/
Author: Амензаде Ю.А.
Tags: механика деформируемых тел упругость деформация физика теория упругости
Year: 1976
Text
Ю. А. АМЕНЗАДЕ
Теория
уп ругости
ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ,
ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено Министерством
высшего и среднего специ-
специального образования СССР
ш качестве учебника для
студентов механико-матема-
механико-математических факультетов уни-
университетов
МОСКВА ВЫСШАЯ ШКОЛА 1976
538—12
А38
УДК 539.3
Рецензент: Л. И. Седов — академик АН СССР
Юсиф Аменович Амензаде
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
Редактор К- И. Аношина. Художник В. 3. Казакевич. Художественный редактор
Н. К. Гуторов. Технический редактор 3. А. Муслимова. Корректор
М. И. Козлова
Сдано в набор 17/IX—75 г. Подп. к печати И/II—76 г. Формат 60X90'/ie
Бум. тип. № 2. Объем 17 печ. л. (Усл. п. л. 17) Уч.-изд. л. 17,44
Изд. № ОТ-238 Тираж 26 000 экз. Цена 82 коп.
План выпуска литературы издательства
«Высшая школа> (вузы н техникумы) на 1976 г. Позиция № 94
Москва, К-5!, Неглннная ул., д. 29/14,
издательство «Высшая школа?
Московская типография № 8 Союзполиграфпрома при Государственном комите-
комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной тор-
торговли, Хохловский пер., 7. Зак. 4020.
Амензаде Ю. А.
А38 Теория упругости. Учебник для университетов. Изд.
3-е, доп. М., «Высшая школа», 1976.
272 с. с ил.
Содержание учебника соответствует утвержденной программе.
В начале книги сообщены необходимые сведения из тензорного анализа;
изложение основ теории упругости дано на современном научном уровне и в
современной форме.
Далее рассматриваются плоские задачи теории упругости при помощи
метода функций комплексного переменного и метода интегральных преобра-
преобразований, теория кручения и изгиба призматических тел, контактная задача
Герца, некоторые ос ес им метрические задачи.
Изложена также теория распространения упругих волн в неограниченной
среде и поверхностных волн Рэлея и Лява.
Приведены элементы теории изгиба тонких пластин.
Учебник отличается ясностью, оригинальностью, современным уровнем
изложения и проиллюстрирован многочисленными примерами.
94-76 538-12
@01H1—76
(?) ИЗДАТЕЛЬСТВО «ВЫСШАЯ ШКОЛА», 1976
ОТ РЕЦЕНЗЕНТА ПЕРВОГО
И ВТОРОГО ИЗДАНИЙ
За последние годы в отечественной и мировой литературе по-
появился ряд монографий по теории упругости, либо содержащих из-
изложение общей теории с той или иной точки зрения, либо посвящен-
посвященных развитию определенных направлений.
В то же время лектор, читающий курс теории упругости по про-
программе университета, испытывает серьезные затруднения при реко-
рекомендации студентам учебной литературы. Фактически приходится
давать довольно обширный список, состоящий из книг, написанных
в разное время и на разном уровне. Учебник по теории упругости,
соответствующий программе современного университетского курса,
практически отсутствует.
Книга Ю. А. Амензаде написана с целью восполнить этот про-
провел. В ней излагается на современном уровне весь материал, кото-
который входит в существующую программу, а также приведены неко-
некоторые дополнительные сведения, которые могут быть рассмотрены,
например, на семинарах по теории упругости, ведущихся по тради-
традиции в университетах.
Естественно, что выбор дополнительного материала определялся
личными научными интересами автора. В книге наиболее детально
излагаются методы функции комплексного переменного в примене-
применении к плоским задачам теории упругости, задачам изгиба и кру-
кручения.
Ю. Н. Работное — академик АН СССР
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ
И ВТОРОМУ ИЗДАНИЯМ
Настоящий учебник содержит все основные вопросы
курса теории упругости, предусмотренные программой,
утвержденной Министерством высшего и среднего специ-
специального образования СССР для механических отделений
университетов. Он может быть рекомендован также сту-
студентам высших технических учебных заведений, аспиран-
аспирантам и научным работникам.
В предлагаемом курсе основное место отведено мате-
математической постановке задач, анализу дифференциаль-
дифференциальных уравнений равновесия и движения и их решению,
общим и частным методам их интегрирования. Некото-
Некоторые конкретные задачи, имеющие принципиальное значе-
значение, проиллюстрированы числовыми примерами.
В целях облегчения усвоения материала в книге изло-
изложены элементы тензорного исчисления, теория интеграла
типа Коши, теорема Гарнака, краевая задача Римана и
некоторые сведения об интегральном преобразовании
Фурье.
Содержание книги составляет курс лекций, в течение
нескольких лет читаемый автором на механико-матема-
механико-математическом факультете Азербайджанского государственно-
государственного университета имени С. М. Кирова.
Рукопись первого издания была прочитана академи-
академиком Ю. Н. Работновым, академиком АН УССР Г. Н. Са-
Савиным, профессорами Д. И. Шерманом, Л. М. Качано-
вым. Научным редактором книги был профессор
И. И. Ворович. Автор считает своим приятным долгом
выразить им глубокую признательность за ценные заме-
замечания. Отдельные разделы книги были просмотрены про-
профессорами А. Ш. Габиб-заде и В. Д. Клюшниковым,
старшим научным сотрудником Л. М, Флитманом и
к. ф-м. наук Р. Ю. Амензаде. Их замечания были очень
полезными, за что автор им весьма благодарен.
Во втором издании книги исправлены отдельные не-
неточности, более подробно изложены некоторые выводы и
добавлены примеры.
ВВЕДЕНИЕ
Теория упругости изучает механику деформируемых
сред, которые, после удаления сил, вызывающих дефор-
деформацию, полностью восстанавливают свою первоначаль-
первоначальную форму и возвращают всю работу, затраченную на
деформацию.
Первые попытки создания теории упругости на основе
понятия сплошной среды, позволяющие игнорировать ее
молекулярное строение и описать макроскопические яв-
явления с помощью методов математического анализа, от-
относятся к первой половине восемнадцатого столетия.
Фундаментальный вклад в классическую теорию вне-
внесли Гук, Навье, Коши, Ляме, Грин, Клапейрон. Гуком в
1678 г. установлен закон, линейно связывающий напря-
напряжения и деформации.
После установления Навье в 1821 г. основных урав-
уравнений и создания Коши теории напряжений и деформа-
деформаций важнейшее значение для развития теории упругости
имели исследования Сен-Венана. В его классических ра-
работах по теории кручения и изгиба на основе общих
уравнений теории упругости дано решение задач круче-
кручения и изгиба призматических брусьев. В этих исследова-
исследованиях Сен-Венан создал полуобратный метод решения
задач теории упругости, сформулировал знаменитый
«принцип Сен-Венана», дающий возможность получить
решение задач теории упругости. С тех пор было затра-
затрачено много усилий на развитие теории упругости и ее
приложений, доказан ряд общих теорем, предложены
общие методы интегрирования дифференциальных урав-
уравнений равновесия и движения, решено много частных
задач, представляющих принципиальный интерес. Разви-
Развитие новых областей техники требует более глубокого и
широкого изучения теории упругости. Большие скорости
вызывают необходимость постановки и решения сложных
вибрационных проблем. Легкие металлические конструк-
конструкции привлекают серьезное внимание к вопросу упругой
устойчивости. Концентрация напряжений вызывает опас-
опасные последствия, поэтому пренебрегать ею рискованно.
Глава I
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Многие задачи механики, теоретической физики и других наук
приводят к понятию тензора. Это понятие имеет более сложный
характер, нежели понятие вектора. Определение вектора как на-
направленного отрезка не дает возможности естественным обобщени-
обобщением перейти к понятию тензора. Поэтому постараемся дать такое
определение вектора, эквивалентное прежнему, чтобы обобщение
его привело к понятию тензора, которое нельзя пояснить при по-
помощи простого геометрического образа. Для этого нам понадобит-
понадобится ввести в рассмотрение произвольные криволинейные координа-
координаты. По отношению к этим координатам и будет дано определение
вектора, а впоследствии тензора, как некоторого объекта, не ме-
меняющегося при изменении системы координат.
Преимущество тензорного исчисления в механике сплошной
среды обнаруживается особенно тогда, когда мы оперируем с про-
произвольными системами координат. В дальнейшем ограничимся
рассмотрением трехмерного евклидова пространства, в котором
положение каждой точки определяется тремя числами — координа-
координатами. Здесь мы приведем основные сведения из тензорного исчис-
исчисления. Их изложение не претендует на полноту и строгость; дается
сводка определений и формул, на которые в дальнейшем будут
делаться ссылки.
Обозначим криволинейные координаты какой-либо точки через
х1, х2, х3 и введем новые координаты этой точки х\ х2, ж3, связан-
связанные со старыми соотношениями
jc* = jc*(Jci> х2, х3) (k=\, 2, 3), A.1)
которые называются формулами преобразования координат.
Допустим, что все функции xh в рассматриваемой области из-
изменения координат х1, х2, х3 однозначны, непрерывны и имеют
непрерывные частные производные первого порядка, а также яко-
якобиан отличен от нуля. Тогда из A.1) найдем преобразование коор-
координат, обратное преобразованию A.1)
3c* = Jc*(jc1, х2, х3) (*=1, 2, 3). A.2)
Если фиксировать какие-нибудь две из трех координат и изме-
изменять третью непрерывно, то получим линию, которая называется
координатной линией. Мы будем считать, что в каждой точке про-
пространства проходят три координатных линии, не лежащие в од-
6
ной плоскости. Можно доказать, что это требование всегда выпол-
выполняется, если якобиан преобразования A.1) отличен от нуля.
В частном случае, при переходе от одной прямолинейной пря-
прямоугольной системы координат oxix2x3 к другой ох/хг'^з'', вместо
A.1) будем иметь
*»=2 v; (A=i. 2, 3), A.3)
л=1
где akn — косинусы углов между осями систем координат 0x1X2X3 и
о*1'*г'*з'-
Условимся для краткости записи здесь и в дальнейшем в A.3)
опускать знак суммы, считая, что суммирование должно быть про-
произведено по повторяющемуся индексу от п=\ до л=3. Мы также
больше не будем указывать, что имеем три формулы (&=1, 2, 3).
Соотношения A.3) запишутся при этом в виде
Преобразование вида A.4) называется аффинным ортогональным.
§ 1. Определения скаляра,
вектора и тензора
Пусть в некоторой системе координат хп(ге= 1, 2, 3) имеем вели-
величину f(x\ х2, х3), а в системе xh— \1{х\ х2, х3); если при преобра-
преобразовании A.1) значения этих величин в одних и тех же точках
равны, то эта величина называется инвариантом, или скаляром.
Примерами скалярных величин являются плотность, температура.
Допустим, что в некоторой системе координат х™(я= 1, 2, 3) мы
имеем_ совокупность трех величин Л™, а в системе хк (k = 1, 2,
3) —Ак; если при преобразовании координат A.2) величины Ак
определяются по формулам
^ A.5)
дхп
то совокупность этих величин Ак называют контравариантным век-
вектором, а величины Ап — его компонентами. Как и в формуле A.4),
суммирование в формуле A.5) производится по индексу п, кото-
который фигурирует дважды. Легко заметить, что совокупность трех
дифференциалов координат составляет контравариантный вектор.
Действительно, из формул A.2) имеем
A.6)
Сравнение формул A.6) и A.5) показывает, что dxn являются
компонентами контравариантного вектора.
Пусть в некоторой системе координат хп мы имеем совокуп-
совокупность трех величин Ап, а в системе хк—Ак- Если при преобразова-
нии координат A.1) величины Ак определяются по формулам
Л=Л„-^-, A.7)
то совокупность этих трех величин Ая называют ковариантным
вектором, а величины Ап — его компонентами. Легко убедиться,
что в случае аффинного ортогонального преобразования определе-
определения контравариантного и ковариантного векторов совпадают. Дей-
Действительно, решив уравнения A.4) относительно
v-' — п х П 81
из A.4) и A.8) найдем
t
. « ™ '- ' =а*п- (!•&)
Последние соотношения показывают, что формулы преобразова-
преобразования A.5) и A.7) совпадают, т. е. имеем
Совокупность величин ап (п=1, 2, 3) называют аффинным ортого-
ортогональным вектором.
Пусть в некоторой системе координат ха мы имеем совокуп-
совокупность девяти величин Атп, а в системе ХГ — Aih. Если при преобра-
преобразовании координат A.2) величины Aih определяются по формулам
, ()
дхт
то совокупность этих девяти величин Атп называют контравариант-
ным тензором второго ранга, а величины Атп — его компонентами.
В формулах A.10) должно быть произведено двойное сумми-
суммирование по всем значениям повторяющихся индексов пит (т, п =
= 1, 2,3). Если
Аш^Атш-Щ-^-. A.11)
дх дх*
то совокупность девяти величин Атп называют ковариантным тен-
тензором второго ранга.
Если
дх' дхп
A.12)
то совокупность девяти величин Атп называют смешанным тензо-
тензором второго ранга. В случае аффинного ортогонального преобра-
преобразования определения контравариантного, ковариантного и смешан-
смешанного тензоров в силу A.9) совпадают, т. е.
дхк
»л OX
т дх"
дхл
дхт
дх1
дх*
дхп
Совокупность девяти величин рпт называют аффинным ортогональ-
ортогональным тензором второго ранга.
Пусть в любой системе координат имеем совокупность следую-
следующих девяти чисел:
§" _Р> К0ГДа tn= n. ...
[О, когда тФ п.
Покажем, что 8тп, называемые символами Кронекера, являются
компонентами смешанного тензора второго ранга; для этого мы
должны показать, что Ьтп удовлетворяют формулам A.12)
A.15)
дх" дх'
В силу A.14) имеем
дхп дх1 дх" дх1
Подставляя A.1) в A.2), получим
^н ^..^ ^А I t" -I i V41-!- t"^ V^O i 'f* I У*& ^T& Y*~ 1 ^'i^' i '^i* ^'¦h^ *%*^ II i I I / I
л\- ^^^ ^4- I p^ I -^V- ¦¦ -^V f mfc /4 ^V I ^^ 4 -^V } 4^ I} ^V 1 -^^ # *^ ^ "*" } f * \ ^*"*J
Дифференцируя обе части A.17), найдем
&Х ОХ Ол
дх' дхп дх1
С другой стороны,
-^-=8?. A.18)
Из сравнения A.18) и A.16) получим A.15), что и требовалось
доказать.
Тензоры более высокого ранга определяются аналогичным об-
образом. Так, например, если
А —А дх™ дх" дх*
дх' дх* дхТ
то совокупность 27 величин Amns называют ковариантным тензо-
тензором третьего ранга (число компонентов тензора определяется чис-
числом измерений пространства в степени, равной рангу тензора).
Рассмотрим контравариантный и ковариантный тензоры второ-
второго ранга Атп, Атп. Если при изменении порядка индексов у Атп,
Атп имеют место соотношения
Апт = Атп. Апт=Атп, A.19)
то тензоры соответственно называются симметричным контравари-
антным и симметричным коварнантным. Если при изменении по-
рядка индексов имеют место соотношения
Anm=_Amnt Апт=~Апп, A.20)
то тензоры соответственно называются антисимметричным контра-
вариантным и антисимметричным ковариантным.
§ 2. Сложение, умножение и свертывание
тензоров. Признак тензора
а) Сложение. Операция сложения применима только к тензо-
тензорам, имеющим одинаковое количество нижних и верхних индек-
индексов (т. е. к тензорам одного и того же ранга и типа). Если нам
даны два тензора одного и того же ранга и типа, то, алгебраически
суммируя каждый компонент первого тензора и соответствующий
компонент второго, мы, очевидно, получим тензор того же ранга
и типа, что и слагаемые. Указанная операция называется сложе-
сложением, а полученный результирующий тензор называется суммой
двух тензоров.
б) Умножение. Определим произведение двух тензоров любого
ранга и типа. Перемножив каждый компонент первого тензора на
каждый компонент второго тензора, получим тензор, ранг которого
равен сумме рангов двух тензоров. Указанная операция называет-
называется умножением, а полученный результирующий тензор — произве-
произведением двух тензоров. Для определенности предположим, что речь
идет об умножении контравариантного тензора второго ранга Атп
на тензор третьего ранга Щ( (#?,—один раз контравариантный,
два раза ковариантныи). Тогда получим тензор С« , компонен-
компоненты которого определяются формулами
CT=AmnBrst. A.21)
Это тензор пятого ранга (три раза контравариантный, два раза
ковариантныи).
Операции сложения и умножения могут быть распространены
на любое число тензоров.
в) Свертывание (сокращение индексов). Операция свертыва-
свертывания применима только к смешанным тензорам; поясним это на
ряде примеров. Возьмем, например, тензор четвертого ранга A"tmi
в состав которого входят один контравариантный и три ковари-
антных индекса. Если мы теперь примем т = п, получим тензор
Bst = А"ш, в котором индекс п является повторяющимся; в соот-
соответствии с нашим условием производим суммирование от п=\ до
п=3. В результате получаем ковариантныи тензор второго ранга,
т. е. тензор, ранг которого на две единицы ниже ранга исходного
тензора. Операция свертывания в данном примере, очевидно, боль-
больше не может быть повторена.
Возьмем теперь тензор пятого ранга А™ и произведем свер-
свертывание относительно любой пары индексов, один из которых
является верхним, а другой — нижним. Если мы, например, по-
10
ложим s = m, то получим тензор третьего ранга В?Г = А2"Г. Свер-
Свертывание может быть продолжено еще один раз; взяв, например,
г = п, получим ковариантный вектор Ct—Amtn. Из тензора пятого
ранга Aftnr, после двукратного сокращения индексов, получим
контравариантный вектор О"—Аю . если в тензоре четвертого
ранга А™ произвести два раза свертывание, мы получим скаляр
(инвариант) /х = А™ или /2 = -А"т- В случае аффинных ортого-
ортогональных тензоров операция свертывания может быть произведена
по любым двум индексам,, так как между контравариантным и
ковариантным аффинными ортогональными тензорами нет никакой
разницы.
Произведя свертывание аффинного ортогонального тензора
ртп по индексам тип, получим инвариант
Комбинация операций умножения и свертывания называется
скалярным (внутренним) умножением. Операция скалярного умно-
умножения двух тензоров сводится сначала к их умножению, а затем
к свертыванию результирующего тензора по верхнему индексу од-
одного тензора и нижнему индексу другого. Пусть нам даны два
тензора Атп и В%', свертывая четырьмя способами их тензорное
произведение, получим скалярное произведение, а именно: AmnBsmt,
AmnBsrn, ArnBsrt, Amt B\f Скалярное произведение контравариантно-
го вектора Ат и ковариантного вектора Вп дает инвариант АпВп,
который можно, очевидно, назвать скалярным произведением век-
векторов Ат и В„. В случае аффинных ортогональных векторов ап и
Ьт, получим скалярное произведение этих векторов ab — апЪп.
г) Признак тензора. Пусть дан какой-либо тензор, например,
Akmn. Приведем в соответствие с ковариантными индексами этого
тензора произвольные контравариантные векторы иа и и?, а с
контравариантным индексом — ковариантный вектор wy. Если
произведениеAmnuav w-f, представляющее собою тензор шестого
ранга, свернуть по индексам т и а, п и E, k и у, то получим инва-
инвариант
f = AkmnumVwk. A.23)
Далее, пусть нам даны два тензора А„п и В*?. Если произведение
АтпВ , представляющее собою тензор пятого ранга, свернем по
индексам m и а, п и р, то будем иметь контра вариантный вектор
A.24)
Таким образом, операция умножения тензоров дает снова тен-
тензор. Теперь ставится вопрос — будет ли некоторая система величин
тензором, если ее произведение на тензор дает тензор. На этот счет
существует теорема, позволяющая легко установить тензорный ха-
И
рактер данной системы величин. с)ту теорему сформулируем следу-
следующим образом:
1) если при любом выборе векторов ит, vn, Wh произведение
A.23) представляет инвариант, то А„л есть тензор;
2) если при любом выборе тензора °Рпроизведение A.24)
представляет контравариантный вектор, то А„п есть тензор;
3) если величины Атп обладают свойством симметрии и про-
произведение Атпитип представляет инвариант для любого вектора
uh, то Атп есть тензор.
Для доказательства теоремы вида 1 необходимо убедиться в
том, что компоненты А^я удовлетворяют определению тензора.
Согласно условию теоремы для двух систем координат х" и хп
имеем /=/, или на основании A.23)
Меняя в формулах A.5) и A.7) роли координат хп и хп, в систе-
системе хп получим
дхт дха дх'1
Подставляя эти соотношения в последнюю формулу, будем
иметь
1,щ ? ^
дхт дхп
Отсюда
Т ял дхт дхп дх1 \ -«-р—
1р — AL, -^ \агъ9щ
дх* дх* дхк
Так как по условию контравариантные векторы иа, v$ и ковариант-
ный вектор wy являются произвольными, то
хг -* дхт дхп дх1
дх* дх? дхк
Следовательно, А„п есть тензор.
Для доказательства теоремы вида 2 соотношение A.24) ска-
лярно умножим на произвольный ковариантный вектор Dy, тогда
где f—инвариант.
Следовательно,
Меняя в формулах A.10) и A.7) роли координат хп и хп, в систе-
системе хп получим
ixm ёх* дх
12
Таким образом,
аи ~~ -"(яя И _ I О i-'T —'и*
дх" дх* dxk J
Отсюда в виду произвольности тензоров Втп и Dy
jr л* дхт дх" дх1
дхт дх" дх
что и требовалось доказать.
Для доказательства теоремы вида 3 контравариантный вектор
представим в виде uk=vk-\rWh. Тогда
A—Jimult^Amn'vmva-\-Amil'Wmw'>-\-AmnvmiiDtt-\-A vnwm.
Так как по условию теоремы Атпитип, Amnvmvn и Amnwmwn —
инварианты и в силу симметричности величин Атп имеем
Amnvmwn=Amnvnwm, то Amnvmwn — инвариант. Тогда учитывая, что
vm и wn — произвольные векторы, в силу теоремы вида 1 заклю-
заключаем, что Атп является ковариантным тензором второго ранга.
§ 3. Метрический тензор
Рассмотрим две бесконечно близкие точки А (х\ х\ х3) и
A{(xl+dx\ x2 + dx2, x%+dxz) пространства. Эти точки определяют
бесконечно малый вектор dr, не зависящий от выбора системы
координат. Длину вектора dr обозначим через ds. Если е по усло-
условию определяет единичный вектор, направленный по прямой
ААи то
dr=dse. A.25)
Проведем из точки А(х\ х2, хг) координатные линии, которые не
лежат в одной плоскости и, вообще говоря, не ортогональны. Обо-
Обозначим через еп систему векторов, направленных по касательным
к координатным линиям с длиной, не равной единице; тогда
dr1=dx1e1, dr2=dx2e2, dr3=dx3e3,
где dr\, dr% drs —"бесконечно малые векторы, определяющие па-
параллелепипед, диагональю которого является вектор dr, т. е.
dr=dse=dxnen. A.26)
Отсюда, согласно правилам скалярного умножения векторов,
найдем
где
&* = (««•**) (я, А=1, 2, 3). A.28)
Система векторов еп называется ковариантным базисом координат-
координатной системы.
13
В квадратичной форме дифференциалов dxm коэффициенты gnh,
как явствует из A.28), образуют симметричную матрицу (gnk =
=ghn). Таким образом, на основании теоремы о признаке тензора
gnk являются компонентами ковариантного тензора, называемого
ковариантным метрическим тензором.
При использовании криволинейных координат целесообразно
ввести, наряду с основным базисом е п, взаимный контравариант-
ный базис е h, т. е. тройку векторов е к, связанных с основными
векторами е п формулами:
еа-е* = »«. A.29)
где Ьпк — символы Кронекера.
Для этого достаточно принять
Из A.29) также следует, что
. е3 X еТ -„ el X &
gl=el-{e*Xe3). A.31)
'л перпендикулярен плоскости ек, е т.
Если система координат ортогональна, то, очевидно, [см. A.30)
и A.31)] базисные векторы е п и ек совпадут по направлениям, но
их величины, вообще говоря, различны.
Представим вектор еп как линейную комбинацию векторов ек
Учитывая соотношения A.28) и A.29), получим Cnk=gnh', следо-
следовательно, en=gnh ek.
Отсюда по правилу Крамера найдем
ek — SLu-e^—gn*en (g ф 0), A.32)
Здесь Gnk — алгебраическое дополнение элемента ghn в детерми-
детерминанте g.
Из A.32) на основании A.29) будем иметь
e*.ea=2&-=gn*. A.33)
Величины gnh являются симметричными. Подставляя A.32) в
A.29), будем иметь (ea-ej)gi*=gnjg>*=t*.
Отсюда заключаем, что величины g'k являются компонентами кон-
травариантного тензора. Тензор gik называется контравариантным
14
метрическим тензором. Компоненты этого тензора gih могут быть
вычислены при помощи A.33).
Умножим теперь контравариантный вектор Ат на метрический
тензор ghr и свернем; тогда мы получим ковариантный вектор
ghrAh, который мы обозначим через АТ. Следовательно,
Ar = gkrA\ A.34)
Таким же образом
A.35)
A-36)
Векторы Аг и Л\ связанные формулами A.34) и A.35), назы-
называются ассоциированными векторами. Как видно из формул A.34)
и A.35), мы легко можем вычислить компоненты одного из векто-
векторов Аг и Ат по компонентам другого. Поэтому Аг и Аг удобно рас-
рассматривать как различные соответственно ковариантные и контра-
вариантные компоненты одного и того же векора А.
Тензор ghr называется смешанным метрическим тензором. Лег-
Легко доказать, что gur совпадает с тензором Кронекера. Действи-
Действительно, на основании формул A.34), A.35) и A.36) имеем
откуда
Для того чтобы эти соотношения выполнялись при всех значениях
Ah, компоненты смешанного метрического тензора gkm следует вы-
выбрать следующим образом:
Рассмотрим теперь ковариантный тензор /W Если нужно под-
поднять первый индекс г, тогда тензор Агк следует умножить на gmn
и затем свернуть относительно первого индекса, т. е.
Для того чтобы можно было узнать, какой индекс был поднят,
на его место ставят точку. Например, в равенстве
поднят второй индекс к. Оба индекса можно поднять по формуле
Эти операции, очевидно, можно полностью перенести на тензо-
тензоры любого ранга. Все тензоры, полученные один из другого ука-
указанным способом, называются ассоциированными; компоненты их
15
также могут быть рассмотрены как компоненты одного и того же
тензора.
В прямолинейной прямоугольной системе координат квадрат
расстояния между точками А с координатами хт и А\ с коорди-
координатами ХтЛ-dx-m будет
ds2=dx2m. A.38)
Так как
Теперь формуле A.38) можно придать вид
дхп дхк
Введя обозначение
дха дх*
последней формуле придадим вид
ds2=gnbdx*dx>!. A.40 /
На основании теоремы о признаке тензора заключаем, что gnk —
ковариантный тензор.
Определим значения контравариантных и ковариантных компо-
компонентов вектора а, заданного в точке Р пространства. Проведем
через эту течку три координатные поверхности
х* = const. A.41)
Пересечение чтпх координатных поверхностей определит три ко-
координатные линии.
Вычислим углы, образуемые направлениями еь и еъ с осями
прямоугольной декартовой системы координат хт. Вдоль е* возь-
возьмем элементарный вектор dr^, длина его определится по формуле
Здесь суммирование ведется по индексу т от 1 до 3. Учитывая,
что вдоль координатной линии xh координаты хт зависят только
от координаты хк, последней формуле придадим вид
или, в силу формул A.39),
Тогда выражение для косинуса угла между направлением е*. и
осью хт примет вид
cos(*s, Хя)=*?а.= -±-?а.. {1.42)
Как известно, формула для косинуса угла между направлением
е к (или между вектором grad xk) и осью хт имеет вид
*t Хт]=
Учитывая, что в прямоугольной декартовой системе координат
компоненты тензора gnk равны 6гЛ в силу A.10) будем иметь
лЬ_*1 дхя дхк
отсюда
•=@-
На основании этой формулы из A-43) найдем
^- A-44)
Обозначим контравариантные и ковариантные компоненты век-
юраа через Л4 и /U, a его компоненты в прямоугольной декарто-
декартовой системе координат — через ат. Далее а^ и аеЬ обозначают
проекции вектора а соответственно на еК и ек. Учитывая, что а =
= imam {t'm — орты прямоугольной декартовой системы коорди-
координат), согласно основной формуле для проекции вектора на задан-
заданное направление получим
f-am, A.45)
aek = am cos {ek, xJ = _==- _— а A.46)
<¦' другой стороны, на основании формул A.5) и A.7) имеем
Лк = а dx>> A — дХт
Подставляя эти выражения соответственно в A.45) и A.46), окон-
окончательно получим
1 , .
\7
аеъ = -~Л\ A.48)
Отметим еще раз, что в A.47) и A.48) по индексу k никакого
суммирования производить не следует. Если криволинейная систе-
система координат ортогональна, то направлениями не h совпадут, тогда
dek=aek\ обозначим их через ахь.
Если криволинейная система координат ортогональна, то, как
известно,
где Hk — коэффициенты Лямэ.
В этом случае из A.47) и A.48) получим
A.49)
Величины ахк называются физическими проекциями вектора а.
Обозначим теперь тензор второго ранга в прямолинейных пря-
прямоугольных координатах Xi через рш, физические проекции этого
тензора в криволинейных ортогональных координатах ХГ через
Pxixh, а его контравариантные компоненты через Aih, тогда по фор-
формулам преобразования компонентов тензора A.10) будем иметь
, ik дх1 дхк
Л =ра? —-
Учитывая здесь A.44) и то, что ghh=Hk~2, можем написать
А1кp
^( 1*}cos(eft, jcp).
На основании A.13)
Рх1хъ=Р«.ъЫ${е11 A:tt)cos(eft, x?)t
тогда
Учитывая, что Л'*=^/'*^ЙМ№ = //Г2ЯГ2Л/Й, будем иметь
tk Aik. A.50)
Определим угол •& между двумя произвольными векторами А и В,
заданными в одной точке. Векторы А и В можно определить ли-
линейной комбинацией вида
18
Скалярное произведение векторовЛ и В равно
или
A-B=gknA*Bn=g*»AkBa = A*Bk = AkBk. A.51)
С другой стороны,
А В= \ A \ \B\ cos», A.52)
где
А | =УАТА = УвкпА*Ая = Уёк11А*А« = УАТА\ A.53)
Подставляя A.51) и A.53) в A.52), найдем
A.54)
Vgu,A*A*
ие ортогональности двух век
* A.55)
Из последнего получим условие ортогональности двух векторов
А и В
§ 4. Дифференцирование базисных векторов.
Символы Кристоффеля
Из формулы A.26) следует
дг
дхп
A.56)
Базисные векторы, вообще, являются функциями положения
точки, в которой они определяют координатный триэдр. Изменения
базисных векторов характеризуются значениями производных
~~-. В евклидовом пространстве, очевидно, производная вектора
по скалярному аргументу будет также вектором.
Значения —-к представим в виде суммы трех векторов, парал-
параллельных базисным векторам^п» т. е.
Величины Pnft называются коэффициентами связности или сим-
символами Кристоффеля. Если координаты декартовы, то е„ — посто-
постоянные векторы, поэтому Г^г1Ь=0, тогда как для криволинейной си-
системы координат РП
19
Из A.56) следует, что
^-. A.58)
дхп v '
На основании A.58) из формул A.57) имеем
откуда следует, что
1^ = г?,. A.59)
Символы Кристоффеля выражаются через производные метри-
метрического тензора. Умножая равенство A.57) скалярно на ет и учи-
учитывая A.28), получим
Переставив в равенстве A.60) индексы пиkи учитывая A.59),
найдем
Складывая A.60) и A.61), будем иметь
Вычислим в этой формуле выражение, заключенное в скобки. Учи-
Учитывая соотношение A.58), найдем
дх дхт " дхт
е
дх* ^е" дх" '
Следовательно, формула A.62) примет вид
После умножения A.63) на gam и суммирования по индексу т, с
учетом A.36) и A.37) получим
Отсюда также видно, что символы Кристоффеля симметричны от-
относительно индексов п и к.
Легко показать, что имеет место следующее равенство:
де"=_!>>. A.65)
дхк ' V
20
Дифференцируя равенство е"-ет=6тп, получим
ИЛ*
Учитывая A.57), найдем
де"
а — /лл о \ TV Г" .. /1 КК'Л
Iеперь —- представим в виде
дс
дс
Умножим скалярно обе части этого равенства на ет, тогда
Сравнивая это соотношение с выражением A.65'), найдем
пП ТЛЯ
Отсюда придем к формуле A.65).
§ 5. Параллельное векторное поле
Как мы видели выше, алгебраические операции над тензорами
приводят снова к тензорам, чего нельзя утверждать, как убедимся
ниже, относительно их дифференцирования. Частные производные
компонентов тензора составляют тензор лишь в декартовой системе
координат. В криволинейных системах координат дело обстоит
сложнее. Здесь приходится вводить так называемое ковариантное
дифференцирование, действие которого на тензор снова даст тен-
тензор. Ковариантная производная совпадает с обычной, когда тензор
отнесен к декартовой системе координат.
Если f(s) —скалярная функция (s — параметр), то в новых ко-
координатах f=f, следовательно,
bs^O As Да-*О As
ИЛИ
dj = df
ds ds
откуда видно, что производная скалярной функции по параметру
снова является скаляром.
Определение ковариантной производной вектора и тензора бу-
будет дано в § 6. Предварительно займемся исследованием парал-
параллельного векторного поля.
21
Пусть координаты произвольной точки Р, находящейся на рас-
рассматриваемой кривой, являются функциями параметра s. В каж-
каждой точке этой кривой построим вектор, равный вектору, заданному
в точке Р. Таким образом, вдоль кривой будет иметь параллельное
векторное поле. Выведем уравнения, которым должно удовлетво-
удовлетворять это поле.
Обозначим компоненты вектора рассматриваемого поля в си-
системе координат Xh через Ah, в декартовой системе координат хт
через ат. В декартовой системе координат компоненты параллель-
параллельных векторов постоянны вдоль кривой и, следовательно, —— = 0.
По определению вектора
а _л" дхт
Дифференцируя по параметру s последнее равенство, будем иметь
ds ds дх" T дхпдхк ds 0
Ay.
После умножения уравнений A.66) на ga?—f- и суммирования
по индексу т от 1 до 3, используя A.39) и A.37), найдем
Продифференцировав равенства A.39) по ха, кроме того, будем
иметь
dgnk _ д2хт дхт . дхт д^хт ( 1 68)
дха дх*дхп дх 4 дхп дхадхк ' ' ' }
В равенствах A.68) дважды производим круговую перестановку
индексов п, k, а и из суммы полученных таким образом равенств
вычитаем A.68). Тогда найдем
2 &хт дхт __ Нпл . dg,k dfa g9
<Jjc« dx* ^~ дх" дх° ' К ' >
Подставляя A.69) в A.67), будем иметь
*
+ iH
ds ds
= 0. A.70)
Таким образом, параллельное векторное поле вдоль заданной
кривой должно удовлетворять дифференциальным уравнениям
A.70).
Возьмем какой-либо вектор в данной точке пространства и по-
построим во всех точках этого пространства параллельные ему век-
векторы. В этом параллельном векторном поле компоненты ЛЗ будут
функциями координат х&. Если через любую точку этого поля про-
22
ведем некоторую кривую, то, очевидно, векторы на этой кривой
будут удовлетворять уравнениям A.70). Учитывая, что теперь мы
имеем
dA9 _ дА? dx"
ds ~ дхп ds '
уравнениям A.70) придадим вид
дх"
Принимая во внимание, что условие A.71) должно быть удовле-
удовлетворено для всех кривых, выходящих из точки Р, получим, что
параллельное векторное поле удовлетворяет системе дифференци-
дифференциальных уравнений вида
^ L * = 0. A.72)
§ 6. Тензор Римана — Кристоффеля.
Производная вектора. Формула
Гаусса — Остроградского, е-тензор
Теперь перейдем к определению новых тензоров при помощи
дифференцирования данных векторов и тензоров. Пусть f — данная
скалярная функция, зависящая от координат точки xh. Тогда в но-
новых координатах хт, связанных с xh формулами A.1), имеем
/ = /. Учитывая последнее, а также принимая во внимание A.1),
будем иметь
dj _ df дхк A73)
Таким образом, производная скалярной функции по координатам
дает ковариантныи вектор —у- .
Рассмотрим параллельное векторное поле произвольного конт-
равариантного вектора ЛР вдоль некоторой кривой и ковариантныи
вектор Вр, определенный на той же кривой. В любой точке взятой
кривой произведение ВрЛР является скалярной функцией парамет-
pa s и поэтому —(ВрД ) —также скаляр. В правой части ра-
s
венства
ds " r ds r р ds
вместо -— из A.70) подставим величину —v\kAk-^—; тогда
ds ds
ds K v ' ds K ds
23
или
±(В,А>) = ^-Т},В)<?)А>. (..74)
Учитывая, чтоА$- — произвольный контравариантный вектор па-
параллельного векторного поля и что произведение такого вектора
на выражение внутри скобок в правой части A.74) является ска-
скаляром, на основании теоремы о признаке тензора заключаем, что
является ковариантным вектором.
Ковариантный вектор A.75) называется абсолютной производ-
производной ковариантного вектора Вр по параметру s и обозначается через
—L • следовательно,
8s с
Р Р "rife D "^ /1 ТйЧ
5s <^5 ds
Положим, что в какой-либо координатной системе удовлетворяется
уравнение
^ = 0, A.77)
тогда оно удовлетворяется и в любой другой системе. В случае де-
декартовой системы координат (Грпй=0) уравнение A.77) примет
вид
0
ds
Отсюда следует, что вектор Вр также есть параллельное векторное
поле вдоль рассматриваемой кривой. Таким образом, A.77) есть
уравнения, которым удовлетворяет параллельное ковариантное
векторное поле Вр вдоль данной кривой.
Рассмотрим параллельное векторное поле произвольного кова-
ковариантного вектора Лр вдоль некоторой заданной кривой и контра-
вариантный вектор ВР определенный на той же кривой. Поступая
так же, как при выводе формулы A.76), и учитывая, что парал-
параллельное векторное поле Лр должно удовлетворять A.77), получим
абсолютную производную контравариантного вектора по парамет-
*fA.78)
+ ibB f
Ь$ ds ds
Пусть Вр есть поле контравариантных векторов, определяемое
в некотором пространстве. Возьмем какую-либо произвольную кри-
кривую, проходящую через любую фиксированную точку этого прост-
пространства; тогда из A.78) с учетом
24
dx"
ds дх" ds
найдем
$ dx"
Так как является произвольным контравариантным вектором
и ?— есть контравариантныи вектор, то на основании теоремы
о признаке тензора заключаем, что выражение в круглых скобках
представляет собой смешанный тензор второго ранга. Этот тензор
называется ковариантной производной вектора ВР и обозначается
через Bfn; здесь запятая перед индексом п указывает на диффе-
дифференцирование по хп. Следовательно,
B^^ + TlB*. A.79)
Аналогичным образом получим ковариантный тензор второго ранга
^П A.80)
Этот тензор называется ковариантной производной вектора 5р.
Распространим эти результаты на дифференцирование тензора.
Рассмотрим произвольные параллельные векторные поля В™, С",
определенные вдоль некоторой кривой. Пусть Атп есть тензор вто-
второго ранга, определенный вдоль той же кривой. В каждой точке
этой кривой АтпВтСп дает скаляр, поэтому его производная по s
есть также скаляр
~{АШВ С) ~В С +Атя — С +A^B — .
Исключив при помощи A.70) производные векторов, получим
d тГ"\ йА * А^
<- ) — \
ds V ds ds ds I
Следовательно, на основании теоремы о признаке тензора заклю-
заключаем, что в правой части выражение в скобках есть тензор того же
типа и ранга, что и Атп. Его называют абсолютной производной
тензора Атп и обозначают через —— . Тогда
ъ$
ЬАт„ __ dAw, рл . dx' гя . dxt n ft11
Is ds ds ds
Рассмотрим тензорное поле в некотором пространстве. Если в
нем возьмем какую-нибудь кривую, проходящую через любую точ-
25
ку этого пространства, то выражение A.81) вдоль этой кривой бу-
будет тензором.
Учитывая, что
ds дх$ ds '
формуле A.81) придадим вид
дАтп \ dx* n й9.
ГА ГЛта —-— . A.0^)
/ ds
Принимая во внимание, что A.82) представляет собой тензор и
есть произвольный контравариантный вектор, на основании
теоремы о признаке тензора заключаем, что выражение в скобках
есть тензор, имеющий на один ковариантный индекс больше, чем
Лтп; этот тензор называется ковариантной производной тензора
Атп и обозначается через Атп#. Здесь запятая указывает на диф-
дифференцирование по х&, следовательно,
Указанным способом можно вычислить абсолютную и ковари-
антную производные тензора любого типа и сколь угодно высокого
ранга. Так, например, если тензор задан контравариантными ком-
компонентами Атп, то
^ Ат\ A.84)
Вычислим вторую ковариантную производную ковариантного
вектора Вг, т. е. с помощью формулы A.83) определим ковариант-
ковариантную производную тензора Br>s
&B
dx'dxs
дх* ¦ Л ' дх*дх*
Переставим в этой формуле индексы s и t и вычтем одно выраже-
выражение из другого. Пользуясь свойством симметрии символов Кристоф-
феля, будем иметь
Br,si-Br,ts=RPrstBv, A.85)
где
^А ЯГЙ.-ГЙГ^. A.86)
В A.85) левая часть является тензором и Вр есть произвольный
ковариантный вектор; на основании теоремы о признаке тензора
ЗА
заключаем, что RpTst является также тензором. Тензор Rp ш, кото-
который носит название тензора Римана — Кристоффеля, составлен
только из ковариантного метрического тензора gmn и его производ-
производных до второго порядка включительно.
Опустим в A.85) индекс р, тогда
т*т rr 1Гт±Г'?1Г Г!1
где
1
Гт±Г'?1Г Г"
,t rs~T x r p.ms— * r
Г\
2 \ йлл <?лгт дхр
дх
отсюда
*-p.ms I x m.ps'
Учитывая, что
Tim I Vm\ Tm &Pm
'р™~ГТГ":
dxs y&pm dx* dxs p'Tt p'ms m^sh
найдем
n " p " T _LPmr VmV
pTSt~~dx^ p'rt dxt P-™<rSla-Pt yrilm.p$'
Введем под знаки производных в последнем равенстве выражения
TP,ms и учтем формулу A.64). Тогда
d2g* d4ri \
P - A -87)
Из последних формул непосредственно вытекают следующие свой-
свойства:
Rp,St=~Rprf*> *ДГ« = О. (Ь88)
Равенства, находящиеся в первых двух строках, выражают анти-
антисимметричность тензора Rprst относительно каждой пары индексов
р, г и s, t. Учитывая свойства A.88), после подсчета получаем, что
из 81 компонента тензора Римана— Кристоффеля остается только
шесть независимых компонентов Rnu, R\z\z, ^2323. ^1213, ^si23> ^3132-
Известно, что во все евклидово пространство можно ввести де-
картову систему координат. Так как в последней компоненты мет-
метрического тензора постоянны, а следовательно, символы Кристоф-
27
феля обращаются в нуль, то из формул A.87) имеем
Rprst=0. A.89)
Таким образом, условия A.89) являются необходимыми услови-
условиями евклидовости пространства.
Можно показать и обратное. Если тензор Римана—¦ Кристоффе-
Кристоффеля во всех точках пространства обращается в нуль, то в этом
пространстве можно выбрать такие координаты х1, х2, хъ, чтобы квад-
квадратичная форма приняла вид ds2=gihdxixh с постоянными коэф-
коэффициентами. Постоянство этих коэффициентов указывает на евкли-
довость пространства. Следовательно, равенство нулю тензора Ри-
Римана — Кристоффеля является достаточным условием того, чтобы
пространство было евклидовым.
Выше было показано, что в трехмерном пространстве тензор Ри-
Римана — Кристоффеля имеет только шесть независимых компонен-
компонентов. Следовательно, условия A.89) могут быть заменены шестью
независимыми условиями вида
Rprst=Q(prst=1212, 1313, 2323, 1213, 2123, 3132) A.90)
Таким образом, условия A.90) являются необходимыми и доста-
достаточными условиями евклидовости пространства.
Выведем формулу Гаусса — Остро градского в криволинейной
системе координат.
Формула преобразования интеграла по объему в интеграл по
поверхности в прямоугольной системе координат — формула Гаус-
Гаусса — Остроградского,— как хорошо известно, имеет вид
дак Л~
dxk
A.91)
где ш—замкнутая поверхность, ограничивающая объем т, 4— на-
направляющие косинусы внешней нормали к поверхности ю.
Возьмем теперь криволинейную систему координат xk и пусть
Ак обозначает контравариантный вектор, определяющий в системе
координат хк вектор а&. Учитывая, что величина Akk является ска-
скаляром, будем иметь
Н
Обозначим через пи ковариантные компоненты единичного век-
вектора внешней нормали, составляющие которого в системе коорди-
координат Xh равны Ik.
С другой стороны,
Aknk=ablk. A.93)
Следовательно, из A.91), с учетом A.92) и A.93), получим
j A%dx=J A%dm. A.94)
1 to
28
В заключение рассмотрим е — тензор. Пусть составляющие
объекта ersi изменяются по знаку, но не по абсолютному значению,
при перемене мест двух индексов. При этом, очевидно, составляю-
составляющие символа erst могут иметь следующие значения: 0, когда любые
два индекса равны; +1, когда rst является четной перестановкой
чисел 1, 2, 3, и —1, когда rst является нечетной перестановкой чи-
чисел 1, 2, 3.
Рассмотрим определитель \ars\. Здесь верхний индекс означает
строку, а нижний—столбец. Если определитель развернуть по
столбцам, то он будет равен
Здесь суммирование производится по индексам i, j, k, которые об-
образуют перестановки чисел 1, 2, 3, а знак плюс или минус ставится
в соответствии с четностью или нечетностью перестановки этих чи-
чисел. На основании определения е — символов,
Рассмотрим сумму
(i, j, k, a, p, Y=
Учитывая, что индексы i, j, k являются индексами суммирования,
будем иметь
Таким образом, перестановка индексов а и -у приводит к перемене
знака. Это остается в силе и для других индексов. Следовательно,
рассматриваемая сумма антисимметрична относительно индексов
а, р, у, т. е.
е,#о1аИ= lell^T- A-95)
Если в формуле A.95) положить aj=^zrr и учесть, что якобиак
дх!
——
дх'
ф U, то получим
дхг
дх* дх* дх*1
дх1 дх> дхх"
Введем новую координатную систему yl = y!(x1, х2, х3) и со-
дхг '
ставим выражение el
получим
ду
—А. Тогда на основании формулы A.96)
dx?
-1-
дх*
ду1
а?
ду1
dxs
или после сокращения на
дхг
ду*
дхг
О будем иметь
dx* дР дх1
? ду) ду*
Отсюда на основании определения тензора величины eijk
дхг
представляют тензор, его обозначают через
Введем теперь три некомпланарных вектора А\ В\ Ск. Из опре-
определения смешанного произведения следует
А•(ВXС)=A'et(В'е,XCkek)= дх'
дх1
A.97)
Глав а
ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИИ
Первоначально Коши и Навье рассматривали твердое тело как
систему материальных частиц. При этом каждую пару материаль-
материальных частиц полагали связанной между собой силами взаимодейст-
взаимодействия, направленными по прямой, соединяющей их и линейно зави-
зависящими от расстояния между частицами. При том уровне, на ко-
котором находилась физика в начале XIX столетия, описать таким
способом упругие свойства реальных тел не удалось. В настоящее
время существуют строгие физические теории, позволяющие опре-
определить упругие свойства кристаллов различного строения, отправ-
отправляясь от рассмотрения сил взаимодействия между атомами в кри-
кристаллической решетке. Более простой путь, по которому следует
современная теория упругости, состоит в том, чтобы рассматривать
распределение вещества тела непрерывно по всему его объему; это
позволяет перемещения материальных точек принимать за непре-
непрерывные функции координат.
Для вычисления силы взаимодействия между материальными
частицами, расположенными по одну сторону от произвольной пло-
площадки, мысленно выделенной внутри тела, и частицами, располо-
расположенными по другую сторону этой площадки, оказалось целесооб-
целесообразным ввести понятие об осредненной силе взаимодействия между
ними.
Погрешность, полученная от указанной абстракции, может быть
существенной в случае определения взаимных перемещений точек,
первоначальные расстояния между которыми сравнимы с расстоя-
расстояниями между материальными частицами, и при определении силы,
действующей на площадку, соизмеримую по величине с квадратом
расстояния между материальными частицами.
При решении практических задач о деформации твердого тела
эта абстракция не вносит ощутимых погрешностей, чем и оправды-
оправдывается замена твердого тела непрерывной сплошной средой.
§ 7. Виды внешних сил
Различают два вида внешних сил, действующих на тело:
1. Поверхностные силы — это силы, которые возникают в точках
поверхности тела.
Пусть на элемент da поверхности тела действует сила dP, тогда
вектор
^Г=ТЯ B.1)
3\
представляет собой силу, отнесенную к единице площади поверх-
поверхности тела в точке М (рис. 1). Она называется интенсивностью
поверхностной силы и размерность ее сила/длина2.
Главный вектор и главный момент поверхностных сил, прило-
приложенных ко всей поверхности со, на основании их определения,
будут
V= j Tnd<*, B.2)
B.3)
Здесь Г —поверхностный интеграл; г — радиус-вектор точки при-
прись
ложения силы относительно произвольно выбранного начала коор-
координат.
Рис. 1
Рис. 2
Примером поверхностных сил может служить давление жидко-
жидкостей или твердых тел, соприкасающихся с данным телом, давле-
давление света и др.
2. Массовые силы — это силы, которые действуют на элемент
массы тела (рис. 2). Пусть на массу dm=pdx, заключающуюся в
элементе объема dx тела, действует сила dQ. Тогда вектор F=
dQ - „
=—— представляет собой силу, отнесенную к единице массы в
dm.
данной точке.
Рассматриваются также объемные силы /•*, которые определя-
определяются формулой
dx
dm.
B.4)
Главный вектор и главный момент объемных сил, приложенных
ко всему объему т, будут
j> B.5)
32
B.6)
Здесь j —объемный интеграл.
Типичным примером массовых сил служат силы тяготения. Если
ось #з направим вертикально вниз, то сила тяжести, отнесенная к
единице объема, будет
B.7)
§ 8. Метод сечений. Вектор напряжения
В недеформированном теле расположение частиц соответствует
состоянию его теплового равновесия. Если выделить из этого тела
какой-нибудь объем, то все силы, действующие на него со стороны
других частей, будут уравновешенными. Под действием же внеш-
внешних сил расположение частиц в теле меняется, т. е. тело деформи-
деформируется, в результате чего возникают внутренние силы. Для опре-
определения последних применяется так называемый метод сечений.
Пусть имеем деформируемое тело, находящееся в равновесии под
действием внешних сил. Мысленно рассечем его некоторой поверх-
поверхностью mm на две части. Отбросив одну часть, заменим ее дейст-
действие на оставленную распределенными по поверхности сечения вну-
внутренними силами связи между частицами тела, лежащими по обе
стороны сечения (рис. 3). Теперь силы, действующие в точках по-
поверхности сечения, могут быть отнесены к внешним поверхностным
силам. Для равновесия оставшейся части эти силы должны быть
выбраны так, чтобы с заданными силами, действующими на рас-
рассматриваемую часть тела, они составляли уравновешенную систему
сил. Обозначим через А V, AL соответственно главный вектор и
главный момент сил, распределенных по элементу поверхности Дю
сечения mm с нормалью п в точке М. Направление нормали п к
элементу поверхности Аи будем считать положительным, если она
направлена от оставшейся части к отброшенной.
Полагая, что в рассмотренной нами модели сплошной среды
между ее частицами осуществляется только центральное воздейст-
воздействие, имеем
Вектор Тп называется вектором напряжения на элементе по-
поверхности с нормальюп в точке М.
При рассмотрении модели среды, введенной Фойгтом в 1887 г.,
предполагается, что между ее частицами, помимо обычного цент-
центрального воздействия, осуществляется еще и вращательное. Тогда,
кроме вектора напряжения Т п, будет существовать и вектор мо-
ментного напряжения Мп, равный
На последней модели мы не останавливаемся.
33
Размерность вектора напряжения, как это следует из его опре-
определения, будет сила/длина2.
Вектор напряжения Тп может быть разложен на две состав-
составляющие:
1, Нормальная составляющая, направленная по нормали п, на-
называется нормальным напряжением и обозначается через ап-
2. Касательная составляющая, направленная по касательной к
кривой пересечения плоскости, проходящей через Тп ил, с поверх-
поверхностью сечения, называется касательным напряжением и обозна-
обозначается через тп (рис. 4).
Рис. 3
Рис. 4
Нормальное напряжение принято считать положительным, если
его направление совпадает с направлением внешней нормали к
поверхности сечения в данной точке, и отрицательным — в против-
противном случае.
Если направление вектора напряжения Тп совпадает с нор-
нормалью к поверхности сечения в данной точке, то
В этом случае нормальное напряжение называется главным нор-
нормальным напряжением, а площадка, на которой действует это на-
напряжение,— главной площадкой в данной точке.
Напряжение, отнесенное к поверхности элемента Ло с нор-
нормалью п , в недеформированном состоянии называется условным
напряжением, а напряжение, отнесенное к поверхности элемента
dw' с нормалью п', в деформированном состоянии — истинным на-
напряжением.
Пусть вектор напряжения Тп характеризует действие тела А на
тело В, передающееся через элемент поверхности сечения с нор-
нормалью п, а напряжение Т-п характеризует действие тела В на
тело А, передающееся через тот же элемент поверхности (рис. 5).
На основании третьего закона Ньютона имеет место равенство
B.8)
34
§ 9. Тензор напряжений
Выберем в теле некоторую точку Р и проведем через нее коор-
координатные линии произвольной криволинейной системы коорди-
координат хк.
Рассмотрим в точке Р тетраэдр, мысленно выделенный из не-
деформированного тела тремя координатными поверхностями, опре-
определяемыми ковариантными базисными векторами ek и поверх-
поверхностью, внешней нормалью к которой служит некоторое направ-
направление п (п — единичный вектор), проходящее через ту же точку Р
(рис. 6).
Рассмотрим движение тетраэдра. Обозначим через йщ, da>2,
da3 и da соответственно площади поверхностей СРВ, АРС, АРЕ
-п
Рис. 5
Рис. 6
и ABC. На указанных поверхностях, нормалями которых служат
соответственно векторы взаимного базиса ек и единичная нормаль
п, действуют силы—Thda (А = l, 2, 3) и T ndw, где It и Тп —
векторы напряжения в координатных площадках с нормалями ек
и п. Кроме того, массовая сила выделенного элемента равна
р^— W)dx (здесь W —ускорение; р — плотность материала неде-
формированной среды).
На основании принципа отвердевания и начала Даламбера
уравнение движения тетраэдра будет иметь вид
O. B.9)
Здесь во втором слагаемом суммирование ведется по индексу k от
1 до 3. Поскольку для тетраэдра сумма векторов площадей равна
нулю, то
¦*—й-1- <2ЛО>
Учитывая, что е *•ek=ghh и n—nkeh (tik — ковариантные компо-
компоненты единичного вектора), вместо B.10) будем иметь
35
откуда
Подставим это в B.9), тогда
Пусть при постоянном направлении п расстояние от точки Р
до поверхности ABC стремится к нулю. Принимая во внимание, что
-+ U, из последнего уравнения найдем
dm
Ta = Vl^Tknk. B.11)
Вектор напряжения Tk может быть представлен тремя состав-
составляющими по отношению к векторам ковариантного базиса ет, т. е.
П='% B.12)
Подставляя B.12) в B.11), получим
Та = а»*П0т. B.13)
Учитывая, что Тп = Т™ет, где Т™ — контравариантные компо-
компоненты вектора напряжения, найдем
7?=о*тя*. B.14)
В B.13) двойное суммирование ведется по индексам k и пг, а в
B.14) —одинарное суммирование по индексу k.
Формула B.14) определяет контравариантные компоненты век-
вектора напряжения на площадке, заданной нормалью п, поэтому на
основании теоремы о признаке тензора заключаем, что величины
okm составляют контравариантные компоненты тензора второго ран-
ранга. Тензор ohm называется контравариантным тензором напря-
напряжений.
§ 10. Уравнения движения и равновесия
в компонентах тензора напряжений
Известно, что для составления уравнений движения абсолютно
твердого тела необходимо и достаточно приравнять нулю главный
вектор и главный момент действующих на него внешних сил и сил
инерции.
Для того, чтобы составить уравнения движения деформируе-
деформируемого тела, необходимо и достаточно приравнять нулю главный век-
вектор, главный момент сил и сил инерции, приложенных к каждой
части тела, которую можно мысленно из него выделить.
Равенство нулю главного вектора, главного момента указанных
сил налагает определенные условия (к нахождению которых мы
переходим) на изменение компонентов тензора напряжений при
переходе от одной точки тела к другой. В дальнейшем будем пред-
36
полагать, что компоненты тензора напряжений непрерывны и име-
имеют непрерывные частные производные во всех точках тела. Мыслен-
Мысленно вырежем внутри тела некоторый произвольный объем т, огра-
ограниченный достаточно гладкой поверхностью со. Главный вектор и
главный момент объемных сил pFdx, действующих на элемент
объема dx, выделенного из объема т., сил инерции — pWdx, прило-
приложенных к этому элементу в случае динамической нагрузки, и по-
поверхностных сил 7\ndco, действующих на элемент da, должны рав-
равняться нулю, т. е.
J ^^=0. B.15)
XTn)d«>=0. B.16)
Так как компонент силы p(F—W)dx в направлении единичного век-
вектора v равен vp(F— W)dx и компонент силы Тлйа в том же направ-
направлении равен vTndd), вместо B.15) можно написать
?v>. = O. B.17)
Учитывая B.14) и формулу Гаусса — Остроградского A.94),
поверхностному интегралу в B.17) придадим вид
j JVff. B.18)
Подставив это в B.17), получим
Отсюда в силу непрерывности подынтегральной функции, произ-
произвольности вектора vm и объема т следует, что подынтегральная
функция должна обращаться в нуль в каждой точке тела
B.19)
Если тело находится в равновесии, то ускорение элемента dx бу-
будет равно нулю, и уравнение примет вид
«?Г + pFm = O- B.20)
Здесь a ,*m — ковариантная производная тензора напряжений алт\
суммирование производится по индексу k от 1 до 3.
Уравнения B.19) и B.20), связывающие изменение компонентов
тензора напряжений с массовыми силами в любой точке внутри
* Для параллельного в области т векторного поля
^¦-ЦА-о.
37
тела, соответственно называются уравнениями движения и уравне-
уравнениями равновесия дефомируемого тела в контра вариантной форме.
Эти уравнения, в которые входят девять компонентов тензора на-
напряжений, являются неоднородными уравнениями первого поряд-
порядка в частных производных. В случае отсутствия массовых сил эти
уравнения будут однородными.
Так как компонент момента гхр(^—W)dx в направлении еди-
единичного вектора v равен v-rXp(/7—W)dx, компонент момента
rxTndti> в том же направлении равен v г XTndu> и радиус-вектор
точки г можно представить в виде г = Vej, то с учетом формулы
A.96) вместо B.16) напишем
.=0. B.20')
Принимая во внимание формулу B.13) и формулу Гаусса — Остро-
Остроградского A.94), поверхностному интегралу в уравнении B.20')
придадим вид
Так как e,7ft,m=0* и vfm = O, уравнение B.20') запишем в виде
Так как a,™-\-pFl = pW!, поэтому
На основании формулы/,}=8}**, произвольности объема t и не-
непрерывности подынтегральной функции имеем
Заметив, что &цк = —ецк, последнему соотношению придадим вид
Развернув это выражение, 'будем иметь
(a23 _ a32)vl_J_@31 _ 013)v2+(
* Так как е^л в декартовой системе координат константа, то в этой систе-
системе координат ejj(,,m=O, что остается справедливым и для любой другой системы
координат.
** Данная формула вытекает из соотношения
38
Так как направление v произвольно, заключаем, что
9Ш=ЬтМщ B.21)
Таким образом, доказана симметричность тензора напряжений.
Следовательно, тензор напряжений, характеризующий напряжен-
напряженное состояние в данной точке, определяется шестью независимыми
компонентами.
§ 11. Условия на поверхности
В предыдущем параграфе было указано, что необходимым и
достаточным условием равновесия деформируемого тела является
равенство нулю главного вектора и главного момента сил, прило-
приложенных к каждой части тел, которую можно мысленно из него
выделить. Это должно остаться в силе и для частей тела, имеющих
общую с поверхностью тела поверхность. Будем считать, что ком-
компоненты тензора напряжений непрерывны вплоть до границы.
Условия равновесия бесконечно малого тетраэдра (см. рис. 6),
когда поверхность ABC совпадает с поверхностью тела, дают связь
между тензором напряжений и внешними силами. Эта связь имеет
вид B.13) или B.14) с той лишь разницей, что в этих формулах
п будет внешней нормалью к поверхности тела в данной точке. Эти
условия называются поверхностными или граничными условиями.
Таким образом, из необходимого и достаточного условия равен-
равенства нулю главного вектора и главного момента сил, приложенных
к каждой части тела, включая части тела, имеющие общую по-
поверхность с поверхностью тела, вытекает, что шесть компонентов
тензора напряжений должны удовлетворять внутри тела трем диф-
дифференциальным уравнениям B.19) в случае динамической нагруз-
нагрузки или B.20) — в случае статической нагрузки и трем поверхност-
поверхностным условиям B.14).
Следует отметить, что шесть компонентов тензора напряжений
из системы трех дифференциальных уравнений определяются неод-
неоднозначно. Каждое решение из бесконечного множества решений
этой системы, удовлетворяющее трем граничным условиям, соот-
соответствует некоторому статически возможному напряженному со-
состоянию.
Следовательно, под действием приложенных внешних сил мо-
может возникнуть бесчисленное множество статически возможных
напряженных состояний. Таким образом, задача о нахождении на-
напряженного состояния в теле является статически неопределимой.
Ниже (гл. V) будет показано, каким образом из бесконечного
числа статически возможных напряженных состояний будет выде-
выделено реальное напряженное состояние.
§ 12. Уравнения движения и равновесия
в декартовой системе
координат
Пусть Хи — оси декартовой прямоугольной системы координат,
проведенные через некоторую точку нагруженного тела. Тогда ко-
39
вариантные и контравариантные компоненты вектора и тензора
напряжений совпадут друг с другом и, в силу формул A.55), A.56),
будут равны физическим компонентам, а формулы B.14) при-
примут вид
Здесь Tnh — компоненты вектора напряжений Тп, действующего на
площадке, проходящей через заданную точку тела, внешняя нор-
нормаль к которой составляет с осями координат углы (я, хп);
фф
компоненты аффинного ортогональ-
ортогонального тензора напряжений, причем
Okk (не суммировать) —нормальные
к координатным площадкам напря-
напряжения; атк(тфк) —касательные
напряжения.
Симметричность тензора напря-
напряжений выражает закон парности ка-
касательных напряжений: в любой
точке тела на двух взаимно перпен-
перпендикулярных площадках касатель-
касательные напряжения перпендикулярны
к линии пересечения площадок, рав-
равны по величине и направлены в противоположные стороны (рис. 7).
Повернем оси охк вокруг начала кооординат, тогда в силу A.13)
будем иметь
„' —<j _„ a.t (9 231
(arm — косинус угла между осями хт и хт).
Учитывая, что a2rs=l, аГ5а^ = O (r#j), где суммирование ведет-
ведется по индексу s, из B.23) получим
Следовательно, сумма нормальных компонентов напряжений, дей-
действующих на три взаимно перпендикулярные площадки, не зави-
зависит от их ориентации в данной точке.
В декартовой прямоугольной системе координат, благодаря то-
тому, что символы Кристоффеля обращаются в нуль и ковариантные
компоненты вектора и тензора напряжений совпадают с физиче-
физическими компонентами, уравнения движения B.19) и равновесия
B.20), соответственно примут вид
С>°п
Эти уравнения могут быть записаны и в следующем виде:
B.24)
B.25)
B.26)
40
в случае движения,
UlvTk + pFk = O B.27)
в случае равновесия.
Здесь Т h= irOhr — вектор напряжения на координатной площад-
площадке Xh — i
§ 13. Уравнения движения и равновесия
в цилиндрических и сферических
координатах
Часто бывает удобно пользоваться уравнениями движения и
равновесия в цилиндрической и сферической системах координат.
Физические проекции силы рFи ускорения W в цилиндрической
Рис. 8
системе координат соответственно обозначим через p/v, pFy, pF3 и
Wr, Wy, W5, а физические проекции тензора напряжений в той же
системе координат —через а,г, о^, О3З, оГф, сггз, (тф3 (рис. 8).
На основании формул A.49) и A.50) с учетом того, что в ци-
цилиндрической системе координат компоненты ковариантного метри-
метрического тензора
имеем
/¦2
JTf
В силу A.84)
откуда, при k=1, с учетом B.28), будем иметь
;з)
B.28)
B.29)
Используя A.64), найдем
Тогда
ail д°" | * fof | <?д3г | aff — V
°,m=— Г~Т"Т •
дг г Af дх3 г
Подставляя это равенство в B.19), получим первое уравнение дви-
движения
Аналогично выводятся два других уравнения движения
Физические проекции объемной силы и ускорения в сфериче-
сферической системе координат соответственно обозначим через pFr, pFv,
pF$, и Wr, Wy, W$, а физические проекции тензора напряжений в
той же системе координат — через агг, о^, с^, аГф, а^а^г (рис. 9).
В этой системе координат gn — Hi2=l; g33 = H22 = r2, g22 = H32 =
= r2sin2\j), ^12=Я2з=^з1 = 0- Учитывая эти соотношения, из формул
A.49) и A.50) найдём
rsin
/- sin ф г
/• sin ^ л2sinф r
Из B.19), A.64) и A.84) получим уравнения движения
42
Если положить H7r=№<p=W3 = 0 и ^=^=^=0 в уравнениях
B.30) и B.31), то мы получим уравнения равновесия в компонен-
компонентах тензора напряжений соответственно в цилиндрической и сфери-
сферической системах координат.
Рис. 9
§ 14. Определение главных
нормальных напряжений
Возьмем прямоугольную декартову систему координат oXh. На-
Направление, определяемое единичным вектором п с компонентами
fe=^cos (я, Хк), называется главным направлением симметричного
тензора напряжений arh, если вектор он«л параллелен вектору п
где а — скалярная величина.
Последнее соотношение зашишем в виде
B.32)
Равенства B.32) относительно пи представляют линейную одно-
однородную систему трех уравнений. Условием существования ненуле-
ненулевых решений является равенство нулю определителя, составленного
из коэффициентов этой системы
=0.
B.33)
Докажем теперь, что все его корни вещественны; обозначим их
через <jj(/=l, 2, 3). Предположим противное: пусть ai = ai + i$i и
соответствующие значения Пи= р ь, + iQh; подставим это в B.32).
Если затем сравним действительную и мнимую части, то получим
43
Умножим первое равенство на qr, а второе — на рг и просуммиру-
просуммируем по г от 1 до 3. Вычитая один результат из другого и учитывая
симметричность аги, 6rft, получим
Pi(WW* + 8,»?,fc) = 0. B.34)
Учитывая, что не все рь Як равны нулю и каждое слагаемое внутри
скобок B.34) положительно, приходим к выводу, что Рг==О. Следо-
Следовательно, корни уравнения B.33) всегда действительны и соответ-
соответствующие им значения nkl, будучи решениями системы линейных
уравнений с действительными коэффициентами B.33), также будут
действительными. Величины oi называются главными компонента-
компонентами тензора напряжений, а пи1 являются их направляющими коси-
косинусами.
Предположим, о/, ор — два неравных корня, а пт1, пгр — соответ-
соответствующие значения пг, тогда из B.32) найдем
(«*r-^J«? = 0, B.35)
r-°A,)«r'=0. B.36)
Здесь по индексам I и р суммирование не производится. Если ум-
умножим B.35) на Ль?, а B.36) на nhl, то, вычитая один результат из
другого, а затем принимая во внимание симметричность Ohr и бы,
получим
Так как в1ф>оР, то
Таким образом, в этом случае главные направления тензора
напряжений ортогональны и определяются единственным образом.
Если уравнение B.33) имеет два одинаковых корня, например,
Сг1=02) то направление я3, соответствующее третьему главному на-
направлению, будет перпендикулярно плоскости я1, я2.
Следовательно, любые два взаимно ортогональные направления,
лежащие в плоскости, перпендикулярной кй3, могут быть приняты
за соответствующие главные направления. Если, наконец, все три
главные напряжения равны между собой, то любые ортогональные
направления можно принять за главные.
Теперь кубическое уравнение B.33) запишем в виде
аз_/1а2 + /2а_/з= = о. B.37)
По свойству корней кубического уравнения соотношения между
корнями и коэффициентами имеют следующий вид:
0
0
°s
4-
"Г
°i
0
°|+
°1
0
0
44
, о о
о % О
О 0 о-
Возьмем матрицу С в виде
Определитель этой матрицы представляет собой левую часть урав-
уравнения B.33), записанную в произвольной криволинейной системе
координат xh.
Рассмотрим непрерывные взаимно-однозначные преобразования
координат xh = xh {х\ х2, х3). Согласно преобразованию смешанных
тензоров A.12) мы имеем
i _-р дх« дх1
' " дх} дхр '
Введем здесь обозначения
dx* а дх' .г
дх' дхр
тогда
с=|сНЧ^МН^11^1
Отсюда заключаем, что детерминанты матриц С и С равны. Таким
образом, уравнение
loS<-o)l = O B.38)
инвариантно относительно выбора системы координат и корни его
всегда определяют главные компоненты тензора напряжений. Сле-
Следовательно, коэффициенты уравнения B.37) являются инварианта-
инвариантами относительно преобразования координат, так как они полностью
определяются корнями, т. е. главными значениями тензора напря-
напряжений. Раскрывая B.38), получим формулы для инвариантов
h=eie2 Л- «2«з+Ча 1 = —
Если координатные оси совместить с главными направлениями
тензора напряжений, то в этой системе координат компоненты Okr
(кфг) обратятся в нулю; остаются лишь действующие на этих пло-
площадках нормальные напряжения Oh-
Глава
ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ
§ 15. Тензор конечной деформации
Рассмотрим непрерывную среду S, в которой выбрана криволи-
криволинейная система координат хт (г=1, 2, 3). Если совокупность неко-
некоторых функций координат определяет удлинение любого бесконеч-
бесконечно малого прямолинейного материального отрезка, проходящего
Рис. Ю
через заданную точку, то будем говорить, что эти функции опре-
определяют деформацию окрестности этой точки.
Пусть координатные линии, выбранные в среде в ее начальной
конфигурации, состоят из материальных точек той же среды. Будем
считать, что в процессе деформирования координатные линии про-
продолжают состоять из тех же материальных точек. В результате
деформации данная система координат Рх[х1хъ с ковариантными
базисными векторами ?&, искажаясь непрерывно вместе со средой,
в одной из последующих конфигураций 3 примет некоторое поло-
положение. Конфигурация S может быть принята в качестве новой си-
системы координат Рх1х2х3 с базисными векторами еь.- В качестве
системы отсчета, в которой определено перемещение, возьмем си-
систему координат ох0]х02хо3 с векторами базиса eh° (рис. 10). Систе-
Систему о*о'*о2*о3 можно выбрать по усмотрению, а из систем координат
46
хг и хг произвольно можно выбрать только одну: если выбрана си-
система хг, то система хт определится деформацией и наоборот.
Согласно ф«(рмуле A.27) для квадратов линейных элементов
конфигураций S ч S соответственно имеем
ds2=gnkdx"dxk, ds2=gnkdxndxk. C.1)
Здесь gnh, gnk — ковариантные метрические тензоры соответствен-
соответственно в S и 5; dxn — компоненты бесконечно малого вектора PQ,
определяющего положение точки Q относительно точки Р, a dxn —
компоненты вектора PQ (см. рис. 10), который в силу непрерывно-
непрерывности является бесконечно малым.
Деформированное состояние тела определяется разностью
ds2— ds2=g
На основании A.6) этой разности придадим вид
d72—ds2=2znkdxndxk, C.2)
где
t ,. =— Ср ь — s Л C 3}
в свою очередь,
gagim.Г
дхя дхк
Из C.2) видно, что ъпц являются компонентами симметричного
ковариантного тензора второго ранга, который называется тензором
деформации. Когда все ЕПА=0 ДЛЯ всех точек, то ds = ds и тело не
деформируется. Относительное удлинение линейного элемента dsn
вдоль координатной линии хп, по определению, равно
Согласно формулам A.40)
n, dsn=V~gTndxn. C.6)
Учитывая C.6) в C.5), получим
_
Отсюда, используя C.3), найдем
+f^— Ь C-7)
Здесь по индексу « суммирование не производится; корень взят
со знаком плюс, так как при епп = 0 относительное удлинение рав-
равно нулю.
47
Косинус угла 0пь между двумя линейными элементами dsn и
dsh, которые до деформации были направлены вдоль координатных
линий хп и хк, согласно формулам A.54), A.6) и C.6) определит-
определится по формуле
cos ^
В силу C.4) этой формуле придадим вид
cos 6^= j*_
Определив из C.3) gnh и подставив в последнюю формулу, найдем
„*=—.. gnt + ^nk _ C.8)
Формулы C.7) и C.8) показывают, что шесть компонентов тен-
тензора деформаций, определяемые формулами C.3), позволяют пол-
полностью вычислить удлинения вдоль координатных линий, исходя-
исходящих из некоторой точки тела, и угол между двумя линейными
элементами после деформации, которые до деформации были на-
направлены вдоль координатных линий xh. Так как угол между ко-
координатными линиями до деформации известен, то определится и
изменение этого угла.
Теперь через компоненты вектора перемещения и определим
компоненты тензора деформации гпи- Из рис. 10 видно, что
г = г + и. C.9)
Пусть е п, еп являются соответственно базисными векторами, тогда
на основании A.26)
дхк дх*
Из векторного уравнения C.9) следует
дх* дх" дх"
Подставляя C.10) в последние соотношения, будем иметь
Так как для конфигурации S и S соответственно
48
то на основании правил скалярного умножения и формул C.4),
C.11) найдем
й да \ да ,
J!L + j!L.J*.. C.12)
Подставив C.12) в C.3), получим
е"*=т(Ся< "+**"а^+л?~' &?*)' (ЗЛЗ)
Относительно системы координат ха вектор и представим в виде
и = а*еа, и = и,е\ C.14)
здесь суммирование производится по индексу а. Тогда, учитывая
A.57), A.79), A.65) и A.80), найдем
где м%, иа,* есть ковариантные производные соответственно контра-
вариантного и ковариантного векторов, равные
и%=^-\-гят»«, «.ift==i!!2—гйи*. C.16)
дх" дхк
Следует отметить, что здесь символы Кристоффеля должны быть
вычислены по метрическим тензорам для конфигурации 5.
Подставляя C.15) в C.13) окончательно будем иметь
По формулам C.17) при помощи ковариантных производных кова-
риантных и контравариантных компонентов вектора перемещения
и в системе направлений базисных векторов еаиеа вычисляются
компоненты тензора деформации.
§ 16. Тензор малой деформации
Если деформации (удлинения и сдвиги), а также углы поворо-
поворота малы по сравнению с единицей и имеют одинаковый порядок
малости (что имеет место при рассмотрении деформации тел, все
размеры которых сравнимы друг с другом по величине), то в об-
общей формуле C.17) можно отбросить, как малые величины, нели-
нелинейные слагаемые. В этом случае тензор деформаций называется
тензором малой деформации и обозначается через enh- Следова-
Следовательно,
«|* = -5-(иЯ|*+и*.я). C.18)
49
Материалы, применяющиеся в технике, за исключением таких,
как резина, некоторые пластмассы и др., сохраняют упругость толь-
только при весьма малых удлинениях и сдвигах. Отсюда ясна прак-
практическая важность тензора малой деформации.
Пусть Q — точка, близкая к точке Р, a Q — ее положение после
перемещения. На рис. 10 РР—и и QQ— Ui представляют собой со-
соответственно перемещения точек Р и Q.
Разлагая иi в ряд в точке Р и пренебрегая членами высших
порядков малости относительно dxn (dxn — контравариантные ком-
компоненты вектора PQ), будем иметь
Из последнего соотношения найдем перемещение du точки Q
относительно точки Р
Представив du=dukek и умножив скалярно обе части приведенно-
приведенного выше равенства на ет, получим
duk=Ub,ndxn, C.19)
где Uh,n — ковариантная производная в точке Р.
Введя обозначения
C.20)
вместо C.19) будем иметь
Из формулы C.20) заключаем, что анп — антисимметричный тен-
тензор, называемый тензором вращения. Перемещение типа ekndxn
возникает вследствие деформации окрестности точки Р, тогда как
перемещение типа u>hndxn возникает вследствие вращения окрест-
окрестности точки Р как абсолютно твердого тела вокруг нее.
§ 17. Уравнения совместности деформаций
Компоненты тензора деформаций, как это явствует из C.17)
или C.18), не являются независимыми, они должны удовлетворять
некоторым условиям. Эти условия могут быть получены в предпо-
предположении, что тело в недеформированной конфигурации находится
в евклидовом пространстве и продолжает оставаться в нем в про-
процессе деформирования. Как известно, необходимое и достаточное
для этого условие состоит в том, что тензор Римана — Кристоффеля
как для недеформированного состояния S, так и для деформиро-
ванного состояния S должен равняться нулю, т. е.
ИЛИ
o. C.21)
Подставляя выражения компонентов тензора Римана — Кристоф-
феля A.87) в C.21), получим
_р f ч 1 / &gm, . <>Ч*р дЧтр ЬЧщ \
i,nQ j,mp) 2 ^ д*дР "г дтдч дпд4 дхтдхр)
m)-0. C.22)
Учитывая здесь C.3) и то, что тензор Римана — Кристоффеля име-
имеет только шесть независимых компонентов #121 R\z\z, Rzm, Я
^2123, ^3132, из C.22) получим шесть независимых уравнений
еш?г + 21^^ - 21>ж„ - гГ^^^ =0, C.23)
где
mnpq: 1212, 1313,2323, 1213,2123,3132.
Эти уравнения указывают на то, что компоненты тензора дефор-
деформаций tnk зависимы. Уравнения, которым должны удовлетворять
компоненты тензора деформаций епь, являются необходимыми и
достаточными условиями того, что конфигурации S и 5 принадле-
принадлежат евклидову пространству.
§ 18. Тензор деформаций в декартовой
системе координат
В декартовой системе координат ковариантные и контравари-
антные векторы совпадают друг с другом; совпадают также кова-
ковариантные производные с обычными производными, так как в этом
случае метрический тензор постоянен, следовательно, символы
Кристоффеля равны нулю.
Таким образом, согласно C.17) в декартовой системе координат
хк компоненты тензора конечной деформации определяются по фор-
формулам
51
Учитывая, что в случае декартовой ортогональной системы коор-
координат gnn=l и gnk = 0, формулы C.7) и C.8) примут вид
C.25)
По этим формулам вычисляются относительные удлинения ли-
линейных элементов, исходящих из некоторой точки среды параллель-
параллельно осям декартовой прямоугольной системы, и углы, образованные
между этими линейными элементами после деформации.
Согласно C.17) или C.24) в декартовой прямоугольной системе
координат Xh компонентами малой деформации будут
2 \ дхк дх„ }
Если рассматривается малая деформация, то из C.25) будем иметь
и*
Таким образом, из еп = епп следует,
что величины еПп суть относительные
удлинения линейных элементов, кото-
которые до деформации были параллельны
соответствующим осям декартовой
прямоугольной системы координат. Ве-
Величины 2еип представляют собой коси-
косинусы углов, образующихся после де-
деформации между двумя линейными
элементами, которые до деформации
были параллельны осям координат.
Имеем
Здесь ykn — угол поворота к оси охп линейного элемента, парал-
параллельного оси охи и равного ——; ynk — угол поворота к оси ох\
дхъ
линейного элемента, параллельного оси охп и равного —— (рис.
II). Значит, 2eitn представляет собой изменение угла между двумя
линейными элементами, параллельными осям охп и охь. (к^п),
В декартовой системе координат компоненты тензора вращения
__ 1 ( дак ди„ \
Повернем оси oxh декартовой прямоугольной системы координат,
новые оси обозначим через охк'. Учитывая, что е\п есть тензор, на
52
основании A.13) имеем е*/= emramftarn, откуда ehh'=ehh, т. е. сум-
сумма относительных удлинений в трех взаимно ортогональных на-
направлениях, исходящих из одной точки тела, не зависит от их ори-
ориентации в данной точке.
§ 19. Компоненты тензоров малой деформации
и вращения в цилиндрических и сферических
координатах
Физические проекции вектора перемещения и в цилиндрической
системе координат (г, ф, х3) обозначим через иТ, щ, и3, а физиче-
физические компоненты тензора деформации — через етг, ?фф, еф3,
е3т. При помощи формул A.49) и A.50) находим
C.28)
Согласно C.20) и C.28) для шести независимых компонентов тен-
тензора малой деформации и тензора вращения будем иметь
диг 1 ди 9ит да3
" — —- , *^рр ¦ , ^33 а >
or г Of r ах3
C.29)
дг
(
2 [дг
( (гй,)
В формулах C.30) введены сокращенные обозначения
«rf=«ns, адтз=<вг, <fiSr=<»T.
Допустим, что Из = 0, а иф и ыг не зависят от координаты
тогда из формул C.29), C.30) найдем
Or r <fy г
53
Эти формулы определяют три компонента тензора деформаций в
случае так называемой плоской деформации относительно плоско-
плоскости Гф в полярных координатах.
В сферической системе координат (г, <р, ^) физические компо-
компоненты вектора перемещения « обозначим через uTt щ, щ, а физи-
физические компоненты тензора деформации в той же системе коорди-
координат— через е„, ефф, е^, егч» е^, е^г. Согласно формулам A.49) и
A.50) имеем
C.32)
^ zl~r sin Ф<?+,.
Подставляя C.32) в C.20), найдем
да 1
г sin ^ ду г
C.33)
1/1 to9
Or r
И. + —~
/" sin
= u»=— г(^ IT («f Sin ф)
-|. C.34)
§ 20. Главные относительные удлинения
Определим по аналогии с теорией напряженного состояния в
декартовой прямоугольной системе координат главные направления
54
тензора деформаций, как такие направления, для которых выпол-
выполняются условия
«*.«« = «»*¦ C-35)
Здесь е — скаляр; аи — направляющие косинусы единичного век-
вектора V.
Используя символы Кронекера, систему уравнений C.35) запи-
запишем в виде
(е*„-Л,»К = 0. C.36)
Так как все косинусы одновременно не могут быть равны нулю, то
=0. C.37)
Главные значения тензора деформаций, которые называются глав-
главными относительными удлинениями, являются корнями кубического
уравнения C.37). Направления, соответствующие главным удли-
удлинениям еь ег, е3, взаимно перпендикулярны. Когда имеет место
случай двух равных корней, тогда направления, соответствующие
этим корням, лежат в плоскости, перпендикулярной направлению,
соответствующему простому корню; в этом случае любые взаимно
ортогональные направления, лежащие в этой плоскости, могут быть
приняты за главные. Если все три корня равны, то любые перпен-
перпендикулярные направления можно принять за главные.
Кубическое уравнение C.37) запишем в форме
По свойству корней кубического уравнения соотношения между
корнями и коэффициентами имеют вид
По аналогии с теорией напряженного состояния здесь 1\ , /2,
являются инвариантами. Таким образом,
/а = вЛ + «Л + s2e3 = ~
Первый инвариант тензора деформации в случае малых дефор-
деформаций представляет собой относительное изменение объема. Дейст-
Действительно, возьмем в некоторой точке Р среды главные оси тензора
деформаций. На них построим параллелепипед, имевший до дефор-
деформации ребра, равные dxk. После деформации рассматриваемый
параллелепипед, оставаясь прямоугольным, будет иметь ребра
55
(\+eh)dXk. Объем параллелепипеда до деформации dx = dx\
после деформации
Отбрасывая малые величины высшего порядка, будем иметь
Обозначив изменение объема в точке Р, отнесенное к единице-
объема, или относительную объемную деформацию через 9, полу-
получим
~ dr ~
Учитывая, что li = e\-{-e2 + e$ = e]\+e22 + ew, для относительной объ-
объемной деформации найдем
iv«, C.38)
т. е. 8 = /i есть относительная объемная деформация в точке Р.
Если координатные оси совместить с главными направлениями
тензора деформации, то в этой системе координат компоненты
екг{кфг) обратятся в нуль, останутся лишь действующие на этих
площадках удлинения е^.
§ 21. Уравнения совместности деформаций
в некоторых системах координат
(условия Сен-Венана)
Учитывая, что в случае декартовой системы координат символы
Кристоффеля тождественно обращаются в нуль, уравнения совмест-
совместности C.23) в этой системе примут вид
*. *. *• *- , C.39)
дхпдхр dxmdxq дхтдхр dxndxq
где mnpq: 1212, 1313, 2323, 1213, 2123, 3132.
Уравнения совместности в декартовой системе координат были
получены Сен-Венаном для малых деформаций непосредственно
исключением компонентов перемещения из формул C.26).
Если условия Сен-Венана для произвольного тензора ец выпол-
выполнены, то можно найти такое поле перемещений, для которого е^
является тензором деформаций. В случае односвязного тела пере-
перемещение определяется с точностью до перемещения абсолютного
твердого тела, в случае многосвязного — необходимо выполнение
некоторых дополнительных условий.
Чтобы получить уравнения совместности деформаций в ци-
цилиндрической системе координат, учтем формулы C.28) и A.64)
56
б уравнениях C.23); тогда после некоторых вычислений получим
г дг г дх3 \ №f
§ 22. Определение перемещений
по компонентам тензора
малой деформации
При помощи формул C.26) вычисляются компоненты тензора
малой деформации, когда в декартовой прямоугольной системе
координат заданы перемещения Uk (xu *2, Хз). Для вычисления по-
последних, когда заданы компоненты тензора деформаций еы, сле-
следует решить систему шести линейных дифференциальных уравне-
уравнений в частных производных первого порядка C.26). Чтобы система
была совместной, заданные компоненты ehn должны удовлетворять
так называемым условиям совместности, или условиям интегрируе-
интегрируемости этой системы. Примем, что ед„ — заданные однозначные
функции Xh, имеющие непрерывные частные производные второго
порядка.
Если по данным компонентам тензора деформаций найдены пе-
перемещения uu, то, присоединяя к ним произвольное бесконечно
малое перемещение тела как жесткого целого, получим новые пе-
перемещения, очевидно, также соответствующие данным компонентам
тензора деформаций, так как перемещение тела как жесткого це-
целого никакого влияния на чистую деформацию не оказывает. В силу
этого для определенности дополнительно можно, например, задать-
задаться проекциями вектора перемещения некоторой точки тела и ком-
компонентами тензора вращения в этой точке.
Область задания компонентов тензора деформаций, при помо-
помощи которых в этой же области, занятой до деформации телом,
ищутся проекции вектора перемещения, обозначим через т. При
этом пока будем полагать, что эта область односвязна. Из C.26)
57
и C.27) имеем
Пусть в точке М° {х\, xl, xl) заданы компоненты перемещения
ип и компоненты тензора вращения ш°пк. Из C.41) компоненты
перемещения в точке М'(х[, х'2, х'3) будут
М еы + Щп)йха. C.42)
Здесь интегрирование ведется по произвольной кривой, соединяю-
соединяющей точки М" и М' и целиком лежащей в области т, хп — есть те-
текущие координаты точки этой кривой; следовательно,
dxn=-d(x'n~xn).
Подставим последнее соотношение в C.42); тогда
М' М'
it^ — Ufa ~у" i &jm&Xfi *— i ^kti \*^R — n '*
Интегрируя последний интеграл по частям, получим
М'
Л J \* Г
I fan ft кл\ли it) I »хл J
C.43)
Здесь суммирование ведется также по индексу т. На основании
C.27)
<Чя = 1 д I duk дап \ д 1 / дик . дит
~ 2 дхт[ дхп dxk J дхп 2 [дхт dx
дхт
дх к2\к2\дхт^
дхк 2\к2\дхт^ дх„
Учитывая C.26), найдем
akn
д д
дхт вхя дх„
Подставив это в последний интеграл C.43), окончательно получим
м°
58
По своему физическому смыслу Uk не должны зависеть от пути ин-
интегрирования М°М'; для этого в случае односвязной области необ-
необходимо и достаточно, чтобы подынтегральное выражение представ-
представляло полный дифференциал во всех точках (xi, X2, Х3) и для всех
значений (х/, я/, xz') области т. Эти условия приводят к следую-
следующим соотношениям:
где mkrn: 1212, 1313, 2323, 1213, 2123, 3132.
Таким образом, соотношения C.45) обеспечивают совместность
шести дифференциальных уравнений C.26) для определения трех
функций и^ Эти уравнения совпадают с условиями совместности
Сен-Венана, поэтому условия Сен-Венана также обеспечивают ин-
интегрируемость шести дифференциальных уравнений C.26). С уче-
учетом условий Сен-Венана формулы C.44) определяют ин независи-
независимо от формы кривой интегрирования, лежащей целиком в обла-
области т.
Если тело многосвязно, то интеграл в формуле C.44) может,
вообще говоря, получить конечные приращения, в силу чего не обе-
обеспечивается однозначность перемещений, тогда как они должны
быть однозначными. Многосвязное тело с помощью надлежащих
мысленных разрезов можно обратить в односвязное, тогда при со-
соблюдении условий совместности деформаций Сен-Венана переме-
перемещения Uk, определяемые C.44), будут однозначными функциями,
если кривая интегрирования нигде не пересекает линий разрезов.
При приближении точки М' к какой-либо точке линии разреза с
левого или правого берега Uh будут принимать, вообще говоря,
различные значения. Отсюда становится ясно, что в случае много-
многосвязной области для обеспечения совместности деформаций допол-
дополнительными УСЛОВИЯМИ будут (Ый)л.бер=(«й)пр.бер ВДОЛЬ ВСеХ ЛИНИЙ
разрезов.
Наиболее общее тензорное изложение теории напряжений и де-
деформаций для произвольной системы координат представляет осо-
особую ценность для конечных деформаций. Выведенные общие урав-
уравнения и формулы позволяют нам в дальнейшем составлять их в
необходимых координатных системах.
В дальнейшем будем пользоваться, главным образом, декарто-
декартовой прямоугольной системой координат.
Глава IV
СВЯЗЬ МЕЖДУ НАПРЯЖЕННЫМ
И ДЕФОРМИРОВАННЫМ СОСТОЯНИЯМИ
§ 23. Обобщенный закон Гука
Уравнения, полученные в главах II и III, недостаточны для оп-
определения напряженного и деформированного состояний, возника-
возникающих в теле под действием приложенных сил. Поэтому эти урав-
уравнения должны быть дополнены определенными соотношениями,
связывающими напряженное и деформированное состояния. Эти
зависимости определяются исходя из физических свойств твердого
тела, подвергающегося деформации. Установление связи между
напряженным и деформированным состояниями является одной из
важных задач механики сплошной среды, требующей постановки
предварительных экспериментов. Это связь обычно идеализируется
простейшими математическими формулами.
В процессе деформирования в одних случаях устранение внеш-
внешних сил приводит к полному возвращению тела в естественное
состояние, т. е. деформация обратима, в других же случаях после
устранения нагрузки в теле сохраняются деформации, называемые
остаточными или пластическими, т. е. деформация необратима.
В дальнейшем мы будем изучать вполне обратимые малые дефор-
деформации.
Примем, что в каждой точке рассматриваемого тела существует
взаимно однозначное соответствие между напряженными и дефор-
деформированным состояниями.
Выражая это аналитически, получим шесть зависимостей вида
<>" = /"(*«). D.1)
которые однозначно разрешимы относительно компонентов тензора
деформаций
е" = <р"Ы- D-2)
За недеформированное состояние упругого тела принимается та-
такое его состояние, когда в нем отсутствуют напряжения. Это со-
состояние в дальнейшем берется за начало отсчета напряжений и
деформаций. Ввиду этого функции }1\ а также ф^ обращаются в
нуль, когда их аргументы обращаются в нуль
Для многих материалов зависимости D.1) или D.2) являются ли-
60
нейными, если величины напряжений не выходят за определенный
предел.
Линейный закон связи между напряжениями и деформациями
называется обобщенным законом Гука. Общая запись закона Гука
будет следующая:
aiJ=,ctiUekt. D.3)
Переставим поочередно в D.3) индексы ijkl на jikl, ijlk, jilk;
из условия симметрии тензора напряжений и тензора деформаций
обнаружим симметрию величин
C"W = C"*'=C"" = C*'*, D.4)
которые образуют тензор четвертого ранга. Величины С^ы назовем
упругими коэффициентами тела. Общее число различных коэффи-
коэффициентов С^ы, как можно убедиться, на основании D.4) равно 36.
Упругие коэффициенты зависят от метрического тензора g$j неде-
формированного тела и от его физических свойств. Учитывая, что
« _ *«_ I * ПРИ а==т
@ при афт,
D.3) запишем в виде
На основании правила скалярного умножения d^gkmgm представ-
представляет собой смешанный тензор С'т„ , a eughmgln— контравариант-
ные компоненты тензора малой деформации.
Таким образом, вместо D.3) имеем
°ч=сЦпетп. D.5)
Запишем закон Гука D.3) в виде вц = Сцыеы (в силу симметрии
о*.) и еы справедливы равенства Сцы—Сцы=Сцт=€,ак) и произ-
произведем преобразования, аналогичные вышеприведенным. Тогда по-
получим
ои = СГ]пета. D.6)
Для случая осевого растяжения призматического бруса закон Гука
записывается в виде
где е и е' — соответственно продольная и поперечная деформации,
а С и С — постоянные, равные
Здесь Е — продольный модуль упругости; v—коэффициент Пуас-
Пуассона.
6t
§ 24. Работа внешних сил
Пусть на упругое тело действуют поверхностные силы Тп и
объемные силы рг. Придадим этим силам приращения соответст-
соответственно dTn и pdF. В силу этого вектор перемещения и изменится
на du. Тогда работа dV сил Тп и pFnpn дополнительном дефор-
деформировании тела будет
= J 9Fkdukdx + J
где г — объем тела, a w — его поверхность.
Учитывая, что ТПк = ОкгПг и преобразуя поверхностный интеграл
в объемный, для dV получим
или
В силу того, что
дхт
будем иметь
^fd^dx. {4.7)
В подынтегральном выражении D.7) суммирование ведется по ин-
индексам kиг. Учитывая симметричность тензора напряжений оъ-,
имеем
2 \ дхг дхк j
На основании последнего соотношения для dV окончательно полу-
получим
\rdekrdx. D.8)
Эта формула в условиях статики определяет работу внешних сил
pf и Тп на приращениях компонентов тензора деформаций, вы-
вызываемых изменением упомянутых сил; работа, отнесенная к еди-
единице объема, будет
dA=°krdekr D.9)
§ 25. Потенциал тензора напряжений
По идее Томсона, к изучению процесса деформирования тела
применимы первый и второй законы термодинамики. Предположим,
62
что процесс деформирования тела термодинамически обратим, то-
тогда состояние тела однозначно определяется термодинамическими
переменными.
Если U, Q, A, S суть внутренняя энергия, количество тепла, ра-
работа внешних сил и энтропия, соответственно отнесенные к единице
объема тела, то в случае малых деформаций по первому и второму
законам термодинамики имеем
d(J=dQ+dA, dQ--=TdS. D.10)
Здесь dU, dS — соответственно приращения внутренней энергии и
энтропии представляющие полные дифференциалы независимых
термодинамических переменных, определяющих состояние тела,
Т — абсолютная температура.
Исключая из D.10) приращение тепла dQ, с учетом D.9) полу-
получим основное термодинамическое соотношение для процесса дефор-
мирования тела
rdekr D.11)
Определим упругое тело таким образом, чтобы задание тензо-
тензора деформацией ekr и одной термодинамической переменной (тем-
(температуры Т или энтропии 5) полностью определяло его состояние,
т. е. тензор напряжений ОАг и термодинамические потенциалы U и
F=U—TS (последний носит название свободной энергии Гельм-
гольца).
В качестве независимых переменных, определяющих состояние
упругого тела, выберем ект и температуру Т. Тогда свободная энер-
энергия Гельмгольца будет функцией только вит и Т, т. е.
F=F{ekn T). D.12)
Определив U из
F = U-TS. D.13)
и подставив его в D.11), найдем
dF=*hrdekT-SdT. D.14)
С другой стороны, из D.12) имеем
dF = -dekr+-•dT. D.15)
де^г от
Сравнивая коэффициенты при одинаковых дифференциалах в-,
D.14) и D.15), получим
здесь
e** = ^ е\г = 2ек„ {k =?ь г).
Первое соотношение D.16) показывает, что потенциалом тензора
напряжений для упругого тела при данном выборе независимой
термидинамической переменной является свободная энергия Гельм-
гольца. Если в качестве независимой термодинамической перемен-
переменной выберем энтропию, т. е. предположим, что состояние упругого
тела полностью определяется заданием тензора деформаций вы и
энтропии S, тогда U=U(ekr, S) и поэтому
-detr+%dS. D.17)
OS
Из сравнения D.11) и D.17) получим
3*'=~^' г=^' DЛ8)
Первое соотношение D.18) доказывает, что потенциалом тензора
напряжений является внутренняя энергия.
В случае адиабатического процесса, т. е. когда dQ=Q, из перво-
первого соотношения D.10) следует, что dA является полным дифферен-
дифференциалом независимых переменных вит, т. е.
dA=—dekr.
декг
С другой стороны, на основании D.9)
откуда
дА D-19)
К
Если совершается изотермический процесс (r = const), то в силу
второго соотношения D.10) приращение тепла dQ, так же как и
dU, будет полным дифференциалом, так как известно, что прира-
приращение энтропии dS есть полный дифференциал. Следовательно, из
первого соотношения D.10) заключай, что dA является полным,
дифференциалом. Тогда
V = 4 D.20)
Как видно из D.19) и D.20), в случае адиабатического и изотер-
изотермического квазистатических процессов потенциалом служит работа
внешних сил и она может быть определена из равенства
-^-dekr D.21)
де
дА
Если тело линейно-упругое, то согласно D.6) величины ли-
нейны и однородны относительно компонентов тензора деформаций
ekr. Поэтому Л будет однородным многочленом второй степени от-
относительно ?аг. Следовательно, по теореме Эйлера об однородных
64
функциях будем иметь
дА
декг "
Это соотношение называется формулой Клапейрона.
Теперь в качестве независимых переменных, определяющих со-
состояние упругого тела, возьмем тензор напряжений акт и темпера-
температуру Т. Введем новую функцию
J=U-TS-akrekr, D.22)
которая зависит только от Ohr и Т; тогда
dJ=-dakr+-^dT. D.23)
С другой стороны, из D.9), D.11) и D.22) имеем
dJ=— SdT — ehrd°kr D.24)
Сравнение D.23) и D.24) приводит к выражениям
Таким образом, в случае, когда в качестве независимых пере-
переменных выбраны опт и Т, функция D.22) является потенциалом
для тензора деформации упругого тела. Легко показать, что в не-
независимых координатах вы и Т для адиабатического и изотерми-
изотермического процессов деформирования тела потенциалом тензора де-
деформаций является функция
rekr-A. D.26)
Формуле D.9) придадим вид
а A=°kTdekr =d{akrekr) - ekrd°kr.
Отсюда, учитывая, что при адиабатическом и изотермическом
процессах деформирования dA есть полный дифференциал, будем
иметь
Следовательно,
— A)
Итак, функция оывкг — А для адиабатического и изотермического
процессов является потенциалом тензора деформаций.
Если тело линейно-упругое, то по формуле Клапейрона Ohreur —
= 2Л и на основании D.26) потенциал тензора деформаций, назы-
называемый упругим потенциалом, будет равен А. Следовательно,
очцг
65
Эти соотношения называются формулами Кастильяно и справед-
справедливы для линейно-упругого тела при адиабатическом и изотерми-
изотермическом процессах.
§ 26. Потенциал в случае
линейно-упругого тела
Пусть процесс деформирования твердого тела происходит адиа-
адиабатически или изотермически; тогда имеет место соотношение
D.19). При этом соотношении величина dA является полным диф-
дифференциалом непрерывной однозначной функции А, зависящей
только от тензора деформацией вы- Примем тело линейно-упругим.
Подставим выражения обобщенного закона Гука D.6) в D.9)
Чтобы правая часть этого равенства также была полным диффе-
дифференциалом, должно выполняться условие С1,?а=С?". Учитывая
последнее, после интегрирования найдем
± D.28)
§ 27. Различные случаи
упругой симметрии тела
В теории упругости рассматриваются тела однородные и неод-
неоднородные, изотропные и анизотропные. Однородным называют
тело, упругие свойства которого одинаковы во всех его точках;
изотропным называют тело, упругие свойства которого одинаковы
во всех направлениях. В противном случае тело называется неод-
неоднородным и анизотропным. Примером анизотропных тел являются
кристаллы.
Применяемые в технике металлы и их сплавы имеют поликри-
поликристаллическую структуру в виде беспорядочно расположенных кри-
кристаллических зерен. Поликристалл, размеры которого одного по-
порядка с размерами кристаллических зерен, по своему существу не-
неоднороден и анизотропен. При сравнении между собой образцов,
размеры которых значительны по сравнению с размерами отдель-
отдельного зерна, ввиду произвольности ориентации зерен и малости их
размеров по сравнению с размерами образца (от долей микрона
до десятков микронов), поликристалл ведет себя, как однородная
и изотропная сплошная среда.
Следует отметить, что условия изготовления, а также различ-
различные виды механической обработки вносят в металл более или менее
существенную анизотропию и неоднородность, поэтому всегда име-
имеет место лишь приближенная однородность и изотропность мате-
материалов.
Симметричность структуры анизотропных тел приводит к свя-
связям между коэффициентами упругости. Мы рассмотрим некоторые
частные случаи упругой симметрии.
66
Для анизотропных линейно-упругих тел, когда процесс дефор-
деформирования происходит изотермически или адиабатически, ввиду
того, что С?}" = С^„, число коэффициентов упругости равно 21.
Пусть тело обладает одной плоскостью упругой симметрии, ко-
которую примем за плоскость o*i*2- При изменении направления оси
охг на обратное следует поменять знаки *з и из, следовательно, из-
изменяются и знаки компонентов деформаций е3и е2з-
Изменение направления оси о*3 на обратное не должно менять
величину упругого потенциала А, так как она является инвариан-
инвариантом. Поэтому в формуле D.28) должны исчезнуть члены, содержа-
содержащие е2з, ei3 в первой степени, т. е.
D.29)
Таким образом, в случае, когда тело имеет одну плоскость сим-
симметрии упругих свойств, число упругих постоянных уменьшается
до 13.
Пусть тело обладает двумя взаимно перпендикулярными пло-
плоскостями симметрии упругих свойств. Примем эти плоскости за ко-
координатные плоскости o*i*2 и о*2*з. Чтобы величина упругого по-
потенциала не изменилась от изменения направления оси о*2 на об-
обратное, вследствие чего изменится знак у компонента ei2, кроме
условий D.29), следует положить
D.30)
л 13 /-.23 /~Л2 ,-.33 /-.33 /-ДЗ --.13 л31 п
С и = С11 = U 23 = Ь13 = Ь 23 = 012 = Ь12 = С 22 = U.
Следовательно, если тело в каждой точке имеет две взаимно пер-
перпендикулярные плоскости симметрии упругих свойств, то имеется
только 9 не равных нулю упругих постоянных; их можно предста-
представить в виде матрицы
¦1 -1
Сзз
0
0
0
4 |
Сгг
с%
0
0
0
г11
^33
22
С^ЗЗ
Сзз
0
0
0
0
0
0
Сгз
0
0
0
0
0
0
/-,13
0
0
0
0
0
0
/п,1
Из рассмотрения этой матрицы следует, что если в теле имеются
две ортогональные плоскости упругой симметрии, то третья орто-
ортогональная к ним плоскость будет также плоскостью упругой сим-
симметрии. Такое тело называется ортотропным.
Если тело обладает упругими свойствами, одинаковыми относи-
относительно каждой из трех плоскостей симметрии, то, чтобы при изме-
изменении оси o*i на ось о*2, оси о*2 на ось ох3 и оси o*i на ось о*3,
т. е. при перемене между собой вп, ?22, #зз или ei2, 623, 631 не изме-
изменилась величина упругого потенциала, кроме условий D.29) и
67
D.30), должны быть соблюдены еще условия
СП /~№
Следовательно, когда тело обладает упругими свойствами, одина-
одинаковыми для каждой из трех плоскостей, упругий потенциал имеет
вид
с11
D.32)
и тогда остаются только 3 независимые упругие постоянные.
Наконец, если тело изотропное, то упругий потенциал должен
быть постоянным при произвольном повороте осей координат. С
другой стороны, тензор напряжений или тензор деформаций имеет
три независимых инварианта первой, второй и третьей степени от-
относительно компонентов тензоров напряжений и деформаций.
Поэтому упругий потенциал должен быть выражен через инвариан-
инварианты тензора напряжений, если упругий потенциал представлен ком-
компонентами тензора напряжений, или через инварианты тензора де-
деформаций, если упругий потенциал представлен компонентами тен-
тензора деформаций D.28). В силу того, что упругий потенциал явля-
является однородной функцией второй степени, он может содержать
только первый инвариант во второй степени и второй инвариант в
первой степени, т. е.
e3i-\-e3ieli-^et^n—4i—^t—4i)- D-33)
Таким образом, изотропное тело характеризуется лишь двумя упру-
упругими константами Р и Q. Применяя, формулы D.20) и при этом
учитывая, что в них величины еъ.т*{кфг) представляют угловые
деформации, тогда как в D.33) они обозначают половины угловых
деформаций, из формулы D.33) получим
где 9 — объемная деформация, бйГ символы Кронекера.
Принимая во внимание введенные Ляме обозначения
2P+Q=X; -Q=2[x, D.34)
получим формулы компонентов тензора напряжений для линейно-
упругого изотропного тела через компоненты тензора малой дефор-
деформации
D.35)
Постоянные 1иц называются упругими постоянными Ляме.
Эти формулы, выражают обобщенный закон Гука для изотроп-
изотропного тела.
68
Заметим, что формулу D.33) в силу формул D.34) можно те-
теперь представить в виде
D.36)
Здесь суммирование ведется по обоим индексам k и г.
Так как энергия деформации всегда положительна, то из фор-
формулы D.36) заключаем, что [х>0. Действительно, если выбрать тен-
тензор вкт таким, что ейй = 0, то D.36) примет вид
откуда (х>0.
Докажем, что в каждой точке изотропного тела главные на-
направления тензора деформаций совпадают с главными направле-
направлениями тензора напряжений. Примем главные направления тензора
деформаций в некоторой точке тела за оси координат, тогда будем
иметь ^12=1624 = 631 = 0, в силу формул D.35) также ai2 = <J23=o'3i = 0,
что и требовалось доказать. Поэтому для изотропных тел не раз-
различают главные направления тензора деформаций и тензора напря-
напряжений; те и другие называются главными направлениями.
Пусть изотропное тело испытывает осевое растяжение; напря-
напряженное состояние в каждой его точке дано в виде
тогда формулы D.35) примут вид
М + 2^ц, = а1, Хв + 2|*еи=0, Хб-f 2^33=0. D.37)
Складывая эти формулы, получим
9=inhr»- D-38)
Внося D.38) в первую формулу D.37), будем иметь
,a=Jt&±2Leu. D.39)
Сравнивая D.39) с формулой закона Гуна для осевого растяжения
призматического бруса, найдем
& + ») _ D40)
Из двух последних формул D.37) с учетом D.38) имеем
—* х я_ X
Подставим в эту формулу значение оп из D.39) и введем обозна-
обозначение
6?
тогда
е22=еаа= — уеп. D.42)
Равенства D.42) выражают закон поперечного сужения при осе-
осевом растяжении, причем v называется коэффициентом Пуассона.
Допустим, что изотропное тело подвержено всестороннему гид-
гидростатическому давлению, тогда
О12=о2з=о31=0. D.43)
Учитывая D.43), из D.35) получим
Хв + 2(*е„=— р (г=1, 2, 3). D.44)
Складывая формулы D.44), будем иметь
C\-\-2р)в=— Зр. D.45)
Вводя обозначение
где К называется модулем объемного сжатия, из D.45) получим
р=-Кб. D.47)
Согласно закону сохранения энергии при р>0 происходит умень-
уменьшение объема; учитывая это, из формулы D.47) имеем К>0. На
основании формул D.40), D.41) и D.46) величины X, ц и К выра-
выразим через ? и v
?V , К = —. D.48)
A + V)(l_2v) 2A+v) 3A —2v)
Из двух последних формул D.48), учитывая, что ?>0, |j.>0 и
/С>0, получим 1—2v>0, l+v>0, откуда область возможных зна-
значений коэффициента Пуассона будет
-l<v<0,5. D.49)
Как видно, коэффициент Пуассона может принимать также
некоторые отрицательные значения. Однако, как показывают опы-
опыты, коэффициент Пуассона для известных материалов принимает
положительные значения, поэтому вместо неравенства D.49) будем
иметь
0<v<0,5.
Для очень многих материалов v имеет приблизительно одно и то
же значение, близкое к Уз. Следовательно, из первой формулы
D.48) имеем Х>0.
Таким образом, из D.36) вытекает, что энергия деформации А
есть положительно определенная квадратичная форма компонентов
70
тензора деформаций, обращающаяся в нуль только тогда, когда
компоненты тензора деформаций одновременно равны нулю.
Решая D.35) относительно компонентов тензора деформаций
ehr и учитывая две первые формулы D.48), мы получим обобщен-
обобщенный закон Гука для изотропного тела.
Цг-*»—*» D-50)
с, с,
где
§ 28. Температурные напряжения
Пусть Т — изменение температуры в некоторой точке тела, тогда
объем достаточно малой окрестности этой точки изменится пропор-
пропорционально Т. Вследствие этого относительное удлинение всех воло-
волокон, исходящих из данной точки, равно аТ. При этом компоненты
тензора деформации будут
е'п=e22=e'zz=aT; e'i2=-e^=e'3i=^Q. D.52)
Здесь а — коэффициент линейного теплового расширения. В дейст-
действительности деформация окрестности точки, возникшая под дейст-
действием разности температур, встречает сопротивление среды. В этом
случае полная деформация еиг представляет результат суперпози-
суперпозиции указанного теплового расширения eh/ и упругой деформации
eh/', т. е.
«*!•=»«*, ~е*г. D.53)
В изотропном линейно-упругом теле, если не превзойден предел
пропорциональности, в силу гипотезы Неймана компоненты тензора
деформаций еы" связаны с компонентами тензора напряжений фор-
формулами обобщенного закона Гука
D.54)
Согласно формулам D.52) и D.53)
Г = 6-3а7\ D.55)
Подставляя D.53) и D.55) в формулы D.54), получим
D.56)
Формула D.56), где р=(ЗА. + 2ц.)а, выражает обобщенный закон
Гука для изотропного тела. На основании гипотезы Неймана ком-
поненты тензора полной деформации, входящие в формулы D.56),
определяются при помощи перемещений Uh формулами C.26).
7t
§ 29. Интеграл энергии для уравнений
движения упругого тела
Предположим, что на тело действуют поверхностная сила Тп и
объемная сила pF. Определим работу этих сил от начального
момента ? = 0, соответствующего естественному состоянию покоя, до
рассматриваемого момента времени t. Перемещение точек тела за
время dt будет dt. Обозначим работу внешних сил за время
dt через dR. Тогда
Подставляя Tnk = Okrtir и преобразуя поверхностный интеграл в
объемный, получим
dt J LI dxr ^ *) dt T *r dxr { dt
Исходя из уравнений движения, найдем
dt J <M! dt *}krdt \
dah
——
дхт
Здесь первое слагаемое представляет собой производную кинети-
кинетической энергии тела по времени. Действительно,
С
У
dak j-__^_fj_ I dak i2 j- dl<
B — р — — \ dt J dt
Вследствие симметрии тензора напряжений акт
J^HrVdxTj Х~У*г~~д~Г
Если процесс упругого деформирования идет адиабатически или
изотермически, то в силу D.19) будем иметь
dekr dt dt
it
Следовательно,
Интегрируя последнее соотношение в пределах от 0 до t и учиты-
учитывая, что в начальный момент времени тело находилось в естест-
72
венном состоянии покоя, найдем
$ D.57)
где JAdx — работа, которая должна быть затрачена внешними
т
силами для того, чтобы возникла деформация. Эта работа равна
потенциальной энергии упругой деформации; А является потенци-
потенциальной энергией упругой деформации, отнесенной к единице объе-
объема. Формула D.57) верна не только для изотермического и адиа-
адиабатического процессов, только А при этом не является потен-
потенциалом.
Если тело линейно-упругое и изотропное, то А определяется по
формуле D.36). Таким образом, работа внешних сил расходуется
на возникновение кинетической энергии тела и потенциальной энер-
энергии деформации. Формула D.57) представляет закон сохранения
механической энергии.
Если под действием внешних сил тело из естественного состоя-
состояния покоя перейдет в новое, деформированное состояние покоя, то
кинетическая энергия будет равна нулю и формула D.57) при-
примет вид
R=^Adx. D.58)
¦с
§ 30. Тождество Бетти
Пусть тело линейно-упругое и находится в двух различных на-
напряженных состояниях (а/;-, dj) и {otj, eij). Тогда
D.59)
а"и=С?,петп. D-б0)
Составляя а'ие'^, учитывая в нем {4.59), а затем собирая коэффи-
коэффициенты при e'tj, с учетом D.60) получим тождество Бетти
а'ие'ц=о'ие'ц. D.61)
Тождество Бетти показывает, что для одного и того же линейно-
упругого тела работа первого напряженного состояния на дефор-
деформации второго напряженного состояния равна работе второго
напряженного состояния на деформации первого напряженного
состояния.
§ 31. Теорема Клапейрона
Пусть линейно-упругое тело под действием поверхностной силы
Тп и объемной силы pF находится в состоянии покоя. Работа упо-
упомянутых сил на перемещениях Uh равна
73
Внося сюда Tnh=Ohrnr и преобразуя поверхностный интеграл в
объемный, будем иметь
В силу уравнений равновесия B.25) и симметрии тензора напря-
напряжений Gkr, получим
Если процесс деформирования идет адиабатически или изотерми-
изотермически, то на основании формулы Клапейрона
?Adt = ~f{. D-62)
Из равенства D.62) следует, что работа упругой деформации рав-
равна половине работы внешних статически приложенных сил на пере-
перемещениях. Это положение носит название теоремы Клапейрона.
Глава V
ПОЛНАЯ СИСТЕМА ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
§ 32. Уравнения упругого равновесия
и движения в перемещениях
Уравнениями D.1), связывающими тензоры напряжений и де-
деформаций, замыкается система основных уравнений B.24), C.26)
теории упругости, т. е имеет место система девяти уравнений
E.1)
dxt
Здесь неизвестными являются шесть компонентов тензора напря-
напряжений вц и три перемещения ип. С помощью формул C.26) через
ии вычисляются компоненты тензора малой деформации е,ь.
Система уравнений E.1) и E.2) содержит одновременно и ком-
компоненты вектора перемещения, и компоненты тензора напряжений.
Чтобы получить уравнения равновесия или движения в перемеще-
перемещениях, из E.2) определяем
_ 1 dfjj /
dxt 2 дегк \
Здесь коэффициенты при вторых производных неизвестных функ-
функций Uh являются функциями первых производных от этих функций.
В результате имеем систему трех нелинейных уравнений в част-
частных производных второго порядка относительно трех функций ыь
трех независимых переменных хг в случае равновесия и четырех
независимых переменных хг и времени t — в случае динамического
приложения сил. Эти уравнения не приводим ввиду их сложности.
Их удобнее составлять непосредственно в каждой конкретной за-
задаче.
В случае, когда имеет место закон вида D.6), коэффициенты
—— будут представлять собой упругие постоянные Сц и диф-
ференциальные уравнения составят систему трех линейных уравне-
уравнений с переменными коэффициентами, когда тело неоднородное, и с
постоянными коэффициентами, когда тело однородное.
75
Для изотропного однородного линейно-упругого тела будем
иметь
J( E-3)
dXi ц dxidxt \ дх} dxi ) У '
ыражения этих частных производных в уравн
E.1), найдем
dxt \ дх} * dx
Подставляя выражения этих частных производных в уравнения
E.1), най
E.4)
Полученные уравнения движения в перемещениях, содержащие
три функции щ, называются дифференциальными уравнениями
Ляме. Система уравнений E.4) эквивалентна дифференциальному
уравнению в векторной форме
diva+ (*«+?(/>--^г) = °» E-5)
которое получится из уравнений E.4), если каждое из них умно-
умножить на ij, а затем просуммировать по индексу /, учитывая, что
8 = dive. При этом для упругого равновесия вместо системы урав-
уравнений E.4) и уравнения E.5) будем иметь
V div « + ц д a + pF=O E.7)
Для случая, когда на тело действуют только поверхностные силы,
т. е. когда объемная сила р /"равна нулю, уравнения E.6) при-
примут вид
^ = 0. E-8)
Продифференцируем E.8) по Х) и сложим по индексу /.
Тогда
откуда
д6=0.
Таким образом, в случае отсутствия массовых сил относительная
объемная деформация является гармонической функцией.
Действуя оператором А на обе части E.8), получим
OXj
Учитывая, что Д6 = 0, будем иметь
т. е. вектор перемещения является бигармонической функцией.
76
Сложим формулы обобщенного закона Гука D.50) (при r=k),
тогда
9^3 -I^2Le, E.9)
где За — сумма нормальных напряжений, действующих в трех вза-
взаимно перпендикулярных площадках. Так как Э — гармоническая
функция, то в силу E.9) а также является гармонической функ-
функцией.
Действуя оператором ДА на обе части каждой из формул обоб-
обобщенного закона Гука для изотропного и однородного тела и учи-
учитывая, что относительная объемная деформация есть гармониче-
гармоническая функция, a Uj суть бигармонические функции, приходим к вы-
выводу, что компоненты напряжения также суть бигармонические
функции.
Подставим выражение, определяемое формулой D.56), в диф-
дифференциальные уравнения E.1), тогда
Эти дифференциальные уравнения называются термоупругими
уравнениями Дюгамеля — Неймана.
Следует отметить, что упругие постоянные Xиц являются функ-
функциями температуры и, как установлено экспериментами, при повы-
повышении температуры обычно уменьшаются. Для случая, когда гра-
градиенты температуры в теле не слишком велики, %и\i можно счи-
считать постоянными.
Система дифференциальных уравнений E.10) содержит три не-
неизвестных функции ии, так как изменение температуры Т предпо-
предполагается известным; последнее определяется следующим образом:
пусть в теле происходит изменение температуры, зависящее от
координат его точки и времени t. Допустим, что тело термически
изотропно и однородно; кроме того, коэффициент теплопроводно-
теплопроводности i* и удельная теплоемкость с не зависят от изменения темпера-
температуры. Это допущение при не слишком больших разностях темпера-
температуры вполне оправдывается. В этом случае функция Т(х\, х% х%; t)
должна во всем теле удовлетворять уравнению теплопроводности
Фурье
а^Т-\—Я~ = ~, E.П)
су dt
где А — оператор Лапласа; у — удельный вес, а — температуропро-
температуропроводность, a2 = X*c-1Y~1; Q — количество тепла в единице объема,
выделяемое или поглощаемое за единицу времени источником теп-
тепла, расположенным в данной точке тела.
В случае стационарного температурного состояния тела уравне-
уравнение E.11) приводится к уравнению Пуассона
77
Если тело не содержит источников тепла, то получим уравнение
Лапласа
дГ=0, E.13)
т. е. температура будет гармонической функцией.
Для полного определения функции Т нужно задать соответст-
соответствующие граничные, а в случае нестационарного температурного
состояния еще и начальные условия. Предполагается, что искомая
функция и ее частные производные непрерывны вплоть до поверх-
поверхности тела. Начальным значением Т может быть любая, непрерыв-
непрерывная или разрывная, наперед заданная функция f(xh x2, х3), т. е.
х,, xz; O)=/(jc,, х2, x3). E.14)
В простейшем случае граничным условием служит задание темпе-
температуры на поверхности ш рассматриваемого тела в виде функции
координат и времени
t х2, х3; t) E.15)
в любой момент времени
На границе можно также задать поток тепла через поверхность
тела
—q°(xu x2, л3; 0, E.16)
где q° — количество тепла, втекающее или вытекающее через еди-
единицу площади поверхности тела за единицу времени.
Наконец, согласно закону охлаждения Ньютона, условие на
поверхности тела может быть также задано в виде
дТ =-1-G"-Г°). E.17)
дп
К
Здесь Т* — температура среды; — — коэффициент относительной
теплопередачи; k — коэффициент теплоотдачи.
В случае совместного рассмотрения задачи теплопроводности и
термоупругости мы имеем дело с обобщенным уравнением тепло-
теплопроводности
+62 div« = a2A7\ E.18)
+62 div«
at at
Здесь и — вектор упругого перемещения;
сР, с„ —теплоемкости при постоянном давлении и постоянном объ-
объеме; а — коэффициент линейного расширения.
Обобщенное уравнение теплопроводности E.18) отличается от
обычного E.11) при Q = 0 присутствием добавочного слагаемого
78
b2— div ии может быть получено из первого закона термодинами-
dt
ки. Идея такой постановки задачи принадлежит известному русско-
русскому физику Н. А. Умову, который сформулировал ее в 1871 г. в ра-
работе «Теория термомеханических явлений в твердых упругих те-
телах». При таком подходе решение задачи термоупругости сводится
к совместному решению обобщенного уравнения теплопроводности
с уравнениями движения и совместности деформаций при соответ-
соответствующих начальных и граничных условиях для температуры и
напряжений. В такой постановке задача реализуется тогда, когда,
помимо температурных полей, на тело действуют быстро изменяю-
изменяющиеся внешние силы, которые могут вызвать в теле довольно су-
существенное перераспределение температурных полей, что в свою
очередь может повлечь к перераспределению напряжений. В тех
случаях, когда температурные напряжения возникают в теле толь-
только за счет нагрева, подводимого к нему извне, в обобщенном урав-
уравнении теплопроводности можно пренебречь слагаемым^2 ~^~ diva.
Тогда из задачи термоупругости выделяется отдельная задача
теплопроводности. Совершенно ясно, что во всех статических зада-
задачах слагаемое^2 —div и обращается в нуль, поэтому здесь задачи
термоупругости и теплопроводности решаются раздельно.
Вышеизложенным способом из B.30) и закона Гука D.35) с
учетом формул C.29), C.30) легко получить дифференциальные
уравнения движения в перемещениях в цилиндрической системе
координат. Они таковы:
-f ¦?-*(¦?-¦?¦)+»(*.-¦?.)-*
где
b=err+ef9+e33=±JLirur)+-L^ + j^. E.20)
Также из B.31) и D.35) с учетом формул C.33) и C.34) получим
дифференциальные уравнения движения в перемещениях в сфери-
сферической системе координат. Они имеют вид:
.ш t-2- _2и(-^—^ K.ln
79
где
±?L^JL(«t sin *) + ?*). E.22)
г2 or г sin
Для осесимметрической задачи уравнения E.19) примут вид
E.23)
ибо ыф = 0, а иг и Ыз не зависят от координаты ср. В силу последнего
обстоятельства (ог=&)з=0 и
e-T-f<™-'+^- <5-24>
Для случая равновесия и когда Fr=F3 = 0, уравнения E.23) приво-
приводятся к виду
дг "¦" X н-2^ длгз
E.25)
*& JjLr™ 1-0
Отсюда
дг \ г
(гшл \-\ ?-=0.
Определив решение соф этого уравнения, с помошью одного из урав-
уравнений E.25) найдем также G. Тогда для определения иг и ыф из
C.30) и E.24) получим дифференциальные уравнения вида
дх3 dr f
E.25')
г дг
Отсюда
Найдя решение иг последнего уравнения, с помощью одного из урав-
уравнений E.25) найдем также н3-
80
Для осесимметричной задачи уравнения движения в сфериче-
сферической системе координат примут вид
где
так как к?=0, «ф=Иф(г, 4) и иг=иг (г, 0).
§ 33. Уравнения в компонентах напряжений
Рассмотрим основные уравнения статики линейно-упругого изо-
изотропного тела
* = О, E.26)
Ас,
^-^,-^-А, E-27)
Девять уравнений E.26) и E.27) содержат девять неизвестных
ФУНКЦИЙ Uh, Ohr-
В третьей главе было сказано, что шесть компонентов тензора
деформаций е&г не являются произвольными функциями координат
точки тела, а должны удовлетворять шести условиям совместности
деформаций Сен-Венана. Учитывая это обстоятельство, подставим
формулы E.27) в условия совместности деформаций Сен-Венана;
тогда после ряда преобразований найдем шесть соотношений, свя-
связывающих между собою компоненты тензора напряжений. Следо-
Следовательно, в итоге будем иметь три дифференциальных уравнения
E.26) и шесть соотношений между компонентами тензора напря-
напряжений, к выводу которых и приступим. Будем считать, что тело
однородное, т. е. Я и ц не зависят от координат. Тогда полученная
система уравнений будет применима только для изотропных, одно-
однородных и линейно-упругих тел.
Подставляя E.27) в условия Сен-Венана C.45), после ряда пре-
преобразований получим
З / № ^\ & E 28)
дх3 d xi\ dxi дх2 дх3 ) К
81
и еще четыре подобных соотношения, соответствующих также усло-
условиям C.45). Продифференцируем первое уравнение E.26) по Х\,
второе — по х2, третье — по (—х3) и сложим их; тогда
_2
дх\ dx| d*f I a«i й*а а*8 Г
Внося E.30) в E.28), будем иметь
- "га) i
дх\ дх\
3v ( д**_. д^\ / dF3 dF2
или
.- l/ii .л ,. &° _ 1 ,i i „,./"! дР2 dF1
ОХ
l/i | \ ^^" 1 /1 t > / dF% dF I &Fз \ / с q I \
Два последних соотношения получаются аналогично из оставшихся
двух уравнений типа E.28).
Складывая последние равенства, найдем формулу
д«=_р_1±Л-_*?'_. E.32)
г 3A — v) дхг
Подставляя E.32) в E.31), получим
3 """
3
tfid 1 ._ ft
ajc|
3
2
3
3A-v) дхг
V ( 1 "f* Vt О Ж f , m O^>4
v) df,
Эти равенства составляют первую группу соотношений Бельтра-
ми — Митчелла.
Для получения второй группы соотношений Бельтрами — Мит-
Митчелла преобразуем E.29). С этой целью продифференцируем вто-
второе уравнение E.26) по х3, третье — по х2 и сложим их; полученный
результат суммируем с E.29); тогда будем иметь
82
Аналогично получаются остальные два уравнения этого типа.
Таким образом, вторая группа соотношений примет вид
1 + v I $2j I + v / dF\ i dF2
3 ^2djr3 3
Следовательно, соотношения Бельтрами—Митчелла представ-
представляют собой шесть линейных дифференциальных уравнений, содер-
содержащих шесть функций ars-
Важно отметить, что система уравнений E.33), E.34) пригодна
только для случая линейно-упругого изотропного однородного тела
при изотермическом или адиабатическом процессе деформирования
его, тогда как шесть уравнений совместности Сен-Венана пригод-
пригодны для любого тела.
В случае, когда массовые силы отсутствуют или постоянны, со-
соотношения Бельтрами — Митчелла принимают вид
Подобным образом при помощи D.50) и B.30), когда Fr=Fv =
= F5=Wr=W<s>—Wz = 0, уравнениям совместности C.40) в цилинд-
цилиндрической системе координат придадим вид
\дг
=0, E.36)
2 д , , 4
I + г
Д33г +
+
I + v г ^йд:3 гЗ d<f
2 d%
где
*з
83
Для осесимметричной задачи уравнения E.36) примут вид
2 ,
где
так как аГф=аФз=0, a остальные компоненты тензора деформации
не зависят от координаты ф.
§ 34. Основные граничные задачи
статики упругого тела.
Единственность решения
На практике наиболее широкое распространение имеют следу-
следующие случаи загруженкя и закрепления тел: 1) заданы силы, при-
приложенные на поверхности тела; 2) заданы перемещения точек его
поверхности; 3) на одной части поверхности заданы перемещения,
а на другой — внешние силы. В связи с этим различают три типа
основных граничных задач статики упругого тела.
Первая основная граничная задача состоит в нахождении в
области, занятой телом, трех проекций вектора перемещения и ше-
шести компонентов тензора напряжений, которые должны быть непре-
непрерывными вплоть до поверхности тела функциями координат и удо-
удовлетворять уравнениям E.1) и E.2), а на поверхности его еще сле-
следующим условиям:
asrnr = ^Tns{xv- *2. *з). E-38)
где Tns — проекции заданных сил, действующих на поверхности
тела.
Вторая основная граничная задача состоит в нахождении та-
такого решения уравнений E.1) и E.2), которое на поверхности тела
удовлетворяет граничным условиям
ur = uT{xv x2, х3), E.39)
где и° — проекции заданного вектора перемещения точек поверх-
поверхности тела.
Третья основная задача состоит в определении такого решения
уравнений E.1) и E.2), которое на одной части удовлетворяет
условиям E.38), а на другой —условиям E.39). Кроме этих задач
84
встречаются и другие задачи, также имеющие прикладное значе-
значение. На некоторых из них мы в дальнейшем остановимся.
Для задач термоупругости, в которых, помимо температур, дей-
действуют также поверхностные силы, граничные условия B.22) при-
принимают вид
Т„2 = 2^3!»! + (М + 2?е22 - ЮП2 + 2к88л8. E.40)
Уравнения E.10) и E.40) показывают, что вектор упругого пере-
перемещения и в теле будет таким, какой возникает, если на тело, кро-
кроме массовых и поверхностных сил, будут действовать еще силы
pVT, приложенные в каждой точке его и отнесенные к единице
объема, а на поверхности — давление ЩТ.
Доказательство существования решения указанных задач пред-
представляет трудную проблему математического анализа. Однако а
настоящее время разрешимость всех краевых задач теории упру-
упругости установлена при весьма общих условиях. Принимая сущест-
существование решений упомянутых граничных задач, перейдем к дока-
доказательству их единственности.
Допустим, что одна из указанных основных граничных задач
имеет два решения: и/, <hk и ии", aTh''• Очевидно, разность этих
решений
при отсутствии массовых сил должна удовлетворять основным урав-
уравнениям статики упругого тела E.1), E.2). В силу этого для uh и
Orh имеет место формула D.62)
J E.41)
В случае первой основной граничной задачи для решения, со-
составленного из разности двух решений данной задачи, на поверх-
поверхности тела Г„г = 0, так как оба решения должны удовлетворять
условиям E.38) при одних и тех же силах, заданных на поверх-
поверхности этого тела.
В случае второй основной граничной задачи для решения, со-
составленного из разности двух решений данной задачи, аналогично
предыдущему случаю, на поверхности тела будем иметь мг=0.
Наконец, в случае смешанной задачи на одной части поверхно-
поверхности ТПг—0, а на другой иг=0.
Таким образом, во всех трех основных граничных задачах
подынтегральная функция на поверхности тела равна нулю, т. е.
поэтому во всех трех случаях
О. E.42)
85
Учитывая, что А есть положительная квадратичная форма, из
E.42) получим
А=0.
Как следует из D.36), это, в свою очередь, возможно при егь = 0.
Отсюда заключаем, что егъ.'=егъ." или, на основании обобщенного
закона Гука D.35), огь.'=Огк"- Следовательно, оба решения дают
одинаковое напряженное или деформированное состояние.
Таким образом, теоремы единственности решения указанных
задач доказаны. Необходимо отметить, что из равенства нулю ком-
компонентов малой деформации, как это вытекает из формулы C.26),
не следует ит=0. Поэтому при решении первой основной гранич-
граничной задачи мы можем получить для проекции перемещения иг раз-
различные значения, отличающиеся друг от друга только жестким
перемещением всего тела, не влияющим на напряженное или де-
деформированное состояние тела. Во второй и третьей основных гра-
граничных задачах указанного различия не будет, ибо на всей поверх-
поверхности во второй задаче или на части поверхности в третьей задаче
будут заданы перемещения.
В этом параграфе мы доказали, что система E.1), E.2) при
заданных внешних силах однозначно определяет напряженное или
деформированное состояние тела. В приведенном доказательстве
теоремы единственности решения упомянутых граничных задач, ко-
которое дано Кирхгофом, тело может быть принято как односвязным,
так и многосвязным.
§ 35. Основные задачи динамики
упругого тела
В случае динамики упругого тела, как и в случае статики, для
уравнений E.4) также ставятся три основные задачи. В отличие
от основных граничных задач статики упругого тела, в случае ди-
динамической нагрузки к граничным условиям следует присоединить
еще и начальные условия, состоящие в задании проекции вектора
перемещения и&° и проекции вектора скорости и&° точки тела в
некоторый момент времени to, с которого начинается изучение за-
задачи, т. е.
я*(*1, х2, х,; 0 !/=/. = «*(*1> *2.--*з). E-43)
— uk{xv x2, x3; t)\t = it=vl(xlt x2, х3). E.44)
Таким образом, интегралы системы уравнений E.4) должны удо-
удовлетворять не только граничным, но и начальным условиям E.43),
E.44).
Как и в предыдущем параграфе, докажем теоремы единствен-
единственности решений указанных здесь задач, не останавливаясь на дока-
доказательствах теорем существования.
86
Допуская, что эти задачи имеют два решения, рассмотрим их
разность, являющуюся решением системы уравнений E.4) при
/•'а = 0. Для этого решения:
в случае первой задачи на поверхности тела вектор напряжения
Тп = 0 при *>fo;
в случае второй задачи вектор перемещения точки поверхности
телаи=0 при t^t0 и, следовательно, — =0 на поверхности со;
at
в случае же третьей задачи на одной части поверхности Тп = 0
при t^to, а на другой и=0 при t^t0, следовательно, на этой части
поверхности тела =0. д ип
Так как оба решения задачи должны удовлетворять одним и тем
же начальным условиям, то для разности этих решений начальные
условия будут однородными, т. е. в начальный момент времени t0
имеет место
« = -=0. E.45)
Из сказанного следует, что работа R, вычисленная для разности
решений и при t^to, равна нулю. Учитывая это, из формулы D.57)
будем иметь
\ Q. E.46)
Так как кинетическая энергия тела К и энергия деформации
суть положительные величины, то из E.46) получим
и, следовательно,
-^-=0; erk = 0 при t^t0.
at
Из условия =и следует, что вектор перемещения и не зависит
от времени; из условия егь = 0 следует, что деформация равна нулю.
Следовательно, решение и может выражать только жесткое пере-
перемещение тела. По условию в начальный момент я=0, следователь-
следовательно, это жесткое перемещение должно быть равно нулю во всех
точках тела и во все моменты времени. Таким образом, два решения
совпадают полностью.
§ 36. Принцип Сен-Венана
(принцип смягчения граничных условий)
Рассматривая задачи об изгибе и кручении длинных призмати-
призматических брусьев, Сен-Венан в 1855 г. опубликовал свой знамени-
знаменитый принцип: «Способ приложения и распределения сил по концам
призмы безразличен для эффектов, вызванных на остальной длине,
87
так что всегда возможно с достаточной степенью приближения за-
заменить силы, которые были приложены, статически эквивалентны-
эквивалентными силами, имеющими тот же полный момент и ту же равнодейст-
равнодействующую».
Спустя тридцать лет, в 1885 г. первая общая формулировка
этого принципа была дана Буссинеском: «Уравновешенная система
внешних сил, приложенная к упругому телу, когда все точки при-
приложения сил этой системы лежат внутри данной сферы, произво-
производит деформации, пренебрежимо малые на расстояниях от сферы,
достаточно больших по сравнению с ее радиусом».
Бусскнеск для доказательства принципа Сен-Венана рассмот-
рассмотрел полубесконечное тело, находящееся под действием сосредото-
сосредоточенных сил, перпендикулярных к его плоской границе. Небезынте-
Небезынтересно заметить, что до сих пор строго общего доказательства прин-
Рис. 12 Рис. 13
ципа Сен-Венана не имеется. Существующие в этом направлении
попытки посвящены в основном оценке погрешности принципа Сен-
Венана применительно к призматическим, а также к телам, все
размеры которых являются величинами одного порядка. Вопрос об
оценке погрешности этого принципа применительно к тонкостенным
стержням и оболочкам, ввиду его большой сложности, разработан
слабо.
При решении задач теории упругости часто обращаются к
принципу Сен-Венана. Если при решении задачи граничные усло-
условия задаются точно согласно истинному распределению сил, то ре-
решение может оказаться весьма сложным. В силу принципа Сен-Ве-
Сен-Венана можно, смягчив граничные условия, добиться такого решения,
чтобы оно дало для большей части тела поле тензора напряжений,
очень близкое к истинному. Определение тензора напряжений в
месте приложения нагрузок составляет особые задачи теории упру-
упругости, называемые контактными задачами или задачами по иссле-
исследованию местных напряжений. На рис. 12 показаны две статически
эквивалентные системы сил: одна в виде сосредоточенной силы Р,
перпендикулярной к плоской границе полубесконечной пластинки,
а другая — в виде равномерно распределенных на полуцилиндриче-
ской поверхности сил, равнодействующая которых равна силе Р
и перпендикулярна к границе пластинки. В достаточно удаленных
88
от места приложения указанных сил точках тензор напряжений в
обоих случаях практически одинаков. Области консольной балки,
тензор напряжений в которых существенно зависит от способа при-
приложения силы, на рис. 13 заштрихованы.
Эффективное решение указанных в § 34 граничных задач упру-
упругого равновесия в общем случае представляет большие трудности.
Принцип Сен-Венана в этом отношении занимает особое место в
теории упругости. Благодаря этому принципу в настоящее время
мы располагаем решениями многочисленных задач теории упруго-
упругости, ибо принцип Сен-Венана позволяет смягчить граничные усло-
условия: заданная система сил, приложенная к небольшой части упру-
упругого тела, заменяется другой, удобной для упрощения задачи, ста-
статически эквивалентной системой сил, приложенной к той же части
поверхности тела.
§ 37. Прямые и обратные решения
задач теории упругости.
Полуобратный метод Сен-Венана
В прямых решениях задач об упругих телах ищутся тензоры на-
напряжений, деформаций и вектор перемещения, вызываемые дейст-
действующими на них внешними силами. Для этого следует проинтегри-
проинтегрировать дифференциальные уравнения Ляме E.4), если за основные
неизвестные приняты перемещения Uk, и дифференциальные урав-
уравнения E.26) и соотношения Бельтрами — Митчелла E.33), E.34),
если за основные неизвестные приняты компоненты тензора напря-
напряжений при заданных граничных и начальных условиях. В первом
случае говорят, что задача решается в перемещениях, во втором —
в напряжениях.
В решениях обратных задач задаются либо перемещения, либо
компоненты тензора деформаций в рассматриваемом теле и опре-
определяются все остальные величины, в том числе и внешние силы.
Решения обратных задач особых трудностей не представляют, од-
однако не всегда возможно прийти к решениям, представляющим
какой-либо практический интерес. Исходя из этого Сен-Венаном
предложен полуобратный метод, состоящий в частичном задании
одновременно перемещений и напряжений, затем в определении при
помощи уравнений теории упругости уравнений, которым должны
удовлетворять оставшиеся перемещения и напряжения. Получен-
Полученные уравнения сравнительно легко интегрируются. Таким образом,
этим методом можно получить полное и точное решение для боль-
большого числа частных задач, наиболее часто встречающихся в прак-
практике. Сен-Венан применил свой метод к задачам нестесненного
кручения и изгиба призматических тел.
§ 38. Простейшие задачи
теории упругости
К простейшим задачам теории упругости мы будем относить те
из них, в которых в любой точке тела компоненты напряжений, а
следовательно, и деформаций постоянны или линейно зависят от
координат. Очевидно, в простейших задачах соотношения Бельтра-
ми — Митчелла или уравнения сплошности деформаций удовлетво-
удовлетворяются тождественно. Эти задачи решаются полуобратным ме-
методом.
1. Всестороннее равномерное давление.
Пусть тело подвержено всестороннему равномерному внешнему
давлению —пр (п —единичный вектор по нормали к поверхности
тела). Массовыми силами пренебрегаем. Зададимся тензором на-
напряжений в виде
который удовлетворяет дифференциальным уравнениям равнове-
равновесия B.25), а также соотношениям Бельтрами — Митчелла.
Определим внешние силы, вызывающие в рассматриваемом те-
теле тензор напряжений в виде E.47); на основании формул B.22)
имеем
7\*=— РЧ
или
Т„= ~пр,
т. е. вектор напряжения, приложенный на поверхности тела, дол-
должен представлять собой давление —пр, что имеет место по зада-
заданию. Таким образом, во всех точках тела любые три взаимно пер-
перпендикулярные сечения суть главные площадки. На основании
обобщенного закона Гука D.50) компоненты тензора деформаций
будут равны
еш=—^^-Р\ ekr = 0 {кФг). E.48)
Допустим, что данное тело закреплено в некоторой точке, которую
примем за начало координатных осей, и в этой точке закреплено
элементарное волокно, расположенное на оси Хъ\ кроме того, стес-
стеснен поворот элементарного волокна, расположенного на оси х% в
плоскости Х\Х2. Аналитическая запись этих условий закрепления
соответственно для всех х^=0 такова
——=U. (О.4У)
дх$ дх3 дх2
Подставляя решение E.48) в формулы C.44) и учитывая условия
закрепления E.49), после несложных вычислений определим про-
проекции вектора упругого перемещения.
ик = — рхл. E.50)
90
Следовательно, перемещения точек тела радиальные, причем они
растут пропорционально расстоянию от начала координат и симмет-
симметричны относительно него.
2. Осевое растяжение призматического бруса.
Пусть призматическое тело с прямолинейной осью и перпенди-
перпендикулярными к ней основаниями произвольной формы подвержено
осевому растяжению. Массовыми силами пренебрегаем. Тензор на-
напряжений, выбранный в виде
а11 = а22==О12=::а23==<Т31=0. вЗЗ = Р- E.51)
удовлетворяет дифференциальным уравнениям равновесия B.25) ,
а также соотношениям Бельтрами — Митчелла. Определим внеш-
внешние силы, вызывающие в данном призматическом теле тензор на-
напряжений вида E.51). В силу формул B.22) имеем: на боковой
поверхности бруса (я3 = 0)
Тп1=Тп2=Тп3=0, E.52)
на основаниях бруса [cos(x3, jq^cos^, X2)=0; COS(X3,- %)=+1}
Тг1=Тп = 0,Т33=+р. E.53)
Равенства E.52) показывают, что боковая поверхность тела долж-
должна быть свободна от внешних сил, что вполне справедливо, так как
на тело действуют только осевые силы. Равенства E.53) показыва-
показывают, что на основаниях бруса должны быть приложены равномерно
распределенные растягивающие усилия интенсивностью р. Факти-
Фактически передача растягивающей силы на рассматриваемый брус мо-
может сильно отличаться от равномерно распределенных растягива-
растягивающих сил. Однако, согласно принципу Сен-Венана, на достаточо
удаленной от оснований бруса части его решение E.51) можно
принять за точное.
На основании обобщенного закона Гука D.50) компоненты тен-
тензора деформаций будут равны
fl1=_Zi em= ^_и g —, ^зз, fiSl1!
11 ~ 33* C22 „ 33» C33 — • Iv.vil
? ? E
В центре тяжести верхнего сечения бруса, в котором расположено
начало координат, как и в первой задаче, примем граничные ус-
условия
п ди\ ди.2 duj п „ ,- есч
Wft = U, = = = U ДЛЯ Хь—iJ. E.ОО)
дх2 дх3 дх3
Подставляя решение E.44) в формулы C.44), с учетом E.55) по-
получим
„ УР j* „ ^Р Р , [- СС\
Первые две формулы E.56) показывают, что во всех поперечных
91
сечениях перемещения щ и и2 одинаковы и пропорциональны рас-
расстоянию данной точки поперечного сечения до оси бруса. Третья
формула E.56) показывает, что плоские сечения после деформа-
деформации остаются плоскими. В курсе сопротивления материалов послед-
последний результат принимается за исходное предположение, носящее
название «гипотеза плоских сечений».
3. Растяжение призматического бруса под действием собствен-
собственного веса.
а) Пусть призматический брус длиной /, закрепленный своим
верхним концом, подвержен деформации растяжения под дейст-
действием собственного веса. Обозначим через р плотность материала.
Оси системы координат выберем так, чтобы начало ее поместилось
в центре тяжести верхнего основания, перпендикулярного к оси
бруса, и одна из осей системы, направленная вертикально вниз,
например, х3, совпала с осью бруса. Тогда проекции массовой силы
будут
Л = F2=Q, F3=g.
Пользуясь полуобратным методом Сен-Венана, выберем компонен-
компоненты тензора напряжений в виде
Здесь a, b — пока неизвестные постоянные. Этими компонентами
тензора напряжений соотношения Бельтрами — Митчелла удовле-
удовлетворяются тождественно; тождественно удовлетворяются также
первые два уравнения равновесия, а из третьего уравнения полу-
получаем
а=— pg.
В силу этого будем иметь
Учитывая формулы E.57) и имея в виду, что п3=0, где п — внеш-
внешняя нормаль к поверхности бруса, для проекции силы, действую-
действующей на боковой поверхности бруса, на основании B.22) будем
иметь
Как видно из последних равенств, боковая поверхность бруса
должна быть свободна от сил, что имеет место в действительности,
так как брус находится под действием лишь собственного веса. На
нижнем основании бруса при х3 = 1 имеем
где я— внешняя нормаль нижнего основания. Согласно формулам
B.22)
7^1 = 0, Т*п2=0, T*s=-Pgt+b,
92
В силу условий задачи нижнее основание свободно от сил, поэтому
откуда
Окончательно имеем
Поступая аналогичным образом, на верхнем основании бруса при
л'з = 0 будем иметь
Это соответствует такому закреплению верхнего основания, при ко-
котором в нем возникают только нормальные, равномерно распреде-
распределенные по всему основанию напряжения. Такое закрепление прак-
практически осуществить не представляется возможным, но в силу прин-
принципа Сен-Венана решение E.57) может быть принято за точное и
при любом другом способе закрепления.
На основании обобщенного закона Гука компоненты тензора де-
деформаций будут
еа = ?л = % = °- E-59)
При граничных условиях E.55) второй задачи с учетом E.59) из
формул C.44) будем иметь
«з= ~ Ц- N+v(xl + xl)-2lx3] E.60)
Точки, лежащие на оси бруса, как показывает третья формула
E.60), перемещаются лишь вдоль этой оси.
Так как в поперечных сечениях бруса отсутствуют касательные
напряжения, а следовательно, и сдвиги, то эти сечения после де-
деформации бруса останутся нормальными ко всем волокнам и, как
показывает третья формула E.60), сечения обращаются в парабо-
параболоиды вращения, обращенные выпуклостью вниз.
б) Призматический брус длиной /, закрепленный своим верхним
концом, находится под действием своего веса и силы Р, приложен-
приложенной к свободному концу в направлении оси бруса. Поместим нача-
начало координат в центре тяжести верхнего сечения и одну из осей х3
направим вдоль оси бруса вниз. Исходя из принципа Сен-Венана,
заменим силу Р статически ей эквивалентной, равномерно распре-
распределенной по нижнему основанию бруса нагрузкой интенсивностью
Р= (со— площадь нижнего основания, перпендикулярного к
93
оси бруса); тогда, в силу линейности задачи, решение будет пред-
представлено в виде суммы решений второй и третьей задач.
4. Кручение круглого призматического бруса.
Пусть на крайних поперечных сечениях круглого призматиче-
призматического бруса с осью охз действуют пары сил, моменты которых по
величине равны, но знаки различны; в этом случае брус подвержен
деформации кручения (рис. 14); боковая поверхность бруса свобод-
свободна от поверхностных сил и объемные силы отсутствуют (Fk = 0).
Элементарное решение задачи в теории сопротивления матери-
материалов основывается на предположении, что поперечные сечения бру-
бруса, оставаясь плоскими, с сохранением между собой расстояний
поворачиваются относительно друг друга и их радиусы не искрив-
искривляются. Если принять во внимание это предположение, то проек-
проекции вектора перемещения некоторой точки в каком-либо попереч-
поперечном сечении бруса будет
их=— ХХ2Х3, fl2 =
E.61)
где т — постоянный угол закручивания, рассчитанный на единицу
длины бруса.
Проверим, совместимы ли эти перемещения со всеми основными
уравнениями теории упругости. Подставив E.61) в формулы
C.18), для компонентов тензора деформаций будем иметь
dti]
E.62)
Объемная деформация
6 = ?]j-{-?22~f*^a3^0' E.63)
Как видно из формул E.62), уравнения совместности Сен-Венана
удовлетворяются тождественно.
Учитывая, что массовые силы равны нулю и имеет место соот-
соотношение E.63), убеждаемся, что E.61) удовлетворяют уравнениям
упругого равновесия Ляме E.8).
На основании обобщенного закона Гука компоненты напряже-
напряжений будут
(Jll = °22 = аЗЗ = а12 = 0.
°23=tJ'tA:i °3i=-^ГЛГ2 E.64)
Таким образом, в любом поперечном сечении бруса действуют
только два компонента касательных напряжений. Подставляя
E.64) в формулы B.22), на боковой поверхности, где я3 = 0, будем
иметь Тпк = 0. Следовательно, боковая поверхность бруса должна
быть свободна от напряжений, что действительно имеет место. Да-
Далее, подставляя E.64) в формулы B.22) для крайних поперечных
сечений (ni=n2=0, n3— ±l), получим поверхностные силы, соответ-
соответствующие решению E.61), в виде
Таким образом, решение E.61) приводит к выводу, что в крайних
поперечных сечениях бруса должны действовать только касатель-
касательные силы, распределенные по закону E.64). Главный вектор и
главный момент этих сил относительно центра круга будут
В силу того, что оси ох\ и ох2 проходят через центр тяжести круга,
статические моменты его площади будут
= J .
Окончательно имеем
где /о— полярный момент инерции площади круга,
здесь R — радиус окружности.
Осуществление передачи внешних сил на концах бруса по за-
закону E.64) практически невозможно, но на основании принципа
Сен-Венана решение E.64) можно считать точным при любом за-
законе передачи внешних сил, если соблюдены условия статической
эквивалентности, т. е. постоянную т выбираем так (это возможно),
чтобы момент М приложенной пары сил на одном из крайних се-
сечений был равен равнодействующему моменту Lo, т. е.
¦5
откуда получаем
что дает закон Гука при кручении круглого призматического бруса.
5. Чистый изгиб призматического бруса.
Примем ось бруса за oxs, а главные центральные оси инерции
поперечного сечения за оси ох\ и ох2, при этом ось ох\ направим
в сторону растянутых волокон (рис. 15).
Предположим, что боковая поверхность бруса свободна от внеш-
внешних сил и массовые силы отсутствуют. Кроме того, пусть в крайних
сечениях рассматриваемого
бруса приложены две пары
ns / >^М сил, плоскости действия кото-
10 *— 1 ] Xj рых совпадают с одной из
\ 1у главных его плоскостей, мо-
моменты их равны по величине
х' и знаки противоположны. В
этом случае брус подвергается
НС- чистому изгибу и, как извест-
известно из теории сопротивления
материалов, решение этой задачи основано на предположении, что
каждое поперечное сечение, оставаясь плоским, поворачивается
вокруг центральной оси этого сечения, перпендикулярной плоско-
плоскости действия пар (нейтральная ось — 0x2), на определенный угол.
Положим, что компоненты тензора напряжений
где а — некоторая постоянная; Х\ —¦ расстояние точки поперечного
сечения, в которой вычисляется нормальное напряжение 03з, до
нейтральной оси этого сечения.
Проверим, совместимы ли компоненты напряжений с основны-
основными уравнениями теории упругости. Ввиду того, что рассматривае-
рассматриваемая задача также является простейшей задачей теории упругости,
компоненты тензора напряжений E.65) тождественно удовлетво-
удовлетворяют соотношениям Бельтрами — Митчелла. Компоненты тензора
напряжений E.65) также удовлетворяют уравнениям упругого рав-
равновесия.
На боковой поверхности бруса, где л3 = 0, на основании формул
B.22) с учетом E.65) будем иметь
Таким образом, боковая поверхность должна быть свободна от
внешних сил, что имеет место в действительности.
В крайних сечениях, где cos (х3, Xi) =cos (x3, х2) =0, cos (х3,
х3) = ±1, также на основании формул B.22) с учетом E.65) имеем
Тл =Т*а2=0, К=*± ах1. E.66)
96
Формулы E.66) показывают, что в крайних сечениях бруса долж-
должны быть приложены только нормальные напряжения, распределен-
распределенные по закону E.66). Главный вектор и главный момент этих сил
будут
V3= \ o33rfiD^a J лг^ш,
=l ^.^dto=a \
Учитывая, что оси ох\ и ох2 направлены вдоль главных централь-
центральных осей инерции поперечного сечения, статический момент отно-
относительно оси 0X2 и центробежный момент инерции площади сече-
сечения относительно осей ох\ и ох2 равны нулю, окончательно имеем
L2= a J\
где /—момент инерции площади сечения относительно нейтраль-
нейтральной ОСИ ОХ2.
На практике осуществить передачу внешних сил по закону
E.66) не представляется возможным; поэтому, исходя из принципа
Сен-Венана, вместо этих сил можно взять нагрузку в виде изгиба-
изгибающих моментов так, чтобы было выполнено условие эквивалент-
эквивалентности
а/=М,
откуда
м
а=—
и, таким образом,
м
На основании обобщенного закона Гука для компонентов тен-
тензора деформаций будем иметь
Е " EI
--?*» E.67)
Поместим начало координат в центре тяжести левого крайнего се-
сечения, в котором закрепим брус так, чтобы удовлетворялись уо
ловия
»7
Тогда из C.44) с учетом условий закрепления и формул E.67)
после некоторых преобразований для определения перемещений по-
получим формулы
E.68)
EI
Ось бруса до деформации лг1 = х2=0, как показывают формулы
E.68), оставаясь в плоскости ОХ[Х3, называемой плоскостью изгиба,
после деформации обращается в параболу
ЩХ ни0
Кривизна упругой линии с точностью до малых величин высшего
порядка равна
Подставляя выражение «i, получаем формулу
1 _ м
определяющую кривизну оси бруса, пропорциональную величине
изгибающего момента. Так как кривизна постоянна, то упругая
линия— парабола с точностью до малых величин высшего порядка
может быть заменена окружностью.
Как следует из формулы для перемещения щ, любое попереч-
поперечное сечение х3=const после деформации переходит в плоское се-
сечение.
Глава
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
При решении задач теории упругости для общего случая трех-
трехмерных тел встречаются большие математические затруднения;
это обстоятельство вынуждает переходить к решемию более вли
менее широких классов частных задач, одним из которых является
плоская задача теории упругости. В плоской задаче теории упру-
упругости рассматриваются три случая упругого равновесия тела, име-
имеющих большое значение для практики: плоская деформация, пло-
плоское напряженное состояние и обобщенное плоское напряженное
состояние.
§ 39. Плоская деформация
Деформация тел называется плоской, если вектор перемещения
любой точки параллелен некоторой плоскости, называемой плоско-
стью деформации, и не зависит от расстояния рассматриваемой
точки до этой плоскости.
Допустим, что тело имеет плоскую деформацию, параллельную
плоскости ОХ[Х2, тогда
Внося F.1) в формулы C.26), для компонентов тензора деформа-
деформаций будем иметь
последние, вообще говоря, отличны от нуля и не зависят от Хз, а
остальные
При этом объемная деформация равна
1== 1
dx д
и также является функцией лишь координат хх и х2.
В этом случае формулы обобщенного закона Гука примут вид
F.3)
Следовательно, при плоской деформации тензор напряжения, в об-
99
щем случае, состоит из четырех отличных от нуля компонентов,
зависящих от двух аргументов Х\ и х2. Благодаря наличию компо-
компонента Озз обеспечивается состояние плоской деформации. Легко
показать, что при плоской деформации тела число независимых
компонентов тензора напряжений равно трем. В самом деле, скла-
складывая первые две формулы F.3) и учитывая пятую формулу F.3),
получим
в(в+в)
откуда с учетом формулы D.41) имеем
e» = »(<'ii + en)- F-4)
В разбираемом случае дифференциальные уравнения равнове-
равновесия B.25) примут вид
Эти уравнения показывают, что массовая сила, приложенная к
любой точке тела, должна быть параллельна плоскости деформа-
деформации и не должна зависеть от координаты х%.
Уравнения Ляме E.6) также соответственно упрощаются, при-
принимая вид
g = 0, F-6)
здесь А— двумерный оператор Лапласа.
Из условий совместности деформаций Сен-Венана, как легко
видеть, остается следующее:
остальные же пять условий удовлетворяются тождественно.
Для изотропного однородного тела уравнение совместности
F.7) при отсутствии массовых сил на основании F.3) и F.5) при-
примет вид
Д(°п+322) = 0. F.8)
Действительно, из формул закона Гука F.3) с учетом соотношения
F.4) имеем
^[^^ ] F-9)
toe
с другой стороны, из дифференциальных уравнений F.5) при F\ =
=F2=0 имеем
| д2а22 __2—— F 10)
Подставим F.9) в F.7), с учетом F.10) придем к уравнению F.8),
которое называется уравнением Леви.
Учитывая закон Гука в форме F.9), условию совместности де-
деформаций F.7) придадим другой вид
^ F.11)
Из определения плоской деформации вытекает, что она точно
возникает в призматическом теле бесконечно большой длины с пря-
прямолинейной осью и притом поверхностные и массовые силы должны
лежать в плоскостях поперечных сечений и не должны зависеть от
координаты вдоль оси тела. Когда призматическое тело имеет ко-
конечную длину, плоская деформация в нем реализуется не точно,
причем чем длиннее тело, тем точнее реализуется плоская дефор-
деформация при условии, что на его торцах приложены силы, распреде-
распределенные по закону 0зз = лбь
Поскольку, согласно определению, условия на боковой поверх-
поверхности призматического тела не зависят от координаты Хз, гранич-
граничные условия задаются на контуре одного из поперечных сечений
или на нескольких контурах, если сечение многосвязное. Таким об-
образом, система дифференциальных уравнений равновесия F.5) и
соотношения F.3), наряду с контурными условиями, характеризу-
характеризуют более простые задачи статики упругого тела (§ 35); при этом
здесь также различают три основные двумерные граничные за-
задачи.
Для первой основной граничной задачи контурные условия, со-
согласно B.22), записываются в виде
^Л2- F-12)
Дифференциальные уравнения равновесия и уравнение Леви, а
также контурные условия F.12) при отсутствии массовых сил не
содержат упругих постоянных материала. Следовательно, в случае
плоской деформации при отсутствии массовых сил напряженное
состояние тела в любом его односвязном сечении, параллельном
плоскости деформации, определяется заданными на контуре этого
сечения силами, его формой и не зависит от свойств материала.
Если сечение представляет собой многосвязную область, то не-
независимость напряженного состояния от сеойств материала обеспе-
обеспечивается при дополнительном условии, заключающемся в уравно-
101
вешивании внешних сил, приложенных к каждой из границ области.
(Доказательство этого положения будет дано несколько позже.)
Сказанное и составляет теорему Мориса Леви, лежащую в основе
определения тензора напряжений на моделях из материала с дру-
другими упругими свойствами.
При плоской деформации, очевидно, будем иметь
З-иНг*—"Г"* 2ш2з=0, 2@,3 = 0.
дхх дх2
В дальнейшем для удобства ац2 обозначено через со3-
Из формул
9, ди2 d"i г, диу | ди2
дх\ дх-i дх\ dxz
определив выражения
дхх Cxi oxi дх\
и подставив их в уравнения равновесия Ляме F.6), получим си-
систему дифференциальных уравнений для 9i и ы3 в виде
Если принять Fi = F2 = 0, то последние уравнения примут вид
dxi 6x2 * дхъ dxi
где ш*=—-—ш3. Эти уравнения составляют дифференциальные
соотношения Коши — Римана, следовательно, функции 9ь ©* суть
гармонически между собой сопряженные.
§ 40. Плоское напряженное состояние
Напряженное состояние пластинки называется плоским, если
вектор напряжения на площадках, параллельных основаниям, ра-
равен нулю по всему ее объему.
Примем среднюю плоскость пластинки толщиной 2h за коорди-
координатную плоскость Ох\Х2 (рис. 16). В силу определения
поэтому система дифференциальных уравнений B.25) принимает
вид F.5).
Так как азз = 0, для изотропного тела будем иметь
102
Внеся отсюда значение
через
дах
в остальные
формулы закона Гука, получим соотношения между компонентами
тензоров напряжений и деформаций в виде
F.13)
0|'>=1
дХ1
- i= 0,
F.14)
где
Х + 2ц
Как видно, формулы F.13) получаются из первых трех формул
F.3) путем замены коэффициента Ляме X на коэффициент А*.
Подставив F.14) в уравнения E.6), получим
Здесь д =
JL
Зде
Эти уравнения отличаются от уравнения F.6) только заменой ко-
коэффициента X на коэффициент I* и являются трехмерными.
Таким образом, несмотря на значительное упрощение основных
уравнений задачи о плоском напряженном состоянии, эта задача
остается трехмерной, поскольку координата х3 не исключена из
приведенных выше уравнений.
Однако Файлоном для случая,
когда толщина пластинки доста-
достаточно мала, дана идея, позволяю-
позволяющая привести указанную задачу
к двумерной. Она заключается в
том, что вычисление значений
средних величин вектора переме-
перемещения и тензора напряжений в
тонкой пластинке достаточно точ-
точно определяет решение задачи о
плоском напряженном состоянии; Рис. 16
103
последнее, следуя Ляву, называют «обобщенным плоским напря-
напряженным состоянием».
§ 41. Обобщенное плоское
напряженное состояние
Теперь допустим, что пластинка высотой 1h нагружена по боко-
боковой поверхности внешними силами, параллельными основаниям и
симметрично распределенными относительно средней плоскости;
основания пластинки примем свободными от внешних сил. Кроме
того, будем считать, что составляющая массовой силы, перпенди-
перпендикулярная средней плоскости пластинки, равна нулю, а две другие
составляющие распределены симметрично относительно средней
плоскости пластинки. Возникающее в такой пластинке напряжен-
напряженное состояние называется обобщенным плоским напряженным со-
состоянием; оно часто встречается в приложениях и является важ-
важным для практики случаем.
По условию, на основаниях x3=±h
7\.i = <»i8=0> 7\э = °2з = °. 7\в=ви=°» FЛ5)
а на боковой поверхности пластинки 7\i3 = 0, кроме того, F3 = 0.
Из третьего дифференциального уравнения равновесия
учитывая условия F.15), при x3=±h будем иметь
дх3
Следовательно, при x3=±h обращается в нуль не только величина
0зз, но и ее производная по координате х3; поэтому при достаточно
малой толщине пласгинки величина а3з будет очень малой и мы
можем считать азз=0 во всей пластинке.
В силу симметрии очевидно, что проекция вектора перемещения
любой точки средней плоскости на ось ох3 равна нулю и является
нечетной функцией относительно х3, поэтому ее среднее значение
ы3* — 0- Будем также считать, что изменения проекций щ {х\, х% х3),
«a (х\, х2, х3) по толщине пластинки малы, поэтому вместо величин
Щ, и2 можно рассматривать их средние значения по толщине, ко-
которые определяются формулами
ft А
и[= I и хйхг, и2 = — \ u2dx3. F.16)
-л -ft
Умножим обе части системы дифференциальных уравнений равно-
равновесия B.25) на Bh)~ldx3 и проинтегрируем по координате х3 от
—h до +h; тогда, в силу условий F.15),
-h
104
1 f <^13 __ I г- ift __
А
2А J дх3 ° 2Л
—ft
Окончательно получим (помня, что СТзз=0, F3=
(bci U*2
где
+A
-А -А
представляют собой средние значения величин ац, •••. F2 по толщи-
толщине пластинки.
Из определения плоского напряженного состояния вытекает, что
"ь «2, аи, 0гг> 021 —четные функции хъ, а cri3, Огз — нечетные. Сле-
Следовательно, средние значения а*з, отравны нулю и уравнение F.18)
является тождеством.
Осредняя значения данных на боковой поверхности пластинки
внешних сил по ее толщине на контуре какого-либо сечения, па-
параллельного основаниям (или на контурах, если сечение многосвяз-
многосвязное), будем иметь
0*2»! +022/12 = 7^2, F.19)
где
+ Л +ft
—ft —ft
Из формул закона Гука F.13), переходя к средним значениям и
учитывая, что сгзз = 0, получим
где введено обозначение
дх2
F.20)
, ди\ ди2
Соотношения F.20) между средними значениями компонентов тен-
тензора напряжений a*v a*2, a*2 и производными средних значений
10S
перемещений ut иг, при обобщенном плоском напряженном состо-
состоянии отличаются от соотношений F.3) при плоской деформации
только тем, что вместо упругой постоянной Ляме X участвует по-
постоянная АЛ Дифференциальные уравнения равновесия F.17) и
контурные условия F.19), которым должны удовлетворять аи,
эй. о12 , полностью совпадают с дифференциальными уравнениями
равновесия F.5) и контурными условиями F.12) при плоской де-
деформации. Следовательно, для плоского обобщенного напряженно-
напряженного состояния уравнения равновесия Ляме и соотношения Бельтра-
ми—Митчелла для осредненных величин будут записываться так
же, как при плоской деформации F.6) и F.11), с той лишь разни-
разницей, что вместо X будет фигурировать л*.
Таким образом, приходим к весьма важному выводу, что раз-
различные по существу задачи плоской теории упругости — плоская
деформация и обобщенное плоское напряженное состояние — ма-
математически идентичны.
§ 42. Функция напряжений Эри
Решение задач плоской теории упругости значительно упро-
упрощается, если массовыми силами пренебречь либо в силу их мало-
малости, либо, имея в виду, что всегда задачу при наличии массовых сил
можно свести к задаче без массовых сил, если найти какое-либо
частное решение соответствующих неоднородных дифференциаль-
дифференциальных уравнений равновесия. В дальнейшем будем предполагать, что
массовые силы отсутствуют.
В плоской задаче теории упругости большую роль играет вве-
введенная впервые Эри вспомогательная функция. Следует отметить,
что благодаря введению этой функции был создан плодотворный
метод решения задач плоской теории упругости.
В случае отсутствия массовых сил уравнения F.5) примут вид
= 0. F.21)
Первое уравнение F.21) показывает, что выражение audx2—с
является полным дифференциалом некоторой функции Q(x\, x2),
следовательно,
Таким же образом из второго уравнения имеем
где Р (Х\, х2) — некоторая функция. Сравнение этих формул для
одной и той же величины дает соотношение
dQ __ дР
дх\ дх2
106
которое показывает, что выражение Pdxx + Qdxo представляет со-
собой полный дифференциал некоторой функции Ф (х\ ,х2), так что
откуда
Р =
дФ
Q =
дФ
дх2
Подставляя значения Р и Q в формулы F.22) и F.23), получим
дх\
Эти формулы были впервые получе-
получены Эри. Функция Ф{х\, х2) называ-
называется функцией напряжения Эри.
Очевидно, если допустить, что
имеют место соотношения F.24),
уравнения F.21) будут удовлетво-
удовлетворены тождественно. Кроме того, как
известно, для того, чтобы величины
стц, ом и сг]2 соответствовали дейст-
действительному напряженному состоя-
состоянию, они должны удовлетворять ус-
условию совместности F.8), т. е.
Д(Ои + *и)=0. F-25)
0-2-2 — '
F.24)
Рис. 17
С другой стороны, из соотношений F.24) имеем
дх\ дх\
Учитывая последнее равенство, из F.25) окончательно получим
ДДФ=О, F.26)
где
ДД = 2,-
дх\
дх\дх\
дх\
В дальнейшем мы будем считать, что функция напряжений в
области имеет непрерывные производные вплоть до четвертого по-
порядка.
Таким образом, для того чтобы функция напряжений определя-
определяла некоторое действительное напряженное состояние, необходимо и
достаточно, чтобы она была бигармонической.
Выведем теперь контурные условия, которым должна удовлет-
удовлетворять функция Эри. Допуская, что на границе данной области за-
заданы внешние силы TnU Tn2, преобразуем контурные условия F.12).
107
Мы будем в дальнейшем предполагать, что контуры простые, т. е.
не самопересекающиеся, и достаточно гладкие.
Выразим П\ и п2 через производные координат Х\ и х2 по дуге /,
отсчитываемой в положительном направлении вдоль рассматрива-
рассматриваемого контура. Из рис. 17 имеем
пх =_, щ _.. F.27)
Внося F.24) и F.27) в контурные условия F.12), получим на Lr
(г=0, 1,2 .... т)
д%Ф дх2 , д^Ф дх\ т
или
дх^ di ' dxfa dt
"f dxi dl
Для произвольной точки jV контура LT введем обозначения
= ВГ. F.29)
™l \N "X:
Тогда, интегрируя равенства F.28), получим
F.30)
5!
N N
Итак, приращения функций , при переходе из точки N
дх\ дх2
в точку М (эти точки лежат на одном и том же контуре) равны
соответственно проекциям на ось ох2 и на ось ох\ результирующего
вектора внешних сил, приложенных к контуру между этими двумя
точками. Имея формулы F.30), нетрудно найти производные
J^ Ji^ ^^ F.31)
Внося значения , из F.30) в F.31) и интегрируя
дх\ дх2
полученный результат по /, будем иметь
\ ^ f Taldl\dt. F.33)
108
dl
дФ
дп
дФ
dl
дФ
dxi
дФ
dl
dx\
dn
- + ¦
dl
дФ
дх2
dl
dx-2
dn
формула F.33) показывает, что по заданным на любом контуре
значениям внешних сил можно вычислить значение Ф в любой точ-
точке того же контура с точностью до линейного слагаемого вида
Следует отметить, что это слагаемое для компонентов тензора на-
напряжений, вычисляемых формулами F.24), выпадает.
Если заданная область односвязна, то на контуре Lo можно Со,
Ао и Во принять равными нулю. Если область многосвязна, то,
положив постоянные Сг, Вг и Аг равными нулю на каком-либо
одном из контуров, мы не можем распоряжаться остальными по
произволу.
Подставляя значения ——, —— из F.30) в F.32), определим
дхх дх2
значение нормальной производной
/ м
г(
по заданным внешним силам, приложенным на контурах.
Таким образом, решение плоской задачи теории упругости сво-
сводится к определению бигармонической функции по известным на
контурах значениям этой функции и ее нормальной производной.
При полном обходе любого замкнутого контура в силу формул
F.30), F.33) будем иметь
F.35)
где Vi и Vi — соответственно проекции на ось ох\ и на ось г
главного вектора внешних сил, приложенных к рассматриваемому
контуру. Интегрируя F.36) по частям, получим
Ф= -х]ДГИ2 + а:ядгИ1 + ^(л1711й-л^111)Л, F.37)
где xiN и x2n — координаты произвольной точки N рассматривае-
рассматриваемого контура Lr, с которой начинается полный обход. Третий член
F.37) определяет значение главного момента всех внешних сил,
приложенных к рассматриваемому контуру, относительно произ-
произвольно выбранного начала координат.
Формулы F.35) и F.37) позволяют установить условия одно-
значности функции Ф и ее производных ~j—> ~i—• Функция Ф
109
н ее производные ~— , —— будут однозначными в том случае,
дх± дх%
если главный вектор н главный момент внешних сил, приложенных
к каждому контуру области, в отдельности равны нулю; если глав-
вый веквор равен нулю, то функция будет, вообще говоря, неодно-
дФ дФ , .
значной, а ее производные —— , —— будут однозначными функ-
дх-[ 0X2
цвямм; если же главный вектор не равен нулю, то неоднозначными
будут вам сама функция Ф, так и ее производные.
Ряд интересных решений урав-
нения F.26) можно получить, за-
задавшись функцией Эри в виде
полиномов различных степеней.
В качестве простейшего примера
выберем функцию Эри в виде по-
полинома второй степени, который,
очевидно, удовлетворяет уравне-
Рис. 18 нию F.26)
Ф = -i-a2x\-f-b2xxx2+— с2х\.
В случае отсутствия массовых сил по формулам Эри F.24) для
компонентов тензора напряжений получим
Таким образом, все три компонента постоянны по всей области.
Для прямоугольной полосы со сторонами, параллельными осям
координат (рис. 18), силы, приложенные к контуру, где ац = ±1,
022=±1* в силу формулы F.12) будут
Уравнению F.26) также удовлетворяет полином третьей степени
На основании формулы F.24) компоненты напряжений будут
aii==^j^i + ^2; °22 = а3хх-\-Ьгх2\ <з12=— bzxi — c3x2. F.33)
Предполагая с3=а3 = Ьъ = 0, d3^0, мы получим
a22=0, ой = 0. F.39)
Эта система компонентов тензора напряжений соответствует чисто-
чистому изгибу прямоугольной полосы внешними силами, приложенны-
приложенными на обоих ее концах Xi=O, xx=l. Эти внешние силы на основании
формул F.12) должны быть равны — йгх2 на конце *I=jO и а3х2 на
конце Xj=L Главный вектор и главный момент этих сил, очевидно,
110
будут
с с
2dx2 = —
= b ^andx2=0, M = h Г
здесь б — толщина полосы; 2 с — высота полосы.
Согласно принципу Сен-Венана найденное решение применимо
вдали от концов полосы также для случая, когда вместо внешних
сил, приложенных на обоих концах полосы и распределенных по
закону F.39), действуют статически эквивалентные пары сел с мо-
моментом М, причем вблизи места приложения пар напряженное со-
состояние будет отличаться от F.39). Если не равен нулю только
коэффициент а3, то отличным от нуля компонентом тензора напря-
напряжений будет нормальное напряжение О22=а,гХ\. Если же только
один из коэффициентов Ь3, с3 не равен нулю, например СгФЪ, то
в дополнение к нормальному напряжению Оц появляется касатель-
касательное напряжение а\2- Когда используются полиномы более высокой
степени, чем третья, то бигармоническое уравнение удовлетворяет-
удовлетворяется при некоторых соотношениях между их коэффициентами.
§ 43. Функция Эри в полярных координатах.
Задача Л яме
Уравнения равновесия плоской задачи теории упругости в по-
полярной системе координат на основании уравнения B.30), когда
отсутствуют массовые силы, примут вид
дагг 1 да агг — а
—л— т—-| =ит
or r df г
г to дг г г
Решение этой системы может быть принято в виде
1 дФ , 1 д2Ф <?2ф
г дг г* to* ' дг2
где Ф(г, ф) —функция напряжений Эри в полярной системе коор-
координат.
Первые два соотношения F.41) должны удовлетворять УСЛОВИЮ
F.25), т.е.
Л К,+ а«) = 0 F.42)
где Д двумерный оператор Лапласа в полярной системе коор-
координат
brt ' г дг ' /-2 &р '
1И
Подставляя выражения огг, оФф из F.41) в F.42), для определе-
определения функции Эри получим бигармоническое уравнение
F-43)
Для случая симметричного распределения напряжений относитель-
относительно начала координат уравнение F.43) примет вид
-| - j — =0,
общее решение которого будет
F.44)
Подставляя F.44) в формулы F.41), для случая симметричного
распределения напряжений относительно начала координат полу-
получим компоненты тензора напряжений
ч„= — А -—\- В C -f-2 In г) -)- 1С, F.45)
orf=0.
Если точка г=0 принадлежит области, то для ограничения компо-
компонентов тензора напряжений, определяемых формулами F.45), сле-
следует А и В брать равными нулю, тогда
Задача о деформации полого круглого цилиндра, подвержен-
подверженного равномерному давлению на внутренней и внешней поверхно-
поверхности, впервые решена Ляме. Решение этой задачи можно легко
получить из соотношений F.45), подчиняя их граничным условиям
огг=—ра на цилиндре г—гг,
F.46)
агг=—Р2 на Цилиндре r = r2,
где Гь Гг — соответственно внутренний и внешний радиусы ци-
цилиндра.
Для определения коэффициентов А, В, С нужно, кроме двух
граничных условий F.46), иметь еще и третье условие. Третьим
условием является независимость проекций вектора перемещения
«г, uw от полярного угла <р, так как независимость компонентов
тензора напряжений от угла ф не обязательно приводит к незави-
независимости вектора перемещения от полярного угла <р. Для случая
плоской деформации иг и ыф определяются из формул закона Гука
112
1+v
?
Из этих соотношений найдем
«,=-
' F.47)
Здесь функции /(ф) ng(r) подлежат определению.
Так как проекции вектора перемещения ит, ыф не должны зави-
зависеть от ф; ТО следует положить
/(<р) = 0, В = 0. F.48)
В соотношениях F.45), положив Б = 0, из граничных условий
F.46) найдем
+ 2CPlt
Решая эту систему уравнений, получим
Учитывая F.49) в F+45), для компонентов напряжений оконча-
окончательно будем иметь
$ г^= ¦ 1 - [- ,
r2 A-A
rAiP2~Pl) ± Ал-Ал 6б0)
4-A r2 A-A
Принимая во внимание соотношения F.49), в формулах F.47) бу-
будем иметь
u,=g(r). F.51)
113
Так как аГф = 0, то, следовательно,
и тогда
dg(r) __ dr
g{r) г
откуда
где q — интегральная постоянная.
Таким образом, тангенциальная проекция вектора перемещений
ыф представляет собой вращение абсолютно твердого тела.
Рассмотрим теперь задачу определения напряженного состоя-
состояния тонкого концентрического круглого диска, вращающегося с по-
постоянной угловой скоростью со. На диск действует объемная сила
pFr = pai2r.
Учитывая, что здесь деформация относительно полюса О являет-
является симметричной, имеем нт=0,—- = 0. Тогда из формул C.29)
Of
и B.30)
d ет=-, F.52)
dr
dr TT г
,_[_lfr^V^|_p(ll2r = Q, F>53)
Учитывая F.52) из C.40), получим уравнение совместности
деформаций в виде
r
г dr \ dr I dr
или
Последнее соотношение удовлетворяется, если
de 1
F.54)
dr
На основании формул закона Гука E.27) и того, что стзз = 0,
Ю ) соотношению F.54) придадим вид
Подставляя в это уравнение выражение arr— cw из F.53), будем
иметь
—— =_ — ^ l—A4-v)pu>2r. F.55)
114
Дифференцируем F.53) по г, тогда
d
dr \ dr J dr dr
Подставляя F.55) в последнее уравнение, найдем
Интегрируем это уравнение
*„ = A+±-l^ -^r\ F.56)
Из F.53) и F.56) имеем
в 1 + 3v
^ /-2 8
Для нахождения постоянных Л и В у нас имеются следующие
граничные условия
з,г = 0 на цилиндре г = г2,
з,г = 0 на цилиндре г = rv
Отсюда
А, В
т~
л , В 3-
Решения этой системы уравнений будут
8
Следовательно,
F.57)
На основании этих формул нетрудно убедиться, что напряже-
напряжение Or является растягивающим и достигает максимального значе-
значения при г = Уг[Г2. Напряжение афф также является растягивающим
и наибольшее значение наблюдается при г = Г\. При очень малень-
маленьком отверстии (ri<C2) у его края резко изменяется напряжение
афф, т. е. возникает концентрация напряжений. При этом из вто-
второй формулы F.57)
max 3 + V 22
Если диск сплошной (ri=@), то тогда для получения ограниченно-
ограниченного решения следует принять В = 0, тогда
В этом случае в центре будем иметь
3 + V
Таким образом, в диске с очень маленьким отверстием у его края
напряжение афф вдвое больше,
чем в центре сплошного диска.
Если стенка диска весьма тонкая,
то можно Гг^п; тогда из второй
формулы F.57)
В качестве одной из задач
исследуем распределение напря-
напряжений и перемещений при чис-
чистом изгибе кругового бруса (рис.
19). Ввиду того, что тензор на-
напряжений не зависит от координаты <р, функцию напряжений берем
в форме F.44). Сформулируем граничные условия задачи в виде
ап-=0 при r = R2>
з„ = 0 при r = Rt,
Рис. 19
*=м при <р = и.
На основании формул F.45) этим условиям придадим вид
Решения этой системы уравнений следующие:
4М
А=-
D
116
где
Таким образом,
Определим теперь перемещения иг и «ф. Для данной задачи фор-
формулы закона Гука с учетом формул D.50), C.31) примут вид
дг
г ду г Е
F.58)
1 <?а, <J«f Kf _п
г ду дг г
f дг
Интегрируем последовательно первое и второе уравнения этой си-
системы; тогда
4В
Учитывая эти соотношения в третьем уравнении системы F.58), по-
получим
Отсюда
Общие решения этих двух уравнений соответственно будут
/1(<p) = Plsin
Таким образом, имеем
117
«9 = rtP—pi sin ср — P2.cos
Для определения постоянных Pi, P2 и Рз следует взять некоторую
точку, например О, и закрепить брус так, чтобы исключить его
движение как твердого тела, т. е. следует положить в этой точке
= 0.
Тогда
Окончательно перемещения примут вид
[
+ 2(l-v)Crj+P1costp,
ttf= —Г(р-Р, Sltlf.
Из формулы для перемещения ыф видно, что при чистом изгибе
поперечные сечения остаются плоскими.
§ 44. Комплексное представление
бигармонической функции,
компонентов вектора перемещения
и тензора напряжений
В предыдущем параграфе решение уравнений плоской теории
упругости свелось к граничной задаче для бигармонического урав-
уравнения, которому удовлетворяет функция Эри. К решению уравнений
плоской теории упругости могут быть с успехом применены также
методы теории функций комплексного переменного. Впервые при-
применение этих методов было дано в фундаментальных исследовани-
исследованиях Г. В. Колосова и Н. И. Мусхелишвили. Комплексное представ-
представление общего решения уравнений плоской теории упругости оказа-
оказалось весьма плодотворным для эффективного решения основных
задач плоской теории упругости.
В § 32 было показано, что для изотропного однородного тела,
когда отсутствуют массовые силы, объемная деформация является
гармонической функцией; в случае плоской деформации имеем
0. F.59)
118
Комплексное представление решений этого уравнения проще всего
получить, если записать его в комплексной форме
4^=0 , F.60)
4
дгдг
что непосредственно получается из F.59) введением новых неза-
независимых комплексных переменных z = x^ + ix2 и z = X\—ix2 вместо
переменных Х\ и Хг, где
д \ [ / д . d \. д _ 1 ( д , ¦ . д
дг 2 \ Йд^] &С2 /' йг 2 \ &х\ дх2
Из уравнения F.60) получим, что гармоническая функция в неко-
некоторой области плоскости комплексного переменного z может быть
представлена в виде
А + (t
где ср(г) — аналитическая функция переменного z.
Умножив второе уравнение F.6) на мнимую единицу i и сло-
сложив с первым, с учетом Fx=F2 = 0 получим
Учитывая, что
дг
предыдущее уравнение запишем в комплексной форме
0
dzdz dz
Интегрируя это равенство по аргументу I, получим
fr *<"' + *»>+(X+ t») 61=Tl (г), F.62)
где ф1(z) —некоторая также аналитическая функция переменно-
переменного z.
Переходя в F.62) к сопряженным выражениям, будем иметь
Г
дг
F-63)
Сложив равенства F.62) и F.63) и учитывая наряду с соотноше-
соотношением
L дг
дг \ \ ^1 дх-г ]
также выражение F.61), найдем
2 (л-р2|*) 9j = -..-.— ¦. [^ (,j^_|_(p' ^^J^ipj (^-j-tpj (<5-)» F.65)
откуда
z)+icl F.66)
здесь с — вещественная постоянная.
Подставляя последнюю формулу, а также формулу F.61) в ра-
равенство F.62), после интегрирования полученного результата будем
иметь
где х = 2i_ = 3 — 4v; Ф(г) — аналитическая функция аргумен-
аргумента z.
Отбрасывая слагаемое tcz, дающее только жесткое перемеще-
перемещение, получаем важную формулу комплексного представления пере-
перемещения при плоском деформированном состоянии тела
-z<s'{z) — <]>(z). F.67)
Эта формула выражает также перемещение в случае обобщенного
плоского напряженного состояния тонкой пластинки, если вместо х
взять величину х *, определяемую соотношением
~~ X* + A ~~ 1 + v
Так как v<0,5, то х> 1 и х*>1.
Теперь перейдем к выводу формул комплексного представления
компонентов напряжений при помощи той же пары аналитических
функций ф(г), if (г)- С этой целью запишем формулы обобщенного
закона Гука F.3) в комплексной форме следующим образом:
=22
[2(«.(кх-ш2)]. F.68)
Учитывая F.61) в первой формуле F.68) и равенство F.67) во
второй формуле F.68), получим существенно важные соотноше-
соотношения, дающие комплексное представление компонентов тензора на-
напряжений при плоском деформированном состоянии среды
Формулы F.67), F.69) получили широкое распространение в пло-
120
ской теории упругости, они удобны еще потому, что свойства фи-
фигурирующих в них аналитических функций хорошо изучены.
Выразим теперь функцию напряжений Ф(ль Хг) через те же
аналитические функции <p(z),t|) (z).
Из формул F.24) имеем
; виви + 2*в]24
дгдг Ог
Из этих формул, учитывая F.69), получим
Интегрируя первое уравнение по г, а второе по z, найдем
Из сравнения этих равенств будем иметь
Отсюда
и, следовательно,
откуда
i^JJF + сД F.70)
Учитывая, что вторые производные функции напряжений F.24)
являются вещественными величинами, сама функция должна быть
вещественной с точностью до cz + c0. Исходя из сказанного в выра-
выражении F.70) необходимо положить
где с, с0 — произвольные комплексные постоянные. Если принять
Ci=0, c=0, Со=О, что не скажется на напряженном состоянии, то
формула комплексного представления функции напряжения Эри
окончательно примет вид
2Ф = 1(р(г)+г^1) + Х B) + да F.71)
или
(S ). F.72)
121
Здесь символ Re означает, что нужно взять действительную часть
выписанного после него выражения.
Выведем в комплексной форме выражение для главного векто-
вектора сил, действующих со стороны положительной нормали на неко-
некоторую кривую АВ (рис. 20), взятую внутри среды в плоскости де-
деформации ох\Х2. Подставим в соотношении F.12) формулы F.24),
выражающие компоненты тензора напряжений через производные
функции Зри, и учтем, что
«,==¦
dl
fl7
Тогда получим
~ Й2Ф dx2
dl
дх\дх-2 dl
d
dl
дФ
X,
F.73)
dx\
Рис. 20
dl
d
dl
дФ
Используя эти формулы, составим выражение вида
d / дФ . . дФ
dl \ дх\ дх2
Обозначая через (V\, V2) компоненты названного главного век-
вектора, из предыдущей формулы найдем
дФ . дФ \в
р / ~ I ,
АВ
где символ ( ) а обозначает приращение выражения, заключен-
заключенного в скобки, вдоль кривой АВ.
В силу F.71), а также соотношения %'(z)=i|)B) из предыдущей
формулы получим комплексное представление главного вектора
сил, действующих на кривую АВ,
F.74)
Главный момент Lo сил, приложенных к кривой АВ со стороны по-
положительной нормали, относительно начала координат равен
о= J (XiTn2-
АВ
122
Из последнего равенства, учитывая F.73) и выполнив интегриро-
интегрирование по частям, получим
io=-(* *+* »У» + (ФM. F-75)
V дх^ дхч ;а
Очевидно, что
С другой стороны, в силу формулы F.71) имеем
-, ' , т \~f i ~т \~/ i i v~/.
VX\ Рлз
Это равенство вместе с F.72) позволяет придать формуле F.75)
требуемое комплексное представление главного момента
z))BA. F.76,
§ 45. Степень определенности
введенных функций и ограничения,
накладываемые на них
Нетрудно показать, что при заданном тензоре напряжений 0ц,
O22, С[2 функция q/(z) определяется с точностью до аддитивной
мнимой постоянной ci, а функция i|/(z) находится точно.
Пусть q>'(z), •ф'(г) — пара аналитических функций, связанных с
заданными компонентами 0ц, 022, Oi2 формулами F.69); тогда
F-77)
z)}. F.78)
Пусть также q>\'(z), tyi'(z) —другая пара функций, связанных с
теми же 0ц, 022, 012 соотношениями
; F.79)
z)]- F-80)
После сравнения равенств F.77) и F.79) получаем
Из формул же F.78) и F.80) следует
Ф;B)=Ф'B).
Из двух последних равенств вытекает, что
F.81)
F.82)
где у, y' — вообще говоря, комплексные постоянные.
123
Имеет место и обратное утверждение. Если <p(z) заменить функ-
функцией ф(г)+пг + y, а ty(z) —функцией г|з(г)+у', то напряженное
состояние тела не изменится. Справедливость этого положения
вытекает из непосредственной подстановки этих функций в форму-
формулы F.77) и F.78).
Легко видеть, что при заданных проекциях вектора перемеще-
перемещения нельзя произвольно задавать постоянные с, у и у'. Пусть <p(z),
i|}(z) —пара функций, связанных с заданными компонентами век-
вектора перемещения формулой F.67); тогда
х-fШ2) = щ{г)~ Zf'{z)~i>(z). F.83)
При замене qp(z) и ip(z) согласно F.81) и F.82) из предыдущей
формулы получим
(х+ l)ciz-\-%y — y'.
Отсюда видно, что при этом проекции вектора перемещения не из-
изменятся, если
с = 0, *Y —Y'=0. F.84)
Таким образом, в этом случае можно произвольно задавать только
одну из постоянных Y. y'- При заданных напряжениях подходящим
выбором постоянных y, с, у' можно обеспечить соблюдение условий
<p(z0) = O, Im<p'(*o)=O! ф(го) = О, F.85)
где z0 — некоторая фиксированная точка области. Этими условия-
условиями вполне фиксируется пара аналитических функций <p(z) и ty(z).
При заданных проекциях вектора перемещения можно путем
выбора одной из постоянных y или y' положить
<p(z0)=0 или y(zQ)=0. F.86)
Одним из этих условий вполне фиксируется пара аналитических
функций ф(г) и i|}(z). Если деформируемая среда занимает одно-
связную область, то функции <p(z), if (г), %{z) будут однозначными
в этой области. Если замкнутая кривая АА рассматривается в од-
носвязной области, где функции q>(z), i|)(z), %(z) —однозначны, то
из F.74), F.76) следует
т. е. главный вектор и главный момент сил, приложенных к этой
кривой, равны нулю. При многосвязной области, как, например,
в случае пластинки с отверстиями, функции <p(z) и ij)(z) могут
оказаться многозначными.
Перейдем к исследованию характера многозначности этих функ-
функций сперва для случая конечной и затем — бесконечной многосвяз-
многосвязной области. Ясно, что физически компоненты тензора напряжений
должны быть однозначными в области; такое же условие наложим
и на вектор перемещения. Поэтому, согласно формулам F.69),
124
вдоль произвольной замкнутой кривой АА, проведенной в много-
многосвязной области, занятой телом, мы будем иметь
Й)л-0, F.87)
(z9"(z)+./(z))i=0. F.88)
Из F.87) ясно, что Req/(z) является однозначной гармонической
функцией. Однако известно, что при этом аналитическая функция
<p'(z) может оказаться многозначной в неодносвязной области, ибо
при обходе замкнутой кривой, расположенной в области и охва-
охватывающей какой-либо из внутренних контуров, мнимая часть cp'(z),
вообще говоря, изменяется на некоторую постоянную величину, а
следовательно, сама функция <p'(z) получает приращение, равное
чисто мнимой постоянной. Ниже убедимся, что в данном случае
такое приращение не имеет места. В силу ранее сказанного очевид-
очевидно, что функция <p"(z) будет голоморфной, т. е. однозначной ана-
аналитической функцией. Учитывая, что
W' (*))?=(?*>))$=0, F.89)
из F.88) имеем
(T)i((z))i=0, F.90)
т. е. ty'(z) является голоморфной функцией в многосвязной об-
области.
Дифференцируя выражение F.67) по координате хи будем
иметь
= г)_ „(г)_
Вследствие однозначности величин Z(p"(z) +ty'(z) (вторая форму-
формула F.69)) и (ui + шг) из последнего равенства имеем
0X1
Сравнение этого равенства с F.87) дает
(<Р'(*))Д=(?ФK=:О, F.91)
т. е. <p'(z) также есть голоморфная функция.
На основании F.91) формулы F.74), F.76) для замкнутой кри-
кривой примут вид
i. F.92)
Обозначим через zh{k= \, 2,..., т) аффиксы произвольно выбран-
выбранных точек внутри соответствующих контуров Lh, не имеющих общих
точек и охватываемых внешним контуром Lo. Функцию <p(z) запи-
125
тем в виде
+ с, F.93)
где z0 — произвольно фиксированная точка в рассматриваемой мно-
многосвязной области. Интеграл
является, как правило, неоднозначной функцией и в общем случае
при обходе любого внутреннего контура Lh получает приращение
2niAh, где Ah, вообще говоря, комплексная постоянная (множи-
(множитель 2ni введен для удобства).
Легко заметить, что функция
ft 1
в рассматриваемой области будет голоморфной. Действительно, при
однократном обходе вокруг контура Lh функция Ah In B—Zk) по-
получает то же приращение 2niAh, между тем как остальные слагае-
слагаемые суммы не получают приращений; так что функция <р*(z) воз-
возвращается к своему прежнему значению.
Учитывая формулу F.94), из равенства F.93) получаем
2), F.95)
где ф* (г) — голоморфная функция. Далее, исходя из формулы
и рассуждая аналогично предыдущему, будем иметь
*I"(«-*о) + v*(г), F-96)
где Вк — вообще говоря, комплексные постоянные и г|)*(г) —голо-
—голоморфная функция.
Подставим в формулу F.67) выражения функций <p(z) и г|)(г);
при однократном обходе по замкнутой кривой Lh', расположенной
в данной области и охватывающей только контур Lh, вектор пере-
перемещения U\ + iu2 получит приращение
126
Из этой формулы видно, что для однозначности перемещений
должно быть выполнено условие
гАк + Вк=0. F.97)
Теперь определим коэффициенты Ah и Ви, для этого по первой
формуле F.74) вычислим главный вектор сил, приложенных с над-
надлежащей стороны к той же кривой ZV; его значение дается фор-
формулой
Vlk + iV2k= - 2n(Ak - Bk). F.98)
Отсюда следует, что главный вектор {V\h, V2h) не зависит от вы-
выбора кривой Lh'.
Решая совместно уравнения F.97) и F.98), получим
Ак=~ уЦ + ^» , д _М^и-^) , (б.99)
2яA +х) 2я A +*)
Внеся эти значения A h иВи в формулы F.95) и F.96), окончатель-
окончательно будем иметь
т
), F.100)
(г). F.101)
Рассмотрим случай бесконечной многосвязной области, напри-
например, занимаемой неограниченной пластинкой, ослабленной конеч-
конечным числом криволинейных отверстий; она может быть получена
из ранее рассмотренной области при удалении внешнего контура
Lo на бесконечность. Для всякой точки, расположенной вне окруж-
окружности L, охватывающей все границы отверстий, будем иметь
Функция InA—zhz~x) будет голоморфной вне окружности L, вклю-
включая бесконечно удаленную точку; поэтому из формул F.100) и
F.101) найдем
<p(z)= vi+lVz ing-fy**(z), F.102)
4>(г) = ^-^ — Inz-l-ib**^), F.103)
2it(t + *)
где (Vb У2) — главный вектор сил, приложенных на всех контурах
области; cp**(z), \]p**(z) — функции, голоморфные всюду вне ок-
окружности L, за исключением, быть может, бесконечно удаленной
точки.
127
Подставляя выражения F.102), F.103) в F.69) и налагая усло-
условие ограниченности компонентов тензора напряжений во всей рас-
рассматриваемой бесконечной области, придем к соотношениям
F.105)
где Г, Г', вообще говоря, комплексные постоянные; <po(z), i|>o(z) —
функции, голоморфные вне окружности L, включая бесконечно уда-
удаленную точку, так что в ее окрестности справедливы разложения
F.106)
Б силу формул F.85), не меняя напряженного состояния среды,
всегда можем принять
^=^ = О; 1тГ = 0.
Величина 1тГ имеет механический смысл. Чтобы показать это,
поступим следующим образом. Продифференцируем соотношение
F.67) по Х\ и по ix2, а затем сложим полученные выражения.
Тогда
Отсюда значение вращения со определится формулой
ш= 1 / да-2 ац \ l+> f'{z)-VTz)
2 V дх! дх2) 2(х 2/
Из этой формулы с учетом F.104) при z-+oo находим
2^
Отсюда
1п,г= -^=-. F.106')
Пусть аи о — значения главных напряжений на бесконечности
и а — угол между направлением CTi И ОСЬЮ ОХ\\ ДЛЯ НИХ имеем
128
2 2
ai°2 sin 2a.
12 =
На основании этих формул
Сопоставляя последние выражения с формулами F.69) и учитывая
F.104), F.105) и F.106), при г-»оо получим
F.107)
Значит, в бесконечно удаленных частях плоскости имеет место рас-
распределение тензора напряжений, бесконечно мало отличающееся от
равномерного.
Подставляя формулы F.104) и F.105) в F.67), для больших
\z\ будем иметь
Т^ -f)z-T'z+ .... F.108)
где многоточие обозначает слагаемые, остающиеся ограниченными
при возрастающем \z\.
Таким образом, перемещение на бесконечности не ограничено;
оно будет ограничено, если главный вектор (V\, V2) сил, действую-
действующих на все контуры области, и напряжения на бесконечности рав-
равны нулю, а также 1тГ = 0, т. е. бесконечно удаленная часть плос-
плоскости не испытывает вращения.
Если напряжения на бесконечности равны нулю, а главный век-
вектор внешних сил не равен нулю, то перемещение все же возрастает
как ln(zz) =21nr.
§ 46. Основные граничные задачи
и приведение их к задачам теории
функций комплексного переменного
Под основными граничными задачами плоской теории упругос-
упругости, аналогично тому, как для трехмерного тела (§ 34), мы будем
понимать следующие задачи:
Первая основная задача. Определение упругого равновесия,
когда заданы внешние силы, приложенные к границе L области 5.
Вторая основная задача. Определение упругого равновесия, ког-
когда заданы перемещения точек границы L.
129
Основная смешанная задача. Определение упругого равновесия,
когда на одной части границы заданы приложенные к ней силы, а
на другой — перемещения точек.
Если область 5 бесконечна, то в случае первой основной задачи
должны быть заданы напряжения на бесконечности, т. е. Re Г и Г';
в случае же второй основной задачи и основной смешанной зада-
задачи— величины V\, V2, Г, Г'. Допуская, что решение указанных за-
задач существует, его единственность для конечной области можно
доказать аналогично доказательству, приведенному в случае соот-
соответствующих пространственных задач; на доказательстве теоремы
единственности для бесконечной области мы не останавливаемся;
при надобности читатель сможет ознакомиться с ним в моногра-
монографии Н. И. Мусхелишвили «Некоторые основные задачи математи-
математической теории упругости».
Из формул F.67), F.77), F.78) видно, что решение плоской
задачи теории упругости сводится к отысканию пары функций
комплексного переменного cp(z) и ty(z), аналитических в данной
области S, при этом на ее границе L эти функции (p(z) и i|;(z)
должны удовлетворять определенным условиям, отвечающим ка-
какой-либо из сформулированных задач.
Будем считать, что граница L области 5 не пересекает себя,
замкнута и в каждой точке имеет касательную. Кроме того, при-
примем, что компоненты вектора перемещения и тензора напряжений
непрерывны вплоть до границы L.
1. Для первой основной задачи функции <p(z) и ty(z) в случае
конечной односвязной области S, ограниченной контуром L, долж-
должны на основании F.74) удовлетворять краевому условию
Здесь t = X\+ix2 — аффикс точки L и х\ и х2—ее декартовы коор-
координаты, причем
/ )dl, F.110)
где Тщ, Тп2 — заданные значения проекций внешних сил, дей-
действующих на L.
Выражение слева в F.109) дает граничное значение функции
<p(z)+2ф'(г)+\|?B), когда г, оставаясь внутри области S, стремит-
стремится к точке t контура L. Это граничное условие существует в силу
принятого предположения о непрерывности компонентов тензора
напряжений вплоть до контура L. (Следует отметить, что в форму-
формуле F.74) дуга, обозначенная через АВ, целиком лежит в области 5.
Однако в силу предположения о непрерывности компонентов тензо-
тензора напряжений вплоть до контура, мы вполне законно применили
эту формулу для случая, когда дуга АВ принадлежит контуру L.)
2. Для второй основной задачи функции <p(z) и ty(z), в случае
той же конечной односвязной области S, должны на основании
130
F.67) удовлетворять на контуре L соотношению
— if'(t) — ty(t) = 2\L{ui 4-шг)> F.111)
где и\* и «2* — заданные значения перемещения точки L.
Здесь, так же как и выше, левая часть равенства F.111) пред-
представляет собой граничное значение выражения
*<p(z) — z<?' (z) — i|»(z) при z
Это граничное значение существует, так как
а по условию, принятому нами выше, щ и «2 непрерывны вплоть
до контура L.
3. Для первой основной задачи в случае бесконечной области S,
ограниченной замкнутым контуром L, регулярные в ней функции
Фо(г) и tyo(z), на основании условия F.109) с учетом формул
F.104) и F.105), должны удовлетворять краевому соотношению
*)=Л + 1/2 + с- F-П2)
При этом введено обозначение
Г? F.113)
Когда точка t описывает контур L в положительном направле-
направлении, выражения /1 + ^2, In t и In t получают соответственно прира-
приращения t(Vi-htV2), —2я/ и +2ni, так что приращение выражения
j'fs, как легко убедиться, будет равно нулю. Поэтому функция
о
является однозначной и непрерывной на L.
4. Для второй основной задачи в случае бесконечной же обла-
области 5, ограниченной контуром L, для функций щ{г) и t|>oB) на ос-
основании формулы F.111) с учетом формул F.104) и F.105) будем
иметь краевое условие
xToW-fSw-folO^SK^+fcu. F.П4)
где
Уг t_ _
-*) 7
Как видно из F.115), правая часть равенства F.114) представляет
собой однозначную и непрерывную на L функцию, поскольку тако-
таковыми являются все содержащиеся в ней члены.
5. В основной смешанной задаче будем иметь условия вида
F.109) на тех частях границы, где заданы проекции вектора нап-
напряжения, и условия вида F.111) на остальных ее частях, где зада-
заданы проекции вектора перемещения.
Выше мы убедились, что условие непрерывности компонентов
тензора напряжений вплоть до границы L области 5 приводит к
непрерывности вплоть до границы выражения
а условие непрерывности проекции вектора перемещения — к не-
непрерывности вплоть до границы выражения
, что выражение cp(z) + zq>'(z) +op(z) может быть непре-
непрерывным вплоть до границы без обязательного соблюдения условия
непрерывности (вплоть до границы L) компонентов тензора напря-
напряжений. Поэтому последнее условие может быть заменено более
слабым условием непрерывности вплоть до границы указанного
выражения. В дальнейшем будем считать, что для двух первых
основных задач функции <p(z), ц>'(г) и o|)(z) непрерывно продолжи-
мы на все точки границы L области S; это накладывает сильное
условие на искомые функции, но и значительно упрощает рассуж-
рассуждения при применении методов эффективного решения основных
задач.
Условие непрерывности <p(z), ф'(г) и ty(z) в случае первой ос-
основной задачи исключает разрывные внешние нагрузки, например
сосредоточенные силы; для смешанной задачи функции <p(z), (f'(z)
и tf(^) в отдельности не будут непрерывными в точках стыка.
§ 47. Теорема Мориса Леви
Рассмотрим первую основную задачу для конечной односвязной
области. Так как искомые аналитические функции cp(z) и г|;Bг)
однозначны в данной области S и упругие постоянные к и ц не вхо-
входят в граничное условие F.109), то решение этой задачи, даваемое
функциями <p(z), i|3 (z), не зависит от упругих постоянных X и \л,
иначе говоря, при заданных внешних силах на границе конечной
односвязной области напряженное состояние в заполняющем ее
теле не зависит от упругих свойств материала. Для конечной мно-
многосвязной области решение, определяемое функциями cp(z), ty(z),
зависит от материала среды. Чтобы решение, определяемое функ-
функциями ф(г), ty(z), не зависело от упругой постоянной х, главные
векторы сил, приложенных к каждому из контуров Lh, как это сле-
следует из формул F.100), F.101), должны быть в отдельности равны
нулю. Именно в этом случае напряженное состояние не зависит от
упругих постоянных тела. Этот результат и составляет теорему
Мориса Леви, лежащую в основе метода нахождения напряженно-
напряженного состояния в каждой точке изотропной однородной среды на мо-
132
делях из другого материала. В частности, эта теорема дает воз-
возможность заменить определение напряженного состояния в одно-
однородных и изотропных материалах определением напряженного
состояния в прозрачных телах, оптически чувствительных к воз-
возникающему в них напряженному состоянию.
Основными методами, позволяющими решать задачи плоской
теории упругости для достаточно широкого класса областей, явля-
являются метод конформного отображения и метод интеграла типа
Коши. Совместное применение этих методов оказывается наиболее
эффективным для односвязных областей.
Исследование многосвязных областей значительно сложнее и
здесь рассматриваться не будет.
§ 48. Метод конформных отображений
Пусть конечная или бесконечная односвязная область в плоско-
плоскости переменного г, ограниченная простым контуром L, взаимно од-
однозначно отображается на единичный круг |?|<1 в плоскости ?
посредством аналитической функции
z = ш(С), F.116)
причем примем, что <а@)=0 для конечной области и со@)=оо для
бесконечной области.
Для бесконечной области рассмот-
рассмотрим случай, когда перемещения щ, ыг
на бесконечности ограничены; при
этом величины V\, V2, Г, Г' в условии
F.108) должны быть равны нулю;
также будут нулевыми компоненты
тензора напряжений на бесконечно-
бесконечности. Искомые функции ф(г) и i|)(z)
будут голоморфными (регулярными) в
области 5, включая и точку г=оо.
Чтобы использовать конформное
отображение F.116) при решении ос- Рис.21
новных задач и вообще задач плоской
теории упругости, преобразуем граничные условия F.109), F.111)
к переменному |.
Введя новые обозначения
ф(г)=ф(«о(С)) = 4»i(С), F.117)
получим, что функции ф|(?). tMO являются голоморфными в об-
области единичного круга |?|<1; его границу обозначим через у.
Введем полярные координаты (г, 6) на плоскости ?; их можно
рассматривать как криволинейные координаты точки (х{, x2) плос-
плоскости 2; в силу конформности отображения координатные линии,
соответствующие г = const и 0 = const, ортогональны между собой.
Возьмем на плоскости z точку (хи х2) и проведем через эту точку
133
координатные линии r=const и 9 = const (рис. 21). Обозначим про-
проекции вектора а, приложенного в точке г, в системе координат
Х\, х2 через аь аг, а в системе ет, ее —через аг, ае. Из рис. 21 оче-
очевидно
ar-\-iai=(al cosa-\-a2 sin a)-\-i (—Ч\ sin a-\-a2 cos а)
или
л,+ #,=«-'• («i+taj). F.118)
где а — угол, составляемый направлением ?г с осью Х\ и отсчиты-
отсчитываемый от этой оси в положительном направлении. Чтобы вычис-
вычислить eia точку 2 переместим в направлении ет в положение z + dz;
тогда соответствующая точка t,=reie в плоскости ? переместится в
радиальном направлении в положение ?+^?, поэтому будем иметь
откуда с учетом F.116)
с
\dz\ |«'@1 1
Из последнего соотношения найдем
r I «'@ I
Подставляя F.119) в F.118), получим
F.119)
FЛ2О)
При этом проекции вектора перемещения на направления ет и
определяются из равенства
«г+Ч=т т^Т(И1+г')- FЛ21)
На основании формул A.13) для плоского напряженного со-
состояния и плоской деформации (k, I, r, s=l,2) между компонента-
компонентами тензора напряжений о, аее, огв в полярных координатах и ком-
компонентами тензора напряжений оц, 022, оц В прямоугольных декар-
декартовых координатах имеют место соотношения
а// + °ве=оп+в22.
F.122)
справедливость которых проверяется непосредственно. Определив
из F.119)
134
и учитывая формулы F.69), F.116) и F.117), из формул F.122)
найдем
F.123)
А»'(С)
где Ф1(С)=9ГИ = Ф{^); ^(Q^'O?)-1*»-
В этом случае вместо граничных условий F.109), F.111) соот-
соответственно будем иметь
F.124)
F.125)
где
иТ (<*) =«1 (/), Й2* (о) =
и а — аффикс точки окружности Y-
Следует отметить, что ввиду взаимной однозначности конформ-
конформного отображения необходимо &'(?,) ФО. Новые неизвестные ана-
аналитические функции q>i(?)> ^i(?)> отвечающие прежним (p(z), и
)(Z), можно искать в виде степенных рядов
2
A=I ft-0
где коэффициенты ah и &Й, вообще говоря, комплексные величины.
Граничные условия F.124) или F.125) дают возможность пост-
построить для определения этих коэффициентов бесконечную систему
линейных уравнений.
В тех случаях, когда отображающая функция со(^) является
полипомом, задача сводится к конечной системе линейных алгебра-
алгебраических уравнений (этот результат получен Н. И. Мусхелишвили).
Ограничившись здесь только приведенными общими замечаниями,
перейдем к изложению теории интеграла типа Коши, теоремы Гар-
нака и задачи Римана.
§ 49. Интеграл типа Коши
Как известно, задачи Дирихле и Неймана для уравнения Лап-
Лапласа решаются с помощью потенциалов простого и двойного слоев,
а при решении краевых задач для других дифференциальных урав-
уравнений применяются различного рода обобщенные потенциалы.
Краевые задачи теории аналитических функций комплексного пере-
переменного, к которым приводятся задачи плоской теории упругости,
135
решаются с помощью интеграла типа Коши и различных его обоб-
обобщений. Исходя из этого, мы приведем без доказательств несколько
результатов из теории интегралов Коши, типа Коши и предельных
значений последнего.
1. Интеграл Коши. Пусть f(z) —функция, аналитическая в од-
носвязной области S, ограниченной простой кусочно-гладкой замк-
замкнутой линией L, и непрерывная в S + L. Тогда значение функции
f(z) в любой точке z<=S определится граничным значением этой
функции на линии L в виде
Здесь интегрирование ведется по линии L в положительном нап-
направлении. Интеграл, входящий в правую часть F.126), называется
интегралом Коши. Если точка z находится вне L, то в силу теоре-
теоремы Коши
0, F.127)
2п( J t — г
ибо подынтегральная функция f(t)/(t—z) будет аналитической в
S и непрерывной в S + L.
В случае многосвязной ограниченной области формула Коши
имеет вид
где Z.=Z.o"-r-?r +...-j-Lm', каждый из Lv является простой ку-
кусочно-гладкой замкнутой линией, причем все Lv(v=1, 2, ..., т) на-
находятся внутри Lo. Если 2 — точка вне L, то в силу теоремы Коши
_ Г
i )
t —
F.129)
Пусть f(z)—функция, аналитическая в односвязной бесконечной
области S~, ограниченной простой кусочно-гладкой замкнутой ли-
линией L, включая и бесконечно удаленную точку, т. е. f(°°) =Co, и
непрерывная в S- + L. Тогда
L
для точек z, лежащих вне L;
для точек z, лежащих внутри L. Формула F.130) называется фор-
формулой Коши для бесконечной области.
136
2. Интеграл типа Коши. Пусть f(t) —заданная на простой ку-
кусочно-гладкой замкнутой линии L непрерывная функция, тогда
JL^ f^ F.132)
выражает однозначную аналитическую функцию во всякой одно-
связной области, не содержащей точек линии L. Интеграл F.132)
называется интегралом типа Коши, функция f(t) называется его
плотностью, а ядром, и для производной всех порядков
интеграла типа Коши имеет место формула
_ л! С f(t)d
L
Прежде чем перейти к изучению поведения интеграла типа
Коши на линии интегрирования, рассмотрим вопрос о классах
функций. Пусть /(/) -—некоторая функция, причем аргумент t и
функция /(/) могут быть как действительными, так и комплексны-
комплексными. Если f(t) является функцией из класса непрерывных функций,
то, по определению, приращение аргумента \t2—ti\ и функции
\f{h) —/(M l одновременно стремится к нулю. При этом вопрос
о порядке малости приращения функции по отношению к прира-
приращению аргумента не рассматривается. Однако многие свойства
функции, например разложение ее в ряды и быстрота их сходи-
сходимости, представление интегралами и т. п., тесно связаны с поряд-
порядком модуля непрерывности функции, т. е. со(б)=sup \f(h) — f(U)\,
где t\ и t2 принадлежат кривой L и \t2 —tl\ <6.
Мы остановимся на наиболее интересном классе функций, для
которых модуль непрерывности представим в виде степенной функ-
функции от приращения аргумента, т. е.
l/(M-/('i)l<^|*2-M'- FЛ34)
Здесь f(t) —функция точек гладкой кривой L; tut 2 — любые две
точки кривой L; А и а — положительные числа. А называется по-
постоянной Гельдера, а а — показателем Гельдера, 0<а^'1. Условие
F.134) называется условием Гельдера (условие Я), и функция
f{t), удовлетворяющая условию Я, называется функцией из клас-
класса Я. Очевидно, при а> 1 из условия F.134) вытекало бы, что
всюду f'(t)=O, а отсюда /(*)= =const. При а=1 условие Гельдера
совпадает с условием Липшица. Если при достаточно близких друг
к другу ti и t2 условие Я выполняется для некоторого показателя
«j, то оно будет, очевидно, выполняться и для всякого показателя
а<а). Таким образом, меньшему а соответствует более широкий
класс функций. Наиболее узким классом будет класс функций, удо-
удовлетворяющих условию Липшица.
3. Главное значение интеграла типа Коши. Пусть f (x) — задан-
заданная действительная функция, обращающаяся в бесконечность в
137
некоторой точке с конечного интервала интегрирования
Если вырежем совершенно произвольную окрестность точки с, то
функция f(x) в а^Л/^с—ei и с+в\^х^:Ь будет ограничена, а в
с—ei<;*:?:с+в2 — не ограничена. Точка с называется особой
точкой.
Предел
lim Г]" / (дг) dx + j / (х) dx\ , F.135)
если он существует, называется несобственным интегралом функ-
функции f(x) от а до Ь. В случае, если этот предел конечен, говорят,
что интеграл сходится, а функцию f(x) называют интегрируемой
в промежутке [а, Ь\ Если же интеграл бесконечен или вовсе не
существует, то говорят, что интеграл расходится. Известно, что
несобственный интеграл существует, если порядок бесконечности
функции меньше единицы, т. е.
В случае обращения функции f(x) в бесконечность порядка перво-
первого или выше несобственный интеграл не существует.
Если в криволинейном интеграле F.132) вместо точки z подста-
подставим точку t0 контура L, то получим сингулярный криволинейный
интеграл
J-^-dt. F.137)
i
Представим его в виде
J t 0 ^ Jt-t0
Так как в силу условия Гельдера
или
где р=1—а<1, то первый интеграл, на основании F.136), суще-
существует как несобственный.
Во втором слагаемом подынтегральная функция допускает пер-
первообразную функцию ln (^—to), которая является многозначной
Примем, что \n(t—А)) есть контурное значение аналитической фун-
функции In(z—10), однозначной в плоскости, разрезанной вдоль неко-
некоторой кривой, соединяющей точки to и оо. Условимся для опреде-
определенности, что разрез произведен справа от линии L. Проведем из
точки to линии L, как из центра, окружность радиуса е и пусть
138
^i и h — точки пересечения этой окружности с линией L (рис. 22).
Следуя F.135), будем иметь
t —t0
ИЛИ
* —'o
- =Hmln
t-Л
Так как l^ — M = |*i— *ol> т0) следовательно, In
h—h
=0.
Выражение в квадратных скобках будет равно углу между векто-
U
Рис. 22
Рис. 23
рами /0*ь W2 (рис. 23), причем в силу выбора разреза этот угол
должен отсчитываться слева от кривой, поэтому
Urn In
следовательно,
dt
¦=ш.
Таким образом, главное значение, по Коши, сингулярного инте-
интеграла F.137) для функции f(t), удовлетворяющей условию Гель-
дера, равно
Л Ж1 У j\ Ж\ Л Ж ¦ Ъ Л Ж 1 "Ч
F.138)
4. Предельные значения интеграла типа Коши. Пусть L — про-
простая гладкая замкнутая линия и на ней дана удовлетворяющая
условию Гельдера функция f(t); тогда интеграл типа Коши F.132)
имеет предельные значения
F.139)
139
2rt(
при z-+U извне L и
J^ F.140)
при 2-v^o изнутри L.
1 Г ЯО"
Здесь сингулярный интеграл ~2пг~ ) Т— t ' понимается в
смысле главного значения по Коши и вычисляется по формуле
F.138). Складывая формулы F.139) и F.140), найдем значение
интеграла типа Коши в точке, лежащей на линии L,
1 Г f(t)dt _ F+ (t0) + F-(fp) f6 Mn
2я/ J ( —<o 2 * ;
t
Рассмотрим теперь интеграл типа Коши для случая, когда ли-
линия интегрирования представляет собой прямую, простирающуюся
в бесконечность. Не нарушая общности, эту прямую совместим с
действительной осью Х\ и обозначим ее через L (рис. 22). Верхнюю
полуплоскость обозначим через S+, а нижнюю — 5~; точки оси xt
не включаются ни в S+, ни в S-.
Пусть /(/)—вообще комплексная функция действительного
переменного t, удовлетворяющая условию Я при всех конечных
значениях t и стремящаяся к определенному пределу /(оо) при
?-v±oo. Кроме того, функция f(t) для больших значений / удовле-
удовлетворяет условию
4г, Х>0, 5>0. F.142)
Положим также, что функция f(t) стремится к одному и тому же
конечному пределу /(оо) при t-*-+oo и t->—сю. Если /(оо)^=0, то
интеграл типа Коши
/(°-йИ, F.143)
2ж* J f—
если считать точку z не лежащей на оси Х\, будет расходящимся.
Действительно, имеем
r
Л"
В первом интеграле правой части подынтегральная функция в силу
F.142) будет при больших значениях |?| порядка |/|~'~\ поэтому
упомянутый интеграл, на основании известного критерия сходимо-
сходимости интегралов с бесконечными пределами, будет сходящимся. Вы-
Вычислим второй интеграл
N"
f -^ = ln(N"-z)-ln{N'-z)=± ia + \n~,
140
где а —угол, заключенный между прямыми, соединяющими точку
z с точками N', N", а г', г" — расстояния точки z соответственно до
N' и N" (рис. 24). В последнем равенстве знак первого члена сле-
следует брать положительным, если z лежит в верхней полуплоскости,
и отрицательным — если в нижней полуплоскости. Если N' и N"
независимо друг от друга стремятся соответственно к — оо, +оо,
то а стремится к я, a ln-^-не стремится ни к какому пределу; от-
отсюда следует, что данный интеграл не стремится ни к какому пре-
пределу. Теперь будем считать, что во всем процессе ON'= —ON =
= ON. Тогда
lim In —
и будем иметь
lim f nt)dt
ЛГ-« J t—г
Xdt ±я/ (оо).
= li
00
I;
11=0
/(оо)
t-
/<~) w N"
•г " -^
F.144)
xz
Рис.
N +
24
Если /(оо)=0, то интеграл F.143), как показывает ход исследова-
исследования, при условии F.142) будет сходящимся.
Таким образом, сингулярный интеграл
Г
J
t — г
J
t — г
по Коши, называется главным значением и определяется формулой
F.144). При указанных выше условиях, наложенных на функцию
f(t), функция F(z), определяемая формулой
будет, очевидно, голоморфной в 5+ и S-. Для данного случая фор-
формулы Сохоцкого — Племеля для бесконечной прямой имеют вид
j
F.146)
141
Здесь F+(t0) и F-(tQ) —пределы F(z) при z-*-t0 соответственно из
верхней и нижней полуплоскостей.
§ 50. Теорема Гарнака
Пусть L — простая замкнутая линия. Обозначим через S+ ко-
конечную часть плоскости, ограниченную линией L, а через S~ —
бесконечную часть плоскости, расположенную вне этой кривой.
При этом линию L мы не относим ни к S+, ни к S~. Возьмем дейст-
действительную непрерывную функцию точки линии L. Тогда, если
=0 для всех z^
то /@ =0 всюду на L. Если же
то f(t)=const на L.
При применении теоремы Гарнака к разности двух действитель-
действительных непрерывных функций /i(/) и /г@> заданных на L, для
всех 2eS+ на L будем иметь /t(O=/a(O и для всех zeS~ на L
будем иметь f\ (t) =Ы0 +с.
Теорема Гарнака формулируется аналогично предыдущей, ко-
когда L — бесконечная прямая.
§ 51. Краевая задача Римана
Пусть L обозначает совокупность конечного числа п простых не
пересекающихся дуг и замкнутых линий плоскости комплексного
переменного z. Затем положим, что на каждой дуге и линии, вхо-
входящих в L, выбрано определенное положительное направление.
Разомкнутые дуги обозначим через афь, выбирая обозначения
так, чтобы положительное направление вело от ан к Ьи- Функцию
F(z) будем называть кусочно-голоморфной во всей плоскости, если
она голоморфна в плоскости комплексного переменного z, разре-
разрезанной вдоль L, непрерывно продолжима на все точки L слева и
справа, за исключением концов аь, bk, и вблизи концов аи, Ьк имеет
место неравенство
где с —аффикс любого из концов а&, Ьь; X и В — положительные
постоянные.
Пусть на L заданы функции G(t) и /(/), удовлетворяющие
условию Я, причем G(t)^O на L. Требуется найти кусочно-голо-
кусочно-голоморфную функцию F(z), граничные значения которой на L слева
и справа, кроме концов ад, bk (понятие граничных значений слева
142
и справа неопределенно) удовлетворяют условию
F.147)
где G(t) носит название коэффициента задачи Римана, a f(t) —ее
свободного члена. В случае, когда на L функция f(/)=0, задача
называется однородной.
При G(t) = 1 получим задачу Римана частного вида
F+{t) — F-{t) = f{t) на L. F.148)
В этом случае задача сводится к определению кусочно-голоморф-
кусочно-голоморфной функции F(z) по заданному скачку f(t) на L. Решение этой
задачи можно получить из интеграла типа Коши
Аналогично сказанному функция F0(z) представляет собой кусоч-
го-голоморфную функцию, исчезающую на бесконечности, и, кроме
того, она удовлетворяет в окрестности любого конца с линии L
условию
\F0(z)\< ^ —, F.150)
а также
Ff(t)-Fo(t) = f{t), F.151)
кроме концов аи, Ьи- Следовательно, F.149) является одним из
решений задачи F.148).
Рассмотрим разность F(z)—FQ(z)=F1, (z), где F(z)—искомое
решение задачи F.148). На основании F.148) и F.149) на L
имеем
Ft{t)-F7(t) = 0. F.152)
Согласно известной теореме значения функции f*(z) слева и спра-
справа от L аналитически продолжают друг друга. Поэтому, если при-
приписать функции Ft(z) надлежащие значения на L и учесть, что в
силу условия F.150) любой конец с является устранимой особен-
особенностью, мы можем считать F*(г) ограниченной голоморфной на
всей плоскости. Согласно теореме Лиувилля будем иметь F*(z) =
=const на всей плоскости, следовательно, F(z) =F0(z) +K или
— г
где К — произвольная постоянная. Если принять, что решение F(z)
в бесконечно удаленной точке исчезает, тогда следует положить
/С=0. Если допустить, что решение задачи F.148) должно пред-
представлять собою кусочно-голоморфную функцию всюду, кроме бес-
бесконечно удаленной точки, где она может иметь полюс порядка
143
не выше т, тогда в силу обобщенной теоремы Лиувилля
", F.154)
где Со, Сь ..., Ст — произвольные постоянные.
Особый интерес представляет случай, когда G(t)=g, где g —
заданная вообще комплексная, отличная от единицы постоянная.
Тогда на L
F.155)
кроме концов. При допущении полюса порядка не выше т на бес-
бесконечности общее решение задачи F.155) будет иметь вид
X0(z)P(z), F.156)
J X+{№-z)
где />(г)=С0 + ^ + + „!+т
Со, С\,..., Ст— произвольные постоянные; Xn(z) — частное решение
однородной задачи
п
Хо(г) = П(г-ak)-i(z-6й)т-1. F.157)
В свою очередь
V = !L!M, 0<arg?<2n. F.158)
Изложенные здесь результаты легко распространяются на слу-
случай, когда линия L представляет собой неограниченную прямую.
В дальнейшем на основе этих результатов будут решены основные
граничные задачи для полуплоскости.
§ 52. Приведение основных краевых задач
к функциональным
уравнениям
Используя имеющийся произвол относительно функции t|)(z),
мы можем положить гр@) =0 для конечной области и i^(oo) =0 для
бесконечной области. Так как в случае конечной области точке ?=0
соответствует точка 2=0, а для бесконечной области той же точке
? = 0 соответствует z= oo, то мы можем в обоих случаях принять
Ы0)=0.
Для бесконечной области будем считать, что напряжения равны
нулю на бесконечности, главный вектор внешних сил, приложенных
к границе, равен нулю и равно нулю вращение на бесконечности.
Тогда функции <р(?), i|>(?) будут голоморфны внутри круга |?|<1.
Будем также считать, что функции <р(?), <р'(?)» 'ФЮ непрерывны
вплоть до окружности у рассматриваемого круга.
144
а) Запишем граничное условие F.124) и ему сопряженное для
первой основной задачи:
(о)
F.159)
Умножим обе части равенств F.159) на ядро Коши
1 da
2ш а-С '
где ? — точка, лежащая внутри единичного круга |?|<1, и проин-
проинтегрируем их по окружности у. Тогда получим
— \ ¦ ] t 1 I
2я/ J а —с 2я/ J ^777) ° —с
2я/
F.160)
2я» J о — С' 2Я/ J to'(а) а —С 2я* J « —t
T
здесь положено
о — С W J «-(
т т
Согласно теореме Гарнака соотношения F.159) и F.160) экви-
эквивалентны. Учитывая, что функции ф] (a) и ф] (ст) являются гранич-
граничными значениями регулярных внутри круга |?|<1 функций q>\ (t,)
и i|)i(?)> а ф1(о), \pi (ст) —граничными значениями функций, регу-
регулярных вне круга |?|<1 и обращающихся в нуль на бесконечно-
бесконечности, на основании свойств интеграла Коши окончательно найдем
(a) a
Первое уравнение, представляющее функциональное уравнение,
совместно с условием cpi @) =0 (в случае конечной области величи-
величину 1тф/@) можно фиксировать произвольно) вполне определяет
<pi(?), а затем из второго соотношения может быть найдена функ-
функция i|3i(?).
145
б) Поступая как в случае первой основной задачи, для второй
основной задачи получим
... 1 р «(о) t)
«Pi О—5^" =
„'@) о —С
где
-С
Совершенно аналогично можно получить функциональное уравне-
уравнение для смешанной краевой задачи, которое имеет несколько более
сложный вид; мы на нем не останавливаемся.
Выписанные функциональные уравнения могут быть сведены
путем несложного преобразования к интегральному уравнению
Фредгольма 2-го рода; мы на этом также не останавливаемся.
§ 53. Равновесие кругового
полого цилиндра
Рассмотрим равновесие кругового полого цилиндра, находяще-
находящегося под действием: а) равномерно распределенных касательных
сил, приложенных на границах; б) постоянного давления на грани-
границах. Оба случая относятся к первой краевой задаче.
В случае а) главные векторы приложенных на каждой из гра-
границ г=т\ и г=г2 сил в отдельности равны нулю, поэтому из фор-
формул F.100) и F.101) следует, что функции cp(z) и rp(z) голоморф-
голоморфны внутри кольца (рис. 25). Эти функции ср(г) и ${z) определя-
определяются из граничных условий
на окружности r = rv
F.163)
*2)-\-'Нк) — f {*2)-\-ci на окружности г=г2,
где
= i[ {Tll-{-iTn)dl= ir{ri f ( — sin a-{-i
cos a)da=
Вследствие равенства моментов соотношение между касательными
силами Ti и Т2 имеет вид
7У
146
В круговом кольце функции cp(z) и i|)(z) возьмем в виде
<р(г)=О, Ф(г) ~ .
Учитывая F.164) в граничных условиях, найдем
•— 2
Ол^=-И \Г\\ Ci——lJ i^jt
откуда
F.164)
Таким образом,
а 1
г
Подставляя эти функции в формулы F.123), получим
Отсюда найдем, что
zz
В свою очередь, из формулы F.121)
с учетом F.67) найдем
откуда
Рис. 25
Задача б) выше была решена методом функции напряжений,
здесь эта же задача решается методом функции комплексного пе-
переменного. В задаче б) главные векторы и главные моменты сил,
приложенных на каждой из границ г=г\ и г=г2, в отдельности
равны нулю. На основании формул F.100) и F.101) и для этой
задачи функции ф(г) и ty(z) являются внутри кольца голоморфны-
голоморфными и определяются из условий F.163), здесь f(ti), f(t2) принима-
принимают вид
f{t1)=—ip1r1 Г(cosa + isin a)da=
i
f{t2)= — p2{t2 — r2).
Функции q>(z) и \|) (z) возьмем в виде
<?{z)=az; фB Ь _
F.165)
F.166)
147
где коэффициенты а и Ь предполагаются вещественными. Для них,
подставляя F.164) и F.166) в граничные условия F.163), полу-
получим систему двух линейных уравнений
4 п
Корнями этой системы будут
РчТъ— Piri . 'V'aO'i — I
а= ; о=
2Vi~r\) Т2~г\
Тогда
г;
2/г2 Л г2 г3 Z
Подставляя эти функции в формулы F.123) и F.121), для опреде-
определения компонентов тензора напряжений и вектора перемещения,
получим при q — 0 соотношения F.50) и F.51).
Рассмотрим теперь следующую задачу.
Пусть на окружности L отверстия радиуса R в бесконечной
пластинке приложены заданные напряжения ТпТ и Г„е. Пластинка
на бесконечности находится в однородном напряженном состоянии.
Определим напряженное состояние пластинки.
На основании формул F.69) и F.122) имеем
zj\e*'. F.167)
Подставим F.104) и F.105) в F.167), тогда с учетом F.106) на
окружности L будем иметь
Jj L R \ I я v J * \t
F.168)
Г'/ ' ?—T I
Разложим Тпт—гТ„е на окружности г—R в комплексный ряд
Фурье
-а0, F.169)
где
,{k=0, +1, +2,...). F.170)
Подставим F.169) в F.168) и сравним в обеих частях полученного
. , t R
соотношения коэффициенты с одинаковыми степенями — , —. .
R t
Тогда
——+ 2Rer = cu, 2 — ——— = cl_,;O
R2 ~ ° J?3 A+)Л J
2nR l
F.171)
= 2, 3,...).
Определив из этих рекуррентных соотношений ah и 6^, по форму-
формулам F.123) найдем компоненты тензора напряжений. Рассмотрим
случай, когда Тпв = 7"г=соп5^ Тпг=0 и на бесконечности напряжен-
напряженное состояние отсутствует, т. е. Г=Г' = 0, тогда из F.170) и F.171)
с учетом того, что 1Л= К2=0, будем иметь
ао=-гТ2, aft = 0 (k=+ 1, +2,...),
aft=0 (А;=1, 2,...), Ь^=-гТ2/?2, йА=0 (* = 2, 3,...).
Следовательно,
Полученное решение совпадает с предыдущим решением, если при-
принять
г1=оо, Т1 = 0, r2~R.
Для случая Гп9 = 0, Тпг= — р и Г=Г = 0 будем иметь
ао=—р, ай = 0, (k=l, 2,...),
ай=0, (Л=1, 2, 3,...), b,=-pR2, 44=0, (A = 2, 3,...).
Следовательно,
Последние формулы совпадают с формулами F.50), если в них
ПРИНЯТЬ г2—оо, Р2 = 0, р\ = р и rt = R.
149
§ 54. Бесконечная пластинка
с эллиптическим отверстием
Методом конформного отображения решим задачу о ненагру-
женном эллиптическом отверстии в бесконечной пластинке, под-
подверженной действию равных главных нормальных напряжений р
на бесконечности.
Поскольку величина Im Г не влияет на напряженное состояние,
примем ее равной нулю; из формул F.107) найдем
Г=—р; Г'=0. F.172)
С помощью формулы
@@=^(С+"К): Л>0, 0<т<1 F.173)
внешность эллипса с центром в точке 2 = 0 и полуосями АA + т),
А{\—т) конформно отображается на единичный круг |?|<1.
Учитывая, что отверстие не нагружено, из соотношений F.104)
и F.105) с учетом F.172) найдем
?(«)=-*-* + ?„(*); ^f(z) = %(z). F.174)
Отсюда в силу F.117) и формулы F.173) будем иметь отвечаю-
отвечающие F.174) равенства
или <pl(C)=
где ф.(?) и ф*(?) —функции, голоморфные внутри круга.
Подставив функции <pi(?) и *|)i(?) в F.124), убедимся, что функ-
функции ф.(?) и гр.(?) должны удовлетворять тому же уравнению, ко-
которому удовлетворяют функции q>i(Q и ф|(?), если правую часть
заменить
2 \ w' (о) о2
Принимая во внимание, что для данной задачи /i*(a)=/г*(о)=0
и можно принять С=0, после некоторых преобразований будем
иметь
В функциональном уравнении F.161) и в соотношении F.162)
вместо функций q>i(t,), tyi (?), fi(ff) +1/2@") (при условии ф*@)=0)
введем функции ф*(?)> ^*Ш> Д°)) т- е-
150
F.175)
Подставляя F.173) в уравнение F.175), найдем
-r-L+.'^ + ^U. F.177)
2 2я/ J о —с L « °2 да J
т
Функции
являются граничными значениями регулярных вне окружности у
функций
1
которые обращаются в нуль на бесконечности.
Функция ——4HLL внутри у имеет полюсы ?= ± Vmy С = о,
«* — т * — ?
Учитывая все вышесказанное, а также то, что точка ? лежит внутри
круга |?|<1, из F.177), на основании свойств интеграла Коши
и теоремы о вычетах, получим
<рДС)=—-pAmL F.178)
2
Тогда
Подставляя F.174), F.175) и производную функции F.179) в
F.176), найдем
2 2я/ J
т
оA — m<j2) J в —С
-1 аз. (b.loUJ
т
Поскольку
1St
и т<1, в F.180) функции a, A+m2)a, q(°2 + /w) являются
1 — /Ио2 1 — от!
граничными значениями функций
1
регулярных внутри |?|<1, а т/а — граничным значением функции
—, регулярной вне |?|<1.
Следовательно, учитывая, что точка ? лежит внутри круга
j?|<1, на основании формулы Коши из F.180) найдем
F.181)
Соотношения F.179) и F.181) нетрудно выразить через основную
переменную z, подставив в них вместо ? определенную из F.173)
обратную функцию
2тА
(перед радикалом взят знак (—), так как точка z, отвечающая
|?|<1, находится вне эллипса); при этом компоненты вектора пе-
перемещения и тензора напряжений аи, а22, On могут быть легко най-
найдены из формул F.121) и F.123).
§ 55. Решение граничных задач
для полуплоскости
Приводим некоторые обозначения. Пусть Ф(г) =и(хи х2) +
+ iv(xu x2) является некоторой функцией комплексного перемен-
переменного z, определенной в некоторой области плоскости z. Тогда через
Ф(г) будем обозначать функцию, принимающую сопряженные с
Ф(г) значения в точках z, сопряженных с г,
Ф(г) = Ф(г) F.182)
или
где
«i(^i. x2) = u{xv — x2); v^x^ x2)=—v(x1, —x2). F.183)
Легко заметить, что если Ф(г) голоморфна в некоторой области S,
то Ф(г) голоморфна в области S, представляющей собой область,
симметричную области 5 относительно действительной оси. В са-
самом деле, положим, что Ф(г) голоморфна в S; тогда в области 5
имеет место
ди dv ди dv ,pD-,
152
Учитывая в условиях (С—R) соотношения F.183), в области
будем иметь
Последние соотношения показывают, что функции щ(хи х2) и
Vi(X[, х2) удовлетворяют условиям (С—R) в области S.
Пусть тело занимает нижнюю полуплоскость, ограниченную
прямой, которую примем за ось абсцисс. Обозначим нижнюю по-
полуплоскость ImB)^0, остающуюся справа, если двигаться по оси
oxi в положительном направлении, через S~, а верхнюю полупло-
полуплоскость — через S+.
Пусть функция Ф(г) определена в S~, тогда функция Ф(г)
будет определена в область S+, и пусть существует граничное зна-
значение Ф~@, где t —аффикс некоторой точки оси Охх; тогда из
формулы F.182) непосредственно следует, что существует и гра-
граничное значение Ф+(/), причем
или
ф-у)=~Ф+{{). F.184)
Пусть в области S~ определены комплексные потенциалы Ф(г),
W ) и имеются ненагруженные отрезки границы ох\.
Приведем формулы F.77), F.78) и F.83) к удобному для при-
применения виду; с этой целью построим аналитическое продолжение
функции Ф(г) в S+ через ненагруженные отрезки границы. Из фор-
формул F.77) и F.78) в области 5~ имеем
г), F.185)
где <р'(г) = ФBг), f (z)=W(z).
Возьмем функцию
Ф(г)=— Ф(г)—гФ'(г) —Т (г), F.186)
определяемую этим равенством в области S+.
На основании вышесказанного ясно, что функция Ф(г), опреде-
определяемая равенством F.186), будет голоморфной в области S+.
Напишем в F.186) z вместо z, считая, что z находится в S-, и
перейдем к сопряженным значениям, тогда
Ф(г)= -Ф(г)-гФ'(г)-Т(г),
отсюда
ТB)= —Ф(г) —Ф(г)-гФ'(г) F.187)
формула F.187) определяет функцию Т(г) в области 5- через
функцию Ф(г), продолженную и на верхнюю полуплоскость.
На границе Im = 0 выражение F.186) (при z-^t со стороны обла-
153
сти 5+) примет вид
Ф+@=-~3>+(t)-№'+{t)-?+{t). F.188)
Быражение F.185) на границе Im z=O имеет вид
°22-Ых,=о=Ф-(*)+'Ф-('ЖФ/-(О + ^-(О. F-189)
поэтому на тех участках границы, где a22 = cri2 = 0, найдем
O-(t)= -$-(()-tQ'-(t)~W-{t). F.190)
Сравнивая F.188) и F.190) и учитывая F.184) [в силу определе-
определения Ф+@ и Ч^+@]. получим
Ф+(*) = ф-(/). F.191)
Следовательно, функция Ф(г), определенная с помощью F.186) в
верхней полуплоскости, является аналитическим продолжением че-
через ненагруженные участки границы голоморфной в нижней полу-
полуплоскости функции Ф(г); иными словами, функция Ф(г), опреде-
определяемая формулой F.186), представляет кусочно-голоморфную
функцию по всей плоскости, разрезанной вдоль нагруженных уча-
участков границы 1т2 = 0.
Из равенства, сопряженного с выражением F.189), на нена-
груженных участках следует продолжимость через них функции
^(z). Представим соотношение F.185) в иной форме. Для этого
подставим F.187) в F.78) и F.185), получим удобные для приме-
применения формулы
2 = 2[Cz -г)Ф' -Ф(г)-Ф(г)], F.192)
-z)Ф'(z). F.193)
Преобразуем теперь формулу F.83). С этой целью продолжим
голоморфную в области S~ функцию qp(z) в область S+ так, чтобы
в этой области
где Ф(г) дается правой частью F.186). (Как выяснено, она при
наличии ненагруженных участков аналитически продолжает сквозь
них искомую функцию Ф(г), регулярную в нижней полуплоскости.)
Учитывая формулу F.186), последнему соотношению придадим вид
при этом в области 5+ будем иметь
?[г)=-^'(г)-Цг)-\-с1.
Из этого уравнения вытекает, что в области S~ справедливо соот-
соотношение
ношение
«54
При помощи его формула F.83) примет вид
7)_ B _ Г)^(Г)+С. F.194)
В дальнейшем будем предполагать, что кроме, быть может, конеч-
конечного числа точек tk, функция Ф(г) на контуре Imz=0 непрерывна
слева и справа и, кроме того,
11пис.Ф'(г) = 0 F.195)
для любой точки контура, тогда как вблизи точек tk справедливо
неравенство
^Ц . F.196)
Эти условия обеспечивают непрерывную продолжимость тензора
напряжений и вектора перемещения на все точки границы, кроме,
быть может, точек th-
Будем считать, что при больших \z\ функции Ф(г) и
могут быть представлены следующим образом:
F.197)
где Y> Y'— постоянны; символ 0(—) обозначает величину та-
~/1\ I е . , ,
кую, что 01— <_ (е зависит от \ z\ и стремится к нулю
при |z|-»-oo). К этим условиям присоединим еще условия, что при
больших |г| имеют место выражения:
<p(z)=Y \nz-]-O(l)-j-const,
F.198)
где
I 0A) | <в (е^О при | г\ —оо).
При этих соотношениях компоненты тензора напряжений на бес-
бесконечности равны нулю.
Пусть (VV, VV) представляет собой главный вектор сил, при-
приложенных к отрезку АВ границы Imz=0 со стороны области S-.
Подставляя F.198) в формулу F.74), при удалении конца А вле-
влево, а конца В вправо независимо друг от друга, найдем
Здесь г', г" — расстояния точек Л и В от начала координат и е —
величина, стремящаяся к нулю при f и г"-*-оо. Для того чтобы
главный вектор (W, VY) оставался конечным, когда г* и г"-^оо
155
независимо друг от друга, следует принять
Y + ?=0, F.199)
тогда
С другой стороны, должно иметь место соотношение
где (Vi, V2) —главный вектор внешних сил, приложенных ко всей
границе (он будет всегда конечен, если силы приложены на ко-
конечном участке границы); следовательно,
= n(?-Y). F.200)
Из двух линейных уравнений F.199) и F.200) имеем
Y=-^+^, у'=\^ - F.201)
1. Решение первой основной задачи. В этой задаче на контуре
L внешние силы задаются следующим образом:
где р(t) и х(/) —соответственно давление и касательная сила, удов-
удовлетворяющие условию Гельдера на контуре Imz = 0, включая ок-
окрестность бесконечно удаленной точки. Кроме того, р(оо) =т(оо) =
= 0. Согласно F.193) и F.195) граничное условие примет вид
Ф+@-Ф-@ = p{t) + ix{t). F.202)
Из F.202) видно, что решение первой основной задачи сведено к
определению кусочно-голоморфной функции по заданному скачку.
Решение этой задачи, исчезающее на бесконечности, согласно
F.149) будет
LrlQ+*Wt. F.203)
{г) [ш
L
Зная функцию Ф{г), можно по формулам F.192), F.193) и F.194)
определить компоненты тензора напряжений (аи, 022, ais) и вектора
перемещения («i, u2).
2. Решение второй основной задачи. Здесь значения компонентов
вектора перемещения на контуре L задаются в виде
Ui = giV)> «2=?2@. F.204)
где gi(t) и g2{t) —заданные функции, имеющие производные, удо-
удовлетворяющие условию Гельдера, включая и бесконечно удаленную
точку, и Ui(oo) =ы2(оо) =0.
156
Продифференцируем F.194) по /; при этом граничное условие
F.204) примет вид
&+(t)-\-*$~(t) = 2p\(g[{t}-\-ig2{t)]. F.205)
Введем кусочно-голоморфную функцию, обозначаемую через Q (z),
так, чтобы
2(г) = Ф(г) в области S~,
Q(z) =—-Ф(г) в области S+. F.206)
Тогда граничное условие F.205) примет вид
Из этого уравнения видно, что вторая основная задача также све-
сведена к определению кусочно-голоморфной функции по заданному
скачку; ее решение имеет вид
Г.Я1 J t — Z
L
Таким образом, из F.206) окончательно имеем
(z) в области 5~
-xQ(z) в области S+.
3. Решение основной смешанной задачи. Пусть на совокупности
конечного числа п отрезков афь границы lmz = 0 заданы проекции
вектора перемещения gi(t) и ^@, а на ее остальной части — про-
проекции внешней силы p(t) и т(/). Совокупность отрезков аьЬъ. обо-
обозначим через U, остальную часть границы — через L". Поскольку
нам уже известно решение первой основной задачи, то влияние за-
заданных на L" сил удобнее учесть отдельно; в соответствии с этим
мы всегда может предполагать, что на L" составляющие p(t) =
= т@=0.
Таким образом, краевые условия для рассматриваемой несколь-
несколько видоизмененной смешанной задачи принимают вид
(t) на U, F.208)
= 0, т@=0 на I", F.209)
где g(t) =gi (t) +igs(t) —заданная на U функция. Упомянутая за-
задача связана с расчетом штампов.
Если в условии F.208) величина c(t) является постоянной на
L', тогда, не нарушая общности, ее можно положить равной нулю,
ибо в этом случае значение с влияет только на жесткое поступа-
поступательное перемещение всей системы. Здесь предпологается, что до-
дополнительно задан главный вектор (V\, V2) сил, приложенных к U.
157
Основная смешанная задача в такой постановке соответствует слу-
случаю п жестко соединенных штампов.
В случае, когда c(t)=Ch (где ch — какие-то постоянные), можно,
на афн, не нарушая общности, произвольно зафиксировать только
одну из них, остальные же постоянные Ch подлежат определению.
В этом случае, в отличие от предыдущего, предполагается, что за-
заданы главные векторы (Vik, V2h) сил, приложенных к каждому от-
отрезку akbh в отдельности. Такая формулировка задачи соответствует
действию п штампов, независимо совершающих вертикальные пе-
перемещения. Когда я=1, названные задачи совпадают. На основа-
основании F.208) для обеих задач граничное условие F.205) на U при-
примет вид
В силу F.193), с учетом F.195), граничное условие F.209) на L"
эквивалентно соотношению <D+(i)=Ф~(/), так что функция Ф(г)
является голоморфной во всей плоскости, разрезанной вдоль L'.
Следовательно, решение основной смешанной задачи сведено к не-
неоднородной задаче Римана.
Положим, что g'(t) на U удовлетворяет условию Гельдера. Тог-
Тогда решение задачи F.210), не исчезающее на бесконечности, может
быть представлено в виде
ni
где X0(z)—частное решение однородной задачи, соответствующей
F.210), голоморфное во всей плоскости, разрезанной вдоль L'; оно
равно
к-1
причем постоянная
а In ( — х) __ 1 .
р„ __ __ ^
Кроме того P(z) — некоторый полином.
В силу того, что голоморфная функция Ф(г) должна исчезать
на бесконечности, полином P(z) не должен иметь степень выше
п—1; поэтому
Коэффициенты Со, Си ..., Cn-i полинома Pn-\{z) определяются из
дополнительных условий задачи. В случае, когда c(t) =с* на отрез-
отрезке cihbh, в качестве таких условий принимается равенство главного
вектора (VXk, V2*) сил. приложенных к каждому отрезку аф*. за-
заданным величинам.
158
Согласно F.202) имеем
где ^ — аффикс точки U. В этом соотношении, учитывая F.210),
будем иметь на U
(@) = ^^-Ф+(^)-^g'(t0). F.212)
Применяя к правой части F.211) формулу Сохоцкого — Племеля,
найдем
Внеся отсюда значение Ф+(г*о) в условие F.212), получим
F-214>
Подставляя в очевидное соотношение
(k=l, 2, n)
j
V*
значение подынтегральной функции из предшествующего равенст-
равенства, придем к системе п линейных уравнений для постоянных
Ch-i(k=l, 2, ..., я), ее однозначная разрешимость следует из един-
единственности решения исходной смешанной задачи.
Для решения задачи, когда c(/)=const на U (cx = c2= ... =с„),
вычислим значения 2{х(м1' + «2/) на ненагруженной части L" гра-
границы L. Учитывая, что в этом случае функция Ф(г) продолжима
ла ненагруженные отрезки границы L", согласно формулам F.194)
л F.211) получим
Здесь ^ —аффикс точки L"; и[=—^-; «2=—^— .
С другой стороны, на ненагруженных участках bkflk+i имеем оче-
очевидное соотношение
159
Учитывая в этом соотношении формулу F.215), придем к системе
п—1 линейных уравнений для С& (k = 0, 1, ..., п—1).
Дополнительное уравнение получим, используя заданную вели-
величину главного вектора (V\, V2) сил, приложенных к U. На основа-
основании первых формул F.197) и F.201) имеем
11тг(г) ,
с другой стороны, исходя из формулы F.211), находим lim гФ (г) =
= С0. Следовательно, г~>о°
Таким образом, остается лишь определить Сь С2, ..., Сп-\ из упо-
упомянутой системы п—1 уравнений, однозначная разрешимость кото-
которой вытекает из единственности решения исходной задачи.
В случае, когда g'(t) =0, что соответствует прямолинейному ос-
основанию штампа, параллельному границе Imz=0, формулы F.211),
F.213), F.214) и F.215), в силу обращения в них интегрального
члена в нуль, значительно упрощаются.
§ 56. Некоторые сведения об интегральном
преобразовании Фурье
Интегральное преобразование Фурье представляет собой эффек-
эффективный метод решения задач теории упругости, когда тело является
бесконечным или полубесконечным. Приведем без доказательства
несколько результатов, относящихся к интегральным преобразова-
преобразованиям Фурье.
1. Преобразованием Фурье некоторой функции f(x), заданной в
промежутке (—оо, оо), называется интеграл
со
7E) = -= - f f{x)e**dxt F.216)
где g—произвольное вещественное число.
Для существования преобразования Фурье /(|) достаточно
предположить, что функция f(x) абсолютно интегрируема в интер-
интервале (—оо, оо).
Для функции f(x), удовлетворяющей также условиям Дирихле*
в любом конечном промежутке, в точках непрерывности справедли-
справедлива формула обращения Фурье
* Если функция f(x) в интервале (О, А) имеет не более, чем конечное число
конечных разрывов непрерывности и конечное число максимумов и минимумов,
то говорят, что эта функция удовлетворяет условиям Дирихле в данном ин-
интервале.
/(•*) = —Lr f 7«W<#. (-OO<JC< + OO), F.217)
выражающая функцию f(x) через ее интегральное преобразование
Фурье. В точках разрыва правая часть равенства F.217) дает ве-
величину
Для функций, удовлетворяющих условиям Дирихле в любом от-
открытом промежутке 0<х<.А и абсолютно интегрируемых в интер-
интервале @, оо), имеет место
F.218)
Функция
со
называется сверткой функций / иg в интервале (—оо, оо).
Теорема. Если /(|) и g (I) являются преобразованиями
Фурье функций f(x) иg(x), т. е.
7(9=-р=- f f{x)e^dx; JE) = _L- Г
то преобразование Фурье произведения /(Ю^A) равно свертке
функций f(x) и g(x). Действительно, полагая, что изменение поряд-
порядка интегрирования справедливо, можем написать
f g®f{x-\)d%= f ?E)^—4=г f
J J 1/9w J
Отсюда
\ f(t)g(t)e-itxdt= f g{\)f{x-\)dt. F.219)
Теорема. Преобразование Фурье функции drf/dxr равно пре-
преобразованию Фурье функции f(x), умноженному на (— t|)r, если
dhf/dxh-y0 при х->-±оо (k=0, ..., r— l), т. е.
Г d'f{x)ецхах=(_цу Г f(x)e4*dx. F.220)
Согласно определению преобразования Фурье
_J_ f еЖе^ах^*!®., F.221)
Интегрируя левую часть F.221) по частям, найдем
Так как dr-1f(x)/dxr-1^) при л;->-±оо, то будем иметь
^7«> . F.222)
Интегрируя теперь левую часть F.222) по частям, имеем
Повторяя это действие, при условии, что dnf (x)/dxn-+0 (n=\, 2, ...,
-, г—1) при х-»-±оо, получаем окончательно
ой __
V
С учетом F.221) последнее равенство примет вид F.220).
3. Кратные преобразования Фурье. Теорию преобразования
Фурье функций одной переменной можно распространить на функ-
функции нескольких переменных. Предположим, например, что f(xu
х2) —функция двух независимых переменных Х\ и х2; тогда функ-
ция f, рассматриваемая как функция от хи имеет преобразование
Фурье
со
± ^dxv F.523)
л функция fEi,x2), рассматриваемая как функция от х2 — преоб-
преобразование Фурье
ла
. У=-l— f 7Ei, *,)e'«'''rf*2. F.224)
Из выражений F.223) и F.224) видим, что связь между функциям»
}(хи х2) и F(lu% 2) имеет вид
'>rf*id*2. F.225)
DO —00
Функция F(%j, |г) —двумерное преобразование Фурье функции
/<Jt[, х2). На основании F.217) функцию f(xu x2) можно выразить
через /(^ь х2) при помощи следующей формулы
/(*,, х2) = -l— f /й„ JCa)^'^^,. F.226)
Аналогично из выражения F.224) находим, что
7(Ei. ^2) = ^ f ^E», б2)е"'^*'(/Еа. F.227)
Из соотношений F.226) и F.227) следует формула, называемая
формулой обращения для двумерного преобразования Фурье
F1. «jje-'*^*'*^'^,^»- F.228)
Распространение этой формулы на функции большого числа пере-
переменных очевидно.
Пусть f=f(xu ..., хп), тогда га-мерное преобразование Фурье этой
функции будет
jr- Л О О
2я .
—со .—со
Для этого случая формула обращения имеет вид
Составим теперь на основании F.228) для произведения функ-
функций f(xu x2) и g(xu x2) формулу обращения Фурье, т. е.
—oo —oo
Отсюда в силу формулы F.225) будем иметь
Учитывая здесь F.228), получим формулу свертки
ее—oe
OS oo
F.230)
В качестве п-мерного аналога формулы F.230) получим
во оо
^...d\a. F.231)
§ 57. Бесконечная плоскость,
деформируемая под действием
массовых сил
Пусть на бесконечную плоскость действуют заданные объемные
силы pFi(xu x2), pF2(xu x2) и при хи лг2->-оо проекции вектора
перемещения и компоненты тензора напряжений стремятся к нулю.
Определим для случая плоской деформации напряженное состоя-
состояние. Умножим уравнения равновесия F.5) и уравнение совместно-
совместности деформаций F.11) на ядро Фурье exp i(|iXi+|2*2) и проинте-
ш
грируем их по каждой из переменных Х\ и х2 от —оо до +оо. Тогда
придем к системе линейных алгебраических уравнений
F.232)
гАе введены двумерные преобразования Фурье функций Скт,
Fh(r, k=l, 2), определярмые F.225)
— CO —CO
Решая систему F.232), найдем
(l_v)
• F-235)
На основании формулы обращения для двумерного преобразова-
преобразования Фурье F.228) из F.233) найдем
ОС OD ,.
— 00 —00
Покажем, что функция ЗДЙ+Й) является преобразованием
Фурье функции xkj(x\-\-х\). Действительно,
00 ™
г 2
JCJ+.JC2
—со —оо
165
здесь
2л/ выч.
у —IX?) X.^IX
при
¦¦*"¦ ПрН
ljr» ПрИ
¦"¦** при
х2>0
Тогда
V- f f /'
2
1
^ Г1
Учитывая, что функция ^/(Si-b^l) является преобразованием
Фурье функции xk/(xi-\-xl)9 на основании формулы сверток F.230)
получим
ОС
СО (Я
— J J * at. «a -
=l, 2).
Из этой формулы и вычислений, аналогичных приведенным
выше [функции 2^Д/(^+^J, «, (?? —?|)/2 (б? + У)! являются
преобразованиями Фурье функций хг (х\ — x\)l(x\ -\-x%fи я
{-х1J\, получим
Р
2яA—v)
00 »
J J
(«i. «2
U22 =
00 00
р ( 1 — 2v) ГГ (х
« О — ¦') J J
a2)]
X
166
Р С С (xi — atf — ixz — atf и „ ,Р , , ,
\ \ l(Xi — &\)г , (Oj, Из) "Г
—« —со
ей со
рA — 2v) f г (х> —а2J —(J^r — aiJ г. ¦, с- • %
12= 1 \ = 9l{X2 — а2)' ltaH Cto) —
4лA—v) J J [(x\ — a\J + (X2 — &2r]
— CO —-DO
n J J
"OO —t»
В качестве примера рассмотрим задачу о действии сосредото-
сосредоточенной силы F на неограниченную плоскость. Решение этой задачи
позволит выявить характер особенностей, которые имеют напряже-
напряжения в окрестности точки приложения силы. Выберем начало коор-
координат в точке приложения силы и будем считать, что направление
силы совпадает с отрицательным направлением оси Х\. Тогда мас-
массовые силы можно представить в виде
Fx{xv Х2)=8 (х1)8(х2); F2{xv x2) = 0.
9
Здесь 6(xh) —функция Дирака, обладающая следующими свойст-
свойствами: она равна нулю для всех значений Xk?=0, за исключением
оо
хк = 0, т. е. 8(xft)=0 при хк Ф 0 и Г b{xk)dxk=\.
—00
Тогда из последних формул окончательно получим
4яA—г)(л:2 + 4)
)-1—, F.236)
4яA-ч) (х\ + х1)
В свою очередь, компонент тензора напряжений сг3з определится из-
известной формулой
Из формул F.236) ясно, что при Хл->-0 все компоненты тензора
напряжений беспредельно возрастают.
167
§ 58. Решение бигармонического
уравнения для невесомой
полуплоскости
Для решения плоской задачи теории упругости в случае отсут-
отсутствия массовых сил, как было установлено в § 42, приходится ин-
интегрировать двумерное бигармоническое уравнение F.26). Решение
этого уравнения приведем для полуплоскости, ограниченной пря-
прямой. Пусть эта полуплоскость в прямоугольной системе координат
занимает область *i>0.
Умножим F.26) на ехр/р^ и проинтегрируем по переменной х2
от —оо до +оо, тогда
F.237)
На основании формулы F.220) равенству F.237) придадим вид
или же
— A,4 r"v ^"> @.200)
где
CD
Q(xv E)= f Ф(лг„ jfa)d«'-flf^2. F.239)
Корни характеристического уравнения дифференциального уравне-
уравнения F.238) равны
Тогда общее решение F.238) будет иметь вид
Для получения ограниченного решения необходимо положить
C=D=0, при этом
Q = (A+ Bx1) e-Mx>. F.240)
Коэффициенты А и В определяются граничными условиями задачи.
По формуле обращения Фурье F.217) и F.239) найдем
168
Таким образом, функцию напряжений можно получить квадра-
квадратурой.
Умножим формулы Эри F.24) на exp il,x2 и проинтегрируем по
аргументу х2 от —оо до + оо; учитывая формулы F.216), F.220) и
F.239), найдем
J,, = ^= f -^re^dx2= —I'Qix^ 5). F.242)
lA™ J ^2 /2Л
^дг2 = —-zzi — j ' F.243)
С?!^). F>244)
Из F.242), F.243) и F.244) по формуле обращения Фурье
получим
00
F.245)
°22=;
Этим методом решим две задачи.
1. Полуплоскость, к границе которой приложена распределен-
распределенная сила. Примем ось х2 за границу полуплоскости и направим ось
Х\ внутрь этой полуплоскости. Допустим, что на границе Xi = 0 за-
заданы Г21 = 0 и Тц = р(х2) и на полуплоскость не действуют массо-
массовые силы. Будем считать, что при Xi-»-oo компоненты тензора на-
напряжений стремятся к нулю. В решении F.240) интегральные по-
постоянные А и В определятся из граничных условий
Умножим эти условия на exp i?,x2 и проинтегрируем по переменной
х2, тогда при *i = 0 будем иметь
11 ^= f ll( !)
V 2л _^
__ оо
= ^ f P(x2)e!t**dx2^~p(ti, F.246)
16?
Подставляя F.240) в F.242) и F.244), из граничных условий
F.246) найдем
в(й, В=^2п 1 ? I р®. F.247)
Учитывая F.247) в F.240) и подставляя полученный результат в
формулы F.245), найдем
1/2* J
F.248)
а,
|
щ
а
\
\
т
rz
.Xi
а
) f
\
щ
Рис. 26
Если, в частности, на границе Xi=0 давление равномерно рас-
распределено на участке —а-^.х%^а (рис. 26), то на основании фор-
формулы F.246) будем иметь
F.249)
Учитывая четность функции F.249) по |, формулы F.248) пе-
перепишем в виде
о
2А) Г 1-1
л J ?
о
sin (?а) cos
g~Ui sin (\a) cos
170
-u, sin (S-a) ьт
Вычисляя теперь эти интегралы, найдем компоненты тензора на-
напряжений
оп=-?$-
= -^- [2 @2 - 6J - sin 20, + sin 26J, F.250)
12 =- (cos 292 - cos
2л
где, согласно рис. 26,
2. Полуплоскость, к границе которой приложена сосредоточен-
сосредоточенная сила. Рассмотрим распределение напряжений в полуплоскости
(рис. 27), к границе которой в начале координат приложена в на-
направлении оси Х\ сосредоточенная сила Т, а массовые силы отсут-
отсутствуют. Решение этой задачи может быть получено из решения
F.248), если в формуле F.249) предположить, что ро = —_r T/2a и
V 2
я->0. Тогда
,.«.о - F-251)
Учитывая F.251) в формулах F.248), после вычислений интегра-
интегралов найдем
ОТ X ОТ JCiJCZ ОТ X Хл
eu=——-!-, eM=—fi--i-L, „ =—fi Ljl, F.252)
Я / Я /"¦* It v
При *i-»-0, х2->-0 компоненты тензора напряжений беспредельно
возрастают. Вычислим нормальное и тангенциальное напряжения
в площадке, перпендикулярной к радиусу-вектору. Возьмем за по-
повернутые оси координат оси, совпадающие с направлениями нор-
нормали и касательной к данной площадке (рис. 27). На основании
формул A.13)
и таблицы находим
2Г xi 2T cos 9
л гЭ л г
171
Вводя обозначения on^arr, a12=are, o22=aee, получим формулы
_ 2Гxi _ 2Г cos 6 о _а _„
п г
А
4
А
ап
021 =
= cos 6= —
г
— sin 6 =
г
0
a12 =
«22 =
X2
sin
со,
0
г
г
0
0
1
Глава VII
КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ТЕЛ
§ 59. Кручение призматического тела
произвольного односвязного
поперечного сечения
Пусть к основаниям однородного изотропного призматического
тела приложены силы, приводящиеся к скручивающим парам. Кро-
Кроме того, массовые силы отсутствуют, и боковая поверхность тела
свободна от внешних сил.
Направим ось ох3 параллельно образующим боковой поверхно-
поверхности, а оси ох\ и ох2 возьмем на одном из оснований бруса (рис. 28).
Задача об упругом равновесии
призматического тела при указанных
условиях сводится к нахождению ве-
величин Okr, удовлетворяющих в обла-
области, занятой телом, дифференциаль-
дифференциальным уравнениям равновесия B.25)
при отсутствии массовых сил и форму-
формулам закона Гука D.35), а также гра-
граничным условиям на боковой поверх-
поверхности и основаниях призматического
тела.
Поставленная в таком виде задача
представляет большие математические
трудности. Поэтому на основании принципа Сен-Венана, при доста-
достаточно большой длине призматического тела по сравнению с разме-
размерами его оснований, мы можем смягчить граничные условия на
основаниях таким образом, чтобы главный вектор и главный мо-
момент сил, приложенных к основаниям, имели заданные значения;
при этом действительное распределение сил на основаниях практи-
практически не оказывает влияния на части тела, находящиеся вдали от
них. Такое интегральное удовлетворение условий на основаниях
создает довольно широкий произвол в выборе решения.
Сен-Венан, исходя из вышеуказанных предположений, своим
полуобратным методом решил указанную проблему в перемеще-
перемещениях. Решение в перемещениях поставленной проблемы Сен-Венан
ищет в виде
и,= — хх2ха; «^TjCaJCp u3=v?(xl,xi), GЛ
Рис 28
где т — постоянная величина, называемая степенью закручивания,
а ф(хь х2) —некоторая функция, подлежащая определению.
173
Перемещения G.1) показывают, что поперечные сечения не ос-
остаются плоскими, а искривляются, причем все сечения одинаково.
Из формул закона Гука D.35) с учетом формул C.26) для
компонентов тензора напряжений Ohr, соответствующих перемеще-
перемещениям G.1), получим
-*(•?•+*•) G-2)
и
" 1 = СТ22:
Подставляя G.2) и G.3) в дифференциальные уравнения равнове-
равновесия B.25), когда массовые силы отсутствуют, мы увидим, что пер-
первые два из них удовлетворяются тождественно, а третье уравнение
дает
G.4)
дх\ дх\
Последнее соотношение показывает, что функция ср(хь х2), назы-
называемая функцией кручения Сен-Венана, должна быть гармониче-
гармонической функцией переменных х{ и х2 в области S, занятой поперечным
сечением тела. Из третьей формулы G.1) вытекает, что перемеще-
перемещение из также должно быть гармонической функцией.
Учитывая, что внешняя нормаль п к контуру любого попереч-
поперечного сечения перпендикулярна к оси ох3, имеем п3 = 0. Тогда пер-
первые два условия B.22), ввиду отсутствия внешних сил на боковой
поверхности и по условию G.3), будут удовлетворены тождествен-
тождественно; третье условие B.22) на L с учетом G.2) примет вид
2=0, G.5)
где через L обозначена граница области S.
Учитывая, что
дх\ дх2 дп
вместо G.5) на L получим
А,-
где — производная у по нормали п.
Задача определения функции ф(«[, x2) есть, таким образом,
задача Неймана для уравнения Лапласа. Легко показать, что в
нашем случае условие существования решения задачи Неймана
выполняется. Действительно,
Г —?- dl = Г (Xjt1 — ххп2) dl =
174
При соблюдении этого условия решение задачи Неймана опреде-
определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Это
слагаемое не существенно, ибо замена функции ф на ф + с не меня-
меняет напряженного состояния, что следует из формул G.2), а вызыва-
вызывает, как показывает третья формула G.1), лишь жесткое поступа-
поступательное перемещение тела вдоль оси ох3.
Для гармонической функции ф справедливо тождество
на основании которого, с учетом граничного условия G.6), обна-
обнаруживаем, что главный вектор касательных напряжений, прило-
приложенных в поперечном сечении, равен нулю. Действительно,
На основании формулы Гаусса — Остроградского из последнего
равенства получим
В последней формуле, учитывая граничное условие G.6), мы бу-
будем иметь Vi=0; аналогично доказывается, что Уг=О. Поэтому
касательные напряжения, приложенные в поперечном сечении, сво-
сводятся к паре сил, момент которой равен (рис. 28)
jO# — **»„) dm, G.8)
Внося в эту формулу значения сг32, 031 из формул G.2), окончатель-
окончательно получим
M=Dx.
В этой формуле
Из условия равновесия на основаниях имеем Mh = M=Dx, откуда
D '
ITS
где Мк называется крутящим моментом; D — жесткостью при кру-
кручении.
Принимая во внимание формулу G.6), из формулы Гаусса —
Остроградского найдем
дх2 ) .) Y дп
С другой стороны, на основании первой формулы Грина
L
Следовательно,
дхх) ^\дхг) т ' дхз 2 A*, J
Умножим обе части последнего соотношения на ц. и сложим с
G.9), получим
Отсюда следует, что всегда D>0.
Введем гармоническую функцию ty{xi, x2), сопряженную с функ-
функцией ф(д:ь х2), тогда по условиям Коши — Римана будем иметь
fo_ . ^ . д<? _ <»С /7 Ю)
dxi дх-i ' djr2 <*xi
Граничное условие, которому удовлетворяет функция
получится из G.6), если внести туда условия G.10) и учесть F.27).
В результате получаем
дх2 dl ' dxi dl \ dl ' l dl
Интегрируя обе части этого равенства по контуру поперечного се-
сечения, будем иметь
L-2 , 2 G.11)
Для компонентов тензора напряжений на основании G.2) с учетом
условий G.10) мы получим формулы
1
-*{¦&-*)' •«—•*(-?¦-*¦)• GЛ2)
Из этих формул хорошо видно, что решение задачи не изменится,
если в функции г1>(*1, х2) прибавить постоянную величину. Следо-
176
вательно, определение функции сведено к задаче Дирихле для
уравнения Лапласа.
Часто вместо функции ty(xi, x2) вводят другую Ф(хи х2),
называемую функцией напряжений при кручении или функци-
функцией напряжений Прандтля. Эта функция определяется формулой
Ф (хР х2) = Ъ(х}, х2) (^1 + ^2)- G.13)
В этом случае из G.12) будем иметь
дФ дФ ,. ,,.
Из G.13), учитывая, что
| щ _0>
дх\ дх\
получим
дх\ дх\
Для функции Ф граничное условие на основании G.11) примет вид
Ф(х„ x2)\L=C. G.16)
Таким образом, задача определения Ф(хи х2) есть задача Ди-
Дирихле для уравнения Пуассона G.15) при граничном условии
G.16). Из формулы G.8) с учетом G.14) для определения крутя-
крутящего момента будем иметь
G.17)
Эта формула показывает, что величина момента Mk не меняется,
если к функции Ф прибавить любую постоянную. Записав G.17)
в виде
и применив к первому интегралу формулу Гаусса — Остроградско-
Остроградского, получим
-2}i.x | ф^«). G.18)
Принимая в G.16) постоянную С равной нулю, что допустимо, так
как изменение Ф(хи х2) на постоянную величину не меняет реше-
решения задачи, что видно из G.14) и G.17), вместо формулы G.18)
будем иметь
агш. G.19)
Эта важная формула принадлежит Прандтлю.
177
§ 60. Некоторые свойства
касательных напряжений
Покажем, теперь, что вектор касательного напряжения Тз =
— /1031+*2032 в произвольной точке М поперечного сечения приз-
призматического тела направлен по касательной к кривой Ф(.гь х2) =
= const, проходящей через точку М. Действительно, вдоль кривой
Ф(лгь х2)=const имеем
дФ __ дФ dx\ • дФ dx2 Q^
dt ~~ dxi dt дх2 dt ~
Учитывая здесь формулы F.27) и G.14), находим
31 + 3 3
откуда Tz-Ln .
На основании доказанного кривые Ф(хи х2) = const называют
траекториями или линиями касательных напряжений. Так как на
контуре поперечного сечения Ф(х\, x2) = const, то он является тра-
траекторией касательных напряжений.
Легко доказать, что как ози так и 032 являются гармоническими
функциями в поперечном сечении. В самом деле, действуя гармо-
гармоническим оператором А на обе части формул G.14) и допуская
законность перестановки дифференциальных операторов, с учетом
G.15) будем иметь
0x2
Отсюда вытекает, что 031 и 032 достигают наибольших значений на
контуре поперечного сечения призматического тела.
Докажем, что вектор касательного напряжения Т3 также дости-
достигает своего наибольшего значения на контуре; для этого отправим-
отправимся от противного: допустим, что вектор касательного напряжения
достигает наибольшего значения внутри контура поперечного сече-
сечения в точке М. Выберем в поперечном сечении новую прямоуголь-
прямоугольную декартову систему координат ох\'х2 и одну из ее осей, напри-
например ось ох2, направим параллельно вектору Т 3, приложенному в
точке М. В этой системе координат в точке М будем иметь тензор
напряжений с компонентами a/3i=0, о'з2?=0, причем они относи-
относительно новой системы координат являются также гармоническими.
В силу этого 032 достигает своего наибольшего значения на конту-
контуре, а не внутри контура, как это было допущено в начале рассуж-
рассуждения.
Следовательно, вектор касательного напряжения достигает сво-
своего максимального значения на контуре поперечного сечения приз-
призматического тела.
178
§ 61. Кручение полых
призматических тел
Пусть призматическое тело ограничено несколькими цилиндри-
цилиндрическими поверхностями, оси которых параллельны. Любое попе-
поперечное сечение такого бруса представляет собою многосвязную
область. В этом случае граничные условия G.11) примут вид
на
где Cv — постоянные, принимающие определенные значения на
каждом из контуров Lv, совокупность которых образует контур
сечения.
Функция кручения ф должна быть однозначной; в противном
случае перемещение м3=тф было бы многозначным (нас интере-
интересуют однозначные перемещения). При этом функция ф, сопряжен-
сопряженная с однозначной гармонической функцией, определяемая из
условий Коши — Римана G.10), может быть, вообще говоря, много-
многозначной; в нашем случае этого не должно быть, ибо функция ty
возвращается к первоначальному значению при обходе по любому
из контуров Lv, что видно из граничного условия для нее. Исходя
из этого постоянные С„ не могут быть фиксированы произвольным
образом. Действительно, если фиксировать их произвольно, а за-
затем определять функцию ф (для этого следует решить задачу
Дирихле, которая, как известно, всегда имеет единственное реше-
решение), то функция ф, найденная из условий Коши —Римана с по-
помощью функции г|>, может оказаться многозначной.
В данном случае, на основании G.16), функция Ф(а'ь х2) долж-
должна быть постоянной на всех контурах, ограничивающих сечение.
Таким образом, граничное условие для функции Ф(хь х2) на кон-
контуре Lv имеет вид
Ф(хх, х2)=СУ. G.20)
Как мы видели, в формулы для деформаций, напряжений и пере-
перемещений входят частные производные функции Ф. Поэтому доста-
достаточно определить функцию Ф(хь х2) с точностью до произвольной
постоянной. Это обстоятельство дает возможность положить одну
из постоянных Cv равной нулю.
Покажем, что тангенциальные напряжения Оъ\ и сгз2 на торцах
призматического тела удовлетворяют условиям
2afco=0 G.21)
(в противном случае, помимо приложенного крутящего момента,
на торцах имелись бы изгибающие призматическое тело попереч-
поперечные силы).
Учитывая в интегралах G.21) формулы G.14) и преобразуя их
в интегралы по контуру L = Lo+L\+L2 + ... + Lm, получим
179
= -цт f Флjrf/. G.22)
Эти интегралы можно записать в виде
Фп2(Н-\-... -|-(*t J
— Vj=i>>t I Фп<й1-\~\*-х \ 4?tiidl-\-...-\-рх \ ч
С учетом G.20) будем иметь
rt2dl¦+¦ jitC, ] ti2dlA- ... -^(vrC- \
поскольку
то и Vi = V2 = 0, что и требовалось доказать.
На основании формул G.14) и рис. 28 имеем
Щ4 + 2гх [
дхг j J
G.23)
Преобразуя первый интеграл в контурный, будем иметь
Л!й = — ^т ^ (л^!+д:2и3) ФЛ + 2цт J" Ф<Л» G.24)
или, учитывая, что L = L0+i-i + ... + Z-m окончательно получим
G.25)
Преобразуем контурные интегралы в поверхностные, при этом,
учитывая, что обход по внешнему контуру сечения должен выпол-
выполняться против часовой стрелки, а по всем внутренним контурам —
по часовой стрелке, формулу G.25) представим в виде
180
~ <>o + 2[it J ФЛ,, G.26)
2
v=l
где (ov —площадь, ограниченная контуром Lv (v = 0, 1, 2, ...).B слу-
случае односвязной области получим формулу G.19).
§ 62. Теорема о циркуляции
касательного напряжения
Циркуляция вектора напряжения /ICT3I+ /г^зг вдоль замкнутой
линии /, целиком лежащей в сечении, равна
)-rfr. G.27)
Учитывая в подынтегральном выражении формулы G.2) и G.1),
для Г будем иметь
^-^-rf/. G.28)
Так как перемещение иъ должно быть однозначной функцией в се-
сечении, то
В силу последнего обстоятельства из G.28) находим
Г = 2|А-ссо. G.29)
Здесь ю — площадь, ограниченная линией интегрирования.
Формула G.29) справедлива как для односвязных, так и для
многосвязных сечений, причем линия интегрирования может охва-
охватывать одну или несколько внутренних контуров сечения или вов-
вовсе не охватывать их. Эта формула представляет теорему о цирку-
циркуляции касательных напряжений.
Циркуляцию касательных напряжений выразим через функцию
Ф(*ь х2); с этой целью подставим G.14) в подынтегральное выра-
выражение G.27), тогда
где tij — косинус угла между внешней нормалью к линии интегри-
интегрирования и осью oxj 0=1, 2).
Из сравнения формул G.29) и G.30) получим
-&—dl = 2m. G.31)
181
Если в качестве линии интегрирования взять внутренний контур
Lv, тогда
-<f)-Jt<H = 2и, (v=l, 2,..., т), G.32)
где nv — внешняя нормаль к контуру Lv; cov — площадь, ограничен-
ограниченная замкнутым контуром Lv. Формулы G.32) могут быть исполь-
использованы для определения неизвестных констант Cv, входящих в гра-
граничные условия G.20).
§ 63. Аналогии при кручении
а. Мембранная аналогия. Мембраной называется тонкая плен-
пленка, не оказывающая сопротивления изгибу, а сопротивляющаяся
только растяжению.
Пусть однородная мембрана постоянной толщины натя-
натянута одинаково по всем на-
направлениям силой Т на плос-
плоский контур того же очертания,
что и контур поперечного се-
сечения скручиваемого призма-
призматического тела, и нагружена
нормальной к ней равномерно
распределенной нагрузкой q
на единицу площади. Пусть
оси координат ох\ и ох2 лежат
в плоскости мембраны, кото-
которая провисает под действием
нагрузки q на величину
{ )
Рис. 29
Выведем дифференциаль-
дифференциальное уравнение равновесия; для
этого вырежем элемент, имею-
имеющий форму прямоугольника со сторонами dx\, dx2 (рис. 29). При-
Приравняем к нулю сумму проекций на ось ох3 всех сил, действующих
«а него;
Отсюда получим уравнение для прогиба щ равномерно нагружен-
нагруженной мембраны
J^ - G.33)
дх\
дх\
Так как на контуре мембраны прогиб щ равен нулю, следователь-
следовательно, контурное условие будет «0 = 0. G.34)
182
Таким образом, контурное условие G.34) тождественно совпа-
совпадает с контурным условием для функции Ф. Если положить «o=
= ?Ф, тогда дифференциальное уравнение G.15) совпадет с G.33).
Внесем ио=кф в уравнение G.33), тогда
дх\ дх\
С другой стороны, имеем
дх\ дх\
Из последних двух уравнений k——. Тогда
G.35)
Следовательно, задача кручения призматического тела может быть,
решена путем измерения прогибов равномерно нагруженной мем-
мембраны.
Если рассечь мембрану плоскостями «o = const, то полученные
линии равного перемещения в задаче кручения будут совпадать с
траекториями касательных напряжений Ф = const. Уклон мембраны
в направлении внешней нормали п к линии равного переме-
перемеси
щения в некоторой ее точке определяет касательное напряжение t
в соответствующей точке сечения, т. е. Т=—5-—. Действи-
к дп
тельно,
дщ
дп
откуда
дп \ дх\ 0x2
k дп
Согласно этой формуле наибольший угол наклона мембраны опре-
определяет наибольшее касательное напряжение.
Жесткость призматического тела при кручении определяется
объемом у, ограниченным поверхностью деформированной мембра-
мембраны, и плоскостью ее до деформации, т. е. D = ——v. Действительно,
k
так как
2Т
а также учитывая, что
> = Мк и Мц^ит,
183
найдем v = -2—D, откуда
D-Jt* G.36,
Ценность мембранной аналогии заключается не только в том,
что она позволяет экспериментально исследовать проблему кру-
кручения, но и в том, что при помощи этой аналогии можно без како-
какого-либо эксперимента в каждой конкретной задаче о кручении
призматического тела составить качественное представление о виде
траекторий касательных напряжений и о наибольшем тангенциаль-
тангенциальном напряжении.
Мембранная аналогия легко обобщается и на случай полых
призматических тел. В этом случае, как явствует из соотношения
щ = кФ, которое выведено из сравнения уравнений G.15) и G.33),
должны быть соблюдены следующие условия:
1) внешний контур мембраны должен быть подобным внешнему
контуру Lo сечения призматического тела и закреплен неподвижно;
2) все внутренние контуры сечения призматического тела долж-
должны быть имитированы абсолютно жесткими плоскими невесомыми
дисками, параллельными друг другу, и должны получить поступа-
поступательные перемещения uv — kCv (Cv— константы, входящие в гранич-
граничные условия на внутренних контурах сечения призматического
тела);
3) эти диски должны быть загружены тем же равномерно рас-
распределенным нормальным давлением q, что и сама мембрана. По-
Последнее обстоятельство вытекает из теоремы о циркуляции каса-
касательных напряжений в задаче о кручении, в справедливости чего
сейчас убедимся.
Подставим Ф = —и0 в G.32), тогда
rf/=2Aio,=-2r<»1,. G.37)
Здесь-——уклон мембраны в направлении внешней нормали
nv к внутреннему контуру Lv; cov — площадь, ограниченная внут-
внутренним контуром Lv.
Умножив обе части G.37) на величину равномерного натяже-
натяжения мембраны Т, будем иметь
—— Qi = qi%. (/ .оо)
Очевидно, левая часть этого равенства есть сумма проекций сил
натяжения мембраны в сечении ее по данному контуру Lv на на-
направление, перпендикулярное плоскости контура Lv.
Таким образом, G.38) дает условие равновесия каждого диска
под действием равномерно распределенного давления и натяжения
мембраны в сечении ее по контуру этих дисков. Если такого рода
184
мембрану вместе с диском загрузить равномерным давлением, то
получим мембранную аналогию задачи о кручении призматическо-
призматического тела с профилем в виде многосвязного сечения (рис. 30), т. е.
перемещение мембраны будет пропорционально функции Ф(х\, х2),
а линии равного перемещения будут подобны траекториям танген-
тангенциальных напряжений.
Осуществление эксперимента мембранной аналогии в случае
задачи о кручении призматического тела с профилем в виде много-
многосвязного сечения представляет большие трудности. Однако для
качественного изучения конкретной задачи о кручении полого
призматического тела, как уже указывалось для случая одно-
связных областей, мембранная аналогия имеет большую ценность.
Рассмотрим в качестве приме-
примера задачу о кручении тонкостен-
тонкостенных труб.
Для исследования кручения
тонкостенных труб способом мем-
мембранной аналогии необходимо за-
закрепить мембрану по ее контуру,
который должен быть подобен
внешнему контуру сечения, и на-
Рис. 30
Рис. 31
ложить абсолютно жесткий плоский диск, имеющий форму внут-
внутреннего контура. Далее мембрану и диск надо нагрузить равномер-
равномерно распределенным давлением, обеспечив диску поступательное
движение в направлении, перпендикулярном его плоскости (рис.
30). Поскольку рассматривается случай, когда толщина стенки
трубы мала, то деформация мембраны будет определяться в основ-
основном нагрузкой, действующей на диск; что касается нагрузки, дейст-
действующей непосредственно на мембрану, то ею можно пренебречь.
В силу сказанного выше поверхность деформированной мембраны
будет очень близка к конической поверхности, соединяющей оба
контура. Сделанный вывод позволяет при изучении кручения тон-
тонкостенных труб произвольного поперечного сечения строить прибли-
приближенный расчет.
Внутри кольцевого сечения проведем линию L, равноудаленную
от обеих его границ (рис. 31), и какую-либо точку А на этой линии
примем за начало отсчета ее дуги /. Кольцевое сечение будет зада-
задано, если известны линия L и толщина 6 = 6@- О величине каса-
185
тельного напряжения Т в данной точке можно приблизительно су-
судить по среднему уклону мембраны в этой точке, поэтому прибли-
приблизительное значение тангенциального напряжения в точке В
определится формулой
8@
Полагая, что на внешнем контуре С0=0, будем иметь
Г = 1ат-^. G.39)
Ъ{1)
Как видно из этой формулы,
rm3X = рх-^-. G.40)
Из формулы G.26) имеем
где (Di — площадь, ограниченная внутренним контуром; С\ — посто-
постоянное значение функции Ф на внутреннем контуре.
Учитывая, что среднее значение функции Ф на линии L прибли-
приближенно равно 72Сь последней формуле придадим вид
y G.41)
В правой части G.41) выражение внутри скобок представляет со-
собой площадь, ограниченную средним контуром L, поэтому формулу
G.41) перепишем в виде
ЖА = 2pxC1w, G.42)
где
L
С другой стороны, на основании G.32) имеем
-(? / =2o>. G.43)
Исключим С\ из формул G.42) и G.43), тогда
Mk= Ji^i , G.44)
где
ч
dl
I ъ{1)
Формула G.44) дана Бредтом.
186
Из сравнения формул G.39) и G.42) найдем
т= мк
Эта формула также принадлежит Бредту.
б. Гидродинамическая аналогия Буссинеска. Рассмотрим лами-
ламинарное движение вязкой жидкости по призматической трубе с по-
поперечным сечением, совпадающим с поперечным сечением призма-
призматического тела, кручение которого исследуется. Обозначим ось
трубы через ох3. Скорость v(x\, x2) текущей по трубе жидкости дол-
должна удовлетворять уравнению Пуассона
fry , &2у ^ 1 dp .
,
дх\ Vo
где —-— падение гидродинамического давления по оси трубы,
дхг
принимаемое постоянным.
На стенках трубы имеем условие Рейнольдса
zi = 0. G.46)
Таким образом, контурное условие G.46) тождественно совпадает
с контурным условием для функции Ф.
Если положить v — кф, тогда дифференциальное уравнение
G.15) совпадает с G.45). Внесем и = /гФ в уравнение G.45) и полу-
полученное уравнение сравним с уравнением G.15); тогда
-J= а*з Ф>
§ 64. Комплексная функция кручения
Часто бывает удобно для решения задачи кручения вводить
функцию F(z) комплексного переменного z=Xi + ix2, связанную с
функцией кручения ф(хь х2) и с сопряженной с ней функцией
if(z) = <p+/•!'. G AT)
Функция F(z), очевидно, голоморфна в области, занятой любым
поперечным сечением тела.
В силу G.11) для многосвязной области граничные условия,
которым должна удовлетворять функция F(z), примут вид
G.48)
187
где t —аффикс точки; Cv — постоянные, одну из которых можно
фиксировать произвольно, а остальные подлежат определению.
В случае односвязной области будем иметь
F(l) +FT)=t7+ С. G.49)
На основании формул G.2)
откуда, учитывая, что—— = ——, окончательно получим
°м-*»в = 1«* [/=¦'(*)-*]. G.50)
Жесткость при кручении призматического тела определяется по
формуле G.9), которой придадим вид
Применив ко второму интегралу формулу Гаусса — Остроградско-
го и введя обозначение /0= (xi2 + X22)du>, получим
здесь /о—полярный момент инерции площади поперечного сече-
сечения. На основании формулы G.47) и принимая во внимание, что
Xidxi+x2dx2=—d{tt), последней формуле можно придать вид
Если поперечное сечение призматического тела представляет мно-
многосвязную область, то последняя формула примет вид
D = ?\lo--^^(F(t)-F(t))d(tt)~].
G.51)
Здесь интегрирование ведется по всем контурам Lo, Lu ..., Lm, обход
которых таков, что область остается слева.
§ 65. Решение частных задач кручения
Приведем несколько примеров решения частных задач кручения
призматических брусьев.
188
а) Призматический брус эллиптического профиля. Функция на-
напряжения Прандтля Ф(хь х2) должна быть постоянной на эллипсе
Функция Ф(*ь х2), удовлетворяющая граничному условию, может
быть представлена в виде
Ф(х„ *2)=л(^-+-|-), G.52)
где Л — неизвестная постоянная.
Кроме того, функция Ф(х\, х2) внутри эллипса должна удовлетво-
удовлетворять уравнению Пуассона; следовательно, для определения вели-
величины А получим соотношение
откуда найдем
Тогда
Подставляя G.53) в соотношения G.14), для напряжений CT3I И
получим формулы
а
31
62
б) Призматический брус, сечение которого представляет рав-
равносторонний треугольник (рис. 32). Уравнения сторон равносторон-
равностороннего треугольника с высотой h будут
На этих сторонах функция Ф(*ь х2) должна быть постоянной. Это,
так же как и в первой задаче, наводит нас на мысль представить
функцию в виде
Ф(*„ x2) = Ax2[{x2-h)+Y^x1] \{x2 -h)- fbxb G.54)
Эта функция на сторонах треугольника равна нулю. Кроме того,
функция Ф(*1, х2) внутри треугольника должна удовлетворять
уравнению Пуассона. Отсюда находим, что А= — . Окончательно
2ft
получим
189
Из формул G.14) найдем
в) Круглый призматический брус с полукруглой продольной вы-
выточкой (рис. 33). Уравнение контура сечения будет
Функцию напряжения, которая на контуре должна быть равна ну-
нулю, ищем в виде
или
If Л2
Ф(*д, Х2)=.
2ba2xl \
i+4}
Рис. 33
Кроме того, функция Ф(хи х2) внутри упомянутого контура долж-
должна удовлетворять уравнению G.15). Тогда найдем, что А= — 1/2.
Следовательно,
-
Согласно формулам G.14) имеем
,-^[(
D + 4Y
1 -•
х\ + х\ \ х\+ х\
190
г) Призматический брус с профилем в виде прямоугольника.
Чтобы найти решение задачи кручения указанного бруса, опреде-
определим гармоническую функцию 1|з(*ь х2), которая на границах хх =
= ±а; х2— ±Ь прямоугольника принимает значение—(дл+хг)-
Искомую функцию ij)(i:, х2) представим в виде суммы двух
гармонических функций
а?-\ (*1 — х1) и (/(Хр х2),
т. е.
хЛ G.55)
Введенная новая гармоническая функция q(xu x%) на границе пря-
прямоугольника должна удовлетворять условиям
q(±a, x2) = 0, q{xv ±b)=x\-a2. G.56)
Гармоническую функцию q(x\, x2) возьмем в виде ряда
Я (*i. ^а) = 2 а" ch (Р-^а)cos W«XJ-
Учитывая G.57) в граничных условиях G.56), получим
Из второго соотношения находим
В результате имеем
*
Теперь компоненты тензора напряжений могут быть вычислены по
формулам G.12).
д) Призматическое тело круглого сечения с круглым эксцент-
эксцентричным отверстием. Обозначим через S область, занятую каким-
191
либо поперечным сечением тела, ограниченную извне окружностью
Lq радиуса R, а изнутри — окружностью L\ радиуса г; аффикс цент-
центра этой окружности назовем е (рис. 34). Для данного случая гра-
граничные условия G.48) примут вид
?i на Lv
G.58)
G.59)
Так как на Lo имеем tt = R2 и постоянную Со можем выбрать рав-
равной — R2, условие G.58) запишется в виде
O / .„; G.60)
на Lt выражение для tt может быть за-
записано следующим образом:
t7={e-{-reib)(e-\-re~iB)=
тогда на L\ будем иметь
t — e
Рис. 34
G.61)
Здесь йй=е2+г2+С{.
Решение задачи ищем в виде
— e
G.62)
где первый ряд представляет собой голоморфную функцию внутри
Lo, а второй ряд — голоморфную функцию вне L\. Коэффициенты
as и Ьк предполагаются вещественными.
Подставим граничные значения функции F(z) в условия G.58)
и G.59), тогда
t — e
<7-вз)
4=1
ft=l
ft-0
192
<7-64)
Преобразуем второе слагаемое, входящее в условие G.63),
тогда
к-] v~0
где С1А = (— l)vCft+,_i.
Введем вместо индекса v новый индекс n = k+v, тогда
(f
Здесь двойное суммирование ведется по целочисленным точкам уг-
угла ABC (рис. 35).
Меняя в последней двойной сумме порядок суммирования,
найдем
где
Очевидно,
Учитывая в условии G.63) разложение G.65), получим ао=О и бес-
бесконечную систему линейных уравнений
ап + Вп = 0 (д=1, 2, ...)• G.68)
Для получения второй бесконечной системы линейных уравнений
преобразуем первое слагаемое, входящее в условие G.64), тогда
Здесь двойное суммирование ведется по целочисленным точкам уг-
угла АОВ (рис. 36). Меняя порядок суммирования, будем иметь
G.69;
Рис. 35
Рис. 36
где
Очевидно,
Тогда условие G.64) примет вид
G.70)
G.71)
Отсюда
о —
3 = -^ или
где
194
т = епя (п=\, 2, 3 ),
, = 0 при л = 2, 3, 4,...
G.72)
G.73)
На основании теоремы существования и единственности реше-
решения задач теории упругости можем сделать заключение, что сово-
совокупность двух бесконечных систем линейных уравнений G.68),
G.73) имеет решение и притом оно единственное и ограниченное
приближенным ее решением будет решение двух конечных систем,
причем число этих уравнений должно фиксироваться в зависимости
от параметра, характеризующего близость контуров сечения, и от
требуемой точности расчета. После определения корней уравнений
G.68) и G.73) из соотношения G.72) определится постоянная С\.
Для иллюстрации решения рассмотрим числовой пример. Возь-
Возьмем из уравнений G.68) и G.73) по три первых уравнения, тогда
Из первых трех уравнений этой системы имеем
*!=— — ал; Ь2=^Л
тогда три последних уравнения системы G.74) примут вид
При относительных размерах rjR — Q2t e//?=0,6 корни будут
а1= -0,262167- Ю-1/^; а2= -0,157831- Ю;?2;
аэ=- 0,250176.Ю-
Для разбираемого примера из G.72) имеем Ci = —0,446929 R2.
Значения величины
100%
7
для точек t~R, t—iR, t= —R окружности Lo и величины
для точек t=e+r и l = e—г окружности L\ соответственно равны:
1,490%, 1,012%, -0,249%, 0,132%,
—6,7%. Эти величины свидетельству-
свидетельствуют о приемлемом выполнении гранич-
граничных условий, следовательно, решение
вполне эффективное.
На основании формулы G.50) вы-
вычислены значения касательных напря-
напрягу жений, действующих в точках оси Х\,
—- к построена их эпюра (рис. 37). Как
ъ \ */- i видно из эпюры, возмущение, внесен-
^ у/ $• / ное отверстием, носит местный ха-
** р актер.
Определим теперь жесткость. Учи-
Учитывая, что на LQ И L\ соответственно
имеем d (lt)=dR2 = 0, d{Ft)=
Рис 37
redl—L [- е\ из формулы G.51) получим
При помощи формула G.69) и теоремы Коши окончательно по-
получим
Для рассматриваемого примера D = 1,559 ]iR\ тогда
Здесь А** —заданный крутящий момент.
196
§ 66. Изгиб призматического тела,
закрепленного одним концом
Пусть призматическое тело длиной / закреплено одним концом,
а на свободном конце несет нагрузку, статически эквивалентную
силе Р, перпендикулярной к оси тела. Массовые силы и силы на
боковой поверхности тела отсутствуют. Начало координат поме-
поместим в произвольной точке какого-либо сечения. При этом ось ох3
направим параллельно оси тела, а ось ох} — параллельно силе Р
(рис. 38). Сечение предполагается односвязным.
Рис. 3&
Решение задачи дается в напряжениях полуобратным методот*
Сен-Венана. Исходя из физических соображений, примем
^1=^2 = ^=0. G.75)
°зз:=р(ал:1 + *%+<?)A— Л"а); G. .76)
комлоненты же тензора напряжений <Тз1 и ег32 должны быть опре-
определены. Ниже покажем, что коэффициенты а, Ъ, е однозначно опре-
определяются формой и размерами поперечного сечения тела и выбо-
выбором системы координат.
Компоненты тензора напряжений о3з, о^ и о» в сечении Хз в
данной задаче должны удовлетворять условиям равновесия
= 0, G.77)
-x3)=O. G.78)
Подставим выражение G.76) в условия G.78); тогда для коэффи-
коэффициентов a, b и е получим систему трех линейных уравнений
G.79|
19/
где /ц, /221 hz, Si и S2— моменты инерции и статические моменты
площади поперечного сечения тела относительно осей Х\, х2, а со —
площадь сечения.
Корни системы G.79) будут
W Г-1
G.80)
причем
На основании формул SI=©JC2C, S2 =
ента е придадим вид
е— —дхх- —
в
в-
2 — /l2-^l
В
2 112
В
j
•
формуле для коэффици-
коэффици—- координаты центра тяжести площади поперечного
Здесь Х\с
сечения.
Подставив G.75) и G.76) в дифференциальные уравнения рав-
равновесия, с учетом Fj=O получим
дх3
G.82)
G.83)
Из G.82) следует, что o3i и оз2 не зависят от координаты х3, сле-
следовательно, они одинаково распределены во всех поперечных сече-
сечениях.
Уравнению G.83) придадим вид
[вз1 Р (ЛЛ:1 ~Ь exi) I Н 1 йп
2 J дх2 L 2
= 0. G.84)
Из этого уравнения следует, что существует функция %(хи
связанная с Оз1 и озг равенствами
G.85)
2 ="
Действительно, при подстановке G.85) в равенство G.84) лослед-
лоследнее удовлетворяется тождественно.
Выведем условия, которым должна удовлетворять функция
ь х2). Для этого подчиним G.75), G.76) и G.85) соотношениям
198
Бельтрами — Митчелла и граничному условию на боковой поверх-
поверхности тела.
Из шести соотношений Бельтрами — Митчелла четыре соотно-
соотношения удовлетворяются тождественно, а два соотношения приводят
к уравнениям
—гтт*
откуда
Тогда
ДХ = -^L— (bx1 - ax2) - 2C. G.86)
I + V
Здесь С —постоянная интегрирования, которая должна быть опре-
определена.
Условия отсутствия на боковой поверхности тела нагрузки в
данном случае дают
= 0 на L. G.87)
Учитывая формулы G.85), а также формулы F.27), из G.87) бу-
будем иметь граничное условие для функции %(х\, х%) на L
Затем задачу G.86), G.88) заменим двумя задачами; для этого
функцию х(хи х2) представим следующим образом:
х = У+СФ, G.89)
где fиФ — новые функции, подлежащие определению.
Подставляя последнее соотношение в G.86) и G.88), задачу
G.86), G.88) разобьем на две следующие задачи:
дФ=-2, G.90)
—=0 на L,
G.91)
(у/ dl dl
Следовательно, функция Ф представляет собой функцию напряже-
напряжения Прандтля.
Таким образом, задача [G.86), G.88)] о поперечном изгибе приз-
призматического тела разбита на задачу G.90) о его кручении и задачу
199
G.91) об отыскании вспомогательной функции Чг, называемой
функцией изгиба.
Для односвязных поперечных сечений граничные условия на L
приводятся к виду
Ф = 0, G.92)
о
(?+ ,)
\l. G.93)
Легко убедиться, что при полном обходе контура L значение инте-
интеграла G.93) равно нулю. Действительно, взяв интеграл G.93) по
замкнутому контуру поперечного сечения и применяя к нему фор-
формулу Гаусса — Остроградского, а также учитывая первое уравне-
уравнение системы G.79), получим
= 0. G.94)
Аналогичным образом можно также убедиться, что при полном
обходе контура L значение интеграла G.88) равно нулю. Это поло-
положение и равенство G.94) в дальнейшем будут использованы.
Нетрудно проверить, что найденные компоненты тензора напря-
напряжений о31 и <тз2 на конце х3 = 1 тождественно удовлетворяют пер-
первым двум условиям G.77). Действительно,
или
Применяя формулу Гаусса — Остроградского и учитывая условие
G.88), а также третье уравнение G.79), получим
200
Аналогичным образом
Третье же условие G.77) позволяет определить входящую в G.89)
постоянную С. Подставив в это условие, согласно G.85), значения
031 и °32, получим
или
М,= —t-
¦ I (OX2 '—
Введем обозначение
тогда
L
Произведя интегрирование по частям, найдем
МЪ = Р j Vf^dl + P^ydn + JL^bxi-axdxtXtfl». G.95)
Учитывая в G.95) формулы G•88), G.,89), будем иметь
? ^]) G.96)
201
Из условия М3 = 0 следует
| Шш + | (Ьх2 — ах{) ххх^ + j
С= - - L 1 , G.97)
J $
где
[M^4,) ^.]Ш/. G.98)
Если в качестве координатных осей взять главные центральные
оси, то Si=S2=/i2 = 0. Следовательно, из формул G.80) получим
а==; Ь = е = 0. В этом случае вышеприведенные формулы за-
'•п
метно упрощаются.
§ 67. Центр изгиба
По формулам закона Гука D.50) компоненты тензора дефор-
деформаций, соответствующие компонентам тензора напряжений G.75),
G.76) и G.85), равны
ee{a
~
G.99)
На основании формул C.27) угол поворота элемента тела аокруг
оси ох3 будет
3
2 I А*! дх2
В силу этой формулы и формул C.26) найдем
Аналогичным образом можно вывести подобные формулы для ча-
частных производных по координатам Xh от остальных углов пово-
поворота Ы| и юг- Величина —— представляет собой кручение волокон
дх
призматического тела, параллельных оси ох3.
Среднее значение кручения для всего поперечного сечения, обо-
обозначаемое через т, определяется формулой
Tj^^T^4 GЛОО)
iti
202
Таким образом, выясняется, что под действием поперечной силы,
приложенной к свободному концу призматического тела, изгиб со-
сопровождается кручением. Как видно из формулы G.100), чтобы под
действием упомянутой силы призматическое тело испытывало толь-
только изгиб без участия кручения, постоянную С следует определить
формулой
С = —-—{Ьхи—ах2с). G.101)
Подставляя G.101) в формулу G.96), для крутящего момента Мъ
будем иметь
G.102)
Чтобы изгиб тела не сопровождался кручением, необходимо,
кроме силы Р, действующей в точке о поперечного сечения, прило-
приложить к этому сечению еще крутящий момент М3, вычисляемый по
формуле G.102). Сложив силу Р и крутящий момент М3) получим
силу Р, равную заданной силе, направленную параллельно ей и
находящуюся на расстоянии х20, которое определяется по формуле
— С{Ьх2-ахх)x^du-[Q.dl. G.103)
Допустим теперь, что поперечная сила Р, приложенная в начале
координат, направлена вдоль оси ох2. Рассуждая аналогичным об-
образом, получим силу Р, равную заданной, направленную парал-
параллельно ей н находящуюся на расстоянии Xi°, которое определяется
по формуле
т — \(КХ2 — a,Xi
где Q. = [{bA + еЛ) -^ - [а
В формуле G.104) функция W* удовлетворяет уравнению
Д1р=2v<ъх.-аха) G.105)
203
и граничному условию
t
vr? I I //, ^,2 f ч ыЛ / 2 | * иХ% j j- jjy 1Лс\
О
В этих формулах
G.107)
Точка пересечения прямых Х\ = Х\°, х2=х2° называется центром
изгиба.
Любая поперечная сила, приложенная к сечению свободного
конца, проходящая через центр изгиба, вызывает изгиб без участия
кручения. Чтобы определить положение центра изгиба, совершенно
не обязательно решать задачу об изгибе призматического тела, до-
достаточно решить задачу о его кручении. Следуя Новожилову, по-
покажем, что выражения, входящие в G.104) и G.103), могут быть
вычислены с помощью функции Ф{%\, x2). Для доказательства при-
применим известную формулу Грина для функций Фи?; в качестве
контура интегрирования возьмем контур поперечного сечения тела
_wдФ)>=Г (Ф ——V—\dl. G.108)
J ,)\ дп дп /
Учитывая первые уравнения G.90), G.91) и условие G.92), вместо
G.108) будем иметь
2v f(*jcojc)*d + 2 (ЧА=-(> — <//. G.10Э)
J дп
f(*jc,ojc2)d + 2 (<А(
1 + v J J J дп
На основании соотношений G.13), G.10) имеем
_23L=JC3 + i*_, Jf_=_^__«L. G.110)
Oxi 2 ' дх2 дх2 1 dxi v
Учитывая здесь формулы F.27), найдем
дФ дФ , дФ
«2=
<Эга ^Jt! ' Йлг2 * dl dl
Подставив G.111) в правую часть G.109) и интегрируя по частям,
с учетом второго соотношения G.91) получим
дп
1
204
^ j G.112)
L
где / =
На основании формулы Гаусса — Остроградского имеем
или
/ = — 2 i (ax1 Jr bx2 -\- e) Ыъ —
- f \{ax\-j-ex^-p- -f [bxl + ex2) -p-\rf».
Подставим в эту формулу из G.110) значения —— и ——; тогда
/= — 2 l
J
|fl
0 | е х2) Ф] d [(aJcf+ex,)
Интегрируя третье слагаемое по частям и учитывая, что на кон-
контуре L функция Ф = 0, убедимся, что оно обращается в нуль. Сле-
Следовательно,
/= — 2J (axl-l-bjc2 + e}4>di6-l'§(l>x2—axl)x1x2dw. G.113)
Учитывая G.112) и G.113) в G.109), а затем подставляя получен-
полученный результат в G.103), окончательно получим формулу для ко-
координаты центра изгиба
-a{xli-x2c)\^d^. G.114)
Аналогичным образом из G.104) получим формулу для другой
координаты центра изгиба
= i (ажх, + b.x2+et) yd* -
К(х,-хи)-а,(х2-х2с)] ФЛ». (,7.115)
205
Как видно, в формулы для определения центра изгиба призмати-
призматического тела с односвязным сечением входят функции ф и Ф, свя-
связанные только с решением задачи о кручении тела. Следует отме-
отметить, что если известна одна из функций <р, Ф, то другая опреде-
определится путем квадратур из G.110).
В работе* выведены формулы для определения координат цент-
центра изгиба (Xi°, х20) в случае многосвязной области
-а, (х2~х2с)\ (rqF (z)-y
Я
*, Dc - х1е) - a, (х°2с - х2с)] С0(о0 - 2 [*, (хи - хи)
х2 = f (ax, + bx2 -fe) Im F (z) d«> -\ ^— J f [b (xx ~xlc) -
— а0& — х2с)}С0(«0
где:
F(z) ¦—комплексная функция кручения, х\с, х2с —координаты
центра тяжести площади, заключенной внутри контура Lk, Х\с, х2с—
координаты центра тяжести площади сечения, ша — площадь, за-
заключенная внутри контура Lh, Ck — константы, вводимые в G.20).
Постоянные (а, Ь, е), (а„ &*, е*) определяются соответственно по
формулам G.80), G.107).
Рассмотрим задачу об определении центра изгиба, когда сече-
сечение консоли представляет собою область, ограниченную извне ок-
окружностью Lo радиуса R, а изнутри—окружностью L\ радиуса г
(рис. 34). Приближенное выражение комплексной функции круче-
кручения F{z) для этой задачи определяется формулой G.62).
Для принятой системы координат е = а=0, Ь— 1,288 R-*. Для
относительных размеров, указанных в задаче D, на основании вы-
вышеприведенных формул ЛГ]°= —0,1170 7?, х2° = 0.
*Ю. А. Амензаде, О. Л. Бубутейшвили, «Центр изгиба консоли
с многоевязным поперечным сечением». ДАН Азерб. ССР, том 29, № 10, 1973 г.
206
§ 68. Изгиб призматического тела
с эллиптическим поперечным
сечением
Пусть плоскости 0Х[ и ох2 будут плоскостями симметрии приз-
призматического тела, а нагрузка, действующая на его торец, стати-
статически эквивалентна силе Р, которая направлена вдоль оси Х\ и
приложена в центре торца. В этих условиях, очевидно, тело будет
работать на изгиб без кручения.
На основании формул G.80) будем иметь
а= J-; Ь=е=О.
Учитывая эти соотношения в G.91), будем иметь
дЧг* =„ *2, G-116)
(l+v)/
01 /22 dl
на ?. G.117)
Следуя приему Тимошенко, введем вместо функции изгиба W но-
новую функцию
G.118)
где f(x2) — произвольная функция только от х2.
Подставляя G.118) в G.117), получим граничные условия на L
' GЛ19)
В частном случае функцию f(x2) можно выбрать таким образом,
чтобы выражение, находящееся в скобках, обращалось в нуль, то-
тогда граничное условие на L примет простой вид
0. G.120)
д!
Поскольку поперечное сечение односвязное, G.120) на L может
быть записано в виде
<? = 0. G.121)
Например, для случая, когда поперечное сечение представляет со-
собой эллипс, равенству G.120) можно удовлетворить, положив
Здесь ai и Ь\ — полуоси эллипса.
207
Рассмотрим задачу об изгибе эллиптического цилиндра. Для
данной задачи, в силу G.118), функция Q примет вид
G.124)
G.125)
G.126)
Учитывая G.123) в G.116), получим уравнение вида
\Q=nx2,
где
Решение уравнения G.124) ищем в виде
Это решение удовлетворяет граничному условию G.121).
Подставляя G.126) в уравнение G.124). будем иметь
1 . 3
„2 ' J.2
(
откуда
К=-
а\ь\
G.127)
Зная функцию Q, из G.123) можем определить функцию W
тгМт-З--1-'7-1»'
На основании формул G.85) с учетом того, что для заданной за-
задачи % = ^?, будем иметь
Л
~
/
7
, G.129)
из формулы G.76)
¦л,}.
G.130)
Последняя формула нормального напряжения полностью совпадает
с формулой элементарной теории изгиба, чего нельзя сказать в
отношении формул для тангенциальных напряжений ai3 и сггз- Со-
Согласно элементарной теории изгиба, в данной задаче агз=0, а
зависит только от Х\.
На оси #1 = 0 имеем
-^(l-2v)}, G.131)
тогда как по формуле Журавского на этой оси
3/22
Если материал несжимаем, т. е. v = 0,5, формулы G.131) и G.132)
совпадают.
В данной главе мы рассмотрели теорию кручения и изгиба приз-
призматических тел, имеющую большое значение для техники. Здесь не
обсуждается большое число специальных задач, исследованных
многими авторами.
Глава VIII
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ.
ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
В настоящей главе мы остановимся на некоторых принципах
теории упругости, имеющих важное значение для получения груп-
группы методов весьма эффективного численного решения граничных
задач теории упругости. С одной из общих теорем теории упруго-
упругости — теоремой Клапейрона мы познакомились в четвертой главе.
§ 69. Теорема взаимности Бетти
Обозначим через okr, uk ,вы и акг, и*, ekT соответственно ком-
компоненты тензора напряжений, вектора перемещения и тензора де-
деформаций, которые возникают в упругом теле под действием внеш-
внешних сил pF', 7V и pF ", Тп".
Работа сил pF', Tпг, включая и силы инерции р * . на
перемещениях м&"', равна
k ~^S) u'k]
Внося в последнее выражение ТПкг=Ок/пг и учитывая симметрич-
симметричность тензора напряжений, после преобразования поверхностного
интеграла в объемный будем иметь
В силу B.24)
rdx. (8.1)
Работа сил р/7", Т„, — р-- на перемещениях и\ равна
oft
210
Выполнив для Лл преобразования, аналогичные преобразованиям
для Л12, получим
t. (8.2)
В силу тождества Бетти D.61) из (8.1) и (8.2) получим
А21 = Ап. (8.3)
Это и есть теорема взаимности Бетти. Из нее следует, что работа
первой системы внешних сил на перемещениях упругого тела, вы-
вызванных второй системой внешних сил, равна работе второй систе-
системы внешних сил на перемещениях того же тела, вызванных первой
системой сил.
§ 70. Принцип минимума
потенциальной энергии
Обозначим истинный вектор перемещения через и, а соответст-
соответствующий ему тензор напряжений — через от&- Этот тензор напряже-
напряжений удовлетворяет дифференциальным уравнениям равновесия
л 0 (8.4)
дхт
и условиям на поверхности
(8-5)
Придадим вектору перемещения вариацию бй, тогда на основе
= и, +бииз формул C.26) будем иметь
Отсюда найдем изменение тензора деформаций
Обозначая удельную работу деформации варьированного состояния
равновесия через A (emh+6emh) и разлагая ее выражение в ряд
Тейлора, получим
1
дехфе-n
Здесь Л(emk) —значение удельной работы деформации в истин-
истинном состоянии равновесия. Учитывая, что
211
и принимая во внимание закон Гука, последнему члену (8.8) при-
придадим вид
-L\\{My> + 29ie.fcU (8-9)
Выражение (8.9), как известно из D.36), представляет собой зна-
значение удельной работы деформации, соответствующее вариации
вектора перемещения би, и всегда положительно-определенно.
Используя D.20) и (8.7), второму члену (8.8) придадим вид
Обозначим векторы напряжения на координатных площадках че-
через Тт\ тогда вместо (8.10) будем иметь
где V — оператор Гамильтона, V=4
Из (8.8), с учетом (8.9), (8.11), найдем
, (8.11)
выражающую приращение работы деформации. Непосредственной
проверкой легко найти, что
(8.13)
(здесь по индексу т суммирование не производится), откуда
= J div Ьит Tmdx — j Ьит div Tmdx. (8.14)
При помощи формулы Гаусса — Остроградского получим
div ЫтТтйх = J to^a^rfo). (8.15)
В правой части второго равенства подынтегральное выражение сум-
суммируется по индексу k\ nk — косинусы углов между нормалью п и
осями координат Хь.
На основании формулы (8.5) из (8.15) найдем
а на основании уравнения равновесия B.27)
212
Следовательно, из (8.12) с учетом (8.14) будем иметь
W? = J ^mbumdx -f J Tttmbumd*+
~ (*se* -f- 2^т^йт) л. (8.16)
Пусть со^Г— сумма тех частей поверхности, на которых вектор
перемещения принимает заданные значения, а сот — остальная часть
поверхности, на которой заданы силы Тпт. Учитывая, что на ш,
где поверхностные силы неизвестны, б«т=0 и на ют поверхностные
силы Tnh, так же, как и массовые силы, не варьируются, из (8.16)
найдем
$JA±§ ]tbel!m)dx (8.17)
ИЛИ
где
Здесь R — работа деформаций, соответствующая истинным пере-
перемещениям: j pFmumdx—работа объемных сил на истинных пере-
мещениях; J T nmumdu> — работа заданных на w т поверхностных
г
сил на перемещениях ит; П—потенциальная энергия тела; е —
положительно-определенная величина.
Равенство (8.17) позволяет сформулировать следующую теоре-
теорему: потенциальная энергия упругого тела, рассматриваемая как
функционал произвольной системы перемещений, удовлетворяющей
кинематическим граничным условиям, принимает минимальное зна-
значение для системы перемещений, фактически реализуемой в упру-
упругом теле.
§ 71. Принцип минимума
дополнительной работы — принцип Кастильяно
Рассмотрим теперь равновесие, при котором заданы перемеще-
перемещения ик и соответствующий тензор напряжений атк. При переходе от
ИСТИННОГО напряженного состояния Отк К смежному
изменение удельной работы деформации будет
213
Измененный тензор напряжений omk+tomk так же, как истинный
тензор напряжений сгть, должен удовлетворять дифференциальным
уравнениям равновесия, т. е.
откуда следует
-^^1=0. (8.18)
Разложив выражение удельной работы деформации
) в ряд Тейлора, получим
, 1 / д*А а а , | о ФА й *„ i i #Л й а \ ,я 1Ш
+Т ТТ~5311"^ 1"^П—"нЙа22Н Н—— fo3i . (8.19)
Второй член правой части второго равенства (8.19), как это было
и в (8.9), представляет собой удельную работу деформации, соот-
соответствующую вариации тензора напряжений bamk, и всегда поло-
положительно -опр еделен.
Пользуясь формулами D.27), приведем первый член правой
части второго равенства (8.19) к виду
или
В свою очередь, аналогично (8.13), имеем
bTm-Vum=uiv(uJTJ-umdivbTm. (8.20)
Учитывая (8.18) в (8.20), получим
Следовательно, из (8.19) будем иметь
J 2
at.
Если в подынтегральном выражении второго интеграла учесть
D.27) и формулы закона Гука D.50), мы получим работу дефор-
деформации, выраженную через вариации тензора напряжений 6ahr-
2Н
Применяя к первому слагаемому формулу Гаусса — Остроград-
Остроградского и обозначая второй интеграл через е, будем иметь
(8-21)
Наложим на измененный тензор напряжений amh + bamh условие,
чтобы он был уравновешен заданными поверхностными силами.
Тогда на тех частях поверхности, на которых заданы силы, ЬТп = 0.
Исходя из этого, (8.21) примет вид
Здесь «и — сумма тех частей поверхности, на которых заданы пере-
перемещения. Учитывая, что на ш„ перемещения ит не варьируются,
последней формуле придадим вид
«?• = е, (8.22)
где
Здесь 1 umTnmd(o — работа поверхностных сил на заданных на юи
перемещениях; R* называется дополнительной работой.
Принимая во внимание, что е всегда положительно-определен-
положительно-определенная величина, приходим к выводу, что R* принимает минимальное
значение.
Равенство (8.22) позволяет сформулировать следующую теоре-
теорему: дополнительная работа упругого тела, рассматриваемая как
функционал произвольной системы напряжений, удовлетворяющей
уравнениям равновесия внутри тела и на его поверхности, прини-
принимает минимальное значение для системы напряжений, фактически
реализуемой в упругом теле.
§ 72. Метод Рэлея-Ритца
Решение задачи теории упругости часто связано со значительны-
значительными математическими трудностями. В этих случаях прибегают к
принципам минимумов потенциальной или дополнительной энергии.
Применение этих принципов заключается в отыскании функций,
удовлетворяющих граничным условиям задачи, и минимизации по-
потенциальной энергии Я или дополнительной энергии R*.
Одним из наиболее эффективных вариационных методов являет-
является метод Рэлея — Ритца. По этому методу решение представляется
в виде выражения, удовлетворяющего граничным условиям и со-
содержащего неизвестные коэффициенты Ck, где k=l, 2, 3, 4, ... Затем
вычисляется значение потенциальной или дополнительной энергии.
Полученные таким образом выражения будут функциями коэффи-
215
циентов Ch- Эти коэффициенты для истинного состояния равновесия
можно определить из условий минимизации потенциальной или
дополнительной энергии, т. е.
— = 0 или -^- = 0 (k=\, 2, 3, 4...ОО).
dcft dck
Если k=l, 2, 3,... п, то =0 или = 0 приводят к си-
системе п линейных уравнений относительно коэффициентов Сц.
Подставляя значения этих коэффициентов в вышеуказанное выра-
выражение, получим приближенное решение задачи. Следует отметить,
что полученное таким образом решение задачи является точным,
если взятое выражение включает полную последовательность функ-
функций, т. е. последовательность измеримых функций класса С, где
произвольная функция из этого класса может быть аппроксими-
аппроксимирована с заданной точностью при помощи линейной комбинации
конечного числа этих функций. Однако в большинстве случаев
удается принять во внимание только конечное число коэффициен-
коэффициентов Cft.
В качестве примера рассмотрим нестесненное кручение призма-
призматических брусьев. Учитывая, что при кручении ец=е22 = езз=6 =
= ei2=0, е31 = сгз1/2ц и е32=оз2/2ц, из формулы D.36) в брусе дли-
длиною а получим накопленную величину энергии деформации
R=~ Г («« + <&) Ас,Аеа,
2р J
где ш — площадь поперечного сечения бруса.
На основании G.14) последняя формула примет вид
И
-И
На боковой поверхности бруса заданные поверхностные силы
равны нулю, поэтому работа на этой цоверхности обращается в
нуль, а на обоих торцах его она будет
Здесь на основании формул G.1) при д:з=0 имеем «i = «2=0; при
Хг=а имеем «i= —хх2а, u2 = xx,\a, а на основании формул B.22), с
учетом того, что Ом — а22 = агз=о\2=0, при х3=а имеем 7Vii=03i»
ТП2=Оз2- Тогда вместо (8.23) будем иметь
Последнему выражению придадим вид
2(Ь'С^л I ^dxtdxn 1*т^л \ (¦
J J I dxi ' 6x2
откуда при помощи формулы Гаусса —Остро градского получим
2[*т!а J E>dxldx2 — цт2а j Ф(xldx2-\-x2dxl),
» f
где /— контур области, занятой поперечным сечением бруса.
Таким образом, дополнительная энергия на основании ее опре-
определения будет
D. _ цтэл
*(jC[rfjCa+*a**i).
В силу G.16) на контуре / имеем O=const, с другой стороны, эту
постоянную можно взять равной нулю; тогда окончательно будем
иметь
jr^jej. (8.24)
Возьмем брус прямоугольного сечения со сторонами 2Ь и 2с.
Учитывая, что функция напряжений Прандтля Ф на сторонах
Х\= ±Ь и х2= ±с должна быть равной нулю и симметричной отно-
относительно Xi и х2, в ее выражение включим только члены с четными
степенями х\ и х2, т. е.
В первом приближении возьмем выражение
Ф = Cl(Х\-й2)(xl-с2). (8.25)
Подставляя (8.25) в формулу (8.24), найдем
Ь с
-Ъ -с
— Ас,(х\—Р) (xl — с2)) dxxdx2,
откуда
R* =
Так как для истинного состояния равновесия дополнительная энер-
энергия должна принимать минимальное значение, то
217
откуда
с = *_ . (8.26)
1 4F2 + C2) *¦
С помощью формулы G.19) определим крутящий момент
ь с
6
-Ь -с
(8.27)
Максимальное касательное напряжение Тт&х, действующее посре-
посредине длинной стороны F>с), будет
дФ "'" •• (8.28)
Подставив значение с\ из (8.27) в формулу (8.28), найдем
10 v С
На основании формул (8.26) и (8.27) для жесткости бруса при
кручении будем иметь
В случае бруса квадратного сечения приближенное решение дает
значение жесткости D = 2,222цб4 и Гтах = 0,563 Afft/Ь3, в то время
как точные значения их будут 1> = 2,250|д64 и Гтах=0,600 Ми/Ь3;
погрешность соответственно составляет— 1,2% и —6,2%.
Теперь функцию напряжений Ф возьмем в виде
Ф = (xl -V) (xl - с2) (d + с2Хг-\- съх\).
Тогда
64
2 4725
+ с4 F6 62+ Юс2) сз + Ь2 (84с2 + 6062) с^ + с* (84й2 + 60с2) c
Из условия минимизации дополнительной энергии
дб\ дс% дез
218
приходим к линейной системе трех уравнений
(84с2+60&2) сх + Р A32с2+2062) с2+ 12с2 (Ь2+с2) с3= 105,
Для случая c/b—l найдем
_ 1295
Cl~ 221662 '
Тогда
Теперь погрешности соответственно составляют —0,18% и +4,3%.
Из приведенных числовых примеров явствует, что при возраста-
возрастании числа неизвестных коэффициентов точность решения повышает-
повышается. Если точное решение задачи неизвестно, то единственный путь,
который позволяет получить ориентировочное представление о точ-
точности решения, состоит в последовательном увеличении числа не-
неизвестных коэффициентов и сравнении окончательных результатов.
Если результаты быстро сходятся, то можно аппроксимацию счи-
считать удачной.
§ 73. Вариационный принцип
Рейсснера
В § 71 и 72 нами были изложены два хорошо известных в тео-
теории упругости вариационных принципа: принцип минимума потен-
потенциальной энергии, который также называется принципом возмож-
возможных перемещений, и принцип минимума дополнительной работы, на
который ссылаются как на принцип Кастильяно.
Рейсснером предложен вариационный принцип, также позволя-
позволяющий находить приближенные решения задач теории упругости.
В этом принципе варьируются независимо друг от друга и тензор
напряжений, и перемещения.
Вариационный принцип Рейсснера заключается в том, что вари-
вариационное уравнение
8/=0, (8.29)
где /—функционал Рейсснера,
эквивалентно системе шести соотношений между компонентами
тензора напряжений и тензора деформаций
219
4
oftr=aftr, когда (? = г), <4. = 2oAr, когда (ЛФг))
трем уравнениям равновесия (в целях упрощения массовые силы
не учитываются)
-4е-0, (8.32)
и граничным условиям
ТЛ=ТЛ на <от, (8.33)
ик=пь на шц. (8.34)
Здесь w г — сумма тех частей поверхности, на которых заданы силы
Tnk, а(ди- остальная часть поверхности, на которой заданы пере-
перемещения Ый.
Для доказательства этого принципа используем известные соот-
соотношения
Л 1 / duk | диг \1 1 I дЪик • дЪиг
L2U*r дхк )\ 2 {
Тогда из (8.29) и (8.30) получим
Используя формулу Гаусса — Остроградского, будем иметь
* О) t
Учитывая, что аигПг = Тпи и ю = сог + сйи, получим
Здесь в первом и во втором подынтегральных выражениях сумми-
суммирование производится по индексу k, а в третьем — по индексам
k и г.
В силу последнего соотношения будем иметь
22Q
Последний интеграл равен нулю, так как по условию би&=0 на ©«.
Поскольку вариации перемещений и напряжений произвольны и
независимы, вследствие основной леммы вариационного исчисления
мы заключаем, что из написанного условия следует равенство нулю
множителей при соответствующих вариациях как в объемном, так
и в поверхностном интеграле, т. е. уравнения (8.31), (8.32) и гра-
граничные условия (8.33), (8.34).
§ 74. Уравнения равновесия
и граничные условия
для геометрически нелинейного
тела
При решении некоторых задач теории упругости, как например,
задач устойчивости, необходимо принимать во внимание компонен-
компоненты тензора конечной деформации, определяемые формулами C.17).
Здесь мы ограничимся выводом условий равновесия и граничных
условий для этого случая.
Из вариационного уравнения равновесия выведем уравнения
равновесия и граничные условия для случая, когда компоненты
тензора деформаций заданы в декартовой системе координат C.24)
(8.35)
хк^ дхп ^ дхк дхп
Предположим, что тело под действием поверхностной силы Ту и
объемной силы р/7 находится в равновесии. Тогда вариационное
уравнение будет иметь вид
kd«>=0. (8.36)
Варьируя выражение (8.35), получим
дхк дх„ дхк дхл дл
Непосредственным вычислением легко обнаружить, что данному
выражению можно придать вид
/itt / Jitt \ Art I
. (8.37)
Здесь bah — символы Кронекера.
На основании (8.37) вариационное уравнение примет вид
- ГPFkbuk- ГTvkbukdu=0. (8.38)
221
Введем несимметричный тензор вида
ди
(8.39)
Учитывая это, вариационному уравнению равновесия придадим вид
1 р ди \ с ди с с
— \ sM8 dx -I \ s^ eft — \ pFkbuk — \ T^tibdm =0.
2 J &rn 2 J дхк J J
1 X X to
Последнее равенство представим в виде
\ С д •,If ^sm 1 Г д
— \ E,я5иа)ат \ Ьилах 4 I (sttft0iitt)oT —
2 J Лжл 2 J йдг„ 2 J <?Arfe
X t X
1 Г ^5"* f* С
Применяя здесь формулу Гаусса — Остроградского, найдем
На основании леммы вариационного исчисления будем иметь
а».
=0, sanvn — Г»а=0.
дха
Учитывая здесь (8.39), получим уравнения равновесия
—— спк (в-а +-^-) +р/?1 = 0 (8,40)
и граничные условия
$aavn = T^ (8.41)
Глава IX
ТРЕХМЕРНЫЕ СТАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
Для решения трехмерных статических задач теории упругости
мы не располагаем таким эффективным аналитическим аппаратом,
как в плоской теории упругости. Здесь мы рассмотрим такие част-
частные решения уравнения равновесия в случае отсутствия массовых
сил, для которых вблизи определенных точек перемещение неогра-
неограниченно возрастает. Эти точки должны лежать вне тела или содер-
содержаться в особых полостях внутри него. Следует отметить, что наи-
наиболее простой тип изолированной особой точки представляет собою
точка приложения сосредоточенной силы.
§ 75. Решения Кельвина
и Буссинеска — Папковича
Если на тело действуют массовые силы, то векторное уравне-
уравнение равновесия имеет вид E.7). Будем предполагать, что область,
занятая телом, простирается безгранично по всем направлениям, а
массовая сила Fотлична от нуля в области ть совпадающей либо
со всей областью т, либо с частью ее.
Приводим общую форму частного решения, данную Кельвином.
Выразим вектор перемещения при помощи скалярного потенциала
<р и векторного потенциала -ф формулой
(9.1)
Здесь V — оператор Гамильтона.
Предположим также, что массовые силы могут быть представ-
представлены в виде
(9.2)
Используя в уравнении равновесия E.7) векторное тождество
rot rot a=v divu —да,
придем к уравнению
(X + 2p.) v div и — р rot rot M + p/7=0. (9.3)
Из (9.1) вычислим
rot rot и = rot rot (v<p + rot ф) = rot (rot rot 4») =
= rot(Vdiv<J» — Дф) — —rot дф.
223
Подставляя эти соотношения и (9.2) в уравнение равновесия (9.3),
найдем
Это уравнение будет удовлетворено, если положить
(9-4)
Таким образом, частное решение уравнения (9.3) можно полу-
получить на основе частных решений уравнений Пуассона (9.4), име-
имеющих, как известно из теории потенциала, вид
i_ L
ГФ(г')
(/-с,,
(9.5)
(9.6)
где t=[(x1—^iJ+(X2~X2Jjr(x3 ~ x3J]'/2—расстояние от точки
г' (х'и х'г, Хь) области хх до точки г{хъ х2, х3), для которой вы-
вычисляются функции фиij); интегралы распространяются по области
Ti, вне которой массовые силы равны нулю (рис. 39); функции Ф(г)
и Т(г) определяются по формулам
Рис. 39
или при
4я
(9.7)
^ (9.8)
которые вытекают из условия, что
массовую силу F можно представить
в виде (9.2). Действительно, при
div rot ^=0 из (9.2) найдем
rot F= rot rot W
\ дх\ дх2 J
22A
Частные решения этих уравнений могут быть представлены в виде
(9.9)
Применим формулу Гаусса — Остроградского к первому равенству
(9.9); тогда
где со —поверхность области ть
Полагая, что массовая сила непрерывна в области % вплоть до
ее границы (тогда на этой гоанице Гк=0, а также =
)
вместо (9.10) получим (9.7). Таким жеобразом, из трех оставшихся
уравнений (9.9) найдем
Эти три скалярные равенства эквивалентны одному векторному
равенству (9.8).
Для получения решения Буссинеска — Папковича общее реше-
решение уравнения равновесия (9.3) представим в виде
и=Лу(ср + г-ф) + Лф, (9.11)
где г— радиус-вектор точки тела; А и В — неизвестные постоян-
постоянные; ф и if — неизвестные функции координат.
Действуя на обе части равенства (9.11) оператором rot rot и
учитывая векторные тождества Fotrot = Vdiv — A, rot V = 0,
225
найдем
rot rot и = В (V div ф — дф).
Так как
diW = A; Д(г-ф) = г-дф + 2<11уф, (9.12)
из (9.11) будем иметь
<. (9.13)
Учитывая (9.12), (9.13) и rot rotи=5 (Vdivi|> — Дф) в уравне-
уравнении (9.3), будем иметь
Это уравнение будет удовлетворено, если положить
цВ=0, (9.14)
Из второго уравнения (9.14) найдем
Приняв Л = 1, из третьего уравнения будем иметь
ЬЛ (9.15)
Подставив (9.15) в первое уравнение (9.14), получим
д<Р= Е г F. (9.16)
Таким образом, решение уравнения равновесия (9.3) может
быть найдено в форме (9.11), если векторная функция ij> и скаляр-
скалярная функция ф удовлетворяют соответственно уравнениям Пуассо-
Пуассона (9.15)и (9.16). Решение Буссинеска — Папковича включает че-
четыре скалярные функции — скалярную функцию ф и три проекции
вектора if. Представление, в котором ф является не гармонической,
а бигармонической функцией, было дано Буссинеском и независимо
от него Б. Г. Галеркиным.
Некоторые задачи можно решить, не используя такого количест-
количества функций. Если, например, в решении (9.11) принять if = 0, то
получим простое решение вида
(9.17)
На основании первого уравнения (9.14) функция ф является
226
гармонической; кроме того из третьего уравнения (9.14)
следует, что решение (9.17) годно для случая, когда отсутствуют
массовые силы.
Из (9.17) найдем, что
Таким образом, для простого решения вида (9.17) объемная дефор-
деформация тождественно равна нулю.
На основании формул D.35) для решения вида (9.17) формулы
тензора напряжений примут вид
^. (9.18)
§ 76. Элементарные решения
Буссинеска первого
и второго рода
В этом параграфе из решения Кельвина мы получим решение
для случая сосредоточенной силы F3, приложенной в начале коор-
координат к твердому телу и действующей в направлении оси xs.
Возьмем сколь угодно малую окрестность точкиприложения си-
силы (простейшей особой точки), ограниченную плоскостями Хи =
1 Р
= + —е, и положим, что F= —— ; тогда из (9.7) и (9.8) най-
2 р^з
дем
Подставля (9.19) в (9.4), получим
Так как Д | —) =— —* > то последние уравнения можно записать
\ г j г3
в виде
8л (X + 2|i) r
Эти уравнения будут удовлетворены, если
откуда
227
Подставив эти выражения в формулу (9.1), найдем
(X + lQF, Г. xib+i^gj + / fA_i_i±JE_L)]. (9.20)
Формула (9.20), полученная из решения Кельвина как частный
пример, впервые выведена Буссинеском и названа им элементар-
элементарным решением первого рода.
На основании (9.20) из формул закона Гука для шести компо-
компонентов тензора напряжений имеем следующие соотношения:
\з№), 33в[3+, (9.21)
где B=_
Элементарным решением второго рода называется решение
(9.17), в котором гармоническая функция ср равна
Тогда
?Л ^, и3=А-. (9.22)
3 + ) г
На основании формул (9.18) найдем
(9.23)
Компоненты вектора напряжения, действующего на площадку,
проходящую через данную точку, перпендикулярную к радиусу-век-
радиусу-вектору г , на основании формул B.22) с учетом (9.23), а также с уче-
учетом того, что cos (г, хк) = -?*-, будут
(9.24)
228
Опишем из особой точки — начала координат — сферу радиуса
е>0 и рассмотрим ее часть, расположенную в области Хз>0. На
основании формул (9.24) без вычислений можно утверждать, что
главный момент всех сил, действующих на поверхности полусферы,
и проекции главного вектора этих сил на оси х\ и х% равны нулю,
а проекция главного вектора на ось х3 равна
=— 2цЛ-^ ("«?«)=—
Следовательно, равнодействующая всех сил, действующих на по-
поверхности полусферы, направлена вдоль оси х3 и имеет величину
/?8=-4я|»А (9.25)
Таким образом, начало координат представляет собой простой
тип изолированной особой точки, в которой приложена сосредото-
сосредоточенная сила, направленная вдоль оси ох3 и имеющая величину F3 =
2R ВА
§ 77. Давление на поверхность
полубесконечного тела
Чтобы найти поле тензора напряжений в теле, занимающем по-
полупространство Хз>0, подверженное воздействию сосредоточенной
силы Т, приложенной нормально к плоской границе Х[Х2 этого тела,
воспользуемся результатами предыдущих параграфов. Перенесем
начало координат в точку приложения этой силы.
Возьмем решение уравнения (9.3) в виде суммы решений (9.20)
и (9.22). Тогда
= (X + у.) F3 Г 4 . X + Зц 1 ] . . I
3 8(Х %) L / -3^ Х J <
*3"
Эти соотношения представляют решение уравнения (9.3) всюду, за
исключением точки приложения силы Т.
Постараемся определить величины F$ и А таким образом, чтобы
на границе х3 = 0 были выполнены условия отсутствия внешних сил,
т. е. Г3з=Г31 = Гз2 = 0; отсюда
Озз = 331 = °з2 = 0, (9.27)
и на основании законов статики в точке приложения силы
(9.28)
229
Учитывая формулы (9.21) и (9.23), из (9.27) получим
°8i= -—
откуда
1F 4-А=0. (9.29)
%) зт v
Таким образом, для определения F3и А мы получили два урав-
уравнения (9.28) и (9.29), из которых находим
в 2A +ЙОГ * Т
Подставляя полученные значения ^з и А в формулы (9.26), найдем
формулы Буссинеска
Uj= ___ t
4л[*. гЗ 4я (\ + (i) r(jc3 + /")
X JfoJUTo T JXt
«2 = —
Решения (9.30) дают значения перемещений во всех точках упру-
упругого тела, достаточно удаленных от точки приложения силы Т .
В точках границы ох\Х2, где х3 = 0, величины перемещений оп-
определятся по формулам
Т Y
«!=— ,
4я (X + ц) л2
-4-. (9.31)
'2 4я (X
„ _
4я[х (X + (А) Г
где г= V х\-\-х\.
Внося значения F3 и Л в формулы (9.21) и (9.23) для опреде-
определения поля тензора напряжений в рассматриваемом полупростран-
полупространстве, получим
2 2 Т
=|3/
11 2лгЗ [ ^ ,J x + J 2я(Х + (*)
г)
230
Тхз Г? ( Хз У I ** 1 ** Хз
¦= Тхз Г? ( Хз У I ** 1
Пусть q{t» TI) является интенсивностью силы, распределенной
по некоторой площади ш граничной плоскости ох\Х2 полупростран-
полупространства. На элементарной площадке d\d"(\ будет действовать сила
и на основании решения (9.30) перемещения будут
rf6rf4,
(9.32)
где г-
Здесь \, ц — координаты точки приложения силы d Т\ х\, х2, х3 —
координаты точки, в которой ищутся перемещения щ, и2, и3.
Перемещение по оси х3 любой точки границы 0x1X2 согласно
(9.32), равно
(9.33)
где 6 =
§ 78. Задача Герца о давлении
двух соприкасающихся тел
Допустим, что два однородных изотропных тела 1 а 2 с различ-
различными упругими постоянными соприкасаются в точке о, которую
примем за начало прямоугольной декартовой системы координат
Xix2x3. Расположим оси охь ох2 в плоскости, касательной к обоим
телам в точке о, а оси х3<'\ ХзB) совместим соответственно с внут-
ренними нормалями поверхностей этих тел (рис. 40). Относительно
этих систем координат уравнения поверхностей соприкасающихся
231
тел до их деформации будут
4» = /I(A:I, Х2), х^=/2(хх, хг). (9.34)
Уравнения (9.34) поверхностей тел вблизи точки их касания о
(точка о предполагается регулярной) с достаточной степенью точ-
точности можно представить в виде
1)
0,0
0,0
Расстояние между двумя точками Mi и М2 соприкасающихся по-
поверхностей, лежащих на одной нормали к касательной плоскости
0*1*2, определится, согласно последним соотношениям, формулой
Здесь введены следующие обозначения:
д2Х™
0,0
<2 —
0,0
Квадратичная форма (Л1 + Л2)*12+ (Bi + B2)x22+ (Hi-{-H2)xiX2, оп-
определяющая расстояние между указанными точками М{ и М2,
должна быть положительной при любом выборе осей хх и *2, и мы
можем оси выбрать так, чтобы коэффициент Н\ + Н2 обращался в
нуль. Тогда, введя обозначения А = А\+А2, B = Bi + B2, будем иметь
(9.36)
Следовательно, коэффициенты А и В
будут положительными.
Обозначим через R\(]) и /?2<'> глав-
главные радиусы кривизны в точке касания
для первого тела, а через #i<2> и #2<2>—
для второго тела. Если считать их по-
положительными, то
Рис. 40
Л?>
Из (9.36) делаем вывод, что кривые равных расстояний между
двумя точками обеих соприкасающихся поверхностей, лежащих на
одной нормали к касательной плоскости ОХ\Х2, будут концентриче-
концентрическими эллипсами.
Допустим, что оба тела прижаты друг к другу силой Т, направ-
направленной по нормали к касательной плоскости ОХ\Х2 в точке о, тогда
вблизи этой точки тела будут соприкасаться по малой поверхности.
Эта поверхность называется поверхностью давления, а ее контур —
контуром давления. Проекцию поверхности давления на касатель-
касательную плоскость ох\Х2 называют областью контакта. Можно с доста-
достаточной степенью точности допустить, что тела при сжатии приходят
в соприкосновение в точках, лежащих до деформации на одной нор-
мали к плоскости ох\Х2. Тогда из (9.36) видно, что поверхность дав-
давления имеет эллиптическое очертание.
В результате сжатия двух тел любые две точки, лежащие на
осях jc^'I и *зB) на столь больших расстояниях от точки о, что
деформациями в них можно пренебречь, сблизятся на некоторую
величину а, равную сумме перемещений ы3оA) и изо<2) точки о.
Обозначим через ЫзA) и щB) соответственно перемещения точек
обеих соприкасающихся поверхностей, лежащих на одной нормали
к плоскости 0*1*2 в направлениях осей ох^ и о*зB1- Расстояние
между двумя такими точками уменьшится на величину, равную
а— (ызA)+"зB))- Таким образом, для всех точек поверхности дав-
давления имеет место соотношение
> = а. (9.37)
а для точек вне поверхности давления должно быть
Учитывая соотношение (9.36) в формуле (9.37), найдем
4й +*42) -а - Ах\ - В А (9.38)
Для определения упругих перемещений и напряжений в области
контакта обоих тел будем считать, что поверхность давления очень
мала и оба тела можно заменить полупространствами. На эти по-
полупространства по области контакта со действует нормальное дав-
давление </{?, ц); силами трения по поверхности давления будем пре-
пренебрегать, т. е. будем считать, что касательные напряжения в об-
области контакта отсутствуют.
Используя в (9.38) ф'ормулу (9.33), получим
= (a - Ax\ - Bxl) (в, + 62) -\ (9.39)
здесь 6,= /'t^1 ; h= h + 2^ ; xlt
ругие постоянные Ляме соответственно первого и второго тел; А и
В суть известные положительные величины, определяемые по фор-
формам соприкасающихся поверхностей.
233
Итак, решение контактной задачи Герца сводится к определе-
определению давления q(l, х\), сближения тел а, а также размеров и фор-
формы области контакта со. В уравнении (9.39) значение сходящегося
несобственного интеграла представляет собой потенциал простого
слоя распределенного с плотностью <7(?> ц) по области контакта.
Этот потенциал в точках области контакта, согласно (9.39), пред-
представляет квадратичную функцию координат. С другой стороны, из-
известно, что потенциал во внутренних точках однородного эллипсо-
эллипсоида
Г2 Г2 Y2
_L_i—Lj—»_ = i
является квадратичной функцией координат точки и имеет вид
-2
J
г2 г2 л-2
'2 3
Сопоставляя эти факты, Герц заключает, что правая часть форму-
формулы (9.39) может быть принята за потенциал однородного эллипсо-
эллипсоида, толщина которого в направлении оси ох3 стремится к нулю
(с-ЯЗ), а плотность р пропорционально возрастает, так что масса
эллипсоида остается неизменной. Тогда область контакта ш — эл-
эллипс, в который вырождается эллипсоид при с-»-0, и имеет место
соотношение
[ — DX2
1
=nablim(cp) f ±1 b 2 + l dx. (9.40)
Плотность простого слоя q{%, r\) будет равна массе, которая заклю-
заключена в призме с единичным основанием и высотой
т. е. для контактных давлений получим
-J-75- (9-41)
Сила Т, прижимающая тела, на основании законов статики может
быть получена, очевидно, как равнодействующая всех усилий
q(l, ц) по области контакта со. Следовательно, по величине она
равна массе всего эллипсоида, т. е.
Г = —nablim(cp). (9.42)
3
234
Исключая теперь из формул (9.41) и (9.42) величину Нт (ср),
окончательно получим
г -4~?- t9-43)
Из равенства (9.40) находим
оо
Г -^ -, (9.44)
, (9.45)
[(s + X)X]V.
П— (9-46)
Определив из первых двух уравнений полуоси а и Ъ, из третьего
уравнения найдем а. В общем случае определение а, Ь и а свя-
связано с вычислением эллиптических интегралов 1-го и 2-го рода.
Если оба соприкасающихся тела являются шарами, то вычисле-
вычисления упрощаются. В этом случае А =В=—( 1] , где Ri и
2 Ui Яг/
/?2— радиусы шаров. Учитывая, что А —В, на основании формул
(9.44) и (9.45) имеем а = Ь (поверхность давления — круг); следо-
следовательно, формула (9.44) примет вид
4 j) (а2 + XJXV.
Обозначив % — a2tg2q>, найдем
J
или
-L Mi1 \_37~(Si + 62)Jt
2 1 ?) О ¦ U яТ
Отсюда
(9.47)
т. е. радиус круга давления про порцион ал ен кубическому корню
из силы Т.
235
Из формул (9.43) и (9.46) соответственно имеем
^^2-(S2 + т\\ (9-48)
п/2
или
В случае двух одинаковых шаров имеют место равенства
Тогда на основании формул (9.47) и (9.49) будем иметь
з
a=j/J
2/?
Если второе тело представляет собой полупространство (Лг=
= оо), то
При вдавливании силой Г упругого шара в абсолютно жесткую
плоскость @2=0) имеем
Давление q(l, ,ц) определяется во всех этих случаях по формуле
(9.48).
§ 79. Симметричная деформация
тела вращения
Пусть тело, представляющее собой тело вращения около оси Хз,
деформируется под действием поверхностных сил (массовые силы
отсутствуют) симметрично относительно этой оси вращения. Тогда
перемещение в направлении, перпендикулярном плоскости, прохо-
проходящей через ось х3, будет равно нулю, а две другие проекции иг и
и3 не будут зависеть от полярного угла ср. Для решения этой задачи
удобно пользоваться цилиндрическими координатами г, ср, х$. Ком-
Компоненты симметрического тензора деформаций в цилиндрической
системе координат, согласно формулам C.29), будут иметь вид
**тт — *¦ * W ' 33
(9.50)
236
Подставим (9.50) в формулы закона Гука и выразим коэффициен-
коэффициенты Ляме К и ц через Е иv; тогда будем иметь
о _ v? Г1 — vд"гI"гIdu3I
" (i+v)(l-2v)L v дг "•" г "•" dxz J '
_ v? Г dur , ur , l — v du3 1
3 ~A+v)A-2v)L ^ r ' v dx3 J
о - - ¦ dUr
Если положить
«,=-1±1._**_, (9.52)
' E дгдх-. к '
1 + v
Us~~E~
то формулы (9.51) примут вид
где д = 1 1»• Ф (г, х3) ~функция напряжений.
дг* г дг dxl
Функции (9.53) тождественно удовлетворяют первым двум диф-
дифференциальным уравнениям равновесия B.30), а третье уравнение
принимает вид
/^+_!_^_ + ^Уф = о. (9.54)
При этом условии функции (9.53) тождественно удовлетворяют
уравнениям совместности E.37). Таким образом, задача симметрич-
симметричной деформации тела вращения сводится к нахождению решения
бигармонического уравнения, удовлетворяющего соответствующим
граничным условиям.
Приведем решение задачи о симметричной деформации сплош-
сплошного круглого цилиндра, возникшей под действием сил, приложен-
приложенных на его боковой поверхности и симметрично распргделееных
237
относительно его оси. Для решения этой задачи определим из урав-
уравнения (9.54) функцию напряжений Ф. Очевидно, решение уравнения
будет также решением уравнения (9.54). Это решение можно взять
в виде
Ф* = Фх(г)$,ткху (9.56)
Тогда из уравнения (9.55) для функции Ф:(г) получим обыкновен-
обыкновенное дифференциальное уравнение
0. (9.57)
dr
Учитывая, что одно из фундаментальных решений уравнения
(9.57) обращается в бесконечность при г = 0, будем интересоваться
ограниченным решением, которое имеет вид
V (9.58)
22 22-42 2МЭ.62
Ряд в скобках выражения (9.58) называется бесселевой функцией
нулевого порядка с мнимым аргументом (ikr) и обозначается сим-
символом I0(ikr); тогда вместо (9.56) будем иметь
Ф* = ClI0(ikr) sin kx3. (9.59)
Производная от бесселевой функции по мнимому аргументу (ikr)
с отрицательным знаком называется бесселевой функцией первого
порядка и обозначается символом l\(ikr). Непосредственной про-
проверкой легко установить, что имеет место соотношение
если
) = г— IQ(ikr)= —ikrlx(ikr).
dr
Учитывая, что функция Io(ikr) является решением уравнения
(9.57), придем к заключению, что функция Ф2(г) является решени-
решением уравнения
rt г дг Л dr2 r dr
Следовательно, решение уравнения (9.54) можно представить в
виде
Ф** = с2/&г/ х (ikr) sin kxb. (9.60)
Таким образом, на основании (9.59) и (9.60), функцию напря-
напряжений можно представить в виде
238
inkx3. (9.61)
Подставив эту функцию напряжений Ф в формулы (9.52), найдем
компоненты тензора напряжений; например, для огт и агз будем
иметь
агг = [°А (г) + cih И]cos kxv
(9.62)
где i|)i(r), •фг(А'), ^з(г), $4(г) — вполне определенные функции, вы-
выраженные через Io(tkr) и h(ikr), которые здесь не приводятся.
На основании (9.62) граничные условия на боковой поверхно-
поверхности цилиндра будут
cos kxz,
(9.63)
Соответствующим подбором постоянных k, c\, C2 можно изучить
различные случаи симметричной относительно оси цилиндра на-
нагрузки, действующей на его боковой поверхности. Например, для
случая, когда на боковую поверхность цилиндра действуют нор-
ПЮС-к ¦ ЛЯЛСя
мальные давления pn cos — и касательные силы qn sin ,
и когда k=-^- (L длина цилиндра), из формул (9.63) найдем
(9.64)
Отсюда получим значения постоянных с\ и Сг. Если решение урав-
уравнения (9.54) взять в виде
ф =1 Vo(^r) + tjkTl\ ikr)] cos &Cg, (9.65)
то соответствующим подбором постоянных Сз, с4, k получим реше-
решение задачи, когда на боковую поверхность цилиндра действуют
нормальные давления/?,, sin — и касательные силы qncos
Таким образом, комбинируя решения (9.61) и (9.65) и пользуясь
принципом сложения действия сил, мы можем получить любое сим-
симметричное относительно оси цилиндра распределение нормальных и
касательных сил на его боковой поверхности. При этом на торцах
цилиндра могут возникнуть некоторые силы, распределенные сим-
симметрично относительно оси цилиндра. Налагая на эти силы осевую
растягивающую или сжимающую силу, всегда можем добиться то-
того, чтобы равнодействующая всех сил обращалась в нуль. Согласно
принципу Сен-Венана влиянием этих сил на напряженное состояние
на некотором расстоянии от торцов можно пренебречь.
Теперь рассмотрим задачу об изгибе круглой пластинки посто-
постоянной толщины.
23?
Известно, что в сферической системе координат в случае осевой
симметрии бигармоническое уравнение таково
+ с^-+Л-^\2ф = 0. (9.б6)
Рассмотрим сначала уравнение Лапласа
L+_LJL\<D=o (9.67)
и найдем его частные решения в виде
Ф„(#. Ф) = /?ЛФЛA>). (9.68)
где л — целое положительное число.
Подставим (9.67) в (9.68), тогда
(9.69)
Замена независимой переменной t)=cosT|) приводит уравнение
(9.69) к уравнению Лежандра
^^ =0, (9.70)
решение которого ищем в виде многочлена
Подставив это выражение в уравнение (9.70), Найдем
[Л (я_1)О1
xti"-Sr+2=o.
Отсюда
Следовательно,
2-4Bл-1)Bл—3)
Подставим это решение в (9.68). Учитывая, что
при л = 0, 1, 2,..., получим следующие решения уравнения (9.67):
240
(9.71)
ф4=
Здесь Ао, Аи ... — неизвестные постоянные коэффициенты. Эти ре-
решения являются, очевидно, также решениями уравнения (9.66).
Если /?ПФП(^) является решением уравнения (9.67), то легко
установить, что Ьп+2Фп{у) является решением уравнения (9.66).
Действительно,
\ dR2* R dR
Подставим последнее соотношение в уравнение (9.66), тогда, учи-
учитывая, что Rn<?>n(ty) является решением уравнения (9.67), будем
иметь
R dR R2 &Г ty^ R2
X /?-*я(Ф)по-
/?-*я(Ф)поСледовательно, умножением решений (9.71) на /?2=г2+л:з2 полу-
получим решения уравнения (9.66), которые уже не будут решениями
уравнения (9.67)
Фо=Ва(г*+х1),
(9.72)
С помощью предыдущих решений рассмотрим различные слу-
случаи симметрично нагруженной круглой пластинки (рис. 41).
а) На основании (9.71) и (9.72) функцию напряжений Ф(г, ^3)
представим в виде полинома третьей степени
Ф(г, лг3)=а3B*!-Зг2.Кз)+М-*з+г2.*:з). (9.73)
Подставим эту функцию в формулы (9.53), тогда
(9.74)
Zh
Таким образом, для функции
напряжений (9.73) компоненты
— тензора напряжений являются
постоянными по всей пластинке.
Постоянные а3 и Ъ3 определятся,
если на торцах и боковой поверх-
поверхности пластинки соответственно
заданы равномерно распределен-
распределенные (Тзз=7'зз и аГг=Ттт.
б) Теперь при помощи (9.71) и (9.72) функцию напряжений
представим в виде
ф (г, x3)=a4(8xt — 24r2xl-
На основании формул (9.53) получим
рис 41
14v— 1)х3,
(8-7v)x3
— 7v)r.
(9.74,а)
Если положить 96а4—464(8—7 v) =0, тогда
Постояниая 64 определится, если на боковой поверхности пластин-
пластинки задано постоянное значение изгибающего момента Мт. Тогда
Данное условие является интегральным, но согласно принципу Сен-
Венана найденное напряженное состояние будет достаточно точ-
точным в точках, удаленных от боковой поверхности пластинки.
Из последнего соотношения найдем
56 A -Ь у) A3
Тогда
Это решение представляет чистый изгиб пластинки моментами, рав-
равномерно распределенными по ее боковой поверхности.
242
в) Исходя из (9.71) и (9.72), возьмем функцию напряжений
Ф (г, х3) =— а6 A6*5 - 120x5^ +90х1г* - 5г6) +
3
Для этой функции напряжения таковы
+ E04 - 48 • 22v) r2x3] + 96а4^3.
+960г2л3) + ^ {[-960 + 320•22B
+ [384-48-22B-v)] r2x3} - 192а4лг3,
+ D32 -12- 22v) /-3] + 96a4r.
К напряжениям а3з прибавим равномерное в направлении оси ох3
растяжение <Узг'=Ь, тогда получим компоненты тензора напряже-
напряжений, которые содержат четыре постоянных а6, Ь6, о-а и Ь.
Пусть имеем граничные условия
о33=0 при x3=h,
°гз
=0 РРИ хз= ±
где р — интенсивность равномерной нагрузки.
Подставив в эти граничные условия выражения тензора напряже-
напряжений, определим постоянные ае, be, at и b. Следовательно,
Г2 + v -^з 3 C + У) г2лг3 3 xs 1
8 A* 32 A3 8 h J '
o,,^jt7 (9.75)
33 \ 4Л3 ' 4 A 2 / v
3/ir
(л2-.
Напряжения arr на боковой поверхности пластинки дают изгиба-
изгибающие моменты Мг, равномерно распределенные по контуру.
Чтобы получить решение для свободно опертой пластинки, к
компонентам тензора напряжений (9.75) прибавим напряжения
чистого изгиба, и постоянную &4 определим так, чтобы на боковой
поверхности г = а
h
M, = | arx3dx3=0. (9.76)
—Л
243
Тогда
32
3_ 2
8
3C+v)
32 A3
(9.77)
Выполнение условия (9.76) означает, что приложение чистого из-
изгиба устраняет изгибающие моменты Мг на боковой поверхности
пластинки, при этом действуют напряжения an-, равные
2 +v
A3
А
Учитывая, что главный вектор и
главный момент напряжений атг
равны нулю, на основании прин-
принципа Сен-Венана можно утверж-
утверждать, что поле тензора напряже-
напряжений будет достаточно точным в
точках, удаленных от боковой по-
поверхности.
х3 Рассмотрим кручение тела
~ вращения. Пусть к основаниям
тела вращения (рис. 42) прило-
приложены заданные усилия, удовлет-
удовлетворяющие условиям равновесия
абсолютно твердого тела и при-
приводящиеся к скручивающим парам. Массовые силы отсутствуют и
боковая поверхность тела свободна от поверхностных сил.
Эту задачу решим в перемещениях в цилиндрических координа-
координатах, полагая, что ит=и$ = 0, а ыф, благодаря осевой симметрии де-
деформирования тела вращения, не будет зависеть от полярного угла
<р и будет функцией только г и х3. Так как иг = и3=0 и щ=и^(г, х3),
из формул C.29) находим
Рис. 42
(9.78)
Подставим (9.78) в формулы закона Гука; тогда
да
дг
-
г
(9.79)
Учитывая, что компоненты а^ и аФз также не зависят от угла <р и
массовые силы отсутствуют, из уравнений B.30) получим
дг
2А4
Последнему
Решение
уравнению
д
дг
уравнения
придадим вид
(9.80) будет
1 дФ
г2 дг г
)=0.
I дФ
г2 дх3
(9.80)
(9.81)
Здесь функция Ф(г, х3), называемая функцией напряжений, опре-
определится из уравнений совместности.
Условия совместности деформаций C.40) с учетом (9.79) для
данной задачи примут вид
С учетом (9.81) второе уравнение примет вид
д (д2ф 3 ДФ , ^
дх3 V дг2 г дг """ ^
Последнее удовлетворяется, если
-^ 1- ——=0. (9.82)
д& г дг djl*
Непосредственной проверкой легко убедиться, что при условии
(9.82) первое уравнение удовлетворяется тождественно. Таким об-
образом, условие совместности деформаций для данной задачи имеет
вид (9.82).
Граничное условие для функции Ф определится из следующего
рассуждения. В силу того, что боковая поверхность бруса свободна
от поверхностных сил, сумма проекций касательных напряжений
аФз и (V, действующих в точках границы осевого сечения на нор-
нормаль к границе (рис. 42), должна обращаться в нуль, т. е.
V cos (л, г) + <*та cos (л, JCj) = O. (9.83^
Согласно рис. 42 имеем
сое(я, г)=-^-; COS(*,JC3)=--^-, (9.84)
dl til
где dl— элемент дуги границы.
Подставляя (9.81) и (9.84) в граничное условие (9.83), найдем
| дФ dr A
245
'дг dl
йФ * „
откуда •— = 0 или Ф = С.
dl
Величина крутящего момента связана с функцией Ф соотноше-
соотношением
R(x,) *(*,)
М=2я (" с^4г = 2я \ -~-4г^2л{Ф[$(хг), ля1-Ф@, xt)}.
о о
(9.85)
Если тело вращения имеет форму конуса (рис. 43), то на поверх-
поверхности его имеет место соотношение
cos а.
(9.86)
Рис. 43
Очевидно, любая функция аргумента, представляющего собой ле-
левую часть (9.86), будет величиной постоянной на поверхности ко-
конуса. Попытаемся функцию напряжений искать в виде
(9.87)
где А, В, п — неизвестные постоянные.
На основании вышесказанного эта функция «а поверхности конуса
удовлетворяет условию Ф(г, х-л) =const. Функция (9.87) удовлетво-
удовлетворяет уравнению (9.82), если принять
В=—~; =3.
Таким образом,
Ф(г, х3)=
+ А
Постоянную А определяем из (9.85)
гм
А= —
2я B — 3 cos a + cos3 а)
Согласно формулам (9.81) касательные напряжения будут
246
§ 80. Температурные напряжения
Определим напряжения и деформации в полой сфере от воз-
воздействия стационарного температурного поля, когда на внутренней
поверхности этой сферы поддерживается постоянная температура
Та, а на наружной — температура 7V В данной задаче распределе-
распределение всех искомых величин будет симметричным относительно цент-
центра сферы, т. е. все искомые величины будут зависеть только от
радиуса г. Поэтому уравнение E.13) и граничные условия E.15)
в сферической системе координат примут вид
=0t (9.88)
Т = Та при г = а, (9.89)
Т=ТЬ при г = Ь.
Решение задачи (9.88), (9.89) будет
=-+В, (9.90)
где
В силу симметричности напряженного состояния относительно
центра сферы, будем иметь
Тогда дифференциальное уравнение равновесия в силу B.31) при-
примет вид
.gg—)-2*"~V=0. (9.91)
dr '
Для нашей задачи щ = нф=0 и ur = ur(r), при этом из C.32) най-
найдем
еп=—, ещ=е^=-^~, e9r=e^=er^=0. (9.92)
Учитывая (9.92) в D.56), будем иметь
^^-fG\ (9.93)
Подставим соотношения (9.93) в (9.91), тогда
еРи, , 2 dur 2ur _ dT
dr2 ^ r dr л2 ~ё dr '
247
d Г 1 d (гЧЛ Л _ dT
ИЛИ ГГ\~~> ~У- \ = g .
dr [ гй dr ] dr
Интегрируя это уравнение, найдем
r + -|-. (9.94)
Подставляя в это выражение функцию Т = Т(г) из (9.90), получим
Учитывая выражение (9.95) в (9.93), найдем
Постоянные Ci и Сг определяются из граничных условий: 0^ = 0 при
г=а и г=Ь.
Глава X
ТЕОРИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ УПРУГИХ ВОЛН
§ 81. Два типа волн
Пуассоном впервые доказано существование в однородной изо-
изотропной среде двух типов волн; один из типов волн носит назва-
название волн сжатия — разрежения, другой — волн сдвига. Им было
показано, что они характеризуются различными скоростями рас-
распространения фронта, а также тем, что в волнах сжатия — разре-
разрежения отсутствует вращение частиц, а сдвиговые волны не сопро-
сопровождаются изменением объема.
Перейдем к доказательству существования двух типов волн.
Будем рассматривать безграничную среду. Представим массовые
силы F , действующие на эту среду, и поле перемещений « в виде
A0.2)
Здесь Ф и ф —скалярные функции координат (хи х2, х3) и времени
t, а Ф и ф — векторные функции координат и времени t.
Из A0.2) следует
A<f. С10.3)
Подставляя в уравнения движения упругой среды E.5) выраже-
выражения A0.1), A0.2), учитывая A0.3) и изменяя порядок дифферен-
дифференциальных операторов, получим
^ ] [g ]0. A0.4)
Здесь обозначено
±±2 A0.5)
9 9
Легко видеть, что A0.4) будет удовлетворено, если положить
|U=-4». A0.7)
Таким образом, доказано, что векторное поле и, определяемое
A0.2), является решением уравнения E.5), если функции ф и ф
24?
удовлетворяют A0.6) и A0.7), функция ф называется продольным
потенциалом, а ф —поперечным потенциалом.
Возникает вопрос, есть ли у этих уравнений решения, которые
нельзя представить в указанном нами виде. Можно показать, что
таких решений нет. Отметим некоторые важные следствия.
а. Пусть V =0, а начальные условия таковы, что при t = t0, ф =
=0. Тогда для определения ф получается однородное уравнение
A0.7) с нулевыми начальными условиями. Это означает, что i|>=0
всегда; из уравнения A0.2) следует тогда, что и = Уф и rota =0.
Это показывает, что в волне, описываемой функцией ф, не про-
происходит вращение частиц среды, т. е. каждая из них движется по-
поступательно. Поэтому такие волны называются продольными. Сле-
Следует подчеркнуть еще раз, что если Ф =0 и в некоторый момент
волновое поле имеет продольный характер, то оно остается про-
продольным всегда, т. е. продольные волны в изотропной однородной
и безграничной среде при своем распространении не генерируют
поперечных.
Уравнение A0.6), описывающее продольные волны, является не-
неоднородным волновым уравнением. Известно, что если функция Ф
и начальные условия в конечной части пространства отличны от ну-
нуля, то поверхность, отделяющая возмущенную область от невозму-
невозмущенной (фронт волны), распространяется в направлении своей нор-
нормали в сторону невозмущенной области со скоростью с\.
б. Пусть теперь Ф=0, а начальные условия таковы, что при
t=t0, Ф=0. Тогда ф=0 и « = rotif. В таком поле объемное расши-
расширение равно нулю. Действительно, diva =div rot ф =0.
Волны, обладающие таким свойством, называются поперечными
или волнами сдвига. Поперечные волны, распространяясь в безгра-
безграничной среде, не генерируют продольных волн. Скорость распрост-
распространения фронта поперечных 'волн равна Съ
В однородной среде с границей продольные и поперечные волны
распространяются независимо лишь до того момента, пока фронт
не пересечет границу. Тогда образуются так называемые отражен-
отраженные волны обоих типов, так как обычно системе граничных усло-
условий нельзя удовлетворить, введя отраженную волну какого-либо
одного типа.
Рассмотрим несколько примеров.
1. Плоская продольная волна. Пусть массовые силы отсутству-
отсутствуют, поперечный потенциал tf тождественно равен нулю, а продоль-
продольный потенциал ф зависит только от Х\ и t. Тогда уравнение A0.6)
превращается в уравнение колебаний струны
и имеет решение вида
+ eiO. (Ю.8)
где f u g — произвольные, дважды дифференцируемые функции.
250
Первое слагаемое в A0.8) представляет волну постоянной фор-
формы, распространяющуюся со скоростью с\ в положительном направ-
направлении оси Х\, а второе — волну постоянной формы, распространяю-
распространяющуюся в противоположном направлении.
Перемещение, соответствующее решению A0.8), на основе A0.2)
будет
Выражение A0.9) показывает, что на каждой плоскости, перпен-
перпендикулярной к оси хи при фиксированном t при переходе от точки
к точке волновое поле не меняется и параллельно оси Х\. Если
направление распространения плоской волны «е совпадает с осью
Xi> то поле перемещений будет описываться более сложными фор-
формулами, хотя физическая картина останется той же. Выведем соот-
соответствующие формулы.
Пусть направление распространения плоских продольных волн
я составляет с координатными осями углы, косинусы которых есть
Пк- Обозначим через / расстояние, отсчитываемое вдоль прямой, па-
параллельной направлению п. Для простоты рассмотрим волну, рас-
распространяющуюся в одном направлении. Подставляя вместо I его
выражение 1=ХкПк (k=l, 2, 3), получим
Из A0.2) для компонентов вектора перемещения получим
— с4) (v=l, 2, 3).
2. Сферическая продольная волна. Рассмотрим случай, когда
продольный потенциал q> в сферической системе координат зависит
лишь от радиуса г и времени t. Поперечный потенциал $ вновь
тождественно равен нулю. Массовые силы не действуют.
В этом случае в сферических координатах уравнение A0.6) при-
принимает вид
б^Ф ¦ 2 Ар 1 <fiv ~
дг% г дг ^ д&
или
1
Решение этого уравнения будет
отсюда
Первое слагаемое A0.10) представляет волну, расходящуюся от
центра, а второе — волну, сходящуюся к центру.
251
Рассмотрим волну, расходящуюся от центра. Поскольку про-
продольный потенциал <р зависит лишь от г и t то в сферических ко-
координатах (г, if, ф) отличной от нуля проекцией вектора и будет
Выражение A0.11) указывает, что перемещение иг направлено
строго по радиусу и не меняется при переходе от точки к точке,
если они лежат на одной и той же сфере (при фиксированном вре-
времени).
Важно подчеркнуть, что при г, стремящемся к нулю, ит стре-
стремится к бесконечности, это же происходит с деформациями и на-
напряжениями. Вообще говоря, уравнения Ляме не годятся для опи-
описания среды, испытывающей большие деформации. Но формально
эти уравнения такие решения допускают и они пригодны и удобны
для описания реальных процессов, когда г ограничено снизу. Пусть,
например, упругая волна вызвана равномерным давлением, прило-
приложенным к поверхности сферической полости радиуса г0. Тогда фор-
формула A0.11) описывает решение в области г^г0, и особенность
при г-»-0 оказывается вне области, в которой ищется решение.
В этом примере функция /, фигурирующая в формуле A0.11), лег-
легко определяется по заданному на полости давлению p=p(r0, t).
Итак, решение A0.11) имеет особенность при г=0. Такая осо-
особенность называется центром расширения. Отметим, что в отличие
от плоской волны, которая при распространении не меняет своей
формы, сферическая волна свою форму меняет. В самом деле, ко-
коэффициенты — и — в формуле A0.11) показывают, что ампли-
амплитуды волны с изменением г меняются.
3. Плоская поперечная волна. Пусть снова массовые силы от-
отсутствуют; продольный потенциал <рг=0, а поперечный потенциал ф
имеет лишь один отличный от нуля компонент 1рз, который зависит
только от Х\ и t. Тогда из A0.7) получаем
Отсюда
Для простоты будем рассматривать только волну, распростра-
распространяющуюся в положительном направлении оси Х\. Для проекций
вектора перемещения получим формулы
Здесь направление оси Х\ — направление распространения волны.
Однако, в отличие от плоской продольной волны, скорость ее рас-
распространения равна С2, а направление перемещения ее совпадает
с направлением распространения волны, а перпендикулярно ему (в
данном случае перемещение направлено вдоль оси Хг).
252
Нетрудно убедиться, что объемное расширение в такой волне,
как и в общем случае поперечной волны, равно нулю
Согласно формулам C.27) для компонентов тензора вращения ча-
частиц получим
,„,=«03=0, <^=~/"{xl~c/)I
т. е. частицы вращаются вдоль оси, параллельной оси х$.
§ 82. Поверхностные волны Рэлея
Рассмотрим упругое полупространство. Начало координат по-
поместим на его поверхности, ось х\ направим вдоль границы, ось
х2 — в глубь среды (рис. 44). Предполагается, что объемные силы
отсутствуют. Будем искать решение уравнений A0.6) и A0.7), ко-
которое не зависит от х3 (плоская деформация), во времени -меняется
по синусоидальному закону, затухает с глубиной, а на границе
х3=0 удовлетворяет условиям Г21 = Г22 = 0. Тогда при х2=0
A0.12)
2221
Это — задача о свободных колебаниях полупространства.
Решение попытаемся найти в виде
A0.13)
Здесь q — заданная частота. Постоянные а, E, с (с — фазовая ско-
скорость), А, В должны быть подобраны так, чтобы A0.13) удовле-
удовлетворяло уравнениям A0.6), A0.7) и граничным условиям A0.12).
Подставляя A0.13) в A0.6) и A0.7), после простых преобразо-
преобразований получим
A0.14)
На основании решения A0.13) и формулы A0.2) найдем
Следовательно, вектор перемещения и находится в плоскостях, пер-
перпендикулярных к оси х$.
253
Перемещения на границе Хг = О будут
u1 = {iqA-^B)e-t4(^'tt>t »j«—(аД + адв1'*"'0- A0.15)
Пользуясь формулами для перемещения и законом Гука, нетрудно
получить выражения для компонентов тензора напряжений на гра-
границе
2i\[\ —С\
4)
о,о=ий'! / —;
Рис. 44
Рис. 45
Чтобы удовлетворить граничным условиям A0.12), нужно поло-
положить
A0.16)
Относительно А и В мы получили линейную однородную систему
уравнений. Для того чтобы А и В были отличны от нуля, необхо-
необходимо приравнять к нулю определитель R этой системы
<ЮЛ7)
или
где
254
Это уравнение определяет фазовую скорость с; важно подчеркнуть,
что последняя не зависит от частоты q, а зависит лишь от отноше-
отношения С2/С\.
Покажем, что с2<Сг2. Действительно, полагая с = с% получим
/? = 1. С другой стороны, при с=0 имеем R = 0, a R' = —2A—Y)<0.
Отсюда следует, что уравнение A0.17) при любом значении —
имеет корень k= —< 1 (рис. 45). Можно показать, что на отрез-
отрезка
ке [0, 1] других корней нет (корень с=0, соответствующий нулевому
решению, в расчет не принимаем). В частности, при X=\i, т. е.
Из A0.16) получаем
(
где D — произвольная постоянная. Тогда
ut=DлГ 1 —^- \%е~^-B —?|-
Мы построили решение в комплексной форме, но поскольку
уравнения и краевые условия задачи линейные, ее решением будет
как действительная, так и мнимая часть получаемых выражений;
например,
A0.18)
Ul=D Л/ 1 —— \2е-™* - B - —) г-М cos g (jc, - rf),
У ч L \ 4) J
A
Так как коэффициенты аиВ [формулы A0.14)], характеризующие
затухание с глубиной, растут с увеличением частоты q, то в силу
A0.18) приходим к выводу, что чем волна длиннее, тем на боль-
большей глубине она ощущается.
255
При *2=0 из A0.18) получаем
«, = ?> \[ 1 —с~-^cosq(Xl-ct),
г е2 е2
A0.19)
Отсюда следует, что точки поверхности движутся по эллипсам.
Рассмотренные выше волны были впервые изучены Рэлеем. Они
наблюдаются вдали от источника возмущения. Поскольку энергия,
которую эти волны несут, сконцентрирована у поверхности и рассе-
рассеивается по поверхности, то ее рассеивание происходит медленнее,
чем в волнах, где энергия рассеивается по объему возмущенной
области. Поэтому при землетрясениях для наблюдателя, удаленного
от эпицентра, наибольшую опасность представляют рэлеевские
волны.
§ 83. Волны Лява
Рассмотрим упругий слой постоянной толщины Я с упругими
постоянными Я, ц плотностью р, лежащий на упругом полупрост-
полупространстве с параметрами Я,., ц», р*. Будем предполагать, что скорость
распространения поперечных волн в слое Сг меньше соответствую-
соответствующей скорости с«2 в полупространстве
с2<с.2. A0.20)
Направим ось Х\ вдоль границы раздела, ось х2— вглубь полу-
полупространства (рис.46).
Пусть граница слоя х2=—Я свободна от нагрузки
Т21 = Т22=Т2з=0. Тогда при х2=—Я
а на границе раздела
Щ=а\, U2 = U2, И3 = Из, A0-22)
<*2а = в2!» °12= 313. 923 —°Mi (Ю.23)
(звездочкой отмечены величины, относящиеся к полупространству).
Кроме того, потребуем, чтобы при х2, стремящемся к бесконечности,
смещения стремились к нулю.
Попытаемся найти такие ре-
шения уравнения E.5) для
слоя и полупространства, у ко-
торых были бы отличны от ну-
ля только компоненты из и Ыз *
и при этом они не зависели бы
от х3. Такая волна, если она
Рис. 46 существует, является попереч-
поперечной, так как div и = 0.
Из уравнения E.5) (без учета объемных сил) получаем
В силу сделанных относительно перемещений предположений пер-
первые пары условий A0.21), A0.22) и A0.23) удовлетворяются авто-
автоматически, а последние дают:
ПрИ Х2 = —Н
-^-=0, A0.25)
при х2=0
и3^и3, A —:^=(** . A0.z6)
Будем разыскивать такие решения, зависимость которых от Х\
и t описывается синусоидальным законом, т. е.
Здесь ^ — заданная частота; с — неизвестная фазовая скорость, от-
относительно которой будем предполагать с2<с<с*2, что не проти-
противоречит A0.20).
Подставляя A0.27) в уравнения A0.24), получаем
A0.28)
\—
откуда
/ (x2)= A sm (aqx2) + В c6s (aqx2), A0.29)
Для ограниченности решения f*(*2) следует принять Ci = 0, тогда
/9{хг) = Сег9я*: A0.30)
Из граничных условий A0.26) следует
В = С, А^ -^-С. A0.31)
Подставляя A0.27) в A0.25) и пользуясь A0.29), получаем
A cos (aqH) -j- В sin (aqH) =0,
257
или при помощи A0.31)
-?sL. A0.32)
Так как аире помощью формул A0.28) выражаются через с, с2,
с*2, то A0.32) представляет собой уравнение для определения от-
отношения — как функции параметров qH, Сг/с^, u*/u.
Покажем, что корни уравнения A0.32) существуют. Будем счи-
считать неизвестным \ = qH, а остальные параметры заданными. Тогда
при изменении \=qH от нуля до —— тангенс (aqH) будет менять-
меняться от нуля до бесконечности, а так как тангенс—непрерывная
функция, найдется такое значение | = |о, при котором A0.32) будет
удовлетворено. Последнее и доказывает существование корня урав-
уравнения A0.32).
Выпишем окончательные формулы для перемещений
и,=С [cos(aqx2) — -^- sin
L м
Полученное решение представляет собой волну, бегущую в направ-
направлении оси Х\ со скоростью с. Перемещения в волне лежат в плоско-
плоскости, перпендикулярной направлению их распространения, и парал-
параллельны границам слоя. Существенно отметить, что фазовая скорость
их зависит от частоты A0.32), т. е. эти волны имеют дисперсию.
Эти волны впервые были открыты Лявом и поэтому носят его
имя. Волны Лява, отличаясь от рэлеевских волн наличием диспер-
дисперсии, своим чисто поперечным характером и др., имеют тем не менее
с ними много общих черт. Как и рэлеевские волны, они обычно
наблюдаются при землетрясениях на значительных расстояниях от
эпицентра. Как и в рэлеевских волнах, в волнах Лява энергия кон-
концентрируется вблизи поверхности раздела, и поэтому они зату-
затухают медленнее, чем другие волны.
Глава XI
ТЕОРИЯ ТОНКИХ ПЛАСТИНОК
§ 84. Дифференциальное уравнение
изгиба тонких пластинок
Тело, имеющее срединную поверхность в виде плоскости и тол-
толщина которого достаточно мала по сравнению с другими его двумя
размерами, называется тонкой пластинкой. Пластинки находят ши-
широкое применение в технике; в качестве типичных примеров можно
указать на бетонные и железобетонные плиты, применяемые в
строительных конструкциях, для обшивки корпуса корабля. Плос-
Плоскость, делящая толщину пластинки пополам, называется ее средин-
срединной плоскостью. Выберем оси координат х{ и х2 в срединной плоско-
плоскости, а ось Хз — перпендикулярно ей.
Если прогиб срединной плоскости пластинки мал по сравнению
с толщиной пластинки, то имеют место следующие допущения:
1) нормаль к срединной плоскости до изгиба переходит в нормаль
к срединной плоскости после изгиба; 2) компонент тензора напря-
напряжений Озз кал по сравнению с другими компонентами тензора на-
напряжений; 3) при изгибе пластинки срединная плоскость не дефор-
деформируется.
Обозначим через w прогиб срединной плоскости, а через щ и
«г— перемещения, параллельные соответственно осям Х\ и х2.
Рассмотрим сечения пластинки, параллельные плоскостям Х\Х$
и х2Хз, как показано соответственно на рис. 47, 48. Из этих рисун-
рисунков, с учетом первого допущения для перемещений точки В, нахо-
находящейся на нормали к срединной плоскости пластинки, имеем
Так как прогиб считается малым, то
Учитывая последние соотношения, найдем
A1.11
e =_v_^L; ? =_x J^_( e12=-x, ** . A1.2)
Принимая во внимание A1.1), из формул C.26) найдем
223
дх\ дх\
-259
В силу допущения 1) имеем
На основании допущения 2) примем ©33;
A1.2) закон Гука примет вид
[-
(И .З)
тогда с учетом формул
1 — 1
A1.4)
Обозначим через Ми М2 изгибающие моменты, Mi
крутящие моменты и Qu Q2 — поперечные силы, отнесенные к еди-
единице длины сечений, параллельных плоскостям ххх3 и х2хъ (рис. 49),
тогда
А/г
|
/2
ft/2
-Л/2
j
-1/2
(П-5)
-А/2
Т.
Несмотря яа то, что согласно A1.3) следует принять asi |
а32=2це32 = 0, при составлении уравнений равновесия необходимо
учесть результирующие силы Qi и Q2 (поперечные силы), опреде-
определяемые касательными напряжениями оы и 0гз, как величины того
же порядка, что интенсивность поперечной силы р и моменты Ми
М2 и М\2.
260
Подставляя выражения оц, 022 и 0i2 в первые три соотношения
A1.5), для однородной пластинки найдем
ffiw , &*w
Ml=~D
дх\
1*1)
A1.6)
где D=-
12A —v2)
Рассмотрим элемент, выре-
вырезанный из пластинки двумя па-
парами плоскостей, параллель-
параллельных координатным плоскостям
Xtx$ и *2#з (рис. 50). Для рав-
равновесия этого элемента необ-
необходимо, чтобы сумма сил, дейст-
действующих на этот элемент, и сумма
их моментов относительно осей
jci и Х2 в отдельности были рав-
ны нулю. Не учитывая массовые
силы и пренебрегая величинами
третьего порядка малости, имеем
цилиндрическая жесткость пластинки.
Рис. 49
dXlQ1dx2JrdX2Q2dx1+ pdx1dx2=0,
ldx2dxl^0.
Здесь dXk — частный дифференциал следующей за ним функции
по координате xh. После некоторых преобразований найдем
dQi i <Юг i л у» m
—^-^-Ч г iC^=U, Ц1.{)
0, A1.8)
0. A1.9)
дх2
Учитывая соотношения A1.6) в (П.8) и A1.9), для пластинки по-
постоянной толщины будем иметь
л ... д / tiP-w I
Qi=-D-r— (-Т- + -
dxi
Q2=-D
-+-
A1.10)
261
Подставляя выражения Qi и Q2 в уравнение A1.7), получим
(Hie , „ д*и> , d*w d
- + 2
dxi
A1.11)
Это уравнение было впервые получено Софи Жермен.
Таким образом, задача об изгибе пластинки поперечной силой
р сводится к интегрированию уравнения A1.11).
Q,
**,
X,
§ 85. Граничные условия
Установим граничные условия для прямоугольной пластинки
при некоторых способах закрепления ее краев; оси *i и х2 напра-
вим параллельно краям пластинки.
а. Защемленный край. Если край пластинки л;,=0 защемлен, то
прогиб в точках этого края равен нулю и плоскость, касательная
к изогнутой срединной поверхности, совпадает со срединной пло-
плоскостью пластинки до изгиба
=0,
dw
= 0.
A1.12)
б. Шарнирио-опертый край. Если край пластинки Xi = 0 оперт
и может свободно поворачиваться, то прогиб и изгибающий момент
на этом крае должны быть равны нулю
= 0,
—f-v
Так как вдоль края Х\=0 имеем до = 0, то
=0,
= 0.
,=0
dxl
262
Следовательно, граничные условия для шариирно-опертого края
будут г г v
= 0,
к=о
=0. A1ЛЗ)
1
1
1
11 )
}_
НпйХз.
т
в. Свободный край. Если край хх=а свободен, то, на первый
взгляд, нужно потребовать, чтобы вдоль него изгибающий момент
Ми крутящий момент М12 и поперечная сила Q, равнялись нулю
-Mik=e = 0, AfUk-a = 0, Ql|Xl.e = 0. A1.14)
Таким образом, в этом случае получаются три граничных усло-
условия, тогда как в других их было два. Условия A1.14) были полу-
получены Пуассоном. Позже Кирх-
гофф показал, что для полного
определения прогиба w, удовле-
удовлетворяющего уравнению A1.11),
достаточно двух граничных усло-
условий, так как два условия Пуассо-
Пуассона, относящиеся к крутящему мо-
моменту МХ2 и поперечной силе Qu
можно объединить в одно гранич-
граничное условие. Следовательно, си- м
стема краевых условий Пуассона м +^5 аХг
A1.14) для уравнения Софи п <>хг
Жермен A1.11) является пере- Рис. 51
определенной.
Рассмотрим по краю хх=а два примыкающих друг к другу эле-
элемента длины dx2 (рис. 51). Крутящий момент, приходящийся на
элемент длины dx2, будет MVzdx2; его можно заменить двумя попе-
поперечными силами, равными М12 и действующими на расстоянии dx2
друг от друга; на рис. 51 эти силы показаны сплошными векторами.
Для следующего элемента dx2 крутящий момент (Ми+4, Mujdjej
можно также заменить двумя поперечными сялами Mi2+dx, M12,
они показаны пунктирными векторами. Таким образом, найдем, что
распределение крутящих моментов М^ статически эквивалентно
распределению поперечных сил интенсивности Q[= -^ 2 . .
0Х%
Такая замена на основании принципа Сен-Венана окажет влияние
на напряженное состояние в непосредственной близости к кромке,
но на остальной части пластинки напряженное состояние останется
без изменений.
Следовательно, для свободного края пластинки в граничных ус-
условиях A1.14) вместо двух последних получим одно условие
(q ™я) =о. A1.15)
263
На основании соотношений A1.6) и A1.10) для свободного края
граничные условия A1.15) и M1\XI=Q=0 можно выразить в виде
=0,
дх
л-,-0
=0.
A1.16)
В случае пластинки с криволинейной кромкой направляем оси
координат в точке кромки по нормали п и по касательной т, как
показано на рис. 52 и 53. Соотношения между Мп; Мпх; Qn и Ми
М\2, Q\, Q2 определяются из условий равновесия элемента пластин-
пластинки, изображенного на рис. 52 и 53,
Рис. 52
Рис. 53
1 = М
Sin 2а,
Qn=Qicosa+Q2sin a.
При заделке криволинейной кромки пластинки
дп
в случае же свободного опирания
да=0, Мп = 0.
Если кромка пластинки свободна, то
дх
-=0,
A1.17)
A1.18)
A1.19)
где слагаемое получается аналогично рис. 51.
§ 86. Уравнение изгиба пластинки
в полярных координатах
При изучении изгиба круглой пластинки выгодно использовать
полярную систему координат (г, <р). В этой системе координат «а
основании формул, выражающих зависимость между полярными и
декартовыми координатами
cp = arctg-, A1-20)
гармонический оператор принимает вид
Следовательно, уравнение изгиба пластинки A1.11) в полярной си-
системе координат запишется в виде
LLL^=JZ_. (П.22)
гЧ ' г дг * г2 д<р2 / \дг2 ' г дг ^ A df2 ) D
Если нагрузка р распределена симметрично относительно центра
пластинки, то прогиб w будет зависеть только от полярного радиу-
радиуса. В этом случае уравнение A1.22) примет вид
1 Л W <# I d v р
r dr )\ dr2 ' r dr j D
Обозначим действующие в сечениях с нормалями г и ф изги-
изгибающие моменты соответственно через Мг, Мф, а крутящий момент
через Mrv. Эти моменты, как обычно, отнесены к единице длины.
Предположим, что ось ох\ совпадает с полярным радиусом г,
тогда моменты Mr, Mv и Мщ будут иметь те же самые значения,
что и моменты М\, М2, Mi2 (рис. 54). Таким образом, в формулах
A1.6), переходя с помощью A1.20) от декартовых координат к
полярным и принимая <р = 0, окончательно будем иметь
^-+-L-^- + V^S-), A1.23)
Аналогичным приемом из A1.10) получим формулы для попереч-
поперечных сил
Q,= _a-*-[(_*_+J__!. + J-JL)«l, A1.24)
4
г д?
265
Если край круглой пластинки радиуса а защемлен, то
= 0,
г-о
=0;
если свободно оперт, то
<W
=МТ
=0;
т-а
если свободен от нагрузки, то
м,
A1.26)
A1.27)
A1.28)
Рис. 54
Общее решение уравнения A1.22)
где w0— какое-либо частное решение уравнения A1.22); W\— об-
общее решение однородного уравнения
—+-—)^=0. (П.29)
Общее решение этого уравнения Клебшем дано в виде
?. A1.30)
л-1
Решение i?o(O) (r), не зависящее от угла ср, представляет симметрич-
симметричный изгиб круглой пластинки. Подставим это решение в уравнение
A1.29), тогда
где й = 0, 1, 2. Общее решение этого уравнения при п = 0 таково:
266
при n= 1
#{» = А[к) г + В[*}г*-^С^г*^ О?* г In г, A1.32)
при ^2
Постоянные интегрирования A(nk) ,B{n\ С{„к) и D(nk) (?=1,2) оп-
определяются из условий закрепления края пластинки.
§ 87. Симметричный изгиб
круглой пластинки
Рассмотрим поперечный изгиб круглой пластинки радиуса а
под действием равномерно распределенной нагрузки р, когда пла-
пластинка 1) оперта по краю, 2) защемлена по краю. Решение задачи
в силу осесимметричности изгиба на основании решения Клебша
A1.30) ищем в виде
in.
где Wo—частное решение уравнения
А 11 1 \w=— , A1.34)
г дг }\дг2 г дг ) D v
которое вытекает из A1.22); это решение будет таким:
№o=i~64d" '
Для ограниченности решения /?0@)(г). определяемого формулой
A1.31), следует взять С0=0; тогда
На основании формулы A1.24) в сечении г
С другой стороны, Qr= ——г. Отсюда DQ = 0.
Таким образом,
J^\ A1.35)
Коэффициенты Ло, Во определятся из условия закрепления пла-
пластинки по краю. Для случая 1) при г — а имеем
•w=0, hv^ 0. A1.об)
dfi r дг
267
Для случая 2) при т=а
w=0, —=0. A1.37)
or
Подставляя A1.35) в условия A1.36) и A1.37) для случая 1) по-
получим систему линейных алгебраических уравнений
для случая 2)
Определив постоянные Ло, So, окончательно получим
для случая 1):
для случая 2):
Исходя из первой формулы A1.4), для случая 1
п 32 ЛЗ v ;
Это напряжение в центре пластинки (г=0) равно
_ 3C +v)
а
тг
32
По точному решению, на осяовайии формулы (9.77) в центре пла-
пластинки
_: 3C +v)
3+
" 32 A3 ' 8 г \ A3 5 А
Сравнивая последние две формулы, замечаем, что дополнительный
член, входящий в точное решение, мал, если толщина пластинки
мала по сравнению с радиусом. Так, например, когда v=0,25 и
, 2Л 1 2А 1 2Л 1
х3—п, при —=—; — =—; —=— дополнительный член состав-
составляет соответственно 0,94, 3,8 и 15% основного члена.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ван Цзи-де. Прикладная теория упругости. М., Физматгиз, 1959.
2. В е к у а И. Н. Основы тензорного анализа. Тбилиси. Изд-во Тбилис-
Тбилисского ун-та, 1967.
3. Колосов Г. В. Применение комплексной переменной к теории упру-
упругости. М. — Л., ОНТИ, 1935.
4. К оч и н Н. Е. Векторное исчисление и начало тензорного исчисления^
М., «Наука», 1965.
5. Л у р ье А. И. Пространственные задачи теории упругости. Гостех-
издат, 1955.
6. Ляв А. Математическая теория упругости. М. — Л., ОНТИ НКГ и
П СССР, 1935.
7. Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложения-
приложениями к геометрии, механике и физике. М., Физматгиз, 1963.
8. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической
теории упругости. «Наука», 1966.
9. Новожилов В. В. Теория упругости. Судпромгиз, 1958.
10. Папкович П. Ф. Теория упругости. Л. — М., Оборонгиз, 1939.
11. Работнов Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. М., «Нау-
«Наука», 1966.
12. С а в и н Г. Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев, «Нау-
кова думка», 1968.
13. С е д о в Л. И. Введение в механику сплошной среды. М., Физмат-
гиз, 1962.
14. Снеддон И. Н. Преобразования Фурье. М., ИЛ, 1957.
15. Снеддон И. Н. и Берри Д. С. Классическая теория упругости.
Физматгиз, 1961.
16. Тимошенко С. П. Теория упругости. Л. —М., ОНТИ, 1937.
17. Треффц Е. Математическая теория упругости. М., Гостехиздат, 1932.
18. G r e e n A. E. and Zerna W. Theoretical Elasticity at the clarendon
Press, Oxford, 1954.
19. Reissner E. On a variational theorem in elasticity J. math, and Phys.,
I960, 29, № 2, 90—95.
ОГЛАВЛЕНИЕ
От рецензента первого и второго изданий 3
Предисловие к первому и второму изданиям 4
Введение 5
Глава L Элементы тензорного исчисления 6
5 1. Определения скаляра, вектора и тензора 7
2. Сложение, умножение и свертывание тензоров. Признак тензора 10
3. Метрический тензор ¦,..... . 13
4. Дифференцирование базисных векторов. Символы Кристоффеля 19
5. Параллельное векторное поле... . > . 21
6. Тензор Римана — Кристоффеля. Производная вектора. Формула
Гаусса — Остроградского, е-тензор 23
Глава II. Теория напряжений , , 31
§ 7. Виды внешних сил ... - .31
§ 8. Метод сечений. Вектор напряжения 33
§ 9. Тензор напряжений . . 35
§ 10. Уравнения движения и равновесия в компонентах тензора на-
напряжений 36
§ 11. Условия на поверхности . 39
§ 12. Уравнения движения и равновесия в декартовой системе коорди-
координат 39
§ 13. Уравнения движения и равновесия в цилиндрических и сфериче-
сферических координатах 41
§ 14. Определение главных нормальных напряжений 43
Глава III. Теория деформаций 46
15. Тензор конечной деформации 46
16. Тензор малой деформации 49
17. Уравнения совместности деформаций 50
18. Тензор деформаций в декартовой системе координат 51
19. Компоненты тензоров малой деформации и вращения в цилинд-
цилиндрических и сферических координатах 53
§ 20. Главные относительные удлинения 54
§ 21. Уравнения совместности деформаций в некоторых системах
координат (условия Сен-Венана) . . 56
§ 22. Определение перемещений по компонентам тензора малой де-
деформации 57
270
Глава IV. Связь между напряженным и деформированным состояниями 60
§ 23. Обобщенный закон Гука ®0
§ 24. Работа внешних сил 62
§ 25. Потенциал тензора напряжений 62
§ 26. Потенциал в случае линейно-упругого тела 66
§ 27. Различные случаи упругой симметрии тела 66
§ 28. Температурные напряжения 71
§ 29. Интеграл энергии для уравнения движения упругого тела . . . 72
§ ЭО. Тождество Бетти : 73-
§ 31. Теорема Клапейрона . , , . „73
Глава V. Полная система основных уравнений теории упругости 75
§ 32. Уравнения упругого равновесия и движения в перемещениях . . 75
§ 33. Уравнения в компонентах напряжений 81
§ 34. Основные граничные задачи статики упругого тела. Единствен-
Единственность решения 84
§ 35. Основные задачи динамики упругого тела 86
§ 36. Принцип Сен-Венана (принцип смягчения граничных условий) . . 87
§ 37. Прямые и обратные решения задач теории упругости. Полуобрат-
Полуобратный метод Сен-Венана 89
§ 38. Простейшие задачи теории упругости 9Q
Глава VI. Плоская задача теории упругости 99
§ 39. Плоская деформация • '99
§ 40. Плоское напряженное состояние 102
§ 41. Обобщенное плоское напряженное состояние 104
§ 42. Функция напряжений Эри 106
§ 43. Функция Эри в полярных координатах. Задача Ляме 111
§ 44. Комплексное представление бигармонической функции, компо-
компонентов вектора перемещения и тензора напряжений 118
§ 45. Степень определенности введенных функций и ограничения, на-
накладываемые на них . . .: . 123
§ 46. Основные граничные задачи и приведение их к задачам теории
функций комплексного переменного 129
47. Теорема Мориса Леви 132
48. Метод конформных отображений 133
§ 49. Интеграл типа Коши 135
§ 50. Теорема Гарнака 142
§ 51. Краевая задача Римана 142
§ 52. Приведение основных краевых задач к функциональным уравне-
уравнениям ............. 144
§ 53. Равновесие кругового полого цилиндра, 146
§ 54. Бесконечная пластинка с эллиптическим отверстием 150
§ 55. Решение граничных задач для полуплоскости 152
§ 56. Некоторые сведения об интегральном преобразовании Фурье . . . 160
§ 57. Бесконечная плоскость, деформируемая под действием массо-
массовых сил 164
§ 58. Решение бигармонического уравнения для невесомой полуплос-
полуплоскости 168
Глава VII. Кручение и изгиб призматических тел 173
§ 59. Кручение призматического тела произвольного односвязного по-
поперечного сечения 173
§ 60. Некоторые свойства касательных напряжений 178
§ 61. Кручение полых призматических тел 179
§ 62. Теорема о циркуляции касательного напряжения 181
§ 63. Аналогии при кручении 182
271
64. Комплексная функция кручения 187
65. Решение частных задач кручения ... 188
66. Изгиб призматического тела, закрепленного одним концом... 197
67. Центр изгиба 202
68. Изгиб призматического тела с эллиптическим поперечным сече-
сечением ..... .......... 207
Глава VIII. Общие теоремы теории упругости. Вариационные методы ... 210
§ 69. Теорема взаимности Бетти 210
§ 70. Принцип минимума потенциальной энергии 211
§ 71. Принцип минимума дополнительной работы — принцип Кастиль-
яно 213
§ 72. Метод Рэлея — Ритца ... 215
§ 73. Вариационный принцип Рейсснера 219
§ 74. Уравнения равновесия и граничные условия для геометрически
нелинейного тела 221
Глава ГХ. Трехмерные статические задачи 223
75. Решения Кельвина и Буссинеска — Папковича 223
76. Элементарные решения Буссинеска первого и второго рода . . . 227
77. Давление на поверхность полубесконечного тела.229
78. Задача Герца о давлении двух соприкасающихся тел 231
79. Симметричная деформация тела вращения . . 236
80. Температурные напряжения 247
Глава X. Теория распространения упругих волн 249
§ 81. Два типа волн 249
| 82, Поверхностные волны Рэлея 253
§ 83. Волны Лява 256
Глава XI. Теория тонких пластинок 259
§ 84. Дифференциальное уравнение изгиба тонких пластинок .... 259
§ 85. Граничные условия 262
§ 86. Уравнение изгиба пластинки в полярных координатах 265
§ 87. Симметричный изгиб круглой пластинки 267
Литература 269