ПРАВОЧНАЯ
АТЕПАТИЧЕСШ
ИБЛИОТЕКА
ИНТЕГРАЛЬНЕЕ
ПРЕОьРАЮВАННЯ
"ОПЕЩИОИНСЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ

СПРАВОЧНАЯ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
БИБЛИОТЕКА
ПОД ОБШЕЙ РЕДАКЦИЕЙ
Л. А. ЛЮСТЕРНИКА
и
А. Р. ЯНПОЛЬСКОГО

В. А. ДИТКИН и А. П. ПРУДНИКОВ
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
и
ОПЕРАЦИОННОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1961

АННОТАЦИЯ
Настоящий выпуск серии «Справочная математическая
библиотека» посвящен интегральным преобразованиями опе-
операционному исчислению. В первой части изложены основы
теории интегральных преобразований Фурье, Латаса, Мел-
липа, Бесселя, Ханкеля, Мейера, Конторовича — Лебедева и др.
Особое внимание уделено преобразованию Лапласа и его
применению к математическому анализу.
Операционное исчисление излагается на основе теории
Минусинского с некоторым ее видоизменением. Указывается,
как оно связано с преобразованием Лапласа, и приводятся
примеры реачизации конкретных операторов.
Вторую часть составляют таблицы интегральных пре-
преобразований {косинус- и синус-преобразования Фурье, пре-
преобразования Лапласа, Меллина, Ханкеля, Конторовича—Лебе-
Конторовича—Лебедева и Мелера—Фока). При составлении таблиц были использо-
использованы справочные руководства и работы, опубликованные
в периодической литературе. Некоторые результаты публи-
публикуются впервые.
Книга предназначена для математиков, физиков, инжене-
инженеров, интересующихся вопросами прикладной математики.
Баталий Арсеньевич Лпткпн и Анатолий Платоновой Прудников.
Интегральные преобразования и операционное исчисление.
Редактор А. Ф. Лапко.
Техя. редактор К. Ф. Брудно. Корректор Л. О. Сечейко.
Сцаяо в набор 1'Н 1961 г. Подписано к печати 6/VI 1961 г. Бумага 84X108'».
Физ. печ. л 16,375. Условн. печ. л. 26,85. Уч.-изд. л. 19,43. Тираж 20 000 вкэ. Т-03171.
Цена книги 1 р. 07 к. Заказ № 1431.
Государственное издательство физиьо-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова
Московского городского совнархоза.
Москва, Ж-54, Садовая, 28.

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 8
ОСНОВЫ ТЕОРИИ
Глава I. Преобразования Фурье И
§ 1. Некоторые сведения из теории рядов Фурье .... 11
§ 2. Интегральная формула Фурье 14
§ 3. Основные свойства преобразований Фурье 15
§ 4. Кратные преобразования Фурье 20
§ 5. Некоторые приложения преобразований Фурье ... 21
Глава II. Преобразование Лапласа 30
¦ § 1. Интеграл Лапласа и его основные свойства .... 30
§ 2. Теоремы о свертках . 39
§ 3. Некоторые свойства преобразования Лапласа .... 42
§ 4. Преобразование Лапласа некоторых простейших
функций. . 48
§ 5. Вычисление интегралов 50
§ 6. Применение преобразования Лапласа к решению диф-
дифференциальных и интегральных уравнений 51
" § 7. Преобразование Меллина « 73
Глава III. Преобразование Бесселя 76
§ 1. Преобразование Ханкеля * 76
§ 2. Преобразование Мейера 80
§ 3. Преобразование Конторовича—Лебедева 83
Глава IV. Другие интегральные преобразования 87
§ 1. Преобразование Мелера—Фока 87
§ 2. Преобразование Гильберта , 90
§ 3. Преобразование Лагерра '. . . 91
Глава V. Операционное исчисление . 93
§ 1. Основные понятия и предложения 93
§ 2. Рациональные операторы 99
§ 3. Операторы, преобразуемые по Лапласу ,,.... 101
§ 4. К вопросу реализации операторов, преобразуемых, по
Лапласу. . '. . 103
§ 5. Обобщенное преобразование Лапласа 106

6 СОДЕРЖАНИЕ
§ б. Поле Ш 109
§ 7. Операторные функции . 110
§ 8. Предел последовательности операторов. Предел опе-
операторной функции 111
§ 9. Непрерывная производная операторной функции.
Интеграл or операторной функции ИЗ
§ 10. Ступенчатые функции 115
§ 11. Разностные уравнения «121
§ 12. Преобразование Эфроса 124
§ 13. Операторные дифференциальные уравнения .... 125
§ 14. Применение операционного исчисления к решению
дифференциальных уравнений 127
§ 15. Асимптотические ряды 132
§ 16. Операционное исчисление для оператора В==
= %t± 134
at dt
ТАБЛИЦЫ ФОРМУЛ
Глава VI. Перечень обозначений специальных функций
и некоторых постоянных 149
Глава VII. Косинус-преобразование Фурье 164
§ 1. Основные формулы 164
§ 2. Рациональные и иррациональные функции .... .165
§ 3. Показательные функции 174
§ 4. Тригонометрические функции 177
§ 5. Обратные тригонометрические функции 183
§ 6. Логарифмические функции 184
§ 7. Гиперболические функции 186
§ 8. Ортогональные многочлены 189
§ 9. Гамма-функция и родственные ей функции .... 192
§ 10. Интегральные функции • 193
§ 11. Цилиндрические функции 196
§ 12. Вырожденные гипергеометрические функции .... 239
§ 13. Сферические функции 245
§ 14. Разные функции 255
Глава VIII. Синус-преобразование Фурье 258
1. Основные формулы 258
2. Рациональные и иррациональные функции ..... 259
3. Показательные функции ... 268
4. Тригонометрические функции 272
5. Обратные тригонометрические функции 277
6. Логарифмические функции 279
§ 7. Гиперболические функции 281
§ 8. Ортогональные многочлены 284
§ 9. Гамма-функция и родственные ей функции 29С
§ 10. Интегральные функции 291
§11. Цилиндрические функции 2'.'4
§ 12. Вырожденные шпергеометрические функции . . . 337
§ 13. Сферические функции 34ь
§ 14. Разные функции 350

СОДЕРЖАНИЕ 7
Глава IX. Преобразование Лапласа—Карсона 352
§ 1. Основные формулы 352
§ 2. Рациональные и иррациональные функции 363
§ 3. Показательные и логарифмические функции .... 383
§ 4. Тригонометрические и гиперболические функции.
Обратные тригонометрические и обратные гапербо-
лические функции 389
§ 5. Цилиндрические функции 400
§ 6. Гамма-функция и родственные ей функции. Инте-
Интегральные функции. Вырожденные гипергеометриче-
гипергеометрические функции 413
§ 7. Разные функции 417
Глава X. Преобразование Меллина 422
§ 1. Основные формулы . . . .- 422
§ 2. Разные функции 423
Глава XI. Преобразование Бесселя 432
§ 1. Преобразование Ханкеля 432
1.1. Основные формулы 432
1.2. Разные функции 435
§ 2. Преобразование Мейера 461
2.1. Основные формулы 461
2.2. Разные функции 463
§ 3. К-преобразование Бесселя 478
3.1. Основные формулы 478
3.2, Разные функции 479
§ 4. Н-преобразование Бесселя 487
4.1. Основные формулы 487
4.2. Разные функции 488
§ 5. Преобразование Конторовича— Лебедева 494
§ 6. Преобразование Конгоровича—-Лебедева (продолже-
(продолжение) 497
Глава XII. Другие интегральные преобразования 5С2
§ 1. Преобразование Мелера—Фока ........... 502
§ 2. Преобразование Гильберта 505
Библиография 508
Алфавитный указатель 521

ПРЕДИСЛОВИЕ
За последние десятилетия в математическом анализе ши-
широкое распространение получили методы, связанные с исполь-
использованием интегральных преобразований. Эти методы были
успешно применены к решению дифференциальных и интег-
интегральных уравнений, изучению специальных функций, вычисле-
вычислению интегралов. Существенным преимуществом метода интег-
интегральных преобразований является возможность подготовки
таблиц прямых и обратных преобразований различных функций,
часто встречающихся в приложениях.
В настоящем выпуске серии «Справочная математическая
библиотека» (СМБ) рассматриваются наиболее распростра-
распространенные интегральные преобразования. Первая часть посвя-
посвящена основам теории и состоит из пяти глав. В первой главе
излагаются элементы теории преобразований Фурье и неко-
некоторые их приложения. Центральной и наиболее обширной
является глава вторая, посвященная преобразованию Лапласа.
Здесь же рассматривается преобразование Меллина.
Глава третья посвящена интегральному преобразованию
Бесселя. К последнему относится ряд интегральных преоб-
преобразований, ядром которых являются функции Бесселя.
В частности, в этой главе рассматриваются преобразования
Ханкеля, Мейера и Конторовича—Лебедева. В главе четвертой
приводятся краткие сведения о некоторых других интеграль-
интегральных преобразованиях. В пятой главе излагаются основы
теории операционного исчисления.
Как известно, символическое или операционное исчисле-
исчисление стало систематически разрабатываться в середине прош-
прошлого столетия. В конце XIX века Хевисайд успешно приме-
применил его к решению некоторых задач, связанных с теорией
электромагнитных колебаний. Широкое распространение
операционного исчисления Хевисайда привело к появлению

ПРЕДИСЛОВИЕ 9
многочисленных работ по его обоснованию. При этом
первоначальная операторная точка зрения Хевисайда была
значительно вытеснена работами Карсона, Деча, Ван дер
Поля и др., которые в своих исследованиях опирались на
преобразование Лапласа и интеграл Меллина.
Однако такое положение не могло продолжаться долго,
так как успешное развитие функционапьного анализа и, в част-
частности, теория линейных операторов способствовали развитию
операторных методов в математическом анализе. В работах
[18], [60] дается операторное изложение операционного
исчисления с использованием преобразования Лапласа.
Полный возврат к первоначальной операторной точке
зрения был сделан Микусинским [59]. Он дает строгое опе-
операторное обоснование операционному исчислению Хевисайда
без всякой связи с теорией преобразования Лапласа. При
изложении этой теории Микусинскому приходится вводить
различные обозначения для функции и для ее значения
в некоторой точке. Микусинский обозначает функцию через
{/(^)}> а значение этой функции, в точке t — через f{t).
Например, 2 есть число, а {2} есть функция, принимающая
постоянное значение 2.
В главе V свертка определяется, в отличие от Микусин-
ского, таким образом, что не приходится различать кон-
константы от функций констант. Так как в ряде случаев при
применении интеграла Лапласа значительно упрощаются
различные преобразования и вычисления, связанные с оты-
отысканием операционных формул, то здесь указывается на связь
построенного исчисления с преобразованием Лапласа.
В этой же главе рассматривается также обобщенное преоб-
преобразование Лапласа и приводятся его основные свойства.
В конце главы дается краткое изложение операционного
исчисления для оператора Бесселя и устанавливается его
связь с преобразованием Мейера.
Вторую часть книги составляют таблицы формул интег-
интегральных преобразований. Различные формулы интегральных
преобразований возникают при решении конкретных задач,
однако в дальнейшем они могут быть применены к решению
Других вопросов. Поэтому таблицы формул интегральных
преобразований имеют обширную область приложений, охва-
охватывающую собой самые разнообразные отрасли знаний:
математику, физику, механику, электротехнику и т. д.

10 ПРЕДИСЛОВИЕ
Таблицам формул предшествует перечень обозначений специ-
специальных функций и некоторых постоянных, приведенных в гл. VI.
В остальных главах рассматриваются: косинус- и синус-преоб-
синус-преобразования Фурье, преобразования Лапласа—Карсона, Меллина,
Ханкеля, Мейера, Конторовича—Лебедева, Мелера—Фока,
Гильберта и др. При составлении таблиц были использованы
в большинстве случаев существующие работы аналогичного
характера. Среди них следует особо отметить: Е г d e 1 у i
A., Magnus W., Oberhettinger F., Tricomi F. G.,
Tables of integral Transforms, 1954; Oberhettinger F.,
Tabellen zur Fourier-Transformation, 1957.
При обработке такого большого количества формул воз-
возможны недосмотры и ошибки. За всякие указания и поправки
авторы будут очень обязаны читателям и заранее выражают
им свою благодарность.

основы теории-
ГЛАВА I
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
§ 1. Некоторые сведения из теории рядов Фурье
Функция f(t) при довольно общих предположениях может
быть представлена бесконечным рядом вида
00
/1
\ = -^-~\- ^ {ancosnt-\-bnslnnt)t A-1)
где
я
1 Г
75 .}
— я
(«=1,2, ...)• A-3)
Этот ряд называется тригонометрическим рядом Фурье.
Числа а„ и ?„ называются коэффициентами Фурье функции
/(/). Так как все члены ряда A.1) периодичны с периодом 2тс,
то при исследовании этого ряда можно ограничиться любым
интервалом длины 2п. В случае интервала произвольной длины
2/ ряд Фурье
где
i
/^dt (« = 0, 1, 2, ...) A.5)
—I

12 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ [ГЛ. I
И
I
bn=±-§f{f)sin^dt (n=h 2, ...), A6)
представляет функцию с периодом 21.
Принимая во внимание известное тождество Эйлера, свя-
связывающее тригонометрические функции с показательной,
?'e = cos<p-Hsintf>» 0-7)
ряд A.1) можно представить в комплексной форме
/(')= 2 V"*. (Ь8)
где
^$Ш , ...). A.9)
Иногда удобнее рассматривать не интервал (—тг, тг) или
(О, 2тг), а интервал длины 1, например @, 1). Тогда коэф-
коэффициенты ряда Фурье принимают вид
1
«»=$/(<)«-"""<« (« = 0, ±1, ±2, ...)-A.10)
о
Если f(t) — четная функция, т. е. /(— /) =/ (t), и если
она интегрируется на интервале (—/, /), симметричном отно-
относительно начала координат, то
i i ¦>
Аналогично, если f{i) — нечетная функция, т. е. /(—1) =
= -/(<). то
i
J f{t)dt=O.
—i
Если f{t) — четная функция на интервале (—тг, чт), то
функция f(t)cosnt — четная, а функция f(t)s\nnt — нечетная
для каждого значения п. Определяя коэффициенты ряда

§ I] НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИЙ РЯДОВ ФУРЬЕ 13
Фурье для четной функции f{t) по формулам A.2) и A-3),
получим
и Ьп = 0. Ряд Фурье для / (f) содержит только члены с ко-
косинусами; коэффициенты этого ряда определяются формулой
A.11).
Если f{t) — нечетная функция, то функции f{t) cos nt и
f(t)smnt будут, соответственно, нечетной и четной функ-
функциями. Ряд Фурье для нечетной функции f(t) содержит только
члены с синусами, коэффициенты при которых опреде-
определяются по формуле
Ьп= -|J fit) sin ntdt. A.12)
Таким образом, любая функция, интегрируемая в пределах
от 0 до тс, формально может быть представлена на этом ин-
интервале посредством ряда Фурье по синусам или косинусам,
без предположения об ее четности, нечетности, периодичности
или вообще определенности вне этого интервала.
Одной из основных теорем теории рядов Фурье является
Теорема 1 (Римана—Лебега) Если функция f(t)
интегрируема на интервале (а, Ь), то при X—*¦ с»
Доказательство см. в [17], [27]. Теорема Римана—Лебега
имеет следующие важные следствия.
• Следствие 1. Коэффициенты Фурье любой интегри-
интегрируемой функции стремятся к нулю.
Следствие 2. Поведение ряда Фурье в некоторой
точке t зависит только от поведения функции в непосред~
ственной окрестности этой точки (принцип локализации).
Мы сформулируем наиболее употребительный признак
сходимости ряда Фурье Если /— функция с ограничен-
ограниченным изменением, то ряд Фурье функции / сходится в

14 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ [ГЛ. I
каждой точке t к значению у|/(* + °) —/(* — 0)}. Если /,
кроме того, непрерывна во всех точках некоторого интер-
интервала (а, Ь), то ряд Фурье на этом интервале равномерно схо-
сходится (см. [27]).
§ 2. Интегральная формула Фурье
Пусть функция f(f), имеющая период 2/, представлена
рядом Фурье A.4). Подставляя в A.4) выражения для ап и Ьп
из A.5) и A 6), получим
I 00 I
h f^(x-*)<*. A.13)
Если положить у = А, -т- = ДХ и перейти формально к пре-
пределу при /—>-оо} то сумма превратится- в интеграл, и мы
получим интегральную формулу Фурье
00 00
/(t)cosX(t — i)dx. A.14)
О —00
Она представляет функцию, определенную в интервале
(•—оо, -{-°°) таким же образом, как ряд Фурье представ-
представляет функцию с конечным периодом. После преобразования
можно привести формулу A.14) к следующему виду:
I 00
f(t)= liffl IJ eltK J e'Ay{x)th'dk A.15)
или
00
== ,im 1 Г -»?^/(tLfc. (U6)
— oo
Интеграл в правой части формулы A.14) называется двойным
интегралом Фурье. Формула A.15) называется комплексной
формой интеграла Фурье. Формулу A 16) называют пред-
представлением функиии f{t) посредством простого интеграла
Фурье. Классические условия справедливости вышеуказанных
формул устанавливаются следующей теоремой.

§ 3] ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ 15
Теорема 2 [ИЗ}. Пусть функция f{t) интегрируема
по Лебегу на интервале (— оо, -|~ оо)*) и ограниченной вариации
на всяком конечном интервале. Тогда формулы A.14),
A.15), A.16) имеют место, если залмншпь их левые части
на у {/(*+ 0)-}-/(* —0)} в точках разрыва f{t). Формулы
A.14), (Ы5), (Ы6) могут быть записаны также в сле-
следующей форме:
ОО
f(t) = Г [а (и) cos tu -f b (и) sin tu] du, A.17)
где
00 00
a(a)=i- J f(t) cos utdt, b{u)=± f f{t) sin utdt.
—00 —00
Если f(t) — четная функция, то формула A.17) прини-
принимает вид
00 'ОО
f{t) = -| f cos tudu Г /(i)cos«irfT. A.18)
Последняя называется косинус-формулой Фурье.
Аналогично, если f(t) — нечетная функция, то полу-
получается синус'формула Фурье
СО ОО
= -| С siatudu Г /{x)sinuxdz. A.19)
о о
§ 3. Основные свойства преобразований Фурье
1. Формулы, рассмотренные в предыдущем пункте, приво-
приводят к взаимным или двойственным соотношениям между па-
парами функций.
Если положить
оо
L $-'»'Л, A.20)
— 00
*) Краткая запись: /(?)€ ?(— °°. + «>)•

16 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ [ГЛ. I
то формула A.15) дает
=-~ J F{u)eitadu, A.21)
— 00
где интеграл в правой части понимается в смысле главного
значения, т. е. как предел
i
Hm [ F(u)emdu.
Функция F (и) называется преобразованием или трансфор-
трансформацией Фурье функции f(t).
Если функция/(f) интегрируема в интервале (—оо, -|-оо),
то функция F (и) существует для всех t. Функции F{u)
и f(t), являющиеся преобразованием Фурье одна другой,
называются парой преобрасований Фурье. Полагая
со
§f(t)cosutdt, A.22)
о
получим из формулы A.18)
f{t) = у 1 Г Fc (и) cos to du. <1.23)
о
Функции, связанные указанным образом, называются па-
парой косинус-преобразований Фурье. Аналогично, из формулы
A.19) можно получить пару синус-преобразований Фурье:
¦-/?;
00
A.24)
„. 00
/ {t)= У 1 J Fs (u) sin to du. A.25)
it
о
Если/(*) — четная функция, то
F(u) = Fc{u);
если f(f) — нечетная функция, то

§ 3] ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ 17
2. Пусть функции F (и) и G (и) — преобразования Фурье
соответственно функций f(f) и g{t), определенных формулами
A 20), A.21).
Формально имеем
оо оо да
(u)e-«udu = ± J F(u)e-itadu
—со —оо —да
— 00
= ;pL J ^(t)/(/-t)dt, A.26)
т. е. функции
— 00
00
0
F(u)G(u) и h(t) = -±= J
— 00
являются парой преобразований Фурье. Функция h(t) назы-
называется сверткой функций f(t) и g(t).
Теорема 3. Пусть f(t) — преобразование Фурье
функции F(t)?L (—с», -j-°°) и функция g(t)?L (—00, -j-00)
(так что ее преобразование Фурье G(t) — ограниченная функ-
функция). Тогда произведение \/~Zn F(t) G {t) принадлежит
L{—00, -J-°°) u его трансформация Фурье определяется
формулой
h(f)=
— со
Справедливость этой теоремы следует из законности
обращения порядка интегрирования в выражении A.26)
вследствие абсолютной сходимости.
Теорема 4. Пусть f(t) и g(t) принадлежат
L(—00, 4~°°)- Тогда h{t) принадлежит L{— 00, -f0)»
и ее преобразованием Фурье является функция ]/^2tt F (i) G (t).
При других предположениях вышеупомянутые свойства
свертки смотри в G3J, [103]. По аналоти с выражением

18 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ [ГЛ. I
A.26) в случае косинус-преобразований будем иметь
§ Fe{u)Ge{u) cos tudu=
- 00 СО
= у — \ Fc{u)cos ittdu С g{x) cosxudx =
о о
ao 00
= ~~ Г g{x)dx { Fc{u) [cos \t — x\ и-\-cos{t+x)u]da —
CO
=4 J gW(\t-*\)+fV-\-*n^ U-27)
0
а в случае синус-преобразований
Fs{u)Qs(u)smtudu =
— J Fs {u) sin ^a da J g (%) sin йт rfx =
о о
00 CO
Fs{u)
о о
as
. U.28)
Процесс образования свертки можно повторять п раз.
Тогда будем иметь
оо
00
= -Ц J fnK)dxn
2
СО
-00
оо
^~-...-^)^. U-29)

§ 3] ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ 19
3. Формулы Парсеваля. Пусть f{t)?L{— oo, -f~°°)«
g(t) интегрируема на каждом конечном итервале, и пусть
У 2я
t
Г
для всех t, причем 0(t) всюду конечна и принадлежит
? (—oo, -f-oo). Тогда имеет место равенство
00 00 00
0{t)dt
/2я
— 00 —00 —00
00 00 00
— 00 —СО —ОО
В частности, при f=g имеем формулу
= J /(t)^(-x)dt. A.30)
аи
*dt= f \/{i)\*dt. A.31)
— OO
В формулах A.30) и A.31), разумеется, содержатся соот-
соответствующие формулы для косинус- и синус-преобразований
Фурье. А именно, в случае четных функций, имеем
ОО 00
Fc{t)Qc(t)dt=[f{t)g(t)dt A.32)
00 00
[Fc (t)Y dt=U/ {t)Y dt; A.33)
о о
в случае нечетных
OO ОО
F,(t)Gs{t)dt=$f(t)g{t)di A.34)
о"
OO 00
СО
С

20 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ [ГЛ. 1
Эти формулы аналогичны формуле
^;?: & A-36)
из теории ряч,ов Фурье и называются формулами Парсеваля
4. Преобразование Фурье аналитических функций. Пусть
f(z) — аналитическая функция, регулярная в полосе
(—а<Су<^Ь), где а>0, Ь~^>0, и пусть в каждой полосе,
внутренней к (—
(оо),
где е^>0; "k, jjl — некоторые фиксированные положите..ьнь.е
числа. Тогда функция
со
F {w) = JL. j /(Q eft.rf; A.38)
— 00
удовлетворяет аналогичным условиям, с заменой a, ft, X,
на X, ji, л, Ь соответственно, и
00
j F(w)e-i*«dw A.39)
— 00
для всех г в полосе (—а
§ 4. Кратные преобразования Фурье
По определению, имеем
00 00
=~ Г Г *«**+Wf(x,y)dxdy. A.40)
— 00 —00
Функция F(<a, У.) называется преобразованием Фурье функ-
функции двух переменных f(x, у). Для функций /{х, у) и /г(ш, \),

§ 5] НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ 21
принадлежащих L, имеет место следующая формула обра-
обращения:
00 00
— к 1 I e-l(fOX+Xy)F{®, l)diu(fk. A.41)
00 00
1 I
— 00 —00
Если f(x, у) и g{x, у) принадлежат L, то существует
интеграл
f(x,y) # * g{x,y) =
— 00 —00
00 00
/^У)ё{х — ^у~ц)йЩ, A.42)
— оо —00
причем
F\f{xty)% * g(xty)] = F(«>tl)G{«>t\). A-43)
— 00 —00
Обобщение на большее число переменных очевидно. Доста-
Достаточно полное изложение теории крагных преобразований
Фурье имеется в книге Бохнера и Чандрасекара [103]. Кроме
того, см. [119].
§ 5. Некоторые приложения преобразований Фурье
Преобразование Фурье играет важную роль при решении
широкого класса задач математической физики, к которым
относятся, например, краевые задачи для уравнения Лапласа,
Гельмгольца и Фурье в области, имеющей вид бесконечной
полосы и полуполосы, бесконечного цилиндра и полуцилинд-
полуцилиндра и т. д.
В частности, применение преобразования Фурье целесо-
целесообразно в задачах, которые приводятся к интегрированию
уравнений вида
где L (и) — линейный дифференциальный оператор, не содер-
содержащий переменной х; f(x,y) — заданная функция. Приведем

22 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ [ГЛ. I
решение ряда задач математической физики, разрешимых
при помощи интегральных преобоазований Фурье.
1. Рассмотрим одну задачу гидродинамики [34], [41],
сводящуюся к решению уравнения Лапласа
A.44,
при следующих граничных и начальных условиях:
да 1 д*и Л
u = tp(jc), |^ = 0 при _у = 0 и * = 0. A.46)
Пусть
00
(xy 0]
— 00
Тогда, в предположении, что и—»-0 и ?—»-0 при
\х\—*-<х>, получим
Вместо A.44) будем иметь уравнение
Его решение, стремящееся к нулю при у—»-—оо, имеет
вид
U=c(ta, t)e\*\y,
где c(e>, f) = U\y=u- Учитывая последнее, найдем, после при-
применения преобразования Фурье к уравнению A-45),
Из условий A.46) получим
где Ф (ю) — преобразование Фурье функции <р (лс). Таким

§ 5] НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ 23
образом,
U=Ф (ю) cos (V^foTl t) А ш I у
и, следовательно,
со
u(x,y,t) = -~ Г Ф (ю) cos У g\ ю| f.el °>
— со
2. Найден решение «(jc, i) уравнения теплопроводности
да дги
с начальным условием
fl(jc,O)=/(jc) (_oo<jc< + oo). A.48)
Пусть
,0 = Г[и(х, ')]=у^- j «U.O^^rfA:. A.49)
— 00
При тех же предположениях, что и в предыдущем пункте,
найдем
Тогда A.47) и A.48) сводятся к уравнению
откуда
Полагая t=0, будем иметь
— 00
Следовательно,
— 00

24 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ [ГЛ. I
С другой стороны,
со
и(х л=:1 Г e-«H-i
— СО —00
СО 00
— со —оо
— 00
3. Найдем решение в {х, t) уравнения A.47) такое, что
«(*,0) = G (jc>0), u(O,t)=f(t)
Положим
00
Us{®, t)= y\ J u{x, t)sin&xdx.
о
Тогда A.47) приводится к виду
Отсюда
Us (ю, t) = А (со) е ~ ы**-\-
о
Учитывая, что Us((o,t) = Q при ^ = 0, найдем Л(<о) = 0.
Следовательно,
00 t '
2 С > >« .. . f „ -
и (jf, /)=— \ 5^ ~ *' sin 5* rf? V е-4/ (t) dx ¦==
о о
t 00
rfx J S«* («-0sin SxrfS =
те
с=Гчг(д:, / —т)/(х)Л,
о

§ 5] НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ 25
где
Для обоснования приведенных выше формальных решений
достаточно предположить, например, что все рассматривае-
рассматриваемые функции принадлежат L(—oo, -{-oo).
4. В некоторых случаях с помощью преобразования
Фурье может быть решено интегральное уравнение вида
у (*)=/(*)+ J k{x-y)y{y)dy, A.50)
— 00
где f(x) и k(x) — заданные функции, <р(#) — искомая.
После применения преобразования Фурье получим
-ОО —00
00 00
—oo -co
oo oo
— 00 —00
= F (u) -\- Ybh Ф (u) K{a).
Отсюда
W-yW f I^

26 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ (ГЛ. I
Учитывая последнее, имеем
I {fe™}¦"
-00
со
— Г piu\ *М e-iXUdu.
— 00
Вводя обозначение
найдем
00
?(*)=/(*)¦+- J г(др_
-оо
Если в уравнении A.50) функции <р(#), /(х) и k{x)
равны нулю для отрицательных значений аргумента, то при-
приходим к уравнению
о
В этом случае решение представляется в виде
X
<р (х) =/(х) + J fit) г {х —
о
J
о
где г{х) = О при дг<0 — функция, преобразованием Фурье
которой является
Заметим, что из последнего равенства следует
о
Другим интегральным уравнением, которое может быть
решено таким же методом, является уравнение
00
/(*)= J k{x—y)f{y)dy. A.51)
— -л-

§ 5] НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ 27
По аналогии с предыдущим, формально будем иметь
00 СО
=^ j etXttdu J k{x-g)<p(g)d? =
— OB
GO
— GO —00
00 OD
— 00 —00
откуда
— 00
Заметим, что для строгого обоснования метода все функ-
функции, входящие в уравнение, должны удовлетворять специаль-
специальным условиям. Например, известна теорема. Пусть
f{x) € L*(— оо, -f- оо), к (х) € Ц—оо, 4"°°)- Тогда для того,
чтобы существовало решение «р(д:) уравнения A.51), принад-
принадлежащее L*(— оо, -\- оо), необходимо а достаточно, чтобы
™.€?-(_во,+во).
Рассмотрим еще одно интегральное уравнение вида
— 00
Как и ранее, имеем
00 00
1
— 00 —00
со со
L j <f{y)dy j
— оо —о
oo оо
L- J f(y)rfy J
—со —оо
= F (В) -\- У2Й Ф (— В) К (В).

28
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
[ГЛ. 1
Меняя знак в, имеем
ф (_ и) = /="(— и) -f Уп Ф (и) К{~ а).
Из последних равенств получаем
А (ri —
Таким образом,
-и)
W У2те J 1-
— 00
В ряде задач математической физики встречаются интег-
интегральные уравнения вида
с симметричным ядром, зависящим от абсолютного значения
разности двух аргументов. Исследование этого уравнения
также основывается на теории интегралов Фурье (см. [79]).
5. Вычисление интегралов. При вычислении интегралов
применяются формулы Парсеваля A.30)—A.35). Для вычис-
вычисления некоторых интегралов, содержащих тригонометрические
и показательные функции, можно использовать соответствую-
соответствующие формулы обращения. Пусть
00
5= J
о
Согласно A.24) имеем
(О при 0<и<1,
г/4--
(a8—I) * при
(-4<Rev<|).

§ 5] НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ 29
Применяя формулу Парсеваля A.34), получим
00
.-¦
¦йи = -
В силу аналитического продолжения" результат остается
справедливым при Rev^-^- [73].

ГЛАВА II
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
§ 1. Интеграл Лапласа и его основные свойства
Обозначим через f{i) функцию действительного пере-
переменного t, 0*?^i<C-\-oo, интегрируемую на любом интер-
интервале (О, А) в смысле Лебега. Пусть p = o-\-h — комплекс-
комплексное число. Выражение
00
О
называют интегралом Лапласа, а функция /* (р) называется
преобразованием или трансформацией Лапласа функции /(*).
Приведем основные свойства интеграла Лапласа.
1°. Если интеграл B.1) сходится в точке р0, то он схо-
сходится во всех точках р, для которых Re (р —р0) > 0.
Для интеграла Лапласа возможны три случая:
1) Интеграл всюду расходится.
2) Интеграл всюду сходится.
3) Существует число <зс такое, что при Rep>5c интег-
интеграл сходится, а при RQp<^ae расходится.
На комплексной плоскости прямая Rep = 5c называется
осью сходимости, а число ас — абсциссой сходимости
интеграла B.1).
2°. Если интеграл B.1) сходится абсолютно в точке
pe = a0 j-it0, то он сходится абсолютно и равномерно
в полуплоскости Rep5s50.
Подобно предыдущему, можно определить ось абсолютной
сходимости Rep=aa и абсциссу абсолютной сходимости оа.
Очевидно, <за^а и нетрудно привести примеры, когда

§ 1J ИНТЕГРАЛ ЛАПЛАСА И ЕГО ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА 31
3°. Если интеграл B.1) сходится в точке p0 = a0
и если Q 5* О и k^\ — какие-то постоянные, то интеграл
сходится равномерно в области Д, определенной неравен-
неравенством
\Р — pj^k{a — a,)eQ^-ao), О2*о,.
4°. Если ас<^оо, то интеграл B.1) представляет анали-
аналитическую функцию переменного р во всех точках прлупло-
скости Re/>>- <зс и
5°. Пусть /j {p), /lip) — трансформации Лапласа функций
/i (9» /«@- Если в точке р0 оба интеграла Лапласа схо-
дятся и
где константа />0 и л = 0, 1, 2, ..., то почти всюду
/, (9 =/,(').
Из этого свойства следует, что трансформация Лапласа
/* (р) однозначно с точностью до множества меры нуль
определяет функцию f(t).
6°. Если интеграл B.1) сходится в точке Pt = <Jt-\-i%,
<J0>0, то
t
lim e-\
4-xa о
т. e. ^ / (и) du = о {ев°*) при t—юо.
о
7°. Если: a) f(i) ограничена снизу, т. е. существует
такое положительное число С, что f{t)~^> — С для всех
t^O, б) существует один из пределов
» ^ 00
lira — [f(t)dt, или llm о <\f{t)e-atdt= lim of*(о),

32 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. II
то существует и другой из этих пределов и
>
lim — \f{t)dt= lim of* (о).
e -»¦ о у « -»qd
8°. Если a) f(t) ограничена снизу, б) существует один
из пределов
* 00
Ига \-\f(t)dt, или lima \ f{i)e-<* dt,
то сущее 1вует и другой, при этом
lim — f / (О Л = lim о/* (о).
Последние два свойства интеграла Лапласа вытекают из
общей теории тауберовских теорем [257]—[259].
Для сходимости интеграла B.1) необходимо и достаточно,
чтобы при некотором а„>>0 и t—юо
t
о
т. е.
t
lim е-'«'$/(н)da = 0.
Как уже было отмечено, трансформация Лапласа одно-
однозначно (до множества меры нуль) определяет f(f). Перейдем
теперь к вопросу о нахождении f(t), если известна /* (/>).
Теорема 1 (теорема обращения). Если интег-
интеграл B.1) имеет абсциссу сходимости ас<оо, то суще-
существует
О при
где Y>ee, Y>°«

§ 1] ИНТЕГРАЛ ЛАПЛАСА И ЕГО ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА 33
Таким образом, почти для всех t
f~(CO
где интеграл понимается в смысле главного значения.
Примечание. Из свойства 6° следует, что
p
t
где /, (i) = J / (и) du, и > <jc, a > 0 и p = a -)- /т. Сущест-
o
вует постоянная Q такая, что | /х (/) | <^ Qe°°' (о > ос) для
всех. L Поэтому
B.4)
o-oft
Таким образом, если
0Е> t
/*(Р)= J/W"^^. °>*с и Л@=$/(и)^
о о
то преобразованием Лапласа функции /, {t) будет <-J?l f при-
причем интеграл Лапласа при о > ас сходится абсолютно. Сле-
Следовательно, если
t ?„ и t
то
f (p) pn~dPi Y ^* °с B.5)
— foe
Из неравенства B.4) следует, что при я=3 интеграл
в B.5) сходится абсолютно и равномерно на любом сегменте
a^t^b. Очевидно, этот интеграл тем лучше сходится,
чем больше л. ,
•у .. _

34 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. II
Вычисление интеграла в формулах B.3) и B.5) в боль-
большинстве случаев производится с помощью надлежащего де-
деформирования пути интегрирования; при этом часто оказы-
оказывается возможным пользоваться следующими леммами.
Лемма 1 (Ж о р д а н). Обозначим через Сп дугу окруж-
окружности
\z\ = Rn, -|-<arg?<y, Iim Rn=oo.
Если, функция Ф{г) комплексного переменного z на дугах
Сп равномерно относительно argz стремится к нулю при
п—>¦ оо, то
iim \ф{г)егЫг = а при
в-»» Ся
Лемма 2. Пусть lim Rn = oo и С+, С~ — соответ-
ственно дуги окружностей
Если Ф {z) равномерно ограничена на дугах С?, Сп
(л=1г 2, 3, ...,)« при п~-*оо на этих дугах Ф(г)
стремится к нулю, то
lim
Ф (г) ezt dz = 0 и Iim J Ф (г) г" dz = 0.
Лемма 3. Пусть Ф(г) — аналитическая функция, ре~
гулярнап в полуплоскости Re-г^у. Если на дугах
п-юо
Ф{г) при п—юо равномерно относительно sugz стре-
стремится к нулю, то при t<^0
T+io» T+/bo
lim J Ф{г)ег*йг= ^ Ф(г)ег*Aг=0.
Т—Лй Т—^00
Приведем пример вычисления одного контурного инте-
интеграла типа B.3).

§ 1] ИНТЕГРАЛ ЛАПЛАСА И ЕГО ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
Пусть
35
т. е.
a —tat
Т?
B.6)
Согласно теореме Коти интегрирование вдоль прямой
L(a — ib, a -f- ib) эквивалентно интегрированию по контуру,
составленному из дуг Сц и C#
окружности \p\-R, двубе-
режного разреза Bv Вг и ок-
окружности с/, \р\ = г, ( — тт<
"C^gP'C'rc) (см- Рис- 1» на
котором направление интегри-
интегрирования показано стрелками).
Так как т>0, то на дугах
Сц и Сд функция —~f=~~—*
при R—юо. Поэтому, со-
согласно лемме Жордана, при
/>0 и /? —»¦ оо интеграл от
вдоль Сц и Сц стремится к нулю. Следовательно,
/
г- * 'V
V
—*^
)
.—>
(а-Ш
Рис. 1.
V р
R ->»
-tVpjf.pt dp
Ур'
Вдоль нижнего разреза Вх имеем р=.хе~№< Y~p=.—
вдоль верхнего разреза Bt, p—xe1*, yp = i]/rх. Поэтому
И-"-^ 1-1
*) Для многозначных функций za = e*In *, In z, arctg гит. д.,
если не оговаривается противное, всегда рассматривается главная
ветвь функций, т. е. In 1 = Q (arg I = 0), arc^ 1 = -т и т. д.

36 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
На дуге сг при г—*0 имеем
[ГЛ. II
\{
Таким образом, при
B.7)
интегралы от -гт=е т p+pt по
f(
где x = a*. При
С^(/?—>-оо) стремятся к нулю, т. е. f(t, т) = 0 при t<C,O.
Следовательно,
B'8)
Теорема 2. Если интеграл B.1) сходится абсолютно,
то lim /* (a -j- h) = 0 и сходимость равномерная для всех
о (о ^ в, > аа).
Теорема 3. Если интеграл B.1) сходится абсолютно,
H{z) — аналитическая функция в окрестности каждой
точки z=f*(p) и Н@) = 0, то функция Ф (р) = //[/* (р)]
» полуплоскости Яер^>аа представила абсолютно сходя-
сходящимся интегралом Лапласа.
. .Важное значение имеют критерии, по которым можно было
бы судить, является ли данная функция (аналитическая в
полуплоскости Rep^>Y) преобразованием Лапласа. В ряде
случаев теорема 3 позволяет ответить на этот вопрос. На-
пример, интеграл
I
«-**-?
абсолютно сходится при
0. Применяя теорему 3, заключаем, что
— 1
также представима в полуплоскости Re p > 0 абсолютно схо-
сходящимся интегралом Лапласа. Отсюда следует представи-

§ 1] ИНТЕГРАЛ ЛАПЛАСА. И ЕГО ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА 37
1 -1
/1 \ v -" *
мость функции ( г —1) eYP+l и так далее. В частно-
Wp+i J
сти, из этих соображений следует
Теорема 4. Аналитическая функция, регулярная в
окрестности бесконечно удаленной точки и равная в ней?
нулю, представила абсолютно сходящимся интегралом
Лапласа.
Сформулируем ряд теорем аналогичного характера.
Теорема 5. Пусть аналитическая в полуплоскости
Re р > у функция /* (р) удовлетворяет условиям:
сходимость в полуплоскости ffSs=<J0>Y равномерная.
2°. Для вс?хг ^ —cxx^f-^-f0» существует^
в — i'o)
3°. Функция Ф(/) абсолютно непрерывна и существует
интеграл г
F(p)= J V{t)e-*dt. .
Тогда f*{p) = F{p) и, следовательно, /*{р) есть преоб-
преобразование Лапласа.
Теорема 6. Если функция f* (p) — аналитическая в
полуплоскости Rejo>y, ограничена в каждой полуплоско-
полуплоскости Rejo^a^y, и если для а > у 'существует интеграл
дао /*(р) пред ставима в полуплоскости Rep>y интегра-
интегралом Лапласа.
Теорема 7. Ес/Щ функция f* (p), аналитическая в
полуплоскости Rep>y, удовлетворяет условию
ев
sup J |/*(а4-Л)Г<*е<<*.

38
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
fl-Л. П
где /<г«?2, то /*(р) в этой полуплоскости предста-
представила интегралом Лапласа.
Теорема 8. Условие
sup
является необходимым и достаточным для того, чтобы
аналитическая в полуплоскости Re р > у функция /* (р)
была трансформацией Лапласа от функции /(/), для ко-
которой
«9
J I/O I**""*1*<"<«>•
о
Теорема 9. Пусты
1°. /* (/>) есть регулярная функция в любой конечной час-
части плоскости комплексного переменного р, за исключением
множества точек pv pt, p,, ... , рп, ... (| р, | < | рг | <
<|Р*I< • • • <|РЯ! <• • •) — полюсов функции f* (p), при-
причем Rep»^^ для всех п.
2°. Существует предел
к» 2ni J Р
Т—/оз
2л/ J
J
I —/00
3°. Существует последо-
Рис. 2. вательношъ простых кон-
контуров Сп, опирающихся на
прямую Re je>=y в точках Tf-f-/pB, у — /рп. C/ии контуры
лежат в полуплоскости R&p<^Y, они не проходят через
полюсы рп.) Каждый контур Сп заключает начало коорди~
нат и п первых полюсов pit рг, pt, ..., ри (рис. 2).
4°. Для всех t > О
Um
±1-

§ 21
ТЕОРЕМЫ О СВЕРТКАХ
39
Тогда интеграл равен сумме сходящегося ряда
где rn{t) — вычет'функции —^¦ е?* в точке р = рп (»=1,
2, ...) и ro{t) —вычет в нуле.
Примечание. Если функция —/*(р) удовлетворяет
условиям лемм 1 и 2, то естественно в качестве С„ выби-
выбирать дуги окружностей с центром в начале координат.
Если существуют число Q>0 и последовательности
положительных чисел ?в
и 8„>0 такие, что -
1) lim р„ = оо,
п -» оо
lim Ъ„ = 0.
в-*оэ
2)
it
Рис. ?.
то в качестве контуров Сп можно взять [-образный контур,
изображенный на рис. 3.
§ 2. Теоремы о свертках
Сверткой функций a{i) и b{t) действительного перемен-
переменного t называется функция c(t), определяемая равенством
Символически свертку обозначают следующим образом:
c(t) = a{f) *b(t). -
Операция получения свертки называется свертыванием.

40 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. П
Приведем некоторые свойства свертки.
а) Коммутативность
б) Ассоциативность
(а# b)*c = a#(b# с).
в) Дистрибутивность относительно сложения
г) Теорема 10 (Титчмарша). Если свертка функ-
функций a(t) и b(t), непрерывных при Osg;/<-j-oo, тождест-
тождественно равна нулю, то хотя бы одна из этих функций
тождественно равна нулю.
Последняя была доказана Титчмаршем в 1924 г. [73],
[248]. После него было предложено несколько доказательств
этой теоремы [129], [220], [262].
Теорема 11 *) (теорема о свертке). Если инте-
интегралы
со ОО
ГЛр)=- \ А @ e~pt di u fl (P) = J А С) *'*dt
о о
сходятся абсолютно при Re/>>aa, то /* (р) = /[{р)/\{р)
является преобразованием Лапласа от
t
/(')=$ А С —*)/,(*)*
о
и сходимость интеграла
/*(Р) =
о
при Rep>Ga абсолютная.
Сформулируем эту теорему также в следующем виде:
Теорема 11'. Если '—^ , ^-^ и ' (р) g p) — интегралы
Лапласа соответственно от функций /(/), g(t) и h(i), то
*) Эту теорему иногда называют теоремой, умножения или
теоремой Бореля.

§ 2] ТЕОРЕМЫ О СВЕРТКАХ 41
почти всюду
Приведем еще одно замечание, относящееся к вышепри-
вышеприведенной теореме. Пусть
Pi
/:</») = $«-*/, «Л. Р.>«, B-9)
он
и
Р»
Л(Р) = $«"**ЛОЛ. Р,>*». B.Ю)
"а
Тогда получим
причем
ш!п О,; < — «j)
/W= J /,(')/, V-t)*. B.12)
max («,; t— p,)
Доказательство B.11) и B.12) следует из предположения
абсолютной интегрируемости B.9) и B.10).
Теорема 12. Пусть даны две функция f(t) и g(t) с
показателями роста st и st, т. е.
Тогда преобразованием Лапласа произведения этих функтй
f(t является функции
I /*{z)g*{p-z)dzt
в—/00
,-f a,
00 СО

42 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. II
Очень важное значение имеет доказанная' в 1935 г.
А. М. Эфросом следующая обобщенная теорема умножения.
03
Теорема 13*). Пусть /*(Р) — \ e'pt f{t)di ианали-
о
тические функции g* (р) и q (p) такие, что
g* (p) «-w» J e-*g(t, т) dt.
< в
Тогда
В частности, полагая q(p)=pt ) e~pt g{t, •e)dt =
о
= e~p*g*{p), t. e, ^(^-c) = ^(^ —t), имеем (при т>*,
J f(x)g(t—c)rfx =
—«) A.
§ 3. Некоторые свойства преобразования Лапласа
Приведем ряд простых предложений, составляющих аппа-
аппарат операционного метода. Далее мы всюду будем обозна-
обозначать
«о
" B.13)
—p J e~p1f(f) dt = C[f(t)]. B.14)
*) Точные условия этой теоремы см. в i л. V, § 12.

§ 3] НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 43
1°. Свойство линейности. Пусть
/(О=J2 **/*('),
где ск — любые (комплексные) постоянные. Тогда
2 у*()]А2
^Л=Г(Р)- B-15)
На основании B.15) формально имеем
s {у а, х>] =s
!=^/-(,Д), B.16)
f{t, \)<п]= J &\f{tf l)]d\= J/*(p, Х)Л. B.17)
Аналогичные свойства имеют место и для преобразования
Лапласа — Карсона B.14).
2°. Свойство подобая. Для любого постоянного а имеем
00
) е-»" </х = а/* (ар), B.18)
= а J / (т
и
=/(а/)). B.19)

44 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. Н
3°. Преобразование Лапласа производных. С помощью
интегрирования по частям легко получить
р"-7' @)-рп~'Г @)-...
... — р/*"-" @) —/<"-i> @), B.20)
... — p*/(n-J)@)— pf-^iO), B.21)
где л — целое положительное число
Двойственным к свойству 3° является
4°. Дифференцирование преобразования Лапласа. Для
целого положительного л имеем
00
/ 1\п \ 4п fH\o~P^iH——-t 1\в QTt" ///VI /9 99\
— у— I ) 1 I J \lf tf Ctt — \"^ I) a* |_t J \'JJ, \4.?i?i)
0
_ t
B.23)
5°. Преобразование Лапласа интегралов. Для целого по-
положительного п имеем
12
* f Л,... j /(t;.,)*..,] =^ . B.24)
6°. Интегрирование преобразования Лапласа. Если ин-
00
теграл ^ f*(q)dq сходится, то он служит преобразованием
р
Лапласа функции ^, т. е. имеем формулу
оо
\f*(q)dq=S Г^~П . B.25)
р
Очевидно, что для любого целого положительного п имеем
оо оо Оо
f dq f dqx... Г f*(qn.1)dqn_l=^y [=§?] . B.26)

§ 3] НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 45
Приведем еще несколько формул аналогичного вида. Ин-
Интегрируя выражение
: по а от 0 до 1, получим
0 0
Полагая ар = д, t=ar, будем иметь
со р
^*]=ljr&)«*y. <2-27>
Таким же образом
t да
*{$*?**]=¦? ^ГМЪ- B-28)
о р
Отсюда
00 00
I ^гл] =7 J r(9)d9> B>29>
о о
00 се
1 B-30)
о
7°. Для любого положительного х, учитывая, что f{t—1)==0
при t<^x, легко получить
_t)]= J f(t—
со оо
т. е.
B.31)

46 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. II
8°. Для любого комплексного д имеем
00
?], B.32)
00 00
— q) = (p — q) J /(()е-*-**М=р J [f{t)e^]e
J
о
CD t
J-P f [f(t)e^t]e~Ptdt = C[f{t)e^-g^f(x)e^dz]. B.33)
о
Приведем здесь две важные теоремы, позволяющие ре-
решать весьма большое число практических задач.
Теорема 14 (первая теорема разложения).
Если функция f" (p) регулярна в бесконечно удаленной точке
[41] и имеет в ее окрестности лорановское разложение
то
При этом
00
является целой функцией.
Теорема 15 (вторая теорема разложения).
Пусть функция /*(р) удовлетворяет следующим условиям:
1°. /* (р) меролорфна и регулярна в некоторой полу-
полуплоскости Rep>>s0.
2е. Существует система вложенных друг в друга ок-
окружностей
Ы Я /?</?<..., Я„ — оо,

§ 3] НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 47
на которой /* (р) стремится к нулю равномерно относи-
относительно argp.
3°. Для любого a^>st абсолютно сходится интеграл
а —к»
Тогда
2 "B.35)
где сумма вычетов берется по всем особым точкам рк
функции /*(р) в порядке неубывания их модулей.
Следствие. Дробно-рациональная функция
Ь„р»
B.36)
является преобразованием Лапласа функции
Е 5Г=Г5 ^^ . B.87)
где pk — полюсы /*(р), a nk-~-ux кратности, и сумма бе-
берется по всем полюсам.
В частности, если все полюсы /*(р) простые, то, восполь-
воспользовавшись формулой для вычисления вычетов в простых по-
полюсах, будем иметь
Если многочлены М{р) я N{p) имеют действительные коэф-
коэффициенты, то
где первая сумма распространяется на все действительные корни
N(p), а вторая — на все комплексные корни с положитель-
положительными мнимыми частями
Заметим, что каждый член формулы B.37), соответст-
соответствующий комплексному корню Р* = о*-М'с*1 представляется

48 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. II
в виде
4. Преобразование Лапласа некоторых простейших
функций
По определению гамма-функции Эйлера имеем
00
о
Полагая t=px, получим
00
П* + 1)_
Таким образом
Ъ У±?Л 1. B.39)
В частности, при целых неотрицательных k
(n=0, 1,2, ...). B.40)
С помощью дифференцирования по параметру k равенства
B.39) получим
1*|+^ ) —In/?], Re*>—1,
где ф обозначает логарифмическую производную гамма-функ-
гамма-функции. Полагая k — О, получим
где
= lim A + у + • • -+ i —ln n) = 0,577215665...
— постоянная Эйлера.

§ 4J ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА ПРОСТЕЙШИХ ФУНКЦИЙ 49
Используя разложения
СО 00
можно с помощью B.40) получить
^ ^t)=-^~v B.41)
k_
Найдем еще изображение для функции t2 УАB1/), где
k — комплексное число, Re&>—1, и Jk(t) обозначает
функцию Бесселя ?-го порядка
(-1)" 1
Полагая /=2|/Т, имеем
оо
Щг^ ^ —1. B.42)
Введем в рассмотрение многочлены Лагерра
Применяя B,33) и B.40), получим
Так как ^@) = ^@)==/@)= .. . = ^"-1>@) = 0, то
с помощью B.20) найдем
Накинец, опять используя B.33), будем иметь

50 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА (ГЛ. II
§ 5. Вычисление интегралов
Приведем несколько конкретных примеров. Пусть
B.44)
Применяя B.41) и B.33), найдем 3 {usiatu}^
Следовательно, /{t) = -^ e~l. Рассмотрим интеграл
B.45)
о
Полагая и = 2]/*, найдем
00
k
СО
Введем в рассмотрение интеграл 1(к)— I ц-я+2
о t 2
Согласно B.42), B.18), имеем
о t 2
Поэтому
оо . т( п\ ( г(п\\к

§ б] ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 51
откуда
— 2k~"+t ' ' — nk-"+1
(т)
Г
Наконец, вычислим интеграл
Г Jo (t) - cos t di
где Уо — функция Бесселя нулевого порядка. Имеем
2\J, ,0-003/} = ^^
Поэтому, согласно B.30),
J
§ 6. Применение преобразования Лапласа к решению
дифференциальных и интегральных уравнений
1. Пусть дано дифференциальное уравнение вида
n_/"-1»@ + - • - + я/ @ -Но« @ =/@.B.46)
где и (^) — искомая функция независимого переменного t,
f(t) — заданная «возмущающая» функция, а а,- (/ = 0,
1, 2, ..., п) — постоянные коэффициенты [55]. Умножим
наше уравнение на e~pt и проинтегрируем по t от нуля до
бесконечности; после этого получим
a*(p)u*(p) — b*(p)=f*(p)f B.47)
где
а*{р) = аПР" + ап_хр"->-1-...+а1р-\-ай, B.48)
.. B.49)

52 преобразование Лапласа [гл. и
причем
B.50)
...+«,«'@L-0,11@).
Разрешая уравнение B.47) относительно а*(р), получим
следующую формулу:
^ B.5.)
Введем обозначения
Тогда
B.53)
Величины /¦* (р) и 5* (р) являются рациональными дробями,
которые известными приемами могут быть разложены на эле-
элементарные дроби. С помощью теоремы о свертке получим
t
Мы получили общее решение уравнения B.46), содержащее п
произвольных постоянных, роль которых выполняют началь-
начальные значения искомой функции и {i) и ее п — 1 производных.
Конкретная форма решения будет зависеть от того, каковы
будут корни характеристического уравнения
в*(р) = 0. B.55)
1°. Все корни уравнения B.55) действительны и различны:
а*{р) = ап{р — рх)(р—рш) ... (р — рп). B.56)
В соответствии с этим получим

§ 6] ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 53
где постоянные коэффициенты гк и sk определяются форму-
формулами
? __ b*(ph)
а
I—2
1=1
<) S
/=в—1
Таким образом,
п п
r{t)= S *У**, «0= 2 ****• B-57)
Подставляя B.57) в B.54), получим
2°. В случае нулевых корней уравнения B.55) имеем
а*{р) = апРп B.59)
и, следовательно,
Тогда
В этом случае уравнение B.54) принимает вид

54 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. II
3°. Все корни B.55) действительны и равны между собой,
т. е.
«•(Р) = «»(Р —Pt)"» B.61)
тогда
ая{р -Pl)" — [p -pj"^ [p -pj»-*^ ' • • ^-p -Pl>
где ck — линейные однородные функции начальных данных,
определяемые известными способами разложения рациональ-
рациональных дробей на элементарные. Найдем
Формула B.54) представляется в следующем виде:
о *—^
В общем случае структура многочлена а* (р) имеет вид
r... B.63)
Тогда
А

§ 6]
ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
55
где коэффициенты Лв, В$, Ст , Q, Ds, D5, A'a, ff?, Cv Сь,
D'v D\ — некоторые постоянные, причем А'л, В., C'v C'v DL D\ —
линейные однородные функции начальных данных. Функции
r(t) и s(t) представляются в следующем виде:
Г @ =
-f
V'
_S±Li Arc Г V
г 21Ш} -
X
fA + lQ
t TB-t ta
фк+1Г J
1 0 0 0
.. .sin ?4+1 (< —т,.,)^, ... rfv.J + • • •»
..--*" i
t T«-i
—5 5 I I ... I COS <Pfc
8 — 1 j J I T*
• ft-j-l 0 0 0
.K —t,) ... smtpA+1(/—т,.,)^ ...

56
где
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
-if t -•< + !
[гл. и
Подстав1яя приведенные здесь выражения для r{t) и s{i)
в формулу B 54), попучим общее решение рассматриваемого
дифференциального уравнения.
2. Введем в рассмотрение систему линейных дифференци-
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами alk и с
дополнительными членами f{(t), являющимися заданными функ-
функциями времени
dt
dx, _
dt
%¦=«*,*.+«»** 4- • • • 4- v« 4-Л W.
B.64)
Умножим каждое из уравнений системы на e~pi и проинтегри-
проинтегрируем по t от нуля до бесконечности. Тогда будем иметь
(flu -р) xt (р) 4- altx*t (р) 4-... 4" в,Х (Р) =
=—[/Ир) 4-^,@)],
«„^t (р) 4- (<*«—р) ^ (р) 4- • • • + ««в^» (р) =
B.65)
^ (/>) 4 я«^* (р) 4- • • • 4- К*—
*„(<>)] J

§ 6] ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
Разрешая эту систему, получим
где
*= —
(а„—р)
«и
(я — 1, 2, ...,
аи
(а„—р) ...
я),
in
57
B 66)
••• {<*пп-Р)
есть главный определитель системы уравнений B 65)
*=- 2 (-1Г*/, Д<а(р)- 2 <-
i 1
— р) fll
21 * »i ~
i-i fli,ft+i ••• Л1
ai-i,t •• *а|-1, Jk-i fli-i, #+!••• й1-1.
k-i
i, A+i
•в*
•-'Кп— Р)
есть минор главного определителя, получаемый вычеркива-
вычеркиванием *-й строки и ft-ro столбца. Таким образом, формула
B.66) может быть представлена в следующем виде:
п
хк (Р) = S /, (Р)
, @)
B-67)
где
— рациональные дроби относительно pt степень числителя
А/*(Р) "е менее, чем на единицу, меньше степени знамена-
знаменателя Д (р), равной п. Для разложения D'lk(p) на элементар-
элементарные дроби требуется знать корня уравнения Д (/э) = 0. Пос-
После определенля функции Х*к{р) из B.67) й последующего

58 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. II
нахождения xk(f) будем иметь
*ь @ = 2 S /. W D.* С—*) ^+S */ (°)D* (О-
1 = 1 '=1
2
1 = 1
Приведенный метод может быть применен и к системам ли-
линейных уравнений высшего порядка
После воздействия на обе части написанного уравнения пре-
преобразованием Лапласа будем иметь уравнения следующего
вида:
в
fc2t («v*pf+KkP 4- <\*) х\ {Р)=
Отсюда х*(р) находим средствами линейной алгебры. Не
приводя общих формул, рассмотрим в качестве примера си-
систему двух линейных уравнений второго порядка
'
где JCj и л:4 — искомые функции от /, /, (f) и /2 (/) — задан-
заданные «возмущающие» функции времени, у4п, Alt, Aai, Л,4, ап,
с„, а41, см — постоянные коэффициенты.
Умножая каждое из уравнений системы B.68) на e~pi и
интегрируя по t от нуля до бесконечности, получим
ргх\ — pxt @)—*i
— АцХ, @) = a,,*, + altx\ -f/J,
V, @)=atlxi+at^ -f /;.

§ 6] ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
После приведения подобных членов найдем
59
B.69)
Отсюда
где А — главный определитель системы уравнений B.69)
Д "'
(Atlp — atl) (p* -J- Ааар — аи)
Величины At, А, определяются с помощью формул
где
Введем обозначения:
Г^ = (-1)*+"^, ^k = ~ (А,л=1,2). B.71)
Тогда формулы B.70) могут быть представлены в следующем
виде:
(А = 1,2). B.72)
Величины Г*л, D^ (k, n=\f 2) являются рациональными

60 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ~. II
дробями относительно параметра р, в которых степень числи-
числителя меньше степени знаменателя, равной четырем. После
разложения последних на элементарные дроби легко найдем
Wr»1(/-TL-/iWrfcl(i-x)]A+DJfc @B.73)
(*=1, 2).
3. Для некоторого класса дифференциальных уравнений
можно представить решения в виде интегралов Лапласа, где
независимое переменное входит под знаком интеграла как
параметр. Введем в рассмотрение уравнение
... + К + М)*(') = 0. B.74)
Пусть
причем относительно интервала интегрирования не делаем
пока никаких предположений. Тогда
x{k> @ = J е"V v {р) dp, txl*> (t) = ^tePipkv( p) dp =
=[eptpkv(p)]-^t^{pk
Подставляя эти выражения в B.74), получим
= О. B.75)
*=0
Это уравнение удовлетворяется, если выражение, стоящее в
фигурных скобках равенства B.75), обращается в нуль, что
дает дифференциальное уравнение первого порядка для опре-
определения функции v(p). Второе слагаемое также должно
быть равно нулю; этому условию можно удовлетворить,
подобрав надлежащим образом интервал интегрирования.
Пусть
tx* {t) + (а + b +1) x' @ + аС {() = 0.

§ 6] ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 61
Преобразование Лапласа jc(O=\ e^v (p)dp- дает для опре-
определения v(p) уравнение
Отсюда следует
Из второго условия имеем
= Ot B.76)
где а и р — начало и конец интервала интегрирования.
Для определенности полагаем а>0, Ь^>0. При этом усло-
условие B.76) удовлетворится, если <х = —1, р = 0. Следова-
Следовательно, первый интеграл уравнения B.74) имеет вид
— 1
Полагая р = 0 и а = — оо, получим второй интеграл (по
крайней мере для t ^> 0)
— 00
Во многих случаях путь интегрирования приходится выби-
выбирать в комплексной плоскости.
Рассмотрим уравнение
toT (t) + 2nx' (t)+tx {t) — 0.
Как и ранее, найдем
Из условия
найдем а = — /, р=—|— /- Таким образом,
J

62 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. II
Полагая p=.iu, будем иметь
После разделения действительной и мнимой частей, получим
xl(t) = i JcosafO— и*)"-Ча— $ sinut{\ — u*)n-ldu.
Во втором интеграле стоит нечетная функция, поэтому он ра-
равен нулю. Следовательно,
1
,(*) = J cos ut{\— в*)" dit.
Второй интеграл получается, если положить <х=—с» и
P=-J-i или—i(t>0). Интегрируя от —'оо до 0, затем
от 0 до i, получим
— ОО О
о х
—оо О
i
_J
о
Таким образом, мнимая часть равна yjc,(rf); следова-
следовательно, действительная часть также должна быть решением,
т. е.
О 1
хг (t) = $ eat (а* -{-1)"~ Va-{- J sin at (l—u')№-ldu.
— 00 О
Ряд вопросов, относящихся к последнему пункту, см. в [233].
4. Метод, подобный рассмотренному выше, может быть
применен и при решении дифференциальных уравнений в
частных производных, встречающихся в различных областях
прикладной математики.

§ 6] ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 63
Пусть дано уравнение вида
4- с {х, у, г) и =f{x, у, z, i), B.77)
где V2" = -jT» 4-^+§-? — оператор Лапласа, (х, у, z) —
точка некоторой области и t, обычно обозначающее время,
положительно. Граничное условие имеет вид
а{х, у, z) и 4~ Р {х, у у z) — = ш (x,yt z, t), B.78)
ди ,,
где д- означает нормальную производную. Кроме того, зада-
задаются также начальные условия внутри области, например,
lim а {х, у, z, t) = u0 {x, у, z), B.79)
lim I a (xt у, z, 0 = а, {х, у, г). B.80)
Умножим исходное уравнение B.77) на e~pt и проинтегри-
проинтегрируем по t от нуля до бесконечности. Предположим, что
интегралы
00 09
f и (х, у, z, f) dt, J e~pt ^ и (х, у, z, t) dt и т. п.
о о
существуют. Кроме того,
со оо
= V'$ e-piudt.
о о
При указанных предположениях о свойствах неизвестной
функции и(х,у, z, t) получим из B.77), B.79), B.80) урав-
уравнение
{x,y, z)]u*{p) =
= а (х, у, z) [ри0 (х, у, z) — и, (х, у, z)] -j-
-\-b(x,y, z)u,,{x,y,z)-{-/*{x>yt z,pl B.81)

64 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. II
Граничное условие B,78) переходит в следующее:
а (я, у, г) и* (р) + р <*, у, z)д-^ = <р* (*, >>, г, р). B.82)
После нахождения и*{р) из уравнений B.81), B.82) задача
сведется к нахождению и {х, у, z, t) из равенства
00
u*(x,ytz, p)== jj e-ptu(x,y,z,t)dt.
о
В случае, если и* {х, у, z, p) найдется в заранее заготовлен-
заготовленной таблице формул, то искомое решение сразу выписы-
выписывается. В противном случае, решение можно получить при
помощи теоремы обращения
= ^- J e)fu*{x,y,
Как это было замечено ранее (ем. § 1), последний интеграл
часто вычисляется при помощи преобразования к соответ-
соответствующему замкнутому контуру и применением теории вы-
вычетов. Отметим, что при построении вспомогательного урав-
уравнения и его граничных условий и при получении функции
и{х,у, z, t) из а* (х, у, г, р) при помощи теоремы обращения
делается ряд определенных предположений о свойствах функ-
функции и(х, у, z, f). Все подобные предположения о возможности
перемены местами операции преобразования Лапласа, с одной
стороны, и операций дифференцирования и предельного пе-
перехода, с другой, предположения того, что решение должно
иметь определенный вид, может быть разложено в ряд и т. п.,
во многих случаях не являются ограничительными с физичес-
физической точки зрения. С другой стороны, указанный метод
решения можно применять формально, если полученный ре-
результат удовлетворяет уравнению, а также начальным и гра-
граничным условиям.
Приведем решение некоторых конкретных задач.
1°. Рассмотрим одномерное уравнение теплопроводности
& B.83)

§ 6] ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 65
и положим, что для отрезка O^jc^/ поставлена краевая
задача с предельными условиями
«I,-. = *.(<). «L-i = *.<<> B.84)
и однородным начальным условием
«|«-, = 0. B.85)
Вместо и (х, t) введем в качестве искомой функции ее преоб-
преобразование Лапласа
00
— l e~pt
и* (х, р) — \ e~ptu (x, t) dt. B.86)
о
Применяя к обеим частям B.83) преобразование Лапласа и
считая, что в формуле B.86) можно дифференцировать по х
под знаком интеграла, получим
?=ри*{х,р). B.87)
Применяя преобразование Лапласа и к уравнениям B.84),
будем иметь
«•1,-.-=?». "*1 *=< = <? (Р). B-88)
где
00
S
о •
Из уравнений B.87), B.88) найдем
и* (*, Р) = tf (Р) < (*. Р) + ? (Р) < (*. Р), B-89)
где
т*[г пч _ sh (I - х)
Функции «о* {х, р) и ю* (лг, р) являются преобразованиями
Лапласа функций
1 д9г Г х t~\ Id*, [1-х _?

66 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. И
соответственно, где
fta(v, *)= 2 г"**-"**
в= —со
— функция Якоба. Определяя из B.89) функцию u(x,f)
с учетом теоремы о свертке, будем иметь
о
Рассмотрим теперь неоднородное уравнение
SHS+ZC^O B.91)
с однородным начальным и однородными граничными усло-
условиями
«(*.*)|*=в = 0. e(*.')U. = 0. b(*.')U, = 0. B-92)
Пусть
О
Применяя к B.91), B.92) преобразование Лапласа, получим
^=pfl*-/*(x,p), B.93)
«* @, р) = а* (/,/>) = <). B.94)
Нетрудно проверить, что для уравнения B.93) с граничными
условиями B.94) функция Грина имеет вид
-
Р '
и решение уравнения B.93), удовлетворяющее условиям

§ 6] ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 67
B.94), выражается в виде
t
B.95)
l
о
Функция Y* {-*> 5; р) является преобразованием Лапласа функции
Поэтому из формулы B.95) следует
i t
e(jc. *>=JrfS J у (*. S; * —x)/(S, x) <ft. B.96)
о о
о
2°. Пусть требуется найти функцию, удовлетворяющую
уравнению B.83) и условиям
и (х, 0) = 0 (х > 0), и (О, i) =/<*). B.97)
Как и ранее, после применения преобразования Лапласа к
исходному уравнению B.83), с учетом условий B.97), будем
иметь
J9.Jtt i мм мЛ
'¦=ри* (х, р), и* @, р) =
Представим и* (х, р) в виде
tt*lx,p) = Cle-*vf~-\-Cat
С учетом ограниченности и* (лс, р) при х—юо получим
,,_ е-*У7
я {%> p)=jr{p)e—KVp =pfl{p) .
Откуда, с помощью теоремы о свертке, найдем
Гкг

68 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
Легко видеть, что
[ГЛ. II
00
2
3°. Рассмотрим для уравнения теплопроводности B.83)
еще следующую задачу. Пусть 0<лг<оо,
и{х, 0) = и0
(A = const). B.98)
При использовании преобразования Лапласа исходное уравне-
уравнение B.83) и условия B.98) приводятся к виду
d*a*
= ha*.
х—о
Как и ранее, исходя из ограниченности решения и* {х, р)
при х—юо, найдем
du*
dx
Откуда
Х-0
a* (x,p) = ^
1 P
Так как
-±—e-*VF
Vp + t
то, используя соотношение
Vp e
*) Здесь интегрирование ведется от х до оо.

§ 6] ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 69
получим
<Ю
4°. Пусть требуется найти решение уравнения
g-a^-*g-c«=O @<*<оо, *>0) B.99)
такое, что
а(*,0) = 0, eJ(*,O) = O, e@, О —VW- B.100)
После применения преобразования Лапласа, получим
^-(ар' + ^р-\-с)и* = 0, B.101)
и*{х, 0) = ср* СР). B.102)
Решение однородного уравнения B.101) находится обычным
способом. Из условия ограниченности решения на беско-
бесконечности легко найти, что преобразованием Лапласа функ-
функции и [х, t) является функция и* (х, р) =<р* (р) е ~ *Уе/>1+ьр+ет
! Ь \г
Если ас — \-п) =0, то функция и* (я, р) принимает вид
и*{х, р) = у
откуда
а(х, f) = e
Если л = ас-—f-s-J 7^=0, то, принимая во внимание соотно-
соотношение
ъ
—х

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
[гл. и
О при
ь
70
будем иметь
и{х, *)==•
при
Б. Введем в рассмотрение широко распространенное в
разных областях естествознания уравнение Вольтерра вто-
второго рода с разностным ядром
t
k(t — i)ep(i)dT. B.103)
Предположим, что все функции, входящие в уравнение, имеют
преобразования Лапласа:
*,р)= f*(P)
Y \Pl— I —
Пользуясь сверткой, будем иметь
Откуда
и
«+/OD
tp {t) = ^ i <p* (p) ept dp.
в—too
Для уравнения B.103) все повторные ядра зависят от раз-
разности t — т, а поэтому и резольвента зависит от t, % таким
же образом.
Уравнение Вольтерра первого рода
может быть решено аналогичным образом. Более того,

§ 6] ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 71
указанный метод применим к системам интегральных урав-
уравнений Вольтерра вида
2 J/frtU — 'с)«р*МЛ (/=1, 2 л).
Применяя к обеим частям преобразование Лапласа, получим
2 *?
Решая эту систему уравнений первой степени, определим
у*(р), и решение рассматриваемой системы уравнений при-
примет вид
о+«оо
J
о—foo
Приведем несколько примеров.
1°. Уравнение Абеля. Впервые в истории математики урав-
уравнение, в котором неизвестная функция y(t) стояла под зна-
знаком интеграла, получил Абель в 1826 г, при решении так
называемой задачи о таутохроне
B.104)
Пусть <?*(p) = ?-[y{t)l &[f{t)]=f*{p). Тогда, ис-
используя обычную методу применения преобразования Лапласа,
уравнение B.104) приводится к виду
Отсюда
)_ /@) 1 | Р/*(Р)-/Ф)
*,пч Р1Ч*(Р)_ /@) 1 | Р/*(Р)
W)— !'(!_«) — ГA-а)р« ' ГA-
Теперь легко найги

72 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА [гЛ. И
Учитывая, что ГA—а) Г (а) = п - , будем иметь
sinOT|7@) ¦ Г Л*)* ]
2°. Рассмотрим интегральное уравнение с логарифмиче-
логарифмическим ядром
t
$ср(тIп(* —-с) dx=/(*), B.105)
о
где ср (т) — неизвестная функция. Пусть <р* (р) = S [ср (<)],
f*{) = &\f{f)\. Используем равенство
B-l06)
Имея в виду соотношение
J?(\nt) = (C-f-lnp), С — постоянная Эйлера,
получим
— <р* (Р)} (С + In р) =/*(/>).
Поэтому
с« /,% = Pf* iP) = РТ (P)~f @) f @)
Принимая во внимание B.106), найдем
J
0
3°. Рассмотрим уравнение
о
Совершая над обеими частями преобразование Лапласа,

7] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЛЛИНА 73
В соответствии с последней формулой имеем
t
о
Заметим, что сказанное в этом пункте непосредственно
обобщается на интегро-дифференциальное уравнение вида
а т (") (tf) -4— а <р("—*) it) -4— . -4— а, <р (t) -4-
2^ (t-г) «(х)Л=/@
и на системы таких уравнений
§ 7. Преобразование Меллина
Преобразование Меллина
с»
'-¦Л, s = a4-'t, B.107)
тесно связано с преобразованием Фурье и Латаса
Преобразование Меллина может быть успешно применено
к решению определенного класса плоских гармонических за-
задач в секториальной области, задач теории упругости,
а также при изучении специальных функций, суммировании
рядов и вычислении интегралов Теоремы, относящиеся к
преобразованию Меллина, могут быть получены из соответ-
соответствующих теорем для преобразований Фурье и Лапласа пу-
путем замены переменной. Приведем некоторые теоремы.
Теорема 16. Пусть t*~lf {¦*)€L (О,-}0), причем
функция /(т) имеет ограниченное изменение в окрестно-
окрестностях точки z = t. Тогда
f
1п
где функция JF (*) определена по B.107).

74 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. И
Теоремз 17. Пусть If (<з ~\-iu) ? L (— оо, -J- оо) и име-
имеет ограниченное изменение в окрестности точки u=t.
Тогда
1
где
= lim J f{t) t'+tt-idt, B.109)
rsds. B.110)
0 —ft»
Пусть W (s) и G(s) — преобразования Меллина функций
и g(t). Непосредственно можно получить
+ f ao
ft-/oo
00 *+lQO 00
U I f
I
*-to 5
Подобным же образом
А+'об да ft+/c»
ft-ft»
сю
Теорема 18. Пусть
V + oo) « 0A— Л —
— оо.+оо) « i*g{t)€L{0, +oo).
справедлива формула B.111).
Аналогом теоремы о свертке в теории преобразований
Меллина является следующая

§ 7] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЛЛИНА 75
Теорема 19. Пусть i*f(t) и i*g(i) принадлежат
множеству L (О, -\-оо) и
Тогда функция tkh (t) ? L (P, -J- oo) u гг преобразование
Меллина есть ? (s) G (s).
О преобразовании Меллина из других классов функций
и некоторых его приложениях см. [73], [77].

ГЛАВА Ш
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ
Интегральные преобразования вида
где К (я) — функция Бесселя, известны под названием пре-
преобразований. Бесселя.
К этому виду принадлежат интегральные преобразования
Ханкеля, Мейера, Конторовича — Лебедева и ряд других пре-
преобразований.
§ 1. Преобразование Ханкеля
Формулы типа A.14), A.15), A.16), дающие разложение
произвольной функции f(x) в интеграл Фурье, представляют
значительный интерес во многих проблемах математики и фи-
физики. К числу разложений подобного типа относится разло-
разложение по цилиндрическим функциям, известное под именем
интеграла Фурье — Бесселя:
00 00
о о
где J4(x) — функция Бесселя, v> — у.
Теорема 1. Пусть функция f{x) ограниченной вариа-
вариации во всяком конечном интервале (О, R), и
f{x)\x*dx<oo.

§ 1] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХАНКЕЛЯ 77
Тогда при v> — у имеем
00 00
= J У, (л») a du S /(О /V (a/) / Л. C.2)
В точках непрерывности имеет место формула C.1).
Справедливость указанного разложения сформулирована
и при других предположениях [73], [136], [119].
Преобразованием Ханкеля называется интеграл
00
i @<в< + «>). C.8)
Из интегрального разложения (ЗЛ) следует формула обра-
обращения
00
/(/) = Щ -' [/* («)] = J А (») У, («О о du @< t< + оо). C.4)
о
Заметим, что если функция f{t) такая, что f{t) — O{f) при
t—>о, a-[-V-}-2>»0 и f{t) = О{&) при /—*¦ с», Р4"'о"<^^»
то интеграл C.3) сходится [119].
К разложению (ЗЛ) можно добавить еще одно разложе-
разложение аналогичного типа
00 | 00 1
/(ж) =:$HV(*«)(*«O<ta$ Yy(ut)(at)^/{t)dt, C.5)
о о
где У, — функция Бесселя второго рода, Н„ — функция
Струве.
Формула C.5) представляет основу для введения соответ-
соответствующего интегрального преобразования [69], [73], [247],
[146].
Приведем связь, существующую между преобразованием
Ханкеля и кратными преобразозаниями Фурье.

78
Пусть
/С*,
ПРЕОБРД
00
.— 00
00
l30B
00
I
— 00
СО
[ГЛ. 1Ц
— 00 —00
При переходе к полярным координатам по формулам
x-\-iy = re'v и \ -\- ш = ре1* функции /(х, j') и /*(Х, в>)
связаны между собой следующим соотношением:
00 2Я
Оф
р=Оф=О
Полагая
и принимая во внимание интегральное представление функ-
функций Бесселя
1С
О
будем иметь
00
и (г, ?) = е"?
о
Введем обозначение
«(г, ср) =
где
Ф(г)=^р7„(гр)х(р)^р.
о
Тогда получим
v (р, ф) = fV»* J /„ (— гр) Ф (г) г dr,
о
оо

§ 1] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХАНКЕЛЯ 79
Приведем еще несколько свойств преобразования Ханкеля.
1°. ЯГ,|
2°. С помощью интегрирования по частям можно полу-
получить
При этом предполагается, что
3°. Равенство Парсеваля. Пусть
Тогда
00
}*Ati)gAU)du-^
Условия справедпивости последней формулы сформулированы
в [73], [119].
4°. Асимптотика [119]. Если f(t) = O(f) при t—*0,
— О(Р) при /—*оо, В4--о-<0, то
—1, а>0) существует, и, кроме того,
» = 0<а«') (в—0), o'^jnln(v, —p — 2),
Обобщением интегрального разложения C.1) является фор-
формула
(«<*< + «>), C.6)

SO ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ [ГЛ. Ill
где
<ри (f) = 7V (аи) У, (uf) — Fv (аи) 7V (tf) (i> > — у)
— линейная комбинация функции Бесселя первого и второго
рода v-ro порядка. Разложение C.6) имеет место, если f(t) —
кусочно-непрерывная функция ограниченной вариации во вся-
всяком конечном интервале {a, R) и интеграл
)\f(t)\t* dt<ao.
а
При с—>-0 C.6) переходит в C.1).
По аналогии с преобразованием Ханкеля интегральное
разложение C.6) приводит к соответствующему интеграль-
интегральному преобразованию, которое называется преобразованием
Вебера. Представляет интерес обобщенное преобразование
Вебера
/•(«)=$ «7,(и*, aa)f(t)dt,
а
где
Р и Q — некоторые произвольные постоянные [147]. Преоб-
Преобразования Ханкеля и Вебера могут быть успешно применены
к решению краевых задач для уравнения Лапласа и Гельм-
гольца, некоторых задач теории упругости и теплопровод-
теплопроводности.
§ 2. Преобразование Мейера
При решении дифференциальных уравнений типа Бесселя
важное значение имеет интегральное преобразование Мейера.
Последнее определяется посредством интеграла
о
где К„ (f) — функция Макдональда. Формула обращения

§ 2] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЙЕРА 81
имеет вид
I4[ts){t8)*f(s)ds. C.8)
j
Равенства C.7), C.8) непосредственно вытекают из соответ-
соответствующего разложения произвольной функции в обобщенный
интеграл Фурье.
Теорема 2. Пусть f(t) — функция действительного
переменного t, b^t<C-\-oo, интегрируемая на любом ко~
нечном интервале 0 < 7\ s^ f г^ Г2 и ограниченной вариации
в окрестности точки t = x; пусть, кроме того, сходится
интеграл
$
о
Тогда имеет место разложение
2
p+rft
= -. lim \ /v (xs) (xs)* ds \ Кч (sf) (s/J /@ <#• C.9)
р -- «х о
Функция Кч {z), как известно, четная функция v, поэтому
последняя формула может быть представлена в форме
i r
(ЗЛО)
В частности, так как

82 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ [ГЛ. Ш
то формула (ЗЛО) при v= + -^ приводится к виду
P +
Ях+О)+/(*-о)== i 1ш f лГ^/(р (ЗЛ1)
ЛИх—р^л а?
Теорема 3. Пусть аналитическая в полуплоскости
Re s > а 5* 0 функция / {s) удовлетворяет условиям:
1°. Для всех *5*0 и [3>а существует
lim \ f4(tz){tz)*f{z)dz,
причем сходимость относительно t{O^t^b) равномерная.
2°. Сходится интеграл
J
3°. Функция f(s) ограничена в полуплоскости Re 5 ^ р,
в.
Л — положительная постоянная, не зависящая от s.
4°. Существует
где сходимость относительно всех действительных значений
у равномерная.
Тогда при Res>p имеет место равенство C.7), в #о-
тором функция f(t) определяется посредством C.8).
Теорема 4. Пусть функция g(s) такова, что

§ 3} ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОНТОРОВИЧЛ — ЛЕБЕДЕВА 83
где f(s) удовлетворяет условиям, сформулированным
в предыдущей теореме, Re((),)<0 (/=1, 2, ...,и). Тогда
i T
Для преобразования Мейера определена свертка и по-
построено операционное исчисление по схеме Минусинского
(см. гл. V, § 16).
§ 3. Преобразование Конторовича—Лебедева
1. При решении некоторых задач математической физики
важное значение имеет ряд интегральных преобразований,
содержащих интегрирование по индексу функций Бесселя.
Впервые подобная форма интегральных преобразований рас-
рассматривалась М. И. Конторовичем и Н. Н. Лебедевым
в 1938 г. [37]. Введенное этими авторами интегральное пре-
преобразование в настоящее время носи г их имя и называется
преобразованием Конторовича — Лебедева. Последнее было
успешно применено к решению ряда интересных задач [16],
[43], [76], [77]. Основное значение в теории преобразований
Конторовича — Лебедева имеет разложение типа интеграла
Фурье
|§ J 5, C.12)
где ^{х) — функция Макдональда, х^>0, /(х) — произ-
произвольная непрерывная вместе со своей производной функция,
удовлетворяющая условиям хг/(х), х/(х) ?Z. (О, ~{-оо). Раз-
Разложение C.12) имеет место и для функций более широкого
класса [43], [46]. Обозначим
C.13)

84 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ [ГЛ. Ш
Интеграл C.13) называется преобразованием Конторовича —
Лебедева. Непосредственно из C.12) вытекает следующая
формула обращения:
UD
C.14)
В более симметричной форме указанные формулы имеют вид
00
^ZpB C.15)
@<*<+oo). C.16)
Иногда формулы C.13), C.14) встречаются в следующей
форме:
со
F(*)=a*&m$f{x)&&dx, C.17)
о
о»
f(x)= j />(т) *„<*)*. C.18)
о
Для вычисления некоторых типов определенных интегра-
интегралов большое значение имеют формулы, аналогичные формулам
Парсеваля в теории рядов и интегралов Фурье. Приведем
следующие теоремы [44], [45].
Теорема 5. Пусть g{x)— произвольная действитель-
действительная функция такая, что:
1) g{x)x * €1@, +00), 2) i
О (т) = I g (x) ¦ I— dx. C.19)
0
Тогда
at to
\]2dx. C.20)

§ 3j ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОНТОРОВИЧА ЛЕБЕДЕВА 85
Теорема 6. Пусть gx{x) и gt{x) — произвольные ве-
вещественные функции, удовлетворяющие условиям 1) а 2)
предыдущей теоремы, Ot (т) и О2 (т) — соответственно ин-
интегральные преобразования вида C.19) функций gt и gt>
Тогда
G, (t) G, (t) Л = J ^ (*) ft (д:) rf*. C.21)
о о
Ряд других интегральных преобразований, включающих
интегрирование по индексу цилиндрических функций, рассма-
рассматривается в [168].
2. Найдем решение уравнения теплопроводности
dt *
удовлетворяющее условиям
Т= §emt при tp = 0, \ П9„.
Т=0 при 5 = а. / C-23)
Такая задача возникает при исследовании периодического
температурного поля в клиновидной области [208]. Будем
искать решение в виде произведения
Для определения и (г, ср) имеем уравнение
Vfe-!-*¦« = 0, *• = _/?.
Посредством замены переменных
z=ikr, u(r,y)=
получим
К= 1 при «р = О,
V=0 при ср = а.
Применяя преобразование Конторовича — Лебедева C.17),

86 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ [ГЛ. III
C.18), найдем
viz, 1)=^-
$
о
Из граничных условий следует
J A is) sh (as) Kis iz)ds = — e-**i**. C.24)
о
Для всех действительных {J имеем
cos (р*) /^ (z) rfy = | г - * * Р. C.25)
Непосредственно из асимптотического представления для
больших $
следует, что интеграл в C.25) сходится и для мнимых зна-
значений [J —/ц, в предположений, что J Ja|4~IyI ^т- С уче-
учетом уравнений C.24), C.25) найдем
Поэтому

ГЛАВА IV
ДРУГИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 1. Преобразование Мелера — Фока
1. Интегральное преобразование Мелера — Фока опреде-
определяется посредством интеграла
со
f(x)P_L (x)dx, x>0, D.1)
где Рч(х) — сферическая функция Лежандра первого
рода. Пусть f\x)— действительная функция такая, что
Дх)Р_±(х) ?L {\,-\~<х>). Тогда интеграл D.1), понимаемый
»
в смысле Лебега, представляет действительную функцию т,
определенную для всех т ^ О (можно рассматривать также
т<^0, при этом F(—т) = Г(т). Фактическое вычисление
преобразования Мелера — Фока для функций различного вида
осуществляется с помощью интегральных представлений функ-
функций Лежандра, например,
*0Jy2(ch«-cM
{интеграл Мелера),
to
?f co$xs
и последующего изменения порядка интегрирования.

88 ДРУГИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [ГЛ. IV
Разложение произвольной функции в интеграл типа Фурье
СО 00
D.2)
_i (x)rfxJ/U)P_1
2 1 * +
представляет основу для нахождения соответствующей фор-
формулы обращения для преобразования D.1). Приведем две
теоремы [78].
Теорема 1. Если функция ф {х), заданная в интервале
{I ^.х<Ц-{-оо), такова, что <р {t) = 2 sh-^Ф(ch t) имеет
первую производную, абсолютно интегрируемую в бесконеч-
бесконечном интервале @ <^t<^-\- <х>), и вторую производную,
абсолютно интегрируемую в любом конечном интервале,
и если <р@) = 0, у(~\-<х>) = 0, то ф(лг) может быть пред-
представлена в виде интеграла
$_ , + o), D.3)
о »+ф
где
= |1 th |№ J Р t (X) ф (X) dx. D.4)
Теорема 2. Если функция /Ол), абсолютно интегри-
интегрируемая в бесконечном интервале @«ё: ja<-]-oc), имеет
производную, абсолютно интегрируемую во всяком конеч-
конечном интервале, и если /@) = 0, то /(jx) может быть пред-
представлена в виде интеграла D.4), где ф (jc) имеет вид D.3).
Приведенные теоремы могут быть доказаны и при других
предположениях [43].
2. Интегральное преобразование Мелера — Фока находит
применение при решении некоторых задач теории потенциала,
теории теплопроводности, при решении линейных интегральных
уравнений определенного типа, а также и в ряде дру1их
задач математической физики [43], [45]. В качестве примера
рассмотрим интегральное уравнение

§ 1] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЛЕРА— ФОКА 89
где
Пусть существует преобразование Мелера — Фока функции
ср(лг) и g{x)
00
00
0(t)= [g{x)P_i,Ax)dx.
i t "**
Так как
да;
+fc +
то будем иметь после умножения равенства D.5) на Р i (л:)
- +,ч
и интегрирования по х от 1 до -|- схэ
откуда при — оо< Хя < 1, получим
С помощью формулы обращения найдем
00
| = I х th тгс Щ—¦ Р ,
ch ire
Строгое обоснование может быть сделано, например, при
предположении, что g{x) — непрерывная функция ограни-
ограниченной вариации во всяком конечном интервале (
причем
2) О(т)т€?@,4-о°) [43].

90 ДРУГИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [ГЛ. ГУ
§ 2. Преобразование Гильберта
Рассмотрим интегральную формулу Фурье
да
f(x) =\[a (t) cos xt + b @ sin xt] dt.
о
Здесь
CO SO
a (t) = -J- f /(и) cos и/ rf«, & (t) = ^ f /(и) sin ut du.
— CO
Положим
со
00 00
sin (и — x)i-f(u)du.
—00
Интеграл в правой части последнего равенства называется
сопряженным интегралом к интегралу Фурье и получается
формально из приведенной формулы Фурье заменой а на b
и b на — а. Опять формально имеем
/ оо
— lira- f dt f sin (и— x)t-f(u)du =
— CD
as
= lim 1 f L_i2iiL [/{JC _j_ 0 _/(jc _ /)] rf/.
О
Отсюда

§ 3] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАГЕРРА 91
Аналогично
l]i^tlLl^Ildt D.7)
о
Формулы D.6), D.7) эквивалентны формулам
D.8)
= -±Hm f *?±ILZ?!?=J> di, D.9)
где символ V. Р. обозначает главное значение интеграла
в смысле Коши. Последние две* формулы представляют собой
пару преобразований Гильберта. Строгое доказательство ряда
теорем, относящихся к теории преобразований Гильберта,
имеется в [73], [255].
§ 3. Преобразование Лагерра
Интегральное преобразование
00
(л = 0, 1,2, ...), D.10)
где Ln(t) — многочлены Лагерра п-го порядка, называется
преобразованием Лагерра. Последнее естественно применяется
для решения дифференциального уравнения Лагерга
J?x+nx=0, D.11)
где
& х (/) = W @ -f (I — t) x' if).

92 ДРУГИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [ГЛ. IV
Применение преобразования Лагерра сводит дифференциаль-
дифференциальную операцию ?? х к алгебраической по формуле
Т{&[х{()]} = — пхЦп) (л = 0, 1,2, ...)•
В работе [188] вводится в рассмотрение свертка для пре-
преобразований Лагерра
со * ^___
с {t) = ¦?• J е-*а (т) \ е cos (Vtx sin (p )X
о о
X ?(* + *— 2К^"со8(р)йсрс?т
и строится аппарат операционного исчисления для операторов
Лагерра

ГЛАВА V
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 1. Основные понятия и предложения
Пусть М—множество всех абсолютно непрерывных и,
вообще говоря, комплексно-значных функций, определенных
на полупрямой Q^t<C-\-<x>, L — множество всех функций,
определенных на полупрямой Oss; *<[-{-оо и интегрируемых
в смысле Лебега на любом конечном интервале (О, А).
Если функция F (t) ? М, то существует для почти всех
значений производная F' (r) =f(t), принадлежащая множеству
t
L,nF(t) = F(O)-\-lf{a)du. Обратно, если g{t)?L, то
о
t
функция О (t) = j g {и) du принадлежит множеству М и почти
о
всюду G'(t) = gA). Если /(/)??, g{t)?L, то для почти
всех t существует интеграл
t
о
принадлежащий множеству L. Интеграл
о _
гДе G{t)?M, f(f)?L, принадлежит множеству М. Если
t
о
где F(i) ?М, G (t) ? Ж, то существует Н (t) ? М.

94 ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ГЛ. V
М есть линейное множество и в нем операции сложения
и умножения на число определяются естественным образом.
Произведением функций F{f)?M и O{t)(-M называется вы-
выражение
t
E.1)
о
При таком определении произведения нет необходимости раз-
различать постоянные числа от функций констант. Основные
свойства операции умножения:
Г. Если F{f)?M и О(*)€Л*. то F(t)*G(t)?M.
2°. Произведение коммутативно, т. е. F{t)XG(t) =
= G(t)*F(t).
3°. Произведение ассоциативно, т. е.
(F(t) * О У)) * H(t) = F(t) * @{t) * H(t)).
4°. Произведение дистрибутивно относительно сложе-
сложения, т. е.
F(t) * (Q(t) + H{t)) = F{t) * G(t) + F(i) * N{t).
5°. Если F {t) # G @ = 0 для всехО < *< + oo и F(t) & О,
то G{t) — Q для всех 0 < t < -f- oo [59].
Множество М относительно сложения и умножения
в смысле E.1) образует коммутативное кольцо. Из свойства
5° следует, что это кольцо не имеет делителей нуля. Всякое
коммутативное кольцо без делителей нуля может быть
расширено до поля отношений. Назовем парой выражение
(F{t), Q(t)), где F(t)?M, Q(t)?M и О(/)^:0. Две пары
(F(t), G (t)) и (F% (t), Gj (t)) называются эквивалентными, если
F(t)*Gl(t) = F1(t)*G(t). E.2)
В этом случае и гоиько в этом случае будем писагь (F, G) ->-
~~(Flt G,). Множество пар {F, G) разбивается на классы,
каждый из которых состоит из эквивалентных между собою
нар. Так как все элементы, эквивалентные элементу класса,
лежат в одном и том же классе, то, следовательно, класс
определяется одним из его элементов. Этот элемент назы-
называется представителем класса. Обозначим класс, к которому
принадлежит пара (F, G), символом j- . Согласно этому опре-

§ 1] ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Й ПРЕДЛОЖЕНИЯ 95
F F,
делению — = ?¦* гогда, и только тогда, когда F и- О, = F^G.
Для символов jj определим сумму и произведение, полагая
п i Ц =
E.3)
@*0,^0).
Правые части последних равенсгв не зависят от выбора пред-
F F F
ставителей классов ^ н ^, Совокупность всех символов ^
образует коммутативное поле. Обозначим его через 5Щ. Эле-
Элементы поля Ш1 назовем операторами. Формулы E.3) опре-
определяют сумму и произведение операторов. Часто операторы
F R
будем обозначать одной буквой, например а = ^, Ь==.-щ
и т. д. Наконец, в целях упрощения записи, там, где это не
может вызвать недоразумений, произведение операторов а и b
будем обозначать ab. Таким образом, если д=~- и
о
b = jj — операторы, то ab — произведение операторов. При
F 4i R F
этом ab = а -Х- b = г „ .,. Символ ^- означает операцию де-
ления в $Ш. Последняя существенно отличается от обычной
операции деления.
Основные свойства операции сложения и умножения
в поле ЗЛ:
1°. ab=ba.
2°.
3°.
I?/A
Совокупность операторов вида —— можно отождествить
с множеством М, именно каждому оператору вида -~
можно поставить в соответствие функцию F(t)? M. Говорят,
что $Щ есть расширение кольца М. Вместо оператора у
будем писать 1, такой оператор называется единичной функ-
функцией Хевисайда. Вместо оператора ^ будем писать 0.

96 ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ГЛ. V
Константы принадлежат полю 9К. Деление констант в Ш
совпадает с обычным отношением постоянных. В кольце М
уравнение
E.4)
не всегда имеет решение. Например, если F {t) = t и G {t) = 1,
го уравнение E.4) примет вид
•5)jcE)d?=l,
0
или
t
= 1, E.5)
и среди множества М нет функции #@, удовлетворяющей
уравнению E.5). В поле 9R любое уравнение ах = Ь (аф
~1Ь
всегда имеет решение х—а~1Ь = ~.
Поле 9Л содержит множество L. Пусть f(t)?L, тогда
t
F{t)=^f(u)du?M и /7@) = 0. Поставим функции /(*)
о
в соответствие оператор —^-. Двум различным функциям
f(i) и gf(^) множества ? отвечают различные операторы
-—• и —j-i, так как в противном случае ^¦х-/7=^О или
* * (Z7 — G) = 0, откуда F (t) =: G (^). Всякому оператору вида
^, //@) = 0 отвечает функция h{t) = H'{t)?L. Таким
образом, между множеством всех операторов вида ~-,
F @) = 0 и множеством ? устанавливается взаимно однознач-
однозначное соответствие. При этом сумме функций f(t)-\-g{f) отве-
отвечает сумма операторов —~ -j—^, Произведению функции
F U)
f(t) на число X отвечает произведение X на оператор -~.
Перечисленные свойства позволяют отождествить операторы
Fit)
вида —~, /7@) = 0 с функциями множества L и не делать

§ 1] ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ 97
р tt\
различия между функцией f(t)?L и оператором -~. По-
Поэтому будем писать
ф E.6)
Операторы поля 9ЭТ, приводящиеся к виду -т-, /7@) = 0,
естественно назвать функциями, а приведение оператора
~~ к виду -J-', F @) ==0, назовем реализацией оператора. Не
всякий оператор допускает реализацию; например, оператор ¦?
Fit)
не может быть приведен к виду -~ , F @) = 0 Сумма функций
всегда есть функция. Простой пример показывает, что произве-
произведение функций не всегда будет функцией, т. е что произведение
F G
операторов f{f) = -j и g (t) = — (^(О) = 0, G @) = 0) не всегда
можно привести к виду ~^, //@) = 0. Действительно,
пусть /@ = —^, *(/) = ^=, т. е.
= VT. Тогда
откуда
Следовательно, совокупность всех операторов вида ——,
F @) = 0, не есть кольцо Однако имеет место
Теорема 1. Если одна из функций f{t) илиg{t) абсо-
абсолютно непрерывна, т е. принадлежит множеству М, то
произведение этих функций есть снова функция. При этом
произведение f(t) & g(t) может быть вычислено по формуле
E.7)
В Лпшгьи A TTtvti

98 ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ГЛ. V
F(t\
Оператор ——¦ можно рассматривать как произведение
оператора у на функцию -y-' = /7(tf). Оператор -г- играет
фундаментальную роль в операционном исчислении. Для него
введено специальное обозначение р=—. При этом фор-
формула E.6) примет вид
E.8)
Здесь F(t)?M и F@) = 0. Если F{t)— любая функция,
принадлежащая М, то из E.8) имеем
E.9)
Следовательно, в случае F(t)?M и /7@) = 0 умножение
функции F{t) на оператор р означает просто ее дифферен-
дифференцирование. Произведение ра имеет смысл для любого опе-
оператора а ? 9Л; в общем случае ра будет оператором. Для
того чтобы ра было функцией, необходимо и достаточно,
чтобы a = F(t)?M и /?@) = 0. Оператор р называется
оператором дифференцирования. Если F' {t) ? М, то из E.9)
следует
E.10)
В общем случае, когда F (/) имеет производную я-го по-
порядка, принадлежащую множеству L, последовательное при-
применение формулы E.9) дает
, E.11)
где р" обозначает произведение я операторов р*р#...к/
в поле Ш. Полагая в E.9) /="(*) = eet, найдем peat = aeat-\-p,
или (р — a)eat=p, откуда
? ?*. E.12)
р — a
Точно так же полагая в EЛ0) F{t)=^ sin at, F{t) — cos «at,
найдем
^ f^r == cos at. E 13)

§ 2] РАЦИОНАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 99
Из равенства
следует
или (см. E.12))
откуда
В общем случае имеем
р tn~1e~at
0Г-й)в== Г (в) ' EЛ4>
Оператор/>~\обратный kjp, очевидно, равен/? z=—=t.
Функция F(t) — t принадлежит множеству М. Поэтому из
E.1) следует для любой f(t)?L
t
Таким образом, произведение р 1 на fit) обозначает инте-
интегрирование. Оператор р~х называется оператором интегри-
интегрирования. Обозначая через р~п произведение п операторов
"*, найдем из E.15)
Тогда из E.1) следует для
t
J E.17)
§ 2. Рациональные операторы
Одной из основных задач операционного исчисления
является изучение операторов вида Z(p), где Z(k) есть не-
некоторая функция переменного X. Примерами таких операто-
операторов могут служить операторы р_а , - г f а, ¦ /?"". рас-

100 ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ГЛ. V
смотренные в предыдущем параграфе. В простейшем случае,
когда Z{\) есть рациональная функция, т. е.
где Р(Х) и Q(\) — многочлены
естественно определить оператор Z(p) посредством равенства
= V?r EЛ8)
Операторы Р{р) и Q{p) принадлежат полю ЗЛ, а следова-
следовательно, полю Ш принадлежит и их отношение ттМ- Опера-
Оператор Z{p) называется рациональным оператором. Возникает
вопрос, для каких рациональных функций Z (к) операторы
Z(p) приводятся к функциям. Для этого необходимо и до-
достаточно, чтобы степень полинома Р(к) была меньше или
равна степени полинома Q{\). Следовательно, если п^т,
то существует функция tp (if) такая, что
Z(p) = y{t); E.19)
при этом легко установить, что tp(f) принадлежит М. Если
значение оператора Z{p) для единичной функции известно,
то определение значения Z(p)/{t) для произвольной функ-
функции f{t)f-L дается формулой
. E.20)
*
Функцию tp (t) из уравнения E.19) можно определить, разла-
разлагая \~1Z{\) на простые дроби. Можно воспользоваться тео-
теоремами разложения Хевисайда (см. гл. II, § 3). Например,
если все корни знаменателя, т. е. корни многочлена Q(X),
простые и Q(O)=t^O, то
*=1

§ 3] ОПЕРАТОРЫ, ПРЕОБРАЗУЕМЫЕ ПО ЛАПЛАСУ 101
Здесь \,\ж, . • •> ^я» — корни многочлена Q{\). Если Q@) = 0,
то это будет означать, что Q{p)=:pQ1(p), где Qt @)^=0.
Используя E.21), можно найти ^^^tp^tf), после чего
Более сложен случай кратных корней. Если, например,
Х = 11 — кратный корень, то при разложении X-1Z(X) на
простые дроби появятся дроби n—г-г?. Следовательно, а (/)
будет содержать члены Arf~Je^*. Таким образом, в общем
случае, решение уравнения E.19) будет иметь вид
E.22)
Обратно, для всякой функции tp {t) вида E.22) существует
такой рациональный оператор Z(p), что Z{p) = y{t). Рацио-
Рациональные операторы не исчерпывают поля Ш- Они образуют
подполе в 9I, которое получается расширением кольца функ-
функций типа E.22). Каждый элемент этого подполя может быть
представлен рациональным оператором Z{p) = -^p. Если
п*^т, то Z(p) есть функция, в противном случае Z(p) —
оператор. Предыдущий результат можно обобщить на более
широкий класс операторов поля 5Ш, Проще всего это сде-
сделать посредством преобразования Лапласа.
§ 3. Операторы, преобразуемые по Лапласу
Пусть S обозначает множество всех функций f{t)?L,
для которых интеграл Лапласа
00
/*(*)= J f(t)e-gtdt
сходится абсолютно, a S* обозначает множество их транс-
трансформаций Лапласа. Если для оператора a^-Bt существует
представитель (F{t), G(t)) такой, что F{t)?S и G{t)?S,
ю такой оператор называется преобразуемым по Лапласу.

102 ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ГЛ. V
Функция
7?§)> <5-23>
где
00 00
F* (z) = ^F {t) е-*аЧ, G*(z) = J G (i) e^dt
о о
называется преобразованием Лапласа оператора а =
Нетрудно проверить, что определение а (г) не зависит от
выбора представителя (F, G) и, следовательно, а (г) одно-
однозначно определяется оператором а. Это преобразование обо-
обозначают символически
a=~a{z). E.24)
Множество всех преобразуемых по Лапласу операторов
поля 9Л обозначим через 9t, а множество их преобразований
Лапласа обозначим через У1.
Теорема 2. Преобразование E.24) устанавливает
между множествами Ш и ))t взаимно однозначное соот-
соответствие, при котором сумме операторов а -\-Ь отвечает
сумма функций a(z)-\-b(z), а произведению операторов
а%Ь отвечает обычное произведение функций а{г)Ъ{г).
Нуль и единица множества Ж переходят в нуль и единицу
множества 9?.
Теорема утверждает изоморфизм полей Ш и Jli. При этом
оператор дифференцирования р = — соответствует функции
a(z) = z, т. е. /з=7=?. Поэтому для любого рационального
оператора имеем
Если оператор является функцией f(t)?S, то
f{f) = zf*(z)=f{z), E.26)
Вследствие изоморфизма множеств 91 и dt различие между

§ 4] К ВОПРОСУ РЕАЛИЗАЦИИ ОПЕРАТОРОВ 103
этими множествами в большинстве случаев не является су-
существенным, что позволяет не делать различия между опе-
оператором р и комплексным числом г. Поэтому часто вместо
буквы z пишут букву р. В ряде случаев обозначение опера-
оператора дифференцирования и комплексного числа одной и той
же буквой упрощает изложение. Таким образом, р в поле 9?
обозначает оператор дифференцирования, а в поле 9? это же
р является комплексным числом. Вместо E.26) будем писать
/(')=/(/>)• E.27)
В принятых обозначениях /*(р) означает преобразование
Лапласа функции f{t)^S) f(p) означает преобразование
Лапласа оператора /{/) = -il, где F{t)= ^f[u)du. Me-
о
ЖДУ fiP) и /*(Р) имеет место соотношение f{p)=pf*(p)>
В общем случае, если а ?91 и а=-щтг^ т0
Изоморфизм E.28) сводит изучение структуры поля опера-
операторов 9tf к изучению поля 9?. Итак, в поле операторов Ш
можно выделить подполе Ы, изоморфное полю 9J, элементами
которого являются функции комплексного переменного р опре-
определенного вида. Каждый оператор поля Ш. можно рассмат-
рассматривать как функцию оператора р, т. е. а = а(р). Послед-
Последнее свойство может быть перенесено на все поле Ш посредством
обобщенного преобразования Лапласа [20], [23].
§ 4. К вопросу реализации операторов, преобразуемых
по Лапласу
Поле операторов 9t, изоморфное полю Ы, образует
в Ш обширный и важный для применения класс опера-
операторов. Всякая измеримая функция f(t), растущая не быстрее,
чем eqt, т. е. удовлетворяющая, при всех достаточно боль-
больших tt условию
I/K*. E.29)

104 ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ГЛ. V
где К и q — константы, принадлежит множеству S. В общем
случае для того, чтобы функция f(t)?L принадлежала 5,
необходимо и достаточно, чтобы при некотором q = const
lim e~*\f{u)du = Q.
Поэтому поле операторов 9R является расширением кольца
функций, удовлетворяющих условию E.29), где постоянные
К и q могут быть различными для различных функций. Если
оператор а может быть приведен к виду ——^=/(?) и функ-
функция f(t) принадлежит множеству S, то
^=р/*(р), E.30)
где
о»
/*(р)= $/(*)«-"#. E.31)
о
При решении задач методом операционного исчисления
одной из важнейших является проблема реализации оператора.
Необходимо иметь критерии, по которым можно было бы
судить о том, приводится ли данный оператор к функции.
Теоремы и леммы из § 1 гл. II позволяют в ряде случаев
ответить на этот вопрос.
В этом и следующих параграфах будут встречаться мно-
многозначные функции |//>, Inp, arctg/эит. д. Во всех случаях,
если не оговорено противное,всегда рассматривается та ветвь
функции, для которой 1^1 = 1. In 1=0, arctgl =^-,при
этом argl=O, т. е. рассматривается главная ветвь функции.
Например, оператор ур приводится к функции, так
как —— удовлетворяет теореме 5 гл. И. Операторы e~kVPt
11 г- @<[|1-< 1) согласно теореме 6 гл. II приводятся
chyp
к функциям. Из теоремы 3 гл. II следует приводимость
к функциям операторов sin—?= , In f 1 -|—т=/* Л(~~)»
р{еР — 1) я т. д.

§ 4] К ВОПРОСУ РЕАЛИЗАЦИИ ОПЕРАТОРОВ 105
Если функция а {р) регулярна в окрестности бесконечно
удаленной точки, то оператор а{р) называется регулярным.
Теорема 3. Если а(р)—регулярный оператор и
f(t)?L, то
a(/>)/@ = i>*i/@> E.32)
где
Ряд E.32) сходится равномерно на любом отрезке 0^ ^ <; 7\
Например, оператор г „ _ регулярный, поэтому
t У/>а-Иа
— , I 2! ' 2-4T1
-- X
Аналогично, разлагая е р в ряд по степеням —, найдем
fc=0
В тех случаях, когда оператор приводится к функции, зна-
значение функции может быть найдено из равенства E.31).
Это делается посредством интеграла (см. гл. II, § 1)
/Ю = 5Я J /4P)eptdp. E.33)
Y—/00
Для того чтобы получить удобное выражение для вычисления
функции f(t), как было указано в гл II, часто приходится
в формулах E.33) надлежащим образом деформировать путь
интегрирования. При этом в большинстве случаев оказывается
возможным пользоваться леммами Жордана (см. гл. II). При-
Примеры реализации операторов можно на "пи в [10], [24], [34],
[52], [86].

106 ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ГЛ. V
§ 5. Обобщенное преобразование Лапласа
Из известных свойств преобразования Лапласа следует,
что 5* (см. § 3) относительно обычных операций сложения
и умножения есть кольцо. Константы не принадлежат множе-
множеству S*. Однако произведение \f* (р) ? 5 при всяком числе X.
В дальнейшем кольцо S* будем рассматривать над полем
комплексных чисел. Обозначим через Уш совокупность всех
функций из S*, представимых в виде e~Puyg*(p), где
g*(p)?S* и (о^О. Произведение e—Pwg*(p) принадлежит
S* для всякой функции g* (p) ?S*. Очевидно, У^ есть идеал *)
* 5*'
в кольце S*. Образуем кольцо 5Ш = -^ . Как известно, эле-
«">
ментами Бф являются смежные относительно У№ классы.
Именно, множество 5* распадается на множества /ш такие,
чго два элемента fl (p) и /^ (р) принадлежат одному и тому
же множеству /ю тогда и только тогда, когда /*(р)—/Цр)
принадлежит Уш. В этом случае элементы /*(р) и /\{р) на-
называются сравнимыми по идеалу Уш. Тогда часто пишут
S
Пусть fw и g^ — элементы множества S^. Как извест-
известно, суммой классов fw-\-gm и произведением классов f^g^
называются соответственно классы, содержащие элементы
/чс(р) + ^(р)и/*(р)^(р), где/*(р) и g-»(p)-предста-
g-»(p)-представители классов /ш и gw, т. е. /х (р) €/«> и g* (р) € ё"ш-
Примечание 1. Пусть со>р; тогда, очевидно,
У№ с: У . Поэтому, если классы /ш и / содержат хотя бы
один общий элемент /* (р), то / с: / (/ содержит множе-
Образуем прямую сумму множеств 5Ю, когда а) пробе-
пробегает упорядоченное множество всех действительных положи-
положительных чисел, О <С о) <С -\- °°¦ Как известно, элементами
прямой суммы будут системы {/ш}, O-^ca-^-f-oo, где
/ш — элемент множества 5Ш. Прямая сумма есть также
кольцо. Если {gm\ — другой элемент прямой суммы, то по
*) Идеалом в кольце S* называется совокупность элементов, об-
обладающих свойствами: 1) из а ?/ад и b ?JW следует
2) если a ? Jw и b — любой элемент кольца, то ab

§ 5] ОБОБЩЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 107
определению
Среди элементов {/т} прямой суммы множеств S& рассмотрим
те, для которых выполнено условие /ш п/р всякий раз, как
а»<р. Здесь/ш и /р рассматриваются, как множества из 5*.
Множество всех таких элементов прямой суммы обозначим
через L*, а элементы будем обозначать {/т}. Можно пока-
показать, что множество L* есть кольцо. Нулем в кольце L*
будет элемент {>/„,}.
Примечание 2. Пусть в кольце S* задан линейный
оператор 7, значения которого снова принадлежат кольцу.
Предположим, что идеал Уш инвариантен относительно опе-
оператора Т, т. е., если /* (р) ? Ущ, то и Tf* (р) ? Jw. В этом
случае оператор Т индуцирует в кольце S^ линейный опера-
оператор, который мы также будем обозначать через Т. Если
/ш€-5ш> т0 Т/ш обозначает класс, представителем которого
является элемент Т/*(р), где/*(р)^/ш.
Пусть {/ш} принадлежит кольцу L*. Определяем 7* {/„,},
полагая Т {/ф} = {Т/ш\. Рассмотрим интеграл
l . E.34)
¦ S*
Пусть /ш — смежный класс множества Sw=j-t содержащий
функцию /а>(р)- Так как при
E.35)
т0 /9{Р)— A(P)^J^ Поэтому /*(р)е/ш, следовательно
/ш э /?. Отсюда следует, что {/J ? L*. Элемент {/ш} на-
называется обобщенным преобразованием Лапласа функции/(/).
Соответствие между множествами L и ?*, порожденное
обобщенным преобразованием Лапласа, будем обозначать сим-
символически так:

ЮЗ ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ГЛ. V
Такое обозначение оправдывается тем, что в случае суще-
существования обычного преобразования Лапласа обобщенное
преобразование совпадает с обычным.
Свойства обобщенного преобразования Лапласа
1°. Если/(*)={/;} и g{f) = {gj, то
=^4/J+**•{?«>}» ™е *> )Х —константы.
2°. Обобщенное преобразование Лапласа {/„} с точно-
точностью до множества меры нуль однозначно определяет функ-
функцию f(t).
3°. Теорема 4 (обобщенная теорема Б орел я),
Пусть f{t)^{U) и g{t)=={gj, тогда
4°. Пусть /@ ^ {/Л- Для т0го чтобы функция f(t)
принадлежала множеству S, необходимо и достаточно, чтобы
пересечение всех множеств /ш, ю0 «ё о) <[ -f- oo (/ш рассмат-
рассматривается, как множество из 5*), было не пустым.
На обобщенное преобразование Лапласа переносятся и
другие известные свойства обычного преобразования Лапласа.
5°. Теорема 5 (теорема запаздывания). Если
f{t)={fj и
0,
— *). если 0<*<7,
6°. Теорема 6 (теорема смещения).
Здесь через /ш{р — а) обозначен смежный относительно
идеала Уш класс, представителем которого является элемент
/L{p — a)={eat-Ptf(t)dt, где fl>(p) есть представитель
о
класса Д
сса Д.
7°. Теорема 7 (теорема подобия). Если
=={fJ, то

§ 6] полеШ 109
Здесь через /ю ( — ] обозначен смежный относительно
идеала Л^ класс, представителем которого является элемент
§ 6. Поле Ш
В § 5 было построено кольцо L*, образованное элемен-
элементами {/ш} — обобщенными преобразованиями Лапласа. Кольцо
L* не имеет делителей нуля. Это следует из обобщенной
теоремы Бореля и теоремы Титчмарша. Следовательно, коль-
кольцо L* может быть расширено до поля отношений. Поступая
так же, как это было сделано в § 1, при расширении коль-
кольца М, введем символы -г^ > здесь {gJt^J- Согласно опре-
U \ \h \
делению ——=—— только в том случае, если {/w}
{^о>} {^о}' ^то равенство означает, что для всех предста-
представителей /I (р) € /e, gm (р) € g«> С (р) ? кт и С (р) € К имеем
fl{p)&{p)=Bgl{p)lL(p) GJ, й)^ю0. E.37)
Множество всех элементов вида —^— образует поле. Обо-
значим его через Ш1. Следовательно, с точностью до изомор-
изоморфизма расширение кольца L* до поля отношений совпадает с
полем Ш. Пусть теперь а =/щ — любой оператор поля 9Л.
Поставим оператору а в соответствие элемент поля 9Л, рав-
ный —— , где {F^} есть обобщенное преобразование Лап-
Лапласа функции F(i), а {О \ есть обобщенное преобразование
Лапласа функции G(t). Элемент Л = —~ назовем обобщен-
ным преобразованием Лапласа оператора а. Это соответ-
соответствие будем обозначать а=п или более подробно

ПО ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ГЛ, V
Нетрудно проверить, что соответствие E.38) будет взаимно
однозначным. При этом сумме операторов в 9JJ отвечает
сумма соответствующих элементов в Ш, произведению опе-
операторов в 9Л отвечает произведение элементов в 9Л, нуле-
нулевой оператор в Ш переходит в нулевой элемент Ш, любая
константа из 5Ш переходит в ту же самую константу в Ш,
наконец, оператор -j переходит в оператор р. Если F(t)
и G(t) допускают обычное преобразование Лапласа, т. е.
00 СО
интегралы f Fiue-^di и Со(Лв~^Л сходятся абсолют-
J J w
№ О
но, то из свойства 4° обобщенного преобразования Лапласа
(см. § 5) имеем
G(t) G*(p)
откуда, в частности, и следует, что оператору -г отвечает
функция 3(р)=р. Изоморфизм полей ЭД? и Ш раскрывает
структуру поля операторов Микусииского Оказывается, что
свойства оператора поля Ш тесно связаны со свойствами
комплексных функций вида —— , где /да {р) и gm [р) — це-
пые функции, представимые интегралами
§ 7. Операторные функции
Операторы, зависящие от параметра, встречаются в при-
приложениях операционного исчисления к задачам математичес-
математической физики. В этом параграфе будут рассмотрены операторы,
зависящие от одного действительного параметра Если опера-
оператор а зависит от параметра lt as^Xs^b, то будем писать
а = а(к) и называть а (к) операторной функцией. Всякая
операторная функция определяется своим представителем
(F{t), G(t)). Функции F и О зависят от параметра X, т. е.,
в общем случае, p = F(t; \) и G=G{t; X) При этом

§ 8] ПРЕДЕЛ ОПЕРАТОРНОЙ ФУНКЦИИ 111
функция G (/; X) не обращается тождественно в нуль ни при
каком значении параметра X.
Примеры операторных функций:
е Р+ -\ 7, (К<"-П если
Операторная функция а (к) называется непрерывной на от-
отрезке as^Xsg^, если существует представитель (F, G)
класса -^ такой, что обе функции F(t; 1) и G(t; X) непре-
непрерывны относительно переменных X и t в области a < X ^ 6,
0<<<^-|-оо. Например, операторная функция e~xf непре-
непрерывна на [0, 1]. Заметим, что непрерывность операторной
функции на [а, Ь\ не означает, что все ее представители,
т. е. пары (F, G), составлены из непрерывных функций.
§ 8. Предел последовательности операторов.
Предел операторной функции
Последовательность операторов an?ffl. называется схо-
Р
дящейся к оператору a = -Q-t если существуют представи-
представители (FB, Gn) такие, что
2) последовательности Ftt (t) и Gn {t) сходятся соответ-
соответственно к пределам F{t) и G{t) равномерно в каждом ко-
конечном отрезке O
hm Fa (t) = F (/), hm Qn (/) = О (t).

112 ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ГЛ. V
F
Оператор а = -^- называется пределом последователь-
ности операторов ал = ~; в этом случае пишут
lim aa = a. E.39)
n-s-co
Можно доказать, что определение предела не зависит от
выбора представителей.
Приведем два примера*). Последовательность ап = cos nt
в обычном смысле классического анализа расходится. В опе-
операторном смысле эта последовательность сходится к нулю.
Действительно,
sin nt
п ,. sin nt
и сходимость равномерная. Следовательно, lim an = Q. Точно
и-к»
так же сходится последовательность
sin nt
, п
а„ =^ п sin nt = п .
Очевидно,
lim вя = -5 = - = р.
П-ЛСС
2
Рассмотрим еще последовательность an = nent. Имеем
п
откуда
lim nent = —-j = — p.
П->00
2
Таким образом, последовательность nent в операторном смыс-
смысле сходится к оператору —р.
*) Следует помнить, что в этих и других примерах умножение
и деление выполняется в поле Ш1,

§ 9] ИНТЕГРАЛ ОТ ОПЕРАТОРНОЙ ФУНКЦИИ 113
Основные свойства предела последовательности. Если
последовательность ап сходится к некоторому пределу, то и
любая ее подпоследовательность сходится к тому же пре-
пределу. Если существуют пределы Ит ап = а и lim bn = b,
п-мх> и-»оо
то и последовательности ап-\-Ьп, ап — ba, anbn обладают
пределами и имеют место равенства
В частности, если lim an = a и с — любой оператор, то
lim сап = са.
в-мю
Если lim Ьп = ЬфЪ> то
п-*<х>
lim pi = ^-.
Пользуясь пределом для последовательности операторов,
можно ввести понятие предела для операторной функции.
Именно, операторная функция а(\) имеет в точке \ = \
предел, если для любой последовательности \п, сходящейся
к \, существует lim а{\„), и этот предел не зависит от
п->со
выбора последовательности \п—*\ и, следовательно, может
зависеть только от точки Хо. В этом случае пишем
lim а (к) = Ъ.
Следствие. Если операторная функция а{\) непре-
непрерывна на отрезке as^ls^b, то для всякого \ = \ су-
существует lim а (\) = а (к0).
И>
§ 9. Непрерывная производная операторной функции.
Интеграл от операторной функции
Если для операторной функции а (К), а^Х^Ь, суще-
существует представитель {F(t, I), Q(t, 1)) такой, что: 1) функ-
функции F (t, \) и G (t, i) дифференцируемы по пере-
dF
менному X, a<;Xs?*, и производные щ-=

114 ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ГЛ. V
и -zr=Gx(t, X) принадлежат множеству М, 2) функции
Fx {t, X) и Q^ (t, к) непрерывны по переменным t, X в области
0<f< + °o, Ж X s? &, то функция а (к) называется непре-
непрерывно дифференцируемой на отрезке а^к^Ь. Непрерывной
производной операторной функции называется в ЭД1 класс, пред-
представителем которого является пара (FX*G—FMrGu G#G).
Производная обозначается а' (к) или -^р. Следовательно,
E.40)
Можно показать, что определение производной не зави-
зависит от выбора представителя класса.
Свойства происводной:
2°. [Са{Щ'=Са'A), С—постоянный оператор.
3°. [а (к) Ъ Щ = а' (X) b (X) + а (X) Ь' (X).
,о
5°. Если а' (X) = 0 при а ^ X <; Ь, то а (X) = a (ft) для всех
Х6
Определение интеграла от операторной функции. Если
для данной операторной функции а (X) существует оператор-
операторная функция А(\) такая, что А(\) на отрезке as^Xsgp
имеет непрерывную производную Л'(к) и Л'(Х) = с(Х), то
оператор А (к) называется неопределенным интегралом от
операторной функции а (X) и обозначается f a (X) d X. Из
свойства 5° следует, что функция А (X) определена с точ-
точностью до постоянного оператора. Определенным интегра-
интегралом от операторной функции а (к) называется оператор
Са(Х)<П=Лф)— Л (а).
а
Интеграл от операторной функции обладает свойствами,

§ 10] СТУПЕНЧАТЫЕ ФУНКЦИЙ 115
аналогичными свойствам обычного интеграла, а именно;
а
1°.
2°.
3°.
а
JJJ
а а К
Р Р
Р Р
4°. С са (X) dX = с V а (X) rfX, где с — оператор, независи-
а a
мый от X.*
р р
5°. J j
6°. Если л(Х) и *(Х) обладают непрерывными производ-
производными на отрезке as^l^b, то f a'(\)b(k)dk===a(P)b($) —
6
— а(*)Ь(а)—
Наконец, можно ввести несобственные интегралы, полагая
00 Ч
= lim
где предел понимается в операторном смысле, т. е. для лю-
любой последовательности чисел fiB—»-oo существует предел
Рп
последовательности операторов f a (X) <fk, и этот предел не
a
зависит от выбора последовательности чисел р„.
§ 10. Ступенчатые функции
Определение. Функция/@. 0^*<-|-оо, называется
ступенчатой, если интервал @, -J-oo) можно разбить на
конечное или счетное число непересекающихся интервалов,
в каждом из которых функция f(t) сохраняет постоянное
значение.

ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Простейшей ступенчатой функцией является
(ГЛ. V
График этой функции изображен на рис. 4.
Образуем оператор e-Py—e-w, Ji>X. Очевидно,
(О, если
1, если X < t < jt,
О, если ji ^ t.
Эта функция (рис. 5) также является ступенчатой. Пусть
0 __ хо < X, < \ <... < \ < • • • — монотонно возрастающая
Рис. 4.
Рис. 5.
последовательность действительных чисел, Нш Х„ = оо,
п-юо
и ut, uv ..., «„,...—любая последовательность действи-
действительных чисел. Ряд
как это легко установить, всегда сходится. Его сумма пред-
представляет ступенчатую функцию. Действительно, для любого
фиксированного t всегда можно указать такое целое число N,
что Х^</<>лг+1. Тогда из E.41) следует
N
в частности, <f{f\ — u0 при 0<*<*,. Обратно, если задана
ступенчатая функция <p(f), и значение <р@ в интервалах

§101 ступенчатые функций 117
= O» li 2, ...) равно (рл> то из E.41) следует
00
= 2 ?*(*-** —
6=0
E.42)
Таким образом, множество действительных ступенчатых
функций совпадает с мно-
множеством всех операто-
операторов вида "У1ике-'къР, где
Х„—>-оо и uk — действи-
действительные числа. Особенно
часто в приложениях
встречаются ряды, в ко- —-
торых числа Хо, \, ...
образуют арифметиче-
арифметическую прогрессию l/t = kh{k=x0, 1, 2, ...). В этом случае
2* Зь
Рис. 6.
В частности, если ик= 1 (Л=0, 1, 2,...), то
E.43)
График этой функции изображен на рис. 6. Если <f{t) — пе-
периодическая функция, и h — ее период, то операторное
представление такой функции будет
а
=р A — €-**)-» J <р @ r-?'d/=pt{»A (p) A
Множество всех периодических функций, определенных на
интервале 0<;/<-}-оо, и период которых равен числу А,
совпадает с множеством всех операторов вида

118
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
|гл. v
где
Вводя новую переменную по формуле '*=-?» всегда
можно привести число h к единице. Пусть [i] обозначает
наибольшее целое число, не превосходящее t. Каждой не-
непрерывной функции f(t) можно поставить в соответствие
ступенчатую функцию /([f]), которую будем, ради простоты,
О t 2 3 4 5 ? 7
обозначать f[t]. Если график f (t) задан, то легко построить
график f[t] (см. рис. 7). Очевидно,
. E.44)
г=о еР — ё-
Дифференцируя это равенство по параметру \, имеем
Полагая в E.44) /ЭД==е1М, найдем
„ли
Поступая аналогично, найдем
И (М - !)• • -(М — * + 1)*Х т"*}
еР-
чли
AJ
E.45)

§ 10] СТУПЕНЧАТЫЕ ФУНКЦИИ 119
Для оператора 1—е~р введем специальное обозначение
V=l— e~p. E.46)
Если f(t) = O при *<0, то
В противном случае Vf(t)=/[t]—f\t—1] при t~?z\ и
Vf[t]=f(O) при 0«^*<Ч. Для обратного оператора
—= V~* имеем
2 *-*"№= §/(*)• E-47)
Пусть
—F и
следовательно, если
I =/Ш и
то
откуда
V~lf(p)lt(P)= Zif(k)g[t — *] = Zi /f —
или
L 7(p)g(p)=V § /W^P-A]. E-48)
^ Дальше имеем
|1
— A — e-P)[evf{0) -\~е(»-1>Р/(\)-\-.. .-\-e?f{n — 1)]. E.49)
Наконец, из E.42) следует
_?. ю _?*
f K . E.50)

120 ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ГЛ. V
Формулы E 46), E.48), попученные из общей теории
операционного исчисления, могли бы быть исходными для
построения операционного исчисления целочисленных функ-
функций, т. е. функций, определенных только в точках 0, 1, 2,
3, ... Вместо оператора дифференцирования р здесь рас-
рассматривается разностный оператор V. Обратный оператор V
означает суммирование. Вместо степенных функций tk здесь
удобно ввести факториальные функции
*1)...(* + *—!). *#)=1. E.51)
Легко установить, что
Vr/W4 „ Г/1(п~1) п "v^- 1 1*\ ЧО\
L*J — Л ^Н , П ^ 1. \O.OZ)
Отсюда следует
уя-i ГЛ(Я) _- ^[ ГЛ
Но из E.43)
поэтому
¦?*— "йг =—я—• <5-53'
Из E.53) следует при |Х|<1
или
-^ = A — X) - [*+Ц. E.54)
Имеем из E.44)
Полагая здесь /(fe)^—, найдем
E,56)
Если воспользоваться таблицами интегральных преобра-
преобразований Лапласа, то можно из E 56) получить новые фор-
формулы. Дейстзительно, умножая E.56) на f(\) и интегрируя

§ 11] разностные Уравнений 12J
по X в пределах от 0 до -{-оо, будем иметь
00 00
V J в-т1/(Х)Л = ± С е"хУв/а)Л. E.57)
о о
Эта формула справедлива, если в правой части интеграл
существует. Например, полагая f(k) = e^K, j?|<4, найдем
Это равенство совпадает с E.54). Другие примеры можно
найти в [10], [52].
§ 11. Разностные уравнения
В теории конечных разностей наряду с оператором
Vx[t]=x[t] — x[t—i] E.58)
часто рассматриваются разностные операторы
Д*М = *[<+1]-*М, E.59)
8x[t] = x [<+i] -x [t-Ц . E.60)
Для каждого из операторов V, Д и Ь можно написать соот-
соотношение, содержащее независимое переменное [<], разностный
оператор и неизвестную функцию. Такое соотношение назы-
называется разностным уравнением. Например,
F{[t], x[t], ±x[q дя*м>=о,
где x[f] — искомая функция, называется разностным урав-
уравнением с одной неизвестной функцией порядка п Если
в этом уравнении разности выразить через значения неиз-
неизвестной функции по формуле
то разностное уравнение порядка л можно записать в виде
л— 1]}. E.61)

122 ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [гЛ. V
Решение этого уравнения зависит от п начальных значений
Л" @), хA), ..., х{п—1). Если эти значения известны, то
из E.61) находим последовательно х (п), х[п-\-1), ... и т. д.
Операционным методом легко решаются линейные разностные
уравнения с постоянными коэффициентами
¦ я-1]+...+«„_,*[<+1] +
-\-anx[t\=f[i\, E.62)
при условии задания начальных значений искомой функции
х /q\ __ х jc A) = л; х (п 1) = х
Для перехода от E.62) к операторному уравнению положим
05 СО
lb\p-Pk — С V vib\p~Pk
' (ft I С ——— T >* i Л \tVt С ¦
и, заменяя в E.62) лс[/-|-л] согласно формулам E.49), найдем
Обозначая
( ер (Л = 0, 1, 2, ..., л—1),
имеем
Следовательно,

§ 11} РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 123
Обозначая
имеем
Первое слагаемое есть решение уравнения E.62) при нулевых
начальных условиях, a yk[i] есть решение уравнения E.62),
удовлетворяющее условию tpft (г) = 0, если г ф k и <pft (k) = 1.
Решение х[/] можно найти, используя E.63) или E.64), непо-
непосредственно по таблицам с применением теоремы о свертывании
(см. E.48)). Можно также разложить т-рг на простые дроби
L (Z)
или воспользоваться теоремой разложения. В некоторых слу-
случаях нахождение x[f] проще осуществить посредством раз-
разложения jj-p, в РЯД по степеням е~*р. Такое разложение
будет начинаться с члена е~пр, а именно
Зная это разложение, легко из E.64) найти x[t].
В качестве примера найдем решение уравнения
при начальных условиях х[0] = 0, x[lJ = O.
Имеем
00 ,„р
] $mtake-*p= -*-Е
Следовательно (см, E.63)), решением будет
Для нахождения x[t] представим
sin» А
\er-l)(e2P~2ePcos» + l)

124 ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ГЛ. V
Найдем
. sin м р 1 — cos €* + / sin ea
2A—cos»I 4/ A — cos <o) '
P 1 — cos <o — / sin и
4/A-cos w) '
Пользуясь E.44) и E.47), найдем
„ , it) it-u
при t^t\. Поэтому при t^s\ имеем
sin to j-,-¦ \ч A -* cos со) sin fern -f- sm со cos km
2 A - cos (o) •¦ -I ~~ ^
2 A - cos (o) •¦ -I ~~ ^-o 2 A — cos u>)
и д;@) = 0.
Аналогичным способом можно решать системы разностных
линейных уравнений с постоянными коэффициентами [91,
[15], [52].
§ 12. Преобразование Эфроса
Во многих случаях при реализации оператора удобно
пользоваться преобразованием Эфроса (см. также гл. II, § 3).
Именно, если F{p) = y(t) и e-toWu{p)q(p) — <&{?; t), то
В работе [86] Эфрос и Данилевский дали ряд интересных
применений этого преобразования При обосновании преобра-
преобразования Эфроса можно пользоваться следующей теоремой.
Теорема 8. Пусть:
00
о
2) д(р) — аналитическая функция, регулярная в полу-
полуплоскости Rep>ffp и удовлетворяющая условию ^q(p)^ot
при Rep>o,>ao.

§ 13] ОПЕРАТОРНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 125
Тогда
00
где
фF; *) = !
Из E.65) следует
00
(p) J Ф E, t) <p E) <Й. E.66)
о
Если оператор F[qip)] приводится к функции, то, пользуясь
E.66), можно найти эту функцию.
Часто к функции приводится оператор е~&№. Обозначим
> = ф(?; t). Тогда вместо E.66) будем иметь
со
E.67)
В некоторых случаях оператор q(p) можно внести под знак
интеграла.
Примеры на преобразование Эфроса смотри в гл. IX, § 1.
§13. Операторные дифференциальные уравнения
Соотношение, содержащее независимое переменное \,
а<С'к<С.$> неизвестную операторную функцию хA) и ее
производные х (к), х"(к), ..., х{Щ[t), называется оператор-
операторным дифференциальным уравнением порядка п
Даже простейшие типы таких уравнений, как, например,
линейные уравнения
ап_,(а)л'"-1» W+.. .+aQ(W) =/W» E-68)
где коэффициенты ао(к), с, (а.), ..., ап(\) — операторы,
зависящие от действительного переменного а, <х<Ч<р, мало
изучены Поэтому здесь будут рассмотрены только линей-
линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффици-
коэффициентами
(а) 4-б„-, -**1' W + • • • + «,*№ =/(^). E.69)

126 ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ГЛ. V
где а0, с,, ..., ап — произвольные постоянные операторы.
В частном случае, когда операторы а0, av ..., ап и /(к)
являются числами, уравнение E.69) обращается в обыкно-
обыкновенное линейное дифференциальное уравнение порядка п.
Метод решения уравнения E.69) совпадает с хорошо извест-
известными приемами решения обыкновенных линейных дифферен-
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Сначала
находится общее решение однородного уравнения
„_, *"-п +... +а„* = 0. E.70)
Решение ищется в виде показательной операторной функции
х (к) = eXw. Оператор w определяется из характеристического
уравнения
«nW + «n_1^-I+...-fae = 0. E.71)
Пусть корни уравнения E.71) суть wv wt> ..., wn. Образуем
показательные функции
е\9гш е*«\ ,,„ е^»». E.72)
Если эти функции построены, то общим решением E.70)
будет оператор
где Ск — произвольные постоянные операторы. При решении
следует иметь в виду, что: а) не всякое уравнение вида
E.71) разрешимо в поле операторов 9Л, б) не для всякого
оператора w существует показательная функция eXw.
Оператор w называется логарифмом, если существует
показательная функция e'w. Например, операторы р и Yp —
логарифмы, оператор ip не является логарифмом. Если опе-
оператор w, будучи логарифмом, является корнем кратности г
уравнения E.71), то каждая из функций ekw, \e)w, ..., У Vю
удовлетворяет уравнению E.70). В зависимости от числа
корней логарифмов различают три типа дифференциальных
уравнений:
1) логарифмический, когда все корни характеристиче-
характеристического уравнения логарифмы;
2) чистый, когда среди корней характеристического
уравнения нет логарифмов;
3) смешанный, когда некоторые корни характеристиче-
характеристического уравнения логарифмы, а другие — не логарифмы.

§ 14J ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 127
В общем случае число произвольных постоянных опера-
операторов в общем решении равно порядку уравнения. Для
уравнения E.69) имеет место теорема единственности.
Теорема 9. Если даны операторы V9, Vx, ... , Vrl|_1
и точка 10, лежащая в интервале а<Х0<;р, то сущест-
существует не больше одной операторной функции х(\), которая
удовлетворяет в (а, В) уравнению E.69) и условиям х (Хо) =
= l/0, x'(\)=V1, ..., x<n-li{\)=Vn_i.
Всякое решение уравнения E.70) может быть получено
из общего решения подходящим подбором постоянных опе-
операторов Ср Сг, ..., Ср. Решение неоднородного уравнения
E.69) сводится к решению E.70), если известна хотя бы
одна функция х0 (к), удовлетворяющая уравнению E.69).
Таким образом, для решения неоднородного уравнения до-
достаточно найги одну функцию, удовлетворяющую E.68),
E.69). Нахождение этой функции, вообще говоря, представ-
представляет трудности, а в некоторых случаях такая функция вообще
не существует. В других случаях, когда правая часть имеет
специальную форму, может оказаться, что найти решение
легко. В частности, это будет, если /(к) есть полином или
показательная функция [59].
§ 14. Применение операционного исчисления к решению
дифференциальных уравнений
Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение
й-го порядка с постоянными коэффициентами
о, E.73)
при начальных условиях x{0)=xo,x'@) = xt, .. ,,л:{Л~1)@)=
= л;п_г. Применяя формулу (см, E.11))
можно уравнение E.73) записать в виде

128 ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ - [ГЛ. V
Здесь
L (р)=р»4-«у1~1+ ... 4-а., bk = "^Xfin+k_a
s—k
(Л = 0, 1 л—1),
откуда
п-1
-т]$+*.+1;+•••+?*• E74)
Эта формула дает решение уравнения E.73). Непосредственно
видно, что правая часть E.74) есть п раз дифференцируемая
функция, удовлетворяющая начальным условиям. При нуле-
нулевых начальных условиях хо = х1 = ... =хп_1 = 0 решение
становится особенно простым
* Так же просто решаются дифференциальные уравнения
с запаздывающим аргументом, когда коэффициенты его по-
постоянны
Ради простоты начальные условия будем считать нулевыми,
т. е. для *<0 полагаем x(t) = x'{t)= ... =xi"~1){t) = O.
Учитывая, что jc**1 (t — hk)=pke~bi^x(i), найдем решение
*(') =
?
Можно доказать, что правая часть этого равенства будет
п раз дифференцируемой функцией, удовлетворяющей ну-
нулевым начальным условиям [24].
Рассмотрим уравнение в частных производных, коэффи-
коэффициенты которого cav {х) — числовые функции переменного х
v^^ E.75)

§ 14] ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 129
Применяя формулу (см. E.11))
, t) чд*-и(х, 0)
р дхУ-
'в(х, 0) __ дУ+*-*и(х, 0)
^ "' ' Р
приведем уравнение к виду
n
где a =ар(я; р)= 2 ^Wj- Обозначая правую часть
этого уравнения через Ф(х; р) и рассматривая и (л, t) как
операторную функцию, зависящую от параметра х, и(х, t) =
= ы(х; /j) = u(,t), будем иметь
а-гп1т~1Чх) + ...+а0*{х) = Ф(х; р). F.76)
Здесь коэффициенты аА являются также операторными функ-
функциями, зависящими от х. Таким образом, задача интегриро-
интегрирования уравнения E.75) сводится к интегрированию линейного
операторного дифференциального уравнения. Уравнение E.76)
называется преобразованным уравнением. При решении
уравнения E.76) следует воспользоваться изоморфизмом по-
полей 30? и Ш. В поле Ш преобразованное уравнение E.76)
обращается в обыкновенное линейное дифференциальное
уравнение л-го порядка, коэффициенты которого и правая
часть зависят от параметра р — комплексного числа. Такие
уравнения хорошо изучены. Пусть и (х; р) — одно из реше-
решений уравнения. Если окажется, что п(х; р) при заданных
значениях х, а.<^х<^$, принадлежит полю 331, то это будет
означать, что уравнение E.75) в поле Ш имеет решение
и (х; р), где р рассматривается как оператор р = —.
Применение операционного исчисления к решению урав-
уравнений в частных производных состоит в следующем:
1) В замене исходного уравнения преобразованным урав-
уравнением. Аналогичным путем граничные условия задачи заме-
заменяются преобразованными граничными условиями, которые
будут являться граничными условиями для решения и (х; р)
преобразованного уравнения E.76).
miivtiu Л

130 Операционное исчисление {гл. V
2) В нахождении решения и (х; р) преобразованного урав-
уравнения при заданных преобразованных граничных условиях.
3) В исследовании полученного решения с целью установ-
установления принадлежности решения п(х; р) полю Ш- В случае,
если 5 (х; р) принадлежит Ш, необходимо провести допол-
дополнительные исследования, чтобы выяснить, является ли реше-
решение и (х, t) = u(x; p) обобщенным решением, или оно может
быть сведено к функции, имеющей частные производные по
переменным х и t до производной — '— включительно.
0H Оь
Последнее обстоятельство будет обозначать, что и (х, t)
удовлетворяет исходному уравнению в частных производных
в обычном классическом смысле.
4) В реализации оператора и (х; р), т. е. определении
функции и(х, t) = ~u(x; p).
Исследование пункта 3) часто может быть значительно
облегчено, если пункт 4) выполнен.
5) В доказательстве того, что решение и(х, t) удовлет-
удовлетворяет начальным и граничным условиям задачи.
В качестве примера рассмотрим уравнения
Р (*) «/ = Ро (*) «« + Р, И «* + Р2 (*) «• E-77)
Р (*) иН = Ро (х) "ХХ + Р, (*) Ч + Р2 W М С5'78)
в области 0^х<^1, t^>0. Здесь р(х), ро(х), pt(x), p2 (х) —
заданные непрерывные функции в промежутке 0<C.Xs^l и
р (х) ^> 0. Решение и {х, t) должно иметь в области @ < х ^ /,
t^>0) непрерывные частные производные до второго порядка
включительно и удовлетворять начальным условиям
lim u(x,t) = y{x) 0<je</,
для уравнения E.77) и
lim и [х, t) = Ф (•>;), lim a, {x, t) = ф (х), 0<х</,
для уравнения E.78), а также граничным условиям
lim и (х, t) =/(*), аих (/, t) -f but (/, /) = си (/, /) E.79)
для ^^>0, где f(x)^ ф(х) — заданные кусочно-непрерывные
функции; f(t)€S и непрерывна при ^^>0; а, Ь, с — заданные

§ 14] ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 131
постоянные. Будем искать решение уравнений в форме
и{х, t) = H (х; р). Преобразованные уравнения для E.77) и
E.78) будут
S + Р. <*>5
= -?(*)/><?(*)> E.80)
= —р'р (*)?(*)—рр (*#(*). E.81)
Из граничных условий задачи получим граничные условия
для решения
0, \
и (/; р). \
апх (/; р) + *р [и (/; р) - <р (/)] = си
Теорема 10. Пусть и (х; р) —решение уравнения E.80)
или E.81) при условии E.82). Пусть, кроме того:
1) Операторы и (х; р), их (х\ р) и ихх (х; р) для 0 < х ^ /
приводятся к функциям.
2) Существует такое число а0, что при t —юо вы-
выполняются условия
и {xi р) = О («V), Пх (х; р)=О {е°»% йхх {х; р) = О (eV)
равномерно относительно х на любом отрезке
3) Существует такое целое число ?3*0, что
\p-ftu(x;p)\<CQ = const
всех 0<#<е</, Rep>ol>Jo.
4) Существует предел lim й(х; p) = ,g-(^), ^>0, при-
t-y-\-0
чем g(t) — непрерывная функция при />0 и ограниченная
при t—>0.
Тогда a(jcj ^) = в(дг; р) есть решение уравнения E.77)
яла E.78), удовлетворяющее заданным граничным и на-
начальным условиям.
Разберем пример. Найти решение уравнения

132 ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ГЛ. V
в области @ ^х s^/, t^>0) при начальных условиях
и(х, 0) = 0, ut{x, 0) = 0 и граничных условиях и @, ^)=0,
Еих{1, г!) = Л sin и/, где Е, w и Л — постоянные.
Преобразованное уравнение будет
граничные условия для и (х; р)
• Решение преобразованного уравнения, удовлетворяющее гра-
граничным условиям, имеет вид
он ——
— , .р а , тал
откуда
. их
sm —
cos —
а
00
26y (— 1)" sin knx-sin feB
где
§ 15. Асимптотические ряды
со
Следуя Пуанкаре, говорят, что ряд 2 мп (^ представ-
ляет собой асимптотическое разложение функции s (г)
в данной области значений arg^, если при всяком N
N
s(z)— 2 ип (z)
Пт 2=i = 0.
\ г I -и» MJV lz)
В частности, асимптотическое представление функции /(/)

§ 15] АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЯДЫ 133
00
степенным рядом 2~il% будет означать, что при всяком N
N
lim *
t -» 00
Асимптотическим разложением удобно пользоваться при вы-
вычислениях значений функции для больших значений аргумента.
Поэтому в операционном исчислении для операторов, при-
приводящихся к функциям, весьма важным вопросом является
построение асимптотического разложения функции по ее
операторному изображению. Для функций, допускающих пре-
преобразование Лапласа, асимптотическое представление во мно-
многих случаях может быть получено с помощью следующей
теоремы [10].
Теорема 11. Пусть f{p)=f(t) и
1) / (р) имеет изолированные особые точки — алгебраи-
алгебраические особенности {полюсы и точки разветвления),
2) функция LSEL в полуплоскости Re p <^ О равномерно
относительно argjo стремится к нулю, когда \р\—* оо,
3) число особых точек p—ps с наибольшей действитель-
действительной частью конечно (s=lr2, ..., /), разложение '—^- в ок-
окрестности p—ps дается рядом
Тогда асимптотическое представление f{t) будет
1 °° cf
где —i^j =0, если 1W = O, 1, 2, ...
Например, если все особые точки функции ^-^-, кроме
jt» = O, имеют отрицательную действительную часть, а начало

134 операционное исчисление [гл. v
координат есть точка разветвления первого порядка и раз-
разложение —J-1 в окрестности р = 0 есть
Р
ТО
re —I if tl , , \ л—
ИЛИ
¦50
a2ft + l-
= 0
§ 16. Операционное исчисление для оператора
B==Ttt ~di
В основе теории операционного исчисления лежит понятие
свертки [59]. Введение в множестве М (см. § 1) свертки
превращает это линейное множество в коммутативное кольцо
без делителей нуля. На этом факте базируется вся теория
операционного исчисления Микусинского Исходя из нового
определения свертки, в этом параграфе будет построено
операционное исчисление для оператора B=-7-t-7-. Такое
CtZ Ctt
построение выполняется совершенно аналогично тому, как
это было сделано для оператора р — -г Обозначим через L,
множество всех функций f(t), определенных на полупрямой
Ог?^<^-)-оо, интегрируемых на каждом конечном интервале
этой полупрямой и удовлетворяющих условию
* . ?
dt <oo E.83)
для любого <0^>0. Например, функция f(t) — \nt принад-
принадлежит Z,,, а функция /(t) = —ргтт' не принадлежит Lv хотя

§ 16] ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДЛЯ ОПЕРАТОРА Bz=-^t — 135
if _ j\t
. ,-- gl. Через Ж, обозначим множество всех функций
вида
где f{t) — любая функция из Z., и С—любая постоянная.
В множестве Z,, определим свертку функций fl(t)?Ll и
/W6i, по формуле
E.84)
Можно доказать, что функция f{t) принадлежит множеству
Lr Множество Ж, есть линейное множество. Всякая функция,
принадлежащая множеству Mt, имеет почти всюду вторую
производную F"{t). Назовем происведением функций F1(t)
и Ft (t), принадлежащих множеству Mt, выражение
Ft(t)*Fa{t) =
t i
^{ jJJmi}- E-85)
Если
* V
0 0
и
г»
0
то будем иметь
0
[A—4)(/ — 6)]<*г„
E-86)
Отсюда следует, что произведение двух функций множества
Мх снова принадлежит множеству /И,. Сложение в Ж, опре-
определяется естественным образом. Произведение в смысле E.85),

136 ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ГЛ. V
как это нетрудно проверить, коммутативно, ассоциативно и
обладает дистрибутивностью относительно сложения. Сле-
Следовательно, множество /М, относительно сложения и произ-
произведения образует коммутативное кольцо. Это кольцо не имеет
делителей нуля.
Таким образом, кольцо Mt может быть расширено до поля
отношений. Это поле отношений обозначим через Шг Эле-
Элементы поля назовем операторами. Как и в § 1, будем оле-
F F
раторы обозначать символами -J- • Таким образом, -=* обо-
/•. ft p
значает класс эквивалентных пар. Равенство операторов -? и
тр обозначает, что /F,# Gt = /7t#GI. Если в E.85) функция
/7,(f) = a— константа, то
Следовательно, произведение в кольце Мл числа на функцию
совпадает с обычным произведением числа на функцию Если
в E 85) оба сомножителя — числа, то произведение в смысле
E.85) совпадает с обычным произведением чисел. Отсюда
следует, что операторы вида —— можно отождествить с функ-
функциями — F[t)\ в частности, операторы -р- совпадают с функ-
функциями F{]t) кольца Мх. В этом случае будем писать
Fit)
Наконец, операторы вида —, /?@) = 0, отождествляются
Fit)
с функциями множества ?,. Именно, каждому оператору -j-',
F(t)^M1 и /7@) = 0, ставим в соответствие функцию f(t),
причем
^P E.87)

§ 16] ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДЛЯ ОПЕРАТОРА B = 4lt 4l 137
at at
где
Обратно, каждой функции f(f)?L. отвечает соответствующий
Fit)
оператор —— . Это соответствие взаимно однозначно. Ее аи
Fit)
оператор может быть приведен к виду —р-, F {t) ? Mt и
/?@) = 0, то такой оператор называется функцией. Для
оператора -т- введем специальное обозначение
1 = В. E.88)
Тогда для обратного оператора B~1=-g будем иметь
-~ = L E.89)
Из E.87) имеем для функций F{t)?Ml и F@) = О
или
BF{f) = №{() +ГЦ). E.90)
Таким образом, в случае F(t)^Mt и /="@) = 0 произведение
BF(t) означает применение к F(t) оператора ~тЛ~т+' Произ-
Произведение обратного оператора ^г на функцию f(f)?Lv как
это
Из
следует
E.89) и
из E.
E.91)
89) и
>п
имеем
равенства F{t) = t* f{t),
=!
0
¦
fJ/W^a.
равно
E
.91)
E.92)

134
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ГЛ. V
Тогда из E.85) и E.92) для /(*) € Lx следует
t ' i
^^'-5Г^Г/й)A-ч)"<'ч. с5-93)
о
Уравнению
удовлетворяют функции Бесселя 1а[2УП) и
Из E.90) и E.94) следует
Из E.95) и E.96) имеем
откуда
^ = /.B/35). E.95)
Полагая в E.95) Х = /ю и учитывая, что
/0 B //юг) = ber B V^T) 4- i bei B V~ui),
найдем
^ Лй ^/^). E.96)
Из E.95) имеем
^ ^ E.97)
E.98)
К полю операторов 9К, применима в большей части теория
операционного исчисаения, изложенная в предыдущих пара-
параграфах. В частности, на поле Ш^ переносятся без изменений
определение операторной функции, определение предела после-
последовательности операторов и понятие операторного ряда,
определение производной от операторной функции, интегри-
интегрирование операторной функции. Используя эгу теорию, можно
известными методами пополнять таб шцу значений операто-
операторов E.95) — E.98). Например, диффгренцируя E.95) но

§ 16] ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДЛЯ ОПЕРАТОРА fi= —tf ~- 139
параметру 1> найдем
Из E.96) находим
Отсюда следует
E.100)
Таким образом, функции berByW), bei B /wO ведут себя
по отношению к оператору -г t -тт точно так же, как cos <otf
и sin mt относительно оператора -g. Операционное исчисле-
исчисление для оператора В=-т- i -r можно построить, исходя из
соответствующего интегрального преобразования. Аналогом
преобразования Лапласа здесь будет интеграл
GO
f*(B) = 2 J f{t)K.BVW)dt. E.101)
о
Если f(f)?Lx и удовлетворяет условию
l/@l^Q^'Kr, E-102)
где Q и ?„>0 постоянные, то интеграл E.101) в области
Re]/B~^>q0 сходится абсолютно и представляет в этой об-
области аналитическую функцию комплексного переменного В.
При известных ограничениях, накладываемых на функцию
f{t), имеет место обратное преобразование
B, E.103)

140 ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ГЛ. V
где путь интегрирования L есть любая парабола
Re 1^/3=9 ></¦„. Формула E.103) будет, например, иметь
место, если/(/), помимо E.102), имеет ограниченную вариацию
в окрестности любой точки t=te полупрямой 0<^<С4~°°'
В точках разрыва интеграл E.103) равен -g-{/(/„-f-О)-}»-
-\~f{tt — 0)}. Для преобразования E.101) справедлива
Теорема 12. Пусть /1(t)^Ll и /^(Об^ u> кроме
того, /,B") и /2 (i) удовлетворяют условию E.102) (для
каждой функции /l(t) и ft(t) константы Q и q0 в E.102)
свои). Тогда функция
't 1
принадлежит множеству Ll и тоже удовлетворяет усло-
условию типа E.102). Если
00
а
оо
и
00
то
E.105)
Определение. Если для оператора а ? SOIj существует
представитель (F, Q) такой, что функции Fif), G{t) допу-
допускают преобразование E.101), то такой оператор назовем
преобразуемым по Бесселю, а функцию
00
E Л 06)
G (О К, B УЩ dt

§ 16J ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДЛЯ ОПЕРАТОРА В = -г-, t -71 141
преобразованием Бесселя оператора а=-~ . Множество
всех преобразуемых по Бесселю операторов обозначим че-
через $1^ а множество их преобразований Бесселя обозначим
через 9ft. Эти множества изоморфны. При этом изомор-
изоморфизме оператор В=~г переходит в функцию
При вычислении можно воспользоваться формулой
06
2 J РК>{2УЩ<Н = [Щ^-. E.107)
о
Если оператор а приводится к функции, т. е.
то
2
с»
2 J tK0BVFt}dt
о
oo
==2B» С F (^) Кй B V^) rf^ E.108)
Принимая во внимание, что
t
о
учитывая известные соотношения для функции Бесселя

142 ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ГЛ. V
после двухкратного интегрирования по частям найдем
а(В) = 2В f /{t)Kt{2VBt)dt. E.109)
Получился аналог преобразования Лапласа — Карсона. Посред-
Посредством этого преобразования можно получить новые формулы
для оператора B=-rrt -гг. Равенство E.109) означает
a(B)=f(t). E.110)
В частности, если f{t) = tt, то из E.107) и E.108) полу-
получим обобщение формулы E.92) на любой показатель v
1 V
Если взять f{t) = e att то найдем
— е а I ?— fiu __ е-в*
в J и
в
а
Приведем еще несколько примеров применения формулы
E.108). Прямыми вычислениями находим
2fi
Следовательно,
girrb ]/^Y = f<A'2V^t)- E.112)
Исходя из известного интеграла
J Ke{2VTt)K,{2VBt)dt = ^-1\n у -f.
найдем обобщение формулы E.99) на любую степень v
E.113)

§ 16] ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДЛЯ ОПЕРАТОРА В = -j?t —^ 143
at at
В частности, из E.113) при v=—~- имеем
EЛ14)
Дифференцируя по v равенство E.111), найдем
Исходя из интеграла
идем
со
J
откуда
id± ( О, если *<Х,
s-t E-116)
(Rejx>—1).
В частности, при jji = —5" имеем из E.116)
{О, если
1 . , ., E.117)
Умножая последнее равенство на произвольную (в известном
смысле) функцию у (к) и интегрируя по \ в пределах
от 0 до оо, будем иметь
E.118)

J44 ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ГЛ. V
Если в левом интеграле положить 2)/к = ь, то получим
. E.ПЦ
Пользуясь таблицами интеграла Лапласа, из E.119) можно
получить ряд новых формул. Например, полагая в E.118)
найдем
ее
J
Vnt-ы
о
или
Ув
Но последний интеграл, являясь сверткой в обычном смысле,
может быть найден посредством преобразования Лапласа
(см. [86], стр. 125). Будем иметь
а\ У~а
В частности, при v = 0
'"). E.121)
Умножая E.121) на' \^В=—~. имеем
яУ t
или, учитывая равенство E.114) и E.85), получим
cos 2 У at d_i d_ Г f Г г^/т/ТГч *) I
о о

§ 16] ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДЛЯ ОПЕРАТОРА В== -rrt -т- 145
Это равенство можно записать в виде
*Y7t t
V
У a J и J
О 0
J
0
Анало1ично, умножая равенство E.121) на себя и учитывая
E.97), найдем
t
_ 1
о
f J
о о
Исходя из формул, подобных E.118), можно получать раз-
различные новые соотношения между специальными функциями.
Приведем пример вычисления суммы функционального
ряда. Пусть k — \/rB-\-\—У В; имеем тождество
[I— 2А*B?* 2?'+] В
Учитывая равенство E.120), найдем
У; A/7) - 2J\ (V~t) + 27* (V~i) — Щ (Vt)+ ... = У, BJ/Г).
Умножая равенство E.99) на ц" и суммируя по п от 0 до
оо, найдем
у< Дц" В
откуда
ОО
ir (т)т 7-B УЪ=1, B
В заключение установим связь между таблицей значений
операторов F(B) и таблицей значений операторов F(p), где
P=-jt- Пусть F(B)=<p^) и F(p)=/{t). Тогда по опре-
определению операторов F(fl) и F(p) имеем
оо
00
=/, J f(t)e-"dt.

146 ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ГЛ. V
Следовательно,
00 00
=p J
Принимая во внимание равенство
Г"~*??=2/ГвB
где следует q положить равным единице, найдем
]
или
00 00 00
Г e-pxdx f
откуда
до
/(О—\ ?(Ф«'в<Й. E.122)
Здесь tp(/) принадлежит ?, и удовлетворяет условию
E.102). Отсюда можно указать следующее правило для
вычисления F (В), исходя из таблиц значений F{p). Для
того чтобы найти F{B), следует вычислить F(p)=f(t).
Затем в функции f{t) аргумент t заменить на — и найти
значение оператора /( — )=<р@» Т0ГДа Fify — ftf)- Разу-
Разумеется, это правило справедливо в том случае, когда f(t)
представима интегралом E.122). Например, пользуясь этим
правилом, найдем значение оператора ^ . Имеем —-—=eatt
а — а р — а
± в
еР = /в B у at). Следовательно, ±_ = /0 B у at), т. е.
имеет место равенство E.95). Таким же путем можно найти
В ,,г~ ..й,_щ,_а^Byjt)дB y^f E ,23)

§16] ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДЛЯ ОПЕРАТОРА В= -^ t -г 147
Обозначая q=y Ef -\-\—Д имеем тождества
Заменяя в этих тождествах значение операторов по форму-
формулам E.96) и E.124), найдем
/, B КО — У, B1/*) /,
Уо B V7) /, B VI) - 2J± B УЪ К B \П) +
Заканчивая краткое изложение теории операционного
исчисления для оператора B=-^jt -г? , отметим, что, по-
мимо применения этой теории к вычислению определенных
интегралов и суммированию функциональных рядов, можно
было бы привести примеры интегрирования дифференциала
ных уравнений. Наиболее просто находятся решения диффе-
дифференциального уравнения
) EЛ25>
где L (к) == \n -\- fljX" -)-•••+ ап — многочлен с постоян-
постоянными коэффициентами а{. Если начальные условия нулевые,
а именно:
'(Ок., ==о,
'" @ -f 2хГ (t)]t=0 = 0,
101/=. = о,

148 ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ГЛ. V
то уравнение E.125) при замене оператора -^ t -^ на опера-
оператор В примет вид L{B)x(t)=f(t) и решение будет
х@ = т7Бс/@- Выражение тт\/У) может быть найдено
"MB)
разложением -rjw\ на простые дроби подобно тому, как это
делается в операционном исчислении Хевисайда. Если на-
начальные условия л:* отличны от нуля, то в уравнении замена
оператора -тт t -tz на оператор В осуществляется по фор-
формуле (см. E.90))
Последовательное применение этой формулы дает
[It* If)'* W = B*x(t)-BXk_l-l?xk^- ... -
Например, найдем решение уравнения
при условии х@) = 0, Bx{t)\t=t) = a. Записывая уравнение
в операторной форме, получим
В*х {t) — В* — ЪВх (t) + 2х {t) = 0
или
(В* — 3B+2)x(t) = aB.
Отсюда (см. E.95))
JL
-2 В—
Подобным образом можно решать некоторые типы уравне-
уравнений в частных производных.

ТАБЛИЦЫ ФОРМУЛ
ГЛАВА VI
ПЕРЕЧЕНЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
И НЕКОТОРЫХ ПОСТОЯННЫХ
ел
6.2
6.3
6.3е
6.4
6.5
6.6
6.6е
6.7
6.8
6.9
arccos х ¦= -г In (х -{- Ухх — I)
arcsta х = 4- In (ix -f V1 — x*)
'%
Arch x = In (ж + Ух^П)
J»
Arsh л = In (x + Y& + 1)
1 , 1 -4-х
A .. 1 , x
Arcth*= g'ln^^
...(а + «-1); « = 1.2,...
(«).=

150 ПЕРЕЧЕНЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VI
6.10
6.11
6.12
6.13
6.14
6.17
6.18
6.19
6.20
6.21
р г cos'9d9
bei, (х) = Im [./„ (: У/ х) ], где Im (z) означает мнимую часть
комплексного числа г
= Re[yv(/y ix)], где Re (г) означает действитель-
действительную часть комплексного числа г
00
6.15 ... l...~ .1
00
6.16 _ _ ~_
п—0
С = -Г A) = -ф A) = 0,577215665...
='?
х
У2« J Vu
00
z, ?) = 2 ^S*1 cos 2*г — Функции Матье

ПЕРЕЧЕНЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 151
6.22 се,л+l (z, q) = f) ДВД» cos Bk +1) г
6.23
6.24 Се,„+1 (г, д) = се1л+1 (/г,
6.23 сЫ(х) = 1птх+%^~l-da
о
6.26
COS X = Щ:
Da(x) = e 4Не„(ж); я = 0, 1,2,
1 , V 1
6.33
4
6.34 e = 2,718281828...
00
в=0

152 ПЕРЕЧЕНЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ [ ГЛ. VI
6.36
6.37
6.38
6.39
6.40
6.41
6.42
6.43
E{k) = \ У 1 — **sin! 9 d<f
!, <p) = V У~\ — k* Sin* К rfB
0
к
,(«) = —¦ \ sin(v<p — jts
Ei(x)
= Г ^ du =
—oo
00 00
«•и!
z
(z), ~
Ei (x) = у [Ei (x + /0) + Ei (л - Я))] =
1 1
T'T
ertc (x) = I - erf (x) = —^= \ e~""du—
V jc J
1 jc'

ПЕРЕЧЕНЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 153
6.44
6.45
6.46
6.47
G.48
6.49
0.50
6.51
6.52
dtt
— fc*sin*u
у (а1,й)(з8>й) ...{apik) x*
, -1, .... -п
z, q) =

154 ПЕРЕЧЕНЬ ОБОЗНАЧЕНКЙ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VI
6.53
6.54
6.55
6.56
637
6.58
6.59
6.60
6.61
6.62
6.63
6.64
6.65
6.66
00
y+tn+i
e2b^ 2)
^(- 1)'«(и!) <2n>!,/=; ( - я; \ ; ^
hei, (*) = Im
her, (*) = Re
CO
Ш
\»+«*

ПЕРЕЧЕНЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 155
6.67
A eg
fifift
6.70
6.71
6.72
6.73
6.74
6.75
6.76
6.77
6.78
6.79
630
1С
Jv(x) = — \ cos(v»
0
00 k
У*?(х) = —\ B cos
У
Ус(х, y)=Jyo(Xtt)
0
CO
— * Sin <p) rf<p
(t)
<p)m cos (яср — x sin «p) d<p
COS II </»
a
Л (x, y) = \ Уо (xa) sin и rfa
0
00
X
kel,(x) = Im (/"'AT
ker,(x)=Re(/"vAT
4m
и
„ (УГх))
ЛУГх))
<)

156 ПЕРЕЧЕНЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VI
6.81
6.82
6.83
6.84
6.85
6.88
6.87
6.88
6.89
6.90
6.91
6.92
6.93
Ах)"УТ
4 Х '"(я
X
0
In г — щ -\- In
М (х) =*х
я! = П(л) = 1
оо
1 f1
0
1
1
Af (x) = ,/=-,(-v; l;x)
v ~t~ "i ¦ ^ с Л^ _l (x)
fcc<D
\z\t rue z = re1 №+a*«)f — те < 9< «
¦2-3...n = r(n-f-l)
,W
*)
e"*B [(«-f- V't2 4- 1)" + (« — VV -h i)"l ^и
fill

ПЕРЕЧЕНЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 157
6.94
6.95
696
fiQfi a
6,97
6.98
6.99
6.100
6.101
6.102
/>« P( v
Г1
X
0
г A — (i)
v I • • 2
Я)
Q W"* ill / -у\
Л"
О
\2 — ly * '
-J |1-*|<2
•Я (x)
при j ж | > I
( 1- -'-^
t — точка комплексной плоскости с разрезом вдоль
действительной оси от — оо до -f-1
2
-г(.
¦«¦-^-
— -я- In ¦ ¦ -; /*„ (X), ! X | > 1
. ... . a. i Л
,,V2., „ . ,,vj

158 ПЕРЕЧЕНЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VI
6.103
6.104
6.105
6.106
6.107
6.108
ft 1OQ
6.110
ели
t
7 -»-. -?-
T+ /V + v+1 , + *+2 3
\ 2 1 1 J
z — точка комплексной плоскости с разрезом вдоль
действительной оси от — <ю до -)- 1
QS (х) — еп
2V+ir(v+-f) :
<??(»)= <
с «я да
CD
Q(x, v)= \ e~Bttv~1«f« = r(v, *)
X
X
0

Перечень обозначений специальных функций 159
6.112
6.113
6.114
6.115
6.116
6.117
6.118
6.119
6.120
R 191
6.122
6.123
6.123"
6.124
00 00
о x.
с iv\ —— — (&**ЭС t дw*# 1 _ ?»~&^X\
О
on
sn (*) = \ e~xa[{в+>^а*+1 )*—(«—!
0
se4n+I(«, 9) = 2 BgJ!^0 ata B* +1
CO
Se»^, q) = — isetn(iz, q)
Se4n+,(*, ?) = — /seM+1(fe, q)
fsh a
shi (jc) =—: \ ¦¦ du
X
X
Si {r** = I du =-=--[- si (x)
p _i 1 H .* 1
с ^= 1 И с —» j

160 ПЕРЕЧЕНЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ (ГЛ. VI
при х<0,
6.125 sigttx=<J при х=0,
при х>0
6.126
6.127
6.128
6.129
6.130
6.133
6.134
6.135
6.136
6.137
X
ST5 [cos Dr
" X ST5 [cos Dr «) y- W - cos
Г„ (x) = cos (я arccos x) ~ у
6.131
6.132
sin [(fi-f~l) arccos x]
*
'»
.,и
УЛх)=-
sinw

ПЕРЕЧЕНЬ ОБОЗНАЧЕНИЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 161
6.138
6.139
6.140
6.141
6.142
6.142 •
6.143
6.144
6.145
6.146
6.146 я
6.147
6.148
X
\
*•" I B
\х]=п для л
,<х<
Ч=ее =* 1 „781072...
00
Г (у, х)= J
' X
00
Г(у)=|й' \
0
T(v, *) = Г(у)
П=1
00
в0(о, х)=1-
-Г (у,
(я=1,
(л 4"у)*
Сю
¦- П(у-1) -
*) = />(*, V)
с)
2,...)
•
[— 1)*<?-'tl***cos2jifctf
5^ (—1)*е * sinitB*4-I)f
6 В Литкнн A. ilnv

162 ПЕРЕЧЕНЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VI
6.149
6.150
6.151
6.152
6.1 СЗ
6.154
6.155
6.156
6.157
6.158
\{v, x) = 1 -{-2
k=i
5e (v, x) =
nc
\(p. «)=,-7=
<J,(t', X) =
A=-l
J
a
X(e*. a) =
/„. _ / In у для п = 0я1, где
^ ' \ 0 в остальных с
случаях
— простое число, m>0,
И*, а) —
dii

ПЕРЕЧЕНЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 163
6.159
6.160
6.161
6.162
6.164
6.165
6.166
6.167
6Л68
6.169
6.170
с xtt+bua
0
00 00
Г Xй du _ Г xu~ldu
i Г (и -4- 1 \ ) Г (и)
0 1
с»
( \ \ ^
в
fv(M,a)
0
П(х) = Г(х+1)
со zn
Г'{*)
* (Х)-Г(х,

ГЛАВА VII
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
§ 1. Основные формулы
' 7.1
12
\ 7.3
7.4
7.5
7.6
¦
flat); a? 0
/(a*) sin (bt)
t*nf(t)
XT
-¦
/@
(a, * > 0)
i
(а,Ь>0\
•>
09
I
' ' ОЭ
i
о
01
¦4
I

§ 2]
РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
165"
i
I
я
ш
о
а 1
а _
я
1
¦ff ?s 1
S3
X
о
S
S3
а.
VA
х в
о. а.
с сз
у л
V
о - '
в'
I
«г
«о
-I-
- ¦**
о
л
S
Л
о'

166.
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[ГЛ. VII
и
о
8«--^о
а
+
a
а:
а|«
<м
с
I
.3
-— |csi — |
-I.
+
Л
у
4)
V
О
OJ
о
А
О)
ч
V .
•к. в
VA
О -to
S S
Сцв.
с с
?
«¦
V .
•ы ч
VA
о ^
s a
с с
^-
А
О)
Ч*
V .
VA
о *•
g,|
В 15
f
s
Со
О *, dL
С С <U

§ 2] РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ*
'—?—* X JT
-I-
т
ft I ft
I
-I"
i .—
* —I
— кч (—
if
с» co!iM
f Л
5
-I"
167
V
V
T
V
V
3,
С
-I.
VA
•-r
л
I
i
I
63

168
-КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[ГЛ. VII
I
с
a
I
Ъ
Г
т
I
•а
о
-о»
Z I
C
V
ел
Л
S
у &
о ^
s |
О -h.
3
S
- Н
S

§ 21
РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
169
+ §
S +
1 I
О
а
I s
X l
-I
•¦«lei
о
4)
«a V
V1"
\
V
>
к
V
I
Л
VA
о -~
S.S,
в в
о
Л
>
а>
Of
-I"
I
Л
&
-I"
С
cs

170
КОСИНУС-ПРЕОРРАЗО ВАНИЕ ФУРЬЕ
[ГЛ. VII
А
а
а
r I
V
л
чг ©
Ъ
+ &
-I.
I
4)
Of
V
е
с»
V/
о
I
8

§ 2] РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 171
1
!
1?
& 4
A
о \сг • - - - " ч
ih v v „^v
« ?- « + i V л
\/ v <r v
v 4.^-. -"^ "> s s ¦
\ll c— » » i i B B
I I
-l« 4*
9 *l *г f?

172
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[ГЛ. VII
ъ
ее |п
X
Ч"
I I
К I
3
4-
р
-I-
?
«с
х
« х
JVA .
О О 14
V -к
$в e Y
!"л ? v
I Г Г.
VAA
О ч. ^
s s -
и и о
Ь ас
Со
I J
а. V
Of
V
7

§2)
РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
-I-
1
I
-I-
-I"
I
4-
I.
ч*-
X
+
X
4
i
X
X I
I
X
й>
V *
V +
О "
г
5* «f<»|«s
I Л v
с
V
V
e
V
^¦
OS
, V
+

§ 3. Показательные функция
№
7.46
7.47
7.48
7.49
7.50
7.51
/1
«'"'(«"fir1, Rev>0
f-<(e««_l)-», Rev>l
i
Fc (B):
1
i. _JL -Hi
00
¦J
1 * 11
•G)]
г / < \
L \ /
\ 2й У \ ли /II
I
re
(O

7.52
7ЛИ
7.54
7.55
7.56
7.57
_ i
t~ *
1-
г-ч
г-
-в*
.--*. R.,>0
e~eVr, Rev>0
i
О i O/« J v
ш V *» У
1
TTeeW1[
6^(e + /u)"
~ * /
_ e*
»-«ic(*-?L
a9 — a' /as
/aa
V I
T^[2»(e + /«)I] +
+ (e — to)"
И-г)
I
') ¦ (a — to)] +
„, [Bft) г (a + /o)]|
~Г АГ„ [2* (а — /иO]|
Co
I
I
0*
i
I
ts

17&
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[ГЛ. VII
X 15"
к7 .+
"в1
V)
О
о
4-
X
4-
"I"
I
•С)
в
+
PS
о
Л
"J*
п
л
>
04
ц -|«
+
м
X
о
Л
04
I
Л
>
Oi
о"
Л
СИ
да
3
I

§4]
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
177.
' I
S3
S
о
сг
S
а
V ft Л
я а в
в
¦в в
I
а
"в"
1
а
I
I
+ Т
и
Hh
в 5-
L "
i +
М
V/A\
а а
111
о
я
at)
'sin(
i
-44
ч—t
V
к
V
1
e
L
л
о
Л
I
s
1
4>
i
S

о»
Fe(u)=z J № cos {ut)dt
-A
00
7.67
sin
m ff% Ш^ U^ | _ 2«
7.68
7.69
P~l cos (of), 0<Rev<l
Bт + \)F(a),
где
a=0
при
n=0
n){
F(a) = O при
о
г
при Bft — l)as?«!s:Bft-)- \)a &
)a, k=\, 2, 3, .„, m 3
яг e~e* ch (bu) при « < e.
5t
при « > a

§ 4] ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 179
- ic* ,? 5^
с- *" X -г I? I м|«
т
а -~г - >-. «• • _i
-1- -Id * «» О1 Г8" "Т"
ь- -}¦ ^ 4- -
Ь. ||й .1- % s\
"Т" 43 Т -I* «
г о *м | о
i
ti Id S [d
о
л
d
V
V *
v к
о V
Г А
1 e

№
7.77
7.78
7.79
,V
7.80
л м J
/w
Г-'dos^fy, -I<
I
e~wsin(afs)
i '
t~y sin (at*), 0<Rev
Re
<
1, Rev>0
3
2"
л^
2 a
-a
:^
0
*
**(?)(rj *[
¦- Xcos
t *
T 1
f{t) cos (ut)dt
/_,B^ю)-У,BУ
-f /_„BУ"яп) — /,
t-»*>x
Г a"H 3 arctf
If.V'f
1 i
/ a \i
l\T)l
1
оо
О
о
S
о
со
9
<

ТРИГОНРМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
181
I a
т ч
I si-
«С I
X
а
I
X " 1н
X
a, v
•§ a
+ Т х 1
л
а
а
в
"а"
-1=
г-1 |
v
V
О
--^
м
О
О
)>-
1
^"
«3
¦ м
О
о
-**
1
ir В |
+ X
00
S

182
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ «УРКЕ
[ГЛ. VII
з
s
•о
Л
а
X
X -|
о -|«
+
^ V1
8 А
8|«V +
1
• о а
X
X 4-
I
-let
s
|«
с
4-
4
'"с
*ч V
f [
'с
X
V
V
с
'* л
-I-
'с»

7.86
7.87
О при t>~
(cos*) " e~
О при
при
Ц
СО)
СП
о
31
7.88
7.89
7.90
§ 5. Обратные тригонометрические функции
I arcsin t при 0 < t < 1 ,
\ 0 при * > 1
I arccos t при 0 < t < 1,
} 0 прн #>1
.-arctg(i.)
** A + 'V sin (v arcctg t), - 1< Re v < 0
n _ j
О в \ /
~|Ei(-eB)
i
ш /^ 1 . t \ M & \ T •% \ - 1 -oil 1 __— 1 _^«
I» '- ж yw ^^^ *- / ¦• 1 •!¦ i n 1 en 1 л 1 ¦
I
I

7.92
7.93
7.94
?
f A -f <*) * cos (v arcctg t),
arctgla^-"), л = 2, 4, 6,
— l<Rev<0
к * *
>
— i
1
T
—
i
.-V-я
n
0
i
b~V *s
(ав) — ee*
-ire-'
" I
/(Qco«(itf)@
El(-°"I
¦"»[(—i)t]x
X sin аи cos ( m— -=-) —
oo
7.95
7.96
7.97
S
I
0)
In f при О <
О йри t > 1
t *\Vit
§ 6. Логарифмические функции
— в Si (и)
i
и~ 1 "f"^cos ^6tt^"~ cos ^aa^ ~^~cos
+ cos (ак) Si (ди) — sin (аи) Ci (аи) — sin (fcB)Ci (be)}

6]
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
185.
а
а
a >i
? I
c- i
СО
I
-Э- ее
tJ
8
а а
f
I
и Г
I I
if §
V
%
V
о
о
л
ф
V
VA
о «.
«.8.
в в
I
? о
л
¦м
i
¦м
+
я
С
т
|"
_
м
1
1
V
¦м
V
О
при
о
'—V
\
1
4j.
Т"
"•
5"
т
S
** *¦ S '~|
1^ Г* »С Ь1

»¦
7.106
7.107
f
Г .'
(«' + <¦>-
/w
_ JL i
•) * In [(a* — *V]
при 0 < * < о,
при t >a
_i_ _«
-g-n(
-2 l5-i
oo
/=-c(B)= J f{t)cos(ttt)dt
0
, (/ae) +5.,,, (— iau)} + \aaK9 (аЩ
7.108
7.10D
7.1Ю
§ 7. Гиперболические функции
= 1, 2, 3, ...)
[sch(a*)]«»+« (» = 0, 1,2, .,.)
\ Rev>0
X
s

§7]
ГИПЕРВОЛИЧЕСКИБ ФУНКЦИИ
187
X
I
§
аи
X
S
к *
•3
I +
¦—-« в
8 в
81*
и
8
v
V
о
-А
V
«
V
о
V
«
V
о
•S
4-
•5
ем
ю

188
> с
а,
8
U
1 ^
¦5
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[ГЛ. VII
В
53
I
I
я
и
о
и
¦S
о
о
8
5-
в
-1м
л\
U
V
7
л
>
-5
О)
0}
со
3 I

§ 8. Ортогональные многочлены
7.121
О
t > 1
) i
1.122*
7.123
О при t % 1
к" *Рп (ж) при 0 < t <
О при t> 1,
7Л24
7.125
— 2f)i При
О при *> I
I (о*
с/»
00
— j прн0<*<д,
О к 1 при
fi 2,1. I X . !_«.
2^2' 4 J S
s
о
g
«я
§
о
to
(-1)"-Jje(ae)
00
•со

190
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[ГЛ. VII
Я1
I
ales
VA
В. 8.
-I-
I»
5
В ?5Й
у
-I-
i
Ъ
I
я».
I ><
«ч
V
¦•* -1
VA
О -к»
I*.
V
SVA
5°"**
\- «в
€
I
8 о
м
С
I
i
€ -3-
S 1-
С а
V
V Л
о **
Is

8] ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ 191
т w
Т4 +
-I- "а1 +
I 7 «
*> e 7 e -I- -I"
1 Г
л
1 %
i I % I T".
ills11
3 8 Я 8 * Й

192
KOGttHYC-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ- ФУРЬЕ
[ГЛ. VII
S
S
я
О
VA
о а
s s
C. 3.
Я a bi
v
3
x
Ш
о
о,
о.
s
ec
8
V
I'
Of
V
о
05
+
§
§
О
г-'

(В
•о
7.144
7.145
-« С A
00
7.146
7.147
§ 10. Интегральные функции
1 . / и
arctg —
«Гв*Е1(— Ы),
7.14а
7.149
в:
x
и
и
Е
m
erfc
(К*)
о»

194
КОСИНУС-ПРЕОВРАЗОВАНИВ ФУРЬЕ
Ггл. vii
8
о
8«—»©
¦2- ч>
+
а
+
^
+
J3
а!сч
Я
а
+
еч
ъа
¦g
J3
V
a q
V Л
о а
с
+
+
"а
I
+
+
+
N
в.
"а
>—'
to ,
¦g
а
С4 J
I
¦я
13

§ 10] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 195
ч « в- «
v/ A v A
§. -,-_
a « ' « „—^ ^—¦
I I *M I ~ в n «:
I I -2 I к -* в "ч
вЪ I з ^ ^
T T ^ + Д^ s
ii a i
«"* »r* i «p1
a a ' e
sit a'
T
T
T T
•-—^ ^—
^3 ^1
с <*• С С
I 1
ю л
tt S S S
7*

196
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[ГЛ. VII
«о
Г
53
i u
I
с
+
8
I
2
«о
I
I
я
в
-141 -141
V
a
V
о
Л
a
V
a
V
о
g.
к
Л
a
&
в
*
«^
M
в
I
в
S
СО9
-I-
I
a
I
8
i
J
T«
я
"и
I
Л
ё:

§11] ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 197
v л v v vrr4^
V • §. V Л V Л V - Б.
о f и о а © в o-f-c
в 7 "!" и и i в в « ,„¦ в
8 ^ ¦ 5 а *§.§..—. н.
О. Q
^ 1 a »i« *f
I S r^ Ь
^f "- '
ar t i ?•*? " ?
i.. i -i^T _ I I
>
HO— <N
I
V j I
v л ^ v1
1
+
f
8"

19S
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[ГЛ. VII
in
©
V
» .1.
V I
V
1-е Л
I
I
ч
1
ч
Л
В.
в
X -
8.
в
X
Р X
s. i.
8
?1
i
i
a
X
ч
Л
I
ч
Л
a
%
V
ш
V
3
V
XL
у
7
*
Л
ш
7
С
73
л
d>
I О
С II
i. i

§ 111
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
V
V
•о
V
а
V
о
•а
а
5
+
e
с?
V
V
о
|
+
в x
I
I
3
v
a
V
|
I
I
I
.1.
Is.
I
-I»
и
«
С*
I
ё
I
+
V Л
V
о
cu a.
V Л
-i« a a
l V
a
I
-I-..
м
¦2- t*
-I
'
7
i
X
V
к
v
С
V
V
d>
OS
V
¦—I
I
с
•а
I
л
>
о
OS
Л
ш
OS
I

200
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[гл. vti
X
СП
о
X
о
(J
i
I
из
о
и
X
I
л
I
Л
«о
ее

§ 11] ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 201
V ? Л Л v A
в ?, а » а а
в , ,v |f & . в. и- v в.
i *t -'? i Ч II-
v 1 * I T "a !¦
J J IV
& ^ "? &5
1
v
v Z
V
о
t
2
i.
Г
i
V
k
V
—1
I
V
1
f
V
1
f
00 OD

Fe<m— J /(*)cos
to
s
7.187
7.188
7.189
7.190
y) •
l<Rev<l
r 0 при
1
0<в<а,
при о > л
f \J4 (at) sin (at) + У, (af) cos (at)),
С 0
при 0 < в < 2л,
- « 2 Bл)* [г D"
о
01
г
о
i
S
Г [Г, (at) cos (a/) — У, (at) sin (a*)],
при и > 2л «
I
-*"Bо)'
"Bо)' [г(у~
(at) sin ( я* - ^ ) - У,
X cos (a*-y), -l<Rev<l

§ 111
V
а
V
о
f
о
X
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИЙ
+ 7
х г
a
--*
<?>
•-о
Ъ * I |
5 X й >
СЧ
= + -I" +
+ f
мн X +
« 1.
5 ¦* I X
X ,^
Г -!а
I
4- Т
4-
X 4-
о
о
V
v
5
'55
4- «
КГ
V
^-<
а»
СИ
V
-г
I
Л
a>
Of

204
I
о
4?
КОСИНУС-ПРЁОбРАЗОВАНЙЕ ФУРЬБ
Н 1а.« * I
> ^ 1^ I
g -1
о
с
I
л
к
4)
•V»
+ I
I
+
•1-
7
II
(Г
S
[гл. vti

ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
205
X
I
I
+
>< i
'«: T
* +
+ s
1^ -I-
5
§
с
•53
3
/ft
3,
I
II
+
3.
-|"
s
с
«к
I
X
8
•§
3.
О
II
С
II
С
V
Ой
V
t»
1
cos

206
кОСИНУС-ПРЬОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[гл. V»
1
Л
+ I
I +
1
I
V
>
OS
V
г
4*
5
I
Л
>
о
се
5
4)
as
-I-
x t
ъ +
i
+1« 8
,1 о
'^ X
I
Л
'V

§ П]
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
V
:в.*
в.
й
Ч-
_*wv
S 8
J х
207
8
t
да
-1.
+
IN
А
>
s
¦'ь
л
V
V .
.VA
71
I
А
V
•ha
V
° ^'
a
л -|
0?
А
>

208
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[ГЛ. VII
с-
*~^ "a
^X
V
а
Б.
а
X
Л
ь &
f "'
II
Is
8
X
u
~V"~
X
~u
~ OS
V
as
V
T

§ И]
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
I
л
¦v
<L>
or
-I.
,0,
•о
-1=
+
209
in

210
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
(ГЛ. VII
8
S
и
а
i
,2,
V
V
о
при
л
а
при
А
а
-Г
f
I
I
"а1
f
А
17г л
в ч-
V
VA
О 44
3 5
¦ Г&&
С
I I
Л "ч
Л
5 о1
1Г
00
г-

11]
ЦИЛИНДРИЧЕСкЙЕ
211
й- V
J V
?. о
-I™ О,
X
л
с
л
V
а
V
о
а
с
Л
S 5.
1
+
л
S
+
I
I
X
X
а»
I
«в
I
а.
X
?
Л
г.
V
¦ц»
V
«а
I
о — _ |
V
V
Л V
о.
^
А
А
V
I
А
S.
V
V
V

212
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЁ
[ГЛ. VII
si
4,
8 «¦—->«>
||
s
V
a
V
о
u
i
i
¦5
-f
\ / Г^Щ i
1 s
1
1
**
с
J
s v-
\
t
В
t
«Jo*
у
v
1
1
at
V
a
V
о
^&
,5 a
К
"a
1
о
и
1
а
|
1
•
i
€
а
К"
i
л
1
о
i" v
Tv
1 о
&Я
ff
Й
COS
1
a
1
¦ *
sr-
а
1
V
V
о
§.
с
о
X
1
1
м
+
f-i \ т.
1
f
«а
1
1
v
1
Ъ
«
+
eh
sin
X
«ч
Л
а
в
7
л
>
at
•а
Л
а
я

11]
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
213
X
-I"
1
VA
о а
S.3.
к о
"а1
X
X
\
+ 2.
й-
3 23.
*ч V
Is
" -ч U
D |?4 V
А
а
+ ^Г
X
'?
I
"я
+
т
I
a.
X
"'"с
X
i
Sec
Iim
X A
V
I" VA
€Г ° **
" S.g. ,
" Л
&
о-Г
О
ft
е

214
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[ГЛ. VII
*
V
s
V
о
I
X -i?
T . i
Х
Л
а
8.
I
м
а.
-I.
а а
I V
л
7 a
t. ¦
•3 &
i
-I*
X
i X
4
¦о
V
0>
Of
Л
в)
Of
«г
3.
iи
i

§ И]
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
215
X #
I S
5, +
+
s
s
-I'
•Cs
A
-I'
О
и
+
«4
V
t
В IS
VA
о а
II
N
-I"
1
a
1
M
V .
VA
О t»
"c
-I*
I
I
С
I
в.-
в V
& v
V
V
о
A
т ^
г. ?
& V
V
V
в
S -|
f i
e
+
"I-
s V
X *f
ii
—' «
л
>
4)
ее
5Г
X '
л -I»
I- *,
С4 г
? x

216
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[ГЛ. VII
еч
V
о
I
A
а
I
V
a
V
I
Л
а
9-
(Г
41
I
-I.
2,
+
I
i
V
V
-I- X с . I
'с +
X

§ II]
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
217
¦I-
S
я
I
+
-а
¦а
5 J
о
ё.
т
8
i
о
О
1
:?
if
V
•»* t*
VA
О -ы
8.8.
с в
I
Л
>
4)
V
VA
О -и
I
V
к
v
«|<N
1
л.
<0
04
V
A
Of
V
-Iе
1

21S
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
(ГЛ. VII
§
8*—*"»«
V Л
S
ъ
N
«о
ч .
"а1
а)м
м
О
—*
со
+^
а|см
м
•5
8
а]сч
8|М
со
«О ^ ч
+ »1«
a |s^i
м
О
<S ,u
о
8 + «
1 4
I
Л
>
ее
•5
3
^ «I-
|~ I
«1 «>
еч
г
г» г»

§ 111
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИЯ
219
_J_ -I-
X
И
+
a,
J
a
•s
5
I"
¦S
GO
*N-
I
1 I« V
3
V
^L i. V
V
+1
л
Г* t4 t^
t^ Г»

220
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
(ГЛ. VII
8
8<—>o
- 1
*
Q
1
'а'
I
I
X
;"!*
S&
[ ¦
N
-^
1
I I
а
х
-I-
I
-I.
f
|
Л
>
ОЙ
¦ft"
Л
1
A
>
i
1
A
Rev
V
>
V

§ И]
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
221
X
X-l-
«5- '_,
Ьр
u
И.
1 в
± й z
1Г
_н I
ю
8
i
it
о,
X
X
i
±
i
i
V
и/
8е—а<
X
1
-X
•ч |еч
1
Л
-Г
1
Л
vT
f
л
-In
1
A
<t>
I
«r
?
— |n
V
>
06
V
-h
1
I
О
V
о
Ой
V
»-<1<м
1
«3
5
«г
+

7,267
7.268
739
t
M
~|<Rev<I
(«о, —5<Rev<I
ОС
/^(в) = J fit) cos (ut) dt
0
t
i i
""T
i
X [Г (- | - »)] ~\a* + 4a*)~T X
t i
— — A
4
I
i
о
n
i

§ 11]
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИЙ
223
X X
in
С S-
л
Г X
+
X
v
I
I
Ъ1«
X +
у
I
X
X -I
N
1 v -I"
s X i
4- "I-
I
S
г
ft
I
X
5
Л
л
С
I
f
V
з*
V
1
о
V
V
с
i
i

224
КОСИНУС-ПРЕбБРАЗОВАНЙЕ ФУРЬЕ
[ГЛ. VII
С
3
8«—>©
II
>I"
I
х -Т«
7 +
X *
T^ X
41
?2-
+
и.
I
X
-la
loo
X
eo |
л
*
V
>¦
d>
OS
V
4>
Л
at
i
eo|oo
у
к

§ 11]
SI*
о
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
•Ф
I
225
N I ?
Ч|с5
+
а
(М
а
+
¦9 8
Ц I
•я
х
fa X
с*.
|<*
8
-IS
V
V
V
I
л
X
V
у
7
-и
л
?
5
X
-¦с

226
КОСИНУС-ПРЕОВРАЗОВЛНИЕ ФУРЬЕ
|ГЛ. VII
-I
-I-»
-I»
С
-Г*
i
ю
3
3 V
^ I
+
¦%
-I-
V
V «.,
-[«
4- X
-к
51
— И3
V
4)
V

§ 11]
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
227
-«141
-'с
•н
л
>
н-
V
V
V
-I
С I
"
2
со
О
5

228'
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[ГЛ. VII
С
8*—->
х ^ ~
¦U
от
О
+ X
V
i
V
+
- ч-
X
о
GQ
О
О
¦Ч"
+
_^
W
1
+ X -I-
«г-
+
II
ч
seel
в |еч
-|n
1
tT4
а
<з
•ч*
+
X
+
X
X
X
X
i
VT

§11]
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
229
«¦
+
&\сч
-I»
-I™
!
3.
+
X
V
"J
I
I
«
I
f
§l«
Л
8.
в
I
х
5
х Z*
Л
CVA
,00
лад
<2

230
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[ГЛ. VII
Л
-I.
о
о
I
a s
1
+
"'V
I ?
X
+
+
is
X
8
и
Tel*
Ц tsl
-I"
is
* S Я *
V
V
v J
о j*,
s
a
в
«* V
I
X -
ъ
CV-!
Jv
«о
s-g. г
-I.
s
cm] N
"^ Л
V
X
о
3

§ tl]
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
231
~1«
I
а,
f
if
-I"
+
+
-i-
а
3,
а
I
4
3.
«1-
+
1
it
и
8
V
ч»
V
О
I
"в
л
н-^
к*
X
ill
С"
S

232
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[l Л VII
I
8«—»=>
+
V
VA
О -к.
s s
a, a.
с е
С
•i
v
>
V
I
\
i
S
3
3

§ 11]
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
233
I
«и
•8
8
.а
а
?3-
I ¦
"
<N ~
14 |СЧ
sch
+
2
? ^ <,
^1
ch
5
00
5
Si
55

234
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[ГЛ. VI!
I
X
V
а
V
X X
«I
V
« -•
V Л
о а
-I*. & В1 С?Д—Л
S
-5
it §
— м >
X
+
d
X
Л
I
Л
4)
Of
V
v
-l« t
-•a
a.
s я

§ И]
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
235
+
a.
I
а.
I
•I-
к
и
•5
в
I
а
о
<з
О
¦S
«3
« VA
8 о а
и s x
" 2-й1
-|«
а
<0
3
*¦!
X
^|«
О
ш
1»
—v^
и
_^
-*•
с
+
тс
+
с
+
2,
+
X
2.
А.
I
+
с-

236
КОСИНУС-ПРЕОВРАЗОВАНИБ ФУРЬЕ
(ГЛ. VII
с
со
8
о
8«—>©
X „Те,
«I t
"it
i
X -i
«I A
*|« I
+ ё>
•i 5
5
¦*»"¦ -;:'
•5
3
•H.
if
X
-9
CO
x
-I"
X €
? -t
I I
+ 7
I
с*
X
•5
St. «3
•8
ш
S

§ 111
ЦИЛИНДРИЧЕСКИС ФУНКЦИИ
237
V
V A
о.
x
+
9-
I
ю
•s
со
О
-I.
T
IN
СЧ
V)
Ш
1
л
a
on
33
T
¦•-'
1
1
«?
s

238
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[ГЛ. VII
i
и
X
+
1
1
Г
a
X
V
4)
V
с
«3
<з|а
I
со 1еч
X
,-|a
• X
eo|<N
J
I
т\.
X
Si?
X
м
I
Is»
X
X
V
"ai"e
I
у
+ >
I
у
V
I
I

7.341
t"~l U-v («0 - L,(aOl, Re v < 0
§ 12. Вырожденные гипергеометрические функции
7.342
7.343
7344
7345
7346
/e~el'*erf(/af)
С ~' eric (at\, Re * > 0
ee«* erfc <«*)
erfcl(af)*]
2 \ 4a1/
2д I 4es/
l
Я * p / 1 » \ y
a\ V. 2 2 /
ХЛ^-j. j + ^l yi Ну! ~4a*J
2a" e \ ~ 4a*/
i _ i i i
to
E
I
С
m
n
4
I
D
to
CO
<0

240 -
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[ГЛ. VII
8
? ?
+ ?2-
« <з
|
¦V»
а
т
+1
«
X
I ц—''
Е '
о •
I ' м
«Г
•S
о
V

§ 12]
ВЫРОЖДЕННЫЕ ГИНЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
<¦—^ ь
241
X *
1
¦!«
X
I
t
la
+
и
•л
X ~
S
X
lh
А
А.
X
I
S
I
± QS
><
i
— i
V
0)
сГ
2

242
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[ГЛ. VII
8«—»o
a
X
•
X
I
«I-
+
|(N I
l
« X
I
si-
. и"»
-x 1 I
i ?5
„a I
i —
i i
IT
«3
X
о
V
о
V
»
4>
OS
о
V
>
ш
Of
о
се
¦'
t
1
h
•g
ч

ВЫРОЖДЕННЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
243
X
V
а.
А.
с—
V а Г
Is-
1 ^
+
•Si
X
+
+
к X
X
ар*
I
X
X
а м
+1-
I
i
a
X
X
I"
-T
Of
V
I
V
V
Of
V
V
Of
V
Re
S.I
«.1*
in
CD

244
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[ГЛ. VII
S
X
а <м
X
Л!
I *e
А
X „I
+
СО J!N +
X
I
i
I
x
X
ТГ 4 -
-l« x -I
о
V
v »
?.
4)
Of
V
CD
Л
a
at
Л
4)
1
^ Л
—V ¦««
1-1 щ
! 4 QJ
00
f -
v
4)
«.I.
I
г
t
-I.
s

§ 13]
СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
245
х:
-I-
+
+
X
J3
X
Q
X
ti \r*
от
О
I X
<3 M
=s
s
s
a
s
•e-
a
•&
СО
+
ССЙ
¦Oi
V .«
S S w
p,c.V
с с _
я i
V
•** —*
VA
о1-
uu
в и
о
V
V
I
Й
«г

246
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[ГЛ. VII
•5
к*.
г
о
-I"
е.
-I-
е
Л
'a
la
X
"ah
t- a.
x
X
-I.
CO
d.
I
dL
I
a
X
I
Л
+
5
о
V
"в
-f
I
Л
•ft Si-
d
v
О.О.Щ
V
I
s

§ 13]
СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИЙ
247
в |=ч
О
+
S
Й
+
^
X
-I-
+
7 -1«
I
i
А
а.
I
со
N *
X
Is
X
+
1
*
4_
г
л.
i
< Z
1 X
А.
в)
_ V
vi
* V
2, л.
и
V
V Л
о «.
о.
а
при
с V
4>
v I
л
I?
I Л
V
v .^
VA
V
О S S О.
^ Q.Q.
±|« а с о
'~ л
I о «
00
s
in
s

248
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[ГЛ. VII
"а
«г
т
8
<3
3,
. I
Т
ai
I
"в"
5s
1?-
-I* Ь,
.а
V «-
V Л о
о.
Си
S
I I
в.- ti
V Л
в с*
-: - Л
V
*• a
V Л
О -к.
s a
1
+
I
ч
.VI
¦м 5J
VA
©*»
«^ §.§,
Р В

§ 13]
СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
249
«5
'X
а
•о
О
J ч
V
l-C
la
"a"
СО.
о
-1« a
х
V
V
о
I
Л
¦* о
V
"I. -
I
sa-
4
I V
V V-h
у
о
0 Iм-
1 I
Л
s s
CO,
a a
Q, •
V
S s <O
J 1
л
>
Q
1

250
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[ГЛ. VII
о
-I-
X
+ «_
т х
5 И
+
-I.
- I —
со
8
-u I
+ ё
f X I
:l +
-5 х-
It
-|и Ь-
X
I
+
-b
о
V
V
7
¦5
3

§ 13]
X
X
N
-I-
1
I
^ ^ Ь"
a.
I
>—^
X
СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
X
I
я
X
I
>
X
+
сч
м
X
с-
X
5
i
A.
I I
x x
251
I
A
V
V 0)
sa-
о
о Л
V S.
•5
8
3

252
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[ГЛ. VII
и
8
X
X
х-з
<м
I
x+
м
I
+
t +
+
IM
ее
S
to О.О.
и
Г х х
Г
X -I
и
i
\а
"а
о
•a
-1%
¦g
a —•
ti
+
о
V
&
V
«г
I
Q
т
V
V
о
и
8
V
V
0.
f
•5

§ 13]
СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
253
в
Ml
-I-
I
о-
^ ¦
a
a a
VA
a a
J3J3
о о
•5
i
"a"
a
о
•5
s
8
L>
a
¦s
о
Л
<3
V
V
Л
^ v
1 а
5 v
« —
*'
-I-
V
а
V
4J
1
о
4=
S
8

254
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[ГЛ. VII
и
О
и
4-N
I
•5
I
il«
V Л
¦S -S
= s
i
"
•С
Л
+
И
ИИ
И1«
Л
Oi
t
-!<
Л
l
s
г-'

7.411
7.412
7.413
7.414
г/1 и it\T(l
\4 2 "* 2 / \ 4
Ch (nt) + sin iit|i
—г+Л --—А
¦ S
sch (nfl l?l t* (ch a) —
8
Re|x>0
2 :
)
2
¦4<s
(cos<p),
(ch л),
t
Ret
si
t(chc)l
* i
y+4! sec («p) A - a*) *
я 2 * (Ch и — cos <p) *
(-5-) * e^FOi) (sh a) * (<
i
при «<
"NshafX
при »>
:h a -|- ch a)"*11
cha]
l
a
CO
I
59

266
и
3
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
X
[ГЯ. VII
X
со
8
-I-
-о.
л
а
+
•Cl
Л
а
X
I
•i, X
V
¦** а
VA
о
S я
1
ю
+
л а
г-
-1 =
2

§ 14]
РАЗНЫЕ ФУНКЦИЯ
257
s
X -|Г
X
-и-
f '»
•ai-
м
<?>
M X
i
CJ,
-I*
о
I
-I"
о
•3
J3
*!•

ГЛАВА VIII
СИНУСПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
§ 1. Основные формулы
to
ел
№
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
№
f(at), a>0
/(a/)cos(W). «, ft>0
/(af)sin(«), a, ft>0
CO
Ц'
(-1)'
(-1)'
CO
Fs(u)= J f{t)sla{ut)dt
0
)
ч « J+/4 « JJ
««-(•-=-*/)*-^J/Wco.(S±i*)*
00
AVt+l Л
l+15^TiJ /W cos (no«
4
R
3
s

§2]
РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
259
В
о
X
X г^=г
Ж
X
I
Sl« +
+ §
§ в
a
to
I
SB
>
» 1
в I
о '
SB ^^
3 г
+
a
a
J i
s +
*T I
i X
X
IN!
to
о -i"
+ i
-l«
-I-
j
cos
a
I
X
t
s
7
a
?J
1
&
ai«
?1
X
Г
2
со
«о»
V
t- a
VA
S.S.
с s
— о
e
e
s

260
s
СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[ГЛ. V1I1
с
с
i
I
V
I
с
+
eg
0$
§
X
X
Не
¦i
(Л
8
а
е
S
i
8
X
1еч
«о
с!
i
en
X
I
X if
а
ад
а
Б
+
5-
со
I
с
С
in
5

§ 2]
РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
261
а
•3
+
S
'a'
5
I
~ -И
К
«с
г
+
•в
I
1?
-I.
to
V о *.
я s
V
о
i
V
V
о
s
1
e
e
л
s
8"
о
1
1
л
СП
в
V
V
к
T
p.
S 4>
в
C5
V
•v, <з
VA
О 14
в в
г
1
ч.
1
?в О
о
ч>
°1
1
л
«
Of
V
Rev
V
1
4-
14
со
оо
3
в»
¦г*
да
9

262
СЯНУС ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬВ
[ГЛ. VIII
¦5
I
f
I
§ «.
8 *---><=>
5
в
1см
-I-
I
см 1
V
>
41
ОН
V
I
Л
-I-
I
I
I
л
v .
V Л-1
О v.
V
?
I
^ о
I

§ 2]
РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
263
I
>'
*
+
+
1
7
i
S3
1
5
а
+
f
rt|iM
•I-
со
-I-
о
и
•Ьк
S
V .
II л
i
ч. О
V
"»*
V
о
I
a
Л
5 '
CU
С
I
1
л
V .
*. «о
V Л V
о *¦•* >
а в. "
с с
-I-
I
о *»
V
I
V
V
о
§.
а
в*
Л
|
V
I
V
7
I
I
I
л
i
С
во

8.32
8.33
8.34
8.35
i»
1 о
Г/ 1 1
№
-»-- 1 3
2at) ", -Y<Rev<-2'
at — t*) 8 при 0 < tf < 2a,
при * > 2a,
Rev>~I
при 0 < t < 2д,
1 — 2aif) * при t > 2a,
-i-<Rev<l
i
-*V+*Tvi Rev>0
.b(l+.)«.-
4г D-) (в)*"
l.i . . i
-v ~г "г-яу cosec (icv)
en
\ / (f) sin (lit) dt
о
f, (ац) cos (ад) + Г, (а«) sin (аи)]
v (яа) cos (аи) — У,(аи) sin (аи)]
/у (дм) cos ( -у J —
•—к" J»(fei») —5- J4 (— /аи) I
to
i
о
01
ч>
ы
>
¦о
о-
W
—

§ 2]
РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
265
I
о
3
+
i
ft I И
a
»1"
l
a
к
a in
> <м
со Н"
-Is
I
I Г °*
а
а
j
I
л
Pi
СО (N
V
>
V
Ctf
- v
Х- л
v/ ^a
° о g
Pi
V
V
<u
a
I V
-I"
^л
4-
I I
.«* T
+
+
+ ? +
==• « r
+
4-
X
s
« 5. 5 9.
CO 00 00 00
00
I

266
СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[ГЛ. VIII
в
а
I
X V
а -А
>|еч |
I I
со I
!
•
оа
X
у
С -
+ I
V
2L в в
I
II v
-I-
-I-
i
г +
1 т
I
"в
S"

§ 2] РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 267
* 1 ж "I-
х Л* g 5^ ЛЬ
.
X
са
+ 1 с I
V - л V ? | - V ^ |
55 S ^ ?g
Co
i!.
8 2

Jft
8.51
8.52
t * (a* — t1)
при
0 при
Rev
0<f<a,
>-2, Re(v-2|A)<2
у
со
0
(f)-7. . (?)
\ 1 F4 1 | 1 1 ^^
1 1 \ 0 1 Oil ^^
Е
Г8
8.53
§ 3. Показательные функции
-at
т — 0

§ 3]
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИЙ
209
I
+ 7
I
+
h
7
ales
* s
I
i
I
+ ^:
I ai-
T + i
4-
CO
•3
ва
r
Л
л
Of
о ^
л
+
О
л
d>
V
I
л
f
T
I

270
СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ «УРЬЕ
[ГЛ. VIII
f
С
i
«is
^
I
I
a"
-I-
в
I
i
I
Л
ч
i
4>
1
a
a
I
a
•I-
i
i
I
"I
I
a
Л
Of

3]
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИЯ
271
м
la ?
4 Q
X
X
-I*
s
Ч/ ~—
"t
«Г4
a
Q
X
-I'
X
i
S
С-4
I
«
N
|
+
х
I
л
s
I
-с
I
-1-
'с
-I-
X

272
СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
1ГЛ. VIII
В
'и
X
s
I
ss
о.
н
s
о
к
о
S
о.
ао»
1
I
a
eh
§
V
V
PS
V
О)
1
1
1
.н
"со
л\
V
>¦
СИ
V
о
С?
й
'53
**¦
й
'3
i
об
t-
00

§¦]
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
273
-
i
J
m
1
В
1?
1
1
a.
__.
+
1
J
i
1
+
B,
+
e
¦ 7 +^
^ + -+* A
T 7 " ^ "¦—
S|"+ •
+ «s « i
a|« L^—
+
X
^
a|<S
4-
+
a^
I
«1Й
I
+
X
II
V .
VA
О "«о
s s Л
й a v
f
I
a
5
«6
5
s

274
СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[ГЛ. VIII
f
г
ч
з
N
V
V
7
8
8.76
i ? j.
2 ? * f
I
."
V
VA
II
8
В
ь *
¦ о
ео|е«
a us
I +h
С*
+
*fi
м*
a-
<N
V
V
7
с

§4]
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
275
г.
-I-
i
4-
ее |м
w м
_x +
* I
X
а
в
а
?1
' I
X
8
1
"a + *\>
X
V
V
S
о
у
4)
Ой
V
1
С»
у
Otf
V
7
i
у
ffl
V
о
а Ь*
в К

276
СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[ГЛ VHI
С;
8е—>«
V
л
а
я
I
X
У
I
5
Л-
г
+
-I.
?
в
S
X
X I
л
V
i
V
о
s
u
I «
+ i
Ь х

8.86
X
- to*1
-l<Rev<I
ел
X{sin(~)Л
?) У, [«<*'-
дри 0 < в <
при и >
§ 5. Обратные тригонометрические функции
ё
н
5
3
1
8.87
&88
8.89
{
{
A
arcsin t
0
arccos t
0
при О<<<1,
при t > 1
при 0<*<1,
при f > 1
sin (v ardg t), Re v > 0
^IJe(B)-CO6K]

278
СИНУС-ПРЕОВРАЗОВЛНИЕ ФУРЬЕ
[ГЛ. VIII
-I
+
?
V
OS
V
4-
¦S
X
t A.
«^ X
у
V
I
1
•s
1
«la
С
+
I?
X
I
8
X

8.94
8.95
8.96
8.97
8.98
8.99
при 0 < t < о,
при t > а
arctg
ОЭ
^ {1 - [1 - С (<At) - 5 (a*a)l cos (a»a)
- [С {а*и) — S {a*a)] sin (а*и)} |
§ 6. Логарифмические функции
In* при 0<<<1,
О при <>1
In (a — t) при 0 < t < a,
О при t > a
In (a — <) при 0 < t < ?,
О при f > &
— IIn a — sin (аи) Si {аи) — cos (аи) [Ci (аи) — С — In в]}
и
— {In a — cos {bu) In (a — b) + cos {аи) [Ci (a« — bu) —
— а (аи)] + sin (аи) [Si (аи — bu) — Si (аи)] \ м

280
СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[ГЛ. VIII
•I
eh
+
a
•S
7
gi<^
Hi
I и""
X +
S3
a|«
TO
8 $P
i
a
+ +
о
Is
I
I a
la
1з
+
- In
I
' +
Л +
^ +
IM
d
«a
а1ч
-a-
+
a|«
+
V
се:
V
I
Л
or
i
so
a
I
so
о
00
8
во'
О
со

§ 7]
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
281
+
S3
в
S!
в
>
15
15
SI*
¦s
J3
I
8
+
¦5
?ia
«
1Л
о
о
+
SI*
¦5
*ta
el*
+
«
rl
+
•a
+
•3-
\
^ '
-a-
it
«
8
+
• ^—
«
5 у
-l#
¦S
o.
в
a
«0»
с
?
od
u
s
5
f
7
.S
so*
\
4
iat)
ей
s
V
в
1
•8
I
•3
§
5
V
в
(«0
•s
I
о
а

282
СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
¦1
s
I
г
II
[ГЛ. VIII
X Т
-е- s>
I Ь
Г + ? -I
i
HS -
« СI
-а-
¦8 Г|
+
+
X + *
-I. i i
сч
л
V
? I
¦s -s
3 3
V
Of
V
о
«4
00
5 5

§ 7]
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
283
I IIs
+
+
J
I
<0
Of
V
a
a>
Of
V
0)
Of
«sT
•3
•P
7
а|ч
¦s
i
4)
•s
I
I
CO

284
СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[ГЛ, VIIj
в 1м
¦S
s
09
s
8«—>e
«|е*
|«
5
-I-
¦S
I
г
I
v
3
ев
а
©
U
О
|еч
6:
+
>
\
cc Jim
« s
t-,
в
I
00
вО9
V
V Л
О ч»
в. в.
.я О
а

8]
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
285
X
е
со
со
со |е*
S »
+ -+ i
f
С*
+
**1
V
¦Si
V
°
в
л
**
|
у
Л ^н
С |
= л
в* "
+
V
V
о
см
л С|« v
- V Л
т О чч -М
,^И & в. \
U в в
о »*
•8,8.
в в
о."
г
5

286
СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[ГЛ. VIII
8
¦а
+
+
с
¦I"
+
7 v
о VA
А © а
8. -
X
Iм
i
+
.в.
m
X
i
3-.
7
*; v
i
к5
С •** "<
5
с
i
2,
+
г +
<Г* я
¦•• +¦
+ ^5
3 X
+¦
е
ео
«о

8] ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ 287
-? ¦»? '—^-^ + *
-r v jv
x — a * — к *
J 5 ? ° " -I- ? e a
X - x- ^ J 8.8. '.r I ?&
" ее ' ^ i "^
п J x i; x - -I" x
«Tv, Sin • ? °
x
e
sin
i
'c
i
V
V
О
1 при
'с
¦
-1I
X
л
при
°
X
"с
1
1 cos
"
1
'с
i
9т
•**
V
VA
о *•
II
"с
1
е
х°
X
-I-
'с
J
3
"
i
й^
ъ
-1"
+
S
X
>< с
-I- +
4 x
во

oo
Fs{u)= J f(f) sin (ut) dt
to
oo
oo
2 •
1; in+
и
8
* я
г
¦ В*1 X
1Л +
-f e-|B,/:>1
2/и)] а
8.136
8.137
8.138
8.139
(а* -Г) *+Ч,-мD)
при 0 < t < я,
О при * > а
I при О < t < 1,
^ О при t > 1,
Re у > — 1
E(i - tro +tr- a+<r a -
О при
Re (v, v.) > - 1
[A -
if.W при 0<*<l.
О при tf > 1,
Re(v, fi)>-l

§ 8]
Ортогональные многочлены
289
«Г
е
в 2
+
X
X
в
x
4>
E
+
E
см
5
V
E
а
Е
a
X
а
4)
Е
+
5.1-
s
4)
¦v)
tj-
ее
5
во
2
00
5
со

8.148
CO
0
8.1.4Э
8.150
8.151
8.152
8.153
§ 9. Гамма-функция и родственные ей функции
1
1
Гф-t) V{a-t)P
»-в L2co< 2-)J sm l-V-J
при
при в>«
(О
О
|
s
CO
О
I
t4
I

10]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
291
sr
+
J3
a
+
+
Ъ1Ъ
s
Ь
ф
•4
4
ее
-ш
8I«
ч| а
*5
Ma
-4-
is
"a
+
of
a
+
J9
I
i
m
еее
S
л
r . И
ы
•S
¦а

292
СИНУС-ПРЕОБРЛЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[ГЛ. VIII
С
3.
8<—->o
I
Щ
"в"
И
V
о
12
Iw ^
I
Г
i
Л
S3
и
'а'
о.
в
-ai^
CO
T
•J.I5
U
t±|a
-1" "I"
?1
, e
•a
S
з в
+
«I'M
и
«1^
¦a
-h «I
00'
3

10]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
293
«Г
-I"
I
V
V v
I о
•I- Л
-1

V
, v
-1C -IS
-la
оэ
С
оо

»
8.168
8.169
/•
2
±.
L.a T
-T f
a sin i
t
00
J f{t)sm{ut)dt
0
Su 8 / — \8ft/
^-T)J_i(e)
8.170
8,171
§11. Цилиндрические функции
1, 2,.
Rev>-2
при 0 <. в < а,
при и> а
(a* — и1) * sin 1 varcsm (~j I
при О < u < a,
a" cos ( ^ J (a» - a») * [u + (в* - a») »]-•
при a > a
и
о
№
I
О
a>
ГЯ

§ 11J
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
295

296
СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[ГЛ. VIII
?
ale
J
I
X
2
+1+
X
о
II
в
I
S
"аГЬ
X «,
+
(М
+1
« X
у , ,
v + i
X
ч:
X
I
Л
-у

§ 111
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
297
л\
si
s
+
1
1
d
it- w
+ ¦
+
7
*
О
¦o'lcs
1
Л
Rev
ч
V
a
V
о
V
I
a>
7
i
II
et
I
"Iм
+
5
V
a
V
о
•Cl
з
^<
"a"
и
? I'N
M
у
V
1
1
I
i
"T"
1
V
a
V
о
I
^<
•§
¦—'

T
V
»
OS
V
T
1
m
8
5
л
a
I
1
'!_
•
90
Rev>-
«f
3,
7
+
T
S
V
v
о
5
I
?
1
+
л
"a"
-J-
I
С
J
Г
8
3
•
II
tl
H
о
il
*•
¦o|im
V
+
s
л
f
¦
i
5-.
1
3
+
>
i
8
1
II
tt
• «k
1

298
СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[ГЛ. VIII
I
еч
"a
V
a
V
о
S.
с
+
t
CM
Л
a
S
в
• In
|
4
*
1
a
1
a
V
8 ea
VA
о а
§,§,
t= в
V
V
s
CO*
т \
л

§ И]
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
299
л
л\
SB
5
Г»
во

300
СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[ГЛ. VIII
а
I
С
-I"
8
л
X
a
i
+
«
-i'
4
К ем
CO 4*
+
А
)h.
I
* «
+
V
+
со |-4j«
+
X
i
4?
T
1"
x
л
a
i
-I
X
I
I
a
V
a
V
о
-!•
и =
3. &
+
«Id
I
I a
x
- (N
1,1"
+
in
8
?
"a
V
V
-lei
t
a'
t
X

§ 11]
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
301
1
1
V
й
V
о.
о
С
2»*
i
5
л
+
v
•<§
V
•
7
V
а
V
о
а
i-
Г
1
А.
OZ
СО
у
4)
V
О
я
1
L
3
"а"
1
-1-
+
1
1
1
5S-
-1-
+
о
S
*
*
11
е
W
+
^ е
т
Л
|
м
"г -^
77 -ь
u
1 +
g
—
1
Л
4>
•
I
-r
o
'^—^
rcsi
(9
1
1
Щ
2.
^ X.
и
в
V
а
V
о
а
в
-
X
-!-
i
1
"а
sec
8
-|<м
V
Rev
V
1
s
%
-
¦
1
i
i
а
i
X
!_Л
- а
«Г я
в а
1 в
ъ
1
|
1

302
СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[ГЛ. V11L
V
a
V
о
I
ч а
т
a
s Us
V)
о
•I
115
I -1й
it x
и
4)
CO
V
а
V
о
Л
a
I
V
>
СИ
V
V
V

§ 11]
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
303
V
а
а в
•Ф
&
,4.
а
m]in
9-
Л
I
+ -КГ
5 *
+ 13-
? v
i a
"** V
о.
V
a
V
я
«3
<N
rtjtN
-I-
I
I
со
в
5
V
>
V
I- «
7\^
f
V
>.
а>
Of
V
IN
I
•< Я
X
+
f
X
V
a.
ш
: Of
' V
I
H |<N
i
во'

№
GO
Fs(a)= J /@ sin {ut)dt
CO
о
&203
8.204
"+T
+У , (t + b)Y ,
&205
Г о
при 0 < a < a + k
при
/д j_F)rn ^
&206
»* {1Л
n = 0, 1, 2,
. 0<Rev<-|
О < Re v < A
ХЛ(|— '• |-2»;2-»; gi
2кГB —'
1-24 2-v;
@<а<2а)
Я
-в
га
О
|
s
га
I

§ 11J
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
305
V
а
X V
e i
•a I
?
«
X
-l« -I. ^_
•*!« Hla
¦С"
X
1И x 1
I a +
+ I *
i
х
+
+
X
f У
V
С
V
V
S
ее*
о
3

306
СИНУОПРЕ06РЛЗО&АНИЕ ФУРЬЕ
(гл. vm
I
8« ><
"I
г t
"~ _!
•• 
1
+
+
,2,
и
II
«a
Л
л.
l«
1
M
1
I
l«
+
a
II
II
¦в
a x
i
A
I *
3- +
+ а
?
X
Л
I
Л
V
Э
С]
т
00

§ 111
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
3Q7
i
3
•в
V
<§
8
8
I I , '«
+ T + ^
f- -1^ 3. X
-I. 4- "Iя-
2 I
ii|a
?1
л
<N
¦к
О
II
е
с?
II
IS
и
I-
I
S
in
Э

308
СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[ГЛ. VIII
3
f
¦a
S
-к
8«—>•
Г!
•I «
л
S
¦';= ¦'!
— + ,— ^~^" к* |-*| —
я ,¦— - я О , «я »|«
i 1 ~ -I- + i i
-I- -':
V
v
V
>
V
«l-h.
«I*.
-h.
+
N
II
•4
oo

§ И]
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
309
5J4
"а
•3
+
T
I вы
f 1
I
x 5
It
г х
V
а
V
о
X
Т
i
л
а
I
I
V
X -!¦
"а
I
-а
I
Л
I
л
I
л
I
л
?
g

310
СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
{гл. vm
а
I
8<—><
X
I
а
4-
m
¦О
X
X
X
«Г4
а
VA
!^V
I °
a Si.
I
л
I *• •*• 
¦8v i
* ° A
~t x s >

§ П]
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
311
I!
I.
I
a»
и - V
1 a
Ъ V
I °
a
X
— en
8
X
X
X
I
I
л
I
1
X
V
a
V
о
X
3,
f
IN
X
V
V
о
s
&
' X"
зз. ** Л
?.88"
V ^ Л
V ' Л cS
о i
+
I

Fs(a)= J /W sin (at) dt
ы
to
8.230
&231
при 0 < t < а,
при ^ > a,
Г
0 при 0<*<a,
- a*) * (<• + с*)"' У,
при <>a,
при О < if < ft,
¦'х
, И*-«VI
X
m
S
CO
при u>b
sh (си) Кч [b {a* + сV ], @ < и < ft)

§ 111
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
313
V
a
.V
I
X
•I-
X
Л
а
6l«
3 Ъ.
а.
«|(N
S
с х
8
I
.S
и
-1-
8Ь
V -1д
а У
V
I
с*
Л
& а
Т* I
81«
Л
I
л
&
I
X
5S1
I
X
в j-u

зн
СЙНУС-ПРЕОБРАЗОВАНЙЕ ФУРЬЕ
[ГЛ. VIII
п
l
Л
I
v - - 7
(Г
•о
X
a +
X
~ g
X
и
V
V

ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
315
X
-I"
I
«I
V
a
V
о
I
+ —
"« -I-
* t
f X
-I-
'%
1
>
f
X
X
V
о
,- Л
5
i
s- x
Hl«
1I«
I
V
a>
j
л
a
•I-

316
СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[ГЛ. VIII
е
5
V
a —
V Л
о а
аи
в
I
X
I
-I'
Ъ X
1 ?
Ли
+
х
+
*\$
Ь5
X
sr-
X с
'с "
с
S о
< II
X *
Л
s
+
X
о *.
Л

§ 11J
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
317
V
а
V
о
¦Sr v
X *,
л
X
+
4-
+
о
о
X
+
$
I
a
*
«a
X
a i<
I X
я
¦а
-I»
с
v
I
V &
V w
I—*
o
II
1С K
з v
V
си
9

318
СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[ГЛ. VIII
f
С
X
V
V
о
I
X
Л
а
к
о.
к
I
и
+
-I"
X
X
"I-
•5
+
+
Л
t,
'5-' o
I
Л
9
ем
оо'
I
СР

§ n\
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
did
я
V к
а «
V Л
о а
s. a
а|ем
со
•S
«о
а сч
¦S
X
I I
е
•я
¦3
•S
I
X
-I-*
л
о
I
¦а"
+
сч
V
(К
V
л
1
CD

320
СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[ГЛ. VIII
Ill
X „,u
с*
X
f
8»—*«
II
I *|ex
I
«4
es
X
5
.a,
+
i Г
*
№
¦2- «
V
«I
V
¦у
tl
+
I
1
7 л
i *
«г
Л
?

§ IU
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
321
II*
>< -I.
X
-I-
+
Ь'
X
X
X
X
СО JCM
I
i
I
X
Л
?
со (с*
V
V
О
I
л
f
в.
С
11 R Пт*т А ГТп«

$22
СИНУС-ПРЕОБРАЗОЁАНИЕ ФУРЬЕ
[гл. viit
с
5
S
X
4-
I
«О -Ч*
-I-
у
V
I
f
V
к
v
cold
5
I "a
» !
X
I
X f
I QO 1СЧ
^ 1
со |
X
ее 1
V

§ 111
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
323
X
а
X С
+
+
+
a.
+
4-
a.
x x
X
У
I
f
-I-
X
"«Is
+
л
A.
Л
e 2
-4.
V
V
3,
О
Л
'1
ft

324
СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[ГЛ. VIII
S
II
"а"
5
X
я-
+
Л
<0
04
«Г
t
I
V
I
X
S
о
v
V
1
х
+
V
V
о
9
f
-Г
X

§ из
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУИКЦИИ
S25
•5,1»
1
X
т
с»
V
I
А.
-a IS
I-
-la
ю|ое
v *
и.
i
/a
wo*
V
V
1
V
f
с*
V
V
1 -
с >
V
V
7
г ^
t

326
СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[ГЛ. VIII
I
I
i t 1
-I-
У
о
X
-I"
X fe!
-? X
<|a e-
—¦s '¦
!|« -Iй
I I
V
к
V
I
Л
.1?
\+.
Л
1
С
a
00

§ 111
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИЯ
327
¦ I
«I*
?
»H
61*
s
?
со сч
3 V
I -=
X
cos
с
3 -|.
X
V
p &
« v
I
с
V
к
v
C4

328
СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
(ГЛ. V111
i
X
«W
»!"**•.
х
.|.
-I.
I
+
у
i
v
i"*" a"
I VA I
So- д
-I-

§
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИЙ
329
¦sr
I
9. С
a
I
+
• I- J-l"-^ -1;
« +
is
x л.
X
о ^, S- s
«
S +
о
У 7
+
I
4
V —
l
x
8"
C^v/ 'л
. v и / \<
I о is- •»*
I *\
С j

QO
^(в)== J /(/)sin
о
OS
CO
о
8.286
«287
6.288
{ '•«¦.«
{ '%'
при О < t < it,
при *>n,
Rev>-2
при
при t > it,
-2<Re>-<2
, -2<Rev<2
t)^ ,-„A) 'f(.+.,(f)
у cosec (m) sin ( — 1 X
( — 1
•о
w
О)
о
I

§ 11]
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
331
+
i T
|w
v &
v л
о а
Ж «
о. о»
и в
I
I- та
+1
СЯ
0)
+
a
I.
'«
— IIN
X
V/
I ь
X
s
CO
sin
¦s
«г
-s

332
СЙНУС-ПРЕОВРАЗОВАНИЕ ФУРЬЁ
(гл. via
S
«с
a I<n
•5
"Й1« о
s
«Е-
5
+
-I.
+
3.
сч
с^
I •»!-*
I
s
в
\
I
-1.
+
ti|<N
I
¦в
а?
a|<N
Ai
со

§ И]
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
333
-I"
X
•I-
•S
¦5
X
I
¦в
»1«
I
a.
I
X
n
»[<3
-I- -i«
1 1
i
IT
I
I
V
X J.
еч
d. СЧ
+
-i«
й-
a.
X
+
+
v ¦
!M
cc|im
>—•
н
a
X
V
SL
Ш
Oi
-
^ A
5 /
7
л
-з:
1
4)
Of
+
о
у
4)
-4<R
¦
DO|W
i
Л

334
синус-преобразование фурье
[гл.- vni
I
i
S
С
•I-
-!•
V
¦1
V
7
со
V
й
V
о
Л
а
_— ~\Z~
ё. я.
i а
"? V
¦в
B
I
л
I
-I-
X
"«
6«
V)
о
X
в еч
а
со°"

§ 11] .
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
335
I I
X
IE
X
T
I I
|
VA
a a
V
II
УА
V
II
X
I
1»
<3
X
V
a
I
I
о
CM
§

336
СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
1гл, vni
8е-—»<
II
X
о
V
V
I
a I a
'л
\
a
I
X
у
I
I
9
-I.
-I"
V
4)
I
Л
м
во
СО

8.317
8.318
8319
Re>>_
1 при 0<о<в,
ври u>a
@<e<e)
to
I
e
I
I
2
tn
4
§ 12. Вырожденные гипергеометрические функции
8.320
2<;Rev<l
<»
T; ~&) |

338
СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬВ
[ГЛ. VIII
•а
I
+
1
од
га
+
I
-I-
+
a
+
I
I
3,
5
'1
-1.
1
"Л
0)

§ 12] ВЫРОЖДЕННЫЕ ГЙПЕ ^ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 339
«
X ¦?
X
-I"
I
в
I
-I"
I
+
ttlcs
1
с
at
!
i
f
о
s
1
л
«
и
f
erfc
м
^,
¦с
2.
V
т\.
3

340
СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[ГЛ. VIII
S
-I'
+
I
-I- ~
— ?
-I-
в
+
S3
3_
-I-
во

121
ВЫРОЖДЕННЫЕ ГЙПЕРГЕОМЕТРЙЧЕСКИБ ФУНКЦИИ
341
I
+
+
I
+
V
-1.
*h
щ +
"Я at,
s
I
«j
gh
t
Ю
о
I
и
о
*l
¦S
X
I
со
+
"'с
О
Л
|
+ -я
я
я- х
Л
4»
Of
s cf
а

342
СЙНУС-ПР?0ВРАЗОЙАНЙЕ ФУРЬЕ
[гл. vih
i
С
I
• I
-'а
X
т
X
-I"
»
I
•I-
а
-I.
I
03
V
?
-T-
I
•to
v
л
г.
-I-
i
I
-li

§ 12]
ВЫРОЖДЕННЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
343
"а |
«а
еч
•-
X
С*
+1
¦ *
„7-
i
T
i
X
dC el
+
-'-I.
X
X
A
I..*"
'-* =«-
X
Л
в»
с*
4)
V
4)
US
?
л.
V
I
9
3
V

344
СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[ГЛ. VIII
I
8*—-»'
X
I
-I-
*h
+
+
i
I
+
-I-
-|C
3-
l
*
X
I
и
+
I
cofd
x -f
a |
+
+
+
+
+ +
i +
«4
X
I
¦*
-I-
i
fc1
4?
|
-I-
i
-|« V
л I
A
2:
4)
г|«
S.|
с
i
€.1"
i
-1.
i
-I*
I

§ 12] ВЫРОЖДЕННЫЕ ГЙПЕРГЕО МЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 345
А.
& 7.
JIMI) I
X
Л
V
4>
5=
X
а
Si
E-
CO
Ф
л
Si
2-
л.
I
+
X
)еч
+
X
•I-
I
I
i.
-I
X
X
X
у

8.357
8.358
8.359
ляап
в»оои
{.
{¦
§ 13.
/W
[1+at), -l<Rev<0
{l + at*), — 1 < Re v < 0
0 при О < t < a,
JL, Bt*a-* — 1) прн f > a,
— l<Rev<0
0 .npp 0 < f < a + 6,
-l<Rev<0
Сферические
С?
Bа)"
-т
функции
1
X \ I I w B
L «4- *
*+«
00
-]х
i
,(,)]¦>
s
f
о
en
i
о

§ 13J
1
?
-I.
К IN
СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
X + -*-*
a
+
-t-
I
f
8
X
4"
X
347
-I
I
i
a
X
I
Л
о
V
i
Л-
5 +
V
V Л
о *»
li
Q
+ &
& X

348
СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
а
с
X
+ 8
* I
[ГЛ. VIII
X ¦**¦
с +
«о
X
в-и
Л
I
Of
I
Л
V
о
Of
V S Г*
V
о
V
2L
4>
Of
Л
a.
Of
ес]сч
V
S
=? V
и

§ 13]
СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
349
X
V
в |<м
j
Т
X
-I"
i
V
а
в
Л
в
-I-
I
а.
I
а
и
5
-с
и
V-|.
a
а.
I
л
а
я
§*
л.
4)
V
^ 1
-1- <5
t
v
О
OS
X st
I
•S
I
-1
¦S
-I-
h1

350
СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[ГЛ. VIII
в
•я
•е-
I
й
о.
со
О
U
-г.
а |сч
V
I-
«IS
V
V Л
о "**
Л
«г
v
а
в
5 ^
V-|7
I
*-i« °
8.
в
«I**
-I"
+
I

РАЗНЫЕ ФУНКЦИИ
351
I
I
a
i__
+
a
i
3
i
S
«I
¦К5
Л
л
V
о
I
«Г-ы
v :-
** i
V
о
1 в
л
8.
*" I **
I
47
I *¦
i
С
6
во

ГЛАВА IX
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА — КАРСОНА
§ 1. Основные формулы
9.1
92
93
9J5
9.6
Чт)
Ht + a
I
f{t)
i, a^sO
при *<д,
• п) при t^> a
b
0 при / < —,
-b) при f> -|.
i* \.v\
a
e«P[F{p)-p^e-'
P — P \^ e /
00
и

§ и
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
353
t Iwi
о
e-
I
s
it.
i
to
ft.
» s
ft.
4.
a.
e
с
ft, ^ _
•§"
8« sa.
8*—ъ*.
«л?
43
9-
9-
*• . ¦•«
о
5
-< ем
-i *^
ев ф
ео
в Диткин, А Прудников

354
flPF0BI'A30BAHHE ЛАПЛАСА — KAPCOHA
[ГЛ. IX
1.
s
I*.
I
8е >
a.
в
4
"If
х 4-
а 3
1
7
_а.
4-
о.
7
-
1
с».
1
=4,
'в
1
н
1
а.
л
т
В
1
1
1
o-ks
¦8
9-
I
е
9-
¦«з га
•в =8
!*• о
^
4—-' © к
в
8
8
С
CO
C5
5
ОС
аз
да

§ 1]
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
355
-ft.
=4,
С
1^
ft. -I
?2
5
8^—>« 8е—So 8е——*e ^8«
4*
cos(
I
Л
<u
Of
12»

356
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА КАРСОНЛ [ГЛ. IX
8«—><
«а,
II
S
ft.
t
,*р*.
9-
со
X
е в.
4 X
I
я
Я

§ 1]
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
357
+Г
el
а,
с».
т
а,
•5
е-
x
№
V X
t
(N
X
X
X
X

358
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА—КАРСОНА
[ГЛ. IX
8«—»«
S
ft.
? .,
8*—»<
8«—><
+

§ 1]
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛУ
359
I
fl-
t
ft.
4
X
4
f
Е Ь
X
X
с
I
X
е-
V
*
V
4L
1

360
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА — КАРСОНА
[ГЛ. IX
S
ft.
¦s
I
г.
I
Iе».
« ft.
1
Is»,
о.
С
В,
J
14
о.
9-
с;
9-
S

§ 1]
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
361
^
•а
«.I
ft,
ч
s
¦f.
г к
¦S
4»,
8«—»« 8«—э« 8«—»e r-
I

362
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА — КАРСОНА
[ГЛ. IX
^
5
Л
8<—»«
S
•ah
s
8«—>•
о.
о
Л
¦S
«[о.
о.
-I-
3
i

§ 2]
РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
363
S
S
zi
3
s
л
к
о
S
я
Я
о.
о.
S
О)
3
аз
л
и
я
о
Я
cd
О.
«О»
e
i
о.
— с
ф да
ffiS
1
_. -
"с
«Wj
i
лГ
V**
о
&S.
-«^
1
•с
R:
е
i
Та.
Б
г jjf
г
с;
ч-Л
о
я я
Р-Я.
с в
S
о-
«Г
V
V
о
в
пр
о
S*
4-
t f
(U
1
Л
-к»
S
О.
с;
i
4
.67
—
с
&
;
1
1
S
-t-
х
1
s
е*
i
с.
1
V
Ё?
га
Л
-
г
"
4-
8
¦>
и"
V
а
с
о
в
х
ш
о.
о
л
*
а
а-
а
Л
ч*
а
с

364
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА — КАРСОНА
{ГЛ. IX.
s
X
s
ь.
i
—i
F
S
§•
+
1
о
i
«a, '
Л
•
—
+
«
5
1
a
g.
\
1
Л
„ в
в
V
к
о
N *
F
а
«Г
Л
S.
а
1"
щ
t
i
s
f- cosps
1
s
о
о.
sin
«a.
•-i
+
<
lap)
E
4
f
x
OJ
I
г
V
II
10
+
s
1
1
1
и
«1
Л sin а
•з
a.
f
•I
1
CA
CO!
s
>l(
J
4-
3.
M
4.
$
at
)&*
V
V л
V **
о
x 5
к в
^—

§ 2]
РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
365
!?
(О
й.
|«
is
I
i
о.
1а
V "
о
S. В.
Б К
« V
О „
в
«3
- & ¦
§• I
Т Оч
1й
7
у
«3
я
v -
и
*. *•
S

366
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА KAPCOHA
¦a
*¦!«
5»
tf
s
si
49
[ГЛ. IX
I
+
-
VV*
** "** Л
vv~
о а
§.§.§.
в с в
V+
**¦* fit
vs.
tv
В Б
¦§•§
W
VV
1 -}_
и с:
р.а
G Ц
hi
V
•**
V
7
«s
S3-
о.
к
с;
»-^
V
V
е
еч
а
s
о —о —о
i
^н IN ^ IN

§ 2]
РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
367
в
«
Л
о.
F
I
J3
о
I '
V
-«а
V
к
о.
_—- ~~г """"*' ""*
4- «
V
•о
е
с;
vv
V -
v vv
V
1
G
О. ss
сз р. з«
13 В
S 4-
•Cs
V
-к»
V
-а
я
о.
с
Я
V
V
с
Я
S
о.
и
л
ОЙ
V7
HI
v/
+ г
V
V
s
о.
а
S
V
¦fcl
V
•Cs
CU
с
V
V
при
С^ О) О
о5
,97
81

368
ПРЕОБРАЗ ОВАНЯЕ ЛАПЛАСА — КАРСОНА
[ГЛ. IX
f
<1)
Of
л
о.
т
а-.
«>
I:
-к
~ vv
V VVA
°- ill
II 7
*. [о
3
v
V
¦О
е
•о.
е
V
v v
V V
О, -1- я I
а ' о. л
*- v
v e\/
VI*
еч
I
5^ в
I S.
•Ы В
s
S
о»

§ 2] РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
369
**
-
V
V /
V
о
s.
о.
<
I
90
О.
«Г
4-
ё.
V
V
А
Г
1
^^
1
¦
+
1
i
&
1
1
+ 1)
i
•в
+
V
V
"•а
при
V
V
"*»
V
о
S.
к
о
1
i
4-
1
-и
i
е
+
V
•¦a »-i
vд
1 «
а
1
н
О.
V
¦*»
V
о
в.
в
N
V
V
В.
к
м
1
1
**,
сч
1
еч
Л
***
\
1
"К,
V
¦fc»
V
о
я
о,
к
с-,
^ i
V
V
S
5.
в
<¦—>
1
*¦—*
1
СО |^
V
V
Я
1
ею
л
X
&
О
1
ей
S
5
о
5

370
ЛРЕОВРАЗ
овдгош
ЛАПЛАСА — КАРСОНА
[ГЛ. IX
+
i
-eg
1
s
V
ч
V
•§
а
с
VA
о— С
V*
«л
в с
V
¦м
В
«Г
v
v
I
в-
СО
5
¦А
5

9.118
e.im
9.120
9.121
9.122
9.123
0 при t < l0,
ft
[ 1 при (8ft - 7) a < * < (8* — 5)a,
1 — 1 при (8л — 3)a<t<(8k — I)a,
\ Ов остальных случаях,
ft=l, 2, 3, ... ; a>0
0 при (8% — 1) a < * < (8i 4-1) a
* —(8? 4-1) а при
2a при
— t -j- (8ft -j~ 7) а при
ft = O, 1, 2, ... ; a>0
I 4ft — 2 при
1 Dft-3)a<f<D*-l)e,
j — 4ft при
I Dft-l)a<*<Dft4-l)a,
ftssl, 2, 3, ... ; a>0
2ft—1 при 2(ft— l)o </< 2«ft,
k=U 2, 3, ... ; «>Q
f 2^ при Dft — 3) a < t < Dft — 1) a,
I 0 в остальных случаях
ft = l, 2, ... ; a>0
Op .
ft-o °*e
shap
ch2ap
shop
jt? ch 2ap
sh ap
ap
cthap
I 4- ap th ap
о ch ap
to
tr
i
cr
I

372
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
ЛАПЛАСА — КАРСОНА
[ГЛ. IX
3
1
?
о "ТГ
II
I
в в
VA
Л
о
Л
>
•I
О I
о
л
в
« в
V Л
5. 5.
а в
о —
Л
Jv
«^
_ -" м- ¦« ч* Д
Si Si о"
ag.ii
о в
Л?
¦в&
Ч-Ч »-« О
S
5

§ 2]
РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
373
t
1-1
i
V
i V - о
О в
л
ч°°|
+ &
в
V -I
4
С-1
+
I Л
I
— о

374
/
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛАПЛАСА — КАРСОНА [ГЛ. IX
¦3
S
с»,
II
S
*.<•
с
с
% X
f §•
I V Л
+
—> л ^Г
М
+
V
1 \/
I

§ 2J
РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
375
Jl
V Л
в. в.
+
a
I
Л
о
л
7
X
Л в
V Л.
о •**
а &
В В
о —
о
в. а ~
о
I
Л
i
н-
9
5

376
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА—КАРСОНА
[ПЛ. IX
S
ft.
I
I
s
Л
V
к
I
Л
+
Л
I

§ 2]
РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
377
I:
9
8-
i
§•
«Г
V
а
к
с
I
+
л
а
к
+ -1
It:
I
л
о*
л
8
-I'
I
+ Л
IV ь
Tv
X -MS

378
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА — КАРСОНА
[ГЛ. IX
3
*
3
J3
09
&
i i
I
S
а
t
V
¦fcl
I -I
to
л
4-
V
V
ci
-I'
<N
g. II
+ -
lA
O5
S

§ 2J
РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
379
I
S
о.
л.
¦**
E-i
+
•ее
I
1
*^
_г
j
^_
L.
°" 4-
y-
f
1
C_
у
V
I
V
i
i
•v»
л
I
i j
-I-
о
л
+
v **¦* v *
о о
л
V* V
-I
ф P.O. о. а
К КС СВ
I
а.
©'
^ ^о
+
18
5

380
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА — КАРСОНА
[ГЛ. IX
Ър)
*
9-
Е-Г
&
a,
1
S
7
Л
v*
-л
о
II
л
a>
Of
V**
-л
о
а&
Б В
Л
. V *
р *• Л
V V -
— о
ер
a & -
_ в в
О
Л
л

2]
РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
381
л
IB
t
>
I
f
а
еч
+
еч
I.
5
T
I
^ S
со* с*? o,
+ I 1
s s $
> >
60* CO
5
V *"
v ?
О
I 1-й
/•I- Л
I >
V*
li-h
I" Л
« л
Y a.
v R
= +
= I
о T
Ё
5 5

382
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА — КАРСОНА
[ГЛ IX
15-
и
5
о
V
+
+
§•
§•
I
\
о
л
(К
-и
«,
|«|*
V
Is-
7л
i
о
л
п
о
Л
он
4.
Г S.8.
ь- о

§3]
ПОКАЗАТЕЛЬ НЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
383
«г
1
к
О)
а
•9-
S
о.
2
е
ч
я
3
я
л
се
в
в>
ОЙ
I
Л
Об
I
л
«а.
+
«
t;
5- 1
о
А
«к
s
t
I
t:
о
л
«ее
л
л
-8
3
во
5

384
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА КАРСОНА
[ГЛ. IX
5
В -
s,
I
3
а,
1«
б
-2-
'•:
I»
I-
о
Л
41
ОТ
о
л
о
л
V
as
о
А
а
«. s
О5
ОЗ

§
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
385
I
w
te\*.
Q
«la-
a-
I
I
*•]
I -
«IS-
«ISa
». t-
§.
•1-
ч
gs; S3
-: *t t
13 В Диткнн А Прудников
HE
с
Л
Л\ 3
i ж
^ I
о
л
в)
i
о
Л
а?
ft> 4a
1 |
X X
о
л
&
I
"л
8
-I)
о
Л
л
t
о.
{
т
41
1
¦
3

386
ПРСОБГЛЗОЙАНЙЁ ЛАПЛАСА — KAp?6tlA
[гЛ IX
f
i.
X
* X
о,
01
1
I.
s
|
2.
о.
S
1-м | «I
1-м
а>
М*
1к
S.S.

§ 3]
ПОКАЗАТЬЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
387
^^ f
1 ^ щ
s %>
1 I
l
""'
"V
+
+
+
Л
1 «.
±: ^
> ,s
"a, +
г -и-
sin
I
I
I
ci(ap)i
1
a
2 [In
I
л.
|
+
I
a
a.
s
sin p si
1
5
*3
CO
Q
8
1
i
•и
в
Я
1
ft-
V
e?
v v
о
л
M
I*.
^ 7
i
f С"
— ее
о
л
v л
"К* «4
в. в.
— о ?
13*
а>
з
3

388
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА — КАРСОНА
{гл. не
4)
8< ><
а
о
Л
„ в
в
V
а
а
«Г
Л
В
;
+ -н
3
I
о о
VA ^ А
s S о< о<
О. & В С
С С!
О
л
J
V
М
i
S
S
I
*
8

§ 4] ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 389
я
я
я
я
«• в
4) Ч
1 §*
D" в
S IS
К (-
*© й
р, 3
в н
s л
u a
S О
8«
Ьй q>
О 5S
я 5
В. в<
Е &
о а>
я Я
2g
?1
8-
в
\
я- Е
+ Л
си
+ е-
Л
ДО '
о
л
is
н
сз
? I
е
¦в
и
о
о
§5
а
sin
о
и
I
8
V)

390
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА — КАРСОНА
[ГЛ. IX
f
"Г S
*. 5
а
"«
;+
— в
1
+t
в ?1
о.
02
5
i
о.
X :
5
ё 5
I
I
8
мм
1
л
о
а:
sinl
pa
1
О
А
S
(У)
О
Г
>
1
А
о
а
1
>
1

§ 41 ТРИ ОН3MtIРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 391
I
€ V
21
X
%
+
X
«I «a,
Y
>
a
+
л
Of
I
Л
as
о
Л
в
•о
г
fclS*
о
Л
Ctf
о
л
53
I
*к»
i

392
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА КАРСОНА
[ГЛ. IX
X
«I*. 7
о
8
о
X
+
3
Q
45-
I
X
|«|ч
X
о
т
О
о
«1^
X
I:
5-
А
ОЙ
I
л
О
л
Of
Л
г
v
о
•<&
а
О5
°1

§ 4] ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 393
о
а"
«3 53
а- а.
I
л
СИ
-и
I
л
СИ
-Iм -И
в -Г
Й,
| a in | в
f +
iL ft.
5. 'S.
г
5-
л
о.
A
о,
6S |м
+
ft.
о
л
о
л
53
I I 1
Zl. ^ i^
о а
ем «
1
t
\
г*- S
V)
О
о
ад
1
1
с
S
9
Si
в
'от
с
з
3
о

394
ПРЬОБРАЗОВ^НИЕ ЛАПЛАСА — КАРСОНА
(ГЛ. IX
•в
С"
8«—->©
«a.
4
+
Л
СИ
tw:
•Сз
+
+
+
a
+
+ ^
* +
+
±
> ?»
«•la
>
I
П
«4.D
I
I
I
9
4^
+
U
ьв
a
«3
с
и
"в
с
ю
1
о
и
Чо
«3
sin at
8
О
Л
С*
а>
ОЙ
3
А
С*
О
Л
а
<о
т
Г»
§

§ 4] ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 395
п.
1
i
ы
в».
+
¦s;
1
S
5
о,
1
Ч
UJ
с».
1
"^
1
«а.
I
л
<u
OS
3,
I
¦I-
я S
2.
I
^
4
«4.И
4-
s
9-
7 *¦*
ft. ^
f ^
a,
i
41
g-
&
- л
V "-
V
§*
- «
V
V
о
s
л
s
c"
I
•s
1
л
0)
л
Л
«I**
л
4>
(О
Л
OS
и
т
1
о
Л
о
си
в
о
Л
OS
i
•s»
а>
i

396
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА •—KAPQOHA
[ГЛ. IX
«Г.-
Р
S
ft.
sa,|<M
-а-
I
«1*4.
1«К
V
S
I .
м^1
i«k
S1».
X
X
X
0
X
-|еч
•5 S
.a *
г
|«
a] <J
1
л
Ctf
Г
о
Л
0>
о
7

§ 4J ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ Й ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 397
о.
8?
о,
^ —'
i*
S
f
5»
J
Г
¦a s
+ 
•55
¦a
I
Q'
?
/
i
«a.
+
м
«
I '
as
V
О -ы
S.S.
В
га
г—
—
N^ _ _
4
_^
S
в
га
_|_
4*
1
С
о
о
ге
ел
о
~г ^.

398
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА — КАРСОНА
[ГЛ. IX
8«—»«
о.
II
s
I !
К
3
I
S л I
4
tf л
V -
¦** s
1ч
V
e
4- J5
¦ «>
С <
О]
н
1
+
о
.с
СП
<
+
3
г-
1
о»

9.291
9.292
9.293
9.294
9.295
9.296
ch T
v Arch ^1 + ^
ch[2vArch( 1+4I
I
I
-+-44*/
sh at при a < t < p,
О в остальных случаях
/ ch at при а < t < p,
\ 0 в остальных случаях
sh*at при «?,
О в остальных случаях
ch* at при a < t < р,
О в остальных случаях
г (ар)К г (ар)
— e"^ (a ch fa +p sh pa)]
-s-?—г [e"e;> (p ch oa + a sh ea) —
jr — a
о
1
S
Е
о
о
I
¦л
00

400
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА — КАРСОНА
{ГЛ. IX
В
а
•е-
ts
I
I
Б
ее
«09
а,
II
S
^ +
+
¦?
Л
— —'
+ "
АЛ
+
+
+
+
-I-
о"
n
«1^-
il"
71-
i§l^.
л
i
A
I
^
л
I
л
Cri
л
^
I I
S S

§ 5]
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
401
«к
I
в ч
S8
в|гц
+ I
а +
§•+
о
л
г
А
S
ш
СИ
)!3
+
-I-
л
if
О
л
0)
5
I
л
Qi
if
л
>.
or
I'*
<
a>
о

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА — КАРСОНА
(ГЛ. IX
с»,
II
S
X
1
X
%
"У
4-
?1
-ч +
+ ><
о
Л
е
it
I
л
ti
ч»
•IS-
V

§ 5]
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
403
i
.ад.
«a.
+
s
I
I
I
«a.
^
-I"
+
I
di
¦«- .*
a.
и
41
VI
О
и
•>*
1 >
t +
4
•la-
4
e|a.
1
I
+
I
t_
^ «,
-и
+
+
«IS-
l«
+
S
V
0>
I
I
Л
о
ОЙ
а;
i
А.
л
+1
4>
CJ.
i
i
л
S
§
з
з
з
з

404
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА — КАРСОНА
(ГЛ. IX
а.
It
S
а,
X
I
X
X
I
X
X
-I-
+
55
4-
X
4-
И|В
«lest
h-
А
у
V
ьв
-S5
V
V
о
в а
Л
В
О.
в
Л
се
•о
V
V
о
f
13
EP
1
Л
a>
otf
л
1. of
о
I
СО
1

§ 51
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
405
1
* +
х J,
+
> с-
-ч S
II
I
i.
Of
Л
<Ч -J-
X
X
л
О)
Ctf
S л
+
О
л
«1
о
л
Pi
^
?
о
л
1
1
л
>
ее
о
л
3
о
л
л.
о
Л
о

406
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА — КАРСОИА
[ГЛ. IX
®
% ««
a ^?
4.
I "I" -I»
+ |«N I It U.
-1-
I
I
«!¦•
? л
I
л
о
А
А
СИ
л
-
4>
.- %* v ?
§1
I 1 S
I

§ 5]
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
40?
о
а,
5=
«к
N
I
&
X V
«+
X
if-»
I
л
t
А.
SI*
v. .
I
A
5
I
Л
4)
л
Of
1
I I

ЛАПЛАСА— KAPCOHA
[ГЛ. IX
A
X
Л
ei
4>
Л
d>
x
X
11Я
V
I
X
X
\
^ у-
x
I
о
Л
О)
OS
I
л
о
Л
I
л
й
в
4»
Ск
л
>
I

§5]
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
409
«Is-
4-
а.
4
i
«а.
I
Л
г.
V
I
a.
Л
4)
OK
1ь.

л
л
ой
I CO
о
л
А
<и
О!
л\
«4
- ft)
а
•>1
•—
t
V
л
>
V ?•**
о „Л
I
9
s
I
о -<
i §

410
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА — КАРСОНА
[ГЛ IX
о.
?
1^
5
5
ii
з.
_ с
а.
S ч.
X
I
fe"
Ул.
I
I
л
а*
1 f
6?
о
л
.У
I
«to
-к
о
л
в>
Ой
-С
+
а
о
л
ч*
¦Л
о.
1
Vе a
о
л
of
¦ы |N
еч
Л
N S
I
о
Л
ч
(Я

§ 5]
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
411
X
I
л
0)
OS
л
-fe
л
в».
в>
06
Л
«а.
Л
а.
О)
о;
-1-
a.
+
+ t
o.
X
ft.
-I-
I
«4,
1
+
<3
-I*.
ч
X
+
A.
л
V
oi
л
а
an
.|N
с
1
I
в
I

412
ЙРЕ0ВРА30ВАНИЕ ЛАПЛАСА — КАРСОНА
[ГЛ. IX
«1ч
-1- -1« Л
1 I о,
Т. I ?
8«—»«
"ч
«4
I
и-
I
I
л
ео|см
I
л
I
Л
А
в)
и
-1
*1-

§ 6]
ГАММА-ФУНКЦИЯ Й РОДСТВЕННЫЕ ЕЙ ФУНКЦИИ
413

414
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА КАРСОНА
[ГЛ. IX
8«—-><
S
t
+
о
л»
„ Qi
а* ^
ь
«5
*
О
л
4>
СИ
и ^
•к? Г*
Я .= J= JS vi
CM
5
л
f p
+¦
oi 05 «5 «>
4
№
e> аз
ill

9.394
9.395
9.396
9.3Э7
9398
DtA-:
Г-1 е*
Re v > 0, Re (v - (i) > _ 1
§). Rea>0
XA,
\ -,
\ 1- 1-е"'
a>
X
1
та
i
m
x
EC
a»

41b
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА—КАРСОНА
1гл. ix
8«—><
«а.
-I*
A.
1
I
4
-1-
+
i
+
4
-и
л
t
А
А.
О
Of
i
s
в|сч
+
Си
Л
I
О
Л
&
«la
i

§7]
РАЗНЫЕ ФУНКЦИИ
417
<s
1
ш
>»
.©.
•8
+
5
la,
^
4
7
¦g
¦s
8
со
во»
I S
V V/
,0,
V/
о
О в»
а'
3
В. Диткин, А. Прудников

418
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА—КАРСОНА
{гл. т
5>
tf
* 1
V/
V
о
+
«к
I
а
1 «
э
м
СО
-IS
V
ч
V
а
сч
V
ч
V
о
V
ч
V
о
и fa
** 1см
1« ~1«
<м
00
3
S
S

§71
РАЗНЫЕ ФУНКЦИИ
419
I
в
1
-I-
X
4-
EL
t
»У
ч-
у
if
ев
o
л
V
i.
V
A,
OS
V
i
tr
CO
s

ЛАПЛАСА ^
г IX
+
с
*
sr\
СО
+
-U
i
•S
с-
f
I
г*
i

a
s
s
f
I
9.429
9.430
9.431
9.432
9.433
9.434
Ree>i
и.
0, если п -
— 1, если п -
Rep>-1
hf), Re a > -
(v-4,->-
- четное,
- нечетное
-1
-?,U+ ?;*).
Re(v-X)>0
yi и! Г (a
^-* m!(
If
ft
»l
Г(а4.П +
n\
« - 2m)! V
^ /
•j, если п четное,
~ , если я нечетное
от J p»-
^+B * ^
1)P(M —fe —W
\П—Я1
-m
P \
.1. e(p )>
re
1
s

ГЛАВА X
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЛЛИНА
§ 1. Основные формулы
to
юл
10.2
10.3
10.4
10.6
1 Г
2jc/ J
« — 100
'(т)
("fiat*),
fit)
F(s)t~sds
я>0
a > 0, A > 0
a > 0, A > 0
F(
F(
a-
F(
F(
n
s)
--I
a~~ f(-
F{s) =
+ b\
A J
[ + *\
Л J
00
0
I
о
№
О
g
I
tn
S
>

10.7
10.8
10.9
10.10
10.11
10.12
10.13
со
о
со
§ % Разные функции
A
|arga|<Jt
f при 0<<<1,
0 при
A
(-l>»Jco«ec(«)(*J|1),
: * (sin <p) * Г (-д- + v ] В (s, 2v —
(О
I
S
§
, (cos<p), 0<Res<Re2v

424
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЛЛИНА
[ГЛ. X
•в
с;
- V
у «9
о
О
л
«в
4)
?
I
A.
I
«9
I
л
4>
s. «
с-,
•9
•Moo
о.
4
I
-I-
Its
V
V
•«a
v л
о V Л о-
Л о *• Л
о
л
Л
Г»
3
00
5
О)
S
о
л
«3
Л
«
г
а
а»
f—(
1
О.
О

§ 2]
I +
A ^
V
v
. о
«3
I
РАЗНЫЕ ФУНКЦИИ
4>
OS
V
to
<O
OS
V
-о
«
+
425
л
о
к
I
о
Л
ч
О)
9-
8
о
«». I
^9,
pa
V
d)
V
5
s
в ^
V
VA
о **
№ S
1°
о
A
«3
*»-
M
k
V
ри Q<t
R
я
I
-I)
О
A
о
OS
_
f—t
A
¦»»
g.
в
о
,—'
V
9-
V
Ц
о
Л
ь
-h
l
V
+
о
A
«3
I
sin
a
A
•to
f
wsin(
о
A
<§
|
ii-
1
i
S

426
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЛЛИНА
[ГЛ. X
V
«9
g|C4 —
и
+
I
s
Й1«
о
л
1
О
V
V
I
с»
b|(N
т
<N
V
d)
Of
л
в»
с
^
и|сч
с
^
% \
А
о
А
о
л
м
¦«
С
о
л
А
+
t
V
Г
V
4
IT
о
л
Vs.
v л
в а
С
S
U
т О
О
A
a>
If
s
I
+
В
л
I

§
РАЗНЫЕ ФУНКЦИЙ
427
V
«»
ш
06
се
О
V»
i?
о
Л
о
л
<3
5
Л
-ts
о*
Л
о"
л
•о
о"
л
•§
о
л
Л
в
I
от
о
и
с
•а
о
Л
в
¦5
«о
1
1

428
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЛЛИНА
[ГЛ. X
«Г
I
л
3
О
л
л
«о
с-
т
Г
«IS
+
«IS
I
-[«
«о"
к
I
л
V
с»
V
OS
V
о
V
в»
а
V
о
I
V
V
о
о
л
в»
О)
О
л
о
о»
О)
о
и
«» С»
?
л
о
л
3 «
Х> «в
_, « «
00 I I
О 0> «to
3
t
09
+ t
¦ы i—i
I
a
^ 4
о о
3
I

§ 2]
РАЗНЫЕ ФУНКЦИИ
429
о
V
V
7
О -"
V V
V V
-. о
V
«9
V
>
as
I «»
V
V
V
«0 |
V
C9
№
V
S
и
I I
> (N
% I
I
|
v
К
й -а О
i
о
Л
«3
о
л
о
л
о
л

430
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЛЛИНЛ
(ГЛ. X
X
х
8*—¦»<
I
«в (N
*• i
¦ т
+
+
•^
X
+
X
«r x
4s
a
I
V
6»
tl
>
X
О
Л
о
Л
о
Л
Л
I
ft)
I

$ 2]
X
+
+
«О
I
1
5
у
¦И
V
<u
OS
о
Л
<?
I
л
I
w . =*•
РАЗНЫЕ ФУНКЦИИ
х
1
I
I
+
^ c-
еч
II
X
V
V
+1
I
+
I
a.
+
c»
PQ
«9
V
+
+
431
6
V
u
Of
V
X
+
M
к
к
о
Л
•о
л
v
Q
Л
4
О
л
i
о
л
I
S

— -ГЛАВА XI
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ
§ 1. Преобразование Ханкеля
1.1. Основные формулы
№
11.1
11.2
11.3
lUa
00
J F(u)J4(uf)Vuidu, Re v>- -i-
0
f{at), a>0
**/(*), m —0,1,2,...
'~*m ReV + 1>Reit>0
OD
0
±f(*-, Л
-*( d \m *——+»
{• v— |*-f--r- .
xjs M««-
0
ttf <#, »>0
"в
и
о
№
>
ш
о
5
2

§ If ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХАНКЕЛЯ 433
a V II. E > a.
s lx-ll + *
X
2 T ? I ?
a. I ft, a M
к О 1 1 ь
с* о
: 1 «г -
« И1« i I *¦
T ^ s- t"
4 '
>

434
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ
(ГЛ. XI
о
л
а
^"
Is
«Г
в.
s
11
->¦
"а
ftT
¦to
t
ft.
±
а
и.
(
чГ
ь
1
N
1
d.
t
u/
0е—-"»,
-T
1
е
11.1
о
Л
=L
w
Л
+
X
1
*.{«
а
з
X
*
-I-
11.1
я:
1
1
1
«t
ч.
т
J
d.
|
1
1
1
и/
X
РC)
м
г
t
т
1
-1-
ur
|
щ
а
^\
с^
л
4)
Л
X
«ч
1
1
1
1
А
1
^.
-1-
a
3
X
+
"
S
•
X
я
W
1
t
1
at
t
i
1
1
8*—"~».
X
I
¦
i
I
л
Щ
04
Л
Л

§ И
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХЛНКЕЛЯ
435
s
7
X
I
a1
-I-
i
I
tt)
3
X
m
О.
I
4
%
-f-
со
s
-I'
a,
+
+
Si-
I
A.
I
a
-I*
4-
I
A
v
g.g.
в в
A
OS
V
VA
S.S.
В В
о —
I
V
4>

43€
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ
[ГЛ< XI
О
л
га
г.
I"
к
+ -I
-I"
к
СО|(М
I
+
V
еч
V
V
V
I
л
-" «
Л
о*
л
I
л
О
Л
л
i
с?
л
+

§ 1] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХАНКЕЛЯ 437
<N
«H. x -i- f
^L ¦!• x | 8
и ii С! i
* I « -Iм
i T -I- i
I i T X X
- ^-" "« ^^ ^
+ 1 . f_^ « pi N r»|«
I »^ч - 1 [
! ' »
I I >
1 еч еч
2- v л z «
v oC v & а. ч- а
. I t -l« a I i^ ! S. ic о !
i ' с • ' ч v u v | «
-|m 1 ° ° i t ° ° l
Ц Щ

438
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ
[ГЛ. XI
Л
С;
а;
I
1
I
I"
+
t
i.
§h
•н
it
•I-
a
V
V
о .
Л
A as.
СО |(М
V
gw
Л
V
V
о
я
&
s
p.
в
i
л
Ctf
« л
V $
V 2 -I
¦ I
-л:
It
л
-I
+ о
as о
- л
^ 4J
+ Л
^1
л
-I-
ем
со

§ и
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХАНКЕЛЯ
439
+
+
-I
м
а
+
ь
<з
J
в
+
+
+ \1
-I.
»
+
+
|
+
'1?
'V
-I
л
о
06
V
Л
V
8?
га
л
1
л
«
*о<
i
1
л
0)
Of
о
Л
1
о
л
¦>*
з.
о
л
3*
1
-I*
Ч

440
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ
[ГЛ. ХГ
О
Л
s
8е—-><
Jl
иа13
0)
+
Л
О
Л
«г
?
-I-
^
-a +
a V
I
л
>
СИ
о
Л
а
V
V
S.A1
fl
X
5,
X
+
'a
И он
I
Л
Л
+

§ и
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ XAHKEJlfl
441
X
-I-
-I*
i
*a
X
V
a
V
cb
S.
a
-I-
I
"а
... s
I X Л
а
а
X ""
X
И еч
ео|тг
+
ее |>*
+
+
"а к
I
I
+
+
IN
I
+
л.
I
p»
I
С
у
k
V
л
сГ
Л
C
?л
л
^
о
V
it.
&
V
<1)
-й

442
Преобразование бесселя
[гл. XI
о
л
а
ео|о
X
=и
i
V
а
о
§Г X
IM
+
Но.
л
а
о,
в
а
f
а
V
о
I
-Га
ее |<м
V
V
Of
V
&
о
л
«3
ео|ем
V
-1'
I
«г
'Я
Г
«а
1
>
Л
:eft
к
о"
л
ч
f
I
л
о
л
©¦
л
.49

§ И
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХАНКЕЛЯ
443
"в Га
а 13
X
¦
ё
и
гч
V
-2
X
I «
¦а
Л
а
о.
13
h
>
Л
а
"а"
•о.
ab)
ео |еч
V
V
си
V
сч
о
л
&
Re
о
л
ё
U
V
I
с>
л
в
5
-I-
•? л
.50
1.52

444
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ
[ГЛ. XI
о
л
з.
II
if
ь.
*
1//
V/
а
V
о
-|-а
•о
о
1
-
>
1
•а
с1
о
*1
1
+
)
1
•**
11.53
|
Л
о
OS
о
л
о
л
^
sin
в
53
•—< |ся
V
Rev
V
т—1
1
«
00
О
и
1 *4
11.54
Л
а
2ь
3
и
Г"
5-
2.
COS
с
i-
11.55
]
t
V
о
Da"
V
•—4
1
о" ^
Л 1
о
л
1
1
И
I
*з
м
В
94
а
~+
«
1
!
Л
or
—^
. -*
о
и
о
94
1
11.56
«3
п
+
Г
с
1
1
a?) csch
ш
+
11.57
II
II
с
1
Л
СИ
V
Q
СИ

§ 1}
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХАНКЕЛЯ
445
8|СМ
i
t I
л.
I
кг
+ «
1
sjcs
*¦—.
+1
В !М
V
V
CO
й
i
ей
—-
1
л
Rev
«?
M
1ч
<^
¦5
1
—г
1
л
Rev
s
о.
с
л
s
о.
в
V
V
V
1
I
л
л
В
1
л
4-
s
.60
«I

446
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЙ
[гл. х!
О
А
а,
ft.
¦
Я.
v в
+
+
+
>
О)
СИ
Л
».
ш
СИ
•.I
г л
— у* >
\ &
V
+
О
Л

§ 1]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХАНКЕЛЯ
447
X
-I"
I
I
л.
I
-I-
(X
з
-1-
'»
"Iм
I
to |^
I
A.
4 ¦
-f-
X
la
+
I
л
4)
X -h*
i X
+
V
a)
or
V
о
с?
л
X
'I
+
X
I
л
I
л
п.
а
о
л

448
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ
[ГЛ. XI
л
а
8
га
с-
3
8<—>
V
я « а
^0 л
* "а" !*;
-2-е -=¦•
|а |а f
V
s»
V
о
X
в
I
s
I
А.
?L|iM
к* +
¦a- s
+
ч:
X
I»
I
л
л
I
л
л
еч
Л
л
t
л
о
л
л
+
л
л
о
+
t
л
+
Т
I
- «
о
л

§ п
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХАНКЕЛЯ
449
I
«3
V
а
V
к
"а"
м
i
v
о
f
к*
I
1»
v
а
V
о
f
I
s.i-
la
еч
*
+
SH-
+
4)
?
ем
+
* л
I О
it л
|Г л
л
А.
-2- .*
pq
Л
+1
«L«
8
U
I
+
о
л
А
<О
СИ
о
Л
X -
AT
I
+
•i
+
f
s1
- X
' I
Л
,+
A.
+ 1
Л
<>
о
о
Л
C
I
Л
I
Л
а
'li
М*
<'"
«1^
-It
Л
S
л
V
OS

450
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ
[ГЛ. XI
О
л
а
-I'
н
к I
<N
"I*
о
8
I Ч
I
Л
о
л
со
V
I
V
о
л
a U>
х

§ и
Преобразование хАнкЕЛй
451
1
о.
EC
la
2 *>
^1
Л
I
Л
>
о
л
Л
о
Л
I
Л
Of
Л
i
л
о
Л
А.
О
Л
о
л
+
>
-а
ад
I4*
со
00
сю

452
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ
[ГЛ. XI
О
Л
а
«г
4- I
+
>
'a
&
X Ь f
, ^
I
A.
X
-I-
I
»-»|<N
"I
Л
к
<ч
_i Л
В 4-
Л
О)
5-
с-
?
I
л
>
1
-1-
-1-
а
3
а
el«
I
Л
&
+ « I
I
Л
1- &

§ 1)
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХАНКЕЛЯ
453
I T II
-и
•8
а в
I
9
и|
8 Г
о
л
О
л
&
-. «N
л
Of
I
л
+1
л
I
Л
СЙ
О
Л
л
О
л
I
л
о
л
5
й-
о,
<0
в Г
1С . —

454
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЕССЕЛЯ
[ГЛ. XI
о
Л
=8
l
с;
8е—»<
НЕ
-I-
а
I
л
О
л
5
к*
1«
1
I
Л
©
Л
* л
a
I
I
Л
о
л
I
5

§ и
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХАНКЕЛЯ
455
(Ml
I
1
1
"'«
-1-
1
VA
a s»
vs
о о.
в
о
1»
(N|<3
I
§
"
-I-
А
о
л
у
I
V
о
л
f
CO)<N
V
о?
V
<м
I
о*
л
"I-
1 чм
о
ее
V
у
if
V
?
X1 в
in
о
15*

456
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ
(ГЛ. XI
о
Л
3.
ft.
ч
-I'
X
+
ео|еч
Я:
о
I
ео in
+
X
м
i
•?.
I
М
X
4
I X
A.
+
л X
V
I
Л
J-
3.
I
f
I
Л
о- Л
Л л
« I
I
«3
V
&
V
о
Л
S
§

§ 1]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХЛНКЕЛЯ
457
I
'a
I .
«г
V
S
V
о
а
в
I
о
и
+
Л
a
V
a
V
о
S.
в
i
a
Л
a
I
a
I
x 1
i x
a
8
а
?
X
8
а * -и
-X
8*
4>
V
^ >
? у
^ 7
л
Л
о
л
«3
I
л
о
л
I
Л
Qj
X 7
^
a.
'8
u
*~ X
<м
15* R Пит

458
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЕССЕЛЯ
[гл. xi
о
л
а
¦а
й*
х i
& х
о.
X
a cs
I
+
Q.
К,
о
\ л
I г-
х «
If
X
Ift
I
л
>
Of
г
i
Q
„ I
I
л
fi
I
л
00
л
а)
ей
о.
Оч
и
-1»

§11
¦ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХАНКЕЛЯ
459
а I в
+
AJ
X
со |<м
X
|
+
X
a c^t
О
О)
- со км
СО jlN
4-
|
CO |iM
л
а?
л
>
Of
"• л
-I* Z
I
л
¦и
о
Н-
§

460
nPEOBPAdOBAHHE БЕССЕЛЯ
[гл. xr
О
л
S3
-I-
I
i
±
X
>- ¦
a,
Ml*
•
A
X
л
л
A.
<D
Of
x
-I-
I
^
i
I
I
4* h*
I
I
л
05Г
X
а,
г?
+
а
X
i.
ч. «
+
!
о.
л.
о
V
V
I
А
СМ

§ 2]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЙЕРА
461
*a
"a «
tl
+!
X
-I"
-I*
t
eo|iM
+
<м
V
X
ri'
&
-la
+
co|e«
+
f '
w
л
V
с?
в,
5*
e.
PS
3
4
s
a
о
•e-
a
о
»
p.
\o
о
4)
a
С О
ееэ
I
it
s
J
5
8 8
U.l
о
Л
2;
3
ii.i

462
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ
[ГЛ. XI
«5
8«—>«
1
6 ,
1
в.
*
I
л.
I
з
*—-ч
+
Г *
i
d.
о
л
Г
ci
1 4f
rf"
I
+
••IS
I
-I"
44
.1
^
»Й
-*t
14
I
4*
I
I
л

§2)
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЙКРА
о
л
а
Я
S
ъг
X
V
2
x
to
N
+
В
-I-
A.
о
л
+
о
Л
а
v
QS
X
ZL
I
со
Л
+ а
II
л
ц- +
- i
i
I
+
е«5
м ;=:
f
.lh
8 S
мя 8
I
1
«I
X
1
»
ilk
Л
dL
4)
Of
V
¦fc*
V
о
при
8
V
V
13
при
«s
V
V
о
при
8
V
V
в
при
t
л
и"
V
.««I*
••¦to *"!"
в»
00

11.141
11.142
11.143
11.144
11.145
l
t * (f
i
(a
t"T~
1 №
««+
0
/w
Г" | arg a |< n,
-l<Rev<l
i
j •
Rea>0, — l<Rev<l
+ a*)~l, Rea>0, Rev<i-
z
¦ a*f, Rea>0, Rev>-1
i
?*)] * при О < t < e,
при * > a,
i
y[cosec(nv)]*u*
— e~~*
2
^- sec (itv) a~*-1 и
2vr(v4-l)av+i|'+I
J /«(erfI /С,(«')Л
0
1/у(ав) + /„Л«в)-
J,(/ao)~e* J_»(/eo)],
/J L ¦— \ У J 1
t
i
Re»>0
Reo>0
ReB>0
n I
о
СП
i
о
s?

§ 2]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЙЕРА
465
Л
IM
+
х
к
f *
-I* +
х
а
X
Л
а
я.
I
81"
Г. ^-
I м 1
is"
«I*
f
л
V
»
I
i
л
OJ
V «
V Л
О -м _
о.
вл
i. о)
e*
?. Л

466
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ
[ГЛ. SU
«Г
а
5
I
8 U
в™
§И
8 И
л
а
А
X
8И
»1«
+
А
Ни
I
it
Им О
t л
I ?
аи
ah
А
f
"I-
X
A.
A
I
A
+
5-
+
о
Л
a
аи
A
+
* ,_ A
X
"lwa

,\н
L
л
X
й-
X
Hi
+
О
л
в
о
as
+ +
+
a.
f
»|c<
09
8
X
at
8
X
V
+^
U +
!« л
V «

§21
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЙЕРА
467
X
о
л
a „I
Л
а
о
Л
а
V
л
"а"
4)
«sis
A.
I
"I"
ila
^
CO
8 „,
I
9.
J "I"
-I'
a
+
+
"a v
4- X
V
Vi
в"
О
<s
1
f
1
t
1
4»,
1
***
4
Л
|
¦
1
n
T
.чч.
-j-
«r
-V
¦fc»
V
о
s.
B
о
*><
X
-["
1
|
1
1
4*,
~^-
><
Л
при
I
1
и
•*•
•
о
II
¦¦ 1 •¦
i
1
Л
dL
1
1
S

468
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЁССЕЛЙ
[гл. xi
1
s
8< So
X
A.
I
h
i
I
x
I
X
«I-
о
Л
?
"V
I
X
-•
Q1 I
Slcsi
V
>
V
о
Л
t
a
V
V
OS
СЧ
i
V
•
V
V
cr>
8
I»

§ 2] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЙЕРА 469
Л М * -'V- S
а — г> а —
? Л и- I Л
X "
x ;
i II V **
I II л J_
4- -г *** -I* «
^ 1 i -k
0) м U, »
gN л ^
I ¦*• ^ . «I
p|^.«|(N ^ I4-, V^l
•I- *¦ V ,— S\/a Z V ^Л
^—^ у V ^* ^"s** V a.**!*1^ &
-ta ?< I I
T % " ° ° 3^
J, о »¦ ^^ »
o. J -I" !
3 8 S

470
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ
(ГЛ. XI-
I
"'
-«г
а.
5
ю
К
я
л
а
V
V
a
А
«| а
V -
3
8
т
га
8
V
>
а>
V
V
V
т"" Т
s *¦
1м
с
I
v
и
¦S

§ 2] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЙЕРА 471
Л
а
л *
а
-I- Л Z •
'* I -1" ^ 1л
1 + •
| -\ы U I
!й X
V
-fci ^
=>** :
SB я '
в в*с^
*
¦ 11
1 11
-|^ !!
«Г
V
V
о
а
. в.
в
:
О
Ч.
d3 л
-|« й-
0, А.
1
t
V
V
о
s
о.
a
о
T л
^Гч sV
> a. c «
l«
1
н|п 1
-I-
I
a.
1
V
, >
OS
o*
Л
о
Of
1
1
к
Л
a.
@
i

472
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ
{ГЛ. XI
X
л
а
о
X _г—
ilk +
л
а
ftf
+ Л
8< >е
I
a.
л
it.
t-i
X
SL
Cm
о.
X
о
о
ao
_1_
>
Л
rL
л
si.
л
л
-I-
«г-
i

§ 2]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
473
о
л
oi
ah*
а|т?
JH «^ I «
ей
s
I
-I'
с
X
+
+
+
"t-i
*9 J «
•Ы5
^ О
1 'Л
з
Oi
.—^ *o
л
ъ!з
x
+
± л
«
м
а «-
с
4>
Oi
а Из
С4
3
I
S
+
+¦
,л
к-*
о
а к»
V
а?
о
л
л
А.
V
oi
> |« о
Л
ш
Of
О
л
V
>
а:
о"
Л
в
I
Л
с?
л
a -w
со

474
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЕССЕЛЯ
[гЛ. хт
о
л
в
v
«
сч
в
СЧ
-I»
I
л
4>
06
о
л
-I
fa
i
X
—¦ I
a
s
X
V
x
v
Of
О
Л
+
« о
<3 a
I
s|
-I-
Ж
<u
Qi
o"
Л
в К,
s
о
л
Of
+
•§
V
«
V
Ю
CO
X
I -I.
t
о
л
3
о
Qi
-I"
X
о
л
в
Qi
ah-
?

§2]
о
л
а
to
X "IV
~ a
о
л
?2-
3
X *±*
к*
I
ДРЕОБРАЗОВАНИЬ МЁЙЁРА
о
Л
а
« la
о
Л
а
о
Л
а
•ш
-I-
г
а
*
с*
475
Л
а
S
a
&
О
Л
V
о
л
Л
I
5
V
в)
а
V
л
О
Л
>
V
Of
|
в ь.
+
-I-
A «3-
t
.1-
-I*

476
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ
{ГЛ. XI
о
Л
а
о>
* л
I
I
к'
С
S
8 «—¦*»«
-I-
I
А.
+
X
+
I
А.
О
Л
I
+
. V
V
со м
л
(N
Л
л.
о
¦К:
V
8
I
\
С |
в"
Л

§ 2] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЙЕРА 477
if
Л
А
^ 5 i * л ti^ «
I X ^ 1 А а'°° i.
I
3
л
О
Л
Т 1
** Г >
I I ^" л
&
О> ОЭ 0)

3. К-преобразование Бесселя
3.1. Основные формулы
ф-
00
№
11.200
11.201
11.202
11.203
11.204
11.205
со
С F{u) Нч (и*) Yuida
0
/(at), a > 0
*"»/('). m = Q, 1, 2, ,
1
0i=sOi 1, 2) ...
1 ?
BftB, V — }) -{- 1
«"'/'(в, v-j-m)
J
0
tF(u
v +
, v+1)
ttt)Vutdt, b>«
w
о
5
О
I
n
tn
n
8
8
m

§ 3]
К-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕБС&ЛЯ
479
&
I
*
IM
^ s
-u
T
X
x
1
I
8«—»а
о
л
а.
а
А
IX
л.
л
>
о
о
л
+
> jlM
+
«|-Ч>
x
33
a-
a
x
>>
•&
d>
?
ев
ее
+
-I*
I
a
I
+
-1-
+
i
О
V
V
t
V
V
I
V
i

480
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ
[ГЛ. XI
Л
1
i
+
8
?
f
5
m\m
"I-
I* (N
V
>
V
о"
. А
«s
V
>
as
V
ее |
VA
Л
в
.1. Л
I
-i«
¦¦I-
[
+
1М
•и
V
о
я; "l«
& I
О.'
V

§ 3]
К-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЬЛЯ
481
it
-
X
-I-
(N
«1
•ее
+
+ .
X
X
«I
I
+ I
I
СЧ
X
V
А.
+
• I-
5
+ *
.\Т А
i
i
Я"- «>
Otf
A
O
A
Л
4-
O
or
Л
I
i
I
-I-
I
A.
«о

482
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЁССЕЛЯ
(ГЛ. XI
л
и
л
О)
Of
X
'в'
+
I '
v>
+
*"" 1
X
A9
Я
а
"V
53
&А
в
I
-h-
X
V
7
А
-I.
•53

§ 3]
У-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ
483
а ао
8
ем
6 И
й>
а'
к j a
a
•*
'•!¦»
0>
VJ
s -a
V
V
I
o"
л
о
л
К
?-
1
N
<M
v—
44
a
о
-У
о
И
II
«
Rev
о
Л
«г
л
о
л
53
V
>
О)
Of
V
о
«г1 д
3- «
«г-

484
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ
[ГЛ. XI
О
л
s
1а
>- s
о
а>
S
и
а.
О)
«
V V
о
л
а.
V V
о
Л
V
V
о
л
V
V
¦]»
I
¦hi
I1

§ 3]
К-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ
485
4-
«1-3*
-I-
-J-
-I'
+
X
х
1а
"л.
3
о
и
S
с*
+
S
8
1а
л
о"
л
V
а |-ы
/ ч
О
о;
о
Л
о
ОТ
Of
о
л
а
СИ
V
А.
CD
ОЙ
V
+
V
у
i
V
о
л
8?

486
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЁЛЯ
[ГЛ. XI
л
а
Ч
1а
а;
с
X
~х~
i
>< *
+ х
>,
[а
'а
la
1а
о.
-I-
+
-I"
о
Л
К
V
а;
V
I «
о.
г
V
sr
V
V
* |м со |«
I
I в-
1« .Л
S3

11.241
t «
(I, 2* + |;
Rea>0, —y
to»
r(v-f 2) и
4. Н-преобразование Бесселя
4.1. Основные формулы
11.242
11.243
11.244
00
0
и, y)Y4{h
—*
л.
1,2, .,,
] ]
^^ "n^ ^ KG V ^ -^
F(b,
If
a
i
в1"
f (в. »)=
v)
(—- ) I
00
\ f(.t)Hv{ut)Yuidt, a>0
"В-
m
О
-а
>
О
5
то
8

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ
[ГЛ. XI
о
л
а
8«—»=
-ft,-
E
I
4
еч
I
>
л.
+
X--
"'V X
г
^5 И
С4 .11
^ Б
•1-
l
9-
1
If
*
+
1
с
i
«
1
1
л
>
о
Of
о
л
л.
о
О!
.-l«
о
л~
л
i
s
I
5
"^ a
ев
си
V
О-к.
+ «=> Л.

§ 4]
Н-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ
489
J
I
f
-I"
-I-
X
(N
t i
X
X
CO
+
+
<N
«o|es
+
+
eolcsi
-|«
+
t-
I
Mi
+!
?>
+!
N
I
X
о
V
I
V
I
л
CO
Л
о
л
"^
+ Л
5
о"
л
с*
»
СИ
-1
on
I
9
«4

490
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ
[ГЛ. XI
О
л
а
С
а
8<—>о
л
а
&
•I"
ч
V
а
V-I-
о -г
I
"а
х
а,
в
а|ч
сч|р
. Л
« а
V s
а §•
V
о »
X +
в ' а
„1«
X
I
+
V
а
V
+
ео|<м
+
+
•1"
X
15
+
Л
•I»
а
I
V
>
ел
V
о"
л
V
V
о
л
С
V
V
I
о"
л
V
V
О
л
V
4>
V
о*
л
-1
-I'

§ 4]
Н-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ
491
"aft
I
to|c>i
I «|(N
+
+
+
I
I
+
+
+
4
x
*B
I
+
X r
^ ^ «|n
W |CN -j-
+ <5
<5 -r
+
i
I
-I"
+
X
«|e<
I
X
I
(M
-"!«
4
X
-? "«la
CO
+
+
CO
co|im
I
л
Of
о
л
в
w
5
л
ео |<м
I
Л
• &
С?
Л
Л
о
Л
с*
«ч.
*|«
i
i
V
о
Л
S а;
к"
л
V
Of
о"
л
a

492
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ББССЕЛЯ
[ГЛ. XI
о
л
X
й>
-I"
-I-
I
й
-I-..
3
I
V
+
СИ
V
i
1
о
Л
в
V
в
larg
53
5
л
I
I
л
!~
i V
V 1
«
V
л
?
v
-~ ев
!

§ 4]
Н-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕОСЕЛЯ
493
I
I?
X
+
+
з
I
3
<м[ к
X
i|.N
а)
л
I
л
о
л
О
. у
¦zLs v
> ¦
1 '
'й cf
+ л
? 7
Q4 Л
Л
р
X
з I'M
8- f
Л «
16 В. Литкнн. А. Поулников

494
ПРЕОБРАЗОВАНИЬ БЕССЕЛЯ
[ГЛ. XI
«
а
a
а»
vo
а>
Ч
«
О
g-
ш
о
S
«
а
о
а
о
Л
а
•в
"в
ОТ
J3
•Ы.2
V
V
V
<3
V
а
у
? <? ^
~к>
з9
?,
Я
чч

§ 5] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОНТОРОВИЧА ЛЕБЕДЕВА
495
g
а
V
а
V
о
s
о,
а
л
и
s
о.
а
5
«I*
*
53.
V
&
О)
(X
of
V
ьл
V
"So л
я «3
ЁР
со
о
л
Ьв

496
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ
[ГЛ, XI
О
л
а
11
g
С
-I*.
$
-IN
м
5|»
п|еч
I
С»
V
о
л
у
53
•S
X
Ч 1^
+
се
X
о
л
в"
V
a»
Я)
V

11.288
И .289
11.290
11.291
11.292
§ 6. Преобразование
/W
1
е
С, Re у > 1
**", й= 1,2,3, ...
<—. « = 2, 3. ...
Конторовича — Лебедева
я т
2" . ге
shy t
я
2 *=1
shyte=
(продолжение,
00
0
+ h\ у /* + I — i
I)t . ^ »
L
1
см. [43])
i
CD
О
n
о
о
00
я
1
@
I
м
S
и

498
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ
[ГЛ. XI
•к
I
8«-—>с
•Hi
sin
и
•s
ЕО
¦g
ем
V
W
о>
<и
i
14
<u

§ 6] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОНТОРОВИЧА —ЛЬЬЬДЬВА (ПРОДОЛЖЕНИИ) 499
в
"•В
+
I
1»1«
¦8
la
8
о
I
П
о
л
w
V
-Ja
4*
s

500
преобразование бесселя
[ГЛ, XI
s
8*—>©
II
м
в [см
а |м
•S
•s
ь \c*
п
и
+
в Ы
Г 1
¦s
с
+
k|<n
и

§ 6] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОНТОРОВИЧА—-ЛЕБЕДЕВА (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 501
8
и
в
X
+
+
Е
+
См
X
•S
о сч
¦8
е
Я
«*
J5
3
an.
v
I
1й
в
«ч

:5Q2.
ДРУГИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
[гл. Хн
CQ
№
X
00
о
со
О.
СО
о
о.
с
X
л
«=;
1
»
S
о
rt
о
•е-
¦
лера-
ф
s
& §
S
о
•S
I
+
I* -
?
I
(С I"*
+
ео|чг
h|im
с»
со
Л
a

§ 1]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЛЕРА ФОКА
503
I
+
-I
7-1
•з
¦5
-Я
I
I
С
S3
1«|!в
л
I
л
1+
V
CO.
V
J
в*
+
ем

504
ДРУГИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
[ГЛ. XII
I
+
I
+
•g
V
J3
I«H
о
л\
л
о
л
л
-¦w
+ I
ы
ео
m
ы

§ 2. Преобразование Гильберта
№
12.19
12.20
12.21
12.22
12.23
1224
12.25
ЛО
/@
g{t)
f(a-{~t), a — действительное число
f(at), e>0
/(— of), e>0
ff(t)
„+«/»
1 "r /(') ~
.и
-/(*)
об
x^(x)-|— I f(f)dt
— 00
00
* J
—00
!
at
I
s
сч
я
•о
и
о

ДРУГИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
[гл. xtt
8е—¦*)
s
¦be
4
+
+
ч
SP "% 8
I
и
О
л
о
л
V
к
V
о
V
V
о
о
л
О
л
о
л
о
Л
о
л
— P. «- "Г г" ** «,
л в г
о
ев
ем
3
он еч ем «ч ci ?! еч

§ 2] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГИЛЬБЕРТА 507
1
-Г
COS(
•4*
1
3
1
й
1
cos(
«
I
ci
о
л
I
g
G
от
12.36
о
Л
a
I
-Г
1
ю
о
и
12.37
о
II
с
¦«*"
iv
1°
с
"8
12.33
о
к
II
с
-с ¦«¦
Iv
"^8\/
S°
S
о
12.39
Л
1
к*
1
12.40
о
Л
5
at)
12.41
о
Л
44
S
¦Я
и
12.42

БИБЛИОГРАФИЯ
Ниже приводятся основная литература к первой части справоч-
справочника по главам и список литературы в алфавитном порядке.
К главе I
[171, [27]. [30], [41], [49], [68], [69], [72], [73], [74], [75], [102], [103],
[112], [113], [154], 1204], 12571.
К главе II
[10], [24], [32], [34], [361, [41], [52], [53], [64], [68], [80], [86], [125],
[126], [127], [190], [209], [253], [255].
К главе Ш
[37], [43], [47], [73], 177], [119], [136], [168], [192], [208],
К главе IV
[43], [73], 179], [115], [146], [188], [255].
К главе V
[10], [21], [24], [25], [59], [66], [94], [117], [197].
1. Агранович 3. С. и Повзнер А. Я-, Применение опера-
операционных методов к решению некоторых задач математической
физики, изд. ХГУ, 1954.
2. Адамов А. А., О разложениях произвольной функции одной
вещественной переменной в ряды, расположенные по функциям
определенного вида, Петербург, 1907.
3. Александров П. С. и Колмогоров А. Н., Введение
в теорию функций действительного переменного, М.—Л., ГТТИ,
1933.
4. А т а б е к о в Г. И., Гармонический анализ и операторный метод,
Оборонгиз, 1956.
5. А х и е з е р Н. И., Об одном обобщении преобразования Фурье
и теоремы Винер—Палей, ДАН 96 A954), 889—892.

ршншш глч»пл
6. Б е р л я н д О. С, О некоторых асимптотических оценках, ДАН
124 A959), .W-508.
7. Б у л г а к о в В. В., Колебания, М.— Л., Гостехиздат, 1948.
8. Балл е-П у ее е н Ш., Курс анализа бесконечно малых, М.— JL,
ГТТИ, 1933.
9. В а н-дер-Варден Б. Л., Современная алгебра, М,—Л., Гостех-
Гостехиздат, 1947.
10. В а н-д е р-П оль Б. и Бреммер X., Операционное исчисление
на основе двустороннего преобразования Лапласа, М., ИЛ, 1952.
11. Ватсон Г. Н, Теория бесселевых функций, М., ИЛ, 1949.
12. Ващенк о-З ахарченко М., Символическое исчисление и
приложение его к интегрированию линейных дифференциальных
уравнений, Киев, 1862.
13. Г а р д н е р М. Ф. и Берне Дж. Л., Переходные процессы
в линейных системах, М.—Л., Гостехиздат, 1951.
14. Г е л ь ф а н д И. М. и Шилов Г. L, Обобщенные функции и
действия над ними, М., Физматгиз, 1958.
15. Г е л ь ф о н д А. О., Исчисление конечных разностей, М,—Л.,
Гостехиздат, 1952.
16. Гринберг Г. А., Избранные вопросы математической теории
электрических и магнитных явлений, Изд. АН СССР, 1948.
17. Джексон Д., Ряды Фурье и ортогональные многочлены, М.,
ИЛ, 1948.
18. Д и т к и н В. А., Операционное исчисление, УМН 2, вып. 6 B2),
A947), 72—158.
19. Д и т к и и В. А., Исследование строения идеалов в некоторых
нормированных кольцах, Учен. зап. МГУ, вып. 30 A939).
20. Д и т к и н В. А., Обобщенное преобразование Лапласа, Инж.-физ.
журн. 1, Ms 11 A958).
21. Диткин В. А., К теории операторного исчисления, ДАН 116
A957), 15—17.
22. Диткин В. А., Операционные исчисления для функций, опре-
определенных на всей прямой, ДАН 112 A957), 191—194.
23. Диткин В. А-, К теории операционного исчисления, ДАН 123
A958), 395—396.
24. Д и т к и н В. А. и К у з н е ц о в П. И., Справочник по операци-
операционному исчислению, М.—Л., Гостехиздат, 1951.
25. Д и т к и н В. А. и П р у д н и к о в А. П., Операционное исчисле-
исчисление по двум переменным и его приложения, М, Физматгиз, 1958.
26. Е в т я н о в С. И., Переходные процессы в приемно-усилитель-
ных схемах, Связьиздат, 1948.
27. Зигмунд А., Тригонометрические ряды, М.— Л., Гостехиздат,
1939.
28. И г н а т о в с к и й В. С, По поводу лапласовской трансформации,
ДАН 2A935),5-11; 2A936), 169—172; 4A936), 107—110; 14A937),
167—172, 475-478; 15 A937), 67—70, 163—166, 231—234; 15 A937),
169-172; 18 A938), 511-514.
29. Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным
уравнениям, М., ИЛ, 1951.
30. К а н т о р о в и ч Л. В., Определенные интегралы и ряды Фурье,
Л., 1940.

510 БИБЛИОГРАФИЯ
31. Карман Т. и Бко М., Математические методы в инженерном
деле, М.—Л., Гостехиздат, 194S.
32. К а р с о н Д. Р., Электрические и нестационарные явления и
операционное исчисление, Харьков — Киев, 1934.
33. Карслоу X. С, Теория теплопроводности, М.—Л., Гостехиз-
Гостехиздат, 1947.
34. К а р с л о у X. и Е г е р Ф., Операционные методы в прикладной
математике, М., ИЛ, 1948.
35. К в а л ь в а с с е р В. И., Очерк современного состояния опера-
операционного исчисления и его приложений, Сб. научно-исслед. раб.
Куйбышев, индустр. инст 2 A941).
36. Коиторович М. И., Операционное исчисление и нестацио-
нестационарные явления в электрических цепях, Изд. 2, М., Гостехиз-
Гостехиздат, 1953.
37. К о н т о р о в и ч М. И. и Лебедев Н. Н., Об одном методе
решения некоторых задач теории дифракции и родственных ей
проблем, ЖЭТФ 8, вып. 10—11 A938), 1192—1206.
38. Круг К. А., Переходные процессы в линейных электрических
цепях, Госэнергоиздат, 1948.
39. Кузнецов П. И, О представлении одного контурного интег-
интеграла, ПММ, № 2 A947).
40. Купцов Н. П., К вопросу об абсолютной и равномерной схо-
сходимости интенралов Фурье, Матем. сб. 42 (84), A957), 461—478.
41. Лаврентьев М. А. и Шабат Б. В., Методы теории функций
комплексного переменного, М.— Л., Гостехиздат, 1951.
42. Лебедев Н. Н., Специальные функции и их приложения, М.,
Гостехиздат, 1953.
43. Лебедев Н. Н., Некоторые интегральные преобразования ма-
математической физики, Диссертация, ЛГУ, 1950.
44. Л е б е д е в Н. Н , Об одной формуле обращения, ДАН 52 A946),
395—398.
45. Лебедев Н. Н, Некоторые сингулярные интегральные урав-
уравнения, связанные с интегральными разложениями математической
физньи, ДАН 65 A949), 621—624.
46. Лебедев Н. Н., О разложении произвольной функции в ин-
интеграл по функциям Макдональда с комплексным значком, ДАН
58 A947), 1007—1010.
47. Лебедев Н. Н и Конторо ви ч М.И..ЖЭТФ 9, 6A939),729
48. Левин Б., Преобразования типа Фурье и Лапласа при помощи
решений дифференциального уравнения второго порядка, ДАН
106 A956), 187—190.
49. Левин В. И., Ряды и интегралы Фурье, элементы операцион-
операционного исчисления, М., Советское радио, 1948.
50. Л е в и т а н Б. М., Разложение по собственным функциям, М.— Л.,
Гост ечиз дат, 1950.
51. Лет ни ко в А. В., Теория диффереинцрования с произвольным
указателем, М., 1868.
52. Лурье, А. И., Операционное исчисление и его приложения
к задачам механики, М,—Л., Гостехиздат, 1950.
53. Лыков А. В., Теория теплопроводности, М,— Л.» Гостехиздат,
1952.

БИБЛИОГРАФИЯ 511
54. Л ю б и ч Ю. И., Некоторые тауберовы теоремы для обобщенных
преобразований Фурье, ДАН 113 A957), 32—35.
55. М о и с е е в Н. Д., Решение линейных дифференциальных урав-
уравнений с постоянными коэффициентами при помощи преобразова-
преобразования Лапласа, Труды военно-воздушной академии им. Жуковского,
вып. 102 A944).
56. М о р с Ф. М. и Ф е ш б а х Г., Методы теоретической физики,
тт. 1 и 2, М., ИЛ, 1958—1960.
57. М а л ю ж и н е ц Г Д., Связь между формулами обращения ин-
интеграла Зоммерфельда и формулами Конторовича—Лебедева, ДАН
119 A958), 49-51.
58. М а л ю ж и н е ц Г. Д., Формула обращения для интеграла Зом-
мерфельда, ДАН 118 A958), 1099—1102.
59. Минусинский Я, Операторное исчисление, М., ИЛ, 1956.
60. П л е с с н е р А. И., О включении операционного исчисления
Хевисайда в спектральную теорию максимальных операторов,
ДАН 26, № 1 A940).
61. Привалов И. И, Взедение в теорию функций комплексного
переменно! о, М.— Л., 1 > стехиздат, 1948.
62. Р и е к с 1 ы н ь ш Э. Я., Некоторые формулы для преобразования
Лапласа, ПММ 17 A953), 761—768.
63. Римски й-К о р с а к о в Б. С, Элементы операционного исчисле-
исчисления, М., 1958.
6.4. Романовский П. И., Ряды Фурье. Теория поля. Аналитиче-
Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа, М.,
Физматпв, 1959.
65. Р у м ш и с к и й Л. 3., Преобразование Лапласа и позитивные
функции, Учен. зап. ХГУ 4, 21 A949), 101—130.
66. Р я б ц е в И. И., О структуре операторов Минусинского в одном
псевдонормированном пространстве, Изв. вузов (математика)
№ 1 B), A958), 143—151.
67. Р я б ц е в И. И., О переменном запаздывании, Изв. вузов (мате-
(математика), № 1 (8), A959), 164—173.
68. С м и р н о в В. И., Курс высшей математики, М.—Л., Гостехиздат,
1950-1952.
69. С не д дон И., Преобразования Фурье, М., ИЛ, 1955.
70. С о н и н Н. Я, Исследования о цилиндрических функциях и спе-
специальных полиномах, М., Гостехиздат, 1954.
71. Стендер П. В., Сборник упражнений пооперационному исчис-
исчислению, 1954.
72. Титчмарш Э., Теория функций, М., ИЛ, 1951.
73. Титчмарш Э., Введение в теорию интегралов Фурье, М.,
ИЛ, 1948.
74. Толстов Г. П., Ряды Фурье, М.—Л., Гостехиздат, 1951.
75. Т р а н т е р К. Дж., Интегральные преобразования в математи-
математической физике, М., Гостехиздаг, 1956.
76. У ф л я н д Я- С., Решение пространственной задачи теории упру-
упругости для клип тидного тела при заданных перемещениях hj
границе, ДАН 105 A955), 1177—1179.
77. У ф л я и д Я. С, Некоторые задачи теории упругости, разре-
разрешимые с помощью интегральных преобразований, Диссертация,
Ленинград, политехи, ин-т, 1957.

512 БИБЛИОГРАФИЙ
78. Фок В. А., О разложении произвольной функции в интеграл
по функциям Лежандра с комплексным значком, ДАН 39 A943),
279-283.
79. Фок В. А., О некоторых интегральных уравнениях математи-
математической физики, ДАН 36 A942), 147—151.
80. Ф у к с Б. А. и Л е в и н В. И. Функции комплексного перемен-
переменного и некоторые их приложения, М.— Л., Гостехиздат, 1951.
81. Фукс Б. А. и Ш а б а т Б. В., Функции комплексного пере-
переменного и некоторые его приложения, М.— Л., Гостехиздат, 1949.
82. X а р к е в и ч А. А., Неустановившиеся волновые явления,
М.— Л., Гостехиздат, 1950.
83. X и р ш м а н И. И. и У и д д е р Д. В., Преобразования типа
свертки, М., ИЛ, 1948.
84. Цыпкин Я. 3., Переходные и установившиеся процессы в
импульсных цепях, М.— Л., Гостехиздат, 1951.
85. Э ф р о с А. М., О некоторых применениях операторного исчисле-
исчисления к анализу, Матем. сб. 42 A935).
86. Эфрос А. М. и Данилевский А. М., Операционное ис-
исчисление и контурные интегралы, Харьков, 1937.
87. Юрьев М. Ю„ Установившийся режим в четырехполюсниках,
1936.
88. Якоб, О применении преобразования Лапласа к суммированию
ряда Фурье и интерполяционных многочленов, ДАН 32 A941),
390—394.
89. А к ц t о w i с z E. J., The uniqueness of Laplace integrals, Duke
Math. Journ. 23 A956), 165-174.
90. А г ens R. F. and Calderon A. P., Analytic functions of
Fourier transforms, Segimdo symposium sobre algunos problemas
matematicos que se estan estudiando en Latino America, julio
1954, 39—52, Montevideo, Uruguay, 1954.
91. A t h u r s E. and Martin L., Closed expansion of the convolu-
convolution integral (a generalization of servomec nanism error Coeffi-
Coefficients), Journ. Appl. Phys. 26 A955), 58—60.
92. A s с о 1 i G., Trasformazlone di Laplace, Torino, Gheroni 1956,
256 p.
93. Batschelet E., Die Operatorenmethode von L. Fantappie und
die Laplace-Transformation, Comment, Math. Helv. 22 A949),
200-214.
94. В e 11 e г t S., On Foundations of Operational Calculus, Bull. Acad.
Polon. Scl. 5 A957), 855—859.
95. Berge C, Sur un nouveau calcul symbohque et ses applications,
Journ. Math. Pures Appl. (9) 29 A950), 245—274.
96. Bergstrom H., Ober die Konvergenz von Faltungen in ver-
schiedenen Weierstrassnormen, Math. Nachr. 18 A958), 244—264.
97. В е г к e s В., Fouriersche Reihen und Laplacesche Transformation,
Hrvatsko Prirodoslovno Drustvo, Glasnik Mat.-Fiz. Astr., ser. 11,
8 A953), 196-212.
98. В h о n s 1 e B. R., On some results involving generalised Laplace's
transforms, Bull. Calcutta Math. Soc. 48 A956), 55—63.
99. В i e 1 e с к i A., Sur le module dans les espaces J. G. Mikusinski,
Fund. Math. 36.

БИБЛИОГРАФИЙ 513
100. Blu mental L., Note on fractional operators and the theory of
composition, Amer. Journ. Math. 53 A931), 483—492.
101. Bochner S., Darstellung rell-variables und analytischer Funk-
tionen durch verallgemeinerte Fourier- und Laplace-Integrale,
Math. Ann. 97 A927), 635—662.
102. Bochner S., Vorlesungen flber Fouriersche Integrate, Akad.
Verl. Leipzig, 1932.
103. Bochner S. and Chandrasekaran К. С, Fourier Trans-
Transforms, Princeton Univ. Press, 1949.
104. Bojanic, Jurkat und Peyerimhoff, Ober eiken Tauber-
satz fur Faltungen, Math. Z. 65 A956), 195—200.
105. Bose S. K., A study of the generalised Laplace integral, Bull.
Calcuta Math. Soc. 41 A949).
106. Bose S. K., On Laplace transform, Math. Z. 56 A952), 84—93.
107. Bose S. K-, Laplace transform and self-reciprocal functions,
Qanita 5 A954), 25—32.
108. Branges L. L., Local operators on Fourier transforms, Duke
Math. Journ. 25 A958), 143—153.
109. В u s с h m a n R. Q., A substitution theorem for the Laplace
transformation and its generalization to transformations with sym-
symmetric kernel, Pacific. Journ. Math. 7 A957), 1529—1533.
110. Butzer P. L., Halbgruppen von linearen Operatoren und das
Darstellungs- und Umkehrproblem fur Laplace-Transformationen,
Math. Ann. 134 A957), 154-166.
111. Cambi E., Inverse Laplace transforms experessed as Neumann
series, Journ. Math. Phys. 35 A956), 114—122.
112. Campbell G, and Foster R., Fourier integrals for practical
applications, New-York, van Nostrand, 1948.
113. Carl em an Т., L'integrale de Fourier et questions qul s'y
Rattachent, Uppsala, 1944.
114. Chu re hill R. V., Extensions of operational mathematics, Univ.
Maryland Book Store, College Park, Md. 1956.
115. Churchill R. V., The operational calculus of Legendre trans-
transforms, Journ. Math. Physics 33 A954), 165—178.
116. Colombo S., Les transformations de Mellin et de Hankel,
applications a la physique mathematique, Paris, CNRS, 1959, 99.
117. Da It on J., Symbolic operators, 1954.
118. Delange H., Sur les singularites des fonctlons definies par des
integrales de Laplace, Rend. Sem. Mat. Fis. Milano 26 A954—1955),
88—102 A957).
119. Del a vault H., Application de la transformation de Laplace et
de la transformation de Hanke! a la determination de solutions de
l'equation de la cha'eur et des equations de Maxwell en coordon-
nees cylindriques, Paris, 1957.
120. Den is-Pa pin, Cours de calcul operationnel, Paris, 1950.
121. Doetsch G.. Problems solved and unsolved in the theory of
the Laplace transform, Rev. Acad. Ci. Madrid 46 A952), 125—136.
122. Doetsch G., Ober den Konvergenzbereich von Laplace-hiteg-
ralen mit komplexem Integrationsweg, Math. Nachr. 18 A958),
129-135.
123. Doetsch G., Ober die SinguIaritSten der MelHn-Transformier-
ten, Math. Ann. 128 A954), 171-176.

514 БИБЛИОГРАФИЯ
124. Doetsch G., Asymptotic developmente and the Laplace-Trans-
Laplace-Transform, Revista Mat. Hisp.-Amer. D) 13.A953), 5—60.
125. Doetsch G., Handbuch der Laplace-Transformation, bd. I—IV,
Birkhauser Verlag, Basel, 1950—1956.
126. Doetsch G., Theorie und Anwendung der Laplace Transforma-
Transformation, Berlin, 1937.
127. Doetsch G., Tabeilen zur Laplace-Transformation und Anleiiung
zum Gebrauch, Berlin und Gottingen, 1947.
128. D о 1 e z a 1 V., Reseni linearnich elektrickych obvodu distribucemi,
Slaboproudy obzor 20 A959), 302—306.
129. Dufresnoy J., Sur le prodult de composition de deux foncti-
ons, Compt. Rend. Acad. Sci (Paris) 225 A947), 857—859.
130. Dufresnoy J., Autor du theoreme de Phragmen-Lindeldf, Bull.
Sci. Math. 72 A948), 17—22.
131. Erdelyi A., Magnus W., Oberhettinge r F., Tri-
c о m i F. G., Tables of integral transforms, vol. I, 2, New-York,
McGraw-Hill, 1954.
132. Erdelyi A., Bemerkungen zur Integration der Mathieuschen
Differentia'gleichung durch Laplacesche Integrale, Compositio Math
5 A938), 435-446.
133. Erdelyi A., On a generalisation of the Laplace transformation,
Proc. Edinburgh Math. Soc. B) 10 A954), 53—55. - ¦
134. Fan К У| Expose sur le calcul symbo'ique de "Heaviside, Revue
Sci. (Rev. Rose iUus) 80 A942), 147—163.
135. F a z e к a s F. es F г е у Т., Operatorszamitas. Specialis fflggve-
nyek, Budapest, 1957.
136. F e n у о L, Eine Bemerkung zur Theorie der Hankelschen Trans-
Transformation, Magyar Tud. Akad. Alkalm. Mat. Int. Kozl. 2 A953).
137. F e n у о I., A Mikusinski-fele operatorfogatom es a disztribucio
fogalma kozti kapcsolatrol, Magyar Tud. Akad. Mat. Fiz. Oszt.
Kozt. 8 A958\, 385—392.
138. Feny6 I., Uber die Verallgemeinerung.der Operatorenrechnung,
Publ. Math. 6, N 1—2 A959), 4^—59.
139. Fox C, A classification of kernels which possess Integra! trans-
transforms, Proc. Amer. Math. Soc. 7 A956), 401—412.
140. Fourier, Theorie analytique de la chaleur, Paris, 1882.
141. Fujiwara M., Asymptotic expansions in the Heaviside's opera-
operational calculus, Proc. Imp. AcjJ. Jap. 15 A939), 283—287.
142. Gaff ey W. R., A real inversion formula for a class of bilateral
Laplace Transforms, Pacific. Journ. Math. 7 A957), 879—883.
143. Ganelius Т., Un theoreme taubsrien pour la traruformdtfcn de
Laplace, Compt. Rend. Acad. Sci. (Paris) 242 A955), 719—721.
144. Gill у J., Etude analitique des produits de composition, Compt,
Rend. Acad. Sci. (Paris) 219 A941) 383—385.
145. Gillу J., Les parties finies d'integrals et la transformation de
Laplace-Carson, Revue Sci. 83 A945), 259—270.
146. Griffith J. L., On the Hankel J-, Y- and ^transforms, Proc.
Amer. Math. Soc. 9 A958), 738—741.
147. Griffith J, L., On the asymptotic behaviour of Hankel trans-
transforms, Journ. Proc. Roy. Soc. New South Wales 88 A954), 71—76
A955).

БИБЛИОГРАФИЯ 515
148. Guinand A. P., Matrices associated with fractional Hankel and
Fourier Transformations, Proc. Glasgow Math. Assoc. 2 A956),
185-192.
149. H a h n H., Ober eine Veraligemeinerung der Fourierschen Integ-
ralformel, Acta Math. 49 A926), 301—353.
150. Ha Her J., Lap'acesche Integraltransformation und Integration
partieller Differentialgleichungen vcm parabolischen Typus, Zurich.
1953.
151. Hankel H., Bestimmte Integrale mit Zylinderfunktionen, Math.
Ann. 8 A875), 354—470.
152. Hankel H., Die Fourier chen Reichen und Integrale fur Zylto-
derfuuktionen, Math. Ann. 8 A875), 471—494.
153. He у wood P., Integrability theorems for power series and
Laplace transforms, Joum. Lcndon Math. Soc. 32 A957), 22—27.
154. Hill E., On Laplace integrals, 8 Skand. Math. Kogr. Stockholm
A934), 216—227.
155. Hill E. and Tamarkin J. D., On the theory of Fourier trans-
' forms, Bull. Amer. Math. Soc. 39 A933), 768—774.
156. Hill E. and Tamarkin J. D,, On absolute integrability of
Fourier transforms, Fund. Math. 25 A935), 329—352.
157. Horn J., Laplacesche Integrale und Gammaquotienten in der
Theorie der linearen Integralgleichungen, Math. Z. 8 A920),
100—114.
158. H s u L. C, Note on generalized Jordan's condition for the Fourier
and Mellin transforms, Acta Math. Sinica 3 A953), 142—147.
159. Humbert P. et Colombo S., Le calcul symbolicue et ses
applications a la Physique mathematique, G<u hier—Viliare, 1947.
160-. Isaacs G. L., Comparison theorems for Laplace integrals, Journ.
London Math. Soc. 31 A956), 282—300.
161. Jaeckel K-, Integraltransformationen mlt Differenzkern, bei
denen Kern-, Obj'ekt- und Bildfunktion zum gleichen Typus gehfi-
ren, 7. Angew. Math. Mech. 37 A957), 401—403.
162. Jaeger J. C, Introduction to the Laplace transform a ion wiih
engineering applications, L. Methuen, 1949.
163. Jaiswal J. P., Ол Meijer transform, Сотр. Math. 12A956),
284—297; Math. Z. 55 A952), 385—398; Ann. Soc. ScL Bruxelles,
ser. 1, 66 A952), 131—151.
164. Janet M., Complements divers sur fa transformation de Laplace
et les equations aux derivees partielles. Paris, 1957.
165. Jeffreys H. and Jeffreys B. S., Methods of mathematical
physics, 2-nd ed., Cambridge, University Press, 1950.
166. J u г к a t W. und Peyerimhoff A., Uber einen absoluten
Fatou-Rieszschen Satz lttr Laplaceintegrale, Acad. Serbe. Publ.
Inst. Math. 7 A954), 61—68.
167. Kaushik S. P., A theorem for the generalised Laplace trans-
transform, Pj-oc. Nat. Acad. Sci. India, sect. A 21 A952), 209—212.
168. К i к u s h i H., Bessel Transforms, Bull. Electrot. Lab. 16 A954),
111—120.
169. Koizumi S. and S u n о u с h i G., Generalized Fourier integrals,
Tohoku Math. Journ. B) 5 A954), 243—260-
170. К о p p e H., Die Berechnung von Zustandssummen mittels Laplace-
Transfornfationen, Ann. der Physik 6 A951), 423—428,

5J6 БИБЛИОГРАФИЯ
171. К о re va а г J., Distributions defined from the point of view of
applied mathematics, Indag. Math. 17 A955), 368—378.
172. Korevaar J., Distributions defined by fundamental sequences,
Nederl. Akad. We'ensch. Proc. ser. A. 58-Indag. Math. 17 A955),
494—503, 483—493.
173. К о nig, Neue BegrCindung der Theorie der Distributionen von
L. Schvartz, Math. Nachr. 9 A953), 129—148.
174. Kumar J. M., On Meijer transform, Acta Math. 93 A955),
121—168.
175. Lakshmana Rao S. K. and Bhatnagar P. L, A note on
the Gegenbauer transform, Journ. Indian Inst. Sci. Sect. A. 38
A956), 249—255.
176. L a v о i n e J., Sur le passage de l'image de g(t) a celle de g(it)
dans la transformation de Laplace, Compt. Rend. Acad. Sci. (Paris)
244 A957), 991—993.
177. L e г с h M., Sur un point de ia theorie des fonctions generatrices
d'Abel, Acta Math. 27 A903).
178. Levy P., Calcul Symbolique d'Heaviside, Bull. Sci. Math. 50
A926), 174.
179. Lions J. L., Supports dans la transformation de Laplace, Journ.
Analyse Math. 2 A953), 369—380.
180. M а с е v A., On the inmersion of an algebraic ring into a filed,
Math. Ann. 113 A936), 686—691.
181. Mainra V. P., On certain operational images of infinite series,
Bull. Calcutta Math. Soc. 50 A958), 34—52.
182. Ma it re J., Sur l'integration generalisee, la These, Montpellier,
1950.
183. Malgrange В., Sur quelques proprietes der Equations de convo-
convolution, Compt. Rend. Acad. Sci. (Paris) 238 A954), 2219—2221.
184. M a n d e 1 b г о j t S., Quelques theoremes sur les transformees de
Fourier, Compt. Rend. Acad. Sci. (Paris) 240 A955), 1393—1394.
185. M a n d e 1 b г о j t S., La transformee de Fourier et les fonctions
holomorphes dans un demi-plan, Journ. Math. Pures Appl. (9) 35
A956), 211-222.
186. Mann P. A., Summation von Fourlerschen Reihen mittels der
Laplaceschen Transformation, Arch. Elektr. Ubertragung 7 A953),
390—3J2.
187. M c-C о у N. H., Remarks on divisors of zero, Amer. Math.
Monthly 49 A942), 286—295.
188. Mc-Cuily J. C, The operational Calculus of the Laguerre
Transform, Ph. D. University of Michigan, 1957.
189. McLachlan N. W. et Humbert P., Formulaire pour le
Calcul symbolique, Mem. Sci, Math. (Paris) 100 A947).
190. McLachlan N. W., Humbert P. et Poli, Supplement au
formulaire pour le calcul symbolique, Mem. ScL Math. (Paris)
113 A950).
191. McLachlan N. W., Complex variable and operational calculus,
Cambridge the University Press, New-York, 1946.
192. Meijer C. S., Ueber eine Erweiterung der Laplace-Transforma-
Laplace-Transformation, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. 43A940), 599—608,702—711.
193. Miguel da Silveira, General operational calculus in n
variables, Port Math. 15 A956), 49; 16 A957), 41.

БИБЛИОГРАФИЯ 517
194. Mi кц sin ski J. О., Le calcul operationnel d'totervatle fini, Stud.
Math. 15 A956), 225—251.
195. M i к u s i n s ki J. G., Sur la methode de generalisation de Laurent
Schwartz et sur la convergence faible, Fund. Math. 36 A948),
235-239.
196. Mikusinski J. Sur les solutions lineairement independantes
des equations differentielles a coefficients constants, Stud. Math.
16 A957), 41—47.
197. Mikus ins ki J., L'anneau algebrique et ses applications dans
l'annaiyse fonctionnelle, Anna'es Univ. M. C.-Sclodowska, sec. A,
2 A947), Lublin; 3 A94Э), Lublin—Polonia.
198. Milne-Thomson L. Т., On the operational solution of the
homogenoaurs linear equation of finite differences by generalised
continued fractions, Proc. Roy. Soc. Edinburgh 51 A931), 91—96.
199. N e u f e 1 d J., On the operational solution of linear mixed diffe-
difference differential equations, Proc. Cambridge Philos. Soc. 30
A934), 389-391.
200. Noble В., Methods based on the Wiener-Hopf technique for the
solution of partial differential equations, New-York, 1958.
201. N о г a 1 n R., On a generalized Laplace transform, Math. Z. 69
A958), 228—233.
202. Nor don J., Sur une methode de calcul des images symboliques,
Compt. Rend. Acad. Sci. (Paris) 227 A948), 23—25.
203. Nowacki W,, A dynamical problem of Thermoelasticity, Arch.
Mech. Stosowanej C) 9 A957), Warszawa.
204. Oberhettinger F., Tabellen zur Fourier Transformation,
Springer-Verlag, Berlin—Gdttingen—Heidelberg, 1957.
205. P a i 11 о u x H., Calcul symbolique et equations aux derivees
partielles, Proc. Internat. Congr. Math., 1954, 2, Amsterdam
A954), 153.
206. P a 1 e у R. and W i e n e r N.. Fourier transforms in the complex
domain, New-York, 1934.
207. P a p о u 1 i s A., A new method of inversion of the Laplace trans-
transform, Quart. Appl. Math. 14 A957), 405—414.
208. Park us H.( Periodisches Temperaturfeld im Keil, Osterr. Ing.
Arch. 10 A956), 241—243.
209. Parodi M., Eduations integrates et transformation Laplace,
Paris, 1950.
210. Parodi M., Applications physiques de la transformation de
Laplace, Paris, 1948.
211. Peres J., Calcul symbolique d'Heaviside et calcul de composi-
composition de Vito Volterra, Compt. Rend. Acad. Sci. (Paris) 217 A943),
517—520.
212. Peres J., Quelques applications du calcul de composition de
Volterra, Compt. Rend. Acad. Sci. (Paris) 217 A943), 585—588.
213. Petersen R., Laplace transformation of almost periodic func-
functions, Den 11 Skandinaviske Matemat. Kougr., Trondheim, 1949,
Oslo A952), 158—165.
214. Petersen R., On Lerch's theorem, Compt. Rend. Dtxieme
Congress Math. Scdtidmaves, 1946, Copenhagen A947), 376—383.
215. Pincherle et A maidi, Operazioui distributive, Bologne, 1902.

518 БИБЛИОГРАФИЯ
216- Р i n к h a m R. S., An Inversion of the Laplace and Stieltjes trans-
transforms utilizing difference operators, Trans. Amer. Math. Soc^83
A956), 1—18.
217. Pipes L, Operational represetation of discontinuous functions,
Journ. franktin Inst. 225 A938), 53—61.
218. Pleijel A., Beitrag zur Theorie der Laplace-Transformationen,
Tolfte Skandinaviska Matematikerkongressen, Lund, 1953 A954),
217—221.
219. Pollard H. and S t a n d i s h C, Inversion of a class of discrete
convolution transform, Scripta Math. 22 A956), 207—216.
220. Ry 11-N ar dze ws ki G., Sur la convergence des series d'ope-
rateurs, Stud. Math. 13 A953), 37—40, 41—47.
¦221. Saks en а К. М., Some theorems concerning a generalized
Laplace transform, Collect. Math. 10 A958), 3—19.
222. S а к u r a i Т., A new operational method in mathematical physics,
Tohoku Math. Journ. 44 A937), 39—80.
223. Sakurai Т., The application of operational methods to Vol-
terra's integral equation, Proc. Phys. Math. Soc. Jap. C) 19 A937),
1046—1072.
224. Sakurai Т., The operators in the finite calculus, Proc. Phys.
Math. Soc. Jap. C) 20 A938), 190—220.
225. Sakurai Т., An extension of Heavisaile's operational method.
Proc. Phys. Math. Soc. Jap. 18 A936), 356; 19 A937), 108; 20
A938), 355.
226. Sakurai Т., Fourier integral and some physical problems, Proc.
Phys. Math. Soc. Jap. C) 18 A936), 706—726.
227. S a 1 z e r H., Tables of Coefficients for the Numerical Calculus
of Laplace-transform, Washington, 1953.
228. San Juan R., Charakterisierung der durch einfach konver-
gente Laplace-Integrale darstellbaren Funktionei, Math. Nachr.
12 A954), 113—118.
229. San Juan R. and Rodrigue z-S a 1 i n a s В., Exposition of
some known and other new theorems on ordinary and uniform
convergence of the Fourier integral, Revista Acad, Ci. Madrid 47
A953), 495—510.
230. S a r к а г G. K-> On certain theorems on operational calculus and
some properties of the generalised Af-function of Bateman, Bull.
Calcutta Math. Soc. 47 A955), 81—86.
231. S chmeidler W., Integralgleichungen mit anwendungen in
physik und technik, Leipzig, 1955.
232. Schwartz L, Theorie des distributions, Paris, T. 1—2,1950—1951.
233. Sexl Th., Zur systematischen Integration der Laplaceschen
Differentialgleichung, Oiterr, Ing.-Archiv 10 A956), 280—288.
234. Singh V., Convergence theorems for a generalized Laplace
integral, Math, Z. 64 A955), 1-9.
235. Smith J. J. and A1 g e r P. L, A Derivation of Heaviside's
Operational Calculus Based on Generalized Functions of* Schwartz,
Trans. AIEE 68, part 2 A949), 939—944.
236. Sneddon I. N.. Functional analysis, Berlin, 1955.
237. S n e h I a t a, On generalised Laplace transform and self-recipro-
self-reciprocal function, Proc. Nat. Acad. Sci. India. Sect. A 21 A952),
190-200.

БИБЛИОГРАФИЯ 5! 9
238. Sri vast a va К- J., Fractional integration and Meijer" transform»
Math. Z. 67 A957), 404—412.
239. Steinberg J., Sur les lois de commutation de certaines trans-
transformations integrates, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa C) 10 A956),
25—33.
240. S z i I v а у F. G. und Z e r g e n у i E., Ober ein Warmeleitungs-
problem, Magyar Tud. Akad. Alkalm. Mat Ink K6zl. 3 A954),
253—263 A955).
24L Tarn a r kin I. D., On Laplace's integral equation, Trans. Am.
Math. Soc. 28 A926), 417-425.
242. T a n n 0 Y., An inversion formula for convolution transforms,
Kodai Math. Sem. Rep. 8 A956), 79—84.
243. Tadenuma R., Conduction of Heat in a circular Cylinder
Varying in Length at a Constant Rate, Bull. Electrot. Lab. 16
A952), 784—786.
244. Tadenuma R., Conduction of Heat in a Rod with Moving
Boundary, Bull. Electrot. Lab. 16 A952), 860—863.
245. T h о m s о 11 W., Laplace Transformation, New-York, 1950.
246. T i 11 m a n n, Analytische Fortsetzung in der Fantappiesehen
Theorie der analytischen Funktionale, Archiv der Math. 8, 1,
43—45.
247. T i t с h m a r с h E. C, Complex Fourier-Bessel transforms, Quart.
Joum. Math. Oxford 19 A948), 164—175.
248. T i t с h m a r с h E. C, The zeros of certain integral functions,
Proc. London Math. Soc. 25 A926), 283—302.
249. Trlcorai F., Uber Doetschs Umkehrformel der GauB-Transfor-
mation und eine neue Umkehrung der Laplace-Transformation,
Math. Z. 40 A936), 720-726.
250. Varma R. S., On a generalization of Laplace integral, Proc
Nat. Acad. Sci. India, sect. A, 20 A951), 209—216.
251. Vasilach S., Sur la caracterisation de la transformation de
Fourier des distributions, Compt. Rend. Acad. Sci. (Paris) 246
A958), 2836—2838.
252. V a s i 1 а с h e S., Elemente de Teoria Multimilor si a Structurilor
Algebrice, Edit. Acad. Rep. Popul. Romine A956).
253. Wagner K. W., Operatorenrechnung und Laplacesche transfor-
transformation, Leipzig, 1950.
254. W a s 0 w W., Discrete approximations to the Laplace transfor-
transformation, Zeitschr. Angew. Math. Phys. 8, № 5, 401—417.
255. W id der D. W., The Laplace Transform, Princeton, 1946.
256. W i d d e r D. V., The heat equation and the Weierstrass trans-
transform, Proc. Conference on differential equations, Univ. Maryland
Book Store A956), 227—234.
257. Wiener N., The Fourier integral and certain of its applications,
Cambridge University Press, 1933.
258. Wiener N., The operational calculus, Math. Ann. 95 A926),
557—584.
259. Wiener N., Tauberian theorems, Ann. of Math. 33 A932),
1—100.
260. Wlodarski L., Sur une formule de Efros, Studia Math. 13
A953), 183—187,

520 БИБЛИОГРАФИЯ
261. Wlodarski L., Une remarque sur une class de fonctions
exponentielles du calcul operational, Stud la Math. 13 A953),
188—189.
262. W о 1 i b n e r W-, Sur certains corollaires du theoreme de
Titchmarsh, Studia Math. 14 A95Я), 107—110; A954).
263. Wrinch D., Fourier transforms and structure crystalls, 1946.
264. W u у t s P., Region of convergens of an integral of the form
00
«-¦«»* F(f) dt A (^-complex), Meded. Kon. Vlaamse Acad.
Kl. Wetensch. 18 A956), 70.
265. W u у t s P., On the representation of an analytic function by a
Laplace-integral, Nieuw Arch. Wisk. C) 4 A956), 71—80.
266. W u у t s P., On the zeros of a Laplace transform, Simon Stevln
31 A956), 37—46.
267. W u у t s P., On the convergence-abscissa of a Laplace integral,
Nieuw Arch. Wiskunde C) 2 A954), 1—27.
268. Y о s h i h i г о Т., Some theorems of Fourier integral, Journ. Math.
Tokyo 1 A953), 87—93.
269. Young R. C, The asymptotic behaviour oi F(z)= \
Math. Z. 40 A935), 292—311.
270. Z a 1 d m a n S., La representation des fonctions vectorielles par
des integrates de Laplace-Stieltjes, Ann. of Math. B) 68 A95"
260—277.

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абель 71
Абеля интегральног.уравнение 71
Абсцисса сходимости интеграла
Лапласа 30
Асимптотическое разложение 132
Бесселя Н-преобразование 487
— К-преобразование 478
— преобразование 76
оператора 141
, таблицы 432
— функция второго рода 77
&-го порядка 49
Бореля обобщенная теорема 108
Вебера преобразование 80
Вольтерра интегральное уравне-
уравнение первого, второго рода 70
Гамма-функция Эйлера 48
Гильберта преобразование 90, 91
, таблицы 504
Данилевский 124
Двойной интеграл Фурье 14
, комплексная фэрма 14
Дифференцирование преобразова-
преобразования Лапласа 44
Единичная функция Хевисайда 95
Жордана теорема 34
Идеал 106
Интеграл Лапласа 30, 101
, своктва 30—39
— Мелера 87
— несобственный 115
— от операторной функции 114
—, сопряженный к интегралу
Фурье 90
— Фурье-Бесселя 76
Интегральная формула Фурье 14
Интегральное уравнение Абеля 71
Вольтерра первого, второго
рода 70
— — с логарифмическим ядром
72
Интегрирование преобразования
Лапласа 44х
Конторовш М. Я. 83
Конторовича—Лебедева преобра-
преобразование 83, 84
, таблицы 494, 497
Косинус-преобразование Фурье,
гамма-функция 192
, ортогональные
ны 189
многочле-
, основные формулы 164
1 функции гиперболические
186
, — гипергеометрическйе
вырожденные 239
, — интегральные 193
, — логарифмические 184
, — обратные тригонометри-
тригонометрические 183
, — рациональные и ирра-
иррациональные 165
, — сферические 245
, — тригонометрические 177
>, — цилиндрические 196
Косинус ф фмулч Фурье 15
Коэффициенты Фурье 11

522
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Лагерра многочлены 49
п-го порядка 91
— преобразование 91
— уравнение 91
Лапласа интеграл 30, 101
— оператор 63
— преобразование 30, 42, 43
интегралов 44
обобщенное оператора 109
функция 107, 108
оператора 102
производных 44
— трансформация 30
— уравнение 22
Лапласа — Карсона преобразова-
преобразование 43, 352—431
Лебедев Н. Н. 83
Лежандра сферическая функция
87
Логарифм 126
Локализации принцип 13
Макдональда функция 81, 83
Мейера преобразование 80
-, таблицы 461
Мелера интеграл 87
Мелера — Фока преобразование
87, 88
, таблицы 502
Меллина преобразование 73
, таблицы 422—431
Многочлены Лагерра 49
п-го порядка 91
Оператор 95, 136
— В 134
— дифференцирования 98
— интегрирования 99
— Лапласа 63
—, преобразуемый по Бесселю 140
—, — по Лапласу 101
— рациональный 100
— регулярньш 105
Операторная функция ПО
непрерывная 111
Операторное дифференциальное
уравнение 125, 126
Операционное исчисление, при-
применение к решению дифферен-
дифференциальных уравнений 127, 129
Ось сходимости интеграла Лап-
Лапласа 30
Пара косинус-преобразований
Фурье 16
— преобразований Фурье 16
— синус-преобразований Фурье 16
Парсеваля равенство 79
— формулы 18, 20, 21
Показатель роста функции 41
Поле 109
Последовательность операторов
сходящаяся 111
Постоянная Эйлера 48
Предел операторной функции 113
— последовательности операто-
операторов 112
Преобразование Бесселя 76
оператора 141
, таблицы 432
— Вебера 80
обобщенное 80
— Гильберта 90, 91
, таблицы 504
— Конторовича — Лебедева 83,84
, таблицы 494, 497
— Лагерра 91
— ~, свертка 92
— Лапласа 30
интегралов 44
обобщенное 107, 108, 109
, обозначение 42
оператора 102
, подобие 43
, применение к решению
дифференциальных и интеграль-
интегральных уравнении 51
проичвгдения функций 41
производных 44
, свойства 43, 44
— Лапласа — Карсона 43
, гамма-функция 413
— —, основные формулы 352
, функции гиперболические
394, 399
, — гипергеометрические вы-
вырожденные 413
, — интегральные 413

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
523
Преобразование Лапласа—Карсо-
на, функции логарифмические 386
, — обратные гиперболи
ческие 398
, тригонометриче-
тригонометрические 397
; , — показательные 383
, — рациональные и ир-
иррациональные 363
, — тригонометрические
389
, — цилиндрические 400
— Мейера 80
, таблицы 461
, формула обращения 81
— Мелера — Фока 87, 88
, таблицы 502
— Меллина 73
, обозначение 73
, таблицы 422
— Фурье 15, 16
¦ аналитических функций
20
— — функции двух переменных
20
— Ханкеля 77
• , связь с кратными преоб-
преобразованиями Фурье 78
, свойства 78, 79
, таблицы 432
Преобразования Фурье кратные
20
, некоторые приложения
22-25
Признак сходимости ряда Фурье
13
Принцип локализации 13
Произведение функций 94," 135
Производная непрерывная опера-
операторной функции 114
Равенство Парсеваля 79
Разностное уравнение 121
Разностный оператор 121
Рациональный оператор 100
Реализация оператора 97, 104
Римана — Лебега теорема 13
Ряд Фурье 11
для нечетной и четной
функции 13
Свертка функций 17, 39, 135
, обозначение 40
Свертывание 40
Синус-преобрачование Фурье,
гамма-функции 290
, ортогональные многочле-
многочлены 284
, основные формулы 258
, функции гиперболические
281
, — гипергеометрические вы-
вырожденные 337
, — интегральные 291
, — логарифмические 279
, — обратные тригонометри-
тригонометрические 277
, — показательные 268
, — рациональные и ирра-
иррациональные 259
, — сферические 346
, — тригонометрические
272
— —, — цилиндрические 294
Синус-формула Фурье 15
Специальные функции, таблицы
обозначений 149
Струве функция 77
Ступенчатая функция 115
Сферическая функция Лежандра
Сходимость ряда Фурье 13
Теорема Бореля обобщенная 108
— Жордана 34
— запаздывания 108
— обращения 32
— о свертке 40, 41, 74
— подобия 108
— разложения первая, вторая
46
— Римана — Лебега 13
— смещения 108
— Титчмарша 40
— умножения обобщенная 42
Тшпчмарш 40
Титчмарша теорема 40
Тождество Эйлера 12
Трансформация Лапласа 30
Тригонометрический ряд Фурье

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Уравнение Лагерра 91
— Лапласа 22
— преобразованное 129
— теплопроводности 23, 64, 66
Формулы Парсеваля 18
Функция 97, 137
— Бесселя второго рода 77
А-го порядка 49
— единичная Хевисайда 95
— Макдональда 81, 83
— непрерывно дифференцируемая
114
— нечетная 12
— операторная 110
непрерывная 111
—, представление посредством
простого интеграла Фурье 14
— Струве 77
— ступенчатая 115
— сферическая Лежандра 87
— четная 12
— Якоби 66
Фурье интегральная формула 14
«— косинус-преобразование, таб-
таблица формул 164—257
— косинус-формула 15
— коэффициенты 11, 13
— кратные преобразования 20
Фурье пара косинус-преобразо-
косинус-преобразований 16
Фурье пара преобразований 16
синус-преобразований 16
— преобразование 16
аналитических функций 20
функции двух переменных
20
— преобразования, приложения
22—25
, свойства 15, 16
— син> с-преобразование, таблица
формул 258—351
— синус формула 15
— тригонометрический ряд 11,13
Фурье — Бесселя интеграл 76
Ханкеля преобразование 77
, таблицы 432
Хевисайда единичная функция 95
Эйлера гамма-функция 48
— постоянная 48
— тождество 12
Элементы сравнимые по идеалу
106
Эфрос А М 42, 124
Якоби функция 66