понадобятся в дальнейшем. Приведенные выражения выво-
дятся аналогично тому, как указано в сноске на стр. 52. Из соотношений (2.4.6) видно,
что К можно считать малым по сравнению с единицей. Для алюминия К = 0,73- 10~6/L,
где L выражено в см.
2.4. Исследование решения
новить, являются ли действительные скорости подвода тепла настолько
малыми, чтобы приведенная аргументация была полностью справедливой;
на типичном примере в п. 2.5.
Скорость нарастания выделения тепла определяется, согласно уравне-
нию (2.3.13), временем t0, которое будем называть временем ввода. Это
время следует сравнить с двумя характерными временами системы, а именно
с характерным «механическим» tM и характерным «термическим» tv. време-
нами, которые определяются как
= ± tr=~. (2.4.3)
ие Л
В данной задаче относительный порядок величин t0 , tM И tT можно выби-
рать каким угодно, так как t0 и L произвольны, причем последняя величина
входит в выражения для tMn tT в разной степени. Во всех связанных зада-
чах появляются три аналогичных характерных времени, хотя способ их
определения различен, а относительный порядок их величин диктуется
физическими соображениями1). Как будет показано в п. 2.5, обычно
1т 1м> (2.4.4)
а время t0 для задач рассматриваемого типа, в которых процесс связан с воз-
мущениями термического характера, из физических соображений должно'
иметь порядок
to 1м, (2.4.5)
причем to может быть как больше, так и меньше, чем tr.
Покажем теперь, что при условиях (2.4.4) и (2.4.5) пренебрежимо малы
не только инерционные эффекты, но и эффекты связанности. Отметим, что
это согласуется с более интуитивными аргументами п. 2.2.
С помощью решения (2.3.15) перемещение и температура выражаются
для произвольного момента времени в безразмерной форме через три без-
размерных параметра т», /Си б. Неравенства (2.4.4) и (2.4.5) также можно
выразить через первые два из этих параметров, если принять во внимание
их определения согласно формулам (2.3.13 а) и (2.3.8 а), т. е.
4^==К « 1,
‘т
(2.4.6)
*0
Так как оба полученных неравенства указывают на определенные ограни-
чения, налагаемые на величины, пропорциональные К, то искомые резуль-
таты получаются наиболее просто, если разложить решения (2.3.15) в сте-
пенные ряды по К и затем рассмотреть, что дает указанное разложение
в пределах, определяемых соотношениями (2.4.6).
При малых значениях К величины р, q и п разлагаются в ряды по воз-
растающим степеням К следующим образом2 *):
(1+вр + е(х4)},
+ (2.4.7)
"--фН’да+отф J
г) Например, в п. 2.5 время t0 зависит от коэффициента теплообмена h [см. фор-
мулу (2.5.19)]. Для тел конечных размеров L — это длина, характерная для геометри-
ческих соотношений тела; для бесконечных тел см., например, п. 6.2 и уравнения (2.5.20}
2) Формулы для п получаются путем подстановки в уравнение (2.3.10в) выраже-
ния п в виде степенного ряда, выражение для р найдем путем аналогичной подста-.
4*
52 Глава 2. Несвязанная квазистатическая теория термоупругости
Общее решение согласно уравнениям (2.3.15 а), (2.3.15 б) также может был
представлено в виде степенных рядов по /(
»(т) Г / А,+2ц \ k 1 = Г (1— <ГТ/Т°)то — (1-jfi) (1 - ,
sin (x/L) (_<ЗХ-|-2цУ Q0L3a2 J [ т0—1 —6 J”* 1- 2
т0Г 'т0-1 + 6^ (i + 6)2
T(t) Г k ~i =
.cos (x/L) L QoL2 J l т0—1 —6 j ’’r
+ Al_________*_______ b-r/ro ( _
' To (1 + 6)(TO~ 1 6) V <Т0-1-6>
— тоеп'с e-cos 6/rf 1 ... . (2.4.86,
Заметим, что первые члены полученных выражений одинаковы1).
Условия (2.4.6) показывают, что в правых частях выражений (2.4.8а)
и (2.4.86) достаточно сохранить только первый член 2), не содержащий инер-
ционных членов колебательного характера, имеющихся в общем решении
(в том числе во втором члене). Следовательно, в данном случае инерцией
можно пренебрегать. Однако рассматриваемый член можно подвергнуть
дальнейшему упрощению, так как коэффициент связанности 6 входит в неге
только в виде комбинации 1 + б, а эту величину с учетом неравенства (2.2.6)
можно приближенно считать равной единице. Тогда решение принимает
простой вид
и(т) (Х+2ц) fe______ Т (г) fe , , е~т— тое~т/т° /о 4 9'
sin (x/L) (3/.-'211) y0L-!a2 cos (x/L) Q0L2 т0—1 ' ' ' ‘
Выражения (2.4.9) являются решениями уравнений несвязанной квазиста-
тической теории, т. е. они удовлетворяют следующим уравнениям [ср.
с уравнениями (1.3.5а), (2.3.56) при условии (2.3.66)]:
, д-Т дТ . п ~ у
% дТ > (2-4’10>
(k + 2p)Aj-(3k + 2p)n4<-=0. J
Таким образом, последнюю теорию следует считать справедливой во всех
случаях, когда «механическое», «термическое» и время ввода удовлетворяют
неравенствам (2.4.4) и (2.4.5). Из предыдущего обсуждения видно, что для
решения этого вопроса надо рассмотреть влияние инерции [т. е. оценить
обоснованность неравенств (2.4.4) и (2.4.5)), не учитывая связанности. Если
окажется, что первый эффект пренебрежимо мал, то можно пренебречь
и вторым. Вопрос о влиянии инерции рассматривается в следующем пункте.
новки в уравнение, приведенное в сноске на стр, 49. Формула для q находится подоб-
ным же образом из уравнения
Р = ЗД2 -3 27?
Л2
которое получается в процессе указанного в этой ссылке вывода (обозначения см.
там же).
1) Указанные первые члены можно, конечно, получить непосредственно из урав-
нений (2.3.8), полагая Д = 0 и строя отдельное решение для этого частного случая,
Полезно отметить, что опускаемые при этом в уравнениях (2.3.8) члены учитывают
влияние инерции.
2) Заметим, что при этом в соответствующих показателях следует считать
Л = 1/(1 + 6).
2.5. Влияние инерции
53
Интересно также выяснить, каков будет результат, если в предыдущее
иллюстративном примере выбрать время ввода таким, чтобы оно было велико
не только по сравнению с характерным механическим временем, как в вы-
ражении (2.4.5), но и по сравнению с характерным термическим временем.
Иначе говоря, в дополнение к неравенствам (2.4.6) наложим на решение
ограничение
А = То>1. (2.4.11)
4 '£
Тогда выражение (2.4.9) принимает вид
и _______(/.-'2п,)/г _ (т) =1____й“Г/г0 мд 12'
sin (x/L) (ЗЛ-[-2ц) Q0L3a2 cos (x/L) Q0L2 ’ ' ’ ’ ‘
т. e. изменения во времени перемещения и температуры становятся про-
порциональными подводимому теплу [см. формулу (2.3.13)1. Чтобы полу-
чить такое решение, надо опустить в уравнении (2.3.3а), помимо членов,
учитывающих связанность и инерцию, также член, содержащий дТ!dt.
Пример подобного типа медленного подвода тепла будет рассмотрен в п. 9.9.
2.5. Влияние инерции. Вопрос о том, можно ли в уравнениях термо-
упругости пренебречь инерционными членами, рассматривался еще в самом
начале развития теории. Так, еще в 1837 году Дюгамелем было отмечено г),
что изменение температуры по времени протекает с достаточно малой ско-
ростью и поэтому указанные члены не могут быть значительными. Недавне
этот вопрос был снова более детально изучен В. И. Даниловской 2) для
случая упругого полупространства и Боли3) — для гибких элементен
(балок и пластин). Указанные исследования показали, что гипотезы Дюга-
меля оправдываются для широкого класса задач. Расчеты В. И. Данилов-
ской, вкратце излагаемые здесь, показывают, что в массивных телах инер-
ционные эффекты становятся существенными; к аналогичным выводам при-
водят и другие исследования.
Рассмотрим упругое тело, занимающее пространство х > 0, причем
плоскость х = 0 свободна от поверхностных нагрузок. На тело наложень
связи, допускающие возникновение перемещений только в направлении х
Пусть тело по поверхности х= 0 внезапно соприкасается с высокотемпера-
турной средой температуры Та (начальная температура тела считается рав-
ной нулю) при конечном значении коэффициента теплообмена 1г (см. гл. 5).
Так как членами связанности в уравнении теплопроводности можно пре-
небречь, то задачу можно решить в два этапа. Краевая задача для опреде-
ления распределения температуры описывается следующим образом.
д2Т дТ „ )
= *>0, 0; ,1
дх2 dt ।
Т (х, 0), х > 0; I
£~(0, t) = h[T(Q, t)-Ta], 4 > 0;
(2.5.Г
linr T (x, t) = 0,
Ч См. ссылку [22] к гл. 1.
2) См. [2] и [3]. Дополнительные работы указаны ниже в данном пункте.
3) Исследования по влиянию инерции в балках и пластинах описаны соответ
ственно в п. 10.11 и п. 12.7, где приведены ссылки на литературу.
54
Г лава 2. Несвязанная квазистатическая теория термоупругости
При формулировке краевой механической задачи удобно оперировать с ком-
понентами напряжения, так как заданы поверхностные нагрузки (равные
нулю). Продифференцировав по х единственное не равное тождественно
нулю уравнение движения (2.3.36), с учетом (2.3.е) получим
д2гтжж д2ежж
(2.5.2)
Подставляя сюда гхх, выраженное из зависимостей между напряжениями
и деформациями, которые в данных условиях сводятся к уравнению
(2.3.3), находим .
х > О, t>0, (2.5.3)
где т = (ЗХ+ 2р.) а. Начальные и граничные условия для этого уравнения
имеют вид
Мх,О) = ^>(х,0>0, х > 0; 1
(2.5.4)
охх (0, 0 = Ьт ахх (х, /) = 0, t > 0. j
Уравнениями (2.5.3) и (2.5.4) описывается краевая механическая задача,
причем в первое из этих уравнений входит функция Т (х, t), являющаяся
решением краевой температурной задачи, определяемой уравнениями (2.5.1).
Вводя безразмерные параметры
£ = П = 4г’ = 0 = ^> (2.5.5)
л л mi а 1 а VeR
приводим уравнения (2.5.1) к следующему виду:
С>20 С>0 , - Л
= -д— , 6 > О, П > 1)
0Я, 0) = 0, > 0;
дд 1 (2-5.6)
"1(0,1]) = Я[0(0, л)—U. П > 0;
lim 0 (£, ц) = 0, 1] > 0,
а уравнения (2.5.3) и (2.5.4) запишем в форме
<Э2СТ <Э2СГ 620 Е п „
dt? «эн2 аф2 ’ > °’ 11 >0;
а(В, °) = ^~(L °) = °- ^>0;
ГТ (0, ц) = 11111 ГТ (s, T|) ^ - 0, т] > о.
5->о
Преобразование Лапласа
0 (g, р)= J лМл
о
(2.5.7)
(2.5.8)
для решения уравнений (2.5.6) сводится (см. п. 7.3) к
Не~Ур^
(2.5.9)
2.5. Влияние инерции
так что распределение температуры представляется в форме
Т (х, = erf с ~ fe ,12 erfс (—'
К 1 I 2/ v.t k j
Преобразование Лапласа для уравнений (2.5.7) имеет вид
d2 * *o Нре~1 ;'-
-т^г — р2сг =-,
УН-я
сг (0, р) = lim сг (£, р) = 0,
S
(2.5.10)
где а — преобразование Лапласа функции о. В последнем выводе учиты-
вается, что в соответствии с уравнением (2.5.9а) производная dQldt (|, 0) =
= 0 при £ > 0. Принятым граничным условиям удовлетворяет следующее
решение для сг:
— г «-PS г।
а = Н {-----------------------е ---------Д . 2.5.11)
I (р-1) (гр д-я) (р-1) (/р -фя) J
Обратное преобразование для сг находим, используя интеграл свертки т)
и известные пары преобразований Лапласа2); это дает
' \Ие^ [т1яФ^+РД)_пГ.ф(2А,_Щ)-
+ 0<ч<№
4 w” [ Н-/Г Ф (77^+1/п ) + -,4й- Ф X
X (Уп---фДт- +Я]/цД -УУ. е^\
V 2рп/ 1—Я2 <2/т] / J
<j = ] (g/2) < I] < (2.5.12)
-гт^фГДГ — М /z ? • "1 ч и
1щЯ < 2/V 1-Я2 Х2/г)
-т^гф(1/ДД) +
( р >g,
rjifi
Ф (х) = ex2erfc х =—ДеД е~и2 du. (2.5.12а)
У я *' 7
х
На рис. 2.1 для случаев Н = 0,1, 0,5 и Н = со показано в безразмер-
ном виде изменение напряжения о по времени ц в точке £ = 1. Случай
Н = оо соответствует заданию на поверхности температуры Т (0, f) = Та
при t > 0.
4 Формулу Римана — Медлина.— Прим. ред.
2) См. [4]. Для обратного преобразования первого члена правой части выраже-
ния (2.5.11) используются пары № 604 и 512 из приведенных таблиц, а для второгс
члена — пара Xs 812.
Рис. 2.1. Инерционные эффекты в полубесконечном теле.
2.5. Влияние инерции
57
Можно следующим образом физически интерпретировать полученные
результаты. Протекание процесса в данной точке тела (на рис. 2.1
Bi = 1) будет различным на протяжении отрезков времени т|< и т]>
> li, так как в момент ц = 1ц механическая волна расширения, вызванная
начальным нагревом поверхности, достигает данной точки. При л <
материал, занимающий область 0< (между нагреваемой поверх-
ностью и рассматриваемой точкой), нагревается сильнее, чем материал,
расположенный в области g > в условиях полного покоя, и поэтому при
возникают сжимающие напряжения. При прохождении упомяну-
той выше волны расширения напряжения снижаются и для достаточнс
больших значений Н становятся растягивающими.
Чтобы оценить значение инерционных эффектов для данного классе
задач, поступим следующим образом. Так как еуу = ezz = 0 и оуу = crzz,
то из зависимостей между термоупругими напряжениями и деформациями
следует, что
(2.5.13;
(2.5.14
(2.5.17]
ЕаТ ,
°УУ — °хх — J___v + j_v
где Е — модуль Юнга, v — коэффициент Пуассона. Если пренебречь влия-
нием инерции, то решение будет иметь вид сгжж = 0, а наибольшие значения
остальных компонент напряжения равны
, , __ ЕаТа
(Тгщ'тах, без инерции—-j у
Поэтому изменение Д по абсолютной величине компонент напряжения
оуу = oZz> отнесенное к указанному максимальному значению, равно
1л1“|^Т|"гТг1Л- (2.5.15;
На основании выражений (2.5.12) можно показать, что при Н < 1
(2.5.16)
так как ф<1. Тогда для таких значений И
| А I <--____________________________Н-
1 ' 1 —2v 1—Н
Реальная верхняя граница значений h, которых можно практически ожи-
дать, оценивается примерно в 5-Ю6 ккал !м2-час-град. В соответствия
с этим значения Н для алюминия, стали и стекла соответственно равнь
5Х 10 5, 3 X 10 5и7 X 10 5. Следовательно, для задач данного типа ошибка
связанная с пренебрежением инерционными эффектами, оказывается чрез
вычайно малой1).
Найдем теперь зависимость параметра Н от введенных в предыдущех
пункте характерных времен — ввода, t0, механического Тм и термическогс
tT. Прежде всего следует определить в явном виде указанные величины для
рассматриваемой конкретной задачи. Из выражения (2.5.9а) следует, чтс
температура поверхности равна
Т (0, f) = Та [ 1 — erf с
(2.5.18]
х) Дальнейшие исследования влияния инерции применительно к полупростран
ству были выполнены в работах [5] и [6], где предполагался постепенный подвод тепла
Задача об источниках тепла, зависящих от времени, рассматривалась в работах [7’
для бесконечной среды и в [8] - для полубесконечной.
58
Глава 2. Несвязанная квазистатическая теория термоупругости
так что мерой времени ввода служит величина
V-4-- 2.5.19)
я-z ' '
Поскольку рассматривается бесконечное тело, то характерная длина опре-
деляется расстоянием х от нагреваемой поверхности до данной точки, и по
аналогии с формулами (2.4.3) получаем
^м = 4, ^ = 4- 45-20)
Тогда параметр Н можно представить в виде
Возвращаясь к неравенствам (2.4.6), видим, что в соответствии с предыду-
щим анализом они приводят к условию
Н«1. (2.5.22)
Задача об инерционных эффектах в бесконечно длинном сплошном
цилиндре, который нагревается с поверхности, исследовалась в работе
Мура [9]. В этом случае влияние инерции проявляется в возникновении
радиальных колебаний, амплитуды которых оказываются чрезвычайно
малыми, даже при очень неблагоприятных условиях, например при внезап-
ном возрастании температуры поверхности.
2.6. Формулировка несвязанной квазистатической теории. В соответ-
ствии с выводами предыдущих пунктов в большинстве задач о температур-
ных напряжениях можно пренебречь как влиянием связанности, так
и инерционными эффектами. В пренебрежении связанностью общая задача
о температурных напряжениях разделяется на две отдельные задачи, которые
решаются последовательно. Первая, обычно называемая теорией тепло-
проводности, представляет собой краевую задачу с уравнением поля (т. е.
уравнением, которое должно удовлетворяться в каждой точке тела)
kT,jj~QCvT. ' (2.6.1;
Здесь принято, что свойства постоянны, а внутренние источники тепла
отсутствуют. Дальнейшее обсуждение теории теплопроводности,, включая
математическую формулировку граничных условий, соответствующих раз-
личным физическим условиям, теоремы единственности и методов решения
получающейся краевой задачи откладываются до гл.,5—7.
После того как найдено распределение температур задача о распреде-
лении напряжений без учета инерционных членов сводится к задаче линей-
ной несвязанной квазистатической теории термоупругости (или, более
просто, теории термоупругости). Эту задачу описывают следующие урав-
нения поля.
Уравнения павновесия
+ = (2.6.2)
Зависимости между напряжениями и деформациями
вц = Oijk8hh + 2цег7 — бг7 (3% + 2ц) аТ. (2.6.3)
Соотношения между перемещениями и деформациями
>31 = -2^с + изЛ (2-6.4)
2.7. Теоремы единственности несвязанной теории термоупругости
59
Оставшиеся разделы настоящей главы, так же как гл. 3 и 4, посвящаются
обсуждению формулировки задач термоупругости.
Нужно отметить, что если пренебрегать инерционными членами, то
в уравнениях поля задачи термоупругости не появляются производные
по времени. Если граничные условия также не содержат производных
по времени (как это обычно и бывает, ср. п. 2.7), то время t в решении задачи
термоупругости играет роль просто некоторого параметра. Другими сло-
вами, между решениями, соответствующими семейству стационарных рас-
пределений температуры Т с), зависящих от параметра с, и нестацио-
нарному распределению температуры Т (Р, f), имеется полная математи-
ческая аналогия. Конечно, получающиеся распределения напряжений
будут соответственно зависеть от с и t, т. е. в последнем случае распределе-
ние напряжений является функцией времени.
Указанные замечания относятся к произвольно заданным функциям
Т (Р, с) или Т (Р, f). Если, кроме этого, еще известно, что распределение
температуры является решением задачи теплопроводности, то можно вос-
пользоваться тем обстоятельством, что Т (Р, f) удовлетворяет уравнению
(2.6.1), или, для стационарного режима, является гармонической функ-
цией. При этом для расчета температурных напряжений могут быть приме-
нены специальные методы (см. п. 3.4 и 4.9).
2.7. Теоремы единственности для несвязанной квазистатической теории
термоупругости. Теперь необходимо установить, каковы должны быть гра-
ничные условия, чтобы краевая задача, описываемая уравнениями поля
(2.6.2) — (2.6.4), имела единственное решение. Будем рассматривать только
линейные граничные условия. Важным средством в дальнейших выкладках
будет служить теорема о дивиргенции, которая приводится ниже в форме,
достаточно общей для наших целей.
Теорема о дивергенции. Пусть ог (Р) является однозначно
определенным непрерывным векторным полем класса С'1’ в регулярной
области пространства D + В 1). Тогда
(2.7.1)
Доказательство указанной теоремы, так же как и определение регулярной
области пространства, можно найти в работе Келлога [10], причем здесь
следует отметить, что регулярная область, по определению, является огра-
ниченной, но не обязательно односвязной. Более сжатое определение дан-
ного термина и его обобщение на некоторые типы неограниченных областей
дано в работе Стернберга и Юбэнкса [11 ].
Перейдем теперь к выводу собственно теоремы единственности. Рас-
смотрим тело, занимающее регулярную область D + В с поверхностью В,
и предположим, что могут существовать две системы решений о)1/ (Р),
8ц* (Р), и)1’ (Р) и Оу* (Р), Sy* (Р), м)2*(Р). Предположим, что каждая из них
удовлетворяет уравнениям поля теории термоупругости (2.6.2) — (2.6.4)
в каждой точке Р области D для одного и того же распределения темпера-
туры Т (Р), для одних и тех же поверхностных нагрузок ft (Р) и для одина-
ковых граничных условий. Разумеется, время тоже присутствует в виде
параметра, но в явном виде оно не входит в рассмотрение. Попытаемся
1) Функция f (xt, х%, . ., Хр) принадлежит к классу С(п\ если сама функция
и все ее частные производные до порядка п включительно являются непрерывными
функциями Х±, , Хр.
Vi^dV = vtntdA.
d в
60
Глава 2. Несвязанная квазистатическая теория термоупругости
найти граничные условия такого характера, чтобы оба решения были дей-
ствительно тождественны.
Очевидно, что в силу линейности краевой задачи разностные функции
^(7)) = <(7Э)-<(73), )
^(Р^^(Р)~^(Р), [ (2-7.2)
будут удовлетворять тем же самым уравнениям поля в их однородной форме,
соответствующей случаю, когда изменение температуры и объемные силы
равны нулю, а также однородным граничным условиям. Другими словами,
<; = 0,
а*;- = д;Дбйй + 2р,б*;, (2.7.3)
eij = ТГ (Мй ’ +
Рассмотрим интеграл I, определенный в виде
(2.7.4)
который в соответствии со вторым соотношением (2.7.3) можно записать
в форме (см. п. 1.14)
7 = $ ^(еД)2 + 2реГ,еу^= J +1(е;%)2 + 2ji<-;4>;: ]dV. (2.7.4а)
Ь D
Так как (ЗА. + 2р.) > 0 и а > 0, то очевидно, что в каждой точке области D
подинтегральное выражение или положительно, или равно нулю. Если
задано, что интеграл
f(P)dV = O, (2.7.5)
D
причем функция / (Р) > 0 и непрерывна в области D + В, то отсюда сле-
дует, что f (Р) = 0 в D + В. Если ограничиться случаем, когда компоненты
деформации непрерывны в D -ф В, то подинтегральное выражение в (2.7.4а)
будет непрерывно и неотрицательно. Следовательно, требуется найти такой
вид граничных условий, при котором / обратится в нуль. Из предыдущего
анализа вытекает, что тогда разности деформаций должны быть тождественно
равны нулю, т. е. компоненты деформаций определяются единственным обра-
зом. Из единственности компонент деформаций следует единственность
компонент напряжений (в соответствии с зависимостями между напряже-
ниями и деформациями) и компонент перемещения (в соответствии с соот-
ношениями между перемещениями и деформациями)1).
Чтобы найти вид граничных условий, при которых интеграл / обратится
в нуль, поступим следующим образом. На основании последнего из уравне-
ний (2.7.3) можно написать
7 = 4 $ °й(< j + J + 4 atj(uli-utj)dV. (2.7.6)
D Ь D
') Перемещения определяются единственным образом за исключением беско-
нечно малого движения тела как твердого целого (см. п. 3.7); последнее можно опре-
делить, задавая в какой-либо точке тела значения компонент перемещения и враще-
ния. В дальнейшем подразумевается, что это выполнено.
2.7. Теоремы единственности несвязанной теории термоупругости
61
Второй интеграл равен нулю, так как входящие в подинтегральное выраже-
ние симметричный и антисимметричный тензоры сокращаются. Поскольку
(<4>i), j = Gijj U* +
то первый интеграл в правой части приводится к виду
jdV = (G'ijUlYjdV— dV, (2.7.1}
D D Ь
где последний интеграл равен нулю в силу первого уравнения (2.7.3). При-
меняя теорему о дивергенции, справедливую, когда (а = 1, 2) в об-
ласти О + В принадлежат к классу С(1> , преобразуем первый интеграл
в правой части уравнения (2.7.7) в интеграл по граничной поверхности В.
Это дает
G*jU*rij dA — S*u*dA, (2.7.8'
d в в
(п)_
где tij — компоненты единичной внешней нормали к В, a 8* являются,
согласно уравнению (1.4.3), разностными поверхностными нагрузками
в точке поверхности с указанной норыаХью. Окончательно имеем
/ = dV = t/Л. .. (2.7.9;
b в '
Таким образом, интеграл / равен нулю и решение является единственным,
если при линейных граничных условиях приведенный интеграл по поверх-
ности равен нулю. Перейдем к выяснению характера этих граничны?
условий.
Очевидно, что если на всей поверхности В заданы поверхностные
нагрузки или поверхностные перемещения, то соответствующие разностные
величины будут равны нулю, и поэтому подинтегральное выражение в рас-
сматриваемом поверхностном интеграле тоже равно нулю. Это положение
остается справедливым и тогда, когда в некоторых точках поверхности Е
заданы нагрузки, а в остальных точках В — перемещения. Более общие
условия можно найти следующим образом. Подинтегральное выражение
(>0
интеграла (2.7.9), а именно 8* и*, представляет собой скалярное произве-
дение разностных векторов нагрузки и перемещения на поверхности. Таг
как скалярное произведение двух векторов является скалярным инвариан-
том, то его можно выразить через компоненты относительно трех взаимнс
ортогональных направлений I, II и III (не обязательно одинаковых в каж-
дой точке В) в виде
(II) (Ю (п) (и)
8 *и* = >8*4614" 8 ijUii -f- 8 niUni- (2.7.10}
Отсюда вытекает, что если для каждого направления I, II и III заданы ком-
поненты поверхностной нагрузки или поверхностных перемещений, то соот-
ветствующие разностные компоненты, а значит и указанное скалярное
произведение, обращаются в нуль. Подобные граничные условия, называемые
«смешанно-смешанными», естественным образом появляются во многи?
физических задачах. Так, например, если тело находится на некоторое
участке граничной поверхности в условиях гладкого контакта с твердь»
телом, то до тех пор, пока эти тела остаются в соприкосновении, нормальнаг
компонента поверхностного перемещения и тангенциальные компоненть
поверхностных нагрузок равны нулю.
62
Глава 2. Несвязанная квазистатическая теория термоупругости
Если тело соприкасается с другим упругим телом, то физическая кар-
тина может быть аппроксимирована условием упругого сопротивления,
а именно
(«)
Si + kut^O, (2.7.11)
где величина k может быть различной для разных точек, но по своей физи-
ческой природе является существенно положительной. При этом разностные
функции также удовлетворяют уравнению (2.7.11) и уравнение (2.7.9)
принимает вид
k \и\ u*dA = 0. (2.7.12)
D В
Так как оба интеграла положительно определенны, то каждый из них дол-
жен быть равен нулю и, следовательно, граничные условия вида (2.7.11)
также приводят к единственному решению.
Таким образом, указанный вывод устанавливает вид граничных усло-
вий, при которых обеспечивается единственность решения, и позволяет
доказать следующую теорему х).
Теорема единственност и (I). Пусть в регулярной области
пространства D + В с граничной поверхностью В заданы функции ft (Р),
Т (Р), определенные в D + В; тогда существует не более одной группы одно-
значных функций otj (Р), (Р) и щ (Р), класса С(1) в D + В, которые
удовлетворяют следующим уравнениям поля'.
у + ft — ® в области D,
°И = (ЗХ + 2р.) аТ в области D~\~B, (2.7.13)
ег7= у (ид г+ «;, г) в области D-фВ,
а также [с учетом условия (1.4.3)] приводят на поверхности В к заданным
значениям трех параметров с различными индексами, образованных из шести
(п) (п) («)
величин [Si, 5ц, Sm] и [«i, «и, «щ1. Здесь I, II, III — ортогональ-
ные направления а).
Следует заметить, что указанной теоремой единственности устанавли-
вается лишь, что существует не более одного решения; доказательство допол-
нительной теоремы существования, определяющей условия, при которых
рассматриваемая краевая задача имеет по крайней мере одно решение,
представляет значительно большие трудности и здесь не приводится 3).
Конечно, некоторые из условий теоремы существования очевидны; например,
заданные функции (Р) должны быть класса С<4) на поверхности В.
!) Приводимые здесь полные условия могут быть в ряде случаев, как, например,
в последующем анализе, значительно ослаблены. Однако формулировка теоремы
единственности в настоящем несложном виде находит частое применение.
2) Отметим, что указанные граничные условия включают как частные случаи
условия, когда заданы перемещения или нагрузки, что соответственно дает
щ = G(K(P) на Bit
nj= G<?\P) на В2,
где и G^P — заданные функции, а Bt + В2 = В. Разумеется, Bt или В2 могут быт!
равны нулю.
з) См., например, работу [12].
У. 7. Теоремы единственности несвязанной теории термоупругости 63
Ясно, что в противном случае невозможно найти решение, удовлетворяющее
всем условиям установленной теоремы единственности, и для такого класса
задач необходима более общая теорема единственности (и существования).
Подобные обобщения, многие из которых еще не изучены, в дальнейшем
не рассматриваются. В некоторых случаях из физических соображений ста-
новится очевидным, что приведенная теорема единственности становится
неприменимой. В качестве примера рассмотрим равномерно нагретый диск,
находившийся первоначально в ненапряженном состоянии (рис. 2.2), из кото-
рого вырезан сектор А, после чего обе поверхности разреза воссоединены
между собой. Предполагается, что угол вырезанного сектора настолько мал,
что применима линейная теория упругости. Если диск полностью свободен
от поверхностной нагрузки, то в соответствии с сформулированной выше
Рис. 2.2.
а — исходный диск, б — сектор изъят, в — диск воссоединен.
теоремой единственности (указывающей, в частности, на однозначность
непрерывных перемещений) для краевой задачи воссоединенного диска
может быть получено единственное решение, согласно которому <3tJ, е,7- и
по всему диску должны быть тождественно равны нулю. Очевидно, что такая
формулировка задачи и решение не соответствуют физической сущности,
так как изъятие сектора и воссоединение диска приводят к разрыву в пере-
мещениях в месте соединения.
Теперь желательно дать такую формулировку теореме единственности,
которая будет включать возможность конечных разрывов в перемещениях
по какой-либо внутренней поверхности тела. Подобные разрывы возникают
естественным образом в задачах теории термоупругости при разрывных рас-
пределениях температуры или, что эквивалентно, в задачах о горячей
посадке, когда скачком меняется коэффициент термического расширения.
Кроме того, как будет показано ниже (п. 4.10), для двумерных задач прояв-
ляется важная аналогия между температурными напряжениями в многосвяз-
ном теле, возникающими при непрерывном распределении температуры,
когда перемещения всюду непрерывны, и напряжениями в таком же теле
при постоянной температуре, которые вызываются заданными разрывами
в перемещениях (дислокациями).
Рассмотрим с этой целью тело, занимающее область D + В с внутрен-
ней поверхностью по которой перемещения могут иметь заданные конеч-
ные разрывы величины Gi3>(P), где Р — произвольная точка на поверхности
Bd. Таким образом, требуется, чтобы
lim ut (Q) — lim u, (Q) = G® (P), (2.7.14)
Q->P Q^P
+
где знаки (+) и (—) указывают на предельный переход к Р с противополож-
ных сторон Bd- Предполагается, что во всей остальной части области D + В
64
Глава 2. Несвязанная квазистатическая теория термоупругости
перемещения удовлетворяют: условиям ХСташжДОЛШОИ. ШШУ TtOpOAtJ един-
ственности и, в частности, ограничены и принадлежат к классу С(1\
Из уравнений механики следует, что при ограниченных объемных силах
нагрузки, действующие при пересечении любой поверхности тела, и, в част-
ности, поверхности Bd, должны быть непрерывными, т. е. для любой точки
Р на Bd должно быть
(Ю
lim (Q) = limS, ((?), (2.7.15)
Q->P Q^P
+
причем верхний индекс (n) указывает, что величина берется по нормали
к поверхности Bd в точке Р; направление нормали может быть выбрано про-
извольно.
Теперь покажем, что если существует решение, удовлетворяющее
условиям (2.7.4) и (2.7.15), то с учетом ранее доказанной для всей остальной
части тела теоремы единственности это решение будет единственным.
Если заданная поверхность Bd не разделяет область D + В на две
отдельные части, то удобно продолжить эту поверхность так, чтобы раздел
был полным. Тогда на добавочной части Bd функция Glp (Р) будет, по опре-
делению, равна нулю, а перемещения и нагрузки — непрерывными. Пусть
Da и Оь — две части области D, а Ва и. Вь — соответственно их граничные
поверхности, за исключением общей поверхности Bd (рис. 2.3). Тогда
В а + -Оь 4~ Bd = D -\-Cd,
где Cd —линия пересечения Bd и В, и
Cd Ва Вь = в.
Как и раньше, допустим, что существует два решения o')1’ (Р), е-1’ (Р),
иР (Р) и о))’ (Р), е$’ (Р), u-2) (Р), удовлетворяющие всем ослабленным1)
требованиям теоремы единственности как в области Dn \- В,,-\- Bd, так
и в Db + Bb + Bd, если в каждом случае значения величин на Bd берутся
как предельные при приближении точки к Bd с внутренней стороны каждой
соответствующей области. Пусть для любой точки Р на Bd выполняется
соотношение о)1/ (Р; а) = lim о)1’ (Q), причем предельный переход осуще-
Q^P
ствляется с внутренней части О„; аналогично для о?/ (Р; Ь) и для других
величин. Тогда в силу линейности всех уравнений разностные функции
(Р), e*j (Р) и и* (Р), определяемые уравнениями (2.7.2), будут в любой
точке обеих областей удовлетворять уравнениям (2.7.3), а на поверхности—
уравнению (2.7.15) и уравнению (2.7.14) в однородной форме. В соответ-
ствии с введенными выше обозначениями упомянутые последние два урав-
нения можно записать в виде
(и) (п)
ЗГ(Р; 0) = S*(P; b), (2.7.16)
иЦР- а) = и\(Р; 6). (2.7.17)
Объемный интеграл равен
dV == J otje* dE+ G*je*ijdV, (2.7.18)
D Da Db
') To есть без требований, относящихся к граничным условиям на поверхно-
сти Bd.
2.7. Теоремы единственности несвязанной теории термо у пр у гости 6!
так как с учетом условия, что подинтегральное выражение ограничено,
составляющая объемного интеграла от интегрирования по Bd равна нулю.
Интегралы по Da и Dd можно тем же путем, что и ранее, преобразовать к виду
OijEij dV = ^OijU*njdA+ o*j(P; а) и* (Р; a)tijdA, (2.7.19а)
Da, В а ' Ви
dV = alu*njdA+ (Р; 6)u?-(P; b)njdA, (2.7.196)
Db Bb Bd
где подинтегральные выражения интегралов по поверхности Bd, как ука-
зывалось выше, являются предельными значениями приведенных функций
Рис. 2.3.
при приближении точки к поверхности Bd с внутренней стороны каждой
из соответствующих областей. Как и в предыдущем выводе, интегралы
по Ва и Въ в силу принятых граничных условий обращаются в нуль. В соот-
ветствии с требованиями теоремы о дивергенции в интеграле по Bd уравне-
ния (2.7.19а) tij означают нормаль к Bd, направленную вне Da, а в инте-
грале по Bd уравнения (2.7.196) — нормаль к Bd, направленную вне Db.
Если и в интеграле уравнения (2.7.196) принять, что нормаль направлена
вне Da, то уравнения (2.7.19а), (2.7.196) и (2.7.18) можно объединить в одно
dV = J (s\ (P-, а) и* (P; a)dA- J s’t (P; b) u*i (P; b) dA = 0,
D Bd Bd
(2.7.20)
где равенство нулю вытекает из уравнений (2.7.16) и (2.7.17). Из указанного
равенства и из условия, что кусочно-непрерывная подинтегральная функция
является положительно определенной, можно опять прийти к заключению,
что по всей области D + В эта функция тождественно равна нулю, и, сле-
довательно, решение задачи, если оно существует, будет единственным.
Таким образом, устанавливается следующая более общая теорема един-
ственности:
Теорема единственности (II). Пусть в регулярной области
пространства D + В с граничной поверхностью В и некоторой внутренней
поверхностью Bd заданы функции /г- (Р), Т (Р), определенные в D+ В — Bd\
тогда существует не более одной группы ограниченных однозначных функций
<hj (Р), £ij (Р) и Ui (Р), класса С(1) в D + В — Bd, которые удовлетворяют
следующим уравнениям поляг
j-ф — в области D — (Bd — Cd),
Ou = 8ijkekk~T 2р,ег> — SijtnT в области D ф-В — Bd,
&ij = . в области D^B — Bd
(2.7.21)
5 Боли и Уэйнер
66
Глава 2. Несвязанная квазистатическая теория термоупругости
и которые [с учетом условия (1.4.3]) приводят на поверхности В — Со
к заданным значениям трех параметров с различными индексами, образован-
(ч) (п) (п)
ных из шести величин ISi, SIIt Snj ] и [uj, ып, «щ]. Здесь I, II и III —
ортогональные направления. Дополнительно требуется, чтобы
limoi7 (Q) п} = limffij (Q) n} на Bd,
Q .1' Q^P
+ “ (2 7 22
hm Ui (Q) — lim (Q) = G® (P) на Bd,
Q-+P Q-'l'
+ -
где G™ (P) — заданные функции, nj — произвольно ориентированная нор-
маль к поверхности Bd в точке Р.
Следует подчеркнуть, что доказанные в настоящем пункте теоремь
единственности относятся как к односвязным, так и к многосвязным телам.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Термоупругое рассеяние энергии
В анализе, приведенном в п. 2.3, была указана задача особого типа,
когда основным является не температурное, а механическое воздействие
на тело. Этот случай, собственно, уже не относится к задачам о температур-
ных напряжениях и более типичен для вопросов термоупругого рассеяния
энергии, или демпфирования.
В качестве примера положим в уравнениях (2.3.8) Qi - - 0 и решим
затем указанные уравнения, задавшись начальными условиями в виде
F(0) = Fo; ^(0)=G(0) = 0, (2.А.1)
где Fo — постоянная. Таким образом, тело, находящееся при нулевой тем-
пературе, выводится из своего начального положения равновесия и отпу-
скается. Решение получаем в следующем виде:
- 7V = е— + ф-тт cos q т - е—) -
uosm(x/L) 1 v ' 7 № [(д—]
, (2. A.2a)
v 7 7 K2q[(p—
T (T) I (31+2ц) La2 ~1 _p-m Г 1 __________ 1 ~О ^p) 1 l
cos(x/L) L (Х+2д)//0 [_ K2[(p-«)2+?2]J ‘
I / --ПТ \ («—l)(l-|-rt2№)
+ (e cos ут) Угд-гц,,.::../;y2 1 ~~
_ (e-pt sin gT) l(±Z7P)+L-_n/gJp± ^-(2ra+£) + M (2.A.26)
v ' ’ nqKP[(p—rip-p-qi] '
где постоянная Fo заменена физически более наглядной величиной
_ FoqcvL
° (31+2(1)0! •_
(2.А.2в)
Проведя анализ, аналогичный выполненному в начале п. 2.4, можно
убедиться, что из приведенного решения вытекает, что движение после
начального возмущения имеет затухающий характер. Ограничимся случаем
малого рассеяния, для чего разложим правые части уравнений (2.А.2а)
Приложение. Термоупругое рассеяние энергии
67
в ряды по б, что с учетом выражений для р, q и п, согласно (2.4.2), дает1)
----— е~рх cos </т (-0(6), • (2. А.За)
-^Гпг f I = е’"т (К sin qx-~cos7т) -]-0 (6). (2. А.36)
cos (x/L) L (Зл-|~2р) ajuo J v v v ’
Если ограничиться решением только для относительно короткого промежутка
времени, то указанные выражения для р, q и п также можно представить
в виде экспоненциальных и тригонометрических функций, что приводит
к приближенному решению
и (т) т . '
. , = «о cos ,
sm (x/L) К (2. А.4)
Т W = (ЗХ + 2р,) а1»0Г0 Г к . т _
cos(x/Z.) ec0Z.(i + №) { Л sin д, cos к £ .
Можно показать, что полученное решение удовлетворяет следующим
дифференциальным уравнениям:
, д2т дТ I о \ 'г д2“ о
QCvdT а'Т° dTdt _ °’ /о \
(Z • А. О
, <)-и (>2и п
(Х,+2ц)-^р е-^2-—0. . Гг
Сравнивая их с полными уравнениями (2.3.5а), (2.3.56) связанной теории
термоупругости и с полученными в п. 2.4 уравнениями (2.4.10) несвязанной
теории термоупругости, можно заключить, что в первом приближении изме-
нение температуры и движение тела для относительно короткого промежутка
времени после начального возмущения описываются несвязанной теорией
термоупругости, отличающейся от теории, которая годится для решения
задач о собственно температурных напряжениях. В данном случае вместе
использования соотношений (2 3.66) следует принять
at=a; a2 = 0. (2.А.6^
Цель анализа, приведенного в этом пункте и п. 2.2—2.5, заключается
в том, чтобы показать, что для многих практически важных задач исполь-
зование несвязанной теории термоупругости дает равноценные результаты.
Прежде чем закончить с этим вопросом, подчеркнем, что бывают случаи,
когда вообще не удается получить имеющего смысл решения, если не поль-
зоваться полной связанной теорией термоупругости. Рассмотрим в качестве
примера решение задачи, описываемой уравнениями (2.3 5а), (2.3.56), при
Q = 0, 1 > 0, х> 0 и следующих начальных и граничных условиях:
и (х, 0)=~ (х, 0) = Т (х, 0) = Т (0, 0 = 0, 1
" (2.А.7)
^(0, /) = ».,
где е0 — заданная постоянная. Как по несвязанной теории термоупругости
при ai = 0 (когда сохраняются инерционные члены), так и при а2 = О
х) Решение для и (т) в виде ряда получается непосредственно; чтобы получить
решение для Т (т), поступают следующим образом. Заново выписывая решение в виде
функции от Fo, представляют левую часть уравнения (2 А 26) в форме [T6/(F0T0)].
При разложении правой части в ряды по 6 первый член, свободный от 6, сокращается,
а второй член, пропорциональный д, становится определяющим и приводит к резуль
тату, представленному выражением (2 А 36).
5s
68
Библиография
получается, что
й (х,
е0(х — vet) для t > x/ve
О для t < xlve,
(2.А.8)
так что в обоих случаях деформация ди!дх претерпевает скачок постоянной
величины е0, перемещающийся со скоростью ve. Для того чтобы изучить,
какое влияние оказывает термоупругая связанность на величину этогс
скачка, и получить правильное представление о поведении частей теле
в зоне скачка, необходимо воспользоваться полной теорией в соответствие
с уравнениями (2.3.6а), так как обе упрощенные теории оказываются длг
этого недостаточными1).
Термоупругое рассеяние энергии изучалось разными авторами, причем
наиболее ранней работой является, по-видимому, исследование Кирхгоффг
о распространении волн в газах2) — задача, описываемая уравнениями,
очень похожими на (2.3.5а), (2.3.56). Из более поздних работ, относящихся
к термоупругим телам, следует указать [15] — [19]3). Нет необходимости
перечислять здесь результаты указанных исследований; достаточно упомя-
нуть о том, что в изотропных термоупругих телах волны деформации сдвигг
не вызывают температурных эффектов [об этом можно судить по связанном}
уравнению теплопроводности (1.14.1)). В задачах рассматриваемого типг
возникают два вида волн, из которых один имеет характер, очень близкий
к характеру чисто упругой волны расширения, а второму присущи такие же
особенности, как волнам в задачах теплопроводности.
Включая в энергетический баланс члены, зависящие от электрической
энергии, можно уточнить связанную теорию, приведенную в настоящей
главе; это было выполнено Миндлином [20].
БИБЛИОГРАФИЯ
1. Гудьер (GoodierJ. N.), Thermal stresses and deformations, J. of, Appl
Meeh., 24, 3 (.September 1957), 467—474.
2 Даниловская В. И., Температурные напряжения в упругом полупро
странстве, возникающие вследствие внезапного нагрева его границы, ПММ, XIV
вып. 3 (1950), 316—318.
3. Даниловская В. И., Об одной динамической задаче термоупругости, ПММ.
XV], вып. 3 (1952), 341—344.
4. Кемпбелл, Фостер (Campbell G. A., Foster R. М.), Fouriei
integrals for practical applications, D. Van Nostrand, New York, 1948.
r) Такого рода исследование проводится в настоящее время в Колумбийское,
университете Боли и Толинсом; хотя еще слишком рано говорить об окончательны?
результатах, установлено, что скачок деформаций при х — vet, обозначаемыйчере;
е*, равен е* = еое—. Указанный результат получается путем разложение
в тригонометрический ряд Фурье, как это делается в работе [13].
2) По вопросу об исследованиях волн в вязких жидкостях см. работу Ламба [14]
где имеются ссылки на соответствующие работы ряда авторов. В работе Кирхгоффг
1868 года скорость распространения волны рассматривалась как функция частоты
Однако имеются также и более ранние работы, например, Лапласа (примерно 1807 го
да), в которых для объяснения различия между изотермической и адиабатической ско-
ростями распространения вводились аргументы физического характера. Объяснение
Лапласа расходятся с результатами, строго вытекающими из теории; обсуждение этогс
вопроса см. в работе Дересевича [18].
°) См. также работу [11] гл. 1.
Библиография 69
5. Мура (Mura Т.), Thermal strains and stresses in transient state, Proc. Sec.
Jap. Congress. Appl. Meeh., 1952.
6. Стернберг, Ч акр аворти (Sternberg E.,C h a k r a v or t у J. G.),
On inertia effects in a transient thermoelastic problem, Tech. Rep. № 2, Contract
Nonr-562 (25), Brown University, May 1958.
7. Новацкий (Nowacki W-), A Dynamical problem of thermoelasticity,
Nadb. Arch. Meeh. Stos., 9 (1957), 325.
8. Игначак (Ignaczak J.), Thermal displacement in an elastic semispace
due to a sudden heating of the boundary plane, Nedb. Arch. Meeh. Stos., 9 (1957),
395.
9. Mypa (Mura T.), Dynamical thermal stresses due to thermal shocks, Research
Reports of the Faculty of Engineering, Meiji University, № 8 (2), 1956.
10. Келлог (Kellogg O. D.), Foundations of potential theory, Dover Publi-
shing, New York, 1953, Chapter IV.
11. Стернберг, Юбэнкс (Sternberg E., Eubanks R.), On the concept of con-
centrated loads and an extension of the uniqueness theorem in the linear theory of
elasticity, J. Rat. Meeh, and Anal., 4 (1955), 135—168.
12. К о p н (Korn A.), Sur les equations de 1 ’elasticite, Annales Scientifiques de
ГЁсо1е Normale Superieure, 24 (1907), 2—75.
13. Б о л и (Boley В. A), On the use of sine transforms in Timoshenkobeam
impact problems, J. of Appl. Meeh., 24, 1 (March 1957), 52—53.
14. Л э м 6 (Lamb H.), Hydrodynamics, sixth ed., Cambridge Univ. Press, 1932;
русский перевод: Лэмб X., Гидродинамика, ОНТИ, М., 1945.
15. М е й с о н (Mason W. Р.), Piezoelectric crystals and their applications to
ultrasonics, Van Nostrand, Hew York, 1950.
16. Лессе н, Дьюк (Lessen M., Duke С. E.), On the motion of an elastic
thermally conducting solid, Proc. First Midwestern Conf, on Solid Meeh., Univ,
of Illinois, 1953, pp. 14—18.
17. 3 e н e p (Zener C.), Elasticity and anelasticity of metals, The University of
Chicago Press, 1948.
18. Дересевич (Deresiewicz H.), Plane waves in a thermoelastic solid, J. Acoust.
Soc. Am., 29, 2 (February 1957), 204—209.
19. Дересевич (Deresiewicz H.), Solution of the equations of thermoelasticity,
Proc. Third U. S. Nat. Congress of Appl. Meeh., June 1958.
20. M и н д л и н (M i n d 1 i n R. D.), Investigations in the Mathematical theory
of vibrations of anisotropic bodies, U. S. Army Signal Corps Engineering Labs.,
Fort Monmouth, New Jersey, June 1956. . . . .
ГЛАВА 3
Другие формулировки задач
термоупругости
3. 1. Введение. Хотя рассмотренные в п. 2.7 формулировки задач
термоупругости являются с физической точки зрения, по-видимому, наибо-
лее естественными, в математическом отношении они обычно оказываются
неудобными, так как приводят к краевой задаче с пятнадцатью неизвестными
функциями (а именно, к трем компонентам перемещения, шести компонентам
деформации и шести компонентам напряжения). Поэтому представляют
интерес другие формулировки, когда в соответствующей краевой задаче
фигурируют лишь некоторые из указанных функций, в то время как осталь-
ные определяются затем прямым вычислением. Задачу полезно сформули-
ровать двояким образом, так чтобы в явном виде в нее входили либо только
компоненты перемещения, либо только компоненты напряжения. Перемен-
ные, в явном виде входящие в задачу при принятой постановке, удобно
называть «первичными» функциями, а остальные — «вторичными». Во всех
дальнейших выводах предполагается, что как первичные, так и рассчитан-
ные по ним вторичные функции удовлетворяют всем условиям соответст-
вующих теорем единственности п. 2.7, так что нет необходимости доказы-
вать новых теорем единственности.
В данной главе приводится несколько различных формулировок задач
термоупругости В п. 3.2—3.5 рассматриваются задачи в перемещениях,
в п. 3.6—3 9 — в напряжениях; при этом во всех указанных пунктах пред-
полагается, что перемещения не имеют разрывов непрерывности ни по одной
из внутренних поверхностей. Последний случай рассматривается в п. 3 10.
3.2. Формулировка задачи в перемещениях. Поскольку в данном пункте
рассматриваются задачи, в которых перемещения не имеют разрывов непре-
рывности ни по одной из внутренних поверхностей, то здесь следует опи-
раться на первую теорему единственности п. 2.7, хотя тела могут быть и мно-
госвязными.
Чтобы выразить в перемещениях уравнения равновесия
aVtJ + A = 0, (3.2.1;
подставим вместо <тг7 их значения согласно зависимостям между термоупру-
гими напряжениями и деформациями
<т(7 = 8г]Ке№ + 2ре17 — 8г]пгТ,
т = (32. I- 2п) а.
(3.2.2;
3.3. Аналогия с действием объемных сил
71
где Т — изменение температуры по отношению к ненапряженному состоя-
нию. В результате получаем
+aa.} + 2pei7j j — mT, г + Д = 0. (3.2.3)
Выражая ец с помощью соотношений между деформациями и перемещениями
=у («м + +,0. (3.2.4)
находим
Аг/fe, kt + И («г, kk + «/г, tk) — тТ, i + ft = 0. (3.2.5)
Если ограничиться рассмотрением задач, для которых заданное распреде-
ление температуры в области D - В принадлежит к классу С'1’, то
достаточно потребовать, чтобы перемещения щ в этой области были
класса С<2>. При этом обеспечивается требование теоремы единственности
п. 2.7, чтобы компоненты деформации и напряжения, рассчитанные по ука-
занным перемещениям соответственно по формулам (3.2.4) и (3.2.2), были
бы класса С(1>. При этом ограничении Uk,ik = «а, hi, и, следовательно,
уравнение (3.2.5) можно записать в виде
(L 4- р.) ki + рщ, hk — тТ\ i + fi = 0. (3.2.5а’
Граничные условия для перемещений не нуждаются в видоизменении,
а условия для поверхностной нагрузки можно выразить через перемещения
с помощью соотношений (3.2.2) и (1.4.3). Аналогичным образом могут бытг
сформулированы «смешанно-смешанные» граничные условия, но здесь онг
не обсуждаются. В итоге приходим к следующей формулировке задачи тер-
моупругости в перемещениях: требуется найти однозначно определенные
функции Ui класса С<2) в области Р + В, удовлетворяющие следующих
уравнениям:
(^ + p)ttfe,fti- + p«i,AA — тТ, г- + Д- = 0 в D, (3.2.6;
u; = G+(P) на Bi, (3.2.7;
+ j + «7,;) — bijmT]n} = Gt\P) на В2, (3.2.8
где Bi + В2 = В и Т (Р) в области D + В принадлежат к классу С(1)
ft (Р), G)1’ (Р), G+ (Р) — заданные функции.
Как указывалось, значения и можно определить из решения рас-
смотренной выше краевой задачи соответственно с помощью соотношений
(3.2.4) и (3.2.2), тогда функции н;, ег7, ог; будут удовлетворять всем требо-
ваниям первой теоремы единственности п. 2.7. Еще раз отметим, что при-
веденное выше решение в равной степени применимо как к односвязным,
так и к многосвязным телам.
3.3 Аналогия с действием объемных сил. Из приведенного в преды-
дущем пункте решения в перемещениях непосредственно вытекает, что суще-
ствует аналогия между задачами термоупругости и задачами для тел с по-
стоянной температурой, подверженных действию объемных распределенных
сил. Рассмотрение этой аналогии облегчается, если ввести следующие линей-
ные дифференциальные операторы:
Lt (и) = (Л.р.) «а, ki-~ [Mi, kk, (3.3. i;
Вц(и) = бгДиА,А + р-(«;,; + «7, г), (3.3.2;
72
Глава 3. Другие формулировки задач термоупругости
с помощью которых предыдущая запись решения в перемещениях (3.2.6) —
(3.2.8) приводится к виду
£г(и) + Л-/пТ,г = 0 в D, (3.3.3)
Ui = G?(P} на (3.3.4)
[Bi;(«)-6i;mT]n7=G<2’(P) на В2. (3.3.5)
Для тела из того же материала и той же геометрии, имеющего постоян-
ную температуру, т. е. Т == 0 в D + В, имеем
Л(«) + А = 0 в D, (3.3.6)
и^Ъ^Р) на Bj, (3.3.7)
ДДп)п7 = С)2)(Р) на В2. (3.3.8)
Очевидно, что обе краевые задачи становятся идентичными относитель-
но Ui, если Bi = Bi, В2 =- В2 и
'ff=fi — tnTii в D, ' (3.3.9)
(В) = G'f’ (В) на В1: (3.3.10)
G?’ (В) = G?’ (В) -г тТ (Р) щ на В2. (3.3.11)
Таким образом, для перемещений и деформаций можно установить следую-
щую аналогию с действием объемных сил: в нагретом теле возникают такие
же перемещения и деформации, как в ненагретом теле той же формы и мате-
риала, если на ненагретое тело действуют эквивалентные объемные силы Д,
определяемые выражением (3.3.9), и эквивалентные поверхностные нагрузке
Gi2’ (В), определяемые выражением (3.3.11) для той части граничной поверх-
ности, где заданы поверхностные нагрузки; на части граничной поверхности,
где заданы перемещения, условия для перемещений должны быть одина-
ковыми .
Компоненты напряжений в нагретом теле рассчитываются, конечно
с помощью зависимостей между термоупругими напряжениями и деформа-
циями, которые при принятых выше обозначениях имеют вид
— Ь^тТ. (3.3.12)
С другой стороны, продолжая аналогию, можно найти компоненты напря-
жения о1} в ненагретом теле при тех же перемещениях, используя зависи-
мость между напряжениями и деформациями при постоянной температуре
Пг; = ВгДЫ). (3.3.13)
Следовательно, в завершение аналогии с действием объемных сил устана-
вливается, что компоненты напряжения в ненагретом теле связаны с напря-
жениями в нагретом теле соотношением
о, • = пг. -ф 6г щТ. (3.3.14'
Конечно, указанная аналогия не уменьшает в каком-либо смысле матема-
тических трудностей при решении задачи термоупругости. Действительно,
математическая формулировка задачи совершенно не меняется; дело огра-
ничивается тем, что заданные функции получают другие названия. Однакс
аналогия имеет значение с познавательной точки зрения, так как она позво-
ляет представить влияние неравномерного распределения температуры
с помощью влияния эквивалентной системы объемных сил, что иногда может
легче поддаться физической интерпретации.
3.4. Приведение задачи термоупругости; метод Гудьера 73
3.4. Приведение задачи термоупругости к задаче с постоянной темпера-
турой без объемных сил; метод Гудьера. Вернемся опять к сформулирован-
ной в предыдущем пункте задаче термоупругости, представленной уравнения-
ми (3.3.3) — (3.3.5), и предположим, что объемные силы отсутствуют. Пока-
жем, как указанная задача может быть сведена к задаче для ненагретого
тела без объемных сил. Используя обозначения (3.3.1) и (3.3.2), предста-
вим уравнения рассматриваемой краевой задачи в виде
Д(м) = т7\г в D, (3.4.1)
Uj(P) = Gf(P) на Blt (3.4.2)
[Вц(и) — ЬутТ]П1~ Hi(P) на В2. (3.4.3)
Таким образом, уравнения поля представляют собой систему линейных
неоднородных дифференциальных уравнений относительно неизвестных
перемещений uit причем неоднородные члены содержат градиент заданного
поля температур. Поэтому перемещения можно представить в виде суммы
двух функций
Ui=uT + u^\ (3.4.4)
.где частными решениями и[р> являются функции, удовлетворяющие неодно-
родным уравнениям (3.4.1) независимо от заданных граничных условий.
Обозначим через GV” (Р) значения, которые принимают функции и^у
на поверхности тела, а через /Д" (Р) — соответствующие им поверхност-
ные нагрузки (в соответствии с термоупругими зависимостями между напря-
жениями и деформациями и заданным распределением температуры). Тогда
U^ = G)P,(P) на В, (3.4.5)
[Bij^)-8iJmT]nj = HT(P') на В, (3.4.6)
и функции должны удовлетворять уравнениям г'•
Рг(и(”)=0 в О, (3.4.7)
Ute> = Gi(P) — Gip> (Р) на Bi, (3.4.8)
ВгДи<<!,)щ- = Яг(Р)-Я1р)(Р) на В2. (3.4.9)
Прямой подстановкой легко убедиться, что при этих условиях функция
+ (3.4.10)
является решением задачи термоупругости, представленной уравнения-
ми (3.4.1) — (3.4.3). Далее очевидно, что задача определения м)с) соответ-
ствует случаю тела с постоянной температурой при отсутствии объемных
сил, так что требуемое приведение задачи можно считать выполненным,
как только будет найдено частное решение уравнений (3.4.1).
Гудьером [1] был предложен общий метод получения частных решений,
применимый для всех подобных задач термоупругости и поэтому представ-
ляющий собой метод приведения указанных задач к задаче о теле постоян-
ной температуры без объемных сил. Им было показано, что перемещения
можно выразить через единственную функцию ср (х15 х2, х3) в виде
«Г=ф,ъ (3.4.11)
Функцию ср, связанную указанным образом с компонентами перемещения,
называют потенциалом перемещения. Учитывая зависимость (3.4.11)
в уравнении (3.4.1), получим следующее уравнение для функции ср (пред-
полагается, что она принадлежит к классу С<3))
[(X-j-2p)cpjfeft — тТ\ I- 0, i — 1,2,3. (3.4.12)
74
Глава 3. Другие формулировки задач термоупругости
Очевидно, что функция ср удовлетворит всем трем уравнениям (3.4.12),
если она удовлетворяет единственному уравнению
= = рТ в D,
где
„__ т 3/ь-! 2ц _________ 1-p-v
Р “ Т-г- 2ф = "vpi? а ~
(3.4.13)
(3.4.14)
причем v — коэффициент Пуассона. Таким образом, чтобы найти частное
решение надо вначале получить решение для ср (xit х2, х3) из уравне-
ния (3.4.13), а затем подставить эту функцию в уравнение (3.4.11).
Прежде чем перейти к детальному исследованию частного решения,
найдем компоненты напряжений соответствующие ср, которые необхо-
димы в тех случаях, когда задаются поверхностные нагрузки. Подставляя
в зависимости между термоупругими напряжениями и деформациями выра-
жения (3.4.11) и (3.2.4), получаем
= Xdijcp, ЙА + 2рф, (3.4.15;
Но так как ср удовлетворяет уравнению (3.4.13), то в результате приходим
к простому соотношению
o®) = 2p(cp)iJ —S0<pjftfe)- (3.4.16;
Одно из решений уравнения (3.4.13), которое представляет собой извест-
ное уравнение Пуассона, можно записать непосредственно в виде определен-
ного интеграла [2]
ср (Х1, х2, х3)=~
ns
D
T(U, g2,
/(Xi-gl)2+(x2-52)2+U3-£3)2 ’
(3.4.17;
или в более компактной форме
T(Q)dVQ
Г(Р, Q) ’
(3.4.17а
где г (Р, Q) — расстояние между данной точкой Р и текущей точкой Q,
пробегающей при интегрировании по объему в области D любые значения.
Следовательно, указанное частное решение для ср теоретически позволяет
непосредственно привести любую задачу термоупругости к соответствую-
щей задаче о теле постоянной температуры без объемных сил. К сожалению
интегрирование по объему в соответствии с выражением (3.4.17) обычнс
связано с большими трудностями и поэтому ниже описывается другой мето;
получения частного решения, который (в тех случаях, когда его можнс
использовать) является более предпочтительным. Однако прежде укажем
каким образом можно физически интерпретировать задачи термоупругости
исходя из выражения (3.4.17).
Рассмотрим свободное от поверхностных нагрузок тело, на которое
воздействует поле температур Т (х1; х2> х3). Из предыдущего обсуждения
следует, что перемещения и, выражаются в виде
Ui — ф, г + . (3.4.18;
где ф определяется согласно (3.4.17), а м;' вычисляется таким образом, чтобь
поверхностные нагрузки, соответствующие были бы равны нулю
Из теории упругости для тел с постоянной температурой известно, чтс
3.4. Приведение задачи термоупругости; метод Гудьера
75
воле перемещений мг (Р; Q), имеющее вид
+ , (3.4.19)
представляет собой решение, соответствующее источнику расширения на-
пряженности S, расположенному в точке Q данного тела 1), при условии,
что во всей закрытой области, занимаемой телом, (Р; Q) будет класса
С(1), а поверхностные нагрузки, соответствующие иг (Р; Q), равны нулю.
Из сопоставления уравнений (3.4.18) и (3.4.17а) с (3.4.19) видно, что термо-
упругие напряжения можно рассматривать как результат действия распре-
деленных по всему телу точечных силовых источников расширения напря-
женности
Поэтому, если для данного тела, свободного от поверхностных нагрузок,
известно решение для точечных источников расширения, то путем интегри-
рования по объему можно непосредственно получить решение задачи термо-
упругости для этого тела при отсутствии поверхностных нагрузок а). Одна-
ко при решении указанным способом возникают две практические труд-
ности: решения для точечного источника расширения известны для очень
немногих конфигураций 3) и требующееся кратное интегрирование трудно
выполнимо. Поэтому вернемся к вопросу о том, как найти частное решение
уравнения (3.4.13) в более простой форме.
Как указывалось, нахождение частного решения уравнения (3.4.13)
с помощью выражения (3.4.17) оказывается обычно очень громоздким.
Однако если распределение температуры удовлетворяет уравнению тепло-
проводности Фурье
х?27^=~, (3.4.20)
то при указанных ниже условиях можно получить частное решение путем
простого интегрирования [в противоположность кратному интегрированию,
которое требуется для решения (3.4.17)]. Чтобы это выполнить, рассмотрим
входящие в уравнение (3.4.13) функции ср и Г как функции пространствен-
ных координат и времени; дифференцируя указанное уравнение по вре-
мени и используя условие (3.4.20), находим
V2^=₽^- = ₽xV2T, (3.4.21)
или
V2^--₽xT) = 0. (3.4.22)
*) Обозначение ( ),t указывает на дифференцирование по координатам р.
Обсуждение решений, соответствующих точечному источнику расширения, см., напри-
мер, у Лява, гл. 8, п. 132 [1].
2) Изложение указанной аналогии приведено выше только для случая, когда тем-
пература на всей поверхности тела равна нулю, так что и для задачи термоупругости,
и при точечном источнике расширения поверхностные нагрузки вычисляются с помо-
щью зависимостей между напряжениями и деформациями при постоянной температуре.
Это ограничение не является необходимым, однако без него доказательство аналогии
становится более сложным.
з) Для бесконечной среды iz? = 0; указанный результат, основанный на фундамен-
тальной работе Кельвина, был получен Доугаллем, см. Ляв [1]. Решение для полубес-
конечного тела дано в работе [3].
76
Глава 3. Другие формулировки задач термоупругости
Следовательно, частное решение последнего уравнения можно получить,
полагая
ИЛИ
i ‘
ср (х, х2, х3, t) — Т (х); х2, *з, т) dx + ф (х(, х2, х3), (3.4.23'
<1
где — некоторый начальный момент отсчета, о котором пойдет речь ниже,
а ф — пока неопределенная функция только пространственных координат.
Подставляя найденное выражение для <р в уравнение (3.4.13), видим, чтс
эта функция будет решением последнего уравнения, если
?2ф(х4 х2, х3) = PT(xj, х2, х3, Zi). (3.4.24;
Нахождение частного решения этого уравнения является такой же трудной
задачей, как и решение исходного уравнения, если только не воспользо-
ваться дополнительным условием, соответствующим часто встречающемуся
случаю, когда в начальном или конечном состояниях температура во всех
точках тела одинакова. Если это так, то, полагая эту равномерную темпе-
ратуру равной нулю, примем в качестве значения время, когда достигается
указанная равномерная температура. Так, = 0, если поле температур
равномерно в начальном состоянии, и = со, если поле температур ста-
новится равномерным спустя неограниченно продолжительное время. В обоих
случаях Т (xi, х2, х3, 01 = 0 и, следовательно, ф = О является решением
уравнения (3.4.24). Тогда частное решение уравнения (3.4.13) получается
в виде
t
ср (х1: х2, х3, t) — Рх Т (xlt х2, х3, т) dr. (3.4.25)
4
Обычно указанное интегрирование по времени может быть легко выполнено'
в частности, для тела конечных размеров, нагреваемого или охлаждаемогс
до конечного равновесного стационарного состояния (температура по всему
телу становится равной нулю) распределение температуры всегда можнс
представить в форме1)
Т (х17 х2, х3, 0 = 2 Ь U:’ ж2, ^з), (3.4.26)
П=1
так что, полагая = со, получаем из уравнения (3.4.25)
ср(ау, х2, х3, /)= — р У (^1, х2, х3). (3.4.27)
71 = 1
3.5. Применение функций Буссинеска — Папковича. При анализе зада-
чи термоупругости, непосредственно вытекающем из ее формулировки в пере-
мещениях (п. 3.2), были использованы функции Буссинеска — Папковича,
которые широко применяются в теории упругости равномерно нагретых
тел. Недавно [41 указанные функции были использованы для непосред-
1) См. п. 7.2.
3 6. Формулировка задачи в напряжениях
71
ственного решения задачи термоупругости при стационарном распределении
температуры г) без предварительного введения их для случая постоянной
температуры.
В основе метода лежит следующий прием: решение уравнения (3.2.6)
можно выразить через четыре функции Буссинеска — Папковича ср, фг,
i = 1, 2, 3 в виде
«г= (ф + ^аФа) г —4 (1 — v)4\, (3.5.1)
где функции ф, фг удовлетворяют уравнениям
V* 2<p = PT, Р = (3.5.2)
7афг = 0. (3.5.3)
Непосредственной подстановкой можно проверить, что функции иг.
определяемые уравнениями (3.5.1) — (3.5.3), являются решениями урав-
нений (3.2 6) при f, = 0. Также было доказано, что в указанной форме можно
представить любое решение уравнений (3.2.6) г).
Преимущество указанного метода заключается в том, что уравне-
ния (3.2.6), для которых не известен общий прямой путь решения, заме-
няются уравнениями (3.5.2) и (3.5.3). Первое из них представляет собой
уравнение Пуассона, второе — Лапласа Последние уравнения широко
изучены, в частности в теории потенциала, и известно много общих мето-
дов их решения. Принципиальная трудность применения функций Бусси-
неска — Папковича связана с удовлетворением граничных условий для ф
и фг, соответствующих заданным граничным условиям для напряжений
или перемещений.
Интересно отметить, что изложенный в предыдущем пункте метод Гудье-
ра эквивалентен нахождению особого вида частного решения уравне-
ний (3.5.2) и (3.5.3), когда фг = 0.
3.6. Формулировка задачи в напряжениях. Формулировать задачу
термоупругости в напряжениях полезно прежде всего тогда, когда в каждой
точке граничной поверхности тела заданы нагрузки. Вначале рассмотрим
случай односвязного тела при однозначно определенных перемещениях,
принадлежащих в области D ф- В к классу С(1), так что применима первая
теорема единственности п. 2.7. Многосвязные тела будут рассмотрены в п. 3.8.
Уравнения равновесия (3.2.1) и условия для поверхностных нагрузок
уже выражены через компоненты напряжения; что касается других требо-
ваний теоремы единственности, то в напряжениях представлено лишь одно,
устанавливающее, что в области D + В напряжения должны быть функциями
класса С(1). Остальные требования указанной теоремы должны быть теперь
выражены через компоненты напряжения. При такой постановке можно
найти напряжения без непосредственного определения деформаций или пере-
мещений, причем, однако, гарантируется, что и те и другие могут быть непо-
!) Указанное ограничение случаем стационарного распределения температуры
не является существенным для метода
2) См. [5] В этой работе обсуждается изотермический случай; используя приве-
денную в п. 3 3 аналогию с действием объемных сил, легко распространить выводы
на рассматриваемую задачу
78
Глава 3. Другие формулировки задач термоупругости
средственно вычислены по этим напряжениям и что каждая из величин
будет удовлетворять всем требованиям теоремы единственности.
Что касается деформаций, то при заданном в области D + В распреде-
лении температуры функциями класса С(1) они определяются с помощьк
зависимостей между напряжениями и деформациями. Однако определение
перемещений по деформациям представляет большие трудности.
Когда в п. 3.2 обсуждалась формулировка задачи в перемещениях, тс
деформации определялись там по перемещениям путем прямого дифферен-
цирования, и так как перемещения являются первичными функциями, тс
нетрудно указать для них условия, обеспечивающие деформациям необхо-
димые свойства. Однако в данном случае в соотношениях между перемеще-
ниями и деформациями перемещения играют роль вторичных — неизвест-
ных функций (деформации можно считать известными, так как они легкс
определяются по напряжениям). Поэтому соотношения между перемеще-
ниями и деформациями образуют систему неоднородных дифференциальных
уравнений в частных производных относительно перемещений, и для тоге
чтобы обеспечить существование перемещений, удовлетворяющих указан-
ным уравнениям и требованиям теоремы единственности, необходимо нало-
жить определенные условия на неоднородную часть этих уравнений (т. е.
на деформации). Затем, используя зависимости между напряжениями и де-
формациями, можно преобразовать условия для деформаций в условия для
первичных функций — напряжений. С этой целью принимается следующий
порядок анализа.
1) Вводятся три линейных интеграла, которые берутся вдоль пути,
заключенного внутри тела, и включают в свои подинтегральные выражения
компоненты деформации.
2) Затем устанавливается, каким условиям должны удовлетворять ком-
поненты деформаций, чтобы величина указанных линейных интегралок
зависела бы только от конечных точек пути интегрирования. Если произ-
вольно зафиксировать начальную точку траектории, то линейные интегралы
будут представлять собой функции только конечной точки интегрирования.
Так как указанной конечной точкой может быть любая точка тела, то линей-
ными интегралами характеризуются три функции, однозначно определенные
по всему телу.
3) Наконец, путем прямой подстановки доказывается, что определенные
вышеуказанным способом три функции удовлетворяют соотношениям между
деформациями и перемещениями и поэтому представляют собой компоненты
перемещения. Чтобы полученные компоненты перемещения удовлетворяли
всем условиям, предъявляемым к ним теоремой единственности, можно
ввести для компонент деформации дополнительные ограничения. Тогда
все условия теоремы единственности выполняются и, следовательно, полу-
ченное решение задачи является единственным. В частности, компоненты
перемещения, которые выражаются указанными выше линейными интегра-
лами, являются единственными компонентами с установленными свойствами
(за исключением произвольного бесконечно малого движения тела, как
твердого целого).
Перейдем к детальному рассмотрению намеченного порядка анализа.
Три линейных интеграла, иногда называемых интегралами Чезаро1),
*) См. Чезаро [6] и Вольтерра [7]. В последней работе приводится полное обсуж-
дение теории и дополнительная литература. Эквивалентность двух форм подинтеграль-
ных выражений в уравнениях (3.6.1) может быть установлена с помощью тождества
(3.6.5).
3 6. Формулировка задачи в напряжениях
71
имеют вид
Р. (Я1, х2, х3)
— Н- \jkl У Ism (^А ^а) &rs, m] d^,r =
Ро
Р
= j [г7>+ (^-gA)(erAft-erft,7)]^=5 / = 1’2’3’ (3-6^
Р» Ро
где аргументами для компонент деформации являются координаты текущей
точки £1; ^2, £з на пути интегрирования, заключенном в области D г В,
Путь интегрирования проходит от произвольной, но фиксированной точки
тела Ро до любой точки в теле Р с координатами xt х2, х3.
Перейдем к установлению условий, которые нужно предъявить к ком-
понентам деформации, чтобы линейные интегралы были независимыми
от пути интегрирования. В этом случае линейные интегралы от точки Р(
PflP, взятые вдоль двух различных путей, расположенных в области D 4 В.
должны иметь одинаковое значение или, что равносильно, линейный инте-
грал по любому однократно замкнутому пути в области D + В должен быть
равен нулю. Рассмотрим один из таких замкнутых путей G и натянем на неге
поверхность S, целиком лежащую в теле. (Это возможно, так как тело одно-
связно.) Далее, применим теорему Стокса, что допустимо, если функциг
UJr (£х, g2, £з) относятся в области, содержащей S, к классу С(1). Указанные
условия будут удовлетворены, если потребовать, чтобы функции ем- (х4.
х2, Хз) в области Dp В были класса С<2). Тогда, непосредственно применяя
теорему Стокса, получаем
= ypnrUjr, nftp dA, _ (3.6.2
С S
где пр — нормаль к поверхности S. Следовательно, линейный интеграл вдоль
любого замкнутого пути в области Dp В будет равен нулю, если последний
поверхностный интеграл равен нулю для любой поверхности в данной обла-
сти. Это, в свою очередь, возможно, если всюду в D + В
ypnTUjT,n = 0. (3.6.3;
Подставляя в равенство (3.6.3) первое из выражений для Ujr согласно (3.6.Г
и выполняя указанное дифференцирование, находим
Урпг [С/г, п YJniyism^rs, т Н- Y/AZYZsm (УД ^а)С s, mill = 0. (3.6.4
Рассмотрим два первых члена полученного выражения. С учетом тождества
Y7nzY,sm= Мп'»—(3.6.5;
их можно представить в виде
Урпг [е;Г,п —(er7-,„ —ег„,7)] S 0. (3.6.6;
Последнее выражение тождественно равно нулю, так как тензор деформа-
ции е7-г — симметричный, а альтернативный тензор урпг — антисимметрич-
ный. Последний член выражения (3.6.4) будет равен нулю, если потребовать
чтобы
Уpnryis-n&rs, тп = 0- (3.6.7,
Так как в этой системе уравнений имеется только два свободных индекса f.
и I и структура несимметрична, то очевидно, что система содержит толькс
шесть независимых уравнений, известных как уравнения совместности.
80 Глава 3. Другие формулировки задач термоупругости
Таким образом, если потребовать, чтобы деформации были функциями
класса С(2) и всюду в области D + В удовлетворяли уравнениям (3.6.7), тс
линейные интегралы (3.6.1) будут независимы от пути и, следовательно
будут представлять собой однозначные функции верхнего предела интегри
рования (при этом начальная точка Ро фиксирована, но произвольна)
Забегая вперед, обозначим указанные функции через (х1; х2, х3), так чтс
Р . (XI, Х2, Xg)
. Uj (ац, х2, х3) = l^jr + \jkiyism(xh — gfe)er8,m] d^r. (3.6.8;
Ро
В силу требования, чтобы деформации были класса С(2), однозначно опре-
деленные функции Uj будут класса С(3). Прямой подстановкой можно также
проверить, что определенные согласно (3.6.8) функции удовлетворяют
соотношениям между деформациями и перемещениями (3.2.4) и, таким обра-
зом, удовлетворяют всем требованиям, предъявляемым теоремой единствен-
ности к перемещениям. Таким образом, формулировка единственности задачи
линейной теории термоупругости для односвязного тела сводится к тому,
что требуется определить в области D + В компоненты напряжений
класса С(1) и компоненты деформации ег; класса С(2), удовлетворяющие
условиям
О/д; + Л = 0 в D, (3.6.9)
dijtij = бг (Р) на В, (3.6.10)
= Х6г;ейй-ф2ре17 — тдцТ в D-ДВ, (3.6.11)
Ургттп — 0 В D-Д В, (3.6.12)
где ft и Т — соответственно заданные объемные силы и распределение тем-
пературы. После решения этой задачи соответствующие перемещения можно
найти по уравнению (3.6.8).
Представляет интерес так преобразовать последние соотношения, чтобы
краевая задача включала только компоненты напряжения. Предположим,
что распределение температуры описывается функциями класса С(2). Тогда
требование, чтобы компоненты деформации были класса С<2), может быть
заменено аналогичным требованием для компонент напряжения. Чтобы
выразить уравнения совместности в напряжениях, поступим следующим
образом.
Зависимости между термоупругими напряжениями и деформациями,
разрешенные относительно компонент деформации, имеют вид
8rS=-^^ors — -^-SrsCTftft4-SrsaT, (3.6.13)
где по-прежнему Е — модуль Юнга, v — коэффициент Пуассона. Подстав-
ляя эти зависимости в уравнения совместности (3.6.12), получаем
У ргтУ qsn ( 1 Т- ^) Ors, m7t УргтУдтпУ^Ьк' тп “Т УргтУqrnEcTT= 0,
ИЛИ
УргтУдьп (1 "Т v) ®rs, тп “Г v gp ^pq^kk, mm) ' E<J. (fipqT, mm — T, gp) = 0,
(3.6.14)
причем последняя форма уравнений выводится с помощью тождества (3.6.5)
свертыванием по перестановочным индексам. Уравнения (3.6.14) эквивалент-
ны уравнениям совместности, выраженным через компоненты напряжений.
Так как последние должны также удовлетворять уравнениям равновесия
3.6. Формулировка задачи в напряжениях
81
(3.2.1), то уравнениям (3.6.14) можно придать более простую форму. Деталь-
ный вывод дадим здесь только для случая, когда объемные силы отсутствуют,
а затем приведем окончательные формулы, учитывающие и объемные силы.
С этой целью полагаем в уравнениях (3.6.14) р = q и суммируем по р,
используя тождество (3.6.5). Это дает
(1 4“ (ОД г, mm ^пт. тп) ~~ 2vCf^A, тт -ф 2Е(%Т , тт — 0 (3.6.15)
и с учетом уравнений равновесия опт,тп = О
(1 — v)ahh>mm + 2EaT!mm = 0. (3.6.16)
Рассмотрим первый член уравнен ИЯ (3.6.14) !). Гак как по определению
альтернативного тензора Spq
то Ургт Y^sn — (-V, О 0-5 S 3 05 о Р 4^ >3 й « о о 05 S S з а « (3.6.17)
jргтУдзп^гз, тп ~ Sps Srs dms $рп &Г71 ^тп ^rs, тп* (3.6.18)
Раскрывая полученный определитель, прежде всего отмечаем, что в силу
уравнений равновесия члены, содержащие дГп или 6ms, при умножении
ИЗ &rs, тп обращаются в нуль. Опуская указанные члены, получаем
тп — (&pq$rs&mn ^pn^rs&mq ^mn^ps^rq) &rs, тп
^rr,qp ^qp^mm- (3.6.19)
Подставляя этот результат в уравнение (3.6.14), находим
® ^pq@kk. тт qp (I’V) @qp, pq^ ,тт Р*, qp) = О*
Заменяя сгДА; тт с помощью (3.6.16), приходим к искомой форме уравнений
совместности
(1 + v) <ТМ; тт <ТдА, pq Г Еа £ [ — vy' ^PqT, тт + pq J =0. (3.6.20)
Аналогичный вывод можно проделать и при наличии объемных сил, но при
этом, раскрывая определитель (3.6.17), необходимо учитывать его полное
выражение. Окончательный результат имеет в этом случае вид
(1 4“ ^’) ®pq, тт 4“ ^kh, pq 4~ ^pqT, тт Т Т, ..q J 4-
+ v (ЙЙ) k + ( 1 4- V) (fp, Я + f Я, p) = 0- (3.6.21)
Таким образом, формулировка единственности решения задачи линей-
ной теории термоупругости для односвязного тела при отсутствии объемных
сил, выраженная только через компоненты напряжений, заключается в том,
что для заданного распределения температуры Т класса С 21 требуется опре-
х) Постедующий вывод был предложен автору Дж. М. Маккормиком.
6 Боли и Уэйне и
82
Г лава 3. Другие формулировки задач термоупругости
делить компоненты напряжения класса Сс2>, удовлетворяющие усло-
виям
оф/,у = 0 в D, (3.6.22)
Gijtij = Gt (Р) на В, (3.6.23)
(1L v) ог;7/г/гс>/г/г; «Е J 7, -L 0 в (3.6.24)
После решения указанной краевой задачи можно с помощью зависимостей
между напряжениями и деформациямгг найти соответствующие деформации,
которые будут класса С(2), а с помощью уравнений (3.6.8) — соответствую-
щие однозначно определенные перемещения класса С<3> (с точностью до бес-
конечно малых движений тела как твердого целого).
3.7. Необходимость уравнений совместности. Приведенные в преды-
дущем пункте уравнения в напряжениях достаточны для получения един-
ственного решения для перемещений класса С<3) и деформаций и напряже-
ний класса С<2>. Однако в первоначальной формулировке п. 2.7. перемеще-
ния, деформации и напряжения были класса С(3\ так что, строго говоря,
формулировкой в напряжениях охватывается только подкласс решений
из рассматривавшихся первоначально. Но при этом возникает вопрос,
охватывается ли полностью хотя бы этот подкласс. Другими словами, нет
ли помимо решений, удовлетворяющих предыдущей формулировке задачи
в напряжениях, других решений для перемещений класса С<3> и деформаций
и напряжений класса С<2). Ответ оказывается отрицательным, поскольку,
как показано ниже, при перемещениях класса С(3) соответствующие ком-
поненты деформации должны удовлетворять уравнениям совместности,
а при перемещениях класса С<2) их можно представить (с точностью до бес-
конечно малого движения тела как твердого целого) в виде линейных инте-
гралов Чезаро (3.6.1)1).
Вначале рассмотрим уравнения совместности. Пусть в некоторой области
R компоненты перемещений иг будут класса С‘3). Тогда соответствующие
компоненты деформации 8rs равны ’
&TS ~ 2 (^Т, S "'Г «3, т). (3.7. ф
Подставляя эти компоненты деформаций в уравнения совместности (3.6.12),
получаем
YргтУдвп&гз, тп = YргтУдоп far, зтп "4~ ~ 0. (3.7.2)
Последнее выражение при иг класса С<3> равно нулю в силу того, что про-
изводные иг симметричны по s и п, а производные us симметричны по z
и т, в то время как соответствующие альтернативные тензоры антисиммет-
ричны по указанным индексам. Этим доказывается необходимость уравнений
совместности для рассмотренных условий.
Перейдем к вопросу о представлении перемещений класса С(2> в форме
линейных интегралов. Очевидно, что перемещения u,j (х1; х2, х3) указанного
класса можно записать в виде следующего линейного интеграла:
Р: (х1; х2, »з)
Uj(Xi, х2, х3) = м“4- \ u^hd^, ' (3.7.3)
Ро
Напомним, что функции класса С(3) охватывают и класс С(2)»
3.7. Необходимость уравнений совместности
83
где и” — перемещение в произвольной, но фиксированной точке Ро : (х®,
X®, х®). Разложим h на симметричную и антисимметричную части
= (4j, k 4" uk, j) Ч~4k, j), (3.7.4)
ИЛИ
4j,k = Zjk + u>jk, (3.7.5)
Где
©Л = у —(3.7.6)
представляют собой компоненты тензора вращения, геометрический смысл
которого обсуждался в п. 1.3. Тогда уравнения (3.7.3) можно представить
в виде
р р
Uj(Xi, х2, x3) = u$+ eyftd£ft + (3.7.7)
По Ро
Интегрируя по частям последний интеграл этого уравнения, находим
р
Uj(xi, х2, х3) = и’ + (хй-х")ш^+ \ [e.jr + (xh — lh)(ajh^]dlr. (3.7.8)
Ро
Этот результат получен посредством представления пути интегрирования
в параметрической форме = Д ($), где s0<s<sP, после чего линей-
ный интеграл можно записать в виде неопределенного интеграла от един-
ственного параметра s. Таким образом,
р sp
(Ojk 4g/t — (pjk
Ро -о
Sp
, jsP f р dajk
iso
50
ds =
Sp p
|SP ? P
= \ r^-ds = Xifiijk (P) — — \ Ik^jk, г d^T.
S® s0 . Po
Аналогичным путем доказывается, что
р
Т dlr = ajk (Р) — ®5fe,
Ро
откуда приходим к искомой форме уравнения (3.7.8).
Для дальнейшего удобно воспользоваться тождеством
®jk 2 Уjkiyism^sm— 4jkiyism (,4s,m (3.7.9)
вытекающим из тождества для перестановочных индексов (3.6.5) и антисим-
метричности (i>Jk. Следовательно,
r == 4 yjkiyism (.4s, тт Um, sr) =Yjft/Y;sm[(us> mr tlT , sm) (Ur, sm 4~ Um, s7.)] ~
2 У jkiyism £ ту (_4r, sm Щ 4S, rm) (4y, ms Д 4 m 7 rs) j (3.7.10)
6*
«4
Глава 3. Другие формулировки задач термоупругости
где на последнем этапе изменен порядок дифференцирования, что допустимо,
так как, по предположению, иТ класса С2. Итак,
1 / >
— 2 YjfeiYlsm (®rs, m
ИЛИ
т = УjlilYlemurs, m- (3.7.11
Подставляя полученное выражение в уравнение (3.7.8), находим
р
Uj Хз, Л'з) = Uf -ф (-^й -Ч.) Ч- [бдт У}МУ1вт (X-k Sfe) &rs, m] (3./.12,
По
Линейный интеграл уравнения (3.7.12) идентичен интегралу, введенном)
в уравнение (3.6.1), что и доказывает необходимость интегралов Чезаро
Первые два члена в правой части уравнения (3.7.12) характеризуют бес
конечно малое движение тела как твердого целого.
Приведем здесь компоненты тензора вращения, которые понадобятся
в дальнейшем. Дифференцируя уравнение (3.7.12), получаем
р
— ЧД Ч_ yjkiyism&rs, гп (3.7.13,
Го
С учетом уравнения (1.3.5) этот результат можно выразить с помощью бес
конечно малого вращения cot в виде
р
(Яр —(Яр Урвт&гв, т (3.7.14
Ро
где использовано легко доказываемое тождество
УгтпУьтп ~ Ч^тп- (3.7.15
3.8. Формулировка задачи в напряжениях для многосвязных тел
Перейдем к рассмотрению задач о многосвязных телах, в которых отсут-
ствуют поверхности со скачками перемещений. Поэтому здесь по-прежнем)
можно применять первую теорему единственности п. 2.7, как и в больший-
стве рассмотренных случаев, относившихся к односвязному телу. Однакс
предыдущий анализ должен быть обобщен в той части, где используются
условия независимости линейных интегралов Чезаро X j [уравнения (3.6.1)
от пути интегрирования, так как для многосвязного тела невозможно на про
извольную внутреннюю замкнутую кривую «натянуть» поверхность, которая
лежала бы целиком внутри тела. С этой целью удобно ввести достаточное
число внутренних поверхностей Ва, а = 1, . . ., N, таким образом, чтобь
область D' = D В — (Bf + В2 +. . • была односвязной [иначе
говоря, рассматривается (jV-f- 1)-связное тело]. Если путь между фиксиро-
ванной Ро и текущей точкой Р выбрать теперь так, чтобы не пересечь поверх-
ности Ва, а =1, . . . , N, то очевидно, что найденные из уравнения (3.6. Г
перемещения будут во всей области D' однозначно определенными функция-
ми класса С(3), при условии что на деформации в области D Ч~ В наложень
те же ограничения, что и для односвязных областей. Указанные ограниче
ния сводятся к тому, что деформации должны быть функциями класса С(2
и удовлетворять в области D -ф В уравнениям совместности (3.6.12). К этом)
необходимо только добавить условия, обеспечивающие непрерывность пере-
3.8. Формулировка задачи в напряжениях для многосвязных тел
85
мещений при переходе через поверхность Ва 1). Чтобы перемещения в точке
Р : (х1; х2, Хз) были непрерывными при переходе через одну из внутренних
поверхностей, например By (рис. 3.1), требуется, чтобы для любой замкнутой
кривой Су, проходящей через точку Р на поверхности By и не пересекаю-
щей ни одну из остальных поверхностей Ва, удовлетворялось условие
[fiyr Ч~ YjklYlsm (Хд 8rSi т] = 0. (3.8.1)
S
Аналогично этому для непрерывности перемещений в другой точке Р' (х(,
х(, х') при переходе через поверхность В7 требуется, чтобы
[*Чг Ч- YjklYlsm ^rs,m] dt,r (3.8,2)
Су
где Су —замкнутая кривая, проходящая через Р' и не пересекающая других
поверхностей Ва. Желательно, чтобы непрерывность перемещений в каждой
В
Рис. 3 1.
1 — поверхность, натянутая на Су и Су и лежащая целиком в D.
точке на поверхности Ву обеспечивалась с помощью линейных интегралов
только по одному замкнутому пути, окружающему связанную с ней полость.
Это обеспечивается следующим образом: так как уравнения совместности
удовлетворяются во всей области D + В, то на основании теоремы Стокса,
которую можно применять при принятом требовании о непрерывности дефор-
маций, получаем
в г>
Ж YjklYlsm (Xft ^k) ^rs,m] d^r — ( [Sjr 2“ YjklYlsm (Xft 1й) &rs, m]
Cy Cy
_________________ (3.8.3)
J) Непрерывность первых трех частных производных от перемещений при пере-
ходе через поверхность Ва при приведенных выше предположениях проверяется непо-
средственно путем их последовательного вычисления.
86
Глава 3. Другие формулировки задач термоупругости
Здесь учтено, что на кривые С7 и Су можно одновременно натянуть поверх-
ность, лежащую целиком в области D + В (рис. 3.1.) Если бы было извест-
но, что
Xlsm^rs^m d^r — 0, (3.8.4,
Су
то из уравнений (3.8.3) и (3.8.1) можно было бы вывести уравнение (3.8.2).
Однако, снова используя уравнения совместности и теорему Стокса, можнс
показать, что полученный результат эквивалентен требованию, чтобы
\ YlsmBrs, т d^r = 0- (3.8.5,
Следовательно, непрерывность перемещений в каждой точке на поверх-
ности By обеспечивается, если оба условия для линейных интегралов (3.8.Г
и (3.8.5) удовлетворяются на единственном пути С7.
Таким образом, формулировка единственности задачи линейной теориь
термоупругости для (W+ 1)-связного тела заключается в том, что в область
D + В требуется определить компоненты напряжений класса С(1) и ком-
поненты деформаций ег/ класса С(2>, удовлетворяющие условиям
Gij.j + fc = £> в D, (3.8.6;
оуп7- = бг(Р) на В, (3.8.7;
TprniYqsnSrs,mn ~ 6 В Гд В^ (3.8.8
— Yw Yzsm ёл C-s, = О, а=1, ..., N, (3.8.9;
Са
^YjsmSrs,m^r = O, 0=1, ... , N, (3.8.10;
Са
где Са, а=1, . . . , N,— однократно замкнутые кривые в области D Ц- В
каждая из которых окружает только одну полость, или, говоря иначе,
пересекает только одну из введенных выше поверхностей Ва ]). Очевидно,
что каждой кривой Са соответствуют три уравнения, каждое из которые
имеет вид (3.8.9) и (3.8.10). Указанные уравнения имеют простой геометри-
ческий смысл. Вторые три уравнения устанавливают непрерывность трех
компонент бесконечно малого вращения в любой точке на кривой Са, а пер-
вые три — непрерывность при этих условиях трех компонент перемещения
(см. п. 3.10). Соответствующие перемещения, однозначно определенные
.функции класса С<3), находятся затем из уравнений (3.7.12).
С помощью зависимостей между напряжениями и деформациями ука-
занные условия можно-сформулировать только через напряжения: при отсут-
ствии объемных сил для (Л/+ 1)-связного тела, не имеющего поверхностей
с разрывом перемещений, и для заданного распределения температуры 7
класса С(2) требуется определить компоненты напряжений сщ- класса С(2>,
удовлетворяющие условиям
Ог7-17- = 0 в D. (3.8.11;
Gijrij ~ Gt (Р) на В, (3.8.12;
’) Уравнение (3.8.9) получается из уравнения (3.8.1), если отбросить члеь
Xism Srs,m) который в силу условия (3.8.10) равен нулю.
3,S>. жлмфаяфр, яаяряжмш!
(l+v)aiAte+<TAft,;;+aB[&o(|4v)T,^ + T^>]=0 в D + B’ <3’8ЛЗ!
~Ё ^Jr YjAi}’(Sf}iiA^rs,m] d.Cr ~ [dJ7Vpp
са Са
VjM'Ylrm^ft^pp.ml 4-ct [блТ = 0=1, .. ., N,
са
(3.8.14;
~£ yism&rs, т d- Gr 2Г У1гт&рр, т d'E,r 4~ И У1гтТ\т d^r = 0, (l—i.,...,N.
ba ctx
(3.8.15;
3.9. Распределения температур, невызывающие напряжений. Из выше
приведенной формулировки задачи в напряжениях непосредственно выте-
кает следующий важный результат.
В одно- или многосвязанном теле, свободном от всех поверхностные
нагрузок и объемных сил и не имеющем поверхностей с разрывом переме-
щений, линейное х) распределение температуры (в прямоугольной декарто-
вой системе координат) не вызывает напряжений.
Для доказательства этого положения нужно показать, что для линей-
ного закона Т при G, (Р) == 0 на поверхности В решение о;-7- s 0 удовлет-
воряет в области D + В уравнениям (3.8.11) — (3.8.15) приведенной в пре-
дыдущем пункте формулировки задачи в напряжениях. Тогда на основании
теоремы единственности можно заключить, что это будет единственным реше-
нием, соответствующим данному распределению температуры и граничным
условиям. Пусть
T^aPbiXt, (3.9.1;
где а и bi — произвольные постоянные. Тогда очевидно, что решение
Gtj sh 0 удовлетворяет уравнениям движения (3.8.11), граничным условиям
на поверхности (3.8.12) и уравнениям совместности (3.8.13), поскольку все
вторые производные равны нулю. Интегральные соотношения (3.8.14)
и (3.8.15) удовлетворяются при <>,; = 0, если
— = 0, а=1, . . ., п, (3.9.2;
са
VirmT,m dlr-= 0, а=1, ...,и. (3.9.3;
са
Подставляя в первое из этих соотношений линейное распределение темпе-
ратуры (3.9.1) и используя тождество для перестановочных индексов (3.6.5),
получаем
а bmimd^j+^ bjlrd^T = Q. (3.9.4)
ba ba b'i I'n
Очевидно, что первый и последний из приведенных интегралов равны нулю
в то время как второй и третий сокращаются. Таким образом, указанное
х) Указанный термин включает, разумеется, и равномерное изменение температу
ры по всему телу.
88
Глава 3. Другие формулировки задач термоупругости
соотношение удовлетворяется. Аналогично второе соотношение приводится
к виду
yiTmbmd^r = 0 (3.9.5)
и, очевидно, также удовлетворяется, и, таким образом, приведенное выше
предложение можно считать полностью доказанным.
Частично справедливо и обратное утверждение: если в одно- или много-
связном теле, свободном от напряжений, компоненты перемещения всюду
класса С(3>, то распределение температуры в этом теле линейно1).
Доказательство этого положения опирается на доказанную в п. 3.7
необходимость существования уравнений совместности для компонент
перемещения класса С<3>. Так как по предположению компоненты напряже-
ний тождественно равны нулю, то из зависимостей между термоупругими
напряжениями и деформациями (3.6.13) следует, что деформации равны
, е;>=бг>аГ. . (3.9.6)
Подставляя эти компоненты деформаций в уравнения совместности (3.6.12),
получаем
ргтУqrnT, тп = ® (&pqT ,тт 'T',pq)~^- (3.9.7)
Так как а 0, то отсюда немедленно вытекает, что = 0 при р Д= q.
Кроме того, уравнения (3.9.7) образуют систему трех однородных линейных
уравнений с неравным нулю детерминантом относительно трех производных
вида Т рз при р -- q. Поэтому они также равны нулю и, следовательно,
распределение температуры должно быть линейным.
3.10. Дислокации. В этом пункте в качестве дальнейшего шага в обобще-
нии формулировки задачи в напряжениях рассматриваются задачи термо-
упругости для многосвязных тел с поверхностями, по которым перемещения
претерпевают разрывы. Ограничимся лишь одним классом разрывов пере-
мещений, известных как дислокации Вольтерра2) и определяемых следую-
щим образом.
Пусть тело, свободное от любых поверхностных нагрузок и объемных
сил, занимает область/? + В с граничной поверхностью В. Тогда под дисло-
кацией Вольтерра понимается такой разрыв перемещений по внутренней
поверхности Bd, при котором соответствующие напряженное и деформиро-
ванное состояния тела удовлетворяют всем условиям второй теоремы един-
ственности п. 2.7 и, кроме того, следующим требованиям.
1) На поверхности Bd можно определить компоненты деформаций е,-; 3)
класса С<2) во всей области О-4- В.
2) Во всей области D-- В компоненты деформации удовлетворяют
уравнениям совместности.
г) Обратное утверждение можно строго доказать с помощью методов работы [8],
откуда следует, что уравнения совместности удовлетворяются, если компоненты пере-
мещения имеют порядок С(1), а компоненты деформации — С<2).
2) См. работу Вольтерра [7], а также Уэнгарта [9].
з) Так как Bd — поверхность разрыва перемещений, то определить на ней ком-
поненты деформации из соотношений между перемещениями и деформациями нельзя.
Поэтому требование (1) эквивалентно утверждению, что при приближении точки к Ва
по произвольному пути компоненты деформаций и их первые две частные производные
имеют единственный предел; их значения на Bd определяются как указанный предел.
Отсюда следует, что при непрерывном распределении температуры при переходе чере;
поверхность Bd непрерывны не только поверхностные нагрузки, как это требуется
теоремой единственности, но и все шесть компонент напряжений.
3.10. Дислокации
8S
Перейдем к определению видов разрывов перемещений, которые под-
ходят под определение дислокации Вольтерра. Если область D + В одно-
связная, то очевидно, что в стационарных условиях в теле не может быть
разрывов перемещений, так как согласно п. 3.7 перемещения должны выра-
жаться через линейные интегралы Чезаро (3.6.8), а указанные интегралы,
взятые по любому замкнутому пути, равны нулю в соответствии с требо-
ванием (2). Это, конечно, не означает, что в односвязных телах невозможнс
создать поверхности с разрывами перемещений; речь идет только о том, чтс
такие разрывы не могут быть дислокациями Вольтерра, т. е. одно или оба
Рис. 3.2.
из требований (1) или (2) будут нарушены. Например, при приближении
точки к поверхности разрыва некоторые из компонент деформации могут
стать бесконечными.
Рассмотрим теперь случай многосвязных тел, для которых возможны
нетривиальные дислокации Вольтерра. Пусть Bd — поверхность, освобож-
дающая тело от связанности (рис. 3.2); Q (xlt х2, х3) — точка на Bd, uj (Q) —
предел Uj (Р) при приближении точки Р к Q с одной из сторон Bd, a uj (Q) —
предел Uj (Р) при приближении Р к Q с другой стороны. Обозначим через
Дд, (Q) = и, (Q) — и, (Q)
разрыв и} в точке Q. Тогда из уравнения (3.6.8) следует, что
\U} (Q) = [8уг + (Xk - gfe) Srs,ml
С
(3.10.1)
(3.10.2)
где С — некоторая кривая в области В + D, проходящая через Q и охваты-
вающая только рассматриваемую полость; направление интегрирования
по С таково, что раньше достигается положительная сторона Bd (рис. 3.2).
Пусть Q' : (х', х'2, Хд) — некоторая другая точка на Bd. Для нее
\Uj (Q ) — г Т" \jkl\lsm (Xfi £,/,) Bps,ml (3.10.3)
С'
90 Глава 3. Другие формулировки задач термоупругости
где С' —• кривая, проходящая через Q' на Bd и ограниченная аналогичными
условиями. В соответствии с требованием (2) на основании теоремы Стоксе
Ч- YyftzYzsm (X/? Вд) 6rS; m] dc.r — [ejr -p Yjkl \lsm (%k i/z) Bps, m] d£,r.
C C’
(3.10.4;
Тогда из уравнений (3.10.2), (3.10.3) и (3.10.4) следует, что
Ди^ (Q ) = Auj (Q)(хй х&) YikiYismfiTS,™ d^r- (3.10.5
c
Однако с учетом теоремы Стокса и требования (2) имеем следующее тождество:
~ ‘Ylsm&rS’m d^T. (зло.б;
С С'
Из уравнения (3.7.14) следует
— j YismErS>md^r = Acoz (Q) = wf (Q) — (Of (Q), (3.10.7
c
где направление интегрирования принято в соответствии с условиями рис. 3.2.
Таким образом, Л(щ (Q) представляет собой вращение элемента, располо-
женного в точке Q с той стороны Bd, которая при принятом направлении
а &
Рис. 3.3. Перемещения, соответствующие дислокации Вольтерра.
а — исходное состояние тела, б — деформированное тело с дислокацией.
интегрирования вдоль С достигается раньше, относительно элемента в точке
Q, расположенного с противоположной стороны Bd. Из уравнения (3.10.6;
видно, что величина Acoz одинакова для всех точек на Вс1, так что ее аргу-
мент Q можно опустить и записать уравнение (3.10.5) в виде
Ди7-(Q')= Awj,-(Q) + yjZftA®z(x;'1 — xft). (3.10.8;
Обозначая вектор, направленный от точки Q к Q', через г, можно предста-
вить это уравнение в векторной форме [см. (1.2.3)]
Au (Q') = Au (Q) + Аю X г. (3.10.9;
Из полученного уравнения видно, что дислокация Вольтерра соответствуем
'бесконечно малому движению как твердого целого части тела, расположен-
ной с одной стороны поверхности разрыва, относительно части с другог
Библиография
91
стороны. Если шесть величин Ди, (Q) и Дсог заданы (рис. 3.3), то указанное
движение полностью определено.
Теперь можно дать формулировку единственности линейной задачи
для тела, занимающего (W+ 1 (-связную область В + D с N дислокациями
Вольтерра В(7\ где N поверхностей B(da) превращают тело в односвязное.
Требуется определить компоненты напряжений <то- класса С(1) в области
D + В и компоненты деформации класса С<2) в области D + В, удовлет-
воряющие условиям
= 0 в D, (3.10.10)
(УцП; = Gi (Р) в В, (3.10.11)
аг;= ^г,-8М + 2це^~МЗИ-2р)аТ в D + В, (3.10.12)
YprmY^snErs, тп ~ 0 в D~\-B, (3.10.13)
ls/r Y;fezYzsm^eZSim] = Ди,-(Qa)-р Ди)а\ а=1, ...,2V; (3.10.14)
Л
a=\,...,N. (3.10.15)
4
тде каждая кривая Са окружает только одну полость и проходит через задан-
ную точку Qa с координатами х^. Для каждой полости также заданы шесть
констант Ди, (Qa)H Дю)а\ имеющие описанный выше геометрический смысл.
Все или некоторые из констант Ди,- (Qa) и Д<и<а) можно положить рав-
ными нулю, так что приведенная выше формулировка включает в виде
частного случая формулировку п. 3.8, в которой требовалось, чтобы во всей
области перемещения были непрерывны.
БИБЛИОГРАФИЯ
1. Гудьер (Goodier J. N.), Integration of thermoelastic equations, Phil. Mag.,
23 (1937), 1017.
2. К e л л о г г, (Kellogg О. D), Foundations of potential theory, Dover Publi-
shing, New York, 1953, pp. 150—156.
3. Миндлин, Чжэн (Mindlin R. D., Cheng D. H.), Thermoelastic
stress in the semi-infinite solid, J. of Appl. Phys., 21, 9 (September 1950), 931—933.
4. Стернберг, Мак-Дауэлл (Sternberg E., McDowell E. L.),
On the steady-state thermoelastic problem for the half-space, Dept, of Mechanics,
Univ, of Illinois, Chicago, Ill., October, 1955.
5. M и н д л и н (Mindlin R. D.), Note on the Galerkin and Papkovich stress,
functions, Bull. Am. Math. Soc., 42 (1936), 373.
6. Чезаро (Cesaro E.), Sulle Formole del Volterra, fundamental! nella teoria
delle distorsioni elastiche, Rendiconti dell'accademia delle scienze fisiche e matema-
tiche, Societa Reale di Napoli, July and August 1906, pp. 311—321.
7. Вольтерра (Volterra V.), Sur 1’equilibre des corps elastiques multi-
plement connexes, Annales Scienlifiques de РЁсо1е Normale Superieure, Paris, 24
(1907), 401—517.
8. Д о p н, Шилд (Dorn W. S., Schild A.), A converse to the virtual work
theorem for deformable solids, Quart, of Appl. Maths., 14 (1956), 209—213.
9. Уэнгартен (W eingarten G.), Sulle superfici di discontinuity nella teoria
dellTelasticita dei corpi solidi, Rend. R. Acc. Lincei, Ser. 5, X (First Sem., 1901), 57.
ГЛАВА Д
Двумерные задачи теории
термоупругости
4.1. Введение. При изложении в гл. 2 теории термоупругости были сфор-
мулированы краевые задачи, в которых неизвестные функции зависела
от трех независимых пространственных координат’). В настоящей главе
обсуждаются два особых класса задач, для которых трехмерные форму-
лировки приводят к краевым задачам, содержащим неизвестные функции,
зависящие только от двух активных независимых пространственных коор-
динат; к этим классам относятся задачи о плоском деформированном и пло-
ском напряженном состоянии.
Представление о плоском деформированном состоянии оказывается
полезным при анализе призматического тела, на которое воздействуют на-
грузки и температура, не зависящие от осевой координаты, причем осевая
компонента объемных сил также равна нулю. Для успешного использова-
ния теории плоского деформированного состояния обычно необходимо, чтобь
длина тела была велика по сравнению с наибольшим размером поперечногс
сечения (рис. 4.1).
С другой стороны, представление о плоском напряженном состоянии
оказывается полезным только тогда, когда длина призматического телг
мала по сравнению с размерами поперечного сечения. В этом случае теле
рассматривается иногда как тонкая пластина (рис. 4.2).
Оба случая будут анализироваться подобными методами, заключаю-
щимися в том, что за основу берется трехмерная теория без каких-либс
предварительных ограничений на распределение температуры. Вначале
вводятся некоторые полуобратные предположения * 2), относящиеся либс
к компонентам перемещений (для плоского деформированного состояния),
либо к компонентам напряжений (для плоского напряженного состояния),
затем в рамках трехмерной теории устанавливается, какие ограничения
должны выполняться для распределения температуры и поверхностных
нагрузок 3). Оказывается, что эти ограничения в случае плоского деформи-
рованного состояния имеют силу для широкого класса физически важных
задач, в то время как ограничения, появляющиеся в случае плоского напря-
’) Как указывалось в гл. 2, в рассматриваемой здесь несвязанной теории термо-
упругости время играет только роль параметра, так как в краевой задаче отсутствует
дифференцирование неизвестных функций по времени. Независимое переменное с таких
свойством можно рассматривать как «неактивное» в противоположность «активным:
переменным, производные по которым фигурируют в теории.
2) Которые затем проверяются.—Прим. ред.
3) Отметим, что поскольку указанное исследование приводится в рамках трехмер-
ной теории, то не требуется вводить новых теорем единственности.
4.2. Плоское деформированное состояние
92
женного состояния, являются значительно более жесткими. Поэтому рас-
сматривается и другой путь определения области, где можно приближение
пользоваться представлением о плоском напряженном состоянии, уравне-
ния поля при этом удовлетворяются лишь приближенно.
Случай плоского деформированного состояния обсуждается в п. 4.2—
4.5, плоского напряженного состояния — в п. 4.6 и 4.7, а приближенный
подход для плоского напряженного со-
стояния — в п. 4.8. В последних двух
п. 4.9 и 4.10 рассматриваются формули-
ровки и методы решения для частных
случаев двумерных стационарных рас-
пределений температуры.
4.2. Плоское деформированное со-
стояние в задачах термоупругости. Рас-
смотрим призматическое тело, которое
может быть как односвязным, так и много-
связным (рис. 4.1). Предположим, чтс
Рис. 4.1. Тело, рассмат-
ривающееся в теории плос-
кого деформированного со-
стояния.
Рис 42. Тело, рассматри-
вающееся в теории плоского
напряженного состояния.
протяженность тела определяется координатами х3 = 0 и х3 = L, а каждое
поперечное сечение ограничено плоской замкнутой кривой Со, и если теле
(N + 1)-связное, то внутренними плоскими кривыми Са (а = 1, 2, .... N).
причем все эти кривые не имеют общих точек. Примем, что объемные
силы отсутствуют.
Определим состояние плоской деформации как такое состояние, для
которого компонента перемещения в осевом направлении (в данном случае
в направлении х3) равна нулю, а остальные две компоненты перемещение
являются функциями только оставшихся координат (%! и х2)- Тогда опреде
ляющие условия для плоской деформации записываются в виде
ul = ui(xl, х2), u2=u2(x1, х2), и3 = 0. (4.2. Г
Как уже отмечалось, здесь используется полуобратный метод, причех
условия, для которых имеют силу введенные допущения, должны быт!
определены из трехмерной теории термоупругости. Как вытекает из соот
94
Глава 4. Двумерные задачи теории термоупругости
ношений между деформациями и перемещениями (2.6.4), соответствующие
компоненты деформации имеют вид
8и = 8н(+, +), е22 = 82г(Ч, *г), _ п.
/ ч л (4.2.2)
812 ~ 812(-V1> Х2Ь 813 — 823 — 833 = О-
Так как компоненты напряжения должны теперь определяться из зави-
симостей между термоупругими напряжениями и деформациями, то их форма
зависит от распределения температуры. Чтобы установить, какие ограниче-
ния накладываются на нее гипотезой о плоской деформации, поступим сле-
дующим образом: так как 833 = 0, то из зависимосгей между напряжениями,
и деформациями (3.6.13) следует, что
азз = v (аи + а22) - аЕТ,
р, (Д.2.о V
Т13 = Ц2з = 0.
При этом значении о33 зависимости, связывающие остальные компоненты
напряжений и деформаций, принимают вид
еи = ~Ф— ~ TrSijQkk + SijaiT-, i, j, k=i, 2, (4.2.4)
где постоянные £1; Vj и at выражаются через упругие константы в виде
£1 = 1^ > Ч = ai = a(l+v). (4.2.5)-
Разрешая уравнения (4.2.4) в явном виде относительно компонент напряже-
ний, получаем
Яц = KSij&kk + 2рег> — i>u (ЗЛ. 4- 2р.) аТ, (4.2.6)<
где упругие постоянные Ламе имеют значения
« _ £v ____________ £tvt £ __ £\
(1+4(1=24-1^4 ’ Н-=2(1+4_ W+^T ’ }
(3^ + 2р)а=тД- = 1се^Ч.
' 1 j—2v 1—vj
Из уравнений (4.2.6) и (4.2.2) видно, что величины [alt + (ЗХ + 2р) аТЧ
и la22 + (ЗХ + 2р) аТ 1 являются функциями только xY и х2; тогда из соот-
ношений (4.2.3) вытекает, что напряжение а33 должно выражаться в виде
a33 = £(Xi, х2)~ a[2v(3Z- + 2p) + £] Т. (4.2.8)
Уравнение равновесия, относящееся к направлению х3 переходит в этом
случае в
Озз,з = 0 (4.2.9).
и подстановка сюда найденного выражения для компоненты напряжения
о-33 показывает, что х)
Г,з = 0. (4.2.10)
Итак, распределение температуры при плоской деформации должно иметь
форму
T = T(Xi, xz) (4.2.11)
*) Отметим, что уравнение (4.2.10) является прямым следствием уравнений дви-
жения в перемещениях (3.2.6) при условии (4.2.1). Однако из приведенного более
длинного вывода вытекают некоторые промежуточные результаты, которые будут
и'пользованы в дальнейшем.
4.3. Граничные условия на концевых поверхностях
95-
или, если выразить в явном виде зависимость от времени, получим
71 = ?(%!, х2, 0. (4.2.11а)
Легко видеть, что при этом
(7ц == (7ц (%!, Х%), (722 = ®22 (-G, -^г), ^12 ~ °12 (^1, Х2),
0-33 = ^33(%!, х2), 013= (723 = о (4.2.12)
и поэтому поверхностные нагрузки также не должны зависеть от х3.
Таким образом, формулировка задач плоского деформированного состоя-
ния включает уравнения равновесия, имеющие при отсутствии объемных
сил вид
(4.2.13)
а также зависимости между напряжениями и деформациями в форме (4.2.4)
или (4.2.6) и соотношения между деформациями и перемещениями
+ (4.2.14)
где всюду I, j = 1,2. Указанные уравнения должны удовлетворяться в дву-
мерной области/), расположенной внутри Со и снаружи Са, а = 1, . . . , N.
Условия для граничных поверхностных нагрузок принимают вид
Gijtij = G[a) (s) на Са, а = 0, 1, 2, ..., N, (4.2.15)
где s — криволинейная координата, отсчитываемая вдоль граничных кри-
вых, Gia) (s) — заданные функции. Условия для граничных перемещений
записываются в виде
ut = F^(s) на Са, а —О, 1, 2, ..., N. (4.2.16)
После того как приведенная краевая задача будет решена, компонента
напряжения (733 определяется из соотношения (4.2.3), а остальные компонен-
ты напряжения и деформации равны нулю. На этом полностью завершается
общий анализ, сводящий для случая плоской деформации трехмерную крае-
вую задачу термоупругости к задаче, содержащей только две пространствен-
ные координаты.
4.3. Граничные условия на концевых поверхностях для случая пло-
ского деформированного состояния. В приведенной выше формулировке
задачи плоской деформации граничные условия были установлены по кон-
турным кривым Са (а = О, 1, . . ., N), но не по поверхностям х3 = О, L.
Можно показать, что заданных граничных условий достаточно для полного
определения решения при допущениях (4.2.1) о плоской деформации и поэтому
при указанных допущениях нет никакой возможности задать нагрузки или
перемещения на концевых поверхностях. Другими словами, в обсуждав-
шейся в предыдущем пункте формулировке плоской деформации полностью
определены все пятнадцать компонент напряжений, деформации и переме-
щений и, в частности, также и нагрузки, которые должны быть приложены
к концевым поверхностям, чтобы обеспечить состояние плоской деформации.
В общем случае эти нагрузки не совпадают с нагрузками, которые жела-
тельно иметь на концевых поверхностях, и поэтому к решению задачи
о плоской деформации необходимо присоединить систему компонент напря-
жений, деформаций и перемещений, полученную из решения задачи теории
96
Глава 4. Двумерные задачи теории тер моупругости
упругости (и в общем случае трехмерной) х). Однако обычно последнее реше-
ние может быть с достаточной точностью заменено решением, опирающимся
на принцип Сен-Венана, как это будет показано на следующем примере.
Рассмотрим случай, когда требуется, чтобы концевые поверхности были
свободны от нагрузок, т. е.
Озз=Щз = П2з = 0 на x3 = 0, L. (4.3.1)
Уравнения (4.2.3) показывают, что из приведенных условий решению
задачи плоской деформации удовлетворяют только условия для касатель-
ных напряжений, а соответствующее значение п33 в общем случае отличается
от нуля. Обозначим его значение через
a33 = f(^ii *2)- (4.3.2)
Чтобы требования (4.3.1) были выполнены, дополнительное решение
(соответствующее ненагретому телу) должно удовлетворять следующим
условиям:
•т3з — f (Уь Х2), с?1з=(Т2з==0 на .t3 = 0, L. (4.3.3)
По контурным кривым Са должны удовлетворяться условия, соответствую-
щие (4.2.15) или (4.2.16). Рассмотрим первые из этих уравнений; таким
образом,
Oijfij — О на Са, а = 0, 1, 2, ..., N. (4.3.4)
При произвольных нагрузках и геометрических формах получить точ-
ное решение данной задачи трудно. Однако если длина тела достаточно великг
по сравнению с размерами его поперечного сечения, то можно получить при-
ближенное решение, точность которого вполне достаточна для большинствг
технических приложений, если взять дополнительные напряжения в форме
Р . Mtx2 M2xt
Os3~'A^r~T1---------ТГ'
Пц = П22 = ^12 — ^13 — #23 = 0, (4.3.5,
где
Р= — f (х^ х2) dxY dx2, М{—— f (х15 х2) х2 dx{ dx2,
D D
x2}xidxidx2. (4.3.6)
D
Здесь A — площадь поперечного сечения, Ц и 12 — моменты инерции сече-
ния соответственно относительно осей Xj и х2 ?). Уравнения (4.3.5) точнс
удовлетворяют уравнениям упругости (без термических членов), гранич-
ным условиям (4.3.4) на поверхностях Са, а вместо (4.3.3) — следующим
соотношениям:
стзз= Д- + —-------и П13 = о'2з=0 на хъ = О, L. (4.3.7,
Таким образом, очевидно, что решение (4.3.5) статически эквивалентнс
нужному решению, удовлетворяющему уравнениям (4.3.3), и поэтому.
г) Краткое обсуждение данной задачи (так называемой задачи о краевом эффекте,
см. в приложении к гл. 10.
2) Формула (4.3.5) для о33 справедлива только в случае, если оси xt и х2 централь-
ные и главные. С помощью методов, изложенных в гл. 10, легко выводится несколько
более сложная формула для произвольных центральных осей.
4.4. Формулировка задачи в напряжениях
9/
в соответствии с принципом Сен-Венана, оно дает хорошее приближение
всюду, за исключением областей, удаленных от концевых поверхностей
на расстояния, меньшие, чем максимальный размер поперечного сечения.
Поскольку с самого начала было принято, что длина цилиндра велика
по сравнению с этим размером, то приближенное решение справедливо
практически для всего тела и может считаться удовлетворительным.
4.4. Формулировка задачи о плоском деформированном состоянии
в напряжениях. Рассмотрим, какой вид принимает приведенная в п. 3.8
формулировка трехмерных задач термоупругости в напряжениях приме-
нительно к случаю плоской деформации '). Удобно воспользоваться
уравнениями (3.8.6) — (3.8 10) вместе с уравнениями совместности и инте-
гральными соотношениями Чезаро, выраженными через компоненты дефор-
маций. Уравнения равновесия для двумерной задачи уже были ранее полу-
чены [см. (4.2.13)1; теперь необходимо преобразовать уравнения совместно-
сти (3.8.8). Из выражений (4.2.2) для компонент деформаций видно, что
уравнения (3.8.8) тождественно удовлетворяются, если какой-либо один
из индексов г, s, tn, п равен 3; следовательно, диапазон изменения г, s, tn, п
ограничивается значениями 1, 2. Чтобы исключить дальнейшие тривиаль-
ные случаи, соответствующие нулевым значениям уртт или y9Sn, необхо-
димо, чтобы р и q не равнялись бы 1 или 2, т. е. р = q = 3. Таким образом,
для случая плоской деформации имеется одно единственное нетривиальное
уравнение совместности
T3rm'Y3sn8rs,mn. = 0, г, s, т, п=1, 2. (4.4.1)
В дальнейшем удобно использовать обозначения
+ 1, если /=1, / = 2
Ъч = Yu = 0, если / = /,
- 1, если / = 2, /=1
(4.4.2)
причем значения получаются из определения уцк в трехмерной задаче.
В окончательном виде уравнение совместности для случая плоской дефор-
мации записывается в виде
УгтУзп^гз, тп “6, Г, S, Ш, tl — 1, 2. (4.4.3;
Перейдем к анализу интегральных соотношений Чезаро (3.8.9). Для
удобства можно считать, что интегралы берутся вокруг плоских внутрен-
них граничных кривых Са, а = 1, 2, . . . , N, так что d£3 = 0. В соответ-
ствии с выражениями для компонент деформаций (4.2.2) все подинтеграль-
ные члены, в которых /, s или т принимают значение 3, исчезают, так чтс
для неравного нулю члена должно быть I = 3. Тогда уравнение (3.8.9)
можно переписать в виде
[б/г sm^k^rs, ml — 0, j, k, Г, S, tn— 1, 2,
(4.4.4)
') В настоящем пункте используются индексные обозначения; аналогичны!
выводы в развернутой форме см., например, в работе Миндлина и Сальвадори [1]
Здесь вывод базируется непосредственно на двумерной формулировке, а не редукциег
от трехмерной теории, как в данном пункте. Подобная двумерная трактовка был;
предложена Мичеллом [2], и поэтому уравнения (4.5 29) (4.5.30), выведенные здес;
из трехмерных интегралов Чезаро, часто называют условиями Мичелла
7 Боли и Уэйнер
98 Глава 4. Двумерные задачи теории термоупругости
характеризующем два условия, соответствующих j = 1, 2. В нашем случае
несколько удобнее видоизменить эти условия, проинтегрировав первый
член по частям
$ &jrdlr = - (4.4.5)
С« Са
где учтено, что Са — замкнутые кривые и что компоненты е,7 относятся
к классу С(2). Уравнение (4.4.4) принимает вид
l^jk, г Ч- Yj&'Ysm.Srs, mJ d^r = О, <z — 1, 2, .. ., , (4.4.6)
где немые индексы изменены ради удобства. Аналогичным образом урав-
нение (3.8.10) становится тривиальным, если только I не равно 3; при 1 = 3
оно приводит к единственному условию
YsmSrs, m^Sr = 0, а=1, 2, N. (4.4.7)
Для полного сведения общих уравнений трехмерной задачи в напряжениях
к случаю плоской деформации необходимо с помощью зависимостей между
напряжениями и деформациями выразить в предыдущих уравнениях ком-
поненты деформаций через компоненты напряжений и распределение тем-
пературы. Выполнение этого шага отложим до введения функции напря-
жений.
4.5. Формулировка задачи о плоском деформированном состоянии
в напряжениях с помощью функции напряжения. При решении двумерных
задач в напряжениях обычно бывает удобным ввести функцию напряже-
ния, определяемую таким образом, чтобы уравнения равновесия (4.2.13)
тождественно удовлетворялись. Это возможно в том случае, если компоненть
напряжений о{у, i, / = 1, 2, определяются через функцию напряжения
<р (х1; х2) класса С(3) выражениями
®ij = kh ф, ij = YimYynT, mm (4.5.1,
что можно проверить непосредственной подстановкой х).
Выразим теперь в явном виде через функцию напряжения остальные
соотношения приведенной выше формулировки задачи в напряжениях,
т. е. 1) условия для поверхностных нагрузок (4.2.15), 2) уравнения совме-
стности (4.4.3) и 3) интегралы Чезаро (4.4.6) и (4.4.7).
Для дальнейших выводов удобно ввести дополнительную систему кри-
волинейных координат. Рассмотрим одну из кривых Са и дополнительнс
к декартовой системе х1г х2 введем ортогональную криволинейную систему
координат s, п, причем п = 0 представляет собой уравнение кривой Со
a s равно длине дуги, отсчитываемой вдоль этой кривой. В дальнейшех
все производные будут определяться в текущей точке хр (s, 0) кривой Са.
причем эти аргументы опускаются. Единичный касательный вектор t к кри-
вой Са в направлении возрастания s (которое принимается в направление
J) С помощью теореым Грина для плоскости можно также показать, что все реше
ния уравнений (4.2.13) выражаются через подобную функцию. Функцию <р часто назы
вают функцией напряжения Эри, поскольку впервые она была введена в его работе [3]
4.5. Формулировка задачи с помощью функции напряжения
99
движения против часовой стрелки) определяется согласно рис. 4.3. как
дхт,
t = ^iP) (4.5.2)
где ip (р = 1, 2)—единичные вектора соответственно в направлениях х,
и х2- Единичный вектор n = n7ij, нормальный к Са, нормален как к t,
так и к i3 — единичному вектору в направлении х3, где лд, х2, хъ — право-
винтовая система, так что в соответствии с уравнением (1.2.3) имеем
n = txi3 = Yp3(I~ig = (4.5.3)
так что
= (4.5.4)
Если координату п выбрать так, чтобы она представляла расстояние от Са
в направлении п, то nq можно выразить также в виде
(4.5.4а)
а) Выражение через функцию напряжения ср условий для поверхностных
нагрузок. Подставляя в условия для поверхностных нагрузок (2.2.15) напря-
жения ог/, выраженные согласно (4.5.1) через ср и ri; в виде (4.5.4), получаем
YimY/nY-zj/p,тп ~(s), (4.5.5;
Yim<p, mp-9||- = G(“)(s), (4.5.6',
где использовано тождество
Y?nY;p = 6nP. (4.5.7)
100
1>U Глава 4 Двумерные задачи теории термоупругости
С помощью вытекающего из цепного правила дифференцирования сложные
функций соотношения
уравнение (4.5.6) после умножения обеих частей на уг7 можно представить
в виде
%^=yuG(“)(S). (4.5.9:
Интегрирование по s приводит к результату
S
Ф, / (S) = 5 ds' + (4-5-
о
где а(,а) — две произвольные постоянные1). Умножая предыдущее урав-
нение на dXj /ds, находим ,
8
-5₽ (S) = ф } V YЯа) (s') ds' + , (4.5.11)
ds ds ds J 1 ч v ’ ‘ J ds v '
t ° X
так что 1 x \
8 S"
<p(s)= J J y!X)(s')ds'fl!S" + ^a4 + &<“), (4.5.12;
0 0
причем Ma) обозначает произвольную постоянную. Окончательно после
интегрирования по частям получаем
8
-o/isri, - <р (s) = j у(/ [x7(s) — ^j(s’)]G\a\s')ds'+ a\a\ + b{a\ (4.5.13;
! н . . > a < > i i ' ji; _ • /I >,
Аналогичным образом, умножая уравнение (4.5.10) на дх./дп, находим
в
-Й-=Ф,; ^ = Фи> nj = nA yifi^\s')ds -\-а^П]. (4.5.14;
Выражения (4 5 13) и (4 5 14) представляют собой два необходимых
условия, обеспечивающие, чтобы выраженные через функцию напряже-
ний <р компоненты напряжений удовлетворяли условиям для поверхност-
ных нагрузок (4 2 15). Покажем, что указанные условия являются также
достаточными, т. е. если задана функция напряжений, удовлетворяющаг
на Са условиям (4 5.13) и (4 5.14), то соответствующие компоненты напря-
1) Обозначения s', s" и я' используются для переменных интегрирования в линей
ных интегралах вдоль Са применительно к s и п; последние относятся к текущей точю
на Са с координатами хг Переменные интегрирования, соответствующие хг, обозначают
ся, как и в гл 3, через 'Zr Отметим, что если результирующая нагрузок на Са не равн;
нулю ds' , то первые производные ф не могут быть однозначными и удов
летворять при этом уравнению (4 5 10) Точно так же, если результирующий моменп
на Са не равен нулю и уравнение (4 5 13) должно удовлетворяться, то сама функция <j
не может быть однозначной Так как вторыми производными ф определяются компонен
ты напряжений, то, очевидно, требуется, чтобы они были однозначными
4 5 Формулировка задачи с помощью функции напряжений
101
жения удовлетворяют на Са условиям для поверхностных нагрузок. Если
в уравнение
дф __ дф ds dtp дп
дхт ds дхт дп дхт
подставить соответствующие значения из соотношений (4.5.14) и из (4.5.11),
которое полностью эквивалентно условию (4.5.13), получим в результате
о
= угтСга) (S') ds' 4- а(“>. 1 (4.5.16)
о
Поэтому
<Р, тр = yimG[a) (s), (4.5.17)
и подстановка найденного выражения в (4.5.6) показывает, что условия для
поверхностных нагрузок удовлетворяются.
б) Выражение условий совместности через функцию напряжений ср.
Подставляя в соотношения между напряжениями и деформациями (4.2.4)
соотношения (4.5.1), связывающие компоненты напряжений с функцией
напряжений, находим, что
, 8и= /Миф, mm — .j + б^СцТ. (4.5.18)
-j- &1
Вводя полученное выражение в условия совместности (4.4.3), получаем
в результате
УгкУл + = (4.5.19)
Ограничиваясь случаем, когда <р принадлежит к классу Са\ имеем
' УлУяЧ, w« = °- (4.5.20)
Так как
^иУ1кУ}1 = УгкУи = (4.5.21)
то уравнение (4.5.19) принимает вид
‘ ^ф,ттм + а,1Т!йй = О. (4.5.22)
231
или
Vfr +£iaiV?T= 0, (4.5.23)
где через обозначен двумерный оператор Лапласа. Уравнение (4.5.23)
представляет собой условие совместности, выраженное через функцию напря-
жений <р.
в) Выражение интегралов Чезаро через функцию напряжений <р. Под-
ставляя в первое из интегральных соотношений (4.4 6) компоненты дефор-
102 Глава 4 Двумерные задачи теории термоупругости
мадии, выраженные через функцию напряжений, получаем
1 С
\ [6гАф, ppi “Ь YzfeYsm^rsCP, ррпг] ”
С1 -J
Са
— t~ 'i'l [ф, гЧг + УгАУзтгф, ) sm] dlr +
£1 о
*«
-j- at [6iST, T 4- ььЛД, m] dlr = 0. (4.5.24)
Рассмотрим'второй интеграл найденного выражения. Очевидно, что
УлУзт^гвт = 0, (4.5.25)
так как ysm представляет собой антисимметричный, a (p,STO — симметрич-
ный тензоры. Интегрируя оставшуюся часть интеграла по частям, с учетом
уравнения (4.5.9) ') находим
^Аф, гАг dl-t = ( ^Агф, ik dlr = ф, ir dlr =
С„ с„
СА. LC
= ~ -%r~rhds'= - #^ds'= - v G<“)(s')ds'. (4.5.26)
J dgr ds г d s' J ' п1‘ т \ ' •
''а ''а
Два других интеграла можно представить в виде криволинейных интегралов
по s, так что уравнение (4.5.24) приводится к виду
1 h h Пг
Ei .) Sft L lh dlr ds'
ca
d(P, pp dlr I , , ,
dlm ds' J ds +
4- a ( Г 6 I "v bV 1 Js' _ (1 ~bvi) f v G<“) (s') ds’
+ 1 J I dlr ds' + УлЧгт d^m ds, J as — у1тит О ) aS .
(4.5.27)
Но из выражения (4.5.4) следует, что
<4-5-28)
так что предыдущее уравнение записывается в виде
1 Г е Г я dV%q> dV2q> 1 , , .
~н~ \ Sa ог?< - .г,-----Ул ~5~р~ ds +
£i J 1 ds' dn' J 1
+ “1 5 M ~ ] dS’ = J ^unGm (s') ds’.
C„ C„
(4.5.29)
Аналогичным образом, подставляя выражения (4.5.18) во второе
из интегральных соотношений (4.4.7) и проводя последовательные упроще-
ния, получаем в результате
1
Е?
Г dV2<p , , ,
\ - ds + со
J дп
0.
(4.5.30)
*) См. сноску на стр 100
4,5. Формулировка задачи с помощью функции напряжений
103
Этим полностью завершается формулировка задачи о плоском дефор-
мированном состоянии, выраженная через функцию напряжений ср, и ее
можно резюмировать следующим образом.
Требуется найти функцию ср (лу, х2) класса С(4> в области D -ф В,
удовлетворяющую условиям
V4cp + E1a)Va7, = 0 в D,
(4.5.31)
ср = [xj (s)— (s')] (s') ds' + ci^'x. + 6(a) на Ca, a = 0, 1, ...,1V;
о
(4.5.32)
Yo'Gia> (s') ds' -^-apnj на Ca, a = 0, 1, ...,N; (4.5.33)
о
1 ft Гх 5V2<P <3V2cp -1 , , , f t Гл дг '->т 1 , ,
J yimGW(s')ds',
a = 1, . . ., N;
1 (“ dV2<p , , , ? дт , , n .
\ -д-- ds 4-a, \ - , d s =0, a = 1, . . ., N.
Ei J dn .) fin'
(4.5.34)
(4.5.35)
Как указывалось выше, условия для поверхностных нагрузок удовле-
творяются при произвольных постоянных и е(га>. При решении краевой
задачи их используют следующим образом: одну группу из указанных посто-
янных выбирают произвольно, так как добавление к ср линейной функции
не влияет на распределение напряжений. Обычно удобно принять а)0’ = 6"”=0.
Тогда оставшиеся 3N постоянных а^\ b^a\ а=1, ..., N, входят в решение
уравнений (4.5.31), (4.5.32) и (4.5.33) в виде параметров, значения кото-
рых определяются таким образом, чтобы удовлетворить 3N интегральным
соотношениям (4.5.34) и (4.5.35). В п. 9.11 приводится пример такого спо-
соба решения.
Отметим, что в важном частном случае односвязного тела при отсутствии
поверхностных нагрузок граничные условия (4.5.32) и (4.5.33) принимают
простой вид
<Р = |Ь° на Со, (4.5.36)
причем никаким интегральным соотношениям типа (4.5.34) и (4.5.35) удо-
влетворять не требуется.
После решения рассмотренной выше краевой задачи относительно ср
соответствующие компоненты напряжений и деформаций вычисляются
с помощью соотношений (4.5.1) и (4.5.18). В случае необходимости можно,
используя интегралы Чезаро (3.7.12), рассчитать и компоненты перемеще-
ний.
г) Переход к изотермической задаче. Используя частное решение совер-
шенно подобно тому, как это было сделано в п. 3.4. для общего трехмерного
случая, можно легко перейти от задач термоупругого плоского деформиро-
ванного или напряженного состояния к аналогичным задачам при постоян-
ной температуре. Поэтому будем искать решение для функции напряжений
задачи теории термоупругости в виде
ф = (р<р> + q/o, (4.5.37)
Г04 Глава 4. Двумерные задачи теории термоупругости
где ф<2” представляет собой какое-либо решение уравнения (4.5.31) в области
D. Очевидно, что ф<р) должно быть решением уравнения - '
Wp)= -Е^Т в D. (4.5.38)
Если ф<р) определено, то представляет собой решение следующей задачи
о теле постоянной температуры
yV’ = 0 в D, (4.5.39)
<р(с> = J уц [Xj ($) - (s')] G<a) (s') ds' - <p(p) (s) + a^xj + bw на Ca,
о
a = 0, 1, ...,«; (4.5.40)
( Y;,-G^)(s')^''-'^xr-(s) + ^a4- Ha Cx, a = °> b 2, n
dn 3 ' 3 un
o
(4.5.41)
J ~ YiA ds' = f1 + V1) J (s'> ds'’
ca c“
a= 1, 2, ...,«; (4.5.42)
\dZ^Lds'^0, a=l,2, ..., n. (4.5.43)
j dn' ’ ’ ’ v
Подобного рода задачи о плоском деформированном (или напряженном)
состоянии при постоянной температуре широко изучались. В частности,
разработаны эффективные методы, основанные на теории функций комплек-
сного переменного. Обсуждение указанных методов можно найти в моногра-
фиях Н. И. Мусхелишвили [4] и И. С. Сокольникова1).
Частное решение уравнения (4.5.38) можно сразу записать в виде2)
ф""(/ч- - 5r(Q) lg[r(/3’ (4-5Л4;
D
Однако, как и в методе Гудьера (п.3.4), выполнение указанного интегриро-
вания часто оказывается сложным. Если распределение температур опре-
деляется теплопроводностью, то следуя путем, аналогичным тому, который
использовался при выводе уравнений (3.4.22)—(3.4.25), можно найти более
простое частное решение.
4.6. Плоское напряженное состояние в задачах термоупругости. Перей-
дем теперь ко второму из упомянутых в п. 4.1 методов приведения общих
уравнений термоупругости для трехмерных задач к двухмерной системе,
другими словами, введем полуобратную гипотезу о существовании двух-
мерного напряженного состояния
о13 = о23 = о33 = 0, (4.6.1)
а затем выясним, при каких условиях это состояние может быть осуществле-
но. Уравнения (4.6.1) определяют плоское напряженное состояние.
1) См. работу [5] гл. 1, а также работы [5] и [6].
2) См. работу [2] гл. 3.
4.6. Плоское напряженное состояние в задачах термоупругости
105
Укажем вначале, к каким следствиям приводят условия (4.6.1). Как
будет показано ниже, с точки зрения трехмерной теории термоупругости
плоское напряженное состояние может существовать только в случае огра-
ниченного класса температурных полей [а именно, таких, которые удовлетво-
ряют уравнению (4.6.5)]; в число их входит и важный частный случай ста-
ционарного (или квазистационарного) распределения температур, удовлет-
воряющего уравнению теплопроводности Фурье. Таким образом, полу-
обратные предположения (4.6.1) для случая плоского напряженного состоя-
ния являются не такими удовлетворительными, как для плоского деформи-
рованного состояния, когда, как было установлено выше, они оказались
совместимыми с произвольным двумерным распределением температуры.
Поэтому для тонких пластин при произвольном распределении темпера-
туры приходится вводить предположения, менее ограничительные, чем
условия (4.6.1); этому вопросу посвящен п. 4.8.
Будем рассматривать тело, занимающее пространство, ограниченное
плоскостями х3 = ±с (в дальнейшем они называются поверхностями тела)
и цилиндрической поверхностью (краем тела), причем каждое поперечное
сечение ограничивается замкнутой кривой Со (рис. 4.2). Для простоты будем
считать, что объемных сил нет, поверхности свободны от нагрузок и тело
односвязно. Температура вначале предполагается произвольной функцией
координат xit х2 и х3 (так же, как и времени), хотя в дальнейшем на нее
будут наложены некоторые ограничения 2).
Таким образом, требуется, принимая во внимание перечисленные выше
условия, найти решение трехмерной задачи теории термоупругости, удо-
влетворяющее допущениям (4.6.1), уравнениям равновесия (3.6.22), уравне-
ниям совместности (3.6.24) и соответствующим граничным условиям, кото-
рые будут обсуждены ниже. Легко показать, что при ограничениях, накла-
дываемых на напряжения допущениями (4.6.1), уравнения равновесия бу-
дут удовлетворены в том и только в том случае, если компоненты напряже-
ния csu при i, j =1,2 выражаются через функцию напряжения Эри <р = <р (лу,
х2, х3) соотношениями (4.5.1). Выраженные через компоненты напряжения
уравнения совместности (3.6.24) принимают вид
(1 + v) V2on + 0,и + аЕ [ ?2Г 4 ] = °’ (4’6'2а)
(1 + v) Го22 + 0 22 + аЕ [ ^[-±1) ГТ 4- Т,22 ] = 0, (4.6.26)
(1 Ч~ v) V2ori2 + 0,12 4~ аЕТ ,12 = 0, (4.6.2b,
0,33 + аЕ И Дзз’| = 0, (4.6.2г)
0,1з + а£Л1з=-О, (4.6.2д,
0>23 + аЕТ23 = О, (4.6.2е)
где 0 = 2, 3) в данном случае просто равно
0 = О’!! 4“ ®22 — ф,11 4" ф,22- (4.6.3,
Из рассмотрения уравнений (4.6.2г)—(4.6.2е) устанавливаются следую-
щие ограничения для температуры. Из (4.6.2д) и (4.6.2е) видно, что вели-
чина [04- аЕТ],3 должна быть независимой от Xi и х2, так что
[04-а£Т],3= f (х3) (4-6.4)
г) Другие детали последующих выводов можно найти в работе [7].
106
Глава 4. Двумерные задачи теории термоупругости
и поэтому величина [0 + а£Т],33 также должна быть независимой от и х2-
Сравнивая с уравнением (4.6.2 г), придем к выводу, что необходимое усло-
вие существования точного решения уравнений поля трехмерной теориг
термоупругости, которое удовлетворяло бы гипотезам плоского напряжен-
ного состояния (4.6.1), заключается в том, что распределение температурь
должно удовлетворять уравнению х)
^T=--F{x^, (4.6.5;
или, в более общей форме,
VaT = F(x3, о, (4.б.е;
где t — время 2).
Из рассмотрения уравнений (4.6.2а)—(4.6.2г) с учетом только что полу-
ченного результата можно установить вид функции напряжения Эри для
данной задачи. Дважды интегрируя уравнение (4.6.2г) при ограничении
(4.6.4) находим, что , .
0 + аЕТ1^ —а£ 4-с1%з + /1 (%!, %2), (4.6.7)
6о '
где Ci— постоянная, а /ц, как будет показано ниже, представляет собой
гармоническую функцию на плоскости. Действительно, рассмотрим два
выражения для
которые получаются, с одной стороны, путем сложения уравнений (4.6.2а),
(4.6.26), (4.6.2г) и, с другой стороны, при выполнении над уравнением
(4.6.7) операции V2; они соответственно равны
V2 Г 0 + ] = 0,
Г 2а£ л (4’6’8:
V2 [0+1^-7,J = Va/1.
Следовательно,
?2Л (хь х2) = 0. (4.6.9)
Перепишем теперь уравнения (4.6.2а), (4.6.26), (4.6.2в), выражая их
через функцию напряжения ср и преобразовывая при помощи уравнений
т) В свете результатов, полученных Файловом [8], и установленной в и. 3.3 ана-
логией между задачей термоупругости и задачей об объемных силах, не удивительно
что ограничение, предъявляемое к распределению температуры в случае плоского
напряженного состояния, имеет указанный вид. Действительно, как было установленс
Файловом, плоское напряженное состояние существует только в том случае, когда
объемные силы выражаются через двухмерный потенциал V, удовлетворяющий урав-
нению yaV = const. Однако следует заметить, что из уравнений (аналогия с задачей
об объемных силах) (3.3.6) — (3.3.11) уравнение (4.6.5) непосредственно не вытекает:
это связано с тем, что, как видно из соотношения (3.3.12), решение для плоского напря-
женного состояния указанной изотермической задачи об объемных силах не приводит
для исходной задачи термоупругости к условию Щз = 0.
а) Во всех настоящих выводах время присутствует только в качестве параметр^
и в явном виде введено лишь в уравнение (4.6.6), где полезно в свете рассматриваемых
В следующем пункте вопросов подчеркнуть возможность зависимости от времени.
4.6. Плоское напряженное состояние в задачах термоупругости 10'
(4.6.6), (4.6.7) и (4.6.9). Результаты можно представить в следующей форме
-^(1 pv) ф>3з-| vfj — (14~v)a£7 ф-
(4.6.10.
{ }, и = О,
{ }, 12 = 0,
где во всех трех скобках стоит одно и то же выражение, которое для про
стоты опущено. Таким образом, выражение в скобках должно быть линей'
ной функцией Xt и х2, причем эту функцию можно положить равной нулю
что не окажет влияния на напряжения, которые зависят только от вторы?
производных от ф. Следовательно, функция напряжения Эри должна удо
влетворять дифференциальному уравнению
, = (4.6.1Г
Наконец, интегрируя уравнение (4.6.11), получаем функцию напряже-
ния в следующем явном виде:
ф (х1; х2, Хз) = Фо (х1; Х2) :УзФ| (хь Х2)-2(l^v) (%1’ Х^ +
х.з Л х3 п
+ а£ Ц T(Xl, х2, J ГГоЗД, (4.6.12)
о о о 'о
где фо и ф!— произвольные функции интегрирования. Удобно представить
их в иной форме и переписать уравнение (4.6.12) в виде
ф(%1, х2, х3) = ф0(х1, х2) + хзф1 U1, х2)~ (Ч, *г) (хз~~^) +
T(Xi, х2, £)(/£Ф] — j (xit Х2, %) didn-
't) О -с 0 0
< Ь Ч х3 Ч
“4Н 5 $ ^Tdid^~
—с 0 0 0g
с £ Л с £ л
\v2Tdld^-^\ \ \ ^Tdkdy\dl. (4.6.13)
-с О 0 -с 0 0
Отметим справедливость следующих двух соотношений:
С
фо(Ч, %2)= 2Г 5 ф(Ч, Чи Xg)dx3
— С
с
3 с
Ф1(Х1, х2)==~ х3ф(хь х2, x3)dx3. (4.6.14)
— с
Читатель может проверить, что если положить температуру равной нулю,
то приведенное выражение для ф становится идентичным с соответствую-
щим выражением для изотермического случая1).
-1) См. Ляв [I], стр. 207.
108
Глава 4. Двумерные задачи теории термоупругости
Выведем теперь в явном виде дифференциальные уравнения для <р0
и <pj. Удобно ввести для двумерного оператора Лапласа символ у), так что
=
1 dx) дх1 ' дх%
(4.6.15>
Производя над уравнением (4.6.13) операцию у‘( и используя (4.6.7), полу-
чаем
хз л
Vjip =0 = — аЕТ — аЕ (444) j d^d^ + qx3 + ft =
о о
*3 Л
+ + [ $ jj V*7Wn~
1 ‘ 0 0
с J Г| с £ -Г]
“i $ И ^Td^dt-^ J j $ ^TdldrfdZ-
—с 0 0 -с 0 0
-т-l Г| с £ п
[ П TTdldn-^ jj W^Tdld^dl-
b b -с b о
c £ n
" & И 5 '(4.6.16)
-c 0 0
Однако, принимая во внимание тождество
Х3 1) Х3 Г|
jj jj ViTd^drl= J J (FT-T»^
bo о о
— V2T dt, dv\ — T (Xt, x2, x3) У x3T,3 (Xj, x2, 0) T (xj, x2 ,_0) (4.6.17)
о b
и исключая с его помощью члены, содержащие у^Т', уравнение (4.6.16)
можно привести к виду
С с £ п
с1^ + А = Г13Фо + хз?^1 + -^ J Tdx3 + ^- (4^-) J \ J ^Td^dT\d£ +
-с —с о 0
С СТ)
+ + W^Td^d^d^. (4.6.18)
—с —с 0 0
Группировка членов, содержащих и не содержащих х3, дает
с с £ Г|
j ^6?x3-4“|(4^v) S $ S W2Td^dl (4.6.19)
—c — c 0 0
c c £ rj
Vi«Po = fl — S Tdx3~^(l^') J j \ v2Td£dr]dt. (4.6.20)
-c -c 0 o
4.7. Исследование решения задачи о плоском напряженном состоянии
10<
Применяя к последним уравнениям оператор находим, что
V<<p0=-aEV;[~ij Tdx3] .
(4.6.2Г
Резюмируя полученные результаты, устанавливаем, что если напряже-
ния ограничены условиями (4.6.1), то трехмерная задача теории термоупру-
гости имеет решение только в том случае, когда распределение температуры
подчиняется уравнению (4.6.6). Далее, по функции напряжения ф(хь лг2,лгз),
определяемой согласно (4.6.13), можно получить отличные от нуля
компоненты напряжения, причем функции ф0 и удовлетворяют соответ-
ственно уравнениям (4.6.21) и (4.6.19)1). Прямой подстановкой можно про-
верить, что полученные таким путем компоненты напряжения удовлетво-
ряют уравнениям (4.6.2), очевидно также, что эти компоненты напряжения
вместе с компонентами, заданными условиями (4.6.1), удовлетворяют урав-
нениям равновесия. Следовательно, все уравнения поля п. 3.6 [т. е. уравне-
ния (3.6.22) и (3.6.24)] удовлетворены. Граничные условия рассматривают-
ся в следующем пункте.
Отметим, что компоненты напряжения <Тц, о22, <Лг являются функциями
Xi х2, а также х3, в чем можно убедиться из анализа уравнения (4.6.13).
Соответствующие компоненты деформации определяются с помощью зависи-
мостей между напряжениями и деформациями и имеют следующий вид:
ev =--Ур-~ аТ
81з = 82з = 0, (4.6.22)
8зз = —2Г (а11 + аг2) ‘
Таким образом, в общем случае из компонент деформации только е13 и s23
равны нулю, в то время как все остальные являются функциями xlt х2 и х3.
Перейдем теперь к обсуждению вопроса, каким образом можно интер-
претировать и использовать указанные результаты для практического
решения.
4.7. Исследование решения задачи о плоском напряженном состоянии.
С целью анализа удобно разложить решение уравнения (4.16.13) на нечет-
ные и четные функции, обозначая их соответственно через фл и <ps> где индек-
сы А и S относятся соответственно к функциям, антисимметричным и сим-
метричным относительно х3 = 0. Итак,
фл(х1( Х2, Х3)=- у [ф(%1, х2, х3) — ц>{х1, ха, — х3)],
1 (4-7.1)
фв(Х1, Ха, Хд)— у[ф(Х!, Х2, Х3) + ф(Х1, ха, Х3)].
При этом очевидно, что
Ф = Фа + Фв (4.7.2)
и
Фа(х1, х2, х3)=-фЛ(хь х2, — х3), (4 7 3)
Ts(x1; х2, Х3) = ф5(Х1, Ха, —Хз).
!) Заметим, что как только функция <р0 найдена, то функция fi(xit х2) непосред-
ственно определяется из уравнения (4.6.20).
110 Глава 4 Двумерные задачи теории термоупругости
Аналогичным образом можно разложить и температуру T(xt, х2, х3) на две
подобные функции ТА и Тs, так что
Т ТЛ i Ts. (4.7.4
Антисимметричная и симметричная части функции ср соответственно равнь
фА(хъ х2, х3) = x3cpi (%i, х2) + аЕ ^ТА(хп х2, %) didn-
't) о
с £ ч
“ -В J J J’ (*!, Х2, У d; dx] dl ] --
-с 0 0
f)
J V2Ta(xi, х2,
0 0
с t П
(4.7.5)
-с 0 О
И 2
<Ps(x(, х2, Х3) = сро(х1, ха)—у—Л (х15 x2)fx2 — -у) +
«3 л с £ Ч
+ аЕ Ts(Xi, х2, ’2с’ 5 5 5 Ts^Xi' *2’
00 -с О О
»3 Л
-(lB)(X4Z£l)[5 \ ^Ts(Xi, х2, Ddldn-
о о
С £ Т!
"i 5 5 5 ?2Г®(%1’(4-7-6)
-СО О
Функция <рА соответствует изгибу тела из плоскости хь х2 и служит
решением частной задачи в теории изгиба пластин. Указанные вопросы
обсуждаются в гл. 12 с точки зрения теории тонких пластин и здесь больше
не рассматриваются. Отметим только, что для вывода уравнения (4.7.5)
не требовалось вводить никаких ограничений на толщину пластины 2с;
однако подобные ограничения становятся необходимыми для того, чтобы
удовлетворить граничным условиям на краях, как это делается в п. 9.5 и в
последующем изложении задач с симметричными условиями (Т = Тs
и (p = cps).
Переходя к исследованию функции cps, предположим, что на краю тела
заданы граничные нагрузки. Из п. 4.5 (а) следует, что указанные граничные
условия, выраженные через функцию напряжения, имеют вид
Фз = Л(8, х3), =F2(s, х3) на Со, (4.7.7)
где Ft и F2— заданные, симметричные относительно х3 функции координаты
s, отсчитываемой вдоль кривой Со; п — нормаль к Со. В правой части урав-
нения (4 7.6) имеется единственный член фо, представляющий собой решение
уравнения (4 6.21), с помощью которого указанные граничные условия мо-
гут быть удовлетворены. К сожалению, ср0 является функцией только Xi и х2
4.7. Исследование решения задачи о плоском напряженном состоянии
Ш
и поэтому в общем случае не может обеспечить удовлетворение граничных
условий (4.7.7), зависящих также и от х3. Можно поступить следующим
образом: определить ф0 из решения уравнения (4.6.21) при осредненных
граничных условиях, т. е. при
Фо(я) = J Ft(s, x3)dx3, ^(s) = Fs(s, x3)dx3 на Co. (4.7.8)
Однако, поскольку из уравнений (4.6.14), (4.7.2) и (4.7.3) вытекает, что
Фо= <Vsdx3, (4.7.9)
— с
то очевидно, что cps также удовлетворяет осредненным граничным условиям,
или, иначе говоря, полученное решение дает на контуре Со правильную
величину результирующей заданных поверхностных нагрузок. Из уравне-
ния (4.7.6) можно затем определить изменения <ps и 6фя/6«на Со в зависимо-
сти от Хз и сравнить их с нужными изменениями, определенными условия-
ми (4.7.7). Если они окажутся одинаковыми, то с точки зрения трехмерной
теории полученное таким образом решение будет точным; если они не совпа-
дут, то следует ввести поправку с помощью изотермического решения, соот-
ветствующего приложенным по краю самоуравновешенным нагрузкам, т. е.
нагрузкам, среднее значение которых равно нулю. Однако, когда толщина
2с мала по сравнению с общими размерами тела в плоскости х4,х2, так чтс
тело представляет собой в действительности тонкую пластинку, то в соот-
ветствии с принципом Сен-Венана можно сделать заключение, что поправ-
ка будет несущественной всюду, за исключением примыкающей к краю
узкой зоны, имеющей порядок толщины; поэтому в большинстве практи-
ческих задач этой поправкой можно пренебречь.
Подытожим порядок решения задачи о плоском напряженном состоянии
для случая, когда температура удовлетворяет уравнению (4.6.6). Требуется
найти функцию ср0 (xi, х2), удовлетворяющую дифференциальному уравне-
нию
с
v:<po= 5 Tdx*\ (4-7-Ю)
и граничным условиям (4.7.8). Затем из уравнения (4.7.6) определяется
функция напряжения cps (х,, х2, х3), после чего легко получить компоненты
напряжения о и (х4, х2, х3), где I, /=1,2. Таким образом, задача сводится
к двумерной, причем х3 не фигурирует в качестве действующей переменной.
В ряде случаев возможно дополнительное упрощение. Когда темпера-
тура меняется по толщине, то изменение функции ips по этому направлению
может быть значительным, и для расчета cps нужно использовать полное
решение уравнения (4.7.6). С другой стороны, если температура не зависил
от х3 или слабо меняется по толщине, то достаточную оценку можно полу-
чить по средним напряжениям. В этом случае достаточно найти функцию
Фо, удовлетворяющую уравнению (4.7.10) и граничным условиям (4.7.8),
и затем вычислить средние напряжения, а именно
с
= 27 \ Oij(x4, х2, x3)dx3, i, / = 1, 2. (4.7.11)
112
Глава 4. Двумерные задачи теории термоупругости
Из уравнений (4.5.1) и (4.7.9) при этом следует, что
О/j = б^фо, м фо, iji Г j, k = 1, 2. (4.7.12
Очевидно, что такое решение совпадает по форме с решением задачи о плос-
ком деформированном состоянии, отличаясь лишь тем, что в данном случае
используются постоянные Е, v и а вместо постоянных Eit Vi и at, соответ-
ствующих случаю плоской деформации.
Итак, исследование плоского напряженного состояния относилось цели-
ком только к такому распределению температуры, которое удовлетворяет
уравнению (4.6.6), так как ни при каком другом распределении плоское
напряженное состояние, строго говоря, не может существовать. Однако,
если рассматриваемое тело очень тонкое и его поверхности свободны от нагру-
зок, то из интуитивных соображений представляется очевидным, что зави-
сящие от толщины пластинки напряжения п33, о13 и о2з будут малыми, и поэ-
тому уравнения (4.6.1) должны давать, если и не точную картину состояния,
то по крайней мере хорошее приближение к ней. Возможен ли иной, более
общий, чем изложенный выше, подход к решению задачи плоского напря-
женного состояния, который позволил бы некоторым образом оправдать
использование результатов, полученных для плоского напряженного состоя-
ния, при произвольном распределении температуры? В следующем пункте
этот вопрос исследуется с иных позиций, причем предполагается, что реше-
ние можно разложить в степенные ряды по координате толщины х3. Затем
выводятся приближения, пригодные для тонких пластин, что и позволяет
прийти к желаемому результату.
Прежде чем перейти к упомянутому анализу, укажем на несколько иное
приближенное представление, известное как обобщенное плоское напряжен-
ное состояние, которое, несмотря на свое значение для изометрически?
задач, оказывается неудовлетворительным для задач термоупругости.
В указанной теории в качестве основных допущений принимается
о33 = 0 по всему телу, 13,
013 = ^23 = 0 нах3 = ±с,
что является, очевидно, менее строгим ограничением, чем условия (4.6.1).
Интегрируя затем по толщине некоторые из уравнений трехмерной задачи,
можно таким путем определить средние напряжения <тг-7-, деформации
и перемещения иг, где i, /=1,2. Однако, поскольку при таком подходе неко-
торые из уравнений трехмерной задачи игнорируются, то остается недока-
занным, что полученное решение действительно соответствует полуобрат-
ным допущениям (4.7.13), а без этого нет уверенности, что найдено имею-
щее смысл осредненное решение1).
4.8. Плоское напряженное состояние как предельный случай трехмер-
ного напряженного состояния для тонких пластин. Как это было намеченс
в предыдущем пункте, предположим теперь, что как компоненты напряжения,
так и температура представляются в виде степенных рядов по х3. Ряды выби-
раются в такой форме, чтобы сначала удовлетворить граничным условиям
при свободных от нагрузок поверхностях, т. е.
<Вз = <г2з = Озз = 0 прих3=±с, (4.8.1)
а также условию
о3з, з = 0 нах3=±с, (4.8.2)
’) В изотермическом случае ответ на это можно получить из сопоставления с соот-
ветствующими точными решениями; см. [9] и [10].
4 8. Плоское напряженное состояние как предельный случай
113
вытекающему из уравнения равновесия Оз7,7=0 Для х3=±с при учете усло-
вий (4.8.1). Для простоты рассмотрим только случай с симметричными отно-
сительно плоскости х3 = 0 деформациями. С учетом всех указанных условий
ряды принимают вид (при i, / = 1,2,3)
аЕТ (х15 ха, х3) = 2 xa)x2rt,
п=0
од(х1; х2, х3) = 2 x2)xln для i, / = 1, 2;
п=0
Щз(Х1, Х2, Хз)= 2 С' (Xi, х2) (x2rt+1 — с2пх3) для / = 1, 2; (4.8.3)
П=1
Озз(^1, х2, х3) = 2 С’(х1> Х2)[х“ —hc(2"’2,x24 (п —1)с2П]. (4.8.4)
м=2
Подставляя эти ряды в уравнения равновесия (3.6.22) и уравнения
совместности (3.6.24), в результате получаем1):
Первое уравнение равновесия (ст1л 7 = 0)
2 < 2 + (2п + 1) хГ- <с2и} = 0; (4.8.5)
п=0
Второе уравнение равновесия (о27,7 -'-0)
S UCi + C2 + (2«+l)C]xr-Cc2n} = 0. (4.8.6)
п=0
Третье уравнение равновесия (оз7,7 = 0)
СО
nS {[<! + а) xl + 2п<%] ХГ1 - [(«г + < 2) С2 +
+ 2па™] с2п~2 х3} = 0. (4.8.7)
Перед подстановкой рядов в уравнения совместности удобно вначале
выписать выражение
® + аЕТ= 2о {[< + < + С + т4"’] ХТ - К -
-^(и-1)с2]с2,1-2О. (4.8.8)
Тогда уравнения совместности принимают следующий вид.
Первое уравнение совместности
[(1 + v) + (0 + аЕТ), а + аЕ (ГТ = 0]
переходит в
2о { [ (1 + V) V2 () ] хГ + [ (1 + V) (о)"’ +
(2п) (2л-1) _]хГ2} +(0 + аД7),11 = О. (4.8.9)
х) Отметим, что в рядах для al3 суммирование можно начинать с п~0. посколь-
ку добавляемые при этом члены тождественно равны нулю.
8 Боли и Уэйнер
114
Глава 4. Двумерные задачи, теории термоупругости
Второе уравнение совместности
[(14-v)V2a22 + (0 + afin,22ra£(^) V2T=o]
переходит в
Д{[(|+^)<<+т=0Кт
+ [(1 +v)(<+^) (2n) (2п — 1) j ! <О '-«£Ту 22 = 0. (4.8.10)
Третье уравнение совместности
[(1 + v) V2o12 + (0 4-aE7), 12 = 0]
переходит в
Д {[(1 + v) V?<] + [(1 + *) < (2n) (2п - 1)] %Г'2} +
+ (0 + аЕТ), 12 = 0. (4.8.11)
Четвертое уравнение совместности
[(1 + v) Г2о33 + (0 + аЕТ), зз + «Л (Г2Г = 0 ]
переходит в
Д { [ (1 + V) v; ( <> + -^) ] л«" т [ (1 -Н V) ( а» + ) +
+ +«'£ + »« + тю ] 2» (2» -1)<- -1 (1 + ’) »e-viCl -4 +
[(1 + v) (п - 1) с2пТХз’ - 2«с2^3 (2 + v) <>] J 0. (4.8.12)
Пятое уравнение совместности
[(l+v)V2o13 + (0 + a^),13 = O]
переходит в
Д {[(1 + v) + [(1+ v) (2n + 1) + «> ,
+ С + С + 7™), J 2/гхГ1 - [(1 + v) e2V;C + 2«<С J е2-2 х3) - 0. (4.8.13)
Шестое уравнение совместности
[(1 4- v) V2ff23 4~ (0 аЕТ), 23 — 0]
переходит в
Д {[(1 + V) ВД ^+1 + 1(1 + V) (2н + I) С + +
+ Г(п)), 2] 2пх2'1*1 - [(1 + v) с272<з + 2/га‘Т, J = 0. (4.8.14)
Выпишем несколько первых членов каждого из указанных уравнений
по возрастающим степеням х3 и с. Из уравнений равновесия получаем
{<, X + J + И, X + < 2 + SolV) - <с2} 4- • • • = 0, (4.8.15)
К х + < J + {(OS х + . + 30 О*} 4.... = 0, (4.8.16)
{(< х + ^з, 3 + 40 (4 ~ с%)} + • • • = 0. (4.8.17)
4.8. Плоское напряженное состояние как предельный случай
115
Уравнения совместности дают следующую систему:
{(1 +v) + +« + < + ^0)),u+2(l +v) + +
+ { [ (1 + V) V? + + г1’),и +
+ 12 (1 + v) + -^) ] х|} + ... = 0, (4.8.18)
|(1 + V) V! ( о‘2«> + ^ ) + (о(«? + С + Т<»>),22 + 2 (1 + V) ( +
+ {[ (1 +v) +WVH-C + r1)),22 +
+ 12(1 +V) (o£ + -g_)] xl] + . . . =0, (4.8.19)
{(1 + v) + (o"> + < + Г°>).12 + 2 (1 + v) <} + • • • = 0 (4.8.20)
[V^<0) + 2ri,H-2« + o<12> + ri,)j- + . . . = 0, (4.8.21)
{[3(l+v)o)13) + « + < + ^<1)),1]2x3}+... =0, (4.8.22)
{[3 (1 + v) < + «V + + T(1));2] 2x3} + ... = 0. (4.8.23)
Рассмотрим теперь в каждом из уравнений члены первого порядка;
они образуют систему девяти уравнений с девятью неизвестными, вклю-
чающими первые два члена каждой из компонент напряжения, действую-
щих в плоскости пластин (о^’, cf(°2’, с^“’; о)1/, ст“’, о^’), и первый член каждой
из компонент напряжения, зависящих от толщины (т. е. сг^’, ст^’).
Однако более удачным является то, что члены первого порядка уравнений
(4.8.15), (4.8.16), (4.8.18), (4.8.19) и (4.8.21) образуют систему пяти уравне-
ний с пятью неизвестными — о^®’, сф®’, о™, ст'*’. Поэтому ее можно решить
в первую очередь, а затем уже найти остальные перечисленные выше неиз-
вестные. Идя указанным путем, сложим члены первого порядка уравнений
(4.8.18) и (4.8.19), затем с помощью уравнений (4.8.21) исключим появив-
шийся при этом член ст£’ 4- о.,’,’ и введем функцию напряжения ф0, определен-
ную таким образом, чтобы члены первого порядка уравнений (4.8.15)
и (4.8.16) обратились в нули
On = Фо,22, On = —фо,12, On = Фо,и- (4.8.24)
В результате получаем уравнение
+ (4.8.25)
которое по своей форме, конечно, идентично приведенным выше уравне-
ниям (4.6.21) или (4.5.43). Таким путем приходим к заключению, что реше-
ние задачи плоского напряженного состояния, получающееся из указанной:
уравнения, удовлетворяет уравнениям трехмерной теории термоупругостг
с точностью до членов низшего порядка по толщине и, следовательно, этс
решение можно считать удовлетворительным. Если желательно иметь луч-
шее приближение, то необходимо привлечь дальнейшие члены приведенные
бесконечных рядов; в частности, значения следующих членов ряда каждой
из шести компонент напряжения можно непосредственно получить путек
совместного решения указанных выше девяти уравнений.
116
Глаза 4. Двумерные задачи теории термоупругости
4.9. Стационарные распределения температуры. Вернемся к рассмо-
трению ограниченного класса двумерных распределений температуры,
удовлетворяющих уравнению
У2Т(х1,л2) = 0. (4.9.1)
Непосредственно обсуждаться будет только случай плоского деформиро-
ванного состояния, но анализ в равной мере относится и к плоскому напря-
женному состоянию, поскольку оба случая, как отмечалось выше, имеют
математически аналогичные формулировки.
Рассмотрим вначале односвязный цилиндр, свободный от нагрузок
на цилиндрической поверхности. Как было показано в п. 4.5, задача о тер-
моупругой плоской деформации формулируется при этом следующим об-
разом:
V4<p + £'1a1V271 = 0 в D, (4.9.2)
Ф = -|^- = 0 на Со. (4.9.3'
т дп ' -
Если теперь (двумерное) распределение температуры соответствует
уравнению (4.9.1), то краевая задача для ср становится полностью одно-
родной и ее единственное решение имеет вид <р = 0 в D. Следовательно,
при указанных условиях все компоненты напряжения в плоскости лу, лу
тождественно равны нулю и единственной компонентой напряжения, отли-
чающейся от нуля, согласно уравнению (4.2.3) (для плоского напряженногс
состояния), является
= -аЕТ. (4.9.4,
Если в теле имеются внутренние источники тепла с удельной интен-
сивностью q (х1; х2), то при неизменных прочих условиях задачи стацио-
нарное распределение температуры удовлетворяет уравнению (см. п. 5.3).
+ ' (4.9.5)
и формулировка задачи термоупругости принимает вид
в D, ' (4.9.6)
Ф ~~ = 0 на Со.
* дп "
Из приведенной формулировки видно, что, хотя компоненты напряже-
ния в плоскости xit х2 зависят от функции тепловыделения q (xj, х2), они
не зависят от явного решения для Т; в частности, на них совершенно не
влияет способ охлаждения цилиндрических поверхностей цилиндра,—
конечно, при условии, что в результате охлаждения распределение темпе-
ратуры не будет зависеть от осевой координаты.
Для многосвязных цилиндров положение усложняется. Теперь даже
при стационарном распределении температуры, удовлетворяющем уравне-
нию (4.9.1), компоненты напряжения в плоскости xlt х2 обращаются в нуль
только тогда, когда распределение температуры будет таким, что все линей-
ные интегралы Чезаро (4.5.34) и (4.5.35) примут нулевые значения. Это!
вопрос будет рассмотрен дальше в следующем пункте, где излагается дисло-
кационная аналогия применительно к данному случаю1).
J) Указанный результат был получен Мусхелишвили [11] и независимо от неге
Био [12]. См. также работу последнего автора [13].
4.10. Дислокационная аналогия 111
В уравнении (4.5.35) интеграл, содержащий температуру, имеет про-
стой и важный физический смысл. Из первого уравнения (1.8.3г) и законе
теплопроводности Фурье (1.12.16) следует, что
-k\ ^,ds'^Qa, (4.9.7;
где k — коэффициент теплопроводности тела, a Qa — общий тепловой
поток, поступающий из полости, ограниченной контуром Са- Поэтому
если общий тепловой поток подводится (или отводится) к некоторой поло-
сти, то компоненты напряжения в плоскости xir х2 не равны нулю.
Интеграл, содержащий температуру в уравнении (4.5.34), не имеет,
кажется, какого-либо простого физического смысла. Однако отметим, что.
используя теорему Грина для случая двух измерений, легко показать, чтс
если распределение температуры по контуру Са можно продолжить вс
внутреннюю область Da в виде плоской гармонической функции класса С(2
в области Da + Са, то температурные интегралы в обоих уравнениях (4.5.34;
и (4.5.35) исчезают.
4.10. Дислокационная аналогия. Рассмотрим многосвязный цилиндр
со свободными от нагрузок цилиндрическими поверхностями, имеющие
всюду непрерывные перемещения и находящийся в состоянии плоской
деформации, вызванной стационарным двумерным полем температуры.
Покажем, что имеется аналогия между напряженным состоянием в указан-
ном нагретом цилиндре и в таком же цилиндре при постоянной температуре,
но с определенными дислокациями Вольтерра. Чтобы это продемонстри-
ровать, необходимо только выводы п. 3.10, относящиеся к трехмерным
дислокациям, преобразовать к случаю плоской деформации, что можнс
выполнить путем, полностью аналогичным п. 4.2. Очевидно, что дислокации
Вольтерра с заданными разрывами непрерывности только по перемещениям
Uj, / = 1, 2, и по (£>з совместны с условиями плоской деформации (4.2.1).
При этом соответствующая приведенной в п. 3.10 формулировка задачи
плоской деформации при свободных от нагрузок цилиндрических поверх-
ностях и Т ss 0 следующим образом выражается через функцию напряжений:
V4<p = 0 в D; (4.10.1;
<р = a^Xj + на Са, а=0, 1, . .., N; (4.10.2)
^ = 44 на Са, а = 0, 1, (4.10.3)
4- Г = Auj (^а) + Тлх1а)Ао)<а> а = 1, 2, ...,7V;
са
(4.10.4)
4- ? = а = 1,2, (4.10.5)
Ei J on' 3 ’. . ’ ’ v ’
где Qa — фиксированная точка на контуре Са с координатами
Постоянные а)а) и имеют то же самое значение, что и в п. 4.5. Очевид-
но, что если температура удовлетворяет уравнению (4.9.1), то при отсут-
ствии нагрузок на цилиндрических поверхностях уравнения (4.5.31) —
118
Глава 4. Двумерные задачи теории термоупругости
(4.5.35) и (4.10.1)—(4.10.5) будут идентичными при условии, что
«1 —^s' = Aw7(Qa)4-Yjft4a)A(o<a), a=l, 2, . .., N
0’a -
(4.10.6'
ai ? dsr — — Дййа>, a = 1, 2, ..., TV.
J on d ’
La
(4.10.7'
Приведенными уравнениями устанавливается, таким образом, величина
дислокаций, которые следует создать в ненагретом цилиндре, чтобы полу-
чить в нем такое же распределение напряжений, как в нагретом цилиндре1).
При этом, как можно видеть из формулы (4.2.3), только не нулевая компо-
нента напряжения Стзз будет в том и другом случае отличаться на величи-
ну аЕТ.
Эта аналогия приносит значительную пользу при качественном изу-
чении температурных напряжений в указанных условиях, так как напря-
жения, вызванные дислокациями, можно сравнительно просто наблюдать.
Аналогия имеет также важное значение при экспериментальном определе-
нии напряжений, например методами фотоупругости, поскольку создать
в модели заданную дислокацию обычно проще, чем получить заданное
распределение температуры2).
БИБЛИОГРАФИЯ
1. М и н д л и н, Сальвадора (Mindlin R.D., Salvador М. G.),
Analogies, Handbook of experimental stress analysis, Chap. 16, ed. by M. Hetenyi.
John Wiley and Sons, New York, 1950.
2. M и ч e л л (Michell J. H.), On the direct determination of stress in an elas-
tic solid, with application to the theory of plates, Proc. London Math. Soc., 31
(1899), 100—124.
3. Э p и (A i г у G. B.), On the strains in the interior of beams, Brit. Assoc. Adv.
Science Rept., 1862.
4. Мусхелишвили H. И., Некоторые основные задачи математической тео'
рии упругости, Изд. АН СССР, 1954.
5. Гейтвуд (Gatewood В Е.), Thermal stresses in long cylindrical bodies,
Phil. Mag., Ser. 7, 32 (1941), 282—301.
6 Гейтвуд (Gatewood В. E.), Thermal stresses, McGraw-Hill, New York,
1957; русский перевод: Гейтвуд Б. E, Температурные напряжения, ИЛ,
М., 1959
7. Мак-Кормик (McCormick J. М., Jr.), An analysis of thermoelastic
plane stress, M. S. thesis № 706, Institute of Flight Structures, Dept, of Civil Engr.
Meeh., Columbia University, September 1957.
8. Ф а й л о н (F i 1 о n L. N. G.), Plane stress and generalized plane stress, Quart.
J. Math., Oxford Series (1930).
9 Файлон (Fiion L. N. G.), On the approximate solution of the bending ol
a beam of rectangular cross-section, Phil. Trans. Royal Soc., Series A, 201 (1903), 67.
!) Указанный результат был получен в работе [ 1 ]; см. также [13].
2) Указанный метод использовался Уэйбелом [14]. О прямом применении методе
фотоупругости к задаче о температурных напряжениях см. работу [15], где темпера-
турные эффекты получались путем охлаждения, а не нагрева, что позволило предотвра-
тить ползучесть модели. См. также [16] и [17].
Библиография 119
10. Кокер, Файлов (Coker Е. G, Filon L. N. G.), A treatise on photoe-
lasticity, Cambridge Univ. Press, 1931, pp. 131 —134.
11. Мусхелишвили H. И., Изв. Электротехнич. ин-та, т. 13, 1916, стр. 23.
12. Б и о (Biot М. A.), A general property of the two-dimensional thermal stress
distribution, Phil. Mag , 19 (1935), 540—549.
13. Б и о (Biot M. A.), Distributed gravity and temperature loading in two-dimen-
sional elasticity replaced by boundary pressures and dislocations, J. Appl. Meeh.,
IV, 2 (1935), A41—45.
14. У э й б e л (W e i b e 1 E. E.), Photoelastic determination of thermal stresses
in a square cylinder with a circular hole, Proc. Fifth Int. Congress Appl. Meeh., Cam-
bridge, Mass., 1938, p. 213.
15. Джерард, Гилберт (Gerard G., Gilbert A. C.), Photothermo-
elasticity; an exploratory study, J. Appl. Meeh. (September 1957), 355—360.
16. T p а м п о ш, Джерард (Tramposch H., Gerard G.), Physica
properties of plastics for photothermoelastic investigations, J. Appl. Meeh., pa-
per № 58 — APM2.
17. Трампош, Джерард (Tramposch H., Gerard G.), Correlatioi
of theoretical and photothermoelastic results on thermal stresses in idealized win?
structures, Tech. Rept. SM 48—8, New York Univ., Coll, of Engr., September 1958
ЧАСТЬ 2
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
ГЛАВА g
Формулировка задач теории
теплообмена
5.1. Введение. В гл. 1 были получены основные уравнения, описывающие
распределения температуры, напряжений и деформаций в твердом теле. В то!
же главе было отмечено, что, строго говоря, эти величины взаимно связань
и должны определяться одновременно. Однако, как показано в гл. 2, для боль-
шинства практических задач влияние напряжений и деформаций на распреде-
ление температуры достаточно мало, и им можно пренебречь. Это обстоя-
тельство позволяет при исследовании температурных напряжений в каче-
стве первого и независимого шага найти распределение температуры в твер-
дом теле, определяемое заданными тепловыми условиями; вторым шагоа/
исследования будет определение напряжений и деформаций в теле, вызван-
ных данным распределением температуры.
В настоящей главе описывается математическая постановка краевой
задачи, определяющей распределение температуры. Поскольку здесь рас-
сматриваются преимущественно твердые непрозрачные тела, теплопередача
от точки к точке внутри тела осуществляется только путем теплопроводно-
сти1); следовательно, уравнение поля рассматриваемой краевой задачи
всегда будет вида уравнения теплопроводности Фурье. Однако перенос
тепла к поверхности тела может осуществляться и другими способами, спо-
соб теплообмена определяет выбор граничных условий. Для математической
трактовки задачи необходимо в значительной степени идеализировать явле-
ния при формулировке граничных условий для различных физических ситу-
аций. Существенность отклонений, вводимых данными упрощениями, опре-
деляется, конечно, характером поставленных целей. В частности, формули-
ровка граничных условий, пригодная для определения распределения темпе-
ратуры, может оказаться непригодной при исследовании температурных
напряжений2). В связи с этим в настоящей главе дается краткий обзор
элементов теории теплообмена, и можно надеяться, что специалист по
температурным напряжениям получит представление о характере упроще-
ний, которые вводятся обычно в термические граничные условия.
В и. 5.2 прежде всего рассматриваются различные способы теплообме-
на. Для более полного ознакомления с этим вопросом читатель отсылается
к монографиям, посвященным специально теории теплообмена3).
В гл. I на базе основных термодинамических понятий было выведено
уравнение баланса энергии для различных видов сплошных сред. Эти выводы
х) Или теплообмена путем теплопроводности.— Прим. ред.
2) Это показано, например, в задаче, рассмотренной в п. 9.8.
з) См. работы [1]. В последующей части главы ссылки на эти учебники будут
даваться просто путем упоминания имен авторов.
124
Глава 5. Формулировка задач теории теплообмена
основывались на общем законе сохранения энергии, и полученные в резуль-
тате уравнения содержат как тепловые, так и механические члены. Если
последние пренебрежимо малы, то уравнение баланса энергии приводится
к уравнению теплопроводности. Для выяснения физического смысла этогс
уравнения оно снова выводится в п. 5.3 элементарным путем, при этом с са-
мого начала механические формы энергии не принимаются во внимание.
Основные идеализированные граничные условия, используемые в мате-
матической теории теплопроводности, перечисляются в п. 5.4; в п. 5.5 они
представлены в безразмерном виде. Затем в п. 5.6 для оценки области их
применимости мы снова обращаемся к рассмотрению физического смысла
этих граничных условий. В п. 5.7 для идеализированной теории приводится
доказательство теоремы единственности решения. Наконец, в п. 5.8 даны
возможные приближенные, упрощенные формулировки граничных условий
для тонких сечений и рассмотрены их взаимоотношения с более точными
формулировками.
5.2. Способы теплообмена. Энергия в форме теплоты переносится меж-
ду двумя любыми частицами вещества, имеющими разные температуры. В
зависимости от рассматриваемой физической системы эти две частицы могут,
например, являться частью одного и того же твердого тела или двух различ-
ных твердых тел, или частью жидкости. Разумеется, теоретически эта сис-
тема заключает в себе все окружающее вещество, но в любой практической
задаче определение границ системы, на которой влияние окружающего веще-
ства незначительно, не представляет трудностей. Механизм или способ тепло-
обмена будет зависеть от характера определенной таким образом системы
и в особенности от свойств вещества, находящегося между частицами и во-
круг них. Существуют три типа теплообмена, а именно: теплопроводность,
излучение и конвекция.
а) Теплопроводность. Между двумя частицами твердого тела, имеющи-
ми разные температуры, теплообмен осуществляется только путем тепло-
проводности1), этот процесс происходит на молекулярном и атомном уров-
нях. Для изотропных тел закон теплопроводности можно записать следую-
щим образом:
q=-k~, (5.2.Г
7 дп ’ v -
где k имеет размерность ккал /м час-град и называется коэффициентом тепло-
проводности2) твердого тела и где поток тепла q в направлении3 *) п в неко-
торой точке Р определяется следующим образом. Рассмотрим ограничен-
ную поверхность площади А с нормалью п в точке Р. Пусть полное изме-
нение в единицу времени потока тепла через эту поверхность в направле-
нии положительной нормали равняется Q. Тогда
9(P) = lim 4 , (5-2-2’
А-»0 А
Теплообмен путем излучения внутри большинства твердых тел незначителен
Исключение составляют такие прозрачные материалы, как кварц или стекло, или мате
риалы с легким заполнителем, содержащие большое число воздушных пространств
см., например, работу [2].
2) Мы употребляем общепринятое обозначение k как для коэффициента тепло
проводности, так и для модуля объемной упругости. В тех местах, где они встречаются
одновременно, мы будем пользоваться выражением модуля объемной упругости чере;
модуль упругости.
з) Как это принято, в уравнении (5.2.2) п обозначает расстояние, измеренное
в направлении п.
5.3. Уравнение теплопроводности Фурье
12!
где при предельном переходе площадь А стремится к нулю таким образом
что точка Р всегда находится или в ней или на ее границе. Этот закон тепло-
проводности установлен впервые Фурье на основании экспериментальных
данных; его можно вывести также, исходя из принципов термодинамика
необратимых процессов, как это показано в гл. 1.
б) Излучение. Очевидно, что если две частицы разной температурь
разделены вакуумом, то теплообмен путем теплопроводности между нимг
невозможен. В этом случае теплообмен будет осуществляться путей
электромагнитного излучения. Излучение происходит также, если две
частицы отделены друг от друга материальной средой, но в том случае
когда эта среда представляет собой твердое тело или жидкость, количе-
ство тепла, которое переносится через нее путем излучения, обычнс
незначительно. Однако в случае газов теплообмен путем излучения может
быть существенным.
Скорость Q теплообмена путем излучения между двумя поверхно
стями, разделенными вакуумом, с абсолютными температурами и 0.
выражается при помощи закона Стефана — Больцмана в следующем виде
Q=c2e^-c1et (5.2.3;
где постоянные С1 и С2 зависят от относительной ориентировки двух
поверхностей, от расстояния между ними, а также от свойств поглоще
ния и отражения поверхностей. Численные значения этих постоянных
достаточно малы, и, следовательно, излучением, как правило, можнс
пренебречь, если по крайней мере одна из поверхностей не имеет срав-
нительно высокой температуры (допустим, порядка 200°С). Для всесто-
роннего рассмотрения сложного явления излучения отсылаем читателя
к учебнику Якоба.
в) Конвекция. В жидкости, так же как и в любом веществе, теплообмен
осуществляется при помощи механизмов теплопроводности и излучения,
причем обычно преобладает первый механизм. Однако, когда жидкость
находится в движении, скорости теплообмена увеличиваются, так как при
этом частицы жидкости, имеющие разные температуры, могут сближаться.
В случае, когда движение жидкости обусловлено лишь изменениями плот-
ности, вызванными неравномерным распределением температуры, процесс
называется свободной или естественной конвекцией. Если движение обу-
словлено любой другой причиной, конвекция называется вынужденной.
5.3. Уравнение теплопроводности Фурье. В настоящем пункте уравнение
теплопроводности Фурье выводится элементарным путем на основе закона
теплопроводности Фурье (5.2.1) и уравнения баланса энергии, в котором
превращение механической энергии в тепловую не учитывается.
Рассмотрим твердое изотропное тело с коэффициентом теплопроводно-
сти k, находящееся в произвольных тепловых условиях вдоль его поверх-
ности, с внутренним выделением тепла Q в единицу времени на единицу
объема. Значение k (при условии, что тело является неоднородным или чтс
теплопроводность зависит от температуры), так же как и значение Q, зави-
сит от координат и от времени. Рассмотрим теперь элементарный объем это-
го тела, показанный на рис. 5.1. Скорость, с которой тепло втекает в элемент
объема через грань ABCD, будет
,дТ , .
— k g^dy dz,
126
Глава 5 Формулировка задач теории теплообмена
в то время как скорость, с которой оно вытекает через грань EFGH, равнг
Полное изменение потока тепла в единицу времени в элементарном объеме
через эти грани, следовательно, будет
Гk — '} dxdydz;
дх\ дх у J
аналогичные выражения можно написать для четырех других граней. Изме-
нение внутренней энергии единицы объема в единицу времени равно
где t — время, о — плотность и с — удельная теплоемкость материала.
Здесь не делается различия между удельной теплоемкостью при постоянном
давлении ср и удельной теплоемкостью при постоянном объеме cv, так как
все механические факторы не принимаются во внимание. При этом предпо-
ложении из уравнения баланса энергии получаем следующее уравнение
теплопроводности Фурье:
Это уравнение в’общем случае решить трудно; однако часто разумно при-
нять, что коэффициент теплопроводности k постоянен в каждой точке газа.
В этом случае уравнение (5.3.1) примет следующий вид:
(5.3.2}
1 qc dt ’ ' '
где величина
х = А (5.3.3)
называется коэффициентом температуропроводности и имеет размерность
(в общепринятых единицах) я2/час. Выражение в различных коорди-
5.3. Уравнение теплопроводности Фурье
127
натных системах (рис. 5.2) имеет следующий вид:
в декартовых координатах х, у, г
azr гг-Т дчт
= + + ; (5.3.4)
дх2 1 ду- дг2 ’ х '
в цилиндрических координатах г, 0, г
V 1 ~ dr2 1 г dr h г2 dd2 3z2 ’ p.d.ir)
в сферических координатах г, 0, <р
д2Т . 2 дТ , 1 д . ддГУ , 1 д2Т 0 сч
V7 = ---+ aS Sin 0 -т-,- -;?; -5-5- • (5.3.6)
dr2 г dr 'г2 sm29S9 \ 39/ r2sm2 9 Sep2 ' 7
Когда выделение тепла внутри тела отсутствует, как это обычно имеет
место, Q=0, и уравнение (5.3.2) принимает следующий вид:
zV2T = ~. (5.3.7)
Представляет интерес частный случай, когда распределение темпера-
туры не зависит от времени и когда Q = 0; при таком предположении
dT/di = 0 и распределение температуры удовлетворяет уравнению
72Г = 0. (5.3.8
Уравнение (5.3.8) известно как уравнение Лапласа; любое решение этогс
уравнения называется гармонической функцией.
128
Глава 5. Формулировка задач теории теплообмена
Заметим, что в случае, когда тело однородно, но свойства его зависят
от температуры, уравнение (5.3.1) можно записать в форме (5.3.2), несмотря
на то что х теперь будет зависеть от Т. Это достигается путем изменения
температурной шкалы с помощью уравнения
т
Т’ k(T)dT, (5.3.9)
То
где постоянная k0, представляющая собой коэффициент теплопроводности
при некотором соответствующим образом выбранном значении темпера-
туры То, введена, чтобы придать Т' (для удобства) размерность температу-
ры. Так как
дх ko v 7 дх
то уравнение (5.3.1) принимает следующий вид:
х(7) + = . (5.3.11)
В этих уравнениях функции, зависящие от температуры Т, можно выра-
зить через Т', используя функцию Т(Т'), определенную неявным образом
уравнением (5.3.9). Несмотря на то, что уравнение (5.3.11) осталось все
же нелинейным, оно более удобно для численных методов решения и мето-
дов электроаналогии (см. п. 7.5 и 7.6), чем уравнение (5.3.1).
Уравнение теплопроводности для случая, когда свойства материала
зависят от температуры, можно приближенно линеаризовать, обращая
функцию k(T), чтобы получить T(k), и принимая затем k за независимую
переменную1). Таким образом,
дТ __ dT dk \
дх ~~dk дх ’
dt dk di ’ J
(5.3.12)
так что и уравнение (5.3.1) примет вид
д Г , dT dk\ . д f ,dT dk\ . д Г ,dT dk\ , п dT dk ,c о о ,
дх \ dk дху ' dy \ dk dy J dz \ dk dz J v dk dt ' '
Следовательно, уравнение (5.3.1) (в случае, когда внутреннее выделение
тепла не зависит от температуры) можно линеаризовать, если найти сов-
местные решения уравнений
,dT 5
к =
dk ’ !
dT я I
Qc dfe = ₽> J
(5.3.13)
где а и P — произвольные постоянные, а произведение qc, зависящее от
температуры, выражено через k с помощью функции T(k). В общем случае
таких совместных решений не существует, однако линеаризированное
уравнение, хорошо аппроксимирующее действительные решения уравнения
(5.3.1) в некоторой ограниченной области изменения температуры, можно
!) См. работу [3].
5.4. Начальные и граничные условия
129
вывести, подбирая значения постоянных аир таким образом, чтобы полу-
чить хорошее совпадение двух решений уравнений (5.3.13) в вышеупомяну-
той области.
В случае установившегося процесса при коэффициенте теплопровод-
ности, зависящем от пространственных координат, уравнение (5.3.1) можно
записать в более удобном виде при помощи преобразования
T'^VkT. (5.3.14)
Уравнение, которому должна удовлетворять функция Т',
тогда следующий вид:
V2r-f (х, у, z)T' + -Q (х^у_ г)- = О,
где функция f равна
будет иметь
(5.3.15)
(5.3.15а)
Ее можно считать известной, если известна функция k (х, у, z). Уравнение
(5.3.15) имеет тот же вид (в случае двух измерений и Q=0), что и уравнение,
приведенное в сноске 16 гл. 6 и всесторонне изученное в цитированной тал
работе.
5.4. Начальные и граничные условия. Для полной формулировка
задачи необходимо, кроме соответствующих уравнений в частных производ-
ных (5.3.1), (5.3.2), (5.3.7) или (5.3.8), указать начальные и граничные усло-
вия. Разумеется, для установившегося процесса (5.3.8) необходимость за-
давать начальные условия отпадает. Ниже приводится перечень обычнс
используемых идеализированных тепловых граничных условий.
Начальные условия указывают начальное распределение температуры
в теле. В большинстве задач начальная температура является постоянной.
В математической теории теплопроводности используются пять основ-
ных условий, представляющих собой идеализацию действительных физичес-
ких процессов. На любой части граничной поверхности тела имеет место
одно из следующих условий:
1) Задается поверхностное распределение температуры в виде
Т(Р, t) = f(P, t), (5.4.1)
где точка Р находится на поверхности, а функция f (Р, f) заданная.
2) Задается подвод тепла.
С помощью уравнения (5.2.1) это граничное условие можно записать
в следующей форме:
kd/n(P,t) = q(P,t), (5.4.2)
где п — внешняя нормаль к поверхности в точке Р.
3) Идеально изолированная поверхность.
По определению, идеально изолированной поверхностью называется
поверхность, через которую не возможен поток тепла. В этом случае
уравнение (5.4.2) принимает вид
/) = 0. (5.4.3)
4) Граничное условие при конвекции.
9 Боли и Уэйнер
130
Глава 5. Формулировка задач теории теплообмена
Во многих задачах поток тепла через граничную поверхность можно
считать пропорциональным разности между температурой поверхности
Т (Р, t) и известной температурой окружающей среды То. Уравнение (5.4.2)
принимает тогда следующий вид:
дТ
k~ — h[T0-—T(P, /)], (5.4.4)
где величина h называется коэффициентом теплообмена или коэффициентом
теплопроводности пленочного слоя и может изменяться заданным образом
по координатам и времени.
5) Контакт двух твердых тел.
Если между граничными поверхностями тел имеется идеальный тепло-
вой контакт, то их температуры на этой поверхности контакта должны быть
одинаковыми. Кроме того, поток тепла, выходящий из одного тела через
контактную поверхность, должен быть равным потоку тепла, входящему
в другое тело. Таким образом, для точки Р контактной поверхности имеем
7\(Л 0 = Г), (5.4.5)
k^(P,t) = k2d-^(P,t), (5.4.6)
где индексы 1 и 2 относятся к двум телам, а п представляет собой общую
нормаль к контактной поверхности в точке Р.
В случае неидеального теплового контакта между двумя телами обычно
вводится понятие контактного сопротивления R (или контактной проводи-
мости h — 1 /R). Равенство тепловых потоков все еще имеет место, но в этом
случае появляется пропорциональная потоку тепла разность между двумя
поверхностными температурами. Следовательно, соответствующие гранич-
ные условия будут
<) = ф[Га(Р, (5.4.7)
С£>Л) = ^(Р, О, (5.4.S)
где Щ— внешняя нормаль к контактной поверхности в точке Р относительно
тела 1.
В п. 5.7 показано, что задание на разных частях поверхности тела пере-
численных выше граничных условий в любой комбинации и задание началь-
ного распределения температуры единственным образом определяют реше-
ние задачи теплопроводности при неустановившемся режиме.
5.5. Безразмерные параметры. Введем теперь безразмерные параметры,
необходимые для записи уравнения теплопроводности Фурье (5.3.7) и гранич-
ных условий, выведенных в предыдущем пункте, в безразмерном виде. Огра-
ничимся здесь геометрическими телами, имеющими некоторую характерную
длину L; геометрические тела, не имеющие такой характерной длины,
рассматриваются в п. 6.2. Введем следующие безразмерные величины:
, 'Г* _ Р 1
’ I
= 2* =4-, = > (5-5.1)
L i-f LI
/* -21
1 ~ £2 • 1
5.5. Безразмерные параметры
131
Здесь TR представляет собой подходящим образом выбранное значение тем-
пературы.
С помощью этих величин уравнение (5.3.7) можно записать в виде
= д2Т* = дТ*
дх*2 др*2 dz*2 dt*
Используя равенства (5.5.1) и другие безразмерные параметры, выведенные
в предыдущем пункте,
размерной форме:
1) Для заданной
(5.5.2)
граничные условия можно записать в следующей без-
температуры поверхности
2) Для заданного
Т* (Р, t) = f* (Р, t), (5.5.3)
f* (p,t)=^Rf(p, t). (5.5.4)
подвода тепла — = QltL q* ip t\ dn* TRk4 (5.5.5)
q*(P, f)~~~q(P, t), (5.5.6)
где
где
а <7н представляет собой подходящим образом выбранное значение потоке
тепла. В случае отсутствия каких-либо условий для выбора значения ТБ
можно положить
m QrL
1 п г
(5.5.7)
так чтобы коэффициент при q* {Р, t) в (5.5.5) стал равным единице. Тогдг
исходная температура TR представляет собой разность температур концое
стержня длины L с коэффициентом теплопроводности k, через который в уста-
новившемся режиме протекает поток тепла qR.
3) Для идеально теплоизолированной поверхности
^(РД)=0. (5.5.8)
4) Для граничного условия при конвекции
g(P,/) = /и[Т*0--Т*(Р,/)], (5.5.9)
где безразмерный параметр
т = ~ (5.5.10)
называется критерием Био, а величина То равна
Т§=-^. (5.5.11)
Если значение То постоянно и начальная температура тела однородна, тс
удобно взять Тд = То и выбрать температурную шкалу так, чтобы Т7=0, или
взять ТП=Т2 и выбрать температурную шкалу таким образом, чтобы Тс
было равно нулю.
5) Контакт двух твердых тел.
132
Глава 5. Формулировка задач теории теплообмена
Для идеального контакта
П (Р, 0 = П(Р, 0, ^4(Р, о = |Д(Р, 0- й2 дп*х ' дп* х ' (5.5.12) (5.5.13)
Для неидеального контакта ^1(Р, /) = mi [Т*2(Р,о-П(Р, < (5.5.14)
К 2 х с/1 1 (5.5.15)
где L hL ‘ М Й1 (5.5.16)
5.6. Исследование граничных условий. Как указывалось выше, гранич-
ные условия, перечисленные в п. 5.4, представляют собой идеализации
действительных физических условий. Чтобы найти наиболее подходящую
математическую формулировку заданной физической задачи, необходимо
уяснить сущность этих идеализаций.
Рис. 5.3. Контакт двух твердых тел.
Поверхность тела (или часть его поверхности) получает тепло при кон-
такте с другим твердым телом, или путем излучения, или при контакте
с жидкостью.
а) Контакт с твердым телом. При контакте двух твердых поверхно-
стей действительное физическое соприкосновение происходит вследствие
естественной шероховатости реальных материалов только по некоторым
выступающим участкам этих поверхностей (рис. 5.3). Теплопроводность имеет
место в этих точках контакта, в то время как сквозь образованные зазоры
тепло передается путем излучения или при наличии заполняющей их среды
(обычно воздуха) путем .теплопроводности. В результате экспериментально-
го исследования установлено1), что ни один из этих способов теплопереда-
чи не является доминирующим. Отсюда вытекает, что теплообмен при кон-
такте поверхностей двух твердых тел является сложным процессом. Этот
Э См. работу [4], где исследуются различные виды соединений, включая и такие
как плотный контакт, как соединения, где контактные поверхности разделены тонкими
прослойками хорошей проводимости или из изолятора, а также заклепочные соеди-
нения.
6.6. Исследование граничных условий
13Ё
процесс поддается математическому анализу путем следующих рассужде-
ний (рис. 5.3). Рассмотрим малый объем abed, заключенный между двумя
плоскостями ab и cd,параллельными общей идеализированной границе,
и плоскостями ас и bd, перпендикулярными к этой границе. Плоскости ab
и cd расположены на достаточно далеком расстоянии от границы (в два или
три раза большем максимальных размеров неровностей), вследствие чегс
местные отклонения контактных поверхностей мало влияют на распре-
деление потока тепла вдоль этих плоскостей. Предположим, что расстояние
ab=cd выбрано большим по сравнению с расстоянием ac--- bd-- l и рассмотрим
баланс тепла в данном объеме. Вследствие соотношений сторон этого объе-
ма утечкой тепла через плоскости ас nbd можно пренебречь, и, таким обра-
зом, уравнение' баланса тепла будет
? /. дТ\ . . f , дТ2 , Л — дТ Л, /ксп
— \ /д , - d/1- - \ k2 dA = ос Al, (5.6.1
J 1дп1 1 J ~ dt ' ' 1
площ. площ.
ab cd
где А представляет собой площадь поверхности ab, а черточка означает
осредненное по объему значение рассматриваемой величины. Если же рас-
стояние ab достаточно мало и поток тепла на ab изменяется незначительно,
то имеем
£ dA~~ (А,' (5.6.2
площ.
J
а также аналогичное соотношение для второго члена левой части уравнени?
(5.6.1). Так как расстояние I мало и температура Т с течением времен}
меняется медленно (за исключением очень коротких промежутков времени
как, например, сразу после контакта двух тел с разной температурой),
членом в правой части уравнения (5.6.1) можно пренебречь. Следователь-
но, получающееся в результате граничное условие, а именно
' 0. (5.6.3)
вследствие малости расстояния I можно заменить условием (5.4.8).
Условие (5.4.7) основывается на экспериментальном наблюдении, согла-
сно которому поток тепла через зону контакта двух поверхностей прибли-
женно пропорционален существующей разности температур. Следователь-
но, в коэффициенте пропорциональности 1 IR должны быть учтены все выше-
указанные осложняющие факторы, и, таким образом, он будет зависеть не
только от материала контактирующих поверхностей и способа их соедине-
ния, но также и от средней температуры в контакте, шероховатостей обеих
поверхностей, давления между ними и т. д. Однако экспериментально пока-
зано, что контактное сопротивление любого заданного соединения разумно
считать постоянным, если средняя температура в контакте не меняется
в слишком широких пределах. В литературе1) приводятся значения кон-
тактного сопротивления различных видов соединений, полученные экспе-
риментальным путем.
Нужно отметить, что в случае, когда значение контактного сопротивле-
ния очень велико [коэффициент ff?i в условии (5.5.14) стремится к нулю], гра-
ничное условие (5.5.14) можно заменить условием (5.5.8). С другой стороны,
если R очень мало [коэффициент m.i в условии (5.5.14) стремится к бес-
г) См. работы [5].
134
Глава 5. Формулировка задач теории теплообмена
конечности], то контакт становится идеальным и условие (5.5.14) сводите;;
к условию (5.5.12).
б) Излучение. В случае, когда поверхность тела подвергается действии:
источника высокой температуры, она нагревается путем излучения, согласие
закону вида (5.2.3), а именно
k^(P, О = С10о4(О-04(Л 01- ' (5.6.4)
где 0о (/) и 0 (Р, f) представляют собой соответственно абсолютные темпера-
туры источника и поверхности. Путем использования других значений для
показателей степени предложены эмпирические обобщения этого уравнения,
учитывающие различные состояния поверхностей и другие условия1).
Вследствие нелинейности этих граничных условий получить аналитическое
решение краевой задачи иногда чрезвычайно трудно. Возможны два спосо-
ба упрощения этой задачи: они применимы или в случае, когда температура
источника 0О (0 велика по сравнению с температурой 0 (Р, t) поверхности
для рассматриваемого периода времени, или в случае, когда ни одна из
данных температур не меняется в очень широких пределах.
В первом случае можно пренебречь 04 по сравнению с 0J; тогда из урав-
нения (5.6.4), записанного в виде
<5-6-5>
следует, что если, например, 0/0о=1/2, то получающаяся ошибка в выра-
жении для потока тепла приблизительно составляет всего лишь 6,7% от
действительного его значения. Следовательно, допуская такое приближе-
ние, граничное условие (5.6.4) можно заменить линейным условием для за-
ранее заданного подвода тепла (5.4.2).
Во втором случае можно поступить следующим образом. Правая часть
уравнения (5.6.4) разлагается на множители
k = С (0;; + 020 + 0О02 + 03) (0О- 0). ’ (5.6.6)
Если температуры источника и поверхности не испытывают значительных
изменений, то коэффициент при множителе 0О—0 можно считать постоянным
и равным hT; этот коэффициент иногда называют коэффициентом теплообме-
на при излучении. Численные значения этого коэффициента в функции от 0
и 0О можно найти в учебниках Мак-Адамса, Эккерта и Дрейка. Кроме того,
так как абсолютная и относительная температуры связаны соотношениями
0(°R) = T(°F) + 46O,
0 (°К) = Т (°C) + 273, (5’6’7)
то в условии (5.6.6) 0О—0 можно заменить выражением То—Т. Граничное
условие записывается тогда в форме
k^ = hr(T0~T), (5.6.8)
т. е. имеет тот же вид, что и граничное условие (5.4.4) для случая конвек-
ции. Поэтому последнее иногда также называют граничным условием при
излучении, в частности в английской научной литературе, как, например,
в книге Карслоу и Егера.
-1) См. работу Якоба [1], том I, стр. 119.
5.6. Исследование граничных условий
13Е
Если ввести вышеуказанные упрощения невозможно, то следует вос-
пользоваться граничным условием (5.6.4); в этом случае необходимо приме-
нить численные методы решения.
в) Контакт с жидкостью. Определение распределения температурь
в твердом теле, находящемся в соприкосновении с жидкостью, является
сложной задачей. Строго говоря, задача в целом должна рассматриваться
как единая, т. е. нужно.решать уравнение теплопроводности для твердогс
тела и уравнение движения жидкости с учетом членов, зависящих от тем-
пературы, при граничных условиях на общей поверхности соприкосновения,
аналогичных условиям (5.4.5) и (5.4.6), имеющим место при контакте двух
твердых тел. В случае, когда в твердом теле необходимо определить толькс
распределение температуры, эти две задачи целесообразно решать раздель-
но. Задача теплопроводности в твердом теле формулируется с учетом гранич-
ных условий при конвекции (5.4.4) на части поверхности твердого тела,
соприкасающейся с жидкостью. В этом случае коэффициент теплообмена
h должен учитывать все эффекты, связанные с влиянием жидкости; строгс
говоря, кроме специальных условий, налагаемых на жидкость, h будет
зависеть от пространственного распределения поверхностной температуры
и ее предшествующей истории, т. е. от поверхностного интеграла и инте-
грала по времени от поверхностной (неизвестной) температуры; вид этих
интегралов определяется решением уравнений движения жидкости при
произвольном распределении температуры по поверхности тела1). Когда
нужно учесть все эти факторы, то разделение задачи на две становится неце-
лесообразным, так как решение краевой задачи для дифференциальногс
уравнения в частных производных сводится к решению чрезвычайно слож-
ного интегро-дифференциального уравнения в частных производных. В свя-
зи с этим сначала приведем некоторые идеализации действительных явле-
ний, позволяющие последовательно упростить задачу. Затем укажем, прг
каких условиях применение этих идеализаций будет достаточно точным
1) Предполагаем, что
h = h[T(P, О, Р, t], (5.6.9;
где Р является произвольной точкой поверхности твердого тела, соприка-
сающейся с жидкостью. Другими словами, предполагаем, что h зависит
только от времени, положения и локального значения поверхностной тем-
пературы. В этом случае получаем краевую задачу для дифференциаль-
ного уравнения в частных производных, однако с нелинейным граничным
условием.
2) Граничное условие линеаризуется, если предположить далее, что /
не зависит от температуры поверхности, т. е.
/г = й(Р, /)• (5.6.10;
3) Коэффициент теплообмена можно считать постоянным.
4) В случае когда коэффициент теплообмена (необязательно постоян-
ный) или очень мал или очень велик, граничные условия при конвекции
(5.4.4) можно заменить более простыми условиями. Если критерий Био [па-
раметр т в уравнении (5.5.10)] очень мал, то условие (5.4.4) можно заменить
условием (5.4.3), представляющим собой граничное условие для идеальнс
0 Хотя теоретически можно найти точное решение этой задачи, практически
за исключением некоторых простых случаев, решать ее очень трудно. В качестве при
мера численного решения задачи, учитывающей взаимосвязь движения жидкость
и температуры тела, см. статью Саттона [5] гл. 6.
T3t5
Глава 5. Формулировка задач теории теплообмена
теплоизолированной поверхности. При очень большом т уравнение (5.5.9),
написанное в виде
1 дТ*
т дпг'
Т*-Т*(Р, t),
в предельном случае совпадает с уравнением (5.5.3), описывающим гранич-
ное условие при заданной температуре поверхности. Следует особо отме-
тить, что это последнее граничное условие редко описывает действительное
физическое состояние, но почти всегда встречается как предельный случай
граничного условия при конвекции. Этот предельный переход следует при-
менять осторожно, так как он может привести к значительным ошибкам при
исследовании температурных напряжений в случае неустановившихся про-
цессов, как это показано на примере в п. 9.8.
Первые две из вышеописанных идеализаций действительных явлений
приводят к уравнениям задачи, требующим решения их численных или приб-
лиженных методов решения. Чтобы получить точное аналитическое решение,
Рис. 5 4 Гидродинамический и температурный пограничные слои
а — пограничный слои в вязкой жидкости, б — температурный пограничный слой
необходимо использовать одно из двух последних предельно идеализирован-
ных граничных условий. Здесь мы не имеем возможности детально проана-
лизировать ошибку, получающуюся таким образом в каком-либо частном
случае, и поэтому отсылаем читателя к учебнику Эккерта и Дрейка для
ознакомления с современным состоянием этого сложного вопроса. Тем не
менее здесь мы опишем простой приближенный метод расчета коэффициента
теплообмена для некоторой системы граничных условий, так как это позво-
лит лучше понять значение некоторых относящихся к этой задаче факторов.
Рассмотрим установившееся ламинарное течение вязкой жидкости вдоль
плоской пластины (рис. 5.4, а). Скорость невозмущенного потока (т. е. ско-
рость на некотором удалении от пластины), параллельную поверхности
пластины, обозначим через Vo, температуру жидкости в невозмущенном
потоке — через То. Температура поверхности пластины постоянна и рав-
на Tw. Тогда можно показать, используя теорию течения жидкости, что на
пластине образуется пограничный слой толщиной 6 (х), вне которого ско-
рость жидкости равна п0- При этих условиях 6 (х) выражается следующей
приближенной формулой (см. книгу Эккерта и Дрейка, стр. 140):
б (х)-4,64]/-^ , , (5.6.11)
где v — кинематическая вязкость жидкости. Кроме того, на пластине
образуется температурный пограничный слой, толщину которого, пока еще
5.6. Исследование граничных условий
137
неизвестную, обозначим через бт(х); вне этого слоя температура жидкости
равна То. На рис. 5.4, б показаны распределения скорости и температуры
при некотором фиксированном значении х. Далее рассмотрим связанный
с системой координат элемент объема (как это показано на рис. 5.4, а, где
I >6). Составляя уравнение баланса энергии для этого элемента, получаем
I
$ ITO-Tf(x, y)]v(x, y)dy -.= Kfd-^(x, 0), (5.6.12)
b
где Tf(x, у) обозначает температуру в жидкости, а (ср)^—коэффи-
циент температуропроводности жидкости. Для баланса энергии (5.6.12)
(см. Эккерт и Дрейк, стр. 167—169) передачей тепла путем теплопроводно-
сти в точке х, у поверхности 'abed можно пренебречь по сравнению с перено-
сом тепла жидкостью со скоростью (cP)fTf (х, у) и (х, у) на единицу площа-
ди. Однако в точке (х, 0) поверхности ad перенос тепла со скоростью
путем теплопроводности
нужно принять во внимание, так
как течение жидкости через эту поверхность отсутствует. Затем функции
Tf(x, у) и v (х, у) в подинтегральном выражении в уравнении (5.6.12) заме-
няем подходящими приближенными выражениями1), которые при установ-
ленных условиях имеют вид
= + Qvfel)’] (5-6лз:
2 (б(х)) ]’ (5.6.14
где значение 6 (х) определяется формулой (5.6.11); подставляя эти выраже-
ния в уравнение (5.6.12), получаем дифференциальное уравнение относи-
тельно единственной неизвестной функции 6г(х), приближенное решение
которого имеет следующий вид2):
(х) = 0,975а-^ д(х) = 4,. (5.6.15)
где безразмерная величина сг называется числом Прандтля и определяет-
ся выражением
(5.6.16)
Подставляя это выражение в формулу (5.6.13), получаем следующую форму-
лу для определения притока тепла в жидкость:
<? = 0)= -°’332М1/2 /^°X-(TO-TW)= — fes^(x, 0). (5.6.17)
Здесь в последнем члене ks означает коэффициент теплопроводности пла-
стины, Ts — температуру пластины, а последнее равенство получено из
условия, что поток тепла, втекающего в жидкость, равен потоку тепла,
вытекающего из твердого тела.
*) Ошибка, допущенная заменой этих функций приближенными выражениями,
незначительна вследствие применения процесса интегрирования.
2) Решение (5 6.15) получено на основании сделанного априори допущения, со-
гласно которому 6. Легко видеть, что это допущение нарушается только в случае
жидкости с числом Прандтля, значительно меньшим единицы; это имеет место только
для таких материалов, как жидкая ртуть и расплавленные металлы.
138
Глава 5. Формулировка задач теории теплообмена
Сравнивая выражение (5.6.17) с условием (5.4.4), находим, что в даннол
случае
h = о^зг^/з j/. (5.6.18;
Этот результат хорошо подтверждается более точными вычислениями
и экспериментами и позволяет следующим образом объяснить правильность
сделанных выше идеализаций (с 1 по 3 на стр. 135).
1) Коэффициент теплообмена зависит только от местных мгновенных
условий.
Так как в данной задаче температура поверхности постоянна во вре-
мени и по координатам, то нельзя утверждать, что h зависит от местного зна-
чения температуры поверхности, а не от интегралов поверхностной темпе-
ратуры по времени (влияние предшествующей истории) и пространствен-
ным координатам. Однако, исходя из модели, использованной при вышепри-
веденных выводах, можно установить, что влияние предшествующей истории
незначительно. В этой модели изменения температуры жидкости происходят
в температурном пограничном слое; так как этот слой очень тонок [форму-
ла (5.6.15)], то интуитивно ясно, что распределение температуры в любой мо-
мент времени будет очень близким к установившемуся распределению темпе-
ратуры, соответствующему температуре поверхности (и температуре жидко-
сти) в этот момент времени, другими словами, влиянием предшествующей
истории можно пренебречь, если отсутствуют быстрые переходные про-
цессы.
Для рассмотрения влияния пространственного различия температуры
поверхности можно обратиться к недавней работе Имая1). Он рассмотрел
случай, когда изменение температуры стенки имеет следующий вид:
Tw = a + bxn, (5.6.19)
где п — целое положительное число. Он учел также возможность измене-
ния скорости невозмущенного потока в форме
v-Q~cxm (т — целое положительное). (5.6.20)
Для коэффициента теплообмена h получается следующее приближенное
выражение *):
Л =---—Г/- Г J Г/з)- H + n(2-p)}1/3(ao)1/3_ fL‘| |/Дь (5.6.21)
(2 —р)1/2 * I 3 /з Г (4/3) (2 v 1 'j v ' 10a J r vx ' -
где
₽ = (5.6.22)
и
а = ^ °)- (5.6.23)
г’о L Ml+«) J дУ v v ’
Уравнение (5.6.21) показывает, что влияние изменения температуры стенки
значительно (это видно по роли п в этом выражении); следовательно, для
Ч См. работу [6],
2) Заметим, что при п ~ т = 0 и для случая, когда производная dv/ду (х, 0)
(5.6.23) вычисляется с помощью выражений (5.6.14) и (5.6.11), выражение (5.6.21)
приводится (кроме незначительного отличия в числовом коэффициенте)к выражению
(5.6.18), которое было выведено в предположении, что температура стенки и скорость
невозмущенного потока постоянны.
5.6. Исследование граничных условий
139
точной постановки задачи теплопроводности, при наличии значительного
изменения температуры поверхности, необходимо использовать граничное
условие, содержащее интегралы от этой температуры.
2) Коэффициент теплообмена не зависит от местного значения темпера-
туры.
Вернемся к рассмотрению случая, когда температура стенки постоянна;
с помощью соотношения (5.6.18) находим, что коэффициент теплообмена h не
зависит непосредственно от температуры поверхности; однако эта зависи-
мость проявляется косвенно, путем влияния температуры поверхности на
свойства жидкости; это влияние, значительное для некоторых жидкостей,
является относительно малым для газов. Тем не менее, как легко видеть
из выражения (5.6.18), h зависит от пространственных координат, в частности,
вблизи передней кромки пластины, где наблюдаются быстрые изменения
условий течения. Причем если условия течения зависят от времени, то
Л также будет зависеть от времени.
3) Коэффициент теплообмена постоянен.
На части пластины, несколько удаленной от ее передней кромки, изме-
нение коэффициента теплообмена незначительно; следовательно, его мож-
но считать постоянным и равным некоторому среднему значению.
Вышеизложенные рассуждения относились к одному из простейших слу-
чаев. Теперь кратко рассмотрим некоторые другие возможные случаи.
Турбулентное течение Приведенное выше исследование
•основывается на предположении о ламинарном течении жидкости. Задача,
возникающая при турбулентном течении, является более сложной; этому
вопросу посвящено много исследований. Качественно ясно, что турбулент-
ность значительно увеличивает теплообмен и, следовательно, увеличивает
коэффициент теплообмена вследствие наличия случайных компонент скоро-
сти, перпендикулярных рассматриваемой поверхности; в результате тепло
будет передаваться как путем переноса жидкости, так и путем теплопровод-
ности. Кроме того, при заданной поверхности и заданных условиях течения
возникают переходные зоны от ламинарного к турбулентному течению, обу-
словливающие существенную зависимость коэффициента теплообмена от
пространственных координат. Так как шероховатость поверхности играет
важную роль при определении ламинарного или турбулентного характе-
ра течения, это состояние поверхности также влияет на величину коэффи-
циента теплообмена.
Течение с большими скоростями — аэродина-
мический нагрев. В рассмотренном выше простом случае рассея-
ние механической (кинетической) энергии вследствие вязкости в погранич-
ном слое не принималось во внимание. Но хотя при малых скоростях
такое пренебрежение рассеянием оправдано, при больших скоростях рас-
сеяние становится значительным и приводит к следующему: при обтекании
ненагретого тела потоком с большой скоростью температура тела существенно
превосходит температуру свободного потока (аэродинамический нагрев).
Это явление можно объяснить, если ввести понятие о температуре торможе-
ния, или о полной температуре потока жидкости скорости v0 с темпера-
турой свободного потока То. Температура торможения Tsr этого газового
потока определяется как температура, которую приобрел бы газовый поток
при его торможении при отсутствии внешнего подвода тепла и механической
работы. Из первого закона термодинамики получим тогда
Tst-T0 = ^-, (5.6.24)
140
Глава 5. Формулировка задач теории теплообмена
где ср — удельная теплоемкость газа при постоянном давлении, выраженная
в механических единицах. Если в потоке газа параллельно к направлению
потока помещена идеально теплоизолированная пластина, то слой газа,
прилегающий непосредственно к поверхности пластины, находится в покое.
Однако вследствие теплообмена со смежным и движущимся слоями темпе-
ратура этого полностью заторможенного слоя не достигает значения темпе-
ратуры торможения Тsr. Температуры теплоизолированной поверхности
и заторможенного слоя достигают значения ТAD, известного как адиабатичес-
кая температура стенки и определяемого формулой
TAV-T0 = r-g-, (5.6.25)
где г называется коэффициентом восстановления температуры. Для лами-
нарного течения, параллельного поверхности плоской пластины, аналити-
чески найдено1) и экспериментально проверено, что
г=а1/2. (5.6.26)
Поместим теперь в потоке газа вместо изолированной теплопроводящую
пластину; очевидно, что в случае, когда температура ее стенки Tw равна
TAD, теплообмен с жидкостью отсутствует; при TW<_TAD тепло передается
пластине, а при TW^>TAD тепло переносится от пластины газовому потоку.
Следовательно, в граничном условии для конвекции (5.4.4) целесообразно
заменить То на ТAD-, в результате получаем
ат
k~ = h(TAD-T). (5.6.27)
Так как при малых скоростях ТAD^ Т0, как это видно из выражения (5.6.25),
то ясно, что это условие при достаточно малых скоростях приводится
к уже рассмотренному нами случаю. Кроме того, установлено, что значение
коэффициента теплообмена (5.6.18), определенное для малых скоростей,
можно использовать в условии (5.6.27) для аналогичного случая больших
скоростей.
Естественная конвекция. В связи с тем, что в этом про-
цессе движение жидкости обусловливается лишь сообщаемым ей теплом,
разумно предположить, что коэффициент теплообмена при естественной
конвекции еще больше зависит от температуры поверхности. Этот факт
подтверждается рассуждением, аналогичным вышеприведенному. Для вер-
тикальной пластины с постоянной температурой Tw, которая передает тепло
путем естественной конвекции жидкости с температурой То, толщина погра-
ничного слоя (гидродинамического и температурного) равна (см. Эккерт
и Дрейк, стр. 311—314)
6= 3,93 (о,952 (5.6.28)
где g — ускорение силы тяжести, (3 — коэффициент объемного расширения
жидкости, а х—расстояние по вертикали вдоль пластины, измеренное от
нижней кромки. Так как в этом случае значение коэффициента теплооб-
мена равно
2kf
h=~, (5.6.29)
См. работу [7]. Для других геометрических форм задача является более слож-
ной.
5.7. Теорема единственности
141
то /г пропорционален (Та—что в свою очередь, даже если не учитывать
зависимость свойств жидкости от температуры, приводит к нелинейному
граничному условию при конвекции. Однако его можно линеаризовать,
если в рассматриваемой задаче изменение температуры Tw не очень велико.
Кроме того, вследствие малости коэффициента теплообмена при естествен-
ной конвекции граничное условие при конвекции для таких поверхностей
можно заменить граничным условием, соответствующим идеально теплоизо-
лированной поверхности.
5.7. Теорема единственности. Несмотря на то, что в предыдущем пункте
подчеркивался весьма идеализированный характер граничных условий, пере-
численных в п. 5.4, их использование часто диктуется желанием получить
общие аналитические результаты. Поэтому вернемся к линейной теории
теплопроводности, рассматривая вышеуказанные граничные условия вместе
с уравнениями (5.3.2) или (5.3.7), как уравнениями поля, и докажем следую-
щую теорему единственности.
Теорема. Пусть Ra = Da-)-Ba ф Вс и Rb = Db ф Вь -ф Вс — две регуляр-
ные области, где Вс представляет собой связующую их общую поверхность
(рис. 5.5). Тогда существует, по крайней мере, одна совокупность функций
Та (Р, t) и Tb (Р, I), причем Та класса С<2) (по отношению ко всем перемен-
ным) в области Ra, £>0,и Ть класса С'-‘ в области Rb, t> 0, удовлетворяющих
следующим уравнениям для Та:
kaTTa + Qa(P, f)=--Qaca^ e Da, t: > 0; (5.7.1)
Ma^ + NaTa = Ga(P, t) на Ba, t > > 0; (5.7.2)
Ta = Fa(P) e Da, t = 0, (5.7.3)
и аналогичной системе уравнений в области Db и на границе Въ, кроме того,
удовлетворяющих уравнениям
ka
дТа
дп,
k,
дпа
на Вс, t > 0;
на Вс, t > 0,
(5.7.4)
(5.7 5)
142
Гла^а 5. Формулировка, задач теории теплообмена
в области Вс, где па и пь обозначают внешние нормали к граничным поверх-
ностям Ra и Rb соответственно, Qa,b, В,ь и Ga,b— заданные функции,
а Ма,ъ, Ма,ъ и R— заданные неотрицательные функции1).
Доказательство. Пусть Т^, Ть\ /=1, 2,—две совокупности
функций, удовлетворяющих всем вышеописанным условиям. Тогда вслед-
ствие линейности задачи разности этих функций
гр* 2^(1)___________________________ у(2)
(5-7-6)
будут удовлетворять однородным уравнениям, соответствующим (5.7.1)—
(5.7.5). В последующем звездочки, обозначающие разность функций, опу-
скаются, так как в приводимых ниже выкладках фигурируют лишь разно-
сти функций.
Рассмотрим интеграл, полученный в результате применения теоремы
о дивергенции
J Ta^dA- J (yra^Ta)dV, (5.7.7)
Ba Ba+B Ba
где na означает внешнюю нормаль к граничной поверхности Ra. Имеем
? TadBbdA= [ Ta-~a-dA+ [ Ta~a-dA. (5.7.8)
J дпа J а дпа J дпа ' J
ВаВВс Ва Вс
Преобразуем первый интеграл правой части, используя однородное урав-
нение, соответствующее уравнению (5.7.2). Прежде всего заметим, чтс
интеграл равен нулю на любой части контура Ва, где Ма или Na равны ну-
лю. Часть контура Ва, где обе функции Ма и Na не равны нулю, обозначим
через Ва\ тогда из уравнения (5.7.2) получаем
= <5-7-9:
В“ Ва
Так как в области Da функция Та удовлетворяет однородному уравнению,
подобному (5.7.1), имеем
ka\ TarTadV^Qaca f Та~а- dV^Bp-B £ BdV. (5.7.10)
(j \ (J t Z ut J
Ba Ba Ba
Здесь перестановка порядка интегрирования и дифференцирования допу-
стима вследствие предполагаемой регулярности функций, описывающих
распределение температуры. Из уравнений (5.7.7)—(5.7.10) получаем
^>4 $ T-dV= -ka^ J^.TldA-ka Jj (VTa-VTa)dV-Lfea $ B^B-dA.
i>a. ва Da Be
(5.7.11)
Таким же методом получаем аналогичное уравнение для функции Тъ,
а именно
Д?" 5 Т* dV = -kb .5 Ж П dA-kb\ (УГЪ• VT6) dV + kb^Tb^BdA.
Db • ib Db Bc
(5.7.12)
*) Выбирая соответствующим образом значения функций Ma,b, Na,b, Ga,b и R
читатель легко может проверить, что вышеприведенные зависимости охватывают вс<
граничные условия, указанные в п. 5.4.
5.8. Постановка задач теории теплопроводности для тонкостенных сечений 143.
Однако поскольку
kb^= -kb(>p- = ~ka д^- на Вс (5.7.13)
0 дпь ° дпа а дпа с v '
[здесь первое уравнение вытекает из условия, что векторы па и пь на части
контура Вс имеют противоположное направление, а второе — из уравнения
(5.7.4)J, то, складывая уравнения (5.7.11) и (5.7.12) и используя уравнения
(5.7.13), получаем
4 [-2~ $ TldV 4 J TldV | = - ka J TldA-kb J TbdA —
Va J,b Ba Bb
-ka\ (VTa-VTa)dV-kb (VTb-VTb)dV- J (Tb-Tay dA<0. (5.7.14)
Db Be
В последнем интеграле Bc обозначает ту часть контура Вс, на которой 7?>0,
так как из уравнения (5.7.5) вытекает, что этот интеграл равен нулю при
Я = 0.
Из уравнения (5.7.14) следует, что находящиеся в скобках интегралы
в левой части уравнения не могут возрастать при £>0. Но эти интегралы
в начальный момент времени равны нулю вследствие того, что разности
температур в начальный момент времени равны нулю всюду в областях
Da и Db, и, кроме того, они неотрицательны, так как подинтегральные
функции являются квадратом. Следовательно, эти интегралы равны нулю
для всех моментов времени; отсюда заключаем, что разности температур
7a-;7,s0 для ^>0 (5.7.15)
тождественно равны нулю всюду в соответствующих областях; тем самым
доказана единственность решения.
Общие замечания, относящиеся к первой теореме единственности теории
термоупругости, изложенные в п. 2.7, верны также и в данном случае.
Но, как и теорема п. 2.7, установленная здесь теорема доказана не для
самого общего случая. Например, она неприменима в случае, когда распре-
деление температуры имеет разрывы по времени или по пространственным
координатам в некоторой точке внутри тела или наего поверхности. Читатель,
желающий ознакомиться с более общими теоремами единственности, отсы-
лается к учебнику Карслоу и Егера, стр. 26, и к упомянутой там литературе.
5.8. Постановка задач теории теплопроводности в одномерном случае
для тонкостенных сечений. В настоящем пункте рассмотрим приближенную
постановку задачи теплопроводности при неустановившемся режиме, пригод-
ную для тонкостенных сечений и позволяющую значительно упростить даль-
нейшие расчеты. Рассмотрим, например, сечение крыла (рис. 5.6, а), перво-
начально имеющее равномерную температуру и подвергающееся действию
внезапного изменения окружающей температуры. Даже если не учитывать
изменения температуры вдоль размаха, что и допускается в дальнейшем,
и то задача определения полного двумерного распределения температуры
чрезвычайно сложна. Однако вследствие тонкостенности сечений естествен-
но предположить, что изменение температуры по толщине сечения невели-
ко, за исключением, быть может, начального периода неустановившегося
процесса1); следовательно, для вычисления температурных напряжений
4 Изменение температуры по толщине обшивки можно определить по одномерной
теории, в которой изменением температуры вдоль хорды пренебрегают.
144
Глава 5. Формулировка задач теории теплообмена
достаточно определить изменение вдоль хорды осредненной (по толщине)
температуры. Сформулируем теперь получающуюся в результате одно-
мерную задачу теплопроводности.
Кроме влияния на температуру обшивки изменения вдоль хорды коэффи-
циента теплообмена h, который в последующем считается постоянным, изме-
нение температуры обшивки в направлении хорды происходит также вслед-
ствие наличия стрингера, непосредственно не подверженного действию
х. = - ь
х = а
х - и
Рис. 5.6. Тонкостенная конструкция и ее одномерная идеализация.
окружающей температуры. Ввиду тонкостенности сечений можно предпо-
ложить, что температурный градиент в сечениях, находящихся на неболь-
шом расстоянии от узла (например, сечения 1 — 1 и 2 — 2 рис. 5 6, а), стано-
вится пренебрежимо малым,что позволит вместо действительной конструкции
рассматривать идеализованную модель, представленную на рис. 5.6, б.
Рассматривая баланс энергии в элементарном объеме способом, аналогичным
использованному в п. 5 3, можно теперь вывести дифференциальные урав-
нения, которым удовлетворяют осредненные температуры 7\ и Т2 в стенке
и обшивке соответственно. При применении этого метода для получения
уравнения баланса тепла для элемента обшивки необходимо учесть тепло,
полученное поверхностью обшивки от окружающей среды, согласно зако-
ну, выраженному в граничном условии при конвекции. Если предположить,
что передача тепла от любой внутренней поверхности сечения крыла отсут-
ствует1), то из уравнений баланса тепла получаем следующие дифферен-
>) Так как теплопередача путем естественной конве <ции незначительна, это пред-
положение справедливо в случае, если температуры не очень высоки для передачи тепла
путем излучения.
5 8. Постановка задач теории теплопроводности для тонкостенных сечений 145
циальные уравнения для Тi и Т 2:
д2Т 1 д7\ , /к о 1?
х -..—„ , — b<x<0, t > 0; (5.8.1)
дх2 dt '
д2Т2 , h (Тй—Т2) дТ2 п /к о
-------0 < х-- a, t > 0: (5.8.2)
дх2 1 sqc dt ’ '
где То — температу за невозмущенного потока, а величины х, о и с в соответ-
ствии с выше риведенными обозначениями характеризуют свойства мате-
риала крыла. Интересно отметить, что уравнение (5.8.2) можно было бы
вывести также путем рассмотрения двумерной задачи о распределении
температуры Т (х, у, t) в обшивке. В этом случае используется двумерное
уравнение теплопроводности (без учета кривизны обшивки)
, <д2Т . д2Т \ дТ п „ п _ п /г о ох
k ( = QC --тт, 0 Дх ' а, 0<w<s, t > 0 (5.8.3)
У дх2 1 ду2 у dt > v >
вместе с граничным условием при конвекции на верхней поверхности
обшивки у = s
k = h(T0—T), 0<x<a, y = s, t>0 (5.8.4)
O'I/
и граничным условием для идеально теплоизолированной поверхности на
нижней поверхности обшивки у = 0
-|^ = 0, 0<x<a, z/= 0, t > 0. (5.8.5)
Если пренебречь1) разностью температур Т2 (х, t) и Т (х, s, t), то, интегри-
руя уравнение (5.8.3) по у в интервале 0 < у < s и используя условия (5.8.4)
и (5.8.5), получаем уравнение (5.8.2), при условии что осредненная темпе-
ратура Т2 (п, t) равна
Т2(х, 0=^5 Т(х, у, t)dy.
о
Граничные и начальные условия для уравнений (5.8.1) и (5.8.2) имеют
вид
kw^^lT.-TA, х=0’ t>Q'' (5.8.6)
kw^/=ks^, х = 0, />0; (5.8.7)
^-=0, х=—Ь, ( > 0; (5.8.8)
^ = 0, х=а, Z > 0; (5.8.9)
7\ = 0, -d<x<0, ( = 0; (5.8.10)
72=0, 0<x<a, ( = 0. (5.8.11)
Граничные условия (5.8.6) и (5.8.7) представляют собой видоизменения
условий (5.4.7) и (5.4.8); они получены на основании рассуждения, аналогич-
ного рассуждению, приведенному в п. 5.6, с учетом того обстоятельства,
0 Из уравнения (5 8 4) можно заметить, что такое приближение приводит к завы-
шенному значению для подвода тепла, так как значение осредненной температуры ниже
температуры поверхности Как отмечено Трампошем и Джерардом (см работу [8]),
получающиеся в результате расчетные значения температурных напряжений выше
измеренных. В этой работе приводится также сравнение между различными модифика-
циями изложенной в настоящем пункте теории и экспериментальными результатами.
Ю Боли й Уэйнер
146
Глава 5. Формулировка задач теории теплообмена
что толщина $ и толщина w в общем случае не равны. Проводимость соеди
нения 1IR, в соответствии с приведенным в этом же пункте определением
имеет размерность ккал/м2-час-град, a L обозначает эффективную длина
контакта в направлении, показанном на рис. 5.6.
Перечень опубликованных работ, относящихся к вышеизложенному
методу исследования задач и содержащих примеры их решения, приводится
в сноске на стр. 325.
БИБЛИОГРАФИЯ
1. Якоб (Jakob М.), Heat Transfer, John Wiley and Sons, New York, Vol.
J, J .91.9; 1У?.1. JJ, русский перевод: Якоб M., Вопросы теплопередачи, ИЛ,
М., 1960.
Экерт и Дрейк (Eckert Е. R. G., Drake R. М., Jr.), Heat and Mass
Transfer, McGraw-Hill, New York, 1959; русский перевод: Эккерт Э., Дрейк
Р., Теория тепло- и массообмена, М.—Л., Мосэнергоиздат, 1961.
Мак-Адамс (McAdams W. Н.), Heat Transmission, third ed., McGraw-Hill,
New York, 1951; русский перевод: Ma к-Адамс В. Г., Теплопередача, М.,
Металлургиздат, 1961.
2. С у а н (Swann R. Т-), Heat Transfer and Thermal Stresses in Sandwich
Panels, N. A. C. A. Tech. Note 4349, September 1958.
3. Ч a p н ы й И. А., Изв. АН СССР, 6 (1951), 829—838.
4. Барзели, Тонг, X о Л л о (В ar z е 1 а у М., Tong К- N., Hollo G.),
Thermal conductance of contacts in aircraft joints, N. A. C. A. Tech. Note 3167,
March 1954.
5. Кульбер и Лю (Coulbert C. D., L i u C.), Thermal Resistance of Air-
craft Structure Joints, W. A. D.C. Tech Note 53—50, June 1953. См. также Барзели,
Тонг и Холло цит. выше [5J и следующие работы для других соединений.
Кувенховен и Поттер (Kouwenhoven W. В., Potter J. Н.),
Thermal Resistance of Metal Contacts, Welding Journal, 27, 10 (October 1948),
515s—520s.
Бруно и Бакленд (Brunot A. W-, В u c k 1 a n d F.), Thermal Contact
Resistance of Laminated and Machined Joints, Trans. ASME, 71, 3 (April 1949),
253—256.
Вейллс и Райдер (Weills N. D., Ryder E. A.), Thermal Resistance
Measurements of Joints Formed between Stationary Metal Surfaces, Trans. ASME,
71, 3 (April 1949), 259—266; а так же дискуссия, стр. 266—267.
6. И м а й (Imai I.), On the heat transfer to constant — property laminar boun-
dary layer with power function free-stream velocity and wall temperature distribu-
tions, Quart. Appl. Math., 16 (1958), 33—45.
7. Польхаузен (Pohlhausen E.), Der Warmeaustausch zwischen festen
Korpern und Flussigkeiten mit kleiner Reibung und kleiner Warmeleitung, Z.angew.
‘ Math. Meeh., 1 (1921), 115—121.
8. Трампош и Джерард (Tramposch H., Gerard G.), Correla-
tion of Theoretical and Photpthermoelastic Results on Thermal Stresses in Idealized
Wing Structures, Tech. Rept SM 48—8, New York University, Coll, oi Engr., Septem-
ber 1958.
ГЛАВА £
Некоторые основные задачи теории
теплопроводности
6.1. Введение. В предыдущей главе рассматривалась математическая
формулировка задач теории теплопроводности и было показано, что онг
приводится к уравнению теплопроводности Фурье и соответствующим началь-
ным и граничным условиям. Эта краевая задача хорошо изучена. Суще-
ствуют некоторые общие методы ее решения, однако прежде чем приступить
к их изложению, желательно привести некоторые специфические решения,
дающие читателю возможность по крайней мере в общих чертах ознако-
миться с некоторыми задачами теплопроводности. Изложение этих решений
составляет предмет настоящей главы; в большинстве случаев эти решения
получены искусственными методами, однако нередко они являются частными
случаями более общих методов, изложенных в гл. 7.
Некоторые из приведенных ниже решений представляют скорее тео-
ретический, чем практический интерес; тем не менее они имеют большое
значение для более глубокого понимания задачи теплопроводности и некото-
рых ее особенностей. В настоящей главе ограничимся линейным случаем,
когда температурные свойства среды постоянны и однородны.
6.2. Источники и стоки в неограниченном теле. В п. 5.5 было показано,
что в случае тел конечных размеров решение задач теплопроводности можнс
выразить с помощью безразмерных переменных x/L, y/L, z/L и Kt IL2, где
L — характерная длина рассматриваемой геометрической формы. Однакс
для тел бесконечных размеров такой характерной длины не существует
тем не менее при наличии возмущения (в форме подвода тепла) в окрестность
точки Ро в бесконечном теле за характерную длину, связанную с реакцией
в некоторой точке Plt целесообразно принимать расстояние между точками
Ро и Pt. Тогда предыдущая переменная %t/L2 показывает, что за подходя-
щие безразмерные переменные в таких задачах можно принимать величинь
Kt/x2, /у2 и Kt/г2 или корни квадратные из обратных величин, а именно,
безразмерные переменные расстояния
Xi = -r — , tjt = -у — , Zt^=-~-=-. (6.2.1
V Kt Y Kt J/ Kt
Используя эти переменные, легко получить решения некоторых задач,
как это показано в последующем. Для простоты детально рассмотрен лишь
одномерный случай.
Принимая Xt и t за новые независимые переменные, так чтобь
Т = T(xt, f), записываем уравнение (5.3-7) в следующем виде:
+ = (6.2Д
oxf 1 2 дх! dt '
КУ5
148
Г лава 6. Некоторые основные задачи теории теплопроводности
Изучение показывает, что переменную t можно исключить, если решение
выбрать в виде
Т (х{, t) = t"f (xt), (6.2.3а)
где функция f является решением уравнения
2 = (б.г.зб)
В частности, простые результаты получаются ]) при п = — 1/2, так как при
этом (6.2.36) принимает следующий вид:
зМ1 2 * * *<-+^}-0- (6-2-Г
Решение имеет вид
f (лу) = се ~Лг"', (6.2.4а)
где с—постоянная. Таким образом, получено простое решение одномер-
ной задачи. Используя обозначение
получаем
(6.2.4в)
Следовательно, величина
Т{х, t) =—3=е-(«о)2^г, (6.2.5)
2 у лх/
где х0— постоянная, также является решением уравнения (5.3.7) в одно-
мерном случае. Таким же способом можно вывести2) аналогичные решения
для двух- и трехмерного случаев; они равны соответственно
Нм. X ехр [ - + J (6.2.6)
и
Пм. г, () - exp [ - ] . (6.2.7)
Эти решения получены здесь чисто формальным путем; тем не менее
они имеют важный и простой физический смысл, что и будет сейчас рассмо-
трено. Рассмотрим сначала решение трехмерной задачи (6.2.7) и заметим,
что предел lim Т (х, у, г, /) всюду равен нулю, за исключением точки х0, у0,
;->о
г0, где он становится бесконечным. Полная энергия (обусловленная увели-
чением температуры, когда взаимным превращением механической и тепло-
1) Более общие решения уравнения (6 2 3) рассматриваются в п. 6.3.
2) Заметим, что решение двумерной задачи определяется произведением Т (х, 1)Х
X Т (у, t), где Т (х, Г] задается выражением (6 2.5); это замечание относится также к трех-
мерному случаю. Эти решения представляют собой примеры более общего метода пред-
ставления общего решения в виде произведений, рассмотренного в п. 7 8.
6 2. Источники и стоки в неограниченном теле
145
вой энергии можно пренебречь) в бесконечной области равна (при £>(У
Qqc С Г Г
ерх L
— со —со —СО
(х-х0)2 + (У-уо)2 + (г-2о)^ dxdydz==
= Qqc/-----;L-- f {----1-- e-[(v-«o)2/4^]dwl X
I 2 / лх/ Д J I 2 / mt J У J
х(—~^= 5 е-Г("-го)2/4x/jdz} -Qqc, (6.2.8)
у/ зтх^ J J
—со
так как ')
— 1— ? r?—l(-v—-vo)‘2/4u/j 6/х ___ __Д _ , С е—Лг cfxi = 1, (6.2.8а)
2 / mt _£ / я . ' 7
где Xt = (х — х0)/)/Л4х/. Таким образом, энергия в теле постоянна для всех
моментов времени. Рассмотрим теперь способ, которым она вводилась в те-
ло. Для этой цели вычислим энергию, накопленную в сфере радиуса R
с центром в точке (х0, у0, г0); в полярных координатах она равна
R R R/2 Ум
QC ( Т (г, t) 4лг2 dr = _S£IX^ Г r2e-ii/tM dr=-_^9_ Г r2e->ldf.
J 2<“'>’ a J ,
R/2 УУ1
= qcQ1-^ f e~ridri---------Д=е-да/4и4, (6.2.9)
l /л J У mt J v ’
где
r = ]/(x - x0)2 + (J/ - f/o)2 + (z - z0)2 = VKt. (6.2.9a)
При увеличении размера сферы (т. е. когда 7?->со) накопленная энер-
гия стремится к величине qс Q, что подтверждает полученный выше резуль-
тат. С другой стороны, для любого фиксированного значения 7?>0 из выра-
жения (6.2.9) вытекает, что накопленная в сфере радиуса R энергия стре-
мится к величине Qqc, когда 7-^-0, и, следовательно, независима от R. Это
означает, что для достаточно малых промежутков времени почти вся рас-
сматриваемая здесь энергия (т. е. произвольно большая ее часть) заключена
в сфере произвольно малого радиуса с центром в точке х0, у0, z0. Физически
это означает, что вся энергия в виде тепла введена в тело в результате мгно-
венного выделения количества тепла qcQ в точке х0, у0, z0 при t = 0; в самом
деле, это решение можно получить как предел случая выделения конечного
количества тепла в исчезающе малом объеме. Следовательно, решение (6.2.7)
представляет собой температуру в бесконечном теле с первоначальной
*) Свойства этого и связанных с ним интегралов изложены в книге Карслоу
и Егера. Приложение II, стр. 370 ff; см. также Янке и Эмде (Tables of functions, Dover
Publisching, New York, fourth ed., 1945, pp. 23 ff), а также n. 63.
150
Глава 6. Некоторые основные задачи теории теплопроводности
нулевой температурой,вызванную мгновенным точечным источником интен-
сивности1) Q в точке х0, у0, z0 при t = 0.
Рассмотрим теперь ряд мгновенных точечных источников постоянной
интенсивности Qcfe0, распределенных вдоль линии (х=х0, у = у о), параллель-
ный оси г. Температура, вызванная всеми этими источниками, определяется
тогда формулой
оо
Т(х,г/,/)= j Т(х,у, z, /)dZo = ILexp[_(T=f«№=^] , (6.2.10;
—оэ
где функция Т (х, у, z, t) задана соотношением (6.2.7). Сравнение этогс
результата с решением двумерной задачи (6.7.6) показывает, что указанное
решение представляет собой температуру в бесконечном теле, первоначаль-
но нулевой температуры, обусловленную мгновенным выделением тепла,
в момент t =0 вдоль указанной выше линии.
Аналогично интегрируя по у0, получаем
Т(х,/) = Т(х, у, t)dy0~ —(6.2.IT
J 2 у nut
где подинтегральная функция дана выражением (6.2.10). Следовательно,
решение одномерной задачи (6.2.5) представляет собой температуру в беско-
нечном теле первоначально нулевой температуры, вызванную мгновенный
выделением тепла, в момент ( = 0 по всей плоскости х = х0.
Решения, подобные приведенным для источников и стоков, используются
для построения других решений методом наложения источников и стоков,
рассмотренным в п. 6.5, и при изложении метода функции Грина в п. 6.7,
6.3. Более общее решение уравнения (6.2.36). Решение уравнения
(6.2.36) для значений, кратных половине положительных или отрицательных
значений п, легко можно выразить через функцию ошибок2) erf х или черег
дополнительную функцию ошибок erfcx, которые определены следующим
образом:
erf х=2Д (6.3.1а'
где
erfcx= 1 — erfх = —(6.3.16’
V л J
Эти функции3) принимают следующие важные частные значения:
erf 0 = erfc со =0, erf оо =erfcO= 1. ' (6.3.1в:
Под интенсивностью понимается изменение температуры единицы объем?
материала, обусловленное количеством выделенного тепла.Если интенсивность поло
жительна (Q > 0), говорят об источнике, если она отрицательна (Q < 0),— о стоке
Вышеприведенное определение источника как предела необходимо для исключе-
ния нежелательных особенностей, возникающих в случае нулевого подвода тепла, как
например, в случае диполя. Соответствующие выводы путем предельного переход;
можно найти, например, в книге Карслоу и Егера, стр. 217.
2) Интеграл вероятностей.— Прим, перев.
3) Для ознакомления со свойствами этих функций, аналогичными выше приве
денным, см. сноску на стр. 149. Решение уравнения (6.2.36) для всех значений п можнс
выразить через конфлуэнтную гипергеометрическую функцию; в самом деле, можн<
показать, что это уравнение является частным случаем так называемого уравнения
Вебера; см. Уиттекер иВатсон, Курс современного анализа, Физматгиз
М.. 1963.
6.3. Более общее решение уравнения (6.2.36)
15
Часто применяются также кратные интегралы этих функций, которьк
обычно обозначаются следующим образом:
erfc х= zm-1 erfc i° erfc х = erfc х, (6.3.2
X
где т — любое целое положительное число. При отрицательных значения?
т функция im erfc х представляет собой производную т-го порядка функции
erfcx, для которой, однако, часто пользуются следующим обозначением
Фт(л)== d^<erf х)= _ d^(erfcx)- (6-3-3:
Легко показать, что функции im erfc х и фт(х) для всех значений т выра-
жаются посредством более простых функций erfcx и и через полиномь
х; так, например,
i1 erfc х = i erfc x — e~x2 — x erfc x,
/л
t2erfcx = 4 Г(1 + 2x2)erfcx---f=-xe~x2l ,
4 L Ул J
(6.3.4;
W W = - —- хе-х“.
V п ул
Наиболее часто используются следующие частные значения:
im erfc 0 =-------------------4------ , im erfc оо = О,
2т(У+1)
где
Г + 1 ! для четных т,
Г = (1 -3-5 ... т) для нечетных т.
я также дифференциальное уравнение
которому удовлетворяют функции у = im erfc х.
После этих предварительных сведений снова рассмотрим
(6.2.36). При
п = ^-, tn = Q, 1, 2, ...
•оно принимает вид
__W____i_ 2 Л'1’1 ——__2mf = О
d (^/2)2 + < 2 ) d Н/2) т‘ и’
т. е. по форме совпадает с уравнением (6.3.6). Следовательно,
(6.3.5;
(6.3.5a]
(6.3.6;
уравнение
(6.3.7;
(6.3.7a)
используя
обозначения (6.2.1), можно записать следующий класс решений одномерного
152
Глава 6. Некоторые основные задачи теории теплопроводности
уравнения теплопроводности ')
T(xt, 0==C(2TO)r^+l)r/2ifflerfc^~^) , (6.3.8)
где для удобства введен постоянный множитель, определяемый выражением
(6.3.5), а С — постоянная. Особый интерес представляют частные случаи,
когда т = 0 и т = 1; при этих значениях предыдущее решение принимает
соответственно следующий вид:
Т (х, f) = Т’о erfc (6.3.9)
Й
Т(х, Z) = ^]/x?.jerfc(^). (6.3.10)
Здесь для лучшего понимания приводимого ниже физического смысла этих
формул для постоянной С введены новые обозначения. Легко проверить,
что выражение (6.3.9) представляет собой температуру в полубесконечном
теле х > 0 первоначально нулевой температуры, граница х = 0 которого
поддерживается при температуре Т0,а выражение (6.3.10) дает температуру
в том же теле с нулевой начальной температурой Т = 0, на поверхности
х = 0 которого имеется поток тепла постоянной интенсивности Qo в единицу
времени и на единицу площади.
Вышеприведенные решения безусловно можно получить и иным путем:
так в п. 6.4 дается другой вывод этих формул, а в п. 7.3 эти решения выво-
дятся путем непосредственного применения преобразования Лапласа.
Полученные до сих пор частные решения выявляют характерную осо-
бенность способа распространения тепла в твердом теле. Рассмотрим,
например, температуру, определяемую выражением (6.3.10) и удовлетво-
ряющую начальному условию Т (х, 0) = 0; тепло подводится к поверхности
х = 0 в момент времени t = 0 и в дальнейшем скорость его подвода остается
постоянной. Легко проверить, что влияние сообщаемого тепла мгновение
распространяется на все тело, т. е. Т (х, 0^0 для всех х, как бы мал ни был
выбранный отрезок времени. Таким образом, можно утверждать, что тем-
пература распространяется с бесконечной скоростью, несмотря на то, чтс
повышение температуры на больших расстояниях от точки приложения тепла
будет достаточно малым. Это свойство, являющееся следствием параболиче-
ского характера основного дифференциального уравнения, действительнс
для всех решений задачи теплопроводности; другими примерами, выявляю-
щими эту характерную особенность распространения тепла, служат решения,
определяемые выражениями (6.2.5) — (6.2.7) или (6.3.8).
6.4. Полубесконечное тело при зависящих от времени граничных
условиях. Решение задачи теплопроводности при заданной зависящей
от времени граничной температуре можно получить, исходя из решения
для случая внезапно приложенной на границе температуры; аналогичные
утверждения можно сделать также и при других граничных условиях. В ка-
2) В книге Карслоу и Егера, стр. 45, выражение (6.3.8) получается из основного
решения (6.3.9) для полубесконечного тела х Д> 0 с помощью теоремы Дюгамеля;
такой вывод выражения (6.3.8) приводится в п. 6.4. Заметим, что в выражении (6.3.8)
m представляет собой целое положительное число; решения, соответствующие целым
отрицательным значениям т, можно выразить через функции Фт(х); тогда решения
содержащие функции Ф1 и Ф2, совпадут соответственно с (6.2.5) п (6.2.4в).
6.4 Полу бесконечное тело при зависящих от. времени граничных условиях 153
честве примера рассмотрим частный случай полубесконечного тела; в п. 7.8
будет показано, что используемый ниже метод не что иное, как частный
случай применения теоремы Дюгамеля.
Предположим, что требуется определить распределение температуры
в полубесконечном теле х > 0 при следующих граничных и начальных
условиях:
7(х, 0) = 0 при х > 0; 7(0,/) = ср(/) при t > 0, (6.4.1)
где ср (/) — заданная функция; прежде всего предположим, что она удовле-
творяет условию ср (0) = 0. Рассмотрим решение, устанавливаемое форму-
лой (6.3.9), и запишем его в следующем виде:
Ti (х, t — ^) = Toerfc—-^=- , t>t,. (6.4.2)
2 у х (t — q)
Выражение (6.4.2) определяет температуру в том же теле первоначаль-
но нулевой температуры, обусловленную граничным распределением темпе-
ратуры, заданной на поверхности х = 0 следующим образом:
j 0, если t < t,,
I 70, если t > /1#
(6.4.2a)
Вообразим теперь, что заданная функция ср (/) представляет собой последо-
вательность бесконечно малых приращений величины (dcpI dt) dt', повышение
температуры, вызванное каждым таким приращением (например, повыше-
ние температуры, вызванное приращением, происшедшим при t = ^),
прибавляется к уже достигнутому к этому моменту времени повышению
температуры (т. е. для t< ^). Решение 7* (х, t, /4) dt,, соответствующее
приращению в момент t = t,, удовлетворяет следующим условиям:
7*(х, t„ /t)=0,
0 при t < ty,
[dq>/dt]dt l(=tx при t > t,.
При этом из уравнения (6.4.2) получаем
7* (х, t, tAdt^^^L Г erfc—1 dt,.
7 dti I 21/zp—гу) J
7*(0, t, t,)dt,=
(6.4.3)
(6.4.3a'
Полное распределение температуры, удовлетворяющее условиям (6.4.1)
можно получить путем наложения решений (6.4.3а) для всех значений k.
Следовательно, выражение
7 (х, 0 = ? АО. Г erfc —1 dt,
3 dt, L 2/z(l—h) -I
(6.4.4;
представляет собой требуемое решение для частного случая, когда ср (0) = 0
Более общее решение, свободное от этого ограничения, очевидно, будет имел
454
Глава 6. Некоторые основные задачи теории теплопроводности
•следующий вид1):
Г(х, /) = Ф(0) [erfc J Л„ (6.4.S)
Интегрируя по частям интеграл, фигурирующий в этом уравнении,
можно записать его в другой форме
4
С <Р (И) р-ж2/4и (f-Zi)
J (Z-^)’72
X
2]Лгх
Г ф (/ /д) ж2/4и(1 л/
о 1
На основании первого уравнения (6.4.6) и преобразования
х
2/х(/—/д)
(6.4.6}
(6.4.7а}
это решение можно представить в другом, иногда более удобном, виде
(6'4'7’
ж/2 Vut
Укажем теперь без подробных выводов некоторые примеры применения
вышеприведенных формул. При <р (/) = То (То — постоянная) получаем
соотношение (6.3.9); легко убедиться также, что при <р (/) = С/1^ и при
соответствующим образом выбранном значении постоянной с получается
решение (6.3.10). Можно показать, что в общем случае, когда q> (t) = Ctm/\
где m — произвольное целое, четное или нечетное положительное число,
выражение для температуры получается в форме (6.3.8)). Таким образом,
это решение, выведенное выше чисто формальным путем, приобретает физи-
ческий смысл. Следовательно, решение для полубесконечного тела, темпе-
ратура поверхности которого выражается в виде полинома или степенногс
ряда по t или по можно получить путем наложения решений вида
(6.3.8).
Подобным образом из (6.3.10) получаем следующую формулу:
т (х, ,) = ЦТ { f (0) д/Д я[с () + j х
х j dt'-
= Ст) 5 'С С <й- 18
п г 1
’) Заметим, что уравнение (6.4.4) выведено при предположении непрерывном?
функции ф (/). При наличии разрыва в точке t=t', величина которого равна ф', к пра-
вой части уравнения (6.4.4) необходимо добавить дополнительный член вида ф' erfc
[х/У 4х (I — i')l; фактически таким же путем выведен дополнительный член в урав-
нении (6.4.5) при ф' = «р (0) и t' = 0. Однако при наличии разрывов у функции ф удоб-
нее пользоваться уравнением (6.4.6), так как оно пригодно как для непрерывных,
так и для разрывных функций.
6.5. Решения, полученные методами наложения и зеркального отображения 15.'
Она определяет температуру в полубесконечном теле х>0, первоначаль-
ной нулевой температуры Т = 0, которое находится под действием тепла,
сообщаемого поверхности х = 0 со скоростью f (t), т. е. при
Т(х, 0) = 0, (6.4.8а]
Другие решения для полубесконечного тела можно найти в книге Кар-
слоу и Егера, гл. II.
6.5. Решения, полученные методами наложения и зеркального ото-
бражения источников и стоков. Решение задачи можно получить также
путем наложения решений для некоторых специальным образом располо-
женных источников и стоков. Ниже приводятся некоторые примеры при-
менения этого метода.
Прежде всего рассмотрим уже приведенное выше решение для источ-
ника, помещенного в бесконечном теле первоначально нулевой темпера-
туры, а именно, соотношения (6.2.5), (6.2.6) и (6.2.7) соответственно для
одно-, двух- и трехмерной задач. Предположим теперь, что в элементарном
объеме dx dy dz, содержащем точку х, у, г, в момент времени t = 0 начинаю!
действовать источники интенсивности f (х, у, z) dx dy dz; тогда каждый
из этих источников вызывает повышение температуры в соответствие
с (6.2.7); в результате действия всех источников температура будет
СО СО со
л —со — со —со
X ехр[ dXtd!/id2i. (6.5.1а
Для двумерного и одномерного случаев имеем соответственно
СО со
Т(х, У’ S У‘)ехР [ (6-5-16]
и
Т (х, I) = - - f (xj dxi- (6.5.1в'
2 \' лхг J
Вышеуказанное действие источников представляет собой не что иное,
как мгновенное выделение энергии величины pc / (х, у, z) dxdydz в момен!
времени t = 0; следовательно, при t = 0 происходит мгновенное повыше-
ние температуры на величину f (х, у, z), и, таким образом, выражение
(6.5.1а) определяет температуру в бесконечном теле в момент времени t.
вызванную действием начального распределения температуры
Т (х, у, z, 0) — f (х, у, z). (6.5.2]
Аналогичные выводы можно сделать и относительно соотношений (6.5.16]
,и (6.5.1в). Рассмотрим, например, одномерный случай. Пусть
xt = х Ц- 2£ У"х/,
(6.5.3а]
156
Глава 6. Некоторые основные задачи теории теплопроводности
тогда уравнение (6.5.1в) примет следующий вид:
Т(х, 0 = f(x + 2^/*ije-i2dt. (6.5.36)
У л
Интуитивно ясно (строгое доказательство J) дано в книге Карслоу и Егера,
стр. 35ff), что
lim Т (х, t) =—= f (x)e~i2d^ = f (х), (6.5.Зв)
«-+0 У Л
что и требовалось. Таким образом, методом наложения источников можнс
получить некоторые важные решения для бесконечного тела.
В качестве второго примера рассмотрим источник интенсивности Q',
помещенный в точке (Xj + «, Hi, z), и сток интенсивности — Q'. помещенный
в точке Xi — a, ylt zp, результирующая температура определяется равен-
ством
Т Q' fp-пГ (*—*i~a)2+(j/~щ)2+(?—л)2 4
1 ~ 8Щ</2 teXP I Ш “
pvnf Xi + ay~y(y~щ)2+(г—zt)2 1 ) _ .
_ехр l ~ J -
= ехр Г - 1 __ п
8(лх/)3/з L 4х/ р >
(6.5.4)
Пусть теперь a -^-0 (и Q' -> оо) при условии, что величина 2aQ' = Q остает-
ся постоянной; тогда, учитывая, что
(6.5.4а)
в пределе получаем
и z Г\________ ® <-х exn i (х ^1)2 ' 1г г*)2 1 С6 6 5а'
Соотношение (6.5.5а) представляет собой распределение температуры в беско-
нечном теле первоначально нулевой температуры, обусловленное действием
мгновенного точечного диполя интенсивности Q, ось которого параллельнг
оси х, помещенного в точке х1; yly zt. Аналогичным образом из (6.2.6) и (6.2.5)
можно получить распределения температуры, вызванные линейным и пло-
ским диполями соответственно
У- = ] <6-5-55
и s
(6-5’5в
Заметим, что последнее выражение получается из выражения (6.3.8) npi
m = —2 (см. сноску на стр. 152). В
В Соотношение (6.5.1в) известно как решение Лапласа.
6.5. Решения, полученные методами наложения и зеркального отображения 157
В случае, когда интенсивность диполя зависит от времени, как, напри-
мер, при dQ = 2хф (t) dt,H3 (6.5.5в) следует, что
<6-5'6»
При Xt = 0 это выражение совпадает с (6.4.6); следовательно, температуру
в полубесконечном теле, поверхность которого поддерживается при темпе-
ратуре ф (0, можно определить, помещая на его поверхности систему
непрерывно распределенных диполей интенсивности 2хф (Z).
Таким образом, решение задач, в которых свойства материалов не зави-
сят от температуры и тело простирается в бесконечность или ограничено
плоскими поверхностями, можно иногда легко получить методом наложе-
ния источников и стоков и особенно методом, известным как метод зеркаль-
ного отображения; ниже приводятся некоторые примеры применения этого
метода.
Температура, вызванная источником интенсивности Q, помещенным
в точке Xi, t/i, ?i, и стоком интенсивности — Q, помещенным в точке —х1у
yi, Zj, равна
— exp [ — iTxTif+krgll2+<г~zi)\ ] | ’ (6.5.7)
Это выражение представляет собой температуру в полубесконечном теле
х>0с начальной температурой 7 = 0, обусловленную источником интен-
сивности Q, помещенным в точке х1; yly zp, поверхность х = 0 тела поддер-
живается при нулевой температуре. Если сток заменить источником той же
интенсивности, то получим следующее выражение для температуры:
Г(л'' z'
(х—Xi)2-H#— щ)24~(г — г1)2
4zz
j еХр (хЦ-Х1)аЦ-(^—t/д)24-(г—Z1)2 j J
(6.5.8)
Оно представляет температуру, обусловленную источником интенсивности
Q, помещенным в точке хь ylt zr полубесконечного тела г>0с начальной
температурой 7 = 0, поверхность х = 0 которого теплоизолирована. Исхо-
дя из соответствующих решений для источника в бесконечной среде [(6.2.5)
и (6.2.6)], можно получить непосредственно решения для одномерногс
и двумерного случаев, аналогичные (6.5.7) и (6.5.8).
Путем наложения распределения источников интенсивности f (хь yly zt)
на единицу объема [подобного (6.5.la) I и зеркально отображенного распре-
деления стоков получаем
СО СО СО
7 (х, у. z, t) =-—£ £ f (xt, yL, 21) exp Г — ~2 —1 X
8(лх0 2 J 4 4
X {exp [ - exp | dXidyidZt- (6.5.9)
Это выражение определяет температуру в полубесконечном теле х>(
с начальной температурой 7 = f (х, у, г), поверхность х = 0 которого нахо
дится при температуре 7 = 0. В случае, когда поверхность х = 0 теплоизо-
158 Глава 6. Некоторые основные задачи теории теплопроводности
лирована, симметрично расположенные стоки заменяются источниками;
в результате получаем следующее выражение для температуры:
Т{х'у'z't}= sdy- J j f (X1’У1’ г‘)ехр x
X {exp[ —]+exp (6.5.10)
Отсюда легко получить аналогичные результаты для одномерного и дву-
мерного случаев.
Следующий пример является несколько более сложным. Определим тем-
пературу, обусловленную плоским источником, расположенным при х : х,
в теле с начальной температурой Т = 0, ограниченном двумя параллель-
ными г) плоскостями х = 0 и х = L (для краткости рассмотрим лишь одно-
мерный случай). В случае, когда ограничивающие тело плоскости поддер-
живаются при нулевой температуре в точке, являющейся зеркальным ото-
бражением данного источника относительно плоскости х — 0, т. е. в точке
х = —х1( помещаем сток, таким же образом помещается сток в точке,
являющейся зеркальным отображением данного источника относительнс
плоскости х = L, т. е. в точке х = 2L — ху. Однако для того, чтобы поддер-
живать температуру ограничивающих тело плоскостей при Т = 0, необхо-
димо поместить дополнительные источники в точках, являющихся зеркаль-
ными отображениями стоков, и т. д.; в результате получаем бесконечную
последовательность чередующихся источников и стоков. Для температурь
окончательно получаем следующее выражение* 2):
Т(х, Г)
Q
2 nxt
{g—(х—xi—2nL)2/4Ht g-(x-^ xi —‘2hL)“/
(6.5.11)
Если в рассмотренной выше задаче плоскости х = 0 и х = L теплоизолиро-
ваны, то стоки заменяются источниками и температура определяется фор-
мулой
Т (х, о
__ у (g-(x-xi-2nl.)2/4xf
2 Уnxf yJ v
;-2nL)2/4x«J. (6.5.12)
Аналогичным образом можно получить распределение температурь
в теле 0 < х < L с начальной температурой Т = f (х), граничные плоско
сти х = 0 и х = L которого находятся либо при нулевой температуре
либо теплоизолированы; в этом случае температура определяется выра
жением
1
2 Ули/
Т(х, t)
L со
0 —СО
(6.5.13
Здесь знаки минус и плюс относятся соответственно к случаям, когда гра
ничные поверхности поддерживаются при нулевой температуре и когда онг
теплоизолированы.
Можно проверить, что при L —> оо формулы, полученные для тела
ограниченного плоскостями х-0их = 1(0<х<Ь), переходят в соот
х) Такое тело обычно называется «плитой».
2) В п. 6.6 соотношения (6 5.11) и (6.5.12) записаны в другом виде.
6.6. Другие, решения в виде рядов; формула Пуассона
159
ветствующие формулы для полубесконечного тела, так как в этом случае
в указанных рядах остается только один член.
Таким же образом можно исследовать задачу о распределении темпе-
ратуры в теле, занимающем область 0 < х < L, одна граничная поверхность
которого теплоизолирована, а другая поддерживается при нулевой темпе-
ратуре. Кроме этих задач методом зеркальных отображений можно опреде-
лить поток тепла в телах, имеющих вид прямоугольников и параллелепи-
педов; этим же методом получено также решение Для клина -1).
6.6. Другие решения в виде рядов; формула Пуассона. Приведенные
выше решения для тела, ограниченного двумя параллельными плоскостями,
получены в виде бесконечных рядов; легко доказать, что эти ряды сходятся
для всех значений t >0. При больших t они сходятся медленно, при малых
t достаточно быстро; по этой причине эти решения называются иногда реше-
ниями «для коротких промежутков времени», хотя, как указывалось выше,
они справедливы для всех моментов времени2). При расчетах для больших
промежутков времени таким решением пользоваться неудобно; поэтому
обратимся к другому решению в виде рядов, также сходящихся для всех
значений времени и, в частности, быстро сходящихся при больших t.
Отправным пунктом получения этих решений является следующая фор-
мула суммирования Пуассона 3):
е-(х+2пь)2/4иг _ 2 У cos^e-^2^71-2
“—СО 71—1
(6.6.1)
На основании этой формулы решения для больших интервалов времени,
эквивалентные (6.5.11) и (6.5.12), соответственно будут
СО
Т(х,= 2e-xn23x2i/L2sin^psin^ (6.6.2а)
77=1
И
03
Т(Х,/) = ^{1+ 2e-"i/L2cosnrcosTi}- (6.6.26)
77=1
Решения для больших интервалов времени, эквивалентные выражениям
(6.5.13), в случаях, когда граничные поверхности теплоизолированы или
когда на них Т = 0, соответственно имеют вид
L со
Т = Т Р 2 [e~Kn2n2t/L2 sin^ sin "p j dx, (6.6.3a)
0 n=l
x) Об этом решении см. книгу Карслоу и Егера, стр. 234—238.
2) Точнее, решениями для коротких промежутков времени называются реше-
ния, которые справедливы только для коротких интервалов времени. Например, еслг
L велико, то можно пренебречь (для коротких промежутков времени) всеми членамг
ряда (6.5.11), кроме первого; получающееся в результате выражение тождественнс
уравнению (6.5.7) одномерного случая; можно утверждать, что последнее является ре-
шением (приближенным) для коротких промежутков времени соответствующей задачг
о плите.
3) См. книгу Карслоу и Егера, стр. 231—232.
160
Глава 6. Некоторые основные задачи теории теплопроводности
Т(х, 0 = -77 $ f(xi) [у+ e*z"-n2'/,'2cos'”;t’cos'!^ px1. (6.6.36)
ri=l
Решения в виде рядов для коротких или для больших интервалов
времени можно получить также и для других задач. Как общее правило,
можно установить, что метод наложения источников и стоков естественно
приводит к решениям для коротких промежутков времени, в то время как
метод разделения переменных (и. 7.2) приводит к решениям для больших
интервалов времени. Метод преобразования Лапласа (п. 7.3) можно приме-
нять для получения обоих видов решения.
6.7. Распределения температуры, обусловленные источниками, рас-
сматриваемые как фундаментальные решения (функция Грина). Решение
для источника, помещенного в заданном теле с определенными граничными
условиями, можно рассматривать как фундаментальное решение для этогс
тела, так как решение задачи с любыми граничными и начальными условия-
ми для такого тела (как увидим ниже) можно записать непосредственнс
через определенные интегралы, содержащие решения для источника.
Рассмотрим распределение температуры в теле, занимающем область
D В (В представляет собой граничную поверхность тела), вызванное
единичным источником тепла, помещенным в точке Р1; области D в момент
времени т (до этого момента времени температура тела равнялась нулю)
при некоторых температурных граничных условиях на поверхности В.
Из предыдущего ясно, что выражение для температуры S в точке Р области
D для последующих моментов времени будет иметь следующий вид:
S(P, t-T-Pl) = - - + 7?(Р; t-X'Pi), (6.7.1)
8 [лх р—т)] /2
где г (Р, PJ означает расстояние между точками Р и Pt. Первый член правой
части этого выражения идентичен правой части соотношения (6.2.7) при
Q = 1 и представляет собой единичный источник, помещенный в точке Pt
[см. исследование соотношения (6.2.9)]; для удовлетворения соответствую-
щих граничных условий, налагаемых на S, необходимо добавить функции
R (Р, t — т; Pt), ограниченную в области D и определенную при t>x.
Для того чтобы показать зависимость этих функций от точки помещения
источника, в обозначениях этих функций фигурирует точка Ру, ясно, чтс
эти функции будут зависеть также от t — т, а именно от времени, прошед-
шего с момента действия источника. Функция S удовлетворяет уравнении
х?р5 = дт- для Р в D, t>x,
dt ’ ’
(6.7.2)
где индекс Р означает дифференцирование по координатам точки Р; отсющ
имеем
xVpS = —д— для Р в D, т < t.
(6.7.3)
Для того чтобы удовлетворить условию равенства нулю начальной темпе-
ратуры при t = т, потребуем выполнения следующего равенства:
limP (P,t — т; Pi) = 0 для Р в D.
(6.7.4)
6.7. Распределения температуры, обусловленные источниками
161
Предположим теперь, что требуется найти распределение температуры
Т (Р, f) в данном теле при заданном начальном распределении температуры
F (Р) и граничных условиях, аналогичных условию (5.7.2). Это значит, что
нужно найти функцию Т (Р, t), удовлетворяющую следующей краевой
задаче:
= в D, t>0-, (6.7.5)
М ~ + NT^G(P, t) на В, t > 0; (6.7.6)
T=F(P) в D, t = 0, (6.7.7)
где М (Р, 0 и N (Р, t) — заданные неотрицательные функции, a G (Р, /)
и F (Р) — заданные произвольные функции; ясно, что, определяя соответ-
ствующим образом функции М, N и G, получаем любое из граничных усло-
вий, данных уравнениями (5.4.1) — (5.4.4). Рассмотрим равенство
^-[Т(Р, х) S(Р, f — т; Р1У1 = ?ГЗ + Т£ =
= к[8ГрТ-ТГр5] для Р в D, т<р (6.7.8)
где использованы уравнения (6.7.3) и (6.7.5). Интегрируя (6.7.8) по Р во всей
области D, получаем
• \£lTS]dVP-x J [SVpT — TVPS]dVP. (6.7.9)
D D
Здесь (и в последующем, если не оговорено противное) аргументы функций
Т и S те же, что и в уравнении (6.7.8); dVp указывает, что интегрирование
проводится по координатам точки Р. Из теоремы о дивергенции получаем
следующее тождество [ср. с (5.7.7)];
j (6.7.Ю)
D В P P
где д/дпр означает дифференцирование по координатам точки Р в направ-
лении внешней нормали к границе В. Следовательно,
' (6.7.11)
J дт 1 J J L дпР дпР J 4 1
D в
Это соотношение, как и (6.7.8), справедливо при всех r< 1, Следовательно,
его можно интегрировать по т для 0 < т < t — е при любом е > 0; в резуль-
тате получаем
t—е t — E
. \~[TS]dVPdT = n ? dApdx. (6.7.12)
J Л , ) L дпр дпР J x
o D OB
Предполагая, что подинтегральная функция в области интегрирование
достаточно регулярна (легко видеть, что это исключает особенности у функ-
ции S в точке Р = Pi при т = f), можно переменить порядок интегрирова-
ния левой части соотношения (6.7.12). Имеем
t — E
jj $ ^]TS}dTdVp= J {(TS\=t_s-{TS-)x=.}dVp, (6.7.13)
r> o b
11 Боли и Уэйнео
162
Глава 6. Некоторые основные задачи теории теплопроводности
И выражение (6.7.12) принимает тогда следующий вид:
J (TS)T=t_edEP = $ (TS)x=QdVP + % jj 5 [s^P~Tlnp\dApdx- <6-7-14)
D D OB
Рассмотрим теперь предел, к которому стремится вышенаписанное соотно-
шение, когда е -> (^Учитывая (6.7.1) и (6.7.4) и рассуждая таким же обра-
зом, как и при выводе соотношения (6.5.36), получаем
£
'т=г-8 dVр — Т (Pit Ь).
(6.7.15)
Следовательно, предел от (6.7.14) при е ->0 равен
t
T(Pt,/)= p(P)S(P, pp^dl/p + xj J (6.7.16)
b о в
где в первом интеграле функция Т с помощью условия (6.7.7) заменена за-
данным ее начальным значением. Из этого соотношения, справедливого при
любых граничных условиях для функции S, нельзя определить явным
образом температуру Т, так как оно содержит заданные неявным образом
граничные условия для дТ/дп и Т. Пусть теперь S (Р, t — т; РО удовле-
творяет однородному граничному условию (6.7.6)
= 0 для Р на В, 0<т<С (6.7.17'
так что
S = О для Р на Вт, (6.7.17а;
где Вт представляет собой часть граничной поверхности Ь, на которой Л4 = (
и N Ф О, и
~=0 для Р на Вн. (6.7.176
Вн здесь обозначает часть граничной поверхности В, на которой N = С
и М Ф 0, а Вс остальную часть В. Таким образом, с точки зрения краевой
задачи для температуры Т на части Вт граничной поверхности В задана тем-
пература, на части Вн — подвод тепла, а на части Вс —- граничное условие
при конвекции. При этом соотношение (6.7.16) принимает следующий вид
Т (Р,,р (Р) S (Р,/; P,)dVp —и ( ( ЖУЛЯ*
D 6 Вт
t
P^dApdx + n^ ^-^S(P, t-v, P^dApdx. (6.7.18)
° bh+bc
Следовательно, для температуры T можно написать решение в явном виде,
если только известно соответствующее фундаментальное решение S задачи.
Как и в теории потенциала, для таких фундаментальных решений можнс
воспользоваться следующей терминологией.
Если Вт = В, т. е. если S = 0 для всех Р на В, то фундаментальное
решение называется функцией Грина.
Если Вн = В, т. е. если dS/dn = 0 для всех Р на В, то фундаменталь-
ное решение называется функцией Неймана.
6.7. Распределения температуры, обусловленные источниками
165
Если Вс = В, т. е. если М (dS /дп) ф- NS = 0 для всех Р на В, М =# (
и N О, то фундаментальное решение называется функцией Робина.
Таким же образом можно получить соответствующие результаты для
случаев одно- и двумерной теплопроводности. Для этого заменим решение
(6.7.1) для источника соответственно решением для двумерного или одно-
мерного источников, т. е. выражением (6.2.6) или (6.2.5). Тогда соотноше-
ние (6.7.18) будет справедливым в двумерном случае, если объемные инте-
гралы заменить поверхностными и поверхностные интегралы — линейными
В одномерном случае выражение (6.7.18) принимает следующий вид:
l t
. _ Т (xt, f)= F(x)S(x, t; xfidx — n |^t (т)-Ц-(А, / — r; xt)~
b b
(6.7.19:
где gi (т) и g2 (t) — заданные температуры граничных поверхностей прг
х = L и х = 0 соответственно. Таким же образом на основе (6.7.18) можнс
написать соответствующие решения и для других граничных условий.
Резюмируя, можно сказать, что решение любой краевой задачи для
некоторой области можно считать формально известным, если известно фун-
даментальное решение для этой области. Необходимо только вычислить
получающиеся при этом интегралы, что в ряде случаев связано с большими
аналитическими трудностями. Преимущество данного метода заключается
в следующем: так как решение задачи выражается через фундаментальные
функции (большинство свойств которых изучено даже тогда, когда для задан-
ной геометрии области само решение неизвестно), этот метод может оказать-
ся полезным для определения общих характеристик решения (см., напри-
мер, п. 6.8).
Основным недостатком этого метода является трудность построения
фундаментальных решений для областей сложной формы *). Фундаменталь-
ные решения известны * 3) для полубесконечного тела, для тел, ограниченных
двумя параллельными плоскостями, для тел, имеющих вид прямоуголь-
ника, прямого угла, параллелепипеда, а также для сферических, цилиндри-
ческих, конусных поверхностей, для клина и т. д. Исследованы также
слоистые тела с плоскими границами раздела между имеющими различные
свойства слоями. Рассматривая решения, полученные в настоящей главе,
заметим, что соотношение (6.2.7) представляет собой фундаментальное реше-
ние ДЛЯ бесконетното тела (в этом случае функции Грина, Неймана и Робина
совпадают); соотношения (6.5.7) и (6.5.8) дают соответственно функции
Грина и Неймана для полупространства, а соотношения (6.5.11) и (6.5.12)
[или эквивалентные им соотношения (6.6.2а) и (6.6.26)1 — соответственно
функции Грина и Неймана для тела, ограниченного двумя плоскостями
х = 0 и х = L.
Метод функции Грина и подобных ей функций широко применяется
также для решения задач стационарной теплопроводности; в таком случае
этот метод представляет собой часть хорошо разработанной 3) теории, извест-
ной как теория потенциала.
См., например, работу [1].
2) См. Карслоу и Егер, стр. 295—319.
з) Предметом теории потенциала является исследование уравнения Лапласа
и его решения. Читатель, интересующийся этой теорией, может обратиться к учебнику
Келлога (см. [2] к гл. 1) или к учебнику Бергмана и Шиффера [1], где исследует-
11*
1 64
Глава 6. Некоторые основные задачи теории теплопроводности
6.8. Принцип Сен-Венана в задачах теплопроводности. Метод фунда
ментальных функций можно использовать для исследования вопроса о воз-
можности применения в теории теплопроводности принципа, который в тео-
рии упругости называется принципом Сен-Венана1).
Для простоты рассмотрим сначала случай установившейся темпера-
туры. Пусть, например, тело имеет заданное распределение температуры,
поверхности f (Р); на основании формулы, аналогичной формуле (6.7.18)
решение этой задачи можно представить в следующем виде:
Т(Р)=\ f(P1)d^^dAP]
V, и Pl
в
(6.8.1)
где функция G представляет собой функцию Грина для заданной области D,
а В — ограничивающую тело поверхность. Предположим теперь, чтс
функция f (Р) отлична от нуля только на малом участке поверхности В,
обозначаемом через В/, тогда имеем
17(Р) | < М dApi‘ (6-8.2)
I дПр*
Предполагается, что функция f (Р) ограничена, т. е.
ЦР)<Т0. (6.8.2а)
Заметим 2), что на граничной поверхности нормальная производная функ-
ции G положительна. Верхней границей значения этой производной являет-
ся нормальная производная функции Грина G* для области D*, целиком
охватывающей область D таким образом, что поверхность является общей
для граничных поверхностей областей D и D*. В большинстве случаев опре-
делить функции G или G* очень трудно; однако иногда область £)* можнс
заменить полупространством (например, в декартовой системе координат
полупространством х> 0). В этом случае функция Грина G* равна
(6.8.3)
Здесь Р обозначает расстояние между точками Р и Pt, a — расстояние
между точкой Р и зеркальным отображением точки Pt относительно плоско-
сти yz. Верхней границей 3) для функции Т в точке Р (с координатами х, у, z)
будет То 2л ,) R3 (b.o.da,
или, так как Р $ В1 >х, то (6.8.36' То 2 л у № j 2я \ х J v
ся более общее уравнение V2u — q (х, у) и, q 0; интересно отметить, что к таком}
виду приводятся уравнения (5.3.7) (см. п. 7.3) и (5.3.15) при помощи преобразования
Лапласа.
х) См. работу [2].
2) Доказательство этого свойства, а также других свойств функции G, исполь
зованных в настоящем пункте, см. в работе Бергмана и Шиффера [1]. Заметим, чтс
упомянутые здесь свойства функции Грина имеют место также в задачах теплопровод
ности для неустановившегося режима (как легко видеть из результатов п. 6.9; см. ра-
боту Боли [3]); следовательно, например, для неустановившегося распределения тем
пературы легко написать соотношения, аналогичные (6.8.3а) и (6.8.36).
з) Во всех этих формулах координаты точки Р находятся внутри области D
6,8, Принцип Сен-Венана в задачах теплопроводности
165
где А = /г* 2. Легко видеть, что оценка (6.8.36) дает верхнюю границу убы-
вания температуры от поверхностной области Вх. Верхнюю границу убы-
вания температуры дают также соотношения (6.8.3а) или (6.8.2), которые
можно использовать в любой частной задаче, где представляется возможным
детально провести указанные в этих формулах операции. Очевидно, что эти
формулы дадут меньшие и, следовательно, более приемлемые значения верх-
ней границы, чем оценка (6.8.36). Это показано на рис. 6.1, где приводится
h
Рис. 6.1. Верхние границы и принцип Сен-Венана для температуры
в задаче стационарной теплопроводности.
сравнение результатов, полученных из (6.8.3а) и (6.8.36) 1). Легко видеть,
что в обоих случаях повышение температуры для x>/z мало по сравнении:
с температурой То, и, следовательно, в большинстве задач им можнс
пренебречь.
На основании вышеуказанного можно сделать следующее обобщение,
которое с физической точки зрения представляется вполне оправданным.
Рассмотрим задачу для установившегося режима теплопроводности с гра-
ничными условиями в виде (6.7.6), где N = 0 2), а переменная t, разумеется,
отсутствует. Предположим, что правая часть условия отлична от нуля лишь
на малом участке Bt граничной поверхности, и обозначим наибольший ли-
нейный размер этого участка через h, а расстояние от участка до некоторой
внутренней точки через г. Тогда повышение температуры в точке Р малс
по сравнению с температурой на поверхности £>1; если только r>h. .
х) Оценка (6.8.3а) получена в предположении, что поверхность Bi ограниченг
кривой х = 0, у2 + г2 = Л2/л; получающаяся в результате верхняя граница на линии
у — z = 0 (приведенная на рис. 6.1) равна 1 — [1 + (1/л) (Л/х)2]-1/2- Можно показат!
(см. Боли )ЗУ), что эта величина является верхней границей для аналогичным обра
зом введенных верхних границ для задач с неустановившимся режимом теплопровод
ности; следовательно, для задач с неустановившимся режимом принцип Сен-Венан(
является более строгим, чем для задач с установившимся режимом.
2) Таким образом, это граничное условие соответствует случаю заданного под
вода тепла, где при установившемся процессе общий подвод тепла должен быть равны»
нулю. Принцип, аналогичный вышеприведенному, можно установить и для случа5
заданной температуры поверхности.
166
Г лава 6. Некоторые основные задачи теории теплопроводности
Для случая неустановившегося режима утверждения такого общего
характера сделать нельзя, как это видно из следующего примера, где рас-
сматриваются граничные условия для случая подвода к телу тепла. Пред-
положим, что к торцу (например, при х = 0) стержня длиной L подводится
тепло с постоянной скоростью и что остальные поверхности стержня тепло-
изолированы. С течением времени в стержень втекает все больше и больше
тепла; в результате температура всего стержня повышается, и, следователь-
но, влияние подводимого тепла будет ощущаться на больших расстояниях
от сечения х = 0. С другой стороны, для установившегося процесса (т. е.
в случае, когда температура не зависит от времени) суммарный подвод тепла
Рис 6.2 Иллюстрация принципа Сен-Венана в задаче неустановнв-
шейся теплопроводности.
к стержню должен быть равным нулю, в противном случае прирост подво-
димой энергии уравновешивался бы некоторым повышением температуры ’)
Поэтому можно ожидать, что для установившегося процесса повышение
температуры будет локализоваться в окрестности сечения х =- 0. Для слу-
чая неустановившегося режима можно предположить, что справедлш
следующий принцип, аналогичный принципу Сен-Венана. Рассмотрим тело
граничные поверхности которого теплоизолированы, за исключением малогс
участка линейные размеры которого являются величинами порядка h
на участке Bi имеет место «самоуравновешенное» распределение количествг
тепла, т. е. такое распределение , интеграл которого, взятый по участку
Вг, равен нулю. Тогда в некоторой внутренней точке Р (на расстоянии i
от Вг) повышение температуры мало (по сравнению с температурой в окрест-
ности Bi), если только r> h.
В качестве примера рассмотрим прямоугольный стержень, показанный
на рис. 6.2, торец х = 0 которого нагревается в результате внезапного под-
вода тепла в виде
Q(y) = Q0cos^, (6.8.4
х) См. уравнение (6 10 1).
6.9. Верхние и нижние границы для температуры
167
где Qo — постоянная1). Легко видеть, что
С
§ Q(«/)<ty = 0, (6.8.4а)
и, таким образом, вышеупомянутое условие удовлетворяется. Применяя
метод преобразования Лапласа, для распределения температуры получаем
выражение
г ______
Т (X, у) = V 1/ -L е-(4^'+х2/16с2Г) dt't (6.8.5)
о
или в более удобной для расчетов форме
п 2jTfe.T . . = (1 + erf Г 2л ------11 -
cQ0 cos (лг//с) L L 4с]<Г JJ
— епх>с 11 — erf [2луТ+^=-]}, (6.8.5а)
где безразмерное время t' = х//4с2. Графики, построенные для этих выра-
жений и приведенные на рис. 6.2, показывают, что влияние подводимого
тепла распространяется только на ограниченную область. Как уже отме-
чалось в сноске на стр. 165, этот пример еще раз показывает, что для неста-
ционарного режима теплопроводности принцип Сен-Венана является более
сильным, чем для стационарного.
В качестве примера применения этого принципа рассмотрим случай,
в котором действительный подвод тепла к стержню имеет следующий вид:
QQM) = Qo(O[l+m 0]. (6.8.6)
Здесь функция f (у, f) представляет собой отклонение от среднего значения
Qo (0 равномерно подводимого тепла и удовлетворяет условию
р(у, t)dy — O. (6.8.6а)
— С
Легко определить повышение температуры для случая, когда /(у, t) = 0,
и, если предположить, что
\f(y, 0|«1, (6.8.66)
то определенное таким образом повышение температуры будет хорошим
приближением к действительному повышению температуры в стержне
всюду, за исключением области х < 2с; следовательно, в случае длинных
стержней (L > 2с) это приближение практически пригодно для всей длины
стержня. Аналогичное исследование приводится, например, в п. 7.8в.
6.9. Верхние и нижние границы для температуры. В предыдущем
пункте мы видели, что для определения общего характера решения задачи
теплопроводности можно с успехом использовать выражения для верхних
границ этих решений. В настоящем пункте приводятся другие выражения
для верхней и нижней границ, которые легко получаются из основных
уравнений.
г) По этому вопросу см работу [4].
168
Глава 6. Некоторые основные задачи теории теплопроводности
Рассмотрим задачу теплопроводности [при отсутствии внутренних
источников тепла, так что справедливо уравнение (5.3.7) ] в случае, когда
начальная температура * 2) равна нулю, а температура граничной поверх-
ности неотрицательна, т. е.
Т(РВ, /)>0. (6.9.1)
Тогда (как будет доказано ниже) в любой момент времени температура всюду
в теле неотрицательна, т. е.
7ДР, 0>0. (6.9.2)
Это утверждение выражает интуитивно очевидный факт, согласно которому
нельзя уменьшить температуру внутри тела (которое первоначально имеет
постоянную температуру) путем повышения ее значения на границе тела.
Докажем теперь, что такое утверждение совместно с уравнением (5.3.7) и яв-
ляется его следствием 2). Чтобы показать это, заметим, что при нарушении
неравенства (6.9.2) температура в некоторой точке внутри тела достигла
бы отрицательного минимума, где
#<0. (6.9.3а)
В этой точке выполнялись бы обычные условия минимума, а именно
"4=о, ^>0, Д>о, 5>о, (6.9.36)
дх ду дг дх2 ’ ду2 ’ dz2 v '
где все три вторые производные не обращаются в нуль одновременно. Тогда,
согласно (6.9.36), V2T>0 и, следовательно, из (5.3.7) с учетом условия
k > 0 вытекает, что дТIdt > 0, а это противоречит условию (6.9.3а).
Следовательно, температура не может достигнуть отрицательного мини-
мума, что и доказывает справедливость неравенства (6.9.2). Легко доказать
аналогичные утверждения в случаях, когда температура на границе тела
всюду уменьшается.
Полученные выше результаты можно использовать для нахождения
других выражений для границ изменения температуры. Для этой цели
удобно ввести понятие температуры Т* (Р, t), удовлетворяющей условиям
Т*(Р, 0) = 0, Т*(РВ, 0=1, (6.9.4)
а также уравнению теплопроводности Фурье. Докажем теперь, что если на-
чальная температура в некоторой задаче равна нулю и если температура
на границе ограничена сверху и снизу, т. е. если
m^T(PB, (6.9.5а)
то решение данной задачи удовлетворяет следующему условию:
mT*(P, t)<T(P, (Р, 0, (6.9.56)
В самом деле, заметим, что температуры
Тм = МТ* — Т, Тт = Т — пгТ* (6.9.6)
9 Разумеется, полученный результат будет справедливым и в случае постоянно!
начальной температуры.
2) Доказательство этого утверждения с математической точки зрения представ
ляет интерес. Следует заметить, что с физической точки зрения это утверждение являет
ся просто частным случаем второго закона термодинамики. Другими словами, прг
строгом выводе уравнения теплопроводности Фурье (как это делалось в гл. 1) и прг
соблюдении термодинамических условий [см. обсуждение уравнения (1.12.16)], сог-
ласно которым k > 0, вышеприведенные утверждения должны быть заведомо верны
6.10. Общий баланс тепла; плавящаяся плита 169
удовлетворяют условиям (6.9.1); тогда, учитывая условие (6.9.2), имеем
Тм>0, Тт>0. (6.9.6а)
Отсюда легко получить неравенство (6.9.56).
Как дальнейшее следствие условия (6.9.2), рассмотрим два решения
Tj и Тг, которые на границе удовлетворяют следующему неравенству:
Л(Рв,0<^2(Рв,0, (6-9.7)
а в начальный момент времени — условию 7\ (Р,’О) = Т2 (Р, 0) = 0; тогда
дляугемпературы всюду в теле справедливо следующее неравенство:
Л(Р, 0<Т2(Р, 0- (6.9.7а)
6.10. Общий баланс тепла; плавящаяся плита. Количество тепла, под-
водимое к телу, уравновешивается повышением его внутренней энергии, что
проявляется (при пренебрежении взаимным превращением механической
----X
-----L------►
Рис. 6.3. Плавящаяся плита; оплавленная часть s (t) немедленно
удаляется.
и тепловой энергий) в повышении температуры тела; исходя из этих сообра-
жений и было выведено уравнение теплопроводности.
Для задач об установившемся режиме скорость изменения температуры
равна нулю; другими словами, все решения уравнения Лапласа удовлетво-
ряют следующему условию [вытекающему из теоремы о дивергенции (2.7.1)]
\~dA-0, (6.10.1)
J дп ’ ' 7
в
где интегрирование распространяется по всей граничной поверхности тела.
Рассматривая полный баланс тепла в задачах теплопроводности при
установившемся режиме, в некоторых случаях можно получить полезные
результаты; в качестве примера рассмотрим задачу о плавящейся плите.
Пусть к плите (рис. 6.3) толщиной L, занимающей область 0 < х < L с рав-
ной нулю начальной температурой и теплоизолированной при х — L,
подводится поток тепла Q (0 к поверхности х = 0. Для начальных моментов
времени решение можно получить из следующей одномерной краевой задачи
для Т ~ Ti (х, t):
д2Т i дТ\
Л(х,0) = 0, ^(L, 0 = 0,
-fe^(0, о = <2(О-
(6.10.2)
(6.10.3)
170
Глава. 6. Некоторые основные задачи теории теплопроводности
Здесь не приводится решение этой краевой задачи, так как это сделанс
в гл. 7. Если процесс нагревания будет продолжаться достаточно долго,
температура нагреваемой поверхности х = 0 достигнет (например, в момент
t — t*) температуры плавления материала плиты; следовательно, решение
указанной краевой задачи пригодно только для При дальней-
шем нагревании все большая и большая часть материала плиты будет пла-
виться; предположим, что оплавленная часть материала немедленно уда-
ляется 2). Обозначим через s = s (t) толщину оплавленной части материала
тогда s (t*) = 0, и для определения температуры Т = Т2 (х, t) при t > t*
имеем следующую краевую задачу (для интервала t*L опреде-
ляется ниже):
д'П'2 дТ2
дх2 ~~ dt
(6.10.4;
Т2(х, 1*) = 7\(х, t*), =
T2(s,f) = T*, .
(6.10.5;
(6.10.6;
где I обозначает скрытую теплоту плавления материала.
Левая часть последнего соотношения представляет собой сообщаемое
телу тепло и, следовательно, равна приращению внутренней энергии
другими словами, на основании уравнений (6.10.4) и условия (6.10.5;
ее можно преобразовать следующим образом:
, дТ2 , ,\ k С дТп . С дТо .
— t)= — \ -^dx = Qc \ —~dx.
дх v dt 4 J dt
s(t) s(t)
(6.10.7;
Используя соотношение (6.10.7) совместно с выражением (6.10.6), можнс
получить полезные результаты. Заметим, во-первых, что
L L
$ ^(х, t)dx = ^ Т2(х, t)dx + r^ff-. (6.10.7а
s(t) s(t)
Интегрируя (6.10.6) по времени, получаем
t L
J Q(f)dt = QC [ Т2(х, +Q(cT* + l)s(t). (6.10.8;
A s(t)
Аналогично из уравнений (6.10.2) и условий (6.10.3) вытекает, что "~
Q(t)dt = qc j 7\(х, = qc Т2 (х, t*) dx. (6.10.8а;
о о — о
Отсюда непосредственно можно найти момент времени tL, при котором плитг
полностью расплавится. В самом деле, в этот момент времени s (tL) — L
0 Обобщением этой задачи является случай, где тепло подводится аэродинами-
ческим путем; в этом случае в краевой задаче учитывается взаимное влияние жидкости
и оплавленного тела, что чрезвычайно затрудняет решение. Такая задача в случае
полубесконечного тела рассматривалась рядом авторов. Численное решение дано Сат
тоном в работе [5]. Приближенное аналитическое исследование данного вопроса при-
ведено в работе [6].
6.10. Общий баланс тепла; плавящаяся плита
17!
и, следовательно *), имеем
t* lL
J Q (0 dt = Q (/) dt + J Q (0 dt = oL (cT* + /). (6.10.9;
о 0 t*
Из этого уравнения при любом заданном законе подвода тепла Q (f) можнс
определить значение tL явным образом. Например, при постоянном Q дл?
имеем следующую простую формулу:
/ь==е£(.£?2±1). (6.10.9а
Легко видеть также, что при t — tL скорость плавления равна
ds _ Q (tL)
dt oL
(6.Ю. ю;
если учесть, что в этот момент времени движущаяся поверхность оплавление
совпадает с теплоизолированной поверхностью и, следовательно, в соотно-
шении (6.10.6) дТ/дх = 0; эта скорость плавления будет максимальной
1
Рис. 6.4. Движение фронта плавления в плите, показанной на рис. б.З.
если
при
тела
Q (/)— неубывающая функция времени. В самом деле, д7'/дх<С
х = s (/), в противном случае температура в некоторой точке внутри
превышала бы значение Т*; следовательно, из (6.10.6) имеем
(6.10.11)
dt pl v
где знак равенства выполняется, как мы видели выше, при t = tL.
В работе Ситрона приводится подробное исследование вышеприведен-
х) Соотношение (6.10.9) можно было бы получить непосредственно из уравнения
общего баланса энергии; однако вывод его из краевой задачи, как это делается выше,
представляет самостоятельный интерес.
2) См. работу [7]; разработанный в этой работе метод можно применять при
произвольном законе подвода тепла Q (1). Аналогичная задача для полубесконечногс
тела решена в работе [8], где также приведены уравнения (6.10.8) — (6 10.10). Дру-
гая задача с перемещающимися границами в полубесконечном теле дана в книге Кар-
слоу и Егера, стр. 71 и 227.
172
Глава 6. Некоторые основные задачи теории теплопроводности
ной краевой задачи для функции Т2; на рис. 6.4 изображены приближенные
кривые для толщины оплавленной части тела (в безразмерном виде) в зави-
симости от времени при постоянном тепловом потоке и различных значениях
отношений М /г параметров
= (6.10.12)
kT*
Здесь Qo — упомянутый тепловой поток. Эти кривые хорошо аппроксими-
руют действительные значения толщины оплавленной части тела. Параметра
Миг получаются в процессе приведения соотношения (6.10.6) к безразмер-
ному виду следующим образом:
Q(t) _ ,а(Т/г*) , /л г d(s/L)
Qo dlx/L) r 2 М дх
где
Величина
(6.10.13)
(6.10.13)
представляет собой время, прошедшее с момента начала плавления до пол-
ного расплавления плиты; его точное значение (в предположении, что к мо-
менту времени t = t* процесс фактически становится установившимся)
равно .
= (6.10.14;
БИБЛИОГРАФИЯ
1. Бергмэн, Шиффер (Bergman S., Schiffer М.), Kernel functions
and elliptic differential equations in mathematical physics, Academic Press, New
York, 1953.
Боли (Boley B. A.), A method for the construction of Green’s functions, Quart.
Appl. Math., XIV. 3 (October 1956) 249—257.
2. Б о л и (Boley В. A.), Some observations on Saint-Venant’s principle, Proc
Third U. S. Nat. Congress of Appl. Meeh. Brown University, June 1958, pp. 259—264.
3. Боли (Boley B. A.), Upper boundsand Saint-Venant’s principle in transient
heat conduction, Quart, of Appl. Math., 1960).
4. Б о л и (Boley В. A.), The determination of temperature, stresses and deflections
in two-dimensional thermoelastic problems, J. of the Aero. Set., 23, 1 (January, 1956’
67—75.
5. С а т т о н (Sutton G. W.), The hydrodynamics and heat conduction of a mel-
ting surface, J. of the Aero. Sci., 25, 1 (January 1958) 29—32, 36.
6. Гудмэн (Goodman T. R.), Aerodynamic ablation of melting bodies, Proc
Third U. S. Nat. Congress of Appl. Meeh. University, June 1958.
7. Ситрон (Citron S. J.), Heat conduction in a melting slab, Dissert, for th«
Ph. D. degree. Inst, of Flight Structures, Columbia University, 1959, and J. of the
Aero/Space Sci. (1960).
8. Ландау (Landau H. G.), Heat conduction in a melting solid, Quart. Appl
Mani., VIII, 1 (April 1950), 81.
ГЛАВА у
Методы решения задач
теплопроводности
7.1. Введение. В гл. 5быладана математическая формулировка задачь
о распределении температуры в теле при различных физических процесса?
нагрева и рассматривался вопрос о выборе соответствующего дифференци-
ального уравнения, а также начального и граничного условий. В результате
была сформулирована краевая задача для дифференциального уравнение
с частными производными и некоторые решения этой задачи приведены в пре-
дыдущей главе. Решению таких краевых задач посвящено много работ,
и целью’настоящей главы является обзор основных методов решения, кото-
рые применимы к большому классу задач. Мы не будем пытаться изложить
все существующие методы решения или описать общую теорию дифферен-
циальных уравнений в частных производных параболического типа, к кото-
рым относится уравнение теплопроводности, а постараемся дать краткое
изложение основ каждого метода и сделать некоторые замечания относи-
тельно преимуществ и недостатков этих методов, о типах задач, к которые
они применимы наилучшим образом, а также приведем некоторые примеры.
В настоящей главе рассматриваются следующие методы: метод разделе-
ния переменных (п. 7.2), метод преобразования Лапласа (п. 7.3), метод кон-
формного отображения (п. 7.4), численные методы решения (п. 7.5), методы
электроаналогии (п. 7.6) и приближенные аналитические методы (п. 7.7).
Краткое изложение таких методов, как метод зеркального отображения
источников и стоков и метод функции Грина, приводится в гл. 6. Кроме пере-
численных выше, существуют и другие методы получения решений путем
использования уже известных решений. Некоторые из этих методов рассмат-
риваются в п. 7.8, как, например, наложение решений, представление
решений в виде произведения двух функций, применение теоремы Дюгамеля
и метод решения задач для стержней и пластин, где подводимый к телу
поток тепла зависит от пространственных координат.
Читателю несомненно будут необходимы более детальные сведения
о существующих решениях или о методах получения новых решений:
с этой точки зрения могут оказаться полезными следующие работы общегс
характера. Кроме учебника Карслоу и Егера, можно упомянуть также ори-
гинальный трактат Фурье1) и книги Якоба 2) и Шнейдера3), где приводятся
математические методы решения задач теплопроводности. Что касается
параболических дифференциальных уравнений, то, кроме стандартных
1 См. работу [21] к гл. 1.
2) См. работу [1] к гл. 5.
3) См. работу [1].
174 Глава 7. Методы решения задач теплопроводности
учебников по дифференциальным уравнениям в частных производных, цен-
ными для читателя могут оказаться работы Жеврея *) и Гурса ?). В работе
[11 к гл. 6 и в работе [2] к гл. 3 рассматриваются только задачи стационар-
ной (или квазистационарной) теплопроводности; ссылки на другие спе-
циальные работы будут приведены в соответствующих местах книги,
7.2. Разделение переменных (метод характеристических функций).
а) Однородное дифференциальное уравнение и однородные граничные
условия. Целесообразно сначала рассмотреть частный случай, а именно
типичную краевую задачу следующего вида для некоторого тела, ограни-
ченного областью D+B:
xV* 2T = ^- для Р в D, t>0, (7.2.1)
N(P)T = 0 для Р на В, t > 0; (7.2.2)
T = F(P) для Р в В, / = 0, (7.2.3)
где М (Р) и N (Р) — заданные неотрицательные, не зависящие от времени
функции. Очевидно, условие (7.2.2) можно использовать также в случае,
когда на части ВТ граничной поверхности поддерживается нулевая темпе-
ратура (Л4 = 0, N 0), часть Вн— идеально теплоизолирована (Л4 Ф 0,
N = 0), а на части Вс совершается теплообмен с окружающей средой, тем-
пература которой равна нулю [М = k, N = h (Р)]. Сумма Br+ Вн +
4- Вс равна В.
Пусть 7\ (Р, t) и Т2 (Р, t) —две функции, удовлетворяющие дифферен-
циальному уравнению (7.2.1) и граничному условию (7.2.2), но не обяза-
тельно удовлетворяющие начальному условию. Тогда вследствие линейно-
сти и однородности уравнений линейная комбинация этих функций а^Г^
+ а2Т2 (at и а2 — постоянные) также будет удовлетворять уравнениям.
Кроме того, при наличии бесконечного числа таких функций Тп (Р, t)
бесконечный сходящийся ряд
2 апТп(Р, 0
т-=1
также будет удовлетворять этим уравнениям. Коэффициенты ап следует
определить таким образом, чтобы приведенный выше ряд удовлетворял
начальному условию 3), т. е.
F(P) = 2 апТп(Р, 0). (7.2.4)
71=1
Тем самым поставленная краевая задача решена до конца.
Последовательность функций Тп (Р, t) можно определить таким обра-
зом. Представляем функцию Т (Р, t) в виде
Т(Р, /) = <р(Р)ф(/), (7.2.5)
х) См работу [2].
2) См работу [3].
3) Это возможно сделать, если функция F (Р) удовлетворяет некоторым, часто
встречающимся в физических задачах условиям (как, например, условию ограничен-
ности и условиям Дирихле, см , например, работу [4]. Тогда последовательность функ-
ций Тп (Р, 0) называется полной в классе функций F, удовлетворяющих вышеупомя-
нутым условиям.
7.2. Разделение переменных (метод характеристических функций)
17Е
что после подстановки этого выражения в дифференциальное уравнение
(7.2.1) дает
72ф(Р) = 1 (Н п е> а)
q> (Р) mp(t) dt ' \ /
Так как левая часть этого уравнения зависит только от пространственных
координат точки, а правая часть — только от времени, то эти части должны
быть равны некоторой общей для них постоянной X, которую иногда назы-
вают постоянной разделения. Таким образом, из уравнения (7.2.6) получаем
соответственно следующие два отдельных уравнения для ср (Р) и ф (f):
72ф —Хф —0 для Р в D, (7.2.7)
—хХф = 0 для t > 0. (7.2.8)
Так как функция Т (Р, t) должна удовлетворять граничному условик
(7.2.2), то легко видеть, что функция ф (Р) удовлетворяет следующему
условию:
Л4(Р)-|^ + ^(Р)ф = ° для Р на В. (7.2.9)
Краевая задача для функции ф (Р), определенная уравнениями (7.2.7)
и (7.2.9), будет иметь нетривиальные решения (т. е. ф ф0) только при неко-
торых частных, дискретных х) значениях (n = 1, 2, 3, . . .) постоянной
X, которые называются собственными, или характеристическими, значе-
ниями краевой задачи для функции ф. Решения для ф, соответствующие каж-
дому такому значению Хп, обозначаются через фп и называются собственны-
ми, или характеристическими, функциями. Решение уравнения (7.2.8)
соответствующее значению Хп, обозначим через фп.
Докажем теперь, что все характеристические значения неположитель-
ны. Для этого воспользуемся следующим тождеством (получаемым непо-
средственно из теоремы о дивергенции, см. п. 2.7)
fV2g dV = f -g- dS - (Vf) • (Vg) dV, (7.2.10)
‘ D В D
где V/ обозначает градиент функции f; в развернутом виде это тождестве
можно записать так:
j ' \ дх2 ду2 1 dz2 J .) 1 дп
D в
df dg df dg df dg\.v о w
~ dy dy^dz dzjdV- (/.2.11)3,
D
Тождество (7.2.10) справедливо для всех функций f (Р) и g (Р), определен-
ных в области D + В и удовлетворяющих условиям теоремы о дивергенции
х) Такое утверждение справедливо только в случае рассматриваемых в настоящем
пункте ограниченных областей. Само собой разумеется, что при отсутствии в некоторой
задаче изменения температуры в заданном направлении тело можно считать или огра-
ниченным двумя идеально теплоизолированными поверхностями, перпендикулярными
к этому направлению, или, что то же самое, бесконечно протяженным в этом направле-
нии. Например, в задаче, описываемой уравнениями (7.2.35) — (7.2.38), полученное
в результате распределение температуры не зависит от координат у и z; следовательно,
тело можно считать или ограниченным плоскостями у = а, г~^Ь, нли бесконечнс
протяженным в этих направлениях. Следовательно, ясно, что описанный здесь метод
разделения переменных применим также в случае таких неограниченных областей.
176
Глава 7. Методы решения задач теплопроводности
Если теперь приравнять функции f (Р) и g (Р) к срл (Р), т. е. к характери-
стической функции, соответствующей значению Л.л, и учесть уравнения
(7.2,7) и (7.2.9) , то получим
Л<р^$- J(V<pn)-(V<Pn) dV
. (7.2.11)
J Ф^Е
D
Так как h. (Р) > 0 (это следует из физического смысла h), то Хл < 0. Знак
равенства имеет место в случае, когда область Вс отсутствует и когда V <Р ==0.
т. е. когда ср константа; однако, если ср = 0 на некоторой части гранично?
поверхности, то возможно только тривиальное решение ср == 0. Отличное
от нуля постоянное решение, а также равное нулю характеристическое
значение возможны и существуют только в случае идеально теплоизолиро-
ванного тела, т. е. когда ду/дп. == 0 на всей поверхности В тела (см., напри-
мер, стр. 180).
Характеристические значения поэтому можно написать в следующее
виде:
Хл = —«п, п = 1, 2, .... (7.2.12'
Тогда соответствующие выражения для функций фл (/) будут г)
фп(0 = е'хап(, п=1, 2, ..., (7.2.13;
и, следовательно,
ТЛ(Р, /) = срл(Р)е'"хап<. (7.2.14;
Решение задачи можно написать в следующем виде:
Т (Р, 0=2 апЧп (Р) еГтК. (7.2.15;
71—1
Необходимо теперь определить коэффициенты ап из начальных условий,
а именно из уравнения
F (Р) = 2 ап(рп (Р). (7.2.I6J
Расчет этих коэффициентов значительно упрощается в связи с тем, чтс
функции cpn (Р) ортогональны, т. е.
^фпсрт^Р = 0, п Ф т. {1.2ЛТ
/'IT <#i D
Это условие вытекает из тождества (6.7.10), если подставить в него S = ср,
и Т ~ срт (н Ф т) и использовать уравнения (7.2.7) и (7.2.9), которым
удовлетворяют функции срл и срт; в результате имеем
<Pn<prodV = 0. (7.2.18;
D
0 В этом выражении произвольные постоянные множители опускаются, так кас
они могут быть объединены с постоянными ап в ряде (7.2 4), как это будет видно и;
последующего
7.2. Разделение переменных (метод характеристических функций)
177
При л„г получаем условие ортогональности х) (7.2.17).
Умножая левую и правую части соотношения (7.2.16) на функцию
(Р) и интегрируя полученные в результате выражения по области D,
вследствие свойства (7.2.17) получаем следующую явную формулу для
определения коэффициентов ат:
cim=~\P(P)<(m(P)dV, (7.2.19)
ит •’
D
где
bm=\tfm(P)dV. (7.2.20)
D
Этим заканчивается формальное решение задачи для однородного диф-
ференциального уравнения при однородных граничных условиях.
6) Неоднородное дифференциальное уравнение или неоднородное гранич-
ное условие. В большинстве практических задач граничные условия или
дифференциальное уравнение неоднородны. Однако в случае, когда неодно-
родные члены являются функциями только пространственных координат,
задачу можно привести к предыдущему случаю следующим образом х).
Рассмотрим класс задач, которые приводятся к следующей краевой задаче:
+ в D, t>0, (7.2.21)
M(P)-|^ + 1V(P)T = G(P) на В, (>0, (7.2.22)
Т=Р(Р) в D, / = 0. (7.2.23)
Вследствие линейности этой краевой задачи ее решение можно предста-
вить в следующем виде:
Т(Р, t) = T8(P) + Tc(P, Г), (7.2.24)
где Ts (Р) удовлетворяет уравнениям
xV* 2Tsn--J-Q(P) = 0, Р в D, (7.2.25)
ус
Afj(P)^H N (Р) TS = G(P), Р на В, (7.2.26)
а функции Тс(Р, t)—уравнениям
zV2Tc = -^P, Р в D, / > 0; (7.2.27)
Л4 (Р) Д-Л( (Р) Тс = 0, Р на В, t>0; (7.2.28)
TC = F (P)-TS(P), Р в D, t = Q. (7.2.29)
Следовательно, определение функции Ts (Р) сводится к решению задачи
об определении установившегося распределения температуры; когда эта
9 Возможно, что некоторые характеристические функции соответствуют одному
и тому же характеристическому значению. Характеристические функции в таком слу-
чае могут и не быть ортогональными, но могут быть заменены эквивалентной совокуп-
ностью ортогональных функций; см , например, книгу [5].
2) Если неоднородные члены зависят также от времени, то следует использовать
метод настоящего пункта совместное теоремой Дюгамеля (см. и. 7.8) или же решать
задачу методом преобразования Лапласа (см. п. 7.3).
12 Боли и Уэйнер
178
Глава 7. Методы решения задач теплопроводности
функция найдена, задача для функций ТС(Р, f) будет полностью определена
и сведется к однородному дифференциальному уравнению и однородному
граничному условию, т. е. к задаче, рассмотренной в пункте а).
Вообще, если Вн = В, т. е. если значение подводимого количества тепла
задано в каждой точке граничной поверхности тела, то решение нельзя
представить в написанном выше виде; в самом деле, применяя теорему
о дивергенции к уравнению (7.2.25), получаем
k \ _^Q(P)dV. (7.2.30)
В D
Но количество подводимого к телу тепла, определяемое условием (7.2.26)
[где для этого случая Л4 (Р) = k, N (Р) s 01, может и не удовлетворять
этому уравнению. Физически это означает, что установившееся распределе-
ние температуры невозможно, если заданное суммарное количество тепла
не подводится к телу с той скоростью, с которой оно поглощается внутри
тела. В таком случае изложенный выше метод следует слегка видоизменить.
Решение задачи можно представить в виде
Т(Р, f) = $t + Ts(P) + Tc(P, t), (7.2.31)
где, как и выше, функция ТС(Р, f) удовлетворяет уравнениям (7.2.27) —
(7.2.29), а функция Ts (Р) — следующим уравнениям:
xV2Ts+-yQ(P) = p, Р в D, (7.2.32)
£-^- = G(P), Р на В. (7.2.33)
Легко проверить, что
₽ = -^r[^G(P)dS+$Q(P)dV] , (7.2.34)
В D
где V — объем тела. Соотношение (7.2.34) имеет интересную физическую
интерпретацию. Так как функция Тс (Р, 0 является решением задачи, рас-
смотренной в пункте а), она будет иметь вид уравнения (7.2.15); в связи с тем,
что в данном случае at = 0, функция Тс (Р, t) стремится к постоянной, когда
t —со. Следовательно, из соотношения (7.2.31) вытекает, что распределе-
ние температуры, данное решением таких задач, с течением времени изме-
няется таким образом, что пространственное распределение температуры
Ts (Р) остается неизменным, а значение температуры в каждой точке увели-
чивается с постоянной скоростью р. Такое явление называется квазистацио-
нарной теплопроводностью.
в) Некоторые замечания и задачи, типичные для метода разделение
переменных. Метод разделения переменных удобно применять только в слу-
чае, когда свойства тела не зависят от температуры и когда тело ограниченс
координатными поверхностями некоторой подходящим образом выбранной
системы координат; наиболее часто применяются декартовая, сферическая
и цилиндрическая системы координат. Тело должно иметь конечные размерь:
в тех направлениях, в которых происходит изменение температуры. Mew
разделения переменных часто оказывается наиболее простым, и решения,
полученные в виде бесконечных рядов, сходятся очень быстро для больших
интервалов времени, но сравнительно медленно — для малых. Однакс
в некоторых случаях с помощью формулы суммирования Пуассона (см.
п. 6.6) решения, полученные для больших интервалов времени, можно при-
вести к виду, пригодному для малых.
7.2. Разделение переменных (метод характеристических функций)
,179
Этот метод применяется для решения следующих типичных задач:
плита (т. е. тело, ограниченное двумя параллельными плоскостями) с посто-
янной начальной температурой, на граничных поверхностях которой тем-
пература внезапно поднимается до заданной величины 1); круговой цилиндр
конечной длины с постоянной начальной температурой, цилиндрическая
поверхность которого находится под действием окружающей среды с более
высокой, чем в теле, температурой, а торцевые поверхности имеют заданную
температуру 2).
г) Пример 1. Плита ограничена плоскостями х=0их=Ти прости-
рается в бесконечность в направлениях у и z. Граничная поверхность
х = 0 идеально теплоизолирована, в то время как поверхность х = L при
t > 0 находится под действием окружающей среды нулевой температуры
при постоянном коэффициенте теплообмена. Начальная температура плиты
равна TRf (х), где TR— константа.
Поставленная задача относится к рассмотренному выше классу; соот-
ветствующая краевая задача в безразмерных переменных, определяемых
формулами (5.5.1) и (5.5.10), будет
- дт* 0 < х* < 1, t* > 0; (7.2.35)
дх*2 dt* ’ и
дТ* дх* = 0, х* = 0, t* > 0; (7.2.36)
дТ* дх* + тТ* = 0, х*= 1, t* > 0; (7.2.37)
р* = 0< : х* < 1, г = 0. (7.2.38)
Задача сформулирована с помощью однородного дифференциального урав-
нения с однородными граничными условиями, вследствие чего ее можнс
решить методом, изложенным в пункте а). Так как ниже будут фигурировать
только безразмерные величины, звездочки при обозначениях опускаются.
Частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее гранич-
ным условиям, ищем в виде (7.2.5), т. е.
Т(х, 0=<р(х)Ф(0- (7.2.39)
В результате для функции ср (х) получаем следующие уравнения, аналогич-
ные (7.2.7), и (7.2.9),
^ + а2ф = 0, 0<х<1; (7.2.40)
х = 0; ах (7.2.41)
+ шф = 0, х = 1, dx т (7.2.42)
а для функции ф (t) — уравнение
+ а2ф = 0. (7.2.43)
Общее решение уравнения (7.2.40) имеет вид
ср = A sin ах+ В cos ах. (7.2.44)
9 См. Карслоу и Егер, стр. 82; см. также примеры, приведенные в пунктах г)
и д) настоящего пункта. • •
®) См. Карслоу и Егер, стр. 188.
12’
180
Глава 7. Методы решения задач теплопроводности
Из условия (7.2.41) получаем А — 0. Из условия (7.2.42) вытекает, что если
В Ф 0 (при В = 0 имеем тривиальное решение ср = 0), то величина а удо-
влетворяет следующему трансцендентному уравнению:
atga = /n. (7.2.45)
Корнями этого уравнения являются точки пересечения кривых у = tg a
и гиперболы у = т/а (рис. 7.1); существует бесконечное число таких
корней 1), обозначаемых здесь через ап (п = 1, 2, . . .) и дающих характе-
ристические значения = — а®. Соответствующие характеристические
функции срп (х), как это определялось выше, будут
фп W = cos ипх.
(7.2.46)
Следовательно, решение рассматриваемой задачи можно записать в виде.
an.e~atitcos апх,
(7.2.47)
с) Значения первых шести из этих корней приведены в таблице в книге Карслоу
И Егера, стр 377.
7.2. Разделение переменных (метод характеристических функций)
181
где коэффициенты ап определяются приспособленными для данного случая
формулами (7.2.19) и (7.2.20), т. е.
1
ап= г- \ f (х) cos ап х dx, (7.2.48)
й/l J
0
где
1
bn= \ cos2anxdx=~—[sinancosan + an], an =^0, (7.2.49)
J
о
или
+ an^°- (7-2.50)
Последнее выражение для коэффициентов bn, более удобное для некоторые
целей, получено на основании уравнения (7.2.45).
Из уравнения (7.2.45) легко видеть, что первый корень равен нулю в том
и только том случае, когда т = 0, т. е. согласно полученному выше общему
результату, когда граничные поверхности плиты идеально теплоизолиро-
ваны. В этом частном случае значения последующих корней будут
ап = (п — 1)л, /7 = 2,3, ..., (7.2.51)
и . ..
bi = 1, bn = у при /7 = 2,3, ... . . (7.2.52)
Полученное здесь (и во всех случаях идеально теплоизолированного тела)
нулевое характеристическое значение имеет интересный физический смысл.
Так как все члены бесконечного ряда (7.2.47), кроме первого, умножаются на
показательные функции с отрицательными показателями при времени, то
распределение температуры в конечном счете стремится к следующему зна-
чению:
limT (х, t) = at
t-+oo
1
= f (х) dx,
о
(7.2.53)
а именно к среднему значению начальной температуры.
Если, с другой стороны, т —>~со, то из уравнения (7.2.45) имеем
lim = n=l,2,..., (7.2.54)
И
Ит6л = 4-, п=\, 2, .... (7.2;55)
т-+со
При этих предельных значениях величин an и Ьп решение (7.2.47) совпадает
с решением упомянутой выше задачи о плите, граничная поверхность х = 1
которой находится при температуре, равной нулю; в этом можно убедиться
путем непосредственного решения последней задачи. Этот факт является
частным примером сделанного в п. 5.6 вывода о том, что граничное условие
для заданной температуры поверхности представляет собой предельный
случай возрастающего коэффициента теплообмена. С помощью рис. 7.1
можно приближенно оценить ошибку, допущенную при использовании гра-
ничного условия для заданной температуры поверхности вместо условия,
соответствующего большому, но конечному значению т. Для подобных зна-
чений т первые характеристические значения будут близкими к своим пре-
182
Глава 7. Методы решения задач теплопроводности
дельным значениям в то время, как большие характеристические значения
будут отличаться от своих предельных значений в большей степени. Так как
в уравнении (7.2.47) характеристические значения (умноженные на t)
фигурируют как отрицательные показатели в экспоненте, то вклад членов
с большими характеристическими значениями в значение температуры для
больших периодов времени будет малым, и, следовательно, ошибка, допу-
щенная при их определении, не будет иметь большого значения. Однако для
начальных моментов времени эта ошибка может быть значительной, и замена
действительных условий просто заданием температуры поверхности может
оказаться неэквивалентной.
Важным является случай постоянной начальной температуры То.
Уравнение (7.2.47) принимает тогда следующий вид:
Т*(х*, V smcos(7.2.56)
v 7 а„ [sin2an4-m] '
п=1
или в размерном виде *
Т (х, t) = 2mT0 У sin У . e-afat/L\ (7.2.56а'
' ’ ' 0 ап [sin2an-(-m] х
1
Если начальная температура пластины равна нулю, а температура
окружающей среды То, то решение будет
Т (х, t) = То ( 1 - 2m У sinyc°l(gy^)_ . (7.2.566'
v 7 0 I an [sin2an~Pml J v
П — 1
Кривые, построенные на основе этой формулы, можно найти в книге Карслоу
и Егера и в учебниках Мак-Адамса и Якоба ([1 ], гл. 5).
Следует отметить, что вышеизложенный метод можно применять также
в случае плиты, ограниченной плоскостями х = +L, если все условия задачт
зависят только от координаты х и симметричны относительно плоскость
х = 0, так как при этом вследствие симметрии дТ /дх = 0 при х = 0 и пер
воначально поставленное условие выполняется.
д) Пример 2. Плита ограничена плоскостями х = 0их = £и прости,
рается в бесконечность в направлениях у и z. Граничная поверхность х = (
идеально теплоизолирована, в то время как к поверхности х = L при t > (
подводится постоянный равномерно распределенный тепловой поток q
Начальная температура плиты равна нулю. В безразмерных переменных
определяемых формулами (5.5.1), при температуре Тл, заданной формулой
(5.5.7), и qR = q, соответствующая краевая задача запишется в виде
д2Т* _ дТ*
дх*2 dt ’
—=о,
дх*
дТ* _ .
дх*
Г* = 0,
О < х* < 1, t* > 0;
х* = 0, (* > 0;
х* = 1, (* > 0;
0 < х* < 1, t* = 0.
(7.2.57’
(7.2.58)
(7.2.59’
(7.2.60)
В последующем звездочки, как и в предыдущем примере, будут опущены
Это есть пример задачи, содержащей неоднородное граничное условие,
а именно заданный тепловой поток по всей граничной поверхности тела.
7 2. Разделение переменных (метод характеристических функций) 183
Следовательно, решение необходимо представить, как и в пункте б), в виде
(7.2.31), т. е.
Т (х, 0 = РЧ Ts(x) + Tc(x. t), (7.2.61)
где функция Ts удовлетворяет уравнению
0<х<1, (7.2.62)
х = 0; (7.2.63)
х=1. (7.2.64)
dx2
при граничных условиях
dTs __ г.
dT< ,
dx
Величину (3 можно определить или из (7.2.34), или непосредственно из гра-
ничных условий (7.2.63) и (7.2.64). Функция Т‘с удовлетворяет уравнениям
д2тс_дтс „ дх2 dt ' х<\, t>0- (7.2.65)
ф^О, х = 0, дх 1 t>0; (7.2.66)
ф = 0, х=1, дх t > 0; (7.2.67)
тс=—т8, 0< 4 х < 1, t= 0. (7.2.68)
Решение уравнения (7.2.62) с учетом (7.2.63) — (7.2.64) дает для Р и Tf
₽=1> Ts = ^ . (7.2.69)
Решение краевой задачи для функции Тс можно найти точно таким же путем,
что и в примере 1. В самом деле, полученные там формулы (7.2.51) и (7.2.52)
при m = 0 применимы и в данном случае, и, следовательно, решение для
функции Тс будет
со
тс (X, 0=2 ап [cos (n-1) лх] (7.2.70)
п=1
где
»- к-?>=-!
о
1
ап = 2 cos (n— 1) лх dx =
о 4
2(_i)»-i
(п— l)2Jt2
(7.2.7Г
п = 2, 3; ... . |
J
Меняя индекс суммирования, запишем это решение в следующем виде:
Т* (х*, 0 = t* ~2 ~cos 71л;х*е_"2л2г*,
или в размерной форме
СО
kT 0 'XL.. Зх2 L2____2 у ( 1)” е-п2я2и(/1.2 cos пях
qL L2 6Л2 л2 и2 L
п=1
(7.2.72'
(7.2.72а
184
Глава 7. Методы решения задач теплопроводности
7.3. Преобразование Лапласа.
а) Описание метода. Рассмотрим задачу нестационарной теплопровод-
ности, соответствующую краевой задаче (7.2.1) — (7.2.3). Если умножить
обе части первых двух уравнений на e~st, s> 0 и проинтегрировать все
члены по времени t от 0 до оо, то получим
х V2T(P, t)dt = для Р в D, (7.3.1)
о о
М (Р) e~st^^-dt + N (Р) ^е~'{Т(Р, t)dt = O для Р на В. (7.3.2)
о о
Предполагается, что решение Т (Р, f) исходной краевой задачи таково, чтс
приведенные интегралы сходятся для достаточно больших значений s.
Вследствие интегрирования по времени эти интегралы не зависят от времени,
но зависят от параметра s; введем обозначение
Т(Р, s)= e-sfT(P, 0 dt,
о
(7.3.3)
где функция Т (Р, s) называется преобразованием Лапласа функции Т (Р, t}
относительно t. Затем выразим остальные интегралы, фигурирующие в
в (7.3.1) и (7.3.2), через функцию Т (Р, s) и ее производные по пространствен-
ным координатам. Это легко осуществить, если предположить далее, чтс
функция Т (Р, t) такова, что в приведенных интегралах возможны 1) пере-
мена порядка дифференцирования по пространственным координатам и инте-
грирования по времени, 2) интегрирование по частям. При этих условиях
имеем
Ге-^2Т(Р, t)dt = V2 \e~stT(P, t) dt = V2T(P, s), (7.3.4)
г? °
F e~st — dt = f e~st T (P, t) dt = dP^P- s) , (7.3.5)
J on on t] \ / on J
0 о
е-!/-^^-^-Л=[а-5гР(Р, < + s p~s(T(P, t)dt =
'°
= -T(P, 0) + sT(P, s)=sT(P, s)-P(P), (7.3.6)
где в последнем уравнении использовано начальное условие (7.2.3) исход-
ной краевой задачи. С помощью этих формул легко показать, что преобразо-
ванная краевая задача для функции Т (JP, s) имеет следующий вид:
nV2T = sT- F(P), Р в D, (7.3.7)
M(P)~+N (Р)Т = 0, Р на В. (7.3.8)
7.3. Преобразование Лапласа
185
Важное преимущество, получаемое при таком преобразовании исходной
задачи, заключается в том, что в преобразованной краевой задаче дифферен-
цирование по s отсутствует, и, следовательно, эту величину можно считать
фиксированным, но произвольным параметром. Таким образом, число неза-
висимых переменных в исходной краевой задаче уменьшается на одну,
и, следовательно, решение преобразованной задачи будет более простым.
В частности, если в задаче имеется только одна пространственная коорди-
ната, уравнение (7.3.7) преобразованной краевой задачи будет обыкновен-
ным дифференциальным уравнением.
Получив решение Т (Р, s) преобразованной задачи, необходимо далее
определить соответствующую этому решению функцию Т (Р, t), т. е. необхо-
димо решить следующее интегральное уравнение:
СО
Т(Р, s) = J e~stT(P, t)dt, (7.3.9)
о
где Т (Р, s) является известной, а Т (Р, t) — неизвестной функцией. Функ-
ция Т (Р, t) называется оригиналом функции Т (Р, s). Для определения ори-
гиналов существуют1) подробные таблицы, использование которых значи-
тельно облегчает решение задач методом преобразования Лапласа. В случае
отсутствия какой-либо функции Т (Р, s) в этих таблицах необходимо найти
общее решение интегрального уравнения; наиболее полезным является сле-
дующее его представление в форме комплексного интеграла:
Т (Р, lim ? eztT(P, z)dz, (7.3.10)
Р- >оо J
J ,
где функция Т (P,z) получается из функции Т (Р, s) путем распространения
ее на комплексную область (т. е. заменой действительной переменной s ком-
плексной z = х — й/); интегрирование производится вдоль линии х = у,
где величина у достаточно велика, так что все особые точки функции Т (Р, г)
лежат влево от линии интегрирования. Уравнение (7.3.10), применимое к до-
статочно широкому классу обычно встречаемых на практике функций, назы-
вается комплексной формулой обратного преобразования Лапласа. Вычис-
ление комплексного интеграла обычно осуществляется с помощью теоремы
о вычетах теории функций комплексного переменного.
Вышеприведенное описание дает общее представление о сущности метода
преобразования Лапласа. В действительных расчетах нет необходимости
умножать все уравнения на e~st , интегрировать и каждый раз доводить до
конца математические выкладки, показанные в уравнениях (7.3.4) — (7.3.6).
Вместо этого можно использовать непосредственно результаты вычислений
по уравнениям (7.3.4) — (7.3.6) как «операционные свойства» преобразова-
ния Лапласа. Поэтому целесообразно собрать все эти, а также другие часто
употребляемые результаты в следующую таблицу основных операционных
свойств преобразования Лапласа.
]) Краткая таблица многих преобразований и соответствующих им оригиналов,
обычно встречающихся в задачах теплопроводности, имеется в книге Карслоу и Егера.
Более полные таблицы даны в книге Кемпбелла и Фостера, работа [4] к гл. 2, и в
книге [6].
186
Глава 7. Методы ре1иения задач теплопроводности
Основные операционные свойства
преобразования Лапласа
Оригинал Преобразование Лапласа
(1) Т(Р, t)
(2) а(Р)Т(Р, t)
(3) V2T (Р, t)
(4) дТ{-Р’
' ’ дп
(5} дТ
} dt
. Л Р* '
(6) Т\(Р, r)T2(P, I—т) dr
О
Т (Р, s) = e~stT(P, t) dt
b
a(P)T(P, s)
(P, s)
дТ (P, s)
dn.
sf(P, s)—T(P, 0)
T\ (P, S) T2 (P, s)
Таким образом, преобразованную краевую задачу можно получить путем
простой замены каждого члена, фигурирующего в исходной краевой задаче
соответствующим ему членом, взятым из этой таблицы.
Операционное свойство (6) известно как теорема о свертке изображения.
Это свойство можно доказать следующим образом.
По определению, преобразованием Лапласа интеграла свертки
t
7\(Р, х)Т2 (Р, t — x)dx
о
является следующий интеграл
со t
e-st [ J Т\ (Р, 0 Т2 (Р, t - т) dr ] dt.
b b
При достаточно общих предположениях можно переменить порядок интегри-
рования; имеем
J e~st Ц 7\ (Р, t) Т2 (Р, t-x)dt = J Т\ (Р, т) е~рТ2 (Р, t - т) dt dx.
0 0 0 -г
Замену пределов интегрирования легко понять, если повторный интеграл
рассмотреть как двойной в плоскости т, t. Если во внутреннем интеграле
обозначить новую переменную интегрирования через г = t — т, то получим
^7\(Р, т) e-s'T2(P, t — x)dtdx= ^Т\(Р,х) e~s{,+x^T2 (Р, г) drdx =
от. 00
= ? e~^Ti (Р, т) dx ^е-^Т2(Р, r)dr=T1(P, s)T2(P,s),
о о
что и требовалось доказать.
7.3. Преобразование Лапласа
187
б) Замечания по данному методу. Метод преобразования Лапласа при-
меним к любой задаче теплопроводности (которая приводится к линейной
краевой задаче), если коэффициенты при неизвестной функции, описываю-
щей температуру, зависят только от пространственных координат1). Неодно-
родные члены могут зависеть как от пространственных координат, так и от
времени.
Преимущества. В большинстве случаев, иногда даже с довольнс
сложными граничными условиями, решение задачи с помощью этого методе
получается стандартным (хотя, возможно, и длинным) путем. Для некоторых
геометрических форм бесконечно протяженных тел решение можно полу-
чить в замкнутом виде в табулированных функциях. В виде бесконечных
рядов решение можно получить как для больших, так и для коротких интер-
валов времени и тем самым обеспечить хорошую сходимость решения для
всех моментов времени.
Недостатки. В некоторых случаях обращение преобразованногс
решения провести довольно трудно; иногда оригинал удается получить толь-
ко в виде определенных интегралов, которые вычисляются только числен-
ным методом.
в) Пример. Плита с нулевой начальной температурой ограничена пло-
скостями х=0их=£и простирается в бесконечность в направлениях
у и z. Поверхность х = L идеально теплоизолирована, в то время как поверх-
ность х = 0 имеет при t > 0 температуру, равную То.
Эта задача является частным случаем задачи, рассмотренной в примере 1
п. 7.2 (с подвижной температурной шкалой и координатой х). В безраз-
мерных переменных (5.5.1) и при TR = То соответствующую краевую задачу
можно записать следующим образом:
д2Т* дТ* , 0 < х* < 1, t* > 0;
дх*2 dt*
гр* = 1, х* =0, t* >0;
дТ* дх' = о, х* = 1, t* >0;
р* = 0, 0 < х* < 1, /* = 0.
(7.3.11;
(7.3.12)
(7.3.11а)
(7.3.116)
В последующем звездочки, как и выше, опускаются.
С помощью таблицы операционных свойств преобразованную краевук
задачу можно непосредственно написать в следующем виде:
д2Т
dx2
sT,
dT
dx
0<х< 1;
х = 0;
х — 1,
(7.3.13)
(7.3.14)
(7.3.15)
Т =- -' - ,
3 ’
где условие (7.3.14) получается из (7.3.12) простым вычислением, основан-
ным на определении преобразования Лапласа, т. е.
e~st ds = у ,
о
х) Эти коэффициенты могут зависеть определенным образом также и от времени
но в таком случае метод становится трудоемким. См., например, работу [7].
188
Глава 7 Методы решения задач теплопроводности
и где (так как s можно считать параметром) производные записаны как обык-
новенные, а не как частные.
Решение уравнений (7.3.13) — (7.3.15) имеет вид
Т(х, s) =- -ch [|/s . (7.3.16)
s-ch у s
Оригинал можно найти, пользуясь комплексной формулой обращения
(7.3.10), где интеграл вычисляется с помощью теоремы о вычетах. Данный
метод дает решение в том же виде, что и метод разделения переменных,
а именно в виде ряда (7.2.47). Характеристические значения —сД последнего
соответствуют нулям знаменателя правой части выражения (7.3.16), обу
словливающего наличие простых полюсов с вычетами.
Как отмечалось выше, решение в виде (7.2.47) представляет собой реше-
ние для больших интервалов времени в том смысле, что бесконечные ряды
быстро сходятся лишь при больших значениях времени. Если это все, что
требуется, то метод разделения переменных является, по-видимому, наиболее
простым. С другой стороны, выражение (7.3.16) можно написать, как этс
мы сейчас покажем, в виде, пригодном и для коротких интервалов времени.
Для этого выразим гиперболические функции через показательные, затем
разложим функцию Т (х, з) в степенной ряд с отрицательными показателями
степени следующим образом:
тр, , f е-х1Г^+е(х-2)Уз
[X,S)~ s(e^ + e-^) "si 1+е-2/з j ~
со со
= у [e~xVs (— 1)пе~2п^ = (-1) п^~(2п+х)]/~s
11=0 71—0
-гу 2 (-Ife-r^+D-^. (7.3.17)
п=0
Все члены этого ряда являются функциями одного и того же вида; функции
такого вида имеются в таблицах для обратных преобразований Лапласа
(см., например, Карслоу и Егер, стр. 380, № 8). В результате в безразмер-
ном виде получим следующее выражение:
Т*(Х*,И=Е (- 1 )п ег*с ( ) + 2 (-феНс2^^ (7.3.18)
77=0 77=0
или в размерном виде
оо со
7(x,O = 7'o[2(-1)nerfcl^+2(-I)nerfc21r7V^=£]’ (7.3.18а)
где дополнительная функция ошибок erfc х определяется (6.3.166). Так как
эта функция быстро убывает при больших значениях аргумента, ряды
(7.3.18) быстро сходятся для малых t*; при очень малых значениях времени
существенным является только первый член первого ряда, т. е.
T(x,0^Terfc—~ при 1. (7.3.19'
2 V tct
7.4. Конформное отображение
189
Это выражение совпадает с формулой (6.3.9), полученной для случая полу-
бесконечного тела. Это показывает, что для коротких периодов времени пли-
та ведет себя как полубесконечное тело, что ясно также интуитивно и вслед-
ствие чего эта идеализация приобретает практическое значение.
7.4 Конформное отображение. Метод конформного отображения приме-
ним только для решения двумерных задач стационарной теплопроводности
с постоянным коэффициентом. В книге Карслоу и Егера, гл. 15, приводятся
б
Рис 72.
полученные этим методом решения для клина, углов и т. д.; конформное
отображение часто является наиболее мощным методом решения такого роде
задач.
а) Описание метода. Рассмотрим задачу определения двумерного уста-
новившегося распределения температуры в цилиндре, поперечное сечение
которого представляет собой односвязную область Dz+ Bz с границей В-
при заданном распределении температуры на границе Вг (рис. 7.2, а). Если
коэффициент теплопроводности постоянен, то распределение температурь
Т (х, у) удовлетворяет следующей краевой задаче:
T = G(P2) для Pz на В,. (7.4.2;
Трудность решения этой краевой задачи обусловлена не видом дифферен-
циального уравнения или граничных условий, а формой граничной линии
на которой заданы эти условия. Следовательно, желательно произвести
такую замену независимых переменных
и = и (х, у),
v = v(x, у)
(7-4.3’
с обратными функциями, обозначенными через
(7.4.3а;
х — х (и, о),
у=у(и, п),
чтобы можно было отобразить область Dzl- Bz в область на плоскости и, i
(например, в область £>ш + Bw) с более простой формой граничной линиг
190
Глава 7. Метода решения задач теплопроводности
(рис. 7.2, б), не осложняя вида дифференциального уравнения или гранич-
ных условий. Такую замену независимых переменных можно провести с по-
мощью метода конформного отображения.
Пусть z и — комплексные переменные, определенные следующим
образом:
z = %+ iy,
w = u + iv.
(7-4.4)
(7.4.6)
Pw на Bw. (1Л.Т
Pz соответствует точка Pw, т. e
в Dw,
Плоскость x, у назовем плоскостью z, а плоскость и, v — плоскостью w.
Предположим, что можно найти аналитическую и одноместную (каждому
значению г соответствует одно значение w и наоборот) в области D г функцию
щ=щ(г), (7.4.5)
отображающую эту область в более простую Dw на плоскости к?1). Тогда
эта функция и ее обратная z = z (ш) определяют функции и = и (х, у
и т. д. в уравнениях (7.4.3), которые представляют собой желаемую замену
независимых переменных, так как2) функция Т (и, v) (как увидим ниже)
удовлетворяет следующей краевой задаче в плоскости w.
д2Т , д2Т _ „
ди2 ~1" dv2
Т = G (Pz) при
Посредством функции w = W (z) точке
требуется просто, чтобы температура была одинаковой в соответствующие
точках границ Bz и Bw. Эти утверждения основываются на некоторых важ
ыых результатах теории функций комплексного переменного; ход рассуж-
дения следующий3).
1) По определению, функция Т (х, у) является гармонической в область
Dz, так как она удовлетворяет уравнению (7.4.1); потребуем, чтобы Т (х, у)
была функцией класса С(2) в этой области.
2) Существует такая функция S (х, у), что
Н (z)~T (х, y) + iS(x, у)
является однозначной аналитической функцией в Dz.
3) Если w = w (г) — аналитическая и однолистная функция в D z.
то ее обратная функция будет также аналитической и однолистной в область
Dw.
4) Следовательно, функция
Н (г) = Н [z(ay)] = T [x(u, a),y(tz, а)] + iS [х (u, v), у (и, v)] =
— Т (и, а) + iS (и, v)
г) Если w = w (г), то говорят, что точка г в плоскости г отображается посред
ством функции ш (г) в точку ш в плоскости w. Тогда область Dw представляет собоь
совокупность всех значений w, соответствующих всем значениям г в области Dz.
Можно показать, что отображение, данное аналитической функцией w = w (г), кон-
формно; это означает, что оио сохраняет как величину, так и направление углов в лю-
бой точке, где w' (г) =у= 0. Можно доказать, что требование ш’ (г) =(= 0 в области ZX
является необходимым условием однозначности функции w (z) в области Dz.
2) Здесь и в последующем используется обозначение Т (х, у) = Т [х (и, и).
у (и, а)] = Т (и, а), так что функции Т (х, у) и Т (u, v) не являются одинаковыми
функциями своих аргументов, но их значения равны в соответствующих точках х, у
и и, V.
з) Для обоснования последующих операций, а также для более детального озна-
комления с теорией читатель отсылается к стандартным учебникам по этому предмету,
например, к книге [8].
7.4. Конформное отображение
191
аналитическая и однозначная в Dw, так как аналитическая функция ана-
литической функции будет также аналитической.
5) Так как вещественная и мнимая части аналитической функции
являются гармоническими функциями, то функция Т (и, и) гармоническая
и однозначная в Dw, т. е. удовлетворяет уравнению (7.4.6). То, что функция
Т (и, v) удовлетворяет граничному условию (7.4.7), вытекает непосред-
ственно из определения функции Т (и, v) (см. сноску 2 на стр. 190).
Следовательно, метод конформного отображения для решения рассмат-
риваемого здесь типа краевых задач состоит в следующем.
I. Определяем однолистную, аналитическую функцию w = w (z),
отображающую первоначальную границу Bz в более простую Вш.
II. Преобразуем граничные условия для функции Т (х, у) в граничные
условия для функции Т (и, v).
III. Решаем задачу для функции Т (и, и) в плоскости w.
IV. Переходим от функции Т (и, и) к функции Т (х, у) с помощью соот-
ношений (7.4.3), соответствующих отображающей функции w = w (z).
В большинстве случаев пункт I является наиболее трудным и требует
хорошего знания функций комплексного переменного. Существуют таблицы
конформно отображающих функций '), использование которых значительно
облегчает решение задач. Имеются также методы для построения функции,
конформно отображающей область D'z + Bz в более простую область, где
область D’z- B'z незначительно отличается от заданной области Dz !- Bz.
Пункт II не представляет трудностей, как мы это видели в случае задан-
ной поверхностной температуры. Если требуется, чтобы часть границы В2
была идеально теплоизолирована (дТ (х, г/)/длг = О), то необходимо простс
наложить условие дТ (и, v) /dnw = 0 на соответствующей части границы
Bw, где пz и пш — нормали к границам Bz и Вш соответственно * 2). Метоц
конформного отображения можно применять также и в случае других
граничных условий.
В случае задания температуры на всей границе Bz задача, указанная
в пункте III, легко решается, если первоначальную область можно отобра-
зить на области (например, в единичный круг или полуплоскость), для кото-
рых общее решение известно в простом виде. Приведем теперь в общих чер-
тах вывод этого общего решения для случая, когда Dw представляет собой
верхнюю полуплоскость, так как при таком выводе получаются некоторые
полезные промежуточные формулы. Определим сначала функцию Т (и, ф
в области DU1 при граничных условиях, показанных на рис. 7.3. Решение
будет
Т (и, о) = arg аз, 0<argto<n, (7.4.8)
Ч См. работу [9].
2) Это вытекает непосредственно из закона преобразования производных по дан-
ному направлению при конформном отображении; см., например, Черчилл [8].
192
Глава 7. Методы решения задач теплопроводности
где arg w обозначает аргумент w, т. е.
arg w = arctg ~ . (7.4.9)
Легко видеть, что таким образом определенная функция Т (и, v) удовлетво-
ряет граничным условиям и ограничена (как это вытекает из физических
Р и с. 7.4.
соображений и из условия о единственности решения). Кроме того, функ-
ция Т (и, о) гармоническая в области Dw, так как она является мнимой
частью аналитической в D,., функции, т. е.
Т (и, 0 = Im (1g да), -K)^<arga> <. (7.4.10)
Для других граничных условий это решение обобщается следующим обра-
зом:
Т(и, 0<arg®<n; (7.4.11)
Т(и, ц) = 7\ , 0<arg (w- Ci) < л. (7.4.12)
Путем наложения двух решений вида (7.4.12) получаем решение следующего
случая:
Т («, ») = Т, (1 - argbyb ) - Т, (1 - arg ^i=) =
- Д (arg (w - £,) - arg (а» - ?,)) - 'Ц arg ,
0 < arg (го — gt)< л, 0 < arg (w — g2) К л; (7.4.13'
Т(и, Д = 4 S ’ 0<arg(ay-V)<n, J = l,
(7.4.14
7.4. Конформное отображение
1К
Рассмотрим теперь предел, к которому стремится выражение (7.4.14) прг
п со. В результате получаем решение х)
3
Т (и, и) = -М (7.4.15'
v ' ' nJ (и—£)2-(-tl2 '
для следующего распределения температуры на границе: Т (и, 0) равнс
f (и) на а< р и нуль на остальной части границы. Если функция f (и.
Рис. 7.5. Пример конформного отображения.
ограничена, то а и р могут быть бесконечными, что приводит к следующему
общему результату, а именно к интегральной формуле Пуассона для полу-
плоскости
СО
Т(«, о) = — ( 2 • (7.4.16'
' ’ 7 nJ (и—£)2+у2 '
—оо
Задача, указанная в последнем пункте, т. е. в пункте IV, достаточнс
трудна, если отображающая функция была определена в виде z = z (w.
(как, например, в случае применения формулы Шварца — Кристоффеля для
конформного отображения многоугольников) и если ее нельзя легко обра
тить.
б) Пример. Требуется определить установившееся распределение тем-
пературы в клине, показанном на рис. 7.5, а, при указанных на рисунке гра-
ничных условиях.
Легко видеть, что функция
ay = zc, O<argz<0o, (7.4.17)
где
с = ~ (7.4.17а)
°о
конформно отображает область Dz на верхнюю полуплоскость плоскости w.
Преобразованные граничные условия показаны на рис. 7.5,6. Решение пре-
образованной задачи получается непосредственно из (7.4.13) в следующем
виде:
гр i . Т\ w—ас Т\ u24-v2—acu4-iacu
Tin, v) = -^arg —== —arg-Jl^^^—=
= arctg -гс — , (7-4.18)
См. работу [10].
13 Боли и Уэйнер
194
Глава 7. Методы решения задач теплопроводности
где значение arctg находится между 0 и я. От функции Т (и, и) можно перей-
ти к функции Т {х, у) или лучше к функции Т (г, 0) с помощью следующих
подстановок:
и — Г: cos (с0),
с / Q (7.4.19)
v = rsin(c0). '
В результате получаем
Т(г, 0) = ^- arctg г—S,'nc-., • (7.4.20)
v ’ 7 л & rc—ас cos с0 v 7
7.5. Численные методы. При учете влияния зависящих от времени тем-
пературных свойств материала или нелинейных граничных условий задача
теплопроводности становится нелинейной и ни один из аналитических мето-
дов решения, приведенных до сих пор в этой или в предыдущей главе, при-
менять нельзя. В этом случае часто бывает необходимым использовать чис-
ленные методы или методы конечных разностей, которые (особенно в послед-
ние годы, вследствие развития быстродействующих вычислительных машин)
интенсивно разрабатывались х). В настоящем пункте мы дадим лишь краткое
объяснение сущности этих методов.
Ограничимся исследованием одномерной задачи, приводящейся к сле-
дующей краевой задаче [где проведено преобразование температурной шка-
лы согласно (5.3.9); температура Т', фигурирующая в этом соотношении,
обозначается в дальнейшем просто через Т, а функция h (Т) в условии
(7.5.3) представляет собой получающийся при этом преобразовании коэффи-
циент при Т и не имеет прежнего физического значения). Теоретически
таким же путем можно рассмотреть двух- и трехмерные задачи, хотя прак-
тически трехмерный случай является труднопреодолимой задачей даже для
больших современных вычислительных машин
х (Т) — Qt , 9 < х <С A, t у> 0, (7.5.1)
4~ = 0, х = 0, / > 0; (7.5.2)
йо-|^ + /г(7)Т = О, x=L, t>0; (7.5.3)
Т = Т(х) 0 < х < L, t = 0. (7.5.4)
Построим в плоскости х, t сетку с размерами сторон Ах — Ып и А/
соответственно; введем обозначение
Т (z’Ax, /А0 = Тг,7-; z — 0, 1, ..., п, j = Q, 1, 2, ... (7.5.5)
(которое, хотя и похоже, но ничего общего не имеет с индексным обозначе-
нием, применявшимся в гл. 1). Используем теперь следующие приближен-
ные выражения в конечных разностях -) для производных в уравнениях
(7.5.1) - (7.5.3):
дТ (iAx, jM) Tt+\, j—Tt, j j—Ti—i, j , „
дх ~ Дх ~ Ax ’ l/.O.oj
d* 2T (iAx, j At) ,
dx2 ~ (Ax)2 ’ v J
dT (/Дх, jAt) Tt, j+i 7), j (7 5 8'
dt At 1
См., например, учебники [11].
2) См. учебник Милна в списке работ [11].
7.6. Электроаналогия
195
Подставляя эти выражения в уравнения (7.5.1) — (7.5.4) и перегруппиро-
вывая члены, вместо первоначальной краевой задачи получаем следующие
приближенные уравнения в конечных разностях:
где
7+1 “ 4 j Tl+U 4 ( 1 Л4- J j (7.5.9)
г = I, ..., rt — 1, / =0, 1, . . .;
j = 0, 1, 2,...; (7.5.10)
)т^и+1, / = 0, 1, 2, ...; (7.5.11)
Тг,о=Л, г' = 0, 1, ..., п, (7.5.12)
F^F^x). (7.5.13)
Уравнения (7.5.9) — (7.5.11) представляют собой простые арифметические
формулы, позволяющие вычислить температуру в узлах сетки в (/ + 1)-й
момент времени, зная значения температуры в узлах в z-й момент времени;
в начале процесса вычисления используются начальные условия, опреде-
ляемые (7.5.12). Такой способ расчета хорошо приспособлен к принципу
работы вычислительных машин. Разумеется, точное решение задачи в конеч-
ных разностях будет отличаться от точного решения первоначальной задачи
с дифференциальными уравнениями в частных производных, но можно ожи-
дать, что эта разница будет уменьшаться, если использовать меньшие зна-
чения Дх и Д/, т. е. решение первой задачи будет стремиться к решению
последней. Наряду с этим вопросом сходимости существует также вопрос
устойчивости решения, суть которого заключается в следующем: на практике
при численном решении задачи в конечных разностях на каждом шаге
решения вследствие округления цифр в расчеты вкрадываются ошибки.
Процесс вычисления называется устойчивым, если влияние этих ошибок
не увеличивается при продолжении процесса вычисления. Эта важная зада-
ча до сих пор полностью не исследована для линейного случая, соответствую-
щего уравнениям (7.5.1) — (7.5.4) (свойства материала не зависят от тем-
пературы), можно показать, что процесс вычислений, указанный в уравне-
ниях (7.5.9) — (7.5.12), устойчив, если
= (7.5.14)
При М = 2 уравнение (7.5.9) принимает особенно простой вид; в таком слу-
чае приведенный выше метод называется процессом Шмидта. Так как резуль-
таты, полученные численными методами, применимы только к какой-либс
рассматриваемой частной задаче, то для определения влияния изменения
различных параметров необходимо решить новую задачу. Далее, в связь
с тем, что решение получено в численном виде, последующее исследование
температурных напряжений также должно быть проведено численным спо-
собом.
7.6. Электроаналогия. В предыдущем пункте путем замены производ-
ных по пространственной координате и времени выражениями в конечных
разностях получена приближенная формулировка задачи нестандартной теп-
лопроводности, пригодная для расчета на быстродействующих вычисли-
тельных машинах. В настоящем пункте покажем, что замена конечным!-
разностями только производных по пространственным координатам, но со
13’
196
Глава 7. Методы решения задач теплопроводности
хранение производных по времени, приводит к приближенной постановке
задачи, пригодной для расчета по методу электроаналогии.
Ограничимся снова задачей, рассмотренной в предыдущем пункте,
т. е. уравнениями (7.5.1) — (7.5.4). Так как в данном случае рассматри-
ваются конечные разности только по пространственной координате, то вво-
дим следующее обозначение:
Т(/Дх, /) = Л(0 7=0, 1, ..., п. (7.6.1)
Используя приближенные выражения в конечных разностях для соотно-
шений (7.5.6) и (7.5.7), уравнения (7.5.1) — (7.5.4) можно заменить следую-
щими приближенными выражениями:
^Г-1хА^Т^~2Т^ + Т^ > 0; (7.6.2)
To^Ti, 4 > 0; (7.6.3)
£oI5^+/l(7V)Tn = o> />0; (7.6.4;
Tt = Fi, z = 0, 1, . . ., п, t> 0. (7.6.5)
Следовательно, сформулированная таким образом задача представляет собой
систему из п— 1 обыкновенных дифференциальных уравнений первого по-
рядка для функций 7\ (t), . . ., Tn-i (/), где функции T0(f) и Тп (4) опре-
деляются через эти функции с помощью (7.6.3) и (7.6.4). Эту систему урав-
нений легко решить на электроаналоговом вычислителе, представляющем
Рис. 7.6. Типичный контур для решения задач неустановившейся
теплопроводности методом электроаналогни.
собой пассивную цепь, показанную на рис. 7.6. Перед началом эксперименте
конденсатор в t-м узле заряжается до значения 7=1,..., п—1.
и эксперимент начинается включением конденсаторов в контур, как это по-
казано на рисунке. Приравниваем ток в двух постоянных сопротивлениях
7? в t-м узле к току в конденсаторе переменной емкости, величина которой
С (ег) зависит от величины напряжения в этом узле; заметим, что контур
открыт в нулевом узле и что в нулевом и п-ом узлах конденсаторов нет.
Таким образом, получаем следующую систему уравнений, описывающук
изменение напряжения et (tE) в узлах (t = 0, 1, . . ., га), где tE обозначает
шкалу времени эксперимента на электрическом контуре и не обязательнс
совпадает со шкалой времени задачи теплопроводности:
+ Z“l’ •••’ «-!’ ^>0; (7-6-6'
aiE ^c\ei)
е0=е., tE > 0; (7.6.7)
4 ^-0 + ^ = 0, ^>0; (7.6.8)
et=fi, 7=0, 1, ..., n, tE — 0. (7.6.9)
1.7. Приближенные аналитические методы
197
Определим следующие соотношения между температурными и электриче-
скими величинами:
7 = ре,, (7.6.10)’
t = ytE. (7.6.11)
Тогда уравнения (7.6.2) — (7.6.5) и уравнения (7.6.6) — (7.6.9) будут иден-
тичны, если электрические и температурные параметры удовлетворяют
следующим соотношениям:
wrw- (7-6Л2)
(7.6.13>
при значениях е и Т, удовлетворяющих соотношению (7.6.10), и при
(7.6.14)
Этот метод электроаналогии оказался очень ценным при исследовании
разного вида сложных задач нестационарной теплопроводности х). Так как
в этом методе результаты получаются в численном виде, то для определения
температурных напряжений он имеет те же недостатки, что и метод конеч-
ных разностей, о чем мы уже говорили в предыдущем пункте.
7.7. Приближенные аналитические методы. Выше было отмечено, что
численная форма результатов, полученных численными и аналоговыми
методами, требует численного метода расчета температурных напряжений.
Кроме того, при использовании этих методов влияние изменений значения
параметров можно определить только с помощью большого количества
отдельных вычислений.
Для получения приближенных решений в аналитическом виде разрабо-
тано несколько методов; эти методы не имеют вышеупомянутых недостатков-
и в тех случаях, когда их можно применить, являются очень ценными. Один
из таких методов дан Канторовичем * 2) и Грином 3) и заключается в следую-
щем обобщении метода Галеркина 4 * *). В области D + В приближенное реше-
ние краевой задачи теплопроводности с нулевыми начальными условиями
находится в следующем виде:
Т(Р, t) = T[P, С1(0, ..., МОЬ
где Т (Р, t) удовлетворяет граничным условиям для всех значений функций
Ct (f). Последние определяются из следующих уравнений:
ПЛ!Г-Жл'=«’‘-1..................<7-7-»
D
которые после интегрирования приводятся к п обыкновенным дифференци-
альным уравнениям для п функций сг (/).
Прежде чем привести конкретный пример применения этого метода,
мы изложим другой вариационный метод, данный Био и всесторонне разра-
г) Установка для таких целей имеется в Лаборатории исследований тепло-
и массообмена Колумбийского университета; см. работы [12].
2) Этот метод изложен, например, в книге Л. В. К а н т о р о в и ч а, В. И. К р ы-
л о в а, Приближенные методы высшего анализа, М.—Л., 1952. •
3) См. работы [13].
4) Этот метод был предложен И. Г. Бубновым [19] в 1913 году в рецензии на
работу С. П. Тимошенко «Устойчивость упругих систем». У нас он обычно называется
методом Бубнова, или методом Бубнова — Галеркина — Прим. ред.
roe
Глава 7. Методы решения задач теплопроводности
ботанный им в ряде работ; кроме рассматриваемой здесь задачи теплопро
водности этот метод с большой общностью можно применять также и в дру-
гих случаях1).
Температура Т должна, разумеется, удовлетворять уравнению тепло-
проводности, которое при переменном коэффициенте теплопроводности мож-
но написать следующим образом (в индексном обозначении гл. 1):
(kTqcT. (7.7.2:
Очевидно, что это уравнение эквивалентно следующим двум:
QcT=~Hi, г, (7.7.3:
kT,i=~Ht, (7.7.4;
где Hi, — вектор потока тепла. Выведем теперь вариационное уравнение,
эквивалентное уравнению (7.7.4), следующим образом. Очевидно, уравнение
(7.7.4) будет удовлетворено, если объемный интеграл равен нулю,
+ (7.7.5
D
для всех возможных вариаций 6Яг-, совместимых с наложенными граничным!
условиями. Однако на основе теоремы о дивергенции имеем
(7.7.6;
В
где пг обозначает единичную нормаль, положительную, если она направле-
на внутрь области. Из уравнения (7.7.3) получаем г)
T^Ht dV = - И TtitbHi dS + f И Tb (qcT )dV =
Ъ в в
= — J j TnfiHi dS S J J dV.
B D
(7.7.7)
теплопроводности имеется
(включая эффекты связан-
х) Изложение этого метода применительно к задачам
в работе [14]. Применение этого метода к термоупругости
ности и инерции) можно найти в работе [15], а основная теория, лежащая в основе
обеих этих работ, описана в ранних работах того же автора [16J. Полный обзор дан-
ного вопроса дан Био в работе [17]. За исключением нескольких замечаний, сделан-
ных в пункте 8.11 (г), изложенный в настоящей книге метод применим только к задаче
теплопроводности, но, как показывают заглавия цитированных в этой ссылке работ,
метод является достаточно общим. Далее, формулы выводятся здесь формальным путем
без учета термодинамики, хотя последняя занимает в работе Био видное место.
2) Это справедливо только тогда, когда qc не зависит от температуры; в случае,
когда QC является функцией температуры, подинтегральное выражение в последнем
т
объемном интеграле будет равно ^QcTdT, и соответствующее выражение для темпе-
, О
ратурного потенциала вместо (7.7.9) будет
т
В о
В таком случае уравнение (7.7.3) должно быть заменено следующим:
Т
Иы = QcdT.
о
о
7.7. Приближенные аналитические методы
195
Следовательно, интеграл (7.7.5) примет следующий вид:
S [4 JJJ 4- J ~HibHtdV= TnfiHidS, (7.7.8;
Ь b л
что и представляет собой основное вариационное уравнение. Величину
V=_L J ocT-dV (7.7.9;
ъ
Био называет «температурным потенциалом» и вводит обозначение
= J —HibHidV. (7.7.10;
С помощью этих формул приведенное вариационное уравнение принимает
следующий вид:
SV+ SD = Ц TntbHi dS (7.7.1 Г
в
и допускает такую же интерпретацию, что и принцип виртуальной работы
(см. п. 8.11 (г)). Эту формулу легко обобщить на случай анизотропногс
материала или внутреннего выделения тепла.
Один из способов применения уравнения (7.7.11) при приближенном
решении задач теплопроводности состоит в следующем. Выбираем функции
Hi, зависящую от нескольких (в данном случае га) параметров qj (0 (j =
= 1, 2, . . ., га), т. е. г)
#/=(71,72, •••, qn, х, у, z). (J.1.V1}
Тогда из уравнения (7.7.3) можно в зависимости от этих параметров опреде-
лить температуру, а следовательно, вычислить также V и SD; подставим,
далее, эти величины в уравнение (7.7.11), где
(7.7.13)
Так как получающееся в результате уравнение должно быть удовлетворенс
для всех произвольных dq, (т. е. коэффициенты при каждом bq] должны
быть равны нулю), то получим систему га совместных уравнений для п
неизвестных функций q}\ после нахождения этих неизвестных можно легкс
определить Hj, а также температуру, и тем самым задача полностью решена.
Био показал, что этот метод можно обобщить далее, сформулироваь
результат, например, в виде, аналогичном хорошо известному в механике
уравнению Лагранжа. Для этого /7, записывается в виде (7.7.12), так чтс
bHj снова дается соотношением (7.7.13), и так как
рг.14:
то
(7.7.15)
х) Вывод можно обобщить для случая, когда правая часть выражения (7.7.12)
зависит также от времени явным образом.
200
Глава 7. Методы решения задач теплопроводности
Далее
= b4i. (7.7.16)
<d4j ' dqj dq3 L 2 J
Величину 60, определяемую выражением (7.7.10), можно переписать теперь
в следующем виде;
= Щ (7.7.17)
о в dq3 dqj
где «диссипативная функция» D определяется так:
(7.7.18)
D
Наконец, заметим, что
SV = ^- (7.7.19)
и введем понятие о «температурной силе» Qj, определенной следующим обра-
J J Tn^dS. (7.7.20)
в i
С помощью введенных понятий вариационное уравнение (7.7.11) принимает
следующий вид:
+ = (7.7.21)
Так как это уравнение должно быть удовлетворено для всех bq3, то в ре-
зультате получаем следующие уравнения в форме Лагранжа:
+ (7.7.22)
aqj dqj
из которых определяются неизвестные функции q3. Читатель, интересую-
щийся подробностями вывода, различными обобщениями метода в случае
граничных условий, отличных от граничных условий для заданной темпе-
ратуры или заданного теплового потока (выражения, приведенные в настоя-
щем пункте для D и Q;, справедливы только для этих случаев), а также спо-
собами и свойствами, которые используются для упрощения решения (как
например, применение нормальных координат), отсылается к цитированные
выше работам.
В качестве простого примера применения этих методов рассмотрим пли-
ту толщиной L с постоянными свойствами и с начальной температурой
Т = 0. Поверхность у = 0 при t = 0 подвергается внезапному действик
температуры Тг, а поверхность у = L идеально теплоизолируется. Следуг
Био, выражение для температуры выберем в следующем виде:
при y<qt,
при y>qt,
(7.7.23)
и величину qi назовем «глубиной проникновения»; тогда
V = \ T*dy^^-qt. (7.7.24)
7.7. Приближенные аналитические методы
201
Так как задача одномерная, имеем одну компоненту Hi, обозначенную здесь
через Н. Из уравнения (7.7.3) получаем
Н = - JJ cxTdy^^q'(^\~y^y , (7.7.25)
91
где использовано условие Н = 0 при у = q±. Диссипативная функция будет
91
£>= 2*
о
Н2 du — 13 (бс70)2 • 2
н аУ~ 630*
(7.7.26)
Температурная сила Qi, определяемая (7.7.20), равна
п ~г д!1\
~ 7 0 dqi |у=1 3 •
(7.7.27)
Подстановка этих величин в уравнение Лагранжа, т. е. в уравнение
+ = (7.7.28)
dqi
дает
• 147 Ь
^ = ~2бТс’ (7-7’29)
что представляет собой уравнение для определения величины <?<. Решение
этого уравнения имеет вид
<7i = l/3,36 l/— =3,36]/х/ ,
Г 13 ОС V QC > г >
так что распределение температуры будет
I 9<з,зб/|',
0 при </>3,36 |А'.
(7.7.30)
(7.7.31)
Это решение показывает, что с течением времени все большая и большая
часть плиты испытывает повышение температуры; наиболее удаленная
поверхность х = L впервые испытывает такое повышение в момент времени,
равный «переходному времени»
^0,0885^-2, (7.7.32J
1 k v
соответствующий значению <?i = L. Следовательно, очевидно, что найденнск
выше решение справедливо только для значений времени /<^г, при
> ti выражение для температуры (7.7.23) непригодно и должно быть заме
нено более подходящим выражением. Тогда можно предположить, что
71 = (^o-Q2)(l-f)2+72, t>h. (7.7.33
Поступая так же, как и выше, получаем решение в следующем виде:
= t>h. (7.7.34)
На рис. 7.7 приводится показанное Био численное сравнение полученных
результатов с точным решением этой задачи; как легко видеть, результаты
приближенного метода хорошо согласуются с точными.
202
Глава 7. Методы решения задач теплопроводности
Рассмотрим теперь приближенное решение этой же задачи (используе-
мой для иллюстрации метода Био) методом Канторовича, исходя из того же
приближенного выражения (7.7.23) для распределения температуры. (Этим
Рис 7.7. Приближенное решение для распределения температуры в плите,
определенное методом Био.
— — — точное решение, -------- решение методом Био.
методом будет рассмотрена только первая фаза задачи.) Для такого
приближенного распределения температуры имеем
д2Т
X
ФР
dt I 0, . q<y<L,
0<y<ql,
(7.7.35)
и
[О, <71<Р<Л.
(7.7.36)
Подставляя эти выражения в основное уравнение метода Канторовича
[уравнение (7.7.1)], получаем уравнение
«МФР-Х'-ффК'-фМ'0- (7-7-37:
о
которое после интегрирования приводится к виду
QiQi —5х. (7.7.38'
Решение этого уравнения будет
3,17]/х?. (7.7.39
Этот результат мало отличается от результата, полученного методом Био
7 8 Некоторые способы обобщения вышеприведенных решений 203
7.8. Некоторые способы обобщения вышеприведенных решений. Суще-
ствуют различные способы решения сложных задач; эти способы можно найти,
оперируя уже известными решениями. Ниже приводится описание некото-
рых из этих способов.
а) Наложение. Так как в случае, когда свойства материала не зависят
от времени, уравнение теплопроводности является линейным, то сумма
Рис. 7 8. Иллюстрация метода наложения.
решений также удовлетворяет уравнению теплопроводности. Следователь-
но, путем наложения решений более простых задач в некоторых случаях
можно получить решения задач с граничными условиями, зависящими от
времени сложным образом.
В качестве примера рассмотрим плиту, подверженную действию потока
тепла, как в примере 2 п. 7.2. Граничное условие на нагретой поверхности
будет [условие (7.2.59) переписано в размерном виде]
= Н X = L' Z>0’ (7.8.1)
т. e. постоянное количество тепла q подводится бесконечно долго. Предпо-
ложим теперь, что требуется найти распределение температуры Тр (х, t),
вызванное в этой же плите тепловым импульсом величины q и продолжитель-
ности tp, при неизменных остальных граничных условиях. В таком случае
граничное условие на нагретой поверхности будет
дх ' р
^ = 0, x = t>tp. I
дх у )
Тогда температуру Тр (х, /) можно выразить через распределение темпе-
ратуры в непрерывно нагретой плите Т (х, /) следующим образом:
Тр(х, t) = T(x,t), 0<t<tp,
ТР(х, t) = Т (х, t) — T (х, t — t>tp, 1 J
так как ясно, что определенная таким образом температура Тр (х, t) удовле-
творяет условиям (7.8.2), а также другим уравнениям, фигурирующим в крае-
вой задаче для Тр (х, /). На рис. 7.8 приведено изменение температуры нагре-
той поверхности.
Таким же путем можно рассмотреть более сложные случаи; этот метод
можно использовать также для наложения решений, соответствующих раз-
204
Глава 7. Методы решения задач теплопроводности
личным пространственным распределениям температуры поверхности, раз-
личным начальным условиям и т. д.
б) Теорема Дюгамеля {или теорема о свертке)1). В предыдущем при-
мере метод наложения применялся к случаю ступенчатого изменения гра-
ничного условия в зависимости от времени. В случае непрерывного измене-
ния граничных условий в зависимости от времени можно применить теорему
Дюгамеля и выразить решение через решение задачи, в которой граничные
условия не зависят от времени. Частный пример применения этой теоремь;
дан в п. 6.4. Ее можно сформулировать следующим образом.
Температура Т (Р, f) в теле, занимающем область D + В, имеющем
нулевую начальную температуру, с граничным условием
A4(P)|^ + N(P)T = <p(0G(P) на В, t>0, (7.8.4;
где ср (t) и G (Р) — заданные функции, равна
t
Т{Р, <p^_T)^d^LdT. (7.8.5;
о
Здесь Ti (Р, f) представляет собой температуру в том же теле, первоначаль-
но нулевой температуры, с граничным условием
М(Р)^+Ы(Р)Т1= G(P) на В, t>0, (7.8.6;
где обе функции Т и Тх удовлетворяют линейному однородному уравнению
теплопроводности (7.2.1). Наиболее легко эту теорему можно доказать с по-
мощью преобразования Лапласа. Преобразования Лапласа граничных усло-
вий (7.8.4) и (7.8.6) в обозначениях п. 7.3 будут
М(Р)^4-ЛДР)Т = ф(з)С(Р) (7.8.7)
и _
M{P)^ + N{P)T^^G{P), (7.8.8)
в то время как преобразования Лапласа уравнений поля вследствие предпо-
лагаемых нулевых начальных условий остаются однородными. Тогда имеем
Т = ф(5)хЛ. (7.8.9)
Остюда, если использовать операционное свойство (5) п. 7.3 [так как
(Р, 0) = 0] и операционное свойство (6) (теорема о свертке), вытекает
уравнение (7.8.5).
Предположим теперь, что температура Т не удовлетворяет нулевым
начальным условиям; пусть
7’ = Е(Р) в D, t = 0 (7.8.10)
при других неизменных условиях. Тогда можно записать
Т=Та + Ть,
где Та удовлетворяет уравнению теплопроводности (7.2.1), граничному
условию (7.8.4) и нулевым начальным условиям, а Тъ — уравнению тепло-
См. работу [18].
7.8. Некоторые способы обобщения вышеприведенных решении 20Е
проводности, однородному уравнению (7.8.4), т. е. уравнению
A4(/>)-^ + Af(P)Ta=:O на В, t>0 (7.8.11)
и заданным начальным условиям (7.8.10). Функцию Та можно определить
с помощью предыдущей теоремы, а задачу для Ть можно решить, например,
с помощью метода разделения переменных, если область D удовлетворяет
условиям применения этого метода.
Так как функция <р (/) может иметь конечные разрывы, то рассмотрен-
ный в пункте а) пример представляет собой частный случай этой теоремы.
С помощью преобразования Лапласа можно доказать также теорему Дюга-
меля в более общем виде (см. Карслоу и Егер, стр. 19—22). Если соответ-
ствующее решение Ti неизвестно, то легче всего данную задачу решить
непосредственно методом преобразования Лапласа. Однако эти теоремь
полезны для обобщения известных решений даже в том случае, когда послед-
ние представлены в приближенном численном или аналитическом виде.
в) Стержни и пластины с изменяющимися в пространстве граничными
условиями. Решение задач для тел, один из размеров которых мал по срав-
нению с другими (таких, как стержни, пластины, плиты и т. д.), с изменяю-
щимися в пространстве граничными условиями можно упростить с помощьк
следующего метода х), основанного на изложенном в п. 6.8 принципе Сен-
Венана.
Предположим, что требуется определить распределение температуры
в стержне постоянного поперечного сечения А, простирающемся от х = С
до х ~ L, с граничными условиями
M~ + NT = f(P, t) (7.8.12;
вдоль его цилиндрических поверхностей, идеально теплоизолированном
на торцах л; = 0ит = £ис начальной (/ = 0) температурой Т, равной
нулю. Решение удобно искать в следующей форме:
Т = Т0 + Т,+Тг+ . ..= §7\(х, у, z, t), (7.8.13)
fc=0
где функции Tt, i #= 0 удовлетворяют следующим уравнениям:
\ ду2 dz2 J dt
„С&Т, d*Tt\ dTi vd^Tt_l . /7 я 14'
Х 4 * = 2,3,.... (7.8.14,
Функция Ti удовлетворяет начальному условию = 0 и граничному уело
вию (7.8.12); остальные функции Г, (i 0, 1) удовлетворяют начальному
условию 7’i = 0 и однородным граничным условиям, т. е. MdTjdn + NTг =
= 0. Подставляя (7.8.13) в (7.2.1) и учитывая (7.8.14), получаем, что урав
нение теплопроводности Фурье удовлетворяется, если
Z дИ\, д*Т0 д*т0 \ дТ0 ..
Функция То будет определена ниже; прежде всего заметим, что при опреде
лении функций Tit i Ф 0, переменная х играет просто роль параметра, и
х) См. Б. А. Боли [4], гл. 6, а также п. 10.6, где приводится дальнейшее развитш
этого метода применительно к расчету температурных напряжений.
206
Глава 7. Методы решения задач теплопроводности
следовательно, легче определить эти функции, чем действительное решение
Т. Выбор функций Т„ i Ф 0, определенных уравнениями (7.8.14), не являет-
ся еджттао ьозможжам, ио имеет то яргимущеетвю, что каждая функция
Тг, i Ф 0, будет пропорциональна к 2 (г — 1)-й производной по х известной
функции f в условии (7.8.12). Если f является «гладкой» функцией, т. е.
если ее можно разложить в быстро сходящийся степенной ряд по х, то тогда
ее производные будут быстро убывать и ряд (7.8.13) для Т также будет схо-
диться быстро. В частности, если f является полиномом х, то ряд (7.8.13)
будет иметь лишь конечное число членов Тг и решение определяется в зам-
кнутом виде.
В качестве примера рассмотрим случай двумерного стержня, перво-
начально находящегося при Т=0, занимающего область (Кх<Х, —с<Г.у<.с.
с2с/Л<1, внезапно нагретого по поверхности у=с и теплоизолированного
по всем остальным поверхностям; тогда имеем
&yy=Qo<7(*) при у = с,
у (7.8.16)
дТ дТ '
при у = — с, — ==0 при х = 0, L,
где Qo —постоянная. Функции Tt (х, у, t), i ^=0, удовлетворяют слудующим
уравнениям:
7\(х, у, 0) = 0, i= 1, 2, 3, . . .,
k с' =
^{х, -с, 0=0, (7.8.17;
(х, ± с, 0 = 0, i = 2, 3, 4.
ду ' ’ ’ ’
Эти функции легко найти (например, с помощью метода разделения пере-
менных, п. 7.2). Первые три из этих функций имеют вид
31 2 (—z 1
“157120“2?----(l+n2n2r+n4n4T2/2)cosnn Qn + yJ ,
n=l J
где
g = n = T = (7.8.19;
7.8. Некоторые способы обобщения вышеприведенных решений
207
Как отмечалось выше, если q (х) — полином р-ой степени, то производные
d‘lqld'E,n будут равны нулю при п>-р и, следовательно, получим только
конечное число функций Ti. Заметим, что независимо от того, является
ли q(x) полиномом или нет, если q(x)— гладкая функция и если стержень
тонок (2c/L<l), то вклад последовательных функций Tt быстро убывает,
и в большинстве случаев величина ТО г Т\ будет хорошим приближением.
Теперь остается найти функцию То. В общем случае ее следует опре-
делять из уравнения (7.8.15) и граничных условий
Т0(х, у, г, 0) = 0,
зт0 „
= 0 на цилиндрических поверхностях,
(7.8.20)
ат0 Xi дт\ п 7
- -щГ = ~2<Д прих=0, L.
77=1
Однако, согласно п. 6.8, в области
(7.8.21)
т.е. по всей длине стержня, за исключением малых областей на концах,
хорошим приближением для функции То будет решение следующей задачи:
д2Т0 (х, t) дТ0 _
х <Д2 Щ Л
То (%, 0) = 0,
|Д(0, t)= -4- У ? (7.8.22)
дх v ’ 7 A 4J j дх v 7
г=1 А
Д, 0 = - 4 У д- {Lxy’ dA,
дх ' ’ я J дх '
г —1 А
где интегрирование распространяется по всей площади А поперечного
сечения. Эта задача является одномерной1), и решение ее можно найти
без труда с помощью теоремы Дюгамеля следующим образом. Если послед-
ние два условия (7.8.22) заменить условием
то решение будет [см. выражение (7.2.72а)]
СО
т- I г I т 1 к/ , Зх2----L2 2 XI (------1)" .,„2 9,., 2 ПП.хД
Т0(х, 0 = F(x, /) = L|^ + —--------------^4^ ' cos 7-j ,
n—1
(7.8.24,
’) Изложенный в п. 6.8 принцип Сеи-Венана позволяет сделать подобные упро
щения при определении функции То и при иных граничных условиях, чем рассматри-
ваемые здесь. Например, рассмотрим случай, когда температура задана на цилиндри
ческих поверхностях и на торцах [т. е. в (7.8.12) М = 0]. Здесь То равняется нулк
на цилиндрических поверхностях и принимает заданные значения на торцах; согласие
принципу Сен-Венана, с достаточной точностью можно допустить, что функция Т(
равна нулю в области, определенной выражением (7.8.21).
208
Глава 7 Методы решения задач теплопроводности
Если же их заменить условием
дТ0 (х, t)
дх
при х = 0,
при x — L,
(7.8.25)
то
T0(x,t) = F(L-x,t). (7.8.26)
Затем с помощью теоремы Дюгамеля (7.8.5) решение при действительных
граничных условиях (7.8 22) получаем в следующем виде:
СО t
То (х, t) = 2 И {F (L - x,t - /,) dA _
г=1 0 А
-F(x, i-t.) \dT‘(L’J^ г’ dA \ dtt- (7.8.27)
Подставляя (7.8.18) в (7 8.27) для частного примера, определенного урав-
нениями (7.8.16), (7.8.17), получаем следующее выражение:
kT0 (х, t) _ dg (0) f г (1-5)2 1 д
2cQ0 dt, I 2 L 2 6 J
_ад(гТ, <I2_1AT______________Lv
dg t 2 < 2 6 > n«£2 Zj
cos!!F}-
n=l
L=_l)2 (J _e-n2«2₽2T) CQS +
2d3g(0) fT3p2 r(l-g)2 j 1 T2
dg3 [ 6 ’ [ 2 6 J 2
2 i (n2n2^ -1+e~nW2t)cos T} -
n=i
R2dW) f T3p2 , /_^_Х>т2__
p dt,3 I 6 r < 2 6 J 2
CO
^(AfT-Hr^^s^}, (7.8.28)
H—1
где p=2cE.
г) Решения в виде произведения функций. Довольно часто решение урав-
нения теплопроводности Фурье можно получить в виде произведения нес-
кольких более простых решений. Для того чтобы показать возможность
представления решения в виде таких произведений, выше было отмечено,
что решение (6.2.7) для источника в бесконечном теле фактически представ-
ляет собой произведение трех одномерных распределений температур,
определенных выражением (6.2.5) и написанных соответственно для х, у
и z направлений. Аналогично можно получить многие важные решения
задач теплопроводности в виде произведения более простых функцийх).
х) В книге Карслоу и Егера на стр. 22—24, 150—152, 162—164, 193 - 196
приводятся решения, полученные этим же методом для прямоугольников, параллелепи-
педов, углов и т. д.
Библиография
201
В качестве примера рассмотрим решение уравнения
/ д*Г д-Т д2Т \ _ дТ
Z у дх2 ' дх% ' дх} ) dt
в области
60 , 6Z2 Х2 Ь2, °3 < Vg < ^3
(7.8.29'
(7.8.30;
при начальном условии
Т (х{, х2, х3, 0) = f1(x1)f2(x2)f3(x3) (7.8.31;
и граничных условиях (ЛТ;, Nt, Mt, N't — постоянные)
NiT^° при Xi = ai, 1
}z = l, 2, 3. (7.8.32;
M~ + N-T=0 при Xi = bt, J
Легко видеть, что требуемое решение имеет следующий вид:
T(xi, x2, x3, t) = T\ (xit t)T2(x2, t)T3(x3, t), (7.8.33)
где функции Tt (xt, t) (t-^1, 2, 3) являются решениями уравнений
d2rt _ dTt дх} dt (7.8.34)
при начальном условии
Л(хг, 0) = А(хг) (7.8.35)
и граничных условиях
—Л/гТг = 0 при Xi = at, + при Xi = bt, i= 1, 2, 3. (7.8.36)
Таким образом, для данного случая решение в виде произведения установ-
лено. Следует отметить, что начальное условие (7.8.31) содержит важный
случай начальной равномерно распределенной температуры; далее, если
начальное распределение температуры дано в виде тройного ряда Фурье,
то каждый член этого ряда будет иметь вид (7.8.31).
БИБЛИОГРАФИЯ
1. Шнейдер (Schneider Р. J.), Conduction heat transfer, Addison-Wesley
Publishing, Cambridge, Mass., 1955.
2. Жевре (Gevrey M.), Sur les equations aux derivees partielles du type para-
bolique, Doctoral thesis, University of Paris, Gauthier-Villars, Paris, 1913.
3. Гурса (Goursat E.), Cours d’analyse mathematique, fifth ed., Vol. 3, Chap-
, ter 29, Gauthier-Villars, Paris, 1942; русский перевод: Гурса Э, Курс мате-
матического анализа, ОНТИ, М.—Л., 1936.
4. Карслоу (Carslaw Н. S.), Fourier series and integrals, Dover Publica-
tions, New York, 1930.
5. Зоммерфельд (Sommerfeld A.), Partial differential equations in
physics, Academic Press, New York, 1949, Chapter 5; русский перевод: Зоммер-
фельд, Дифференциальные уравнения в частных производных физики, ИЛ,
•М., 1950.
6. Эрде л и (Erdelyi A.), Tables of integral transforms, McGraw-Hill, New
York, 1954, Vol. I.
14 Боли и Уэйнеп
210
Глава 7. Методы решения задач теплопроводности
7. Чжао и Уэйнер (Chao С. С., Weiner J. Н.), Heat conduction in
a semi-infinite solid in contact with a linearly increasing mass of fluid, Quart, oj
Appl. Math., 14, (1956), 214—217.
8. Черчилл (Churchill R. V-), Introduction to complex variables and
applications, McGraw-Hill, New York, 1948.
9. Кобер (Kober H.), Dictionary of conformal representations, Dover Publica-
tions, New York, 1952.
10. Каплан (Kaplan W.), Advanced calculus, Addison-Wesley Reading, Mass..
1957, p. 595.
11. Милн (Milne W. E.), Numerical solution of differential equations, Johr
Wiley and Sons, New York, 1953; русский перевод: Милн, Численное решение
дифференциальных уравнений, ИЛ, М., 1955.
Хильдебранд (Hildebrand F. В.), Introduction to numerical ana-
lysis, McGraw-Hill, New York, 1956.
Милн (Milne W. E.), Numerical calculus, Princeton University Press, Prin-
ceton, New Jersey, 1949; русский перевод: Милн В. Э., Численный анализ,
ИЛ, М., 1951.
12. П аш кис и Бейкер (Р aschkjs V., Baker Н. D.), A Method foi
determining unsteady state heat transfer by means of an electrical analogy, Trans.
ASME, 64, 2 (February 1942), 105—112;
riamKHc(Paschkis V.), Combined geometric and network analog compute!
for transient heat flow, J. of Heat Transfer, ASME, series C, 81, 2 (May 1959), 144—
150.
13. Г p и н (G r e e n J. W.), An expansion method for parabolic partial differentia
equations, J. of Res., Nat. Bureau of Standards, 51 (1953), 127—132.
Уэйнер (W e i n e r J. H.), A method for the approximate solution of the heat
equation, W. A. D. C., Tech. Rept. 54—427, March 1955.
14. Б и о (Biot M. A.), New methods in heat flow analysis with application tc
flight Structures, J. of the Aero. Sci., 24, 12 (December 1957), 857—873.
15. Б и о (Biot M. A.), Thermoelasticity and irreversible thermodynamics, J. oj
Appl. Phys., 27, 3 (March 1956), 240—253.
16. Б и о (Biot M. A.), Theory of stress-strain Relations in Anisotropic viscoela-
sticity and relaxation phenomena, J. Appl. Phys., 25, 11 (November 1954), 1385—
1391; Био ( В i о t M. A.), Variational principles in irreversible thermodynamic
with application to viscoelasticity, Phys. Review,$7, 6 (March 1955), 1463—1469.
17. Б и о (Biot M. A.), Linear thermodynamics and the mechanics of solids, Proc
Third U. S. Nat. Congress of Appl. Meeh., Brown University, June 1958.
18. Дюгамель (Duhamel J. M.), Memoire sur la methode generale relative
au mouvement de lachaleur dans les corps solides plonges dans des milieux dont 1г
temperature varie avecs le temps, J. Ecole Poly technique, Paris, 14, 22 (1833), 20.
19. Б у б н о в И. Г. Отзыв о работе проф. С. П. Тимошенко «Об устойчивости уп-
ругих систем». Сб. С.—Петербурского института инженеров путей сообщения, 31
(1913); Избранные труды, Судпромгиз, Л. 1956, стр. 136—139.
ЧАСТЬ 3
ИССЛЕДОВАНИЕ
ТЕМПЕРАТУРНЫХ
НАПРЯЖЕНИЙ
В УПРУГИХ СИСТЕМАХ
ГЛАВА g
Сводка основных уравнений
для решения задач теории
термоу п ругости
8.1. Введение. В части 3 рассматриваются задачи об определении упру-
гих напряжений и деформаций в твердых телах, находящихся под действием
заданных распределений температуры. В гл. 1—4‘был изложен основной
математический аппарат, описывающий поведение тел, находящихся под
действием тепла и внешних нагрузок. В настоящей главе дадим сводку
основных результатов этого математического исследования, дополняя
иногда главные положения, лежащие в основе результатов, соображениями
физического и интуитивного порядка. Таким образом, читатель может
опустить изложенные ранее более точные выводы и тем не менее получить
нужные сведения о рассматриваемых понятиях. Здесь, за исключением
некоторых выводов, изложенных в п. 8.11, вместо применяемого в части
1 индексного обозначения используется развернутое обозначение.
Рассматриваемая в настоящей части постановка задачи покоится на трех
главных предположениях: температуру можно определить без учета дефор-
маций тела, деформации малы и материал всегда везде ведет себя как упру-
гий. Первое из этих допущений предполагает отсутствие в уравнениях
теплопроводности членов, учитывающих взаимосвязанность механической
и тепловой энергий; это допущение обсуждалось в гл. 2. Второе — пред-
полагает, что перемещения достаточно малы, так что можно пренебречь
различием между координатами частицы до и после деформации, и что
градиенты перемещения достаточно малы, так что можно пренебречь их
произведениями. Наиболее часто встречающимися задачами, для которых
это предположение несправедливо, являются задачи выпучивания; их иссле-
дование откладывается до гл. 13. Наконец, третье допущение предпола-
гает, что изменения температуры и напряжений не очень велики; задачи
в которых такие предположения не оправдываются, рассматриваются в
четвертой части книги.
Большинство понятий и уравнений, используемых в последующем,
идентичны понятиям и уравнениям изотермической теории упругости;
поэтому мы приведем здесь лишь краткое изложение основных уравнений
этой теории, отсылая читателя для более детального изучения к одному
из руководств по теории упругости1).
8.2. Зависимость между термоупругими напряжениями и деформа-
циями. Вообще говоря, температурные напряжения возникают в нагретом
теле или вследствие неравномерного распределения температуры, или
') Основными книгами, на которые мы будем ссылаться, будут книги Лява, а так1
же Тимошенко и Гудьера [I], [II] или книга Сокольникова ([5] к гл. 1).
214
Глава 8. Сводка основных уравнений задач теории термоупругости
вследствие внешних связей, или при одновременном действии этих дву?
факторов. Так как влияние внешних связей Хорошо известно, то ограничим-
ся рассмотрением влияния неравномерного распределения температуры
Представим себе, что тело составлено из большого количества малы?
кубических элементов одинаковых размеров, которые, соединяясь вместе
образуют заданное сплошное тело. При равномерном повышении температурь
тела и в случае, когда ограничивающие тело поверхности свободны от уси
лий, каждый элемент будет расширяться на одну и ту же величину (про-
порциональную повышению температуры) равномерно во всех направле-
ниях. Таким образом, элементы будут оставаться кубиками одинаковы?
размеров; их можно соединить между собой и получить сплошное тело
при этом никаких напряжений не возникнет. Если, однако, повышение
температуры неравномерно, то каждый элемент будет стремиться расши-
риться на величину, пропорциональную повышению температуры дан-
ного кубика. Получающиеся в результате такого нагрева кубики разных
размеров в общем случае нельзя будет соединить между собой; однако
поскольку тело должно оставаться сплошным, то каждый элемент ограни-
чивает искажения соседних элементов, или, другими словами, возникают
напряжения* 1).
Полные деформации в каждой точке нагретого тела, таким образом,
состоят из двух частей. Первая часть представляет собой равномерное
расширение, пропорциональное повышению температуры Т. Так как длг
изотропного тела это расширение одинаково во всех направлениях, то в этох
случае возникают только нормальные деформации, а касательные дефор-
мации отсутствуют. Если коэффициент линейного температурного расши-
рения обозначить через а, то эта нормальная деформация в любом направ-
лении равна аТ.
Вторая часть представляет собой деформации, необходимые для сохра-
нения непрерывности тела, а также деформации, возникающие под действием
внешних нагрузок. Эти деформации связаны с напряжениями посредством
обычного закона Гука изотермической линейной теории упругости. Полные
деформации равны сумме этих двух частей, и, следовательно, в любой орто-
гональной системе координат х, у, z связаны с напряжениями и темпера-
турой посредством следующих зависимостей2 * * *):
&хх = уу [Охх (Руу Н- Ozz)] “Г ,
&уу — (Дгг + Охх)] “Е О-Т,
8zz ~ (Pzz V (Цхх 4“ ^уу)] "Е CtT,
_J_ _ 1 _ 1
8Ху-- ®ху> &yz -2Q Oyz, 8ZX — -gQ Ozx-
(8.2.1;
’) Напряжения не возникают также в случае линейного изменения температурь
в прямоугольной декартовой системе координат (см. п. 9.2). Дальнейшее исследование
этого вопроса см. в п. 9.4.
2 ) Формулы, приведенные в части 1 в индексном обозначении, переписаны в на-
стоящей части книги в развернутом обозначении с внесением следующих изменений
1. Суммы, подразумеваемые правилом суммирования, написаны в явном виде
2. Использованная в индексном обозначении прямоугольная система декартовы?
координат Xf, х2, х3 названа здесь х, у, г; эти буквы используются как индексы для ком
понент тензора. Так, например, <Ti2 переписывается как вху и т. д. Следует отметить
что деформация &ху равна половине изменения угла уху между двумя линиями, перво
начально параллельными осям х и у [см. (8.4.1)].
8.3. Уравнения равновесия
215
Модуль сдвига G, модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона v связаны между
собой следующим соотношением:
F
G=2(TZR- <8-2-2)
Зависимость между объемной деформацией е и суммой нормальных
напряжений © получается из (8.2.1) в виде
е = ^ + ЗаТ, (8.2.3)
где модуль объемной упругости k равен
р
^ = 3(1^2v)’ (8.2.3а)
а
в = &ХХ &UU “4~ &ZZ? 1
« - L (8.2.36)
О ®XX ~Е®уу ZZ' J
В некоторых случаях целесообразно выразить напряжения явным обра-
зом через деформации; имеем
Охх=== Ас —у 2р.&хх (ЗА 2р.) ctT*,
Gyy ~ he + 2pty,; (ЗА-У2р)а7\ 18 2 41
ozz = he -у 2р8гг: — (ЗА -у 2р) аТ,
Охг;=2р8Жу, OyZ = 2p8yz, OZx~ 2p8zx.
Постоянные Ляме А и р, модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона v связаны
следующими соотношениями:
А = 7гт-пп-^г\> Н = = (8.2.4а)
(14-v)(l—2v) ’ ' 2(l-|-v) ' ’
Заметим также, что имеют место и следующие соотношения:
ЗА + 2р=ЗА, v = (8-2-46)
Зависимости между напряжениями и деформациями математически
описывают поведение рассматриваемого материала; необходимо теперь
принять во внимание требования механики и геометрии. Законы механики
вводятся с помощью уравнений равновесия (или движения); геометрическая
совместность обеспечивается с помощью соотношений, связывающих дефор-
мации и перемещения.
8.3. Уравнения равновесия. Уравнения равновесия аналогичны урав-
нениям равновесия в теории изотермической упругости, так как они осно-
вываются на чисто механических соображениях. В прямоугольной декар-
товой системе координата, у, г эти уравнения имеют следующий вид1):
д^хх । , d<yxz _i_ jy_О
дх ’ ду дг ~~ ’
ddnij dcs.<z /п .
—ЛЛ-уУ = 0, 8.3.1)
dx'dy'dz '
дахт . deiyz ( dcs^z । _q
дх ' ду г дг ' —
г) Эти уравнения выведены в п 14. Их также можно получить другим путем, рас-
сматривая равновесие бесконечно малого параллелепипеда, показанного на рис. 8.1.
Из рассмотрения равновесия всех сил, действующих, например, в направлении х,
непосредственно получим первое из уравнений (8 3 1); см. Тимошенко и Гудьер,
стр. 228.
216
Глава 8. Сводка основных уравнений задач теории термоупругости
где X, Y, Z обозначают компоненты объемных сил г) в направлениях х, t
и z соответственно. Обычно объемные силы можно опустить, однако в неко-
торых случаях необходимо учитывать влияние инерционных сил и тогдг
объемные силы равны инерционным силам, взятым с обратным знаком
В случае, когда перемещения малы, имеем
(8.3.2}
где q — массовая плотность, и, v и w — компоненты вектора перемещения
в направлениях х, у и г соответственно, t — время. Влияние инерционных
сил при определении температурных напряжений рассматривается в гл. 2
и в п. 10.11 и 12.7.
Рис. 8.1. Параллелепипед, использованный при выводе уравнений
равновесия (8.3.1).
На рисунке показаны компоненты напряжений, действующих^на взаимно-противо-
положных сторонах.
Из условия равновесия моментов для показанного на рис. 8.1 элемента
вытекают следующие соотношения между компонентами касательных напря-
жений:
= ОУг- (8.3.3)
Если уравнения (8.3.1) и (8.3.3.) удовлетворяются во всех точках тела,
то требуемые условия равновесия всего тела автоматически выполняются
и равнодействующая поверхностных сил уравновешивает равнодействую-
щую объемных сил (если таковые имеются).
В цилиндрической системе координат г, 0 и z (см. рис. 5.2) уравнения
равновесия (8.3.1) имеют вид
।_1_ । d<Jrz . <Jrr (Jqq , n_Q )
dr r <10 dz r ।
4- - 2 = 0, } (8.3.4)
dr 1 r dv dz r v z
<ЭсГге I 1 dOgg . d<3ftz . 2<Jrg _p
dr r dS ' dz r dr ' '
J) Включая силы инерции.
8.4. Соотношения между деформациями и перемещениями
21'
где компоненты объемных сил в направлениях г, г и 0 обозначены черег
R, Z и в. В сферической системе координат г, 0 и <р (см. рис. 5.2) уравнение
равновесия принимают следующий вид:
двгг 1 dCTQ 1 ^gr<F 1
dr ' г дв г sin 9 Зф "г г
X (2<тгг — <т99 — <тфф + оу0 ctg 0) + /? == О,
dffrg ! 1 <Э<700 , 1 <ЭсГ9<р , 1
дг ‘ г 30 ' rsinO Зф г z~
X f(crO0 — сгфф) ctg 0 + Зо>0] + 0 = 0,
^Пу-ф 1 3<70ф 1 3<Тфф 1
дг ~г~ г 30 ' г sin 0 Зф 1 г X
X 13о,.ф + 2о9ф Ctg 0] + Ф = О,
(8.3.5)
где компоненты объемных сил в направлениях г, 0 и ф обозначены чере;
R, 0 и Ф. Случай общих криволинейных координат рассматривается в книге
Лява, стр. 89—91.
8.4. Соотношения между деформациями и перемещениями. Зависи-
мости между деформациями и перемещениями остаются теми же, что и в теориг
изотермической упругости, так как они выводятся из чисто геометрических
соображений; в прямоугольной декартовой системе координат эти соотно-
шения имеют следующий вид:
ди до _________ dw
6ХХ Qx , ^уу fly 1 &zz qz >
где и, v и w — компоненты вектора перемещения в направлениях х, у и г
соответственно.
В цилиндрической системе координат (рис. 5.2) эта соотношения при-
мут вид
ди dw и 1 до
ггг~дГ’ г^~~дг' б0е57^++’
1 X 1 ди до о X _ 1 X ди . dw X
е,,0~ + ++3(Г 77" г х ' Z2^2<3z+3r7’
1 X до 1 dw X
SZ0 -у щ +7 .
(8.4.2)
где и, v и w обозначают здесь компоненты вектора перемещения в направле-
ниях г, 0 и z соответственно.
В сферических координатах (рис. 5.2) эти соотношения примут следую-
щий вид:
Зп и . 1 до и . о , д 1 dw у
&гг ~ дг ’ 600 ~ г + г ~дд ' г г ctb 6 + г Sin Q Зф ’
1 X 1 ди , до о X 1 Л 1 ди dw w X I /о .
е,’е-~ 2 У г 30 -| дг ~г) ’ йгф — 2 V sin0 Зф dr г ) ' I ' ’ ‘ ‘
_ 1 7 1 dw ctg 0 гя1 ! 1 до 'у J
0ф ~ 2 V 30 ~ г W ' Fsin0 Зф ) ’ J
218
Глава 8. Сводка основных уравнений задач теории термоупругости
где и, v и w обозначают здесь компоненты вектора перемещения в направ-
лениях г, 0 и <р соответственно.
8.5. Граничные условия. В п. 2.7 рассматривались основные граничные
условия, встречающиеся в задачах термоупругости, и было показано, что
они достаточны для доказательства приведенной в том же пункте теоремы
единственности. Однако в большинстве задач можно ограничиться рассмот-
рением одного из следующих двух частных случаев.
а) Граничные условия в напряжениях. В данном случае граничные усло-
вия выражаются через компоненты напряжений с помощью следующих
уравнений, которые удовлетворяются в каждой точке граничной поверх-
ности:
^7хх^х ^ху^у Г- СЩрЩ., ")
X — OyXtix-f-ciyZnz^ г (8.5.1)
2 = Gzxnx -f- GZyUy -j— ()zznz. )
где X, Y, Z представляют собой компоненты заданных поверхностных сил
в направлених х, у, г соответственно, а пх, пу, nz — направляющие коси-
нусы внешней нормали к граничной поверхности. Эти формулы дают также
значения усилий на любой внутренней поверхности.
б) Граничные условия в перемещениях. Граничные условия в этом случае
выражаются с помощью следующих уравнений, которые удовлетворяются
в каждой точке Р граничной поверхности:
u = f(P), )
^g(P), [ (8.5.2)
w = h(P), J
где f,guh — заданные функции.
Иногда встречаются более сложные граничные условия; например,
на некоторой части граничной поверхности могут быть заданы граничные
условия (8.5.1), а на остальной части поверхности — граничные условия
(8.5.2). Таким образом, в каждой точке заданы или три компоненты усилия,
или три компоненты перемещения; такие граничные условия называются
«смешанными» граничными условиями. В качесте другого примера можно
рассмотреть случай, когда в каждой точке граничной поверхности заданы
три величины, одни из которых являются компонентами усилий, а другие
—компонентами перемещения. Однако они должны быть выбраны так1), что-
бы каждому координатному направлению соответствовало не более одной
величины; так, например, в некоторой точке-можно задавать величины
X, Y и w, но не величины X, Y и V.
Другим возможным примером сложных граничных условий является
упругая опора. В этом случае между некоторыми компонентами перемеще-
ния и усилия существует функциональное соотношение, как это имеет
место при контакте двух тел. Трудности, возникающие в таких задачах,
не являются характерными для термоупругости, но встречаются и в теории
изотермической упругости.
1 Они должны удовлетворять условиям теоремы единственности п. 2.7.
8.7. Главные напряжения и деформации
219
8.6. Математическая формулировка задачи термоупругости. Задача
термоупругости состоит в определении следующих пятнадцати функций
(в прямоугольной декартовой системе координат) при заданном распреде-
лении температуры:
б компонент напряжений сгхж, ауу, czz, <зху, oyz, azx;
б компонент деформаций ехх, &уу, &zz, еху, eyz, е2Х;
3 компоненты перемещений и, и, w.
Эти функции в каждой точке тела удовлетворяют следующим пятнадцати
уравнениям:
3 уравнениям равновесия (8.3.1);
6 соотношениям между направлениями и деформациями (8.2.1);
б соотношениям между деформациями и перемещениями (8.4.1),
а также граничным условиям п. 8.5.
В п. 2.7 было доказано, что при такой постановке задачи и при соответ-
ствующих условиях непрерывности функций решение единственно; это
означает, что существует по крайней мере одна система двенадцати компо-
нент напряжений и деформаций и одна система трех компонент перемеще-
ний (за исключением, может быть, перемещения тела как твердого), которые
удовлетворяют указанным уравнениям и граничным условиям. Это спра-
ведливо как для односвязных, так и для многосвязных тел. Перемещения
тела как твердого целого равны
п = ц°— co’y +]
и = — (pxz-}-(i>zx, [ (8.6.1)
W = W°~ (OyX + (OxZ/, J
где постоянные u°, v° и w° представляют собой компоненты поступательногс
перемещения тела как твердого целого, а постоянные сох, со’и со” — компо-
ненты бесконечно малого вращения тела как твердого вокруг осей х, у и 2
соответственно. Последнее утверждение вытекает из общих формул для
компонент бесконечно малого вектора вращения, а именно
__ 1 ( dw dv \ __ 1 ( du dw
<J>X 2 \ dy dz ) ’ ~ 2 \ dz dx ) ’
__ 1 Г dv du X
~d~y ) ’
если подставить в них перемещения согласно (8.6.1). Геометрический смысг
этого вектора обсуждался в п. 1.3. —
В гл. 3 были даны другие формулировки задач термоупругости, экви-
валентные приведенной выше; их краткий обзор приводится в конце настоя-
щей главы. Какие преимущества имеет каждая из них, зависит, вообще
говоря, от частного вида заданных граничных условий.
8.7. Главные напряжения и деформации. Решая изложенную в пре
дыдущем пункте краевую задачу, получаем компоненты напряжения, дефор-
мации и перемещения в некоторой (в прямоугольной декартовой, п. 8.6.'
системе координат. Эти выражения для напряжений, деформаций и пере
мещений в любой точке тела можно записать в другой координатной сис
теме с помощью известных формул преобразования координат. Для пере
мещений преобразование осуществляется непосредственно на основе зако-
нов преобразования векторов и не представляет трудностей; преобразова-
220
Глава 8. Сводка основных уравнений задач теории термоупругости
ние выражений для напряжений и деформаций является несколько более
сложным. Особый интерес представляет определение максимального глав-
ного напряжения в произвольной точке; ниже приводятся некоторые полез-
ные в этом отношении формулы1).
В любой системе напряжений в каждой точке существуют три взаимнс
перпендикулярные плоскости (называемые главными), на которых каса-
тельные напряжения отсутствуют. Нормальные напряжения на этих плос-
костях называются главными; одно из них представляет собой макси-
мальное напряжение в данной точке, а другое — минимальное (с алгебраи-
ческой точки зрения, т. е. они представляют собой наименьшее положитель-
ное или наибольшее отрицательное напряжения). Пусть пх, пу и nz —
направляющие косинусы нормали к главной плоскости в прямоугольно?
системе координат х, у, z и пусть S — соответствующее главное напряже-
ние; эти величины можно определить, решая следующую систему четырех
уравнений:
(С’хх 5) /2 Х -' С>ХуПу 4“ C’xz^z ~ 0?
ОХуГх 4“ (&уу $) Пу -р CTyz^-z = 0,
ОхгПх Щ ^yzHy + (Vzz S) tlz = 0, J
Пх 4- Пу + Hz = 1 •
(8.7.1)
(8.7.1а)
Решение уравнений (8.7.1) для направляющих косинусов нетривиально,
только когда детерминант, составленный из коэффициентов этих уравнений
равен нулю; тогда главные напряжения равны трем корням (всегда дейст-
вительным) следующего кубического уравнения:
S3-IS2 + IIS-III = 0, (8.7.2)
где три инвариантных коэффициента суть
I = ^ХХ 4“ буу 4“
II = ^хх^уу 4“ Oyy^ZZ 4- &ZZ&XX С»ху Oyz- ^ZXf ( (8.7.2а)
111 = 6XX<5yy£> zz + 2crxyO' yz^ZX £>xx<5yz ^yy^xz ^zz^xy
"Срответствующие формулы для деформаций аналогичны приведенным.
Их можно непосредственно получить из этих формул, заменяя в-уравнениях
(8.7.1) и (8.7.2) величины пхж, <то, cr^, crxy, cryz, ozx соответственно вели-
чинами 8Ххг &yyr &zz, &ху, 8уг, 8 zx.
Из приведенных выше формул легко получить аналогичные результать
для двумерного напряженного состояния; в этом случае уравнение (8.7.2)
приводится к следующему:
S2 — (о-хх 4- Оуу) S ф- (аххОуу ^СхуУ = 0, (8.7.3)
и тогда выражение для двух главных напряжений можно записать в явном
виде
5 = |/^ах^°^у + ^ху (8.7.3а)
Главные направления образуют с осью х угол <р, определяемый из соотно-
шения
tg Ф = 7- = V~'hr- (8-7-4)
]) Дополнительные сведения можно найти в книге Лява, гл. 1 и 2, а также в книге
Тимошенко и Гудьера, гл. 8 и в п. 9 и 10.
8.8. Разделение напряжений
221
С помощью тождества
(8.7.4а)
и выражений для S формулу (8.7.4) можно переписать в следующем виде:
tg2(P = (r-i. (8.7.46)
Формулы, дающие значения компонент напряжений в направлениях
ад, yi, где ось Xi образует угол а с осью х, имеют вид
Oxixj = ожж cos2 а + uyv sin2 а -ф 2сгжу sin а cos а, )
<тУ1У1 = ахх sin2 а + оУу cos2 а — 2ажу sin а cos а, [ (8.7.5)
оХ1У1 = (<3уу — Gxx) sin а cos а + аху (cos2 а — sin2 а). J
Для дальнейшего отметим теперь аналогию, существующую между
изменением моментов инерции площади и изменением компонент напря-
жений в двумерном напряженном состоянии при повороте координатных
осей. Если моменты инерции относительно осей х и у обозначить через
1Х и I у, центробежный момент инерции относительно этих осей — через
Iху, главные моменты инерции—через I и угол, который образуют глав
ные направления с осью х,— через ер, то справедливы следующие формулы,
соответственно аналогичные формулам (8.7.3а), (8.7.4а) и (8.7.5):
/= мл + (8.7.ба:
tg2T = 72/^-, (8.7.66
1 у 1 X
IX1 = Ix cos2 а + [у sin2ct — 21 Ху sin a cos а, )
/У1 = [х sin2 а -|- ly cos2 a -\-2Ixy sin a cos а, j- (8.7.6в)
7.х1У1 = (7х—/у) sinacosa-)-/^ (cos2 a —sin2 a). J
Величина
= 7Ж' 1у = /Х1 + 1У1 (8.7.7)
называется полярным моментом инерции.
Читатель легко заметит, что выражения (8.7.5) и (8.7.6в) представляют
собой формулы преобразования компонент симметричного тензора второгс
ранга при повороте прямоугольной декартовой системы координат. Заметим,
что формулы (8.7.6в) написаны в общепринятом обозначении для моментов
инерции, а не через тензорные компоненты Iжж, /уу, Iху момента инерции;
между этими двумя обозначениями существует следующая связь:
7 XX •— 7у, Iуу 7Ж, Iху —
(8.7.8)
Подобные рассуждения применимы к аналогичным выражениям (12.3.4)
и (12.3.7) в теории пластин.
8.8. Разделение напряжений, обусловленных температурой и внеш-
ними нагрузками. В задаче, сформулированной в п. 8.6, учитывается как
влияние внешних нагрузок, так и влияние неравномерного распределения
температуры, и, следовательно, она является более общей, чем те, которые
приходится рассматривать в большинстве случаев. Однако все уравнения
и граничные условия, которые должны быть удовлетворены, являются
линейными, и, следовательно, задачу можно разделить на две отдельные
222
Глава 8 Сводка основных уравнений задач теории термоупругости
части и определить таким обаразом напряжения как сумму 1) напряжений,
вызванных только температурой, и 2) напряжений, вызванных внешними
нагрузками при отсутствии температуры.
1) Как и в предыдущем пункте, напряжения, деформации и перемеще-
ния, вызванные только температурой, можно получить, решая уравнения
(8.3.1), (8.2.1) и (8.4.1), но со следующими граничными условиями:
Ох.хОх 4~ ^ху^у _Ь <3xzn-z =
(Тху^х 4~ вцуПу -1 - Oyznz == 0, (8.8.1)
Г>Х2^Х 4“ ^yz^ly 4“ ^Zzd'Z ~ О
вместо ранее установленных. Тело, свободное от внешних сил, для которых
справедливы условия (8.8,1), будем называть «свободным» телом.
2) Решение, соответствующее действию внешних нагрузок при отсутст-
ьта температуры, должно удоняетьорять выражениям (8.3.1), (8.2.1) т
(8.4.1), если в выражении закона Гука (8.2.1) положить Т=0. Граничные
условия зависят от того, заданы ли на поверхности тела усилия, переме-
щения или комбинация этих величин. Если на всей поверхности задань
напряжения, то соответствующие граничные условия задаются уравнениями
(8.5.1). Если же в каждой точке поверхности заданы пермещения, то вместе
уравнений (8.5.2) граничные условия будут
n = f (Р)-М-Р),
И = £(Р)-М^), (8-8.2)
w = h (Р) — wa (Р).
Функции иа (Р), va (Р), wa (Р) представляют собой определенные в часть
1 перемещения граничной точки Р.
Подобное разделение задачи легко осуществить и в случае смешанных
граничных условий, рассмотренных в п. 8.5.
Непосредственной подстановкой в уравнения и граничные условия
перечисленные в п. 8.6, можно проверить, что сумма решений (1) и (2) удов
летворяет всем требованиям поставленной задачи и представляет собоь
искомое ее решение, так как из теоремы единственности следует, что сущест-
вует только одно решение.
Главное преимущество разделения задачи на две составные части сос
тоит в том, что часть (2) представляет собой задачу теории изотермическое
упругости, и, следовательно, для ее решения можно использовать все сущест
вующие в этой теории методы решения. В настоящей книге метод разделе
ния задачи на две всегда будет применяться в случае, когда граничные
условия заданы в напряжениях; решение задачи (1) рассматривается под-
робно, а для ознакомления с методами решения задачи (2) читатель може/
обратиться к учебникам по теории изотермической упругости. Метод разде-
ления задачи на две будет использоваться и в случае, когда граничные
условия заданы в перемещениях: однако в некоторых случаях целесообраз-
но сразу решить полную задачу, сформулированную только в перемеще-
ниях (см. следующий пункт). Далее, в тех задачах, где предположение
о линейной упругости недопустимы (см. п. 8.1), решения, соответствующие
действиям нагрузки и температуры, нельзя разделить и задачу следует
рассмотреть в целом.
8.9. Другие формулировки задачи термоупругости. Постановка задачи
в п. 8.6 является полной и с физической точки зрения может быть наиболее
естественной. Однако уравнения, которые необходимо решить, содержат
пятнадцать зависимых переменных, в то время как граничные условия
8.9. Другие формулировки задачи термоупругости
222
содержат обычно или только три компоненты перемещения, или толькс
шесть компонент напряжения. Следовательно, целесообразно упростить
граничную задачу, сформулировав ее только в тех переменных, которые
фигурируют в рассматриваемых частных граничных условиях.
Это выполняется в настоящем пункте чисто формальным путем с пере-
числением основных уравнений; для большинства практических прило-
жений такое изложение вполне достаточно. Более строгое изложение этогс
вопроса с привлечением теоремы единственности и другие формулировки
задач, рассмотренные с этой точки зрения, даны в гл. 3.
а) Формулировка задачи в перемещениях. С помощью зависимостей
(8.2.4) между напряжениями и деформациями уравнения равновесия (8.3.1)
можно выразить через деформации; в свою очередь с помощью формул
(8.4.1) деформации можно выразить через перемещения. В результате таких
подстановок получим следующие уравнения равновесия в перемещениях
(для прямоугольной системы координат):
(Х + И)-^ + ^2«-(ЗХ + 2ц)а^- + Х = 0, j
(Х + |х) ||_ + и72у_(ЗХ + 2И)а4ф- + У = °, 1 (8.9.1)
(Х + и)Ц- + ^-(ЗХ + 2р)а^-+7 = 0, J
где объемная деформация е выражается через перемещения следующим
образом:
Решая эти уравнения при заданных в перемещениях граничных усло-
виях (8.5.2), получаем функции и, v и w для всех точек тела. После этого,
используя выражение (8.4.1) и (8.2.4), путем прямой подстановки можнс
определить соответственно деформации и напряжения. Данная постановка
задач теории термоупругости в перемещениях пригодна, как и в случае
задачи п. 4.6, для односвязных и для многосвязных тел.
В компонентах вращения (8.6.2) уравнения (8.9.1) принимают сле-
дующий вид:
(>- + 21.)^-2ц(^-^)-(ЗХ+2ц)<.^ + Х=0,
<1 + ЭД^-2н(^-^)-(ЗХ + 2(1)<‘^ + >'-0, (89.2;
Р + 2И) ~ - 2ц (-Д“- _ _ (зх 2и| а Д + X = 0.
v дг ‘ \ дх ду / v 1 г' дг 1
Аналогичным путем уравнения равновесия можно записать в других коор-
динатных системах. В цилиндрических координатах они имеют следующий
вид1):
(Х + 2ц)^--2И Q^-^)-(3X + 2p)a^ + /?=0,
(^ + 2И)4^-2ц(^-^)-(ЗХ + 2И)^^ + 0 = °, (8.9.3)
(Х + 2И)Ц-^(^-^-)-(3^2И)а^ + 2 = °.
Э Эти уравнения можно вывести, исходя из общей криволинейной ортогональное
системы координат, см. Ляв, стр. 141, где рассматривается случай постоянной тем
пературы.
224 Глава 8. Сводка основных уравнений задач теории термоупругости
Объемная деформация е и компоненты вращения в этой системе координг
будут
1 д (ru) , 1 dv , dw
р ----'——I-------!- -
г дг 1 г 50 .' dz ’
1 ( 1 dw до \ 1 / ди
®г~~2\У~дЪ dz ) '
1 / д (го) ди \
~2г \~dr 50) ’
(8.9.3г
Здесь использованы те же обозначения, что и в уравнениях (8.3.4) и (8.4.2
В сферических координатах соответствующие уравнения в обознг
чениях, принятых для уравнений (8.3.5) и (8.4.3), будут иметь вид
(Х+2И)--Й— -2‘1(. Г^~ sin0-—1 ~(3^ + 2ц) —~ + © = 0,
\ > г/ г rsin0 L дф dr J ' 1 г 30 ( ’
(л-2ц) - 1 - 2‘1 Г-(ЗХ + 2ц)~^~ + ф = о,
v 1 г sin 0 dtp г L дг дб j ' r/rsin0 дер 1
(М-ггО^-^тЦ Г-(ЗХ+ 2ц) а~ + /? = О, (8.9.4
v 1 r7 dr rsin0 L 50 5<р J v дг 1 ’ '
где
1 Г • а 5 (г2и) , д (v sin 0) dw "1
. -a- sm0————- + г-7Г- ,
r2sin0 L dr 50 5rp J
1 Г d (w sin 0) do "I 1 Г 5 (rv) du ,o n .
(£>r = -a——- —a— , — ( (8.9.4г
2/sin 0 [ 50 5ф J 4 2r L dr 50 j I v
б) Формулировка задачи в напряжениях. Уравнения равновесия (8.3.1
уже выражены в компонентах напряжения. В п. 3.6 показано, что дл
односвязного тела остальные уравнения поля в постановке задачи, данно
в и. 8.6, эквивалентны следующим шести уравнениям, содержащим тольк
компоненты напряжения:
(l + v)V4. + 43- + »E(Svar + g-) = 0’
(1 + V) V4, +-g-+ «Е ( +-1^ ) = о,
,, , , _2 . 520 . ,,yl~rv , д2Т \ п
(1 У v) V2OZZ ; --L U£ -ZL.V27-L
\ । / ‘-‘-i gzz । у 1 — v ' 5z2
/ii \ па I 520 дгТ
( 1 Ц- V) V 2(Тхг + + а£ л-г ъ -
v 1 ’ х ' дх дг ' дх дг
/1,41-72 , 520 . с д2Т
( 4—з—з - -а—а—
v ’ у дхду ' дхду
/1 ! \ га । 520 с д2Т
(1 4- v) V2cruz 4- -5—=-F «с .
17 yz дудг дудг
(8.9.5
0,
0,
0.
Эти уравнения называются уравнениями совместности, выраженными в ком
понентах напряжения. При такой постановке задачи необходимо решит
уравнения (8.3.1) и (8.9.5) при граничных условиях (8.8.1) для свободны
от усилий граничных поверхностей [или вместе с уравнениями (8.5.1) в слу
чае заданных поверхностных сил]. Для многосвязных тел приведенны
выше уравнения совместности должны быть дополнены некоторыми интег
ральпыми условиями, рассмотренными в п. 3.8.
8.10. Формулировка задач в двумерном случае
225
8.10. Формулировка задач в двумерном случае1). Для распределений
температуры вида
Т = Т(х, у)
(8.10.1)
можно рассмотреть два случая двумерных задач теории термоупругости.
В случае длинных призматических тел (длиной L в направлении z) можно
использовать понятие о плоской деформации; плоское деформированное
состояние определяется следующими уравнениями:
у), v — v(x,y), w = 0. (8.10.2)
Для тонких призматических тел (толщиной 2 с в направлении z) можно
использовать понятие о плоском напряженном состоянии; плоское напря-
женное состояние определяется следующими уравнениями:
0г2 = 0хг = Oyz = о. (8ЛО.З)
В обоих случаях восемь величин охх, оуу, аху, ехх, ъуу, еху, и, v удов-
летворяют следующим восьми уравнениям:
двум уравнениям равновесия (при отсутствии объемных сил)
дахх , да*У_ __ п
дх ду
д°ху , д°уу __ р.
дх ду ’
(8.10.4а)
трем соотношениям между напряжениями и деформациями
------(Рхх ™уу иТ),
еуу ~ (^УУ ^^хх~Г аГ) i
(8.10.46)
и трем соотношениям между деформациями и перемещениями
ди dv \ X ди . dv \ -о .
Ъхх~~дх ’ ЪУУ~ ду ’ 2 V ду дх) • (8.ю.4в)
В случае плоского деформированного состояния постоянные Е, v и а
необходимо заменить соответственно величинами Ely vt, аь где
= ai=a(l+v),
(8.10.5)
в то время как величина
1 Д-v 1-y-Vj
остается неизменной.
В случае плоского деформированного состояния компонента напряже-
ния crzz определяется выражением
[o22 = v (oxx+Gvv)-aET = (a„ + оуу) — счВД], (8.10.6)
*) Здесь суммируются основные результаты, полученные в гл. 4, к которой и отсы-
лается читатель для рассмотрения опущенных здесь вопросов, таких как приближенные
постановки задач при плоском напряженном состоянии, модификации, необходимые
для случая многосвязных тел, граничные условия, которым следует удовлетворять на_
торцевых поверхностях, и т. д.
15 Боли и Уэйнеп
226
Глава 8. Сводка основных уравнений задач теории термоупругости
а в случае плоского напряженного состояния компонента деформации ez;
имеет вид
(8.10.8;
(8.10.9;
eZ2= ~^(<Jxx + (jyy) + aT. (8.10.7;
В двумерном случае граничные условия при заданных на цилиндри-
ческой поверхности тела напряжениях или перемещениях принимают соот-
ветственно следующий вид.
Граничные условия в напряжениях для случая свободных от нагру-
зок граничных поверхностей (см. п. 8.8):
^ХХ^Х "Г @xyfty 9.
ОхуПх + ОууПу 0
Граничные условия в перемещениях
п = /(Р), ]
v = g(P), j
где Р— текущая точка граничной кривой Со- Как и в п. 8.5, здесь могут
также иметь место смешанные граничные условия. Можно показать, чтс
решение поставленной здесь двумерной задачи единственно.
Как отмечалось в п. 8.9, в большинстве случаев целесообразно поста-
вить задачу в других переменных, выражая основные уравнения или толькс
в перемещениях, или только в напряжениях1) следующим образом.
а) Формулировка задачи в перемещениях. Уравнения, аналогичные
уравнениям (8.9.1), имеют вид
Е д f ди , dv \ Е аЕ дТ v п у
2(1—v) дх < дх ду ) 2(l^-v) 1—v дх '
Р ’ \ " Р Р ят (8.10.10'
Е д Г ди f до \ , Е 2 аЕ дТ , у „
2(1 — v) ду < дх ду ) !2(l-i-v)v 1— v ду J
где оператор Лапласа для рассматриваемого двумерного случая имеет вщ
V2 = 2L + 2L
дх2 ' ду'2
(8.10.10а;
Такой постановкой задачи удобно воспользоваться в случае, когдг
граничные условия заданы в перемещениях (8.10.9). Как и выше, для плос-
кого деформированного состояния постоянные Е, v и а должны быть заме-
нены величинами Elt v1; и соответственно.
б) Формулировка задачи в напряжениях с помощью функции напряжены
(для сплошных сечений). Как и при формулировке задачи в напряжениях,
данной в п. 8.9, здесь необходимо ввести условия совместности. Вместе
шести уравнений совместности трехмерной задачи для двумерных задаи
имеем одно такое уравнение. Это уравнение, выраженное соответственнс
в деформациях и напряжениях, имеет вид
й-&ххл _2д2гху
ду2 1 дх- дхду
(8.10.11а)
или
V2 (а„ + <Jyy) -У Еа^Т = 0. (8.10.116)
х) Для простоты рассматриваются уравнения плоского напряженного состояния;
для плоского деформированного состояния следует учитывать преобразование (8.10.5)
8.11. Энергетические методы
227
Последнее уравнение справедливо при отсутствии объемных сил. При нали-
чии таких сил необходимо использовать следующее более общее уравнение;
V2(aXx + ara + a£D + (l+v)(-g- + ^-)=0. (8.10.11b)
Таким образом, компоненты напряжения охх, сгии и оху должны быть
найдены из уравнений равновесия (8.10.4а) и приведенного условия сов-
местности при соответствующих граничных условиях.
Легко видеть, что при отсутствии объемных сил уравнения равновесия
удовлетворяются, если напряжения определить с помощью функции напря-
жения ср, называемой функцией напряжения Эри, следующим образом:
= а (8.Ю.
хх Qy2 ху дхду vy дх2 v
Далее, можно показать, что с помощью такой функции напряжения можно
получить все решения уравнений равновесия. Подставляя в условие сов-
местности (8.10.116) вместо напряжений их значения, выраженные через
функцию <р, получаем, что функция напряжения удовлетворяет следующему
дифференциальному уравнению:
(8.10.13)
где
V4<p= V2(V2cp) = Й + 2+Й • (8.10.13а)
т 4 дх4 1 дх2ду2 ' ду4 ' ’
Необходимо вспомнить, что в случае плоского деформированного состояния
постоянные определяются согласно формулам (8.10.5). Как это показано
в п. 4.5, соответствующие граничные условия в напряжениях (8.10.8) для
свободного тела, выраженные через функцию напряжения, принимают
следующий вид:
<Р = -|д = ° (8.10.14)
во всех точках граничной кривой Со, причем п означает направление нормали
к этой кривой.
Следует подчеркнуть, что изложенная формулировка задачи с помощью
функции напряжения [т. е. уравнения (8.10.13) и (8.10.14)1 справедлива
только для односвязных тел. В случае многосвязного тела необходимо
вывести дополнительные уравнения, как это показано в гл. 4.
В полярных координатах соотношения (8.10.12) имеют вид
л _ 1 д? । 1 д2у
г дг г2 <902 ’
д Г 1 <9<р \
0,9 ~ ~д7 < Т жу ’
д2а>
°00 = Ж ’
а двумерный оператор Лапласа задается в виде
П2ГП— 32Ф I 1 д(Р I 1 32Ф_ 1 д С г дгР • 1
' дг2 т дг г2 <902 — r dr V дг ) ' г2 502
(8.10.15)
(8.10.15а)
8.11. Энергетические методы. Часто практическое решение многих
задач строительной механики, как изотермических так и неизотермических;
удобно получить одним из нескольких способов, основанных на энергети-
15*
228
Г лава 8. Сводка основных уравнений задач теории термоупругости
ческих соображениях. В настоящем пункте дан обзор теории, лежащей
в основе наиболее важных из этих методов1). Примеры применения этих
методов приведены в гл. 10, 11 и 12; эти примеры могут оказаться полезными
при практическом использовании выведенных здесь общих формул.
Первый из трех изложенных здесь методов основывается на следующем
тождестве:
j J j dV=^ ^njuT dA~ j J j «№ (8.11.1a;
Ь В D
где через D обозначена область пространства, занятая телом, а через В—
ее граница. В развернутом виде это уравнение имеет следующий вид2):
V
+ УЙо«) dx dy dz = [u(l> (nx<Ax + ny
в
’xy + MzCTxz) + VW {nx^y + tlyCtfl 4-
zOyl + ^(1) («x^xz + MyOyz + nzcb£)\ dA —
4И“ш(-г+^;+^)+
,(1)
ду + дг
-dW + ^?)}dXdydZ’ <8Л1Лб)
где величины е)У и и1?1 связаны соотношениями (8.4.1),а именно
е)? = 4ИУ + и(Л). (8.11.2
Тождества (8.11.1.) можно вывести или непосредственным применением
теоремы о дивергенции (уравнение (2.7.1)], или интегрированием по час
тям3). Придавая различным величинам, фигурирующим в тождества?
(8.11.1), специфические значения, можно получить некоторые энергети
ческие принципы, как это и будет показано ниже 4).
Энергия деформации (Jo единицы объема тела определяется следующим
выражением:
У о = 4 (ео‘ “ aTbij^tj =
4 Энергетические принципы термоупругости рассмотрены в работах ;[1] и [2]
Дальнейшие приложения даны в работе [3].
2) В настоящем пункте используются величины уху — 2ежу, yyz = ze.yZ, yxz =
= 2е,т2; см. (8.4.1) и сноску 2 на стр. 214.
3) О подробностях такого интегрирования в двумерном случае см. Тимошеню
и Гудьер, стр. 163—164.
4) Хотя использованные понятия и выведенные здесь принципы допускают тер
модинамическую интерпретацию типа рассмотренной в гл. 1, их можно ввести такно
с другой, чисто математической, точки зрения на задачи термоупругости. В настоящее
пункте используется последний подход; например, такие величины, как энергию дефор
мации или дополнительную энергию, следует рассматривать просто как величины
формально определенные соответствующими зависимостями. Однако надо отметит!
аналогию между соотношениями (8.11.5) и (1.12.4), на основании которой можно заклю
чить, что для рассматриваемой линейной теории Uo = £<р.
8.11. Энергетические методы
229
---2 (^ХХ^ХХ Ч" SyyGyy + ezz^zz +
“F YxyO'xy -f- Ууг^уг Г Y zx^zx)
aT , . . .
2~ (&xx ‘ &УУ + *^zz)?
(8.11.3)
где ei7- и о и — соответственно деформации и напряжения в теле. Используя
закон Гука (8.2.1) или (8.2.4), имеем
Ио — 2£?(ОхХ-Г ®yy~F^Zz) (ОхлТУууЧ
+ Gyy®zz + Ozz^xx) + 2(5 №XV +
CTyz
(8.11.4а)
или
2 е2 ! -р (г2хх 4-е2у + г;, у
+ 4 Ylx) - (ЗХ + 2ц) «Те +
+ |(ЗХ + 2ц)(аТ)2.
(8.11.46)
Из формул (8.11.46) и (8.2.4) вытекают следующие соотношения между вели-
чиной Uo и компонентами напряжения и деформации:
-^ = <7
dszz
а — ихх,
utxx
dUu
= п
духу
^уу~
ди<>...п
tty;
(8.11.5)
yz “ dyzx
Полная энергия деформации U равна интегралу от Uo по всему объему тела,
т. е.
u= j u°dv-
(8.11.6)
Для задач термоупругости дополнительная энергия £/„ на единицу объема
определяется следующим образом:
Г'о = Д-аТ ((УХх + вуу + <?zz)-
Полная дополнительная энергия равна
u'-W\^dV-
(8.11.7)
(8.11.8)
Из выражений (8.11.7), (8.11.4а) и (8.2.1) вытекают следующие соотношения
между величиной Uo и компонентами напряжения и деформации:
дЦ'о
д°уу
dU'o
Vx«’ do,JZ
д1Д
до Хх
дЩ
КУУ'
Yyz,
dozz zz’
d(7o
UIJZX
(8.11.9)
Приведем теперь некоторые полезные энергетические принципы.
230 Глава 8. Сводка основных уравнений задач теории термоупругости
а) Принцип стационарности дополнительной энергии. Рассмотрим
класс систем функций er,7- (т. е. охх, оуу, оzz, оху, oyz, azx), удовлетворяю-
щих уравнениям равновесия (8.3.1) с заданными объемными силами, а также
граничным условиям в напряжениях (8.5.1); требуется определить, какая
из этих систем выбрана правильно с точки зрения постановки задачи п.
8.6, или, другими словами, с помощью какой из этих систем можно найти
три компоненты перемещения и, v, w, удовлетворяющие соотношениям
(8.4.1) ]) между деформациями и перемещениями. Для того чтобы ответить
на этот вопрос, в равенствах (8.11.1) положим e$’=ejj- и u^=Ut, где е,; и иг
соответственно деформации и перемещения, отвечающие правильно выбран-
ной системе напряжений Оц. Рассмотрим теперь другую систему функций
<у'ц определенного выше класса; это означает, что од, удовлетворяют урав-
нениям равновесия с заданными объемными силами, а также заданным
граничным условиям в напряжениях. Тогда, вследствие линейности задачи,
ясно, что разности дац=а'ц—Од удовлетворяют уравнениям равновесия
(8.3.1) при отсутствии объемных сил и, кроме того,соответствуют нулевым
поверхностным силам. Следовательно, если в (8.11.1) подставить
то правая часть этих уравнений будет равна нулю. Таким образом,
J = (8.11.10)
D
Выразим теперь этот интеграл через дополнительную энергию с помощью
формул (8.11.9):
\ И Г<4.,, + Ъоху 4-
ххПдауу ’>J dazz zz i даХ!,
+ ^teyz + ^J>vxz')dxdydz=O (8.11.11)
или
617'=0. (8.11.12)
Соотношение (8.11.12) представляет собой принцип стационарности допол-
нительной энергии, согласно которому стационарное значение величины
U' определяет действительное распределение напряжений среди всевоз-
можных распределений, удовлетворяющих условиям равновесия и задан-
ным поверхностным силам. Примеры применения этого принципа можно
найти в п. 11.4. и 11,6; см. также сноску на стр. 436 гл. 15.
б) Принцип виртуальной работы. Рассмотрим класс систем перемеще-
ний и, v, w, удовлетворяющих требуемым условиям непрерывности и задан-
ным геометрическим граничным условиям вида (8.5.2); требуется опреде-
лить, какому из этих классов соответствуют напряжения, удовлетворяющие
уравнениям равновесия (8.3.1) и, следовательно, дающие правильное реше-
ние 2). Обозначим правильно выбранную систему напряжений, деформаций
и перемещений через Оц, ег?- и щ соответственно и в тождествах (8.11.1)
') В этих соотношениях подразумевается, что деформации соответствуют данной
системе напряжений согласно закону Гука (8.2.1) при заданном распределении тем-
пературы.
2) Подразумевается, что деформации определяются из перемещений с помощью
соотношений между деформациями и перемещениями, а напряжения из деформаций —
с помощью закона Гука для заданного распределения температуры.
8.11. Энергетические методы
231
положим тогда с учетом уравнений равновесия (8.3.1) последний
объемный интеграл в этом уравнении будет просто
(Хим + + Zww) dV.
D
Рассмотрим теперь другую систему функций, выбранную из определенного
выше класса перемещений, в которой деформации и перемещения соответ-
ственно равны ег;4-6ег; и up-dut, и пусть в тождествах (8.11.1) е^’=дег7-
и = Тогда, подставляя в объемный интеграл левой части тождества
.(8.11.1) энергию деформации Uo с помощью соотношений (8.11.5), получаем
.) J У<5ежх хх дгуу ™ d&zz
' духу ‘ dyyz ' <?у.« WX
X dxdydz = 6U.
(8.11.13)
В результате соотношение (8.11.1) принимает следующий вид:
SC7 = (Хён Ч- Уёп + ZSw) dV+^ (Хби + Уёи + Z6w) dA. (8.11.14)
D В
Здесь компоненты поверхностных сил X, У, Z введены с помощью гранич-
ных условий (8.5.1). Заметим, что (так как щ и И/+6иг- удовлетворяют лю-
бым граничным условиям, заданным в перемещениях) в любой точке поверх-
ности В, где величина и задана, би—0; то же самое относится к bv и bw.
Правая часть соотношения (8.11.14) представляет собой работу, про-
изведенную объемными и поверхностными силами при произвольных вир-
туальных перемещениях бпг, а левая часть — соответствующее приращение
энергии деформации. Соотношение (8.11.14) можно рассматривать как
выражение принципа виртуальной работы. Пример применения этого прин-
ципа можно найти в п. 12.4 (г).
в) Использование фиктивных нагрузок. Принцип виртуальной работы
можно использовать и другим образом, сочетая его с концепцией о системе
фиктивных нагрузок; при таком применении принципа можно получить
полезную формулу для определения прогибов.
Предположим, что требуется найти прогиб1) А в точке Ро заданной
конструкции; система фиктивных нагрузок определяется тогда как система
самоуравновешенных сил, производящая работу в том и только в том слу-
чае, когда есть прогиб Л, и когда численная величина этой работы равна Л.
Теперь, если в соотношениях (8.11.1) величины о)}’ означают напряжения,
вызванные фиктивными нагрузками (обозначенные верхним индексом £>),
а величины и™ — действительные перемещения (обозначенные верхним ин-
дексом А), то получим, что поверхностный интеграл в правой части (8.11.1)
представляет собой работу, произведенную фиктивными нагрузками на дей-
ствительных деформациях, которая по определению равна А. Объемный
интеграл в правой части вследствие уравнений (8.3.1) равен нулю, так
3 Здесь термин «прогиб» использован в общем смысле и обозначает любой вид
деформации. Так, например, он может обозначать перемещение в заданном направле-
нии в заданной точке или угол поворота в заданной точке. Это понятие разъясняется
далее в примерах п. 11.4 и 11.6.
232
Г лава 8. Сводка основных уравнений задач теории термоупругости
как в системе фиктивных нагрузок объемные силы равны нулю; тогда соот-
ношения (8.11.1) приводятся к следующему виду:
Л== П + + + +
D
+ N^ + ^?x)dxdydz. (8.11.15)
Примеры применения принципа виртуальных перемещений в таком виде
можно найти в п. 10.10, 11.4 и 11.6. Используя метод фиктивных нагрузок
вместе с теоремой взаимности Бетти, можно получить формулы для общих
термоупругих деформаций, как это показано в п. 9.15.
Изложенный выше метод часто используется для определения проги-
бов конструкций; в случае статически неопределимых конструкций можно
ввести следующее упрощение. Для вывода соотношения (8.11.15) требуется
только, чтобы напряжения, соответствующие фиктивной нагрузке, удовлет-
воряли уравнению равновесия сД .=0 и чтобы произведенная ими работа
равнялась А; в частности, соотношение (8.11.15) справедливо даже, если
деформации, соответствующие фиктивным напряжениям, не удовлетворяют
условиям совместности. Следовательно, этот метод можно упростить следую-
щим образом: при определении напряжений, вызванных фиктивными нагруз-
ками, нет необходимости обеспечивать непрерывность перемещений во всей
конструкции, и, следовательно, в этой части расчетов статически неопре-
делимыми элементами конструкции можно пренебречь.
На первый взгляд может показаться, что перемещения, использован-
ные для вычисления виртуальной работы, нарушают при таком пренебре-
жении условия закрепления рассматриваемой конструкции. Однако это
не так, вследствие того что принцип виртуальных перемещений в действи-
тельности применяется только к упрощенной конструкции, на которой
действуют фиктивные нагрузки. Перемещения заданной конструкции не
нарушают ни одного из условий закрепления упрощенной конструкции ]).
г) Вариационные принципы термодинамики необратимых процессов.
Исходя из основных понятий термодинамики необратимых процессов, мож-
но получить другой вариационный принцип. Для частного случая тепло-
проводности такой принцип выведен при обсуждении работы Био в п. 7.7,
где подчеркивался общий характер таких методов; там же были даны со-
ответствующие библиографические ссылки. Методом, изложенным в п. 7.7,
можно также вывести вариационное уравнение [аналогичное уравнению
(7.7.11)] и уравнение Лагранжа [аналогичное уравнению (7.7.22)] для зада-
чи термоупругости; для наших настоящих целей ограничимся выводом
уравнения Лагранжа.
Можно показать, что сформулированная в гл. 1 линейная квазиста-
тическая * 2) задача термоупругости, учитывающая взаимосвязанность меха-
нической и термической энергий, эквивалентна уравнениям
<9V dD
где величины q, представляют собой обобщенные координаты, а величины
V, D и Qj (названные соответственно термоупругим потенциалом, диссипа-
Q,-, /—I, 2,..., п, (8.11.16)
*) См. работу [4].
2) Для простоты инерционные члены (т. е. кинетическая энергия) здесь опу-
щены.
8.12. Методы решения задач термоупругости
23;
тивной функцией и обобщенной термомеханической силой) определяются 1
следующим образом:
D $ (u’+ir^')dV- (8.11.17
) 4 «"'о (8.11.18
D
Ql=p ( F ip-г Tnt^ dS. \ 1 dqj ‘ dqjJ (8.11.19
s'
Здесь Uo представляет собой плотность энергии деформации, определеннук
формулой (8.11.3), Ft—компоненты поверхностных сил, S;—вектор (наз
ванный потоком или смещением энтропии), связанный с плотностью энтро
пии s, температурой Т и объемной деформацией е соотношением
£,,/ = -5= -[^Ч-(ЗА-^2р)ас] . (8.11.20,
Заметим, что если механические переменные положить равными нулю
то вектор S; окажется пропорциональным вектору Я; (7.7.3), и весь выше
изложенный вывод эквивалентен выводу, приведенному в п. 7.7. С другог
стороны, если при выводе опустить температурные переменные и члены
учитывающие взаимосвязанность в (8.11.20), то термоупругий потенциа/
будет равен энергии деформации U, диссипативная функция — равна нулю
в величине Qjbqj— механической работе, произведенной поверхностнымг
силами при виртуальном изменении перемещений (diii/dqj) bqj. В этом слу-
чае настоящий вывод совпадает с выводом принципа виртуальной работы,
приведенным ранее в этом пункте. Рассматриваемый нами вывод, учитываю-
щий взаимосвязанность механической и тепловой энергии, разумеется,
необходим прежде всего, если решается задача, учитывающая подобнук
взаимосвязанность, но он может оказаться полезным также и при решении
обычной задачи определения температурных напряжений, в которой, каг
это было показано в гл. 2, влиянием взаимосвязанности можно пренебречь
В таком случае важность приведенного здесь вывода заключается в том,
что он представляет собой вариационный принцип, который можно исполь-
зовать для вычисления напряжений и других механических величин, не опре-
деляя предварительно явным образом распределения температуры 2).
8.12. Методы решения задач термоупругости. После того как мы изло-
жили различные формулировки общей краевой задачи термоупругости,
рассмотрим методы их решения. К сожалению, в большинстве случаев
задачи слишком сложны, чтобы решить их путем непосредственного при-
менения некоторых общих методов; часто для каждой задачи приходится
искать наиболее эффективный метод решения и довольствоваться прибли-
женным решением. В настоящем пункте приводится краткое изложение
существующих основных методов решения и даются ссылки на те работы,
в которых каждый из этих методов описывается или иллюстрируется более
подробно, кроме того, здесь содержатся некоторые замечания относительно
сравнительных достоинств этих методов.
г) Заметим, что V идентична интегралу, фигурирующему в выражении (1.14.20),
где член, учитывающий кинетическую энергию, опускается.
s) См. Био, работа [14] к гл. 7; см. также работу [6] того же автора.
'234, Глава 8. Сводка основных уравнений задач теории термоупругости
Можно начать с рассмотрения двух методов приведения задачи термо-
упругости к изотермической. Один из них, состоящий в приведении задачи
термоупругости к изотермической задаче с объемными силами (п. 3.3),
будет лишь немногим более, чем реинтерпретация заданной задачи без
каких-либо математических упрощений; другой метод (п.3.4) является
более полезным, так как при использовании частного решения, для которого
Гудьер вывел явную формулу в виде интеграла, он приводит к изотерми-
ческой задаче без объемных сил. Однако определение дополнительного реше-
ния в последнем методе само по себе является трудной задачей.
С методом Гудьера тесно связан метод, согласно которому решение,
соответствующее заданному распределению температуры, можно получить
с помощью распределения центров объемного расширения (п.3.4). Этот
факт является полезным, особенно в случае, когда граничные условия,
заданные в напряжениях или перемещениях, однородны, но имеется тот
недостаток, что решение, соответствующее центру объемного расширения
с такими граничными условиями, известно лишь для тел простых геометри-
ческих форм (как, например, бесконечное или полубесконечное тело). Ана-
логичные утверждения можно сделать и относительно другого, близкого
к данному, метода получения решения путем наложения решений, соответ-
ствующих температурам, вызванным источниками тепла (см. п. 9.14).
Все эти методы могут быть названы общими в том смысле, что они,
по крайней мере в принципе, всегда применимы; однако, как уже отмечалось,
с практической точки зрения они полезны только в отдельных случаях.
Более широко используемым методом является так называемый полуобрат-
ный метод, предложенный Сен-Венаном для решения задач кручения и изги-
ба стержней, в котором часть решения задается, а остальная часть опреде-
ляется таким образом, чтобы удовлетворить всем необходимым уравнениям.
Если таким путем удается найти решение, то из теоремы единственности
вытекает, что оно будет правильным. Этот метод находит большое практи-
ческое приложение (см., например, п. 9.2, 9.4, 9.5, 10.8 и т.д.), хотя оче-
видно, что он часто требует большой изобретательности для того, чтобы
правильно выбирать подходящее решение.
Решения, полученные вышеупомянутыми методами, обычно являются
точными, т. е. они удовлетворяют точно всем уравнениям поля краевой зада-
чи; однако часто бывает необходимым внести некоторые изменения в гранич-
ные условия; это можно сделать, используя принцип Сен-Венана (напри-
мер, п. 9.5, 9.6, 10.7 и приложение к гл. 10), на основе которого без сущест-
венной ошибки можно заменить заданную систему граничных сил другог
системой сил, различным образом распределенной, но статически эквива-
лентной первой.
При изложении общих методов необходимо упомянуть энергетические
методы п. 8.11. Они могут быть использованы для получения точных реше-
ний, обычно в виде бесконечных рядов; однако часто они применяются
для получения приближенных решений, в большинстве случаев вместе с упро
щающими предположениями типа тех, которые используются в сопротивле-
нии материалов [п. 11.4, 11.6, 12.4(г)].
Теория сопротивления материалов является основой практическогс
определения напряжений, как температурных, так и других, ибо она при
водит к простым методам расчета практически важных конструкций, таких
как балки (гл. 10), фермы, рамы, криволинейные балки, кольца, составные
конструкции (гл. 11) и пластины (гл. 12). Эти приближенные методы в боль-
шинстве случаев оказываются достаточно точными; кроме того, можне
показать, что они покоятся на строгих теоретических исследованиях (см.
Библиография
235
например, п. 10.6—10.9). Для получения большинства решений таким
.методом также требуется применение приципа Сен-Венана.
Точные решения двумерных задач удается получить чаще, чем трех-
мерных, так как для решения двумерных задач можно применять специаль-
ные методы. Наиболее известными из них являются методы, использующие
функцию напряжения Эри (п. 4.5 и 8.10), и метод комплексных переменных,
рассмотренный в п. 4.5.
Решения задач термоупругости часто можно получить численными
методами либо с помошью метода конечных разностей, либо с помощью коэф-
фициентов влияния (п. 11.8). Последний метод особенно удобен для состав-
ных конструкций (таких, как обшивки, подкрепленные стрингерами, нераз-
резные балки, рамы, и т. д.).
Важными являются также методы, обобщающие полученные ранее
решения. Наиболее простые из этих методов основываются на том, что сумма
двух или более решений также является решением (например, п. 10.4),
что добавление линейного распределения температуры в декартовых коорди-
натах не изменяет напряжений (п. 9.2) и что добавление плоского гармони-
ческого распределения температуры для односвязного призматического
тела не изменяет напряжений в этой плоскости (п. 9.4). К этой группе можно
отнести использование принципа Сен-Венана, а также метод п. 10.6 для
определения решений для балок (и пластин), где условия нагревания изме-
няются вдоль длины.
Как и в задачах теплопроводности, для обобщения уже известных
решений (п. 6.4 и 7.8) здесь может оказаться полезной теорема Дюгамеля:
очевидно, что эту теорему можно непосредственно применять к вычисле-
нию напряжений и перемещений без промежуточного определения темпера-
туры явным образом (см. примеры в п. 9.8 и 9.4).
БИБЛИОГРАФИЯ
1. А р г и р и с (А г g у г i s J. И.), Thermal stress analysis and Energy Theorems,
Great Britain Air Ministry, Aero. Research Council, 16 (December 1953), 489.
2. Хемп (Hemp W. S.), Fundamental principles and theorems of thermoelasticity,
Aero. Quart., VII (1956); см. также работу Хемпа того же названия в Aircraft Eng.,
26, 302 (April 1954), 126—127.
3. Аргирис и Келси (Argyris J. Н., Kelsey S.), Aero. Research
Council, 16 (January 1954), 513.
4. Боли и Мур (Boley В. A., Moore R. И.), Note on the calculation ol
deflections of indeterminate structures, J. of the Aero. Set., 17, 8 (August 1950), 526,
а также 18, 4 (April 1951), 285.
5. Б и о (Biot M. A.), New thermomechanical reciprocity with application to ther-
mal stress analysis, J. of Aero Space Sciences, 26, 7 (1959), 401—408.
6. Б о л н (Boley B. A.), Some observations on Saint-Venant’s principle, Proc.
Third U. S. Nat. Congress of Appl. Meeh., Brown Unive., June 1958, стр. 259, 264.
7. Б о л и (Boley В. A.), Upper bounds and Saint-Venant’s principle in transient
heat conduction, Quart, of Appl. Math. (1960).
238
Глава 9. Некоторые основные задачи^ термоупругости
имеет вид
&хх = @уу ®zz — ^ху = Оу- ~ Gyz — &ху = &XZ " &yz ' 9,
SxX Вуу == == СсД(), (9.3.3
u — aTfjX, v=aToy, w — aToz.
Эта часть решения соответствует свободному расширению тела. Tenepi
необходимо приложить соответствующие нагрузки на граничной поверх
ности так, чтобы граничные перемещения равнялись нулю. Эта не связан
ная с нагревом часть решения [с граничными перемещениями (8.8.2)
представляет собой известное решение для тела, находящегося под деист
вием гидростатического давления, а именно1):
&ХХ ~ Оуу &ZZ ~ Pi Оху = HjZ Ozx = 0,
= Гу у = &zz = ’ g Pi ‘^ху = ^yz Рх “ 0> (9.3.4J
(1—2v) 1 —2v 1 —2v
и — — -—g—' px, V—------Ё РУ, W =----------E— pz.
Следовательно, уравнения (8.8.2) будут удовлетворены, если
(9.3.4а]
Складывая решения (9.3.3) и (9.3.4), получаем результаты, тождественные
полученным ранее.
9.4. Двумерные задачи, в которых напряжения в плоскости равны
нулю. В п. 9.2 мы видели, что, если температура является линейной функ-
цией прямоугольных декартовых координат, то все компоненты напряжения
равны нулю. Теперь мы приравняем нулю только три компоненты напря-
жения, а именно,
Охх Щу Оху — 9 (9.4.1)
и определим, каково должно быть распределение температуры для того,
чтобы выполнялись соотношения (9.4.1). Будем предполагать, что темпера-
тура не зависит от г.
Для односвязного тела воспользуемся изложенной в п. 8.10 формули-
ровкой плоской задачи с помощью функции напряжения <р. Из уравнений
(8.10.12) и (9.4.1) вытекает, что <р является линейной функцией х и у; тогда
из уравнения (8.10.13) получим
— узу — о
дх* <91/2 v
(9.4.2)
Обратно, если температура удовлетворяет этому уравнению, краевая
задача для функции ср сводится к однородному дифференциальному урав-
нению с однородными граничными условиями. Следовательно, решение
будет
<р = 0. (9.4.3)
Из теоремы единственности следует единственность этого решения, и, сле-
довательно, при условии (9.4.2) напряжения в плоскости равны нулю.
Отметим, что эти результаты справедливы только для односвязных тел.
Для многосвязных тел соответствующие результаты следующие: напряже-
!) См. Тимошенко и Гудьер, стр. 246.
9.4. Двумерные задачи с равными нулю напряжениями в плоскости
239
ния в плоскости равны нулю при условии, что распределение температуры
является гармоническим и не зависит от г, т. е. удовлетворяет уравнению
(9.4.2) и, кроме того, удовлетворяет следующим двум условиям на каждой
внутренней границе Са (вывод этих соотношений см. в п. 4.9 и 4.10).
1) Полное количество тепла, втекающего в каждую полость или выте-
кающего из нее, равно нулю, т. е.
J = (9.4.4)
ёа
2) Следующие линейные интегралы вокруг каждой полости равны
нулю
(• < дТ дТ \ , f ( дТ , дТ > , п
Са Са
Более подробный пример рассматривается в п. 9.11.
В случае плоского напряженного состояния компонента напряжения
ozz равна нулю как для односвязных, так и для многосвязных тел. В слу-
чае же плоского деформированного состояния значение o2Z дается выраже-
нием (8.10.6) и, следовательно, равно
ozz — — aET + v (Oxx + Vyy) = — аЕТ. (9.4.6)
Таким образом, для вышеприведенных задач о плоском деформированном
состоянии единственная не равная нулю компонента напряжения получает-
ся непосредственно из распределения температуры и пропорциональна
этому распределению.
Компонента деформации ezz равна:
ez, = 0 для плоского деформированного состояния; (9.4.7)
ezz = aT для плоского напряженного состояния. Остальные компоненты
деформации будут
&хх = еуу = (1 + v) аТ, гху = exz = e.yZ = 0 для плоского деформи-
рованного состояния;
п (9.4.8)
гхх = еуу — а1, гху = exz =syz — U для плоского напря-
женного состояния.
Интересно сравнить результаты, полученные в п. 9.2 и в настоящем
пункте, с качественными выводами, приведенными в п. 8.2. Там утвержда-
лось, что при неравномерном распределении температуры элементарные
кубики в теле расширяются в разной степени, и в результате того, что рас-
ширенные таким образом кубики нельзя, вообще говоря, соединить между
собой, возникают температурные напряжения. Результаты, полученные
в п. 9.2, показывают, что линейное распределение температуры является
единственным неравномерным распределением, при котором расширенные
кубики соединяются между собой полностью. В случае рассматриваемого
в настоящем пункте плоского, гармонического распределения температуры
в односвязных цилиндрических телах расширенные кубики можно соеди-
нить между собой полностью в плоскости ху, но не в направлении г.
Так как рассмотренное здесь распределение температуры не зависит
от г, то из сравнения с уравнением теплопроводности Фурье (5.3.7) видим,
что уравнение (9.4.2) удовлетворяется (и, следовательно, напряжения
в плоскости равны нулю) при установившихся распределениях температур
в отсутствие распределенных источников тепла, когда свойства материала
не зависят от температуры.
240 Глава 9. Некоторые основные задачи термоупругости
9.5. Свободная пластина с изменением температуры только по толщине.
Рассмотрим пластину (рис. 9.1) произвольной формы в плане и постоян-
ной толщины 2h. Пластина полностью свободна от поверхностных сил,
Рис. 9.1.
а температура меняется только по толщине, т. е. T=T(z). Можно предполо-
жить, что при этих условиях компоненты напряжения будут иметь следую-
щий вид:
Г>ХХ ~ = f (^), = &XZ ~ Пух ~ П^у = 0* (9.5.1)
Теперь покажем, что точное решение действительно имеет такой вид, или,
другими словами, что компоненты напряжения (9.5.1) удовлетворяют урав-
нениям равновесия [уравнение (8.3.1) с нулевыми объемными силами],
уравнениям совместности (8.9.5) и граничным условиям (8.8.1)1).
Непосредственная подстановка показывает, что уравнения равновесия
тождественно удовлетворяются при компонентах напряжений вида (9.5.1).
Из шести уравнений совместности последние три удовлетворяются тождест-
венно, а первые три удовлетворяются, когда
~ 0 + /--7’1 =0. (9.5.2)
dz*2 1 1—v J ' 7
Не равные нулю компоненты напряжения имеют тогда следующий вид:
(Тхх = ауу=/=--т^7’+С1 + С2г, (9.5.2а)
где постоянные С\ и С2 должны быть определены из нулевых граничных
условий для напряжений на краях пластины. Однако из выражения (9.5.2а)
вытекает, что напряжения не могут быть равны нулю по всей толщине,
за исключением частного случая линейного изменения температуры по г
кроме того, в этом случае все компоненты напряжения тождественно равнь
нулю (см. п. 9.2). Однако значения постоянных Ct и С2 можно выбратг
таким образом, чтобы для любой температуры T(z) результирующая сила
и результирующий момент (на единицу длины), обусловленные напряже
') В последующем увидим, что граничные условия удовлетворяются прибли-
женно в смысле принципа Сен-Венаиа.
9.6. Прямоугольная балка с изменением температуры по высоте 241
ниями ахх и <зУу, были равны нулю на краях пластинки, т. е. так, чтобы
h h
(jxxdz — vxxzdz = Q (9.5.3)
-h -h
и аналогично для ауу. Найденное таким образом решение имеет вид
/1 h
Схх = <туу = т—~ I — Т + .L dz-r Tzdz\. (9.5.4)
хх у у 1—v [ 2h J 2h3 J J 4 1
— h, —ti
Согласно принципу Сен-Венана, на расстояниях от краев больших, чем
одна толщина пластины, это выражение является хорошим приближением
для решения, соответствующего случаю краев, свободных от нагрузок.
Так как компоненты напряжения (9.5.1) удовлетворяют условию отсутствия
нагрузок на поверхностях пластины z=±h, то приведенное решение
в рамках принципа Сен-Венана является искомым (и единственным) реше-
нием рассматриваемой краевой задачи термоупругости.
Деформации и перемещения, соответствующие напряжениям (9.5.1)
и (9.5.4), можно получить, используя соотношения (8.2.1) и (8.4.1) соот-
ветственно. Введем обозначения
h h
NT = aE^ Т dz, Мт = аЕ j Tzdz.
--Д —h
Полное решение будет тогда иметь следующий вид:
Компоненты напряжения
охх — е>цу = г~— 1 — аЕТ + щг NT + Л4Т| ,
уу 1 — v I 2h 2h'< J
®zz = &Xy -- OyZ ~ 0>zx ~ 0-
Компоненты деформации
^xx = Zyy = | 2^- Л'т + ~2h» A4r| ,
2V f 1 Л7 , 3? ,, "I , 1-j-V /p
ezz — — {2Л Л 2/r> MTj -г !_v
~ Syz — &ZX = 9.
(9.5.5)
(9.5.6a)
(9.5.66)
Компоненты перемещения (без учета перемещений тела как твердого
целого)
“ ~ 7Г { 2/Г Т W ’
“ = f (9-Мв>
-=-®f - Г’+Л + уДи {< 1+V) «Е $ Г * - у - g: Мт} .
о
В следующем пункте получено решение задачи о прямоугольной балке
с изменением температуры только по высоте. Так как решения для пласти-
ны и балки аналогичны, анализ этих задач и рассмотрение конкретных:
примеров откладываются до п. 9.7 и 9.8 соответственно.
9.6. Прямоугольная балка с изменением температуры только по высоте-
Рассмотрим балку (рис. 9.2) высотой 2h и шириной Ь, такую, что размеры
16 Боли и Уэйнер
242
Глава 9. Некоторые основные задачи термоупругости
Ь и 2h малы по сравнению с ее длиной L. Как и в предыдущем пункте при-
мем, что T=T(z). Так как балка тонкая, то предполагается, что имеет место
плоское напряженное состояние [см. (8.10.3)]
<Гуу = ^у=<Ггу = 0. (9.6.1)
Решение рассматриваемой двумерной задачи можно найти таким же методом,
Рис. 9.2.
что и в предыдущем пункте, полуобратным методом, сделав предположение
[аналогичное (9.5.1)], что
ог2 ~ @xz = 0, Охх = Охх (^). (9.6.1а)
Тогда уравнения равновесия (8.10.4а) удовлетворяются тождественно,
а уравнение совместности в напряжениях (8.10.116) сводится к уравнению
-^-(Схх + аЕТ) = 0. (9.6.2)
Следовательно,
&ХХ = — аЕТ + CiH- С2х. (9.6.2a)
Из полученного решения вытекает, что все граничные поверхности свободны
от напряжений, за исключением торцевых поверхностей х = ± А/2. Как
и в предыдущем пункте, условия на этих торцах можно заменить условием
равенства нулю результирующих силы и момента. Тогда постоянные Ci и С2
определятся из условия (9.5.3), и в результате для отличной от нуля компо-
ненты напряжения получим следующее выражение:
ахх = аЕ | — Т + -^ Tdz + ^^ Tzdz} . (9.6.3)
—h —h
С учетом обозначений (9.5.5) решение данной задачи о плоском напряженном
состоянии принимает вид:
Компоненты напряжения
ахх=-аЕТ4-^^г + >Мт=-аЕТ + ^- + ^Щ;
<Jzz = o'xz-0. (9.6.4a)
Компоненты деформации
ехх — 4" {~6+ Т 6Л4Т| ,
= {^Г~ + тЬМг}+Ц^аТ, (9.6.46)
exz — 0.
9.7. Анализ результатов п. 9.5 и 9.6 243
Компоненты перемещения (без учета перемещений тела как твердого)
х f bN? . z , "]
^=Н^г+т6ЛМ’
Z
ЬМТ 9 V ( bN? < Z2 LU 1 I 1+v C rr J /гл г- Л \
w = -~-^еГх ~~e \~А^г^1ГЬМт] +a”^-“ } T dz- (9.6.4b)
b
В этих уравнениях площадь А и момент инерции I поперечного сечения
равны соответственно
A=2bh, 1=^. (9.6.4г)
Это решение можно было бы получить с помощью функции напряжения,
как это показано в п. 8.10. Так как температура зависит только от г, есте-
ственно предположить, что и функция напряжения <р зависит только от г;
уравнение (8.10.13) примет следующий вид:
и его решение будет
z Z1
ср = — аЕ Т (z2)dz2dzt ф- а+ bz + cz2 + dz3. (9.6.5а)
~h — h
Постоянные а, b, с и d определяются из условий (8.10.14), которые в данном
случае имеют вид
q> = ^- = 0 при z— + h. (9.6.6)
Так как (при интегрировании по частям)
Т (z2) dz2 dzx = z T(z^dz^— T^z^dzi, (9.6.6а)
— fl —fl — h —h
то в результате для функции напряжения получим следующее выражение:
<p=aE^-~z^ Т dz-\- Tz dz + £ 1 + (jf') ] 2 Т dz —
—h — ft —h
-тр+ЧЛ-иЛ)ТгЛг}’ (9-6-7)
—h
из которого, используя уравнения (8.10.12), записанные, разумеется, в ко-
ординатах xz, можно непосредственно получить найденные ранее компонен-
ты напряжения. Заметим, что условия равенства нулю результирующей
силы и результирующего момента, т. е. условия (9.5.3), выраженные через
функции ф, имеют следующий вид:
\ ^dz=^ zd^rdz = Q. (9.6.8)
J dz2 J dz2 ' 7
— fl —fl
Если <p удовлетворяет условиям (9.6.6.), то эти уравнения удовлетво-
ряются автоматически.
9.7. Анализ результатов п. 9.5 и 9.6. Решения, полученные в п. 9.5
и 9.6, часто применяются при практическом определении температурных
напряжений. Относительно этих решений можно сделать следующие заме-
чания.
16”
244
Глава 9. Некоторые основные задачи термоупругости
1) Величины NT и МТ постоянны и имеют размерности силы на еди-
ницу длины и момента на единицу длины соответственно. Следовательно,
формула (9.4.6а) для <тхх аналогична известной формуле Р/А+Мс/1
сопротивления материалов; эта аналогия рассматривается далее в гл. 10,
где излагается теория термоупругости балок. Заметим пока, что для задачи
п. 9.6, как и в случае изотермической балки, изгибаемой концевыми момен-
тами, плоские сечения остаются плоскими (так как перемещение и линейно
зависит от z), а кривизна 1/7? при (dw/dx)2<^ 1 постоянна и равна
1 ~ _ ЬМТ /п 7 IX
R ~ 5x2 Б1
Аналогично задача п. 9.5 соответствует задаче изгиба пластины моментами
равномерно распределенными по краям, вследствие чего и в этом случае
можно сделать выводы, аналогичные вышеупомянутым.
2) Формулы для отличных от нуля компонент напряжения [т. е.
(9.5.6а), или (9.6.4а)] упрощаются при частных видах распределения темпе-
ратуры. Так, например, если температура T(z) является линейной функцией,
то все компоненты напряжения, согласно общему результату, полученному
в п. 9.2, равны нулю. Разумеется, в этом случае деформации и перемещения
не равны нулю и определяются приведенными выше уравнениями.
Предыдущие формулы упрощаются также и в случае, когда распределе-
ние температуры является или симметричной T(z) = Т(—г) или антисиммет-
ричной T(z)= —Т(—г) функцией относительно срединной плоскости г = 0.
При симметричном распределении Л4Т = 0 равна нулю, также и кривизна
пластины или балки. При антисимметричном распределении температуры
NT = 0 и среднее значение перемещения и (для балки) или перемещений и
и и (для пластины) равны нулю.
В свете этих замечаний заданное распределение температуры иногда
удобно бывает выразить (что всегда возможно) в виде суммы трех слагае-
мых:
T(z) = T1(z) + 7'2(2) + T3(z), (9.7.2)
имеющих следующий вид:
T1(z) = a4-6z, T2(z) = T2(-z),
Г3(г)=-Л(-г), (9-7’2а)
Напряжения, деформации или перемещения, обусловленные температурой Т,
складываются из напряжений, деформаций и перемещений, обусловленных
температурами 7\, Т2 и Т3 по отдельности. Так как температура 7\
является линейной функцией, то она вызывает деформации и перемещения,
но не напряжения; при определении механических величин, соответству-
ющих температурам Т2 и Тs, можно пользоваться вышеупомянутыми
упрощениями. Распределение напряжений, вызванное только температурой
Т2, симметрично, а распределение напряжений, обусловленное только Т3,
антисимметрично, следовательно, если Г3 = 0и b #= 0, то соответствующее
распределение температуры, хотя оно и несимметрично, вызывает симмет-
ричное распределение напряжений.
3) Результаты п. 9.5 и 9.6 применимы к пластине или стержню, пол-
ностью свободным от внешних сил и связей. Однако на практике условия
опирания и нагружения обычно задаются. Если задача линейная (см. п. 8.8),
-то в таких случаях решение можно получить, налагая решения для напряже-
ния и деформации, вызванных соответствующей системой самоуравнове-
хпенных нагрузок, а также для перемещения тела как твердого на получен-
9.И. Примеры к п. 9.5 и 9.6
24!
ное выше решение. Более подробно этот вопрос рассматривается в гл. К
для случая балки и в гл. 12 для случая пластины.
4) В вышеприведенном исследовании рассматривались распределения
температуры, независящие от координат в плоскости пластины или вдол!
длины балки. Однако в гл. 10 и 12 показывается, что выражения для напря-
жений и деформаций, полученные в настоящей главе, являются хорошимг
приближениями только в тех случаях, когда изменение температуры в пло-
скости пластины и по длине балки достаточно гладко. В этом случае вели-
чины NT и Мт, разумеется, не являются постоянными, но зависят от осе-
вой координаты балки (или от координат в плоскости пластины). Следо-
вательно, формулы, приведенные в настоящей главе для перемещений (в ко-
торых предполагалось, что NT и Мт постоянны), должны быть модифици-
рованы в соответствии с более общим видом распределения температуры
соответствующие результаты приведены в упомянутых выше главах.
9.8. Примеры к п. 9.5 и 9.6. Рассмотрим пластину, показанную на рис.
9.1, имеющую всюду нулевую начальную температуру. К одной поверхности
z = h этой пластины подводится равномерно распределенный тепловой
поток q(f), изменяющийся со временем, другая поверхность z = —h, а
также все края идеально теплоизолированы. Предполагается, что пластина
свободна от внешних нагрузок. Задача решается в два этапа: (1) находится
распределение температуры и (2) проводится решение задачи термоупруго-
сти. Решение первой задачи (1) заимствовано из гл. 7. Распределение темпе-
ратуры в пластине под действием внезапно подведенного теплового потока
постоянной величины q0 определяется выражением (7.2.72); в обозначениях
настоящей главы оно имеет следующий вид:
Т (z t\ — —— /--4- 3 (—V-4- 6 (— 1
1 0 12, I) - 12fe h2 + б h J -j- О h J
48 -sri
Л2 ’ Zj
71=1
1 Б” е-г(2Я2и(/4/12 CQS ПЯ (Z+A) 1
п2 2/г J
(9.8.1)
Здесь k представляет собой коэффициент теплопроводности, ах — коэффи-
циент температуропроводности материала. Соответствующее решение для
коротких интервалов времени здесь можно найти как и в п. 6.6.
При произвольном изменении величины теплового потока во времени
температуру Т (z, f) можно получить из выражения (9.8.1) с помощью теоре-
мы Дюгамеля п. 6.4 и 7.8 (б), которая в данном случае запишется в следую-
щей форме:
Т (г, 0 = дТ0(г i-т) dx = £(0) То (г, 1 j dq(T) То t _ т) dx.
Л t/0 vi t/o </о ,) ат
0 0
(9.8.2)
Единственная отличная от нуля компонента напряжения (9.5.6а), вызванного
распределением температуры (9.8.1), равна
« = Д (4- ДУJ+у 3 ИГ—/-Х
Н=1
„ пл 48 г v.
cos —ДУ—------т—т >
2/г /гл* J—
= 1. 3,
/г1
(9.8.3)
246
Глава 9. Некоторые основные задачи термоупругости
Напряжение, обусловленное тепловым потоком, изменяющимся со временем,
можно получить непосредственно из выражения для aS (соответствующего
постоянному тепловому потоку) путем прямого применения теоремы Дюга-
меля, не определяя явным образом распределение температуры для случая
переменного теплового потока, имеем
= f Шt) + _L f „s(z, t_r)Л.
e) ^0’ Qfi e) “X
0 0
(9.8.4)
Другим практически важным условием нагревания является случай,
когда пластинка, имеющая нулевую начальную температуру, подвергается
внезапному воздействию окружающей среды постоянной температуры Та
путем теплообмена. Распределение температуры в этом случае выражается
формулой рД.ЬЪб), из которой легко вычислить напряжения посредством
формулы (9.5.6а). Построены1) кривые, дающие численные значения этих
напряжений; некоторые из этих кривых приводятся на рис. 9.3 — 9.5.
Значение т = со соответствует случаю, когда температура поверхности
г = h внезапно повышается на величину Та. Тогда как в случае симметрич-
ной (рис. 9.3 и 9.4), так и в случае антисимметричной задачи (рис. 9.5),
напряжение достигает максимального значения при t = 0 на поверхности
z = h и равно
о FT
(<ixx)max=-^. (9.8.5)
Полученные результаты можно использовать для оценки ошибки,
которая возникает при определении температурных напряжений в резуль-
тате использования идеализированного граничного условия, состоящего
в замене действительного условия большого, но конечного теплообмена за-
данной температурой поверхности. Как отмечалось в п. 5.6в, эта ошибка
может быть довольно значительной; если, например, ш = 10, то максималь-
ное значение температурного напряжения в случае симметричной задачи
(см. рис. 9.4) составляет 60% от максимального значения при m = оэ
[данного формулой (9.8.5)); в случае антисимметричной задачи из рис. 9.5
видно, что максимальное значение температурного напряжения при m =1С
составляет всего лишь 36% от максимального значения при ш = со. Заме-
тим, что для заданного коэффициента теплообмена ошибка увеличивается,
если коэффициент теплопроводности k увеличивается и толщина L умень-
шается .
9.9. Медленно нагреваемая балка или пластина. Результаты первого
примера предыдущего пункта (9.8.2) и (9.8.4) можно упростить для довольно
общего класса задач, имеющих практическую важность. В этих задачах
поток тепла q(t) изменяется медленно (понятие «медленно» уточняется в даль-
нейшем) и 9(0)=0. При этих условиях можно показать2), что выражение
для температуры (9.8.2) приводится в данном случае к следующему виду:
I'(^l=^r[3C0’+KP-l]+ibM*-(4). (9.9.1:
о
х) См. работы [2]. Кривые на рис. 9.3—9.5 заимствованы из последней работы.
2) См. Уэйнер, работа [2] к гл. 16. Заметим, что рассматриваемая здесь задача
принадлежит к классу, для которого справедливо неравенство (2.4.11).
LZ
Рис. 9.3. Температурные напряжения на поверхности свободнойдпластины, симметрично нагреваемой по поверхно
стям z = с коэффициентом теплопроводности h.
Начальная температура равна нулю, температура окружающей среды — Та, критерий Био т ~ hL/k. Заметим, что на нагреваемо!
ппиепуиогти нпчникяет сжимающее наггояжение (Та > 0). а на охлаждаемой — растягивающее (Гд < 0).
248
Глава 9. Некоторые основные задачи термоупругости
где
(9.9.1г
Здесь <7таХ представляет собой максимальное по абсолютной величине знг
чение производной dq(r)/dr в области 0 < т < t. Если величина qma
Рис. 9.4. Максимальное напряжение и время, необходимое для дости-
жения этого значения (задача рис. 9.3).
Максимальные напряжения возникают на поверхности.
р
стижения в своооднои пластинке, теплоизолированной по поверхности
z = 0 и нагреваемой по поверхности z =L с коэффициентом теплообмена h.
Начальная температура равна нулю, окружающая температура — Та, критерий
Био т = hL(k. Максимальное напряжение возникает на нагретой поверхности и
при Та > 0 является сжимающим.
мала, то величинойе (z, t) в (9.9.1) можно пренебречь по сравнению с осталь-
ными членами правой части этого соотношения; такой подвод тепла будет
назван медленно изменяющимся.
Определим теперь на основе формул п. 9.5 напряжения и деформации
в пластине при распределении температуры (9.9.1) , в которых е (z, t) ОПу-
9.10. Круговой диск с радиальным изменением температуры 24!
скается. В обозначениях (9.7.2) имеем
ле,
о
Т /\_____ ч R'l 72 (9.9.16)
Т3(г, t) =0.
Таким образом, единственной компонентой температуры, вызывающе?
напряжения, является температура Т2; при этом распределение напряжение
симметрично относительно плоскости z = 0, хотя распределение температу-
ры несимметрично. Тогда отличные от нуля компоненты напряжения равнь
в — а — а£ Г (9 9 2’
OXX~OVV 1—v[_4Wj ]\3 z )'
Из этого выражения вытекает, что для положительного значения q(f) в обла-
сти | z | < h /]/ 3 имеют место растягивающие напряжения, в области hl}/ 3 <
< | z| < h сжимающие напряжения, а при z = ±Л/|/3 напряжения равны
нулю.
Само собой разумеется, что приведенные выше выражения для напря-
жений можно было бы получить, не разделяя температуру на три части,
а просто путем подстановки в (9.5.6а) соответствующих значений г
МТ, именно,
Мт=^?(т)Л, Мт^^. (9.9.3)
о
Однако для определения компонент деформации и перемещений такогс
выбора методов нет; эти компоненты должны быть вычислены путем подста-
новки величин NT и Л4Г в уравнения (9.5.66, в); детали такой подстановки
мы опускаем; заметим, только, что кривизна пластины [см. выражение
(9.7.1)] равна
Г = ¥ = O-9-4)
и такая же формула справедлива для кривизны 1 /Ry. Таким образом, в дан-
ной задаче получающаяся в результате кривизна пластины не зависит от ее
толщины.
Остается теперь определить ошибку, допущенную в вычислениях при
пренебрежении членом е (г, (). Можно показать, что максимальную ошибку
оЕ в компонентах напряжений ожж и вУу, возникающую вследствие пренеб-
режения этим членом, можно оценить с помощью следующего неравенства:
I 0К)4баЕК^х , (9.9.5)
1 е' (1— v)k% 4 1
и, следовательно, эта ошибка мала при медленно изменяющемся подводе
тепла.
9.10. Круговой диск или цилиндр с радиальным изменением темпера-
туры. В настоящем пункте рассматривается задача определения напряжения
и деформации в сплошном или полом круговом цилиндрическом теле внеш-
него радиуса Ь и высоты h в случае, когда распределение температуры зави-
250
Г лава 9. Некоторые основные задачи термоупругости
сит только от радиального расстояния г и когда цилиндрическая поверхность
свободна от нагрузок. Если отношение hdb очень мало по сравнению с еди-
ницей (т. е. в случае диска) и торцевые поверхности свободны от нагрузок,
задача сводится к исследованию плоского напряженного состояния. С дру-
гой стороны, если отношение h!b велико по сравнению с единицей и если осе-
вые перемещения отсутствуют, то задача приводится к исследованию пло-
ского деформированного состояния. В п. 8.10 было показано, что решения
этих двух задач математически аналогичны, поэтому здесь подробно будет
рассмотрено только решение задачи о плоском напряженном состоянии. Соот-
ветствующее решение для задачи о плоском деформированном состоянии
можно получить непосредственно путем замены величин Е, v и а соот-
ветственно величинами Ei, vlt щ (8.10.5). Если же отношение hlb является
величиной одного порядка с единицей, то предположения о плоском напря-
женном состоянии и о плоском деформированном состоянии неверны; в та-
ком случае для решения задачи необходимо использовать трехмерную
теорию.
Найдем сначала решение для полого цилиндра внутреннего радиуса,
затем как частный случай получим решение для сплошного диска. Хотя мы
рассматриваем случай плоского напряженного состояния, для вывода основ-
ного уравнения задачи целесообразно сначала рассмотреть случай плоского
деформированного состояния. Будем исходить из уравнений задачи в пере-
мещениях в цилиндрической системе координат [уравнения (8.9.3)]. В слу-
чае плоской деформации в этих уравнениях следует положить w = 0, вслед-
ствие радиальной симметрии v=0, а изменениями величин по координате 6
можно пренебречь. Первое из уравнений (8.9.3) приводит тогда к следу-
ющему виду:
d Г 1 d(ru)l /ЗХ-|-2|л \ dT 14-v dT ,. . . dT zn i n n
----------- = v - a -=- = a -----------j- =a1(l+v1)^- . (9.10.1)
dr L r dr J v у dr 1—v dr ' 11 dr v ’
Следовательно, при плоском напряженном состоянии радиальное перемеще-
ние является решением следующего уравнения:
й а(1 + уЛ _ (9.10.2)
dr L г dr J v ’ dr ' ’
Общее решение этого уравнения будет
и (г) = 7Г^+С1Г+ .
а
(9.10.3)
Так как граничные поверхности г — а и г = b свободны от нагрузок, то
значения постоянных и С2 лучше получить, определив сначала напряже-
ния. На основе соотношений между деформациями и перемещениями (8.4.2)
и закона Гука для компонент напряжения получим следующие выражения:
Огг = — -рг Trdr
а
ECi_________ЕС2
1 V ‘(1 -Г-v) г2 ’
°ее = pl \Тг dr- аЕТ +
r2 J ~ 1—v (iq-v)r2 ’
пг0 = О.
(9.10.3а)
9.10. Круговой диск с радиальным изменением температуры
Граничные условия на свободных от нагрузок цилиндрических поверхности
будут
Огг = 0 при г —а и г = Ь, (9.10.3
и отсюда, таким образом, можно определить постоянные] (Д и С2.
-отличных от нуля компонент напряжения и деформации получаем следующ]
окончательные выражения:
Ь г
^rr=^[^\Trdr~ \Jrdr],
а а
= (j Trdr-Tr*\ , (9.10/
а а
и = i{(1 + v) J Trdr+ j.
а а
В частном случае постоянной температуры все компоненты напряжения рав
мы нулю1), а радиальное перемещение будет
и = аТг. (9.10.4а
Для частного случая сплошного диска внутренний радиус равен нулю
в результате получим
ь г
<зтт~ аЕ £ j Tr dr —~2 j Tr dr j ,
0 0
b г
Оев = аЕ ^ -p2- \ Tr j Trdr — T j , (9.10.5'
о о
r b
u {(1 -r v) Trdr ф (1 — v) j Frdrj .
о 0
При r — 0 эти выражения становятся неопределенными. Однако, если тем-
пература в этой точке имеет конечную величину (как, например, в случае
отсутствия сосредоточенных источников тепла), то тогда, применяя правиле
Лопиталя, получим следующие предельные значения:
г 1
11т7Г
r->0 г
J Trdr — уГ(0),
о
lim 1 f Tr dr = 0.
-° r
(9.10.5a>
1) Cm. n. 9.2. Компоненты напряжения не равны нулю, если температура Т являет—
клиненной функцией г, так как это не обозначает, что Т является линейной функцией
в прямоугольной декартовой системе координат.
252
Глава 9. Некоторые основные задачи термоупругости
Если перемещение в центре диска равно нулю, то напряжение в центре
определяется выражением
ь
(0) = Gee (0) = аЕ [^- J Trdr- . (9.10.56)
о
Как упоминалось выше, соответствующие решения для плоского дефор-
мированного состояния получаются из приведенного путем замены величин
Е, а и v величинами Еь cii и соответственно. В частности, заметим, что ве-
личина аЕ заменяется величиной ахЕ^= аЕ,'(1—v), и, таким образом, ком-
поненты напряжения агг и оее для плоского деформированного состояния
можно получить непосредственно. Необходимо также вспомнить, что в слу-
чае плоского деформированного состояния существует еще одна отличная от
нуля компонента напряжения, а именно ozz; ее значение дается формуле?
с22= v (стгг + о-99) — аЕТ, (9.10.6)
которая для полного цилиндра имеет следующий вид:
ь
ozz = а— аг Trdr - Т. (9.10.6а)
* (1 — v) (62 — a2) J 1—v ' J
а
Это выражение для ozz справедливо в случае, когда осевые перемещения от-
сутствуют. Сдругой стороны, если торцевые поверхности свободны от нагру-
зок, то найденные выше компоненты напряжения необходимо соответствен-
но сложить с компонентами напряжения, согласно (4.3.5); единственной ком-
понентой напряжения, изменяющейся при этом, будет ozz, и ее значение
в таком случае равно
ь
ozz= [^^L^Trdr-T] =о„ + ое0. (9.10.7)
а
Соответствующий результат для сплошного цилиндра получается при а — 0
Осевое перемещение ш, которое, разумеется, было равно нулю в предыдущее
случае [где справедливо (9.10.6а)], теперь будет вычисляться по формуле
ь
w=J?L-{Trdr (9.10.7а)
Ь2—a2 j 4
а
без учета движений цилиндра как твердого целого. Аналогично радиальное
перемещение, определенное ранее третьим соотношением (9.10.4), тепер!
равно
г b
н= -л^дГ(1 +v) \ Trdr+ (Lrzi!v^ С Tr dr 1. (9.10.76
г (1—v)L ' J b2—a2 J j
a a
Некоторые числовые значения для частных видов неустановившихс?
распределений температур приведены, например, в работе Егера’1). Кроме
того, существует большое количество работ, посвященных определению тем
пературных напряжений в цилиндрах и дисках; дополнительный список лите-
ратуры приведен в п. 9.12.
9.11. Круговые диски или цилиндры при плоском, гармоническом рас
пределении температуры. Решение в предыдущем пункте мы получили, исхо-
дя из уравнений задачи в перемещениях, когда распределение температурь
зависело только от г. Теперь допустим, что температура зависит также от угл:
9 См. работы [3].
9.11. Круговые диски при гармоническом распределении температуры 25;
6 и что она соответствует решению задачи для установившегося режима,
тг. е. удовлетворяет следующему уравнению:
т-з'г/ 1 , 1 д к дТ \ „ /а 1 1 1
V-7 (г, 0) = - -; ~ /-з— =0. (9.11.1)
' ' г2 д&2 ' г дг у dr J ' '
Решение получим, исходя из постановки задачи в напряжениях, приведен-
ной в п. 4.51); для удобства эта постановка задачи снова излагается здесь
в развернутом обозначении. Необходимо удовлетворить уравнениям(4.5.31)—
(4.5.35), которые в случае круглого цилиндра, находящегося в плоском де-
формированном состоянии, с внутренним радиусом а и внешним радиусом Ь
со свободными цилиндрическими поверхностями имеют следующий вид:
Дифференциальное уравнение
V4<f>~rat£lV2T = 0, a<r<b.
Граничные условия
<р = —L = 0, г = Ь;
т дг
<р = арс у- а2у + Ьо, г = а;
41' — a, cos 6 + а,> sin 0, г = а.
дг 1 “
Условия Митчелла
(9.11.2)
(9.11.3)
(9.11.4)
r = a, (9.11.5)
2л
о
2л
$ С’Д? + глЙ9г',е= ~
о
2л
1 дг
О
2л
0
2л
„ С / дТ дТ \
Eid, \ X ..----'г у rdv,
1 1 .) у dr ' v гдд / ’
о
2л
г = а, (9.11.6)
о
где
x=rcos0, y = rsin6, (9.11.7)
а постоянные at, а2 и Ьо, являются произвольными в краевой задаче (9.11.2) —
(9.11.4) и используются для удовлетворения условий Митчелла.
Для сплошного цилиндра (а = 0) условия (9.11.4) — (9.11.6) непригод-
ны и заменяются условием, согласно которому решение должно быть конеч-
ным в точке г = 0. Легко проверить, что в этом случае для гармоническогс
распределения температуры решение (единственное) в соответствии с общи-
ми результатами, полученными в п. 9.4, будет
<р = 0. (9.11.8)
Однако, как мы увидим, соответствующие результаты в случае пологе
цилиндра не являются такими простыми. Целесообразно выразить темпера-
'J Результаты, полученные в настоящем пункте, часто выводят используя ком-
плексные переменные; см., например, работу [41, а также работу того же автора, цити-
рованную в п. 9.12. Вывод этих формул без применения комплексных переменных даг
в книге А1елана и Пар куса [I ] путем одновременного использования функции напряже-
ния Эри и потенциала перемещения.
254 Глава 9. Некоторые основные задачи термоупругости
туру в виде ряда Фурье, т. е.
Т (г, 9)= У, Fn (г) cos п0-г У, Gn (г) sin п0, (9.11.9)
п=0 п=Л
где при плоском гармоническом распределении температуры коэффициенты
Fn и Gn удовлетворяют следующим соотношениям:
1A r dr LjL r dr (rd^"y-wF^Q^ n=^ ^2’ ' , АГ" , (9.11.10) = n=l,2,3, ....
Признаком распределении температуры предположим, что
со оо
ф(г, 0)= 2 fn (г) cos nd + 2 gn (Г) sin nd. (9.11.11;
ii=0 n=l
Подставляя выражения (9.11.9), (9.11.10) и (9.11.11) в основные уравнения
(9.11.2)—(9.11.6), которым должно удовлетворять решение задачи (штрихи
обозначают дифференцирование по г), получаем:
Дифференциальные уравнения для fn
j 2 (,,, 1Д2п2 ,
IП I r (n r2 I n ~1 Jn ~r
+ '^3=4)fn = 0, n = 0, 1,2, .... (9.11.12;
Граничные условия для fn
f„(b)=^^=O, n = 0, 1,2, ..., (9.11.13'
fo(a) = bo, fi(a) = aia, fn(a) = 0 прип>2,
прип>2. i
dr ' dr dr r J
Условия Митчелла для fn nPu r — a
Дифференциальные уравнения для gn
gn+ygn---------72—ёп1-----+ —gn=0, n=l, 2,...
(9.11.12a
Граничные условия для gn
n = l,2, ...; (9.11.13a
gi (a) = aa2, §n (d) — 0 при n z >2, 4
dgi i°) _ n dr - u'2- dgn (a) n dr при n Z ^2, (9.H.14a
9.11. Круговые диски при гармоническом распределении температуры
255
Условия Митчелла для gn при г = а
При выводе условий Митчелла в приведенном выше виде интегрирова-
ние по 9 производилось с помощью следующих соотношений ортогональности
2,я 2я ( 0, п т,
\ sin nQ sin /тгО dQ = \ cos n0 cos/7/0 dQ = { (9.11.17)
о 0 (л, 72 = 772=^0.
Читатель заметит, что условия Митчелла имеют место только для функций
fo, fi и gi, в то время как при п 2 они удовлетворяются автоматически.
Тогда из краевых задач для функций fn и gn непосредственно вытекает, что
fn = g» = 0, п>2. (9.11.18)
Таким образом, мы получили важный результат, согласно которому напря-
жения в плоскости вызываются только теми членами плоского гармониче-
ского распределения температуры, для которых п — 0 и п = I1). Целесооб-
разно рассмотреть эти напряжения по отдельности и обозначить их через
о™, оеё (п = 0, 1). Так, напряжения о)”1, оggсоответствуют плоскому гармони-
ческому распределению температуры вида
Г0>(г, 0) = Fo(r), (9.11.19а)
а о)1/, о'^—плоскому гармоническому распределению температуры вида
e)=F1(r)cos0 + G1(r)sin0, (9.11.196)
где, разумеется, функции Fo, F4 и Gi удовлетворяют уравнениям (9.11.10).
Следовательно, компоненты напряжения в плоскости, соответствующие сум-
марному плоскому гармоническому распределению температуры (9.11.9),
представляют собой сумму напряжений, вызванных этими двумя членами.
Однако осевая компонента напряжения czz для рассматриваемого случая
плоского деформированного состояния будет зависеть от полного распреде-
ления температуры, как это вытекает из (8.10.6).
Определим сначала напряжения 0$ и Одд. Конечно, их можно найти
как частный случай решения п. 9.10, но полезно будет вычислить их спосо-
бом, изложенным в настоящем пункте, и сравнить эти два метода.
При /2=0 решение уравнения (9.11.12) будет
/0(7-) = C1+C2lg^ + C3(4Y+C4(n2lg^. (9.11.20)
Пять постоянных Ci, С2, С3, Ct и Ьо должны быть определены из условий
(9.11.13), (9.11.14) и (9.11.16). Из уравнения (9.11.10) найдем функцию
Г°’(г, 0) = FB (г) = То lg-£ +Ti, (9.11.21)
где То и Ti— постоянные; таким образом, напряжения (9.10.4) для частного
вида распределения температуры (9.11.21) выражаются через функцию на-
!) Этот физически неочевидный результат можно лучше обосновать с помощью
дислокационной аналогии п. 4.10. В самом деле, непосредственные вычисления показы-
вают, что дислокации в ненагретом цилиндре, соответствующие этим членам распре-
деления температуры, равны нулю и, следовательно, не вызывают напряжений.
256
Глава 9. Некоторые основные задачи термоупругости
пряжения /0, определенную выражением (9.11.20) следующим образом:
”"“Т^ = 7» + ¥ + (М1+21^)'
"«=Э"”?+5+Х3+218О’ <9-“'22
огг0 = 0.
Согласно п. 9.2 постоянная температура 7\ не вызывает напряжений
поэтому в расчетах не будем принимать ее во внимание. Постоянные, фигу
рирующие в (9.11.12), равны
r _ _ сцАТрЬМ , Ь
2 2(b2—a2) g а ’
^-^^[(1 + 2181)»’-^].
r _ aiE^To I
°4 “ 4 )
Здесь использовано соотношение
F'0W=~-
(9.11.23
(9.11.23а;
Подставляя значения этих постоянных в выражения (9.11.22), находим.
-wsaa (9112,
Легко проверить, что выражения (9.10.4) дают те же самые результаты.
Вернемся теперь к определению компонент напряжения а® и Ogg.
Из уравнений (9.11.12) — (9.11.15) и (9.11.12а)—(9.11.15а) очевидно, что
для Ft и Gi получим одинаковые выражения; поэтому остановимся подробно
только на определении первой из этих функций. При п = 1 решение урав-
нения (9.11.12) будет
/.« = c,y+c2y+c,Q)’+c,(i)ig^ . (9.11.25;
и соответствующие компоненты напряжения равны
(П_ 1 _ сп„е А
Щт- г дг~г г2 <502 - COSD r dr - Г2
п Г 2а „ 2г(?з . С\ I
= COS 9 -------,-С2-; -т + — ,
I г3 2 1 a3 ar J
(1> d2<p a d2fi а Г 2а п . 6г Г Cz/1
с#0 = з-? = cos 9 = cos 0 С2 + С3 + — ,
dr2 dr2 L г3 а3 1 ar J
п<1> _ _ ± _ =,п 0 ГА > =
'"е дг у г <30 ) dr Г г J
. „Г 2а „ . 2rC3 , С. ]
(9.П.26:
Пять постоянных Ci, С2, С3, С4 и at определяются из условий (9.11.13) —
(9.11.15). Функция ТС) имеет следующий вид:
AV,e)= (^+Ar)cos9+ 0- + Bir)sine, (9.11.27:
9.13. Круговая балка при радиальном, изменении температуры
257
где коэффициент при cos 0 (т. е. Л), а также коэффициент при sin 0 (т. е.
Ci) определены из уравнений (9.11.10) для п = 1. Однако, согласно резуль-
татам п. 9.2, члены, пропорциональные и Bit не вызывают напряжений
(так как х = г cos 0 и у = г sin 9). Окончательные выражения для напряже-
ний будут
°- = 2W^) (1 - (1 - ) ^0 C0S 9 + Sin 0)>
(1) щЕу f г, а24-Ь2 а2Ь2\ , . а , D • Q4
оее= 204З2) V--?-----J(A0cos9-|-BoSine),
= ^T^C^^^C^^^osine-BoCose),
(9.11.28)
так как значения постоянных-С2, С:з и С4 (для члена А о) равны соответствен-
но
р _ а*\Е\А§аЬ2 ,q ., оо«\
С2~ 4(а2^_62)’ С3— 4(Й2_^Ь2)’ С4— 2 (У.И./йа)
Заметим, что для рассматриваемой задачи о плоском деформированном со-
стоянии из (8.10.6) имеем
^^(2-^±l2)(AoCos9+BoSin0)-^, (9.11.29)
9.12. Дополнительная литература о расчете температурных напря-
жений в цилиндрах.
Существуют многочисленные работы, посвященные определению температурных
напряжений в круговых цилиндрах и дисках. Перечень наиболее важных из этих
работ, кроме уже упомянутых, приводится ниже. Ранним исследованием в этой области
является работа Лоренца [5] (Thermal stresses in a cylinder with a concentric circular
hole). В статье Матцумуры [6] (A contribution to the theory of thermal stress in a long
Hollow cylinder) предполагается, что а и E являются произвольными функциями
температуры; решение получено для конечного числа концентрических оболочек
(свойства материала каждой из оболочек постоянны), а также для случая, когда число
таких оболочек стремится к бесконечности. Случай периодического изменения по вре-
мени заданной на поверхности цилиндра температуры рассмотрен в работе Даля [7]
(Temperature and stress distributions in hollow cylinders). Кривые для полых цилинд-
ров приведены в статье Баркера [81; приближенный метод расчета дан Кентом [21].
Определение температурных напряжений в двух концентрических соединенных
цилиндрах с различными а обсуждается в работах Порицкого [9] (Analysis of thermal
stresses in sealed cylinders, and the effect of viscous flow during annealing). Поведение
составных цилиндров исследуется в работах Гейтвуда [10], [4], а также в статье
Страба [11] (Distributionof mechanical and thermal stresses in multi-layer cylinders).
В работе Стодолы [12] вычисляются окружные напряжения в равномерно нагретой
трубе. Отметим также работы Хейслера и Хлинка, Ландау и Пашкиса [2], содержа-
щие кривые напряжений при неустановившихся условиях нагрева. Аналогия с изо-
термическими условиями приведена в работе Цзяна и Ченя [13].
Цилиндрические оболочки рассмотрены в работах Гудьера [14] и Паркуса [15].
Во второй работе из списка [15], а также в работе Хута [16] приводятся основные
уравнения для осесимметричных оболочек. Дальнейший список работ можно найти
в библиографии к предисловию.
9.13. Круговая балка прямоугольного поперечного сечения при радиа-
льном изменении температуры. Задача состоит в определении напряжений
в прямоугольной балке (рис. 9.6), средняя линия которой описывает дугу
окружности; предполагается, что все ограничивающие тело поверхности
свободны от нагрузок. Используем приведенную в п. 8.10 формулировку
17 Боли и Уэйнер
258 Глава 9. Некоторые основные задачи термоупругости
задачи через функцию напряжения в полярных координатах и, полагая, что
Г = Т’(г), опустим члены, учитывающие изменения величин по 0. Тогда
Р и с. 9.6. Круговая балка прямоугольного поперечного сечения.
уравнение (8.10.13) с учетом (8.10.15а) можно записать в следующем виде:
Интегрируя непосредственно это уравнение, получаем
Ф-Alg^ + AQ) + +А4~
г У2
— Еа J J Ttydr^ dr2. (9.13.2)
а а
Так как граничные условия имеют вид
<р= — =0 при г = а, Ь, (9.13.3)
то результирующая сила и результирующий момент на торцевых поверхно-
стях, как и в п. 9.6, автоматически равны нулю;следовательно, и в данном
случае можно применять принцип Сен-Венана.
Найдем теперь постоянные Ait Аг, А3 и Л4; они равны
а 0 0+G)2-1И
а
-4G)21gISTrlgidr} ’
а
, “ ) (9-13.4)
~2 [(4)1-1) 5 7716»
а
b
9.14. Сплошная или полая сфера при радиальном изменении температуры 259
где
Компоненты напряжения будут
(2)б£+з)+2^-е<. Гг-А $ Trdr]л
а
»„= |(9,'3'5>
а
аг0 = О.
Указанные результаты можно получить и другим способом, путем нало-
жения решения для нагретого полого цилиндра, данного в п. 9.10, и решения
для балки при чистом изгибе, которое можно найти в книге Тимошенко
и Гудьера, стр. 61; это обстоятельство можно использовать для проверки
предыдущих результатов. В п. 11.3 приводятся некоторые числовые резуль-
таты, полученные на основе вышеприведенных формул, а также дано срав-
нение этих расчетов с результатами, найденными методами теории сопроти-
вления материалов для криволинейных балок.
9.14. Сплошная или полая сфера при радиальном изменении темпера-
туры. В этом случае результаты удобно получить посредством постановки
задачи в перемещениях в сферических координатах [уравнения (8.9.4)J.
Опустим все компоненты перемещения и все производные по координатам 0
и <р; тогда эти уравнения принимают следующий простой вид:
<1 М d(r2u) 1 — Ул+2И l v dr /о j д 1 \
dr L /-2 dr J dr 1—v dr ' ' ' ' '
Общее решение этого уравнения будет
S + . (9.14.1a)
a
Для полой сферы внутреннего радиуса а и внешнего радиуса b постоян-
ные Ci и С2 определяются из следующего условия:
огг=0 при г = а, Ъ. (9.14.2)
Для этого случая не равные нулю компоненты напряжения, определяе-
мые из соотношений между деформациями и перемещениями (8.4.3) и закона
Гука, равны
о„ = Х + Д2р^(ЗЛ Д 2р)а7 =
= - ( Г J ) $ Tr"dr + (Ы + 2И) ,
а
оее = = Л -t- - (3% + 2И) аТ = (9.14.3>
= (iw) j Tr2 + (3^ + 2p) Cl +
+ ^2 _2р^±|ДаТ.
260 Глава 9. Некоторые основные задачи термоупругости
Теперь легко удовлетворить граничным условиям (9.14.2), окончательные
результаты для полой сферы будут
(b3—аЗ) \ г2 V г2 V +3X-L2li У J ’
га а
{4 S T'‘d'~ 5w} •
Г b “ г ° (9.14.4)
_ _____ __ 2ра /ЗХ-(-2р. \ Р ~ 2 . bs f Гр« лг j
Gee - аФФ \ W \ Тг dr + W\Tr dr +
г а
Ъ
+ 2 J Tr2 dr — [b3 — а3) .
а
В частном случае постоянной температуры Т из этих уравнений выте-
кает, что все компоненты напряжения равны нулю (см. сноску на стр. 251)
и что
и = аТг. (9.14.5)
Соответствующие результаты для сплошной сферы радиуса b можно
получить, полагая а — 0:
г Ъ
у — „ 3X4-2j£ [ 1 Г у, 2 ,7, 1 4р r_ ? j, 2 , 4
“— Х4-2р. { г2 J 1 dr+ ЗХ4-2р, 63 j 1 r arf ’
О о
b г
огг = 4ца 3.ki(4г \Tr2dr~-\-\ Tr2dr\ , (9.14.6)
r r лД-2^ L h3 J r3 J J ’ v '
о 0
Gee = gw = 2pa j Tr2dr + ~^ $ Tr2dr~ r}.
о о
Как и в случае цилиндра [см. (9.10.5)], при г = 0 эти выражения становят-
ся неопределенными; однако если температура в точке г = 0 имее^ конечное
значение, то, как это легко показать с помощью правила Лопиталя, спра-
ведливы следующие предельные переходы:
lim4- С Tr2dr = 4-7(0),
г^О г3 J 3
г | (9.14.6а)
lim Дг Tr2dr — Q. I
-° z .J J
Тогда в точке г = 0 радиальное перемещение равно нулю, а нормальные ком-
поненты напряжения суть
ь
Огг(0) = оее(0) = офф(0)=.4раД±|Д . (9.14.6.6)
A—j—ZJt U’-’ О j
Как частный случай сплошной сферы можно получить решение для
бесконечного тела с радиальным изменением температуры, если в (9.14.6)
9.14. Сплошная или полая сфера.при радиальном изменении температуры 261
перейти к пределу при Ь—» оо. В результате находим (предполагается, что
интеграл Tr2dr сходится)
о
“-^34w S Tr^r'
<9J4-7>
О
о
В качестве примера рассмотрим распределение температуры, вызванное
мгновенным точечным источником тепла в момент времени t = 0; это распре-
деление определяется выражением (6.2.7), которое можно переписать в сле-
дующем виде:
и, следовательно, интеграл
V f - J(9.14.8а)
J 4jr I V nnt v '
никогда не принимает отрицательных значений. Следовательно, как это
можно было ожидать с физической точки зрения, радиальное перемещение
всюду направлено наружу, а радиальная компонента напряжения всюду
будет сжимающей; кроме того, можно убедиться, что другие нормальные
компоненты напряжения являются всюду растягивающими. Заметим, что
в этом случае предельные переходы (9.14.6а) не справедливы, и в начале
координат решение становится неопределенным; следовательно, оно спра-
ведливо всюду кроме малой сферической области вокруг начала координат.
Путем наложения температур, вызванных распределенными во времени
и в пространстве источниками, можно получить решения, соответствующие
случаю первоначально заданной температуры (как в п. 6.5) или случаю, когда
интенсивности источников изменяются во времени (с помощью теоремы Дю-
гамеля, как в п. 6.4). Однако при вычислении напряжений и перемещений
этот процесс наложения можно непосредственно производить с самими этими
величинами, не определяя явным образом соответствующие температуры.
Так, например, перемещение и в бесконечном теле, обусловленное началь-
ной температурой f(x, у, z), будет [см. (6.5.1)].
СО СО СО
и'(х, у, z, = \ \ \ f Ui, zi) ч (х — хъ у—yi,z—z^tydx^dy^dz^
х0 J е) J
— СО —СО —со
(9.14.9)
где функция и(х — хь у — ylt z —Zi, 0 определяется выражениями (9.14.7)
и (9.14.8а) при
Г = V(X- Xi)2 + (у - Z/i)2 + (Z - Zi)2.
(9.14.9а)
262
Глава 9. Некоторые основные задачи термоупругости
Аналогичные формулы можно непосредственно написать и для компонент
напряжения.
Если интенсивность источника измеряется со временем, т. е. если Q =
= то перемещение и" равно
t
и” t-Qdtr, (9.14.10)
J хО
о
здесь опять функция u(r, t) определяется соотношениями (9.14.7) и (9.14.8а).
Этот результат можно получить с помощью изложенной в п. 7.8 (в) теоремы
t
Дюгамеля, принимая во внимание, что величина u(r, t — ti)dti представляет
о
собой перемещение, обусловленное внезапно приложенным в момент вре-
мени t = 0 непрерывным точечным источником тепла. Если интенсивность
источников меняется как в пространстве, так и во времени, то вышеприведен-
ные процессы наложения должны быть произведены одновременно.
Аналогичным образом можно построить решения для тел любой геомет-
рической формы, если известны перемещения, обусловленные мгновенным
точечным источником тепла для этого тела при заданных однородных гра-
ничных условиях (например, при свободной от нагрузок поверхности тела
или в случае, когда перемещения на поверхности тела равны нулю); к сожа-
лению, это справедливо только для ограниченного числа задач.
Термоупругие деформации в сфере рассматриваются в работах Хопкинсона [17],
Алманси [18] и в работе Баша и Леоне [19]. Случай неустановившейся радиальной
температуры исследуется в работе Грунберга [20], где определяется радиус и время,
при которых достигается максимальное напряжение. Отметим также статьи Хонеггера
и Кента [21]; во второй статье Кента приводятся некоторые приближенные методы
исследования. Интерес представляет также работа [22].
9.15. Объемные термоупругие деформации. Можно доказать некоторые
теоремы, позволяющие определить среднее значение деформаций в теле,
находящемся под действием внешних сил и температуры1). Одна из этих
теорем утверждает, что в односвязном или многосвязном теле произвольной
формы,ограниченном областью D, находящемся под действием произвольно
распределенной температуры Т(х, у, z) и свободном от внешних нагрузок,
полное изменение объема AV тела равно
АУ = j J J 3aTdV. (9.15.1)
о
Докажем теперь эту теорему 2).
Рассмотрим тождество (8.11.1), и пусть величины, обозначенные индек-
сом 2, представляют собой температурные напряжения, деформации и пере-
мещения в указанном выше теле, а величины, обозначенные индексом 1,—
напряжения, деформации и перемещения, вызванные определенной ниже си-
стемой нетемпературных нагрузок. Воспользовавшись законом Гука для
’) Для изотермического случая такие теоремы рассматривались в работе [23];
доказательство этих теорем основывается на теореме взаимности Бетти. См. Ляв,
стр. 174—176.
2) См. работы [24] и [25]. Вышеприведенные результаты для сферы, как и неко-
торые другие не упомянутые здесь результаты, относящиеся к общим изменениям длины
и скручиванию балок, принадлежат также Гудьеру; эти результаты аналогичны
(10.3.2) и (10.10.2) соответственно. Вывод этих результатов имеется также в работе
Гудьера [2] к гл. 2.
9.15. Объемные термоупругие деформации
263
этих двух систем функций, выразим [в левой части тождества (8.11.1)1
напряжения сг)2? через деформации е$’ и температуру, а деформации е$
через напряжения а)у. Во-первых, получим1) (в индексном обозначении
п. 1.2)
J J j $ J J dV- J j J o^aTdV, (9.15.2)
D D D
с учетом чего тождество (8.11.1) примет следующий вид:
J j J afte^dV- J J J a^aTdV = j J c^’M1’ dA- J Ц « jdV.
D D В D
(9.15.3)
Объемный интеграл в правой части вследствие уравнений равновесия (8.3.1)
равен нулю; кроме того, по определению, тело свободно от внешних нагру-
зок, так что поверхностный интеграл в правой части также равен нулю.
Следовательно,
' akkaT dV = j j j dV.
Выберем теперь фиктивную систему нагрузок (верхний индекс 1), вызываю-
щую лишь равномерное растяжение F во всех направлениях, т. е. систему,
соответствующую следующим компонентам напряжений;
Тогда равенство (9.15.4) примет следующий вид:
ЗВ Щ aTdV — F ( f ( &V.
(9.15.4)
(9.15.5)
(9.15.6)
D D
Однако величина е)?? представляет собой объемную деформацию, и, сле-
довательно, ее интеграл по D будет равен полному изменению объема ДК;
отсюда получаем требуемый результат, т. е. формулу (9.15.1).
Указанный результат можно получить также другим способом2).
Как и в случае тождества (8.11.1), имеем
\ J J OijUij dV= j j J (cijUi
O'" D
где предполагается, что ог7-,; = 0 в D
произвольные функции. Подставляя
j CjjdV = 0, или
D
ОцигП] dA = О,
и Ctjfij = О на В, a Ut обозначают три
сюда Ui = Xi, получаем выражение
\ (^—3aT)dV = 0,
b
из которого вытекает формула (9.5.1) . Выбранные функции и, представляют
собой, разумеется, перемещения, соответствующие напряжениям (9.15.5),
но для доказательства теоремы нет необходимости в такой интерпретации.
Данный метод наглядно показывает, что частный вид соотношения между
компонентами девиаторов напряжений и деформаций не существен для
получения настоящего результата; следовательно, формулу (9.15.1) можно
применять также и в случае неупругих тел, рассмотренных в гл. 14—16.
1) При Т= 0 соотношение (9.15.2) является основным при доказательстве теоремы
взаимности Бетти.
2) См., например, работу [26].
ГЛАВА |Q
Температурные напряжения
в балках
10.1. Введение. Практическое определение напряжений в большинстве
случаев является слишком сложной задачей и поэтому трудно найти точное
решение при строгой математической постановке задач, приведенной в гл. 8;
поэтому инженер должен в своих расчетах или заменять действительную
конструкцию более простой, поддающейся математическому исследованию,
оценивая с помощью физических соображений допущенную таким образом
ошибку, или прибегнуть к приближенному методу исследования. Напря-
жения в таких конструкциях, как балки, пластины, рамы и фермы, обычно
определяются с помощью так называемой теории сопротивления материалов';
эта теория излагается в настоящей главе, а также в последующих трех гла-
вах. В некоторых частных случаях эта теория дает точные результаты, но
в большинстве случаев она является только приближенной; в последующем,
там, где это возможно, путем сравнения с точным решением будет дана оцен-
ка допущенной таким образом ошибки.
В настоящей главе исследуются температурные напряжения в балках.
В исследованиях п. 10.2—10.4 и в п. 10.10 предполагается, что поперечное
сечение имеет произвольную форму и не является постоянным, в то время
как в п. 10.5 рассматриваются тонкостенные балки постоянного поперечного
сечения; во всех этих пунктах считается, что распределение температуры
произвольное. Необходимые ограничения, налагаемые на геометрическую
форму или температуру в остальных пунктах настоящей главы, будут при-
ведены в соответствующих местах книги.
10.2. Элементарные формулы для нормальных температурных напря-
жений в свободных балках. При практическом расчете балок под действием
тепловых нагрузок обычно принимается гипотеза Бернулли — Эйлера,
согласно которой сечения, плоские и перпендикулярные к осевой линии
до нагружения, остаются плоскими и перпендикулярными и после нагруже-
ния, и что влиянием поперечной деформации можно пренебречь (т. е. коэф-
фициент Пуассона равен нулю). Полученные таким образом в настоящем
и в последующих пунктах формулы для температурных напряжений и про-
гибов балки будут называться или «элементарными», или формулами сопро-
тивления материалов; их пригодность рассматривается более детально
в п. 10.7 и 10.9. В настоящем пункте предполагается, что балка статически
определима и свободна от внешних нагрузок; эти ограничения снимаются
в п. 10.3 и 10.4.
Из гипотезы Бернулли — Эйлера вытекает, что осевая компонента пере-
мещения является линейной функцией координат в плоскости поперечногс
10.2. Элементарные формулы для нормальных температурных напряжений 267
сечения. Обозначив осевую координату через х, а центральные оси в плоско-
стях поперечных сечений через у и z, выражение для осевого перемещения
можно записать в следующем виде:
и = /о (x) + yft (x) + zf2(x). (10.2.1)
Соответствующие осевые компоненты деформации и напряжения, при усло-
вии что в законе Гука поперечные компоненты деформации, перпендикуляр-
ные к направлению х, не учитываются, суть
exx = ^=f;w + t/f;(x)4-zf; (х) (10.2.1а)
и
<уХх = Е (ежх — аТ) = Е [f'o (х) + yf[ (х) + zf2 (х) — аГ], (10.2.16)
где штрихи означают дифференцирование по х. Предполагается, что темпера-
тура Т является произвольной функцией всех трех координат.
Функции /о, fi и f2 должны быть определены таким образом, чтобы
удовлетворить уравнениям равновесия. Однако очевидно, что с помощьк
этих трех функций нельзя всюду точно удовлетворить уравнениям равнове-
сия (8.3.1); можно только потребовать, чтобы условиям равновесия удовлет-
воряли результирующие силы и результирующие моменты (вычисленные
в каждом поперечном сечении). В настоящем пункте рассматриваются сво-
бодные от внешних нагрузок статически определимые балки; в этом случае
указанные условия выражаются следующим образом:
\ axxdA = \ oxxydA — \ axxzdA=0, (10.2.2;
АЛ Л
где интегрирование распространяется на всю площадь А поперечногосечения.
Таким образом, решение, удовлетворяющее уравнениям (10.2.2), будет
соответствовать, вообще говоря, не случаю балки с нулевыми нагрузками
во всех точках торцевых сечений (что является требуемым условием)
а случаю, когда на торцевых сечениях балки действует самоуравновешеннаг
система сил и, следовательно, не является правильным решением задачи
Однако нужная поправка определится решением,соответствующим действия
на концевых сечениях балки тех же самоуравновешенных сил, взятых с об
ратным знаком без учета температурных напряжений; следовательно, эт?
поправку можно оценить с помощью принципа Сен-Венана, согласно кото
рому определяемая таким решением поправка мала всюду, за исключениел
областей, примыкающих к концевым сечениям балки, длиной порядка мак
симального размера поперечного сечения1).
Подставляя выражения (10.2.16) в (Й.2.2), получаем три совместны?
уравнения относительно трех неизвестных функций f0, и f2:
f’o dA+ ydA+f'2 zdA= аТdA,
fo j ydA + fi J y2dA + f'2'\j yzdA= ^aTydA,
f'o ^zdA + fi j zydA+fz z2dA= j aTzdA, j
(10.2.3
Определение этой поправки представляет собой так называемую задачу о крае
вом эффекте, которую в некоторых случаях необходимо подробно исследовать. Эт.
задача важна в связи с вопросом о применимости принципа Сен-Венана, а в случае тон
костенных элементов — в связи с задачей запаздывания касательных напряжений
Строго говоря, эти вопросы являются предметом изотермической теории упругости
однако вследствие их важности они вкратце рассматриваются в приложении к настоя-
щей главе.
^68
Глава 10. Температурные напряжения в балках
где интегрирование распространяется на всю площадь поперечного сечения.
Так как координатные оси центральные, то интегралы
J у dA = J zdA = 0, (10.2.3а)
а остальные интегралы представляют собой соответственно площадь А,
моменты инерции I у и Iz относительно осей у и z и центробежный момент
инерции Iyz относительно этих осей:
= ^z/* 2dA = /z, ^z2dA-=/y, \>yzdA = Ivz. (10.2.36)
Решая уравнения (10.2.3) и подставляя значения функций и f'2 в выра-
жение (10.2.16), получаем следующее окончательное выражение для напря-
жения:
. РТ . AIyMTz — IyzMTy\ /'lzMTy — IyzMTz\ -lnQ
я°=-°ет+Л- + С-А-';- )у+( '„'.-II. ~)z'
где1)
PT=^aETdA, МТу = \ aETz dA, MTz=\ uETy dA. (10.2.4а)
AAA
С помощью формулы (10.2.4) можно непосредственно вычислить осевую
компоненту напряжения для балки любого поперечного сечения при про-
извольном распределении температуры. Единственное требование, которому
оси у и z должны удовлетворять, заключается в том, что они должны быть
центральными (т. е. начало системы координат лежит в центре тяжести по-
перечного сечения); если, кроме того, эти оси являются главными осями по-
перечного сечения2), то I yz =0 и выражение (10.2.4) принимает следующий
вид:
ахх=-аЕТ + ^ + -^ + ^тУ1 (10.2.5)
/1 lz 1 у
Преимущества использования в той или иной задаче формулы (10.2.4)
или формулы (10.2.5) зависят от частного вида нагружения и формы попереч-
ного сечения; так, например, если поперечное сечение имеет ось симмет-
рии, то эта ось является главной, и, следовательно, предпочтительнее исполь-
зовать формулу (10.2.5).
Формулу (10.2.4) можно упростить также, выбирая оси координат сле-
дующим образом. Рассмотрим
У =
г
Вдоль этой линии напряжение
Охх= — • (10.2.66,
ZT.
г) Эта формула и ее вывод сходны с более известными формулами для балок
находящихся под действием обычных нагрузок (см., например, работу [ 11). В п. 9/
уже отмечалась аналогия между формулами, соответствующими решению для балкг
с учетом температурных напряжений и решению, в котором температурные напряженш
не учитываются; подобная аналогия очевидна и для формул, определяющих прогибь
и касательные напряжения в балках, а также при рассмотрении в п. 10.7 гипотез
лежащих в основе настоящих элементарных выводов.
2) Формулы для определения направлений главных осей, а также формуль
преобразования моментов инерции при повороте осей координат даны в п. 8.7.
з) В случае балок, находящихся под действием поперечных нагрузок при изотер
мических условиях, соответствующее уравнение определяет положение нейтрально!
оси, а (10.2.66) сводится к а =0.
прямую линию, заданную уравнением0
IzMTy—lyzMTz
будет павно
10.3. Температурные прогибы балок
26':
Выберем теперь новые центральные координатные оси (например, у{ и zj
таким образом, чтобы ось Zj совпадала с линией, определенной уравнением
(10.2.6а). В новой системе координат уравнение этой линии будет простс
Ух= 0. Запишем теперь (10.2.4) в новой системе координат и приравняем зна-
чение напряжения вдоль у^ — 0 известному его значению, данному уравне-
нием (10.2.66); в результате получаем
/г1/14тУ1=(10.2.6в)
где величины МТ определены как в формулах (10.2.4а). Тогда, если исклю-
чить величину МТу1 с помощью (10.2.6в), то (10.2.4) примет следующий вид:
оХх — —аЕТ -|- Р?!А + {MtzJ 1?i) У1- (10.2.6г,
Таким образом, уравнение (10.2.6г) является другим видом основного урав-
нения для вычисления осевой компоненты напряжения; в некоторых слу-
чаях использование этой формулы может быть более целесообразным
чем применение формул (10.2.4) или (10.2.5). Не следует, однако, емешиватт
формулы (10.2.5) и (10.2.6г); сопоставляя их, можно ошибочно предполо
жить, чторз последнего вытекает, что Л1тУ1=0; но это, разумеется, не тар
[см. (10.2.6в)], если только оси ух и Zi не являются главными.
Во всех случаях, когда температура изменяется по длине балки, вы
численные в настоящем пункте нормальные напряжения сопровождаютс;
касательными напряжениями. В то время как предыдущие формулы справед
ливы для любой формы поперечного сечения, формулы для определения ка
сательных напряжений, за исключением некоторых частных форм попереч
ного сечения, нельзя вывести элементарным пугём. Поэтому расчет каса
тельных напряжений для одного важного частного случая (а именно, длг
случая тонкостенных сечений) откладывается до п. 10.5; в аведующем пунк
те рассмотрим сначала расчет прогибов, пригодный для всех форм попереч-
ных сечений.
10.3. Температурные прогибы балок. Путем простого интегрирована
из (10.2.1) и (10.2.3) можно получить значение осевой компоненты пере
мещения и; перемещение же относительно поперечного сечения х = (.
будет равно
, . 1 (* fРг , lyz^Ty> Z1z^Ty lijz-^Tz'\\ ,
(10.3.1
Особый интерес представляет среднее осевое перемещение пср., которое
можно определить из последнего уравнения следующим образом:
X
«ср. (х) = 4Л и (х, у, z) dA = ~ \ dx. (10.3.2
/I J Д J /1
А 0
Итак, для балки постоянного поперечного сечения длиной L при не завися
щем от осевой координаты х распределении температуры полное средне<
перемещение одного конца балки относительно другого будет равно
«сР. = ^- (Ю.3.2а
Теперь из соображений, полностью аналогичных тем, которые исполь
зуются в теории сопротивления материалов при определении прогибов бал-
ки, можно получить прогибы и и w в направлениях у и z соответственно.
270
Глава 10. Температурные напряжения в балках.
Рассмотрим два поперечных сечения балки, лежащих первоначально в пло-
скостях х = Xi и х = Xi + dxr, эти поперечные сечения в результате нагре-
вания будут наклоняться одно относительно другого, хотя и останутся пло-
скими. Их конечные положения можно определить соответственно с помощью
следующих уравнений:
x = xt у, г) (10.3.3а)
х = х4 -)- dxi и (Xi, у, z) + dxi = и (xi, у, z) 4- 1 4—jr 4~&хх.
(10.3.36}
Угол между плоскостями, определенными последними двумя уравнениями,
можно найти, если известны углы duv и daz, где d<xy представляет собой угол
между проекциями этих двух плоскостей на плоскость ху и подобно этому
определен daz. Эти углы непосредственно связаны с радиусами кривизны
Ry и Rz; предполагая, что деформации малы, можно написать, что
d2v _ 1 _ day. d2w _ 1 _ daz НО 3 41
dx2~Ry~~ dxi ’ dx2 ~~ Rz~ dxi' (.ю.о.чу
Теперь необходимо найти выражение для этих углов в зависимости от пере-
мещения и, как это делается ниже, например, для dcty. В любой плоскости,
параллельной плоскости ху, координата 2, разумеется, постоянна (напри-
мер, z = Zi); тогда из уравнений (10.3.3а) и (10.3.36) получаем
da.y = y-^£x14~u4r(^14~ dxt~ (xt 4- и) j Ж=Х1
— [-Vi 4- и 1 4* + аТdxy — (xj 4- u) | =
Z=Z1
(10.3.5)
= (охж4-аЕЛу=о}ж=х1 =
CV Z=Z1
dxi xlyl^Tz IугМту\
^~Ё )
Аналогичное выражение можно написать для daz.
(10.3.5), получаем следующие уравнения:
d-v 1 X^y^Tz ^yz^Ty\
dx^~ -ЁA Vz-/2sz J '
d2w 1 /IzMTy—!yzMTz~\
dxi - lyiz-Rjz ~'
Из этих дифференциальных уравнений при заданном
Сравнивая (10,3.4)
(10.3.6)
распределении тем-
пературы Т = Т (х, у, z) путем интегрирования можно непосредственно
получить перемещения v и w (в направлениях у и z соответственно). В част-
ном случае главных осей эти уравнения упрощаются и принимают вид
d^V ^Tz Л
5x2^ ’
d2w ^Ту
dx2 Е1„ ’ '
(10.3.6а}
10.4. Условия на концах балок; статически неопределимые балки
271
а в частном случае осей, определенных (10.2.6а), эти уравнения принимают
следующий вид:
dx2 ~ Elzi ’
d2Wj _ п
dx2 ’
(10.3.66)
где щ и Wi представляют собой перемещения в направлениях уг и zt соот-
ветственно. Аналогия между уравнениями (10.3.6) и соответствующими из-
вестными формулами изотермической теории балок была уже нами отмечена.
Здесь необходимо напомнить, что выведенные в настоящем пункте фор-
мулы дают прогибы статически определимой балки, свободной от внешних
нагрузок. При наличии таких нагрузок их влияние можно вычислить отдель-
но и затем соответствующий результат наложить на полученные здесь реше-
ния. Другой способ может состоять в изменении предыдущих формул с тем.
чтобы учесть эти нагрузки. Например, в случае действия осевой растяги-
вающей силы уравнение (10.3.2а) будет
Ucp.(L) = ^±p_£, (Ю.3.7'
Подобно этому при наличии поперечных нагрузок в уравнения (10.3.6
следует включать член, учитывающий дополнительную кривизну. Обозначил^
через Mz и Му изгибающие моменты, обусловленные всеми этими нагруз-
ками (и реакциями) , в случае, когда они вызывают повороты относительнс
осей z или у соответственно; тогда уравнения (10.3.6а) примут, например,
следующий вид:
d2v
dx2
d2w
dx2"
i^Tz~r^z
EIZ
Ely
1
(10.3.8)
Аналогичные поправки следует ввести также в формулы (10.2.4) — (10.2.6г)
для напряжений. При расчете статически неопределимых балок, даже еслг
имеет место только температурное нагружение (см. следующий пункт),—
при исследовании колебаний, обусловленных температурными нагрузкамг
[п. (10.11)], и при исследовании сжатых стержней (гл. 13) вместо уравнений
(10.3.2а) и (10.3.6а) необходимо пользоваться уравнениями (10.3.7) и (10.3.8)
10.4. Условия на концах балок; статически неопределимые балки. Рас
смотрим сначала статически определимую балку, свободную от внешних
нагрузок, и для простоты предположим, что координатные оси являютсг
главными, так что МТу = 0; тогда справедливы уравнения (10.3.6а), кото
рые для перемещения в направлении у дают следующую формулу:
X
v = _ S
о
Д‘2
S A,7'e/z''> ciXi cix'2 + с° + ClX-
о z
(10.4.1
Постоянные интегрирования с0 и q должны быть определены из граничны:
условий задачи; из вида приведенной выше формулы ясно, что, подходя
щим образом выбирая значения этих констант, можно удовлетворить толькс
ограниченному классу условий. Действительно, величина са-]-<\х предста
вляет собой перемещение тела как твердого целого (с0) плюс поворот тел;
как твердого целого (щ.г) и, следовательно, единственной возможностью
272
Глава 10. Температурные напряжения в балках
как это следует из выражения (10.4.1.), будет функция положения балк:
в пространстве. Это можно сделать либо заданием прогиба v в двух различ
ных точках балки, либо же заданием прогиба v и вращения dv/dx в той ж
или в другой точке. Если, например, сечение х = 0 представляет собой за
щемленный конец консольной балки, то для него v = dv/dx = 0, так чт<
Со— Ci = 0 и
X
V (х) = - j
о
*2
j MF/z~'dxi dx2'
(10.4.1а
В случае статически неопределимых балок граничные условия являютс!
более сложными, чем описанные выше; следовательно, необходимо вмест<
уравнений (10.3.6а) использовать уравнение (10.3.8). Предположим, чт<
балка свободна от приложенных нагрузок (кроме сил реакции); тогда М
представляет собой1) изгибающий момент, обусловленный неизвестной по
перечной силой Vo, действующей на конце балки, и неизвестным моментах
/Wo, или, другими словами,
MZ = MO + Vox. (10.4.2
Интегрируя первое уравнение (10.3.8), получаем (для балки постоянное
поперечного сечения)
X Х2
EJzv(x)= — j" ^MTZ(xi)dxldx2 +EIz{c0 + CiX)-~. (10.4.2a'
b ko
Четыре неизвестные величины с0, /Ио и Vo можно определить из четырех
условий: для прогиба, угла наклона кривой прогибов, изгибающего момента
или поперечной силы — в нескольких сечениях балки. Для того чтобы ис-
пользовать их вместе с уравнением (10.4.2а), эти четыре величины должны
быть выражены через прогиб v; это делается следующим образом (справед-
ливо также для балок переменного сечения):
прогиб = V,
наклон кривой прогибов = dvldx,
изгибающий момент = М, = —EIZ — MTZ,
dMz d Z ,,, dMT,
поперечная сила = Vz = (Е1г )------.
В качестве примера рассмотрим балку постоянного сечения, защемленную
при х — 0 и свободно опертую при х = L; тогда соответствующие граничные
условия будут
ц = -^- = 0 при х = 0, |
Х ,г м > (10.4.4а)
v=--d^—£T^ При X=L,|
прогиб легко найти, используя уравнение (10.4.2а)
X Х2 L Х2
с(х)- - J J ^r^dXidx2-^-2^-3^ J J (10.4.46)
bo о 'о 2
*) Данный вывод формул особенно удобен в случае однопролетных балок, в то
>ремя как для неразрезных балок более удобны методы, изложенные в п. 11.7 или 11.8.
10.4. Условия на концах балок; статически неопределимые балки
273
КДатически неопределимая реакция R при х = L будет [из последнего вы-
ражения (10.4.3)1
Я = -^- MTz(xi)dxldxz. (10.4.4в)
о о
Решения для статически неопределимых балок можно получить также
путем наложения решений, найденных для раздельно действующих нагре-
вания и реакций. Например, в предыдущей задаче уравнение (10.4.1а) мо-
жет представлять первую часть решения, удовлетворяющую условиям при
х = 0, но не при х = L; в последней точке прогиб будет
v(L) = - И ^~^dXldx2, (10.4.5а)
о о
а изгибающий момент равен нулю. Следовательно, вторая часть решения
представляет собой решение, соответствующее балке, неподверженной тем-
пературным влияниям, защемленной в сечении х = 0 и удовлетворяющей
при х — L следующим условиям:
L Х2
и = С С dx^dx^ (10.4.56)
о о
Решение, конечно, совпадает со вторым членом правой части (10.4.46).
Выбор способа решения для любой частной задачи является вопросом
удобства, хотя второй способ имеет некоторое преимущество, заключающееся
в том, что для части задачи, в которой температурные влияния не учитыва-
ются, можно применять разнообразные методы решения (метод площадей
эпюры моментов, метод сопряженных балок, уравнение трех моментов
и т. д.). В связи с этим в п. 11.7 излагается метод распределения моментов
Харди Кросса. При любом из этих двух способов действие поперечных нагру-
зок учитывается путем наложения соответствующих результатов.
До сих пор мы рассматривали только вопрос об определении прогибов;
читатель заметит, что аналогичные замечания можно сделать также относи-
тельно вычисления напряжений. В качестве простого примера рассмотрим
балку постоянного сечения, защемленную на обоих концах, при независя-
щем от х распределении температуры и при МТу = 0. Из соответствующих
граничных условий получим следующие значения для четырех постоянных,
фигурирующих в уравнении (10.4.2а):
с0 = Ci = Уо = 0
и
Л40=-Л4Г2. (10.4.6)
Прогиб v равен нулю. Значение напряжения, вызванного температурой,
дается формулой (10.2.5); к этому значению необходимо прибавить напря-
жение, обусловленное изгибающим моментом Л1о; в результате имеем
Охх=(10.4.7)
или в данном случае просто
(10.4.7а)
18 Боли и Уэйнер
274
Глава 10. Температурные напряжения в балках
Эта задача иллюстрирует уже отмеченный в п. 9.3 факт, согласно которому
температурные напряжения могут возникать даже при отсутствии проги-
бов; возможно также обратное явление, а именно, в частных случаях, когда
напряжения равны нулю, могут иметь место прогибы (см. п. 9.2). Это про-
исходит при распределении температуры1), линейном относительно коор-
динат поперечного сечения, т. е., когда
T = a-yby + cz. (10.4.8)
Подставляя (10.4.8) в выражение (10.2.4), получаем охх= 0, так как
Рг=аЕДа, MTZ = vE (blz + clyz),
MTv = aE(bIyZ-[-cIy).
Тогда уравнения (10.3.6) принимают следующий вид:
d2v , d2w
d^~U>>’ d^=~ac’
(10.4.8a)
*
(10.4.9)
так что прогибы не равны тождественно нулю и, в случае когда а, Ь, с —
константы, равны
—г = — = —п—Ь с i х -с о, — — (10.4.9а)
ab ас 2 1 1 ' и’ аа 1 v 7
10.5. Касательные температурные напряжения в тонкостенных бал-
ках2). В п. 10.2 отмечалось, что на практике часто необходимо знать вели-
чину касательных напряжений в балках и что напряжения не всегда можно
Рис. 10.1. Тонкостенная балка открытого поперечного сечения.
вычислить элементарными методами. Однако если балка очень тонкая, то рас-
пределение среднего значения касательного напряжения по толщине можно
получить методами сопротивления материалов3 * * *). Рассмотрим тонкостенную
') Что касается теории сопротивления материалов, то там величины а, b и с
могут зависеть от х, а напряжения тем не менее будут равны нулю; этотфакт противоре-
чит общим результатам п. 9.2, согласно которым температура должна быть линейной
также по х. Этот вопрос выясняется в п. 10.7.
2) В отечественной литературе широко используется подходящий здесь термин
«тонкостенный стержень». Но мы оставляем здесь термин тонкостенная балка, подра-
зумевая, как и выше под балкой, стержень, находящийся под действием поперечных
нагрузок.— Прим. ред.
з) В п. 10.8 дана точная теория расчета касательных напряжений в балках про-
извольного поперечного сечения при постоянной или линейно изменяющейся по v
температуре.
10.5. Касательные температурные напряжения в тонкостенных балках 275
балку постоянного поперечного сечения; как и в предыдущих пунктах настоя-
щей главы, ось х направим вдоль длины балки, а через s обозначим расстоя-
ние, измеренное вдоль средней линии поперечного сечения (рис. 10.1.). Сред-
нее значение по толщине компоненты касательного напряжения в напра-
влении s, действующей в плоскости поперечного сечения, обозначим через.
ахв; суммарную силу на единицу длины, обычно называемую «потоком
касательного напряжения», обозначим через q. Тогда
<7 = <W, (10.5.1)
где t — толщина стенки.
Предположим, что балка имеет открытое поперечное сечение и что s
отсчитывается от одного из свободных концов сечения; балки закрытого
Рис. 10.2. Элемент, использованный при выводе уравнения равновесия
тонкостенной балки.
и многосвязного поперечного сечения можно исследовать методами, ана-
логичными тем, которые используются в задачах, не учитывающих темпе-
ратурные влияния1). Толщина может быть переменной, т. е. t = t(s).
Рассмотрим элемент этой балки, который имеет толщину t (рис. 10.2) и раз-
меры dx и ds в направлениях х и s соответственно. Выведем теперь уравнение
равновесия сил, действующих на элемент в направлении х. Результирующая
сила в направлении х, обусловленная напряжениями, действующими на
гранях, перпендикулярных к направлению х, равна
— oxxtds + Qjxx + d-^dx) tds,
а результирующая в том же направлении сил, действующих на гранях пер-
пендикулярных к s, равна
— asxtdx^- (osx + ^ ds) Q + ds)dx,
где вхх и обозначают средние напряжения (по толщине). Результирую-
щая сила, полученная путем сложения этих двух выражений, должна рав-
няться нулю; после некоторых упрощений, пренебрегая членами высшего
порядка относительно dx и ds, получаем
'т+'^+’4=0' <10-5-2)
Это же уравнение равновесия, выраженное через поток касательных напря-
жений q, принимает окончательно следующий вид:
!) См., например, работу [11.
18*
276
Глава 10. Температурные напряжения в балках
Интегрируя это уравнение, получаем
s=s
~-tds= — -^—dA,
<х J дх
s=0
(10.5.4)
где нижний предел интегрирования выбран таким образом, чтобы удовлет-
ворить граничному условию нулевого значения потока касательного напря-
жения на свободном конце s = 0. Ниже увидим, что подобное условие на
другом свободном конце сечения (s = S, где 5 — полная длина средней ли-
нии сечения) удовлетворяется автоматически.
Подставляя (10.2.4) в (10.5.4) и интегрируя, получаем значение потока
касательных напряжений
С п'гг/ j„ РТ С , . л f'^V^Tz ^z^Ty\ . n ^y^Tz\
«= i “£Т \ ids+a,»)+Q,(,-тт^г)•
° ° (10.5.5)
где штрих обозначает дифференцирование по х и где Qy и Qz представляют
собой статические моменты части поперечного сечения, находящейся между
s = 0 и s = s, относительно осей у и г соответственно или, другими словами,
3 S—S 3 3—S
Qv (s) = j zt ds = j zdA, Qz(s)= j ytds— j ydA. (10.5.5a)
0 s=0 0 5=0
Заметим, что вследствие выбора (п. 10.2) центральных осей [см. уравнения
(10.2.3а)] Q^(5) = Qx(S) = 0; следовательно, поток касательных напряже-
ний равен нулю на конце s = S, и тем самым все граничные условия удо-
влетворены.
Соотношение (10.5.5) можно упростить, выбирая оси координат специаль-
ным образом, так же как это делалось ранее в настоящей главе для (10.2.4).
В случае, когда координатные оси являются главными, имеем
Р Р Т Р ^'T'rQ.Z
q—\aETtds---------- \ t ds-----------. (10.5.6)
J Л J 1 у 1 z
о о
Для случая координатных осей, удовлетворяющих соотношению (10.2.6а),
поток касательных напряжений выражается в виде
8
q = aET'tds
о
рт f
-г- \ ids
е)
'0
MrzQzl
(10.5.7)
10.6. Точное решение двумерной задачи теории термоупругости для
прямоугольных балок при произвольном распределении температуры*).
В настоящей главе формулы для расчета и температурных напряжений
и прогибов балок выводились до сих пор с точки зрения теории сопротивле-
ния материалов; в настоящем пункте, а также в п. 10.8 будут даны два точ-
ных решения задачи теории термоупругости для нагретых балок. В п. 10.7
и 10.9 эти два точных решения сравниваются с результатами соответствую-
!) Исследование, приведенное в настоящем пункте, взято из работы автора [2].
Данный в этой работе метод решения развит для общего вида дифференциального урав-
нения и применяется также при решении задач теплопроводности, как это показано
в п. 7.8.
10.6. Точное решение двумерной задачи для прямоугольных балок 277
щих приближенных теорий для того, чтобы определить область применимо-
сти приближенных методов исследований1).
Рассмотрим свободную балку постоянного прямоугольного попереч-
ного сечения, ограниченную областью—с<у<с, О-yx-yL; ширина b
балки в направлении г достаточно мала, поэтому для исследования такой
балки можно использовать двумерную теорию плоского напряженного
состояния (п. 8.10). Будем предполагать, что высота балки мала по срав-
нению с длиной, т. е.
f«l. (10.6.1)
Температура является произвольной функцией у, в направлении х изме-
нение температуры подчиняется некоторым условиям гладкости, рассмот-
ренным ниже. Задача приводится таким образом к решению уравнения
(8.10.13) для функции напряжения Эри q>, а именно
+ = (10.6.2)
dy1 1 дх2 *ду2 дх1 \ ду2 1 дх2 J ' '
при граничных условиях (8.10.14), которые в данном случае приводятся
к виду
Ф=-^ = ° при#=±с. (10.6.3)
Точно удовлетворить условиям отсутствия напряжений на концах х — 0
и х = L невозможно; вместо этого можно удовлетворять условиям самоурав-
новешенности напряжений в этих сечениях2), другими словами, условиям
С С t с
b\ сзххау = Ь\ oXydy = b\> axxydy = Q. (10.6.4)
— с —с —с
Заметим, что, как и в п. 9.6, при условиях (10.6.3) эти уравнения удовлет-
воряются автоматически. Представим решение для функции напряжения ср
в следующем виде:
ф = Ф1 + фг"ЬфзЧ" • • • 1 (10.6.5)
где функции удовлетворяют следующим уравнениям:
д4Ф1 _ )
dyi ~ ду2 '
} (10.6.6)
ду4 дх2 дх2 ду2 ! ' '
д4фг о <ЭаФг_1 д4<рг 2 - о 4
Каждая функция <рг удовлетворяет условиям (10.6.3). Подставляя (10.6.5)
в (10.6.2) и учитывая (10.6.6), видим, что основное дифференциальное урав-
нение удовлетворяется. Выбор уравнений, определяющих функции срь
не является единственным; можно было бы выбрать другие виды этих урав-
нений и тем не менее удовлетворить всем условиям задачи. Сделанный нами
]) Вопрос согласования элементарной и точной теории рассматривался (в изо-
термическом случае) Кирхгоффом (см. работу [3]), а также другими авторами, особенно
Клебшем в работе [4]. Краткое содержание работ этих авторов приведено в книге Лява,
стр. 23 и стр. 388—395.
2) Допущенная таким образом ошибка Представляет собой ошибку, возникающую
при использовании принципа Сен-Венана (см. приложение к настоящей главе). Условие
(10.6.1) необходимо для правильного применения этого принципа.
ТАБЛИЦА 10.1
f г £ д2^г \ ф Функции напряжения ф. и соответствующие напряжения для i 1, 2, 3,
г | ! | 2 3
_фц аЁ 1 1 + + 1 г> | { 1 сэ | г 1 •> Ч_Ч к> Ч У — “S ,“ + ,“+<§• чЛ. l< + a. V^z <§• <с 1 1 + £ + £{т$Tdy-^ $ Tydy+ + у J Ty^dy-~ TySdy- -жучУ3+ +!Л) ] !fTde+‘« Г4(Р)+ +Ч5/М£>’ЧтЛИ‘'’- -1 [• И£>+(£>2] ^’!“г+ Ч2Ч£>-(1Л НЧ -£{» S Td>-& 5 ^+6 $ T”td>- S Ty3dy^%i 5Tytdy—^ S Ty3dy£ ЧтЧЧЧШ'-ЧЛ «СО ]^*+ец ,„'«(-’)+ +т(АУ+«(У)‘+^У- ^„,,+4 4‘8(’) ЛМШК©' 4(f ЛИ4 ['+2(’)+ +(ЧЛ ^Ty‘dy+i> Г2+3(’)- -(f)’] ЧЧ
(&xy)i аЕ 1 d2<Pi аЕ дхду ppp 7’,19+ Цр+СУЧ- ^з“{т~ Т dy~~y\Ty Ty2dy~ -4Ч>(ЧЧЮ3]Ч+ -₽ {й S г*-7 5 Tydy+y S -f Г»"М"®(})+
40- -(1)2 ] i ’+*'} +44+2o0)+2,4)2- 40040©] x X $Ty2dy + ~ [ §Ty*dyj +^y4a)*4oamw -[-m+ACD^a)^ +^(Я-ЙШ’И^+ +440)407' 4 0)’J 4s *+401'2 0)+ 4»0)2480)‘]0^- 4[1+0)И,+,‘,1'+ +й0(’)!]!М
аЕ _ 1 ^<pj аЕ dy- ~T+i^d>+ +-^^<1, _gr{^«!,-Jri,d!,-±2[i+e0)+ +<;92H 10+21 (£>- -'"СШ ^y^SfT^y- ”£ {т Td« ~i ’’*'4 40^-4i44)240)3+ +А4Л4’ИЙ0)44)2+ 40)’40У]Ь*-- -'[я40)+40)2]0»,*+ +[A40)40)310’1‘<»' ЙИ1*' 40)44
280
Глава 10. Температурные напряжения в балках
выбор этих уравнений обусловлен тем, что функция, соответствующая задан
ному значению i, зависит от производных по х от функции Т первого поряд
на, а порядок производных увеличивается с номером i; ниже увидим, чтс
это обстоятельство позволяет представить решение в очень удобном виде.
Функция <j>! определяется (как и функция <р на стр. 243) непосредствен
но из первого уравнения (10.6.6); необходимо интегрировать только по у
следовательно, х рассматривается просто как параметр. Аналогично зна;
значение функций <р1; функцию <р2 можно найти из второго уравненш
(10.6.6). Третье уравнение (10.6.6) представляет собой рекуррентное соот
ношение, с помощью которого можно получить значение функции <рг, еслг
известны значения двух предыдущих функций <рг, и которое, следователь
но, может быть использовано для последовательного определения остальные
функций <рг г). В табл. 10.1 приведен окончательный результат для первые
трех функций <рг при произвольном распределении температуры; в табл. ЮЛ
и 10.3 значения этих функций приведены соответственно для частных случаев
когда распределение температуры не зависит от у или является линейжи
функцией у. В этих таблицах, а также в остальной части настоящего пункт;
ширина b считается равной единице.
ТАБЛИЦА 10.2
Функция напряжения и компоненты напряжения при независящем
от у [ Т= Т (х)] распределении температуры
<р;
аЕ
~^(Д2~с2)2
d2T
dx2
1 dirT
(^xyli ____1 d2<Pi
аЕ аЕдхду
(У2—с2)
<РТ
dx3
и иУ Г
аЕ аЕ ду2
1 гм -i.d2T
-т (3y-c2w
1 d*T
^(15^-30^ + 7^12
О
(ОууУ 1 <?2<рг
аЕ ~аЕ дх2
1 d^T
1 d6T
Аналогичные результаты можно получить для прогибов балки, которые
должны удовлетворять уравнениям (8.10.4в), т. е.
Е ^ = <Ухх~У(УУу+аЕТ, j
Е~^ = (Ут~™хх + аЕТ,
Чг+Ю"2*' +ч«„.
(10.6.7)
') Соотношение между функциями <рг, <рг-_2, полученное интегрированием
третьего уравнения (10.6.6), дано в явном виде в работе [5].
10.6. Точное решение двумерной задачи для прямоугольных балок
21
ТАБЛИЦА 10.3
Функция напряжения и компоненты напряжения при линейном распределении
температуры по У’[7'=у/(х)]
г 1 2 3
<Рг аЕ 0 (у2—с2)2 д2Т 120 дх2 ~ У (У2—с2)2 d2f 120 dx2 (t/2_C2)2(5J,2_HC2) giT ~ 12 600 дх^ _ У (у2—-с2)2 (5у2—11с2) dtf 12 600 dxi
(°xy)i аЕ 1 а2<рг аЕ дхду 0 (с2—у2) (с2—Ьу2) dsf 120 dx3 / у8 yic2 . 9y2cl С 360 120 ' 1400 11с8 \ dsf 12 600 ) dx5
(^хх)г — 1 <?2qpz аЕ ду2 0 (Зе2—5у2) у d2f 30 dx2 f у5 у3с2 . Эус^Д dif С 60 . 30 1 700 J dxi
(°yy}i = 1 ^<Pi аЕ дх2 0 у (у2—с2)2 d*f 120 dx* у (у2—с2)2 (5у2—11с2) d8/ 12 600 ddfl
Перемещения и и v можно получить, интегрируя первое и второе из эти
уравнений соответственно по х и по у, причем выражения для напряжени
берутся из табл. 10.1. Полученные при этом произвольные функции выбг
раются таким образом, чтобы удовлетворить третьему уравнению (10.6.7^
В результате имеем
х с с У
^ = {cl + c2y}+\ {i\Tdy+^ $ ЗДрх + ^{(1 + тф J Tdy-
0 -с -С
-J Tydy]-^ j Tdy [4 + у + (1 +v)| + C 1 +1) (f)2] +
— С
° „г 1 (10.6.8а
-^\Ty‘dy-^[Ty>dy}+-.. .
-с ~с
I {244 r>>:,)ydy}dxtdx2 +
282
Глава 10. Температурные напряжения в балках
+ {(l+v) j Tdy-±-\ Т dy [ 1 +v + v Q) ] +
—c —c
+ 7 к^»+7'-3т(ЧЛ +i И»} + •
(Ю.6.86;
где постоянные clt c2 и c3 характеризуют движения тела как твердого цело
го. Интересно получить явные выражения для среднего значения осевогс
перемещения мСр. и среднего значения (по высоте 2с) кривизны d2vCp. !dx2
они соответственно равны (без учета перемещений тела как твердого целого)
J { J аТdy}- dx j аТdy J aTy2dy}- -У ... ,
б —С —С ~с
rf2^cp.
dx2
(10.6.9а;
С с с
— 5 aTydy + VWj 4 .... (10.6.96;
—с —с —с
10.7. Замечания к п. 10.6; связь с теорией сопротивления материалов.
Ниже приводятся некоторые замечания относительно решения, полученногс
в предыдущем пункте, и указывается связь этого решения с элементарно?
теорией, развитой ранее в настоящей главе.
1) Решения, полученные в предыдущем пункте, дают значение функциг
напряжения ср (а также напряжений и перемещений) в виде рядов, последо-
вательные члены которых зависят от производных все более высокого по-
рядка функции Т по х; например, ср, зависит от производной д2 /дх2
Следовательно, для распределений температуры в виде полинома по х этр
ряды имеют лишь конечное число членов, и решение получается в замкну-
то® виде. Во всех других случаях ряды бесконечны и быстро сходятся, еслг
изменение температуры по х достаточно гладко, т. е. если температуру мож-
но представить с помощью достаточно быстро сходящегося степенного ряда
Решение непригодно в окрестности разрывов температуры или ее градиенте
вдоль длины балки и, вообще, вблизи точек, где температуру нельзя пред
ставить в виде таких степенных рядов.
2) Если температура независитотх, то первый член ряда (являющийся
единственным отличным от нуля членом в решении) соответствует решеник
п. 9.6. Дополнительные сведения об этом решении читатель может получит!
в п. 9.7. Заметим, что в этом случае касательное напряжение равно нулю
3) Первые члены рядов тождественны всем элементарным решениям
полученным ранее в настоящей главе, как это легко заметить, сравнивая
например, первый член для компоненты напряжения сгхж в таблице 10.1
с ее значением (10.2.5), предварительно положив = 0, чтобы перейтг
к двумерному случаю, и
A = 2bc, h = (Ю.7.1
Здесь, для таблицы 10.1, b = 1. Аналогичные утверждения можно сделан
и для осевой компоненты перемещения [ср. (10.3.1) и (10.6.8а)], для кри
визны [ср. (10.3.6а) и (10.6.9) и, фактически, для всех других величин. В ре
шении предыдущего пункта указанный член соответствует изменению тем
10.7. Замечания к п. 10.6; связь с теорией сопротивления материалов 283
пературы в направлении х в виде полинома первой степени; следовательно
элементарное решение дает точные результаты в случае тонкой, прямо-
угольной балки, если температура постоянна или линейна относительно х.
4) В рассмотренном в подпункте 3 случае точное решение для осевой
компоненты перемещения [см. (10.6.8а)] линейно относительно у. Следо-
вательно, плоские сечения остаются плоскими.
5) Во всех других случаях элементарное решение не будет точным.
Однако если изменение распределения температуры по х гладкое [см. (1) ],
то ряды в точном решении быстро сходятся и, следовательно; первый член
будет представлять собой хорошее приближение к точному решению. Этот
вывод количественно подтверждается числовым примером, приведенным
в работе [2]; количественное подтверждение этого вывода можно, например,
найти также в п. 10.10.
6) Описанный в п. (5) случай полностью аналогичен случаю ненагретой
балки, находящейся под действием приложенных внешних нагрузок. В слу-
чае действия поперечных нагрузок Карман показал х), что средняя кривизна
балки, находящейся под действием произвольным образом распределенных
изгибающих моментов М (х), может быть представлена в виде
Следовательно, и здесь элементарное решение соответствует первому члену
бесконечного ряда, члены которого зависят последовательно от более высо-
ких производных М. Методом Кармана Сивальд * 2) получил аналогичные
результаты для напряжений, вызванных поперечными нагрузками, а Боли
и Толинс [5]3) получили подобные результаты для напряжений для случаег
различных внешних нагрузок методом настоящего пункта.
При постоянной температуре или при линейном распределении темпе-
ратуры по координатам поперечного сечения подобие между термическим
и изотермическим решениями отсутствует. Для этого случая из элементар-
ного решения (10.4.8) и (10.4.9) получается, что напряжение равно нулю
независимо от того, каким образом изменяется температура вдоль оси балки;
выше указывалось (см. сноску 1 на стр. 274), что этот результат находится
в противоречии с точным результатом. Соответствующие точные результать
даны в табл. 10.2 и 10.3 и показывают, что, хотя в соответствии с элемен-
тарной теорией в обоих случаях первый член ряда равен нулю, остальные
члены не равны нулю. Таким образом, нельзя утверждать, что в этих слу-
чаях первый член представляет собой хорошее приближение к решении
задачи.
8) Выше мы сравнивали влияния различных распределений темпера
туры на заданную балку и пришли к выводу, что чем более гладко изменение
В См. работу [7]. Рассматриваемые результаты выведены в этой работе с помощьк
интегрального преобразования с последующим разложением изгибающего момента в ря;
Тэйлора по осевой координате. Преимущество метода интегрального преобразование
заключается в том, что с его помощью можно получить также решения в окрестност]
сосредоточенных нагрузок, не ограничиваясь случаем гладкого распределения изгибаю
щих моментов. Однако для вывода настоящих более ограниченных результатов мето;
п. 10.6 является более простым; Боли и Толинс [5J применили этот метод к случаю, н<
учитывающему температурных влияний.
2) См. работы [6, 8J.
3) В случае антисимметричных относительно х поперечных нагрузок, как и в урав
нении (10.7.2), результаты выражаются в виде ряда, члены которого зависят последова
тельно от более высоких производных изгибающего момента; в случае же симметричны:
нагрузок члены ряда зависят последовательно от более высоких производных осево!
силы Р; первый член ряда для осевого напряжения равен Р!А, а не Му/1.
284
Глава 10, Температурные напряжения в балках
температуры вдоль оси балки, тем более точна элементарная теория. Можно
рассмотреть также влияние одного и того же распределения температуры
на балки различных размеров; для этого запишем результаты предыдущего
пункта в безразмерном виде. В безразмерных переменных
Х‘ = Т’ (Ю.7.з)
например, компонента напряжения сгжж (в табл. 10.1) будет
х/а х/з Vi
J Tdyi + \2yi J Tyidy^+^^^yi J Tdy^-
-У* -1/2 1 -1/2
— 4 Tyidyi—g- (1 + 12z/i + 24i/i) T dyi +
—1/2 —1/2
Vs Vs V2
+-|(5д-21у1--40гф) Tyidyi — 2 j Tyldyi-8yi j TyfdytJ ф- . . .
-1/2 -VS -1/2
(10.7.4)
Таким образом, легко видеть, что каждый член этого ряда пропорционален
последовательно более высоким степеням удлинения балки c/L, где функ-
ции фг пропорциональны, например, величине (c/L)2<i-1>. Потому при за-
данном распределении температуры для балок заданной длины точность
элементарных приближенных результатов повышается с уменьшением высо-
ты балок.
10.8. Точная теория для свободных балок произвольного односвязного
сечения при линейном распределении температуры по длине балкиг).
В п. 10.6 было получено точное решение для балки с частным видом попереч-
ного сечения (а именно, тонкое прямоугольное) при произвольном распре-
делении температуры; в настоящем пункте приводится строгая постановка
задачи для свободной балки с произвольным односвязным поперечным
сечением, но с распределением температуры в виде полинома первой степени
в направлении длины балки х, а именно
аТ(х, у, z) = T{ (у, z)+xT2(y, z). (10.8.1)
Решение получим полуобратным методом, предполагая сначала, что
Оуу — = (Туг = ГГХу — ггж2 = 0, (10.8.2)
где штрихи обозначают дифференцирование по х, затем покажем, что при
этих условиях все уравнения задачи термоупругости гл. 8 удовлетворяются.
Будем исходить из постановки задачи в напряжениях п. 8.96. Согласно
допущениям (10.8.2) последние два уравнения равновесия (8.3.1) удовлет-
воряются, если ввести линейную относительно х функцию напряжения Эри <р
таким образом, что
<Э2Ф 32<р д2<р ,.п о „у
= O„Z= — а - Ч- - , Ozz = 5-y-- (10.8.3)
«У дг2 ’ у дудг ’ ™ ду2 ' '
Интегрируя последнее уравнение совместности [уравнения (8.9.5.)],
получаем
<Тхх= -аЕТ + vV2<p +gi (х, z)+g2 (х, у}, (10.8.4)
х) В настоящем пункте излагаются результаты работы [9].
10.8. Точная теория для свободных балок односвязного сечения
28Е
где вследствие условий (10.8.2) произвольные функции интегрирования
gt и g2 линейны по х и где
V2=X+X. (10.8.4а)
ду2 1 дг2 ' '
С учетом полученных выше результатов первые три уравнения совместно-
сти (8.9.5) дают три выражения для величины V2 [V2tp4-аЕТ/(1—v)l,
а именно,
га Гг2т’+-^1 = -1Г^4-^П =______________________________
L т г j—v J v [_ дг2 т ду2 J 1 v ду2 l-f-v дг2
(10.8.5;
Эти уравнения удовлетворяются тогда и только тогда, когда
Интегрируя эти уравнения и подставляя найденные результаты в (10.8.4).
получаем следующее выражение для осевой компоненты напряжения
<JXX — — аЕТ + vV2<p + C1(x)4-z/C2(x) + zC3(a:). (10.8.7’
•Функция напряжения удовлетворяет уравнению плоской деформациг
[см. (8.10.13) и (8.10.5)1
V1<p=-y^V2r. (10.8.8;
Величины Ci, С2 и С3 определяются из условий самоуравновешенностг
напряжений на концах балки1), т. е. из условий (10.2.2); в результате для
случая центральных осей у и z окончательно получаем
С1 = РШ,
С2 = (7уЖг - /yzMMIvIz- Eyz),
С3 = (Ш9 - IvZM*T2)/(/v/z - /U
(10.8.9;
где
P$ = J (a£T —vV2<p)M
A
Мту = (o-ET — vV2<p) zdA, l. (10.8.10
A
M*Tz= J (aET-vVtyydA.
A
Из вышеизложенного ясно, что функцию напряжения ср можно найти
решая уравнение (10.8.8) с граничными условиями, соответствующимя
нулевым нагрузкам на цилиндрических поверхностях балки. При извест
ной ф четыре компоненты напряжения crxx, <ууу, ayz, tjzz, определяются
полностью.
Исследование полученного выше решения с учетом (10.8.1) показывает
что величины Clt С2, С3 и ср (а также четыре компоненты напряжения ахх
ауу, ayz, ozz) являются самое большее линейными функциями х и, в част
ности, не зависят от х, если Т2 равна нулю или константа. Кроме того, про
изводные этих величин по х не зависят от х.
х) Таким образом, решение получено для свободной балки лишь в рамках прин
ципа Сен-Венана; см. сноску на стр. 267 и приложение к настоящей главе.
286
Глава 10. Температурные напряжения в балках
Отсюда вытекает, что упомянутые выше компоненты напряжения могут
быть вычислены независимо от двух остальных, а именно, от оху и сгЖ2. Эти
напряжения должны быть определены таким образом, чтобы удовлетворить
остальным уравнениям общей постановки задачи (п. 8.9, б), а именно, пер-
вому уравнению (8.3.1) и четвертому и пятому уравнениям (8.9.5). Задача
определения этих двух компонент напряжения представляет собой терми-
ческую аналогию теории изгиба и кручения Сен-Венана л) и, фактически,
решается методом, подобным методу, применяемому в этой теории.
Первое уравнение равновесия (8.3.1) удовлетворяется, если компоненту
охх определить согласно (10.8.7) и ввести функции напряжения ф (у, z)
следующим образом:
<7^ G(z/2/2) —С;у4- (аЕТ'~vV2q')dy,
о
<^=-^-С;(г2/2);
(10.8.11)
штрихи, как и прежде, обозначают дифференцирование по х. Подставляя эти
выражения в четвертое и пятое уравнения совместности (8.9.5), получаем
дУ2ф__ 3V2<p' v
ду ~ дг l + v 3’
_ _/i ,д^2ф' ,__у_-С' —
дг “ И ду ду ’ l-'vC- [ (10.8.12)
У
7)2 Р
J (ET2-v^2<p')dy.
о
Если возможно найти функцию ф, удовлетворяющую обоим уравнениям
(10.8.12), то все уравнения поля постановки задачи в напряжениях п. 8.9(6)
будут удовлетворены. Покажем теперь, что такая функция существует
(или, другими словами, что два уравнения (10.8.12) для единственной функ-
ции ф совместны). Для этого проинтегрируем первое уравнение (10.8.12)
по у, второе — по z и приравняем полученные таким образом два выражения
для ф2ф. В результате получим
$ + (1 - V) w 1 dy + ? [ЕТ2 + (1 - v) VV] dz =
о о
= (iyv)(C;W + M<M(*)- (10.8.13)
где ft (у) и (z) — произвольные функции. Из (10.8.8) вытекает, что выра-
жение
E7\ + (l -v) VV = [ЕаТ + (1 -v) Г2ф]' (10.8.14)
является плоской гармонической функцией; следовательно, существует
сопряженная с ней плоская гармоническая функция Д (У, г), определяемая
с помощью следующих соотношений:
+ WI. 1
(10.8.15)
1) См. Ляв, гл. XIV и XV, или Тимошенко и Гудьер, гл. 11 и 17.
10.9. Обсуждение результатов; связь с сопротивлением материалов
287
так что функцию f0 можно выразить с помощью линейного интеграла сле-
дующим образом:
-Р:(У> z)
= j ^[ДД2 + (1 -v)V* 2q>']^i-^[£'7’2 + (l
Ро:(0, 0)
(10.8.15а}
Подставляя (10.8.15) в (10.8.13), получаем следующие выражения для функ-
ций и f2:
ft (У) = - уру C'ay + f0 (у, 0) + С4,
M*) = -r^z-UO, z)-C4,
(10.8.16)
где С4 — произвольная постоянная. Следовательно, уравнения (10.8.12)
совместны и, фактически, эквивалентны одному уравнению
?2Ф= г) + с;. (10.8.17)
о
Другими словами, если можно найти функцию ф, удовлетворяющую урав-
нению (10.8.17), то она также будет решением двух уравнений (10.8.12)
Уравнение (10.8.17) следует решать при граничном условии для свободны?
от нагрузок концевых поперечных сечений балки, а именно, при условии
(8.8.1)
оХуПу + oxznz = 0. (10.8.18)
Следовательно, остается доказать, что краевая задача, представленная
двумя последними уравнениями, имеет в действительности решение. Для
этого запишем ф в виде суммы частного и дополнительного решений. Первое
решение всегда можно написать в явном виде с помощью логарифмическогс
потенциала 1). Последнее решение должно удовлетворять двумерному урав-
нению Лапласа при заданных граничных значениях; можно показать, чтс
такое решение существует 2) (при некоторых условиях регулярности отно
сительно границы и граничных значений). Таким образом, все условия основ
ной постановки задачи термоупругости удовлетворены и, следовательно,
можно утверждать, что данная в настоящем пункте постановка задачи, прь
первоначальных предположениях 10.8.2, правильна.
10.9. Обсуждение результатов п. 10.8. Связь с теорией сопротивленш
материалов. Здесь приводятся некоторые замечания относительно решения,
полученного в предыдущем пункте и его связи с элементарной теорией
разработанной в нескольких первых пунктах настоящей главы.
1) В частном случае, когда Т2 1см. (10.8.1)1 равна нулю или постоянна
компоненты напряжения охх, <зуу, erzz и оyz не зависят от х и стжу = crxz = 0
Если V2T равно нулю, то компоненты напряжения ауу, ozznGyz равны нули
и член vV2<p в выражении для ахх (10.8.7) равен нулю. Если температур;
линейна по у и z (линейность по х рассматривалась в начале задачи), то
как это вытекает из результатов п. 9.2, все компоненты напряжения равнь
нулю.
*) См., например, работу [10],
2) Келлог [10], стр. 311.
-288
Глава 10. Температурные напряжения в балках
2) Существует очевидная аналогия между найденными здесь выраже
ниями для компоненты напряжения ахх [формула (10.8.7) вместе с (10.8.9'
и (10.8.10)] и соответствующей формулой (10.2.4) элементарной теории. Этг
две формулы тождественно совпадают, если в точном решении опустит!
член, пропорциональный коэффициенту Пуассона (т. е. член vV* 2<p). Из за-
мечания подпункта (1) вытекает, что этот член в действительности равет
нулю, если температура (10.8.1) является плоской гармонической функцией
i/иг, и, следовательно, в этом случае результаты теории сопротивления мате
риалов совпадают с точными.
3) Путем численного сравнения результатов в любой конкретной задач!
можно оценить ошибку, которую мы допустили, опуская член vV 2ф в (10.8.7)
для открытых тонкостенных сечений постоянной толщины это можно сде-
лать с помощью следующего метода г). Вместо предыдущей системы коорди-
нат у, z воспользуемся криволинейной системой координат s, п, где s обо-
значает расстояние вдоль средней линии, измеренное от одного свободного
конца сечения s = 0 (на другом конце s = 8); через п обозначено расстояние
до любой точки по нормали к средней линии 2). Представим толщину t
в безразмерном виде с помощью параметра
Я=4-. (10.9.1)
kJ
Предположим теперь, что функцию напряжения ф предыдущего пункта мож-
но выразить в следующей форме:
Joo
q>(s, П) = 2 п). (10.9.2)
i=0
Подставим это выражение для ф в уравнение (10.8.8), учитывая, что опе-
ратор V2 в системе координат s, п имеет вид
где
П=1+-^-. (10.9.4)
Здесь г = г (s) обозначает радиус кривизны средней линии сечения. Прирав-
нивая нулю коэффициенты при каждой степени R в уравнении (10.8.8),
получаем обыкновенные дифференциальные уравнения для определения
функций ф;. Эти уравнения решаются при граничных условиях, требующих,
чтобы напряжения на концах s = 0 и s = 8 были само уравновешен-
ными. В результате для первых трех функций ф; получаем следующие выра'-
жения:
Фо = <Р1 = 0
П п
= $ Tndn — n J Tdn +
-t/2 — t/2
t/2 t/2
+ ~^~ J T dn + {—^=^=^- J Tndn} (10.9.5)
-t/2 -t/2
В См. Боли и Толинс [9], где можно найти также аналогичные результаты для
открытых или закрытых поперечных сечений с переменной толщиной стенки, а также
формулы для перемещений. Во всех случаях авторы приходят к таким же общим
выводам, что и в настоящем пункте.
2) При использовании такой координатной системы иногда возникают трудности,
связанные с тем, что в некоторых случаях координаты точки не являются единствен-
ными; в других случаях (как, например, в случае тонкостенных сечений с острыми
углами) некоторые точки вообще не могут быть определены с помощью этих координат.
10.10. Применение метода фиктивных нагрузок
289
и т. д. Выражение для величины vV* 2tp, соответствующей функции ф2> имеет
вид
t/2 t/2
^2ф2=^{-г+4- J Tdn+1-^ JTndn}- (1о-9-6)
-t/2 -t'2
Заметим, что выражение в правой части этого уравнения х) равно нулю, если
температура Т постоянна или линейна относительно п\ в этих случаях по-
правка, которую необходимо ввести в элементарную формулу для сгхж,
будет порядка R и, следовательно, мала. В других случаях поправка может
быть более значительной; однако в числовом примере, приведенном в работе
19] для тонкостенного уголка, эта поправка не очень велика. В сомнитель-
ных случаях поправку можно вычислить с помощью написанных выше
формул.
4) Сравнения, сделанные в настоящем пункте и в п. 10.7 между двумя
точными решениями, с одной стороны, и результатами, полученными методами
сопротивления материалов — с другой, показывают, что для практического
расчета напряжений последние результаты обычно достаточно точны; более
точные значения можно получить, используя результаты п. 10.6 и 10.8.
Здесь мы не рассматривали общий случай балки произвольного поперечного
сечения при произвольном распределении температуры, но легко видеть,
по крайней мере качественно, что и в этом случае мы придем к полученному
выше общему выводу. Решение для общего случая получено путем приме-
нения 2) метода п. 10.6 к уравнениям трехмерной задачи теории термоупру-
гости: и снова оно имеет вид ряда, члены которого пропорциональны после-
довательно возрастающим производным от температуры по осевой коорди-
нате. Первый член этого ряда тождествен решению п. 10.8.
10.10. Применение метода фиктивных нагрузок к расчету прогибов ба-
лок. В п. 8.11 указывалось, что принцип виртуальной работы можно непосред-
ственно применять к задачам термоупругости. Наиболее часто этот принцип
применяется при расчете прогибов балки; в настоящем пункте покажем,что
простой метод такого расчета можно получить, используя этот принцип
вместе с теорией сопротивления материалов для балок 3).
Расчет с помощью принципа виртуальной работы прогибов ненагретой
балки, находящейся под действием поперечных нагрузок, производится
обычно с помощью следующей формулы 4 *):
ц(х)= \ Но) Мр Но; X) dx^ (10.10.1)
о
которую легко получить из этого принципа. Предполагается, что балка
простирается отх = 0 до х = L \ ее поперечное сечение имеет главный момент
инерции / относительно оси, перпендикулярной к направлению и, а модуль
Юнга материала балки равен Е. Величина /И (х0) представляет собой дей-
ствительный изгибающий момент в текущем сечении х = х0, а Мп (х0; х) —
изгибающий момент в сечении х = х0, обусловленный системой фиктивных
*) Это выражение имеет тот же вид, что и первый член формулы для а , данной
в табл. 10.1.
2) См. работу [И].
з) Этот метод изложен в работе [12]. Применение энергетических методов в случае
балок рассматривается в работе [13].
4) См., например, кн. [6] к гл. 11, стр. 305.
19 Боли и Уэйнер
290
Глава 10. Температурные напряжения в балках
нагрузок, выбранных таким образом, что она производит работу тогда
и только тогда, когда в сечении х имеет место прогиб V, величины фиктивных
нагрузок таковы, что указанная работа численно равна v.
На основе допущений, сделанных в сопротивлении материалов и изло-
женных в п. 10.2, легко получить аналогичную формулу для прогиба сво-
бодной балки при произвольном распределении температуры, а именно,
V (х) = jj dx0.
b
(10.10.2)
Исследуем теперь точность этой формулы. Вычислим прогибы балки с помо-
щью общего выражения (8.11.15), в котором значения температурных напря-
жений взяты из полученного в п. 10.6 точного решения для плоского напря-
женного состояния. Напряжения, обусловленные системой фиктивных нагру-
зок, определим по формулам теории изгиба х) Сена-Венана для частного
случая тонкого прямоугольника так, чтобы значения этих напряжений
были совместимы с решением п. 10.6. Компоненты напряжения, вызванные
фиктивными нагрузками, в общем случае будут
о __MDy d __ 1 дф0
Охх - } , oxz-------J ду ,
>> _ 1 У2 f dMD\
D D D п
Оуу — &ZZ — Oyz — J
(10.10.3)
где функция (у, z) подлежит определению из теории изгиба Сен-Венана.
Подставляя эти выражения в тождество (8.11.15) и используя условия
равновесия (10.6.4) и закон Гука, получаем
= 5 —v(^ + cr«)] yMD(x0; х) —
b А
— (1 +v)y2dXy^~> + 2(l + v) [oXy ^-vxz^]]-dxodydz. (10.10.4)
Первый член правой части (10.10.4) тождествен правой части (10.10.2);
ниже показывается, что в частном случае прямоугольного сечения и при дву-
мерном распределении температуры этот член обычно намного превосходит
все остальные и, следовательно, формулу (10.10.2) можно использовать
на практике.
Касательные напряжения в тонком прямоугольном стержне высотой
2с равны
d _ с2—у2 dMD л
ху 21 dx<> ’ ! (10.10.5)
tfxz = o. J
Тогда
х) Это возможно сделать, так как большинство систем фиктивных нагрузок тако-
во, что кривая распределения изгибающих моментов состоит только из линейных отрез-
ков. Предполагается, что фиктивные напряжения распределены по поперечному сече-
нию в соответствии с указанной теорией и поэтому дают характерное значение прогиба
в любой точке по длине балки, причем прогибы в разных точках одного и того же
поперечного сечения равны.
10.10. Применение метода фиктивных нагрузок
291
и подстановка в (10.10.4) с учетом уравнения (10.6.4) дает (в двумерном
случае)
L
v{x) = 4t\ {(а£Т — voyy) yMD — (1 +v)y2oxy^jdx0dydz. (10.10.7)
0 А
Последний член этого уравнения можно упростить следующим образом:
( \y2(y”J чг dxo dy dz = У2 dxodyd2 =
<_) <_) vVAQ t) V V * VA()
DA 0 A
= ( ( У2 (oXuMD) dy dz т f f ? y2MD~y-^ dxody dz\ (10.10.8)
A Xo=0 0 A y
здесь использовалось уравнение равновесия
^ + ^«1 = 0. (10.10.9)
дх 1 ду ' '
Предполагается, что все поверхности свободны от усилий: тогда аху равно
нулю при х0 = 0 и х0 = L, и,следовательно,
L
uW = £7 5 ^(а£Т ~ voyy) г/— + v)y2^^ MDdxydy dz. (10.10.10)
0 А
В данном случае оуу должно быть равно нулю при у =±с, тогда, интегри-
руя по частям, получаем
с У=с с
р /) гг I Р
\ y2^dy=(y2eyv) — ‘2\yay;idy, (10.10.11)
j и у I а
—с у= —с —с
где первый член правой части равен нулю. Подставляя (10.10.11) в (10.10.10).
получаем следующее окончательное выражение для прогиба:
L
v{x)-^j-\ 5 [а^ + (2 + V)a!/J MDydxodydz. (10.10.12)
b A
Сравнение формул (10.10.2) и (10.10.12) показывает, что единственный член,
опущенный в первой формуле, пропорционален величине
L с
[& aVyMDy dxody^
0 —с
и может быть оценен с помощью выражений для функции напряжений ср,
данных в табл. 10.1, и формулы
(10.10.13)
Таким образом, легко видеть, что, если температура постоянна по длищ
балки или меняется линейно по х, то напряжение оуу равно нулю, и, сле-
довательно, формула (10.10.2) точна. При других распределениях темпера-
туры формула (10.10.2) неточна, но, согласно результатам п. 10.7, ошибка
будет малой, если ступенчатое изменение температуры вдоль длины доста-
точно гладкое. В качестве примера рассмотрим прогиб в середине свободнс
19*
292
Глава 10. Температурные напряжения в балках
опертой балки (х = L/2) при распределении температуры вида
Т-Ч-г)П^У • (10.10.14)
Значение момента МD для такой балки будет
f х0 Г 1 — при
Л4д (х0; х) = ] х д (10.10.15)
( xj 1-^4 при х<х0<А.
Расхождение между результатами, вычисленными по формулам (10.10.2)
и (10.10.12) для всех комбинаций значений т = 1, 3, 5 и п = 0, 1, 2, 3, 4, 5,
увеличивается с возрастанием п, но (для рассматриваемых значений) не бу-
дет превышать 2,8% точного значения прогиба х).
С помощью рассуждений, полностью аналогичных рассуждениям
п. 10.4, сделанные выше выводы можно распространить Также на случай
статически неопределимых балок1 2). Интересно также отметить, что анало-
гичным способом можно оценить точность формулы (10.10.1), используя
вместо результатов, приведенных в табл. 10.1, результаты работы [5].
Методом, описанным в и. 9.15, Гудьер получил формулы (к которым при-
водятся некоторые результаты настоящего пункта) для общего случая
деформаций балок.
10.11. Колебания балок, вызванные нагревом. Основное допущение,
на котором основано большинство исследований по теории термоупругости,
состоит в том, что влиянием инерции можно пренебречь. Это допущение
рассматривалось в гл. 2, где подробно был исследован пример, характери-
зующий поведение массивных тел. Вывод, к которому мы пришли в указан-
ной главе, заключается в том, что в большинстве случаев это допущение
оправдано. Аналогичным образом можно исследовать поведение тонких тел
(таких, как балки или пластины); результаты этого исследования показы-
вают, чтр влияние инерции будет значительным лишь в исключительных
случаях. Такое исследование для балок3) проведено в настоящем пункте,
л для пластин в п. 12.7.
Кривизна балки под одновременным действием нагрева внешних нагру-
зок определяется первым уравнением (10.3.8) при условии, что рассматри-
ваются прогибы только в направлении у. В настоящей задаче, согласно
принципу Даламбера, приложенные нагрузки целиком определяются отри-
цательным значением инерционных сил; тогда
(ю.11.1)
1) Эти вычисления произведены в работе [6] гл. 11 для балки, длина которой
в четыре раза больше ее ширины, т. е. при c/L — такая балкая вляется сравнитель-
но короткой балкой, и полученные результаты могут служить верхним пределом для
ошибок, встречающихся на практике. Заметим, что использование более точной фор-
мулы (10.10.12) вместо (10.10.2) эквивалентно учету деформаций сдвига.
2) Полезно вспомнить, что при вычислении посредством принципа виртуальной
работы температурных прогибов статически неопределимых конструкций можно
воспользоваться упрощениями, введенными в п. 8.11; другими словами, при вычисле-
нии напряжений, вызванных фиктивными нагрузками, можно полностью пренебречь
статически неопределимыми величинами (и, следовательно, рассмотреть балку как
статически определимую).
з) Исследование, приведенное в этой части пункта, заимствовано (если нет
оговорок) из работы [14].
10.11. Колебания балок, вызванные нагревом
где о — плотность материала балки. Дифференцируя первое уравнение
(10.3.8) дважды по х и учитывая (10.11.1), получаем основное уравнен»
задачи
дх2 < дх-0 4 dt2 дх2
Вернемся теперь к частному примеру, а именно, рассмотрим свобод»
опертую прямоугольную балку постоянного поперечного сечения длиной 1
п высотой h. К поверхности балки у = Л/2 подводится ступенчато изменяю
щийся во времени поток тепла Q, постоянный вдоль х, в то время как поверх
ность у = —/г/2 теплоизолирована (см. рис. 10.5). Распределение темпера
туры в балке будет ’)
2=1
при условии, что первоначально температура балки Т была равна нулю
Здесь k — коэффициент теплопроводности, т — безразмерный параметр
времени, определяемый выражением
т = (10.11.4'
а х — коэффициент температуропроводности. Тогда
лЧгМу , , 1 Г Л1 е~3'2я2т2 “1 /1С1 1 1 К’
T92E7QcT~ ГПтУ) —-4 L"96 — S j? J’ (10.11.5.
;=i, з, 5
где шт (^) — безразмерный температурный момент. Заметим, что безраз-
мерный температурный момент тт(0) равен нулю
тт(0) = 0 (10.11.6;
вследствие тождества
2 7г==4- ио.п.7:
2=1, 3, 5
Введем дополнительно следующие безразмерные величины:
> 192Qa£2 ’
«._ х
т^’ * ~ Ш>010а ' (10.11.8)
п h К EI h ./сУкУ Л/'ЕПУУУ
/х < еЛ ) L V ' Г Lx S ’
где S — коэффициент гибкости балки (S = LiyilA), а величина
с = ]/E/q (10.11.9)
О См. п. 7.2.
294
Глава 10. Температурные напряжения в балках
— скорость распространения продольных волн. Физический смысл пара-
метра В указан ниже. С помощью приведенных обозначений основное урав-
нение задачи, требующее решения, принимает следующий вид:
В4у""+у" = 0. (10.11.10;
Дифференцирования по иг обозначены соответственно посредством штри-
хов и точек.
Для первоначально неподвижной балки граничные и начальные усло-
вия будут
7(0, т) = 7(1, т)=7’(£, 0) = 0, (10.11.11
7"(0, т) = 7"(1, т) = -тт.
Обычное решение, т. е. решение, в котором влиянием инерции прене-
брегают, будем называть здесь «статическим»; это решение удовлетворяв:
уравнению
Vs't" =0 (10.11.12
и, следовательно, имеет вид
Vsttt, r)=-^(^-g). (10.11.13
Начальное и конечное значения Vst будут
о)=о, rsf(L (io.ii.i4
Решение, учитывающее влияние инерции, будем называть «динамиче-
ским»; для данной задачи динамический прогиб равен х)
7 —7,_ у 2Д2Д1 Гя-й1п/г2л2В2т —
v v st пзпз L8BX
n=l, 3, 5
6 j2n2r_j_(^/n2jp sjn п2Л2В2Т—cos П2Л2В2Г 1
-----J
(10.11.15
а соответствующий изгибающий момент будет
-(V-Vsty= - J ]- (Ю.11.16
?i — l, з, 5
где символ [ ] обозначает величину, заключенную в аналогичных скобка]
в уравнении (10.11.15).
На рис. 10.3 и 10.4 приводятся соответственно безразмерные кривьк
зависимости прогиба и изгибающего момента от времени при В = 1 и £ =
= 0,5; эти кривые показывают, что динамическое решение колеблется околс
статического решения. Основным безразмерным параметром задачи являет
ся отношение tT!tM (см. п. 2.4), т. е. характерного термического времена
к периоду собственных колебаний балки; это отношение представлено пара
метром (10.11.8); фактически В = УtT/tM. При уменьшении значения Е
*) Эта формула получена методом, изложенным в работе [15]. Для некоторые
частных значений т определение числовых значений V и т из этих рядов значи-
тельно упрощается, если заметить, что, когда величина л52т кратна 1/4, члень
sin п2л2В2т и cos п2л2В2т не зависят от нечетных значений индекса п. См. такж(
работу [14].
10.11. Колебания балок, вызванные нагревом
295
влияние инерционных сил становится все более значительным (в самом деле,
при В — 0 это влияние полностью предотвращает прогиб балки в любой
конечный период времени). С другой стороны, при В —> со инерционные силы
исчезают, и мы имеем статическое решение. Это показано на рис. 10.5, где
Рис. 10.3. История прогиба нагретой балки, показанной на рис. 10.5.
Кривая для В = оэ соответствует случаю, когда влиянием инерции пренебре-
гают, а характерная реакция балки при учете влияния инерции показана кривой
для В = 1.
приводится изменение отношения динамического и статического максималь-
ных прогибов в зависимости от В\ следовательно, с помощью этой кривой
можно оценить ошибку, допущенную при использовании статического реше-
ния. Кривая на рис. 10.5 хорошо аппроксимируется кривой, определяемой
уравнением
Ушах при В > 1g 2 0,6931, (10 п 1р
‘'sf.max |2 при В < 1g 2 as 0,6931. 1 ‘
При В больше 3,25 ошибка при определении прогиба не превышает 10%
статического прогиба. Интересно выяснить, какой тип конструктивных
Рис. 10.4. История изгибающего момента балки, показанной па рис. 10.5.
элементов соответствует такому значению В\ для этого на рис.10.5 приведет
вторая шкала абсцисс (обозначенная через /г). С помощью этой шкалы, наря
ду с каждым значением В можно получить толщину прямоугольной, алюми
ниевой балки длиной 25 см (и = 0,86 см2!сек; с = 5х103 см!сек). Можнс
296
Глава 10. Температурные напряжения в балках
заметить, что все значения толщины, показанные на рисунке, сравнительна
малы и что ошибка будет больше 10%, и, следовательно, для балок, толщин
которых меньше 0,337 см, ею нельзя пренебречь. Это означает, что значи
тельнаячасть приведенного графика в действительности соответствует тонки
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15
h, дюймы
Рис. 10.5. Изменение в зависимости от параметра В [формула (10.11.8)]
отношения максимального прогиба, вычисленного с учетом влияния инер-
ции, к максимальному прогибу, полученному без учета инерции при сту-
пенчатом подводе тепла.
Шкала абсцисс для величины h дает толщину прямоугольной алюминиевой балки
длины L = 25 см.--------- точное решение; — — — решение (10.11.17).
пластинам или листам и что для таких удлиненных элементов колеба-
ния, вызванные тепловыми нагрузками при внезапном подводе тепла
могут быть достаточно большими, в то время как для более массивных балог
ими обычно можно пренебречь.
Случай внезапного подвода тепла (который до сих пор рассматривался'
представляет собой более жесткое условие нагрева, чем это обычно бывает
на практике; более близкую к действительным условиям задачу можнс
получить, если предположить, что тепловой поток Q (0 подводится посте-
пенно, например, в виде
Q(0 = Qot~ при0<£<£0, 1
(10.11.18;
Q(O = Qo при^>(0, J
где Qo — постоянная. В качестве другого примера 1) можно рассмотреть
случай аэродинамического нагрева, когда балка подвергается воздействию
температуры То окружающей среды с коэффициентом теплообмена Я; тогда
соответствующее граничное условие для температуры будет (см. п. 5.4)
Г.), (10.11.19)
*) Результаты, относящиеся к обоим упомянутым выше условиям нагрева, полу-
чены в работе [16].
10.11. Колебания балок, вызванные нагревом
2э;
где Т — поверхностная температура элемента, подвергающегося нагреву
m = hH/k. (10.11.20;
На рис. 10.6 нанесены значения максимальных статических прогибов ирг
условии (10.11.19); соответствующее динамическое решение приведено нг
Рис. 10.6. Максимальный прогиб балки, показанной на рис. 10.7, вычис-
ленный без учета влияния инерции; m= hH/k [формула (10.11.20)].
рис. 10.7. При m0 отношение динамического и статического прогибог
стремится к тому же пределу, к которому стремится это отношение в случае
внезапного подвода тепла (см. рис. 10.5); конечно, при т = 0 как динами
О 0.04 0.06 0,08 0,10 0,12 0,14
h, дюймы
Рис. 10.7. Изменение в зависимости от параметров В [формула (10.11.8)]
и т [формула (10.11.20)] отношения максимального прогиба, вычислен-
ного с учетом влияния инерции, к максимальному прогибу без учета
влияния инерции в случае внезапного действия на балку высокой тем-
пературы.
Шкала абсцисс для величины h дает толщину прямоугольной алюминиевой балки
длины L = 25 см.
ческий, так и статический прогибы равны нулю. При В > 1 все кривые н<
рис. 10.7 приблизительно совпадают с кривой, соответствующей предельном)
случаю т — 0, и, следовательно, их можно аппроксимировать уравнениек
(10.11.17).
298
Глава 10. Температурные напряжения в балках
ПРИЛОЖЕНИЕ
Концевые эффекты в балках; принцип Сен-Венана
Расчет балок обычно дает точные результаты по всей длине балки,
за исключением малых областей (т. е. областей с длиной порядка макси-
мального размера поперечного сечения) вблизи концов балки 1) независимс
от того, основан ли он на теории сопротивления материалов, как в первые
пунктах настоящей главы, или на точных уравнениях поля теории термо-
упругости, как в п. 9.6, 10.6 или 10.8. Это обусловлено тем, что теориг
АХ
Сечение Х.-К
Рис. 10.8. Конструктив-
ная схема, использованная
при исследовании краевого
эффекта.
не учитывает точного распределения концевых напряжений, и условия нг
концах удовлетворяются лишь для результирующих сил и результирующие
моментов [см., например, условия (10.6.4)1. Но принцип Сен-Венана утвер-
ждает, что влияние самоуравновешенных нагрузок, представляющих собог
разность между действительными концевыми напряжениями и напряже-
ниями, рассмотренными в теории, незначительно везде, за исключением выше
упомянутых малых областей.
Сформулированный принцип справедлив для большинства балок сплош-
ного поперечного сечения; однако в случае необходимости следует боле!
точно оценить влияние самоуравновешенных концевых нагрузок и подробна
исследовать пригодность принципа Сен-Венана. Эта задача, конечно, не свя
зана с изменением температуры, тем не менее здесь приводятся некоторые
замечания, касающиеся указанного вопроса, вследствие большой роли, кото
рую он играет при расчете многих видов конструкций, находящихся под дей
ствием тепловых и обычных нагрузок. Различные аспекты этой задачи мож
но приближенно интерпретировать с помощью простой конструктивной моде
ли, показанной на рис. 10.8, которую мы сейчас и рассмотрим.
х) Такие же области, в которых обычный метод решения неприменим, должнь
быть исключены в окрестностях разрывов, в распределениях нагрузок или темпе
ратуры по длине балки, в окрестностях сосредоточенных нагрузок и т. д.
Приложение. Концевые эффекты в балках; принцип Сен-Венана 29S
Модель, показанная на рис. 10.8, представляет собой симметричную
конструкцию, состоящую из трех параллельных стержней и некоторых
соединяющих их конструктивных элементов. Величины, относящиеся к цен-
тральному стержню, обозначены индексом С, а величины, связанные с боко-
выми элементами,— индексом S. Стержни соединены конструктивным эле-
ментом, который препятствует относительным продольным перемещениям
боковых и центрального стержней (т. е. перемещениям в направлении х);
этот элемент можно считать плоской пластиной, толщины t и ширины Ь.
Кроме того, концы трех стержней при х == 0 соединяются с балкой, имеющей
момент инерции, равный /; величины, относящиеся к балке, обозначены
индексом В. Предполагается,, что материал всей конструкции однороден
с модулем Юнга Е и модулем сдвига G. Условие опирания конструкции
при х = L определяется ниже; при х = 0 на конструкцию действуют силы,
показанные на рис. 10.8.
Для решения задачи воспользуемся принципом минимума работы Д
поэтому сначала рассмотрим равновесие каждого элемента конструкции,
а затем оставшиеся неизвестными величины определим,приравнивая нулю
изменение полной энергии деформации. Из условия равновесия в направле-
нии х сил, действующих на части конструкции между х = 0 и х = х, полу-
чаем
2Fs(x) + Fc(x) = 0, (10.А1;
где F (х) обозначает силу в стержне. Из условия равновесия элемента длиной
dx одного из боковых стержней (см. рис. 10.8) получаем
--Jx(%)- + H(x) = °, (10.А.2;
где т (х) — касательное напряжение в пластине. Из условия равновесия кон-
ца балки при у = b вытекает, что сила Fв, действующая в этом сечении бал-
ки, равна суммарной силе, приложенной в этом же сечении, за вычетом кон-
цевой силы в боковом стержне, т. е.
FB=F-Fs(0). (10.А.З:
Легко увидеть, что последние три уравнения вместе с уравнением (10.А.5'
выражают все необходимые условия равновесия.
Полная энергия деформации U представляет собой сумму энергий дефор
мации двух боковых стержней, центрального стержня, двух пластин и бал-
ки; записывая выражения для этих энергий в перечисленном порядке
получаем
L L l ь
U = ^eI + AI2^, (Ю.А.4
0 000
где А означает площадь стержня и где изгибающий момент М в текущех
сечении балки равен
M=FB(b — y), 0<y<b. (10.А.5
!) Принципом минимума работы обычно называется изложенный в п. 8.11 прин
цип стационарного значения дополнительной энергии. В изотермическом случае энер
гия деформации и дополнительная энергия тождественны; тогда принцип утверждает
что значение энергии деформации должно быть стационарным при указанных в п. 8.1.
условиях. Так как энергия деформации является положительно определенной квадра
тичной формой, то отсюда вытекает, что это стационарное значение в действительност!
является минимумом.
300
Глава 10. Температурные напряжения в балках
С помощью предыдущих условий равновесия энергию деформации можно
выразить только через Fs следующим образом:
№ = $ П“Х+^ $ (4'X)!*+.^[F-F,(O)P. .
о о
(10.А.6)
Тогда, согласно принципу минимума работы, имеем
,Е№..0= + JL) yst,Fedx + S- [ Q'fr) б(^')dx-
О о
--g-(F-Fs(0)]6Fs(0) (10.А.7)
О1
или, после интегрирования по частям второго интеграла,
f JY_L> 2 Лр еь ф2ДИ
,) 1Л AS 4 лс Г 8 Ы~ dx* /
о
6FsJX+-gL
- {4 г - F‘1+# (тг) }„«Sf лон 0.
(10.А.8)
Так как вариация 8FS произвольна, то отсюда вытекает, что величина F<
должна удовлетворять следующему дифференциальному уравнению:
d2fs
d (x/2b)2
FiFs = 0
(10.A.9)
и следующим граничным условиям:
при x~L или щгщщм-:=0, или 6Fs = 0 (10.А. 10)
и
прнх=0 или — 4^- F, или SFs = O, (10.А.11)
u \хj£о)
где безразмерные параметры Ki и К2 равны
«=2/5^0+41), К2_(10.А. 12)
Параметр Fi представляет собой отношение жесткостей пластин и стерж-
ней, а параметр А2 — отношение жесткостей балки и стержней г). Два воз-
можных граничных условия (10.А.10) соответствуют: первое — случаю
защемленного конца (где т = 0 вследствие отсутствия относительного пере-
мещения концов стержней), второе— случаю заданных концевых усилий.
Две возможные формы условий (10.А.11) относятся соответственно к случаю,
когда концевые усилия в стержнях определяются влиянием балки (как это
имеет место в настоящей задаче), или к случаю, когда усилия заданы.
Для простоты рассмотрим лишь случай защемленного конца при х = L;
тогда решение будет
/г) ре~[K'ix/2b]
_F „ (xl =___' - =----------—_________________(14-е-г<1<ь-А)/ы.
PK,e~K1X/2b
{2bt) x (x) =-----1421е-------- {1 _ е-адь-хЩ}
Л 7 7 1-уК24-(1—K2)e-K1L/b 1 7
(10.А. 13)
*) Последнее утверждение легко доказать, если заметить, что
K2/Kt = 3F.U2Gb3t.
Приложение. Концевые эффекты в балках; принцип Сен-Венана 30
где выражение для т можно получить из выражения для Fs с помощью урав
нения (10.А.2). Приведенные выше уравнения представляют собой искомо'
решение задачи и позволяют сделать некоторые касающиеся нашей пробле
мы замечания.
1) Если конструкция имеет достаточную длину, т. е. если
(10.А.14
то членом e-Kib/ь МОжно пренебречь по сравнению с единицей. Подобны!
же образом, если имеет место это неравенство, то членом ехр [—К; (L — x)lb
можно пренебречь при условии, что значение х не очень близко к L. Так
например, если х = L — nb, где п С 1, то последний из вышеупомянуты,
экспоненциальных членов будет иметь значение е~КлП, которое, конечнс
не мало по сравнению с единицей, если п очень мало; насколько велик
должно быть число п в действительности для того, чтобы имело место нерг
венство е~К1П < 1, зависит, разумеется, от величины К;- Следовательнс
можно заключить, что влияние концевых условий при х = L распростра
няется лишь на «малую» область в окрестности х = L; насколько мала эт
область, зависит от параметра Ki- Тем не менее влияние Ki можно опредс
лить, исследуя решение в окрестности х = 0, так как и в этом сечении суще
ствует аналогичная малая область, в которой влияние концов значительн
и размер которой зависит от Другими словами, конец х = L можн
исключить из нашего рассмотрения и ограничиться случаем бесконечн
длинной конструкции; мы можем тогда заключить, что решение, соответ
ствующее длине, удовлетворяющей неравенству (10.А. 14), будет совпадат
с решением для конструкции бесконечной длины, за исключением концево
области вблизи х = L.
Если L -> оо, то выражения (10.А. 13) упрощаются и приводятся к вид
Es(x)=-lFc(x) = ^^e-w\ (10. A. IE
2Wr(x) = ^^e“Ki*/2!’. (10. А. 1(
2) Рассмотрим теперь случай, когда при х = 0 балка отсутствует, та
что I = 0, и, следовательно, /С2 = 0; таким образом, влияние Ki исклк
чается. В этом случае, полная нагрузка F передается на боковой стержень
и решение (при L = оо), следовательно, равно
Fs(x)= -~Ес(х) = -^т(х)=Ее-^/2\ (10.А.17
Для простоты предположим, что
Лв = Ас = А, (10.A.1J
тогда
^ = 2 1/^. (10.А.Н
Г ЬЛ
Сначала попробуем выбрать значение /Д так, чтобы поведение конструе
ции, показанной на рис. 10.8, интерпретировало поведение сплошное
стержня. Естественно предположить, что
tb=A, (10.А.2С
тогда решение (10.А.17) будет (при v = 0,3 и, следовательно, при Ki = 2,И
Fs = — у Fc = 0,93/Дт =Ее-2’15ж/2ь. (10.А.21
302 Г лава 10. Температурные напряжения в Оалках
Приведенный на рис. 10.9 график этой функции показывает, что величина
силы в этом случае в каждом стержне быстро убывает при удалении от х = С
и ее можно считать пренебрежительно малой при xi>2b; следовательно,
здесь справедлив принцип Сен-Венана.
В научной литературе появились некоторые работы, где приводятся точ-
ные решения частных задач о краевом эффекте. Хорви L) получил решение
в случае произвольного распределения усилий на концах прямоугольной
полосы; концевые усилия сначала разлагаются в ряд по ортогональным
26
Рис. 10.9. Убывание величины силы, действующей в боковом подкреп-
ляющем элементе конструкции, показанной на рис. 10.8.
Параметр определяется формулой (10. А. 12).
полиномам, а затем находятся в явном виде решения, соответствующие каж-
дому из этих полиномов. Например, если концевые усилия для прямоуголь
ного стержня высотой 2Ь даны в виде
Щх ~ Щ Г У'2 — у J , П.тй=0, [при х = 0, (10. А.22
где — постоянная, то решение будет хорошо аппроксимироваться еле
дующим выражением:
<Ухх=а0(>-4) g—2,075х/2Ь (cos 1,143 l^fsin 1,143 . (10.А.23
Сравнение с результатом (10.А.21) показывает, что в нашей упрощенно!
модели колебательный множитель отсутствует и что приближенный показа
тель степени, т. е. 2,15х/2&, достаточно хорошо совпадает с точным значе
нием, т. е. с 2,075х/2А
Блейх г) рассмотрел другой случай прямоугольного стержня, когд:
концевая самоуравновешенная нагрузка состоит из сосредоточенной силы
i) См. работу [17]. Эта же задача рассматривалась ранее в работе [18]. Можнс
также упомянуть другие многочисленные работы Хорви и его сотрудников, в частно
сти, работу [19].
Во всех этих работах рассматривается полубесконёчная полоса; на основанш
сделанных в пункте 1 замечаний результаты этих работ можно использовать и для длин
ных полос. В случае короткой полосы влияния двух концов взаимодействуют и задачу
следует решать другим способом; о решении этих задач энергетическим методом см. Ти
мошенко и Гудьер, стр. 167 - 171, где приводится подробное решение, а также ссылк!
на более ранние работы Инглиса и Гудьера.
2) См. работу [20].
Приложение. Концевые эффекты в балках; принцип Сен-Венана 301
которая действует в центре стержня и уравновешивается равномерно рас-
пределенными нормальными напряжениями; и в данном случае доказывается
справедливость принципа Сен-Венана.
3) В предыдущей задаче принцип Сен-Венана можно практически при-
менять по отношению к силам, действующим в стержнях, вследствие того,
что значение силы Fs, например, при х > 2Ь, мало по сравнению с ее извест-
ным. максимальным значением F. Что касается касательного напряжения г,
то можно утверждать, что при х > 2Ь его значение будет малым по сравне-
нию с его собственным максимальным значением; однако максимальное
значение т априори не известно и может быть получено только из действи-
тельного решения. Во многих задачах, в частности в задачах о сплошные
стержнях, величина нормальных напряжений является основным расчет-
ным критерием, а касательными напряжениями можно пренебречь; однакс
для некоторых конструкций это утверждение неверно. Примерами таки?
конструкций являются, например, рассматриваемая ниже конструкция,
представляющая собой подкрепленную стрингерами обшивку, склеенные
или спаянные многослойные балки или многослойные конструкции, в кото-
рых прочность связывающего материала определяется возникающими каса-
тельными напряжениями1).
4) Рассмотрим теперь обычно применяемую в самолетостроении кон-
струкцию, состоящую из обшивки, подкрепленной стрингерами, где под
крепляющие элементы соединены сравнительно тонким листом 2). Обращаяш
снова к формулам (10.А.17) — (10.А.19), подставим в них в качестве харак-
терных размеров А = 6,25 см2, b = 25 см, t = 0,8 мм; тогда получил
Ki = 1,215. Это значение существенно меньше значения, найденного ранее
для сплошного стержня; фактически значение Kt будет еще меньшим, если
как это часто бывает в авиационных конструкциях 3), допускается выпучи
вание обшивки. Из (10.А. 17) вытекает, что при меньшем значении Kt обласп
высоких напряжений распространяется в конструкцию дальше; не
рис. 10.9 в качестве примера приведена кривая, соответствующая значеник
Kt = 0,86 (т. е. эффективному значению модуля сдвига <Э3фф = 0,5G)
Настоящий пример представляет собой характерную задачу «озапазды
вании касательного напряжения», или «диффузии», к которой фактическг
сводится всегда краевая задача для конструкции, состоящей из обшивки
подкрепленной стрингерами. Литература, посвященная задаче запаздыва
ния касательного напряжения, достаточно обширна 4), и, следовательно
может оказать большую пользу при изучении этого вопроса.
Кроме того, более общим путем Хофф 5) доказал, что, как правило
принцип Сен-Венана несправедлив для тонкостенных конструкций и дл;
тонкостенных конструктивных элементов (как только что рассмотренный)
а также для конструкций с очень малой степенью неопределенности. Этс
утверждение Хофф проиллюстрировал на примере стесненного крученш
1) Температурные напряжения в многослойных балках рассмотрены, например
в работе [21].
2) Решение в этом случае можно найти, не применяя энергетических методов
как, например, в работе [1], стр. 502 -508, где аналогичными методами исследуютС!
другие, более сложные, чем рассмотренная на рис. 10.7, конструкция.
3) В этом случае необходимо использовать эффективное значение модуля сдвиг;
меньшее, чем G; см. работу [22].
4) Среди многочисленных работ, опубликованных по этому вопросу, можно упо
мянуть полный отчет NACA в работе [23] и цит. выше исследования в книге Пири [1]
Отметим также работу [24] и численное исследование, произведенное в работе [13]
гл. 11.
5) См. работу [25]. Дальнейшее исследование задачи о расчете монококовых ци
линдров можно найти в работе [26].
304
Глава 10. Температурные, напряжения в балках
стержней различной толщины с одним защемленным концом, на примере
монококовых цилиндров, находящихся под действием сосредоточенные
нагрузок 1), и на примере пространственной фермы. Здесь тем более возни-
кают упомянутые в пункте 3 трудности.
5) Чтобы уменьшить действие упомянутого выше эффекта в тонко-
стенных конструкциях, часто в конструкцию для более выгодного распре-
деления приложенной нагрузки вводят сравнительно жесткий элемент;
примером такого элемента является рассмотренная ранее в вычислениях
балка В. Для оценки влияния этой балки вернемся к решению (10.А.15)
и (10.А. 16), где жесткость балки фигурирует в выражении для параметра
К2- Из этих уравнений вытекает, что присутствие балки не изменяет скоро-
сти затухания, хотя и влияет на величину максимального напряжения.
Однако, чтобы значительно уменьшить величину силы, нужна сравнительно
тяжелая балка; например, если требуется уменьшить максимальное значе-
ж силы наМ)% (предполагая, для простоты, что балка м стержня—квадрат-
ны), то необходима балка в три раза тяжелее стержней. К выводам такого же
общего характера пришел Салерно 2), изучая действие сосредоточенных
нагрузок, приложенных посредством жесткого шпангоута к монококовому
цилиндру.
В заключение приведенного исследования принципа Сен-Венана для
изотермического случая упомянем некоторые недавние работы, посвященные
этому вопросу. Развивая более ранние идеи Мизеса 3), Стернберг 4 *) дал
точную формулировку и доказательство одной из форм принципа Сен-Вена-
на. В этой формулировке принципа в заданной точке внутри тела сравни-
ваются действия различных видов внешних нагрузок, приложенных к части
S граничной поверхности, когда S->0; в работе [331 доказывается, что
такой принцип является следствием эллиптического характера основного
дифференциального уравнения задачи 6). Исследовался 6) также вопрос
пригодности принципа Сен-Вщгана для динамических задач теории упруго-
сти; найдено, что принцип справедлив, если нагружение происходит срав-
нительно медленно.
В настоящем приложении рассматривался вопрос применения принципа
Сен-Венана только к изотермическим задачам; в виде, пригодном для реше-
ния задач теплопроводности, этот принцип был исследован в п. 6.8. Пред-
ставляет также интерес вопрос о том, можно ли установить некоторый
общий принцип типа принципа Сен-Венана, пригодный как для задач опре-
деления температуры, так и для определения напряжений, с помощью
которого, следовательно, можно было бы установить непосредственно
в зависимости от заданных для температуры граничных условий размер
v) Первое удовлетворительное исследование этой задачи было дано в работе
[27]. Эта задача рассматривалась далее в работах ]28] и [29] и [30], где приводятся
также некоторые числовые результаты и кривые. Указанные работы представляют
собой только некоторые из исследований, опубликованных по данному вопросу; исто-
рический обзор этого вопроса с дополнительным списком литературы можно найти
в работе [28].
2) См. работу [26].
3) См. работу [31].
4) См. работу [32]. В этой работе (а также в работе [33]) имеется библиография
ранних работ, посвященных принципу Сен-Венана.
в) См. работу [33]. В этой работе рассматривается также расширение этого прин-
ципа на задачи других областей, помимо теории упругости (например, в случае тепло-
проводности, как в п. 6.8), на неустановившиеся процессы, и дается другая формули-
ровка принципа, где допускается, что силы действуют на конечную площадь.
в) См. работу [34]. В этой работе исследование основывается на модели, анало-
гичной приведенной на рис. 10.8.
Библиография
305
области, в которой возникают большие температурные напряжения. Для
предварительного исследования этого вопроса можно использовать решение
Iаналогичное (6.84) и (6.85)j некоторой частной двумерной задачи х). Рас-
смотрим тонкий прямоугольный стержень длиной L и высотой 2с, к концу
х = 0 которого подводится тепловой поток Q (у, t) и который теплоизолиро-
ван по .всем остальным поверхностям. Если распределение подводимого
тепла самоуравновешенное, т. е. если
Q (у, t) dy = 0, (10.А.24)
— с
то, очевидно, что повышение температуры (как это показано на рис. 6.2)
или напряжений будет значительным только в малой области стержня (т. е.
при х<2с). Если, с другой стороны, приведенный интеграл не равен
нулю, то, в конечном счете, повышение температуры и температурные
напряжения будут значительны во всем стержне. Однако возможно, что
на больших расстояниях от х = 0 скорость изменения температуры (т. е.
дТ/dt) не будет очень большой. В рассматриваемом двумерном случае
основные уравнения (8.10.13) с помощью уравнения теплопроводности
Фурье можно записать в следующем виде:
- ct£V1 27 = — . (10.А.25)
Отсюда вытекает, что частное решение уравнения (10.А.25), а именно неуста-
новившаяся часть температурных напряжений, будет убывать достаточно
быстро с расстоянием от х = 0. Подробные вычисления, приведенные в вы-
шеупомянутой работе, показывают, что это действительно так при условии,
что тепло подводится не слишком быстро.
БИБЛИОГРАФИЯ
1. П и р и (Peery D. J.), Aircraft structures, Sec., 7, 2, McGraw-Hill, New York,
1950.
2. Б о л и (Boley В. A.), The determination of temperature, stresses and deflec-
tions in two-dimensional thermoelastic problems, J. of the Aero. Sci., 22, 1 (January
1956), 67—75.
3. Кирхгофф (Kirchhoff), Uber das Gleichgewicht und die Bewegung eines
unendlich dtinne elastischen Stabes, Crelle Journ. of Math., 59 (1859).
4. К л e б ш (С 1 e b s c h A.), Theorie der Elasticitat fester Korper, Leipzig, 1862.
5. Боли и Толинс (Boley В. A., T о 1 1 n s 1. S.), On the stresses anc
deflections of rectangular beams. J. of Appl. Meeh., 23, 1 (September 1956), 339—
342.
6. Д о н н e л л (Donnell L. H.), Bending of Rectangular Beams. 7. of Appl,
Meeh., Trans. A. S. M. E., 74 (1952), 123.
7. Карман (Karman T.) Uber die Grundlagen der Balkentheorie, Abh. Aero-
dynam. Inst., Technische Hochschule Aachen, Germany, 7 (1927), 3—10.
8. Зеевальд (Seewald F.), Die Spannungen and Formanderungen von Balker
mit rechteckigem Querschnitt, Abh. Aerodynatn. Inst., Technische Hochshule Aachen,
Germany, 7 (1927), 11—33;
9. Б о л и и T о л и н с (В о 1 e у В. А., Т о 1 i n s I. S.), Thermoelastic stresse:
and deflections in thin-walled beams., W. A. D. C. Tech. Rep., 54—426 (ASTIA
Doc. No. AD 97342), December 1954.
1) См. работу [35],
20 Боли и Уэйнер
306
Глава 10. Температурные напряжения в балках
10. Келлог (Kellogg О. D.), Foundations of potential theory, Dover Publi-
shing, New York, 1953, p. 174.
11. Баррекет (Barrekette E. S.), Thermoelastic stresses in beams, Disser-
tation for the Ph. D. degree, Inst, of Flight Structures, Dept, of Civil Engineering
and Engineering Mechanics, Columbia University, 1959.
12. Б о л и (Boley В. A.), The calculation of thermoelastic beam deflections by the
principle of virtual work, Journ. of the Aero. Sciences, 24, 2 (February 1957), 139—141.
13. X e м n (Hemp W. S.), Thermoelastic formulae for the analysis of beams, Air-
craft Engineering (November 1956), перепечатано в CoA. Note 48, College of Aero-
nautics, Cranfield, England.
14. Б о л и (Boley B. A.), Thermally induced vibrations of beams, Journ. Aero-
Sciences, 23, 2 (February 1956), 179—181.
15. Миндлин, Гудмон (Mindlin R. D., Goodman L. E.), Beam
Vibrations with Time-Dependent Boundary Conditions, Journ. of Appl. Meeh., 17
(1950), 377.
16. Б о л и, Б a p 6 e p (Boley В. A., В arber A. D.), Dynamic response of
beams and plates to rapid heating, J. of Appl. Meeh., 24, 3 (September 1957), 413—
416.
17. Хорви (Horvay G.), The end problem of rectangular strips, Journ. of Appl.
Meeh. (March 1953), 87—94; (December 1953), 576—582.
18. Ф а д л e (F a d 1 e J.), Die Selbstspannungs-Eigenwertfunktionen der Quadrati-
schen Scheibe, Ingenieur-Archiv, 11 (1941), 125.
19. Хорви и Борн (Horvay G., Born J. S.) Thermal stresses in rectangu-
lar strips, Journ. of Appl. Meeh., Trans. A. S. M. E., 77, (1955), 401; Some Aspects
of Saint-Venant’s Principle, Journ. of the Meeh, and Phys, of Solids, 5 (1957), 77—94.
20. Блейх (Bleich F.), Bauingenieur, 4 (1923), 255.
21. Эринген (Eringen A. C.), Thermal stresses in multiple layer beams, Prcc.,
First Midw. Conf, of Solid. Meeh., University of Ill., April 1953, pp. 69—73.
Треммель (Tremmel E.), Thermal stresses in composite beams, Osterr,
Bauzeitschr, 7, 1 (January 1952), 1—5.
22. Б о л и (Boley В. A.), The shearing rigidity of buckled sheet panels, J. of the
Aero. Sci., 17 (1950), 356.
23. Кун (Kuhn P.), Stresses in aircraft structures, McGraw-Hill, New York, 1956;
русский перевод: К У н П., Расчет на прочность в самолетостроении, Оборонгиз,
М., 1961.
24. Рейсснер (Reissner Е.), Analysis of shear lag in box-beams by the principle
of minimum potential energy, Quart. Appl. Math., 4 (1946), 268.
25. X о ф ф (Hoff N. J.), The applicability of Saint-Venant’s principle in aircraft
structures, Journ. of the Aero. Sci., 12, 4 (October 1945), 455.
26. Салерно (Salerno V. L.), The applicability of Saint-Venant’s principle
to reinforced monocoque structures, Hans Reissner Anniv. Volume, Edwards Bros.,
Ann. Arbor, Mich., 1949, pp. 290—299.
27. Хофф (Hoff N. J.), Stresses in a reinforced monocoque cylinder under concen-
trated transverse loads, Journ. of Appl. Meeh., 11, 4 (December 1944), A235.
28. X о ф ф, Салерно, Боли (Hoff N. J., S a 1 e г п о V. L., В о 1 e у
В. A.), Shear stress concentration and moment reduction factors for monocoque
cylinders subjected to concentrated radial loads, J. of the Aero. Sci., 16, 5 (May 1949),
277—288.
29. Дюберг, Кемпнер (Duberg J., Kempner J.), Stress analysis by
recurrence formula of reinforced circular cylinders under lateral loads, N. A. C. A.
Tech. Note 1219, 1947, and N. A. C. A. Tech. Note 1310, 1947.
30. Хофф, Салерно, Либович, Боли, Нардо (Hoff N. J., Sa-
le г п о V. L., L 1 e b о w i t z H., В о 1 e у В. A.. N a r d о S. V.). Concen-
Библиография
30
trated load effects in reinforced monocoque structures, Hans Re'issner Anniv, Volt
me, Edwards Bros., Ann Arbor, Mich., 1949, p. 277.
31. Мизес (Mises R.), On Saint-Venant’s principle, Bull. Am. Math. Soc., 5
(1945), 555.
32. Стернберг (Sternberg E.), On Saint-Venant’s principle, Quart, of Appt
Math., XI, 4 (1954), 393—402.
33. Волн (Boley B.' A.), Some observations on Saint-Venent’s principle, Proc
Third U. S. Nat. Congress of Appl. Meeh., 1958.
34. Боли (Boley В. A.), The application of Saint-Venant’s principle in dynamics
problems, J. of Appl. Meeh., 22, 2 (June 1955), 204—206; On Dynamical Saint
Venant Principle, J..of Appl. Meeh. (1960).
35. Боли (Boley B. A.), Thermal Stresses, Proc. First Symposium on Navs
Struct. Mechanics, Stanford University, August 1958, Pergamon Press, New York
20*
ГЛАВА ||
Температурные напряжения
в криволинейных балках,
кольцах, фермах, рамах
и составных конструкциях
П. Г. Введение. В гл. 10 подробно исследовался расчет балок как с точ
ки зрения теории сопротивления материалов, так и с точки зрения изложен
ной в гл. 8 точной постановки задачи теории термоупругости; в той же главе
рассматривалась и связь между двумя этими методами исследования
В настоящей главе такими же методами рассматриваются некоторые другие
важные конструктивные элементы, для исследования которых можно ис
пользовать элементарные приближенные теории. Температурные напря
жения и прогибы в криволинейных балках изучаются в п. 11.2—11.3
в кольцах — в п. 11.4, в фермах — в п. 11.5—11.6, а в жестких рамах —
в п. 11.7. В п. 11.8 в общих чертах излагается применение методов коэффи
циентов влияния к задачам определения температурных напряжений
в п. 11.9 приводятся ссылки на литературу, посвященную вопросу расчет;
температурных напряжений в составных конструкциях.
11.2. Расчет температурных напряжений в криволинейных балка?
с помощью теории сопротивления материалов. Исходя из тех же основные
Рис. 11.1. Криволинейная балка.
1 — центральная ось; 2 *— нейтральная ось изгиба.
предположений, что и в теории прямых балок (п. 10.2), можно'р заработать
элементарную теорию, описывающую поведение криволинейных балок.
11.2. Расчет температурных напряжений с помощью сопротивления материалов 309
3 настоящем пункте рассматривается свободная криволинейная балка про-
извольного поперечного сечения, линия центров которой представляет
собой дугу окружности, лежащую в одной из центральных главных плоско-
стей (рис. 11.1), при распределении температуры Т (г, 0) х). Показанная
на этом рисунке величина г0 (а именно расстояние между центром О и выбран-
ным началом отсчета координаты у) зависит от геометрической формы попе-
речного сечения, определяется уравнением
( -dA = Л-г0 ( -^- = 0 (11.2.1)
<1 го-гУ J го+у
А А
и совпадает с величиной, определяющей положение нейтральной оси криво-
линейной балки при чистом изгибе 2); в настоящей задаче указанный выбор
Рис. 11.2. Деформированный элемент криволинейной балки.
этой величины является лишь вопросом удобства. На рис. 11.2 показан
деформированный элемент балки. Длина волокна, первоначально равная
у
(го + у) dd, после нагревания будет (г'о + у + аТ dy'} (d9 + Ad0) в пред-
о
положении, что плоские сечения остаются плоскими. Таким образом,
окружная деформация равна
У У
еее = {/.'.-''о + jj аТ dy + ^- \^г'а + у A- J аТ dy)} . (11.2.2)
1 о о У
Однако, замечая, что
у
аТ dy < у, (11.2.3)
о
и принимая во внимание закон Гука, получаем
у
8ee=-“j^{ro~ro + J aTdy + ~&-(r'0 + У)} = ~^ + аТ- (И.2.4)
_______________ о
х) Материал настоящего и следующего пунктов заимствован из работы [1], к кото-
рой может обратиться читатель, желающий получить дополнительные сведения.
2) Решение соответствующей изотермической задачи см., например, в работе [2]-
В этой работе можно найти также явные выражения для г0 для некоторых видов попе-
речного сечения.
310
Глава И. Температурные напряжения в составных конструкциях
Две неизвестные величины г' и Ad0/d0 должны быть определены из условий
равновесия
oe9dA — CQQydA = 0- (11.2.5
А А
Тогда выражение для напряжения будет
у
Т dy
А А
У
У Т dy у
+ —у— Г ( TydA— ( -^~dA 1 + J Tdy] . (11.2.6
\ ydA U У d 9>+У J J J
A
С помощью обозначений
f> = 4; Ч-|;
и соотношений
у = h (т] — т]0); П dA = 0 (11.2.8
А
формула для окружного напряжения принимает следующий окончательны!
вид:
->= -’+т$ TdA+A[ $ ’•’1"" S ] Td^dA] +
A A A Tjo
в
ч „ J 7'dll
-+ гАг \Tdx\- Рт)/?ЛР-Н dA. (11.2.9
1 + ₽П J По(1+₽П)А J 1-уРч 4
По А
11.3. Замечания к п. 11.2; связь с точной теорией и с теорией прямо
линейных балок. Определим теперь путем сравнения с точным решением зада
чи термоупругости п. 9.13 точность результатов, полученных в предыдущей
пункте на основе теории сопротивления материалов. Здесь мы рассмотрю
только случай не зависящего от 0 распределения температуры, так как точ
ное решение справедливо только для этого случая. Кроме того, проведем
сравнение с теорией сопротивления материалов (п. 10.2); таким образом
мы сможем оценить дополнительную ошибку, которая вводится в решение
полученное по теории сопротивления материалов при неучете кривизнь
балки.
Точное решение задачи термоупругости, рассмотренной в предыдущей
пункте, дано в п. 9.13 для частного случая прямоугольного поперечной
сечения с внутренним радиусом а и внешним — b и приводит для напряже
ния о0О к выражению (9’.13.5). Для такого вида поперечного сечения пара
метры, определяемые формулами (11.2.1) и (11.2.7), равны
г _ & а л —______1_______Ь-\-а н 1 3 1
0 log(b/a) ’ 10 log (fe/a) 2(6—a)’ u
Решение этой задачи можно получить также на основе теории прямы]
балок гл. 10; в случае балки произвольного поперечного сечения в обозна
11.3. Замечания к п. 11.2; Связь с точной теорией 311
чениях настоящего пункта получим следующее выражение [из формулы
(10.2.5)]:
= + (11.3.2)
А А
где момент инерции I равен
/ = /z2^t)2cL4. (11.3.3)
А
В последующих замечаниях результаты, определяемые выражениями
(9.13.5) и (11.3.2), сравниваются с результатами, полученными из формулы
(11.2.9).
1) Правую часть формулы (11.2.9) можно разложить по степеням [I;
первый член такого разложения тождествен правой части выражения
(Н.3.2). Следовательно, можно ожидать, что решение, определенное теорией
сопротивления материалов без учета кривизны балки, представляет собой
хорошее приближение к решению (11.2-9) для балок с малым отношением
высоты к радиусу кривизны.
2) Правую часть первого из выражений (9.13.5) можно также разло-
жить в ряд по степеням [3; первый член такого разложения снова тождествен
правой части (11.3.2), разумеется, только в частном случае прямоугольного
сечения. Второй член этого разложения тождествен второму члену разло-
жения правой части (11.2.9) для прямоугольной балки; следовательно,
естественно предположить, что обе формулы будут давать почти одинаковые
числовые результаты, особенно в случае балок с не очень большими значе-
ниями р х). Третий и последующие члены в обоих разложениях отличаются
друг от друга.
3) При постоянной температуре все три уравнения дают один и тот же
результат, а именно о00 = 0, и, следовательно, эти уравнения применимы
в одинаковой степени. Так как эти уравнения линейны по Т, то прибавление
постоянного члена к любому распределению температуры не изменит вели-
чины получающихся в результате напряжений.
4) При линейном изменении температуры (например, при Т = I\zla)
из (11.3.2) опять получаем, что а00 = 0, но такого результата нельзя полу-
чить из (11.2.9) или (9.13.5); очевидно, что формула для прямой балки
в данном случае непригодна. Однако формула (11.2.9) все еще достаточно
точна; например, значения максимального напряжения (при г = а), данные
этой формулой, отличаются от точных на —2,4; —0,8 и —0,06% при bla —
= 3,2 и 1,2 соответственно. На рис. 11-3 показано изменение напряжений
в зависимости от величины отношения b/а при таком распределении темпе-
ратуры; пример распределения напряжений по поперечному сечению приве-
ден на рис. 11.4.
5) Как и на рис. 11.3, на рис. 11.5 Дается сравнение для квадратичного
закона распределения температуры (Т - 7’2z2la2). Формула (11.2.9) и в дан-
ном случае достаточно точна; приближенные значения максимального напря-
жения отличаются от точных на —4,9; ~-0,7 и —0,44% соответственно при
b/а = 3,2 и 1,2 (т. е. при Р = 1; 0,667 и 0,182 соответственно). В этом случае
формула для прямой балки не дает нулевого значения для напряжения,
В Аналогичные выводы можно сделать И в случае чистого изгиба криволинейной
балки при постоянной температуре; первые четыре члена соответствующего ряда по сте-
пеням Р для термического и изотермического случаев даны в работе [1]. Численное
сравнение результатов трех рассматриваемых теорий в изотермическом случае можно
найти в книге Тимошенко и Гудьера, стр. 61—65.
312
Глава 11. Температурные напряжения в составных конструкциях
и кроме того, сравнение результатов, полученных по этой формуле, с резуль-
татами других теорий становится затруднительным, так как прибавление
линейного члена в распределение температуры не изменяет напряжений
Рис. 11.3. Температурные напряжения в свободной прямоугольной бал-
ке, показанной на рис. 11.3, а при распределении температуры по закону
Т (г) = Л (z/a).
------ формула (9.13.5); — — — формула (11.2.9).
только в формуле (11.3.2). Таким образом, последняя формула дает однг
и те же значения для напряжения при всех распределениях температур
Т = Т2 (z + с~)2/а2, где с — любая постоянная величина. В настоящек
случае, при с = 0 значение максимального напряжения, определенной:
Рис. 11.4. Распределение температурных напряжений в свободной кри-
волинейной балке, показанной на рис. 11.3, а при Ъ/а= 2 и при распре-
делении температуры по закону Т (z) — (z/a); г = z + (a 4- Ь)/2.
формулой для прямой балки, отличается от точного на + 13,7; +8,7 и +1,5%
соответственно при Ыа — 3,2 и 1,2. Заметим, что в отличие от других теориг
теория прямых балок дает одинаковые значения для напряжения прг
z = -f~/z /2.
11.4- Температурные напряжения в кольцах
а Гб
6) Из вышеизложенного вытекает, что в большинстве практических
случаев формула (11.2.9) дает удовлетворительные результаты, в то время
как формулу (11.3.2) при упомянутых выше ограничениях можно применять
только для очень тонких балок.
В настоящее время для балок с непрямоугольным поперечным сечением
имеются только решения, полученные из теории сопротивления материалов.
Рис. 11.5. Температурные напряжения в свободной прямоугольной кри-
волинейной балке, показанной на рис. 11.3, а при распределении темпера-
туры по закону Т (z) = Т2 (г/а)2.
-----формула (9.13.5); — — — формула (11.2.9).
Следует заметить, что даже в случае прямоугольной балки с точки зрения
числовых расчетов формула (11.2.9) проще в применении, чем формула
(9.13.5); например, при квадратичном распределении температуры формула
(11.2.9) принимает следующий вид:
в то время как формула (9.13.5) по существу остается в том же виде, чтс
и ранее.
11.4. Температурные напряжения в кольцах. Кольцо можно рассмат-
ривать как замкнутую тонкую криволинейную балку, и, следовательно
исследовать методами, аналогичными использованным в предыдущих дву>
314
Глава 11. Температурные напряжения в составных конструкциях
пунктах. В настоящем пункте предположим, что поперечное сечение кольца
и кривая, описываемая его средней линией, имеют произвольный вид, а отно-
шение высоты к радиусу кривизны и распределение температуры таковы,
что применима формула (11.3.2) (т. е. формула для прямой балки). Если
бы потребовались более точные вычисления, то исследование можно было бы
провести также на основе формулы (11.2.9); здесь это не делается, но отме-
тим, что исследование в основном будет подобно изложенному в настоящем
пункте. Сначала для определения неизвестных статически неопределимых
усилий в нагретом кольце при отсутствии внешних нагрузок используем
Рис. 11.6. Статически неопределимые силы Yo и Zo истатически неопре-
делимый изгибающий момент Мо, действующие в точке у - у0 и z = z0
кольца.
принцип стационарного значения дополнительной энергии; затем, для срав-
нения, формулы снова будут получены с помощью принципа виртуальной
работы. Аналогия с обычными формулами, не учитывающими температурные
напряжения, будет очевидна * 1).
Предположим, что статически неопределимыми неизвестными в сечении
yozo плоского кольца произвольной формы являются изгибающий момент
Мо и компоненты силы Y0Z0 в направлениях у и z соответственно, как это
показано на рис. 11.6. При этих предположениях выражение для окружного
напряжения оее через указанные величины будет 2)
оде ~ — аЕТ Ч—[Л4Г -г Мо ф- Y0 (z(, — z) Zq (z/o — У)] ~г > (11.4.1)
/т 1
где п — расстояние в каждом поперечном сечении в плоскости кольца от
главной центральной оси 3), а А и I — площадь и момент инерции попереч-
*) Изотермический случай рассмотрен, например, в работах [3] или [4]. В работе
[5] приводится вывод формулы, аналогичной (11.4.12).
2) См. формулу (10.2.5). Строго говоря, к правой части этого уравнения следует
добавить дополнительный член, равный N (s)!A, где N (s) - нормальная сила в каж-
дом поперечном сечении, определяемая уравнением равновесия (11.4.19). Подобно этому
при вычислении величины дополнительной энергии следует также учитывать касатель-
ные напряжения, пропорциональные поперечной силе V (s) в уравнениях (11.4.9).
Пренебрежение этими членами означает, что деформации удлинения и сдвига малы,
как это обычно и предполагается при расчете напряжений в кольцах. См. также сноску
1 на стр. 292.
з) Для простоты предполагается, что такие главные оси существуют в поперечных
сечениях кольца и что температура меняется только в зависимости от координат в пло-
скости кольца. Таким образом, никаких деформаций из этой плоскости не возникает.
11.4. Температурные напряжения в кольцах
315
ного сечения соответственно; таким образом
racL4 = 0; jjn2dA = Z. (11.4.2)
А А
В этом случае из (8.11.7) и (8.11.3) получаем следующее выражение для
дополнительной энергии, приходящейся на единицу объема:
= у (еее — аТ)о00 + аТавв. (11.4.3)
С помощью закона Гука (при v = 0)
е00 = ^+аГ (11.4.4)
дополнительную энергию можно выразить только через ооо следующим обра-
зом [см. (8.11.4а)1:
t/;=^ + aToO0. (11.4.5)
Полная дополнительная энергия равна
С ? 1 Р ( f Р'Г
(7' = \ \^U'odAds = -^ (aETydA + ^+-
0 А О A
। [Aly —1~(ЛЛрKqZqZpyp)—Yoz—Z0p]2J (114 6'
причем при интегрировании по поперечному сечению использовались фор-
мулы (11.4.2); здесь s обозначает расстояние по окружности, aS — полный
периметр. Величина U' должна иметь стационарное значение, как это выте-
кает из условия (8.11.12); тогда
dV dU' dV' .. .,. .
длт-= -577-= -дэ= = о, (11.4.7,
дМй dY0 oZ0 ’ '
или, в эквивалентном и несколько более удобном виде 1),
517' ди' _ dU' „
д (M0 + Y\)Z0 + ZOyA ~ ~dY^ ~ ~ • (11.4.1а
В явном виде эти три уравнения можно написать так:
[ATr -j- (Л40 -у Yozo 4 - Zoz/o) ог — Zoy] ds = 0,
о
8
[Мт = (Мо -j- Yozo 4- Zoyo) — Yoz - Zoy] ~ds = O, (11.4.8
[Мг -у (Л40 -у У „гр 4- Zoz/o) — Уог — Zoy\ds = O
b
J) Для удобства во многих задачах более целесообразно действовать в обратное
порядке, т. е. сначала дифференцировать относительно неизвестных, а затем интегри
ровать в плоскости поперечного сечения. В данном же случае соответствующий выи
грыш будет незначительным.
316
Глава 11. Температурные напряжения в составных конструкциях
или
s
Y„z„ -г Zuy0) S* — Zo j ds — Yu j ds =
0 0
s
(Mo + Yozo-~Zoyo) J JL-ds-ZnI*-Y0I*y
0
s
2 dr. 7 1* у r* V MT2
gj иЪ £-O*zy * o2y— \ gj
~ ds,
б
ч
= - ( ^ds, (11.4.9
о
8
(МоТ
о
здесь использованы обозначения '
я
pa. С
8==Уп
о
S
Р „2 .
О
S
Р
\ -^ds. (11.4.10
J Ei '
О
о
о
Предположим теперь для простоты, что начало координат выбрано так
что
S S
(11.4.1Г
б
о
t. e. оно находится в центре тяжести, если жесткость постоянна. Тогда
величины Zo, Уо и Л40 получаются непосредственно из уравнений (11.4.9);
изгибающий момент М = М (s) в каждом сечении кольца будет
s
М = Мо + Yo (z0 —z) + Z0(y0 - у) = --Е- J +
о
S S S S
Z t* f мтУ Р MTz \ f Р MTzds Р МТУ \
Z J ЕГ dS ? EI ds) 1 y\Jzv \ EI У \ El ds)
J_________о_____________о___________________о______________о__________
1 /*/*--(1* )2
'z'y '•‘zy)
(11.4.12;
Из этой формулы легко получить выражение для напряжения; так, путех
сравнения (11.4.1) и (11.4.12), имеем
п66= -aET + ^ + (MT + M)ZL. (11.4.13]
Г1 1
Формула для изгибающего момента принимает более простой вид в сле-
дующих практически важных частных случаях:
одна из осей, например,
1) ось Y является осью симметрии; нагружение произвольное. Здесь
1*гу = 0 и, следовательно,
s s s
yi ...._1 ? MTds _ г С mtz MTy ds . ,. < . , .,
s*J EI I* .) El I* ,1 EI ’ (нл.н,
0 y 0 6
11.4 Температурные напряжения в кольцах
317
2) ось Y является осью симметрии как для нагрузок, так и Для кон-
струкции. Здесь
s
r2V=^^p-ds = 0 (11.4.15;
о
и, следовательно,
S S
О • ) L-. I
о о
3) ось Y является осью симметрии для конструкции и антисимметриг
для нагрузок. Здесь
S 8
/2\ = Jds= J ^^ds=O (11.4.17
о о
и, следовательно,
М — -R ? 4т-*- (11.4.18
/, J я -
4) Дополнительные упрощения могут иметь место, конечно, и в случае
когда жесткость EI постоянна.
Часто бывает необходимым определить величины нормальной силь
N (s) и поперечной силы V (s); эти величины легко получить из следующие
формул:
- _ dM
~ ds
-R^-^REp^ (11.4.19
ds * 4 ds- '
где R = R (s) обозначает радиус кривизны 1).
Прогибы кольца удобно определять с помощью принципа виртуально!
работы, используя систему фиктивных нагрузок, как это описано в п. 8.11 (в)
Заметим, что указанное в этом пункте упрощение (касающееся возможностг
приведения конструкции к статически определимой при вычислении напря
жений, обусловленных фиктивной нагрузкой) можно использовать и в дан
ном случае.
Выражение (11.4.12), полученное путем применения принципа стацио
нарного значения дополнительной энергии, можно было бы также легкс
получить, используя метод фиктивных нагрузок, как это описанс
в п. 8.11 (в). В качестве иллюстрации этот метод излагается ниже в общи?
чертах.
х) Эти уравнения выведены соответственно из условий равновесия момеито!
и радиальных сил, действующих на элемент кольца длиной ds. Полный вывод эти?
условий приведен, например, в работе [5]. Интерес представляет также уравнены
равновесия касательных нагрузок, т. е. уравнение
dN _ V _ _ 1 dM
ds R R ds
Подставляя сюда второе из уравнений (11.4.19), получаем следующее уравнение дл;
изгибающего момента:
4 / ] dM
ds ds- ds '
которое часто можно использовать для проверки.
318
Глава 11. Температурные напряжения в составных конструкциях
Значения величин Мо, Y 0 и Zo, фигурирующих в (11.4.1), должны
быть выбраны таким образом, чтобы обеспечить непрерывность касательной
компоненты и двух компонент перемещения в плоскости кольца в точке
fe'o, ?о) (рис. 11.6).
Вычислим с помощью (8.11.15) относительный поворот кольца на про-
тивоположных сторонах сечения в этой точке, используя в качестве системы
фиктивных нагрузок величины, показанные на рис. 11.7, а; таким же
образом системы фиктивных нагрузок, показанные на рис. 11.7, б и 11.7, в,
Рис. 11.7. Фиктивные усилия, действующие в точке у = у0 и г — г0
кольца, показанного на рис. 11.6 и использованные при выводе формул
(11.4.20) — (11.4.24).
дают относительные компоненты перемещения в направлениях у и z соответ-
ственно. Напряжения, обусловленные этими системами фиктивных нагру-
зок, равны соответственно
ст(<0 — JXblL pW — Xo(?o~z)jL р(с) _ zo (Уо-У!п . (114 20'
ее I ’ оо 1 ’ иоо ~ ’ Iил.гм
деформация е00 (обусловленная температурой и нагрузками Мо, Y и Zo]
определяется формулой (11.4.4), в которой компонента о00 снова выражен!
в виде (11.4.1). В этом случае (8.11.15) можно переписать в виде трех следую-
щих уравнений:
S S S
ееоао0 dA ds = е00о^бМ ds = еее°г(ес0) ЛА ds = 0. (11.4.21)
0 А 0 А О А
Интегрируя по площади поперечного сечения и учитывая (11.4.2), эти урав-
нения затем можно написать в следующем виде:
s
[-^т + ^о + Y(i(zfl—z) + Z0(t/0— у)] (^-^j-^ds = O,
о
S
J [MT + M0 + Y0(Za-z) + Z0(y0-y)]^^-')ds = 0, (11.4.22)
о
S
{ [МТ + Ма Ч- Yo (г0 -Z) + Zo (у0 - у)} ( ds = 0.
о
Из этих уравнений непосредственно получаются уравнения (11.4.8); даль-
нейший вывод подобен предыдущему.
11.6. Температурные Напряжения в статически неопределимых формах 31
11.5. Температурные напряжения в статически определимых фер-
мах. Рассмотрим шарнирно соединенную статически определимую ферму»
находящуюся под воздействием нагрева, при отсутствии внешних нагрузок.
Силы, действующие в стержнях такой фермы, определяются только их
уравнений равновесия; эти уравнения однородны, так как температура
в них не фигурирует в явном виде и, следовательно, в стержнях не возни-
кает никаких сил. Это, однако, не означает, что в стержнях не возникает
никаких напряжений, а показывает, что напряжения в каждом элементе
будут те же, что и в свободном стержне при частном для этого стержня рас-
пределении температуры; следовательно, эти напряжения могут быть опре-
делены с помощью (10.2.4).
Перемещения узлов нагретой фермы удобно вычислить с помощью
принципа виртуальной работы, используя системы фиктивных нагрузок
[см. п. 8.11 (в)]. На основе теории, изложенной в п. 10.3, можно полу-
чить величину удлинения иг г-го стержня фермы, свободной от внешних
нагрузок х):
(11.5.Р
где PTi определяется согласно (10.3.2)
L;
PTjdXt.
1 о
(И.5.2;
Обозначим силу в i-м стержне, обусловленную фиктивными нагрузками
через PDi; тогда из (8.11.15) для прогиба А получим следующее выражение
i=l г=1 ‘ 1
(11.5.3
где п — число стержней в ферме. По аналогии с соответствующими хорошо
известными способами 2) решения задач в изотермическом случае можно раз
работать графические методы вычисления температурных прогибов, пол
ностью эквивалентные описанному выше аналитическому методу. Разу
меется, к полученным выше значениям прогибов должны быть прибавлень
прогибы, вызванные приложенными нагрузками.
11.6. Температурные напряжения в статически неопределимых фер
мах. Силы, действующие в стержнях статически неопределимой шарнирш
соединенной фермы, не равны нулю и легко определяются с помощью ре
зультатов предыдущего пункта. Согласно обычному методу для изотерми
ческого случая, ферма сначала приводится к статически определимой ферм!
путем введения m фиктивных «разрезов», которые исключают m статичесга
неопределимых сил; затем вследствие непрерывности конструкции вычис
ляются и приравниваются нулю разрывы в разрезах, обусловленные нагре
вом и статически неопределимыми силами.
Э Здесь используется теория малых прогибов, в которой пренебрегают величине!
сближения концов стержня, обусловленного поперечными прогибами. Задачи, в кото
рых этим сближением концов стержней нельзя пренебречь, рассматриваются в гл. 13
2) См., например, работу [6].
320
Глава 11. Температурные напряжения в составных конструкциях
Обозначим через Рц силу в i-м элементе, обусловленную единичным
значением / статически неопределимой силы, а саму i-ю статически неопре-
делимую силу через Xf, тогда изложенный выше процесс математически
можно записать следующим образом [из уравнения (11.5.3)]:
k=\, 2, ..., т. (11.6.1)
1=1 3 = 1
Величины Рц не зависят от Xf, следовательно, уравнения (11.6.1) представ-
ляют собой m совместных линейных алгебраических уравнений относитель-
но пг неизвестных статически неопределимых сил Х;. Тогда сила Рг в i-м
элементе будет равна
m
(11-6-2)
>=1
Нормальное напряжение в каждом элементе необходимо определить с уче-
том Pt и Рт1, как это показано в п. 10.4, т. е. с помощью формулы (для
i-ro элемента):
pTi+ 2
O;=-aiEiTi+---------el------+ (11.6.3)
Как и в случае колец (п. 11.4), полученные здесь результаты можно былс
бы также вывести с помощью принципа стационарного значения дополни-
тельной энергии следующим образом1). Полная дополнительная энергия
равна [см. (11.4.5)]
\ \ ^^- + aiT(Gi^dAidxil (11.6.4)
1=1 0 At 1
где а,- определяется согласно (11.6.3). Тогда из принципа стационарногс
значения дополнительной энергии [см. (8.11.12)1 вытекает, что
4^ = 0, /г = 1, 2, . . ., т, (11.6.5
dXh v
или
ti ^7 ti m
2 J 5 («и-щет,)-T iA.dAldXl= 2 (₽„+ 2 хл«)-^-о-
1=1 0 Ai 1=1 3=1
(11.6.6.
Это выражение совпадает с (11.6.1), и, таким образом, второй метод получе
ния этой формулы изложен полностью.
Прогибы статически неопределимых ферм можно вычислить с помощьк
принципа виртуальной работы из уравнения
А = S [(Ртг + Р1)РшМАгЕг)Г (11.6.7
г=1
Применение метода виртуальной работы, метода прогибов и метода распреде
ления моментов в задачах определения температурных напряжений в стержневы;
системах можно найти в работах [7],
11.7. Температурные напряжения в жестких рамах
321
вывод которого полностью аналогичен выводу уравнения (11.5.3). Заметим,
что при вычислении сил PDi, обусловленных фиктивной нагрузкой, можно
опустить все статически неопределимые элементы и таким образом привести
ферму к статически определимой1), или, что то же самое, значения статиче-
ски неопределимых сил, возникающих при определении P'di, можно счи-
тать произвольными. Например, пусть P'di есть значение Pdi, при кото-
ром все эти статически неопределимые силы равны нулю; тогда в расче-
тах необходимо рассматривать только (п — т) стержней и уравнение
(11.6.7) примет следующий вид:
п—т
А = 2 [(PTi + PljP’DtLi/AiEil. (11.6.8)
г= 1
Статически неопределимые элементы в этом уравнении отмечаются значе-
ниями индекса i = (п — 1), (п— m-j-2), ... , п.
11.7. Температурные напряжения в жестких рамах. Жесткая рама
представляет собой совокупность балок, жестко соединенных на концах
так, что угол, образованный двумя смежными балками в любом узле, не
изменяется во время нагружения2); в наиболее общем виде жесткую раму
можно рассмотреть как жестко соединенную между собой стержневую си-
стему. В такой конструкции, в отличие от шарнирно соединенных ферм,
возникают изгибные напряжения, соответствующие изгибающим момен-
там во всех точках каждого элемента стержневой системы. Наиболее удоб-
ным методом расчета этих изгибающих моментов для рам, находящихся под
действием внешних нагрузок, является метод Кросса, или метод распреде-
ления моментов3); этот метод можно с успехом использовать при расчете
жестких стержневых систем при произвольном распределении температуры
следующим образом.
На первом этапе вычислений предполагается, что концы каждого эле-
мента рамы жестко закреплены против поворота и, следовательно, эти эле-
менты представляют собой балки с защепленными концами; расчет таких
балок рассматривался в п. 10.4. Обозначим через —MTz концевые момен-
ты, возникающие в защемленных концах. При этих предположениях эле-
менты рамы соединены между собой в каждом узле (фактически узлы сов-
сем не поворачиваются), но в каждом узле имеется неуравновешенный мо-
мент Ми. Значение этого момента в i-м узле будет}
Жиг- = 2(-7ИГ2), (11.7.1)
где суммирование распространяется на все балки, встречающиеся в i-м
узле. Остается теперь распределить эти моменты по всей конструкции со-
гласно способу Харди Кросса. Это распределение моментов составляет вто-
рой этап вычислений и является обычным процессом, поэтому читатель, же-
!) См. п. 8.11 (в).
2) То есть предполагается, что соединение в каждом узле идеально жесткое.
Исследование гибкости узловых пластин жестких рам можно найти в работе [8].
з) См., например, работу [1] к гл. 10, стр. 534, или работу [9]. Метод Харди
Кросса является частным случаем рассмотренного вкратце в следующем пункте метода
релаксации Саутвэлла, который применяется в тех случаях, когда кроме поворотов
узлов необходимо учитывать также их перемещения.
21 Волн и Уэйнер
322 Глава 11. Температурные напряжения в составных конструкциях
лающий более подробно ознакомиться с этим вопросом, отсылается к одной
из работ в списке [1] к гл. 101).
Изложенный выше способ расчета удобен также для исследования мно-
гих типов статически неопределимых балок, в частности неразрезных балок.
11.8. Использование коэффициентов влияния. Для расчета напряже-
ний в составных конструкциях, таких, как обшивка, подкрепленная стрин-
гером, фермы или рамы, состоящие из некоторого числа отдельных эле-
ментов, использование коэффициентов влияния часто бывает весьма ценным.
Это справедливо также и для расчета температурных напряжений в таких
конструкциях, что будет показано ниже путем обобщения результатов пре-
дыдущего пункта2).
Целесообразно начать с общего описания метода коэффициентов влия-
ния; для этого предположим, что рассматриваемая конструкция состоит
из нескольких «секций» конечных размеров. В качестве секции выбираются
характерные части конструкции, такие, как стержни в случае стержневой
системы, или панель листа с краевыми подкрепляющими элементами, в слу-
чае подкрепленной стрингером обшивки. Рассмотрим теперь некоторые
хорошо определенные граничные точки, известные как «узлы» в этих сек-
циях (например, концы стержней стержневой системы или углы панелей
листов). Если провести прямые линии между этими конструктивно связан-
ными между собой точками, то получится более или менее регулярная сетка
Для простоты изложения выберем частный пример конструкции, состояшет
лишь из шести узлов, пронумерованных и расположенных так, как это по-
казано на рис. 11.8.
Предположим, что в любой заданный момент времени все узлы, кроме
одного, жестко закреплены в пространстве, и исследуем влияние переме-
щений единственного подвижного узла. Такое исследование, рассматри
ваемое ниже более подробно как часть так называемой единичной задачи
необходимо провести для всех точек конструкции, т. е. последовательнс
считать каждую точку подвижной, а все остальные фиксированными. Силу,
действующую в узле 2 вследствие единичного перемещения узла 1, в задан-
ном направлении обозначим через a2i, силу, действующую в узле 1 вслед-
ствие единичного перемещения узла 2,— через а)2 и аналогично для всех
других узлов. В более общем случае перемещения в разных направлениях
и повороты (и, следовательно, также соответствующие им силы и моменты)
*) Метод расчета температурных напряжений а жестких рамах с некоторыми
примерами можно найти в работе [ 10]; продолжение этой работы опубликовано в том же
томе журнала, стр. 1321. См. также работу [7], а в случае установившихся температур,
книгу Мелана и Паркуса [1] (гл. 9).
2) Ниже кратко рассматривается метод релаксации Саутвэлла, изложение кото-
рого можно найти, например, в работе [И]. Современное состояние этого вопроса,
а также библиографию см. в работах [ 12] и [13]. В последней из этих работ дается так-
же общее введение в эти методы. Коэффициенты влияния для балок можно найти,
например, в книге Хоффа [4], для сжатых стержней в работе [14], а также в цити-
рованной ниже работе Боли, для плоских панелей из тонких листов - в вышеупомяну-
той работе Хоффа, Левн и Кемпнера, для криволинейных панелей и тонких балок
в работах [15] и [16[. Во всех этих работах приводятся также решения нескольких
примеров.
Необходимо также отметить, что методы использования коэффициентов влияния
можно применять и к исследованию устойчивости конструкции и вычислению ее кри-
тической нагрузки; общее рассмотрение этого вопроса дается в работе [17]. Идея
использования сходимости (или расходимости) релаксационного процесса как критерия
устойчивости (или неустойчивости) принадлежит Хоффу [18]; для дополнительных
сведений см. его же работу [19], а также работу [8].
11.8. Использование коэффициентов влияния
323
следует рассматривать по отдельности *). Это означает, что а5в может обо-
значать силу в направлении х, вызванную в узле 5 перемещением в направ-
лении х узла 6, а «57 — силу в направлении х, вызванную в узле 5 поворо-
том в том же узле 6.
Возвращаясь к примеру конструкции, показанной на рис. 11.8, сле-
дует отметить, что вследствие предположения о жестком закреплении всех
узлов, за исключением одного, который может двигаться в заданный
Рис. 11.8. Типичная конструкция, использованная при рассмотрении
методов коэффициентов влияния.
момент времени, перемещения узлов 5 и 6, например, не будут влиять на
перемещения узлов 1 и 2 (или «15 = «16= «25= «26 = 0)- Так как задача ли-
нейна, то полную силу, действующую, например, в узлах 1 и 2, после пере-
мещения всех узлов можно написать в следующем виде:
узел 1: «11х1 + «12х2-;-а13х3+а14Х4 = 0;
узел 2: g21X£а22Х2 4~«2зХз-|-«04Х4-У Р = 0,
где xt (z = 1,2,3,4) обозначают перемещения различных узлов конструк-
ции, Р — известную приложенную нагрузку; равенство нулю этих уравне-
ний следует из условий равновесия узлов 1 и 2. Аналогичные уравнения
можно написать для каждого узла конструкции; в результате получим
столько уравнений, сколько имеется перемещений. Таким образом, полу-
чим систему линейных уравнений относительно неизвестных перемещений,
представляющую собой условия равновесия всей конструкции. Такое урав-
нение для t-го узла имеет следующий вид:
Pi + S atjXj = 0, (11.8.2)
3=1
где п — число узлов конструкции.
Таблица, составленная из коэффициентов этих уравнений, названа
Саутвэллом «таблицей операций» и в общем случае может быть представлена
квадратной матрицей с элементами [«;,-1. Заметим, что вследствие теоремы
взаимности Максвелла эта матрица симметрична, т. е.
«о- = а?г. (11.8.3)
Каждый отдельный элемент таблицы операций получается из решения
так называемой «единичной задачи». Единственная задача состоит в вычис-
лении во всех узлах в пределах секции сил и моментов, действующих соот-
J) См. список [7] к гл. 8.
21
324
Глава 11. Температурные напряжения в составных конструкциях
ветственно в разных направлениях и плоскостях и вызванных единичным!
перемещениями и поворотами каждого узла по отдельности. Эти силы и мо
менты называются «коэффициентами влияния», а сами элементы таблиць
операций являются просто суммой коэффициентов влияния.
После составления таблицы операций, т. е. после того, как написань
уравнения равновесия всех узлов в зависимости от перемещений [т. е
уравнения (11.8.2)], необходимо решить эти уравнения. Они образую'
систему совместных линейных алгебраических уравнений и с помощью раз
личных методов могут быть решены или точно1), или приближенно2).
Рассмотрим теперь задачу термоупругости и поступим, как в предыду
щем пункте. Предположим, что все узлы сначала закреплены и что тело под
вержено заданному распределению температуры. В каждой секции буду
возникать внутренние деформации и напряжения; для того чтобы узлг
оставались неподвижными, необходимо в этих узлах приложить силы
Результирующую силу, действующую в i-м узле, обозначим через
тогда из условия равновесия каждого узла вместо уравнений (11.8.2) полу
чим
п
Pt + Pi + 2 0. (11.8.4
j=i
Теперь необходимо решить эти уравнения относительно перемещений х
способом, аналогичным описанному выше для изотермического случая
Тогда полные напряжения в каждой секции будут равны сумме напряжений
вызванных перемещениями х?-, и напряжений, которые существовали ранее
когда все узлы были фиксированы3).
Успешное применение метода коэффициентов влияния в значительно!
мере зависит от степени трудности решения единичной задачи; как указы
валось выше, в большинстве случаев эту задачу можно решить без особы!
затруднений. Разумеется, если конструкция такова, что ее нельзя разделил
на легко определяемые секции, и представляет собой непрерывное тел(
(в противоположность составным конструкциям), то тогда изложенный выш<
метод применить невозможно. В таких случаях можно получить численны!
решения методом конечных разностей4).
11.9. Литература, посвященная расчету подкрепленных листовых кон
струкций. Выше рассматривались некоторые методы расчета составных кон
струкций и, в частности, монококовых, или подкрепленных конструкций
обшивок. Напряжения в конструкциях такого типа можно определить раз
личными способами в зависимости от частной конфигурации конструкцш
При большом числе уравнений это очень трудоемкая работа. Однако ее можнс
эффективно выполнить, например, с помощью метода, описанного в работе [20].
-) Таким приближенным методом является так называемый метод релаксации
который сводится к методу последовательных приближений, где каждое приближение
основывается иа результатах, вытекающих из уравнений (11.8.2). В общем случае
сходимость релаксационного процесса зависит от изобретательности вычислителя
однако для многих задач можно разработать специальные очень эффективные способь
расчета. Один из таких способов фактически совпадает с процессом вычисления по мето-
ду Харди Кросса. Применение таких методов к задаче определения температурные
напряжений можно найти в работе [21]. Библиография по этой задаче дана авторами
указанной работы в том же журнале, стр. 147—165.
3) Способ расчета конструкции, состоящей г.з обшивки и стрингера, дан в работ!
[22]. В этой работе влияние температуры рассматривается непосредственно, а не путее
разделения задачи на две части, как это делается выше. См. также работу [23], а такж(
статью «Модели и аналоги» того же автора в книге [24].
4) См., например, работу [25]. В качестве другого примера решения двумерно!
задачи в конечных разностях см. работу [26] того же автора.
Библиография
32
и распределения температуры; значения этих напряжений обычно должш
быть подтверждены соответствующими экспериментальными данными. Та
как здесь невозможно дать детального обзора всех работ, появившихс
_в литературе по этому вопросу, мы ограничимся некоторыми общими заме
маниями и упомянем несколько из этих работ.
В случае подкрепленной тонкостенной обшивки, часто используемо!
в конструкции крыла сверхзвуковых самолетов, обычно достаточно пре
небречь влиянием изменений температуры по толщине; тогда конструкции
можно рассматривать как одномерную, где единственным измерением буде
расстояние вдоль средней линии. На этой основе можно вычислить как рас
пределение температуры, так и распределение напряжений1). Однако в не
которых конструкциях крыльев сверхзвуковых самолетов обшивка имее
достаточную толщину, так что лонжероны не используются; в таких слу-
чаях крыло в целом можно рассматривать как сплошную или полую балку2)
или, в зависимости от его размеров, как пластину®).
Задаче определения температурных напряжений в коробчатых балка:
посвящено большое количество экспериментальных и теоретических работ4)
В некоторых работах5) исследовалось влияние стрингеров на распределе
ние температуры и на напряжения в обшивке.
БИБЛИОГРАФИЯ
1. Боли и Баррекет (Boley В. A. and В arr eket te Е. S.), Ther
mal stresses in curved beams, J. of the Aero Space Sciences, 25, 10 (October 1958)
627—630, 643.
2. Тимошенко (Timoshenko S.), Strength of Materials, Vol. 2, seconc
ed., D. Van Nostrand, New York, 1941; русский перевод: Тимошенко, Курс
сопротивления материалов, Гостехиздат, М.—Л., 1945.
3. Найлс и Ньюэлл (Niles A. S. and Newell J. S.), Airplane Struc
tures, John Wiley and Sons, New York, third ed., Vol. II, 1943.
4. Хофф (Hoff N. J.), The analysis of Structures, John Wiley and Sons, New York.
1956, pp. 349—357, and pp. 422—426.
!) Такой расчет проделан в работе [27]; краткое изложение этой работы, касаю-
щееся определения температуры, дано в п. 5.8. Более подробно такое исследование
приводится в работе [28], см. также [29]. Кривые, облегчающие такие расчеты, приве-
дены в работах [30] и [31].
Аналогичные расчеты с учетом влияния контактного сопротивления можно найти
в работе [32]. Исследование влияния контактного сопротивления приведено также в ра-
боте [33]. Дополнительные сведения о влиянии контактного сопротивления даны
в п. 5.6 (а).
а) Точность определения распределения температуры в таком крыле ромбовидного
профиля при рассмотрении его как одномерного тела была исследована путем сравне-
ния с решением при двумерном представлении в работе [34]. Соответствующие темпера-
турные напряжения определены в работе [35]. Кривые распределения температуры,
основанные на результатах работы [34], опубликованы в работе [36]. Расчет распре-
делений температуры и напряжений в крыле с ромбовидным профилем, вызванных вне-
запным изменением скорости, дан в работе [37], которая является кратким изложе-
нием работы [38]. См. также работу [39].
’) В этом случае задачу можно исследовать так же, как это выполнено для изо-
термического случая в работах [40] и [41].
4) См. некоторые сообщения, опубликованные лабораторией аэроупругости
н исследования конструкций при Массачусетском технологическом институте, как,
например, работы [42] — [47].
5) См., например, работу [48]. Распределение температуры определено в работах
[42] и [50].
>26
Глава 11. Температурные напряжения в составных конструкциях
5. Боли (Boley В. A.), On thin ring analysis, J. of the Aero. Sci., 23, 8 (August
1956), 802—804.
6. Вилбур, Норрис (Wilbur J. В., Norris С. H.), Elementary stru-
ctural analysis, McGraw-Hill, New York, 1948.
7. Демирдаш (D emirdash J. A.), The stresses due to a non-uniform changt
in the temperature of a truss, Publ. Int. Assoc. Bridge Struct. Engr., 9 (November
1949), 105—152.
8. Хофф, Боли, Нардо, Кауфман (Hoff N. J., Boley B. A.
Nardo S. V., Sara Kaufman), Buckling of rigid-joint frameworks, Trans
A. S. С. E., 116 (1951), 958—998, paper № 2454.
9. Кросс (Cross H.), Analysis of continuous frames by distribution fixed-enc
moments, Trans. A. S. С. E., 96, (1932), 1.
10. T о м м e p а п (T о m m e r u p С. С. H.), Rigid-frame structures subject to non-
uniform, thermal action, Proc. A. S. С. E., 72, 6 (June 1946), 759.
11. C ay tb эл л (Southwell R. V.), Relaxation methods in engineering science
Clarendon Press, Oxford, 1940; New Pathways in Aeronautical Theory, J. Aero. Set.,
9, 1 (January 1942), 77.
12. Аргирис (Argyris J. H.), Appl. Meeh. Reviews, 11, 7 (July 1958),
313—318.
13. Хофф, Леви, Кэмпнер (Hoff N. J..Levy R., Kempner J.)
N. A. C. A., Tech. Note 934, 1944.
14. Лундквист, Кролл (Lundquist E. E., Kroll W. D.), Tables ol
stiffness and carry-over factors for structual members under axial Load. N. A. C. A
Techn. Note 652, 1938.
15. Хофф, Боли, Клейн (Hoff N. J., Boley B. A., Klein B.)
N. A. C. A. Tech. Note 1014, 1946.
16. Хофф, Клейн, Либбн (Hoff N. J., Klein B-, Libby P.)
N. A. C. A. Tech. Note 999, 1946.
17. Б о л и (Boley В. A.), Numerical methods for the calculations of elastic insta
bility, J. of the Aero. Sci., 14, 6 (June 1947), 337—348.
18. X о ф ф (Hoff N. J.), Stress analysis of aircraft frameworks, /. of the Roya.
Aero. Sci. Soc. (July 1941).
19. X о ф ф (Hoff N. J.), J. of the Aero. Sci., 8, 3 (January 1941), 115; 8, 8 (Jum
1941), 319.
20. К p У т (С г о u t P. D.), A short method for evaluating determinants and solving
systems of linear equations with real of complex coefficients, Trans. Am. Soc. of Elec
Engrs., 60 (1941), 1235.
21. Осборн, Мейер (Osbourne A., Mayer R. M.), Application о
relaxation methods to the solution of simultaneous equations of the type that occu-
in multianchored pipe thermal stress computations, Am. Soc. Naval Engr. J., 58
3 (1946), 470.
22. Хелденфелс (Heldenfels R. R.), A numerical method for the ana
lysis of stiffened-shell structures under non-uniform temperature distributions
N. A. C. A. Tech. Rep. 1043, 1951.
23. Хелденфелс (Heldenfels R. R.) The effect of non-uniform tempera
ture distributions on the stresses and distortions of stiffened shell structures
N. A. C. A. Tech. Note 2240, 1950.
24. Хелденфелс (Heldenfels R.R.), High Temperature Effects in Aircraf
Structures, AGARDograph 28, Pergamon Press, New York, 1958; русский перевод
Хелденфелс, Проблемы высоких температур в авиационных конструк
циях, ИЛ, М, 1961.
25. Холмс (Holms A. G.), A biharmonic relaxation method for calculating ther
mal stress in cooled irregular cylinders, N. A. C. A. Tech. Rep. 1059 (1952).
Библиография
3Z
26. Мэнсон (Manson S. S.), Direct method of design and stress analysis of rota
ting disks with temperature gradients, N. A. C. A. Tech. Note 1957, 1949; N. A. C. A
Tech. Repts. № 871, 1947, и № 952 (1950).
27. Хофф (Hoff N. J.), Structural problems of future aircraft, Third Anglo-amer
Aero. Conf., Proc., Brighton, England, September 1951, pp. 103—110.
28. Пол, Оливер (Pohle F. V., Oliver H.). Temperature distribution anc
thermal stresses in a model of a supersonic wing, J. of the Aero. Sci., 21, 1 (January
1954), 8—16.
29. Паркес (Parkes E. W.), Transient thermal stresses in wings, Aircraf
Eng. (December 1953).
30. Шу (Schuh H.), Transient temperature distributions and thermal stresses ir
a skin-shear web configuration at high-speed flight for a wide range of parame
ters, J. of the Aero. Sci., 22 (1955), 829.
31. Гольдберг (Goldberg M. A.), Investigation of the temperature distri
bution and thermal stresses in a hypersonic wing structure, J. of the Aero. Sci., 21
(1956), 981.
32. Барбер, Уэйнер, Боли (Barber A. D., Weiner J. H., В о
ley В. A.), An analysis of the effect of thermal contact resistance in a sheet-strin
ger structure, J. of the Aero. Sci., 24, 3 (March 1957), 232.
33. Гейтвуд (Gatewood В. E.), Effect of contact resistance of joints upon
thermal stress, J. of the Aero. Sci., 24 (1957), 152.
34. Кей и (К a у e J.), The transient temperature distribution in a wing flying at super
sonic speeds, J. of the Aero. Sci., 17, 2 (December 1950), 787—807, 816.
35. Эйзенхардт, Розеноу (Eisen hardt G. H., Rohsenov
W. M.), Calculation of thermal stresses in a wedge-shaped wing, J. of the Aero. Sci.
18, 2 (February 1951), 115—123.
36. Кейн (К a у e J., V. С. M. Y e h), J. of the Aero. Sci., 22 (1955), 751.
37. Д юр ам (Durham F. P.), The effect of flight and configuration variables or
thermal stresses in diamond-shaped supersonic wings, J. of the Aero. Sci., 18, 11
(November 1951), 755—766.
38. Д ю p а м (Durham F. P.), Thermoelastic stress effects due to aerodynamic
heating in supersonic wings, Air Force Tech. Rep. 6351, 1953, by the University
of Colorado staff.
39. Д ю p а м (Durham F. P.) Thermal stresses and deflections in supersonic
aircraft wings, Air Force Techn. Rep., 5786, 1949, by the Mass. Inst, of Technology
staff.
40. Рейснер, Стейн (Reissner E., Stein M.), Torsion and Transverse
Bending of Cantilever Plates, N. A. C. A. Tech. Note 2369, 1951.
41. Стейн, Андерсон, Хеджепет (Stein M., Anderson J. E.
Hedgepeth J. M.), Deflection and stress analysis of thin solid wings of arbit-
rary planform with particular reference to delta wings, N. A. C. A. Tech. Rep. 1131
1953.
42. M a p, Э н г e л (Mar J. W., Engel S. J.), Experimental and analytica
determination of the transient thermal stresses in a one cell box-beam, Tech. Rep
25—13, May 1954.
43. В и л л я м c (W i 1 1 i a m s F. L.), The combined effects of high' intensity anc
dynamic loading on a one-cell box beam, 1955.
44. Блэксток, Энгел, Дориа, Map, Шмит, Вильямс (Blacksto-
ck W. J., Engel S. J., Loria J. C., Mar J. W„ S c h m i t L. A.
Williams F. L.), The effects of thermal radiation on aircraft structu
res, W. A. D. C. Tech. Rep. 54—384, Parts I (1954), II (1955), and Ш (1957)
328 Глава 11. Температурные напряжения в составных конструкциях
45. Котанчи к, Джонсон, Росс (Kotanchik J. N., J о h n s о 1
А. Е., Jr., R oss R. D.), Rapid radiant-heating tests of multiweb beams, N. A. C. A
Tech. Note. 3474, 1955.
46. Прайд, Холл, Андерсон (Pride R. A., Hall J. B., Jr., A n d e r
s о n M. S.), Effects of rapid heating on strength of Airframe components, N. A. C. A
Tech. Note 4051, 1957.
47. П p а й д, X о л л (Pride R. A., Hall J. B., Jr), Transient heating effect:
on the bending strength of integral aluminum-alloy box Beams, N. A. C. A. Tech
Note 4205, 1958.
48. Амброзио, Исимото (Ambrosio A., Ishimot о T.), Analytica
studies of aircraft structures exposed to transient external heating, W. A. D. C. Ted
Rep. 54—579 (1955).
49. Барзели, Буазон (Barzelay M. E., Boison J.C.) Investigation
of stresses due to thermal gradients in typical aircraft structures, N. A. C. A. RA
41K.06, January 1952.
50. Матхаусер, Девейкис (Math auser E. E., Deveikis W. D.)
Investigation of the comperssive strength and creep lifetime of 2024—T aluminurr
alloy skin-stringer panels at elevated temperatures, N. A. C. A. Tech. Note 3647,
1956.
ГЛАВА |2
Температурные напряжения
в пластинах
12.1. Введение. Методы определения термоупругих напряжений и про-
гибов в тонких пластинах, изложенные в настоящей главе, аналогичны ме-
тодам, примененным в изотермической теории пластин, и поэтому мы чаете
будем ссылаться на выводы и результаты этой теории1). Мы не будем сновг
подробно воспроизводить результаты, имеющиеся в других руководствах,
хотя некоторое повторение, конечно, неизбежно.
В настоящей главе мы ограничимся теорией малого прогиба, пренебре-
гая влиянием на прогибы нагрузок, действующих в плоскости пластины.
Это влияние учитывается в некоторых задачах, рассмотренных в следую-
щей главе.
12.2. Основные уравнения теории пластин2). Рассмотрим тонкую пла
стану толщиной t, срединная плоскость которой лежит в плоскости ху
а г обозначает расстояние от этой плоскости. Обозначим через и, v и и
перемещения точек срединной плоскости в направлениях х, у и г соответ
ственно. Компоненты деформации вычисляются на основе допущений, чтс
имеет место плоское напряженное состояние и что плоские сечения, пер
пендикулярные до нагревания срединной поверхности, остаются такими же
и после нагревания. Представляют интерес следующие компоненты дефор-
мации:
____ ди d2w
&хх~~дх~г~д^ '
dv d2w
Y ^ + ^_2z^L. (12.2.Г
,xv dy 1 dx dx oy '
Кривизны и Ky срединной поверхности в плоскостях, параллельны?
плоскостям xz и yz, равны соответственно (в обычном3) приближении)
Кх=—Ку=-^, (12.2.2'
х дх2 ’ у ду2 ’ '
х) В частности, читатель будет часто отсылаться к книге Тимошенко [1]. Этот
материал излагается также в гл. VI книги того же автора [1], к гл. 13.
2) Приведенные в этом пункте выводы аналогичны выводам, имеющимся в книге
[1], к гл. 13, а также в работе [8]. Уравнения теории термоупругости пластин выводят-
ся в работе [2] на базе трехмерной теории, и в работе [3] того же автора. Расчет пластин
не основанный на гипотезе плоских сечений, дан в работе [4]. Поведение анизотропной
пластины с плоскостью упругой симметрии, параллельной плоскости пластины, рас-
смотрено в работе [5]. В этой работе предполагается, что пластина свободна от попереч-
ных нагрузок, но находится под действием нагрузок в плоскости пластины.
з) В линейном приближении.— Прим. ред.
330
Глава 12. Температурные напряжения в пластинах
sl вручение срединной поверхности определяется в виде
(12.2.3
у дх ду v
Из закона Гука (8.10.46) получим следующие не равные нулю компонент!
напряжения:
Е
^ХХ ~ (1 ’Ь''7) аТ],
®уу ~ 1 .Д 1еи/ т V&XX (1 v) CtT],
(12.2.4
®ху 2(l-fv)Y^’
В теории пластин вместо самих напряжений удобно рассматривать
силы и моменты, приходящиеся на единицу длины; введем поэтому следую
щие величины:
t/2 (/2
р р
N х-= ^xxdz, Мх= \ <yxxzdz,
-t/2 -t/2
t/2
Ny= \ Guud^
-t/2
t/2
My= GyyZdz,
-t/2
(12.2.5
t/2
NXy — ^xy dz,
— t/2
t/2
44 xy — ^xyZ dZ'
-t/2
Эти величины можно выразить через перемещения с помощью соотноше^
ний (12.2.1) и (12.2.4); в результате получим
, _ Et Л ди dv > N?
х — 1 — v2 дх ‘ V ду J 1 — v ’
____ Et Л dv ди 'у N? ,, _______________ Et Г ди ди \
у ~ I —v2 \ ду г” V дх ) 1—v ’ ху 2(\-{-v)\dy' дх )
(12.2.6:
х \ дх2 ду2 J 1—v ’ '
., г, Г d2w , d2w \ Му .. ,, , п д2ш
М„ = —D | -vv"Г V -5-5- )-1—~ > ^XTi = (1 —v) D ч д- ,
у у ду2 дх2 J 1—v у v ' дхду
где через D обозначена жесткость пластины на изгиб, отнесенная к единице
длины
D== ЩКГуГг) ’ (12.2.6а)
и где символы ^г и МТ обозначают следующие величины 1см. (10.2.4а)):
t/2 1/2
NT=aE Тdz, Мт = аЕ Tzdz. (12.2.66)
-t/2 -t/2
Часто целесообразнее выразить напряжения непосредственно через силы
и моменты; это делается с помощью следующих формул:
= {-«£T + 4[(l-v)^ + ^rJ + ^[(I-v)Mx4-Mr]} ,
°yy = Т^Г { - aET + Т К1 - v) Ny + ^1 + [(1 - ^) МУ + мт]} ,
(12.2.7)
„ 1 Л/ ’ л 1
Мху — / NXy----Mxw>
12.2. Основные уравнения теории пластин
331
которые можно вывести, подставляя (12.2.1) в (12.2.4) и исключая произ-
водные перемещений с помощью соотношений (12.2.6).
Шесть величин Ух, ... , Мху, определяемые формулами (12.2.5), легче
всего определить в два этапа; сначала с помощью двумерных уравнений
равновесия элемента и условий совместности в плоскости ху определяются
силы N, а затем уравнение равновесия сил в направлении z и уравнения
равновесия изгибающих и крутящих моментов выражаются через переме-
щения, что позволяет определить прогиб w и, следовательно, из формул
(12.2.6) моменты М. Ниже в общих чертах приводятся указанные здесь
выводы.
Уравнения равновесия в плоскости пластины имеют вид [см. (8.10.4а)]
dNx dNxy _ dNxy ! dNy _
дх ‘ ду ’ дх ~ ду
(12.2.8)
и, следовательно, существует функция напряжения F (х, у), определяемая
соотношениями
., d2F м (FF N — d2F
'х~ду2 ’ ^ХУ дхду ’ дх2 •
(12.2.9)
Для определения функции F необходимо решить двумерную задачу термо-
упругости о плоском напряженном состоянии, изложенную в п. 8.10; в част-
ности, F должна соответствовать перемещениям и(х, у) и v(x, у), удовлетво-
ряющим первым трем уравнениям (12.2.6). В п. 8.10 даны другие формули-
ровки этой задачи; например, для односвязной пластины F должна удовле-
творять уравнению совместности [аналогичному уравнению (8.10.116)1,
а именно
д2 Г Nx vXy-Xj л д2 Г FXy -i д2 Г Ny \Хх-:-Хт ->
—t—j=0’
(12.2.10)
которое можно выразить через F с помощью соотношений (12.2.9). Для пла-
стин постоянной толщины уравнение (12.2.10) принимает следующий вид:
PF = - ?2УТ.
(12.2.11)
В настоящей главе двумерный оператор Лапласа обозначается как
= (12.2.11а)
дх2 ' ду2 ' '
Вторая часть решения, а именно определение поперечного перемеще-
ния w, имеет более прямое отношение к теории пластин. Изложим в общих
чертах основные уравнения этой- части решения.
Уравнения равновесия сил в направлении г и равновесия моментов от-
носитель но осей х как это показано и у, действующих на элемент объема dxdydz пластины, на рис. 12.1, имеют соответственно следующий вид: 5QX . д0-<) , п -д 4-0 = 0, дх ду г дМх1, дМ„ А, +%=» ! (12.2.12? о, ду дх ‘ х 1
где Qx и Qy— поперечные силы, отнесенные к единице длины поверхности,
нормаль которой обозначена индексом, а р = р(х, у)— распределенная по-
332
Глава 12. Температурные напряжения в пластинах
(12.2.13;
перечная нагрузка, приходящаяся на единицу площади. Подставляя зна-
чения Qx и Qy из второго и третьего уравнений (12.2.12) в первое из эти?
уравнений, получим уравнения равновесия сил в направлении z
д'2Мху , д2Му _
<3лг2 дх ду ~г ду2 Р'
Основное уравнение для прогиба w можно получить теперь, подставляу
в это уравнение выражения (12.2.6) для моментов. В результате имеем
Г (D +^L\ 1 +2(1-v)-^ ГП-ДЯ Д-
1 у 2дх ду2 у J 1 v ' дх ду L дх ду J
+ Д (d(~ + v УД I = р-У~Г2Л4г. (12.2.14
ду2, L к ду2 1 дх2 У J r 1 — v 1 v
постоянной толщины это уравнение принимает следующие
Для пластин
вид:
D^w = p--rT_^MT.
' 1 — v
(12.2.15
Если требуется определить влияние неравномерного нагрева на сво
бодную пластину, то нагрузка р равна нулю и, следовательно, уравнение
(12.2.5) будет
DV4w = — v-— Ч2МТ.
1 — v *
(12.2.16;
Эти уравнения показывают, что наложение прогибов, вызванных толькс
температурой, и прогибов, обусловленных только поперечными нагрузка-
ми, возможно.
Рис. 12.1. Элемент пластины, использованный для вывода условий
равновесия (12.2.12).
12.3. Граничные условия для пластин. Уравнения (12.2.14)—(12.2.16)
представляют собой основные уравнения изгиба пластин и должны быть ре-
шены при соответствующих граничных условиях на краях пластины. Ниже
приводится перечень наиболее употребительных условий. Координата :
выбрана параллельно краю пластины, а координата п нормальна к нему
(рис. 12.2).
12.3. Граничные условия для пластин
333
1) Для защемленного края прогиб и его производная по нормали к краю
должны быть равны нулю1); следовательно, на этом крае имеем
п dw п
w = 0, = 0.
дп
(12.3.1)
Нормальная производная связана с производными по направлениям х
и у следующей формулой (в обозначениях и при правиле знаков, принятом
на рис. 12.2):
dw
дп
dw , dw .
cos а -5- sin а.
dx dy
(12.3.2)
2) Ha свободно опертом крае прогиб и касательная компонента изгибаю-
щего момента равны нулю, т. е.
01 = 0, Мп = 0. (12.3.3)
.Для того чтобы использовать второе из этих условий вместе с одним из урав-
нений (12.2.14)—(12.2.16), его следует выразить через прогиб w; это можно
сделать двумя способами, каждый из которых мы опишем ниже в общих
чертах. Разумеется, оба способа приводят к одним и тем же результатам.
Моменты 7ИП, Ms и Mns связаны с моментами Мх, Му и Мху следую-
щими соотношениями:
ЛД = Мх cos2a 4- Mv sin2a — 2Мху sin a cos a,
41s = M x sin2a 4- Л-fy cos2a 4- 2Mxy sin a cos a, (12.3.4)
Mns = (7ИЖ — Л4у) sin a cos a 4- Mxy (cos2a — sin2 a),
которые вытекают непосредственно из формул (8.7.5) и (12.2.5). Используя
(12.2.6), получаем
г, f Xd2w 2 , с, d2w . d2w . 2 X .
Мп = — D -и -ч—, cos2 a 4- 2 5-=- sin a cos a 4- == sura 4-
dx2 dxdy dy2 J
, /d2w 2 o d2w . . d2w . 2 Д'!
-v Lwcos a -2 did~y sm a cos a+d^2 sina
A4S= — D -Г fs-vcos2a — 2 ^^-sin a cos a 4-sin2 a 4- (12.3.5)
dy2 dxdy 1 dx2 ; ' '
f d2w 2 ; о d2w . d2w . 2 4 W
-г v 5-5- cos2a -4 2 - sin a cos a 4- sin2a ) — —— ,
1 ydx2 dxdy 1 dy2 / 1—v
,, . r> f d2w , 2 \ ! Г d2w d2w\ . T
Mjis = (1 — v) D 7- - (cos2a — smza 4- —— == sin a cos a ) .
v ' \dxdyK ’ 1 \yd2 dx2 / J
г) Вследствие первого условия (12.3.1) производная от прогиба вдоль края также
равна нулю; следовательно, в этом случае фактически равна нулю производная от
прогиба в любом направлении.
334
Глава 12. Температурные напряжения в пластинах
Граничные условия (12.3.3) легко выразить через w с помощью первого к
этих уравнений.
Переходя к другому выводу уравнений (12.3.5), заметим, что соотноше
ния между моментами /Ип, Мв и /Ип8, кривизнами Кп и Ks и кривизной кру-
чения Kns имеют такой же вид, что и уравнения (12.2.6), а именно
Mn=D(Kn+vK*)-^ ,
Мв = D (KsfivKn)
т
(12.3.6;
1-----V
Mns = D(l-v)Kns.
В книге Тимошенко1) показано, что соотношения между, величинами Кп
Ks, Kns и Кх, Ку, Кху имеют следующий вид:
Кп = Кх cos2a — 2Кху sin a cos a -f- Ку sin2a,
Ks = Ky cos2a 4- 2Kxy sin a cos a -j- Kx sin2a, (12.3.7;
Kns = Kxy (cos2a — sin2a) -j- (Kx — Ky) sin a cos a.
Подставляя эти выражения в уравнения (12.3.6), получаем уравнения
(12.3.5), если величины Кх, Ку и Кху выразить с помощью формул (12.2.2;
и (12. 2. 3).
Уравнения (12.3.5) можно упростить в двух важных частных случаях.
Для прямоугольной пластины они сводятся к трем последним уравнениях
(12.2.6). В случае круглой пластины положим
а = 0, х = г cos 0, p = rsin0, n = r, ds=~rdfi. (12.3.8;
Тогда легко получить, что
д2ш d2w d2w sin 0 cos 0 ,
5-5- — Щ -> COS20 — 2 ?„-------h
ДГ- dr2 dr do r 1
dw sin2 0 , Q dw sin в cos 0 d2w sin2 9
dr r ' 39 r2 ' d92 r2 '•
d2w <Tw . , c. d2w sin0 cos 9 .
= n -> sm20 4- 2 д-^7.--------------f-
dy2 dr2 dr o0 r
dw cos2 0 p dw sin 0 cos 0 d2w cos2 0
dr r ~ <)9 r2 ' дв2 r2 ’
(12.3.9
d2w d2w . M n , <52ш /cos-0—sin20\ dw sin 0 cos 0
—=r = ;>> Sin 6 cos 0 + ----------- ) — з---------
dx dy dr2 1 dr 36 4 r J dr r
, dw rsin20—cos20\ о-со sin 0 cos 9
' 39 < r2 )— ЛР 72
Подставляя эти соотношения в уравнения (12.3.5), получаем
М,- -Dffj + v + I-fi~ .
1. dz2 \ г2 d92 г dr J J 1 — v
M0=-DUd^ + ^ + vd^ i-Д-, (12.3.10
1 г2 d02 1 г dr 1 dr2 j 1 — v 4
Mre = (l-v)D •
4 f L r dr Э0 г2 00 J
x) См. книгу [1], стр. 36 ff. См. также последний абзац п, 8.7.
12.3. Граничные условия для пластин
331
В заключение можно заметить, что в то время как изотермические гра
ничные условия для свободно опертых краев однородны, в термическо»
случае они неоднородны вследствие наличия в выражениях для изгибающие
моментов члена Л4Т(1 —v)1).
3) На свободном крае пластины изгибающий момент Мп, поперечна)
сила Qn и крутящий момент Mns равны нулю. Однако момент Mns статическ!
эквивалентен распределенной поперечной силе величины — (dMns/ds)n=0 и
кроме того, действующим в углах (если таковые имеются) пластины со
средоточенным силам R величины
R = - (МП6)2]„=0, (12.3.11
где индексы 1 и 2 обозначают величины Al„s на обеих сторонах угла. Таки»
образом, на свободном крае получаем присоединенное граничное условие2 * *)
связывающее поперечную силу и крутящий момент, а именно
Qn-^s=°- (12.3.12
К этому граничному условию следует прибавить условие
(12.3.13
для любого неопертого угла, причем 7? определяется, как указано выше.
Как и в случае (2), теперь снова следует выразить установленные выш<
граничные условия через w в явном виде. Сначала заметим, что условго
равновесия моментов, выраженное вторым или третьим уравнением (12.2.12
в ранее введенной ортогональной системе координат s, п, можно записат:
в следующем виде:
= (12.3.14
дп ds '
Тогда граничные условия на свободном крае Имеют вид
2Ип = 0, ^Ь-2^=0. (12.3.15
п 1 дп os v
С помощью уравнений (12.3.5) эти условия можно выразить через w. В это»
виде первое из условий рассматривалось выше; второе условие для случа:
постоянной толщины можно записать через w с помощью следующей
соотношения:
_ 2 = - D {I (VM + (1 - v) |s [ ~ (cos2a - sin2a) +
Zd^w d2w \ . "I "1 1 дМт /19 4 in
л- -5-s- ) sin a cos a 1 —<----, (12.3.1b
‘ \ dy2 dx2 J J J 1—v dn
4 Ср. с аналогичным случаем для стержней; см. уравнения (10.4.3).
2) Такое ослабление граничных условий ввел Кирхгоф в 1850 г., который пока
зал, что первоначальных граничных условий более чем достаточно для решения урав
нений (12.2.14) — (12.2.16). Этот вопрос рассматривается в книге Лява, стр. 459 1
и в книге Тимошенко [1], стр. 47 и 90 ff. Сокращение числа граничных условий осно
вывается на том, что настоящая теория не в состоянии подробно описать распределени
напряжений на краях, а лишь рассматривает интегральные величины (12.2.5); тогда
согласно принципу Сен-Венана, различием между краевыми нагрузками, имеющим
одну и ту же результирующую, можно пренебречь. Дальнейшие пояснения по этом-
вопросу можно получить на основе приведенного в п. 12.4 (г) исследования, основан
ного на энергетических соображениях.
336
Глава 12. Температурные напряжения в пластиках
где1) (см. рис. 12.2)
д д , . д
3- cos а x- + sin а ч- ,
дп дх ди „ . _
л л / (12.3.17
д д . д х
-j- = cos а -sina х- .
ds ду дх
В частном случае прямоугольной пластины уравнение (12.3.16) при
ипмает следующий вид (а = 0, п = х, s = у)\
г. , ,о ч &w "I । 1 дМ.? „
D ( (2 — v) s—< И-1-------д— — О
урх1 1 ' дх ду2 J ! 1—v дх
(12.3.18
и представляет собой граничное условие на крае, для которого х постоянна
Для круглой пластины условие (12.3.16) будет [?2да имеет вид (8.10.15а) ]
Р) Г <7 уД-Ъ , [ dw . Г d?w \ , ,, . Л I rT’w f <f-w \ ( 1 о’М’т __ р
U (дг < 7 ~дг +г2 д№) ‘ <7 drdQ2—~^d&) J 1 —v 77 ~
(12.3.19-
Реакция R, определяемая уравнением (12.3.11), в случае произвольной систе-
мы координат выражается непосредственно через w с помощью третьегс
уравнения (12.3.5), в случае прямоугольной системы координат — с по
мощью последнего уравнения (12.2.6), а в случае полярных координат —
с помощью последнего уравнения (12.3.10).
Можно заметить, что как на свободном крае, так и на свободно оперток
крае температурные граничные условия в отличие от условий для изотер
мического случая не являются однородными.
4) В случае упруго-опертых краев граничные условия легко вывеет!
с помощью вышеприведенных формул, поэтому здесь они не будут подробнс
рассматриваться. В этом случае читателю полезно ознакомиться также
с соответствующим изотермическим случаем, изложенным в книге Тимо
шенко2).
12 .4. Методы решения задач термоупругости для пластин. Решение
задач термоупругости для пластин (постоянной толщины) требует решенш
уравнения (12.2.11) для сил в срединной плоскости и уравнения (12.2.15)—
для прогибов и соответствующих моментов. Как указывалось в п. 12.2
эти два решения можно получить независимо друг от друга и, если требуется
определить значения полных напряжений, сложить напряжения, отвечаю
щие каждому из этих решений. Первая задача относится к теории плоскогс
напряженного состояния и изучалась в гл. 4 и в п. 8.10; решение второ!
задачи рассматривается в настоящем пункте. Разумеется, общего метода
который можно было бы непосредственно применять во всех случаях, ш
существует, но мы изложим несколько способов, полезных для решени5
большого числа задач, представляющих практический интерес. Некоторьк
из этих методов рассматриваются в настоящем и следующем пунктах.
г) Это уравнение легко получить из соотношений (12.3.5). Однако вычислена
можно несколько упростить, если сначала заметить, что
Qn = (SMn/5n)— (<?Mns/<?s) =—Dd дп — [1/(1 — v)] (дЛ1т/Э/1).
Это вытекает из условия Qn=Qx cos а + Qy sin а и из уравнений (12.2.12), (12.2.6) i
(12.3.17), используемых в указанной последовательности.
а) См. книгу Тимошенко [1], стр. 92 11.
12.4. Методы решения задач термоупругости для пластин 337
а) Свободно опертые прямоугольные пластины1).Рассмотрим свободную
свободно опертую пластину, занимающую область
0<х<а, 0<у<Ь, ’ (12.4.1)
при произвольном распределении температуры. Требуется решить уравне-
ние (12.2.16) при граничных условиях (12.3.3), которые в прямоугольной
системе координат имеют следующий вид [см. (12.2.6)1:
w (0, у) = w (а, у) = w (х, 0) = w (х, Ь) = 0,
д2ш !' Му
дх2 + 71 —v) D ~
d2w . Мт ________
ду2 (1 — v) D
при X — 0, а,
при у = 0, Ь,
(12.4.2)
где в общем случае 7ИГ является функцией х и у. Очевидно, что уравнение
(12.2.16) эквивалентно системе уравнений
£>V2to + [MT/(l-v)] = f (х, у),
w=°-
(12.4.3)
На границе w == 0 и, следовательно, (d2w!ds2) = 0; таким образом, на гра-
нице
D\2w= • (12.4.4)
Тогда из первого уравнения (12.4.3) получим, что граничное условие для
функции f будет f = 0, следовательно, соответствующее решение второго
из этих уравнений будет
/ = 0 (12.4.5)
и задача приводится к решению уравнения
(12.4.6)
при условии, что на границе
со = 0. (12.4.7)
Эту задачу можно решить с помощью двойных тригонометрических рядов,
каждый член которых удовлетворяет установленным выше граничным
условиям, полагая
ОО оо
ш(х, у) = 2 2 Wmn sin sin (?) • (12.4.8)
m—i т = 1
Правая часть уравнения (12.4.6) выражается в аналогичном виде, т. е.
СО оо
Мт(х, у)= 2 2 a™sin(?)sin(?) , (12.4.9)
m—i 17=1
i) Описанный метод можно применять также в случае свободно опертых много-
угольных пластин, хотя для простоты здесь рассматриваются только прямоугольные
пластины. Применение этого метода к задачам термоупругости дано в работе [6]. Для
изотермических задач этот метод впервые использовался в работе [7]; он полезен при
исследовании многоугольных пластин со свободно опертыми краями или с заданными
краевыми моментами [некоторые из этих последних изотермических решений исполь-
зуются в п. 12.4 (в)]. Метод применим также в задачах, где учитывается влияние на про-
гибы сил, действующих в срединной плоскости пластинки. Этот метод описан в книге
[1], стр. 99 -105, 176 - 180. Подробно иллюстрированные примеры приводятся
в п. 12.5 (в) и 13.10.
22 Боли и Уэйнер
338 Глава 12. Температурные напряжения в пластинах
где коэффициенты Фурье атп равны
a"‘nZ=ab\ МТ(х, у) sin dy dx. (12.4.10'
о о
Подставляя эти два ряда в (12.4.6) и приравнивая коэффициенты при подоб-
ных членах, находим
w — __ymn_____
wmn- (]_v) n2D
(тУ+(Я
(12.4. н;
Таким образом, решение получено в явном виде. Однако заметим, что урав-
нение (12.4.8), хотя и позволяет определить сами прогибы, при некоторых
распределениях температуры может оказаться негодным для вычисление
изгибающих моментов вблизи краев пластины; тогда решение уравнение
(12.4.6) нужно получить в другом виде. С примером подобного рода мы встре-
чаемся в случаях, когда температура не зависит от х и у, более полное изло-
жение этого вопроса откладывается до п. 12.5 (в).
б) Пластины с защемленными краями. Краевая задача, которую сле-
дует решить для защемленной пластины, сводится к решению уравнение
(12.2.16) при граничных условиях (12.3.1). Последние условия не содержат
температуры явным образом; тогда из сравнения (12.2.15) с (12.2.16) полу-
чим, что требуемое решение тождественно1) решению для той же защемлен-
ной пластины, находящейся при постоянной температуре под действиех
поперечных нагрузок р*, определяемых
р*(х, //)=
(12.4.12;
Таким образом, задача приводится к изотермической и, следовательно, ре-
шения и методы, существующие для изотермического случая, можно непо-
средственно применить к рассматриваемой задаче. Для удобства в табл. 12.1
приведены некоторые имеющиеся в литературе решения, относящиеся к дан-
ной задаче.
в) Аналогия с изотермическими задачами. В пункте (б) мы установила
простую аналогию между термической и изотермической задачами для пла-
стин с защемленными краями. Подобную аналогию можно установить так-
же и для других граничных условий между нагретой пластиной и геометри
чески подобной ей пластиной, находящейся при изотермических условиях
под действием нагрузки р* (12.4.12); однако, если края не защемлены, ана-
логия не так проста, так как необходимо модифицировать также и гранич-
ные условия 2). На свободно опертом крае [где для случая термической за-
дачи нужно удовлетворить условию (12.3.3)] краевой прогиб подобной изо-
термической пластины также равен нулю, но, как это следует из формут
(12.3.5), на этом крае необходимо приложить изгибающий момент, равныг
Л4т/(1 — v). Таким же образом на свободном крае аналогичной изотерми-
ческой пластины следует приложить распределенные поперечные силы,
г) При рассмотрении аналогии между термическими и изотермическими задачам?
для пластин необходимо заметить, что аналогия является полной лишь при вычислени?
прогибов; при определении же напряжений, для того чтобы получить аналогичные
выражения для термического случая, необходимо к компонентам напряжений <т
и вуу изотермического решения добавить величину — аЕТ/\ — v. Это же положение
справедливо при рассмотрении общей аналогии между термоупругими и изотермиче-
скими задачами с учетом объемных сил (п. 3.3). См. также формулы (12.4.20).
2) Заметим, что при использовании этих аналогий для вычисления напряжений
необходимо всегда принимать во внимание замечание, сделанное в сноске 1.
12.4. Методы решения задач термоупругости для пластин
339
ТАБЛИЦА 12.1
Решения для пластин с защемленными краями *)
Форма Нагружение (р*) Ссылка или решение Замечания
I. Прямоугольная II. Прямоугольная III. Произвольная IV. Круглая, сплош- ная или с кон- центрическим отверстием V. Круглая, сплош- ная VI- Круглая, с кон- центрическим отверстием VII. Круглая, сплош- ная, радиуса b *) Толщина посте* Равномерное Произвольное Нулевое, т. е. (V2W = 0) Только радиаль- ное изменение Равномерное Равномерное р*=А(х/6) = — k(rib) cos 0 1нная, если не оговор См. книгу [1], стр. 222—229, где мож- но найти ссылки на первоисточники п. 12.4 (г) п. 12.5 (г) п. 12.4 (д) См. книгу [1], стр. 59—61, а в случае переменной тол- щины стр. 285 См. книгу [1], стр. 67—68 kb* Г < г V "’'1920 Ц b) + (т)]cos 0 ено противное. Точное решение в виде рядов; чис- ленные значения прогибов и изгиба- ющих моментов Приближенное реше- ние посредством энергетического метода, сравнение со случаем I для оценки точности Прогибы равны ну- лю; напряжения не равны нулю Случай пластины по- стоянной толщины является частным случаем IV Частный случай IV Получено из реше- ния, данного в кни- ге [1] уравнением (г), стр. 269, когда c = D — O и ш = = dw/dr = O при г = 6
равные (дМТ]дп)/1 — v, как это следует из формул (12.3.16). Следователь-
но, решения задачи термоупругости можно всегда получить путем наложе-
ния нескольких изотермических решений; например, прогиб свободно опер-
той пластины при произвольном распределении температуры представляет
собой сумму: 1) прогиба ненагретой свободно опертой пластины, находя-
щейся под действием поперечной нагрузки р*, и 2) прогиба ненагретой пла-
стины при отсутствии поперечных нагрузок, но подверженной действию
краевых моментов, равных Мт/(1 —• v). Вообще, изотермические компонен-
ты решения представляют собой: 1) решение для пластины, находящейся
под действием нагрузки р*, с такими же условиями опирания, что и исход-
22*
340
Глава 12. Температурные напряжения в пластинах
ная пластина, и 2) решение для пластины, находящейся под действием за
данного распределения краевых моментов и поперечных сил.
В некоторых случаях решения задачи термоупругости можно получит!
путем наложения другого рода, а именно путем прибавления к основном}
известному решению задачи термоупругости некоторых изотермически)
решений. Возвращаясь снова к примеру свободно опертой пластины, опре
делим решение как сумму 1) термоупругого решения для той же пластины
находящейся под действием того же распределения температуры, но с за
щемленными краями, вдоль которых в этом случае возникают распределен
ные краевые изгибающие моменты (например, величины Ме), и 2) изотерми
ческих прогибов той же пластины при отсутствии поперечных нагрузок, на
ходящейся под действием краевых моментов (— Ale)1)- Однако последний
способ наложения не позволяет установить полную аналогию между терми
ческой и изотермической задачами; заметим, что при применении этого спо
соба наложения полные напряжения, так же как и прогибы, получаются
непосредственно, без учета замечания, сделанного в сноске 1 ш
стр. 338.
Выбор частного способа наложения зависит прежде всего от типг
имеющихся составляющих решений. Однако если составляющих решениг
заранее нет, то получение аналитических решений с помощью этих спосо
бов наложения в большинстве случаев дает мало пользы, кроме, разумеется
того преимущества, что вычисления окажутся менее громоздкими, если онг
разделены на несколько частей, чем в случае, когда они производятся одно-
временно. Фактически это имеет место в рассмотренном выше примере сво-
бодно опертой пластины, особенно если она имеет форму многоугольника
В этом случае решения, соответствующие распределенным краевым момен
там (которые необходимо приложить независимо от выбора описанных выгш
способов наложения), обычно получаются методом, изложенным в подпункте
(а) настоящего пункта; однако, как уже отмечалось, этот метод можно былс
бы без труда применить для непосредственного получения полного реше
ния. В таких случаях, как этот, главное значение аналогий, может быть
состоит в том, что они могут подсказать метод решения и оказаться по
лезными при интерпретации результатов путем замены действительной тер
мической задачи другой, для решения которой потребуется меньше
труда.
Использование описанных выше аналогий может иногда оказаться по
лезным при проектировании экспериментальных установок для испытан i-и
упругих нагретых пластин, так как легче испытывать пластины при по
стоянной температуре с заданными нагрузками на поверхности и на краях
чем создавать на них произвольные распределения температуры2).
г) Использование принципа виртуальной работы. Этот принцип очеш
полезен при решении многих изотермических задач для пластин, особеннс
если для рассматриваемых целей можно ограничиться приближенным!
результатами; часто этот принцип удобно использовать и для решения зада1
термоупругости3). Общую формулировку этого принципа в случае задач!
термоупругости для пластины можно получить непосредственно из соответ-
ствующей формулировки изотермической задачи с помощью установленног
’) Как пример этого способа наложения см. решение Мольбеча для равномернс
нагретой свободно опертой треугольной пластинки (работа [1], стр. 10-1105).
2) Такое использование аналогии дано в работе [8].
з) Применение этого принципа к задачам термоупругости изложено в п. 8.11 (б).
Например, уравнение (12.4.13) является частным случаем уравнения (8.11.15).
12.4. Методы решения задач, термоупругости для пластин
341
выше аналогии; этот принцип утверждает, что уравнение
D „ С1 Г (Xd2w , .г d2w d2w / W VII л л
А
— \ p*dwdA-\--r^—\ МТЬ (ds —
J J 1—V J 1 \ дп у
А С
-Т~ $ -^^^-2^угол=° (12.4.13:
с
должно быть удовлетворено при любой произвольной вариации bw прогиба
здесь F обозначает действующую в углу пластины сосредоточенную силу
а суммирование охватывает все углы. Двойные интегралы распространяются
на всю площадь А пластины, а криволинейные интегралы берутся по гра
нице С. Первый интеграл представляет собой энергию деформации пла
стины в прямоугольной системе координат1), второй — работу, произве
денную эффективной поперечной нагрузкой р* (12.4.12), следующие дв;
интеграла — работу эффективных краевых моментов и сил соответственно
а последний — работу, произведенную угловыми силами (12.3.11). На осно
ве методов вариационного исчисления легко доказать2), что уравнение
(12.4.13) полностью эквивалентно уравнениям задачи п. 12.2 с граничным;
условиями, п. 12.3.
Вычисление интеграла, выражающего энергию деформации пластины
иногда можно упростить, принимая во внимание, что в некоторых важны;
частных случаях согласно теореме Грина
f Г = 0 (12.4.14
J J L дх2 ду2 \ дхду у J '
А
как, например, в случае многоугольной пластины с нулевым краевым про
гибом или в случае защемленной пластины произвольной формы. Заметим
что уравнение (12.4.14) справедливо для любой функции w(x, у), удовле
творяющей упомянутым граничным условиям, независимо от того, являете:
ли функция w(x, у) решением уравнения поля (12.2.16) или нет. Этот фак
имеет большое значение для получения решений методом виртуальной ра
боты, как это показано в приведенном ниже примере.
Из рассуждений предыдущего пункта следует (как это можно видет
также из первоначальной формулировки краевой задачи), что прогибы пла
стины при упомянутых условиях в изотермическом случае не зависят о
коэффициента Пуассона. Для случая нагрева при отсутствии поперечно»
нагружения [уравнение (12.2.16)1 коэффициент Пуассона будет фигури
ровать только в постоянном множителе
[(l-v)Dl'1.
В качестве примера использования принципа виртуальной работы
выраженного уравнением (12.4.13), получим приближенное решение дл
прогибов прямоугольной пластины с защемленными краями, занимающе
область, определенную уравнениями (12.4.1), при симметричном, но произ
вольном распределении температуры.
Решение будет выражено через эффективную нагрузку р* (12.4.12)
Если эффективная нагрузка р* симметрична (или приблизительно симмет
В См. книгу Тимошенко [1], стр. 50.
2) Там же, стр. 95 99.
М2
Глава 12. Температурные напряжения в пластинах
рична) относительно линий х = а/2 и у = b 12, то прогиб можно прибли-
женно выразить следующим образом:
со== ЛИ51П2 sin2 ; (12.4.15)
это выражение удовлетворяет граничным условиям (12.3.1), а также, как
следствие, уравнению (12.4.14). В этом случае в уравнении (12.4.13) не
равны нулю только двойные интегралы; подставляя написанное выше выра-
жение для w в это уравнение, получим значение прогиба в центре Ли (после
осуществления всех указанных вариаций и упрощения результатов):
а Ъ
4a3bs р*(х, у) sin2 (лх/a) sin2 (лу/6) dy dx
= -Л Зд4) ‘ (12.4.16,
Определим теперь точность этого выражения; прежде всего заметим, что бо-
лее точные результаты можно получить, исходя из более общего выраже-
ния для деформированной поверхности. Например, можно предположить,
что
т1 П1
S S 24-sin2(2TL)sin2(2LF) ; (12.4.17)
m==l ?i=l
это выражение опять удовлетворяет граничным условиям и уравнении:
(12.4.14), и его точность возрастает с увеличением значений чисел пц и
Коэффициенты Атп опять определяются из уравнения (12.4.13); например,
при П1~ 2 эти коэффициенты являются решениями следующей си-
стемы уравнений:
(3 + 2р2 + Зр4) Л4! + 2Л12 + 2Р4Л21 = pl i,
2Л11 + (3 + 8Р2 + 48Р4)Л)2 + 32Р4Л22=рТ2,
2₽4Л11 + (48 + 8₽2 + 3₽4)Л21 + 32Л22 = ^1, (12.4.18,
32₽4Л12 + 32Л21 + (48 + 32₽2 + 48р4) Д22 = р*22,
где удлинение прямоугольной пластины р равно
Р = | (12.4.19а;
и где
= J Р*(Х, у)sin2 sin2 (j^~-'\dxdy. (12.4.196:
о о
Когда коэффициенты Атп найдены, из формулы (12.4.17) можно вы
числить прогибы, а затем компоненты напряжения4)
___ 12г дд* !
~ р -'У > J
!) См. сноску на стр. 338.
12.4. Методы решения задач термоупругости для пластин 343
(12.4.21)
где изгибающие и крутящий моменты, обусловленные эквивалентной на-
грузкой р*, определяются из уравнений (12.2.6)1)
м* п ( d2w _i_,, d2w 'А
Mx='D(yd^+vlW ' ‘
М* п ( d2w _L Л, 52а)
M*v = (\-v)D-^-.
у v ' дх ду
Чтобы оценить точность полученного приближенного решения, срав-
ним его численно с точными результатами2 *), имеющимися для частного
случая, когда р* постоянно. Например, в табл. 12.2 значение прогиба
(12.4.15) в центре пластины сравнивается с точным значением для пластин
с различными отношениями сторон; легко видеть, что приближенные зна-
чения хорошо согласуются с точными. Однако выражения для моментов
вследствие того, что в них фигурируют производные прогиба, дают более
значительные ошибки. Например, максимальное значение изгибающего
момента (а именно, значение Мх при х = 0 и у = b/2) для квадратной пла-
стинки в действительности равно (— 0,0513 р*а2), а для деформированной
поверхности (12.4.15) оно равно только (—0,0253/?*й2). Точность можно уве-
личить, если взять т1 = п1 — 2, как в уравнениях (12.4.18), но она все еще
будет неудовлетворительной, так как соответствующее значение получен-
ного таким образом максимального изгибающего момента равно (— 0,0338
р*а2).
ТАБЛИЦА 12.2
Прогиб в центре прямоугольной защемленной пластины,
находящейся под действием равномерно распределенной нагрузки
Ь/а Точное значение прогиба Приближенное значение прогиба Ошибка В %
1,0 0,0138 > 0,0140 > 1,5
1,2 0,0188 0,0192 2,1
1,4 1,6 0,0226 0,0251 [р*а*/Е^\ 0,0233 0,0264 [р*а“/£/3] 3,3 5,2
1,8 0,0267 0,0287 7,5
2,0 0,0277 j 0,0304 ' 9,7
д) Осесимметричные нагретые круглые пластины. Для круглых пла-
стин с произвольными граничными условиями и при температурах, изменяю-
щихся только в направлениях г и z, так что эквивалентная нагрузка равна
р* = р*(г), легко получить решения в явном виде. В этом случае уравнение
(12.2.16) можно переписать в следующем виде 1см. уравнение (8.10.15а)]:
7Ягт[74(гО} = ^₽'(г)' (12-4'22;
Общее решение этого уравнения получается четырьмя последователь-
ными интегрированиями и имеет вид
w = Cj 1g (гIrQ) + c2r21g (г/г0) + с3 (г2 - г2) +щ + ыр (г), (42.4.23
>) Напряжения, обусловленные силами, действующими в плоскости пластины
т. е. соответствующие уравнению (12.2.11), здесь опущены и должны быть наложень
на полученные выше выражения для напряжений.
Ч См. сличай 1 в табл. 12.1.
34ч
Глава 12. Температурные напряжения в пластинах
где г0— постоянная и где частное решение иур(г) равно
аур(И= § г3 r-^-^dridr2dr3dri. (12.4.24;
'О г0 1'0 'о
Если пластина с внешним радиусом b сплошная (04 г< Ь), то для того,
чтобы прогиб в центре был конечным, постоянные Cj и с2 должны быть рав-
ны нулю; если пластина имеет концентрическое круглое отверстие радиусе
а(а < г < Ь), то эти постоянные в общем случае не равны нулю. Граничные
условия для защемленных, свободно опертых и свободных краев пластины,
как это вытекает из уравнений (12.3.1), из уравнений (12.3.3) и (12.3.10;
и из уравнений (12.3.15) и (12.3.19), будут соответственно
dw р.
Ш==^- = 0’
w==d(-^ + — (12.4.25;
V dr2 1 г dr J 1 1—v ’ '
+ > ’^ = 0. (12.4:26'
\ dr2 ' r dr J 1 — v dr \ dr2 r dr J 1 — v dr '
Подставляя полученное выражение для w в формулы (12.3.10), получим
значения изгибающих моментов в пластине.
В качестве примеров решений таких задач приведем явные выражение
для постоянных Ci, с2, с3 и с4, фигурирующих в вышеприведенном решении
для некоторых характерных граничных условий. В приведенных ниже фор-
мулах используется следующее обозначение:
(12.4.27'
р [ dd Jг=ь v
причем постоянная г0 равна нулю для сплошных пластин и равна а для пла-
стин с отверстием.
Сплошная пластина, край г = Ь
Ci =с2 = 0,
р _____L гл/1' г — ГЛ |<1) _ гл,«1>
Сз— 2Ь — 2
защемлен
! (12.4.28;
Сплошная пластина, край г = b свободно
С! = с2 = 0, )
г___________1 Г МТ W ' гл,(2> I v ги<1) 1 I
Сз~ 2(14-v) I (1—v)D -Г р + b р J ’ 1
Г — &2 Г Мт I »)(2) I V гл,<1> "I — I
4 2 (1—]—v) L (1—V)D + Р + Ь Р J Р ’ J
оперт
(12.4.29;
Пластина с отверстием , края г — а, b защем-
лены
a2bw<» [&2 —а2 —262 1g (6/а)]+ 4а262гаф0) 1g (Ь/а)
Ci = (62 —а2)2—4а2&2 1g2 (6/а) ’
— bw<» [&2 — а2 —2а2 1g (6/а)] + 2 (62—а2) а'<30,
С2— (62—а2)2—-4а262 1g2 (6/а) ’ . (12.4.30
bw1-» [(62—а2) 1g (&/а)] [a2 — b2—2b2 1g (Ь/а)]
Сз ~ (b2—a2)2—4a2b2 1g2 (Ь/а) ’
Сц = 0.
12.5. Пластины с распределениями температуры по толщине
34Е
е) Литература, посвященная другим решениям задач о нагретых
пластинах- Хотя вследствие установленной выше аналогии для решения
задач термоупругости полезна вся литература, относящаяся к изотермиче-
скому изгибу пластин, здесь мы ограничимся перечислением лишь тех ра-
бот, в которых рассматриваются главным образом термические задачи. Кроме
работ, цитированных в других местах настоящей главы, а также работ, от-
носящихся к задачам выпучивания пластин, которые перечисляются в сле-
дующей главе, мы упомянем здесь еще некоторые работы.
Краткое изложение теории пластин с учетом температурных напря-
жений, а также числовые результаты и диаграммы даны в работе [9]. В ра-
ботах [10] и [11] приводятся диаграммы, позволяющие определить темпе-
ратурные напряжения в пластине, нагретой посредством теплообмене
с окружающей средой. Действие выделения тепла в пластинах рассматри-
вается в работе [12]. В работе [13] дается сравнение теоретических и экспе-
риментальных данных. В работах [14], [15] и [16] приводятся полученные
ранее решения частных задач. В работе [17] исследуется поведение пла-
стины при линейном по толщине, но в остальном произвольном распределе
нии температуры. Рассмотрены также упрощения, которые иногда можнс
сделать при расчете пластин, в частности возможность пренебрежения ве-
личиной изменения температуры по толщине1) и использования квазистати-
ческого распределения температуры2).
12.5. Пластины с распределениями температуры, изменяющимися
только по толщине. Решения задач для пластин, в которых температура
изменяется только по координате толщины, можно в большинстве случаен
получить как частный случай рассмотренных в предыдущем пункте болен
общих методов или, в отдельных случаях, с помощью метода, специальнс
разработанного для данйой задачи. Ниже приводятся некоторые решения,
полезные для дальнейшего и в то же время имеющие практический интерес.
а) Свободная, неопертая пластина произвольной формы в плане.
Решение настоящей задачи получим, разделив ее на две части, как это ука-
зано в п. 12.2; в первой части определим перемещения в плоскости пла-
стины, а во второй — поперечные перемещения.
В этом случае NT постоянна, и уравнение (12.2.11) принимает вид
V‘F = 0. (12.5.1]
Это уравнение необходимо решить при граничных условиях, соответствую-
щих нулевым нагрузкам на краях; тогда решение будет
F = 0 (12.5.2]
и, следовательно,
Nx — Nv=NXy — Q. (12.5.3)
Для вычисления компонент перемещения и и v в плоскости пластины вос-
пользуемся первыми тремя уравнениями (12.2.6), которые в данном случае
принимают следующий вид:
ди , до до , ди
^-_p^L = O. (12.5.4]
ду 1 дх ' ‘
’) См. работу [18].
2) По этому вопросу см. п. 9.9.
346
Глава 12. Температурные напряжения в пластинах
Совместное решение первых двух из этих уравнений дает значения произ-
водных ди!дх и dvldy в явном виде; таким образом непосредственно можно
получить следующее решение:
и(*, У") = ^-х + [а + Ьу], )
} (12.5.5)
У)=-^У + \с-Ьх\. J
Величины в прямых скобках определяют движения тела как твердого це-
лого.
Поперечный прогиб w будет решением уравнения
V4to = 0 (12.5.6)
{которое^ данном случае совпадает с уравнением (12.2.16)] при граничных
условиях (12.3.15). Наиболее легко получить это решение полуобратным
методом, предполагая, что
Мх=Му = Мху = д (12.5.7)
и проверяя затем, удовлетворяют ли прогибы, вычисленные на этом осно-
вании, всем требуемым условиям. Учитывая (12.5.7), из последних трех
уравнений (12.2.6), получаем уравнения
д2ш ! d2w д2ш , я1 д-ш М-р
~дх^~+ V = ~ду- + V — (1—v)Z? ’
дх ду ’
общее решение которых будет
ш(х, у) = — (х2 + у2) + [d + ex + fy], (12.5.9)
Величина в прямых скобках определяет движение тела как твердого целого.
Напряжения, соответствующие этому решению, можно найти, подставляя
решение в формулы (12.2.7);
1 < с'г , Ут , 12МТ \
Охх — О ini — "“j ( — Ct£i -4— —7 Ч- 7ч »
хх уу i-v < t ) (12.5.10)
^ху ~ 0*
В п. 12.6 отмечается тесная связь, существующая между настоящим реше-
нием и решением, данным в п. 9.5.
б) Свободная свободно опертая круглая пластина. Решение для этого
случая можно получить непосредственно из предыдущего при дополнитель-
ном условии to = 0 на границе, определяемой уравнением х2+ у2= Ьг:
для прогиба получим следующее выражение:
w = ^(b2-x2-y2). (12.5.11)
Остальная часть решения подпункта (а) справедлива здесь без изменений.
Это же решение можно было бы получить как частный случай уравне-
ний (12.4.29), если заметить, что здесь для всех i
р* =Z2>P)(r) = 0 (12.5.12)
и, следовательно,
___р _ с'> _ Мг _ GM? ,<2 к IQ)
62 — 2(1— v2) D • (1Z.0.10J
12.5. П ластины с распределениями температуры по толщине 347
в) Прямоугольная свободно опертая пластина. Легко заметить из вы-
ражения (12.5.9), что решение, данное в подпункте (а), не позволяет опреде-
лить поперечный прогиб свободно опертой пластины с формой в плане, от-
личной от круговой. Для прямоугольной пластины решение можно найти
методом п. 12.4 (а); в результате для прогиба [из (12.4.8) и (12.4.11)] получим
следующее выражение1):
16МГ
(1—v) Dn1
w
так как коэффициенты атп согласно (12.4.10) равны
. Zтлх\ . /плиУ
(12.5.14)
= [1-(-!П
(12.5.15)
Подставляя найденное выражение для прогиба в формулы (12.2.6)
и (12.2.7), находим соответственно значения изгибающих моментов и ком-
понент напряжения. Однако полученные таким образом результаты при
вычислениях в точках, расположенных вблизи краев пластины, практически
не применимы, так как в приведенном выше выводе использовалось разло-
жение Фурье постоянной величины по синусам в интервале Q<Cx<Ca
и 0 <Z у <Z b; как известно, это разложение вблизи концевых точек интер-
вала сходится медленно2), а в самих конечных точках сходится не к тре-
буемому постоянному значению, а к нулю. Другое решение уравнений
(12.4.6) и (12.4.7), более удобное для определения изгибающих моментов,
можно найти следующим образом.
Предположим, что прогиб w выражается в виде
^=2 >
?71=1
(12.5.16)
а не в виде рассмотренного до сих пор двойного ряда Фурье, и разложим
постоянную Мт следующим образом:
СО
2 <125Л7>
тп—1,3,5
Подставляя эти выражения в (12.2.6) и собирая коэффициенты при одина-
ковых членах, получаем следующее дифференциальное уравнение для функ-
ций Ут(у):
. 4МТ
d2ym - ~W^TDm^ ДЛЯ нечетных т,
dy2 У а ) "1~ 1 „
у I 0 для четных т.
Это уравнение необходимо решить при граничных условиях, соответствую-
щих нулевым краевым прогибам, а именно:
rm(0) = rm(&) = 0. (12.5.19)
J) При таком применении метода М? постоянно; следовательно, в уравнениях
(12.4.3) член МТ/(\ — v) отсутствует, и краевые значения для f, как и сама f, задаются
уравнением [ = — Мт/(1 — v). Следовательно, в результате снова получим уравнения
(12.4.6) и (12.4.7) и, таким образом, явные формулы (12.4.8) и (12.4.11) применимы
и в данном случае.
2) См., например, работу [19]. Заметим, что трудности возникают не при опреде-
лении из уравнения (12.5.15) самого прогиба или его наклона, а при вычислении кри-
визны.
348
Глава 12. Температурные напряжения в пластинах
Легко видеть, что отличными от нуля буду^ только функции Ym с нечет-
ными значениями индекса; в результате для прогиба w имеем следующее вы-
ражение:
4Л1^ х1 1 [| sh Pmy-j-shpm(6 у) ) . тлх /io
U’--(l-v) Dx Zj ----------ThfW-------(12-5-2U>
m=l, 3, 5
где
= (12.5.21)
Если начало координат поместить в точку х = 0, у = Ь/2, то с помощью
преобразования
(12.5.22)
выражение для прогиба w принимает более компактную форму
3 <12-5-23>
т=1,3,5
Тогда, согласно (12.2.6), соответствующие выражения для моментов Л4Х.
Му и Мху будут
/ тл \2 Л
, V \ a ) P'n ch pmy' 1 • тлх
+ —-------г»------ sin----,
L "Ф.Д JchPmb/2 a
' — 4М'Г V ( 1 sh Pm/ ~l тях
ху a (pm Ch pmb/2 J a
m=l, 3, 5
(12.5.24
Подставляя эти соотношения в формулы (12.2.7), получаем соответствую
щие выражения для напряжений.
Указанные выражения для моментов можно значительно упростить
если подставить в них значения (Зт из (12.5.21); в результате имеем
тлу'
СП ----
a
, тлЬ
ch ~2a~
му = —i- мт У — 1
у л: 1 XJ /и
т=1, 3, 5
со
МХу =-----МТ У —
ху л 1 т
т=1,3,5
sin
тлх
a '
тлу' -
a . тлх
------г SIU
, тлЬ a
ch -к--
(12.5.24а
J2.6. Связь теории, тонких пластин с тонн, решениями задачи термоупругости 349
Однако целесообразнее рассмотреть решение в виде (12.5.24), так как тогда
полученные выражения можно непосредственно использовать для более
•общего случая п. 13.10. Действительно, в этом пункте увидим, что выра-
жения (12.5.23) и (12.5. 24) пригодны также, с некоторым изменением только
смысла величин рт, в случае, когда учитывается влияние на кривизну пла-
стины сил, действующих в срединной плоскости. Поэтому читатель, желаю-
щий иметь более подробные числовые Данные относительно этой задачи,от-
сылается к п. 13.10. Здесь мы только заметим, что выражения (12.5.24)
являются подходящими для вычислений при всех значениях у' в интервале
— Ы2 < у < Ы2, включая и его концевые точки, но не вблизи концов
интервала 0 <2 х <2 а. Для вычислений вблизи точек х = 0 или х = а
необходимо повторить приведенный вывод, разлагая прогиб (12.5.16)
по синусам не в направлении х, а в направлении у; получающееся выраже-
ние для w можно написать непосредственно из (12.5.23) соответственно х
и у, а также а и b в следующем виде:
w - 4Л1г V 1_________ J1 chP™*' 1 тяУ (12 5 251
w~ Я(1—v)D 2j /пр*? V chp^a/2J S n 6 ’
?72=j, 3, 5
где
x’=x-^. (12.5.26)
Аналогично получим выражение для изгибающих моментов. Отметим, что
решение в целом обладает двойной симметрией (а именно, относительно ли-
нии х = a 12 и относительно линии у — 5/2), и, следовательно, расчеты мож-
но произвести лишь для одной четверти пластины.
г) Свободная пластина произвольной формы в плане с защемленными
краями. Из аналогии, приведенной в п. 12.4(6), ясно, что в данном случае
прогибы равны нулю1), т. е.
да = 0. (12.5.27)
Соответствующие напряжения будут равны
аЕТ NX+[WT/(1—V)]
Охх- - j_v ( -t
„ __ аЕТ , ЛуИМг/О — v)]
1—v '' t
(12.5.28)
12.6. Связь теории тонких пластин с точными решениями задачи теории
термоупругости. Основные уравнения теории термоупругости пластин, не
которых мы до сих пор основывались в настоящей главе, были выведень
в п. 12.2 с помощью обычных предположений теории пластин; наиболее
важным среди этих предположений является гипотеза, что сечения, плоские
до нагружения или нагревания, остаются плоскими и после нагружения
Эта гипотеза математически выражается уравнениями (12.2.1) и, как в слу1
чае балок, ее необходимо, прежде чем применять в практических расчетах
рассмотреть в свете соответствующего точного решения. Такое точное ре
шение можно получить с помощью описанного в п. 10.6 общего метода
*) Отметим аналогию с соответствующей задачей для балки, рассмотренно!
в п. 10.4 [см. (10.4.7а)].
350
Глава 12. Температурные напряжения в пластинах
таким образом, решение получается в виде ряда, первый член которого дает
прогиб срединной поверхности в виде, аналогичном полученному в прибли-
женной теории тонких пластин, а последующие члены зависят последова-
тельно от производных все более и более высокого порядка температуры
по координатам в плоскости пластины1). Следовательно, этот ряд полностью
аналогичен ряду, полученному в п. 10.6, и читатель заметит, что сравнение
точных и приближенных результатов для балок, рассмотренное в пункте
10.7, можно распространить и на случай пластин. В частности, можно за-
ключить, что формулы и решения теории пластин точны при условии, что
изменение температуры в плоскости пластины достаточно гладкое и, кроме
того, что приближенное решение становится более точным по мере умень-
шения толщины пластины.
В частном случае распределений температуры, независящих от коорди-
нат в плоскости пластины, можно провести здесь подробное сравнение
между результатами представленной теории тонких пластин (п. 21.5а}
и точными результатами п. 9.5. Таким образом, увидим, что выражение для
прогиба срединной поверхности, определяемое точным решением, совпадает
с полученным здесь выражением (12.5.9). Выражения для компонент на-
пряжения [формулы (12.5.10) и (9.5.4)] полностью совпадают во всех точ-
ках пластины.
Заметим, что решение п. 9.5 является частным случаем точного иссле-
дования плоского напряженного состояния, изложенного в п. 4.6 и 4.7,
так как теория, рассмотренная в этих пунктах, дает точные решения для
распределений температуры, удовлетворяющих уравнению (4.6.5), а именно,
+ > + (12.6.1)
где F — произвольная функция.
12.7. Колебания пластин, вызванные нагревом2). При исследовании
в п. 10.11 колебаний балок, обусловленных тепловыми нагрузками, было
установлено, что эти колебания значительны только для сравнительно
тонких балок фактически с такими значениями толщин, которые более ти-
пичны для пластин, чем для балок. Для того чтобы определить, в какой мере
в действительности эти результаты применимы к пластинам, ниже приво-
дится аналогичная теория колебаний пластин под действием нагрева.
Рассмотрим свободно опертую прямоугольную пластину, занимающую
область, определенную уравнениями (12.4.1), при равномерном ступенча-
том подводе тепла к одной из ее поверхностей. Тогда температура снова
дается уравнением (10.11.3) [где у заменяется г], и, следовательно, как
и в (10.11.5), МТ равно
*=-4^(4- s -А-
3=1, з, 5
Подставляя в уравнении (12.2.15) вместо р взятое с обратным знаком зна-
чение инерционных нагрузок, получаем следующее дифференциальное урав-
нение относительно прогиба:
D^w + Qh g- = - -JL- vwr, (12.7.2)
Ч Для изотермического случая такое разложение рассматривалось в работе [20].
2) Содержание настоящего пункта заимствовано из работы [16[ гл. 10; см. также
дискуссию [21] по этой работе, где даны некоторые поправки.
12.7. Колебания пластин, вызванные нагревом
35:
(Здесь во избежание путаницы с обозначением времени t толщина обозна-
чена через ft.) Граничные условия заданы уравнениями (12.4.2). Статическое
решение w = wst определяется из (12.5.14); динамическое решение будет1
т . тлх . плу
_ 768Q«a2(l - у) у у sin~T sin~&~
Г । eft
т=1, 3, 5 п=1, 3, 5 тп ( т2 +р-п2
где основной безразмерный параметр задачи равен
В‘=^ШУ‘ <127-4'
и имеет тот же физический смысл, что и параметр В в формуле (10.11.8) для
Р и с. 12.3. Отношение максимального динамического и максимального
статического прогибов для прямоугольных пластин, к одной поверхности
которых подводится ступенчато изменяющийся поток тепла.
Параметр Вх определяется формулой <12.7.4), а величина h представляет собой
толщину квадратной алюминиевой пластины со стороной а — 25 см.
балок [см. изложение, предшествующее (10.11.17)]. На рис. 12.3 приведены
полученные на основе формулы (12.7.3) кривые, где даны значения отно-
шения максимального динамического прогиба к максимальному статичес-
1) Получено методом, изложенным в работе [15], гл. 10. Указанные в этой работе
численные упрощения применимы также и в данном случае.
352
Глава 12. Температурные напряжения в пластинах
кому прогибу в зависимости от параметра Bi для различных значени!
отношения сторон а lb пластины. Кривая для а/6=0 совпадает с аналогич
ной кривой для балок, приведенной на рис. 10.5; легко видеть, чт<
кривые, соответствующие другим значениям отношения, подобны по форм,
и численно не очень отличаются одна от другой. Отсюда можно заклю
чить, что использование более простых формул для балок во всех случая:
дает достаточно точные результаты. То же самое можно сказать и относи
тельно других результатов, полученных в п. 10.11 для балок, при других ус
ловиях нагревания, а также относительно приближенной формулы (10.11.17)
В данном случае эту формулу можно переписать в следующем виде1):
^тах _ [ 1 + 2е~в1 при 1g2 ^ 0,6931,
I 2 при <lg 2 0,6931. ' ’
На рис. 12.3 приведена также другая шкала для абсцисс, которая дл
каждого значения Д дает соответствующую толщину прямоугольной алк
миниевой пластины со стороной а = 25 см. Для более полного рассмотре
ния этой задачи читатель отсылается к п. 10.11.
БИБЛИОГРАФИЯ
1. Тимошенко С. П. (Timoshenko S.), Theory of Plates and Shells, firs
ed., McGraw-Hill, New York, 1940; русский перевод: Тимошенко С. П
Пластинки и оболочки, Гостехиздат, М.—Л., 1948.
2. Маргерр (Marguerre К-), Thermoelastic Plate Equations, Z. Ащ
Math, und Meeh , 15 (1935), 369.
3. Маргерр (Marguerre K-), Temperature distribution and thermal stresse
in bodies of plate shell shape, Jng.-Arch.iv, 8 (1937), 216.
4. Сокольников И. С, Сокольников Е. С. (Sokolnikoff I.S
S о к о 1 п 1 к о f f Е. S.), Thermal stresses in elastic plates, Trans. Am. Matt
Soc., 45 (1939), 235—255.
5. П e л л (Pell W. H.), Thermal deflections of anisotropic thin plates, Quan
Appl. Math., 4, 1 (April 1946), 27—44.
6. Молбеч (Maulbetsch J. L.), Thermal stresses produced in a plate wit
simply supported edges by thermally produced bending moments uniformly distri
buted along the boundary, J. App. Meeh., 2 (1935), 141.
7. Маркус (Marcus H.), Die Theorie elastischer Gewebe, Berlin, 1923.
8. Цянь (Tsien H. S.), Similarity laws for stressing heated wings, J. of the Aero
Sci., 20, 1 (January 1953), 1 —11.
9. Ц и ц и к a c (Z i z i c a s G. A.), Transient thermal stresses in thin isotropi
elasti- plates, U. C. L. A. Engin. Rep. 52.7, April 1952.
10. Пшеменецкий (Przemieniecki J. S.), Transient temperatures an
stresses in plates attained at high-speed flight, J. of the Aero. Sci., 22, 5 (May 1955;
345—348.
11. Ч e н ь (Cheng С. M.), Resistance to thermal shock, J. Am. Rocket Soc., 21
6 (November 1951), 147—153.
12. Ш н e й д e p (Schneider P. J.), Variation at maximum thermal stress i
free plates, J. of the Aero. Sci-, 22 (1955), 892.
Ц Здесь а. обозначает короткую сторону пластины. Заметим, что формул
(12.7.3) дает заниженные значения для прогибов, так как прогибы, соответствующи
значению а/6 = 0, больше, чем при всех других значениях отношения сторон (рис. 12.3
Библиография
353
ICnpar, Хуан (Sprague G. H., Huang P. C.), Analytical and experi-
mental investigation of stress distributions in long flat plates subjected to longitudinal
loads and transverse temperature gradients, W. A. D. C. Tech. Rep. 55—350, Decem-
ber 1955.
1, Я магу ти (Yamaguti N.), On the thermal flexure of a thin plate heated
uniformly on one surface, J. Fac. Eng., Tokyo Imperial University, 18, 1, (1928).
i. Алек (Aleck B. J.), Thermal stresses in a rectangular plate clamped along an
edge, Trans. A. S. M. E., 71 (1949), A—118.
j. A p и e н т и (Arienti R.), Thermoelastic stresses in a freely extensible flat
plate covered by a battery of heating tubes, Termotecriica, 4, 10 (October 1950),
484—493.
i. H а д а и (Nadai A) Elastische Platten, Springer, Berlin, 1925, pp. 264—268.
?. Уэйнер,Меканик(\Уе1пег J. H., Mechanic H.), Thermal Stresses
in Free Plates under Heat Pulse Inputs, W. A. D. C., Tech. Rep. 54—428, 1957.
1. Черчилл (Churchill R. V.). Fourier series and boundary value pro-
blems, McGraw-Hill, New York, 1941.
1. Ли, Доннелл (L ее C. W-, Donnell L. H.), A study of thick plates under
tangential loads applied on the faces, Proc. HI. U. S. Nat. Appl. Meeh. Congress,
1958.
1. Л и, Доннелл (Lee C. W., Donnell L. H.), J. of Appl. Meeh., 25, 2
(June 1958), 309—310.
23 Боли и Уэйнер
ГЛАВА |3
Термоупругая устойчивость
и связанные с ней задачи
13.1. Введение. Рассматривавшиеся во всех предыдущих главах задачи
термоупругости опирались на формулировки линейной теории и поэтому не
охватывали вопросов устойчивости, когда необходимо учитывать зависимость
нагрузки от деформаций (как в случае сжатых стержней), влияние большие
прогибов и другие аналогичные эффекты. При малых прогибах (и нагруз-
ках) подобными эффектами можно пренебрегать, однако имеется многс
практических задач, при решении которых их учет приобретает прин-
ципиальное значение. Целью данной главы является обсуждение некоторые
основных задач указанного типа, причем несколько первых пунктов отно-
сятся к поведению стержней, а последующие — к пластинам. Как и в пре-
дыдущей главе, дальнейшие выводы тесно связаны с опубликованными ра-
ботами1), относящимися к соответствующим изотермическим задачам.
Полученные в настоящей главе решения основываются на формулиров-
ках того типа, которые обсуждались в гл. 10 и 12 соответственно для стерж-
ней и пластин. Напомним, что с точки зрения точной теории термоупругости
указанные формулировки являются приближенными. Характер введенных
приближений был рассмотрен выше, в указанных главах, причем прове-
денный анализ сохраняет свою силу и в данном случае.
13.2. Нагрев стержней-колонн, концы которых свободны в осевом на-
правлении. Когда стержень-колонна нагревается, то в общем случае сле-
дует, разумеется, учитывать влияние температуры. Расчет стержней, у ко-
торых перемещение концов в осевом направлении ограничено, несколько
отличается от расчета стержней со свободными в осевом направлении кон-
цами. В последнем случае, который рассматривается в настоящем пункте
и в п. 13.4, продольная сила Р считается известной величиной; в задачах
первого типа (см. п. 13.3) ее приходится определять из соответствующих
условий на концах.
Устойчивость стержней, или их поведение в условиях продольно-
поперечного изгиба, зависит от формы поперечного сечения; так, например,
') Наиболее частые ссылки будут делаться на книги Тимошенко С П. [1] и Блей-
ха Ф. [2]. Следует отметить, что энергетические методы, которые из-за своей практи-
ческой важности так широко освещаются в указанных книгах, в настоящей главе
не используются; однако, опираясь на введенные здесь представления, нетрудно рас-
пространить энергетические методы и на термические задачи Общий анализ вариа-
ционных принципов в задачах устойчивости дан Прагером [3] Прекрасное обсуждение
различных задач термоупругой устойчивости можно найти в статье Ван-дер-Нейта [4].
13.2. Нагрев стержней-колонн, концы которых свободны в осевом направлении 355
стержень с поперечным сечением, не имеющим осей симметрии, может поте-
рять устойчивость, только одновременно скручиваясь и изгибаясь, в то вре-
мя как в других случаях возможны также некоторые несвязанные формы
потери устойчивости. Как и в задачах об изотермической устойчивости
стержней, указанные вопросы возникают и тогда, когда на тело воздей-
ствует поле температур. В п. 13.4 обсуждаются общая формулировка и ре-
шение задачи, причем для простоты анализ ограничивается важным част-
ным случаем стержня бисимметрично го сечения с минимальным главным
моментом инерции I г]); при этом в плоскости ху действует распределенная
нагрузка р = р(х), а распределение температуры, таково, что МТу= 0.
Тогда стержень, не закручиваясь, изгибается в плоскости ху, а перемеще-
ние w = 0.
Когда продольная сила Р отсутствует, кривизна такого стержня, как
это следует из формулы (10.3.8), равна [— (Alz+ MTz) /(EIZ) 1. Здесь через
Mz обозначен изгибающий момент, который возник бы в текущем сечении
стержня, если бы сила Р была снята2). Если же теперь приложить силу Р,
которая считается положительной при сжатии, то стержень в конечном со-
стоянии получит прогиб V, а кривизна /< изменится на величину
= (13.2.1)
UX' \ е. ‘ z у
связанную с действием дополнительного момента Pv. Исходя из обычного
допущения о пропорциональности между кривизной и изгибающим момен-
том, получим, что
6К= (13.2.2)
или
+ -(Mz + MTz), (13.2.3;
или
ЕЕ (13.2.3а'
dx2 \ z dx2 J dx2 dx- v
В качестве основного уравнения для расчета нагретого стержня-колоннь
можно взять любое из последних двух уравнений. Их надо решить при сле-
дующих граничных условиях [см. (10.4.3)];
защемленный конец: и = 0, =0; (13.2.4;
d^v
свободно опертый конец: у = 0, — — /Итг; (13.2.5'
, „ ,, с, d2v .. d f d-v . n dv dMTz
свободный конец2): EIz-^ = -MTz- (EIZ^)+P T .
(13.2.6;
x) Обозначения, правило знаков и координатные оси принимаются здесь таким»
же, как и в гл. 10.
2) При расчете Mz, конечно, должны быть удовлетворены уравнения равновеси»
стержня в целом как твердого тела, но все статически неопределимые реакции остаютс»
неизвестными, и их определяют из условий на концах, которые можно записать в вид|
(13 2 5) или (13.2 6) через производные того же или более высокого порядка, чс'.
дифференциальное уравнение (13.2 3).
3) Под свободным концом здесь понимается свободно перемещающийся конец
на котором изгибающий момент равен нулю, но приложенная на юнце сила Р еш(
действует; поэтому имеется и поперечная сила, равная Р (dv/dx), действующая в на
правлении, перпендикулярном к деформированной средней линии стержня.
356
Глава 13. Термоупругая устойчивость и связанные с ней задачи
В указанных уравнениях члены, явным образом содержащие темпера
туру (т. е. MTz), входят только в правые части и поэтому оказывают та
кое же влияние, как и добавочная нагрузка. Решения этой задачи, следо
вательно, можно получить теми же методами, что и для стержней с постоян
ной температурой. Однако следует отметить, что только в случае защемлен
ных концов граничные условия для термической и изотермической зада1
совпадают1); в других случаях необходимо учитывать влияние дополни
тельного концевого момента или поперечной силы.
Иногда, чтобы разделить влияние температуры и поперечных нагрузок
решение сформулированной выше задачи удобно представить в виде дву?
частей. С этой целью определим компоненты прогибов vT и vp следующие,
образом. Величина vp— это прогиб, который имел бы стержень, если бы от
был подвержен действию только температуры и продольной силы Р, а по-
перечные нагрузки отсутствовали. Поэтому vp удовлетворяет дифферен-
циальному уравнению
(13.2.7'
dx2 у ах2 у dx2 dx2 '
и граничным условиям (13.2.4)—(13.2.6). Величина vp—это прогиб, кото-
рый имел бы стержень, если бы на него действовали только поперечные на-
грузки и продольная сила Р, а влияние температуры не учитывалось. По-
этому vp удовлетворяет дифференциальному уравнению
^(ЕЦ^-^+Р ^- = р (13.2.8'
dx2 ' z dx2 У 1 dx2 ' '
и следующим граничным условиям:
защемленный конец: и = 0, 4^’- = 0;
свободно опертый конец: ир = 0, —
свободный конец:
e/z4t^=°> - °-
z dx2 dx \ dx2 у dx
(13.2.9;
Легко убедиться, что при введенных определениях решение полной
задачи, когда действуют все нагрузки, можно представить в виде
V — vr Vp.
(13.2.10)
Основное преимущество указанного способа заключается в том, что соста-
вляющая прогиба vp представляет собой решение обычной изотермической
задачи о продольно-поперечном изгибе стержня, которое в ряде случаев
можно непосредственно найти в литературе2). Что касается vr, то ее в общем
приходится определять для каждой конкретной задачи заново. Так, это
определение особенно просто в частном случае стержня постоянного сечения,
когда распределение температуры по длине представляется многочленом
степени не выше третьей, т. е. когда
MTz = a0-]-арс~ра2х2 Г-а3х3. (13.2.11)
В этом случае для стержня постоянного сечения уравнение (13.2.7) можно
записать в виде
dW d2V
+ = (13.2.12)
dx+ 1 dx2 v '
*) Дальнейшее обсуждение аналогии между термической и изотермической зада-
чами см. в и. 12.4 (в), где рассматривается подобного рода задача об изгибе пластин.
2) См., например, т. II работы [3] к гл. 11.
13.2. Нагрев стержней-колонн, концы которых свободны в осевом направлении 357
где
(13.2.12а)
и введено обозначение
(13.2.126)
В этом случае непосредственно находим
vT= —^^4- с0 -рщх -j-c2 sin kxAr c3 cos kx (13.2.13)
и затем, определяя из граничных условий (13.2.4) — (13.2.6) постоянные
сг, получаем окончательное решение.
Вычислим в явном виде значения прогиба vT по формуле (13.2 13)
для трех важных частных примеров, причем ограничимся случаем а2=а3=0,
так что
MTz = аа 4-HiX. (13.2.14)
Пусть стержень имеет постоянное сечение, а его длина ограничена коор-
динатами х = 0 и х = L.
а) Оба конца защемлены. В этом случае продольная сила не влияет
на прогиб иТ и поэтому (при нагрузке меньше критической) решение
имеет вид
иг = 0 при Р < Ркр. = , (13.2.15)
что совпадает с результатом п. 10.4. Однако, если бы постоянные а2 и а3
не равнялись нулю, то прогиб также отличался бы от нуля; он зависел бы
от усилия Р и бесконечно возрос бы при критическом значении усилия,
соответствующем условию kL = 2л, т. е. при значении
Ркр.=^|^, (13.2.15а)
что равно критическому усилию для стержня с двумя защемленными кон-
цами.
б) Оба конца свободно оперты. В этом случае решение имеет вид
уг= — C°SY, 1 sinfex+1 —cosfex^) —("'х—(13.2.16)
1 Р \ sinkL J Р V sin&L/’ v ’
и vT стремится к бесконечности при kL = л, когда величина усилия Р
становится равной критическому значению для стержня данного типа,
т. е. когда
(13.2.16а)
в) Консоль-, конец х = 0 заделан, конец х = L свободен. При указанных
условиях на концах прогиб от равен
(13.2.17)
Прогиб становится бесконечным при kL = л/2, когда усилие Р принимает
значение
(13.2.17а)
358
Глава 13. Термоупругая устойчивость и связанные с ней задачи
что соответствует критическому усилию для консольного стержня.
Напряжения в стержне-колонне можно рассчитать по формулам п. 10.4,
Так, например, продольное напряжение ахх равно
Охх = —аЕТ -]—-д— г (А1( г Mz -Г Pv) (13.2.18
или в более простой форме
ожж= ~ы.ЕТ- ^~Р --Е ^ у. (13.2.18а;
В приведенном расчете предполагалось, что к стержню приложенс
продольное сжимающее усилие. Если усилие будет растягивающим, то соот
ветствующие результаты можно получить, заменив в формулах, относя-
щихся к сжимающему усилию, величину Р на — Р; соответственно этом}
величина k должна быть заменена на ik, k2 на — k\ sin kx на i sh kx.
cos kx на ch kx, tg kx на i th kx и т. д. Здесь t = ]/— 1 и
kz=V^- (13.2.19:
13.3. Стержни-колонны с закрепленными в осевом направлении конца-
ми, находящиеся под действием нагрева. Уравнение (13.2.3) с условиями не
концах (13.2.4) — (13.2.6) остается и в этом случае основным уравнением
задачи, но величина силы Р теперь неизвестна и должна быть определен^
из дополнительного условия, относящегося к осевому перемещению концое
стержня. Если оба конца жестко закреплены в осевом направлении, то этс
условие должно устанавливать, что расстояние вдоль оси между концамг
стержня остается неизменным. Математически это условие выражается
требованием, чтобы
^щА-«ср (L) = 0, (13.3.Г
где [1]
дЧШтр* <13-3-2
о
представляет собой величину, на которую должны были бы сблизиться
концевые точки стержня вследствие прогиба. Осевое перемещение ыср
одного конца стержня по отношению к другому, вызванное непосредственна
изменением температуры, определяется согласно (10.3.2) или, при постоян-
ной по длине температуре, по формуле (10.3.2а). Для простоты в дальней
шем будем рассматривать только последний случай, так что равенстве
(13.3.1) примет вид
(Р-Рг)^ + А = °. (13.3.3
Аналогичное условие легко вывести и для случая, когда концы стержня
в осевом направлении упруго закреплены. Если, например, концы при
соединены к линейным пружинам1) с жесткостью К, то условие (13.3.1
принимает вид
^ + А-пср (L) + ^ = 0, (13.3.4:
г) Перемещения которых пропорциональны сжимающей силе. — Прим ред
13.3. Стержни-колонны, находящиеся под действием нагрева
359
а равенство (13.3.3) становится следующим
[pO4D--₽dTr+A=0' с3-3-5’
Входящий в величину Д поперечный прогиб v нужно определить из урав-
нений предыдущего пункта. Вследствие этого расчет стержня-колонны
с закрепленными в осевом направлении концами при произвольном рас-
пределении температуры и нагрузки становится весьма громоздким, так
как неизвестные Р и v приходится определять путем совместного решения
уравнения (13.2.3) и одного из уравнений (13.3.3) или (13.3.5). Однако
во многих случаях температуру можно выразить (по крайней мере при-
ближенно) в виде полинома по х, т. е. как
(13.3.6)
i=0
Тогда вычисления существенно облегчаются, если использовать серию
диаграмм в сочетании с быстро сходящимся итерационным методом. Подоб-
ные диаграммы, которые здесь не приводятся, были рассчитаны1) для
лолиномов степени не выше пятой.
Если температура такова, что Mrz — 0, и поперечная нагрузка р равна
нулю, то приходим к особому случаю из числа задач рассматриваемого
типа, когда легко получается решение и в то же время сохраняются неко-
торые характерные черты. В этом случае решение уравнения (13.2.3) для
свободно опертого стержня постоянного сечения имеет простой вид
o = Csin#x. (13.3.7)
Для того чтобы удовлетворить условию
о = 0 при x — L, (13.3.8)
положим
С = О, если kL^nn,, п = 1, 2, 3, ... ; о о ч
(1 о.о.ой)
С 0, если/гЬ = пл.
Чтобы найти во втором из этих случаев постоянную С, следует воспользо-
ваться одним из выведенных выше уравнений, отражающих условие закреп-
ленности концов стержня. Так как все указанные уравнения имеют оди-
наковый общий вид, достаточно рассмотреть детально одно из них, напри-
мер (13.3.3). Выполняя необходимые вычисления и ограничиваясь только
случаем п =~ 1 (что соответствует первой форме потери устойчивости),
получим окончательно следующее решение [с учетом (13.3.8а)]:
о = 0 для Р-г^Ркр., (13 3 9)
J, — 1/ -Ру—-Ркр Лх р р
V~ л V АЁ----------Sln~z ДЛЯ *Т>ГКР',
где осевое усилие, действующее
Р = Р2
Р ~ Рцр.
Критическое значение РТ, при котором стержень начинает изгибаться,
совпадает с эйлеровой силой
Ркр=^- (13.3.10а)
на стержень, равно
для Рт < Ркр ,
ДЛЯ Рт^> РКп .
(13.3.10)
0 Указанные диаграммы приводятся в работе [5].
49
360
Г лава 13 Термоупругая устойчивость и связанные с ней задачи
Изгибающий момент М в произвольном поперечном сечении стержня равен
М = 0 для < Ркр ;
.. 4,nElz [ Р?—P,!V лх г > - . 1 (13.3.11)
7И = -2-z |/—sin-2 для Pr>PRp J
Полученные результаты показывают, что при значениях РТ ниже
критического стержень не изгибается, но при более высокой температуре
прогибы становятся все больше и больше, хотя продольная сила остается
постоянной. Указанные результаты имеют силу только до тех пор, пока
прогиб остается достаточно малым, чтобы можно было пользоваться приня-
той здесь теорией малых прогибов, т. е. когда допустимо прибегать к обыч-
ному в теории стержней приближенному выражению для кривизны в виде
d.2v
______dx%____ /'14 4 1 о
Г , < dv \2 ] 3/2 ~
U+Gt) j
или, иными словами, когда квадрат угла наклона мал по сравнению с еди-
ницей. Применительно к уравнению (13.3.9) это условие приводится к тре-
бованию, чтобы
4(PT/kpJ« 1 для Рт>Ркр.. (13.3.13:
Рассмотрим в качестве примера частный случай постоянной температуры,
так что Рт = АЕаТ; при этом приведенное выше неравенство определение
удовлетворится, если
(13.3.14:
Для алюминия это приближенно дает Т < 11 000° С.
13.4. Нагретые стержни под действием продольных нагрузок; общая
теория. До сих пор при обсуждении поведения стержней-колонн предпола-
галось, что стержни не закручиваются. Это справедливо для ограниченногс
класса поперечных сечений. Обратимся теперь к общему случаю стержня
произвольного поперечного сечения со свободными в осевом направлении
концами, находящегося под одновременным воздействием нагрева и внеш-
них нагрузок1).
Рассмотрим стержень постоянного поперечного сечения произвольного
вида, как показано на рис. 13.1, где у, z— центральные главные оси.
Прогиб стержня в направлении оси у равен и (х), в направлении оси
z — w (х), а угол закручивания относительно центра кручения — ср (х).
Выясним поведение каждой из указанных компонент деформации при
произвольных условиях нагружения.
и) Вывод последующих уравнений обычно опирается на энергетические принци-
пы, см., например, гл. III работы [2] или гл. 19 работы [5] к гл. 11. Впервые данная
задача в общей постановке рассматривалась Вагнером в 1929 г., работа которого [6]
была переведена на английский язык в 1936 г. С точки зрения нелинейной трехмерной
теории упругости задача изучалась в работах Био [7] и Гудьера [8]; в частности, было
рассмотрено общее влияние продольных нагрузок на крутильную жесткость (см. сле-
дующий пункт). В приводимых ниже выводах используются различные допущения,
принятые в теории сопротивления материалов. (Отметим, что принципиальный резуль-
тат был получен в 1905 — 1906 гг. в докторской диссертации Тимошенко, посвященной
устойчивости плоской формы изгиба двутавровой балки.— Прим, ред )
13.4. Нагретые стержни под действием продольных нагрузок 36
На рис. 13.1 показано взаимное расположение двух поперечных сечений
стержня, находящихся на расстоянии dx друг от друга, после относитель-
ного перемещения dv. Рассмотрим элемент площади dA, окружающий
Рис. 13.1. Взаимодействие продольных нагрузок с изгибными
деформациями.
С. Г —центр кручения.
точки А и В, на который действуют указанные на рис. 13.1,а силы. Осевое
напряжение <jxx в стержне определяется выражением
Охх — — аЕ! -j—-------1- ~~ (AfTz 4- Pv) -f- — (М-ру 4- Pw). (13.4.1)
1 Z
Тогда величина поперечной силы dFу в направлении у, рассчитанная из усло-
вия, чтобы обеспечивалось равновесие моментов, действующих на элемент
АВ, равна
(13.4.2)
Подставив приведенное выше выражение для в последнее соотношение,
найдем, что результирующие силы Fy и Fz соответственно в направлениях
у и z и результирующий момент М относительно центра кручения равны
р___________________________С _)i:’п уд — p^F.
?у~ У dx dx >
А
Fz=0, ПЗ.4.3)
Л4= J -gaXx(z-zo)^ = Pzog,
-362 Глава 13 Термоупругая устойчивость и связанные с ней задачи
где учтено, что
j у dA = zdA = yzdA = 0 (13.4.4)
А А А
и в соответствии с принятой линейной теорией малых перемещений опущены
члены, содержащие произведения прогибов.
Аналогичным образом силы и момент, связанные с перемещением
в направлении z, равны
^ = 0,
(13.4.5)
Последний случай, соответствующий повороту поперечного сечения,
показан на рис. 13.2, где приведены два сечения стержня, находящиеся
Рис. 13.2. Взаимодействие продольных нагрузок с деформациями кручения.
О — центр тяжести; С. Т. — центр кручения.
на расстоянии dx друг от друга, после относительного углового перемеще-
ния dtp. Действующие на элемент АВ поперечные касательные силы dFt
равны (рис. 13.2, а):
dFt= ~^<yxxdA, (13.4.6)
где г — расстояние от центра кручения до текущей точки поперечного сече-
ния. Результирующие силы и момент будут
Ру = -^araC0SacW = 4r J z0)dA~ Pz0~ ,
4 A
Jaxx(z/0—z/) dA= ~РУй~^ ,
A A
Al-= - o dA —( ? gt r2
J dx \ A \ xx J dx '
A a
(13.4.7}
где
Zp = J r*dA (13.4.8)
13.4. Нагретые стержни под действием продольных нагрузок
363
полярный момент инерции относительно центра кручения и где
z — Zg — rcosa, у — у0 = rsina. (13.4.9)
Через су^х обозначена часть напряжения охх, зависящая только от темпе-
ратуры, т. е.
+ + (13.4.10)
Подставляя суммарные поперечные силы и
S/И в уравнения равновесия
__2? j <№у _ vi р , dMjz
z dx3 ~ xLl и ‘ dx ’
г: Т d-’W & ( dMq*g
dx3~ Zj г 2Л- >
-ЕГ ^| + GC-^= У М,
dx3 ’ dx J-й
HF z и суммарный момент
(13.4.11)
можно получить дифференциальные уравнения, описывающие поведение
рассматриваемого стержня. Первые два уравнения (13.4.11) непосредственно
вытекают из последних двух выражений (10.4.3); последнее уравнение
(13.4.11) представляет собой основное уравнение кручения при переменном
угле закручивания1).
Через Г обозначен бимомент (характеристика депланации) сечения,
G — модуль сдвига, С — момент сопротивления поперечного сечения при
кручении. Подставляя выражения (13.4.3), (13.4.5) и (13.4.7) в уравнения
(13.4.11) и дифференцируя, получаем окончательно
, d4v , п d2v , n d2q> d2Mrz
EIzd^ + P-d^^Pz^=---------d^’
EI + (13.4.12)
y dx^ 1 dx2 dx2- dx2 ' z
ЕГ 4- (^-\ 2 dA~Gc}^-pPz0~-Pyg^r = Q.
dxi \ A J xx J dx2 1 u dx2 dx2
A
Для решения полученной системы трех дифференциальных уравнений
четвертого порядка требуется иметь двенадцать граничных условий, по
шести на каждом из концов стержня. Из этих шести условий два, относя-
щихся к v, определяются соответствующими условиями (13.2.4) — (13.2.6):
два условия для w получаются из тех же уравнений при замене v на w, 12
на Iу и MTz — на МТу. Остальные два условия, относящиеся к ср или ее
производным, обычно выбираются из следующих групп.
Заделанный конец (как поворот, так и депланация отсутствуют):
ср = О, 4^ = 0- (13.4.13;
Свободно опертый конец (поворот отсутствует, но на депланацик
не накладывается ограничений):
Ф = 0, ^=0- (13.4.14'
1 dx2 '
х) Впервые указанное уравнение было получено в 1910 г. Тимошенко С. П
применительно к стержню 1-образного сечения [9]. Изложение общей теории можш
найти, например, в приложении к статье [10]; там же и в [2] имеются ссылки на боле<
ранние работы Вагнера, Каппуса, Маргерре, Гудьера и др. Сводку формул и методику
расчета константы Г для поперечных сечений различного вида можно найти, например
в работе [11], а также [2]. (Наиболее полное развитие эта теория получила в работ'
В. 3. Власова «Тонкостенные упругие стержни», Стройиздат, М., 1940.— Прим. ред.
364
Глава 13, Термоупругая устойчивость и связанные с ней задачи
Свободный конец (возможны и поворот и депланация)
4^- =0, ЕГ - GC=- 0.
dx* 2 ах2 ах
(13.4.15
Простейшее решение получается для сжатого стержня при MTz =
= МТУ = 0 с обоими свободно опертыми в направлениях v, w и <р концами
этот случай полностью аналогичен изотермическому. Чтобы удовлетворит!
всем граничным условиям, представим перемещения в виде
. лх
v — A sin ,
w = Bsin^, (13.4.16;
<р ~ С sin -
Подставляя (13.4.16) в уравнения (13.4.12), получаем следующук
однородную систему алгебраических уравнений:
4(Pz-P)-CPzo-O,
B(Pv — P)A~CPi/o = O, (13.4.17;
~APzo-^BPyo + C(Pv~P)^')^O,
где
Приравнивая нулю определитель, составленный из коэффициентов ука-
занной системы, получаем для определения критической силы Ркр сле-
дующее кубическое уравнение:
( Pz т Л ( Ру t Л ( Р<е (Л С Р? I ( Ру > У ?оА_________________л
(13.4.19;
причем можно показать, что все его корни всегда действительны и поло
жительны1). Затем с помощью уравнений (13.4.17) можно выразить две
из амплитуд А, В и С через третью; так, например, выражая А и В через С
получаем
/1-С7-„г"----В=~С^АР--------------- (13.4.20
Если условия на каждом из концов имеют одинаковый вид для все?
трех перемещений v, w и ср, то из приведенного выше решения можно эле-
ментарным путем получить решения для других граничных условий2)
При этом решение имеет ту же форму, что и в рассмотренном выше случае,
но действительную длину стержня L нужно заменить во всех формула?
на эффективную длинуЛе, как и в обычной теории сжатых стержней Эйлера.
Э Доказывается это тем же путем, как и для изотермического случая [12]. Еслг
уй или г0 равно нулю, то приходим к формулам (13.5 2), с помощью которых легко про
верить, что, по крайней мере для этого частного случая, корни на самом деле действи-
тельны и положительны.
2) См. работу [2], стр. 133.
13.5. Обсуждение результатов п. 13.4
365
причем:
Le— L/2, если оба конца заделаны1);
Le ъ UV2, если один конец заделан, а другой —свободно оперт2), (13.4.21)
L,.=^L, если оба конца свободно оперты,
L&~2L, если один конец заделан, а другой свободен.
При других комбинациях граничных условий не получается таких простых
соотношений, и решение приходится детально выводить из основных урав-
нений.
Как отмечалось, приведенный выше пример аналогичен изотермиче-
скому случаю, так как температурные моменты Л4Г2 и МТу были исклю-
чены как из дифференциальных уравнений, так и из граничных условий.
Вследствие этого получился типичный для задачи продольной устойчивости
результат, когда при всех нагрузках, меньших критической, стержень
остается недеформированным, а затем внезапно прогибается на неопреде-
ленную величину. Если бы температурные моменты отличались от нуля,
они играли бы роль нагрузочных членов и поведение стержня стало бы
типичным для условий продольно-поперечного изгиба, когда с увеличением
продольной силы (при заданном уровне температуры) прогиб постепеннс
возрастает и становится бесконечным при критической нагрузке (ср. с при-
мером стержня-колонны в п. 13.2).
13.5. Обсуждение результатов п. 13.4. Ниже приведены некоторые
замечания и выводы по теории предыдущего пункта.
1) При расчете критических нагрузок (когда, как в примере, приве-
денном в конце предыдущего пункта, отсутствуют члены с моментами Мт2
и Л4т,7) основные уравнения принимают такую же форму, как соответствую-
щие уравнения для изотермического случая. Единственная разница заклю-
чается в формуле для определения Pv, где в случае постоянной температурь
член, содержащий иу,, должен быть, конечно, принят равным нулю. Прь
соответствующем определении все выводы изотермической теории остают-
ся в силе без каких-либо видоизменений3); некоторые из них с целью даль-
нейших ссылок приведены в следующем подпункте.
2) Из уравнения (13.4.19) видно, что сжатый стержень произвольногс
асимметричного поперечного сечения не может потерять устойчивость
отдельно только путем изгиба или закручивания; все три формы потери
устойчивости соответствуют комбинациям изгиба относительно обеих осей
и закручивания. Однако если поперечное сечение имеет ось симметрии,
то и центр тяжести, и центр кручения должны быть на этой оси; так, напри-
мер, если сечение симметрично относительно оси у, то z0 - 0 и член
[(/’2/У3кр ) — II становится сомножителем в левой части уравнения (13.4.19).
Таким образом, стержень с сечением указанного типа может потерять
устойчивость или путем изгиба относительно оси z при нагрузке
Ркр=Р2, (13.5.1)
или путем комбинации изгиба относительно оси у и закручивания при любой
из двух нагрузок, определяемых формулой
+ (13.5.2а:
г кр. z rq> ’ Х-ГIJ НфУ (рНуГф J
Т В п. 13 2 был использован равнозначный для задачи Эйлера термин — «защем-
ленный конец». — Прим. ред.
2) Для данного случая точное значение Le — aL, где а — наименьший положи
тельный корень уравнения (л/а) = tg (л/а); приближенно а = 0,6992.
3) См работы [6]—[8].
366
Глава 13 Термоупругая устойчивость и связанные с ней задачи
или
(13.5.26;
* кр
2\\-{у*А11р]
Если сечение имеет две оси симметрии (или «точечно-симметрично», как.,
например, Z-образное сечение с одинаковыми полками), то у0 = z0 = (
и тогда возможны независимые формы потери устойчивости путем изгиба
и закручивания. В этом случае критические нагрузки соответственно дл5
изгиба относительно оси г,
равны
изгиба относительно оси у и закручивани*
Ркр=Рй, Ркр-Рф. (13.5.3;
13.2 и 13.3, в которых предполагалось, чтс
Лф =Рг,
Таким образом, решение п
изгиб происходит только относительно оси 2, справедливо исключительнс
для подобного частного типа поперечных сечений. Конечно, из трех крити-
ческих нагрузок, вычисленных применительно к каждому случаю, практи-
ческое значение имеет только наименьшая.
3) Критические нагрузки, учитывающие закручивание, зависят от вели-
чины Pv и, в общем, уменьшаются с уменьшением Pv. Поэтому интереснс
проследить, как влияют на этот параметр температурные напряжения.
С этой целью удобно представить формулу для Рф в виде
где СОфф —эффективный момент геометрической жесткости, равный
Сэфф. = С + 1 J ^xxr2dA. (13.5.5)
(13.5.4)
sxxr2dA.
Теперь необходимо установить, приводит ли наличие температурных напря-
жений к увеличению или уменьшению эффективной жесткости на кручение.
Очевидно, что если иметь в виду и охлаждение и нагрев, то возможны оба
случая. Однако если рассматривать только тело, нагреваемое с поверхности
и не имеющее внутренних источников тепла, то жесткость на кручение
уменьшается. В этом случае следует ожидать, что повышение температуры
всюду будет положительным, причем вблизи краев (где радиус г максима-
лен) более интенсивным, чем во внутренних частях. Поэтому в интеграле
выражения (13 5.5), который в частном случае Mi у = Mtz = 0 и имеет вид
jj oLr2<M= —аЕ { J Tr2dA — ~ TdA J r2 dA^ , (13.5.6)
A 4 A A
наибольшие значения г и Т достигаются в одних и тех же областях; вели-
чина, стоящая в последнем выражении в скобках, положительна, а интеграл
^Oxx^dA— отрицателен. Отметим, что, кроме только что рассматри-
А
вавшегося случая MIy - М1г = 0, выражение (13.5.6) имеет силу также
в следующих двух случаях:
а) Поперечное сечение и распределение температуры симметричны
относительно одной и той же оси; при этом из условия симметрии относи-
тельно оси z
13 5 Обсуждение результатов п 13 4
367
а при симметрии относительно оси у
Jzr2d4 = 0 и Л41у = 0. (13.5.76)
А
б) Поперечное сечение имеет две оси симметрии, а распределение тем-
пературы произвольно; при этом
yr2 dA - zr2dA — 0. (13.5.8)
А А
В качестве числового примера рассмотрим стержень с узким прямо-
угольным сечением, который нагревается в соответствии с условиями
п. 9 8 Из распределения температуры (9.8.1) найдем, что
(13.5.9)
В данном случае справедливы выражения (13.5 7), так чго
( о'Л г2(1А= — аЕ Н Tz2 dz - h" ] =
J I J k 3 J
A -h
S (^’“)]. 03 5'0)
я=2, 4 6
Наибольшее числовое значение суммы достигается при 1^ 0 и определяется
тождеством
G) 2 GO-®- (,3-5-1Оа>
п=2, 4, 6
Следовательно,
^(Jxxr2dA<0 (13.5.11]
А
и окончательно при всех значениях t ф 0
Сэфф.<С. (13.5.12]
При = 0 температурные напряжения, конечно, не влияют не
жесткость при кручении, что соответствует случаю, когда температуре
выражается полиномом первой степени от координат г, у (см. п. 10.4)
В ряде работ было показано, что снижение жесткости на кручение
вызванное температурными напряжениями, является важным фактором
в частности в случае тонких крыльев в сверхзвуковом потоке. Для крылья
со сплошным клиновидным поперечным сечением в работе [131 приводятс5
детальные числовые оценки указанного снижения жесткости при различнол
протекании ускорения. Крутильная жесткость консольной пластины изу
чалась в работе [14], а экспериментальное исследование влияния нагревг
на крутильные частоты нагретых крыльев различной конфигурации — в [15]
Формула для оценки снижения крутильной жесткости была независимс
получена также Хоффом [16]. Ряд авторов указали на важное влиянш
этого снижения на условия возникновения флаттера высокоскоростные
крыльев [17] — [19]; это было подробно исследовано в работе [20]. См. так
же упомянутую выше статью Ван-дер-Нейта [4].
4) Снижение эффективной жесткости при кручении следует принимав
во внимание также и в том случае, когда стесненное кручение не рассма
368
Глава 13 Термоупругая устойчивость и связанные с ней заОачи
тривается, т. е. когда при расчете закручивания от крутящего момента М
используется уравнение
(m. я
вместо
М = ОСэфф g-Brg. (13.5.14)
Отсюда можно сделать вывод, что стержень способен потерять устойчивость,
даже если его поведение описывается первым из этих уравнений и осевые
Слой 1
Слой 2
Т
f
1/2
а
Рис. 13 3. Биметаллическая полоса.
нагрузки отсутствуют; это действительно случится, если только темпера-
турные напряжения будут настолько велики, что Сэфф обратится в нуль
или, иными словами, если
[ -\ =GC. (13.5.15
А КР
При использовании уравнения (13.5.14) в случае стержня со свободнс
опертыми концами угол закручивания снова можно принять в соответствие
с третьим выражением (13.4.16) и тогда критерием критического уровнг
температурных напряжений, при котором стержень уже не оказывае,
сопротивления приложенному крутящему моменту, становится выражение
Г- [<у'хгЧА] (13.5.16
L ,) J кр la
А
Согласно более точному критерию (13.5.16), потеря устойчивости визы
вается более высоким уровнем температурных напряжений, так как сте
сненное кручение создает дополнительную жесткость; таким образом, npi
использовании уравнения (13.5.15) оценка идет в запас.
13.6. Изгиб и выпучивание биметаллических стержней
3(
5) Следует подчеркнуть, что, помимо рассматривавшихся выше фор
потери устойчивости, могут быть и другие формы. Например, тонкий сте{
жень под воздействием температурных напряжений может получить боковс
выпучивание, аналогично тому, как это возможно в соответствующе
изотермической задаче1 2).
13.6. Изгиб и выпучивание биметаллических стержней. Рассмотри
свободный стержень (рис. 13.3), состоящий из двух слоев, материалы коте
рых имеют разные модули Е1; Е2 и различные коэффициенты линейног
температурного расширения щ и а2. Если температура стержня равне
мерно повышается на величину Т, то стержень изогнется; найдем его крк
визну и прогиб3). Из условий равновесия каждого отдельного ело
(рис. 13.3а) видно, что в поперечном сечении каждого слоя действуют в укг
занных на рисунке направлениях сила Р и момент Phli. Тогда (см. п. 10.2
продольные перемещения и и2 слоев соответственно равны
(13.6.1
где Qi ир2 — радиусы кривизны соответствующих слоев, так что
1 _ М 24Р
Q! ~ ~ Е^Ь ’
1 _ М _ 24Р
о2 ~ X ~ Е2№Ь '
На поверхности раздела у = 0 перемещения щ и
и2 должны быть равн1
друг другу, т. е.
„ , 2Р , л _ 2Р h
Epib ' 4щ 21 E2hb 4q2 •
(13.6.2
(13.6.3
Подставляя в это уравнение выражения (13.6.2), найдем силу взаимодей
ствия слоев Р
р__ (а2 а1) Т lib / ] о с л
Г~~ 8 /Ч___' Цо-ол
Следовательно, кривизны равны
1 3 (а2—at) Т 1 3 (а2—qj Т (13 6 г
81 0+tX 82 охх
*) Пример этому был рассмотрен Прагером [3].
2) Разумеется, эта задача не является еще задачей устойчивости и рассматриваете
здесь только как введение к последующему обсуждению вопроса о потере устойчивост
биметаллических стержней.
24 Боли и Уэйнер
370
Глава 13, Термоупругая устойчивость и связанные с ней задачи
Можно показать1), что кривизна биметаллического стержня не слишком
чувствительна к различию в модулях упругости слоев, хотя к различии:
в коэффициентах расширения она чувствительна; поэтому кривизну любой
из полос обычно можно определять по формуле
4 = 4(а2-сч)Т, (13.6.6)
которая вытекает из предыдущих при Et = Ez. Соответствующий макси-
мальный прогиб А полосы длиной L, получаемый в предположении, чтс
при деформации стержень принимает форму дуги окружности большого
радиуса, равен
А = Q (1 —cos0) я» 42 * = ё ’ (13.6.7)
так как угол, стягиваемый половиной стержня, приближенно равен
0 = ^-. (13.6.7а)
Как отмечалось, данный анализ не относится непосредственно
к упругой устойчивости; однако проблема устойчивости возникает
при расчете биметаллического стержня с небольшой начальной
кривизной, перемещения концов которого ограничены в осевом направле-
нии (рис. 13.4). Приближенное исследование указанной задачи было выпол-
нено С. П. Тимошенко, который применил к данному случаю некоторые
результаты, относящиеся к показанному на рис. 13.3 стержню, находяще-
муся в изотермических условиях, но под действием поперечной нагрузки2).
Приближенный анализ этого изотермического случая показывает, что
стержень прощелкивается, когда поперечная нагрузка достигает такой
величины, при которой прогиб v0, получающийся при отсутствии стеснения
в осевом направлении, удовлетворяет соотношению
<13-6 *-8)
Обратное прощелкивание стержня происходит, когда нагрузка умень-
шается настолько, что
“° =1_1<2±ГЛ3/г. (13.6.9)
а т < 3 У 4 * '
Безразмерный параметр т определяется в этих формулах как
"-“я- (13.6.10;
Б См. [21]. В этой статье детально исследуется данная задача, включая расчеты
прогибов и напряжений в биметаллических полосах и пластинах на жестких или упру-
гих опорах без учета и с учетом внешних сил. Некоторые результаты этой статьи вос-
производятся и в книге С. П. Тимошенко [1].
2) Распространение задачи на случай нагрева дано в работе [21]. Изотермическая
задача детально здесь не обсуждается, однако следует отметить, что в этом случае стер-
жень не достигает положения нейтрального равновесия, как в обычных задачах устой-
чивости, но при достижении критического значения поперечной нагрузки внезапно
прощелкивается от одного положения равновесия к другому с противоположной кри-
визной. Если затем нагрузка уменьшается, то стержень прощелкивается в первона-
чальное положение (в предположении, что стержень имеет достаточную гибкость, чтобы
все время оставаться упругим). Указанная задача прощелкивания, или хлопка, обсуж-
далась многими авторами; см., например, С. П. Тимошенко [1], стр. 230 -236, где
в дополнение к приближенному анализу приведены результаты некоторых из более
ранних работ по данному вопросу. Энергетическое решение дано в работе [22]; тща-
тельный анализ есть также в книге Бицепо и Граммеля [23].
13 7. Термоупругая устойчивость пластун
375
Поведение нагретого, но ненагруженного стержня аналогично пове-
дению ненагретого, но нагруженного: при повышении уровня температурь
стержень прощелкивается от одной формы равновесия к другой с противо-
положной кривизной, а при достаточном снижении уровня температурь
прощелкивается обратно1). Рассматриваемые уровни температуры можнс
найти из уравнений (13.6 8) и (13 6 9) путем простой замены о0 на опреде-
ленный выше температурный прошб Д. При этом находим, что при повы-
шении температуры до
ТКр. 1 = Г 1 + — ГЦ^У/2 | ,16а/г -у (13.6.1 Г
1 1 т \ 3 у J 3L2 * (а2—04) '
наступает первое прощелкивание, а при последующем снижении темпе-
ратуры до
<13-6-12:
происходит прощелкивание в обратном направлении.
Задача о потере устойчивости биметаллического диска рассматривалась
в работе [24].
13.7. Термоупругая устойчивость пластин. Основные уравнения, опи-
сывающие поведение пластин, были получены в п. 12.2, где предполагалось,
что внутренние усилия в плоскости пластин Nx, Ny и Nxy настолько малы,
что не оказывают заметного влияния на поперечные деформации. Если этс
не так, то основное уравнение изгиба пластины постоянной толщины при-
нимает вместо (12.2.15) следующий вид [1]:
D^w = p-V-— V2MT + Nxd^ + Ny^- + 2Nxv . (13.7.1;
' 1 — v 1 дх2 1 « ду2 1 у дхду ' ‘
Значения N х, Ny и Nху по-прежнему определяются из уравнение
(12.2.11) .независимо от прогиба w с учетом соответствующих граничны?
условий. Поэтому, как и в гл. 12, решение распадается на две части.
Если края пластины защемлены или свободно оперты, то граничные
условия, при которых должно решаться уравнение (13.7.1), остаются
такими же, как в п. 12.3. В случае свободного края соответствующие усло-
вия совпадают с условиями п. 12.3, если только край свободен от нагрузки
в плоскости пластины, а именно, если компоненты поверхностной нагрузки,
нормальные и касательные к краю, равны на этом крае нулю. Это условие
выполняется, если функция напряжения F удовлетворяет на крае гранич-
ным условиям [см. (8.10.14)]
Е = ^ = 0. (13.7.2)
Если же усилия в плоскости пластины на свободном крае не равны нулю,
то их компонента в направлении, перпендикулярном пластине, должна
быть добавлена к поперечной силе Qn, определяемой уравнением (12.3.14).
Величина Qi указанной компоненты равна 2)
Qi^Nn^+Nn/^, (13.7.3)
где с учетом обозначений рис. 12.2 и результатов п. 8.7 и уравнения (12.2.5)
Nn = Nx cos2 a + Ny sin2 a -\-2Nxy sin a cos a,
Nns = (Ny — Nx) sinacosa-j-Afxy (cos2 a —sin2 a). (13.7.4
J) Указанное явление находит применение в конструкции термостатов.
2) Ср. с условием (13.2 6) и примечанием к стр. 355, относящимся к аналогичным
граничным условиям для стержня
24*
372
Глава 13. Термоупругая устойчивость и связанные с ней задачи
Из предыдущего обсуждения видно, что после определения величин
Nх, Ny и Nxy решение задачи термоупругости (13.7.1) для пластины может
быть выполнено тем же путем, как и для соответствующей изотермической
задачи; аналогия между обоими случаями имеет тот же вид, что и в п. 12.4
{в), и не нуждается в повторении. Однако полезно вкратце рассмотреть
некоторые из полученных решений, что и будет выполнено в нескольким
лоследующих пунктах. С этой целью удобно выделить следующие три типг
задач: 1) пластины под действием нагрева и поперечных нагрузок со сво-
бодными в плоскости пластины краями; 2) пластины, на которые в допол-
нение к нагреву и поперечным нагрузкам действуют заданные силы в пло-
скости пластины со свободными в этой плоскости краями; 3) пластины
с краями, перемещения которых в плоскости пластины ограничены. Отно-
сящиеся к указанным трем типам примеры и замечания приведены соот-
ветственно в п. 13.8, 13.9 и 13.10. Случай больших прогибов рассматри-
вается в п. 13.11.
13.8. Устойчивость нагретых пластин со свободными в плоскости
пластин краями при отсутствии поперечных нагрузок. Если концы нагре
того стержня свободны от осевых нагрузок и свободно перемещаются в осе-
вом направлении, то, каким бы ни было распределение температуры, стер-
жень не может потерять устойчивость, как в рассматривавшихся ранее
в настоящей главе случаях. Иначе обстоит дело с пластиной, как это сле-
дует из анализа основных положений предыдущего пункта. Там было пока-
зано, что расчеты могут быть выполнены в два этапа: первый из них заклю-
чается в определении напряжений в плоскости пластины путем решения
уравнений (12.2.11), второй — в определении прогиба w из решения урав-
нения (13.7.1) с использованием результатов первого этапа. Поскольку
предполагается, что пластина свободна от внешних нагрузок в ее плоскости,
то очевидно, что должны удовлетворяться условия равновесия вида
J Nxdy = (J, (13,8.1
где интегрирование распространяется на всю пластину вдоль линии х =
= const. Ясно, что подобное условие не может удовлетворяться, если толькс
Nх не будет в некоторых частях положительно, а в некоторых отрицатель-
но. Иными словами, в задачах такого типа всегда будут возникать сжи-
мающие напряжения в плоскости пластины, что приводит к возможности
потери устойчивости. Исключение представляют тривиальные случаи
когда напряжения по всей пластине равны нулю.
Так как между решением задачи указанного типа и задачами следую-
щего пункта имеется большое сходство, то подробные иллюстрирующие
примеры здесь не приводятся. В исследовании, выполненном в N. А. С. А. х)
содержится пример анализа подобного типа с экспериментальной провер
кой для случая, когда распределение температуры по прямоугольной
пластине с координатами имеет вид
Т(х, у)
То ~ для 0 < х <
ГТ! 2 (а—х) О,
Tq ------ ДЛЯ
где То — константа.
!) См. работу [25]. Распределение напряжений перед потерей устойчивости былс
определено в [26]. Дальнейшее исследование приведено в [27].
13.9. Устойчивость нагретых и нагруженных в своей плоскости пластин УН
13.9. Устойчивость нагретых и нагруженных в своей плоскости пластин
со свободными в плоскости пластины краями. В математическом отношениг
данная задача очень близка к рассмотренной в предыдущем пункте. Един
ственное различие заключается в том, что при расчете функции напряже
ний F следует учесть влияние внешних нагрузок. Приведем относящийс?
к указанному случаю пример решения * 2).
Рассмотрим плоскую полосу (рис. 13.5), нагруженную на конца?
равномерно распределенными напряжениями <т0 и усиленную вдоль крае!
у = О, b продольными элементами площадью А, на которую действую’
Рис. 13.5. Плоская полоса, устойчивость которой исследуется в п. 13.9,
и большие прогибы — в п. 13.11.
равномерно распределенные источники тепла Q. Из-за отвода тепла пре
дольными элементами температура в центральной части панели будет выше
чем вблизи краев; расчеты фактического изменения температуры был
выполнены в ряде работ 2). В рассматриваемом случае примем, что п
толщине температура равномерна, а в плоскости пластины изменяете
по закону
Т ~T0 — Ttcos , (13.9.1
где То и Tt — постоянные, подобранные так, чтобы обеспечить необходимы:
характер температурного поля.
Последующие расчеты относятся к отдельной секции (панели) полось
расположенной между х = 0 и х = а, как показано на рис. 13.5. Пред
полагается, что эта секция достаточно удалена от концов полосы, так чт
напряжения можно считать не зависящими от координаты х. При х = (
а поперечные перемещения отсутствуют.
Первый этап расчета заключается в определении из уравнения (12.2.11
функции напряжения F при соответствующих граничных условиях; в даг
ном случае они принимаются такими, чтобы обеспечивалась прямолинег
ность краев пластины, т. е.
и (О, у) = 0,
и (а, у) = и0,
v(x, 0) = 0, 1
v(x, b) = щ, I
(13.9.1
где и о и у0 — постоянные, определяемые из условий для результирующи
усилий на концах
ъ ъ
^Nx(0, y)dy— Nx(a, y)dy=bia0. (13.9.2<
о о
J) Авторы признательны Саре Р. Боли за указанное решение.
2) См. работы [48] — [50], указанные в списке литературы к гл. 11.
374
Глава 13. Термоупругая устойчивость и связанные с ней задачи
При принятом выше распределении температур уравнение (12.2.1 Г
принимает вид
V«F =-4 0ya£7Vcos , (13.9.3'
а его решение, как легко проверить, будет
f (13.9.4’
2 4л2 Ь '
Такому выражению для функции напряжения соответствуют следующие
компоненты напряжения, деформации и перемещения:
Оуу ~ Му ~ Оху МЖу “ ^Ху Oj
foxx = Wx = -||^ = ^ [o0+a£7\cos-^-j ,
e,yy = --^- + aT0-(l + v)aT1cos^ ,
u = (<To + uETo) -g- ,
» = < - + »ET.) X - (1+-^Л> sin 1SL,
где опущены члены, связанные с движением тела как твердого целого.
Можно легко проверить, что при этом удовлетворяются все указанные
выше граничные условия. Из сравнения с (13.9.2) видно, что
w0 = (о0 -f- аЕТ0) gr ,
ь (13.9.6;
t»o = ( — уо0+аЕТв) ^ .
Следующий этап решения заключается в определении прогиба w и кри-
тической комбинации значений приложенной нагрузки и температуры.
Это выполняется с помощью уравнения (13.7.1), которое в данном случае
приводится к виду
^w = -^\a0 + aETiCos^ I. (13.9.7
D L b J dx2 '
Граничные условия, соответствующие свободно опертым концам,
д2г» п г.
w = -=r^ = v при х = 0, а,
X n п ь (13-9-8
^ = 1^ = ° при ^ = 0> ъ
удовлетворяются почленно решением в форме
СО со
2 2 йтпsin sin (13.9.9
т—1 п~1
Подставляя этот ряд в предыдущее дифференциальное уравнение и срав-
нивая коэффициенты при подобных членах, находим, что коэффициенты
13 9.. Устойчивость нагретых и нагруженных в своей плоскости пластин 375
атп должны удовлетворять следующим соотношениям:
Г iz । аЕТ 1 1 । аЕТt _ п
Kmi О0-------g J Ctmt 4 g а"г3 — О’
г . аЕТ! „
[Лт2 I <7о1 агпг 4-2 0,114 —
аЕТ
[Ктп 4- *7о] й-тп 4 («т, 71+2 4“ n-з) =
(13.9.10)
n > 2,
^-^(“П'ЧяОТ- (,3-9Л1>
Приравнивая определитель уравнений (13.9.10) нулю, находим критиче-
скую комбинацию сго и Т\ (отметим, что То в указанные уравнения не вхо-
дит). Исследование этих уравнений показывает, что между коэффициен-
тами с различными значениями т и между коэффициентами с четными
и нечетными значениями п нет связанности. Это означает, во-первых, что
в выражении (13.9.9) следует использовать единственное значение т,
а именно такое, при котором для конкретно рассматриваемых условий
нагружения и геометрии получается критическая комбинация с низшими
уровнями нагрузки и температуры; во-вторых, можно образовать два не-
зависимых определителя, один только для нечетных значений п, другой
только для четных. Указанные определители будем называть соответ-
ственно симметричным и антисимметричным, что согласуется со свой-
ствами соответствующих форм прогиба. Расчеты показали, что более низкой
критической нагрузке соответствует симметричный случай, поэтому анти-
симметричный случай дальше не обсуждается.
Симметричный определитель имеет вид
Г iz । аЕТ t Ч < аЕТ «Л п
|к»и4-оо—(-г1-; °
m m ... =о (13912)
0 [^ + ао]
• •• * • • ••• ...
Прежде чем перейти к общему симметричному случаю, описываемому дан-
ным определителем, целесообразно рассмотреть два следующих частных
случая. В первом из них == 0, так что действует только напряжение
на краях о0; тогда в (13.9.12) остаются только члены по главной диаго-
нали и критическое значение о0 определяется известным выражением1)
, (13.9.13)
где для получения низшего критического напряжения величина п при-
нята равной единице; знак минус указывает на сжатие. Коэффициент k,
определяемый формулой
* = °3-9-141
должен быть рассчитан для такого целого числа т, при котором он имеет
наименьшее значение; обычно можно в качестве хорошего приближения
принимать
6 = 4, -|>1. (13.9.15)
з) См., например, Тимошенко [1], стр. 331.
376 Г лава 13. Термоупругая устойчивость и связанные с ней задачи
Вне указанного диапазона его минимальное значение соответствует т = 1
и поэтому
«<1. (13.9.15а;
I. s b J b ' *
Во втором частном случае положим о0 = 0; тогда критическое значе-
ние ?! (скажем, равное Ткр.о) определяется как наименьший корень бес-
конечного определителя, получающегося из (13.9.12) при о о — 0. Рассмат-
6
Рис. 13.6. Значения коэффициента /г4 в уравнении (13.9.17) для расчета
критического уровня температуры пластины, показанной на рис. 13.5
(По = 0).
----- точное решение, — — — приближенная зависимость.
ривая конечное число строк и столбцов определителя, можно получить
приближенные значения. Сохраняя только один член, находим
иЕТкр. о j (АЛ2___ _гт (13 Q 16'
2 ~~~ 12(1—v2) \Ь ) ~ акр. 0- (13.9.10,
С учетом двух строк (и двух столбцов) приходим после некоторых упро-
щений к следующему результату:
где коэффициент kt равен
Ч Ш {/[(¥)2+9)‘+4[(")ч,12ОУЧГ -
”[(лг)2 + 9Т} (13.9.18)
Вычисления, выполненные с учетом большего числа строк и столбцов
определителя, дали результаты, очень близкие к указанным выше. При-
веденные на рис. 13.6 зависимости ki от alb для разных значений т пока-
зывают, что в качестве хорошего приближения можно считать
^ = 3,848 для у>1, (13.9.19)
что соответствует случаю т = alb, тогда как при alb < 1 следует поль-
зоваться кривой для т = 1 (рис. 13.6).
13.10. Пластина с неподвижными в ее плоскости краями 371
В общем случае, когда действуют и температурные напряжения и напря-
жения на концах, расчеты носят почти такой же характер, как в рассмотрен-
ном выше частном случае при о0 = 0. Вычисления становятся несколькс
более длинными и здесь в деталях не описываются; при этом достаточнс
точные результаты получаются опять при сохранении двух членов ряда
На рис. 13.7 приведены окончательные результаты в виде кривой относи
тельного влияния температуры и напряжений на концах; можно видеть
Рис. 13 7. Относительное влияние уровня температуры и внешних
нагрузок на устойчивость пластины, показанной на рис, 13.5.
что при всех приведенных соотношениях между температурными и крае-
выми напряжениями эта кривая очень точно выражается формулой
1 кр. 0 Окр. о
Зависимость (13.9.20) можно рассматривать как окончательный результат
данного примера расчета на устойчивость нагретой и нагруженной плас-
тины, причем величина Ткр. 0 определяется по формуле (13.9.7) [коэф-
фициент берется по данным рис. 13.6 или согласно (13.9.19)], а вели-
чина <тКр о — по формуле (13.9.13) [коэффициент k определяется согласие
(13.9.15)].
13.10. Пластина с неподвижными в ее плоскости краями. В данном
случае характер решения аналогичен приведенному в п. 13.3 решении
для стержней-колонн с неподвижными в осевом направлении концами.
Основным уравнением, которое должно быть решено, остается уравнение
(13.7.1), но в данном случае величины Nx, Ny и Nxy заранее неизвестны;
их надо определить из условий, что края пластины не перемещаются в пло-
скости пластины [аналогичные условия для стержней были представлены
выражениями (13.3.1) или (13.3.4)]. Однако если ограничиться решением
для нагрузок, не слишком больших сравнительно с критическими, то можне
378
Глава 13. Термоупругая устойчивость и связанные с ней задачи
пренебречь членами, аналогичными А в указанных выражениях; тогд;
задача, по существу, приводится к одному из типов, обсуждавшихся в пре
дыдущем пункте. В качестве примера ниже приводятся расчеты для сво
бодно опертой пластины с неподвижными в ее плоскости краями; при этол
принимается во внимание влияние температуры, меняющейся по толщиш
таким образом, что это приводит к изгибу пластины * 2 *).
Рассмотрим свободно опертую прямоугольную пластину толщино!
t, занимающую область 0<x<a, — (//2)<z<(t/2); тем
пература в пластине не зависит от координат х и у, но по толщине произ
вольно меняется, так что Т = Т (z). Внешние нагрузки отсутствуют, однакс
перемещения всех опор в плоскости пластины исключаются. При этол
граничные условия для перемещений и, v имеют вид
и(0, у) = и(а, y) = v(x, 0) = v(x, 6) = 0. (13.10.1
Естественно предположить, что при указанных условиях в плоскости
пластины вообще нет перемещений, иначе говоря, что компоненты пере
мещения в плоскости пластины равны
н = а=0, (13.10.2
что соответствует линейной теории термоупругости, в которой, как ука-
зывалось выше, можно пренебрегать членами, аналогичными А. Можнс
показать, что соотношения (13.10.2) представляют искомое решение, таг
как соответствующие предыдущим перемещениям значения
Nx = Ny=~_*l_, NxyZ=Q (13.10.3
удовлетворяют уравнениям равновесия (12.2.8).
Уравнение (13.7.1) принимает теперь вид
+ = 0 (13.10.4'
0(1—v) '
и его нужно решать при граничных условиях, соответствующих свободному
опиранию. Решение данной краевой задачи можно получить с помощьк
метода п. 12.4 (а) и п. 13.5 (в), т. е. путем ее приведения к следующей экви-
валентной формулировке 2):
V2® И d (1~v) w = f<x> УЪ
V2f = 0, (13.10.5:
где на крае
f=----и ^=0- (13.10.6'
Таким образом, функция f имеет постоянное значение, равное ее значении:
на крае, и достаточно только при указанном выше условии для w решить
уравнение
DV2w + -^-w=—. (13.10.7'
Принимая <Ув форме (12.5.16) и представляя Мт, согласно (12.5.17), полу-
чаем уравнение для нечетных функций Ym в виде
^~^mYm=4Mr— m=-l, 3, 5, ..., (13.10.8'
фр r (1—v)Dmit ’ ’ ’ 4
J) Автор признателен за настоящий пример X. В. Морроу.
2) Настоящее решение имеет очень большое сходство с решением иллюстрирован
кого примера п. 12.5 (в). По изложенным в этом пункте причинам, ряд для выражения
прогиба w выбран здесь в виде (12.5.16), а не в виде (12.4.8).
13.10. Пластина с неподвижными в ее плоскости краями
37!
где
Если т — четное, то функции Уmrравны нулю. Следует отметить, что при-
веденное здесь уравнение для определения Ym совпадает с уравнением,
определяющим функции Ym в выражениях (12.5.18), при условии что вели-
чина рт определяется формулой (13.10.9), а не (12.5.21); при NT = 0 оба
значения рт, конечно, совпадают. Следовательно, представленное форму-
лами (12.5.23)—(15.5.24) решение применимо и к данной задаче.
На рис. 13.8 представлена в безразмерном виде зависимость прогиба
в центре прямоугольной пластины от уровня температуры при различные
Рис. 13.8. Прогиб w в центре прямоугольной пластины (к задаче п. 13,10).
Коэффициент Пуассона v ~ 1/4
соотношениях сторон. В качестве безразмерного параметра, характери-
зующего уровень температуры, здесь принято отношение Nt/NtkP., ту.
Ntkp — это то значение NT, при котором наступает потеря устойчивости
Величина Л’ткр. легко определяется по методу предыдущего пункта и равщ
IVtkp =(l-v)(l+^)^P- (13.10.10;
На рис. 13.9 и 13.10 для двух различных уровней температуры при
ведены в безразмерном виде график изменения Мх в одном квадрант?
квадратной пластины. Так как пластина имеет две оси симметрии, указан-
кого графика достаточно для характеристики распределения по всей пла-
стине как момента Мх, так и Л4а. Из графиков видно, что в рассматривае-
мых случаях изгибающий момент максимален в центре пластины. Кривые,
показывающие изменение момента в центре пластины в зависимости о;
уровня температуры при разных соотношениях сторон, приведены щ
рис. 13.11.
380
Глава 13 Термоупругая устойчивость и связанные с ней задачи
Необходимо отметить, что предыдущее решение было получено в пред-
положении, что в соотношениях между деформациями и перемещениями
[уравнения (13.11 1)] можно пренебречь нелинейными членами. Для ана-
логичной задачи о стержнях-колоннах это предположение эквивалентно
NT
NT =О'25
Тег
Рис. 13.9. Распределение изгибающего момента Мх в квадратной
пластине при NT/ NTKp. = 0,25 (к задаче п 13 10).
Коэффициент Пуассона v = 1/4.
пренебрежению Л в уравнении (13.3.1). Поэтому, как и обычно в задачах
подобного типа, приведенное решение имеет силу только при значениях
NT, достаточно малых по сравнению с Ntkp_-
13.11. Большие прогибы пластин и их поведение в закритическом
состоянии. Обсуждавшиеся в гл. 12 и в предыдущих пунктах уравнения
описывают поведение пластин с достаточной точностью только при малых
прогибах, или, более определенно, если прогибы не влияют заметно на
деформации в плоскости пластины. Более точный анализ деформации эле-
мента пластины позволяет получить следующие соотношения между дефор-
мациями в плоскости пластины и прогибами [11:
____ди , 1 /dw \ 2
8хж~ + ’
'.Дц+Ш’ • (is.n.i;
__ди .dv .dw dw
-^у—dy + dx + ^xJ^ ’
Соотношения для малых деформаций получаются из (13.11.1) при пренебре-
жении нелинейными членами, зависящими от прогиба w. Для этого случая
ранее были выведены соответствующие уравнения совместности (8.10.11а).
При сохранении же указанных членов уравнения совместности в дефор-
мациях принимают вид
д2еЖх , д%п 2 дЧху Г d^w \2 d^w d^w (13 112'
ду2 дх^ дх ду \дх дуJ дх2 ду2 * \ >
Рис. 13.10. Распределение изгибающего момента
М в квадратной пластине при Л'у/ Л^кр.= 0,6
х (к задаче п. 13.10).
KnSd'id'iHH'HP'H'T П-уйгтпия л» —
-1
382
Глава 13. Термоупругая устойчивость и связанные с ней задачи
Исключая деформации с помощью закона Гука и выражая напряжения
через функцию напряжения F, определяемую согласно (12.2.9), получаем
окончательно
V4F = ^2N +Et Г Г . (13.11.3)
L \дх ду J дх2 ду2 J ' '
Очевидно, что, если в полученном уравнении пренебречь нелинейными
членами, то оно становится идентичным с (12.2.11).
Решение задачи о больших прогибах пластин заключается в опреде-
лении из уравнений (13.7.1) и (13.11.3) при соответствующих граничных
условиях двух неизвестных функций w и F. Из рассмотрения указанных
уравнений следует, что в отличие от линейного случая, когда задачу можнс
было решать в два этапа, определяя вначале F, а затем независимо
теперь обе функции должны определяться одновременно. Это обстоятель-
ство, а также обычно встречающиеся в нелинейных задачах трудности,
приводят к тому, что решения с учетом больших прогибов становятся оченг
сложными. Поэтому, за исключением простейших задач, приходится при-
бегать к приближенным решениям в рядах, к итерационным или к энер-
гетическим и численным методам.
В качестве примера решения задачи, включающей большие прогибь
пластин, рассмотрим поведение прямоугольной пластины в закритиче-
ском состоянии. Пластина и условия ее нагружения остаются такими же.
как в п. 13.9, где определялось, при какой комбинации нагрузки на краях
и уровня температуры происходит потеря устойчивости.
Решение строится итерационным путем 1), состоящим в построение
ряда последовательных приближений, причем в качестве первого прибли-
жения берется решение линейной задачи, т. е. выражения для F и ш, соот-
ветствующие нагрузке, при которой начинается выпучивание. Указанные
исходные выражения подставляются в нелинейные члены основных урав-
нений (13.7.1) и (13.11.3), что позволяет найти новые выражения для 7
и w. Принимая эти функции в качестве второго приближения, следует
повторить процедуру и найти третье приближение, затем таким же путем
четвертое и т. д. Подобный метод дает быструю сходимость, если действи-
тельное решение имеет близкий характер к начально заданному, т. е. когдг
нагрузки не. слишком превышают критические. Решение соответствующе?
изотермической задачи показывает, что для рассматриваемого диапазоне
нагрузок можно получить очень хорошие результаты даже с помощьк
только двух итераций [29] и [30].
Решение линейной задачи легко найти с помощью уравнений п. 13.9.
Допустим, что из бесконечного ряда (13.9.9) для w сохранены только две
члена; как было установлено в указанном пункте, этого числа членов доста-
точно для определения критической нагрузки с хорошей степенью точности
Как отмечалось там, потеря устойчивости наступает, когда нагрузка удов-
летворяет формуле (13.9.20), причем значение т при (а/6) > 1 можнс
с хорошей степенью приближения принимать равным alb. Указанному
приближению соответствует следующая форма прогибов:
w = sin—4 Qi sin —^--\-a3 sin—. (13.11.4,
В качестве первого приближения примем (аз/а^— L3, где L3 — решение
уравнения, соответствующего первой или второй строке (13.9.12). Из дру-
*) Применительно к задачам изотермического расчета пластин указанный мето::
был развит в работе [28], а для сжатых стержней он был введен в [29].
13 11. Поведение пластин в закритическом. состоянии
381
того уравнения получается то же значение, так как соответствующий опре-
делитель равен нулю. В результате получаем
(13.115
X ссс 1 j J
Таким образом, в первом приближении прогиб характеризуется ука^
занным значением L3, а функция напряжения определяется согласно
(13.9.4); решение выражается через неизвестную амплитуду ау Чтобь
получить следующее приближение, надо, как указывалось выше, под-
ставить (13 11 4) в нелинейные члены (13.11.3) и полученное уравнение
Т
'сг
Рис 13 12 Прогиб при потере устойчивости в центре пластины, пред-
ставленной на рис 13 5 (к п 13 9 и 13 11).
разрешить относительно новой функции напряжения. В результате най-
дем следующее выражение, удовлетворяющее тем же самым граничным
условиям, что и решение линейной задачи’
©=Т~ 2 r„cos(!=)+eoS(?=H) S Н”')'
n=2,4,6 Ti=-0,2,4
(13.11.6)
где
r____аЕТ\a2 Ea^ .. ,<)T\ c 11 । n т 2\
f2“ 2m2n2 32 S°-' 32 (*+УЬзЛ
S2 = ^(L3), (13.11.7)
r — ^Д1 / £ \2 <._____^al (J \
Гб 288 ’ Si~~ 400
Затем выражение (13.11 4) для W и только что найденное выражение для F
подставляются в нелинейные члены (13 7 1), и полученное в результате
уравнение следует разрешить относительно нового прогиба. Результат
можно снова представить в виде тригонометрического ряда, в котором сле-
дует сохранить только нечетные члены, поскольку, как отмечалось в п 13 9,
указанных членов достаточно для вычисления критической нагрузки. После
выполнения этих действий коэффициенты и аз двух первых членов ряда
384
Г лава 13. Термоупругая устойчивость и связанные с ней задачи
для прогибов определятся из следующих двух совместных уравнений
-3(l-v!)JC„(^)2(2-3£, + ^ Ц) , (13.11.8
(2Sl)+(K« + «.)(A)=3(l-v>)K,u(y.y(_1 + ™L3).
Решением указанных уравнений относительно и а3 завершается второе
приближение, учитывающее два члена ряда для прогиба w. На рис. 13. Е
представлены некоторые числовые результаты, которые показывают, каг
изменяется прогиб в центре панели с увеличением нагрузки. Были выпол-
нены также расчеты с учетом трех членов ряда для w и при трех последо-
вательных приближениях; для диапазона нагрузок, охватываемого гра-
фиком, результаты получаются практически совпадающие с предыдущими.
В литературе появились и некоторые другие решения задач термо-
упругости для пластин при больших перемещениях. С помощью энерге-
тических методов было проанализировано поведение в закритическом
состоянии пластины под воздействием температурного поля (13.8.1) и резуль-
таты проверены экспериментально [25]. В работе [14] приведен энерге-
тический анализ влияния начального закручивания и больших прогибов
на крутильную жесткость неравномерно нагретой консольной пластины.
Большие прогибы плоской полосы исследованы в работах [31, 32], а виб-
рации выпученных элементов — в [331 и [34]. Общее изложение методов
решения задач о больших прогибах пластин и закритическом поведении
можно найти в работе [4].
БИБЛИОГРАФИЯ
1. Тимошенко С. П. (TimoshenkoS.) Theory of elastic stability, McGraw-
Hill., New York, 1936; русский перевод: Тимошенко С. И., Устойчивостг
упругих систем, Гостехиздат, М., 1955.
2. Блсйх (Bleich F.), Buckling strength of metal structures, McGraw-Hill,
New York, 1952; русский перевод: Блейх Ф., Устойчивость металлических
конструкций, Физматгиз, М., 1959.
3. Прагер (Prager W.), The general variationls principle of the theory of
structural stability, Quart. Appl. Math., 4 (1947), 378—384.
4. В а н-д e p-H ейт (van der Neut A.), High Temperature Effects on
Aircraft Structures, Buckling caused by thermal stresses, Pergamon Press, New
York, 1958.
5. Боли, Мекаиик (Boley В. A., Mechanic H.), Thermoelastic stresses
and deflections in beam-columns, W. A. D. C. Tech. Rept. 54—425, March 1954.
6. Вагнер (W a g n e r H.), Torsion and buckling of open sections, N. A. C. A.
Tech. Memo. 807, October 1936.
7. Б и о (В i о t M. A.), Increase of torsional stiffness of a prismatical bar due to
axial tension, J. appl. Physics, 10, 12 (December 1939), 860—864.
8. Гудьер (Goodier J. N.), Elastic torsion in the presence of initial axial
stress, J. of Appl. Meeh., 17, 4 (1950), 383.
9. Тимошенко (Timoshenko S.), Einige Stabilitatsprobleme der Elasti-
zitatstheorie, Teil. Ill, Z. fur Math, und Physlk, 58 (1910), 337.
Библиография
385
10. X о ф ф (Hoff N. J.), Stresses in space-curved rings reinforcing the edges of
cutouts in Monocoque Fuselages, J. Royal Aero. Soc., (February 1943).
11. Handbook of Aeronautics № 1, Structural Principles and Data, Royal Aero. Soc.,
4th ed., New York, 1952.
12. Kannyc (Kappus R.), Twisting failure of centrally loaded open-section
columns in the elastic range, N. A. C. A. Tech. Memo. No. 851, 1938.
13. Будянский, Мейерс (Budiansky В., Mayers J.), Influence
of aerodynamic heating on the effective torsional stiffness of thin wings, J. Aero.
Sci., 23, 12 (December 1956), 1081 — 1093, 1108.
14. Хелденфелс, В ости н (Heldenfels R. R., Vosteen L. F.),
Approximate analysis of the effect of large deflections and initial twist on torsional
stiffness of a cantilever plate subjected, to thermal stress, N. A. C. A. Tech. Note
4067, August 1957.
15. Востин, Мак-Вити, Томсон (Vosteen L. F.,M c W i t h e у R.R.,
Thomson R. G.), Effect of transient heating on vibration frequencies of some
simple wing structures, N. A. C. A. Tech. Note 4054, June 1957.
16. Хофф (Hoff N. J.), Approximate analysis of the reduction in torsional rigidity
and of the torsional buckling of solid wings under thermal stress, J. Aero. Sci., 23,
6 (June 1956), 603—604.
17. Драйден, Дьюберг (Dryden H. L., Duberg J. E.), Aeroelastic
effects of aerodynamic heating, Proc. Fifth AGARD Gen. Assy, Canada, June 1955,
pp. 102—107.
18. Бисплингхофф (Bisplinghoff R. L.), Some structural and aeroela-
stic considerations of high-speed flight., J. Aero. Sci., 23, 4 (April 1956), 283—329,
367.
19. Бисплингхофф, Дугунджи (Bisplinghoff R. L., D ugun-
d j i J.), Influence of aerodynamic heating on aeroelastic phenomena, статья с сб.
High Temperature Effects in Aircraft Structures, AGARDograph 28, Pergamon
Press, New York, 1958.
20. Б и о (Biot M. A.), Indluence of Thermal Stresses on the Aeroelastic Stability
of Supersonic Wings, J. Aero. Sci., 24, 6 (June 1957), 418—420, 429.
21. Тимошенко (Timoshenko S.), Bending and Buckling of Bimetallic
Strips, J. Optical Soc. of Am., 11 (1925), 233.
22. Mapreppe (Marguerre K.), On the application of the energy method to
stability problems, N. A. C. A. Tech. Memo. No. 1138, October 1947.
23. Бицен о, Граммель (Biezeno С. B., Gramm el R.) Technische
Dynamik, Springer, Berlin, 1939; русский перевод: Бицен о, Граммель,
Техническая динамика, Гостехиздат, М.—Л., 1950.
24. У и т р и к (W i t t г i с k W- H.), Stability of a Bimetallic Disk, Quart. Meeh.
Appl. Math., 6 (1951), 15.
25. Госсард, Сей д, Робертс (Gossard М. L.,Seide Р., Roberts
W- M.), Thermal Buckling of Plates, N. A. C. A. Tech. Note 2771, August
1952.
26. Хелденфелс, Робертс (Heldenfels R. R., Ro b e r t s W- M.),
Experimental and theoretical determination of thermal stresses in a flat plate,
N. A. C. A. Tech. Note 2761, August 1952.
27. Зингер, Ан ал ай кер, Ледерман (Singer J., Anliker M.,
Lederman S.) Thermal Stresses and Thermal Buckling, W. A. D. C. Tech.
Rep. 57—69, April 1957.
28. Б о л и (Boley S. R.), A Procedure for the Approximate Analysis of Buckled
Plates, J. Aero. Sci., 22, 5 (1955), 336—338.
29. Мизес (Mises R.von) Ausbiegung eines auf Knicken beanspruchten Stabes,
Z. angew Math. Meeh., 4 (1924), 435.
25 Боли и Уэйнер
386 Глава 13. Термоупругая устойчивость и связанные с ней задачи
30. Мазур (Masur Е. F.), On the analysis of buckled plates, Proc. Ill U. S
Nat. Congress of Appl. Meeh., June 1958, pp. 411—417.
31. Вильямс (W i 1 1 i a m s M. L.), Large deflection analysis for a plate stri,
subjected to normal pressure and heating, J. of Appl. Meeh., Trans. A. S. M. E.
77 (1955), 458—464.
32. Вильямс (W i 1 1 i a m s M. L.), Large deflection analysis for a plate strij
subjected to normal pressure and heating, J. of Appl. Meeh., Trans, A. S. M. E.
77 (1955), 458—464. См. также 57—A14, J. of Appl. Meeh.
33. Бисплингхофф, Б ь я н ь (B-isplinghoff R. L., Р i a n H. H.)
On the vibrations of thermally buckled bars and plates, Paper presented at th
Ninth Intern. Congress of Appl. Meeh., Brussels, September 1956.
34. Шулман (Shulman Y.), On the vibration of thermally stressed plates ii
the pre-buckling and post-buckling states, M. I. T. Tech. Rep. 25—25, Januar
1958.
ЧАСТЬ 4
ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
В НЕУПРУГИХ СИСТЕМАХ
ГЛА ВА
14
Формулировка задач
С> напряжениях
в неупругих системах
14.1. Введение. Во всех предыдущих главах при анализе температур-
ных напряжений использовались соотношения теории термоупругости
(1.12.14). Представление об упругом характере деформаций является идеа-
лизацией, не вполне точно описывающей свойства реальных тел. Однако
установлено, что при относительно низком уровне температур и напряже-
ний поведение широкого класса материалов находится в очень хорошем
соответствии с теорией упругости.
При повышенных температурах и более высоком уровне напряжений
расхождение между свойствами реальных и идеально упругих тел уве-
личивается, так что понятие об упругом теле становится недостаточным.
В этом случае поведение реального тела принято называть неупругим.
Чтобы математически описать неупругое поведение тела при заданных
условиях нагрева и нагружения, необходимо соответствующим образох
обобщить соотношения между напряжениями и деформациями х). Этг
обобщения ведутся по трем направлениям, хотя, разумеется, четко раз.
граничить их не всегда возможно 2).
1) Наиболее общие подходы к проблеме основываются на представле-
ниях и методах физики твердого тела. Чтобы получить сведения о меха
нических характеристиках материала, рассматривается его микрострук
тура (кристаллическая, поликристаллическая и т. п.). С таких позицш
задача изучалась, например, Коттреллом [3] и Ридом [41.
2) Можно, отвлекаясь от особенностей микроструктуры материала
рассматривать его как сплошное тело и искать форму соотношений межд;
напряжениями и деформациями, исходя из общих принципов механик!
и термодинамики сплошных сред. Именно таким путем в п. 1.13 были полу
чены соотношения между напряжениями и деформациями для упруго-вяз
кого тела.
3) Наиболее формальный способ анализа заключается в том, что выби
раются некоторые простые формы соотношений между напряжениям!
Ч Отметим, что соотношения между напряжениями и деформациями являютс
здесь единственным элементом теории, требующим обобщения. Если сохранить сделал
ные в гл. I допущения, то вытекающие из чисто геометрических соотношений и законе
механики представления о тензоре малой деформации, условия совместности и уравщ
тия движения останутся без изменений. При рассмотрении упругих деформаций пре;
-положение о малости перемещений и их производных является вполне оправданны»
так как если оно не удовлетворяется, то практически лишь немногие материалы остаю,
ся упругими, за исключением случаев очень гибких тел. Это предположение приемлем
также для широкого класса задач о неупругих деформациях, например, в тех случаях
когда в теле остается упругая область.
2) Все три направления отражены в работах [1] и [2],
390
Глава 14. Формулировка задач для неупругих систем
и деформациями, описывающие различные идеальные неупругие тела.
.Хотя эти тела и не соответствуют каким-либо реальным материалам, в опре-
деленных сочетаниях их свойства отражают такие различные типы не-
упругих явлений, как ползучесть, релаксация, пластическое течение,
упрочнение. Для ряда возможных форм подобных соотношений, особеннс
для изотропных материалов, были проведены обширные исследования
с использованием тензорных представлений; см., например, работы Пра-
гера и Ходжа [5], Хилла 16], Грина и Ривлина [71.
Хотя по первым двум направлениям достигнуты значительные успехи
но пока что только третье направление позволяет предпринять практиче-
ские шаги к анализу напряжений. Благодаря достаточной простоте приня-
тых соотношений между напряжениями и деформациями представляется
возможным математически проанализировать, как будут вести себя опи-
сываемые ими идеальные тела в различных условиях нагружения. Значе-
ние этих результатов состоит в том, что они показывают, какой вид не
упругого поведения материала наиболее существен для данной частное
задачи.
В данной главе рассматриваются соотношения между напряжениями
и деформациями неупругого материала в соответствии с третьим из ука-
занных направлений. В п. 14.2 и 14.3 качественно описываются два основ-
ных типа неупругого поведения материала — упруго-вязкое и пластиче-
ское; соответствующие им соотношения между напряжениями и деформа-
циями приводятся в последующих пунктах. В гл. 15 и 16 эти соотношения
используются для анализа температурных напряжений соответственнс
при упруго-вязких и пластических деформациях.
14.2. Релаксация напряжений и ползучесть. Особенности рассматри-
ваемого типа неупругого поведения материала могут быть выявлены двумя
следующими опытами.
Рис 14 1. Ползучесть при постоянной нагрузке.
Приведена классификация различных стадии ползучести: / — первая или
неустановившаяся, II — вторая, или установившаяся, III — третья, ускоренная
В первом опыте металлический стержень подвергается действию пос-
тоянной растягивающей силы. Спустя непродолжительное время после при-
14.3. Пластическое течение и упрочнение
391
ложения силы при достаточно низких температурах и напряжениях насту-
пает состояние установившегося равновесия и удлинение стержня сохра-
няет постоянное значение, очень близкое к рассчитанному по теории упру-
гости. Если теперь поднять температуру стержня до более высокого уровняу
поддерживая растягивающую силу постоянной, то с течением времени будет
наблюдаться непрерывный рост удлинения стержня (рис. 14.1). Этот вид
неупругого поведения называют ползучестью.
Во втором опыте металлический стержень подвергается постоянному
удлинению. Сила, которую нужно приложить, чтобы вызвать это удлине-
ние, оказывается при достаточно низких температурах и напряжениях
постоянной и по величине очень близкой к рассчитанной по теории упру-
гости. Если теперь повысить температуру до более высокого уровня, под-
держивая удлинение постоянным, то сила, необходимая для поддержания
Рис 14.2. Релаксация напряжений
при постоянной деформации J
Деформация
Рис. 14 3. Диаграмма пластического де-
формирования при испытаниях на растя-
жение за пределом упругости.
этого удлинения, будет с течением времени непрерывно убывать (рис. 14.2).
Описанный вид неупругого поведения называют релаксацией напряжений.
Важная особенность рассмотренных видов неупругого поведения
заключается в том, что для их проявления необходимо некоторое время
непосредственно после начала испытаний поведение идеально упругой
тела и реального материала в описанных процессах почти одинаково. По-
этому можно ожидать, что подобного вида неупругость будет оказывай
незначительное влияние на кратковременные процессы. Иначе обстош
дело в том случае, когда возникает пластическое течение, при котором,
как будет показано далее, время играет несущественную роль, а при идеа-
лизированной трактовке явления вообще не фигурирует в исследовании,
14.3. Пластическое течение и упрочнение. Ко второй важной группе
неупругого поведения материала относится пластическое течение, кото
рое демонстрируется следующим типичным опытом.
Пусть на первоначально ненапряженный стержень действует растя
гивающая сила, равная вначале нулю и затем непрерывно возрастающая
Если построить зависимость деформации ог напряжения, то получите;
кривая, подобная показанной на рис. 14.3. Если в какой-либо точке ниже
предела упругости (точка У) разгрузить стержень, то он примет свою перво
892
Глава 14. Формулировка задач для неупругих систем
начальную длину. Но если нагрузка превысит это значение, картина изме-
нится, так как линии нагружения и разгрузки теперь уже не будут сов-
падать. Установлено, что при нагружении за пределом упругости для уве-
личения деформации требуется дальнейшее увеличение напряжений, хотя
наклон кривой напряжение — деформация убывает после достижения
предела упругости. Это увеличение напряжений связывают с явлением:
деформационного упрочнения. Если теперь в точке А кривой нагружения
частично разгрузить образец, то наклон линии разгрузки будет почтя
точно таким же, как начальный наклон кривой нагружения. Это же остается
справедливым и для наклона кривой повторного нагружения образца
в точке В (на рис. 14.3 ширина петли АВС сильно преувеличена). Если
повторное нагружение продолжается далее точки С, то эксперименты пока-
зывают, что кривая зависимости напряжение — деформация за этой точкой
по существу одинакова как для процесса нагружения без разгрузки, так
и для повторного нагружения.
Эксперименты, проведенные при различных уровнях температуры,
показывают, что кривые нагружения и разгрузки зависят от температуры,
особенно у предела упругости и за ним.
Явление пластического течения усиленно изучалось с позиций физики
твердого тела. Центральным элементом такой теории является представле-
ние о несовершенстве кристаллической решетки и наличии дислокаций.
Хотя таким путем могут быть объяснены многие стороны явления и полу-
чены частичные количественные оценки, в дальнейших частях книги эта
теория привлекаться не будет. В п. 14.6 излагается теория пластичности,
основанная на некоторых постулатах, и описывается идеальное тело,
отражающее многие особенности, которые можно наблюдать в опытах.
по пластическому течению.
14.4. Идеализированные теории и материалы. В предыдущих пунктах
были описаны две разновидности неупругого поведения тел: упруго-
вязкое, проявляющееся в виде релаксации напряжений и ползучести,
и пластическое, включающее пластическое течение и упрочнение. В зави-
симости от продолжительности процесса и уровня напряжений и темпе-
ратур данное тело может деформироваться упруго или испытывать один
или оба из указанных видов неупругой деформации. Это можно схемати-
чески проиллюстрировать с помощью рис. 14.4, где для гипотетического
материала построены поверхности, отделяющие области, в которых роль
пластических и упруго-вязких деформаций становится значительной. Для
простоты принято, что точка О соответствует малым, но положительным
значениям отложенных параметров; таким образом, предельные случаи,
например равное нулю напряжение, не рассматриваются. Для процессов,
параметрам которых соответствуют точки, располагающиеся ниже обеих
поверхностей, достаточную точность дает термоупругая идеализация. Из
диаграммы видно, что для некоторых процессов существенное значение
имеет только один из видов неупругой деформации. Поэтому в качестве
первого шага целесообразно выбирать такие соотношения между напря-
жениями и деформациями, которые описывали бы идеализированные мате-
риалы двух различных классов. Как уже указывалось, при пластических
деформациях, за исключением случаев очень быстрого нагружения, время
Играет незначительную роль; идеализированные теории пластического тече-
ния формулируются таким образом, что поведение идеально пластического
тела вообще не зависит от времени. В отличие от этого к идеализированным
теориям упруго-вязкого течения относятся теории, учитывающие влияние
14.5. Зависимости для упруго-вязких тел
зэ;
времени. В следующем пункте будут рассмотрены соотношения меж,щ
напряжениями и деформациями в рамках идеализированной теории упруго
вязкого течения. Различные стороны идеализированной теории пластич-
ности рассматриваются в п. 14.6—14.10.
Рис. 14.4. Диаграмма, иллюстрирующая относительную роль различ-
ных видов неупругой деформации.
Для процессов, которым соответствуют точки выше поверхности Р, основное
значение имеет пластическое течение; для процессов выше поверхности V —
упруго-вязкие эффекты. Упругая идеализация применима к процессам, которым
соответствуют точки, расположенные ниже обеих поверхностей.
В тех случаях, когда существенное значение имеют и упруго-вязкая
и пластическая деформации, необходимо объединить обе теории, что опре-
деляет идеализированные упруго-вязко-пластцнеакие тела. Этому вопросу
посвящен п. 14.11.
14.5. Зависимости между напряжениями и деформациями для упруго-
вязких тел. Рассмотрим, какую форму должны иметь зависимости между
напряжениями и деформациями для идеальных тел, в которых может раз-
виваться ползучесть и релаксация напряжений.
Характер этих зависимостей может быть выявлен с помощью простых
механических моделей, состоящих из пружин и поршней, например, как
модель, показанная на рис. 14.5. Вначале для простоты предположим, что
пружина и поршень имеют линейные характеристики, т. е. удлинение пру-
жины и скорость перемещения поршня прямо пропорциональны воздей-
ствующим на нчх усилиям. Так как элементы соединены последовательно,
то на каждый из них будет передаваться одна и та же сила. Тогда удли-
нение пружины равно
X! = 4-F, (14.5.1)
м
Глава 14. Формулировка задач для неупругих систем
где k — коэффициент жесткости пружины, а скорость перемещения поршня
будет
= (14.5.2)
где т] — коэффициент вязкости. Точкой, как обычно, обозначена произ-
водная во времени. Так как полное перемещение модели равно
х = лу 4-*2, (14.5.3)
та, дифференцируя (14.5.1) и складывая результат с (14.5.2), получаем
уравнение
+ (14.5.4)
описывающее механическое поведение модели, изображенной на рис. 14.5.
Для каждого из гипотетических вариантов испытания, описанных в п. 14.2,
F
Р
Рис. 14.5. Механическая модель упруго-вязкого тела Максвелла,
состоящая из пружины и поршня.
уравнение (14.5.4) легко интегрируется. Если усилие сохраняет постоянно
.значение Fo, то из (14.5.4) следует, что
x = xo + ±Fot, (14.5.5
тде Хо—начальное удлинение, равное Folk. Очевидно, что величина х
зависит только от деформации пружины, так как поршню требуется некс
торос время, чтобы получить конечное перемещение г). Для принято
модели деформация ползучести возрастает со временем по линейному закону
2) С математической точки зрения такое обоснование при определении х0 (ил
Уф в последующем примере), базирующееся на физическом представлении о модел!
не вполне удовлетворительно. Этого можно избежать, если рассматривать внезапи
приложенное усилие (пли деформацию) как предельный случай постепенно возрастав
йцего усилия (деформации) (см. п. 15 6).
14.5. Зависимости для упруго-вязких тел
39!
С другой стороны, если поддерживается постоянное значение дефор
мации Л'о, то из (14.5.4) следует, что
F = Foe-</i/T»(, (14.5.6
где Fo — начальное значение усилия, равное kxa. Очевидно, что величине
Fo также зависит только от деформации пружины. Для принятой моделг
усилие убывает со временем по экспоненциальному закону.
Схемы подобного типа можно рассматривать или как модели, которьк
действительно отражают некоторые особенности микроструктуры данногс
материала, или же просто относиться к ним как к удобному средству, позво
ляющему путем аналогии вывести нужные зависимости между напряже
ниями и деформациями. Модели на рис. 14.5 и уравнению (14.5.4) соответ
ствует для одномерной задачи следующая зависимость между напряже
ниями и деформациями:
(14.5.7
Для того чтобы полученные из рассмотрения моделей зависимости
между напряжениями и деформациями приводили при расчете на ползучесп
и релаксацию напряжений к результатам, ближе совпадающим с экспе
риментальными данными, можно строить механические модели, состоящие
из нескольких пружин и поршней, соединенных между собой как после
довательно, так и параллельно. При этом в зависимости между напряже
ниями и деформациями войдут их более высокие производные по времени
Однако и не прибегая к соответствующим механическим моделям, можн(
непосредственно обобщить уравнение (14.5.7), вводя в него более высокие
производные. Тогда общее линейное дифференциальное уравнение одно
мерной задачи упруго-вязкой деформации может быть записано в форме
— (14.5.8
где Р и Q — дифференциальные операторы, соответственно равные
дт о
Р — ат ат-1 -и • • • 4- а1 4- а0, ,
Q Ьп + bn^t дг.,,_ г 4- • • • 4- bi 4- b№. J
Очевидно, что использование таких обобщенных соотношений позволяет
практически аппроксимировать экспериментальные данные с помощьк
большего числа параметров.
Перейдем к обобщению полученных одномерных зависимостей междт
напряжениями и деформациями на случай трехмерной задачи. Экспери
менты показывают, что в условиях всестороннего чисто гидростатическое
сжатия практически при любых температурах и напряжениях материалъ
деформируются почти идеально упруго. Это свойство должно учитывать^
в любой теории, касающейся неупругих деформаций, поэтому тензорь
напряжения и деформации и ег; принято представлять в виде сумм и;
средних значений и и s и девиаторов и ец, которые определяются фор
мулами
о — тг о ц,
’ (14.5.10
1
s~ 3 8г-г, J
slj = Gij — bi]a,
еи = И 6’
(14.5.11
396
Глава 14. Формулировка задач для неупругих систем
где 6г-; — символ Кронеккера:
1 1 при / = /,
О;; = /ч
1 I 0 при i ф ].
Связь между средними значениями о и е выражают в той же форме,
как и в случае чисто упругой деформации, что отражает эксперименталь-
ный факт, о котором говорилось выше. С учетом температурного расши-
рения
е = ^Н-а7\ (14.5.12;
где k — модуль объемной упругости материала. Следовательно, неупру-
гие свойства определяются зависимостями между девиаторами тензорОЕ
напряжения и деформации. Очевидно, что общее линейное уравнение трех-
мерной задачи упруго-вязкой деформации можно получить путем обоб-
щения уравнения одномерной задачи (14.5.8), записав его в виде
Psa = (ieih (14.5.13;
где Р и Q — дифференциальные операторы, определяемые согласно (14.5.9).
Отметим, что температура не входит в уравнение (14.5.13). Это обстоятель-
ство можно рассматривать как естественное обобщение задачи термоупру-
гости, где уравнение связи между девиаторами тензоров напряжения
и деформации не содержит температурных членов, или же оно может быть
доказано, исходя из основных принципов термодинамики и свойств тен-
зоров, как было показано в п. 1.13. Разумеется, коэффициенты at и bt,
входящие в выражения для операторов Р и Q, могут зависеть от темпера-
туры.
Широкому изучению подверглись следующие три частных случая
уравнения (14.5.13), определяющие так называемые тело Максвелла, тело
Кельвина (или тело Фогта) и обобщенное линейное тело:
' -J-’ Ш.-1
e‘i ~ 2р SiJ + 2r\SiJ
+ 2цег; •-= si}
etj + &ij = j
тело Максвелла, (14.5.14)
тело Кельвина, (14.5.15)
обобщенное линейное тело. (14.5.16)
Здесь р — модуль сдвига материала, ц — коэффициент вязкости,
£—константа материала, не имеющая общепринятого названия.
На рис. 14.5 была показана одномерная механическая модель тела
Максвелла; аналогичные модели можно построить и для других тел. Легко
видеть, что соответствующим выбором констант обобщенное линейное тело
может быть преобразовано как в тело Максвелла, так и в тело Кельвина.
Уравнение (14.5.12), связывающее среднее напряжение, среднюю
деформацию и температуру, и общее уравнение связи между девиаторами
тензоров напряжения и деформации (14.5.13) можно объединить в единое
уравнение, выражающее зависимость между напряжениями и деформа-
циями. Подставляя в (14.5.13) значения зи- и etJ, согласно (14.5.11) полу-
чаем
P(<7i7-6oo) = Q(eij-6ue), (14.5.17)
и после подстановки значения о из (14.5.12) приходим к желаемому резуль-
тату
Рщ7=:(28О- + (^-(2/3)бг>8^~-3^бг7-РЛ (14.5.18)
14.5. Зависимости для упруго-вязких тел
397
где для обозначения средней деформации е использовано выражение
(14.5.10). При Р = 1, Q = 2р из уравнения (14.5.18) вытекает зависимость,
принятая в теории термоупругости между напряжениями и деформациями.
В некоторых случаях девиатор тензора деформации удобно представ-
лять в виде двух слагаемых: упругой части е^., связанной с девиатором
тензора напряжения соотношением упругости
= (14.5.19)
и остаточной упруго-вязкой части деформации еУ. Так, для тела Максвелла
из уравнения (14.5.14) следует
(14.5.20)
Если ввести некоторый коэффициент ц*, не накладывая условия, чтобы
он был постоянной величиной или зависел только от температуры, то и для
других упруго-вязких тел линейную связь между девиаторами тензоров
напряжения и деформации можно представить в форме уравнения (14.5.20),
т. е.
•у _ 1
eij— 2т)* SU-
Например, при
t •
n-SjJ J (X Sij
0
n
е-(и/ч)(г-т)5.дт)(гт_
1 0
(14.5.21)
(14.5.22)
получается зависимость для тела Кельвина 4). Уравнение в форме (14.5.21)
будет использовано в п. 14.11.
Сопоставляя характеристики ползучести или релаксации напряжений,
рассчитанные на основе принятой зависимости между напряжениями и де-
формациями для упруго-вязкого тела, с соответствующими эксперимен-
тами, можно установить, в какой степени пригодна та или иная зависи-
мость для данного материала в определенных условиях испытания. Этот
расчет не представляет трудностей, так как касается однородного напря-
женного состояния. Зависимость параметров от температуры можно опре-
делить, проведя серию экспериментов при различных постоянных тем-
пературах. Так, в работе Уэйнера и Меканика [8 ] были определены пара-
метры обобщенного линейного тела [уравнение (14.5.16)], при которых
обеспечивалось наилучшее совпадение с экспериментальными данными
Кэ [9] по релаксации напряжений при кручении чистого алюминия. Чтобь
в дальнейшем было легче пользоваться зависимостью между напряжениями
и деформациями, было принято, что параметры ц и £ не зависят от тем-
пературы и соответственно равны р, = 27-104 кг/слг2 и £ = 0,677 1/сек.
Выбранные значения ц в зависимости от температуры приведены на рис. 14.6.
На рис. 14.7 показаны кривые релаксации напряжений, рассчитанные
х) Этот результат можно получить, решая (14.5.15) как обыкновенное дифферен-
циальное уравнение относительно неизвестной ец при произвольно заданной функцих
5,-; (I).
398
Глава 14. Формулировка задач для неупругих систем.
исходя из принятой теории упруго-вязких деформаций. Там же для сраи
нения нанесены экспериментальные кривые. Так как взятые из цитиро
ванной работы соотношения предназначались для анализа процесса дли
цельностью 20 сек, то можно было ограничиться требованием, чтобы рас
четные и экспериментальные данные соответствовали друг другу толью
в указанном интервале времени.
Рис. 14.6. Расчетные значения коэффициента вязкости т] для чистого
алюминия, при которых обеспечивается наилучшее совпадение с резуль-
татами экспериментов Кэ [9] (ц= 3,85-10е фунт/кв-дюйм, £ = 0,677се/с~1).
Как видно из диаграммы рис. 14.6, коэффициент вязкости алюминия
сильно зависит от температуры. Это в равной степени относится и к дру-
гим материалам и соответствует тому, что можно было бы ожидать, исходя
из представлений физики твердого тела. Кроме того, установлено, что в ряде
случаев для правильного количественного описания свойств реальных
материалов требуется использовать нелинейную упруго-вязкую зависи-
мость между напряжениями и деформациями. Предложена, например,
следующая зависимость:
^• = coexp(=.C1)(ns)ns^ (14.5.23)
где IIS—второй инвариант девиатора тензора напряжений1). Следует
отметить, что эта нелинейная зависимость также может быть представлена
в форме (14.5.21) при соответственно определенном параметре ц*.
14.6. Идеализированная теория пластичности2) упрочняющегося тела.
Основные положения рассматриваемой теории можно сформулировать,
опираясь на результаты испытаний при одномерном напряженном состоя-
нии, которые были описаны в п. 14.4. Было отмечено, что наклон линии
Э Приведенную экспоненциальную форму температурной зависимости можно
вывести исходя из положений физики твердого тела [1]. В работе [10] на основе обра-
ботки экспериментальных данных [11] и [12] приводятся следующие значения кон-
стант: Cf = 40 000° К и п = 2 для нержавеющей стали и п = 1 для алюминия.
2) Излагаемая идеализированная теория пластичности полностью соответствует
трактовке Прагера [13]; см. также работу [14]. С историей развития теории пластич-
ности можно ознакомиться по работам [5], [6] и [13].
Рис. 14.7. Сравнение экспериментальных и аппроксимирующих расчетных кривых релаксации напряжений для чистого алюминия
(рис. 14.6).
400 Глава 14. Формулировка задач для неупругих систем
разгрузки очень близко совпадает с наклоном начального участка кривой
нагружения и, следовательно, характеризуется модулем упругости Е. Е
соответствии с этим естественно принять в идеализированной теории, чтс
наклон обеих кривых в точности одинаков. Если в точке А линии на-
гружения (рис. 14.8), где напряжение и деформация соответственно равны
оу н 8Ъ разгрузить образец, так что напряжения упадут до нуля, то при
Рис. 14 8 Идеализированная диаграмма пластической деформации
для одномерной задачи
принятом выше допущении деформация уменьшится на величину е® = <Ji IЕ,
причем образец сохранит некоторую остаточную деформацию ef. Поэтому
можно считать, что деформация в точке А состоит из двух компонент —
упругой и пластической ef, так что
+ (14.6.1)
где
(14.6.2)
В идеализированной теории предполагается, что при дальнейшем изме-
нении напряжений в образце пластическая деформация ef не меняется
до тех пор, пока напряжение Oi и деформация Ei не вернутся к тем значе-
ниям, которые они имели в точке А, или не достигнут точки С (рис. 14 8 ).
Затем пластическая деформация изменяется в соответствии с кривыми XZ
илиХ'И'. Кривая X'Z' представляет собой зеркальное отражение кривой
XZ по отношению к началу координат. Рис 14.8 удобнее перестроить в виде
зависимости Oj от ef, как показано на рис. 14 9. Так как процесс изменения
пластической деформации является диссипативным, то постулируется, что
при изменении деформации на величину def должно удовлетворяться не-
равенство г)
О!<4е^>0, когда def #= 0. (14.6.3)
Это требование, которое называют условием необратимости, эквивалентно
указанному выше условию, согласно которому продвижение по кривым
XZ или X’Z' возможно только в указанном направлении. Если попы-
Э Можно показать, что с точки зрения термодинамики приведенное неравенство
соответствует такому условию, что внутреннее изменение энтропии положительно
14 6 Идеализированная теория пластичности упрочняющегося тела
401
'таться изменить напряженное состояние образца с тем, чтобы начать про-
двигаться в противоположном направлении, то произойдет разгрузка без
изменения пластической деформации. Второе требование, которое опре-
деляется физической природой кривых XZ и X'Z', заключается в том, что
Рис 14 9 Диаграмма рис 14 8, пересчитанная для случая, когда по оси
абсцисс отложена пластическая компонента деформации ef = ej — е®.
если точка, характеризующая напряженное состояние, остается на этих
кривых, то приращения напряжения d<\ и пластической деформации deZ
связаны между собой неравенством
dcr1def>0, когда def #= 0. (14.6.4)
Это требование носит название условия устойчивости. Если бы оно не
соблюдалось, то форма равновесия образца под действием постоянной
нагрузки была бы неустойчивой
Рис 14 Ю Модификация диаграммы рис 14 9 с учетом температурных
эффектов.
Предыдущий анализ относился к образцу при постоянной температуре.
Как указывалось в п. 14.4, эксперименты показывают, что при изменении
') С дальнейшим анализом вопросов устойчивости можно познакомиться по ра-
боте Друкера [15]
26 Боли и Уэйнео
402 Глава 14. Формулировка задач для неупругих систем
температуры меняется и кривая зависимости между напряжениями и дефор-
мациями. Влияние температуры можно отразить графически, добавив
к рис. 14.9 температурную координату, как показано на рис. 14.10. Теперь
пластическая деформация может изменяться только таким образом, чтобы
значения o'!, е'' и Т определяли точки, остающиеся на поверхности теку-
чести S. Можно считать, что условия необратимости и устойчивости, кото-
рые выражаются неравенствами (14.6.3) и (14.6.4), остаются в силе для
любой заданной температуры. Излагаемая теория не исключает возмож-
ности учета зависимости упругих свойств материала от температуры. Для
того чтобы найти полную деформацию, соответствующую каким-либо задан-
ным значениям cTj, и Т, надо к добавить термоупругую деформацию,
соответствующую ст; и Т. Однако в дальнейшем ради простоты будем
считать, что упругие свойства материала не зависят от температуры.
С практической точки зрения такое упрощение оправдывается тем, что
в задачах, связанных с пластическим течением, влияние температурной
зависимости упругих свойств обычно относится к вторичным эффектам.
Перейдем теперь к обобщению рассматриваемых результатов на случай
трехмерного напряженного и деформированного состояния. Исходя из
экспериментальных данных, примем, что соотношения между средним
напряжением, средней деформацией и температурой, как и при упруго-
вязких деформациях, по-прежнему определяются уравнением теории термо-
упругости (14.5.12). Тогда неупругий характер деформации найдет отра-
жение только в соотношениях между девиаторами тензоров напряжения
и деформации и температурой; влияние температуры проявляется лишь
благодаря тому, что от нее зависит условие текучести. По аналогии с одно-
мерной задачей примем, что девиатор тензора деформации еи состоит из
упругой ей и пластической е?. компонент, т. е.
= (14.6.5)
Зависимость между девиатором тензора напряжения Stj и упругой частью
девиатора тензора деформации принимается такой же, как в задаче термо-
упругости, т. е.
$г,- = 2рА> (14.6.6)
Что касается пластической деформации, то полагают, что она может менять-
ся только с того момента, когда значения s2y, е?. и Т начинают удовлетво-
рять определенной функциональной зависимости J)
/(%, 4 7’) = 0, (14.6.7)
которую называют условием текучести материала. Дальнейшее измене-
ние пластической деформации должно протекать в соответствии с этим
условием. Предполагается, что функция текучести материала f непрерывна
вместе со своими частными производными. Иногда удобно пользоваться
геометрическим языком; в этом случае говорят, что уравнением (14.6.7)
определяется поверхность текучести в пространстве координат s,-;, еГ. и Т.
Знак функции текучести условимся определять таким образом, чтобы для
ненапряженного недеформированного состояния было
f(0, 0, Т)<0. (14.6.8)
’) Уравнение (14.6.7) не является наиболее общим видом уравнения, описываю-
щего деформации с упрочнением; см., например, работу [6].
14.6. Идеализированная теория пластичности упрочняющегося тела
403
Тогда очевидно, что в соответствии с предыдущими положениями не могут
существовать напряженные состояния, при которых функция f прини-
мала бы положительное значение. Эти состояния поэтому называются недо-
пустимыми. Допустимыми состояниями являются только такие, для которых
f (si;, <4 Т)<0. (14.6.8а)
Рассмотрим элемент материала, состояние которого определяется про-
извольной точкой (si}, е?., Т) на поверхности текучести f (sij, е?., Т) == 0.
Если Sij и Т — скорости изменения соответственно напряжения и темпе-
ратуры, то скорость изменения функции f равна
+ + (14.6.9)
где значения всех частных производных определяются для начального сос-
тояния (stj, ef., Т), а скорость пластической деформации еР остается пока
неопределенной. Процессы, сопровождающиеся изменением пластической
деформации (ei}p #= 0), возможны, согласно принятому выше допущению,
только в том случае, когда они совместимы с условием текучести, т. е. когда
(W.e.io)
2 J
Это уравнение было названо Прагером уравнением совместимости.
Рассмотрим три случая, когда состояние материала может меняться
при заданных значениях S;j и Т.
а) Из уравнения (14.6.9) следует, что хотя отличные от нуля изменения
ер. возможны только в том случае, когда изображающая точка остается на
поверхности текучести, обратное утверждение было бы неверным. Иначе
говоря, компоненты напряжения и температура могут меняться таких
образом, что пластическая деформация будет сохраняться постоянной,
несмотря на то, что точка остается на поверхности текучести. Для подоб-
ных изменений, которые назовем нейтральными, имеем условие
(14.6.11;
б) Если в результате изменений 8ц и Т изображающая точка, нахо-
дившаяся ранее на поверхности текучести, займет положение вне этой
поверхности, то при этом значение функции f должно уменьшиться, а е,-
останется постоянной. Следовательно, для таких изменений, которые
можно назвать разгрузкой,
в) Последний возможный вариант, когда точка остается на поверх
ности текучести и при этом
^„+|Д>0, (14.6.13
назовем пластическим нагружением. Предполагается, что пластическа$
деформация может изменяться только при указанном условии.
В частном случае постоянной температуры применяются услови>
необратимости и устойчивости, которые можно обобщить для трехмерно!
задачи следующим образом.
404
Глава 14. Формулировка задач, для неупругих систем
Условие необратимости
если f = 0 и Sij > 0; (14.6.14)
Условие устойчивости
Sq ef} > 0, если f = 0 и j~~.Su > 0. (14.6.15)
Если сопоставить эти два условия, установленные для процессов с пос-
тоянной температурой, с уравнением (14.6.13), то становится очевидным,
что условия f = 0 и (df/dSij) Su~r>6 эквивалентны требованию, чтобы е? Ф 0.
Выше в идеализированной форме были рассмотрены различные осо-
бенности процесса пластического течения. Теперь необходимо установить
такие функциональные зависимости между s;;, е£- и Т, которые удовлет-
воряли бы этим идеализированным представлениям. Ранее выдвинутых
требований недостаточно для того, чтобы полностью охарактеризовать эти
зависимости. Однако если потребовать, чтобы вытекающие из них резуль-
таты не зависели от начала отсчета времени, то уравнения, связывающие
деформацию с напряжением, должны быть однородными относительно
ef„ s;j и Т. Простая зависимость, которая удовлетворяет этим условиям,
имеет вид
efj^AuMSM-УВиТ, (14.6.16)
где компоненты тензоров Ацм и зависят от состояния материала
ef), Т), которое может не быть изотропным, хотя сам по себе материал
изотропен. Поэтому нет оснований рассматривать коэффициенты А им
и В1} в качестве компонентов изотропного тензора (в отличие от разо-
бранного в п. 1.13 случая упруго-вязкой деформации, где коэффициенты
представляли собой характеристики свойств материала). В то же время
необходимо, чтобы для случая нейтрального изменения напряжения и тем-
пературы [уравнение (14.6.11)1 из общей зависимости (14.6.16) вытекало
efj = 0. Это можно легко обеспечить, если принять, что
Аим = Си^, (14.6.17)
Вц — Си~^, (14.6.18)
где компоненты тензора зависят от состояния материала (s,;, ef), Т).
При этом условием устойчивости (14.6.15) налагается требование, чтобы
> °, если / = 0 и -^L-si}>0. (14.6.19)
Указанному условию можно удовлетворить, принимая, что
с« = т^т. (Н-6-20)
где D — положительно определенная скалярная функция состояния (зг7,
Т). Таким образом, зависимость между напряжениями и деформациями
аиожет быть записана в виде
(14.6.21)
14.7. Идеализированная теория пластичности', идеально-пластическое тело 40Е
Подставив эту зависимость в уравнение (14.6.10), найдем, что
О=-Д-Д-. (14.6.22)
д*и de?
Так как, согласно условию устойчивости, требуется, чтобы функция £>
была положительно определенной, то функция текучести должна удовлет-
ворять неравенству
^L2L<0, если/ = 0. (14.6.23)
osiJ де,.
Второе требование, ограничивающее возможный вид функции текучести,
налагается условием необратимости. Из уравнений (14.6.14) и (14.6.21)
при положительно определенной функции D следует, что
>0, если f — ®- (14.6.24)
Окончательно зависимость между девиаторами тензоров напряжения
и пластической деформации принимает вид
еу = 0, если f < 0 или если f = 0 и (si7 + т'А < 0.
V У (14.6.25)
•р 1 df Z df • df , n df ' df • „ v 7
eii~ D dstj ^dsuShl+ dTT) ’ ds.} sij +dtT>°-
где D определяется уравнением (14.6.22), а функция текучести f должна
удовлетворять условиям (14.6.23) и (14.6.24). Уравнения (14.6.25) назы-
вают ассоциированным законом течения, так как они соответствуют условию
текучести f (si}, ец, Т) = 0. Для того чтобы получить полную систему зави-
симостей между напряжениями и деформациями для идеализированного
тела, к ним нужно добавить соотношения (14.6.6), связывающие девиаторы
тензоров напряжения и упругой деформации, и соотношения (14.5.12)
между средним напряжением, средней деформацией и температурой.
14.7. Идеализированная теория пластичности; идеально-пластическое
тело. Общие уравнения (14.6.25), учитывающие упрочнение, т. е. влияние
пластической деформации на условие текучести, оказываются в общем слу-
чае слишком сложными для аналитических расчетов. Поэтому обычно при-
меняются дальнейшие упрощения. Предполагается, что условие текучести
не зависит от пластической деформации. В этом случае идеализированное
тело называют идеально-пластическим. Если упругая компонента дефор-
мации пренебрежимо мала, то приходим к идеально-жестко-пластическому
телу; если при анализе упругая часть деформаций принимается во вни-
мание, как это будет сделано ниже, то тело называют идеально-упруго-
пластическим. Зависимость между напряжениями и деформациями для
такого тела можно вывести, рассматривая его как предельный случай
упрочняющегося тела с функцией текучести вида f (stj, сец, Т), когда в пре-
деле с ->0. Допустим, что функция текучести, зависящая от s;j, Т,
удовлетворяет условиям (14.6.23) и (14.6.24) при произвольном значении
с > 0. Введем обозначение
Ьг! = се?
tJ гр
Из равенства (14.6.22) следует
п_ df df df df
dsn ge? dsn dbtj ’
(14.7.1)
(14.7.2)
406
Глава 14. Формулировка задач для неупругих систем
а из уравнения (14.6.10)
+ <14ЛЗ:
Тогда для некоторого значения с > 0 ассоциированный закон течения
(14.6.25) можно записать в виде
ец = 0, если f < 0 или если f = Q и si; + 44 Т < 0, !
7 ’ ' 1 dsfj J дТ I
л+‘и (14.7.4'
dsrs dbrs
Допустим теперь, что при произвольных, но фиксированных значе-
ниях Sij, Т, s,j, Т величина с ->0. Если обозначить
Шу, T) = f(sy, О, Т),
(14.7.5;
(14.7.6;
то ассоциированный закон течения для идеально-пластического тела при-
мет вид х)
eij — O, если < 0 или если f0 = 0 и St,- + Т < 0, I
. [ (14.7.7;
е£ =+, если/:о = О и -4^- stj + Т — 0. I
1 dslj ’ ' двц lJ 1 дТ 1
Как и прежде, для получения полной системы зависимостей между
напряжениями и деформациями к уравнениям (14.7.7) надо добавить соот
ношение между девиаторами тензоров напряжения и упругой деформациг
4=^,-, (14.7.8;
где
еа — еи + ег.ь (14.7.9
и соотношение между средним напряжением, средней деформацией и тем-
пературой
е = ^ + аГ. (14.7.Ю;
Отметим, что при с = 0 возможность неравенства во второй строке (14.7.4;
исключается. Кроме того, функция f0(,stj, Т), для которой dfo/defj = 0,
не удовлетворяет, условию (14.6.23), которое накладывается на функции
текучести условием устойчивости. Таким образом, идеально-пластическое
тело не может сохранять равновесное состояние при постоянной нагрузке
Однако требование, связанное с условием необратимости (14.6.24), остается
в силе по отношению к функции f0, поскольку выше было принято, чтс
функция f удовлетворяет этому условию. Из последнего уравнения и перво-
начального выражения для условия необратимости (14.6.14) видно, чтс
!) Последнее неравенство системы (14.7.4) становится теперь невозможным, тар
14.8. Теорема единственности для идеально-пластического тела
407
коэффициент пропорциональности X во втором соотношении (14.7.7) должен
быть неотрицательным. До тех пор пока условия текучести не будут заданы
в явной форме, ничего другого сказать о коэффициенте X нельзя. Это будет
выполнено в п. 14.9 и 14.10, соответственно посвященных условиям теку-
чести Мизеса и Треска. В следующем пункте рассматривается вопрос об
единственности решений в теории идеально-пластического тела.
14.8. Теорема единственности для идеально-пластического тела. В свя-
зи с большим числом допущений, сделанных при обосновании теории идеаль-
но-пластических тел, особое значение приобретает теорема единственности,
на основе которой могут быть соответствующим образом сформулированы
краевые задачи, использующие эту теорию. Так как зависимости между
напряжениями и деформациями включают в себя скорости деформаций,
то целесообразно рассмотреть краевые задачи по определению скоростей
изменения компонент напряжения, деформации и перемещения. Если
распределение напряжений в текущий момент времени и сложившееся
к этому времени состояние единственным образом определяют указанные
скорости, то и соответствующие суммарные характеристики при заданном
начальном состоянии тела должны в течение всего процесса определяться
единственным образом. Поскольку для идеально-пластического тела зави-
симостями между напряжениями и деформациями не устанавливаются
определенные значения скоростей пластической деформации, то очевидно,
что нельзя доказать и единственность этих скоростей или соответствующих
скоростей перемещений в общей краевой задаче. Однако представляется
возможным доказать единственность скоростей напряжения, что чаете
представляет наибольший интерес. Таков смыл теоремы единственности,
формулировка и доказательство которой приводятся ниже.
Теорема. Пусть для некоторого момента времени Zo заданы зна-
чения Ojj, Т и Т в каждой точке тела, занимающего непрерывную область
D-фВ, и значения скоростей изменения поверхностных сил Si в каждой
точке граничной поверхности В. Предположим, что для любой точки тела
f (sij, 7)<0х). Тогда существует не более одной системы функций otj,
определенной во всей области D + В в момент времени t = £0, которая
удовлетворяет следующим условиям-.
1) во всей области D В функции csi} принадлежат к классу Са> (по
отношению к пространственным координатам)-,
2) = 0 в0 все1'1 области D;
3) вцП] = St в каждой точке поверхности В;
4) f = Stj < 0 во всей пластической области, которая
определяется условием f (stj, Т) = 0;
5) существуют такие скорости изменения перемещений щ класса С'г
(по отношению к пространственным координатам), что соответствующие
им скорости деформаций
sij = -^(Ui,j + Uj,i) (14.8.1)
а) Так как здесь рассматриваются только идеально пластические тела, то функ-
ция текучести обозначена через f, а не f0, как было принято в предыдущем пункте.
408
Глава 14. Формулировка задач для неупругих систем
вместе с (Ту и удовлетворяют общим зависимостям между напряжениями
и деформациями для идеально-пластического тела (14.7.7)—(14.7.10) при
неотрицательном значении X.
Доказательство. Предположим, что существуют две системы
функций [ст*;, e*j, и*] и [оу, еу, Uj], которые удовлетворяют всем усло-
виям теоремы. Покажем, что во всей области D + В должно быть сту* ==
~ stj. Составим интеграл
7=5 Й-йу) (е!-ёг)с/У= J Й~ау) Wj-ut^dV, (14.8.2)
D D
ИЛИ
1 = 5 K<4j —О7)М——он,/) 04 —(14.8.3)
D D
Вывод выражения (14.8.3), основанный на соотношении (14.8.1.);
ведется точно в такой же последовательности, как и в задаче теории упру-
гости (п. 2.7), и поэтому детально здесь не приводится. В силу условия (2)
второй интеграл в выражении (14.8.3) равен нулю. На основании теоремы
о дивергенции, которую можно здесь применить, так как функции (Ту
и щ непрерывны, первый интеграл преобразуется к виду
I = J (ЙЙ«1-«;)М$ = 0, (14.8.4)
s
где учтено условие (3). Покажем теперь, что подынтегральная функция /,
взятая в ее первоначальной форме (14.8.2), во всей области D больше или
равна нулю. Разделяя в исходном выражении (14.8.4) тензоры скоростей
напряжения и деформации на шаровую и девиаторную части, представим
указанную подинтегральную функцию в следующей форме:
(оц ' Оу) (ei3 еу) —
= [(Sy - Sy) + бу (а* - а)] [Й - etj) +
+ М8*-8)]=(43— 5у)(ё:з—ёу) + 3(;*-а)(8*-ё). (14.8.5)
С учетом зависимостей между девиаторами тензоров скоростей напря-
жения и деформации (14.7.7)—(14.7.9) и между средними значениями напря-
жения и деформации (14.7.10) получаем
(оу — Оу) (8у — By) = qs_, (Sy — Sy) (X* — X) +
I- Й - Sil) Й - Sy) +1 (i* - a)2. (14.8.6)
Очевидно, что последние два члена в (14.8.6) большие или равны нулю;
остается рассмотреть только первый член в правой части уравнения. В этом
члене X* — это значение X из выражения (14.7.7), соответствующее сис-
теме s*у. В тех точках пластической области, где имеет место нагруже-
ние [т. е. для f = 0 и (df/dsy) Sy + (df/ОТ) T = 01, величина X* > 0;
в упругой области (где f < 0) величина X*, согласно первому выражению
14.8. Теорема единственности для идеально-пластического тела 401
/Л =0,
х* > о,
(14.8.7)
х = о,
К -> 0.
(14.7.7), равна нулю; наконец, в тех точках пластической области, где
происходит разгрузка [т. е. где f = 0 и (df Idsu) s*j + (df /дТ) T < 0],
опять-таки X* = 0. Аналогичным образом, X соответствует системе Stj.
Так как производные df ldstj и df /дТ определяются только заданными
в момент времени to значениями si} и Т, то они, естественно, не зависят от
того, какая рассматривается система скоростей, со звездочкой или без.
То же, конечно, относится и к Т. В любой точке упругой области первый
член правой части (14.8.6) обращается в нуль, так как здесь X и /.* равны
нулю. В точках пластической области для каждой из рассматриваемых
систем скоростей (со звездочкой и без) возможны две комбинации, а именно:
<2’’ -о.
(1) -^-so + 4rT<0,
4 ' dsij J дТ
(2) -д? 's..±^Lf= Q
Проверка показывает, что при всех четырех возможных комбинациях
первый член правой части (14.8.6) остается положительным или обращается
в нуль. Следовательно, во всех точках области D подинтегральная функ-
ция / должна быть больше или равна нулю. Так как выше было уже пока-
зано, что / = 0, то подинтегральная функция, будучи непрерывной, должна
быть тождественно равной нулю. Тогда из (14.8.6) следует, что sy = stJ,
о* = о во всей области D, что и требовалось доказать.
Доказанная теорема, справедливая для любого момента процесса,
позволяет, как указывалось ранее, установить единственность решения для
данного процесса в целом. Если вести отсчет времени от начала процесса
(t = 0), то напряженное состояние в момент времени t0 можно определить
в зависимости от начального напряженного состояния и скоростей изме-
нения напряжений в интервале времени 0 < t < t0 уравнением
to
<Pj(P, /0)= J щ-ДР, fjdt + o^P, 0). (14.8.8)
о
Отметим, что в силу принятых гипотез, ст у (Р, /0) принадлежат к тому же
классу СД по отношению к пространственным координатам, что и началь-
ные напряжения. Поэтому предыдущая теорема не применима в тех слу-
чаях, когда, в соответствии с физической сущностью задачи, распределе-
ние напряжений по поверхностям внутри тела не является непрерывным
(например, при скачкообразном изменении температуры). Однако без особых
трудностей теорему можно обобщить как в этом, так и в другом отношении,
например, для более общих граничных условий, обсуждавшихся в п 2.7.
Наконец, теорема единственности вносит определенную ясность в воп-
рос об использовании зависимостей (14.7.7) между скоростями напряжений
и пластической деформации. Если для данного момента времени рассмат-
ривать sZy как неизвестную функцию, то при f = 0, она может, вообще
говоря, удовлетворять любому из требований f < 0 или f = 0. Однако
теорема единственности устанавливает, что благодаря дополнительному
410
Глава 14. Формулировка задач для неупругих систем
требованию Х>0, связанному с условием необратимости, только однг
из этих возможностей удовлетворяет условиям задачи. Подробнее этот
вопрос изложен в п. 14.9.
14.9. Условие текучести Мизеса. В данном и следующем пунктах
рассматриваются два частных вида функции текучести f (si}, Т) для идеаль-
но-пластических тел. Если тело изотропно, то функция текучести может
включать в себя только инварианты IIS и III s девиатора тензора напряже-
ний, так как, по определению девиатора, Is = 0. Для случая постоянной
температуры Мизесом [16] была предложена функция текучести, не содер-
жащая инварианта II Is. С учетом влияния температуры указанную функ-
цию можно представить в виде
(14.9.1:
где k (Т) — предел текучести -1) материала в условиях чистого сдвига
при температуре Т. Эксперименты при постоянной температуре убедитель-
но показывают, что условие текучести Мизеса достаточно хорошо описы-
вает поведение пластичных металлов [17]. При переменной температуре
проведено еще мало опытов.
Из (14.7.7) следует, что закон течения, ассоциированный с условием
текучести Мизеса для идеально-пластического тела, принимает вид
6ij — 0, если у SpqSpq < k2 (Т) или
если ~ SpqSpq = k2 (Т) и SpqSpq —2kk'T <0;
/ t [ (14.9.2;
~ 'h'Siji есЛИ SpqSpq ~ k? (Т) И
s„„sOT — 2kk'T = 0, X > 0,
Л'Ч г'Ч у
где
k' = ~. (14.9.3J
Из второго уравнения (14.9.2) следует, что
Cij Bij = WsijSij = 2№k2,
так что
(14.9.4)
Следовательно, второе уравнение (14.9.2) можно переписать в виде
Напомним здесь, что, согласно условию необратимости, величина X должна
быть неотрицательной. Другое выражение для К, непосредственно пока-
зывающее, что л не может иметь отрицательное значение, получим, умно-
жая обе части второго уравнения (14.9.2) на зг-; и суммируя по i и /.
Ч Для предела текучести здесь сохраняется общепринятое обозначение; тем самым
к двум параметрам, обозначаемым через k (коэффициент теплопроводности и модуль
объемной упругости), добавляется третий. Смысл k легко определяется контекстом.
14.9. Условие текучести Мизеса
41
Тогда
Х = (14.9.5)
т. е. величина X пропорциональна мощности пластического течения (т. е.
мощности, затрачиваемой на пластическое деформирование элемента телг
в единице объема), имеет тот же знак и поэтому не может быть отрица-
тельной. Разумеется, этот вывод является лишь частным приложением
результатов п. 14.7.
Из (14.9.4а) видно, что одна из особенностей общих свойств идеально-
пластических тел заключается в том, что скорости пластической деформа-
ции при условии текучести Мизеса не определяются однозначно ассоции-
рованным законом течения; последний определяет только относительные
значения скоростей деформаций. Из выражений для X также следует, чтс
сходство второго уравнения (14.9.2) с зависимостью для скорости упруго-
вязкой деформации тела Максвелла (14.5.20) имеет чисто внешний харак-
тер. В последнем выражении коэффициент вязкости выражает свойстве
материала; в зависимости от масштаба времени его числовое значение
меняется, и поэтому результаты, полученные с помощью данного или любо-
го другого соотношения для упруго-вязкой деформации, зависят от мас-
штаба времени. С другой стороны, изменение масштаба времени не влияет
на параметры второго уравнения (14.9.2), так что результаты, получен-
ные в соответствии с той или иной теорией пластичности, от масштаба
времени не зависят.
Ассоциированный закон текучести, соответствующий условию теку-
чести Мизеса, в форме (14.9.2) не удобен для расчета температурных напря-
жений, так как, чтобы решить, какое из двух уравнений следует исполь-
зовать, надо знать величины spg, которые, собственно, и необходимо найтк
на каждом этапе расчета. Это уже отмечалось при обсуждении теоремы
единственности (п. 14.8), причем было указано, что из двух уравнений
имеет силу то, которое соответствует условию необратимости или, иными
словами, требованию, чтобы мощность пластического течения была поло-
жительной. Используя этот факт, представим ассоциированный закон
течения в эквивалентном, но более удобном виде.
Предположим, что в данный момент времени
±spgsPq = W(T). (14.9.6)
Тогда скорости напряжений могут удовлетворять в этот момент одному
из двух допустимых условий
SpqSpq— 2kk'T — 0 (14.9.7)
или
spq'spq— (14.9.8)
причем в первом случае мощность пластического течения должна быть
положительной. Умножая для удобства расчета последнюю величину на
2ц, получаем
2р,8;7е^ = 2jiS;j (ег-у SijStj, (14.9.9)
где величина
sf, = 2[ie{J (14.9.10)
412
Глава 14. Формулировка задач для неупругих систем
представляет собой действительную скорость изменения напряжения в упру
гой области (efj = 0) или условную скорость изменения напряжения в плас
тической области. Подставляя (14.9.7) в (14.9.9), видим, что уравнени
(14.9.7) не будет противоречить требованию о положительном значени
мощности пластического течения лишь в том случае, когда
2pSijefj = Sijsf} — 2kk'T > 0.
С другой стороны, если
— 2kk'T < 0,
(14.9.11
(14.9.12
то условие (14.9.7) становится неприемлемым. Очевидно, выражение
(14.9.12) и второе возможное условие (14.9.8) эквивалентны, так как в те
случаях, когда они применимы, sf3 = 8г;. Таким образом, ассоциирс
ванный закон течения приводится к следующему виду:
• р
ei} = 0, если у $Pgspg < k* 2 (Г) или
еСЛИ $pq$pq — (^*) $pq 2kk Т 0,
=z Т-S^j И SpqSpq 2kk T — 0,
если у Spgspq = k2 (Г) и spgSpg — 2kk'T > 0.
(14.9.1с
Для расчета температурных напряжений последние уравнения являютс
более удобными, так как критерий, определяющий, какое из них следуе
выбрать, зависит не от неизвестных скоростей изменения напряжений sp?
а от скорости условных напряжений и, следовательно, от скоросте
деформаций ег;. В большинстве задач о температурных напряжениях скс
роста деформаций ег; являются непрерывными функциями времени. В пре
тивоположность этому, производные компонент напряжения по времен
претерпевают разрыв в тот момент, когда в данной точке происходит перехо
с упругой ветви характеристики материала на пластическую при нагруже
нии или обратно при разгрузке1). При числовых расчетах особенно важне
чтобы определяющие функции были непрерывны, так как при этом значени
функции в пределах небольшого интервала времени можно находить по е
значению в начале интервала.
Примеры расчета температурных напряжений в идеально-пластиче
ских телах с использованием условия текучести Мизеса приводятся в п. 16.
и 3 (для свободных пластинок при изменении температуры только по тол
щине) и в п. 16.6 (для свободного цилиндра при изменении температур!
по радиусу).
14.10. Условие текучести Треска. Кроме условия текучести Мизеса
широкое применение нашло только условие текучести Треска [18]2). Есл:
ограничиться анализом идеально-пластических тел, то для вывода ука
занного условия текучести и соответствующего ассоциированного закон
Ч Подчиняясь условиям совместности, деформации зависят не от того, как веде
себя материал в данной точке (упруго или пластически), а от общего роста пластичс
ской области; последний протекает непрерывно.
2) Возможность применения условий текучести Мизеса и Треска к описанию пове
дения реального материала обсуждается, например, в работе [6].
14.10. Условие текучести Треска
4U
течения удобно предположить, согласно Койтеру [1911), что предел теку-
чести определяется системой независимых функций текучести Т)
ос = 1, . . . , п2). Пластическому состоянию отвечают такие системы значе-
ний Sij, Т, при которых одна или несколько функций текучести равны нулю
в то время как остальные отрицательны. Ни одна из функций текучести
не может принимать положительных значений. При п = 1 приходиь
к теории, изложенной в п. 14.7. Представим компоненты скорости пластиче
ской деформации в виде суммы п составляющих (а)
п
(14.10.1
ct= 1
где каждая составляющая связана с соответствующей функцией текучест!
своими уравнениями ассоциированного закона течения. Согласно (14.7.7)
имеем
сц<а> = 0, если f(a) < 0 или f(a) = 0 и
df(a) • , •
/к. • 1 ат Щ
если Г = 0 и (14'10'2
' dSij 1
= ^>>о.
Так как функции текучести независимы, то возможны процессы, когд
лишь одна из компонент отличается от нуля. Тогда в соответстви:
с условием необратимости каждая из функций текучести должна удовле
творять уравнению (14.6.24) и поэтому все параметры Х(а) должны быт
неотрицательными, как это показано в (14.10.2). И наоборот, очевидно
что если Д> 0, то условие необратимости будет удовлетворяться дл:
любого процесса, в котором по крайней мере одна из компонент скоросте:
пластической деформации не отрицательна. Остается справедливой и тео
рема единственности, доказательство которой лишь слегка отличаете:
от приведенного в п. 14.83 * * *).
Условие текучести Треска можно выразить с помощью системы тре:
функций текучести. Тензоры скоростей напряжения и пластической дефор
мации в данной точке удобно отнести при выводе к главным осям хг (в изо
тропном материале указанные оси для обоих тензоров совпадают). Обозна
чим компоненты тензоров в главных осях соответственно через щ и ef
(I — 1, 2, 3) и введем три функции текучести:
<Т2, <Т3. Т) = \^-о2\-2к(Т),
ГК (Т2, а3, П = |<т2 —<т3| —2^(Т),
ГК о2, о3, Т) = | о3-о, 2k (Т),
(4.10.3
где k (Т) — предел текучести материала в условиях чистого сдвига пр
температуре Т. Однако для простоты последующего анализа ограничимс
1) См. также работу [20].
2) Отметим, что единая поверхность текучести, соответствующая системе функци
/<а\ может иметь в отличие от поверхности, рассматривавшейся в п. 14.7, углы ил
ребра, в которых нормаль к поверхности становится иеоднозначной. Такую поверх
-ность текучести называют сингулярной.
з) См. работу Койтера [19].
414
Глава 14. Формулировка задач для неупругих систем
случаем, когда предел текучести не зависит от температуры. Отметим, чтс
если изменить аргументы с сд на $г, то очевидно, что в соответствии с опре-
делением функций fa\ f2’, f(s> это не окажет на них влияния. Покажем,
что если известно положение напряженного состояния на поверхности
текучести, то при условии текучести Треска компоненты скорости пласти-
ческой деформации ef можно выразить через компоненты скорости девиаторе
полной деформации1) е, = ef + ef.
Прежде чем приступить к выводу общих соотношений для произволь-
ного положения поверхности текучести, рассмотрим два частных случая.
В первом из них только одна из функций текучести равна нулю, в то время
как во втором две функции обращаются в нуль одновременно. В первом
случае положим
/<1>= jS1-s2|-2^ = 0; ^>0,
f(2,< 0, f3’<0,
(14.10.4:
причем возможность разгрузки исключается. Тогда, согласно уравнениям
(14.10.2),
еРза)= 0 (14.10.5)
/=1,2,з. Поэтому (3) . 5 а= 1 | ез - 0. ) На основании зависимостей (14.7.8) и (14.7.9), связывающих (14.10.6) (14.10.7) девиаторы
тензоров напряжения и упругой деформации, 8г = 2рё? = 2р(ёг-ёГ), (14.10.8) так что Sj = 2р. (е< — ef) = 2 р. (ej — Х(1)), s2 = 2pi (ё2 —ef) = 2р.(ё2-Х<2)), (14.10.9) s3 = 2ре3. Тогда, принимая во внимание второе соотношение (14.10.4), находим, что
и, следовательно, Si — s2 = 2р (е4 — е2 — 2Х(1)) = 0, Х(1) =|(ё1-с’2) = ёГ = -ёр , (14.10.10) (14.10.11)
В Это положение, которое доказывается и для общего случая, относится к одному
из важных преимуществ кусочно-линейных условий текучести, к которым принадле-
жит и условие текучести Треска (см. [21]).
414
Глава 14. Формулировка задач для неупругих систем
случаем, когда предел текучести не зависит от температуры. Отметим, чтс
если изменить аргументы с оу на st, то очевидно, что в соответствии с опре-
делением функций f(1>, f<2), f3) это не окажет на них влияния. Покажем,
что если известно положение напряженного состояния на поверхности
текучести, то при условии текучести Треска компоненты скорости пласти-
ческой деформации ef можно выразить через компоненты скорости девиатора
полной деформации1) ег- = ef -j- ef.
Прежде чем приступить к выводу общих соотношений для произволь-
ного положения поверхности текучести, рассмотрим два частных случая.
В первом из них только одна из функций текучести равна нулю, в то время
как во втором две функции обращаются в нуль одновременно. В первом
случае положим
/(1) = I — s21 — 2k = 0; Ду-f si = Sj — s2 = 0, 2ц >0, I
' I i 2i ds. 2 (14.10.4'
f2,<0, f(3’<0, J
причем возможность разгрузки исключается. Тогда, согласно уравнениям
(14.10.2), и И?(1) - ;p(i) Х(1>, (14.10.5) (14.10.6)
;f(2)==;f(3)=0, z==i, 2 3.
Поэтому (3) . ) ef = S efw = сс= 1 й -- кт, (14.10.7)
ef = 0. На основании зависимостей (14.7.8) и (14.7.9), связывающих девиаторы
тензоров так что напряжения и упругой деформации, s; = 2pef =2p(e;-ef), 81== 2ц (ё< - ef) = 2ц (ё4- Х(1)), s2 = 2ц (е2 — ef) = 2ц (е2 — (14.10.8) (14.10.9)
Sg — 2ре3.
Тогда, принимая во внимание второе соотношение (14.10.4), находим, что
s1-s2=2(x (ei-~e2-2K(l)) = 0, (14.10.10)
и, следовательно,
Х(1) =4 (ei-e2)-ef = — ef , (14.10.11)
В Это положение, которое доказывается и для общего случая, относится к одному
из важных преимуществ кусочно-линейных условий текучести, к которым принадле-
жит и условие текучести Треска (см. [21]).
14.10. Условие текучести Треска
где последние два равенства вытекают из двух первых соотношений(14.10.7.).
Таким образом, скорости пластической деформации оказываются выражен-
ными через скорости девиатора полной деформации. Подставляя эти выра-
жения в уравнения (14.10.9), получаем
Si=s2 = (i (ty е2),
Sg — 2jre3.
(14.10.12)
Выведенные соотношения между скоростями девиаторов деформации
и напряжения, не содержащие скоростей пластической деформации, остают-
ся справедливыми до тех пор, пока сохраняют силу уравнения (14.10.4),
т. е. пока напряженное состояние остается в пределах поверхности текуче-
сти, соответствующей условию fa> = 0. В качестве второго частного случая
рассмотрим напряженное состояние, соответствующее угловой точке поверх-
ности текучести. Положим
p> = |S1-s2| -2^ = 0;
jF<2) = | s2 — s31 — 2& — 0;
а/'1’- ' • 0
5г — S1 — S2 — U,
af<2) • : • 0
-^-Si-s2-s3-U,
Xj 0,
^“2^0,
f3) < 0.
Тем же путем, что и в первом случае, найдем
St = (П + е2 + ^з) = 0,
(14.10.13)
(14.10.14)
где учтено, что средняя девиаторная деформация равна нулю. Это вытекает
также непосредственно из (14.10.13), откуда s4 = s2 = s3, и условия, что
среднее девиаторное напряжение равно нулю.
Теперь перейдем к выводу общих соотношений [22], аналогичных
(14.10.12) и (14.10.14), которые были бы применимы для любого допустимого
напряженного состояния и процесса. В частности, они должны быть при-
менимы для состояний, соответствующих положению точки на одной
из поверхностей текучести Треска или в одной из угловых точек, т. е. одно-
временно на двух поверхностях. С этой целью удобно применить символы
у(«) и определенные следующим образом:
<1>
1, если | — s3\ = 2k и I»! — s21 = 0, Х(1)>0,
0, если ) Sj — s21 < 2k или если | st — s21 = 2k и
[(si —s2) sgn (st — s2)] < 0;
1, если |s2 — s3 j = 2Ze и s2 — sg = O, X<2) >0,
0, если |s2 —s3|<2fe или если |s2 — s3\ — 2k и
[(s2 — s3) sgn (s2— S3)] < 0;
1, если |s3 —s1j = 2£ и s3 —Si = 0, л<3’>0,
0, если ls3 — St [< 2k или если \s3 — st\ = 2k и
[(s3 — s1)sgn(s3 — Si)] < 0
б(1) = sgn (st — s2),
§<2) __ y<2)^(2> Sgn
§<з> _ у<з>2уз> Sgn (S3 —
(14.10.15)
(14.10.16)
116
Глава 14. Формулировка задач для неупругих систем.
где sgn х = + 1, если х > 0, sgn х = — 1, если х < О и коэффициенты
№ (а — 1, 2, 3), соответствующие общим уравнениям (14.10.2), могут
иметь только неотрицательные значения. Используя указанные общие
зависимости с учетом условия текучести Треска (14.10.3) и применяя вве-
денные выше обозначения, представим скорости пластической деформации
р -р -р
, е2, е3 в виде
ef =б(1)- 6<3),
ef = _S<X> + 6<2),
ё3 = -6(2> + 6(3).
Подставляя эти соотношения в (14.10.8), получаем
Si = 2И [ё4 — 6С1>+ б(3)],
s2 = 2р [е2 + б(1> —б<2)], •
s3 = 2ц [ё3 + б(2) - 6(3)].
(14.10.17)
(14.10.18)
Три параметра определяются из следующих трех уравнений:
у(1) (Sj - s2) = 0 ,
У(2> (s2 — s3) = 0,
Y(3> (s3 —sj =0.
(14.10.19)
Из (14.10.15) можно видеть, что уравнения (14.10.19) имеют смысл, если
соответствующие у<“> = 1; если же у<“> = 0, то они обращаются в тожде-
ства. Подставляя (14.10.18) в (14.10.19), получим следующие три уравнения
для ё(га):
у(1) (е, - ё2) — 2<5(1) + у(1,6<2) -Ь у(1)6<3) = 0,
у<2) (ё2 - ё3) + у(2)ё(1) - 2б<2, + у<2)6(3) = 0,
у<3)(е3— 6i) — 2б<3) — 0,
(14.10.20)
при выводе которых выражения [у(“)6(га) ] были заменены на д(а); последнее
возможно в силу того, что из (14.10.15) и (14.10.16) следует [у(«->]2 = у(“).
Разрешая уравнения (14.10.20) относительно получаем
=Dy(i> (2 _ у<2уз> _ у(3>)+;2 (_ 2+у(2у3>++
+ ез ( ~ у'2)-У у<3))Ь
ё(2> = Оу<2) [et ( — у(3) + у(1’) + е2 (2 — у(3)у(1> — y<i>) 4-
+ е3 (— 2 щ у'зу i> + у(3>)], (14.10.21)
6(3) = Dy(3) [et ( - 2 р у(1,у<2) -у +е2( — y(i) + +
+ е3 (2 — y'Dya) __ у<2>)],
тде
D = [4 — у(1> у<2’ — у<2> у<3> — у(3)у<1) ]-1
(14.10.21y
14.10. Условие текучести Треска
417
Подставляя эти выражения в (14.10.17), придем к следующим уравнениям
для скоростей пластической деформации
ef = D[*?f (2Y(1> + 2Y(3)-2Y(3¥1))^-
4- ( — 2\(1> у’1’у<2) — у(2)у<3) 4~ у(3,у(1)) 4-
4- ( — 2у<3) — у(1)у<2> Т~ y(2)Y<3) 4" Y<3)Y(1))] >
ef = D (— 2у(1) 4- y<uY<2> — у(2)у(3) 4- у<3)у(1)) 4-
4- ё2 (2у(1) 4- 2у<2) - 2у(1)у<2)) 4-
4~ е3 (— 2у<2) 4- у(1)у<2) + y<2)Y<3) — у<3)у<1))],
= D [щ (— 2у<3) — Ya)Y<2) Т" y<2)y<3) 4* Y<3>Y*1*) Т
+ е2 (— 2у<2) 4~ у(1) у<2> 4- у(2)у<3) — у<3)у(1>) 4~
+ ё3 (2у<2) 4- 2у<3) — 2y<2)y<3>)].
подставляя (14.10.22) в (14.10.8), получаем уравнения для
е3
(14.10.22)
Si
Наконец,
скоростей девиатора тензора напряжения
= 2и О [щ (4 — 2у(1) - 2у<3) — Ya,Y<2> - Y<2¥3> + Y<3)Ya>) -г
4- ё2 (2у(1) — у(1’у<2) -р y(2)Y<3) — у<3>у(1)) +
4- <?з (2у<3) -К y(1’y<2) — y<2)Y<3> — Y<3)Y(1’)],
s2 = 2jxD [et (2y(1) - Y(1)Y<2) + Y<2)Y<3) - Y<3>Y(1>) +
+ e2 (4 — 2y(1) — 2y<2) + Y(1,Y<2) — Y<2)Y(3) — Y<3>Y(1)) + (14.10.23)
4- *'з (2y<2> — y(1)Y<2) — у<2’у<3> -U y^’y*1’)] ,
S3 = 2uD [Ci (2y(3> + y<1>Y<2) — Y<2)Y<3> — Y<3)Y(1>) 4"
4- e2 (2y<2> — y<1>Y<2> — y<2)Y<3> + Y<3)Y<r>) ¥
4- (4 — 2y<2> — 2y<3> — y(1)Y<2) 4~ y<2)Y<3) — Y( 3)Y(1>)1 •
Приведенные выражения обобщают (14.10.12) и (14.10.14) в желаемоу
направлении и в явной форме устанавливают зависимости скоростей девиа
тора напряжения от скоростей девиатора полной деформации и величин у<“)
Отметим, что последние определяются, согласно соотношениям (14.10 15)
которые, в частности, требуют, чтобы (14.10.21) совместно с (14 0.16
приводили к положительным значениям для всех Х(а). Отрицательно*
значение какого-либо Х(а) указывает на разгрузку; тогда соответствующш
параметр у<“) следует приравнять нулю и учесть это в уравнениях (14.10.21
и (14.10.16).
Представляет интерес получить из (14.10.23) простые результаты дл;
трех частных случаев. Первый из них соответствует чисто упругому нагру
жению, у(а) = 0, а = 1, 2, 3. Тогда D = 4 и уравнения (14.10.23) пере
ходят в Si = 2цег, i = 1, 2, 3. Второй случай рассматривался при вывод*
уравнений (14.10.12). Тогда у(1) = 1, Y<2) = Y<3> = 0, D = 4 и легко видеть
27 Воли и Уэйнер
418
Глава 14. Формулировка задач для неупругих систем
что общие уравнения действительно преобразуются в (14.10.12). Наконец,
положим, у(1) = у(2> =- 1, у<3) = 0. Тогда D = 3 и уравнения (14.10.23),
как и следовало ожидать, совпадают с (14.10.14). Из выражений (14.10.15)
видно, что случай у'1’ = у<2> = у<3> = 1 невозможен.
В п. 16.5, где рассматривается задача о свободном цилиндре при нерав-
номерном распределении температуры по радиусу, будет приведен пример
применения изложенной выше теории к расчету температурных напряжений.
14,11. Сочетание упруго-вязких и пластических деформаций. Для про-
цессов, которые в течение длительного времени протекают при высоких
уровнях напряжений и температур, существенное значение могут иметь
как упруго-вязкие, так и пластические деформации (п. 14.4 и рис. 14.4).
В этом случае можно объединить обе идеализированные теории, изложенные
по отдельности в предыдущих пунктах данной главы. Предположим [231,
что девиатор тензора деформации ег1 состоит из упругой е&, упруго-вязкой
и пластической компонент
= (14.11.1)
причем у казанные компоненты связаны с компонентами девиатора тензора
напряжения s!7- теми же зависимостями, как и в теориях частного вида.
Для удобства приведем повторно соответствующие уравнения:
е* = 2^8г7. (14.11.2)
Для используем уравнение в виде (14 5.21)
(14.11.3)
так как подобная форма уравнения, как отмечалось ранее, позволяет опи-
сать поведение широкого класса упруго-вязких тел, если не накладывать
жестких ограничений на характер функциональной зависимости т| от 7
и Sij. Для простоты примем, что определяется ассоциированным законом
течения идеально-пластического тела при условии текучести Мизеса [уравне-
ния (14.9.2)]:
е? = 0, если ~ sosv < /г2 (Т) или
если -i- SijSu = /г- (Т) и sl}sl} — 2kk'T <0;
2 > (14.114)
еР = 7$^, если у 8гДгу = k2 (Т) и
5г]8и — 2кк’Т 0, Х>0.
Требование /.> 0 по-прежнему эквивалентно требованию положитель-
ности мощности пластического течения, т. е.
sue^>0 для е£=£0. (14.11.5)
Мощность упруго-вязкого течения
(14.11.6)
положительна в связи с тем, что коэффициент вязкости т] > 0. Так как
и еТ и е? связаны с одним и тем же диссипативным процессом, то может
Библиография
419
показаться, что с точки зрения термодинамики было бы достаточно заменить
уравнение (14.11.5) менее жестким требованием
so(^ + <p>0 дляе^ + ^^О. (14.11.7;
Однако очевидно, что если для некоторого процесса уравнение (14.11.7)
удовлетворяется, в то время как (14.11.5) не удовлетворяется, то при доста-
точном уменьшении масштаба времени для этого процесса условие (14.11.7)
будет нарушено, так как, поступая таким образом, можно сделать величину
= 1/2т] сколь угодно малой. Желая сохранить общность теории,
необходимо применять уравнение (14.11.5).
Представим далее уравнения (14.11.4) в форме, аналогичной (14.9.13).
которая, как было указано выше, более удобна для расчета температурные
напряжений. Из вывода уравнений (14.9.13) следует, что они остаются
в силе и в рассматриваемом случае, если только заменить в них s®. на s^, где
'Sv = 2ц (^ -е>) = 2цег;--8г/. (14.11.8
Расчет ведется без учета пластического течения, но с учетом вязкогс
течения. Таким образом уравнения (14.11.4) можно представить в следую-
щем окончательном виде:
е? = 0, если у stJSij < к2 (Т) или если
-1 stjSij = к2 (Т) и SlJs* - 2кк'Т < 0;
. . (14.11.9)
e£ = Xsu и s4Sij — 2кк'Т — 0, если
у sosi? = А2(Т) и sMs£ — 2kk'T>Q.
Применение изложенной теории будет проиллюстрировано в п. 16.4
на примере расчета свободной пластины при изменении температуры по ее
толщине.
БИБЛИОГРАФИЯ
1. Фрейде н таль (Freudenthal А. М.), The inelastic behavior of engi
neering materials and structures, John Wiley and Sons, New York, 1950.
2. Граммель (Grammel R.), Verformung und Eliessen des Festkorpers
Internationale Union fur Theoretische und Angewandte Mechanik, Kolloquium Mad
rid, 26—30 Sept 1955, Springer-Verlag, Berlin, 1956.
3. Коттрелл (Cottrell A. H.), Dislocations and plastic flowin crystals
Clarendon Press, Oxford, 1953.
4. P и д (Read W. T.), Dislocations in crystals, McGraw-Hill, New York, 1953
5. Прагер, Ходж (Prager W, Hodge P. G) Theory of perfectly plastic
solids, John Wiley and Sons, New York, 1951; русский перевод: Прагер В.
Ходж Ф. Г., Теория идеально пластических тел, ИЛ, М., 1956.
6. X и л л (Hill R.) The mathematical theory of plasticity, Oxford, Clarendor
Press, 1950; русский перевод: Хилл P., Математическая теория пластичности
ИЛ, М., 1956.
27’
420 Г лава 14. Формулировка задач для неупругих систем
7. Г р и н, Р и в л и н (Green А. Е., R i v 1 i n R. S.), The mechanics of non
linear materials with memory, Tech. Rept. No. 17, Div. of Applied Math., Browi
University.
8. Уэйнер, Меканик (W e i n e г J. H., Mechanic H.) Thermal'stresse:
in free plates under heat pulse inputs, W. A. D. C. Tech. Rep. 54—428, 1957.
9. К э (К ё T. S.), Experimental evidence of the viscous behavior of grain boundarie:
in metals, Phys. Rev., 71 (1947), 533—546.
10. Б л e й x (Bleich H. H.), On the analysis of non-linear viscoelastic structure,
with temperature gradients, Tech. Rep. № 3, Contract Nonr-266 (34), Columbia Uni
versify, June 1957.
11. Лакс, Уайзман, Шерби, Дорн (Laks Н., Wiseman С. D.
S h е г b у О. D., Dorn J. E.). Effect of stress on creep at high temperature
J. of Appl. Meeh. (June 1957).
12. Д у л и с, С м и т, Хаустон (D u 1 i s Е. J., S m i t h G. V., H о и s t о r
E. G.), Creep and rupture of chromium-nickel austenitic stainless steels, Trans. Am.
Soc. of Metals, 45 (1953), 47.
13. Прагер (Prager W-), An introduction to the concepts and principles о
plasticity, Special lectures delivered at the Seminar in Applied Mathematics, Boul-
der, Colorado, July 1957.
14. Прагер (Prager W.), Non-isothermal plastic deformation, Proc. Roninkl.
Nederl. Akad. van Wetenschappen, Series B, 61, 3 (1958), 176—182.
15. Др у к к ep (Drucker D. C.), A definition of stable inelastic material, J. oj
Appl. Meeh., 26, 1, (March 1959), 101 — 106.
16. Мизес (Mises R. v о n), Mechanik der festen Korper im plastisch deformabler
Zustand, Gottinger Nachr., math.-phys. KI., 1913, 582—592; русский перевод:
Мизес P., Механика твердых тел в пластически-деформированпом состоянии,
Сб. Теория пластичности, ИЛ, М., 1948.
17. 1 е й л о р, К у и н н и (Taylor G. I., Q u i n п е у Н.), Phil. Trans. Roy.
Soc., A., 230 (1931), 323.
18. Треска (Tresca H.), Mcmoire sur 1’ccoulement des corps solides, Mem.
pres, par div. sav., 18 (1868), 733—799.
19. К о й т e p (К о i t e r W. T.), Stress-strain relations, uniqueness and variational
theorems for elastics-plastic materials with a singular yield surface, Quart, of App.
Math., 11, 3 (1953), 350—354; русский перевод: К ой тер В. Т., Соотношения
между напряжениями и деформациями, вариационные теоремы и теорема един-
ственности для упруго-пластических материалов с сингулярной поверхностны
текучести, Сб. Механика, № 2 (60), (1960), 117—121.
20. С э н д е р с (Sanders J. L., Jr.), Plastics stress-strain relations based on
linear loading functions, Proc. II U. S. Nat. Congr. of Appl. Meeh., A. S M. E., 1954,
pp. 455—460; русский перевод: С э н д e p с, Соотношения между напряжениями
и деформациями в пластической области, основанные на линейных функциях
нагружения, Сб. Механика, № 3 (37), (1956), 99—109.
21. X о д ж (Hodge Р. G., Jr.), Minimum principles of piecewise linear isotropic
plasticity, J. of Rat. Meeh., 5, 6 (1956), 917—938; русский перевод: Ходж Ф.,
Минимальные принципы кусочно-линейной изотропной теории ' пластичности,
Сб. Механика, № 1 (47), (1958), 59—75.
22. У э й'н е р, Хадлстон (Weiner J. И., Huddleston J. V), Transient
and residual stresses in heat-treated cylinders, J. of Appl. Meeh., 26, 1 (March 1959),
31—39.
23. Ванг, Прагер (Wang A. J., Prager W-), Thermal and creep effects in
work-hardening elastic-plastic solids, J. Aero. Sth.. 21 (May 1954), 343—344, 360.
ГЛАВА |5
Расчет напряжений при упруго-вязких
деформациях
15.1. Введение. В предыдущей главе, где рассматривалось неупругое
поведение твердых тел, указывалось, что проводить расчеты с учетом всех
реальных неупругих свойств в общем слишком сложно, так что обычно
приходится ограничиваться расчетами на основе зависимостей между напря-
жениями и деформациями, описывающих лишь частные виды неупругогс
поведения. Как было показано, из принципиальных моделей неупругих тел
могут быть выделены такие, в которых главную роль играет или только
вязкое, или только пластическое течение; в настоящей главе обсуждаются
методы расчета, опирающиеся на упруго-вязкие модели, в следующей —
на пластические.
Таким образом, назначение данной главы состоит в том, чтобы дать
краткий обзор некоторых применяющихся методов решения упруго-вязких
задач, вначале — линейных, а следовательно, и простейших, а затем и таких,
где используется нелинейная зависимость между напряжениями и дефор-
мациями. Ни в данной, ни в следующей главе не ставилось задачи полностью
проанализировать работы, относящиеся к этим быстро развивающимся
областям. Имелось лишь в виду познакомить читателя с наиболее важными
положениями и методами, опираясь на которые можно понять дальнейшие
исследования по данному вопросу.
15.2. Аналогия между упруго-вязкими и упругими задачами. Линей-
ный закон, наиболее общая форма которого была выражена уравнением
(14.5.18), является, очевидно, простейшим типом зависимости между упруго-
вязкими напряжениями и деформациями. В этом случае имеется математи-
ческая аналогия, благодаря которой упруго-вязкие температурные напря-
жения и деформации в теле могут быть определены по соответствующим
упругим напряжениям и деформациям в том же теле1).
Рассмотрим тело, свободное от поверхностных и объемных сил и подчи-
няющееся линейной зависимости между напряжениями и деформациями
с постоянным параметром [тело Максвелла, уравнение (14.5.14)]. Уравне-
ние (14.5.12), разумеется, также сохраняет силу. В начальном недеформи-
рованном состоянии тело свободно от напряжений и имеет постоянную
!) Впервые указанная аналогия была установлена Алфреем [1], однако лишь для
несжимаемых материалов; она получила развитие в работах [2] и [3]. Указания на
дальнейшие работы можно найти в статье [4]; среди них отметим [5] и [6]. Возмож-
ность обобщения аналогии на случай, когда свойства зависят от температуры, рас-
сматривалась в [7] Пример температурных упруго-вязких деформаций обсуждался
в работе [8].
422
Глава 15. Расчет напряжений при упруго-вязких деформациях
температуру; начиная с момента времени t = 0, тело подвергается воздей-
ствию неравномерного поля температур Т (Р, f). Инерционными эффектами
как обычно, пренебрегаем, но рассматривать время просто в качестве пара-
метра (как в случае упругих деформаций) уже нельзя, так как в упруго-
вязкую зависимость между напряжениями и деформациями входят про-
изводные по времени.
Вначале сформулируем задачу математически, что, как будет показано
позволит установить и форму аналогии. Принимая в уравнении (14.5.18;
для тела Максвелла Р = (1 /2р) (<9/<9/) + 1/2ц и Q = д /dt, получаем
+ = 2цег-7- + Зд0. + ^(e-aT)j . (15.2.1;
Во всех точках внутри тела должны удовлетворяться уравнения равновесие
щ-7,7- = 0, (15.2.2;
а во всех точках поверхности — граничные условия на поверхности при
отсутствии внешних сил
ai7n7 = 0, (15.2.3;
где п} — единичная внешняя нормаль к поверхности. Уравнения равно-
весия и граничные условия можно представить на основании приведенные
соотношений в следующей, более удобной форме:
^,/ + -^,/ = 0, (15.2.2а)
(ai7--;-^oi7-)n7 = 0. (15.2.3а)
Подставляя зависимость (15.2.1) в эти два уравнения, находим
2pei7-i7- + 3 [Хе —йаТ + ^(е —аТ) ] . = 0, (15.2.4)
^2pei7 + 3di7- [Хе-йаТ + ^е-аТ) ] J п7- = 0. (15.2.5)
Чтобы получить уравнения задачи в перемещениях, деформации и скорости
деформаций, входящие в последние уравнения, можно было бы выразить
с помощью соотношений между деформациями и перемещениями через
перемещения и скорости перемещения. Однако проводить указанную под-
становку в явном виде в данном случае нет необходимости.
В случае если материал тела подчиняется термоупругой зависимости
между напряжениями и деформациями, соответствующее рассмотрение
той же задачи приводит к следующим уравнениям:
2pei7j j -]-3 (Хе — kaT\t = 0, (15.2.6)
[2pei74-3di7(Xe — kaT)\ n} = 0. (15.2.7)
Сопоставим теперь преобразования Лапласа по времени для полученных
уравнений в случае упруго-вязкой [(15.2.4) и (15.2.5)1 и упругой [(15.2.6)
и (15.2.7)1 задач. Преобразование Лапласа для некоторой величины' будем
обозначать с помощью черты, как, например, в следующем выражении:
jj ег7(Р, t)e-sl dt = ltj{P, S). (15.2.8)
15 2 Аналогия между упруго-вязкими и упругими задачами
42;
Используя операционные свойства преобразования Лапласа и принятые
начальные условия задачи, получаем для вышеупомянутых уравнений
следующие операционные уравнения1):
для упруго-вязкой среды
для упругой среды
2ре17>7+3(Хб-7шТ),1 = 0, (15.2.11
{2цег7+36г7(Хб-А:аТ)}/г7 = 0. (15.2.12:
Можно видеть, что формы этих уравнений, описывающих обе задачи,
идентичны. Единственное различие состоит в том, что упругие константь
в уравнениях упругой задачи заменены определенными комбинациями
упругих и упруго-вязких констант и параметра преобразования Лапласа s.
Отсюда следует, что преобразование Лапласа для упруго-вязкой задачг
можно получить из преобразования Лапласа для упругой задачи, заменяв
в решении последней задачи параметры р и X соответственно на и Ху
равные
= =------.Г- (15.2.13'
.s-r- Р -
Т) П
При указанной замене модуль объемной упругости 3k = (3%+ 2р.) =
= (3XV- + 2цу) сохраняет свое значение, так что видна полная аналогии
между уравнениями (15.2.9), (15.2.10) и (15.2.11), (15.2 12).
Из характера предыдущих выводов видно, что эквивалентные «кош
станты» легче всего получить путем непосредственного выполнения пре-
образования Лапласа над уравнением (15.2.1), связывающим упруго-вязки*
напряжения и деформации, и сравнения результатов с преобразованиех
Лапласа над уравнениями термоупругости. Аналогичную процедуру можне
применить к любой другой линейной зависимости типа (14 5.18) между
упруго-вязкими напряжениями и деформациями при постоянном параметре
так что аналогия легко распространяется на общий случай. Из уравнений
(14 5 13) и (14.5.9) при этом следует, что
2(smam+sm-iam_14- sat«0 ’ 1 .
после чего kv определяется из условия инвариантности модуля объемно!
упругости, т. е.
Ху = Х+|-(р —ру). (15.2.15:
х) Дальнейшее обсуждение начальных условий см в п 15.6. Свойства преобра
зования Лапласа рассматривались в п. 7 3.
424
Глава 15. Расчет напряжений при упруго-вязких деформациях
Коэффициенты а0, . . . , ат и Ьо, . . . , Ьп — это коэффициенты диффе-
ренциальных операторов Р и Q в уравнениях (14.5.9) и (14.5.13), а именно
дт fim—1 &
Р — ат “Ь i • * • 4“ Ь
fin fin—1 fi
Q— bn gpr + bn-i ~j^=i + • • • + bi -dj + b0
(15.2.16)
PSij = QeiJ. (15.2.17)
15.3. Обсуждение аналогии между упруго-вязкими и упругими зада-
чами. Установленной в п. 15.2 аналогией обеспечивается формальный подход
к решению задачи о линейных упруго-вязких деформациях с помощью
преобразования Лапласа. На первый взгляд кажется, что в подобной форме
аналогия имеет ограниченное значение, так как (за исключением случаев,
для которых известно соответствующее упругое решение) она не вносит
видимых упрощений, помимо тех, что связаны собственно с применением
преобразования Лапласа и были очевидными с самого начала. Однако
такая оценка не выявляет в полной мере значения аналогии, как это можно
заключить из последующего краткого обсуждения.
1) Можно видеть, что эквивалентные константы и выражаются
в зависимости от параметра преобразования Лапласа s рациональными
алгебраическими функциями; кроме того, упругие константы X и р в общем
случае входят в решения задач статической линейной теории упругости
также в форме рациональных алгебраических функций, т. е. в виде отноше-
ний полиномов. Из этого следует, что и обратное преобразование решения
упруго-вязкой задачи в действительную область не встретит затруднений,
если только известно аналогичное решение упругой задачи. И действительно,
благодаря указанному свойству упруго-вязкое решение может быть, как
правило, выражено в таких же дифференциальных и операторных фор-
мах, как и соответствующее упругое решение1).
2) Существование аналогии указывает на то, что любой из известных
методов получения приближенных упругих решений может быть применен
для упруго-вязкой задачи. В частности, следует упомянуть метод, исполь-
зующий принцип стационарной дополнительной энергии (см. п. 8.11),
с помощью которого можно найти приближенные решения для задач, опи-
сываемых уравнениями (15.2.11) и (15.2.12). Если в любом из таких реше-
ний заменить упругие константы эквивалентными константами, зависящими
от s, то получим соответствующее упруго-вязкое решение. Следует обратит!
внимание на то, что ошибки, имеющиеся в приближенном решении в пре-
образованной области, остаются, а иногда и возрастают в области действи-
тельного времени; по-видимому, этот вопрос лучше разбирать отдельнс
в каждом частном случае.
3) Известно2), что константы материала, входящие в зависимости
между упруго-вязкими напряжениями и деформациями, в общем случае
существенно меняются с температурой. Так как все настоящее обсуждение
касается только собственно несвязанной теории термоупругости, то темпе
ратура входит в виде функции пространственных координат и времени,
известной уже до того, как начинается расчет напряжений. Это же спра-
ведливо и для констант материала, так что для общего случая нельзя уста-
новить аналогию в той форме, которая обсуждается. Однако для частной
!) Ср. с п. 7.3.
2) Ср. с п. 14.5.
15.4. Пример использования аналогии
42,'
случая стационарного распределения температур, удовлетворяющего урав-
нению Лапласа, когда температура является функцией только простран-
ственных координат, но не времени, аналогия остается в силе. Другими
словами, упруго-вязкое решение в форме преобразования Лапласа можне
прямо получить из аналогичного упругого решения, которое, конечно,
должно исходить из соответствующего распределения модуля упругости
по объему тела. Для большинства задач получить в точном виде последнее
решение очень трудно, но такие приближенные методы, как метод стацио-
нарной дополнительной энергии, сохраняют силу и при меняющемся по объе-
му тела модулю упругости, так что выводы п. 2 остаются справедливыми
Отметим, что если свойства материала зависят от времени, но не зависят
от положения точки в теле, то аналогию все же можно установить, при-
меняя интегральное преобразование по отношению к пространственные
координатам1).
4) Из аналогии вытекает, что упруго-вязкие напряжения обращаются
в нуль, если равны нулю соответствующие упругие напряжения (см. п. 9.2)
и что упруго-вязкие перемещения обращаются в нуль, если равны нулю2'
соответствующие упругие перемещения (см. п. 9.3).
5) На основе элементарной теории, изложенной в гл. 10, можно рас-
считать, с достаточной для большинства практических целей точностью
напряжения в упругих балках при неравномерном распределении темпе-
ратуры. В п. 10.7 было показано, что эта теория дает незначительную ошиб
ку, если температура плавно меняется подлине стержня. Указанное заклю-
чение основывалось на анализе точного решения, выраженного в форм«
рядов, члены которых зависели от последовательно возраставших произвол
ных температуры по длине стержня. Так как в этом выводе время не игра
ло никакой роли, то очевидно, что, в соответствии с аналогией, решения дл!
упруго-вязкой балки также можно представить в виде рядов с аналогич-
ными свойствами. Поэтому при плавном изменении температуры по длиш
можно с удовлетворительной точностью пользоваться элементарной теориег
упруго-вязкой балки, исходящей из гипотезы плоских сечений, котора;
применяется в сопротивлении материалов. Аналогичные-заключения можне
сделать и в случае нагретых пластин (см. п. 12.6). Однако намеченное выше
в общих чертах обоснование упруго-вязкой теории сопротивления мате
риалов более детально здесь не рассматривается.
В следующем пункте приводится пример использования аналоги!
между упруго-вязкими и упругими задачами. В п. 15.5 методами теорит
сопротивления материалов исследуется упруго-вязкое поведение балк!
для случая обобщенной линейной зависимости (15.2.17) между упруго
вязкими напряжениями и деформациями.
15.4. Пример использования аналогии между упруго-вязкими и упру
гими задачами. Применим установленную выше аналогию к задаче о сво
бодной пластине (см. рис. 9.1), материал которой подчиняется упруго-вязко!
зависимости между напряжениями и деформациями для тела Максвелла
Пластина подвергается воздействию нестационарного температурного поля
причем температура меняется только по толщине, т. е. Т = Т (z, /). Счи
паем, что в исходном недеформированном состоянии пластина имеет равно
□мерную температуру, которую можно принять равной нулю.
Аналогичная задача при термоупругой зависимости между напряже
□ниями и деформациями была рассмотрена в п. 9.5. Выпишем окончательны!
Ч См. работу [7].
2) Предполагается, что в исходном состоянии тело недеформировано.
426
Глава 15 Расчет напряжений при упруго-вязких деформациях
выражения для компонент напряжения [формулы (9 5 6)], выразив кон
станты Е и v через параметры Ламе X и р [соответствующие соотношение
имеются в (8 2 46) ]:
h h
(; Т(г. Odz+4^ р(2. /)2р,
(15.4.1
ОЕ _ ОЕ __ gE — qE _ Q
zz xy xgt yz
Введенный в обозначения компонент напряжения верхний индекс подчер
кивает, что в предыдущем случае они относились к упругой задаче. В соот
ветствии с обозначением (15 2.8) преобразование Лапласа для упругой
решения имеет вид
h h
— h — h
(15.4.2
CTE — (jE __ OE — (jE _ Q
zz xy xz yz
Согласно установленной ранее аналогии, преобразование Лапласа дл>
компонент напряжения упруго-вязкого тела (обозначаемых верхним индею
сом V) можно получить путем замены в уравнениях упругого тела р на pv
(константа X входит в уравнение только в инвариантной комбинации k)
В результате получим
= = $ T(z,s)dz+I^ J T(z,s)zds},
— h —h
(15.4.3;
Ov' =ov _ ov =ov — 0.
zz xy xz yz
Из (15 2.13) следует, что
18цу/га 18цз/га / s \ ( 18рЛа 'у /11=; л л'
\ V \ < 3^ + 4Р У У п у)
Поэтому преобразования о^. и МОжно записать в виде
ov =~ov =-^-аЕ , (15.4.5)
хх уу S-4-V * хх ' 7
где
у = Г'ЬыГГ • (154.5а)
г у 3k —4ц / \ Т) / 6 (1—v) г] v ’
Обратное преобразование для (15 4 5) можно легко выполнить, используя
операционные свойства преобразования Лапласа и условие, что в начальный
момент напряжения равны нулю. Таким образом, получаем
t д Е *
°L = ovV=\e = Y Т)Л- (15 4 6)
ЛЛ уу 1 \ 0Х J XX • 1 хх ' ' ' '
о о
Остальные компоненты напряжения, разумеется, по-прежнему равны нулю.
По определению, у — положительная константа Поэтому из (15 4 6)
видно, что если для данного значения z напряжение аЕх (z, f) с течением
15.4. Пример использования аналогии
42
времени не меняет знака, то влияние рассматриваемого упруго-вязкой
течения максвелловского типа сводится к уменьшению величины напряже
ний. Этот эффект был подробно изучен1) для случая свободной пластины
подвергнутой тепловому удару по закону q ~ где g и р — постоян
ные. При этом использовались упруго-вязкие зависимости для обобщен
ного линейного тела (14.5.16), переходящие при ^ = 0 в зависимости дл;
тела Максвелла, которые были приняты в примере настоящего пункта
Характер влияния упруго-вязкой деформации виден из рис. 15.1, гд<
------ упругая деформация; — — — упруго-вязкая деформация; • — • — упруго-
вязкая деформация.
показано изменение по времени напряжений у поверхности пластины в слу-
чае указанного выше теплового удара как при упругих деформациях —
, так и при упруго-вязких — для различных значений коэффициента
вязкости т]. Как уже отмечалось, упруго-вязкая деформация приводит
к уменьшению величины напряжений; в данном частном случае наблюдается
также изменение знака напряжения. Как и следовало ожидать, чем меньше
коэффициент вязкости, тем сильнее его влияние. В цитированной работе2)
было также установлено, что при существенно нестационарных режимах
температур уменьшение величины температурных напряжений в алюминии
из-за упруго-вязких деформаций при температурах ниже 200° С невелико,
и поэтому в подобного рода задачах влиянием упруго-вязкой деформации
mojkho пренебречь. Если повышенные температуры и приложенные нагрузки
действуют в течение продолжительных периодов времени, то значение
упруго-вязкой деформации может возрасти.
Расчет деформации и перемещений можно выполнить таким же способом,
используя аналогию с соответствующими величинами упругого решения;
х) См. работу [8] к гл 14.
2) Там же.
428 Глава 15. Расчет напряжений при упруго-вязких деформациях
с другой стороны, их можно определить, если ввести найденные напряже-
ния в зависимости между упруго-вязкими напряжениями и деформациями
и затем использовать соотношения между деформациями и перемещениями.
Первый способ расчета проводится более формальным образом и поэтому,
возможно, является более удобным.
15.5. Применение теории сопротивления материалов к расчету линей-
ных упруго-вязких деформаций. Одна из замечательных особенностей тео-
рии расчета балок методами сопротивления материалов заключается в том,
что используется одномерная зависимость между напряжениями и деформа-
циями. При анализе упруго-вязких деформаций такую одномерную зави-
симость нередко устанавливают из рассмотрения механических моделей,
состоящих из различных комбинаций пружин и поршней, как это былс
показано в п. 14.5. Однако ниже будет показано, что такой способ щмеет
определенные ограничения, и поэтому лучше выводить одномерную зависи-
мость как частный случай из трехмерных зависимостей между напряже-
ниями и деформациями (14.5.12) и (14.5.13) или из эквивалентных им соотно-
шений (14.5.18). Итак, примем
б, ОЖу О, Пуу^О-гг — О^у — = (15.5.1,
Выразив теперь в уравнении (14.5.18) через ohh с помощью (14 5.10)
и (14.5.12), получим
== 0-Р + ~ (Q oxx^aQT,
Qeyy~Qezz — ( — -1 Рф- ^') oxx+aQT, j. (1>.5.2)
QSxy = ВпЖу, |
Sxz ~ &yz = 0. )
При выводе двух последних уравнений было использовано условие
однородности начальных условий. Первое из уравнений (15.5.2) предста-
вляет собой искомую зависимость между напряжениями и деформациями
для одномерной задачи; исходя из него, можно вывести основные уравне-
ния расчета балки.
Гипотезу о том, что сечения, бывшие до изгиба плоскими и перпендику-
лярными к средней линии, остаются плоскими и после изгиба, можно выра-
зить уравнением1)
8хх= — 's У + е0, (15.5.3)
где (1/о) — кривизна балки, е0 — деформация при у = 0.
Выполняя действия оператора Q над обеими частями этого уравнения,
запишем первое из уравнений (15.5.2) в виде
-У [(Q(|)’] + [<28°] = 0-P+gLQ)o„+aQT. (15.5.4)
Две неизвестные величины Q (1/р) и Qe0 определяются из условий равно-
весия
\ cxxdA = F, \(jxxydA = M, (15.5.5)
Л и
При выводе принято, что у и z — главные оси поперечного сечения и что балка
изгибается в плоскости, параллельной плоскости ху. Более общее решение, не тре-
бующее указанных допущений, может быть легко выведено, причем оно было бы пол-
ностью подобно оешению п. 10 2.
15.5. Применение теории сопротивления материалов
429
где F и М — соответственно результирующая продольная сила и результи-
рующий изгибающий момент в рассматриваемом поперечном сечении; ин-
тегрирование распространяется на всю площадь поперечного сечения А.
Считая, что ось у является центральной и что операторы Р и Q не зависят
от координаты х, получаем
= F --QPT, (15.5.6)
-'G(GGGp+i<5)M+o"- (15.5.7)
где PT aTdA, MT =Л aTy dA (15.5.8)
А
и I — момент инерции относительно оси z.
Осевое напряжение определяется следующим уравнением:
+т {GP+iG<M>+®'M’')}- (15 5-9)
В свободной статически определимой балке члены с F и М можно прирав-
нять нулю. Тогда приведенное выражение становится вязко-упругим экви-
валентом (10.2.5) G С другой стороны, если нет влияния тепловых эффектов,
можно приравнять температуру нулю, и выражение (15.5.9) становится
аналогичным формуле изотермического сопротивления материалов
®хх—д-Н—у--. (15.5.10)
С помощью соотношений (см. п. 10.3)
где v — прогиб балки в направлении у, иср — среднее перемещение в нап-
равлении х, из (15.5.6) и (15.5.7) легко получаются формулы для деформа-
ций балки
XSGGG+sGG1-^, (15.5.12)
X X
AQ(ucp) = ( |j>+ Lq') ? Fdx Q \ Pjdx, (15.5.13)
0 0
причем в (15.5.13) для простоты принято ucp. (0, /) = 0. Уравнение (15.5.12)
является дифференциальным уравнением прогибов балки; его решение
должно удовлетворять граничным условиям, обсуждавшимся в п. 10.4,
и начальным условиям, которые будут рассмотрены в следующем пункте.
Указанный метод получения соответствующих одномерных зависи-
мостей между упруго-вязкими напряжениями и деформациями из общих
Ч Однако следует иметь в виду, что (15.5.9) остается при этом дифференциальным
уравнением, содержащим время как независимое переменное. Его надо решить, чтобы
выразить напряжение в явном виде. Отметим также, что и Л1у при определении по
(15.5.8) отличаются от аналогичных значений по (10.2.4а) постоянным множителем.
Чтобы привести эти формулы к соответствующим формулам упругой задачи, следует
принять Р = 1 и Q = 2 ц, как это было ранер указано при анализе (14 5.18).
430 Глава 15. Расчет напряжений при упруго-вязких деформациях
трехмерных зависимостей является более предпочтительным, чем исполь-
зование с этой целью моделей, так как в последнем случае трудно учесть
влияние температурного расширения. Хотя модель помогает установить
соответствующие начальные условия, однако в следующем пункте будет
показано, что их можно вывести чисто аналитическим путем.
В литературе появилось несколько примеров решения задач методом
сопротивления материалов. Среди них решения Фрейденталя1), относя-
щиеся к различным задачам теории балок и пластин (с полезным обсуж-
дением общих вопросов неупругого поведения), изотермическое решение
Кемпнера2) для балки, материал которой подчиняется четырехпараметри-
ческой зависимости между напряжениями и деформациями, и аналогичное
решение Несса3), в котором параметры максвелловской модели считаются
зависящими от температуры. Дальнейшая библиография имеется в статье
Ли [4].
15.6. Начальные условия для линейного упруго-вязкого тела. При
выводе в п. 15.2 аналогии между упругими и упруго-вязкими задачами
наряду с преобразованием Лапласа использовались определенные началь-
ные условия; рассмотрим детальнее природу этих условий. Отмф’им также,
что основные зависимости для напряжений и деформаций в упруго-вязкой
теории сопротивления материалов выражаются дифференциальными урав-
нениями в функции времени (так же, как прогибы выражаются уравнениями
в функции пространственных координат), поэтому для решения требуется
использовать соответствующие начальные условия.
В обычных задачах динамики достаточно использовать два начальных
условия, а именно что в начальном состоянии тело считается недеформи-
рованным и ненагруженным. В данном же случае число требуемых началь-
ных условий зависит от порядка старших производных, содержащихся
в зависимости между напряжениями и деформациями. Если пользоваться
механическими моделями с пружинами и поршнями, то указанные до-
полнительные условия можно интерпретировать как требования, чтобы
в начальном состоянии каждый элемент модели был недеформирован. Однако
следует отметить, что, как уже указывалось, с помощью модели не удается
описать общий тип упруго-вязкого поведения, так же как и случай внезап-
ного приложения нагрузки. Рассмотрим поэтому более общий подход, сво-
бодный от этих недостатков и в то же время полностью эквивалентный
анализу с помощью моделей в случаях, когда они применимы.
Ограничимся исследованием одномерной задачи общего типа
Qe = Pff, (15.6.1)
где операторы Q и Р определены выражениями (15.2.16). Однако очевидно, что
уравнения (15.5.2), (15.5.9), (15.5.12) или (15.5.13) также можно представить
в аналогичной форме, и, следовательно, все дальнейшие замечания можно
применить ко всем указанным уравнениям, если учесть различие в обозна-
чениях. Приведенный ниже пример поясняет эту особенность.
Итак, будем рассматривать (15.6.1) как дифференциальное уравнение
относительно искомой функции е с неоднородным членом Ра. Если в ис-
ходном состоянии тело недеформировано и ненапряжено и нагрузка прикла-
’) См. работу [9] и [10]. Дальнейшие ссылки на работы Фрейденталя можно найти
в его статье [11].
2) См. работу [12], где также учитывается влияние осевой нагрузки.
3) См. работу [13]; температурное поле считается независимым от пространствен-
ных координат, так что температурные напряжения не возникают.
15.6. Начальные условия для линейного упруго-вязкого тела
43
дывается постепенно, так что
do d2a dm~1a л , л /1 e с о
= пРи^0’ (15-6-2a
то очевидно, что из физических соображений начальные условия для дефор
мации должны иметь вид
de d2e d^-^e, „ , л /,г с
е = •••= d?^i^0 пРи/==0' (15.6.26.
Решение, отвечающее указанной функции нагружения и начальным усло-
виям, будем называть «постепенным». Случай, когда некоторые из вышеука
занных начальных значений напряжения или его первых т—\ производные
неравны нулю, отнесем к «внезапному нагружению»; определение началь-
ных условий для последнего случая будет дано ниже. Из физических сооб-
ражений очевидно, что «внезапное» решение может быть получено как пре
дельный случай «постепенных» решений, и именно с такого определения
мы начнем рассмотрение вопроса1).
Предположим, что требуется рассчитать поведение тела, на которое
действует нагрузка о (f) с начальным значением сф0>, причем начальные зна-
чения ее первой, второй,..., (т— 1)-й производных соответственно равнь
сто2)> °от1>- Чтобы найти искомое внезапное решение, рассмотрим вна-
чале процесс с постепенным нагружением, который характеризовался бь
следующими чертами:
а) при t = 0 удовлетворяются условия
ст(0, Н) = ^^=== .. . =^^^^ = 0, (15.6.3;
где обозначение о (L t*) указывает на зависимость о как от времени, так
и от введенного здесь параметра
б) при t = t* удовлетворяются указанные выше начальные значения
внезапного решения, а именно
о (/*, Г) = о<°>, = С, • • •, } = о"""1’; (15.6.4)
в) в пределах /* решение ограничено. Обозначим постепенное
решение, удовлетворяющее этим условиям, через е (t, t*). Пусть для
удобства
е(/, П) = ММ*) при0</</*,
е (Д/*) = е2 (Д/*) при/>Н, ' ' '
тогда искомое внезапное решение е(/) можно определить как
8 (/) = lira е2 (I, Г'). (15.6.6)
Начальные условия, удовлетворяющие внезапному решению, опреде-
лим так:
е(0) = lime(/)= lim е2(/, /*); —= ]1т де2(Л tj , .
i->0 t*-+0
t^o t-^0
d^'-MO) dr‘"ie2(t, t*\
dtn~1 Д"о
(->-0
(15.6.7)
*) Приложение указанного метода к частным задачам см. в работе [8], гл. 14.
Вопрос о начальных условиях для внезапного нагружения в упруго-вязких задачах
можно изучать также с помощью преобразования Лапласа и представления о 6-фуик-
ции Дирака и ее производных. Можно показать, что использование 6-функции Дирака
эквивалентно решению с помощью предельных переходов рассматриваемого здесь
типа; см., например, [14].
432 Глава 15 Расчет напряжений при упруго-вязких деформациях
Тогда под внезапным решением следует понимать решение уравнения (15.6 1),
удовлетворяющее условиям (15.6.7).
Для вывода указанных результатов наиболее целесообразно поступить
следующим образом1). Перепишем первое уравнение (15.6 1) в виде
г=0
дга (Л г'*) _ дгг (t, £*)
дР ~ 1 dt1
(15.6.8)
Очевидно, что операторы Р и Q будут эквивалентны соответствующим вы-
ражениям в (15.2.16), если считать, что N равно наибольшему значению
из т а п, а те из коэффициентов аг и Ьг, которые соответствуют членам, от-
сутствующим в (15.2 16), равны нулю Интегрирование (15.6.8) с учетом
(15.6.2 ) и (15 6.3) дает
Л г х t
д^оф, tv) [ . * , лп , дг-1е (1, И) < Г / .
Л аг —д^1—ф а0 о (т, /*) dr= Ьг-^1=1—~ И bo J 1 (т> z ) dr.
i=l 0 г=0 0
(15.6.9)
Положим теперь t — t* и перейдем к пределу при t* О В соответствии
с допущением об ограниченности решения члены, содержащие интегралы,
исчезают, и одно из начальных условий, которому должно удовлетворять
внезапное решение е((), определяется как
X X
2 аК'1 = 2bi
г=1 г=1
(0)
~dt^~
(15.6.10'
или, в более удобном обозначении,
V п __ V h а‘~1е (°)
1 dfi-i 1 dt1"1
i=l г=1
Интегрируя уравнение (15.6 9), получаем тем же путем
jV / t Т
2 аг —о Фт + п0 f о dxt dx —
г=2 dt^2 b о о
NJ t т
= 2 ——- ф bt \ e dx ф b0 \ \ e dxi dx,
1=2 dtl~2 о о о
(15.6.10a'
(15.6.11
откуда вытекает начальное условие
У-ге (0)
al’”2
а
(15.6.12
Повторяя этот процесс достаточное число раз, находим все начальные уело
вия, удовлетворяющие внезапному решению е ((); их можно записать в еле
дующем виде:
N ir N
2 2 = 1, 2, 3, ..., Л7. (15.6.13)
i=M i=M
’) Этот вывод предложен Дж Лублинером (Jacob Lubliner).
15.6. Начальные условия для линейного упруго-вязкого тела
433
(15.6.14)
В качестве частного примера рассмотрим случай, когда
Qe = Ь2е 4- + Ьое.
Тогда начальные условия определяются как
2 М=\,2, (15.6.15)
г=М
или, в более явной форме,
ai° (0) + а2° (0) — bif. (0) 4- Ь2е (0), (15.6.16)
а2о (0) = Ь2в (0).
Первое из этих выражений иногда удобнее представлять в виде
а2о(0)4-(\~-^) о(0) = Ь2ё(0). (15.6.16а)
Интересно отметить, что, согласно второму выражению (15.6.16), на-
чальная реакция тела является чисто упругой и, следовательно, соответ-
ствует обычному предположению, которое делается, когда начальные
условия устанавливаются с помощью пружинно-поршневых моделей. Для
сравнения рассмотрим четырехпараметрическую модель, состоящую из пос-
ледовательно соединенных тел Максвелла и Кельвина, для которой зави-
симость между напряжениями и деформациями [первое из уравнений
(15.5.2)], выведенная на основе анализа механической модели, имеет вид1)
"+С^);’+(кк)<’“£‘['е'+Д]. (15.6.17)
где k, ту, т2 и — четыре указанных параметра. В данном случае из урав-
нения (15 5.12) (при Мт = 0) следует
-е<‘ [ёчй’М^+тлП"- (15А,8)
Начальные условия, выведенные Кемнером на основе модели в предположе-
нии, что в начальный момент тело ведет себя идеально упруго, имеют вид
— EJ = М при 1 = 0,
дх2 1
— T2£1/|A.2 = t2/l44-(fe — 1) М при / = 0.
Из сравнения уравнений (15.6.14) и (15.6.18) видно, что
1 Ь
а2 = 1, = — ,
т2
(15.6.19)
b2=-EJ, b.
ип =------ ,
° TfT2
Ьо = О,
(15.6.20
и е подставлены соответственно М
при условии, что в (15.6.14) вместо о
и д2и/дх2. При таких значениях коэффициентов начальные условия (15.6.16)
и (15.6.16а) совпадают с (15.6.19).
4 См. работу Кемнера [12]; обозначения в (15 6.17) такие же, как в этой работе
28 Боли и Уэйнер
434 Глава 15 Расчет напряжений при упруго-вязких Реформациях
Следует отметить, что начальное условие (15.6.13), соответствующее
М = N = т — п, имеет вид
Кд (0) = апо (0) (15.6.21'
и при т = п = 2 переходит во второе выражение (15.6.16); таким образом
в данном случае начальная реакция тела всегда носит чисто упругий харак
тер. В том случае, когда порядок старших производных Ра превышает Qe
т. е. при п < т = N, все коэффициенты Ьп+1, . ., bN, введенные в общей
записи (15.6.8), обращаются И нуль. Тогда уравнения (15.6.13), соответ-
ствующие М ~ п + 1, N, уже не являются начальными условиями длг
неизвестной функции е(й); ими определяются начальные значения заданной
Рис. 15.2 Пружинно-поршневая модель тела Кельвина
функции о, которые должны быть удовлетворены, чтобы функция е (t]
оставалась ограниченной, как это было принято выше при выводе. Анало-
гичная ситуация возникает в том случае, когда a (f) рассматривается как
неизвестная, а е (/) — как заданная функции и т < п -= N. В качестве
примера, иллюстрирующего последний случай, можно привести тело Кель-
вина, определяемое уравнением (14.5.15). Уравнения (15.6.13) дают при
этом единственное условие
2т]е (0) = 0,
указывающее на то, что тело Кельвина не может получить внезапную
деформацию без того, чтобы напряжения не стали бесконечно большими
(как это наглядно видно из соответствующей пружинно-поршневой модели
на рис. 15.2)
Задача о внезапных начальных изменениях температуры тела не носит
реального характера, так как даже при внезапных изменениях температуры
поверхности температура внутри тела изменяется плавно, так что1)
0 = 7'(0) = Т (0) ="7’ (0) = .. . . (15.6.22)
В этом случае при отсутствии внешних сил можно прямо интегрировать
уравнения деформаций балки (15.5.12) и (15.5.13), полагая М = F = 0, что
приводит к зависимостям
15^
X
Апер. — P-rdx,
в
(15.6.23)
В Ср. с [3], гл. 7.
15.7. Анализ нелинейных упруго-вязких задач
435
совпадающим с соответствующими упругими уравнениями. Такой резуль-
тат вполне логичен, так как в статически определимой свободной балке
картина деформаций при заданном поле температур определяется чисто
геометрическими факторами. Однако на возникающие при этом напряжения
вязкость уже оказывает влияние, так как они определяются из уравнения
(15.5.9), имеющего в данном случае вид
+ = Q {-аТ’+^+^г} • (15.6.24)
С другой стороны, если при отсутствии температурных эффектов опреде-
ляются напряжения при постепенном приложении нагрузки [т. е. когда
удовлетворяются уравнения (15.6.3)1, то интегрироваие (15.5.9) приводит
к уравнению упругой задачи
ажж=4 + ^-- (15.6.25)
Деформация при этом, разумеется, будет зависеть от вязкости. При внезап-
ном приложении нагрузки или нагрева от внезапно возникших внутренних
источников тепла предыдущие решения уже не будут справедливыми. В этом
случае следует исходить из соответствующих начальных условий, ранее
обсуждавшихся в настоящем пункте.
15.7. Анализ нелинейных упруго-вязких задач. Как указывалось в пре-
дыдущей главе, поведение многих реальных материалов не подчиняется
линейной упруго-вязкой зависимости, которая использовалась в пред-
шествующем анализе. Поэтому нередко приходится вводить нелинейную
зависимость, что, к сожалению, в сильной степени усложняет решение.
Дальнейшая трудность заключается в рациональном выборе зависимости
между напряжениями и деформациями. При этом требуется не только иметь
общие представления о поведении того или иного из используемых материа-
лов, но также принимать во внимание конкретные температурные условия,
уровень нагрузки и продолжительность действия нагрева и нагружения,
которые соответствуют области ожидаемого применения теории. Краткое
обсуждение экспериментальных данных, полученных при испытании раз-
личных материалов, было приведено в предыдущей главе; оставшаяся часть
настоящей главы касается в основном аналитических методов решения нели-
нейных упруго-вязких задач.
Общий метод решения трехмерной задачи предложен лишь для одного
простейшего случая1), когда в зависимость между напряжениями и деформа-
циями явно входят только скорость изменения компонент деформации
и собственно компоненты напряжения, но не их производные по времени;
при этом материал считается несжимаемым.
Зависимость между напряжениями и деформациями в данном случае
можно записать в виде
= f (°и, °22, «зз, о12, о2з, а31), (15.7.1)
где вид функции f зависит от материала, свойства которого предполагается
аппроксимировать указанной зависимостью; в рамках настоящего обсужде-
ния функцию f можно оставить произвольной.
Решение должно удовлетворять системе дифференциальных уравнений,
включающих в себя зависимость между напряжениями и деформациями
]) Этот метод развит Хоффом [15]. См. также [16] и [17].
436
Г лава 15 Расчет напр жений при упруго-вязких деформациях
(15.7.1), уравнения равновесия (8.3.1) и соотношения между деформациями
и перемещениями, которые можно здесь представить в виде соотношений
между соответствующими скоростями:
ztj = "2 О- (15.7.2)
Предполагается, что граничные условия на поверхности тела заданы в виде
поверхностных сил или скоростей иг или же в виде их комбинаций. Оче-
видно, что при этих условиях можно сформулировать задачу в общем виде,
не прибегая собственно к деформациям и перемещениям, а пользуясь исклю-
чительно их скоростями.
Рассмотрим теперь упругую задачу, решение которой удовлетворяет
уравнениям равновесия (8.3.1), соотношениям между деформациями и пе-
ремещениями (8.4.1) и следующей зависимости между напряжениями и де-
формациями:
~ f (°и’ °22’ Озз, ^12» Огз, о31). (15.7.3)
Примем, что граничные условия этой упругой задачи идентичны с услови-
ями описанной выше нелинейной упруго-вязкой задачи, а именно, что поверх-
ностные силы одинаковы, а заданные в упруго-вязкой задаче скорости щ
заменены соответствующими значениями перемещений иг. Сравнение обеих
формулировок показывает, что компоненты напряжения в той и другой
задаче должны быть одинаковыми, а скорости деформации и перемещения
упруго-вязкой задачи должны совпадать соответственно с деформациями
и перемещениями упругой задачи. Таким образом, устанавливается анало-
гия, подобная той, что была описана в п. 15.2; если f— линейная функ-
ция компонент напряжения, то данная аналогия действительно становится
частным случаем линейной аналогии.
Значение этой аналогии, как и в линейном случае, заключается прежде
всего в том, что она позволяет использовать для упруго-вязких задач при-
ближенные методы решения, хорошо изученные в теории упругости. Кроме
того, как и для линейно упруго-вязких тел, установлено, что при решении
задач с помощью упругой аналогии с успехом можно пользоваться принци-
пом стационарности дополнительной энергии1).
Из опубликованных примеров использования аналогии следует отме-
тить задачу о плоской ферме [15], о кручении призматического бруса [191
и о расчете симметричных оболочек вращения [20].
15.8. Применение теории сопротивления материалов к расчету нели-
нейных упруго-вязких деформаций. Разрушение при ползучести в усло-
виях растяжения. Помимо работ, указанных в предыдущем пункте, имеется
еще очень небольшое число работ, относящихся к решению трехмерных
нелинейных упруго-вязких задач, но зато широко изучено поведение стерж-
ней и балок с использованием теории сопротивления материалов, базиру-
ющейся на двух основных допущениях, а именно, что сечения, бывшие до
нагружения плоскими и перпендикулярными оси, остаются плоскими и
после нагружения и что справедлива одномерная зависимость между напря-
жениями и деформациями. Однако даже и при таких допущениях невозмож-
но построить общую теорию, которая не зависела бы от закона, связываю-
]) Приведенный в п. 8.11 вывод указанного принципа опирался на линейный
закон Гука. Развитие принципа для нелинейных законов изотермического деформиро-
вания можно найти, например, в книге [18]. Общий анализ расчета напряжений при
ползучести с обсуждением минимальных принципов дан Хоффом [17].
15.8. Разрушение при ползучести в условиях растяжения
437
щего напряжение и деформацию, и от геометрии поперечного сечения.
С другой стороны, имеются определенные особенности поведения стержней
и балок, одинаковые по своей сущности для широкого класса зависимостей
между напряжениями и деформациями и для форм поперечных сечений.
Поэтому здесь достаточно сформулировать их, опираясь на возможно прос-
тейшую механическую модель. Читателя, желающего познакомиться с
дополнительными примерами аналогичного поведения материала при общих
физических характеристиках, отсылаем к литературным источникам1).
Наиболее заметное влияние нелинейного упруго-вязкого поведения
проявляется в задачах осевого растяжения или сжатия стержня. Если наг-
рузка постоянна, то в первом случае через конечный промежуток времени
наступает разрушение, а во втором возникает явление, известное как по-
теря устойчивости при ползучести, которое будет обсуждено в двух следую-
щих пунктах после нескольких замечаний, относящихся к растяжению.
Представим себе, что испытание на ползучесть осуществляется путем
подвешивания заданного груза к вертикальному стержню. При растяжении
стержня площадь его поперечного сечения будет уменьшаться даже в иде-
ально упругих условиях из-за поперечной деформации, определяемой коэф-
фициентом Пуассона. Если удлинение стержня становится очень большим,
как при испытаниях на ползучесть в течение достаточно продолжительного
времени, то поперечная деформация также достигает большой величины,
что приводит к соответствующему возрастанию напряжения. Это в свою
очередь увеличивает скорость деформации, так что удлинение и поперечное
сжатие больше увеличиваются и т. д. Такой порочный круг, или, как его
называют, «неустойчивость при растяжении», заканчивается разрушением
через конечное время; он соответствует так называемой третьей стадии пол-
зучести2). Исходя из одномерного закона в форме
£=©” (15.8.1)
и принимая во внимание влияние больших деформаций, можно рассчитать
[23], как меняется площадь поперечного сечения с течением времени при
постоянной нагрузке. Было установлено, что при 1 площадь обращается
в нуль при критическом значении времени
^кр = 1_, п>\, (15.8.2)
________________еоп
Ч В дальнейшем в настоящей главе принято, что коэффициенты, входящие в раз-
личного вида зависимости между напряжениями и деформациями, не зависят от тем-
пературы; в соответствии с п. 14.5 это означает, что приводимый анализ относится толь-
ко к таким задачам, для которых температура не выходит за пределы очень узких гра-
ниц. В сравнительно небольшом числе работ приводятся решения, учитывающие высо-
кую чувствительность указанных коэффициентов к изменениям температуры. Отметим
решение в конечных разностях [7] и приближенное решение (см. работу [10] к гл. 14).
В последней работе очевидные трудности решения, связанные с упомянутой выше
зависимостью свойств от температуры, привели на деле к определенным преимуществам,
так как изменение свойств в ряде случаев оказывается настолько значительным, что
им почти целиком определяется распределение напряжений. Используя эту особенность,
Блейх получил несколько приближенных решений для стержней и пластин. Выбранный
им закон соответствовал уравнению (15.10 2), r,|ie коэффициент X зависит от темпера-
туры, ал — постоянная величина.
2) См. рис. 14.1. Это объяснение было впервые предложено Андраде [21], см.
также его работу [22]. Справедливость такого объяснения была проверена Андраде
экспериментально путем испытания с профилированным грузом, погружаемым в воду.
Форма груза была рассчитана так, чтобы увеличение пловучести компенсировало умень-
шение площади поперечного сечения при удлинении стержня в процессе ползучести.
Было показано, что при этих условиях скорость ползучести оставалась постоянной
вплоть до разрушения, или, иначе говоря, что третья стадия ползучести отсутствовала.
438
Глава 15. Расчет напряжений при упруго-вязких деформациях
где е0 — начальная скорость деформации. (При п = 1 площадь становитс;
равной нулю только тогда, когда время стремится к бесконечности.) Та;
как в моменты времени, близкие к критическому, площадь уменьшаете;
очень быстро, то указанное критическое время, которое очень хорошо сов
падаете экспериментальными данными 3), можно принять в качестве действи
тельного времени разрушения, хотя последнее наступает на самом деле пр;
конечном значении площади. В том же исследовании было теоретически пока-
зано, что если из-за неточности изготовления одно из поперечных сечени;
меньше остальных, то возникающего в нем незначительного увеличена;
напряжения (а значит, и скорости деформации) достаточно, чтобы при про
должительном нагружении разрушение локализовалось в слабейшем сечении
Было также показано качественное соответствие между теоретической i
экспериментальной формами шейки ?).
15.9. Потеря устойчивости при ползучести. Рассмотрим стержень, нахо
дящийся под действием постоянной сжимающей нагрузки. Если в начально\
состоянии стержень не идеально прямой, как это всегда бывает из-за неиз
бежных неточностей при изготовлении, то появляется некоторый изгиб
Изгибные напряжения сопровождаются определенной скоростью деформации
которая вызывает увеличивающиеся прогибы; это в свою очередь приводи:
к возрастанию напряжения, так что, как и в предыдущем пункте, возни
кает «самовозбуждающееся», или неустойчивое состояние. Приводимы;
ниже анализ показывает, что в случае нелинейного упруго-вязкого законе
указанное состояние ведет к разрушению за конечный, критический, проме
жуток времени.
В качестве простейшего примера поведения подобного типа рассмотри!*
шарнирно опертый стержень упрощенного Н-образного поперечного сечения,
состоящего из двух «сосредоточенных» полок площадью А /2 каждая, нахо
дящихся на расстоянии А друг от друга. Обозначая деформации каждой пол
ки соответственно через et и е2, можно легко показать, что на основе гипо
тезы плоских сечений кривизна d* 2v/dx2 равна
d2v (х, t) d2v (х, 0) _ щ— е2 /1 г; а г
дх2 дх2 ' й ’ (.1О.У.1.
где учтена возможность существования начального прогиба v (х, 0), не рав
ного нулю. В данном случае уравнения равновесия (15.5.5) имеют вид
/7 = £1+Е1Л, M=-^^Ah, (15.9.2)
где О1 и а2 — напряжения, соответствующие и е2. Используя зависимости
между напряжениями и деформациями в форме (15.8.1), получаем
F = (eiz”H-ёз/тг) , М = (еУ"-£2/п)-^. (15.9.3)
Разрешая (15.9.3) относительно ej/n и е2/,г и подставляя результат в (15.9.1)
(после дифференцирования последнего по времени), приходим к следую-
щему дифференциальному уравнению:
3) См. [23]; см. также [16] для сравнения с экспериментальными результатам;
[24].
2) Соответствующие эксперименты были проведены Надаи [25].
15.9. Потеря устойчивости при ползучести
43
Предположим теперь, что сила F является сжимающей, т. е. F=—PQ
где Ро — положительная величина, и что никакие другие нагрузки не дей
ствуют. Тогда М =—Pov и предыдущее дифференциальное уравнение при
нимает вид
(15.9.5
did (x/L)2 h2 < Z/l J I у ' h J h у J 1
Рассмотрим два частных случая, когда п принимает значения п--1 i
п~-3. При п — 1 последнее уравнение упрощается и переходит в следующее
,1596
did (x/L)2 + KAh2 V h (1Э.У.О
Его решение, удовлетворяющее начальному условию
^(x,O)=aosin(y), (15.9.7
имеет вид
v = ao (у) [ехР ] sm(nr) • (15.9.8
Очевидно, что с течением времени прогибы возрастают и становятся беско
нечно большими, когда время стремится к бесконечности.
При п=3 из (15.9.5) следует уравнение
did (x/L)2 I ’ < h )' h J J ’ 1
которое нужно решить при том же начальном условии (15.9.7). Если искат)
его решение в форме
2 «„(Osin(^), (15.9.10
«=1, 3, 5
то подстановка в (15.9.9) дает
9 9 с1от> . плх
>, /У2л2 -sin
— dt L
и=1, з, 5
= /£& {(12й1 + За! — 3aifl3 + ба^ + • ..) sin ( У) +
-j- (12а3 — а[ + ба^аз + За’ 4- . . .) sin -|- • • j- • (15.9.11
Было показано1), что хорошее приближение к точному решению обеспе
чивается даже в том случае, когда берется единственный член ряда; тогд,
+ <15.9.12
4 См. [26]. Многие исследователи задач о потере устойчивости при ползучест:
применяют вместо решения в рядах, как в (15.9.11), так называемый метод коллокаций
заключающийся в том, что дифференциальное уравнение удовлетворяется только дл
конечного числа значений независимого переменного. В данном примере, приняв во вни
мание только один синусоидальный член и удовлетворив уравнению при х = L//
вместо (15.9.12) получим
day 3L2P% Г . , ( 4 \ Л
dt n2/i2V43 I 401 < 3 ) °1 J
Таким образом, в данной задаче метод коллокаций легко приводит к хорошему при
ближению.
440
Глава 15 Расчет напряжений при упруго-вязких деформациях
Интегрируя с учетом того, что а=а0 при 0, получаем
t_4(у mу уу (уу ууу 1пrfaуу±4]. (,5.9j3
3 \ L> J \ Pq J 24 \ L J \P§ J I 4-)-a^J
Ctg
Разрешая полученное уравнение в явном виде относительно прогиба
находим
ЙО H4-(a0/2)3(l—ef/fe)]1/2 ’ к
где
«=3- <15-9-14а'
Таким образом, прогиб опять возрастает с течением времени, однако иссле-
дования соотношений (15.9.14) или (15.9.13) показывают, что прогиб теперь
становится бесконечным за конечное критическое значение времени, равное
/кр = М§(1+<|). (15.9.15)
В этот момент времени наступает, как говорят, потеря устойчивости прг
ползучести.
Из предыдущих выводов следует, что процесс потери устойчивость
при ползучести отличается рядом особенностей, указанных ниже. Строгс
говоря, последующие выводы относятся только к материалам, поведение
которых описывается принятым при выводе законом (15.8 1). Однако ниже
будет показано, что большинство из них остается справедливым и для мно-
гих других более общих зависимостей между напряжениями и деформа-
циями, которые применялись при решении аналогичных задач.
1) Потеря устойчивости при ползучести как физически, так и матема-
тически совершенно отлична от обычного типа потери устойчивости, рас-
сматривавшегося, например, в гл. 13. Обычная критическая нагрузкг
соответствует «точке бифуркации» на кривой зависимости нагрузки от про-
гиба, т. е. точке, за которой возможно более чем одно равновесное состоя-
ние. Потеря устойчивости при ползучести отличается тем, что прогибы
(или в некоторых случаях скорости, см. ниже) растут начиная с любой вели-
чины. Далее будут установлены и другие отличия.
2) Потеря устойчивости при ползучести может наступить за конечное
время только в том случае, когда материал следует нелинейному закону
ползучести.
3) Потеря устойчивости при ползучести наступает при любом значе-
нии сжимающей осевой нагрузки, как бы мало оно ни было.
4) Потеря устойчивости при ползучести наступает в том и только в том
случае, когда имеется начальный прогиб; действительно, положив ао=0
в (15.9.15), видим, что критическое время становится бесконечно большим.
5) Значение /кр зависит от начального прогибай от величины нагрузки;
установлено, что изменение начального прогиба влияет на величину ZKp.
не очень сильно, и в то же время она очень чувствительна к изменениям
нагрузки [261.
6) Приведенное решение, основанное на теории малых деформаций,
разумеется, перестает быть справедливым в непосредственной близости
440 Г лава 15. Расчет напряжений при упруго-вязких деформациях
Интегрируя с учетом того, что а=а0 при t~Q, получаем
f ‘ (15.9.13
з X, ь у У Ро J J 4aiy-a( 24 V L J < Ро J \\a0J 4;-(ц J '
«о
Разрешая полученное уравнение в явном виде относительно прогиба ai =
= ai(t), находим
ао [ 14~(а0/2)2(1 — et/k)]1/2 ’ V
где
‘=и(т)!(лУ' л“3- <15'9'14а
Таким образом, прогиб опять возрастает с течением времени, однако иссле-
дования соотношений (15.9.14) или (15.9.13) показывают, что прогиб теперь
становится бесконечным за конечное критическое значение времени, равное
ДР = й lg(l +±) • (15.9.15;
В этот момент времени наступает, как говорят, потеря устойчивости прг
ползучести.
Из предыдущих выводов следует, что процесс потери устойчивость
при ползучести отличается рядом особенностей, указанных ниже. Строгс
говоря, последующие выводы относятся только к материалам, поведение
которых описывается принятым при выводе законом (15.8.1). Однако ниже
будет показано, что большинство из них остается справедливым и для мно-
гих других более общих зависимостей между напряжениями и деформа-
циями, которые применялись при решении аналогичных задач.
1) Потеря устойчивости при ползучести как физически, так и матема-
тически совершенно отлична от обычного типа потери устойчивости, рас-
сматривавшегося, например, в гл. 13. Обычная критическая нагрузка
соответствует «точке бифуркации» на кривой зависимости нагрузки от про-
гиба, т. е. точке, за которой возможно более чем одно равновесное состоя-
ние. Потеря устойчивости при ползучести отличается тем, что прогибы
(или в некоторых случаях скорости, см. ниже) растут начиная с любой вели-
чины. Далее будут установлены и другие отличия.
2) Потеря устойчивости при ползучести может наступить за конечное
время только в том случае, когда материал следует нелинейному закону
ползучести.
3) Потеря устойчивости при ползучести наступает при любом значе-
нии сжимающей осевой нагрузки, как бы мало оно ни было.
4) Потеря устойчивости при ползучести наступает в том и только в том
случае, когда имеется начальный прогиб; действительно, положив ао=0
в (15.9.15), видим, что критическое время становится бесконечно большим.
5) Значение /кг, зависит от начального прогибай от величины нагрузки;
установлено, что изменение начального прогиба влияет на величину
не очень сильно, и в то же время она очень чувствительна к изменениям
нагрузки [261.
6) Приведенное решение, основанное на теории малых деформаций,
разумеется, перестает быть справедливым в непосредственной близости
15.10. Дальнейшие исследования потери устойчивости при ползучести 441
к критическому моменту времени, так как прогибы при этом становятся
очень большими. Однако около критического момента времени величина
прогиба меняется весьма быстро, возрастая от малых значений до очень
больших настолько стремительно, что стержень в этот момент как бы вне-
запно изгибается, хотя, конечно, потеря устойчивости не является мгно-
венным процессом. Поэтому расчеты, основанные на теории малых дефор-
маций, сохраняют силу до моментов времени, очень близких к критическо-
му, охватывая, таким образом, всю область, представляющую практический
интерес.
15.10. Дальнейшие исследования потери устойчивости при ползучести.
В настоящем пункте кратко излагаются результаты некоторых других
опубликованных по данному вопросу исследований. Впервые потеря устой-
чивости при ползучести рассматривалась Фрейденталем в неопублико-
ванной работе [27] 1), а затем, особенно в последние годы, по этому вопросу
появилась обширная литература.
Очевидный недостаток примененного в предыдущем пункте простого
метода анализа потери устойчивости при ползучести заключается в том,
что при этом не выявляются особенности поведения в случае, когда нагруз-
ка Ро приближается к значению эйлеровской критической силы РЕ, равной
для разбираемого упрощенного Н-образного сечения
Действительно, согласно предыдущему решению, нагрузка может и пре-
вышать РЕ. Такой результат связан с тем, что в законе (15.8.1) не отражено
влияние упругих деформаций. Чтобы учесть их, запишем зависимость между
напряжениями и деформациями в измененном виде
' = т+Ш" <1510'2)
Для упрощенного Н-образного сечения, рассмотренного в предыдущем
пункте, были выполнены расчеты, основанные на этом законе [30], [31].
С помощью метода коллокаций и в предположении, что в начальном сос-
тоянии стержень был изогнут по синусоидальному закону, было установ-
лено, что критическое время при нечетных значениях п равно
03
'кр=2(^У(тг9 \ 7Ге1Л(г 1F (15J0-3)
[ao/d-JWp)]
.с,
при условии, что в начальный момент деформации носят чисто упругий
характер, т. е. а1(О)=ао/[1—(Ро/Ре)]- При А->оо ип=3выражение (15.10.3)
дает тот же результат, что и уравнение, приведенное в примечании на стр.
439. Из этого выражения видно, что все замечания к предыдущему пункту
сохраняют силу, но, кроме того, потеря устойчивости наступает мгновенно,
если Рй=Рс- Если нагрузки превышают эйлерову, то критическое время
принимает отрицательное значение и, следовательно, такие нагрузки стерж-
нем не выдерживаются.
!) Работа Фрейденталя описана также в его книге (см. ссылку [1], гл. 14). Деталь-
ное изложение всей проблемы потери устойчивости при ползучести можно найти в ста-
тье Хоффа [28] и в работе [29].
442 Глава 15. Расчет напряжений при упруго-вязких деформациях
Результаты примерно такого же общего характера получил Либов х),
который исходил из закона ползучести, имеющего при постоянных напря-
жениях вид
е==ДГ + дев<^к (15.10.4;
и обобщенного [33] в соответствии с пожеланиями Шенли [34]. Указанное
обобщение заключается в том, что в последнем уравнении неупругая дефор
Рис. 15.3. Верхняя и нижняя границы критического значения времени
£Кр. при ползучести сжатого стержня прямоугольного сечения.
Безразмерное критическое время z^p определяется согласно формуле (15.10.7);
п — показатель степени в выражении (15.10.2).
— — — верхняя граница для ? ; ----- нижняя граница для
мация (е—а/Е) дифференцируется по времени при <т= const, после чеп
из полученного уравнения и (15.10.4) исключается время t. Тогда
• а К(Ае°в)"к ......
ут / a\(.i-K)/K (15.10.6
Здесь А, В, Е, К — постоянные. Очевидно, что проведение расчетов на ос
нове уравнения (15.10.5) несколько сложнее, чем с помощью (15.10.2)
Можно ожидать, что для стержней всех типов поперечного сеченш
результаты будут носить качественно такой же характер, как и в описаннох
выше случае. В одной из работ, в которой анализировался стержень пря
моугольного поперечного сеченияг), показано, что решение становитщ
значительно более сложным, но общие выводы остаются действительш
такими же Избежать этих трудностей позволяет метод Блейха и Дил
Ч См. [32]. Данная работа также относится к стержню с упрощенным Н-образ
ным сечением.
2) Численные методы расчета использовались в работах [32] и [35]. Однакс
Либов показал, что для расчетов критического времени численные методы не годятся
В работе [36] для прямоугольного сечения решение дано с помощью вариационноп
метода. В работе [37] можно найти обсуждение и сопоставление результатов всех выше
указанных (а также и других) исследований.
15.10. Дальнейшие исследования потери устойчивости при ползучести 443
лона 137], которые показали, как можно установить для критического
времени верхнюю и нижнюю границы. Для материала, подчиняющегося
уравнению (15.10.2), в случае стержня прямоугольного поперечного се-
чения высоты h и ширины Ъ, нагруженного средними напряжениями
а0=Рй1ЬН, принципиальные результаты [37] сводятся к следующему.
Если критическое напряжение, соответствующее эйлеровой силе, взять
в виде
__ РЕ л2Е1 л2£Л2
°Е~ ~bh “ 6/1Z.2 “ 12L2
(15.10.6)
и ввести безразмерное критическое время Йр, которое определяется как
(15-ЮЛ
где множитель при tKp взят таким же, как при интегралев (15.10.3),то верх-
няя и нижняя границы t^p могут быть определены с помощью диаграмм рис.
15.3, где приведена зависимость /кР от отношения начального прогиба в цент-
ре стержня z0 к его высоте h. Для малых значений указанного отношения
(например, при 2о//г=О,015) эти границы можно определять из асимптоти-
ческого выражения
/*р = In—с; (15.10.8)
значения коэффициента с приведены в табл. 15.1. Из диаграмм рис. 15.3
видно, что ширина области между границами меняется в зависимости от
ТАБЛИЦА 15.1
Значения коэффициента с в формуле
(15.10.8)
п Для нижней границы Для верхней границы
3 0,987 0,26
4 1,57 0,56
5 1,95 0,81
6 2,26 1,02
7 2,45 1,16
отношения zolh. Однако положение действительного значения /кр можно
установить более точно с помощью некоторых неравенств, введенных теми
же авторами; так, например, при о„/ол>0,8 хорошее приближение к дейст-
вительному значению критического времени дает нижняя граница, при
о0/о'я<0,2—верхняя граница.
Исследования на основе более общей зависимости между напряжениями
и деформациями, приближенно учитывающей влияние первой стадии пол-
зучести и включающей пластические деформации с различным поведением
при нагружении и разгрузке, были выполнены Хоффом 1), который, раз-
Ц Перечень этих работ см. в [38] или в [16], а также в статье [39]. См. также
работы [28], [40] и [29].
444
Глава 15. Расчет напряжений при упруго-вязких деформациях
вивая более раннюю работу Одквиста [411, использовал следующий закон
Ч+О'ОВ <15.10.9:
Здесь т и п — целые числа, а постоянные ki и k2 принимают значение
— 1,0 или 4- 1 в соответствии со следующими условиями.
Для kr
если (Г>0 и о>0 (нагружение при растяжении), то Л4 = 1;
если а>0 и о<0 (разгрузка при растяжении), то &i=0;
если а<0 и <т<0 (нагружение при сжатии),то Л1 = 1 при т—четном
и kt=—1 при т—нечетном;
если о-<0 и о>0 (разгрузка при сжатии)
то ^=0.
Для А2:
если п — четное, то ^2=1 при о>0 и
k2 =—1 при о<0;
если п —нечетное, то &2=1.
Благодаря различию в формулировке условий для четных и нечетных пока-
зателей степеней, сохраняется одинаковая форма зависимости между напря-
жениями и деформациями как для растягивающих, так и для сжимающю
напряжений. Анализ, основанный на зависимости (15.10.9), связан со зна
чительно большими трудностями, чем при использовании любого другогс
уравнения из рассматривавшихся ранее в данной главе, прежде всего пото-
му, что для определения в любой момент времени соответствующих зна-
чений ki и k2 надо знать, испытывает ли тело в данной точке нагружение
или разгрузку, а для этого в каждой точке должна быть тщательно про-
слежена история нагружения1). Однако дополнительное усложнение
оправдывается тем, что теория становится более общей, включает в себ;
обе другие теории, а также позволяет установить новую особенность, кото-
рую мы сейчас проиллюстрируем на простом примере.
Рассмотрим снова, как и в п. 15.9, шарнирно опертый стержень упро-
щенного Н-образного поперечного сечения. Тогда уравнения (15.9.1) г
(15.9.2) остаются в силе, в то время как для данной зависимости межд}
напряжениями и деформациями уравнения (15.9.3) уже несправедливы,
Начальный прогиб возьмем опять в виде синусоиды, как в (15.9.8). Если
ползучесть происходит при постоянной сжимающей силе Ро, приложенной
к концу стержня, то на вогнутой стороне деформация сжатия ei увеличи-
вается (о<0), поэтому для полки, расположенной с вогнутой стороны стерж-
ня, закон (15.10.9) следует взять в виде2)
ИАтЖМЯ (15.Ю.Ю)
0 Разумеется, при этом остается открытым вопрос о том, нельзя ли установить
другие зависимости между напряжениями и деформациями, которые были бы или про-
тив, чем (15.10.9), и вместе с ним описывали бы такой же общий тип поведения, или же
были бы физически более точными, но не увеличивали бы трудностей. Одним из нере-
шенных вопросов является, например, вопрос о том, должен ли последний член в
(15.10.9) или аналогичные члены в (15.8.1) или в (15.10.2) по-разному описывать режи-
мы нагружения и разгрузки.
2) Во всех последующих выкладках принято, что т и п — нечетные.
15,10. Дальнейшие исследования nofaepu устойчивости при ползучести
445
£сли предположить, что в течение всего времени деформация на выпуклой
•стороне 82 остается сжимающей, то она, естественно, убывает (о>0) и по-
этому для полки, расположенной с выпуклой стороны стержня,
; _ , л cr2 у
82 - •
(15.10.11)
Ложно легко установить, что при таких зависимостях между напряжениями
и деформациями основное дифференциальное уравнение стержня, анало-
гичное (15.9.4), будет следующим:
d*v Го / Ро > । Г Ро , 2оД<п1 d(2v/h)
й V+TJ J -----------
/ Ро у г Г i 2v V < i
(15.10.12)
Снова принимая прогиб в виде синусоидального ряда Фурье (15.9.10),
ограничиваясь первым членом и используя метод коллокаций при х—
— (L/2), преобразуем в конечном счете (15.10.12) к виду ')
д<1\ (1——(1—а1)п
[ 71Гуур0 . 1 /У’УГ’ ГТ
(15.10.13)
где константа k определяется по-прежнему выражением (15.9.14а). При
«1=^0 числитель дроби в правой части уравнения никогда не обращается
в нуль. Следовательно, скорость daildt становится бесконечной тогда,
когда максимальный прогиб пкр удовлетворяет выражению
Щ;р
/ WPq)-1 Г 1
У / Ро »>£
1 2 ./ р J
(15.10.14)
где РЕ— по-прежнему эйлерова сила. Это происходит в конечный крити-
ческий момент времени, который определяется интегрированием уравне-
ния (15.10.13), а именно
акр
/ = f (15.10.15)
a« \Tt )
где в знаменатель подинтегральной функции следует подставить выражение,
стоящее в правой части уравнения (15.10.13). В данной теории критический
прогиб не зависит от п; критическое время, конечно, зависит от п.
Следует подчеркнуть, что при принятой зависимости между напряже-
ниями и деформациями потеря устойчивости при ползучести характери-
зуется бесконечной скоростью (а не бесконечным прогибом), которая насту-
пает в конечный момент времени при конечных деформациях. Как и ранее,
выпучивание происходит при любом значении нагрузки Р0<РЕ, как бы
мала она ни была. Эти результаты были доказаны только для указанного
выше частного случая изменений напряжений на вогнутой и выпуклой
сторонах стержня; однако можно показать, что если приведенные уравне-
!) Отметим, что если в (15.10.9) опустить член, пропорциональный klt то знаме-
натель правой части (15.10.13) обращается в единицу. Тогда это уравнение при и = 3
становится идентичным соответствующему уравнению теории, приводящей к формуле
(15.10.3).
446 Глава 15 Расчет напряжений при упруго-вязких деформациях
ния модифицировать с учетом истории нагружения иного вида, то качествен-
но получатся такие же результаты.
Обсуждая заметку Де-Вебека [29], Хофф значительно развил указан-
ную теорию, установив интересную аналогию с теорией пластического
поведения сжатых стержней, которая в основном сводится к следующему г).
Рассмотрим шарнирно опертый на концах стержень такого же попе-
речного сечения, как и выше, изготовленный из материала, подчиняющегося
нелинейной зависимости между напряжениями и деформациями
8 = -^+-4тС—У+1> (15.10.16)
где различное поведение материала при нагружении и разгрузке, как и преж-
де, учитывается с помощью различных приведенных ранее значений кон-
станты ki * 2). Уравнения (15.9 1) и (15 9.2) по-прежнему остаются в силе,
начальный прогиб также принимается в форме (15.9.8). Тогда дифферен-
циальное уравнение изгиба (при нечетных значениях т) принимает вид
, / д-v 52а (х, 0)\ __ Г 2Р0 2v 1 Г Ро \иц-1 Г . 2и \m+i -i
Л <1x2’ дх* ) ~ ~ L ~АЁ~ ~h + ТГ'Т J U'T J J ’
(15.10.17)
а его решение, полученное методом коллокаций по прогибу в середине
стержня,
ОУ [ж + (15.10.18)
Если рассмотреть зависимость безразмерного прогиба ах от нагрузки Ро,
то экспериментально и теоретически устанавливается [26], что вначале
нагрузка увеличивается вместе с прогибом, затем достигает максимума,
после чего она уменьшается при возрастающих прогибах. Максималь-
ную величину нагрузки можно найти, если продифференцировать (15.10 18)
по ах и положить (dPoldax) равным нулю Тогда соответствующий прогиб
должен удовлетворять уравнению
1-Ш’[да+4(лрУ'‘<1 + «.)-]=о. (15.10.19)
откуда
fPE i/m
-1. (15.10.20)
1 Г Ро \т Е ' >
I2 V Ац) ц
Но это выражение для прогиба такое же,как и определенное ранее форму-
лой (15.10.14). Таким образом, критический прогиб стержня в условиях
ползучести можно рассчитать по данным о деформации стержня с упроч-
нением; он совпадает с величиной прогиба, при котором в последнем слу-
чае происходит изменение прогиба без изменения нагрузки (т. е. когда
dPo/^i=O). Но соответствующая величина нагрузки равна 3)
(15.10.21)
Ч См. работы [28] и [38]—[40], а также [42]
2) В работе [43] показано, что уравнение в такой общей форме можно с достаточ-
ной точностью использовать для выражения одномерной зависимости между напряже-
ниями и деформациями применительно к большинству из обычно используемых мате-
риалов.
з) См., например, книгу [1], гл 13
Библиография
44'
где Епр — модуль Кармана, или приведенный модуль, который раве!
для упрощенного Н-образного сечения
F _ 2EEt
пр (£-f-£t)’
(15.10.22а;
а для прямоугольного сечения
р _ ^EEt
пр (/£+/£7)2 ’
Здесь Et— модуль сдвига. Числовое значение величины £Пр Для други?
поперечных сечений незначительно отличается от того, что дают обе этт
формулы.
Итак, критический момент времени, когда стержень при ползучест!
теряет устойчивость, можно определить двумя этапами. Вначале нужнс
установить критическое значение прогиба, соответствующее деформациям
при которых эффективная изгибная жесткость стержня £Пр I настолькс
уменьшается, что нагрузка РКр-, определяемая по (15.10.21), становитс?
равной приложенной нагрузке. Этот расчет ведется на основе кривых мгно
венной зависимости между напряжениями и деформациями для данной
материала при заданной температуре. Затем можно найти критическсц
время; для этого требуется иметь достаточно данных по ползучести рас
сматриваемого материала, исходя из которых можно было бы получит!
выражение типа (15.10.9), описывающее поведение материала при меняю
щихся напряжениях. Имеются сообщения о том, что расчетные данные
полученные на основе указанной теории, удовлетворительно согласуются
с экспериментальными результатами ’)
(15.10.226;
БИБЛИОГРАФИЯ
1. Алфрей (А 1 f г е у Т.), Mechanical behavior of high polymers, Interscience
New York, 1948; русский перевод: Алфрей T., Механические свойства высоко
полимеров, ИЛ, М., 1952.
2. Цзян (Т s i е п Н. S.), A Generalization of Alfrey’s theorem for viscoelastii
media, Quart. Appl. Math., 8 (1950), 104—106.
3. P и д (Read W. T.), Stress analysis for compressible viscoelastic materials
J. Appl. Phys., 21 (1950), 671—674.
4. Л и (Lee E. H.), Viscoelastic stress analysis, Proc. First Symposium on Nava
Struct. Meeh , Stanford University, August 1958.
5. Брюлль (Brull M. A.), A structural theory incorporating the effect of time
dependent elasticity, Proc. First Midwest Conf. Solid Meeh., Urbana, Ill., 1953
pp. 141 — 147.
6 Ли (Lee E. H.), Stress analysis in viscoelastic bodies, Quart. Appl. Math , It
(1955), 183—190.
7. Хилтон, Хассан, Расселл (Hilton H. H., Hassan Н. А.
Russell Н. G.), Analytical studies of thermal stresses in media possessing tem
perature dependent visco-elastic properties, W. A. D. C. Tech. Rep. 53—322, Sep-
tember 1953.
8. Стернберг (Sternberg E.), On transient thermal stresses in liner]
viscoelasticity, Proc. Ill U. S. Nat. Congr. Appl. Meeh., ASME, 1958, pp. 673—683.
J) Некоторые из экспериментальных работ, проводимых с целью сопоставления
с расчетами, были выполнены Чепменом, Эриксоном и Хоффом [39], а часть - Карлсе-
ном и Мэннингом [44].
448 Глава 15. Расчет напряжений при упруго-вязких деформациях
9. Фрейденталь (Freudenthal А. М.), Effect of rheological behavio.
on thermal stresses, J. of Appl. Phys., 25 (1954), 1110—1117.
10. Фрейденталь (Freudenthal A. M.), On inelastic thermal stresse:
in flight structures, J. of the Aero. Set., 21 (1954), 772—778.
11. Фрейденталь (Freudenthal A. M.), Problems of structural desigi
for elevated temperatures, Trans. N. Y. Acad, of Set., Ser. II, 19, 4 (February 1957)
328—342.
12. Кемпнер (Kempner J.), Creep bending and buckling of linear viscoelastii
columns N. A. C. A. Tech. Note 3136, January 1954.
13. Hecc (Ness N.), Time-dependent buckling of a uniformly heated columr
N. A. C. A. Tech. Note 3139, January 1954.
14. Ван-дер-Поль, Бреммер (Pol В. van der, Bremmer H.)
Operational calculus based on the two-sided laplace integral, 2nd ed., Cambridgt
University Press, 1955.
15. X оф ф (Hoff N. J.), Approximate analysis of structures in the presence ol
moderately large creep deformations, Quart, of Appl. Math., 12, 1 (April 1954), 49.
16. X о ф ф (Hoff N. J.), Theory and experiment in the solution of structural
problems of supersonic aircraft, W. A. D. C. Tech. Rep. 55—291, March 1956.
17. X о ф ф (H о f f N. J.), Stress distribution in the presence of creep, High tempera-
ture effects on aircraft structures, Pergamon Press, New York, 1958.
18. X о ф ф (Hoff N. J.), The analysis of structures, John Wiley and Sons, Neu
York, 1956.
19. Пател, Венкатраман, Ходж (Patel S. A., Venkatramand
В., H о d g e P. G.), Torsion of cylindrical and prismatic bars in the presence ol
steady creep, Poly. Tech. Inst, of Brooklyn, PIBAL Rep. № 351, December 1956.
20. О н ат, Юксел (On at E. T., Yiiksel H.), On the steady creep, of shells,
Brown University, Contract No. 562(20)/5, Tech. Rep. № 5, January 1958.
21. Андраде (Andrade E. N. da C.), On the viscous flow of metals and allied
phenomena, Proc. Royal. Soc., Ser. A, 84, A567 (June 9, 1910), 1.
22. А и д р ji д е (Andrade E. N. da C.), The flow in metals under large constant
stresses, Proc. Royal Soc., Ser. A, 90, 4619 (July 1, 1914), 329.
23. Хофф (Hoff N. J.), The necking and the rupture of rods subjected to constant
tensile loads, J. of Appl. Meeh., 20, 1 (March 1953), 105.
24. Дорн, T и ц (Dorn J. E., T i e t z T. E.), Creep and stress-rupture investi-
gations on some aluminum alloy sheet metals, Proc, of the A. S. T. M., 45 (1949),
813—831.
25. H а д а и и др. (N a d a i A. et al.), J. of Appl. Meeh., 55, 61 (1933); 58 (1936),
A-7; 63, (1941), A—77.
26. X о ф ф (H о f f N. J.), Buckling and stability, 41st Wilbur Wright Memorial
Lecture, J. of the Royal Aero. Soc., 58, 517 (January 1954), 1—52; русский перевод:
Хофф H., Продольный изгиб и устойчивость, ИЛ, М., 1955.
27. Фрейденталь (Freudenthal А. М.), Some time effects in structural
analysis, VI International Congress of Applied Mechanics, 1946.
28. Хофф (H о f f N. J.), A survey of the theories of creep buckling, Proc. Ill U. S.
Nat. Congr. Appl. Meeh., January 1958, pp. 29—49.
29. Д e-B ёбек (Veubeke B. F. de), Creep Buckling, статья в сб. High Tempera-
ture Effects in Aircraft Structures, Pergamon Press, 1958.
30. Кемпнер (Kempner J.), Creep bending and buckling of non-linearly
viscoelastic columns, N. A. C. A. Tech. Note 3137, 1954.
-31. Кемпнер, Пател (Kempner J. and Patel S.), Creep Buckling of
Columns, N. A. C. A. Tech. Note 3138, 1954.
32. Либов (Libove C.), Creep Buckling of Columns, J. of the Aero. Sci., 19,
7 (July 1952), 459—467.
Библиография 449
33
34
35
36
37
за
39
40
41
42
43
44
Л и б о в (Lobove С), Creep-buckling analysis of rectangulai cross section
columns, N A C A Tech Note 2956, 1953
Шенли (Shanley F R ), Weight-strength analysis of aircraft structures,
McGraw-Hill, New York, 1952
Пател, Вейгл (Patel S , Wagl e V D), Creep Buckling of Rectangular
Section Columns, PIBAL Rep 358, Polyt Inst of Brooklyn, June 1957
Сэндерс, Ma к-Ком, Шлехте (Sanders J L, McComb H G,
Schlechte F R), A variational theorem for creep with applications to plates
and columns, N A C A Tech Note 4003, May 1957
Блей x, Диллон (Bleich H H,Dillon О W , Jr ), Non linear creep
deformations of columns of rectangular cross-section Trans ASME, E-26, 4 (1959),
517—525, а также статью ASME, NA-1, 1959, pp 1—9
Хофф (Hoff N J), Buckling at high temperature, J of the Royal Aero Soc .
61, 563 (November 1957), 756—774
Чепмен, Эриксон, Хофф (Chapman J C,EricksonB,Hofl
N J ), A theoretical and experimental investigation of creep buckling, J of thi
Aero/Space Sci
Хофф (Hoff NJ), Creep Buckling, Aeio Quart , 7, part I (February 1956), 1
Од кв и с r (Odqvist F. K. G.), Influence of primary creep on columr
buckling, J of Appl Meeh , 21, 3 (Semptember 1954), 295
Хофф (Hoff NJ), Effects thermiques dans le calcul de la resistance des struc
tures d’avions et d’engins, AGARD Rep No 52, January 1956
Рамбер г, Осгуд (Ramberg W, Osgood W R), Description о
stress-strain curves by three parameters, N A C A Tech Note 902, 1943.
Карлсон, Мэннинг (Carlson R L, Manning G K) Investi
gation of compressive creep properties of aluminum columns at elevated temperatu
res; Part 2, Stability Problems, W A. D C Tech Rep. 52—251, Part 2, May 1954
ГЛАВА
Расчет напряжений при пластических
деформациях
16.1, Введение. В настоящей главе рассматривается ряд примеров расче-
та температурных напряжений на основе теории идеализированной пластич-
ности, изложенной в гл. 14. В п,16.2 разбирается случай свободной плас-
тины при произвольном распределении температуры по толщине, причем
используется условие текучести Мизеса, не зависящее от температуры;
некоторые иллюстративные примеры приведены в п. 16.3. Следующий пункт
посвящен учету зависимости условия текучести от температуры и влияния
упруго-вязких эффектов. В п. 16.5 приводится решение задачи о свободном
цилиндре при изменении температуры по радиусу, основанное на условии
текучести Треска; в п. 16.6 та же задача решается, исходя из условия теку-
чести Мизеса.
Во всех идеализированных теориях гл. 14, которые используются
в указанных примерах, рассматриваются не полные деформации '), а толь-
ко их приращения, причем принятыми зависимостями между напряжения-
ми и деформациями по существу определяются скорости деформации,
а не сами деформации. Некоторые из опубликованных работ по расчету
температурных напряжений (см. [5], [6), [8] и [9]) основываются на теориях
полных деформаций. Предпочтение, которое отдается здесь инкрименталь-
ным теориям, объясняется тем, что только они обладают достаточной общ-
ностью, в то время как теорий полных деформаций применимы, строго
говоря, только в некоторых частных случаях, где и те и другие теории
приводят к одинаковым результатам * 2).
Утверждают, и не без оснований, что теории полных деформаций сле-
дует изучать с тем, чтобы ими пользоваться в случаях, когда это строго
допустимо, так как при анализе они приводят к значительным математи-
ческим упрощениям, особенно при учете упрочнения материала. Однако
в связи со стремлением сделать модели все более и более близкими к реаль-
ности путем учета тех или иных факторов, например зависимости механи-
ческих свойств от температуры, аналитические методы расчета становятся
чрезвычайно сложными, так что требуется применять вычислительные
машины. Но при этом инкрементальные теории становятся как раз наибо-
лее удобными даже в тех случаях, когда можно пользоваться и другими
теориями.
Речь идет о теории полной деформации, в которой компоненты полной пласти-
ческой деформации пропорциональны соответствующим компонентам девиатора напря-
жений, тогда как в инкрементальной теории компоненты приращения пластической
„деформации пропорциональны компонентам девиатора напряжений.— Прим ред.
2) Этот вопрос обсуждался, например, в книге Хилла, см. ссылку [6] к гл. 14.
16.2. Расчет свободной пластины в упруго-пластической области 45
16.2. Расчет свободной пластины в упруго-пластической области г)
Рассмотрим расчет температурных напряжений в свободной пластине в пред
положении, что ее материал является идеализированным упруго-пластичес
ким и удовлетворяет условию текучести Мизеса, не зависящему от темпера
туры. Соответствующие зависимости между напряжениями и деформациям!
получаются как частный случай зависимостей п. 14.9 и для удобства при
водятся здесь снова.
Средняя скорость деформации * 2):
= + (16.2.1
Девиатор скорости деформации
= (16.2.2
где
А, = 0, если < k2, или если 1 SijStj=k2 и s^-syCO; I
s . . , } (I6.2.3;
= '^iJ и . sos,7 = 0, если у SijSij^k2 и s0-sfj > О, J
причем, как и в уравнении (14.9.10),
S$= 2^'еи (16.2.4
и k — это предел текучести материала при чистом сдвиге. Отметим, чтс
приведенное определение А получается из (14.9.5) с учетом (14.9.9), (14.9.13)
и (14.9.10) применительно к рассматриваемому частному случаю, когдс
предел текучести не зависит от температуры.
Используя выражения для девиаторных и средних компонент напря-
жения и деформации (14.5.10) и(14.5.11), можно объединить (16.2.1) и (16.2.2)
в единую зависимость между напряжениями и деформациями
+ (16.2.5)
Пусть пластина толщиной 2L имеет произвольную форму. Будем поль-
зоваться прямоугольной декартовой системой координат х, у, z с началок
на срединной плоскости пластины, причем ось х направим по нормалЕ
к ее поверхности. Поверхности x~±L свободны, а нагрузки на краяз
таковы, что результирующая сила и момент равны нулю. Допустим, чтс
распределение температуры по пластине имеет вид Т (х, t), и в начальном
состоянии пластина свободна от напряжений. Ограничимся рассмотрением
части пластины, достаточно удаленной от ее краев, где все величины можнс
считать зависящими только от х и t.
Ниже будут выведены уравнения, устанавливающие для любого момен-
та времени t скорости изменения по времени компонент напряжения в плас-
тине. Эти величины определяются напряженным состоянием пластины
в момент времени t и скоростью изменения в этот момент заданного темпе-
ратурного поля. Указанные решения для скоростей напряжений должны
9 Метод расчета соответствует работе [1].
2) В первых трех пунктах данной главы среднее напряжение и средняя деформа-
ция не обозначаются через а и е, так как эти обозначения используются для других
целей [см. (16.2.8) и (16.2.10)].
29»
452
Глава 16. Расчет напряжений при пластических деформациях
удовлетворять всем требованиям теоремы единственности п. 14.8. Tai
как начальное распределение напряжений задано, то, интегрируя эти реше
ния по времени, можно получить для любого момента времени однознач
ное распределение напряжений.
Прежде всего удобно ввести функцию g (х, /), равную нулю, когд<
материал пластины в точке (х, t) находится в пластическом состоянии
и единице — в упругом, т. е.
g(x,f) = l, если у SijSij < k2, или если ± SijStj = k2
и 0;
j . (16.2.0
g(x, 0 = 0, если у SjjStj = k2, SijStj = О
И SfjS ^>0,
где stj и s® определяются для точки х, t. С учетом этого обозначения, и;
(16.2.5) получаем, что
ёи = -ф1 + (1 - g) X ) + 6i7.aT, (16.2.7;
где все значения относятся к точке x,t.
Можно предположить, что в условиях равновесия, как и в задаче тер-
моупругости
= оху = oyz = axz — О,
(lb.2.0,
Оуу = Ом = О .
При таком напряженном состоянии условие текучести имеет вид
о2 = У2, (16.2.9)
где Y =У 3 k— предел текучести на растяжение.
Тогда из зависимостей между напряжениями и деформациями следует,
что единственными компонентами деформации, отличающимися от нуля,
будут ежж
ег/£/ = 8и = е. (16.2.10)
Из (16.2.7) находим, что
8 = ^=2Lo + y(l-g)Mj + aT. (16.2.11)
Так как единственным уравнением совместности, которое тождественно
не удовлетворяется, остается
~=0, (16.2.12)
то е должно выражаться в виде
e=F1,(/) + xF2(/), (16.2.13)
где и F2 — пока произвольные функции. Из уравнений (16.2.11) и
(16.2.13) следует, что
-ЦГ<ё + |(1-^)^ + аУ = Л(/) + х#2(0. (16.2.14)
Поэтому для упругого состояния в точке х, t
-^y[K(t) + xFz(f)—аТ\ при g(x, 0=1- (16.2.15)
16.2. Расчет свободной пластины в упруго-пластической области
453
Чтобы при пластическом состоянии в точке х, t удовлетворить условию
текучести (16.2.9), необходимо, чтобы
ст(х, Z) = О при g (х, t) = 0. (16.2.16)
Функции Fi(f) и F2(f) определяются из условий, что на краях пластины
результирующая сила и момент внешних нагрузок равны нулю. Выражая
эти условия через a(x,t), получаем I. хо(х, t)dx = 0, -L (16.2.17)
L о (х, t) dx = 0, -L
так что или L f o(x, t)dx =0, at J ' ' —L L a (x, t) dx = 0, —L L хв (х, t) dx = 0, -L L xo(x, t) =dx~0, -L (16.2.18) (16.2.19)
причем в последнем преобразовании предполагается, что заданное темпе-
ратурное поле T (x,t) имеет достаточно правильный характер, вызывая
такие изменения в распределении напряжений о (x,f), пр(и которых допусти-
мо менять порядок дифференцирования и интегрирования. С учетом (16.2.15)
и (16.2.16) перепишем условия (16.2.19) в виде
L
g(x, tUF^tj+xFztt) — аТ(х, t)]dx = 0, (16.2.20)
-’г
L
xg(x, t) [Fj (t) + xF2(t) — aT(x, f)]dx = 0. (16.2.21)
—L
Вводя обозначения
L
2LE(t) = g(x, t)dx,
-L
L
L2E(f) = xg(x,f)dx, (16.2.22)
-L
L
L3E(t)= 5 x2s(x> O^x,
—L
где 2LE— общая ширина упругих областей в пластине, a L2eh L3B— соответ
ственно моменты первого и второго порядка этих областей, получаем
ь
2Le (f)F\ +L2E(t)F2 (t) = a g (x,t)T (x,t)dx, (16.2.23)
-L
L
LZE(t)Fat)+L3E(t) F2(f) = a j xg(x,t)T(x,t)dx. (16.2.24)
— L
i лава ю. насчет напряжении при пластических оесрормациях
Для данного момента времени уравнения (16.2.23) и (16.2.24) образую'
систему совместных линейных алгебраических уравнений, решение которы:
дает Fi(t) и F^f). Этими уравнениями вместе с(16.2.15) и (16.2.16) функ
ция a (x,f) выражается через Т (x,f) и g (x,t). Поэтому, чтобы завершит!
определение о (x,t) в зависимости о (x,f) и Т (x,t), необходимо выразит!
условия (16.2.6), определяющие g(x,t), через те же самые функции. Опре
делим функцию в форме, аналогичной (16.2.4), для s®, для чего выразил
ее через и Т, полагая в (16.2.5) А,=0, независимо от того, происходи'
пластическое течение или нет. Тогда
= д' С 3^7 Ц- -g SjyOftfc3 (16.2 2<Э
где принято во внимание, что
0mm
(16.2.26
так как соотношение между средним напряжением, средней деформацией
и температурой не зависят от пластического течения.
Для рассматриваемого здесь напряженного состояния уравнение
(16.2.25) принимает вид
s,,s^ = 2ааЕ — у его, (16.2.27)
где оЕ = Оуу = о® определяются, согласно (16.2.15), при любом значе-
нии g, т. е.
<тЕ(х, 0 = 71Л(0 + х^2(0 —аЛ-
Поэтому при о2 = У2 и ff(T = o условие si7s® >0 эквивалентно oo'fe>0.
Теперь можно выписать полную систему уравнений, определяющих
и (х, t), при заданной функции Т (х, f):
t
а(х, f)= g(x, f)oE(x> t)dt, (16.2.28)
b
где
g(x,t) = 0 прио2 = У2, oaE > 0; 1
. [(16.2.29)
g (%,/) = ! при о2 < Y2 или при cF — Y2 и ooE<0, J
oE(x, 0 = xF2U)~aT(x, /)], (16.2.30)
причем Fi (t), F2 (/) определяются из совместного решения уравнений
L
g(x, t) оЕ (х, t) dx ~ 0,
xg (х, f)oE (х, t) dx = 0.
-L
(16.2.31)
16.2. Расчет свободной пластины в упруго-пластической области
455
Формулы, в явном виде определяющие F, (/) и Fz(t), можно легко
вывести для следующего класса распределения температур:
Т(х, t) = a(t) + xb(t)-]-Ts(x, t), (16.2.32)
где Тs(x, 0 —Функция, в любой момент t симметричная относительно
х=0. При этом линейные члены не вызывают напряжений, a g(x, F)
будет также симметричной функцией. Следовательно,
L
F\ (t) = а [а (/) Д- g (х, t)Ts(x, t) dx]
Ь ‘° (16.2.33)
/2(0 = а&(0,
так что из (16.2.30)
L
0Е(х, .JdF. J g(x,t)Ts(x, f)dx-Ts(x, /) ]• (16.2.34)
E о
Таким образом, для данного класса распределения температур вместе
(16.2.30) и (16.2.31) можно пользоваться формулой (16.2.34). Если
определение деформаций не представляет интереса, то находить отдельнс
функции /Д и Е2 нет необходимости.
Непосредственное применение уравнений (16.2.28)—(16.2.31) [или
(16.2.28), (16.2.29) и (16.2.34)] требует последовательных вычислений по вре-
мени при одновременном определении g, о''- и о. Эта процедура представляет
удобство при применении вычислительных машин; в следующем пункте
обсуждаются некоторые числовые результаты, полученные указанным
способом. Однако если распределение температуры имеет настолько простой
характер, что можно заранее установить, появится ли пластическая зона,
то уравнения можно выразить в интегральной форме, как будет показанс
ниже. Эти интегральные уравнения определяют положения поверхностей
раздела между упругими и пластическими зонами в форме интегралов от
температуры; зная положения поверхностей раздела, можно непосредствен-
но найти напряжения. Только в течение тех периодов, когда на части плас-
тины происходит разгрузка, для точного определения положения поверх-
ностей раздела и напряжения при разгрузке приходится пользоваться
методом последовательных вычислений.
Если в точке х в течение промежутка времени пластина дефор-
мируется упруго, то из уравнения (16.2.28) следует, что
t
о(х, t) — а(х, ^о)= °Е(Х, Оdt = 0е(х, t) — 0E(x, t0). (16.2.35)
е)
to
Изменение значения aE(x,f) всегда можно найти путем интегрирования
уравнения (16.2.30), для чего требуется знать F^t) и Ё2(0 во всем рассмат-
риваемом интервале времени /. Если разгрузка не происходит одновремен-
но по всем пластическим зонам, то для получения скоростей напряжений
действительно необходимо определять эти величины. Однако для периодов,
когда разгрузки нет или когда она происходит одновременно по всем плас-
тическим зонам, можно обойтись без явного вычисления e=Fi(tyFxFz(t]
и вычислить непосредственно е. Для предыдущего случая, определяя a(x,t]
456
Глава 16. Расчет, напряжений при пластических деформациях
из уравнения (16.2.35) или из условия о2=У3, получаем
о (х, t) — а (х, t0) + оЕ (х, t) — оЕ (х, t0)
о(х, t) — (sgn ст) Y
при g(x, t) = 1,
при g(x, t) = О,
(16.2.36
где sgn ст =+ 1 для текучести при растяжении, sgno = — 1 для текучестс
при сжатии.
Тогда из условий равенства нулю результирующих силы и момент;
краевых нагрузок получаем
{g (х, t) [о (х, t0) + оЕ (х, t) - аЕ (х, /0)] + [ 1 - g (х, 01 (sgn о) Y} dx = 0,
-L
(16.2.37
( X {g (x, t) [O' (x, to) + OE (x, t) — 0E (x, /o)] + [ 1 - - g (X, /)] (sgn 0) Y} dx = 0,
—L
(16.2.38
и мы можем записать
оЕ(х, F xF2(t) — aT (x, /)]. (16.2.39
Уравнения для F t(f) и F2(t) получаются тем же путем, что и уравнени;
(16.2.23) и (16.2.24), что дает
2Le (0 [F1 (t) - (О + L2E (/) [F2 (t) — F2 (/„)] =
+ 5 {ё(х’ ~ °(x' ^o) + a[T(x, t) — T (x, /(,)]] —
-L
— 01 (sgnО) к} dx, (16.2.40
F2E (0 1^1 (0 (0)1 + Fse (t) [F2 (t)--F2 (4)] —
T
= X (g (x, t) [ —( 0 (x, t0) + a [T (X, t) — T (x, Z0)l ] —
О -g (x, Z)](sgno)yJ dx.
(16.2.41
Уравнения (16.2.36) вместе с (16.2.39)—(16.2.41), определяющими аЕ (х, t)
Fi(t) и Fa(0> представляют собой интегральную форму уравнения (16.2.28)
справедливую на протяжении промежутка времени, свободного от разгруз
ки. Они позволяют прямо определить о(х,/) без вычисления оЕ (x,t) в явно!
форме.
Точно так же, если разгрузка происходит вдоль х одновременно во все?
точках пластины, то уравнения (16.2.36) остаются в силе с момента начал;
разгрузки до нового нагружения.
Для температурных полей, представляемых в форме (16.2.32), преды-
дущие уравнения можно значительно упростить. В частности, для случая
когда в течение периода времени нет разгрузки и о(х,0) = 71(х,0)ь^
10 J Примеры расчета пластин в упруго-пластическом состоянии
45'
(0) ~ F2(O) = 0, из уравнений (16.2.40) и (16.2.41) следует
L
5 [а£(х’ O(^s(x, t)+a{t))—
о
11 01 (sgno)K ] dx, (16.2.42
F2{t)~ ab(t),
так что
L
°E (*. V = f 7Г~(7Г S g Ts (X’ t} dx ~ Ts U t} 1 ~
0
L
---гЛтг fl ~g(x, t)\(sffxa)Ydx при 0<t<tM (16.2.43
le v) J
0
и более того, ввиду отсутствия за этот период разгрузки,
о(х, t) = oE(x, t) в упругих областях,
о (х, t) = (sgn о) Y в пластических областях. (16.2.44
Уравнение (16.2.43) можно легко интерпретировать физически. Напря
жения в упругой области складываются из термоупругих напряжений
возникающих в упругой пластине толщиной 2LE, и равномерно распре
деленных напряжений, уравновешивающих усилие, передаваемое от плас
тических областей.
16.3. Примеры расчета пластин в упруго-пластическом состоянии.
Прежде всего используем методы предыдущего пункта для расчета напря
жений в свободной пластине, так как в этой задаче нестационарное тем
пературное поле имеет достаточно простой характер, что позволяет про
вести проинтегрирование уравнения.
Предположим, что одна из поверхностей пластины (x~L), имевшей
первоначально повсюду нулевую температуру, подвергается воздействии:
равномерного теплового потока q(f), который при начальном условии <?(0)=С
меняется стечением времени. Другая поверхность (х=—L) и все края плас-
тины считаются идеально изолированными [21. Пусть тепловые характе-
ристики пластины не зависят от температуры. Распределение температуры
в пластине можно представить в виде (см. п. 9.9)
i
(16.3.1
о
где К — коэффициент теплопроводности, р — плотность, с — удельна?
теплоемкость пластины. В п. 9.9. было показано, что
|8(х, (16.3.2
где 7тах — наибольшее значение dq /dt в промежутке времени 0<л<Д, а х—
коэффициент температуропроводности. Можно показать [2], что верхняя
граница наибольшего упругого напряжения щ, вызванного деформацией
Й8
Глава 16. Распет напряжений при пластических деформациях
равна
0,046£аЛ3дшах
(1 — v) /<"/.
(16.3.3)
Если подводимый тепловой поток q(f) таков, что величина о8 прене-
брежимо мала по сравнению с пределом текучести материала, то в решении
упру го-пластической задачи можно опустить член e,(x,t). Ниже будем
предполагать именно такой случай.
Предположим далее, что q(t) монотонно возрастает до максимального
значения qM в момент времени tM, после чего монотонно убывает до*нуля.
Рис. 16.1. Пластические зоны в свободной пластине при медленном
нагреве (п. 16.3).
При принятом допущении о медленно меняющемся тепловом потоке распре
деление температуры для любого момента времени'может быть представ
лено в форме (16.2.32), т. е. в виде суммы линейной функции от л: и сим
метричной функции от х. Коэффициенты уравнения (16.2.32) в даннол
случае равны
а = '21.ОС q dT ’
о
= (16.3.4
Тогда, согласно уравнению (16.2.34),
. ь
О = ( gn. • (16.3.5
о
Представляется очевидным, что для данного простого поля температу
с увеличением теплового потока пластические зоны появляются вначал
в области сжатия у внешних поверхностей, а затем в области растяжени:
“в центральной части пластины (рис. 16.1). Так как между указанным)
пластическими зонами располагается упругая область, то из (16.3.5) еле
16.3. Примеры расчета пластин в упруго-пластическом состоянии
45!
дует, что при q(f)>0
о£(л, t) < 0 в наружных пластических зонах (о= — Y) 1
1 (16.3.6
ак(х, /) > 0 во внутренних пластических зонах (о = + У). J
Поэтому в пластических зонах, до тех пор пока
<уое > 0 (16.3.7)
и разгрузка не наступает в течение времени 0<^<6и или пока тепловог
поток не достигнет максимума. Тогда для всего процесса нагружения будет
применимо уравнение (16.2.43). Если ввести безразмерные параметрь
п - aEqL — х ,, „ „ „>
о—хтх 1 х г (16.3.8.
у ’ 7 4У(1—v) К ’ L '
то из (16.2.43) для первого периода, пока пластические деформации еще
не начались, т. е. при g'(x,/) = l,—1Сх<С1, получим упругое решение
Q = (16.3.9)
Пластическое течение начинается на поверхностях х=±1, когда в этих
точках о-=—1. Из (16.3.9) видно, что при этом q достигает значения
= (16.3.10)
Как указывалось выше, при дальнейшем монотонном увеличении q от обеих
поверхностей в глубь тела начинается рост двух пластических областей,
где о =—Y. При некотором значении q> qr границы пластических областей
определяются координатой £, так что области при Y’Yx'YL и——Е
находятся полностью в пластическом состоянии, в то время как остальная
часть пластины остается упругой. Итак,
g(x,t)=l, при 0< I х| < g (/), 1
4/)== Л nP„uo<w<L.l
Подставляя эти значения g(x,f) в соотношение (16.2.43), получаем следую-
щее распределение напряжений:
о = q ГД— + , 0 < | х | < g, ]
4 < 3 ' _ 1 1 (16 3.12)
й=-1, £<1х|<1, )
где дополнительно введен безразмерный параметр 1=S,/L.
Функциональную зависимость g от q находим, полагая х-=^ и о=—1:
|=^У/з. (16.3.13)
Растягивающее напряжение достигает максимума при х=0. Чтобы
найти, при каком значении q начинается пластическое течение в центре
пластины, подставим выражение (16.3.13) в (16.3.12) и положим х=-0, о=1,
откуда следует, что пластическое течение в центре пластины возникает,
когда q достигает значения
32
^2— o'
(16.3.14)
460
Глава 16 Расчет напряжений при пластических деформациях
Этому значению q соответствует £=3/4 Если монотонное возрастание q
продолжается за q2, то в дополнение к описанным выше двум внешние
пластическим областям в центре пластины развивается пластическая область
шириной где о=+К Итак,
g (х, t) = 0, о (х, t) = + Y
g (х, /)=0, о (х, 0 = — Y
при 0<|х|<£(0;
при £ (0 < | X I < g (0,
при g (0 < I х I < L.
(16.3 is;
Подставляя эти значения в (16 3 5), получаем следующее распределение
напряжений
(1-—£) .
о- = — 1, g < | X | < 1,
(16 з 16;
где
Функциональная зависимость £ и £ от q определяется из условий,
что о = — 1 при х=| и о = 1 при х=£. Эти условия приводят к двум уравне
НИЯМ
у-13
3(g—£)
3(£-0
(16 з 17;
из которых путем численного решения можно найти зависимости £,(q) и
Z(q) Полученные таким способом решения изображены графически на рис
16 2, где также приведена кривая!для q<Zq2, рассчитанная по формуле
(16 3 13)
Спад теплового потока и остаточные напряжения. Перейдем к опре-
делению интервала времени, в течение которого тепловой поток убывает
от своего максимального значения qM до нуля Прежде всего покажем,
что в начале этого периода разгрузка может произойти одновременно по всей
пластине В этом случае должно быть g(x,/) = 1,—Е^х<Е при tP>tM.
и уравнение (16 3 5) переходит в
°й=чз
(16 з is;
где oE=oE/Y Так как при tP>tM производная ЩС0, то отсюда следует,
что
0
0
при X
1
Тз
при X
(16 3 19;
Ё21 । (1-В-Ё)
при t > tM,
Поэтому для внешней пластической области, где о=—1, условие разгруз-
ки (сюй<;0) может быть всюду удовлетворено только в том случае, когда
1м>1/р З, где дм— значение е, соответствующее ум Из диаграммы рис 16 1
16.3. Примеры расчета пластин в упруго-пластическом состоянии 461
видна что значение /У 3 соответствует 13. Ограничим последую-
щий анализ условием, что с/Л7-<13; при больших значениях максимального
теплового потока разгрузка уже не будет идти одновременно, и анализ
пришлось бы проводить с использованием общего метода, согласно п. 16.2.
В рассматриваемом здесь случае одновременной разгрузки период
спада теплового потока можно исследовать точно таким же образом, как
Рис. 16.2. Распространение пластических зон в свободной пластине
при медленном нагреве (п. 16.3).
и период его нарастания, так как дальнейшего разгружения не происходит,
с той только разницей, что в качестве начальных напряжений в пластине
вместо о=0 следует принять о(х, tM). Поэтому если при спаде теплового
потока не возникает снова пластическое течение, то остаточные напряжения
в пластине можно определить путем вычитания упругих напряжений,
соответствующих максимуму теплового потока, из упруго-пластических
напряжений, которые возникли в период усиливающегося нагрева. Можно
также убедиться, что если при спаде начинается пластическое течение,
то оно происходит в тех же областях, где была текучесть в период нараста-
ТАБЛИЦА 16.1
Виды распределения остаточных напряжений
чм Число пластических зон при максимуме теплового потока Пластическое течение при спаде теплового потока
от 3/2 до 3 ОТ 3 ДО 32/э ОТ ДО 64/Э ОТ до 13 2 2 3 3 Нет Только у наружных поверхностей То же У наружных поверх- ностей и в центре
462
Г лава 16. Расчет напряжений при пластических деформациях
ния теплового потока, но в противоположном направлении. Чтобы опре-
делить остаточные напряжения в этом последнем случае, надо вычесть
из напряжений при максимуме теплового потока упруго-пластические
напряжения, соответствующие пределу текучести, равному 2Y.
Рис 16 3 Распределение максимальных и остаточных напряжений
в свободной пластине при медленном нагреве (п 16 3)
Эпюры соответствуют верхней границе каждого диапазона значении q
В табл. 16.1 перечислены четыре варианта распределения остаточных
напряжений. Типичные картины распределения напряжений для каждого
из четырех диапазонов значений qM, указанных в табл 16.1, а также при
т/м<:!У когда остаточные напряжения не возникают, показаны на рис. 16 3.
Ниже приводятся формулы для остаточных напряжений для каждого
из указанных четырех случаев.
3/2<</м<3. Поскольку при спаде теплового потока нет текучести
в обратном направлении, то остаточные напряжения получаются вычита-
нием из (16 3.12) упругих напряжений (16.3.9), в формулу которых
16 3 Примеры расчета пластин в упруго-пластическом состоянии.
463
вместо q следует подставить qM. В результате имеем
о = ^ЧВг-1)+^=И 0<|xKfM;
' Си
где
(16.3.20)
(16.3.21)
есть значение соответствующее qM. Очевидно, эти остаточные напряже-
ния достигают максимума в точках х=±1 и текучесть при растяжении
<г=1 начинается в этих точках при дм>3. Следовательно, формулы (16.3.20)
применимы только при 3/2<^м<3.
3<</м < 32/9. Очевидно, что при 3<7м<32/9 из уравнений (16.3.12)
следует вычитать уравнения, соответствующие уже не упругому, а упруго-
пластическому решению, с двумя пластическими зонами при пределе
текучести, равном 2Y. Уравнения, которые надо вычесть, имеют следую-
щий безразмерный вид:
О' = — 2 6 < | х | < 1,
(16.3.22)
где 6 определяется условием, что о~—2 при х= ±6. Это приводит к фор-
муле, аналогичной (16.3 13), но с заменой q на qM!2, т. е.
6 = f-XY/3. (16.3.13’
У Ям х
Остаточные напряжения при 3<?м<32/9 получаются вычитание?/
уравнений (16.3.22) из (16.3.12), откуда
+ , о<Й-у!м;
” gM 6
a = (16.3.24
Ч О ' б
о= 1, ё< j х | < 1.
Легко убедиться, что для данного диапазона изменения qM текучесть в точю
л=0 не наступает.
32/9<</м<64/9. При 32/9<7м<7ь, где верхняя граница будет уста
новлена ниже, остаточные напряжения получаются вычитанием уравне
ний (16.3.22) из (16.3 16), что дает
- 1 П2 2х/ 2(1 — 6) п
g-I-Qm^-3-----x2J------ 0
~______________g2y j (1—1м—См) 2(1 — 6)
3 У См~ Си X (м — 6W 6
- - f- 2 I2 \ 2(1—6) . Е I -| 1
о = qM ( х2— j---— 1, -Ы,-Л-
ч ° х б
ъм
К>м',
[ (16.3.25
б<|л’< 1.
464
Глава 16. Расчет напряжений при пластических деформациях
Теперь необходимо найти qb> или значение qM, для которого пласти-
ческое течение в центре пластины начинается в момент полного прекраще-
ния теплового потока. Для этого положим в уравнении (16.3.25) х=0,
и=+1, дм^Чь и б—1^3/и, разрешая его относительно <?ь, находим
qb=2q2^. (16.3.26)
64/9<#м<13. При 64/9<7м<13 уравнения, которые надо вычесть
из (16.3.16), выводятся точно таким же путем, как и эти последние урав-
нения, за исключением того, что вместо Y следует положить 2Y. Следо-
вательно, они имеют вид:
0= + 2, 0 < | х | <т]; ]
с- = 7м ( -3~т!!-х2 } ф- 2 Ц36—ч) т]<|х[<б; 1 (16.3.27)
13(6-7]) J’ S —Т) iil-l
о= —2, J
где функциональная зависимость 6 и ц от qM определяется из условий,
что о=—2 при х=д и сг=Ч-2 при х=т}. На основе аналогии между урав-
нениями (16.3.27) и (16.3.16) следует, что
б(?м)=|Г^у)
[ (16-3-28;
П(7м)=-Ц-^), J
а графики функций | (9) и £(7) были приведены на рис. 16.2. Из харак-
тера этих кривых видно, что для заданного значения qM> qb
О < Л < См < См < б <; 1.
Остаточные напряжения при 64/9<7м<13 получаются путем вычита-
ния уравнений (16.3.27) из (16.3.16):
о = — 1, 0 < | х | < т);
3 I Sai—Км б—4 J
-Ж=Д=211, (16..3.2С
6 — Т)
- - 7-2 б3 — Ч3 ) 2(1 —б—и) . t
о = qM 1 х2----_ С !•----—=—- _ ] • Lm < 1 < б;
4 I 3(6-71)1 6—4 1 1
<3 = -+- 1, б < j X | < 1
В предыдущих формулах и £м —значения | и £, соответствующие
7м, а зависимость их от 7м представлена кривыми на рис. 16.2. Значе
ния бит], соответствующие 7М, определяются по тем же кривым с уче-
том (16.3.28).
/6.3. Примеры расчета пластин в упруго-пластическом состоянии
465
В качестве второго примера, основанного на методах п.16.2, рассмотрим
пластину, имеющую первоначально равномерное распределение температу-
ры и симметрично охлаждаемую при постоянном коэффициенте теплообмена
на ее поверхностях. Соответствующая тепловая задача разбиралась в пер-
вом примере п. 7.2 и результирующее поле температур определялось выра-
жением (7.2.56). В данном случае разгрузка не происходит одновременно
Рис. 16.4. Изменение положений поверхностей раздела между упругими
и пластическими областями в симметрично охлаждаемой пластине при
постоянном коэффициенте теплообмена на ее поверхностях (п. 16.3).
по всей пластине, и для строгого решения требуется применять общие методы
hL
п. 16.2. Расчет такого типа для случая критерия Био т= -^ = 5 и при
р=йг?т)к“0А ое.э.эо;
где 71 — начальная разность температур между пластиной и средой, быт
выполнен с использованием настольной вычислительной машины [1]
На рис. 16.4 показано, как меняется положение поверхностей раздела между
упругими и пластическими зонами при нагружении и разгрузке, а на рис.
16.5 — распределение окончательных остаточных напряжений. Было уста-
новлено, что если при определении остаточных напряжений приближение
принять, что разгрузка наступает одновременно в некоторый момент I* =
= Ц (см. рис. 16.4), то наибольшая ошибка в определении величины оста
точных напряжений по сравнению с результатами уточненного расчета соста-
вит 2,5% от Y. С увеличением числа т эта ошибка возрастает.
Более подробные расчеты, выполненные Цвики 3) на цифровой вычис
х) Указанные расчеты проводились на вычислительной машине IBM 704 в Отделе
паротурбогенераторов фирмы Дженерал Электрик как часть совместной программь
по исследованию остаточных напряжений с Исследовательской лабораторией тепло
и массообмена Колумбийского университета. Интересно отметить, что для полного рас
чета при данных значениях т и Y требуется около одной минуты машинного времени
Дальнейшие сведения можно найти в работе [3].
30 Боли и Уэйнер
466 Глава 16. Расчет напряжений при пластических деформациях
лительной машине, в соответствии с методами п. 16.2 показали, что и дл
этой задачи картины возможных остаточных напряжений имеют такой ж
характер, как на рис. 16.3. В этом нет ничего удивительного, так как реше
ние задачи о медленно нагреваемой пластине по существу относится к любо:
тепловой задаче, в которой распределение температур может быть при
ближенно представлено хварралшм многочленом но л, причем зависимое?.
от времени коэффициента при х2 имеет тот же характер, что и q (f), т. е
монотонное возрастание до максимума и затем спад. Подобное приближенное
представление возможно и для охлаждаемой пластины, чем и объясняете?
качественное совпадение результатов приведенных примеров. Установлено
Рис. 16.5. Остаточные напряжения для задачи, представленной на
рис. 16.4.
что если в формулах для остаточных напряжений в медленно нагреваемой
пластине [уравнения (16.3.20), (16.3.24), (16.3 25) и (16.3.29)] использовать
подстановку
-------------)
1,07(т-|-2)У ' 1
то получающиеся приближенные формулы обеспечивают хорошее совпаде-
ние результатов (при изменении знака на обратный) с тем, что дает чис-
ленный расчет для охлаждаемой пластины. С увеличением m ошибка при-
ближенного решения возрастает, достигая 15% при m = 20.
Другое Исследование подобного типа было выполнено Юкзелем [4].
Им была рассмотрена свободная пластина, у которой температура одной
из поверхностей менялась со временем по гармоническому закону, а тем-
пература другой поверхности поддерживалась постоянной. Влиянием на-
чальной нестационарное™ пренебрегали, так что температура считалась
гармонически меняющейся со временем по всему телу; при этом предпола-
галось, что частота изменений температуры достаточно низка, так что изме-
нение температуры по толщине пластины можно было приближенно выразить
квадратным Многочленом. Было установлено,что некоторые части пластины
в течение всего цикла деформируются упруго] в то время как другие области
при колебаниях температуры испытывают пластические деформации попе-
ременно: то При сжатии, то при растяжении. Однако есть и такие проме-
жутки времени, в течение которых вся пластина находится в упругом со-
стоянии.
lb 4 Расчет свободной пластины, с учетом упруго-вязких эффектов
46’
16.4. Расчет свободной пластины с учетом упруго-вязких эффекто;
и зависимости условий текучести от температуры. Методы п. 16 2 допускаю'
некоторое обобщение в смысле учета зависимости условия текучести Мизес;
от температуры и влияния упруго-вязких эффектов [3] Выпишем еще ра;
для удобства зависимости между напряжениями и деформациями, которьк
для данного случая были получены в п 14 11.
Средняя скорость деформации:
(16.4.1
Скорости компонентов девиатора деформации состоят из упругой, вяз
кой и пластической компонент:
= е® |--еУ,4 (16.4.2
где
(16.4.4
ef, = 0, если < k2 (Т), или если -^-s,/sM =
= ^(Т) и5г/ Z~2kk'T<Q, {16/L5
ef, = Ksl} и sz7siy — 2kk'T = 0, если s,7sv =
= /г2(Т) и s,X,-2^'T>0,
8^ = 2ц (егу — еУ,), (16.4.6
т е. определяется так, как если бы пластического течения не было, хот
вязкое течение принимается в расчет
Исследование свободной пластины при таких же условиях, как и
п. 16.2, но для материала, подчиняющегося приведенным зависимости:
между напряжениями и деформациями, проводится тем же путем, что ивыш
для случая упруго-пластического материала с не зависящими от температур:
свойствами Введем, как и раньше, функцию g (x, t), равную нулю для пл;
стического состояния и единице в остальных случаях, т е
g(x, 0 = 1, если StjSir < k2 (Т) или если svs!7 — k2 (T)j
и slJ\l-^2kk’T^ 0; <-(16.4.1
g (x, t) - 0, если SijStj = k2 (T) и — 2kk'T... 0. 1
J
Тогда общие зависимости между напряжениями и деформациями можн
представить в виде
So = -g- + Г 2г| ~ — + бг7аТ. (16,4.1
3(
468
Глава 16. Расчет напряжений при пластических деформациях
Условия (16.2.8) — (16.2.10) остаются и в данном случае в силе, а иг
уравнения (16.4.8) следует, что
е = ^ра+[Л Ь2(1-^)Х] + (16.4.9.
Для простоты ограничимся здесь случаем, когда функция Т (х,
симметрична по х. Тогда о и 8 также симметричны по х, и условие совмест
ности (16.2.12) дает
e. = e(t). (16.4.10
Когда пластических деформаций нет (g = 1), то из уравнения (6.4.9) выте
кает, что
ff = T=v при£=1. (16.4.11.
Функция текучести по-прежнему определяется уравнением (16.2.9).
где теперь У ~ Y (Г). Поэтому при пластическом течении
ста = YY при g = 0, (16.4.12;
где
у __'Г
dT
Так как при пластическом течении о равно +Y или —Y, то зависи-
мость (16.4.12) можно переписать в виде
a=(sgno)K при g-0. (16.4.12а;
Уравнения (16.4.11) и (16.4.12а) объединяются в следующее единое уравне-
ние, определяющее о в любой точке пластины:
| ] +0—gHsgncOF. (16.4.13;
Подставляя (16.4.13) в формулу (16.2.19), утверждающую, что результи-
рующая сила от напряжений, распределенных по толщине пластины, равнг
нулю, получим для скорости деформации 8 уравнение
г
е(О=цу Jj £(*> 0 +-аТ’)-[1 -g-(x, t] (sgn a) ) К] dx,
о
(16.4.14;
где
L
Lv ~ g (х, t) dx (16.4.15)
b
представляет собой половину ширины той области пластины, которая не
деформируется пластически.
С учетом выражения для е (О уравнением (16.4.13) устанавливается
зависимость функции о (х, 0 от о (х, I), заданного поля Т (х, t) и g (х, t).
Чтобы завершить решение, остается выразить условия, определяющие
g (х, t) , через о (х, f) и Т (х, /). Представим в форме, аналогичной
(16.4.6). для si,, для чего выразим через ог,, 8tJ и Т, полагая в уравне-
16 4 Расчет свободной пластины с учетом упруго-вязких эффектов
46!
нии (16.4 8) коэффициент л-0 независимо от того, есть ли пластическа
течение или нет Тогда
СГгуСТг/ =г~ (^$ij Т g- '.‘Д @kk6miH’ (16.4.16,
i де, как ив п 16 2, учтено, что
•Triim — (Тпгт- (16.4.17,
Для рассматриваемого здесь частного вида распределения напряжении
уравнение (16 4 16) переходит в
StjS^ — %a<yv —сто, (16.4.18]
где av - Оуу ст)) для любых значении g определяется согласно (16 4 11).
Выражение, нужное для нахождения g по (16 4 5), равно
slJs^l^2kk'T^2oov-6kk'T (16.4.19)
так как с учетом критериев, определяющих g,
oo^YY = 3kk = 3kk'T (16.4.20)
Iаким образом, распределение напряжений определяется следующими
уравнениями
а(х, I) - j [gov + (1 —g) (sgn a] Y’T] df, (16.4.21)
о
= <16.4.22)
L
и(бп +a^J-(i~£nsgna)(^F)1/,^jdx' <16-4-23)
и 0
L
Lv (t) = g (x, t) dx, (16.4.24)
6
if (x, t) = 1 при о2 < Y2 или при о2 = Г2 и oav — YY’T <70, (16.4.25)
l(x, t) = 0 при a2- У2, oov- YY’T .<>(.)
Это решение весьма удобно для расчетов на цифровых вычислительных
машинах, что и было выполнено Цвики (31 На рис. 16 6 показано распре-
реление остаточных напряжений для одного из рассмотренных им примеров
расчета При этом были приняты следующие значения различных парамет-
ров, характерных для стали:
К - 50,5 ккал /мчас • град,
qc = 1118 ккал/'м3• град,
Е = 2,1 • 10е кг/см2,
v = 0,3,
a = 13,5-10“6 Мград,
И = 5,83-102 е10’36/(7 4 273), кглаасм?, Т в °C,
Y -= 2530 [ 1 - ] кг!смг, Т > 121° С,
Y = 2530 кгсм2, Т < 121° С.
470
Глава 16. Расчет напряжений при пластических деформациях
& также
h = 165,5 ккал/м'1 час-град,
L — 0,457 л.
Расчеты были выполнены как для указанного выше значения 1], таг
и для бесконечной вязкости (т. е. б£з учета компоненты вязкой деформа
ции). Оказалось, что в данной задаче влиянием этого фактора можно прене
бречь.
,Р и с. 16.6, Остаточные напряжения в симметрично охлаждаемой пла-
стине (температура охлаждающего воздуха 21° С, толщина пластины
0,914 м, остальные параметры приведены в. п. 16.4).
16.5. Расчет цилиндра в упруго-пластической области при условии те.
кучести Треска1). В настоящем пункте рассматривается общая задача расчете
полого кругового цилиндра конечной длины с внутренним радиусом <
и наружным Ь, свободного от поверхностных сил и находящегося в условия?
нестационарного осесимметричного поля температур, которое остается вдолг
оси постоянным. Решение можно распространить на случай сплошного ци
линдра, для чего достаточно положить а •-= 0. Анализ относится к средне)
части длины цилиндра, для которой можно считать, что плоскости, перпен
дикулярные к оси цилиндра, остаются после деформации плоскими и пер
пендикулярными к ней.
Примем, что материал цилиндра является идеально упруго-пластйче
ским и подчиняется условию текучести Треска, так что можно пользоватьш
данными п. 14.10. Для упрощения анализа будем считать коэффициент Пуас
сона равным J/2. При этом выражение (16.4.1) для средней деформацш
переходит в
^=-аТ. (16.5.1
и
В Содержание пункта соответствует работе 1221 к гл. 14.
16.5. Расчет цилиндра при условии текучести Треска
471
Воспользуемся цилиндрическими координатами г, 0, z, причем ось z
направим по оси цилиндра. Из принятых допущений следует, что в любой
точке рассматриваемой здесь части цилиндра указанные направления будут
главными, и поэтому в зависимостях п. 14.10 между напряжениями и дефор-
мациями индексы 1, 2, 3 можно сразу заменить соответственно на г, 0, z.
Обозначая радиальное смещение через и, найдём, что компоненты деформа-
ции ег и еа определяются как
ди >
8г~ Щ ’
и } (16.5.2)
ке J
Поэтому уравнение (16.5.1) принимает вид
ди . и . о т
-------ez = 3«7 ,
дг 1 г
(16.5.3)
где в соответствии с принятыми выше допущениями е, не зависит от г
Уравнение (16.5.3) можно проинтегрировать, откуда
—е2 , За I Ло
и =- г -1--\ Trdr+ -—
2 г j 'г
(16.5.4)
Таким образом, из уравнений (16.5.2) для компонент скорости деформа-
ции получаем
8г = -2- \Trdr } ЗаТ — С" ,
а
, За С /j-» , , Со I
I р, \ Tr dr, j
а 1
(16.5.5)
а скорости девиатора деформации ег, ев, ez равны
( Trdr + 2aT
A 1 r2
Trdr-aT+-^,
(16.5.6)
е2 = ег — аТ.
Подставляя выражения (16.5.6) в (14.10.23), находим скорости девиа-
тора напряжения
sr = 2uL) {( — 2 Зу<3) т 2у11>у<3) — у<2)у<3)— y<3>Y(1>) ez +
щ (- 2 4 2Y(1) + Yw + y<2)Y(3> - Y<3,Y(1)) $ Tr dr 4- +
(1
+ (4 — 3y(1) - 3y(3) ~ Y(№ — Y<2,y'3) + 2y<3)Y(1>) (2af)J,
se - 2цО [(— 2p- Зу<2) — y11)Y<2) ~ у<3^<3> + 2у<3>У(1>) ez +
-P (2 — 2у(1) — y<2> + Yll)Y<2> ~ y<2>Y<3>) (^1?- Tr dr 4- ~ J 4-
472
Глава 16 Расчет напряжении при пластических деформациях
+ (- 2 + Зу'” - у(1,у(2) + 2у<2)у<3) -- у <3)у(1’) (2аГ)],
s2 = 2pD f(4 — Зу<2) - Зу<3) - у'1’^’’ 4- 2y<2Y3) - у<3,у(1)) J-
9 (Yu)_Y<3>_Ya>Y<2> + y<3>Y>)0“ jj Trdr
a
4 (-24-3y(3)-f 2у<1>у<г’-у(2,у(3,-у(3,у<1,)(2аГ)(, (16 5.7;
где коэффициенты yW, t — 1, 2, 3, определяются формулами (14 10 15),
причем индексы 1, 2, 3 соответствуют г, 9, г, а параметр D определяется,
согласно (14 10 21а)
Чтобы найти среднюю скорость напряжения о, следует использоватт
единственное уравнение равновесия, которое не удовлетворяется тождест
венно Дифференцируя его по времени, получаем
д<з ds, s, —se _ П
dr г dr г
(16 5 8;
По характеру их определения величины у(г) представляют собой кусоч
но-постоянные функции радиуса г и времени /, так как распределение тем
пературы нестационарно Поэтому для данного момента времени цилиндр
можно разделить на ряд концентрических цилиндрических участков , в каж
дом из которых yw постоянны Подставляя в уравнение (16 5 8) значения
sr и se для каждого из указанных участков из выражений (16 5 7), получаем
- 2рО [(у<2> - у(3) - у(1)у(2> г у‘3> у(1)) (+
*-( ~ Y<2> + YU) f-у(1У2) Y<nY<1))(r3 Tidr yr J
r(- 4 + Зу(”-г Зу(3’+Y^’y*21 1 y<2’y<3>— 2W' )^2a — ] (16 5 9
Интегрируя это уравнение для каждого из участков, найдем явное выра
жение для о, в которое войдут постоянные интегрирования, которые могут
быть различными для каждого участка Из полученного для о выражения
и соотношений (16 5 7) для скоростей девиатора напряжения можно получить
формулы, определяющие три скорости напряжения о,, а0 и ог Удобнс
ввести следующие безразмерные параметры
_ <>, ~~ __ e.z °’ ~ 2ЕаТй ’ ~ ’ п (’fl 'г 7' 0 2ЕаТ0 ’ То ’ (16 5 10) <>г га ' 1 °z ~ 2ЕаТ0 ’ Г ~~ b ’ а~ b Г _ " “ ЗТ0&2 ’ 2£аТ0 ’
где Тп — некоторая температура, которую удобно принять за начало отсче
та х) В последующем анализе будут фигурировать указанные безразмерные
*) Коэффициент 1/2 введен в определения безразмерных параметров с тем, чтобы
некоторые из дальнейших резупьтатов п< пучить в более простом виде
16.5. Расчет цилиндра при условии текучести Треска
47
параметры, но входящие в их обозначения верхние черточки опускаются
Тогда безразмерные скорости напряжения можно представить в следующих
виде:
й, =- D {[( - 2 + Зу<3> + 2V2’ - У<2)у(3) - у<3’у(1>) +
.. (у'2’ -. у(3’ у(1>у<2) | у<3>у<1>) (3 |п | _z j
Р [ - 4 + 4у<1) + у'2’ + у(3) - у(1,у<2) + 2у<2V3’ - у,3)у(1) |
<[y2-\^rdr^ Д-] -ly'2'- y<3>— y(1,y<2> у'3,у'"| [ “ dr"]} (-
(16.5.11
<t0 = D {[( — 2 ( 3y(2> — y<1>YU) ~ y(2)Y<3> 4 2у<3’уа>) +
_(Y<2>_Y<3> _ Y<iy2) y<3,Yu)) (3 In r) [-J5 J J, I -2 -' 2у(1)-1-Y<3>-
_l y<2>y<3> _ yoyo] [27] . [4 - 4у(1) — y<2) — Y<3> Y<l>Y<2> ”
-2Y'21Y'3’ 1 Y<3’Y(1,1 j Trdr | +
1 .
Ну^--Г--уцТ121 - |'3Ти|[П [ -С, (16.5.12
I
oz = D {[(4 - Зу<2) - Зу<3) - Y<l,Y<2) + 2у<2,у<3) - y<3>Y(1)) <
r(y(2>-Y<3’- Y^Y*2’ rY<3,Y(1,)(31nr) T
y'1’ l 2y<3) T y(1,y<2)- Y<3)Y(1)n2T| H3| 1Y<2’— Yw ~
- Y'V’H Y(”Y‘l,l [ ‘2 $ Trdr~\ -Cp +
a
b [Y<a> - Y(3) - ya)Y<2) ( Y,3)Y'l)] [ jp-drjp-C, (16.5.13;
где C — постоянная, одна и та же для всех трех выражений данного участка,
но различная на различных участках. Для сплошного цилиндра в приве-
денных уравнениях достаточно приравнять нулю величину внутреннегс
радиуса а и принять Со = 0, чем обеспечивается условие того, что в центре
перемещение равно нулю.
При решении рассматриваемой задачи для сплошного цилиндра следует
определить в соответствии с формулами (14.10.15) функции у(а) (г, t) и для
каждого участка, где у(г) не меняют своих значений, найти скорости напря-
жений по уравнениям (16.5.11) — (16.5.13). Для внешнего участка значение
постоянной С в этих уравнениях определяется из граничного условия
аг(1, 0 = 0. (16.5.14)
Теперь можно найти значение С для каждого из последовательно располо-
женных внутренних участков, используя требование о непрерывности а,
474
Глава 16 Расчет напряжении при пластических Реформациях
на каждой границе между участками. Это означает, что если в момент вре
мени t граница между какими-либо участками расположена на радиусе
Г -= О (0, ТО сДДФ), t\ = [Q(l), 1], (16.5.15
где at (q, t) — lim о, (r, /), r->p(0 (Q, 0 = lim or (r, t). r->p(Z) r<P(t) (16.5.16
Дифференцируя (16 5 15) по времени, получаем уравнение
ЙО) • • Й(Т“ • й7й + °г' щ-е + ст'' (16.5.17
Уравнение равновесия йОг _ ог—ое _ Q дг г (16.5.18
должно удовлетворяться для областей, расположенных по обе стороны от рас-
сматриваемой границы. Тогда из (16.5.16) — (16 5 16) следует, что
О( (О, /) — СТ," (Q, Z‘)=^[CT0(Q, /)-о£(е, /)], (16.5.19)
где о,“ и Oq определяются в соответствии с формулами (16 5.16). Полученное
граничное условие можно использовать для определения значений С для
каждого из внутренних участков. Как только это будет проделано, значение
иг в рассматриваемый момент времени найдется из условия, что равнодей-
ствующая внешних сил в плоскости, перпендикулярной к оси цилиндра,
равна нулю, т е.
1
jazrdr = 0. (16.5.20)
о
После определения е2 можно окончательно определить из (16.5.11) —
(16.5.13) скорости напряжений, а после интегрирования — и собственно
напряжения. Порядок расчета полого цилиндра требует лишь незначитель-
ного видоизменения: из дополнительного граничного условия об отсутствии
внешних сил на внутренней поверхности цилиндра определяется дополни-
тельная постоянная Со.
При произвольном нестационарном поле температур изложенный метод
расчета приводит к значительным аналитическим трудностям, хотя им можно
пользоваться при численных расчетах. Поэтому ниже будет рассмотрено
идеализированное распределение температур, для которого можно получить
аналитическое решение. Указанное распределение температур имеет следую-
щее обоснование. При фазовых превращениях, возникающих в процессе
термообработки, происходят изменения объема, которые в рамках настоящей
теории могут быть учтены с помощью эквивалентных температурных изме-
нений. Для данной задачи действительные разности температур, возникаю-
щие в теле при охлаждении, настолько малы, что связанными с ними
температурными напряжениями можно пренебречь по сравнению с теми
напряжениями, которые вызываются фазовым превращением. Предположим
также, что фазовое превращение происходит внезапно, в момент достижения
критической температуры, т е. быстрее, чем температура превысит это
16 5 Расчет цилиндра при условии текучести Греска 47£>
значение Объемное расширение, связанное с фазовым превращением, пред-
ставим в виде ЗаТ0 Тогда эквивалентное нестационарное распределение
температур можно выразить в следующей безразмерной форме (отнесенной
к температуре То)
Т(г, 0 = U[r —s(Z)], (16.5.21)
где U (х) — единичная ступенчатая функция, равная по определению
щ*) = { о
при
при
х > О,
х < О,
(16.5.22)
а г = s (/) — монотонно убывающая функция, определяющая положение
точек цилиндра, в которых в момент времени t достигается критическая тем-
пература Таким образом, если в качестве начала отсчета времени t = О
принять момент, когда фазовое превращение начинается на поверхности,
и обозначить через t tf время, когда превращение произойдет по всему
цилиндру, то s (0) - 1 и s (tf) - 0
Так как в данной задаче можно предсказать положение пластических
зон, ее можно решить аналитически в замкнутой форме Распределение
температуры (16 5 21) можно рассматривать как предел непрерывного рас
пределения, показанного на рис 16 7, когда на наклонном участке подъем
становится бесконечно крутым, т е при 0 Как теоретически, так
и из физических соображений можно установить, что при плавном распре-
делении температуры и не слишком больших значениях аТ0 пластическое
течение развивается там, где происходит изменение температуры Поэтому
естественно ожидать, что в предельном случае пластическое течение локали-
зуется только в области скачка температуры Ниже будет показано, что реше-
ние, удовлетворяющее указанному допущению, может быть получено при
условии, что безразмерный предел текучести k не слишком мал, соответ-
ствующее значение нижней границы k также будет установлено
Так как и поле температур и функции у!"-> (г, t) претерпевают разрыв
непрерывности одновременно, оказывается удобным ввести специальное
обозначение, которое можно обосновать с помощью показанного на рис 16 7
непрерывного изменения температуры Взяв в качестве примера уравнение
(16 5 12), видим, что в выражении для о0 содержится член I — Цо (г, t) Т (г, t)\,
где
11о==£)(4 —4у(П-2у(3> —2у(2)у(3Ч 2у(3)у(1>). (16.5.23)
Согласно определению у<а), следует, что 0 <7 т]0 <7 1, причем для упругого
состояния т]0 — 1 Указанный член вносит в выражение для о0 (>, 0 функцию
476 Глава 16. Расчет напряжении при пластических деформациях
—fe (Г, 1), где
i
f0(r, Z)=^T|e(r, т)Г(г, x)dx. (16.5.24
о
Пусть t — s J(r) — функция, обратная г — s (О, т- е. зЕл) — время
за которое поверхность раздела достигает радиуса г. Если г0 — некоторо
фиксированное значение г, то исследование функции fe (r0, t) показывает, чт
fe(rn, t) — О при 0< t < s-1(r0 4-/i), (16.5.25
так как в течение этого промежутка времени Т (г, t) — 0. Если в процесс
изменения температуры при г = г0, т. е. в течение времени s^1(r0+ /г) «
< t <2 s1 (г0 — /г), не происходит пластического течения, то
fe Ро, s’1 (го — Л)] = 1, (16.5.2С
так как на протяжении этого интервала времени т]е (г0, 1) = 1. Однако есл:
в некоторый момент времени в течение рассматриваемого интервала напря
жения достигнут предела текучести, то начнется пластическое течени
и Ле(г0, 0 будет принимать значения, меньшие единицы. Поэтому в обще;
случае
fe[r0, s L(r0 — h)\^ne(r0; h), (16.5.27
где ne (г0; 1г) - среднее по времени значение ij0 (r0, f) за промежуток времен
s"1 (r0 + h) t sL (г0 — h) при 0 < «о ’С 1. Наконец,
?е(г0, t)=-ne{r0, h) при l>s~1(r0—h), (16.5.28
так как снова Т - 0. Если предположить теперь, что h стремится к нулк
то для случая скачка температуры получим
fepo, 0 = 0 при <s Что). Н669С
= п0(го) при 7>S-1(r0), (
где
пв Ро) = Um n0 р0; h), О<п0<.1. (16.5.3С
h->о
Так как г0 относится к произвольной точке, то в дальнейшем нижний индек
опускается.
Аналогично этому в выражение (16.5.13) для oz входит чле,
I—Hz (г, t) Т (г, /)], где
112==D(4-2v'1)-4y':i’-2v'”y‘'2’ 1 2у<3)у(1>), (16.5.31
благодаря которому в выражении для oz (г, t) появляется функци
[—hP, 0L где
/
fz(r, t)= гц(г, т)Тр, x)dx. (16.5.32
о
Из соображений, аналогичных примененным для fe, можно установить, чт
при наличии скачка температуры
.. .. | 0 при 0<^s’1(r),
Ер, /)= (16.5.3с
' ' ( nz (г) при t > s 1 (г), 0 < nz < 1.
lb.5 Расчет цилиндра при условии текучести Треска
477
Исследование остальных членов выражений (16.5.11) — (16.5.13) пока-
зывает, что для них в отличие от двух рассмотренных членов не требуется
подобного рода преобразований. Если предполагать, что все точки цилиндра,
за исключением тех, где происходит скачок, находятся в упругом состоянии,
то все остальные члены указанных уравнений останутся ограниченными и
непрерывными в течение всего времени, за исключением момента t = s 1 (г),
когда они самое большее испытывают ограниченный разрыв непрерывности,
что никак не сказывается на их интегрировании по времени. Для вычисления
интегралов типа j Trdr удобно использовать обозначение
о
T(r, t)= -6(r-s(0]s(O, (16.5.34)
где д (х) — так называемая дельта-функция Дирака, характеризующаяся
следующим условием:
f f , >Л, х 7 If (с), если а < с < Ь,
\ f (х)о(х — с)ах= I (16.5.35)
J | 0, если с < а или с > Ь.
Приведенную формальную процедуру также можно обосновать с помощью
введения непрерывных функций, как это было показано выше.
Имея в виду сделанные предварительные замечания, можно перейти
собственно к решению задачи. При принятых допущениях для любого задан-
ного момента времени t для уравнений (16.5.11) — (16.5.13) нужно опреде-
лить только две постоянные интегрирования. Обозначим постоянную инте-
грирования для внутренней области О С r<s (/) через (/), а для внеш-
ней области s (t) < г <1 1 — через С2 (7). Значение С2 (f) можно найти
с помощью условия (16.5.14), которое с учетом (16.5.11) в предположении,
что внешняя область полностью находится в упругом состоянии, принимает
вид
. 1
or (1, t) = Q = —^—j Tr dr -фС2 (/). (16.5.36)
о
Интегрируя (16.5.36) для закона распределения температур (16.5.34) и
(16.5.35), находим
C2(/) = ^-ss. (16.5.37)
Для определения С4 (7) нужно рассмотреть уравнение (16.5.19) на поверх-
ности раздела г = s (t), для чего необходимо иметь значения скачков оу
и ов. Из уравнений (16.5.11), (16.5.34) и (16.5.35) находим
. г
О,(г, 0= j Trdr-VCl(t)= -> + G(0 при 0<r<s
о
(16.5.38a)
Мб t) = --j Trdr + C2(t) = --^ + ^-4 C2(0 при s<r< 1,
0
(16.5 386)
478
Г лаза 16 Расчет напряжений при пластических, деформациях
так ^то
a,+ [s(/), /] —<r,-[s(/), /] = С2 (^) — Ct (Z) 4 • (16.5.39)
Можно видеть, что пространственный скачок о0 на радиусе г ~= s (()
должен быть таким же, как временной скачок о0 (г, f) при г = s в момент /,
и этот скачок, согласно (16.5 29), равен rte(s). Поэтому
оё (s, Z) —tTe(s, Z) = n0(s). (16.5.40)
Используя последние два уравнения в (16.5.19), для Ci (t) получаем
следующее значение:
C1(/) = 4-ss + [1~'tBs(s^
Для определения ezсначала следует найти о2 (г, f), а затем воспользо-
ваться (16 5.20) Если рассматривать такие значения г, t, для которых
г < s (/), то
• 2 • •
az(r, т) =yyez +Ci (т) — е2 — ss + [1 - »0(s)Js/s при 0 < т < t (16.5.41)
и поэтому
аг(г, 0= az(/, т)Дг = е2 (0 + ^Ц^ +
и J у
0 S
при 0<r<s(l). (1645.42)
Если г > s (Z), то выражением (16.5.41) можно пользоваться только до мо-
мента времени t = s 1 (г), после которого следует применять выражение
oz(r, t) = -|е2-уС2(т) при з1(г)<т<1. (16.5.43)
Используя уравнения (16.5.41) и (16.5.43) для соответствующих периодов
времени при интегрировании функции оz (г, т), получаем
1
о2 (/у 1) = в2 (/“) (14.-2>-4\ ,!(1 4о--л/2 (л) при s(/)<r<l, (16.5.44)
J 2
1
Где в соответствии с условием (16.5.33) появляется член [—nz (г) 1, так как
интегрирование охватывает промежуток времени после s 1 (г).
Теперь с помощью условия (16.5.20) можно определить ez (1), а имение
1 8(0 1
oz(r, Z)rdr=O-= oz(r, t}rdr 1 oz(r, t)rdr. (16.5.45)
О 0 8(0
Подставляя в последнее уравнение выражения (16.5.42) и (16 5.44), полу-
чаем после некоторых преобразований
1
ez(Z) = [2n2(Q) — zio(e)] QdQ- (16.5.46)
s (О
Условие текучести (14.10.3) налагает на функции «о (г) и nz (г) единствен-
ное ограничение, заключающееся в том, что их значения не должны превы
16.5. Расчет цилиндра при условии текучести Треска 47£
шать некоторой величины. Естественно предположить, что указанные
функции принимают наибольшие возможные значения, совместимые с этим
условием. Из уравнений (16.5.11) — (16.5.13) следует
lim [<те(г, () — ог(г, /)] = — пе(г),
l-+S~l(r)
t О —ММ)1 = Мз'Д'Д — пД''), (16 5 47)
<>-’ 1(?)
lim [аг(г, /) —ае(г, /)) = ег [s 1 (г)] + [/г0 (г) — nz (г)].
I
t > S~1 (z)
Подставляя сюда значение ег [з-1 (г)1, находим контрольные неравен-
ства
2/г '' - /?.о (г), (16.5.48а)
1
2k> 1«o(q) — 2hz(q)] QdQ + nz(r), (16.5.486)
f
где k — безразмерный предел текучести, определяемый одной из формул
(16.5.10) (где он отмечен черточкой сверху). Предположим, что По и пг
принимают наибольшие значения, совместимые с условиями (16.5.48)
и неравенствами 0 < /д < 1, 0 < пг < 1. Если k • 1/2, то при н0(г) =
=z nz (г) ~ 1 все указанные неравенства удовлетворяются и пластическое
течение не возникает. Рассмотрим случай k < 1/2. Тогда из неравенства
(16.5.48а) следует, что
щ(/-)2/г. (16.5.49)
Из неравенства (16.5.486) видно, что
nz(l) = 2fe, (16.5.50)
так что, по крайней мере для достаточно больших значений г, имеет силу
знак равенства. Дифференцируя полученное уравнение по г, приходим к сле-
дующему дифференциальному уравнению для nz (г):
^Д-у2гнг = 2г/г, (16.5.51)
которое имеет силу в тех пределах, пока его решение удовлетворяет неравен-
ству 0 < nz < 1. Решение уравнения (16.5.51), удовлетворяющее условию
(16.5.50), имеет вид
ttz(r) = fe(l Де1-'’2). (16.5.52)
Определенная таким образом функция nz (г) монотонно возрастает при
уменьшении г от 1 до 0. Если k > 1 /(1 + е ) 0,269, то функция принимает
значение, равное единице, при
r=rh= |/l-ln(l-l) , k>^-e. (16.5 53)
Можно проверить, что для 0 < г < rh неравенство (16.5.486) удовлетворяет
ся при nz (г) г= 1.
Принимая во внимание полученные результаты, можно проинтегриро-
вать уравнения (16.5.11) — (16.5.13) по времени, что приводит к следую
шо
Глава 16 Расчет напряжений при пластических деформациях
щим выражениям для трех компонент напряжения как функциям времени
при ik < s(0 < 1:
Ог = Ц^2 + (1 — 2/г) 1ns, 1
о9 1_=s +(1 — 2/г) 1ns, \ 0 1 < s(/), (165 54а)
Щ /г(е’ ’2-1) 4-(1 — 2/г) 1ns, |
оГ (1 — 2/г) In г (Ду- 1 ) ,
— (1 — 2/г) In г | (1 - 2/г) —4>- 1 ( , >s(/)<<r<l (15 5 546)
аг-= (1 —2/г) 1п/—/г(2 I-1’1'2 — е1-®2) -1 ^'s'2 |
При 0 < s (0 < rk‘
ог -Ц^- +(1 — 2/г) 1ns,
ое -~s2 + (l — 2/г) 1ns,
о2 (1—2/г)(1 Ins) (1 — /г)(г1 — s2) у
ог =,( 1 — 2/г) In г -i it (y-f ~ 1 ) ,
о0 = (1 —2/г) In г (1-2/г)-^-(^ 1Д
cy=(l—2fe)(l f In г) т (1 — /г) (К — s2) —
1-+-S2
— при s(0 < г < rh,
О < / < s (/), (16 5 55а)
)
(16 5 556)
ог = (1 — 2/г) In г— /г (3 Ц-е1'1'2) (1 — /г) (щ — s2)
е2__3
------2— при rk < г < 1
Используя эти формулы путем непосредственных, но длинных вычисле
ний, можно показать, что при условии k 1 /4 в течение всего времени
в любой точке цилиндра, за исключением точек, в которых происходит ска-
чок температуры, деформации остаются упругими Поэтому предыдущее
решение имеет силу только при указанном ограничении Как указывалось,
формула (16 5 53) справедлива только при k > 1 /(1 + е) 0,269, для
Ю,25 k < 0,269 следует принять rk равным нулю и для расчета напряже-
ний пользоваться только формулами (16 5 54)
Полагая в (16 5 546) и (16 5 556) значение s равным нулю, находим
остаточные напряжения Следовательно, при 0,25 < k < 0,269 остаточные
напряжения определяются выражениями
су = (1 —2/г) In г,
<т9 = (1 — 2/г) (1 4 In г),
ог= (1 — 2k) 1пг — /г (2 ф-е’ ,2 — e)+j,
(16 5 56)
16,5. Расчет цилиндра при условии текучести Треска 481
в то время как при 0,269 < k < 0,5 формулы для остаточных напряжений
принимают вид
ог — (1 — 2k) Inr,
ff9 = (1 ~2k) (1 + Inr),
аг = (1 — 2k) In(1 —2k) —
— (1 — k) In ( 1 при 0 < r < rh, (16.5.57,
Gi=^(\—2k)\nr^(-^ — 4k'^ —
— (1 — k) In — 1 — fee1-12 при rk < r < 1.
На рис. 16.8. — 16.10 изображены диаграммы остаточных напряжений
соответствующих различным значениям k в диапазоне V4 "С k С 1/2, дл$
Рис. 16.8. Остаточные радиальные напряжения в цилиндре (я. 16.5).
Безразмерные величины определены согласно формулам (16 5 10).
которого справедливы формулы (16.5.56) и (16.5.57). Следует заметить, чк
хотя нестационарные напряжения в цилиндре всюду конечны. остаточны<
напряжения принимают в точке г = 0 бесконечно большое значение; этс
связано с идеализированным представлением фазового превращения в виде
скачкообразного процесса.
31 Ьоли и Уэйнер
0,75
0,75
0,50
0,25
О
-0,25
-0,50
—0,75
-1,00
-1,25
0,25 х
0,269.
0,3 С
0,4
• £= 0,5
£=0,4
'fe= 0,3 ~
'£= 0,269
k=0,25
0,8
1,0
Рис. 16.10. Остаточные
Рис 16 9 Остаточные окружные напряжения в цилиндре
(п. 16 5).
продольные напряжения в цилиндр
In 165k
16.6. Расчет цилиндра при условии текучести Мизеса
4S
Условие текучести Треска было применено также при исследованш
упруго-пластических температурных напряжений в полом цилиндре, под
вергнутом действию не только температур, но и поверхностного давлени:
([5] и [6]). В указанных работах рассматривались только стационарны)
поля температур. В работе [7] определялись остаточные напряжения в ци
линдрах при нестационарных полях температур, причем предполагалось
что при температуре ниже критической материал ведет себя упруго, а выцц
этой температуры он становится идеально-пластическим с нулевым пределов*
текучести. Другие упруго-пластические задачи с использованием теорш
полных деформаций рассматривались Качановым [8] и Ломакиным [9]
16.6. Расчет цилиндра в упруго-пластической области при условие
текучести Мизеса1). С помощью условия текучести Треска в предыдущего
пункте были выведены формулы (16 5 11) — (16 5.13), выражающие зави
симость скоростей напряжений исключительно от Т и ez. Хотя при произ
вольных нестационарных полях температур эти формулы становятся слиш-
ком громоздкими, в случае простого распределения температур (16.5.21) ою
оказались удобными для аналитических расчетов, так как позволили полу-
чить решение в явном виде.
Наоборот, если исходить из условия текучести Мизеса, то результать.
в таком явном виде не получаются, но зато удается вывести более простые
выражения для зависимостей скоростей напряжений от Т, ez и от самих
напряжений, которыми весьма удобно пользоваться при расчетах в числовой
форме.
За исключением различия в условиях текучести, общая задача остается
такой же, как это было сформулировано в начале п. 16.5. В частности, по-
прежнему считаем, что коэффициент Пуассона v = 1/2 и все механические
свойства, включая условие текучести, не зависят от температуры. Ограни-
чимся случаем сплошного цилиндра, для чего в выражениях (16 5 5) поло-
жим а О, Со — 0, так что
ег - —j Trdr ^ЗаТ, (16.6.1)
о
с0 - 2 ед ^^Trdr. (16.6.2)
о
В качестве искомых переменных удобно принять компоненту девиатора
осевого напряжения sz и разность напряжений
s = or —о0 - sr —s0 (16.6.3)
и соответствующие деформации ez и
е= е, — е0. (16.6.4)
Из формул (16.6.1) и (16.6.2) следует, что * о Г 'j-’ 2а ( ггч j 1 За i о дТ . 8 = 3 а/ г \ Тгаг — —г \ г -i~~dr, L r<L J J r2 J dr 0 0 (16.6.5)
так что е определяется исключительно температурным полем. Воспользо-
вавшись зависимостями между напряжениями и деформациями, приведен-
1) См. [10].
31*
484 Глава 16. Расчет напряжений при пластических деформациях
ними в и. 16.2, получим следующие два уравнения для скоростей напряже-
ния:
s = 2р [е — (1—g)Xs], (16.6.6)
sz = 2p[ez— аТ —(1 —g) Xsz], (16.6.7)
где функция g (г, t) определяется совершенно так же, как g (х, f), по фор-
муле (16.2.6). Принимая во внимание, что sr -j- s9 + sz = 0, непосредствен-
но находим
|SiA7 = 4(s2-! 3si), (16.6.8)
=у (ss + 3szsz), (16.6.9)
= p [s8 + 3sz (ez — af)], (16.6.10)
причем последнее соотношение получено непосредственно из предыдущего
путем замены s и sz их выражениями (16.6.6) и (16.6.7) при X = 0.
При известных s и sz компоненты напряжения ог, о9, oz можно вычис-
лить следующим образом. Из уравнения равновесия (16.5.18) и условия,
что цилиндрическая поверхность г = b свободна от нагрузок, получаем
ъ
о,. = \ - dr. J Г (16.6.11)
Тогда а0 = or — s (16.6.12)
и или °z = sz + У (or + Oq + Oz). oz = 4(2or —s + 3sz). (16.6.13)
Чтобы удовлетворить условию (16 5.20), согласно которому равнодействую-
щая сил в любом поперечном сечении цилиндра должна быть нулем, исполь-
зуем выражения (16.6.13) и (16.6.11)
ь 6 6
roz dr ~ 4 --с — s — 3sz j rdr, (16.6.14)
0 О )
и так как
ьь ь
то условие (16.5.20) может быть записано в виде
ь
\* rszdr — 0, (16.6.16)
j6.6. Расчет цилиндра при условии текучести Мизеса
485
или
ь
rszdr = 0. (16.6.17)
о
Подставляя в (16.6.17) значение (16.6.7) для 8Z и выражая К по формуле
(14.9.9), относящейся к случаю, когда условие текучести не зависит от тем-
пературы, что Дает
k = V = i +3s* <16 6.18)
получаем в результате следующее выражение для 8г:
ь
^2а7’+(1— g)^\se.—3aszT] j rdr
8Z = -L-------------------------------. (16.6.19)
3 e
*2—2^2 ) 0— g) slrdr
о
Таким образом, получены все уравнения, необходимые для определе-
ния скоростей напряжений s и sz в любой момент времени в зависимости
Рис 16.11. Зависимость от температуры предела текучести при растя-
жении стали 1060 по экспериментальным данным Кармана и Хесса (см.
сноску на стр 487).
от значений s, s, и Т в этот же момент. Скорости s и sz можно найти по фор
мулам (16.6.6) и (16.6.7), определяя 8, согласно (16.6.5), a 8Z — (16.6.19)
Величина X находится из выражения (16.6.18), а условия для определена?
g (г, t) можно выразить через рассматриваемые функции в следующем виде
g (г, 0 1, если ~ (s2 + 3s?) < /г2 или если (s2 3s?) = k2
и S8 + 3sz(8z — at) <0;
g(r, f)^0, если (s2 + 3s?) = k2 и se + 3sz (8Z — at) > 0. (16.6.20
486
Глава 16 Расчет напряжении при пластических дефор нациях
Значения s и s2 находятся путем интегрирования функций s и sz по времени
что легко может быть выполнено с помощью цифровой вычислительно!
машины.
Рис 16 12 Сравнение расчетных и экспериментальных значений оста-
точных радиапьных напряжений (см сноску 1 на стр 487)
------ v = 0 3, — — — v = 0 5 О — образец А, Д— образец В
Компоненты напряжения ог, о6, оzопределяются по формулам (16 6 11)—
(16 6 13), причем нет необходимости вычислять их для каждого значения t
В частности, если требуется установить только величину остаточных напря-
жений, то нужно вычислить значения ог, о9, о z, соответствующие толькс
конечным значениям s и sz
Рис 16 13 Сравнение расчетных и экспериментальных значений оста-
точных окружных напряжений (см сноску 1 на стр 487)
----------- v - 03 — — — v = 0 5 О— образец А Д — образец В
Приведенное решение было обобщено [10] для случая зависимости пре-
дела текучести от температуры (тем же путем, как в задаче о пластине
16.6. Расчет цилиндра при условии текучести Мизеса
в п. 16.4), а также распространено на произвольное значение коэффициент
Пуассона. Недавно были проведены эксперименты по проверке изложенно
теории х). В этих опытах цилиндры из стали 1060 диаметром 6,35 см нагрс
вались при температуре 675° С в течение одного часа в расплавленной солг
Рис. 16.14. Сравнение расчетных и экспериментальных значений оста-
точных продольных напряжений (см. сноску 1).
-----v == 0,3, — — — V = 0,5. О— образец А; Д — образец В.
а затем подвергались закалке путем погружения в струю охлаждающег
раствора при 26° С. Чтобы исключить фазовые превращения, начальна
температура была выбрана ниже критического значения для данной стали
Остаточные напряжения определялись использованным Заксом методе!
снятия слоев (11.12). На рис. 16.11 приведена экспериментальная завися
мость предела текучести данной стали от температуры, полученная Карма
В Указанные эксперименты были проведены Карманом и Хессом при Франг
фордском Арсенале. Авторы признательны им за разрешение поместить некоторы
из экспериментальных результатов до их опубликования.
2) Влияние фазовых превращений можно было бы учесть в рамках настоящей тео
рии путем замены изменения объема при фазовом превращении эквивалентным изме
нением температуры, как в п. 16.5. Однако при этом потребовалось бы иметь детальны
сведения о скорости превращения в резко нестационарных условиях, а такого рода дан
ные в настоящее время отсутствуют.
488
Г лава 16 Расчет напряжении при пластических деформациях
ном и Хессом Указанные значения предела текучести были использованы
при расчетах на вычислительной машине IBM 704 в соответствии с теорией
изложенной в настоящем пункте На рис 16 12—16 14 приведено сравне
ние результатов этих расчетов при v = 0,5 и v - 0,3 с эксперименталь
ными данными Кармана и Хесса
БИБЛИОГРАФИЯ
1 Ландау, Уэйнер (Landau Н G , Weiner J Н), Transient апс
residual stresses in heat treated plates, J Appl Meeh , 25 (1958), 459—465
2 Уэйнер (W e i n e r J H ), An elastoplastic thermal stress analysis of a free
plate, J of Appl Meeh , 23 (1956), 397—401
3 Ландау, Уэйнер, Ц в и к и (Landau Н G, Weiner J И ,
Z w 1 с к у Е Е , Jr ), Thermal stress in a viscoelasticplastic plate with tempera
ture dependent yield stress, J of Appl Meeh , E 2, 27 (1960) 297—302
4 Юксель (Halil Yuksel) Elastic, plastic stresses in free plate with
periodically varying surface temperature, J of Appl Meeh , 25 (1958), 603—606
5 Бланд (Bland D R ), Elastoplastic thick walled tubes of work hardening
material subject to internal and external pressures and to temperature gradients,
J of Meeh and Phys of Solids, 4, 4 (1955—1956), 209—229, русский перевод
Бланд, Упруго пластическая толстостенная труба из упрочняющегося матери
ала, подвергнутая внутреннему и внешнему давлениям и перепаду температур,
Сб Механика, № 2 (42) (1957)
6 Уолли (Whalley Е), The design of pressure vessels subjected to thermal
stress, Canadian J of Tech , 34, 3 (September 1956), 268—303
7 Myp a (Mura T), Residual stresses due to thermal treatments, Research
Reports of the Faculty of Engineering, Meiji University, 1957—2, 10
8 Качанов Л M, Упруго пластическое равновесие неравномерно нагретых
толстостенных цилиндров, находящихся под действием внутреннего давления,
ЖТФ, X, 14 (1940), 1167—1172
9 Ломакин В А, ПММ, 19 (1955), 244—248
10 Ландау, Цвикки (Landau Н G,Zwicky Е E,Jr) Transient
and residual thermal stresses in an elastic-plastic cylinder, J of ippl. Meeh
11 Сакс (Sachs G), The determination of residual stresses in rods and tubes.
Zeits Meiallkunde 19 (1927), 352
12 Сакс, Эспи (Sachs G, Espey G), The measurement of residual stressei
in metals, Iron Age, 148 (1941), Sep 18, p 63, Sep 25, p 36
ОБЩАЯ БИБЛИОГРАФИЯ
I. Л я в (Love А. Е. Н.), A treatise on the mathematical theory of elasticity
fourth ed., Dover Publications, New York, 1944; русский перевод: Л я в А., Ма
тематическая теория упругости, ОНТИ, М.—Л., 1935.
II. Тимошенко, Гу д ь е р ( Т i m os h е п к о S., G оо d i е г J. N.), Theor
of elasticity, second ed., McGraw-Hill, New York, 1951.
III. Карслоу, Егер (Carslaw H. S. and J a e g e r J. C.), Conductio
of heat in solids, first ed., Clarendon Press, Oxford, 1947.
По работам о температурных напряжениях существует ряд обширных библис
графических источников. Некоторые из них приводятся ниже.
IV. Брац, Дин (Brahtz J. F., Dean A.), An account of research informs
tion pertaining to aerodynamic heating of airframes, in 5 volumes, Part II
W. A. D. C. Tech. Rep. 55—99, 1955.
V. Боли, Уэйнер, Толинс (Boley В. A., Weiner J. H., T c
1 i n s I. S.), Thermal stress analysis for aircraft structures, Part II, W. A. D. C
Tech. Rep. 56—102, ASTIA Doc. No AD 97340, November 1955.
VI. Б e p к с, X в и к (В ft r k s W. I., C h w i c k A.), Theory and experimen
in the solution of structural problems of supersonic aircraft, Chapter 5, W. A. D. C
Tech. Rep. 55—291, March 1956.
'II. Боли (Boley B. A.), Thermal stresses, Structural mechanics, Proc, firs
symposium on naval structural mechanics, Stanford Univ., August 1958, Per
gamon Press, New York, I960.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ БИБЛИОГРАФИЯ1)
Ага М С, К вопросу о температурных полях в задаче термоупругости для не кото
рых тел цилиндрической симметрии, диссертация, Ленингр инж строит ин т,
Ага М С , К задаче термоупругости в некоторых телах цилиндрической симметрии,
Тр Ленингр инж-cmpoum ин та, вып 26 (1957)
Ага М С , К вопросу о сходимости рядов в решении задачи термоупругости для плос-
кой арочной секции, Тр Ленингр инж строит ин та, вып 29, (1958)
Ага М С , О тепловых полях и термоупругих перемещениях арочной секции, излу
чающей тепло через все участки границы, Тр Ленингр инж-строит ин та,
вып 30, 202—207, (1959)
Агарев В А, Уманский Э С, Квитка А Л, Некоторые вопросы
решения температурной осесимметричной задачи теории упругости, сб «Вопр.
порошк металлургии и прочности материалов», вып 5, АН УССР, 134, 1958
А д а д j р ов Р А, Устойчивость неравномерно нагретых пластин, сб «Тепловые
напряжения в элементах турбомашин», вып 1, АН УССР, 1961
Аксельрод Э Л Расчет неоднородных по термоупругим свойствам оболочек
и его применение к биметаллическим элементам приборов, Тр ЛИАП, XXIV
(1957)
Аксельрод Э Л,О температурных деформациях неоднородных оболочек, Язе АН
СССР, ОТН, 8 (1958)
Аксельрод Э Л, Малые прогибы неоднородных по термоупругим свойствам
изотропных пластин, Изв АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, 5
(1959)
Аксельрод Э Л, Деформация оболочек при переменном по толщине температур
ном расширении, Изв АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, 6 (1960),
Александров А П, Определение температурного поля и переходного процессе
при диэлектрическом нагреве , Тр Казан химикотехн ин-та, вып. 19—20 (1955)
Александров А Я, О решении пространственной осесимметричной упругой
задачи с объемными силами или температурными напряжениями при помощь
аналитических функций, Изв АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение.
4 (1962)
Альтшулер Л Н, Температурное поле труб в массиве, ЖТФ, 27, 1957
Амбарцумян С А, Температурные напряжения в слоистых анизотропных обо-
лочках, Изв АН Арм ССР, Сер физ -мат и техн наук, 5, 6 (1952)
Амбарцумян С А,Дургарьян С М, К нестационарной задаче ортот-
ропной пластинки, Д,окл АН Арм ССР, 33, 4 (1956)
Амбарцумян С А, Дургарьян СМ, Некоторые нестационарные тем
пературные задачи для ортотропной пластинки, Изв АН СССР, ОТН, Механи-
ка и машиностроение, 3 (1962).
х) Данная библиография, составленная переводчиками, охватывает в основнол
работы вплоть до 1963 г См также литературу в приложении к книгам Гейт
в у д Б Е , Температурные напряжения, ИЛ, М., 1959, иМелан Э и Пар
к!у с Г , Температурные напряжения, вызываемые стационарными температурнымг
полями. Физматгиз, М., 1958 — Прим вед
Дополнительная библиография
49
Амельянчик А. В., Исследование температурных перемещений и напряжение
в поршне тепловозного двигателя Д-50, диссертация, Всесоюзн. научн. иссле
довательский ин-т ж.-д. транспорта, 1954.
Амельянчик А. В., Решение температурных задач теории упругости посред
ством электрических эквивалентных цепей упругого поля, Изв. АН СССР, ОТН
Механика и машиностроение, 4 (1959).
Амельянчик А. В., Расчет на прочность дисков турбомашин иа математически
машине, Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, 1 (1959).
Амельянчи к-А. В., Решение температурных задач теории упругости посредство»,
электрических эквивалентных цепей упругого поля, Изв. АН СССР, ОТН
Механика и машиностроение, 4 (1959).
Амельянчик А. В., Расчет на прочность дисков турбомашин на математически
машине, Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, 1 (1959).
Амельянчик А. В., Решение температурных задач теории упругости посред
ством электрических эквивалентных цепей упругого поля, Изв. АН СССР
ОТН, Механика и машиностроение, 4 (1959).
А м и р о И. Я. Определение температурных напряжений в случае плоской задач»
теории упругости (на примере приложения метода сеток к практическим расче
там), Сб. тр. Ин-та строит, мех. АН УССР, № 21 (1956).
Б а л а бу х Л. И., Шаповалов Л. А., О вариационных уравнениях термоупру-
гости, ПММ, 24, 4 (I960).
Башкиров Л. И., Никитин К. Н., Температурные напряжения в цилиндри
ческой стенке, Энергомашиностроение, 4 (1961).
Белов А. В., Температурные напряжения в бетонной стенке при ее остывании.
Изв. ВНИИ гидротехники XXXIX (1940).
Белов А. В., О температурном режиме окружающей среды, обеспечивающем задан-
ные напряжения на поверхности бетонной плиты, Гидротехническое строитель-
ство, 2 (1953).
Белов А. В., Температурные напряжения в бетонной призме прямоугольного сече-
ния, Изв. ВНИИ гидротехники, 51 (1954).
Белов А. В., К определению предельной толщины бетонной плиты и условия проч-
ного сопротивления ее температурным растягивающим напряжениям, Изв.
ВНИИ гидротехники, 53 (1955).
Белов А. В., Температурные напряжения в круглой плите, заделанной по основа-
нию, Изв. Всесоюзн. НИИ гидротехн., 66 (1960).
Белов А. В., Васильев П. И., Практический способ определения температур-
ных напряжений в бетонной плите при гармонических колебаниях температуры
наружного воздуха, Гидротехническое строительство, 9 (1952).
Бенуа Ф. Ф., Щи л я ев П. Н., Опыт электротензометрических испытаний
паровых котлов, Заводская лаборатория, 5 (1955).
Био М., Термоупругость и термодинамика необратимых процессов, Механика, 3
(43) ИЛ (1957).'
Биргер М. А., Об одной ошибке в курсе теории упругости С. П. Тимошенко (в ре-
шении задач о температурных напряжениях), Инж. сб., X, Изд. АН СССР
(1951).
Биргер И. А., Метод дополнительных деформаций в задачах теории пластичности,
Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, 1 (1963).
Богданов А. Н., Напряженное состояние в неравномерно нагретой полосе, Тр.
Ленингр. ин-та водн. трансп., 15, 19—23 (1961).
Богданов Ф. Ф., Миропольский 3. Л., Температурный режим металла
горизонтальной парогенерирующей трубы для высококипящего органического
теплоносителя, Изв. АН СССР, ОТН, 7 (1952).
Болотин В. В., Уравнения нестационарных температурных полей в тонких обо-
лочках при наличии источников тепла, ПММ, 24, 2 (1960).
Болотин В. В., Температурное выпучивание пластин и пологих оболочек в потоке
газа, Расчеты на прочность, 6, Машгиз (1960).
Болотин В. В., Динамические задачи термоупругости для пластин и оболочек
при наличии излучения, Тр. конференции по теории пластин и оболочек, Казань,
1961.
492
Дополнительная библиография
Болотин В. В., Новичков Ю. Н., Выпучивание и установившейся флаттер
термически сжатых панелей, находящихся в сверхзвуковом потоке, Инж. жур-
нал., 2 (1961).
Б о р д у н о в а Л. А., Температурные напряжения в подкрепленной цилиндрической
оболочке, Тр. конференции по теории пластин и оболочек, Ереван, 1964.
Бородачев Н. М., О решении контактной задачи термоупругости в случае осе-
вой симметрии, Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, 5 (1962).
Брюккер Л. Э., Изгиб трехслойных пластин с учетом температурных напряжений,
Тр. конференции по теории пластин и оболочек, Ереван, 1964.
Бубликов Е. И., К вопросу определения температурных полей в стенках методом
электротепловой аналогии, Теплоэнергетика, 3 (1956).
Ван-Драйс т, Проблема аэродинамического нагрева, Вопросы ракетной техники,
5, ИЛ (1957).
В а н ь к о В. И., Нестационарные температурные поля в дисках составного гипер-
болического профиля при отсутствии теплообмена на торцовых поверхностях,
ПМТФ, 4 (1961).
В а н ь к о В. И., Нестационарные температурные поля в охлаждаемых дисках,
ПМТФ, 2 (1963).
В а н ь к о В. И., Метод граничных условий в задачах стационарной теплопроводно-
сти, ПМТФ, 3, 1963.
Варданян Г. С., Экспериментальный метод определения температурных напря-
жений (в деталях) и их концентраций, Изв. АН Арм. ССР, Серия физ.-мат
наук, 14, 5 (1961).
Варданян Г. С., Метод определения температурных напряжений с применением
«замораживания», автореф. канд. диссертации, Ин-т машиноведения, М., 1962
Варданян Г. С., Пригоровский Н. И., Моделирование термоупругих
напряжений в поляризационно-оптическом методе, Изв. АН СССР, ОТН.
Механика и машиностроение, 4 (1962).
Василенко Н. В., К л и х Ю. А., Колебания груза на стержне при нагреве
сб. «Тепловые напряжения в элементах турбомашин», вып. 3, АН УССР (1963).
Васильченко Г. С., Влияние радиального перепада температур на напряжен-
ное состояние турбинных дисков, работающих в условиях ползучести, сб.
«Тепловые напряжения в элементах турбомашин», вып. 2, АН УССР (1962).
Вейник А. И., Термодинамическая теория упругости, Докл. АН БССР, 1, 2 (1957).
Вейцман Р. И., Нестационарные тепловые напряжения в упругом полупростран-
стве при локальном изменении температуры на поверхности, сб. «Тепловые
напряжения в элементах турбомашин», вып. 2, АН УССР, 1962.
Винокуров С. Г., Об одной форме термоупругих уравнений, Тр. Дазанск. с. х.
ин-та, 1, 37 (1958).
Винокуров С. Г., Температурные напряжения в пластинках и оболочках. Изв.
Казанского филиала АН СССР, Сер. физ.-мат. и техн, наук, 3, 18 (1953).
Винокуров С. Г., Большие прогибы конической панели в температурном поле,
Тр. конференции по теории пластин и оболочек, Казань, 1961.
Винокуров С. Г., Ктеории изгиба цилиндрической панели, находящейся в нерав-
номерном температурном поле, Изв. Казан, филиала АН СССР, Серия физ.-мат.
и техн, наук, 14 (1960).
Винокуров С. Г., О температурных напряжениях в пластинках и оболочках,
диссертация, Казанский университет, 1952.
Власов Б. 3., Бимоментная теория температурных напряжений, сб. «Тонко-
стенные упругие стержни», гл. XI, изд. 2, Физматгиз, М., 1959.
Влияние высоких температур на авиационные конструкции, Оборонгиз,
М., 1961.
Волошин А. А., Расчет сложных трубопроводов на тепловые расширения, Котле-
ту рбостроение, 4 (1953).
Вольский М. И., Температурные напряжения в машинах и котлах, Нарком, реч.
флот., 1944.
«Всесоюзный съезд ло л лдэллллЛ-ЯД'Д’ лаэляижг»,
докладов, АН СССР, М., 1960.
«Второй Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике», аннотация
докладов, АН СССР, М., 1964.
Пополнительная библиография
491:
Вульфсон С. 3., Температурные напряжения в бетонных массивах с учетом пол-
зучести бетона, Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, 1 (1960).
Гагарина А. А., Температурные напряжения в стеновых панелях, Строит
механика и расчет сооружений, 1 (1961).
Г а л е р к и н Б. Г., Термические напряжения в упругих пластинах, сб. «Инженер-
ные сооружения и строительная механика», изд. «Путь», 1924.
Г а л е р к и н Б. Г., Напряженное состояние цилиндрической трубы в упругой среде.
ДИИПС, 100 (1929).
Галимов К. 3, Му шт а р и X. М., Некоторые вопросы прочности и устойчиво-
сти пластин и оболочек в неравномерном температурном поле, Тр. Физ.-техн.
ин-та, Казан, физ-техн. ин-т АН СССР, 1 (1952).
Галкина А. П., К У р ш и н Л. М., С т ы ц ю к В. И., Устойчивость нагретой
защемленной пластинки при сдвиге, Инж. журнал, 4 (1963).
Ганеева М. С., Большие прогибы прямоугольной пластинки под действием равно-
мерного нормального давления при неравномерном нагреве, Тр. конференции
по теории пластин и оболочек, Казань, 1961.
Гаспарян М. М., Решение температурной задачи для свободно опертой по контуру
выпуклой многоугольной пластинки при линейном распределении температуры
по толщине, Изв. АН СССР, Серия физ.-мат. и техн, наук, 9, 9 (1956).
Гейтвуд Б. Е., Температурные напряжения применительно ксамолетам, снарядам,
турбинам и ядерным реакторам, ИЛ, М, 1959.
Герт Т. Я., О выпучивании бесконечной плоской панели при аэродинамическом
нагреве, ПМТФ, 5 (1961).
Герцберг Е. Я., Теоретическое и экспериментальное исследование температур-
ных напряжений в сплошной турбинной лопатке, охлаждаемой со стороны хво-
стовика, сб. «Тепловые напряжения в элементах турбомашин», вып. 3, АН УССР.
1963.
Гильман Л. С, Температурные напряжения в круглых плитах, Тр. Ленингр.
политехи, ин-та, 2 (1950).
Гначак И., Распространение напряжений, вызванных действием динамическогс
ядра термоупругой деформации в бесконечной среде с отверстием, Прикладная
механика, 6, 4 (1960).
Голованов С. Г., Расчет остаточной напряженности от процессов охлаждения
в стали и чугуне, Вестник машиностроения, 7 (1953).
Гольденвейзер А. Д., Температурные напряжения в тонких оболочках,
Тр. ЦАГИ, 618 (1947).
Гохфельд Д. А., О возможности нарастания пластических деформаций в резуль-
тате циклических тепловых воздействий, сб. «Расчеты на прочность», вып. 7.,
Машгиз М., 1961.
Гохфельд Д. А., О приспособляемости в условиях повторных тепловых воздей-
ствий, сб. «Тепловые напряжения в элементах турбомашин», вып. 1, АН УССР,
1961.
Гохфельд Д. А., Ермаков П. И., Расчет толстостенных цилиндров на пов-
торные воздействия давления и температуры, сб. «Тепловые напряжения в эле-
ментах», вып. 3, АН УССР, 1963.
Грибанов В. Ф., Об упруго-пластических деформациях сжимаемого шара в не-
стационарном температурном поле, Вест. МГУ, сер. 1, Математика, механика,
4 (1960).
Гр игол юк Э. И., Задача устойчивости круглой пластинки при неравномерном
нагреве, Инж. сб. АН УССР, VI (1950).
Гр иг ол ю к Э. И., Расчет тонких упругих оболочек с учетом их нагрева, Тр. кафед-
ры сопротивления материалов МАТУ, раздел I, 1947.
Григолюк Э. И., Температурные напряжения круглой биметаллической пла-
стинки, Тр. кафедры сопротивления материалов МАТУ, раздел III, 1947.
Григолюк Э. И., Некоторые задачи о температурной устойчивости круглых коль-
цевых пластин, Инж. сб., VI (1950).
Григолюк Э. И., О перемещениях пологих биметаллических полос, Тр. МАТУ,
Расчеты на прочность в машиностроении, вып. II, 1950.
Г риголюк Э. И., О равновесии и устойчивости биметаллических полос, Инж. сб.,
VII (1950).
494
Дополнительная библиография
Григолюк Э. И., Некоторые задачи расчета тонких упругих оболочек и пластин
Сб. «Прочность в машиностроении», Машгиз, 1951.
Григолюк Э. И., О прочности и устойчивости цилиндрических биметаллические
оболочек, Инж. сб., XVI (1953).
Григолюк Э. И., Тонкие биметаллические пластины и оболочки, Инж. сб., XVI]
(1953).
Г р-н г о л ю к Э. И., Уравнения осесимметричных биметаллических оболочек, Инж
сб., XVIII (1954).
Григолюк Э. И., Уравнения слоистых оболочек с легким заполнителем, Изв
АН СССР, ОТН, 1 (1957).
Григолюк Э. И., Конечные трехслойных оболочек с жестким заполнителем, Изв
АН СССР, ОТН, 1 (1958).
Григолюк Э. И., Динамика vnpyro-вязких оболочек и пластин, Докл. АН СССР
138, 6 (1961).
Г риголюк Э. И., Кирюхина Ю. П., Линейная теория трехслойных оболо
чек с жестким заполнителем, Изв. Сиб. отд. АН СССР, 3 (1962).
Григолюк Э. И., Чулков П. П., Малые деформации, устойчивость и колеба-
ния несимметричных трехслойных плит с жестким заполнителем, Докл. Ah
СССР, 149 (1962).
Григолюк Э. И., Чулков П. П., Общая теория упругих трехслойных оболо
чек большого прогиба, сб. «Вопросы динамики и прочности», вып. X, АН Латв
ССР, 1963.
Григолюк Э. И., Толкачев В. М., К теории многослойного термостата, Изв
Сиб. отд. АН СССР, 10, 3 (1963).
Григоренко Я- М., Ильин Л. А., О напряженном состоянии коническот”
оболочки при циклических силовых и температурных воздействиях, Тр. Всесоюз-
ной конференции по теории пластин и оболочек, АН УССР, 1962.
Григоренко Я- М., Ильин Л. А., Уравнения теории тонких оболочек в ком-
плексной форме с учетом температурных воздействий, сб. «Тепловые напряжения
в элементах турбомашин», вып. 2, АН УССР, 1962.
Гринченко В. Т., Стационарные тепловые напряжения в сплошном цилиндре
конечной длины, сб. «Тепловые напряжения в элементах турбомашин», вып. 2.
АН УССР, 1962.
Гринченко В. Т., Температурные напряжения в многослойной конической обо
лочке, сб. «Тепловые напряжения в элементах турбомашин», вып. 3, АН УССР
1963.
Гудьер Д., Ми ндл и н Л., Чэнь Д., Об интегрировании уравнений термо-
упругости, Механика, ИЛ, IV (1952).
Гутман С. Г., К решению плоской задачи термоупругости при установившемсг
тепловом режиме, Изв. ВНИИ гидротехники, 45 (1951).
Гутман С. Г., Определение тепловых напряжений при гармонических колебания»
температуры, Изв. ВНИИ гидротехники, 47 (1952).
Г у т м ан Л. Н., К вопросу о расчете теплового состояния твердых тел, Инж. сб.,
15, (1953).
Г у т м а и С. Г., Определение тепловых напряжений при гармонических колебаниях
температуры, Изв. ВНИИ гидротехники, 47 и 51 (1954).
Данилова И. Н., Влияние неравномерного нагрева и сжимаемости материала на
несущую способность ротора, Изв. АН СССР, ОТН, 6 (1958).
Данилова И. Н., О температурных напряжениях в полой сфере при переменном
модуле упругости. Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, 3 (1962)
Данилова И. Н., Температурные напряжения в прямоугольном клине, Изв
АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, 5 (1962).
Данилова И. Н., Неустановившееся температурное поле в клине при разрывных
краевых условиях, Изв. АН СССР, ОТН, Энерг. и транспорт, 3 (1963).
Даниловская В. И., Температурные напряжения в упругом полупространстве
возникающие вследствие внезапного нагрева его границы, ПММ, 14, 3 (1950)
Даниловская В. И., Температурные напряжения в упругом полупространстве
при мгновенном нагреве поверхности, ПММ, 14 (1952).
Даниловская В. И., Об одной динамической задаче термоупругости, ПММ
16, 3 (1952).
Дополнительная библиография
49;
Даниловская В И , К вопросу определения температурных полей в ротора*
многоступенчатых турбин, Инж сб , 18 (1954)
Даниловская В И , Приближенное решение задачи о стационарном темпера-
турном поле в тонкой оболочке произвольной формы, Изв АН СССР, ОТН, £
(1957)
Даниловская В И, Температурное поле и температурные напряжения, во„-
никающие в упругом полупространстве вследствие потока лучистой энергии
падающей на границу пол} пространства, Изо ЛИ СССР, ОТН, Механика и маши
нестроение, 3 (1959)
Даниловская В И , Некоторые статические и динамические задачи термоупру
гости, Ин т механики АН СССР, М , 1960
Даниловская В И, Динамические температурные напряжения в бесконечной
плите, Инж журнал, 1, 4 (1961)
Даниловская В И, Расчет стационарных температурных полей и темпера-
турных напряжений в двухсвязных областях, сб «Тепловые напряжения в эле-
ментах турбомашин», вып I, АН УССР (1961)
Деркач В Ф, Определение напряжений и перемещении в кривом брчсе при
нелинейном температурном поле, Изв вузов, Строит и аохитектура, 1 (196®).
Дургарьян С М, К температурному расчету ортотропной пластинки с учетом
поперечных сдвигов, Изв АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, 6
(1960)
Дургарьян СМ, К осесимметричной температурной задаче ортотропной цилин
дрической оболочки, Изв АН Ари ССР, Серия физ мат наук XIV, 3 (1961)
Дургарьян С М , К температурному расчету ортотропных оболочек вращения,
Инж журнал, 11, 3 (1962)
Д х р I арьян С М, Об одной нестационарной температурной задаче для цилиндри-
ческой оболочки, подкрепленной кольцом, Тр конференции по теории пластин
и оболочек, Ереван, 1964
Дятловицкий ЛИ, Сеймов ВМ, Температурные напряжения в наращи
ваемом цилиндре, Прикл механ , 3 (1961)
Елизаров Д П,0 расчете допустимой скорости прогрева паропроводов, Тепло
энергетика, 3 (1961)
Е л ч и н П М , Термокраски для измерения температуры, сб «Физикохимические
методы исследования металлов», Металлургиздат, 1950
Еримбетов М И , Метод наименьших квадратов в теории температурных напря
жений, Вестн АН Низ ССР, 7 (1962)
Ермаков П И, Осесимметричная задача термоупругости для сплошного цилин
дра, сб «Тепловые напряжения в элементах турбомашин», вып 1, АН УССР,
1961.
Жирицкий ГС, Расчет температурных напряжений в турбинных дисках, Котло
турбостроение, 5 (1962)
Зав арцев а П А, Температурные напряжения в дисках радиальных турбомашин,
сб «Тепловые напряжения в элементах конструкций», вып 3, АН УССР, 1963
Иванцов Г П, К теории нестационарного теплового потока в прямоугольном
параллелепипеде и призме, ЖТФ, VIII, 10 (1938)
Ив а ш ков а В К, Исследование температурных полей, ограждающих конструк
ции с теплопроводными включениями, методом электромоделирования, диссерта-
ция, Акад архитектуры СССР, Ин-т строит техники (1955)
Иконников Ципулин Е С, Напряжения в кольце за счет неравномерногс
нагрева его по окружности, Тр Мурманского высш мореходн уч ща, 2, 2 (1958)
Ильюшин А А, Пластичность, Изд АН СССР, М , 1963
Инденбом В Л , Си л ь в е ст р о в а И М,Сиротин Ю И , Термоупругие
напряжения в анизотропных пластинках, Кристаллография, 1, 5 (1956)
Ионов В И Температурные напряжения в упругом цилиндре, Изв вузов, Машино-
строение, 6 (1958)
Иоффе И А, О стационарном температурном поле в полуограничеином массиве
с внутренними цилиндрическими источниками тепла, ЖТФ, 28, 5 (1958)
Кабанов В В, Напряженное состояние круговой цилиндрической оболочки при
неравномерном нагреве, ГКАТ, 1962
496
Дополнительная библиография
Кабанов В В, Устойчивость круговой цилиндрической оболочки в неравномер-
ном температурном поле, Изв вузов, Авиац техн , 2 (1962)
Кабанов В В, Устойчивость цилиндрической оболочки при неравномерном нагре
ве, сб «Тепловые напряжения в элементах конструкций», вып 3, АН УССР
1963
КамардиновО 0,0 применении метода разделения переменных к уравнениях
термоупругого равновесия, Вестн АН К аз ССР, 4 (1961)
Кан С Н, Термоупругость и устойчивость трехслоиной круговой цилиндрической
оболочки, сб «Расчет пространственных конструкций», вып VII, Госстройиздат
1962
Кан С Н , Температурные напряжения в круговой конической оболочке, Тр КОН'
ференции по теории пластин и оболочек, Казань, 1961
Катасонов AM, Об одной осесимметричной динамической задаче термоупруго
сти для полупространства, Вестн МГУ, Сер матем , механ , астроном , физ
химии, 2 (1959)
Катасонов А М, Динамическая задача термоупругости для сосредоточенногс
температурного источника в пространстве, сб Тр Всес заочн машина
стр ин-т, 3 (1961)
Катасонов А М, Распространение сферических термовязко упругих возмуще
ний, Вестн МГУ, Сер механ -матем наук, 3 (1957)
Качанов Л М, Упруго-пластическое равновесие неравномерно нагретых толсто
стенных цилиндров, находящихся под действием внутреннего давления, Журн
техн физики, X (1940)
Качанов Л М, Некоторые вопросы разрушения в условиях ползучести, сб «Пол
зучесть и длительная прочность», Изд Сиб отд АН СССР, Новосибирск,
1963
Каханов Л П, Упруго пластичное равновесие равномерно Haipeioro тонкостей
ного цилиндра, ЖТФ, 10 (1940)
Квитка А Л , А г а р е в В А, Уманский Э С , К решению осесимметрич
ной задачи теории упругости методом электромоделирования в случае действия
центробежных сил и температурных полей, Изе Киевского политехи ин та, 1S
(1956)
Кильчинская Г А, О термопараметрическом резонансе гибких оболочек
в нестационарном температурном поле, сб «Тепловые напряжения в элементах
конструкций», вып 3, АН УССР, 1963
Кирицкий Г С, Расчет температурных напряжений в турбинных дисках.
Котлотурбостроение, 5 (1952)
Кирпичев В Л, Михеев М А, Эйгенсон ЛС, Теплопередача, Гос-
энергоиздат, 1941
К, л ы п и н А А , Определение напряжений в цилиндре при помощи эксперименталь-
ного измерения температуры, Теплоэнергетика, 1, 1957
Кляч к о С Д, Об определении напряжений для плоской задачи теории упругости
от стационарного температурного процесса в случае многосвязных областей, Изв
вузов, Строительство и архитектура, 3 (1959)
Клячко С Д, Об аналогии между температурной задачей и действием объемных
сил, Изв АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, 3 (1960)
Коваленко А Д, Расчет турбинных дисков на изгиб от неравномерного нагре-
ва, Информ материалы, Ин-т строит механики АН УССР, 8 (1952)
Коваленко А Д, Плиты и оболочки в роторах турбомашин, Изд АН УССР,
1955
Коваленко А Д, Некоторые задачи термоупругости в связи с тепловыми напря-
жениями в турбинных роторах, Изв АН СССР, ОТН, 10 (1958)
Коваленко А Д, Пологие оболочки вращения переменной толщины в простран-
ственном температурном поле, Прикладная механика, 6, 3 (1960)
Коваленко А Д, Тепловые напряжения в конической оболочке переменной
толщины при осесимметричном распределении температуры, сб «Тепловые
напряжения в элементах турбомашин», вып 1, АН УССР, 1961
Коваленко А Д, Обобщение некоторых вопросов теории расчета тепловых
напряжений в конических оболочках, сб «Тепловые напряжения в элементах
турбомашип», вып 2, АН УССР, 1962
Пополнительная библиография
491
Коваленко А. Д., Несимметричная деформация конических оболочек, обуслов-
ленная неравномерным нагревом, сб. «Тепловые напряжения в элементах кон-
струкций», вып. 3, АН УССР, 1963.
К о з а р о в М., Устойчивость ортотропных цилиндрических оболочек при темпера
турных воздействиях, Инж. журнал, 3, 3 (1963).
Комаров Г. Н., К о с т ю к 3. Д., У с т и н о в с к и й М. Б., Табиева Г. А.
Измерение температур и деформаций в диске средней толщины, сб. «Тепловые
напряжения в элементах турбомашин», вып. 2, АН УССР, 1962. '
Компанеец А. С., Остаточные напряжения в закаленных образцах цилиндрической
формы, Журнал техн, физики, IX (1939).
Кондратьев Е. Д., Задача о распределении остаточных напряжений в стальное
цилиндре при прогреве продольной полосы, Изв. вузов, Машиностроение, 5
(1958).
Коренев Б. Г., О стационарном температурном поле в тонкой пластинке и стер-
жне, лежащих на сплошном однородном основании, Докл. АН СССР, 107, 2
(1956).
К о р н и е н к о В. Т., Тепловые напряжения в круглой пластине переменной толщи-
ны при переменном модуле упругости, сб. «Тепловые напряжения в элементах
турбомашин», вып. 1, АН УССР, 1961.
Корниенко В. Т., Исследование тепловых напряжений в круглых пластинах
переменной толщины, автореф. канд. диссертации, АН УССР, Ин-т механики.
Киев, 1961.
Корниенко В. Т., Бобырь И. С., Электрическое моделирование осесиммет-
ричной задачи термоупругости, сб. «Тепловые напряжения в элементах кон-
струкций», вып. 3, АН УССР, 1963.
Космод амианский О. С., Термоупругая задача для цилиндра с полостями,
Прикл. механика, 6 (1962).
К о с т ю к А. Г., Температурное поле турбинного диска, Изв. АН СССР, ОТН, 6 (1954).
К о с т ю к А. Г., О температурных напряжениях в дисках турбин в условиях неуста-
новившегося теплового режима, Тр. Московск. энергетич. ин-та, ХХШ (1955).
К о с т ю к А. Г., К определению температурного поля и температурных напряжений
в турбинных дисках, Теплоэнергетика, 3 (1956).
К о с т ю к А. Г., Температурные поля и напряжения, Теплоэнергетика, 3 (1956).
К о с т ю к А. Г., Развитие упруго-пластических деформаций в плите при нестационар-
ном тепловом режиме, ПМТФ, 2 (1961).
К о с т ю к А. Г., Температурное поле и температурные напряжения в охлаждаемых
дисках газовых турбин при нестационарных тепловых режимах, Изв. АН СССР.
ОТН, Механика и машиностроение, 4 (1962).
К о с т ю к 3. Д., Экспериментальное исследование тепловых деформаций в моделях
дисков газовых турбин, Информация №26, Ин-т строит, механ. АН УССР, 1958
К о с т ю к 3. Д., Опыт измерения статических тепловых напряжений при неустано-
вившемся тепловом режиме, Проволочная тензометрия, Ленинградский дох
научно-технической пропаганды, вып. 3, 1959.
Крамеров А. Я., Фридман Я. Б..Иванов С. А., Герметические напря-
жения в реакторных конструкциях, Атомная энергия, 8, 2 (1960).
Красовицкий Р. В., Температурные напряжения в многослойных плитах
шарах и трубах при гармонических колебаниях температуры окружающей средь
диссертация, ВНИИ гидротехники, 1955.
К у б ы н и н И. Е., Механические напряжения в котельных трубах при высокой теп
ловой нагрузке и внутреннем давлении, Изв. Всесоюзн. теплотехн, ин-та, 11
(1935).
К у р ш и н Л. М., Устойчивость панелей крыла при нестационарном аэродинамичес
ком нагреве, Тр. конференции по теории пластин и оболочек, Казань, 1960.
К у р ш и н Л. М., Кузнецов А. П., Решение некоторых задач устойчивости пла
стин и оболочек в условиях ползучести по теории упрочнения, Журнал ПМТФ
4, 1960.
К у р ш и н Л. М., Устойчивость панелей крыла при нагреве, Доклады АН СССР
136, 2 (1960).
К у р ш и н Л. М., Об устойчивости стержней и пластин в условиях ползучести
Докл. АН СССР, 140, 3 (1961).
1/<2 32 Боли и Уэйиер
498
Дополнительная библиография
Кур ши н Л М , Устойчивость стержней в условиях ползучести, Журнал ПМТФ, (
(1961)
Куршин Л М, Об устойчивости стержней, пластин, оболочек в условиях ползу-
чести, Тр конференции по теории пластин и оболочек, Львов, 1961
Куршин Л М, К решению задач устойчивости пластин в условиях ползучести
по квазистатической теории, Журнал ПМТФ, 5 (1962)
Куршин Л М , Устойчивость пластинок в условиях ползучести, Журнал ПМТФ,
1, (1962)
Куршин Л М, Кузнецов А П, Устойчивость круговых цилиндрических
оболочек в условиях ползучести, Журнал ПМТФ, 3 (1962)
Куршин Л М,К выводу вариационных ур ний температурных напряжений, Изв
вузов, Авиационная техника, 1 (1963)
Куршин Л М , Об устойчивости при нагреве цилиндрической оболочки с холод-
ными «диафрагмами, сб. «Тепловые напряжения в элементах конструкций», 3,
АН УССР, 1963
Куршин Л М, Об одном возможном подходе х задаче устойчивости стержней в ус-
ловиях ползучести Ползучесть и длительная прочность Труды Всесоюзного
совещания по теории расчетов на ползучесть и длительную прочность, 1963
Лабунцов Д А, Номограммы для расчета температурного поля твердых тел
охлаждаемых (нагреваемых) в среде постоянной температурой, Теплоэнергети-
ка, 7 (1958)
Лебедев Н Н, Тепловые напряжения в круговом кольце, ПММ, 3 (1936)
Лебедев Н Н, Тепловые напряжения в теории упругости, ПММ, 2, 1 (1934)
Лебедев Н Н, Температурные напряжения в теории упругости, ГТТИ, 1937
Лейкин А С, Нестационарные термические упругопластические напряжения
в пологом цилиндре при экспоненциальном изменении во времени температуры
поверхностей, сб «Проблемы прочности в машиностроении», вып 9, АН СССР,
1962
Лившиц П 3,К расчету температурных напряжений в цилиндре конечной длины,
Энергомашиностроение, 5 (1961)
Лившиц П 3, О распределении напряжений по контактной поверхности при
горячей посадке диска на вал, Изе АН СССР, ОТН, 4 (1955)
Литвинов М М, Определение стационарных температурных полей в охлаждаемых
турбинных лопатках и дисках методом электроаналогии, Изе АН СССР, ОТН,
5 (1956)
Ломакин В А, Упру! о-пластическое равновесие шара в нестационарном темпе-
ратурном поле, ПММ, 19, 2 (1955)
Магницкий Ю А, К вопросу о влиянии перепада температур между образую-
щими котельного барабана на напряжения в нем, Теплоэнергетика, 3 (1960)
Майзель В М, Обобщение теоремы Бетти — Максвелла на случай термическогс
напряженного состояния и некоторые его приложения, Докл АН СССР, 2
(1941)
Майзель В М, Температурная задача теории упругости, Изд АН УССР, 1951.
Максименко Б И, Никитин К Н, Башкиров Л И, О термоупру-
гих напряжениях в стенках корпуса реактора с внутренними источниками теп-
ла при неустановившихся режимах, Атомная энергия, 10, 2 (1951)
Максимчук Б Я, Экспериментальное определение температур в цилиндре
поршневой расширительной машины, Тр Ин та использования газа в коммун,
х ее и пром АН УССР, 4 (1956)
Малашенко Л А, Влияние жесткости поперечных диафрагм на температурные
напряжения в тонкостенных системах (оболочки), Тр конференции по теории
пластин и оболочек, Ереван, 1964
Малинин Н Н, Расчет на ползучесть вращающихся неравномерно нагретых
дисков переменной толщины, сб «Вопросы прочности материалов и конструк-
ций,» АН СССР, 1959
Малинин Н Н, Прочность турбомашин, Машгиз, 1962
Марков А Н, Расчет температурных напряжений в цилиндрических оболочках,
Учен записки Горьк универ , 28 (1955)
Маслов Г Н, Задача теории упругости в термоупругом равновесии, Изв ВНИИ
гидротехники, XXIII (1938)
Дополнительная библиография
499-
Лас л о в Г. Н., Температурные напряжения и деформации бетонных массивов, Изв.
ВНИИ гидротехники, XXIII (1938).
Маслов Г. Н., Термонапряженное состояние в бетонных массивах с учетом ползу-
чести бетона, Изв. НИИГ, 28 (1941).
Маховиков В. И., Об определении температурных напряжений в цилиндре,
Инж.-физ. журнал, 2, 12 (1959).
Маховиков В. И., Задачи теплопроводности и термоупругости плоскости с бес-
конечным числом групп отверстий, Инж.-физ. журнал, 4, 1 (1961).
Маховиков В. И., Температурная задача теории упругости для плиты, Допов1дГ
АН УССР, 9 (1962).
Маховиков В. И., Одна задача термоупругости для плиты, Инж.-физ.3 журнал,
3 (1962).
Мегревитинов А. Д., Расчет напряжений в круговой арке под воздействием
нагрузки и температуры, Изв. НИТИ, XXII (1938).
М е л а н Э., П а р к у с Г., Термоупругие напряжения, вызываемые стационарными
температурными полями, Физматгиз, 1958.
Молчанов Е. И., К вопросу о термических напряжениях в дисках, Теплоэнерге-
тика, 8 (1955).
Молчанов Е. Н., Расчет температурных полей и напряжений в лопатках газовой
турбины, Электромашиностроение, 10 (1960).
Молчанов Е. И., К вопросу о термической усталости, сб. «Тепловые напряжения
в элементах турбомашин», вып. 1, АН УССР, 1961.
Морозов Е. М., О приближенной оценке температурных напряжений второго рода
Изв. вузов, Машиностроение, 9 (1960).
Морозов Е. М., Приближенный расчет термо-пластических напряжений в трубе,
Изв. вузов, Машиностроение, 9 (1961).
Москвитин В. В., Температурные напряжения вследствие внутреннего трения
материала, Изв. вузов, Физика, 6 (1960).
Москвитин В. В., О приспособляемости упруго-пластических систем, Изв. АН
СССР, ОТН, Механика и машиностроение, 5 (1960).
Москвитин В. В., Температурное поле циклически деформируемой упругопла-
стической среды, Инж. журнал, 3, 2 (1963).
Мотовиловец И. А., Решение задачи о нестационарном температурном поле
пластины при конвективном теплообмене на ее боковых поверхностях, сб. «Теп-
ловые напряжения в элементах турбомашин», вып. 1, АН УССР, 1961.
Мотовиловец И. А., Тепловые напряжения в диске при переменной по толщине
температуре, сб. «Тепловые напряжения в элементах турбомашин», вып. 2,
АН УССР, 1962.
Мотовиловец И. А., Температурное поле и тепловые напряжения в обогреваемой
цилиндрической оболочке при переменном уровне жидкости, сб. «Тепловые
напряжения в элементах конструкций», вып. 3, АН УССР, 1963.
Мотовиловец И. А., Шевченко Ю. Н., Упруго-пластическое напряжен-
ное состояние пластинок, находящихся в пространственном температурном
поле, Тр. конференции по теории пластин и оболочек, Ереван, 1964.
Мусхелишвили Н. И., О тепловых напряжениях в плоской задаче теория
упругости, Изв. электротехн. ин-та, XIII (1916).
Му х адзе М. Г., Температурные напряжения в тонких плитах, диссертация Груз,
политехи, ин-та, Тбилиси, 1954.
Лучник Г. Ф., Новый графо-аналитический метод расчета температур, Теплоэнер-
гетика, 6 (1956).
Найдич И. М., Температурные напряжения в толстостенных цилиндрических
оболочках, сб. «Исследование теплохимических аппаратов», Химиздат, 1951.
Н а п о р о ж н ы й В. С., Екеменок И. П., Температурно-усадочные напряже-
ния в теле массивной бетонной плиты с учетом ползучести, Изд. Мин. гор.
и сольск. стр-ва УССР, 1957.
Немировский Ю. В., Напряжения в неравномерно нагретых дисках за преде-
лом упругости, ПМТФ, 1 (1960).
Нехедзи Е Ю.,Тисенко Е. Г., Тензометры для измерения статических дефор-
маций до температуры 450—500°, Заводская лаборатория, 8 (1957).
32*
500
Дополнительная библиография
Нов ацкий В., Напряженное состояние в упругом пространстве и полупростран-
стве, вызванное действием мгновенного источника тепла, Прикл. механ., 2
(1957).
Новации» В., О некоторых пространственных задачах термоупругости, ПММ.
23, 3 (1959).
Нов ацкий В., О некоторых динамических задачах теории термоупругости, сб
«Пробл. механики сплошн. среды», АН СССР, 1961.
Нов ацкий В., Вопросы термоупругости, Изд. АН СССР, 1962.
Огибалов П. М., Деформация трубы под действием внутреннего давления при
переменной температуре, Инж. сб., 20 (1954).
Одинг И. А., К о с т о ч к и н Ю. В., Деформация и разрушение при термической
усталости, Металловедение и термообработка металлов, 4 (1960).
Павлов П. М., Прибор для определения модуля упругости (металлов и сплавов'
при различных температурах, Заводская лаборатория, 10 (1955).
Павловский Г. И., Шевелев А. А., Нагрев тел с учетом температурные
напряжений, Энергетика, 7 (1960).
Панарин Н. Я., Расчет облицовок тоннеля под воздействием температуры
Изв. НИТИ, XXIII (1938).
Панарин Н. Я., Температурные напряжения в бетоне с учетом ползучести
Тр. Ленингр. Инж-строит. ин-та, 23 (1956).
Панарин Н. Я-, Температурные напряжения в арках при нестационарном поток(
тепла, Тр. Ленингр. инж-строит. ин-та, 26 (1957).
Панасюк В. В., П о д с т р и г а ч Я-С., Ярема С. Я., Температурное напря-
жение в цилиндрической оболочке, Докл. АН УССР, 3 (1955).
Паиасюк В. В..Подстригая Я. С., Ярема С. Я-, Температурные напря-
жения в стенках барабана котлов высокого давления, Изд. АН УССР, 4 (1956).
Папкович П. Ф., Общий интеграл тепловых напряжений, ПММ, Новая серия,
1, 1 (1937).
П а р к у с Г., Неустановившиеся температурные напряжения, Физматгиз, 1963.
Пастушихин В. Н., Температурные напряжения в сферических оболочках
постоянной толщины, Научн. докл. Высш, школы, Строительство, 4 (1958).
Пинский М. Г., Изгиб плиты, опирающейся на упругие двутавровые балки при
нагреве, Изв. Томского политехи, ин-та, 85 (1957).
Писаревский М. М., Температурная зависимость декремента колебаний и мо-
дуля упругости некоторых сталей, Вестник машиностроения, 8 (1954).
«Пластичность и термопластичность», ИЛ, 1962.
Плетникова Е. Д., Нестационарное температурное поле системы стержней,
сходящихся в одной точке, сб. «Тепловые напряжения в элементах турбомашин»,
вып. 1, АН УССР, 1961.
Плоткин Е. Р., Молчанов Е. И., Температурные напряжения в турбинной
лопатке при колебаниях температуры газа, сб. «Тепловые напряжения в эле-
ментах конструкций», вып. 3, АН УССР, 1963.
Плоткин Е. Р., Молчанов Е. И., Колебания температуры и температурных
напряжений в турбинной лопатке при периодическом изменении температуры
газа, Инж.-физ. ж., 6, 2 (1963).
Плоткин Е. Р., Молчанов Е. И., Экспериментальное исследование тем-
пературного поля и оценка напряженного состояния лопаток при переходных
режимах действующей газотурбинной установки, сб. «Тепловые напряжения
в элементах конструкций», вып. 3, АН УССР, 1963.
Плотников М. М., О теплопроводности и температурных наприжениях в одно-
родных анизотропных цилиндрах, Материалы научн. конференц. Воронежск.
с.-х. ин-та, Воронеж, 1961.
Пляцко Г. В., Напряжения в полом цилиндре, вызванные неравномерным нагрева-
нием в направлении оси, Изв. АН СССР, ОТН, Механ. и машиностр., 4 (1960).
Пляцко Г. В., Температурные напряжения в полом цилиндре с учетом изменения
основных коэффициентов, Научн. записки Ин-та машиновед, и автом. АН УССР,
7, 6 (1960).
Поварницын М. С., Расчет температурных полей и напряжений в двутавровом
элементе с учетом контактных сопротивлений, ГКАТ, 1962.
Дополнительная библиография
50
Поварницын М. С., К расчету температурного поля и напряжений в прямо
угольной тонкой пластине при неоднородном нагреве, ГКАТ, 1963.
Подвальный М. А., О температурных деформациях и напряжениях в железо
бетоне, вызванных несоответствием теплофизических свойств стали и бетона
Инж.-физ. ж., 2 (1962).
Подстригач Я. С., Температурное поле в тонких оболочках, ДАН УССР, 1
(1958).
Подстригач Я. С., О влиянии термоупругого рассеяния на напряженное состоя'
ние деформируемого тела, Изв. АН СССР, ОТК, 4 (1960).
Подстригач Я. С., Приближенное определение нестационарных температурные
полей в тонких пластинках и оболочках, сб. «Тепловые напряжения в элемента)
турбомашин», вып. 1, АН УССР, 1961.
Подстригач, Я. С., О диффузионной релаксации тепловых напряжений, сб
«Тепловые напряжения в элементах турбомашин», вып. 2, АН УССР, 1962
Подстригач Я. С, Некоторые общие вопросы теории термоупругости и тепло'
проводности тонких оболочек, Тр. Всесоюзный конференции по теории пластиь
и оболочек, Львов, Изд. АН УССР, 1962.
Подстригач Я. С., Бурак Я. И., Об особых решениях динамической зада
чи термоупругости для бесконечной среды, Прикл. механ., 8, 3 (1962).
Подстригач Я. С., Кр у чкевич В. Ю., Вынужденные термоупругие коле
бания в цилиндрических и сферических телах, Научн. труды ин-та машиновед
и автом. АН УССР, Сер. машиноведения, 9 (1962).
Подстригач Я- С., Кручкевич В. Ю., О влиянии инерционных сил на напря
женное состояние, обусловленное действием периодического во времени темпе
ратурного поля, сб. «Тепловые напряжения в элементах турбомашин», вып. 2
АН УССР, 1962.
Подстригач Я. С., П л я ц к о Г. В., Влияние теплоотдачи на температурные
напряжения в упругой полосе при нестационарном тепловом режиме, Научн
записки Ин-та машиновед, и автом. АН УССР, 6, 5 (1957).
Подстригач Я- С., Чаевский М. И., О температурных напряжениях
обусловленных внутренним рассеянием энергии, и их влияние на усталостнук
прочность деталей, Изв. АН СССР, РТК, Механика и машиностроение, 1 (1959)
Подстригач Я. С., Швец Р. Н., Осесимметричное напряженное состояние
в бесконечной цилиндрической оболочке, вызванное движущимся температур
ным полем, Тр. конференции по теории пластин и одолочек, Львов, Изд. АТ
УССР, 1962.
Подстригач Я. С., Ярема С. Я., Температурные напряжения в оболочках
Киев, Изд. АН УССР, 1961.
Померенцев А. А., Изгиб рельса при остывании с высоких температур, Изв. Ah
СССР, 2 (1941).
Пономарев С. Д., Графический расчет на прочность толстостенных труб с уче
том их осесимметричного нагрева, Вест. инж. и техн., 1 (1952).
Пономарев С. Д., Бидерман В. Л., Лихарев К. К., Мали
нин Н. Н., Федосьев В. К., Основы современных методов расчета н;
прочность в машиностроении, I, гл. XV, Машгиз, 1950.
Потемкина А. М., Шварцман П. И., Муслин Е. С., Об опасносп
разрушения дисков турбин на режиме «обратного» температурного градиента
сб. «Тепловые напряжения в элементах турбомашин», вып. 1, АН УССР, 1961
Прагер В., Приспособляемость в упруго-пластической среде, подвергнутой цик
лом нагрузки и температуры, Механика, 5 (51) (1958).
Прагер В., Расчет конструкций за пределами упругости при циклических темпе
ратурных воздействиях, Механика, 3 (43) (1957). «Проблемы высоких темпе-
ратур в авиационных конструкциях», под ред. Г. В. Ужика, ИЛ, 1961.
Пронкин А. Ф., Расчет на прочность и профилирование неравномерно нагреты?
дисков минимального веса с учетом пластичности и ползучести по принцип)
предельных напряжений, сб. «Тепловые напряжения в элементах турбомашин»
вып. 1, АН УССР, 1961.
Пронкин А. Ф., Метод расчета неравномерно нагретых вращающихся дисков н;
прочность с учетом изгиба в состоянии пластичности и ползучести, сб. «Ползу
честь и длительная прочность», Изд. Сиб. отд. АН СССР, Новосибирск, 1963
502
Дополнительная библиография
«Прочность и деформация в неравномерных температурных полях», ред. Я. Б. Фрид
мана, Госатомиздат, М., 1962.
П ы х т и н Ю. А., Роизи н В. Д., Измерение температурных напряжений, Изв
вузов, Авиатехника, 2 (1959).
Работнов Ю. Н., Распределение температур в многосвязной цилиндрическо!
оболочке, Вопр. прикл. матем и мех.., 2 (1956).
Работнов Ю. Н„ О некоторых возможностях описания неустановившейся ползу
чести с приложением к исследованию ползучести роторов, Изв. АН СССР
ОТН, 5 (1957).
Розенблюм В. И., О приспособляемости неравномерно нагретых упругопласти
ческих тел, Изв. АН СССР, ОТН, 7 (1957).
Розенблюм В. И., К теории приспособляемости упруго-пластических тел, Изв
АН СССР, ОТН, 6 (1958).
Розенблюм В. И., Осесимметричная ползучесть цилиндрических тел при измене
нии температуры вдоль оси, ПМТФ, 6 (1961).
Розовский М. И., Изгиб шин при охлаждении, Бюлл. АН УССР, Техн, науки. !
(1941).
Розовский М. И., Плоская деформация при упругом последействии и теплово?
эффекте, Изв. АН УССР, 58 (1947).
Розовский М. И., Температурные напряжения при наличии последействий
Журнал техн, физики, XIX, 6 (1949).
Розовский М. И., Напряжения в симметрично нагретой сферической оболочке
механические свойства которой зависят от времени и температуры, Докл. At
СССР, 120, 2 (1958).
Рябов А. Ф., Определение температурных напряжений и деформаций в пластин
ках методом перемещений, Диев, 1958.
Рябов А. Ф., Исследование температурных напряжений в пластинках, автореф
канд. диссерт., Харьковск. Инж-.строит, ин-т, Харьков, 1960.
Савин Г. М., Леонов М. Я., Подстригач Я-С., О возможности созда-
ния температурных напряжений в деформируемом теле механическим способом
Прикл. механ., 6, 4 (1960).
Савченко В. И., Применение метода фотоупругости для определения тепловы?
напряжений в плоских моделях, сб. «Тепловые напряжения в элементах турбо
машин», вып. I, АН УССР, 1961.
Савченко В. И., Определение тепловых напряжений в многосвязных плоски?
моделях, Прикладная механика, 7, 2 (1961).
Савченко В. И., Исследование тепловых напряжений в элементах турбомашиь
методом фотоупругости, сб. «Тепловые напряжения в элементах турбомашин»
вып. 2, АН УССР, 1962.
Самойлович Ю. А., Температурные напряжения в пластине и цилиндре при и?
нагреве излучением и конвекцией, Инж.-физ. ж., 6, 8 (1963).
Сандер А. А., Температурное поле ряда трубопроводов, заложенных в массиве
Изв. вузов. Строительство и архитектура, 1 (1958).
Семенов Е. В., Тензометрирование статических деформаций при переменном тем
пературном поле, Заводская лаборатория, XXII, 5 (1956).
Сервисен С. В., Котов П. И., Об испытании при циклическом тепловол
нагружении варьируемой жесткости в связи с исследованием термической уста
лости, Заводская лаборатория, 10 (1959).
Смирнов М.. С., Температурное поле в трехслойной стенке при граничном уело
вии четвертого рода, Тр. МТИ пищепрома, 8 (1957).
Соболев С. Л., Мухина Г. В., Определение термических напряжений в сре
де с пустотами, сб. «Атомная энергия», Энергоиздат, 1958.
Соболевский В. М., Упругое и упруго-пластическое напряженное состоянш
круговой цилиндрической трубы в упругой среде под действием внутреннегс
давления, осевой силы и радиального теплового потока, Уч. записки Белорусок
ин-та нар. хоз-ва, 3 (1957).
Соболевский В. Н., Упругое и упруго-пластическое напряженное состоянш
полого шара в упругой среде под действием внутреннего давления и радиальном
температурного потока, Изв. вузов, Энергетика, 19 (1958).
Дополнительная библиография
503
Соболевский В. М., Упругое и упруго-пластическое напряженное состояние
неравномерно нагретой вращающейся круговой цилиндрической трубы,
Инж.-физ. ж., 3 (1959).
Соболевский В. М., Упругое напряженное состояние анизотропного полого
шара под действием внутреннего и внешнего давлений и радиального теплового
потока, Докл. АН БССР, 2, 4 (1958).
Соколов В. И., Исследование напряжений в наружных элементах судовых огне-
турбинных котлов, диссертация, Горьк. ин-т инж. водного транспорта, 1954.
Соколов В. И., Температурные напряжения и нагрузки от внутреннего давления
в цилиндрических оболочках, связанных между собой, Тр. Горьков, ин-та инж.
водного транспорта, XI (1958).
Соснин О. В., Неустановившаяся ползучесть вращающихся дисков, сб. «Ползу-
честь и длительная прочность», Изд. Сиб. отд. АН СССР, Новосибирск,
1963.
Суворов Ю. ГТ., Распространение температурных напряжений в упруго-пласти-
ческом стержне, ПММ, 27, 2 (1963).
Суслов В. П., Приближенный метод расчета прочности вращающегося диска
с учетом температурных напряжений, Тр. Николаев, ко раб лес троит, ин-та
18, (1959).
Т а й ц Н. Ю„ К теории температурных напряжений, Тр. Днепропетров. металлург,
ин-та, 33 (1955).
Талыпов Г. Б., Приближенная теория сварочных напряжений, Изд. ЛГУ, 1957.
Температурные напряжения в тонкостенных конструкциях, под ред. М. Я. Лео-
нова, Изд. АН УССР, Киев, 1959.
Тепловые напряжения в элементах турбомашин, Доклады научного совещания,
Изд. АН УССР, Киев, вып. 1, 1961; 2, 1962; 3, 1963.
Тимошенко С. П., Пластинки и оболочки, гл. V и VI, Гостехиздат, 1948.
Тимошенко С. П., Теория упругости, гл. 7 и И, ГТТИ, 1934.
Т з я н Г., Чень К., Закон подобия для нагруженных быстро нагреваемых тонко-
стенных цилиндров, Механика, 2 (18), 1953.
Тихонов Н. И., Данилов Ю. И., К вопросу исследования термостойкости
в условиях переменной теплоотдачи, сб. «Тепловые напряжения в элементах
конструкций», вып, 3, АН УССР, 1963.
Толкачев В. М., Приспособляемость балки, подверженной циклам нагрузки
и температуры, ГКАТ, 1962.
Третьяченко Г. Н., Нестационарные температурные напряжения в трехслойных
пластинах, сб. «Тепловые напряжения в элементах конструкций», вып. 3,
АН УССР, 1963.
Уздалев А. И., Температурные напряжения в многослойном анизотропном цилинд-
ре, Изв. вузов, Строительство и архитектура, 1 (1960).
Уздалев А. И., Нестационарные температурные напряжения в анизотропном
цилиндре, Изв. вузов., Авиатехника, 3, (1962).
Уздалев А. И., Плоская задача для анизотропного тела, Инж. журнал, 2, 2
(1962).
Уздалев А. И., Концентрация температурных напряжений около эллиптического
отверстия в ортотропной пластине под влиянием теплового потока, Изв. АН
СССР, ОТК, Механика и машиностроение, 5 (1963).
Уздалев А. И., Плоская задача термоупругости для тела, обладающего тепловой
и упругой цилиндрической анизотропией, Изв. вузов, Строительство и архитек-
тура, 1 (1963).
Уздалев А. И., Температурные напряжения в анизотропном круговом цилиндри-
ческом своде, Тр. конференции по теории пластин и оболочек, Ереван, 1964.
У л и т к о А. Ф., Стационарная задача теплопроводности для конуса, сб. «Тепловые
напряжения в элементах турбомашин», вып. 2, АН УССР, 1962.
Устинов В. В., Поле температур и напряжений при разрушении материалов
посредством теплового пробоя. Инж.-физ. ж., 5, 10 (1962).
Федоров В. И., Швец И. Т., Шельмецко Н. Н., Исследования распреде-
ления температур в некоторых конструкциях роторов турбин при нестационар-
ном теплообмене, Теплоэнергетика, 11 (1955).
504
Дополнительная библиография
Федоров В. И., Швец И., Шел ьменко Н. Н., Опытные исследовани;
распределения температур в роторе барабанной конструкции, Тр. ин-та тепло
энергетики, АН УССР, 13 (1956).
Феодосьев В. И., Прочность теплонапряженных узлов жидкостных ракетны:
двигателей, Оборонгиз, 1963.
Фильштинский Л. А., Задача термоупругости и термопроводности для плоско
сти, ослабленной двоякопериодической системой одинаковых отверстий, Тр
4-го научного совещания по тепловым напряжениям, Киев, 1963.
Финкельштейн Б. Н., Условия возникновения пластической деформацш
в телах простейшей формы, резко охлажденных с поверхности, Журнал техн
физики, XVIII, 8 (1948).
Фомин В. Л., Упруго-пластическое равновесие с круговым вырезом при наличш
стационарного температурного поля, Учен, записки Ленингр. ун-та, Серия матем
наук, 280, 35 (1960).
Фомин В. Л., Упруго-пластическое равновесие неравномерно обогреваемой трубг
под действием внутреннего давления, Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машино
строение, 4 (1960).
Фомин В. Л., Упруго-пластическое равновесие полого цилиндра под действие»
осесимметричного температурного поля, Изв. АН СССР, ОТН, Механика и ма
шиностроение, 5 (1961).
Фомин В. Л., О моделировании температурных напряжений в плоской упруго!
задаче, Сб. работ по теории упругости и пластичности, 1, Ленингр. ун-т, 183—
185, 1961.
Фомин В. Л., О приспособляемости упруго-пластических труб при воздействш
теплового поля и равномерного внешнего давления, Изв. АН СССР, ОТН
Механика и машиностроение, 1 (1962).
Фомин В. Л., Плоская деформация упрочняющихся полых цилиндров под действие»
внутреннего давления и стационарного теплового поля, Исследование по упру
гости и пластичности, Ленингр. гос. ин-т, 1964.
Фридман Л. И., Температурные напряжения у эллиптических отверстий, Изв
вузов, Авиатехника, 1 (1959).
Фридман Л. И., К вопросу об исследовании повторных иагревов и охлаждений
сб. «Тепловые напряжения в элементах турбомашин», вып. 2, АН УССР, 1962
Фридман Л. И., Изменение пластических деформаций при многократных неравно
мерных нагревах, сб. «Тепловые напряжения в элементах конструкций», вып. 3
АН УССР, 1963.
Фридман Я. Б. и др., Некоторые вопросы термической прочности в реакторострое
нии, Атомная энергия, 10, 6 (1961).
Христиченко П. И., О нестационарном температурном поле и термоупруги;
напряжениях в пластине, Инж.-физ. ж., 6 (1962).
Ц а й И. П., Метод Лейбензона в теории температурного напряжения, Изв. АН Уз
ССР, Сер. физ.-мат. наук, 1 (1963).
Черниговская Е. И., Температурные напряжения и температурные поля н;
упругом основании, автореф. канд. диссерт., ЦНИИСК, М., 1959.
Черниговская Е. И., Температурные напряжения в балках и круглых плитах
лежащих на упругом основании, Научн. докл. высш, школы, Строительство,
(1959).
Черниговская Е. И., Температурные напряжения в плите, лежащей на упру
гом основании, Строит, механика и расчет сооружений, 6 (1959).
Черниговская Е. И., О расчете балок и плит на упругом основании при тем
пературных воздействиях с учетом явления отрыва, Изв. АН СССР, ОТН, Меха
ника и машиностроение, 1 (1959).
Черниговская Е. И., Температурные напряжения в круглой плите, лежаще!
на упругом основании, вызванные стационарными температурными полями, Тр
ЦНИИСК Акад, строит, и архитект., 2 (1961).
Ч е р н и н В. М., Термоупругие напряжения в лопатках радиальных газовых тур
бин, сб. «Тепловые напряжения в элементах конструкций, вып. 3, АН УССР
1963.
Ч е ч е А., Применение вариационного метода В. 3. Власова к решению некоторых
практических задач термоупругости, диссертация, Белорусск. политехи, ин-т
1954.
Дополнительная библиография
505
Черный И. А., Распределение температуры, тепловой нагрузки, термических
напряжений в радиальных трубах трубчатых печей, ЖТФ, VIII, 9 (1938).
Чилингаришвили Г. И., Исследование термоупорного равновесия круглого
цилиндра графо-аналитическим способом, Изв. Тбилис. НИИ соор, и гидро-
энергетики, 9 (1955).
Чилингаришвили Г. И., Графо-аналитический способ решения плоской осе-
симметричной задачи термоупругого равновесия, Изв. ВНИИ гидротехники,
57, (1957).
Чирков Я. Н., Практический способ определения температурных напряжений
в пластинке, заделанной по одной стороне, Тр. Ленингр. политехи, ин-та, 208,
(1960).
Шаповалов Л. А., Влияние неравномерного нагрева на устойчивость стального
стержня, ПММ, 22, 1 (1958).
Шаповалов Л. А, Уравнения термоупругости и устойчивости при действии
внешних сил и температурных напряжений, автореферат канд. диссерт., МИФИ,
1960.
Шачнев В. А., Вариационное решение осесимметричной задачи термоупругости,
ПММ, 26, 6 (1962).
Шачнев В. А., Об осесимметричной задаче термоупругости, Изв. АН СССР, ОТН,
Механика и машиностроение, 5 (1962).
Шварцман С. М., Расчет прочности элементов котельных агрегатов, Госэнерго-
издат, 1957.
Швец И. Т., Геращенко О. А., Д ы б а н Е. П., Исследование температур-
ных полей в зоне хвостовиков рабочих лопаток турбин на электрических моде-
лям, Теплоэнергетика, 7 (1957).
Швец Р. Н., Некоторые одномерные нестационарные задачи термоупругости, Научн.
записки Ин-та машинов. и авто.и. АН УССР, 9, 8 (1962).
Шевелев П. А., Температурные напряжения и оптимальные условия нагревания,
Инж.-физ. ж., 4, 4 (1961).
Шевченко Ю. А., Температурные напряжения в дисках, находящихся в упруго-
пластическом напряженном состоянии, Инф. мат-лы Ин-та строит, механики
АН УССР, 7 (1952)
Шевченко Ю. Н., Температурные напряжения в толстостенном цилиндре при
изменении модуля упругости вдоль его образующей, Прикл. механ., 4, 4 (1958).
Шевченко Ю. Н., Осесимметричная задача о тепловых напряжениях при перемен-
ном модуле упругости, автореферат, канд. диссерт., Ин-т строит, механики, АН
УССР, Киев, 1958.
Шевченко Ю. М., Тепловые напряжения в дисках, находящихся в упруго-плас-
тическом напряженном состоянии при степенном законе пластичности, ДАН
УССР, 1 (1960).
Шевченко Ю. Н., Напряженное состояние симметрично нагруженного упругого
кругового цилиндра при переменном модуле упругости, сб. «Задачи термоупру-
гости в энергомашиностроении», АН УССР, 1960.
Шевченко Ю. Н., Изгиб диска при неравномерном нагреве и степенном условии
пластичности с упрочнением, сб. «Тепловые напряжения в элементах турбо-
машин», вып. 1, АН УССР, 1961.
Шевченко Ю. Н. «Применение теоремы о взаимности работ к исследованию упру-
го-пластических задач, сб. «Тепловые напряжения в элементах турбомашин»,
вып. 2. АН УССР, 1962.
Шевченко Ю. Н., Напряженное состояние быстровращающихся неравномерно
нагретых дисков при степенном условии пластичности с упрочнением, сб. «Тепло-
вые напряжения в элементах турбомашин», вып. 2, АН УССР, 1962.
Шевченко Ю. Н., Упруго-пластическое напряженное состояние диска, находя-
щегося в осесимметричном температурном поле, сб. «Тепловые напряжения
в элементах конструкций», вып. 3, АН УССР, 1963.
Шестериков С. А., Температурные напряжения в упругом диске постоянной
толщины, Изв. API СССР, ОТН, Механика и машиностроение, 5 (1961).
Шибаев. П. Я., Ц а й И. П., Разделение цилиндрических координат в термоэлас-
тичных уравнениях Дюгамеля — Неймана, Уч. зап. Казахск. гос. пед. ин-та,
22, 1 (1962).
33 Болч и Уэйнер
эио
дополнительная оиолиограашя
Ш о р р Б Ф , Влияние неравномерного нагрева в условиях ползучести на изменение
напряженною состояния, ДАН СССР, 123, 5 (1958)
Ш о р р Б Ф , К расчету на неустановившуюся ползучесть неравномерно нагреты?
стержней произвольного поперечного сечения, Изв АН СССР, ОТН, Механике
и машиностроение, 1 (1959)
Шорр Б Ф , Ктеории закрученных неравномерно нагретых стержней, Изв АН СССР
ОТН, Механика и машиностроение, 1 (1960)
Шорр Б Ф , К расчету неравномерно нагретых цилиндров в упругопластическог
области, Изв АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, 6 (1960)
Шорр Б Ф, Нафиков Р М, Расчеты на циклическую ползучесть, сб «Пол
зучесть и длительная прочность», Изв Сиб отд АН СССР, Новосибирск, 1963
Шугалов А И, Применение принципа взаимности к решению некоторых темпе-
ратурных задач теории упругости, Научно техн информ бюл Ленингр поли-
техн ин та, 8 (1957)
Шугалов А И, Некоторые исследования температурной задачи теории упруго-
сти, автореферат канд диссерт , Ленингр инж строит институт, 1958
Шурагин А А, Тепловые напряжения в цилиндре при законе упрочнения, зави-
сящем от температуры, Сб Уральского политехи ин та им Кирова, 47(1953)
Эигенсон Л С, Двумерное температурное поле в плоском ребре конечной высо-
ты Тр ВЗЭИ, 2 (1953)
Яковлев Ю В, Исследование жесткости гусго перфорированных плит, Гр.
Харьк авиац ин та, 15 (1954)
Яковлева М В, Построение темпера1урного поля методом конечных разностей,
Гр Куйбышевского инж строит ин та, 5 (1958)
Ярема С Я , Анализ температурных напряжении в цилиндрической части бараба
на котлов, Сб , «Вопросы машиноведения и прочности в машиностроении», 5,
Изд АН УССР, 1957 См там же статью «Температурная задача в теории обо
лочек»
Ярема С Я , Температурные напряжения в барабанах коглов высокого давления,
диссертация, Ин т строит механики АН УССР, 1957
Ярема С Я , Фундаментальное решение температурной задачи для цилиндриче
ской оболочки сб «Тепловые напряжения в элементах турбомашин», вып 1,
АН УССР. 1961
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ1)
Алек 353
Алманси 265
Алфрей 421, 447
Амброзио 327
Аналайкер 385
Андерсен 327
Андраде 437, 448.
Аргирис 235, 326
Ариенти 358
Вильямс 327, 386
Власов 363
Вольтерра 78, 88
Востин 385
Бакленд 146
Барбер 306, 327
Барзели 146, 328
Баркер 264
Баррекет 306, 326
Баш 265
Бейкер 210
Бергман 163, 164, 172
Беркс 489
Бетти 265
Био 34, 42, 116, 119, 198, 210,
233, 235, 360, 384. 385
Бисплингхофф 385, 386
Биценко 370, 385
Бланд 488
Блейх 302, 306, 354, .384,' 420, 449
Блэксток 327
Боли 23, 25, 41, 69, 164, 172, 205, 235.
283, 288, 305, 325, 326, 327, 384, 385, 489
Борн 306
Брац 489
Бруно 146
Брюль 447
Бубнов 187
Будянский 385
Букдал 27, 42
Гейтвуд 118, 264, 265, 327
Гильберт 119
Гольдберг 327
Госард 385
Граммель 370, 385, 419
Грин 210, 390, 420
Грунберг 265
Гудмэн 172
Гудьер 45, 68, 73, 213, 215, 220, 228
237, 262, 265, 286, 302, 360, 384
489
Гурса 209
Вагнер 360, 363, 384
Ванг 420
Ван-дер-Нейт
Ван-дер-Поль
Вейгл 449
Вейлс 146
Венинг 265
Венкатраман
Вилбур 326
354, 367, 384
448
448
Даль 264
Даниловская 68
Девейкис 327
Де-Вёбек 448
Де-Гроот 42
Демирдаш 326
Дересевич 68, 69
Джерард 119, 145, 146
Джефрис 11, 33, 41
Диллон 449
Дин 489
Динник 264
Доннел 305, 353
Дорн 448
Доугаль 75
Драйден 385
Дрейк 136, 146
Друккер 401, 420
Дугунджи 385
Дулис 420
Дьюберг 306, 385
Дьюк 69
Дюгамель 34, 42, 210
Дюрам 327
Егер 23, 143, 149, 150, 152, 155, 156
159, 173, 179, 180, 185, 264, 489
J) В указатель не включены фамилии авторов из дополнительной библиогра
фии, помещенной в конце книги и составленной в алфавитном порядке --Прим, ред
33=
OU иказитель
)8 Имени-----— —----
(евре 209 Лублинер 432
Лундквист 326 Лю 146 Ляв 75, 107, 213, 220, 223, 237, 262
еевальд 305 еманский 42 286, 335, 489
енер 69 ингер 385 оммерфельд 209 Мазур 385 Мак-Адамс 146
Мак-Витти 385 Мак-Ком 449
[гначек 69 Мак-Кормик 81, 118
1май 146 Мар 327
[симото 327 Маргерре 352, 363, 385 Маркус 352
Канторович 197 Каплан 210 'Каппу с '.ЙэЗ, Жз Матцумура 264 Мейер 326 Мейсон 69 Меканик 384, 397, 420
Каратеодори 27, 42 Мелан 253, 264, 322
Карлсон 447, 449 Мизес 304. 307. 385. 412. 420
Карман 487 Карслоу 23, 141, 143, 150, 152, 159, 173, 179, 180, 185, 205, 155, 208, Мб, Милн 194, 210 Миндлин 68, 69, 97, 118, 306 Миннинг 449
Кауфман 326 Качанов 488 Кейи 327 Келлог 69, 163, 164, 287, 306 Кельвин 75 Кемпбелл 168, 185 Кемпнер 306, 322, 326, 433, Кент 265 Кесли 235 Мичел 97, 118 Молбеч 340, 352
448 Морроу 378 Мотхаусер 327 Мура 58, 68, 69, 235, 488 Мусхелишвили 104, 116, 118, Мэннинг 447, 449 Мэнсон 326 119
Кинан 42 Кирхгофф 68, 277, 305, 325 Надаи 353, 438, 448
Клебш 277, 305 Нардо 326
Клейн 326 Нейле 325
Кобер 210 Несс 448
Койтер 413, 420 Новацкий 68
Кокер 119 Новожилов 13, 41
Корн 69 Котанчик 327 Коттрелл 389, 419 Норрис 326 Ньюэлл 325
Крол 326 Кросс 321, 324, 326 Одквист 449
Крут 326 Оливер 327
Крылов 187 Онат 448
Кувенховен 146 Онзагер 42
Куинни 420 Осборн 326
Кульбер 146 Осгут 449
Кун 306 Кэ 397, 420 Лакс 420 Паркес 327 Паркус 253, 264, 265, 322 Пател 448, 449
Ламб 68, 69 Пашкис 210, 264
Ландау 172, 264, 488 Пелл 352
Лаплас 68 Пиппард 42
Леви 322, 326 Пири 305
Ледерман 385 Пол 326
Леон 265 Польгаузеч 146
-Лессен 69 Порицкии 246
Ли 353, 447 Либов 442, 448, 449 Лиз 264 Поттер 146 Прагер 354, 384, 398, 403, Прайд 327 419, 42(
Ломакин 488 Пригожин 42
Лоренц 264 Лориа 327 Пшеменецкии 352
Именной указатель
509
Работнов 440
Райдер 146
Рамберт 449
Рассел 447
Рейсснер 41, 306, 327
Ривлин 390, 420
Рид 389, 419, 447
Робертс 385
Розеноу 327
Росс 327
Сакс 488
Салерно 304, 306
Сальвадори 97, 118
Сатт&в m, 172
Саутвел 326
Сейд 385
Ситрон 172
Смит 420
Сокольников 15, 23, 42, 104, 213, 352
Спраг 353
Стейн 327
Стернберг 59, 69, 304, 307, 447
Стодола 265
Страб 265
Суаи 146
Сэндерс 420, 449
Тейлор 420
Тимошенко 187, 213, 215, 220, 228, 237,
238, 282, 311, 325, 329, 335, 326, 341,
352, 354, 363, 370, 375, 384, 385, 489
Тиц 448
Толинс 283, 288, 305
Томмерап 326
Томсон 385
Тонг 146
Трампош 119, 145, 146
Треммель 306
Треска 412, 414, 420
Трусделл 42
Уайзман 420
Уитрик 385
Уолли 448
Уэйбл 119
Уэйнер 23, 25, 41, 42, 210, 246, 327 353,
397, 420, 488, 489
Уэнгарт 88
Уэплз 42
Фадле 306
Файл он 106, 118, 119
Фостер 185
Франк 21, 42
Фреиденталь 419, 441, 448
Фурье 42 173
Хадлстон 420
Хайке 265
Хвик 489
Хеджепет 327
Хейслер 264
Хелденфелс 326, 385
Хелтон 447
Хемп 235, 306
Хесс 487
Хессан 447
Хилл 390, 419, 450
Хильдебрант 21
Хлинка 264
Ходж 390, 419
Холл 327
Холмс 326
Хонеггер 265
Хопкинсон 265
X'О/'/'Л// '7/2, 30&
Хофф 303, 306, 322, 325, 326, 327, 367
385, 389, 435, 436, 441, 447, 448, 44'
Хуан 353
Хут 265
Цвикки 488
Цзян 265, 447
Циглер 34, 42
Цицикас 352
Чакраворти 69
Чарный 146
Чжао 21
Чжу 34, 42
Чезаро 78
Чемпен 447
Чень 265, 362
Чепмен 449
Черчилл 191, 210, 353
Шенли 449
Шестериков 440
Шифер 163, 164, 172
Шлехте 449
Шмит 227
Шнейдер 173, 209, 352
Шу 327
Шуман 386
Эдме 149
Эйзенхарт 327
Эккарт 42
Эккерт 136, 146
Энгел 327
Эрдели 209
Эри 118
Эриксон 447, 449
Эринген 306
Эспи 488
Эшелби 265
Юбэнк 59, 69
Юксель 448, 488
Якоб 134, 146, 173
Ямагути 353
предметный указатель
Аэродинамический нагрев 135
Бернулли — Эйлера гипотеза 266
Вектор 13
— скоррсти 13
Время ввода 51, 53, 58
— механическое 51, 53, 58
— термическое 51, 53, 58
Гипотеза о напряжениях 14
Граница температуры верхняя 164, 165
— — нижняя 167
Граничные условия при конвекции 129,
131
— — в напряжениях 218
__ — — перемещениях 218
— — смешанные 218
Девиатор тензора деформаций 35
— — напряжений 35
Деформация средняя 35
Дислокации Вольтерра 88
Диссипативная функция 233
Закон сохранения энергии 20, 21
— — — в неравновесных системах 22, 24
Идеально изолированная поверхность 129,
131
Излучение 125, 134
Индекс свободный 12
— связанный (немой) 12
Интеграл свертки 55
— Чезаро 78, 79
Интегрируемость 27
Интенсивность источника 150
— стока 150
Источник 149, 150
Квазистационарная теплопроводность 178
Конвекция 125, 129
Конвекция естественная 140
Контакт двух твердых тел 130, 131, 13
— с жидкостью 135
Контактное сопротивление 130
Краевая задача связанной теории терме
упругости 41
Кронекера обобщенные символы 32
— символ 14, 15
Лапласа преобразование 54, 184
Метод зеркального отображения 157
— источников и стоков 157
— наложения решений 203
— полуобратный 234
— разделения переменных, типичные зг
дачи 178
— Саутвэлла 321
— Харди Кросса 321
Модель вязко-упруг.ого тела 35
Нагрев аэродинамический 139
Напряжение среднее 35
Обобщение метода Галеркина 197
Оболочка адиабатическая 19
Оизагера условия взаимности 30
Операционные свойства преобразоваии
Лапласа 185, 186
Параметры безразмерные 130
— деформированного состояния 24
— состояния 16
Плита 158
Ползучесть 391
Поле векторное 12
Постулат о скорости внутреннего возра
стания плотности энтропии 30
Потенциал перемещения 73
— термоупругий 232
Приближенные аналитические методы 19’
Принцип виртуальной работы 230
— Сен-Венана 164, 166, 234
— стационарности дополнительной энер
гии 230, 320
Принципы вариационные термодинамик!
необратимых процессов 232
lemma указатель
511
Прогиб критический биметаллического
стержня 369
Процесс 25
— адиабатический 19
— локально обратимый 25
— — — адиабатический 26
— ограниченный 25
— Шмидта 195
Работа 18
— адиабатическая 19
Равновесие тепловое 17
— термодинамическое 17
Разрешающая кривая 27
Релаксация напряжений 391
двнямячесхае
— для коротких промежутков времени
159
— «постепенное» 431
Свойства интенсивные 16
— экстенсивные 16
Сила обобщенная термомеханическая 233
Система закрытая 1'6
— изолированная 16
— индексная 11. 13
— равновесная 16
Скаляр 13
Соотношения между деформациями и Пере-
мещениями 217
Среда деформируемая 13
Тело Кельвина ЗЖ
— Максвелла 396
— обобщенное линейное 396
Температура абсолютная 28
— адиабатическая стенки 138
— эмпирическая 18, 28
Тензор альтернативный 12, 32
— антисимметричный 13
— вращения 13
— малых деформаций 13
— напряжений 15
— нулевого ранга 13
— ортогональный второго ранга 13
— первого ранга 13
Теорема Дюгамеля (о свертке) 204, 245
— единственности 39
— — в линейной теории теп гопроводпо-
сти 141
— — Для несвязанной квазистатической
теории термоупругости 62
— — для идеально пластического тела
407
— Каратеодори 27
— о дивергенции 59
Теория потенциала 163
Теория теплопроводности 43
— термоупругости 43
— — линейная связанная 39
— — несвязанная 43
— — — квазистатическая 43
— — связанная 43
— упругости линейная 13
Тепло 20
Термодинамика необратимых процессов
29
— равновесных систем 21
Термодинамики второй закон 20. 21
— нулевой закон 17
— основные положения 16
— первый закон 20. 21
Уравнение теплопроводности Фурье 33,
75, 125
— энергии для изотропного вязко-упру-
гого тела 39
Уравнения движения 14, 16
— совместности 79, 82, 115
— состояния 17
Условие необратимости 404
— пластичности Мизеса 410
— — —, ассоциированный закон тече-
ния 410
— — Треска 412
— устойчивости 404
Фиктивные нагрузки 231
Формула Римана — Мелина 55
— суммирования Пуассона 159
Формулировка задачи в двумерном слу1
чае 225
— — в напряжениях 77, 84
— — — перемещениях 71, 223, 226
Функция аддитивная 19
— внутренней энергии 19, 20
— напряжений 98, 107, 226
— ошибок 150
— — дополнительная 150
— — кратные интегралы 151
— свободной энергии 31
— экстенсивная 19
— Грина 162
— Неймана 162
— Робина 162
Численные методы 194
Электроаналогия 195
Энергетические методы 227
Энтропии внутреннее возрастание 29, З1
— поток (смещение) 233
Энтропия равновесной систему 29
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода ............................... 7
Предисловие .................................................. £
Часть 1
ОСНОВЫ ТЕОРИИ
Глава 1. Основы механики и термодинамики................................ 11
1.1. Введение ................................................. 11
1.2. Обозначения............................................... 11
1.3. Деформация. Тензор малых деформаций....................... 12
1.4. Уравнения движения........................................ 14
1.5. Термодинамика. Основные положения......................... 16
1.6. Термодинамика равновесных систем.......................... 17
1.7. Переход к неравновесным системам . ....................... 21
1.8. Закон сохранения энергии в неравновесных системах .... 22
1.9. Предварительные сведения о втором законе термодинамики для
сплошных сред ................................................ 24
1.10. Обоснование по Кфратеодори второго закона термодинамики
и его следствий................................................ 27
1.11. Термодинамика необратимых процессов. Возрастание энтропии 29
1.12. Зависимости между напряжениями и деформациями и уравнение
энергии для изотропного упругого тела ......................... 30
1.13. Зависимости между напряжениями и деформациями и уравнение
энергии для изотропного линейно вязко-упругого тела .... 34
1.14. Основные положения линейной связанной теории термоупруго-
сти; теорема единственности.................................... 39
Библиография ........................................................... 41
Глава 2. Несвязанная квазистатическая теория термоупругости............. 43
2.1. Введение ................................................. 43
2 2. Общие замечания о влиянии связанности и инерции......... 43
2.3. Решение задачи связанной теории термоупругости......... 46
2.4. Исследование решения...................................... 50
2.5. Влияние инерции........................................... 53
2.6. Формулировка несвязанной квазистатической теории........ 56
2.7. Теоремы единственности для несвязанной квазистатической
теории термоупругости ........................................ 59
Оглавление 51с
Приложение. Термоупругое рассеяние энергии........................ 61
Библиография ..................................................... 61
Глава 3. Другие формулировки задач термоупругости................. 7(
3.1. Введение ............................................ 7(
3.2. Формулировка задачи в перемещениях................... 7С
3.3. Аналогия с действием объемных сил.................... 71
3.4. Приведение задачи термоупругости к задаче с постоянной тем-
пературой без объемных сил; метод Гудьера............. 72
3.5. Применение функций Буссинеска - Папковича............ 7(
3.6. Формулировка задачи в напряжениях . . . ............ 71
3.7. Необходимость уравнений совместности................. 81
3.8. Формулировка задачи в напряжениях для многосвязных тел 84
3.9. Распределения температур, не вызывающие напряжений .... 81
3.10. Дислокации ................................... 81
Библиография ..................................................... 9.
Глава 4. Двумерные задачи теории термоупругости.................. 91
4.1. Введение ........................................... 91
4.2. Плоское деформированное состояние в задачах термоупругости 91
4.3. Граничные условия на концевых поверхностях для случая
плоского деформированного состояния...................... 91
4.4. Формулировка задачи о плоском деформированном состоянии
в напряжениях ........................................... 9’
4.5. Формулировка задачи о плоском деформированном состоянии
в напряжениях с помощью функции напряжений............... 91
4.6. Плоское напряженное состояние в задачах термоупругости 104
4.7. Исследование решения задачи о плоском напряженном состоянии 101
4.8. Плоское напряженное состояние как предельный случай трех-
мерного напряженного состояния для тонких пластин ...... 112
4.9. Стационарные распределения температуры............. 1 If
4.10. Дислокационная аналогия............................ 117
Библиография ................................................. 111
Часть 2
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Глава 5. Формулировка задач теории теплообмена................... 12<
5.1. Введение .......................................... 121
5.2. Способы теплообмена................................ 12z
5.3. Уравнение теплопроводности Фурье................... 121
5.4. Начальные и граничные условия.................... 121
5.5. Безразмерные параметры ........................ 13С
5.6. Исследование граничных условий . . 1.............. 131
5.7. Теорема единственности ........................ 141
5.8. Постановка задач теории теплопроводности в одномерном случае
для тонкостенных сечений................................. 14с
Библиография .................................................... 14f
514
Оглавление
Г лава 6. Некоторые основные задачи теории теплопроводности . . . > т . . 147
6.1. Введение ................................................. 147
6.2. Источники и стоки в неограниченном теле................... 147
6.3. Более общее решение уравнения (6.2.36).................... 150
6.4. Полубесконечное тело при зависящих от времени граничных
условиях ................................................. 152
6.5. Решения, полученные методами наложения и зеркального отобра-
жения источников и стоков................................. 155
6.6. Другие решения в виде рядов; формула Пуассона............. 159
6 7. Распределения температуры, обусловленные источниками, рас-
сматриваемые как фундаментальные решения (функция Грина) 16С
6.8. Принцип Сен-Венана в задачах теплопроводности............. 164
6.9. Верхние и нижние границы для температуры.................. 167
6.10. Общий баланс тепла; плавящаяся плита..................... 16S
Библиография ............................-.............................. 172
Глава 7. Методы решения задач теплопроводности.......................... 173
7.1. Введение ................................................. 173
7.2. Разделение переменных (метод характеристических функций) 175
7.3. Преобразование Лапласа.............................. 184
7.4. Конформное отображение ................................... 183
7.5. Численные методы ......................................... 194
7.6 Электроаналогия...................................... 195
7 7. Приближенные аналитические методы................. 197
7.8. Некоторые способы обобщения вышеприведенных решений 203
Библиография............................................................ 209
Часть 3
ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУРНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
В УПРУГИХ СИСТЕМАХ
Глава 8. Сводка основных уравнений для решения задач теории термоупругости 21!
8.1. Введение ................................................. 213
8.2. Зависимость между термоупругими напряжениями и деформа-
циями .................................................... 211
8.3. Уравнения равновесия...................................... 211
8.4. Соотношения между деформациями и перемещениями .... 217
8 5. Граничные условия....................................... 211
8 6. Математическая формулировка задачи термоупругости .... 21!
8.7. Главные напряжения и деформации........................... 21!
8.8. Разделение напряжений, обусловленных температурой и внешни-
ми нагрузками ............................................ 22;
8.9. Другие формулировки задачи термоупругости................. 221
8.10. Формулировка задач в двумерном случае.................... 22!
8.11. Энергетические методы...............г.................... 227
8.12. Методы решения задач термоупругости...................... 233
Библиография .......................................................... 23!
Глава 9. Некоторые основные задачи термоупругости...................... 23(
9.1. Введение ................................................. 23(
Оглавление 515
9.2. Трехмерные задачи, в которых напряжения равны нулю .... 236
9.3. Трехмерные задачи, в которых перемещения равны нулю . . . 237
9.4. Двумерные задачи, в которых напряжения в плоскости равны
нулю........................................................ 238
9.5. Свободная пластина с изменением температуры только по тол-
щине ....................................................... 240
9.6. Прямоугольная балка с изменением температуры только по вы-
соте ....................................................... 241
9.7. Анализ результатов п. 9.5 и 9.6........................... 243
9.8. Примеры к п. 9.5 и 9.6.................................... 245
9.9. Медленно нагреваемая балка или пластина................... 246
9.10. Круговой диск или цилиндр с радиальным изменением темпера-
туры ....................................................... 249
9.11. Круговые диски или цилиндры при плоском, гармоническом ,
распределении температуры .................................. 252
9.12. Дополнительная литература о расчете температурных напря-
жений в цилиндрах . . 257
9.13. Круговая балка прямоугольного поперечного сечения при
радиальном изменении температуры ............................ 257
9.14. Сплошная или полая сфера при радиальном изменении темпе-
ратуры ...................................................... 259
9.15. Объемные термоупругие деформации ......................... 262
Библиография............................................................ 264
Г лава 10. Температурные напряжения в балках........................... 266
10.1. Введение ................................................. 266
10.2. Элементарные формулы для нормальных температурных напря-
жений в свободных балках............................... 266
10.3. Температурные прогибы балок....................... 269
10.4. Условия на концах балок; статически неопределимые балки 271
10.5. Касательные температурные напряжения в тонкостенных балках 274
10.6. Точное решение двумерной задачи теории термоупругости
для прямоугольных балок при произвольном распределении
температуры.................................................. 276
10.7. Замечания к п. 10.6; связь с теорией сопротивления материалов 282
10.8. Точная теория для свободных балок произвольного односвязното
сечения при линейном распределении температуры по длине
балки........................................................ 284
10.9. Обсуждение результатов п. 10.8, Связь с теорией сопротивления
материалов ............................................. 287
10.10. Применение метода фиктивных нагрузок к расчету прогибов
балок........................................................ 289
10.11. Колебания балок, вызванные нагревом....................... 292
П р и л о ж е н и е. Концевые эффекты в балках; принцип Сен-Венана .... 298
Библиография ........................................................... 305
Глава 11. Температурные напряжения в криволинейных балках, кольцах,
фермах, рамах и составных конструкциях............................... 308
11.1. Введение................................................. 308
11.2. Расчет температурных напряжений в криволинейных балках
с помощью теории сопротивления материалов.................... 308
11.3. Замечания к п. 11.2; связь с точной теорией и с теорией прямо-
линейных балок............................................... 310
516
Оглавление
11.4. Температурные напряжения в кольцах.........-........ 313
11.5. Температурные напряжения в статически определимых фермах
11.6. Температурные напряжения в статически неопределимых фер-
мах ...................................................... 319
11.7. Температурные напряжения в жестких рамах............ 321
11.8. Использование коэффициентов влияния................ 322
11.9. Литература, посвященная расчету подкрепленных листовых
конструкций............................................... 324
Библиография ..................................................... 32Е
Глава 12. Температурные напряжения в пластинах.................... 329
12.1. Введение............................................ 329
12.2. Основные уравнения теории пластин................... 329
12.3. Граничные условия для пластин....................... 332
12.4. Методы решения задач термоупругости для пластин..... 336
12.5. Пластины с распределениями температуры, изменяющимися толь-
ко по толщине............................................. 34Е
12.6. Связь теории тонких пластин с точными решениями задачи тео-
рии термоупругости ....................................... 349
12.7. Колебания пластин, вызванные нагревом............... 35С
Библиография ..................................................... 352
Г лава 13. Термоупругая устойчивость и связанные с ней задачи..... 354
13.1. Введение ........................................... 354
13.2. Нагрев стержней-колонн, концы которых свободны в осевом
направлении............................................... 354
13.3. Стержни-колонны с закрепленными в осевом направлении конца-
ми, находящиеся под действием нагрева..................... 356
13.4. Нагретые стержни под действием продольных нагрузок; общая
теория.................................................... 36С
13.5. Обсуждение результатов п. 13.4...................... 365
13 6. Изгиб и выпучивание биметаллических стержней...... 369
13.7. Термоупругяя устойчивость пластин .................. 371
13.8. Устойчивость нагретых пластин со свободными в плоскости
пластин краями при отсутствии поперечных нагрузок......... 372
13.9. Устойчивость нагретых и нагруженных в своей плоскости пла-
стин со свободными в плоскости пластины краями.......... 373
13.10. Пластина с неподвижными в ее плоскости краями....... 377
13.11. Большие прогибы пластин и их поведение в закритическом
состоянии ................................................. 386
Библиография ..................................................... 384
Часть 4
ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В НЕУПРУГИХ
СИСТЕМАХ
I лава 14. Формулировка задач о температурных напряжениях в неупругих
системах.......................................................... 38'
14.1. Введение............................................ 38'
14.2. Релаксация напряжений и ползучесть.................. 396
Оглавление
517
14,3. Пластическое течение и упрочнение................... 391
14.4. Идеализированные теории и материалы ................ 392
14.5. Зависимости между напряжениями и деформациями для упруго-
вязких тел................................................. 393
14.6. Идеализированная теория пластичности упрочняющегося тела . . 398
14.7. Идеализированная теория пластичности: идеально-пластическое
тело....................................................... 405
14.8. Теорема единственности для идеально-пластического тела . . . 407
14.9. Условие текучести Мизеса.......................: . , 410
14.10. Условие текучести Треска........................... 412
14.11. Сочетание упруго-вязких и пластических деформаций .... 418
Библиография ....................................... 419
Г лава 15. Расчет напряжений при упруго-вязких деформациях........ 421
15.1. Введение ....................................... 421
15.2. Аналогия между упруго-вязкими и упругими задачами .... 421
15.3. Обсуждение аналогии между упруго-вязкими и упругими задачами 424
15.4. Пример использования аналогии между упруго-вязкими и упру-
гими задачами.............................................. 425
15.5. Применение теории сопротивления материалов к расчету линейных
упруго-вязких деформаций................................... 428
15.6. Начальные условия для линейного упруго-вязкого тела .... 430
15.7. Анализ нелинейных упруго-вязких задач............... 435
15.8. Применение теории сопротивления материалов к расчету нели-
нейных упруго-вязких деформаций. Разрушение при ползучести
в условиях растяжения...................................... 436
15.9. Потеря устойчивости при ползучести.................. 438
15.10. Дальнейшие исследования потери устойчивости при ползучести 441
Библиография...................................................... 447
Глава 16. Расчет напряжений при пластических деформациях.......... 450
16.1. Введение ........................................... 450
16.2. Расчет свободной пластины в упруго-пластической области . . . 451
16.3. Примеры расчета пластин в упруго-пластическом состоянии . . 457
16.4. Расчет свободной пластины с учетом упруго-вязких эффектов
и зависимости условий текучести от температуры............. 466
16.5. Расчет цилиндра в упруго-пластической области при условии
текучести Треска .......................................... 470
16.6 Расчет цилиндра в упруго-пластической области при условии
текучести Мизеса........................................... 483
Библиография ..................................................... 488
Общая библиография ............................................... 489
Дополнительная библиография....................................... 490
Именной указатель ................................................ 507
Предметный указатель .... 510
г>. ьоли, дж Доннер
ТЕОРИЯ
ТЕМПЕРАТУРНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
Редактор /О В Китов
Художник В П Заикин
Художественный редактор В И Шаповало
Технический редактор A f Резоухова
Корректор Г А Пагладина
Сдано в производство 7/V 196 4 г
Подписано к печати 26/IX 1964 г
Бумага 70Х 1 081/к,~1 6 25 бум л
44,оЗ печ л Уч -изд л 37 4<
Изд № 1/0945
Цена 2 р 83 к Зак 204
Темпл1Н 1964 г Изд-ва ИЛ пор № 29
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижским пер , 2
Московская шпография № 16
«Главполиграфпрома» Государственного
комитета Совета Министров СССР
по печати
Москва, Трехпрудный пер
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
готовит к выпуску в 1965 г.
КНИГИ ПО МАТЕМАТИКЕ:
Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. Берлин — Гёттинген — Гейдельберг, 1961
перевод с английского, 14 изд. л., цена 1 р. 18 к.
Бодевиг Э Матричное исчисление. Амстердам, 1959, 2-е издание, перевод с англий
ского, 25 изд, л., цена 1 р. 95 к.
Г ренандер У. Вероятности на алгебраических структурах. Стокгольм —
Нью-Йорк — Лондон, 1963, перевод с английского, 15 изд. л., цена 1 р. 25 к.
Касселе Дж. Введение в геометрию чисел. Берлин—Гёттинген — Гейдельберг
1959, перевод с английского, 22 изд. л., цепа 1 р. 74 к.
Кац М. Вероятность и смежные вопросы в физике. Нью-Йорк, 1959, перево;
с английского, 15 изд. л., цена 1 р. 25 к.
Кибернетический сборник. Новая серия, вып. 1, 12 изд. л., цена 1 р. 04 к.
Кибернетический сборник. Новая серия, вып. 2, 12 изд. л., цена 1 р. 04 к.
Комплексные пространства. Перевод с немецкого и английского, 15 изд. л.
цена 1 р. 25 к.
Кофман А., Крюон Р. Массовое обслуживание. Теория и приложения. Париж
1961, перевод с французского, 16 изд. л., цена 1 р. 32 к.
Куратовский К. Топология. Том I. Перевод с рукописи нового английской
издания, 32 изд. л., цена 2 р. 44 к.
Куратовский К- Топология. Том II. Перевод с рукописи нового английской
издания, 32 изд. л., цена 2 р. 44 к.
Ледли Р. Программирование и использование цифровых вычислительных машин
Нью-Йорк, 1962, перевод с английского, 30 изд. л., цена 2 р. 30 к.
Математическая логика и ее применения. Под ред. Э. Нагела, П. Саппе;
и А. Тарского. Станфорд, 1962, перевод с английского, 18 изд. л., цена 1 р. 46 к
Математические проблемы в биологии. Под ред. Р. Веллмана. Провиденс (США)
1962, перевод с английского, 18 изд. л., цена 1 р. 46 к.
Морен К. Методы гильбертова пространства. Варшава, 1959, перевод с польского
22 изд. л., цена 1 р. 74 к.
Фано Р. Передача информации. Статистическая теория связи. Нью-Йорк, 1961
перевод с английского, 20 изд. л., цена 1 р. 60 к.
Х'ёрмандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными
Нью-Йорк, 1963, перевод с английского, 18 изд. л., цена 1 р. 46 к.
Хилтон Л., Уайли С. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию
Лондон — Нью-Йорк, 1960, перевод с английского, 30 изд. л., цена 2 р. 30 к.
Шварц Л. Математические методы для физических наук. Париж, 1961, перево;
с французского, 25 изд. л., цепа I р. 95 к.
КНИГИ ПО МЕХАНИКЕ:
Взаимодействие газов с поверхностями. Сборник. 12 изд. л., цена 1 р. 04 к.
Газовая динамика космических аппаратов. Сборник. США, 1963, перевод с англий-
ского, 12 изд. л., цена 84 коп.
Гиро Ж. Основные вопросы теории гиперзвуковых течений. Станфорд, 1963, перевод
с английского, 15 изд. л., цена 1 р. 05 к.
Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика
сплошной среды. Оксфорд, 1960, перевод с английского, 25 изд. л., цена 1 р. 95 к.
Дорренс У. X. Гиперзвуковые течения вязкого газа. Нью-Йорк, 1962, перевод
с английского, 22 изд. л., цена 1 р. 74 к.
Жермен ГГ Механика сплошных сред. Париж, 1962, перевод с французского,
25 изд. л., цена 1р. 95 к.
Дрейер Э. Общая континуальная теория дислокаций и собственных напряжений.
Берлин — Гёттинген — Гейдельберг, 1960, перевод с немецкого, 5 изд. л., цена 35 коп.
Ланцош К. Вариационные принципы механики. Торонто, 1962, 2-е переработанное
издание, перевод с английского, 16 изд. л., цена 1 р. 32 к.
Некоторые вопросы кинетической теории газов. Сборник, 10 изд. л., цена 90 коп.
Ричардсон Э. Динамика реальных жидкостей. Лондон, 1961, перевод со второго,
переработанного английского издания, 16 изд. л., цена 1 р. 32 к.
Твердые тела при высоких давлениях. Под ред. В. Пола и Д. Варшауэра.
Нью-Йорк, 1963, перевод с английского, 30 изд. л., цена 2 р. 30 к.
Шерклиф Дж. Теория электромагнитного измерения расхода. Кембридж, 1962,
перевод с английского, 12 изд. л., цена 70 коп.
У важаемый читатель!
С аннотациями на эти книги Вы можете ознакомиться в темати-
ческом плане издательства «.МИР» на 1965 г., который рассылается
в книжные магазины. В книжном магазине Вы можете оформить пред-
варительный заказ на интересующие Вас книги, готовящиеся к выпуске,
в 1965 г.
Предваршпельный заказ гарантирует приобретение нужных Вам книг
и помогает правильному установлению их тиража.