/
Author: Новацкий В.
Tags: механика деформируемых тел упругость деформация физика механика монография теория упругости
Year: 1975
Text
W1T0LD NOWACKI
TEORIA
SPR?2YSTO$CI
Panstwowe Wydawnictwo Naukowe
Warszawa 1970
В. НОВАЦКИЙ
ТЕОРИЯ
УПРУГОСТИ
Перевод с польского
Б. Е. ПОБЕДРИ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
МОСКВА 1975
УДК 539.3
Монография известного польского ученого В. Новацкого
представляет собой учебник повышенного типа по теории упру-
упругости. От известных руководств по этому предмету книгу отли-
отличает то, что автор положил в основу связанную задачу термо-
термоупругости, а классическую теорию упругости и теорию темпера-
температурных напряжений изложил как ее частные случаи.
Большое место занимают в монографии динамические задачи,
в частности задачи о распространении волн.
Книга написана на высоком математическом уровне и пред-
предназначена научным работникам и инженерам-конструкторам, за-
занимающимся проблемами деформируемого твердого тела и тео-
теоретическими вопросами сопротивления материалов. Ее можно
использовать и как учебное пособие для студентов-механиков
университетов.
Редакция литературы по математическим наукам
203 04 011
н -4„. ,.,/' 31—75 © Перевод на русский язык, «Мир», 1975
ОТ ПЕРЕВОДЧИКА
Эта монография написана известным специалистом, вице-пре-
вице-президентом Польской Академии Наук Витольдом Новацким. Она
представляет собой расширенный университетский курс теории
упругости. Несмотря на достаточно высокий математический уро-
уровень, книга является весьма доступной, ибо автор всякий раз
подробно разъясняет используемые понятия, которые выходят за
рамки втузовской программы. Поэтому книгу можно рекомендо-
рекомендовать для первого ознакомления с предметом. Вместе с тем основ-
основные разделы классической теории упругости освещены в ней на-
настолько полно, что она может служить и справочным пособием
для специалистов-механиков и инженеров-прочнистов.
От известных книг монографию Новацкого отличает прежде
всего то, что автор положил в основу связанную задачу термо-
термоупругости, а классическую теорию упругости и теорию темпера-
температурных напряжений изложил как ее частные случаи. Характерно
также, что автор уделил очень большое внимание динамическим
задачам теории упругости; впервые в книге такого рода приво-
приводится математическое описание континуума Коссера. Моногра-
Монография содержит и ряд оригинальных результатов, полученных ав-
автором (кручение бруса, имеющего трещины, распространение
термоупругих волн, несимметричная упругость и др.).
Следует отметить, что в книге отсутствуют некоторые раз-
разделы, традиционно читающиеся в университетском курсе теории
упругости (например, методы решения задач, основанные на ва-
вариационных принципах Лагранжа и Кастильяно, контактные за-
задачи теории упругости, теория конечных деформаций). Однако
на русском языке имеются монографии, в которых эти вопросы
хорошо освещены ').
При переводе была использована наиболее употребительная
в отечественной литературе терминология. Исключение состав-
') См., например, Михлин С. Г., Вариационные методы в математической
физике, «Наука», М., 1970;
Галин Л. А., Контактные задачи теории упругости,Гостехиздат, М., 1953;
Новожилов В- В., Теория упругости, Судпромгиз, Л., 1958-
От переводчика
ляют часто используемые автором термины «эластостатика» и
«эластокинетика», под которыми понимается соответственно ста-
статическая и динамическая задачи теории упругости.
При переводе были исправлены замеченные опечатки и неточ-
неточности. Работа по переводу велась в постоянном контакте с авто-
автором, который специально для русского издания переработал
главу 5 и внес несколько изменений в другие главы, а также
прислал список опечаток и исправлений. За все это я приношу
автору свою глубокую благодарность.
Б. Лобедря
ПРЕДИСЛОВИЕ
Теория упругости занимается деформацией и движением уп-
упругого тела. Основы этой теории заложили математики и меха-
механики XIX века (Коши, Лагранж, Навье, Пуассон, Сен-Венан,
Кирхгоф, Бетти). Развиваемая главным образом математиками
как раздел математической физики, она приобрела в 20—30-е
годы нашего столетия неизменную, почти классическую форму.
В эти годы появились новые разделы механики деформируемых
тел: теория пластичности и реология. Этим разделам уделялось
наибольшее внимание.
Однако в последнее двадцатилетие наблюдается возрожде-
возрождение теории упругости, бурное развитие ряда ее разделов. При-
Причину этого явления следует искать в значительном прогрессе, до-
достигнутом во многих областях техники, и прежде всего в хими-
химической промышленности, ядерной физике и конструировании
летательных аппаратов.
Поскольку разного рода конструкции работают при все бо-
более высоких температурах, усиленное внимание исследователей
привлекла теория температурных напряжений. В связи с этим
узкий дотоле раздел теории упругости получил существенное
развитие. Более того, возникла новая область, называемая тер-
термоупругостью, которая представляет собой синтез классической
теории упругости и теории теплопроводности.
В последнем двадцатилетии развивалась также нелинейная
теория упругости — так называемая теория конечных деформа-
деформаций. В то же время мы являемся свидетелями возрождения тео-
теории несимметричной упругости: первые работы по этой теории
опубликованы братьями Коссера в 1910 г., но только сейчас она
нашла приложения к некоторым упругим средам.
В настоящей монографии автор хотел отразить указанные
тенденции развития теории упругости. Поэтому изложение пред-
предмета несколько необычно. Исходным пунктом стала термоупру-
термоупругость, опирающаяся на термодинамику необратимых процессов.
Только на этой основе излагаются классические разделы теории
упругости, такие, как эластостатика, эластокинетика, и новые
разделы — теория температурных напряжений и связанная
термоупругость.
8 Предисловие
Монография состоит из трех частей. В первой, содержащей
три главы, даются общие основы теории упругости, обсуждаются
деформированное и напряженное состояния и связь между этими
состояниями и температурой. Излагаются термодинамические
основы деформаций и выводятся общие дифференциальные урав-
уравнения термоупругости для анизотропной среды.
Вторая часть касается эластостатики изотропных тел и охва-
охватывает пять глав. Материал, содержащийся в этой части, стал
уже классическим. Однако ввиду его большого практического
значения он излагается широко и подробно.
В этой части обсуждаются основные принципы и теоремы
эластостатики, методы решения ряда двумерных и трехмерных
задач и, наконец, приводится теория установившихся темпера-
температурных напряжений и дисторсии.
Третья часть посвящена динамическим задачам теории уп-
упругости. В настоящей монографии эта часть занимает необычно
много места. Это объясняется стремительным развитием указан-
указанного раздела в последние годы, главным образом в области
распространения упругих волн. В этой части представлены ос-
основные теоремы и методы классической эластокинетики, теории
неустановившихся температурных напряжений и связанной тер-
термоупругости. В последней главе как бы синтезируется все изло-
изложенное в третьей части: она заключает в себе основы теории не-
несимметричной термоупругости. Отсюда как частные случаи по-
получаются остальные теории, рассмотренные в третьей части.
Основу этой монографии составили лекции для студентов от-
отделения механики физико-математического факультета Варшав-
Варшавского университета.
Я полагаю, что эта книга, возникшая в результате разра-
разработки и расширения указанных лекций, может заинтересовать
широкий круг читателей, прежде всего научных работников и
инженеров-конструкторов, занимающихся проблемами механики
деформируемого тела и теоретическими проблемами сопротивле-
сопротивления материалов.
В. Новацкий
К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Это издание лишь незначительно отличается от польского:
в нем переработана пятая глава и устранены некоторые недо-
недочеты.
Книга содержит существенно расширенный материал факуль-
факультативных лекций, которые в течение ряда лет читались студен-
студентам отделения механики факультета математики и механики
Варшавского университета. Я стремился в ней обратить особое
внимание читателей на термодинамический подход к теории уп-
упругости, при котором температурные поля и поля деформаций
рассматриваются как единое целое. При таком подходе эласто-
статика и эластокинетика появляются как частные случаи общей
теории.
Я очень рад, что моя книга издается в Советском Союзе, и
надеюсь, что она найдет новых читателей.
Витольд Новацкий
Варшава, 16 мая 1974 г.
Часть I
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
Глава 1
ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ
1.1. Упругость. Сплошная среда
Опыт показывает, что твердое тело под влиянием внешних
воздействий изменяет свою форму. К внешним воздействиям от-
относятся поверхностные нагрузки, массовые силы, нагревание
или охлаждение тела. Если деформация тела не превышает не-
некоторых пределов, то при достаточно медленном снятии внеш-
внешних воздействий оно возвращается к своему первоначальному
состоянию. Если снять внешние воздействия мгновенно, то тело
совершает свободные колебания. Однако вследствие внешнего и
внутреннего сопротивления тело по истечении некоторого вре-
времени возвращается в состояние равновесия, принимая свою пер-
первоначальную форму.
Такое свойство твердого тела называется упругостью.
При значительных деформациях снятие внешних воздействий
не приводит к полному исчезновению деформации. Сохраняется
некоторая остаточная деформация тела. Эти остаточные дефор-
деформации называются пластическими.
Математическая теория упругости старается выяснить изме-
изменения геометрического и механического состояния тела в про-
процессе его деформации. Речь идет об определении и оценке
геометрических величин, характеризующих деформации тела,
а также об оценке внутренних сил, называемых напряжениями,
которые возникают в процессе деформации.
Для анализа деформированного и напряженного состояний
применяются методы математической физики. Для этого опреде-
определяется понятие сплошной среды, ее плотности, рассматриваются
геометрические величины, описывающие изменения тела, вну-
внутренние силы, их связь с внешними воздействиями. Соотношения
между внутренними силами и деформациями берутся из экспе-
эксперимента. Поэтому теория упругости является феноменологиче-
феноменологической теорией.
12 Гл. 1. Деформированное состояние
В теории упругости пользуются теоретической, идеализиро-
идеализированной и упрощенной,„моделью твердого тела в виде «мате-
«материального континуума» или «.материальной сплошной среды-».
Пренебрегая молекулярной структурой тела, а стало быть, опу-
опуская ряд реальных свойств твердого тела, мы принимаем модель
непрерывного размещения материи в пространстве. «Размазы-
«Размазывая» атомную и молекулярную структуру тела, мы рассматри-
рассматриваем его как трехмерное евклидово пространство, точки кото-
которого совпадают с частицами тела.
Материальный континуум трактуется как непрерывная среда
в математическом смысле. Поэтому предполагается, что близкие
точки переходят после деформации также в близкие точки. Воз-
Возможность появления во время деформации трещин и пустот
в теле исключается.
Непрерывное распределение материи в некоторой области
тела можно охарактеризовать с помощью одной скалярной ве-
величины, а именно плотности. Эту величину мы определим сле-
следующим образом. Рассмотрим точку Р, окруженную замкнутой
поверхностью, охватывающей область с объемом AV. Содержа-
Содержащуюся в этой области массу обозначим через AM. В силу пред-
предположения о непрерывности среды, определим плотность р
в точке Р как предел отношения AM/AV при стремлении к нулю
объема AV:
/пч ,. Ш(Р) dM. ...
Этот предел определяет р как функцию непрерывную и диффе-
дифференцируемую в области, занятой телом.
Полная масса тела определяется формулой
М = J p dV. B)
Если плотность постоянна в каждой точке тела, то М = pV.
Твердое тело, характеризующееся постоянной плотностью, назы-
называется однородным телом.
В настоящей монографии мы будем заниматься исключи-
исключительно упругими телами. Под этим мы будем понимать такое
идеализированное твердое тело, которое после снятия внешних
воздействий возвращается к своему первоначальному положе-
положению и форме. При этом мы предполагаем, что существует только
одно состояние, характеризующееся отсутствием внутренних сил
и деформаций, к которому возвращается тело после снятия
внешних воздействий. Это состояние называется естественным
состоянием тела.
Главным предметом нашего изучения будет линейная теория
упругости. В этой теории предполагается, что деформации тела
1.2. Деформация тела. Вектор перемещения
13
являются достаточно малыми, а феноменологические соотноше-
соотношения, связывающие деформированное и напряженное состояния
тела, являются линейными.
1.2. Деформация тела. Вектор перемещения
Рассмотрим упругое тело, которое в некоторый момент вре-
времени t = to занимало в евклидовом пространстве область В и
находилось в естественном состоянии.
Положение каждой точки этой области определяет радиус-
вектор г = (хи х2, х3) в декартовой системе координат хи х2, х3.
Вследствие приложенных к телу внешних воздействий (нагруз-
(нагрузка, нагревание и т. п.) оно в некоторый момент времени t займет
РИС. 1.1.
в евклидовом пространстве область В'. Точка Р области В пере-
переместится в точку Р' области В'. Положение точки Р' описывается
в той же самой системе координат хи х2, х3 радиусом-вектором
г' = (|ь |2, Ы- Во время перемещения материальных точек тело,
вообще говоря, изменяет свою форму и объем (рис. 1.1). Соот-
Соответствие между положением Р(хих2, х3) материальной точки
в момент (=/ои положением Р' (|ь |2, Ъ) той же материальной
точки в момент t должно быть взаимно однозначным и гомео-
морфным. Это вытекает из предположения о непрерывности ма-
материальной среды. Соответствие между точками Р и Р' описы-
описывается соотношениями
= h{xv x2, x3, f), i = l, 2, 3.
A)
Предположим, что функции |,- принадлежат классу С1 (т. е. не-
непрерывны и имеют непрерывные первые производные) и что пре-
преобразование A) является неособенным. Тогда якобиан
дх,
B)
14 Гл. I. Деформированное состояние
должен быть отличным от нуля, что позволяет получить соот-
соотношения, обратные к A):
Xi = xl(l,,l2,U,t), 1 = 1, 2, 3. C)
Из соотношений A) — C) можно извлечь несколько след-
следствий. Материальные точки, лежавшие до деформации на кривой
или поверхности, переходят после деформации в точки, лежащие
на некоторой кривой или поверхности. Материальные точки, ле-
лежавшие до деформации внутри замкнутой поверхности, после
деформации также лежат внутри некоторой замкнутой поверх-
поверхности. Материальные элементы, составлявшие до деформации
границу тела, образуют ее и после деформации. Из рис. 1.1 вид-
видно, что
Р~Р = г' — г = и. D)
Вектор и назовем перемещением точки Р, вызванным деформа-
деформацией тела. Соотношение D) можно записать также в виде
ut = li—xh i=\, 2, 3. E)
Отсюда
h = xt + ui(xl,x2, х3, t). F)
Формула F) выражает зависимость (в каждый момент t) между
параметрами хи х2, х3 и gi, |2, |з- Каждой точке до деформации
соответствует только одна точка после деформации.
Формулы F) можно также рассматривать как преобразова-
преобразование координат. Параметры xit введенные как декартовы коорди-
координаты до деформации, можно использовать как криволинейные
координаты для описания положения точек после деформации.
Предположим, что х1=х(>1, х2 = х\ имеют постоянные значе-
значения. В этом случае система уравнений F) будет определять кри-
кривую, на которой лежат точки Р', до деформации лежавшие на
прямой, параллельной оси х3. Вообще мы утверждаем, что ко-
координатные линии Х\, х2, х3 в деформированной среде являются
линиями, на которых находятся точки, лежавшие до деформации
на прямых, параллельных осям декартовой системы координат.
Представленное здесь описание поля перемещений связано
с именем Лагранжа. Для описания деформации тела мы будем
пользоваться координатами х{ материальной частицы (точки)
тела (в момент t = t0) как независимыми переменными.
Поле перемещений щ{х\,х2,х3,г) в момент t выражаем через
положение (хьх2, х3), занимаемое частицей в момент t = t0. На-
Наряду с описанием Лагранжа применяется другой способ, в кото-
котором в качестве независимых переменных принимаются коорди-
координаты |i, относящиеся к положению материальной точки в мо-
момент t. Это описание, связанное с именем Эйлера, имеет вид
Xi = h - Щ (|,, |2, ?з, t), i=l, 2, 3. G)
1.3. Тензор деформаций 15
Если в эти соотношения мы подставим ?, = 1°, ?2 = ?2> т0 П0ЛУ"
чим из системы G) систему трех уравнений, описывающую кри-
кривую, на которой до деформации лежали точки Р, оказавшиеся
после деформации на прямой, параллельной оси х%.
Рассмотрим для примера двумерное движение
~' ' 2 ' (8)
12 = х{ sh t + х2 cht. v
Перемещение иа (а = 1,2) можно выразить либо в координа-
координатах ха, либо в координатах |а. Подставляя выражения (8)
в уравнения
ua = ta-xa, a = l,2, (9)
получим вектор перемещения в координатах Лагранжа
их = хх (ch t — 1) + х2 sh t,
и2 = Х\ sh t + *2 (с^ ^ — О-
Если разрешить уравнения (8) относительно Х\, х2 и подставить
в (9), получим тот же самый вектор перемещения в координатах
Эйлера
1.3. Тензор деформаций
Рассмотрим две бесконечно близкие точки недеформирован-
ного тела: точку Р с декартовыми координатами х{ и точку Q
с координатами xt + dx{. В результате деформации точка Р пе-
перейдет в положение Р' с координатами х{ -\- щ = |,-, а точка Q
переместится в точку Q' с координатами хг + dXi + щ + dut.
Здесь и — вектор перемещения, т. е. вектор с началом в точке Р
и концом в точке Р'.
Квадрат расстояния между точками Р и Q равен
| p~Q p = dsl = dx] + dx\ + dx] = dxt dxr A)
Квадрат расстояния между этими точками после деформации
выражается формулой
| p^Q' p = ds2 = d? + dU + dtl = db d%f B)
Примем описание деформации тела по Лагранжу, вводя в каче-
качестве независимых переменных координаты х^ материальной точки
16 Гл. 1. Деформированное состояние
до деформации. Так как
h = h (xi, x2, x3, t), t = const,
то ')
Отсюда, согласно формуле B), имеем
Образуя разность квадратов расстояний, находим, что
Величины
L Ж _ б/4) dx, dxk = 2ejk dXj dxk. E)
описывают деформацию тела в первоначальных координатах.
Здесь 6jh — символ Кронекера, определенный следующим обра-
образом:
для } = k,
Ь->к 10 для }фк.
Используя соотношение
и подставляя в E)
дх дх} ' '/'
выразим величины е^ через производные вектора перемещения:
2 \dxk дх. dxt д.
Формула E) описывает изменение длины линейного эле-
элемента ds0 после деформации. Величины^ характеризуют это из-
изменение; назовем их составляющими деформированного состоя-
состояния. Величины ejh образуют тензор второго ранга, что вытекает
') Здесь мы используем соглашение о суммировании. Формула C) озна-
означает, что
1.3. Тензор деформаций
17
из их определения E) и закона преобразования при переходе
к другой системе координат.
Исследуем, как преобразуются e)h при переходе к другой си-
системе координат. Обозначим через е?р составляющие деформи-
деформированного состояния в прямоугольной системе х\. Предположим,
что система х[ повернута относительно системы хи но обе си-
системы координат имеют одно и то же начало. Оси системы коор-
координат х\ составляют с осями системы х{ углы, направляющие
косинусы которых представлены в следующей таблице:
г'
Х2
хз
Х\
«11
«21
«Л
*2
«12
«22
«32
*3
«.3
«23
«33
Между координатами xi и х\ точки Р имеют место следующие
зависимости:
дх\ дхi
(8)
Направляющие косинусы удовлетворяют условиям ортогональ-
ортогональности
6/ft. (9)
Для определения соотношений, связывающих составляющие е/ь
и ^ар. используем факт независимости величины ds2 — ds\ от вы-
выбора системы координат:
s>- - dsl = 2e/k dxi dxk = 2e;p dx'a
A0)
Так как по формулам (8)
то, подставляя написанные выше выражения в A0), получим
следующие формулы преобразования:
<p = aa/«p*V A1)
Справедливы также и обратные соотношения
18 Гл. I. Деформированное состояние
Величины еа$, зависящие от декартовых координат xit преобра-
преобразуются при переходе к другой декартовой системе координат по
правилу преобразования тензоров второго ранга. Поэтому вели-
величины ejk образуют тензор деформаций, причем этот тензор сим-
симметричен:
ejk = ekj, A3)
что вытекает из его определения формулой F).
Тензор ejh, заданный формулой F), был введен Грином и
Сен-Венаном. Назовем его тензором деформаций Грина. Выпол-
Выполняя свертывание тензора еа$, имеем из формулы A2)
ваа = 6kk,
откуда видно, что сумма диагональных элементов тензора дефор-
деформаций является инвариантом.
1.4. Изменение длины и направления линейного элемента
Составляющим ejk тензора деформаций можно приписать не-
некоторый механический смысл. Введем понятие относительного
удлинения (или сокращения) линейного элемента ds0 = PQ:
|РчГ'|-1^>1 ds-dsp
\PQ\ aSa
Если Kpq — величина положительная, то мы имеем дело с отно-
относительным удлинением, если отрицательная—то с относитель-
относительным сокращением линейного элемента.
Обозначим через vt направляющие косинусы линейного эле-
элемента:
dx.
Подставляя полученные выше величины в выражение
ds2 — dsl = 2elkdx!dxht
приходим к уравнению
C)
Предположим, что линейный элемент ds0 лежал до деформации
на прямой, параллельной оси Х\. Тогда ds0 = dxi, Vj = 6ij. Из
формулы C) получим
-L D)
1.4. Изменение длины и направления линейного элемента 19
Из формулы D) видно, что относительное удлинение линейного
элемента ds0 = d\\ зависит от составляющей ем тензора дефор-
деформаций. Располагая линейный элемент ds0 сначала на прямой, па-
параллельной оси х2, а затем на прямой, параллельной оси х3, по-
получим
Вектор ds0, переходя в результате деформации в новое поло-
положение ds, изменяет свои направляющие косинусы. Обозначим на-
направляющие косинусы вектора ds через v*(i= 1, 2, 3). Принимая
во внимание, что
dx,
получим
ди{ V dsQ / dut
+ 8j{
Учитывая определение A), окончательно получим
-Если элемент rfs0 находился до деформации на прямой, парал-
параллельной оси Х\, то Vj = 8ij. Согласно формуле E), единичный
вектор, касательный к элементу ds, полученному из элемента ds,,,
может быть записан в виде
, ди, ди2 диъ
Та...
1+Яп \ ^ дх, ' дх, ' дх
Если в точке Р известны производные перемещения ди{/дх, и ве-
величины v\, то система уравнений E) может быть разрешена от-
относительно величин v,. Однако при этом должно выполняться
условие однозначной разрешимости, хоторое требует, чтобы оп-
определитель системы
ди,
был отличен от нуля. При описании изменения объема в резуль-
ди
тате деформации тела мы покажем, что определитель ¦—--{-6
в самом деле отличен от нуля.
Рассмотрим линейный элемент />Q=ofs^ в недеформирован-
ном состоянии. Его положение определяется координатами
vlvl1 I. du,\l du.
20 Гл. I. Деформированное состояние
точек Р и Q. Направляющие косинусы этого элемента обозначим
через v{. Другой элемент rfs'1 = PR, выходящий из точки Р, оп-
определяется направляющими косинусами v}1. Угол между линей-
линейными элементами dslQ и dsj1 обозначим через фA П). Косинус
этого угла выражается по известной формуле
one /тч V^V^
cos фA U) yt\t .
Вследствие деформации тела изменяется как длина, так и напра-
направление линейных элементов. Обозначая через v*{1, v*11 направ-
направляющие косинусы линейных элементов, а через ф^ П) угол ме-
между ними после деформации, имеем
«Яф'ь n,ev<Iv<"-
Преобразуем правую часть этого соотношения, используя фор-
формулу E):
откуда
A + ApQ)A + ЯРЛ) cos ф*,, ,„ = cos ФA „, + 2elkv)v\l. F)
Предположим, что элемент dsj лежит на прямой, параллельной
оси х\, а элемент rfs'1 на прямой, параллельной оси х2. Тогда
v)=fii/> Ч1 = V- cos Фа. 2)=б.Aft = о,
и из формулы F) получим
C0S(p:u2)=(i+^+^ = T/A+2ei2;;;1+2e22).
Косинус угла ф(* 2) пропорционален компоненте ех2 тензора де-
деформаций. Если относительные удлинения Аи, А22 малы по срав-
сравнению с единицей, то изменение угла характеризуется исключи-
исключительно компонентой в\2.
Итак, шесть составляющих тензора деформаций еЛ вполне
характеризуют деформацию тела. Зная составляющие е$к в каж-
каждой точке тела, можно определить в нем все измененные эле-
элементы: XpQ, v*, ф*ь ш.
Приравнивание нулю всех составляющих тензора eih в каж-
каждой точке тела означает, что
ApQ=U, v,=U, ФA, П) и'
это легко устанавливается из формул C) — F).
1.4. Изменение длины и направления линейного элемента 21
Выполнение условий
еП == е22 = еЗЗ — е32 = е2\ = е\Ъ = О
свидетельствует об отсутствии деформации. В таком случае тело
может только перемещаться как недеформированное твердое
целое.
Из теоретической механики известно, что линейные соотно-
соотношения
u = uo + rX<*>, r = (xvx2x3), G)
описывают движение тела как твердого целого, если величины
и°{ и coj постоянны. В этих соотношениях ц° являются составляю-
составляющими вектора перемещения, а со< — составляющими вектора вра-
вращения. Через г X *> обозначено векторное произведение вели-
величин г и ю. Вычисляя
_?fl*_ | dui dui\
dXj T dx, dxj
к. ' дх
ti j
для вектора и, заданного формулой G), убеждаемся, что е/ь= 0.
Рассмотрим две близкие материальные точки, которые до де-
деформации находились одна от другой на расстоянии dsa, а после
деформации на расстоянии ds. Связь между соответствующими
им векторами выражается формулой
Так как «,- = ?f—х(, то
или
[1 / ди, ди, ди, ди,
i 4dut dui dui dui\]Av
"•" 2 \dXj дх{ дх( дХ>)\аХ1-
Эту формулу можно записать короче:
xl, (8)
где
1 / dut ди/ ди1
Величины Yti образуют тензор вращения Лагранжа. Это назва-
название связано с тем, что при отсутствии деформации (е,-3- = 0) тело
может двигаться, совершая вращения. Величины y»j описывают
22 Гл. 1. Деформированное состояние
только вращение тела, в то время как влияние смещения (транс-
(трансляции) тела как твердого целого было снято дифференцирова-
дифференцированием перемещений.
В случае когда ец = О, величину yi} можно трактовать как
оператор, который следует применить к элементу dxj, чтобы по-
повернуть его вокруг первоначального положения.
1.5. Деформированное состояние в координатах Эйлера
Рассмотрим две бесконечно близкие материальные точки Р
и Q недеформированного тела, которые после деформации пере-
переместятся в точки Р' и Q'. Квадраты расстояний между точками Р
и Q, а также Р' и Q' даются формулами
\PQ? = dsl = dxtdxt, \P7Q'f = ds'>- = dlldll. A)
В качестве независимых переменных возьмем координаты |,-
точки Р', применяя описание деформации по Эйлеру. Так как
*? = Х1 A\, ?2> 5з. t), t = Const,
ТО
dXi=^dl,.. B)
Отсюда
Разность квадратов расстояний равна
ds? - ds\ = (б1к -щ^) dl, dlk = 2^., dl, dlk. C)
Величины
1 / дх дх.
1*
описывают деформацию тела в эйлеровых координатах |{. Здесь
r\jh является симметричным тензором второго ранга. Тензор r\ik
можно выразить через перемещения:
Щ (h, h> h, t) = h — X{ (Ei. g2. ёз. О-
Введенный здесь вектор перемещения Uj(|) соответствует век-
вектору иг-(х), заданному формулой E) § 1.2. Составляющие этих
векторов связаны зависимостью «;A)= щ(х). Так как
dxt dxt I du.t \ I ди{
то
\ I ди,- диь ди, ди,
1.5. Деформированное состояние в координатах Эйлера 23
Тензор x\jh был введен Коши для малых деформаций и Альманси
для конечных деформаций. Подставим в формулу C) величины
ds - ds0 « i!i /6v
KPQ ds0 ' V' ds • w
Здесь Xpq является относительным удлинением линейного эле-
элемента, a v* — направляющими косинусами элемента ds, Из фор-
формул C) и F) имеем
ds 2ds \ , >
) G)
Для элемента, который после деформации параллелен оси Х\,
имеем
ds 2ds \
~^7 ds + ds0 )¦
Для малых деформаций выражение в скобках близко к единице.
Тогда г)ц можно интерпретировать как удлинение линейного эле-
элемента, который после деформации параллелен оси х{.
Подобные рассуждения приводят к интерпретации величин г\22
и Цгг- Можно установить механический смысл величин т]3й Цфк)
аналогично тому, как было сделано в § 1.4. Достаточно рассмо-
рассмотреть, косинус угла фA, п) между двумя линейными элементами,
которые после деформации образуют прямой угол.
Рассмотрим окрестность двух материальных точек, первона-
первоначально разделенных расстоянием ds0, а после деформации от-
отстоящих друг от друга на расстоянии ds. Подставим в выраже-
выражение
dx^^dlj (8)
соотношение
Hi = It — Xt.
Тогда выражение (8) приводится к виду
/ ди, ди, ди, д
(+
1 /(Эй; diij dU[
ИЛИ
i ji$,!. A0)
Здесь
ди( ди^ ди[ dut \
24 Гл. 1. Деформированное состояния
является тензором вращения в описании Эйлера, ибо при т)ц = О
(i, / = 1,2, 3) мы имеем dsQ = ds и тело может двигаться как
твердое целое. Из сравнения тензора деформаций Альманси г)^
и тензора Грина е#, где
dxk
вытекает, что разница между этими тензорами исчезнет,.если де-
деформации будут достаточно малыми. В этом случае можно в вы-
выражениях для r\jk и ejh пренебречь нелинейными членами по
сравнению с линейными и затем считать, что
ди, ди.
Производные вектора перемещения по переменным хг и ?4 отли-
отличаются только на величины высшего порядка малости.
1.6. Главные оси тензора деформаций
Каждый симметричный тензор может быть приведен в каж-
каждой точке тела к главным осям. В каждой точке тела можно вы-
выбрать такие оси, в которых отличными от нуля останутся только
диагональные компоненты тензора е^- Обозначая через ей е2, е3
главные значения тензора деформаций, получим из формулы
ds*-dsl = 2elkdXjdxk A)
следующее выражение:
ds2 = A + 2е,) dx] + A + 2е2) dx\ + A + 2е3) dx\. B)
Обозначая через X; (i = 1, 2, 3) относительное сокращение в
направлении оси х{, получим из формулы B)
Xt = y\ + 2et — 1. C)
Из выражения B) мы получили три независимые между собой
соотношения C). Это означает, что деформацию тела можно
рассматривать как совокупность трех независимых относитель-
относительных удлинений в трех взаимно перпендикулярных направлениях.
Длина dXi элемента, лежащего до деформации на главной оси хи
переходит после деформации в величину dxi = Yl + 2е* dxh
а относительное удлинение в направлении оси xt принимает зна-
значение %i по формуле C).
Главные значения е{ тензора е$к, а также направляющие ко-
косинусы главных осей определяются из следующих соображений,
1.6. Главные оси Тензора деформаций
Выберем систему координат х{, не совпадающую с главными
осями. В этой системе координат рассмотрим выражение C)
§ 1.4:
*j»q(i + у *-«?) = «y*V/V*. D)
Здесь Kpq — относительное удлинение линейного элемента dso =
= PQ, a Vj — направляющие косинусы этого элемента. Добавим
к уравнению D) соотношение
VjV(=l. E)
Будем искать экстремальные значения функции
F)
где е является множителем Лагранжа. Из условий существова-
существования экстремума
-^- = 0, /=1,2,3, G)
получим систему уравнений
(«*/ — fy«) V/ = 0.
(8)
Поскольку величины v* не могут, согласно выражению E), одно-
одновременно равняться нулю, определитель системы должен быть
равен нулю:
\et,-6tle\ = 0. (9)
Решение этого векового уравнения сводится к решению алге-
алгебраического уравнения
12е — /3 = 0,
(Ю)
где
«21 «22
+
«32 «33
+
«31 «33
/3 =
«и ei2 е1
e2l e2i е2з • (И)
«31 «32 «33
Обозначим через еи е2, е3 три корня уравнения (8) и упорядочим
их таким способом, чтобы ех > е2 > е3. В тензорной алгебре до-
доказывается, что для симметричного тензора второго ранга корни
векового уравнения A0) являются действительными. Эти корни
не зависят от изменения системы координат xt. Коэффициен-
Коэффициенты 1г являются инвариантами, поскольку они как коэффициен-
коэффициенты уравнения A0) являются элементарными симметрическими
функциями корней е,- (главных значений тензора деформаций)
и однозначно выражаются через эти корни
26 Гл. 1, Деформированное состояние
Подставляя еи е2, е3 поочередно в уравнения (8), получим,
пользуясь соотношением E), три набора направляющих косину-
косинусов у(Д \'.2>г v(.3)_ Эти направляющие косинусы определяют три
оси, называемые главными осями.
Покажем, что направляющие косинусы vf\ соответствую-
соответствующие разным корням ей, относятся ко взаимно перпендикулярным
прямым. Если v';11 связан с корнем е\, а \\2) — с корнем е2, то из
уравнения (8) имеем
Умножим первое соотношение на \f], а второе на v(t'>:
Левые части этих уравнений идентичны ввиду симметрии тен-
тензора e,j. Вычитая одно уравнение из другого, имеем
/ ч A) B) ,-.
{в\— е2) v/ v, ' = 0.
Поскольку в\ Ф е2, то v'/'v'/'^O, откуда и следует ортогональ-
ортогональность главных осей.
Вернемся к алгебраическому уравнению A0), которое можно
представить в эквивалентном виде
(e-el)(e-e2)(e-e3) = 0, A2)
или
е3 — (ei + е2 + *з) е2 + (e^2 + е2е3 + егех)е + е{е2е3 = 0. A2а)
Итак, имеем второй набор инвариантов
Л = е, + е2 + е3 = еп,
/2 = е,е2 + е2е3 + егех =-^- €iyft€imneymeto, A3)
Здесь eijh — тензор Леви-Чивиты, т. е. антисимметричный тензор
со следующими свойствами. Если два индекса равны, то e^h = 0.
Если Ijk является четной перестановкой чисел 1, 2, 3, то вщ, = 1.
Если ijk является нечетной перестановкой чисел 1, 2, 3, то е,-# =
= —1. Например,
€112 == €331 = €222 =г 0.
€123 = €-231 "== ?312 == 1' €213 — €132 == €321 = — ' •
Правые части соотношений A3), выраженные через составляю-
составляющие тензора eik, соответствуют соотношениям A1).
1.7. Изменение объема тела
27
1.7. Изменение объема тела
Рассмотрим бесконечно малый параллелепипед с ребрами,
параллельными осям хг прямоугольной системы координат.
Проекции его ребер на оси координат xt выражаются формулами
на ось *i:
на ось х2:
на ось х3:
, . дщ \ ,
дх{
ди
дх
Ldx3,
ди2
('+?¦)<*¦¦&**• <¦>
дх9
Применяя известную из аналитической геометрии формулу, по
которой объем параллелепипеда выражается через его ребра,
получим
AK* = DAF, AF = dxi dx2 dx3, B)
где
D =
*l
А°ФО
C)
и
Рассмотрим квадрат определителя D:
D2 = (l + A°J =
D)
После простых преобразований величину D2 удается выразить
через компоненты тензора деформаций е^:
Вычисляя последний определитель, получим
D2 = 1 + 2/, + 4/2 + 8/3>
где Ii — инварианты, определяемые формулами A1) из § 1.6.
Выражая инварианты /* через главные значения тензора дефор-
деформаций, получим
& = 1 + 2 (в, + е2
Далее,
+ 4 {е{е2 + е2е3 + е3ех) + Ъехе2е3
Л» = /A + 2ех) A + 2е2) A + 2е3) - 1.
F)
28 Гл. 1. Деформированное состояние
Обозначая через Кг (i = 1,2,3) относительные удлинения вдоль
главных осей, где
получим из формулы F)
А° = A+Я1)A+Я2)A+Я3)-1. G)
Окончательно изменение объема параллелепипеда характери-
характеризуется формулой
^1 Я3). (8)
Относительное изменение объема получим из формулы
il V ~~ 1W г\ 1 1П / 1 I Л \ / 1 I Л \ /
Эту величину назовем дилатацией. Если относительные удлине-
удлинения малы по сравнению с единицей, то дилатация является сум-
суммой главных удлинений:
-—ду =* А, + А2 + Аз. (9)
1.8. Бесконечно малая деформация
Упругие тела, все размеры которых соизмеримы между со-
собой, работают, как правило, в области малых деформаций.
Исключением является мягкая резина, а также некоторые поли-
полимеры. Поэтому классическая теория упругости основывается на
предположении, что деформации настолько малы, что их можно
трактовать как бесконечно малые. Это предположение считают
справедливым и при проектировании конструкций, в которых
один из размеров значительно меньше остальных. В инженерных
конструкциях и машинах делают ограничения не только на де-
деформации, но и на прогибы, считая их очень малыми.
В настоящей монографии мы ограничимся изучением малых
деформаций. Будем заниматься линейной теорией упругости.
Будем предполагать, что составляющие вектора перемещения
малы по сравнению с каждым размером деформируемого тела,
а первые производные перемещений по координатам малы по
сравнению с единицей. Произведениями и квадратами первых
производных перемещений будем пренебрегать по сравнению
с первыми производными.
Используя высказанные выше предположения, характерные
для линейной теории упругости, опустим в выражении
ди, . дик . ди.
elk 2 \ дхь "Т" dXj ^~ дх, дх_
1.8. Бесконечно малая деформация
29
нелинейный член. Принимая для тензора малых деформаций обо-
обозначение 8jfc, ПОЛУЧИМ
B)
откуда
«и =
, ди2
ди\
Впо —
ди2
ди3
Ь22
W ди2
1 2\дх3
дх2
ди2 ,
ди3
дх2 ' дх{ ) • "п — 2 \ дх3
В § 1.4 мы рассматривали выражение
, 1
ди3
дщ
3 ,дщ_\
дх{ ~*~ дх3 )
C)
описывающее относительное удлинение %pq = (ds — dso)/dso ли-
линейного элемента dso. Относительное удлинение элемента dso,
который перед деформацией лежал на прямой, параллельной
оси «1, мы подсчитывали по фор-
формуле
-1.
D)
В случае 'малых деформаций за-
заменим ец на ец. А так как 8ц
является малой величиной по
сравнению с единицей, то первый
член в правой части уравнения
D) можно разложить в ряд Тей-
Тейлора. Сохраняя только линейные
члены,получим
РИС. 1.2.
Аналогично Я22 « е22, Я3з « е3з. Диагональные компоненты тен-
тензора деформаций ец совпадают с относительными удлинениями
линейного элемента.
Рассмотрим теперь соотношение F) § 1.4:
A + W A + Ьря) cos ф*^ П) = cos фA> U) + 2e/ftv'vy. E)
Для малых деформаций можно пренебречь членами APQ и JiPB
по сравнению с единицей. Заменяя, далее, ejh на 8jA в уравне-
уравнении E), получим
Допустим, что направление I совпадает с осью Х\, направление
II — с осью х2. Тогда фA,2) = я/2, а ф*, 2) является углом между
элементами P'Q' и P'R' (рис. 1.2) после деформации. Из
30 Гл. 1. Деформированное состояние
формулы F) имеем
cos ф*1, 2) = sin D|г — ф*1.2)) = 2е12. G)
Так как -^—ф(у ^— малый угол, то его синус можно заменить
углом в радианах, а именно
~2 ф(*1, 2) = РA, 2) = 2ei2.
Величину 8i2 можно трактовать как половину угла скашивания
РA. 2) — -g фA, 2)-
В § 1.6 были указаны главные значения тензора деформаций
и инварианты деформированного состояния. Во всех встречав-
встречавшихся там уравнениях в случае малых деформаций следует за-
заменить ?jj На 8jj.
В § 1.7 мы обсуждали изменение объема тела при деформи-
деформировании. Для малых деформаций дилатация тела принимает вид
ду = 811 + 822 + 833> (8)
или
t,V* — AF duk
=—— = divu. (9)
Дилатация равна дивергенции вектора перемещения.
1.9. Разложение вектора перемещения
Покажем, что общее перемещение деформируемого тела
удается в достаточно малой окрестности каждой его точки вы-
выразить через смещение и поворот тела как твердого целого и
через удлинение (либо сокращение) в трех взаимно перпендику-
перпендикулярных направлениях.
Доказательство этой теоремы, данное Гельмгольцем'), мы
приводим ниже.
Представим себе достаточно малую окрестность (объема AV)
начала координат О и лежащую в этой окрестности точку Р
с координатами х(. В результате деформации тела точка Р пере-
переходит в точку Р' с координатами §<, а начало координат О в точ-
точку О' с координатами Щ (рис. 1.3).
Разложим функцию ?< = ?г(*ь*2>#з) в ряд Тейлора в рас-
рассматриваемой области, содержащей точку Р':
') Helmholtz H., Uber Integrate der hydrodynamischen Gleichungen, welche
den Wirbelbewegungen entsprechen, Crelles /., 55, № 25 A858).
1.9. Разложение вектора перемещения
31
Ограничиваясь малой окрестностью начала координат О, допу-
допустим, что Xj являются бесконечно малыми при конечных значе-
значениях величин lnh (dli/dX[H В выражении A) можно исклю-
исключить члены высших порядков малости, так что останется
B)
В бесконечно малой трехмерной окрестности точки Р' ее ко-
координаты ?, являются линейными функциями переменных Xi. Со-
Соответствие между множествами (!-,¦) и (я*), определяемое фор-
РИС. 1.3.
мулой B), называется аффинным преобразованием, В случае
малых деформаций, которые мы рассматриваем, величины |? и
(dZ,i/dxiH являются также очень малыми. Заметим, что вели-
величины Щ выражают для всех точек рассматриваемой области
(объема AV) одинаковое параллельное смещение — трансляцию.
В дальнейшем мы будем рассматривать выражение
C)
которое получим из формулы B), принимая во внимание соот-
соотношение
«i = ii-*«. D)
Уравнению C) можно еще придать вид
E)
32 Гл. 1. Деформированное состояние
Из рисунка 1.3 видно, что вектор перемещения и можно соста-
составить из трех частей: из перемещения и0, перемещения и, связан-
связанного с поворотом, и перемещения и, связанного с чистой дефор-
деформацией. Имеем, далее,
ди,
Характерной чертой перемещения и, связанного с поворотом
тела как твердого целого, является неизменность длины вектора
ОР = А при деформировании тела. Квадрат длины вектора А
выражается формулой
А2 = \А? = А,А„
Подставляя в эту формулу квадрат длины вектора А' = А + SA,
пренебрегая квадратичными членами в 6А по сравнению с ли-
линейными, получим
А6А = AtbAt. G)
Выразим соотношение C) через составляющие вектора А. Так
как
At = xt, A'i = At+ 6At = Ь — ft,
TO
A, + 6At = At + aitAj, atl = (^ . (8)
Отсюда вытекает, что
Уравнение G) принимает вид
А6А = ацА^,. (9)
Распишем правую часть этого уравнения:
А6А = Л?сц + А\ат1 + Л?сзз + А,А2 (а|2 + c2i) +
+ АЛ (а23 + а32) + АА («13 + «si). (Ю)
Поскольку при повороте тела как твердого целого приращение
6А вектора А = ОЯ должно равняться нулю, то для Аг Ф 0 по-
получим из формулы A0) следующие зависимости:
ац = -ац. A1)
1.9. Разложение вектора перемещения 33
Таким образом,
Здесь мы ввели кососимметричный тензор вращения
Из сравнения с F) видно, что остается
ди, ди,
2
Покажем, что вектор и связан с чистой деформацией тела.
Для анализа этого типа деформации воспользуемся тензорной
поверхностью
U • Г = / (Х{) = Bt/XiXj = 8, iX2i + 822^I + 833*3 +
-f 2el2x{x2 + 2е23*2*з + ^х^, A4)
называемой поверхностью чистой деформации. Отнесем эту по-
поверхность к ее главным осям х\. Тогда
A5)
где ei, eg, ез являются главными деформациями, т. е. главными
2
удлинениями в направлении осей х'ь Векторную функцию щ
можно представить как
а в главных осях
2, 1 dt(x't)
Ut=~9~~dx—~8'*< (не суммировать по /).
2 2
Составляющие и\ являются проекциями вектора и на направ-
направления главных осей. Таким образом доказано, что последняя
часть перемещения состоит из трех удлинений (либо сокраще-
сокращений) в направлении взаимно перпендикулярных главных осей
поверхности деформации.
Суммируя, получаем
о 1 2 q
п . 1 / ди, ди, \ \ / ди, ди
где «° — трансляция, щ — поворот элемента как твердого це*
2
лого. Величины u-v определяют перемещение, связанное с чистой
Деформацией.
2 В. Новацкнй
34 Гл. 1. Деформированное состояние
Соотношение A7) можно представить в векторном виде
u = u» + aXr + u, re.(*i, ж* *з), A8)
где <а — вектор с компонентами
©! SS — ©23 = ©32 = -? (^"з — d3U2),
©2se — ©31=={О13 = -%{д3щ — д{иъ), A9)
©3 = — ©12 = <021 = ^ (^l —
1.10. Однородная деформация
параграфе со
A)
(здесь d{^
Вернемся к рассмотренному в предыдущем параграфе соот
ношению
Если величины |?, {dut/dXj)o не зависят от выбора начала сч-
стемы координат Xi при неизменных направлениях этих осей, то
соотношения A) справедливы для всего пространства. В таком
случае мы имеем дело с линейным перемещением и однородной
деформацией. Если определитель системы A) отличен от нуля,
то эти уравнения можно разрешить относительно координат пер-
первоначального состояния:
xt = a4 + btiti, /,/=1,2,3. B)
Из уравнений A) и B) можно вывести несколько интересных
следствий, касающихся однородной деформации.
1. Точки, лежащие до деформации на плоскости
A0 + A,xi = Q, /=1,2,3, C)
после деформации также лежат на некоторой плоскости. Это вы-
вытекает из подстановки формулы B) в C), что приводит к урав-
уравнению плоскости
Btl, + B0 = 0, / = 1,2,3. D)
2. Прямые, как пересечение двух плоскостей, переходят при
деформации также в прямые.
3. Параллельные плоскости переходят в параллельные пло-
плоскости, ибо каждая не бесконечно удаленная точка переходит
в не бесконечно удаленную точку, а деформация является взаим-
взаимно однозначным преобразованием. Параллельные прямые пере-
переходят в параллельные прямые, параллелограммы в параллело-
параллелограммы.
1.10. Однородная деформация 35
4. Если точки перед деформацией лежат на поверхности вто-
второго порядка
Аоо + At,xtx, = 0, E)
то после деформации они также будут находиться на поверхно-
поверхности второго порядка. Это вытекает из подстановки формулы B)
в E), что приводит к уравнению
Эллипсоид преобразуется в эллипсоид и не может преобразо-
преобразоваться в одно- либо двуполостный гиперболоид. Это вытекает из
того, что перемещения и деформации должны быть конечными,
ибо бесконечные перемещения и деформации не имеют физиче-
физического смысла.
Рассмотрим сложение линейных перемещений и деформаций
(не обязательно однородных) Представим связь между коорди-
координатами Х{ и |i в виде
/ a,, \
G)
Здесь в целях исключения трансляции система координат сме-
смещена на величину %у из соотношения A).
Сообщим сплошной среде перемещение, определяемое значе-
значениями a't. Для перемещения I получим тогда соотношение
l't = F// + ^и) Xj. (8)
Совершим теперь перемещение II, характеризуемое зависи-
зависимостями
ег=(*!/ + </)?;. (9)
Подставляя формулу (8) в (9), получим
Совершая составную деформацию в обратном порядке, получим
17 = F<* + «Г* + a'tk + «W Ч. (И)
Перемещения I и II можно реализовать одним перемещением
Из сравнения выражений A0) и A2) имеем
36 Гл. 1. Деформированное состояние
Для малых деформаций можно исключить члены а'{,а'/л и a",a'jkt
так что
««-«»+«». A4)
Только в этом случае очередность составляющих деформаций
не влияет на результирующую. Вообще же можно сказать, что
очень малые линейные перемещения и вызванные ими деформа-
деформации перестановочны. Из этого свойства вытекает, что перемеще-
перемещение можно разложить на поворот и чистую деформацию.
Закон суперпозиции, определенный формулой A4), справед-
справедлив в рамках теории бесконечно малых деформаций для произ-
произвольных, не обязательно однородных, деформаций.
1.11. Уравнения совместности
Тензор деформаций ejj определяет деформированное состоя-
состояние в каждой точке Хх тела. До сих пор мы требовали (§ 1.2 и
1.7), чтобы составляющие щ удовлетворяли условию
ди,
ФО, A)
а перемещения щ были класса С1.
Возникает вопрос: могут ли функции &ц быть выбраны произ-
произвольно, если выполняются условия A)?
На этот вопрос следует ответить отрицательно, и вот почему.
Для вычисления составляющих вектора перемещения и мы поль-
пользуемся соотношениями
В нашем распоряжении имеется шесть уравнений B), из кото-
которых нужно найти три составляющие вектора и. Совершенно оче-
очевидно, что из уравнений B) мы не получим однозначного опре-
определения щ для произвольно выбранных функций 8jj. Следует
ожидать, что функции гц обязаны удовлетворять дополнитель-
дополнительным условиям.
В общем случае деформации изменяются по координатам и
времени. Поэтому различные элементы тела деформируются
по-разному. Если бы эти деформации происходили независимо,
то продеформированные элементы объема не могли бы приле-
прилегать друг к другу и образовывать после деформации сплошную
среду.
Дополнительные ограничения, так называемые условия
сплошности или совместности, наложенные на деформации, были
сформулированы Сен-Венаном.
/.//. Уравнения совместности 37
Рассмотрим односвязную область В, в которой деформации
являются непрерывными функциями вместе со своими первыми
и вторыми производными. Поэтому перемещения должны быть
непрерывными функциями класса С3. Обозначим через «°(*°),
i, /=1,2, 3, перемещения, а через (^(лг?)— вращения в точке
Р°(л:^) области В. Предположим, что и* и <о^ известны. Опре-
Определим перемещения «/(#*) в точке Р' (Х{), также принадлежа-
принадлежащей области В. Для однозначного определения перемещений
применим способ, предложенный Чезаро ').
Выразим перемещение ы, [х\) с помощью следующего инто«
грала:
в/(*0 = «?(*?) +]*», =«?№ + J -кг**»• C)
р« ро *
Разобьем выражение щ, k на две части
1
ди. 1 1
-gT = J(«Л * + "ft. /) +
Тогда
f p'
uj(x'{) = u°t(ty+ J elkdxk+ $ a>tkdxk. D)
po po
Интегрирование по частям последнего интеграла дает
р'
"/ («о="°/ и)+(«; - л)«% + J к,+(«i - *о «л j **«¦ E>
Принимая во внимание легко проверяемое тождество
получим из формулы E)
Р'
«/ (*0 - "? W) + К - Л) «?* + f ^/г ^г. (б)
ро
где
Ulr = *1Г + К - **) (8г/. ft - Чг. 1) - 8/г
G)
') CesSro E., Sulle formole del Volterra fondamentali nella teoria delle
dlstorsioni elastiche, Rediconto dell' Accademia delta Sclenza Fisiche e Mate-
ЫйсНе (Society Reals di Napoli), 1906, pp. 3D
38 Гл. 1. Деформированное состояние
Перемещение ut (x'i) будет однозначным, если интеграл в урав-
уравнении F) не будет зависеть от пути интегрирования. Интегриро-
Интегрирование можно вести по разным путям. Выберем в качестве пути
интегрирования замкнутую кривую с, идущую от точки Р° к
точке Р' и возвращающуюся иа Р' в Р°. Если тело занимает одно-
связную область, то кривую с можно трактовать как границу
поверхности 2, расположенной внутри тела. К интегралу в урав-
уравнении F) можно применить теорему Стокса
J U,r dxr = J ePnrU,r. nnP di, (8)
с 2
где пр — составляющая нормали к поверхности 2. Так как кри-
криволинейный интеграл по контуру с, согласно постулированной
однозначности перемещений, равен нулю, то из формулы (8) вы-
вытекает, что в рассматриваемом объеме должны выполняться
условия
ipnrUlr.n = O. (9)
Выполняя записанную уравнением (9) операцию, имеем
€pnr[Zjr, п — tjnltlsn&rs, m + ejklelsm (x'k — Xk) &rs, mn] = 0. (9a)
Принимая во внимание тождество
einlelsm — S/iSnm — &fn&ns>
выражение (9а) можно записать в виде
6pnr [г/r, п — (Zrl. n — 8rn> /)] + *\kl (Xk — Xk) tptirtlsmSrs, mn = 0. A0)
Первый член тождественно равен нулю. Достаточным условием
равенства нулю второго члена для каждого (#? — х^ является
rs, mn^=v. A1)
В этом уравнении имеются только два свободных индекса: р и /.
Ввиду симметричности тензора деформаций в системе A1)
имеется только шесть независимых уравнений. Эти уравнения
называются условиями совместности.
Расписывая уравнения A1), получим следующие зависи-
зависимости:
A2)
д\&\\ = 2did3ei3)
0103822 = д2 (—
0102833 = 03 (—
/.//. Уравнения совместности 39
где
д ,2 5»
дх{ дх\
Легко проверить, подставляя ei; = -j («;,/ + «/, i) в A2), что эти
уравнения будут удовлетворяться тождественно. Подчеркнем
еще раз, что наше рассмотрение годится только для односвяз-
ного тела.
Случай многосвязного тела будет рассмотрен в гл. 8.
Глава 2
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
2.1. Внешние воздействия. Внутренние силы.
Напряженное состояние
В недеформированном теле распределение частиц соответ-
соответствует его состоянию теплового равновесия. Каждый мысленно
выделенный объем тела находится в состоянии механического
равновесия. Главный вектор и главный момент всех сил, дей-
действующих на выделенный объем, равны нулю.
Продеформируем теперь рассматриваемое тело, вводя внеш-
внешние воздействия. К этим воздействиям отнесем прежде всего
массовые силы, действующие на элемент объема тела, а также
поверхностные силы, действующие на ограничивающую тело по-
поверхность.
Обозначим через XdV массовую силу, которая действует на
элементарный объем dV. Здесь X — массовая сила, отнесенная
к единице объема; это вектор, точкой приложения которого яв-
является произвольная точка элемента dV. Вообще говоря, массо-
массовая сила зависит от координат и времени: X = X(%,tI). По-
Поверхностную силу, действующую на бесконечно малый элемент
riA0 поверхности Ао, ограничивающей тело (рис. 2.1), определим
как qdA0. Здесь q — вектор, являющийся функцией перемен-
переменных |i и времени t:
Заметим, что деформацию тела могут вызвать и другие при-
причины, такие, как неравномерное нагревание тела, процессы за-
затвердевания и т. п.
Каждый элемент тела в процессе деформации не только со-
совершает собственное движение как твердое целое, но и подвер-
подвергается изменению объема и формы. Распределение частиц ме-
') Все величины, связанные с деформацией тела, будем рассматривать
в координатах точки после деформации, т. е. в описании Эйлера.
2.1. Внешние воздействия. Внутренние силы
41
няется, и в теле возникают внутренние силы, противодействую-
противодействующие деформированию. Эти силы называются напряжениями. Они
представляют собой взаимодействия между частицами, силы
близкодействия. Радиус их действия очень мал, порядка меж-
межмолекулярного расстояния.
Теория упругости является макроскопической теорией. Рас-
Рассматриваемые в ней расстояния велики по сравнению с межмо-
межмолекулярными. Поэтому можно считать, что радиус действия меж-
межмолекулярных сил равен нулю. Следовательно, если мысленно
выделить в деформированном теле область V, ограниченную по-
поверхностью А (рис. 2.1), то действие внутренних сил на частицы,
находящиеся вне области V, прояв-
проявляется непосредственно через по-
поверхность А. Рассмотрим поверх-
поверхностный элемент dA, касающийся
поверхности А в точке ?еЛ. Обо-
Обозначим через п нормаль к поверхно-
поверхности А в этой точке. На рассматри-
рассматриваемый элемент действует сила dP,
равнодействующая внутренних сил,
распределенных по элементу dA. Ве-
Величина
^—? A)
л ал
РИС. 2.1.
называется напряжением в точке §.
Индекс п означает, что напряжение
относится к элементу dA с нор-
нормалью п. На поверхности А получим непрерывное поле напряже-
напряжений р(п), изменяющееся в зависимости от положения точки |е А.
Напряжения р(™> являются результатом действия части I упру-
упругого тела на часть II (рис. 2.1). Очевидно, что часть II воздей-
воздействует на часть I упругого тела такими же напряжениями р(п)
противоположного направления.
Вектор р(п) можно разложить на две составляющие: состав-
составляющую по направлению нормали и составляющую, лежащую
в плоскости элемента dA. Первую из них обозначим через о, вто-
вторую через т. Величину нормального напряжения а = \а\ опре*
деляет формула
a = pWnh B)
Величина касательного напряжения определяется формулой
T = (|p<rt)f-a2)v\ C)
Будем считать нормальное напряжение положительным, если его
направление совпадает с положительным направлением внешней
нормали элемента dA.
42
Гл. 2. Напряженное состояние
Напряженным состоянием в точке ? назовем систему напря-
напряжений, возникающих на всех элементах dk, содержащих точку %.
При этом если элемент поверхности меняется так, что лежащая
на нем точка ? не изменяется, то вектор р изменится, т. е. из-
изменится его длина, направление в пространстве, а также угол
между ним и вектором нормали п этого элемента.
Введем прямоугольную декартову систему координат \и\ъ,1з
и рассмотрим элемент dA\ = dlid%3, ортогональный к оси gi
(рис. 2.2). Обозначим через р<*> относящееся к этому элементу
напряжение, а через an, ai2, аи его составляющие. Напряже-
Напряжение an является нормальным напряжением, параллельньш
оси |ь напряжение ai2 — ка-
касательным напряжением,
действующим в плоскости
dA\ и направленным по оси
?2, напряжение о\3 — каса-
касательным напряжением, дей-
действующим в плоскости эле-
элемента dA\ и направленным
по оси \3. Условимся, что в
обозначениях первый индекс
относится к направлению
нормали к элементу dA\,
а второй — к направлению,
в котором действует напря-
напряжение. Таким образом,
р(') == (an, ai2, a]3) является
вектором с тремя состав-
составляющими. Вектор р<]> и его
три составляющие показаны на рис. 2.2. Рассмотрим теперь эле-
элемент dA2 = dlidl3, проходящий через точку § и направленный
ортогонально к оси ?2. На этот элемент действует вектор рB> с со-
составляющими a2i, a22, a23. Аналогично на элемент dA3 = dlidl2
действует напряжение р<3> с составляющими азь а32, а33.
Покажем, далее, что напряженное состояние в точке | харак*
теризуется девятью компонентами, образующими тензор напря-
напряжений:
0ц а12 а13
<% СТ22 <?23 • D)
СТ31 а32 ^33
Рассмотрим равнодействующую сил, действующих на мыслен-
мысленно выделенную область V (рис. 2.1). Обозначим эту силу через
/ FdV. (б)
V
Рис. 2.2.
2.1. Внешние воздействия. Внутренние силы 43
Здесь F обозначает силу, отнесенную к единице объема тела.
Выражение E) следует трактовать также как сумму сил, дей-
действующих на область V со стороны окружающей ее части тела,
что вытекает из принципа равенства действия и противодей-
противодействия. Из последних уравнений вытекает, что эти силы дей-
действуют на выделенную часть V по ограничивающей ее поверх-
поверхности А. Равнодействующую J FdV следует выразить через ин-
v
теграл по поверхности А. Однако | FtdV(i= 1, 2, 3) можно вы*
v
разить через поверхностный интеграл только в том случае, когда
вектор F{ является дивергенцией некоторой функции — тензора
второго ранга, т. е. когда
Равнодействующую внутренних сил запишем как
Воспользовавшись теоремой Гауоеа — Остроградского, приведем
формулу G) к виду
j Ft dV ш. J ^Л- dV - f at,n,dA = J o^dA,. (8)
V V A A
Здесь «j — компоненты единичного вектора нормали п к поверх-
поверхности А, т. е. направляющие косинусы этого вектора. Предполо-
Предположим, что вектор п направлен вовне области V, ограниченной по-
поверхностью А. Через dAj обозначены компоненты вектора эле-
элемента поверхности dk.
Заметим еще, что дифференцирование в формуле F) должно
производиться по координатам |j деформированного тела. То же
самое относится к интегрированию в формулах G) и (8).
Так как Ft являются компонентами вектора, то и подинтег-
ральные выражения в поверхностных интегралах являются ком-
компонентами вектора. Запишем это с помощью вектора р<"> сле-
следующим образом:
altntdA= \oltdAt^ j p<»>dA. (9)
A
Тензор он называется тензором напряжений. Величина ^j
является i-й компонентой силы, действующей на поверхностный
Гл. 2. Напряженное состояние
элемент dA. Из формулы (9) получаем, в силу произвольносги
выбранной области, основное соотношение.
» = <*!/F) Л/F),
(Ю)
Вектор р<™> по данному выше определению A) является векто-
вектором напряжения, действующим на элемент dA с нормалью п.
Если в какой-либо точке | тела известны компоненты напряжен-
напряженного состояния <jji, то из A0) можно вычислить вектор напря-
напряжения р("). Если в точке | мы будем по-разному направлять эле-
элемент dA, то при тех же ком-
компонентах оц получим раз-
различные значения р\п) и раз-
различные направления этого
вектора.
Выведем соотношение
A0) еще раз более нагляд-
наглядным способом, рассматри-
рассматривая деформацию тетраэдра,
показанного на рис. 2.3. Че-
Через п обозначим нормаль
элемента ABC с площадью
dA, через щ, п2, «з — на-
направляющие косинусы нор-
нормали п и, наконец, через
р(")— разыскиваемый вектор
напряжения на элементе
ABC. Векторы напряжений
РA)» РB)> РC), действующие на грани ОС В (с площадью dA{),
О АС (с площадью dA2), OAB (с площадью dA3), считаем из-
известными.
Спроектируем теперь все действующие на тетраэдр силы на
ось |ь Проекция массовой силы равна (Xi -\- e\)dV, где dV =
= -g- h dA — объем тетраэдра, h — расстояние элемента dA от
точки О. Здесь А^ — массовая сила, действующая в точке О,
a ei — бесконечно малая величина, появляющаяся ввиду непре-
непрерывности массовой силы1). К этой проекции массовых сил сле-
следует добавить проекцию силы, действующей на элемент dA. Она
имеет величину (р\ + r\\)dA, где через р\ обозначена проекция
вектора р<") на направление |i, а через t)i — бесконечно малая
величина. В отрицательном направлении оси \\ действуют силы
{ + t\\\)dAx, (ct2i + 1121)^2, (стз1 + r\zi)dAz, где стп, ст2ь <t3i —
РИС. 2.3.
') Если бы тело находилось в движении, следовало бы добавить силы
Даламбера puj. Эти силы, умноженные на х1ф.йА, не даюг при h-*-0, так же
как и массовые силы, дополнительных членов в уравнении (а).
2.1, Внешние воздействия. Внутренние силы 45
напряжения в точке О, а т)ц, т)гь tKi — бесконечно малые вели-
величины, характеризующие возрастание напряжений и возникающие
ввиду непрерывности этих напряжений. Сумма проекций сил,
действующих на элемент в направлении оси gi, дает
(Х1 + е,) TdA + (р, + т),) dA — (<т„ + т)и) </Л, —
Ai = 0.
Выполняя предельный переход А-+0 и используя зависимость
dAi = n{dA, получим из последнего уравнения окончательный
результат
Pi = aunl + a21«2 + a31ra3 = ayi«/. (а)
Проектируя действующие на тетраэдр силы на ось %2, а затем на
ось |з. получим два других аналогичных (а) выражения:
(б)
Формулы (а) и (б) можно записать одной формулой A0).
Вернемся к силам F и вычислим их моменты относительно ко-
координатных осей. Момент, действующий на элемент объема,
имеет вид eijt&jFhdV. Мысленно суммируя по выделенному
объему V, получим
$iIkl,FkdV, i,i,k= 1,2,3. A1)
Выражая компоненты Fh через напряжения согласно фор*
муле F), получим
Преобразуя этот интеграл в сумму поверхностного и объемного,
приходим к следующему результату:
Mi = J [etjk {1,ацд, i — eijk
v
=• J ^ijkljOikni dA — J
A V
= J
A~]el}kajkdV, pk = alknlt aifeti = -^-. A2)
v l
Момент Mi можно трактовать как сумму моментов, действую-
действующих на область V со стороны окружающей ее среды. Эти мо-
моменты действуют на V через поверхность А, Так же как и
в случае сил Fit результирующий момент М{ следует выразить
46 Гл. 2. Напряженное состояние
поверхностным интегралом. Это условие будет выполнено, если
объемный интеграл в формуле A2) будет равен нулю:
V = 0. A3)
Это уравнение должно выполняться для произвольной области V.
Отсюда условие
= 0 A4)
должно выполняться локально, т. е. в каждой точке тела. Умно-
Умножим уравнение A4) на e,-rs и воспользуемся тождеством
eirsel/k = &rfisk — 6/-A/-
В результате получим соотношения
вГ1 = Ъг> s,r= 1,2,3, A5)
на основании которых утверждается, что тензор напряжений яв-
является симметричным тензором. Возвращаясь к интегралу A2)
и принимая во внимание A3), убеждаемся, что
Mt = \\i&iFk dV=\ eilkpkl, dA. A6)
V A
Установим еще связь тензора напряжений с нагрузками q, задан-
заданными на границе тела Ао. Нагрузка, действующая на элемент
dA0, равна qdA0. В состоянии равновесия эта сила должна урав-
уравновешиваться силой с компонентами aaUjdAo, действующей на
тот же элемент изнутри области. Поэтому
ql(x) = aji(x)n}(x), х <= Ао. A7)
Если на поверхности тела заданы нагрузки q, то уравнения A7)
играют роль граничных условий задачи.
2.2. Преобразование компонент тензора напряжений
Пусть в одной прямоугольной системе координат х{ тензор
напряжений имеет компоненты (т,;-, а в другой системе ху — ком-
компоненты (tyP. Пусть система координат х{ повернута относительно
системы ху, но обе системы имеют одно начало. Оси системы ку
образуют с осями системы xt углы, косинусы которых обозначим
через aYJ- и будем брать из таблицы, помещенной в § 1.3.
Между координатами xt и ху точки Р существует следующая
связь:
A)
2.2. Преобразование компонент тензора напряжений 47
Направляющие косинусы удовлетворяют следующим условиям
ортогональности:
aiyayi = fi'/> alya$l = fiYp' B)
Выразим компоненты aYp через ац. Поместим в начале коорди-
координат поверхностный элемент dk так, чтобы его нормаль п совпа-
совпадала с осью ху.
Вектор напряжения p<v), действующий на этот элемент, разло-
разложим на составляющие р\уК Согласно формуле A0) предыду-
предыдущего параграфа, имеем
p(Y, = <vlJV) = vv C)
С другой стороны, проектируя вектор рМ на ось х$, получим на-
напряжения aYp, причем
D)
Подставляя выражение C) в D), получим
(TYp = aY/Ct^(T/'=*aYiap/(T'/-
Легко проверить, что справедливы обратные соотношения
Выполняя свертывание тензора стур, получим
aYY = ayiay}ai} = btjatj = аП, G)
или
СГЦ + СТ22 + Озз ==¦ СГп + 022 + СГ33-
Сумма нормальных напряжений является инвариантом, не зави-
зависящим от поворота системы координат.
Поместим в точке Р тела поверхностный элемент dh. Пусть
на этот элемент с нормалью п действует вектор напряжения р<">.
Поместим в той же точке элемент d\' с нормалью п'. На этот
элемент действует вектор напряжения р(ге'>.
В системе координат xit к которой отнесены компоненты ст;,-
тензора напряжений и направляющие косинусы нормалей п и
п', имеем
В силу симметрии тензора правые части этих уравнений совпа-
совпадают. Отсюда вытекает соотношение
р(п') • п «= р(ге» • п'. (8)
48 Гл. 2. Напряженное состояние
Проекция вектора р(Г1'> на нормаль п равна проекции вектора р<л)
на нормаль п'. Из этой формулы можно получить формулу пре-
преобразования E).
2.3. Главные нормальные напряжения.
Инварианты напряженного состояния
Рассмотрим поверхностный элемент dA в точке Р упругого
тела. Через я, обозначим компоненты нормали к dA, через р(™> —
вектор напряжения, действующий на этот элемент. Нормальное
напряжение а — проекция вектора р<"> на направление нор-
нормали — выражается формулой
ст = р<*> ¦ п = рм = a}tn}nt, A)
Разыщем такие площадки, содержащие точку Р, на которых
нормальное напряжение, действующее на элемент dA, прини-
принимает экстремальные значения. Так как направляющие косинусы
нормали связаны зависимостью
щщ = \, B)
то будем искать экстремум функции
F = a — Хщщ C)
с дополнительным условием B) (здесь Я — множитель Лагран*
жа). Составляя уравнения
|^ = 0, i = 1,2,3, D)
получим однородную систему уравнений
{о„—М>1,)п, = 0. E)
Умножая это уравнение на щ и используя условие B), получим
X = aJtrtjrti, т. е. % = а.
Далее следует рассмотреть систему уравнений
(atl — аб,/)п/ = 0. F)
Так как, согласно B), величины щ не могут одновременно об-
обращаться в нуль, то определитель системы должен быть равен
нулю:
|0;г-0бг/| = О. G)
Решение этого векового уравнения приводит к алгебраическому
уравнению
а3- /1а2 + /2а-/3 = 0, (8)
2.3. Главные нормальные напряжения
49
где
<T.l <T12
+
<*32 ^33
+
Сз1 СГзз
T22
а31
Обозначим через а, (i = 1,2, 3) три корня уравнения (8) и упо-
упорядочим их так, чтобы ai > аг > (Тз. Эти корни являются дей-
действительными и не зависят от системы координат. Точно так же
величины /, являются инвариантами, ибо, будучи элементарными
симметрическими функциями корней о, как коэффициенты урав-
уравнения (8), они однозначно выражаются через эти корни. Пооче-
Поочередно подставляя аи аг, аз в уравнения F), приходим, пользуясь
соотношением B), к трем системам направляющих косинусов
«У1, nf\ nf>. Эти направляющие косинусы определяют три оси,
называемые главными осями напряжений, или три главные пло-
площадки.
Точно так же, как в § 1.6, доказывается, что направления п[к>,
соответствующие различным корням аи, взаимно ортогональны.
Определим напряжения, действующие на главных площад-
площадках. Так как р, = ацп^, то из уравнения F) вытекает
Поэтому
— ощ = (о,1 — Ь1{о) nj = pi— on, = 0.
(9)
A0)
На каждой главной площадке действует только нормальное на-
напряжение, равное соответствующему главному нормальному на*
пряжению а,.
Так как напряжения изменяются в зависимости от точки
(а в случае движения еще и от времени), то в каждой точке
тела существуют три взаимно ортогональные главные площадки,
на которых нормальные напряжения принимают экстремальные
значения, а касательные напряжения равны нулю. Напряженное
состояние полностью определяется главными напряжениями и
ориентацией главных площадок. Вместо шести составляющих
тензора оц здесь мы имеем дело с тремя главными напряже-
напряжениями oi, аг, (Тз и тремя единичными нормальными векторами
л'/1, nf\ nf.
Вернемся к алгебраическому уравнению (8), которое можно
представить в эквивалентной форме
(а — а,) (а — о2) (а — а3) = О,
(П)
50
Гл. 2. Напряженное состояние
или
а3 —а2 (а, +о2 + в3) — о (ст,а2 + а2а3 + а3а{) — аха2а3 = 0. A2)
Отсюда получаем другую запись инвариантов:
2.4. Поверхность напряжений
Рассмотрим поверхностный элемент dA с нормалью п. Пусть
на этот элемент действует вектор напряжения р. Поместим на-
начало координат в точке Р е dA поверхностного элемента и рас-
рассмотрим нормальное напряжение а
(рис. 2.4):
A)
РИС. 2.4.
Свяжем это нормальное напряжение
с квадратичной формой
2Q (xi, х2, х3) = OjiXjXi. B)
Пусть г s (х\, х2, Хъ)— вектор, нормаль-
нормальный к рассматриваемому поверхност-
поверхностному элементу, т. е. направленный по
нормали п. Обозначая через х{ коорди-
координаты конца вектора г, получим
C)
Ч
Здесь г = |г| — длина вектора г. Подставляя выражение C)
в B) и сравнивая с уравнением A), получим
xv х3) = ог>. D)
Так как ни длина вектора г, ни величина напряжения а не зави-
зависят от выбора системы координат, то и функция D) не должна
изменяться при замене координат. Если координаты^ конца век-
вектора г в системе координат х\ обозначить х\, х'2, х'3, то в силу
инвариантности этого вектора и величины а имеем
хъ х3) = Q (*i, А х3). E)
п
Принимая во внимание B), убеждаемся, что
F)
Свойство инвариантности E) квадратичной формы Q показы-
показывает, что напряжения оц образуют симметричный тензор второго
ранга. Длину вектора г можно считать произвольной. Выберем
ее так, чтобы or2 =. ± k2, где k2 — произвольная постоянная, от-
2.4. Поверхность напряжений 51
личная от нуля. Знак при k2 выберем в зависимости от знака а.
Если напряжения сжимающие, то при k2 берем знак минус.
При таких условиях поверхность, описываемая концом век-
вектора г, задается уравнением
2Q(*,, x2, x3)=±k\ G)
или
a,iX,xt = ± k2. (8)
Поверхность, задаваемая уравнением (8), является центральной
поверхностью второго порядка с центром в начале координат. Ее
называют поверхностью напряжений или поверхностью Коши
(квадрикой).
С помощью этой поверхности, построенной в точке Р для за-
заданного тензора <т,-;- и постоянной k, можно найти вектор напря-
напряжения р.
Из формул B) и C) имеем
ОХ = ацп,г = rpt. (9)
Производные по х{ функции Q пропорциональны компонентам
вектора р. Из формулы (9) видно, что вектор р параллелен нор-
нормали п' в точке Н поверхности напряжений (рис. 2.4). Вектор р
ортогонален плоскости, касательной к поверхности Коши в точ-
точке Н. Для определения вектора р вычислим нормальное напря-
напряжение а = ± k2/r2. Эту величину, отмеренную на прямой РН,
спроектируем на прямую PS, перпендикулярную к касательной
плоскости поверхности Коши. Вектор г = РН ортогонален каса-
касательной плоскости только в том случае, когда нормаль п колли-
неарна одной из главных осей поверхности Коши. В этом част-
частном случае векторы р и о совпадают, так что
Pi = ant = abij ns. A0)
Поскольку Pi = Ojitij, уравнения A0) переходят в
(o,t — o6t,)n,=0, A1)
т. е. в систему уравнений, с которой мы имели дело в предыду-
предыдущем параграфе при вычислении главных напряжений.
Предположим, что система координат совпадает с главными
осями поверхности Коши. Так как в этом случае а$х = SijCfo), где
через O(j) (/= 1.2,3) обозначены главные нормальные напря
жения, то из (8) получим
OnXjXi = a(jNijX}Xi — ± k2,
или
ахх2 + о2х2 + а3х2 = ± k2. A2)
52
Гл. 2. Напряженное состояние
Если главные напряжения положительны (растяжение), то урав-
уравнение
описывает трехосный эллипсоид. Для отрицательных нормаль-
нормальных напряжений (ffi < 0, схг < 0, аз < 0) поверхность Коши яв-
. ляется также эллипсоидом, уравнение
*з* которого
гг X2 4- п г2 -\- п г2 Ъ2 (Ы\
Если одно из главных напряжений от-
отрицательно (например, ot > 0, а2 > 0,
стз < 0), то уравнение поверхности
Коши принимает один из двух видов
_ | п | v-2 — иг /к\
"з*з — к \10>
либо
о2х2 — | а31 х\ k2
A6)
РИС. 2.5.
в зависимости от ориентации поверх-
поверхностного элемента в точке Р.
Уравнение A5) определяет одно-
полостный, A6)—двуполостный ги-
гиперболоид, разделенные асимптотическим конусом (рис. 2.5)
а^ + сх24 + сХз^ = 0. A7)
Если нормаль п к элементу йк в точке Р пересекает однополост-
ный гиперболоид, то нормальное напряжение а = k2/r2 положи-
положительно. Если конец вектора г находится на поверхности двупо-
двуполостного гиперболоида, то нормальное напряжение а = —%2/г2
является отрицательным. Если же конец вектора г находится на
поверхности асимптотического конуса A7), то нормальное на-
напряжение равно нулю.
2.5. Экстремальные значения касательных напряжений
Рассмотрим в точке Р тела поверхностный элемент d\. Обо-
Обозначим через п нормаль к этому элементу, через р — вектор на-
напряжения, действующий на йк.
Разложим вектор напряжения на составляющую в нормаль-
нормальном направлении и касательную составляющую, лежащую в пло-
плоскости dA. Величины нормального напряжения а и касатель-
касательного т выражают формулы
a = pinl = ajinjn{, A)
т = (|РР-а2)'/.. B)
2.5. Экстремальные значения касательных напряжений 53
Примем за начало координат точку Р, а координатные оси
выберем совпадающими с главными осями напряжений. Пред-
Предположим, что нормаль п поверхностного элемента не совпадает
ни с одной из главных осей. Так как напряженное состояние опи-
описывается формулами
где О], а2, а3— главные напряжения, то
р, = а, п,, р2 = а2п2, рл = о3п3
Из формул A) и B) имеем
а = а1я? + а2я| + а3п^ C)
т2 + а2 = сгХ + <^ + *2з4 D)
К этим соотношениям следует добавить зависимость
я» + л| + я*=1. E)
Из формул C) и D) немедленно следует, что касательные на-
напряжения равны нулю в следующих случаях:
п, = ±1, п2 = п3 = 0; п,=0, п2=±\, л3 = 0;
п{=п2 = 0, п3=± 1; ( '
это подтверждает предыдущие рассуждения относительно отсут-
отсутствия касательных напряжений на главных площадках.
Отыщем площадки, на которых касательные напряжения при-
принимают экстремальные значения. Исключим из уравнений C) и
D) величины а и п\. Тогда касательное напряжение выразится
формулой
+ аз — [(а, — аз) я? + (а2 — а3) «2 + аз]2. G)
Приравнивая нулю производные по щ и щ функции G), имеем
ni {а2 — а2 — 2 f(ai — а3) я? + (а2 — а3) п| + а3] (а, — а3)} = 0, (8)
rh. \о\ — аз — 2 f(ai — а3) п\ + (а2 — а3) п2 + а3] (а2 — а3)} = 0. (9)
Предположим, что ai > аг > а3. Тогда уравнение (8) можно со-
сократить на ai — a3, а уравнение (9) на а2 — а3. Останется си-
система уравнений
«1 {ai + a3 — 2 [(ai — a3) n\ + (a2 — a3) n\ + a3]} =0,
Л2 {a2 + a3 — 2 [(ai — a3) n2 + (a2 — a3) n2 + a3]) = 0
54 Гл. 2. Напряженное состояние
и уравнение E). Указанной системе уравнений удовлетворяют
шесть наборов значений п\к\ Три первые соответствуют набо-
наборам F), остальные три имеют вид
«1=0, «2=± -^ = «з. (Па)
A16)
A1в>
Для первого набора значений (Па) получим из формулы G)
т2= °2 2СТз — (-^-о—") = (^ 2 °3) • A2^
Аналогично, взяв значения A16) и (Пв), получим
Для определения касательных напряжений следует так подо-
подобрать величины хи чтобы главные касательные напряжения удо-
удовлетворяли условию
t,+t2 + t3 = 0. A4)
Это условие вытекает из (ti + тг + тзJ= 0. Оно будет выведено
в § 2.6.
Из соотношений A2), A3) и A4) получим
Итак, существуют три площадки, наклоненные под углом 45°
к главным площадкам, на которых касательные напряжения при-
принимают максимальные значения, данные формулами A5).
Полученные результаты хорошо иллюстрирует придуманная
Мором геометрическая интерпретация (рис. 2.6).
Разрешая уравнения C), D) и E) относительно ri\, n\, nj,
получим следующие зависимости:
о т2 + {о — о*) (а — q3)
2
2 D (a2 - а3) (а2 -
3
(p»-Pi)(Pe-p«) '
2.5. Экстремальные значения касательных напряжений
55
Из этих соотношений при а\ > а2 > схз вытекают следующие
неравенства:
т2 + (а-ст2)(сг — а3)>0, A7а)
т2 + (а-а3)(сг-а1)<0> A76)
T2 + (a — ff,)(ff — a2)>0. A7в)
В плоскости ат неравенство A7а) определяет внешность окруж-
окружности k\ с центром на оси а. Эта окружность пересекает ось a
в точках Ог и аз- Неравенство A7в) определяет внешность ок-
окружности ?з с центром на оси а; эта окружность пересекает ось a
в точках cxi и а2. Наконец, неравенство A76) представляет вну-
внутренность окружности ki, которая пересекает ось о в точках а\
РИС. 2.6.
и аз. Поскольку требуется одновременное выполнение неравенстз
A7), то значения касательных т и нормальных а напряжений
обязаны лежать в области, заштрихованной на рис. 2.6. Наиболь-
Наибольшее касательное напряжение дается ординатой АО'*.
Тшах= § ¦ (I8)
Соответствующее_этому значению нормальное напряжение а вы-
выражает отрезок 00', причем
__ Pi + сгз
Подставляя A8) и A9) в соотношения A6), получим
2
A9)
п,
'±-*?. п2 = 0.
56
Гл. 2. Напряженное состояние
2.6. Разложение тензора напряжений на шаровой тензор
и девиатор
Представим напряжения оц в виде
otf = Т/у + -g- а00//( а0 = okk.
A)
В этом выражении хц является девиатором напряжений, а
¦д- ао6{1 — шаровым тензором. Компоненты этих тензоров запи-
записаны ниже в виде матриц
о =
1
-g-CTo
О
О
О
"о" ^0
0
0
0
1
1
а12
1
J31
^32
Напряжение -о-^'/ао представляет собой среднее нормальное на-
напряжение, или гидростатическое напряжение. Поверхностью
Коши напряжений -д-сто^/ является шар. Каждая проходящая
через точку Р ось поверхности Коши, совпадающая с диаметром
шара, является главной осью. Произведем свертывание тен-
тензора o{j в уравнении A). Получим
/1 = т11 + т22 + т33 = 0. B)
Первый инвариант /i девиатора Гц равен нулю. Вычислим глав-
главные значения тензора Tij, поступая аналогично тому, как это де-
делалось в § 1.6. Главные значения т,- подсчитываем из уравнения
|т,;—6/;т| = 0. C)
Из алгебраического уравнения
т3 —/2т —/3 = 0 D)
вычислим корни, являющиеся главными касательными напряже-
напряжениями п (i = 1, 2, 3). В уравнении D) мы ввели следующие обо-
обозначения:
•^2 = akk If
2 (-3 akkj = /3 + j akkJ2 — \j okk] .
Инварианты /2, /3 даются выражениями, аналогичными выраже-
выражениям A1) § 1.6. Представим уравнение B) в главных осях:
= 0.
E)
2.7. Плоское напряженное состояние 57
Это уравнение означает, что общее напряженное состояние
можно составить из всестороннего растяжения и второго напря-
напряженного состояния Ti, T2, тз, для которого справедливо соотно-
соотношение E). Если обозначить ti = а, т3 = Ь, то Т2 = — (а + Ь).
Главные напряжения ti, тг, тз можно разложить на следующие
два напряженных состояния:
Каждое из этих состояний на площадках, повернутых относи-
относительно главных на угол 45°, является чистым сдвигом без нор-
нормальных напряжений.
2.7. Плоское напряженное состояние
Рассмотрим частный случай общего напряженного состояния,
а именно так называемое плоское напряженное состояние. Если
тонкая пластинка нагружена силами, приложенными на ее гра-
границе, параллельными плоскости пластинки (в качестве которой
выбираем плоскость Х\Х2) и равномерно распределенными по ее
толщине, то напряжения а3з, стзь (Тз2 равны нулю на обеих по-
поверхностях пластинки. Считая, что эти напряжения равны нулю
по всей толщине пластинки, получим напряженное состояние, ха-
характеризующееся величинами аа$, а, р = 1, 2. Такое состояние
называется плоским напряженным состоянием. Подробно это
состояние мы обсудим в гл. 4. Предположим, что напряжение аар
и нагрузки в виде вектора р = (рир2, 0) не изменяются по тол-
толщине пластинки и являются только функциями Х\, х2. Состав-
Составляющие вектора р даются формулами
pl = an cos (n, *,) + а21 cos (n, х2),
р2 = а12 cos (n, xi) + а22 cos (n, х2), A)
Поверхностные элементы, на которых действуют напряжения аи,
<*22, (Ti2, ортогональны плоскости ххх2, а их нормали п = (пи п2,0)
лежат в плоскости Х\Х2.
В дальнейших выкладках понадобятся формулы преобразо-
преобразования для напряжений при переходе от напряжений аи, О22, о\2
в системе координат хи х2, х3 к напряжениям а'п, о'ц, а'м в си-
системе х\, хЬ, х'з, повернутой вокруг оси Хъ-
Из формул преобразования
°а» == nian!fiaij> ПЗа = "зр = °> «' Р e l' 2> 3' B)
58 Гл. 2. Напряженное состояние
получим
а'ц = аи cos2 6 + а22 sin2 6 + 2ст12 sm 6 cos 0,
а'22 = on sin2 6 + 022 cos2 6 — 2стJ sin 0 cos 6, C)
a\2 = (CT22 — (T11) sin 6 cos 6 + CT12 (cos2 0 — sin2 6).
Здесь через 0 обозначаем угол между осями xi и х[. Форму-
Формулам C) можно придать несколько иной вид:
а'и = g" + g22 + SlL^S». cos 20 + ai2 sin 20,
g22 = g" + g22 - gn ~ g22 cos 20 - g12 sin 20, D)
a\2 = g22~g" sin 20 + ст12 cos 20.
Из этих формул легко получить свойство инвариантности суммы
напряжений
On + O22 = (Til + (Т22- E)
Используя соотношение e2/e = cos20 + i sin 20, получим из D)
СТ22 — (Til + ИаЬ = (<Т22 — (Til + 2/CT12) б2'6. F)
Пусть оси х'\, х-2 являются главными осями. Тогда <xi1=<x1,
(Т22 = (Т2, ffi2^0. Из третьей формулы D) получим
C7)
Уравнение G) имеет бесконечное число корней. Нас интересует
только первый положительный корень 0О, а также следующий
0о + я/2. Подставляя 0О в первую из формул D), получим глав-
главное напряжение сть подставляя 0О + я/2 во вторую формулу D),
найдем ст2- Значения сть ст2 являются также корнями уравне-
уравнения (8) § 2.3. Это уравнение в рассматриваемом случае плоского
напряженного состояния примет вид
а3 - (ап + а22) а2 + (оио22 - о%) о = 0, (8)
откуда
= 1 (а,, + а22) ± /(^^J +^ , а3 = 0. (9)
Предположим теперь, что главными осями являются оси Х\, Х2-
Так как для этих осей стп = сть СТ22 = о2, о\2 = 0, то из фор-
формул D) вытекает, что
cxii = 4 К + o2) + j (?i — (T2) cos 20,
CT22 = -5- К + o2) — у (ст, — ст2) cos 29, A0)
2.8 Уравнения неразрывности 59
Из последней формулы видим, что максимальным абсолютным
значением касательного напряжения является
|ffl2lmax=2-|<7l— °2l- 00
Рассмотрим три частных случая.
а. Пусть cti = — ст2- Тогда из формул A0) получим
CTll = (TlCOs20, CT22 = — (Tl COS 20, CTi2 = CTlSin20. A2)
Максимальное значение касательного напряжения дается фор-
формулой
Т I
Это значение получается для 0 = я/4. Из двух первых фор-
формул A2) видно, что для 0 = я/4 мы имеем стп =0, (Т22 = 0.
В плоскости, в которой возникают максимальные касатель-
касательные напряжения, нормальные напряжения равны нулю. Такое
напряженное состояние называется чистым сдвигом.
б. Пусть (Гц = ст22 = (Ti, (T12 = 0. Тогда из формулы D) по-
получим
(Til = (T22 = (Tl, (Tl2 = 0.
Здесь мы имеем дело с всесторонним растяжением (сжатием).
в. Наконец, пусть аи = (Ть (Т22 = 0, ст]2 = 0. Формула D)
значительно упрощается. Получаем соотношения
ail =-^-A+cos 20), (T2~2 = -^-(l-cos20), cx{2 = -^-sin20.
Такое состояние называется одноосным напряженным состоя-
состоянием. Наибольшее значение касательного напряжения получим
при 0 = я/4, а именно cti2 = (Ti/2. Нормальное напряжение
в этом сечении равно а\\ = cti/2.
2.8. Уравнения неразрывности
Рассмотрим материальную частицу, которая в момент t = 0
находилась в точке с координатами (*i, x2, х3) в прямоугольной
декартовой системе координат. По прошествии времени t эта ча-
частица переместится в другую точку с координатами (gi,?2, Ъ) от-
относительно той же самой системы координат. Зависимость
lt = h(xu x2, x3,t), /=1,2,3, A)
описывает конфигурацию тела в разные моменты времени t.
Функции 1{ должны быть непрерывными однозначными функ-
функциями с отличным от нуля якобианом.
60 Гл. 2. Напряженное состояние
Рассмотрим скорость и ускорение материальной частицы,
траектория которой задана соотношениями A). В описании Ла-
гранжа имеем
v, (х, t) = lrh (х, t), B)
v{(x,t) = -^h(x, t) = ±v,(x,f). C)
В этих выражениях дифференцирование по времени произво-
производится при постоянных значениях х == (хи х2, *з).
В описании Эйлера в качестве независимых переменных при-
принимаются координаты | и время t. В этом описании движение
тела представляется векторным полем »,-(gi,g2, ?з. 0. связанным
с мгновенным положением материальной частицы. Для вычис-
вычисления ускорения материальной частицы рассмотрим эту частицу
в двух близких положениях. Частица, в момент t занимающая
положение \и перемещается так, что в следующий момент t -\- dt
она занимает положение ?,- + Vidt.
Ускорение t),(l, t) можно представить как разность скоро-
скоростей
mi,t) _ , D)
Разлагая первый член правой части этого уравнения в ряд Тей-
Тейлора и ограничиваясь величинами первого порядка малости по
dt, имеем
vi(ht)=—m—=wvi(l,t) + vj ldlj , E)
Первый член правой части уравнения E) описывает изменение
во времени функции у,- при постоянном |, т. е. при неизменном
положении в пространстве, а не для одной и той же материаль-
материальной частицы. Чтобы подсчитать изменение скорости vt данной
частицы, нужно в течение некоторого времени проследить за ее
dvt(l, t)
движением. К величине
требуется добавить член
" l=const
dv,
и __L Как вклад движения частицы в мгновенное поле скоро-
скоростей. Производная й,A, t) называется местной производной или
материальной производной. Член vу -г|— называется конвектив-
конвективной производной.
Подобное рассуждение можно повторить для любой другой
характеристики материальной среды, например для ее плотности
или температуры. Вообще имеем
л_ DG(l,t) dG(l,t)
U~ Dt ~ dt
(a Const
dG (I, t) dG (x, t)
dli dt
x—const
• F)
2.8. Уравнения неразрывности 61
К местной производной относятся все обычные правила диффе-
дифференцирования, обычные формулы производной от суммы, раз-
разности, произведения. Имеем
D Dvt Dw{
Dt ' ' ~ W{' Dt ~ Dt '
D Dwu Dv,
В дальнейших выкладках, касающихся уравнений неразрывно-
неразрывности и уравнений движения, будут встречаться материальные про-
производные интеграла
B(t)=\F{l,t)dV(l). (8)
v
Функция F(|, t) означает здесь функцию некоторого свойства
среды в точке | в момент t в односвязной области V. Если об-
область интегрирования V не изменяется при движении, то для
функций F(|, t) и dF(l,t)/dt, непрерывных в V при всех значе-
значениях t, имеем
*Jj?%±dV. (9)
Однако если область интегрирования изменяется со временем t,
то в правой части уравнения должен появиться дополнительный
член.
Рассмотрим поверхность А, ограничивающую тело в некото-
некоторый момент t. Проследим за поверхностным элементом ДЛ
с внешней нормалью п. Рассмотрим точку ?,- во временном ин-
интервале {t, t-\-kt) на элементе ДА Перемещение точки ?,- в этом
временном интервале равно vtAt, а его проекция на п равна
VitiiM. Приращение объема рассматриваемой области выра-
выражается поэтому формулой
ДУ = vini At АЛ. A0)
Умножая выражение A0) на F(%,t) и суммируя по поверхно-
поверхности А, получим
M = M
А
Переходя к пределу, имеем
= \F{%,t)vinldA{%). A1)
A
62
Гл. 2. Напряженное состояние
Поэтому для области, находящейся в движении, получим сле-
следующее выражение местной производной:
-%¦ J F(h t)dV Ц)=
'®+\F(t,f)ntvtdA®, A2)
A
или
Dt
или, наконец,
A3)
Обозначим через р(|, t) плотность тела в момент t в точке §, че-
через ро(х) плотность в точке х в момент t = 0. Соотношение ме-
между этими функциями устанавливается из принципа сохранения
массы, который гласит, что масса тела не изменяется во время
движения. Поэтому справедливо соотношение
= J p (I, t) dli dl2 d,%3 = J po (x) dxx dx2 dx3.
Переходя от координат ?{ к координатам xt, имеем
Jp(l,
= \ p(l, t)
dx,
dx2 dx3,
A5)
A6)
где
dx,
— якобиан преобразования A). Из сравнения соот-
соотношений A5) и A6), а также из утверждения, что соотноше-
соотношение A5) справедливо для произвольной области, выделенной
в теле, получим локальную зависимость
dx.
Поскольку преобразование A) взаимно однозначно,
р (I, 0 =
Рассмотрим первое из уравнений A5)
A7)
A8)
A9)
2.9. Уравнения движения 63
Принцип сохранения массы требует, чтобы DM/Dt = 0. Исполь-
Используя формулу A4), имеем
&&К®-°- B0)
Соотношение B0) справедливо для произвольной области тела.
Если подкнтегральное выражение непрерывно, то из соотноше-
соотношения B0) получим локальное соотношение
или
B2)
Уравнение B1) или B2) называется уравнением неразрывности.
В статических задачах это уравнение удовлетворяется тожде-
тождественно, и тогда Vj = 0 и dp/dt = 0.
Заметим, что уравнения A7) и A8), а также B1) и B2) вы-
выражают одно и то же — принцип сохранения массы. Уравнения
A7) и A8) называются материальными уравнениями неразрыв-
неразрывности, а уравнения B1) и B2) —местными уравнениями нераз-
неразрывности. Первые из этих уравнений чаще применяются в меха-
механике твердого тела, вторые — в механике жидкости и газа.
2.9. Уравнения движения
Уравнения движения мы получим из двух основных законов
механики: закона изменения количества движения и закона из-
изменения момента количества движения. Составляющие коли-
количества движения тела в момент t выражаются формулой
), /=1,2,3. A)
Закон изменения количества движения в описании Эйлера, т. е.
в координатах |,-, имеет вид
l B)
Изменение количества движения во времени равно главному
вектору сил, действующих на область V. Этот главный вектор
равен интегралу массовых сил Х{ по объему тела, а также
интегралу поверхностных сил по поверхности тела. Выражая
64 Гл- 2. Напряженное состояние
вектор напряжения р\п* через компоненты тензора напряже-
напряжений Oij и применяя теорему Гаусса — Остроградского, имеем
jl ( ^) C)
V А V
Дифференцируя формулу A), имеем
Здесь мы использовали формулу A3) предыдущего параграфа.
Закон изменения количества движения B) был применен к
произвольной области V тела. Если подинтегральное выражение
непрерывно, то, в силу произвольности выбранной области, урав-
уравнение D) приводит к локальному соотношению
Уравнение E) допускает значительное упрощение благодаря
уравнению неразрывности
до . д
Учитывая формулу F), приводим E) к виду
Dvt доц
Р-оГ^х' + ~дТГ- (?)
Эта формула представляет собой локальную запись закона из-
изменения количества движения.
Закон изменения момента количества движения имеет вид
где
f (9)
М, = \
A0)
Уравнение (8) гласит, что изменение во времени момента коли-
количества движения равно моменту массовых сил, действующих
в области V, а также поверхностных сил, действующих на по-
поверхности А, ограничивающей область V. Подставляя уравне-
2.9. Уравнения движения 65
ния (9) и A0) в (8) и преобразуя поверхностный интеграл
в объемный, представим уравнение (8) в виде
*tlk[tiXk + (ti0iJ.i]dV, A1)
V V
или
{ «iy* [t, -It (Ри*) + iki №/P°*0') - № - (?/*/*). /] dF <&) = °- 02)
Так как это уравнение справедливо для произвольной области V,
то справедливо локальное соотношение
«I/* [б/ 4 (Р°*) + -4" &Р0*0'> - № - (liOik). i] = 0. A3)
Учитывая, что
преобразуем уравнение A3) к виду
^=0. A4)
Выражение в квадратных скобках равно нулю в силу уравнения
движения E). В уравнении A4) остается
= 0, A5)
откуда вытекает, что тензор стд является симметричным тензо-
тензором: Ojh = (Tftj. Это подтверждает результат, полученный в § 2.1
другим путем.
При выводе уравнений движения мы использовали описание
Эйлера, принимая в качестве независимых переменных коорди-
координаты \i и время t.
Структура полученных уравнений достаточно проста (урав-
(уравнения G) и A5)), несравненно проще, чем в описании Ла-
гранжа. Однако описание Эйлера в некоторых отношениях не-
неудобно. В задачах нелинейной теории упругости, как правило,
известны первоначальные положения точек и разыскиваются
поля перемещений, вызванные деформацией тела. Граничные ус-
условия в виде заданных нагрузок или перемещений также просто
выражаются в координатах х{. Неудобством является и то, что
дифференцирование в уравнениях G) производится относитель*
но переменных \и содержащих разыскиваемые величины — пере*
мещения.
Из уравнений движения в описании Эйлера легко перейти
к уравнениям движения линейной теории упругости, в которой
3 В: Новацкий
бб Гл. 2. Напряженное состояние
рассматриваются малые деформации и малые скорости переме-
перемещений. Линеаризуем прежде всего выражение для тензора де-
деформаций. Пренебрежем в тензоре Альманси
dut dUj дик duk
нелинейным членом. Так как при малых деформациях производ-
производные по переменным х,- и |j будут различаться на величины выс-
высшего порядка малости, для тензора деформаций примем выра-
выражение
' ди, ди,
Переходя к уравнениям движения G), заметим, что при малых
деформациях и малых скоростях перемещений нелинейные члены
в местных производных пренебрежимы по сравнению с мате-
материальными производными. Таким образом,
Dv, д д
Dt dt dt
Уравнения движения G) запишем в рамках линейной теории
упругости в виде
дап (х, t) д»и{ (х, t)
\
A9)
В случае независимости внешних воздействий от времени урав-
уравнения A9) переходят в уравнения равновесия
^- + *<(х) = 0. B0)
Глава 3
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
3.1. Основные понятия и законы термодинамики
Законы, связывающие напряженное состояние с деформиро-
деформированным, можно искать на основе термодинамических уравнений
и, в частности, на основе законов термодинамики необратимых
процессов. Для этого следует вспомнить основные понятия и за-
законы феноменологической термодинамики ').
При исследованиях физического явления в качестве объекта
исследования выделяется материальное тело, состоящее из боль-
большого числа частиц, которые образуют физическую систему.
Остальную часть, не принадлежащую системе, называют окру-
окружающей средой. Система воздействует на окружающую среду,
и обратно, окружающая среда воздействует на систему. Если
воздействие окружающей среды на систему является очень сла-
слабым, то мы имеем дело с обособленной, изолированной системой.
Если нет обмена массы с окружающей средой, то мы имеем дело
с замкнутой системой. В дальнейшем будем рассматривать
только замкнутые системы.
Состояние термодинамической системы характеризуется мак-
макроскопическими величинами, называемыми параметрами или пе-
переменными состояния. Эти величины разделяются на внешние и
внутренние параметры. Внешними параметрами называются ве-
величины, описывающие свойства окружающей среды, влияющие
на состояние системы. Это будут внешние силы, действующие на
систему, напряженности полей, источники которых находятся
в окружающей среде. Внутренними параметрами, описывающими
состояние в каждой точке в каждый момент времени внутри си-
системы, являются такие величины, как плотность, давление, хими-
химический состав, температура.
') Werle J., Termodynamika fenomenologiczna, PWN, Warszawa, 1957.
[См. также Путилов К. А., Термодинамика, «Наука», М., 1971, — Прим. перев.]
8»
68 Гл. 3. Термодинамические основы теории упругости
Система называется однородной, если все внутренние пара-
параметры состояния не зависят от положения точки.
Если некоторый параметр состояния удается выразить как
однозначную функцию остальных параметров, то такая функцио-
функциональная зависимость называется уравнением состояния, а пере-
переменная, описанная этим уравнением, — функцией состояния.
Если параметры состояния не зависят от времени, то система на-
находится в состоянии термодинамического равновесия. Доказы-
Доказывается, что система, находящаяся в термодинамическом равнове-
равновесии, находится одновременно и в равновесии механическом, хи-
химическом и тепловом. Механическое равновесие означает, что
между системой и окружающей средой нет неуравновешенных
сил. Химическое равновесие характеризует постоянство массы и
химического состава. Тепловое равновесие объясняется введе-
введением новой переменной состояния — температуры.
Характер теплового равновесия связан со свойствами стенок,
отделяющих систему от окружающей среды и разграничиваю-
разграничивающих отдельные части системы. Адиабатические стенки не допу-
допускают изменения состояния за счет притока тепла. Изменение
равновесного состояния может быть вызвано только макроскопи-
макроскопической работой внешних сил дальнодействия (например, сил тя-
тяжести), а также перемещением стенок. Диатермические стенки
допускают теплообмен между частями системы.
Понятие температуры можно ввести на основе следующего
экспериментального факта. Соединим два теплоизолированных
тела 1 и 2 с помощью диатермической стенки с телом 3. После
установления равновесия отделим тело 3 от тел 1 и 2, которые
соединим между собой диатермической стенкой. Говорят, что
тела 1 и 2 находятся в тепловом равновесии, если значения
параметров при соприкосновении тел 1 и 2 остаются постоян-
постоянными. Этот результат формулируется в виде принципа транзи-
транзитивности (называемого также нулевым законом термодина-
термодинамики), который гласит, что если два тела находятся в тепловом
равновесии с третьим телом, то они находятся в равновесии ме-
между собой. Из принципа транзитивности вытекает, что для
каждого тела существует взаимно однозначная функция ?Г неза-
независимых параметров состояния, называемая эмпирической тем-
температурой. Равные значения этой функции характеризуют тела,
находящиеся во взаимном тепловом равновесии.
Переход от одного состояния к другому называется термо-
термодинамическим процессом. В этом процессе все параметры со-
состояния являются функциями времени.
Если скорость изменения состояния системы во времени
очень мала, так что система непрерывным образом переходит
через последовательные равновесные состояния, то такое из-
изменение состояния называется квазистатическим процессом.
3.1. Основные понятия и законы термодинамики 59
Быстрое изменение состояния приводит к неустановившимся
процессам.
Термодинамический процесс может быть обратимым или не-
необратимым. Обратимый процесс происходит тогда, когда воз-
можно возвращение к начальному состоянию системы и окру-
окружающей среды. Процесс, который не удовлетворяет этим усло-
условиям, является необратимым процессом. В принципе мы имеем
дело с необратимыми процессами; обратимый процесс является
идеализацией реального процесса.
Если система с адиабатическими стенками переводится из
начального состояния I в некоторое конечное состояние II, при-
причем меняется способ перехода от одного состояния к другому, то
утверждается, что внешняя работа, необходимая для перевода
из состояния I в состояние II, не зависит от способа перехода.
Этот важный результат формулируется в виде первого закона
термодинамики, который гласит, что для перевода адиабати-
адиабатически изолированной системы из состояния I в состояние II тре-
требуется одно и то же количество внешней работы, не зависящее
от способа перехода. Поэтому существует взаимно однозначная
функция состояния CU, называемая внутренней энергией системы;
приращение которой равно работе, производимой над системой:
A)
Напомним, что формула A) справедлива для адиабатиче-
адиабатического процесса. В общем случае произвольных процессов работа
будет зависеть от способа перехода от состояния I к состоя-
состоянию II. Это связано с обменом тепла между системой и окру-
окружающей средой, так называемым теплообменом. Обозначая че-
через Q тепло, отобранное от окружающей среды, представим пер*
вый закон термодинамики в виде
\ L. B)
Здесь Ш является внутренней энергией для неадиабатическогр
процесса. Для адиабатического процесса Q = 0 и уравнение .B)
переходит в A).
Из уравнения B), которое представим в виде
L+Q, Ba)
вытекает, что внутренняя энергия может измениться как за счет
производимой работы L, так и за счет подвода тепла Q.
Второй закон термодинамики для однородной системы
формулируется следующим способом. Вводятся две ^гов-ьте
70 Гл. 3. Термодинамические основы теории упругости
однозначные функции состояния, абсолютная температура и эн-
энтропия 9>. Абсолютная температура Т является неотрицательной
функцией эмпирической температуры &~. Предположим, что эн-
энтропия системы равна сумме энтропии частей этой системы.
Приращение энтропии можно представить как
d9> = de9> + di9>. C)
В необратимом процессе изменение энтропии складывается из
обмена энтропии с окружающей средой dj? и дополнительного
приращения энтропии di9". Если через Q обозначить тепло, ото-
отобранное от окружающей среды, то
йе9> = Щ-. D)
Приращение энтропии did" должно удовлетворять неравенству
dt9> > 0. E)
Неравенство относится к необратимому процессу, равенство —
к обратимому. Дополнительное приращение d\9> может быть
истолковано как производство энтропии в системе.
3.2. Закон сохранения энергии для деформированного тела
Предположим, что тело в момент t = 0 находится в есте-
естественном состоянии, т. е. в состоянии, в котором перемещения,
деформации и напряжения равны нулю, а температура равна не-
некоторому постоянному значению То. Если это тело нагрузить
внешними силами, т. е. массовыми и поверхностными силами, то
в нем возникнет не только поле перемещений и, но также темпе-
температурное поле, отличное от То. Эти поля будут функциями поло-
положения х, а также времени t. Аналогично, нагревание поверхно-
поверхности тела и возникновение источников тепла вызовут два выше-
вышеуказанных поля. В каждом случае деформация тела связана с
изменением содержащегося в теле тепла, с возмущением темпе-
температурного поля.
Поле перемещений и температурное поле взаимодействуют
между собой; они взаимосвязаны. Эта связанность исчезает, как
мы увидим позднее, только для стационарных тепловых потоков
и для статических нагрузок.
Тепловой поток, возникающий в процессе деформации, реа-
реализуется путем теплопроводности. Это самопроизвольный, необ-
необратимый процесс, который невозможно повернуть вспять. Всякие
попытки провести этот процесс в обратном направлении требуют
изменений в окружающей среде. В результате необратимости
термодинамического процесса в теле возникает диссипация
энергии.
3.2. Закон сохранения энергии 71
При выводе соотношений между напряжениями, деформация-
деформациями и температурой ограничимся рамками линейной теории упру-
упругости, т. е. будем рассматривать только малые деформации. Эти
соотношения, называемые также определяющими уравнениями,
мы найдем при помощи законов термодинамики необратимых
процессов ').
Прежде чем перейти к составлению полного баланса энергии,
рассмотрим его частный вид: закон сохранения механической
энергии. Предположим сначала, что тело не отбирает тепла от
окружающей среды, т. е. рассматривается адиабатический про-
процесс.
Умножим уравнение движения (уравнения A9) § 2.9) на
V{ = ui и проинтегрируем по области V тела:
j(ojlt ^Xt-pvdvtdV^O. A)
v
Через Vi обозначим компоненты вектора скорости материальной
частицы. Уравнение A) можно переписать в виде
i — в/iVi. i — viXl — pvtvt] dV = 0. B)
Применяя теорему Гаусса — Остроградского, имеем
J (<*jiVi), I dV = J o^npi dA= J piVi dA, C)
где Pi = OjjfXj — вектор напряжения на поверхности А. Прини-
Принимая во внимание формулу C), приведем уравнение B) к виду
Xtvt dV + | PlVt dA=\ altvt,, dV + p j i>,tf,dV. D)
V
Преобразуем первый интеграл в правой части уравнения D):
dV = | a,t (еч + сог/) dV = j e,tii, dV. E)
V
Здесь мы использовали тот факт, что тензор напряжений ан и
тензор деформаций е^ симметричны, в то время как тензор
вращения кососимметричен. Выражение а^со^ равно нулю.
') Де Гроот С, Мазур П., Неравновесная термодинамика, «Мир> М.(
1964.
Gumiiiski К., Termodynamika procesow nieodwracalnych, PWN, Warszawa,
1962.
72 Гл. 3. Термодинамические основы Теории упругости
Принимая во внимание E), уравнение D) запишем в виде
{ Xtv{ dV + | piVi dA = p { vibi dV + | e,^ dV. F)
V A V V
Левая часть этого уравнения выражает механическую мощность
2=1 XtvtdV + j pfrdA, G)
V А
равную сумме мощности массовых сил, действующих внутри об-
области V, и мощности поверхностных сил на А.
Первый член правой части уравнения F) выражает измене-
изменение кинетической энергии. Обозначая через Ж кинетическую
энергию
M = jp\ ViVtdV, имеем ^- = Р { btvtdV. (8)
V V
Последний член правой части уравнения F) запишем в виде
*%~)°,fr,dV. (9)
v
Закон сохранения механической энергии запишем так:
Уравнение A0), будучи следствием уравнения A) предыдущего
пункта, справедливо для адиабатического процесса. Правая
часть уравнения A0) представляет собой изменение полной энер-
энергии системы, состоящей из кинетической энергии Ж и внутрен-
внутренней энергии 41.
Для произвольного термодинамического процесса уравне-
уравнение A0) следует расширить путем включения в первый закон
термодинамики тепла Q, отбираемого от окружающей среды:
Л-^ + Ж)^^^^ A1)
Немеханическая мощность Q, означающая приращение количе-
количества тепла во времени, вызвана тепловым потоком q через по-
поверхность А. Через элемент поверхности dA с нормалью п про-
протекает количество тепла —qin(dA. Приток через поверхность
тела равен
Q = - |<7,МЛ = - J4i.idV. A2)
А V
В уравнении A1) величина & выражается формулой G), Ж' —
формулой (8), a Q — формулой A2),
3.3. Баланс энтропии 73
Вводя внутреннюю энергию U, отнесенную к единице объема:
A3)
v
представим закон сохранения энергии A1) в виде
J (pvtvi +U)dV=j XiVl dV + j ptVi dA~\ qlt i dV, A4)
V V A V
откуда
jOdV= j(Xi-pvi)vidV+ j PiVidA-j qi%idV. A5)
V V A V
Заменяя поверхностный интеграл на объемный с помощью соот-
соотношения C), получим, принимая во внимание уравнения дви-
движения
а/'./ + Xi = pvit
следующее уравнение:
Q, A6)
Уравнение A6) можно вывести для каждой произвольной обла-
области V тела. Поэтому справедливо локальное соотношение
A7)
3.3. Баланс энтропии
Принцип сохранения энергии для реальных материалов огра-
ограничен вторым законом термодинамики, в котором в качестве
функций состояния выступают энтропия & и абсолютная тем-
температура Т.
Энтропия, так же как и внутренняя энергия, является одно-
однозначной функцией внутреннего состояния термодинамической си-
системы. Энтропия не зависит от пути, по которому происходит
термодинамическое изменение, ее производная является абсо-
абсолютной производной. Энтропия связана с приращением количе-
количества тепла следующей зависимостью:
r-g- = -divq = -^/i/. A)
Здесь через 5 обозначена энтропия, отнесенная к единице
объема.
74 Гл. 3. Термодинамические основы теории упругости
Рассмотрим тело V, ограниченное поверхностью А. Тогда ин-
интеграл
означает скорость изменения энтропии в области V, вызванного
притоком тепла.
Приведем формулу B) к такому виду, чтобы в правой части
выделить поверхностный и объемный интегралы. Поскольку
Г J2
имеем
C)
В уравнении
\ \<pA-\^dV E)
первый член правой части выражает увеличение (либо умень-
уменьшение) энтропии во времени, вызванное притоком тепла через
поверхность А. Этот интеграл выражает поэтому скорость об-
обмена энтропии с окружающей средой. Второй из интегралов пра-
правой части уравнения E) имеет характер источника энтропии; он
описывает скорость производства энтропии. Аналогично уравне-
нению C) § 3.1 имеем
d9> de9> , di9>
где
- [
dA
J ~ая' dt
A V
G)
G)
В силу постулата термодинамики необратимых процессов дол-
должны выполняться условия
dt
(8)
что справедливо также для неоднородной системы.
Обмен энтропии с окружающей средой может быть либо по-
положительным, либо отрицательным в зависимости от направле-
направления притока тепла. Поэтому первый интеграл в формулах G) не
может быть принят в качестве критерия необратимости состоя-
состояния. Это свойство состояния определяется неравенством (8).
3.S. Баланс энтропии 75
Уравнение A), принимая во внимание C), можно предста-
представить в виде
Исключим из закона сохранения энергии
U = o,,Btl — qt,t A0)
и из баланса энтропии
величину <7,-, t = div q. В результате получим следующее выра-
выражение для внутренней энергии:
O = altetl + TS. A2)
Из четырех параметров состояния ец, ац, Г и 5 независимыми
являются только два. Пусть внутренняя энергия U будет функ-
функцией деформаций гц и энтропии S, т. е. U = U(sa,S). В даль-
дальнейших выкладках удобнее будет трактовать U как функцию де-
девяти компонент тензора деформаций ец и энтропии 5. Так опре-
определенная U должна удовлетворять тождеству
dU dU
дец
ввиду симметрии тензора e^j-
С другой стороны, имеем
dU
Сравнивая выражения A2) и A3) и принимая во внимание, что
функции Oji, T не зависят явно от величин ei}, S, получим сле-
следующие зависимости:
dU dU q,T ,
Соотношения A4) позволят нам установить определяющие
уравнения, выражающие зависимости между тензором напряже-*
ний, тензором деформаций и энтропией.
Условие (9)
9 = --^->0 A5)
будет использовано для вывода закона теплопроводности Фурье,
-76 Гл. 3. Термодинамические основы теории упругости
3.4. Закон теплопроводности Фурье
В твердом теле передача тепла реализуется путем теплопро-
теплопроводности, понимаемой как приток энергии от части тела с более
высокой температурой к части с температурой более низкой. Для
передачи тепла необходима разность температур, а точнее, как
мы убедимся ниже, термодинамической силой в этом случае яв-
является градиент температуры. Процесс теплопроводности яв-
является самопроизвольным и необратимым, а потому связанным
с производством энтропии.
Уравнения теплопроводности выводятся из локальной фор-
формулы притока энтропии. Его определяет уравнение A) предыду-
предыдущего параграфа
TS = -qit , = -divq. A)
К этому закону следует добавить неравенство
в = —^ji>0, B)
утверждающее, что в необратимом процессе интенсивность источ-
источника энтропии является величиной строго положительной. Урав-
Уравнение B) можно представить в виде
в = <7,Р„ 1 = 1, 2, 3. C)
Источник энтропии связан с причинами необратимого процесса,
с интенсивными величинами ') Fi} которые называются термо-
термодинамическими силами.
Из сравнения выражений B) и C) вытекает, что
Это означает, что термодинамической силой, вызывающей при-
приток тепла и производство энтропии, является градиент темпера-
температуры. С другой стороны, между составляющими <?,- вектора теп-
теплового потока и термодинамическими силами существует функ-
функциональная зависимость
qi = qi{FuF2,F3). E)
Анализ механизма необратшмого процесса показывает, что ха-
характер зависимости E) чрезвычайно сложен и в общем случае,
') Параметры состояния делятся на экстенсивные, т. е. пропорциональные
массе системы, и интенсивные— не зависящие от массы.
3.4. Закон теплопроводности Фурье 77
как правило, нелинеен. Для медленного термодинамического про-
процесса зависимость E) можно приблизить линейной зависимостью
qi=LllFj, I, /=1, 2, 3. F)
В этих соотношениях отсутствуют постоянные члены. Эти члены
должны равняться нулю, так как в состоянии равновесия нуле-
нулевым значениям сил Ft должны соответствовать нулевые значения
потоков <7,-. Уравнения F) носят название феноменологических
уравнений. В силу постулата Онзагера, величины L,j образуют
симметричную матрицу. Подставляя выражение F) в C), полу-
получим
Так как силы независимы, а источник энтропии — величина по-
положительная, то из формулы G) вытекают следующие ограни-
ограничения ') на коэффициенты Ьц:
Ln>0, (8)
LkkLu S>-r(?/fe + LkjJ, j, k = \, 2, 3 (не суммировать).
Подставляя выражения D) в G) и вводя обозначения
Lij/T2 = Хц, получим неравенство
е^-^-г^./Х). (9)
Наконец, сравнивая выражения (9) и B), убеждаемся, что ком-
компоненты вектора теплового потока должны удовлетворять зави-
зависимости
qt^-^T.j. A0)
Это закон теплопроводности Фурье для анизотропного упругого
тела. Компоненты тензора Хц можно при небольших изменениях
температуры (относительно естественного состояния) тракто-
трактовать как величины постоянные, не зависящие от температуры.
В силу постулата Онзагера, величины Хц также образуют сим-
симметричный тензор. Так как Хц = Lij/T2, на величины Хц следует
наложить такие же ограничения, как и на коэффициенты Ьц (со-
(соотношения (8)).
Подставляя выражение A0) в A), получим зависимость при-
приращения энтропии от температуры
TS^hjT.t,. A1)
Это соотношение мы используем в § 3.8 при выводе дифферен-
дифференциального уравнения притока тепла.
') Де Гроот С, Мазур П., loc. cit., стр. 71.
78 Гл. 3. Термодинамические основы теории упругости
3.5. Свободная энергия.
Первая форма записи определяющих уравнений
В исследовании термодинамических процессов важное зна-
значение имеет новая термодинамическая функция — свободная
энергия, определяемая соотношением
F = U — ST. A)
Свободная энергия, так же как и внутренняя энергия, является
функцией состояния. При бесконечно малом изменении состоя-
состояния упругого тела dF является полным дифференциалом. В каче-
качестве независимых параметров состояния выберем ец и 5, т. е.
положим U = f/(e,;, 5). Тогда из
dU = ati d*tl + TdS B)
получаем
dF = o,i deit — S dT. C)
Отсюда видно, что свободная энергия является функцией пере-
переменных e{j и Т, т. е. F = F(ea, T). Так как dF — полный диффе-
дифференциал, то справедливы соотношения
dF dF
^5 D)
Знание свободной энергии позволяет связать тензор напряжений
с тензором деформаций и температурой.
Разложим выражение свободной энергии в ряд Тейлора по
отношению к естественному состоянию, т. е. состоянию, в кото-
котором e,-j = 0 и Т = То (через Т = То обозначим абсолютную тем-
температуру состояния, в котором как деформации, так и напряже-
напряжения равны нулю):
, 1 ra»f(o, Гр) , о a«f (о, г0) (Т
... . E)
Постоянная величина F@,Tq) представляет собой свободную
энергию естественного состояния; будем считать ее равной нулю.
Величина ^(О, Т0)/дТ = —S@, To) равна нулю как энтро->
пия естественного состояния. Используя соотношение D), имеем
dF \ - др(ЬТ°) I ^(О.^о) - ¦ VF (О, Го)
Q = Т — То.
3.5. Свободная энергия 79
Величина 8 является приращением температуры по сравнению
с температурой естественного состояния То. В дальнейшем в со-
соответствии с принятым предположением о малости деформаций
будем считать, что |8/Г0|<С 1.
Мы получили линейное соотношение для малых деформаций.
В этом уравнении следует положить dF(O,To)/deij = О, так как
для естественного состояния напряжения и деформации равны
нулю. В написанное выше соотношение не может входить по-
постоянный член.
Введем обозначения
d*F@, Гр) _ г d*F@, Го) _
дед '/*»' р
В соотношении E) пренебрежем всеми степенями деформа-
деформаций выше второй. Все члены, зависящие только от температуры,
соберем в один член F0(Q). Таким образом, рассмотрим соотно'
шение
Используем теперь соотношение D), принимая во внимание вы-
выражение для свободной энергии F). Получим
dF т п п /т\
h* дГ~- (8)
Соотношения G) и (8) являются искомыми определяющими
уравнениями. Первое из них называется соотношением Дюга-
меля — Неймана. Нам остается определить второй член в соот-
соотношении (8).
TaKKaK$sS(e«, Г), то
dS =
Величина Т[-&=¦) представляет собой меру количества тепла,
образованного в единице объема тела при изменении темпера-
температуры и при постоянной деформации. Эту величину обозначим че-
через се. Она называется также теплоемкостью при постоянной де-
деформации. С другой стороны, принимая во внимание (8), имеем
dS = h,de4-^lP-dT, A0)
откуда
80 Гл. 3. Термодинамические основы теории упругости
Интегрируя дважды это уравнение и учитывая, что постоянные
интегрирования равны нулю, так как для естественного состоя-
состояния 5 = 0, f = 0, найдем
г г
\\^f-, A2)
Го Го
откуда
Таким образом, формула для энтропии принимает вид
+-?-), д = Т-Т0. A3)
Мы ввели некоторое ограничение на возрастание температуры,
предположив, что Т не сильно превышает То, так что изменение
температуры 6 удовлетворяет неравенству |6/Г0|<С 1. Разлагая
9
далее 1пA + у-] в ряд и сохраняя в нем только первый член,
получим следующие формулы для свободной энергии и энтро-
энтропии:
^ = TcF/«V*|-Pi/ei/e—^Г82- A4)
S*=Pi/e</+ ?.-?-• A5)
В выражении свободной энергии первый член правой части но-
носит чисто деформационный характер, третий член — характер
чисто тепловой. Второй же член носит смешанный характер. Он
выражает взаимодействие поля деформаций и поля температур.
В уравнениях Дюгамеля — Неймана G) величины cTt.kl иг-
играют роль механических материальных констант, а величины р,;,
как мы увидим позже, связаны и с механическими, и с темпера-
температурными константами тела. Если в уравнении G) положить
ец = 0, то остается ац = рг;-0. Величины $ц играют роль темпе-
температурных напряжений и образуют, как и ст^-, симметричный тен-
тензор. Индекс Т при величинах cTljkl означает, что механические
материальные константы, называемые упругими постоянными1),
относятся к изотермическому состоянию.
Покажем теперь, что величины cTijkl образуют тензор четвер-
четвертого ранга. Для доказательства достаточно приравнять выраже-
') В оригинале «коэффициентами податливости». Однако в отечественной
литературе коэффициентами податливости обычно называют величины, обрат-
обратные к cijkt. — Прим. перев
3.5. Свободная энергия 81
ния свободной энергии (скалярной величины) в двух системах
координат. В декартовой системе координат Х{ имеем
f =т сагмеЛ ~ Р«Л*в - -^ е2- A6)
В системе координат х\, имеющей то же начало, что и си-
система хи но повернутой относительно х{, имеем
р — J_ r'T Р' F' о' r' a се Q2 /17^
Г ~ 2 ЧЫЧ Ы Ptrtr 2Т0 ^ '
Используем известные формулы преобразования для тензора де-
деформаций (формулы A2) § 1.3)
Подставляя эти выражения в уравнение A6) и приравнивая A6)
и A7), получим следующие зависимости:
c?tkl *= aiaa/p«ftYar6CaPv6' Pi'/ = aiaa,Ar A9)
Как известно, формулы A9) описывают преобразования тензо-
тензоров четвертого и второго рангов.
Тензор cjjkl имеет 81 компоненту, тензор $ц — 9 компонент.
Число независимых компонент будет значительно меньше, если
учесть, что тензор оц является симметричным. Меняя местами
в уравнении G) индексы i и /, получим
c = c P = P
С другой стороны, симметричность тензора е« = eiu приводит
к зависимости
«Г/ч =«?/». B1)
Таким образом, мы сократили число независимых компонент тен-
тензора cTijkl до 36, а тензора р,;- до 6. Дальнейшее сокращение
числа компонент тензора cj.kl получим из термодинамических
уравнений. Так как dF является полным дифференциалом, то
д-F d2F даи дак, , ч
или -5-^ = ^-. B2)
дъ1, d4i deki дец deki дец
Это соотношение приводит к зависимости
°Тцы = clui-
Благодаря соотношению B3) тензор cTljkl сводится к 21 взаимно
независимой компоненте.
Обратим внимание на уравнение A5) для энтропии. Вто-
Второй член правой части этого уравнения носит чисто тепловой
82 Гл. 3. Термодинамические основы теории упругости
характер, в то время как первый член характеризует связанность
поля деформаций с полем температур. Так как энтропия яв-
является скалярной величиной, то член $цгц в уравнении A5) дол-
должен быть также инвариантом.
Рассмотрим еще частный случай термодинамического про-
процесса, а именно так называемый изотермический процесс. Этот
процесс возникает, когда обмен тепла с окружающей средой
происходит в теле при постоянной температуре То @=0). В этом
случае получим
Правая часть первого из уравнений B4) представляет собой ра-
работу деформации, произведенную при изотермических условиях.
Обозначим ее через WT.
3.6. Термодинамический потенциал Гиббса.
Вторая форма записи определяющих уравнений
В термодинамике важную роль играет термодинамический
потенциал Гиббса, который, будучи функцией состояния, выра-
выражается формулой
G = F — o/lei/. A)
Поэтому
dG = dF — etl doi, — atl deljt
откуда, принимая во внимание формулу C) § 3.5, получим
dG etl don — S dT. B)
Так как dG является полным дифференциалом, т. е. G =
з= G(oij,T), то
«=©/*< +(?•)."¦
Отсюда
г г> )
Разложим потенциал G(ct,j, T) в окрестности естественного со-
состояния в ряд Тейлора. Поступая аналогично тому, как в случае
свободной энергии, получим
- G = { s]jkPijokl + ачочв + Go @). D)
3.6. Термодинамический потенциал Гиббса 83
Мы ограничимся рассмотрением малых деформаций. Используя
формулы C), получим
F)
Рассмотрим сначала выражение E). Коэффициенты sjjkl назы-
называются коэффициентами податливости изометрического состоя-
состояния. Так как потенциал Гиббса является скаляром, то функ-
функция G инвариантна относительно изменения системы координат.
Величины sTl!kl образуют тензор четвертого ранга. Здесь спра-
справедливы свойства симметрии, аналогичные свойствам тензора
cjjk[. Поэтому имеем
оГ <.г сг „г <,г ст /7\
uijkl Ajikl> "ijkl utjlk> utjkl "kit}' \''
Величины ctij образуют симметричный тензор второго ранга,
что легко проверить при помощи выражения E), принимая во
внимание симметрию тензора ец. Если в выражении E) считать
напряжения оы равными нулю, то получим
^ = аг/6. (8)
Последняя формула выражает деформацию, вызванную из-
изменением температуры в элементарном объеме dV тела, сво-
свободном на поверхности от напряжений. Величины a,-j образуют
тензор теплового расширения тела.
Выражение E) можно трактовать как решение уравнений
Дюгамеля — Неймана
<^ = 'Г,А-Р(/е (9)
относительно деформаций. Отсюда вытекает, что
Ptj~aklCtjkl> StjklCkllf = '' аЦ == $ijStjkr W)
Очевидно, что величины p,j зависят как от механических, так и
тепловых свойств тела.
Придадим функции G другой вид, учитывая, что G =
= F — OijEij. Принимая во внимание формулу F) § 3.5 и фор-
формулу (9) этого параграфа, получим
-О«|е//а</+-д-р//е//в-/?о(в). A1)
Выражая деформации через напряжения по формуле E) и учи-
учитывая третью из формул A0), найдем, что
84 Гл. 3. Термодинамические основы теории упругости
Из сравнения формул D) и A2) вытекает, что
| A3)
Подставляя выражение A3) в F), получим следующее выра-
выражение для энтропии:
4^-. A4)
Так как
дТ ~ Се1ПТ
~ Се1ПТ
0
в соответствии с формулой A2а) пункта 3.5, то
т
S — aijOtj + fajaijQ + Celn-j^. A5)
С другой стороны, трактуя S как функцию напряжений и темпе-
температуры, имеем
(Л С N
-~г) называется теплоемкостью са при постоянном
напряжении. Из формулы A4) получим
d2F
...
ЫоЛет) A7)
Так как
ТО
Т A8)
Для малых изменений температуры относительно Тй будем счи-
считать, что H/7'о|<С 1. Разлагая 1п(Г/Г0) в ряд относительно при-
приращения температуры 0 и сохраняя только один член разложе-
разложения, получим для энтропии следующее приближение:
S » пцОц + Са jr; . A9)
И здесь мы различаем чисто тепловой член и член, возникающий
от взаимодействия поля деформаций и поля температур.
Рассмотрим частный случай изотермического процесса. Для
8 = 0 имеем
3.7. Внутренняя энергия
Обозначим правую часть первого из уравнений через Wh. Это
так называемая дополнительная работа. Для изотермического
процесса она равна потенциалу Гиббса с обратным знаком.
3.7. Внутренняя энергия.
Третья форма записи определяющих уравнений
Рассмотрим внутреннюю энергию U == U{e,ih S). Разлагая ее
относительно естественного состояния в ряд Тейлора, получим
следующее выражение:
U = ^cSjkfitjzkl-btNS^Uu{S). A)
В этом разложении мы сохранили только первую и вторую сте-
степени деформаций; С/о является функцией только энтропии 5. Так
как
то
(^) C)
Ы
В выражении A) cfjk[ являются адиабатическими коэффициен-
коэффициентами жесткости анизотропного тела, так что для S = 0 имеем
U = -2cbkiziizkr ^а основе тех же самых рассуждений, которые
мы применили к свободной энергии, убедимся, что справедливы
следующие соотношения симметрии:
rS =r$ rS —rS rS —rS л, —л, (С\
vijkl Ljtkl> Ltjkl Ltjlk' LHkl — Lkllj' vit—vj4' \D>
Соотношение (З) дает зависимость между компонентами тен-
тензора напряжений, тензора деформаций и энтропией.
Найдем еще зависимости, связывающие величины cfjkl и cfjkl,
а также величины p,j и A,j, предполагая, что |0/то|<С 1. Под-
Подставляя температуру 0, определяемую формулой A5) § 3.5:
F)
в соотношения Дюгамеля — Неймана
получим зависимости
I T Pi/Pft/Го \ РцТ0
86 Гл. 3. Термодинамические основы теории упругости
Из сравнения соотношений C) и (8) находим, что
(9)
Рассмотрим еще частный случай адиабатического состояния.
Для S = О имеем
aH = cflkiekP u = Tcilkieiieki- A°)
Здесь внутренняя энергия равна работе деформации W8 с коэф-
коэффициентами cf/k[, отнесенными к адиабатическому состоянию
U = WS. A1)
Из формулы F) при S = О получим формулу для температуры
в адиабатическом состоянии
е = --^ fc/fy. A2)
При рассуждениях, проведенных в последних трех парагра-
параграфах, мы получили следующую связь между напряжениями, де-
деформациями и температурой (или энтропией):
oti = cTttkfikl — $ttQ, A3)
en==sf/«orj« + a</9» (I4)
Соотношения Дюгамеля — Неймана A3) мы нашли, используя
свободную энергию, соотношения A4)—путем использования
потенциала Гиббса, наконец, соотношения A5) —путем исполь-
использования в качестве функции состояния внутренней энергии.
К этим соотношениям следует добавить выражение для эн-
энтропии. В предположении, что 19/Го | <С 1, имеем
или
са ^7 • A7)
3.8. Уравнение притока тепла
Рассмотрим выражение для энтропии
S = M'/ + Celn^-. A)
Дифференцируя последнее соотношение по времени и умножая
его на Т, получим
cj. B)
3.8. Уравнение притока тепла 87
Это уравнение сравним с полученным ранее уравнением A1)
§ 3.4
TS*=Xt,T,tl. C)
В результате получим нелинейное дифференциальное уравнение
ХцТа/~сгТ~Щ?.{1- = 0. D)
Здесь нелинейность проявляется в третьем члене уравнения:
— $цТёц. Если, однако, в выражении Г = Го[1 +F/Г0)] при-
примем, как это мы делали ранее, допущение ] 0/Го ] <ёС 1, то после
линеаризации получим линейное уравнение
V. ,7-^-7-00^=0. E)
Если в теле действуют источники тепла, то в уравнении C) сле-
следует учесть влияние этих источников:
TS = -qt,l-\-w = kilT,ij + w. F)
Здесь через w обозначено количество тепла, возникающее в еди-
единицу времени в единице объема1). Уравнение притока тепла,
в которое входят источники тепла, имеет вид
А^е. ч — сеё — Т&цВц = - w. G)
Здесь член —Т$цгц отражает влияние связанности поля де-
деформаций и поля температур.
К уравнению притока тепла G) следует добавить граничные
и начальные условия. Граничные условия могут быть выбраны
в нескольких видах. Так, граничные условия, выражающие дей-
действие окружающей среды на тело, могут быть представлены на
поверхности А следующими альтернативами.
1. На А задана температура 9 как функция положения и
времени
е = Л(х, 0. хеА, />0. (8)
2. На поверхности А задан градиент температуры dQ/dn как
функция положения и времени
Q,n = k(x,t), хеЛ, г>0, 9,„=|Ь). (9)
!) Величина w называется источником тепла. — Прим. перев.
2) Наряду с обозначением дв/dxt = 9, i для производных по декартовым
координатам будем использовать обозначения дв/дп = 9, п для производной
. „ дв дд
ПР нормали к поверхности А. Заметим, что -т— = nj -т—.
88 Гл. 3. Термодинамические основы теории упругости
3. Задана функция
JL + a)Q(x,t) = f(x,t), хеЛ t > О, A0)
где а — постоянная величина.
Условие 2 соответствует тепловому потоку через поверх-
поверхность А. Случай 0, „ = 0 соответствует тепловой изоляции на по-
поверхности, ограничивающей тело. Наконец, условие 3 отвечает
свободному теплообмену на поверхности А. Могут, наконец,
встретиться случаи смешанных граничных тепловых условий,
когда на разных частях поверхности А заданы разные граничные
условия.
Начальные условия отражают распределение температуры
в начальный момент t = 0 как функцию положения
9(х, 0) = /(х), хе=К, t = 0. A1)
Уравнение G) связано с уравнениями для перемещений, ко-
которые мы выведем в § 3.9. Там тоже будут даны граничные и
начальные условия для перемещений, которые связаны с чле-
членом —ё^р^Го в уравнении G).
Заметим, наконец, что в случае установившегося притока
тепла из уравнения G) исчезают частные производные по вре-
времени. Температурное поле становится независимым от поля пе-
перемещений, а распределение температуры описывается эллипти-
эллиптическим дифференциальным уравнением, что гарантируется усло-
условиями (8) § 3.4
Я,ув. „ = -w. A2)
Граничное условие для этого уравнения может принимать один
из трех упомянутых выше видов, разумеется не зависящих от
времени.
3.9. Основные дифференциальные уравнения термоупругости
Знание определяющих уравнений, выведенных в § 3.5, позво-
позволяет выразить уравнения движения через перемещения и темпе-
температуру. Если в уравнения движения
оц,1 + Xt = put, оц=ац, i, /=1, 2, 3, A)
подставить соотношения Дюгамеля — Неймана
^ = </«e«-M B)
и затем выразить деформации через перемещения, то в резуль-
результате получим систему трех уравнений
т CU К i + "л *). / + xi = рй< + М. /•• C)
S.9. Основные дифференциальные уравнения термоупру&ости 89
В этих уравнениях фигурируют три составляющие вектора пе-
перемещения и температура. Замкнутую систему уравнений тер-
термоупругости получим, присоединяя к уравнениям C) уравнение
притока тепла
Л/Ду — cj — Toh,Btl = -w. D)
Уравнения C) и D) являются связанными. Действие массовых
сил и внешних нагрузок вызывает в теле как поле перемещений,
так и температурное поле. Точно так же действие источников
тепла и нагревание (либо охлаждение) поверхности тела связаны
с возникновением температурного поля и поля перемещений.
К уравнениям C) и D) следует добавить начальные и гра-
граничные условия. В качестве начальных условий принимается рас-
распределение перемещений, их скоростей и распределение темпе-
температуры в некоторый начальный момент, например в момент
t = t0:
ut(x,to) = ft(x), ut(x,to) = gt(x), 9(x, *0) = /г(х), х е V. E)
В качестве граничных условий принимаются заданные переме-
перемещения и, = Ui(\,t) на поверхности А, ограничивающей тело,
либо нагрузки р, = оц (*, 0 nj (х). х е Л. Могут также встре-
встретиться смешанные граничные условия — нагрузки на части по-
поверхности Аа и перемещения на части Аи, причем А = A0-\-Av.
Для уравнения D) граничным условием будет либо заданная
температура 0(х, t), хеЛ, либо тепловой поток qinl = — Я,^п<0>,
на поверхности А.
Основные уравнения термоупругости можно выразить также
через перемещения и энтропию. Если в уравнения A) подста-
подставим соотношения C) § 3.7
а деформации выразим через перемещения, то в результате по-
получим уравнения
Т cmi К, / + "i. *),, + xt ~ Pfi/ + %s. r W
Исключая температуру из уравнения притока тепла D) и вос-
воспользовавшись выражением для энтропии
S-Mw + Tje, (8)
получим четвертое уравнение
90 Г л- 3. Термодинамические основы теории ynpyiocTti
К уравнениям G) и (9) следует добавить граничные и началь-
начальные условия, выраженные через перемещения и энтропию.
Уравнения термоупругости C) и D), а также G) и (9) от-
относятся к динамическим задачам. Однако если причины, вызы-
вызывающие движение тела, изменяются во времени очень медленно,
то в уравнениях C) и G) можно пренебречь инерционными чле-
членами, трактуя задачу как квазистатическую. В этом частном слу-
случае получим следующую систему уравнений:
М. и — сЕе — ГоМ</ = - я». -00
Последняя система уравнений является связанной. В случае
квазистатической задачи отпадают начальные условия для пе-
перемещений. Остается только начальное условие Q(\,to) = h(x).
Если величины, вызывающие деформацию и температуру, из-
изменяются достаточно медленно от нуля до своих конечных зна-
значений и остаются в таком состоянии, то мы имеем дело при
t —> оо с установившимся процессом, со статической задачей. Пе-
Перемещение и температура становятся не зависящими от времени
н являются функциями только положения. В уравнении (П) ис-
исчезают производные по времени. В этом случае имеем несвязан-
несвязанную систему уравнений
ц(, = -». A3)
Решая уравнение A3), получаем распределение температуры
в теле. Известную уже функцию 0 подставляем в правую часть
уравнений A2).
3.10. Дифференциальные уравнения классической
эластостатики и эластокинетики
Рассмотрим частный случай действия только внешних сил на
рассматриваемое тело. Предположим, что нагрузки возрастают
достаточно медленно до своих конечных значений и находятся
в этом конечном состоянии достаточно долго. При возрастании
нагрузок одновременно возникает температурное поле. Однако
при постоянных нагрузках и по прошествии продолжительного
времени можно принять, что тело находится в изотермическом
состоянии, благодаря обмену тепла с окружающей средой. До-
Допущение изотермического состояния для статических задач ле-
лежит в основе классической эластостатики. Это предположение
позволяет значительно упростить дифференциальные уравнения.
3.10. Дифференциальные уравнения эластостатики и эластокинетики 91
Прежде всего в предположении 0 = 0 отпадает уравнение при-
притока тепла, а также тепловые члены в правой части уравнений
для перемещений. В результате остается система уравнений
yef/iw К * + «*.,),/ + *« = 0- A)
Из выражения свободной энергии (формула A4) § 3.5) выпа-
выпадают члены, содержащие температуру, и остается
^ ^V rr B)
Свободная энергия равна в этом случае собственной работе де-
деформации WT, а ее дифференциал имеет вид
dF =^dWT=^- dzt, = otldztl, C)
где
Точно так же для термодинамического потенциала Гиббса полу-
получим
-G = lsj-/Wow0w-V« E)
^r *4 = s]jklokl. F)
Величина WK, называемая «дополнительной работой», равна по-
потенциалу Гиббса с обратным знаком.
Перейдем теперь к динамическим задачам и введем некото-
некоторое ограничение. Предположим, что единственными причинами,
вызывающими движение тела, являются внешние нагрузки. По-
Положим далее, что внутри тела отсутствуют источники тепла. При
быстро меняющихся во времени нагрузках обмен тепла за счет
теплопроводности происходит очень медленно и термодинамиче-
термодинамический процесс близок к адиабатическому процессу.
Принятие в классической эластокинетике предположения, что
термодинамический процесс является адиабатическим, приводит
к значительному упрощению уравнений. Считая далее, что 5 = 0,
5 = const, получим из уравнения A5) § 3.5
e = -?P'/V G)
Интегрируя последнее уравнение в предположении, что ъц = 0
для 8 = О^получим зависимость
ffW (8)
92 1"л- 3. Термодинамические основы теории упругости
Это уравнение заменяет уравнение притока тепла и связывает
температуру с деформацией тела в адиабатическом процессе.
Подставляя теперь температуру 8 из уравнения (8) в уравне-
уравнения движения C) § 3.9, получим уравнение
у сЬм К i + Ч *). , + xt = Рй,- (9)
Здесь
cs -ст |
являются упругими постоянными для адиабатического состояния
(ср. с формулой (9) § 3.7).
Решая уравнения (9), получим перемещения щ. С их по-
помощью вычислим деформацию гц и подсчитаем температуру 8
по формуле (8).
Для адиабатического процесса при 5 = 0 выражение вну-
внутренней энергии принимает вид
Внутренняя энергия равна здесь работе деформации Ws, при-
причем
dU dWs
<Wss=-d^dB4=:-d^de4=a4de4- 00
3.11. Случай температурных напряжений
Во многих случаях мы разыскиваем решение для тел, под-
подвергнутых только действию источника тепла и нагреванию по
поверхности.
Уравнения, описывающие деформацию и температуру в теле,
имеют вид
e/., A).
Эксперимент показывает, что эффект связанности в уравне-
уравнениях "A) и B) незначителен '), поэтому мы не сделаем большой
ошибки, если пренебрежем в уравнении B) членом Тффч.
Тогда получим упрощенную систему уравнений
у сиы К i + "/. *). / = Р"г + Р«/в. г C)
hfi.a — cBQ = -w. D)
') Учет связанности мы обсудим подробнее в § 12.6.
3.12. Материальные константы 93
Уравнение D) не зависит от уравнения C). Решаем сначала уп-
упрощенное уравнение притока тепла D) при заданных начальном
и граничном условиях. После этого известную функцию 8 под-
подставляем в уравнение C). Решение этих уравнений дает пере-
перемещения щ. В квазистатических задачах после отбрасывания
инерционных членов имеем систему уравнений
Че, i/ — ceQ = - w. F)
В уравнениях E) время играет роль параметра.
Если тепловой процесс является установившимся, то в урав-
уравнениях E) и F) отбрасываем временные производные, получая
систему уравнений
я,„е, „ = - w. (8)
Система уравнений G) и (8) идентична системе уравнений, най-
найденной для установившихся задач термоупругости (см. уравне-
уравнения A2) и A3) § 3.9 для Х{ = 0).
3.12. Материальные константы анизотропного упругого тела
Рассмотрим определяющие уравнения термоупругости
0Г*/ = сГ/«е*/ —Р//в- i, I, Ь, 1=1, 2, 3. A)
Как было установлено в § 3.5, cTijkl является тензором четвер-
четвертого ранга, a р*; — тензором второго ранга. В дальнейших рас-
рассуждениях индекс Т при коэффициентах cjfkl будем опускать.
Тензоры Сфг и pz-j удовлетворяют следующим условиям сим-
симметрии:
cijkl ~ С/Ш> Cijkl — Ctjlk, Cijki = Сыц, fit) = $jt. B)
С учетом этих условий имеем, например,
2с,/31в31 + 2сг/12е12 — р(/в. C)
Предположим, что 8 = 0 и ец = е, в то время как остальные
компоненты тензора деформаций равны нулю. Тогда
стп = сШ1е. D)
Полученные напряжения соответствуют одноосному растяжению
тела в направлении оси х\.
94
Гл. 3. Термодинамические основы теории упругости
Допустим теперь, что 8 = 0 и егг = е, в то время как осталь-
остальные компоненты тензора деформации равны нулю. Тогда из фор-
формулы C) получим
(Т22 = С22228- E)
Отсюда видно, что при одном и том же типе растяжения (сжа-
(сжатия) и при одном и том же значении деформации получаем раз-
различные значения напряжений, если сцц ф Сгггг- Отсюда выте-
вытекает, что линейное соотношение C) справедливо для анизотроп-
анизотропного тела, характеризующегося тем, что его упругие свойства за-
зависят от направления.
Преобразование коэффициентов сцы, $ц при замене системы
координат приведено в § 3.5 (формулы A9)). Обозначая мате-
материальные константы в системе координат хг через capY6, pap,
а в системе координат х'. через c'ijkl, $'tj, получим следующие
формулы преобразований:
<,ы = "А"ЛсаРуа> F)
ft/ = "AfW G)
Здесь через n,a, ... обозначены косинусы углов между осями х\
и осями ха, как указывает следующая таблица:
(8)
Коэффициенты сны, pij с учетом соотношений симметрии B)
представим в виде матриц:
С1122 С1133 С1123 С1131 С1112
С2222 CS233 С2223 С2231 С2212
С3323 С3331
С2323 С2331
С3131
<
х>2
4
Х\
«11
«21
«31
хг
«12
«22
«32
Хг
«13
«23
«33
С3312
С2312
С3112
С1212
Pll
^
22
^23
Рзз
(9)
Здесь выписаны только верхние части матриц; нижние части
симметричны верхним относительно главной диагонали.
Покажем сначала, что упругие постоянные обладают цен-
центральной симметрией. Преобразование относительно центра сим-
3.12. Материальные константы
95
метрии (инверсия) заключается в переводе точки (хих2, х3)
в положение (—хи —х2, —х%). При преобразовании системы
координат относительно центра симметрии коэффициенты nia,
rtjp, ... принимают значения —б1а, —б^р, ... . Из формулы F)
получим
= w (Ю)
Cijkl
Отсюда видно, что при инверсии упругие постоянные не изме-
изменяются. Аналогичный результат получим для коэффициентов
Матрицы (9) содержат 21 независимый коэффициент сцъ.\ и 6 не-
независимых коэффициентов $ц. Это число констант соответствует
триклинной кристаллической системе. Значительное уменьшение
числа независимых материальных констант получим в кристал-
кристаллах, имеющих двукратную ось симметрии. Говорят, что кристалл
имеет ось симметрии я-го порядка, если свободная энергия и
напряжения не изменяются после каждого поворота этой оси на
угол 2я/я. В случае двукратной оси симметрии после каждого
поворота системы координат на угол 180° относительно этой оси
число отличных от нуля постоянных в повернутой системе коор-
координат должно оставаться тем же самым.
Допустим, что двукратной осью является ось х3. При пово-
повороте системы координат х'{ относительно двукратной оси *3 на
180° получим для х'3 = х3, x'i = — xl, x'2 = — x2 следующую таб-
таблицу коэффициентов:
4
-1
0
0
х2
0
0
*з
0
0
1
Для вычисления коэффициентов c'{jk[, $'tj воспользуемся фор-
формулами F) и G); например
С
1Ш'
'1132 "
Pll = "lo"ipPop = ^11»
Р|3 = "кЛАр — — Pl3-
96
Гл. 3. Термодинамические основы теории упругости
Поступая так далее, получаем
С1Ш=С111Г С1122="С1122' c'l 133""С1133" е1123=~С11231 C113l"*~c
с =.-с с - -
'2233' 2223 2223" 22с
1131" 1112 1112'
С223Г
2323~С2323'
3331'
3131 С313Г
2212 2212'
с' -г
3312 3312:
¦ A2)
С1212~С1212>
P22==
Pl3 = — Pl3>
Рзз ===
A3)
Если анизотропное упругое тело обладает свойством симметрии
относительно двукратной оси симметрии, то коэффициенты с' ы
и р^ в повернутой системе должны совпадать с коэффициен-
коэффициентами сцм и p,v,- в неподвижной системе координат. Опуская в со-
соотношениях A2) и A3) штрихи, убеждаемся, что шесть коэффи-
коэффициентов должны равняться нулю:
СП23~ С
1131
С2231 == С3323=== С3331 *== С2312==: с3112 =
В матрицах (9) остается 13 коэффициентов
циента р,> Матрицы (9) принимают вид
и 4 коэффи-
коэффис\\\\
С2222
^пзз 0
с99-, 0
сзззз 0
С2323
0
0
0
С233|
С3131
2212
С3312
0
0
С1212
p,i
Р,2
^22
0
о
Рзз
A4)
Тринадцать коэффициентов Сци и четыре коэффициента р<;- со-
соответствуют кристаллам моноклинной системы.
Теперь предположим, что двукратной осью симметрии яв-
является ось xi (т. е. *' = *,, х'2 = ~х2, *з = — *3)- В этом случае
на основании аналогичных выкладок получаем следующие ма-
3.12. Материальные константы
97
трицы коэффициентов:
М122
С2222
С1133
С2233
Сзззз
С1123
С2223
С3323
С2323
0
0
0
0
С3131
0
0
0
0
СЗП2
С1212
Рп
О
022
О
023
§33
A5)
Если предположить, что анизотропное тело имеет две взаимно
ортогональные двукратные оси симметрии, например ось Х\ и
ось *з, то постоянные сцы и р,-3- должны одновременно удовлетво-
удовлетворять схемам A4) и A5). А это возможно только тогда, когда
СШ2 = С2212 = С3312 == С2331 = О,
СП23 = С2223 = С3323 = с3112 = 0, 012= 023 = 0.
Получаем следующие матрицы коэффициентов:
С1111 С1122 СПЗЗ
A6)
С1212
Такая система характеризуется 9 постоянными cim и 3 постоян-
постоянными Pf3- и называется ортотропной системой. Этот случай соот-
соответствует ромбическому типу кристаллов. Можно показать, что
существование трех двукратных осей симметрии не приводит
к дальнейшему сокращению числа постоянных СцЫ и р,-3-.
Рассмотрим далее случай, когда анизотропное тело характе-
характеризуется осью симметрии четвертого порядка. В таком теле уп-
упругие свойства повторяются при повороте системы координат
относительно оси симметрии на 2л/4 = 90°. Если за ось симме-
симметрии четвертого порядка примем ось х3, то x3=x'r xl = — х'2,
х2 = х[, а коэффициенты nia даются следующей таблицей:
0
0
0
С2323
0
0
0
0
С3131
0
0
0
0
0
0
022
0
0
033
4
4
Х\
0
-1
0
Хг
1
0
0
*з
0
0
1
4 В, Новацкий
Гл. 3. Термодинамические основы теории ynpyzoctu
Вычисляя коэффициенты c'ijk[u E^ в системе координат х\
по формулам F) и G), получим следующие соотношения:
С\Ш~С2222' С1122=С22И С1133=С2233' С1123=~С2213' СИ31=С2232' С1112=~С2221>
С2222=С1111' С2233=С1133' С2223=~СЩЗ' С2231=С11321 С2212=~ СЦ21>
с —г г' =-с с =-с с' =с
3333 3333' 3323 3313' 3331 1332' 2312 1321'
f / i
С2323 С1313" С2331 С1332" С2312="С1321>
С3131 С3232' С3112 С3221
.A7)
Свойство симметрии требует, чтобы в обеих системах координат
xt и х\ значения постоянных были одинаковыми. Поэтому
можно опустить штрихи в соотношениях A7). Используя соотно-
соотношения B), приходим к выводу, что
С1133 — C2233i ^2323 —
с'
2212)
а остальные отличные от нуля составляющие суть
С3333> СЦ22> С1212> РЗЗ-
Таким образом получаем следующие матрицы коэффициентов:
С1111 СП22 С1133
С1111 С1133
С3333
0
0
0
С2323
0
0
0
0
С2323
С1П2
С1112
0
0
0
С1212
Рм Р«з
Рзз
• A8)
Здесь мы имеем 7 независимых коэффициентов сиы и 3 коэффи-
коэффициента f5jj. Если осью симметрии четвертого порядка является
3.12. Материальные константы
99
ось
x2 — x'v то получаем
С1П1 Сц22 Сцзз 0
С2222 Сц22 0
Сип 0
С1212
матрицы
Сц31
0
— С|,3|
0
С3131
0
0
0
0
0
С12
Pl2 О
022 Pl2
Рзз
A9)
ЦП
СП22
Спи
р..
О
р..
о
о
B0)
Если тело характеризуется двумя взаимно ортогональными
осями симметрии четвертого порядка и этими осями являются,
например, оси х2 и х3, то между элементами матриц A8) и A9)
должны существовать следующие соотношения:
С1112 == C113l = 0> Pll = Pi2 ^ РзЗ> Pl2^Pl3^O.
Таким образом мы получаем матрицы
1122 1122
0 0 0
0 0 0
ст2 0 0
1212
С1212
в которые входят три независимые составляющие тензора
и одна тензора f5,j- Случай трех взаимно ортогональных осей
симметрии четвертого порядка не приводит к дальнейшему со-
сокращению числа постоянных.
Рассмотрим еще гексагональную систему анизотропного тела
(кристалла). В этой системе потребуем, чтобы упругие свойства
тела были неизменными при следующем преобразовании коор-
координат:
т. е. чтобы они не зависели от поворота системы координат во-
вокруг оси лг3. Коэффициенты nia указаны в таблице
1
*2
*3
Х\
COS fl1
-sin*
0
х2
sind
cos d
0
Хз
0
0
1
100 Гл. 3. Термодинамические основы теории упругости
Определение коэффициентов с\т и E^ при помощи формул
преобразования F) и G) затруднительно. Поэтому сокращение
числа коэффициентов проведем другим путем. Будем исходить
из преобразования деформаций
е'ц= "AV B2)
Из формул B2) найдем поочередно
еп =еп cos2 ^ + 2e]2 sin ft cos ¦& + e^sin2^, 833 = e33,
J 22
e23cosd, г'м = e,3cos'fl' -\- esinft
ei2 = (e22 ~"' en)sin ft cos д + ei2 (cos2 ft ~~ sin2 ft)-
Компонеты тензора напряжений a'tj в системе координат
х\, х'2, х'3 преобразуются по тем же правилам, что и деформа-
деформации ejj-:
Для о[. получим формулы, аналогичные формулам B3).
Рассмотрим соотношение 0з3=ог3з> котоРое> будучи выра-
выражено через деформации, примет вид
С3311е11 "Т" С3322Е22 "Г" С3333633 "Ь 2^3323623 ' ^СЪП\&М ~l~ ^C33I2EI2 — ^33^ ==
= C33iieu + с3322е22+ ^3333633 + 2c332ie23 +203331631+2c33i2ei2—Рзз9- B5)
Если в левую часть уравнения B5) мы подставим &\, по фор-
формуле B3), а затем опустим штрихи при cijk[, то получим
следующее уравнение:
еи [(с3з22 — сззи) sin2* — 2c33i2 sin ft cosd] +
+ % [(С3311 — сзз22)sin2 ft + 2c33i2 sin ft cos d] +
+ 2e32 [(cos ft— l)c3323 + c333, sin ft] + 2e31 [(cosd — 1) C333, —Сзз23 sin ft] +
+ 2e12 [(C33,, — c3322) sin О cos ft — 2c3312 sin2 ft] = 0. B6)
Приравнивая нулю коэффициенты при eu, e22 и е12, получаем
соотношения
(«3311 — cm*) sin2 ft ± 2c33J2 sin * cos ft = 0,
(сззп — <?332g)sin ft cos d — 2c3312 sin2 ft = 0, ^
которые должны выполняться для произвольного угла ft. По-
Поэтому
сзз»2> сззи —0. (б)
3.12. Материальные константы
101
Если приравняем нулю коэффициенты при е/з и егз, то получим
С3323 = С3331 = 0- (в)
Произведем такие же вычисления для 0[3=013, принимая во
внимание формулу B4), где 0{3 = ff^cosd + c^sind. Прирав-
Приравнивая нулю коэффициенты при ец, получим
С1322 = С1311 ==L С1312 = С2311 =0- (г)
Приравнивание нулю коэффициентов при егг приводит к соот-
соотношениям (г), а коэффициентов при ei2 — к соотношениям
СШЗ — С2213>
(д)
Наконец, приравнивание нулю коэффициентов при езз приводит
к соотношениям (в), а при е/з — к равенству
^2313 = 0- (е)
Приравнивание напряжений си и а'и приводит к дальнейшим
соотношениям
С1П2 — С3312 — 0» СЗЗП —С3322> СШ1—С2222>
(ж)
С1212 ^"(С1Ш C221l). С122
Наконец, из равенства ог2з = а2з получаем
Матрица коэффициентов cljkl принимает следующий вид:
С1И1
СП22
Спи
С1133
С1133
сзззз
0
0
0
«1313
0
0
0
i 0
Ста
0
0
0
0
0
-1111
—C
221l
B7)
Упругое тело, обладающее гексагональной симметрией, опреде-
определяется пятью независимыми коэффициентами.
Величины Р^у для гексагональной симметрии найдем из фор-
формулы G). Эта формула имеет такую же структуру, что и фор-
формула B4). Поэтому достаточно в этой формуле заменить о'^
102 Гл. 3. Термодинамические основы теории упругости
и ац на р'г/ и pir Аналогично формулам B3) имеем
р;, = р„ cos2Ь + 2р12 sin Ь cosФ + Р22 sin2ф = р„,
Р22 = Р„ sin2 Ь — 2р12 sin Ь cos « + р22 cos2 Ь = Р22,
р;2 = (Р22 — Р„) sin Ь cos Ь + Р12 (cos2 d — sin2 Ь),
Так как эти формулы должны удовлетворяться независимо от
значения ¦&, то
Pi 1=^22' Pl2 = p23 = P31 =0.
В случае гексагональной симметрии появляются только две не-
нер Н
зависимые составляющие тензора р*
трица тензора р,_,-:
ри О О
Рп О
Рзз
Ниже представлена ма-
маB8)
Рассмотрим тело, которое характеризуется гексагональной
симметрией относительно двух взаимно ортогональных осей.
Тогда имеет место схема B7), с той лишь разницей, что появ-
появляются дополнительные соотношения
(с с) с сш1> сззп =cii22> Рзз = Рп»
У == Рц == Р22 = Рзз.
Вводя постоянные')
> = -2"(Cnii cim)> ^^
получаем следующие матрицы материальных констант:
Х+2ц
0
0
0
|Л
0
0
0
0
|Л
0
0
0
0
0
и
у О О
у О
У
B9)
Требование, чтобы тело имело гексагональную симметрию от-
относительно трех взаимно ортогональных осей, не приводит
к дальнейшему сокращению числа коэффициентов.
') Постоянные Яиц называются коэффициентами (или постоянными)
Ламе. — Прим. перев-
3.12. Материальные константы
Используя матрицы B9), представим выражение для сво-
свободной энергии в виде
1
После простых вычислений получаем
F = \iztiztj + -j ekkenrl — y$zkk — -^ 92. C0)
Дифференцируя частным образом свободную энергию по дефор-
деформациям, получим уравнение Дюгамеля — Неймана
yQNij. C1)
Для энтропии получим следующую формулу:
T-9. C2)
Заметим, что формулы C0) — C2) справедливы для изотропного
тела, т. е. такого, в котором упругие свойства одинаковы во всех
направлениях.
Потребуем, чтобы коэффициенты с,^; и р^- принимали одни
и те же значения в каждой системе координат. Этому требова-
требованию удовлетворим, взяв capY6 в виде общего изотропного тензора
четвертого ранга, а коэффициенты pag в виде изотропного тен-
тензора :) второго ранга. Поэтому, полагая
^ap6v6 + 66ау6р6 + C6a66pv, Pap = \6а|3, C3)
где X, b, с, у являются постоянными величинами, получаем из
формул преобразования F) и G) следующие зависимости:
с'цы = MiAi + 6б« Л + <*ifi,k ^ сиы> h; = y6(T C4)
Подставляя зависимость C4) в соотношения A), найдем, что
Учитывая симметрию тензора деформаций (е^- = ец), получим
окончательно
oit = 2VLeil+{Xekk — yQNii, 2ц = Ь + с. C5)
Отсюда видно, что соотношения C5) и C1) идентичны.
В случае изотропии остаются только две механические ма-
материальные постоянные К, ц. Величина у, как мы увидим позже,
связана с величинами % и ц, а также с коэффициентом тепло-
теплового расширения а*.
') Изотропный тензор второго ранга является шаровым тензором (см.
стр. 56). — Прим. перев.
104 Гл. 3. Термодинамические бсндвы теории упругбсти
Аналогичные рассуждения можно провести по отношению
к коэффициентам cfjkl и ¦&ij, входящим в выражение внутрен-
внутренней энергии
и = Т cSuki*i,*ki ~ V*/5 + ио (S)> C6)
и по отношению к коэффициентам sTljkl и atj, входящим в вы-
выражение потенциала Гиббса
- G =4 sllklotlokl + atlotlQ + Go (9). C7)
Коэффициенты cfjkl и sj.kl преобразуются таким же образом,
как и коэффициенты cT.jkl. Полная аналогия существует также
между коэффициентами Ьц, a,-j и коэффициентами pj3-.
Займемся еще изотропным телом. Из выражения C7) полу-
получим
-#- = в*/ = */7>« + °„е. C8)
Для изотропного тела соотношения C8) имеют структуру, ана-
аналогичную зависимостям C5):
г„ = 2ц'оч + (l'akk + а,в) дф C9)
где \i', X' являются пока неопределенными величинами, а ац =
= at6ij, где at — коэффициент линейного расширения. Это по-
последнее утверждение вытекает из следующих рассуждений. Если
рассмотреть бесконечно малый элемент тела, свободный от на-
напряжений на поверхности и подвергающийся температурному
воздействию, то его деформация примет вид
^tl^atQ6u. D0)
Соотношение D0) указывает на известное свойство изотропного
тела, которое при нагревании может изменять только объем, но
не форму.
Величины ц', X' можно определить, разрешая систему урав-
нений C5) относительно деформаций
1 X
и сравнивая с системой уравнений C9). Из этого сравнения вы-
вытекает, что
** 4ц ' *¦ 2ц (ЗА. + 2ц) а' 2ц + ЗА. "
Таким образом мы определили величины ц', Я/, а такжч. вели-
величину у = Bц + ЗА,)а(.
Часть II
ЭЛАСТОСТАТИКА
Глава 4
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
И ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ЭЛАСТОСТАТИКИ
4.1. Связь между напряженным
и деформированным состояниями
Во второй части монографии мы будем заниматься состоя-
состоянием равновесия упругого деформированного тела;—эластоста-
тикой. Мы предполагаем, что нагрузки, приложенные к телу,
возрастают очень медленно от нулевых значений до своих окон-
окончательных значений и остаются в этом конечном состоянии без
изменений. Допустим, что тепло, выделяемое в процессе этого
медленного деформирования, отводится так, что термодинамиче-
термодинамический процесс можно считать изометрическим G = 0, Т = То =
= const). Мы исключаем возникновение в теле источников тепла
и нагревание поверхности тела. Предполагаем поэтому, что 9 =
= Т — Го = 0 в каждой точке тела. Предполагаем, далее, что
в теле отсутствуют начальные деформации, вызванные усадкой
или набуханием материала, откладывая рассмотрение этих во-
вопросов до дальнейших глав. Наконец, предполагаем, что во
время деформации тела на его поверхности не возникает допол-
дополнительных связей, опорных реакций. Этим предположениям от-
отвечает так называемое упругое тело Клапейрона.
Вернемся к термодинамическим соотношениям, упомянутым
в § 3.5. Предположение изотермичности процесса деформации
приводит к тому, что свободная энергия F не зависит от возрас-
возрастания температуры 0.
Формула B4) § 3.5 определяет равенство свободной энер-
энергии F работе деформации W
Поскольку дифференциал свободной энергии является полным
дифференциалом как для неустановившихся, так и для устано-
установившихся процессов, то из формулы A) вытекает, что диффе-
дифференциал работы деформации в рамках эластостатики также
106 Гл. 4. Дифференциальные уравнения и общие теоремы эластостатики
является полным дифференциалом. А именно
и
dF _ aw ,„,
откуда
°ц = сиыеьг D)
Для изотропного тела, согласно формуле C4) § 3.12,
*F/*i = *%^i + ^(V/i + V>/*)- E)
Подставляя изотропный тензор E) в соотношения A) и D), по-
получим
G)
В дальнейших выкладках мы будем опускать индекс Т при
коэффициентах Ламе, помня о том, что в эластостатике мы
имеем дело с коэффициентами К, \х при изотермическом состоя-
состоянии. Свободная энергия и работа деформации являются поло-
положительно определенными квадратичными формами аргумен-
аргументов е,-;\ Свободная энергия и работа деформации являются ска-
скалярами, поэтому и правая часть уравнения F) является скаля-
скаляром. С другой стороны, известно, что с помощью тензора e,-j
можно образовать два инварианта второго порядка, а именно ин-
инварианты eijBij и e,-,-e,-j. Так как свободная энергия является по-
положительно определенной квадратичной формой, то ц > 0
Я + 2/з ц > 0.
Уравнения G) представляют собой линейные соотношения
между напряжениями и деформациями; они называются обоб-
обобщенными соотношениями Гука. Произведем свертывание в соот-
соотношениях G):
°kk = Bц + ЗА,) 4k = З/Се**. (8)
Мы получили связь между двумя инвариантами: суммой нор-
нормальных напряжений и дилатацией. Коэффициентом пропорцио-
пропорциональности является величина ЗК = ЗЯ + 2\i!).
Подставляя ehh из (8) в формулу G) и разрешая соотноше-
соотношения Гука относительно деформаций, получаем формулу
е„ = 2\х,'аИ + X%iokk, (9)
') Величина К называется модулем всестороннего растяжения или сжа-
сжатия.— Прим. перев. '
4.1. Связь между напряженным и деформированным соаояниями
107
где
4ц
2ц (ЗА, + 2ц)
Установим физический смысл величин /f, jx, Я.
Рассмотрим простейший частный случай, а именно односвяз-
ное тело V, в котором действуют только сжимающие нормаль-
нормальные напряжения оц = — p6,-j, р > 0, р = const. Такое напря-
напряженное состояние удовлетворяет уравнениям равновесия a,-,-,j = 0,
а на границе тела А приводит к нагрузкам
о,,п, = — pbtjti, = — рп,
Отсюда видно, что рассматриваемое напряженное состояние со-
соответствует всестороннему равномерному сжатию тела поверх-
поверхностными силами — р. Подставляя
зависимость оц = —Ьцр в соотно-
соотношение (9), убеждаемся, что
"~ 2ц + ЗА, °'i'
Совершая в последнем соотношении
операцию свертывания, получаем
/С = Л + -|ц. (Ю)
РИС. 4.1.
Мы получили простую связь между давлением и дилатацией. Ве-
Величина К является положительной, так как Л + 2/з|^>0, и
всестороннее сжатие упругого тела может вызвать только умень-
уменьшение его объема.
Рассмотрим далее элемент в виде параллелепипеда квадрат-
квадратного сечения. Пусть ось параллелепипеда направлена по оси х^
(рис. 4.1). Пусть этот элемент изменяет свою форму под дей-
действием касательной силы Р, равномерно распределенной по
грани DC в направлении оси х2. Изменение формы сечения ABCD
характеризуется углом ср.
Назовем жесткостью сечения отношение
Р
п = —.
ф
При описанном типе деформации единственной отличной от нуля
деформацией является е2з = ф/2. Так как отличным от нуля на-
напряжением является только <тгз = Р (где Р относим к единице
поверхности), то
108 Гл. 4. Дифференциальные уравнения и общие теоремы властостатики
Из формулы G) видим, что в рассматриваемом частном случае
п = ц. Поэтому коэффициент Ламе ц можно отождествить
с жесткостью. Величина ц называется модулем сдвига. Кроме
постоянных Ламе ц и А, вводятся коэффициенты Е и v, первый из
которых называется модулем Юнга, а второй — коэффициентом
Пуассона.
Рассмотрим одноосное напряженное состояние. Допустим,
что тензор напряжений <tjj характеризуется только одной вели-
величиной, а именно нормальным напряжением <тц. Из соотноше-
соотношений G) вытекает, что
Xekk,
<^2з = <т31 = а12 = 0, е23 = е31 = е12 = 0, ekk = eu + ег2 + е33.
Разрешая последние уравнения относительно деформаций, имеем
в11==й(з;1 + 2,1) а»' е22 = е33 = - 2(x + il} en.
Коэффициенты пропорциональности в этих уравнениях обозна-
обозначим через 1/Е и v. Тогда
еи=-^г--, 822 = е33=-ven. A2)
Отсюда видно, что
Модуль Юнга Е имеет размерность напряжения (кГ/см2), коэф-
коэффициент Пуассона v является безразмерной величиной, что вы-
вытекает непосредственно из соотношений A2). Из уравнений A2)
видим, что при одноосном напряженном состоянии аи пропор-
пропорционально деформации ей, а коэффициентом пропорционально-
пропорциональности является модуль упругости Е. Убедимся далее, что растяже-
растяжение объемного элемента в направлении оси xt сопровождается
его сужением (сжатием) в направлении осей х2 и х3. Мерой этого
сужения, зависящей от материала, является коэффициент Пуас-
Пуассона v. Из формул A3) и A0) получаем
Так как К > 0, К > 0, то и 1 — 2v ^ 0. Это означает, что
4.1. Связь между напряженным и деформированным состояниями 109
Случай v = 1/2 соответствует несжимаемому телу. Учитывая со-
соотношения A4), получаем из уравнений G) следующие зависи-
зависимости:
A6)
В дальнейших выкладках мы будем пользоваться в основном со-
соотношениями G) и (9), однако не раз нам придется воспользо-
воспользоваться и соотношениями A5), A6).
Соотношениям, связывающим напряженное и деформирован-
деформированное состояния, можно придать и другой вид. К обеим частям со-
соотношений G) прибавим шаровой тензор —T^ti^kk- Используя
зависимость (8), получаем
6т 2Це 6еу A7)
Вводя девиаторы
$il = aif — у biiakk< eij
формулу A7) можно записать в виде
= 0. A8)
Эта зависимость вместе с уравнением
A9)
заменяет соотношения G).
Шаровой тензор—г-б^а^^ представляет изотропное напря-
напряженное состояние, соответствующее равномерному сжатию (или
растяжению). Величина убг/е^ является средней объемной де-
деформацией. Девиаторы Sjj, e,j характеризуют изменение формы.
Об этом свидетельствует коэффициент пропорциональности 2 ц.
Соотношение A9) характеризует изменение объема тела. Заме-
Заметим, что shh = 0, ehh — 0. Подставляя соотношения ёц*=вц-\-
Л—о ^i/Bkk B выражение свободной энергии, после простых пре-
преобразований получим формулу
F = W = \ieijeil + ^-t\k. B0)
110 Гл- 4. Дифференциальные уравнения и общие теоремы эластостатики
Таким образом свободная энергия разделяется на две части:
часть
n ,V7 К „2
характеризующую энергию чисто объемной деформации, и часть
которую мы определим как энергию чистого изменения формы.
Вводя постоянные Е, v, получаем
Е 2
Okk=
6A_2v)
+ 6(<т2з+<т2;1 + <х?2)], B2)
или
2A+v) \ i [(e,, - e22J + (e22 - e33J + (e33 - enf] +
B3)
Если напряженное и деформированное состояния выражаются
через главные напряжения и деформации, то в формулах, вы-
выведенных в этом параграфе, следует отбросить члены a{j и е,;,
для которых i ф /. Представленные тут линейные соотношения
между напряженным и деформированным состояниями являются
обобщением давно известного экспериментального закона. За-
Закон упругости, определяющий зависимость между напряжением
и деформацией в одноосном напряженном состоянии, установил
Роберт Гук в 1676 г. Многочисленные опыты с удлинением пру-
пружин, стержней и с изгибом балок привели его к формулировке
закона упругости в форме лапидарного утверждения: «ut tensio
sic vis»1). Это означает, что деформация пропорциональна на-
нагрузке, которая ее вызвала.
Мы видим, что закон Гука соответствует первому соотноше-
соотношению системы A2). Уравнения G) являются обобщением закона
Гука на трехмерное напряженное состояние. Интересно, что эти
соотношения были получены из термодинамических уравнений
без обращения к закону упругости, а только из постулата, что
напряжения являются линейными функциями деформаций.
Дадим еще один, уже элементарный способ вывода соотноше-
соотношений Гука из соотношений A2).
Выделим элемент объема в виде параллелепипеда, такого,
что его оси совпадают с главными осями напряжений. Как из-
') Каково удлинение, такова сила (лат.). — Прим. перев.
4.1. Связь между напряженным и деформированным состояниями {{{
вестно, эти оси одновременно являются и главными осями удли-
удлинений. На выбранный таким образом элемент действуют главные
напряжения ai, ац, am- Если на элемент действует только на-
напряжение <ti, то главные удлинения, вызванные этим состоянием,
определяются формулами A2):
а, а,
8j = —— , 6jj = 6m =^ V8] V ~=г .
Если на элемент действуют главные напряжения ац, то
Наконец, если на элемент параллелепипеда действуют главные
напряжения аш, то
е, == еп = — v -g- , еш = -g- .
Суммируя одновременное действие напряжений аи ац, ащ, по-
получим следующие главные деформации:
1 г
= -j [(ац — v (<п + (Tin)],
или, короче,
% = ^[aa(l + v)-v(al + all + alu)], a = I, II, III. B4)
Как мы уже показали, тензоры деформаций и напряжений свя-
связаны со своими главными значениями следующими формулами
преобразования:
eil = sanianla, au--=aanianja, ce = I, II, III, /,/ = 1,2,3. B5)
Здесь мы переходим от главных осей х\, хц, хщ к осям х\, *г, *з-
Умножая B4) на nianja и учитывая соотношения B5) и то, что
niatija = 1, получаем следующие зависимости:
e,7--=-g[(l + "v)aii—v6ijakk],
B6)
akk = а\ + ац -f сгщ = аи -f a22 + а33.
Обобщенный закон Гука относится к абсолютно упругим те-
телам, а именно к таким, в которых при разгрузке исчезают де-
деформации. Однако реальные упругие материалы подчиняются
закону Гука только в некоторой области.
112 Гл. 4. Дифференциальные уравнения и общие теоремы эластостатики
При значительных напряжениях для ряда конструкционных
материалов (сталь, алюминий) наблюдается существенное от-
отклонение от этого закона. Некоторые материалы (бетон, камень,
кожа) вообще не подчиняются закону Гука, и для них связи ме-
между напряжением и деформацией в одноосном напряженном со-
состоянии являются нелинейными.
Проследим за экспериментом, который проводится при испы-
испытании на растяжение образца, имеющего круговое сечение. Этот
образец помещается в захватах машины. Нижний захват во
время эксперимента остается неподвижным, а верхний подни-
поднимается вверх с помощью поршня. Образец так помещен в за-
захватах, что во время его растяжения на некотором отдалении от
захватов наблюдается равномерное распределение напряжений
по сечению образца. Тем са-
самым реализуется одноосное
напряженное состояние, опи-
описанное формулами A2). Из-
Изменяя нагрузку Р, замеряем
одновременно приращение А/
длины образца. При равно-
равномерном распределении на-
напряжений аи = Р/А, где
А — площадь сечения образца,
а ец = Al/l, где /—первона-
/—первоначальная длина образца. На
рис рис. 4.2 представлена диаграм-
диаграмма ац, ец для малоуглероди-
малоуглеродистой стали.
При возрастании нагрузки от нуля до некоторого значения
e\f деформации возрастают пропорционально напряжениям. На-
Напряжение в точке а называется пределом пропорциональности.
До этого предела деформации являются полностью упругими,
при уменьшении нагрузки до нуля деформации исчезают. До пре-
предела пропорциональности сохраняет свою силу закон Гука. При
дальнейшем увеличении напряжений диаграмма <тц, ец откло-
отклоняется от прямой линии, после снятия нагрузки сохраняются
остаточные деформации. Доходим до точки Ь, после прохождения
которой деформации начинают быстро возрастать даже при не-
незначительном увеличении напряжений. Точка b называется пре-
пределом текучести. Говорят, что после прохождения предела теку-
текучести материал течет. Это течение продолжается до точки с,
после которой деформации возрастают с ростом напряжений. Это
явление называется упрочнением материала. При дальнейшем
увеличении нагрузки происходит разрыв материала (точка d на
диаграмме аи, ец). Он вызывается сильным сужением образца,
возникает так называемая шейка.
4.2. Уравнения эластостатики в перемещениях ИЗ
В линейной теории упругости рассматривается только та
часть О-а диаграммы, где напряжения пропорциональны дефор-
деформациям. Практическое значение теории упругости обусловлено
тем, что в инженерных конструкциях, машинах, летательных ап-
аппаратах и т. д. допускается только напряжение ниже напряже-
напряжения а(,^. Вообще говоря, в конструкциях исключается возникно-
возникновение остаточных деформаций. В некоторых конструкциях (на-
(например, в стальных конструкциях мостов и сооружений)
ограничиваются и упругие прогибы, так что допустимые напря-
напряжения лежат значительно ниже предела пропорциональности.
Подробное обсуждение экспериментальной стороны рассмотрен-
рассмотренного здесь явления читатель найдет в учебниках по сопротивле-
сопротивлению материалов, например в первом томе книги Губера (Ни-
ber M. Т., Stereomechanika techniczna, PZWS, Warszawa, 1951I).
4.2. Уравнения эластостатики в перемещениях
Для установления основных уравнений эластостатики можно
идти двумя путями. Либо за исходную точку выбрать уравнения
равновесия, выражая их через перемещения, либо исходить из
уравнений совместности, выражая их через напряжения.
Займемся сначала уравнениями в перемещениях. Если в диф-
дифференциальные уравнения равновесия
a!Lj + Xi = 0, xsl/, (l)
подставим соотношения, связывающие тензоры напряжений и
деформаций
atj = 2цег/ -f К6{,е, е = uk, k, а/г = olf, xgF, A, B)
a деформации выразим через производные перемещений
е,-/ = "з («г, / + «/, i). х <= V, А, C)
то в результате получим уравнения в перемещениях. Так как
о1{, { = \i («/. i + «г, /), / + Щ/в,, = |хмм/ + \хщ, П + Хе,,-,
то уравнения A) принимают вид
(*««.// + (Л + ц) «у. ц + Xt = 0, i, } = 1, 2, 3. D)
Это дифференциальные уравнения Навье. Они образуют систему
трех уравнений в частных производных второго порядка эллип-
эллиптического типа. Уравнения D) должны выполняться в каждой
точке xgK.
') См. также Ильюшин А. А., Ленский В. С, Сопротивление материалов,
Физматгиз, М., 1959. — Прим. перев.
114 Гл. 4. Дифференциальные уравнения и общие теоремы эластостатики
Уравнения D) можно представить в векторном виде
(iV2u + (Я + ц) grad div u + X = 0, E)
где и — вектор перемещения, X — вектор массовых сил. Так как
V'2u = grad div u — rot rot u,
то уравнению E) можно придать вид
(А + 2ц)grad div u — urotrotu-f X = 0. F)
Для решения задачи следует добавить еще граничные усло-
условия на поверхности А, ограничивающей тело V. В эластостатике
мы имеем дело с тремя основными краевыми задачами. Первая
состоит в нахождении распределения перемещений и напряже-
напряжений внутри упругого тела, находящегося в равновесии, если вну-
внутри тела известны массовые силы, а на границе заданы переме-
перемещения. Вторая основная краевая задача заключается в опреде-
определении перемещений и напряжений внутри тела при заданных
массовых силах внутри тела и заданных нагрузках на его по-
поверхности. Наконец, третья основная краевая задача заклю-
заключается в определении функций ut и <т,-3- внутри тела при задан-
заданных массовых силах и заданных перемещениях на части гра-
границы Аи и нагрузках на части границы Аа- Очевидно, Аи +
'+ Аа = А.
Граничные условия для первой краевой задачи записываются
в виде
«/(х) = /|(х), хеЛ. G)
Здесь функции /,-(х) заданы, т. е. известно распределение пере-
перемещений на А.
Во второй основной краевой задаче имеем следующие гранич-
граничные условия:
pt{x) = alt(x)n,(x), xgA, (8a)
Здесь Oji — напряжения, a tij — направляющие косинусы внеш-
внешней единичной нормали поверхности А. Краевые условия (8а)
следует задать в функциях перемещений. Учитывая B) и C),
получаем
Pi = ц («;,; + «/, д п, + kuk,knh (86)
Заметим, что правую часть уравнений (86) можно представить
также через нормальные производные перемещений и через ком-
компоненты тензора со,^ и дилатацию е. Преобразуем (86) к виду
Pi = 2[i«i, jtt, + ц (и,, i — иг, j) nt + Хепь (8в)
или
ди.
+2 + А (8г)
4.2. Уравнения эластостатики в перемещениях 115
Вернемся к уравнениям в перемещениях D). Применим к урав-
уравнению F) операцию дивергенции. В результате получим урав-
уравнение
* <9>
Если поле массовых сил является потенциальным, т. е. суще-
существует потенциал ср, так что Хг = ср: и то уравнение (9) прини-
принимает вид
Правая часть уравнения A0) равна нулю, если вектор X яв-
является постоянным либо если функция ,<р гармоническая. В этих
случаях уравнение A0) переходит в уравнение
\2е = 0. A1)
Дилатация удовлетворяет уравнению Лапласа, т. е. является
гармонической функцией. Инвариант Ohh также является гармо-
гармонической функцией, ибо, свертывая соотношения B), имеем
ahk = (ЗА, + 2|д,)е. Допустим, что массовые силы равны нулю,
и применим к уравнению E) операцию rot. Учитывая, что
rot grad e = 0, получим
V2(rotu) = 0,
или
V2co = 0, A2)
так как
<0 = -2- rotu.
Отсюда видно, что составляющие вектора угла поворота юг =
= Yeii^k,i являются гармоническими функциями.
Предположим, что массовые силы обладают гармоническим
потенциалом, а перемещения являются функциями класса С4.
Применяя к уравнениям в перемещениях D) оператор Лапласа,
получаем
цУ«и, + (Л + ц)^е,, = 0. A3)
Учитывая соотношение A1), приводим уравнение A3) к виду
У4«г = 0. A4)
При принятых предположениях перемещения удовлетворяют бп-
гармоническому уравнению.
Вернемся к граничным условиям. Первый тип граничных ус-
условий G) аналогичен условиям в краевой задаче Дирихле
116 Гл. 4. Дифференциальные уравнения и общие теоремы эЛастостйтики
теории потенциала. В ней требуется, чтобы функция w удовле-
удовлетворяла гармоническому уравнению
в области V в предположении, что на границе А задана функ-
функция
w = f(x), хеЛ. A6)
Эта аналогия становится более ясной, если предположить отсут-
отсутствие массовых сил. В этом случае систему уравнений D) можно
привести к виду, аналогичному A5):
= 0, A7)
где е = Uh,k — гармоническая функция.
Во второй основной краевой задаче теории потенциала разы-
разыскивается функция w, удовлетворяющая уравнению A5) в обла-
области V в предположении, что на А задано граничное условие
~ = g(x), xei A8)
Во второй краевой задаче эластостатики мы имеем дело с гра-
граничными условиями (8а). Это условие, учитывая (8г), можно
представить в виде
~Ш = 2^~ &> ~ Kerii ~
Если каким-нибудь путем удастся определить дилатацию е и
функции <?>ij на границе, то условие A9) будет аналогичным
условию Неймана A8). В задаче Неймана требуется, чтобы ин-
интеграл от функции dwfdn по поверхности А был равен нулю.
В эластостатике требуется, чтобы нагрузки, действующие на
тело, удовлетворяли общим уравнениям равновесия тела V как
абсолютно твердого целого.
Уравнения в перемещениях D) являются линейными диффе-
дифференциальными уравнениями. Ввиду линейного характера урав-
уравнений D) имеет место принцип суперпозиции. Поэтому, если
массовые силы Х{Р вызывают перемещения и{{[), а массовые
силы ^ — перемещения uf], то массовые силы Xt — X(.'> + Xf
вызывают перемещения и{= «'/'+ «'/'.
4.3. Дифференциальные уравнения совместности 117
4.3. Дифференциальные уравнения совместности
В § 1.11 были введены условия совместности
ei/, ы + Чи i,- — *ik, n — в/», tk = 0. A)
Из обсуждения этих условий вытекало, что из общего числа 81
уравнения только 6 являются независимыми; получим их, произ-
производя свертывание по индексам k и /:
*%1 + е,ц — e,ik<jk — eiktik = 0, e = ekk. B)
Систему этих уравнений можно значительно упростить, исполь-
используя уравнения равновесия
<*м,* + *| = 0. C)
Подставляя в уравнения C) напряжения а^ как функции де-
деформаций
Он = 2цеы + ЬЬые, D)
получим
— 4i,k = -2^e.i + -^Xi. E)
Точно так же заменой индексов находим
-ekl,k = ^e.l + ^-Xl. F)
Дифференцируя уравнение E) по Xj и F) по л:,, а затем под-
подставляя в уравнение B), получим систему шести дифференци-
дифференциальных уравнений простой структуры
S4i! + ketl! = -^{Xi,l + Xj,i\ k = ±±±. G)
Если массовые силы постоянны, то эти уравнения однородны.
Выполняя свертывание в уравнениях G), получим уравнение
V2e=-TT2^<-<- (8)
Если массовые силы обладают гармоническим потенциалом, то
дилатация е удовлетворяет уравнению Лапласа
\2е = 0, (9)
т. е. является гармонической функцией.
Так как дилатация е пропорциональна инварианту напряжен-
напряженного состояния Okk, то и Okh является гармонической функцией.
Применим теперь к уравнению G) оператор Лапласа. Пред-
Предполагая, что массовые силы постоянны, и учитывая уравнения
(9), получим
V4/=0. A0)
118 Гл. 4. Дифференциальные уравнения и общие теоремы эластостатики
В этом частном случае деформации ъц являются бигармониче-
скими функциями. Точно так же и напряжения оц являются би-
гармоническими функциями, что вытекает из соотношений D).
4.4. Уравнения Бельтрами — Мичелла в напряжениях
Уравнения эластостатики в перемещениях, выведенные в § 4.2,
удобны в тех случаях, когда на границе А тела V заданы пере-
перемещения. В случае заданных на границе нагрузок граничные
условия требуется выразить через перемещения. Мы видели, что
в этом случае граничные условия выражаются линейными функ-
функциями от производных перемещений.
Поэтому в случае заданных на границе нагрузок удобнее при-
применить другой способ, основанный на введении такой системы
дифференциальных уравнений, в которой в качестве неизвест-
неизвестных функций выступают напряжения. Так как тензор напряже-
напряжений определяется шестью составляющими, то мы должны полу-
получить систему шести дифференциальных уравнений.
Эти уравнения, называемые уравнениями в напряжениях,
были введены Бельтрами ') в 1892 г. для случая отсутствия мас-
массовых сил, а в 1899 г. другим путем были получены Мичеллом 2)
при учете действия массовых сил.
Решение системы уравнений
c/M + J, = 0 A)
с граничными условиями
B)
не единственно. Так как в систему трех уравнений A) входит
шесть составляющих тензора оц, то можно найти бесконечное
число решений, удовлетворяющих уравнениям A) и усло-
условиям B). Мы должны найти остальные уравнения. Мы получим
их, если примем во внимание тот факт, что деформации гц, свя-
связанные с напряжениями оц линейным законом Гука, не могут
быть произвольными функциями, а обязаны удовлетворять
дополнительным условиям — уравнениям совместности. Таких
уравнений шесть (формулы B) § 4.3):
V2B(l + e_il — eik<lk — Rlk,ik = 0, e = ekk. C)
Если в эти уравнения подставим деформации е,-5- как функции
напряжений df.
гч = 2ц'а(, + k'64s, s = akk, D)
') Beltrami E., Osservationi sulla Nota precedente (del socio Morera),
Rend. Lincei, 1, № 5 A892), 141.
2) Michell J. H., On the Direct Determination of Stress in an Elastic Solid,
with Applications to the Theory of Plates, Proc. London Math. Soc, 31 A899—
1900), 100.
4.4. Уравнения Белы рами — Мичелла в напряжениях \ \ 9
то получим систему шести уравнений в напряжениях
Ц^ ? ц'(окЛ tk + ofcJ. /fc) = 0. E)
Подставляя в уравнения E) зависимости
2(X'==2iT> Я' = ~~МЗ
и используя уравнения равновесия A), получим систему урав-
уравнений
2 (X -4- и) Я
Используя уравнения равновесия A), мы привели систему урав-
уравнений A) и E) к системе шести дифференциальных уравне-
уравнений F). Дальнейшее упрощение уравнений F) получим следую-
следующим способом. Подвергнем уравнения F) свертыванию. Оно
приводит к соотношению
Исключая с помощью соотношения G) величину V2s из уравне-
уравнений F), приходим к окончательному виду уравнений в напря-
напряжениях
+ (X
Xt,,) -
Я
К этим уравнениям следует добавить уравнения равновесия A)
и граничные условия B). Для определения шести составляю-
составляющих напряженного состояния имеем систему девяти уравнений:
шесть дифференциальных уравнений второго порядка (8) и три
уравнения первого порядка A).
Рассмотрим частные случаи. Если массовые силы обладают
потенциалом
*/ = Ф./. V2qp=0, (9)
то уравнения (8) принимают вид
На основе уравнений G) утверждаем, что
V2S = Q A1)
120 Гл. 4. Дифференциальные уравнения и общие теоремы эластостатики
Инвариант напряженного состояния s = аи + (Х22 + (Тзз является
гармонической функцией. Если к уравнениям A0) применить
оператор-Лапласа, то
Напряжения a,-j являются бигармоническими функциями. Ана-
Аналогичный результат справедлив для постоянных массовых сил.
Уравнения Бельтрами — Мичелла можно вывести и другим
путем, принимая за исходную позицию уравнения в перемеще-
перемещениях. Такой способ обоснован тем, что в этих уравнениях урав-
уравнения совместности удовлетворяются тождественно1). Продиф-
Продифференцируем уравнения в перемещениях
fiV*«, + (* + n) *., + *, = 0 A3)
по л,. Тогда получим уравнение
iiViuitl + (l+ii)e,{l + Xt,l=0. A4)
Поменяв местами индексы
(Д/2ым + (Я+(х)е,/,+ Х,,,=*6 A5)
и сложив уравнения A4) и A5), получим
V\l + ke,il + -±(X{J + Xhi) = 0. A6)
Если в эти уравнения подставить соотношения D), то после про-
простых преобразований придем к системе уравнений
1.1=о, A7)
совпадающей с системой уравнений F),
4.5. Принцип виртуальных работ.
Теорема о минимуме потенциальной энергии
Пусть тело V находится в равновесии под действием массо-
массовых сил Хи поверхностных сил Pi и перемещений, заданных на
поверхности тела. Пусть нагрузки рг заданы на поверхности Аа,
а перемещения и, на поверхности Аи, причем А = Аа + Аи, где
А — поверхность тела V. Под действием этих факторов в теле
возникают перемещения щ, деформации е^- и напряжения оц.
Дадим теперь перемещениям «,• виртуальные приращения 6м*.
Предполагаем, что вариации бмг- являются непрерывными функ-
функциями класса С3, величинами достаточно малыми, соизмеримыми
с допустимыми перемещениями в линейной теории упругости.
') Ignaczak J., Direct Determination of Stresses from the Stress Equations
of Motion in Elasticity, Arch. Meek. Stos., 11, № 5 A959).
4.5. Принцип виртуальных работ 121
Величины б«; являются произвольными, но согласованными с ус-
условиями, ограничивающими деформацию тела. Это означает, что
на поверхности Аи> на которой заданы перемещения щ, следует
положить б«,- = 0.
Работу массовых и поверхностных сил на виртуальных пере-
перемещениях назовем виртуальной работой внутренних сил и опре-
определим с помощью следующей суммы интегралов:
6L= [ X{6utdV + $ pt6utdA. A)
V А
Заметив, что Pi = Ojitij, можем преобразовать второй из инте-
интегралов в объемный интеграл
или
Ы= I (X{ + o,{,tNu{dV + $ otlbutildV. B)
V V
Первый из интегралов исчезает, поскольку
eiLI + Xt = 0
(это уравнение равновесия тела). С другой стороны,
и
Oil bult, = а{, (бе,, + боо tj) = alt 6e,,.
Так как тензор ati симметричен, а тензор со^ антисимметричен,
выражение оцбащ равно нулю. Поэтому из уравнений A) и B)
имеем
J Xi bui dV + J pi 6ut dA = J ai; бег/ dV. C)
V A V
Правая часть этого уравнения представляет собой виртуальную
работу внутренних сил, т. е. работу напряжений на виртуальных
деформациях.
Уравнение C) выражает следующий весьма общий факт:
виртуальная работа внутренних сил тела, находящегося в рав-
равновесии, равна работе напряжений на соответствующих вирту-
виртуальных деформациях. Уравнение C), называемое «принципом
виртуальных работ», справедливо как для упругих, так и для
неупругих тел.
При проведении выкладок до сих пор не были использованы
соотношения, связывающие напряженное состояние с деформи-
деформированным. .
122 Гл. 4. Дифференциальные уравнений и общие teopeku iAuctoctatuKu
Свяжем правую часть уравнения C) с работой деформа-
деформации W&, определенной в § 4.1, где
Ге = цеуе,; + -j ekkenn. D)
Так как, согласно формуле C) § 4.1,
то
J atl беу dV = J -^ 6ew dF = б J Ге dF = 6Fe. F)
Уравнения виртуальной работы C), учитывая F), приводим
к виду
бГе = J Xt6utdV+ j PibtiidA. G)
V A
Так как мы предположили, что на Аи заданы перемещения (т. е.
бы,- = 0 на Аи), то уравнение G) упростится:
6Fe = J Xtбы,dV + J PibuidA. (8)
Массовые и поверхностные силы не варьируются. Поэтому спра-
справедливы соотношения
Х1Ьщ = Ь{Х1щ), pibut = b(piui). (9)
Следовательно, мы можем в правой части уравнения (8) вы-
вынести знак вариации за интеграл и получить
¦.[*%— J XtUtdV— |р,ы,сМ1=0.
I v ¦ лв J
Величину в квадратных скобках обозначим через
A0)
XtutdV- [piUidA (И)
и назовем потенциальной энергией системы. Уравнению A0)
можно придать вид
бПе = 0. A2)
Функционал Пе принимает экстремальное значение.
Покажем, что функционал Пе достигает минимума. С этой
целью сравним потенциальную энергию ГЦ для поля переме^
4.5. Принцип виртуальных работ 123
щений Ui и потенциальную энергию Ш для поля перемещений
ut -\- but. Предполагаем, как и ранее, что б«г- = 0 на поверхно-
поверхности Аи. Поэтому имеем
[ Wt (в„ + бе,/) - We (е„)] dV-
V
A3)
Разложим функцию We (ец + бец) в ряд Тейлора, обрывая этот
ряд на величинах второго порядка:
W. (е„ + бе„) = WE (е„) + -^ бе„ + 4 , " * бе,7 беы,
откуда, учитывая формулу E), имеем
» р (ei/ + ое,Л — If» (e,-/j^cr,/ бе,.- -f--^ -=—^ое,-/ оеь/. A4)
Подставляя формулу A4) в A3) и обозначая через R интеграл
v
представим уравнение A3) в виде
IU — Пе = | ач 6еч dV — | X, Ьщ dV — j P( бы,- dA + R. A5)
V V Аа
Это уравнение значительно упрощается, если учесть принцип
виртуальных работ C):
^бе^.бе^У. A6)
у М
Подинтегральное выражение преобразуем следующим образом:
1 даи 1 д
I
^=~п (^М'б^б// -j~ ^б,/б^,) бе,/ бе^/ ^=
1 Я
Это выражение представляет собой работу деформации при ее
увеличении на бе^-; в силу неравенств ц > ОД > 0 оно является
124 Гл. 4. Дифференциальные уравнения и общие теоремы эластостатики
величиной положительной. Поэтому
что гарантирует существование абсолютного минимума для
функции Пе.
Можно сформулировать следующее утверждение. Из всех пе-
перемещений, удовлетворяющих заданным граничным условиям,
только перемещения, отвечающие состоянию равновесия, дают
минимальное значение потенциальной энергии.
В частном случае отсутствия массовых сил и при заданных
перемещениях на всей поверхности А уравнение A0) перехо-
переходит в
6ГЕ = 0. A8)
Функционал Же достигает минимума.
С помощью теоремы о минимуме потенциальной энергии
можно сформулировать ряд частных утверждений, касающихся
вида дифференциальных уравнений в перемещениях и связанных
с ними естественных граничных условий для задач об изгибе ба-
балок, мембран, плит, оболочек, для кручения бруса, плоского на-
напряженного состояния в пластинках и т. д.
Остановимся еще на обратной теореме, гласящей, что если
потенциальная энергия достигает абсолютного минимума для
некоторого поля перемещений щ, удовлетворяющего граничным
условиям Ui = /,¦ на Аи, то это поле должно удовлетворять гра-
граничным условиям pi = Gjittj на Аа и уравнениям равновесия
внутри тела.
Доказательство этой теоремы дадим по Сокольникову (см.
список литературы). Предположим, что функции щ + Ьщ при-
принадлежат классу С3 и таковы, что
Пе — Пе= / oi,6e,jdV — J Xl6uidV — J ptЬщdA + R>0.
V V A
Преобразуя первый из этих интегралов, получим
К - Пе = - | {a,i. i + Xt) 6щ dV + | {оИп, — pi) 6ut dA + R>0.
v
Заметим, что на Аи выполняется условие 8щ = 0. В силу произ-
произвольности вариаций б«| их можно выбрать равными нулю и на
Ад- Тогда останется неравенство
. A9)
4.6. Вторая форма теоремы о минимуме потенциальной энергии 125
Так как R — величина положительная, a 6«i — произвольная,
то должно быть
а/|. у + *, = ()
в каждой точке тела. Предположим теперь, что какое-нибудь из
уравнений A9), например первое, не удовлетворяется в некото-
некоторой точке Р е V, т. е.
0/1./ + *1>О в точке Р. B0)
Окружим точку Р сферой малого радиуса а и выберем Ьщ сле-
следующим способом:
_ ( k2 (а2 — г2L при /-2<й2, k2>0,
^ — (о при г2^а\ B1)
Подставляя значения B1) в неравенство A9), получим
о,1ш, + Х{) к2(а2-г2)ЫУ + /?>0. B2)
Но, учитывая формулу B0), убеждаемся, что интеграл в нера-
неравенстве B2) можно представить как k2M, где М — положитель-
положительная величина, не зависящая от k2. Поэтому
— k2M + R > 0. B3)
Величина
R = j WE (ве,у) dV = J (ц 6еи 6еч + |-6eftfe бе„„) dV
v v
зависит от квадратов деформаций, а именно от квадратов про-
производных виртуальных перемещений би,-. Учитывая формулы B1),
убеждаемся, что R2 = feW, где N > 0. Выбирая k достаточно ма-
малым, можно удовлетворить неравенству k2M > R, что противо-
противоречит неравенству B3), а поэтому противоречит предположе-
предположению B0). Следовательно, в каждой точке тела должны выпол-
выполняться условия равновесия а>{| j -j- Z,- = 0.
4.6. Вторая форма теоремы о минимуме
потенциальной энергии
Рассмотрим поле перемещений щ и соответствующие ему де-
деформации 6jj и напряжения a,j, возникающие в теле в процессе
его деформирования. Напряжения удовлетворяют уравнениям
равновесия
ojf,j + Xt = 0, A)
126 Гл. 4. Дифференциальные уравнения и общие теоремы эластостатики
а также граничным условиям
pi=ajinl на Ао, „
tii = fi на Аи, А = Аа-\-Аи. *•
Обозначим через щ второе поле перемещений. От этого поля
потребуем только, чтобы на Аи были выполнены кинематические
граничные условия
u. = fi на Аи. C)
Перемещениям щ соответствуют деформации е'ц и напряже-
напряжения а//, причем напряжения o'i,- не обязаны удовлетворять урав-
уравнениям равновесия.
Умножим уравнение A) на разность «,* — щ и проинтегри-
проинтегрируем по области V:
J *.(«» —и») dV — 0. D)
V V
Проведем в уравнении D) следующие преобразования:
J [оц Ш — »,)], / dV — J a// (и? — и,). idV + j Xi {и} — щ) dV = 0,
V V V
откуда
V А V У '
Pi = ОцП{.
Поскольку как поле перемещений щ, так и «* удовлетворяют ки-
кинематическим граничным условиям на Аи, разность щ — щ на
Аи равна нулю.
Из уравнения E) получаем
J Xt(u;-Ui)dV+l Pl(и\-щ)dA = J o^^dV. F)
V
Обозначим через Ws работу деформации, связанную с полем пе-
перемещений ис
(// y)I G)
v
а через Ж1 работу деформации, соответствующую полю и\:
V. (8)
4.1. Теорема КастиЛьянд 12?
Как Же, так и W\ являются положительно определенными.
Точно так же и функция
Гв(е1/-е</) =
= J [ц (ej/ - ег/) (ejy - ег/) + -| (ек - ekk) (е'п — е«)] d V > 0 (9)
является положительно определенной. Связывая между собой
выражения F), G) и (8), найдем
We (е,7 - е,у) = Г; - Ге - J (е-; - ег/) а(/ dK > 0.
v
Отсюда вытекает, что
Ж1-Жг> J (еЬ-е^а^. A0)
Последнее неравенство сопоставим с уравнением E). В резуль-
результате получим
Т\ — \ Xlu\dV—\piu\dA>Tt — \ XiUidV — j ptiitdA. A1)
v a0 v a0
В левой части имеем потенциальную энергию для поля пере-
перемещений щ, в правой части — для поля щ. Поэтому неравен-
неравенство A1) можно представить в виде
Ш>Пе. A2)
Из этого неравенства вытекает, что потенциальная энергия для
поля перемещений щ, которая удовлетворяет условиям равнове-
равновесия и заданным граничным условиям, меньше, чем потенциаль-
потенциальная энергия поля «*, которая удовлетворяет только кинематиче-
кинематическим граничным условиям на Аи. Неравенство A2) совместно
с уравнением бПе = 0 приводит к следующему утверждению: из
всех полей перемещений, удовлетворяющих заданным кинемати-
кинематическим условиям на Аи, только то поле, которое удовлетворяет
одновременно и граничным условиям B) и условиям равновесия,
приводит потенциальную энергию к абсолютному минимуму.
4.7. Теорема Кастильяно о минимуме дополнительной энергии
Рассмотрим упругое тело, занимающее область объема V,
ограниченную поверхностью А. Это тело деформируется под дей-
действием массовых сил Xit поверхностных нагрузок р{ на поверх-
поверхности Ао и заданных перемещений щ на Аи- Разумеется, А =
128 Гл. 4. Дифференциальные уравнения и общие теоремы эластостатики
Деформирование тела описывается полем перемещений щ и
соответствующими ему деформациями ец и напряжениями оц.
В состоянии равновесия напряжения ац должны удовлетворять
уравнениям
а/|>,+ *, = <), хе^, A)
и граничным условиям
Pi = ojinl, хеЛ0,
Пусть теперь напряжения а,3- получают вариации бац. Вели-
Величины боц трактуем как непрерывные функции класса С2, беско-
бесконечно малые произвольные взаимно независимые величины.
От напряжений ац + ба,;- и нагрузок р,- -J- бр,- потребуем,
чтобы они были статически допустимыми. Это означает, что
внутри области V должны удовлетворяться уравнения равнове-
равновесия
Gii.i + 6a,i.l + xi = 0' xeK- C)
а на Ао граничные условия
j. D)
Величины бац и bpi на Аи являются произвольными.
Вычитая из C) уравнение A), получим уравнения равнове-
равновесия
6a,x/ = 0, xeV. E)
Точно так же, вычитая из D) граничные условия B), имеем
6pi = 6a]inj, х е Аа, 6ojt произвольны на Аи. F)
Величины бац не обязаны удовлетворять уравнениям совмест-
совместности Бельтрами — Мичелла.
Уравнение E) утверждает, что каждый элементарный объем
должен находиться в состоянии равновесия под действием вир-
виртуальных напряжений 6a,j, если вариации 6ai;- являются стати-
статически допустимыми величинами. Предположим дополнительно,
что вариации бр,- принимают нулевые значения на той части по-
поверхности, на которой заданы нагрузки р{. При таком предполо-
предположении граничное условие F) примет вид
60(^ = 0, хеЛа. G)
4.7. Теорема Кастильяно 129
В дальнейших выкладках будем опираться на вариацию работы
деформации Wa при увеличении напряжений оц на вариа-
вариации бац:
бГ0 = /[^0(а,/ + ва</)-Г0(а</I^. (8)
v
Разлагая W0(<Jij + 6(Xjj) в ряд Тейлора, получим
= Wo (оц + 6otl) - Wo (оч) =
dW0 . ,1
Ограничиваясь вторым членом разложения и учитывая, что
имеем, используя закон Гука,
лп тут -1
*/ fit
= ц' ва4/ ва„ + -у- 6aftft баАЛ = Го (ва„). A0)
Принимая во внимание формулы (9) и A0), вариацию работы
деформации (8) можно представить в виде
o(&Oii)dV>0. (Па)
Следует заметить, что №аFоц) является положительно опре-
определенной квадратичной формой.
Так как
ец tof, — (ut, i — и>ц) бац — uti i baij,
то выражение (Па) удается привести к виду
ЬЖа = J uUl boti dV + R0 = j (щ 6ач), ,dV — j бац, ,щ dV + RQ.
V V V
Второй интеграл в правой части равен нулю в силу условий рав-«
новесия E). Выполняя в первом интеграле преобразование
Гаусса — Остроградского, получим
5 В. Новацкнй
a=
А
130 Гл. 4. Дифференциальные уравнения и общие теоремы эластостатики
Использование граничного условия на Аа (уравнение G)) при-
приводит к уравнению
6Fa = J Ьргщ dA + Ro. A16)
Au
Так как перемещения на Аи не изменяются, то u&pi = 6(р<«<)
и уравнение A16) можно представить, отбрасывая величину выс-
высшего порядка Rq, в виде
j\O. A2)
Функция в квадратных скобках называется дополнительной
энергией и обозначается через Па. Тогда
6П„ = 0. A3)
Дополнительная энергия в силу положительности второй вариа-
вариации (Ro > 0) достигает абсолютного минимума. Смысл уравне-
уравнения A3) можно выразить следующим способом.
Дополнительная энергия достигает абсолютного минимума,
если тензор оц удовлетворяет уравнениям равновесия, а вариа-
вариации 8оц уравнениям E), F) и G). Если нагрузки pi действуют
на всей поверхности А, то в квадратных скобках A2) исчезает
поверхностный интеграл и остается
A4)
Функционал Wa принимает минимальное значение. Теорема, об-
обратная к теореме Кастильяно и гласящая, что если Па есть абсо-
абсолютный минимум, то тензор напряжения должен удовлетворять
заданным граничным условиям и уравнениям совместности Сен-
Венана, была доказана Саусвеллом (см. список литературы).
Для линейно упругих тел эта обратная теорема приводит в ре-
результате к уравнениям в напряжениях Бельтрами — Мичелла.
4.8. Вторая форма теоремы Кастильяно
о минимуме дополнительной энергии
Пусть тело V деформируется под действием внешних сил и
перемещений, заданных на его границе А. Напряжения оц
должны удовлетворять уравнениям равновесия
otl,, + Xt = 0, хеУ, A)
и граничным условиям
pi = ajinj, xg4
U f геД
4.8. Вторая форма теоремы Кастильяно 131
Деформации ец удовлетворяют условиям совместности Сен-Ве-
нана. Обозначим через Ьц другое возникающее в теле напряжен-
напряженное состояние, не совпадающее с состоянием оц. Потребуем,
чтобы тензора^ удовлетворял уравнениям равновесия
6,1ш1 + Х, = 0, хеУ, C)
а
и граничным условиям на Аа
Pi = ЪцЩ, х G Aj- D)
Обозначим работу деформации, связанную с состояниями оц и
a,- j, соответственно через Жа и Жа:
^l)V, E)
(i!^) F)
V
Построим положительно определенное выражение
^«(бц—а?/) =
= J [ц' {оч - оч) (а17 - а,,) + ^ Fkk - akky] dV > 0. G)
v
Учитывая выражения E) и F), приходим к следующему нера-
неравенству:
Га {ЬИ - atl) = Wa-Wa-\ (ач - а„) гц dV > 0.
v
Отсюда
ro-ro>J(di/-a,/)eJ/rf7>0. (8)
v
Преобразуем правую часть неравенства (8) следующим образом:
J (oil — ои) г,, dV = J (a,7 — ач) щ,, dV =
v v
= J [(бц-оц) «.I,/ dV - J Ftl-al}),,Ul dV. (9)
V V
В силу уравнений равновесия A) и C), второй интеграл в пра-
правой части уравнения (9) обращается в нуль. После преобразо-
преобразования оставшегося интеграла в поверхностный имеем
j (otj — oi,)ti, dV = \ {Pi — p,) щ dA.
6*
Аи
132 Гл. 4. Дифференциальные уравнения и общие теоремы эластостатики
Учитывая формулу (8), окончательно получаем
Ра-Жа> j(pi-Pi)utdA. A0)
\
Тут мы воспользовались тем фактом, что тензоры 6tj и оц удо-
удовлетворяют граничным условиям на Аа: на Аа имеем р\ — р,- = 0.
Неравенство A0) можно представить в виде
Жа—\р1щйА>Жа— \Р1щйА. A1)
Правая часть этого неравенства представляет собой дополни-
дополнительную энергию Па в обозначениях, использованных в § 4.7.
Энергия Па относится к напряженному состоянию aijt удовле-
удовлетворяющему уравнению равновесия A), граничным условиям
B) и условиям совместности. Вводя дополнительную энергию
неравенству A1) можно придать следующий вид:
Па>Па + j pi(Ui — ui)dA. A2)
Если тело нагружается по всей поверхности, то в неравенстве
(И) исчезают поверхностные интегралы и остается
Жа>Жа. A3)
Это неравенство показывает, что дополнительная работа дефор-
деформации Wa для поля напряжений, удовлетворяющего уравнениям
равновесия A), граничным условиям B) и уравнениям совмест-
совместности, меньше дополнительной работы деформации Жа любого
другого поля напряжений, которое удовлетворяет только урав-
уравнениям равновесия и граничным условиям'в напряжениях.
4.9. Вариационная теорема Рейсснера1)
Рассмотрим упругое тело, находящееся в равновесии под дей-
действием внешних нагрузок. Рассмотрим функционал 3, завися-
*) Reissner E., On a Variational Theorem in Elasticity, Л Math. Phys., 26
A950), 90—95.
См. также статью Рейсснера в сборнике: Problems of Continuum Mecha-
Mechanics, Philadelphia, 1961, стр. 370—381.
Reissner Е„ Proceedings of Symposia in Applied Mathematics, v, 8, New
York, 1958, pp. 1—6,
4.9. Вариационная теорема Рейсснера 133
щий от ei}, uu a,j, такой, что
& = \ [Wt{e{j) — Х{щ]dV — Г On \ец— -д-(««,/ + Ui,t)}dV —
V V
- f °nn! iul — u'l) dA — f P'iui dA- A)
Здесь ^е = це{]е^-\- — ekkenn является работой деформации, от-
отнесенной к единице объема. Проварьируем функционал 2/, счи-
считая виртуальные приращения 8ец, 8uit ба,;- взаимно независи-
независимыми. Внутри тела изменяются е^, щ, оц. На поверхности Аа, на
которой действуют нагрузки, варьируются перемещения, а на по-
поверхности Аи — напряжения. Функции Xjt и*., р] являются за-
заданными. Условие того, чтобы & принимало стационарное зна-
значение, состоит в равенстве нулю первой вариации функционал
ла Э'. Поэтому имеем
ЬЗ = 0 = J l-g^teii — Xibut — bOij [«</ — у («*,/ + «/. i)] —
Г 1 1 )
- J йоцп, («г — и\) dA — j p] but dA. B)
Au Aa
Учитывая, что
¦=- I On (б«г,; + dtii i) dV' = Г pi dtii dA — Г оп, < Ьщ dV,
V A V
получаем
0 = J { № - оЛ бе(/ - {alt., + Xt) Ьщ -
~ J (P* - PiN",dA - J ?>Pi («г - <) ^- C)
Принимая во внимание независимость вариаций 6е^, 6щ, Ьац, из
формулы C) получаем уравнения Эйлера вариационной задачи:
134 Гл. 4. Дифференциальные уравнения и общие теоремы эластостатики
Они являются основными уравнениями и условиями эластоста-
эластостатики.
Рейсснер дал еще другую формулировку вариационной тео-
теоремы с использованием дополнительной работы Wa{aa), взяв
функционал в виде
9\ = J {otfit, -Wa- X{Ul)dV - J pluidA- Jp.(и.-«;)dA E)
y *o Au
Вычисляя первую вариацию и приравнивая ее нулю, получаем
6У, = J (otl 6вA + e{j 6о„ - 4^- Ьо„ - Х{ 6щ) dV -
- J />; б«г с?л — J 6pt (и, — «;) <м=о. F)
ли
Мы здесь положили, как и ранее, бр!^О на Ла и б«! = 0 на Лы.
Учитывая, что
J оч Ь&ц dV = J [(a,y б«г), у — o,t,, б
V V
= J Pi6щdA—\ аИш jbtiidV, G)
Aa v
приводим уравнение F) к виду
в^, = 0 = J [(el7 - i^.) баг/ - (ау<., + Xt) 6«,] dV +
~P'iNuidA — J 6^.-("i-u'i)dA- (8)
Из этого уравнения вытекают следующие уравнения Эйлера
вариационной задачи:
Вариационная теорема Рейсснера может найти применение
при выводе дифференциальных уравнений теории мембран, плит
и оболочек. Применение этой теоремы к выводу основных урав-
уравнений и условий для плит средней толщины читатель найдет
в цитированных на стр. 132 работах Рейсснера.
4.10. Единственность решения 135
4.10. Единственность решения
дифференциальных уравнений эластостатики
Требуется доказать, что если уравнения эластостатики имеют
решение, то это решение единственно.
Доказательство теоремы единственности было дано Кирхго-
Кирхгофом при двух ограничительных предположениях, а именно для
односвязного тела и при отсутствии начальных деформаций. При
этих предположениях единственность решения доказывается до-
достаточно просто.
Для доказательства предположим, что решение не един-
единственно и что существуют такие два различные поля перемеще-
перемещений u'i, и", которые удовлетворяют уравнениям в перемещениях
и заданным граничным условиям.
Пусть поле перемещений u'i удовлетворяет уравнениям
+ {% + \i)e:i + Xi = Q (О
с граничными условиями
Pi = a'linj Ha Ао> u't = ft НЭ Аи> B)
а поле перемещений и" — системе уравнений
+ (X + n)e':i + Xi = 0 C)
и граничным условиям
pt = o'j'inj на Аа, W{ = ft на Аи. D)
Введем обозначения
й. = «;-«;', ьц = о'ц-о"г.р е^е^-е;;.
Вычитая почленно уравнение C) из A), а также D) из B),
убеждаемся, что перемещения йг удовлетворяют однородной си-
системе уравнений в перемещениях
= 0, E)
а также граничным условиям
6]in; = pi = 0 на Аа, йг = ^ = 0 на Аа. F)
Уравнения E) относятся к телу V, внутри которого отсут-
отсутствуют массовые силы (^ = 0) и на поверхности А которого
заданы однородные граничные условия (Pi = 0 на Аа, щ = 0
на Аи). Следует показать, что внутри тела исчезают деформа-
деформации и напряжения. С этой целью рассмотрим работу дефор-
деформации
j> /( |2). G)
136 Гл. 4. Дифференциальные уравнения и общие теоремы эластостатики
Принимая во внимание закон Гука, выражение G) можно пред-
представить также в виде
dV. (8)
v
Преобразуем выражение (8). Учитывая, что
имеем
^jV. (9)
А V
Сравнение формул G) и (9) дает
je2kk)dV = ^ \ J PiUi dA + j XiUi dv] . A0)
LA V J
Применим последнее соотношение для поля перемещений й,- и
связанного с ним деформированного e{j и напряженного д^ со-
состояний. Получим
$(&)V = 0, A1)
так как правая часть уравнения A0) равна нулю в силу одно-
однородности граничных условий (р = 0 на Аа, й,- = 0 на Аи) и от-
отсутствия массовых сил (Я{ = 0).
Так как ц > 0, К > 0, то уравнение A1) приводит к зави-
зависимости
eij = O или г'ц = г"ц. A2)
Отсюда следует единственность деформаций. Из закона Гука
вытекает, что 6{j = 0, а, следовательно, напряжения един-
единственны. Так как все компоненты деформированного состояния
равны нулю, перемещения и\ и и" могут различаться только на
линейный член, описывающий движение тела как твердого це-
целого:
и\ = til + линейный член. A3)
Последнее соотношение вытекает из интегрирования уравнений
га = 0.
4.11. Теорема взаимности 137
Если на А (либо на части этой поверхности) заданы переме-
перемещения, то u'i = u[; если на А заданы только нагрузки, то дефор-
деформацию сопровождает движение тела как твердого целого, опи-
описываемое соотношениями A3).
4.11. Теорема взаимности
Пусть на упругое тело действуют две системы причин и след-
следствий. К причинам первой системы отнесем действия массовых
сил Х{, поверхностных нагрузок р{ на Аа и перемещений щ на Аи.
Эти причины в качестве следствий вызывают: поле перемеще-
перемещений щ и связанные с ним деформации гц и напряжения аг;-. Обо-
Обозначим причины символом / = {Х{, ри Ui), а следствия — симво-
символом С = {ы;}. В этой системе должны быть выполнены уравне-
уравнения равновесия
а/Л/ + Хг = 0, xgF, A)
и граничные условия
Вторую систему причин и следствий отметим штрихами:
1' = \Х\,р'1, и';}, C' = {«j}. И эта система должна удовлетворять
уравнениям равновесия
</ц.1 + Х', = 0, хеУ, C)
и граничным условиям
Умножим уравнение A) на и\ уравнение C) на щ. Вычтем по-
почленно результаты этого умножения и проинтегрируем по
объему V:
- Х'т) dV + j (оц, Ж - &„, tut) dV = 0. E)
Учитывая, что
Oji, jll'i = (Ojiti'i), j — Oiitl'i, i,
138 Гл. 4. Дифференциальные уравнения и общие теоремы эластостатики
после применения преобразования Остроградского — Гаусса при-
приводим уравнение E) к следующему виду.
{ (Xtu'i - X'tUi) dV + j (они! - a'nUi) щ dA =
V A
= J (ол"*./ — o'nUi,i)dV. F)
V
Используя соотношения
'i, j — оц {e'u + a'n) = аце'ц, ...,
приводим уравнение F) к виду
J (x^-x'^dv + J (/>,«;-/>;«,) ^л= J (CTi./e;.-a;A/)dF. G)
V A V
Правая часть этого уравнения равна нулю. Для проверки этого
факта достаточно умножить соотношение
на e'tj и вычесть из соотношения
умноженного на гц. В результате получим локальное соотно-
соотношение
s'u — o'ifin = 0. (8)
Из найденного таким образом уравнения
J X.u\dV + J Piu\ dA = j Х\игdV+\ p'.UidA (9)
A
видим, что работа, выполненная в упругом теле первой системой
причин на следствиях второй системы, равна работе, выполнен-
выполненной второй системой причин на следствиях первой системы. Та-
Таково содержание теоремы взаимности Бетти.
Теореме взаимности можно придать еще другой вид. Умно-
Умножим уравнение A) на u'i и проинтегрируем по объему V:
V V
Выполняя те же преобразования, что и раньше, имеем
4.11. Теорема взаимности 139
Учитывая (8), получаем второй вариант теоремы взаимности:
J X.u\dV + J Piu'.dA = J s^dV. A0)
V A V
Справедливо также уравнение
J X'tu,dV + j p\u. dA=\ *'l}otidV. A1)
V A V
Наконец, из соотношения (8), проинтегрированного по объему
тела, получаем третий вариант теоремы взаимности:
У. A2)
Теорема о взаимности работ является одной из наиболее ин-
интересных теорем теории упругости. Эту теорему можно исполь-
использовать для конструирования методов интегрирования уравнений
эластостатики в перемещениях.
Ниже мы приводим несколько простых применений теоремы
Бетти.
Предположим, что перемещения и\ в ограниченном теле
объема V даются линейными соотношениями
иг = ai + ^ikXjbk, I, j, k = 1, 2, 3,
где ait bi — произвольные постоянные. Легко проверить диффе-
дифференцированием, что деформации г'ц равны нулю. Так как де-
деформации связаны с напряжениями законом Гука, то ац = 0.
Но поле перемещений и\ обязано удовлетворять уравнениям рав-
равновесия C). Из этих уравнений вытекает, что составляющие мас-
массовых сил Х\ должны быть равны нулю. Перемещения и\ опи-
описывают перемещение тела как твердого целого. Из уравне-
уравнений A0) получаем для произвольного поля перемещений ии вы-
вызванного системой причин / = {Х{, ри щ)\
Хг (at + el!kXjbk) dV + J p{ (at + tl!kx}bk) dA=0. A3)
В силу предположения о произвольности коэффициентов а{, bt
уравнение A3) приводится к системе уравнений
" г " A4)
dV + iijkXjPkdA = O.
140 Гл. 4. Дифференциальные уравнения и общие теоремы эластостатики
Первое из этих уравнений связывает проекции массовых и по-
поверхностных сил, действующих на тело в направлении оси х{,
второе является уравнением моментов относительно оси х\. Эти
уравнения выражают равновесие тела; главный вектор и глав-
главный момент внешних сил равны нулю.
Возьмем перемещения uj в виде
bij^bji, A5)
где величины Ьц являются постоянными. Дифференцируя фор-
формулы A5), получим
. A6)
Для того чтобы удовлетворялись уравнения равновесия C), сле-
следует положить X'i = 0. Подставляя A5) и A6) в уравнения A0),
имеем
Xtb,,x, dV + j Р1Ьчх, dA=\ Bц&,^ + kbkkzkk)dV. A7)
V А V
Будем считать, что а'п = 1, а остальные напряжения а'ц равны
нулю. Такое состояние соответствует одноосному растяжению
тела. В этом случае, как легко получить из формулы A6),
6» = ц (ЗХ + 2ц) = Т ¦ bn=bi3=-^-, 612 = 623=631 = 0.
Учитывая последние соотношения и формулу A7), получим
Ы = т J вп dV = -±г ( J (XlXl - vX,x2 - vXm) dV +
+ { (PiXi - vp2x2 — vptxJdA \
л J
A8)
Через [ец] здесь обозначено среднее значение деформации в уп-
упругом теле объема V.
Для определения среднего значения деформации в\2 будем
считать, что а'2=1, а остальные напряжения о'ц равны нулю.
Из закона Гука A6) сразу вытекает, что единственным отлич-
отличным от нуля коэффициентом является Ьи = 1/Bц). Подставляя
это значение в уравнение A7), находим
A9)
4.12. Тензор перемещений Грина 141
Рассмотрим еще случай, когда а и = аЬ = а зз = 1 и о'п =
= а2з = аз1 = 0. Из соотношений Гука A6) находим
1 2
Ь\\ = ^22 = ^33 = "з^-. &12 = ^23 = ?'31 = 0, K = A,+-g[i.
Подставляя эти значения в уравнение A7), найдем среднее зна-
значение дилатации, выраженное формулой
)
Интеграл f SkkdV = [ekk]V представляет собой приращение
v
объема тела.
Доказанная теорема взаимности остается справедливой и
для неограниченного тела. Предположим, что массовые.силы
действуют в конечной области, так что интегралы Г | Xt \dV,
v
| | X't \dV ограничены. В этом случае требуется, чтобы напряже-
v
ния и деформации на бесконечности обращались в нуль. Гранич-
Граничные условия, строго говоря, перестают существовать, и уравне-
уравнение (9) принимает вид
J Xtu'tdV= / X'iUtdV. B1)
Теорема о взаимности работ выведена здесь для общего трех-
трехмерного напряженного состояния. Однако отсюда нетрудно по-
получить теорему взаимности, справедливую для плоского дефор-
деформированного или напряженного состояний, а также для одноос-
одноосного напряженного состояния.
4.12. Тензор перемещений Грина. Теорема Максвелла
Рассмотрим тело V, защемленное ') по поверхности Аи и сво-
свободное от нагрузок на поверхности Аа. Вся поверхность тела А
состоит из Аа и Аи.
Пусть в точке | е V действует единичная сосредоточенная
сила, направленная параллельно оси Хи. Эту силу трактуем как
следующее распределение массовых сил:
*,- = 6(х-?Nш A)
') На поверхности Аи полагаем и(х)= 0, хеА
142 Гл. 4. Дифференциальные уравнения и общие теоремы эластостаШКи
Это выражение следует рассматривать в сочетании с интегралом
(x-lNtkdV(x) = 6tk. B)
Выражение A) означает, что составляющая, направленная па-
параллельно оси xh, отлична от нуля. Об этом свидетельствует ко-
коэффициент 6,ft. Символ Дирака означает, что сосредоточенная
сила равна нулю для х ф |, а в точке \ принимает бесконечное
значение. Однако интеграл от массовых сил по объему V равен
единице (формула B)I).
Определенная таким образом единичная сосредоточенная
сила вызывает в теле V поле перемещений, которое обозначим
через U\k) (х, ?). Индекс i обозначает составляющие вектора пе-
перемещения LJW(x,!). Индекс k указывает причину перемещений,
а именно сосредоточенную силу, направленную параллельно
оси xk. Символ х обозначает текущую точку, символ | — место
приложения силы.
Перемещения U{t] получаем путем решения системы уравне-
уравнений
-1) = 0, i, U k = \, 2, 3, C)
с граничными условиями
U\k) (x, |) = 0 на Аи, х е= Аи, D)
p\k) (х, |) = 0 на Аа, х е= Аа. E)
Через p'ft) обозначим функцию на Аа
P\k) (х, I) = ix (U\* + Uft) n, + Ш«*)д. F)
Решив уравнения C) для k = 1, получим вектор
Для k = 2-"получаем вектор 1Н2>, для k = 3 — вектор U<3>. Со-
Составляющие этих векторов представим в виде матрицы
If? U? U?
iA» uf иТ
G)
') Подробнее об определении дельта-функции см., например, в книге:
Гельфанд И. М„ Шилов Г. Е., Обобщенные функции и действия над ними,
Физматгиз, М., 1958.—Прим. перев.
4.12. Тензор перемещений Грина 143
Функции и[к) называются фундаментальными решениями урав-
уравнений эластостатики или функциями перемещений Грина. Пока-
Покажем, что эти функции образуют симметричный тензор.
Рассмотрим две системы сил: силу Х{ = б(х — 1N,а, Дей-
ствующую в точке |, направленную параллельно оси xk и вызы-
вызывающую поле перемещений ifi *(х, ?), и сосредоточенную силу
X'i = 6{x — 1')&ц, приложенную в точке ?', направленную парал-
параллельно оси Xj.ii вызывающую поле перемещений ?/гУ)(х, ?')• При-
Применим к обеим силам теорему взаимности
J X{u'{ dV+j Piu\ dA = J ^U/ dF + J p\u. dA. (8)
Поверхностные интегралы в этом уравнении исчезают в силу
граничных условий D) и E) для функций С//*'(х, §) и анало-
аналогичных условий для функций Ui!)(x, !')• Из уравнения (8) по-
получаем
. (9)
V V
Используем известное свойство функции Дирака
и приведем уравнение (9) к виду
Uf{l, 1') = иТ{1', I). A0)
Уравнение A0) выражает теорему Максвелла о взаимности ра-
работ для сосредоточенных сил. Очевидно, эта теорема является
частным случаем общей теоремы Бетти. Единичная сосредото-
сосредоточенная сила, действующая в точке | параллельно оси хк, вызы-
вызывает в точке |' перемещение U<ft> (!',!), проекцию которого на
ось Xj обозначим через Uj '(!', |). В то же время единичная со-
сосредоточенная сила, действующая в точке §' и параллельная
оси Xj, вызывает в точке | перемещение и(ЛA. !')• проекцию ко-
которого на ось Xk обозначим через U& (|, %')¦ Эти проекции пред-
представлены на рис. 4.3. Равенство этих проекций и составляет со-
содержание уравнения A0). Если силы, действующие в точках |
и |', параллельны (например, направлены по оси Хи), то
Ci (s , s) — c/i (§, i ),
144
Гл. 4. Дифференциальные уравнения и общие теоремы эластостатики
что свидетельствует о симметрии тензора перемещений Грина.
Из уравнения A0) вытекает, что матрицу G) можно предста-
представить в виде
r/d) //(О
/7B) //B)
t/32)
(И)
Симметричный тензор второго ранга мы привыкли обозначать
двумя индексами внизу; таким образом, тензор перемещений
следовало бы обозначать Ujh = Ukj-
x;
РИС. 4.3.
Однако удобнее в дальнейшем сохранить принятые обозначе-
обозначения f//fe) и [ДУ), ибо эти обозначения более выразительны. Ниж-
Нижний индекс относится к составляющей перемещения, верхний ха-
характеризует причину, которая вызывает перемещение. Позже мы
убедимся (в § 5.7), что тензор перемещений в точке приложения
сосредоточенной силы имеет особенность. В § 5.7 мы дадим вы-
выражение для тензора перемещений в неограниченной области.
4.13. Формулы Сомильяны
В теории потенциала рассматривается такой вид решения,
в котором искомая функция и в произвольной точке х выра-
выражается через поверхностные интегралы, куда входят заданные
граничные условия.
Решим уравнение Пуассона
с заданными граничными условиями типа Дирихле или Неймана
на поверхности А. Затем рассмотрим другое уравнение Пуассона
\и (х) = л (х), хеи, B)
в той же самой области с условиями и' = f или ди'/дп = g'
на А. Умножим уравнение A) на и', а уравнение B) на и. Вы-
4.13. Формулы Сомильяны 145
чтем один результат из другого и проинтегрируем по объему V.
Получим уравнение
J (Хи' — Х'и) dV = J (u' V2« — uVV) rfK. C)
V V
В правой части этого уравнения совершим преобразование
Гаусса — Остроградского
II?%). D)
Это известная теорема из теории потенциала, аналогичная тео-
теореме Бетти для эластостатики.
Будем считать, что решение и' относится к неограниченной
области Voo и является решением уравнения
VV(x, 6) = 6(x-g), ?eV, xeL E)
Подставляя X' = б(х — |) в уравнение D), получаем
(х) 1 , «/ \
^JЙЛ (х)' если
Г Г
J L"
Решением уравнения E) является функция
и' (х, |) = - -^, /? = [(х, - У .(х, - У]у\ G)
где Я — расстояние между точками х и %. Из формулы F) —
основной формулы теории потенциала — можно определить
функцию и(х), если известны функция Х(\) и функции и(х) и
ди(х)/дп на границе Л.
Возникает вопрос: нет ли аналогичной теоремы в эластоста-
тике? На этот вопрос ответил Сомильяна, построив при помощи
тензора перемещений Грина U\k)(x, |) решение системы урав-
уравнений
\Я*и, + (К + »)е,1 + Х{ = 0, хеУ, (8)
с заданными граничными условиями.
Отправной точкой наших рассуждений является теорема
взаимности Бетти
J (V; - Kh) dV + J (p{u't - p'tut) dA = 0. (9)
146 Гл. 4. Дифференциальные уравнения и общие теоремы эластостатики
Пусть искомая функция щ удовлетворяет системе уравнений (8)
с заданными на А граничными условиями. Функцию и\ выби-
выбираем следующим способом. В точке % неограниченной области К»
помещаем сосредоточенную силу X'i=6(x— |) бгь направлен-
направленную параллельно оси Хи- Пусть | принадлежит также и подобла-
подобласти V. Сосредоточенная сила Х\ вызывает поле перемещений
и\ = U\k) (x, 1), которое удовлетворяет уравнению
(х-S)fiift = 0, /, /, k = l, 2, 3, A0)
с нулевыми значениями перемещений на бесконечности. Опре-
Определим соответствующие перемещениям Ut (x, 1) напряжения
а\)) (х, |) и с их помощью образуем вектор напряжения
р\* (х, 1) = ц (U\k) + ?/<*>) п. + kn(Uff. (И)
Подставляя u'{=U\k) и p'l = p\k) в уравнение (9), получим после
простых преобразований следующее соотношение:
и* (I) = J [Pt (х) Ц*>(х, I) - pl*>(х, |)«. (х)] dA(x) +
Xi(x)U\k)(x, l)dV(x). A2)
Эта формула, выведенная Сомильяной '), находится в полной
аналогии с формулой F) теории потенциала. Отсюда видно, что,
зная распределение массовых сил Х{, а также перемещения
Uj(x) и нагрузки Pi(x) на А, можно из формулы A2) определить
перемещение uk в точке |еУ. Если точка % лежит вне области V,
то щ{\) = 0, | е Ус — V. Поменяв местами точки х и |, приво-
приводим формулу A2) к виду
и* W = J [Р, (I) С/'А" (I, х) - pf (I, х) и, Щ dA (|) +
д
+ [ Xi (I) ^*" (|, х) dK (I), x, | s F. A3)
Здесь мы воспользовались зависимостью Максвелла
U[k>(x, l) = Uf&, x). A4)
») Somigliana С, Nuovo Cim. C), 17—18 A885).
Somigliana С, Nuovo Cim., 19—20 A886).
Somigliana C, Sulle Equazioni della Elasticita, Ann. Mat. B), 17 A889),
37-64.
Somigliana C, Nuovo Cim. C), 36 A894), 1.
4.14. Функции Грина 147
Заметим, что при отсутствии массовых сил уравнение A3) можно
дифференцировать произвольное число раз по Х\. Отсюда выте-
вытекает, что решения uk являются в этом случае аналитическими
функциями координат, поэтому в окрестности произвольной
точки х е V их можно разложить в ряд по координатам.
Формулы Сомильяны A3) имеют только теоретическое зна-
значение, ибо на границе А могут быть заданы либо перемещения
щ = fi, либо нагрузки р,- = а^щ, но каждый из этих типов гра-
граничных условий отдельно.
4.14. Функции Грина ¦)
Вернемся снова к теории потенциала и рассмотрим краевую
задачу Дирихле. Решим уравнение Пуассона
) = X(x), хеУ, A)
в области V при заданной на границе А функции ы(х)
u(x) = f(x), xeA B)
Для решения уравнения A) воспользуемся функцией Грина
G(x, |), имеющей особенность в точке % и удовлетворяющей
уравнению
V2G(x, |)-=в(х-|), х, |еК, C)
с однородным граничным условием
G(х, I) = 0, хеА D)
Умножим уравнение A) на G, а уравнение C) на и. Результаты
вычтем почленно и проинтегрируем по области V:
J [(X (х) G (х, |) - б (х -1) и (х)] dV (x) = | (GV2u - u\2G) dV. E)
V
V
Из этого уравнения получим
F)
') Volterra V., Lauiicella G., Pisa Ann. sc. norm., 7 A895), I.
Lauricella G., Roma Ace. Line. Rend. E), 2 A893), 298; Nuovo Cim,, 35
A893), 141, 177, Pisa Ann. sc. norm., 7 A894), 40.
148 Гл. 4. Дифференциальные уравнения и общие теоремы эластостатики
Граничное условие D) значительно упрощает уравнение F).
Функция ы(|), | е V, дается формулой
и{1)=\х (х) G (x, I) dV (х) + J и (х) aa?l) dA (x). G)
V А
Функция Х(х) в области V и функция ы(х)=/(х) на поверх-
поверхности А являются заданными функциями. Отсюда видно, что
знание функции Грина G(x, |) позволяет вычислить функцию
и(х) по формуле G). Функцию Грина G(x, |) можно предста-
представить в виде двух слагаемых
G(x, 6) = o(x, S)--rJn-. (8)
Здесь —1/Dя#) является решением с особенностью для неогра-
неограниченного пространства, и(х,|)—регулярным решением, вы-
выбранным так, чтобы на поверхности А было v(x, |)= 1/D#)
Покажем, что решение первой краевой задачи эластостатики
при использовании функции Грина приводит к формулам, ана-
аналогичным формуле G).
Рассмотрим упругое тело V, находящееся в равновесии под
действием массовых сил Хг при заданных на поверхности А пере-
перемещениях. Требуется определить перемещения щ(х), хе7, ко-
которые должны удовлетворять уравнениям
,{ + Х{ = 0, хеК, (9)
с граничными условиями
ut = fi(x), xgA A0)
Введем вспомогательный тензор перемещений Ui ] (х, |), удовле-
удовлетворяющий системе уравнений
\tf2U\k) + (К + ц) Ufa + б (х -1) Ьш = 0, х, I е F, (И)
с однородными граничными условиями
?>^(х, |) = 0, хеД geF. A2)
Функция f/ift) (x, |) означает здесь составляющую перемещения
точки хеУ, параллельную оси л:*, вызванную силой Z; =
= 6(х—|) 6(Ь приложенной в точке | и направленной параллель-
параллельно оси xh. Перемещение G[k)(x, |) относится к упругому телу,
жестко закрепленному на поверхности А, о чем свидетельствует
граничное условие A2).
4.14. Функции Грина 149
Теперь применим теорему взаимности Бетти
| (Xtu't-X'tut)dV + | (piu'i-p'iui)dA = 0. A3)
V А
Подставляя в это уравнение щ=0[к) и Xj = 6(x— ?N{ь, полу-
получим следующую формулу:
щ (I) = J X. (х) Up (х, |) dF (х) - J #*> (х, |) и, (х) <М (х), A4а)
V А
k, 1=1, 2, 3.
Здесь />^>(х> I) обозначает реакцию cr^x. t)nf(x) на поверх,
ности А, выраженную с помощью функции Ui \ а именно
I) = И (С/^у + ##) л. + X«.t/Wr A5)
Формула A4а) дает решение поставленной задачи, выражая пе-
перемещение Ui(x) при заданных в перемещениях граничных ус-
условиях. В формуле A4а) массовые силы и перемещения на А
известны. Тензор перемещений 0\k) (x, |) считается здесь также
известным; это результат решения системы дифференциальных
уравнений A1) с однородными граничными условиями. Функ-
Функции 0[k> являются функциями Грина для первой краевой задачи
эластостатики.
Уравнения A4а) аналогичны уравнению G) теории потен-
потенциала. Эта аналогия будет более ясной, если, учитывая фор-
формулу (8г) § 4.2, мы представим формулу A5) в виде
х, |) = 2ц
Следует добавить, что функции U{ ' можно представить в виде
где иТ — решение с особенностью для неограниченного упру-
упругого пространства (тензор перемещений, рассмотренный в §4.13),
a U^ (х, |) является регулярной функцией, выбранной так,
чтобы на поверхности А выполнялось условие A2), т. е. чтобы
U(ik) = — U\k] на А. Заменяя х на |, уравнению A4а) можно при-
придать вид
uk
(х) = J Xt (|) Of (х, |) dV ft) - J pf (x, I) ut ® dA A). A46)
Займемся второй основной краевой задачей эластостатики,
в которой на поверхности А тела V заданы нагрузки pt
150 Гл. 4. Дифференциальные уравнения и общие теоремы эластостатики
Отыщем решение системы уравнений
liV2ui + (K + n)e,i + X{ = 0> хеУ, A6)
с граничными условиями
pj = ajinj, xeA A7)
Так как тело под действием нагрузок р\ в результате деформиро-
деформирования может вращаться как твердое целое, то дополнительно
предположим, что тело закреплено в точке ц = (t]j, т]2, т]3), х\ щ V,
другими словами, что в точке ц равны нулю перемещения и со-
составляющие вектора поворота.
Для определения тензора премещений щ](х, |) допустим,
что тело V свободно от нагрузок на А и закреплено в точке т\.
Только в этом случае сосредоточенная сила Х{ = 6(х—ЕN*4
находится в равновесии с реакциями в точке ц.
Решая систему уравнений
nV2Uiik) + (K + n)U<jk)ii + 6(x-lNik = 0, g, xeF, A8)
с граничными условиями
Д*> = *<*>(х, |)nf (x) = 0, хе= А, ?еК, A9)
и условиями закрепления в точке rj
1)Т (л, I) = 0, i*/ (л, I) = 0, л. I e F, B0)
находим функции Грина f/i ' (x, |). Эти функции в дальнейших
рассуждениях будем считать известными.
Напишем уравнения взаимности Бетти для полей перемеще-
перемещены
ний щ и Ur:
J [Xt (x) lfik) (х, |) - б (х -1) Ь1кщ (х)] rfF (x) +
v
+ { [р; (х) &,*) (х, |) - р\к) (х- I) ", (х)] dA (x) = 0. B1)
А
В поверхностном интеграле в силу граничных условий A9) сле-
о
дует исключить член р\к)(\, 1)иДх). В формуле B1) мы исклю-
исключили работу сосредоточенных сил и моментов в точке ц, ибо пе-
перемещения и повороты в обеих системах в уравнении Бетти
4.14. Функции Грина 151
в точке г] равны нулю. Из уравнения B1) вытекает следующая
формула:
ик ф = J X. (х) U*> (х, |) dV (х) + jPi (x) *}<*> (х, |) Л4 (х), B2)
или
uk (x) = j Xt (I) Uf (x, I) dV (|) + J Pi (I) Up (x, |) dA (|). B3)
V A
Эта формула дает решение второй основной краевой задачи
о
эластостатики с помощью функций Грина U\ .
Остается рассмотреть еще третью краевую задачу, в которой
на Лст заданы нагрузки pit а на Аи — перемещения щ. Поле пе-
перемещений «j должно удовлетворять дифференциальным урав-
уравнениям
liV2Ui -f- (К -f- ц) et i + Х{ = 0 B4)
с граничными условиями
Wi = /(- на Аи, pi = aVlni на Лд, Л = Ла + Ла. B5)
Введем тензор перемещений Грина Ui '(x, |) как решение си-
системы уравнений
' ixV2U\k) + (K + ii)U(/% + б (х -1) 6ik = О, x,|gF, B6)
с граничными условиями
U\k)(x,l) = 0 на Аи, хе4, l^V, B7)
а^ (х, I) п{ (х) = 0 на Аа, х е Л0, | е V. B8)
Применяя теорему взаимности Бетти к полям перемещений щ и
U\k), имеем
J (X.f/^) - X\ut) dV + j (ppy - p^Ui) dA +
*' - #*Ч) ^л = °- B9)
Принимая во внимание равенство нулю перемещений U({k) на
Ац и /5(,А) на Ло (в силу принятых граничных условий B7) и
152 Гл. 4. Дифференциальные уравнения и общие теоремы эластостатики
B8)) и полагая Х\ — Ь(х —1N^, получим из уравнения B9)
выражение
и* Ф = J X. (х) ?/<*> (х, I) dV (х) + J />f (x) #<*> (х, |) dA (x) -
- \ #« (х, |) и, (х) «М (х). C0)
Аи
Меняя местами переменные х и |, имеем
uk(x) =\ Xt (|)Щ(х, |)dV (|) + j ^ (|) t/W (x, |)
- J>ft»(x, |)ы.(|)^Л(|). C1)
Решение представленных в этом параграфе краевых задач
было получено при помощи построенных соответствующим обра-
образом функций перемещений Грина. Очевидно, центр тяжести ре-
решения лежит в определении функции Грина. Эти функции
удается вычислить для некоторых простых систем, например для
мембран и плит. Однако в трехмерном случае задача определе-
определения функции Грина для ограниченных областей наталкивается
на большие трудности.
4.15. Приведение смешанной краевой задачи
к системе интегральных уравнений первого рода ')
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений эласто-
эластостатики
, ,+ Я, = 0, хеУ, A)
со смешанными граничными условиями
Pi = Ojin,, х<=Лст, B)
f{ = Ui, хеЛ„, Л = Ла + Лст. C)
J) Nowacki W., On Certain Boundary Problems of the Theory of Elasti-
Elasticity, Bull. Acad. Polon. ScL, Cl. IV, 3, № 4 A955).
Nowacki W., Formulation of a Boundary Problem of the Theory of Elasti-
Elasticity with Mixed Boundary Condition, Dull. Acad. Polon. Sci., Ser. Sci. Techn.,
10, № 2 A962), 71—78.
4.15. Приведение смешанной краевой задачи к интегральным уравнениям 153
В предыдущем параграфе было дано решение этой смешанной
задачи при помощи функции Грина. Однако определение функ-
функций Грина, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям
со смешанными граничными условиями (р^ = 0 на Аа и U\k) = 0
на Аи), может натолкнуться на значительные трудности мате-
математического характера.
Ниже мы приведем другой способ решения этой задачи, осно-
основанный на использовании простейшей системы, так называемой
«основной системы», в которой функции Грина удовлетворяют
однородным граничным условиям.
Заметим, что на Ло мы знаем нагрузки, в то время, как пе-
перемещения щ являются неизвестными функциями. Аналогично
на Аи мы знаем перемещения, а неизвестными функциями яв-
являются опорные реакции pi = а^П). Поэтому в качестве неиз-
неизвестных функций задачи можно выбрать как перемещения щ на
Аа, так и реакции pi на Аи- Ниже мы представим второй вариант
решения, принимая в качестве неизвестных функций опорные
реакции р{ = Rt на Л„.
В качестве основной системы выберем тело V, свободное от
нагрузок на Л и закрепленное в произвольной точке i\^V. Пусть
в точке | определенной таким образом основной системы дей-
действует сосредоточенная сила Х' = б(х—!Ni?, направленная па-
параллельно оси JCfc. Действие этой силы вызывает поле перемеще-
перемещений Ulifc)(x, |), которое должно удовлетворять системе диффе-
дифференциальных уравнений
liV2U\k) + (К + ц) #,*>„ + б (х - |) б,-, = 0 D)
с граничными условиями
°р\к)(Г, 9 = <#J (У, 1)п,(у) = 0, уеЛ, geF, A = AU + Aa. E)
Для удобства будем обозначать точки внутри области V через х
и |, а точки, лежащие на границе Л области V, через у и ц. По-
Потребуем дополнительно, чтобы в точке ц было{/[4) = 0 и ©^ = 0.
В дальнейших выкладках будем считать, что тензор перемеще-
о
ний U\ (x, |) удалось вычислить в основной системе. Пусть те-
теперь в основной системе на тело V действуют массовые силы Х{,
нагрузки р^ на поверхности Лст и неизвестные реакции R{(y)
на Аи. Реакции ^?г(у) выберем так, чтобы на Аи выполнялось
условие щ = f{.
154 Гл. 4. Дифференциальные уравнения и общие теоремы эластост№ики
Применяя теорему Бетти к перемещениям и,- и 0{к), получим
следующие уравнения:
J [Xt (х) Up (х, |) - б (х -1) 6tkut (x)j dV (x) +
V
+ j [/>, (У) fy (У. I) - P[k) (У- &) и, (y)J dA (у) +
/<*)(у, !)-/><*> (у, t)ut(y)]dA(y) = Q. F)
Аи
Интеграл, выражающий работу сил и моментов на перемещениях
и поворотах точки т], равен нулю. Из уравнения F), принимая во
внимание граничные условия E), получим
и* (I) = К (|) + j Ri (У) UT (у, g) dA (у). G)
А,
Здесь через и\ обозначено выражение
и» (|) = j Xt (x) #<*> (х, |) rfF (х) + j р. (у) ?/<*> (у, |) ЙЛ (у), (8)
v au
х, 1<=V, ye Л.
Это выражение представляет собой искомое перемещение в пред-
предположении, что в системе действуют только массовые силы и по-
поверхностные силы pi на Лст.
Заменяя в V независимые переменные х на |, представим
выражение G) в виде
uk (х) = и\ (х) + J Rt (У) Й1 (х, у) dA (у), хеУ, уеЛ, (9)
В этом функциональном соотношении неизвестными функциями
являются перемещения ыь(х) и реакции Ri{y). Неизвестные
функции Ri(y) найдем, используя граничные условия C), со-
согласно КОТОрЫМ И; (у')— ff(y') на Аи-
Переходя поэтому от точки хеГк точке у' е Аи, получаем
из формулы (9)
(У'. y)dA(y), k=l, 2, 3. A0)
Мы получили систему трех интегральных уравнений первого
рода, в которых неизвестными функциями являются реакции
4.16. Теорема Клапейрона о работе деформации 155
Ri(y). Из системы уравнений A0) находим функции Ri(y), а из
функционального уравнения (9) — перемещения «й(х).
Изложенный здесь способ можно обобщить на случаи, когда
на нескольких частях поверхности А заданы перемещения, а на
остальных — нагрузки. Указанный способ остается пригодным,
если поверхность Аи в уравнениях-(9) и A0) вырождается в
кривую или в точку.
В представленном здесь методе центр тяжести лежит на ре-
решении системы уравнений A0), т. е. интегральных уравнений
первого рода, теория которых развита еще не так хорошо, как
теория интегральных уравнений Фредгольма второго рода.
4.16. Теорема Клапейрона о работе деформации
Рассмотрим упругое тело, находящееся в состоянии равнове-
равновесия под действием массовых сил и поверхностных нагрузок,
а также заданных на границе перемещений. К нагрузкам отне-
отнесем также опорные реакции, а именно силы Рг = оц/г, на тех
частях поверхности, на которых заданы перемещения. Предпо-
Предполагаем, что рассматриваемая система подчиняется закону Гука,
что во время деформации не возникнут новые опорные реакции
(новые точки подкрепления), а также, что при ец = 0, оц = 0
тело находится в естественном состоянии. Такое тело называется
телом Клапейрона.
Докажем справедливость следующей теоремы, известной как
теорема Клапейрона.
Работа деформации W упругой системы, находящейся в рав-
равновесии, равна половине работы внутренних сил на перемеще-
перемещениях в точках их приложения. Эту теорему мы получим, преоб-
преобразуя интеграл
\ ^^^V. (i)
v v
Так как
etleti + j 4^u)dV = ^ [ BцеG + Щ&кк)г(, dV,
v v
то
J
v
V. B)
v
Так как
Oil (8</ + «г/) = otiUi. j = а{!е{1,
т. е. 0(/(о(/ =0, то
156 Гл. 4. Дифференциальные уравнения и общие теоремы эластостатики
ИЛИ
W = 1 J (<rf/Uf), {dV-\\ a!it ,щdV. C)
V V
Преобразуя первый интеграл в поверхностный и используя урав-
уравнение равновесия
*„., + *, = О D)
во втором интеграле выражения C), получим
-jjXiUidV = H. E)
v
Таким образом, теорема Клапейрона доказана. Через Н мы обо-
обозначили действительную работу внешних сил.
Теорема Клапейрона может быть использована при доказа-
доказательстве теоремы взаимности Бетти; такой способ делает более
ясным механический смысл выкладок.
Пусть на тело V действуют массовые силы Х{ и поверхност-
поверхностные силы ри причем возрастание этих сил происходит медленно
от нуля до их конечных значений. Под действием этих сил воз-
возрастают перемещения, принимая окончательные значения щ. Так
как перемещения возрастают линейно по отношению к силам, то
работа внешних сил равна
,щ dA + jj XiUi dV. F)
" A V
Произведем суперпозицию перемещений и[, вызванных дей-
действием сил Х'{ и р\. В течение этой второй деформации силы Xit
Pi, которые уже достигли своих окончательных значений, произ-
производят работу
L^lp^dA+lx^dV.
¦ А V
Внешние силы Х\, р\ второй системы нагрузок производят
работу
Складывая работы, произведенные указанными двумя систе-
системами сил, имеем
L=Ln+L22+ $ Piu'tdA+ j X^dV. G)
A V
4.16. Теорема Клапейрона о работе деформации 157
Пусть сначала на упругое тело действуют внешние силы Х[, р[,
а затем силы Х{, рг. Работа внешних сил принимает вид
^ \и, dA + { X\ut dV. (8)
А V
Так как работа деформации не зависит от очередности прило-
приложения нагрузок, то справедливо соотношение
J Piu\ dA
X\u. dV, (9)
V
вытекающее из сравнения уравнений G) и (8). Уравнение (9)
представляет собой теорему взаимности, установленную другим,
более формальным путем в § 4.11.
В § 4.6 была сформулирована вторая форма теоремы о мини-
минимуме потенциальной энергии:
Г; - J Plu] dA-j Xtu] dV > Же - J Ptut dA-j X{UidV. A0)
Здесь F'e — работа деформации, связанная с таким полем пе-
перемещений щ, которое удовлетворяет уравнениям в перемеще-
перемещениях, а также граничным условиям р{ = Ojitij на Аа и и* = fj
на Аи; работа же Ж*е относится к полю перемещений и*, которое
удовлетворяет только граничным условиям «i = f; на Аи.
В § 4.8 было дано неравенство, связанное с теоремой о ми-
минимуме дополнительной работы:
— $ fii.utdA>Va— jptutdA. A1)
Аи Аи
Здесь Ж о — работа деформации, относящаяся к полю напряже-
напряжений ct,j, которое удовлетворяет уравнениям равновесия, уравне-
уравнениям совместности и граничным условиям рг = оцП] на Аа и
условиям их = fi на Аи. В то же время Жа — это работа дефор-
деформации, относящаяся к напряженному состоянию ац, которое
удовлетворяет уравнениям равновесия и граничным условиям
pi = 6jinl на Аа.
Благодаря соотношению E) можно эти неравенства связать
между собой. Учитывая, что
• jj XtutdV, A = AU + AO, A2)
v
158 Гл. 4. Дифференциальные уравнения и общие теоремы эластостатики
получаем следующие соотношения:
A— \ XiU{dV =
е
Л
= ±П PiiitdA— \ puiidA — j XtutdV\, A3)
\AU Aa V I
o - \ p{Ui dA = -j(\ p,u, dA— | ptut dA — j Xtu{ dV\. A4)
Au Ч Да У I
Сопоставляя соотношения A0) и A1), а также A3) и A4), по-
получим следующее интересное неравенство:
Wl- \piuidA-\xtuidV>
Аа V
> j( \ Plut dA— J Р[щ dA — \ XiUidV\ > J piUldA — Wa. A5)
4.17. Теорема Кастильяно о частной производной
работы деформации
Пусть тело V находится в равновесии под действием внеш-
внешних сил Qi, Q2, ..., Qm и опорных реакций Ru R2 Rh- К ре-
реакциям мы относим только гиперстатические опорные реакции,
а именно те, которые нельзя подсчитать из условий равновесия
тела, трактуемого как твердое целое. Пусть указанные внешние
силы и опорные реакции приложены к поверхности тела. Пусть
это тело является телом Клапейрона: во время деформирования
не возникают новые реакции.
В дальнейших выкладках не будем различать силы Q\, ...
..., Qm и опорные реакции. Введем для них общие обозначения
Ри Р2 Рг, где г = m + k. Обозначим через бь б2, ..., бг
проекции смещения точек приложения сил Pi Рг на направ-
направления линий их действия.
На основе принципа суперпозиции имеем
Ь1 = $ЧР,, i, /=1, 2 г. A)
Поэтому смещение точки i зависит от Ри Pi Рг. Через рц
обозначим смещение точки г в направлении силы Ри вызванное
действием сосредоточенной силы Pj = 1.
Если сила Р\ возрастает от нуля до своего полного значения,
то работа, выполненная ею, принимает значение -g-PA- Для со-
4.18. Теоремы существования решения 159
средоточенных сил получим
H = ^PA = ihp{pi- B)
Работа внешних сил, по теореме Кастильяно равная работе де-
деформации, является квадратичной функцией сил Pi, Р2, ..., Рг.
Трактуя силы как независимые переменные, имеем
В силу теоремы взаимности р1;- = Pjj. Поэтому
D)
Это и есть теорема Кастильяно о частной производной работы
деформации. Она утверждает, что частная производная работы
деформации по силе Рг равна смещению точки i в направлении
действия этой силы.
Если предположить, что опоры сконструированы так, что не
допускают смещения в направлении действия опорных реакций,
то из формулы D) вытекает, что
¦Ц-«0, /— 1, 2 As. E)
Уравнений этого типа получим столько, сколько независимых
опорных реакций. Из соотношения B) видно, что уравнения E)
образуют систему k неоднородных линейных уравнений, в кото-
которых неизвестными являются опорные реакции R\ Rh. Урав-
Уравнения E), будучи следствием общего уравнения D), составляют
содержание теоремы Менабри о наименьшей работе деформации.
Уравнения D) и E) имеют важное значение в статической
строительной механике, статике балок, рам, арок и ферм. Чи-
Читателей, заинтересовавшихся этими теоремами, мы отсылаем
к работе Новацкого1), в которой также дано краткое доказа-
доказательство утверждения, что соотношения E) приводят к мини-
минимуму работы деформации.
4.18. Теоремы существования решения
дифференциальных уравнений эластостатики
До сих пор мы молчаливо предполагали, что решение задач
эластостатики существует. Проблема существования решения яв-
является одной из труднейших задач каждой теории. Доказатель-
Доказательство этой теоремы в эластостатике требует использования боль-
') Nowacki W., Mechanika budowli, t. 1, wyd. 2, PWN, Warszawa, 1964.
160 Гл. 4. Дифференциальные уравнения и общие теоремы эластостатики
шого числа вспомогательных математических средств, главным
образом из области теории потенциала и теории линейных инте-
интегральных уравнений. Проблемой существования решения диф-
дифференциальных уравнений эластостатики занимались многие из-
известные математики: Фредгольм1), Лауричелла 2), братья Кос-
сера3), Корн4), Лихтенштейн5) и Г. Вейль6).
Общая идея доказательства теоремы существования решения
состоит в преобразовании системы дифференциальных уравне-
уравнений эластостатики в систему линейных интегральных уравнений
второго рода и исследовании существования решения этих урав-
уравнений.
Иной дорогой пошли братья Коссера, используя метод раз-
разложения решения уравнений эластостатики в ряды по «собствен-
«собственным функциям». Этот путь является одновременно новым мето-
методом решения дифференциальных уравнений эластостатики.
Ниже мы подробно изложим доказательство Лихтенштейна
теоремы о существовании решения. Это доказательство является
достаточно компактным и, видимо, наиболее простым. Затем мы
кратко обсудим теорему братьев Коссера.
1. Доказательство Лихтенштейна. Рассмотрим первую крае-
краевую задачу эластостатики. Требуется доказать, что существует
решение системы уравнений
V2u{ + ke,{ = 0, xgK, k=l+j, A)
с граничными условиями
ut = Ut(y), ye Л. B)
Известно, что при отсутствии массовых сил дилатация е.является
гармонической функцией и удовлетворяет уравнению
0. C)
4) Fredholm I., Solution d'un probleme fondamentale de la theorie de
l'easticite, Arkiv for Matematik, Astronomi och Fysik, 2 A906), 3—8.
2) Lauricella G., АШ Reale Accad. Lincei, Rendiconti, Classe di scienze
fisiche, mathematiche e naturali, 15, ser. 5 A906), 426—432; 16, ser. 5 A907),
373.
3) Cosserat E., Cosserat R, С R. Acad. ScL, 126 A898), 1089; 127 A899),
415; 133 A901), 145, 271, 326, 361, 382.
*) Korn A., Sur les equations de l'elasticite, Annales de I'ecole normale
superieure, 24, ser. 3 A907), 9—75.
5) Lichtenstein L., Uber die erste Randwertaufgabe der Elastizitatstheorie,
Mathematische Zeitschrlft, 20 A924), 21—28.
6) Weyl H., Das asymptotische Verteilungsgesetz der Eigenschwingungen
eines beliebig gestalteten elastischen Korpers, Rend. Circ, Mat, Palermo, 39
A915), 1—49.
4.18. Теоремы существовании решения 161
В связи с этим систему уравнений A) удается представить
в виде гармонических уравнений
) 0. D)
k
Функции щ + -д- xte являются гармоническими.
Предполагаем, что функции «г имеют в области V непрерыв-
непрерывные производные третьего порядка, а на поверхности А — непре-
непрерывные производные первого порядка.
Обозначим через С(х,|) функцию Грина для уравнения Ла-
Лапласа замкнутой области. Функция G должна удовлетворять
уравнению
V2G (х, ?) = 4я6 (х -1), V2 = -^- ~ , E)
с граничным условием
G(y,I) = 0, ye Л. Eа)
Введем обозначение сг = «г + -к х& и воспользуемся теоремой
Гаусса — Остроградского
{ l^^ F)
V А
Учитывая формулы D), E) и Eа), имеем
4я J б (х -1) [щ (х) + 4 хге (х)] dV (x) =
= J [и* (У) + 4 </*е (У)] ^j^ ^Л (у), у е Л, х,
л
или после замены | на х и использования условия B)
И< (х) + | *гг (х) ^ ±- J t/t (у) aG ^ х) rfЛ (у) +
В выражении dG/dn дифференцирование по нормали относится
к переменным уг. Первый член правой части уравнения G)
(8а)
А ¦ . ¦ -
можно трактовать как решение уравнения Лапласа
6 Bj Иовацкий
162 Гл. 4. Дифференциальные уравнения и общие теоремы эластостатиШ
с граничным условием
V( —= С/, (у), уе=Л. (8в)
Применим теперь преобразование F) к уравнениям C) и E),
принимая во внимание граничное условие Eа):
\п\ e{x)b{x-l)dV {x)= \ e{y)^^- dA(y).
А
Отсюда после замены | на х имеем
А
Исключая из уравнений G) и (9) величины у^е и учитывая
(8а), имеем
^j^^ A0)
Функции Vi(x) имеют в V + Л непрерывные частные производ-
производные первого порядка. Из уравнений A0) находим
[]
А ' (И)
Преобразуем эти уравнения, принимая во внимание соотноше-
соотношение (9):
^l A2)
А '
Обозначим через р расстояние между точкой хе7 и точкой
уе=Л; 9=[{x{ — yl){xi — yi)i'\ Учитывая, что
dG 6G
,— ^-^-, cosa,
cosa,— ^-^-, cosa, =
или
, ч dG dG
преобразуем уравнение A2) к виду
4,18. Теоремы существования решения f63
Перейдем теперь от точки хе^к точке уеЛ. Этот переход
требует исследования поведения функции р -:¦ ~—. Лихтенштейн
для этой цели использует рассуждения Леви ').
Поместим в точке уеЛ вспомогательную систему коорди-
координат Gi так, чтобы ось ст3 была направлена по отрицательной нор-
нормали к Л, а оси сть ст2 были касательными к линиям кривизны
в этой точке. Уравнение поверхности А можно в окрестности
точки у выразить в виде ряда
стз = Т (а1а1 + а2°1) + i (V? + &iCTiCT2 + Ьга1а] + Ьз°Ъ + • • • • С14)
Величины а\ и аг обозначают главные значения кривизны
в точке у. Согласно Леви,
д 2с, а, + а, а, — а9 а? — а\
С(ах)^^ '2 '2
2р
Функция Q(cr, x) имеет в окрестности точки у частные производ-
производные первого порядка. Эти производные при сближении точки х
с точкой у стремятся к бесконечности как 1/р. Для
дЮ _ дЮ'(о, х)
др дп " др да$
получается выражение
d2G __ 4а3 . q , ,__
дрдп р3 ' ^ ' '
где Q\ —ограниченная функция.
Рассмотрим теперь выражение
A5)
при переходе от точки хеУк точке у' е А. На основе известной
теоремы теории потенциала найдем при таком переходе следую-
следующие уравнения:
Р (у') = 2пе (у') - { -^ (±) е (у) dA (у),
А A6)
)
Р"
') Levy P., Ada Math,, 42 A919), 207—267.
6*
164 Гл. 4. Дифференциальные уравнения и общие теоремы эластостатики
Вернемся к уравнению A3) и совершим переход от точки хеУ
к точке у'еЛ. При этом мы получим следующее интегральное
уравнение:
Ядро интегрального уравнения A7)—функция р' при
у'—¦ у стремится к бесконечности как 1/р. Отсюда получаем, что
уравнение A7) является интегральным уравнением Фредгольма
второго рода с ядром, имеющим слабую особенность. Поэтому
к уравнению A7) можно применить общие методы теории ин-
интегральных уравнений Фредгольма второго рода, а также тео-
теорему о существовании решения интегрального уравнения этого
типа.
Требуется показать, что интегральное уравнение A7) имеет
решение для каждой функции Л(х). Пусть е(у')—решение урав-
уравнения A7), а е(х) определяется формулой A3). Докажем сна-
сначала, что е(х) является потенциальной и регулярной функцией
в V, т. е. что е(х) удовлетворяет уравнению C). Так как
У2Л(х) = 0 A8)
в силу уравнения (86) и соотношения A1), то остается пока-
показать, что функция
J^ A9)
удовлетворяет в V уравнению Лапласа V2M = 0.
Обозначим через Y(x) регулярную и потенциальную в V
функцию, непрерывную в V -\- А. Предположим, что эта функция
принимает на А значения е(у). Тогда
Но
V2[x{x?(x)] = 2~, поскольку V2Y=0. B1)
Применяя к функциям х№ и G преобразование F), получим
2я ^ di. Ал .а дп
B2)
4.18. Теоремы существования решения 165
Учитывая формулу B0), получим из B2)
v ' a B3)
Напишем выражение
V *
которое, принимая во внимание формулу B3), приведем к виду
- 3V (х). B5)
=-5Г J
А
Применяя к выражению B4) оператор Лапласа, находим
v
2я dxf J v'
1 V
Из формул B5) и B6) вытекает, что тогда и V2M = 0. Так как
V2N(x)=0 и V2Af(x)=0, то из уравнения A3) вытекает, что
V2e = 0, что и требовалось доказать.
Пусть «г(х)—функции, описываемые уравнением A0). Из
уравнений A0) и A1) вытекает, что е = «г, г- Так как уравне-
уравнения A0) и C), а также соотношение е = «i, г- приводят к урав-
уравнениям G), то «г являются решениями задачи.
Мы доказали, что интегральное уравнение A7) имеет реше-
решение. Если бы уравнение A7) не имело решения, то существовало
бы решение однородного уравнения, которое получится, если
в уравнении A7) положить Л = 0. Это означало бы, что суще-
существует нетривиальное решение уравнений эластостатики A) при
нулевых перемещениях на границе, а это невозможно.
2. Доказательство Коссера. Рассмотрим сначала вспомога-
вспомогательную задачу. Решим систему уравнений
+ ke,i=~Q B7)
при однородных граничных условиях на поверхности Л,
166 Гл. 4. Дифференциальные уравнения и общие теоремы эластостатики
Разыщем такие значения величины k, трактуемой как пара-
параметр, для которых уравнения B7) имеют решение, равное нулю
на границе А. Можно найти бесконечно много таких значений k,
составляющих последовательность k\, k% Каждому значе-
значению ka соответствует собственная функция uf] и e<-a) = u'f\,
а=1, 2, 3, ....
Братья Коссера показали, что все собственные значения ka
являются действительными и лежат в промежутке от —оо до
1 и поэтому соответствуют значениям k = 1 ^ , меньшим еди-
единицы, что при X, ii > 0 невозможно. Эти значения не соответ-
соответствуют поэтому реальным упругим постоянным.
Покажем, что дилатации е(а> е<Р> удовлетворяют усло-
условиям ортогональности
аф$. B8)
V
С этой целью рассмотрим два различных параметра ka и йр и
соответствующие им функции и\а), и^К Эти функции должны
удовлетворять уравнениям
0, B9)
Умножая первое уравнение на н'/', второе на и\а\ вычитая по-
почленно результаты и интегрируя по области V, получим следую-
следующее соотношение:
J (ufWuW — и^яРир) dV + J [kaufeM — k^ufe^] dV = 0. C1)
V V
Замечание. В формуле C1) не следует суммировать ни
по i, ни по а, ни по р!
Используя теорему Гаусса — Остроградского, имеем
J {
А
dV ~
dV = °-
Поверхностный интеграл исчезает, так как собственные функции
принимают нулевые значения на границе. Преобразуя далее
C2), имеем
ka J и??а\ dA — k^j u[a?% dA = (ka - ftfl) J e«V> dV, C3)
Y
4.18. Теоремы существования решения 167
И здесь поверхностные интегралы исчезают на основе тех же со-
соображений. Так как предполагалось, что ka ф &р для а ф р, то
получается соотношение ортогональности
0, а=И=р. C4)
V
В дальнейших выкладках будем считать функции е<а), е*> норми-
нормированными так, что
Je(a)g(P)dy=6ap. C5)
V
Приступая к решению уравнений в перемещениях
S/%-\-ke,i = O C6)
с граничными условиями и{ = Ui(\), хеЛ, будем искать ре-
решение и,- в следующем виде:
C7)
a=l
Пусть функции Vj(x) удовлетворяют уравнениям Лапласа
V2yj(x) = 0, xsF, C8)
с граничными условиями
У,(х') = ^(х'), х'еА C9)
Сразу видно, что уравнение C7) удовлетворяет граничным усло-
условиям на А, ибо и\а) = 0 на Л и Vt(\) принимает на Л значе-
значения Ui(\).
С целью определения коэффициентов аа разложения функции
«i(x) в ряд подставим выражение C7) в систему уравнений
в перемещениях C6). Таким образом получаем систему урав-
уравнений
a=I
Первый член этого уравнения исчезает в силу формулы C8).
Далее, учитывая уравнения B9), после преобразований прихо-
приходим к уравнению
168 Гл. 4. Дифференциальные уравнения и общие теоремы ЭласТосТатики
Эти уравнения интегрируем по хс
оо
»> (х). D2)
а=1
Умножим уравнение D2) на е<Р>(х) и проинтегрируем по об-
области V. Учитывая условия ортогональности, получим
Ав = а8. D3)
V ci=l
Таким образом определены коэффициенты ар, входящие в урав-
уравнение C7).
Для полного доказательства существования решения следует
показать, что ряд D2) сходится и действительно представляет
функцию ¦d(x) = Vit i ').
4.19. Уравнения эластостатики в ортогональных
криволинейных системах координат
До сих пор мы использовали прямоугольную декартову си-
систему координат. Однако оказывается, что во многих задачах
теории упругости удобнее пользоваться ортогональными криво-
криволинейными системами. Так, в осесимметричных задачах удобнее
пользоваться полярной или цилиндрической системами коорди-
координат. В задачах, связанных с деформированным состоянием шара,
оказывается удобной сферическая система координат, и т. д.
Рассмотрим три функции a* (i = 1,2, 3), связанные с декар-
декартовыми координатами зависимостями:
at = ai(xu x2, х}). A)
Предположим, что а; являются произвольными линейно незави-
независимыми однозначными функциями координат хи дифференци-
') В доказательстве, данном самими Коссера, имеется ошибка. Исправ-
Исправленное доказательство теоремы существования методом Коссера дано
С. Г. Михлиным.
Михлин С. Г., О функциях Коссера, Сб. Проблемы математического ана-
анализа. Краевые задачи и интегральные уравнения, Изд-во ЛГУ, 1966,
стр. 59—69.
См. также
Михлин С. Г., Дальнейшее исследование функций Коссера, Вестник ЛГУ
№ 7 A967), 96-102.
Мазья В. Г., Михлин С. Г., О спектре Коссера уравнений теории упру-
упругости, Вестник ЛГУ, № 13 A967), 58—65.
Михлин С. Г., Некоторые свойства спектра Коссера пространственных и
плоских задач теории упругости, Вестник ЛГУ, № 7 A970), 31—45.
Победря Б. Е., О разрешимости задач теории упругости контактного
типа, ПММ, вып. 4 A969), 760—763. — Прим. перев.
4.19. Уравнения эластостатики в криволинейных координатах
169
руемыми относительно этих переменных. Уравнение A) опреде-
определяет преобразование координат. Это преобразование будет обра-
да.
тимым, если якобиан
дх
отличен от нуля. Тогда
= Xt(au a2, а3).
B)
Тройки чисел а,- определяют точки в трехмерном евклидовом
пространстве. Соотношение ai = const является уравнением по-
Еерхности. Для i = 1, 2, 3 имеем три семейства поверхностей.
Точка пересечения этих трех поверхностей однозначно опреде-
определяет точку х в пространстве. На рис. 4.4 представлены поверх-
РИС. 4.4.
ности а,- и координатные кривые а,. Предположим, что система
координат ос* является ортогональной.
В прямоугольной декартовой системе координат квадрат эле-
элемента длины ds выражается формулой
ds* = _2 dx\. C)
Исследуем, какое значение примет ds2 при переходе к ортого-
ортогональной криволинейной системе. Так как 1)
з
5rda'' ^
то
ds2
Ъ да. да.
k,i,i=i '
dat
E)
') Ввиду возможной неоднозначности чтения формул мы здесь отказа-
отказались от правила суммирования.
170 Гл. 4. Дифференциальные уравнения и общие теоремы эластостатики
ИЛИ
з
ds2 = 2
где
: да. '
к ' *
Это основная квадратичная форма в евклидовом пространстве.
Симметричный тензор второго ранга ga, называемый метриче-
метрическим тензором, характеризуется матрицей
Igu g\i й\ъ\
#21 g22 gib •
#31 #32 g.33»
Можно показать, что определитель этой матрицы \g^\ положи-
положителен. Квадратичная форма E) является положительно опреде-
определенной независимо от того, какие действительные значения при-
принимают дифференциалы da,-. Для криволинейных ортогональных
координат метрический тензор имеет только составляющие, ле-
лежащие на главной диагонали, а определитель матрицы прини-
принимает значение |go| = gwgagzz-
Величины ga можно интерпретировать следующим образом.
Рассмотрим точку (ось сег, аз) и перейдем вдоль координатной
кривой cti к точке (ai + dau a2, аз). Расстояние между этими
точками обозначим через dsi. Из формулы E) при с?аг= da3= 0
имеем
dsl = yrgndal = hldal. F)
Это расстояние между двумя точками, параметры которых отли-
отличаются на da\. Проекции элемента dsi на оси х\, х2, х3 выразим
формулой
dxk = -^dau k=\, 2, 3.
Направляющие косинусы элемента ds\ в системе координат
примут вид
dx. 1 дх. 1 dxh
± ± k=l, 2, 3.
дах hi дах
Так как
da3, G)
то
= dsi + ds\ + dsi = gn da\ + g22 da22 + Я33 da\ =
= h\ dai + hi da! + hi day (8)
4.19. Уравнения эластостатики в криволинейных координатах 171
Рассмотрим две близкие' точки деформированного тела:
точку Р с координатами а{ и точку Q с координатами а,- + da,.
В результате деформации тела эти точки переходят в Р' и Q'.
Координаты точки Р' обозначим через <ц + %и точки Q' — че-
через сц + dat + h + Ф-
Если wp (p = 1, 2, 3) обозначают составляющие перемещения
точки Р в направлениях cti, ct2, аз, то, согласно формулам G),
Рассмотрим линейный элемент PQ = ds, который после де-
деформации переходит в ds' = P'Qr. В криволинейной системе ко-
координат
з
ds2 = h\ da2 + h\ da\ + h\ da| = S Л2 da2
{ds'f = S Af (a, +1,, a2 +12, a3 + |3) (rfa, + 4гJ- A0)
Разложим ti\{a{ +1р a2 +12> аз + ^з) в РЯД Тейлора в окрест-
окрестности точки аь а2, а3:
4
В этом разложении сохраним только линейные члены, считая
приращения \j бесконечно малыми величинами.
Имеем далее
з
(dat + dltf = da2. + 2 da, rfg? + rfgj „ rfa2 + 2 J] _L rfa/ rfaj.
Подставляя последние соотношения в A0) и пренебрегая чле-
членами, содержащими произведения |j и d^/daj, окончательно по-
получаем
(ds'J=2 ^iGudaldal, A1)
i=i /=i
где
(
Рассмотрим линейный элемент d$\ длиной ds\ = h\da\. После
деформации его длина изменится и составит ds{ = ^
172 Гл. 4. Дифференциальные уравнения и общие теоремы эластостатики
Рассмотрим нормальную деформацию в направлении, касатель-
касательном к координатной линии ось Имеем
ds\ - dsi T/gT; + А,
«to, ~ А, ~~ \ ' ' h] ' ~ 2 h\ '
Итак, нормальная деформация в направлении, касательном к ко-
координатной линии см, равна
_ „
" ~ 2 А?
Учитывая формулу (9), окончатель-
окончательно получаем
з _.,
РИС. 4.5. A3а)
Перейдем к вычислению деформаций е,-:- для i Ф /. Рассмотрим
криволинейный треугольник PQR в недеформированном состоя-
состоянии (рис. 4.5). После деформации этот треугольник переходит
в P'Q'R', причем
da,, P'Rr =
R'Q' = VGU daf + G.12da\— 2G,2da, da2.
Угол ф*12) между сторонами P'Q' и Р'/?' после деформации най-
найдем из теоремы косинусов
R'Q'2 = p'Q'2 + р'^'2 - 2P'Q' ¦ P'R' cos ф,',. 2).
Отсюда для малых деформаций
« р =
2)
cos Ф^, 2) = cos ^ - p,2J = sin
Вводя обозначение е,2 = -|-р12 и учитывая, что VGUG^^ h{h2,
получим
„ _ ' g»
4.19. Уравнения эластостатики в криволинейных координатах 173
Обобщая наши рассуждения на деформации ец, имеем, учиты-
учитывая формулы (9) и A2),
или
гЧ 2 h(h. 2ИЯ
1. Цилиндрическая система координат (г, 6, z). Декартова си-
система координат и цилиндрическая система координат связаны
следующими соотношениями:
О ё^ г <! оо, 0 ё^ 0 ^ 2л, — оо < z <! оо,
из которых вытекает, что
ds2 = dx\ + dx\ + dx\ = dr2 + r2 dQ2 + rfz2.
Согласно формуле E), имеем
Вводим следующие обозначения:
«! = ип «2 == °е> мз= Mz>
ЕП == егг> е22^е99> еЗЗ^егг>
Е12 == егВ> Е23 ^ е9г> Е31 ^ егг-
Из формул A3а) и A4а) получим следующие соотношения ме-
между деформациями и перемещениями:
<Эиг 1 див \ иг &иг
гг дГ 1 ее /-й9 "¦"/¦' гг (Эг '
ег ~ 2 J
Напряженное состояние описываем в криволинейной системе ко-
координат таким же способом, что и в декартовой системе. Напря-
Напряжения, действующие ортогонально к искривленным граням эле-
элемента, обозначим через огг, оее, огг, касательные напряжения -—
через orz, ore, ое2- Направления векторов этих напряжений пока-
показаны на рис. 4.6.
174 Гл. 4. Дифференциальные уравнения и общие теоремы эластостатики
Связь между напряжениями и деформациями дается форму-
формулами
= 2цеее + Хе, <т2г
, A6)
Если мы имеем дело с осесимметричным деформированным со-
состоянием тела относительно оси г, то деформации не зависят от
угла .6. В этом случае не = 0 и еге = еге = 0. Если, кроме того,
деформации не зависят от г, то «в = «2 = 0, ezz = 0, егв = 0>
Zrz = 0, Евг = 0.
2. Сферическая система координат (If, О, ср). В этой системе
(рис. 4.7)
X] = R sin ¦& cos ф, х2 = R sin ft sin q>, x3 =
0<r<oo,
Так как
ds2 = dx\ + dx\ + dx
TO
Вводя обозначения щ = ию Щ = и9, и^=и^ и
получим из формул A3а) и A4а) следующие формулы для
деформаций:
~ я.
еД«~ dR '
1 дит . и„ . „
1 sin & dq> '
7 дЪ ~*~ R '
>"" 2 \ й sin
Rsin# 5q> й п
' ' duR _."li a"fi
2 \ я а& «"'"ад
РИС. ¦1.6.
176 Гл. 4. Дифференциальные уравнения и общие теоремы эластостатики
Напряжения связаны с деформациями следующими зависимо-
зависимостями:
сгфф = 2цефф + Ъе, а^ — 2це^ + 1е,
афв = 2|д,ефв> аад = 2цеад, A8)
e = &RR + 8фф + eW-
В частном случае, когда деформированное состояние характери-
характеризуется центральной симметрией, деформации становятся функ-
функциями только переменной R. Поэтому
duR uR
&RR = ~~dR~' ефф — 8fl0 R~' &Rq> — 6ф0 — 6ад ~
Из уравнений A8) вытекает, что в этом частном случае
oRR = 2\izRR + Хе, афф = ам = 2цефф + Хе,
28 ^ + 2 ^
Остается дать уравнения равновесия в ортогональных кри-
криволинейных координатах. Эти уравнения получим общим спосо-
способом, применяя теорему о минимуме потенциальной энергии. Эга
теорема, записанная в прямоугольной системе координат, имеет
вид
з з
ьж=12 *' ви<d v + / S л бы«rf A ¦ B0)
Предположим, что на всей поверхности тела заданы перемеще-
перемещения. В этом случае по предположению, что вариация бы, равна
нулю на поверхности А, на которой были заданы перемещения,
исчезает поверхностный интеграл в уравнении B0). Так как
v j=i
то из уравнения B0) имеем
(зз
Перейдем к криволинейной системе координат а*. В этой
системе массовые силы Х,(аг) действуют в направлении коорди-
координатных линий а, на вариациях перемещений
4.19. Уравнения эластостатики в криволинейных координатах 177
Для вариации деформаций имеем следующие выражения, кото-
которые выводятся из формул A3а) и A4а):
B2)
Учитывая еще, что
dV' = dxl dx2 dx3 = g da, da2 da3, dx,- = /z^ da{,
где
уравнения B1) представим в ортогональной системе координат
в следующем виде:
(з зз з \
i Ф !¦
Подставляя формулы B2) в B3), получаем
dh\
A
— Xtghi 6E,-1 da! da2 da3 = 0. B4)
Члены, содержащие первые производные вариации 6?,-, проинте-
проинтегрируем по частям по формуле
(a)= /6i,-cos(n, a,k)dA (a)— —~ б|,- dV (a)
V " А V
и используем предположение, что б|г- = 0 на поверхности А. Та-
Таким способом преобразуем уравнение B4) к виду
3 Г— - 1 ^sakk dh\
Т5—; г
3
У -^- (-^x^-) + *<гЛ, сЦ cfa2 cfa3 = 0. B5)
Так как вариация б|,- произвольна, выражение в квадратных
скобках должно обращаться в нуль. Таким образом мы полу-
178 Гл. 4. Дифференциальные уравнения и общие теоремы эластостатики
чили уравнения равновесия
д 1 dh2
_a. B6)
В цилиндрической системе координат (г, 0, г) из уравнений
B6) получим следующие уравнения равновесия:
+ ^ + Т^+^ = 0. B7)
. dazz . arz , „ .
дг
Если напряжения в уравнениях равновесия выразить через
деформации, а эти последние через перемещения, то получим
уравнения в перемещениях в цилиндрической системе координат:
Здесь
В сферической системе координат (R, ¦&, <р) из B6) находим
следующую систему уравнений равновесия:
daRR , ' daW> I ' daR« I
dR ¦* ^sin* йф "т" /? ад ^
H ^ г л8 = U,
dR ^ R sin ft d<t ^ R aft '
> - ^w)ctg*
h л* = 0.
4.19. Уравнения эластостатики в криволинейных координатах 179
Учитывая формулы A7) и A8), из уравнений B9) получим
следующие уравнения в перемещениях:
2 Г \ д 1 диф
где
OR P дЛ/^ Я2 sin ft d* \,ьшгт aft J^ /?2 sin ft
C0)
Глава 5
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ЭЛАСТОСТАТИКИ
5.1. Частные решения. Метод Треффца ')
В настоящей главе мы будем рассматривать важнейшие ме-
методы решения уравнений эластостатики в перемещениях
+ (А + ц)им* + *<=0, i, /=1,2,3. A)
Среди решений системы уравнений A) важное значение имеют
частные решения, т. е. решения, которые удовлетворяют системе
уравнений в перемещениях, но не удовлетворяют граничным ус-
условиям или удовлетворяют только некоторым из них. Из част-
частных решений ыУ можно составить общее решение в виде либо ко-
конечного, либо бесконечного ряда щ = ^,а^т, причем коэффи-
v
циенты av следует выбрать так, чтобы были выполнены все гра-
граничные условия.
Среди частных решений системы уравнений A) особого вни-
внимания заслуживают так называемые фундаментальные решения,
отвечающие действию сосредоточенных сил в неограниченном
упругом пространстве. При помощи этих фундаментальных ре-
решений можно найти решения для ограниченной области, приме-
применяя формулы Сомильяны и Грина (§ 4.13 и 4.14).
Возвращаясь к уравнениям A), заметим, что при отсутствии
массовых сил дилатация е = ы,-, f является гармонической функ-
функцией. Это легко доказывается дифференцированием уравнений
A) по xt с последующим свертыванием. Тогда имеем
откуда
V3e = 0. B)
>) Треффц Е., см. список литературы.
5.1. Частные решения. Метод Треффца 181
Применяя к формуле A) оператор Лапласа и принимая во вни-
внимание соотношение B), получим при Х\ = О
= 0. C)
Составляющие вектора перемещения удовлетворяют бигармони-
ческому уравнению, т. е. являются бигармоническими функ-
функциями. Разыскивая частные решения уравнений C), восполь-
воспользуемся теоремой Альманси >), которая гласит, что каждая функ-
функция вида
удовлетворяет бигармоническому уравнению, если функции <р и
¦ф являются гармоническими в рассматриваемой области.
Рассмотрим функцию f = ф + JCiijj и проверим, является ли
она бигармонической, если ф, if) — гармонические функции.
Используя тождество
S/2{uv) = ifi2v + vS2u + '2v,iu%l, (a)
убеждаемся, что
= 0.
Проверим теперь справедливость обратной теоремы, которая
утверждает, что для каждой функции /, бигармонической в V,
существуют функции ф и if, такие, что
Для доказательства этой теоремы следует убедиться в существо-
существовании функции, удовлетворяющей двум условиям
V2^ = 0, \2(f-x$) = 0. (б)
Второму из этих условий, учитывая формулу (а), придадим вид
V2/ = V2(^) = 2^1. (в)
Уравнению (в) удовлетворяют частные решения
ф (х,, х2, х3) = -2 | V2/ (I,, х2, х3) dli.
*?
ч
Здесь х°. — произвольная точка области V. Так как
J) Almansi E., Sull'integrazione dell'equazione differenziale V2nu == 0,
Ann. Mat., Ill, № 2 A899).
182 Гл. 5. Пространственные задачи эластостатики
то функция V2^ зависит только от переменных х2, х3, т. е.
Щ = v (х2, х3).
Определим теперь функцию г]з так, чтобы
V2^ = {д\ + д!) 5 = - v (x2, Xi),
и положим
Ф = * + *¦ (г)
Легко проверить, что выражение (г) удовлетворяет обоим усло-
условиям (б). При проверке второго из условий (б) нужно иметь
в виду, что функция \j) не зависит от переменной хх.
Если в выражении
функции ф и if являются гармоническими, то функция f является
бигармонической. Это легко проверить, используя тождество (а).
Имеем
4R dRV2^ = 0.
Легко можно доказать и обратную теорему, гласящую, что для
каждой функции /, бигармонической в области V, существуют
гармонические функции ф и vp, такие, что f = ф + R2ty.
Выбор частных решений уравнений C) зависит до некоторой
степени от формы тела. Например, в случае упругого полупро-
полупространства х3 ^ 0 Треффц (см. список литературы) выбрал для
перемещений Ui следующий вид:
= 0, i= 1,2,3. D)
Удобство этого выбора в том, что на границе х3 = 0 заданные
перемещения равны функции ф,-. Поэтому можно простым спо-
способом определить функцию ф,-, решая уравнение Лапласа
2, 3, E)
с граничным условием
<Pf(*i, хг, 0) = Ut(xu хг), F)
где U{ — заданное перемещение.
Функции ф,- и Xi связаны между собой. Их связывает система
уравнений в перемещениях A). Подставляя формулы D) в A),
находим соотношение
2fc. з + * [%з + Фа, k + X3%k, *]. / = 0. G)
Мы значительно упростим это соотношение, если примем, что
Х«' = ty,i> причем ip также является гармонической функцией. Это
5.1. Частные решения. Метод Треффца 183
приводит соотношение G) к виду
Проинтегрируем это уравнение по xit а постоянную интегрирова-
интегрирования возьмем равной нулю. Тогда
гф*-* или *-з = - з^Ч"*'** W
Если на границе упругого полупространства х3 ^ 0 заданы пе-
перемещения Ui(xux2), то следует идти таким путем. Решая урав-
уравнения Лапласа E) с граничными условиями F), находим функ-
функции ф,-. Из этих функций образуем дивергенцию (величину <pft]fe)
и подставим в правую часть уравнения (8). После интегрирова-
интегрирования этого уравнения получаем функцию \|). Зная функции ф и -ф,
можно определить поле перемещений
И|=ф| + *зФ.*. (9)
В задачах, касающихся действия сосредоточенных сил в не-
неограниченном упругом пространстве, деформации шара и ци-
цилиндра, удобно принять следующее предположение относительно
составляющих вектора перемещения:
", = Ф< + (Я2-я2)г|\„ A0)
где а — постоянная. Подставляя соотношение A0) в уравнения
в перемещениях A), приходим к уравнению
2ф.1 + 4С.1 + *(Ф*.* + 2?)., = 0, (И)
где
Интегрируя уравнение A1) по х,- и приравнивая постоянные ин-
интегрирования нулю, получим обыкновенное дифференциальное
уравнение
Это уравнение интегрируем по радиусу R:
• u 3-4v~ Я+Зц-
о
Постоянную интегрирования С следует выбрать таким образом,
чтобы г|з была гармонической функцией. Есля начало координат
является регулярной точкой рассматриваемой области, то сле-
следует положить С = 0, а интегрирование начинать от нуля,
184 Гл. 5. Пространственные задачи эластостатики
Удобство такого способа построения частных решений со-
состоит в том, что решение задачи частично сводится к решению
известных граничных задач теории потенциала. Применение ме-
метода Треффца мы продемонстрируем в § 5.7, 5.9 и 5.10.
5.2. Представление Папковича — Нейбера
Весьма интересное представление решения уравнений в пере-
перемещениях предложил Папкович '). Аналогичное представление,
найденное другим путем, дал Нейбер 2).
Представление Папковича — Нейбера часто применяется при
решении трехмерных задач эластостатики.
Выразим перемещение и через скалярную функцию ср и век-
векторную функцию if в виде
u = Agrad (ф + R • i|>) + В$. A)
Здесь R является радиусом-вектором R г= {х\,х2, хъ), а А и В по-
постоянными, которые выберем в дальнейшем так, чтобы функ-
функции ф и if удовлетворяли как можно более простым и хорошо из-
известным дифференциальным уравнениям.
Подставим это выражение для и в уравнения в перемещениях
ivu + X = 0. B)
Учитывая, что
divu = i4Vaq> + 4R-V2ij> + B,4 + B)divi|>, C)
приводим формулу B) к виду
А (I + k) grad [У2Ф + R • V2i|>J + [A + k) BA + B) - В] grad div* +
Постоянные А и В выбираем так, чтобы выражение во вторых
квадратных скобках равнялось нулю. Если дополнительно поло-
положить А = 1, то
') Папкович П. Ф„ Изв. АН СССР, серия физ.-мат. A932), 1425—1435.
Papkovich P. F., Solution generale des equations differentielles fondamen-
tales de l'elasticite, exprimee par trois fonctiones harmoniques. C. R. Acad.
Sci., Paris, 195 A932), 513—515.
2) Neuber H., Ein neuer Ansatz zur Losung raiimlicher Probleme der
Hlastizitatstheorie, ZAMM, 14, № 4 A934).
Нейбер Г., Концентрация напряжений. Гостехиздат, М., 1947-
5.2. Представление Папковша —Нейбера 185
Уравнение D) будет удовлетворено, если ф и if будут удовле-
удовлетворять системе уравнений
У2Ф + R ¦ V2if = 0, E)
4(l_v)V4-y = 0. F)
После исключения из уравнения E) члена V2if получим окон-
окончательно систему уравнений
4(l-v)V2?+-^ = 0, G)
4(l-v)V^-A = 0. (8)
Мы получили достаточно простой вид уравнений для функций ф
и if. Мы видим, что при отсутствии массовых сил функции ф и
ф являются гармоническими.
Определение поля перемещений основано на решении неод-
неоднородных уравнений G) и (8) при учете заданных условий на
границе тела. Очевидно, граничные условия будут выражены че-
через функции ф и if. Зная теперь функции ф и if, определим поле
перемещений из формулы A). Мы получим
— 4A— v)if, (9)
или
(9a)
В частном случае отсутствия массовых сил имеем
divu = e = div[grad(q) + R • if) —4A — v)if] = — 2A — 2v)divif
Дилатация является гармонической функцией согласно уравне-
уравнению B) § 5.1. Вектор угла поворота <о примет вид
о = -J rot u = — 2 A — v) rot if;
поэтому
V2© = - 2 A — v) rot V2if = 0.
Вектор ю также удовлетворяет уравнению Лапласа, т. е. яв-
является гармоническим вектором.
Для напряжений ст^ получаем следующие формулы:
оц = 2ц [Ф, tj - 2 A - v) №,. i + ^i,d- fi^vV^], A0)
где
186 Гл. 5. Пространственные задачи эластостатики
Укажем другой путь вывода решения Папковича — Нейбера,
принимая за исходную позицию представление Гельмгольца
u=:4grad<D + Brot4r. (И)
Из векторного анализа известно, что такое представление век-
вектора возможно всегда; это есть не что иное, как выражение его
в виде суммы градиента некоторого скаляра и ротора некоторого
вектора. Для определения вектора W следует добавить к A1)
условие
divY = 0. A2)
Подставляя формулу (И) в систему уравнений в перемещениях
2v '
+ ?graddivu = 0, k = 1 + - = /_\ 9 , A3)
получим уравнение
2Л A — v) V2 grad Ф + В A — 2v) V2 rot ЧГ = 0.
Полагая А = —A—2v) и J5 = 2A—v), получим уравнение
Лапласа
V2 (grad Ф — rot V) = 0. A4)
Выражение в скобках является гармонической векторной функ-
функцией. Обозначим ее через
2г|) = grad Ф — rot 4е. A5)
После выполнения в уравнении A5) операции дивергенции по-
получим уравнение Пуассона
A6)
решением которого является функция
Ф = Ф-Т-Я-*. A7)
где ф — произвольная гармоническая функция.
Если подставить A7) в A1) и учесть соотношение A5), то
получим уже найденное выше представление поля перемещений
через четыре гармонические функции
u = grad(9 + R-*) —4A —v)i|3. A8)
Соотношения A4) и A5) мы используем при установлении связи
решения Папковича — Нейбера с решением Галеркина, которое
будет обсуждаться в следующем параграфе.
Как мы уже упоминали, метод Папковича — Нейбера часто
используется при решении трехмерных задач. Интересно и то,
5.2. Представление Папковича — Нейбера 187
что он применяется также к решению двумерных задач, где его
вид аналогичен. Для решения многих задач достаточно трех
функций ifj. Так, в случае действия сосредоточенной силы в не-
неограниченном упругом пространстве мы полагаем ср = 0, а функ-
функции if,- определяем из уравнения (8). Для решения задачи об
упругом полупространстве, нагруженном перпендикулярно к гра-
границе, достаточно трех функций: ф и if s= (tfi, ф2,0).
Возникает вопрос, является ли решение, найденное при по-
помощи только трех функций Папковича — Нейбера, полным. На
эту тему возникла обширная дискуссия и накопилась уже об-
обширная литература '). Две теоремы, касающиеся этой проблемы,
сформулировал Слободянский. В первой утверждается, что
функцию ф можно без ограничения общности принять равной
нулю, если рассматриваемая область является ограниченной и
односвязной или если она является внешностью некоторой замк-
замкнутой поверхности. Во второй теореме утверждается, что без
ограничения общности одну из функций \|)* всегда можно поло-
положить равной нулю.
Вторая теорема была подтверждена Юбенксом и Стернбер-
гом, однако с некоторыми ограничениями относительно геометри-
геометрических свойств поверхности. Эти авторы доказали, кроме того,
что первая из теорем Слободянского не справедлива в случае,
если величина 4v является целым числом.
Исследуем теперь соотношения между функциями Треффца
§ 5.1 и функциями Папковича — Нейбера. В § 5.1 мы приняли
для упругого полупространства следующие соотношения:
щ = о( + *зР. i, г = 1, 2, 3, A9)
где функции а,-, E являются гармоническими2). Заметим, что со-
соотношениям A9) можно придать вид
xsP) — 4A — v)i|», B0)
где
— 4A — v)if==(ai, щ, a3 — P).
') Слободянский М. Г.. ПММ, 18 A954), 54—78.
Сокольников И., см. список литературы.
Eubanks R. A., Sternberg E., On the Completeness of the Boussinesq —
Papkovich Stress Functions, /. Rat. Mech. Anal., 5 A956), 735 [русский пере-
перевод: сб. Механика. № 6 D6) A957)].
Gurtin M. E., On Helmholtz's Theorem and the Completeness of the Pap-
Papkovich — Neuber Stress Functions for Infinite Domain, Arch. Rat. Mech. AnaL,
9 A962), 225.
2) Составляющая <Xi вектора а является гармонической функцией в
прямоугольной системе коордийат. Составляющие этого вектора в других
системах координат не обязаны быть гармоническими функциями (см., да*
пример, § 5.9),
188
Гл. 5. Пространственные задачи эластостатики
Подставляя B0) в однородные уравнения эластостатики в пе-
перемещениях, находим, что
P-3=diviJi. B1)
Таким образом, производная функции Треффца р, взятая по х%,
связана с дивергенцией векторной функции Папковича — Ней-
бера ty.
Поэтому возможен следующий путь. Решением однородного
уравнения (8) находим функцию if, а интегрированием уравне-
уравнения B1) — функцию р. Таким способом находим поле перемеще-
перемещений по формуле A9)-
5.3. Представление Галеркина ')
Очень интересное представление поля перемещений через три
функции (которые при отсутствии массовых сил являются би-
гармоническими) дал Галеркин. При выводе этих уравнений мы
будем пользоваться способом, указанным Моисилом2), в кото-
котором применяется простой формализм, пригодный для решения
систем дифференциальных уравнений.
Представим уравнения эластостатики
@
в сокращенной операторной записи
B)
где
А/=
Далее выразим перемещения «,• с помощью векторной функции
следующим образом:
и, =
Xi
Хз
L
L
L
12
22
32
Аз
^23
^33
, «2 =
Хг Аз
Хз Аз
«3 =
Ai Аг Xi
^21 Аг Хг
Ai ^32 Хз
C)
Итак, для составляющей и\ получим выражение
М, = (Аг-^-зз — АгАз) Xi — (-^п^зз — АзАг) Ъ. +
+ (LnL23 - L2.2L13) Хз = A
*) Galerkin В. G., Contribution a la solution generate du probleme de la
theorie de l'elasticite dans le cas de trois dimensions, C. R. Acad. Sci.% 190
A930), 1047—1048; 193 A931). 568—571.
2) Moisil G. C., Asupra sistemelor de ecuatii cu derivate parjiale lineare
si cu coeficient constant!, Bull. Sci. Acad. RPR, ser. A, 1 A949). .
5.3. Представление Галеркина
189
Если выражения C) подставить в уравнения B), то получим
систему трех уравнений
Lu L12 L13
L2i L22 L23
^t^O, / = 1, 2, 3.
D)
После выполнения соответствующих операций получим из урав-
уравнений D) систему уравнений
Вводя три новые функции
ношения для перемещений:
или
= ?2%u получим следующие соот-
соот, F)
Fa)
Уравнения E) приводятся к неоднородной системе уравнений
Xr=0, G)
X = 0. Ga)
или
Вектор F называется вектором Галеркина. Функция Галеркина
позволяет первоначальную систему эллиптических уравнений A)
свести к трем уравнениям простой структуры, которые при Х=0
становятся бигармоническими уравнениями. Однако за простоту
уравнений G) приходится расплачиваться более сложным ви-
видом граничных условий. Если на поверхности, ограничивающей
тело, заданы перемещения, то в граничных условиях в соответ-
соответствии с формулами F) появляются вторые производные функ-
функции F{. В случае заданных на границе нагрузок имеем в гранич-
граничных условиях третьи производные функции Галеркина. Это вы-
вытекает из формул
р( =
ois —
где
/а\
Путем подстановки.убеждаемся, что напряжения (8) удовлетво-
удовлетворяют тождественно (с учетом соотношений G)) уравнениям
190 Гл. 5. Пространственные задачи эластостатики
в напряжениях
УЧ + ТТЯГ s- Ч = -{Х-1 + Х'-i] ~ T^7 б А ь (9)
вытекающим из уравнений совместности.
Решение Галеркина с успехом применяется для определения
поля перемещений, вызванного в упругом пространстве дей-
действием массовых сил. Эта задача здесь упрощена, поскольку
остается только найти частные решения уравнений G) в пред-
предположении, что Fi обращаются в нуль на бесконечности.
Решение Галеркина применяется также при определении де-
деформации упругого полупространства, упругого слоя и толстых
плит. В этих случаях берется либо одна, либо две функции Га-
Галеркина— сколько потребуется.
Известно, что в односвязной области каждую бигармониче-
скую функцию можно выразить двумя гармоническими функ-
функциями. Таким образом, в решении Галеркина, в которое входят
три бигармонические функции, мы имеем дело с шестью гармо-
гармоническими функциями. Однако из шести гармонических функций
в решении Галеркина две функции зависят от остальных.
Ниже мы дадим другой, более наглядный способ получения
функций и уравнений Галеркина.
Если вектор перемещения мы представим по Гельмгольцу в
виде
u = —(I — 2v)gradO>+2(l — v)rot1!f, div4r = 0, A0)
то после подстановки формулы A0) в однородные уравнения
в перемещениях A) получим уравнение Лапласа
V2(grad Ф —rot 40 = 0. A1)
В это уравнение входят четыре функции: Ф и Wt, но они свя-
связаны зависимостью div4r = 0. Независимыми являются только
три гармонические функции, которые обозначим через Гь Г2, Г3.
Выберем их так, чтобы
ф = divГ, ^ = rotr, A2)
Подставляя выражения A2) в A1), приходим к бигармониче-
скому уравнению
V2V2r = 0. A3)
Если выражение A2) подставим в A0), то получим
u = graddivr —2A —v)Vzr. A4)
Отсюда видно, что подста»ноекз Г = —kF приводит соотношение
A4) к Fа).
5.4 Функция Лява 191
Нам остается связать функцию Галеркина с функциями Пап-
Папковича—• Нейбера'). Используем утверждение, что V2F яв-
является гармонической векторной функцией. Положим
V2F=2t|), A5)
где 1|з — векторная функция Папковича — Нейбера. Выполним
в уравнении A5) операцию дивергенции
A6)
Сравним полученное соотношение A6) с соотношением A6)
§5.2
2 2di O = R-il> + <P. A7)
где г|), ф — функции Папковича — Нейбера.
Из сравнения уравнений A6) и A7) вытекает соотношение
<J> = <p + R ••*!), A8)
связывающее функцию Галеркина с функциями Папковича —
Нейбера.
5,4. Осесимметричное распределение напряжений.
Функция Лява 2)
Во многих задачах эластостатики мы встречаемся с дефор-
деформациями, симметричными относительно некоторой оси. Осесим-
Осесимметричное распределение деформаций и напряжений, как пра-
правило, возникает в телах вращения, нагруженных осесимметрич-
ным образом, а именно в цилиндрах кругового сечения, в тол-
толстых круглых плитах и вращающихся дисках. Часто приходится
также иметь дело с осесимметричным состоянием деформации
в упругом пространстве, полупространстве, в неограниченном
слое и в шаре. Вообще говоря, в этих задачах удобнее будет
применять цилиндрическую систему координат (г, ср, г). В силу
осесимметричного распределения деформаций и напряжений, пе-
перемещения, деформации и напряжения не будут зависеть от
угла ф, т. е. и == (иг, О, иг).
Деформированное состояние характеризуется соотноше-
соотношениями
« _ диг 8 _,?г. _ __i«z. _0
, п , ,Ч1/, ^ '
*) Mindlin R. D., Note on the Galerkin and Papkovich Stress Functions,
Bull. Amer. Math. Soc, 42 A936), 373—376.
*) Ляв А., см. список литературы.
192 Гл. 5. Пространственные задачи Эластостатикй
а напряженное состояние — зависимостями
агг = 2цегг + Хе, афф = 2цефф + А,е,
агг = 2цегг + Хе, arz = 2\ierz, аГф = 0, агф = 0, B)
е = Ъгг-\т бфф + егг-
Если в уравнения равновесия
darr darz arr — стфд,
-бГ-г-Зг ' г —• C)
дагг . дагг . огг п
~дГ~1"~~дГ~*' г —и
подставим соотношения B), а деформации выразим через пе-
перемещения, то в результате получим систему двух уравнений в
перемещениях:
а . V II.. * '
+ ?f + o, *
Здесь мы ввели следующие обозначения:
Мы предположили, что действие массовых сил ограничивается
действием вертикальной составляющей X =s @,0, Xz).
Введем функции и, до, такие, что
ди
«г=^-, uz = w.
Учитывая тождество
и интегрируя первое уравнение D) по г, приходим к системе двух
уравнений
Эту систему можно записать в операторном виде
Lwuu + Lwww + -jjf = 0.
5.4. Функция Лява
193
Введем функцию %{г, г), связанную с функциями v, w зависи-
зависимостями
V =
0
X
, w =
"Wit
0-
X
откуда получим
F)
drdz,
dr
Подставляя F) в уравнения E), убеждаемся, что первое
из них удовлетворяется тождественно, а второе приводит к
уравнению
^ у л /71
л л. ъ\ Лг — и- v)
Если Xz = 0, то х является бигармонической функцией.
Способ введения функции % указывает на то, что она яв-
является частным случаем вектора Галеркина. А именно, прини-
принимая вектор Галеркина F в виде F= @,0, F3) и переходя к ци-
цилиндрической системе координат, получаем соотношения F) и
уравнение G). Функция % называется функцией Лява.
Подставим соотношения F) в определяющие уравнения B),
выражая напряжения через функцию /. Получим следующие
формулы:
(8)
2ц
dr
k — 1
2k
Вернемся к уравнениям в перемещениях D) и, положив
= 0, запишем их в несколько иной форме:
?(*-¦?)+"+*>?-»•
D')
7 В. Иоваикнй
194 ' Г•*• 5. Пространственные задачи эмстостатики
Подставим в уравнения D') соотношения Гельмгольца
ЛгТ> 1 /5 ( '
полученные из формулы A0) § 5.3, записанной в цилиндрической
системе координат (здесь W = 4*2 — единственная отличная от
нуля компонента вектора *F).
После простых преобразований D') принимают вид
Положим
Это позволяет удовлетворить первому из уравнений A0). Под-
Подставляя зависимости A1) во второе из уравнений A0), получим
для функции х бигармоническое уравнение
A2)
Если соотношения A1) подставим в формулы Гельмгольца (9),
то найдем простое представление перемещений через функцию х-
Соотношения
= + 2A
идентичны формулам F).
Функции Лява допускают различные применения. Путь, по
которому следует идти при использовании этого метода, таков.
Сначала выражаем граничные условия в перемещениях или на-
напряжениях через функцию /. Далее решаем бигармоническое
уравнение A2) с учетом заданных граничных условий. Зная те-
теперь функцию х, находим перемещения по формулам (9) и на-
напряжения по формулам (8). При решении уравнения A2) часто
используется характерное для осесимметрических задач инте-
интегральное преобразование Ханкеля либо, если область огра-
ограниченная (цилиндр, толстая плита), конечное преобразование
Ханкеля.
Неудобство метода Лява заключается в том, что в гранич-
граничных условиях при заданных перемещениях появляются вторые,
а в случае заданных на границе нагрузок — третьи производные
функции х-
5.5. Функции Буссинеска 195
Рассмотрим теперь уравнения в напряжениях
Wa + s ° s (T+а +
A3)
Переходя в этих уравнениях от декартовых координат к цилин-
цилиндрическим и принимая во внимание независимость напряжений
от угла ф, получим систему уравнений
- -^ (°гг - ат) + TTV -^ = О,
7 "а7
= огг + а
фф
Если в эти уравнения подставить соотношения (8), то ока-
окажется, что уравнения в напряжениях удовлетворяются тожде-
тождественно.
5.5. Осесимметричное распределение напряжений.
Функции Буссинеска1)
Неудобством метода Лява является то, что напряжения по-
получаются троекратным дифференцированием функции %. Зна-
Значительно более удобным является путь, выбранный Буссинеском.
Исходной точкой и здесь является представление Гельмгольца
Подставляя эти соотношения в уравнения в перемещениях, по-
получим
0' V'_V'--i. C)
4) Boussinesq J. V., Application des potentiels h l'etude d'equilibre et du
mouvement des solides elastiques, Gauthier-Villars, Paris, 1885, p. 63.
Marguerre K., Ansatze zur Losung der Qrundgleichungen der Elastisitats-
theorie, ZAMM, 35, № 6/7 A955).
196Гл. 5. Пространственные задачи эластостатики
Выберем функции ФиТ так, чтобы
дФ . дУ
D)
Уравнение C) представляет собой уравнение Лапласа. Функ-
Функция 1|3
2* = Ж-Т1>р№ E)
является гармонической. Если из уравнений D) и E) исклю-
исключим W, то получим уравнение
2^- F)
общее решение которого имеет вид
Ф = 2ф + ф, G)
где ф — гармоническая функция.
Если мы выразим функцию W через функции ф и ^ и подста-
подставим Ф и W в уравнения A), то получим следующие соотно-
соотношения:
Именно такое представление перемещений через гармониче*
ские функции предложил Буссинеск. Если соотношения (8) под-
подставим в формулы для напряжений (формулы B) § 5.4), то по-
получим следующие выражения:
m
Функции Буссинеска можно вывести из функций Папкови-
ча — Нейбера. А именно, если в представлении перемещений че-
через функции Папковича —Нейбера
положить i|>i=*|52 = 0i Фз = г13> т0 получим
ФLA—v)^ (П)
5.6. Потенциал упругого перемещения 197
Переходя к цилиндрической системе координат в предположе-
предположении, что if ==i)}(r, z), q> = q>(r,z), z — хъ, получим из A1) сле-
следующие соотношения:
ur = ^r, Uz = ^--4(l-v)i|), Ф = Ф + гф, A2)
тождественные соотношениям (8). Итак, функции Буссинеска со-
составляют частный случай функций Папковича — Нейбера.
Нетрудно также показать связь между функцией Лява и
функциями Буссинеска1). Функция Лява % является бигармони-
ческой функцией. Поэтому функция ф
V2x = 21|) A3)
является гармонической функцией. Дифференцирование урав-
уравнения A3) по г дает
VA = 2'i?. A4)
Сравнивая формулы A4) и F), находим, что
*?=ф = ф + гф. A5)
Эта формула описывает связь между функцией Лява и потен-
потенциальными функциями Буссинеска.
5.6. Потенциал упругого перемещения
Представление составляющих поля перемещений через че-
четыре гармонические функции в виде
«г = Ф.г + (*/Ф/).г —4A—v)^ A)
является весьма общим. Оно используется при сложных формах
тел и при неоднородных граничных условиях. В настоящем па-
параграфе мы сосредоточим внимание на простейшей форме со-
соотношения A), когда перемещение выражается через един-
единственную функцию ф. Тогда
И/ = Фл- B)
Функция ф, введенная впервые Ламе2), называется потенциа-
потенциалом упругого перемещения (англ. elastic displacement potential,
нем. elastischer Verschiebimgspotential).
') К. Marguerre, loe. cit. стр. 195.
2) Lame G., Lemons sur la theorie mathematique de l'elasticite des corps
solides, Mallet-Bachelier, Paris, 1852.
198 Гл. 5. Пространственные задачи эластостатики
С помощью функции ф найдено много простых решений
эластостатики, представляющих собой либо окончательный вид
решения уравнения в перемещениях (например, в неограничен-
неограниченной области), либо частные решения, которые удовлетворяют
уравнениям и части граничных условий.
Рассмотрим сначала действие массовых сил в неограничен-
неограниченном упругом пространстве. Предположим, что массовые силы
обладают потенциалом •& (так что Xi = p"&, i) и действуют в
ограниченной области V.
Уравнения в перемещениях имеют в этом случае вид
?%+**.,+ ¦?*.! = О, k = \+±. C)
Если в уравнения C) подставить перемещение и,-, выраженное
через потенциал <р, а полученное уравнение проинтегрировать
по х,, то в результате получим уравнение Пуассона
Частное решение этого уравнения
м — Р f ®(l)dV(l)
<PW J
f
) J R(x,t) '
v E)
является окончательным решением для неограниченного упру-
упругого тела. Знание функции <р позволяет вычислить перемещения,
деформации и напряжения по формулам
«< = Ф,<> е,7 = Ф,,7> е = V2cp = - х+^Г •
РАЛ// F)
Если тело ограничено, то к решению и'(=ср( следует добавить
решение и" однородной системы уравнений в перемещениях,
а и" выразить через новые функции ср" и ф" по формуле A).
Перемещения и" следует выбрать так, чтобы выполнялись
заданные на границе тела условия.
Вернемся к уравнению D) и предположим, что в теле от-
отсутствуют массовые силы. Уравнение D) переходит в уравне-
уравнение Лапласа
0; G)
5.6. Потенциал упругого перемещения
Ф становится гармонической функцией, а формулы F) перехо-
переходят в
"{ = Ф,(> е>; = Ф,<;> e = Q, <Tj, = 2цфлу. (8)
Можно дать ряд частных решений, удовлетворяющих уравнению
Лапласа. К примеру, такими функциями являются
/г\ ln-f, 1п(я + *3). х3\пг, е, х3е, (9)
где R = (x\ + х\-\- хз)'/2' г = (xi! "Ь Х2I/2' а 9 является одной из
координат в цилиндрической системе координат (г, 9,2).
Рассмотрим некоторые из этих гармонических функций. Так,
потенциал
С
является частным решением уравнения
Отсюда видно, что функция ф связана с задачей деформирова-
деформирования, характеризующейся центральной симметрией. Определим
в сферической системе координат (R,®, 9) перемещения, дефор-
деформации и напряжения как функции только радиуса R:
Э с _ duR _ 2С _ _ ur _ с
—~dR~ — -W' еоз — еее — -д- — --#г.
п л 4цС 2и,С
Если к последнему напряженному состоянию добавить всесто-
всестороннее равномерное растяжение aRR = а^ = стее = 2\iD, то
суперпозицией этих двух состояний будут напряжения
2C \ I С
+ D} ° °2[D
Такое напряженное состояние возникает в сплошном или полом
шаре под действием равномерного нагружения его радиальным
давлением. В случае полого шара внутреннего радиуса а и на-
наружного b при постоянном радиальном давлении ра на поверх-
поверхности R = a и при постоянном давлении рь на поверхности
R = b подсчитываем постоянные С и D в соотношениях (а) из
граничных условий
<*rr (а) = - Pa, <*rr (b) = — рь-
В случае сплошного шара С = 0, ибо перемещение uR в центре
шара должно равняться нулю. В этом случае в шаре возникает
состояние равномерного давления orr = стее = Ow> = —Рь-
200 Гл. 5. Пространственные задачи эластостатики
Рассмотрим, далее, потенциал ф = С1п(г/с). Это выражение
является частным решением (с особенностью) уравнения
Функция ср = С1п(г/с) связана с осесимметричным деформиро-
деформированным состоянием тела, не зависящим от угла 9 и перемен-
переменной z. Для этого деформированного состояния имеем
(Эш С „ диг С
р = «' - с
Если к последнему состоянию добавить равномерное растяже-
растяжение Огг = (Гее = 2цБ, то в результате получим
¦ + ?). (б)
Напряженное состояние (б) возникает в бесконечной толсто-
толстостенной трубе под действием равномерного давления на вну-
внутренней г = а и внешней г = Ь поверхностях. Если ра — давле-
давление на поверхности г = а, а ръ — давление на поверхности
г = Ь, то постоянные С и D находятся из граничных условий
<тгг (а) = — ра, агг (Ь) = — рь.
Если мы имеем дело со сплошным цилиндром кругового сече-
сечения, то С — 0, ибо перемещение иг на оси цилиндра должно
равняться нулю. В цилиндре в этом случае возникает состоя-
состояние давления агг = стее = —ръ-
Рассмотрим потенциал ф = С0, удовлетворяющий уравнению
Лапласа в цилиндрических координатах. Этому потенциалу отве-
отвечает следующее состояние перемещений, деформаций и напря-
напряжений:
<Эт _ das п 1 (Эф С
диг и, . 1 <Эи0 „ _ duz
Ёг2 Tz Ul
(в)
е = 0, агг = 0, ст99 = 0' огг =
5.6. Потенциал упругого перемещения 201
Потенциал qp = CQ вызывает в теле только перемещения «е и
напряжения стге- Такое напряженное состояние можно реали-
реализовать в бесконечной толстостенной трубе, нагруженной на
внешней и внутренней поверхностях касательными напряже-
напряжениями стГф. Эти напряжения уравновешиваются моментом ±2лС,
направленным вдоль оси трубы.
Наконец, рассмотрим гармоническую функцию1)
известную под названием решения Буссинеска второго рода. На-
Напряжения ац выражаются в прямоугольной системе координат
формулами
_
Заметим, что в плоскости х3 = 0 напряжения <т3з равны нулю
всюду, кроме начала координат. Это решение имеет особен-
особенность порядка 1/R2 в начале координат и на отрицательной
оси х3. Выделим вокруг начала координат полусферу, ограни-
ограниченную плоскостью х3 = 0. На границе этой полусферы получим
следующие составляющие вектора сил Pi^OjiUj (rij =
/R)
Мы считаем здесь, что нормаль направлена внутрь сферы.
В дальнейших выкладках удобнее оперировать в цилиндри-
цилиндрической системе координат, ибо функция ср = C\n(R + z) харак-
характеризуется осевой симметрией относительно оси z = х3. Имеем
2 «5 Ф
о <52Ф
Рассмотрим
2цСг
R3
2цСг
2цС
R(R + i
выражение
- (Эф _
' дг
C(R-
R
-z)
2fx
r
2ц
(Эф
дг ~
(Э2ф
дг дг
2цС
2цСг
(е)
(ж)
См. работу Вестергарда в списке литературы.
202
Гл. 5. Пространственные задачи эластостатики
которому можно приписать определенный механический смысл.
Вырежем из тела геометрическую фигуру вращения, которая
возникает в результате враще-
вращения дуги АВ вокруг оси г
(рис. 5.1). Горизонтальные
силы, действующие на поверх-
поверхность вращения, имеют нуле-
нулевую равнодействующую. На
боковой поверхности фигуры
вращения напряжения azz и atr
сводятся к вертикальной равно-
равнодействующей Q, направленной
РИС. 5.2.
по оси z. Ее значение, отнесенное к элементу ds дуги АВ, равно
dQ = 2nr (- azz dr + Orz dz). (з)
Так как
JT °гг ~~ dz'
г дг
гдг\Гдг)'
ибо V2<p = 0,
2ц гг дгдг г дг \ дг }•
то из формулы (з) получим
Интегрируя вдоль дуги АВ, получаем вертикальную равнодей-
равнодействующую сил, действующих на боковой поверхности фигуры
вращения:
Вырежем теперь из тела фигуру вращения, симметричную от-
относительно оси z, представленную на рис, 5.2. Так как напря-
5.6. Потенциал упругого перемещения 203
жение azz равно нулю на всей плоскости z = 0, за исключением
начала координат, то, не изменяя напряженного состояния,
можно произвести разрез до начала координат, показанный на
рис. 5.2. Вдоль оси —z сделан цилиндрический вырез малого
радиуса г = а от г = 0~ до z = —оо. Вычислим значения г-~^
в выделенных точках кривой 1-6 и подсчитаем разность значе-
значений г-^ по формуле (и).
Равнодействующая сил, действующих на нижнюю часть фи-
фигуры (образованную вращением дуги 1-2 вокруг оси г), с уче-
учетом формул (з) и (и) составит
Q,_2 = 4яц (С — 0) = 4яцС.
Аналогично подсчитываем равнодействующие
Q24 = 0, Qw = 0, Q4_5 = 4яц BС - С) = АпцС,
Q56 = 4яц (С — 1С) = — Ап\хС.
Эти силы, за исключением равнодействующей Qs-б, действуют
в направлении оси —z. Очевидно, что эти силы в равновесии
не находятся. Для сохранения равновесия на дне кругового от-
отверстия следует приложить силу Р = АпцС, направленную по
оси +г.
Рассмотрим теперь напряжения в некотором отдалении от
дна отверстия, т. е. для г > а. В выражениях для огг и аее в
формулах (е) будет доминировать член (R + z)R в знаменателе.
Для r/z <g; 1 имеем
так что
Эта формула идентична формуле, которая получается в случае
бесконечной области с цилиндрическим вырезом, внутри кото-
которого действует давление р = 4лцС/а2. Поэтому можно считать,
что потенциал ф = С1п(Я + г) обусловливает напряженное со-
состояние, возникающее в неограниченном пространстве с цилин-
цилиндрическим вырезом очень малого диаметра, простирающимся от
z = 0 до z = —оо и наполненным жидкостью, оказывающей на
стенки гидростатическое давление.
Представленное здесь решение может быть использовано для
построения решений в случае более сложных типов нагружений.
204 Гл. 5. Пространственные задачи эластостатики
Функцию ф = \n(R + г) мы используем в § 5.14 в задаче о дей-
действии на упругое полупространство z^>0 сосредоточенной силы,
направленной по оси +2.
5.7. Действие массовых сил в неограниченном теле.
Решение Кельвина
Пусть в неограниченном упругом теле действуют массовые
силы Xi(\), распределенные в ограниченной области V. Дей-
Действие этих сил вызывает деформацию тела, убывающую по мере
удаления от области V и принимающую на бесконечности нуле-
вое значение. Рассмотрим систему уравнений
fiV2Ui + (Я+ ц)е, , + *, = (), хеКи, (I)
в предположении, что ui = 0 на бесконечности.
Будем разыскивать частное решение этой системы уравне-
уравнений в форме, данной Кельвином1):
«i = <P,i + ei/ft^fc,/ B)
или
u = grad ф + rot q. Ba)
Точно так же поступаем с полем массовых сил, разлагая его
на потенциальную часть и соленоидальную часть:
X = р (grad 0 + rot x). C)
Подставляя Bа) и C) в уравнения в перемещениях A), ко-
которые удобнее представить в виде векторного уравнения
(Я + 2ц) grad div u — fi rot rot u + X = 0,
получим следующую систему уравнений Пуассона:
-^- = 0. E)
Решение этих уравнений в неограниченном пространстве имеет
вид
m м Р Г а A)^A) ,„
Thomson W., Cambridge and Dublin Math. J., 3 A848).
5.7. Действие массовых сил в неограниченном теле 205
Здесь R = [(x{ — ?,i) (xi —1,-)]1/2 — расстояние между точками х
и |. Функции О и % в уравнениях F) и G) следует выразить
через распределения массовых сил X. Из соотношения C) имеем
div X = pV2fl, rot X = — pV2x.
Для определения функций й и % теперь имеются уравнения
рУ2# = Х,,„ 94hi = — etlkXk,t. (8)
Решение первого из этих уравнений Пуассона имеет вид
или
Преобразуя первый интеграл с помощью теоремы Гаусса —
Остроградского в интеграл по поверхности, настолько удален*
ной, что массовые силы можно считать равными нулю, имеем
г
V
д Г Xt(
dh U(x,
Учитывая, что
д г
получим для
dlt L
функции
s) }d
1
«(x, ?
O(x)
л
1- 5 f
i)J a*, I
следующую
(I) nt dA (I)
1 I
^ (X! b) J
формулу:
Решая аналогичным способом второе из уравнений (8), при-
приходим к формуле
ИЛИ
206 Гл. 5. Пространственные задачи эластостатики
Зная функции ¦& и i, можем определить функции ф и \}^ по фор-
формулам F) и G).
Рассмотрим частный случай, а именно действие сосредото-
сосредоточенной силы, приложенной к началу координат и направленной
по оси х3. Сосредоточенную силу можно трактовать как распре-
распределение массовых сил, определенных формулой
A1)
где б(х) —функция Дирака.
Подставляя формулу A1) в формулу (9), получим
Здесь R(\, 0) = (Х{ХгL'. Величину R(x,Q) будем обозначать че-
через R. Подставляя выражение A1) в формулы A0), получим
М
откуда
__J д_М\
Можно было бы теперь подставить найденные функции д и %i
в формулы F) и G) и проинтегрировать. Однако удобнее ре-
решить непосредственно уравнения D) и E). Представим урав-
уравнение D) в виде
^+4Я(^ =0
или
Отсюда видно, что частным решением этого уравнения является
функция
Аналогичным способом решаем уравнение E), получая в резуль-
результате функции
5.7. Действие массовых сил в неограниченном, теле 207
После подстановки выражений A2) и A3) в соотношения B)
получим1)
1/C) = /—LJL _i _ 1ЛЛ (\л\
ui 8яц(Л. + 2ц)\ R3 т Л.+Ц RT W
Здесь «(г31 — составляющие перемещения, вызванного действием
сосредоточенной силы, направленной по оси х3 и приложенной
в начале координат. Формулам A4) можно придать несколько
иной вид:
u^ = A[B^--(R),l3], A4а)
где
, _ 2 (Я + 2ц)
Л "" 8яц (Л. + 2ц) ' А. + ц
Напряжения и дилатация, соответствующие определенным фор-
формулой A4а) перемещениям, даются формулами
-биЛ^- ад ^- с-Л
т|2 — оцл axi -^ ахз , е — л
Вычислим теперь величины /?,- = а^|Л;- на сфере с центром в на-
начале координат. Предполагая, что нормаль направлена внутрь
сферы (я,- = —Xj/R), получим
Р2=
2цЛ /Здс§
Исследуем, будет ли вырезанный из тела шар находиться в рав-
равновесии. Равновесие сохранится, если будут выполнены условия
равновесия
\ PldA = 0, J p2dA = 0, \pidA —1=0. A7)
А А А
') Решение типа A4) часто называют элементарным решением первого
рода. — Прим. перед.
208 Гл- 5- Пространственные задачи зластостатики
Подставляя формулы A6) в A7) и интегрируя по поверхности
шара г = а, убедимся, что условия равновесия выполнены.
Обозначим через U\l] (х, |) перемещение, вызванное дей-
действием сосредоточенной силы, направленной параллельно оси
Xj и приложенной в точке |. По аналогии с формулой A4) най-
найдем, что
где
R a R (х, |) = [(*, - ?<) (xt - |,)IVf.
Функции ?//'(х> i) образуют описанный в § 4.13 тензор пере-
перемещений Грина, входящий в формулы Сомильяны. Этот тензор
симметричен
U\n(x, l) = Uf(l, x), A9)
что вытекает из теоремы взаимности Бетти (§ 4.11).
Составляющие тензора перемещений имеют в точке | осо-
особенность порядка \/R, а их значения уменьшаются с ростом R.
Если в точке | действует массовая сила X{(%)dV(%), то пе-
перемещения, вызванные ею в точке х, определяются формулой
Ш = [*i A) U\l) (х, I) + X2 (I) U? (х, I) + Х3 (|) U? (х, ?)] dV{l) =
Интегрируя по области V, в которой действуют массовые силы,
получим следующую формулу:
u{(x)=jX,®Ul/)(x, l)dV(l), B0)
v
или
щ (х) = J X, (I) Uf {I, x) dV (l). B0а)
v
Для определения поля перемещений, вызванного массовыми си-
силами, и, в частности, сосредоточенными силами, можно приме-
применить либо метод Папковича — Нейбера, либо метод Галеркина.
Получение окончательных формул здесь является более про-
простым, чем по методу Кельвина. В методе Папковича — Нейбера
вектор перемещения выражается через потенциальную функ-
функцию ф и векторную функцию гр:
't) — 4A— vL>. B1)
5.7, Действие массовых сил в неограниченном теле 209
Естественно положить ф = 0, а функцию г|з определить из урав->
нения Пуассона (уравнения (8) § 5.2)
4A-v)V2t|> = 2L. B2)
Если сила действует в направлении оси лг3, т. е. Хг = бгзб(х), то
следует положить ф] = г|J = 0, а функцию т|э3 определить из урав-
уравнения
Решением этого уравнения является функция
Подставляя ф =? \|)i = if2 = 0 и ф3 из формулы B3) в соотно-
соотношение B1), получим формулу
согласующуюся с формулой A4).
В методе Галеркина в уравнения
+ гтк=0 B4)
следует подставить Х{ = 6;з6(х) и Fi = F2 = 0. Остается толь-
только одно уравнение
решение которого
Перемещения найдем по формулам F) § 5.3. В этом случае
для F\ = F2 = 0
щ = - kdxF3, з, и2 = - kd2F3, з, из = A + k) V2F3 — kd3F3t 3,
Подставляя в эти уравнения F3 из формулы B5), получим пос-
после простых преобразований
что согласуется с формулой A4а).
210
Гл. 5. Пространственные задачи э ласт о статики
5.8. Решения с особенностью высшего порядка
Элементарных решений, рассмотренных в предыдущем
параграфу можно сконструировать другие решения, имеющие
о о енНоСть б0Лее высокого порядка.
ноет aCpKl0TPHM действие двух сил, одна из которых интенсив-
и Ih приложена в начале координат и направлена по оси
ь а втОрая тои же интенсивности, но противоположно направ-
ая Приложена в точке (|i = —h, 0, 0). Если через и\1) обозна-
обозначим по^е перемещений, вызванное действием этих двух сил, то
по пРиНцИПу суперпозиции получим
+Ь *2> *,)]. A)
полу ВыРажено формулой A8) § 5.7. Переходя к пределу по h,
учаеМ поле перемещений
at/'1»
для так называемой двойной силы Р без момента.
СЛ11 в начале координат три двойные силы интенсивности Р
HanpaBjieHbI по трем Осям прямоугольной системы координат,
то вызванное ими поле перемещений находим из формулы
ПодставЛяя в формулу C) соотношение A8) § 5.7, получим
и< = - РА (в не - W.,),, = -
Л= Я. +
та особенность описывает так называемый центр дилатации1).
ычислцм напряжения, связанные с полем перемещений D).
как в этом случае е = щ, t = 0, то
= 2цег, = ix (щ. I + u,.t)=- 2л (^ 2|1) (^^ f/. E)
ыделиМ вокруг начала координат шар радиуса R и введем со-
^Щие силы pi на его поверхности:
Р\1 Х-
1 "ЗгГ' г'=1. 2. 3. F)
литеоату е автоР использует также термин центр давления. В отечественной
Прим пе эту ос°бенность чаще называют центром расширения — сжатия. —
5.8. Решения с особенностью высшего порядка 211
Проектируя р на направление нормали, получим
Мы положили здесь гц = хг-//?, так как нормаль направлена вне
шара. Если вырезать шар малого радиуса с центром в начале
координат, то на границу тела будет действовать равномерное
давление р, обратно пропорциональное кубу радиуса. Заметим
еще, что величина ./V = -^—• не зависит от радиуса R.
Другой тип особенности найдем, если в начале координат
приложим силу интенсивности M/Bh), направленную по оси х2,
а в точке (|i = —h, 0, 0) — силу M/Bh), действующую в отрица-
отрицательном направлении оси х2. Обозначим поле перемещений, вы-
вызванное действием этих сил, через ufK Тогда
При h, стремящемся к нулю, имеем
м
B)
Особенность (8) соответствует действию «двойной силы с мо-
моментом». Пусть теперь в начале координат действует сила
M/Bh) в положительном направлении оси х\, а в точке
@,^ = ^.0) действует сила M/Bh) в отрицательном направле-
направлении оси Х\. При /г->0 получим
М
Суперпозицию полей (8) и (9) можно трактовать как поле пе-
перемещений, вызванное действием сосредоточенного момента ин-
интенсивности М. Особенность
(] (Ю)
принимает с учетом формулы A8) § 5.7 следующий вид1):
или
') Особенность типа A1) носит название центра вращения- — Прим.
перев.
212 Гл. 5. Пространственные задачи эластостатики
Заметим, что «3 = 0 и что е = «i, * = 0. Вызванная действием
сосредоточенного момента М дилатация равна нулю, элементы
объема тела испытывают только изменение формы.
Предположим теперь, что центры давления •) равномерно
распределены вдоль отрицательной полуоси х3 от х3 = 0 до
х3 = —оо2). Если центр давления находится в точке @,0,—g3),
то перемещения задаются формулами
и\ — <-- ~jpr» Щ— ~^5*' 3— —^з—>
где
Интегрируя A2) вдоль отрицательной полуоси х3, получим
И, = СДГ, J -^5- , «2 — C*2 J -?3~ » U3 — С J ^3 «S3-
0 0 0
В результате указанного интегрирования получим 3)
"' = R(R + х3) ' = R(R + xa) ' = "^'
или
И* = С-g^-1П (/? + ДГз).
Мы получили рассмотренную ранее (в § 5.6) особенность Бус-
синеска второго рода.
5.9. Упругое полупространство. Первая краевая задача
Рассмотрим упругое полупространство х3 > 0, на границе ко-
которого х3 = 0 заданы перемещения. Первая краевая задача за-
заключается в решении в области х3 ~> 0 системы уравнений в пе-
перемещениях
V2«, + kett = 0, x3>0, A)
с граничными условиями
и,(хи х2, 0) = Ul(xl, x2). B)
Начнем с представления решения при помощи гармонических
функций. Положим
Щ = *зФ, t + <Pt> C)
>) См. примечание на стр. 210. — Прим. перев.
2) Такая комбинация называется линией центров расширения — сжатия.—
Прим. перев.
3) Решение типа A3) называется элементарным решением второго
рода. — Прим. перев.
5.9. Упругое полупространство. Первая краевая задача 213
где фг и ф — гармонические функции, связанные между собой
зависимостью (формула (8) § 5.1)
^.3=-jzr^-^k,k- D)
Из соотношений B) и C) видим, что на границе Хз = О
щ(хи х2, Q) = U{(xv x2) = cp{{xu х2, 0).
Функции фг(х) найдем поэтому, решая гармонические урав-
уравнения
У2Ф,(х) = 0, *3>о, E)
с граничными условиями
Фг(х„ х2, 0) = Ui(xu x2). F)
Предположим теперь, что функции ф{ на бесконечности равны
нулю. Зная функции ф{, образуем дивергенцию щ,и и проинте-
проинтегрируем уравнение D) по х3. Нужно использовать еще условие,
что на бесконечности т|э—>О, и требование, чтобы функция ф
была гармонической. Последней задачей будет определение пе-
перемещений по формуле C).
Для определения функций ф и ф удобнее всего применить
интегральное преобразование Фурье. Это преобразование опре-
определяется следующим образом1):
чМсх,, а2, *3) = -?- J J Ф»(*„ х2, x3)el^+^dx{dx2, G)
—оо —оо
а его обращение дается формулой
ОО ОО
«Pi(*i, *2, Х2) = ^ J J q>i(ai, Щ, x3)e-l^+a^daida2. (8)
— ОО —00
В дальнейших выкладках будем использовать трансформанты
производной функции ф
оо оо
1 i*i* дф (х х х I
^Jt J J OX\
(9)
— оо —tx
оо оо
_\_ j J <?Ф,- (^xa,
— ОО —00
Приступаем к решению уравнения E). Это уравнение умножим
на е'(а1*"+а»*г> и проинтегрируем по плоскости Х\Х2. Используя
') Снеддон И., Преобразования Фурье, ИЛ, М., 1955.
214 Гл. 5. Пространственные задачи эластостатики
соотношения G) — (9), приводим уравнения E) к обыкновен-
обыкновенным уравнениям
—11. — у2фг = 0, Y = (а? + afl''2. A0)
Применение преобразования Фурье к граничным условиям F)
дает
ф; (<Z[, a2, O)=t/i(cti, a2), A1)
где
0t{aua2) = ~ J J Ut(xlt x
— оо —оо
Здесь следует предположить, что величина
оо оо
J J | ?/,(*,, x2)\dxxdx2
— оо —оо
ограничена. Решение уравнений A0) с учетом граничных усло-
условий A1) и требования, чтобы на бесконечности функции ф1 об-
обращались в нуль, приводит к функции
ф,(а„ а21 х3)=и{(щ, а2)е-™. A2)
Функция if является гармонической. После интегрального пре-
преобразования Фурье уравнение Лапласа У2г|) = 0 переходит в
обыкновенное дифференциальное уравнение
Y^ = 0, A3)
решение которого, стремящееся к нулю на бесконечности, имеет
вид
t(a1( a2( дг3) = 5(а1( a2)e-v4 A4)
Функции фг и if связаны между собой уравнением D). При-
Применяя к этому уравнению преобразование Фурье, получаем
В соотношение A5) подставим A2) и A4) и подсчитаем вели-
величину В(а\,а2)—функцию параметров преобразования ai и а2.
В (a,, eta) = — vC_ 4v) [tai^i(ai' «2)+faA(ct|» o.2)+yU3(av a2)]. A6)
5.10. Упругое полупространство. Вторая краевая задача 215
Выполняя обратные преобразования Фурье в соотношениях A2)
и A4), получим
х2, х3) =
2,
оо оо
, A7)
— оо —оо
J И-т^ + ^
— оо — оо
Хехр[— yx3 —t (a,x, + a2x2)]da, da2. A8)
Итак, поставленная задача решена, ибо знание гармонических
функций <рг и г|) позволяет получить перемещения по форму-
ле C).
5.10. Упругое полупространство. Вторая краевая задача
Более сложной является вторая краевая задача, когда на
границе х3 = 0 заданы нагрузки рг- (xi, x2). Нужно решить си-
систему уравнений
V2«?+ *<?,, = 0, х3>0, A)
с граничными условиями
а3\{хь х2, 0) = — р^хь х2),
сг32(¦«!, х2, 0) = — р2(х1, х2), B)
(Тзз(*1. *2. 0) = — рз(*1, *2)-
Мы считаем здесь, что нагрузки действуют в положительном
направлении осей координат.
Сначала представим решение, используя гармонические
функции ф,- и if, связанные с перемещениями зависимостями
. C)
Функции ф,- и г|) связаны между собой уравнением
Выразим граничное условие B) через перемещения. Заметив,
что
а и = 2цег/- + Щ^ = ц (щ, t + uh,) + A-fyM/г, «>
216 Гл. 5. Пространственные задачи эластостатики
получаем в плоскости х3 = 0 следующие соотношения:
E)
= — ~,
Введем три новые вспомогательные функции: гармонические
функции Qi, удовлетворяющие уравнению Лапласа
= 0, *3>0, F)
с граничными условиями
ц?2,(х„ х2, 0) = — pt{xu х2), х3 = 0. G)
В плоскости х3 = 0 получаются соотношения
ФЬЗ + ФЗ, 1 + ^,1 = ^1.
Ф2.3+Ф3.2 + 11),2 = Й2. (8)
2фз.з + 2A — 2v) ^,з = Q3-
В обеих частях соотношений (8) стоят гармонические функции.
Но если на границе некоторой области гармонические функции
равны (ибо они равны функциям pi{x\,x2))> то они тождествен-
тождественно совпадают во всей области. Соотношения (8) поэтому спра-
справедливы и для х3 > 0.
Считая, что соотношения (8) имеют место для всего полу-
полупространства, применим к ним следующие операции. Продиф-
Продифференцируем первое из уравнений (8) по х\, второе по х2, а
третье по х3 и сложим между собой почленно. Принимая во
внимание, что V2<p* = 0, V2i]) = 0, получим следующее уравнение:
Ф*,*з + 0-^И,зз = О*.ь (9)
или, учитывая D),
аЬз = -{ Q*.*. (Ю)
Итак, мы имеем все элементы решения. Решим сначала урав-
уравнение Лапласа F) с граничными условиями G). Из решений Й,-
образуем дивергенцию Qh,k, которая входит в правую часть
уравнения A0). Функции if получим, интегрируя уравнения A0).
Фигурирующие в решении постоянные интегрирования при-
равняем нулю, ибо на бесконечности должно быть if = 0, if, 3 =
= 0. Для определения величин <р,- используем соотношения (8),
справедливые для полупространства х3^0. Интегрированием
получим из последнего уравнения системы (8) функцию <р3,
5.10. Упругое полупространство. Вторая краевая задача 217
из второго уравнения функцию <р2, а из первого уравнения
функцию ф]. Знание функций q>i и гр позволяет определить и пе-
перемещения по формулам C).
Для решения второй краевой задачи можно непосредствен-
непосредственно использовать введенное преобразование Фурье. Так, реше-
решение преобразованного уравнения Лапласа F) можно предста-
представить в виде
Здесь
оо оо
Pi(a,, a.2) = 4=- f f Pi (хи х2) е1 <«>*.+<№> rf^ dx2.
— ОО —ОО
При этом предполагаем, что интеграл
оо оо
Г С
I Pi (х\ > Х2) \ dxx dx2
— оо —оо
является ограниченной величиной. В решении A1) предпола-
предполагаем, что на бесконечности й*-*0.
Так как функции if и <р* гармонические, то их можно пред-
представить в аналогичном A1) виде:
*(<*!, оа, х3) = В(аи а2)е~У\ A2)
Ф,(а„ as, х3) = С{(щ, a2)e-v*.. A3)
Здесь мы учли условия на бесконечности "ф —*-0, <pi-*O. Вели-
Величины В, Ci являются функциями параметров ai, a2. Величину
В (аи «г) определяем из уравнения A0). Учитывая A1), имеем
A4)
К уравнениям (8), справедливым для х% ^ 0, применим пре-
преобразование Фурье:
Q2, A5)
2фз. з + 2A -2v)^3,3 = Q3.
218 Гл. 5. Пространственные задачи эластостатики
Подставив в эти уравнения соотношения A1), A2) и A4), при-
приведем их к системе алгебраических уравнений
A6)
Решая эту систему уравнений, находим величины C,-(ai, а2). На-
Наконец, применив обратные преобразования Фурье к функциям
ф, "ф, получим формулы
, х2, х3) =
оо оо
= ln I J C^ai' а2)ехР(—Y*) — i (а,х, + а2х2)] dai da2, A7)
— 00 —00
„ Ь, х3) = - -±- J J ^
— оа —оо
X ехр [— \х3 — i (а^! + а2х2)] da, da2. A8)
Зная теперь функции <р* и г|), вычислим перемещения по форму-
формуле C). Представленный здесь способ решения является весьма
общим; он содержит в себе много частных случаев. Так, если
в плоскости х3 = 0 действует только вертикальная нагрузка
(направленная по оси х3), то pi = р2 = 0, а поэтому Ql = Q2=0,
5= — -^—р3- Это означает значительное упрощение решения.
Ниже мы дадим другой способ решения, применимый, од-
однако, исключительно для вертикальных нагрузок. Для решения
этой краевой задачи используем представление перемещений
с помощью функций Папковича — Нейбера
-4(l-v)ii5b A9)
в котором выберем функции ср и -ф» следующим образом:
<p = (l-2v)x, % = 6ПЦ.
Очевидно, х является гармонической функцией; поэтому
Щ = *зх, а + A — 2v) х. f — C — 4v) в,з%,,.
5.10. Упругое полупространство. Вторая краевая задача 219
Подставляя формулу B0) в соотношения между напряжениями
и деформациями, выражаем напряжения через функцию %:
аи = 2ц [х3%, ш + A — 2v) х, ц — 2v%_ 33],
а22 = 2ц [ад, 22* + A — 2v) X.22 — 2П,зз].
ст3з = 2и[*зХ,ззз —Х.ззК B1)
а23 = 2цх3х, 2зз, а31 = 2№X, 133,
(Ti2 = 2ц [Д-3Х, 123 + A — 2v) X. 12]-
Из формул B1) видно, что для лг3 = 0 при конечных значениях
ПрОИЗВОДНЫХ Х.223, X, 133 И Х.ЗЗЗ
а32 = 0, ст31 = 0, (Т33 2и(Х.34з=0. B2)
Если в плоскости х3 = 0 задана нагрузка —/?з(#1.*2)> то функ-
функцию х получим путем решения уравнения Лапласа
B3)
с граничным условием
= Рз(х1, х2).
Разумеется, мы предполагаем, что на бесконечности х~*0- Если
к уравнению B3) и граничным условиям применить преобразо-
преобразование Фурье, то получим
X (а,, а2, *,) = - Щг1 е~^> V = (а? + ^\ B4)
Применяя к формуле B4) обратное преобразование Фурье, по-
получим
Х(х,, %, х3) =
= -^ J J '3a2+^ exp[-YX3-/(alxl + a2x2)]rfalrfa2. B5)
— оо —оо
Иногда удобнее будет пользоваться цилиндрической системой
координат (г, ф, г). Ниже мы дадим функции перемещения и
формулы для перемещений и напряжений в этой системе коор-
координат. Перемещения выражаются формулами
B6)
220 Гл. 5. Пространственные задачи эластостатики
Для напряжений получим следующие выражения:
а - 2ц Гг ** I z * I h (l -2v)a*1
афф— ^[Z gr2dz + dz3 ^ dz2 ^ v> дг2Г
]. B7)
2г д*х z д2г (l-2v) dt 1
53% 2цг
Мы видим, что при конечных значениях функций
<Эг2 ' г <Эф дг
в плоскости 2 = 0 имеем arz = 0, сгф2 = 0. Если заданы верти-
вертикальные нагрузки pz{r, ф), то следует решить уравнение Ла-
Лапласа
(^ ^^^)(ЛФ,г) = 0 B8)
с граничным условием
*22 1*-о = - Рг (г, Ф) = - 2(х (-0J=о. B9)
Значительное упрощение написанных выше формул получим в
случае деформации, характеризующейся осевой симметрией от-
относительно оси z. Такое состояние возникнет, когда pz = pz(r).
В этом частном случае перемещения и напряжения становятся
не зависящими от переменной ср.
В этом случае удобнее использовать интегральное преобра-
преобразование Ханкеля для решения уравнения B9). Это преобразо-
преобразование определяется соотношениями1)
% (a, z) = | х (г, 2) г/0 (ar) dr,
\ C0)
X(r,z)= J % (a, z) а/0 (аг) rfa.
о
Здесь /0(аг) —функция Бесселя первого рода нулевого поряд-
порядка. Применяя к уравнению B8) (в котором d2yjdcp2 = 0) пре«
') И. Снеддон, loc. cit. стр; 213,
5.10. Упругое полупространство. Вторая краевая задача 221
образование Ханкеля и учитывая, что
со
(-& + 7^)*(r' z) /о
в чем можно убедиться интегрированием по частям, приводим
уравнение B8) к обыкновенному дифференциальному уравнению
?-*-••
Решением этого уравнения (в предположении, что на беско-
бесконечности %—*0) является функция
Величину Л (а) найдем из граничного условия B9). Применяя
к этому условию преобразование Ханкеля, имеем
где
со
Рг(а)= J Pz(r)rJ0(ar)dr.
о
Так как
{a)
~w — 2ца2 '
TO
^^=Ё0е~а!!- C2)
Если к формулам B6) и B7) применить преобразование Хан-
Ханкеля и подставить %, то получим после выполнения обратного
преобразования Ханкеля следующие формулы1):
оо
иг = — т^- | (I — 2v — az) pz (a) e2/, (ar) da,
C3)
иг = 97Г f [2 A — v) + аг] Д2 (а) е"аг/0 (аг) Ja
') Terezawa К., /. Со//. Sd. //пр. Univ. Tokyo, 37, № 7 A916).
Эти формулы были выведены Тередзавой другим путем с использова-
использованием функции Лява.
222 Гл- & Пространственные задачи эластостатики
Огг = ~ I а A + си) р2 (а) е"а2/0 (аг) rfa,
о
со
стгг = — J а A — az) pz (а) е~аг/о (a/") da —
о
со
_ 1 J [а2 _ A _ 2v)] i^I 7l (ar) dus C4)
0
oo
<Тфф = - 2 A + v) J ap2 (а) е-аг/0 (ar) da - (arr + ozz),
о
oo
arz= — zj a2pz (a) e2/, (ar) da.
Рассмотрим еще раз действие вертикальной нагрузки
рз(хиХ2), используя при этом функции Галеркина. Для решения
этой задачи достаточно всего одной функции Галеркина F3 = F.
Используя формулы F) и (8) § 5.3, получим следующие выра-
выражения для перемещений и напряжений:
/ to i ' \ 2 у J > \'¦'*'/
°n=t^W [^з (v6,7v2 - ЭД + (i - v) v2 ад + a3/dT)] f. C6)
Задача сводится к решению бигармонического уравнения
VW=0 C7)
в упругом полупространстве при заданных граничных условиях
<тЭ1 (* 1, х2,0) = 0, стЭ2 (-^1. х2, 0) = 0,
азз^.Ха.О^-рЛ*!,*^. C8)
Применяя для решения бигармонического уравнения интеграль-
интегральное преобразование Фурье, приведем уравнение C7) к виду
—4 ^ V2 —г" "^ Y4^ == 0> Y = («f + uW\ C9)
где
oo со
F(a,, a2> jc3) = ^ f I" F(*i, Jt2. ^з)е2 |ОЛ+ал> rfjc, dx2. D0)
5.11. Задача Буссинеска 223
Так как на бесконечности F-*0, то решением уравнения C9)
является функция
F = (A + x3\B)e-y*K D1)
Величины А, В находим из граничных условий C8). Здесь мы
имеем три граничных условия и только две постоянные инте-
интегрирования. Расписывая два первых граничных условия C8),
получим уравнения
{<?, [A - v) V2 - дЦ F]^ = 0, {д2 [A - v) V2 - Щ F}^ = 0.
После применения к ним преобразования Фурье убеждаемся,
что остается одно общее условие
=0 = 0. D2)
Поэтому постоянные А и В определим из соотношения D2) и
третьего граничного условия C8).
Если вертикальная нагрузка зависит только от переменной
г, то можно воспользоваться способом Лява, решая бигармо-
ническое уравнение
D3)
с граничными условиями
°zz (г, 0) = -Рг (г), аГ2 (г, 0) = 0. D4)
При решении уравнения D3) обычно используют преобразо-
преобразование Ханкеля. Получим решение в виде
со
X (г, г) = J (А + azB) е-*Ч0 (ar) da, D5)
о
причем постоянные А, В определим из граничных условий.
Представленное здесь общее решение, использующее функ-
функции Папковича — Нейбера, Галеркина и Лява, в принципе мож-
можно применить и для краевой задачи, в которой на плоскости
Хз = 0 задано вертикальное перемещение и нулевые напряжения
сгз1 и сгз2. Функция Буссинеска, упомянутая в § 5.5, также может
пригодиться для решения приведенных в § 5.9 и 5.10 краевых
задач.
5.11. Задача Буссинеска
Под названием «задача Буссинеска» мы понимаем следую-
следующую задачу. Упругое полупространство хъ ^ 0 нагружено в на-
начале координат сосредоточенной силой Рз{хи х2) = Рб{х1N(х2),
направленной по оси х3. Эта задача является частным случаем
224 Гл. 5. Пространственные задачи эластостатики
задачи, рассмотренной в § 5.10. В проделанных там выкладках
нам следует теперь положить р\ = р2 = 0, ръ = P6(xi)8(x2) =
= —стзз (лгь лг2, 0). Так как нагрузки симметричны относительно
плоскостей Х\ХЪ и x2x3} то при решении задачи Буссинеска удоб-
удобнее применить косинус-преобразование Фурье
оо оо
~ 2 Г С
f (а,, а2, *3) = — J J f (*,, х2, х3) cos а,*, cos а2х2 dxx dx2,
A)
2
о о
f (л;,, х2, х3) = — J j f (а,, а2, л;3) cos alxl cos a2x2da{da2.
Применяя метод, указанный в § 5.10, согласно которому пере-
перемещения выражаются через потенциальные функции q>i и i|):
+ <vh B)
прежде всего следует решить уравнение Лапласа
V2Q3(*,,*2. *з) = 0 C)
с граничным условием
цО3(*|, х2, 0) = - pj (xi, x2). D)
После применения к уравнению C) косинус-преобразования
Фурье получим обыкновенное дифференциальное уравнение
ахз
решение которого
pz /?з (Ct]7 CI2) -vr ._.
Q3 = - -i-^-. e v*s. E)
В случае сосредоточенной силы р3(*ь х2) = P6{XiN(x2) имеем
оо оо
рз (ot|, а2) = — f б (л;|) cos a:x: dx{ Г б {x2) cos a2*2 dx2 =
о о
00 00
== -ту— б (л;,) cos a,*, <2*, б (л;2) ее
— 00 —00
Поэтому
5.11. Задача Буссинеска 225
После выполнения обратного преобразования Фурье получим
\ I е~*3 + cos "Л cosa2je2da, da2. G)
о о
Рассмотрим интеграл
/= I cos a,.>C| da, —, - cos а2х2 da2 =
о о V^ + al
— J Ко (aif) cos a,^, da, =-^-,
о
где /Co.(«ir) — функция Бесселя от мнимого аргумента третьего
рода нулевого порядка (так называемая функция Макдональ-
ДаI),
Мы видим, что
dl \_ P x3
)
Используем теперь уравнение A0) предыдущего параграфа
4!| = -|(О1., + Й2.2 + Йз,з). (9)
дхг3 2
Так как р, = 0, р2 = 0, то Q, = 0, О2 = 0, и поэтому в правой
части уравнения (9) останется только член —2"^3i3. Выражая
функцию \р с помощью интеграла Фурье
ф = — Г Г В{щ, а2)-е~Хз * °2 cos a,X| cos 02^2 da, i/a2,
о о
получим из уравнения (9), принимая во внимание G), следую*
щее соотношение:
fl = — JL- , 1 A0)
^ /af+af
') См. Бейтмен Г., Эрдейи А., Таблицы интегральных преобразований,
т. 1, «Наука», М., 1969, стр. 26, 59. —Прим. перев.
8 В. Новацкпй
226 1*л- &• пространственные задачи эластостатики
Итак,
00 «> -х3
//"см""cos
Удобнее всего определить функции q>i из уравнений (8) преды-
предыдущего параграфа, справедливых для хг ^ 0:
ф|,3 + Фз, 1 +Ф. 1 = °» Ф2.3 + Ф.З, 2 + Ф.2 = °-
= О ( '
Из последнего уравнения A2) имеем
Пз П 9vbh —
Фз.з = -2--A-2?)ф,з-
Интегрируя по х3, находим
Постоянная интегрирования равна нулю, ибо на бесконечности
Фз = 0. Из второго уравнения A2) найдем, что
Интегрируя по лг3, получим
A —Uv)P
Наконец, из первого уравнения A2) получаем
(l—2v)P *,
Ф| — :
Остается определить перемещение по формулам B):
В плоскости Xz = 0 перемещения принимают значения
Зная перемещения, можно определить напряжения по формулам
5.11. Задача Буссинеска 227
Таким образом, получаем
ЗР х,х\
av = ~~ ~2п ~^~ ' /=1>2>3'
ЗР \ х":х, 1
\1
/J '
Мы видим, что напряжения o3j (/= 1, 2, 3) не зависят от упру-
упругих констант,
В сферической системе координат (/?, ¦&, ф) получим следую-
следующие формулы для перемещений и напряжений:
Р sin
A4)
_ A — 2v)P cos2» _ A — 2у)Р sin» cos»
"" 1 + cos» '
_ A —2v)P cos2» —sin2»
Действие сосредоточенной силы рз(*ь х2) = P8(xi)8(x2) в на-
начале координат в упругом полупространстве х3 ^ 0 вызывает
осесимметричное относительно оси Хз поле деформаций. Поэто-
Поэтому удобно эту задачу решать в цилиндрических координатах.
Используя функции Папковича — Нейбера ф и 1|н:
Щ = ф. i + (*/Ф/). г — 4A —v)i}3,
в предположении, что
i|,s(o, 0, -IJ-).
мы получили в предыдущем параграфе следующие формулы
(формулы C3) § 5.10):
оо
«г = — ^ J" (I — 2v — аг) рг (а) е-"/, (or) da,
A5)
иг = -^ J [2 A - v) + az]p2 (a) e~™h {or) da.
228 Гл 5. Пространственные задачи эластостатики
где
оо
Рг(а)={ pz(r)rJ0(ar)dr,
Для сосредоточенной силы pz(r) = Рд(г)/Bлг), приложенной в
начале координат (г, ф, z), получим
Подставляя pz(a) в формулы A5) и выполняя указанные опе-
операции, получим следующие формулы для перемещений:
Решение задачи Буссинеска можно найти другим способом:
путем суперпозиции двух простых решений.
Так как точка приложения сосредоточенной силы является
особой точкой, то будем рассматривать полупространство х$ ^ О
с вырезом в виде полушара с центром в начале координат.
Будем разыскивать такое решение, в котором равнодействую-
равнодействующая сил, действующих на поверхности полушара, равна сосре-
сосредоточенной силе Р. На остальной части границы хг = О тре-
требуем, ЧТОбы <Хз1 = 032 = 033 = 0.
Вспомним, что сосредоточенная сила, действующая в направ-
направлении оси *з в неограниченном пространстве и приложенная в
начале координат, дает в плоскости *3 = 0 (исключая начало
координат) (Хзз = 0. Это видно из формулы A5) § 5.7.
Поэтому в качестве первой части решения задачи Буссинеска
рассмотрим действие сосредоточенной силы в неограниченном
пространстве. Для такого состояния перемещения и'{ выра-
выражаются формулами A4) § 5.7. Эти формулы напишем в виде
Величину D определим из дальнейших рассуждений. В плоско-
плоскости х3 = 0 (за исключением начала координат) имеем сле-
следующие величины напряжений:
п> — 2и2 °*> , _ 2ц* Рх2
5.11. Задача Буссинеска 229
На поверхности полушара действует вектор нагрузки р' с ком-
компонентами
Равнодействующая этих нагрузок, направленная по оси Хг, при-
принимает значение
4л^тЙ- B0)
В качестве второй части решения возьмем перемещение и",
возникающее от потенциала ф= С1п(/? + л:з), рассмотренного
в § 5.6. Эти перемещения выражаются формулами
"i "~ ф- I" R(R+x3) > "-'—
В плоскости х3 = 0 (за исключением начала координат) на-
напряжения (Тд'з исчезают. Из формул (г) § 5.6 найдем для Хг = О
, а^ = 0. B2)
Компоненты главного вектора нагрузки р" принимают вид
„// О.. 1 " О.. у*%Ч „tf 2\IL, /ООЧ
Р. =2^^(^ + ^з) , Р, =2ц^2(Л + ;Сз)> Р3=-^г. B3)
Следует еще вычислить равнодействующие нагрузок, приложен-
приложенных к полушару. Легко показать, что эта равнодействующая
направлена по оси Хз и принимает значение
4лцС. B4)
Сюда следует добавить оба частных решения. Мы видим, что
условие oj3 = 0зз ~Ь ffj3 == ® выполняется при х3 = 0. Два осталь-
остальных граничных условия
приводят к зависимости
С = -ТТ7^ B5)
Следует еще связать величины С, D с сосредоточенной силой,
Мы здесь используем условие, что равнодействующая всех сил,
приложенных к полушару, должна быть равна силе Р. Учитывая
230 Гл. 5. Пространственные задачи эластостатики
B0) и B4), имеем
¦) _1_ Ом
B6)
Из соотношений B5) и B6) найдем, что
- р С Р
4я(Я+ц) '
Добавляя перемещения, вызванные обоими состояниями, по-
получим следующие формулы:
хгх3
4яц \ R3 Я + ц R(R + x3) )'
Р I х2х3 ц хг
B7)
совпадающие с выведенными ранее формулами A3), В част-
частности, в плоскости х% = 0 получим следующие перемещения:
Рх$ Р Я+ 2(г 1
Р12
где г = (^ -}- ^гу/, — радиус в цилиндрической системе координат.
Вернемся к уравнениям B7) и выразим перемещение иг в
цилиндрической системе координат (r,Q,z):
Перемещение ыг не зависит от угла 9.
В сферической системе координат (R, ¦&, ф), учитывая, что
Z = R cos ft, г = R sin Ф, находим окончательно ')
Отсюда вытекает, что перемещение ит принимает положитель-
положительное или отрицательное значение в зависимости от того, яв-
является ли выражение
меньшим или большим нуля.
') Лурье А. И., Пространственные задачи теории упругости. Гостехиздат.
М-, 1955.
5.12. Формулы Герца
Перемещения uR будут положительными, если точки, в ко-
которых мы изучаем эти перемещения, лежат внутри конуса
cos2 #о + cos Фо —. *f = 0.
Для Х = \л, v = ^- получаем Ф0 = 68о30'.
5.12. Формулы Герца1)
Пусть в плоскости х3 = 0, ограничивающей упругое полу-
полупространство, действует нормальная нагрузка р3 = р{х\,х2).
Предположим, что интеграл j J \p(x\, x2) \dxtdx2 ограничен.
Для определения перемещений, вызванных этой нагрузкой, вос-
воспользуемся решением задачи Буссинеска для сосредоточенной
силы, помещенной в точке §= (|ь Ь, 0), трактуя его как функ-
функцию Грина. Используем формулы A3) предыдущего параграфа,
записывая их для Р= 1 одной формулой
U{(x, |) =
R (х, I) = [(*, -1,J + {х2 -12J + х1]Ч>
расстояние между точками х и |.
Интегрируя по области Г в плоскости *3=0, на которой
действует нагрузка, получим
г
Г f Pdu h) лЛ 1 д Г f
J j R(Xtl) d^dh- 4^^-J J
г г
X { Т$Л) +A - 2v) ln [R (x> ® + Х
Введем функции
Q (x) = J J p (|„ W In [R (x, I) + x3] dh dl2, C)
Функция Ф(х) является потенциалом простого слоя с плот-
плотностью, равной р(х\,х2). Она удовлетворяет вне области Г
') Hertz H., Ober die Beruhrung fester elastischer Кбгрег, /. reine and
angewandte Mathematik {Crelle),92 A882J.
232 Гл. 5. Пространственные задачи эластостаТики
уравнению Лапласа, является непрерывной функцией всюду, за
исключением области Г, и стремится к нулю при /?->оо. Произ-
Производная функции Ф(х) по направлению нормали к области Г
испытывает конечный разрыв. При переходе от точки х к точке
(*1,*2,0) со стороны положительных значений х5 получим
j — 2яр(хих2) внутри Г,
Wo = i 0 вне Г. E)
Функция Q(x) является в полупространстве х3 > 0 гармониче-
гармонической функцией. При R —»¦ оо эта функция неограниченно воз-
возрастает. Производные Q(x) по координатам в области х3 > 0
при R —*¦ оо стремятся к нулю.
Соотношение B) можно представить с помощью функций Q
и Ф в следующем виде:
дФ
^Г1й|Г F)
откуда
1 — v т. 1 <9Ф
Из формул G) определяем дилатацию
,. 1 — 2v дФ
e = divu = -^ir^-
Вычислим компоненты напряженного состояния
013 2я
(8)
дхг ' °23 2я дх2 дх3 '
<ЭФ д2Ф\ (9)
Так как
on + an + a33 = (^ + 2ii)d\vu, A0)
то, учитывая (9), имеем
Из формул (9) находим, что при х% — 0
^(ЦЦ A2)
5.12. Формулы Герца 233
Из формулы E) вытекает, что
—P(xux2) внутри Г,
+о ( 0 вне т A3)
Вводя новую функцию
^ —2v)Q], A4)
можно представить перемещения G) в более короткой записи
Эти формулы введены Герцем и применялись им к контактным
задачам. Значения перемещений в плоскости х3 = О даются
формулами
1 -2у дй (*,, хъ 0) R , 9
^2. 0).
Определение напряженного и деформированного состояния в
упругом полупространстве, нагруженном на границе х3 = 0
перпендикулярно ограничивающей его плоскости, было предме-
предметом целого ряда исследований. Так, Буссинеск1) рассматривал
действие нагрузки р, равномерно распределенной по круговой
области Г перпендикулярно к плоскости х3 = 0. Той же зада-
задачей, хотя и другим путем, занимался Тередзава2). Затем Ляв3)
очень подробно и тщательно рассмотрел действие нормальной
нагрузки, распределенной по прямоугольной и круговой области
на плоскости х3 = 0. Он рассматривал не только постоянные, но
и линейно меняющиеся нагрузки. Много интересных резуль-
результатов по этой проблеме получили Губер4) и Фукс5). Подроб-
Подробное обсуждение изложенной в настоящем параграфе задачи
читатель найдет в монографии Лурье (см. примечание на
стр. 230).
') J. Boussinesq, loc. cit. стр. 195.
2) К. Terezawa, loc. cit. стр. 221.
3) Love A. E. H., The Stress Produced in on Semi-infinite Solid by Pressu-
Pressure of Part of the Boundary, Phil. Trans. Roy. Soc. London, ser. A, 228 A929),
372.
4) Huber M. Т., Zur Theorie Beriihrung Jester elastischer Korper, Ann,
Physik, 14 A904), 153.
b) Fuchs S., Physik. Zeitschr., 14 A913), 1232-
234 Гл. 5. Пространственные задачи эластостатики
5.13. Задача Черрути
Задача, носящая имя Черрути, относится к случаю нагру-
жения поверхности х3 = 0, ограничивающей упругое полупро-
полупространство х3 ^ 0, касательными нагрузками. Предположим, что
касательные нагрузки направлены по оси *ь Тогда граничные
условия имеют вид
<Т31 (*1. Х2, 0) = — />! {хи Х2), (Тз2 (*1, *а, 0) = О,
A)
Для решения этой задачи применим представление Трефф-
ца, упомянутое в § 5.10. И здесь мы выразим перемещения че-
через гармонические функции <р,-, г|к
«» = Фг + *зФ,2- B)
Имеют место соотношения
<Э2\|>=0, C)
2d3<p3+2(l —v)d3* = 0.
Здесь мы положили Йг = Из = 0, ибо Рг == р3 ^ 0 Дпя опре-
определения функции Й( служит уравнение Лапласа
Й[ и i|> существует зависимость выражае-
выражаемая соотношением A0) § 5.10. В нашем частном случае имеем
)
с граничным условием
liQl{xux2,Q>) = — pl{xl,x2). E)
Между функциями | имо
A0) § 510 В нашем част случае
F)
Ход решения таков. Решаем уравнение D) с граничным
условием E). Зная функцию Qi, определим функцию гЬ из урав-
уравнения F), а затем функцию <р3 из третьего уравнения C), функ-
функцию ф2 из второго уравнения C) и функцию ф, из первого. Под-
Подставляя функции <pf, ij) в соотношение (8), заканчиваем реше-
решение задачи.
Для решения этой задачи применим синус. и косинус-пре-
косинус-преобразования Фурье.
Предположим, что нагрузка pi(xux2) симметрИчна по пе-
переменным Х\, Хь а поэтому ее можно представить двойным коси-
5.13. Задача Черрути 235
нус-преобразованием Фурье:
оо оо
Pi(xu *2) = -^-J J Pi(ai> <*г) cosai*i cosO2*2dai da2, G')
о о
где
оо оо
Pi
2 Г Г
(а,, а2) = — J j р (*!, х2) cos a,*, cos а2*2 dxx dx2. G")
о о
Точно так же и функцию Q\, учитывая граничное условие E),
выразим двойным косинус-интегралом Фурье
оо оо
п{(хи х2, х3) = — J J Q,(a!, a2, a:3) cosa,^, cosa2AC2rfairfa2. (8)
о о
Путем решения уравнения Лапласа D) с учетом граничного
условия E) и условия, что Й]—>-0 при|^ + х\-\-x||—»• 0, получим
оо оо
2 Г Г ._
о о
В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением действия со-
сосредоточенной силы Pi(xu х2) = РЬ{Хг)8(х2), приложенной в
начале координат и направленной по оси х\. Учитывая, что
Pi(ai, 02)^-5— (это вытекает из формулы G")), имеем
е-7*з cos a^ cos 02^2 dav da2 = — -= 4-. A0)
о о
Используя уравнение F), заметим, что функцию ф нужно
выразить с помощью смешанного преобразования Фурье
оо оо
2 С Г
¦ф = — В(<Х), а2)е~ж>ч sina\Xl cosa2x2dal da2, A1)
о о
где
236 Гл- & Пространственные задачи эластостатики
Функцию ф легко вычислить. Замечая, что
оо оо
J -^г—sin aiXj cos a2x2 daj da2 =
г)%тахйах=-~-^, A2)
о о
где
r = (x\ + x§% R = (xl
получим после интегрирования по Хз
R (R
Из третьего уравнения C) имеем
—2v)
Из первых двух уравнений C) найдем
-. Р\ С С e~x'yaia2
^2 = ^5j7j J ^2—-
о о
ОО ОО /
Р г с ( \
= ~ "rt^jT J J е~ХЛ V
О О
Используя интеграл A2) и интегралы
оо оо
J J ——cosct]*!cosо,2хгйакйщ.-=-щ.
о о
п^
Зя
о о
можно вычислить функции ф! и <р2. Мы получим
Я I 1 / 1
V
m =
5.13. Задача Черрути 237
Подставляя функции <рг, г[> в соотношения B), имеем
1 V2
В сферических координатах (/?, Ф, ф) получим следующие вы-
выражения для перемещений:
Я sin
Пусть теперь в начале координат действует сосредоточенная
сила Р с компонентами Р\, Яг, Рг> направленными по соответ-
соответствующим осям координат. Складывая перемещения A3) § 5.11
для Рг с перемещениями, вызванными действием силы Р\ (фор-
(формулы A6) настоящего параграфа), и с перемещениями, вы-
вызванными действием силы Р%, получим следующие формулы:
R = {x1 + xl + xl)\ A8)
Если в области Г на плоскости хг = 0 действуют нагрузки р =
= {Рир2,Ръ), то вызванные ими перемещения находим, при-
применяя принцип суперпозиции. Так, например, перемещение
238 Г л- 5. Пространственные задачи эластостатики
«i(x) выражается формулой
(х) = | J { „, Fl,
(x\-l\)(x2-h)
_ / I _ 9,,\ Ul — Sl)(-^2 — J2)
(x,
5.14. Задача Миндлина
Задача Миндлина является обобщением задач Буссинеска
и Черрути. Она заключается в определении поля перемещений,
вызванного произвольно направленной силой Р, приложенной
в точке | упругого полупространства. Плоскость х3 = 0 свободна
от напряжений. Рассмотрим сначала частный случай, когда в
точке @, 0, h) действует сосредоточенная сила Р\ = 1 в поло-
положительном направлении оси хъ. Решение этой задачи можно
разбить на два этапа. Сначала рассмотрим действие в неогра-
неограниченном пространстве двух противоположно направленных
сил: силы Р\ = +\ в точке @,0, h) и силы Pi =—1 в точке
(О, О,—Л). Соответствующее этой нагрузке поле перемещений
обозначим через и0{, а напряжений через а°и.
Здесь мы воспользуемся формулами A4) § 5.7. Применяя
принцип суперпозиции, получим перемещения uf.
[«г
Здесь
) ' ° Х+ц
Определяя поле напряжений сг^, заметим, что в плоскости х3 = О
отлично от нуля только напряжение
Оо _ h /l-2v
5.14. Задача Миндлина 239
Второй этап решения состоит в определении поля перемещений
и\, вызванного действием нагрузки pz(xv хЛ =— стззC-^i» -^г» ^)
в плоскости *3 = 0 упругого полупространства. Однако это уже
известная задача, обсуждавшаяся в § 5.11 и 5.12. Следует вьн
числить функции
Q(x)=
Функция Ф гармоническая в области jc3>0 и удовлетворяет
граничному условию
Рассмотрим гармоническую функцию1)
где С и D — постоянные. Для лгз = 0 имеем
Полагая D = —ft, С = 2A — v), получаем соотношение
i, x2, 0) =
дФ
дх3
-h4 +^7L-tI^F4 • (S)
^2 j.a
Так как в обеих частях уравнения находятся гармонические
функции, то соотношение F) справедливо для полупростран-
полупространства Хз > 0. Интегрируя по хг, имеем
Теперь уже легко найти вторую гармоническую функцию
') А. И. Лурье, loc. cit. стр. 230.
240 Гл. 5. Пространственные задачи эластостатики
Зная функции Ф(х) и Q(x), определяем по формулам F)
§ 5.12 перемещения и\. Окончательно искомые перемещения
даются формулами1)
щ
)+(i2v)
R\ ) 4п^ [ дг дг
1 ~ v <т, хъ дФ
Здесь иг = «1 cos 0 -|- «г sin 0.
Как перемещения, так и напряжения имеют особенность в
точке @,0,/г); решение и\ является регулярной функцией.
Пусть теперь в точке @, 0, h) полупространства Хз > 0 дей-
действует сила Pi = 1, направленная по оси Х\. И здесь целесо-
целесообразно будет составить решение из двух частей.
Первая часть относится к двум сосредоточенным силам,
действующим в неограниченном упругом пространстве, причем
обе они параллельны оси х\. Первая из них действует в точке
@,0, К), вторая — в точке @,0,—h). Складывая решения и\
в неограниченном пространстве, убеждаемся, что в плоскости
Хз = 0 мы имеем а°, = а°32 = 0. Отличным от нуля останется
только нормальное напряжение
К напряженному состоянию о*}, следует добавить напряжение
a'ij, выбранное так, чтобы в плоскости хъ = 0 было
Следует решить, как и в предыдущем случае, задачу Бусси-
неска. Так как
дх3
2<'"v)
TO
дх%
Л / 1 \1Ч
,- (П)
А. И. Лурье, loc. cit. стр.. 230.
5.15. Упругое полупространство. Решение Тередзавы и Снеддона 241
Так как в обе части уравнения входят гармонические функции,
то последнее соотношение справедливо в области хг ^ 0. Ин-
Интегрируя по Хз, находим
i-]- 02)
Так как дО/длг3 = Ф, то
A3)
Перемещения и\ можно определить по формулам (8) § 5.12.
При h -> 0 мы снова получим решения задач Буссинеска и Чер-
рути для сосредоточенной силы.
Следует добавить, что поле перемещений и\ можно найти и
другими способами. Так, в случае действия сосредоточенной
силы в точке @, 0, h) по оси х3 для определения поля и\ можно
применить функцию Буссинеска (§ 5.5) или функцию Лява
(§ 5.4). Эта задача характеризуется осевой симметрией отно-
относительно оси х3- Во второй задаче перемещения и\ можно опре-
определить, используя функции Папковича.
Миндлин решил поставленную им задачу весьма оригиналь-
оригинальным способом путем суперпозиции в неограниченном простран-
пространстве нескольких соответственно выбранных решений с особен-
особенностями. Подробности этого подхода читатель найдет в трех
его работах1) и в монографии Вестергарда (см. список лите-
литературы).
5.15. Упругое полупространство.
Решение Тередзавы 2) и Снеддона 3)
Рассмотрим упругое полупространство 2^0, находящееся
под действием осесимметричной нагрузки. Решение этой задачи
было дано Тередзавой с использованием функции Лява. Тре-
Требуется решить бигармоническое уравнение
vVx(r, z) = 0 (I)
с соответствующими граничными условиями в плоскости 2 = 0.
Предположим, что интеграл от нагрузки на плоскости 2 = 0
ограничен. В этом случае перемещения и напряжения на бес-
4) Mindlin R. D., С. R. Acad. ScL, 201 A935), 536—537.
Mindlin R. D., Force at a Point in the Interior of a Semi-infinite Solid,
Physics, 7, № 5 A936), 195—202.
Mindlin R. D., Cheng D. H., /. Appl. Pfiys., 21 A951) [русский перевод:
сб. Механика, № 4 A4) A952)].
2) К. Terezawa, loc. cit. стр. 221.
3) Sneddon I. N., Lockett F. J., On the Steady State Thermoelastic Pro-
Problem for the Half-space and for the Thick Plate, Quart, Appl. Math., 18 A960).
242 Гл. 5. Пространственные задачи эластостатики
конечности (т. е. при (г, z) -»оо) будут стремиться к нулю, и
к уравнению A) можно применить преобразование Ханкеля.
Это преобразование определяется соотношениями
оо оо
г (a, z) = J % (г, z) rJQ {аг) dr, % (г, г) = | % (а, г) а/0 (аг) da. B)
о о
Умножим уравнение A) на rJ0(ar) и проинтегрируем по г от
О до оо:
оо
\{& ^J r = O. C)
о
Заметив, что
оо
г/о (ar) dr = - а2Х (а, 2),
сводим уравнение C) к обыкновенному дифференциальному
уравнению для преобразованной функции
t (a, z) = 0. D)
Решение этого уравнения имеет вид
X (а, г) = (А + azB) е~аг + (С + Оаг)еаг. Eа)
Так как на бесконечности напряжения и перемещения должны
исчезать, следует положить С = D = 0. Поэтому
Подставляя
%{r, z) = | х (а, г) a/0 (ar) <2a
о
в формулы для перемещений (формулы F) § 5.4)
u'=-tk> ^ = -U-+2(l-v)v2X., F)
получим следующие выражения:
G)
5.15. Упругое полупространство. Решение Тередзавы и Снеддона 243
Аналогично выражая напряжения (формулы (8) § 5.4)
через интеграл Ханкеля % (г, z) = \ % (a, z) а/0 (аг) da, получим
о .
следующие соотношения:
(9)
a2(l - v)^la2/i(ar) da-
Входящие в выражение для % и в производные этой функции
постоянные А, В следует определить из граничных условий.
Сначала рассмотрим случай вертикальных нагрузок
ozz(r,0) = -p(r), or2(r,0) = 0. A0)
Из второго граничного условия, которое можно представить
в виде
получим
A = 2vB.
Таким образом находим трансформанту
244 Гл. 5. Пространственные задачи эластостатики
и следующие формулы для напряжений:
оо
агг = 2|i J В (а) а3в~« [A - аг) /0 (ar) + Bv - 1 + аг) ±&Ц da,
О
ащ = 2ii \ В (а) аЧ~™ [2v/0 (аг) - Bv - 1 + аг) ±gl] da,
о L J A1)
оо
агг = 2ц J 5 (а) а3е-пг A + аг) /0 (аг) da,
о
оо
агг = 2\i,z J В (а) а4е-аг/] (ar) da.
о
Из первого граничного условия A0), принимая во внимание
первую из формул (9) и выражение
p{r)— j p{a)aJa{ar)da,
о
получим
где
оо
P (a) = / P (r) rJ0 (ar) dr.
a
Отсюда вычисляем величину В (а), а именно
В(а) = - Щ-
Подставляя В (а) в формулы A1), после указанного интегри-
интегрирования получим искомые напряжения.
Пусть в плоскости z = 0 задано следующее распределение
нагрузок:
Л2 _|_ 2С2
где ?>() — постоянная. Это нагрузка кольцевого типа со зна-
значением р@) = 2/t, в начале координат и р(оо) = 0 на беско-
бесконечности. Так как
то
5.15. Упругое полупространство. Решение Тередзавы и Снеддона 245
После подстановки В (а) в формулы A1) и вычисления несоб-
несобственных интегралов получим следующие выражения для на-
напряжений:
а,,=
A2)
где /? = [^ + (z+ ?)*]*•
Пусть теперь задана нагрузка
р{) ^
(О, г>0,
т. е. нагрузка интенсивности Р/(па2) распределена по кругу
радиуса о, так что Р является полной нагрузкой, действующей
на упругое полупространство. Тогда
Подставляя р(а) в формулу для В (а), а затем в формулы A1),
получим напряжения в виде несобственных интегралов. Однако
вычисление этих интегралов вызывает значительные трудности,
так что рассмотрим только случай сосредоточенных сил ин-
интенсивности Р. Тогда
_?, В(а) = - Р
Подставляя В (a) в формулы A1), получим после интегриро-
интегрирования следующие выражения:
Р Зг3 Р
Огг = —
2я
Г гBл^ + гг$ 1_1
L г2 (л2 + г2)'1' г2 Г
246 Гл. 5. Пространственные задачи эластостатики
Эти формулы выражают напряжения в цилиндрических коор-
координатах и соответствуют ранее найденным выражениям в § 5.11
для задачи Буссинеска.
Подставляя А и В в формулы для перемещений G), по-
получим
Р
1 (г2 + z2)Vj [г г (л2 + 22)'/г J J '
z2 | on N 1 1
^l^vT + ZA - V} (r^ + г2)'/' J •
р
Mr =
4яц
A4)
На границе z = 0 перемещения принимают следующие зна-
значения:
P(l-2v) P(l-v)
Мы видим, что при приближении к точке приложения сосредо-
сосредоточенной силы перемещения неограниченно возрастают. С дру-
другой стороны, сосредоточенная сила не имеет физического смыс-
смысла. Действие сосредоточенной силы можно рассматривать как
предельный случай действия нагрузки, равномерно распреде-
распределенной на малой поверхности границы.
Примем распределение нагрузок
где Р означает полную нагрузку. Это нагрузка кольцевого типа,
непрерывно распределенная на поверхности z = 0, которая при
возрастании параметра ? характеризует действие сосредоточен-
сосредоточенной силы. Имеем
— f ^—я- /о М йт = — е~<, В (а) = -
2я J (г2 + S2)/l 2я 4яца3
Подставляя эти выражения в формулы G) и (П), получим
.л
» [г* + (С
A6)
О __ Р (Зг + О (г + SJ + gr' v
2я [r2+(? + zJ]5^ '
5.15. Упругое полупространство. Решение Тередзавы и Снеддона 247
При 2 = 0 находим
.. P(l-v) 1
г 2лц (г2 +
2я (л2 + ?2)''
Мы видим, что перемещения uz остаются конечными в начале
координат для ? ф 0.
Рассмотрим далее случай, когда на поверхности z = 0 дей-
действуют только касательные силы, т. е. когда
<ггг = (г,0) = 0, azr(r,0) = -g(r). A7)
Из первого граничного условия получим
А = — B(l — 2v).
В этом случае напряжения выражаются через интегралы
агг = 2ц J В (а) а*е~™ [B - сю) /0 (or) + Bv - 2 + аг) -^-] da,
о
= 2р J 5 (а) сЛ?-* [2v/0 (аг) - Bv - 2 + аг) ^1] da,
ато
0 со A8)
стгг = 2цг J В (а) а+е-аг/0 (от) rfa,
о
оо
аГ2 2ц | 5 (а) а3е"аг A — аг) Jl (ar) da.
Предположим, что осесимметричная касательная нагрузка
имеет вид
Применяя к второму уравнению A7) преобразование Ханкеля,
т. е. умножая его на r)i(ar) и интегрируя по г от 0 до оо, по-
получим
т. е.
I (a) = ] g (г) г/, (аг) dr = { *\4l /, (ar) dr = ge-«
248 Гл. 5. Пространственные задачи эластостатики
Подставляя В (а) = t,e~aZ/B\ia2) в формулы A8), находим на-
напряжения в замкнутом виде
A9)
з2п~1
Достаточно общий метод решения задачи об упругом полу-
полупространстве дал Снеддон1). Он основан на интегральном пре-
преобразовании Фурье по двум переменным, примененном к урав-
уравнениям в перемещениях, и приведении полученных уравнений
к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.
Если к системе уравнений в перемещениях
yttii + ke, t = 0, i=l, 2, 3, B0)
применить интегральное преобразование Фурье, определяемое
соотношениями
2, (<х„ а2( *з) = 4г J J «i (*i. Х2> *з)е' ia'x'+a^ dxl dx»
-co -co
oo oo
«* (*i, *a. *з) = 4г J J «i (ai' a2. *з)
— oo —oo
то получим систему обыкновенных дифференциальных уравне-
уравнений с независимой переменной х%
(D2 — а2) й1 — k {а\йх + а,а2ы2 + га,Ш3) = 0,
(D2 — а2) п2 — k (a2a,M! + а\й2 + Ш2?>й3) = 0, B2)
(D2 — а2) й3 — ^'^ («i"i + ct2«2 + i?»M3) = 0.
Здесь
Нетрудно проверить, что решением этой системы уравнении яв-
являются функции
Й1 = (Л, + aiP^3) е-«« + (Л| + aiP'jc3) ea\
22 = (Л, + ааРхз) «-«• + (^ + а2Р'х3) е^, B3)
из = (Ai — iaPx3) e-«- + (Л3
1) I. N. Sneddon, F. J. Lockett, loc. cit. стр. 241,
5.15. Упругое полупространство. Решение Тередзавы и Снеддона 249
Здесь At, A'i (/ = 1,2,3) — произвольные постоянные, а вели-
величины Р, Р' задаются выражениями
Р = ~«(fe + 2) ('1 + ** з)
Р' = а(Д2) М + а2Л2 + 1аЛ3).
Для упругого полупространства при исчезающих на бесконеч-
бесконечности перемещениях и напряжениях в соотношениях B3) и
B4) следует положить
A'i=0 и Р' = 0.
Применим преобразование к напряжениям
<*13 = М«1, 3 + «3, l). <*23 = Ц («2, з + «3, 2),
а33 = 2(аы3. з + Я («1,1 + «2,2 + «з, з)-
Тогда получим
а13 = ц(?>й, — /а,й3). 523 = ц (?>й2 — /а3й3), /(._ч
B5)
а33 = 2(j,Z)u3 + ^ (^«з — ta^i — ia2u2).
Подставляя формулы B3) в B5) и учитывая, что А'{ = 0, Р' = 0,
получим следующие зависимости:
ог|з = ц [— аЛ, — 2аа{Рх3 + щР — тИ,] е~ах>,
523 = ^ [ — а^2 — 2аа2Ял;з + а2Р — ia2Л3] е"а^,
5зз = ИI- * (k - О (а,Л, + а*Рх3 + а2Л2) + B6)
+ (й + I) (- аЛ3 - iaP + ia2Px3)] e~ax>.
Если в плоскости х$ = 0 действуют нагрузки
<*31 = Pi U]. *г)» <*32 = Р2 {Х\, Х2), Рзз = РЗ (*1. *2).
то для определения постоянных А\, А2, Л3 получим из системы
B6) систему линейных уравнений
ц (— аЛ, + щР — ia^Ai) = ри
ц (— аЛ2 + а2Р — т2Л3) = р2. B7)
ц [- i (k — 1) (a^j + а2Л2) + A + к) (- аЛ3 - /аР)] = р3.
Зная постоянные Ль Л2) Л3 и Р, из формул B3) получим транс-
трансформанты перемещений, а из формул B6)—трансформанты
напряжений. Остается выполнить обратное преобразование
Фурье.
j50 Гл. 5. Пространственные задачи эластосТатики
В частном случае вертикальной нагрузки (р{ = О, р2 = 0,
Рз Ф 0) из уравнений B7) получим
/I = Фз«2 д _ _ Ра I
Так, например, для трансформанты перемещения «3 в плоско-
плоскости дгз = 0 получим
Перемещение «з(*1| х2,0) получим в виде несобственного ин-
интеграл a
«,<„,*„<» =-ill J J Ate^7_
5.16. Формулы Бётти для дилатации
и составляющих вектора вращения
Рассмотрим находящееся в равновесии тело V. Пусть в
м теле действуют массовые силы, а на ограничивающей его
п°верхности А заданы неоднородные граничные условия. В точ-.
Ке \ этого тела следует определить дилатацию е(%), 3-е V. Для
РеШения этой задачи используем теорему взаимности Бетти
J X'tu,dV+ j р\тdk=\ Xiu'idV+j pm'idA. A)
V A V A
кассовые силы X,-, нагрузки р% и перемещения щ относятся к
Сформированному телу V. В то же время система со штрихами
ЦУсть относится к неограниченной области, в точке \ которой
НаХодится единичный центр дилатации. Его действие вызывает
области V перемещения и\, а на поверхности А — составляю-
составляющие вектора напряжения a'jitii=p'i. Действие центра дилатации
MbI подробно обсуждали в § 5.8. Там поле перемещений и\ было
ВЬ1Ражено формулой
м' = "~ 4я(А + 2ц) ~д^~< ^
где
ак как дилатация e' = ui, i равна нулю, то составляющие век-
°Ра напряжения на поверхности А принимают вид
pi = И. («i, / + и}, t) Щ- C)
5.16. Формулы Бетти для дилатации и вектора вращения 251
Подставляя формулу B) в C), получим
/ ""/ д dR~l " д dR~X
Pi 2я(А + 2ц) dXj дх1 ~ 2я (Я + 2ц) да
Здесь
+ п^
является производной по нормали к поверхности А.
Представим себе центр дилатации в точке | в виде трех двой-
двойных сил (без момента), направленных параллельно осям систе-
системы координат. В соответствии с рассуждениями § 5.8 двойные
силы можно выразить с помощью массовых сил следующим
образом:
7- E)
Подставляя Х\ в уравнение A) получим
-J ¦5§-a(x-g)a,(x)dV(x)+ \p'imdA =
V ' А
jj F)
Преобразуем левую часть уравнения F), интегрируя по ча-
частям и применяя теорему Гаусса — Остроградского:
Поверхностный интеграл равен нулю, ибо \фА, а объемный
интеграл в правой части последнего уравнения дает дилатацию
в точке | со знаком минус. Подставляя в правую часть уравне-
уравнения F) соотношения B) и D), окончательно получим
- An (К + 2ц) е (|) = J Xt (х) и» (х, |) dV (x) +
у
+ J [р, (х) «? (х, I) - Pi (х, |) и, (х)] dA (x). G)
А
Здесь мы ввели обозначения
252 Гл. 5, Пространственные задача эластостатики
Формула G) была выведена Бетти. Она позволяет определить
дилатацию в точке | по известным функциям Uj и pi на поверх-
поверхности А. Эту формулу можно получить и другим способом, а
именно путем соответствующего преобразования формул Со-
мильяны (формулы A2) § 4.13). Для перемещений uh{%) мы
получили там следующее соотношение:
v
+ j \р{ (х) U\k) (х, I) - pf (x, I) a, (x) | dA (x). (8)
A
Функция U\k}(x, I) является составляющей тензора перемеще-
перемещений Грина. Она выражает перемещение в точке х в направле-
направлении, параллельном оси х,, вызванное действием сосредоточен-
сосредоточенной силы, приложенной в точке | и направленной параллельно
оси Xh- Эта функция относится к неограниченной упругой об-
области и выражается формулой (§ 5.7, формула A8))
UT{x,i) = A[B^--{R),lk\, (9)
где
A = Д + >*
8яц (А + 2ц) '
Вычислим дивергенцию обеих частей равенства (8). Таким об-
образом мы получим формулу для дилатации
«(§)«/ Xt (x) -A- С/'^х, I) <W (x) +
v to '
+ f Гр, (х) -^- ?/^(х, ?) - и, (х) -^-pi*1 (x, 5I dA (x). A0)
Учитывая, что
, ад-1 д д ад
Л R
д I n "а и u vj\ | 1 ад
4л (А + 2ц)
<з ад-1
<3|fe 4я (А + 2ц) дп dxf '
без труда устанавливаем, что уравнение A0) переходит в урав-
уравнение G). Перейдем к вычислению составляющих вектора вра-
вращения (п{ = ^ 6ijkuk, I B точке |s У.
Предположим, что в точке | неограниченного пространства
действует единичный сосредоточенный момент, направленный
5.16. Формулы Бетти для дилатации и вектора вращения 253
параллельно оси х3. Этот момент в соответствии с рассужде-
рассуждениями § 5.8 вызывает следующее поле перемещений:
«'—aSjr «"(*-')¦'• (П)
Здесь мы имеем дело с векторным полем
Поле перемещений и\ характеризуется нулевой дилатацией, т. е.
«;_, = о.
Составляющие вектора напряжения р на поверхности А
определяем по формуле
Pi = °ПП! = Iх («I, / + "/, ,) «/• A3)
В результате вычислений получим следующие составляющие:
д a . a 1 в s \i „-I
д д . д
д I д
Массовые силы, выражающие действие сосредоточенного мо-
момента, можно определить так:
X\ = -±^6(x-l), ^ = i.JL-6(x-S), X'3 = 0. A5)
Подставляя формулы A2), A4) и A5) в уравнения взаимно-
взаимности A), получим после простых преобразований
- 8яцсо3Ц) =\[Хг (х) -^ - ^х)-^-] dV (x) +
"(x)
). 06)
254 Гл. 5. Пространственные задачи эластостатики
Здесь
Это формула Бетти для составляющей соз вектора вращения.
Формулы для составляющих <bi и <й2 получим из формулы A6)
циклической перестановкой индексов 1, 2, 3.
Формулу A6) можно также вывести непосредственно из
формулы Сомильяны. Для этого следует формулу (8) выпи-
выписать для k — 1, а затем для k = 2, полученные формулы про-
продифференцировать и вычесть одну из другой по схеме A7). Чи-
Читатель может убедиться, что при помощи формул (9) после ряда
преобразований получается уравнение A6).
5.17. Метод Бетти интегрирования дифференциальных
уравнений эластостатики1)
Рассмотрим однородные уравнения эластостатики
V2«f + *e.f = O, k = \ + y, x(=V. A)
Так как дилатация е в отсутствие массовых сил является гар-
гармонической функцией, уравнения A) можно привести к виду
у2(ы, + у*^) = 0. B)
Поэтому Ui = — y exi является частным решением уравнений
Навье A).
а. Рассмотрим сначала уравнения в перемещениях
V2«< keti, x e V, C)
с граничными условиями
и, = Ut (x), xei D)
Если бы дилатация была известна в каждой точке хеУ, то по
известной правой части уравнения C) мы бы решили уравнение
Пуассона с граничными условиями D). Функцию е мы можем
определить из формулы Бетти (уравнение G) предыдущего па-
параграфа)
г+ж \ [Pi W u?(х-i} - tf (х>?) ui (x)idA (x)> <5)
А
где
дп дх{
Betti E,, Teoria delta elasticita, It Nuovo Cimento, ser. 2, 6—10 A872).
5.17. Метод Бетти интегрирования уравнений эластостатики 255
Эта формула позволяет определить дилатацию е, когда на по-
поверхности А заданы не только перемещения ии но и нагрузки
Pi. Для исключения функций pt нужно решить следующую вспо-
вспомогательную задачу.
Рассмотрим систему уравнений Навье
V2u' + ke'tl=0 F)
с граничными условиями
и] = и\ на А. G)
Применим к функциям и1 и и] теорему взаимности
- J p\ui dA = J p,u\ dA, p] = a]inj.
А ' А
Это уравнение ввиду условия G) можно представить в виде
$ p]utdA= $ Plu»dA. (8)
А А
Исключая из уравнений E) и (8) величину р^, получим сле-
следующую формулу для дилатации:
В подинтегральном выражении известны функция р\ — р® и
функция Ui как заданное граничное условие на А. Очевидно,
чтобы знать р*, требуется решить систему уравнений F) с
граничными условиями G). В силу характера перемещений
(ы?= д'Я), решение этой системы уравнений является более
простым, нежели решение системы уравнений C) с гранич-
граничными условиями D).
Зная теперь дилатацию в каждой точке области V, мы мо-
можем путем решения уравнения Пуассона с учетом граничных
условий D) определить поле перемещений «,-.
б. Рассмотрим далее уравнения в перемещениях
V2Ui + 4( = 0, xe=K, A0)
с граничными условиями (формула (8г) § 4.2)
ди.
Pi — ОцП; = 2ц -^- + ken, + 2\юпп1. A1)
Это условие можно представить в виде
ди. 1
^^ *еЛ. A2)
256 Г л- 5. Пространственные задачи эластостатики
Если бы дилатация е и составляющие тензора вращения от-
отбыли известны, то решение уравнений A0) сводилось бы к ре-
решению системы уравнений Пуассона с граничными условиями
типа Неймана (условия dujdn = fi) .
Решим первую часть задачи, а именно определим дилата-
цию. Воспользуемся формулой E). В этой формуле известными
являются функции pi на А, а неизвестными функции «г- на А.
С целью исключения перемещений и,- рассмотрим следую-
следующую задачу. Решим систему уравнений
+ fee"=0 A3)
с граничными условиями
р;=р<> на А. A4)
Применяя теорему взаимности к перемещениям и{ и и}", полу-
получим уравнение
I p*;UldA=
Учитывая граничное условие A4), приводим последнее уравне-
уравнение к виду
\p]uidA= jprfdA. A5)
Исключая из формул E) и A5) функцию /^ыг, окончательно
получим формулу
U j A6)
Из этой формулы по известным функциям pt и и" — и\ можно
определить дилатацию в области У и на поверхности А. Опре-
Определение е на поверхности А необходимо, ибо эта функция вхо-
входит в граничные условия A2). Для решения уравнений Пуас-
Пуассона A0) с условиями A1)
следует еще найти составляющие тензора вращения coij, входя-
входящие в граничные условия A2).
Мы объясним здесь порядок действия для определения толь-
только одной составляющей вращения, а именно функции со3 = «2|.
Используем формулу A6) предыдущего параграфа, исключая
5.17. Метод Бетти интегрирования уравнений эластостатики 257
из нее массовые силы и записывая сокращенно
8яцсо3 (|) = J (р|И; - р\щ) dA. A7)
л
Функции и\ и р, имеют те же самые значения, что и в § 5.16.
Следует еще из уравнения A7) исключить перемещения щ.
Здесь возникает некоторая трудность, основанная на том, что
нагрузки р\ на А не образуют самоуравновешивающейся си-
системы сил. Для выполнения условий равновесия следует вве-
ввести в произвольной точке | второй центр вращения, в котором
приложен момент с вектором, параллельным оси х3, но направ-
направленным противоположно. Обозначим поле перемещений, вы-
вызванное действием этого сосредоточенного единичного момента,
через п\:
1 !
8яц { дхг '
где
В результате получим
8лц [соз (I) ~ юз (I)] = J [Pt К - «9 - (р'( - р\) ut\ dA. A8)
A
Для исключения перемещений и,- решим еще систему уравне-
уравнений Навье
У2Й; + 6ё,; = 0 A9)
с граничными условиями
Pi = P'i-P'r B0)
Применяя к полям перемещений щ и щ теорему взаимности,
получим
J pluldA= J pfiidA.
A A
В силу граничного условия B0)
j(p'l-p't)uldA= \ptutdA.
A A
Таким образом, формула A8) для составляющей юз вектора
вращения примет вид
8яц[созф-со3A)]= /рД«;-«;-й^Л. B1)
А
9 В. Новацкий
258
Гл. 5. Пространственные задачи эластостатики
нал°гично можно определить остальные составляющие тен-
3оРа вращения. Тогда легко найти правую часть граничного
Условия A2).
___ "ам остается решить систему уравнений Пуассона V2», =
^е, i с граничными условиями A2) типа Неймана. Во всех
рассуждениях здесь предполагается, что решение вспомогатель-
Ых Задач является более простым, чем решение основных
задач.
Нщ$<е Мы дадим применение метода Бетти к решению задачи
УпРугом полупространстве1). Предположим, что в плоско-
ти х3 =; о, ограничивающей упругое полупространство, заданы
еремещения щ. Определим сначала дилатацию в точке | по
Ф°Рму (9):
+ 2ц) е (I) = J J [р° (х, |) - р\ (х, Щ и, (х) dxx dx2. B2)
этой формуле
Где dxi
R2 = (*! - Е,J + (х2 - У2 + (х3 - Ы2.
а^_ Рак границей упругого тела здесь является плоскость
3 ¦ "i то, в силу
1==c°s(n, xl) = 0, n2 = cos(n,.x2) = 0, n3 = cos(n, х3) = — 1,
имеем
Р^-^Т$ГЪ- B3)
НагРУзки
Pi = *>/=^ К / +"/, 0 я/ + *еЧ
принимают вид
Pi = - V- («I, з + "з, i). Р2 = ~ V- («2, з + "з*. 2).
Р; = - 2ц< з - Л («I., + ul 2 + «'_ 3). B4)
bioepeivj точку |' как зеркальное отражение точки \. Квадрат
Расстояния точки %' = \%\,Ъ, — U) от точки х= {хих2,х3) обо-
3«ачим через
р2 = (д:, - W2 + (*2 - hJ + (*з + ?зJ-
') Cerruti V., Mem. fis. mat. Accad. Lincei, Roma A882).
5.17. Метод Бетти интегрирования уравнений эластостатики 259
Для определения дилатации е при заданных на границе пере-
перемещениях ищем такое поле перемещений и*, которое в плоско-
плоскости х3 = 0 сводится к
Легко убедиться путем подстановки в уравнения F), что ре-
решением этих уравнений, удовлетворяющим заданным гранич-
граничным условиям, являются функции
4 9 г
~ дх, + Z X + Зц Хз дх, дх3
r
3
3 ц 1
Знание перемещений «J позволяет определить функции р] по
формулам B4):
Л + Зц
3 Р
Зц дх\
В плоскости Хъ = 0 соотношения B3) можно представить в виде
Здесь мы использовали зависимости /?(х, |)=р(х, \) при jc3 =
= 0. Из сравнения формул B7) и B8) вытекает пропорцио-
пропорциональность величин р'. и р] в плоскости х3 = 0:
Последнее соотношение позволяет значительно упростить фор-
формулу для дилатации B2). Получаем
C0а)
е (?)=1ЩТЫ11 «* (х) ^Г [/? (х'|)] Л1^- C0а
Учитывая, что dR~x\dXi = — dR~lldlt, соотношению C0а) мож-
можно придать несколько иной вид, а именно
260 Гл. 5. Пространственные задачи эластостатики
Введем новые функции
придавая уравнению C06) следующий вид:
е^ я (Я+ 3ц) <Э|3 •
Функции Li(|) являются гармоническими, т. е.
VZ, СЮ—J J «I(х) V» [^] *, *, = 0, V» = 44•
Функции L{(|) представляют собой потенциалы простого слоя.
Здесь щ(х) — плотности слоя. Воспользуемся теоремой о нор-
нормальной производной потенциала простого слоя. Устремляя
точку | к пределу |3 = 0. получим
lim 4т- = - 2лн* Ei. is. 0). C2)
5,=о+ "S3
Функция Ф(|) как сумма производных функций Lj также яв-
является гармонической функцией по переменным |ь %2, |3.
Нам остается решить систему уравнений A) или B).
В уравнении B) дилатация известна, является гармонической
функцией, заданной уравнением C1). Записывая уравнение в
переменных |ь |2, |з, имеем
= 0, A-l+J. C3)
или
Y2 \u, (I) — ц + я t, —
Последнему уравнению, в силу гармоничности функции Ф, мож-
можно придать вид
МКЙ^Г^О. C4)
Функции
ц+Я t дФ
Ф«— &3 Ж
являются гармоническими в области |3 > 0- На границе |3 = 0
они принимают значения
Ф* (ii. is. 0) = и, (|„ |2, 0) = - -^ 1ш! -|^-. C5)
5.18. Упругий слой 261
Из теории функций известно, что гармонические функции, удов-
удовлетворяющие одним и тем же граничным условиям, совпадают
во всей области. Поэтому
Ф.-(ёь ёа» 5з) — — ^ -Щ% • C6)
Отсюда вытекает, что
Переходя к координатам хи имеем
Порядок действия для отгределения перемещений таков. Задан-
Заданные функции перемещений щ на границе х3 = 0 подставляем в
формулы для функций Ц. Далее образуем функцию Ф, а пере-
перемещения определяем по формулам C8).
5.18. Упругий слой
Упругая среда, ограниченная двумя параллельными плоско-
плоскостями, называется упругим слоем. Обозначим толщину слоя
через 2h. Поместим начало координат в срединной плоскости
слоя так, чтобы срединная плоскость совпадала с координат-
координатной плоскостью х3 = 0.
Определение напряженного состояния в слое сводится к ре-
решению системы уравнений
цУ2и, + (А + ц)е,г + ^ = 0 (I)
в области |*з| < А.
К системе уравнений следует добавить граничные условия.
Их можно выразить в перемещениях, в нагрузках, либо при-
придать им характер смешанных граничных условий.
Предположим, что массовые силы в слое равны нулю, а гра->
ница слоя находится под действием нагрузок р. Пусть на гра-
границе х% = h заданы нагрузки
x3 = h: o31 = o+(xv x2), o32 = o+(xv x2), аза = а+(х1, х^, (?)
а на границе х3 = —h — нагрузки
Ч h' аЗ! = аз1 (*!» **)' а32 = °32 (*1 ¦ *2)> a33 = °33 (XV X2)- C)
Здесь функции а3\ (хг, х^, о^ (хг, *2), ... являются заданными
функциями точек границы.
262 Гл. 5. Пространственные задачи эластостатики
Указанную выше краевую задачу удается разделить на две
более простые краевые задачи. Введем величины
<7i = Т (аз1 — аз1). <?2 — Т (аю — аз1)> <?з = у (азз + аз^)>
S! = У К + аз1). S2 = Т К + a3l). S3 = Т Кз — <*3~з);
следует решить отдельно две краевые задачи, а именно:
a) г <= ± h: а31 = ± <7i. °32 = ± <72. <*зз = <7з»
б)г=±Л: a3i = Si, <T32 = s2. <Тзз=±$3'
Задача а) характеризуется симметричной относительно плоско-
плоскости лгз = 0 нагрузкой, краевая задача б)—антисимметричной
относительно этой плоскости нагрузкой. В случае краевой за-
задачи а) перемещения щ и и2 являются четными функциями, а
Из — нечетной функцией по переменной х3. В срединной плоско-
плоскости *3 = 0 имеем
dui Л диг л л ,.,
^7 = °' -д? = 0> "з = 0. D)
Срединная плоскость будет растягиваться или сжиматься.
В краевой задаче б) перемещения щ и и2 являются нечет-
нечетными функциями, а «з — четной функцией переменной х3. В ере-
динной плоскости
«, = 0, «2 = 0, -fg—O. E)
Срединная плоскость будет изгибаться.
Решение задачи об упругом слое формально не вызывает
больших трудностей. Сюда можно применить методы, использо-
использованные для решения задачи об упругом полупространстве, вво-
вводя функции Папковича — Нейбера, Галеркина и т. д.
В дальнейшем займемся граничными условиями типа а).
Сначала рассмотрим влияние осесимметричных нагрузок, дей-
действующих нормально к границе. Задачу этого типа решим про-
простейшим способом, применяя метод Лява. Следует решить би-
гармоническое уравнение
V*x(r, 2) = 0 F)
с граничными условиями
z=±h: azz = -p{r), <rzr = 0. G)
Напряжения azz и azr выражены через функцию %. Согласно
формулам A0) § 5.4, представим граничные условия G) в виде
S.I8. Упругий слой
Предположим, что интеграл от нагрузки р(г) на плоскости
z = ±h ограничен. В этом случае напряжения и перемещения
будут стремиться к нулю при г—>-оо, а для решения уравнения
F) можно применить преобразования Ханкеля. Это преобразо-
преобразование определяется соотношениями
оо оо
X(a, z) = J х [г, г) г/0 (аг) dr, х {г, г) = | X (а, z) а/0 (аг) da. (8)
о о
Применение интегрального преобразования к бигармоническо-
му уравнению F) приводит*к обыкновенному дифференциала
ному уравнению
(¦|Jr-a2Jx(a, 2) = 0 (9)
с решением
X (а, z) = A sh az -4- Baz chaz -\- С ch az -4- Daz sh az, A0)
Подставляя x(a.z) в соотношения (9) и A0) § 5.4, выразим
перемещения и напряжения в виде интегралов Ханкеля. Coot-
ветствующие формулы были даны в § 5.15.
Рассматриваемые здесь нагрузки симметричны относительно
плоскости 2 = 0. Напряжение azz является четной функцией, а
перемещение uz—нечетной функцией переменной г. Из фор-
формул F) и (8) § 5.15 вытекает, что функция % должна быть не'
четной относительно переменной z.
В соотношении A0) следует положить С = 0, О = 0. По-
Поэтому
X (а, 2) = A sh az + Baz ch az. A1)
Коэффициенты Л, В, будучи функциями параметра а, опреде-
определяются из граничных условий. С этой целью выразим нагрузку
р(г) через интеграл Ханкеля
ао оо
Р @ = J" р (а) а/0 (аг) й?а, р (а) = J р (г) г/0 (аг) rfr. A2)
о о
Применяя интегральное преобразование к граничным условиям
G), получим систему уравнений
264 Гл- 5- Пространственные задачи эластостаТики
Из этих уравнений находим величины Л и В. Таким способом
определяется функция % (а, г). Применение к формулам G)
и (9) § 5.15 обратного преобразования приводит к определению
перемещений и напряжений. Они выражаются в виде несоб-
несобственных интегралов. Взятие этих интегралов вызывает, вообще
говоря, значительные трудности и требует обращения к чис-
численным методам.
В § 5.15 мы изложили метод Снедд'она для упругого полу-
полупространства. Незначительная модификация позволяет приме-
применить его к решению задачи об упругом слое.
В § 5.15 к уравнениям в перемещениях было применено
интегральное преобразование относительно переменных х\ и х2.
Была получена система трех уравнений (уравнения B2) § 5.15),
которые можно записать сокращенно одним уравнением
=0, /,/=1,2,3, A4)
где
Решением этой системы уравнений являются функции
й/ = (A. -f Р'а^з) ch ах3 + (Л, + Pa fa) sh ax3, / = 1, 2,
й3 = (Aj + iaP'x3) sh axi + (A3 + iaPx3) ch ax3,
где
P' =
Преобразуя напряжения а\з, стгз и Стзз, получим следующие вы-
выражения:
(a^j /, 3 [- Ра,) sh ал:3 + 2Раа^3 ch ал;3 +
+ (аА\ — iaiAt, + P'ai)ch a^3 + ^Р'аахх3 sh a*3.
— = (аЛ2 — /а2Л3 + Ра2) sh ал:3 + 2Раа2л;3 ch ал;3 +
+ (аЛг — га2Л3 + Р'а2) ch ах3 + 2Р'аа2х3 sh ах3,
i«L = - г (Л — 1) [(Л,а, + Л2а2) ch aA:3 + Pa2*3 sh ал:3] +
-f A + k) [Asa ch ax3 + iaP ch ax3 + m2A;3P sh ал;3] —
— i(k— 1) [(Л'а, + Л^а2) sh a*3 + Р'а2л;3 ch ca3] +
+ A + k) [ Л3а sh ахг + iaP' sh ал:з + ia2x3P' ch ал;3].
5.19. Бесконечный и конечный цилиндр 265
Предположим, что заданы одинаковые граничные условия в
плоскостях 13 = Лил;з = —h, симметричные относительно пло-
плоскости х3:
tf3i = Pi(*i> x2), о32 = р2(х1, х2), о33=р3(х1, х2). A8)
В силу таких нагрузок напряжения cr3i, <тз2 являются нечет-
нечетными, а напряжения <тзз-? четными относительно переменной *3.
Величины А( ((=1, 2, 3) и Р' равны нулю. Поэтому доста-
достаточно решить систему уравнений
(аЛ, — т,Л3 + Ах,) shaft + 2Paa{ h ch ah = —,
(аЛ2 — m2 Л3 + Pa2) sh ah + 2 Azc^/z cha/i = —,
— t F — 1) [(Л,а, + Л2а2) ch аЛ + Pa2ft sh a/i] +
+ A + k) [(Лза + iaP) ch aft + ia2hP sh a/i] = &-.
Из уравнений A9) при помощи соотношений A6) можно опре-
определить постоянные Л,- ((" = 1, 2, 3), а из формул A5) и A7)
трансформанты перемещений и напряжений.
В случае антисимметричных относительно плоскости х3 = О
нагрузок обращаются в нуль величины Л,-, Р и отличными от
нуля остаются величины A'i и Р'.
Применение обратного интегрального преобразования Фурье
завершает решение задачи.
5.19. Бесконечный и конечный цилиндр
Рассмотрим бесконечный цилиндр, нагруженный по боковой
поверхности. Пусть ось z совпадает с осью цилиндра, а на-
нагрузка на боковой поверхности зависит только -от перемен-
переменной z. В таком случае мы имеем дело с осесимметричным на-
гружением.
Для решения этой задачи воспользуемся функциями Папко-
вича — Нейбера. В прямоугольной системе координат они имеют
вид
R-4>) —4A—v)*, A)
где функции ф и i|>,- являются гармоническими.
В случае цилиндра удобнее воспользоваться представлением
формулы A) в цилиндрических координатах (r,Q,z). Обозна-
Обозначим составляющие вектора -ф в этих координатах через
¦ф = (ifir, фе, tyz) ¦ Заметим, что
ifij = tyr cos 9 — г|зе sin 9,
^e cos 6;
266 Гл. 5. Пространственные задачи эластостатики
Отсюда вытекает следующая зависимость:
Ь+^2 = №г + ^в)е1в. B6)
Так как функции г|зь \р2 гармонические, а функции г|зг и гре в
осесимметричной задаче зависят только от переменных г, г, то
функции г|згег'е, ifee1'9 являются гармоническими. Поэтому имеем
уравнения
2e 2e = 0. C)
Скалярное произведение в A) примет вид
что легко проверить, используя соотношение Bа).
Итак, составляющие вектора перемещения (иг, ив, uz) можно
выразить в следующем виде:
= —4A—v)i|>e, D)
В случае осесимметричного напряженного состояния, которое
мы здесь будем рассматривать, «е = 0, а следовательно, и г^е =
= 0. При определении частных решений задачи будем исполь-
использовать функции ф и ifir, полагая ifiz = 0.
Функции г|5г и ф должны удовлетворять уравнениям
^ f^^^ = 0. E)
Введем новые обозначения — безразмерные координаты
г у г
где а — радиус цилиндра. Таким образом получим уравнения
5.19. Бесконечный и конечный цилиндр 267
Выполним в этих уравнениях преобразование Фурье, опреде-
определяемое соотношениями
оо
— 1 г
¦ф(я, р) =—-— ty(x, 0е ^d^t
У 2я J *
G)
ф(^, ?) =—r=- ijh*, P) е~'р^ с?р и т. д.
V 2л J
Тем самым сведем систему уравнений E'), F') к системе обык-
обыкновенных дифференциальных уравнений
Решениями этих уравнений являются функции
В2Ко($х). A1)
Здесь /п(рл:) =i~"/n(ipA:) — модифицированная функция Бесселя
первого рода от аргумента $х, а Ко($х) и Ki{$x) —модифициро-
—модифицированные функции Бесселя третьего рода (так называемые функ-
функции Макдональда) нулевого и первого порядка соответственно.
Решения A0), A1) справедливы для общего случая пусто-
пустотелого цилиндра. Для сплошного цилиндра следует положить
Л2 = В2 = 0, ибо функции Ki($x) и Ко{$х) неограниченно воз-
возрастают при ^->0.
Подставим функции г|э и <р0 в формулы для перемещений D).
Полагая г|з2 = 0, получим
Применим к этим соотношениям преобразование Фурье
М*. P) = 4P6-C-4v)$ + *?, *'=-g-,
A3)
йг(х, Р) =--Ф(Фо + *Ф).
В эти формулы входят первые производные функций -ф и <р0по а:.
При использовании решений A0), A1) необходимо помнить о
268 Гл. 5. Пространственные задачи эластостатики
соотношениях
Остается выразить трансформанты напряжений через функ-
функции ф0 и "ф. Воспользуемся формулами для напряжений в осе-
симметричной задаче
n I duz ¦ v \ / dur
диг
дг
Применяя к этим соотношениям преобразование Фурье и ис-
используя формулы A3) и уравнения (8), (9), получим
2ц
A5)
аагг
2р.
- ф [х& {х) - A - 2v) $ (х) + фг (х)].
2^ - ^
Рассмотрим частный случай осесимметричной деформации
сплошного цилиндра. Пусть при х = 1
iS)= — P(b). ^ггA. b) = 0. A6)
На боковой поверхности цилиндра действует только нормаль-
нормальная нагрузка, изменяющаяся в направлении оси ?. Предполо-
оо
жим, что интеграл J \p(Q\dt, ограничен.
Так как мы имеем дело со сплошным цилиндром, то примем,
что
,) — ах10{рх) а. (I/)
Применим к граничным условиям A6) преобразование Фурье
и используем первое и четвертое соотношения A5) и A7).
S.19. Бесконечный и конечный цилиндр 269
В результате получим систему уравнений
Л, [C - 2v) р/0 (Р) - D A - v) + Р2) /, (Р)] +
Отсюда
fl /о(Р)-2A-у)р-'Л(Р)
) • °i— 2ц Д(р)
А (Р) = Р2 [4 (Р) -1] (Р)] - 2 A - v) 1\ (р),
p(P) L
—оо
Зная постоянные Аи Л2, можно найти напряжения и перемеще-
перемещения. Итак,
A8)
иг{х, 0 =
где
р/0(Р)Л(Р*)-Р*Л(Р)МР*)],
Рассмотрим преобразование
cos р? ds+?k 1р (?) sin к ^- B0)
Отсюда видно, что функция р(Р) является комплексной, в
то время как нарузка р(?) является по предположению дей-
действительной.
270 Гл. 5. Пространственные задачи эластостатики
Если функция р(?) четна [р{?,) = р(—С)], то второй интеграл
в B0) равен нулю. Поэтому для четной функции р(?) = РЛ?)
имеем
Если функция р(?) = Ра(?) нечетна \ра{1) = — ра(— ?)], то
в B0) исчезает первый интеграл и остается
оо
дв (р) = —-L=- f />в (С) sin pg d?. B2)
Подставляя
в формулы A8) и учитывая A9) и известное соотношение
$-W = cosP? — г sin P?,
получим для случая нагрузки, симметричной относительно пло-
плоскости ? = 0, следующие выражения:
ur (x, ?) = у= Re J ps (Р) # (*, Р) (cos PC — г sin Р?) dp =
со
= у 4 J Р*(Р)^(*. Р) cos PUP.
f ~ 1 B3)
«г (х, 0 = -^ Re г J Л (Р) V (*, р) (cos K-* sin P?) rfp =
V — оо '
оо
= |/| J ^,<P) V"(jc, P) sin PUP.
о
Если нагрузка антисимметрична относительно плоскости ? = 0,
имеем
со
ц,(х, 0 = |/ 4 J Дв(Р)С/(*. P)sinP?dp,
B4)
«г (*, С) = - "|/|- J Ра(Р) V (X, Р) COS P? dp.
5.19. Бесконечный и конечный цилиндр 271
Аналогично исследуется касательная нагрузка <7(?), действую-
действующая на боковой поверхности. Граничные условия принимают вид
х=1: а„A-, 9 = 0, о„A,9=-<7(9. B5)
Рассмотрим далее конечный цилиндр длиной 2L. Пусть пло-
плоскость ?= 0 проходит через середину его высоты. На боковой
поверхности цилиндра действует нормальная нагрузка />(?).
Решение поставленной здесь задачи составим из двух частей:
решения и'г, и'г для бесконечного цилиндра и дополнительного
решения, интегрально удовлетворяющего граничным условиям
на концах цилиндра.
Пусть на боковой поверхности бесконечного цилиндра дей-
действует периодическая нагрузка
B6)
Эту задачу решим, применяя конечное косинус-преобразование.
Не вдаваясь в подробности выкладок, дадим сразу конечный
результат:
osP^, B7)
sin PfcC. P* = -^. B8)
Здесь и°г представляет собой радиальное перемещение для бес-
бесконечного цилиндра, вызванное постоянной нагрузкой —ро-
Легко заметить из уравнения B8), что и'г(х, ± /) = 0. В силу
формул A5) убеждаемся, что a'rz{x, ±/) = 0.
Решение B7), B8) является точным решением для конеч-
конечного цилиндра длиной 21, закрепленного на торцах ? = ±/.
В этих плоскостях исчезают осевое перемещение и касательное
напряжение:
и'г(х, ±/) = 0, а'гг(х, ±/) = 0. B9)
Нормальное напряжение o'zz (x, ± I) отлично от нуля.
Если конечный цилиндр на торцах ? = ±/ должен быть
свободным от напряжений, то к напряжениям a'(f следует доба-
272 Гл. 5. Пространственные задачи эластостатики
вить напряжения а",, такие, чтобы в плоскостях ? = ± / было
Решение этой задачи достаточно сложно и приводит к беско-
бесконечной системе уравнений1). Для решения этой задачи можно
применить также «класс однородных решений», используя соб-
собственные функции однородной задачи2).
Однако можно ограничиться приближенным решением, осно-
основанным на выборе напряженного состояния о'!, в виде одноос-
одноосного напряженного состояния в цилиндре. Если через Z обо-
обозначить равнодействующую напряжений a'zz, т. е. положить
а 1
Z = 2л J а'г/ dr = 2па2 J a'zzx dx,
то напряженное состояние а", сводится к нормальному напря-
напряжению
во всем цилиндре.
Это предположение в силу принципа Сен-Венана (о котором
речь пойдет в § 5.22) справедливо для сечений ? = const, уда-
удаленных от границы ? = ± /. Представленное здесь решение,
основанное на суперпозиции состояний e'tj и а"} из формулы
C1), будет тем ближе к действительности, чем больше отноше-
отношение L/a = /.
Читателю предлагается обратить внимание на несколько ра-
работ, относящихся к задаче о цилиндре3). Особенно интересна
обширная работа Файлона, содержащая много числовых дан-
данных и графиков. Следует упомянуть также и польские работы.
Работа Олесяка4) посвящена интересной контактной задаче,
') Kaliski S., The Dynamic Non-steady Axially Symmetric Problem of a
Cylinder, Arch. Mech. Stos., X, № 6 A958).
2) А. И. Лурье, loc. cit. стр. 230.
3) Filon L. N. G., On the Elastic Equilibrium of Circular Cylinder under
Certain Practical Systems of Loads, Phil. Trans. Roy. Soc. London, ser. A,
198 A902).
Прокопов В. К., Осеоимметрическая задача теории упругости для изо-
изотропного цилиндра, Тр. Ленинградского политехнического института, № 2,
1950.
Tranter С. J., Craggs J. W., Phil. Mag., ser. 7. 36 A945).
4) Olesiak Z., Stan naprezen i odksztaJceii w rurze lub walcu, wspdipracu-
jgcych z pierscieniami lub tarczami kolowymi, Arch. Budowy Maszyn, IV, № 2
A957),
5.20. Задача о шаре. Метод решения 273
работы Соколовского ') и Игначака 2) касаются температурных
напряжений в неограниченном цилиндре. Эту задачу удается
разбить на две задачи: в первой из них определяются напряже-
напряжения с помощью так называемого термоупругого потенциала пе-
перемещения, а во второй рассматривается давление на неограни-
неограниченный цилиндр. Для нас более интересной является вторая
задача. В обеих работах применяется интегральное преобразо-
преобразование Фурье, а отправной точкой является бигармоническое
уравнение V2V2x(r, z) = 0.
5.20. Задача о шаре. Метод решения
Прежде чем приступать к обсуждению решения краевой за-
задачи о шаре, приведем вкратце важнейшие сведения о шаровых
функциях 3).
Исследуем однородный полином n-й степени
Un= 2 а«1вЛ*?*№ A)
где
' d"Un
а _
ai!a2!a3!
Коэффициенты aaia.,aa можно выбрать так, чтобы функция Un
была гармонической, т. е. чтобы удовлетворялось уравнение Ла-
Лапласа V2C/n = 0.
Заметим, что гармонический полином вида A) имеет 2/г + 1
независимых коэффициентов. Функцию Un можно представить
в виде
где ак — постоянные, if^—полиномы п-п степени от переменных
xi, x2, Хз. Однородные гармонические полиномы называются ша-
шаровыми функциями. Максимальное число линейно независимых
шаровых функций степени п равно 2я+ 1. Введем сферические
координаты (R, й, ср), связанные с переменными хи х2, х3 соотно-
соотношениями
х{ =^?sinucos(p, x2 = ^sinusincp, x3 =/? cos ¦&.
!) Sokolowski M., Some Plane Problems with Boundary Conditions in
Terms of Displacement, Arch. Mech. Stos., 9, № 4 A957).
2) Ignaczak J., Thermal Stresses in a Long Cylinder Heated in a Disconti-
Discontinuous Manner over the Lateral Surface, Arch. Mech. Stos., 10, № 1 A958).
3) Lease J., Kugelfunktionen, Geest und Portig, Leipzig, 1950.
Тихонов А. Н., Самарский А- А., Уравнения математической физики,
изд. 4, «Наука», М, 1972.
274 Гл. 5. Пространственные задачи эластостатики-
Гармонический полином A) примет вид
где Yn(ft, ф) — полиномы, в которые входят степени выражений-
cos ft, sin ¦б-, cos ф, sin ф. Для гармонического полинома степени п
также имеем 2л + 1 линейно независимых функций Yn(b, ф). Та-
Такие функции называются поверхностными шаровыми или сфери-
сферическими. Подставляя полином B) в уравнение Лапласа
n,dUn
R' dR \К dR ) + й2 sin
получим дифференциальное уравнение
Ищем однозначное и ограниченное решение уравнения D). Функ-
Функция Yn(ft, ф) должна удовлетворять условиям
У„«К Ф + 2я) = У„(^. Ф). |У»@, Ф)|<«>, |У„(я, Ф)|<оо. E)
Решение уравнения D) ищем методом разделения переменных
Ynfr, Ф) = ЧГ»(*)Ф»(Ф). (б)
Подставляя формулу F) в D), получим систему обыкновенных
уравнений
Ф2 + огФ„ = О, G)
Функция Фп должна удовлетворять первому из условий E); по-
поэтому должно быть Фп(ф + 2я)= Фп(ф). А это возможно толь-
только для значения а = т2, где т — целое число, т ^ п. Итак,
(9)
Вводим новую переменную p = cos'&. Применяя обозначение
р{™] (р) =Ч;„ (¦б-), приводим уравнение (8) к виду
Это уравнение имеет два линейно независимых решения. Для
наших целей принимается во внимание непрерывное решение
S.20. Задана о шаре. Метод решения 275
в отрезке \р\ ^ 1, ограниченное в точках ¦б- = 0 и ¦б- = я. Таким
решением является функция
Р^(р) = A-Р2)т/2-^^-, (И)
где
'"w 2»«! dpn '
Число различных сферических функций Y^{d) порядка л со-
составляет 2п-\- 1. Комбинация этих 2л -f- 1 сферических функций
п
Yn (ft, ф) = 2 {Km cos тф + Bnm s in тф) P^1 (cos ft) A3)
m=0
является также сферической функцией.
Функции Р[п] = Рп(cosft) называются зональными.
Сферические функции, отвечающие различным значениям
X = л (л -f- 1), попарно ортогональны на сфере 2:
2я я
f йф f 7,(ft, ф)У|(#, ф)зп1'9'йг'9' = 0, если )Ф1. A4)
о о
Сферические функции имеют норму
2я я „,,,«¦
п,Лт;
о о
где е0 = 2, eft = 1 для & > 0.
Функции /(¦б-, ф) с непрерывными производными второго по-
порядка можно разложить в ряд по сферическим функциям
, Ф) = S i D« cos огФ + Bnm sin тф) Pf (cos О) =
n=0 m=0
5(^ Ф)
Коэффициенты Фурье Апт, Впт определяются формулами
2я я
f f f (*. ф) ^Ij' (COS *) COS m(f Sin * rf^ rf<P
0 0
Nnm ' A7)
2п я v '
f f f («, ф) Z5'' (cos *) sin /яер sin * rf* dtp
J J
0 0
где
n __J>
2явт (/г + m)l
JV»~ B* +!)(«- m)! ' m [l для т>0.
Й7б Гл. 5. Пространственные задачи эластостатики
Предположим, что однородный гармонический полином Un
можно представить в виде
n(fit4>). A8)
Подставляя формулу A8) в C), получим для функции F(R)
следующее дифференциальное уравнение (Эйлера):
RsF" + 2RF' — n(n+l)F = 0,' F' = ~. A9)
Предположим, что функция F(R) имеет вид F(R) = Ra. Из урав-
уравнения A9) находим, что
ог(ог + 1) —л(л+1) = 0,
откуда получаются два значения: о = п и о = — (л+1).
Функцию Un можно выразить в двух формах:
n(®, Ф). B0)
Первое решение соответствует внутренней задаче, второе —
внешней задаче о шаре.
Общее решение уравнения Лапласа V2f/ = 0 для шара ра-
радиуса а можно представить как
для внутренней задачи и
(f) Yn(®, Ф) B2)
n=I
для внешней задачи.
Функции Yn(ft, 0) = Рп}(cosft), не зависящие от переменной
Ф, являются зональными функциями. Они выражаются форму-i
лой A2). Их называют также полиномами Лежандра. Имеем
\ 3
Рз (Р) = i Eр3 - Зр), Р^ (р) = 4 Eр2 - 1),
На рис. 5.3 представлены графики полиномов Лежандра.
5.20. Задача о шаре. Метод решения
277
Полиномы Лежандра образуют ортогональную систему с
нормой Nm= 2w + 1 ;
J Pn(p)Pm(p)dP:
-1
о,
если тфп,
если т=п-
Функцию f(p), определенную на отрезке —
B4)
и удо-
влетворяющую условиям Дирихле1), можно разложить в ряд
по полиномам Лежандра:
f{p)=I>anPn(p),
п—0
B5)
где
an = ¦
-1
Три последовательных полинома Лежандра связаны между со-
собой следующей рекуррентной зависимостью:
(п + 1) Рп+1 (р) - Bл + 1) рРп (р) + «/>„_, (р) = 0. B6)
') Мы требуем, чтобы функция f(p) была на отрезке —1 =SJ р ^ 1 непре-
непрерывна и монотонна и имела конечное число разрывов. Если функция f(p)
в точке разрыва р0 ограничена, то должны существовать правые и левые
пределы:
\imf(Po + h) и ПтДро-Л), Л>0.
h->Q
278 Гл. 5. Пространственные задачи эластостатики
Справедливы также соотношения
pK(p)-K-i{p) = nPn{p),
К+1 (Р) - P'n-i (Р) = Bп + 1) Рп (р),
P'n + l(p)-pP'n(p) = (n+l)Pn(p),
(р2-1)Р'п(р)=п[рРп(Р)-Рп_1].
Перейдем теперь к задаче о шаре. Здесь мы будем рассмат-
рассматривать две задачи. Первая, в которой мы будем исследовать
напряженное состояние внутри упругого шара под действием
нагрузок (либо перемещений), распределенных на поверхности
R = Ro, называется внутренней задачей о шаре. Вторая, внеш-
внешняя задача о шаре относится к неограниченному упругому про-
пространству с шаровой полостью радиуса R — Ro. В этой задаче
изучается напряженное состояние в точках (/?, ср, ¦&), R > Ro,
вызванное действием нагрузок и перемещений, приложенных
к границе R = Ro. Ограничимся рассмотрением осесимметрич-
ной деформации тела относительно оси z. Вектор перемещения
и характеризуется двумя отличными от нуля составляющими
и = (ыл, 0, «г), а величины «л, иг не зависят от угла ср. В сфери-
сферической системе координат напряженное состояние описывается
величинами сгдд, Ство, сг^ф, сгдо-
Для решения обеих задач, внутренней и внешней, исполь-
используем функции перемещения Буссинеска. Для решения осесим-
метричной задачи, как мы убедились в § 5.5, достаточно двух
гармонических функций % и i[>. Перемещения ыг, иг в цилиндри-
цилиндрических координатах были связаны в упомянутой точке с функ->
циями -ф и х следующими зависимостями:
Ыг=4г- "- = —4<!~v>^ + 4|-' ф=Х + гф. B8)
При переходе от цилиндрической системы (г, <р, z) к сферической
(R, ф, ¦&) найдем выражения для перемещений uR и нв:
"« =Т Ж + 4 (J ~ v)^ sind + ТTR {Rib cos*)-
В дальнейшем будет удобнее разделить перемещения нл и н^
на две части: одну, связанную с функцией %, а другую —с функ-
функцией ijj:
5.20. Задача о шаре. Метод решения 279
где
p = COS#, уЭ — БЩФ.
Рассмотрим гармонические функции
%n = R-^Pn{p)> $n = R-tn+l}Pn(p), « = 0,1,2 C1)
Эти функции непрерывны и конечны вне шара радиуса R = /?0
и стремятся к нулю при /?—»оо. Следовательно, они годятся для
решения внешней задачи. Подставим их в соотношения C0). То-
Тогда получим две системы решений [Ап] и [?„]:
C2)
[Enl I
Э»(Р)]'
; (р) - C - 4v) Рп И.
'' C3)
Формулы C2) и C3) разнородны. Нам бы хотелось, чтобы
и^ и ы^1 были пропорциональны Р„(р), в то время как из
формул C3) видно, что ы<2> пропорционально рР„(р). Желатель-
Желательно потребовать также, чтобы и{^} и ы^> были пропорциональны
рР'п (р). Эта разнородность формул C2) и C3) оказывается
помехой при решении краевой задачи. Поэтому граничную на-
нагрузку удается представить только в виде бесконечного ряда по
полиномам Рп(р) или рР'п (р). Чтобы устранить разнородность
формул для перемещений, воспользуемся тем фактом, что линей-
линейная комбинация решений [Ап] и [Еп] вида а„[Л„_,] + [Еп] также
является решением уравнений эластостатики в перемещениях.
Воспользуемся рекуррентным соотношением B6) и исклю-
исключим величину Рп{р) в выражении и(|'. Имеем
Далее изменим индекс в решении [Ап]'
Построим теперь решение а„[Л„_1] + [?„] и выберем постоянные
ап так, чтобы в это решение входил только коэффициент
280 Гл. 5. Пространственные задачи эластостатики
1(p), Потребуем поэтому, чтобы
- annR-(n+X)Pn_x (р) —^ру [п + 4 A - v)] R-(n+X)Pn.x (p) = 0.
Отсюда получим
Пусть новое решение как комбинация частных решений [An-i]
и [?„] имеет вид
[В„] = B/г+1){а„И„_,]+ [?„]) =
= B/г + 1) [Еп] - [п + 4 A - v)] [Л„_,]. C4)
Новая формула для перемещения и^' примет вид
[Вп]: u% = -(n+l)[n + m-v)]R-{n+i)Pn+l(p). C5)
Таким образом мы исключили коэффициент р из н^' в формуле
C0). Используя формулу C4), найдем для и^2) следующее вы-
выражение:
?
и
= - pR-{n+1) {B/г + 1) [ 1 _ 4 A - v)] Р„ +
-v)]p;_,}. C6)
Эту формулу удается значительно упростить, используя рекур-
рекуррентные формулы B6) и B7). Продифференцируем формулу
B6) по р:
B/г + 1) (рР'п + Р„) = (/г + 1) Р'п+1 + пРп-и
Подставим последнее соотношение в C6); получим
C7а)
Следует воспользоваться еще вторым соотношением системы B7)
Мы видим, что введение этой зависимости в формулу C7) при-
приводит к тому, что функция Щ] становится пропорциональной
Р'
Аналогично и решения [Ап\ [Вп-{\ образуют две последователь-
последовательности линейно независимых решений. С их помощью можно удо-
удовлетворить граничным условиям, выраженным в перемещениях
или напряжениях.
Ь.20. Задача о шаре. Метод решения 281
Общее решение внешней задачи будем искать в виде суммы
частных решений
... -.]}. C8)
л=0
где
[А'п] = ап[Ап], [Bn-i] = bn[Bn-il
Здесь ап и Ьп — коэффициенты, которые определяются из гра-
граничных условий.
Запишем составляющие решений [А'п] и [В„_]]. Учитывая
формулы C2) и заменяя в формулах C5) и C76) п на п— 1,
получаем следующие формулы:
И«]; I Т. -~a"{n+l)R РЛр)' C9)
-»)R Рп(р), D0)
-n[n-4(l-v)]P'n(p).
Следует дать еще выражение для напряжений как функций
переменных R и ¦&. Для этой цели воспользуемся формулами
A7) § 4.19 для деформаций. В этих формулах исключим члены,
в которые входят производные по переменной ср:
1 1 Г 1 ди
— —п
— е0ф — "»
^"> + ж ("«sin
Эти соотношения нужно подставить в формулы для напряжений
_!2v
^27 е), стЛф = 0, D2)
стфф = 2ц ^ефф + tJ2v e j, ст% = 0.
282
Гл. 5. Пространственные задачи эластостатики
Подставляя соотношения C9) и D0) в D1), а затем в D2), по-
получим следующие формулы для п-х составляющих напряжен-
напряженного состояния:
Ю-
а% = 2ца„ (п
2) R~in+3)Pn (р),
а% = -2ца„ [(/г + If Рп (р) - рР'п (р)] R
<5> = -2ца„ [(/г + 1) Рп (р) + рК {р)\ R
~in+3)
-{n+i}
D3)
afR =
п п (/г2 + 3/г - 2v) nR-(n+1) Pn (p),
„ \п {ti> - 2/г - 1 + 2v) Pn (р) -
= 2цй„ {(/г + 3 - inv - 2v) Р„ (р) +
п2 - 2 + 2v) R'^pP'» (p).
Для дилатации получим следующую формулу:
D4)
D5)
Для каждого п имеем по два решения с постоянными ап и Ьп.
п п п
Покажем теперь, что напряжения oij = o\} + of} при п = 0 и
п ^ 2 образуют на поверхности шара произвольного радиуса
/?о уравновешивающуюся систему нагрузок. Проектируя силы
на направление оси г, имеем для /г-го решения
2Я Я
Z= | dtp (ct^^
D6)
Л
Так как напряжение oRR пропорционально Рп(р), а напряже-
п
ние стДо пропорционально рРгп(р), то в формуле D6) появятся
5.20. Задача о шаре. Метод решения 283
следующие интегралы;
1 1
[pPn(p)dp=
= j n (pPn - Р„_,) dp = n J P, (p) Pn (p) dp - /г j Po (p) Pn_, (p) dp.
-i -l -i
Эти интегралы в силу ортогональности подинтегральных функ-
п
ций для п = 0 и п ^ 2 равны нулю. Поэтому Z = 0 для /г = О
и я ^ 2. Легко проверить, что уравнения равновесия для сил,
действующих на произвольной поверхности R = Ro в направле-
направлении JCi и Х2, и уравнения моментов относительно осей Х\, х^, хъ
удовлетворяются. Это следует из независимости напряженного
л
состояния от переменной ф. Поэтому напряжения ст^ для п = О
ил^2 образуют уравновешивающуюся систему сил.
Рассмотрим теперь случай п = 1. В силу формул C9) и D3)
ил* = — 2а,^ cos d, и*}' = — axR~z sin d,
% 4 CT = ct^ = — ба^^^соэд (а)
l
Легко проверить, что ZA) = 0.
Из формул D0) и D4) получим
„^ =4A— v) btR~l cos d, и(#' = - C — 4v) й,^ sin d,
^ 2 ^ 2, (б)
= 2ц A - 2v) b,R~2 sin *,
Из формулы D6) вычисляем
Z<2> = -16A—v)ji^. (в)
Эта величина не зависит от радиуса. Величина Ь\ пропорцио-
пропорциональна равнодействующей напряжений <ji}, распределенных по
поверхности сферической полости.
284
Гл. 5. Пространственные задачи эластостатики
Перейдем к внутренней задаче о шаре. В качестве частного
решения выберем гармонические функции
X* *=№,(?), Ч>» = №(/>). D7)
Эти функции внутри шара R < /?о непрерывны и ограничены,
так же как их производные по R и О.
Воспользуемся теперь тем фактом, что полиномы Лежандра
удовлетворяют следующей зависимости:
Эту зависимость легко проверить, убедившись, что дифференци-
дифференциальное уравнение
A - Р2) К - 2рРп + п (п + 1) Р„ = О
не изменяется при замене п на —(п + 1).
Чтобы отыскать решения внутренней задачи, соответствую-
соответствующие решениям C9), D0), D3) и D4), следует заменить
— (я+1) в этих формулах на п. Таким образом получим сле-
следующие формулы:
D8)
ОД
if = dn (n + 1) (n - 2 + 4v) R"+>Р„ (
A' = — dn (n + 5 — 4v) Rn+ipp'n (p),
= -2цС„7?" 2[/г2Р„(р)-рР;(р)],
= 2iicnRn-2 [nPn (p) — pP; (p)],
п + 1) (я2 - п - 2 - 2v) 7?"Р„ (р),
2lidnR11 [(/г + 1) (/г2 + 4/г + 2 + 2V) Р„ (р)
D9)
" [(/г + 1) (/г - 2 — 2v — 4«v) Р„ (р) -
(a+5-4v)pP;(p)],
(n2 + 2п - 1 + 2v) /?"P; (p) р.
E0)
E1)
5.21. Внутренняя и внешняя задача о шаре 285
Общее решение [S] краевой задачи представим в виде
со
г от "Ч^ / 1Л*! i Г г\* 1 \ /СО\
Легко проверить, что во внутренней задаче равнодействую-
равнодействующая напряжений, распределенных по произвольному шару
R < R° (R0 — радиус шара), равна нулю для п = 0 и п ^ 2. Это
вытекает из формулы D6), если принять во внимание зависи-
зависимости E0) и E1).
Рассмотрим случай п = 0. Получим
2fi = -2rfo(l-2v)tf, ao = O, ,
0 0 0 0 0 ^ '
Здесь мы имеем дело с центральной симметрией деформаций
и напряжений.
Для п = 1 получаем два типа решений. Первый относится
к решению [С\]\
u{r = C\ cos Ф, «!»' = — ci sin d,
ct^j? = ст## = Стфф = сг## = 0.
Это решение соответствует вращению тела как твердого целого.
Второй тип решений дается системой [D*]:
= - 2d, C — 2v) R2 sin d,
= - 8nrf, A + v) 7? cos d, (e)
^ 1 + v) 7? cos d,
i i
Из формулы D6) видно, что ZB) = Z = 0.
5.21. Внутренняя и внешняя задача о шаре
Рассмотрим упругое полупространство R > Ro, лежащее вне
сферической полости радиуса R = Ro. Пусть на границе R = Ro
упругого полупространства заданы нагрузки
(Ro, О) = s W, °ю (Ro, «) = <7 (О). A)
286 Гл- s- Пространственные задачи зластостатики
Разложим правые части этих граничных условий в ряд по поли-
полиномам Лежандра:
оо оо
" Jn "" " чЩ&р. B)
л=0 n=I n=\
Коэффициенты этих разложений подсчитаем по формулам
sn = ^±1 J s (ф) Рп (cos Ф) sin Ф d&,
О)
о
Общее решение [S] внешней задачи представим в виде
[]i №[#;]}, ()
где решения, соответствующие системам [А\] и [B*n-\], пред-
представлены формулами C9), D0), D3) и D4) предыдущего па-
параграфа.
Первое условие системы A) с помощью соотношений B) и
D) можно записать следующим способом:
2ц S [а„ (п + 1) (я + 2) tfo4"+3)- М(«2 + Зя - 2v) ^
it=0
Отсюда
а„ (я + 1) (я + 2) - M («2 + Зя - 2v) /?о = ^ /?^+3). E)
Второе из граничных условий A) приводит к уравнению
~an(n + 2) + bn(ni-2 + 2v)R2o = ^—. F)
Определитель этой системы уравнений
отличен от нуля для каждого п.
Для я = 0 получаем а0 = 50/?2/Dц). Перемещения и напря-
напряжения, относящиеся к га = 0, получим по формулам C9), D0),
5.2/. Внутренняя и внешняя задача о шаре 287
D3) и D4) предыдущего параграфа. Имеем
Деформации и напряжения обладают центральной симметрией.
Эти функции уменьшаются с расстоянием, стремясь при R—> оо
к нулю. Решение (а) соответствует граничным условиям
aRR(RQ, fl) = % aM(Ro, О) = <7о = 0.
Перейдем к внутренней задаче, которую будем решать при
условиях A) на поверхности шара радиуса Ra. Нагрузки s(d)
и д(-&) разложим в ряд по полиномам Лежандра, согласно фор-
формулам B). Общее решение [S] задачи представим в виде
[S]=ii[c;] + [D;]}, G)
где частные решения, соответствующие системам [С*п] и [D*n],
относятся к внутренней задаче и представляются формулами
D8) — E1) предыдущего параграфа. Первое граничное условие
Запишем в виде
2ц!![с„п(п-1)/ЙГ2 +
+ dn (п + 1) (п2 - п - 2 - 2v) RS] Рп (р) - 2 snPn (p).
Отсюда вытекает система уравнений
сяп(п- 1) /И + dn'(n+ 1)(«2- я-2-2у)/?o=|j. (8)
Второе граничное условие
п=1
приводит к системе уравнений
с„(я- 1) /?Г2 + dn{n + 2л- 1 + 2v)/# = ¦§-. (9)
Определитель этой системы уравнений
Д = -2(п—l)[«(n-l) + (l+v)Bn + l)]/?2(n-1)
отличен от нуля для п = 2, 3 ... .
288 Гл. 5. Пространственные задачи эластостатики
Внутренняя задача имеет решение, если система нагрузок,
действующая на границе R = Ro, находится в равновесии. По-
Поэтому потребуем, чтобы равнодействующая внешних нагрузок
л
Z = 2nRl J [s (О) cos О — ? (d) sin d] sin Odd A0)
о
была равна нулю. 'Подставляя в формулу A0) разложения
функций s(b) и q($) в ряд по полиномам Лежандра, имеем
n=0 0
oo I
Z = 2nRl У] J [snPn (cos ¦&) cos * — qn -^- sin *] sin Ь dft =
0
I
J {snpPn(p)-nqn[pPn(p)-Pn-Ap)]}dp. A1)
n=0 -1
В силу ортогональности полиномов Лежандра в ряде A1)
остается только член, соответствующий п = 1:
Z = 2я/?§ J [slP2 - </, (р2 - 1)] dp =
Уравнения равновесия шара будут удовлетворяться только то-
тогда, когда
sl + 2gi = 0. A2)
Рассмотрим радиальное нагружение шара s(ft) = s0, q(ft) = 0.
Для « = 0 имеем
о з
uR 2A— 2v)duR, «{, = 0,
0 0 0 0
aRR = — 4цйоA + v) = <тфф = o-flo,
Величину d0 подсчитаем из условия oRr(Ro, ¦&) = s0. Получим
0 0 0
ORR = So = const, СГфф = (TOT = So.
Мы имеем дело с всесторонним растяжением шара.
Рассмотрим случай граничных условий
= — q\ sin Ь.
Он соответствует выбору из рядов B) члена п = 1. Этому слу-
случаю отвечают формулы (д) и (е) предыдущего параграфа. Си-
5.21. Внутренняя и внешняя задача о шаре 289
стема (д) относится к вращению тела как твердого целого. Си-
Система (е) связана с нагрузкой s@)= S\ cos d.
Из условия orr(Ro, ft) = Si cos ft определяем коэффициент d\
в формуле (е). Имеем
Иб° s! + ^=0-
Рассмотрим пустотелый шар с внутренним радиусом R\ и на-
наружным Ro- Пусть на внешней и внутренней поверхностях шара
заданы нагрузки
Orr(Ro, ft) = s(ft), <rw(/?0, ft) = q(ft),
ft) = q'(ft) ( '
Правые части уравнений A3) разложим в ряды по полиномам
Лежандра:
оо оо
s (ft) = 2 snPn (р), q (ft) = - 2 qnpP'n (p),
Z° Г A4)
5- (ft) = 2 <Р„ (р), q* (ft) = - 2 %РР'п (р),
причем коэффициенты этого разложения найдем по формулам
C). В общее решение задачи о пустотелом шаре должны вхо-
входить типы решений, соответствующие внутренней и внешней за-
задачам.
Например, напряжение сглв представим в виде
= 2ц 2 к(п + 2)R'{n+S) -bn(n2-2 + 2v) R~{n+l) -
- cn (n - 1) R"-2 - dn (n2 + 2« - 1 + 2V) Rn] PK (p). A5)
Напряжение од$ складывается из частных решений, выражен-
выраженных формулами D3), D4), E0) и E1) предыдущего пара-
параграфа.
Внешние нагрузки, действующие на пустотелый шар, дол-
должны образовывать систему, находящуюся в равновесии. По-
Поэтому должно быть
Z, = 2ntfo J [s (ft) cos ft — q (ft) sin ft] sin ft dft —
о
2я
— 2лЯ? J [s" (ft) cos ft — q* (ft) sin ft] sin ft dft = 0. A6)
о
10 В. Ноеэцкий
290 Гл. 5. Пространственные задачи эласюстатики
Подставляя A4) в эту формулу, получим в результате условие
равновесия
Рассмотрим случай, когда ряды A4) состоят из одного первого
члена:
R = R0: s(b) = s0, <7(d) = 0,
R = Rl: 8*(Ъ) = 8'о, </*(*) = 0.
Здесь мы имеем дело с постоянной радиальной нагрузкой,
поэтому напряженное и деформированное состояния обладают
центральной симметрией. Граничные условия A8) приводятся
к уравнениям
решение которых имеет вид
__
a° 4ц 1-р3' й°— 4ц{1 + v) A — р3) '
Перемещения и напряжения выражаются формулами
2 — 2A— 2v)d0R, щ = 0,
~3 — (l + v)d0]. oM = 0,
v) d0].
Рассмотрим случай, когда нагрузка на пустотелый шар выра
жается соотношениями
R = R0: s(d) = s,cosft, q(b) <7,sin*.
n = \.
В решение этой задачи входят три постоянные: п\, Ь\, dx. По-
Постоянной Ci в нашей задаче нет, ибо для п = 1 функции, пред-
представленные формулами E0) предыдущего параграфа, равны
нулю. Из граничных условий A9) найдем
Ro — 2bi B — v) Ro2 — 4d, A + v) Ro =
3alRoi — bi(l—2v)Ro2 + 2di(l + v)Ro = ql/2ii,
6я,/?Г4 — 2bi B - v) RT2 - 4d, (I + v) /?, = 5Г/2ц,
Зя,/?r4 — 6i A — 2v) /?Г2 + 2rfi A + v) R\ = q\/2\i.
5.21. Внутренняя и внешняя задача о шаре 291
Если принять во внимание условие равновесия A7), то соответ-
соответствующий определитель будет отличен от нуля и решение си-
системы будет иметь вид
р = ад0,
X [s. - stp4 - щ^у A ~ P2) («I + 2<7i)] •
Эти коэффициенты значительно упрощаются, если
sl + 2ql = 0> s\ + 2q] = 0, B2)
т. е. если отдельные нагрузки, распределенные на сфере R = Ro
и на R = /?i, находятся в равновесии.
Для нагрузок из формул A4) нужно рассмотреть последо-
последовательно случаи п = 0, л=1 ия>2, Для п ^ 2 получим из
граничных условий A3) систему четырех уравнений, в которую
входят постоянные ап, ..., dn. Определитель этой системы урав-
уравнений отличен от нуля. Знание коэффициентов ап, ..., dn по-
позволяет представить перемещения и напряжения в виде беско-
бесконечных рядов. Например, напряжение сгдв дано в виде ряда A5).
До сих пор мы рассматривали решения однородной системы
уравнений эластостатики в перемещениях. Теперь обратим вни-
внимание на неоднородные уравнения, учитывая влияние массовых
сил на деформацию тела. В этом случае мы имеем дело с систе-
системой уравнений
иКл + ^-О. B3)
Рассмотрим массовые силы, обладающие потенциалом:
Xi = i&li. Принимая частное решение неоднородных уравнений
B3) в виде
Щ = Ф,и B4)
приходим к уравнению Пуассона для функции Ф:
f B5)
Частным решением этого уравнения является функция
1^Й)^(|)' B6)
10*
292 Гл- 5- Пространственные задачи эластостатики
где R(x, |)—расстояние между точками х и §, а интегрирова-
интегрирование производится по неограниченному упругому пространству.
Зная функцию Ф, определяем напряжения по формуле
<rj/ = 2це,у + Ще, е = У2Ф. B7)
Отсюда
Подсчитаем напряжения сг^/ на поверхности шара Я = /?о. Эти
напряжения отличны от нуля. Поэтому к напряжениям в'ц сле-
следует добавить напряжения a'ij, такие, чтобы были выполнены
граничные условия задачи.
Рассмотрим два частных случая: первый, когда массовые
силы являются функциями только переменной R, и второй, ко-
когда распределение массовых сил является осесимметричным от-
относительно оси z. В первом случае уравнение B5) примет вид
W^ R dR ;~w— л + 2|1 '
или
R2 dR L v <*# J Л + 2ц "
Решением этого уравнения является функция
R R
Зная функцию Ф(Я), определяем перемещения и напряжения
по формулам
ст*-& — CTW — R dR Я + 2ц '
Напряженное состояние с/., является центрально-симметрич-
центрально-симметричным. К напряжениям о'г следует добавить напряжения а".,
также обладающие центральной симметрией и выбранные так,
чтобы на поверхности шара R = Ro было
5.21. Внутренняя и внешняя задача о шаре 293
В случае осесимметричного относительно оси z распределе-
распределения массовых сил разложим функцию Ь в ряд по зональным
функциям
/>). C2)
Для функции Ф примем ряд
ф=2м?*+2р„(/>). (зз)
Решение уравнения B5) принимает вид
со
(D — — ' V
2я + 3 Н
п=1
Перемещения определяются по формулам
и> - дФ _ 1
UR~ dR — 2 (Я, + 2ц)
ОО
V4
Li
"* ~ 2 (А. + 2ц) Li 2п + 3 А р dp *
Зная перемещения, вычисляем напряжения о^^, ст^д, о^ф, сг^«
Если поверхность шара должна быть свободной от напряжений,
то к напряжениям а\} следует добавить напряжения <т^. По-
Потребуем, чтобы на поверхности шара R = Ro удовлетворялись
граничные условия
Следует решить внутреннюю краевую задачу, для которой на
поверхности R = /?0 должны удовлетворяться условия
s (Ro, д) = - (/^ (Ro, *), </ (i?0, О) = о^ (Ro, О). C4)
Внутреннюю задачу решаем по схеме, указанной выше (фор-
(формулы G), (8), (9) и т.д.).
Существует обширная научная литература, касающаяся за-
задачи о шаре. Много проблем, связанных с осесимметричным
напряженным состоянием в полном шаре, читатель найдет в
работах Галеркина !), Лурье2), Стернберга, Юбенкса и Садов-
') Галеркин Б. Г., Равновесие упругой сферической оболочки, ПММ, 6
A942), 487.
2) Лурье А. И., Равновесие упругой симметрично напряженной сфериче-
сферической оболочки, ПММ, 7 A943), 393.
294 ' Гл. 5. Пространственные задачи эластостатики
ского1). Задачей о концентрации напряжений в окрестности
сферической полости занимались Саусвелл2) и Лармор3). Ин-
Интересный случай действия сосредоточенных сил на упругий шар
был рассмотрен в работе Стернберга и Розенталя 4) и в рабо-
работах Вебера5) и Фикеры6). Подробное обсуждение осесиммет-
ричной задачи о шаре читатель найдет в главе VI известной
монографии Лурье7). Здесь интересным является общее реше-
решение задачи при помощи функций перемещения Папковича.
В настоящей монографии мы не обсуждаем общей задачи,
в которой напряженное состояние зависит не только от перемен-
переменных г, z, но также и от переменной ср. Решение этой задачи было
начато еще Ламе, который разложил напряжения в двойные
ряды по шаровым функциям Лежандра Я„т) (cos ¦&) и тригоно-
тригонометрическим функциям cos/Иф, sin /«ср. Дальнейшее развитие
этой задачи принадлежит Томсону8) и Тедоне и Сомильяне9).
Читателям, желающим ближе познакомиться с этой общей про-
проблемой, советуем изучить главу VIII упомянутой монографии
Лурье. Этот автор при решении задачи о шаре пользуется че-
четырьмя функциями перемещений Папковича. Правильный выбор
четвертой функции позволяет упростить вычисления и предста-
представить решения в наиболее простом виде.
5.22. Принцип Сен-Венана
Решение дифференциальных уравнений эластостатики (как
в перемещениях, так и в напряжениях) наталкивается, вообще
говоря, на значительные трудности в связи со сложностью гра-
граничных условий. Возникает вопрос, не приводит ли модифика-
') Sternberg E., Eubanks R. A., Sadowsky H., On the Axisymmetric Pro-
Problem of Elasticity for a Region, Bounded by Two Concentric Spheres, Con-
Congress Appl. Mech. USA, 1953.
2) Southwell R. V., On the Concentration of Stresses in the Neighbour-
Neighbourhood of a Small Spherical Flaw, Phil. Mag., ser. 7, I A926), 71.
3) Larmor A., The Influence of Flaws and Air-cavities on the Strength of
Materials, Phil. Mag., ser. 5, 33 A892), 70.
4) Sternberg E., Rosenthal F., The Elastic Sphere under Concentrated
Loads, /. Appl. Mech., 10, X° 4 A952), 413 [русский перевод: сб. Механика
№ 1 B3) A954)].
5) Weber С, Kugel mit normal gerichteten Einzelkraften, ZAMM, 32, № 6
A952), 186.
6) Fichera G., Sul calcolo delle deformazione, dotate si simmetria, di una
stratosierico elastica, Atti dell Accademia Nazionale del Lincei, Classe di
Scienze Fisiche, Matematiche e natural, ser. 8, 6 A949), 583.
7) А. И. Лурье, loc. cit. стр. 230.
8) Thomson W., Dynamical Problems Regarding Elastic Spheroidal Shells
and Spheroids of Incompressible Liquid, Math, and Phys. Papers, vol.3, 1890, 351.
s) Tedone O., Somigliana C, Sopra l'equilibrio di un corpo elastico iso-
tropo limitato da una о due superfici sferidi, Ann. Scuola Norn. Sup. di Pisa
Sc, Fis. e Mat, Ser,, 1 A887), 100,
5.22. Принцип Сен-Венанй
295
ция граничных условий с целью их упрощения к значительным
изменениям точных решений.
Некоторый свет на эту проблему проливает так называемый
принцип Сен-Венана, сформулированный интуитивно, но под-
подтвержденный во многих частных случаях.
Рассмотрим тело, на части поверхности которого, малой по
сравнению со всей поверхностью, действуют как-то распределен-
распределенные нагрузки. Пусть на той же самой малой поверхности дей-
действует другое распределение нагрузок, статически эквивалент-
эквивалентное первому. Статическая эквивалентность понимается здесь
РИС. 5.4.
в смысле совпадения главного вектора и главного момента для
двух распределений нагрузок. Принцип Сен-Венана гласит, что
деформации и напряжения, вызванные этими распределениями
нагрузок, мало отличаются в точках, достаточно удаленных от
области приложения нагрузок (рис. 5.4).
Этот принцип Сен-Венан применил для приближенного ре-
решения задачи о кручении и изгибе простых брусьев. В задаче
о кручении бруса (подробно рассматриваемой в гл. 7) он заме-
заменил действие сосредоточенного крутящего момента в концевых
сечениях бруса некоторым частным непрерывным распределе-
распределением касательных напряжений, дающих в качестве суммарного
момента, приложенного на концах бруса, тот же крутящий мо-
момент.
Так сформулированный принцип Сен-Венана, называемый
также принципом «статически эквивалентных нагрузок», до
сих пор недостаточно теоретически обоснован. В то же время
дано общее обоснование для суженного принципа Сен-Венана
296 Гл. 5. Пространственные задачи эластостатики
в формулировке Лява1): «Если силы, действующие на малую
часть поверхности тела, эквивалентны нулевой силе и нулевому
моменту, то напряжения уменьшаются с удалением от места при-
приложения нагрузки и пренебрежимы на расстояниях, значитель-
значительных по сравнению с линейным размером нагруженной части
тела». Этот принцип был подтвержден теоретическими исследо-
исследованиями, выполненными Занабони2).
Рассмотрим тело (рис. 5.5,а), нагруженное системой сил Р,
находящихся в равновесии, т. е. в предположении, что главный
вектор и главный момент этих нагрузок равны нулю. Эти на-
нагрузки действуют на малую (по сравнению со всем телом) часть
поверхности тела, содержащуюся в шаре В радиуса е. Предпо-
Предположим, что тело свободно, не имеет никаких поверхностных
опор по линиям или точкам. Рассмотрим два различных и не
пересекающихся сечения А' и А", лежащих вне области В, при-
причем сечение А" более удалено от области В, чем сечение А'
(рис. 5.5,а,б). Под влиянием нагрузки Р тело деформируется,
в нем возникает некоторое напряженное состояние. В сечении
А' возникает некоторое распределение напряжений, сил взаимо-
взаимодействия R' (рис. 5.5,а). Аналогично в сечении А" распределе-
распределение сил взаимодействия обозначим через R" (рис. 5.5,6). Ме-
Мерой величины сил R' будет энергия деформации, вызванная си-
силами R' в обеих частях тела (т. е. в части С\ и Сг + С3) соглас-
согласно рис. 5.5,0). Имеем
\ A)
где ct^'i — напряжение, вызванное действием сил /?' в теле
Ci + (С2 + С3). Аналогично для сил R", действующих в сечении
А" на тело (Ci + С2)-\- С%, имеем
B)
Величины Wr> и Wr», представляющие собой упругую энергию,
работу деформации, являются положительно определенными
функциями.
Принцип Сен-Венана при помощи энергии деформации A)
и B) Занабони 8) представил в виде следующего утверждения.
') Ляв А., см. список литературы.
2) Zanaboni О., Dimostrazione generate del principo del de Saint-Venant,
Atti Accad. Lincei, Roma, 25 A937), 117.
3) Zanaboni O., Valutazione dell errore massimo cui da luago l'applicazi-
one de principio del de Saint-Venant in un solido isotropo, Atti Ac-.ай. Lincei,
Roma, 25 A937), 595.
5.22. Принцип Сен-Венана
297
Если А' и А"— два сечения тела, лежащие вне области В, и
А" лежит дальше от области В, чем сечение А', то в случае дей-
действия самоуравновешивающихся нагрузок Р, находящихся в
шаре В радиуса е, всегда
C)
Для доказательства этого утверждения Занабони рассматри-
рассматривает следующую лемму.
Пусть самоуравновешивающиеся нагрузки Р действуют на
тело С\ (рис. 5.6,а). Обозначим работу деформации в этом теле
РИС. 5.5.
РИС. 5.6.
через W\. Пусть при действии системы сил Р на тело С\ + С2
(рис. 5.6, б) возникает упругая энергия 3^1+2. Требуется дока-
доказать, что
r Г D)
Работу деформации Ж\+2 можно выразить как сумму частных
работ
5Г1+2 = 5Г, + ГЛ1 + WR2 + WRP. E)
Нагрузим сначала тело С и определив работу W\. Но концевая
плоскость А' тела С\ деформировалась. Связывая С: с С2, мож-
можно нагрузить тело С\ и С2 распределением внутренних сил R
(рис. 5.6, в). За счет этих сил в теле С\ возникает упругая энер-
энергия Wm, а в теле С2 — энергия WR2- Очевидно, силы R выбраны
так, чтобы в сечении А' = А" перемещения и напряжения были
непрерывны. Энергии Жт, Wui соответствуют телу С\ и телу С2,
298 Гл- &• Пространственные задачи эластостатики
свободному от нагрузок. Так как на С\ действует и нагрузка Р,
то к Wm следует добавить работу WRP, т. е. работу нагрузок Р
на деформациях, вызванных распределением/? в сечении А'=А".
Полученное таким способом выражение E) равно работе де-
деформации тел С\ и С2, которые вначале были «спаяны», а затем
нагружены силами Р.
Применим теперь к выражению E) принцип минимума до-
дополнительной работы, придавая виртуальные приращения си-
силам R. Рассмотрим частную вариацию, при которой силы R по-
получают приращения в отношении 1 :A + е), где е является по-
положительной или отрицательной величиной. Таким образом мы
получим
f;+2=f1+(i+«ffI!I+(i+?J^2+o+^№. F)
Так как нагрузки Р не варьируются, то энергия Ж\ не изме-
изменяется, а энергия WRP возрастает до A + e)WRP ввиду возра-
возрастания деформаций до 1 + 6, вызванного приращением сил R
до (\+e)R. Работа деформации WR\ увеличивается до (l + e)WRl
в связи с возрастанием как нагрузок, так и перемещений до
A + б). Аналогично WR2 заменяется на A + еJЖт-
Вычитая формулу E) из F), имеем
АГ1+2 = е BУп + 2WR2 + WRP) + 0 (ГЛ1 + WR2). G)
Так как работа деформации W\+2 при варьировании напряжен-
напряженного состояния должна быть минимальной, то &W\+2 "> 0. Это
неравенство будет удовлетворено, если
+ ^ = 0. (8)
Подставляя формулу (8) в E), получим
У1+2 = Г,-(ГЛ1 + ГЛ2). (9)
Так как работы деформации Wr\ и Wr2 положительны, то из
формулы (9) сразу вытекает лемма.
Вернемся к упругому телу, состоящему из трех частей: С\,
С2, Сз, и находящемуся под действием нагрузки Р (рис. 5.5,а).
Это тело можно трактовать как соединение тела С\ с телом
С2 + С3, либо как тело С\ + С2, соединенное с телом С3. В пер-
первом случае имеем
а во втором
W
= Уi -
5.22. Принцип Сен-Венана 299
Из равенства работ деформации
получим
+ Wr' B+3) =
Так как WR1 и Ж*д2 являются положительными величинами, то
Wr'x + *V l2+3) > У> u+2) + Ж>3) A0)
или
Г,>Г1+2. A1)
Теорема Занабони имеет довольно общий характер, однако
она не дает информации о характере уменьшения отдельных
составляющих тензора напряжений при удалении от области
внешних нагрузок.
Подобными рассуждениями пользовался Васютыньский при
доказательстве ряда теорем о сопротивлении формоизменению1)
и о влиянии местного упрочнения системы2).
Поведение напряжений с удалением от области нагрузки
исследовал Буссинеск на примере упругого полупространства
Хз ^ 0, нагруженного силами, перпендикулярными к плоскости
х3 = 0 и действующими в области малого круга радиуса е.
Результат его исследования таков. На расстоянии Ro от начала
координат напряжения имеют порядок P/Rq, если главный век-
вектор сил имеет порядок Р. Однако если главный вектор равен
нулю, то напряжения имеют порядок (e!Ro)(P/Ro)- Наконец,
если и главный вектор, и главный момент равны нулю, то
напряжения имеют порядок (e/RoJ{P/Ro)- Этот результат мы
можем легко подтвердить, исследуя среднее напряжение д =
5== " (°п ~Ь СТ22 "Ь стзз)> вызванное вертикальными нагрузками в за-
О
даче Буссинеска.
Из § 5.12 известно, что
ои+оа + о» = Щ±?±Ми, divu --ЩЩ- A2)
где
') Wasiutynski Z., О ksztaitowaniu wytrzymaiosciowym, cz. I, II, III,
Akad. Nauk Techn., Warszawa, 1939.
2) Wasiutynski Z., A Theorem on the Concentration of Local Reinforcement
Effect of a Structure, Bull. Acad. Polon. ScL, Ser, Sci, Techn., 17, № 3 A969),
187.
300 Га- 5- Пространственные задачи эластостатики
Итак, среднее напряжение а принимает вид
Предположим теперь, что нагрузка складывается из п сосредо-
сосредоточенных сил Pv, приложенных в точках (|v, |v, 0) внутри кру-
круга радиуса е и направленных по оси х3.
Подставляя в выражение A4) величину
получим в результате суперпозиции нагрузок следующую фор-
формулу:
0+v)*3V рз
i\
° } ~ Зя 2л [(*, - ITJ + (х2 - йJ + 4Р '
Разложим функцию <т(х, ?") в ряд Тейлора по %J, %* в окрест-
окрестности точки х:
В результате получим выражение
/?3^ 3+ /?5 ^' 3
Если теперь принять, что расстояния |р ^ имеют порядок е
п
(т. е. (|^J+ {lTf^e<2)' то становится ясным, что для ^>РУ3фО
v=l
среднее напряжение имеет порядок P/Ro. Если главный вектор
п
сил 2 Рз равен нулю, то отпадает первый член правой ча-
сти уравнения A7), а среднее напряжение ст имеет порядок
(e/R0)(p/Rf). Если 2^з=0 и величины S 8^' 2 |^з Равны
нулю, то мы имеем дело с нагрузкой при нулевых главном век-
векторе и главном моменте. Среднее напряжение а имеет порядок
(?/RoJ(P/Ro)- Мизес') показал, что результат Буссинеска нельзя
') von Mises R., On Saint-Venants Principle, Bull. Amer. Math. Soc, 51,
№ 8 A945).
5.22. Принцип Сен-Венана
301
обобщить на случай сил, действующих в плоскости хз = 0, огра-
ограничивающей упругое полупространство.
Если в начале координат действует горизонтальная сила Р2
по оси Х2, то среднее значение напряжения в точке х дается фор-
формулой
A+
Если в круге радиуса е действуют п сосредоточенных сил, на-
направленных параллельно оси х2, то
д(х) = -
A+v)
Зл
A9)
Разлагая правую часть в ряд Тейлора по %*, |J, имеем
'W _x V pv , dJCl*2 VI |VpV .
1 + v '."Г, 2 «о г4 ' 2
rf
B0)
Мизес рассмотрел четыре случая, представленные на рис. 5.7.
Среднее напряжение а в случае действия нагрузок (распреде-
РИС. 5.7.
v=l
ленных по кругу радиуса е) с главным вектором Р =
имеет порядок PIRo. Для нагрузок на рис. 5.7,6 с нулевым глав-
главным вектором получаем напряжение порядка (е//?0) (P/Ro). Тот же
самый порядок напряжения получаем для случая рис. 5.7, в, в
котором обращается в нуль как главный вектор, так и главный
момент. Наконец, для случая, соответствующего рис. 5.7, г, на-
напряжение д имеет порядок (s/RoJ(P/Ro).
302 Гл. 5- Пространственные задачи эластостатики
Обратим внимание на случай, представленный на рис. 5.7, в.
Хотя главный вектор и главный момент сил равны нулю, напря-
напряжения не имеют порядок (e/RoJ(P/Ro), как то имело место в слу-
случае вертикальных сил, рассмотренных Буссинеском. Этот при-
пример показывает, что принцип Сен-Венана, сформулированный в
начале настоящего параграфа, требует новой, более общей фор-
формулировки.
Такое более общее представление принципа Сен-Венана при-
принадлежит Стернбергу'). Отсылая заинтересованных читателей
к его работе, добавим, что он рассмотрел, между прочим, прин-
принцип Сен-Венана для многосвязных и бесконечных областей. Вни-
Внимания заслуживает также работа Ноулса и Стернберга 2), отно-
относящаяся к этому принципу.
*) Sternberg Е„ On Saint-Venant's Principle, Ouart. Appl. Math,, 11, № 4
A954) [русский перевод: сб. Механика, № 2 C0) A955)].
2) Knowles J. К., Sternberg E., On Saint-Venant's Principle and the Tor-
Torsion of Solids of Revolution, Arch. Rat. Mech. Anal, 22, № 2 A966),
Глава 6
ДВУМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ ЭЛАСТОСТАТИКИ
6.1. Напряженное состояние,
зависящее только от двух переменных xt и х%
Рассмотрим частный класс тензоров напряжений и дефор-
деформаций, а именно такой, в котором составляющие тензора не ме-
меняются в направлении одной из осей декартовой системы коор-
координат. Если этой осью будет ось х3, то напряжения оц и де-
деформации ец будут функциями независимых переменных х\ и х2.
В уравнениях равновесия, связанных с таким напряженным
состоянием, исчезнут частные производные по х3. Уравнения
равновесия упростятся и примут вид
<7ра,р = 0, а, р=1, 2, A)
0. B)
Два первых уравнения будут выполнены, если мы введем функ-
функцию напряжений F, связанную с напряжениями следующими
зависимостями:
(Тар = - /\ар + 6ар/>У. <*> 0=1, 2. C)
Подставляя формулу C) в A), убеждаемся, что
<Тр<г. р = (— /\ар + 6ap/\YY),f3 = ~ ^-а№ + ^-РРа = О*
Функция F называется функцией напряжений Эри; она играет
важную роль при решении двумерных задач.
Третье уравнение равновесия, уравнение B), будет удовле-
удовлетворено, если мы введем новую функцию яр, связанную с напря-
напряжениями Ст1з и стгз зависимостями
Кроме уравнений равновесия, должны выполняться еще уравне-
уравнения совместности в напряжениях, т. е. так называемые уравне-
304 Гл. 6. Двумерные задачи эластостатики
ния Бельтрами — Мичелла. Они образуют систему шести диффе-
дифференциальных уравнений
V47 + -j^jokk.u = 0, /, /, k = \, 2, 3. E)
Эти уравнения существенно упрощаются ввиду независимости
напряжений от переменной х3- Уравнения E) примут вид
+ ¦* _ /\ О 1 О
, . о о \Jj (X] Р It ^«
1 I ч» .ЯН ' ' *
Здесь s = аа Ч-а12Ч-Озз, a S\ = d}-\-d\ и а, р = 1,2. Первые
четыре уравнения связаны с функцией Эри F, два последние —
с функцией напряжения я|з. Подставляя формулы D) в третье
и четвертое уравнения системы F), получаем
d2V?i|> = 0, дхЩ = 0.
Из этих уравнений сразу следует, что функция ty должна удо-
удовлетворять уравнению Пуассона
(д! + д1)^ = с, G)
где с является постоянной величиной.
- Напряженное состояние, которое определяется составляю-
составляющими <т13 и <т23| возникает при кручении брусьев. Этой задачей
мы займемся подробнее в гл. 7. В гл. 6 мы будем заниматься
только напряженным состоянием, связанным с функцией Эри.
Для этого в дальнейшем мы будем рассматривать два первых
уравнения системы F), предполагая, что о^з s 0, о^з = 0 во
всем упругом пространстве.
Свертывая индексы в первом уравнении системы F)
+Tb-s>ep = O, <*, р=1, 2, (8)
получим
B + v)V?(<7n + a22) = 0,
или
VKoru + or22) = 0. (9)
а это показывает, что в теле, на которое не действуют массо-
массовые силы, двумерный лапласиан от суммы нормальных напря-
6.1. Напряженное состояние, зависящее от двух переменных xi и хг 305
жений <тц и Ст22 равен нулю. Так как из формулы C) вытекает,
что а,, + а22 = ^г'?' то соотношение (9) примет вид
VMF = O. A0)
Функция Эри должна удовлетворять бигармоническому урав-
уравнению. Итак, для определения функции F мы получаем простой
и хорошо исследованный тип дифференциального уравнения —
бигармоническое уравнение. Мы знаем, что бигармоническую
функцию можно составить из решений гармонического уравне-
уравнения. Поэтому для решения уравнения A0) можно воспользо-
воспользоваться теорией потенциала.
Рассмотрим выражение ^ааC. При помощи зависимостей
C) и (9) получим
Подставляя найденную зависимость в уравнение (8) и принимая
во внимание обозначение s = <Ti i -f <т22 + <тзз, приходим к урав-
уравнению
Интегрирование этого уравнения приводит к соотношению
A1)
где aOi Яь й2 — постоянные. В правую часть соотношения A1)
входит линейный член, который сооветствует чистому изгибу.
В дальнейшем положим этот член равным нулю, откладывая
рассмотрение изгиба до гл. 7.
При таком ограничении имеем
язз — v(<rn-f <т22) = 0. (Па)
С другой стороны, справедлива формула
[— v(au + <т22)]. A2)
Из уравнений (Па) и A2) видно, что е3з = 0. Кроме того, мы
приняли, что в рассматриваемом упругом теле ai3 = 0, <т23 = 0.
Отсюда вытекает, что ei3 = 0 и егз ^ 0. Итак, мы имеем дело
с таким деформированным состоянием, в котором
е/3 = 0, /=1, 2, 3. A3)
Такое деформированное состояние называется плоским деформи-
деформированным состоянием. Заметим, что исчезновение деформаций
306 Гл. 6. Двумерные задачи зластостатики
8,-3 (/' = 1, 2, 3) связано с исчезновением только двух состав-
составляющих тензора напряжений, а именно аи и (Тгз- Величина <тзз
выражается через сумму нормальных напряжений аи и о^г (фор-
(формула (Па)) и, вообще говоря, отлична от нуля. Выражая
011 + 022 через функцию Эри, получим соотношение
(T33 = vV^. A4)
Центр тяжести при решении задач о плоском деформированном
состоянии лежит в решении бигармонического уравнения A0)
с граничными условиями, выраженными через производные
функции F. Знание этой функции позволяет определить напряже-
напряжения по формулам C).
Из закона Гука определяем деформации еар (а, р = 1, 2), a
из них интегрированием — перемещения иа (а — 1,2).
6.2. Плоское деформированное состояние
Плоское деформированное состояние характеризуется дефор-
деформациями ea$(xi, х2) (а, р = 1,2) при нулевых деформациях
ei3 (/'= 1|2,3). Отсюда вытекает, что перемещения также дол-
должны быть функциями только Х\, Х2. Составляющие вектора пе-
перемещений даются формулами
иа = иа{хи х2), а = 1, 2, «3 = const. A)
Обратно, если считать справедливыми формулы A), то получим
8ар = у(«а,р + "р,а). «=1, 2, B)
8/3 = 0, /=1, 2, 3. C)
Связи между напряжениями и деформациями при учете соот-
соотношений C) примут вид
<тар = 2цеар + Л,баре, е = «„.„, а, р=1, 2, D)
<т33 = Яе, 0,3 = 0, ст2з = 0- Dа)
Так как еар зависят только от хи х2, то и <тар зависят от этих
переменных. Сложим нормальные напряжения <тц и <т22- В-ре-
В-результате получим
E)
Исключая из уравнений Dа) и E) величину е, найдем следую-
следующую связь между нормальными напряжениями:
0зз — v@ц + 02г) = 0. V=2(n + ;i) ' F>
6.2. Плоское деформированное состояние 307
Если на тело будут действовать массовые силы, то два первых
уравнения равновесия примут вид
*ра.р + Х« = 0, Xa = Xa(Xl,x2), а, р = 1, 2. G)
Третье уравнение равновесия
+ д2о2з + дз^зз + Х3 = 0 (8)
превратится в тождество, ибо Х3 должна равняться нулю (суще-
(существование этой составляющей массовых сил вызвало бы напря-
напряжения и деформации, зависящие от х3, что противоречит при-
принятым допущениям), напряжения о\з и о2з равны нулю, а <тзз не
зависит от х3.
Если теперь напряжения выразим через деформации, а де-
деформации через перемещения, то в результате получим систему
двух уравнений в перемещениях:
e = dxiix -f д2и2, а = 1, 2.
Определенное соотношениями A) — (9) плоское деформирован-
деформированное состояние имеет простую механическую интерпретацию.
Именно в таком состоянии будет находиться бесконечно длин-
длинный упругий цилиндр (рис. 6.1), нагруженный по боковой по-
поверхности силами р = (pi, р2, 0), в предположении, что состав-
составляющие рь р2 не зависят от х3. При таком типе нагрузки произ-
произвольное сечение цилиндра хъ = const после деформации не изме-
изменит своего положения, так что справедливы условия «3 = 0,
е3з = 0. В сечении цилиндра Хз = const действует равнодействую-
равнодействующая сила N = Г a33dA, где А — площадь сечения цилиндра.
А
В таком деформированном состоянии находится бесконечный
цилиндр, свободный от нагрузок на боковой поверхности и на-
находящийся под действием массовых сил X = (Xlt X2, 0), не зави-
зависящих от переменной х3. К уравнениям в перемещениях (9),
описывающим деформированное состояние цилиндра, следует
добавить граничные условия. Эти условия принимают вид
Ра = °$апр а, р=1, 2, хеД A0)
если на боковой поверхности цилиндра заданы нагрузки ра, и
«a = faW. ХеЛ, A1)
если на границе цилиндра заданы перемещения.
Возможны также смешанные граничные условия, например
типа A0) на Si и типа A1) на s2, где через Si и S2 обозначены
части контура сечения цилиндра.
308
Гл. 6. Двумерные задачи эластостатики
Итак, мы имеем два пути для исследования плоского дефор-
деформированного состояния: решение уравнений в перемещениях
(9) с условиями A0) или A1), либо решение уравнений в на-
напряжениях, которые сводятся к бигармоническому уравнению
для функции Эри. Первый путь удобен, когда граничные усло-
условия заданы в перемещениях, второй — когда они заданы в на-
напряжениях.
РИС. 6.1.
РИС. 6.2.
Мы займемся подробно вторым путем. К бигармоническому
уравнению для функции Эри
V,ViF = 0 A2)
следует добавить граничные условия. Рассмотрим бесконечный
цилиндр, нагруженный по боковой поверхности поверхностными
силами р == (Рь р2, 0) (рис. 6.2). Граничные условия A0) сле-
следует выразить через функцию F. Мы получим
Ра
- <Z, P = 1, 2;
A3)
или после расписывания
Pi = nidlF — d AF< P2= - nx
Так как
n2d\F.
n, = cos(n, xl) = -1±, n2 = cos(n,
6.2. Плоское деформированное состояние 309
то
A4)
Проинтегрируем уравнения A4) на границе s, начиная от про-
произвольно выбранной точки А:
d2F — (d2F)Q = Г plds = Pl (s),
, A5)
a,F—(a,FH = —J p2ds P2(s).
Для цилиндра в односвязной области можно пренебречь посто-
постоянными величинами (diFH и (d2FH. Эти величины не влияют на
значения напряжений. На основании формулы A5) убеждаемся,
что вдоль ненагруженной границы diF и d2F являются постоян-
постоянными величинами.
Функции Pi(s), P2(s) трактуем как главные векторы нагру-
нагрузок р\, Pi, действующих на участок границы, ограниченный двумя
произвольно выбранными точками А и В,
Формулы A5) можно трактовать как первый вид граничных
условий для бига-рмонического уравнения A2).
Другой, более удобный вид получим на основе следующих
рассуждений. Определим функцию F, используя соотношения
E>
F = f (d,/7 dxx + d2F dx2) = J (P, dxs — Р2 dx{).
А А
Проинтегрируем по частям. Тогда
в
F--=\ Р{х2 \вА-\Р2х{ Е- J (x2dPl-xl dP2). A6)
А
Принимая во внимание, что Ра= j pads, преобразуем уравне-
уравнение A6) к окончательному виду
в в
F - J Pl (x'2 - х2) ds+jp2 (*, - х[) ds = g (s). A6a)
А А
Последняя формула допускает следующую механическую ин-
интерпретацию. Функцию F на границе s можно трактовать как
момент сил ра, действующих на границе s между точками А и В,
относительно вертикальной оси, проходящей через концевую
310 Гл. 6. Двумерные задачи э ласт о статики
точку В. Второе граничное условие получим из выражения для
производной функции F по нормали (рис, 6.2):
дп dxi ' ' дх2 ds ' ds z
Подставляя в это выражение соотношения A5), получим
Правая часть этого уравнения известна; она определяется задан-
заданными на границе нагрузками, а также формой границы.
Уравнения A6) и A7) представляют собой второй вид гра-
граничных условий, связанных с бигармоническим уравнением
A2):
F = 8(s), U = Fn = A(s). A8)
После решения бигармонического уравнения A2) с условиями
A5) или A8) определяем напряжения по формулам
(Тар = — F, ар + бар^", w> а> Р = 1 > 2,
азз-vVfF.
Для определения деформаций еар воспользуемся формулами
<Ч = -2^Кр — vMffii + ff22)l> а. Р=1, 2. B0)
Эти формулы получим из решения уравнений D) и Dа) от«
носительно деформаций. Подставляя формулы A9) в B0),
получим выражения для деформаций через производные функ-
функции F:
Нам остается определить составляющие вектора перемещения,
исходя из деформаций:
д2щ = 2е12. B2)
После интегрирования двух первых уравнений, принимая во
внимание формулы B1), получим
B3)
Здесь fi(x2) и f2(ati) играют роль произвольных функций, кото-
которые нужно определить из граничных условий задачи, учитывая
6.2. Плоское деформированное состояние 311
дополнительное условие, вытекающее из третьей формулы B2):
^ l. B4)
Рассмотрим теперь плоское деформированное состояние с учетом
массовых сил Ха (а = 1,2), которые обладают потенциалом Ф:
*а=-Ф,а. B5)
Уравнениям равновесия
<V.p + *a = 0, <Теа.э-=Ф.а B6)
мы удовлетворим, выражая напряжения aag через функцию Эри
F и функцию Ф следующим образом;
(Тар = — F, afi + dop/\ w + ^арФ- B7)
Подставляя в уравнения Бельтрами — Мичелла
^ap + TT7 S. в& = - (*„. р + *В. а) - Т^Т 6a0XY. V
Vlff33 = - 1^7 ZV. V S==ail+(T22 + (T33' а' P. V=l. 2,
зависимость B5), получим следующую систему уравнений:
^ ^ 2Ф ар,
B9)
Умножая первое из этих уравнений на 6ар и учитывая второе
из уравнений B9), получим для суммы нормальных напряже-
напряжений следующее соотношение:
b C0)
Но из соотношений B7) вытекает, что аи + а2г = V?/7 + 2Ф.
Подставляя эту зависимость в C0), находим следующее неод-
неоднородное уравнение для определения функции F:
Правая часть этого уравнения равна нулю, когда Ф является
гармонической функцией, например тогда, когда массовые силы
линейны по xi и х2. С уравнением C1) мы встретимся в гл. 8
при обсуждении двумерных задач термоупругости, где исполь-
используется так называемая аналогия массовых сил для определения
температурных напряжений.
312
Гл. 6. Двумерные задачи эластостатики
Задачу о плоском деформированном состоянии можно решать
также в перемещениях. Исходным пунктом являются тогда урав-
уравнения в перемещениях (9). Поступая точно так же, как в § 5.3,
представим уравнение (9) в операторном виде
T-
C2)
где
=1- 2.
Выразим перемещения иа с помощью векторной функции Х==
s(Xii %2> 0) следующим образом:
откуда
ы,=
ы2 = - L21x,
Xi
X2
Ll2
^22
U2
L21
Xi
x2
C3)
C4)
Если подставить формулы C4) в C2), то получим систему урав-
уравнений
Za = 0, a=l, 2. C5)
Соотношения C4) и уравнения C5) можно представить в век-
векторном виде
fr —JfegraddivX, C6)
C7)
где
j, 0), Х-е(х„ Ха. О)- X =
2, 0).
Вектор х является двумерным вектором Галеркина. Его введе-
введение сводит систему эллиптических уравнений C2) к системе
двух неоднородных бигармонических уравнений C5).
Зная функции %а, определяем напряжения по формулам
^W Y], C8)
a, P=l, 2.
Величину азз получим из формулы
—2v
C9)
6.3. Плоское напряженное состояние
313
В случае тел простой формы, таких, как упругое полупростран-
полупространство или упругий слой, для определения поля перемещений до-
достаточно только одной функции. Если xi = 0. Ха = Ъ то
) D0)
Напряжения аар даются формулами
6.3. Плоское напряженное состояние
Рассмотрим конечный цилиндр, характеризующийся тем, что
его высота мала по сравнению с размерами его сечения. Такой
цилиндр называется диском. Пусть ось цилиндра параллельна
оси х3, а боковая поверхность
нагружена поверхностными си-
силами р\, /?2, распределенными
симметрично относительно средин-
срединной плоскости х3 = 0 (рис. 6.3).
Пусть на диск действуют массо-
массовые силы X == (Х[, Х2,0), также
распределенные симметрично от-
относительно плоскости хз = 0.
Плоскости х3 == ±h свобод*
ны от нагрузок. Под действием
нагрузок в диске возникает трех-
трехосное напряженное состояние,
в которое входят все составляю-
составляющие напряженного состояния о^ (t, / = 1, 2, 3) как функции пере-
переменных Х\, Х2, Хз-
Рассмотрим третье уравнение равновесия
Ihpds
РИС. 6.3.
0 A)
и'перейдем в этом уравнении к пределу при x3->+h и при
х3 ->—h. Так как на границе х3 = ±h
al3{xv x2,± h) = 0, а2з(*1, х2, ± Л) = 0, аъз{х{, х2,± h) = 0, B)
то на этой границе исчезают также производные напряжений
(Ti3 и 023 по переменным х{ и х2. Из уравнения A) при х3 = ±Л
останется соотношение
I д3стзз к=±л —0-
Итак, на границе x3 = ±h исчезают как напряжение а3з, так
и его производная по х3. Поэтому не будет большой ошибкой
принять, что в тонких дисках напряжение стзз является малым
314 Гл. 6. Двумерные задачи эластостатики
по отношению к напряжениям огар (а, р = 1,2). Итак, допустим,
что азз = 0 в каждой точке диска. Это упрощение будет тем бо-
более оправданно, чем меньше толщина диска по сравнению с ос-
остальными линейными размерами.
Займемся остальными уравнениями равновесия:
д{аХа + д2а2а + д3а3а + Ха = 0, а = 1, 2. C)
Проинтегрируем последнее уравнение по толщине диска
+ д2а2а + д3а3а + Ха) dx3 = 0. D)
-л
Заметим, что
л
J d3a3a с?х3 — <*за (-«1. -Ь ± А), а = 1, 2. E)
-л
Последний интеграл равен нулю в силу предположений B), со-
согласно которым отсутствуют нагрузки в плоскостях x3 = ±h.
Таким образом, уравнение D) можно представить как
<Ve + *; = °> «,0=1,2, F)
где величины
Л Л
ladX Х
V Ха = /Г J X*
-h -h
являются средними значениями напряжений огар и массовых сил
Ха по толщине диска. Таким образом, мы получили систему
двух уравнений равновесия, в которой средние значения напря-
напряжений и массовых сил зависят только от переменных х\ и х2.
Заметим, кроме того, что при симметричных относительно
плоскости х3 = 0 поверхностных силах ри Рг и массовых силах
Х\, Х2 напряжения в\3 и а23 являются антисимметричными отно-
относительно этой плоскости, так что
Л
-л
Итак, в тонком диске толщиной 2/г, малой по отношению к ос-
остальным линейным размерам, напряженное состояние прибли-
приближенно описывается тензором
ап °\i °
сг2*, <4 0 • G)
0 0 0
6.3. Плоское напряженное состояние
315
Такое состояние называется обобщенным плоским напряжен-
напряженным состоянием.
Из условия о*[3 = 0 (/ = 1, 2, 3) вытекает, что ')
и что
а*3 = 0 = 2це-3 + U\ е* = ej, + е*2 + е*3.
Из условия (9) найдем, что
el = дм\ = —
Если теперь подставить е*3 в соотношения Гука
(8)
(9)
то получим
A0)
Мы видим, что деформированное состояние е*^ связанное с
обобщенным плоским напряженным состоянием, описывается
тензором
(И)
Подставим соотношение A0) в уравнения равновесия F), ис-
используя одновременно зависимости
•
«2,
0
822
0
0
0
езз
1
еаР == ~2 \иа. р "Г "р. а).
В результате получим уравнения в перемещениях
A2)
а,
= 1. 2.
A3)
К этим уравнениям следует добавить граничные условия. На
границе могут быть заданы либо средние перемещения
а=1,2,
A4)
') Очевидно, здесь eag обозначает средние (по толщине) значения де-
деформаций.
316 Гл. 6. Двумерные задачи эластостатики
либо нагрузки
где
А
, 1
-Л
Выполним теперь свертывание в уравнениях A3). В резуль-
результате получим уравнение
1-Y, Yi- AYi Y — U.
Но из уравнений A0) найдем, что
Исключая из A6) и A7) величину и*у у = е'и -{-е]2> приходим
к следующей связи между суммой нормальных напряжений и
дивергенцией массовых сил:
Вводя функцию Эри F* для обобщенного плоского напряжен-
напряженного состояния
и = -^а, + К^Г' A9)
приводим уравнение A8) к виду
Если в диске отсутствуют массовые силы, то функция Эри F*
становится бигармонической функцией. Если массовые силы об-
обладают потенциалом (Z* = —Ф_ J, уравнение B0) примет вид
— ЗЯ + 2ц
— 2(Я + ц)
Как легко было заметить, дифференциальные уравнения для
плоского деформированного состояния и обобщенного плоского
напряженного состояния (при наличии массовых сил) разли-
различаются только коэффициентами. Можно также легко показать,
что в случае обобщенного плоского напряженного состояния
получаются те же граничные условия, что и для плоского те-
формированного состояния. На границе s диска имеем
F' = 8(s)> ^ = h^ B2)
6.3. Плоское напряженное состояние 317
причем функции g(s) и h(s) даются формулами A6а) и A7)
§ 6.2, где вместо р\, р% нужно подставить величины р\ и р*.
В дальнейших выкладках, касающихся дисков, будем обо-
обозначать напряжения и деформации символами <тар, еар, памятуя
о том, что здесь речь идет о средних значениях напряжений и
деформаций по толщине диска.
Разрешая уравнение A0) относительно деформаций, имеем
8ав=-р [A + ^)ааз — vs6aB], s = an+a22, a, 0 = 1,2, B3)
B4)
Учитывая, что
j
получим после интегрирования
Ещ = f (а„ — va22) dxx + f{ (x2),
; B5)
Ещ= J (a22 — vo,1)dx2 + f2U1).
Подставляя формулы B5) в соотношения
получим
2оп — vd2a22) dx, + J (д{а22 —
или
J a2an rfjc, -+- J dxandx2 — v J
— v J (a,a21 + d2an)dxx + d2f, + 5,f2 = 2a12.
Но подчеркнутые выражения совпадают с левыми частями урав-
уравнений равновесия, т. е. равны нулю. Условие B6) примет вид
д2ап dxx + j di<r22 dx2 + d2f{ + dJ2 = 2a12. B7)
Выражая напряжения через функцию Эри, получим
J d\Fdx, + J d\Fdx2 + dtU + dif2 + 25^2^ = 0. B8)
Если мы знаем функцию Эри F, то перемещения определим по
формулам B5), а функции f1; f2 — из граничных условий, учи-
318 Гл. 6. Двумерные задачи эластостатики
тывая зависимость B8). Часто уравнение B8) удаегся пред-
представить в виде
= G, (x2) + G2 (Xl). B9)
ожем сразу опред<
f, (х2) = f G, (x2) dx2 + E{u\- ш°х2),
В этом частном случае мы можем сразу определить функции
fi и f2, а именно
= \G2
C0)
5 + со0*,).
В последних формулах и\ и «^ обозначают перемещения, а
ш° — угол поворота диска как твердого целого.
В случае тонкого тела с прямолинейными параллельными
границами (полоса, полуполоса, прямоугольная пластинка)
функция F является суммой частных решений типа
sin a*, /' 1 sin §хг )'
{sin cu, J' I sin $x2 J
В этих частных случаях мы имеем уравнение
dah+d,fa = O.
Решения C0) примут здесь вид
Цх2) = Е №-<*%), 12{хх) = Е{и1 + ^\). C1)
Величины и!\, и\, ш° надо определить из граничных условий
задачи.
В некоторых случаях в цилиндрическом теле может возник-
возникнуть напряженное состояние оц(х\, х2, хг), i, j= I, 2, 3, харак-
характеризующееся тем, что три составляющие тензора напряжений,
а именно сг,-з, равны нулю. С таким напряженным состоянием
мы встречаемся, например, в задачах об установившихся тем-
температурных напряжениях, возникающих в полупространстве и в
упругом слое (формулы B5) § 8.4). Такое напряженное состоя-
состояние .называется плоским напряженным состоянием. Для этого
состояния остаются справедливыми формулы G)—C0) настоя-
настоящего параграфа. Однако следует помнить, что средние значения
напряжений в обобщенном плоском напряженном состоянии за-
зависят от переменных xit х2, в то время как составляющие напря-
напряжений и перемещений в плоском напряженном состоянии зави-
зависят от переменных хи Хг, хъ.
6.4. Упругое полупространство в плоском деформированном, состоянии 319
6.4. Упругое полупространство,
находящееся в плоском деформированном состоянии
Рассмотрим упругое полупространство Х\ ^ 0, нагруженное
на границе Х\ = О силами, зависящими только от переменной Хч.
В полупространстве будет осуществляться плоское деформиро-
деформированное состояние; напряжения, деформации и перемещения не
будут зависеть от переменной х3.
Эту задачу удается решить непосредственно, без введения
функции Эри1). Исходным пунктом здесь будут уравнения рав-
равновесия и уравнения геометрической неразрывности, выражен-
выраженные в напряжениях. Первые два уравнения в предположении,
что Xi = Х2 =0, имеют вид
д1ап + д2о21 = 0, A)
<Vi2 + д2о22 = 0. B)
Уравнение неразрывности
dh22 + dhu = 2dld2ei2 C)
запишем, используя соотношения B0) § 6.2, так:
d}[a&—v(au + а22)] + dl[au — v(an + <%)] = 2d,d2a,2. D)
К уравнениям A), B) и D) применим однократное преобразо-
преобразование Фурье, определенное соотношениями
оо
f (х„ а) = -/= J / (*i, х2) е^ йх2,
(б)
/(*„ x2) = l
Умножим уравнения A), B), D), на еСаХг и проинтегрируем
по х2 от — оо до + оо. Вводя обозначение D = djdxi, приводим
уравнения A), B), D) к системе обыкновенных дифференци-
дифференциальных уравнений:
Dau —ma12 = 0,
Dol2 — iaa22 = 0, F)
— a2[au — v(an + 522)] + D2 [522 — v (au + a^)] = — 2taD5l2.
Исключим из этой системы уравнений величины сгзг и 5i2. В ре-
результате получим обыкновенное дифференциальное уравнение
четвертого порядка
(D'-a^Sn-O. G)
Аналогичные уравнения получаем для ап и 522.
4) И. Н. Снеддон, Д. С. Берри, см. список литературы.
820 Гл. 6. Двумерные задачи эластостатики
Предположим, что на границе Х\ = 0 действует вертикаль-
вертикальная нагрузка р(х2) в положительном направлении оси Х\. Счи-
оо
таем при этом, что интеграл \ \ p(x2)\dx2 ограничен. После
— оо
применения к граничным условиям
ап@, х2) = — р (х2), а12 @, х2) = 0
интегрального преобразования Фурье имеем
ап@, a) = -j5(a), a12@, a) = 0, (8)
где
Решение уравнения G) с учетом того, что при I х\ + х\ | -> оо
напряжения должны исчезать, имеет вид
du(x1,a) = (A + Bxl)e-l«\*. (9)
Из первого уравнения системы F) находим
iadl2(xu a) = e-|aU[fi — (<4 + *,fi)aJ. A0)
Постоянные А, В определяем из граничных условий (8): А =
= —р(а), В = Ла. Поэтому
du = -p(a)(l + aXl)e-\«\\ (И)
а,2 = —ф (a)aAr,e-la'x'. A2)
Из второго уравнения системы F) получим
Ста2 = -Р(а)A— cu,)e-lal*.. A3)
Применяя к а,,, а12, а22 обратное преобразование Фурье по
формуле E), находим
A4)
6.4. Упругое полупространство в плоском деформированном состоянии 321
Разобьем функцию р(х2) на симметричную ps{x2) и антисиммет-
антисимметричную ра(*2) относительно оси Х\ части. Тогда
p(a) = pAa) + ipa(a), A5)
где
оо
Ps (а) = -у— \ ps (x2) cos ax2 dx2,
Л ~2 A6)
ра(а) = —=¦ j pa (x2) sin ax2 dx2.
—-оо
Подставляя формулу A5) в формулы A4) и принимая во вни-
внимание тот факт, что напряжения являются действительными ве-
величинами, получаем следующие формулы для напряжений:
а„
= J (I +a^)e-lal^[pJ(
_ оо
оо
Тл==- J (I — axJe-Wt'lpsi
A7)
— pa(a)cosax2]da.
Рассмотрим частный случай, когда в начале координат дей-
действует единичная сосредоточенная сила (рис. 6.4)
Подставляя формулы A8) в A7) и выполняя указанное инте-
интегрирование, находим
а,, = — — [ A + а*!) е-а*> cos ax2 da = , 2 ' 2.2-,
а п \х\ -г Х2)
ОО rt
о22= — -j J A — ахиб-адс- cosax2 da — — — , 2 ' ^ , A9)
аи = — j ae— sin ax2 da — - ^у, х, > 0.
В. НовацкиП
322
Гл. 6. Двумерные задачи эластостаЪики
Напряжения аи и а
оси *2, напряжение
сжимающие и симметричны относительно
n антисимметрично относительно этой оси,
d»
t
РИС. 6.4.
В полярной системе координат (г, 9) получим следующие фор-
формулы для напряжений:
2 2
а,, = cos3 8, а22 = — — cos 8sin28,
о
o{2 = — — cos2 8 sin Э
B0)
orr = — — cos 8, aee = 0, ar6 = 0.
B1)
Здесь arr=Oi, cree = 02 — главные напряжения. Максимальное
значение касательного напряжения подсчитывается по формуле
B2)
Линии главных напряжений определяются семейством лучей и
концентрических окружностей. Для г = const напряжение ап
изменяется по косинусоиде, принимая при 8 = 0 наименьшее зна-
значение, а на границе полупространства нулевое значение. На-
Напряжение On имеет в начале координат особенность порядка
Иг.
Пусть теперь сосредоточенная сила, перпендикулярная к гра-
границе Xi = 0, действует в точке Х\ = 0, х2 = ?2- В этом случае
6.4. Упругое полупространство в плоском деформированном состоянии 323
напряжения принимают вид
2
aii(*i, х2; О, |2) =
С22 \Х\, Х2\ О, g2) ^ 1
(*2 -
ГТ212- •
— |2) J
B3)
• (г у ¦ П М 2 x
uU,, j^f О, Ы— [*?
Функции B3) можно трактовать как функции Грина для за-
задачи о полупространстве, нагруженном силами, перпендикуляр-
перпендикулярными к границе.
РИС. 6.5.
Если на границе Х[ = 0 действует нагрузка р = ро=_ const
на отрезке — а <; хх ^ + а (рис. 6.5), то
(хх, х2) = J рооЬ (хи х2; О,
= - -g- [2 (92 - в,) - sin 292 + sin 2921, B4)
где
tg91 = -
. Sine, =
хг-\- а
Для остальных напряжений находим
о22== —-^-[2(92 —9,) —sin292 + sin291],
©и == — -7Г- (cos 29, — cos '¦
11*
B5)
324 Гл- 6- Двумерные задачи эластостатики
Для точек, лежащих внутри отрезка (— а, +а),
Оц@,х2) = — ро, о22 @, х2) = — р0, а12 @, х2) = 0.
Для точек, лежащих справа и слева от точек @, а), @, —а),
напряжения на оси х2 равны нулю.
Рассмотрим далее действие касательных сил s(x2), прило-
приложенных на границе Х\ = 0. В этом случае имеем граничные
условия
а„ @, х2) = 0, а12 @, х2) = - s (x2). B6)
Здесь мы предположили, что нагрузка s(*2)>0 действует в
положительном направлении оси х2.
Применим к граничным условиям B6) преобразование
Фурье
а,! @, а) = 0, а12 @, а) s (а), B7)
где
(a) = -±=r J s(x2)el«x>dx2.
Из соотношений (9) и A0) для jci == 0 получим А = 0, В =
==—is (а) а. Итак, из формул F) и (9) имеем
У 2л
У 2я
оо
Г s(a)ae-l
B8)
оо
Г s(a)(l—
Нагрузку s(*2) разделим на симметричную ss(x2) и антисиммет-
антисимметричную sa(x2) части. Тогда
a(a), B9)
где
ss (a) = -7= J ss (a;2) cos ax2 dx2,
— 00
00
J sa(x2) sin aA;2
6.4. Упругое полупространство в плоском деформированном состоянии 325
Подставив формулу B9) в формулы B8) и взяв действитель-
действительные части интегралов (так как напряжения являются действие
тельными величинами), получим
ог„ =
уш
l
Г [So (a) cos ах2 — ss (а) sin ах2] ае~ I"'-*1 da,
—оо
CD
I [ёа(а) c°sa>X2^ss(a)sinax2]B--axl)e~lalxida, C0)
оо
012= ^=- Г [sa(a)s\nax2+ss(a)cosax2](l--axl)e-M*'da.
Рассмотрим частный случай действия единичной сосредоточен-
сосредоточенной силы, касательной к границе, приложенной в начале коор-
РИС. 6.6.
РИС. 6.7.
динат и направленной по оси х2 (рис. 6.6). Нормальные напря*
жения аи, а2г будут тогда антисимметричными, а напряжение
Oi2 — симметричным относительно оси Х\. Нагрузка на границе
jci = 0 примет вид
sa(x2) =
Учитывая, что
C0S
326 Гл. 6. Двумерные задачи эластостатики
получим из формул C0) следующие выражения для напря-
напряжений:
°° о „2_
1 °° 2 х3
ii= —— \ {2 — axl)e-ax's\nax2da = ¦, 2 2 2.2 , C1)
" 5 я \хх + х2)
00 9
*« 4" f A — cu?i) e-a;Cl cos ax2 da = —— . 2 ' \
Заметим, что напряжение a22 в начале координат имеет особен-
особенность, ибо при xi = 0 имеем а22@, х2) = —2/(я*2).
В полярной системе координат имеем (рис. 6.7)
2 2
а,,= cos2 8 sin 8, а22 = — — sin3 8,
O12 = — -„7 COS 0
arr = - -^r sin 8, aee = 0, ar9 = 0. C2)
Как видно из этих формул, Orr и (Tee суть главные напряжения.
Мы имеем дело с радиальным распределением напряжений. При
заданном 8 напряжение агг обратно пропорционально г и имеет
особенность в начале координат. Для заданного г величина а„
изменяется с синусом угла 8, принимая экстремальные значения
при 8 = ±я/2 и нулевое значение при 8 = 0.
Рассмотрим случай, когда граница упругого полупростран-
полупространства Х\ ^ 0 нагружена силами, изменяющимися периодически
в направлении оси x<i. Ограничимся рассмотрением нагрузок,
перпендикулярных к границе.
Выразим напряжения стар (а, Р= 1, 2) с помощью бесконеч-
бесконечных рядов в комплексной форме:
<ЙЫв-|вЛ. ««=1Г- C3)
Подставляя формулу C3) в уравнения A), B) и D), получим
систему обыкновенных дифференциальных уравнений
C4)
о* [ <%>- v (aft'+Ol+Я2 [8JS»-v
6.4. Упругое полупространство в плоском деформированном состоянии 327
Исключение функций a{2f и a\f приводит к дифференциальному
уравнению"
(D2-alfa\f = 0. C5)
Аналогичные уравнения получим для функций a2f и д{$.
Представим вертикальную нагрузку р(х2), действующую в
плоскости Х\ = 0 в отрицательном направлении оси Х\, с по-
помощью ряда
S V' ^± \{Wel^dh. C6)
—a
Величины a',11 и д{$, удовлетворяющие уравнениям C4) и C5),
имеют вид
C7)
(xi, а„) = в а«'^[Вп-(Ап + jc.B»)а„].
Из граничных условий
Оц@, х^=>р(х2), о12@, х2) = 0, C8)
которые можно представить в виде
определим постоянные Ап, Вп: Ап = рп, Вп = апАп. Поэтому
a22=Re S ^'(l-a^Oe-l0»!*»-»*», C9)
Разделяя р(х2) на симметричную ра(х2) и антисимметричную
/?0(д;2) части:
328
Гл. б. Двумерные задачи эластостатики
Из формул C9) получим следующие выражения для напря-
напряжений:
(Т22=
D0)
Здесь
a
C0S "
#> cos anx, - p{sn) sin а„х2).
a
2- PL"' = i J Pa N S''n
Рассмотрим полупространство X\ ^ 0, представленное на
рис. 6.8 и нагруженное симметрично относительно оси Х\. На-
-%Га-Ь
РИС. 6.8.
грузка уравновешена реакциями опор рь причем из уравнений
равновесия для нагрузок вытекает, что
В рассматриваемом случае р{?) = 0 и
(аТс ? \
р J cos а„х2 d*2 — Pi J cos anx2 dx21 =
р!?)=о.
рам)",.
лсп
= ~-, D1)
6.4. Упругое полупространство в плоском деформированном состоянии 329
Напряжения получим по формулам D0), подставляя вместо рEп)
выражение D1) и р(ап1 = 0. Полученные формулы
(Гц = — Ц- ^ -Цр- A + а„*,) е а«*' sin а„с cos а„х2,
(Т22 = —
а12 = -
(_ 1)" e-Vi sin а„с sin а„д:2
удается представить в замкнутом виде1). Входящие в формулы
D2) коэффициенты
sin anc cos а„х2 = у (sin пл^2 — sin
since sinа„%= — 2-(smnn?i +cosnn?2)>
f. Хг + С у Хг — С
fei 2 ' b2— 2 '
выразим с помощью суммы и разности двух выражений и ис-
используем соотношения
2 (ch ЯТ] + cqs Jt?) '
1 a
На рис. 6.8 представлены графики напряжения ст22 в сечениях
^2 = 0их2 = За.
Интересный способ решения задачи об упругом полупро-
полупространстве дал Пейн 2). Этот метод, называемый методом дейст-
*) Girkmann К., Flachentragwerke, Springer, Wien, 1948.
2) Payne L. E., Technical Note BN-66, 1965, University of Maryland.
330 Гл. 6. Двумерные задачи эластостатики
вительных потенциалов, основан на разложении функции Эри
на потенциальные функции действительной переменной:
F = %l-x^. D3)
Функции %а (а =1,2) являются гармоническими, удовлетво-
ряющими уравнению Лапласа V2%a = 0. Здесь мы имеем анало-
аналогию с решением задачи об упругом полупространстве при по-
помощи метода Треффца, когда бигармоническую функцию m
представляют в виде м, = Фг + *i%,i-
Подставляя формулу D3) в выражения для напряжений
V^, D4)
находим
D5)
12
Последние соотношения значительно упростятся, если ввести
две новые гармонические функции
<Pa = diXa, a=l, 2. D6)
Подставив их в формулы D5), получим
D7)
(т12 = — д2 (Ф1 — ф2 — Xid{(p2).
Рассмотрим граничные условия в плоскости Х\ = 0, огра-
ограничивающей упругое полупространство. Если на границе заданы
касательные нагрузки <з\ч = —s(a;2), to из первого уравнения
D7), согласно условию стц@, x<i) = 0, получаем ф1 = 0. В этом
случае единственной неизвестной функцией будет функция ф2,
так как ф1 = 0 во всей области. Если на границе Х\ = 0 задаем
граничные условия стц@, jc2) = — р(х2), в\2@, х2) = 0, то, как
вытекает из третьего уравнения системы D7), граничное усло-
условие cTi2 @, х2) = 0 будет удовлетворено в предположении, что
ф1 @, х2) = фг(О, х2), т. е. ф1 = фг во всей области.
Рассмотрим более подробно именно этот случай. Так как
Ф1 = Фа •= ф, упростим соотношения D7):
D8)
6.4. Упругое полупространство в плоском деформированном состоянии 331
Из первой зависимости D8) получим
Учитывая, что функция di(p = ¦§ также является гармонической
функцией, мы должны решить уравнение
Vfy = 0 E0)
с граничным условием -ф @, х2) = р(х2).
Зная функцию ij), а тем самым функцию д\<$, определим на-
напряжения оа$ по формулам D8). Применяя технику интеграль-
интегрального преобразования Фурье, находим решение уравнения Ла-
Лапласа E0) с граничным условием -ф @, *2) = р(х2) в виде
00
у = -^ = -~ J p(a)exp[—axi—iax2]da, E1)
где
P(a) = yL J р(х2)е'«*>с1хг
—оо
Если функция р{х2) является четной, то
— °° .— °°
2 Г / 2 Г
— р (a) e~ax' cos ax2 da, р(а) = ~[/ —- p(x2)cosax2dx2.
о а
Для нечетной функции р(х2) имеем
00 00
^=у 4* 1 ^ ^ e~axi sin "^da> ^ ^ = V it J
^sin а*2 ах*
Метод Пейна позволяет также достаточно простым способом
решить несколько задач со смешанными граничными условиями.
Решение такого типа задач читатель найдет в цитированной
выше работе Пейна.
В пространственных задачах теории упругости с успехом ис-
используются функции Папковича — Нейбера. Эти функции ши-
широко применяются и в двумерных задачах теории упругости.
Вектор перемещения
u = grad (ф + г • Ч>) — 4 A — v) t|> E2)
выражается через три функции: скалярную ф и векторную
^^(ij)!, i|J, 0). Расписывая уравнение E2) по компонентам
вектора, имеем
щ = д,ф + д, (д;,^, + х2$2) —¦ 4 A — v) i|),, E3)
«2 = д2ф + д2 {х^ + х.$2) — 4A —vL>2. E4)
332 Гл. 6. Двумерные задачи эластостатики
Рассмотрим упругое полупространство х\ ^ 0 с заданными на
границе перемещениями
«1 @, х2) = /, (х2), «2 @, х2) = f2 (x2). E5)
Для решения этой задачи достаточно двух функций. Удобно
(из-за наличия границы х\ = 0) положить ijJ = 0. Тогда
E6)
E7)
где у. = 3—4v. Граничные условия E5) принимают вид
E8)
Функции ф, if являются гармоническими в области Х\ ^ 0, т. е.
они должны удовлетворять уравнениям
0, Vfy = 0 E9)
с граничными условиями E8) и условиями ф->0, \|>->0 при
х\-{-х\-+°о. Применяя к решению задачи интегральное преоб-
преобразование Фурье, представим функции ф и \|> в виде интегралов
1 °°
ф = ?^ J 4(a)e-«'-/e*da,
e-ax'-tax* da.
Из граничных условий E8), к которым применено преобразова-
преобразование Лапласа:
— аЛ(а) — xB(o) = f,(o), — шВ (а) = f 2 (а), F1)
найдем величины Л (а), В (а). Тем самым становятся извест-
известными функции ф и if из формул F0). Зная функции ф, if, опре-
определяем перемещения по формулам E6).
Представленные здесь способы решения удается без труда
обобщить на задачи об упругом слое, нагруженном по границе
силами, зависящими от переменной х2.
Рассмотрим, например, упругий слой (в плоском напряжен-
напряженном состоянии это будет пластинка) шириной 2а, не ограничен-
ограниченный в положительном и отрицательном направлении оси х2.
Предположим, что на границе х\ = ± а действует сжимающая
нагрузка р(х2), распределенная симметрично относительно оси
6.4. Упругое полупространство в плоском деформированном состоянии 333
Х\ (рис. 6.9). Предположим, далее, что а12 = О на границе
х\ = ±а, т. е. отсутствуют касательные напряжения.
Используя метод интегральных преобразований Фурье, при-
применим его к системе уравнений F) и G). Однако решение урав-
уравнения G) в случае упругого слоя несет больше информации.
А именно получаем
или
сг„ (*„ а) = (Л' + хф') е~ах' + (С +
-f
F2a)
F26)
Из двух первых уравнений системы F) определяем трансфор-
трансформанты напряжений а22> 512. Постоянные интегрирования
РИС. 6.9.
А, ..., D определяем из граничных условий, двух на границе
xi = а и двух на границе хх = — а. Рассматриваемый здесь
частный случай нагрузок (рис. 6.9) приводит к значительным
упрощениям. Так как (Гц является симметричной функцией от-
относительно плоскости Х\ = 0, то в выражение F26) не могут
входить антисимметричные функции. Поэтому С = О, D = 0. По-
Постоянные А, В определим из граничных условий (Гц (а, Хг) =
— — р(х2) и ап{а, х2)= 0.
Решение представленной на рис. 6.9 задачи сводится к вы-
вычислению интеграла
(ТМ = —
где
Я ch Я) ch ajfi — axi sh Я sh a*i ,
9, j. ,h 9a. COSOWirfa,
F3)
2Я + sh 2%
р (a) = у — J /j (*2) cos ax2 dx2.
334 Гл. 6. Двумерные задачи э/iactoctatuKtt
Эту задачу можно также решить при помощи функции Эри.
В силу симметрии нагрузки относительно плоскости х2 = О при-
применим к уравнению
V№ = O F4)
косинус-преобразование Фурье, определяемое соотношениями
. °°
F(xu <х) = у -|- J F(Xl, x2)cosax2dx2,
I-"- F5)
F(xu x2)=y— J F(xlt a)cosax2da.
о
Уравнение F4) переходит в обыкновенное дифференциальное
уравнение четвертого порядка
(D2-a2JF=0, F6)
решение которого имеет вид
F = A ch a*, -f Bax{ sh ад;, + С sh ад;, + Dax{ ch ад;,. F7)
По формулам
2, а, р = 1, 2,
получим напряжения в виде интегралов Фурье. В силу симмет-
симметрии напряжений а,, и a2i относительно плоскости х2 = 0 поло-
положим С = D = 0. Получим
i— °°
/2 Г
а,,= — у — а2 [Л ch ад;, + 5ад;, sh ад;,] cos ад;2 da,
о
о22=у ~ J а2[(А + 25) ch ад;, + Вах{ sh ад;,] cos a*2 da, F8)
о
»
-|- Г а2[(Л + 5) sh ад;, + Вахх ch ад;,] sin ад;2 da.
о
Постоянные А, В определяются из граничных условий
a,,(±a, x2)=— р(х2), о12(±.а, д;2) = 0. В результате, напри-
например, для an получается выражение F3).
Задача об упругом полупространстве и упругом слое играет
важную роль во многих областях техники. Так, в строительной
механике мы имеем дело с нагрузкой, действующей со стороны
фундамента на грунт, который с некоторым приближением
6.5. Функция напряжений Эри в полярных координатах 335
может трактоваться как упругое тело (плотный песок, скальная
порода).
С пластинами в виде балок-стенок, подкрепленных и нагру-
нагруженных в своей плоскости либо нагрузками, либо собственным
весом, мы встречаемся, например, в башенных конструкциях.
Действие сосредоточенных сил на полосу встречается в мосто-
мостовых конструкциях (передача сил с проезжей части на опоры) и
летательных аппаратах.
Этим задачам посвящена обширная литература. Подробное
обсуждение этих задач читатель найдет в указанных ниже ра-
работах') и монографии Гиркмана2), а их техническое примене*
ние, например, в работе Новацкого и Домбровского 3).
6.5. Функция напряжений Эри в полярных координатах
Во многих пластинках, особенно круглых и кольцевых и в
пластинках в форме клина, бывает удобнее представлять реше-
решения в полярных координатах. Поэтому дадим основные соотно-
соотношения и уравнения для плоского напряженного состояния в этих
координатах.
Нормальные напряжения обозначим через а„ и <тее, каса«
тельные напряжения через <тгв (рис. 6.10), деформации соответ-
соответственно через егг, еее, еге, а перемещения через иг, «е.
Зависимости между деформациями и перемещениями имеют
вид4)
диг
дг
1 <Эа„ и
+
Г [Т ~Ш + ~ЬТ
') Bay H., Uber den Spannungszustand in hohen Tragern und die Beweh-
rung von Eisenbetonwanden, Disser., Stuttgart, 1931.
Bay H., Der wandartige Trager auf unendlich vielen Stiitzen, Ing.-Arch.,
3 A932), 435.
Craemer H., Spannungen in durchlaufenden Scheiben bei Vollbelastung
samtlicher Felder, Beton u. Eisen, 4 A933).
Seewald F., Die Spannungen und Formanderungen von Balken mit recht-
eckigem Querschnitt, Abh. a. d. Aerodyn. fnst. a. d. Techn. Hochschule Aachen,
7 A927).
2) F. Girkmann, loc. cit. стр. 329.
s) Nowacki W., Dabrowski R., Silosy, metody obliczen i konstrukcja, Bu-
downictwo i Architektura, Warszawa, 1955.
4) Эти формулы получим из формул для цилиндрической системы коорди-
координат (§.4.19, формула A5)), отбросив составляющую перемещения иг и произ-
производные по ?.
336
Гл. 6. Двумерные задачи эластостатики
Связь между деформациями и напряжениями для плоского на-
напряженного состояния устанавливается формулами
°тт = 1_ц2 (егг + ve66),
Е ,
_ V2 l8ee
B)
Наконец, уравнения равновесия сводятся к двум уравнениям1):
C)
Эти уравнения будут тождественно удовлетворены, если напря-
D)
РИС. 6.10.
жения выразим через функцию Эри следующим обрааом:
_ 1 dF . 1 d*F
°rr г дг ' г2 дв2 '
_ d'F
аб8 — дг2 •
_ 1 dF _ I d^F
°гв г2 дв г дгдв'
К этим уравнениям и соотношениям следует добавить уравнение
совместности. Это уравнение, как мы знаем, приводится к виду
') Эти формулы найдем из формул B7) § 4.19, приравнивая нулю соста-
составляющие напряжения по оси г и производные по координате i.
6.5. Функция напряжений Эри в полярных координатах 337
V?(<Tn + 022) = 0. Так как сумма нормальных напряжений яв-
является инвариантом, то справедливо уравнение
К
Подставляя формулы D) в формулу E), найдем для функции F
бигармоническое уравнение в полярных координатах:
Рассмотрим вначале частный случай, а именно круглую пла-
пластинку или кольцевую пластинку, нагруженную осесимметрич-
ным способом. В этом случае напряжения, деформации и функ-
функция F не будут зависеть от угла 8. Уравнение F) упростится:
Общим решением этого уравнения является функция
F = A\nr + Br2\nr + Cr2 + D. (8)
Из соотношений D) получим следующие формулы для напряже-
напряжений:
Перемещения иг, «е могут быть функциями г и 9. Это легко про-
проверить, определяя величины иг из первого уравнения системы
A) и первого уравнения системы B). Получим
Проинтегрируем последнее уравнение по г:
+2(l-v)Br\nr-B(l+v)r + 2(l-v)Cr] +
). (Ю)
/ \ ft г
efln = -=- («inn — vrr.-i = ^Д- -4—-
Здесь f(8) является произвольной функцией переменной 8.
Из соотношения
1 . .1 <Э«„ . и.
вее~
определяем функцию
338 Га. 6. Двумерные задачи эластостатики
После интегрирования этого уравнения по 9 получим
в
„6 = i^!_ ffWdB + fAr), (ID
где f 1 (г) — функция только г. Подставим иг и ив в третье из со-
соотношений A). Так как аг& = 0, то и еге = 0. В результате по-
получим уравнение
/
о
Умножая это уравнение на г, убеждаемся, что первые два члена
зависят только от 9, остальные два от г. Поэтому
в
где а — произвольная постоянная.
Решением этих двух уравнений являются функции
Подставляя эти функции в уравнения A0) и A1), получаем
+ 2 A - v) Вт In r-B A+ v) г + 2 A -v) Cr] +
+ asin9 + YCOse, A2)
— y sin 6 + pr. A3)
В формулы для перемещений входят постоянные А, В, С, а, р, у.
Мы определим их из граничных условий.
Исследуем две простые задачи. Рассмотрим кольцевую пла-
пластинку, в которой через а обозначим внутренний радиус, через
b — внешний радиус. Пусть на границе г = а пластинки дей-
действует нагрузка ра, на границе г = Ъ — нагрузка ръ-
Вид функции On- в формуле (9) показывает, что из гранич-
граничных условий
Orr\r-a=— Pa, ^rr\r~b = — Pb (H)
можно определить только две из трех постоянных А, В, С.
Из формулы A3) видим, что член 4ВгВ/Е не является одно-
однозначной величиной. Он равен нулю для 8 = 0, но после обхода
по замкнутому контуру, помещенному внутри кольцевой пла-
пластинки, возрастает на величину 8лгВ/Е. Такая неоднозначность
физически невозможна, так что следует принять ? == 0. Остает-
Остается выражение
0„ = ?+2С, A5)
б.Ь. Функция напряжений Эри в полярных координатйх
из которого с учетом граничных условий A4) определяем по-
постоянные А и С. Окончательно получим известное решение Ламе
о„ = — ¦
Pg-Ръ
Т
_
аее— Ь2_а2
г-
A6)
В случае неограниченной пластинки с круговым отверстием
(Ь —* оо, рь = 0) получаем из формул м
A6)
В случае сплошной круговой пластин-
пластинки (при а -> 0, ра = 0) получаем состоя-
состояние всестороннего сжатия
= 0ее== — Ры <7ге =
A8)
РИС. 6.11
Рассмотрим далее представленную на рис. 6.11 пластинку,
нагруженную моментами М. Граничные условия записываются
следующим образом:
ъ ь
arr(a) =
ъ
{b) = 0, J
= M. A9)
Первые два условия показывают, что границы г = а и г ¦== Ъ
свободны от нагрузок. Третье условие выражает обращение в
нуль главного вектора напряжений в произвольном сечении
8 = const. Наконец, последнее условие указывает на то, что
действие напряжений уравновешивается изгибающим моментом.
Подставляя формулы (9) в A9), получим следующую систему
уравнений:
B0)
340 Гл. 6. Двумерные задачи эластостатики
Подставляя функцию F (8) в выражения
убеждаемся, что эти выражения с учетом двух первых уравне-
уравнений B0) равны нулю. Остается уравнение
M = -(F)ba = -A\n-t-B(b2\nb — a8 In а) — С{Ь2 — а2). B1)
Из первого и второго уравнений B0) и уравнения B1) опреде-
определяем постоянные А, В я С. Подставляя их в формулы (9), полу-
получим после простых преобразований следующие формулы:
B2)
где
Перемещения иг% «6 определим по формулам A2) и A3). Вхо-
Входящие в них три постоянные а, р, у вычислим, используя три до-
дополнительных условия.
Потребуем, чтобы точка Р с координатами [г = (а + Ь)/2,
9 = 0] была жестко закреплена. Поэтому примем, что
ur(R,0) = 0, ue(R, 0) = 0, (^) =0, R = ^- B3)
6=0
Эти три условия дают
р^ + « = 0, р —0.
Так как р = 0, то и а = 0. Из трех постоянных а, р, у отличной
от нуля остается только величина у. Определим ее из первого
уравнения системы B3а).
Вернемся к уравнению F), в котором функция Эри зависит
от обеих переменных г и 9. Общее решение этого уравнения
6.5. Функция напряжений Эри в полярных координатах
341
было дано Мичеллом в виде
бг29 + е8
+ -у- 6 sin 9 + (а,г + V3 + air-1 + b[r In r) cos 9 +
+ -у- 9 cos 9 + (Clr -{- rf,r3 + с\г~1 + d[r In r) sin 9 -{-
(anrn + bnr-n+2 + a;r-« + b'nr-
cos
л=2
n=2
c'nr-« + d'nr-n+2)sinn6.
B4)
г
Первые три члена функции F соответствуют осесимметричному
напряженному состоянию. Выбирая со- ,р
ответствующим образом члены, завися-
зависящие от г и 8, можно найти несколько
частных решений.
Рассмотрим функцию
F = Cr8sin8.
= 0. B5)
Из формул D) получим
1С
агг rcos6, a66 = 0,
Здесь мы имеем дело с радиальным рас-
распределением напряжений. Такое состоя*
ние возникает в клине с границей
8 = ±а под действием сосредоточенной
силы, приложенной в вершине клина в рис. 6.12.
направлении оси симметрии (рис. 6.12).
Постоянную С выбираем таким образом, чтобы было выполнено
условие равновесия
Р +
Из этого уравнения получим
С = -
Поэтому
агг = —
2а + sin 2а "
2Р cos 9
Bа + sin 2а) г '
B6)
Ра. б. Двумерные задачи элйстостатики
Для а = л/2 получим
_ 2Р
гг лг
Этот случай соответствует полубесконечной пластинке.
РИС. 6.13. РИС. 6.14.
Легко можно убедиться, что функция
F = Сгв cos 6
и напряжения
о„ = — — sin 6, аее = 0, аг9 = 0, B7)
соответствуют нагружению пластинки, показанному на рис, 6.13.
Из условий равновесия
а
Р + / arrr sin 6 dQ = О
—а
определим постоянную
2а — sin 2а '
Отсюда
""" Bа — sin 2а) г '
Рассмотрим сплошную круговую пластинку, находящуюся под
действием периодической нагрузки рF) (рис. 6.14). Эту на-
нагрузку разложим в ряд Фурье в окрестности L = 2л:
ап cos лб + 2j ъп sin я8, B8)
л=1
5.6. Задана о трещине 343
где
2л
n = 0, 1, 2, ....
2л
B9)
bn = 4" \ P(8)sinrt8rf8, n=\, 2, 3
0
Так как силы, действующие на пластинку, должны находиться
в равновесии, то должны быть выполнены условия
2л 2л
p(8)cos8d8 = 0, J p(8)sin8d9 = 0. C0)
о о
Сравнивая уравнения B9) и C0), убеждаемся, что а,\ = 0, b{ =
= 0. Первый член ряда B8) ао/2 соответствует нагрузке, равно-
равномерно распределенной по границе пластинки. Этому члену отве-
отвечают напряжения <J°rr = o°m = a0j2. Соответствующая этим на-
напряжениям функция Эри примет значение F0 = а0гг/4.
Отсюда видно, что нагрузке B8) соответствует функция Эри
F = *?- + Jj (Апг» + Cnr*+*) cos пв + J] (А'пг" + Cnr«+2) sin лб.
Постоянные Ап, А'п, Сп, С'п определим из граничных условий
агг(а, 8) = р(8), агв(а, 8) = 0. C2)
Получим
пп п_ j a W' лч n_ j и ^л>
/-• ал /-•/ ^л
"' 2алA + и)' °"~2пA+и)#
6.6. Задача о трещине
Задача о трещине имеет важное значение в теории разруше-
разрушения хрупких тел. Первым занялся этой задачей Гриффите1),
исследуя разрушение стекла. Этот автор объяснял разрушение
хрупких тел существованием в теле трещин, которые увеличи-
«) Griffith A. A., The Phenomene of Rupture and Flow in Solids, Phil.
Trans. Roy. Soc, A, 221 A920), 163.
Griffith A. A., The Theory of Rupture, Proc. 1st. Int. Cong. Appl. Mech.,
Peft 1924, Technische Brekhandel Wettmann,
344 Гл. 6. Двумерные задачи эластостатики
ваются под действием растягивающих сил. Внезапное раскры-
раскрытие трещины и разрушение наступят тогда, когда растягивающие
силы возрастут до такого значения, при котором энергия де-
деформации трещин будет больше, чем энергия, необходимая для
возникновения новых свободных трещин.
Задача о трещине в тонкой пластинке была рассмотрена
в последнее десятилетие многими авторами, причем, как пра-
правило, они пользовались методом двойственных интегральных
уравнений. Обширный обзор этих задач и методов их решения
читатель найдет в двух работах Снеддона ').
Рассмотрим неограниченное пространство с трещиной длиной
2с в направлении оси х2, не ограниченной в направлении оси х3
(рис. 6.15). В большинстве задач мы интересуемся случаем,
РИС. 6.15.
когда поверхность трещины свободна от напряжений, а на бес-
бесконечности действуют растягивающие напряжения. В плоскости
Х\ = О имеем граничное условие
(Х11=(Х12 = О при — с<*2<[с, (а)
а на бесконечности
(Т12->О, ст22-»0, <хп=ро при |*2 + *2|->оо. (б)
Используя принцип суперпозиции, можно упомянутую выше за-
задачу заменить двумя следующими:
(Тц = — ро, ст12 = 0 при #1 = 0, —с^*2^с
и (в)
<г„-*-<), <т22-»0, сх12-»0 при |*2 + *||-»оо.
Так как задача является симметричной относительно плоскости
Xi = 0, можно ограничиться рассмотрением упругого полупро-
') Sneddon I. N.. Crack Problems in the Mathematical Theory of Elasticity,
North Carolina State College, Report NERD-125/1, 1961.
Sneddon 1. N., Mixed Boundary Value Problems in Potential Theory,
North-Holland Publishing Company, Amsterdam, 1966,
б.б. Задача о трещине 345
странства, в котором должны выполняться граничные условия
<Тц@, х2) = — ро* 1*21<с* (О
<т,2@, *2) = 0* — оо<*2<оо, B)
м,@,л:2)=0, U21> с. C)
Ниже мы приведем способ решения задачи о трещине, дан-
данный Снеддоном ') и основанный на сведении задачи к решению
двойственных интегральных уравнений.
В § 6.4 был представлен метод решения задачи об упругом
полупространстве при помощи интегрального преобразования
Фурье. В предположении, что 012@, #2) = О и что аи @, х2) =
= —р(х2), там были получены следующие формулы:
— 00
00
сх22 = - у= J p (a) A - «,)«-««-'«*• da, D)
cx12 = ^=
Здесь
6o
(a) = :-|=- J
является трансформантой нагрузки р(х2) =*¦—0ц(О,л:2) на оси
Х[ = 0. Следует заметить, что функция р(х2) задана только на
отрезке \х2\ < с, где р(х2) = рй.
В дальнейшем нам потребуются формулы для перемещений.
Перемещение и\ фигурирует в граничном условии C). Выпол-
Выполняя интегральные преобразования Фурье над соотношениями
баз = d2U2 =з ¦?- [022 — V (<Тц + 022)].
1/Л ^Я ^ «» E)
12 — о V 2**1 1" 1**2/ """" п '
получим
= 522 — v@n + 0гг)>
.ля.™?1» F)
') И. Н. Снеддон, loc. cit. стр. 213.
346 Гл. 6. Двумерные задачи эластостатики
Из этих уравнений, учитывая формулы A1) — A3) § 6.4, после
выполнения обратного преобразования Фурье находим
«"«."'-da,
G)
2ц1/2^Г J a
Предположим, что функция Ро(*г) симметрична относительно
плоскости *2 = 0. Симметричной относительно этой плоскости
будет также функция р(#г)- Трактуя р(а) как трансформанту
четной функции, получим из формул D)
<г„
= - у -|/ P(a) (I + «i) e-«" cos ад;2rfa,
о
2г = — у -^ J Р (°) A — aA:i) e~ajCl c°s a*2 da,
1 с. (8)
х12 = — д;, I/ — Г р (a) ae-ajCi sin ax^ da,
°°
р (а) = у -|- J p {x2) cos адг2 da.
о
В последних формулах a = \a\.
Перемещения выражаются формулами
оо
>=^г V т J *тг[2 (l ~v)+aA:i] e~aXl соэ ajC2 da-
sin
a = |a|.
Используя граничные условия A) — C)^ получим систему двух
интегральных уравнений:
»
у -^ j p(a)cosaX2da = po(x2), l*2l<c> A0)
J ?^-eosaA:2da = 0, U2|>c. A1)
6.6. Задача о трещине 347
Вводя обозначения
и выражая cos г через функцию Бесселя дробного порядка
приводим систему интегральных уравнений A0), A1) к виду
оо
J рР (Р) /_,А (РП) dp = g (г,). | л I < I, A2)
о
оо
J ^ (р) /_Va (рп) ^р = о, |л1>1- A3)
о
Решая эту систему уравнений, получим функцию р'/зР(р) —
= р(а). Знание этой функции позволяет вычислить напряже-
напряжения и перемещения по формулам (8) и (9).
Система интегральных уравнений A2) и A3) является част-
частным случаем общей системы уравнений
(И)
x\>\,
исследованной Басбриджем!). Решением системы уравнений
A4) является функция
f(x) = 2~ГХ~1\ \ ^1+р/2^+э/2(х) J г/1+Ч1 -ff
1 « ч
J u^(l-u2)mduj g(uy)(xyf+Si/2h+i+fil2(xy)dy . A5)
о )
Это решение имеет смысл при следующих ограничениях: функ-
функция g(y) должна быть интегрируемой на отрезке \у\^ 1,
*) Busbridge L. W., Proc. London Math. Soc, 44 A938), 115.
348 Гл. 6. Двумерные задачи эластостатики
а величина р должна удовлетворять неравенствам
> —Л Л '^Р 2^л~гь
Используя формулу A5), в которой для системы интегральных
уравнений A2) и A3) следует положить р = 1, Я = —'/г, полу-
получим
р(а) = р (-?¦) = р'1'Р (р) = р т/"— I /о (р) Г у'1г A — угУ> g (у) dy +
\с) V я | J
Г Г 1
+ р ы'/гA — и2)Уг du g(uy)ybJi(py)dy\. A6)
0 0 j
В частном случае р0 = const, т. е. при постоянном давлении в
трещине, получим
р (а) = рас у ~2 h (ac)- A7)
Подставляя формулу A7) в формулу (8) и группируя члены
соответствующим образом, получим
оо
•«"fan + а2г) = — Рос | e~ax'Ji (ас) cos ax2 da,
О
оо
— (а22 — <т,,) = pocxi | ae~ax'Ji (ас) cos a*2 da, A8)
о
оо
Г ае-"^/] (ас) sir
а12 = — P0CJC1 J ae-"*'/, (ас) sin
о
Из этих уравнений получим
оо
j Кг — °и) + ton = PoCXi J ае~аЧх (ас) da, A9)
J
о
где
z = xx-\- ix2 = re;9.
Заметив, что
оо
J ae~az /, (ac) da = с (с2 + z2)* = с (r,r,)~l/l e-*
0
где
2—ic^r^, z + ic = r2eie',
6.6. Задача о трещине
349
и взяв соответственно действительную и мнимую части выраже-
выражения A9), получим
4т (о22 — ап) = р0 ¦?¦ (-^-)h cos в cos [-§-F, + 62I,
B0)
На рис. 6.16 представлены граничные условия, а также радиусы
РИС. 6.16.
г, г\, г2 и углы 9, Qi, 92. Первую формулу системы A8) можно
записать в виде
оо
у (ои + аг2) = — рос Re J е~аЧу (ас) da =
B1)
-i01-i-02)-l]. B2)
откуда
Легко проверить, что для х{ = 0 и \х2\ ^ с выполняется усло-
условие ой = (Х22 = — Ро, в\2 = 0 и что для \х2\ > с имеем
а12 =
— 1 .
B3)
Прогиб «1 @, х2) на отрезке \х2\ ^ с выражается функцией
B4)
Граница трещины переходит в эллипс, так как из формулы B4)
получаем уравнение
[«., (О, x2)f
' = -jj-A)C
350
Гл. 6. Двумерные задачи эластостатики
6.7. Задача о штампе
Рассмотрим действие силы Р на упругое полупространство
посредством абсолютно жесткого штампа (рис. 6.17). Этот
штамп не ограничен в направлении оси ±х3, а нагрузка Р не
зависит от переменной xs.
В плоскости Х\ = 0 появится перемещение «i@, x2), харак-
характеризуемое тем, что на отрезке \х2\ ^ с оно принимает постоян-
постоянное значение. При \х2\ >с перемещение «(@, х2) является не-
неизвестной функцией. Предположим, что между штампом и по-
РИС. 6.17.
лупространством нет трения, так что напряжение ai2@, *2) рав-
равно нулю. Вертикальная нагрузка р{х2) =—сгц@, х2) действует
только на отрезке \х2\ =^ с. Мы имеем дело со смешанной зада-
задачей с граничными условиями
щ @, х2) = const, 1*2 К с, A)
МО, х2) = 0, \х2\>с, B)
сг,2 @, дг2) = 0, — оо<*2<оо. C)
Задача, как мы скоро увидим, сводится к определению сил р(х2)
на отрезке \х2\ =^ с, сил взаимодействия штампа и упругого по-,
лупространства. Для определения напряжений и перемещения
в упругом полупространстве воспользуемся принципом супер-
суперпозиции. Эти величины определяются следующими формулами:
l' X2>
J p(l2)ua(xv x2; 0,
—с
а, р-1, 2.
D)
E)
6.7. Задача о штамгге 351
Здесь (Тар—напряжения, вызванные в точке (xi,x2) упругого
полупространства действием сосредоточенной силы, направлен-
направленной перпендикулярно к границе и помещенной в точке @, |2).
Это не что иное, как функция Грина, рассмотренная в § 6.4
(формулы B3)). Через «о обозначим перемещения, связанные
с напряжениями стар. Использование граничного условия A)
приводит к следующему интегральному уравнению первого рода:
с
J р A2) и\ (О, х2\ О, |2) dl2 = const. F)
—с
После определения из этого уравнения неизвестной функции
р(|2) мы можем найти величины стар и иа по формулам D)
и E).
Используя формулы B3) § 6.4, имеем далее
с
2_ j Г р (|2) dls
B-2-tv--*¦**- {7)
—с
о
2Х\ r
^~ J
°P(h)
Нам остается определить перемещение м*(*,, х2; 0, %2). Для этой
цели используем формулу (9) § 6.6, несколько модифицируя ее
с тем, чтобы найти поверхность, симметричную относительно пло-
плоскости Х2 = ?г- Тогда имеем
оо
i-j q (а) [2 (I - v)+ axl]^4-cos a (x2-l2) da. (8)
о
Так как в точке х2 = h действует сила единичной интенсивно-
интенсивности, то
9(х2)=1 -6(х2— у.
Отсюда
^(а) = у -| J M*s —Wcosate—6Jda = -jy -|-
o
И
оо
; iJ ^ (9)
352 Гл. 6. Двумерные задачи эластостатики
Интеграл в формуле (9) при Х\ = О является расходящимся. По-
Поэтому будем рассматривать относительное перемещение и\ по
отношению к прямой, проходящей через две произвольно вы-
выбранные точки границы, например @, |2 — Ь), @, g2-{-?). Пред-
Предположим, что в этих точках перемещение и* равно нулю. Тогда
имеем
о
Подставляя и\, вычисленное по формуле A0), в (9), находим
= 2^ f [2A -
l
-cosa(xa-|j]da^
Подставляя формулу A1) в интегральное уравнение F), имеем
с
J р (У In \x2~l2\dl2 = const. A2)
—с
Решение этого уравнения дал Садовский '):
л\ с—х\ Jc п У с2 — х\
Из формулы A3) видим, что напряжение стц@, л;2) =—рB),
| лг21 ^ с, неограниченно возрастает, когда |*2|->с. Этот ре-
результат относится к гипотетическому телу с неограниченной
упругостью. В реальном упругом теле вблизи точек @, ±с) по-
появляются пластические зоны. В точках, удаленных от области
приложения штампа, напряжения стар, определенные по форму-
формулам G), незначительно отличаются от напряжений, которые воз-
возникают там в действительности.
Решение интегрального уравнения F), несмотря на кажу-
кажущуюся его простоту, наталкивается на значительные трудности
математического характера. Отсылая читателя, интересующегося
теорией интегральных уравнений, к замечательной монографии
') Sadowsky M., Zweidimensionale Probleme der Elastizitatstheorie
ZAMM, 8, №2 A928), 107.
6.7. Задача о штампе 353
Шмейдлера '), ограничимся здесь проверкой результата A3)
способом, предложенным Снеддоном2). Заметим, что
Г2 у2\~Ч' Ay = Р С 14^
Выражая р(х2) через интеграл Фурье, имеем
°о
о
С другой стороны, известно, что
О
Выполняя обратное преобразование Фурье, приходим к соотно-
соотношению
с
с
г р г
0
при
при
COS (
V С
гхг dx2
2 -4
>с.
A5)
A6)
О » с Х2
Из сравнения формул A5) и A7) видим, что
j5()/(c)
Подставляя формулу A8) в формулы (8) § 6.6 (которые и здесь
остаются справедливыми), получим
OS
(xu + (Х22 — J0(ac) e~ax> cosax^da,
я j
0 оо A9)
Последние интегралы можно представить в замкнутом виде. По-
Получим
op I (• I ор I/
<ти + <х12 =—_ Re e~azJ0(ac)da =— — Re[c2 +г2]~/г,
Я Lo J B0)
1 / ч . . РХХ
я (г + 1с)'1г (z - icLi '
4) Schmeidler W., Integralgleichungeij mit Anwendungen in der Physik
und Technfk, Qeest und Postig, Leipzig, I960,
2) И. ft Снеддон, loc. cit. стр. 213.
12 В. Новацкий
354 Гл. в. Двумерные задачи эластостатики
Вводя обозначения
г = reib, z — ic = r{eibi, г + ic == r2eWl,
где г, Г!, г2, 0, Эр 02 показаны на рис. 6.16, находим оконча-
окончательные формулы для напряжений
Из формулы (9) § 6.6 находим, что
оо
= /п (ас) sin ax2 da, B2)
_п пи. j ' ч '
о
т. е.
О при
(it) - "
яц (х2 — с )
^- при | х21 > с,
откуда видно, что граничное условие A) удовлетворено.
В настоящем параграфе мы дали решение простейшей «кон-
«контактной задачи. Несколько более сложных контактных задач чи-
читатель найдет в обстоятельных монографиях Галина 1) и Штеер-
мана2). Много задач с использованием интегральных преобра-
преобразований различного типа было решено Уфляндом3).
Контактные задачи решаются различными методами, прежде
всего с использованием теории потенциала и методов теории
функций комплексной переменной. Применение этих последних
методов читатель найдет в монографии Мусхелишвили и в книге
Грина и Зерны (см. список литературы).
Представленный тут способ решения задачи о штампе яв-
является частным случаем общего метода, изложенного для про-
пространственных задач в § 4.15.
Рассмотрим пластинку, нагруженную на границе и жестко
закрепленную на частях границы /ига (рис. 6.18). Обозначая
через ип и us составляющие вектора перемещения в нормальном
') Галин Л. А., Контактные задачи теории упругости, Гостехиздат, М.,
1953.
2) Штеерман Л. И., Контактные задачи теории упругости, Гостехиздат,
М„ 1949.
3) Уфлянд Я- С., Интегральные преобразования в задачах теории упру-
упругости, Изд-во АН СССР, М.—Л., 1963.
6.7. Задача о штампе
355
и касательном к границе направлениях, имеем ы„ = 0, us = О
на границе /, m пластинки. Под влиянием нагрузки в пластинке
возникнут напряжения, а вдоль границы т граничные силы: ре-
реакции p(Q) и s(Q), которые будут функциями положения точки
Q на границе т. Примем их в качестве неизвестных функций
нашей задачи.
Будем считать основной системой ненагруженную пластинку,
жестко закрепленную вдоль части границы / (рис. 6.18, б). Пусть
на эту основную систему действует сначала внешняя нагрузка.
Обозначим составляющие перемещения, вызванные этой нагруз*
кой, через ы?(Р), t = l, 2.
а 5 в
РИС. 6.18.
Пусть на основную систему действует единичная сосредото-
сосредоточенная сила p(Q) = 1«. Это состояние мы понимаем как дей-
действие единичной сосредоточенной силы, нормальной к границе
и приложенной в точке Q границы m пластинки. Под действием
этого нагружения в пластинке возникнут перемещения; точка Р
получит перемещение с составляющими Uf\ i = 1, 2. Состав-
Составляющие U\n) (P, Q) являются функциями как положения точки Р
внутри пластинки, так и положения точки Q на ее границе. Они
являются функциями Грина для состояния p{Q) = ln, удовле-
удовлетворяющими в основной системе уравнениям равновесия и всем
граничным условиям (рис. 6.18, б)..
Аналогично через Ulf](P, Q), /=1, 2, обозначим составляю-
составляющие перемещения точки Р, вызванного действием сосредоточен-
сосредоточенной касательной силы s(Q) = ls, приложенной в точке Q гра-
границы m (рис. 6.18, в).
Предположим, что функции U\S)(P, Q) и lftn)(P, Q) можно
определить в основной системе из дифференциальных уравнений
теории упругости.
12*
356 Гл- s- Двумерные задачи эластостатики
Вернемся к пластинке, представленной на рис. 6.18, а. Со-
Составляющие перемещения Ui(P), i = 1, 2, в точке Р пластинки
можно выразить в следующем интегральном виде:
и. (/>) = ыо {Р) + J р (Q) цы) (р, Q) dsQ+ js (Q) [/<»• (Р, Q) dsQ. B4)
(m) (m)
Рассмотрим случай жесткого закрепления границы га пластинки.
Потребуем, чтобы на границе га составляющие перемещения щ
\рг
РИС. 6.19. РИС. 6.20.
были равны нулю. Это условие мы реализуем, переходя из точки
Р к точке Q' границы га. Из системы уравнений B4) находим,
что
и\ iff) + J p(Q) t/<"> (Qf, Q) dsQ+ js (Q) t/<») (Q', Q) dsQ = 0, B5)
(m) (m)
/=1, 2.
Мы получили систему двух интегральных уравнений первого
рода. Решение этой системы уравнений дает неизвестные функ-
функции p(Q') и s(Q'). После подстановки этих функций в инте-
интегральное выражение B4) получим составляющие перемещения
упругой пластинки, представленной на рис. 6.18, а. Заметим, что
ядра интегральных уравнений B5) симметричны, как вытекает
из теоремы взаимности Бетти.
Проведенные выше рассуждения можно обобщить на случаи,
когда пластинка закреплена на большем числе линейных опор.
Эти рассуждения справедливы также для пластинки, пред-
представленной на рис. 6.19, в которой по дуге га перемещения рав-
равны нулю.
Вернемся еще раз к рассмотренной в этом параграфе задаче
о штампе. Уравнение B5), выписанное для границы хх = 0 уп-
6.8. Применение функций комплексной переменной 357
ругбго полупространства *i^>0, имеет вид
с
J
р (t2) Ща) (°. ч °> Ч d%=const- B6)
Так как массовые силы и граничные нагрузки вне отрезка
\х2\ ^ с отсутствуют, то «?(*,, х2) = 0. Далее, положим в фор-
формуле B5) s(Q) = 0 в силу предположения, что касательные си-
силы в плоскости ЛГ1 = 0 отсутствуют. Очевидно, уравнение B6)
идентично уравнению A2). В случае полупространства, нагру-
нагруженного двумя штампами, получим систему двух интегральных
уравнений, в которых неизвестными функциями являются pi(b)
и Р2(Ы —опорные реакции под штампами (рис. 6.20).
6.8. Применение функций комплексной переменной
При решении двумерных задач теории упругости большую
услугу окажет нам метод функций комплексной переменной.
Этот метод, примененный Колосовым1), был существенно рас-
расширен и обогащен Мусхелишвили 2) и его школой. В настоящем
параграфе мы кратко изложим основы этого метода и его при-
применений, отсылая читателей, желающих познакомиться с ними
более подробно, к монографии Мусхелишвили и книге Бабушки,
Ректориса и Вычихло (см. список литературы).
Введем несколько новых понятий, таких, как комплексное пе-
перемещение, главный комплексный вектор сил, главный момент
и т. д. Мы будем рассматривать только плоское деформирован-
деформированное состояние. Перенесение данных здесь понятий и методов
решения на плоское напряженное состояние не составит ника-
никакого труда. В плоском деформированном состоянии закон Гука
имеет вид
р 3 ар = eu4-8i>2, а, р=1, 2,
стзз = Яе, (х13 = 0, (х23 = 0.
Выразим теперь левую часть уравнения A) через функцию Эри:
B)
') Колосов Г. В., Sur les problems d'elasticite & deux dimensions,
C. R. Acad. ScL, 146 A908), 522.
Колосов Г. В., Z. Mat. Phys., 62 A914), 384.
2) Мусхелишвили Н. И., Recherches sur des problemes aux limites relatifs
a Tequation biharmonique et aux equations de l'elasticite a deux dimensions,
Math. Ann., 107 A932), 282.
Мусхелишвили Н. И., см. список литературы.
358 Гл. 6. Двумерные задачи эластостатики
Заметив, что
приводим уравнение A) к виду
C)
Разрешая уравнения C) относительно д\Щ и <52«2, получим
После интегрирования уравнений D) приходим к следующим.
выражениям для перемещений:
= - дхР + x,/z, + kx {x2),
k2 (Xi). ( '
Здесь ki(x2) и ^(^l) — произвольные функции и
/г! = J V?/7 dATi, /г2 = j V
Воспользуемся, наконец, последним уравнением системы C).
Подставляя в это уравнение щ и ы2 из формул E), получим со-
соотношение
xl(d2fil + dlh2) + d2kl +0^ = 0. F)
Вводим величину U\ -f- iu2, называемую комплексным векто-
вектором перемещения. Тогда, учитывая формулу E), имеем
2ц (ы, + iu2) = - (d{F + id2F) + х, (А, + ih2) + k{ + ik2,
Граничные условия также можно представить в комплексном
виде. Пусть граница описывается параметрическими уравне-
уравнениями
Xi = Xi(s), X2 = X2(S),
где s — длина дуги, отсчитываемая от некоторой точки л
(рис, 6.2). Составляющие вектора нагрузки р = (рьр2, 0), дей-
6.8. Применение функций комплексной переменной 359
ствующего на границе s, связаны с функцией Эри соотно-
соотношениями
1 (8)
Интегрируя pi и р2 по дуге s от Л до В и обозначая результи-
результирующие нагрузок через Р\, Р2, получим
p2ds = {-dxF)BA. (9)
ЛВ АВ
Из этих результирующих образуем так называемый комплекс-
комплексный главный вектор сил
iPi + ipa)ds = -i{dlF + ldaF)BA. A0)
АВ
Введем также понятие главного момента, выраженного форму-
формулой
АВ
Задача плоского деформированного состояния решается для
двух основных типов граничных условий. Если заданы переме-
перемещения, то используем граничные условия в виде G), если за-
заданы нагрузки, — выписанное для границы условие A0).
Рассмотрим односвязную область 5 с границей с0 и восполь-
воспользуемся справедливой для этой области теоремой Гурса, утвер-
утверждающей, что бигармоническая функция в односвязной области
может быть представлена с помощью двух голоморфных функ-
функций 1) ф(г) и %(z) в виде
х2, 2 = x{—ix2. A1)
Здесь Re[ ] обозначает действительную часть комплексной функ-
функции, a z — величину, сопряженную к г. Справедливость теоремы
A1) доказывается следующим образом. Предположим, что в об-
области 5 существует голоморфная функция
xu x2). A2)
Полагая Q,(Afj, x^'=SI\F, имеем
fc Re[ri(z)I. A3)
') Если функция комплексной переменной /(г) имеет в каждой точке об-
области производную, то такая функция называется голоморфной (регулярной).
Если f(z)=/i + i/2 голоморфна в области S, то функции /i(*i,хг), h(x\,*г)
являются гармоническими функциями и удовлетворяют условиям Коши —
Римана di/i = дгН, difi — —d2/i.
360 Гл- 6- Двумерные задачи эластостатики
Функция Q, гармонична, т. е. VfV?/*^ V?Q, =0. Введем функ-
функцию ф (z), голоморфную в 5 и такую, что
г
ф(г) = -|- J r\(z)dz = <fi+iq>2. A4)
Из формулы A4) сразу вытекает, что
4) () \(
A5)
Нетрудно показать, что функцию F можно представить в виде
F = *!ф, + x2q>2 + Q. A6)
где q является гармонической функцией. Для того чтобы дока-
доказать это, установим сначала справедливость уравнения
V\(F-xl%-x2%) = 0, A7)
или
V*F - 2 (д.ф, + <Э2ф2) - ж, VJq), - л:2У2ф2 = 0.
Так как функции ф1 и ф2 гармонические, то остается уравнение
у^-2(а,ф, + а2ф2)=о. A8)
Из уравнения AБ) имеем
Функция ф как гармоническая функция должна удовлетворять
условиям Коши — Римана
C1<р1 = <52ф2 = — Q,, 5,ф2 = — д2ф, = -j Q2.
Поэтому
Так как V?F = QI, то уравнение A8) тождественно удовлетво-
удовлетворяется. Тем самым выполняется соотношение A6), если только q
является гармонической функцией. Трактуя q как действитель-
действительную часть комплексной функции %(z) в области S и учитывая,
что
Re [гф (z)] = Re [(*, — lx2) (ф, + «Фг)] = у (*Р + гф) = дг,ф, + л:2ф2,
формулу A6) можно представить в виде
A9)
6.8. Применение функций комплексной переменной 361
Функция F однозначно определяется двумя голоморфными функ-
функциями ф(г) и хB)- Эти функции, так же как и F, будем назы-
называть функциями напряжений либо комплексными потенциалами.
С помощью функций <p(z) и x(z) можно выразить напряже-
напряжения и граничные условия задачи.
Для определения напряжений исходим из следующих соот-
соотношений:
^22 — <ти + 2т12 = д^ — dlF — 2idxd2F. B0)
Подставляя формулу A9) в правую часть этих соотношений, по-
получим
<т,, + <т22 = 2 [Ф' (г) + 7F)I = 4 Re [<p' (z)],
ст22 - <т,, + 2«у12 = 2 [гФ" + х"],
откуда после разделения второго из уравнений на действитель-
действительную и мнимую части вытекает, что
(т22 - <гп = 2 Re [гФ" + х"]. ff12 = Itn [гФ" + Х"].
Вводя для упрощения записи обозначения
Ф'B) = ФB), х'(г)=ФB), V'(z) = 4f(z),
представим напряжения в окончательном виде
ац = Не[2Ф —гФ' —Y],
cr22=Re[2O + 2Q'+n B1)
<r,j = Im [гФ' + Y].
Комплексный вектор перемещения, учитывая формулу G), мож-
можно выразить как
' 4^- B2)
Остается определить функции k\ и k2. Используем для этой
цели соотношение F). Так как d2h\ -f d\h2 = d2(fi + дкрг, то
Этим уравнениям удовлетворяют функции
где C,.ai, аг—произвольные действительные постоянные.
Таким образом, уравнение B2) принимает вид
2ц (ы, + 1и2) = хФ (г) - 2Ф' (z) - / B) + 2ц (а + /Сг), B3)
где
362 Гл. 6. Двумерные задачи эластостатики
В дальнейшем последний член правой части уравнения B3) бу-
будем включать в предыдущие члены. Поэтому, не умаляя общ-
общности, принимаем,что
2ц (и, + шг) = иФ (г) — zq>' (z) — ф (z), B4)
Зная функции ф и ф, по формуле B3) можно определить состав-
составляющие вектора перемещений в произвольной точке тела с точ-
точностью до линейного члена. Равенство B4) играет на границе
роль граничного условия в перемещениях.
Аналогично с помощью функций ф и г|э можно выразить глав-
главный вектор сил
(р, + ip2) ds =
АВ
B5)
В дальнейшем часто вместо вектора Pi + iP2 будем вводить вы-
выражение
f (s) = i J (Pi + tpi) ds = f,f(s) + if2 (s) = [Ф + 2ф' + ф]*. B6)
Jib
Если кривая С является границей, то выражения B5) и B6)
представляют собой граничные условия задачи в нагрузках.
Следует рассмотреть еще одну задачу, которая будет иметь
важное значение при определении единственности решения. Если
в рассматриваемой односвязной области дана функция F и тем
самым потенциалы ф(г) и хB). то напряжения определяются
однозначно функциями F по формулам B) и функциями ф(г) и
•ф(з) по формулам B1). Однако возникает вопрос, однозначно
ли определены функции F, q>(z), \|;(z) при заданных напряже-
напряжениях стар. Чтобы ответить на этот вопрос, надо исследовать со-
соотношения B0а). Предположим, что эти соотношения удовле-
удовлетворяются двумя парами функций фМ, ф<!) и фB>, \|з<2). Вводя обо-
обозначения ft = ф<!) — фB>, р = i^1* — \|)B>, получим из формул
B0а) следующие условия:
4Re[O'(z)] = 0, 2[z#"(z) + p'(z)] = 0. B7)
Из первого условия вытекает, что
Ъ'(г)*=С1, ${z) = Ciz + a, b"{z) = Q, (a)
где С — действительная постоянная, а а — комплексная постоян-
постоянная.
6.8. Применение функций комплексной переменной 363
Поставляя Ф"(г) = 0 во второе условие B7), получим
p'(z) = 0, p(z) = p, (б)
где р — комплексная постоянная.
Отсюда делаем вывод, что при заданных напряжениях стар
функция qp(z) определена с точностью до линейного члена а +
+ iCz, а функция ty(z) — с точностью до постоянной р\
Рассмотрим случай, когда в односвязной области 5 заданы
перемещения. Спрашивается, до какой степени функции ф(г) и
•ф(з) определяются перемещениями. Рассматривая, как и ранее,
две пары функций ф, "ф, получим из формулы B4)
2ц (ы, + Ш2) = Щ{1) — 2ф'A) — ф(" = Кф<2> — 2ф'<2> — ф<2\
откуда
хф —zft' —р = 0. B8)
Условие однозначности перемещений влечет за собой однознач-
однозначность напряжений. Поэтому можно воспользоваться соотноше-
соотношениями (а) и (б). Подставляя их в формулу B8), имеем
Так как последнее уравнение должно удовлетворяться для ка-
каждого значения г, то должно быть
С = 0, иа = р. (в)
Отметим, что произвол в определении функций ф и -ф является
меньшим, чем при заданных напряжениях. Функция ф опреде-
определена с точностью до постоянной а, функция \js — с точностью до
величины р, причем аир зависимы между собой: р = иа или
р* = ха.
Поэтому если заданы напряжения, а начало координат нахо-
находится в S, то функции ф(г) и \|з(г) будут определены одно-
однозначно, когда постоянные С, а, р* выбраны так, чтобы выполня-
выполнялись условия
Ф@) = 0, 1т[Ф'@)] = 0, ,|,@) = 0. B9)
Если задано поле перемещений, то следует положить С = 0, а
а выбрать так, чтобы выполнялось условие ф'@) = 0. Так как
Р = ха.то тем самым определено и значение р. В односвязной
области S функции ф(г) и ty(z) будут определены однозначно,
если их представить в виде степенных рядов:
Ф (z) = 2 aazn, i|> (z) = 2 bnz". C0)
/г=0 n=0
Для каждого из членов рядов C0) главный вектор сил Pi + iP2
и главный момент равны нулю, так как после полного обхода
364
Гл. 6. Двумерные задачи эластбстатики
контура Со члены zn принимают свои начальные значения. Нуле-
Нулевое значение главного вектора нагрузок и главного момента сви-
свидетельствует о выполнении условий равновесия для внешних на-
нагрузок.
При применении метода комплексных потенциалов сущест-
существенная трудность заключается в нахождении функций ф(г) и
\|з(г), которые требуется выбрать так, чтобы удовлетворялись
граничные условия. Для этого следует установить непосредст-
непосредственную зависимость ф, \|з от граничных условий. Подробнее эту
задачу мы обсудим в § 6.11.
Другой (хотя и не универсальный) способ заключается в вы-"
боре функций ф и \j) в виде многочленов и определений соот-
соответствующих им напряжений и перемещений.
6.9. Вид комплексных потенциалов
для многосвязных областей
Рассмотрим плоскую многосвязную область, представленную
на рис. 6.21. Обозначим через Ck (k = 1, 2, ..., т) внутренние
граничные контуры, через с0 — внешний контур. Обозначим че-
через Zk произвольные точки, лежащие внутри контуров Съ.. Эти
точки принадлежат областям, не вхо-
входящим в состав рассматриваемой
(т + 1)-связной области 5.
Может оказаться, что в многосвяз-
многосвязной области (так же как и в односвяз-
ной) перемещения и напряжения
удается выразить однозначно через
комплексные потенциалы <p(z) и ty(z),
не связывая их с функцией Эри, а не-
непосредственно используя уравнения
равновесия и уравнение совместности
С°
рис. 6.21. V2(a 4- а } 0 ^
В предположении, что напряжения сгар (а, Р = 1, 2) являются
непрерывными функциями вместе со вторыми производными и
удовлетворяют уравнениям A), справедливо следующее утвер-
утверждение.
Функции сга|з в (т + 1)-связной области можно выразить од-
однозначно через комплексные потенциалы в виде
= z 2 Ak\n(z — zk)+
: —Zft) + <Po(z).
B)
=S y'k\n (z-
ft=l
C)
6.9. Вид комплексных потенциалов для многосвязных областей 365
причем
a11+cr22 = 4Re[(p']> D)
%> — ^ 11 + 2toia = 2 (гф" + ф'). E)
В выражениях B) и C) ЛА являются действительными постоян-
постоянными, Yfc. Yft — комплексными величинами. Как величины Аи, так
и разности Yft — y'k не зависят от положения точек zh, а только
от функций стар. Функции ф0 и ф0 являются голоморфными функ-
функциями.
Мы не приводим здесь сложного доказательства этого утвер-
утверждения. Читатель найдет его в книге Бабушки, Ректориса и Вы-
чихло (см. список литературы).
Из требования однозначности напряжений и перемещений
следуют дополнительные условия, определяющие постоянные Лд,
Y*. Y*.
Рассмотрим комплексный главный вектор сил
(Р, + iP2fA Г (Ф 4- 2ф' + Ф)Ц F)
для дуги, соединяющей точки А а В внутри области S. Для ком-
комплексного вектора перемещения в области S справедлива фор-
формула
±L. G)
Совершим обход контура ck, исходя из точки z и перемещаясь по
часовой стрелке. После обхода контура выражение G) изменится
на величину
Условие однозначности перемещения будет выполнено для ка-
каждого значения z, если
Л* = °. «Yft + v; = 0. 6 = 1,2 m. (8)
Соотношение F) справедливо и для предельного случая, когда
дуга АВ является замкнутой кривой съ.. Интегрируя формулу
F) вдоль дуги в направлении по часовой стрелке и требуя одно-
однозначности выражения F), получим
Ck { ( )ds = -i [- 2я/Yfe й]
= -2n(yh-y'k), k=\,2 п. (9)
Из соотношений (8) и (9) определяем значения \k и y^ Под-
Подставляя эти значения и Ah = 0 в формулы B) и C), получим
366 Гл. 6. Двумерные задачи эластостатики
следующие выражения для голоморфных функций ф(г) и г|з(.г):
*' + ^2*'Iп (г-г*), (Ю)
W-iPp)\n (z-zk). A1)
Если задано поле напряжений стар, то функция ф(г) определена
с точностью до члена Ciz + а, а функция ip(z) — до члена р, где
С — действительная, а а, р— комплексные постоянные.
Если заданы перемещения, то функция ф определена с точ-
точностью до члена а, функция ф с точностью до члена р, причем
эти величины связаны соотношением ха = р.
В приложениях мы часто встречаемся с неограниченной об-
областью с вырезами по контурам С\, с% ст. Для такой обла-
области, в которой контур Со простирается до бесконечности, выби-
выбираем окружность cR с центром в начале координат и таким ра-
радиусом R, чтобы в ней содержались все внутренние контуры С\,
с2, ..., ст. Пусть на границах Ch (k = 1, 2, ..., т) действуют
нагрузки, которые дают главные векторы P\k) -\- 1Р^\ Тогда для
части плоскости, лежащей вне круга cR, т. е. для |z|>/?, или
для всех z в окрестности бесконечно удаленной точки, справед-
справедливо соотношение
т
2 (М*1 + iP{2k)) 1П B - Zk) = (Л + 1Р2) 1П 2 + ф* B),
где
а ф*(г) является голоморфной функцией в окрестности беско-
бесконечно удаленной функции. Здесь
т
ф* B) = ^ (P\k) + iP2k)) 1П (Z - Zk) - (P, + IP2) In 2 =
k=i
а функция In [l ——I, очевидно, является голоморфной в ок-
окрестности бесконечно удаленной точки.
6.9. Вид комплексных потенциалов для многосвязных областей 367
Потенциалы ф(г) и ty(z)> Данные соотношениями A0) и A1),
можно представить для неограниченной области в виде
03)
Согласно теореме Лорана, функции фо, фо можно представить
в окрестности бесконечно удаленной точки (т. е. вне круга Cr)
в виде рядов
«PS(z)= 5 anzn, *S(z)= S 6»z». A4)
П= —оо П=— °° '
Следует потребовать еще, чтобы на бесконечности напряжения
были ограничены. Рассматривая это ограничение, будем исхо-
исходить из формул D) и E) для напряжений. Подставляя фор-
формулы A2) и A4) в формулу D), получим
п [а„2«-' + (а„) г»-1 ] +
Из условия ограниченности стп + сг22 для произвольно больших
значений z вытекает, что
ап = ап = 0 для п = 2,3 (а)
Подставляя A3) и A4) в формулу E) и требуя, чтобы выраже-
выражение Ст22 — <Уц + 2гоч2 было ограничено в окрестности бесконечно
удаленной точки, приходим к выводу, что условию ограничен-
ограниченности не удовлетворяет ряд
Поэтому должно быть
6„ = 0, л>2. (б)
Принимая во внимание полученные соотношения (а) и (б), мож-
можно представить функции ф(г) и i])(z) в окрестности бесконечно
удаленной точки следующими выражениями:
368 Гл. 6. Двумерные задачи эластостатики
Здесь Г=а1; Г' = ?>1 являются комплексными величинами, а
— голоморфными функциями на бесконечности. Постоянным Г и
Г' можно приписать определенный физический смысл. Так как
ф'(оо) = Г, то
lim (огп + ст22) = 4 Re [ф' (оо)] = 4 Re (Г).
Z-»oo
Дважды дифференцируя функцию qp(z) и замечая, что гф"(.г)->
—¦О [ибо ф(г) есть величина порядка 0A/г2)], получим из фор-
формулы E)
lim (ст22 — or,, + 2гст12) = 2Г'.
Z-»<x>
Вводя обозначения Г = В -f- iC, Г' = В' -{- 1С, имеем
a,,(oo)-t-(T22(oo) = 4B, ст22(оо) — ап(оо) = 2В', ог12(оо) = С'.
Поэтому
<ru(oo) = 2fi — В', о22(°°) = 2В + В', ст12(оо) = С'. A7)
Величину С — мнимую часть Г — можно выразить через враще-
вращение со тела на бесконечности. Поэтому имеем
Подставляя в последнее выражение функцию ф из формулы
A5) и переходя к пределу при z -> оо, получим
Заметим, что условие ограниченности напряжений на бесконеч-
бесконечности не означает, что ограничены и перемещения. Подставляя
A5) и A6) в комплексный вектор перемещения (8), получим
ГJ-Г'2 + 0A). A9)
Здесь через 0A) обозначены те величины, которые остаются
ограниченными при произвольно возрастающей z. Из выраже-
выражения A9) мы видим, что напряжения и перемещения одновре-
одновременно ограничены на бесконечности, если Г = Г' = 0 и если
комплексный главный вектор нагрузок Pi + iP2 равен нулю.
6.10. Конформное отображение на единичный круг
369
6.10. Конформное отображение на единичный круг
Пусть задана функция 2 = «((;), голоморфная в области
комплексной плоскости ?. Здесь z = хх + t*2, ? = ii + 'Ъ- Функ-
Функция 2 = (i)(?) ставит в соответствие каждой точке ? области S*
некоторую точку 2 области S в комплексной плоскости z. Пусть
область S является совокупностью всех точек z, соответствую-
соответствующих точкам ? области S*. При этом предполагаем, что каждая
точка z области S отвечает только одной точке области 5*. Та-
Такое отображение называется взаимно однозначным отображе-
отображением области S на область S*. Если с* — некоторая кривая в об-
области S* и точка ? пробегает эту кривую, то соответствующая ей
точка 2 пробегает некоторую кривую с области S (рис. 6.22).
РИС. 6.22.
Рассмотрим точки ? и ? + dt, на кривой с* и поставим им в со-
соответствие точки z я z + dz на кривой с в области S. Обозначим
соответственно дуги на этих кривых через АВ = As и А*В* =
= As* и устремим к пределу отношение As/As* при Л?, стремя-
стремящемся к нулю. Тогда
lim
As
As*
= lim
Az
dz
A)
Соотношения A) вытекают из того факта, что отношение длин
дуг имеет тот же предел, что и отношение соответствующих им
хбрд. Так как z = ш (?) является голоморфной функцией, то ве-
величины Й2/<2? принимают только одно значение независимо от
способа стремления Д? к нулю. Требуется дополнительно пред-
предположить, что ш'(?) ф 0. Аргумент величины dzfdt, определяет
ориентацию As относительно элемента As*. Аргумент комплекс-
комплексной величины As* измеряется углом а*, заключенным между
As* и осью ?ь соответственно аргумент величины As — углом а,.
370 Гл. б. Двумерные задачи эластостатики
В силу теоремы о вычитании аргументов при делении имеем
argA? —argAz = arg-||. B)
В пределе при Д? —*¦ 0 векторы Д? и Az переходят в векторы, ка-
касательные к кривым с* и с, a arg(dz/dt,) = а*— а является уг-
углом поворота элемента дуги ds по отношению к ds*. Отсюда
видно, что угол между касательными к двум произвольным кри-
кривым С\, С2, проходящим через произвольную точку области S, ра-
равен углу между касательными к двум соответствующим кри-
кривым с\, с\ в соответствующей точке преобразованной области.
Поэтому
(Х2 — а* = а% — аь
Такое взаимно однозначное отображение области S на область
S*, сохраняющее углы, называется конформным.
В дальнейшем мы ограничимся отображениями ограниченной
или неограниченной области S на область 5* — единичный круг
|?| ^ 1с помощью аналитической функции
* = «>(?)¦ C)
Требуется предположить, что ш'(?) не обращается в нуль внутри
области |?| <; 1. Чтобы функция (о'(?) не принимала нулевых
значений, достаточно предположить, что контур с0 области S
имеет непрерывно изменяющуюся кривизну.
Будем рассматривать два основных случая.
а. Если область S ограничена, а точка z = 0 находится вну-
внутри области, то функцию z = «(?) можно выразить с помощью
степенного ряда
оо
2 = <оЙ)=2Ыя. ISKL D)
считая, что точке z = 0 комплексной плоскости z соответствует
точка i = 0 комплексной плоскости ?.
б. Если область S не ограничена, то, предполагая, что точка
z = 0 является внешней, представим функцию z = ш(^) в виде
| Ы", ISKL E)
считая, что точке z = оо соответствует точка ? = 0.
Преобразуем основные выражения для главного вектора и
комплексного вектора перемещения из области S на область S*.
6.10. Конформное отображение на единичный круг 371
Речь идет о формулах
/ B) = h + if2 = J (tPi — P2) dS = ф (Z) + 2ф' B) + iF(i), F)
g B) = 2\l (И, + Ш2) = Хф B) — 2ф' B) — фОг). G)
Введем обозначения
Учитывая,что
получаем в области S* следующие формулы:
=
F (?) = Ф1 (S) + = ФЙЙ + ЫТ). (8)
Ф' (S) - ф, ft). (9)
Выражая переменную ? в полярной системе координат % = регв,
приводим комплексные векторы F) и G) на границе |?| = 1 к
следующему виду:
_ / \ to (а) / / > . / ч Ipl^l МП
со' (а) ' '
Здесь а = е'* — значение ? на границе единичного круга, f(O),
G(O)—функции нагрузок и перемещений на той же границе.
Уравнение A1) представляет собой граничное условие первой
основной краевой задачи теории упругости, уравнение A0) — гра-
граничное условие второй основной задачи. Условия A0) и A1)
можно представить одной формулой
Я(а) = аФ1(а) + =|-фТМ+:1Ш. A2)
Полагая а = 1, Н = F, получим уравнение A0); полагая а =
= —к, Н = —G, получим граничное условие A1).
Отображая область S на единичный круг S*, удобно выра-
выразить ? в полярных координатах ? = pei0. Окружностям р =
= const и лучам О = const в комплексной плоскости ? соответ-
372
Гл. 6. Двумерные задачи эластостатики
ствуют на плоскости z замкнутые кривые р = const вокруг на-
начала координат и кривые Ф = const, проходящие через начало
координат (рис. 6.23) й оканчивающиеся на контуре Со, соответ-
соответствующем кривой р = 1.
Величины р, ¦& можно трактовать как криволинейные коорди-
координаты точки {хи х2) в плоскости z. Величины хи х2 связаны с ве-
величинами р, ¦& следующим соотношением:
*1 + /*2 = со(?) = со(ре«>). A3)
Соотношение (о(?) = е? определяет в плоскости z семейство ор-
ортогональных линий р = const, Ь = const, которому в плоскости
? соответствует семейство окружностей и радиальных прямых.
РИС. 6.23.
Рассмотрим произвольную точку z0 плоскости z. Проведем
через эту точку кривые
р = const, •& = const.
Обозначим через (р) касательную к кривой ¦& = const и через
(О)— касательную к кривой р = const.
Рассмотрим комплексный вектор А в точке z0; его составляю-
щие, параллельные осям Х\ и х2, обозначим через А\ и А2
(рис. 6.24). Составляющую, касательную к кривой О = const,
обозначим через Ар, а составляющую, касательную к кривой
р = const, через Л$. Между этими составляющими имеется сле-
следующая связь:
A4)
Ap + iAf) = e~ia(Al+iA2); A4а)
a — угол между касательной к кривой ¦& = const в точке z и
ОСЬЮ Х\.
Следует определить величину e~ia с помощью отображающей
функции z = (й(?). Рассмотрим в системе (р, ¦&) две точки: z и
Ар =
или
6.10. Конформное отображение на единичный круг
373
z + dz. В комплексной плоскости g приращение dt, для точки g
откладывается в радиальном направлении. Поэтому имеем
dz = eia\dz\, rf? =
Из этих соотношений находим, что
I»'(С) I
Так как
A5)
A6)
A7)
Это соотношение можно использовать для преобразования век-
= ре'*, то
Р |«'(СI '
р |»'(СI
Подставляя е~1а в соотношение A4а), получим
=const
= COIiSt
РИС. 6.24.
тора перемещения и = («ь «2, 0) в координатах хи х2 к поляр-
полярным координатам (р, О):
ир-\-1щ = е-1а(щ+ш2), A9)
или
(QMS)
В дальнейшем важную роль будут играть формулы преобразова-
преобразования для напряжений. Локальное преобразование составляющих
374
Гл. 6. Двумерные задачи эластостатики
напряженного состояния от системы прямоугольных координат
к системе криволинейных ортогональных координат описывается
следующими формулами:
(Трр = ап cos2 а + а22 sin2 а + а12 sin 2а,
ею = ап sin2 а + а22 cos2 а — а12 sin 2а, B0)
ар<) = — (а22 — огп) sin 2а + а12 cos 2а.
Легко проверить, что справедливы вытекающие из формул B0)
зависимости
— оп + 2/а12).
B1)
РИС. 6.25
Учитывая формулы B0а) § 6.8, уравнения B1) можно записать
в виде
{z) + i|/ (г)].
аЪЪ — ^рр "Г МОрв — ¦
Наконец, вводя соотношение
,91» _ S2 W (ОР = С2 l°>' (j)P_ = S2 to7 (С)
и обозначения
B2)
|»'(СI» Р2 »'(«»'(О Р2 »'(«
lty "шЧСГ1 (g"" «' (С) '
мы можем представить уравнения B2) в иной форме:
2S2
B3)
Р2«' (С)
Нам остается еще выразить нагрузки, действующие на границе
рассматриваемой области, в системе (р, О) (рис. 6.25). Раскла-
6.11. Решение для конечной односвязной области 375
дывая вектор нагрузки р зз (pi, р2, 0), действующий на границе
р = 1 в комплексной плоскости г, на составляющие р = (рр,Ръ> 0),
представим граничное условие для нагрузок в виде
2 (рР — ipt)Ct = 2 (стрр — /ар<))с =
= (а„ + а22) - e2ta (а22 - а„ + 2/а12). B4)
Вводя комплексные потенциалы Oi(?) и Т(^), получаем на гра-
границе области следующие граничные условия:
рр - ipt = Ф, (а) + ФМ - г=?щ [?®Ф[ (а) + «,' (а) Ч (а)], B5)
где а = е'*, 1^1=1.
6.11. Решение для конечной односвязной области
Рассмотрим конечную односвязную область S, ограниченную
замкнутым контуром cq. Эту область отобразим с помощью
функции z = (o(?;) на область S* — единичный круг |?| ^ 1,
границу которого обозначим через у-
В рассматриваемом случае функции cpi(?) и t|)i(?) можно
представить с помощью функций, голоморфных внутри круга
Ill
п=0
Решение задачи основано на определении комплексных постоян-
постоянных а„, рп из заданных граничных условий. Обе краевые зада-
задачи— в перемещениях и в напряжениях — рассмотрим одновре-
одновременно, выражая их одной записью (уравнение A2) § 6.10):
B)
Разложим функции Н(а), w (а)/а/(а) в комплексные ряды Фурье:
Н(а)= 2 Л,е'»<>= 2 Ляа", C)
П=— оо Л= —оо
^1= V с„е^= V СяО», D)
' (а) ^ ^
и' (а)
2л
376 Гл. б. Двумерные задачи зластостатики
Подставим функции A), C), D) в граничные условия B). Учи-
Учитывая условие1) ф@) = 0, а поэтому и ф1 (S)?=o = «о = 0, и
принимая во внимание, что а = е-** = сг1, приходим к уравне-
уравнению
a S а„а"+ 2 cmam 2 па„о-»+1 + 2 &,&-" = 2 А,а". E)
л=я1 т=—оо п=\ п=0 п=*—оо
Перемножая между собой ряды во втором члене левой части
этого уравнения в предположении, что ряд q>[ (а) абсолютно схо-
сходится, получим уравнение
2
я=0
(««» + 2 mamcm+n_1)e'»* + (pB + 2 татст_п_)е-^
LV т=1 / \ т=1 / J
*— 7 A a—in® (R\
rt=— oo
При-равнивая коэффициенты при одинаковых степенях величины
ein®, приходим к системе уравнений
оо
аа„+ 2 гпатст+п-1 = Ап, «=1,2,3,..., G)
m=l
оо
Рп+ 2 татст-п-\ = А-п, « = 0,1,2 (8)
m=l
После определения величин ап из уравнений G) подставляем их
в уравнения (8) и последовательно определяем величины р„.
Таким образом, основная часть задачи — определение голоморф-
голоморфных функций qpi(?), i|>i(?) — выполнена.
Заметим, однако, что в случае граничного условия B) в на-
нагрузках (т. е. когда а = 1, #(а) = F(a)) функция (pi(?) не бу-
будет определяться однозначно. Поэтому из рассмотрения урав-
уравнений G) при а = 1 вытекает, что без дополнительного усло-
условия
' <Pi @)
определить мнимые части величины cci не удастся.
Для обеспечения существования решения должны быть вы-
выполнены условия равновесия тела. Эти условия будут выпол-
выполнены, если
{ (Pi + Фа) ds — 0, | (xlP2 — x2Pl) ds = 0. (б)
') См. первое соотношение системы B9) § 6.8.
6.11. Решение для конечной односвязной области 377
Так как
S
U (s) + if2 (s) = i J (Pi + ip2) ds,
то приращение функции F(s) = fi(s) + if2(s) при обходе гра-
границы равно нулю. Отсюда следует, что F(a) = fi(Q) + #2@) —
функция однозначная.
Второе из условий (б) запишем как
J (Х1Р2 — Х2Р1) ds = — J [f! (s) dxt -f- f2 (s) dx2] = 0.
После интегрирования по частям имеем
[xji (s) + x2f2 (s)]cn — I [f, (s) dxx + f2 (s) dx2] = 0.
В силу однозначности выражения в квадратных скобках в левой
части остается только интеграл. Представим его в виде
Re | J [f 1 (s) dxx + fa (s) dx2] J = Re | J [f, (s) + if3 (s)] dz J -
Уравнение
налагает ограничения на коэффициенты Ап ряда C).
В случае первой краевой задачи, когда на границе заданы
перемещения, для определения функций q>i(?) и x|)i(?) достаточно
условия ф1 @) = 0.
Особенно просто преобразуются уравнения G) и (8) для
круговой области 5. Функция со(?), отображающая круг S ра-
радиуса R на область S* — единичный круг |?| =?? 1, имеет осо-
особенно простой вид:
В этом случае со (а)/а/ (о) = о = ew, a коэфициенты с„, за ис-
исключением 0\ = 1, равны нулю. Система уравнений G) и (8)
Существенно упрощается. После простых преобразований полу-
получаем уравнения
, (Ю)
Л_„ — (л + 2) Ап+2, « = 0,1,2
378 Гл. 6. Двумерные задачи эластостатики
Рассмотрим вторую краевую задачу (а = 1, Н(а) = F(a)).
Мы имеем
ап = А_п, п>2, A1)
Р« —Л_„ — (п + 2)Ап+2, « = 0,1,2
В силу того что тело как целое находится в равновесии, должны
быть выполнены условия
2яК 2я« 2nR
J Plds = Q, J p2ds = 0,
0 0
или
2л
J (p
|Я 2n A2)
J (ppsin0 + pflcos0)cf0=0, J
Здесь через рр, р$ обозначены составляющие нагрузки в направ-
направлении локальных'базисных векторов (р) и (•&).
Из первого уравнения системы A1) видно, что Ai является
действительной величиной, так как а\ + cti — величина действи-
действительная. Покажем, что ^то условие следует также из уравнений
A2), Из формулы C) имеем
2л
о
Интегрируя по частям, находим, что
2л 2л
= ~4r J e"
2л
В силу третьего уравнения системы A2) имеем
2л
о
Итак, Л1 — величина действительная. Нам остается еще опреде-
определить мнимую часть комплексной величины аь Из условия
1т[ф; @)/м/@)] = Im(a1) = 0 видим, что мнимая часть величины
ai равна нулю. Из первого уравнения системы A1) получаем
6.11. Решение для конечной односвязной области 379
= Ai/2. Поэтому
Ф (?)=41 s+
и=2
Учитывая формулу (9), окончательно имеем
s+SЛпГ> ф1 (?)=2 p»s"-
л-1
Таким образом задача решена только при условии, что ряды для
ф(г), ib(z), ф'(г) абсолютно и равномерно сходятся на окруж-
окружности 12Г | == /?.
Оказывается, что эти требования выполнены, если первые
производные составляющих рр и рд удовлетворяют условиям
Дирихле на границе круга. Рассмотрим случай, когда отобра-
отображающая функция является многочленом m-й степени:
Yi^O, утф0. A3)
Обозначим через й(^) многочлен, коэффициенты которого яв-
являются сопряженными к коэффициентам многочлена A3):
б@ = 2Ы*. A3а)
А1
Так как функции ю'(?)=?0 при |g|-< 1, то функция й'A/^) яв-
является регулярной функцией и отлична от нуля при |?|> 1.
Функция й"ц/п регулярна при |?|>1 и имеет на беско-
бесконечности полюс «-го порядка.
Разлагая функцию " ^.^
конечно удаленной точки, получим
Разлагая функцию " ^.^ в ряд Лорана в окрестности бес-
бес-*Г*. A4)
Подставляя в последнюю формулу ?, = а, получаем
-^^у = спо" + Сп^о»-* + .... + Cla + с0
380 Гл. 6. Двумерные задачи эластостатики
Так как
а (а) со (а) со (а)
й'A/а) »'(а) со' (а)
то
Если подставить формулу A5) в уравнения G) и (8), то полу-
получится (при сй = 0, где k^-n + 1) следующая система уравнений:
+ 2
m=l
n-l
m=l
aan+ ot1cn = An, A6)
= Ak при й>л+1,
namcm-k-i + A_k, k =0,1,2
m=l
Можно показать, что ряды qpi(?), a|;i(^) будут удовлетворять ус-
условиям задачи, если функции f\ и f2 из выражения F = fi -p г/2
достаточно регулярны, например если они имеют вторые произ-
производные по h, удовлетворяющие условиям Дирихле.
Рассматриваемый здесь случай имеет важное практическое
значение, во-первых, потому, что сводит задачу к решению ко-
конечной системы уравнений, во-вторых, потому, что точный вид
границы можно аппроксимировать представлением функции
со(?) в виде многочлена, причем точность приближения будет
тем большей, чем большее число членов этого многочлена учи-
учитывается при вычислениях.
6.12. Решение для бесконечной области
Для бесконечной области, ограниченной кривой с0) функцию,
отображающую область S на единичный круг S*, можно пред-
представить формулой
|*»r, ISK1. A)
Точку 2 = 0 рассматриваем как внешнюю точку. Точке z = 00
соответствует точка ? = 0. Сумма в A) представляет собой ре-
регулярную функцию.
6.12. Решение для бесконечной области 381
Функции ф(г) и г|)(г) для бесконечной области, ограничен-
ограниченной кривой с0, даются формулами A5) и A6) § 6.10:
*= ~ 2'(ЬН0 1п z +
¦ф B) = % ¦ ' ' In 2 + {В' + 1С) 2 + tyo(z), C)
причем
Б=-^-[аи(ооL-СТ22(оо)], fi' = -2-[o22(°°)—Оц(оо)],
@0)
Величина С связана с вращением 6(оо) тела на бесконечности.
Подставим 2= ю(?) из формулы A) в формулы B) и C).
После простых преобразований получим
«pi (й *= -щШг1п ^ + (в+г"с) f+ф° @. D)
1п
где ф°(?), V(?)—новые однозначные аналитические функции
в области |g| ^ 1.
Рассмотрим краевую задачу, в которой на с0 заданы на-
нагрузки, а на бесконечности имеет место напряженное состояние
ац(оо), Q22(o°) и ai2(oo) в предположении, что й(схз) = 0. Под-
Подставим формулы D) и E) в граничное условие
ф1 (о) + -Щ ^>) + ф^) = F (а). F)
В результате получим новую форму граничного условия:
Ро(о), G)
где
со'(a)
(8)
Если на границе отсутствуют нагрузки (Pi = 0, ?>2 = 0), то
функция Fo(a) однозначно определена на границе. Однако легко
показать, что функция F0{a) будет однозначной на границе, если
главный вектор нагрузок Py\-iP2 не обращается на границе
в нуль, При движении точки а по единичной окружности |?|= 1
382 Гл. 6. Двумерные задачи эластостатики
величина F(o) получает приращение i(Pi + iPi), когда а обхо-
обходит полный круг, в то время как In а получает приращение 2ш.
Таким образом, два первых члена правой части уравнения (8)
сокращаются и функция Fq становится однозначной.
Если границей бесконечной области является окружность, то
Здесь а — радиус окружности. Граничное условие G) с учетом
(9) принимает вид
^ = Fo(o), (Ю)
где
Разложим функции ф°(?) и г|э°((;) в бесконечные ряды
Ф°(?) = 2!ап?п, ФО(О=2Р»?П, A2)
а функцию F(a) ' ^ 2- In а в ряд Фурье
оо Г оо П
и ]g лпе'»*—^±^2. ш+5;|(в-'п*-в'»*) . A3)
п=—оо L n=i J
Подставим формулы A2) и A3) в граничное условие A0):
оо
- 2 ла„е
Pl ~^~lf
= V А р1п®
2я
- 2аВе~№ - {В' - iC) ae'* + 2^~Д2)- е'^. A4)
6.12. Решение для бесконечной области 383
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях а = е{#, на-
находим следующую систему уравнений, служащую для определе-
ления величин ап и ($„:
ПрИ п>2,
— л ' (pi + 'рз>
2
^-~2аВ, A5)
Я, - iP2
^2 —--2 2 г 2яA+и) '
?>п — А-п — {п-\-2)ап-2 2пп ' для
В найденном таким образом общем решении содержится целый
ряд частных случаев. Если В ~ В' = С = 0, то система урав-
уравнений A5) относится к бесконечному телу с круговым вырезом,
на границе которого отличен от нуля главный вектор Pi -\- 1Р2.
Если Pi + tP2 = 0, то мы имеем дело с действием самоуравно-
самоуравновешивающейся нагрузки на границе |z| = а. Наконец, если
Ап = 0 (что соответствует F(a) =0) и Pi + г'Рг = 0, а вели-
величины В, В', С отличны от нуля, то мы имеем дело g концентра-
концентрацией напряжений вокруг выреза (граница которого свободна от
нагрузок), вызванной действием напряжений сГц(оо), 022@°) и
ai2(oo) на бесконечности.
Рассмотрим этот последний случай более подробно. Предпо-
Предположим, что тело равномерно растягивается в направлении оси
Xi. Тогда
0 = 0, о12(оо)«0. A6)
В уравнениях A5) следует положить
Решая уравнения A5), получим
а„ = 0 для га>1,
= 2~, р2 == 0, P3 = -7j-
„ = 0 для п > 3.
384 Гл. б. Двумерные задачи эластостатики
Функции ф°(?) и i)>0(?) получим по формулам A2):
а функции q>i(Q, тМ?) по формулам D) и E):
Учитывая формулу (9), имеем
. , о /?\ _1- — (г) = ih° (?\ 4- В'а
Напряжение определяем из формулы B2) §6.10.
В полярной системе координат (р, #) имеем
A7)
На границе р = а исчезают напряжения арр и ар{,. Напряжение
а^ дается формулой
а^(а, #) = рA —2 cos 2#)
и принимает наибольшее значение при # = л/2 и # = Зл/2.
В случае всестороннего растяжения тела, т. е. для
ап(оо) = р, о22(оо)=р, а12(оо) = 0,
путем суперпозиций напряжений получим следующие выраже-
выражения;
( ) (+4-). A8)
Рассмотрим далее действие сосредоточенных сил в бесконеч-
бесконечном теле. Распределение напряжений, вызванных действием
сосредоточенных сил, получим, рассматривая следующую вспо-
вспомогательную задачу.
Пусть на границе бесконечной области, ограниченной окруж-
окружностью г «= а, действуют постоянные нагрузки
Р1 — 2па ' Р2 ~ Ыа '
6.12. Решение для бесконечной области 385
Равнодействующей нагрузок р\ + ipi является величина Pi -f-
-\- iPi. ЕСЛИ ПОЛОЖИТЬ ОГц(оо) = О, О22(<») = 0, CTi2(oo) = О, ТО
из формулы A1) получим
Но
F(o) = fl
поэтому
Функции ф° (?) и ф0 (?) выразим с помощью бесконечных рядов
A2). Подставляя их в уравнения A0), мы видим, что
а„ = 0 для «=1,2, ...,
поэтому
Из уравнений D) и E) получим
f'^ 2яA+х)
Учитывая, что z = a/?,, получим
1
*W— 2яA+х) z2 "t" 2яA+к) Ша*
Для определения напряжений требуются величины ф/(г), q>" (z)
и ф'B):
ф^ 2яA+х) z1 ф 1г; 2яA+х) z2 '
,м х(Р,-1Ря) 1 Pi+fP, a2
43 ^z;~~ 2яA+х) z яA+х) г3 *
Напряжения, вызванные действием сосредоточенной силы Р\ -f*'
+ гЯ2 в начале координат 2 = 0, получим устремлением радиуса
а к нулю, однако при таком росте нагрузок р\ + ip2, чтобы их
равнодействующая была постоянной и равнялась величине
Pi + iP3.
13 В. Новацкий
386 Гл. 6. Двумерные задачи эластостатики
Функции ф'B), (p"(z), ty'(z), необходимые для определения
напряжений, вызванных действием сосредоточенной силы
Л + г^2, получим, подставляя в формулы B0) а = 0. Напря-
Напряжение оар (ее, р = 1, 2) определим по формулам B1) § 6.8.
В полярной системе координат (г, 0) имеем
B1)
6.13. Определение комплексных потенциалов
и вывод интегрального уравнения
Сначала рассмотрим односвязную область S, ограниченную
кривой с. Эту область отобразим на единичный круг |?| ^ 1 с
помощью функции z = а>(?). Предположим, что точке 2=0 со-
соответствует точка ? = 0, а функция ю(?) голоморфна в единич-
единичном круге k, причем ю@) = 0.
Как мы уже знаем из § 6.10, граничные условия для первой
и второй краевых задач задаются на границе единичного круга
(т. е. в точках ? = а = eif>) одним уравнением
аф,(а) + рШ-ф[(а) + 1(I(а)=:Я(а). A)
Для второй краевой задачи, согласно обозначениям § 6.10,
для первой
а = - к, Н(а) = - G (а) = - [8l (d) + l8i (d)].
Предполагая, что главный вектор сил равен нулю на границе
круга k, функции ^(сг) и G(cr) мы трактуем как однозначные
функции. В дальнейшем мы будем пользоваться уравнением, со-
сопряженным к уравнению A), а именно уравнением
Умножим уравнения A) и B) на -^—г ? , где ?е&, и про-
проинтегрируем их вдоль границы у единичного круга. Получим
6.13. Определение комплексных потенциалов 387
систему уравнений
2я/
а
где
ш'(о) (о-С) 2ni J о-С
D)
Предполагая, что функции q>! (?), ip[(S) аналитически продолжены
на у> и учитывая, что
I (a) da __ .?. _1_ f ti (o)_.
Y v
1 г <pi (°) ^° /».\ i г ф> (°)"° |
и1)
приводим уравнения C) и D) к виду
и>(о) ф'(о)
j5^"Gro-rfa + *><0)-^«). G)
v
(8)
Уравнение G) является интегродифференциальным уравнением.
В дальнейшем мы преобразуем его в интегральное уравнение
Фредгольма второго рода. Уравнение (8) будет использовано
(после предварительного определения функции q>i(?)) для вы-
вычисления комплексного потенциала tpi(S). Используя соотношение
Ф1
•) Это необходимое и достаточное условие, чтобы функции tj)i(o) и ф1(а)
были на у непрерывным продолжением функций ^i(S) и
13*
388 Гл. 6. Двумерные задачи эластостатики
преобразуем уравнение G) к виду
В это уравнение входит член /Ссо(?), в котором постоянная вели-
величина К связана со значением ф{@), пока не известным. Для ис-
исключения члена /Сю(?) разобьем функцию cpi(?) на две части:
(И)
Подставляя формулу A1) в A0) и учитывая, что
1 Г со (а) — со (?) , /о\ /о\ Г da
Y Y
упрощаем уравнение A0):
Последнее уравнение дифференцируем по ? и устремляем Z, к
точке у на границе круга, предполагая при этом существование
непрерывного продолжения функции ф'°(?). В результате нолу-
чим интегральное уравнение Фредгольма второго рода
где
Y
Уравнение A3) можно сокращенно записать так:
аф'° ((то) + -г^- / К (а, (То) <p'°(<r) da = А' (<т0), A4)
Y
где через К(а,а0) обозначено ядро интегрального уравнения
, . 1 д /со (а) — со(а0)\ со (а) — со (а0)—(а—а0) со" (а0)
После определения функции ф'° (сг0) из интегрального уравнения
A4) возвращаемся к уравнению A2), из которого вычисляем
функцию ф0^). Постоянная i|>i @), входящая в это уравнение,
6.13. Определение комплексных потенциалов 389
определяется из условия ф°@) = 0 (которое в силу формулы A1)
равносильно условию qn(O) = 0).
Нам остается определить функцию q>i (?) из соотношения
A1). Но входящая в это соотношение величина К не известна.
Из уравнения A1) вытекает, что
С другой стороны,
Исключая из формул A6) и A7) величину <р{@), получим
или K + L = &. A8)
а ш'@) ^ а со'@) V '
раевой задач
принимает вид
?+_ или K + = &
а ш'@) ^ а со'@)
Во второй краевой задаче а = —к, так что уравнение A8)
„ К _
к со'(О)
из которого однозначным образом можно определить величину
К. В первой краевой задаче а = 1, а величина К + К является
действительной. Имеем тогда
^B^ + 2Re(?]. A9)
со'(О) со'@) со'(О) V«'@)/
Соотношение A9) будет выполнено только в случае, когда
ф{@)/ю'@)—действительная величина. Поэтому получаем до-
дополнительное условие
которое мы используем для определения величины К. Можно
показать, что условие B0) будет выполнено, если главный мо-
момент равен нулю. После определения функции ф'(?) можно при-"
ступить к определению функции i|>i(?) из уравнения (8).
Рассмотрим далее неограниченную область 5 с вырезом.
Отображающая функция ю(?) имеет вид
где юо(?) является голоморфной функцией в единичном круге,
а ш{0) = ро. Рассматривая бесконечную область, потребуем,
390 Гл. 6. Двумерные задачи эластостатики
чтобы начало координат 2 = 0 лежало вне области S. Как мы
знаем из § 6.12, функции комплексного потенциала для беско-
бесконечной области имеют вид
&tl% ln С + <д + ю) I
in g+(д/+iC/) f+^°(g)- B2)
В этих соотношениях функции ф0, -фо являются голоморфными
функциями, допускающими непрерывное продолжение на гра-
границу у. Постоянные В, В', С связаны с напряжениями аар(оо)
в окрестности бесконечно удаленной точки, С — с вращением
&(оо) тела на бесконечности. Значение С примем равным нулю.
Если подставить формулы B1) и B2) в уравнение A) для вто-
второй краевой задачи [а = 1, Н(о) = F(a)], то получим следую-
следующее граничное условие:
Фо (а) + -Щ- фТМ + Ы^) = Fo (a), B3)
где
о'(а)
B4)
со
Применяя преобразование, аналогичное тому, которое мы вы-
выполнили над уравнениями A) и B), получим следующие урав-
уравнения для определения функций ф0 и г|H:
_ 1 Г Fo (а)
~ 2я; ] 0-
Fo (а) da
-2SrJ T=l 2HTJ
После решения этой системы уравнений, зная уже функции ф0
и -фо, находим из соотношений B1) и B2) искомые функции
Ф1(?) и tf>i(?). В случае первой краевой задачи [а = —х, Н(а) =
= —G(a)] следует при отличном от нуля главном векторе и
ограниченных напряжениях оа$(°°) подставить в уравнение (Ц,
!4Pi_(C) и tyi(?)> определенные формулами B1) и B2), что приве-
6.13. Определение комплексных потенциалов 391
дет к уравнению
со
Фо (о) - -Щ- Ф0' (<*) - % (а) = Go (а), B7)
а далее аналогично поступить с функциональными уравнениями
B5) и B6). Вернемся к уравнению B5), которое следует све-
свести к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Ис-
Используя соотношение
f V
J 5ч5)(с
получим из уравнения B5)
= A)(O- B9)
Но /С0^0, так как со'@)^оо. Итак,
С другой стороны, учитывая, что
находим
со (а) — ю (g) _ сор (q) — coo (?) c_
q — i a — ? a? *
Так как
1 г <Po(a)d<r
г q>o(a)d<r
—=— ^ и,
/ J а' @) п
2nl J co'@)a
Y
что вытекает из формулы B8) при ? = 0, то преобразуем урав-
уравнение C0) к виду
^^;: C2)
Дифференцируя последнее уравнение по ? и устремляя ? к точке
Сто на окружности у. приходим к интегральному уравнению
4>о Ы + -гйГ J * (*' сто) ФТ(^ ^ = ^ К). C3)
v
где
ir /„ „ \ _ 4 3 [ соо (а) - соо (а0)
'(гс\— х f fo(q)rfq
392 Гл. 6. Двумерные задачи эластостатики
Можно доказать, что уравнение C2) при любой правой части
имеет только одно решение. Подставляя Фо(сто) в уравнение B5),
получим функцию фо(?)- Постоянная г|)о(О), входящая в это урав-
уравнение, выбирается так, чтобы было выполнено условие фо(О) = 0.
Функцию -фо (S) определяем из соотношения B6).
6.14. Решение интегрального уравнения
Рассмотрим уравнение A0) § 6.13
оф,(о+~J |^а~ 1(ц фТйd°+к®(с)+%Щ=afo. (о
Дифференцируя это уравнение по ? и устремляя точку ? к
точке ао на единичной окружности у, получим интегральное
уравнение
// х , • Г д Г со (а) — со (а0) 1 Ф^ (ст)
B)
Можно показать, что ядро
vt~ ~\— ' а Гm (q) - со (ао) 1
Л (сг, а0) = -====-——
со'(<т) <Эа0 L а-в0 J
является вырожденным, когда функция ю(?) измерима. Под-
Подставим (a(t,) = pCOIqСО, где /?(?) и ?(?) — многочлены, в выра-
выражение
со (а) — со (а0) р (а) ? (Ро) — Р (ар) ? (а)
а — а0
C)
Числитель в выражении C) равен нулю при сг = сг0, поэтому
можно разделить его на сг — Сто. Частное C) является многочле-
многочленом от переменных сг, Сто, и его можно представить в виде
Таким образом, ядро уравнения A) удается записать как
1 д г со (а) — со (а0) I yi <7fe(CT) d Г <*о 1 _
о'(а) даа L а —0о J M. q(a)a>'(a) da0 L <7 (cr0) J
s
2
N
%ak(o)bk(o0). E)
6.14. Решение интегрального уравнения 393
Из теории интегральных уравнений известно, что решение ин-
интегрального уравнения A) допускает представление в замкну-
замкнутом виде, если только ядро К (о, а0) является вырожденным.
Особенно легко можно решить краевую задачу, в которой
отображающей функцией является многочлен
«»(?)= II с*Е*. ъФО, спф0. F)
Учитывая, что с\ не может равняться нулю, предполагаем, что
а'(О)фО. Отправным пунктом дальнейших рассуждений будет
уравнение G) § 6.13. Рассматривая вторую краевую задачу
[а = 1, Я (а) = F(a)], исходим из уравнения
со (a)
где
" (a) da
Покажем, что интеграл в уравнении G) является многочленом
n-й степени в круге k. Функцию а'(о) можно трактовать как
непрерывное продолжение голоморфной функции вне у. а имен*
но функции ю'A/?). Итак, (о(а)/а/ (а) рассматриваем как ана*
литическое продолжение функции
со' (l/g) г, + 2г,Г' + ... + ncns'-n г, tn~l + ... + «cn
Функция (8) на бесконечности имеет полюс n-ro порядка.
После выполнения алгебраических операций, в основном де-
деления, можно выбрать такие постоянные b0, b\, ..., &-ь, чтобы
DO
_?-к, \Ъ\>\. (9)
Я
Так как cd'(S) =^0_Для_|?| < 1, а ©'A/0 # 0 для | ? |> 1, то
выражение ш'(?)/о/A/?) представляет аналитическую функцию
для всех значений |?| ^ 1, за исключением ? «= оо, где имеется
полюс л-го порядка. Выражаем ф1(?) с помощью ряда
394 Гл. б. Двумерные задачи эластостатики
Тогда
fU*1 . (И)
A2)
Учитывая формулу A2), запишем выражение ф, (I/O
<»'A/5)
r виде
»'(l/6) \t
где
, A3)
2
ft=l
причем х(?) является голоморфной функцией вне \, непрерывно
продолженной на у» Величины Kk связаны с коэффициентами ah
и bh следующими соотношениями:
К{ = афх + 2а2Ь2 + ... + папЪп,
(л— \)dn_xbn,
04)
Здесь мы не дали выражение для Ко, ибо в дальнейшем эта
величина нам не потребуется.
Подставим теперь формулу A3) в уравнение G) и совер-
совершим в выражении A3) переход от точки ? к точке а на окруж-
окружности Y- Учитывая, что
2я/ J со' I
~i~ 2я/ J a — ? '
Y
получим уравнение
= А®. A5)
6.14, Решение интегрального уравнения 395
Так как для ?е& в силу теоремы Коши
2ж J a — 5 2j« J a —
y y
И
<x + +Kon)
Y
то уравнение A5) принимает вид
Ч>1(» + фЛб)+ *<> + *?+ ... +Kn? = A(Q. A6)
Так как коэффициенты аь., входящие в решение ф1 (?) (формула
A0)), не известны, то и коэффициенты Kj, как видно из формул
A4), являются неизвестными величинами. Для их определения
разложим функцию А(?) в ряд Тейлора в точке ? = 0 и под-
подставим в формулу A6) выражение A0). Учитывая, что
,Г+ .... A7)
где
получим уравнение A6) в виде
•.. A8)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ?, полу-
получим следующую систему линейных уравнений:
A9)
Так как величины а& являются комплексными, то систему урав-
уравнений A9) можно разбить на систему 2л уравнений, в которую
будут входить действительные и мнимые части величин а& =
Однозначность решения системы уравнений A9) будет обес*
печена, если будет выполнено условие
Im
396 Г*- ?• Двумерные задачи эластостатики
Из этого условия определим мнимую часть величины сц. Усло-
Условие ф1 @) =0 было уже учтено в выражении A0). После опре-
определения величин flft можно определить величины К\, Кг, ...
.... Кп и величину Ко + ^i @) = А>- Таким образом функция
Ф1 (?) определена в круге у.
Зная функцию qpi(?), можно определить второй комплексный
потенциал по формуле (8) § 6.13:
1 г F (о) da 1 г со
~ 2яГ J а - i Ы J со'
(а) (a-Z) '
Последний из интегралов можно найти в конечном виде. Вхо-
Входящую в уравнение B0) функцию ®,^ ф, (а) можно тракто-
трактовать как непрерывное аналитическое продолжение 'функции
"' (t) Ф1 (?)' котоРая является голоморфной внутри y (за исклю-
исключением нулевой точки, в которой она имеет полюс). Тогда имеем
co'(S) 4PiW = ^ + ••• +Ai& +X (У. |?1<1, B1)
где
00
Для ? s А, применяя формулу Коши, получим
2Jt
Y
1 /• йA/5) ф^(<г) 1 г «(а) ф[(ст)^ст _
2JtTJ со'(ст) о- — S 2лГ J со'(<т) а-? ~~
Y
&Г- + •. • + ^Г') ^ + gL J J^ Лг-x- @. B2)
Интеграл, содержащий ряд 2 KjtT1, равен нулю, так как
п
1 представляет собой граничное значение голоморфной
функции вне единичного круга.
Подставляя формулу B2) в B0), получим следующую фор*
мулу;
^/^-(О. B3)
6.14. Решение интегрального уравнения 397
Так как
/=1
TO
— n
. /<.¦. 1 Г F (a) rfa со A/6) / ,?. , ^i ^ о-/ ^лд^
v /=i
Займемся теперь решением краевой задачи для неограниченной
области. Будем исходить из функционального уравнения B5)
§ 6.13:
где
а — _L f fo(q)rfq
Л° — 2n/ J о - 5 "
Y
Уравнению B5) можно придать также вид
Так же как и для ограниченной области, можно показать, что
если
п
то функцию ю (?)/о/ A/?) можно представить суммой многочлена
степени л — 2 и бесконечного ряда:
+ У *-ftrft, B7)
Для |S 1=1 при Фо(?) = 3а*?й найдем, что
ft=i
w (q) • / / \ со (а) , . .
= Z)n_2(T«-2 + ... + Dxa + Do + j Д_»<т-*, B8)
где
-Di = «i*i + 2a262+ ... + (п — 2) а„_26„_2,
А,_з = йуЬп^з + 2а26„_2, ;
Д,_2 ^ Й1^„_2.
398 Гл. 6. Двумерные задачи эластостатики
Вычислим далее интеграл, входящий в уравнение B6):
2ni J со' (a) (a - i) ?«
Подставляя формулу C0) в уравнение B6), находим
фо @ + 2 Dktk + ыо) = л0 (о. C1)
Подставляя сюда фо(?) и Ло(?), разложенные в ряд Тейлора, и
приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях' величины ?,
получим систему п — 2 линейных уравнений, в которую входят
коэффициенты а^ и Dk- Исключая D^ из этой системы при по-
помощи соотношений B9), получим систему уравнений, из кото-
которой уже можно определить постоянные ak.
Рассмотрим простой пример, относящийся к бесконечной об-
области 5, ограниченной эллипсом с уравнением
2 ' 2
а{ а\
Функция, отображающая область 5 на единичный круг, имеет
вид
В функциональное уравнение
т-г НттТ"; ^^ + ^0@) = —- _ C2)
2ni •> а' (а) (а — О 2т ¦> о— ?,
подставим величину
v=l
в которой устремим g к точке а на окружности у. Так как при
^ = а ряд содержит только отрицательные степени а, то первый
из интегралов в уравнении C2) отпадает. Остается уравнение
6.14. Решение интегрального уравнения 399
Величину фо @) определим из условия qp0 @) = 0. Окончательно
имеем
V
Функцию ipo(?) находим из уравнения
а (а) , / s а (пг + а2) \Л v ,
ш (а) ° ' 1 — та2 Х4 v
содержит только положительные степени а, то
2HrJ FCWj ш(а) (а-С)^- C5)
V V
Так как ряд
Если в формуле C6) положить т = О, то она будет справед-
справедлива для бесконечной области S, ограниченной окружностью.
Глава 7
КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ ПРЯМОГО БРУСА
7.1. Задача Сен-Венана
Рассмотрим прямой брус в виде длинного цилиндра с осью
х3. Пусть этот брус свободен от нагрузок на боковой поверх-
поверхности, и пусть на его конце (основании цилиндра) действуют
нагрузки. Предположим, что ось бруса хъ совпадает с его сре-
срединной осью, т. е. с прямой, проходящей через центры тяжести
сечений бруса. Сразу" же добавим, что мы будем заниматься
брусом с постоянным сечением (рис. 7.1).
В наших рассуждениях мы не будем учитывать влияния
массовых сил. Итак, основные дифференциальные уравнения:
уравнения равновесия
0^ = 0 A)
и уравнения Бельтрами — Мичелла
FVs-" = 0' s==aM> i, /=1. 2, 3, B)
будут однородными уравнениями. Граничные условия
pl = ojln] C)
должны быть однородными на боковой поверхности цилиндра.
Определение напряженного состояния в брусе, вызванного
действием приложенных к его основанию сил, имеет большое
практическое значение; достаточно упомянуть механизмы, лета-
летательные аппараты, строительные конструкции. В этих конструк-
конструкциях брус часто является основным элементом. Это может быть
как одиночный брус (например, мостовая балка), так и система
брусьев (рама или ферма). Точное определение напряженного
состояния в брусе наталкивается на большие трудности мате-
математического характера. Даже и теперь, после векового развития
теории упругости, мы располагаем лишь незначительным числом
точных решений, относящихся к довольно простым видам нагру-
^кения бруса. Для преодоления математических трудностей Сен-
7.1. Задача Сен-Венана
401
Венан предложил полуобратный метод (англ. semi-inverse).
В этом методе априори налагаются некоторые ограничения на
перемещения и напряжения, а затем определяются дальнейшие
ограничения на эти величины так, чтобы были выполнены урав-
уравнения теории упругости.
РИС. 7.1.
При рассмотрении задачи о деформации бруса мы полагаем,
следуя Сен-Венану, что в брусе имеет место упрощенное напря-
напряженное состояние. А именно предполагаем, что напряжения
оц, ©22, #12 равны нулю. Итак, мы априори считаем, что напря-
напряженное состояние описывается матрицей
0 О
13
о о
D)
Нужно исследовать, какими должны быть силы, действующие
на концах бруса, в предположении, что составляющие напря-
напряженного состояния D) удовлетворяют дифференциальным урав-
уравнениям теории упругости и граничным условиям.
Легко проверить, используя уравнения C), что при напря-
напряженном состоянии D) боковая поверхность цилиндра будет
свободна от нагрузок. Нагрузки, действующие на основание ци-
цилиндра х3 — I, обозначим через qt (i = 1, 2, 3). Пусть эта система
нагрузок сводится к главному вектору Р и главному моменту М
(рис 7.1). Составляющие Pi и Mj связаны с нагрузками <7z(*i, х2)
и напряжениями оц в сечении Хг = /следующими соотношениями:
Pt=\ ai3 dA=\ qt dA, l=\, 2, 3,
A A
Mi = — J лг2а33 dA = — J x3q3 dA,
A A
M2 = J *1<Тзз dA = J хд3 dA,
Л А
M3=\ {x2e3l —
= J (x2qi —
А
dA.
E)
F)
G)
(8)
402 Гл. 7. Кручение и изгиб прямого бруса
Главный вектор и главный момент Р' и М', действующие на вто-
второе основание цилиндра (сечение х3 = 0), определим из урав-
уравнений равновесия бруса как целого.
Заметим, что только некоторые определенные системы на-
нагрузок, приложенных к основанию цилиндра, будут приводить
к напряженному состоянию, выраженному схемой D). В прин-
принципе же нагрузки q\ будут вызывать в брусе трехосное напря-
напряженное состояние.
Однако если брус является длинным, а площадь сечения
бруса мала по сравнению с его боковой поверхностью, то мы
можем применить для решения задачи принцип Сен-Венана.
В силу этого принципа все системы нагрузок qu статически
эквивалентные векторам Р, М, вызывают в некотором отдале-
отдалении от сечения х3 = I одинаковые поля напряжений и деформа-
деформаций. В уравнениях E) — (8) можно принять различные системы
нагрузок qu однако они должны быть выбраны так, чтобы
интегралы в правой части этих уравнений равнялись одним и
тем же составляющим векторов Р, М.
Принцип Сен-Венана позволяет рассматривать вместо за-
заданных нагрузок другие нагрузки, статически эквивалентные
заданным. Заданные нагрузки всегда можно заменит* такими,
которые приводят к напряженному состоянию D).
Применяя высказанный выше принцип, задачу Сен-Венана
можно разбить на несколько простых задач, а полученные ре-
результаты сложить. Если сила Р3 — Г q3 dA является единствен*
А
ной причиной деформации, то мы имеем дело со случаем осе-
осевого растяжения бруса. Состояние, в котором единственными
причинами вызывающими деформацию бруса, являются момен-
моменты М) и М2, называется изгибом бруса парами сил. Действие
сил Pi, Р2 приводит к изгибу бруса поперечными силами. Нако-
Наконец, действие момента М3 как единственной причины, вызы-
вызывающей деформацию бруса, приводит к кручению бруса.
Решение первой задачи, относящейся к растяжению бруса,
достаточно просто. В самом деле, рассмотрим брус длиной /,
на основание которого х3 = I действует нагрузка <7з(*ь*2). та-
такая, что J q3dA = P3. В силу принципа Сен-Венана мы можем
А
заданную нагрузку q3(xit х2) заменить другой нагрузкой
q'3 (xv *2), статически ей эквивалентной. Эта эквивалентность вы-
выражается соотношением
P3 = jq3dA=jqf3dA. (9)
А А
Примеры эквивалентных нагрузок показаны на рис. 7.2.
7.1. Задача Сен-Венана
403
В достаточном отдалении от основания бруса напряженное
состояние уже не зависит от распределения нагрузок в сечении
х3 = /. Из многих возможных статически эквивалентных нагру-
нагрузок <7з(*|> X2J выберем наиболее простую, а именно нагрузку
<701 равномерно распределенную по основанию. Мы имеем q^A =
= Рз- Легко проверить, что нагрузка до вызывает в брусе на-
напряженное состояние, определяемое только одной составляю-
составляющей тензора o,j, а именно составляющей о3з = Яо 3= const. Урав-
Уравнения (I) и B) и граничные условия C) будут удовлетворены.
'¦Я
, 2Ь „
X,
РИС. 7.2.
РИС. 7.3.
Будут выполнены также тождественно соотношения E) — (8),
если учесть, что интегралы J xx dA, \ х2 dA равны нулю как
А А
статические моменты площади сечения бруса относительно оси,
проходящей через его центр тяжести.
Примененный здесь принцип Сен-Венана был проверен на
нескольких примерах. Ниже мы дадим один из них, относя-
относящийся к брусу прямоугольного сечения длиной 2/г, шириной 2Ь
и толщиной 1, нагруженному сосредоточенной силой Р3
(рис. 7.3).
Напряженное состояние, связанное с этим типом нагруже-
ния, зависит от переменных х\, х$ и является обобщенным пло-
плоским напряженным состоянием. Напряжение а3з в сечении х$ =
¦= 0, вызванное действием сосредоточенной силы Рз, можно
404 Г-*1- ?¦ Кручение и изгиб прямого брусй
представить в виде ряда
При большом значении отношения h/b сумма, стоящая в скобках
в A0), мала по сравнению с единицей и напряжение (Тзз(*1.0)
в сечении бруса Хз = 0 распределено практически равномерно.
Мы видим, что даже в крайнем случае действия сосредото-
сосредоточенной силы напряжение а3з в сечении лгх ^= 0 практически не
отличается от напряжения o'33(xv 0), вызванного действием на-
нагрузки qo = P3/Bb), равномерно распределенной по основанию
бруса. Рассмотрим второй частный случай: изгиб бруса момен-
моментом М2 = М. Из уравнения равновесия для бруса как целого
вытекает, что на другом конце бруса должен действовать мо-
момент М.2 = — М.
Проверим, что поле напряжений
ffll=ff22 = ffl2 = (T23 = ffl3 = 0, СзЗ=«Л + ?2 (И)
удовлетворяет всем условиям задачи. Оно удовлетворяет урав-
уравнениям равновесия A), дифференциальным уравнениям Бель-
трами — Мичелла B) и граничным условиям на боковой поверх"
ности цилиндра. Подставляя формулы A1) в граничные усло-
условия E) — (8) на основании цилиндра, имеем
- J
A
l = j o13d'A = 0, P2=j a23dA = 0,
A A
з — J ^зз dA = a! J Xi dA + a2 J x2 dA = 0,
A
= 0, A2)
M2— j a33xl dA = al j x\dA + a2 J xxx2dA = M,
A A A
M3 = — J {x{a32 — аЪ1хг) dA = 0.
A
Главный вектор сил Р равен нулю, как и должно быть. Состав-
Составляющая Р3 равна нулю, так как J xl dА = J x2 dA = 0. Коэф-
7.1. Задача Сен-Венана 405
фициенты ось «2, входящие в линейное распределение напряже-
напряжения (Тзз, определим из третьего и четвертого уравнений системы
A2). Имеем
— at/12 — <x2/u = 0, ai/22 + a2/i2 = M, A3)
где /22, /и являются моментами инерции относительно осей Х\
и х2, а /i2 — центробежным моментом. Последнее уравнение
группы A2) тождественно удовлетворяется, если cri3 = (т23 = 0.
Так как
'12 41*22-42
то нормальное напряжение а33 примет вид
_ м
Предположим, что оси хи jc2 являются главными осями инер-
инерции. Так как центробежный момент в этом случае равен
нулю, то
°з3 = —*i- A6)
Определим теперь поле перемещений в брусе. Мы можем опре-
определить его либо по формулам Чезаро, либо непосредственно.
В последнем случае исходными будут выражения для дефор-
деформаций
я 1Г / I м vAf г г ,.-ч
е11 = СЧЫ1 =~g"lD1 V (<Х22 ~Г ^ЗЗЛ = ?/" Xl' I='22> U ' )
е22 ^ ^2Ы2 = -?" [ff22 V (CTU + (T33)] = ^у" Хи A8)
"^"[^ЭЭ V (сТц + О22)]=~Ё1Х1> A9)
у (<?i«2 + 52«i) = 0, B0)
1
0, B1)
fry 0. B2)
Интегрируя уравнение A9), получим
из—Й-*1*з + и§(*1» х2), B3)
где и°ъ — произвольная функция переменных х\, х%. Подставляя
формулу B3) в соотношения B1) и B2), а затем интегрируя
406 Гл. 7. Кручение и изгиб прямого бруса
их, получим следующие выражения для перемещений и\ и ы2:
« Х1 ^
> Х2). B4)
х2). B5)
Подставим формулу B4) в соотношение A7), а B5) в соот-
соотношение A8), Получим систему уравнений
Так как эти соотношения должны быть справедливы для про-
произвольного значения Хз, то
а^ = 0, d*«° = 0. B7)
Нам остается еще проинтегрировать соотношения B6) с учетом
B7). Получим
«? W *i + «Pi (Л*)' «2= ~ Ж
Здесь фь ф2—произвольные функции выписанных переменных.
Следует еще связать между собой функции ф1 и ф2. С этой
целью используем последнее оставшееся уравнение B0). Под-
Подставляя в него перемещения щ, и2 по формулам B4), B5) и
принимая во внимание зависимости B8), получим условие
- 2xfM + ^Г1 " Ж ** + ^if1 = °- W
Так как только один член этого уравнения зависит от лг3, то
д{д2и\ = Ъ. C0)
Уравнение B9) с учетом C0) удается разложить на систему
уравнений
/*Ф1 (*г) vAf _ dy2(x\) _
~dT2 ir^-Yl> "~^r"-~V!.
Отсюда
Соотношения B7) и C0) приводят к утверждению, что ы° яв-
является линейной функцией переменных Х\ и лгг:
§ +Р- C2)
7.2. Кручение прямого бруса 407
По формулам B3), B4) и B5) с учетом зависимостей B8),
C1) и C2) получаем окончательные выражения для пере-
перемещений:
"< = —ш № +v (*< - 40 + Yi*2 - Рл + y,
^7 6, C3)
Мз = Ж
Постоянные интегрирования Рь Рг, Р, Уи Y> б мы определим из
условий закрепления бруса в сечении х3 = 0. Если допустить,
что брус жестко закреплен в начале координат @,0,0), то из
УСЛОВИЙ «1 = «2 = «3 = 0, <?з«1 = д3и2 = <?1«2 = 0 ДЛЯ ТОЧКИ
@,0,0) получаем по формулам C3)
Напряженное состояние в точках, удаленных от основания ци-
цилиндра, в силу принципа Сен-Венана не зависит от распреде-
распределения нагрузок <7з(#ь *г); прежде приложенные нагрузки удов-
удовлетворяли условиям E) — (8), которые в нашем случае приво-
приводят к соотношениям
J q3 dA = 0, J ?з*2 dA = 0, М = J <7з*1 <*Л. C4)
Л А А
Поэтому вместо заданной нагрузки <7з(*ь*2) мы можем принять
статически ей эквивалентную q'3 = a,\Xl -\- суг2, приводящую к
более простому напряженному состоянию в брусе, определен-
определенному по схеме A1). Для заданной нагрузки <7з(*ь-«г), отличной
от q'3 = alxl + a2x2, напряженное состояние A1), очевидно, яв-
является приближенным, отличающимся от точного решения
только вблизи основания цилиндра.
7.2. Кручение прямого бруса.
Основные соотношения и уравнения
Пусть на цилиндрический брус действует крутящий момент
М= |(*1(Тз2 — x2o3i)dA. A)
Так как в это соотношение входят только напряжения (т3ь стзг,
следует считать, что они играют основную роль в задаче кру-
кручения бруса. Поэтому предположим, применяя полуобратный
метод Сен-Венана, что в брусе имеет место напряженное
408 Гл. 7. Кручение и изгиб прямого бруса
состояние, определяемое только составляющими ст3ь <*32 тензора
напряжений оц. Предположим также, что эти напряжения за-
зависят только от переменных Х\ и х2 (рис. 7.4).
Нужно исследовать, какой тип деформации соответствует
такому напряженному состоянию. Заметим, что из уравнений
равновесия остается одно, а именно
<9icr13 + д.2а23 = 0.
Это уравнение будет выполняться тождественно, если связать
напряжения спз, стгз с некоторой функцией напряжений 1|з зави-
зависимостями
B)
Нужно удовлетворить также уравнениям в напряжениях Бель-
трами — Мичелла и граничным условиям. В рассматриваемом
РИС. 7.4.
случае (в предположении, что единственными напряжениями в
брусе являются оы и ^зг) уравнения Бельтрами — Мичелла сво-
сводятся к двум уравнениям
$. C)
Эти уравнения с учетом соотношений B) приводим к виду
Отсюда сразу вытекает, что функция $ должна удовлетворять
уравнению Пуассона
V?i|> = -2/C. D)
Величина К является постоянной, которую мы найдем в даль-
дальнейшем при определении деформаций тела.
Перейдем к выводу граничного условия, отвечающего диф-
дифференциальному уравнению D), рассматривая нагрузку, дей-
действующую на боковой поверхности бруса. Составляющие этой
нагрузки задаются формулами
Р1 = ОцП/. E)
Так как на боковой поверхности n3=cos(n, x3) = 0. а напряже-
напряжения ацр (а, р = 1,2) равны нулю внутри бруса, то из уравнв?
7,2, Кручение прямого бруса 409
ний E) остается только соотношение
РЪ = СГз1«1 + СГ32Л2. F)
Боковая поверхность будет свободна от нагрузок, если поло-
положить р3 = 0, что мы и сделаем. Подставляя в формулу F.)
соотношения B) и учитывая, что
n!=COS(n, Хх) = ^-, n2 = COS(tl, Х2) = — -^-,
получим зависимость
Из этой зависимости вытекает, что на контуре с сечения бруса
следует принять граничное условие ф = const. В случае бруса
с односвязным сечением можно принять условие tp ^= 0.
Итак, определение функции ф сводится к решению уравне-
уравнения Пуассона
(д* + д$ ф (х„ х2) 2/С, х„ х2 е Л, (8)
с граничным условием
г|ф) = const, see. (9)
Так как в брусе напряженное состояние определяется со-
составляющими азь 032, в основании бруса следует рассмотреть
условия
Л = / ог31 йЛ, Р2 = / о23 dA, M5 = — M=j (сг31лг2—0-32^1) dA. A0)
А А А
Первые два условия приводятся к криволинейным интегралам
Л = / d2ty dA = — j ф dxv P2 = — J d$dA = J ф dx2.
Л с Л с
Криволинейные интегралы равны^ нулю, если ф = const на кон-
контуре основания. Поэтому Pi = 0, 7>2 = 0, так что система нагру-
нагрузок сводится к крутящему моменту. Для крутящего момента М
из последнего уравнения системы A0) имеем
М = - J (х,5,ф + х2д2^) dA = 2 J ф dЛ — J ф (х, йд:2-х2 dx,). A1)
Л Л с
В случае односвязного сечения бруса криволинейный интеграл
исчезает, так как ф = 0 на контуре с. В этом случае
dA. A2)
410 Гл. 7. Кручение и изгиб прямого бруса
Мы видим, что рассматриваемое напряженное состояние вызва-
вызвано действием крутящего момента М в основании цилиндра.
Следует рассмотреть еще деформацию бруса и при этом
определить значение постоянной К. Так как в случае кручения
бруса напряжения аи, а22, стзз, о\2 равны нулю, то и деформации,
связанные с этими напряжениями, равны нулю. Итак, имеем си-
систему четырех однородных уравнений
еи = <?!«! = 0, е22 = д2щ = 0, е33 = д3и3 = 0,
Из соотношений A3) вытекает, что линейный элемент ds, лежа-
лежащий внутри сечения х3 = const и не изменяющий своей длины,
испытывает только смещение и поворот. Для перемещений щ
и и2 получаем
«1 = — $х2, и2 = Ъх1. A4)
Этим соотношениям удовлетворяют два первых из уравнений
A3) и последнее из этих уравнений. Величина ¦& (угол поворота
бруса) может зависеть от переменной х3, но только линейным
образом. Это вытекает из того, что мы считаем напряжения и
связанные с ними деформации не зависящими от переменной х3.
Поэтому примем, что
A5)
Здесь Оо и ш — постоянные величины. Если предположить, что
брус закреплен в сечении х3 = 0, то величину Оо следует поло-
положить равной нулю. Величина со определяет крутку — угол за->
кручивания, отнесенный к единице длины. Поэтому имеем
«! = — х2х3а, «2 — *1*3со. A6)
Кроме того, в соответствии с третьим уравнением системы A3)
и3 = свф(х1, х2). A7)
Выразим теперь возникающие в брусе напряжения через пе-
перемещения:
013 — 2це13 — ц (d3«i + (^«з),
(lo)
а23 = 2це23 = ц (д3и2 + д2и3).
Подставляя в формулы A8) выражения A6) и A7), имеем
а13 = цш ((^ф — х2), огзз^цш^гф + Х!). A9)
Из последних соотношений получаем
д2а13 — дхо23 = — 2цю. B0)
7.2. Кручение прямого бруса 411
С другой стороны, вводя зависимости между напряжениями и
функцией $ (соотношение B)), найдем, что
Vf-ф 2ци. B1)
Сравнивая последнее уравнение с уравнением D), видим, что
цсо = К. Угол закручивания со можно связать с крутящим момен-
моментом М благодаря соотношению A1) или A2).
Вводим новую функцию напряжений %, связанную с функ-
функцией \|з зависимостью
ф ] B2)
Подставляя формулу B2) в уравнение Пуассона (8) и гранич-
граничное условие (9), убеждаемся, что функция % удовлетворяет
уравнению Лапласа
B3)
с граничным условием
X (s) = const + j {х\ + 4), s 6= с. B4)
Путем введения функции % мы свели задачу к известной про-
проблеме теории потенциала, а именно к краевой задаче Дирихле.
Зная функцию % можно определить напряжения. Воспользо-
Воспользовавшись соотношениями B), находим, что
Подставляя формулы B5) в третье соотношение системы A0),
получим
м=к f
/с=^й. B6)
А
Последнюю формулу можно представить в виде
М = (oD, B7)
где
D = |i J [(х, - е>1ХJ + (*2 - 52хJ] rfA
Через D мы обозначили величину, называемую жесткостью бру-
бруса на кручение, или просто жесткостью бруса.
412 Гл. 7. Кручение и изгиб прямого бруса
Возможен еще один путь формулировки задачи о кручении
бруса: введение функции перемещения ф(хь х2), фигурирующей
в выражении A7) для перемещения «3- Подставляя а^ и а2г из
формул A9) в уравнение равновесия A), получим для функ-
функции ф гармоническое уравнение
0. B8)
К уравнению B8) следует добавить граничное условие. Под-
Подставляя формулы A9) в граничное условие F), получим
Нам нужно решить уравнение Лапласа B8) с граничным усло-
условием B9). Это известная задача теории потенциала: краевая
задача Неймана. Известно, что однозначное решение задачи
Неймана существует тогда, когда
Это вытекает из следующего преобразования:
J -|В. ds = J dtftit ds = j Vfo dA = 0.
A
A
Легко проверить, что граничное условие B9), проинтегрирован-
проинтегрированное по контуру сечения, удовлетворяет постулату Неймана:
Проверим далее, выполняются ли условия A0) на основании
бруса. Первое из этих условий дает
J a31 dА = цш J ((^ф — х2) dA =
А А
= цш J {[*, @,<p - х2)],, + [х, (д2ф + х,)]. 2} dA. C0)
А
Здесь мы воспользовались тем, что функция ф удовлетворяет
уравнению Лапласа. Применяя к формуле C0) преобразование
Грина, имеем
Jj-+*i«2 — x2ni)j\ds = 0. C1)
Условие Pi = 0 будет выполнено, если под знаком криволиней-
криволинейного интеграла фигурирует граничное условие B9), Аналогия-
7.2. Кручение прямого бруса 413
ные рассуждения показывают, что также и Р2= J omdA = 0.
Последнее соотношение системы A0) приводит к выражению
М = шA D = ц J {х\ + х\ — хДф + х,<Э2ф) dA. C2)
Величину ?> можно записать также в виде
D = ц J [(^2-
Покажем, что поверхностный интеграл от подчеркнутого выра-
выражения равен нулю.
Применим к интегралу
А
преобразование Грина. Тогда имеем
J [(<Э:ФJ + (<Э2ФJ] dA = J Ф Ц- ds - J
Последний интеграл исчезает, если У2ф ^ 0. Используя далее
уравнение B9), получим
= J К*2Ф). 1 — (^1ф). 21 dA = J (дс^1ф - *1(Э2ф) ЙЛ. C3)
л л
Поэтому жесткость бруса на кручение
D = ц J [(*2 - <Э1фJ + (X! + д2<рJ] dA>0 C4)
л
является положительной величиной.
Напишем формулу C2) в виде
D = ц J [х] + 4) ЙЛ - ц | (^251Ф - *,<Э2ф) ЙЛ. C5)
л л
Учитывая формулу C3) и обозначая через /<j полярный момент
инерции, придадим соотношению C5) вид
- \ [(^!ФJ + E2фJ1 dA \. C6)
л )
Так как D > 0, то справедливо неравенство ?>
414
Гл. 7. Кручение п изгиб прямого бруса
Найдем теперь связь между функциями ф и %. Из сравнения
соотношений A9) и B5) видно, что
Отсюда вытекает, что функция ф + i% является аналитической
функцией комплексной переменной z = х\ + 1*2. Функции ф и %
являются гармоническими, а соотношения C7) представляют
собой известные соотношения Коши — Римана.
7.3. Применение комплексного потенциала
к задаче о кручении бруса
Рассмотрим первую задачу теории потенциала: будем искать
решение уравнения Лапласа
. \ о (v y\ a A (W
¦2) "» \Л\> Л2) ' \ >
которое на границе с односвязной области А принимает непре-
непрерывные значения
P = f(s), ssec. B)
Краевая задача, характеризующаяся уравнением A) и гранич-
граничным условием B), носит название задачи Дирихле. Известно,
что решение уравнения A) существует
и единственно, если граница области
является достаточно гладкой.
Для дальнейшего особое значение
имеет решение задачи Дирихле для
круга. Общий вид этого решения мы
дадим в форме функции комплексной
переменной (рис. 7.5).
Рассмотрим замкнутый круг |z|=^l
и отыщем решение уравнения A) с
граничным условием
РИС. 7.5. P = U Ul=l. C)
Ниже г\ = ег'е будет изображать точку z =» reie на окружности
Y единичного круга.
Обозначим через Q(xbx2) гармоническую функцию, сопря-
сопряженную с функцией Р(х\,Х2). Эту функцию можно определить
с точностью до постоянной, если известна функция Р.
Вместо функции Р в круге \г\ ^ 1 мы будем искать ком-
комплексную функцию
F(z) = P(xu
D)
7.3. Применение комплексного потенциала 415
которая на границе у удовлетворяет условию C). Это условие
можно записать как
2f(B). E)
Умножим равенство E) на
1 dr\
2ni i\ — z '
где z— точка внутри окружности у, и проинтегрируем по
окружности:
1 Г F{i\)di\ ¦ 1 Г F(r))dr\ 1_ Г f(Wdi\ (Q)
2яг J t\ — z "т" 2я« J i\ — z ni J r\ — z ' v '
v v v
В силу теоремы Харнака ') соотношение F) равносильно гра-
граничному условию E). Первый интеграл в F) равен функции
F(z) в силу теоремы Коши, второй интеграл имеет постоянное
значение
V
Величины «о, Ро являются здесь действительными постоянными.
Уравнение F) дает
Из формулы G) получаем ^@) = ао + /ро- Из соотношениия
(8) поэтому имеем
откуда вытекает, что
2я
ао =
Решением краевой задачи Дирихле является выражение (8).
Выделяя из этого выражения действительную и мнимую части,
получим функции Р и Q. Формула (8) носит название формулы
Шварца. Если в формулу (8) подставить z = ге{ч =
= г (cos ф + / sin ф), ц = е{в = cos 8 + / sin 8, то после простых
') См., например, Leja F., Teoria funkcji analitycznych, PWN, Warszawa,
1957. [См. также Лаврентьев М. А. и Шабат Б. В., Методы теории функций
комплексного переменного, изд. 4, «Наука», М., 1973. — Прим. перев.]
416 Гл- ?¦ Кручение и изгиб прямого бруса
преобразований и выделения действительной части получим
так называемый интеграл Пуассона
р(г «Л—L Г
Перейдем к задаче о кручении бруса. Эту задачу удается
решить без труда, если заданная область 5 сечения является
односвязной и ее можно отобразить на область S* единичного
круга |?| ^ 1. В этом случае можно воспользоваться формулой
Шварца. Пусть функция
z = <»(?), ? = li + % (П)
является отображающей функцией. Из § 7.2 мы знаем, что
функция перемещений ф и функция напряжений % являются со-
сопряженными гармоническими функциями; они образуют анали-
аналитическую функцию
Так как функция % удовлетворяет уравнению Лапласа с гра-
граничным условием Дирихле, то в дальнейшем удобнее ввести
комплексную функцию
Ш Х-<ф. A3)
Функция х удовлетворяет на границе с области S граничному
условию
Хг=у [X] + 4) + Const = у 22 + COnst.
На единичной окружности |?| = 1 имеем
Х\,=±е>(о)й{д), |tl=l. (И)
Здесь через а = eie обозначена точка на окружности у.
Для определения функций ф и х воспользуемся формулой
Шварца (8). Внутри круга |?| «? 1 получим
откуда
const.
Из последней формулы без труда определяем функции ф и
как действительную и мнимую части функции /(?)
7.3. Применение комплексного потенциала 417
Если функция со(?) измерима, то и выражение со (а) со (а) бу-
будет измеримой функцией. В этом случае вычисляем интеграл
A5), используя теорему о вычетах.
Важной с практической точки зрения величиной является
крутка со = M/D. Поэтому следует найти жесткость на кручение
для сечения бруса как функцию от со(?):
D = ц J (х\ + дф dA + ц J (х,д2Ф -хДф) dA = ц/0 + цй0. A6)
А А
Величина /0 является полярным моментом инерции области,
ограниченной кривой с. Тогда имеем
/о = ("(*[ + хг) rf^ = J [д2(х1х2) + ^i (X\X2)] dx\ dxi =
А А
= — J хххг (х, dxt — х2 dx2) = — -gr- J (z2 — z2) (zdz-\- z dz),
где
2+g v —
x9 — •
~i 2
Но
dZ = I Z2d (-r- Z2) = — f 222 flfz.
Окончательно, учитывая, что z = g>(?), 2 = <a(g), имеем
^W)f^(o)da. A7)
v
Применяя теорему Грина к выражению Do, находим
Do = - J Ф(х, dx, + x2dx2) = - J «pd (I r2).
с
Но на границе у
Поэтому
|J fM(a) + ^j]. A8)
Остается определить напряжения. Для этой цели воспользуемся
соотношениями A9) § 7.2 и образуем комплексную величину
<*1з — icr23 = цсо (^!ф — /52ф — х2 — /«!). A9)
]4 В. ПовацкиЯ
418 1"л- ?¦ Кручение и изгиб прямого брусй
Так как F(z) = ср + i% — аналитическая функция комплексной
переменной г, го д\у = д2%, д2(р = —д\%. Последняя из этих
зависимостей позволяет представить формулу A9) в виде
<*13 — i<*23 = Цсо [а, (ф + ix) — I (х, — ix2)\,
или
^13 — '023 = f*<o \F' (z) — iz\.
Но
F(z) = Fh(O] = f (?), ^B) = f (S)-^; B0)
подставляя B0) в последние соотношения, получим вид ком-
комплексного касательного напряжения, особенно удобный для вы-
вычислительных целей:
013 — г'°23 = ЦЮ I ю/ /у) /СО (g)J - B1)
Составим из напряжений в\з, о2з в определенной точке вектор т.
В ортогональной криволинейной системе координат (р) и (¦&)
(рис. 6.24) получим касательные напряжения тр и т0.
Используя формулы A8} § 6.10 для проекции произволь-
произвольного вектора А на оси (р), {¦&) и оси Х\, х2
Ар + iAo = е-'а (Л, + М2) = } y^gy (Л, + iA2),
получим следующее соотношение:
ТР — гто = — |Ш'(?) | (°i3 — г'02з).
или *
Tp-iTe-i-f^jjirtt)-^'(?)<»(«]. B2)
На границе сечения должно быть тр = 0. Формула B2)
позволяет поэтому определить касательное напряжение т^ на
границе контура и, в частности, его экстремальное значение.
Рассмотрим простой пример применения метода функций
комплексной переменной к задаче о кручении бруса. Пусть се-
сечение бруса ограничено кардиоидой, заданной уравнением
r = 2c(l+cose), r = (x? + xl)\ tg8 = -g..
Функция, отображающая это сечение на область единичного
круга |С|^ 1» имеет вид
7.4. Мембранная аналогия 419
Из формулы A5) получаем
Величину D определяем по формуле A6):
а составляющие напряженного состояния—по формулам B1).
7.4. Мембранная аналогия
Мембраной называется очень тонкая плоская упругая плен-
пленка, способная сопротивляться только нормальным напряжениям,
равномерно распределенным по толщине пленки. Такую мем-
мембрану можно изгибать и сминать, ее жесткость на изгиб ми-
минимальна.
Описанную таким образом упругую мембрану растянем си-
силами S на плоском контуре (подобно тому как натягивается
кожа на барабане) в плоскости Х\Х2. В мембране возникнет
состояние всестороннего растяжения а°п = а^2 = S/h, где через
S мы обозначаем силу натяжения, а через h — толщину мем-
мембраны. Силу S обычно называют первоначальным натяжением
мембраны. Такую равномерно натянутую мембрану нагрузим
силами р{хих2), перпендикулярными к плоскости Х\, х2. Под
влиянием этого нагружения в мембране возникнет двумерное
напряженное состояние (сгц, а22). Эти напряжения равномерно
распределены по толщине мембраны. Нагрузка р{х\,х2) вызы-
вызывает прогиб в направлении оси Хз, который обозначим через
w(xux2).
Дифференциальное уравнение поверхности прогиба мембра-
мембраны найдем самым общим способом, используя принцип вирту-
виртуальных работ при вариации перемещений
ЬЖ = Ь$. A)
Здесь W обозначает работу деформации, которая складывается
из работы напряжений ст°,=а°2 = S/h и напряжений стц, а22,
вызванных нагрузкой р(х\, х2); 3? — работа внешних сил. Под
влиянием внешней нагрузки р произвольный поверхностный эле-
элемент Ао мембраны увеличивается. Вырезая такой элемент мем-
мембраны и подвергая его действию сил S, убеждаемся, что поверх-
поверхность этого элемента увеличится на величину Sdunds. Здесь
через ds обозначен элемент дуги контура с0, через dun —
14*
420
Гл. 7. Кручение и изгиб прямого бруса
перемещение в направлении, нормальном к с0- Приращение по-
поверхности показано на рис. 7.6: это заштрихованная часть.
Так как для каждого поверхностного элемента работа де-
деформации выражается произведением силы S и приращения
поверхности, то для всей поверхности имеем
W = S{A' — A). B)
Через А' обозначена поверхность деформированной мембраны.
В выражении для работы деформации мы взяли в каче-
стве 5 первоначальное натяжение.
Хотя нагрузка р(хи jc2) увеличивает
натяжение S, однако это прираще-
приращение достаточно мало по сравнению
с начальным натяжением, так что
им можно пренебречь. Обратим вни-
внимание и на то, что в выражение B)
не входит коэффициент 1/2. Это вы-
вытекает из того, что в момент при-
приложения нагрузки р начальное на-
натяжение S существовало в полную
свою величину.
Из дифференциальной геометрии известно, что поверхность
А' выражается формулой
рис. 7.6.
Ш+ШТ^. *«-*,<«*.
Разлагая подинтегральное выражение в ряд и ограничиваясь
малыми прогибами, из формул C) и B) получаем следующее
выражение для работы деформации:
dA. D)
E)
После варьирования перемещений в формуле D)
6F = S J dtwdt 6wdA, i = 1, 2,
и приравнивания вариации работы деформации к вариации ра-
работы внешних сил
6^ = 1 pbwdA F)
А
получаем следующее соотношение:
J p bw dA = S J diwd{ bw dA.
G)
7.4. Мембранная аналогия 421
Интеграл в правой части уравнения G) преобразуем следующим
образом:
J diwd, 6wdA = J (dtw йш),; dA — \ w, H bw dA, (8)
А А A
и применим формулу Грина на плоскости. В результате получим
J diwdi 6wdA = J ~^-bwds — J V?ro бш dA (9)
/4 с А
Величина dwjdn означает здесь производную прогиба по нор-
нормали к контуру с. Подставляя формулу (9) в G), получим сле-
следующее интегральное соотношение:
J (sv?a> + p) bw dA — S J —- 6w ds = 0. A0)
А с
Из соотношения A0) находим дифференциальное уравнение,
а также относящиеся к нему граничные условия. Если на гра-
границе с задан прогиб w(s) = W(s), то на этой границе должно
быть 8w = 0. Это вытекает из предположения, принятого при
выводе принципа виртуальных работ. Итак, при заданных на
границе перемещениях исчезает криволинейный интеграл в урав-
уравнении A0) и остается равенство
+ p) 6w dA = 0. A1)
Так как виртуальное перемещение 8w внутри мембраны произ-
произвольно, то
SV'iw(x) + p(x) = 0, х —(х„ хг, 0), хеА A2)
Из формулы A0) мы получили дифференциальное уравнение
прогиба мембраны в предположении, что на контуре с выпол-
выполняется граничное условие
w(s) = W(s), s<=c. A3)
В § 7.2 был указан путь решения задачи о кручении бруса
при помощи функции напряжений гр. Эта функция должна удо-
удовлетворять уравнению Пуассона
-2tf, tf = !xco, A4)
с граничным условием
гр = О A5)
на границе с односвязного сечения бруса.
422 Гл. 7. Кручение и изгиб прямого бруса
Отсюда видна аналогия между уравнением прогиба мембра-
мембраны A2) и дифференциальным уравнением кручения бруса.
Прандтль1) использовал эту аналогию для экспериментального
определения напряжений кручения. Известно, что тонкая мыль-
мыльная пленка, натянутая на контур с, равномерно растянута в
своей плоскости. Это соответствует предположениям, принятым
для упругой мембраны. Если увеличить давление с одной сто-
стороны пленки, то пленка деформируется и ее поверхность про-
прогиба будет описываться уравнением A2).
Из сравнения уравнений A2) и A4) в предположении, что
р = const и w = 0 на с, получаем
^ A6)
Здесь а — постоянная с соответственно выбранной размер-
размерностью.
Рассмотрим семейство кривых
ty(x\, x2) = const.
Наклон dx2ldx\ касательной к какой-либо кривой рассматривае-
рассматриваемого семейства находим из формулы
$*.+&«* = О- A7)
Учитывая, что
ol3 = d2ty, о23 = —<М>, A8)
из A7) получаем следующую формулу:
Из этой формулы вытекает, что в каждой точке кривой г|> =
= const вектор касательного напряжения
Т = ^0,3 + 12%3
направлен по касательной к этой кривой. Кривая ty = const
называется линией касательных напряжений в сечении скручен-
скрученного бруса. Величина касательного напряжения определяется
по формуле
х = | т | = (о?3 + okI'' = [(d^f + (д2Щ\ A9)
Вернемся к прогибу мембраны и определим наклон элемента ds,
лежащего на вогнутой поверхности мембраны. Этот наклон
*) Prandtl L., Phys. Z., 4 A903), 758—770,
ТА. Мембранная аналогия 423
определяется формулой
dw dw dxi , dw dx2
ds dxi ds "¦" dx2 ds
Если через р обозначить угол между направлением элемента
ds и осью х2, то
dw dw . о , dw a ,nn\
-аГ = ^Г31ПР + Ж7СО8Р' B0)
Определим направление наибольшего наклона dwjds. Для этой
цели продифференцируем B0) по р и приравняем продифферен»
цированное выражение нулю. В результате получим
Отсюда
„„oft д&_
. г,
Sln P ~
Подставляя полученные выражения в формулу B0), получаем
(c^J]V2- B1)
Подстазляя зависимость aw = г|? в формулу A9) и сравнивая
уравнения A9) и B1), находим, что
* = «(?-) • B2)
Отсюда видно, что величина касательного напряжения т в се-
сечении бруса измеряется наибольшим наклоном прогнувшейся
поверхности, умноженным на постоянную а.
В § 7.2 мы установили связь между круткой со и крутящим
моментом М:
Используя зависимость A6), имеем
^> B3)
где через V обозначен объем, заключенный между плоскостью
контура и поверхностью прогнувшейся пленки. На основании
формулы B3) можно с помощью эксперимента с пленкой, кон-
контур которой соответствует сечению скручиваемого бруса, найти
значение жесткости на кручение D.
424 Гл. 7. Кручение и изгиб прямого бруса
7.5. Решение задачи о кручении
для некоторых частных случаев
Если контуром с сечения бруса является эллипс с уравне-
уравнением
х2 х2
~J + ~k = X> A)
то решением уравнения vf-ф = — 2(лсо, удовлетворяющим усло-
условию гр = 0 на границе, является функция
Л А 4)
\|3 = /П 1 2 2~/' т = COnsL-
V п\ п2 I
Так как
2 | 2
) = —2ц(о = —2/п ' „2 ,
то
а\а\
т = цсо-2 2" •
U| ~г «2
Напряжения определим по формулам
а\ ' а\
Жесткость на кручение D выражается формулой
М I
^ C)
{ а, + а2
А
\
и ш { а,
А '
Результирующее напряжение равно
На границе сечения, учитывая формулу A), получаем
х\а\ \'/г / а\\ [
а\ а2,'
Для эллипса, в котором 2а2 является малой осью, имеем е > 0.
Тогда касательное напряжение достигает максимального значе*
ния при х2 = а2, поэтому в точке @, а2)
2 от 2\1®а\а<2
7.5. Решение задачи о кручении для частных случаев
425
Из формул A9) § 7.2, учитывая, что ai3
имеем
Отсюда можем определить функцию перемещений
сг2з = —
—х,
ф(хьл:2) = -
Перемещения даются формулами
от — о;
U3 — 2 I 2
of+ а\
E)
F)
G)
На рис. 7.7 показана депланация эллиптического сечения,
описываемая функцией н3. Из уравнения G) видно, что линиями
РИС. 7.7.
одинаковых перемещений являются гиперболы. Сплошными ли-
линиями обозначены выпуклости, штриховыми линиями — вогнуто-
вогнутости деформированной поверхности.
В частном случае ах = а2 = а мы имеем дело с круговым
сечением. Максимальные перерезывающие напряжения полу-
получаются на окружности: ттах = |ясоа. Сечение бруса не искрив-
искривляется в процессе кручения, ибо ф = 0.
Рассмотрим функцию кручения, введенную Вебером1):
f(z) = <f + ix = ta(z—^) + jib*. (8)
Подставляя z = reie и определяя функции ф и %, получим в по-
полярной системе координат
osQ+U*. (9)
Weber С, Forschungsarbeiten VDI, № 249, 192},
426
Гл. 7. Кручение и изгиб прямого бруса
Сосредоточим внимание на функции напряжений %. Мы
знаем, что эта функция должна удовлетворять условию
X = ^ {х\ ~Ь xfi = -=¦ р2 на границе сечения. Поэтому имеем урав-
уравнение контура
из которого после преобразования следует, что
р2 ft2)( jocose
(р2 _ ft2
_ !\ 0
A0)
Из этого выражения мы видим, что сечением является круг
радиуса а, из которого вырезан круг радиуса Ь (рис. 7.8).
fi=b
РИС. 7.8.
Используя формулы B5)Л§ 7.2, получим
ог13 =/((д2Х — х2) = \шх2 [-утх{ — 1J,
- — лг,
(ii)
Для л = Ь получаем
а13 = цю Bа cos 0 — b) sin 0, а23 = — цю Bа cos 0 — b) cos 0
и уже отсюда определяем суммарное перерезывающее напря-
напряжение
т = (а23 + о22зу> = ца Bа cos 0 — Ь).
Максимальное значение касательного напряжения мы получим
в точке (Ь, 0):
1.5. Решение задачи о кручении для частных случаев 427
Если отношение b/а мало, то максимальное напряжение рав-
равняется Tmax ~ 2jicoa, т. е. в два раза больше, чем на границе
сплошного кругового сечения. Отсюда видно, что круговой вы-
вырез вызывает значительную концентрацию напряжений.
Рассмотрим кручение бруса прямоугольного сечения со сто-
сторонами 2а и 26. Для решения этой задачи применим (уже не
для экспериментальных целей, а для вычислительных) мем-
мембранную аналогию, обсужденную в § 7.4.
Определим прогиб пленки, натянутой на прямоугольник со-
сторонами 2а, 2Ь и равномерно нагруженной. Следует решить
дифференциальное уравнение
V?«, = --g- A2)
с граничными условиями
да(± а, л:2) = 0, w(xu ± b) = 0. A3)
Решение этого уравнения разобьем на два частных решения:
W (*„ Х2) = W0 (*,) + Щ (*„ Х2).
Предполагаем, что функция wo(x\) как частное решение урав-
уравнения A2) должна удовлетворять обыкновенному дифферен-
дифференциальному уравнению
& = --?. A4)
dx\ S v
с граничными условиями
а»о(±а) = О. A5)
Потребуем, чтобы функция Wi(xi,x2) удовлетворяла гармони-
гармоническому уравнению
V?t»i(xi,x2) = 0 A6)
с граничными условиями
wx(± а, х2) = 0, т{{хи ±Ь) = — шо(^). A7)
Решением уравнения A4) с граничным условием A5) является
функция
раЧ *?\ 2р
Щ
а
П=х I, 3, ...
428 Гл. 7. Кручение и изгиб прямого бруса
Решению уравнения A6) можно придать вид
во
wx{xx, х2)= 2 (Ап chanx2 + Впshanx2)cosanx,. A9)
«=1,3. ...
Из граничных условий A7) вытекает, что
п л . 2р (—1) "~ , п%Ь
Sa a3n ch %п п 2а
Складывая частные решения, имеем
B0)
Перейдем от задачи об изгибе мембраны к задаче о кручении
бруса. Согласно формуле A6) § 7.4, имеем
_ 2lkoS
ч> > р
Функция напряжений кручения if> примет вид
4цю yi (—1)'"~1)/2ch anx2
B1)
После дифференцирования функции г|з получим составляющие
напряженного состояния
Yi (—1)'"~'>/2 sh anx2
„=1.з.... "" B2)
8а ХЛ (-|)'"-')/2 chanx2 .
Для b > а максимальные касательные напряжения (соответ-
(соответствующие наибольшему наклону поверхности мембраны) полу-
получим в серединах наибольших сторон прямоугольника. Подстав-
Подставляя Х[ = а, х2 = 0 в формулу для а2з, находим, что
„=.,з,... ch?-;"
Бесконечный ряд в B3) быстро сходится при Ь > а. Для очень
узкого прямоугольника, когда ?/а ^> 1, в формуле B3) можно
7.5. Решение задачи о кручении для частных случаев 429
пренебречь бесконечным рядом по сравнению с единицей. Для
Ь/а ^ I имеем ттах = 2цсоа.
Для квадратного сечения (а = Ь)
\ п=\, 3, ...
Жесткость на кручение D вычислим по формуле
1
J
X
B4)
,1=1,3,...
Ряд в формуле B4) является быстро сходящимся, и величину D
удается легко вычислить для произвольного отношения bla.
В случае квадратного сечения имеем D « 0,1406цBаL.
Для случая узкого прямоугольника, когда Ь/а» 1, можно
положить thkn « I. В этом случае из формулы B4) получаем
выражение
Функция кручения ф (JCi, лг2) находится интегрированием уравне-
уравнения A9) § 7.2:
Функция ф выражается формулой
32а2 V1 (-II" share*2 . /Л_.
n=i, з,...
Сен-Венан подробно исследовал поверхность депланации «3 ^
= соф(лгь А'2). Он показал, что для квадратного сечения она со-
составлена из восьми частей, разделенных диагоналями квадрата
и прямыми, соединяющими середины противолежащих боковых
сторон. Эти части попеременно выпуклы и вогнуты так, как
показано на рис. 7.9.
Для возрастающего отношения сторон прямоугольника а/6
из упомянутых восьми поверхностей четыре, прилегающие к се-
серединам коротких сторон, уменьшаются, а четыре оставшиеся—•
430
Гл. 7. Кручение и изгиб прямого бриса
увеличиваются. При а « 1,45136 первые четыре части исчезают,
и поверхность депланации (искривления) складывается только
из четырех частей, каждая из которых занимает четверть се-
сечения.
Рассмотрим, наконец, кручение бруса с сечением в виде
полукруга. Определение напряжений будет значительно проще
в полярных координатах (л, 6). В этом случае удобнее обозна-
обозначить напряжения арз, аез.
0,14
РИС. 7.9.
Так как равнодействующее перерезывающее напряжение яв-
является касательным к контуру бруса, то (при арз = 0 для г =
= а) максимальное значение на границе примет напряжение
аез (рис. 7.10). Так как
= <52г|> = -?- sin 6
cos 6
то
= очз cos 0 -f a23 sin 0 = у -
= — а13 sin 9 + ^23 cos 9 =
B6)
B7)
7.5. Решение задачи о кручении для частных случаев
431
Функция кручения г|э должна удовлетворять уравнению Пуассона
У,г|) = — 2цсо с граничным условием г|з = 0. В полярной системе
координат потребуем выполнения равенства
B8)
с граничным условием ty = 0. Разлагая правую часть уравнения
B8) в ряд Фурье на отрезке 0 ^ 0 ^ л:
л—I, 3, ...
и принимая решение уравнения B8) в виде ряда
г|з (г, 6) = 2 Уп (г) sin пв,
я=1, 3, ...
B9)
сводим уравнение B8) к системе обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений
d2tyn I I dibn ri2 8u.co /ол\
—T~i j— г Wn == • (oil)
dr2 ' г dr r2 Tn nra v '
Решением этой системы уравнений являются функции
где
C1)
8цш
1
л га (га+ 2) (я — 2) *
Заметим, что выражение B9) удовлетворяет граничным усло-
условиям на прямой 0 = 0, 0 = п. Граничное условие на дуге
РИС. 7.10.
окружности будет выполнено, если положить г|з (а, 0) = 0. Кроме
того, следует положить Вп = 0, так как иначе мы получили бы
особенность в начале координат. Из граничного условия
432 Гл. 7. Кручение и изгиб прямого бруса
г|з(а, 0) = 0 следует, что Л„ = — Спа~п+2. Окончательно имеем
оо
У {г, е)= S cnr2(i-p«-2)sin«e, p=.i. C2)
я=1. 3, ...
Из формул B7) получим
оо
ар3 = 2 Спг A — р"-2) п cos я9,
*=.,з,... C3)
оо
ов> = — 2 С„лB —np«-2)sinn0.
п=1, Я. ...
Максимальное касательное напряжение получается на контуре
сечения бруса в точке (а, л/2):
ттах = <%(а, Тj = -1Г-
n=l. 3, •¦¦
Жесткость на кручение бруса определяется формулой
а п
D = \\ J г|э(р, Q)pdpdQ «0,294ца4.
о о
7.6. Кручение бруса с сечением,
составленным из прямоугольников
Брусья с сечениями, составленными из прямоугольников, по-
повсеместно применяются в стальных конструкциях. Там мы
имеем дело с таврами, двутаврами, швеллерами и зетовым же-
железом (формы Т, I, С, "[_)• Общий метод решения задачи
о кручении для таких брусьев дал Клитчиев '). Ниже более под-
подробно мы рассмотрим решение для тавра, данное Базилевичем 2).
На рис. 7.11 приведены размеры сечения тавра и указана приня-
принятая система координат. Внутри сечения тавра должно выпол-
выполняться уравнение Пуассона
Vn|>(*i, Х:)= — 2цсо A)
с граничным условием ib = 0 на контуре.
Ход решения таков. Построим решение уравнения A) для
каждого из прямоугольников, удовлетворяя части граничных
условий. В конце мы используем условие непрерывности функ-
функции г|) на отрезке EG.
') Klitchieff I. M., Torsion of I rods, Eight Int. Congr. of Theor and App-
Applied Mechanics, Istanbul, 1952.
2) Basilcwitsch W., DasTorsionsproblem der J", Q und ~|_ Tragers, Publ. de
L'Institut Mathematique, v. 5, Beograd, 1953,
7.6. Кручение бруса с сечением из прямоугольников
433
Сначала рассмотрим функцию г|? = i|)i в прямоугольной об-
области ABDC. Используя решение § 7.5, относящееся к прямо-
прямоугольнику, представим функцию \|)i в виде
2
п—\. о. ...
B)
Отсюда видно, что граничные условия на прямых Х\ = ± а вы-
выполнены. Выражение B) можно
также представить в виде
оо
2 п + Ап ch ynx2 +
п=1, 3, ...
где
р —
Bnshynx2)cos\nxu C)
С 1 у«—1)/2
Е
F
e
¦*
2c
В
D '
H
Выполнение граничного условия
\|)i(jci, b) = 0 приводит к следующей
связи между величинами Вп и Ал:
D - Рп -AncthXn, Kn=ynb.
D)
В прямоугольной области EFGH представим функцию ^ в виде
ряда
s\\kn
РИС. 7.11.
= 2 (Qm + Cm ch tmx\ + Dm sh 6mx'2)
m=\. 3, ...
E)
И тут выполнена часть граничных условий, а именно
г|з2(± с, *') = 0. Условие \|>2(-*ь Л)= 0 приводит к следующей
зависимости между коэффициентами Ст и Dm:
Dm=-
Остается обеспечить выполнение условия
¦ф = 0 при —а < хх < — с, с<хх<а,
и условий непрерывности
F)
G)
(8)
на отрезке —с ^ Х\ ^ с.
434 Гл. 7. Кручение и изгиб прямого бруса
Первое из условий (8) приводит к соотношению
00 °°
2 (Рп + Ап) COS Ye*, = S (Qm +Ст) COS 6mXl. (9)
л=1, 3, ... m=\, 3, ...
Одновременно следует удовлетворить граничному условию G).
Мы добьемся этого, представив cos бтл:| в условии (9) в виде
О при —а < хх < — с,
f
COS 6тЛГ, При — С < Xi < С,
О при с < Х\ < а.
Функцию fm(x\) представим в виде ряда Фурье по косинусам
п
,_j4mp_ /_|Vm_i)/2
О" _
(Ю)
nc *c
—• P-T.
и подставим ее в правую часть граничного условия (9). Таким
образом из уравнения (9) мы получим связь между постоянны-
постоянными Л„ и Ст:
. _ 32цсоа2 Г 4 пу у 1 (-1)'"-"/2]
Л" ~~ ~ Тф5" C0S 2 Zj m2 W - «2/p2] и3 +
I m=l, 3, ... J
m=l. 3, ...
Следует использовать второе условие системы (8). Разложим
множитель cosynXi в ряде для i^:
gn(*l) = COSYn*i, — С<ХХ < С,
в ряд Фурье по cos 8mX\. В результате получим
— я COS
m2p2 -
' 3, ...
Учитывая второе из условий непрерывности (8), находим сле-
следующую зависимость между коэффициентами Вп и Dm:
4
/fsrsl, 3
7.6. Кручение бруса с сечением из прямоугольников
435
Наконец, исключим из уравнений D), F), A1), A3) величины
An, Cm, Dm. Таким образом мы приходим к бесконечной системе
неоднородных линейных уравнений для коэффициентов Вп
*=1, 3, ...
х ?
mth bmh
ra=l, 3, ...
(re2 —
m2p2)
Г
2 4
ra=l, 3, ...
shVn6
Решая систему уравнений A4), получим коэффициенты Вп,
а из соошошений D), F), A3)—остальные коэффициенты.
РИС. 7.12.
Базилевич дал решение частного примера для а = 4, Ь = 2,
h = 4, с = 1, ограничиваясь системой пяти уравнений A4). На
рис. 7.12 представлены линии уровня функции г|). Напряжения
задаются формулами
<г23 = —
A5)
436
Гл. 7. Кручение и изгиб прямого бруса
Жесткость на кручение бруса получим по формуле
Ь с h 1
С С
Г а Ь
D = T J J
L-a о
r-c О
n=\, 3, ...
m=l. 3,
что дает для частного случая а = 4, Ъ = 2, /г = 4, с = 1 значе-
значение D « 21,74ц.
РИС. 7.13.
Рассмотрим еще стержень с сечением, составленным из двух
прямоугольников (рис. 7.13), применяя другой, достаточно
удобный в приложениях метод, предложенный Арутюняном').
Следует решить уравнение Пуассона2)
Vf-ф = — 2
со следующими граничными условиями:
ф(*„ 0) = ф@, *2) = Ф(*„ 6) = -ф (а, лг2) = 0,
г|з(с,, лг2) = 0 для
ty(xuc2) = 0 для
A6)
A7)
') Арутюнян Н. X., Решение задачи о кручении стержня полигонального
поперечного сечения, ПММ, 13, № 1 A949), 107—112.
2) При таком определении функции of будем определять напряжения по
формулам аи = цш<Э2<|>, сг23 = — цонЭ^. Ср. формулы B) и уравнение B1)
7.6. Кручение бруса с сечением из прямоугольников 437
Трудно найти одну функцию, которая бы удовлетворяла такой
сложной системе граничных условий. Поэтому функцию г|) со-
составим из двух функций: из функции фь определенной в обла-
области ОАВС, и из функции ф2, определенной в области ODEF. В си-
силу непрерывности функции в рассматриваемой области сече-
сечения бруса функции % и г|з2 должны совпадать в общей обла-
области OAMF.
Поэтому потребуем выполнения следующих граничных усло-
условий для функций ij)! и i)J:
О для хх^с{,
2xhc2 для *,<<:„ ^g)
, 0) = -ф2 @, х2) = ty2 (*,, b) = 0,
О для хг~^с2,
¦ф2(с,, х2) = \ , , ч
T2V 1> 2/ \ tyl(cu х2) для
Представим функции фа (а= 1, 2) в виде сумм двух функций:
Ч^Фа + ^а, A9)
где функции Ч?а удовлетворяют уравнению Пуассона
Vl4fa=-2(io, B0)
а функции Фа — уравнению Лапласа
У?Фа = 0. B1)
Мы располагаем системой четырех дифференциальных уравне-
уравнений второго порядка и можем удовлетворить на каждой границе
четырем граничным условиям. Однако требование непрерывно-
непрерывности функции \|з в сечениях xt — с\ и х2 — с2 дает нам только два
граничных условия в каждом сечения. Поэтому на функции фа
можно наложить некоторые ограничения. А именно примем, чго
функции Фа отличны от нуля только в области OAMF и что эти
функции удовлетворяют дополнительным условиям
Ф,(с1,'х2) = 0, Ф2(х,,с2) = 0,
дФ1 (d, xt) n дФ2(Х1, с2) п B2)
х = U. =; = U.
dxi дх2
438 ?л- ?¦ Кручение и изгиб прямого брусй
Выразим граничные условия A8) через функции Ч^, Фа:
У. @. Ь) + Ф, @. х2) = У, (*„ 0) = У, (а, х2) = У. (л:,, с2) = 0,
Ф, (*„ 0) = Ф1(с,,л:2) = а1Ф1(с1,л:2) =
= Ф,(*„ c2)—W2(xlt c2) = 0,
Ф2@, х2) = Ф2(^1, с2) = а2Ф2(л:1, с2) =
= Ф2(с,, x2)—Wl(cu x2) = 0.
Решение уравнении Пуассона B0) представим в виде
B3)
B4)
где
Такое представление функций Уь Уг приводит к тому, что ста-
становятся выполненными условия ^(хь 0) = y?l(xi, с2) = 0 и
1F@) «F(H
) ()
Рассмотрим теперь уравнение B1) для а=1 и применим
к этому уравнению синус-преобразование с конечными преде-
пределами:
<>(*,) sin ^fi,
B6)
о
Умножим уравнение B1) для а = 1 на
— sin dx2
и проинтегрируем его по х^ от 0 до с2. Используя соотношение
Z | u-4>i . knx2 ,
— I —-j-sin dx2 =
c2 J dxi, c2
2kn ,, ,-,
7.6. Кручение бруса с сечением из прямоугольников 439
приводим уравнение B1) к обыкновенному дифференциальному
уравнению
^О. B7)
Используя условие Ф, (хи 0) = 0, (Х*, <си и условие
— Чг2(х\, с2) = 0. получим
L2
Решением этого уравнения является функция
»ch-
Поступая аналогично, приходим к следующему выражению для
функции vf>(x2y.
^-. C0)
p=i р2 + [~с7)
До сих пор не были выполнены граничные условия, которые
подчеркнуты в системе B3). Они приводят к соотношениям
f») @) + к'1» = 0, ff @) + vf @) = 0,
Подставляя в эти условия выражения B5), B9) и C0) и исклю-
исключая коэффициенты Л*", Cf\ Df' (a=l, 2), получим бесконеч-
бесконечные системы уравнений для определения величин ВТ- Имеем
440 Гл- ?• Кручение и изгиб прямог<
последовательно
Г^ (-1)ррв(р2»_ _.L ., / 1
1 = (-1)* 7Г Р sh *ЯР S р2 + ft V csch рлп sh рл \ц ~~ W'
p=i
р=1, 3, ...
4d
p=i
~ csch ^Яь sh pnp
Р Р , ,
р=1( 3, ...
Вводя новые неизвестные F™
* к -1-2 й р '
приводим систему уравнений C1) и C2) к виду
П2)=2%ПЧу», * = i, 2, ....
p=i
где
sh -^— sh рп (т| — p~J) csch рщ
п *xP Р
kP я Р2 + Й2Р2
2fe sh pnp sh рл (g — p) csch рл1
C*P~~nJ p2 + fe2/p2 '
7.7. Кручение бруса с трещинами 441
16^ „2 V 1 — csch рлт| sh (рд/р) .
1^Р Zl p^W^W) ' ( '
р=\, 3, ...
16*_ 1_ V4 1 — csch pnl sh pnp
~*~ п* р2 М Р2[р2 +
р=1, 3, ...
Бесконечные системы уравнений C4) можно заменить одной
системой уравнений
оо
Zm=1iA,ltlZn + am, m=l, 2, .... оо, C6)
где следует положить
"¦2k-\,2p-l = -^2А,2Р ^0>
¦^26—1, 2Р == aftp» -^2ft,2p-l ^ САр*
Арутюнян доказал, что система уравнений C6) вполне регу-
регулярна; отсюда следует ограниченность найденного решения бес-
бесконечной системы уравнений. Зная коэффициенты ВA\ ВТ,
можно уже, возвращаясь назад, определить остальные коэффи-
коэффициенты А%\ Cf\ Df (a=l, 2). Итак, функции ?а, Фа (а =
= 1, 2) определены. Знание этих функций позволяет опреде-
определить напряжения <пз = д^, а^ь = с'г'ф и жесткость на кручение
Много примеров, относящихся к сечениям, составленным из
прямоугольников, читатель найдет в обширной монографии Ару-
тюняна и Абрамяна ').
7.7. Кручение бруса с трещинами
Рассмотрим брус односвязного сечения с трещиной, нахо-
находящийся под действием крутящего момента М (рис. 7.14). Об-
Общий метод решения задач такого типа разработал Новацкий2).
') Арутюнян Н. X., Абрамян Б. Л., Кручение упругих тел, Физматгиз, М,
1963.
2) Nowacki W., О pevvnych przypadkach skrgcania prftow, Arch. Mech,
Stos., V, № 1 A953),
442
Гл. 7, Кручение и изгиб прямого бруса
Метод заключается в замене дифференциального уравнения за-
задачи системой интегральных уравнений первого рода.
Задача сводится к решению уравнения Пуассона
с граничным условием ф = О на контуре c-\-2c\. Через 2сх
здесь обозначен контур трещины.
Для решения уравнения A) введем вспомогательную функ-
функцию: функцию Грина G(xu x2; 1ь Ы> удовлетворяющую диффе-
дифференциальному уравнению
(d?
-1г) B)
с граничным условием
G(s, ?) = 0 на границе с,
C)
Следует подчеркнуть, что решение
уравнения B) относится здесь ко все-
рис, 7.14. му сечению (без трещины) с конту-
контуром с.
Применим формулу Грина на плоскости для сечения с кон-
контуром с + 2сх\"
= J @%-*™.)*.
с+2с,
D)
Подставляя в формулу D) уравнения A) и B) и граничные
условия для функций iji и G, получим
E)
2с,
ИЛИ
2n J
dn
dn
LI '
Вводя обозначения ')
F)
G)
') Здесь (dilp/dn)± обозначает производную функцию г|) по нормали С
одной и с другой стороны контура трещины.
7.7. Кручение бруса с трещинами 443
получим уравнение
^/ )ds. (8)
В этом уравнении неизвестными функциями являются функция
¦ф(Е) и функция 5(s) вдоль трещины. Неизвестную функцию
S(s) найдем, воспользовавшись'граничным условием \р ^ 0 на
контуре С] трещины.
Переходя затем в уравнении (8) от точки | к точке а, ле-
лежащей на границе с\, получим
(s)G(s,o)ds = 0, s, оес,. (9)
Мы получили интегральное уравнение первого рода, из кото-
которого нужно определить функцию S(s). Зная эту функцию, из
уравнения (8) можно определить функцию кручения -ф в точке §.
Далее определяем составляющие напряженного состояния по
формулам
aI3 = a2i|)) a23 = — д$. A0)
Важной задачей теории кручения является определение жест-
жесткости на кручение D бруса. Эта величина, как известно, выра-
выражается через функцию ф по формуле
А
Подставляя в формулу A1) функцию i|) из (8), получим1)
D = D° + 1^ J rjS(s)G(S,g)rfsJA4, A2)
где
^J. A3)
Здесь Do является жесткостью на кручение бруса с полным се-
сечением (т. е. без трещины). Интеграл в соотношении A2) яв-
является отрицательной величиной, описывающей уменьшение
жесткости на кручение ввиду существования трещины. Меняя
порядок интегрирования в формуле A2), имеем
A4)
') Alblas J. В., On the Torsion of a Cylindrical Bar with Slits, Proc. Ко-
nink- Nederl. Akad. van Wetenschuppen, ser. B, 64, №1 A961).
444 Гл. 7. Кручение и изгиб прямого бруса
Заметив, что поверхностный интеграл в A4) равен — i|H (фор-
(формулы G)), находим
Рассмотрим выражение
Л = noJZ)red = J S(s)q>o(s)ds. A6)
Величину А можно определить точно, найдя функцию S(s) из
интегрального уравнения (9) и выполнив указанное в формуле
A6) интегрирование по с\. Однако можно дать приближенное
значение этой величины, исходя из предположения, что при ма-
малых вариациях S(s) величина А будет стационарной. Преоб-
Преобразуем выражение A6):
, (s) S (s) ds j ф0 (a\S (a) da
A7)
" "ST J ds J G (s> a)
da
Мы здесь умножили числитель и знаменательна f 5(а)г|э0(a)afcr,
выражая этот интеграл при помощи уравнения (9) через двой-
двойной криволинейный интеграл.
Выражение A7) можно представить также в виде
A8)
A9)
А = -2п--г-Ц ^ .
I ds I G (s, a) S (s) S (a) da
Возьмем вариацию
6Л О
Выберем функцию S(s) так, чтобы выражение A8) было ста-
стационарным. Если для S(s) мы примем физически возможный
вид функции S*(s) (с особенностью того же типа, что и в точ-
точном решении), содержащий некоторое число неизвестных по-
постоянных, то «наилучшим» значением А является
Г|
~~5л J dS J ° (a> S) S"
("О)
7.7. Кручение бруса с трещинами
445
Следует проверить свойство стационарности, варьируя выра-
выражение A8). Имеем
С, С,
- 4г Ids Ida G (s<ст) 5 (s) 6S (ст) =
J to (s) 6S (s) ds J ф0 (a) S (a) da +
+ J to (a) SS (a) da J to (s) 5 (s) ofs,
или
-6Л j ds JdaG(s, a)S(s)S(a)
= A f
s, a)S(a) + 2n%(s)~\
J
dsG(s, a) S (a)
B1)
Простой взгляд на уравнение (9) позволяет убедиться, что пра-
правая часть уравнения B1) равна
нулю.
Так как криволинейный инте-
интеграл в левой части уравнения
B1) отличен от нуля, остается
уравнение 8А = 0. Итак, выра-
выражение B0) является стационар-
стационарным.
Представленный выше путь
решения задачи о кручении
бруса с трещиной мы проследим
на примере кругового сечения
(рис. 7.15) с радиальной трещи-
трещиной b — с. Эта задача решается
РИС 7 I1
проще всего при помощи поляр-
ных координат (г, 9). Следует решить уравнение
1 д , 1 д2 \ . , „ч п ^22)
с граничными условиями
¦ф(а, Э) = 0
Ч> (сг, 0) = 0
на окружности,
вдоль трещины.
B3)
440 Гл. 7. Кручение и изгиб прямого бруса
Функцию Грина G (г, 9; р, ¦&), входящую в уравнение (8), опре-
определим из дифференциального уравнения
-р)б(9-^) B4)
с граничным условием
G(a, 8; р, Ф) = 0 на границе г = а. B5)
Напомним, что функция Грина относится ко всему кругу без
учета трещины. Функция Грина G(r, 9; р, Ф) известна1), она
выражается в замкнутом виде:
G(r,Q; p,ft)=> r» + p»-2r
Входящие в это выражение переменные показаны на рис. 7.15.
Функция фо, входящая в уравнение (8), получается из уравне-
уравнения2)
Tho(r) = -^ B7)
с граничным условием
Ыя) = 0. B8)
И здесь также следует подчеркнуть, что уравнение B7) отно-
относится ко всему круговому сечению. Уравнению B7) с гранич-
граничным условием B8) удовлетворяет функция
B9)
Зная теперь г|з0 и G, мы можем составить функциональное урав-
уравнение (8). Тогда получим
^г/S(r) In
dr. C0)
Так как трещину мы поместили на прямой 9 = 0, то в функции
Грина G, стоящей под знаком интеграла, следует положить
6 = 0.
') Морс Ф. М., Фешбах Г., Методы теоретической физики, т. II, ИЛ, М
1958, формула A0.1.20).
2) Так как правая часть этого уравнения — величина постоянная, а функ-
функция \|зо постоянна на границе, то функция фо в случае кругового сечения
может зависеть только от переменной г.
7.7. Кручение бруса с трещинами
447
Так как вдоль грещины функция ф должна быть равна нулю,
то, переходя от точки (p,ft) к точке (р, ¦&), лежащей на отрезке
(а, с), получим интегральное уравнение первого рода
jS(r)\n
г — р
dr яцсо (а2 — р2), Ь<р<а. C1)
Это уравнение путем ряда преобразований удается свести к
сингулярному интегральному уравнению с известным решением.
Вводя новые переменные
а ' ' а ' а '
приведем уравнение C1) к виду
1 — ел
/,„
С-я
. C1а)
Путем подстановки
X ^= "\ ; г~,
I' * 1+Л'
преобразуем уравнение C1а):
1-3
1+3
1 —
In
х + у
У-х
dx
1-х
1-у
Определим новую функцию Т(х), полагая
ТМ S(a T+T
ТМ= (\+x
Подставим ее в интегральное уравнение C16) и это уравнение
продифференцируем по у. В результате получим уравнение
х dx
1 — у
C1 в)
1-3
1+3
Наконец, введем переменные
у2 = t, x2 = s, ds = 2x dx,
448 I"л. 7. Кручение и изгиб прямого бруса
с помощью которых приведем уравнение C1в) к уже извест-
известному сингулярному интегральному уравнению
Решение этого уравнения удается представить в замкнутом
виде
J
ПЕртТ. J КГ(,-.H + кгт ' C3а)
1 +
или
У т+т
X | ^/(^JI-,^,.. ,338,
о
В частном случае, когда трещина доходит до центра окруж-
окружности F = 0), имеем
4pm s f
В силу определения функции Г(л;) получаем
Учитывая, что при р = а имеем S(a) = 0, при р^О функция
S(p) обладает особенностью.
Вычисляя жесткость на кручение по формуле A5), имеем
1
J (I - riJ (^)dri » 0,8780557twa4. C6)
7.8. Изгиб бруса поперечной силой
44U
Вычислим теперь приближенное значение эффективной жест^
кости D (см. формулы A6) и B0)). Возьмем S*(r\) в виде
Эта функция имеет особенность того же типа, что и функция
S(r) из формулы C5), а в точке (а, 0) принимает нулевое зна-
значение. Из формулы B0) получаем
А = -
гаг
1 — ху
х- У
о ч' о
После приближенного интегрирования получается
У'у
— — у
так что
D
— 0,67ца4 « 0,90ца4.
Этот результат незначительно отличается от точного решения
C6). Трещина уменьшила жесткость приблизительно на 10%.
7.8. Изгиб бруса поперечной силой ')
Рассмотрим цилиндрический брус постоянного сечения. Пусть
брус закреплен в сечении лг3 = 0 и нагружен в концевом сечении
лг3 = I силами, равномерно распределенными с равнодействую-
х.
щей Р (рис. 7.16). Эта сила Р = (Я,0, 0) действует в направле-
направлении оси Х\. Начало координат поместим в закрепленном сечении,
предполагая, однако, что оно не совпадает с центром тяжести
этого сечения Предположим, что боковая поверхность бруса сво*
бодна от нагрузок.
.!) Новожилов В. В., см. список литературы.
15 В. Новацкий
450 Гл. 7. Кручение и изгиб прямого бруса
Выделим сечением хъ = const часть цилиндра с основания-
основаниями в сечениях Хз = const и х3 = I. При предположении, что в
основании х3 = I мы имеем дело с нагрузками, равнодействую-
равнодействующая которых равна Р = (Я, 0, 0), напряжения о^ должны удо-
удовлетворять следующим условиям:
Л= ja31dA, Р2 = J a32dA = 0, Я3= J a33dA = 0, A)
А А А
М1 = — j x2a33 dA = 0, М2 = J лг^зз dA = 0,
М3= J (^0,3 — )^ 0
Составляя уравнение равновесия для выделенной сечениями
Хз = const и Хз = I части цилиндра, получим в сечении х3 =
= const следующие соотношения:
P1=ja31dA, Р2= \ a32dA = Q, P3= J a33dA = 0, C)
А А А
М, = - J л:2азз dA = 0, М2 = J д^з </Л = - РA—х3), D)
Л*з = J (
J
— Х!О23) dA = 0. E)
Из уравнений C) делаем вывод, что отличным от нуля будет
напряжение а\з- Для выполнения условия E) требуется допу-
допустить, что и напряжение агз будет отличным от нуля.
Применяя полуобратный метод Сен-Венана, допустим, что
напряжения о\з, о2з, стзз отличны от нуля, и проверим, будут ли
при таком предположении удовлетворяться уравнения равнове-
равновесия, уравнения Бельтрами — Мичелла и граничные условия за-
задачи. Попробуем удовлетворить условиям D) и условию
| o33dA = 0, допуская, что напряжение азз можно выразить
А
следующей функцией:
F)
Подставляя а3з в условия D) и третье из системы C), в се-
сечении х3 = const <; / получим следующую систему линейных
уравнений:
OoS2 -f 0^22 + <Z2/i2 = — 1,
a0S{ -j- аг112-\- а2/и=0, Fa)
a0A + а^г + a2St = 0,
7.8. Изгиб бруса поперечной силой
451
где
Л= | dA, S,= | x2dA, S2= | xxdA,
A A A
/,, = J x\dA, /22= J Arjrf/l, /12 = \ xxx2dA.
В соотношениях Fа) /ц и /22 обозначают моменты инерции се-
сечения соответственно относительно осей Х\ и хг', 1\2— центро-
центробежный момент инерции, a S\, S2 — статические моменты соот-
соответственно относительно осей Х\ и х%. Из системы уравнений
Fа) мы определяем однозначным образом коэффициенты
а, = —•
/„Л-.
12 ~*™" 12
G)
где
Учитывая, что
5, А
А
х» = ^
Х2— А '
где х\, х\ — координаты центра тяжести сечения, легко убеж-
убеждаемся, что
Поэтому
а =РA х Л \а (х х?\ 4- а (х x°W ¦ С81
Используем далее уравнения равновесия. В силу нашего допу-
допущения аи = а2г = а!2 = 0 мы имеем следующие три уравнения:
Из двух первых уравнений следует, что напряжения аK и агз не
зависят от переменной лг3. Третье уравнение в силу формулы
(8) принимает вид
в Р [°1 (*1 - ^) + °2 {Х2 -
или
.—-тр [а, (*, — *?) —<V3l}-
A0)
. A0а)
15*
452 Гл- 7- Кручение и изгиб прямого бруса
Уравнение A0а) будет тождественно удовлетворено, если вве-
ввести функцию напряжений W, определяемую соотношениями
а13 = д^ + -^- [а, (*, - *°) - а2хЦ, О О
^-х§)-а1х?]. A2)
Функцию W определим, используя уравнения в напряжениях
Бельтрами — Мичелла:
Здесь
s = 011 + СТ22 + СТ33 = <*33-
В силу того, что ац = (Т22 = cri2 = 0, система шести уравнений
A3) сводится к трем уравнениям
13
Первое из этих уравнений удовлетворяется тождественно в
силу предположения, что напряжение а3з имеет вид F). Два
других уравнения системы A4) приводятся, с учетом формул
A1) и A2), к уравнениям
Я y2W —
I 1
Интегрирование этих уравнений приводит к уравнению Пуас-
Пуассона
T^7(a2*1-aIJCa)-2/C, A6)
где К — пока не определенная постоянная величина.
К дифференциальному уравнению A6) следует добавить
еще граничные условия на боковой поверхности и основаниях
цилиндра. Так как боковая поверхность должна быть свобод-
свободна от нагрузок, то справедливо соотношение
а,3«1 + 02з«2 = 0. A7)
или
dx2 dx\ ittn\
7.8. Изгиб бруса поперечной силой 453
Подставляя в это граничное условие напряжения по формулам
A1), A2), выразим его с помощью функции W следующим об-
образом:
Это условие можно несколько упростить, заметив, что
31" dx, , dW dx2
v I ил] j v i ЦЛ2 v x
d*! ds ' dx2 ds ds
Запишем окончательно граничное условие A7) на контуре се-
сечения бруса в виде
Дифференциальное уравнение A6) и граничное условие A8)
можно разбить на два уравнения и два граничных условия.
Введем новые функции i|) и Ф:
4^ = 0 + ^. A9)
Подставляя формулу A9) в A6) и A8), получим дифферен-
дифференциальное уравнение Пуассона
УЦ = - 2 B0)
с граничным условием
-^- = 0 на контуре с B1)
и дифференциальное уравнение
B2)
с граничным условием
ds
дФ Рх2 i , \ dx\ Рх\ , . ч dx2 ,ПГ1\
дГ = "И- («о + а2х2) —i- - _i (a,, + alXl) -^ B3)
на контуре с сечения.
Если допустить, что сечение является односвязной областью,
что мы и предположим, то условие B1) можно заменить усло-
условием г|з = 0 на контуре сечения. Функция i|) является здесь точ-
точным аналогом функции кручения i|), рассмотренной в § 7.2. Она
удовлетворяет дифференциальному уравнению такого же вида,
что и уравнение B0), и аналогичному граничному условию.
Функция Ф называется функцией изгиба.
454 Гл. 7. Кручение и изгиб прямого бруса
Вернемся еще раз к граничному условию B3). Интегрируя
соотношение B3) по границе области А, получим
s
ф=т / [(а° + «***) *2 чт - (а° + °iA:i) *> чт]ds-
о
В качестве начала интегрирования выбираем произвольную
точку на контуре сечения.
Интеграл в выражении B4) является периодической функ-
функцией. Убедиться в этом можно, интегрируя по замкнутому кон-
контуру (длиной L) и воспользовавшись формулой Гаусса и урав-
уравнением Ja33cW = 0. Итак, Ф@) = ФA) = 0.
А
Нам остается проверить, выполнены ли в основании х3 = I
условия A).
Условие | а31 dА =¦ Р можно заменить равносильным, усло-
А
Вием
J {сг31 + хх [d^i + д2а32 — Я (a0 + a^, -f a2x2)]\ dA = Р, B5)
А
в котором мы использовали уравнение равновесия A0). Так как
J *i (<V3i + d2a32)dA = J хх {щам + ru^a^ds — J a3i dA,
А с А
то условие B5) примет вид
J xx(ща31 -f щаЪ2)ds — P J (a0 + щхх + а2х2)xx dA^P.
с А
Здесь криволинейный интеграл равен нулю ввиду граничного
условия A7), поверхностный интеграл равен —1 ввиду первого
уравнения Fа). Поступая аналогично, проверяем, что
J a32 dA = 0 в сечении хг = I-
А
Третье условие J a33dA = 0 выполнено благодаря задан-
А
ному виду напряжения <тзз1 которое для лг3 = / равно нулю. По
той же причине выполняются условия Г xla33dA = 0,
А
\ х2сгзз dA = 0 в сечении х3 = I.
7.8. Изгиб бруса поперечной силой 455
Нам остается удовлетворить еще условию
М3= \{x2alz — xla2b)dA = Q. B6)
Л
Имеем
J [jcdjV + х2д24] dA + Р $ xix2(a1xi — a2x2)dA = Q. B6а)
А А
Преобразуя первый интеграл, находим, что
J W., + JC2Vi2) <*Л = J [(XlW)A + (jc2V)j] d^ - 2 J
л
J V («1*1 + n2x2)ds — 2JWdA = 2 j,W^-ds — 2 J 4 dA
e Л Л
= -2$ 4^7^-2
A = j j (xidx2 — x2dxl).
0
Интегрируя по частям выражение
мы использовали условие Ч'(О) = ^(L) = 0. В результате пре-
преобразований с учетом граничного условия A8) приводим урав-
уравнение B6а) к виду
-2
А
+ Р ^ xlx2(aix1—a2x2)dA = 0. B7)
л
Это соотношение мы используем для определения не известной
до сих пор постоянной К, входящей в дифференциальное урав-
уравнение A6). Подставляя в B7) соотношение *F = Ф + Д\1>, на-
находим, что
B8)
- х2 (а0 + ал) -^-1 + -?- J ххх2 (а2х2 — а,х,) dA \.
А )
456 Гл. 7. Кручение и изгиб прямого бруса
Зная теперь функции г|з, Ф и величину К, а поэтому и функцию
W, мы можем определить касательное напряжение по Формулам
(П) и A2). У
Рассмотрим угол поворота объемного элемента бруса отно-
относительно оси л:з, т. е. величину
Приращения величины а»з в направлении осей координат даются
формулами
д\Щ = у («2,11 — «1.2i) =~2 [(«2,1 + «1, 2). 1 — 2«,, ,2] =
= д,е12 — д2е„ = -^- а,а,2 — -?¦ 52 [а„ — v (а22 -I- а33)],
д2щ = dfi22 — д2гх2 = -рдх [а22 — v (аи + <*зз)] — -^ ^2^12^ B9)
д3со3 = <3iE23 — <32813=^ (di<T23 — д2а*3).
Так как а,, = ст22 = ст,2 = 0, а напряжения ст13, а23, а33 даны фор-
формулами F), A1) и A2), то
<3°)
Приращения <3ia»3, «Згсоз — постоянные величины в сечении лг3 =
= const. Величина д3о>з изменяется в поперечном сечении бруса
и является линейной функцией переменных х\, х2.
Интеграл
Т 1^з^ = ^[^-2(ГТ^М-а^)] CD
— среднее значение крутки — является мерой скручивания воло-
волокон бруса. Из проведенных рассуждений следует, что брус под
действием поперечной силы испытывает не только изгиб, но и
кручение.
Однако может встретиться частный случай, когда брус под-
подвергается только изгибу при отсутствии кручения. Этот случай
возникает, когда среднее значение крутки равно нулю, т. е.
К = ЦТ^)№-^)- C2)
7.9. Изгиб бруса поперечной силой. Другие варианты решений 457
Подставляя формулу C2) в формулу крутящего момента
М3 = J (Х2О13 —
А
получим
Т J *>*2 Ы-2 ~ a.*,) dA - -^ (аХ - а,*°) J г|> Ж4. C3)
Если в концевом сечении бруса будут действовать одновремен-
одновременно поперечная сила Р в направлении оси xt и крутящий момент
C3), то в произвольном сечении л:з = const < / возникает изгиб
без кручения.
Из этих рассуждений следует, что если сила Р помещена в
произвольной точке прямой х2 = х2 и действует в направлении
оси Х\, а расстояние х2 выбрано так, чтобы удовлетворялось
уравнение
х2Р + М3 = 0, C4)
то в брусе не будет скручивания. Величина М3, входящая в
формулу C4), выражается соотношением C3).
7.9. Изгиб бруса поперечной силой.
Другие варианты решений
Рассмотрим частный случай разобранной в предыдущем па-
параграфе задачи об изгибе бруса. Допустим, что сила Р действует
в направлении оси х\, причем предположим дополнительно, что
оси Х\ и х2 — главные оси инерции, проходящие через центр тя-
тяжести поперечного сечения бруса. Так как в этом случае Si =
= S2 = /12 = О, ТО
^ = ^0 = 0, ао = а2 = О, а,^--^, A)
и в результате этих упрощений напряжение азз примет вид
-Р(/~/з)дг', / = /22. B)
Упрощаются также уравнения равновесия
0, д3а^ = 0, д,а,3 + д%а23 + -^- == 0 (З)
458 Гл. 7. Кручение и изгиб прямого бруса
и уравнения Бельтрами — Мичелла
При решении задачи об изгибе мы пойдем иным путем, чем
в предыдущем параграфе. В качестве неизвестных функций вве-
введем функцию изгиба и функцию кручения. Из двух первых урав-
уравнений равновесия C) следует, что o\z и o2z являются функциями
только переменных хи х2. Третье уравнение равновесия C) пере-
перепишем в виде
(^H. E)
Это уравнение будет тождественно удовлетворяться, если вве-
ввести функцию напряжения Q:
<т13 = d2Q, <т23 = - <3,Q -- ^р. F)
Подставляя формулы F) в уравнения Бельтрами — Мичелла,
получим систему уравнений
откуда
G)
Здесь [ко — постоянная величина.
Заметим, что справедливо следующее тождество:
^
Отсюда следует, что функцию Q можно представить в виде
где ¦©¦ — некоторая гармоническая функция.
Введем функцию <рь гармонически сопряженную с функ-
функцией ¦&:
7.9. Изгиб бруса поперечной силой. Другие варианты решений 459
Выражая напряжения <Т]з и <т2з через функцию фЬ получим
Р
B + v)
Подставим далее
Тогда формулы A0) примут вид
(с>*) [a + 4 + (l )^1' A2)
а23 = цсо(<Э2<р + л:,) — 2A + v)/ [д2х + B + v)x{x2\.
Первые члены правой части соотношений A2) идентичны фор-
формулам A9) § 7.2. Функцию ф можно назвать функцией круче-
кручения при изгибе бруса поперечными силами. Функцию % назовем
функцией изгиба. Исследуем граничные условия, связанные с
гармоническими уравнениями V?x = 0, У?ф = 0. Из граничного
условия
на боковой поверхности бруса получаем
Цсо [ J5- + (Xln2 - х2щ)] - 2A^v)/ -If- =
Допустим, что функция ф удовлетворяет граничному условию
Неймана
¦^ = х2п1—х1п2. A5)
Для функции х остается на границе также условие типа Ней-
Неймана
Из уравнений Лапласа для функций ф и х с граничными увло-
виями A5) и A6) мы еще не можем определить напряже-
напряжения аи, <т2з, ибо нам неизвестна величина со. Мы найдем ее из
460 Гл- 7- Кручение и изгиб прямого бруса
условия обращения в нуль крутящего момента М3 в концевом
сечении х3 = I. Здесь
М3 = \ (о13х2 — a23xl)dA = 0. A7)
А
Члены, связанные с функцией <р, дают
M'3 = coD, D = - ц J (х\ + х\ + х,ааф — хДср) dA. A8)
А
Члены, связанные с функцией х, приводят к выражению
2(l+vO
А
. A9)
Постоянную величину со мы найдем из условия М'ъ-\- М" = 0.
Величина о имеет определенный физический смысл. В <этом мы
легко убедимся, рассматривая угол поворота а»з объемного эле-
элемента в плоскости поперечного сечения бруса:
Приращение этого угла в направлении оси х3 равно
= у («2, 13 — «I, 23) = е23, I е13, 2 = "^ (^Ia23 ~
Подставляя в эту формулу напряжение из формул A2), по-
получим
= -^ (di<% — д2а13) = со — 2 AР^2} ^ . B0)
Величина а»з является углом поворота объемного элемента бру-
бруса относительно оси лг3, а д3соз — круткой волокон бруса, парал-
параллельных этой оси.
Величину
1 {^
A
3
следует трактовать как среднее значение крутки. Из формулы
B0), учитывая, что J x2dA = S, = 0, получим
А
(О = —Г
А
Итак, величина ш совпадает со средним значением крутки т.
7.9. Изгиб бруса поперечной силой. Другие варианты решений 461
Случай чистого изгиба без кручения имеет место при
т = со = 0. В этом частном случае в формулах для напряже-
напряжений A2) отпадут члены, связанные с функцией <р.
Нам остается еще определить перемещения. Для этого сле-
следует определить деформации, а затем проинтегрировать соот-
соотношения
etJ = у («м+ «/.()• B2)
Легко проверить, что соотношения B2) будут выполнены, если
перемещения примут вид
Р ( v 1х^ 1
1(/)И4)+
B3>
«3 = §Г { Xl \lXi — T") + ХЛ + X } + СОф.
Особенно простой способ решения задачи об изгибе бруса
поперечными силами дал Тимошенко1). Его метод является
модификацией способа, обсужденного в § 7.8.
А именно заметим, что третье уравнение равновесия C) бу-
будет удовлетворено, если допустить, что
Рх2
G13 = <Э2Ф 2Г + / (х2), а23 = - д,Ф. B4)
Здесь Ф — функция, зависящая от переменных Х\, х2, a f(x2) —
функция, зависящая только от х2. Подставляя B4) в уравнения
Бельтрами — Мичелла D), имеем
Интегрируя эти уравнения, приходим к выводу, что
где со — пока не определенная постоянная.
Из формулы
2цд3<хK = д1о2} — <32а13
"получим
B7)
') Timoshenko S., A Membrane Analog of Flexure, Proc. London Math.
Soc, ser. 2,20 A922), 398.
462 Гл. 7. Кручение и изгиб прямого бруса
Если ось х\ является осью симметрии поперечного сечения
бруса, то изгиб силой Р вдоль этой оси вызывает симметричное
распределение поворота а»з элементов сечения со средним зна-
значением, равным нулю для всего сечения. Среднее значение д3(оз
будет равно нулю, вследствие чего в уравнении B7) нужно по-
положить (о = О.
Так как мы будем рассматривать брус с симметричным от-
относительно оси х\ сечением, то в дальнейшем следует положить
со = 0. Подставим формулу B4) в граничное условие A3). По-
Получим
дФ dxx дФ dx2 дФ (Рх\ \ йх2
Если функция f(x2) известна, то определены граничное условие
B8) и правая часть дифференциального уравнения B6). Зная
функции Ф и f{x2), определим напряжения B4).
В случае односвазного сечения легко определить функцию
/(л:2). Ее следует выбрать так, чтобы условие B8) ст^ло одно-
однородным. Тогда имеем Ф($) = const на границе.
Рассмотрим несколько простых примеров.
Пусть контуром поперечного сечения бруса будет окруж-
окружность х\ -j- х\ = г2. Выбирая функцию /(х2) в виде
и подставляя f(x2) в граничное условие B8), получим дФ/ds =
= 0. Поэтому на окружности Ф = const = 0. Нам остается ре-
решить уравнение B6), которое при а» = 0 принимает вид
-(ТТ^ТРх2- B9)
Уравнению B9) с граничным условием Ф = 0 удовлетворяет
функция
Ф = т(х> + х1-г?)х2, m~U±&L.
Составляющие напряженного состояния получим по форму-
формулам B4):
2
8A + v)
ттп^г^л. (зо)
Pxi (I - х3)
—
7.9. Изгиб бруса поперечной силой. Другие варианты решений 463
Рассмотрим эллиптическое сечение бруса. Так как уравне-
уравнение контура задается формулой
9~ "Т" 9~ '' * »
a; a\
то функцию f(x2) примем в виде
21 \а2 I
Подставляя f(x2) в уравнение B6) и граничное условие B8),
получим уравнение Пуассона
\ 1+ v
с граничным условием Ф = 0. Частным решением уравнения
C1), удовлетворяющим граничному условию Ф = 0, является
функция
2
4
m = —¦ -,—г
Составляющие напряженного состояния определим по форму-
формулам B4):
_ 2(l+v)a?+al p
•3 /I _i_ »,\ ("за^4- cF\ 2/
+¦ v) a? + ah P
<*зз =
+ v)Ca?+a22)
В случае прямоугольного сечения со сторонами 2а.\, 2а2
используем уравнение контура
для определения функции f(x2). Если в граничное условие B8)
подставить вместо f(x2) постоянную PaJBI), то разность
Рх\ Ра\
21 2/
будет равна нулю для х\ == ± а{. Вдоль сторон х2 — ± а2 будет
4x2jds = 0. Таким образом, граничное условие B8) становится
464 Гл. 7. Кручение и изгиб прямого бруса
однородным на контуре. Поэтому нужно решить уравнение
Пуассона
с граничным условием Ф = 0 на контуре прямоугольника. Ре-
Решение уравнения C2) составим из двух частей:
Ф (х„ х2) = Фо (х2) + Ф, (*„ х2).
Функция Фо должна удовлетворять обыкновенному диффе-
дифференциальному уравнению
с граничным условием Фо(± а2) = 0.
Функция Ф| должна удовлетворять уравнению Лапласа
Vf©,(jcltx2) = 0 C4)
с граничными условиями
Ф1(±а1, х2) = -Ф0(х2), Ф|(*1, ±а2) = 0. C5)
Решением уравнения C3) является функция
ап= —.
Можно легко убедиться, что функция
оо
2Pv % 1 (—1)" ch OinX]
(Т) ~^ _ __^_^—^.^-^ ^ ————————^—^_ Qitn (У V.
A *т" VI /?Zn ^^^ ^ СП 01 ?Zi
z n=l, 3, ... n ra
удовлетворяет уравнению C4) и граничным условиям C5). По-
Поэтому знание функции
6A +v)/ \2 XVX2~
2Pv VI (—1)" ch а^дг, .
Ti l w ^^ 3* п ^— Sin CtnX2
позволяет определить напряжения ai3 и агз по формулам B4) '),
') Теория прямых брусьев Сен-Венана была развита в различных на-
направлениях. Я рекомендую читателям обратить внимание на очень интерес-
интересную и глубокую работу Бужиньского: Burzynski W., О niedomaganiach i ko-
niecznych uzupeinieniach de Saint-Venantowskiej teorii prgtow prostych, Wroc-
lawskie Towarzystwo Naukowe, Wroclaw, 1951.
Глава 8
ДИСТОРСИЯ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
8.1. Стационарные задачи термоупругости.
Вариационные принципы и теорема взаимности
В послевоенный период наблюдается значительное развитие
термоупругости — области, посвященной исследованию напря-
напряженного и деформированного состояний тела, вызванных темпе-
температурным полем. По мере развития многих областей техники,
при расчете конструкций паровых и газовых турбин, летатель-
летательных аппаратов, при исследовании сварки металлов, в химической
промышленности и особенно в ядерной физике все чаще прихо-
приходится сталкиваться с проблемами, в которых температурные на-
напряжения играют значительную, а иногда и доминирующую
роль. Поэтому задаче температурных напряжений мы уделим
больше внимания, чем это имело место в ранних монографиях по
теории упругости.
В настоящей главе мы будем заниматься главным образом
статическими и стационарными напряжениями, вызванными
установившимся температурным полем. Некоторое внимание мы
уделим также квазистатическим задачам, т. е. таким, в которых
изменение температуры во времени происходит медленно, так
что можно пренебречь инерционными членами.
В наших рассуждениях мы ограничимся такими температу-
температурами, при которых механические и термические материальные
коэффициенты можно считать постоянными. А именно мы пред-
предположим, что IB/Tol-Cl, где Э — температура, отсчитываемая
от естественного состояния тела, а То—абсолютная темпера-
температура естественного состояния.
Принятые допущения ограничивают пригодность решений
лишь определенным интервалом температур. Несмотря на это,
основываясь на линейной термоупругости, мы можем решить
широкий класс задач практического значения.
Рассмотрим упругое тело в конечной области, на которое
действуют поверхностные силы/?,- и массовые силы Х{ и которое
466 Гл. S. Дисторсия в теории упругости
нагревается на поверхности А. Пусть внутри этого тела дей-
действуют источники тепла ш.
В установившемся процессе все факторы, действующие на
тело, и вызванные ими следствия не зависят от времени и яв-
являются функциями только положения.
В необратимом термодинамическом процессе изменение эн-
энтропии складывается из
а) обмена энтропии с окружающей средой и
б) производства энтропии.
Так как приращение энтропии во времени равно нулю (S=0,
S = const), то производство энтропии компенсируется обменом
энтропии с окружающей средой. Уравнение теплопроводности,
как мы вывели в § 3.8, принимает для задачи установившегося
притока тепла следующий вид:
А.,/9.„ = - w, хеК, A)
Это уравнение справедливо для анизотропного тела. Для иво-
тропного тела, которым мы сейчас занимаемся, следует поло-
положить кц = ko6ij, где к0 — коэффициент теплопроводности для
изотропного тела.
Уравнение A) переходит в уравнение
К уравнению B) следует добавить граничные условия. Чаще
всего встречаются следующие условия:
1) задана температура 0 в каждой точке хеД
2) задан градиент температуры dQ/dn в каждой точке хеД
3) задана функция dQ/dn + а0 = C на поверхности тела; ве-
величины а и $ являются здесь постоянными.
Граничное условие вида 2) имеет место тогда, когда изве-
известна интенсивность потока тепла внутрь извне (либо наоборот).
Если тело теплоизолировано, т. е. не происходит ни притока, ни
отдачи тепла через поверхность А, то dQ/dn = 0. Третий вид
граничного условия мы получаем при свободном теплообмене
по поверхности А, ограничивающей тело. Мы не будем зани-
заниматься методами решения дифференциального уравнения Пуас-
Пуассона B). Читатель найдет их в любом обстоятельном курсе тео-
теории дифференциальных уравнений или в монографиях, посвя-
посвященных теплопроводности').
Из уравнения B) получим температуру 0. Распределение
температуры уже как известная функция входит в определяю-
определяющие уравнения и в уравнения в перемещениях теории упругости.
') Например, Карслоу Г., Егер Д., Теплопроводность твердых тел, «Нау-
«Наука», М., 1964. '
8.1. Стационарные задачи термоупругости 467
К принятому предположению |9/70|-C 1 добавим еще одно,
касающееся малости деформаций. А именно предположим, что
квадраты и произведения компонент тензора деформаций гц
пренебрежимо малы по сравнению с линейными членами. Таким
образом, мы ограничиваемся геометрически линейной термо-
термоупругостью. Зависимость между деформациями и перемеще-
перемещениями выражается линейным соотношением
ei/ = ~2 ("/./ + "/,*)• C)
Как известно, деформации не могут быть произвольными функ-
функциями; они должны удовлетворять шести соотношениям, так
называемым уравнениям совместности:
Ъц.к1 + Ъкиц — гц. ik— е«,/г = О, /, /, /г, 1=1, 2, 3. D)
Основной задачей является отыскание связей между напряжен-
напряженным и деформированным состояниями. Эта задача была выпол-
выполнена в гл. 3.
Поэтому выпишем соотношения, выведенные ранее в § 3.12.
В дальнейшем важную роль будет играть свободная энергия
F г= F(sij, 0), причем
F = \iBifiii + -s- ?kkenn — yfek k —5r~ ^2> E)
9 = T — To.
Дифференцируя свободную энергию по деформациям, имеем
= dF
гЧ
Здесь у = (ЗХ + 2\i)at, где at — коэффициент линейного тепло-
теплового расширения. Дифференцируя функцию F по температуре,
получим в результате энтропию с обратным знаком:
1_ е ft I7\
F)
К этим уравнениям добавим уравнения равновесия
оИ., + Х,*=0. (8)
Таким образом, мы имеем полную систему соотношений и урав-
уравнений для стационарной задачи термоупругости.
Прежде чем перейти к обсуждению решения задач термо-
термоупругости в перемещениях или напряжениях, сосредоточим
внимание на основных вариационных теоремах. В § 4.5 был
468 Г~л- *¦ Дисторсия в Теории yftpyiocTu
сформулирован принцип виртуальных работ в виде (формула C)
§4.5)
f X, Ьщ dV + [ Pi Ьщ dA = Г о„ 6ег/ dV. (9)
J J J
V A V
Этот принцип справедлив как для упругого, так и для неупру-
неупругого тела, для линейных и нелинейных соотношений между де-
деформированным и напряженным состояниями. Принцип вирту-
виртуальных работ справедлив также и для задачи термоупругости.
Если теперь в правую часть (9) подставить соотношения Дюга<
меля — Неймана F), связывающие деформации и температуру
с напряжениями, то получится уравнение
се г
XibtiidV + pibuidA = bWe — у 9 6eftftdV, A0)
J J J
V A V
где
V. A1)
Предположим, что во время виртуального перемещения мас-
массовые силы, поверхностные нагрузки и температура не изме-
изменяются. Тогда в правой части уравнения A0) можно символ ва-
вариации вынести за знак интеграла. Полагая далее, что на по-
поверхности тела Аи, на которой заданы перемещения, должно
быть б«г = 0, приводим уравнение A0) к виду
б [Г,- j X,u,dV- Jp,«,di4-YjeeMdKl=0. A2)
L v a0 v J
Здесь через Аа мы обозначили ту часть поверхности тела, на ко-
которой заданы нагрузки. Обозначая через Г выражение в квад-
квадратных скобках, имеем
6Г = 0. A3)
Итак, мы получили обобщение на стационарную задачу термо-
термоупругости теоремы о минимуме потенциальной энергии. Эта
теорема утверждает, что среди всех геометрически возможных
положений равновесия в действительности осуществляется то,
для которого функция Г достигает минимума.
Вернемся к уравнению A0) и преобразуем в нем последний
интеграл правой части:
J 9 6ekk dV = JQ6uklkdV=j [(9 би,),, — 9,, 6«J dV=
V V V
= QdUititdA— Q.idtiidV. A4)
A V
8./. Стационарные задачи термоупругости 469
Подставляя формулу A4) в A0), находим после некоторой пе-
перегруппировки следующее соотношение:
р,+ yQntNu{dA. A5)
Сравним это выражение с виртуальной работой в теле такой же
формы и выполненного из того же материала, на которое дей-
действуют массовые силы Х\ и нагрузки р*, но в котором 0 = 0:
= J Х\ but dV + \ р) би, dA. A6)
V А
Сравнивая выражение A5) с A6), получаем следующую анало-
аналогию массовых сил. Перемещения и деформации будут в нагретом
теле такими же, как и в ненагретом, если на Аи задать те же
самые перемещения, а на Аа—нагрузки р* = р, + ч9/гг и если
в качестве массовых сил принять величины X) = Xi — yQ, i.
В стационарной термоупругости пользуются также вторым
минимальным принципом, который является обобщением из-
известной из эластостатики теоремы Кастильяно о дополнитель-
дополнительной работе. Предположим, как мы это сделали в § 4.7, что на-
напряжения оц получают виртуальные приращения 6ff,j- Величины
8оц мы трактуем как непрерывные функции класса С2, как вели-
величины бесконечно малые и независимые. Потребуем, чтобы напря-
напряжения Oij + 6oij и нагрузки р, + бр, были статически допусти-
допустимыми. Это означает, что 8оц должны удовлетворять уравнению
равновесия
6а//,/ = 0 A7)
внутри тела и граничным условиям
6р« == йвцп, A8)
на А„. На Аи нагрузки бр* являются произвольными величинами.
Предположим дополнительно, что вариации брг принимают нуле-
нулевые значения на той части поверхности, на которой заданы на-
нагрузки, т. е. на Аа-
Обозначим дополнительную работу через Жа'
Wa=\wadV=\ U'oiiOi, +^-okkann) dV. A9)
A V
При выводе обобщенной теоремы Кастильяно для стационар*
ной термоупругости мы исходим из соотношений Дюгамеля —
Неймана, разрешенных относительно деформаций:
аг9) Ьц. B0)
470 Гл. 8. Дисторсия в теории упругости
Мы видим, что
B{,=-^-(Wa + atQakk), B1)
Умножим это соотношение на бет,.» и проинтегрируем по объ-
объему. V:
V
или
J [e(/ —^-(Wa + af9aft,)] ba,, dV = 0, B2)
в,, ба(, dV = J -|р- бац dV + J a<9 6ffft* dl/- B2a)
Преобразуем интеграл в левой части последнего уравнения к
следующему виду:
+ J afi 6akk dV = | 6p,u, dA— J 6a/f, 7и, rfK. B3)
V Л V
Приращения бац выберем так, чтобы удовлетворялись уравне-
уравнения равновесия A7) и чтобы вариация нагрузок бр* была равна
нулю на Ао, В результате получим из формулы B3)
jatQakkdV- |р,и,йЛ]=0. B4)
Обозначая через Г* выражение в квадратных скобках, имеем
уравнение
6Г' = 0, B5)
из которого видно, что среди всех статически допустимых со-
состояний равновесия в действительности осуществляется только
то, для которого Г* достигает минимума. На то, что мы имеем
дело с минимумам функционала Г*, указывает положительность
его второй вариации.
Если на поверхности тела действуют нагрузки, то для Ли = 0
получаем
|V jatQakkdv]=0, B6)
Обобщая рассуждения § 4.6 и 4.8, мы можем дать другую
форму теорем о минимуме потенциальной энергии и минимуме
дополнительной энергии.
Рассмотрим поле перемещений и, (наряду с соответствую-
соответствующими ему тензорами напряжений оц и деформаций ец), которое
удовлетворяет уравнениям равновесия
oitli + X,=:0, xe7, (а)
8.1. Стационарные задачи термоупругости 471
с граничными условиями
щ = ft (х), х ев Аи,
Рассмотрим теперь другое поле перемещений и], отличное от
поля и,, которое не обязательно удовлетворяет уравнениям рав-
равновесия
но удовлетворяет кинематическим условиям
и не удовлетворяет условиям pj = gj(x) на Лг
В обоих рассматриваемых случаях на тело, кроме внешних
сил, действует и температурное поле 0.
Умножим уравнение равновесия (а) на и* — ut и проинте-
проинтегрируем по объему тела:
j(aiitI+Xi)(u{-ui)dV = 0.
Преобразуя этот интеграл и применяя теорему Гаусса — Остро-
Остроградского, окончательно получаем
lxi(u-,-ul)dV+ jpi(ui-ui)dA=l(B'iI-sil)aiidV. B7)
V Ао V
Поверхностный интеграл распространяется только на Ао, ибо,
согласно граничным условиям (б) и (г), на Аи имеем и] — «. =
¦=ft'—ff=O. Рассмотрим теперь свободную энергию F(eij, 0),
заданную формулой E). Составим следующие выражения:
F(e' —е( 0), F (e* 0), F (e{ 0Y Легко убедиться в справедли-
справедливости следующего соотношения:
= f (eIy 9) - F (е«/- е) - К ~ Я К + y V) - ™е2- B8)
где т = се/B7'о).
Введем работу деформации
Так как
472 Гл. 8. Дисторсия в теории упругости
то вместо неравенства B8) получаем
V. ft, - е„) = W* (е;/} - W (е|у) - (е«. - е,;) („„ + уй^в) > О,
поскольку работа деформации Ws (e*;. — е.^ является положи-
положительной величиной.
Проинтегрируем это выражение по объему тела. Получаем
неравенство
К (Я - У Ы - J ft, - ef/) (аи 4- Y6,.9) dK > 0. B9)
v
Исключая общий член в B7) и B9), получаем следующее нера-
неравенство:
\ - \ XiU]dV- J р(И: dA-yj Qe'kkdV
-\ Хги,dV- | PtutdA-y \^tkk dV, C0)
V Aa V
Мы получили теорему, которая утверждает, что потенциальная
энергия системы для поля перемещений ц,-, удовлетворяющего
уравнениям равновесия и заданным граничным условиям, всегда
меньше потенциальной энергии системы, для которой существует
поле перемещений, удовлетворяющее только части граничных
условий, а именно кинематическим условиям.
Если упругое тело свободно от нагрузок на поверхности, а
массовые силы равны нулю, то неравенство C0) упрощается:
»
К~у\ К*dV > Жг - У J 9e4*dV- C0a)
Здесь следует сделать предостережение, состоящее в том, что
как выведенная ранее теорема о минимуме потенциальной энер-
гии, так и только что приведенное неравенство справедливы
лишь для односвязного тела. Это вытекает из того, что лишь в
односвязном теле заведомо обеспечена однозначность поля пере^
мещений.
Перейдем к другому виду теоремы о минимуме дополнитель-
дополнительной работы. Пусть тело получает деформации под влиянием
внешних сил и нагрева. Пусть напряжения оц удовлетворяют
уравнениям равновесия (а) и граничным условиям (б). Кроме
того, пусть деформации удовлетворяют геометрическим усло-
условиям совместности (неразрывности) в области V.
8.1. Стационарные задачи Термоупругости 473
Обозначим через а], другое напряженное состояние (не
идентичное с состоянием оц), вызванное теми же самыми внеш-
внешними силами и нагревом. Предположим, что напряжения а'и
удовлетворяют уравнениям равновесия (в) и только динамиче-
динамическим граничным условиям на Ао (т. е. р* = a*inj = g{ (х), х е Ла).
Итак, напряженное состояние а], не удовлетворяет граничным
условиям на Аи, а деформированное состояние е* не удовле-
удовлетворяет условиям неразрывности. Умножим разность напряже-
напряжений ff*;. — atj на е.;. и проинтегрируем по объему V:
v
Преобразуя это выражение, получим последовательно
IК - °ч) ч idV = \ №, - *«/)«,]., - К,, - v. /)«,)dV=
V V
= I К - aii) ЯЛ dA~\ (а'п. 1 ~ ап. /) uidV-
А V
Объемный интеграл равен нулю в силу уравнений (а) и (в).
Поверхностный интеграл берется по поверхности Аи, ибо раз-
разность граничных условий (б) и (г) на Аа равна нулю. Поэтому
имеем
>'i,-°id*t,*V- J (p:-Pt)u,dA. C1a)
В дальнейшем мы должны будем обратиться к свободной энер-
энергии F. Выражая деформации через напряжения в уравнении
E), а затем используя соотношения
получим следующий вид свободной энергии:
-у
F (а{,ш 9) = n'o{1o{j + -у akkann — m0Q2.
Легко проверить, что
F{o-t]-oirB) =
= F* К. в) - ^ (air 0) - (а!; - att) (e,;. - a,6iy0) - mfl02. C2)
474 Гл. 8. Дисторсия в теории упругости
Проинтегрируем последнее соотношение по объему тела и вве-
введем функцию
v
С помощью функции Wo сведем выражение C2) к неравенству
Г; - Га - J [а\, - а„) (е„ - afi,fi) dV > 0. C2a)
v
Исключая из C1а) и C2а) общий член, приходим окончательно
к неравенству
Ж'а - | p]ut dA + atj %o'kk dV>Wa- J Piu{ dA + atj Qakk dV.
\ v \ v
C3)
Это неравенство выражает следующее утверждение. Дополни-
Дополнительная работа системы, в которой напряжения а{1 удовлетво-
удовлетворяют уравнениям равновесия и всем граничным условиям, а де-
деформации tij удовлетворяют уравнениям 'неразрывности, мень-
меньше дополнительной работы системы, в которой напряжения а\,
удовлетворяют уравнениям равновесия и динамическим усло-
условиям (p*t—р, = 0 на Ла), а деформации е!; не удовлетворяют
условиям неразрывности.
Если тело нагружено по всей поверхности, то в неравенстве
C3) исчезают поверхностные интегралы (ибо Аи = 0). Поэтому
имеем
К + «J К* dV > Жо + a J &окк dV. C3а)
v v
Если 0«=О, то неравенство C3а) переходит в неравенство A3)
§4.8.
Обобщим теперь на задачу термоупругости вариационную
теорему Рейсснера.
Рассмотрим функционал Э'(ъц, оц, щ) вида
н'- /+"/• AdV -
dA— J Pi(Ui — й{)dA, C4)
где
8.1. Стационарные задачи термоупругости 475
В последнем выражении р, является заданной нагрузкой на Аа,
а их — заданным перемещением на Аи.
Используем условия стационарности функционала 2f. Для
этого вычислим первую вариацию функционала 3 и прирав-
приравняем ее нулю. Внутри тела V варьируются функции оц, е,,-, щ.
На поверхности Аи могут варьироваться только функции р,, на
Ао — функции Uj. Поэтому имеем
= О = J [
у *-
[ бе:.у - 6ff,7el7 - ач 6е/у - уЩ 6в„ - Х{ йи, +
у *- ij
2" 6ffi/ ("i. / + И/, *) + у О
U4 dA- | бР: (И, - й, ) '^. C5)
Группируя соответствующим образом члены и воспользовавшись
преобразованием
у { ^г(в"л/ + в«/,()^^ = '| Pi&UidA— § olul6utdV,
v ла v
приведем уравнение C5) к виду
J {pir ~ {ач + ^г'9I Ьеч - h ~ т {u*-i +и'-г)]6а'/ ~ ¦
у IL '/ -< C5а)
- (а,,, / + Xt) but }dV- j(pt- Pi) but dA+ | (Й,-И/) бр, dA= 0.
В силу взаимной независимости виртуальных приращений урав-
уравнение C5а) сводится к следующим уравнениям Эйлера вариа-
вариационной задачи:
еН= Т ("*./ + «/.*).
— yQNtj,
Мы получили последовательно: уравнения равновесия, связи
между деформациями и перемещениями, соотношения Дюгаме-
ля — Неймана и граничные условия на Аи и Ла.
Обобщенная на стационарную задачу термоупругости тео-
теорема Рейсснера имеет вид
6^ = 0, C6)
476 Гл. 8. Дисторсия в теории упругости
где функционал & дан формулой C4). Выведенная здесь тео-
теорема утверждает, что из всех напряженных состояний и переме-
перемещений, которые удовлетворяют уравнениям равновесия и соот-
соответствующей части граничных условий, осуществляется напря-
напряженное состояние и перемещения, заданные формулой C6).
В теории температурных напряжений важную роль играет
теорема взаимности. При ее выводе мы будем опираться на со-
соотношения Дюгамеля — Неймана, записанные для двух систем
причин и следствий:
2 (QN C7)
. C8)
Умножим первое уравнение на г'ц, второе — на e,j и почленно
вычтем одно из другого. Получаем тождество
Проинтегрируем это тождество по объему V:
J (%</ - <,*„) w + vl (Kk - е'ем) dv =ю.
V V
Интегрируя по частям первый интеграл и учитывая, что
°,«./ + *« = 0' °',i.i + x't = 0> xeF,
pi=ojlnj, p'i = of!inj, хе=Л,
получим следующий вид теоремы взаимности:
/ Xtu\ dV + J p.tu\ dA + yj (98^ - Q\k) dV=j o'tlBtl dV, D0)
V A V V
ИЛИ
J XiU\ dV + J Piu\ dA + a J (Qo'kk - Q'akk) dV = J c^e., dV. D0a)
V A V V
Эта теорема была доказана Майзелем1), а ее обобщение на
анизотропные и неоднородные тела дано Новацким2). Из тео-
теоремы взаимности следует ряд интересных выводов и даже ме-
метод интегрирования дифференциальных уравнений стационарной
задачи термоупругости.
Рассмотрим односвязное и ограниченное тело, на которое
действуют внешние силы Хг и нагрузки pi. Кроме того, пусть
Ч Майзель В. М., Температурная задача теории упругости, Киев, 1951.
s) Nowacki W,, Napr§zenia cieplne w cialach anizotropowych, Arch, Mech.
Stos., 6, № 3 A954).
8.1. Стационарные задачи термоупругости 477
в теле имеет место приращение 0 температуры, вызванное внеш-
внешним нагревом и действием источников тепла w.
В качестве штрихованной системы примем всестороннее рас-
растяжение тела и кроме того предположим, что Х\ = О и 0' = 0.
При всестороннем растяжении тела силами интенсивности, рав-
равной единице, имеем
^ = 1-6,,, о'кк = г, ^ = 0^ = 1 •*,.
Подставляя эти значения в уравнение D0а), получим
- J niui dA+ J Хр\ dV + J Piu\ dV + За J G dV = 0. D1)
A V A V
Подинтегральная функция в первом интеграле выражает проек-
проекцию перемещения на нормаль п к поверхности А, а интеграл
представляет приращение объема ДУ, вызванное действием тем-
температуры 0 и силами Xi, Pi.
Состояние всестороннего растяжения ar(j,= 1 • 6^ вызывает
постоянные деформации еу'у = 2|/ + ЗА'= 1/C/0, К = 1к-\-21ъ\и,
и линейные перемещения ц\ = х;.б^ДЗ/С)-
Уравнение D1) примет вид
А к=ж A ^iXi dF +1PiX' ^л) +За J9 dF- №
\V A I V
Для A'j^O, рг = О получим ')
J D3)
v
Мы получили выражение для изменения объема тела, вызван-
вызванного только изменением его температуры,
К соотношению D2) можно прийти и без помощи теоремы
взаимности. Умножим уравнения равновесия на xt и проинте-
проинтегрируем по объему V:
v
Преобразуя это равенство, получим следующее соотношение:
J Xtxt dV + j Pix{ dA=\ akk dV. D4)
') W. Nowacki, loc. cit, стр. 476.
478 Гл. S. Дисторсия в теории упругости
С другой стороны, свертывая соотношения Дюгамеля—Ней-
Дюгамеля—Неймана, получим
За$). D5)
Подставляя формулу D5) в D4) и учитывая, что у = 3Kat, на-
находим, что
AF = За, J 9dV + ±-( J X,xt dV + J p,xtdA]. D6)
V \V A j
Таким образом, мы пришли к соотношению D2).
К интересному результату мы придем, полагая р, = О,
Xi = 0 в формулах D4) и D6). Мы нашли
AF = 3ct, J QdV, jakkdV = Q. D7)
v v
В случае односвязного тела, свободного от внешних нагру-
нагрузок (pi = 0, Xi = 0) и испытывающего температурное воздей-
воздействие, интеграл от первого инварианта напряженного состояния
по объему тела равен нулю. Существенную роль в определении
поля перемещений играет метод Майзеля1), выведенный из тео-
теоремы взаимности. Рассмотрим тело, занимающее область V, же-
жестко закрепленное на поверхности Аи (и, = 0), а на поверхности
Аа свободное от нагрузок. Под действием нагревания в теле по-
появятся перемещения щ и температура 8. Из уравнения D0) для
pi = 0, Х{ = 0 на Аа, Ui = 0 на Аи имеем
-\x'tutdV+ jPlu'tdA- \pftutdA + yj(QBfkk-Q\k)dV = O. D8)
Разыскивая в точке | составляющую «fe перемещения, выбе-
выберем соответствующим образом штрихованную систему нагрузок.
А именно предположим, что на Аи тело жестко закреплено
(mJ = O), а на Аа свободно от нагрузок (р(' = 0) и что 9'= 0.
Пусть в точке | действует единичная сосредоточенная сила, па-,
раллельная оси хк. Эта сила вызывает перемещения м^=Г(гй)(х,|),
напряжения ст'^х, |) и деформации е(^(х, |). Величины и\ полу-
получим из системы уравнений эластостатики в перемещениях
рГии + (Л + A) Г\% + б (х -1) 6ik = 0, I, /, k = 1, 2, 3, D9)
с граничными условиями
р|*> = 0 на Ло, Г<*) = 0 на Лц. E0)
1) В. М. Майзель, loc. cit. стр. 476.
8.2. Уравнения термоупругости в перемещениях 479
Так как Х* = 6(х— s)bik, то из уравнения D8) находим
I 6(x-l)utkUl(x)dV{x) = y \ B(x)B^(x,l)dV(x), E1)
V V
или
ик (I) = Y J Э(х) Г<*»/ (х, I)dV (х) = a J 9 (х) а;/*> (x, g) dF(x). E2)
V V
В этом уравнении Г^ обозначает дилатацию, а сх^ — первый
инвариант напряженного состояния, вызванного в области V дей-
действием единичной сосредоточенной силы.
Метод Майзеля определения поля перемещений удобен в слу-
случае центральной симметрии температурного поля (толстостен-
(толстостенная сферическая оболочка, шар) и осевой симметрии (толсто-
(толстостенный цилиндр, сплошной цилиндр, упругое полупространство
и слой), а также в случае плит и оболочек простой формы, где
функции Г'й),, о'.{к) удается определить простым способом.
8.2. Уравнения термоупругости в перемещениях
Рассмотрим односвязное тело V, нагруженное внешними си-
силами и подвергающееся нагреву. Пусть внутри тела действуют
массовые силы Х,(х) и источник тепла w(\), и пусть на Аа за-
заданы нагрузки рг(х), на Аи — перемещения /,(х). Запишем урав-
уравнения равновесия
'<*/*./ + ** = О, I, /=1, 2, 3, A)
через перемещения. Подставляя затем деформации
eij=j(ui,j + ulti) B)
в соотношения Дюгамеля — Неймана
оц = 2[хег/ + (Aeftft — Y6) б,-,-, C)
а эти последние в уравнения равновесия A), получим систему
трех эллиптических уравнений в перемещениях:
/+(л + Н-)и/.,ч + Я* = ув.*- D)
К этим уравнениям присоединим граничные условия
Щ (х) = ft (x), х е= Аа, E)
+ uhi)nl + (huk,k — yQ)ni=pi(x), x е= Аа. F)
Важно убедиться в единственности решения системы дифферен-
дифференциальных уравнений D).
480 Гл. 8. Дисторсия в теории упругости
Предположим, что существуют два решения м', и". Тем
самым имеем различные напряжения o'ir a"t и деформации &'г, е";.
Введем обозначения
Последовательно получаем
o'itJ = 0, xel/, G)
е1/=тК/ + мЬ> xeV + Л, (8)
4 = 2К+ЛбА xeF + Л. (9)
Уравнения в перемещениях D) становятся однородными:
ix)u'hli = 0, xeF. A0)
Соответствующие этим уравнениям граничные условия также
становятся однородными
и] = 0, хеЛв,
Iх ("I, / + "/*.«) ni + к6аи1 kni = °- х е Ax-
Уравнения G)—A0) относятся к телу, в котором отсутствуют
массовые силы, а температура равна нулю.
Рассмотрим интеграл
a*.e;;dF, A2)
v
который в силу формулы (9) представим в виде
Как известно, подинтегральная функция выражает удвоенную
работу деформации упругого тела. Эта величина в силу того, '
что [х > 0, к + 2/з|1 > 0, является неотрицательной.
Выражение A2) при помощи соотношений (8) и (9) удается
представить как
'^fW&.^V + j <>',,.,"]**• A3)
v v
Второй интеграл в правой части равен нулю в силу уравнения
G). К первому интегралу применим преобразование Гаусса—
Остроградского. Для этого требуется, чтобы функции ст?(., е* в
8.2. Уравнения термоупругости в перемещениях 481
односязной области V + А были непрерывными класса С1. В ре-
результате получим
1=[р]и\йА. A4)
А
Из формулы A1) следует, что «! = 0 на Аи и р] = 0 на Аа.
Для этих однородных граничных условий поверхностный инте-
интеграл равен нулю. Таким образом, / = 0. Подинтегральное вы-
выражение A2а) должно быть равно нулю в области V-j-Л. По-
Поэтому е!; = 0, откуда г'г = е"у и и\ = и". Учитывая соотношение
(9), имеем также о'г = о"г.
Итак, решение единственно.
Теорему единственности мы можем распространить и на бо-
более сложные граничные условия. Так как произведение р\и\
является инвариантной скалярной величиной, его можно запи-
записать в виде
-о* и (\5)
^Ш III VltJ/
(где I, II, III — три взаимно ортогональных направления) и так
выбрать составляющие нагрузок или перемещений, чтобы вы-
выражение A5) было равно нулю. К примеру, если направление
III соответствует направлению нормали, то на А можно поло-
положить ы*п=0 и р* = р*1 = О, что соответствует нулевому нор-
нормальному перемещению при отсутствии нагрузки в двух осталь-
остальных направлениях I, II.
В случае упругой задачи с граничными условиями pj = — ku\
на Аа уравнение A4) примет вид
\
]t dV + k \u]u]dV = Q. A6)
Так как оба интеграла положительно определены, имееме*., = 0,
м* = 0 во всей области, что приводит к единственности решения.
Вернемся к уравнениям в перемещениях D). Если предполо-
предположить, что функция температуры принадлежит классу С1, то пе-
перемещения должны принадлежать классу С2. Напряжения то-
тогда принадлежат к классу С1 в соответствии с требованием, при-
принятым при доказательстве теоремы единственности. Для реше-
решения системы D) с граничными условиями E) и F) можно вос-
воспользоваться аналогией массовых сил, описанной в § 8.1. Форму-
Формулируем теперь эту аналогию следующим образом.
Рассмотрим нагруженное внешними силами нагретое тело,
в котором поле перемещений описано системой уравнений D)
вместе с граничными условиями E) и F). Рассмотрим второе
тело той же формы и из того же материала, но в котором 9 = 0
16 В. Нодацкий
482 Гл- &¦ Дисторсия в teopuu упругости
в каждой точке. Спрашивается, какие массовые силы Х\ и по-
поверхностные силы р] на Аа (для м* = /г на Аи) нужно прило-
приложить, чтобы в обоих телах (нагретом и ненагретом) возникало
одно и то же поле перемещений и\.
Уравнения эластостатики в перемещениях (для 9 = 0) имеют
вид
\ш1щП + (к + 11)ии1 + Х; = 0. A7)
К этим уравнениям добавим граничные условия
м; = /;(х), хеЛц, A8)
Pl^K/ + "/.»)"/+ *•"*.*"<• хеЛа. A9)
Из сравнения уравнений D) и A7) и граничных условий E) и
A8), а также F) и A9) следует, что мы получим одно и то же
поле перемещений u". = ui{\), xeV, если
B0)
Аналогия массовых сил позволяет свести стационарную задачу
термоупругости к задаче эластостатики.
В частном случае Хг = 0 и pi = 0 на Аа имеем
Х; = -у6>г, хеУ; «; = /;, хеЛа; р: = п^, х е Ла.
а.
Величина р? ^ y^"; называется термическим давлением.
Кратко обсудим методы решения уравнений термоупругости
в перемещениях
№,u + & + Vi)u!,li = yQ,{. B1)
Представим общее решение щ в виде суммы двух решений:
частного решения и\ неоднородного уравнения B1) и общего
решения и" соответствующего однородного уравнения:
Частное решение уравнения B1) можно представить в виде,
данном Гудьером1), вводя так называемый потенциал термо-
термоупругого перемещения Ф в соответствии с соотношением
»; = Ф,г B2)
') Goodier J. N., On the Integration of the Thermoelastic Equations Phil.
Mag., 7 A937).
8.2. Уравнения термоупругости в перемещениях 483
Подставляя формулу B2) в B1), получим
Система этих трех уравнений будет удовлетворена, если функ-
функция Ф удовлетворяет уравнению Пуассона
^Г. B3)
Из уравнения B3) получим функцию Ф, а следовательно, и
частное решение B2). Можно вычислить деформации e'if и на-
напряжения о'.,, связанные с функцией и\. Имеем
еи — ф w &'kk = ф м>
Учитывая B3), получим следующее выражение для напряже-
напряжений о',,:
Заметим, что для бесконечной области частное решение и\ яв-
является окончательным решением. Решение уравнения B3) мож-
можно выразить через интеграл Пуассона в виде, аналогичном гра-
гравитационному (ньютоновскому) потенциалу:
m г
4л J
где R(x, |) — расстояние между точками ? и х. Так как
м^ = Ф., то
< ^ж!Ш)\®, B6)
где
Функция Уг(х, |) имеет определенную механическую интерпре-
интерпретацию, а именно ее можно трактовать как перемещение точки х
в направлении оси хи вызванное действием центра расшире-
расширения— сжатия, помещенного в точке \ неограниченного тела.
Воспользовавшись теоремой взаимности, B6) можно предста-
представить также в виде
«;(x) = v f e(g)e"'(x, s)rfv(g), B7)
484 Гл. 8. Дисторсия в теории упругости
где G<'>(x, |) означает дилатацию в точке |, вызванную действием
сосредоточенной силы, помещенной в х и направленной по оси л;,-.
Так как
где через Л<*> мы обозначим сумму нормальных напряжений, то
уравнению B7) можно придать вид
. B8)
Легко заметить, что формулы B7) и B8) являются частным
случаем формул Майзеля, обсужденных в предыдущем пара-
параграфе.
Если тело ограничено, то к решению и[ = Ф . следует доба-
добавить общее решение и" системы однородных уравнений эласто-
статики
\Lulu + (b + v)ult{ = Q, B9)
причем требуется, чтобы поле перемещений и. = и'{-\- и'? удо-
удовлетворяло всем заданным граничным условиям. Итак, если
тело свободно от поверхностных нагрузок, то на «границе А дол-
должны быть выполнены условия
или
(а;,+<*?)«, = 0, хеЛ. C0)
При решении системы уравнений B9) применяем методы, об-
обстоятельно обсужденные в гл. 5.
Часто систему уравнений термоупругости B1) решают с по-
помощью метода Папковича — Нейбера, выражая перемещения
через четыре функции
«/= Ф. < + (*/*/).« —4A—v)ih, C1)
где функции Ф, т^ удовлетворяют уравнениям
V20 = m9, У2гр,=0. C2)
Удобство представления Папковича — Нейбера основано на про-
простоте определения функций Ф и г|)г как частных решений хорошо
известных уравнений (Пуассона, Лапласа) в теории потен-
потенциала. Трудности применения метода Папковича — Нейбера
связаны с удовлетворением граничным условиям, в которые вхо-
входят вторые производные как функции Ф, так и функций ф,-.
Несколько частных случаев решения пространственных и
плоских задач термоупругости мы обсудим в § 8.4 и 8.5.
8.3. Уравнения термоупругости в напряжениях 485
Рассмотрим теперь частный случай, относящийся к закреп-
закрепленному телу, т. е. к такому телу, для которого перемещения щ
на границе равны нулю. Если предположить, что в этом теле
температура постоянна, то 9,, = 0.
Уравнения B1) становятся однородными. При однородных
граничных условиях м,- = 0, хе А получим
щ(\) = 0, хеК + А C3)
В силу обращения в нуль перемещений в теле имеем нулевые
значения деформаций е,;. Напряжения отличны от нуля и в со-
соответствии с соотношениями Дюгамеля — Неймана имеют зна-
значения
°ц = — Y^i/B.
В случае нагрева (9 > 0) имеем дело со сжимающими, а в слу-
случае охлаждения (8 < 0)—с растягивающими постоянными нор-
нормальными напряжениями.
8.3. Уравнения термоупругости в напряжениях
Во многих задачах стационарной термоупругости, в которых
граничные условия заданы в напряжениях, удобнее использо-
использовать уравнения совместности в напряжениях Бельтрами — Ми-
челла, обобщенные на задачи температурных напряжений.
Ограничимся пока рассмотрением односвязного тела. Сфор-
Сформулируем нашу задачу следующим образом. Мы ищем в теле.У,
ограниченном поверхностью А, составляющие напряженного со-
состояния оц в предположении, что на А заданы нагрузки рг. Итак,
мы имеем уравнения равновесия
о„,, + Хг = 0, xeF, A)
с граничными условиями
pl{x) = a,inl, хеА B)
К этим уравнениям мы должны добавить условия совместности,
т. е. потребовать, чтобы перемещения были однозначными функ-
функциями.
Для обеспечения однозначности перемещений требуется рас-
рассмотреть в V-\-А упомянутые в § 1.11 выражения Чезаро
р
«,.(x) = «°(x°)-f jdu,, C)
или, более подробно,
р
«. (х) = и) (хР) + {х„ - х\) со», + J [В/г + (хк ~ lk) «/4> r\ d\r. D)
486 Гл. 8. Дисторсия в теории упругости
Первые два члена правой части уравнения D) относятся к дви-
движению тела как жесткого целого, а потому сосредоточим внима-
внимание только на трех криволинейных интегралах
р
L,= [Ulrdlr, и г=1, 2, 3, E)
где
Ulr = в/г -f (хк — lk) (Л,к, T = RtT+ tjkflsm (Ч — Ik) Rrs, m- F)
P
Чтобы перемещения были однозначными, интегралы J dui или
Lj должны быть не зависящими от пути интегрирования. Это
условие равносильно требованию, чтобы криволинейный инте-
р
грал Г Ujr dln взятый вдоль произвольной замкнутой кривой С
Рс
в области V-\-А, был равен нулю.
Из § 1.11 известно, что это условие приводит к соотношению
W/r.i. = 0. xeF+Л. G)
Для дальнейшего будет удобным следующий вид уравнения G)
(уравнения A1) § 1.11):
вг/, kk + Чи, it — Rik, ik — в/ k, ik = 0- (8)
Итак, имеем систему уравнений A) с граничными условиями
B) и систему шести уравнений (8). Если теперь в уравнения
(8) подставить соотношения Дюгамеля — Неймана
е„ = at6t,Q + 2ц'а„ + Щакк, (9)
то после выполнения тех же преобразований, что и в § 4.4, по-
получим систему шести дифференциальных уравнений эллиптиче-
эллиптического типа
A0)
Решение системы уравнений A0) с учетом граничных условий
B) приводит к определению напряжений. Деформации гц най-
найдем по. формулам (9), а перемещения щ — путем интегрирова-
интегрирования соотношений
«ty = |-(«(./ + «/,<)- (И)
8/3. Уравнения термоупругости в напряжениях 487
Заметим еще, что принадлежность деформаций классу С2
обуславливает принадлежность функций оц и 0 тому же самому
классу функций. Это следует из уравнений (9) или A0). Мас-
Массовые силы должны принадлежать классу С1. Кроме того, вы-
выполнены условия, при которых была доказана теорема един-
единственности решения в § 8.2, а именно, что оц и и, должны быть
класса С1.
К уравнениям в напряжениях A0) можно прийти и путем
преобразования уравнений в перемещениях1)
/ + (Л + 1*)и/./» = уе.(. A2)
Принимая во внимание соотношение A1), имеем
)вм>1/ = ув,//. A3)
Подставляя в A3) выражения (9), получим
A4)
'kk + 2(Ш< @'/ + б'>9' **) = 0>
Свертывая уравнения A4), приходим к соотношению
Из уравнений A4) и A5) получаем окончательно уравнения в
напряжениях
+ ) (a. i ЗЯ + 2ц , Q \ n ЛАч
9,1, + -rj^ M, fcfc = 0. A6)
Особенно простой вид уравнений A6) мы получим для темпера-
температурного поля без источников. Поскольку 0,^- = 0, из уравнения
A6) следует, что
*2 = 0. A7)
Сумма нормальных напряжений является гармонической
функцией. Система уравнений A6) упрощается и имеет вид
^ = 0, A8)
Если к уравнениям A8) применить оператор Лапласа и принять
во внимание формулу A7), то
= 0. B0)
') Ignaczak J., Direct Determination of Stresses from Stress Equations of
Motion in Elasticity, Arch. Mech. Stos., 11, № 5 A959).
Гл. 8. Дисторсия в теории упругости
Составляющие тензора напряжений являются бигармоническими
функциями. Каким должно быть распределение температуры,
которое не вызывало бы в теле напряжений? Подставляя оц=0
в уравнения равновесия A) и граничные условия B), видим, что
эти уравнения удовлетворяются. Подставляя Oij sO в уравне-
уравнения A8), получаем
e(i/ = 0> i, /=1, 2, 3. B1)
Эта система уравнений будет удовлетворена, если распределе-
распределение температуры линейно:
B2)
Деформации ец на основании формул A0) принимают значения
B3)
Перейдем теперь к формулировке задачи термоупругости в
напряжениях в многосвязной области.
Сначала рассмотрим двусвязную область (рис. 8.1) и в ней
составляющие вектора перемещения и поворота в точках Ро и Р.
Перемещения были выражены криволинейным интегралом Че-
заро D). Для нахождения составляющих поворота поступаем
так. Учитывая, что
@/ft = Y ("/.ft— "ft. Д
получаем дифференцированием выражения D)
р
ajk = to^ •+ Г «yw«/smerj m d%r. B4)
Ро
Вводя вектор поворота o = -2-rotu, или
«р = у ?р*/Ю/а, B5)
получим требуемое выражение
р
ее dt . B6)
psrn rs, m «V Л v/
Ро
Следует рассмотреть условия однозначности перемещений в
двусвязной области, другими словами, условия независимости
криволинейных интегралов D) и B6) от пути интегрирования1).
') Боли Б., Уэйнер Дж., см. список литературы.
8.3. Уравнения термоупругости в напряжениях
489
Так как область двусвязна, мы не можем применять преобразо-
преобразования Сюкса, ибо в двусвязной области не на каждую замкну-
замкнутую кривую С можно натянуть поверхность 5, лежащую целиком
в V + A. Поэтому мысленно рассечем область V -\- А, вводя по-
поверхность В и сводя двусвязную область к односвязной. В об-
области V = V + А—В проведем кривую от Ро до Р так, чтобы
она не пересекала поверхность В. В такой области, как в одно-
связной, справедливы условия геометрической совместности G)
или (8).
РИС. 8.1.
РИС. 8.2.
Нам остается обеспечить непрерывность перемещений при
переходе через поверхность В, наложив дополнительное условие.
Рассмотрим интегралы
р+
L, (Р~) = J U,r dlr, L, (Р+) = J Ulr dlr.
B7)
Здесь мы обозначили через ( + ) и (—) две стороны разреза В,
а через Р+ и Р~~ — точки на этих сторонах, лежащие друг про-
против друга (рис. 8.2). Значения этих интегралов, а потому и пе-
перемещений определены однозначно, хотя не обязательно совпа-
совпадают.
Заменим теперь путь PqP+ путем от Ра до Р~, а затем кри-
кривой С, соединяющей точку Р~ с точкой Р+. Имеем тогда
f uirdir= J ulrdir
или
B8)
490 Гл. 8. Дисторсия в теории упругости
Точно так же для другой точки D, лежащей на В, имеем
L} (D+) - L} (D") = j U,r d%r. B9)
с
Если через С обозначить кривую, проходящую от D+ до D~ и
окружающую отверстие, то правые части уравнений B8) и B9)
одинаковы, ибо замкнутую кривую С можно провести так, что-
чтобы, выходя из D~, она проходила по поверхности В до Р~, далее
доходила до Р+ вдоль кривой С и, наконец, проходила по поверх-
поверхности В до точки D+. Если функции Ujr (г = 1,2, 3) однозначны,
то интегралы по путям D~P~~ и P+D+ взаимно уничтожаются и
правые части B8) и B9) совпадают. Аналогичные рассуждения
можно провести для произвольной кривой С, целиком лежащей
в V + А и пересекающей поверхность В. Левые части B8) и B9)
должны быть равны нулю в силу требования непрерывности
перемещений на В. Таким образом, приходим к условию
Ulrdlr = 0. C0)
с
Аналогичные рассуждения можно провести для функции
р
J tpsmSrs. mdlr-
Ро
Условие непрерывности вектора поворота требует, чтобы на
кривой С было выполнено условие
^psnfirs.mdlr — 0. C1)
с
Эти рассуждения можно обобщить на (N + 1)-связную об-
область. Такая область N разрезами Ва (а = 1, 2, ..., JV) может
быть сведена к односвязной области. При решении задач термо-
термоупругости в напряжениях пользуются следующими уравнениями:
а) уравнения равновесия
ff/,t/ + ^ = 0> хеУ, C2)
б) граничные условия
pl = a,inj, хеД C3)
в) геометрические условия совместности
V» Vе"-тп = °' Х ^ V + Л>
8.4. Пространственные стационарные задачи термоупругости 491
г) дополнительные условия
lsm (** — Ы «г,, m]d%r = О,
/ [«/г +
J
gr = O, <z=l, 2 N.
Кривые Са (а = 1, 2, ..., N) являются замкнутыми в V + Л, и
каждая из них пересекает только одну поверхность Ва.
Подстановка выражений (9) для деформаций сводит условия
C4) к системе уравнений A0).
Так как деформации являются линейными функциями на-
напряжений и температуры, то под знак интеграла в уравнениях
C5) входит температура.
Рассмотрим (N + 1)-связное тело, которое на поверхностях
А, Ва (а = 1, 2, ..., N) свободно от нагрузок. Исследуем, мо-
может ли линейное распределение температуры в таком теле вы-
вызвать напряженное состояние. Убедимся, что для оц = 0 при
^i = 0, хеУ, pi = 0> xe(/1, Ва) и линейного распределения
температур 0 = а0 -\- a^i удовлетворяются уравнения C2), C3)
и C4). Следует проверить, удовлетворяются ли уравнения C5)
для оц = 0, хе V и гц = a<06ij. Эти уравнения принимают вид
Об)
tT = 0, a=l, 2, ..., N.
Легко убедиться, что линейное распределение температур 0 =
= aa-\-a.iXi удовлетворяет этим уравнениям. Таким образом,
мы получили более общую, чем раньше, теорему, которая утвер-
утверждает, что линейное распределение температур не вызывает на-
напряжений в многосвязном теле, не нагруженном на границах
области.
Формулировка задачи термоупругости в напряжениях имеет
важное значение для двумерных задач термоупругости.
8.4. Пространственные стационарные задачи термоупругости
В этом параграфе мы рассмотрим несколько характерных
примеров, которые решим в перемещениях. Читателей, интере-
интересующихся более детально проблематикой термоупругости, мы
492 Гл. 8. Дисторсия в теории упругости
отсылаем к обстоятельным монографиям по этому пред-
предмету 1).
Мы начнем наши рассмотрения с очень простого примера, а
именно с действия сосредоточенного в точке источника тепла
интенсивности до, помещенного в бесконечном упругом простран-
пространстве в начале координат. В этом случае определение потенциала
термоупругого перемещения Ф приводит к окончательному реше-
решению. В нашей задаче необходимо решить уравнения
у*В-- Y-fi(x), V2O> = /ne A)
в бесконечном пространстве. В силу сферической симметрии
поля температур и функции Ф мы имеем дело с одномерной за-
задачей, в которой независимой переменной является радиус R.
В сферической системе координат (R, #, ф) уравнения A) пе-
переходят в уравнения
Решением уравнения B) является функция
w
e = _?_i ибо V2 -?¦)¦ 4я6(Д). D)
Решение уравнения C) с подстановкой значения 0 из формулы
D) принимает вид
Q)(R) = AR, Л = -?^-. E)
Знание функции Ф позволяет уже определить напряжения.
В сферической системе координат получаем
F)
Поместим источник тепла в точку 1 и положим w = 1. Тогда
ф(*. а-тйя
R(x, l)
1) Мелан Э., Паркус Г., Термоупругие напряжения, вызываемые стацио-
стационарными температурными полями, Физматгиз, М., 1958.
Боли Б., Уэйнер Дж., см. список литературы.
Новацкий В., Вопросы термоупругости, Иэд-во АН СССР, М., 1962.
8.4, Пространственные стационарные задачи термоупругости 493
Напряжения и перемещения, возникающие вследствие действия
этого единичного сосредоточенного источника тепла, опреде-
определяются по формулам
Получаем
U гч m Х1~
Функции ajy, aj следует трактовать как функции Грина задачи
для бесконечного упругого пространства.
Если в бесконечном упругом пространстве источники тепла
ш(х) занимают область V, то вызванные этими источниками
перемещения и напряжения находим по формулам
ut(x)= /ш (?)«*(!, x)dV(%),
V
, (Ю)
oli(x)= jwa)o'it(l,x)dV(l).
V
Во втором примере мы займемся напряженным состоянием
в упругом полупространстве лг3^0, вызванном нагревом плоской
области Г, лежащей в плоскости хъ = 0. Следовательно, нужно
решить стационарное уравнение теплопроводности
V20 = O A1)
с граничным условием
Q(xux2,0) = f(Xl,x2) на Г, A2)
а затем систему уравнений в перемещениях
И"г-,// + (^ + Ц)"/.Я = У0.г A3)
с граничными условиями
<т13 = 0, 023 = 0, 0зз = О при *3 = 0. A4)
Следует дополнительно предположить, что при (х\-\- х\-\- х§-+
—> оо напряжения и температура равны нулю. Решение уравне-
уравнений в перемещениях будем искать с помощью представления
Папковича — Нейбера ')
R.i|>) — 4A— v)i|), A5)
l) Sternberg E., Mac Dowell E. L., On the Steady-state Thermoelastic
Problem for the Half-space, Quart. Appl. Math., 14 A957).
494 Гл. 8. Дисторсия в теории упругости
где функции Ф, г? должны удовлетворять следующим уравне-
уравнениям:
= 0. A6)
Решим вначале вспомогательную задачу. А именно определим
температуру 0 и напряжения оц, вызванные действием темпера-
температуры }(хи х2) = Э05(лг])б(д:г) в плоскости х$ = 0. Эта задача ха-
характеризуется цилиндрической симметрией. В цилиндрической
системе координат (г, ф, z) следует решить стационарное урав-
уравнение теплопроводности
V20>, 2) = 0 A7)
с граничным условием
§(г, О) = 0о-|?г A8)
и условием 0=0 на бесконечности. Решением уравнения A7)
является функция
A9)
Для определения перемещений йг, йг достаточно знать функ*
дии Ф и г|K = ф. В цилиндрической системе координат (г, <р, z)
примем вектор перемещения в виде
—4A—v)l3i|>, B0)
где i3 — орт оси г. Мы имеем
Ф = Ф(г,г), г|), = 0, ^ = 0, г|K = ijj (r, г).
Уравнения A6) переходят в уравнения
Граничными условиями для уравнений B1) являются равенства
дгг(г,0) = 0, 6z2(r,0) = 0. B2)
Величины 6zr(r, 0) и 6zz(r, 0) следует выразить с учетом соотно-
соотношений B0) через функции Ф и \jj.
8.4. Пространственные стационарные задачи термоупругости 495
Решением уравнений B1) являются функции
B3)
Зная функции Фиф, можно определить напряжения
_2МЬ_ _9„ай F_J L.1
R(R + z)' CTw ~ Zfip0° L Л (Л + г) Я3 J' B4)
0
°rr ~
Интересно, что составляющие тензора напряжений azz, arz равны
нулю. Поэтому мы имеем дело с плоским напряженным состоя-
состоянием, в котором напряжения aFr, аФФ зависят от переменных z
и г.
Перейдем от цилиндрической системы координат к прямо-
прямоугольной декартовой системе координат х\, х2, *3 и возьмем
функцию Дирака не от начала координат, а от точки (|ь |2, |з)-
Полагая далее 8о = 1, получим следующую функцию Грина:
х3 , 2 г х3
х3 , 2 г х3
B5)
= "S" (*1 — Si) (*2 — 12) [^ - ]
Здесь
Зная функции Грина B5), мы можем решить общую задачу,
сформулированную ранее. Если в конечной плоской области Г
на границе хъ = 0 задана температура 0(*i, x2, 0) = /(л;1, х2), то
напряжения, вызванные ее действием в полупространстве х3^-0,
выражаются формулой
хз
) = J J f Ep SaH!/ (*р *2- ^5 Sp ^2> °) dh dl2- B6)
В частном случае, когда Г является прямоугольником
—ai<Xi<a\, —а2<Х2<а2 и /=1 — величина постоянная,
из выражения B6) тотчас получаем следующие формулы для
496 Гл. 8. Дисторсия в теории упругости
напряжений:
. B7)
+ arctg 1"> + X>\X> +arctg jfl2 + x>\x* - arc tg a>-x* -
, a2 — x2 , a2 + x2 , a2 + л:, 1
— arc tg —=-:—- — arc tg -*—.—- — arc tg - ,
S fll +Xi S fl, +ЛГ, 5 flj — Xi J '
Здесь
Заметим, что при приближении к углам прямоугольника (гг—*0,
i= 1, 2, 3, 4) напряжение ог12 стремится к бесконечности.
В плоскости х3 = 0 напряжение ст22 имеет конечный разрыв
(скачок) на границах х\ = ±а\ прямоугольника; аналогично
напряжение стц претерпевает разрыв на границах х2 = ±а2 пря-
прямоугольника. Плоское напряженное состояние возникает в упру-
упругом полупространстве также при наличии на границе х3 = О
источников тепла *). Однако оказывается, что в случае закреп-
закрепленного упругого полупространства (например, при граничных
условиях и3 = 0, ог31 = 032 = 0 при х3 = 0) напряжения ct3j(/ =
= 1, 2, 3) отличны от нуля.
Напряженное состояние в упругом слое, нагреваемом по гра-
границе, исследовали Лурье2), а также Снеддон и Локкет3). Они
показали, что если граница не нагружена, то в упругом слое
возникает плоское напряженное состояние.
Рассмотрим теперь установившийся приток тепла и вызван-
вызванное им напряженное состояние в упругом пространстве вокруг
') Э. Мелан, Г. Паркус. loc. cit. стр. 492.
Sneddon I. N., Tail R. J., On Lure's Solution of the Equations of Thermo-
elastic Equilibrium, Problems of Continuum Mechanics, Philadelphia, 1961.
2) А. И. Лурье, loc. cit. стр. 230.
3) I. N. Sneddon, F. J. Lockett, loc. cit. стр. 24J,
8.4. Пространственные стационарные задачи термоупругости
497
сферической полости !) (рис. 8.3). Пусть тепловой поток на всей
поверхности от — оо до ¦+ оо имеет постоянный градиент т. Пре-
Преграда в виде сферической полости изменяет постоянный поток
вблизи полости. Если поток направлен по оси г, то распределе-
распределение температур выражается в сферической системе координат
(R, фг •&) следующей формулой:
или
2Я2
ra3z
cosft,
B8)
B9)
Функция B8) удовлетворяет уравнению притока тепла с усло-
условием (dd/dR)R=a = 0. Поэтому она пригодна для случая тепло-
теплоизолированной границы R = а.
Распределение температур ха-
характеризуется осевой симметрией
относительно оси г. Из формулы
B9) видно, что на значительном
расстоянии от границы полости
второй член оказывает неболь-
небольшое влияние. Распределение тем-
температур является стационарным
(8 « тг), а градиент температу-
температуры равен т.
Из уравнений, выведенных в
§ 8.3, мы видим, что линейное
распределение температур в од-
одно- или многосвязном теле не
вызывает напряжений. Так как первый член в уравнении B8)
линейный, то влияние на напряжение будет оказывать только
второй член
Т/7 ^
e
РИС. 8.3.
Приступая к определению напряжений, предположим, что гра-
граница R = а свободна от сил. На первом этапе решения задачи
мы разыскиваем частное решение уравнения
= /п8„ C1)
где
R2 dR \
dR
1
Я2 sin*
!) Florence A. I., Goodier J. N., Thermal Stresses at Cylindrical Cavities
Circular Holes in Uniform Heat Flow, /. Appl. Meek., 26 A959).
498 Гл. 8. Дисторсия в теории упругости
Легко показать, что этим решением является функция
C2)
Напряженное состояние а' определяем по формулам
9 9 \ А П^
<JM = *V'{R dR(D + R д&Ф— m9,) = - -^-cos ft,
C3)
фф =ц Ог'<ЭлФ + ctg Ь дьФ — тб,) = - ~ cos #,
На границе R = а отличны от нуля напряжения o'RR и ст^,. Мы
имеем
o'RR = — 2/lcos#, o^ = -/lsin#. C4)
Поэтому к напряженному состоянию а' следует добавить со-
состояние а" и выбрать его так, чтобы на границе R = а были
выполнены следующие граничные условия:
0^+0-^ = 0, о^+о& = 0. C5)
Перемещения и" выразим через функцию Буссинеска (§ 5.20,
формулы B9)):
Щ = dR% — 4 A — v) фр + dR (Rpty),
l () ] C6)
где функции х и 'Ф являются гармоническими функциями, выра-
выраженными через функции Лежандра #~(n+1)/>n(cosf>).
Ввиду простого вида напряжений о' для дополнительного ре-
решения достаточно одной функции х- Поэтому, используя фор-
формулы D3) § 5.20 для внешней задачи, получим для гармони-
гармонической функции 5С с учетом условий C5) следующее выражение:
Определяя напряжения, связанные с функцией х. и добавляя
К этим напряжениям величины C3), окончательно получим на-
8.5. Двумерные стационарные задача термоупругости 499
пряжения
aRR = 2 A (-J-J- - -|й-) cosfl,
<тФФ = <г« Л (-g- + -g-) cos О, C8)
Л (-^- — -^!-) sin О.
Напряжения стдд, аФФ, ам равны нулю в плоскостях •& = я/2,
Зя/2, а напряжения стд^ исчезают в плоскостях # = 0, я. Макси-
Максимальные значения напряжений стфф, о^ возникают в точках А
и В, причем в точке А мы имеем сжимающее напряжение, а в
точке В — растягивающее напряжение со значением
Наибольшее значение напряжений стлл и Стд^ получается для
R/a= l/2l
ix = — -g" COS ¦&, [dfifllmax = — у Sin ft.
8.5. Двумерные стационарные задачи термоупругости
Рассмотрим изотропное и однородное упругое тело, в котором
в силу изменения температуры возникло поле перемещений
u = (mi, м2, 0), зависящее только от двух переменных Х\ и Хг-
Для равновесного термодинамического процесса уравнение при-
притока тепла имеет вид двумерного уравнения Пуассона
? = -JL, e-eu,, x2). A)
Такое поле может возникнуть в бесконечном упругом простран-
пространстве в силу действия источников тепла, распределение которых
не зависит от неременной х3. Оно может возникнуть также в бес-
бесконечных цилиндрах с осью, параллельной х%, нагретых на боко-
боковой поверхности способом, не зависящим от переменной х3.
В рассматриваемых ниже случаях мы будем иметь дело с
плоским деформированным состоянием, для которого состав-
составляющие тензора деформаций е;-з (/ = 1, 2, 3) равны нулю.
Связь между напряжениями и деформациями задается с по-
помощью соотношений Дюгамеля — Неймана
aii = 2nelj + (XBkk — Y9Nl7, I, j, k = 1, 2, 3. B)
Так как в плоском деформированном состоянии е^з = 0, / =
= 1, 2, 3, то напряжения о^з и оц равны нулю. Вместо шести
500 Гл- 8. Дисторсия в теории упругости
соотношений B) мы получаем четыре:
оар = 2цеар + (ке — уЭNар, е = е,1 + е22> а, Р=1,2, C)
а33 = Хе — у9. D)
Разрешим соотношения B) относительно деформаций. Тогда
i i (")
О*А=Оц +^22 + ^33-
Так как 6^ = 0, то
е33 = 0 = а,9 + Bц' + Я') а3з + Л' (а,, + аи). F)
Исключая из формул E) и F) величину о33, получим зависи-
зависимости
еар = A + v) а,96ар + 2ц' (аар - vs6ap),
S = Crll + ^22-
Уравнения C), D) и G) представляют собой зависимости ме-
между составляющими тензоров напряжений и деформаций для
плоского деформированного состояния.
Если напряжения стар подставить в уравнения равновесия
Ча.р = 0 (8)
и воспользоваться соотношениями C) и D), а деформации вы-
выразить через перемещения
8ag == ~? \иа, р Т" мр. а)>
то в результате получим систему двух уравнений в перемеще-
перемещениях:
p4-(^4-M-)«p,pa = Y9.a- (9)
Решение этой системы уравнений представим в виде суммы двух
решений: частного решения и'а = Ф а системы неоднородных
уравнений (9) и общего решения «"однородных уравнений:
Подставляя и'а = Ф_а в систему уравнений (9), получим
[(Х + 2ц)Ф,аа-у91,а = 0. A1)
8.5. Двумерные стационарные задачи термоупругости 501
Интегрируя эти уравнения по ха, для определения термоупру-
термоупругого потенциала Ф получим следующее уравнение:
V?<D = m9, A2)
где
Остановимся немного на уравнении A2). Если тело ограни-
ограничено, то уравнение A2) можно решить, принимая как можно
более простое граничное условие, например Ф = 0 на границе.
В случае неограниченного тела частное решение уравнения A2)
является окончательным решением задачи термоупругости.
В этом последнем случае имеем
Ф(х„ х2) = -?$ Je(ilf I2)\urdhdl2. A3)
(Г)
Здесь
— расстояние между точками (х\, х2) и (|ь Ъ,2). Решение A3)
можно использовать также в качестве частного решения для
случая ограниченного тела.
Знание функции Ф позволяет определить функции и'а, е^,
о'а$- Последовательно получаем
< = Ф.а> <Р = Ф,аР> е'=г'и + г'22 = ^Ф A4)
а,Р, у = 1, 2, A5)
1уу2цтЭ. A6)
Заметим, что напряжение о'лз = — 2\itnQ пропорционально тем-
температуре.
В случае ограниченного тела к полю и'а следует добавить
поле и", удовлетворяющее системе уравнений A0). Система
уравнений A0) относится к изотермическому состоянию тела;
перемещения и"а зависят от граничных условий задачи. Для ре-
решения этой cncTeiMbi уравнений мы применим методы теории
упругости, подробно обсужденные в гл. 6. Мы можем применить
здесь функции Папковича — Нейбера, Галеркина либо функцию
Эри. Дадим еще другой подход. Выразим напряжения через
производные некоторой функции %(хи х2):
Оа$ = (ба^ — дадр)х, а, Р = 1, 2, A7)
A8)
502 Гл- 8- Дисторсия в теории упругости
Легко проверить, что определенные так напряжения сгар удо-
удовлетворяют уравнениям равновесия (8). Подставляя соотноше-
соотношения A7) в уравнения совместности
<Э|еп +^ = 2^8,2, A9)
получим для определения функции % уравнение
vMx + -T=vV?e = 0, B0а)
или
К этому уравнению следует добавить граничные условия. Легко
проверить, повторяя рассуждения § 6.2, что для тела, свобод-
свободного от нагрузок, должно быть
Х = 0, -fj- — 0 B1)
на границе тела.
Рассмотрим частный случай бесконечного односвязного ци-
цилиндра, в котором существует поле температур без источника.
В этом случае уравнение B06) становится однородным; при
однородных граничных условиях B1) ему удовлетворяет функ-
функция х = 0 в каждой точке цилиндра.
Согласно зависимостям A7) и A8), получаем
% = 0, а, р = 1, 2, а33 = - 2цт9. B2)
Напряженное состояние описывается только одной составляю-
составляющей стзз. пропорциональной распределению температур. Эту за-
зависимость впервые заметил Мусхелишвили (см. список литера-
литературы) .
Рассмотрим плоское напряженное состояние в пластинках.
Пусть срединная плоскость пластинки совпадает с плоскостью
х3 = 0, а плоскости х3 = ±h, ограничивающие пластинку, теп-
теплоизолированы. В таком состоянии нагревание боковой поверх-
поверхности пластинки вызовет в ней температурное поле и поле на-
напряжений аар, которые можно приближенно считать не завися-
зависящими от хъ. И температуру 0, и напряжения стар (а, р= 1, 2)
мы трактуем как средние значения по толщине пластинки.
В плоском напряженном состоянии (ср. с § 6.3) составляю-
составляющие а)ъ (/'= 1, 2, 3) равны нулю. Точно так же и ei3 = О,
егз = 0. Поэтому, исключая из системы уравнений B) величину
8.5. Двумерные стационарные задачи термоупругости 503
взз Ф 0, получим следующий вид соотношений Дюгамеля — Ней-
Неймана:
]>
\16)
е = еп + е22, а, р=1, 2.
Если напряжения aap подставить в уравнения равновесия (8), а
деформации выразить через перемещения, то в результате полу-
получим следующую систему уравнений:
"a.PB + 4^T«P.Pa = 1V^-a(e,a- «,0=1, 2, B4)
отличающуюся от уравнений (9) только коэффициентами. Част-
Частное решение уравнения B4) находим из уравнения Пуассона
V2<D = mo9, < = Ф,а> /no = (l + v)a,. B5)
К решению и'а следует добавить общее решение ы? системы од-
однородных уравнений
Другой способ решения основан на введении функции Эри и ис-
использовании уравнений совместности. Вводя в уравнения сов-
совместности функцию х согласно формуле A7), получим уравнение
? 0, B7а)
или
, , Еа.О
VM-X ?-. B76)
Это уравнение отличается от уравнения B06) только коэффи-
коэффициентом при Q. Если в односвязной и свободной от нагрузок на
боковой поверхности пластинке существует поле температур без
источников (Q = 0), то ввиду однородности уравнения B76) и
граничных условий (х = 0, х, п = 0) функция х равна нулю в
каждой точке пластинки. Тем самым все составляющие напря-
напряженного состояния равны нулю. Пластинка свободно деформи-
деформируется.
Уравнение
= —^~ B8)
с условиями
v = П $%- — П OQ}
504
Гл. 8, Дисторсил в теории упругости
на границе пластинки, соответствующее действию источников
тепла в односвязной ограниченной и свободной от нагрузок на
границе пластинке, обнаруживает известное сходство с другим
дифференциальным уравнением плоского напряженного состоя-
состояния. Это уравнение изгиба плиты средней толщины, нагружен-
нагруженной перпендикулярно срединной плоскости1):
S2Mw=jf. C0)
Здесь w — прогиб плиты, q(x\, х2)—нагрузка, N—жесткость
плиты на изгиб. Если плита односвязна и защемлена на гра-
границе, то
» = о. 4f=° CD
на границе плиты.
Аналогия между дифференциальными уравнениями B8) и
C0) и граничными условиями B9) и C1) хорошо видна. Опре-
РИС. 8.4.
деление функции х в пластинке, находящейся в температурном
поле, удается свести к определению прогиба плиты (той же са-
самой формы, что и пластинка), защемленной на границе. Пред-
Представленная здесь аналогия была высказана Дюба2) и распро-
распространена на квазистатические задачи Треммелем3).
Рассмотрим еще важный в технике случай пластинки, в пло-
плоскостях х3 = ± h которой происходит свободный теплообмен.
На рис. 8.4 показан элемент пластинки в виде параллелепипеда
со сторонами основания &х\, Ах2 и высотой 1h. Через боковую
грань 2hAx2, лежащую в плоскости gi = x\, внутрь рассматривае-
рассматриваемого элемента проникает количество тепла
AQXl = - А
2АДх2.
4) Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С, Пластинки и оболочки
«Наука», М., 1966.
2) Dubas P., Calcul numerique des plaques et des parois minces, Zurich
1955.
3) Tremmel F., Ober die Anwendung der Plattentheorie zur Bestimmung
der Warmespanungsfeldern, Osterr. fng.-Arch., 11, № 3 A957).
5.5. Двумерные стационарные задача термоупругости 505
Аналогично через грань 2hAx2, лежащую в плоскости gi =
= х\ + A*i, внутрь элемента проникает количество тепла
\П Ч ии V-Ч "Г "-Ч, х2, л3> п, .
ЧСХ,+ ДХ, ^д-1 2
На основании теоремы о конечных приращениях получим
Д(^Х| -|~ Д^Х]+ ДХ] ^= А —' п 2,h Дх2 Д^1>
Аналогично количество тепла, проникающее через грани
в сечениях тц = х2 и т]2 = х% + Дх2( выражается соотношением
ЛЛ 1ЛЛ ч
дх\
На гранях хз — ±h происходит обмен тепла, причем количество
тепла, отдаваемое вовне, равно
В последней формуле 0О является температурой окружающей
среды, a k' — коэффициентом внешней теплопроводности. Так
как мы имеем дело со стационарным потоком, то количество
тепла, содержащееся в элементе, должно быть постоянным;
итак, количество тепла, проникающего внутрь элемента, должно
равняться количеству тепла, отдаваемому по плоскостям х% =
= ± h. Из теплового баланса находим уравнение
ш га2е<х,+^„х2,х3) + дЩxl,x2+J2^x2,x3)^ = ^ {Q _ Q^
dxj дх,
2
После предельного перехода, сделав предположение о непрерыв-
непрерывности производных функции 0, находим стационарное неоднород*
ное уравнение теплопроводности
V?8 —Э2(в —во) = О, Р2 = ^-- C2)
Это уравнение можно еще упростить. Вводя новую функцию
Т = 0 — 0о, находим из уравнения C2)
\]gr = pV. C3)
Здесь мы воспользовались тем, что температура окружающей
среды постоянна, и потому Vi6o = O.
Перейдем к определению напряжений в пластинке, предпо-
предполагая свободный теплообмен по плоскостям х3 = ± h. Частное
506 Гл. 8. Дисторсия в теории упругости
решение Ф уравнений равновесия определяем из уравнения Пу-
Пуассона
У*Ф = /пов, /no = (l + v)a,. C4)
Подставим в уравнение C4) соотношение 6 = ^"-|-6о; получим
У?Ф = то {Г + во). C5)
Если мы ограничимся односвязной пластинкой, то можем исклю-
исключить в последнем уравнении член тв0. Так как поле 60 постоян-
постоянно, оно в силу теоремы Мусхелишвили не вызывает напряже-
напряжений в пластинке. Итак, мы пользуемся для определения напря-
напряжений только уравнением
C6)
Принимая во внимание уравнение C3), представим уравнение
C6) следующим способом:
vi^ рг у1^ • \о1)
Частным решением уравнения C7) будет функция
* = f-r- C8)
Так как
иа = ®, а =~№~^, а' 8а0 ~~W ^, ар>
то напряжения можно выразить формулой
ag, °ap^, VY' == ~р \У , ар
ap = R2 V^ , ag, °ap^, VY' == ~р \У , ар
Дополнительные напряжения а"р находим с помощью функции
Эри F", решая чисто упругую задачу, причем эти дополнитель-
дополнительные напряжения даются формулами
Вернемся еще раз к неоднородному уравнению в случае темпе-
температурных напряжений в пластинке. Оно имеет вид (формула
B7а))
VfVf + ?V?e = 0.
К этому уравнению присоединим граничные условия, которые в
предположении односвязности пластинки и отсутствия нагрузок
на границе принимают вид
|J O. D0)
8.5. Двумерные стационарные задачи термоупругости 507
Тогда для пластинки с обменом тепла по плоскостям х3 = ± h
уравнение B7а) принимает вид
?a(p2(e-e0) = 0. D1)
Это — неоднородное уравнение с однородными граничными ус-
условиями х= О. д%/дп = 0. Функция % отлична от нуля, и в
пластинке существует напряженное состояние оар, хотя темпе-
температурное поле не имеет источников. Эти напряжения равны
нулю только тогда, когда f> = 0, т. е. когда коэффициент внеш-
внешней теплопроводности равен нулю. Но в этом случае мы имеем
дело с тепловой изоляцией по плоскостям, ограничивающим
пластинку.
Для решения осесимметричных задач довольно удобным ста-
становится метод Майзеля. В цилиндрической системе координат
(г, ф, г) для плоского деформированного состояния отличны от
нуля перемещение иг, деформации егг, ефф и напряжения агг,
ф, Оц- Перемещение иг(г) дается формулой
ь
ur{r) = jr J в(р)в(р, r)pdp. D2)
a
Эта формула справедлива для бесконечного полого цилиндра
внутреннего радиуса а и наружного Ь. Функция 0(р, г) озна-
означает дилатацию цилиндрической поверхности радиуса р, вызван-
вызванную действием единичной радиальной нагрузки, равномерно
распределенной по поверхности радиуса г (а<С.г<С.Ь).
Для решения двумерных задач термоупругости успешно при-
применяется также метод функций комплексной переменной ').
Приведем несколько простых примеров решения двумерных
задач термоупругости. Начнем с наиболее простого примера, а
именно нагревания полого цилиндра осесимметричным обра-
образом2). Для определения перемещения иг применим формулу
Майзеля D2). Обозначим через U радиальное перемещение, вы-
вызванное действием единичной радиальной нагрузки, приложен-
приложенной к цилиндрической поверхности р =г. Для определения
этого перемещения нужно решить уравнение в перемещениях
г) + 6(р — г) = 0. D3)
Решением этого уравнения являются функции
U' = А\Р -4- А2р~\ в' = —-, 1 = 2Д, а < р < г,
-, „ о Р D4)
') Qatewood В. Е., Thermal Stresses in Long Cylindrical Bodies, Phil.
Mag., ser. 7, 32 A941).
2) В- М. Майзель, loc. cit. стр. 47Q.
508 Гл. 8. Дисторсия в теории упругости
где из граничных условий
*рр(Р. а) = 0, арр(р, Ь) = 0,
U' (г, г)= U" (г, г), арр {г, г) - а;р (г, г) = 1 D5)
определим постоянные
b2 il
< - а2) (Я + 2ц)
D{ — 2 (b2 - а2) (Я + 2ц) L' ~Г а2 (Я +
Подставляя в', 0" в уравнения D2), получим
]
ИЛИ
и r-m\l f'e rf ' (^i *¦ \\ 1
Последовательно определяем деформации и напряжения по
формулам
(?ЫГ Ur
егг = ^ • 8фф = >
огг = 2[хегг + Ке — \Q, aw = w
а22 = Яе — уВ, е = егг + ефф.
Окончательно для напряжений получим следующие формулы:
агг —
= -2рт 9(г) —-1 J
L a
9(p)prfp —
a
/9(p)pdpJ.
8.5. Двумерные стационарные задачи термоупругости 509
Мы получили довольно простые формулы, справедливые не
только для температурного поля, удовлетворяющего уравнению
теплопроводности, но и для разрывного распределения темпе-
температур в сечении цилиндра.
Рассмотрим частные случаи. Если Ь—* оо, то мы имеем дело
с цилиндрической полостью в неограниченной области. В этом
случае Л= 2(Я + 2ц) ' В'=0 и
D9)
стфф = - 2pm I 6 (г) - -L J 6 (р) р dp
огг = — 2\imQ(r).
¦]•
Заметим, что для г = а мы имеем иг = 0 и огг = 0. Для сплош-
сплошного цилиндра (т. е. для а = 0) имеем
о __2 т\-±- [В d — fe d]
L Ь2 о о J
Г If 1 Г ч 1
о«=~2цт 0(г) j- 6(p)pdp—7п- в(р)рdp I,
L r 0J 6 о J
ga = -2ti;n 9(r)- бгД ) /e(p)pdp .
L о J
На оси цилиндра имеем ur@) = 0, так как
ь
lim- [ 6(р)рф = 0
Ь "I
i-e(O)--F Je(p)prfP ,
о J
E0)
510 Гл. 8. Дисторсия в теории упругости
ибо
г
Г 0
Наконец, в частном случае b —¦ оо, а = 0 мы имеем дело с
бесконечной упругой областью, в которой действует осесиммет-
ричное температурное поле, не зависящее от переменных ф и г.
Соответствующие формулы получаем, подставляя а = 0 в фор-
формулы D9).
Предположим теперь, что в бесконечном пространстве задано
разрывное распределение температур
Q = e0H(a — r), E1)
где H(t)—функция Хевисайда, причем
1, г <а,
Из формул D9) получим для этого частного случая
а„ = - iitn% \Н (а - г) + ? Н (г - а)],
огг = — 2цпг%Н (а — г).
Заметим, что напряжения афф и агг претерпевают конечный раз-
разрыв на поверхности г = а. Напряжение атг и перемещение ит яв-
являются непрерывными функциями.
Пусть в полом цилиндре существует температурное поле,
удовлетворяющее граничным условиям
Решением однородного стационарного уравнения теплопровод-
теплопроводности
Р , 1 d
S.5. Двумерные стационарные задачи термоупругости
511
в этом случае будет функция
^1.
(b/a)
E3)
Подставляя 6(г) в соотношения D8), получим следующие фор-
формулы для напряжений:
ап = — пгцВ
firm ==
агг = —
E4)
2(Я + |
Радиальное напряжение является сжимающим (для 8о > 0) во
внутренней области полого цилиндра, принимая на границах
нулевые значения. Напряжения 0(рф и агг достигают своих мак-
максимальных значений на границах цилиндра.
Рассмотрим следующий пример, относящийся к полубеско-
полубесконечной пластинке х\ > 0. Пусть в точке {\\, 0) этой пластинки
действует сосредоточенный источник тепла единичной интенсив-
интенсивности. В силу аналогии с плитой используем известное решение
Мичелла ') для полубесконечной плиты, жестко закрепленной на
границе Х\ = 0 и нагруженной сосредоточенной силой единичной
интенсивности
E5)
Из аналогии уравнений B8) и C0) и граничных условий B9)
и C1) имеем
E6)
') Michell J. H., Proc. Lond. Math. Soc, 34 A902), 223.
512 Гл. 8. Дисторсия в теории упругости
Зная функцию х> вычисляем напряжения по формулам A7):
а,, = —\ 1п— хЦ-т 2\~
Од- ? — rf*- -I- ? "\2 r2l \
'2
а22 = — ¦
E7)
f „ /^i -Si jci +Ei \ I 2gi*2 ,o 62 ,
I r
где
Для jCi ^= 0 имеем
а22@, х.2) = -
Это напряжение зависит от х2 и |ь за исключением начала ко-
координат, где 022@,0) = Eat/(як) не зависит от |i. Представлен-
Представленная задача была решена другим способом Меланом и Пар-
кусом ').
Рассмотрим, наконец, случай кольцевой пластинки, в кото-
которой имеет место теплообмен на ее поверхностях х3 = ± h. Об-
Общее решение уравнения C3) имеет вид
^ = Л/о (Рг) +Я/Со (Рг), E8)
где /о(РО и /Со(Рг) — модифицированные функции Бесселя пер-
первого и третьего рода. Для кольцевой пластинки с внутренним
радиусом а и наружным b определяем постоянные Л и В из гра-
граничных условий
<F(a) = 8a, ST(b) = Qb. E9)
Напряжения в пластинке определим по формулам C9)
Так как напряжение о'гг должно исчезать на границах г = а
и г = Ь, то напряженное состояние а' следует дополнить напря-
') Э. Мелан и Г. Паркус, loc. cit. стр. 492.
8.5. Двумерные стационарные задачи термоупругости 513
женным состоянием а":
b(i--?)-»4'-¦?)]¦
где
В частном случае сплошной круговой пластинки (а = 0) в
решении E8) следует положить В = 0, поскольку функция
Ло(Рг) имеет особенность в начале координат. Постоянную А
определим из второго граничного условия E9).
Напряжения а'а* определим из формул F0), напряжения
аа'р —из Ф°РМУЛ F1) в предположении, что а = 0. Допустим,
что в этом случае мы имеем дело с всесторонним сжатием
Вернемся еще раз к задаче термоупругости в плоском дефор-
деформированном состоянии и обсудим необходимые и достаточные
условия существования в односвязном теле деформаций без на-
напряжений. Если в соотношениях G) между деформациями, на-
напряжениями и температурой положить аар = 0 (а, р = 1, 2), то
получим
е,, = (91ы1=A + v)a,9, &,,, = д2и2 = A + v)a,8,
(oz)
2е12 = д2ц, -f дхщ = 0.
Исключая из двух первых уравнений перемещения, получим
уравнение
(<э?+<э?)е=о. F3)
Температура должна удовлетворять уравнению Лапласа (тем-
(температурное поле не должно иметь источников). Далее из урав-
уравнения F2) следует, что
F4)
В этих соотношениях мы узнаем зависимости Коши — Римана.
Они показывают, что перемещение щ можно трактовать как
действительную часть, а перемещение и2 — как мнимую часть
комплексной функции
w(z) = ul(xux2)-\-iu2(xl,x2), г = хг+1х2. F5)
Так как температура 8 удовлетворяет уравнению Лапласа,
то функцию 6 можно трактовать как действительную часть
17 В. Ноаацкий
514 ("л, 8. Дисторсия в теории yripyaoctu
комплексной функции
Q(z) = Q(xl,x2) + iP(xbx2). F6)
Учитывая формулы F5) и F6), мы можем выразить соотно-
соотношение F2) в комплексном виде:
-^ = (l+v)a,Q(z). F7)
Если функция Q непрерывна во всей области, то
w = (\ 4- v)a, J Q(z)dz. F8)
В рассматриваемом случае перемещения и повороты должны
быть однозначными функциями. Рассмотрим далее разность
перемещений в точках 1 и 2 сечения цилиндра. Получим из фор-
формулы F8)
w
,B)
— а,<1>=A +v)a, J Q(z)dz.
Если в области сечения цилиндра выбрать замкнутую кривую
с, начало которой соответствует точке 7, а конец точке 2, при-
причем эти точки совпадают между собой, то требование однознач-
однозначности перемещений приведет к условию
Q (г) dz = 0. F9)
Это — достаточное условие для однозначности перемещений.
Рассмотрим далее поворот
со = у(<Э,и2 — д2щ). G0)
В силу третьего уравнения системы F2) имеем
со = —
Сопоставляя эти соотношения с двумя первыми уравнениями си-
системы F2), найдем, что
d,(o = —(I+v)a(d28, д2ш = A + v)a(di8. G1)
Разность поворотов со в двух точках / и 2 сечения цилиндра
выразится формулой
г
шB) _ ш<1> = J ((9,@ dxx + <92<0 dx2) =
f
г г
= A + v) щ J (- в, 2 dxx + 9,, dx2) = A + v) at f Ц- rfs.
8.5, Двумерные стационарные задачи термоупругости 5 ] 5
Разность поворотов пропорциональна количеству тепла <7A2>,
проходящему через кривую с, соединяющую точки 1 и 2. Если
в сечении цилиндра выбрать замкнутую кривую, то условие
однозначности юB) = со'1) приводит к зависимости
&-=r-ds = 0. G2)
J дп к *¦'
Функция со однозначна только тогда, когда выполнено условие
G2). Выполнение этого условия наступит только тогда, когда
в области, ограниченной замкнутой кривой, будут отсутствовать
источники тепла. Уравнение G2) представляет собой необходи-
необходимое условие однозначности перемещений и поворотов.
Рассмотрим простой пример температурного поля
Q = kz = k {x\ -(- ix2). (a)
Это поле удовлетворяет условиям F9) и G2). Перемещения
однозначны. Из формулы F8) имеем
отсюда
u,==Re(a>) = (l + v)aD(*f-*I).
Me = Im (а;) = A + v)atkxlx2.
Температурное поле1)
9 = - a In г, (в)
имеющее особенность в начале координат, не удовлетворяет
условиям F9) и G2). Эта особенность указывает на существо-
существование источника тепла в начале координат. Заметим, что тем-
температура, данная формулой (в), является действительной частью
комплексной функции
Q = — alnz = — a In r — a/qp, z — rei<f. (г)
Поэтому в соответствии с формулой F8) имеем
о; = —A +v)a,z(lnz— 1) = — A + v) atafet<f {\n r + iqp— 1). (д)
Отсюда
«! = — A + v)atar [(In г — 1) cos ф — <р sin<p],
и2= — A + v)a(ar[(lnr — ljsinqp + qpcosqp]. '
') Salzmann F., WSrtnespannungen und Deformationen in elastischen
Korpern bei ebenen stationaren Warmestromung, ZAMP, 3 A952),
If*
516 Гл. 8. Дисторсия в теории упругости
Переходя к полярной системе координат, из уравнений (е) на-
находим достаточно простые формулы для радиального иг и транс-
версального цф перемещений, а именно
ur = -{\ + v)atar{\nr— 1),
Перемещение ит однозначно; многозначность появляется в пе-
перемещении «ф. При полном повороте вокруг начала координат
значение «ф увеличится на Д«ф = — A + vJnarat- Отсюда вид-
видно, что однозначность перемещения и9 на какой-нибудь окруж-
РИС. 8.5. РИС. 8.6.
ности вокруг источника возможна только тогда, когда мы вво-
вводим в цилиндр напряженное состояние аар (а, р = 1, 2), кото-
которое должно согласовать перемещения. В то же время свобод-
свободная деформация цилиндра без напряжений возможна только в
цилиндре, разрезанном до источника тепла. Если этот разрез
мы выполним вдоль радиуса, то он при деформации раскроется
в виде клина (рис. 8.5).
Рассмотрим еще температурное поле
fi = —=Ar-1 (cos ф — isinqp), (з)
которое отвечает существованию диполя в начале координат.
Постоянная величина А связана с интенсивностью диполя. Так
как в силу формулы (&8)
w (z) = A + v) щА (In r + г'ф), (и)
то
«1 = A + v) щА In г, u2 = (l -\- v) щАц>. (к)
Перемещение и2 неоднозначно. Отсюда также видно, что при
обходе вокруг диполя перемещение и\ возвращается к исход-
исходному значению, в то время как перемещение и2 возрастает
на величину Лиг = 0 + уJяАос;. Состояние, в котором напря-
напряжения аа0 (а, р = 1,2) равны нулю, возможно только при раз-
разрезе упругого тела вплоть до диполя. На рис. 8.6 показана щель,
8.6. Квазистатические задачи термоупругости 517
сделанная по радиусу г до диполя. Эта щель имеет ширину
Дц2- Отсюда видно, что смыкание этой щели возможно только
путем приложения сил на поверхности щели.
Мы не обсуждаем двумерных задач термоупругости в мно-
многосвязной области. Интересующихся такими задачами читате-
читателей мы отсылаем к известной монографии Боли и Уэйнера (см.
список литературы).
8.6. Квазистатические задачи термоупругости
Мы часто встречаемся с задачами термоупругости, в которых
температурное поле изменяется очень медленно во времени.
В этом случае мы можем пренебречь инерционными членами в
уравнениях движения и трактовать задачу как квазистатиче-
квазистатическую.
Уравнения термоупругости для изотропного тела примут вид
(ср. уравнения A0) и A1) § 3.9)
/ +(Л + ц) «Л Л+ *1 = уб.ь (О
К этой системе уравнений следует добавить граничные и на-
начальные условия. Эти последние мы примем в виде 8(х, 0) =
= h(x),Ui(x,0)=gi{x).
Решение системы уравнений A) и B) будет складываться
из частных решений щ, 8, удовлетворяющих неоднородным урав-
уравнениям A) и B), и общих решений и'{, 9' системы однородных
уравнений
!*) «'/./! = уе;,. C)
Особенно просто определить частные решения уравнений A)
и B) в бесконечном упругом пространстве, в котором, помимо
источников тепла, действуют массовые силы, обладающие по-
потенциалом: X = р grad ¦&.
Система уравнений в перемещениях
= ?в1< E)
удовлетворяется, если положить
ut = Ф, i, u = grad Ф» F)
518 Гл. 8. Дисторсия в теории упругости
Подставляя формулы F) в E), получим уравнение
^Ф=.тв-±, cf = A+^ OT = -J-. G)
с\ р Я +2ц
Так как eftft = V^, то уравнение B) примет вид
_|.. (8)
Исключая из уравнений G) и (8) функцию Ф, для определения
поля температуры 9 получаем параболическое уравнение
VDО 2 17, Xj
х, х с, 1 +
т. е. уравнение, сходное по структуре с классическим уравне-
уравнением теплопроводности. Разница состоит в том, что вместо
коэффициента к мы здесь имеем коэффициент xi < х.
После определения температуры 8 из уравнения (9) вычис-
вычислим функцию Ф как решение уравнения G). Решение этого
уравнения имеет вид
ф(х Л=в L Г ni,t)dvg)
V
где
R = [(** - h) & - lilt' f F, t) = mQ (|, о —L # (i, t).
Зная функцию Ф, мы можем определить все составляющие поля
деформаций, и напряжений:
ut=Ot, fy = Oi,,
Теперь рассмотрим другой тип фундаментального решения:
действие сосредоточенной силы в неограниченном пространстве,
помещенной в начале координат. Действие этой силы вызывает
поле перемещений tii и связанное с ним поле деформаций1).
Представим массовые силы в виде
X = p(gradfl + rotX). A2)
Разобьем также вектор перемещения на потенциальную и со-
леноидальную части
A3)
*) Nowacki W., Green Functions for a Thermoelastic Medium (III) Bull
Acad. Poton. Scl., Ser. Sci. Techn., T3, № 4 A965).
8.6. Квазистатические задачи термоупругости 519
Подстановка соотношений A2) и A3) в уравнения A), B) в
предположении, что Q = О, приводит к системе уравнений
с, с, р
A4)
v2e — — ё — т1У2ф = о.
¦А '
Предположим, что в направлении оси xt в начале координат
действует сосредоточенная сила, медленно изменяющаяся во
времени. Тогда
Х/ = б(*1)б(*2)в(*з)в1//(/). A5)
Применим к уравнениям A3), A4) преобразование Лапласа,
определенное соотношением
оо
& [8 (х, 01 = 8 (х, р) = / g (х, 0
¦
и предположим, что начальные условия однородны. Получим
систему уравнений
L ^ A6)
A7)
Величины ¦& и X определим по формулам (ср. с рассуждениями
§ 5.7)
/ * ('. Р) • grad
^ Х(х', р)ХетаА[-ж±7Т]аУ{хГ).
v
Подставляя формулу A5) в A8), получим
*« = °- ^=i^^(|)f(P),
*2
После исключения функции Ф из уравнений A6) и A7) получим
520 /*а 5. Дисторсия в теории упругости
Частным решением этого уравнения является функция
пТ7>- <20>
Подставляя формулу B0) в первое уравнение системы A6),
приходим к уравнению
с частным решением
ф (х, „>- f«,{я + ^рг е*Р[- * Z1^]}? (">• с»
Решение уравнения V2\J)= -t известно:
^ ^. B2)
Нам остается в формулах B0) и B1) произвести обратное пре-
преобразование Лапласа. Подставляя Ф и if в соотношение A3),
получим
OD
= -L f e-uldu.
у it •>
L
у it
Температура 6(|) задается формулой
. ,24)
Если теперь предположить, что в точке | действует сосредото-
сосредоточенная сила Xi = 6{Xi)8(x2N{x3)f(t)&ih, направленная по оси
8.6. Квазистатические задачи термоупругости 521
Xh, то получим следующее основное решение:
4» = [(т "
+T+7a/a*J V
B5)
Заметим, что перемещение ы'*> складывается из двух членов:
первого, который изменяется во времени как функция f(t), и
второго в виде свертки, характеризующего связанность поля де-
деформаций и температурного поля.
Для ограниченного тела можно определить интегралы щ, 6
таким образом, чтобы часть граничных условий была удовле-
удовлетворена, либо принять их в качестве частных решений уравне-
уравнений G) и (9) для бесконечной области. Функции и\, 0' должны
быть выбраны так, чтобы на поверхности, ограничивающей тело,
выполнялись заданные граничные условия.
Для определения напряжений и температуры в ограничен-
ограниченном теле может оказаться полезным путь, предложенный Био1).
Рассмотрим систему однородных уравнений A) и B) и
исключим из нее температуру, используя выражение для эн-
энтропии
-??-. B6)
Таким образом мы получаем систему четырех уравнений, неиз-
неизвестными функциями в которых являются перемещения ,и эн-
энтропия:
, B7)
= Y2f5. B8)
Дифференцируя B7) по *,¦ и свертывая, получим
*) Biot M. A., Thermoelasticity and Irreversible Thermodynamics, J. Appl.
Phys., 27 A956) [русский перевод: сб. Механика, № 3 D3) A957)].
522 ^А 8. Дисторсия в теории упругости
Подставляя формулу B9) в B8), получим дифференциальное
уравнение
S,U-±
Интересно отметить, что в связанной квазистатической задаче
энтропия удовлетворяет уравнению диффузии. Выразим вектор
перемещения и через потенциалы Папковича следующим об-
образом:
C1)
при этом предположим, что вектор ty является гармоническим.
Подставляя формулу C1) в B7), находим
дгас1[(Я + 2ц + 6)У2ф + ур5] = 0. C2)
Оператор градиента мы можем отбросить, если к функции ф
добавим квадратичную функцию координат. Если этого не сде-
сделать, то к вектору г|з следует добавить вектор, который является
линейной функцией координат, что вытекает из структуры со-
соотношения C1). Положим далее, что выражение в квадратных
скобках в формуле C2) равно нулю, добавляя к ty линейную
функцию координат. Из формулы C2) получим
^ 6. C3)
Исключим далее из уравнений C3) и C0) функцию S. Мы ви-
видим, что функция ф должна удовлетворять уравнению
< C4)
Решение этого уравнения возьмем в виде
Ф = Ф1+Ф2, C5)
где функция ф1 должна удовлетворять уравнению Лапласа, а
функция ф2 — уравнению диффузии. Таким образом, для опре-
определения функций ф и ij) мы имеем систему уравнений
0. C6)
Решив систему уравнений C6) с учетом заданных граничных и
начальных условий, мы можем приступить к определению пе-
перемещений М; по формулам C1) и температуры по формулам
B6) с последующим вычислением энтропии из уравнения C3).
8.6. Квазистатическив задачи термоупругости 523
Следовало бы обсудить еще основные общие теоремы квази-
квазистатической термоупругости, такие, как принцип виртуальных
работ, теорема взаимности, теорема единственности решения.
Мы здесь не будем этого делать. Эти теоремы мы представим
в общем аспекте для динамических задач термоупругости. Тео-
Теоремы для квазистатических задач будут частным случаем этих
значительно более общих теорем.
Как следует из рассуждений о динамических задачах тер-
термоупругости, влияние дилатационного члена — r\uk, и в уравне-
уравнении B) на распределение температур и величину напряжений
является незначительным. Поэтому можно построить прибли-
приближенную теорию температурных напряжений, опирающуюся на
систему уравнений
[iu{i ц -f- (X -\- [i) u^ji = \Q,i, C7)
v*e—-e = — -?-. C8)
XX V '
Задача здесь может быть решена в два этапа. Сначала решаем
уравнение теплопроводности с заданными граничным и началь-
начальным условиями. Затем подставляем уже известное распределе-
распределение температур в правую часть уравнений C7) и решаем эту
систему так же, как для стационарной задачи, трактуя время t
как параметр. Поэтому можно в полной мере использовать ме-
методы решения системы уравнений C7), обсужденные в § 8.1 —
8.5. Так, например, частное решение уравнения C7), удовле-
удовлетворяющее уравнению
v2a> = me, C9)
мы можем представить в виде
Ф(х,0=-^|9(^^A), D0)
где 6(|,0 является решением уравнения C8). Однако выпол-
выполнение интегрирования может натолкнуться на значительные
трудности. Мы можем воспользоваться другим способом, ука-
указанным Гудьером1). Продифференцируем уравнение C9) по
переменной t и исключим 6 с помощью уравнения C8). При от-
отсутствии источников тепла получим
D1)
Интегрируя это уравнение по времени и координатам, получим
t
Ф = т% | 6 dt + Фо + Ф^. D2)
о
>) J. N. Goodier, loc. cit. стр. 482.
§24 1~л- $¦ Дисторсия в теории упругости
Здесь Ф1 — гармоническая функция, а Фо = Ф(х, 0) — потенциал
термоупругого перемещения в момент t = 0, соответствующий
температуре 6(х, 0) = 60(х). Функция Фо должна удовлетворять
уравнению
Рассмотрим некоторые частные задачи, решаемые несколько
иным, чем до сих пор, методом.
а. Рассмотрим действие источников тепла Q(x,t), находя-
находящихся в подобласти V неограниченного упругого пространства.
Мы хотим определить перемещения и напряжения, вызванные
этим действием.
Решим вспомогательную задачу, основанную на определе-
определении перемещений и напряжений, вызванных действием сосредо-
сосредоточенного мгновенного источника тепла единичной интенсивно-
интенсивности, помещенного в начале координат. В силу центральной сим-
симметрии поля перемещений и деформаций следует решить систему
уравнений
^2 _2 U
V ~ dR2 ^ R
{43)
Применим к этим уравнениям преобразование Лапласа. По-
Получим
V*CD* = те*, V2e* - -?¦ 9* = - У&-, D4)
Исключая трансформанту 0*, приходим к уравнению
Решением этого уравнения является функция
\ 1
¦ — (Fl—F2), -D5)
где Fj и F2 — решения уравнений
®\Р{ = — — б (i?), ^2^2 = —' — б (i?). D6)
Так как
/я е
ТО
8.6. Квазистатические задачи термоупругосТи 525
Совершая обратное преобразование Лапласа, находим
D8>
erf {z) = ~ [ е-»7 du, erf с (z) = 1 — erf (z).
Зная теперь функцию Ф*, определяем перемещения и напряжения
д ,,,. m Г t/ R \ 2R I R2\]
uR =<3„Ф = J erf / —-—\ -=rexp ,
m\i [ r/ R \ 2R I Я2\Л
= — erf [-7^) т==- ехр | , D91
Вернемся к нашей первоначальной задаче определения напря-
напряженного состояния, вызванного действием источника Q(x,t),
занимающего конечную область V.
Перенесем сосредоточенный мгновенный источник из начала
координат в точку (|). Функция Ф*(х, t) задается формулой D8)
с тем, однако, замечанием, что величина R определяется по фор-
формуле
Напряжения o*tj (x, t) получим по формуле
%=мф:м--^/ф:**)> '. /•k=l' 2>3-
Итак, имеем
Аналогичные выражения получаем для о*22 и о*гг
Далее вычислим
<52>
Циклической заменой индексов находим выражения для а*3, а'2г.
Знание напряжений а!Дх, t) как функций Грина этой задачи
526 Гл. 8. Дисторсия в теории упругости
позволит определить напряжения, вызванные источниками тепла
Q(x, t). Мы получим их по формулам
t
а.,, (х, 0 = { йт J Q (?, т) о*(! (%, x,t-x) dV (g). E3)
О V
Так как решением второго из уравнений D3) является функция
то температура, вызванная действием источников Q(x,t), выра-
выражается формулой
t
0(x,/)=jrfT J Q(?, т)9*(х, М —t)dV(S). E4)
О V
б. Рассмотрим напряжения в толстостенной сферической обо-
оболочке, вызванные температурным полем, характеризующимся
центральной симметрией. Обозначим через а внутренний радиус,
через Ь — наружный радиус оболочки. Для определения ради-
радиального перемещения применим метод Майзеля. В случае ра-
радиальной симметрии эта формула (формула D2) § 8.5) при-
примет вид
ь
p. E5)
Через 0(р, R) мы обозначили дилатацию на сфере радиуса р, вы-
вызванную действием единичных сил, равномерно распределенных
по сфере радиуса R.
Обозначим через U(p,R) радиальное перемещение, вызван-
вызванное единичными силами, распределенными по сфере радиуса R.
Перемещение U(p,R) должно удовлетворять дифференциаль-
дифференциальному уравнению
(К + 2ц) C1 + 2р-'др - 2р-2) U + б (р - R) = 0 E6)
с граничными условиями
Стрр (a, R) = 0, арр (Ь, R) = 0. E7)
Здесь арр означает радиальное напряжение, связанное с пере-
перемещением U. Уравнение E6) можно заменить системой одно-
однородных уравнений
(д* + 2Г1др- 2р-2) V = 0 для а < р < R,
(dl-2p-'dp-2p-2)U" = 0 для R<p<b. E8)
8.6. Квазистатические задачи термоупругости 527
Решением этих уравнений являются функции
U'=
E9)
Из граничных условий
V (R, R) = U" (R, R), арр (R, R) - о?р (/?, /?) = 1,
определим постоянные Аи А2, Ви В2. Первое из этих условий
гарантирует непрерывность перемещений на сфере р = R. Вто-
Второе из них описывает разрыв напряжений на этой поверхности.
Два последних выражают отсутствие нагрузок на внутренней и
внешней поверхностях оболочки. Принимая во внимание соот-
соотношения
а'рр = Ш' + 2ц?/;р> 0' = ?/;р + 2p-W
и аналогичные формулы для а", находим следующие значения
постоянных:
1 3(Я. + 2ц) 63-а31 ^ ЗЯ. + 2Ц Ь3)'
3(Л + 2ц) 63-а3\ ^ ЗА. + 2Ц a3/'
Так как
в'(р, /?) = 3i4, при a<p<R,
в" (р. /?) = ЗВ, при R<p<b,
то формула E5)
uR (R, t -
или
11 (f? /1 m
Ur (K, t) „2 b3
примет
3vr
Г ^
-a3 J
ВИД
a
" \Pi
Ь
6 -1
|в(р, 0Ф .
? J
F0)
528 Гл. 8. Дисторсия в теории упругости
Если распределение температур известно, то определение пере-
перемещений «д требует нахождения простых квадратур. Напряже-
Напряжения в рассматриваемой толстостенной сферической оболочке
определим по формулам
aRR = 2\idRuR + Хе — yQ, aw = aM = 2\i -^- + Xe — y%,
2uR F1)
e — dRuR -\ ^—.
Рассмотрим как частный случай полученного решения бес-
бесконечное пространство со сферической полостью. Полагая Ь—* <х>
в формуле F0), получим
я
$|(р, 0р2Ф. F2)
Из этой формулы получаем интересное следствие. Для R = а,
т. е. на границе упругого полупространства, окружающего по-
полость, имеем uR(q, /) = 0 независимо от распределения темпе-
температур. Подставляя формулу F2) в F1), получим
4
F3)
Заметим, что для R = а
aRR(a,t) = 0, aw(a, t) = aM(a, /)=-2ц0 {a, t). F4)
Напряжения Офф и аот на границе i? = а зависят от распреде-
распределения температур на этой поверхности.
в. Во многих технических задачах требуется рассматривать
температурное поле, изменяющееся периодически во времени.
С такими случаями мы имеем дело при расчете резервуаров,
плотин, колонн и т. д.
В случае периодического во времени распределения темпе-
температур можно разложить перемещения, напряжения и темпера-
температуру в ряд Фурье по времени. Поэтому займемся только гармо-
гармоническим во времени изменением температуры. Ограничимся
рассмотрением двумерной задачи плоского деформированного
состояния ').
') Lardy P., Das 2-dimensionale Problem bei periodischer Temperaturein-
vyirkung, Mem. A. I. P. Ch., Zurich, 12 A952), 201.
8.6. Квазистатические задачи термоупругости 529
Подставляя
0 = 0! {хи х2) cos at -\- 02 (хь лг2) sin at F5)
в уравнение теплопроводности
получим систему двух уравнений
V20,— 2?202 = О, V202 + 2^20i = 0, 2?2 = -^-. F6)
Исключая из этих уравнений сначала 0Ь а потом 02, находим
Vfv?0, + 4^40i = О, V2V?02 + 4?402 = 0. F7)
Однако достаточно решить одно из этих уравнений. Если, на-
например, мы знаем 0i, то 02 определим из первого уравнения F6).
Оба уравнения F7) следует дополнить двумя граничными усло-
условиями. Если предположить, что на границе цилиндра задано
условие 0 = Q0(s)cosat, то на этой границе должны выполняться
следующие граничные условия:
Заметим, что уравнения F7) имеют такой же вид, что и урав-
уравнение изгиба тонкой плиты, покоящейся на упругом винклеров-
ском основании.
Зная распределение температуры, мы можем приступить к
определению поля перемещений, пользуясь потенциалом термо-
термоупругого перемещения. Уравнение
V? ф = /п0 F9)
разбивается на два:
\7]Ф] = /n0i> У2Ф2 = /л02> G0)
если принять, что
ф = ф, cos at + Ф2 sin at. G1)
Частные решения уравнений G0) найдем достаточно легко,
сравнивая эти уравнения с уравнениями F6). Мы получим
Складывая функции Ф1 и Ф2 по формуле G1), можем опреде-
определить напряжения оц, соответствующие функции Ф. Так как
функция Ф, вообще говоря, не удовлетворяет заданным гра-
граничным условиям, к напряжениям оц следует добавить напря-
напряжения a'tj, относяшиеся к изотермическому состоянию тела.
530 Гл- 8. Дисторсия в теории упругости
Для определения напряженного состояния arti удобно восполь-
воспользоваться функцией Эри.
В свете предыдущих рассуждений довольно просто выглядит
следующая одномерная задача. Пусть плоскость хх = 0 упру-
упругого полупространства хх ^ 0 нагрета до температуры 9 =
= Эо cos at. Требуется найти распределение температур и на-
напряжений в упругом полупространстве. Для этого нужно решить
уравнения F7), которые для одномерной задачи примут вид
*Ь. + Ак% = 0, 4% + 4*2е2 = ° G3)
dx\ dx\
с учетом граничных условий
ei(O) = 6o, «Э?0,(О) = О, 02 @) = 0, «Э102(О) = -2?20о. G4)
Граничные условия, содержащие вторую производную по хи по-
получим из уравнений F6), выписанных для границы х\ = 0. Ре-
Решением уравнений G3) являются функции
0, = eoe-**i cos kxx, 02 = %e-kx> sin kxx.
В соответствии* с формулой F5) получаем следующее распре-
распределение температур:
Q = Q0e-kx<cos(kxl—Qt). G5)
По формулам G2) определяем потенциалы
ф> = ~ -щт е~кх'sin kXl> ф2=-w- e~kx'cos kx^
а по формуле G1)—потенциал термоупругого перемещения
Ф = --j§-e-**-sin (ft*!—©/). G6)
Напряжения, связанные с функцией Ф, определим по формуле
0^ = 2^@.,, —в^Ф,**). G7)
Так как Ф является функцией переменных хх и t, то
о„=0, оя = о33=-2ц^Ф,
°22= °зз = — 2|n0oe~fejCl cos (kx} — at).
Так как граничные условия в плоскости х\ = 0 удовлетворе-
удовлетворены, мы можем считать задачу решенной. Заметим, что при хх =
= 0 мы получим на границе следующее, изменяющееся во вре-
времени напряжение:
сг22 @, t) = а33 @, 0 = — 2ц/п0о cos at. G9)
Наибольшее напряжение мы получим на границе. Эти напряже-
напряжения экспоненциально затухают с расстояние^.
8.7. Собственные напряжения 531
8.7. Собственные напряжения.
Основные соотношения и теоремы
В § 8.1—8.6 мы занимались частным видом дисторсии: тем-
температурными деформациями е°/ = аДу9. Там мы имели дело
с соотношениями
в,, = аА,0 + 2ц'о, / + K%,akk. A)
Если бы каждый элемент объема тела мог свободно деформиро-
деформироваться при повышении температуры, то температурные дефор-
деформации принимали бы значения ег/ = 8^ = 0,6^9. Однако этот
частный случай, как мы знаем, отвечает линейному распределе-
распределению температур. Вообще же говоря, дисторсия е^=-а(б(/9 не
удовлетворяет уравнениям совместности, так что в упругом
теле возникают температурные напряжения оц, а тем самым и
деформации ец.
Здесь мы будем рассматривать более общий, чем темпера-
температурный, тип дисторсии е°;(х). Предполагаем, что дисторсии яв-
являются непрерывными и дифференцируемыми функциями ко-
координат-. Так как дисторсии еР вообще говоря, не удовлетво-
удовлетворяют уравнениям совместности, то в теле возникнут деформа-
деформации е,-;- и напряжения вц. Связи между деформациями, напря-
напряжениями и дисторсиями являются обобщением зависимости A):
Вызванные дисторсиями напряжения называются собственными
напряжениями (англ. initial stresses, немецк. Eigenspannungen,
франц. autocontraintes).
Дисторсии могут возникать в металлах вследствие превыше-
превышения предела упругости и появления остаточных деформаций.
Они могут также возникнуть вследствие температурной обра-
обработки и как результат действия усадки или вспучивания. Нако-
Наконец, ошибки при монтаже и начальные несовершенства в строи-
строительных конструкциях (плиты и оболочки) можно трактовать
как дисторсии.
Разрешим соотношение B) относительно напряжений. По-
Получим уравнения
at, = 2ц (в„ - в°,) + Uti (ekk - 8°,). C)
Для дальнейшего существенным будет соотношение
о« = (Зй. + 2ц)(еЛЛ-в0Л), D)
связывающее между собой первые инварианты напряженного и
деформированного состояний.
532 Рл- 8. Дисторсия в теории yhpyzoctli
Аналогия между зависимостями A) и B) позволяет сфор-
сформулировать общие теоремы, касающиеся дисторсии. Важное
значение в задачах дисторсии имеет принцип виртуальных ра-
работ. Этот принцип в общем виде, не зависящем от физических
соотношений, как известно, имеет вид
J Xt Ьщ dV+ J Pi but dA = J а и 6etj dV. E)
V A V
Здесь Xi, ph как и ранее, являются внешними силами, щ — пе-
перемещениями, вц — напряжениями, а 6«г, Ьец — вариациями
перемещений и деформаций. Подставляя в правую часть E)
физические соотношения C), получим
Xt but dV + j pt 6ut dA = bW& - \ yf({ Ьги dV. F)
A V
Ге = j We dV = j (vetpi, + y гкФпп) dV
V
Здесь
Ч/у — <-У-°ц "Г ™ц°кк.
Если предположить, как и ранее, что 6«j равны нулю на той ча-
части поверхности, на которой заданы перемещения (эту часть
обозначим через Аи), то уравнение F) можно представить
в виде
" =0. G)
[>е- j XtutdV- \PiutdA-
L V А„
Мы получили теорему о минимуме упругой энергии, обобщенную
на упругие дисторсии. Мы видим, что для температурных дефор-
деформаций е^.^afi.fi уравнение G) переходит в уравнение A2)
§ 8.1 для температурных напряжений.
Уравнение F) можно привести к виду
Xi - <,) Ч- dV + \(Pt + <"/) Ч dA =
Сравним это уравнение с соответствующим уравнением для
упругого тела, в котором отсутствуют дисторсии, но которое
имеет те же самые перемещения и деформации. Правые части
в этих уравнениях будут идентичными, если к телу без дистор-
дисторсии мы приложим другую систему внешних сил Х"{, р*.. Мы име-
имеем здесь
J X] 6ut dV + J p\but dA = ЬТЪ. (9)
V A
8.7. Собственные напряжения 533
Отсюда видно, что при одинаковых условиях для перемещений
на Аи получаются следующие соотношения:
«* =
Ли.
Последние формулы выражают аналогию массовых сил. Мы
видим, что каждая задача дисторсии может быть сведена к эла-
стостатической задаче.
Обозначим через
= J WodV = J U'o4ois + ^-okkonn) dV A0)
V V
дополнительную работу упругого тела, занимающего область V.
Легко заметить, что соотношение B) удается записать с по-
помощью выражения A0) в простом виде:
Умножая формулу A1) на статически допустимые виртуальные
приращения напряжений и интегрируя по объему тела, получим
= bW0 + J 8°,. Ьоц dV. A2)
Преобразуя левую часть уравнения A2), приходим к соотно-
соотношению
бГа + j 6°/ Ч/ dV = j ^PlUi dA~ \ 6afi, lUi dV- О3)
V A V
Если теперь в формулу A3) подставить ограничения, касаю-
касающиеся статически допустимых приращений напряжений, т. е.
6a/lt/ = 0, х е V, 6р{ = 0, хе^, bpt произвольны на Аи,
то из этой формулы получим теорему о минимуме дополни-
дополнительной работы, обобщенную на задачу дисторсии:
6(Va + J B°(lottdV- J P{ut dA) = 0. A4)
К решению задачи о собственных напряжениях, так же как и
в термоупругости, ведут два пути: формулировка дифферен-
дифференциальных уравнений в перемещениях или в напряжениях,
534 ?л- & Дисторсия в Теории упругости
Первый путь основан на использовании уравнений равно-
равновесия
о/Л , + *, = <) A5)
и замене напряжений деформациями при помощи соотноше-
соотношений C).
Если деформации eij выразим через перемещения
ег/ = т("г. / + «/..-), A6)
то получим следующую систему уравнений в перемещениях:
HKi./y + ft + nK/i + ^^M- A7)
К этим уравнениям следует добавить граничные условия. Если
предположим, что на Аи заданы перемещения /,, а на Аа — на-
нагрузки pi, то эти условия запишем в виде
р, (х) =
Для односвязной области легко доказать единственность ре-
решения системы уравнений A7). Доказательство этой теоремы
проводится аналогично тому, как это было сделано в § 8.2 по
отношению к уравнениям термоупругости в перемещениях.
Единственность решения будет иметь место, если напряжения
принадлежат классу С1, а перемещения — классу С2.
При формулировке задачи в напряжениях мы исходим из
уравнений совместности
ец,ы + Ч1,ц — e«./j — е/г,« = 0, /, /, к, 1=1, 2, 3, A9)
или
^pmr^lsm^rs, mn = 0- B0)
Подставив в эти шесть уравнений совместности деформации
8ij по формулам B) и воспользовавшись уравнениями равнове-
равновесия A5), получим следующую систему шести дифференциальных
уравнений:
2(Л + 2ц) Щ,
V °Ч + ЗЯ + 2ц а**. '/ = ~ (Xi-1 + Xi- i} - T+W Xk. к -
Эти уравнения являются обобщением уравнений в напряжениях
Бельтрами — Мичелла на задачу дисторсии. Заметим, что в фор-
8.7. Собственные напряжения 535
мулировке задачи в напряжениях деформации e<j и напряжения
должны быть функциями класса С2, а перемещения «,- — функ-
функциями класса С3.
Если рассматриваемая область (N -\- 1) -связна, то к урав-
уравнениям B1) следует добавить дополнительные условия
Г/Р с f о \ rit о
J \ lr jklKlsmyrs, ml иЪг — ui
С"г B2)
(«fan,er,.m)rf6r = 0, а=1, 2, .... N.
Кривые Са (а = 1, 2, ..., N) являются замкнутыми линиями в
F + Л, из которых каждая пересекает только одну поверхность
Ва. Вспомним, что введением поверхности Ва мы свели (М+ 1)-
связную область к односвязной области. Условия B2) следует
выразить в напряжениях ajj- и дисторсиях &\р используя соот-
соотношения B).
Рассмотрим некоторые простые следствия, вытекающие из
уравнений в перемещениях A7) и в напряжениях B1). В слу-
случае постоянных значений дисторсий г0., уравнения A9) стано-
становятся однородными. Полагая «j = 0 на А, получим также одно-
однородные граничные условия. Постоянные дисторсий приводят
в теле, которое защемлено на А, к нулевым значениям пере-
перемещений. Так как и,(х) sO, хеУ, то и е,-у(х) =0, хеУ. Из
соотношений C) следует, что в теле возникают постоянные на-
напряжения
*V°**) = -<. B3)
Если уравнение A5) умножим на х\ и проинтегрируем по об-
области, то получим
v
или
J *,*, dV + J xiPi dA= J akk dV. B4)
V A V
Учитывая соотношение D), получим
A hlkdV- B5)
A I V
Здесь AF= J ekkdV—приращение объема тела. Если на поверх-
v
ности тела нет нагрузок, а внутри отсутствуют массовые силы.
536 Гл. 8. Дисторсия в теории упругости
то из уравнений B4) и B5) получим
kkdV = Q. B6)
Приращение объема тела мы найдем, интегрируя сумму нор-
нормальных дисторсий по объему тела. Сумма нормальных соб-
собственных напряжений, проинтегрированная по объему тела,
равна нулю.
Рассмотрим уравнения в перемещениях A7) при отсутствии
массовых сил (Х; = 0). Определение частного решения этой си-
системы уравнений становится довольно простым в частном слу-
случае е», = 6^.8°. В этом случае \\°и = ЗКЬИе0 и т]°(> у = ЗЛ>° ,. Если
частное решение принять в виде потенциала Ф, так что щ = Ф, *,
то из уравнений A7) находим
Наконец, заметим, что в частном случае 8^ = 6^8° и при от-
отсутствии массовых сил уравнения в напряжениях B1) и усло-
условия B2) будут выполнены, если функция е° удовлетворяет
условиям
е°г/ = О, B8)
а напряжения а,3(х) принимаем равными нулю в каждой точке
тела. Приравнивание нулю шести других производных функ-
функции е° приводит к выводу, что функция в0 является линейной
функцией. Поэтому линейное распределение дисторсий не вы-
вызывает в одно- или многосвязном теле собственных напряжений.
8.8. Теорема Майзеля ')
о взаимности работ для дисторсчи
Теорема о взаимности работ была обобщена на задачу ди-
дисторсий Колоннетти, который исходил из тождества
аи*'а - а'иеи = «/ - лХ; 0)
его легко получить умножением уравнения
*г/=2^/ + ^А*-< B)
на ъ'И и аналогичного уравнения для а'И на ец с последующим
вычитанием результатов. Интегрируя тождество A) по обла-
области V и преобразуя интегралы, приходим к уравнению взаим-
взаимности.
') В. М. Майзель, loc. cit. стр. 476.
8.8. Теорема Майзеля о взаимности pa6ot 537
Здесь мы пойдем другим путем, используя аналогию массо-
массовых сил, введенную в § 8.7. Напишем уравнение взаимности
для тела, в котором отсутствуют дисторсии. Это уравнение
имеет вид
| (xyt - х\\) dv + | (рх - P';ut) dA = о. C)
V А
Пусть теперь на тело действуют силы Хи рг и дисторсии г°ц, ко-
которые вызывают перемещения щ. Вторая система нагрузок скла-
складывается из сил Х\, р'{, дисторсии e'fi, вызывающих поле пере-
перемещений и'г Мы знаем, что задачу дисторсии можно свести
к задаче эластостатики без дисторсии, если принять, что
P] = Pi + if,tn,. РГ = Р;+ «;?«/• хеЛа> D)
и] = «;, и}' = и\, х g Аи.
Подставим формулы D) в уравнение C). Получим
UXlu't-X'lut)dV+ jip^-p^dA-
J A
^nX - Л>/И() dA = 0. E)
Преобразуя предпоследний интеграл, приводим уравнение E)
к виду
| {Xtu\ - XX) dV + J [pX - pX
Или
J (XX - XX) dV + J (pX - P[ut) dA +
Уравнение G) представляет окончательный вид теоремы взаим-
взаимности, обобщенной на дисторсию. Легко убедиться, что для
частного случая температурных дисторсии, когда е;/ = аг6 R,
уравнение G) переходит в теорему о взаимности работ для
термоупругости (ср. с уравнением D0а) § 8.1).
538 Гл. 8. Дисторсия в Теории упругости
Теорема о взаимности работ G) позволит вывести методы
интегрирования уравнений в перемещениях. Рассмотрим тело V,
в котором действуют только дисторсии г°... Пусть массовые
силы равны нулю. На части поверхности Аи пусть заданы ну-
нулевые перемещения, а на Ао отсутствуют нагрузки. В качестве
штрихованной системы примем то же тело, свободное от на-
нагрузок на Ао и защемленное на Аи.
Предположим далее, что в теле отсутствуют дисторсии
(8г/ = 0) и в точке | в направлении оси xk действует сосредото-
сосредоточенная сила X'i = b{x — |)б/й. Эта сила вызывает перемещения
«; = iy(x, |), которые должны удовлетворять уравнениям
ЦГ(Л/ + (к + ц) Г}*>/, + 6 (х - g) 6,* = 0 (8)
с граничными условиями
1? 0
Зная функции Г1;*', вычисляем напряжения
Заметим, что решение системы (8) с граничными условиями
(9) представляет собой задачу эластостатики; она относится
к телу, в котором отсутствуют дисторсии.
Применяя к обеим системам причин и следствий георему
взаимности в виде G), получим
- J б (х -1) 6.Л (х) dV (х) + { а;/*» (х, I) ео. (х) dV (х) = 0.
V V
Отсюда
Ч A) = \ в?/ (х) of/ (x, \)dV (x), k = 1, 2, 3. A1)
v
Мы нашли перемещения «&(!), выраженные через дисторсии
в интегральном виде. Под знаком интеграла стоят известное
распределение дисторсии и напряжения а'Ак)(х,%), вызванные
действием сосредоточенной силы в точке |, направленной по
оси хъ. Напряжения о'.^ являются здесь функциями Грина
для рассматриваемого тела. Такой путь отыскания перемещений
Hft(l) был предложен Майзелем1).
') В. М. Майзель, loc. cit. стр. 476.
8.8. Теорема Майзеля о взаимности работ 539
В частном случае e°l. = 6ije° имеем
«(х)Г^(х, l)dV(x), Я = Л + |ц. A2)
Теорему взаимности можно использовать также для опреде-
определения деформаций и дилатаций, возникающих в результате
действия на тело внешних сил.
Рассмотрим тело V, в котором действуют массовые силы Хи
но отсутствуют дисторсии (е?; = 0). Пусть это тело свободно опи-
опирается на Аи (tii = fi), и пусть на поверхности Ао действуют
заданные нагрузки /?,-. В этом теле мы разыскиваем дилатацию
в точке %. В качестве второй системы причин и следствий примем
наличие центра дилатаций в точке | бесконечного упругого про-
пространства Поэтому следует положить ^ = 0 и е^° = 6(х— 1)Ь./ш
Действие такой точечной дисторсии в неограниченном простран-
пространстве вызывает перемещения Г°.(х, |)=«; и напряжения
Применяя для введенных причин и следствий теорему взаимно-
взаимности в виде G), получим
J Xrf dV + J {Piu\ - р\и) dA = \ atl (х) б(х -1) 6„ dV (x),
А
Из этого уравнения мы получим первый инвариант напряжен-
напряженного состояния
l(p.u't-p'tUl)dA. A3)
Легко найти дилатацию в точке |, учитывая известную зависи-
зависимость между дилатацией Ekk и инвариантом анк-
okk =
Окончательно имеем
Эту формулу мы уже получили ранее другим путем в § 5.16
как формулу Бетти.
Если бы перемещения и\ выбрать так, чтобы они исчезали
на поверхности Л, то, обозначая эти перемещения через Г*(х, |),
540 Гл. 8. Дисторсия в теории упругости
мы получили бы дилатацию e,kk(%) в значительно более простом
виде:
I" J *« « «• (х, D dV(x)-
J 1 A5)
Эта формула позволяет определить дилатацию в точке |, ибо
все функции, стоящие под знаком интеграла, известны. Извест-
Известно распределение массовых сил Х{ в теле, а также и распре-
распределение перемещений щ на А. Известна также функция
«; = Гг(х, |) внутри тела и функция p'i^o'iini на поверхно-
поверхности А.
8.9. Дислокации Вольтерры
Если на односвязное тело, находящееся при температуре То
естественного состояния, не действуют внешние силы (массовые
и поверхностные), то тело находится в естественном, ненапря-
ненапряженном состоянии.
В справедливости этого утверждения мы убедимся, рассмат-
рассматривая работу деформации с использованием формул A) и E)
§4.16:
j \ > ' 2 j ^ J J I
V \V A I
При отсутствии внешних сил получаем Ж = О, что возможно
только тогда, когда составляющие деформированного состояния
равны нулю в каждой точке тела. На основании закона Гука
отсутствие деформаций приводит к ненапряженному состоянию.
Представленная здесь теорема не всегда справедлива для
многосвязного тела. Можно привести много примеров, когда
эта теорема оказывается неверной. Рассмотрим двусвязное
тело — кольцевую пластинку, представленную на рис. 8.7, пер-
первоначально находящуюся в естественном состоянии. Вырежем
из этой пластинки двумя радиальными сечениями сектор Г, а
затем с помощью силы соединим кольцо в единое целое, совме-
совмещая между собой границы АА' и ВВ'. В соответствии с предпо-
предположениями линейной теории упругости, допустим, что вырез
очень узкий. Таким образом, мы ввели в тело разрыв перемеще-
перемещений в спаянном сечении.
После спаивания мы получили двусвязную пластинку, в ко-
которой при отсутствии внешних сил имеют место напряженное
и деформированное состояния. К естественному состоянию
8.9. Дислокации Вольтерры
541
мы можем привести тело путем нового разреза, например,
вдоль АА'.
Если бы деформации спаянного кольца (рис. 8.7, в) были
известны, то на основе процедуры, указанной в § 1.11, при по-
помощи интеграла Чезаро мы бы определили перемещения. Мы
бы получили таким образом конфигурацию рис. 8.7, а. Точка Р
совмещенного сечения перешла бы в точки Pi и Рг, лежащие
по обеим сторонам .раскрытого сечения. Перемещения стано-
становятся двузначными.
Обобщим наш простой пример на трехмерное двусвязное
тело, свободное от внешних нагрузок и массовых тел. Пусть на
РИС. 8.7.
внутренней поверхности В имеют место разрывы в перемеще-
перемещениях1). Эти разрывы вызывают в теле деформированное со-
состояние. Предположим, что деформации ец определены на В и
что они являются функциями класса С2 в рассматриваемой об-
области. Кроме того, потребуем, чтобы деформации ец удовлетво-
удовлетворяли условиям совместности2).
Пусть х — точка на внутренней поверхности В. Через
Л«/(х) = «7" (х) — и~(х) обозначим разрыв перемещения и{
в точке х. Из формулы Чезаро, выписанной для точек х, х°,
имеем
р
и, (х) = и, (х°) + (xk - x\) co°fe + J Uir d\r, B)
р*
где
Ujr = e/r + flklelsm (xk — Ik) Ers, m-
Поэтому
ДЦ/ (х) = uf (x) - uj (x) = J [e/r + «• w«|gm(xk - lk) 8rs_ m] dlr. C)
') Поверхность В мы выбираем так, чтобы, произведя вдоль нее разрез,
получить односвязное тело.
2) Боли Б., Уэйнер Дж., см. список литературы.
542
Гл. 8. Дисторсия в теории упругости
Здесь с — произвольная замкнутая кривая, выбранная так, что-
чтобы она окружала полость и пересекала поверхность В в точке х
(рис. 8.8,а, б). Величина uf (x) обозначает предел перемещения
Hj(x*) при смещении х* по кривой с до точки х с одной стороны
поверхности В. Аналогично uj (x) есть предел перемещения
Hj(x*) при смещении точки х* в точку х по другую сторону по-
поверхности В.
РИС. 8.8.
Выберем на поверхности В точку х', отличную от х, и на-
напишем для нее скачок перемещений
Ди; (хО = uf (x) — и- (х) = J [e.r +
с'
_ m] d%. D)
Здесь с'—замкнутая кривая, окружающая полость и пересе-
пересекающая поверхность В в точке х'.
Но из требования, чтобы деформации ej3- удовлетворяли усло-
условиям совместности, и из теоремы Стокса следует, что
J [e/r + *iktlsm {Xk — Ik) 8„, m\d\r =
с
= J [e/r + tjkfrsm (Xk — Ik) 8„, m]dlr- E)
c'
Отсюда, учитывая уравнения C), D) и E), получим
Аиу (х') = Аыу (X) + (Х'к — Х„) | ^kfilsm^rs, m <%>т- F)
8.9. Дислокации Вольтерры 543
Рассмотрим тензор поворота (Df/= у (иг>/ — «/,*)• Выполняя
в формуле B) указанные дифференцирования, получим
р
<°*/ = <°?/+ I <Ul*lsmers, m d%- G)
р»
Введем вектор поворота <o = -2-rotu, или сор= g- €p/fcoJjr.
Выполняя в формуле G) операцию «р/-г и используя формулу
*2" rmn^smn О«>
получим
Р
(ор (х) = (ор (х°) - | ?р,те„, т rfgr. (8)
р°
Разность поворотов в точке х поверхности В выражается
формулой
Дсо, (х) = (о+ (х) - (оГ (х) = - J ?/smerSi m dlr. (9)
с
Учет условий совместности и применение теоремы Стокса дают
Г * р ^р Г ?, е rfE П01
e/s7nbrs. m r— cbmc'r5, m "tor- Vlu/
J J
с С
Последнее соотношение указывает на независимость величины
Асог(х) от положения точки х на поверхности В. Здесь Асог(х) —
относительный поворот элемента поверхности, лежащего с од-
одной стороны В, по отношению к элементу, лежащему на про-
противоположной стороне этой же поверхности (при перемещении
вдоль кривой с). Учитывая формулы F), (9) и A0), напишем
Аи (хО = Аи (х) + Д<о X г. A1)
Разрыв перемещений в точке х' выражается через скачок в
точке х и относительный поворот Дсо, не зависящий от положе-
положения точки х на поверхности В. В формуле A1) г является век-
вектором, соединяющим точку х с точкой х'.
Уравнения A1) связывают относительные перемещения и
повороты одной стороны поверхности сечения относительно дру-
другой. В случае разрывности такого рода говорят о дисторсиях
(или дислокациях) Вольтерры.
Если мы произведем сечение вдоль поверхности В, то мате-
материальные элементы, которые до этого находились напротив друг
друга, теперь получат относительные движения в виде сдвигов
и поворотов (рис. 8.8,6).
544
Гл. 8. Дисторсия в Теории yiipyeoctu
Рассмотрим следующую задачу, обратную предыдущей.
Пусть многосвязное тело находится в естественном состоянии.
Путем необходимого числа разрезов превращаем его в одно-
связное тело. Сдвинем теперь стороны сечений друг относитель-
относительно друга так, чтобы относительные перемещения материальных
элементов (которые находились друг против друга и которые
разделило сечение) были выражены разрывами типа A1). На-
Наконец, соединим сечения, убирая или добавляя материал там,
где это необходимо, и снова получая многосвязное тело. Таким
способом мы ввели в тело дислокации Вольтерры '), характери-
характеризующиеся векторами Аи и Д<о.
Ниже мы даем (рис. 8.9) несколько типов дислокаций Воль-
Вольтерры в конечном пустотелом цилиндре. На рис. 8.9, а мы имеем
дело с разрывом в перемещении иг. Эта дислокация возникла
РИС. 8.9.
путем разреза цилиндра и перемещения границ сечения в на-
направлении радиуса г. На рис. 8.9,6 и 8.9, в показан разрыв в пе-
перемещении «е; первый из них является постоянным, второй про-
пропорциональным радиусу. На рис. 8.9, г—е представлены разрывы
в перемещении иг.
') Volterra V., Sulle distorsioni dei solidi elastici piii volte connessi, Rend.
Lincei, 5e serie, ler sem., 14 A905).
Volterra V., Sulle distorsioni dei corpi elastici simmetrico, Rend. Lincei,
5e serie, ler sem., 14 A905), 431—438.
Volterra V., Volterra F., Sur les distorsions des corps elastiques, Gauthier-
Villars, Paris, 1960.
8.10. Работа деформации 545
Предыдущие рассуждения допускали однозначное представ-
ление задачи эластостатики для двусвязного тела, находящегося
под действием дислокаций Вольтерры и нагруженного поверх*
ностными силами. Эта формулировка требует однозначного
определения напряжений оч3- класса С1 и деформаций ец класса
С2 в области V + А. Напряжения оц должны удовлетворять
уравнениям равновесия
oti,, = 0, хе=7 A2)
с граничными условиями
хёА A3)
Между напряжениями и деформациями должны выполняться
соотношения
оц = 2це„ + ХгккЬч, xgF + A A4)
В области V^А должны быть выполнены условия совместно-
совместности
n = 0, XG^-fA A5)
Кроме того, имеются дополнительные условия
J (вг/ — etkl^lsmllfirs. m) d%r = Дй/ (X) + «/«** А», = At,, A6)
sm^rs.mdlr Afl)/, A7)
где кривая с окружает полость и пересекает поверхность В
в точке х.
Формулы A6), A7) вытекают из формул (8), (9) и A1).
Правые части этих уравнений мы считаем известными величи-
величинами: характеристиками дислокаций Вольтерры.
В частном случае Д/3- = 0, Доо,- = 0 мы имеем дело с форму-
формулировкой задачи эластостатики для двусвязного тела, нагружен-
нагруженного только поверхностными силами.
8.10. Работа деформации.
Теорема взаимности для дислокаций Вольтерры
Рассмотрим двусвязное тело с дислокацией Вольтерры на
поверхности В, на которое действует внешняя нагрузка в виде
массовых сил и нагрузок на границе.
Работу деформации выражает интеграл
*" -4 J о„вц dV -r J (цв//в// + т Чн*пп) dV. A)
V V
Б46 Гл. 8. Дисторсия в теории упругости
Преобразуем первый из интегралов:
J aiteit dV = J altult t dV = J [(аг1щ), i — ailt }щ\ dV. B)
V V V
Заметим, что при преобразовании объемного интеграла
J (aijUi),/dV в поверхностный требуется использовать обобщен-
V
ную формулу Гаусса, учитывающую разрыв перемещения на
поверхности В. Мы имеем
J (q,tut), i dV = J OjitijUi dA+ J a/;v;. (u+ — uj) dB. C)
В
Здесь через п обозначена внешняя нормаль к поверхности А,
через v — внешняя нормаль к поверхности В. Через uf, иг обо-
обозначены значения функции m в точке на В с положительной и
отрицательной стороны нормали v. Учитывая, что Ojifij = ри
обозначая через Pi вектор напряжения на поверхностном эле-
элементе на В и, наконец, используя уравнения равновесия, пред-
представим работу деформации с помощью следующей формулы:
D)
V А В J
Из формулы D) отчетливо видно, что при отсутствии внешних
сил (pi ^ О, Х{ = 0), но при существовании дислокации Воль-
терры работа деформации отлична от нуля. В теле возникает
деформированное состояние. В этом частном случае
Ж = J U4eit + A ekkem) dV =\\ pt (u+ - иГ) dB. E)
v в
Подставим в последний интеграл зависимости
Аи, = и+ — af = А/, — хкеш Асор F)
характеризующие дислокацию Вольтерры. В результате имеем
+ р2 М2 + р3 А/3 + Acoj (x2p3 — хф2) +
+ Асо2 (р\Х3 — рзХ\) + Асо3 (р2х1 — piX2)] dB =
G)
Таким образом, работа деформации выражена непосредственно
через коэффициенты дислокации. Формулу G) можно записать
проще, обозначая через sx = A/i, s2 = А/2, s3 = А/3, s4 = Acoi,
2
в
8.10. Работа деформации 547
s5 = Асог, s6 = Асоз коэффициенты дислокации, а через Е\, Ег, ...
..., Е6 — соответствующие им коэффициенты в формуле G)
(?i — Рх, Е2 = р2, -.., Ei = x2p3 — хзр2, ¦¦¦). Тогда
W=\\EiSidB, 1=1, 2, .... 6. (8)
в
Перейдем к теореме взаимности. Предположим, что причи-
причинами первой системы являются внешние силы (Xit pi) и дислока-
дислокации, характеризующиеся величинами Д/j, Дсо* (либо величинами
Sj). Следствиями, вызванными этими причинами, являются пе-
перемещения Ui. Вторую систему причин (Х\, р'^ и следствий (и'^
отметим штрихами. Мы исходим из тождества
Oifi'n — о'цгц = 0. (9)
A0)
Преобразуем интеграл в левой части уравнения A0) согласно
формулам B) и C). В результате получим
Это условие справедливо в области V-\-А.
Далее проинтегрируем это уравнение по объему тела:
J оце'ц dV = \ Xiu'i dV + J Ptu't dA + J fit (u'+ - u't~) dB. A1)
V ' V А В
Аналогично имеем
f о'це{1 dV=\ X'iUi dV+ \ p\u. dA+ $ p't(uf-ur)dB. A2)
V V А В
Уравнение A0) приводит к уравнению
J Xiu'i dV + J* p{u't dA+ J pt Au[dB =
V А В
= \ X'.UldV+ \p'iUidA+\ p'tAUldB, A3)
ИЛИ
J Xxu\ dV + J ptu't dA+ J Ets'i dB =
V А В
•= J XiindV+ J p'lutdA+ J EiSidB. A4)
548 Гл- &¦ Дисторсия в теории упругости
Если отсутствуют внешние силы (Х(. = 0, Хг' = 0, р. = 0, рг' = 0),
то получаем
j Eis'tdB*=l E'ts,dB. A5)
в в
Если на тело действуют исключительно внешние силы, то урав-
уравнение A4) выражает содержание теоремы Бетти о взаимности
работ.
Если мы рассмотрим две системы, находящиеся в равнове-
равновесии, одну без дислокаций, а другую без внешних сил, то из фор-
формулы A4) получим теорему Колоннетти').
') Colonnetti G., Sul principio di reciprocita, Rend. Lincei, 5e serie, 1" sera.,
21 A912), 393-398.
Часть III
ЭЛАСТОКИНЕТИКА
Глава 9
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ,
УРАВНЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ ЭЛАСТОКИНЕТИКИ
9.1. Дифференциальные уравнения,
граничные и начальные условия
Рассмотрим упругое тело, на которое действуют внешние
силы. Эти силы, поверхностные нагрузки и массовые силы, яв-
являются функциями положения и времени. К внешним воздей-
воздействиям отнесем и заданные на поверхности А тела перемещения,
также являющиеся функциями положения и времени t. Мы
ограничимся рассмотрением ограниченной односвязной обла-
области D и неограниченной области. В первом случае потребуем,
чтобы перемещения u(x, t) имели первые и вторые непрерывные
производные как по переменным х\, х2, Хз, так и по времени
t\ <C t <C t2- Для неограниченной области мы требуем выполне-
выполнения условий регулярности на бесконечности.
Известно, что действие внешних нагрузок и массовых сил
вызывает в динамических задачах не только поле перемещений
u(x, t), но и сопровождающее его температурное поле 0(х, t).
В принципе мы имеем дело с задачей термоупругости. Однако
сложный математический характер этой теории часто приводит
к непреодолимой трудности. Поэтому в классической эластоки-
нетике также принимается упрощающее предположение, выте-
вытекающее из того факта, что при быстро изменяющихся во вре-
времени нагрузках обмен тепла посредством теплопроводности ме-
между отдельными элементами тела происходит очень медленно.
Приближение, используемое в классической эластокинетике,
основано на трактовке термодинамического процесса как про-
процесса адиабатического.
В § 3.9 даны уравнения в перемещениях для анизотропного
тела в предположении адиабатичности процесса:
тс?/«К./ + и'.*)./ + *«вРй" '• >• *•/ = 1> 2> 3- A>
Здесь csijkl — упругие постоянные адиабатического процесса.
550 Гл. 9. Основные уравнения и теоремы эластокинетики
Величины cf,kl и с\,ы, измеренные в изотермических условиях,
связаны соотношением
A. .ft»..
B)
В последнем соотношении То — абсолютная температура есте-
естественного состояния, се — теплоемкость при постоянной дефор-
деформации, p,j — коэффициенты, содержащие как температурные,
так и упругие постоянные.
Свободная энергия системы U в случае адиабатического про-
процесса равна работе деформации:
U = W(S)=±ctjkleijekh C)
Приращение температуры 0 = Т— Го, где Т — абсолютная тем-
температура в точке х в момент t, связано в адиабатическом про-
процессе с тензором деформаций ец следующим соотношением:
e fM D)
В настоящей главе мы будем рассматривать изотропное одно-
однородное тело. К уравнениям, справедливым для этой простой
структуры упругого тела, мы легко придем, используя соотно-
соотношения
C//tz = A.6i/6ftZ + nFjt6/z + 6i/6/ft), Pi/ = vfy/, E)
выведенные в § 3.11. Уравнения в перемещениях тогда примут
вид
И5%. п + (Я.5 + lis) щ, ц + Х{ = рп,, /,/=1,2,3. F)
Из формул B) следует, что
Hs = цт, KS = KT + цткут. G)
Здесь цт, Хт — постоянные Ламе, измеренные в изотермических
условиях, yt = (ЗКТ + 2цт)а(, г\т = Тоут/се, где at — коэффи-
коэффициент линейного температурного расширения для изотропного
тела. Далее K = KJce, где Ко — коэффициент теплопроводности.
Температура, соответствующая деформации тела, дана форму-
формулой D), которая для изотропного тела принимает особенно про-
простой вид:
0х= — кг\те, e = d\wu = ultl. (8)
Температура пропорциональна объемному расширению. Нако-
Наконец, внутренняя работа представлена формулой
^ (9)
9.1. Дифференциальные уравнения 551
Из представленных выше уравнений F) и (8) следует, что бла-
благодаря предположению адиабатичности процесса температур-
температурное поле и поле перемещений получились раздельными. Напо-
Напомним, что в задачах термоупругости они связаны между собой
и удовлетворяют связанной системе четырех дифференциальных
уравнений.
Из соотношения (9) выводятся обобщенные соотношения
Гука для эластокинетики
/, i = i, 2, з.
В то время как в задачах эластостатики в соотношения Гука
входили изотермические постоянные Хт, цт, здесь входят адиа-
адиабатические постоянные ns, Xs.
Величины ец связаны с перемещениями соотношениями
8*/ = ("/./ + "/./)• О1)
Уравнения совместности Сен-Венана остаются справедливыми
и для динамических задач теории упругости.
Задача, которую мы ставим в эластокинетике, заключается
в решении системы гиперболических уравнений F) при задан-
заданных граничных и начальных условиях. Уравнения F) можно
представить в векторном виде:
ц\2и + (X + ц) grad div u + X -= pii, A2)
или
(X + 2ц) grad div u — ц rot rot u + X = pu, A3)
где
grad div u = V2u -f rot rot u.
Часто уравнения в перемещениях записываются в виде
с\ grad div u — с| rot rot u — u + p~1X = 0, A4)
где
1 V p / ' 2 \ p/
Физический смысл этих величин будет пояснен далее.
В уравнениях A2) — A4) при постоянных ц, X мы опустили
индекс S. Однако мы будем помнить, что входящие в уравнения
A2) — A4) постоянные Ламе относятся к адиабатическому со-
состоянию и измерены в адиабатических условиях.
Если в уравнениях эластокинетики положить ц = 0, то мы
получим уравнения в перемещениях для несжимаемой жид-
жидкости.
Эластокинетика, помимо всего прочего, находит широкое
применение в сейсмологии, изучающей распространение упругих
552 Гл. 9. Основные уравнения и теоремы эластокинетики
волн в земной коре. В этой области обычно принимается \i = Я,
что соответствует значению v = -г Для коэффициента Пуассона
и значению К.=--?и. для модуля всестороннего сжатия.
о
К уравнениям в перемещениях F) следует добавить гранич-
граничные и начальные условия. Если на поверхности тела А заданы
перемещения fi(x, t), то граничные условия имеют вид
«|(х. 0 = Ь(х, 0, хе= Л. A5)
Если на А заданы нагрузки р,(х, t), то граничные условия при-
принимают вид
оц(х, t)n1(x) = pt(x, t), xeA A6)
Возможен также случай смешанных граничных условий. Если
на Аи заданы перемещения fi(x,t), а на Аа — нагрузки pi(x,t),
причем А =*= Аи-гАа, то граничные условия запишем так:
щ(х, t) = f{(x, t), хе=Ла,
ajt (x, t) n, = pi (x, t), х е= Ао.
Начальные условия характеризуют движение тела в некоторый
начальный момент t0, например в момент t = 0. Мы имеем
A8)
Поле перемещений в момент t = 0 задается распределением
gi(x), а поле скоростей перемещений — распределением /г,(х).
В случае когда
щ(х, 0) = 0, й|(х, 0) = 0,
мы имеем дело с телом, которое до момента t = 0+ находилось
в состоянии покоя.
Рассмотрим векторное уравнение A3) и применим к нему
операцию дивергенции
(Я + 2ц) div V2u — р div u + div X = 0.
Используя обозначения
2
получаем следующее скалярное волновое уравнение для дила-
тации:
D2e=*--J-divX. A9)
9.1. Дифференциальные уравнения 553
Здесь
П2 — V2 — <92
1
—оператор Даламбера.
Применяя к уравнению A3) операцию rot и учитывая, что
divu = rot grad e = О, получим
It rot V2u — р rot ii + rot X = 0.
Вводя обозначение <•> = — rotu, где ю -^вектор поворота, а за-
затем обозначение
n2 — s/2 — <92
и2— v 2 ut,
получим векторное волновое уравнение
П2© i-rotX. B0)
4?
Правые части уравнений A9) и B0) различаются величинами
Ci и с2 (причем С[ > с2). Эти волны распространяются с разными
скоростями. Уравнение A9) характеризует волну дилатации,
уравнение B0) — волну сдвига.
Рассмотрим уравнение в перемещениях A4), исключив мас-
массовые силы,
c|V2u + (c2 — с|)grad divu — u = 0. B1)
Представим вектор и в виде
u = v + w B2)
с дополнительными условиями
rot v = 0, div w = 0. B3)
Из векторного анализа известно, что такое представление век-
векторного поля всегда возможно. Это представление вектора в
виде суммы градиента некоторого скаляра и ротора некоторого
вектора.
Подставляя в уравнение B1) формулу B2) и применяя к
этому уравнению операцию дивергенции, получим
div(c2V2v — v) = 0. B4)
Мы использовали здесь условие div w = 0. Ротор выражения,
содержащегося в скобках, равен нулю ввиду первого условия
B3). Однако если дивергенция и ротор некоторого вектора в
рассматриваемом объеме обращаются в нуль, то этот вектор.
554 Гл. 9. Основные уравнения и теоремы эластокинетики
тождественно равен нулю. Таким образом, выражение в скобках
должно быть равно нулю. Это утверждение приводит к волно-
волновому уравнению
0. B5)
Подставим формулу B2) в уравнение B1) и применим к этому
уравнению операцию rot. Учитывая первое условие B3) (rotv =
= 0) и условие rot grad div u = rot grade = 0, получим уравне-
уравнение
rot [c|V2w — w] = 0.
Так как дивергенция выражения в скобках равна нулю (т. е.
divw = 0), мы получим волновое уравнение
? fw = 0. B6)
Уравнения B5) и B6) различаются некоторыми свойства-
свойствами. Волна v, распространяющаяся в бесконечном теле, связана
с изменением объема, ибо rotv = 0. Эта волна сопровождается
сжатием и растяжением элементов тела, так что дилатация от-
отлична от нуля. Элементы тела не претерпевают изменения
формы, ибо rotv = 0. Волна w, распространяющаяся в беско-
бесконечном упругом пространстве, вызывает только изменение фор-
формы этих элементов, ибо divw = 0, a rotw Ф 0.
Волна v называется волной дилатации, волну w мы опре-
определяем как волну сдвига.
9.2. Плоская волна.
Структура одномерного волнового уравнения
Рассмотрим простейший случай распространения волны, а
именно плоскую волну. Волновое движение характеризуется
вектором перемещения и = («ь и2, и3) с той лишь разницей,
что составляющие щ являются функциями только переменных
х{ и L
Предположим, что X = 0 и что причиной движения в не-
неограниченной области являются начальные условия. Уравнения
в перемещениях для рассматриваемой одномерной задачи при-
примут следующий вид:
или
1 *2\
- -4т д(\ щ (*,, t) = 0, (д\ - -j df\ (и2, и3) = 0. B)
9.2. Плоская волна 555
Эти уравнения различаются только коэффициентами с{ и с2. По-
Поэтому рассмотрим общее одномерное волновое уравнение
lf /) = 0. C)
Вводя преобразование переменных
D)
и учитывая, что
дФ дФ ¦ дФ дФ I дФ дФ
<Э2Ф <Э2Ф , „ <Э2Ф
= c2[di® о д2ф | дЩ\
преобразуем уравнение C) к виду
Решением этого уравнения является функция
Возвращаясь к координатам хь t, имеем
Ф (х„ t) = /(*,+ ct) + g(x{- ct). F)
Это решение Даламбера, в котором f и g — произвольные функ-
функции. Аргументы функций f и g называются фазой в момент t,
а величина с — фазовой скоростью.
Предположим, что мы имеем дело с начальными условиями
Ф(*1, 0) = а(л:1), Ф(хь 0) = ?(*!). G)
Используя решение F), получим
После интегрирования второго из уравнений (8) имеем
1 /•'
ь
556
Гл. 9. Основные уравнения и теоремы эластокинетики
где Ь — произвольная постоянная. Таким образом,
ь
Подставляя эти функции в формулу F), найдем
:,-ct
В частном случае, когда скорость перемещения в начальный
— f
2с J
(9)
-а
А
1 \
у ^
12
L
/Z 1
Щ У
-а
Л
/ \
h
U
/ Nt-ICM
\j/ _J_J_
А °
1 у—¦
\| 1
РИС. 9.1.
\
|\|-г-|<М
Л
II N
1
я.
i a
>: 2а
+ Ьа
>Z'2c
r+i 2a
, >t- с
момент равна нулю, интеграл в формуле (9) обращается в нуль,
так что
Q> = ±-[a(xl+ct) + a(xl — ct)]. A0)
На рис. 9.1 показано распространение возмущения
0, х < — а,
0, х>а.
9.2. Плоская волнй
557
Здесь мы имеем наложение двух перемещающихся возмущений:
функции a(*i + ct) в направлении оси —Х\ и функции a(*i — ct)
в направлении оси +*ь
Начальное возмущение A1) перемещается здесь с постоян-
постоянной скоростью с. Интересно то, что в направлении осей -\-х\
и —Х\ перемещаются горбы величины -^а{х^). Рис. 9.1 в мо-
моменты времени t = const представляет собой мгновенную фо-
фотографию перемещающихся возмущений. На рис. 9.2 представ-
представлено перспективное изображение функции Ф(л:1,/).
Рассуждения, относящиеся к волновому уравнению C), мы
можем перенести и на волновые уравнения в перемещениях B).
Перемещение «i характеризует упругую волну, распростра-
распространяющуюся в направлении och*i с постоянной скоростью С\. Пере-
Перемещения и2 и «з характеризуют упругие волны, распространяю-
распространяющиеся в направлении оси х\ с постоянной скоростью с2 < с\.
Обычно принято называть перемещение щ упругой продоль-
продольной волной, а перемещения и2 и и3 — поперечными волнами. На-
Название «продольная волна» обусловлено тем, что направление
распространения волны и направление вектора щ совпадают.
Перемещения и2 и и3 имеют направления, перпендикулярные
к направлению распространения волны; отсюда название «по-
«поперечные волны».
Дилатация е = diUi связана только с волной щ, ибо д2и2 =*
= д2и3 = 0. Продольная волна сопровождается сжатием или
растяжением элементов тела, так что продольная волна одно-
одновременно является волной дилатации. Рассмотрим волновое
558 Гл. 9. Основные уравнения и георемы эластокинетики
уравнение C) для случая гармонически изменяющихся во вре-
времени возмущений.
Примем решение уравнения C) в виде
Ф = Ф°ехр [/(foe,— со*)]. A2)
Подставляя формулу A2) в C), получим
Решением уравнения C) является функция
Очевидно это решение является частным случаем решения Да-
ламбера F).
Рассмотрим частное решение
Ф = А ехр — /a ( t ¦+- -fr
или
/ = ^-. A3)
Величины А и /—постоянные; А является амплитудой колеба-
колебаний, а величину /') мы определим, зафиксировав время t и
определяя функцию Ф для сечений х\ = \\ и х\ = |i + nl, где
п — целое число. Мы имеем
ФE„ 0
Мы видим, что фазы точек, отстоящих друг от друга на /, 21,
31 различаются на 2л, An, 6я, ..., т. е. являются одинако-
одинаковыми. Функция Ф изменяется внутри отрезка /, но ее значения
повторяются через /. С другой стороны, плоские волны обла-
обладают свойством периодичности по времени
ф (х,, t + Т) - А ехр { - If- [ с (t + Т) + х, ]} =
') Величина I назщрается длиной волны. — Прим, перев,
9.2. Плоская волна 559
Условие периодичности требует, чтобы Т = 1/с, ибо только тогда
Выражение A3) мы можем записать также в виде
[-2m(f + ^-)]. A4)
Равенство t/T = xjl определяет точки одинаковой фазы.
Пусть теперь плоская гармоническая волна распространяется
в направлении нормали п к плоскости
Здесь р — расстояние плоскости от начала координат. Общим
решением волнового уравнения является функция
Ф = Лехр| —•^-[с/.+ (п1ДС1+я2дс2 + яэдс3)]}, щщ = \, A5)
что можно проверить подстановкой.
Переходя к уравнениям в перемещениях
М-"/, kk + (Л + ц) uk, щ = рйу, A6)
представим решение этих уравнений в виде
щ = А, ехр [— ^~ (ct + xmnm)]. A7)
Подставляя выражение A7) в A6), получим систему уравнений
(X + ц) п,- (Aknk) + цА,- - рс2А,- = 0, /, k = 1, 2, 3. A8)
Приравнивая нулю определитель системы A8), получим
((i-pc2J(A + 2ti-pc2) = 0, A9)
откуда
Возникает вопрос, какие из величин с\, с2 следует поставить
в соответствие отдельным составляющим вектора и. Для упро-
упрощения решения положим, что нормаль п направлена по оси х\.
Тогда п.\ = 1, п2 = и3 = 0, и из уравнений A8) получим
Поэтому скорость с1 = (— )' связана с перемещением щ,
а скорость с2 = (ц/р)'— с перемещениями и2, и3. Окончательно
560 Гл. 9. Основные уравнения и теоремы эластокинетики
имеем
«! = А{ ехр [ f-(cit =F л
B0)
«з = Л3 ехр [— Щ^ (c2t + л:;)].
Волна «1 является продольной волной, волны и2 и «3 — попереч-
поперечными волнами. В сейсмической литературе продольная волна
называется Я-волной (primary wave), а поперечная волна 5-вол-
ной (secondary wave). В свою очередь S-волна делится на SV-
и 5Я-волны, т. е. на волну, поляризованную в вертикальной
плоскости (SV — vertical secondary wave), и на волну, поляризо-
поляризованную в горизонтальной плоскости (SH — horizontal secondary
wave).
9.3. Общее решение Ламе
В § 9.1 мы рассматривали общее решение уравнений в пере-
перемещениях
clV2u + {с\ — el) grad div u — и + р"'х = 0, A)
представив перемещение и в виде суммы
u = v+w, divw = 0, rotv = 0. B)
Этим условиям удовлетворяет представление Ламе1)
u = grad Ф + rot тр. C)
Если аналогичным способом представить массовые силы
X = p(gradft + rotx), D)
то после подстановки выражений C) и D) в A) получим два
независимых друг от друга простых волновых уравнения: ска-
скалярное волновое уравнение
и векторное волновое уравнение
пц>=-4 х- F)
с2
Уравнение E) описывает продольную волну, распространяю-
распространяющуюся со скоростью С\, уравнение F) —поперечную волну, пе-
') Q. Lame, loccit. стр. 197.
9.3. Общее решение Ламе 561
ремещающуюся со скоростью Сг- Уравнение E) относится к без-
безвихревому полю, ибо
rot v = rot grad Ф — 0.
Дилатация отлична от нуля, так как
0.
Поперечные волны не вызывают изменения объема тела, ибо
div w = div rot ip = 0. Они вызывают только изменение формы
тела.
Следует еще обсудить граничные и начальные условия урав-
уравнений E) и F).
Если тело не ограничено, то следует постулировать, что со-
составляющие массовых сил (grad О, rot^) занимают ограничен-
ограниченную область. Только в этом случае напряжения и деформации
на бесконечности будут обращаться в нуль. Граничные условия
отпадают в полном смысле этого слова, и частные решения урав-
уравнений E) и F) являются окончательными решениями задачи.
Зная функции Ф, тр, определим перемещение и из соотношения
C). Заметим еще, что в неограниченном упругом пространстве
волны обоих типов распространяются независимо друг от друга.
Если тело ограничено, то продольные и поперечные волны
распространяются от места возмущения до границы, а затем от-
отражаются. В случае граничного условия в перемещениях и =
= f(x, t) получим
u = f(x, t) =
или
11 =
f2 = д2Ф + <531|>1 — diifo. G)
/3 = <53Ф
В ограниченном теле функции Ф и тр связаны между собой гра-
граничными условиями. Аналогично дело обстоит с граничными
условиями в напряжениях и с начальными условиями.
Нам остается показать, что для полного определения пере-
перемещений достаточно знать динамические потенциалы Ф и ijj.
Дюгем') доказал следующую теорему о полноте, сформулиро-
сформулированную Клебшем2). Пусть u(x, t)—частное решение уравнения
A) (для X = 0) в области D при ti<t<t2. Тогда существуют
некоторая скалярная функция Ф(х,t) и некоторая векторная
>) Duhem P., Sur l'integrale des equations des petits mouvement d'une
solide isotrope, Mem. Soc. Sci., Bordeaux, ser. V, 3 A898), 316.
2) Clebsch A., Uber die Reflexion an einer Kugelflache, /. /. d. reine u. angew.
Май., 61 A863), 195.
562 Гл. 9. Основные уравнения и теоремы эластокинетики
функция тр(х, t), такие, что
u ^ grad Ф + rot tJj, divip = 0, (8)
причем Фиф удовлетворяют уравнениям
П2Ф = 0, ?!* = (). (9)
Эта теорема относится к случаю отсутствия массовых сил '),
однако ее нетрудно обобщить на' случай действия массовых сил.
В доказательстве этой теоремы исходной точкой является
определение некоторой векторной функции W как ньютонов-
ньютоновского потенциала:
Здесь R(x, |)—расстояние между точками х и § области D.
Очевидно
V2W = u, A1)
u = graddivW — rot rot W. A2)
Вводим новые функции U(x,t) и V(x, t), которые определяем
следующим образом:
l/ = divW, V = -rotW. A3)
Сравнивая формулы A3) и A2), получим следующие представ-
представления вектора перемещения:
и = grad U + rot V, divV = 0. A4)
Подставляем выражение A4) в уравнения в перемещениях A).
После простых преобразований имеем
0. A5)
Применим к уравнению A5) сначала операцию дивергенции, а
затем операцию rot. В результате получим уравнения
у2П2# = 0> V2D2V = o. A6)
Интегрирование этих уравнений приводит к соотношениям
n]U = a(x, t), D^V = b(x, t), A7)
где а (х, О» Ь (х, t) — гармонические функции, так что
V2a(x, /) = 0, V2b(x, 0 = 0, divb = 0. A8)
') Sternberg E., On the Integration of the Equations of Motion in the
Classical Theory of Elasticity, Arch. Rat. Mech. Anal, 6, № 1 A960).
9.3. Общее решение Ламе 563
Определим две новые функции А(х, t) и В(х, t):
t X
Л(х, 0 = 4- f f а(х>
4
Сл
В (x, 0 = -V f f b (x. *) dX dx, tx<tu<t2,
Co •* *
2 <, <•
такие, что
а(х, /)== — -— b(x, /)=-т-^-. B0)
С[ or c2 of
Используя соотношения A8), убеждаемся, что
VM = 0, V2B = 0, divB = O. B1)
Определим две функции Ui(x,t) и 4j>(x, /), такие, что
Ul = U + A, ip = V+B. B2)
Подставляя формулы B2) в A7) и принимая во внимание со-
соотношения B0) и B1), получим следующие волновые урав-
уравнения:
= 0, D24> = 0. B3)
Вернемся к соотношению A4) и выразим входящие в него функ-
функции через функции B2):
u = grad U + rot V = grad I/, + rot ip + u*, B4)
u* = — grad A — rot B.
Заметим, что
div u* = — div grad A — div rot В = О,
rot u* = — rot grad A — rot rot В = V2B — grad div В = 0.
Эти соотношения позволяют утверждать, что существует функ-
функция U2(x, t), такая, что
u* = grad U2, V2U2 = 0. B5)
Подставим формулы B5) в B4) и получим
u = grad (?/, + C/j) + rot ф. B6)
Затем подставим формулы B6) в уравнение A), учитывая со-
соотношения B3) и второе из соотношений B5). В результате
получим уравнение
grad ^— 0,
откуда
tf (Q P() + W- B7)
564 Гл. 9. Основные уравнения и теоремы эластокине^ки
Из второго уравнения B5) имеем
V2p = 0, V2Y = 0. B8)
Введем, наконец, функцию Ф(х, t), определенную следующим
образом:
Ф = С/, (х, /) + U2 (х, 0 — а (/). B9)
Из соотношений B6) и B9) вытекает, что перемещение и
удается представить в виде зависимости
u = gradO + rot -ф, divf = 0. C0)
Таким образом, мы получили разложение вектора перемещения
на потенциальную и соленоидальную части, предложенное Ламе.
Применим к формуле B9) оператор П2. Используя соот-
соотношения B3), B7) и B8), получим П2Ф = 0. Учитывая фор-
формулу B3), окончательно имеем
П2Ф = 0, п|* = 0. C1)
Итак, теорема о полноте решений доказана.
Некоторым вариантом представленного здесь метода реше-
решения при помощи разложения вектора перемещения на потен-
потенциальную и соленоидальную части является решение, приме-
примененное Сандру1) для определения фундаментальных решений
уравнения A).
Подставляя в уравнение A) выражение
u = grad<p-fw, C2)
получим уравнение
( ) w] + с|П^ + р-'Х = 0. C3)
Выберем векторную функцию w так, чтобы удовлетворялось
волновое уравнение
nD2w + X = 0; C4)
тогда остается уравнение
с\П2Ф + {с\ — с2,) div w = 0.
После применения к этому уравнению оператора П\ и исполь-
использования уравнения C4) получим для определения функций ф
биволновое уравнение
') Sandru N., О действии переменных во времени сосредоточенных сил
в неограниченном упругом пространстве, Bull. Acad. Polon. ScL, Ser. Sci.
Techn., 12, № 1 A964).
9.3. Общее решение Ламе 565
Этот путь удобен для определения перемещений в упругом не-
неограниченном теле.
Вернемся к решению Ламе и рассмотрим двумерные задачи.
Если u = (hi,«2>0), to решение удается представить с по-
помощью двух функций:
Ф = Ф(агь х2, t), ^,=^2 = 0, г|)з = гНх,, *2. 0-
Представление C) дает
н,=д,Ф + д2г|), и2 = д2Ф — д$, C6)
а волновые уравнения принимают вид
П2ф = 0, ПЦ> = 0, C7)
где
? 2a = V?_4<5?, a=l, 2, S\ = d\ + dl
Если действуют массовые силы, то, выражая их следующим об-
образом:
д1%), C8)
получим неоднородные волновые уравнения
Г |Ф -Ч-Х- C9)
С1 С2
Во многих задачах эластокинетики мы имеем дело с осе-
симметричной деформацией относительно некоторой оси, на-
например оси z. Деформацию тела в этих случаях удобнее пред-
представлять в цилиндрических координатах (г, <р, 2). В силу сим-
симметрии относительно оси z как перемещения, так и деформации
не зависят от угла ср.
Выразим перемещения иг, иг через потенциалы ФиТ:
и подставим их в уравнения движения (при Х = 0):
\К + WI dr2 -t- r dr r2 -f drdz J -t-
dz dr
566 Гл. 9. Основные уравнения и теоремы эластокинетики
После простых преобразований находим систему двух волно-
волновых уравнений
? fa> (г, г, 0 = 0, (V2 V - 4 А Ч (r> z, 0 = 0. D3)
\ Г С2 /
где
п2 V72 1 д2 г,2 дг . 1 д . д2 , 9 . 9.,,
Di = v 2"C() V =—yH —+ ТТ' г = (лгг + Jfj) •
с\ дг г дг dz к ' г>
Второе из этих уравнений приводим к виду волнового уравнения
? !Ч> = 0, D4)
если введем новую функцию *р, связанную с W зависимостью
т ~ дг '
Если в осесимметричной задаче не фигурирует и переменная г,
то формулы D0) сводятся к равенству иг = дФ/дг, а из урав-
уравнения D1) при «z = 0 и приравнивании нулю производных по z,
получается волновое уравнение
? ?Ф(г, 0 = 0, D5)
где
I-.2 V2 1 Д2 V2_ д2 . 1 д
с\ df r дг
Этот случай соответствует цилиндрическим волнам.
Рассмотрим еще частный случай волнового движения, харак-
характеризующегося центральной симметрией. В сферических коор-
координатах (R, ф, О) имеем и= («д, 0, 0). Уравнения в перемеще-
перемещениях имеют вид
(X + |i) ф -^ (R2uR) -pilR = 0. D6)
Вводя потенциал
и
получим волновое уравнение
где
д1\ф(Я, 0 = 0, D7)
9.4. Решение Яковаке
567
Сферические волны могут быть обусловлены наличием точеч-
точечного центра расширения — сжатия в бесконечном упругом про-
пространстве. Они могут возникнуть также в пространстве со сфе-
сферической полостью, если на границе полости действует изме-
изменяющаяся во времени нагрузка.
9.4. Решение Яковаке. Решение Папковича— Нейбера
Представим систему уравнений в перемещениях в удобном
для дальнейшего виде
V2Ui + ku, jiJrFi = \uh i, j=l, 2, 3, A)
c2
где
Уравнение A) можно компактно представить в операторной
записи
здесь
4
с2
Введем векторную функцию х = (хь Хг> Хз) и выразим с ее
помощью перемещения следующим образом:
«1 =
Xl
%3
-33
Xi -^-13
Х2 -^-23
Хз -^-33
«3 =
Xl
• C)
Выполняя указанные действия, получим для ut формулы
- а*)] ф2 -
- ла2азФз,
или в общей записи
Принимая во внимание, что операторы П2 и П2 связаны соот-
соотношением
"-У2, E)
568 Гл. 9. Основные уравнения и теоремы эластокинетики
представим формулу D) в виде
т. е. выразим перемещения через вектор <р. Легко заметить, что
для статической задачи уравнение F) принимает вид, получен-
полученный в § 5.3, а вектор <р становится вектором Галеркина.
Подставим перемещения C) в уравнения B). Для опреде-
определения функций %i находим систему уравнений
n Ll2 ь
Ц
L2l L22 L
23
^-33
G)
Выполняя нужные операции и вводя вектор <р = П2Х> получим
систему уравнений
(К + 2ц)П?П|ф| + ^ = 0, (8)
которая в векторной записи принимает вид
(А + 2ц)П?П|Ф + Х = 0. (9)
Соотношения F) и уравнение (9) были выведены Яковаке1).
Легко заметить, что для статической задачи уравнения (9) пе-
переходят в бигармонические уравнения Галеркина.
Применение биволновых уравнений (9) достаточно удобно
в случае действия массовых сил в бесконечной области, где
частное решение уравнения (9) является окончательным реше-
решением задачи.
Для конечной области следует предпочесть решение Ламе.
Ведь в случае первой краевой задачи фигурируют первые про-
производные потенциалов, в случае второй краевой задачи — вто-
вторые производные. Как видно из соотношений F), в методе
Яковаке в первой краевой задаче фигурируют уже вторые про-
производные, а во второй краевой задаче — третьи производные.
При отсутствии массовых сил уравнение (9) становится од-
однородным. В этом случае можно использовать теорему Бод-
жио2), которая утверждает, что самым общим решением урав-
уравнения
0,02 ... 0^ = 0, A0)
где S>i, .... Фп — некоторые операторы, является функция
Ф = фA) + фB)+ ... + ф<»>. A1)
') Iacovache М, О extindere a metodei lui Qalerkin pentru sistemul ecu-
atiilor elasticitatii, Bull. Acad. Sci. RPR, Ser. A, 1 A949), 593.
2) Boggio Т., Sull integrazione di alcuna equationi linerari alle derivatg
parziale, Ann. Mat, ser. Ill, 8 A903), 181.
9.4. Решение Яковаке 569
Функции <p<ft> удовлетворяют уравнениям
O, k = l,2,...,n. A2)
Примененный здесь способ вывода представления F) и урав-
уравнений (9) не гарантирует, однако, полноты решения задач эла-
стокинетики при использовании функции ср. Ниже мы дадим
доказательство полноты, данное Стернбергом и Юбенксом1),
т. е. докажем следующую теорему.
Пусть вектор перемещения и(х, /) является частным реше-
решением уравнений A) в области В (не обязательно односвязной)
для —оо < t < оо. Тогда существует векторная функция <р(х, t),
такая, что вектор перемещения u(x, t) выражается через нее
следующим образом:
(^) A3)
Функция ф(х, t) должна удовлетворять волновому уравне-
уравнению (9). Подставим формулу C) § 9.3 в систему уравнений
в перемещениях A). В результате получим уравнение
г^п^ + 0
Определим функцию <р с помощью скалярной функции •& и век-
векторной функции %:
и подставим <р в уравнение (9):
f^r = 0. A6)
Из сравнения уравнений A4) и A6) следует, что функции Ь
и х должны удовлетворять уравнениям
Ф, П?Х = ^. A7)
Функции О и х являются запаздывающими потенциалами:
в
где /?(x, |) —расстояние между точками х и \.
') Sternberg E., Eubanks R. A., On Stress Functions for Elastokinetics and
the Integration of the Repeated Wave Equation, Quart. Appl. Math., 15 A957),
149.
570 Гл. 9. Основные уравнения и теоремы эластокинетики
Применим к равенству A5) оператор ??. Принимая во вни-
внимание второе из соотношений A7), получим
^ot*. A9)
Вернемся к представлению A3), исключая из него выражение
rotip с помощью равенства A9). В результате получим
Lny B0)
Выражение в скобках преобразуем, используя первое из уравне-
уравнений A7) и соотношение
^ B1)
Таким образом, получим
u = А±2й п 2ф _ A±JL grad v*fl. B2)
Приняв во внимание следующее из формулы A5) соотношение
divq> = V2ft, B3)
преобразуем выражение B2) к виду
iLivq)j B4)
а это представление идентично формуле F). Таким образом,
справедливость представления Яковаке доказана.
Ниже мы установим, следуя Стернбергу'), связь между ре-
решением Яковаке и решением Ламе. Рассмотрим однородную си-
систему уравнений A), которая после введения представления
F) переходит в систему уравнений
П2П2ф = 0 B5)
В силу теоремы Боджио решение уравнения B5) можно пред-
представить в виде
Ф = Ч-' + Ф". B6)
причем функции <р' и <р" удовлетворяют уравнениям
~У0, B7)
0. B8)
•) Е. Sternberg, loc. cit. стр. 562.
9.4. Решение Яковаке 571
Подставляя выражение B6) в представление F) и учитывая
уравнение B7), получим
А±^ + ф"). B9)
Воспользуемся, далее соотношением E) и уравнением B8); это
приводит B9) к виду
u = i+-t [vy
или
u = _A±JL [grad div q>' + rot rot q>"]. C0)
Здесь мы использовали соотношение
grad div ц>" = V2<j)" -f rot rot <p".
Определим новые функции Ф и if следующим образом:
a> = _A±iLdivq>', tt = — A+JL rot (p". C1)
Подставляя формулы C1) в C0), получим представление
u = gfad Ф + rot if, divip = 0, C2)
идентичное представлению Ламе. Нужно еще проверить, удов-
удовлетворяют ли функции Ф и ip, выраженные через <j/ и <р" фор-
формулами C1), волновым уравнениям
? ?Ф = 0, ?!* = (). C3)
В силу уравнений B7) и B8) получим
П2Ф = _ A+JL div П?Ф' = 0,
От трехмерной задачи уже можно перейти к двумерной. Сле-
Следует, однако, добавить, что непосредственным введением функ-
функции ф для двумерной задачи мы обязаны Собреро1), который
рассматривал весьма общий класс линейных дифференциаль-
дифференциальных уравнений в частных производных.
Предположим, что перемещения не зависят от переменной х3.
Тогда система уравнений A) примет вид
1„р(ир) + Fa = 0, «з = 0, а, р=1, 2, C4)
') Sobrero L., Delle funzioni analoghe a potenziale intervenienti nella Fi-
sica-Mathematica, Atti Reale Accad, Lincei, Ser. VI, 21 A935), 448.
572
Гл. 9. Основные уравнения и теоремы эластокинетики
где
Входящие в систему уравнений C4) перемещения их и и2 вы-
выразим через две функции q>i и фг следующим образом:
и,=
Отсюда находим
где
ф2
12б
Z-22
}
Я
+
2ц ° 3
Z-21
w
Ф1
ф2
а,
•
Р =
1, 2,
C5)
C6)
Функции фа (а = 1, 2) должны удовлетворять уравнению
L\i Z-12
21 22
Выполнение указанных действий приводит к биволновому урав-
уравнению
I, 2.
C7)
Рассмотрим теперь осесимметричную задачу. Если осью сим-
симметрии является ось z, то достаточно положить
Фз = ф(г, z, t), ф!=ф2 = 0, C8)
где фь фг, фз — декартовы координаты вектора ср. Из соотноше-
соотношения (б) получим
Я + ц d2q>
иг = — -
ц дг dz '
C9)
Функция ф должна удовлетворять биволновому уравнению
П?П22Ф=0. D0)
При переходе к статической задаче функция ф становится функ-
цией Лява.
9.4. Решение Яковаке 573
В гл. 5 мы часто пользовались представлением перемеще-
перемещения и с помощью функций Папковича — Нейбера. Метод этих
авторов довольно удобен при решении некоторых краевых задач.
Посмотрим, будет ли представление
R-x)-4(l-v)x D1)
удобным также и для задач эластокинетики.
Подставим формулу D1) в уравнение
+ (А, + ц) grad div u + X = pii; D2)
тогда мы получим уравнение
grad [(k + 2ц) (V28 + R • \\) - Р9 - р (R • %)] -
-4A-v)[hV2X-PX] + X = 0. D3)
Выберем функцию х так, чтобы удовлетворялось уравнение
-4(l-v)nD22X + X = 0. D4)
Из уравнения D3) остается
0. D5)
Уравнения D4) и D5) образуют полную систему волновых
уравнений.
Если мы имеем дело с бесконечной областью, ход решения
будет таков. Из решения уравнения D4) определяем функцию %
и подставляем ее как известную функцию в уравнение D5). Из
решения этого уравнения получаем функцию Э.
Для ограниченного тела решение последней системы волно-
волновых уравнений становится довольно сложным. Это вызвано свя-
связанностью функций 0 и х в уравнении D5).
Установим теперь связи между функцией Яковаке <р и обоб-
обобщенными на динамические задачи функциями Папковича — Ней-
Нейбера 0 и х- Определим функции 0 и х как
0(х, O = -AyiLdivcp-R-x,
Тогда представление
переходит в представление Папковича — Нейбера
R-x)-4(l-v)x. D8)
574 Гл. 9. Основные уравнения и теоремы эластокинетики
С другой стороны, из формулы D6) при учете уравнения (8)
получим
+ X = 0, D?e + R.D?X = 0. D9)
Из всех рассмотренных до сих пор представлений u(x, t) (через
потенциалы Ламе Ф и гр, через функцию Яковаке ср и через обоб-
обобщенные функции Папковича — Нейбера Э и %) наибольшее прак-
практическое значение имеет представление Ламе. Оно приводит к
самым простым волновым уравнениям. Представление с помощью
функции ф удобно для определения перемещений в бесконечной
среде и в упругом полупространстве. Наименее удобное пред-
представление дают функции 9, % ввиду связанности волновых урав-
уравнений D4) и D5).
9.5. Уравнения эластокинетики в напряжениях
Во многих задачах эластостатики важную роль играют урав-
уравнения в напряжениях Бельтрами — Мичелла, особенно в задачах
о кручении и изгибе стержней и в задачах, связанных с пло-
плоским напряженным и плоским деформированным состояниями.
Аналогичные уравнения для задач эластокинетики вывел Игна-
чак').
Исходным пунктом являются уравнения в перемещениях
)uk.kt + Xt = put. (I)
Используя связи между тензором деформаций и перемещениями
2в*/ —«*./ + «/.*, B)
преобразуем уравнения A) к виду уравнений, содержащих де-
деформации,
\*ц. ** + (*+ V) 4k, i, + у (Xt. I + xt. i) = Phi- C)
Далее воспользуемся соотношениями Гука
= а,, —
Подставляя формулы D) в C), получим дифференциальные
уравнения
•Ч~ ЗЯ + 2и °ss,kk-tAlt,-\- A,ti =
I Kb,, \
E)
') Ignaczak J., Direct Determination of Stresses from the Stress Equations
on Motion in Elasticity, Arch. Mech. Stos., 11, № 5 A959), 671—678.
9.5. Уравнения зластокинетики s напряжениях 575
Свертывая уравнения E), получим соотношение
Используя формулу F), сводим уравнения E) к виду
Эти уравнения являются обобщением уравнений Бельтрами —
Мичелла на динамические задачи. Если нагрузки, а тем самым
и напряжения не зависят от времени, то получаем уравнения
в напряжениях эластостатики (см. формулы F) § 4.4).
Применим к уравнениям G) оператор Df; получим
b ОД,,+ *,. 0+ ТТЩГ ВД. г- Т^- ^. гЧ-0. (8)
В этом общем случае тензор напряжений удовлетворяет неод-
неоднородному биволновому уравнению. При отсутствии массовых
сил имеем
D\okk = 0, D?D^/ = 0. (9)
Напряжение atj можно разделить на две части; ai;. = а,/ + (х"/,
причем
K К = 0. A0)
Очевидно, что уравнения G), выраженные через напряже-
напряжения, необходимо выполняются в линейной эластокинетике. Как
мы покажем ниже на примере плоской задачи, они не являются
достаточными для решения конкретной краевой динамической
задачи. Ниже мы предложим другой вариант уравнений движе-
движения в напряжениях, которые не только являются следствием
основной системы уравнений эластокинетики, но и обусловли-
обусловливают эту систему. Игначак ') доказал разрешимость этого ва-*
рианта уравнений в напряжениях, а также теорему единствен-
единственности их решения иным путем, без ссылки на энергетические
соображения. Вывод этой последней теоремы мы ниже по-
повторим.
Исключая из уравнений A) и B), а также из уравнений
движения
<*n.i + Xt~put A1)
') Ignaczak J., A Completeness Problem for Stress Equations of Motion,
Arch. Mech. Stos., IS A963), 225—234.
576 Гл. 9. Основные уравнения и теоремы эластокинетики
перемещения и деформации, приходим к соотношениям в напря-
напряжениях
]^) k.k + Xl).t, A2)
которые являются необходимыми уравнениями эластокинегики.
Рассмотрим вторую краевую задачу, предполагая, что на од-
носвязное тело действуют внешние силы. Пусть на поверхности
А заданы граничные условия
а,,(х, t)n,(x)=pl(x, t), хеД A3)
а напряжения ал удовлетворяют внутри тела начальным усло-
условиям
аи(х, 0) = а?/(х), 61)(х,0) = &>1. A4)
Предположим, что мы имеем дело с двумя различными реше-
решениями уравнения A2), напряжениями a'it и a"f. Обозначим их
разность через ту, а разность перемещений и\ — и" через Hi.
Разность напряжений хц должна удовлетворять системе урав-
уравнений движения
A5)
с однородными граничными и начальными условиями
хи (х, 0 п, (х) = 0, х е= А, хИ(х, 0) = хИ (х, 0) = 0, хеУ, A6)
а также уравнению
Р /
•jT V'
ЗЯ + 2ц *
Умножим это уравнение на xi} и проинтегрируем по объему
тела У и по времени 0 < т < t < оо:
t
J dx\ \{ХЧХЧ ~~ зя + 2ц ****««) "{Г ~(т«- */+т*/. **) *//] dV=0, A8)
о v
Но
Применим теорему Гаусса — Остроградского к выражению
t t
J dx J (t*,,*^),/^ —Jdt J xk{tk?tln,dA —
0 V 0 V
t
~ J dx J [w
9.5. Уравнения эластокинетики в напряжениях 5??
Этот интеграл равен нулю в силу первого граничного усло-
условия A6). Уравнение A8) поэтому примет вид
t
\{^k (/ UTW****»»
о v
Учитывая соотношения A5), имеем
**) + 2
и v
или
dV =0-
Используя соотношения D), окончательно получим
J (nV</ + y<Ww +%Ulpi)dV = 0, elj = B\l-^v B0)
При ц > 0, ЗА, + 2ц, > 0, р > 0 мы имеем дело с квадратичной
положительно определенной формой. Поэтому должно быть
ёц = 0, Oi = 0, а следовательно, и Tij = 0. В силу однородности
начальных условий для напряжений получим щ = 0. Итак, мы
имеем дело с единственностью напряжений.
Вернемся к уравнениям в напряжениях G) и отбросим в них
массовые силы:
Продифференцируем уравнение B1) по х, и получим
***¦'=°- B2)
Используя соотношение F), которое при Zj = 0 примет вид
D?aftft = 0, B3)
получим систему уравнений
Разрешая уравнение A1) относительно ы^ (при X,- = 0 и в пред»
положении однородности начальных условий), получим
t
рщ (х, 0 = J (/ — т) оц, i (х, т) dx. B5)
S78 Гл. 9. Основные уравнения и теоремы эластокинетики
Подставляя B5) в B4) и учитывая соотношения A2) при
Xi = О, сводим систему уравнений B4) к системе уравнений
эластокинетики в перемещениях
\*Я2щ + (А, + \i) uk, ki = Р#е- B6)
Уравнения в напряжениях F) и G) справедливы также для
двумерных задач. Если внешние силы, граничные и начальные
условия не зависят от переменной xs, то уравнения в напряже-
напряжениях примут для плоского деформированного состояния вид1)
-aYY = 0, B7)
? ?aYY = 0, a, p, Y = l, 2. B8)
Справедливы следующие соотношения:
Ябар
YP
B9)
t
pua (x, t) = J (t — т) aap, p (x, t) dx, C0)
о
Ябя
Эти уравнения были использованы Игначаком2) для решения
задачи о поверхностных волнах Рэлея. Метод уравнений в на-
напряжениях оказывается удобным при исследовании динамиче-
динамических задач для изотропных неоднородных тел.
Для решения двумерных задач довольно удобным в приме-
применениях оказывается некоторый вариант уравнений в напряже-
напряжениях, предложенный Снеддоном 3) и Радоком4). Он основан на
таком использовании уравнений движения и условий совместно-
совместности, что получаются волновые уравнения для трех неизвестных
функций аи, (Х22, cti2. Часть этих уравнений удовлетворяется
одной функцией напряжения, являющейся в некотором смысле
обобщением функции Эри на динамические задачи. Ход рассуж-
рассуждений в этом варианте следующий.
') Ignaczak J., On the Stress Equations of Motion in the Linear Thermo-
elasticity, Arch. Mech. Stos., 15, № 5 A963), 691—695.
2) Ignaczak J., Rayleigh waves in a Non-homogeneous Isotropic Elastic
Semi Space (I), Arch. Mech. Stos., 15, № 3 A963), 341—346.
3) Sneddon I. N.. Rend. Circ. Mat. Palermo, 1 A952), 57.
4) Radok J. R. M., On the Solution of Problems of Dynamics Plane Elasti-
Elasticity, Quart. Appl. Math., 14 A956), 289.
9.5. Уравнения эластокинетики в напряжениях 579
Исходным пунктом являются два уравнения движения:
djcxn + d2a21 = pw1, дхаХ2 -f др^ = рй2, C2)
и уравнение совместности
дН22 + д\ги = 2дхд2г12. C3)
Воспользовавшись соотношением C1), выразим условие сов-
совместности C3) в напряжениях:
д\а22 + д\ап - jj^- V? (ап + а22) = 2дхд2аХ2. C4)
Продифференцируем первое из уравнений C2) по хи второе по
х2 и сложим:
д*1оп + др22 + 2д1д2о12 = рё, е = дхих + д2и2. C5)
Учитывая, что
( ) = ап + а22, C6)
преобразуем C5) к виду
д?<гп + д\р22 + 2дхд2в12 = 2 (ЯР+ ц) (а„ + а22). C7)
Исключая из уравнений C4) и C7) напряжение а\2, получим
первое основное уравнение
f(cru +ст22) = 0. C8)
Продифференцируем первое уравнение C2) по хи второе по х2
и вычтем почленно. Тогда
Принимая во внимание, что
еП — е22 == Т>Ц" (^II
и выполняя простые преобразования, приходим ко второму ос-
основному уравнению
Наконец, продифференцируем первое уравнение C2) по х2, вто-
второе по х\ и сложим. Получим третье основное уравнение
дАК+°22)+П!*12 = 0- D0)
Для определения неизвестных функций an, o22, <У\2 имеем три
уравнения C8) —D0). Удовлетворим сначала уравнению C9).
19*
580 Гл- 9- Основные уравнения и теоремы яластокинетики
Выражая напряжения ац и а2г с помощью некоторой функции
on=d\F-^d]F, a.a = d\F—±d*F, D1)
и подставляя формулы D1) в C9), убеждаемся, что это урав-
уравнение удовлетворяется. Подставляя формулы D1) в уравнение
D0), получим
0- D2)
Наконец, подставляя форТиулы D1) в уравнение совместности
C8), получим для функции F биволновое уравнение
D2lD22F(xl, x2, t) = 0. D3)
Решение этого уравнения позволяет определить напряжения ац
и (Х22 из формул D1). Напряжение а\2 найдем из решения волно-
волнового уравнения
D4)
в котором правая часть уже известна. Трудность заключается в
том, что в ограниченных телах напряжение ai2 входит в гранич-
граничное условие. Возможен еще другой путь определения напряжения
(Xi2. Подставляя an и а22 в формулы C1), получим деформации
u\\ = d\U\, 622 = <?2- Интегрируя их, получим перемещения щ,
и2, а с их помощью — напряжение ai2 = [i{d2ui + d\U2). Может
показаться, что представление
уу-^2-^)' а, Р=Ь 2, D5)
удовлетворяющее уравнениям C8) — D0), дает полное решение.
Однако, как показал Игначак1), это не так. Ибо подставляя
формулу D5) в уравнения B9), получим
Уравнение D6) не может выполняться ни для одной функции F,
которая удовлетворяет уравнению
0. D7)
С другой стороны, подставляя формулу D5) в уравнения^ви-
жения ~ ~ ~"
') J. Ignaczak, lpc. cit. стр. 574.
9.5. Уравнения эластокинетики в напряжениях 581
получим
-V.a-P6a. <48>
Щ
Отсюда следует, что перемещение иа выражалось бы только че-
через скалярный потенциал F, в то время как известно, что пере-
перемещение выражается через потенциальную и соленоидальную
части.
Снеддон и Радок показали, в частности, пригодность пред-
представленного здесь решения для задачи о силах, движущихся в
упругом пространстве и полупространстве с постоянной ско-
скоростью V.
Выберем новую систему координат (|i, |г)> движущуюся вме-
вместе с возмущением и связанную с системой (хи х2) зависимостью
%1=х1 — vt, %2 = х2.
Очевидно, что возмущение движется по направлению оси х\.
Вводя новые переменные в уравнение D3), получим
д2 1 d2 W <Э2 1 <Э2\Г,/* *ч п /49ч
Здесь
Для напряжений аи, о22, выписанных в переменных %\, h, имеем
следующие формулы:
d4J d2 дЮ 1 ,, , й2ч д*и
E0)
22Р
2 ТГГ Т Р
Решение уравнений D9) можно представить в виде
<Э2 _п _п
r-Q' Щ-~А~^Г ' E1)
Если в уравнение для U\ подставим $\%2 = %2, то получим гар-
гармоническое уравнение
582 fjl- 9- Основные уравнения и теоремы эластокинетиш
Решениями этого уравнения являются аналитическая функ-
функция F{(zj) и сопряженная с ней функция Fx{zx), где zx = %y-\-ift^
Общее решение уравнения D9) можно представить в виде
= FX (г,) + ?Ж) + F2 (z2) + ?Ж) = 2 Re [F, (z,) + F2 (z2)],
Подставляя формулу E2) в соотношения E0), получим
cr22 = A + р|) Re [F'( (г,) + ^' (г2)], E3)
Подставляя стц и Стгг в две первые формулы C1), после инте-
интегрирования получим перемещения щ, «2, выраженные форму-
формулами
Im [p/I (г,) + -j- (I + p22) F2' ()]
Подставляя «1 и «г в соотношение ai2 = (J.(<3i«2 + ^2«i), получим
ап - 2 Im [р/Г (г,) + -Щ^ /? (г2)]. E5)
9.6. Применение интегральных преобразований
Рассмотрим действие массовых сил в неограниченном про-
пространстве. Предположим, что напряжения и перемещения обра-
обращаются в нуль на бесконечности. Мы располагаем уравнениями
движения
ojk,, + Xk = puk> j,k=l,2,3, A)
и соотношениями Гука
. B)
Для дальнейшего будет удобно ввести новую переменную
f = c\t\ тогда уравнение A) примет вид
V ( ) + К( >" %
9.6. Применение интегральных преобразований F 583
Систему этих уравнений можно решить, применяя преобразова-
преобразование Фурье по четырем переменным, определяемое соотношениями
f (аи а2, а3> ©) = -^j- J f{xlt х2, х3, т) exp [i (akxk + сот)] dV,
/(*„ *2, х3, т)=4^г J f (а„ а2, а3, со)ехр[— / (akxk + (ar)]dW,
dV = dxx dx2 dxj, dx, dW = da.lda2daid(i>. D)
Здесь область интегрирования ?4 берется по переменным х\, х2,
Хг, т. Умножая обе части уравнений Aа) и B) на
exp [i{a.hXk + сот)], интегрируя по ?4 и учитывая соотношения
-ш I (-Of • Щ ехР I' (а*х* + WT)Jdy = -(/а/- q2) ^ <5)
Е, '
сводим систему уравнений Aа) и B) к системе алгебраических
уравнений
— iajd]k -f Xk + pc2@2«ft = 0, F)
о Ik = — ip Шка, + u,ak) — iXbklukak. G)
Исключая из этих уравнений трансформанты напряжений, полу-
получаем систему уравнений, в которые входят только трансформан-
трансформанты перемещений
где
С2
с\
Решение этой системы алгебраических уравнений дает
Подставляя формулу (9) в G), находим соответствующее выра-
выражение для трансформант напряжений. Применяя к формуле (9)
обратное преобразование Фурье, получим
и'(х-т) = ^4 J (v* «>W(v2 18) exp [~l
A0)
584 Гл. 9. Основные уравнений и теоремы эласгокинетики
Этот метод используется во многих работах, относящихся к
действию изменяющихся со временем сил и сил, перемещаю-
перемещающихся с постоянной скоростью1).
Значительно удобнее, однако, применять интегральные пре-
преобразования к решениям Ламе. Мы имеем дело с соотношениями
(§ 9.3)
д (И)
A2)
и с волновыми уравнениями
(v2--LafU = —1-х, A3)
ИЛИ
(V2 - д\) ф (х, т) = - 4 * (х, *). (V2-p2a^) 4 (х, т) = - -1- X (х, т).
A3а)
Применим интегральное преобразование Фурье к уравнениям
A2):
Xi = — ip (aft
Z2 = _ /р (og* + a3X! — а^з), A4)
Х3 = — ф (аз1©
Разрешая эту систему уравнений относительно Ф и // и прини-
принимая во внимание соотношение divX = —t'x*orft = 0, получим
трансформанты правых частей уравнений A3):
^№223),
Хз = — ^5 (^ai — ^
Применим преобразование Фурье к волновым уравнениям A За) г
') Eason G., Fulton J., Sneddon I. N., The Generation of Waves in an Infi-
Infinite Elastic Solid by Variable Body Forces, Phil. Trans. Roy. Soc. London, 248
A956), 575.
I, N. Sneddon, loc, cit. стр. 213.
9.6. Применение интегральных преобразований 585
Выполняя в уравнениях A6) обратное интегральное преобразо-
преобразование, получим
ф(х т)
_
4лУ
A7)
Зная функции Ф и г|з;-, определим перемещение u(x, t) по фор-
формулам A1).
Рассмотрим частные случаи действия массовых сил. Пусть
функция ft(x, t) имеет вид
ft(x, t) = fto6(xN(t) = ^-6(xN(T), ¦&0 = const; A8)
тогда
? (а,, а2) а3) со) = ^- J б (ж,) б (дс2) б (дс3) б (т) X
в.
сот)ЫУ = 1^г. A9)
Если ft(x, t) гармонически изменяется во времени: ft (х, {) =
= '&об(х)еш = 'б'об(х)е'Т1Т, Tl^Vci, где Я — частота колеба-
колебаний, то
Ь{щ, а2) а3, со) =
оо
= "^ I б <*')б (^) в (*з) ехр (/аЛдсЛ) rfje, dx2 rfje3 J e'^e'«« dr =
E% -oo
oo
= ^ J ехр[/(сот + Лт)Ыт = -^б(со + ^). B0)
—oo
Здесь мы воспользовались тождеством
oo
J e'f*dT = 2ice(f), B1)
где б — функция Дирака.
Наконец, если источник ft (x, t) = ft0 б (*,) б (х2) б (дг3 — vt) =
=s= ftp б (*|) б (лг?) б (лг3 — т|т). л ^= o/Cj, перемещается в направлении
586 Гл. 9. Основные уравнения и теоремы эластокшетик'и
оси х3 с постоянной скоростью v, то
оо оо
¦&(щ,а2,а.3,а) = -~- J J b{xl)b(x2)&xp[i{alxl+a2x2)\dxldx2X
—оо — оо
оо оо
X J J 6 (jcj — -пт) ехр [i (а3х3 + сот)] dx3 dr =
—оо —оо
оо
= -^j2 J exp [tr (ш + a3Ti) ] dT = 2^-б (ш + a3ii). B2)
—оо
Рассмотрим еще осесимметричную задачу, причем предположим,
что единственной причиной, возбуждающей волновое движение,
является потенциальная часть массовых сил X = р grad д. То-
Тогда перемещения ит, uz выражаются через потенциал Ф так:
„,_«>. ,,-?. B3)
а волновое уравнение ограничивается только продольной волной
с\ с\ дг2 r дг дг2
При решении этой задачи удобно применить сначала интеграль-
интегральное преобразование Ханкеля, а потом преобразование Фурье по
двум переменным; преобразование Ханкеля определяется фор-
формулами
оо
Ф(а, z, /)= J Ф(г, z, t)J0(ar)rdr,
B5)
Ф (г, z, t) = J Ф (а, z, t) а/0 (аг) da.
о
Умножая уравнение B4) на rJ0(ar)dr, интегрируя по г от 0 до
оо и учитывая, что
— -я~ IФ (r> z> О ГЛ) («r) dr = — а2Ф (а, г, /),
о
получим
или
,\ s- / ч <Э2Ф (а, г, т) 1 s . ,.
-а^Ф(а, z, т) ^'2 -j® (а, г, /)-
9.6. Применение интегральных преобразований 587
Введем интегральное преобразование Фурье
Ф (а, р, со) = -±- J Ф (а, z, t) exp [i (zp + сот)] dz dx,
1 Я; ~
Ф(а, z, т)= gjjr J Ф(а, р,
Применяя формулы B7) к уравнению B6), получим алгебраи-
алгебраическое уравнение
(а2 + Р2 - о2) Ф (а, р, ш)« 4" * («> Р> «>)• B8)
Совершая обратное преобразование над решением B8), найдем
Ф (г, г, т) =
ОО ОО 00
=d?lda I J J!a'i-12expI-f'(Pz+C0TI a/°(ar)rfprfcOt B9)
Так же просто интегральные преобразования используются для
¦определения перемещений в бесконечной области методом Яко-
таке. Перемещения тогда выражаются формулами
где функции ф;' должны удовлетворять биволновым уравнениям
,+ ^ = 0. C1)
Выполнение интегрального преобразования Фурье по четырем
переменным (х, % = C\t), представленного формулами C) и D),
дает
-и
(Я + 2,i) (y2 - со2) (Y2 - со2Р2) Vt + Xt = 0. C3)
Функции ф/ найдем по формуле
с>т)=__1_ г ^/exp[-'KAgfe+(°T)iia
или
i3 da, C4)
[±l[—1 ! W
I 9 I 9 9л9 9 9 I /x
J со \ y юр Y °> /
C5)
588 Гл. 9. Основные уравнения и теоремы эластокинетики
Метод интегральных преобразований можно применить так-
также к уравнениям в напряжениях. Игначак1) дал соответствую-
соответствующие формулы для напряжений, применяя к уравнениям в на-
напряжениях сначала преобразование Лапласа по времени t, a
затем преобразование Фурье по трем переменным хи х2, х3. Свои
формулы он применил для определения напряжений, вызванных
действием ядра термоупругой деформации, т. е. ядра типа
X = р grad d.
9.7. Принцип виртуальных работ. Единственность решения
Рассмотрим упругое тело под действием нагрузок, изменяю-
изменяющихся во времени. В этом теле возникает поле перемещений
«j(x, t). Добавим к перемещениям щ виртуальные приращения
6«i. Эти приращения очень малы, но произвольны; впрочем, они
согласуются с условиями, наложенными на тело. Они являются
непрерывными функциями класса С2. На той части поверхности
тела, на которой заданы перемещения, положим 6«г = 0. На
остальной части поверхности виртуальные перемещения произ-
произвольны.
Рассмотрим виртуальную работу внешних сил
Ы = f Xt Ьщ dV + f Pi Ьщ dA. A)
v I
Учитывая, что pi = оцщ, и используя теорему Гаусса — Остро-
Остроградского, преобразуем поверхностный интеграл к виду
6L = J (Xt + ait,,) Ьщ dV+ J oti 6г{, dV. B)
v v
Воспользуемся уравнениями движения
a,lt t+ Xi=* рщ. C)
Подставляя формулу C) в B) и приравнивая между собой ра-
работу внешних сил из уравнений A) и B), получим
№ — putNutdV+ [PibutdA = \a!ibzildV. D)
V А V
Мы получили принцип виртуальных работ эластокинетики. Урав-
Уравнение D) справедливо как для упругого, так и неупругого тела,
для линейных и нелинейных соотношений между напряженным
и деформированным состояниями. Введение соотношений Гука
в(; = 2^8,/ + Ultekk E)
') J. Ignaczak, loc. cit. стр. 574.
9.7. Принцип виртуальных работ 589
сужает принцип виртуальных работ до линейно упругих тел.
Введение работы деформации
^ F)
позволяет придать уравнению D) форму
J (Xt — рщ) Ьщ dV + j pt бщ dA = б J W& dV. G)
V А V
Из уравнений D) и E) вытекает, что виртуальная работа
внешних сил и сил инерции равна вариации внутренних сил, т. е.
вариации работы деформации. Нужно добавить, что в случае
смешанных граничных условий (когда на Л„ заданы перемеще-
перемещения, а на Аа — нагрузки) поверхностный интеграл, входящий
в уравнения D) и G), берется только по поверхности Аа.
Приравняем перемещение щ в некоторый момент тому пере-
перемещению, которое в той же точке действительно будет иметь
место по прошествии времени dt. В этом случае
ди, 6W
b fdt dt bW fd
Уравнение G) примет вид
j XiVidV+ j piVidA-p j viVidV = W>e, Wt=jWtdV. (8)
V A V V
Обозначим кинематическую энергию через
Так как
йЖ г .
ЧГ = П v
v
уравнение (8) можно представить в виде
-^ (Ж + *%) = J XiVi dA + \ Pivt dA. (9)
V A
В этом уравнении мы узнаем основное энергетическое уравне-
уравнение, которое составляет частный случай (ограниченный адиаба-
адиабатическими процессами) закона сохранения энергии из § 3.2
(формула A0)).
На основе уравнения (9) утверждаем, что суммарное прира-
приращение во времени кинетической энергии и работы деформации
равно приращению работы, выполненной внешними силами си-
системы.
590 Гл. 9- Основные уравнения и теоремы эластокинетики
Основное энергетическое уравнение (9) можно использовать
для доказательства единственности решения. Рассмотрим для
этого односвязное тело, находящееся под влиянием внешних
сил в деформированном состоянии, изменяющимся во времени.
Пусть на части Аа поверхности заданы нагрузки, а на части
Аи — перемещения. Пусть существуют два решения и\ и и";
тогда оба поля перемещений должны удовлетворять уравнениям
движения
°'ll. i + Xi = Р"/»
а» 4-Х -ой" A0)
Вычитая одно из другого эти уравнения и вводя обозначения
ui = u ' '
нений
д др
ui = u'l — и", 6lt = a'lt — a'(t, получим систему однородных урав-
урав6,1, ,-рй{ = 0. A1)
Граничные условия для перемещений и\, и" имеют вид
«; = f(.(x, t) на Аи, p'i = a'jinj на Аа,
u? = ft(x, 0 на Аи, p"i=o"linl на Аа.
Почленное вычитание граничных условий дает
й{ = 0 на А„, pi = 0 на Аа. A3)
Однородными становятся также начальные условия. Для пере-
перемещений и\ и и" эти условия преобразуются следующим об-
образом:
u'i(x,0) = gl(x), й\{х, 0) = А,(х),
и'[ (х, 0) = gt (х), й'! (х, 0) = ht (x). A4)
Почленно вычитая эти уравнения, имеем для перемещений
ut = u't-u1
йДх, 0) = 0, ЙЛх, 0) = 0, хеК + Л. A5)
Итак, поле перемещений описывается уравнениями движения
A1), в которые уже не входят массовые силы, а также однород-
однородными граничными A3) и начальными A5) условиями. Подстав-
Подставляя в основное энергетическое уравнение (9) J^ = 0, /)< = () на
Аа и vt = 0 на Аи, получим
йЖ , dTe _ п
~5Г+ dt w»
9.7. Принцип виртуальных работ 591
что приводит к соотношению
Ж + Же = const =JA9щщ + цё!7ег/ + j hk4n) dV. A6)
V
Эта постоянная должна быть равна нулю ввиду начальных усло-
условий при t = О, ибо в силу того, что йг = 0 и «г = 0, имеем также
и Ж = 7fe = 0. Но как кинетическая энергия, так и работа де-
деформации не могут принимать отрицательных значений. Кине-
Кинетическая энергия может быть равна нулю, если в каждой точке
и в каждый момент yf = 0. Так как Vi = 0 при t = 0, то
йь = 0 A7)
в каждой точке гела и в каждый момент. Отсюда вытекает, что
Поэтому возможно только одно решение. Из приравнивания
нулю деформации вытекает, что ёг/ = 0, т. е. е^ = е".. Нако-
Наконец, из обобщенного закона Гука получим единственность на-
напряжений.
Рассмотрим частный случай, в котором причины, вызываю-
вызывающие деформацию и движение тела, гармонически изменяются
во времени, т. е. когда
Pi(x, t)=p'.(K)e-lM = aijnj на Аа щ
ut{x, 0 = Mx)e-'a' на Аи.
В теле возникают перемещения и{(х, t) = e~iatu]{x), деформа-
деформации ег7 = е-'ш'е*7{х) и напряжения аг/(х, t) = e~mо*ц(х).
Уравнения движения
записанные в перемещениях, будут эллиптическими урав-
уравнениями.
Введем амплитуды перемещений бы*, умножим уравнения
A9) на бы*, и проинтегрируем по объему V:
j (X] + рш2ы:) бы* dV + j a]it f бы* dV = 0,
V V
592 Гл. 9. Основные уравнения и теоремы эластокинетики
Преобразуя второй из интегралов, получим
J (Х- + рш2«;) Ьи] dV + j р] Ьи\ dA = j a'lt бе',. dV,
V
ИЛИ
J (*; + рш2«*) б«; cfK + J Р; б«: </л=б J re* d^, B0)
V А
J
V А V
где
Принимая, что вариации перемещений равны нулю на Ац и
произвольны на Аа, получим из формулы B0)
б (ж; - J x\u\ &v— \p\u\dA= ш2р \«; б«: л^, r;= J r; dv.
\ V А„ I V V
"а
Вводя величину
получим окончательно
*; — ЗГ — j XXdV— j р'лС. dA\ = 0. B1)
V Ао I
Итак, мы имеем дело с некоторым экстремальным свойством
выражения, заключенного в скобки. Заметим, что при со—«-О, т.е.
при переходе к статической задаче, мы получаем доказанную
в § 4.5 теорему о минимуме потенциальной энергии.
Предположим, что варьированию подвергаются амплитуды
напряжений а*. Величины бсг'у и связанные с ними вариации
перемещений выбираем так, чтобы внутри тела удовлетворялись
уравнения
6o'lt , + 6Х* + р©2 бы! = 0. B2)
Кроме того, потребуем, чтобы на Аа было др' = да*п. = 0.
На Аи величины 6p*[ = 6a*,lnj пусть принимают произвольные
значения.
Умножим уравнения B2) на ы* и проинтегрируем по объему
тела:
j (бет;. / + б*! + рсо2 бы*) и* dV = 0. B3)
v
9.8. Принцип Гамильтона 593
После простых преобразований получим
J 6X]u*dV + J Ър\и\dA = J e].6a'tJdV — рш2 J и]бы*dV. B4)
v
Так как
I = J </ ба*;. d7, вЛГ* = рш2 J и* бы* dV,
уравнение B4) можно свести к виду
б (г; - ж-) = J«; б*; ^ + J и; ьР; dA.
V Аи
Предполагая, что u* = f*(x) на Аи не варьируется и что
б (и*^*) = и* 6Х*, получим окончательно1)
Wo. B5)
Из всех напряженных состояний, удовлетворяющих уравне-
уравнениям движения C) и граничным условиям на Ло> в действитель-
действительности осуществляется напряженное состояние, определяемое ва-
вариационным уравнением B5). Заметим, что при со->0 уравне-
уравнение B5) представляет собой теорему о минимуме дополнитель-
дополнительной работы, подробно обсужденную в § 4.7.
9.8. Принцип Гамильтона
Из принципа виртуальных работ при варьировании переме-
перемещений можно вывести некоторый весьма общий минимальный
принцип для поля перемещений.
Рассмотрим конфигурацию деформированного тела, непре-
непрерывно изменяющегося во времени между двумя моментами
t = t0 и t = t\. Приравняем действительные перемещения
ыг(х, t) и перемещения ыг- + б«г, причем варьировать будем так,
чтобы
б«Их, *„) = вМх, *,) = 0. A)
') Reissner E., Note on the Method of Complementary Energy, /. Math.
Phys., 27 A948), 159—160.
Westergaard H. M., On the Method of Complementary Energy, Proc. Amer.
Soc. Civil Eng. A941), 199—227.
594 Гл. 9. Основные уравнения и теоремы эластокинетики
Запишем принцип виртуальных работ (формула G) § 9.7) в
виде
V,dV, B)
(J V
V V
где
6L = J Х{ 6щ dV + J р-, 6ut dA.
Проинтегрируем уравнение B) по времени от ^о до t{:
t, ti и
J dt J 6WedV = J bLdt — p J dt J ui6uidV. C)
<o V fo *o V
Введем кинетическую энергию Ж = ур J ututdV и вычислим ее
вариацию:
6Ж = р ui6uidV = р -дт(йiout) dV — p u-ibiiidV.
V V V
Интегрируя последнее выражение по времени от t0 до tu полу-
получим
и и и
ЬЖdt = p dt -хг («; бы i) dV — p dt UibUidV. D)
U U V U V
Первый интеграл в правой части равен нулю в силу предполо-
предположения A). Поэтому
и и
\ ЬЖ dt — — р dt Г й-ibuidV. Dа)
to to V
Подставляя формулу Dа) в C), получим соотношение
и и v
а это и есть принцип Гамильтона. В левой части мы вынесли
символ вариации за знак интеграла. Это допустимо потому, что
как Ws, так и Ж являются функциями состояния — величинами,
зависящими от мгновенного состояния тела и не зависящими от
того, каким способом это состояние было достигнуто. Символ ва-
вариации в выражении j bLdt можно вынести за знак интеграла
9.8. Принцип Гамильтона 595
только тогда, когда внешние силы обладают потенциалом
«¦—%*¦—»(%*.)•¦
в этом случае
и
b\ (Жs—Ж + r)dt = 0. F)
t
Обозначая через П = Жг + У полную потенциальную энергию
системы, получим принцип Гамильтона в виде
ГТ V\ At (\ П\
L1 — Л ) Ш = U. \1)
Функция Ж — П называется функцией Лагранжа, а интеграл
\ (Ж — II)dt — действием по Гамильтону. Формула G) указы-
на
вает на то, что интеграл {Ж — H)dt принимает экстремаль-
экстремальное значение.
Для абсолютно твердого тела Же — 0 и это уравнение пере-
переходит в известный принцип Гамильтона механики абсолютно
твердого тела.
Возвращаясь к уравнениям E) и F), заметим, что потен-
потенциал внешних сил существует, если нагрузка не зависит от пе-
перемещений. Однако можно указать случаи (например, действие
аэродинамических нагрузок на крыло самолета), в которых на-
нагрузки зависят от перемещений, а часто и от изменений этих
перемещений во времени. В этих случаях нагрузки не обладают
потенциалом и нужно использовать вид E) принципа Гамиль-
Гамильтона.
Заметим еще, что для статической задачи Ж = 0 и принцип
Гамильтона сводится к принципу минимума потенциальной
энергии упругой системы
611 = 0. (8)
Рассмотрим простой пример приложения принципа Гамиль-
Гамильтона к колебаниям мембраны, обсужденным в § 7.4. Пусть тон-
тонкая плоская упругая пленка натянута на контур / с натяжением
S. К натянутой таким образом мембране приложена нагрузка,
перпендикулярная ее плоскости. Эту нагрузку обозначим через
p(\,t), а вызванный нагрузкой прогиб — через w(\,t). Под
596 Гл. 9. Основные уравнения и теоремы эластокинетики
влиянием нагрузки сила натяжения S получает незначительное
приращение AS. Работа, произведенная внутренними силами
S + dS на элементе dA (рис. 7.6), составит
dWe = (S + dS) J J dunds~ S J J dunds.
A A
После интегрирования по поверхности А мембраны получим
We = S(A'-A). (9)
Через А' мы обозначили поверхность мембраны после дефор-
деформации. Используя известную формулу дифференциальной гео-
геометрии, имеем
А' = J [ 1 + (d.wJ + {d2wfik dA.
A
В силу того что первые производные перемещения w малы по
сравнению с единицей, получим
Fe = S (Л' - Л) ~ -f- J \{d,wf + (d2wJ] dx, dx2. A0)
A
Кинетическая энергия задается формулой
Ж = %\ wwdA, A1)
А
а вариация внешних сил — выражением
pbwdA. A2)
. А
Подставим формулы A0) — A2) в уравнение E):
= \dt\ pbwdA. A3)
U A t, A
Ho
— 6 I Л I ww dA = dA xb bw dt == dA \\ w bw \J — w bw dt \.
? j J J J j \ ° j i
U A , A U A I U '
Так как бш(х, to) = 6w(x, ^) = 0, то
tx t,
j6 J dt J wwdA = — J dt J wdwdA. A4)
t0 .4 /, A
9.9. Теорема взаимности 597
Преобразуем по частям выражение
~б J [(d,af + (d2wJ] dA= J dtwdt Fw) dA =
= f [(diw 6w), i — V2w dw] dA = J д*ш «г 6o> ds — J V2w bw dA =
A I A
= J" 6w Ж ds —
Подставляя формулы A4) и A5) в A3), получим
и
jdt
Криволинейный интеграл по границе мембраны равен нулю. Это
следует из предположения, сделанного при выводе принципа
виртуальных работ. Мы предположили тогда, что вариации пе-
перемещений должны согласовываться с условиями, ограничиваю-
ограничивающими движение тела. Поэтому если на / задано граничное усло-
условие w = 0, то вариация bw должна быть равна нулю на этой
границе. Остается поверхностный интеграл. Ввиду произволь-
произвольности вариации 8w подинтегральное выражение в квадратных
скобках должно быть равно нулю:
SV2iW — рй + р = 0, A6)
и мы получили дифференциальное уравнение колебаний мембра-
мембраны. Если нагрузка р не зависит от времени, то из формулы A6)
получим дифференциальное уравнение мембраны для статиче-
статической задачи
tf p = 0. A7)
Принцип Гамильтона можно применить для вывода дифферен-
дифференциальных уравнений и соответствующих граничных условий для
более сложных упругих систем, таких, как тонкие плиты и обо-
оболочки. Можно также, исходя из принципа Гамильтона E), найти
общие уравнения движения вместе с граничными условиями.
9.9. Теорема взаимности
Рассмотрим две системы причин, вызывающих движение тела,
и вызванные ими следствия. Причинами могут быть внешние
силы, т. е. массовые силы Хг и нагрузки на Аа, а также переме-
перемещения на Аи, наконец, заданные начальные условия. Причинами
являются перемещения щ внутри тела и связанные с ним дефор-
деформации 8ij и напряжения а^.
598 Гл. 9. Основные уравнения и теоремы эластокинетика
Вторую систему причин и следствий будем отличать от пер-
первой системы, снабжая все величины штрихами.
Первая система причин и следствий описывается уравнения-
уравнениями движения
o,t., + Xt = put, A)
граничными условиями
щ = fi (x, t) на Аи, otjn, = pt (x, t) на Аа B)
и начальными условиями
ut(x,0) = gt(x), ul(x,0) = hl(x). C)
К этим уравнениям нужно добавить соотношения Гука
D)
E)
и связи между деформациями и перемещениями
( + ")
Аналогичные уравнения со штрихами справедливы для второй
системы причин и следствий. Применим к уравнениям A) — E)
интегральное преобразование Лапласа, определяемое соотно-
соотношениями
(х, 01 = *ц (х, p) = j atl (x, 0 е-Р* dt.
о
Заметив, что
^]=p2ui(x, р)-рщ{*, 0)-й,(х, 0) =
= р2щ (х, р) — pgi (х) — hi (x),
преобразуем уравнение A) к виду
о ц, i + Х{ =¦ р(р% — pgi — hi). F)
Граничные условия после применения к ним преобразования
Лапласа примут вид
щ(х, p) = Ji{x, р) на Аи, a!itii = pi{x, t) на Аа. G)
Применение преобразования Лапласа к формулам D) и E)
приводит к соотношениям
a if = 2[1гц + Xbijlkk, hi = j {Щ, / + щ, t). (8)
Умножим первое из уравнений (8) на гц и аналогичное урав-
уравнение для д'ц на ёг/. Почленно вычтем одно из другого полу-
9.9. Теорема взаимности 599
ченные таким образом уравнения и проинтегрируем по объему:
(dti?ii — diiBt,)dV = O. (9)
v
Это первая общая форма теоремы взаимности, которая после
применения обратного преобразования примет вид свертки:
t
j dxj at, (х, т) ei, (x, t - т) dV (x) =
О V
t
= J dx j of, (x, t - t) e4/ (x, x) dV (x). A0)
0 V
Уравнению (9) можно придать вид
или
Применение теоремы Гаусса — Остроградского, а также исполь-
использование уравнений F) и аналогичных уравнений для системы
со штрихами позволяют свести уравнение A1) к виду
J Xfi[ dV + J pfi't dA + p j gtf dV+ j hfi't dV =
V A V V
= J X'fit dV+j pfa dA + p j g\ul dV + j h'fit dV. A2)
V A V V
Применение обратного преобразования Лапласа приводит к
уравнению Граффи')
t
J KM). / - дч. A']rfK = J KM). / - «I/. /"«IdV- 0 D
\dx\ [Xt (х, т) u'i (x, t-x) — Xft(x,t — т) щ (х, т)] dV (x) +
t
jdxj[pt(x, x)u't(x, t-x)-p\{x, t-x)ut{x, x)]dA(x)
0
t
+ J [/г, (x) u[ (x, 0 - h\ (x)% (x, 0] dК (x) = 0. A3)
') Graffi D., Sui teoremi di reciprocity nei fenomerii non stazionari,
Accad. Sci. Bolonga, 10, № 2 A963).
600 Гл. 9. Основные уравнения и теоремы зластокинетики
Это вторая форма теоремы взаимности для эластокинетики.
В случае однородных начальных условий уравнение A3) значи-
значительно упростится. Особенно просто формулируется теорема
взаимности для бесконечного тела. Если предположить, что дей-
действие массовых сил ограничено конечной областью, а началь-
начальные условия однородны, то перемещения и{ и и\ обращаются в
нуль н-а бесконечности. В уравнении A3) исчезают поверхност-
поверхностные интегралы и остается
t
\dx j[Xt(x, r)u'i(x, t-x)-X'i(x, t-x)ut(x, x)]dV{x) = 0. A4)
Пусть в точке g действует единичная мгновенная сосредото-
сосредоточенная сила Xi = b(x — SN,-y6@. направленная по оси Xj и
создающая в бесконечной области поле перемещений [/'/' (х, ?, t).
В точке г\ приложим силу Xi = 6(x — лN«6@> направленную
по оси xk. Обозначим через U\k){x, r\, t) поле перемещений,
связанное с действием силы X'i. Из уравнения A4) получим
t
\dx {[б(х-|N;/6(т)?/^(х> Л, t-x)-
- б (х - л) S«S (t - т) U{P (х, 6, т)] dV (х) = 0,
или
Uj (?, i), t)^Uk (Л) ii 0> /> & ^ 1> 2, 3. A5)
Очевидно, что тензор перемещений Uj ' является симметричным
тензором. Соотношения A5) являются обобщением теоремы
взаимности Максвелла на динамические задачи теории упруго-
упругости.
Соотношения A5) остаются справедливыми и для ограничен-
ограниченного тела при однородных граничных условиях. В этом случае
мы имеем дело с уравнением
{ dx { [Xt (x, т) u't (х, t-x)-X'i(x,t- х) щ (х, т)] dV (х) +
О V
t
+ \dx\ [Pi (х, т) u't (x, t-x)-p't (x, t-x) и. (х, т)] dA (x) = 0. A6)
0 А
Если предположить, что сосредоточенная сила Xi действует в
точке g и направлена по оси Xj, а сила Х\ в точке х\ направлена
по оси Хц. и, кроме того, что на Аа отсутствуют поверхностные
9.9. Теорема взаимности 601
нагрузки, а на Аи тело защемлено, то останется уравнение A5),
в котором интегрирование ведется по ограниченной области. По-
Поверхностный интеграл в уравнении A3) исчезает, ибо pL =р' = 0
на Ад и ui = u'i = 0 на Аи.
Вернемся к бесконечному телу и рассмотрим действие силы
Х3, движущейся в направлении оси х3 с постоянной скоростью v.
Тогда
Xi = 6(xlN(x2N (x3-vtN{3.
Поле перемещений, обусловленное действием этой силы, обозна-
обозначим через щ(х, t).
Во второй, вспомогательной системе приложим в точке §
мгновенную сосредоточенную силу Х< = 6(х — ?)б(/)б^, направ-
направленную по оси Xj. Поле перемещений, вызванное этой силой, обо-
обозначим через и^(х, |, t).
Уравнение A4) примет в этом случае вид
t
J dx I [6 (х,) б (х2) б (дс3 - от) blau'i (х, ?, t - т) -
- б (х -1) б (t - x) ЬИщ (х, тI dV (x) = 0,
откуда
t
u,(t, t)=j «НО, 0, vx; 6„ |2, 63; ^-т)Л, /= 1, 2, 3. A7)
о
Поэтому, зная находящееся под знаком интеграла перемещение
«з> связанное с действием сосредоточенной мгновенной беско-
бесконечной силы, мы можем определить вектор перемещения u(|, t),
вызванного силой X, = b(xi)8(x2)8(x3 — vt)8%3, движущейся с
постоянной скоростью в направлении оси х3. Из формулы A7)
видим, что «j(|, /) ^ 0 при t = 0. Перемещающаяся сила Xi на-
начинает свое движение в момент t = 0.
Рассмотрим теперь случай, когда причины гармонически ме*
няются во времени. В этом случае, обозначая буквами со звез-
звездочкой амплитуды колебаний, а через со — частоту колебаний,
получим систему уравнений движения в виде
<*/<,/ +^ + <>МЧ = О A8)
с граничными условиями
Ы;(х) = /;(х) на Аи и a'jini=p'i(x) на Аа. A9)
Уравнением, соответствующим уравнению (9), будет
J @^-0^)^-0, B0)
602 Гл. 9. Основные уравнения и теоремы эластокинетики
а вторая форма теоремы взаимности выразится уравнением
{ (XX - Х'с'и]) dV + { {рХ - р'-и\) dA = 0. B1)
V А
Здесь напряжения a't* и перемещения u't* удовлетворяют урав-
уравнениям движения
стЯ/ + *Г + Р*>2«Г = 0 B2)
С граничными условиями
«Пх) = /Г(х) на Аа и а^ = р'Г(х) на Ао. B3)
Вернемся к исходным уравнениям A) — E) и предположим, что
система со штрихами относится к статической задаче, а поэтому
удовлетворяет уравнениям
о'1и + Х[ = 0 B4)
и граничным условиям
и;-=/Их) на Аа и а'пП1=Р'.{х) на Аа. B5)
Умножая уравнения D) на ъц а уравнение
^-2^ + М^, B6)
На бг;, почленно вычитая перемноженные так уравнения и инте-
интегрируя по объему V, получим
{ [at/ (х, 0г'ц (х) - о'и (х) е., (х, 0] dV (х) = 0. B7)
v
Выполняя такие же преобразования, как и в уравнении A1),
имеем
= J {[а'И (х) «; (х, 0],, - а;л у (х) щ (х, 0} d^ (x).
v
Наконец, используя уравнения A) и B4), получим
(Xt-pul)u'ldV+ $ PiurtdA = $ XfadV + $ pfadA. B8)
Такая форма теоремы взаимности позволяет использовать фун-
фундаментальные решения эластостатики для определения переме-
перемещений.
9.9. Теорема взаимности 603
В качестве примера определим перемещение ы,(|, t), вызван-
вызванное в бесконечном пространстве действием массовых сил
Zi(x, t). Для этой цели используем перемещения С/1/1 (х, |), вы-
вызванные действием стационарной сосредоточенной силы, поме-
помещенной в точке | и направленной по оси х,. Из уравнения B8),
в котором в рассматриваемом случае исчезают поверхностные
интегралы, имеем
{ б (х-9 Ьг!щ (х, 0 dV (x) =\[Xt (х, 0 - рй, (х, t)]U? (х, ?) dV (x).
Это уравнение сводится к интегродифференциальному уравне-
уравнению
и, (?, 0 + Р { Щ (х, 0 V?{x, I) dV (x) =
in B9)
Если перемещения гармонически изменяются во времени:
щ(х, 0 = е-**и1(х),
то уравнение B9) примет вид
и] (х) - рсо2 { и] (х) ?/</) (х, I) dV (х) = { Х\ (х) t/^> (х, \) dV (x). C0)
К V
Пусть в ограниченном теле действует поле массовых сил
Xi(x, t), а на границе Аи и Аа заданы однородные граничные
условия. В уравнениях B8) исчезнут поверхностные интегралы
и останется
и, (?, t) + р { щ (х, t) 0? (х, I) dV (х) = { Xt (x, t) U\i] (x, 1) dV (x).
y v C1)
Здесь перемещения U[P (x, |) обусловлены действием сосредо-
сосредоточенной силы Xi = b(x — i)S»/ B точке | ограниченного тела.
Функции ОР (х, |) должны удовлетворять системе уравнений
'м + (Я + v) Ui}ki + б (х -1) 6и = 0 C2)
с граничными условиями
{></> = 0 на Ац, pf = O на Л„. C3)
604 Гл. 9. Основные уравнения и теоремы эластокинетики
Предположим теперь, что массовые силы гармонически изме-
изменяются во времени:
Принимая следующий вид перемещений щ:
и, (х, 0 = е-ши] (х) + 2 и\п) (х) <Г'Ч C4)
убеждаемся, что функции «/(х) удовлетворяют неоднородной
системе уравнений
и] (х) - РЯ2 { и\ (х) ?/</> (х, I) dV (х) = { Х\ (х) ?/</> (х, |) dV (x), C5)
а иу»> — однородной системе уравнений
и<») (|) - рей2 | и<»> (х) f)</) (x, I) dV (x) = 0, C6)
V
I, /=1, 2, 3, п=\, 2, ..., оо.
Из системы уравнений C5) получим амплитуды перемещений,
вызванных действием массовых сил. Приравнивая нулю опреде-
определитель системы уравнений C6), определяем частоту собствен-
собственных колебаний тела. Система уравнений C5) для таких частот
не имеет решений. В этом случае мы имеем дело с резонансом.
Определим теперь приращение объема тела при изменяю-
изменяющейся во времени деформации. В качестве состояния со штри-
штрихами примем всестороннее статическое растяжение тела. Тогда
</=1б?/, р'.=а'пп. = п., и\ = -^, /( = Я + |ц.
Из уравнения B8) для Х; = 0 имеем
щщ dA = з^/| XiXi dV + J PtXl dA-p J u,xt dv\.
\V A VI
Левая часть уравнения представляет собой приращение объема
тела; поэтому
= -^-Г/^(х, t)x,dV(x) +
j.pt{x,t)xtdA{\) — pjut (x, t) xt dV (x) 1. C7)
a v J
9.10. Обобщенная формула Сомильяны 605
Для статической задачи последний интеграл обращается в нуль,
и мы получаем формулу B0) § 4.11.
К формуле C7) мы придем также следующим формальным
путем. Умножим уравнения A) на х< и проинтегрируем по об-
области V. Получим
| (оц, j-\- Xt~pu()x(dV = 0,
v
или
[{Gjixl), 1 ~~~ &ijGji ~\~ %ixi — PUixi\ dV ^ 0.
V
Окончательно
f ptxt dA + f XtXl dV - p f utxt dV = f akk dV. C8)
j j j j
A V V V
Ho
v v
Очевидно, что формула C8) идентична формуле C7).
9.10. Обобщенная формула Сомильяны
В § 4.13 даны так называемые формулы Сомильяны, с по-
помощью которых можно определить перемещения и внутри тела,
зная перемещения и нагрузки на поверхности тела и фундамен-
фундаментальные решения для бесконечного пространства. Применим
использованные там рассуждения к задачам эластокинетики.
Рассмотрим тело, занимающее объем V, ограниченный по-
поверхностью А. Пусть на это тело действуют массовые силы, а на
поверхности А заданы перемещения щ = /f(x, t). Примем далее,
что начальные условия для перемещений однородны.
Исходным пунктом наших рассуждений будет теорема вза-
взаимности
t
J dx \ [Xt (х, т) u't (x, t-x)- X'i (x, t - x) щ (x, t)]dV (x) +
0 V
t
+ { dx { [P{ (x, t) u\ (x, t-x) - p\ (x, t-x) ut (x, t)J dA(x) = 0. A)
0 A
Это — уравнение A3) § 9.9, упрощенное вследствие однородно-
однородности начальных условий.
Массовые силы X,- и перемещения ut относятся к ограничен-
ограниченному телу. Попробуем определить перемещения щ{\, t) в точке
606 Гл. 9. Основные уравнения и теоремы зластокинетики
| е V, выражая их через граничные условия и соответственно
выбранные перемещения u'i. Эти последние функции вы-
выберем следующим образом. Предположим, что функции и\=
= и[к) (х, i, t) вызваны действием сосредоточенной мгновенной
силы X'i = butb(x —1N@, приложенной в точке | бесконечного
упругого пространства и направленной параллельно оси Хи- Эга
сила вызывает перемещения и'( = и^кК
Перемещения мы получим из решения системы уравнений
HVVP + (Я + ц) и\% + blkb (х -1) б (/) = рй, B)
в бесконечном пространстве. Предположим, что эти перемеще-
перемещения известны (мы их вычислим в § 10.1). Следует добавить, что
при решении системы уравнений B) требуется предположить
также однородность начальных условий.
Определим далее соответствующие перемещениям U{ik)(x, ?, t)
напряжения а'.ц = of} (x, |, t) и построим вектор напряжения
на поверхности А:
р\ = РТ (х, I, t) = Ц (?/^ + U%\) п, + kn{UWn. C)
Подставляя u\ = Uf, p\ = pf\ X't = blkb{\ — l)b(t) в уравне-
уравнение A) и принимая во внимание, что
f dx J Х\ (x, t — x)u, (x, t) dV (x) =
о v
t
= jdxjb(x~l)b(t-x)bikUi (x, t)dV (x) = щ (I, t),
0 V
получим следующее соотношение:
uk (I, t)=\dx\xt (x, t) U[k)(x, t,t-x) dV (x) +
0 V
t
+ J dxj [Pl (x, t) Vf (x, I, t-x)-p^ (x, S, /-t) И/ (х, т)] ЙЛ (x). D)
0 A
Последняя формула представляет обобщение формулы Сомиль-
яны на задачи эластокинетики. Зная распределение массовых
сил Х{, перемещения щ = fi на А и вектор напряжения на А,
можно определить вектор перемещения в точке | в момент вре-
времени t. Формула D) справедлива до тех пор, пока | лежит
внутри тела,
9.11. Смешанные краевые задачи эластокинетики 607
Формула D) имеет только теоретическое значение. Это сле-
следует из того, что на поверхности А заданы (т. е. известны) либо
перемещения, либо нагрузки, т. е. только один тип граничных
условий на А. Если бы, однако, выбрать перемещение и\ так,
чтобы оно соответствовало полю перемещений, вызванных дей-
действием сил X'i = 6jj.6(x — |) б (t) в ограниченном теле (занимаю-
(занимающем объем V, ограниченный поверхностью А), защемленном по
А, то определение перемещения «ft(§, t) имело бы практический
смысл. Пусть поле перемещений u'i = 0[k)(x, ?, t) удовлетворяет
системе уравнений
HVW + (Я + ц) Ufa + blk 6 (х -1) 6 (t) = pUt, x, I s V, E)
с граничными условиями
#*'(х, S, 0 = 0, хеЛ,
и однородными начальными условиями.
Предполагая, что поле перемещений ОТ известно, опреде-
определяем вектор напряжения p- = P;fel по формуле C). Подстановка
функций Х\, Uf\ pf] в уравнение A) приводит к формуле
uk (I, t)=\dx\xt (х, т) U\k}(x, l,t-x) dV (x)-
0 V
t
~\dx\ Pf (x, l,t-x) ut (x, t) dA(x), F)
0- A
из которой уже можно определить перемещение «/,(§, t). Фор-
Формула F) представляет собой решение первой краевой задачи
эластокинетики.
Представленную здесь обобщенную формулу Сомильяны без
труда можно расширить на случай неоднородных начальных
условий.
9.11. Смешанные краевые задачи эластокинетики ')
Рассмотрим односвязное тело в области V, ограниченной по-
поверхностью А. Пусть поверхность А составлена из трех частей,
разделенных кривыми а и р. На каждой из этих частей поверх-
поверхности заданы иные, чем на соседней, граничные условия. На тело
действуют массовые силы X, на части поверхности Лг заданы
') Nowacki W., Mixed Boundary Problems of Ela'stodynamics, Bull. Acad.
Polon. Sci., Ser. Sci. Techn., 12, № 3 A964).
608 Гл. 9. Основные уравнения и теоремы зластокинетики
нагрузки q, на At и Л3 предположим, что вектор и равен нулю ').
Положим, что все причины возникли в момент t = 0+.
Мы имеем дело с задачей со смешанными граничными усло-
условиями. Требуется решить систему уравнений
PUt, а + № + V) И/, ji + Xt = put (х, t), A)
i, /=1, 2, 3, x<=F, t>0,
с граничными условиями
Щ (у, 0 = 0, ye Au А3, qt (у, t) = ajt (у, t) n, (у), у е А2, B)
и начальными условиями
и{(х, 0) = 0, «,(х, 0) = 0, xeF, / = 0. C)
Точку, принадлежащую области К, мы будем обозначать через
х, а точку на поверхности At — через у.
Эту сложную задачу теории упругости, как и ранее (§ 4.15),
сведем к решению системы интегральных уравнений. Мы будем
оперировать с простейшей системой, которую назовем «основной
системой». В качестве «основной системы» выберем тело, жестко
закрепленное на части поверхности А3 и свободное от нагрузки
на частях А\ и А2 поверхности.
При решении задачи окажется весьма полезным тензор
перемещений Грина ll\ '(x, Ъ, /), построенный в основной си-
системе. Пусть в точке |еК рассматриваемой основной системы
действует параллельно оси %ь. единичная мгновенная сосредо-
сосредоточенная сила. Эта сила Х*=6(х — !N@&jft вызывает при
фиксированном k перемещение U<ft> с составляющими и\к) (х, |, t),
i=\, 2, 3. Если k последовательно принимает значения k =
= 1, 2, 3, то мы получим три вектора U*1', U<2>, U<3>, или тен-
тензор перемещений Uf1 (х, ?, t), i, k=l, 2, 3. Функции Грина
UT (х, |, t) выберем так, чтобы удовлетворялись дифференциаль-
дифференциальные уравнения движения
ntf*1// + (я + ц) uT,)i + б (х -1) б(/) в« = Рд[к>(х, |, t), D)
х, |s7, />0,
с граничными условиями
pf = ^» (У. ?, 0 1/ (У) = 0, у е Л„ Л2> Uf (у, g, 0 = 0, у е Л3, E)
и начальными условиями
f/f(x, |,0) = 0, ^*»(х, I, 0) = 0, х, |gF, ^=0. F)
') Это предположение сделано только для ясности изложения. Однако
ничто не мешает принять на поверхностях А\ и Л3 неоднородные граничные
условия в перемещениях.
9.11. Смешанные краевые задачи зластокинетики 609
Здесь afi = ц (i/T,\ -f ilf,\) + Я,в;,-С/(г*'г — напряжение, вызванное
действием сосредоточенной силы б(х — !N@6{ft- Используем
теперь теорему взаимности A3) § 9.9, предполагая, что вектор
и относится к системе уравнений A) с условиями B) и C), а
вектор и' = LHft>—к основной системе. В уравнении A3) § 9.9
сразу же отбросим два последних интеграла ввиду однородности
начальных условий для функций и и LHft> (уравнения C) и F)).
Теорема о взаимности работ принимает следующий вид:
[Дг(х, т) U\ ' (х, ?, t—х)—б (х—\)b(t— xNikui (x, x)]dV (x)-f
о v
t
+ J dx J [pt (y, t) U^ (y, E, t-x)-p^ (y, I, t-x) ut (y, t)] dA (y) = 0.
о к G)
Это уравнение значительно упростится, если воспользоваться
свойством функции Дирака
и граничными условиями B) и E) для функций и и U<4 Окон-
Окончательно получим
и* (S. 0 = (I. 0 + | dx | /?. (у, т) ?/«*> (у, 6,/ —т) ЙЛ (у), | е= F.
о л, (9)
Здесь введено обозначение
t
| X,. (х, т) ?/<*> (х, |, / - т) dF (x) +
+ J" dx J 17* (У. "О ?/'/> (У, I, /-т)^Л(у), |sF, уеЛ, A0)
Через Ri мы обозначили функцию вцп^ = р% на поверхности А\.
Если функция U\k) известна, то известно выражение м°(|, 0,
так как распределение массовых сил X в теле и распределение
нагрузок q на Л2 задано. Функции и\ ГуЮжно трактовать как
перемещение в точке | основной системы, вызванное действием
массовых сил и нагрузок <7,- на поверхности Л2.
20 В. Новацкий
610 Гл. 9. Основные уравнения и теоремы эластокинетики
Произведем теперь замену переменных в функциональном
уравнении (9):
t
uk (x, 0 = и\ (х, t) + { dx | R( (у, т) {/<*> (у, х, / - т) dA (у), хе V.
о л, A1)
В это уравнение входят две неизвестные функции: перемещение
щ и реакция опоры R{ на А\. Очевидно, что, зная распределе-
распределение сил Ri(y, t) на Аи можно найти поле перемещений щ{х, t).
Функции Ri(y, t) определим, используя первое из граничных
условий B)
My', 0 = 0, у'еЛ,. A2)
Здесь у' — произвольная точка на Ль отличная от у. Граничное
условие A2), будучи подставлено в A1), дает при переходе от
точки xeV к точке y'eAi следующую систему уравнений:
t
и°* (У'. 0 + | dx J R( (у, т) С/«*> (у, у', t-x)dA (у) = 0, A3)
о л,
у, у'еЛ,, /, *—1, 2, 3.
Мы получили систему трех интегральных уравнений первого
рода. Ее решением являются функции /?г(у, т), i— 1, 2, 3. Под-
Подставляя Н% в соотношение A1), получим искомое поле переме-
перемещений щ.
Уравнение A3) можно представить в более удобном для вы-
вычислений виде введением дополнительной функции Грина.
Новый тензор перемещений G\n (x, у, t) определим так.
Пусть в точке y'eAi действует сосредоточенная сила, направ-
направленная параллельно оси хг. Функция Gp в основной системе
удовлетворяет однородной системе уравнений движения:
НО*'1// + (Л. + |*) Gj:»,, = PGlr) (х. у', 0. хеК.УеЛ,, / > 0, A4)
с граничными условиями
№ (У, У'. 0 « огу/л, = б (у - у') 6J @, у, у'еД„
PV (У. У'. 0 *= 0, у е Л2, G«/> (у, у', /) - 0, у s Л3, A5)
й начальными условиями
О?» (х, у', 0) = 0, &Г (х, у', 0) = 0. A6)
Применим к функциям U\k) и GlP теорему взаимности, исполь-
используя формулу A3) § 9.9. В новых обозначениях при учете гра-
9.11. Смешанные краевые задачи эластокинетики 611
ничных и начальных условий E), F), A5) и A6) получим со*
отношение
t
| dx | б (х -1) б«б (т) G{[] (х, у', t-x)dV (x) =
О V
t
- J dx J б (у - у') б,г6 (/ - т) ?/(,*> (у, |, т) <*Л (у), A7)
о л,
которое приводит к зависимости
GV{l,y',t) = lfrk)(y',l,t). A8)
Заменяя у' на у, | на х, а индекс г на i, имеем
U(ik)(y,x,t)=G^(x,y,t). A9)
Очевидно, функциональное уравнение A1) можно записать как
i
uk (x, t) = и\ (х, 0 + | dx | R. (у, т) G«f> (х, у, t - т) dA (у). B0)
о л,
Переходя от точки хе V к точке у'е Л^ получим из формулы
B0) систему интегральных уравнений
t
и\ (У', f)+\d%\Rt (у, т)О«/>(у', у, / - т) с?Л (у) = 0, B1)
о л,
i, k = l, 2, 3.
Представленный здесь метод решения можно обобщить на слу-
случай тела, в котором на поверхностях Ль Л2 Аг (А\-\-А2-\-...
... + ЛГ = Л) заданы различные граничные условия. Если ка-
какая-либо из поверхностей вырождается в кривую, то в инте-
интегральные уравнения наряду с поверхностными интегралами вой-
войдут также и криволинейные интегралы.
Рассмотрим теперь случай гармонических во времени колеба-
колебаний. Предположим, что причины, вызывающие колебания, имеют
вид
X (х, 0 = X* (х) е~ш, р (х, 0 = Р* (х) е-ш B2)
Тогда функции мДх, /)» Gj,f'(x, t) будут гармонически изме-
изменяться во времени, причем
щ (х, 0 = Ш (х) е~ш, Gif' = Gj11 (x) е~ш B3)
612 Гл. 9. Основные уравнения и теоремы эластокинетики
Функции иЦх) должны удовлетворять эллиптическим диффе-
дифференциальным уравнениям
/ + (я + йК/, + рМ2м; + х:=о B4)
и граничным условиям
м* = 0 на Л, и А3, q*i = a*.inj на Л2. B5)
Функциональное уравнение B0) переходит в уравнение
и\ (х) = и? (х) + J RI (у) Gtl)(x, y)dA (у). B6)
л,
Переходя от точки хеУк точке у'еЛь получим систему ин-
интегральных уравнений
и? (У') + J tf(y)G*V, У)^(У) = О, i, ft = l, 2, 3, B7)
А,
из которой уже можно определить неизвестные функции R}
0'=1,2,3).
9.12. Метод Купрадзе
Обсудим кратко интересный метод, предложенный Куп-
Купрадзе1) и основанный, на сведении уравнений эластокинетики
для гармонических во времени колебаний к системе интеграль-
интегральных уравнений.
Подставляя в уравнения движения
{*«*.//+(Л+ {*)«/, Л+ *, = р«, A)
гармонические колебания
щ (х, 0 = и\ (х) е~ш, Xt (x,t) = X't (x) e~'»',
получим систему уравнений
|*«1. // + (Я + ц) и/. /| + JJ + рсй2н] = 0, B)
которую кратко можно записать в следующем операторном
виде:
fc ^\l + (l, + ll)dldl. C)
Мы будем рассматривать колебания односвязного тела В+, огра-
ограниченного поверхностью А. В дальнейшем мы воспользуемся
') Купрадзе В- Д-, Методы потенциала в теории упругости, Физматгиз,
М., 1963.
9.12. Метод Купрадзе 613
теоремой взаимности для случая гармонических во времени ко-
колебаний. Это уравнение B1) § 9.9
{ (XX - *Г "!) dV + \ (Ру; - р'г-и\) dA = 0. D)
V А
Пусть массовые силы X*., поверхностные нагрузки р\ и пере-
перемещения щ относятся к рассматриваемой области В+, в то
время как величины Х\*, р'^ и и'.* — к бесконечной области.
Пусть в точке |gB+ действует сосредоточенная сила с ампли-
амплитудой X*i = 6(x — |)бг>,, направленная параллельно оси xk.
Вследствие действия этой силы возникает поле перемеще-
перемещений U*i[k) (x, |) и вектор напряжения р'* с составляющими
Функции U\k) должны в бесконечной области удовлетворять
системе уравнений
ixUfl, + (Я + ц) uTh + б (х -1) 6ik + PGJ(/f»= 0. E)
Перемещения Lffk) должны на бесконечности затухать в соот-
соответствии с «условием излучения», которое мы подробно обсудим
в § 9.15.
В дальнейшем опущены звездочки при всех величинах. Мы
делаем это только для упрощения записи, помня, что имеем дело
с амплитудами.
Подставляя в уравнение D) Mj = ?/^(x, I), X't = 6(x — I) б«,
Р\= P\k) (x> *)• ПОЛУЧИМ уравнение
J [Xt (x) UT (х, 1) - б (х -1) Ь1кщ (х)] dV (x) +
v
+ J [pt (x) U\k> (х, |) - р'^ (х, I) ut (x)] dA (x) = 0.
л
Используя свойство функции Дирака, находим, что
+ J Pi (x) f/f (х, |) dA (x) - | /><*> (x, |) и, (х) ^Л (х). F)
A A
Формула F) является формулой Сомильяны, выведенной здесь
для частного случая гармонических колебаний. Перемещения
нй (& = it 2, 3) выражаются через объемный и поверхностные
интегралы, в которые входят функции щ и pt на поверхности А.
614 Гл. 9. Основные уравнения и теоремы эластокинетики
Правую часть уравнения можно записать в виде интегралов от
скалярных произведений векторов на тензоры. Полагая
Х = (Хи Х2, Х3), Vw = (U\k), U[k\ &3k)), p = (Pu p2) p3), ...,
запишем уравнение F) в виде
uk (I) = | X (x) • \i{k) (x, 1) dV (x) + J p (x) • U(ft) (x, |) dA (x) -
• G)
А
В соответствии с формулой (8г) § 4.2 составляющие вектора
напряжения р можно выразить через производные перемещений
ди.
Pi (х) = ati (x) rij (х) = 2р, -^- + 2р,(о/{Яу + ^niuk, к-
Отсюда ')
р (х) = 2fi -^- -\- Яп • div u + 2д (п X rot u) = Тх [и (х)]. (8)
Аналогично имеем
p(ft>(x) = 2ц ~ (U(ft)) + Яп • div \)ш + 2ц (п X rot U(ft)) =
Индекс х при Т означает, что дифференцирование ведется по
Х\. Учитывая формулы (8) и (9), перепишем уравнение G) так:
и* (I) = | X (х) • U(ft) (х, 1) dV(x) + | 7\Ju Ml • и'*'(x, |) <M (x) -
V A
~JTx[Vm(x, l)]-u(x)dA(x). Ga)
A
Поменяем местами | и х и обозначим точку на А через у. Тогда
ик (х)= | Х(|) • Ulft)(l, x) dV®+ j ГДи(у)] • U(ft)(y, x)dA(y) -
V А
/,x)]-u(y)dA(y). A0)
Формула A0) справедлива для области В+. Если точка х нахо-
находится во внешней области В-, то левая часть уравнения A0)
равна нулю. Если точка х находится на поверхности А, то в ле-
') В. Д. Купрадзе называет оператор Т оператором напряжений. — Прим,
перев,
9.12. Метод Купрадзе 615
вой части формулы A0) появится множитель 1/2. В общем виде
имеем
A1)
где
1 при х<^В+,
1/2 при хеД
О при х е В~.
Очевидно, что произвольный регулярный1) вектор и(х) в обла-
области В+ выражается в виде линейной комбинации трех интегра-
интегралов:
, x).<p(y)<M(y),
Здесь векторы q>(y) и ¦ф(у) определены на поверхности А, а век-
ТОР хA) в области В+. Функции Uk, Vh, Wh называются упру-
упругими потенциалами. Функция Uh называется объемным потен-
потенциалом, Vh — потенциалом простого слоя, a Wk — потенциалом
двойного слоя.
Нетрудно показать, учитывая уравнения C) и E), что
Д,,Ых) = 0, DtlWh(x) = 0, DilUk(x) = -Xk{x). A3)
Объемный потенциал удовлетворяет неоднородному уравнению
C), а потенциалы простого и двойного слоя — соответствую-
соответствующему однородному уравнению.
Основные свойства введенных потенциалов A2) существенно
зависят от дифференциальных свойств поверхности А и векторов
ф(у)> 'Ф(У) и ЗС(У)- Если точка х принадлежит области В+, то по-
потенциалы простого и двойного слоя можно дифференцировать
') Произвольный вектор, определенный в замкнутой области В* ^ А = Я+,
называется регулярным, если его (все) составляющие непрерывны вместе со
своими первыми производными в В+, а их вторые производные непрерывны
и интегрируемы в Б*.
616 Гл. 9. Основные уравнения и теоремы эластокинетики
произвольное число раз и доказать, что они являются аналити-
аналитическими функциями.
Дело усложняется, когда точка х приближается к границе,
х—* А. Ядро упругого потенциала простого слоя U<ft)(y, x) стре-
стремится в точке х =¦• у к бесконечности как 1/г. Поэтому потенциал
простого слоя уже в случае непрерывной плотности ф(у) выра-
выражается на А ограниченным интегралом. Иначе обстоит дело с
потенциалом двойного слоя. Купрадзе в цитированной выше ра-
работе показал, что если плотность i|?(y) удовлетворяет условию
Гёльдера с показателем а, а поверхность А принадлежит по
крайней мере классу Са, то потенциал двойного слоя в А суще-
существует в смысле главного значения Коши'). Мы дадим здесь без
доказательства три теоремы Купрадзе относительно упругих по-
потенциалов 2).
Теорема 1. Если А е С1а и феС0, то потенциал про-
простого слоя
J(ft)(y, x).«p(y)*M(y)
всюду непрерывен. Если же ср(у)е#а(Л), то
Теорема 2. Если А^Са и <ре//а(Л), то выражение
TyVk(y) для точки у, стремящейся к точке у0 на границе Л, при-
принимает конечное значение. Тогда мы получим соотношение
J Т„,[\}{к)(у.Уо)]-Ч{у)с1А(у). A5)
') О функции f{x) мы говорим, что на некотором множестве S [f(x) <=.
е На (S)] она удовлетворяет условию Гёльдера с показателем а, если отно-
отношение
га (х, у) '
Где г(х, у) —расстояние между точками х и у, будет ограничено априори для
произвольных х и у, принадлежащих множеству 5. Если функция f, опреде-
определенная в области S (х, е) (е не зависит от х), однозначна и непрерывна
вместе с производными до {k—1)-го порядка, а k-я производная принадле-
принадлежит Ha(S), то говорят, что / принадлежит классу C^iS) и пишут feC%,(S).
Если данное выше определение остается в силе для каждой внутренней точки
поверхности А, то говорят, что поверхность А принадлежит классу С„. Если
k = 1, то говорят, что А является поверхностью Ляпунова.
') В. Д. Купрадзе, loc. cit. стр. 612.
9.13. Решение неоднородного волнового уравнения 617
Теорема 3. Если Л е С1а и q> е Яа (Л), то потенциал двой-
двойного слоя
стремится к конечному пределу, когда точка х стремится к не-
некоторой точке уо^А. Этот предел равен
Wk (у0) = -2 яф» (Уо) + J Г9 [U(ft| (у, у0)] • if (у) <*Л (у). A6)
А
Теоремы 2 и 3 используются при решении основных краевых
задач.
Решение первой краевой задачи, когда на Л задан вектор
перемещения u(yo) = f(yo), мы представим в виде потенциала
двойного слоя, используя формулу A6). Получим следующую
систему интегральных уравнений:
-2яф*(уо) + J Г, [U1*1 (У. Уо)] ¦ *(У) A4(y) = h(y0). A7)
А
Решение второй краевой задачи (когда на Л заданы нагрузки)
ищем в виде потенциала простого слоя, применяя теорему 2.
Тогда имеем интегральное уравнение
V{k)(y, Уо)] -ф(уЫЛ(у) = Ыуо). A8)
J
Здесь /h (у0)—заданная на границе Л нагрузка.
Входящие в эти уравнения интегралы необходимо понимать
в смысле главных значений Коши. Это сингулярные интеграль-
интегральные уравнения. Существенное значение имеет вопрос, является
ли справедливой для обсуждаемых уравнений теория Фредголь-
ма, ибо классическая теория интегральных уравнений приме-
применяется к уравнениям с квазисингулярными ядрами (ядрами со
слабой особенностью, т. е. такими, которые на основном интер-
интервале имеют особенности, интегрируемые в обычном смысле).
Купрадзе показал, что в случае сингулярных интегральных
уравнений теории упругости классическая теория Фредгольма
остается в силе. В уже цитированной книге он дал доказатель-
доказательство теоремы единственности и теоремы существования реше-
решения как для внутренней, так и для внешней задачи.
9.13. Решение неоднородного волнового уравнения
Путем разложения вектора перемещения на потенциальную
и соленоидальную части уравнение в перемещениях было све-
сведено к системе простых волновых гиперболических уравнений
618 Гл. 9. Основные уравнения и теоремы эластокинетики
второго порядка. Здесь мы более подробно займемся волновым
уравнением, характеризующим волну дилатаиии в бесконечной
упругой области,
(V2 - -~г $) Ф (х, 0 = - ± Y (х, t). A)
Это волновое уравнение имеет фундаментальное значение в
распространении акустических и оптических волн. Предполо-
Предположим, что начальные условия однородны, так что единственной
причиной, вызывающей волновое движение, будет источник
\>(х, t), который является заданной функцией переменных х, t.
Мы начнем с рассмотрения распространения волны в трехмер-
трехмерном пространстве: x = (jci, Хг, Хз).
Для решения уравнения A) воспользуемся вспомогательной
функцией G(R, t), зависящей от радиуса R = [х 1 + х\ + х$1г и
времени t. Пусть эта функция удовлетворяет уравнению
с однородными начальными условиями G(R, 0) = С?(R, 0) = 0.
Уравнение B) описывает сферическую волну, вызванную дей-
действием точечного мгновенного возмущения в начале координат.
Уравнения B) можно записать также в цилиндрических коор-
координатах:
+ i^0^ * 0 = 4*4^б(гЖ0 C)
ибо сферическая волна характеризуется осевой симметрией от-
относительно оси г, Уравнение C) удобнее в силу возможности
применения к нему интегрального преобразования Ханкеля —
Фурье.
Применим сначала к C) преобразование Лапласа, прини-
принимая во внимание однородность начальных условий. Получим
ЫТЗГ ^г)^ *> р) = -4л-^6(г). D)
Здесь
G(r, z, p) = &[G(r, z, t)] = \G(r, г, /)«-*#,
9.13. Решение неоднородного волнового уравнения 619
Умножим уравнение D) на rJ0(ar)cosyz и проинтегрируем по
объему Vc<>:
о о
= - 2 у -§- J гб (г) /0 (ar) dr J б (г) cos yz dz.
о о
В соответствии с правилами интегрального преобразования
.Ханкеля — Фурье получим
откуда
оо оо
п, (г у п\ — 2 Г Г /о (ar) a cos yz da dy .
Ъ(Г, Z, P)-~J J al+ 2 + ( 2/fi2)-. F)
о о
Учитывая, что
cos yz dy ^n exp [— z\Va2 + (P2/c*)}
0 a2 + у2 + (P2/c2) 2 T/(x2 + (p2/c2)
Г exp [- z Va* + (p2/c2) ] a/p (ar) (fa
J /a2 + (p2/c2)
получим
„KPIC
^ir. F)
Перенесем теперь возмущение из начала координат в точку §.
Уравнение B) в прямоугольной системе координат примет вид
(V2 - ^ <Э?) G (х. I, 0 = - 4лб (х -1) б (/). G)
Применив к этому уравнению преобразование Лапласа, имеем
(V* - -J) 5 (х, 6, р) = - 4лб (х -1). (8)
Решением этого уравнения, очевидно, является функция
G(x,l,p)=J-r-, (9)
где
-12J
620 Гл. 9. Основные уравнения и теоремы эластокинетики
Применим к (9) обратное преобразование Лапласа. Тогда по-
получим
""' ТГ-- (Ю)
Функция G(x, |, t) является фундаментальным решением волно-
волнового уравнения. Она представляет собой мгновенный импульс
(функция Дирака), перемещающийся в направлении возрастаю-
возрастающих значений R от точки возмущения |-до бесконечности. Вели-
Величина с является скоростью распространения этой волны.
Вернемся к уравнению A) и применим к нему преобразова-
преобразование Лапласа с учетом однородных начальных условий:
(Х, р) = -±у(х,р). A1)
Умножим уравнение A1) на G, а уравнение (8) на Ф, вычтем
почленно одно из другого и проинтегрируем по объему V. Полу-
Получим
j J, A2)
V V
или
Для бесконечной области в предположении, что интеграл
Jlvl^K является ограниченным, имеем Ф -»0 при R-+oo.
v
В уравнении A2а) поверхностный интеграл исчезает, и мы по-
получаем
Ф & Р) = -ЩГ J V (х> Р) G (х> S. P)dV (х)- A3)
Применяя к A3) обратное преобразование Лапласа и исполь-
используя теорему о свертке, имеем
y(x,t — x)G(x,l,r)dV(x). A4)
v
9.13. Решение неоднородного волнового уравнения 621
Подставляя в A4) фундаментальное решение A0) и меняя ме*
стами точки | и х, получим
или
Подинтегральная функция характеризуется тем, что в нее вхо-
входит временной аргумент t — {R/c). Функцию у мы берем в мо-
момент t — (R/c), опережающий момент t, для которого вычисляем
Ф. Разность R/c этих моментов как раз составляет время, необ-
необходимое для распространения возмущения из точки | в точку х
со скоростью с. Выражение A5) называется запаздывающим
потенциалом.
Неравенство R ^ ct указывает на интегрирование внутри
шара. Введем сферические координаты (R, ф, ¦&), связанные
с координатами |, и Х\ зависимостями
h = xt + Rnt, i = \, 2, 3, A6)
где п\ — направляющие косинусы прямой, соединяющей точку х
с точкой |, и
щ = sin ¦& cos ф, п2 = sin ¦& sin ф, «3 = C°S'9',
0<д<л, 0<ф<2л.
Подставляя формулы A6) в A5) и учитывая, что в сферических
координатах dV = /?2sin bdydRdb, получим
ct я 2я
ф(*. ') = 13^Л J v(^ + ^. t-?)RsmbdR<htdb. A5a)
0 0 0
Здесь мы интегрирование по прямоугольным координатам заме-
заменили интегрированием по шару радиуса R = ct. Центром шара
является точка х, точкой на поверхности шара — точка |.
Рассмотрим теперь частный случай формулы A5). Предпо-
Предположим, что функция у(х, t) имеет вид Anc28(x)f(t). Это — сосре-
сосредоточенное возмущение в начале координат, изменяющееся во
времени с момента t = 0 по заданному закону f (t).
Из формулы A5) получим
ф <х- *)= /(^,У ¦ R = tf + xl + х1)Ч> = R (х, 0). A7)
Эта функция удовлетворяет волновому уравнению A) и имеет
особенность в начале координат.
622 Гл. 9. Основные уравнения и теоремы эластокинетики
Рассмотрим далее двумерную волновую задачу, описываемую
уравнением
Ы —i $)ф (*i. x2, t) = - ± у (*„ х2, t), V? = д\ + д\,
\ с 1 с A8)
Ф(хи х2, 0) = Ф(х!, х2, 0) = 0.
Для решения этого уравнения воспользуемся волновым уравне-
уравнением, в котором решение зависит от г = (jcj-f xf)'1*,
д* ,1 д 1 а* \г/. Л_ о_ б(гN(/)
G(r, 0) = G(r, 0) = 0.
Применим к уравнению A9) сначала преобразование Лапласа
<r. ,)—!&-. B0)
Решаем это уравнение, используя интегральное преобразование
Ханкеля, и находим G в виде
г пЧ— Г v
Здесь Ko(z)—модифицированная функция Бесселя третьего
рода. Применяя к формуле B1) обратное преобразование Ла-
Лапласа и перенося источник из начала координат в точку |, по-
получим
0 при 0<t<r/c,
где
Применим к уравнению A8) преобразование Лапласа!
- ¦?) Ф (х» х2,р) = --^у (хи х2, р). B3)
Комбинируя соответствующим образом уравнения B0) и B3),
имеем
J
Л
(a:j —1[) б (х2 —12) Ф (*i> X2> p) dxi dx2 — -^ \ yG dA. B4)
A A
9.13. Решение неоднородного волнового уравнения 623
Поверхностный интеграл заменяем на криволинейный интеграл.
Этот интеграл равен нулю, если предположить, что интеграл
ограничен и Ф-*0, G-+0 при г—юо. Из уравнения
А
B4) остается уравнение
, h, t) — -^ J y(*i. % P) G (xu x2; lu l2, p)dxldx2.
Заменяя переменные и применяя обратное преобразование Ла«
пласа, имеем
t
X, /-T)^(I),
B5)
Нам остается подставить G из формулы B2) в формулу B5).
Тогда
Сравнивая формулу B6) с формулой A5), заметим некоторое
несовпадение, а именно в формуле B6) интегрирование ведется
по времени. В формулу A5а) временная зависимость входит
косвенно через радиус шара R ^ ct, по которому ведется инте-
1> t ].
Рассмотрим теперь частный случай источника, а именно
y(x, t) = Anc28(xi)8(x2)f(t). Это линейный источник (вдоль оси
х3) интенсивностью Anc2f(t). Он начинает действовать в момент
< = 0 и изменяется во времени по закону f(t). В этом случае из
формулы B6) получим
It-file
2с f Ht)dT
J ^с2(/_тJ_р2 Н B7)
( 0 при с/<р,
где p = (x2 + xlf.
Формулу B7) можно получить другим путем, а именно ин-
интегрируя выражение Ф для точечного возмущения (формула
624 Гл. 9 Основные уравнения и теоремы эластокинетики
A7)) вдоль оси г от — оо до + оо. Поэтому имеем
Г
'-т
Вводя переменную s = z — % и учитывая, что
=^0 при т)>0,
= 0 при л < 0,
получим
ф = 2 Г
о
Совершая новую замену переменных
получим функцию Ф в виде
(-р/с
ф = 2с f f f^)dx при с/>
в соответствии с формулой B7).
Нам остается рассмотреть одномерную задачу
( /) ^O
^.O. B8)
Ф(хь 0) = 0, Ф(х„ 0) = 0.
Вспомогательная функция G(xu |ь /) должна удовлетворять
уравнению
G(xltli,0) = 0, G(xulu0) = 0.
Применяя к формулам B8) и B9) преобразование Лапласа и
соответствующим образом комбинируя эти уравнения, получим
i
оо оо
- - 72- J \'б dxt + J в (*, — li) Ф (*i, p) dxv C0)
9.13. Решение неоднородного волнового уравнения 625
оо
Предположим, что интеграл Г | у \dxx ограничен, а это влечег
—оо
за собой Ф—>¦ О, G—*0 при хх—*±°о. Интегрируя по частям ле-
левую часть уравнения и учитывая условия на бесконечности, по-
получим
оо
lu p)dxx. C1)
После применения обратного интегрального преобразования и
замены переменных получим
t оо
Ф (*i. t) = -& J dx J v (Si. t - x) G (х„ lu x) d\x. C2)
0 —oo
Применяя к формуле B9) преобразование Лапласа, а затем
косинус-преобразование Фурье, будем иметь
|cosct (*i — \\)da __ с , + ., .„_.
о
Выполнение обратного преобразования Лапласа дает
при *[>?,,
C4)
при хх<Ъх,
/ + ' с )~ Функция Хевисайда.
Подставляя формулу C4) в C2), получим следующую фор-
формулу для функции Ф:
t X,+C{t-X)
2с j J i v i>
0 Xi-C(t-X)
В частном случае плоского источника, заданного функцией
у{хи t)= 8(xi)f(t), из формулы C5) получим
! J f(x)dx при |дс,|<с/,
I — \ 0 (ОО)
\ 0 при | х, | > ct.
626 Гл. 9. Основные уравнения и теоремы эластокинетики
9.14. Интеграл Пуассона 1)
Рассмотрим однородное волновое уравнение
(х,/) = 0 A)
с неоднородными начальными условиями
Ф(х,0) = /(х), Ф(х, 0) = g(x), xsV. B)
Займемся исследованием распространения в бесконечной обла-
области волны Ф, вызванной начальными условиями B). Применим
к уравнению A) преобразование Лапласа и результат
— i [Р2Ф — РФ (х. 0) — Ф (х, 0)] = 0 C)
С
запишем в виде
(V2 - -С) Ф (х, Р) = - ~г [pf (x) + g (x)]. D)
с'
Сравнение уравнения D) с уравнением A1) § 9.13 показывает,
что функцию pf(x)-\-g(x) можно трактовать как источник
у(х, р). Используя формулу A3) предыдущего параграфа, по-
получим
Ф (I. Р) = 4^г / Ш (х) + S (х)] G (х, I, р) dV (x). E)
V
Функция G(x, |, t) как фундаментальное решение волновой за-
задачи задается формулой A0) § 9.13. Применим к формуле E)
обратное преобразование Лапласа и заменим переменные. Тогда
, х, t)dV($)
. F)
v
Рассмотрим первый из интегралов, обозначая его через Фь Вве-
Введя сферические координаты (R, ер, ¦&), выразим координаты |{
на поверхности шара через координаты центра шара *,-:
ll = xl + nlR, l2 = x2 + n2R, 13 = x3 + n3R. G)
Здесь пи П2, пз — направляющие косинусы прямой, соединяю-
соединяющей точку | с точкой х. В сферических координатах
rtj = sin ft cos ер, Щ = sin ¦& sin <p, n3 = cos'6>,
') Poisson S. D., Memoires de I'Acad. Roy. des Sci., Ill A819), 122.
Ppussinesq J. V., С R. Acad. Set., 94 A882), 1965.
9.14. Интеграл Пуассона 627
Объемный элемент dV примет в сферических координатах вид
dV = R2 sin ¦& dft d(f dR. (8)
Подставляя формулы G) и (8) и функцию
G (х, |, t) = ^ (9)
в первый интеграл F), получим
Я 2л л
1 Г Г Г
1'х> ' ~4тГ J J J ^'*l >niK> х2 + п2Н, х3-\-п3К) х
ооо
/ D \ D ^D
р. (Ю)
Используя свойство функции Дирака
J Л(-П)в(т| —0^Л=-Л@, (П)
приводим выражение A0) к виду
2л Л
ф1 о*» *)=ik J J ? (*i +niCtt x*+n<ft> Хъ
о о
Интеграл, входящий в это уравнение, является средним ариф-
арифметическим функции g на поверхности шара единичного ради-
радиуса. Формулу A2) запишем символически как
, f)\. A3)
Учитывая вид уравнения F), имеем
Ф(х, t) = tMct [g(x, t)} +-^-[/Mrf {/(x, /)}]• A4)
Решение уравнения A) с начальными условиями B) представ-
представлено в виде двух поверхностных интегралов. Выражение A4)
называется интегралом Пуассона.
Проверим теперь, удовлетворяет ли выражение A4) началь-
начальным условиям. С этой целью выполним дифференцирование по
времени в формуле A4)!
Ф(х, t) = tMct{g(x, t)}+Mct{f(x, ty+t-^Maifix, t)). A5)
628 Гл. 9. Основные уравнения и теоремы эластокинетики
При / = 0 имеем
2л я
Ф(х, O) = Mrf{f(x, 0)}=^ } dq> {/(*,) sin Фс№ =
0 О
2л л
/(x). A6)
Интеграл в этом выражении равен поверхности единичной сфе-
сферы, т. е. величине 4я. Поэтому Ф(х, 0) = /(х).
Дифференцируя уравнение A5) по времени, имеем
f^{f(x,t)}. A7)
Рассмотрим выражение
2л л
Это выражение при /->0 стремится к нулю.
Так как
а величина
является ограниченной при /->-0, из формулы A7) остается
2л л
Второе начальное условие выполнено.
Интеграл Пуассона позволяет полнее понять механизм рас-
распространения волны. Предположим, что возмущения f(x) и
g(x) содержатся в некоторой конечной области Do, ограничен-
9.14. Интеграл Пуассона
629
ной поверхностью Л. Это означает, что функции fug равны
нулю вне этой области.
Рассмотрим изменение состояния Ф(х, f) в точке М(х), ле-
лежащей вне области Do. В силу формулы A4) состояние Ф опре-
определено в точке М в момент t как начальное состояние в точках,
лежащих на сфере Mct радиуса ct с центром в М. Функция
Ф(х, t) отлична от нуля только в том случае, когда сфера Mct
пересекает область Do.
Пусть d\ и d2— расстояния от точки М до ближайшей и са-
самой дальней точки области Do (рис. 9.3,а). Очевидно, что при
',-#¦
РИС. 9.3.
/ < ti = d\\c сфера Mct не пересекает Do; поверхностные инте-
интегралы в выражении A4) равны нулю. До точки М возмущение
еще не дошло; точка М находится в состоянии покоя. Начиная
с момента U = djc до момента t2 = d2jc сфера Mct пересекает
область Do, поверхностные интегралы будут отличны от нуля.
В момент t\ = djc сфера Mct достигнет области Do и фронт вол-
волны пройдет через точку М. При d\jc < t < d2jc точка М нахо-
находится в состоянии возмущения. Момент t2 = d2/c соответствует
переходу конца волны через точку М. При дальнейшем возра-
возрастании t сфера Mct будет содержать область Do, возмущение ми-
минует точку М и Ф(х, t) примет нулевое значение (рис. 9.3,6).
Перейдем к двумерной задаче, т. е. к решению уравнения
с начальными условиями
Ф (Яр Х2, 0) = / (*!, Х2), Ф (Х„ Х2, 0) = g (Л^, Х2).
A8)
A9)
630 Гл, 9. Основные уравнения и теоремы эластокинетики
Преобразование Лапласа функции Ф выражается формулой
Ф(х1г х2, р) =
= 2^ J № (Si, У + р/ (Si. У! G (h, |2> xlt x2, p) dh dh. B0)
A
Здесь функция б(хь х2, 1ь S2. p) задается формулой B5) преды-
предыдущего параграфа.
Рассмотрим первый из .записанных выше интегралов:
©,(*,, х2, Р)=2^г- J ^(Si, S2)G(Si, ?2. «i, «2, pWME2- B1)
А
Применяя обратное преобразование Лапласа и учитывая, что
10 при 0<К rlc,
; при t>r/c, B2>
получим
— ' Г f
-2яс JJ
Легко убедиться, что обратное преобразование Лапласа, приме-
примененное к соотношению B0), при переходе к полярным коорди-
координатам (г, 0) дает
ct 2л
{
00
[ct 2:
— f f
2nc J J
о о
f ""+f;:'^fiin8)H ¦B4)
Интегрирование здесь производится по сфере Cct радиуса ct.
Формулы B3) и B4) можно получить также и переходом от
трехмерной задачи к двумерной.
Если функции g и f не зависят от *з, то и функция ф, задан-
заданная формулой A4), не зависит от х$. Эта функция удовлетво-
удовлетворяет уравнению A8) с начальными условиями B). Очевидно,
что формула для решения пространственной задачи справед-
справедлива и для плоской задачи. В формуле A4) мы интегрировали
по сфере радиуса R = ct. Здесь ввиду независимости функций f
и g от *з интегрирование по верхней полусфере можно заменить
интегрированием по кругу Cct, образованному пересечением
шара Set с плоскостью Х\Х2 (рис. 9.4).
9.14. Интеграл Пуассона
631
Элемент поверхности dA связан с элементом da плоскости
следующей зависимостью:
da = dA cos y>
где
Tt
Здесь li, I2 — координаты точки круга Cct- Аналогичные рассуж-
рассуждения применимы и к нижней полусфере, поэтому интеграл
нужно удвоить.
п
РИС. 9.4.
В результате формула A2), которая имеет вид
переходит в
, R=*ct, dA =
г (Ei, Ы$2Ло 1
cosy
We] J
dh
В общем виде, преобразуя формулу A4), получим
Ф(*1. Ь О- 2ЛС [dt
'с*
. B5)
632
Гл. 9. Основные уравнения и теоремы эластокинетики
Указанный метод называется методом спуска и широко приме-
применяется в различных областях математической физики.
Предположим, что начальное возмущение в плоскости Х\Х2
ограничено некоторой областью Do с контуром / (рис. 9.5). Пред-
Предположим, что точка М(х\, х2) лежит вне Do. Пронаблюдаем рас-
распространение волны, вызванной возмущениями g и f в области
Do. Состояние Ф согласно формуле B4) является начальным
состоянием в точках, лежащих на окружности Cct радиуса ct
с центром в точке М(хи х2). В момент t<.djc, где di — крат-
кратчайшее расстояние от контура /, окружность Сс< не имеет точек,
РИС. 9.5.
общих с областью Z)o; до точки М возмущение еще не дошло.
Начиная с момента t\ = djc до момента t2 = d2lc, где d2 — наи-
наибольшее расстояние от точки М до контура /, поверхностные ин-
интегралы в формуле B4) отличны от нуля. Заметим, что они от-
отличны от нуля и при t > d2/c, ибо окружность Cct содержит об-
область DQ. Для t2 > d2jc имеем
х2, t) =
2лс I J J
B6)
Интегрирование в этой формуле ведется по области Do.
В случае возмущения в трехмерном пространстве функция
Ф была равна нулю после перехода хвоста волны через точку
М{х\,х2). Здесь, в двумерной задаче, функция М(х\,х2) не об-
обращается в нуль.
Следует, однако, заметить, что с неограниченным возраста-
возрастанием t функция Ф будет стремиться к нулю. Это следует из на-
9.15. Колебания, гармонические по времени 633
личия члена ct в знаменателе подинтегральных выражений в
формуле B6). Функция Ф не обращается в нуль после перехода
хвоста волны через точку М, т. е. имеет место диффузия волны.
На рис. 9.5,6 показана функция Ф в фиксированной точке
М(хи Х2) в зависимости от времени /.
9.15. Колебания, гармонические по времени
Рассмотрим однородное волновое уравнение в бесконечном
пространстве
B^?) = 0 A)
и предположим, что причины, вызывающие деформацию, гармо-
гармонически меняются во времени. Тогда и функция Ф должна из-
изменяться гармонически во времени:
ф(х, /) = е-'«'Ф'(х).
Уравнение A) переходит в уравнение эллиптического типа,
называемое уравнением Гельмгольца
(У* + #)Ф' = 0, Ь2 = ^- B)
Это уравнение сводится к уравнению Лапласа, когда k = 0.
Рассмотрим сначала сингулярное решение этого уравнения
в бесконечной области. Нас интересуют те решения уравнения
B), которые имеют в точке | особенность и зависят только от
расстояния между точками х и §.
Обозначим через г = г(х, |) расстояние между этими точ-
точками и запишем уравнение B) в едином виде для простран-
пространственной и плоской задачи1):
При л = 3 имеем пространственную задачу, зависящую только
от г = (л:^ + х\ + xij'2, при я = 2 — плоскую задачу, зависящую
Общее решение уравнения C) имеет вид
(kr)\, m = ^-. D)
') Kupradze V. D., Dynamical Problems in Elasticity, Progress in Solid
Mechanics, North-Holland Publishing Company, Amsterdam, 1963.
634 f*A 9. Основные уравнения и теоремы эластокинетики
Здесь Яд, Я(Д' — функции Ханкеля m-го порядка первого и
второго рода.
При n = 3 (т= 1/2) имеем
т. е.
/С)
Очевидно, что функция ф будет неограниченно возрастать при
Нужно еще установить, какую из величин следует сохранить,
а какую отбросить. Так как Ф(х, t) = Re[e-iu)t<D*(x)], то
Ф,(х, 0 = RD]7{[( тЦН
l(^) F)
Мы получили расходящуюся волну, распространяющуюся от
места возмущения в направлении возрастающих г со скоростью
с. Напротив, функция
Ф2 (х, t) = Re [е-м ^-] = j cos со [t + f) G)
представляет собой сходящуюся волну. Это волна, распростра-
распространяющаяся от бесконечности до точки возмущения. Решение G)
не имеет физического смысла и его следует для бесконечной об-
области или для внешней области отбросить.
Перейдем от пространственной волны к двумерной. Решением
уравнения C) для л = 2 является
Ф (г)-*ЛЯ<!)(Аг)+ ?/#'(*/¦), г = [(Х1-1,J + (х2-12J]\ (8)
В это решение входят функции Ханкеля нулевого порядка пер-
первого и второго рода. Эти функции можно представить как ли-
линейные комбинации функций Бесселя и Неймана
Ь ^J0(kr)^iNQ(kr), (9)
9.15. Колебания, гармонические по времени 635
где
s!r(l+s) '
2 f Win ' 2 V W2)
s=»O
Мы получаем при х—>| неограниченно возрастающее решение,
причем функция ф возрастает как In A/г), если А Ф В. Если
А = В, из формул (9) сразу видно, что особенности сокра-
сокращаются.
Рассмотрим частное решение
Ф^еЬТ^ХЧИ]. A1)
При возрастающем г для больших аргументов функции H^(kr)
справедлива асимптотическая формула
O(r-% A2)
Через О(га) обозначаем такую величину у, что отношение у/га
остается ограниченным при г-*с». При учете A2) формула A1)
примет следующий вид:
®i = Re {~\f lbel {кг-я14-Ш) 11 + О (г-1)]} =
Мы имеем дело с расходящейся волной, распространяющейся в
направлении возрастающих г со скоростью с. Легко показать,
что вторая волна
является сходящейся, т. е. не имеет физического смысла. Для
решения пространственной задачи ф = eihrjr образуем следую-
следующее предельное выражение:
[я / pi
которое характеризует поведение сингулярного решения на бес-
бесконечности. Выполняя указанные дифференцирование и переход
к пределу, получим
I pikr \
Г=Ит [—1—1 = 0. A4а)
636 Гл. 9. Основные уравнения и теоремы эластокинетики
Аналогично для решения плоской задачи tp = #o"(ftr) справед-
справедлива формула
Г = litn V7[4- W {kr)\ — ikH%] (kr) \ =
= litn V7 [- АЯ(," (kr) — ikH{ou(kr)] = Q. A5)
При предельном переходе мы воспользуемся асимптотическим
выражением
<' (kr) « j/^exp [/ (ftr - ^±1 я)] [1 + О (г-»)].
Предельные выражения A4) и A5) можно записать как
Эти формулы дают информацию о поведении фундаментальных
решений и их производных в окрестности бесконечно удаленной
точки.
В дальнейшем мы будем рассматривать класс решений урав-
уравнения
которые ведут себя на бесконечности так же, как частные реше-
решер
ния eikrlr,
9.16. Теорема Гельмгольца ')
Разобьем бесконечную упругую область на внутреннюю об-
область Du охватываемую поверхностью А, и внешнюю область
Da- Предположим, что источники возмущений, вызывающие мо-
монохроматические (гармонические) волны, лежат вне области D,-.
Уравнение Гельмгольца
У2Ф* + ?2Ф* = 0, Ф(х, Ц = Ф'(х)е-ш, k = <alc, A)
является однородным, а его решения регулярны в области Dj,
т. е. не имеют в этой области особенности.
Попытаемся определить функцию Ф*A), isD^, через по-
поверхностные интегралы от функций Ф* и дФ*/дп. Так как при
выводе формулы для функции Ф* будем применять преобразо-
') Helmholtz H., Journal}. Math. (Crelle), 57 A859), 7.
9.16. Теорема Гельмгольца 637
вание Гаусса — Остроградского, следует предположить, что функ-
функции, подвергающиеся этому преобразованию, имеют непрерыв-
непрерывные первые и вторые производные внутри области D{ и на по-
поверхности А.
Для определения функции Ф*A), где | е Di, вводим функ-
функцию G(x, t) = G*(\)e~iat, удовлетворяющую уравнению Гельм-
Гельмгольца
(V» + k3)G* (х, I) = - 4я6 (х -1) (la)
в бесконечном пространстве. Предположим, однако, что точка %
принадлежит Di. Умножим уравнение A) на G*, уравнение Aа)
на Ф*, вычтем один результат из другого и проинтегрируем по
области Di. Тогда
J (G*V8O* — Ф*\Ю*) dV = 4п J Ф* (х) й(х — $) dV (x). B)
Применяя к левой части уравнения B) преобразование Гаусса —
Остроградского, получим
Функция G*(x, |) является фундаментальным решением, зави-
зависящим от расстояния между двумя точками | и х. В соответ-
соответствии с решением предыдущего параграфа
<? (х, I) = -1—, R = [(xt - h) (xt - Id]/!. D)
Функция G(x, |, t) описывает расходящуюся волну, распростра-
распространяющуюся от точки возмущения до бесконечности. Подставляя
формулу D) в C), получаем
Эта формула справедлива до тех пор, пока точка § принадлежит
области Di. Если точка | лежит вне D{, то правая часть уравне-
уравнения E) равна нулю.
Формула E) представляет собой первую теорему Гельмголь-
Гельмгольца. Если Ф* является регулярным решением уравнения A) и
имеет непрерывные первые и вторые производные внутри обла-
области Di, а также на ее поверхности, и если точка | лежит внутри
области Di, то функция Ф* будет выражаться формулой E).
Если | лежит вне области D,-, то правая часть формулы E) рав-
равна нулю.
На основании формулы E) можно определить функцию Ф*(|)
в точке \ области Ъи если известна функция Ф*(х) и ее нормаль*
638 Гл. 9. Основные уравнения и теоремы эластокинетики
ная производная дФ*(\)/дп на поверхности А, ограничивающей
область D{. Точка х принадлежит А, а нормаль п направлена
наружу области D{.
Во многих приложениях все источники находятся во внутрен-
внутренней области Di, а нас интересует значение функции Ф* в точке
|, лежащей во внешней области Da. Решение уравнения A) для
области Da будет регулярным решением. Предположим, как и
ранее, что первые и вторые производные функции Ф* непрерыв-
непрерывны в области Da и на поверхности А, отделяющей область D,-
от области Da-
Опишем теперь сферу радиуса Ro с центром в точке |eDa.
Этот радиус выберем настолько большим, чтобы сфера содер-
содержала внутреннюю область D,- (рис. 9.6).
Область, содержащуюся между поверхностью сферы 2 и по-
поверхностью А, обозначим через D. Запишем уравнение E) для
области D:
В первом поверхностном интеграле мы изменили знак. Это сде-
сделано ввиду того, что мы здесь приняли противоположное на-
направление нормали, которая в формуле F) направлена внутрь
области Di, т.е. вовне области D. Во втором поверхностном ин-
интеграле направление нормали совпадает с направлением ради-
радиуса R; тут нормаль направлена вовне области D.
Преобразуем второй поверхностный интеграл в формуле F).
Здесь йЪ = Ro sin 0 с№ dy = Ro Ло, Через d<o = sin О db dy мы
9.16. Теорема Гельмгольца 639
обозначили телесный угол поверхностного элемента dl>, угол
с вершиной в точке §. В результате получим
J J
> <ф
Очевидным является требование, чтобы полученные выше вы-
выражения стремились к нулю при R0-+oo (отсутствие источников
колебаний на бесконечности). Этим требованиям мы удовлетво-
удовлетворим, принимая, что
\G>*R\<K и R(~--ikO*)->0 Ga)
при R —> оо. Эти условия должны быть выполнены при произ-
произвольном выборе начала радиуса-вектора R и его направления
(т.е. углов Ф и ф). Обозначая через O(Ra) такую величину х,
что отношение x/Ra остается ограниченным при R—*-<х>, а через
o(Ra) такую величину х, что отношение x/Ra-+0 при R—*oo,
причем это происходит безотносительно к направлению радиуса-
вектора R и независимо от выбора его начала, запишем условия
Gа) в виде
$>* = o(R~l), (a)
4f-*w=o0r'). (б)
Условия (а) и (б) называются условиями Зоммерфельда. Усло-
Условие (а) называют условием конечности (немецк. Endlichkeitsbe-
dingung), условие (б) —условием излучения (немецк. Ausstrah-
lungsbedingung).
Таким образом, из формулы F) остается
Ф (ё)J [
- - 1 Г \
R—м~-~ф ¦d
Если точка \ принадлежит области Di, то правая часть уравне-
уравнения (8) равна нулю. Соотношение (8) представляет собой тео-
теорему Гельмгольца для внешней области. Эту теорему сформу-
сформулируем так.
Пусть Ф* — регулярное решение уравнения (У2 + &2)Ф* = 0.
Пусть первые и вторые производные функции Ф* непрерывны
внутри Da и на замкнутой поверхности А. Кроме того, пусть
при любых ф и ¦&, когда R-* оо. Пусть
640 Гл- 9. Основные уравнения и теоремы эластокинетики
где R — расстояние между точками х и §, а д/дп означает диф-
дифференцирование по внешней нормали к А. Тогда / принимает
значение —4пФ* или нуль в зависимости от того, лежит точка |
в области Da или вне области Da (т.е. принадлежит Di).
Перейдем к двумерной задаче. Выделим в плоскости ххх2
область Di, ограниченную контуром /, и предположим, что воз-
возмущения, вызывающие волновое движение, находятся во внеш-
внешней области Da. Тогда уравнение
(д* + <Э|) Ф* + ?2Ф* = 0, Ф (х, *) = Ф* (х„ х2) е~ш (9)
имеет регулярное решение в области D\.
Рассмотрим затем функцию G*, удовлетворяющую уравне-
уравнению
= -2nb(xi-l1N(x2-l2), где (^,?2)eD, A0)
Умножая уравнение (9) на G*, уравнение A0) на Ф*, вычитая
один результат из другого и интегрируя по области Dit получим
Ф'Й1. У = -^- J @>4aG*-G4*<!>t)dx1dx2. A0а)
А
Применяя преобразование Грина, находим
^К (П)
Частным решением уравнения A0) в бесконечном упругом про-
пространстве является функция
G* = ?H(<!)(kr), A2)
где
r = [(xi-hJ + (x2-i2J?'.
Подставляя формулу A2) в A1), окончательно имеем
ds. A3)
Если точка | = (gi, ?2) лежит вне области Dit то Ф*(|1, Ы= 0-
Мы доказали следующую теорему. Пусть Ф*— решение урав-
уравнения (9), и пусть первые и вторые частные производные этой
функции непрерывны внутри области и на замкнутом контуре /.
Пусть, далее,
9.if. Формула Кирхгофа 641
где г —расстояние между точками § = (|ь |2) и x = (*i, х2), а
(Э/(Эл ^производная по внешней нормали к контуру /. Тогда
/ = 0 или / = 4гФ*(|ь ?2) в зависимости от того, лежит ли точ-
точка | внутри или вне контура /.
Точно так же, как и для трехмерной задачи, получается сле-
следующая формулировка условия конечности и условия излучения
Зоммерфельда:
ф* = О(г-'/.), A4)
™L = o(r-4'). A5)
L
Фундаментальным решением, удовлетворяющим принципу
излучения, является решение H[l0] (kr). Чтобы это проверить, до-
достаточно воспользоваться асимптотической формулой для функ-
функции Ханкеля и формулой
Тогда условие A5) выполняется в усиленной форме; в правую
часть формулы A5) входит О(г~31г).
Заметим, что условию излучения удовлетворяют также функ-
функции
Нт (kr) cos тер, Н{т (kr) sin
Формула A3) была выведена Вебером1). Она является дву*
мерным аналогом теоремы Гельмгольца.
9.17. Формула Кирхгофа
Решение волнового уравнения
) = 0 A)
с
в ограниченной области D{ удается представить для движения,
гармонически изменяющегося во времени Ф(х, /) = Ф*(х)е~*ш*,
с помощью формулы Гельмгольца через поверхностные инте-
интегралы от функции Ф* и ее нормальной производной дФ*/дп на А.
Считая, что нормаль является внешней, имеем
') Weber H., Math. Ann., I A869), 1—36.
21 В, Новацкий
642 Гл. 9. Основные уравнения и теоремы эластокинетики
Функция Ф*(х) зО в области Dit если точка х лежит вне D,-
Введем обозначение
[ф] = ф (х, t - 4) = Ф* (х) е-ше'к* =
= Ф*(х)ехр[-Ия (/--§¦)]. C)
Умножая уравнение B) на e~ia>teikct, получим
Учитывая, что
приводим формулу D) к окончательному виду
Это частный случай формулы Кирхгофа, примененный к гармо-
гармоническим во времени колебаниям, т. е. к монохроматическим
волнам. Формула E) выражает значение функции Ф через «за-
«запаздывающие» значения этой функции и ее производных на зам-
замкнутой поверхности А. В эту формулу не входит явно период
колебаний 2л/(kc), так что эта формула справедлива для лю-
любого периода. Формула E) остается справедливой и для внеш-
внешней области Da, если предположим, что нормаль является внеш-
внешней по отношению к области Da-
Перейдем к выводу формулы Кирхгофа для причин, которые
изменяются во времени. Рассмотрим уравнение A) в замкнутой
области D{. Предположим, что функция Ф в этой области регу-
регулярна, ее первые и вторые производные как внутри области, так
и на поверхности А непрерывны и что начальные условия одно-
однородны.
Применяя преобразование Лапласа к формуле A) в предпо-
предположении, что Ф(х, 0) = Ф(х, 0) = 0, получим уравнение
p) = 0. F)
9.17. Формула Кирхгофа 643
Рассмотрим уравнение
(V2 - -jr df] G (x, ?,/) = - 4яб (х - g) б (/) G)
в бесконечной упругой области. Это уравнение мы подробно
рассматривали в § 9.13. Оно относится к волновому движению,
вызванному действием сосредоточенного мгновенного источника,
помещенного в точке §. Предположим, что точка § лежит во
внутренней области D,.
Применим к уравнению G) преобразование Лапласа в пред-
предположении однородности начальных условий
(V2 - ¦?) G (х, l,p) = - 4лб (х -1). (8)
Умножим уравнение F) на G, уравнение (8) на Ф, вычтем
один результат из другого и проинтегрируем по Dt. В резуль-
результате получим уравнение
J — <DV2G) dV (x) = 4лФ (|, р).
Применяя преобразование Грина, будем иметь
(9)
Мы приняли здесь, что нормаль к А направлена наружу Dt.
Функция G известна. Мы определили ее в § 9.13 (формула (9)):
G (х, |, р) = ^- , R = [(*, - ?,J + (х2 - %2f + (*з -
Вводя обозначения
преобразуем формулу (9) к виду
Гл. 9. Основные уравнения и теоремы э ласт окинет ики
Применим к формуле A0) преобразование Лапласа. Учи-
Учитывая, что
о
t
_ дФ (х, / - R/c) _ Г дФ (х, /) 1
"" at ~L dt \'
R
дФ (х, / - R/c) _ Г дФ (х, /) 1
== дп ~l дп }•
получим формулу Кирхгофа в окончательном виде1):
1 dR Г ^Ф д, /)
L
1 1
Эта формула справедлива до тех пор, пока |еО{. Если точка
| лежит вне области Dit то Ф(х, <) =0 в области D*.
Аналогичную теорему для двумерной задачи доказал Воль-
терра2). Исходным пунктом является здесь формула Вебера
Функцию Ханкеля Но*(kr) представим в виде несобственного
интеграла 3):
~-
или
') Kirchhoff G., Berliner Sitzungsber. A882), 641.
Kirchhoff G,, Ann. d. Phys., 18 A883), 663.
2) Volterra V., Ada Math., 18 A894), 161.
Volterra V., Rend. Lincei E) A892), 161, 265.
3) Ватсон Г., Теория бесселевых функций, ИЛ, М.( 1949.
9.17. Формула Кирхгофа
645
Подставив формулу A3) в A2), получим
Точка | лежит внутри контура /, а функция Ф* регулярна вну-
внутри контура и имеет особенность вне этого контура. Введем
обозначение лО = i|>. Тогда
1 г I о Г Q) q flip б Г ^D б dtp |
"о— I "л— I ¦ — . I
2Я J |^ OYl J 1/ ^u2 — f2 fofi J |/ ф2 — f2 J
t Г Г
ds. A5)
Для функции f (jcb x2, г), где ^ь ^2 и /¦ считаются независимыми
переменными, имеем
df df dxt б/ df dr
Ьп дг дп'
дп
дх{ дп '
Учитывая это, придадим формуле A5) вид
Это уравнение представляет монохроматическую цилиндриче-
цилиндрическую волну Ф(|, /) = е~шФ*(%) в интегральном виде. В это
уравнение, однако, не входит явным образом период колебаний
2n/(kc).
Формула A6) для функции Ф(|,/) справедлива также для
волнового движения, изменяющегося во времени по произволь-
произвольному закону.
Глава 10
ЧАСТНЫЕ ЗАДАЧИ ЭЛАСТОКИНЕТИКИ
10.1. Действие сосредоточенных сил
в бесконечном упругом пространстве
Рассмотрим систему уравнений эластокинетики
цУ2и + (Я + ц) grad div u + X = pii A)
и найдем фундаментальное решение этой системы в случае дей-
действия сосредоточенной силы в бесконечном упругом простран-
пространстве. Известно, что систему уравнений A) путем представления
u = grad Ф -f rot ^, X = р (grad ¦& + rot %) B)
удается свести к системе волновых уравнений
Граничные условия уравнений C) заменяются на бесконечности
условиями регулярности (условиями излучения).
Сосредоточенные силы представим как частный случай мас-
массовых сил. Источники Ф, х. входящие в правые части уравнений
C), выразим с помощью формул, выведенных в § 5.7:
4^ J х «. 0 • grad- [те!г] & О.
F. 0 X grad, [^]
Рассмотрим сначала частный случай, действие сосредоточен-
сосредоточенной силы
X (х, t) = е~ш\* (х), Zj (x) = бпб (х),
гармонически изменяющейся во времени с частотой и. Пусть
сила будет приложена в начале координат и направлена по
16.1. Дей^вие сосредоточенных сил 647
оси Х\. Из формул D) получим следующие амплитуды функций
* <х-0)=
О (х, t) = <?-'«'<*• (х), г (х, /) = е-'«'х* (х).
Из последней формулы вытекает, что
,_п „___1 д \ \ 1 ,_ 1 д Г' 1 1 /к s
X, — U, Х2 — 4яр <Эл:з L R (х, 0) J ' Х3 ~ 4яр Зл:2 [R (х, 0) J ' ^а;
Таким образом, правые части волновых уравнений B) изве-
известны. Учитывая, что
Ф (х, /) = е~шФ* (х), if (х, /) = е-шМр* (х),
преобразуем уравнения C) к виду
(V2 +
где
т-2\ ill'
т ) Ч>2 —
1 а (
a =
Rl'
00
V + г'П
Уз 2
4прС2 д
а i\\
х2 \r!
F)
Легко проверить, что решениями уравнений F) являются функции
eixR-\
. 1 д_ 1 eixR - 1 )
4лрш2
Подставляя функции Ф* и if* в представление B) для переме-
перемещения u{&sU\l)(x,t), получим следующую формулу:
—Цб,,- Ц—^—(е ~е 1 g-'^, (8)
Цб,, Ц—
[4ярс| " /f 4ярш2 3*,
/=1,2,3.
V R )\
Формула (8) представляет в точке х в момент t три составляю-
составляющие вектора перемещения, вызванного действием единичной
сосредоточенной силы, приложенной в начале координат и
648 Гл. 10. Частные задачи эластокинетиКи
направленной по оси Х\. Повторяя рассуждения для случаев, в
которых сосредоточенная сила приложена в точке | и действует
в направлениях, параллельных осям Хч и х$, получим общий вид
фундаментального решения
„<*)_ -ш[ 1 . е™ 1 о2 (el0*-e'xR
' ~~е l^4blk~T~' Ырв* ax,dxk\ 1
ДА =1,2,3.
Здесь
Для каждого значения k получим три составляющие перемеще-
перемещения. ?/'/' — тензор перемещений. Представим фундаментальные
решения в виде матрицы третьего порядка
,,1, ?,,2, ^13,
И^) т /1*1 т /C1 /1 л\
'2 U 2 U 2 , (Ш)
,11) тА2) г,C)
'З Сз Сз
столбцы которой являются векторами
{/_ (uU), U'2', Ul3)}. A1)
Обозначая через О транспонированную матрицу, имеем
U(x, ?, t) = U(l, x, t) = U(x, ?, /). A2)
Соотношения A2) вытекают непосредственно из формул (9);
они свидетельствуют о симметрии тензора L/\k\ Соотношения
A2) можно вывести также из теоремы взаимности. Это уже
было сделано в § 9.9 (формула A5)).
Если в формулах (9) перейти к пределу ю—>0, то получим
фундаментальные уравнения эластостатики
[^\ i,k = \,2,3, A3)
где
Решения A3) согласованы с решениями, найденными в § 5.7
(формула A8)). Заметим, что разность фундаментальных ре-
решений динамической и статической задач
Q(x, ?. t) = U(x,Z,t)-U(x,Z) A4)
ограничена, а ее первые производные имеют полюсы первого
порядка.
10.1. Действие сосредоточенных сил 649
Изложим кратко второй способ получения фундаменталь-
фундаментального решения (с помощью представления Яковаке). Если сосре-
сосредоточенная сила действует в начале координат в положительном
направлении оси Хз, то уравнение для вектора <р примет вид
Й 7=1.2,3. A5)
Так как X,- = е~шЬ(х)Ьа!, то ф,=ф2 = 0. Вводя обозначение
Фз = е~'<й'ф*(х), получим для определения функции ср* уравнение
(V* + О*) (V' + iW =--$!;-. A6)
Решение этого уравнения может быть получено путем примене-
применения косинус-преобразования Фурье или преобразования Хан-
келя. Отсюда следует, что функция б(х) является четной, а за-
задача характеризуется осевой симметрией относительно оси
х3 = z. Уравнению A6) можно придать вид
(У + а2) (V2 + т2) ср* -^ ^b(z), A6a)
где
<Эг2 ~ г дг "т" dz2 '
Решение уравнения A6а) можно заменить решениями двух
более простых уравнений, применяя символический метод ре-
решения линейных дифференциальных уравнений.
Представим уравнение A6) в виде
Я+2A ' (U)
где
Частным решением уравнения A7) является функция
1 б(х) 1/1 1 \ 6(х)
ф В,Л2 с2р \Dl D2 D2-Dl
или
Здесь Fa (а^1,2) — решения уравнений Гельмгольца
(V2 + x2)F2 = 6(x). A9)
650 Гл- 10. Частные задачи эластокинетики
Так как функции Fa (a=l, 2) характеризуются также сим-
симметрией относительно оси Хз = z, этим уравнениям можно при-
придать вид
Решая эти уравнения при использовании косинус-преобразова-
косинус-преобразования Фурье и преобразования Ханкеля, получим
ioR ixR
ri с Р с
Поэтому
1 е'°Л — е'ТЛ)> B0)
Для определения перемещения и используем представление
Яковаке
Учитывая, что Ф = @, 0, ф") е~ш, получим из формулы B1)
Для сосредоточенной силы, направленной по оси хи, получим
из формулы B2) формулу (9).
Надлежит помнить о том, что перемещения U) ) должны быть
действительными величинами. Поэтому следует брать действи-
действительную часть от правых частей соотношений (8), (9) и B2).
Зная перемещения, можно определить деформации и на-
напряжения по формулам
B3)
Перейдем к действию сосредоточенных сил, изменяющихся
во времени произвольным образом. Пусть теперь в начале
координат действует сосредоточенная сила X, = 6ij6(x)f@, на-
направленная по оси Х\. Предположим, что эта сила начала дей-
действовать в момент t = 0+. Примем за исходный пункт наших
рассуждений представление B) и волновые уравнения C). При-
Применим к соотношениям B) и уравнениям C) интегральное пре-
преобразование Лапласа. Предположим при этом, что начальные
10.1. Действие сосредоточенных сил 651
условия для перемещений являются однородными. Поэтому ис-
исходим из соотношений
+ rotX) B4)
и уравнений
Здесь
Ф(х, р) = 5'[Ф(х, /)] = { Ф(х,
о
Применим преобразование Лапласа к функции, выражающей
сосредоточенную силу,
B6)
и к соотношениям D). Из последних получим
<27)
4пр ах2 [ R (х, 0)
Сравнение уравнений F) с уравнениями B5) при учете фор-
формул B7) показывает, что можно использовать формулы (8),
заменяя в них величину /и параметром р. Отсюда
Ч 4 1 ^^ • B8)
Применение к B8) обратного преобразования Лапласа дает
искомое решение задачи. Рассмотрим частный случай мгновен-
мгновенного импульса Я; = 6и6(хN@, f(t)=8(t). Так как &[
= 1 и
при f </?/«,
B9)
то перемещение ?//'' (х, t) примет вид
с2
652 Гл. 10. Частные задачи эластокинетики
Если f(t) = H(t), где H(t)—функция Хевисайда, то
где
при t < R/cu
при t > R/Ci.
В общем случае силы Xj = 6jfc6(x)f (t), т. е. силы, приложен-
приложенной к точке х и направленной параллельно оси хи, составляю-
составляющие тензора перемещений ?// '(х, §, 0 выражаются формулой
Рассмотрим теперь двумерную апериодическую задачу.
Пусть сила
()()/@б[О) а=1,2,
действует в направлении оси Х\. Эта сила равномерно распре-
распределена вдоль оси Хз- В этом случае мы имеем дело с плоским
деформированным состоянием.
Перемещение f/з'1 равно нулю, а деформации, напряжения и
перемещения не зависят от переменной х3. Вектор перемещения
и = («1, и2. 0) описывается системой дифференциальных урав-
уравнений
|iV?«e + (a. + |i)e.e + *a = Pua. a=l»2, C3)
где
Хотя и здесь можно применить представление B) и волновые
уравнения C), мы для решения уравнений C3) воспользуемся
методом интегральных преобразований. Сначала применим к
уравнениям C3) преобразование Лапласа в предположении
однородных начальных условий. Получим систему уравнений
yfaa + Y2e,a — р2а2па + г\Ха = 0, <х=1,2, C4)
где
10.1. Действие сосредоточенных сил 653
Выбор конкретного интегрального преобразования зависит от
свойств поля перемещений. Заметим, что при действии сосре-
сосредоточенной силы в начале координат в направлении оси х\ пе-
перемещения «1 симметричны, а и2 антисимметричны относительно
плоскостей Х\Х3 и х2хз. Отсюда следует, что для перемещения и\
нужно применить косинус-, а для перемещения и2— синус-пре-
синус-преобразование Фурье. Поэтому
оо оо
«1 (*i> Х2, Р) = -? J J «1 (oti, Qt2. Р) c°s щхх cos a2x2dax da2,
о о
C5)
й, (а„ а2, р) = — J | и, (хи х2, р) cos а,х, cos a2x2 dxx dx2
о о
и
п2
оо оо
{хи x2,p) = —j J й2(а,, а2, р) sin a,*, sin a2x2da{ da2,
о о
C6)
оо оо v
2
2 Г Г
й2 (а,, а2) р) = — J J п2 (х„ л:2) р) sin a,*, sin а2л:2 dxx dx2.
о о
Трансформанты массовых сил примут вид
оо оо
Z, (л:,, л:2, р) = —J J ^(ct], a2) p) cos a,Ar, cos а2л:2 rfai rfa2,
о о
оо оо
, (a,, a2, p) = — j j Xt {xu x2, p) cos a,*, cos a^dA:, dx2 — Ц^-, C7)
о о
Применяя к первому из уравнений C4) косинус-, а ко второму
синус-преобразование Фурье по двум переменным, найдем си-
систему алгебраических уравнений
2а2 + а2 + Р2*2)Й1-а1а2уЧ = л^
, +(Р2а2 + а2+ Р2а2)и2 = О
с решением
2М (а1 + а2+ра)(а1 + а2 + рт) (gg)
654 Гл. 10. Частные задачи элйстокинётикй
Используя формулы C5) и C6), выполним обратное интеграль-
интегральное преобразование Фурье. Принимая во внимание соотношение
0 0 а1 + а
0 0 а1 + а2 + Р
где Ко (г, р; а)—-модифицированная функция Бесселя третьего
рода нулевого порядка, получим преобразования Лапласа пе-
перемещений
ра
Нам остается выполнить обратное преобразование Лапласа а
выражении D0). Предположим, что f(t) = H(t). Учитывая, что
1{Р) = 1/Р. получим
f 0 при 0 < t < га,
= г (г, t; а) = { ,1
I arch— при t>ra,
1 ГО D1)
> (г, р; а) 1 _
где
Г 0 при 0</<ла,
H
Перемещения «а (а=1,2) выражаются формулами
«1 (-«1, х2, t) *»-—Ц-] е(г, f; a) —
-4-^[/(^-П2(ф(г, ^;а)-Ф(г, ^;т))Л'1|, D2)
t
«2(*i» *2, 0- 2^"^7 J ('-П2[Ф(Г, ^'; а)-Ф(г, /'; x)]df.
о
Рассмотрим случай, когда сосредоточенная сила гармониче-
гармонически изменяется во времени, т. е, когда Ха = 6iae-'ffl*6(xiN(x2),
10.1. Действие сосредоточенных сил 655
Для определения амплитуд колебаний используем систему
уравнений
a=0, a =1,2. D3)
Применяя такую же процедуру, как и в отношении уравнений
C4), заменяя в формулах р на тсо, f(p) на е~ш и па на
ua(xi, х2, t), получим
—ш i
Щ {хи х2, t) = /Со (г, /со; а) +
2Р я [
+ 4" ТТ [Ко(г, /со; а) - /Со(г, /со; т)]|, D4)
«2 (-«ь *2. О = — 2а*о2п dxi дх2 [ ^° ^' ic°; а) — Ко (г, ш; т)].
Нам остается еще выделить действительную часть в правой ча-
части формул D4), ибо вектор перемещения принимает действи-
действительные значения.
Рассмотрим, наконец, одномерные задачи. Пусть поле пере-
перемещений будет вызвано действием сил Х\ = 8(xi)f(t). Эти силы
равномерно распределены на плоскости Х\ = 0. Перемещения
U\{x\,t) описываются дифференциальным уравнением
(Я + 2ц) dim — pui + *i = 0. D5)
Рассмотрим сначала однородное уравнение D5) при Х\ = 0
\д\ г дц и, = 0.
\ с\ )
К этому уравнению применим преобразование Лапласа в пред-
предположении однородности начальных условий
,=0. D6)
Решением этого уравнения являются функции
1. Р) =
Лехр( —-^-) при хг, > 0,
1
D7)
при х,<0.
Очевидно, А = В ввиду непрерывности перемещений в плоско-
плоскости Х\ = 0. Трансформанты напряжений описываются форму-
формулами
(с1р~Ё~ АРС\9^А-~) при дс,>0,
!, Р)= /«,\ D8)
| Л exp \Jj-] при дс, <0.
656 Гл- Ю- Частные задачи эластокинетики
Для определения величины А используем условие разрыва на-
напряжений в плоскости Х\ = 0:
а„@+, t)-on @-,0 + f @ = 0. D9)
Применим к соотношению D9) преобразование Лапласа и ис-
используем формулы D8). Определим таким образом величину
Поэтому
при хх > 0,
E0)
при Xi < 0.
и, =
2рс,р ^\ с,
В частном случае Х\ = 6(#iN@ имеем f(p) = 1. Применение
обратного преобразования Лапласа к формулам E0) дает
и(хи t) =
1 #(/-¦?¦) при лг, >0,
1
2с,Р у ¦ с,;
E1)
Мы получили две волны, одна из которых распространяется
в положительном направлении, другая в отрицательном направ-
направлении координатной оси. Заметим, что решение E1) можно по-
получить как непосредственно методом Даламбера, так и при-
применением косинус-преобразования Фурье.
Фундаментальные решения имеют вспомогательный характер.
Они встречаются в общих методах решения, в рассмотренных ра-
ранее формулах Сомильяны и в методе интегральных уравнений.
Из фундаментальных решений можно сконструировать дру-
другие решения с более высоким порядком сингулярности, повто-
повторяя рассуждения § 5.8. Так, например, для мгновенной двойной
сосредоточенной силы, действующей по оси х\ и приложенной
в начале координат, рассуждения, аналогичные проведенным в
§ 5.8, приводят к выводу, что поля перемещений и1.", вызванные
действием этой силы, описываются соотношениями
dUl.u(x,t)
Здесь f//"(x, 0 задаются с помощью формулы C0). Если в на-
начале координат действуют три двойные силы (направленные по
осям координат), образуя так называемый центр расширения —
сжатия, то поле перемещений выражается формулой
ди?>
¦ ¦- E3)
10.2. Движущийся источник возмущений. Двумерные задачи 657
Можно убедиться, что поле перемещений примет вид
и,- Л^.Г»(*-*/*,)] /=1,2,3. E4)
дх{ L R
Если изменение во времени центра расширения — сжатия опи-
описывается функцией Хевисайда, то
1 д \H(t-Rlcx)
Центр расширения — сжатия создает поле перемещений, харак-
характеризующееся центральной симметрией, так как выражение в
скобках не изменяется при повороте системы координат. Пере-
Переходя к сферической системе координат, выразим радиальное пе-
перемещение «н формулой
«* = L__g-[g('-*/*>]. E6)
R 4лрс\ dR L R J V '
Заметим, что формулу E4) можно получить непосредственно из
системы уравнений A). Для центра расширения — сжатия по-
получаются уравнения
цУ2«г + (Я + ц) и,. „ - б @ dt6 (x) = рй,. E7)
Частное решение этого уравнения найдем, принимая, что и,- =
= Ф, г- Уравнение E7) переходит в волновое уравнение
E8)
с решением, описываемым формулой E4).
10.2. Источник возмущений,
движущийся с постоянной скоростью.
Двумерные задачи ')
По задачам, рассматриваемым в этом и следующем парагра-
параграфах, имеется обширная литература, а сами задачи имеют боль-
большое практическое значение. Общим свойством этих задач яв-
является то, что путем соответствующего преобразования пере-
переменных можно исключить временную переменную. При скоро-
скорости и движущегося возмущения, меньшей скоростей С\, с2, вол-
волновые уравнения переходят в уравнения эллиптического типа,
а при v > С] > с2—в уравнения гиперболического типа.
Рассмотрим довольно простую задачу, а именно действие со-
сосредоточенной силы P§(x\-\-vt), перемещающейся в плоскости
l) Cole J., Hulh J., Stresses Produced in a Half Plane by Moving Loads,
/, Appl. Mech., 25 A958), 433—436.
658 Гл. 10. Частные задачи эластокинетики
х2 = 0 (ограничивающей упругое полупространство) в направ-
направлении оси —Х\. Эта сила перемещается с постоянной ско-
скоростью v. Сосредоточенная сила действует перпендикулярно
плоскости х2 = 0 и равномерно распределена вдоль прямой, па-
раллельной оси х3, а ее интенсивность равна Р.
В плоскости х2 = 0 мы имеем дело с граничными условиями
o22(xu0,t) Pd(x, + ofl, а12(лг„ 0,0 = 0. A)
При решении этой задачи- воспользуемся волновыми уравне*
ниями
1.
+ a!--l-d?W=o. B)
Перемещения и\ и и2 выражаются формулами
щ=д]Ф — <52гр, «2 = <52Ф + <51Ф- Bа)
Примем новую систему координат (li,h,t), связанную с силой,
движущейся вдоль оси Х\. Производя преобразование для отно-
относительного движения
li=Xi + vt, I2 = x2, t = f, C)
приводим уравнения B) к виду
где
Так как возмущение в подвижной системе координат не зависит
явно от времени, мы исключили в уравнениях частные произ-
производные по времени ?. Здесь величины ца (а= 1, 2) являются
числами Маха. До тех пор пока t]i < 1, ц2 < 1, уравнения D)
будут эллиптическими уравнениями. Мы имеем дело с дозвуко-
дозвуковым случаем.
Для т|2 > 1, t|i < 1 уравнения B) примут вид
где
Мы имеем дело с околозвуковым случаем. Первое из уравнений
E)—эллиптического типа, а второе — уже гиперболического.
10.2. Движущийся источник возмущений. Двумерные задачи 659
Если til > 1, т]2 > 1, то мы имеем дело со сверхзвуковым
случаем. Волновые уравнения B) примут вид
где
^а = К-1I/2. «=1,2.
Рассмотрим подробно дозвуковой случай t]i ¦< 1, т]2<1.
В системе координат (хи х2, () перемещения задаются формула-
формулами Bа), а составляющие тензора напряжений — формулами
\ '
Переходя к координатам (|ь?2. О и учитывая уравнения D),
получим следующие соотношения:
дф <Эг|) дФ . дОр /о>
И
2
Граничные условия A) примут в системе координат (|[, ?2) вид
<^22 Fi. 0) Р6 (I,), а12 AЬ 0) = 0. A0)
Подставляя формулы (9) в A0), получим систему уравнений
ббб Fa. 10. Частные задачи эласт окинетики
Для решения уравнений D) используем преобразование Фурье.
Легко проверить, что интегралы
о
Ф(?„ У = тт= J
' — оо
A3)
удовлетворяют уравнению D) и условиям излучения на беско-
бесконечности. Применяя преобразование Фурье к граничным усло-
условиям A1) и A2) и учитывая, что преобразование Фурье для
функции 6(|i) имеет вид
а для функций Ф и г|) — вид
ф («, |2) = Ле-Р-1а I Ч ф (а, |2) = fie-f' Ie I«»,
получим систему уравнений
2/a| а|р,Л + (т!1 — 2)a2S=0,
из которой определим постоянные А и
. _ Ру р_
~~ 2 /2JT ' ~~
Из формулы (8) получим следующее выражение для переме-
перемещения U\\
Учитывая, что
—оо О
представим перемещение «( в виде
10.2, Движущийся источник возмущений. Двумерные задачи 66 J
Введя обозначения
к _ У к _ 2Р>
Ai —~Х' Д2 — — -
придадим перемещениям следующую форму:
e,
Заметим, что в перемещении «2 в месте приложения силы по-
появляется особенность логарифмического типа. Эта особенность
интегрируема, и она исчезает для нагрузки, распределенной по
конечной поверхности.
Напряжения определим по формулам (9):
_ KiP (Г) „2N sine, | 2K2P2P sine.,
ff22 —{* — Ч2)—^--\ - —.
2Pi/CiP I cosSt cos62 \
ffl2 я \ r, TT~)'
Перемещения и напряжения . неограниченно растут, если
А = 0, т. е. если
Последняя формула дает фазовую скорость распространения
поверхностных волн Рэлея (о чем будет речь в § 10.5). Здесь
же заметим, что перемещения и напряжения неограниченно ра-
растут, когда скорость перемещения силы стремится к фазовой
скорости поверхностной волны.
Перейдем к сверхзвуковому случаю, когда т^ > 1, /п2>1,
т. е. v > С\ > с2. Решением дифференциальных уравнений F)
будут тогда интегралы
оо
B0)
i, W = у= J В ехр [ - /а (|, - Я2|2)] da,
662
Гл. 10. Частные задачи эластокинетики
найденные путем применения интегрального преобразования
Фурье к уравнениям F). Легко проверить, что эти функции
удовлетворяют условиям излучения на бесконечности.
Из граничных условий A1) и A2) получим систему урав*
нений
— a2Y А + 2а%В -?=¦,
B1)
Поэтому
А =
В = —
где
и
Pi
_ 2Я,,
da.
B2)
Так как перемещение и\ является действительной функцией, то
из формулы B2) следует, что
,,— Р р
sin a (gi —
5
rfa .
B3)
Последнее выражение преобразуем, используя следующие пред-
представление функции Хевисайда:
0 при z < О
•=¦ ПрИ 2 = 0
1 при z > 0
<24>
С помощью формулы B4) представим перемещение U\ как
B5)
где С — постоянная величина, которая не влияет на распреде-
распределение напряжений.
Поступая аналогично, получим для и2 следующую формулу:
С.
B6)
10.2. Движущийся источник возмущений. Двумерные задачи 663
Напряжения определим по формулам (9); получим
* I ., [ О | '* „2\ A /? I ? \ ^__ /11 j i/j ^^ 5 ? \
Лд L \ № / J
2Р
СГ12== "д~
Здесь
где б(г) — функция Дирака. Из уравнений B5) — B7) видно,
что возмущение характеризуется двумя волнами Маха:
На рис. 10.1 представлены оба фронта волн Маха.
Решение для рассмотренного здесь сверхзвукового случая
можно получить значительно проще путем трактовки уравне-
рис. юл
ний F) как волновых уравнений. Соответствующие решения Да-
ламбера этих уравнений имеют вид
Ф = f (|, ± Я,У, ф = g (|, ± Л^). B8)
Знак при %2 должен выбираться так, чтобы были выполнены
условия излучения на бесконечности. Так как сила движется
в отрицательном направлении оси х\, следует положить
ф = /(?.-Ш, 4> = g(Si-a-2i2). B9)
Эти функции надо подставить в граничные условия A2).
Несколько изменим эти условия, интегрируя их по |i. Тогда
получим
/ дФ , о ду \ Р и /+ \
-5T + 2^f- =- — ЯУ,
( }
664 Гл- Ю- Частные задачи эластокинетики
Подставляя формулы B9) в C0) и обозначая через /' и g' про-
производные этих функций относительно их аргументов, получим
систему уравнений
yf'-2X2g' = --^H(ll), -2XJf-yg' = 0. . C1)
Из этих уравнений определим функции
П6.) = —jg-tffo). ^(i,) = -ff я(|,).
Поэтому при |2 Ф 0 имеем
Из формул
получим выражения, совпадающие с формулами B5) и B6).
Мы не будем заниматься случаем tji > 1, tj2 < 1 и для око-
околозвуковой скорости отошлем читателя к цитированной выше
работе Коула и Хута.
Рассмотрим теперь напряженное состояние, вызванное в бес-
бесконечном упругом пространстве силой Р, передвигающейся в
направлении оси х\ с постоянной скоростью v '). Эту силу, рав-
равномерно распределенную вдоль прямой, параллельной оси лс3,
можно выразить как массовую силу
Xl=6(xl — vtN(x2), X2 = 0. C4)
Для решения этой задачи применим метод интегрального пре-
преобразования Фурье, обсужденный в § 9.6. Исходным пунктом
является система уравнений в перемещениях для плоского де-
деформированного состояния
цV?иу + (X¦ + и) и*. л/ + X, = рй;, j,k = l,2. C5)
Для упрощения вычислений вводим новую переменную % = c\t,
заменяя уравнение C5) на
д2
2 2
« + (Я + и) «*, k] + X/ = pci
V
Cl
G. Eason, J. Fulton, I. Sneddon, loc. cit. стр. 584.
10.2. Движущийся источник возмущений. Двумерные задачи 665
Учитывая, что
оо оо оо
и,(хи х2, %) = —-з^ J J J uj(a.i,a.2) ю) X
X ехр [— / (а,*, + а2х2 + ют)] da, rfa2 da,
F7)
l,a2,(i>) = —-7]7 J J \ Uj (xu x2, x) X
7
— OO —OO — OO
X exp[/ (a,*, + a2x, + сот)] rfx, rfx2
приводим систему уравнений C6) к виду
(б2 - pWJy + (Р2 - l)a;-a,u, = - Х,/р, j, ? =
Решение уравнений C8) и выполнение обратного интегрального
преобразования приводят к следующим выражениям:
И/ \XU Х2, Т) — 2 Bя)./, J J J
°° °° °°"'Я2 — m21 V _Ж2-
Г f f ^
2 Bя)./, J J J (б2 - 0J) (б2 _ Р2Щ2) А
— ОО —ОО —ОО
Хехр[— /(a,*, +a2x2 + (ar)]dalda2doi, j, k—\, 2. C9)
Подставляя формулу C9) в формулы для напряжений
ап + ст22 = 2 (Я + ц) (<3,1г, + <32и2),
^и — cr22 = 2|i E, ы, — C2«2), D0)
получим при Х2 = 0 следующие формулы:
оо оо оо _
- 1) Г Г Г ia\X\ w
^Г J J J Ъ^гХ
— оо —оо
X ехр [— / (а,*, + а2х2 + tot)] da! da2 dco,
— ОО —ОО —ОО
OO OO 01
ffn — cr22 = — o, /о-ч,/9 J J J
— 00 —OO —OO
р2Bя)% J J J (б2 - со2) (б2 - P2g>2) ^
— 00 —OO —OO
X ^i exp[— i (a,*, + a2x2 + ©T)]da, da2da, D1)
оо оо оо Г^/^ 2\ /2 \21 —
1 С С С t&o г \®~ — ® / — ^ ^Р — '/ ^11 1
ff'2 = " р2 BПр J J J (б2 - 0J) (б2 - p2m2) X
— ОО —ОО —ОО
|- сот)] do.\ da2rfct>.
ббб Г-*1- М- 4actHbie задачи эЛасТдкинеТики
Следует определить еще трансформанту
оо оо оо
Xi К а2. ©) = —^ \ J Ja(*i— w)b(x2)X
— ОО — 00 — ОО
X ехр [/ {а{х{ -\- а2х2 + сот)] dx{ dx2 dx =
оо оо
= Т^Ж J J б (*i — Л1*) ехр |7 (а,*, + сот)] rfx, rft =
= ^4д- j ехр [/т (и + 11,0,)] dx =«= -^ fi(co + Tj,a,). D2)
— оо
Подставляя формулу D2) в D1), получим следующие формулы:
— р(Р2~ ') Г Г /<Х| ехр {- / [а, (х{ - vt) + а2х2\} dax da2
^?-П -S+0-4?)-?
_
X exp {— i [a, (*, — vt) -\- а2л:2]) da, da2, D3)
X exp {—t [а, (л:, — vt) + a2x2]\ da} da2,
где
После выполнения указанных интегрирований получается фор-
формула
^11 + СГ22 =
D4)
10.2. Движущийся источник возмущений. Двумерные задачи
667
Из других формул D3) получим
2 (*, - vt) Р
П1J2
Рх2 I A-ц*У'
12~~ 1^ (х - vtf + (\ - ц2)х2 ~
D5)
Ниже мы приводим график максимальных касательных на-
напряжений для силы Xi = РЬ(Х[ — vt)8(x2), перемещающейся со
Д05
РИС. 10.2.
скоростью v = 0,4 С! в направлении оси Х\ (рис. 10.2)') в пред-
предположении, что v = 1/4, т. е. А, = ц. Изображенные кривые яв-
являются изохромами Tmax = const. Числа, иаписаиные рядом с
кривыми, означают величины латтжР, где а — некоторая харак-
характерная длина.
Интересен случай, когда Сг < v < С\, или т|i < 1 < т^г-
В этом случае первая формула системы D3) остается без
') Q. Eason, J. Fulton, I, Sneddon, loc. cit. стр. 584t
668
Гл. 10. Частные задачи эластокинетики
изменений. В то же время из остальных формул D3), в кото-
которые следует подставить т]2<1, получим иные выражения для
СТц—СТ22 И CTi2.'
__ , ('-('/2)лР('-
<Уц <*22
D6)
\
РИС. 10.3.
На рис. 10.3 показаны изохромы для наибольших касательных
напряжений при v = 0,8 С\ и v = 1/4. Вдоль кривых
при Сг < и < С\ напряжения претерпевают разрыв. Это вызвано
наличием дельта-функции Дирака в выражении касательных на-
напряжений.
10.2. Движущийся источник возмущений. Двумерные задачи
669
Аналогичным образом решается задача, связанная с силой,
направленной по оси х\, но передвигающейся в направлении
РИС. 10.4.
ОСИ Х2 СО СКОРОСТЬЮ V <. С2 < С\\
Xt = Р6 (*,) б (х2 —'
Для этого случая получим
= 0, Л1 = -^-.
Итак,
Г '«
ехр {-
(хг ~
_
яр2[A-П2)*2+(*2-
/. 2\Ч,
II — Т\2)
[\ _ у,2) х2 Л. (х
- П?)'А A - 0/2)
/2) til) I
" vtf \
- ЛУ'
пЪч
0 - if)
f) *
670 Гл. 10. Частные задачи эластокинетики
На рис. 10.4 представлены графики максимальных касательных
напряжений, обусловленных силой Р6(Х[N(х2— vt), движущейся
со скоростью v = 0,4 с\ в направлении оси х\. При выполнении
графика принято v = 1/4. Числа, написанные рядом с кривыми,
означают величины яатщахЛ где а — некоторая характерная
длина.
10.3. Источник возмущений, движущийся с постоянной скоростью.
Пространственные задачи
Пусть в неограниченном упругом пространстве в направле-
направлении оси Хз перемещается с постоянной скоростью v сосредото-
сосредоточенная сила. Эта задача, так же как и более сложная задача
о движущихся поверхностных силах (равномерно распределен-
распределенных по окружности), была решена Эсоном, Фалтоном и Снеддо-
ном1). Эти решения являются прекрасным примером примене-
применения интегрального преобразования Фурье в эластокинетике.
Исходным пунктом являются формулы A) — A1) § 9.6, в ко-
котором перемещения были выражены в виде преобразования
Фурье по четырем переменным:
Л> '~ 4п2с\р
= l, 2, 3, A)
62=p2— 1, d W = dax da2 da3 d®.
Здесь W* означает пространство переменных (ai, аг, аз, со).
В случае Х\ = Х2 = 0, Х3 Ф 0 получим для перемещений сле-
следующие формулы:
г) — -
]р J( (Y2 - «2) (Y2 - Р2«>2) '
т^_ Р2-1 Г Хга2аге-1ай
'X) 4n2c2pj (y2-^)(y2-
4n2c2pj (y2-^)(y2-P2«.») > B)
1
Q = ЩХх + Ct2^2 + «3*3 + «Т.
') G. Eason, J. Fulton, I. Sneddon, loc. cit. стр. 584.
10.3. Движущийся источник возмущений. Пространственные задачи 671
Используя соотношения Гука
_ / I \ I * t i U 1л 1 О Q /9\
Vfk ^= r^ \№],k i ^fe,// ~T~ hQkjU-n^ tit if *Zt '*• — '» ^» *-*» V"/
найдем следующие зависимости:
3P2-4
J (v2 — ffl2^ (
J
25 ~
j (Y2 _ ffl2) (Y2 _ ffl2p2)
W,
л io, i 16~ (v "^ со / ~~ 2o ct j I XoB
J (y2 - to2) (y2 - ffl2B2) a^'
_
a'5 4я2р2 J (y2 - to2) (y2 - ffl2p2)
a — 6' f '«ia2a3^3g~'Q -r
ai2 "" 2n2P2 J (y2 - Ю2) (y2 - »2P2) ¦
Для силы Р, передвигающейся по оси х3 с постоянной ско-
скоростью v, имеем
Х3 = РЬ (х,) 6 (х2) 6 (лг3 - vt) = Р6 (л:,) б (х2) б (х3 - 4it), t|i = ^ •
Поэтому
^з = -2^б((й + п1а3). E)
Подставляя формулу E) в формулы B) и интегрируя, получим
_ рьч а/,
где
ОО ОО 00
. Г Г Г ?э ехР (~ ' IctiXi + g2^2 + а3 (хэ — oQ]) f/ai da2 da5
— oo —oo —oo L V /JL V /J /7\
oo oo oo ^
. f f f exp {— ^'[q'i^i + «2X2^^3 (x3 — oQ]) (iaj da2 йъ$ ^ v
Гл. 10. Частные задачи э ласт окинет ики
Подставляя в формулы G) a, = pcosO, аг = р sin®, xl =r cos0,
;t2 = rsin9 и интегрируя по Ф и а3, находим
¦i О
где
, — vt
Дифференцируя по г и используя известное интегральное со-
соотношение, получим
оо
^ 1'(pr) (e"PYi - evl) rfp=
_ 2n'j_ Г Уг Yi_
Кроме того,
d(xt — vt) т}|6 [_ (г'
2л2
'2
Подставляя формулы (8) — A0) в формулы F), получим
х'р Г Ys Yi
и, =
Un 9 о
4ЛЦТ12Г
Напряжения otj можно определить из формул C), дифференци-
дифференцируя выражения для перемещений, или из формул D) при уче-
учете E) и интегралов (8)—A0).
Рассмотрим, далее, действие сосредоточенной силы Р, дей-
действующей в направлении оси дс3, но передвигающейся со ско-
скоростью v в направлении оси х\. Тогда
*3 = РЬ (х, - т|,т) б (jca) б (х3), Х2 = Х3 = 0. A2)
10.3. Движущийся источник возмущений. Пространственные задачи 673'
Трансформанта силы Х$ принимает вид
^ A3?
Подставляя формулу A3) в формулы B), можно представить
перемещения в виде
/>fi* <?2Г,
«, =
дхг
дх2 дхг '
Р
Здесь Vi и Г2 означают интегралы
оо оо оо
ехр {— (' [О] (х) — vt) + а2хз + а3дгз]}
оо оо оо .
Г Г Г
Г2 =
J J J
ехр {- L [а, (у, - vt)
— оо —оо —оо V '2/ 1 ^
Подставляя в интеграл Г, зависимости a2 = pcos<l\ a3 = psinO,
x2^rcos0, ^3^rsin9 и интегрируя по Ф и с^, найдем, что
оо
дг 4$
где
Интегрируя согласно A6), получим
%-~W'l{l~^2{Г2 + б22)'/2 ~° "T1')'/2(Г2 + m A7)
Поступая аналогично с интегралом Гг, найдем, что
674 ?~л- Ю- Частные задачи э лает окинет ики
Наконец, из формул A4) получим следующие выражения для
перемещений:
(х, - vt) х2Р ( 1 1 \
Ап\ч?г \R2 Rj
где
Рассмотрим теперь простой случай, в котором источник про-
продольной волны О(х, t) передвигается с постоянной скоростью в
направлении оси л:3:
(V - -L д}\ Ф (х, t) L ь (х, /). B0)
\ с I с
Уравнение B0) можно трактовать как волновое уравнение, свя-
связанное с действием в бесконечном упругом пространстве мас-
массовых сил Xi = pft, j. Так как задача характеризуется осевой
симметрией относительно оси х3 = z, решение удобно искать в
цилиндрических координатах. Вводя новую переменную т = C\t
и предполагая, что мы имеем дело с точечным источником воз-
возмущений
О(г, г, т)=*о4йгв(г-11,т), 41 = -^-, B1)
получим уравнение B0) в виде
Применяя к уравнению смешанное интегральное преобразова-
преобразование Ханкеля — Фурье, получим в соответствии с формулой B9)
§9.6
Ф(г> 2, х) = —j" J аЛ> (ar) da X
00 00
— 00 —00
10.4. Отражение плоской волны от свободной поверхности 675
Учитывая, что
Ь (а, Р, со) = у2- б (со -j- рт),), B4)
получим
00 оо
Ф (г, 2, Л = —V а^о (а/") da —5 г? 5Г #>
4jlcT0J -co «2 + Р (!-1,)
откуда после простого интегрирования найдем
Ф(г, z,t) = -^- ' B5)
4я^1 К /¦ (• — *li) + (z — f/)
Эта формула справедлива для гц < 1, т. е. для возмущений, пе-
перемещающихся с дозвуковой скоростью. Для сверхзвуковых ско-
скоростей (t]i > 1) имеем
Проинтегрируем по 0:
_ я sin (a (г - р<)/о) ,, ny
Этот интеграл понимается в главном значении Коши, поэтому
00
Ф (г, z, t) = -^- J sin (a —^-) /о (or) da,
или
f^V \ при
z-vt B7)
О при < Г < оо.
Перемещения и напряжения, связанные с действием источника,
получим по формулам
к + ЛбдФ.»,. B8)
10.4. Отражение плоской волны от свободной поверхности
и от абсолютно жесткой стенки
Пусть в плоскости х\Хъ в направлении АО распростра-
распространяется под определенным углом плоская монохроматическая
волна. Эта волна отражается от плоскости хз = 0. На рис. 10.5
показаны падающие волны двух типов: Р-волна и SK-волна.
22*
676
Гл. 10. Частные задачи эластокинетики
Первая из них является продольной волной (волной дилатации),
распространяющейся вдоль прямой АО с фазовой скоростью с\.
Эта волна после отражения, помимо отраженной Р-волны, дает
начало SK-волне, распространяющейся со скоростью с2. Вторая
из этих волн, представленная на рис. 10.5,6, является попереч-
поперечной (перпендикулярно поляризованной) волной, распространяю-
распространяющейся со скоростью сг. Эта волна, кроме отраженной SK-волны,
вызывает возникновение продольной Р-волны. Предположим,
что в обоих случаях плоскость х\ = 0 свободна от напряжений.
РИС. 10.5.
При рассмотрении отражения Р- и SV-волн от плоскости
х3 = 0 мы воспользуемся волновыми уравнениями. Так как мы
имеем дело с плоской волной, не зависящей от переменной х2,
то к нашим услугам уравнения
( ^) = 0. A)
Решение уравнений A) примем в виде
'*'*'-*». B)
Мы должны связать потенциалы Ф и -ф с заданными граничными
условиями. Эту задачу можно решать сразу для двух функций
Ф и г|з.
Подставляя формулы B) в A), получим систему обыкно-
обыкновенных уравнений
¦=1, 2,
с решениями
G,,
I*—1, 2.
Отсюда уже можно представить потенциалы B) в виде
Ф = Л, exp [ik{x{ + v,*3 — cf)] + В{ exp[ik{xx — v,*3 — ct)],
A2 exp[i
v2x3 —
B2 exp [г?{*, — v2x3 — ct)\.
C)
D)
E)
10.4. Отражение плоской волны от свободной поверхности 677
Заметим, что с представляет собой скорость распространения
волны вдоль поверхности. Это вытекает из следующих рассу-
рассуждений. Если на рис. 10.5, а принять скорость ci как отрезок
АО, то этот отрезок будет означать расстояние, на которое пе-
переместится волна в единицу времени. Отрезок ОК является рас-
стоянием, которое преодолевает фронт волны вдоль свободной
поверхности в единицу времени, равным скорости с. Отсюда сле-
следует, что
cos а = ~, F)
где а — угол падения волны. Точно так же если на рис. 10.5,6
мы положим, что ВО = с2 является скоростью распространения
волны, то отрезок КО будет представлять скорость с распро-
распространения волны вдоль плоскости х3 = 0.
Обозначая через р угол падения SK-волны (рис. 10.5,6), по-
получим зависимость
cos{3 = -^. G)
Здесь с, входящее в соотношения F) и G), одно и то же; оно
относится к потенциалам E), которые описывают распростране-
распространение волн как в случае, представленном на рис. 10.5, а, так и
в случае, представленном на рис. 10.5,6. Поэтому в случае па-
падающей Р-волны (рис. 10.5, а) А2 = 0, в случае падающей SV-
волны (рис. 10.5, б) -Ai = 0. В обоих выражениях E) имеем
одно и то же k = со/с.
Исключая с из уравнений F) и G), получим
(8)
откуда
cos a =-^- cos p. (9)
Это и есть закон отражения плоской волны, аналогичный за-
кону отражения Снелла в оптике. Величину к, входящую в вы-
выражения E), можно представить в виде
, ш 2я cos a 2я cos E
к—т 1 ~ v ¦
где / = 2nci/(o — длина продольной Р-волньг, /' =» 2пСг/(й — дли-
длина поперечной SV-волньг.
Постоянные Аи В\, As, B^ входят в граничные условия. За-
Заметив, что
и, — а,Ф
и
678 Гл. 10. Частные задачи эластокинетики
получим
сгзз = 2ц @|Ф + didtf) + ЯУ?Ф,
a is = Bд^Ф + dfo Э|)
Итак, имеем два граничных условия
а3з(*„ 0, 0 = 0, 0,3(^,0,0 = 0. A3)
Рассмотрим сначала случай распространения Р-волны, пред-
представленной на рис. 10.5, а. В этом случае следует положить
А2 = 0: это равнозначно факту, что набегающей волной является
Р-волна. Принимая В2 Ф 0, отложим пока исследование вопроса,,
при каких условиях В2 может быть равным нулю. Подставляя
функции Ф и 1|з из формул E) в граничные условия, получим
систему двух уравнений, содержащих постоянные А\, Ви В2\
(А, + 5,) [2„у? + Я A + vj)\ - 2nv2B2 = 0,
Здесь, как легко убедиться из соотношений F) и G),
, v2 = tgp = (-|-lj'/s. A4а)
Из решения уравнений A4) имеем
?. 4v,v2-Cvj+l)(v»-l)
В2
A5)
Рассмотрим частный случай, а именно ц := Я, т. е. v ^ 1/4. Эти-
значения постоянных Ламе принимаются в сейсмологии. В этом
случае
-с\ — Ъс\, cos2 a = 3 cos2 р, v\— 1 =, 1 + 3v2.
Уравнения A5) примут при учете формул A4а) следующий вид:
В1_ 4tgatgP-(l+3tg2qJ
A, 4ttp + (l+3t2)
В2 _ 4tgaA+3tg2a)
А 4ttP + (l + 3t2
Из этих формул видим, что величина В2 обращается в нуль з
двух случаях: один раз при a = л/2, р = л/2, другой раз при
а = 0. В этих двух случаях отражение относится только к
10.4. Отражение Плоской волны от свободной поверхности
679
Р-волне. При а = л/2 получим, кроме того, Вх = —А\. Мы имеем
дело с Р-волной, которая падает перпендикулярно к плоскости
х3 = 0 и полностью от нее отражается. Рассмотрим теперь слу-
случай, в котором Bi = 0. Из первого уравнения A6) получим
4tgatgP = (l+3tg2aJ.
Учитывая, что tg2p = 3tg2a + 2, получим уравнение
4tgaCtg2a + 2)'/* = (l + 3tg2aJ A7)
с корнями а] ~ 12°47' и а2 = 30°. Этим корням соответствуют
скорости с ~ 1,776 с2 и с = 2,00 с2. Если волна падает под углом
РИС. Ю.6
aj или аг, то эта волна не отражается. В то же время SV-волна,
распространяющаяся соответственно под углом Pi или р2, оче-
очевидно, существует.
Рассмотрим далее плоскую SK-волну, показанную на
рис. 10.5,6. В этом случае в выражениях E) положим А{ =0.
Подставляя функции ф и -ф из формул E) в выражения A2)
и используя граничные условия A3), получим систему двух
уравнений, из которых определяем отношения В\/А2 и \A
в предположении, что ц = i:
EL _ 4tgP(t + 3tg2a)
A2 ~
B2 4 tgatgP— A
^2 4 tgatgP + A ¦
A8)
SV-волна, падающая под углом р к плоскости Хз = 0, отра-
отражается под углом р и вызывает распространение продольной
волны под углом а. Из соотношения (9) видно, что р > а. Па-
Падающая SK-волна не отражается, когда В2 = 0, т. е. когда угол
падения принимает одно из двух значений: Pi^55041' или
р2 = 60°. Этим значениям соответствуют скорости с я* 1,776 с2
и с = 2,00 с2.
Рассмотрим теперь отражение волны от абсолютно жесткой
стенки (рис. 10.6). Эта задача отличается от предыдущей только
680 Гл- Ю. Частные задачи эла^окинетики
граничными условиями, которые здесь принимают вид
Если падающая волна является Р-волной, то потенциалы при-
примем в виде E) в предположении, что А2 = 0. Подставляя E)
в граничные условия A9), получим систему двух уравнений, из
которых вычислим отношения
в, viv2 — 1 в2 2vi ,gm
—л i 1— ¦ —л— """ i i— • \"*J I
At ViV2 +1 Ла viv2 -fl x '
Очевидно, что амплитуда В\ будет равна нулю, когда V1V2 = 1,
что при ц = X приводит к уравнению
Ctg2a-l)(tg2a+l) = 0, B1)
откуда можно определить углы падения а\ и а2, при которых
волна не отражается.
Если падающая волна является SV-волной, то в выражениях
E) следует положить А\ = 0. Учет граничных условий A9)
приводит к
В, 2v2 B2 _
А2 1 + v,v2 •
5У-волна не отражается, если В2 = 0 или viV2=l. Отсюда
можно определить углы падения Pi и р2 и соответствующие им
скорости с.
10.5. Поверхностные волны Рэлея 2)
Возмущения на поверхности, ограничивающей упругое полу-
полупространство (либо в упругом теле вблизи его поверхности),
вызывают распространение волн, характеризующихся тем, что
их амплитуды являются максимальными на поверхности иччто
они затухают достаточно быстро с глубиной. Эти волны имеют
большое значение в сейсмологии.
Рассмотрим упругое полупространство Х\ ^ 0 и предполо-
предположим, что поверхностная волна распространяется в направлении
оси х2. Такого рода волна может возникнуть, если вызывающее
ее возмущение не зависит от переменной х3. Независимость по-
поверхностной волны от переменной Хз является причиной того,
что Из = 0 и езз = S13 = егз = 0. Здесь мы имеем дело с пло-
плоским деформированным состоянием.
') Rayleigh J. W., On Waves Propagatet Along the Plane Surface of an
Elastic Solid, Proc. Math. Soc. London, 17 A885), 4—11.
10.5. Поверхностные волны Рэлея 681
Перемещения, записанные в трехмерных задачах с помощью
потенциалов ф и г|э в виде
«<=Ф,<+ ««/*./, «, /, k = \, 2, 3, A)
примут в двумерной задаче следующую форму:
«i = <P.i + t.2> «2 = Ф.2 —*,i. (la)
где ф и vfi — скалярные потенциалы.
Уравнения Ламе упрощаются:
0; B)
здесь
Ul = S\-±d], \<\ = д\ + д\, а=1, 2.
Решение волновых уравнений будем искать в виде
Ф = Ф(л:1)ехр[— i(<at — kx2)], t = ^(лг^ехр [— i(<at — kx^)]; C)
отсюда видно, что волна является гармонической во времени
и распространяется в направлении оси х2. Фазовой скоростью,
пока неизвестной, является с = ш/6. Подставляя формулы C)
в B), получим из последних обыкновенные дифференциальные
уравнения
где
v.-(*-
со2 \Vi
T) •
Из общих решений уравнений D) выберем только те, которым
соответствует уменьшение амплитуд волны с глубиной:
ф = Ае-"'х\ W = Be~v'x>, va > 0, a=l, 2. E)
Принятый здесь постулат об угасании волн с глубиной влечет
за собой утверждение, что va (a = 1, 2) должны быть величи-
величинами действительными и положительными.
В неограниченном пространстве продольные и поперечные
волны распространяются раздельно, независимо друг от друга.
В рассматриваемом здесь случае эти волны связаны между со-
собой граничными условиями.
В предположении, что плоскость Х\ = 0 свободна от напря-
напряжений, мы имеем три условия
Рц @, х2, 0 = 0, а12 @, хр 0 = 0, а13 @, х2, t) = 0, F)
682 Гл- Ю- Частные задачи эластокинетики
Последнее условие тождественно удовлетворяется в силу пред-
предположения о независимости деформаций от переменной х3. Так
как
д2и2, G)
то, подставляя в G) соотношения Aа), получим
cm = 2ц(?1ф + A.Vi<p -f 2цд\д2^>, ai2 = ^[2did^-\-dh — d\^]. Ga)
Подставляя в Gа) выражения
Ф = А ехр [— v,X[ — i {at — kx2)], $ = В ехр [— v2xx — i{at — kx2)]
и используя граничные условия F), получим следующую си-
систему уравнений:
[Я, (vj — k2) + 2fxvJ] A — 2\iikv.2B = О,
(8)
Из условия совместности этой системы однородных линейных
уравнений получим соотношение
vj — к2) + 2fiV[J (к + v^J — 4fiV[V2«J = 0. (8а)
Это решение при учете зависимостей
с\ 2ц + Я Я cj со2
приводим к виду
или
B — т)J==4A—Фт]I/2A—т))'^. (86)
Здесь мы ввели обозначения $ = сус\< 1 и т) = с2/с|. После воз-
возведения обеих частей равенства (86) в квадрат и умножения
получим следующее уравнение:
г]3 — 8л2 + B4— 16ft) т]— 16A— О)] = 0. (8в)
Корень Tii = 0 не соответствует условиям задачи. Из остальных
трех корней нужно выбрать тот, который соответствует посту-
постулату va > 1, а = 1, 2. Заметим, что в уравнение (86) не входит
частота ш. Итак, скорость поверхностных волн с = cR будет
постоянной, независимой от ш. Поэтому поверхностная волна
не обладает дисперсией.
10.5. Поверхностные волны Рэлея 683
Рассмотрим частный случай д = 1/3, который соответствует
допущению К = ц, или v = 1/4. Это значение принимается в
сейсмологии для сейсмических волн, распространяющихся в зем-
земной коре. При ¦& = 1/3 получим из формулы (8в), кроме т) i = О,
следующие действительные корни:
Так как величины va (a = 1, 2) должны быть действительными
и положительными, то
v\ = k2 — -^- = k2{\ — ti) > О, <К
Из этих соотношений вытекает неравенство
(Ю)
которому удовлетворяет только корень ц = щ ~ 0,8453.
Фазовая скорость поверхностной волны определяется по
формуле
с = cR = c2V'44 =« 0,9184с2.
Эта скорость меньше фазовой скорости поперечной волны. Под-
Подставляя тL и ¦& в формулы (9), имеем
v, » 0,8475?, v2 =« 0,39936.
Интересным является угасание волны с глубиной. Об уменьше-
уменьшении амплитуды волны свидетельствует член
e~v'*' или е~ъ\ A1)
входящий в функции ф и if, а тем самым в перемещения и\ и и2.
Обычно в качестве меры угасания принимается уменьшение
амплитуды в е раз, где е — основание натурального логарифма.
Это уменьшение величины e~ViX] или e~ViXi в е раз получим, под-
подставляя в A1)
Х1 = ±- ИЛИ *! = ¦?-.
Отсюда
ИЛИ *i=
684 1"л. 10. Частные задачи эАйстокинетики
Здесь через / = 2я/& мы обозначили длину волны. В рассмат-
рассматриваемом случае при ¦& = 1/3 имеем r\ ~ 0,8453. Поэтому
хх « 0,1878/ или хх « 0,3985/.
Мы видим, что величина х\ является дробной длиной волны.
Поверхностная волна распространяется в направлении оси х%
вблизи поверхности Х\ = 0, достаточно быстро угасая с глу-
глубиной.
Рассмотрим теперь перемещения, используя для их опреде-
определения соотношения Aа). Получим
щ = (— Avxe-^x' + Bike~v*') exp [i (kx2 — at)),
u2 = (ikAe-v'x> + v2fle-v*) exp [i (kx2 — at)).
Постоянную А можно выразить через В, используя второе из
уравнений (8):
в = _ 2,'v.fe A
Наконец, взяв действительную часть от правых частей уравне-
уравнений A2), получим окончательные формулы для перемещений
щ = 0.8475С(e-v^. — l,7320e"v*) cos со (t — -^-),
V cr1
u2 = — C (e-VlX- — 0,5773e-v^-) sin alt— —),
rI A3)
Итак, перемещения определены с точностью до произвольной по-
постоянной С. Это обусловлено тем, что в уравнения (8) не входит
причина, вызывающая распространение поверхностных волн.
Уравнения (8) служат только для определения фазовой скорости
cR путем решения задачи о собственных значениях.
При Х\ = 0 получим
и, @, х2, t) = - 0.6204C cos © // — -?¦),
A4)
и2 @, х2, t) = - 0.4227С sin © // — -^ ).
\ CR I
Соотношения A4) показывают форму деформированной плоско-
плоскости хх = 0. Отношение амплитуд горизонтального перемещения
к вертикальному составляет 0,681.
Рассмотрим теперь случай несжимаемой среды, для кото-
которого следует положить v = 1/2, или с\= оо. Подставляя в урав-
уравнение (8в) % = 0, получим
т](т]3 — 8т!2 + 24т)— 16) = 0. A5)
tO.5. ttoeepxHoctHbie волны Рэлея
685
Корень Ti[ = 0 не удовлетворяет условию задачи, два других
корня уравнения являются мнимыми, последний корень является
действительным и меньшим единицы (неравенство A0)). В ре-
результате получим
с = сд = 0,95554с2,
т. е. фазовая скорость примерно на 5% меньше скорости попе-
поперечной волны.
0,94
0,92
0,90
0,8
0,4
0,2
а
N
N
Ег
\
1
\
0,2 0,4 V 0
РИС. 10.7.
5
/
7
/
у
/
0,2
0,4
Глубина хи при которой член е v°Xl (a=l, 2) уменьшается
в е раз, дается формулой
1 Vi k
2я '
Мы здесь рассмотрели только частные случаи v = 1/4 и v = 1/2.
Выше приведены графики, построенные Кноповом ') для раз-
разных значений коэффициента Пуассона v (рис. 10.7). Заметим при
этом, что ¦& = ^(v), т. е.
а|j I l-2v
2 1—v *
Из наших рассуждений вытекает, что поверхностные волны
Рэлея очень быстро угасают с глубиной. Это волны с большой
') Knopoff L., On Rayleigh Waves Velocities, Bull. Seism. Soc. Amer., 42
A952).
686 Гл. Ю. Частные задачи эластокинетики
амплитудой и большой энергией. Они вызывают поверхностные
сотрясения и являются главной причиной разрушения наземных
конструкций. Энергия этих волн больше, чем энергия простран-
пространственных волн (продольных и поперечных), исходящих из того же
центра возмущения. Поверхностные волны играют значительную
роль при наблюдении сейсмических волн. К. наблюдателю из
места возмущения сначала приходят продольные, потом попереч-
поперечные волны и, наконец, поверхностные волны. Продольные и по-
поперечные волны распространяются по хорде, а поверхностные
волны по дуге. Наблюдение поверхностных волн является одним
из самых значительных элементов исследования сейсмических
волн.
Нужно добавить несколько слов относительно скорости волн
Рзлея. Мы знаем, что cR < с2 <С С\ и что в неограниченном про-
пространстве продольные волны вызывают изменение объема, а по-
перечные — изменение формы. Сопротивление среды изменению
объема несравненно больше, чем изменению формы; поэтому фа-
фазовая скорость продольных волн больше фазовой скорости попе-
поперечных волн. Поверхностные волны распространяются вблизи
границы среды в области разрыва материальных констант между
упругой средой и атмосферой. Вблизи границы сопротивление
среды распространению волн наименьшее, среда более подат-
податлива. Поэтому скорость поверхностных волн меньше скорости
пространственных (продольных и поперечных) волн.
Поверхностные волны имеют также большое значение в уль-
ультразвуковых исследованиях и в дефектоскопии при исследовании
поверхностных дефектов конструкции.
Открытие поверхностных волн Рэлеем теоретически и поздней-
позднейшее их нахождение экспериментально — прекрасный пример эф-
эффективности и плодотворности теоретических исследований.
Дадим в заключение вывод основного соотношения Рэлея
(86), исходя из уравнений в напряжениях1).
Из уравнений B9) § 9.5 получим три уравнения
бП ~ 2 (Я + IX) (Й" + д22)
В эти уравнения подставим
сги = а (х{) exp [i (kx2 — at)],
o22 = ?>(xl)exp[i(kx2 — (i>t)], A7)
cr12 = Y (*i) exP I' (kx2 — <»0].
') J. Ignaczak, loc. cit, стр. 578,
10.6. Волны Лява 687
Складывая первые два уравнения системы A6), имеем
а + Р = - -w И - СЭ(а" - k2t + 2/Ay/)-
Вычитая второе уравнение системы A6) из первого, находим
A9)
Из третьего уравнения A6) найдем
¦y = -L[k24 — у" — ik (а' 4- (}')], у' — B0)
Уравнения A8)—B0) эквивалентны уравнениям
B1)
Так как 0^,@, x2, ^) = 0, то a@) = 0. При (x\ + л:|) -* «хз должно
быть a(oo) = 0. Из последнего уравнения B1) получим
a(xl) = A(e-v'x> — e-v*x>). B2)
Подставляя формулу B2) во второе уравнение B1) и учитывая
условие (Ti2@, x2, t) =Ь, т. е. условие у@) = 0, приходим к соот-
соотношению
т. е. к формуле (86).
В дальнейшем мы не раз столкнемся с задачей о поверхно-
поверхностных волнах Рэлея. Обратим особое внимание на поверхностные
волны, исходящие от точечного возмущения в упругом полупро-
полупространстве; такие волны будут исследованы в § 10.11 (фор-
(формулы B7)).
10.6. Волны Лява
В только что рассмотренных поверхностных волнах Рэлея ма-
материальные частицы перемещались только в плоскости распро-
распространения поверхностной волны. Там не было поперечных волн
И волн, перпендикулярных к плоскости распространения. Однако
688
Гл. 10. Частные задачи э ласт окинет ики
наблюдения на поверхности земной коры распространения пло-
плоских поверхностных волн в направлении оси х2 показали, что
в некоторых случаях могут возникать S/Z-волны, а значит, и пе-
перемещения ы3. Ляв1) показал, что эти волны могут возникать
и в упругом полупространстве с упругими свойствами, изменяю-
изменяющимися скачкообразно (рис. 10.8).
Рассмотрим двухслойную упругую среду, показанную на
рис. 10.8. Пусть материал упругого слоя (—h <с;хх ^ 0) отли-
отличается от материала полупространства Х\ ^ 0 постоянными Ламе
и плотностью (\ii Ф ц2, \\ ф Я2, pi Ф рг). Пусть в определенной
таким образом среде распространяется упругая волна
U = [0, 0, (j \Х\)\ в '" I ([)
в направлении оси х2 с фазовой скоростью с. Предположим, что
граница хх = —h свободна от нагрузок. Так как
tro divu = 0, а система уравнений в перемещениях
цУ2и + (Я + \i) grad div u = pii C)
сводится к волновому уравнению
ц {д\ + дз) ш (xi, х2, t) — рыз = 0. D)
Подставляя формулы B) в D), получим следующие обыкновен-
обыкновенные дифференциальные уравнения:
— —— — 1 —
/ 1ПЧ2 '> '
E)
F)
') Love A. E. H., Some Problems oi Geodynamics, Cambridge University
Press, London, 1926. '
10.6. Волны Лява ' 689
Здесь через c^) = (y.1jpiyi\ 4-2) = (м^/Рг)''' обозначены скорости
распространения поперечной волны в средах 1 и 2.
Решение уравнений E) и F) дает
G)
G2 = С exp ( — Ра&л:,), л:,>0. (8)
Выбранные таким образом решения должны быть ограничен-
ограниченными на бесконечности. Величина р2 должна быть положитель-
положительной для угасания волны в глубине полупространства. Отсюда
вытекает, что с(г2) > с.
Постоянные интегрирования А, В, С связаны между собой
граничными условиями в плоскости Х[ = h и условиями непре-
непрерывности перемещений и напряжений в плоскости х\ = 0. Заме-
Заметим, что согласно B) отличны от нуля только перемещения ы3
и напряжения аъ\ и ст2з. На границе х\ = —h отсутствие нагру-
нагрузок приводит к условию
a,G,(-A) = 0. (9)
Непрерывность перемещений и3 и напряжений 03i в плоскости
х{ = 0 выражается следующими соотношениями:
G,@+) = G2@-), A0)
fiia,G1@+) = MiG2@-). A1)
Условие непрерывности напряжений стгз приводит к условию A0).
Условия (9)—A1) дают систему уравнений
A cos (p,Jfeft) + В sin (p,JfeA) = 0,
В = С, A2)
Эта система имеет нетривиальное решение, если удовлетворяется
характеристическое уравнение
). A3)
Действительный корень уравнения A3) получим только тогда,
когда с^' > с',!'. Определенная из A3) фазовая скорость с удов-
удовлетворяет неравенству с^] > с > с^!1 и зависит от величины k, a
также h. Отсюда следует, что волны Лява могут существовать
только тогда, когда скорость с^] > с^К Заметим еще, что фазовая
скорость с волн Лява зависит от частоты со и поэтому для
волн имеет место дисперсия.
690 Гл. 10. Частные задачи зласт окинетики
Если с является действительным корнем уравнения A3), то
перемещение щ выражается формулами
«з(*1, *2. t) = Dcoslkh(xl + h)]eik<*>-°tK — Л<л:1<0> A4)
из(*1, *2, 0 = ?> cos (P,fe/i)e-M*-e*ft<*.-*", *,>0. A5)
Здесь D — произвольная постоянная. Наибольшее значение пе-
перемещения получим при х\ = —h. При *i > 0 перемещение
уменьшается указанным способом.
Волны Лява в самом общем виде получаются суперпозицией
монохроматических волн A4) и A5) при различных значениях k.
10.7. Распространение волн в упругом слое
Рассмотрим упругий слой толщиной 2/г, заключенный между
плоскостями хг = ±А, свободными от напряжений. Пусть в этом
слое распространяется периодическая волна с фазовой скоростью
с. Плоская продольная волна распространяется в бесконечном
пространстве со скоростью ci, поперечная волна — со скоростью
с%. В упругом слое скорость волны будет отличной от С\ и с2. Ог-
Ограничение упругого пространства двумя плоскостями вызывает
возмущения, влияющие на изменение фазовой скорости и напря-
напряженного состояния.
Ниже мы рассмотрим плоскую задачу; перемещения и\ и и3
будут независимыми от переменной х% а «2 = 0-
Задача о распространении периодических волн в упругом
слое была решена Рэлеем1) и Лэмбом2). Математически эта за-
задача формулируется следующим образом. Ищем решение дву-
двумерных волновых уравнений
--^-d?U = 0, tf = di + d23 A)
в предположении, что
Ф(хих3, t) =
тИ*„ х3, 0 =
Подставляя формулы B) в A), получим обыкновенные диффе-
дифференциальные уравнения
(af-v?)O* = 0, (дз —$Ф* = 0, C)
где
Va = (k2-kl)'>\ ka = —, о=1, 2.
') Rayleigh J. W., On the Free Vibrations in an Infinite Plate of Homo-
Homogeneous Isotropic Elastic Matter, Proc. Math. Soc. London, 20 A889).
2) Lamb H., On W79ves in an Elastic Plate, Proc. Hoy. Soc. London, 93A
A9J6).
10.7. Распространение ёолн в упругом с лбе $91
Решение уравнений A) можно представить в виде
Ф = (A sh v,x, + В ch v,*3) e'*(*~rf>,
ф = (С sh v2x3 + D ch v2xz) eik ^~ctK ^
Перемещения щ и м3 связаны с функциями Фиф зависимостями
и1 = д1Ф — d3i|\ и3 = д3Ф + д^. E)
Напряжения выражаются формулами
ап = 2ц (д]ф — дкЭзф) + Яу^Ф,
0зз = 2ц (дзФ + дудзЦ) + A,Vfa>, F)
013 = ц B<Э,<Э3Ф + д?-ф — д§ф).
Подставляя D) в E) и F) и используя граничные условия
033 (*„ ± Л, 0 = 0, 0,з (*„ ± h, 0 = 0, G)
получим систему четырех линейных однородных уравнений, со-
содержащих постоянные А, В, С, D.
Приравнивание определителя этой системы уравнений нулю
приводит к характеристическому уравнению, из которого при за-
заданных значениях р, ц, к и со можно найти фазовую скорость с.
Упростим задачу, рассмотрев две системы частных решений:
Подставляя формулы (8) в соотношения E), нетрудно заметить,
что перемещение и\ является симметричным, а и3 — антисиммет-
антисимметричным относительно плоскости хг = 0. Напряжения 0ц и 03з
симметричны, напряжение 0!3 антисимметрично относительно
плоскости хъ = 0. Решение (8) соответствует симметричному
виду колебаний. Используя указанные свойства симметрии, до-
достаточно учесть граничные условия только при х3 = h. Подстав-
Подставляя формулы (8) в F) и используя условия G), получим си-
систему двух уравнений
[Bц + Я) р? — Я] В ch v,A + 2ц;р2С ch v2h = 0,
А —(l+p*)Cshvaft = O,
-y-. a-1, 2.
692 Гл- №¦ Частные задачи эластокинетикй
Из условия существования нетривиального решения системы
уравнений A0) получим характеристическое уравнение
th(v,fc)
или .
Рассмотрим сначала предельные случаи. Если длина волны
/ = 2я/& очень велика по сравнению с толщиной слоя 2/г, то ве-
величины v\h и vih будут малы при конечном значении с. Заменяя
в уравнении A1) гиперболические тангенсы их аргументами, по-
получим
р, С + р!J
h
откуда
с=*^-Ус\—с\. A2)
Если ц = Я (т. е. если v=l/4), то с\ = Ъс\ и из формулы A2)
получим
A3)
Предположим, далее, что длина волны очень мала по сравнению
с толщиной слоя 2Л. Тогда величины v\h и v2h очень велики, а
отношение гиперболических тангенсов в левой части уравнения
A2) можно принять равным единице. В этом предельном случае
получим
-|. A4)
В этом уравнении мы узнаем характеристическое уравнение для
поверхностных волн Рэлея. При фиксированной малой длине
волны и при возрастании толщины слоя уменьшается влияние
границы *3 = —h на поверхностную волну, возникающую на гра-
границе х3 = h, и обратно.
Границу х3 = h можно трактовать как границу упругого по-
полупространства; периодическая волна по своему характеру при-
приближается к поверхностной волне Рэлея. При v = 1/4 получаем
из формулы A4)
cR р* 0,9194с2.
id.7. Распространение волн в упругом слое
693
В общем случае симметричных колебаний фазовую скорость
с требуется определить из полного уравнения A16). Из вида,
уравнения A16), в которое входит параметр k = ы/е, делаем вы-
вывод, что фазовая скорость с зависит от частоты со и поэтому
имеет место дисперсия. Из обсуждения предельных случаев сле-<
дует, что для первой формы колебаний Мц фазовая скорость ле-
лежит в пределах ср ^ с :э= cR.
Заметим, наконец, что ввиду периодического характера функ-*
ции th(v2h) в случае с> с2 мы получим бесконечное число сим-
симметричных форм колебаний
Общее исследование ха-
характеристического уравне-
уравнения A16) для произвольных
значений р, ц, к провел Го-
голадзе ').
На рисунке 10.9 пред-
представлена фазовая скорость с
и групповая скорость U =
= с + k(dcfdk) в зависимо-
зависимости от параметра kh для пер-
первой и второй форм симмет-
симметричных колебаний в предпо-
предположении, что v= 1/4.
Толстой и Усдин 2) установили, что в первой симметричной
форме колебаний фазовая скорость с монотонно уменьшается от
с = ср — 2 Y2/3c2 при kh = 0 до асимптотического значения с =
= cR = 0,9194 с2 при kh = оо. Фазовая скорость U имеет те же
самые предельные значения, что и фазовая скорость с, достигая,
однако, максимума при kh « 2.
Вторая форма симметричных колебаний МХ2 является типич->
ной для дальнейших высших форм колебаний, для которых
с > с2. При kh-+O фазовая скорость с стремится к бесконеч-
бесконечности, а групповая скорость U—к нулю. При kh-^oo имеем
h
Ч
с_
Ч
2 —
1
РИС. 10.9.
Перейдем к колебаниям, выраженным формулами (9). д
ставляя (9) в формулы для. перемещений E), замечаем, что щ
антисимметричны, а и2 симметричны относительно плоскости
хг = 0. Используя формулы F), убеждаемся, что напряжения
Оц и азз антисимметричны относительно плоскости Хз = 0, а о\э
симметрично относительно этой плоскости. Подставляя формулы
') Гоголадзе В. Г., Дисперсия волн Рэлея в слое, Труды Сейсмолог,
ин-та АН СССР, 119 A947), 27—38.
2) Tolstoy I., Usdin E., Dispersive Properties ol Stratified Elastic and Li-
Liquid Media, Bull, Seism. Soc, Amer., 44 A954), 493—512,
694
Гл. 10. Частные задачи эластокинетики
(9) в граничные условия G) при х3 = h, получим систему двух
Линейных однородных уравнений. Приравнивание определителя
этой системы нулю дает характеристическое уравнение
th(v,/Q _ 4Р,р2 ¦ .
±, / f.4 /, I а2\2 * V1"/
Рассмотрим и здесь предельные случаи. Займемся сначала слу-
случаем, в котором длина волны очень велика по сравнению с тол-
толщиной слоя и для которого с < с2 < с\. Разлагая гиперболи-
гиперболические тангенсы в ряд и сохраняя три члена ряда, после некото-
некоторых преобразований получим
V
сг
Pun
4/W22
1—¦—
Из этого уравнения, относящегося к первой форме антисиммет-
антисимметричных колебаний МХ2, можно определить фазовую скорость волн
изгиба. Заметим, что в этом
предельном случае мы имеем
дело с дисперсией волны.
Другой предельный случай
относится к длинам волны,
очень малым по сравнению с
толщиной слоя. В этом случае
при kh-+oo и с < с2 < С\ ле-
левая часть уравнения A5) стре-
стремится к единице. Уравнение
A5) сводится к уравнению
A4), характеризующему по-
поверхностные волны Рэлея.
При с > с2 и kh -> оо фазо-
фазовая скорость стремится к с2.
На рисунке 10.10 представлены графики функций с/с2 и U/c2
для первой и второй форм антисимметричных колебаний в пред-
предположении, что v = 1/4; эти графики построили Толстой и Ус-
дин1).
Графики показывают, что для первой несимметричной формы
колебаний М21 фазовая скорость с монотонно возрастает с рос-
ростом kh от нуля (при kh = 0) до асимптотического значения cR
(при kh-+oo). Предельные значения для групповой скорости О
те же самые, что и для фазовой скорости с.
Вторая форма несимметричных колебаний М22 (как и следую-
следующие М23, M2i, ...) характеризуется для с~> с2 тем, что при kh-+O
фазовая скорость стремится к бесконечности, групповая скорость
0
kh
РИС. 10.10.
I. Tolstoy, E. Usdin, loc. cit. стр. 693.
10.8. Распространение продольной волны в стержне 695
стремится к нулю, в то время как при &Л->-оо обе скорости
стремятся к значению с2.
В литературе по сейсмологии можно встретить несколько ра-
работ, обобщающих рассмотренную выше задачу. Так, Рейсснер '),
а также Осборн и Харт 2) рассматривали бесконечный упругий
слой, заключенный в жидкость, а Седзава и Нисимура 3)— плиту
в неограниченной упругой среде с другими упругими свойствами.
10.8. Распространение продольной волны
в стержне кругового сечения
Рассмотрим бесконечный стержень кругового сечения, нахо-
находящийся в пустоте. Пусть в этом стержне, свободном от нагрузки
на боковой поверхности, распространяется продольная волна в
направлении его оси.
Исследуем случай, осесимметричный относительно оси z (сов-
(совпадающей с осью стержня). Перемещения, деформации и напря-
напряжения будут в этом случае в цилиндрической системе координат
(г, ф, г) независимыми от угла ф.
Для решения этой задачи удобно будет воспользоваться вол-
волновыми потенциалами Ф и i|>. Волновые уравнения в силу пред-
предположенной симметрии деформации относительно оси г примут
вид (уравнения D3) и D4) § 9.3)
(^) (V-^)*-0, A)
где
v ~ дг2 ~ г дг ~ дг2 '
Составляющие вектора перемещения и = («г, 0, иг) связаны с
потенциалами Ф и т|э следующими соотношениями:
_ дФ . <?2ф
Ur~
дг "т" дг dz '
дФ _ <?гф _ 1 д$ дФ . д2^ _ 1 <?2ф
') Reissner H., Der senkrechte und schrage Durchtritt einer in einem flflssi-
gen Medium erzeugten ebenen Dilatations (Longitudinal)-Welle durch eine in
diesem Medium befindliche planparallelle feste Platte, Helv. Phys. Ada, \\
A938), 140—155; 268.
2) Osborne M. F. M., Hart S. D., Transmission, Reflection and Guiding of
an Exponential Pulse by a Steel Plate in Water, /. Acoust. Soc. Amer., 17 A945),
1-18.
3) Sezawa K., Nishimura G., Rayleigh-type Waves Propagated Along an
Inner Stratum of a Body, Bull. Earthquake Research last. (Tokyo), 5 A928),
85-92. . . . . .
696 Гл. 10. Частные задачи эластокинетики
В дальнейшем нам понадобятся формулы для напряжений
Эти напряжения входят в граничные условия задачи. А именно
на боковой поверхности цилиндра при г = а должны выпол-
выполняться граничные условия
о„ (a, г, t) = О, огг {a, z, t) = 0. D)
Продольная волна распространяется в направлении оси z
с фазовой скоростью с. Частные решения уравнений A) примем
для этого случая в следующем виде:
ф = ж?! (г) е-('ш «~г^ = Ж/, (г) eik B-c'>,
E)
Через и обозначена частота колебаний. Вспомним, что длина
волны / связана с величинами k и с следующей зависимостью:
. 2я Члс
k СО
Подстановка функций E) в волновые уравнения A) сводит пос-
последние к обыкновенным дифференциальным уравнениям
d^ + ^dG^ + vlGa = 0> a=1>2> F)
где
Из общих решений уравнений F) выберем те, которые не имеют
особенности при г = 0. Уравнениям F) будут удовлетворять
функции Бесселя /o(va г), а = 1,2. Решение уравнений A) пред-
представим в виде
<D = 4e'*<2-c«/o(v,r), ^ = Beik^-ct40{v2r). G)
Подставляя формулы G) в B), получим
ur = \AJ'O (v/) + BikJ'o (v2r)]
иг = [AikJ0 (v,r) + vlBJ0 (v/)]
10.8. Распространение продольной волны в стержне
697
Выражая напряжения C) через перемещения (8) и удовлетво-
удовлетворяя граничным условиям, получим систему двух уравнений
« (V,r) - Щ10
ША[/'О (v/)]
- В
- kf) [J'o(v/
= 0,
= 0.
Из приравнивания нулю определителя системы уравнений (9)
вытекает характеристическое уравнение
из которого мы можем определить фазовую скорость с для за-
заданной частоты со. Уравнение A0) довольно сложно, и поэтому
мы не будем заниматься его обсуждением. Из вида этого уравне-
уравнения, однако, следует, что мы имеем дело с дисперсией волнового
движения, так как фазовая скорость зависит от частоты.
Рассмотрим два предельных случая. Если радиус а мал по
сравнению с длиной волны / = 2п/с, то мы можем воспользо-
воспользоваться упрощенным характеристическим уравнением, разлагая
Jo(var) в бесконечный ряд и сохраняя в нем два члена:
/о (V) = 1 - | (va/f + ± (va/f + . .. .
Имеем поэтому
A1)
02)
) (vaa) ~ 1 — j (vaaJ, а = 1, 2.
Подставляя формулы A2) в A0), получим характеристическое
уравнение
avj{(*S-2*»)(l _|vja
| ftf (l —^у
Исключая члены, содержащие a2 и более высокие степени а, и
отбрасывая решение \>2 = 0 (которое приводит к соотношению
с = с2), получим из уравнения A3) следующее соотношение;
698 Гл Ю. Частные задачи эластокинеЫки
После простых преобразований приходим к соотношению
откуда
Второе приближение, найденное из уравнения A3) Похгамме-
ром '), приводит к следующему значению для фазовой скорости:
с2
со2
|J. (ЗЛ. -
2)
(к
f 2ц;
Ift'f
+
)
+ \Lk\
v= ,,Д„ч -коэффициент A5)
*{*¦ + ») Пуассона.
Очевидно, что мы имеем дело с дисперсией волны, так как k =
= м/с. Если длина волны очень мала по сравнению с радиусом
стержня, то уравнение A3), как показал Банкрофт2), переходит
в характеристическое уравнение для волн Рэлея в упругом по-
полупространстве.
Общее решение A0) исследовал Дэвис3), представив гра-
графики фазовой скорости с и групповой скорости U в зависимости
от отношения а/1 для первых трех форм колебаний.
10.9. Продольные волны в упругой среде
с цилиндрической полостью
Задача о распространении продольных волн в бесконечной
упругой среде в окрестности цилиндрической полости была ре-
решена Био4).
Пусть ось цилиндрической полости совпадает с осью z, а ра-
радиус полости равен а. Продольная волна распространяется па-
параллельно оси z с фазовой скоростью с. Предположим, что волна
характеризуется осевой симметрией относительно оси z. Эту осе-
симметричную задачу наиболее удобно решать с использованием
потенциалов. Био воспользовался волновыми уравнениями (урав-
!) Pochhammer L, liber die Fortpflanzungsgeschwindigkeiten kleiner
Schwingungen in einem unbegrentzen isotropen Kreiszylinder, J. f d. reine und
angew. Math., 81 A876), 324—336.
2) Bancroft D. The Velocity of Longitudinal Waves in Cylindrical Bars,
Phys. Rev., 59 A941), 588—593.
3) Davies R. M., A Critical Study of the Hopkins Pressure Bar, Phil. Trans.
Roy. Soc. London, A, 240 A948), 375—457.
4) Biot M. A., Propagation of Elastic Waves in a Cylindrical Bare Con-
Containing a Fluid, /. Appl. Phys., 23 A952), 997—1005 [русский перевод; сб. Ме-
Механика, №3A9) A953)].
10.9. Продольные волны в среде с цилиндрической полостью 699
нения D3) § 9.3)
где
дг* т г дт ^ дг2 '
Функции Фи? связаны с перемещениями иг и uz соотношениями
(формулы D0) § 9.3)
дФ дЧ дФ . 1 д . хтгч /оч
г от dz z дг г дг v ' v '
Подставив эти соотношения в формулы для напряжений
п диг . » / и, . 3ur . Зиг \ / диг . диг \ ._.
получим следующие соотношения, вытекающие из формул B)
и A):
дгдг! с2 dt2
На поверхности г = а, на которой отсутствуют нагрузки, спра*
ведливы граничные условия
arr(a,z,t) = 0, агг(а, z, 0 = 0. E)
Решение уравнений A) примем в виде
<$ = AK0(w)cosk(z — ct), W = BKi(v2r) sin k(z — ct), F)
где
a /Co(vir), /d(v2r) — модифицированные функции Бесселя тре-
третьего рода нулевого и первого порядка. Эти функции удовлетво-
удовлетворяют условию угасания волны на бесконечности.
На бесконечности мы будем иметь дело с плоской волной, рас-
распространяющейся в направлении оси z. Лишь вблизи цилиндри-
цилиндрической полости волна возмущается и напряженное состояние за-
зависит от радиуса г.
Подставляя формулы F) в формулы D) и используя гранич-
граничные условия E), получим систему двух линейных однородных
уравнений, содержащих постоянные А и В. Она имеет нетри-
нетривиальное решение, если ее определитель равен нулю. Это условие
700 ¦ Гл- 10. Частные задачи э ласт окинет ики
приводит к характеристическому уравнению
' . ^°(v2fl)l 2B-с^)
+ J
(v,e) J v,e
B-alJ
V\ - a\ /C, (v,a)
= 0. G)
Подставляя в это уравнение значения v^ = k \[\ — с? , (х ^ !, 2,
мы можем выразить фазовую скорость в зависимости от пере-
переменной ak = 2па/1, где/ — длина волны. Если длина волны очень
мала по сравнению с радиусом а, то ka стремится к бесконеч-
бесконечности, а уравнение G) с учетом асимптотического выражения
сводится к виду
4 УТ=Ц УТ=Щ = B - alf, (8)
в котором мы узнаем характеристическое уравнение для поверх-
поверхностных волн Рэлея. Био дал численное решение уравнения G)
для фазовой скорости с и групповой скорости U в зависимости
от отношения l/а при различных значениях коэффициента Пуас-
Пуассона.
Заслуживает внимания решение более сложной задачи, а
именно задачи о распространении продольной волны в упругой
среде t цилиндрической полостью, заполненной жидкостью ').
10.10. Плоская задача Лэмба
Рассмотрим следующую задачу, относящуюся к плоскому де-
деформированному состоянию. Пусть в плоскости Хг, = 0, ограничи-
ограничивающей упругое полупространство х$ ^ 0, действует нагрузка
Р(х\, t) = eiatp(xi). Эта нагрузка вызывает в полупространстве
напряженное и деформированное состояния, возникают про-
продольные и поперечные волны. Требуется решить волновые
уравнения
^-о. (dl + dl-±dfjy=o a)
с граничными условиями
азз = (*1.0,0 ешр(х\), ог,3(х„0, 0 = 0. B)
') М. A. Biot, loc. cit. стр. i
10.10. Плоская задача Лэмба 701
Здесь мы предположили, что нагрузка р(х\)еш действует пер-
перпендикулярно к плоскости, ограничивающей упругое полупро-
полупространство, в положительном направлении оси х3. Потенциалы Ф
и т|э связаны с перемещениями и напряжениями следующими со-
соотношениями: ,.
я, = <Э,Ф — д3ф, «з = д3Ф + д$, C)
1 D)
а33 = 2ц (д1Ф + а,<5з-ф) + 4 ф-
Волновые уравнения A) можно решить, применяя интегральное
преобразование Фурье. Легко проверить, что уравнениям A)
удовлетворяют интегральные выражения
„ш Г
±
ф = j A(a)e-^e-tax<da, E)
— со
оо
¦^ = -~= J B(a)e-™'e-lax>da, F)
— ОО
^-kl)\ I* = 1,2.
Подставляя формулы E) и F) в выражения для перемещении
C), получим
(— mXe-v'*> + v2?e-v^) e-iax> da,
4=-
у 2л _
G)
—оо
-~=
Подставляя формулы E) и F) в формулы D) и используя гра-
граничные условия B), получим систему двух уравнений
2/av, А — Bа2 — Щ\ В = О,
_ в 'ш (8)
где
702 Гл. 10. Частные задачи эластокинетики
Из решения системы уравнений (8) имеем
2а2 — kl , . 2<av,
где
N (а) = Bа2 — kfJ — 4a2v,v2.
Подставляя формулы (9) в соотношения G), получим в пло-
плоскости х3 = 0 следующие выражения:
1еш
A0)
N (а)
В частном случае сосредоточенной силы /з(дг,) ==Р06 (лг,) имеем
так что
Jat
., 0, 0
— 00
Выделим в функции нагрузки симметричную ps(xi) и антисим-
антисимметричную ра(Х{) относительно плоскости Х\ = 0 части. Тогда
P(a) = pAa) + iPa(a), A2)
где
оо
РЛа) J Ps (x\) cos ax, dx,,
о
(a) = -J7~ J
Подставляя формулу A2) в A0) и учитывая, что амплитуды пе-
перемещений и сами перемещения должны быть действительными
10.10. Плоская задача Лэмба 703
величинами, получим следующие формулы:
-— у — k\ J ',s. .- cos ax, da\
n I
s(a)sin ax, da),
A3)
о
для симметричной нагрузки и
ц,(х,, 0, t) =
9
_J
для антисимметричной нагрузки.
Аналогичным образом можно рассмотреть случай касатель-
касательных нагрузок, лежащих в плоскости хг = 0 и параллельных оси
х\. В этом случае решаем уравнение A) с граничными усло-
условиями
(Тзз (*„ 0, t) = 0, о13 (х„ 0, 0 = - g (*i) его'. A5)
Мы предположили здесь, что нагрузка g{x\)eiat действует в по-
положительном направлении оси Х\. Подставляя выражения E) и
F) в формулы D) и принимая во внимание граничные условия
A5), получим систему уравнений
2/av, А — Bа2 — k*\ В = - ,
1 ^ 2} I* ' A6)
Bа2 — *|)Л + 2/ау25 = 0.
После определения величин Л, В как функций параметра а полу-
получим из формул G) при х3 = 0 следующие выражения для пере*
мещений в плоскости, ограничивающей упругое полупростран*
ство:
A7)
704 Гл. 10. Частные задачи эласТоКинетики
Здесь тоже можно выделить в g(X\) симметричную и антисим-
антисимметричную относительно плоскости х^ = 0 части с помощью ин^
тегралов Фурье по синусам и косинусам.
Вернемся теперь к интегралам A1). При их вычислении воз-
возникают значительные трудности математического характера: ин-
интегралы не удается взять непосредственно. Они вычисляются пу-
путем замены переменной интегрирования а комплексной перемен-
переменной | = а + г"т и контурным интегрированием в плоскости |. Не-
Несобственные интегралы в формулах A1) примут вид
1 B2J|/22^22
Мы не будем входить в подробности этого сложного метода ин-
интегрирования, а ограничимся представлением окончательного ре-
результата. Читателей, интересующихся примененным здесь мето-
методом интегрирования, отсылаем к монографии Эвинга, Ярдецкого
и Пресса (см. список литературы).
Интегралы A1) можно представить бесконечными рядами
«>(*.> 0, /) = -^ехр[/(со/-и*1)] +
2яц lvvl""
-+¦ (k2Xi)~'1' D exp[/ (со/ — ^2jc,)]} -+-...,
A9)
i)' ci exP f № ~
В этих формулах введены обозначения
B0)
10.11. Осесимметричная задача Лэмба 705
Здесь к — корень уравнения Рэлея W(x) = 0, a N'(к) — произ-
производная функция N(k) по к. Кроме того, введены постоянные
bi felfe2(fe2-fel)/' (
(л/4
Г — — /
С,- г
*;
Члены рядов A9) убывают как (x{)~si1. Первые члены этих рядов
представляют волны Рэлея, распространяющиеся от источника
возмущений с фазовой скоростью cR и с амплитудой, не зави-
зависящей от х\. Отношение амплитуд волн и3 и и\ постоянно и
равно KIH.
Вторые члены рядов A9) представляют продольные волны,
распространяющиеся с фазовой скоростью С\ = m/ki. Третьи
члены представляют поперечные волны, распространяющиеся
от точки возмущения с фазовой скоростью с2 = со/&2-
Амплитуды этих колебаний пропорциональны (kixl)~^ и
(k2X\)~4\ Заметим при этом, что цилиндрические волны, вызван-
вызванные существованием линейного источника возмущений, помещен-
помещенного в бесконечном упругом пространстве, характеризуются ам-
амплитудами, пропорциональными (xi)~4*.
10.11. Осесимметричная задача Лэмба
Это одна из основных задач эластокинетики. Она играет ту
же самую роль, что и задача Буссинеска в эластостатике.
Пусть в плоскости х3 = 0, ограничивающей упругое полупро-
полупространство, действует вертикальная нагрузка P(r,t)= р(г)еш,
направленная по оси х3. Для определения перемещений и напря-
напряжений в этой осесимметричной задаче воспользуемся потенциа-
потенциалами Ф(г, z, t) и ф(г, z, t), удовлетворяющими волновым урав-
уравнениям
где
"~ дг1 "г г дг "^ <Эг'
23 В
706 Гл. 10. Частные задачи эластокмеЫки
Перемещения иг, иг и напряжения cr22l arZ выражаются тогда
формулами
._ _L .д'± /<п
гг ^ <Эг \ г ' дг дг /' гг ^ \ oz ' дг ] v '
Функции Фиф связаны между собой граничными условиями за-
задачи
агг (г, O,t) = -p (г) е<«', оГ2 (г, 0, t) = 0. D)
Уравнения A) решим, используя интегральное преобразование
Ханкеля. Можно легко убедиться, что решениями уравнений яв-
являются функции
Ae-^zaJo (ctr) da,
E)
Be-^zaJQ{ar)da,
где
Подставляя формулы E) в B), получим
ur (r, z, t) = — еш J (аЛе-^г — v2aBe'v'z) a/, (ar) c?a,
и (г z f)^piat ( v Ae~v*z -
uz V > ^у Ч —с \ vine
о
Подставляя формулы F) в соотношения C) и используя гранич-
граничные условия, приходим к системе двух уравнений
1х[Bа?-Щ)А-2а\В] j5(a). G)
Из этой системы уравнений определим постоянные А, В и под-
подставим в формулы F). При z = 0 находим следующие перемс-
10.11. Осесимметричная задача Лэмба 707
щения:
00
ur(r, 0, t) = ~
» 2 ^
иг(г, 0, /) = — i-_ J ^(а) У,а/0(аг)е?а>
11 о
где
N (a) = Ba3 — Щ2 — 4a2v,v2.
Если в начале координат действует сосредоточенная сила
то
ешРа
ешРа
(9)
F
Найденные формулы для перемещений, а также формулы для
напряжений C) позволяют решить следующую важную для сей-
сейсмологии задачу.
Пусть в точке (О, О, Л) упругого полупространства 2^0 дей*
ствует источник возмущений, гармонически изменяющийся во
времени. Этот источник является причиной возникновения про-
продольных и поперечных волн, характеризующихся осевой симмет-
симметрией относительно оси z. Предположим при этом, что плоскость
2 = 0 свободна от нагрузок.
Решение этой задачи составим из двух частей. Первая часть
задачи относится к действию двух источников возмущения, поме*
щенных в бесконечном упругом пространстве симметрично отно-
относительно плоскости 2 = 0. Действие этих двух источников возму*
щений, вызывающих только продольные волны, выражается по*
тенциалами Ф<'> =* 0, гро г= 0. Мы покажем, что плоскость 2 = 0
не будет свободной от напряжений. Для аннулирования этих на-
напряжений нужно дополнительно решить задачу Лэмба и опре-
определить потенциалы Ф<2> и ф<2>. Суперпозиция потенциалов Ф =
= ф(Ч + фB), -ф = г^'1' + i|)<2> и является решением задачи.
Однако прежде чем построить решение Ф^1', мы должны найти
потенциал Ф(°' для источника возмущений, помещенного в начале
координат, Функцию Ф<°> находим из волнового уравнения
V2 — ~ д2\ Ф«ч = - #„ 6(гNB) еш. A0)
708 Гл. 10. Частные задачи эластокинетики
Здесь Фо — интенсивность источника возмущений. Частным реше-
решением уравнения A0), удовлетворяющим условию излучения, яв-
является функция
Ф>= ° 4я* aiirj ~~Jo(ar)ada, A1)
Vl
о
где
Добавим действие двух источников возмущений, один из которых
помещен в точке (О, О, Л), другой — в точке @,0,—К). В резуль-
результате получим потенциал
l7J0(ar)(e-^z-hl + e-^z+h\)da. A2)
Функция фО равна нулю, ибо возмущение вызывает в бесконеч-
бесконечном пространстве только продольные волны. Зная функцию Ф<'>,
определим перемещения и^ и и^ по формулам
"г дг ' "г дг
В плоскости z = 0 имеем
и'"(', 0, t) = -~^\ e-^J^^da, ИО)(Г, 0,0 = 0. A3)
о
Из формул C) определим напряжения, подставляя вместо Ф
функцию ФA), а вместо г|э значение г|эA> = 0. В результате по-
получим
°2(г. 0, 0 = ^^ J e~{2o?-k^aJu(ar)da,
о
аЙ (г, 0, 0 = 0.
Очевидно, что в плоскости г = 0 напряжение o^J =7^= 0 и условия
на свободной от нагрузок границе не выполняются. К напряжен-
напряженному состоянию а[11 добавим напряженное состояние ст(?>, вы-
выбранное так, чтобы на границе 2 = 0 были выполнены условия
о^-О* а<п + а<2> = 0. A5)
Итак, нужно решить задачу Лэмба (о напряженном состоянии
of?) в упругом полупространстве. Легко проверить, что условия
10.11. Осесимметричная задача Лэмба 709
A6) приводят к соотношению
p(«)=--^Ba2v7^e~vi*- as)
Подставляя формулу A6) в формулы (8), получим
"г v> ' I— 2я J N (a) v, *
о
X Ba2 — Jfejj — 2v, v2) e-v-fta2/, (ar) </a, A7)
0
Результирующие перемещения в плоскости 2 = 0 получим сло-
сложением перемещений и*.1» и uf\ а также и^] и и^:
Вернемся к формулам (9), описывающим перемещения в пло<
скости 2^0, которые возникают под действием сосредоточенной
силы, приложенной в начале координат в направлении оси г. Ис-
Используя известные соотношения для функций Бесселя
J
A9)
/0 (ar) =•--?• J (егаг ch " — e-'«r ch a) с?и,
о
oo
/, (ar) = —i- J (eiar ch " -f e-'ar ch ") ch
о
приводим формулы (9) к виду
б Гn I* Г Ct BCt ^^ Я ^^ 2VtV
И, (Г, 0, t) = ;r-- Ch U dtl Г77-; :
г ч 2я2ц J J N (a)
0 —oo
B0)
710 Гл. 10. Частные задачи эластокинетики
Легко заметить, что интегралы по а можно найти из решения
двумерной задачи, применяя к формуле A1) § 10.10 операцию
-г— и подстановку *i = rch«. Поэтому можно использо-
использовать интегралы из плоской задачи Лэмба.
Для больших значений k\r и k2r получим ¦)
иг(г, 0, <)?()
exp [i (at — k^r ch и)]
Здесь величины Н и К задаются формулами B0) § 10.10. Вели-
Величина х является корнем уравнения Рэлея N(x) =0. Величины
М, N, Mu Ni можно выразить через величины С, Сь D, D\ § 10.10.
Первый член в рядах B1) и B2) представляет собой поверх-
поверхностную волну Рэлея, причем отношение К/Н то же самое, что
в плоской задаче Лэмба. Однако амплитуда поверхностных волн
(которые здесь выступают в роли кольцеобразных волн) умень-
уменьшается с радиусом как (хг)-1/г. Следующий член в рядах B1)
и B2) представляет собой продольную волну с амплитудами,
изменяющимися по закону
«A*г сЬВ) B3)
I 7Hchu)n
причем п = V? для перемещения ur(r, 0,t) и п = 3/г Для переме-
перемещения Ui(r.0,t) Третьи члены в рядах B1) и B2) представ-
представляют собой поперечные волны с амплитудой
') Эвинг, Ярдецкий н Пресс, см. список литературы.
10.12. Сферические волны в пространстве со сферической полостью ?\ 1
причем и здесь п = У2 связано с перемещением ur(r,0,t), a
п — 3/г — с перемещением uz(r, 0, t). При значительных расстоя-
расстояниях интегралы B3) и B4) можно аппроксимировать членами,
пропорциональными (&ir)~I/2, (k2r)-V2, так что амплитуды про-
продольных и поперечных волн изменяются как (к\г)~2, {k?.r)-* и
доминировать будут поверхностные волны Рэлея. Заметим, что
амплитуда продольных волн, вызванных точечным возмущением,
уменьшается как г~{.
Поверхностные волны Рэлея являются функциями радиуса г
и глубины г, ибо они вызваны действием причин, характеризую*
щихся осевой симметрией.
Рассмотрим частный случай действия на полупространство
нагрузки р(г)еш = ро1о(аг)еш. Из граничных условий D) по<
лучим систему уравнений
— a Ba2 — fe2)B = 0,
Поверхностные волны Рэлея соответствуют однородной системе
уравнений. Но коэффициенты А и В могут иметь ненулевые зна-
значения только тогда, когда определитель системы уравнений бу-
будет равен нулю, т. е. когда
N (а) — Bа2 — ЩJ — 4<x2v, v2 — 0.
При а =¦ k =¦ (й/с можно принять, что
B-tiLlCt B6)
где С — произвольная постоянная. Ё плоскости г я* 0 Получим
следующий вид поверхностных волн Рэлея:
ur(r,O,t) = -C^ ... _, ,B7)
Uz (г, 0, t) = Ckl Vk2 — ft? /0 (kr) еш\
10.12. Сферические волны в бесконечном пространстве
со сферической полостью
Рассмотрим распространение упругих волн в бесконечном про-
пространстве со сферической полостью; эти волны обусловлены дав?
лением p(t) = роеш, приложенным к поверхности R = а.
Ё области R ^ а возникают продольные сферические волны.
Ёектор перемещения и сводится к одной радиальной составляю-
составляющей, перемещения зависят только от переменных Rut. Решение
этой задачи будем искать в виде потенциала Ф(/?, t), удовлетво-
712 Гл. 10. Частные задачи эластокинетики
ряющего уравнению
/ д1 , 2 д \ с
Решение этого уравнения представим в виде расходящейся волны
ф(#, *)=-1е'« «-«/*>, B)
удовлетворяющей условию излучения при R -*¦ оо. Постоянную Л
определим из граничного условия
<***(*, O = -A.eto'. C)
Так как
/<5но 2«„\ п <52Ф Я Э2Ф
X 2Н^ 2+
+ X Н2^—5 + Т—г.
dR ^ \ dR R ) * dR2 c\ dt2 '
то, учитывая граничное условие C), определим постоянную
Д р0а3ехр(ага)/с1)
Тем самым определена и функция Ф по формуле B). Теперь уже
легко определить перемещение uR и остальные составляющие
напряженного состояния:
«* = —. <^-%,- — ~ + J^-- E)
Поэтому
+ ikR) ехр {/ (а>< —*(/? — а))] \ , _ _ш_ /fix
(l + /fea)_(^ + 2li)(feaJ] ;• л— с,' W
Представленное решение носит почти элементарный характер.
Несравненно труднее оказывается апериодическая задача.
Предположим, что граничное условие C) задается формулой
aRR(a,t) = -q(t)H(t). G)
Это означает, что в момент t = 0+ приложена нагрузка q(t), ко«
торая с этого момента изменяется со временем.
Решение уравнения A) примем в виде
«о
причем предположим, что функция / равна нулю при t <; 0. Под-
Подставляя формулу (8) в граничное условие, которое перепишем
в виде
10.12. Сферические волны в пространстве со сферической полостью 713
получим для функции f(t) обыкновенное уравнение
-^ + 4^JP- + k>f(t)=-xq(t)H(t), A0)
где
Ас\ Ас\ а
1 с,а ' а2 р
Применим к уравнению A0) преобразование Лапласа. Получим
уравнение
*9 (Р)
где
оо
Нр)=\ f(t)e-"dt.
о
Мы предположили здесь, что начальные условия для функции f
однородны. Так как Dт) < 1, решение уравнения A1) представ
вим в виде
t
X J q (r) exp [—%(t- r)} sin [(&2 - ^f (t - x)] dr. A2)
о
В частном случае нагружения q(t) = q^H{t) получим следующее
решение:
Для перемещения uR Шарп1) дает приближенную формулу:
а2Ро Г 6 /, R — о\1 . •/, R — а\
и0 = ^—^ ехр — —=г It 1 Sin О !^ 1 .
,^ R-a
при г^—-—
при t<^-^-
где
') Sharpe J. A., The Propagation of Elastic Waves by Explosive Pressures,
Geophysics, 7 A942), 144—154, 311—321.
714 Гл- №¦ Частные задачи эластокинетики
10.13. Цилиндрические волны в бесконечном пространстве
с цилиндрической полостью
Пусть в бесконечном пространстве имеется цилиндрическая
полость радиуса а. Систему координат выберем так, чтобы ось z
совпадала с осью цилиндра. Пусть на границе г = а упругой об-
области г ^ а действует гармоническая нагрузка p(r,t)=poeibit.
Цилиндрические волны, вызванные этой нагрузкой, описываются
уравнением
2 + г дг ez
г-(*? + *?)*.
К уравнению A) добавим граничное условие
arr(a,t)^-poe^. B)
Решением уравнения A), удовлетворяющим граничному условию
B) и условию излучения на бесконечности, является функция
Ф(г, t) = AH^(kr)eiat, k = a!ci, C)
в полном соответствии с решениями § 9.16.
Заметив, что
д*Ф | Я
получим из граничного условия B)
А = Г-Г2 ^ . D)
Функция Ф(г, t) таким образом определена. С ее помощью вы-
вычислим перемещения и напряжения
дФ о д2Ф , Я д2Ф
о2^ +
дг ' rr дг2 с\ dt2
2ц дФ , X д2Ф
E)
Рассмотрим случай апериодической нагрузки. Пусть на гра-
границе г = а действует нагрузка q(t)H(t). Решение этой задачи
было дано Сельбергом '). Введем функцию
') Selberg H., Transient Compression Waves from Spherical and Cylin-
Cylindrical Cavities, Arkiv f. Fisik, 5 A952), 97—108,
10.13. Цилиндрические волны в пространстве с цилиндрической полостью 715
в которой мы узнаем дилатацию. Эта функция удовлетворяет
волновому уравнению
дЩ , 1 дЭ 1 дЩ л ,-
Напряжения мы можем выразить через функции ит и 8:
агг = (Я + 2ц)9-2ц-^, (8)
<7ее = 2ц-^ + Щ агг = Л0. (9)
Заметим, что
, 2(Я+и) /,п\
Огг + °№= Л °zz. (Ю)
Применим к соотношениям F) и (8) преобразование Лапласа:
® = 7^(й^« 3,г = (Л + 2ц)ё-2ц?-, A1)
где
оо
Q{r,p) = \ в (г, 0 е-"'Л, ....
Преобразование Лапласа применим также и к уравнению G),
предполагая, что начальные условия задачи однородны:
\dr2 г dr с\) к '
Решением этого уравнения, затухающим при г->оо, является
функция
(^) A3)
Кп(р) —модифицированные функции Бесселя, удовлетворяющие
уравнению
Р2К: + РК'п-(р2 + п*)Кп = 0,
связанные с функциями Ханкеля Н[п (р) зависимостью
Вернемся к соотношениям A1), из которых после исключения йт
находим
(И)
716 Гл. 10. Частные задачи эластокинетики
Величина А является функцией параметра р\ найдем ее из гра-
граничного условия
а„(а, t) q(t)H(t),
или
д„(а, p)*=
В результате имеем
Подставляя А(р) в соотношение A4) и выполняя обратное пре-
преобразование Лапласа, находим
\A Л. 0„\ К ( \ Л. V ( РГ
а (г t) = -^ I l P
ра
A6)
Для напряжения azz получим следующую формулу:
i_ "Г **'(f)nP)»"*P
°гг{г,{)--ш J (ра\ 2цс, „
Как следует из формулы A0), зная напряжения аГГ и azz, можно
найти напряжение авв-
Для вычисления интегралов A6) и A7) требуется контурное
интегрирование. Сельберг выполнил его для частных случаев
q = — H(t) и q = e~kt, проиллюстрировав графиками.
Подставляя в интегралы A6) и A7) асимптотическое выра-
выражение
Кп (р) = /5Д2рГе-'[1 + О
справедливое при —Зл/2 < arg p < Зл/2, и переходя к пределу
при г/а->оо, получим на фронте цилиндрической волны сле-
следующие соотношения:
/о. Л _ / а
у, °« = °ее = -2!Г+тУ Т'
В статической задаче напряжения изменяются как г~2, в дина-
динамических задачах затухание напряжений на фронте волны харак-
характеризуется величиной г~Ч\
10,14. Волны кручения и изгиба в бесконечном цилиндре 717
Более подробное обсуждение рассматриваемой тут задачи чи-
читатель найдет в работе Кромма1). Решение этой задачи полу-
получено в ней другим, интересным путем, приводящим к решению
интегрального уравнения Вольтерры.
10.14. Волны кручения и изгиба в бесконечном цилиндре
В § 10.8 обсуждено распространение волн в направлении оси
z, совпадающей с осью бесконечного стержня кругового сечения.
Ниже мы рассмотрим два других типа распространения периоди-
периодических волн.
Исходим из уравнений в перемещениях в цилиндрической си*
стеме координат (г, ф, z)
где
1 д i ди9 дия _ д* 1 д 1 а» д*
Т~Ьу(гиг)~г7~д^-~т~~ЬТ' v —~дР?~г~7оТ~тг"Ьу~г~№'
Составляющие напряжения выражаются формулами
B>
Будем предполагать, что боковая поверхность цилиндра г = а
свободна от нагрузки:
ап(а, ф, z, 0 = 0, orz(а, ф, г, t) = 0, ощ(а, ф, z, 0 = 0. C)
Рассмотрим два частных случая. В первом положим, что
мг = 0, «г = 0, мф=^0 D)
и что мф не зависит от переменной ф. При отсутствии массовые
сил из системы A) остается второе однородное уравнение, кото-
которое после отбрасывания членов с производными по ф имеет вид
ТТ1 1 2~ ~Г ~Г~2 2~ ~ПГ) U<P = 0- E)
дг г дг г dz c| dt I T
•) Kromm A., Zur Ausbereitung von Stosswellen in Kreislochscheiben,
ZAMM, 28, № 4 A948),
718 Гд- Ю- Частные задачи эластокинетики
Принимая гармоническую волну в виде
и„(г, z, t) = U<t(r)exp[i(kz — at)], F)
приводим уравнение E) к обыкновенному дифференциальному
уравнению
\ (г) = 0, G)
где
, ju_ , ?>_
2 ~с7' с
Величина с является фазовой скоростью распространения волны.
Из решения уравнения G) оставим то частное решение, которое
не имеет особенности при г-»-0, а именно
?/„ (г) = AJt (И, Э = (Аз — ^2)'/2. (8)
Заметим прежде всего, что подстановка ит = 0, «2 = 0, иф ^
^ иф (г, 2, t) в формулы для напряжений приводит к выводу, что
единственным отличным от нуля напряжением является напря-
напряжение аГф. Из граничных условий C) остается только третье ус-
условие огГф(я, 2, t) = 0. Это условие приводит к частотному урав-
уравнению
или
Эа/0(ра) = 2/,(ра), (9)
из которого можно последовательно найти корни fra, р2я, •..,
определяющие фазовую скорость распространения волн.
Введя длину волны / = 2я/к, имеем
(Ю)
Единственное напряжение, распространяющееся вдоль оси
г, — это волна аГф- Поэтому мы имеем дело с распространением
волны кручения с фазовой скоростью с.
Заметим, наконец, что напряжения агф задаются формулой
arv(r, z, /) = и(-гг rj = ^-дТ{~ГИ
^[^i](^-co0]. (И)
В § 10.8 мы занимались волнами, которые возникают в круго-
круговом стержне в предположении, что «Ф = 0, а перемещения иг и иг
10.14. Волны кручения и изгиба в бесконечном цилиндре 719
не зависят от угла ф. Здесь мы рассмотрим перемещения вида
иГ = Ur (r) cos ф ехр [/ (kz — Ы)],
«ф = ^<р (г) sin ф ехр [i (kz — at)], A2)
иг = Uz (r) cos ф ехр [I (kz — at)].
Подставляя формулы A2) в систему уравнений A), получим си-
систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений, содер-
содержащих функции Uг, U^ и Uz. He вдаваясь в подробности реше-
решения, дадим их окончательный вид:
и, (г) = др,/; (p,r) + bj\ (p2r) + с 11, (р2г),
т т /_\ я I г /о _\ г» "- г /о _\ /~*о г/ /о ^.Ч
Граничные условия A3), утверждающие, что боковая поверх-
поверхность бесконечного цилиндра свободна от нагрузок, приводят к
уравнениям
(И)
Подставляя формулы A3) в A4) и приравнивая определитель
системы уравнений A4) нулю, получим уравнение, данное Банк*
рофтом '),
х—1 2х—\ 2х—\
Y(P,fl)-2
где
=0,
A5)
Можно последовательно найти корни уравнения A5) и опреде^
лить скорость распространения волн изгиба. Следует добавить,
D. Bancroft, loc. cit. стр. 698.
720 Гл. 10. Частные задачи эластокинетики
что приближенное решение
J-laWc*, cl = f, A6)
дал еще Рэлей, который разложил входящие в формулы A3)
функции Бесселя в ряд и ограничился несколькими первыми чле-
членами разложения.
10.15. Радиальные колебания упругого шара
Если шар нагрузить радиальными силами, равномерно рас-
распределенными по его поверхности, а затем эти силы внезапно
убрать, то будут происходить радиальные колебания. Ввиду цен-
центрально-симметричного характера колебаний мы можем состав-
составляющие радиального перемещения uR выразить в прямоугольной
системе координат следующим образом:
ui = xif(R) cos at, i=l, 2, 3, A)
где/G?) —неизвестная функция радиуса. Перемещения uR выра-*
зим через функцию /(/?):
uR = им = UiXjR = Rf (R) cos at, B)
где rii = Xi/R — составляющие единичной нормали п.
Подставляя формулу A) в систему уравнений в перемеще-
перемещениях
/, ftft+ (*- + (*) «ft, ft/= Р«/, C)
приходим к системе уравнений
L + i- -*L) + p<B2f] cos a,/ = 0. D)
Xi [
Эта система удовлетворяется, если
где
k2 =
k2 = — =
Из частных решений уравнения E) выберем те, которые не
имеют особенности в начале координат, ибо мы (ввиду осевой
симметрии) должны предположить, что uR@, t)=0. Частным
решением уравнения E), удовлетворяющим указанным усло-
условиям, является
г* kR cos kR — sin kR .„.
10.15. Радиальные колебания упругого шара 721
Подставим формулу B) в выражение
и используем граничное условие задачи
cRR(a,t) = 0, (8)
где а — радиус шара. Условие (8) при учете формул B), F) и
G) приводит к частотному уравнению
(Я + 2ц) [B — k2a2) sin ka — 2ka cos ka] +
-\-2X(kacoska — sinka) = 0. (9)
Для среды, в которой ц = Я,, т. е. v = 1/4, получим
^- = 0,8160; 1,9285; 2,9359; 3,9359; 4,9728; 5,9774; .... A0)
Таким образом будут последовательно вычислены частоты соб-
собственных радиальных колебаний шара a>n = Cikn, n= 1,2,3, ... .
Величину ka/n, входящую в уравнение (9), можно интерпре-
интерпретировать следующим образом. Обозначим через 7"i время, за ко-
которое продольная волна проходит расстояние, равное диаметру
шара 2а, т. е. Т\ = 2а/с\ = 2a.k/a>. Обозначая период колебаний
Т = 2л/а>, имеем
Т _ ak
Т1 ~~ л •
Зная частоты собственных радиальных колебаний и соответ-
соответствующие им собственные функции F), мы можем решить за-
задачу о вынужденных колебаниях шара при нагрузке p(t) =
= pocos(nt на его поверхности. Представленный здесь случай
собственных колебаний шара является простейшим случаем,
приводящим к решению обыкновенного дифференциального урав-
уравнения.
Глава 11
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ
ТЕМПЕРАТУРНЫХ НАПРЯЖЕНИИ
11.1. Основные соотношения и уравнения
теории температурных напряжений
Неустановившееся температурное поле вызывает в упругом
теле изменяющееся со временем поле перемещений. В принципе
всякое неустановившееся температурное поле приводит к дина-
динамической задаче теории температурных напряжений.
Если температурное поле медленно меняется со временем, то
можно принять упрощение, основанное на пренебрежении инер-
инерционными членами в уравнениях движения. Тогда мы имеем
дело с квазистатической задачей, подробно обсужденной в § 8.6.
Однако там, где происходит резкое изменение температуры, на-*
пример тепловой удар (англ. thermal shock), инерционными чле-
членами пренебрегать уже нельзя.
Динамические задачи теории температурных напряжений свя-
связаны со значительными математическими трудностями. Поэтому
до сих пор в замкнутом виде решены только некоторые одномер-
одномерные задачи.
Как было уже отмечено в гл. 3, теория температурных напря-
напряжений является упрощением более общей теории — термоупру-
термоупругости. Это упрощение основано на пренебрежении в уравнении
теплопроводности членом, связанным с дилатацией.
Для однородного анизотропного тела система дифференци-
дифференциальных уравнений теории температурных напряжений имеет вид
(§ 3.9)
ТсГ/Ы("ы+ "/.*)¦/ +*, = РЙ, + М,/> A)
я.//е.,/_сее = -ш. B)
Уравнения A) и B) независимы. Из уравнения B) при задан-
заданном граничном и начальном условиях определяется температура
9(х,/). Эта температура в уравнение A) входит как известная
функция.
11.2. Принцип виртуальных работ. Принцип Гамильтона 723
В случае однородного изотропного тела уравнения теории
температурных напряжений значительно упрощаются. Тогда
имеем
ц^щ + (Я + ц) uk, ki + Xt = put + ув. „ C)
A0V26 — 6 = - w. D)
Здесь [i и X—изотермические постоянные Ламе, a y = 3K<%t-
Система уравнений C) и D) эквивалентна системе
°ц,1 + Xi = pui> E)
f. F)
yQNij, G)
ej/ = -j("t./ + «/.()• (8)
Уравнения E) являются уравнениями движения, уравнения G)
представляют собой соотношения Дюгамеля—Неймана, а (8)
является определением тензора деформаций. Исключение из си-
системы уравнений E), G) и (8) напряжений и деформаций при-
приводит к уравнениям C).
К уравнениям C) и D) следует добавить граничные и на-
начальные условия. Для уравнения теплопроводности D) мы их
обсудили в § 8.6. Граничные и начальные условия для уравне-
уравнений в перемещениях C) не отличаются от тех, с которыми мы
имели дело в эластокинетике.
Нетрудно записать уравнения рассматриваемой теории в на-
напряжениях. Для этого достаточно в уравнения G) § 9.5 подста-
подставить вместо Хг величину Xt — yQ.i. Таким образом получаем си-
систему уравнений
ЯЛ,/ ..
Okk +
где
Xr,n D2 V j
11.2. Принцип виртуальных работ. Принцип Гамильтона
Если в уравнение, описывающее принцип виртуальных работ
)бщем виде (уравнение D) § 9.7),
J {Xt — put) 6Ui dV + J pi 6Ui dA = J att 6ei( dV A)
724 Гл. 11. Динамические задачи теории температурных напряжений
подставить соотношения Дюгамеля — Неймана
оц = 2jxet/ + (Aefefe — yQ) bih B)
то получим уравнение
J (Xt - рщ) Ьщ dV + j pt Ьщ dA = ЬЖе - Y J 0 bzkk dV, C)
V A V
где
лг*р ^ Г чут »ТГ ту/ ^ j о о
V
Уравнение C) представляет собой принцип виртуальных работ
для теории температурных напряжений. Это уравнение можно
преобразовать к виду
J {Xt — Y^.i — put) Ьщ dV + J (р{ + nfiy) Ьщ dA =* bWe. D)
V A
Рассмотрим тело той же самой формы и из того же самого ма-
материала, деформирующегося под действием внешних сил Х\ и р\
изотермически @ = 0). Принцип виртуальных работ примет
тогда вид
J {К - Р«<) Ьи1 dV + J Pi 6ui dA
E)
если предположить, что силы X} и pi выбраны так, что поле
перемещений и{ идентично полю, вызванному действием сил
Xt, pt и температуры 0.
Сравнивая уравнения D) и E), имеем
Pi = Pi + Y«<-9. x e Aa, F)
и\ = щ, xei, A = Аа + Аи.
Соотношения F) описывают аналогию массовых сил для дина-
динамической задачи теории температурных напряжений.
Вернемся к уравнению C) и предположим, что приращения Ьщ
являются действительными приращениями, т.е. что bUi =
а ЬЖ& = Жг dt. Уравнение C) примет в этом случае вид
~-(Ж + Же)= \XiVtdV+ ptVtdA + y QvkkdV, vt = ut. G)
V A V
11.2. Принцип виртуальных работ. Принцип Гамильтона ТЩ
Здесь Х = 7гр J vividV—кинетическая энергия. Уравнение G)
v
представляет собой основную энергетическую теорему теории
температурных напряжений. Из этой теоремы можно вывести
теорему о единственности решения дифференциальных уравне-
уравнений теории температурных напряжений, поступая так же, как и
в § 9.7.
Из принципа виртуальных работ C) можно вывести обобщен-
обобщенный на теорию температурных напряжений принцип Гамильтона.
Интегрируя это уравнение по времени от U до t\ и принимая,
что 8tii(x, t0) = 6ui(x, t\) = О, получим уравнение
6 J(Fe — ЛГ)Л = J 6Ldt + y J dt J Q6ekkdV,
и и и v (8)
Ы = J Xt but dV+ | Pt Ьщ dA.
A
Введя обозначение
j вкквпп) dV - Y [ 9ew dV,
( ) [
V V
можно придать уравнению (8) следующий вид?
J bLdU
6 J (#e — JSf) Л — J 61 dU (9)
Если внешние силы обладают потенциалом Т, то
В этом случае введем обозначение Г = #е + ^° и представим
принцип Гамильтона в виде
6 J (Г — %)dt*=O. A0)
В случае статической или квазистатической задачи уравнение
A0) сводится к принципу минимума потенциальной энергии
аг«о, (П)
который был изложен в § 8.1,
726 Гл. 11. Динамические задачи теории температурных напряжений
11.3. Теорема взаимности. Метод Майзеля
Пусть дано тело, которое занимает область V, ограниченную
границей А, и на которое действуют внешние силы и температур-
температурное поле. Пусть, далее, имеются две системы причин. К первой
отнесем внешние силы Х{, рг- и температуру 0, ко второй — силы
Х'р р\ и температуру 8'. Первая группа причин вызывает в теле
поле перемещений «,-, вторая и'г
Применим к соотношениям Дюгамеля — Неймана преобразо-
преобразование Лапласа:
где
в„ (х, р) = J ги (х, t)e-P{dt
о
Из соотношений A) вытекает локальное тождество
да'<! - *\fa = - V ФК* - Q\k)- B)
Интегрирование этого тождества по объему V тела дает
J №, - д'иЯ dV "= - Y J (Kk - в'***) <W. C)
После применения обратного преобразования Лапласа к этому
уравнению получим первый вид теоремы взаимности для теории
температурных напряжений
\dx \ dV {x)[otj{x, т)е'ч{х, t-x)-o'il(x, t-x)zlj{x, т)]-
V
\dV{x)[Q{x, x)t'kk{x,t-x)-Q'{x, t-x)ekk(x, x)]. D)
0 V
t
Применим теперь интегральное преобразование Лапласа
к уравнениям движения, связанным с первой и второй системами
причин:
о;м + х;=Р2рн;. E)
Предположим, что начальные условия для перемещений яв-
являются однородными.
11.3. Теорема взаимности. Метод Майзелп 727
Преобразуя уравнение C) к виду
J (Pfi't ~ %й{) dA - J (a,,, ,u't - а;, уй,) dV =
А V
Y \ {Q?u-Vhk)dV F)
v
и используя соотношения E), имеем
J (ад - %ut) dv + J {pfi\ - ед ^л +
А
lH = 0. G)
Наконец, применяя к уравнению G) обратное преобразование,
приходим ко второму виду теоремы взаимности теории темпера-
температурных напряжений
t
{ dx { dV (x) [Xt (х, т) «; (х, / - т) - Ц (х, * - г) н, (х, т)] +
О V
t
+ J dx J dA (x) [Pi (x, t) W. (x, t-x)-p'i(x,t- x) ut (x, т)] + (8)
О А
t
+ y J dx J dV (x) [D (x, t) t'kk (x, / - т) - 9' (x, / - т) ekk (x, т)]=0.
Рассмотрим ограниченное тело, в котором из-за наличия
источников тепла и нагрева поверхности А возникло темпера-
температурное поле 0(х,/). Пусть на поверхности А заданы граничные
условия в перемещениях
и,(х, *) = Ых, /), хеД t>0. (9)
Будем искать перемещения «»(|, t) в точке |е У. В качестве си-
системы нагрузок со штрихами примем действие мгновенной сосре-
сосредоточенной силы X'i = 6(\—§N(fN,7, приложенной в точке | и
направленной параллельно оси Xj. Пусть сила Х\ действует
в неограниченной среде, причем |eF. Предполагая, что 0' = О,
получим поле перемещений С/," (х, с, /), которое удовлетворяет
системе уравнений
ji W/1 + (Я + I*) lfl!kt + б (х -1) б (*) в<у = pt/'/1, A0)
однородным начальным условиям и условию U{p = 0 на беско-
бесконечности.
728 Гл. И. Динамические задачи теории температурных напряжений
Подставляя Х\ = Ь{\ — |)б(/)б^ и Xt = 0, 0' = О в уравне-
уравнение (8), получим следующую формулу:
t
Щ (?, /) = Y J dx J 9 (х, т) U(Hk (х, |, t - т) dV (x) +
О V
t
+ \dx j[pi(x,x)U\4x,lt-x)-p\»(x,l,t-x)fi(x,x)]dV(x), A1)
которую можно трактовать, как обобщение формулы Сомильяны
на динамические задачи теории температурных напряжений.
В формуле A1) мы ввели вектор р'/' на поверхности А следую*
щим образом:
fik, l, и k = \, 2, 3. A2)
Формуле A1) можно придать вид
t
t
+ J dx J [(Pi + yQnt) uy> _ pi/)/,] dV. A3)
0 A
Если точка | лежит вне области V, то величины в правых частях
формул A1) и A3) равны нулю.
Формулы A1) и A2) позволяют определить перемещения щ
в точке |е V в зависимости от распределения температуры 0
внутри тела и граничных условий на поверхности А.
Обобщенные формулы Сомильяны имеют только теоретичен
ское значение, так как на поверхности А были заданы лишь пе-
перемещения «j = /{, функции pi являются неизвестными.
Однако если перемещения и[ выбрать так, чтобы на поверх»
ности А перемещения и\ обращались в нуль, то мы найдем фор-
формулы, уже пригодные для определения перемещений «,-. Итак,
положим, что функция Грина u'i = G{1) (x, |, /) удовлетворяет
уравнению
I* V2G(/» + (Я + ц) Gf ы + б (х -1) б (t) 6И = рО7» A4)
с граничными условиями
(/'/'(х, |, 0 = 0 на поверхности А, хеД
11.3. Теорема взаимности. Метод Майэеля 729
и с однородными начальными условиями. В этом случае фор-
формула A1) примет следующий вид:
t
и, (|, /) = y J dx | 9 (х, т) Gf,k (х, l,t-x) dV (x) -
О V
t
-jdxj ftp (x, g, / - т) ft (x, т) dA (x). A5)
0 A
Здесь р[!) имеет вид A2), за исключением того, что вместо функ-
функции l/P следует подставить функцию GT.
Если рассматриваемое тело жестко закреплено на поверх-
поверхности Л (ыг-=/г-= 0), то в формулах A5) исчезает поверхност-
поверхностный интеграл и
t
щ (I, t) = y J dx f 9 (х, т) G[l]k (х, |, / - т) dV (x) =»
о v
t
= -y j dx j Q,tG?dV. A6)
0 V
Интересен частный случай стационарного температурного
поля 9 = 9(х). Если кроме того распределение температуры
однородно, т. е. 9(х)= const, то 9,,- = 0 и поэтому перемещение
«j(D равно нулю в каждой точке тела.
Перейдем от ограниченного тела к неограниченной среде. Если
предположим, что источники тепла размещены в конечной об-
области D, то в формулах A5) исчезнут поверхностные интегралы.
Останутся формулы
t
и, Ц, t) = y
= -Y \dr JB.&PdV. A7)
Интегрирование распространяется здесь на неограниченную об-
область Уос.
Рассмотрим общую задачу, в которой на поверхности ограни-
ограниченного тела заданы смешанные граничные условия:
щ{х, t) *= 0, х е= Аи, p;(xJ) = 0, xg4 A = AU + Aa. A8)
Перемещения Mj(|, t) можно получить из формулы A1) или A3),
причем функциям u'i мы придадим другое значение. А именно
обозначим через u'i^=Fi(x, |, t) поле перемещений, вызванное
730 Гл. И. Динамические задачи теории температурных напряжений
действием мгновенной сосредоточенной силы Х\ = 6 (х — I) 6 {t) 6;/,
приложенной в точке | и направленной по оси Xj. Потребуем,
чтобы функция Fi удовлетворяла системе уравнений
,^У/» + (я + (*) /^ « + б (х -1) б @ б|у = pF, A9)
С граничными условиями
Я/> (х, I t) = 0, х е Лн, р</> (х, |, /) = 0, х е Ла, B0)
и с однородными начальными условиями. Таким образом полу-
получаем
t
щ (I, t) = y J dx J 9 (х, т) ^й(х, I, t - х) dV (х) +
0 V
t
+ Jdx |[рДх,т)Я/>(х,1, /-т)-
0 А
- pf (x, I, t - х) ut (х, г)] <М (X). B1)
Поверхностный интеграл равен нулю в силу граничных условий
A8) и B0); остается
t
и, (I, t) = y j dx J 9 (x, т) Ff,k (x, I, t - т) dV (x) -
0 V
= - y J dt J 9, t (x, т) f1/» (x, g, / - т) dF (x). B2)
0 V
Это формула Майзеля1), выведенная нами непосредственно из
обобщенной формулы Сомильяны.
Придадим теореме взаимности иную форму, удобную, в ча-
частности, при рассмотрении термоупругих гармонических во вре-
времени колебаний. А именно предположим, что система причин
Х\, р[, 9' и следствий и\ относится к статической задаче. Тогда
имеем уравнения равновесия
с^., + ^0 B3)
и соотношения Дюгамеля — Неймана
*I/*2,ie;/ + Dk-Ye/)V B4)
Применим к уравнениям движения И соотношениям Дюгамеля —
Неймана интегральное преобразование Лапласа, предположив,
') В. М. Майзель, loc. cit. стр. 476.
11.3. Теорема взаимности. Метод Майзеля 731
что начальные условия для перемещения первой системы одно-
однородны. Тогда
Оц.! + Х{ — РР2п1' B5)
olC = 2li-Bii + (lekk-yQNit. B6)
Умножим уравнение B6) на г'ц а уравнение B4) на гц. Вычтем
почленно результаты этого умножения, проинтегрируем по огра*
ничейной области V и найдем
J W'i,-<fri)<lV + V iDk-*%b)dV = 0. B7)
Преобразуя первый интеграл и принимая во внимание уравнения
B3) и B5), получим
J [{Х{ - рр%)«; - Xffit] dV + J (pX - Pfa) dA +
v
Обращение преобразования Лапласа дает
j [Xt (x, t) u\ (x)-X't (x) ut (x, /)] dV (x)-p J й( (x, t)«; (x) dV (x) +
V V
+ J [Pi (x, t) u\ (x) - p\ (x) «, (x, /)] dA (x) +
л
4-Y J [в (x, /) e;ft (x) - 6' (x) 4k (x, t)\ dV (x) = 0. B9)
v
Рассмотрим ограниченное тело, в котором причиной деформации
является изменение температуры. Предположим, что на А заданы
граничные условия ы; = Д-(х). Примем далее, что 0' = 0. Пусть
и\ = и\!> (х, 1) относится к действию сосредоточенной стационар-
стационарной силы, приложенной в точке |gK и направленной парал->
лельно оси Xj. Перемещения U\l] (x, 1) должны удовлетворять
в неограниченном пространстве системе уравнений
HVV/» + (Л + ц)?Л/,)** + б(х-|N,/ = 0 C0)
с условием [//'-¦• 0, когда х стремится к бесконечности. Из тео-
теоремы взаимности B9) получаем следующее выражение для
732 Гл. 11. Динамические задачи теории температурных напряжений
перемещения Uj (§, /):
«/ F, t) = Y J 9 (х, /) Uflk (x, a dV (x) +
+ J [/>, (х, /) ?/</> (х, I) - pf (х, I) ft (x, /)] ЙЛ (x) -
л
-p |й,(х, t)U4){x,l)dV(x), isV. C1)
У
Мы видим, что это система интегродифференциальных уравне-
уравнений, из решения которой находятся перемещения щ.
Если рассмотреть случай, в котором на А заданы граничные
условия A8), то следует принять ы? = Я/'(х, |), где функция
Грина должна удовлетворять системе уравнений
S (х -1) Ьи = 0 C2)
с граничными условиями
Я/> (х, Й-0, xs Аи, р'Л (х, 1) = 0, х s Лв. C3)
Уравнение C1) принимает в этом случае простой вид
"/ (I, 0 - Y J В (х, /) fj/,»* (х, g) dF (х) -
-р j ui(x,t)Fii!)(x,l)dV(x). C4)
у
Рассмотрим частный случай вынужденных колебаний. Пусть тем-
температура меняется по закону 0(х, /) = е-ш0*(х), где К — частота
вынужденных колебаний. Подставляя
щ (|, *) = и, A) в~ш + S «ГF) е-'Ч 9 (х, 0 = 9* (х) е~ш C5)
в уравнение C4), получим следующую систему уравнений:
u'(x)F<p(x,t)dV(x) +
J'w/^x, i)dV{x), C6)
uf (|) - pa>» J и',»» (х) Я/» (x, a ^F (x) — 0. C7)
v
Интегральное уравнение C6) позволяет определить амплитуду
вынужденных колебаний упругого тела, обусловленных дей-
11.4. Решение уравнений теории температурных напряжений 733
ствием перепада температуры. Однородные интегральные урав-
уравнения C7) служат для определения частот собственных колеба-
колебаний тела. Система интегральных уравнений C6) не имеет реше-
решения при К = <х>п, т. е. в случае резонанса.
Рассмотрим теперь частный случай односвязного ограничен-
ограниченного тела, в котором деформация вызвана исключительно пере-
перепадом температуры. Поэтому примем, что Х{ = 0, pi = 0 и 9 ф О,
щфО. В качестве системы со штрихами примем всестороннее
растяжение тела единичными силами; тогда
z; = o, e' = o, a'tj=\-bir p', = i-nt.
Подставляя эти величины в уравнение B9), получим
\nlui{x,t)dV{x) =
= Y J 8 (х, /) e'kk (x) dV (x) - р J ut (x, t) u\ (x) dV (x).
V V
Учитывая, что s'kk = a'kkjCK), о'кк = 3, у = 3/(а, и обозначая
через АУ приращение объема тела, получим
А У = За, J 9 (х, t) dV (x) - -^ J й, (х, /) *, ЙУ (х). C8)
V V
Если температурное поле стационарно, то второй интеграл в вы-
выражении C8) обращается в нуль и мы получим
ЛУ = За, J d(x)dV(x). C9)
v
11.4. Решение дифференциальных уравнений теории
температурных напряжений
Систему неоднородных уравнений в перемещениях
можно решить несколькими способами. Наиболее распространен-
распространенным является способ представления перемещения в виде
«j —Ф. г+ «//***. / B)
734 Гл. 11. Динамические задачи теории температурных напряжений
и сведения уравнений A) к системе волновых уравнений
п!Ф = тд, C)
D^, = 0, D)
где
п2 V2 х я2 V / Я + 2ц y/i
/цу/i
\р/
Эти уравнения аналогичны волновым уравнениям эластокине-
тики, но отличаются от них тем, что величины ц, К, входящие
в скорости d, с2, относятся к изотермическому состоянию (в то
время как в эластокинетике они относились к адиабатическому
состоянию).
К уравнениям A) следует добавить еще уравнение теплопро-
теплопроводности
де = -?, D=v2-i-a/. E)
Если из уравнений C) — E) исключить температуру, то полу-
получится система уравнений
П?ЯФ =---«-§-, F)
= 0. G)
Из уравнений C) и D) или F) и G) найдем функции Ф и фг, а
из соотношения B) — перемещения щ.
Сначала рассмотрим распространение термоупругих волн
в бесконечной области. При отсутствии массовых сил и предпо^
ложении однородности начальных условий функция г|5 равна нулю
в каждой точке упругого пространства. Мы имеем дело с безвих*
ревым полем, характеризующимся уравнением C) или F).
Для определения перемещений щ достаточно найти частное
решение уравнения C). Функцию Ф можно представить в виде
запаздывающего потенциала
в соответствии с формулой A5) § 9.13. В формуле (8) величина
R(x, |) означает расстояние между точками х и |. Интегрировав
ние ведется по объему шара R = c\t с центром в точке х.
Формула (8) справедлива для тела, которое в начальный момент
/ = 0 находилось в ненапряженном, естественном состоянии.
Если функция Ф известна, то перемещения, деформации и
напряжения получим по формулам
щ = Ф,„ е,у —Ф,,у, а,/ = 2ц(Ф>л/ — в/уФ.иО + в^рФ. (9)
11.4. Решение уравнений теории температурных напряжений 735
Частное решение уравнения C) можно отыскать и другим
путем. Применим преобразование Лапласа к уравнениям C)
и E):
"' -"?• <10>
Здесь мы предположили, что начальные условия однородны:
0(х, 0) = 0, Ф(х, 0) = 0, Ф(х, 0) = 0. A1)
Исключая из уравнений A0) функцию 6, получим
тД. A2)
41(
с\}\ х
Частным решением этого уравнения является функция
где S — частное решение уравнения
-4^5 = --^, S(x, 0)=S(x,0) = 0, A3)
а 9 — решение второго уравнения системы A0). Добавим, что
ввиду аналогичности первого из уравнений A0) и уравнения A3)
определение функции 5 не составляет большого труда. Приме-
Применение обратного преобразования Лапласа к выражению A2а)
завершает решение задачи.
Другой интересный путь определения потенциала Ф в беско-
бесконечном пространстве предложили Новацкий и Ранецкий1). Для
одномерной задачи подобный способ был применен также в ра-
работе Синга и Пури2).
Применим к уравнению C) оператор \~ д]—-dt\ и по*
\ci * /
лучим
Используя однородное уравнение теплопроводности, а потому
ограничиваясь температурным полем без источника (Q = 0)
A5)
') Nowacki W. К., Raniecki В., Note on the Propagation of Thermoelastic
(non Coupled) Waves, Proc. Vibr. Probl., 8, № 2 A967).
2) Singh A., Puri P., Dynamic Thermal Stresses in an Infinite Slab, Arch.
Mech. Stos., 15, ,\a 1 A963).
736 Гл- М- Динамические задачи теории температурных напряжений
получим из A4) и A5) уравнение
Частное решение этого уравнения получим, принимая, что
откуда
Ф(х, /) = 4-| l -expl —И Ф,(х)
+ «m { U - exp [C'(^~T)] J 9 (х, т) Л + Ф2(х). A8)
о
о
Подставляя формулу A8) в решение C), убеждаемся, что для
того, чтобы функция A8) была частным решением этого урав-
уравнения, функции Ф] и Ф2 должны удовлетворять системе урав-
уравнений
2 2
^^ A9)
^ B0)
Если начальное условие для температуры однородно, то следует
положить Ф] = Фг = 0. В этом случае перемещение опреде-
определяется формулой
щ (х, /) = %т {{ 1 - ехр [-^- (/ - т)] ) 9, t (к, т) dx, B1)
о
а напряжения выражаются так:
B2)
Для дилатации ыА;й = е при учете однородного начального уело*
вия 0(х, 0) =0 получается следующее выражение:
(х, x)rfx. B3)
11.5. Распространение гармонических термоупругих волн 737
Авторы применили описанный выше способ для определения ди-
динамических напряжений в ряде динамических задач, а именно
в случаях нагревания упругого полупространства, неограничен-
неограниченной среды со сферической полостью и неограниченной плиты на
упругом основании.
Интересны два замечания, сделанные упомянутыми авторами,
относительно этого метода. Эти замечания относятся к отрезку
времени 0 < t < t*, где t* = rjc\ — время прихода в данную
точку тела первой волны, несущей влияние границы (г — рас-
расстояние точки х от ближайшей точки поверхности тела).
1. Векторное поле перемещений является потенциальным,
в каждой точке тело подвергается чистой деформации.
2. Из формулы B3) и из свойств решения уравнения тепло-
теплопроводности вытекает, что если температура в каждой точке по-
поверхности тела положительна [8(х, /) ^ 0], то в каждой внутрен-
внутренней точке тела х на отрезке времени 0 < / < /* относительное
изменение объема euk всегда меньше нуля.
Следуя предложенному, здесь пути, решение многих динами-
динамических задач можно свести к вычислению конечного числа ин-
интегралов по времени от температуры и ее производных. Кроме
того, достоинство этого способа состоит в том, что в процессе
вычисления можно получить много интересных качественных вы-
выводов.
Если тело ограничено, то решение уравнений C) и D) нужно
составить из частного решения уравнения C), которое обозна*
чим через Ф, и общего решения уравнений
П?* = 0, П^ = 0. B4)
Полное решение складывается из суммы решений «,. — ы, + »
где
»;=ф,р «;'=*,(+?,Аг B5)
Функции «"можно выразить также через функцию напряжений
Яковаке
? +А*НИЭ] 4V k l+
где функции <pj удовлетворяют биволновому уравнению
? 0, /=1, 2, 3. B7)
11.5. Распространение гармонических термоупругих волн
в бесконечном упругом пространстве
Рассмотрим сначала сферические термоупругие волны, зави-
зависящие от радиуса R и времени I. Этот тип волн возникает при
частном выборе возмущений. Он возникает либо под действием
24 В, Новадкий
738 Гл. 11. Динамические задачи теории Температурных напряжений
точечного источника тепла, либо в бесконечной среде со сфериче-
сферической полостью, граница которой нагрета.
Мы проследим характер этих волн, рассматривая однородное
волновое уравнение F) § 11.4
^)(x,o=o. A)
Предположим, что причины, вызывающие волновое движение,
изменяются во времени гармонически. Подставляя
ф(х, t) = Q>*(x)e-lat B)
в уравнение A), получаем следующее уравнение для амплитуд
Ф*:
(V2 + a2)(V2 + <7)(D*(x) = 0, C)
to to
В силу теоремы Боджио решение уравнения C) получим как
сумму решений простых волновых уравнений:
(V2 +<т2)Ф1 = 0, (V2 +4)Ф! = 0, D)
где
Будем искать такие решения уравнений D), которые имеют
особенность в точке % и зависят от расстояния R между точ-
точками i и х: /? = [(*, — ijJ -+- (лг2 — У2 + (*3 — ЫНк- Решениями
уравнений D) являются функции
IRVq
Ф2=Л2-^—+ 52^ . G)
Из представленных выше четырех частных решений физиче-
физический смысл имеют только два решения: et(i>Rlc>/R и eiRV^JR, Это
следует из того, что выражения
[-Ш _] J , n V (°)
elR-'Q = — cos со [t —
R J R \
представляют расходящуюся волну, распространяющуюся от
точки возмущения до бесконечности. Два остальных решения:
11.5. Распространение гармонических термоупругих волн 739
и e-iRY^lR в формулах G)—представляют сходя-
сходящиеся волны. Решения (8) удовлетворяют на бесконечности
условию излучения и условию ограниченности Зоммерфельда
(см. § 9.16).
Итак, решением уравнения A) является функция
Потенциал Ф состоит из двух членов. Первый из них имеет ха-
характер упругой волны, распространяющейся со скоростью с\. Вто-
Второй член характеризует диффузийную тепловую волну. Упругая
волна является незатухающей и не обладает дисперсией. Тепло-
Тепловая волна распространяется со скоростью у2на> и является за-
затухающей, о чем свидетельствует множитель
Тепловая волна обладает дисперсией, ибо скорость распростра-
распространения волны зависит от частоты со.
Заметим еще, что
A0)
o-iaR
Температуру 8 выразим формулой
о __ q*(x) o-ivt 9* = (V2 -1 - а9) Ф* = с ~ 9 .if/ y^j ми
v/ ' т к ' ' т R • \ /
Остановимся на частном случае термоупругой волны, вызван-
вызванной действием точечного источника тепла Q(x, t) = Qoe~ia>t8(R).
Для определения постоянных А\ и Л2 используем два условия:
A2)
В первом из этих уравнений утверждается, что радиальные пере-
перемещения UR = дФ/dR равны нулю в начале координат в силу
центральной симметрии волнового движения. Второе условие оз-
означает, что тепловой поток через поверхность шара радиуса R
равен (при Я->0) количеству тепла, выделенного точечным ис-
источником.
24»
740 Гл. 11. Динамические задачи теории температурных напряжений
Из условий A2) при учете соотношений A0) получим
-q)[ J '
Взяв действительные части от потенциала термоупругого пе-
перемещения и от температуры, получаем ')
~R vl& [<т2 cos (со/ — R /тр) + r\ sin (о/ — R Уф}]), A4)
ti = ?. A5)
Функция Ф складывается из упругой волны, распространяю-
распространяющейся со скоростью С\, и тепловой волны, затухающей и обла-
обладающей дисперсией. Если теперь положить Qo = 1 и точечный
источник тепла перенести из начала координат в точку |, то из
формул A4) и A5) получим фундаментальные решения Ф(х,|,/)
и 6(х, |, /). В этих функциях, очевидно, /? = [(** —1<) (*/ —i/)]7'.
Если в бесконечном упругом пространстве имеются источники
тепла Q(x,t), распределенные в области D, то потенциал Ф и
температуру 0, соответствующие этим источникам тепла, полу-
получим по формулам
Ф(х, /)= jQ(g, /)Ф(х, ht)dV(l),
6(х,/)= JQ(l /)8(x, ht)dV(l).
D
Зная функции Ф и 8, можно определить перемещения, деформа-
деформации и напряжения.
В двумерной задаче, в которой волновое движение не зависит
от переменной х3, мы имеем дело с цилиндрическими волнами.
Решение уравнений A), зависящее от радиуса r = [(x] — iiJ +
+ (х2 — i2J]Vl> принимает вид
Здесь Н{о] (г), Н^ (z) — функции Ханкеля нулевого порядка пер-
первого и второго рода. В бесконечной упругой среде физический
') Nowacki W., A Dynamical Problem of Thermoelarticity, Arch. Mech.
Stos., 9, №3 A957).
11.6. Распространение апериодических термоупругих волн 741
смысл имеют лишь решения Яо'(аг) и Ho)(rY~4)- Только эти
фундаментальные решения представляют расходящиеся волны,
распространяющиеся от источника возмущений в точке % до бес-
бесконечности, поэтому
Ф (х, /) = [Л.Я^от) + А^ои (г VD] е~ш. A8)
Несколько частных решений, касающихся периодических задач
термоупругости, читатель найдет в монографиях Паркуса и Но-
вацкого (см. список литературы).
11.6. Распространение апериодических термоупругих волн
в бесконечном упругом пространстве
Рассмотрим однородное биволновое уравнение
(x,o = o. (О
Будем искать сингулярные решения, зависящие от расстояния R
между точками х и |. Решение уравнения A) представим как
сумму
ф = ф, + Ф2) B)
где функции Ф] и Ф2 удовлетворяют уравнениям
--L^W,=O, (v2--^W = 0. C)
Применим к этим уравнениям преобразование Лапласа, предпо-
предполагая однородность начальных условий. Тогда
fo2 - Рр\ Ф, = О, (V* - ?) Ф2 = 0, D)
где
со
Фа (х, р) = J Фа (х, /) е-Р' dt, а = 1, 2.
о
Решения уравнений D) имеют вид
Ф, (х, р) = А е-*»1е,, ф2 (х, р) = А е~* ,
R R E)
R = К*. -1,J + (*2 ~ W2 + (*з - t'
Эти решения соответствуют волнам, распространяющимся от
точки возмущения | до бесконечности, причем А\ и Лг— функции
742 Гл. И. Динамические задачи теории температурных напряжений
параметра р преобразования Лапласа. Применив обратное пре-
преобразование Лапласа к функциям --„- e~Rph< и -ъ-е~к Vp'H:
—=
2j/ях?5
и используя теорему о свертке, получаем следующее выражение
для функции Ф:
с, / J Vlro^r5 V \ 4яхт
И здесь мы четко различаем первый член, представляющий уп-
упругую волну, и второй член диффузионного характера. Остано-
Остановимся на частном случае действия точечного мгновенного источ-
источника тепла Q(x, t) = QQ8(R)8(t), помещенного в начале коорди-
координат. Постоянные А\ и А2 решения
Ф = -4т e~RplCl + 4fe-RrPi* G)
R R
определим из условий
4n\\m(R2uR) = 0, -4n^\im(R2~) = QQ6(RN(t). (8)
После применения к условиям (8) преобразования Лапласа
имеем
4n\im(R2uR) = 0, -4nx\im(R2-§.) = QQ6(R). (9)
Из первого условия Л, + Л2 = 0. Учитывая, что
9 =._L Isp _ ?L\ ф = Л. (I. _ 4\ е-*П&,
¦ m \ С\) mR \к \)
получим
Q
Поэтому
B (Ю)
К такому же.результату придем, применяя формулу A2а) § 11.4.
11.6. Распространение апериодических термоупругих волн 743
Учитывая, что для точечного источника тепла частным реше-
решением уравнения
является функция
а решением уравнения A3) § 11.4 — функция
из формулы A2а) § 11.4 получаем формулу A0) настоящего
параграфа. Нам остается еще выполнить обратное преобразова-
преобразование Лапласа формулы A0). Функция Ф принимает вид1)
где
U(p. t) = ^-|ePerfc(^= + 1/7) + ^perfc
и
Функция Н(х — р) в формуле A2) является функцией Хеви-
сайда, определяемой следующим образом:
0 при т<р, или /<у-,
. ., . я A3)
1 при т > р, или />—.
Первый член в фигурных скобках выражения A2) представляет
упругую волну, второй — диффузионную волну. Применение об-
обратного преобразования Лапласа к выражению A1) дает
¦Тт)- О4)
Зная функцию Ф, можно определить составляющие напряже-
напряжения. Используя формулы (9) § 11.4 и выписывая их в сфериче*
') В. Новацкий, loc. cit. стр. 740.
744 Гл. П. Динамические задачи теории температурных напряжений
ской системе координат в предположении центральной симмет-
симметрии, получим
05)
Введя обозначения
получим следующие формулы:
Функция Ф непрерывна, но перемещение ин = дФ/дД при t = R/c{
меняется скачком на
При / = #/ci происходит скачок напряжения orr на
1 — ер
11.6. Распространение апериодических термоупругих волн 745
и скачок напряжения офф на
] l + (l-2e)p
Очевидно, эти скачки уменьшаются с расстоянием, т. е. с возра-
возрастанием р.
Заметим, наконец, что при / > /?/с, эти напряжения быстро
стремятся к квазистатическим значениям. При / ^> R/c\ имеем
_^тег{/ R \
4я# \УШ I
в соответствии с формулой D8) § 8.6.
Перенося источник тепла в точку § и принимая Qo = 1, полу-
получаем функции Ф(х, \, /) и 6(х, |, /). Для заданного распределе-
распределения источников тепла в области D функции Ф(х, /) и 6(х, t) при-
примут вид
t
ф (х, t) = \df \q (i, tr) ф (x, h t -11) dv (i),
°i ° A9)
6(x, t)=\ df J Q(l, t'-)Hx, I, t-t')dV(l).
0 D
Перейдем к двумерной задаче, в которой волновое движение
не зависит от переменной х3.
Решениями уравнений D), зависящими от радиуса г = [(х\ —
— ?iJ+ (Х2 — ЪJ\12 и удовлетворяющими условиям излучения,
являются функции
() (/) B0)
где Ко (г) — модифицированные функции Бесселя третьего рода.
Заметив, что
функцию Ф можно представить в виде
Ф (Х) /} = Г МП чу + I Л2(П /
l V(t - t'f - гч/е\ I 2(t-t') V[ 4, (/ - t') j
B1)
746 Гл. П. Динамические задачи теории температурных напряжений
Первый интеграл представляет плоскую упругую волну, вто-
второй— волну диффузионного характера.
До сих пор решено только несколько двумерных динамиче-
динамических задач теории температурных напряжений. Здесь внимания
заслуживают работы Паркуса1), Муры2) и Игначака3).
11.7. Задача Даниловской
Первой публикацией по динамическим задачам теории темпе-
температурных напряжений была статья Даниловской4). В ней рас-
рассматривается внезапное нагревание границы упругого полупро-
полупространства. В момент / = 0+ плоскость Х\ = 0, ограничивающая
упругое полупространство х\ ^ 0, внезапно нагревается до тем-
лературы 80, которая затем остается постоянной5). При этом
предполагается, что плоскость х\ = 0 свободна от напряжений и
что начальные условия для температуры и перемещений одно-
однородны. Под влиянием внезапного нагревания плоскости хх = 0
в упругом полупространстве распространяется одномерная тер-
термоупругая волна.
При изложении задачи Даниловской отступим от оригиналь-
оригинальной работы и дадим другой вариант решения. Предположим, что
на границе хх = 0 заданы температурные условия
9@,0 = 6@, 6(^,0) = 0 A)
и что граница свободна от напряжений
&„ @,0 = 0. B)
Выразим напряжения через функцию Ф. Так как Ф = Ф(д:ь /),
то
а„ = рФ, о22 = оьз = -2ц~г + р&=-21хтв+-\ф, C)
0,2 = 013 = 0.23 = 0 •
Следовательно, условие B) примет вид
0 = 0.
') Parkus H., Stress in a Centrally Heated Disc, Proc. Second U. S. Nat.
Congr. Appl. Mech., 1954, 307.
2) Mura Т., Dynamical Thermal Stresses Due to Thermal Shocks, Res. Rep.
Fac. of Engng, Meiji Univ., 8 A956).
3) Ignaczak J., A Plane Dynamic Problem of Thermoelasticity Concerning
a Circular Hole, Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. Sci. Techn., 7, № 7/8 A959).
4) Даниловская В. И., Температурные напряжения в упругом полупро-
полупространстве, возникающие вследствие внезапного нагревания границы, ПММ,
.14, №3 A950).
5.1 Этот rmouecc обычно называется тепловым ударом. — Прим. пере$,
11.7. Задача Даниловской 747
Решением уравнения теплопроводности
при учете условий A) является функция
Применяя к этому выражению преобразование Лапласа, имеем
оо
А* / -, f р \ 2 Г ai sin a^! dai /сч
9 =ехр (-*,!/ f ).= — I —т— . E)
\ Г Л/ JL J ф- —|— JJIV
О 1 ' f
где
оо
е*=2 [е (х, ol = f в (х, о е-" dt
о
Применим также преобразование Лапласа к уравнению для по-
потенциала термоупругого перемещения
(—5 2~д]\Ф=тВ', F)
V дх\ с, ;
тогда
(—2 ~ ^т\ Ф* = /*- G)
Решением этого уравнения при учете формулы E) и граничного
условия afi(O, р) = рр2Ф*@, р) = 0 является интеграл
оо
2т
^* / ч 2т Г cti sin a,\X\ dtt\
Применим обратное преобразование Лапласа к выражению
р2ф*. В результате получим функцию
®(xut) = -^-[Fl(xi,t)-F2(xut)], (9)
748 1'л- •"• Динамические задачи теории температурных напряжений
где
,. о=4 [et erfc (i?r + vv)+е"етНтк ~ V7)}+
±е-1^\ т = -^. ? = !?-, A0)
=
2ху пх
Зная функцию Ф, определим напряжения по формулам C). По-
Полученное решение, справедливое для условия A), можно исполь-
использовать для более сложных температурных условий. Так, в случае
е(о, /) = ео(/)я(/), е(*„о) = о (и)
получим для функции Ф следующую формулу:
t
ф (*„ /) = J QQ(t')&(xut — t')dt'. A2)
о
В частном случае задачи Даниловской, когда температурные ус-
условия имеют вид
6 @, 0 = 90Я (/), 0О = const, 0(*„ 0) = 0, A3)
из формулы A2) получим
Ф^-Оотф,^,, t)-A2(xvt)H(t-f)], A4)
где
Температурное поле, связанное с условиями A3), задается фор*
мулой
= 0О erfc
Ш-
Заметим, что в плоскости х\ = 0 мы имеем Ф = 0, Ф = 0, а на
основании формул C) это приводит к
а22@, t) = а33@, /) = - 2ц/п0оЯ(О. A6)
На рисунках 11.1 и 11.2 представлена функция ои/К, где К =
== ?1af0o/(l ^-2v) в зависимости от расстояния ? = jc,ci/x. Эти
11.7. Задача Даниловской
749
графики взяты из работы Муры1), который выполнил их для
значений т = с^/х=1 и т=100.
Напряжение оц выражается формулой 0П = рФ, поэтому из
формулы A4) видим, что диффузионная часть волны, определен-
определенная функцией A\(x\,t), возникает сразу в каждой точке полу-
полупространства. Второй член, А2(хи t) H\t~~j-)< представляет уп-
упругую волну, распространяющуюся со скоростью с\. Через сече-
-10
РИС. 11.1.
г=100
50
100
Г*
РИС. 11.2.
ние Х\ = const фронт упругой волны проходит в момент / =
= х\1с\. Напряжение ац получает в этот момент разрыв со зна-
значением скачка К и изменяет знак. После прохождения фронта
волны напряжение аи приближается к квазистатическому зна-
значению.
Задача Даниловской была обобщена Игначаком 2) на слои-
слоистое упругое полупространство. Стернберг и Чекраворти 3) иссле-
исследовали более сложные температурные условия на поверхности
') Мига Т., Thermal Strains and Stresses in Transient State, Proc. Second
Jap. Nat. Congr. Appl. Mech., 1952.
2) Ignaczak J., Thermal Displacement in a Non-homogeneous Elastic Semi-
infinite Space, Caused by Sudden Heating of the Boundary, Arch. Mech. Stos.,
10, №2 A958).
3) Sternberg E., Chakravorty J. G., On Inertia Effects in a Transient
Thermo-elastic Problem, /. Appl. Mech., 26, № 4 A959).
750 Гл. 11. Динамические задачи теории температурных напряжений
х\ = 0 упругого полупространства. Была расмотрена ') также
задача о внезапно нагретом упругом полупространстве, жестко
закрепленном по плоскости х{ = 0. В последнее время иссле-
исследуется влияние облучения (диффузия нейтронов, лазерные лучи
и т. д.), обуславливающее возникновение в теле источников
тепла. Здесь мы обращаем внимание на работы Гурнея 2) и Ра-
фальского3).
Для решения динамических задач теории температурных на-
напряжений можно воспользоваться понятием ядра термоупругой
деформации так же, как в квазистатических задачах. Опреде-
Определяем потенциалы Ф и ^ц, обусловленные температурой
Б.сли через й; обозначить поле перемещений, вызванное дей-
действием ядра термоупругой деформации, то поле и,-, возникающее
вследствие действия температурного поля 9(х,/), принимает вид
t
ut (х, /) = J dx J 9 (х, т) щ (х, / — т) dx.
о о
Этот путь решения особенно удобен в случае разрывного тем-
температурного поля, когда температура 9(х,/) не удовлетворяет
дифференциальному уравнению теплопроводности. Игначак4), а
также Пехоцкий и Игначак 5) получили таким путем много инте-
интересных результатов.
11.8. Мгновенное нагревание границы сферической полости
в бесконечном упругом пространстве
Рассмотрим бесконечное упругое пространство со сферической
полостью радиуса а. Граница R = а была мгновенно нагрета до
температуры 90 и оставлена в таком состоянии. Под влиянием
нагрева границы в теле распространяется сферическая термоуп-
термоупругая волна. Эта интересная с практической точки зрения задача
была решена и проанализирована Стернбергом и Чекраворти 6).
') Tsui Y. Т., Problem in Dynamic Thermoelasticity, /. Acoust. Soc. Atner
40, № 1 A966).
2) Gournay L. S., Conversion of Electromagnetic to Acoustic Energy by
Surface Heating, I. Acoust. Soc. Amer., 40, № 6 A966).
3) Rafalski P., Dynamic Thermal Stresses in Reactor Shells, Nuclear Struct.
Engin., 1, № 3 A965).
4) Ignaczak J., A. Dynamic Nucleus of Thermoelastic Strain in an Elastic
Infinite Space and Semi-space, Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. Sci. Techn., 7 A959).
5) Piechocki W., Ignaczak J., Some Problems of Dynamic Distorsion in
Thermoelasticity, Arch. Mech. Stos., 12, № 2 A960).
6) Sternberg E., Chakravorty J. G., Thermal Shock in an Elastic Body with
a Spherical Cavity, Quart. Appl. Math., 17, № 2 A959),
11.8. Мгновенное нагревание границы сферической полости 751
Задача характеризуется центральной симметрией. Система урав-
уравнений в перемещениях сводится поэтому к одному дифферен-
дифференциальному уравнению
4д2Ли„ = т — . A)
R яр v '
\dR2 R dR c\
Вводя потенциал термоупругого перемещения Ф и подставляя
uR = дФ/dR в формулу A), а затем интегрируя уравнение по R,
получим простое волновое уравнение
dR2 R dR с2 )
Предположим, что поверхность R = а свободна от напряжений и
что перемещения ограничены на бесконечности. В этом случае
граничные условия примут вид
= 0. C)
Условия C), выраженные через потенциал Ф, запишем как
dR ^Ji-
Легко проверить, что уравнению теплопроводности
при учете граничных условий
в(о, t) = Q0H(t), 9(oo,/)<.V
и начального условия
е(я,о) = о
удовлетворяет функция
=-^ a erf с D^-). E)
R [ УШ I
Преобразование Лапласа, примененное к этой функции, дает
F)
752 Гл. И. Динамические задачи теории температурных напряжений
Применим последовательно преобразование Лапласа к уравне-
уравнению B) и к граничным условиям D):
dR2 R dR j
| ^L 0, (8)
Решая уравнение G) при учете граничных условий (8) и (9),
получим для функции Ф следующее выражение:
та%с\ f pVa2+ 2e(l
Rp2(p-cl/K)
— exp[—(# —a) ]/"-?- ]}, A0)
где
l -2v l
( pVa2+ 2e(l +a l^^T)
^—гт"9 ехР [—po(R-a)] —
\ pW+ 26 1 + ара) ^VV Л
Зная функцию Ф, можно определить трансформанты
йд, двл Применение обратного преобразования Лапласа
к упомянутым трансформантам сталкивается с рядом трудностей
математического характера. Подробности, касающиеся этой про-
процедуры, читатель найдет в цитированной работе Стернберга и
Чекраворти, мы же ограничимся тем, что приведем некоторые ре-
результаты и графики, полученные этими авторами.
Так же как и в рассмотренных ранее динамических задачах,
мы и здесь имеем дело с двумя волновыми членами: с упругой
волной, распространяющейся со скоростью с\, и с диффузионной
волной. Функция uR(R,t) непрерывна, но ее первые производ-
производные по времени и по радиусу R имеют разрывы в момент вре-
времени t = (R — аIс\.
Введем обозначения
Pa' T a2 ' Y ас,
и выразим напряжения в этих переменных. Оказывается, что при
t* = y(P—О (т- е- пРи ^* = (Я — аIс\) напряжения имеют ко-
конечный разрыв. Так, при т* = у(Р—') имеем
/_ *ч /„ *•, 1 — v 2цтв0
°RR (Р. Х + > — °RR Ф> Х-> — l_2v § '
<УЩ (P. t*+) — Офф (Р- т-) = i-2v ^ ° •
Мы видим, что скачок напряжения уменьшается с ростом р =
= R/a. На рис. 11.3а—П.Зв изображена зависимость напря-
-1,2
-1,3h
0,1
о
-0,1
-0,2
-0,3
Сру/К
0,1
0
-0,1
-0,2,
РИС. 11.3а.
РИС. 11.36.
РИС. 11.3s.
754 Гл. И. Динамические задачи теории температурных напряжений
жения o<f<f/K (где /( = ?а@оA—2v)) от т в сечениях р = 1,
Р = 2 и р = 3. Здесь предполагается, что v = 1/4, у = 0,20. Кри-
Кривая а соответствует динамической задаче, кривая Ь — квазиста-
квазистатическому решению. График на рис. 11.3а показывает, что на-
напряжение <тФЧ) на границе R = а сначала осциллирует, а затем
достигает квазистатического значения —1. Динамическое напря-
напряжение возрастает приблизительно на 24% по сравнению с ква-
квазистатическим напряжением.
На рис. 11.36 и П.Зв изображена зависимость напряжения
<Tq,(p//C от т при р = 2 и р = 3. Кривая а соответствует решению
динамической задачи, кривая Ь — решению квазистатической за-
задачи, а кривая с — стационарному решению. Мы видим, что на-
напряжения имеют скачки в сечениях т* = у(Р—')• Величина
этих скачков уменьшается с ростом р. Мы видим также, что ди-
динамическое решение с ростом т быстро стремится к квазистати-
квазистатическому решению. При т->оо оба решения асимптотически стре-
стремятся к стационарному решению.
В последние годы решено несколько более сложных динами-
динамических задач теории температурных напряжений. Игначак ') рас-
рассмотрел действие сосредоточенного мгновенного источника тепла
в бесконечном упругом пространстве со сферической полостью.
Концентрацией напряжений вокруг сферической и цилиндриче-
цилиндрической полостей занимались Игначак и Новацкий2).
Задача об источниках тепла, перемещающихся в неограни-
неограниченном упругом пространстве с постоянной скоростью, была
предметом работы Журавского 3).
Заслуживает внимания работа Боли и Барбера4), в которой
рассмотрена задача о колебаниях тонкой плиты, вызванных вне-
внезапным нагреванием ее поверхности.
') lgnaczak J., Dynamic Thermoelastic Problem of a Spherical Cavity, Arch.
Mech. Stos., 11, №4 A959).
2) lgnaczak J., Nowacki W., The Problem of Concentration of Periodic
Thermal Stresses at Cylindrical Holes and Spherical Cavities on Uniform Plane
Heat Flow, Arch. Mech. Stos., 13, № 6 A961).
3) Zorawski M, Moving Dynamic Heat Sources in a Visco-elastic Space
and Corresponding Basic Solutions for Moving Sources, Arch. Mech. Stos., 13,
№2 A961).
4) Boley B. A. Barber A. D., Dynamic Response of Beams and Plates to
Rapid Heating, /. Appl. Mech., 24 A957).
Глава 12
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОСТИ
12.1. Введение
В гл. 3 мы дали полную теорию термоупругости для анизо-
анизотропных тел. Мы нашли там следующее основное выражение для
свободной энергии F и энтропии S (формулы A4) и A5) § 3.5):
-^92, A)
S = fc/e// + -?-e, 9 = Г-Го. B)
Здесь Cijki — материальные постоянные (коэффициенты податли-
податливости), относящиеся к изотермическому процессу, величины р^-
связаны с термическими и механическими постоянными, сг—теп-
сг—теплоемкость при постоянной деформации.
Из соотношений
получаются уравнения Дюгамеля — Неймана
— Pi/9- D)
К этим уравнениям следует добавить связь между энтропией и
температурой, следующую из закона теплопроводности Фурье
(уравнения A1) § 3.4):
TS = XijT,{l + W. E)
Здесь hj — коэффициенты теплопроводности.
Из уравнений B) и E) получается линеаризованное уравне-
уравнение притока тепла (уравнение E) § 3.8)
4е' H + W — с? — Т&цъц = 0. F)
756 {"л. 12. Динамические задачи термоупругости
От приведенных выше выражений и уравнений, справедливых
для однородного анизотропного тела, мы можем перейти к ре-
результатам для изотропного тела, применяя следующие соотно-
соотношения:
Сцы = й (б/Дг + S/iS/ft) + ХЬцЬки G)
Р// = Y6//> hi = ^<А/ • (8)
Здесь ц и X — постоянные Ламе для изотермического процесса,
а у = (ЗХ + 2,и)а(, где at — коэффициент теплового расширения.
Итак, свободная энергия примет вид
F = n&ij&i, + -у е^е„„ — уе^Э — —^ 92. (9)
Определяющие уравнения B) и D) мы представим как
A0)
h-g-e. (ii)
Наконец, уравнение теплопроводности сводится к виду
е,„-4-ё-тр**<—±, A2)
где
Здесь И7—количество тепла, выделяющееся в единицу времени
в единице объема.
Если теперь в уравнения движения
alitl + X{ = pul A3)
подставить зависимости Дюгамеля — Неймана A0), а затем вы-
выразить деформации через перемещения в силу определения
e// = -j(uj./ + «/./), (Н)
то в результате получаем систему уравнений
\iuLjj + (Я + ц) uhll + Xi = put + yQ.{. A5)
Уравнения A2) и A5) связаны между собой. В эти уравнения
входят четыре неизвестные функции: перемещения щ и темпера-
температура 0. В уравнения движения в перемещениях входят темпера-
температурные члены, а в уравнение теплопроводности—деформацион-
теплопроводности—деформационный член.
12.1. Ёведение 757
Связанность полей деформации и температуры постулировал
уже Дюгамель '), основатель теории температурных напряжений,
введя в уравнение теплопроводности дилатационный член. Од-
Однако это уравнение не было термодинамически обосновано. По-
Попытку термодинамического обоснования этого уравнения пред-
предприняли позднее Фойхт2) и Джеффрис 3). Однако только в 1956 г.
Био4) дал полное обоснование уравнения теплопроводности,
опираясь на термодинамику необратимых процессов5). Био пред-
предложил также основные методы решения уравнений термоупру-
термоупругости и вариационную теорему.
Термоупругость описывает широкий круг явлений, являясь
обобщением классической теории упругости и теории теплопро-
теплопроводности. В настоящее время термоупругость является вполне
законченной областью: записаны основные зависимости и диф-
дифференциальные уравнения, предложено несколько методов решг-
ния уравнений термоупругости, доказаны основные энергетиче-
энергетические и вариационные теоремы, решено несколько задач по рас-
распространению термоупругих волн.
Как известно, исследованиям в области термоупругости пред-
предшествовали исследования в рамках теории температурных на-
напряжений, приближенной теории, не учитывающей связанности
полей деформации и температуры (членом —цёы, в уравнении
A2) пренебрегают). Такой теории мы посвятили предыдущую
главу.
Одновременно с теорией температурных напряжений разви-
развивалась эластокинетика, также с упрощающим предположением,
постулирующим, что обмен тепла между частями тела за счет
теплопроводности происходит так медленно, что процесс можно
считать адиабатическим.
Упомянутые разделы являются в настоящее время частными
случаями общей теории — термоупругости. В теоремах и мето-
методах термоупругости содержатся в качестве частных случаев тео-
теоремы и методы теории теплопроводности и классической теории
упругости.
Следует заметить, что решения, найденные в рамках термоупру-
термоупругости, незначительно отличаются от решений классической теории
упругости или теории теплопроводности. Связанность полей де-
деформации и температуры слабая. Однако качественное различие
') Duhamel J. М. С, Second memoire sur les phenomenes thermomecaniques,
/. de I'Ecole Polytechn., 15 A837), 1—15.
2) Voigt W., Lehrbuch der Kristallphysik, Teubner, Leipzig, 1910.
3) Jeffreys H., The Thermodynamics of an Elastic Solid, Proc. Camb. Phil.
Soc, 26 A930).
4) M. A. Biot, loc. cit. стр. 521.
6) Де Гроот С. Р., Термодинамика необратимых процессов, Гостехиздат,
М., 1956.
758 Гл. 12. Динамические задачи термоупругости
является принципиальным. Мы увидим это на примерах упру-
упругих волн, которые в рамках термоупругости затухают и обла-
обладают дисперсией, в то время как в рамках эластокинетики полу-
получаются только незатухающие волны. Основное значение термо-
термоупругость имеет в тех случаях, в которых главной целью
является исследование упругой диссипации. Значение термо-
термоупругости главным образом состоит в познавательной основе
и общности этой теории.
12.2. Дифференциальные уравнения термоупругости
и методы их решения
Система дифференциальных уравнений термоупругости со-
состоит из уравнений движения и уравнения теплопроводности.
Уравнения движения
all,l + Xi = pul(x,t), xe=7, t > 0, A)
можно преобразовать, используя уравнения состояния
oll = 2ixBil + (XBkk-yQNil, xe=V + A, t>0, B)
и связи между перемещениями и деформациями
в//= 4" ("<•/ + "/.')' хе7+Л, t>0, C)
в систему трех уравнений, содержащих в качестве неизвестных
функций перемещения и* и температуру 0:
Ц"/.// + (Л + ц)"/.// + */ = рй« + уе,*, "eF, *>0. D)
Последние уравнения и уравнение теплопроводности
^< -|, хе=7, t>0, E)
связаны между собой. Массовые силы, источники тепла, нагрев
и тепловой поток через поверхность А, ограничивающую область
V, так же как и начальные условия, являются причинами возник-
возникновения в теле как перемещений, так и сопутствующего темпера-
температурного поля. Граничные условия механического типа даются
в виде заданных перемещений щ или нагрузок р,- = а^п, на по-
поверхности А. Температурные условия, определяющие теплообмен
через поверхность А, в общем случае можно записать в виде
а-Цр + р9 = /(х, t), хеЛ, t > 0, а, р — постоянные. F)
Если р = оо, то мы имеем дело с нулевой температурой 0 на гра-
границе; если а = оо, то имеем случай теплоизолированной поверх-
12.2. Дифференциальные уравнения термоупругости 759
ности А. Начальные условия указывают, что в начальный мо-
момент, например при t = О, перемещения uit скорости этих пере-
перемещений ui и температура 0 являются известными функциями:
а, (х, О*-о = /,• (х), щ (х, О(=о = Si (х), Э (х, О*-о = Л (х). . G)
Система уравнений D) и E) достаточно сложна, и естественно
требование свести эту систему к простым волновым уравнениям.
Существенное упрощение уравнений достигается разложением
вектора перемещения и вектора массовых сил на потенциальную
и соленоидальную части. Подставляя тогда в уравнения D) и E)
"| = Ф./ + «*/И>*./, ** = Р (*. i + «1/*Х*./). (8)
где функции Ф и ¦& скалярные, a if>; и %, векторные, приводим
уравнения термоупругости к следующей системе уравнений') :
? ?Ф — mQ = — \b, (9)
Су
- -?-. A1)
Здесь введены обозначения
р
Уравнения (9) и A1) непосредственно связаны между собой.
Исключение функции 0 приводит к уравнению продольной волны
--^- -D&. A2)
c
Уравнение A0) описывает поперечную волну. Заметим, что функ-
функции Ф и ij)i связаны между собой граничными условиями, кото-
которые в каждом случае содержат производные этих функций, пере-
перемещения и; и температуру 0.
Исключая из уравнений (9) и (И) функцию Ф, получаем
уравнение
') Nowacki W., Some Dynamic Problems of Thermoelasticity, Arch. Meek.
Stos., 11, №2 A959).
760 Гл. 12. Динамические задачи термоупругости
Заметим, что уравнения A2) и A3) имеют одинаковый вид.
Структура этих выражений, о чем речь пойдет позднее, показы-
показывает, что мы имеем дело с затухающей волной, обладающей дис-
дисперсией. В неограниченном упругом пространстве продольные и
поперечные волны распространяются независимо друг от друга.
Предположим, что причиной движения являются источник тепла
Q и массовые силы Х1 = р#;. В предположении, что Хг = 0 и
что начальные условия, связанные с уравнением A0), являются
однородными, получим ij), = 0 во всем пространстве. В неогра-
неограниченном пространстве возникают только продольные волны
(волны дилатации). Учитывая формулы B) и (8), имеем
ач = 2ц (Ф, ,j - 6,7Ф, и) + р61{ ( Ф — 0).
Если в неограниченном пространстве действуют массовые
силы Xt = peijhXh, з и Q = 0, # = 0 или Ф (х, 0) = 0, Ф (х, 0) = 0,
то отличными от нуля будут только функции \|зг, в то время как
ф = 0, 9 = 0 во всей области. Распространяться будут только
поперечные волны со скоростью с2 = (ц/р) . Эти волны не со-
сопровождаются выделением тепла. Заметим, что для поперечных
волн
Щ = *цк$к,1, uk,k = 0, 9 = 0, <rl7 = 2jiej;- = ji (и/,/ + «/,*)•
В ограниченном теле в принципе возникают волны обоих типов.
Решение уравнений A0) и A2) составим из двух частей: из
частных решений этих уравнений Ф°, г$ и общих решений одно-
однородных уравнений
причем функции Ф' и ij/ следует выбрать так, чтобы были вы-
выполнены все граничные условия.
Дальнейшим методом, применяемым при решении дифферен-
дифференциальных уравнений термоупругости, является метод разделения
уравнений, основанный на сведении системы уравнений D) и E)
к системе четырех несвязанных уравнений. В каждое уравнение
входит только одна неизвестная функция. Этот метод, по-види-
по-видимому, впервые был применен Гильбертом к дифференциальным
уравнениям оптики.'Некоторую его разновидность в операторном
виде, данном Моисилом 1), применил к квазистатическим урав-
уравнениям термоупругости Ионеску-Казимир2). Другой способ
решения динамических уравнений термоупругости предложил
') Moisil G., Sisteme diferentiale adiuncte si formula de reciprocitate, Bull.
Acad. Sci. RPR,Z A951), 181.
2) Ionescu-Cazimir V., A) Asupra ecua{iilor echilibrului termoelastic,
B) Relajiile intre tensiuni si temperatura, Com. Acad. RPR, 1, № 2 A951).
12.2. Дифференциальные уравнения термоупругости 761
Калиский 1). Его результат другим путем был получен повторно
Подстригачем 2) и Рюдигером3).
Не вдаваясь в подробности этого метода, дадим только окон-
окончательный результат. Вводим векторную <рг и скалярную т|з функ-
функции и с их помощью выражаем перемещения и температуру сле-
следующим образом:
щ = (Qfi/y - Гд1д,)ч, + Yo<3.4. A4)
^/2/ + A+й)П^, A5)
где
Г = aD -±±± J
Подставляя «; и б в уравнения D) и E), получим четыре от-
отдельных уравнения для функций q>; и -vp:
Ar = 0, A6)
- = 0. A7)
К этим уравнениям следует добавить граничные и начальные ус-
условия. В граничные условия, очевидно, входят функции ф, и \\>.
Простота дифференциальных условий A6) и A7) окупается, од-
однако, сложным видом граничных условий. Поэтому уравнения
A6) и A7) также найдут применение прежде всего в задачах
движения в неограниченном пространстве, где граничные усло-
условия в точном смысле отпадают и заменяются заданием нулевых
значений перемещений и температуры на бесконечности. Этот
постулат будет выполнен, если распределение массовых сил и
источников тепла ограничивается конечной областью.
Интересный метод решения дифференциальных уравнений
термоупругости предложил Зорский4). Этот метод сводится
к преобразованию системы дифференциальных уравнений D) и
E) в систему трех интегродифференциальных уравнений для
перемещений щ. Продемонстрируем его для простоты по отноше-
отношению к неограниченному пространству в предположении однород-
однородности начальных условий. Напишем уравнение теплопроводности
') Kaliski S., Pewne problemy brzegowe dynamicznej teorii sprezystosci
i cial niesprezystych, WAT, Warszawa, 1957.
2) Подстригач Я. С, Основное решение нестационарной термоупругой за-
задачи. Прикладная механика, Киев, 6, № 2 A960).
3) Rudiger D., Bemerkung zur Integration der thermo-elastischen Grund-
gleichungen, Osterr. Ing.-Archiv, 18, № 1—2 A964).
<) Zorski H., Singular Solutions for Thermoelastic Media, Bull. Acad. Polon
Sd., Ser. Sci. Techn., 6, № 6 A958).
Zorski H., On a Certain Property of Thermoelastic Media, Bull, Acad. Polon.
Set., Ser. Sci. Techn., 6, № 6 A958),
Гл. 12. Динамические задачи термоупругости
в таком виде, чтобы член, содержащий скорость дилатации, на-
находился в правой части уравнения:
Принимая функцию т]ы^ в качестве источника тепла, можно по-
получить решение уравнения A8) при использовании функции
Грина G для классического уравнения теплопроводности
р 1_ А —К(
' ' X V. -¦ ¦ ¦ ... у (nxfj "
A9)
Подставляя решение уравнения A8)
t
9 (х, t) = - щ J dx J G (|, x, f — t) -~ div u (|, т) dV (g)
о к
в уравнения в перемещениях D), получим следующее интегро-
дифференциальное уравнение:
jiV2u + (А, + ц) grad div u — pu =
t
J J ox
0 V
Если разложить вектор перемещения согласно формуле (8), то
уравнение B0) распадется на систему уравнений
t
П^ = 0. B2)
Интегродифференциальное уравнение B1) равносильно уравне-
уравнениям (9) и A1).
В некоторых случаях, особенно если граничные условия даны
в напряжениях, стоит воспользоваться уравнениями, аналогич-
аналогичными уравнениям Бельтрами — Мичелла. Эти уравнения для не-
несвязанных задач были выведены Игначаком '), а для связанных
задач Соосом2). Другой метод решения в напряжениях дал Но-
вацкий3) для плоского деформированного состояния."
') J. Ignaczak, loc. cit. стр. 487.
2) Soos E., The Green's Functions (for Short Time) in the Linear Theory
of Coupled Thermoelasticity, Arch. Mech. Stos., 18, № 1 A966).
3) Nowacki W., On the Treatment oi the Two-dimensional Coupled Thermo-
elastic Problems in Therms of Stresses, Bull. Acad. Polon. Sci., Ser, Sci. Techn.,
9, № 3 A961),
12-2. Дифференциальные уравнения термоупругости 763
Если изменение массовых сил, источников тепла, нагрузок и
поверхностных нагревов происходит медленно, то в уравнениях
движения можно опустить инерционные члены, а задачу считать
квазистатической. Квазистатические уравнения термоупругости
, „ + (Я + ц)«/. ц + Xt = уО. i, B3)
ie = --| B4)
являются впредь связанными. Особенно просто представляется
решение этой системы уравнений для неограниченной упругой
среды, в которой действуют источники тепла Q и массовые по-
потенциальные силы X, = рд, <. Введением потенциала термоупру-
термоупругого перемещения Ф получим из формул B3) и B4) разделен-
разделенную систему уравнений
V29- — в = —? \4, 4
Температура 0 определяется здесь из параболического дифферен-
дифференциального уравнения, сходного по своей структуре с классиче-
классическим уравнением теплопроводности.
Для разделения системы уравнений B3) и B4) можно при-
применить также способ, упомянутый ранее (уравнения A6) и A7),
в которых следует опустить инерционные члены).
Наконец, интересный способ предложил Био1). Введя выра-
выражение энтропии
— Ye** + -f^ t) (го)
в уравнения B3) и B4) и предполагая, что Q = О, X,- = 0, полу-
получим систему уравнений
H«i.// + (^ + n + d)K/l/1 = YPS,b B7)
5,// —-^-5 = 0, 6 = v2P, P = v". x2 = «XTi^bF- B8>
Эти уравнения разделены, а энтропия удовлетворяет параболи-
параболическому уравнению. Решение уравнений B7) можно дать в виде
потенциалов Папковича — Буссинеска
j( ^^^ /rth I V nh \ I D&K D О
Uj — — VY0 ~Г" *rVf), i \ "ТЬ " *
1) М. A. Biot, loc. cit. стр. 521.
764 Гл. 12. Динамические задачи термоупругости
в предположении, что векторная функция 1|зг- является гармониче-
гармонической. Для определения функций -vpo и tyi имеем уравнения
^ ^ (^tf-O, C0)
где
После определения функций гр0 и if,- с учетом граничных и на-
начальных условий получим перемещения по формуле B9).
Как мы упоминали во введении, термоупругость охватывает
все рассмотренные до сих пор направления: классическую эла-
стокинетику, теорию теплопроводности и теорию температурных
напряжений. К дифференциальным уравнениям классической
эластокинетики мы придем, предполагая, что движение происхо-
происходит в адиабатических условиях, а именно без обмена тепла
между отдельными частями тела. Так как для адиабатического
процесса S = 0, то из формулы B6) получим 9 = —цкёкк или
после интегрирования, принимая однородные начальные условия,
в = —тр«ы. C1)
Это уравнение заменяет уравнение теплопроводности. Подстав-
Подставляя формулу C1) в D), получим уравнение классической эла-
эластокинетики в перемещениях:
Hs««, a + fas + Us) "/. ji + Xi = P"«. C2)
где
Величины Xs, y.s являются постоянными Ламе, измеренными
в адиабатических условиях. Определяющие уравнения после под-
подстановки формулы C1) в B) примут вид
C3)
В теории температурных напряжений, в которой изучается влия-
влияние нагрева поверхности тела и действие источников тепла на
деформированное и напряженное состояния тела, принимается,
что влияние члена цгик, входящего в уравнение теплопровод-
теплопроводности, на деформацию тела незначительно и практически пре-
пренебрежимо. Это упрощение приводит к системе двух взаимно
независимых уравнений
// + (V + Иг) «л п = РЩ + YrG, о C4)
0.//-ie = -f. C5)
12.3. Вариационная теорема термоупругости 765
Из уравнения C5), т. е. из классического уравнения теплопро-
теплопроводности, определяется температура 9. Зная распределение тем-
температуры, можно найти перемещения из уравнений C4).
12.3. Вариационная теорема термоупругости
Ниже мы сформулируем вариационную теорему термоупру-
термоупругости при варьировании деформированного состояния, предло-
предложенную Био1). Она будет состоять из двух частей, причем пер*
вая из них основывается на известном принципе Даламбера
J a,76e,7 dV = J (X, - рй,) 6щ dV+ J pfiu, dA. A)
V V А
В этом уравнении 6м* — виртуальные приращения перемещений,
6e,-j — виртуальные приращения деформаций. Предположим, что
бы, и 6ег\,- являются непрерывными произвольными функциями,
независимыми от времени и согласованными с условиями, огра-
ограничивающими движение тела.
Принцип Даламбера справедлив безотносительно к материалу
тела, т. е. при любых зависимостях напряженного состояния от
деформированного состояния. Подставляя в формулу A) опреде-
определяющие уравнения B) § 12.2 и вводя величину
y, B)
в которой подинтегральная функция является положительно оп-
определенной квадратичной формой, получим из A) следующее
уравнение:
=\ (Xt - put) Ьщ dV+\ pfiu, dA + yj %ekk dV. C)
V A V
Во второй части вариационной теоремы используем закон те-
теплопроводности. Для этого веспользуемся связями между тепло-
тепловым потоком, температурой и энтропией:
cA D)
Эти связи можно выписать в удобном для дальнейшего виде,
введя векторную функцию Hi, связанную с энтропией и тепловым
потоком следующими формулами:
S = -Ht,t, qt=T0Ht. ' E)
Подставляя в формулу D) последние зависимости, получим
= - Яое,,, — Т0Н{, i = ceQ+ Ttfbkk- F)
>) М. A. Biot, loc. cit. стр. 521.
766 Гл. 12. Динамические задачи термоупругости
Умножим первое из уравнений F) на виртуальное приращение
6#* и проинтегрируем по объему тела:
Г (е _l 41 Н,\ 6Н, dV = 0. G)
V
Преобразуя этот интеграл и принимая во внимание второе из со-
соотношений F), находим уравнение
¦^- [ 666 dV + -т~ f # <6Я< dF + f ел,бЯг с?Л + y f 66eftft dF = 0,
К К -4 V
(8)
в которое входит член | BSekkdV, совпадающий с членом, входя-
v
щим в формулу C). Исключая этот член из уравнений C) и (8),
получим окончательный вид вариационной теоремы
б (Ж + & + @) = J (X{ — put) Ьщ dV + J Pi6Ui dA — J QnfiHi dA.
V A A
(9)
Здесь мы положили
причем принято, что bSD = iZW^, 6#; =Hidt (см. ниже). Функ-
Функция ^ называется температурным потенциалом, SD — функцией
диссипации.
Рассмотрим частные случаи. Если в уравнении C) положить
8 = —rirXEftft, что соответствует допущению об адиабатичности
процесса, то это уравнение переходит в
= I (Х{ — pui)butdV -f- ) pfiut dA, A1)
V A
где
= ff 8 e + — e e Wv
J \ * Л /
a us, A,s — адиабатические постоянные Ламе. Уравнение A1)
является формулировкой принципа Даламбера для классиче-
классической эластокинетики.
В теории температурных напряжений мы пренебрегаем взаи-
взаимодействием деформаций и температур, что выражается в отбра-
12.3. Вариационная теорема fepMoynpyiocru 767
сывании члена уё^То во втором из уравнений D). Отбрасыва-
Отбрасывание этого члена приводит к модификации уравнения (8). Полу-
Получим
$n,uH{dA = 0. A2)
Уравнение A2) выражает вариационную теорему для классиче-
классической несвязанной задачи теплопроводности. В теории темпера-
температурных напряжений мы имеем два уравнения: уравнение A2) и
уравнение C), в котором функция 8 считается известной.
Вернемся к общей вариационной теореме термоупругости (9)
и предположим, что виртуальные приращения 6и*, Ьец, ЬНи ...
совпадают с действительными приращениями при переходе от
момента t к t -\- dt. Тогда
bui=uidt = vidt, bHt= Htdt = --^~Q,tdt A3)
* о
Подставляя формулы A3) в (9), получим
^ t^l XtvtdV ^
v а а
A4)
где Ж = -^р J vtVi dV— кинетическая энергия, а %г= &), причем
Уравнение A4) выражает основную энергетическую теорему тер-
термоупругости. Эту теорему можно использовать для доказатель-
доказательства единственности решений уравнений термоупругости1). По-
Поступая так же, как и в теории упругости, предположим, что урав-
уравнения термоупругости удовлетворяются для двух пар функций
и'., 0' и и", Q". Образуя разности этих решений йг^и\ — и",
0 = 6' — 0" и подставляя их в уравнения D) и E), заметим
что полученные уравнения являются однородными; однородны и
граничные и начальные условия. Функции йи 0 поэтому соответ-
соответствуют термоупругому телу, внутри которого отсутствуют источ-
источники тепла и массовые силы и поверхность которого ненагру-
жена и находится в условиях нулевой температуры. Формула
') Боли Б., Уэйнер Дж., см. список литературы.
Ionescu-Cazimir V., Problem of Linear Thermoelasticity. Uniqueness Theo-
Theorems (I), (II), Bull. A",ad. Polon. Set., Ser, Sci. Techn., 12, № 12 A964).
768 Гл- 12- Динамические задачи термоупругости
A4) ответит на вопрос, отличны ли от нуля перемещения й,
и температура 6 внутри тела. Уравнение A4) примет вид
чт \ (т Mt + иМ*/ + тё**ё-+-i§2)dV =
v
,.„ B.W<0. A5)
v
Интеграл в левой части уравнения в начальный момент равен
нулю, ибо функции й/, ei/, 0, v{ удовлетворяют однородным
начальным условиям. С другой стороны, полученное неравенство
показывает, что левая часть уравнения либо принимает отрица-
отрицательные значения, либо также равна нулю.
Так как подинтегральное выражение является суммой квад-
квадратов, а подинтегральная функция равна нулю при t = О, то осу-
осуществляется только вторая из названных возможностей. В ре-
результате получим vt = 0, ец = О, 0=0 при t :зг 0. Так как на-
напряжения оц связаны линейно с величинами iis и 0, то дц = 0
при t :=s 0. В результате получим
ui = u!, 0' = 0", a'i, = alj при г>0. A6)
Итак, существует лишь одно решение уравнений термоупругости.
12.4. Теорема взаимности
Обобщенная теорема взаимности, относящаяся к задачам тер-
термоупругости, была полностью сформулирована Ионеску-Кази-
миром1). Элементы этой теоремы, хотя и выраженные в менее
общей форме, мы найдем у Био2).
Теорему взаимности мы изложим в общих чертах, сосредото-
сосредоточив внимание на ее различных приложениях.
Пусть в изотропном теле действуют две системы сил. Предпо-
Предположим, что внутри тела V действуют источники тепла и массовые
силы, а на его поверхности заданы нагрузки pi и температура
0 = 0. Эти причины сокращенно обозначим символом / =
= [Хг, pi, Q, €¦}, а вызванные ими следствия — символом С =
= [и\, 0).Вторую систему причин и следствий обозначим через
/' = [X'i, p'i, Q', ¦&'} и С = [u'i, 0'). Предположим, что начальные
') Ionescu-Cazimir V., Problem of Linear Coupled Thermoelasticity. Theo-
Theorems on Reciprocity for the Dynamic Problem of Coupled Thermoelasticity (I),
Bull. Acad. Polon. Set., Ser. Sci. Techn., 12, № 9 A964).
Ionescu-Cazimir V., Problem of Linear Coupled Thermoelasticity. Some
Applications of the Theorems of Reciprocity for the Dynamic Problem of Coupled
Thermoelasticity (II), Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. Sci. Techn., 12, № 9 A964).
2) Biot M. A., New Thermoelastical Reciprocity Relations with Applications
to Thermal Stresses, /, Aerospace Sci., 26, № 7 A957),
12.4. Теорема взаимности 769
условия являются однородными, и будем исходить из уравнений
движения, уравнений теплопроводности и из соотношений Дюга-
меля — Неймана, выписанных для обоих систем. Применяя к
этим уравнениям преобразование Лапласа, умножая их соот-
соответственно на п[ и пг вычитая один результат из другого и ин-
интегрируя по объему V, получим два уравнения взаимности для
трансформант функций, входящих в обе системы:
J (Xfi'{ - X'fi,) dV + J {pfi'-pfa) dA + у J (Qe'-Q'e) dV=0, A)
V A V
J (Q'0-Q0') dV+кцр J ф'ё-вё') dV + к J (W, a-b'Q. „) dA=0, B)
V V A
где
00
e = &kk, ut(x, p)== J ut(x, t)e-p(dt
о
Исключая из этих уравнений общие члены, находим следую-
следующее уравнение:
щр Г J (Xfi\ - Xfa) dV + J (pfi\ - ?tut) dA] -
e'-Q'e)dV. C)
К уравнению (З) следует применить еще обратное преобразоваг
ние Лапласа. Используя теорему о свертке, получим
= Y JdF(x)|[Q(x, г-тH'(х, t)-Q'(x, ^-тH(х, r)]dr +
V 0
dA(x)j {^(x,t-x)Q>n(x,x)—&(x,t-T)Q:n(^^)\dx. D)
Уравнение D) справедливо как для динамической задачи, так и
для задачи квазистатической. Однако в этих случаях функции
uL, 0 и и[, 0' имеют различное значение. В наших рассуждениях
770 Гл. 12. Динамические задачи термоупругости
было принято, что на поверхности А заданы нагрузки pi и тем-
температура 0 = 0. Из структуры уравнений D) видно, что на .4
можно задать также перемещения и тепловой поток, пропорцио-
пропорциональный градиенту температуры, 0, п = Ъ, п- Уравнения D) удов-
удовлетворяются также для случая смешанных граничных условий.
Уравнение D) примет особенно простой вид для неограни-
неограниченного тела, ибо в этом случае исчезают поверхностные интег-
интегралы. Если мы имеем дело с гармоническими колебаниями по
времени
Х{ (х, 0 = X) (х) в'-', Pl (x, t) = р\ (х) е™,
то уравнение взаимности примет вид
ш Г J (хх' - х['и\) dv + {(Руг - Р;х) ua\ =
. Da)
Из уравнения D) мы получим ряд интересных следствий. Поло-
Положим, что в точке | области V действует мгновенная сосредоточен-
сосредоточенная сила Хг = б(х — |N@Sjj, направленная по оси xh а в точке
|' — сосредоточенная сила Xj=6(x — !'N(*N«, направленная
по оси xh. Если мы предположим, что граничные условия яв-
являются однородными, то из соотношения D) получим
ди) (|, ?', /) _ дик (?', |, /)
dt ~ dt
Для источника тепла Q^6(x —1N@ и источника Q' =
= б(х —|'N(V) имеем
е'A, Г, t) = Q(V, 5, о.
Если в точке | приложить сосредоточенную мгновенную силу
Xi = 6(x — lN(tNi}, а в точке §' поместить источник тепла
Q' = б(х — l'N(t), то из уравнения D) вытекает следующее со-
соотношение:
И E > S» 0 Y dt
Пусть в неограниченном пространстве перемещается в направле-
направлении оси л:3 с постоянной скоростью v источник тепла Q =
= б (л:!) б (дга) б (лг3 — vt). Принимая, что в системе со штрихами
Q' = 6(x — %')b{t), из уравнения D) получим
t
6 Ни h, ?з, t) = J б' @, 0, vt; 1„ ?„ |3, ^ - x)dx.
12.4. Теорема взаимности 771
Последняя формула позволяет определить температуру, обуслов-
обусловленную движущимся источником тепла, при помощи выражения
для температуры, вызванной действием мгновенного неподвиж-
неподвижного источника тепла.
Из уравнений A), B) или C) можно получить частные слу-
случаи теоремы взаимности, относящиеся к классической эластоки-
нетике и теории температурных напряжений.
Если предположить, что деформация происходит в адиабати-
адиабатических условиях, то в уравнении A) следует положить
6 = — ЦткеЫ{< 6' = — Лт^Чк- Тогда остается уравнение
J (Xtu\ - X'fi,) dV+j {pfir - fa) dA = 0. E)
v v
Уравнение B) исчезает в эластокинетике, где предполагается,
что в теле нет источников тепла, а поверхность тела теплоизоли-
теплоизолирована.
В теории температурных напряжений мы опускаем в уравне-
уравнении теплопроводности член, содержащий дилатацию. Формально
это эквивалентно принятию г\ = 0 в уравнении B). Таким обра-
образом получим уравнения
J (Xfi't-XfodV + | (prt-p'fiJdA + yj (Qe'-Q'e)dV=O, F)
V . А V
- J (Q0' — Q'0) dV + к J («в' „ — #'0, „) dA = a. G)
V A
Уравнение F) было выведено Майзелем1). Уравнение G) яв-
является уравнением взаимности для классического уравнения те-
теплопроводности.
Рассмотрим случай, в котором причины / = {Хи pit Q, €¦} и
следствия С = {щ, 6} относятся к связанной задаче термоупру-
термоупругости, а причины /' = {X't, p\, Q', €¦'} и следствия С = {«?, 0'} —
к несвязанной задаче. Учитывая различие в уравнениях тепло-
теплопроводности для связанной и несвязанной задач
е.^—М-прё = --!., ег«—?§' ^-, (8)
получим из уравнений (8) следующее уравнение:
J (Q'0-Q0')dF + xT!p J e'edV + x J (Ьй',я — Ь'9. n)dA = O. (9)
') В. М. Майзель, loc. cit. стр. 476.
25*
772 Гл. 12. Динамические задачи термоупругости
Исключая из уравнений A) и (9) член J Q'edV, получим тео-
v
рему взаимности в виде
кцр \ J (Xfi't - X'tut) dV + j (ptu't - p'fit) dA + y J её' dV~\ =
LV A V J
y J (QB' — Q'B)dV. A0)
Примем теперь, что в системе со штрихами действует только
сосредоточенный мгновенный источник тепла в точке |, а гра-
граничные условия являются однородными. Подставляя тогда
в уравнения A0) Q' = б (х — |) б (t), X'. = 0 и р'. = 0, *' = 0 на А,
получим
J(?, р)ё'(х, t,p)dV{x) = M(l,p), (И)
где
Af (?,/») =
= J Q(x, р)б'(х, ?, р)йУ(х)-и/#(х, p)Wn{x,l,p)dA(x)~
А
У
Г J pt (x, p)«; (x, i, p) йл (x) + J xt (x, p)«; (x, i,P)dv (x)l.
Так как функции и\, 6' известны как решения дифференциаль-
дифференциальных уравнений, теории температурных напряжений, а функции
Q, Ф, pi, Xi заданы, функция М(|, р) известна. Уравнение A1)
является неоднородным интегральным уравнением Фредгольма
второго рода, в котором неизвестной функцией является темпе-
температура 6. Аналогично можно найти и перемещения.
Представленный здесь ход рассуждения, предложенный
Ионеску-Казимиром '), был применен для определения функции
Грина в неограниченной термоупругой области2).
') V. Ionescu-Cazimir, loc. cit. стр. 768.
2) Galka A., Green's Functions for the Coupled Problem of Thermoelasticity
Obtained from the Solution of the Theory of Thermal Stresses, Bull. Acad. Polon.
ScL, Ser. Sci. Techn.. 13, № 7 A965).
Galka A., Singular Solutions of Thermoelasticity, Bull. Acad. Polon. Sci.,
Ser. Sci. Techn., 13, № 7 A965).
12.5. Методы интегрирования уравнений термоупругости 773
12.5. Методы интегрирования уравнений термоупругости,
вытекающие из теоремы взаимности
В эластостатике выводятся соотношения для нахождения пе-
перемещений Ui(x,t), х е V, t > О внутри тела по перемещениям
щ и нагрузкам рг- на его поверхности. Эти соотношения известны
как теоремы Сомильяны и Грина '). Ниже мы дадим теоремы та-
такого рода, обобщенные на задачи термоупругости.
Предположим, что причины, вызывающие деформации и тем-
температуру в теле, выражены только через граничные условия.
Начальные условия примем однородными. Уравнения движения
имеют вид
а/м = рй,, е./у—^в —тк? = О, хеУ, t>0, е = гкк. A)
К этим уравнениям присоединим определяющие уравнения
oll = 2VLell+(tekk — yQNlf. B)
Рассмотрим систему со штрихами, относящуюся к неограничен-
неограниченному термоупругому телу,
ef//--U'-tk»^—io(x-S)a(f), xey, />o, C)
и уравнения Дюгамеля — Неймана
К уравнениям A) — D) применим преобразование Лапласа при
учете однородных начальных условий, затем вычтем полученные
уравнения друг из друга и проинтегрируем по объему V. После
ряда преобразований, которые мы здесь опускаем, получим окон-
окончательно 2)
в(х, р) =
= z~ j [Pi (!> Р) п\ (§> x> P) — P'i (ё> x> p) w,- (%, p)] dA (I) —
A
-x J [fr (i, x, p)e,„d, p)-b(i, p)е:„(i, x, p)] йл(i). E)
A
Эту формулу можно получить также из теоремы взаимности
(формула C) § 12.4), полагая Q' = 6(x- 1)Щ, *г=0, Xi = О,
Q = 0.
') Треффц Е., см. список литературы.
„ 2) Ignaczak J., Nowacki W., Singular Integral Equations of Thermoelasti'
city, Ш. J. Eng. Sci., 5, № 1 A966).
774 Гл. 12. Динамические задачи термоупругости'
Рассмотрим, далее, вторую систему уравнений
FI
+ (Xekk—yes)bli. (8).
Функции м;, 0s относятся к неограниченной упругой оболочке.
Они вызваны действием мгновенной сосредоточенной силы
Х\ = б (х —- ?) 6,S6 (t), направленной по оси xs. В случае
X'i = 6(x^lN(tNis, Xi = 0, Q = 0, Q' = 0 теорема взаимности
дает следующее выражение для перемещения:
мДх, p)=J[p,(§, p)«f(§, x,p)-pf(S, х, /7)й,(|, р)]А4(|)-
*s (I, х, р) - ё (|, р) е% (|, х, р)] йл (|). (9)
К уравнениям E) и (9) следует применить обратное преобразо-
преобразование Лапласа. Оно приводит к выражениям в свертках, которые
мы не будем выписывать.
Уравнения E) и (9) представляют собой обобщение уравне-
уравнений Сомильяны на задачи термоупругости. С их помощью можно
выразить функции Ui{x,t), Q(x,t), xel', /<0 через поверх-
поверхностные интегралы, в которые входят функции щ, 0 и их произ-
производные.
Если функции Грина «г, 9 и п\, о выбрать так, чтобы они
относились к телу, занимающему область V, ограниченную по-
поверхностью А, и принять, что на А должны быть выполнены гра-
граничные условия
ш=0, *>' = (), ы! = 0, 0S = O на А,
то уравнения E) и (9) упрощаются:
0 (х, р) = х J Ь (I, р) §;„ (S, х, р) dA (?) +
(&. х, р)«,(|, р)<М(|), A0)
пДх, р) = -J pj(i, х, р)б,(|,
-J-J 0A, РЖ nil, x, p)rfA(s). A1)
12.6. Плоские гармонические волны 775
Эти формулы дают решение первой краевой задачи, в которой
на А заданы перемещения Uj и температура 0. Если бы функции
щ, б' и п\, 0s относились к телу, занимающему ограниченную
область V и свободному от нагрузок и температуры на поверх-
поверхности Л, то в уравнениях E) и (9) следовало бы положить
р'. = 0, Ь' = 0, р* = 0, 0s = 0 на А.
Тогда формулы E) и (9) примут вид
0(х, р)=-^-J р,(|, р)п\{1, х, p)dA{t) +
| ё.'„(|, х, р)Ж4(|), A2)
л
й,(х,р)= J p,(g, pNf(|, х, р)(/Л(|) +
J ; A3)
они дадут решение второй краевой задачи, в которой на поверх-
поверхности А заданы нагрузки pt и температура 0. Однако применение
формул A0) — A3) ограничено ввиду трудности, связанной соты-
сканием функций Грина щ, 0', щ, 0s. априори удовлетворяю-
удовлетворяющих заданным граничным условиям. Аналогично обобщенным
формулам Сомильяны и Грина можно построить решение урав-
уравнений термоупругости для смешанных граничных условий. Один
из методов, являющийся обобщением метода Майзеля теории
температурных напряжений на задачи термоупругости, мы най-
найдем в уже цитированной работе Ионеску-Казимира'). Он осно-
основан на использовании функций Грина, заранее удовлетворяющих
смешанным граничным условиям. Другой способ, предложенный
Новацким2), основан на использовании вспомогательных функ-
функций Грлна, удовлетворяющих граничным условиям, и сведении
задачи к решению системы интегральных уравнений Фредгольма
первого рода.
12.6. Плоские гармонические волны
В обсуждении простейшего типа волн сразу же выясняются
существенные черты распространения термоупругих волн, их ха-
характер, скорость распространения, дисперсия и затухание. Четко
!) V. Ionescu-Cazimir, loc. cit. стр. 768.
2) Nowacki W., Mixed Boundary Value Problems of Thermoelasticity, Bull.
Acad. Polon. ScL, Ser. Sci. Techn., 12, № 11 A964).
776 Гл. 12. Динамические задачи термоупругости
выявляется различие между термоупругими волнами и упругими
и тепловыми волнами1).
Рассмотрим плоскую гармоническую волну, распространяю-
распространяющуюся вдоль оси X], обусловленную причиной механической или
тепловой природы. Так как перемещения Uj и температура 0 за-
зависят только от переменных Х\ и t, то уравнения в перемещениях
и уравнение теплопроводности, учитывая, что
Uj = Re [и] (*„ со) е-'»'], 6 = Re [6* (*„ со) е-'»'], A)
примут следующий вид:
(д\ + а2) и\ = mdfi*, (д] + q) 6* + щкдхи] = О,
B)
где
2 _©^_ 2 _5?i J^.
Исключая из двух первых уравнений температуру 0*, получим
[(д\ + а2) (д\ + q) + qed]} u\ = 0, {д\ + т2) и\ = О,
(д\ + т2) «з = 0, е = mrpi. C)
Первое уравнение относится к продольной волне, два следую-
следующих— к поперечным волнам. Если в два первых уравнения B)
подставить
и* = ifie^x' 0* = 0"e'k*i
то получим зависимости
и" mik 8° t\qy,ik
После исключения из этих соотношений величины и°/0° получим
следующее алгебраическое уравнение:
из которого определяем корни
А?
kl
} = у {о2 + q A + е) ± [(а2 + q A + е)J - 4qo2?'}.
!) Deresiewicz H., Plane Waves in a Thermoelastic Solid, I. Acoust. Soc.
Atner., 29 A957), 204.
Chadwick P., Sneddon I. N., Plane Waves in an Elastic Solid Conducting
Heat. /. Mech. Phys. Solids, 7, № 1 A958).
12.6. Плоские гармонические волны 777
Эти корни являются функциями параметра е: k\ =&i(e), k2 =
= йг(е). При е = 0 имеем
Решением двух первых уравнений B) являются функции
ы, = и°+ ехр [— Ш -+- /й,*,] + и°_ ехр [— Ш — ik{x{\ +
+
0 = 0°+ехр[— tc
- Ш + ik2xA - 6°_ ехр [- Ш - ^2*,]},
i(i)t ikx] +
^- {и°+ ехр [- /со/ + г Vi] ~ "- ехр[- Ы — ik.x,]).
k{ — q
Так как и\ и 0 — действительные функции, то в выражениях E)
следует взять действительные части в соответствии с предполо-
предположениями, сделанными в A).
Поперечные волны определяются соотношениями
Они распространяются с постоянной скоростью Сч = (ц/рI/2. Эти
волны не вызывают изменения объема и температурного поля,
сопровождающего волновое движение.
Система соотношений E) описывает термоупругие волны;
первое описывает продольную волну, второе — соответствующую
этой волне температуру. Обозначая через og (p = l,2) фазо-
фазовую скорость, а через %% — декремент затухания и связывая их
с корнями уравнения D) зависимостями
преобразуем формулы E) к виду
их=и\ ёхр [-ш (/_?L)_ vj+«o_ ехр [-ш (t+f
r
G)
= 0°+ ехр [-ш [i~)~ #2*1] + в0- ехр (—/со (/ + -g.) + Ъ2хг] +
j
— иР_ ехр [—
778 Гл. 12. Динамические задачи термоупругости
Мы видим, что обе волны затухают и обладают дисперсией, ибо
фазовые скорости о@ зависят от частоты со. Физический смысл
волн G) станет ясным, если мы сравним их с волнами в гипоте-
гипотетической среде, характеризующейся нулевым значением коэф-
коэффициента линейного расширения at. При at = 0, а потому и при
¦ц = 0, m = 0 два первых уравнения B) примут вид
(д} + о*)й**=0, (<Э2+<7H* = О. (8)
Решением этих уравнений являются функции
й\ = ы°+ ехр [- ш (t - -f)] + и?_ ехр [- ш (t + f-)],
(9)
где
Здесь й* представляет чисто упругую волну, распространяю-
распространяющуюся в направлении оси -\-х\ или —х{ с постоянной скоростью
б\ = С]. Эти волны не имеют ни затухания, ни дисперсии. Второе
из уравнений (9) представляет чисто тепловую затухающую вол-
волну, обладающую дисперсией. Затухание характеризуется коэф-
коэффициентом
Дисперсия здесь имеет место, так как фазовая скорость
является функцией частоты со. Уравнения G) описывают моди-*
фицирсванную продольную волну и модифицированную тепло-
тепловую волну. Из сравнения уравнений G) и (9) следует, что ко-
корень &i(e) характеризует квазиупругую волну, ибо k\ @) = а =
= co/ci относится к чисто упругой волне. Аналогично корень Й2(е)
характеризует квазитепловую волну, так как k2 @) = Л2 = Vq
относится к чисто тепловой волне в гипотетической среде.
Интересен тот факт, что в модифицированную упругую волну
(первое уравнение G)) входят и квазиупругие
и°+ ехр [- ш (t - f
квазитепловые члены
9°+ ехр [- ш (t - -g-) - ^,], 9°_ ехр [-
12.6. Плоские гармонические волны
779
Аналогичная картина наблюдается в модифицированной тепло-
тепловой волне. Следует обсудить еще корни k\, k2 или величины
og, ftp, p = 1, 2. Вводя новые обозначения
приводим уравнение D) к простому виду:
A0)
Корни ?], 1,2 этого уравнения являются функциями параметров е
и х = со/со*. Величина е = т^тх— постоянная, зависящая от теп-
тепловых и механических свойств материалов, в то время как % из-
изменяется с изменением со. Величина со* является характерной
величиной для данного материала.
Частота вынужденных колебаний со ограничена величиной
сое — znyc^sy 4nM j ,
что устанавливается исследованием спектра Дебая для продоль-
ных волн1). В этой формуле М означает атомную массу мате-
материала, образующего упругое тело, и
где %s, us— постоянные Ламе для .адиабатического состояния, а
р — плотность.
Ниже мы приводим таблицу основных характеристик для че-
четырех металлов:
. (d)s, см/с
8
0)*, С
#Г- СМ~'
0)с, С-|
Алюминий
6,32-105
3,56-Ю
4,66-1011
1,31 • 10*
9,80- 1013
Медь
4,36- 105
1,68- 10~2
1,73- 1011
3,29- 103
7,55- 10'3
Сталь
5,80- 105
2,97 ¦ 10~4
1,75 -1012
4,48 • 102
9,95 • 1013
Олово
2,14- 106
7,33 -10
1,91- 10"
3,27- 10'
3,69 • 1013
В таблицу помещен также декремент затухания ¦&? для х=°°,
причем
1 8@*
А.°°
2 (с,)г '
]) Brillouin L., Tenseurs en mecanique et en elasticite, Masson, Paris, 1960.
780
Гл. 12. Динамические задачи термоупругости
Обратим внимание, что о)с значительно больше, чем со*. В вы-
выполненных лабораторных экспериментах с использованием уль-
ультразвуковых колебаний высокой частоты имело место
ш*
ш,
так что для механических колебаний, встречающихся на прак-
практике, можно положить со/со* <S 1.
На рис. 12.1 и 12.2 показаны графики отношений v\l(c{)T и
¦fri/ФГ для меди в зависимости от переменной % = со/со*. Из
1,009
8
7
6
5
4
3
2
1
1,000
1 ' '
0 2 4 6 8
•от
1.0
0,8
0,6
0.4
0,2
(till I t I I I
0 2 4 6 8
РИС. 12.1
РИС. 12.2.
рис. 12.1 видно, что фазовая скорость превышает (с\)т и стре-
стремится к ней при 5(->.оо. Декремент затухания &\ растет вместе
с % и при малых частотах пропорционален %2, асимптотически
приближаясь при %-*¦ оо к значению ФГ. В окрестности абсциссы
X = 1 (ш = ш*) величины v\ и fti значительно изменяются. Но
для приложений на практике в расчет принимается только ма-
малая область изменения % = ш/ш*. Поэтому при % <S 1 корни
?i, ?2 можно разложить в степенной ряд по % и использовать со-
соотношение
Таким образом получаются приближенные значения фазовых
скоростей и декрементов затухания. Приведем эти приближен-
12.6. Плоские гармонические волны 781
ные значения, полученные Чедвиком '):
Х«в(8-2Ое
Отсюда видно, что при % <С 1 можно принять Dj « CjA + eI/2
как постоянное значение, несколько большее, чем С\ = {с\)т, и
квазиупругую продольную волну считать затухающей, но не об-
обладающей дисперсией.
Ниже мы дадим решение для очень простого примера пло-
плоской волны, связанной с действием плоского источника тепла ин-
интенсивности Qocosw/. Этот источник гармонически изменяется
во времени и действует в плоскости х\ = 0. Мы получим
Qo
О2)
ехр -ш It— — -о,х, \\, х,>0.
k\-a2
~ Iky
Фазовые скорости v$ и декременты затухания % возьмем из
формул A1).
Если пренебречь связанностью деформаций и температур, т. е.
если в уравнении теплопроводности опустить член т\&ь.ь., то, под-
подставляя вместо ki(e), k2(e) величины k1@) = o, k2@)=Y q, по-
получим из формул A2) приближенное решение теории темпера-
') Chadwick P., Thermoelasticity. The Dynamical Theory, Progress in Solid
Mechanics, North-Holland Publishing Company, Amsterdam, 1960.
782 Гд- 12- Динамические задачи термоупругости
турных напряжений:
1
A3)
2х I /? I I /24@ / Г 2х J
Перемещение и\ складывается из двух частей: из незатухающей
упругой волны, распространяющейся со скоростью с\, и из диф-
диффузионной затухающей волны, обладающей дисперсией.
До настоящего времени решено несколько частных задач, ка-
касающихся распространения плоских волн в упругом пространстве
и полупространстве. Так, Снеддон '), исследуя вынужденные ко-
колебания конечного стержня, рассмотрел распространение волн
в полубесконечном и конечном стержнях при различных гранич-
граничных условиях и при различных причинах возникновения волны.
Новацкий2) рассмотрел действие плоских массовых сил в не-
неограниченном пространстве и действие плоских источников тепла,
возбуждающих колебания в термоупругом слое. Большой инте-
интерес представляет здесь отсутствие явления резонанса при вы-
вынужденных колебаниях. Оно следует из характера движения,
которое является затухающим; амплитуды вынужденных коле-
колебаний конечны. Так, в слое толщиной а, который ограничен пло-
плоскостями Х\ = О, Х\ = а, свободными от напряжений и находя-
находящимися при температуре 0 = 0, и содержит источник тепла
Q = Q*(xi) cos at, получим для напряжения о\\{хи t) следующее
выражение:
трсо2 ^ Q*n {а2 (а2 — g2) cos a>t — | [а2 A + е) — g2] sin ы)
аи— ¦ -
где
e» = -v". S =•=-§¦• Q\=^—\Q*{xx)s\naaxxdxx.
Мы не получим здесь резонанса, так как знаменатель под зна-
знаком суммы всегда положителен. В частном случае а2 = а2, соот-
соответствующем резонансу для несвязанной задачи, г-н член ряда
') Sneddon I. N., The Propagation of Thermal Stresses in Thin Metallic
Rods, Proc, Roy. Soc. Edin.., Sec. A, 9, 65 A959),
2) Новацкий В,, Динамические задачи термоупругости, «Мир», М., 1970.
12.7. Сферические и цилиндрические волны 783
принимает вид
o'1V = sinco/—-—5-^—. A5)
е aj
Этот член имеет конечное значение, хотя величина напряжения
a\V будет значительной, ибо для металла е имеет порядок 10~г.
12.7. Сферические и цилиндрические волны
Рассмотрим волновые уравнения, характеризующие продоль-
продольные термоупругие волны, введенные в § 12.2:
? 2Ф = т0, A)
DQ — г|\2Ф = 0. B)
Если положить, что волновое движение происходит гармонически
во времени, т. е.
Ф (х, t) = Ф*(х, to) е~ш, 0 (х, t) = 8* (х, ш) е~ш,
то из уравнений A) и B) получим следующие уравнения:
где величины ku k2 являются корнями уравнения D) § 12.6.
Разберем те решения уравнения C), которые характери-
характеризуются особенностью в точке § и являются функциями расстоя-
расстояния г между точками х и §. Эти решения, которые мы обозначим
через ф* (г), удовлетворяют уравнениям
«+iZl^+4<_0. « = 1,2. D)
Здесь п = 3 относится к трехмерной задаче, п = 2 — к двумер-
двумерной. В уравнении D) не надо суммировать по индексу а.
Общее решение уравнения D) имеет вид
Здесь Я™ и н'т — функции Ханкеля т-то порядка первого и вто-
второго рода.
При /г = 3 (т. е. при m = l/2) имеем
2 е °
<х=1, 2,
784 Гл. 12. Динамические задачи термоупругости
а решением уравнения D) является функция
e'V e"'V 2_
/=1, 2, 3.
F)
В неограниченном термоупругом пространстве в расчет прини-
принимается только первый член выражения F), ибо решение
cos ш(t — -?-),
представляет расходящуюся волну. Только это решение имеет
физический смысл. Для цилиндрической волны при п = 2 (т. е.
при пг = 0) получим
4ra(r) = AHp(kar) + BHV(kar), G)
г* = (х,-1,)(х,-1,), /=1,2.
Здесь для неограниченного пространства в расчет принимается
только первый член соотношения G), так как для больших зна-
значений аргумента получим выражение
±) + О(г-% (8)
представляющее расходящуюся волну, распространяющуюся
в направлении возрастания г.
Представленные здесь решения e'karir, Но](каг) должны удо-
удовлетворять на бесконечности условиям излучения ')
л = 2; ^FW)) %
\>0, а=1, 2.
Эти формулы говорят о справедливости фундаментальных реше-
решений в окрестности бесконечно удаленной точки.
') В. Новацкий, loc. cit. стр. 782.
В. Д. Купрадзе, loc. cit. стр. 612.
Ignaczak J., Nowacki W., The Sommerfeld Conditions for Coupled Problems
of Thermoelasticity. Examples of Coupled Stresses and Temperature Concen-
Concentrations of Cylindrical and Spherical Cavities, Arch. Mech. Stos-, 14, № 1
A962).
12.7. Сферические и цилиндрические волны 785
Если рассматривать класс решений уравнений C), которые
ведут себя на бесконечности аналогично фундаментальным реше-
ikar
ниям —г—, Яо" (kar), то от функции ф* = Ф,-|-Ф2 нужно по-
потребовать удовлетворения на бесконечности следующих условий:
а=1, 2.
К этим условиям надо добавить еще условие конечности
функции
ф* = 0A) при /•-><».
Продольные сферические волны имеют место только при част-
частном выборе возмущений. Они возникают под действием источни-
источников тепла и массовых сил потенциального происхождения как
в неограниченном пространстве, так и в неограниченном про-
пространстве со сферической полостью при граничных условиях, ха-
характеризующихся центральной симметрией.
Рассмотрим один из этих случаев, а именно действие точеч-
точечного источника тепла Qoe~iat6(r). Решение уравнения C) при-
примем в виде
(А^г + А1"г), A1)
где постоянные А\ и А2 определим из условия, что тепловой по-
поток через поверхность шара при г-*-0 равен интенсивности ис-
источника тепла и что и*г = дФ*/дг при г = 0 равно нулю. В ре-
результате для функций Ф* и 0* получаются следующие фор-
формулы '):
-exp[-/«>(*—?-)-<
A2)
-
- W - a!) exp [- /ш (f —^-) - »]}
') В. Новацкий, loc. cit. стр. 78?.
786 Гл. 12. Динамические задачи термоупругости
Здесь ¦Qa — декремент затухания, va—фазовая скорость волны.
Функции Ф*, 0* затухают, обладают дисперсией, удовлетворяют
условиям излучения и имеют особенность в точке г = 0.
Зная функцию Ф*, можно определить радиальное перемеще-
перемещение иг = дФ/дг. При Q = 1 выражения A2) становятся функция-
функциями Грина для потенциала Ф* и температуры 6*. Если задано
распределение источников Q (х, /) = Q* (х) е~ш в ограниченной
области Vi, то потенциал Ф* выразится формулой
Ф* (х, со) = J Q* (|) Ф* (х, |, со) dV {%). A3)
Решено несколько частных случаев, относящихся к сфериче-
сферическим волнам. Это относится к действию центра расширения —
сжатия в неограниченной области и к пространству с полостью
при различных граничных условиях, характеризующихся сфери-
сферической симметрией1).
Для сферических волн доказан ряд теорем, которые можно
трактовать как обобщение на задачи термоупругости теоремы
Гельмгольца для эластокинетики и аналогичной теоремы теории
теплопроводности2). Суть этой теоремы такова. Дана система
уравнений
m
A4)
регулярных в рассматриваемой области В. Здесь и* обозначает
потенциал термоупругого перемещения, a v* — температуру. Ис-
Исключение из уравнений A4) функции и* или и* приводит к урав-
уравнению типа C).
Можно показать, что если на границе А области В заданы
функции и*, v*, ди*/дп, ди*/дп, то функциям* в точке хеВ пред-
представляется формулой
о' (х) = х J [б' (=, х) *?L - v* (|) *^il] dA ® +
, A4а)
А
Здесь функции 0*(х, |), Ф*(х, I) являются решением уравнений
^2 + 02)Ф*-т6* = О, A5)
') В. Новацкий, lot cit. стр. 782.
2) J. Ignaczak, W. Nowacki, loc. cit. стр. 784.
12.7. Сферические и цилиндрические волны 787
где
ф* — т (eik,r pik.r)
0* =
Для x^lS — В, где 8 — все пространство, v*(x) = 0. Для не-
несвязанной задачи (е = 0), т. е. для теории температурных на-
напряжений, второй интеграл в формуле A4а) исчезает. В резуль-
результате получим
т. е. известную из теории теплопроводности теорему. Для функ-
функции ы*(х) получается следующее выражение:
«* (х) = х J [Ф* (|, х) ^ - v' F) *q^±] dA (|) +
А
& x) T1" И' №) Ж [ П2*Ф* (S. x)J} dA ®,
A8)
и*(х) = 0, хе,Г —В.
В этой формуле введен символ ?! = V2 + &? + &2 — а2. Фор-
Формула A8) дает выражение функции ы*(х) внутри области В
через функции
„•(и ди'® v'm dv*a)
-и {У' дп • V W' дп
на поверхности А. При переходе от термоупругости к эластоки-
нетике из A8) после ряда преобразований получается известная
георема Гельмгольца
eia'r
и*(х) =
Здесь
О, хе^-В.
IX 5 + 2ц VI,
причем (cj)s = М5 М .
V Р /
Гл. 12. Динамические задачи термоупругости
Цилиндрические волны могут возникнуть в случае линейного ис-
источника тепла или линейного центра расширения — сжатия и в
неограниченной термоупругой среде с цилиндрической полостью,
на границе которой задан нагрев, давление или деформация,
распределенные осесимметричным образом.
Из многочисленных решений здесь мы дадим только оконча-
окончательный результат, относящийся к линейному источнику тепла;
Q (г, 0 = 4^
Для амплитуд потенциала термоупругого перемещения и тем-
температуры получаются следующие выражения:
4% {k2 — ftjj
B0)
в* = л ,?/ .> [(а2 - A?) W (*!Г) - (а2 - Al) /f Jf' (fer)].
4х (^ - ftf)
Эти функции удовлетворяют условиям излучения. Они затухаю-
затухающие и обладают дисперсией.
12.8. Функции Грина для неограниченной термоупругой среды
В предыдущем параграфе были приведены функции Грина
для точечного и линейного источников тепла. Они удовлетво-
удовлетворяют уравнениям
Здесь через и*, 0* мы обозначаем амплитуды перемещений и
температуры. Теперь нужно определить функции Грина для со-
сосредоточенной силы. Пусть в точке | неограниченной области
действует сосредоточенная сила Х{ = 6(х — |)б,-1е-г'ш', парал*
лельная оси Х\. Действие этой силы вызывает как продольную,
так и поперечную волны. Требуется решить систему уравнений
B)
в которых через <rj}", ы?1", 0*'1' обозначены амплитуды напря-
напряжений, перемещений и температуры, вызванные действием сосре-
сосредоточенной силы, приложенной в точке | и параллельной оси х\.
12.8. Функции Грина для неограниченной термоупругой среды 789
Систему уравнений B) можно заменить системой волновых урав-
уравнений1)
¦)=—Ьи- D)
с2
Эти уравнения следуют из уравнений B) в предположении, что
Амплитуду массовых сил определяем по формулам
v
X* (y/\ V
Для рассмотренного здесь случая сосредоточенной силы, парал-
параллельной оси Х\, получается
Из решения уравнений D) получим
ib, == 0 ibo ^= ¦ и г п \f со). \b3 ^^ — :— UoPл (/*« со)« F)
Ti * т2 4ярсо з и ^ * '* 4зхрсо
где
fо (г, со) = } (e'w - 1), г2 = (дс, - У (*, - У, г = 1, 2, 3.
Из решения уравнения C) при учете того, что функция Ф*1"
обладает осевой симметрией относительно оси xit получается2)
7 (г, со), G)
4ярш2
где
'V
F(r, «>) = AiIl-A2I2-I0, /р = -^, Р=1, 2, /0 = 7,
') В. Новацкий, loc. cit. стр. 782.
2) Kowacki \V., Green Functions for an Thermoelastic Medium (I), Bull.
Acad. Polon. ScL, Sen Sci. Techn., 12, № 6 A964).
Nowacki W., Green Functions for an Thermoelastic Medium (II), Bull. Acad.
Polon. ScL, Ser. Sci. Techn., 12, № 9 A964).
790 Гл. 12. Динамические задачи термоупругости
причем
*~ 1 ' ' П / О ОЧ У *~9 ^~^~ О / О ОЧ *
* 1 С*? — *D k\{k\-kt)
Температура 0* " определяется по формуле
m c\m
Используя формулы E) и (8), получим
' 4яри
е*(" = ^ 4% b2^Ah(r,<*)-IAr,a)]. (Ю)
4яртС| 1«| — «2;
Эти функции имеют особенность в точке | и удовлетворяют усло-
условиям излучения на бесконечности. Если сосредоточенная сила
параллельна оси х8, то получим следующие выражения для
функций Грина для перемещений ufs) и температуры 0*<s):
4% ьЛ
-/2(г, со)], /, s = l, 2, 3. A2)
Из полученных для сосредоточенной силы решений можно найти
другие особенности выражений и\ s\ B*{s> (для двойной силы, для
сосредоточенного момента и для центра расширения — сжатия).
В двумерной задаче для сосредоточенной силы, параллельной
оси xs, получаются следующие функции Грина1);
иТ=- ipV fa6' [л'я"'{k^ - А^(^) - но' Ы)] -
-т2Н10[)(тгN1з}, A3)
Z дWits)- W(v)l.
r2 = {xi-li){xi-%{), /, s=l, 2.
Зная перемещения и температуру для случая точечного
точника тепла и сосредоточенной силы, можно предложить
') Nowacki W., Some Dynamic Problems of Thermoelasticity (II), Proc.
Vibr. Probl., 5, № 4 A964).
12.8. Функции Грина для неограниченной термоупругой среды 791
тоды интегрирования уравнений термоупругости для ограничен-
ограниченного тела 1).
Наряду с развитием общей теории распространения термоуп-
термоупругих волн, гармонически изменяющихся со временем, осуще-
осуществлены решения нескольких частных задач, доведенных до удоб-
удобного для анализа вида. Преимущественно это типичные задачи
классической эластокинетики, которые в рамках термоупругости
получили обобщение. Некоторое внимание уделено поверхност-
поверхностным волнам. Эти задачи были сначала обсуждены в работе Лок-
кета2), а затем более подробно в работе Чедвика и Уиндла3).
При исследовании поверхностных волн в плоском деформи-
деформированном состоянии исходят из волновых уравнений (для про-
продольной и поперечной волн) и уравнения теплопроводности. Вол-
Волна распространяется параллельно плоскости, ограничивающей
полупространство, и затухает с глубиной. Принимается, что
в плоскости, ограничивающей полупространство, обращаются
в нуль либо напряжения и температура, либо напряжения и теп-
тепловой поток. Из определителя системы уравнений, выражающих
однородные граничные условия, получается алгебраическое урав-
уравнение третьей степени с комплексными коэффициентами. Один из
корней этого уравнения, удовлетворяющий заданным неравен-
неравенствам, дает фазовую скорость поверхностной волны. Оказывается,
что поверхностная волна обладает затуханием и дисперсией и
что ее скорость меньше скорости продольной и поперечной волн.
Подобным способом Новацкий и Соколовский 4) исследовали
распространение гармонической волны в термоупругом слое. Рас-
Рассмотрен как симметричный, так и антисимметричный (волна из-
изгиба) вид волны при двух тепловых условиях на границе: 0 = 0
и 0,71 = 0. В силу слабой связанности температурного поля с по-
полем деформации, характеризующейся величиной в, дано прибли-
приближенное решение частотного уравнения методом возмущений.
Распространение гармонических волн в бесконечном круго-
круговом цилиндре и в толстостенной трубе исследовал Локкет5),
дав относящееся к этой задаче частотное уравнение. Игначак и
Новацкий6) рассмотрели вынужденные колебания бесконеч-
бесконечного стержня прямоугольного сечения. Причиной возникновения
') J. Ignaczak, W. Nowacki, loc. cit. стр. 784.
2) Lockett F. J., Effect of Thermal Properties of a Solid on the Velocity of
Rayleigh Waves, /. Meek. Phys. Solids, 7 A958).
3) Chadwick P., Windle D. W., Propagation of Rayleigh Waves Along Iso-
Isothermal Insulated Boundaries, Proc. Roy. Soc, ser. A, 280, № 1380 A964).
4) Nowacki W., Sokolowski M., Propagation of Thermoelastic Waves in
Plates, Arch. Mech. Stos., 11, № 6 A959).
5) Lockett F. J., Longitudinal Elastic Waves in Cylinders and Tubes In-
Including Thermoelastic Effects, Proc. Edinbourgh Math. Soc, part 3, 11 A959).
6) Ignaczak J., Nowacki W., The Plane Dynamic Problem of Thermoelasti-
city, Proc. Vibr. ProbL, № 4 A961).
792 Гл. 12. Динамические задачи термоупругости
колебаний были нагрев поверхности стержня и действие источ-
источников тепла. Те же авторы ') указали метод решения задачи о
вынужденных продольных колебаниях пластинок и изгибных
колебаниях плит, вызванных действием нагрузок и нагрева. Ана-
Аналогичным задачам посвящена работа Чедвика2).
Другой решенной задачей является распространение плоской
термоупругой волны в неограниченном пространстве со сфериче-
сферической и цилиндрической полостями3). Речь идет вот о чем. Пло-
Плоская волна, вызванная действием плоского источника тепла, рас-
распространяется в неограниченном пространстве и наталкивается
на сферическую или цилиндрическую полость. При этом возни-
возникает возмущение температуры, и в окрестности полости происхо-
происходит концентрация температуры и напряжений.
12.9. Апериодические задачи термоупругости
Эта область исследования является наименее развитым раз-
разделом термоупругости, что объясняется значительными матема-
математическими трудностями.
При решении апериодических задач термоупругости в основ-
основном применяются три метода. Первый основан на исключении
из дифференциальных уравнений термоупругости
РЩ. Ц + & + И) И/. ii + Xt = put + y6, ь
времени t с помощью преобразования Лапласа или Фурье по
времени. Первое из преобразований применяется чаще ввиду на»
личия таблиц обратных преобразований. Поэтому, применяя
к формулам A) преобразование Лапласа, определяемое соотно-
соотношением
оо
2 (и,, 0) = (щ, в) = J (и,, 6) е- dt, p > О,
о
и предполагая однородность начальных условий, найдем из урав-
уравнений A) следующие уравнения в трансформантах:
\лпи п + (Я + ц) й,, n + Xt = рр2щ + уё, {,
B)
') Ignaczak J., Nowacki W., Transversal Vibrations of a Plate Produced by
Heating, Arch. Mech. Stos., 13, № 5 A961).
2) Chadwick P., On the Propagation of Thermoelastic Disturbance in Thin
Plates and Shells, /. Mech. Phys. Solids, 5, № 10 A962).
3) J. Ignaczak, W. Nowacki, loc. cit- стр. 784.
12.9. Апериодические задачи термоупругости 793
Здесь неизвестные функции «,, б являются функциями положе-
положения х и параметра преобразования р. Решение уравнений B)
для многих частных задач не вызывает больших трудностей;
эти трудности того же порядка, что и в задачах о гармонических
во времени колебаниях. Существенная трудность заключается
в применении обратного преобразования Лапласа к найденным
решениям «,- (х, р), 0 (х, р).
Второй метод решения основан на применении к уравнениям
A) интегрального преобразования Фурье потрем переменным *,-.
Таким образом уравнения A) сводятся к системе обыкновенных
дифференциальных уравнений, в которых время является неза-
независимой переменной. После решения этого уравнения выпол-
выполняется обратное преобразование Фурье по трем переменным1).
Третий метод, с успехом применяемый для термоупругого
пространства и полупространства, основан на преобразовании
Фурье по четырем переменным. Система уравнений A) сводится
к системе четырех алгебраических уравнений для трансформант
й, 0. Обратное преобразование по четырем переменным приводит
к окончательному результату2).
Каждый из этих методов связан с большими математиче-
математическими трудностями; они настолько велики, что до сих пор не най-
найдено в замкнутой форме ни одного решения.
Рассмотрим несколько подробней волновые уравнения, по-
порождаемые уравнениями A). Если использовать первый метод
и к волновым уравнениям применить преобразование Лапласа
в предположении однородности граничных условий, то получим
систему уравнений
у. I у. J к с\
(v2-4W«=- 4-й, о)
V С2 ) С2
0= — (V— -?)ф, е = цтх, /=1,2,3.
m \ с, }
Уравнение продольной волны для Q = 0, ¦& = 0 мы можем пред-
представить в виде
(V2 —Я?)(^2 —Яз)Ф = 0, D)
') Ignaczak J., Note on the Propagation of Thermal Stresses in a Long
Metallic Rod, Bull. Acad. Polon. ScL, Ser. Sci. Techn., 7, № 5 A959).
2) Eason Q., Sneddon .1. N., The Dynamic Stresses Produced in Elastic
Bodies by Uneven Heating, Proc. Roy. Soc. Edin., ser. A, 65 A959).
Lockett F. J., Sneddon I. N., Propagation of Thermal Stresses in an Infinite
Medium, Proc. Edinbourgh Math. Soc, part 4, 11 A959).
794 Гл. 12. Динамические задачи термоупругости
где Ki и л2— корни биквадратного уравнения
1 Т 3
Cj X J XCj
Так как корни этого уравнения
Ai
а!
выражаются сложным образом как функции параметра р, то
видно, что_применение обратного преобразования Лапласа к
функциям Ф и 0 наталкивается на большие трудности; поэтому
необходимо обратиться к приближенным решениям. Вообще го-
говоря, применяются два способа приближенного решения. Первый
основан на использовании того, что величина е = цпгк мал-ч
(е<1) и ее можно гфинять за малый параметр1). Разлагая по-
поэтому функции Ф и 0 в степенные ряды по е:
Ф=Ф0+еФ,+е2Ф2 + ..., 9 = 00 + 60!+е292+ ••-, E)
первое уравнение системы C) сводим к системе уравнений
где
п2
с
Для температуры 0 получим
^^~(^о+ еФ, + е2Ф2 +•••). G)
При применении метода возмущений для практических целей до-
достаточно ограничиться двумя членами ряда E).
Заметим еще, что функции Фо и 0О относятся к несвязанной
задаче.
Другой вариант метода возмущений основан на решении урав-
уравнений C), а затем на разложении функций, содержащих вели-
[) P. Chadwick, loc. cit. стр. 781.
12.9. Апериодические задачи термоупругости 795
чины k\{z, р) и k2(e,p), в степенные ряды по параметру е. Гет-
нарский ') успешно применил этот вариант при решении задач
для упругого пространства и полупространства.
Второй способ приближенного решения основан на определе-
определении функций Ф и 0 для малых значений времени. Решения этого
типа очень полезны, ибо существенная разница между динами-
динамической и квазистатической задачами имеет место для малых
значений времени t. С течением времени эта разница исчезает.
В силу теоремы Абеля
lim / @ = lim pg [f (/)]
<0
малым значениям времени соответствуют большие значения р п
трансформантах Лапласа. Поэтому нужно в решениях уравне-
уравнений B) или уравнений C) разложить выражение, содержащее
величины ki(e,p) и k2(e, p), в ряд по степеням 1/р, сохранив
несколько членов этого разложения. Применение обратного пре-
преобразования Лапласа дает окончательное приближенное ре-
решение.
Работ, касающихся распространения апериодических волн,
немного, и они относятся к простейшим системам — упругим про-
пространству и полупространству. Так, задачу о действии мгновен-
мгновенного и непрерывного сосредоточенного источника тепла в неогра-
неограниченном термоупругом пространстве решил Гетнарский, приме-
применяя как метод возмущений, так и метод малых времен. Задача
о действии мгновенной сосредоточенной силы в пространстве
была рассмотрена Соосом2). Влиянием начальных условий на
распространение термоупругих волн в неограниченном простран-
пространстве занимался Новацкий3).
Родственной представленным здесь задачам является задача
определения деформаций и температур в окрестности сфериче-
сферической полости в неограниченном пространстве. Задача о внезап-
внезапном нагреве границы тела с полостью была предметом двух ра-
работ. В первой работе Лессен 4) использовал метод возмущений,
во второй Чедвик5) применил асимптотический метод малых
времен.
') Hetnarski R. В., Solution of the Coupled Thermoelastic Problem in the
Form of Series of Functions, Arch. Mech. Stos., 6, № 4 A964).
Hetnarski R. В., Coupled Thermoelastic Problem for the Half-space, Bull.
Acad. Polon. Sci., Ser. Sci. Techn., 12, № 1 A964).
2) E. Soos, loc. cit. стр. 762.
3) Nowacki W., Some Dynamic Problems of Thermoelasticity (III), Bull.
Acad. Polon. Sci., Ser. Sci. Techn., 13, № 7 A965).
4) Lessen M., The Motion of a Thermoelastic Solid, Quart. Appl. Math., 15
A957).
6) P. Chadwick, loc. cit. стр. 781.
796 Гл. 12. Динамические задачи термоупругости
Задачей о внезапном нагревании границы тела со сфериче»
ской полостью занимался Нариболи '), применявший метод воз-
возмущений. Из найденных приближенных решений следует, что
термоупругие волны обладают затуханием и дисперсией. Влия-
Влияние связанности полей деформации и температуры незначитель-
незначительно; полученные решения мало отличаются от решений, найден-
найденных в теории температурных напряжений.
Другая важная проблема, которой посвящено несколько ра-
работ— это распространение в термоупругом полупространстве
плоской волны, вызванной внезапным нагреванием плоскости,
ограничивающей полупространство. Речь идет об обобщении из-
известной из теории температурных напряжений задачи Данилов-
Даниловской. Эту проблему поднял Гетнарский 2), использовавший метод
возмущений и теорему Абеля для малых значений времени. Той
же проблемой занимались Боли и Толинс3), а также Муки и
Бройер 4).
Распространению продольной волны в упругом полупро-
полупространстве, а также в бесконечном и полубесконечном стержнях
были посвящены работы Снеддона 5) и Игначака 6). В последней
работе сначала применено преобразование Фурье по координате,
а затем решено обыкновенное дифференциальное уравнение
третьего порядка по времени. Решение этого уравнения и приме-
применение обратного преобразования Фурье приводят к окончатель-
окончательному результату.
v) Nariboli G. A., Spherically Symmetric Thermal Shock in a Medium with
Thermal and Elastic Deformations Coupled, Quart. Mech. Math., 14, № 1
A961).
2) Hetnarski R. В., Coupled One-dimensional Thermal Shock Problem for
Small Times, Arch. Mech. Stos., 13 A961).
3) Boley B. A., Tolins I. S., Transient Coupled Thermoelastic Boundary
Value Problems in-the Haff-space, /. Appl. Mech., 29 A962) [русский перевод:
Труды Амер. о-ва инж.-мех., сер. Е., № 4 A962)].
4) Muki R., Breuer S., Coupling Effects in Transient Thermoelastic Problem,
Osterr. Ing.-Archiv, 16 A962).
6) I. N. Sneddon, loc. cit. стр. 782.
6) J. Ignaczak, loc. cit. стр. 793.
Глава 13
ТЕОРИЯ НЕСИММЕТРИЧНОЙ УПРУГОСТИ
13.1. Введение
Теория упругости основывается на идеализированной модели
упругого континуума, в которой связь нагрузок между обеими
сторонами поверхностного элемента описывается исключительно
гласным вектором pdA. Это предположение приводит к симмет-
симметричному напряженному и деформированному состояниям. Такая
модель хорошо совпадает с экспериментами, проводимыми с кон-
конструкционными материалами (сталь, алюминий, бетон) при на-
напряжениях, остающихся в пределах "упругости материала. Зна-
Значительное различие между теорией и экспериментом возникает
в тех случаях, когда существенными являются градиенты напря-
напряжения. Это имеет основное значение при концентрации напряже-
напряжений вокруг отверстий и выточек.
Расхождение между экспериментом и теорией появляется
также в задачах о колебаниях, при распространении волн и при
вынужденных высокочастотных (ультразвуковьи) колебаниях.
Это происходит из-за того, что при высокочастотных колебаниях
и достаточно малых длинах волн неизбежно сказывается влия-
влияние микроструктуры материала.
Наконец, теория симметричной упругости не описывает с не-
необходимой точностью явления, происходящие в зернистых средах
и при прохождении акустических волн через кристаллы, поли-
поликристаллические структуры и полимеры.
Эти недостатки теории симметричной упругости старался ис-
исправить еще Фойхт ') путем дополнительного предположения о
передаче нагрузок через элемент поверхности dA не только глав-
главным вектором pdA, но также главным моментом mdA. Такое
допущение приводит к необходимости действия на элемент
') Voigt W., Theoretische Studien iiber die ElastizltatsverhSUnrsse der
Kristalle, Abh. Ges. Wiss. Gottingen, 34 A887).
798 Гл. 13. Теория несимметричной упругости
объема dv не только напряжений (англ. force-stresses) оц, но и
моментных напряжений (англ. couple-stresses) \1ц. Оказывается,
что такое предположение приводит к несимметричным тензорам
Oij И щ}.
Общая теория такой несимметричной упругости была разра-
разработана братьями Коссера1) в 1910 г. В классической теории уп-
упругости материальная частица совпадает с точкой, а деформиро-
деформированное состояние описывается перемещением точки. В отличие
от этой модели братья Коссера ставят в соответствие каждой
частице деформированной среды ортогональный трехгранник.
Таким образом частицы получают ориентирование (полярная
среда). Каждая частица среды Коссера является малым абсо-
абсолютно твердым телом. Деформация такой среды описывается не
только вектором перемещения и, но также вектором поворота о,
т. е. величиной, являющейся функцией положения х и времени t.
При таких предположениях в теле возникают не только напря-
напряжения оц, но и моментные напряжения |а{,-, образующие, вообще
говоря, несимметричные тензоры.
Теория несимметричной упругости не была оценена при жизни
братьев Коссера. Ее возрождение относится к последнему деся-
десятилетию. Эта теория была заново открыта и развита Трусдел-
лом и Тупином2K). Линейной теории среды Коссера посвятили
интересные работы Кувшинский и Аэро 4), Пальмов5), Эринген и
Сухуби 6). Линейную теорию термоупругости развил Новацкий7).
Несколько авторов развивали упрощенную теорию среды Кос-
Коссера, теорию так называемого псевдоконтинуума Коссера, в кото-
ром предполагается зависимость вектора поворота от ротора пе-
перемещения (fi> = yrotu) подобно тому, как это имеет место
в классической теории упругости. Среди этих работ особое вни-
внимание заслуживают работа Гриоли 8) и работа Миндлина и Тир-
') Cosserat Е , Cosserat F., Theorie des corps deformables, Hermann, Paris,
1909.
2) Трусделл и Тупин, см. список литературы.
3) Toupin R. A., Elastic Materials with Couple Stresses, Arch. Rat. Mech.
Anal., 11 A962).
4) Кувшинский Е. В., Аэро Э. Л., Континуальная теория несимметриче-
несимметрической упругости, ФТТ, 5 A963), 2591.
5) Пальмов Н. А., Фундаментальные уравнения теории асимметрической
упругости, ПММ, 28 A964).
6) Eringen А. С, Suhubi E. S., Nonlinear Theory of Micro-elastic Solids,
part I, II, Int. J. Eng. Sci., 2 A964).
7) Nowacki W., Couple Stresses in the Theory of Thermoelasticity, Bull.
Acad. Polon. Sci, Ser. Sci. Techn., 14, № 8 A966).
Nowacki W., On the Completeness of Stress Functions in Asymmetric Ela-
Elasticity, Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. Sci. Techn., 16, № 7 A968).
8) Grioli G., Elasticita asimetrica, Ann. di Math, pura ed appl., ser. IV, 50
A960).
13.2. Уравнения движения 799
стена '). В последней работе интересно введение функции напря-
напряжений и потенциалов для изотропной и центрально-симметрич-
центрально-симметричной среды, а также исследование распространения плоской волны.
В настоящей главе мы дадим основы теории несимметричной
упругости, общие соотношения и уравнения, общие теоремы и
методы. В последнем параграфе мы представим в сжатом изло-
изложении теорию псевдоконтинуума Коссера.
13.2. Уравнения движения
Рассмотрим произвольную область тела, ограниченную глад-
гладкой поверхностью А. Обозначим через pdA вектор сил, а через
mdA — вектор моментов, действующих через поверхностный эле-
элемент dA извне внутрь тела. Через X обозначим вектор массовых
сил, через Y — вектор массовых моментов.
Составим уравнения равновесия для произвольного объема V
тела:
j j A)
O. B)
Здесь г — радиус-вектор, отсчитываемый от некоторой точки тела.
В прямоугольной декартовой системе координат уравнения A)
и B) перепишем как
\ C)
J + Щ) dA+j (emx,Xk + Yt) dV = О, D)
A V
i, j, k = l, 2, 3.
Применим уравнения (З) и D) к бесконечно малому элементу
в виде тетраэдра с тремя гранями, ортогональными координат-
координатным осям (рис. 13.1). Пусть rii означают компоненты единичного
вектора нормали п к четвертой грани. Обозначим через Оц и ц.{з-
составляющие силовых и моментных напряжений, а через р;(п)
и /П;(п)—составляющие сил и моментов, действующих на чет-
четвертой грани тетраэдра. Исключая в уравнениях C) и D) объ-
объемные интегралы и интегрируя по поверхности тетраэдра, по-
получим
pi(n) = ajinl, tni{n) = nlinl. E)
') Mindlin R. D., Tiersten H. F., Effect of Coupled-stresses in Linear Elasti-
Elasticity, Arch. Rat. Mech. Anal., 11 A962) [русский перевод: сб. Механика,
№4(86) A964)].
800
Гл. 13. Теория несимметричной упругости
Учитывая первое из этих соотношений, получим из уравнения C)
ajiil + Xi)dV = Q. F)
В силу произвольности объема V получаем, что уравнение
G)
справедливо в каждой точке тела.
Учитывая второе соотношение E), получим из уравнения D)
Ч,нх, (о*. i + Xk) + eliko!k + цл, i + Y,] dV = 0. (8)
Первый член в подинтегральном выражении в силу уравнения
G) равен нулю. Так как объем V выбран произвольно, справед-
справедливо соотношение
«,//кау* + ц/л/ + К, = 0. (9)
Тензор напряжений оц несимметричен. Этот тензор будет сим-
симметричен только при отсутствии массовых моментов У, и момент-*
РИС. 13.1.
ных напряжений цц. В этом случае уравнение (9) сводится
к виду 8ijh(Tjh = 0, что обеспечивает в теории симметричной упру-
упругости симметрию тензора ац = оц.
Уравнения G) и (9) являются уравнениями равновесия
внутри тела, уравнения E) —на поверхности тела. Соотношения
E) можно трактовать и как граничные условия в напряжениях.
13.3. Закон сохранения энергии. Баланс энтропии 801
В случае динамических задач следует в силу принципа Да-
ламбера добавить инерционные члены. Уравнения движения при-
принимают вид
аИ.,+Х{ = рпи A0)
Здесь р — плотность, / — динамическая характеристика среды
(мера инерции при вращении), о — вектор поворота.
13.3. Закон сохранения энергии. Баланс энтропии ')
Закон сохранения энергии, примененный к объему тела V,
ограниченному поверхностью А, имеет "вид
YlWt) dV +
+ J (ptvt + mflOi) dA — J q,nt dA. A)
A A
Здесь V{ = Cii, Wi=<bi. Через U мы обозначили внутреннюю
энергию, отнесенную к единице объема, через qi — составляю-
составляющие вектора теплового потока.
Член в левой части уравнения A) представляет возрастание
кинетической энергии и внутренней энергии. Первый член в пра->
вой части представляет мощность массовых сил и моментов, вто-
второй член — мощность поверхностных сил и моментов. Наконец,
последний член выражает количество тепла, переданное объему
V путем теплопроводности. Применяя к уравнению A) теорему
Гаусса — Остроградского и принимая во внимание уравнения
движения
+ Yi = Jat, B)
получим уравнение
] + qlti}dV = 0. C)
v
Это уравнение справедливо для произвольного объема V. Если
подинтегральное выражение непрерывно, то соотношение
q{i{, D)
где
%/г = щ;>/7 E)
') Nowacki W., Couple Stresses in the Theory of Thermoelasticity (III),
Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. Sci, Techn., 14, № 8 A966),
26 В. Новацкий
802 Гл. 13. Теория несимметричной упругости
справедливо локально. Через Yjt мы обозначили несимметричный
тензор деформаций, через кц — тензор изгиба-кручения.
Уравнение баланса энтропии имеет вид
F)
Левая часть уравнения представляет собой возрастание энтро-
энтропии. Первый член в правой части представляет возрастание эн-
энтропии, возникающее за счет обмена энтропии с окружающей
средой, второй член выражает производство энтропии, вызван-
вызванное теплопроводностью.
Применяя теорему Гаусса — Остроградского, имеем
V = 0. G)
Для произвольной области V и при непрерывности подинтеграль-
ного выражения справедливо локальное соотношение
3 = @-Ц± + ^-. (8)
В соответствии с постулатом термодинамики необратимых про*
цессов должно быть 0^0.
Исключая из уравнений D) и (8) <7,, t и вводя свободную
энергию Гельмгольца F= U — ST, имеем
^) (9)
Так как свободная энергия является функцией независимых пе
ременных у^, х3*, Т, то
Z7 dF ¦ I dF ¦ I dF T
Предположив, что функции в, qu ..., оц, ц;г не зависят явно от
производных функций ур, щи Т по времени, и определяя энтро-
энтропию как 5 = —dF/dT, получим из сравнения уравнений (9) и
A0) следующие соотношения:
dF dF dF q.T .
Второй закон термодинамики будет выполнен, когда 9>0. От-
Отсюда следует, что
13.4. Определяющие уравнения
803
Это неравенство удовлетворяется с помощью закона теплопро-
теплопроводности Фурье
— cJi = k{lT,, или —^ = «*А h Г=7'о+9, A2)
где
«II «12 «13
«21 «22 «23
«31 «32 «33
12
*21 «22
> 0, kn > 0.
Здесь мы ввели температуру естественного состояния Го и пере-
перепад температуры 8.
Из уравнения (8), принимая во внимание соотношения A1)
и A2), имеем
TS = -qt,t = kttQ.tt. A3)
Для однородного изотропного тела соотношение A3) перехо-
переходит в
TS = kQ,n, A4)
где k — коэффициент теплопроводности — величина постоянная.
13.4. Определяющие уравнения
Разложим свободную энергию F(yjj, х,,-, 7") в окрестности ес-
естественного состояния (уд = 0, кц = 0, Т = То) в ряд Тейлора,
пренебрегая величинами выше второго порядка.
Для изотропного однородного и центрально-симметричного
тела (не меняющегося при поворотах) получим разложение сле-
следующего вида:
г,
F =
— а
+
V — 8
+ е
^J
Справедливость этого выражения для свободной энергии дока»
зывается следующим образом, Так как свободная энергия яв-
является скаляром, то каждый член в правой части тоже должен
быть скаляром. Из составляющих тензора уц можно сконструи-
сконструировать три независимых квадратичных инварианта, а именно
Yit"Yi«' УпУгз и УккУпп- То же относится и к тензору кц. Члены
\цхц, УцКг] и YfeA^nn не входят в выражение A), ибо это проти-
противоречило бы постулату о центральной симметрии. В седьмой и
восьмой члены выражения A) входят инварианты унк и хлй. Это
вытекает из того, что из тензоров уя и хц можно составить только
804 Гл. 13. Теория несимметричной упругости
по одному инварианту первого порядка, а именно yhh и xftft. Ис-
Используя соотношения
dF dF c dF ,п.
получим из формулы A) определяющие уравнения
°ц = (ц + а) уп + (ц — а) y,v + (Лу** — v9) 6г/, C)
Ц/« = (Y + е) х/г + (Y — е) х,; + (рх** — Х9) 6(/, D)
S=vY** + JP«** + m8. E)
Соотношения C) и D) можно записать в эквивалентном виде:
~ v9) б(/, F)
~ Хв) 6ir G)
Здесь ц, Я — постоянные Ламе, а, у, е, р — новые упругие по-
постоянные. Эти величины относятся к изотермическому состоя-
состоянию. Постоянные v, % зависят как от механических, так и от теп-
тепловых свойств. Символы ( ) и ( ) означают симметричную и
антисимметричную части тензора.
Разрешим уравнения F) и G) относительно величин y{j и
yl. = afilie + 2lL'o{i.) + 2a'o<iI> + X%jokk, (8)
*i, = PA/8 + 2У%п + 2е'»<ч> + P\nftft. О)
где
/1 /1
6цК '
2
P +
Рассмотрим бесконечно малый элемент тела, поверхность кото-
которого свободна от напряжений ац и цг\,', тогда
Y?/ = <*AA 4 = РД,.е. A0)
Однако мы знаем, что возрастание температуры может вызвать
только деформацию, но не повороты. Поэтому % = 0, р* = 0. Ве-
Величина щ является коэффициентом линейного теплового рас-
расширения.
Мы уже можем дать окончательный вид определяющих
уравнений
°ц = 2Мш> + 2aY«/> + (*Yftft - v9) 6ljt A1)
V-ц = 2Y*W) + 2ex<?/> + Px*fce,/, A2)
m6. A3)
13.5. Уравнение теплопроводности. Уравнения в перемещениях 805
Заметив, что
tas\ =сг_
\дТ |у, х Т '
где cs означает теплоемкость при постоянной деформации, по-
получим
dS = vdykk + ^dT. A4)
Интегрируя формулу A4) в предположении, что 5 = 0 для есте-
естественного состояния, получим
S = vykk + cz\n^-. A5)
Предполагая, что |8/Г0| <С 1, разлагая логарифм в ряд и сохра-
сохраняя только первый член разложения, имеем
ce^-. A6)
13.5. Уравнение теплопроводности.
Уравнения в перемещениях
В § 13.3 мы получили следующее соотношение:
TS = kQ,n. A)
Продифференцируем соотношение A5) § 13.4 по времени и по-
получим
+ cj. B)
Из сравнения уравнений A) и B) получим уравнение
ivi = O, C)
где
k v7
Уравнение C) нелинейное. Это уравнение мы можем линеаризо-
линеаризовать, принимая |6/Г0|<С 1. Предполагая, что в теле действуют
источники тепла интенсивности W, получим неоднородное линей-
линейное уравнение теплопроводности в виде
е.//-^-По^п = --|, Q = %. D)
Интересно, что в уравнение теплопроводности входит первый
инвариант деформации YAft = divu, но не входит величина %hn-
Заметим также, что уравнение теплопроводности идентично
806 Гл. 13. Теория несимметричной упругости
такому же уравнению для симметричной термоупругости. К урав-
уравнению D) следует добавить граничные и начальные условия. На
границе А может быть задана либо температура, либо тепловой
поток. Если задана температура, то
6(х, /) = Л(х, /). хеД />0. E)
Начальное условие в момент t — 0 имеет вид
8(х,0) = л(х), xe=F, / = 0. F)
Уравнения в перемещениях получим, подставляя напряжения а л
и И;, из формул C) и D) § 13.4 в уравнения движения
Оц,1-\-Х{ = рй1, etikaik + Vii,i + Yi = Jibl. G)
Далее, выражая тензоры уц и кп через перемещения щ и пово-
повороты а>1, получим систему уравнений в перемещениях
(X + 2ц) grad div u — (ц + a) rot rot u + 2а rot to + X =
= pii + v grade, (8)
(P+2y)grad divw —(Y + e)rotrot(й4-
^- 2a rot u — 4aw + Y = /ш. (9)
Уравнения D), (8) и (9) образуют полную систему уравнений
несимметричной термоупругости. Семи неизвестным (три состав-
составляющие вектора и, три составляющие вектора о, температура 8)
соответствует система семи уравнений.
Решение этой системы уравнений, т.е. знание функций и, о, 8,
позволяет определить деформации и напряжения.
К уравнениям в перемещениях следует добавить граничные
и начальные условия. Если на поверхности А заданы перемеще-
перемещения и повороты, то граничные условия примут вид
A0)
Начальные условия выражены соотношениями
ut (х, 0) = U (х), ы, (х, 0) = kt (x),
со, (х, 0) = qt (х), со, (х, 0) = tt (х), х е V, t = 0,
где функции /,-, ki, qu tt являются заданными.
Если на поверхности А заданы нагрузки р\ и моменты mt, то
pt (x, t) = Oji (x, t) n, (x), mi (х, 0 = \ijt (x, t) nt (x), A1)
х е= A, t>Q.
13.6. Уравнения совместности 807
Выразим теперь правые части уравнений A1) через величины и
и to. Имеем
-vn6 A2)
(u)n + 2Y|^ + (Y-a)nX(VX<o). A3)
При a = 0 соотношение A2) переходит в известное выражение
для нагрузок в теории симметричной упругости.
13.6. Уравнения совместности
Формулы, определяющие тензор деформаций и тензор изгиба-
кручения, имеют вид
Vi,i = ut,i — 6kn<uk, 0)
«/* = «>*./• B)
Функции Yjt. Щ< He могут быть произвольными, эти функции
должны удовлетворять дополнительным условиям, которые обес-
обеспечивают существование однозначных непрерывных решений м<
И Юг-
Эти дополнительные условия, называемые условиями сплош-
сплошности (совместности), были даны Сандру '). Он показал, что не*
обходимым и достаточным условием того, чтобы кинематиче-
кинематическая система A), B) была интегрируемой в односвязной обла-
области, является выполнение следующих 18 уравнений сплошности:
И/гл = «н,/, C)
У и, h — \ы. i + ешш — ЧиУ-hk = 0. D)
Соотношения C) мы получаем непосредственным дифференциро-
дифференцированием зависимости B). Соотношения D) находим из рассмот-
рассмотрения интеграла
р' р'
и\ (х') = и* (х°) + J dut = и\ + J uiw f dxr E)
р" р'
Здесь ы9(х°) представляет собой перемещение в точке Р°,
и'{{\') — перемещение в точке Р'. Выражение E) преобразуем,
') Sandru N.. On Some Problems of the Linear Theory of the Asymmetric
Elasticity, Int. !. Eng. ScL, 4, № 1 A966).
808 Гл. 13. Теория несимметричной упругости
учитывая формулы A) и B), следующим образом:
«! = «?+ J Yy, <&/ — ««/ J <V* (*/-*/') =
ро ре
Р'
Р'
= «2+ WW ~*D + I Vndxt. F)
р°
где
*>« = У и + «**/ ('v/ ~ хд *ik- G)
Так как перемещение и\ должно быть независимым от пути ин-
интегрирования, то подинтегральное выражение Uadxi должно быть
полным дифференциалом. Необходимым и достаточным усло-
условием того, чтобы выражение G) было полным дифференциалом,
является
UU.H = UM,,. (8)
Из последних условий получим соотношения C) и D).
Если теперь в условия C) и D) подставить ки и ул. выра-
выраженные через напряжения ац и моментные напряжения Щ{, то
эти условия можно записать в напряжениях. Можно образовать
таким образом аналог уравнений в напряжениях Бельтрами —
Мичелла.
13.7. Волновые уравнения
Вернемся к уравнениям (8) и (9) § 13.5 и представим их
в несколько иной форме:
? 2и + (X + ц — a) grad div u + 2а rot to + X = v grad 8,
? 4to + (p + у— e) grad div to + 2a rot u + Y = 0, A^
где
Применим к обоим уравнениям операцию дивергенции. Вводя
обозначения
получим волновые уравнения
? ie + divX = vV29, Q4r + divY = 0, B)
где
13.7. Волновые уравнения 809
Первое уравнение из системы B) представляет распространение
волны дилатации; оно не отличается от аналогичного уравнения
теории симметричной упругости. Второе уравнение представляет
распространение волны кручения. Заметим, что в бесконечном
упругом пространстве температурное поле может явиться при-
причиной распространения волны, но только волны дилатации; вто-
второе уравнение системы B) не зависит от температуры.
Исключим из уравнений A) сначала функцию ш, а затем
функцию и. В результате получим систему уравнений
— а)П4 — 4а2]grad divu +
+ П4Х —2а rot Y = vD4 grade,
-е)П2 — 4a2]grad div со + • C)
+ D2Y —2arotX = 0.
Разложим вектор и на потенциальную и соленоидальную части:
rot if, divt|> = 0. D)
Подставляя последние соотношения в первую из формул C) и
разлагая аналогично
Х = р (grad Ь+ rot I), Y = /(grada + rotti), E)
получим систему двух волновых уравнений
(П2П4 + 4a2V2)ij> + рП4Х — 2a/ rot ц = 0. F^
Подставляя во второе уравнение системы C)
ш= grad 2 + rot H G)
и учитывая формулы E), получим два других волновых уравне-
уравнения
(П2П4 -Ь 4a2V2) Н -(- /Пг1! — 2aprotX=0.
К этим уравнениям следует добавить уравнение теплопровод-
теплопроводности (уравнение D) § 13.5)
V20 — -le — Tiodivii = — —, (9)
которое при учете формул D) примет вид
DQ — Ti0dfV2<P = ——, Z)^V2 dt. A0)
Исключая температуру Э из первого уравнения системы F) и
A0), получим окончательный вид волнового уравнения для
810 Гл. 13. Теория несимметричной упругости
продольной волны:
> + pDV + ^-Q = 0. A1)
Аналогично исключение функции Ф из первого уравнения си-
системы F) и A0) приводит к уравнению
Рассмотрим распространение волн в бесконечном упругом
пространстве. Предположим сначала, что величины х, ц, а равны
нулю, а начальные условия для функций 2, \jp, H являются одно-
однородными. В этом случае в бесконечном упругом пространстве
распространяются только продольные волны, вызванные дей-
действием источников тепла Q, потенциальной частью массовой силы
X и, наконец, начальным условием для функции Ф. Уравнение
A1), описывающее продольную волну, идентично уравнению,
найденному для классической упругой среды. Из гл. 12 известно,
что волна, описываемая уравнением A1), является затухающей
и обладает дисперсией.
Так как
«4==Ф,г, со/ =0, уу< = Ф,г/> куг = 0,
то
Продольная волна A1) в бесконечном упругом пространстве
обуславливает симметричный тензор напряжений оц.
Если величины Q, п, х, Ц равны нулю, а начальные условия
для функций Ф, if, H однородны, то в бесконечном упругом про-
пространстве мы имеем дело только с волной кручения 2, удовлет-
удовлетворяющей первому уравнению системы (8). В этом случае имеем
«, = 0, ю, = 2„ Yu/) = 0, Vai> = -6kll2tk, х/? = ю, >7 = 2 itr
Тензор Kij симметричен, откуда следует, что тензор моментных
напряжений тоже симметричен:
В теле имеются напряжения вц, причем
Распространение волны кручения не сопровождается температур-
температурным полем. Эта волна вызывает не изменение объема тела, а
только изменение его формы.
Рассмотрим, наконец, случай, когда Q, a, d равны нулю, а
начальные условия для функций Ф, 2 однородны. Остаются вто-
13.8. Принцип виртуальных работ 811
рые волновые уравнения из систем F) и (8). Мы видим, чго
причиной возникновения этих волн в бесконечной области яв-
являются составляющие массовых сил и моментов, величины % и
ц. Заметим, что эти волны не сопровождаются температурным
полем; они вызывают асимметричные напряжения оц и [ij*.
В случае ограниченного тела возникают волны всех упомяну*
тых здесь типов. Волновые уравнения связаны между собой гра-
граничными условиями.
13.8. Принцип виртуальных работ
о убедиться, что справедливо сле
J [(*, - рй,) Ьщ + (У, - J&t) 6a<] dV + J (Pi б«, + mt fia,) dA
V A
Можно легко убедиться, что справедливо следующее урав-
уравнение:
Для этой цели достаточно преобразовать, воспользовавшись тео-
теоремой Гаусса — Остроградского, поверхностный интеграл и ис-
использовать уравнения движения. Левая часть уравнения A)
представляет виртуальную работу внешних сил, правая — вир-
виртуальную работу внутренних сил. Через б«, и бсо, обозначаем
произвольные виртуальные приращения составляющих вектора
и и вектора ю.
Подставляя в правую часть уравнения A) определяющие
соотношения (формулы A1) и A2) § 13.4), приводим принцип
виртуальных работ A) к следующей форме:
J [{Xt - рй,) Ьщ + (У, - J&t) 6щ] dV + | (р, Ьщ + mt fia,) dA =
V А
= 6Ts-vJQ6nkdV, B)
v
где
V
+ ЬУч,Ь\ +Ркььбх )dV= { 6W.dV. C)
V
К уравнению B) добавим уравнение, связанное с уравнением
теплопроводности:
т
= J 9/1; 6Я^ ЙЛ + -^ | 0 69 dK + ^ | Я, вЯ, dV.
— v
' о
V А V V D)
812 Гл. 13. Теория несимметричной упругости
Это — уравнение Био, введенное в § 12.3. Оно остается без изме-
изменений в силу идентичности уравнений теплопроводности в сим-
симметричной и несимметричной термоупругости.
Вспомним, что вектор Н связан с вектором теплового потока
q и энтропией S следующими зависимостями:
q=r0H, S = -div(H). E)
Подставляя формулу D) в уравнение B), получим окончатель-
окончательный вид принципа виртуальных работ для несимметричной тер-
термоупругости:
в (Г + 9 + 0>) = J [{Xt - рй,) Ьщ + (У, - J&t) Ьщ] dV +
(р, Ьщ + mi бсо.) dA — | Qnt 6H, dA. F)
А А
Здесь
v
означает температурный потенциал, а ?) — функция диссипации,
причем
Принцип виртуальных работ может служить для вывода общей
энергетической теоремы. Приравнивая функции щ, со,, 0 в точке
х в момент t действительным функциям щ + duit со* + йац, Э +
+ dQ в той же точке, но в момент / + dt, имеем
6Hi=-Hidt = ~4-Q.idt
' О
Подставляя формулы G) в F), получим
+ f (piVi + niiWi) dA + у- [ ее, ,n, йл, (8)
л л
где
,—&=-?- e ,e ?dK > 0.
1 To J ll ¦'
rov
13.9. Теорема взаимности 813
Здесь Ж— кинетическая энергия, %е—величина, пропорциональ-
пропорциональная производству энтропии, т. е. величина положительная.
Энергетическую теорему можно использовать при доказа-
доказательстве единственности решения для односвязного тела. По
аналогии с симметричной термоупругостью предположим, что ре-
решения и,-, а>г, 9 не единственны, т. е. системе дифференциальных
уравнений удовлетворяют две различные системы функций:
и\, (и'1У 9' и и", со", 9". Оказывается, что разность этих решений
ui = u'i — и'!, ю1 ==&[ — со", 0 = 0' — 0" удовлетворяет однород-
однородным дифференциальным уравнениям с однородными граничными
и начальными условиями. Правая часть уравнения (8) тогда
равна нулю. Приравнивание нулю левой части уравнения приво->
дит к соотношениям Ж = О, W =0, 5s = 0, %Q= 0, откуда выте-
вытекает, что u'l=-u"l, coJ = cu;') 0' = 0", т.е. что решение дифферен-
дифференциальных уравнений в несимметрическом случае единственно.
13.9. Теорема взаимности
Пусть упругое тело заключено в объеме V и ограничено по-
поверхностью А, и пусть имеют место две системы причин. К пер-
первой системе причин отнесем массовые силы Хи массовые мо-
моменты К,-, источники тепла Q, затем нагрузки /?* и rtii на поверх-
поверхности А, а также нагревание этой поверхности. Следствиями яв-
являются здесь составляющие вектора перемещения и, вектора по-
поворота ю и температура Э. Вторую систему причин и следствий
в отличие от первой снабдим штрихами.
Применим преобразование Лапласа к определяющим уравне->
ниям и получим следующие соотношения:
оц — (ц + a) \}i + (ц — а) Y*/ + (A-Yftft — V6) 6jy, A)
lM = (Y + e)>^ + (Y — е^ + Р^Ау, B)
где
сю
оц (х, р) = 2 \а„ (х, 01 = J olt (х, 0 е-Р' dt
о
Соотношения, подобные A) и B), получим для напряже-
напряжений д'.{, Цг
Легко можно убедиться в справедливости следующего тож-
тождества:
Интегрируя это тождество по объему V, имеем
J (S,,Yj, ~ 5J,Y,, + hfti ~ А**/*)dV = v I F'Y« ~ Чъ) dV. . D)
814 Гл. 13. Теория несимметричной упругости
Применим преобразование Лапласа к уравнениям движения,
предполагая, что начальные условия являются однородными.
Получим уравнения
ali,l + Xi = pp%, tilkOjk + \\ji.i + Yi = PlJ<iii E)
и аналогичные уравнения для напряжений со штрихами. Пре-
Преобразуя уравнение D) при учете E), имеем
J (Xtu't + У,ОdV + J (pfi't + т.о.;)dA =
V А
= J (X'fit + У>,) dV + J (pfa + mfa) dA +
F)
Это первая часть теоремы взаимности. Вторую часть этой тео-
теоремы установим, используя уравнение теплопроводности, к ко-
которому применено преобразование Лапласа:
G)
-I1
Предположим и здесь, что тепловые начальные условия являются
однородными. Умножая уравнение G) на 0', уравнение (8) на
0, вычитая один результат из другого, а затем интегрируя раз-
разность по объему тела и применяя преобразование Гаусса —
Остроградекого, имеем
р\ I (yjf ~ y'J) dV + ± J (Q'e - Q0') dV -
ё'е.,, —0)^ = 0. (9)
A
Исключая из уравнений F) и (9) общий член, получим
к J (ее;„- e'e. „) dA + J (Q'0 - qg') dK = o. (io)
13.10. Следствия из теоремы взаимности 815
В это уравнение входят все причины и следствия. Применяя об-
обратное преобразование Лапласа к уравнению A0), найдем окон-
окончательную форму теоремы взаимности:
t
= ^ f <М(х) (¦[9/(х>т)е,п(х>/-т)-е(х,
+ ^ J dV(x) \[Q(x,t-x)Qr{x, x)-Q'{x,t-x)Q(x, x)]dx. A1)
V 0
Мы видим, что при переходе к симметричной термоупругости
теорема взаимности A1) переходит в теорему Ионеску-Кази-
мира ').
13.10. Следствия из теоремы взаимности
Сначала рассмотрим бесконечное упругое пространство. Пусть
в точке § этого пространства действует мгновенная сосредоточен-
сосредоточенная сила Х{ = 6(х — §N(/N,-й, направленная параллельно оси
xk. Обозначим через U\k)(x, |, /) перемещение, вызванное дей-
действием этой силы. Пусть в точке ц действует мгновенная сосре-
сосредоточенная сила X'i=6(x — tiN(/N,7, направленная параллель-
параллельно оси Xj. Эта сила вызывает поле перемещений ?/(/'(х, ц, t).
Из теоремы взаимности (формула A1) § 13.9), в которой для
бесконечного пространства исчезают поверхностные интегралы,
получим
— 6(x — r\N{t —
dx
') V. Iongscu-Cazimir, loc. cit. стр. 76§.
816 Гл. 13. Теория несимметричной упругости
откуда
№\t,r\,t)=uT{4ht).
После интегрирования по времени имеем
?Л"A, Ц, t) = uT{% |,0. A)
Пусть в точке § действует мгновенная сосредоточенная сила
Xi = б(х — 1)б(/)б,-й, а в точке т]— мгновенный точечный источ-
источник тепла <Э' = б(х — т]N@- Обозначим через 0(ft)(x, §, t) тем-
температуру, вызванную действием силы Xit а через ?/,-(х, т], /) —пе-
—перемещения, связанные с действием источника тепла Q'. Из урав-
уравнения взаимности имеем
\ dV(x)\
V
= 0, B)
откуда вытекает, что
а TipX dUk F, я,
Предположим теперь, что в точке 1 действует мгновенная со-
сосредоточенная сила Xi = б (х — |) б(t)&ik, а в точке ц — мгновен-
мгновенный сосредоточенный момент Y\ = б(х — TiN(/N,y. Обозначим
через Q^'(x, §, /) вектор поворота, вызванный действием силы Xt,
а через l4j)(x, л. 0— вектор перемещения, соответствующий
действию момента Y\. Из теоремы взаимности вытекает, что
vTih л, 0 = Q/*)K. I, 0- C)
Пусть, наконец, в точке § действует момент Кг==б(х —
— 1)б@<5,л, а в точке ц — источник тепла Q' = б(х — лN@-
Обозначим распределение температуры, связанное с действием
момента Yu через A(ft)(x, |, t), а вектор перемещения, вызванный
действием источника тепла, через Г,(х, ц, t). Из теоремы взаим-
взаимности следует, что
Можно показать, что соотношения A) — D) справедливы
также для ограниченного тела с однородными граничными усло-
условиями.
13.10. Следствия из теоремы взаимности 817
Рассмотрим ограниченное тело, в котором движение обуслов-
обусловлено начальными условиями. Задача, которую мы ставим, за-
заключается в определении величины перемещения щ, поворота
со, и температуры 6 в точке х?|/ с помощью поверхностных
интегралов.
Все функции без штрихов относятся к ограниченному телу.
Положим, что все величины со штрихами относятся к бесконеч-
бесконечному упругому телу. Будем обозначать через u'i = Uf) {х, |, /),
&[ = О,\к> (х, ?, t), 9' = e(ft)(x, ?, /) составляющие полей, вызванных
мгновенной сосредоточенной силой Х\ = Ъ{х—?,)d(t)dni, прило-
приложенной в точке | е V и параллельной оси хА. Используя теорему
взаимности (уравнение A1) § 13.9), получим в предположении
Х{ = 0, Yx = 0, Y'i—Q, Q = Q' = 0 следующее выражение:
= j
L (i, t - r) dU<k) f;x-T)
— т) ^^ 1-"Ml, ^ — т) ^
-mV{l, x, t-x)da>i?r) +~[Q(l, t-r)QlkUh x, t)-
} xeK, te=A. E)
Здесь мы ввели обозначения
р\к> (х, ?, /) - о<*> A, х, О П[ (х), т«» (х, 1, 0 = J*'/? (х, S, О Я/ (х).
хе Л,
где a{jf, \i[jf — напряжения, вызванные действием силы Х\ =
(в@
Формула E) выражает функцию н/г(х, /) с помощью поверх-
поверхностных интегралов, в которые входят значения функций щ, pit 8,
со*, ttit, Q,n на поверхности А.
Пусть теперь система со штрихами относится к действию
в бесконечном упругом пространстве мгновенного сосредоточен-
сосредоточенного момента Y'i = 6(x — !N(/N/?. Связанные с этим моментом
перемещения, повороты и температуру определяем через
ы; = vf (х, а, о, ®1=мк)(х, I, о, в'=*(*! (х, г, t).
818 Гл. 13. Теория несимметричной упругости
Из уравнения взаимности находим при Xi=X'i=0, F( = 0,
Q = Q' = O следующее соотношение:
« J
+ -^ [е (s, / - т) ъ™ (|, х, т) - в'*1 (|, х, / - т) е, „ (|, т)]}, F)
хенУ, |еД,
где
Р; (X, I, 0 = д<*> (X, |, О П, (X), Л<*» (X, |, 0 = ^*) (х, I 0 Яу (X),
Через ст1.*', р,'*' мы обозначили напряжения, вызванные дей-
действием момента П=б(х —1N(/N«. Очевидно, что функцию
co/i(x, ^) мы выразили здесь исключительно через поверхностные
интегралы, в которые входят значения функций щ, ®и 8, ри ти
8, п на поверхности А.
Пусть, наконец, в точке | бесконечного упругого простран-
пространства действует сосредоточенный мгновенный источник тепла
Q' = 6(x —1N@. вызывающий перемещения и\ = Ut (x, |, /),
повороты со^ = ОДх, ?, 0 и температуру 8' = 0(х, |, /). Из урав-
уравнения взаимности при Х( = Х/г = 0, F; = К| ^0, Q = 0 получим
следующую формулу:
-в(|, х,/-т)в.„A, т)-
^]Ц G)
хеУ, ?е= Л.
Здесь через
;(х, а, /) = nj,(х, а, /)п;.(х),
обозначены главные векторы сил и моментов на поверхности Л,
обусловленные действием мгновенного сосредоточенного источ-
источника тепла Q' = 6(x — |)б@
13.11. Общие теоремы эластокинетики 819
Формулы E) — G) можно трактовать как обобщение формул
Сомильяны на задачу несимметричной термоупругости.
Если функции Грина UT, Q.f\ @{k>, ... выбраны так, что удов-
удовлетворяются однородные граничные условия для перемещений,
поворотов и температуры, то формулы E) — G) значительно
упрощаются (так как Uf\ Q.f\ &<k), ... равны нулю на А). При
этих упрощениях формулы E) — G) являются решениями пер-
первой краевой задачи.
Аналогично, выбирая функции Грина (l/[ \ Qi \ в* ', . ..) так,
что на границе А нагрузки и температура равны нулю, формулы
E) — G) можно трактовать как решение второй краевой задачи.
13.11. Общие теоремы эластокинетики
В классической эластокинетике мы предполагали, что дефор-
деформация происходит в адиабатических условиях. Предположение
S = О, которое мы принимаем и здесь, приводит к соотношению
выражающему пропорциональность температуры дилатащш.
Если соотношение A) подставить в определяющие уравнения
A1) и A2) § 13.4, то получим
Здесь
B)
C)
— постоянные Ламе, отнесенные к адиабатическому состоянию.
Используя соотношения A), приводим уравнения в перемеще-
перемещениях (уравнения (8) и (9) § 13.5) к виду
(Xs + 2[i) grad div u — (у. + a) rot rot u + 2a rot to + X = pu, D)
(P + 2y)grad dived — (y + e)rot rot to + 2arot u — 4a«-f Y = /«. E)
Если выражение A) подставить в принцип виртуальных работ
(уравнение B) § 13.8), то получим
+ J (р, 6щ + mt бсо,) dA = 6W, (б)
820 Гл. 13. Теория несимметричной упругости
где
ЬЖ = J B^;,6уA7) + 2aY<i/> Ьу(ф + 2ухAп6кШ) +¦
Очевидно, что при отсутствии моментных напряжений уравне-
уравнение F) переходит в принцип виртуальных работ классической
эластокинетики.
Из уравнения F) следует основная энергетическая теорема,
которую запишем как
~- (X + Ж) = J {XtVi + YiWi) dV + J (p{vt + miWl) dA. (8)
A A
Из принципа виртуальных работ F) мы можем получить обоб'
щенный на задачу несимметричной теории упругости принцип
Гамильтона.
Перепишем уравнение F) в виде
63T = 6L— p J UtbuidV — J J (bibatdV,
\ (9)
Ы = j (X{ Ьщ + Y{6(o f) dV + j (p; бн,- + m,- 6щ) dA
V A
и проинтегрируем по времени от t0 до t{-
t, ti t,
6j Wdt = J 6LdV— J <#A> J Нгбн;сгУ+/J б?бв?(/И. A0)
и t, t0 \ v v J
Вводя кинетическую энергию
V
вычисляем ее вариацию
i6OHdV. A1)
Деформирование тела происходит непрерывно между двумя
моментами: t = t0 и t = t{. Приравниваем действительные пере-
перемещения н,-(х, /) и повороты сог(х, /) перемещениям щ -f Ьщ и
поворотам cui + бш,-. Вариации Ьщ и бсо( выберем так, что
Ьщ(х, to) = bUi(x, /,) = 0, бсо,(х, д = бсо(х, /,) = 0. A2)
13.11. Общие теоремы эластокинетики
Интегрируя формулу A1) по времени от t0 до tx и принимая
во внимание ограничения A2), находим
Ж¦dt = - p J dt J uibiiidV — JJ dt J (Ь^щйУ. A3)
V
J J
U v U V
Подставляя формулу A3) в A1), получим принцип Гамильтона
в виде
л
^ ^ A4)
Если внешние силы обладают потенциалом У, то
а уравнение A4) переходит в
n —ЛГ)Л —О, П = Г + Г. A5)
Через П мы обозначаем полную потенциальную энергию, через
Ж — П — функцию Лагранжа.
Интеграл по времени от функции Лагранжа принимает на
интервале / ^ t < t\ экстремальное значение по сравнению со
всеми возможными перемещениями и поворотами, которые обра-
обращаются в нуль во всех точках тела в моменты / = t0 и / = t\ и
на поверхности Аи в любой момент времени.
Теорему взаимности для эластокинетики получим непосред-
непосредственно из формулы D) § 13.9, положив в этом уравнении
Ь = ~^ш б' = -тН- A6)
Здесь 9 и у*:*: означают трансформанты Лапласа функций 8,
Подставляя формулы A6) в уравнение
J (ЗД< -
видим, что правая часть этого уравнения равна нулю. Выполняя
в уравнении
J W'u ~ PiPii)dV = °
822 Гл. 13. Теория несимметричной упругости
те же преобразования, что и в § 13.9, теорему взаимности для
эластокинетики можно представить в следующем окончательном
виде:
t
J dV(x) J [Xt (x, t-x)u\(х, т)-Х\(х, т)и.(х, /-т)]dx +
V О
t
+ [dV (x) J [Y. (x, t - т) ю; (х, т) - Y\ (х, т) со, (х, / - т)] dx +
V О
t
+ \dA (x) J [p. (x, t — х) и\ (х, т) - р\ (х, т) и{ (х, / - т)] dx +
А О
t
+ J dA (х) J [m. (x, / - т) coJ (x, t) - m\ (x, т) сог (х, / - т)] dx = 0.
A 0
A9)
Следует заметить, что так же, как и в § 13.9, здесь мы предпо-
предположили, что начальные условия для функций u(x, t) и w(x, t)
однородны.
Без труда можно перенести результаты § 13.10, касающиеся
обобщенных формул Сомильяны, на динамические задачи теории
несимметричной упругости.
13.12. Решение дифференциальных уравнений эластокинетики
Дифференциальные уравнения эластокинетики в перемеще-
перемещениях
{%s + 2^х) grad div u — {\i + a) rot rot u + 2a rot to -f X — pu, A)
(P + 2y) grad div to — (y + e) rot rot to + 2a rot u — 4ato + Y = /« B)
приводим к волновым уравнениям подстановками
u = grad Ф +rot T, div4f = 0,
to = gradS+rotH, divH = 0 ^
и
X = p(gradu+rotZ), Y = /(grada + rotц). ' D)
Подставляя формулы C) и D) в уравнения в перемещениях A)
и B), получим систему волновых уравнений:
tTi —PDA
4 + 4a2V2) Н = 2ap rot n —
13.12. Решение уравнений эластокинетики
823
Первое уравнение системы E) описывает продольную волну,
второе —волну кручения, а третье и четвертое — поперечную
волну кручения. Третье уравнение при а = О переходит в урав-
уравнение поперечной волны классической теории упругости
а четвертое уравнение при а = 0 имеет вид
(8)
[ + /Л = 0, G)
что соответствует волне кручения в гипотетической среде, в кото-
которой возможны только повороты, но невозможны перемещения.
Второй путь разделения системы уравнений A) и B) аналоги-
аналогичен тому, который применил Галеркин :) к уравнениям классиче-
классической эластостатики и Яковаке2) к уравнениям классической эла-
стокинетики. Функции этого типа для несимметричной упругости
предложил Сандру3), применив общий алгоритм, данный Мои-
силом 4).
Ниже мы укажем иной, более простой путь отыскания функ-
функции напряжений, позволяющий опустить кропотливое вычисление
определителей шестого порядка. Исключая из уравнений A) и
B) сначала о, а затем и, получим систему уравнений:
Qu + grad div Ги + ПД — 2а rot Y = О,
Qw + grad div во + D2Y — 2а rot X = О,
где
Q== П2П4 + 4a2V2, Г = (Я + |J. — а) П4 — 4а2,
в=(р+ Y — е) П2 — 4а2.
Операторы Da(a = 1, 2, 3, 4) указаны в § 13.7.
Рассмотрим сначала первое уравнение системы (8), которое
перепишем в операторном виде:
LtJ(u,)+DAXl-2attJkYk,J = 0, i,j,k=\,2,3, (9)
где
Li} = Qbi, + <Эг<Э/Г.
Введем функцию ?, связанную с составляющими перемещения
соотношениями
11 1 ? 1 11Т
-^19 -^13 -^11 ы -^13 11 12 fel
^2 == ^21 Ь2 ^23 > Щ ^=
-32 ^33 ^31 ?3 ^33 -^31 -^32
U, =
22
23
22
A0)
') В. G. Galerkin, loc. cit. стр. 188.
2) M. Iacovache, loc. cit. стр. 568.
3) N. Sandru, loc. cit. стр. 807.
4) G. С Moisil, loc. cit. стр. 188.
824 Гл. 13. Теория несимметричной упругости
После простых преобразований видим, что вектор и связан с век-
вектором g следующим соотношением:
u = DiD4S —graddivTg. A1)
Поступая точно так же со вторым уравнением системы (8), по-
получим зависимость
<о= ПгПз'П — graddiv 6rj, A2)
где ц — вторая векторная функция напряжений.
Подставляя A1) в первое уравнение (8) и A2) во второе,
получим следующую систему уравнений для определения функ-
функций g и 11:
QDg - n4X + 2arotY, A3)
= — D2Y + 2arotX. A4)
Мы получили две независимые системы уравнений. Однако эти
уравнения неудобны для решения, так как в правую часть вхо-
входят дифференциальные операторы от массовых сил и моментов.
Однако если вместо представления A1)—A2) принять соотно-
соотношения
u=Din4(P — graddiv Г<р—2arotm3il'> A5)
iveij) —2arot П,(р, A6)
где ф и ty— новые функции напряжений, то подстановка
формул A5) и A6) в систему уравнений (8) приводит к урав-
уравнениям
? 4 (QD !<Р + X) — 2a rot (QD34» + Y) = О,
?2 (ЙВД + Y) — 2а rot (QD !<р + X) = 0.
Из последних зависимостей следуют уравнения
? iG<P + X = 0, D3Q^ + Y = 0, A7)
служащие для определения функций ф и ty. Уравнения A7) сов-
совпадают с уравнениями, выведенными Сандру другим способом.
Свяжем теперь между собой потенциалы Ф, 2, W, Н из волно-
волновых уравнений E) с функциями напряжений ф, ty. Рассмотрим
уравнения A7) при отсутствии массовых сил и моментов
? 1?ф = 0, П3^ = 0. A8)
Решения этих уравнений можно представить в виде сумм
Ф = Ф' + <Р", Ч» = Ч»' + Ч>". A9)
Здесь функции ф', ф", Ч1', Ч1" должны удовлетворять уравнениям
П1Ч>' = 0, ОФ" = 0,
Pi|)/ = 0 Qip" = O K '
13.13. Монохроматические плоские волны 825
Подставляя формулы A9) в A5) и A6) и используя уравнения
B0), получаем следующее представление:
и = Р1Р 4 Ф" — grad div Г (q/ + ф") — 2а rot П3 Y,
<о = П2Пз^" — graddiv6(ij/ + ij/') — 2аrot Р^". ^
Используя зависимость
rot rot U = grad div U — V2U
и учитывая соотношения
Q=D2n4 + 4a2V2=D1n4 —V2r = D2D3 —©V2,
сводим представление B1) к виду
и = — grad div Гф' — 2а rot П3 Ч>" — rot rot Г<р",
ш = — grad div вгр' — 2а rot P i Ф" — rot rot в-ф".
Из сравнения B2) с представлением Стокса — Гельмгольца
u = grad Ф 4- rot Ч1",
© = grad 2 + rot H
получаем
<rj = _divlV, W=-2aD3Y — Totr(f",
2 = - div 6ф', Н = - 2а П i ф" — rot Qq".
Это и есть искомые зависимости между потенциалами Ф, 2, W, Н
и функциями напряжений <р, ty. Легко также проверить, что вы-
выражения B4) удовлетворяют волновым уравнениям E).
Вернемся к уравнениям A7). Заметим, что в бесконечном
пространстве ф = 0, когда массовые силы отсутствуют (Х = 0).
Тогда
и = — 2arotD3iJ', <о^П2Пзг1' — grades.
Аналогично ^ ^ 0, когда Y = 0. Уравнения A7) особенно удобны
для определения функций и и ш, обусловленных действием со-
сосредоточенных сил и моментов.
Задача о полноте потенциалов Ф, 2, W, Н и функций напря-
напряжений ф, ij; была рассмотрена автором настоящей монографии ').
13.13. Монохроматические плоские волны
Характер распространения волн легче всего будет проследить
на примере монохроматической плоской волны, распространяю-
распространяющейся в направлении оси Х\.
') Nowacki W., On the Completeness of Potentials in Micropolar Elasticity,
Arch. Mech. Stos., 21, № 2 A969),
826 Гл- 13- Теория несимметричной упругости
Предположим, что в однородных волновых уравнениях (урав-
(уравнения E) § 13.12)
? i<? = 0, П32 = 0, йЧГ = 0, QH=0, A)
где
функции Ф, 2, Ч*\ Н зависят только от х, и t. Подставляя в пер-
первое уравнение системы A)
Ф = Лехр(— iat + ikxj, B)
получим следующую фазовую скорость волны:
_
С~
\ Р
Она совпадает с фазовой скоростью продольной волны в клас-
классической теории упругости.
Подставим во второе уравнение системы A) функцию
S = fiexp(— ia + ikxj. D)
Фазовая скорость волны кручения выражается формулой
оз с3 2 4а / Р + 2у \Ч> ,~
с = = а1 = С==Г) E)
Из этой формулы следует, что волны микровращения существуют
только при со > со», т. е. когда частота колебаний превышает
значение 2(сх//I/2. При со-»-оо фазовая скорость стремится к с3.
Подставляя в третье уравнение системы A)
ЧГ = С ехр (— Ш + ikxt), F)
находим следующее уравнение, служащее для определения фазо-
фазовой скорости:
c\c\V + \alcl ~ со2 (с\ + сЩ k* - со2 (со* - со2) = 0, G)
где
Дискриминант уравнения G) представляется формулой
А = [со2 (с\ - с\) - a)?c«]2 + 4a>2a>2c] (c| _ с|). (8)
Очевидно, что этот дискриминант всегда положителен, поэтому
при произвольной со уравнение G) имеет два корня k. С по-
помощью теоремы Виета можно показать, что при со < со* имеется
один положительный корень k уравнения A0), а при со > со» —
два положительных корня. Отсюда следует, что при со < со* су-
существует одна поперечная волна, при со > со* — две поперечные
волны. Для малых частот получим приближенное значение корня
13.14. Фундаментальные решения эластокинети. g27
уравнения G) k2 «* со2/с5, т. е. для малых частот фазовая ско-
скорость поперечной волны составляет приблизительно с$ = (ц/рI/2,
как и в классической эластокинетике.
Асимптотическое решение уравнения G) для больших частот
дает два значения:
<2 ю2 ,ч о»2 ,п.
&,= —, &., = —v. (9)
сг с;
Отсюда следуют два значения фазовой скорости:
~ _('М-а \'/]
с ~ с2 — \- - | ,
13.14. Фундаментальные решения эластокинетики
Рассмотрим действие массовых сил и моментов, гармонически
меняющихся во времени:
X(х, 0 = X*(х)е~ш, Y(x, t) = Y'(x)e-M. A)
В результате перемещения и, повороты ш и потенциалы Ф, S,
W, Н будут меняться гармонически во времени, а волновые урав-
уравнения E) § 13.12 примут вид
])ф' = -А[Ъ\ B)
(V2 + ^) (V2 + Щ ЧГ = 4 rot t,- - -L D2X\ D)
(V2 + Щ (V2 + ^) Н* = 4 rot г ~ Л Drf. E)
Здесь введены следующие обозначения:
D—V + O2 в =v2 + oJ —2р, г = 5^ 2а
ц+а' р
(О / (О2 — (О2 V'2 (О (О
З 2 2
С1 V С3 / С2
°2= • 0Г4 = — ,
С
Значения ^i и ^2 являются корнями биквадратного уравнения
&4 - k2 [о2 4- а2 + р (г - 2)] + а2 (о2 - 2р) = 0. F)
828 Гл- 13- Теория несимметричной упругости
Тогда имеем
U2 \= | [°1 + °\ + Р (г - 2) ± V{o*-ol + р (л-2)J + 4/wof . G)
«2 )
Подкоренное выражение в формуле G) всегда положительно.
Рассмотрим однородное уравнение D). Решение этого урав-
уравнения можно в силу теоремы Боджио представить как сумму
частных решений
удовлетворяющих векторному уравнению Гельмгольца
(V2 + kf) V" = О, (V2 + Щ ЧГ"* = 0. (8)
Частными решениями уравнений (8) являются функции e±ikaRJR
(а= 1, 2). Однако физический смысл имеют только решения
elk<xRJR, ибо выражения
Re
представляют собой расходящуюся волну, распространяющуюся
от места возмущения до бесконечности. Решение однородного
уравнения D) примет вид
^ = А-^-+В-^-. (9)
Аналогично решение однородного уравнения E) представляет
функция
ад ад
H* = C-^- + D-^7r. A0)
В функции W*, Н* могут входить только действительные фазо-
фазовые скорости. Поэтому должно быть Щ > 0, k\ > 0. Первое ус-*
ловие выполнено, второе будет выполнено, если о\ > 2р, или
со2 > 4а//. Это следует из соотношения k\k\ = o\{a\ — 2/?) > 0.
В выражения (9) и A0) входят две волны? обладающие диспер-
дисперсией (так как ku k2 являются функциями частоты со).
Займемся сначала действием массовых сил. Так как Y = 0,
ТОа = 0ит1 = 0. В бесконечном упругом пространстве не воз^
никает волна кручения (S* = 0). Остается решить систему урав-
13.14. Фундаментальные решения эластокинетики 829
нений
I T l) 2 ' \1^/
С1
L fc-'l f' — L Л v* /i o\
1" К2) * 2 иЫ ' \iA)
С2
f ?2) Н* = -4 rot -/*. A3)
с2
Функции тЭ1* и х* определим по формулам
/, /, k=\, 2, 3.
Пусть единичная сосредоточенная сила приложена в начале
координат и направлена по оси х,. Из формул A4) получим
Итак, надо решить следующие уравнения !):
A5)
(V» + *?) (V2 + ft») ^ = ^ (V» -+-СГ2 — 2р) д2 A.) .
') Nowacki W., Green Functions for Micropolar Elasticity, Bull. Acad.
Polon, Sci., Ser. Sci. Techn., 16, № 1 A968).
830 Гл. 13. Теория несимметричной упругости
Решение уравнения A5) известно из классической эластокине-
тики:
Уравнения A6) и A7) решим, применив интегральное преобра-
преобразование Фурье. Так, например, решение первого уравнения си-
системы A6) имеет вид
д
оо оо oo/t) о._\ —IQ-uXu
л л г \а —oi-\--/p)e
ч .,--— v 9—,9w ¦>—Г5Г- "«1 «ct2da3, A9)
¦ 00 —00 —ж * l/ \ */
8ll V2
a2 = < + a
Заметив, что
— oo —00 —00
¦»2 — „2 .
00 00 00 _la x ikf^
Г С С в do.\ da<> flfcto n « e 1
J J J a — k, R
— OO —OO — OO
находим из A9)
где
k j — ft 2 ft 2 1
Из решения второго уравнения системы A6) имеем
olkxR JktR 1
Применение интегрального преобразования Фурье к системе
уравнений A7) дает следующие функции:
п (JbtR-JbiR 0{ е'М etb,R д,\,
В, ^— + В2^-+ВЛ), B2)
Я Я Я /
4ярс| \ R R
где
*5(*5-*О*
13.14. Фундаментальные решения эластокинетики 831
Перемещения и повороты найдем по формулам
u = grad<D + rot4r, t» = grad 2 -f rot H.
Так как Y = 0, то <т = 0 и 2 = 0. Итак, имеем
а\ = д2т — д,Н2, ®*2 = d3Hl — dim, m = dtm — d2Hl B3)
В результате получим следующие формулы для амплитуд пере-
перемещений и поворотов:
• //•<» ! I л и" eik'R i л «2 e'*lR
a, —Hi —
R
Мы получили три составляющие вектора перемещения U) " и три
составляющие вектора поворота Q/1". Перенесем теперь сосре-
сосредоточенную силу в точку | и направим ее параллельно оси xt.
Тогда, например,
^f^F^y^R
где
Таким образом мы получили тензор поворотов Ql/'(x, !) и тен-
тензор перемещений ?/(/'(х, Е), /, /= 1,2,3. Подставляя в формулы
B4) а = О, получим переход к классической эластокинетике:
//•(П 1 е1Х , 1 д д
Ui ^= о, ¦
' 4n(i R ч 4лрш2 дх. дх. \ R / ' ОР.\
fi/"' = 0, /, / = 1, 2, 3,
где
с2 \ р
Вернемся к формулам B4). Заметим, что сосредоточенная
сила, направленная по оси х\, вызывает поворот co* = Q*A| = 0.
Это приводит к тому, что составляющие уц\ (/ = 1, 2, 3) тензора
изгиба-кручения х»,- = соу,,- равны нулю. Составляющие тензора
деформаций уя = djUi — е^сой отличны от нуля. В формулы B4)
832 Га 13- Теория несимметричной упругости
входят три рода волн, связанных с величинами <ть k\ и k2. Вол-
Волны, связанные с величинами k\ и k2, обладают диспер-
дисперсией.
Рассмотрим действие массовых моментов. Так как X = О, то
Ф = 0, х = 0. В бесконечном пространстве нет продольной волны
(ф* = 0) и остается система уравнений
2 " '
4
f kt) 4? = -j rot vf, B7)
! + *D(v4;®h' = —!?
Пусть теперь в начале координат действует сосредоточенный
момент
F; = 6(*,N(*2N(*3Niy) /=1, 2, 3.
Составляющие сг* и г\* получим из формул, аналогичных A4):
._ 1 а (М
з 4я/ ах21 /?) •
Тем же методом, что и в предыдущем параграфе, находим
следующие решения:
r =-¦
1 д (eik'R-l
ax,
(eik'R-l\
\ R I'
ecklR
B8)
i=U 2, з,
где
a\
13.14. Фундаментальные решения эластокинетики 333
Перемещения и повороты найдем по формулам
Подставляя в формулы B9) выражения B8), получим
. T,,U)_ г д (eik'R-eik
tlj V j g / 2 2\~ 1 / ^ д 1 о
4ziJc^(k^ — #2) k ^ R
• ir/'d) 1 I U2n e I ifin e' I X 1
G>l=Wi = 7Г «1C1 h«2C2 Ow 4-
' J i_r.2l ' ' n ' D I 4 '
C0)
1 / o4i\R „ikiR />'*sR\
^,c,v + c,V + c'V- C1)
k, i=i, 2, 3.
Перенося сосредоточенный момент в точку | и направляя вектор
момента параллельно оси Xi, получим тензор перемещений Грина
Vfl)(x> Ю и тензор поворотов W"il)(x, |), например
/, /, * = 1, 2, 3,
где
R = [(xt-h)(xi-h)]\
Возвращаясь к формулам C0) и C1), заметим, что действие
сосредоточенного момента Y) = 6 (хх) 6 (л:2) 6 (л:3) f>lj вызывает нуле-
нулевое значение перемещения в направлении оси Jti(«* = O), а по-
потому и yii = 0. Так как k\, k^, k3 являются функциями частоты,
то все типы волн, входящие в формулы C0) и C1), обладают
дисперсией.
Рассмотрим некоторый частный случай. Пусть в точке %
приложена сосредоточенная сила Х] = Ь(х — |N/г, параллельная
оси хг. Эта сила вызывает перемещения Ufr)(\, |) и повороты
Qy(r>(x, 1). Пусть, далее, в точке г\ приложен сосредоточенный
момент F; = 6(x — ti) б/f, параллельный оси xh Он вызывает
перемещения К/'"(х, г\) и повороты Wfl){x, r\). К названным
выше причинам и следствиям применим теорему о взаим-
взаимности работ:
J (ху; + уу.уу = j (z;x + y^dv. (зз)
834 Гл 13- Теория несимметричной упругости
Последнее уравнение дает
|б(х-|N/гК}("(х, 4)dV(x)= Je(x-4)ey/Qj(r|(x, %)dV(x),
v
откуда
Используя формулы B5) и C2), получим
JXk
д
<,<*¦«_
х~г C5)
Учитывая, что /- = 2а/(рс|), p = 2aj(Jc'?), видно, что соотношение
C4) удовлетворяется. Уравнение C4) можно трактовать как
обобщение известной из классической эластостатики теоремы
Максвелла о взаимности работ.
13.15. Вариационные теоремы эластостатики.
Теорема взаимности
Пусть тело находится в естественном состоянии, в котором
как деформации, так и перемещения равны нулю. В процессе де-
деформирования, осуществляющегося достаточно медленно, проис-
происходит изменение температуры. Предположим, однако, что проис-
происходит теплообмен с окружающей средой, так что процесс можно
считать изотермическим. При установившемся деформировании
и отсутствии источников тепла и нагрева все полевые величины,
перемещения и и повороты и становятся независимыми от вре*
мени, а 6 = 0 (T=T<j).
Определяющие уравнения задаются формулами
о и = 2|iY,iy, + 2aY(i/> + Xykkbijt A)
где \i, к—постоянные Ламе, отнесенные к изотермическому со-
состоянию.
Принцип виртуальной работы получим непосредственно из
уравнения F) § 13.11, отбрасывая в этом уравнении инерцион-
инерционные члены
(X. Ьщ + К, Ьщ) dV + J (pi Ьщ + m, 6щ) dA = 6Же, C)
Л
13.15. Вариационные теоремы эластостатики 835
где
2юе(</) Цф + Xykk 6Ynn + К* fix J dK. D)
е(</) Цф + Xykk 6Ynn + К* fix J
Так как массовые силы и моменты, а также поверхностные на-
нагрузки и моменты не варьируются, можно уравнению C) при-
придать следующую форму:
- J (Xtut + ?{Щ)dV - \ {р^ + т1Щ)dA~\ = 0. E)
v ла J
Мы здесь предположили, что на части Аи поверхности заданы
перемещения, на Аа — нагрузки. Поскольку 8и{ = 0 на поверх-
поверхности Аи, в уравнении E) остается интеграл по поверхности Аа.
Обозначая выражение в квадратных скобках через П, имеем
6П = О. F)
Величина П—потенциальная энергия тела — имеет экстремум.
Поступая так же, как и в теории симметричной упругости, можно
показать, что функционал П достигает абсолютного минимума.
Согласно теореме о минимуме потенциальной энергии, из всех
перемещений и и поворотов и, удовлетворяющих заданным гра-
граничным условиям, потенциальная энергия достигает абсолют-
абсолютного минимума только на одном поле перемещений и поворотов,
а именно на поле и, м, которое удовлетворяет условиям равнове-
равновесия.
В частном случае Xt = У* = 0 при заданных функциях и, (о
на всей поверхности А получим из формулы E)
6Г е = 0. G)
Теореме о минимуме упругой энергии можно придать иную
форму '). Рассмотрим поле перемещений щ и поле поворотов и,-,
соответствующие им напряжения <x(J- и ц^, а также деформации
Yij и Kij. Пусть для поля u, w будут выполнены уравнения равно-
равновесия и граничные условия на Аи и Аа:
Обозначим через и*, <о* другое поле перемещений и поворотов,
отличное от и и о. От функций и*, и* потребуем только удовлет-
удовлетворения кинематических условий на Аи:
и) = й% «; = &;, хе=Ла. (8)
•jNowacki W., Some Theorems of Asymmetric Thermoelasticity, Bull. Acad.
Polon. Sci., Ser. Sci. Techn., 15, № 5 A967).
836 Гл. 13. Теория несимметричной упругости
Функциям и], со* соответствуют тензоры сг^, ц.^ и y*.jt н*г На-
Напряжения <т*., ц.^ могут не удовлетворять уравнениям равнове-
равновесия. Умножим первое из уравнений равновесия на (и* — ut),
второе на (со* — <вг) и проинтегрируем по объему тела:
После простых преобразований и применения теоремы
Гаусса — Остроградского приведем последние уравнения к виду
J х, («; - ut)dv + J Р{ («; - «,) d л = J а„ («; - щ\ tdvt
Аа
Здесь мы использовали следующие зависимости на поверх-
поверхности А:
u] — ut = 0, со* — ю, = 0, хеЛы.
Так как в соответствии с определением тензора деформаций
"I. / ~ "«. /= Ъ - Y;^ + е*/^ К - "»*)•
то, складывая почленно уравнения A1), получим
J [Xt(u-t-ut) + Yt(u]-ul)]dV+ J [p((«;-«<) + m(.(co--
Обозначим через Ws(yjh Кц) работу деформации, связанную
с полями ир со., а через УУ"е(у]р и^) работу деформации, соот-
соответствующую полям и?, coj; здесь
+ у YftftY«« + J KkkKnn) dV. A3)
13.15. Вариационные теоремы эластостатики 837
Обозначим через Wt{y*j{ — yjt, x*(.—х/г) работу деформации,
связанную с разностями и\ — ut, ®\ — сог Как We(ylt, х/г), так
и Wl{y)t, к'ц) и yfs{y'ii — ^ji, k)i—Kii) являются квадратичными
положительно определенными формами. Воспользовавшись
уравнением A2) и аналогичными выражениями для WKy*^, х*г)
и Же(У*ц— Уц> к*ц—кц)' найдем, что
~ J Wt-Vii)aHdV
V V
Комбинируя соотношения A2) и A4), получим следующее нера-
неравенство:
к - J (ад+!>;)<*v - J м+«I»;) ^ >
A5)
Ао
Это неравенство указывает на то, что потенциальная энергия по-
полей и,, ©г, которые удовлетворяют граничным условиям и урав-
уравнениям равновесия, всегда меньше потенциальной энергии полей
и*, со), которые удовлетворяют только граничным условиям на
Аи и не удовлетворяют уравнениям равновесия.
Перейдем к следующей вариационной теореме эластоста-
эластостатики—теореме о минимуме дополнительной энергии. Рассмот-
Рассмотрим интеграл
lyIif>aIi + 7ili6ixli)dV. A6)
Здесь через бац, дцц мы обозначили виртуальные приращения
напряжений о,-; и ц.ц.
Обозначим через Wa работу деформации как функцию о а и
цц, отнесенную к единице объема. Так как
dWa _ dWa
то интеграл A6) можно представить в виде
| (у,{ 6o,t + Kn6u,i)dV = ' 60,1 4- -5—- 6u,j) dV = bWa, A8)
j \Yji ji l ц v-it) j удОц lin d\ijt rjij at \ I
v v
838 Гл. 13. Теория несимметричной упругости
где
Wa= j Wa dV, Wa = »'o{lnoHj) + a'oUj)a<ih + -j akkann +
v
of
Преобразуя левую часть уравнения A8) и требуя, чтобы вели-
величины бег,,- и byiji удовлетворяли уравнениям равновесия и одно-
однородным граничным условиям на Аа:
= bOjiiij = 0, бт^ = б|л/г-Лу =0, хеД
приходим к формуле
Так как перемещения и,- и повороты со{ не варьируются на А,Л,
уравнение B1) можно записать в виде
6Г=0, B2)
где
Так же как и в симметричной термоупругости, здесь можно до-
доказать, что Г достигает минимума. Уравнение B2) является
обобщением теоремы о минимуме дополнительной энергии на
случай несимметричной упругости.
Эту теорему можно формулировать иначе. Рассмотрим поле
напряжений ац, щ%, которое удовлетворяет уравнениям равно-
равновесия
|i/*./=0, xeF, B3)
и граничным условиям
J ' ' /' B4)
u{ = f{, u>i = gi, хеЛн.
Деформации ул и составляющие тензора кц должны удовлетво-
удовлетворять условиям совместности.
Введем поле напряжений a'jt, ц'{, отличное от поля ац, цц,
и потребуем, чтобы поле напряжений a"ijt jlx*( удовлетворяло
уравнениям равновесия
13.15. Вариационные теоремы эластостатики 839
и граничным условиям на Аа
p'i = o]inj=Pi> m] = n]inj = thi, хеЛ0. B6)
Мы не требуем, чтобы поле а*/(, ц' удовлетворяло кинематиче-
кинематическим условиям на Аи и условиям совместности.
Обозначим через Wa(ajt, цп) и F*(cr*., jx*.) работы дефор-
деформации, связанные с полем Оц, ц^ и полем- сг*г, ц*„, а через
Жа[о'п — оп, ц'^ — nj{) работу деформации, соответствующую
полю (<т*( — ajt, \1*п — цп). Эти работы деформации являются
положительно определенными квадратичными формами своих
аргументов. Легко проверить справедливость соотношений
ПК,-1*!,)-*>„. М - J «¦< -*/,)у„ dv -
v
- J Wt - ы */<d]/=га к*. - v I*;* -1*/*) > о- B7)
Используем соотношения
и преобразуем два последних интеграла в неравенстве B7).
Получим
+ 1 {О, ¦ ill- "Т~ (Ц,, ,-\- ? . ..О" ,l 1 CD . — О" ¦, ,tl • — I U ., , —I— € .., 0,, 1 CD Л Cl V ^ 0.
v B8)
Объемный интеграл равен нулю в силу уравнений равнове-
равновесия B3) и B5). В силу идентичности граничных условий B4) и
B6) на поверхности Аа поверхностный интеграл в неравенстве
B8) берется по поверхности Аи.
Неравенство B8) можно записать в виде
К~ J [P>i + т>дdA>Wa- \ (Ptut + m,co;)dA. B9)
Аа Аа
Левая часть этого неравенства представляет собой дополнитель-
дополнительную работу Г* поля а*(-, n*j(, правая часть — дополнительную
работу Г поля ajt, цц, так что
Г* > Г. C0)
Дополнительная работа Г относится к напряженному состоянию,
для которого удовлетворяются условия равновесия, граничные
840 Гл. 13. Теория несимметричной упругости
условия и условия совместности. Дополнительная работа Г* от-
относится к напряженному состоянию, для которого удовлетво-
удовлетворяются уравнения равновесия и только часть граничных усло-
условий, а именно условия на поверхности Ло.
Неравенство C0) показывает, что дополнительная работа Г,
относящаяся к напряженному состоянию, для которого удовлет-
удовлетворяются уравнения равновесия, условия совместности и все гра-
граничные условия, меньше дополнительной работы напряженного
состояния, для которого удовлетворяются только уравнения
равновесия и часть граничных условий:
Для несимметричной теории упругости выведена более общая
вариационная теорема как обобщение вариационной теоремы
Рейсснера (§ 4.9).
Перейдем к теореме взаимности для задач эластостатики.
Исходим из тождества
W, + »,?¦'„ = о'цЧ» + Р'н*,,, C1)
следующего из определяющих соотношений A) и B), выписан-
выписанных для напряжений, связанных с системами сил со штрихами л
без штрихов. Интегрируя это тождество по объему тела, после
ряда преобразований и использования уравнений равновесия по-
получаем, что
J (Xtu\ + Ytu't) dV + J (р(и\ + mp\) dA =
V A
= J {X\ut + Yfa) dV+ j {p\Ul + m>,)dA. C2)
V A
Мы не будем обсуждать следствий, вытекающих из этой тео-
теоремы. Добавим только, что совершенно аналогично тому, как это
было сделано в гл. 4, мы можем и здесь вывести формулы типа
формул Сомильяны и построить решения уравнений в переме-
перемещениях, используя функции Грина.
13.16. Уравнения эластостатики в перемещениях
Уравнения эластостатики получим из уравнений эластокине-
тики в перемещениях, приравнивая в этих уравнениях нулю про<
изводные по времени. Таким образом мы приходим к системе
уравнений
(ц + a) V2u + (X + ц — а) grad div u + 2а rot со + X = 0, A)
(у + е) \2<я -\- (р + y — е) grad div со — 4а© + 2а rot u + Y = 0. B)
13.16. Уравнения эластостатики в перемещениях 841
Преобразуем эти уравнения. Представим тензор Ytj через его
симметричную и антисимметричную части:
Yu/, = т (diui + d'ui)' Y«/>= ? (diui ~ diui) ~ ?./A- О)
В векторной записи мы получим антисимметричную часть
Y^=irotu-@, или Yi? = Te«m^«m —«>*• D)
Рассмотрим теперь однородные уравнения A) и B). Подставляя
в них
со = j rot u — \А, E)
получим
цУ2ц + (Я + и) grad div u = 2ct rot ул, F)
(Y + e) V2\A-4a\A + (p + v-e) grad div Y = у (y + e) V2 rot u. G)
Заметим, что подчеркнутые в уравнении F) члены входят в урав-
уравнения в перемещениях классической теории упругости. При от-
отсутствии массовых сил уравнения в перемещениях теории сим-
симметричной упругости имеют вид
jiV2v + (A + n)graddivv = 0, V2rotv = 0. (8)
Функция rot v гармоническая, и уА = 0.
Если предположить, что v = u, уА = 0. И учесть формулы
(8), то уравнения несимметричной упругости F) и G) удовлет-
удовлетворятся. Функции v = и, \А = 0 можно трактовать как частные
решения уравнений F) и G). Очевидно, что каждое состояние
равновесия классической упругой среды является также состоя-
состоянием равновесия и среды Коссера1).
Частное решение v = и, \А = 0 позволяет последовательно
определить величины co^-g-rotv, у.ц = с^соу, а из соотношений
— также и моментные напряжения. Так как в силу уА = 0 тен-
тензор напряжений ац симметричен, второе уравнение равновесия
принимает вид
¦) Schaefer H., Das Cosserat-Kontinuum, ZAMM, 47, № 8 A967),
842 Гл. 13. Теория несимметричной упругости
Нагрузки Pi и моменты ши действующие на поверхности тела и
связанные с частным решением, образуют систему, находящуюся
в равновесии.
Используя частное решение u =v, \л = 0, получим доста*
точно просто общее решение системы уравнений F) и G). Вы-
Выразим \А через градиент некоторого скаляра ? и ротор некото-
некоторого вектора rot й:
otQ. (9)
Подставив формулу (8) в F), найдем
u = v-2-^rotQ. A0).
Подставляя формулу (9) в G) и учитывая A0), получим си-
систему уравнений
\%-v% = 0, A1)
^ ^. A2)
Ход рассуждений таков. Решаем уравнения A1) и A2) и реше-
решения i и Q подставляем в (9) и A0). На основе соотношения A0)
убеждаемся, что общее решение уравнений F) и G) удается
представить как сумму решения v классической теории упру-
упругости и дополнительного решения
Разделение уравнений A) и B) можно произвести двумя ме-
методами. Первый, предложенный Миндлином') и Нейбером2),
приводит к обобщенному представлению Папковича — Нейбера;
второй, предложенный Сандру3), является обобщением пред-
представления Галеркина. Займемся вторым методом, выражая пере-
перемещение и и поворот со через две функции напряжений ф и if.
Мы используем выражения, полученные в эластокинетике (фор-
(формулы A5) и A6) § 13.12), отбрасывая в них производные по вре*
') Mindlin R. D., Stress Functions for a Cosserat Continuum, Int. J. Solids
Structures, 1 A965).
2) Neuber H., On the Genera! Solution of Linear-elastic Problems in Iso-
tropic and Anisotropic Cosserat-continua, 11th Congr. Appl. Mech., Miinchen,
1964
8) N. Sandru, loc. cit. стр. 807.
13.16. Уравнения эластостатики в перемещениях 843
мени. Таким образом получим представление
— 4a] rot Ц), A3)
—[(ji + a) (P + v-e) V2-4cr] grad div ij>-2a (Л -f 2ц) V2 rot q>. A4)
Функции ф и ф должны удовлетворять следующим дифферен-
дифференциальным уравнениям:
(% + 2ц) V*V2[(ц + a) (y + е) V2 - 4ца]q> + X = 0, A5)
+ Y = 0. A6)
К настоящему времени решено несколько статических задач
несимметричной теории упругости, в основном двумерных задач.
Ниже мы дадим только фундаментальные решения для бесконеч-
бесконечного пространства, к которому приложены сосредоточенные силы
и моменты. Мы могли бы здесь использовать решения § 13.14,
осуществив в них предельный переход ю-»-0. Однако мы пойдем
другим путем и решим в бесконечном пространстве систему урав-
уравнений
-L# = 0, (v2 —X2J+-L a = 0,
С С
с2
здесь
у2 4°И 2 4а 2а
ft ^= ; ~ г- Vf ^=
([д. + а) (у + в)
Уравнения A7) получаем непосредственно из уравнений F) и
(8) § 13.7, отбрасывая в них производные по времени. Рассмот-
Рассмотрим сначала действие единичной сосредоточенной силы, прило-
приложенной б начале координат и направленной по оси Х\\
Х1 = 6(х1N(х2N(х3Nп.
Из формул A4) § 13.14 получим
844 Гд- 13. Теория несимметричной упругости
Так как о = 0, ц = О и Wi = О, остается система уравнений
4ярс]
/1О\
^ - ^ Я, = - -2-5- (V2 - «J) D)
4ярс
4лрс?2 V R
R
Решениями этих уравнений являются функции
где
k2
1 ~ R 2 'v' - I* (n + a)(Y + e) *
Из формул
2>
окончательно получаем формулы для перемещений и пово-
поворотов:
»>
<o у
B2)
13.16. Уравнения эластостатики в перемещениях 845
В частном случае а = 0, т. е. в классической теории упруго-
упругости, имеем
R3
,.,=
Формулы B1) и B2) можно обобщить на случай силы, прило-
приложенной в точке | и направленной по оси *;. Для этого случая
в формулах B1) и B2) следует заменить индекс 1 на i, a R
трактовать как расстояние между точками х и §.
Пусть теперь в начале координат приложен единичный сосре-
сосредоточенный момент Y) = 6(xi) б(х2) б (х3) 6ij, направленный по оси
Х\. Из системы уравнений A7) останутся уравнения
4n/cj
4л/с4- V Л /
При этом мы подставили в уравнения A7)
Решениями уравнений B4) являются функции
= 1 /1-е-^М 1 _ 4а
16яа 'I R }' А= Р 4- 2у —Х '
846 Гл. 13. Теория несимметричной упругости
Используя соотношения
щ=д^ + д2Н3 — д3Н2, <o2 = d22-d,tf3, <в3 = дз2 + д,Я2, B6)
получим
Подстановка a = 0 в формулу B7) дает и'.1» = 0. Из формулы B8)
при а = 0 получаем
" (
Эта формула относится к гипотетической среде, допускающей
только повороты.
13.17. Теория температурных напряжений
Под теорией температурных напряжений мы понимали в сим-
симметричной упругости такую теорию, в которой пренебрегают свя-
связанностью поля деформаций с полем температуры. Упрощения,
найденные при пренебрежении этой связанностью, легче всего
будет продемонстрировать на уравнениях несимметричной тер-
термоупругости § 13.5.
Опуская член T)odivu в уравнении теплопроводности, описы-
описываем температуру упрощенным классическим уравнением
Уравнения в перемещениях остаются без изменений:
(Я + 2ц) grad div u — (ц + a) rot rot u + 2а rot © + X =
= Pt« +v grade, B)
(P + 2\) grad div ©'—(v + «) rot rot © + 2a rot u—4a© -f Y = /©. C)
Здесь постоянные ц, Я относятся к изотермическому состоянию.
Уравнение A) становится независимым от уравнений B) и
C). Из уравнения A) определяем температуру 6 и подставляем
-ее уже как известную функцию в уравнение B). После решения
13.17. Теория температурных напряжений 847
системы уравнений B) и C) определим составляющие тензоров
у а и xji, а напряжения найдем по формулам
аИ =
/ил ил / E)
Принцип виртуальных работ идентичен уравнению B) § 13.8:
J [(J, — pfij) but -> (Уi — /oj) б©;] dF + J (p, 6h< + m, 6 л,) йЛ =
dV. F)
v
Здесь температура 9 — известная функция.
Так же как и в теории температурных напряжений с симмет-
симметричным тензором напряжений, можно и здесь дать обобщение
некоторых вариационных теорем: теоремы о минимуме потен-
потенциальной энергии, теоремы о минимуме дополнительной энергии
и обобщенную вариационную теорему Рейсснера.
Вторую из основных общих теорем, а именно теорему о вза«
имности работ, получим из теоремы для связанной термоупру*
гости (из уравнения F) § 13.9). Это уравнение имеет вид
J (Xtu't + У,©!) dV + J {pfi\ + mt&% dA =
V A
= J (Х'-п, + Yfa) dV + J (#6, + mfa) dA +
V A
+ v J F'y« - Щк) dV, ut (x, p)=\u{ (x, 0 *-" dt G)
V 0
Здесь функции G и 6' являются известными, найденными из ре-
решения уравнений теплопроводности. Общая теорема о взаимно-
взаимности работ получается сверткой уравнения G).
Если тепловой поток стационарен, то теорема взаимности
принимает вид
J {Xtu't + J>3 dV + J (pX + m.co;)dA = J {X\ut + Yfa)dV +
V A V
+ J (p'tut + mfa)dA + vj F'Yftft -eY^ft)dV. (8)
A V
Рассмотрим упругое тело V, подвергающееся действию стацио-
стационарного температурного поля, жестко закрепленное на поверх-
848 Гл. 13. Теория несимметричной упругости
ности Аи и свободное от нагрузки на Аа. Пусть, кроме того,
Хг = 0, Yi = 0. Для определения перемещения u,(x), xeV, рас-
рассмотрим то же самое тело с теми же самыми граничными усло-
условиями, но находящееся в изотермическом состоянии F' = 0).
Пусть в точке | приложена сосредоточенная сила Х\ = б(х —1N,-*,
параллельная оси xh. Эта сосредоточенная сила вызывает в теле
поле перемещений и[к) (х, |), которое выбираем так, чтобы были
выполнены все граничные условия. Из формулы (8) при Xi = 0,
Yi = 0, Y'i = 0, 9' = 0 получим
ик (х) = v J 6 (?) ?/?', (?, х) dV (?), х €= V. (9)
V
Пусть теперь в точке | приложен сосредоточенный момент
Yi = d(x —1N,-&, параллельный оси xh. Поле перемещений, обус-
обусловленное этим моментом, обозначим через И;*'(х, |). При этом
предположим, что перемещения удовлетворяют однородным сме-
смешанным граничным условиям на поверхности А. Из уравнения
(8) в предположении, что Х,- = 0, Кг = О, X'i = 0, 6' = 0, получим
щ
(х) = v \ 6 (|) И?, (|, х) dV (|), х е F. A0)
Соотношения (9) и A0) можно трактовать как обобщение ме-
метода Майзеля1) на статические задачи несимметричной термо-
термоупругости.
Рассмотрим еще интересное следствие относительно измене-
изменения объема тела, вызванного температурным полем. Умножим
уравнения равновесия
ц{1,; + Yt = 0 A1)
на Xi и проинтегрируем по объему V односвязного тела:
alit{ + Xi)xldV = 0, J (eiIkxialk + nI(,Ixi + Yixi)dV = 0. A2)
Замечая, что рг- = ацщ, mt = \Hjinh и применяя теорему Гаус-
Гаусса— Остроградского, получим
kkdV, A3)
J гщх, dA+j YlXl dV + J ttikxtolk dV = \ iikk dV. A4)
') В. М. Майзель, loc. cit. стр. 476.
13.18. Двумерные задачи теории температурных напряжений 849
Учитывая, что
где
получим
f Y*fc dV = -^ ( f ptXi dA + f Xtxt dV) + 3at f 6 dV, A5)
V \A V I V
J ^^ A6)
V \A V V ]
Интеграл | ykkdV = ?±V представляет собой приращение объ-
v
ема тела. Из формулы A5) мы видим, что это приращение зави-
зависит исключительно от нагрузок pi, массовых сил Хг и прираще-
приращения температуры 6. Величина A6) представляет собой интеграл
от div © по объему тела или, учитывая, что | щк dV = J ©/«,- dA,
V А
интеграл от нормальной составляющей вектора поворота по по-
поверхности А. Этот интеграл зависит от всех причин, действую-
действующих на тело, ибо на напряжение Ojh оказывают влияние также
нагрузки ри массовые силы Х{ и приращения температуры 6.
Если на односвязное тело не действуют внешние силы, то
6dF. A7)
v
С другой стороны, из уравнения A3) при р\ = 0, Хг- = 0 имеем
\okkdV = Q. A8)
v
Формулы A7) и A8) идентичны полученным в рамках класси-
классической термоупругости.
Представленные здесь формулы можно получить также бо-
более общим путем, используя теорему взаимности.
13.18. Двумерные задачи теории температурных напряжений
Предположим, что как перемещения, так и повороты не зави-
зависят от переменной х3. Тогда плоское деформированное состояние
описывается векторами
и = («1; щ, 0), © = @, 0, ш3). A)
850
Гл. 13. Теория несимметричной упругости
Деформированное состояние характеризуется величинами
Из этих уравнений вытекают зависимости
или
B)
= d2xi3> C)
°|Y21 —Ul°2l,Y22 YnJ {°\K\3i °2К2зI \V
a =
Это условия геометрической совместности для двумерного де-
деформированного состояния.
Тензор напряжения характеризуется следующими матрицами:
аи ог12 О Ц 10 0 ц1а |
а2, а22 0 , fi = 0 0 ц23 ,
причем
<*\2 = (V + «) Yi2 + (V- — «) Y2i> 021 = (^ + «) Y21 + (^ — а) v12,
M-I3 = (Y + е) х,о, ]Хзз = (у + в) х23, ц31 =(y~ e) х13,
te^lY — е)х23> Vkb = Yll ~Ь Y22-
E)
Разрешая последние уравнения относительно составляющих уи»
получим
2(^+|
v
ej.
е].
F)
Yl2 —
Y21 = 4^Г
la
Для плоского деформированного состояния имеем три уравне-
уравнения равновесия:
д2а12 = 0. <5iCF12 + <52сг22 ^ 0,
о12 — а21 + 5, ц13 + ^2^23 = 0.
G)
13.18. Двумерные задачи теории температурных напряжений 851
Эти уравнения удовлетворяются следующим представлением '):
oll=dlF-dld.tf, о^др + д&Ъ
а21 = - dtd2F + а*ф, (8)
Остается еще выполнить условия совместности D). Выражая
деформации через напряжения, имеем
(9)
= д2ц13.
Подставляя в формулы (9) напряжения, выраженные через
функции F и tf, найдем три уравнения
T^i_v2e=o, (Ю)
V2(/2V2— 1)гр = 0, (И)
Первое уравнение известно из классической термоупругости. Это
уравнение для стационарной задачи можно записать в виде
. (Юа)
Если отсутствуют источники тепла (Q ^0), то уравнение A0а)
переходит в бигармоническое уравнение для функции Эри. Урав-
Уравнение A1) остается без изменений.
Функции F и \Jj не являются независимыми: они связаны со-
соотношениями C). Выражая входящие в эти соотношения вели-
величины через напряжения, а эти последние через функции F и ф,
получим зависимости
— Вд2В,
,_ (я + 2ц)(у + в) v (у + в)
4(Л+) • с— 2(Я + )
') Mindlin R. D., Influence of Couple Stresses on Stress Concentration,
Experimental Mechanics, 3, № 7 A963) [русский перевод: сб. Мелгакшса, № 4(86)
A964)].
§52 Гл. 13. Теория несимметричной упругосШ
Нужно еще поставить граничные условия, связанные с пло-
плоским деформированным состоянием. Рассмотрим бесконечный
цилиндр с направляющими, параллельными оси х3, нагрузка на
боковой поверхности которого не зависит от переменной х3. На
боковой поверхности цилиндра должны быть выполнены усло-
условия
О12П2, р2 = О2\Щ + ^22«2. «3 — И31«1 + Из2«2- A4)
Здесь п= (ль «2. 0)—составляющие единичной нормали к гра-
границе s сечения х3 = const цилиндра. Выражая напряжения че-
через функции F и \j) и учитывая, что
, ч dx\ dx2 i \ dx2 dxt
n.^cosCn, x1) = -1± = 4f, n2 = cos(n, x2) = -^ = --^,
представим условия A4) в виде
j/dF ЛИ J_(dF ,J±_\ _
Поэтому
dF di[> , dF
dx2 dx, '2>
Здесь мы ввели обозначения
fi = — I p2(s)ds, f2 = J p{(s)ds.
Условия A6) эквивалентны условиям
dF . дф e , » dF <Эф л » <Эф ,._.
/)e Лм /2 1 /12» Яп ''^3' \^ /
Особенно интересен случай, когда боковая поверхность цилиндра
свободна от нагрузок (р\ = 0, р2 = 0, m3 = 0). Единственной
причиной деформации цилиндра остаются источники тепла и
нагрев боковой поверхности. Условия A7) становятся однород-
однородными. Получим
&+&-«¦ ?-°. ?-<•¦ <>8)
Вернемся теперь к уравнениям (Юа) и предположим, что в бес-
бесконечном цилиндре нет источников тепла. Деформация этого
цилиндра происходит исключительно за счет стационарного на-
нагрева боковой поверхности; уравнение (Юа) становится одно-
однородным. Предположим, что 0 = const. Тогда в силу однородных
13.19. Псевдоконтинуум Косее pa 853
граничных условий A8), однородных уравнений A0) — A2) и
условий A3)
F = 0, гр = О A9)
во всем цилиндре.
Из формул (8) вытекает, что напряжения аи, 022, о\2, щз, Цгз
равны нулю. Единственным отличным от нуля является напря-
напряжение азз, причем
°33 = k\kk— v0, Y*fc = Yn + Y22-
Учитывая соотношения F), получим
13.19. Псевдоконтинуум Коссера
Братья Коссера рассматривали также упрощенную теорию,
в которой принято, что поворот локального трехгранника равен
среднему повороту поля перемещений. Итак, принято, что
Y-4=lrofU —(О = 0. A)
Однако взаимодействие сил через произвольную поверхность
тела происходит за счет напряжений вц и моментных напряже-
напряжений [iji. Оба тензора считаются в дальнейшем несимметричными.
Так как в выражении afj = 2цу(г/) + 2ауA/) + б^.Яу^ несим-
несимметричная часть тензора не исчезает, величина 2ау<г> (либо
0А = 2яуА) может быть отличной от нуля. Величина аА = 2ссуА
становится в силу наложенного кинематического допущения A)
опорной силой в смысле Хамеля ').
Подставляя в уравнения эластостатики общего континуума
Коссера (в предположении отсутствия массовых силJ)
2 (и) — 2a rot \'л = 0, B)
(Y+s) VV + (P+Y—e) grad div \А-\щА - у (у+ е) V2 rot и = 0 C)
зависимость A) и соотношение
ал = 2аул? D)
где аА — конечная величина, из уравнения C) получим
0A = -4-(Y + e)V2rotu. E)
') Hamel Q., Elementare Mechanik, Leipzig—Berlin, 1912.
2) Здесь и далее оператор 2? з= цУ2 +(Я, +ц) grad div; этот оператор
обычно называют оператором Ламе. — Прим. перев.
854 Гл. 13. Теория несимметричный упругости
Подставляя это выражение в уравнение B), имеем1)
S{a) — roiaA = Q F)
или
divu — го1ол = 0. G)
Учитывая E), имеем окончательно
цУ2и + (А + I*) grad div u + \ (у + s) rot rot V2u = 0. (8)
Кроме постоянных Ламе ц, X, в уравнения в перемещениях вхо-
входят постоянные у и е.
В этой упрощенной теории мы получили три уравнения в пе-
перемещениях (8). Решение этой системы уравнений при учете
заданных граничных условий приводит к определению вектора и.
Из формулы A) получим вектор <о. Поэтому мы можем опреде-
определить тензоры Yij и у.-ц.
В соотношении
обращается в нуль величина y,kk, ибо
div <а = x/t/t = у div rot u = 0.
Формулу (9) можно записать в виде
Рц = у(д!а1 + д^/) + г(д1ю1—д1(с>1). A0)
Симметричную часть тензора напряжений аг/ мы получим из
формулы
где
V, I/, =4 (d A + ад-
Величину aUj) определим непосредственно из уравнения равно-
равновесия
+ I*/*. / = 0. A2)
Умножая это уравнение на tllm и используя тождество
получим
1 , 1 , ¦
') Н. Schaefer, lot cit. стр. 841,
13.19. Псевдоконтинуум Коссера 855
Работа деформации, отнесенная к единице объема, имела в об-
общей теории Коссера вид
Первый член этого выражения представим в виде
°Y T K/>Y»/) + %>Y<G>) = j {°1фУщ> + 0V).
Заметим, что в упрощенной теории Коссера член алуА не дает
вклада в работу деформации, этот член равен нулю.
Вернемся к уравнению (8). Перемещение u = v, удовлетво-
удовлетворяющее уравнениям
(v) = nV2v + (X + \i) grad div v = 0,
является частным решением уравнения (8). Здесь v — решение
однородных уравнений классической эластостатики. Общее ре-
решение уравнения (8) можно представить в виде
u = v — rot х- A6)
Подставляя формулу A6) в уравнение (8), получим уравнение
= O, A7)
служащее для определения функции /. Зная эту функцию, можно
определить величину оА. Подставляя формулу A6) в E) и при-
принимая во внимание уравнения A5) и A7), имеем
оА = ц rot rot %. A8)
К уравнениям в перемещениях (8) следует добавить граничные
условия. Заметим, что структура уравнений в перемещениях не
соответствует шести граничным условиям. Если на поверхности
заданы перемещения, то не удается независимо выразить нор-
нормальную составляющую вектора поворота. Мы имеем пять кине-
кинематических граничных условий. Аналогично обстоит дело и с ус-
условиями в нагрузках. Читателя, интересующегося этой задачей,
отсылаем к работе Койтера1), где эта задача подробно обсуж-
обсуждена.
Теория псевдоконтинуума Коссера хорошо развита. Предло-
Предложено несколько общих теорем, методов интегрирования и дано
решение ряда задач. Так, Миндлин и Тирстен 2) в цитированной
') Koiter W. Т., Couple-stresses in the Theory of Elasticity, Proc. Koninkl.
Ned Akad. von Wettenschappen, ser. BI, 67, № I A964), 17 [русский перевод:
сб. Механика, No 3(91) A965)].
2) р. Миндлин, X. Тирстен, loc. cit. стр. 799.
856 Гл. 13. Теория несимметричной упругости
выше работе обобщили представление Папковича — Нейбера
для статических задач, а также получили фундаментальные ре-
решения в бесконечном упругом пространстве. Их теоретические
выводы были проиллюстрированы несколькими примерами. Они
относятся к колебаниям плиты, крутильным колебаниям ци-
цилиндра и статической задаче, связанной с напряженным состоя-
состоянием в бесконечном пространстве со сферической полостью.
Муки и Стернберг1), а также Боги и Стернберг2) занима-
занимались задачей плоского деформированного состоять. Были обоб-
обобщены решения Файлона и обобщена на континуум Коссера за-
задача о штампе. Особенно интересными являются следствия, ка-
касающиеся сингулярных решений для плоского деформирован-
деформированного состояния.
Савин3) широко развил применение функций комплексной
переменной к двумерным задачам, введя ряд обобщений и решив
несколько задач о концентрации напряжений около отверстий.
Видимо, в будущем развиваться будет общая теория конти-
континуума Коссера, теория, основы которой мы набросали в § 13.1 —
13.18. Однако ее развитие требует проведения экспериментов,
прежде всего определения всех материальных констант.
') Muki R., Sternberg E., The Influence of Couple-stresses on Singular
Stress Concentrations in Elastic Solids, ZAMP, 16, № 5 A965).
2) Bogy D. В., Sternberg E., The Effect of Couple-stresses on the Corner
Singularity Due to an Asymmetric Shear Loading, Int. J. Solids Structures, 4,
№2 A968).
3) Савин Г. Н., Распределение напряжений около отверстий, «Наукова
думка», Киев, 1968.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1)
Теории упругости посвящен ряд монографий; изложение этой теории
содержится также во многих обширных учебниках технической механики и
теоретической физики. Ниже мы приводим важнейшие, по мнению автора,
монографин и разработки, отражающие как исторические достижения тео-
теории упругости, так и тенденции ее развития.
Аппель (Appel P.)
Traite de mecanique rationnelle, ed. Ill, vol. Ill, Gauthier-Villars, Paris,
1921.
Бабушка, Ректорис, Вычихло (BabuSka I., Rektorys K-, Vycichlo F.)
"Matematicka theorie rovinne pruznosti, NCSAV, Praha, 1955; немецкий пере-
перевод: Mathematische Elastizitatstheorie der ebenen Probleme, Akademie Ver-
lag, Berlin, 1960.
Био (Biot M. A.)
Mechanics of Incremental Deformations, Wiley, New York, 1965.
Бицено К. Б., Граммель Р.
Техническая динамика, т. I, Гостехиздат, М., 1950.
Боли Б., Уэйнер Дж.
Теорля температурных напряжений, «Мир», М., 1964
Брдичка (Brdicka M.)
Mechanika Kontinua, NCSAV, Praha, 1959.
Вестергард (Westergaard H. M.)
Theory of Elasticity and Plasticity, Harvard Univ. Press, Cambridge,
Mass., 1952.
Вольтерра, Вольтерра (Volterra V., Volterra E.)
Sur les distorsions des corps deformables, Gauthier-Villars, Paris, 1960.
Грин А., Адкинс Дж.
Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды,
М^>, М." 1965.
') Звездочкой отмечены работы, внесенные в список автором в настоя-
настоящем издании — Прим. персе.
858 Список литературы
Грин, Зерна (Green A. E., Zerna W.)
Theoretical Elasticity, Oxford Univ. Press, London, 1954.
Губер (Huber M. T.)
Teoria sprezystosci, t. I, t. II, PAU, Krakow, 1948, 1949.
*Ильюшин A A.
Механика сплошной среды, Изд-во МГУ, М., 1971.
"Коваленко А. Д.
Основы термоупругости, «Наукова думка», Киев, 1970.
Кольский X.
Волны напряжения в твердых телах, ИЛ, М., 1955.
*Купрадзе В. Д., Гегелиа Т. Г., Башелейшвили Н. О., Бурчуладзе Т. В.
Трехмерные задачи математической теории упругости, Изд-во ТГУ, Тби-
Тбилиси, 1968.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.
Механика сплошных сред, Гостехиздат, М., 1954
Лейбензон Л. С.
Курс теории упругости, ОГИЗ, М., 1947.
Лехницкий С. Г.
Теория упругости анизотропного тела, ОГИЗ, М., 1950.
Лурье А. И.
Пространственные задачи теории упругости, Гостехиздат, М. 1955.
"Теория упругости, «Наука», М., 1970.
Ляв А. Е.
Математическая теория упругости, ОНТИ, М., 1935.
Мандель (Mandel J.)
Cours de mecantque des milieux continus, vol. I, II, Gauthier-Villars,
Paris, 1966.
Мусхелишвили Н. И.
Некоторые основные задачи математической теории упругости, Изд-во
АН СССР, М., 1949; изд. 5, «Наука», М., 1966.
Новацкий (Nowacki W.)
Thermoelasticity, Pergamon Press, PWN, Oxford—Warszawa, 1962.
Динамические задачи термоупругости, «Мир», М., 1970.
Новожилов В. В.
Теория упругости, Судпромгиз, Л., 1958.
Нолл, Трусделл (Noll W., Truesdell С. А.)
The Non-linear Field Theories of Mechanics, Handbuch der Physik, Band 3,
Teil 3, Springer, Berlin, 1964.
Паркус Г.
Неустановившиеся температурные напряжения, Физматгиз, М., 1963.
Пирсон (Pearson С. Е.)
Theoretical Elasticity, Harvard Univ. Press, Cambridge, 1959.
Прагер В.
Введение в механику сплошных сред, ИЛ, М., 1963.
Пуанкаре (Poincare H.)
Lecon sur la theorie de 1'elasticite, G. Carre, Paris, 1892.
Список литературы 859
Руа (Roy M.)
Mecamque de milieux continus et deformables, vol. I, II, Gauthier-Villars,
Paris, 1950.
Саусвелл Р. В.
Введение в теорию упругости для инженеров и физиков, ИЛ, М., 1948.
*Седов Л. И.
Механика сплошной среды, т. 1—2, изд. 2, «Наука», М., 1973.
Снеддон И. Н., Берри Д. С.
Классическая теория упругости, Физматгиз, М., 1961.
Собреро (Sobrero 2.)
Elasticidade, Livraria BoFForni, Rio de Janeiro, 1942.
Сокольников (Sokolnikoff I. S.)
Mathematical Theory of Elasticity, McGraw-Hill, New York, 1956,
Соломон (Solomon L.)
Elasticite lineaire, Masson, Paris, 1968.
Тимошенко, Гудьер (Timoshenko S., Goodier J.)
Theory of Elasticity, McGraw-Hill, New York, 1934 1).
Треффц Е.
Математическая теория упругости, ГТТЛ, М., 1934.
Трусделл, Тупин (Truesdell С. A., Toupin R. А.)
The Classical Field Theories, Handbuch der Physik, Band 3, Teil 1, Sprin-
Springer, Berlin, 1960.
Фёппль (Foppl A.)
Vorlesungen iiber Technische AAechanik, Bd. Ill, V, Teubner, Leipzig, 1927,
Фёппль А., Фёппль Л.
Сила и деформация, т. I, т. II, ОНТИ, М., 1938.
Фын (Fung Y. С.)
Foundations of Solid Mechanics, Prentice-Hall, New Jersey, 1965.
Эвинг, Ярдецкий, Пресс (Ewing W. M., Jardetzky W. S., Press F.)
Elastic Waves in Layered Media, McGraw-Hill, New York, 1957.
Эринген (Eringen A. C.)
Nonlinear Theory of Continuous Media, McGraw-Hill, New York, 1962.
Ясиньский (Jasiriski F.)
Pistna, t. P. Statecznosc konstrukcji i teoria sprezystosci, PWN, Warszawa,
1961.
J) В издательстве «Наука» готовится перевод 3-го издания A970 г.).—
Прим. перев.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная температура 70
Адиабатические стенки 68
Адиабатический процесс 69
Альманси теорема 181
Амплитуда колебаний 558
Аналогия массовых сил 469, 481, 724
— мембранная 419
Анизотропия 77, 93
Асимметрия тензора деформаций 798, 802
напряжений 798. 800
Бельтраии — Л1ичелла уравнения 118--119,
485, 574
Бетти метод 254
— теорема взаимности 138, 476, 813
— формулы 250
Бруса жесткость на кручение 411
. эффективная 449
— изгиб парами сил 402
— — поперечными силами 402, 449
— крутка 410
— кручение 407
— осевое растяжение 402
Буссинеска задача 223
— решение второго рода 201
— функция 195
Вебера формула 640. 641
Вектор напряжения 40, 44
— перемещения 14
— — комплексный 358
— сил комплексный главный 359
массовых 40
Волна дилатации 553
— изгиба 717, 719
— кручения 717, 718, 810, 823
— Лява 687
— микровращения 826
— монохроматическая 825
~ плоская 554, 559, 776, 825
— поверхностная Рэлея 680, 685, 710, 791
— поперечная 557
— продольная 557
*-* сдвига 553
•— сферическая 711, 783
— цилиндрическая 714, 783
Вольтерры дислокации 540, 543
Всестороннее растяжение (сжатие) 59
Галеркина вектор 189
— функция 189
Гамильтона принцип 593, 723, 821
Гельмгольца представление 186, 194
— теорема 636, 639
Геометрическая интерпретация Мора 54—55
Герца формулы 231, 233
Гиббса потенциал 82
Главные значения тензора деформаций 25
— напряжения касательные 54
¦ нормальные 49
— оси тензора деформаций 24, 26
напряжений 49
Граффи уравнение 599
Грина тензор деформаций 18
перемещений 143—144
— функции 143
Гука закон ПО
— соотношения 106
Гурса теорема 359
Давление термическое 482
Даниловской задача 746
Движения уравнения 63—65, 799
Девиатор напряжений 56
Деформации бесконечно малые 28
— конечные 16
— в криволинейных координатах 173
— однородные 34
— остаточные 11, 112
— пластические 11
— температурные 83, 531
Деформирование бесконечно малое 28
— конечное 16
Деформированное состояние плоское 305
Диатермические стенкн 68
Днлатация 28
Диск упругий 313
Дислокации Вольтерры 540 543
Днсторсня 463, 531
Длина волны 558
Дюгамеля — Неймана соотношения 79
Жесткость бруса на крученне 411
. эффективная 449
Задача Буссинеска 223
— Даниловской 746
— Лэмба осесимметричная 705
плоская 700
— Миндлина 238
— Сен-Венана 400
^- о трещине 343
— Черрути 234
— о шаре 273
внешняя 278
— внутренняя 278
— — штампе 350
Закон Гука 110
— изменения количества движения 63. 64
момента количества движения 63
— отражения плоской волны 677
— сохранения энергии 73. 801
механической 72
— теплопроводности Фурье 77
— термодинамики нулевой 68
— — первый 69
— — второй 69
Зоммерфельда условие излучения 639
^ *- конечности 639
Изгиб бруса парами сил 402
поперечными силами 402, 449
Изотропия упругого тела 103
Изотропный тензор 103
Инварианты тензора деформаций 25
— — напряжений 49
Предметный указатель
861
Источник тепла 87
— энтропии 74
Кастильяно теорема о минимуме дополни-
дополнительной энергии 127, 469
г* — частной производной работы де-
деформации 158
Кельвина решение 204
Кирхгофа формула 642
Клапейрона тело 155
г- теорема 155
Клин упругий 341
Колебания упругого шара радиальные вы-
вынужденные 721
, собственные 720
Колосова метод 357
Комплексные потенциалы 361, 414
Комплексный вектор перемещения 356
— главный вектор сил 359
Контактные задачи 354
Континуум материальный 12
Координаты криволинейные 169
— Лагранжа 15
— ортогональные 169
— сферические 175
1— цилиндрические 173
*— Эйлера 15
Коссера доказательство теоремы существо-
существования решения уравнений эластостати
ки 165
— псевдоконтинуум 798, 853
— среда 798
Коши поверхность напряжений 51
— формула 396
Коэффициент линейного теплового расши-
расширения 103. 104
-- Пуассона 108
— теплопроводности 466
Коэффициенты Ламе 102
а адиабатических условиях 550
— изотермических условиях 106, 550
— жесткости 81
•— податливости 80
Кристаллы системы гексагональной 99
моноклинной 96
ромбической 97
»— — триклинной 95
Кручение бруса 407
Купрадзе метод 612
Ламе оператор 853
— постоянные, см. Коэффициенты Ламе
— решение 560
Лежандра полиномы 276
Линия центров расширения — сжатия 212
Лихтенштейна доказательство теоремы су-
существования решения уравнений эласто-
статики 160
Лорана теорема 367
Лява волны 687
— функция 193
Майзеля метод 478. 726
— теорема 536, 730
— формула 730
Максвелла теорема о взаимности переме-
перемещений 143
Маха число 658
Метод Бетти 254
>-> Колосова 357
— Купрадзе 612
— Майзеля 478, 726
— Мусхелишвили 357
— Пейна 339
Метод полуобратный Сен-Венана 401
— Треффца 180
Миндлина задача 238
Модуль всестороннего растяжения (сжа-
(сжатия) 106
*-~ сдвига 108
— Юнга 108
Момент крутящий 407
Моменты массовые 799
-*¦ поверхностные 797, 799
Мусхелишвили метод 357
Нагрузки сосредоточенные 141
Напряжение гидростатическое 56
— касательное 41
— нормальное 41
Напряжений оператор 614
Напряжения главные 49, 54
— моментные 798
— в сферических координатах 176
цилиндрических координатах 175
Напряженное состояние плоское 57, 318
, — обобщенное 315
Неразрывности уравнения 63
Окружающая среда 66
Онзагера постулат 77
Оператор Ламе 853
— напряжений 614
Описание Лагранжа 14
г- Эйлера 14
Определяющие уравнения 71, 79, 83, 85—86,
803
Оси главные тензора деформаций 24, 26
напряжений 49
Отображение конформное на единичный
круг 370
Отражение плоской волны от абсолютно
жесткой стенки 679
— — — ¦— свободной поверхности 675
Параметры состояния 67
— — интенсивные 76
— — экстенсивные 76
Пейна метод 339
Папковича — Нейбера представление 184
Перемещение 14
— виртуальное 120, 121
Пластинка кольцевая 338
— круговая 339
— неограниченная с круговым отверстием
339
Пластичность 11
Плоское состояние деформированное 305
¦ напряженное 57, 318
обобщенное 315
Плотность 12
Поверхность напряжений Коши 51
Полупространство упругое 212
Потенциал запаздывающий 621
— объемный 615
•»s СЛОЯ ДВОЙНОГО 615
— **~ простого 615
rt температурный 766
— термодинамический Гиббса 82
— термоупругого перемещения 482
— упругого перемещения 197
Потенциалы комплексные 361, 414
Поток тепловой 72
Прандтля аналогия, см. Аналогия мем-
мембранная
Предел пропорциональности 112
— текучести 112
Представление Галеркина 188
-= Гельмгольцв 186, 194
862
Предметный указатель
Представление Папковнча — Нейбера 184
— Яковаке 568
Принцип виртуальных работ 121, 468, 588,
723, 811
— Гамильтона 593, .723. 821
— Сен-Венана 294, 295
— статически эквивалентных нагрузок 295
— транзитивности 68
Процесс адиабатический 69
— изотермический 82
— квазистатический 69
— неустановившийся 69
— необратимый 69
— обратимый 69
— термодинамический 69
Пуассона интеграл 416, 627
— коэффициент 108
Работа виртуальная 121
— дополнительная 85, 91
Равновесие механическое 68
— тепловое 68
— термодинамическое 68
— химическое 68
Равновесия уравнения 66
Распространение волны в упругом слое 690
кручения в стержне 717
<— — продольной в стержне 695
Растяжение всестороннее 106
I— осевое бруса 402
Расширения линейного теплового коэффи
циент 103, 104
Рейсснера вариационная теорема 132, 474
Решение Кельвина 204
— Ламе 560
г* неоднородное волнового уравнения 617
— Папковича — Нейбера 573
— Снеддона 248
" Тередзавы 241
— элементарное первого рода 207
— — второго рода 212
— Яковаке 567
Решения сингулярные уравнений теории
упругости 208, 210—212, 828, 843—846
— фундаментальные уравнений эластоста-
тики 181
Сен-Венана задача 400
— метод полуобратный 401
— принцип 294, 295
Сжатие всестороннее 107
Сила двойная без момента 210
с моментом 211
— термодинамическая 76
Силы внешние 40
— внутренние 40
— инерции Даламбера 44
— массовые 40
— поверхностные 40
Симметрия тензора деформаций 18
напряжений 46
Система замкнутая 67
— изолированная 67
— однородная 68
•- основная 153
— физическая 67
Скорость дозвуковая 658
— сверхзвуковая 659
Слой упругий 261
Снеддона решение 248
Собственные напряжения 531
Сомильяны формулы 146, 606
Состояние деформированное 15, 22
— естественное тела 12
— напряженное 42
Состояние напряженное изотропное 109
одноосное 59
плоское 57, 318
¦ •-* обобщенное 315
— чистого сдвига 57, 59
Среда Коссера 798
— окружающая 66
— ортотропная 97
— сплошная 12
— упругая 11
Тело анизотропное 77
— деформированное 41
— изотропное 103
— Клапейрона 155
— неоднородное 12
— однородное 12
— упругое 12
Температура абсолютная 70
— естественного состояния 78
— эмпирическая 68
Тензор вращения в описании Лагранжа
21
— : Эйлера 23—24
— деформаций Альманси 23
— — Грнна 18
Коши 23
— — несимметричный 798, 80?
симметричный 18
— нзгиба-кручения 802
— изотропный 103
— Леви-Чивиты 26
— метрический 170
— напряжений 42
— — моментных 798
несимметричный 798, 800
— — симметричный 46
— перемещений Грина 143—144
— поворотов 831
— теплового расширения 83
— упругих постоянных 80—81
— шаровой 56, 103
Теорема Альманси 181
— вариационная Рейсснера 132, 474
— —* термоупругости 765, 768
— взаимности Бетти 138, 476, 813
— — Вольтерры 547
Майзеля 536, 730
перемещений Максвелла 143
— Гельмгольца 636, 639
— Гурса 359
— единственности решения уравнений гео-
рии термоупругости 767—768
упругости 135, 479—481
— — ¦" — несимметричной 813
— Кастильяно о минимуме дополнительной
энергии 127, 469
частной производной работы де-
деформации 158
— Клапейрона 155
— Лорана 367
*- Менабрн 159
— о минимуме потенциальной энергии 120,
125, 468
"> существования решения уравнений эла-
стостатикн 159
Теория необратимых процессов 69
•— несимметричной упругости 797
•¦• упругости II
линейная 12
Теплоемкость прн постоянной деформации
79
постоянном напряжении 84
Тередзавы решение 241
Термоупругие волны 775
Предметный указатель
863
Термоупругости уравнения 88, 758
Треффца метод 180
Удар тепловой 722, 746
Удлинение относительное 18
Упрочнение материала 112
Упругие постоянные 80
Упругость 11
Уравнение Граффн 599
— притока тепла 86
Уравнения Бельтрами -« Мичелла 118—119,
485, 574
— движения 63—65, 799
<— классической эластистатики и эластоки-
нетики 90
— Навье 113
— неразрывности 63
— определяющие 71, 79, 83, 85—86, 803
— в перемещениях ИЗ, 479, 574. 805
— равновесия 66
— совместности 36. 38, 117, 807
— состояния 68
— термоупругости 88. 758
в напряжениях 485
—перемещениях 479
— эластостатики в сферических коорди-
координатах 175—176
— ' ¦ цилиндрических координатах 173—
175
Условие излучения 639
— конечности 639
Условия граничные 89, 114, 480, 552, 806
— начальные 89, 552, 806
— сплошности, си Уравнения совместности
Фаза волны 555
Фазовая скорость волны 555
Формула Вебера 640, 641
— Кирхгофа 642
— Майзеля 730
— Шварца 415
Формулы Бетти 250
— Герца 231, 233
— Сомильяны 146, 606
Функции Грина 143
'Для термоупругости 788
— зональные 275
— комплексной переменной 357
— Папковича — Нейбера 184
Функции состояния 68
— сферические 274
— Треффца 182
— шаровые 273
•« Яковаке 568, 573
Функция Буссннеска 195
— Галеркина 189
— диссипации 766
— Лява 193
— напряжений изгиба бруса 453. 458, 459
кручения бруса 428, 453, 458
Эри 303 •
— состояния 143
Фурье закон теплопроводности 77
Центр вращения 211
— давления 210, 212
— дилатации 210
— расширения — сжатия 212
Цилиндр бесконечный 265
— конечный 271
Черрути задача 234
Шаговой тензор 56, 103
Шварца формула 415
Эластокинетнка 6, 91—92, 549
Эластостатика 6, 90—91, 105
Элементарное решение первого пол? '07
второго рода 212
Энергия внутренняя 69, 801
•— дополнительная 130
•=» кинетическая 72
<— потенциальная 122
— свободная 78, 755, 802
— чисто объемной деформации ПО
— чистого изменения формы НО
Энтропия 70, 73, 755, 802
—, баланс ее 73, 75. 802
—, источник ее 74 ,
—, обмен ее с окружающей средой 74
—, производство ее 74
Эри функция напряжений 303
Яковаке представление 568
— функции 568, 573
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абрамян "Б. Л. 441
Адкинс (Adkins J, Е.) 857
Алблас (Alblas J. В.) 443
Альманси (Almansi E.) 23, 181
Аппель (Appel P.) 857
Арутюнян Н, X. 436, 441
Аэро Э. Л, 798
Бабушка (Babuska 1.) 357, 365, 857
Базилевич (Basilewitsch W.) 432, 435
Бай (Bay H.) 335
Банкрофт (Bancroft D.) 698, 719
Барбер (Barber A. D.) 754
Басбридж (Busbridge L. W.) 347
Башелейшвили Н. О. 858
Бейтмен (Bateman H.) 225
Бельтрами (Beltrami E.) 118
Берри (Berry D.) 319
Бетти (Betti E.) 7, 252, 254
Био (Biot M. А.) 521, 698, 700, 757, 763, 765,
768
Бицено (Biezeno С. В.) 857
Боги (Bogy D. В.) 856
Боджио (Boggio Т.) 568
Боли (Boley В. А.) 488, 492, 517, 541, 754,
767, 796, 857 _
Брдичка (Brdicka M.) 857
Бриллюэн (Brillouin L.) 779
Бройер (Breuer S.) 796
Бужиньский (Burzynski W.) 464
Бурчуладзе Т. В. 858
Буссинеск (Boussinesq J. V.) 195, 233, 299,
302, 626
Васютиньский (Wasiutynski Z.) 299
Ватсон (Watson G. N.) 644
Вебер (Weber С.) 294, 425
Вебер (Weber H.) 641
Вейль (Weyl H.) 160
Верле (Werle J.) 67
Вестергард (Westergaard H. M.) 197 241.
593, 857
Войновский-Крпгер {Woinowsky-Krieger S.)
504
Волыерра (Volterra E.) 544, 857
Вольтерра (Volterra V.) 147, 544, 644, 857
Вычихло (Wycichlo F.) 357, 365, 857
Галеркин Б. Г. 188, 293, 823
Галин Л. А. 5, 354
Галка (Galka A.) 772
Гегелия Т. Г. 858
Гейтвуд (Gatewood В. Е.) 507
Гельмгольц (Helmholtz H.) 30, 636
Гельфакд И. М. 142
Герц (Hertz H.) 231, 233
Гетнарский (Hetnarski R. В.) 795, 796
Гиркман (Girkmann К.) 329, 335
Гоголадзе В. Г. 693
Граммель (Grammel R.) 857
Граффи (Graffi D.) 599
Грин (Green A. E.) 354, 857, 858
Грин (Green G.) 18
Гриоли (Grioli G.) 798
Гриффите (Griffith А. А.) 343
Де Гроот (Groot S. R. de) 71, 77, 757
Губер (Huber М. Т.) ИЗ, 233, 858
Гудьер (Goodier J. N.) 482, 497, 523, 859
Гук (Hooke R.) НО __
Гуминьский (Guminski К.) 71
ГурнеЯ (Gournay L. S.) 750
Гуртин (Gurtin M. E.) 187
Даниловская В. И. 746
Дересевич (Deresiewicz H.) 776
Джеффрис (Jeffreys H.) 757
ДомбровскиЙ (Dqbrowski R.) 335
Дэвис (Davies R. М.) 698
Дюба (Dubas P.) 504
Дюгамель (Duhamel J. M. С.) 757
Дюгем (Duhem P.) 561
Егер (Jaeger J. С.) 466
Журавский (Zorawski M.) 754
Зальцман (Salzmann F.) 515
Занабони (Zanaboni О.) 296, 297
Зеевальд (Seewald F.) 335
Зерна (Zerna W.) 354, 858
Зорский (Zorski H.) 761
Игначак (lgnaczak J.) 120, 273, 487, 574,
575, 578, 580, 588, 686, 746, 749, 750, 754, 762
773, 784, 786, 791-793, 796
Ильюшин А. А. 113, 858
Ионеску-Казнмир (lonescu-Cazimir V.) 760,
767, 768, 772, 775, 815
Калиский (Kaliski S.) 272, 761
Карслоу (Carslaw H. S.) 466
Кельвин (Kelvin) 204, см. также Томсон
Кирхгоф (Kirchhoff G.) 7, 644
Клебш (Clebsch A.) 561
Клитчиев (Klitchieff I. M.) 432
Кнопов (Knopoff L.) 685
Коваленко А. А. 858
Койтер (Koiter W. Т.) 855
Колоннеттн (Colonnetti G.) 548
Колосов Г. В. 357
Кольский (Kolsky H.) 858
Корн (Когп А.) 160
Коссера (Cosserat E.) 7, 160, 79В
Коссера (Cosserat F.) 7, 160, 798
Коул (Cole J.) 657, 664
Коши (Cauchy A. L.) 7, 23
Кремер (Craemer H.) 335
Кромм (Kromm A.) 717
Крэггс (Craggs J. W.) 272
Кувшннский Е. В. 798
Купрадзе В. Д. 612, 614, 616, 617, 633, 784,
858
Лаврентьев М. А. 415
Лагранж (Lagrange J. L.) 7, 14
Ламе (Lame G.) 197, 294, 560
Ландау Л. Д. 85S
Именной указатель
S65
Ларди (Lardy P.) 528
Лармор (Larmor A.) 294
Лауричелла (Lauricella G.) 147, 160
Леви (Levy P.) 163
Лейбензон Л. С. 858
Лензе (Lense J.) 273
Ленский В. С. 113
Лессен (Lessen M.) 795
Лехницкий С. Г. 858
Лея (Leja F.) 415
Лифшиц Е. М. 858
Лихтенштейн (Liechtenstein L.) 160, 163
Локкет (Lockett F. J.) 241, 248, 496, 791,
793
Лурье А. И. 230, 233, 239, 240, 272, 293, 294,
496, 858
Лэмб (Lamb H.) 690
Ляв (Love A. E. Н.) 191, 233, 296, 688, 858
Мазур (Mazur P.) 71, 77
Мазья В. Г. 168
Майзель В. М. 476. 478, 507, 536, 538, 730,
771, 848
Мак-Доуэлл (Mac Dowell E. L.) 493
Мандель (Mandel J.) 858
Маргуэр (Marguerre К.) 195, 197
Мелан (Melan E.) 492, 496, 512
Мизес (Mises von R.) 300
Миндлин (Mindlin R. D.) 191, 241, 798. 799,
842, 851, 855
Мичелл (Michell J. H.) 118, 511
Михлин С. Г. 5. 168
Моисил (Moisil G. С.) [88, 760, 823
Морс (Morse P. M.) 446
Муки (Muki R.) 796, 856
Мура (Мига Т.) 746, 749
Мусхелишвили Н. И. 354, 357, 502, 85?
Навье (Navier L. М. Н.) 7
Нариболи (Nariboli G. А.) 796
Нейбер (Neuber H.) 184, 842
Нисимура (Nishimura G.) 695
Новацкий (Nowacki W.) 5, 152, 159, 335. 441,
476, 477, 492. 518, 607, 740, 741, 743, 754, 759,
762, 773, 775, 782, 784—786, 789—792, 795,
798, 801, 825, 829, 835, 858
Новацкий (Nowacki W. КО 735
Новожилов В. В. 5, 449, 858
Нолл (Noll С. А.) 858
Ноулс (Knowles J. К.) 302
Олесяк (Olesiak Z.) 272
Осборн (Osborne M. F. М.) 695
Пальмов Н. А. 798
Папкович П. Ф. 184
Паркус (Parkus H.) 492, 496, 512, 741, 746,
858
Пейн (Payne L. Е.) 329, 331
Пехоцкий (Piechocki W.) 750
Пирсон (Pearson С. Е.) 858
Победря Б. Е. 168
Подстригач Я. С. 761
Похгаммер (Pochhammer L.) 698
Прагер (Prager W.) 858
Прандтль (Prandtl L.) 422
Пресс (Press F.) 710, 859
Прокопов В. К. 272
Пуанкаре (Poincare H.) 858
Пуассон (Poisson S. D.) 7, 626
Пурн (Puri P.) 735
Путилов К. А. 67
Радок (Radok J. R. M.) 578, 581
Ранедкий (Raniecki В.) 735
РафальскиЯ (Rafalski P.) 750
Рейссиер (Reissner E.) 132, 134, 593
Рейсснер (Reissner H.) 695
Ректорис (Rektorys К.) 357, 365 857
Розенталь (Rosenthal F.) 294
Руа (Roy M.) 859
Рэлей (Rayleigh) 680, 690, 720
Рюдигер (Rfldiger D.) 761
Савин Г. Н. 856
Садовский (Sadowsky M.) 293, 294, 352
Самарский А. А. 273
Сандру (Sandru N.) 564, 807, 823, 842
Саусвелл (Southwell R. V.) 130, 294, 859
Седзава (Sezawa К.) 695
Седов Л. И. 859
Сельберг (Selberg H,) 714, 716
Сен-Венан (Saint-Venant В.) 7, 18, 36, 295,
401, 429
Синг (Singh A.) 735
Слободянский М. Г. 187
Снеддон (Sneddon I. N.) 213, 221, 241, 248,
319, 344, 345, 353, 496, 578, 581, 584, 644,
667, 670, 776, 782, 793, 796, 859
Собреро (Sobrero L.) 571, 859
Соколовский (Sokotowski M.) 273, 791
Сокольников (Sokolnikoff I. S.) 187, 859
Соломон (Solomon L.) 859
Сомильяна (Somigliana С.) 146, 294
Соос (Soos E.) 762, 795
Стернберг (Sternberg E.) 187, 293, 294, 302,
493, 562, 569, 570, 749, 750, 752 856
Сухуби (Suhubi E. S.) 798
Тедоне (Tedone О.) 294
Тейт (Tait R, J.) 496
Тередзава (Terezawa К.) 221, 233, 241
Тимошенко (Timoshenko S.) 461, 504, 859
Тирстен (Tiersten H. F.) 798, 799, 855
Тихонов А. Н. 273
Толинс (Tolins I. S.) 796
Толстой (Tolstoy I.) 693, 694
Томсон (Thomson W.) 204, 294
Траитер (Tranter С. J.) 272
Треммель (Tremmel F.) 504
Треффц (Trefftz E.) 180, 182, 773, 859
Трусделл (Truesdell С.) 798, 858, 859
Тупин (Toupin R. А.) 798, 859
Уиндл (Windle D. W.) 791
Усдин (Usdin E.) 693, 694
Уфлянд Я. С. 354
Уэйнер (Weiner J. H.) 488, 492, 517, 541, 767,
Файлон (Filon L. N. G.) 272
Фалтон (Fulton J.) 584, 664, 667, 670
Фешбах (Feshbach H.) 446
Фёппль (FoppI A.) 859
Фёгшль (FoppI E.) 859
Фикера (Fichera G.) 294
Флоренс (Florence A. I.) 497
Фойхт (Voigt W.) 757, 797
Фредгольм (Fredholm I.) 160
Фукс (Fucks S.) 233
Фын (Fung Y. С.) 859
Хамель (Hamel G.) 853
Харт (Had S. D.) 695
Хут (Huth J.) 657, 664
Цюй (Tsui Y. Т.) 750
866
Именной указатель
Чезаро (Cesaro E.) 37
Чедвнк (Chadwicfe P.) 776, 781, 791, 792, 794,
795
Чекравортн (Chakravorty J, G,) 749, 750, 752
Черрутн (Cerruti V.) 258
Чжен (Cheng D. Н.) 241
Шабат Б. В. 415
Шарп (Sharpe J. A,) 713
Шефер (Schaefer H,) 84!, 854
Шилов Г. Е. 142
Шмейдлер (Schmeidler W.) 353
Штеерман Л, И, 354
Эвинг (Ewing W, М.) 710, 859
Эйлер (Euler L.) 14
Эрдейи (Erdely A.) 225
Эрииген (Eringen А. С.) 798, 859
Эсон (Eason G.) 5В4, 664, 667, 670, 793
Юбенкс (Eubanks R. А.) 187, 293, 294, 569
Якоааке (Iacovache M,) 568, 823
Ярдецкнй (Jardetzky W. S,) 710, 859
Ясиньский (Jasinski F.) 859
ОГЛАВЛЕНИЕ
От переводчика 5
Предисловие 7
К русскому изданию 9
Часть I
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
Глава 1. ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ 11
1.1. Упругость. Сплошная среда II
1.2. Деформация тела. Вектор перемещения „ 13
1.3. Тензор деформаций 15
1.4. Изменение длины и направления линейного элемента . . /8
1.5. Деформированное состояние в координатах Эйлера ... 22
1.6. Главные оси тензора деформаций 24
1.7. Изменение объема тела 27
1.8. Бесконечно малая деформация 28
1.9. Разложение вектора перемещения 30
1.10. Однородная деформация 34
1.11. Уравнения совместности 36
Глава 2. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ 40
2.1. Внешние воздействия. Внутренние силы. Напряженное со-
состояние 40
2.2. Преобразование компонент тензора напряжений ... .46
2.3. Главные нормальные напряжения. Инварианты напряжен-
напряженного состояния 48
2.4. Поверхность напряжений 50
2.5. Экстремальные значения касательных напряжений ... 52
2.6. Разложение тензора напряжений на шаровой тензор и де-
виатор 56
2.7. Плоское напряженное состояние 57
2.8. Уравнения неразрывности 59
2.9. Уравнения движения 63
868 Оглавление
Глава 3. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 67
3.1. Основные понятия и законы термодинамики 67
3.2. Закон сохранения энергии для деформированного тела . . 70
3.3. Баланс энтропии 73
3.4. Закон теплопроводности Фурье 76
3.5. Свободная энергия. Первая форма записи определяющих
уравнений 78
3.6. Термодинамический потенциал Гиббса. Вторая форма за-
записи определяющих уравнений 82
3.7. Внутренняя энергия. Третья форма записи определяющих
уравнений 85
3.8. Уравнение притока тепла 86
3 9. Основные дифференциальные уравнения термоупругости . 88
3.10. Дифференциальные уравнения классической эластостатики
и эластокинетики 90
3.11. Случай температурных напряжений 92
3.12. Материальные константы анизотропного упругого тела . 93
Часть II
ЭЛАСТОСТАТИКА
Глава 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
ЭЛАСТОСТАТИКИ 105
4.1. Связь между напряженным и деформированным состоя-
состояниями 105
4.2. Уравнения эластостатики в перемещениях 113
4.3. Дифференциальные уравнения совместности 117
4.4. Уравнения Бельтрами — Мичелла в напряжениях . . . .118
4.5. Принцип виртуальных работ. Теорема о минимуме потен-
потенциальной энергии 120
4.6. Вторая форма теоремы о минимуме потенциальной энергии 125
4.7. Теорема Кастильяно о минимуме дополнительной энергии 127
4.8. Вторая форма теоремы Кастильяно о минимуме дополни-
дополнительной энергии 130
4.9. Вариационная теорема Рейсснера 132
4.10. Единственность решения дифференциальных уравнений
эластостатики 135
4.11. Теорема взаимности 137
4.12. Тензор перемещений Грина. Теорема Максвелла . . . - . 141
4.13. Формулы Сомильяны 144
4.14. Функции Грина 147
4.15. Приведение смешанной краевой задачи к системе инте-
интегральных уравнений первого рода 152
4.16. Теорема Клапейрона о работе деформации 155
4.17. Теорема Кастильяно о частной производной работы де-
деформации 158
4.18. Теоремы существования решения дифференциальных урав-
уравнений эластостатики 159
4.19. Уравнения эластостатики в ортогональных криволинейных
системах координат 168
Глава 5. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ЭЛАСТОСТАТИКИ .... 180
5.1. Частные решения. Метод Треффца 180
5.2. Представление Папковича — Нейбера 184
5.3. Представление Галеркина 188
Оглавление 869
54. Осесимметричное распределение напряжений. Функция
Лява 191
5.5. Осесимметричное распределение напряжений. Функции
Буссинеска 195
5.6. Потенциал упругого перемещения 197
5.7. Действие массовых сил в неограниченном теле. Решение
Кельвина 204
5.8 Решения с особенностью высшего порядка 210
5.9. Упругое полупространство. Первая краевая задача . . .212
5.10. Упругое полупространство. Вторая краевая задача . . . 215
5.11. Задача Буссинеска 223
5.12 Формулы Герца 231
5.13. Задача Черрути 234
5.14 Задача Миндлина 238
5.15. Упругое полупространство. Решение Тередзавы и Снеддона 241
5.16. Формулы Бетти для дилатации и составляющих вектора
вращения 250
5.17. Метод Бетти интегрирования дифференциальных уравне-
уравнений эластостатики 254
5.18 Упругий слой 261
5.19. Бесконечный и конечный цилиндр 265
5.20 Задача о шаре. Метод решения 273
5.21. Внутренняя и внешняя задача о шаре 285
5.22 Принцип Сен-Венана 294
Глава 6. ДВУМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ ЭЛАСТОСТАТИКИ 303
6.1. Напряженное состояние, зависящее только от двух пере-
переменных xi и Х2 303
6.2. Плоское деформированное состояние 306
6.3. Плоское напряженное состояние 313
6.4. Упругое полупространство, находящееся в плоском де-
деформированном состоянии 319
6.5. Функция напряжений Эри в полярных координатах . . /335
6.6. Задача о трещине 343
6.7 Задача о штампе 350
6.8. Применение функций комплексной переменной 357
6.9. Вид комплексных потенциалов для многосвязных областей 364
6.10 Конформное отображение на единичный круг 369
6.11. Решение для конечной односвязной области 375
6.12. Решение для бесконечной области 380
6.13. Определение комплексных потенциалов и вывод интеграль-
интегрального уравнения 385
6.14. Решение интегрального уравнения 332
Глава 7. КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ ПРЯМОГО БРУСА 400
7.1. Задача Сен-Венана 400
7.2 Кручение прямого бруса. Основные соотношения и уравне-
уравнения 407
7.3. Применение комплексного потенциала к задаче о кручении
бруса 414
7.4. Мембранная аналогия 419
7.5. Решение задачи о кручении для некоторых частных случаев 424
7.6. Кручение бруса с сечением, составленным из прямоугольни-
прямоугольников 432
870 Оглавление
7.7. Кручение бруса с трещинами 441
7.8. Изгиб бруса поперечной силой 449
7.9. Изгиб бруса поперечной силой. Другие варианты решений 457
Глава 8. ДИСТОРСИЯ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 465
8.1. Стационарные задачи термоупругости. Вариационные прин-
принципы и теорема взаимности 465
8.2. Уравнения термоупругости в перемещениях 479
8.3. Уравнения термоупругости в напряжениях 485
8.4. Пространственные стационарные задачи термоупругости . 491
8.5. Двумерные стационарные задачи термоупругости . . . 499
8.6. Квазистатические задачи термоупругости 517
8.7. Собственные напряжения. Основные соотношения и тео-
теоремы 531
8.8. Теорема Майзеля о взаимности работ для дисторсии . . 536
8.9. Дислокации Вольтерры 540
8.10. Работа деформации. Теорема взаимности для дислокаций
Вольтерры 545
Часть III
ЭЛАСТОКИНЕТИКА
Глава 9. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ, УРАВНЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ
ЭЛАСТОКИНЕТИКИ 549
9.1. Дифференциальные уравнения, граничные и начальные ус-
условия 54Э
9.2. Плоская волна. Структура одномерного волнового урав-
уравнения 554
9.3. Общее решение Ламе 560
9.4. Решение Яковаке. Решение Папковича — Нейбера .... 567
9.5. Уравнения эластокинетики в напряжениях 574
9.6. Применение интегральных преобразований 582
9.7. Принцип виртуальных работ. Единственность решения . . 588
9.8. Принцип Гамильтона 593
9.9. Теорема взаимности 597
9.10. Обобщенная формула Сомильяны 605
911. Смешанные краевые задачи эластокинетики 607
9.12. Метод Купрадзе 612
9.13. Решение неоднородного волнового уравнения 617
9.14. Интеграл Пуассона 626
9.15. Колебания, гармонические по времени 633
9.16. Теорема Гельмгольца 636
9.17. Формула Кирхгофа 641
Глава 10. ЧАСТНЫЕ ЗАДАЧИ ЭЛАСТОКИНЕТИКИ 646
10.1. Действие сосредоточенных сил в бесконечном упругом
пространстве 646
10.2. Источник возмущений, движущийся с постоянной ско-
скоростью. Двумерные задачи 657
10.3. Источник возмущений, движущийся с постоянной ско-
скоростью. Пространственные задачи 670
Оглавление 871
10.4 Отражение плоской волны от свободной поверхности и
от абсолютно жесткой стенки 675
10.5. Поверхностные волны Рэлея 680
10.6. Волны Лява 687
10.7. Распространение волн в упругом слое 690
10.8. Распространение продольной волны в стержне круго-
кругового сечения 695
10.9. Продольные волны в упругой среде с цилиндрической
полостью ' 698
10.10. Плоская задача Лэмба . 700
10.11. Осесимметричная задача Лэмба 705
10 12 Сферические волны в бесконечном пространстве со сфе-
сферической полостью 711
10.13. Цилиндрические волны в бесконечном пространстве с
цилиндрической полостью 714
10.14. Волны кручения и изгиба в бесконечном цилиндре . .717
10.15. Радиальные колебания упругого шара 720
Глава 11. ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ТЕМПЕРАТУРНЫХ
НАПРЯЖЕНИЙ 722
11.1. Основные соотношения и уравнения теории температур-
температурных напряжений 722
11.2 Принцип виртуальных работ. Принцип Гамильтона . . 723
11 3. Теорема взаимности. Метод Майзеля 726
11.4. Решение дифференциальных уравнений теории темпера-
температурных напряжений 733
11.5. Распространение гармонических термоупругих волн в
бесконечном упругом пространстве 737"
11.6. Распространение апериодических термоупругих волн в
бесконечном упругом пространстве . 741
11.7 Задача Даниловской 746
11.8 Мгновенное нагревание границы сферической полости в
бесконечном упругом пространстве 750
Глава 12. ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОСТИ 755
12.1. Введение ; . 755
12.2. Дифференциальные уравнения термоупругости и методы
их решения 758
12.3. Вариационная теорема термоупругости 765
12.4. Теорема взаимности 768
12.5. Методы интегрирования уравнений термоупругости, вы-
вытекающие из теоремы взаимности 773
12.6. Плоские гармонические волны 775
12.7. Сферические и цилиндрические волны 783
12.8. Функции Грина для неограниченной термоупругой среды 788
12.9. Апериодические задачи термоупругости . 792
Глава 13. ТЕОРИЯ НЕСИММЕТРИЧНОЙ УПРУГОСТИ 797
13.1 Введение 797
13.2. Уравнения движения 799
13.3. Закон сохранения энергии. Баланс энтропии .... 801
872 Оглавление
13.4 Определяющие уравнения 803
13.5. Уравнение теплопроводности. Уравнения в перемещениях 805
13.6. Уравнения совместности 807
13.7. Волновые уравнения 808
13.8. Принцип виртуальных работ 811
13.9. Теорема взаимности 813
13.10. Следствия из теоремы взаимности . 815
13.11. Общие теоремы эластокинетики 819
13.12. Решение дифференциальных уравнений эластокинетики 822
13.13. Монохроматические плоские волны 825
13.14. Основные уравнения эластокинетики 827
13.15. Вариационные теоремы эластостатики. Теорема взаим-
взаимности 834
13.16. Уравнения эластостатики в перемещениях 840
13.17. Теория температурных напряжений 846
13.18. Двумерные задачи теории температурных напряжений . 849
13.19. Псевдоконтинуум Коссера 853
Список литературы 857
Предметный указатель 860
Именной указатель 864
В. новацкий
Теория упругости
Редакторы Г. М. Ильичева и Я. Я. Плужникоаа
Художник К- П. Сиротов Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Н. А. Иоелева
СдавЪ в набор 22/VIII 1974 г. Подписано к печати 30/1 1975 г.
Бумага № 2 60Х9071в=27,25 бум. л. 54,50 усл. печ. л. Уч.-изд. л. 49,11
Изд. № I/74S2. Цена 3 р. 67 к. За к. 323
ИЗДАТЕЛЬСТВО сМИР>
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой
Союзполиграфлрома при Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
198052, Ленинград, Л 52, Измайловский проспект, 29,