Министерство высшего и среднего специального
образования РСФСР
Кубанский государственный университет
Е.В.Глушков Н.В.Глушкова
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
В ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ
УПРУГОСТИ
Учебное пособие
Краснодар 1990
УДК 539.3
Интегральные преобразования в задачах теории упругости:
Учеб, пособие /Е.В.Глушков, Н.В.Глушкова; Кубан. гос. ун-т.
Краснодар, 1990. 72 Ci ISBN 5-230-07696-8-
Излагаются основы применения интегральных преобразова-
ний для решения краевых задач линейной упругости и акустики.
Предназначено для студентов Ш-У курсов специальности
прикладная математика, владеющих началами анализа и теории
функций комплексного переменного. Может быть использовано в
научно-исследовательской работе.
Ил. II. Библиогр.: 12 назв.
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Кубанского государственного университета
Рецензенты: кафедра теории упругости Ростовского гос-
университета; д-р техн, наук И.К.Дунаев (Краснодарский по-
литехнический институт)
© f Кубанский
ISBN 5-230-07696-8
государственный
университет, 1990
ПРЕДИСЛОВИЕ
1
Настоящее пособие предназначено для студентов специальности
прикладная математика, изучающих применение интегральных преобра-
зований при решении задач линейной упругости и акустики. Оно ба-
зируется на курсе' лекций по дисциплине специализации "Интеграль-
на преобразований в задачах теории упругости",, который был раз-
работан Н.В.Глушковой и читался ею студентам ТУ курса кафедры ма-
тематического моделирования в 1982-1985 гг.
Данный курс входит составной частью в раэраоотанную в те же
годы систему спецкурсов: "Волновые процессы в упругих средах"(Е.Б.
Глушков),, "Методы решения интегральных уравнений динамических за-
дач теории упругости" (В.А.Бабешко), "Нестационарные задачи тео-
рии упругости" (А.В.Смирнова). Система этих курсов до настоящего
времени играет основную роль в специализации студентов, проводи-
мой на кафедре математического моделирования КубГУ, чем я опреде-
ляется актуальность пособия для текущего учебного процесса.
Более широко, но менее подробно материалы данных спецкурсов
, представлены в монографии fTj и указанных в ней научных статьях.
В настоящем пособии авторы попытались реализовать концепцию
изучения свойств интегральных преобразований и способов их приме-
нения на материале конкретных задач динамической теории упругости
и акустики. Причем задач достаточно актуальных, решение которых
’ было получено сравнительно недавно и во многих случаях в учебную
литературу вводится впервые. В соответствии с этим основные идеи
использования интегральных преобразований, такие, как сведение
уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным
уравнениям, построение матрицы Грина и фундаментальных решений,
показаны на конкретных задачах. Подробно рассмотрены задачи для
однородного полупространства, для сред, содержащих внутренние ис-
точники колебаний, и о концентрации напряжений в окрестности уг-
ловых точек. Обсуждаются вопросы реализации излагаемых методов на
ЭЕМ.
Пособие ориентировано на студентов Ш-1У курсов, освоивших
начала анализа и теории функций комплексного переменного. Сведе-
ния из .данных курсов приводятся без доказательства; желающие бо-
лее углубленно разобрать математические основы аппарата интеграль-
г
3
ных преобразований могут обратиться к монографиям и учебникам
Г2-47.
твикните
Идея возмо]кности применения интегрального, преобразования за-
родилась в XIX в. при использовании рядов Фурье для решения неко-
торых задач математической физики.
Известно, что периодическую функцию f(a) с периодом 2В ,
имеющую на отрезке [- С, £.] не более конечного числа точек разрыва
и абсолютно интегрируемую- на этом отрезке, можно разложить в ряд
Фурье в каждой точке, в которой она дифференцируема
^x) = ^s + g(a.co&^x + 6K<Wa^x),	(I.I)
* кг!	'
. I	г t
CLo=j-J^(x)dx, a.K = ±-/f(X)coo^xdx,
. e
6K= уf {(x)Oin^xdx , k = 1,2...,
или в комплексной форме
f(x)=f cKew,,x, dK=^-,	,	d.2)
K~~oO
1 t
cK=^p(x)e^xdx, K=0,±l,t2...
При определенных условиях, которые будут рассмотрены ниже,
ряды Фурье представляют собой интегральные, суммы и в пределе по-
рождают интегралы Фурье. Таким образом, метод разделения перемен-
ных естественным образом привел к идее интегральных преобразова-
ний.
Наряду с преобразованиями Фурье существуют интегральные пре-
образования других типов. В данном пособии рассматриваются основ-
ные свойства наиболее часто встречающихся на практике преобразо-
ваний Ханкеля, Лапласа и Медлина.
В следующем разделе, носящем также вводный характер, на мо-
t
4
дельном примере о колебаниях струны, показано, как исторически
происходил переход от метода разделения переменных к идее исполь-
зования интегральных преобразований; Подробный разбор данной прос-
тейшей задачи позволяет хорошо прочувствовать боновные правила
применения интегральных преобразований.
I. ПС6ЯТИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
I.I. Переход от рядов Фурье к интегральным
преобразованиям
Рассмотрим уравнение свободных малых колебаний струны, натя-
нутой вдоль отрезка	, и его решение методом Фурье.
Считаем, что отруна совершает малые поперечные колебания,
т.е. каждая точка струны может смещаться только в вертикальном
направлении, сохраняя величину своей абсциссы. В этом случае фун-
кция uCx,t), характеризующая вертикальные смещения струны, удов-
летворяет уравнению
^=Q?fe’ a-crxv5t	(ЬЗ)
ut и **-
с граничными условиями
u(.o,t)*=ixce,l)=o	(i.4)
(края струны жестко закреплены).
В соответствии с методом разделения переменных ищем решение
задачи (1.3)41.4) в виде ucx,t)=Xca)Tci) . Из уравнения (1.3)
следует Х-Т=(£Х"Т или, домножив на Jyy >
-Х=-= —= A-cofv<>t.	(1.5)
а?Т X
Левая часть равенства (!.§) не зависит от х , правая - от t ,
следовательно, это может быть только константа. Таким образом,
равенство (1.5) дает два независимых уравнения
Х”-лХ=0,	d-б)
’1,,,-а1лТ=0.	(1.7)
5
ИВ уаяовий (1.4) следует, что
' XCO)-X(E)=Q.	'	(1.8)
Любое произведение решений данных уравнений, удовлетворяющих
условиям (1.8), является также и решением исходной задачи (1.3)-
(1.4), следовательно, ее общее ревеиие - линейная комбинация (су-
перпозжция) всех возможных решений Хп(х)-Тг(Л).
Задача (1.6), (1.8) относительно Х(х) является однородной,
поэтому ее ненулевые решения существуют только для определенных
значений константы Л. • называемых собственными значениями (точ-
ки спектра линейного оператора). Соответствующие решения также
называются собственными решениями (или собственными функциями ли-
нейного оператора).
Найдем собственные значения ; общее решение уравнения
(1.6) имеет ид:
X С®) =с1еЯ“+сае'1Яж.
Граничные условия (1.8) дают относительно неизвестных конс-
тант CltC8 однородную систему
имеющую ненулевые решения только при обращении в нуль определите-
ля системы
(1.9)
Из уравнения (1.9) следует Л.п=-°£, oln.= ^’’
X (х)=С^<нл.о1ах, c^-cotvot, n_ = 0,i,...
Для каждого А-п. уравнение (1.7) дает общее решение:
ТдЪ = А^см «а-t) +	, Вл- .
Таким образом,
u(x,i)=Eu.n.Cx,£) U.n.(x,i)=T^(t)Oino/ax (I.10)
n=i
6
(суммирование идет от п.= 1 , так как u.o(x,t)=0 ).
Константы Ап, Вл определяются из начальных условий. Пусть
при 1 = 0 задана форма струны ^f(x) и начальная скорость сме-
щения ее точек <р(х);
Эи-(х.О) ф .
U.(x,0)=ytx), at =т(а9-	(т.п)
Из (1.10), (1.11) следует
Ё Д^оЛлАх =у(х),
< -	(1.12)
. пэ!
Константы о(п возникают при разложении в ряд Фурье функций,
заданных на отрезке В], поэтому девую часть (I.I2) можно счи-
тать разложением нечетных (только по синуса») функций, заданных
на отрезке [-С, Ц. Доопределим tf(x),\f>£t)нечетно на весь отрезок
[-L.B] и найдем их коэффициенты разложения в ряд Фурье
^(х) = Ёу>п<йлс1пх,	(I.I3)
для 'Их) аналогично.
Из (I.I2), (I.I3) следует An = <fn , Вп = £^ц-.
Итак, решение задачи (1.3), (1.4) построено. Посмотрим, во что
оно перейдет в случае бесконечной струны. Устремим длину В к
бесконечности. Собственные значения о,п=фь , сгущаясь, непре-
рывно покрывают в пределе всю положительную ось.
Обозначим Ае»п=с1п+1-ЫЛ= =>Х-	.
Сукму (1Л0)	С е
LL(X,t)=^ у(реЙПв!п|<1|-СО&с1па1+
у -Ып-о^аФ.) 5in.ot„X
можно рассматривать как интегральную, поэтому в пределе получим
U. (х,1)=	(ф(с^)С<»о1^+^^(4)А1ЛЫ<х1)Лл.о1хс14 > (I.I4)
ФС°о = Г (X)<>inolxcLx,	(4) = ](х)очло/xdx.
о	0
Набор собственных фующмй, по которым раскладывается решение
(1.14),, стал не дискретным, а непрерывным ( d непрерывно пробе-
гает полуось [ 0,0®] ) .
’ Аналогично ряд Фурье (I.I) при переходе от конечного интерва-
ла к бесконечному становится интегралом Фурье:
•?(х)=J (q.(d)ca>ol х+6<d) din.clx) d.cl,	(1.15)
О
u(ct)= (x)Ca>dxctx ,	f|(x)-5in.c(xdx.
Или в комплексной форме
cLoi’	(Ь16)
Ra)= p(x)eWxd.x.
—oe
1.2. Интегральные преобразования-обобщение метода
разделения переменных
Выражения (I.I4)-(I.I6) получены без строгого доказательства.
Строгий результат состоит в следующем.
Теорема 1,1, Если функция /?х) на каждом конечном интервале,
имеет не более конечного числа точек разрыва и абсолютно интегри-
руема на всей оси, то в каждой точке, в которой она дифференцируе-
ма, справедливы представления (I.I5), (I.I6).
Функцию Г(4) в (I.I6) называют преобразованием Фурье исход-
ной функции £(х) (оригинала |(х) ) или трансформантой Фурье.
Первую из формул (I.I6) называют о_брадением преобразования фурье.
Если £Сх) - четная функция, то в (I.I5) 6(У)= 0 . и
Jcobdx	(1.17)
О	о
Для £(х) - нечетной соответственно О-Со1)= 0 и
=	(I.I8)
Л О	О
Представления (I.I7), (I.I8) определяют косинус- и синус-
преобразование Фурье соответственно.
Они в отличие от преобразования (I.I6) определены на полуоси
и их используют для функций, заданных на полуоси.'Ряды Фурье, ис-
пользуемые для функций, заданных на конечном интервале, можно так-
же считать интегральными преооразованиями фурье в конечных преде-
лах, но здесь, в отличие от бесконечного интервала, обращение
осуществляется не интегралом, а рядом.
8
Покажем, как задача о полубесконечной струне может быть реше-
на непосредственно с помощью интегральных преобразований. Приме-
ним
ным
ЖИМ
синус-преобразование Фурье по зе к уравншию (1.3) и началь-
услввиям (1.П), заданным на полуоси	т.е. немног-
их на	и проинтегрируем от 0 до оо . Обозначим
UCd,t)=ju(x,i)<>tnd®dai.	.
. о	ж	ж	м OLL
Найдем синус-преобразование Фурье от второй производной
интегрируя по частям, получим
[Ж = |£->нлс1х|-dT|£a»<Wx=
=-d (u. (a,i) Соо d X | + d Ju- (х j-£)^n.docch:)=-daU
^0	° о
Внеинтегральные члены обращаются в нуль в силу граничных ус-
ловий u(,D,t)=O и условий на бесконечности Ц,^£->0 при ос-»оо
(Здесь и далее предполагается, что искомая функция u.(x,i) удов-
летворяет всем необходимым требованиям гладкости и стремится к
нулю на бесконечности).
Итак, в результате интегрального преобразования относительно
U (d,t) получили задачу:
4S +<&fu=o,	«.I»
cLt
{ U&D)=0(j*),'	(i.2o)
dUftO). -х^,
(<р х|г _ синус-преобразование Фурье от., у’.’р ).	.
Общее решение уравнения (I.I9) имеет вид U^,i)=Ae +Ве ,
константы (по переменной t ) определяются из условий (1.20)
А г .ч _ Wa0>(J)-..xp-foj) ft jdack-Q-W)
Отсюда
U(oi,£)=cx»>dat-4JCd)+
’	Q-C4
и после обращения синус-преобразования
U.(a,t)=£-j	•	(I.2I)
Т °	9
Представление (I.2I) совпало с полученным ранее методом раз-
деления переменных представлением (I.I4).
Итак, резюмируя вышеизложенное, можно сказать, что интеграль-
ные преобразования Фурье являются обобщением радов Фурье, а их ис-
пользование для решения задач - обобщением метода разделения пере-
менных на случай бесконечных или полубесконечных областей.
При выводе (1,21) было использовано синус-преобразование
Фурье, так как адро интегрального преобразования (функция Oinda:)
возникло здесь естественным образом как предел собственных функ-
ций	Различные задачи, отличающиеся исходными уравнения-
ми, областью, определения и граничными условиями, имеют различные
наборы собственных, функций.
Например, если рассматривать задачу о круглой мембране, ко-
лебания которой описываются (так же, как и струны) волновым урав-
нением, но уже двумерным	г
~-g-_aALL, Л--Эхг
то метод разделения переменных приводит к функциям Бесселя /В/.
Повторяя аналогичные рассуждения, приходим к интегральным преоб-
разованиям, ядром которых являются функции Бесселя Их на-
зывают преобразованиями Ханкеля. Применение интегральных преобра-
зований к уравнениям в частных производных позволяет уменьшить
число переменных, по которым ведется дифференцирование, и свеоти
их к обыкновенным дифференциальным либо к алгебраическим .уравне-
ниям.
2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Наиболее широко на практике используется преобразование
Фурье в комплексной форсе (1.16). Интегральные операторы прямого±
и обратного преобразования будем в дальнейшем обозначать и «Г
соответственно:
1 СО	. .	л
“ ЙГс^)е fX)>
Дадим краткое списание основных свойств преобразования Фурье.
10
2.1. Обращение преобразования Фурье
(а0), если в окрестности хо fat) непрерывна,
и	A.[f.(a-0)+/(Xc+D)], если ас0 - точка разрыва.
2.2. Преобразование производных
Если	- абсолютно интегрируемы на
всей оси, то
Действительно	ж
(agenda.
Бнеинтегральный член равен нулю, так как в силу интегрируе-
мости на оси /Сх)—>0	при х —»± °°-
Аналогично' если функция и все ее производные до К-того по-
рядка включительно абсолютно интегрируемы на оси, то
=	(2.2)
Свойство (2.2) доказывается последовательным интегрировани-
ем по частям. Данное свойство позволяет избавиться от производ-
ных по той переменной, по которой применяется преобразование
(дифференцирование заменяется умножением на - id ). Оно являет-
ся основным средством упрощения уравнений в частных производных
и в дальнейшем будет использоваться наиболее часто.
В силу (2.2) множитель (-id)K можно рассматривать как сим-
волическую запись оператора дифференцирования:
I^w], иля	, (2.3)
jt J(WR*)e-i-xda= fpW)© Ux<£<(, (2.4)
C. Ji-aa	CJI U J- -oo
что в свое время послужило основой для введения понятия псевдо-
дифференциального оператора и дробного дифференцирования /б/.
В дальнейшем при обращении двукратных преобразований Фурье
свойство (2.4) позволит нам свести их к однократным интегралам.
' II
2.2.	Преобразование разрывных функций
Пусть f(x) имеет разрыв первого рода в точке а:0 , а в
остальном удовлетворяет свойствам предыдущего пункта. Обозначим
р р. & р, W « 0^
-скачок производной ~0хк в точке zo
(при к=0 имеем скачок самой функции).
Преобразование Фурье ст функций, имеющих разрыв 1-го рода,
существует: <Г[/]= Rd). Рассмотрим преобразование от производ-
ных
— «Л*
+f(x)e‘£,x|°°-id Ca)eUtxdx=foeU(a:’- id Rd).
О	-06
Аналогично, интегрируя по частям отдельно на полуосях
[-оо, хо] и [хо эоо] в общем случае получаем
‘• -+(~Lcl)K	Rd). (2.5)
Итак, наличие разрыва приводит к появлению дополнительных
слагаемых, выражающихся через скачки производных в точке разрыва.
2.4.	Доведение Rd) при d —
Скорость убывания Rd) при о(—»сю определяется гладко-
стью оригинала f(x) . Если f(x) - интегрируемая функция, то .[(d)-
ограниченная и Rd)—>0 при о!—»± оо (это свойство является
следствием леммы Римана-Лебега для осциллирующих интегралов /27).
Если же непрерывны производные до порядка к включительно,
то в силу (2.2)
(Трансформанта Rd) убывает быстрее, чем о( К ).
2.5.	Преобразование Фурье от свертки функций
/ z
Пусть	/^(-оо^со)* функция
{2-6)
12
называется сверткой функций
К интегральным уравнениям типа свертки сводятся многие зада-
чи математической физиж, их также называют интегральным уравне-
ниями с разностным ядром. Например, перемещения поверхности упру-
гой полуплоскости U.(ai) связаны о поверхностными напряжениями
С|£о) соотношением /V
£ft<x-p<g$CLf=LLGr), -ообз^оо,	(2.7)
Где fccx) - известная функция, зависящая от упругих свойств по-
луплоскости.
Если требуется по заданным смещениям И.(Х) (напршер, штам-
па, действующего на полуплоскость) определить возникающие контак-
тные напряжения q.(x), то приходим к необходимости решать интег-
ральное уравнение (2.7).
Вычислим преобразование Фурье от свертки
Ш Ч]= ТЦ	(2.в)
-еО*«о
Поменяем порядок интегрирования и сделаем замену переменной
интегрирования х = У*'?-
-ОО * -ос
=Т4С?)емШТ£<'»)е“*^=г1ео-г2(=у.
—оо * *	—ОО
Таким образом, преобразование Фурье от свертки функций рав-
но произведению их преобразований Фурье
<z-9>
Решим интегральное уравнение (2.7) с помощью преобразования
Фурье; по свойству (2.9) имеем
к (oQ.QC°0=UCol),	(2.Ю)
здесь кди - преобразование Фурье от	соответственно.
Из (2,10) следует
пVWL,
исК W * гиГоП
откуда ^fa) = 5-J^e
13

2.6.	Свойства преобразования Фурье F(d) как
функции комплексного переменного
Пусть d=d+'i.T - комплексная переменная. Напомним, что
функция является аналитической в окрестности некоторой точки комп-
лексной плоскости, если она однозначно определена и дифференцируе-
ма в этой точке /4/. Таким образом, для аналитичности Г(с() необхо-
димо существование
' F'Coi) = L j je^(x)eWxd.x.
Если	T0_£|-ffx)|dx<oo и ^х^0(х~Н,
1х|—>оо,6 >0. В этом случае‘интеграл J a^fxje^clx схо-
дится при ot - вещественных по признаку Дирихле сходимости осцил-
лирующих интегралов (так как X^(X)->Q при |х| —>оо ).
Таким образом, для £ Z (-оо,оо) трансформанта Rpl) яв-
ляется аналитической функцией в окрестности,вещественной оси
I md =T = D комплексной плоскости d .По свойству аналитичес-
ких функций FCd) может быть единственным образом аналитически
продолжена на всю плоскость d, с разрезами (при наличии у Г(ol)‘
точек ветвления)'за исключением счетного набора особых точек (по-
люсов, существенно особых точек, точек ветвления) М.
Рассмотрим, в каких пределах можно использовать интегральное
представление
Г(сГ) = f |(x)e’“lxclx	(2.П)
—со
для построения аналитического продолжения в комплексную плоскость
о(
Пусть -f(x) имеет ограниченный носитель, т.е. вне некоторого
ограниченного отрезка [сцб] ^(х)=0. Тогда интеграл (2.II) су-
ществует для \/d , следовательно, Г (d) не имеет полюсов во всей
комплексной плоскости d , т.е. является целой функцией, и анали-
тическое продолжение на всю плоскость дается интегралом (2.II).
Пусть далее {-(х) задана на всей оси и при X—»±оо имеет
экспоненциальное•убывание:
14
ГАеГ,Х ,	X — co,
Be*'** ,	x —»-oo,	трО.
Учитывая, что_	, получает», что интеграл (2. II)
сходится, если еСи‘"<г^0 при х—»оо и в<“'Т-^0 при а—♦-«?.
Эти условия выполняются, если 'Т^-Т<0, Т2-Т >0 , т.е. для d:
ГЦ< Imol <rCi. Данное условие определяет в плоскости d так
называемую полосу регулярности, в которой F(d) не имеет особых
Для точек ol вне данной полосы интеграл расходится за счет
растущих экспонент, появляющихся при х—»оо (если Т 4/Cj, ) или
при х —*-оо со*Сг).
По теореме Коши А7 значение интеграла от аналитической
функции не зависит от положения контура интегрирования в полосе
регулярности
. oo+i/T
, для
С «Л
Более того, контур в полосе регулярности (да и сама полоса) не .
обязательно должен быть прямолинейным. Это обстоятельство сущест-
венным образом используется при построении решения динамических
задач в соответствии с принципом предельного поглощения /1,5/.
При неэкспоненциальном убываши /(X) ^=T2=0 , т.е. полоса
регулярности стягивается к оси 1пг4=| и интегральное пред-
ставление (2.II) неприменимо для комплексных d .
15
и полоса
2
Пример: -£(х)=е.|х1, в этом случае
регулярности — i4.Tmd^l. Действительно,
F(a)=je—ахИе—“а»=^+глг-	.
-оо	и
F(cl) регулярна во всей плоскости с{ за исключением полюсов
кг = ±1’
Обратное преобразование
можно найти по лемме Йордана и теореме Коши /4/. Для х>0 под-
интегральная функция экспоненциально убывает в нижней полуплоско-
сти (при 'С =1глсА ^-оо), а дан д < 0 - в верхней (при'Т’-х’о).
В первом случае, замыкад контур интегрирования в нижнюю полуплос-
кость, по теореме Коши заменяем значение интеграла вкладом вычета
в полюсе \±=“Ь попадающем внутрь замкнутого контура
X >0.
е = е.
Во втором случае
£(х)=. Ч&Ъ
На всей оси имеем ^,(х)= е"|х1
2.7.	Равенство Парсеваля
Скалярное произведение в прострайстве функций, интегри-
руемых с квадратом, вводится соотношением /7/
(ЫД = If Ci)^*(x)d.x,
*2 -оо
здесь и далее звездочкой обозначена операция комплексного сопря-
жения.
Равенство Парсеваля имеет вид
здесь	- трансформанты Фурье , соответственно.
Действительно,
*
16
(Мк=Х(ггХГ e-Uscd.d)^*(®>d.a=
=-W pl c°0 (T g*(x)e‘Uix<±K)cLci=
= JF(<*)-G*(ot)dci.
Замена порядка интегрирования допустима ввиду принадлежности
пространству Za.
Норма в Гильбертовом пространстве вводится соотноше-
нием	1
О сО	_
||{|| =[Ht=:)|2ax^,pZi.
Z -•©
В силу равенства Парсеваля
llrf = JLjrf ,
откуда получаем, что преобразование Фурье переводит в
(из H^IIz < оо следует ||П|д <оо ) и наоборот. Таким об-
разом, преобразование Фурье осуществляет взаимнооднозначное отоб-
ражение пространства Z2 на себя.
2.8.	Преобразование Фурье от обобщенных функций
Известно /7/, что любой линейный функционал от функции у,
принадлежащей некоторому классу Ф в самом общем случае может
быть записан в виде - скалярного произведения
(f »Т)4=Н<ж,У*С«)4х- '	’	1
* — ео
При этом элемент (функция) не обязательно принадлежит тому
же классу ф. Более того можно привести примеры функционалов,
действие которых не может быть описано при помощи классических
функций (а). Элементы в этом случае называют обобщённы-
ми функциями сингулярного типа или просто обобщенными функциями
(подробнее о введении понятия обобщенной функции можно узнать из
учебника Б.С . Владимирова [ъ].
Введение обобщенных функций было шзвано конкретными зада-
чами, в первую очередь задачами физики. Например, как ввести
плотность материальной точки, интенсивность сосредоточенной си-
лы и т.п
17
В качестве примера определим
линейную плотность сосредоточен- '
ной массы. Пусть единичная масса
равномерно распределена вдоль от-
резка Распределение плот-
ности ВДОЛЬ ПРЯМОЙ -сю^ОС^со
в этом случае описывается кусочно-
постоянной функцией
, 1х|4£,
. |х| ? 6.
(2.12)
При уменьшении & носитель функции уменьшается, _
максимум значения увеличивается (рис.2). Нас интересует - рас
пределение плотности при <£—>0. Если в (2.12) перейти к поточеч-
ному пределу при фиксированных X, то получим
Р.(х’= о
(2.13)
Это представление не является функцией и несодержательно,
так как не дает возможности найти массу точки по заданной'плотно-
сти. От плотности естественно требовать, чтобы интеграл от нее
давал массу
—оо
Рассмотрим интеграл от и возьмем так называемый сла-
бый предел:
или Ре<х)-*£(ж)- -Едесь £(х) как слабый предел имеет смысл
только под знаком интеграла J’J3CX)dX=l и не существует как
функция в классическом смысле.
18
Соотношение (2.14) можно трактовать как предел последова-
тельности значений линейных функционалов
^Я,Ь=ср..О,
и в силу полноты пространства линейных функционалов ч!) так-
же принадлежит этому пространству, т.е. является обобщенной функ-
цией.
Введенная вышеописанным способом обобщенная функция называ-
ется дельта-функцией Дирака и обозначается 8(Х). Она и -только
она задает функционал, ставящий	в соответствие ее зна-
чение при х=0
х	(2.15)
Соотношение (2.15) можно считать’определением 8 - функции,
а (2.12)-(2.14) - одним из способов ее построения.
Так как обобщенные функции вообще.говоря не являются функ-
циями в обычном понимании, их называют также (особенно за рубе-
жом) распределениями, в'Нашем случае - распределение плотности.
Регулярные распределения описываются классическими функциями, а
сингулярные, задающие сосредоточенные характеристики,- обобщен-
ными.
Однако для обобщенных функций вводится ряд тех же понятий,
что и для обычных, такие, как производная, преобразование Фурье
и др.
Производная вводится как слабый предел производных регуляр-
ных функций
если (.9',^) =	<?)>
«>
Найдем 5(aQ. Пусть fysCa-)e-C'o (бесконечно гладкие,
стремящиеся к нулю при |х|—»«= ), и	—»ОСЖ)
- - J 8(x)<f'(x)dx=- cf 'CO?,
т.е. 6': $ &'(x)y(x)dx=-/(.O).
—oo
19
В общем случае
б''*': $	(2.15')
-оо
Преобразование Фурье обобщенных функций вводится с помощью
равенства Персеваля
НЖЧ- г
если f- обобщенная функция, то г - ее преобразование Фурье.
Найдем <3Г[&] , по определению
^)=(5,^=[5(x)9(x)d.x=i £Г (d)G(d)dx.	(2.16)'
С другой стороны
(2.17)
Сопоставляя (2.16) и (2.17) при Х=0 , получаем Г(с0=1.
Это же следует и из непосредственной подстановки
Rd)=(;S(x)e*xcLx =еы0=1.
-Оо
Формально можно записать
8С*)=Ул№ЛТе1‘1*‘Ч	<2лв)
— Оо
но в обычном смысле данный интеграл расходится. Пользоваться
представлением (2.18) можно только под знаком интеграла. Необхо-
димо помнить, что результат, полученный путем формальных действий
с обобщенными функциями, является распределением и требует еще
одного интегрирования.
Преобразование Фурье б - функции, заданной не в начале
координат, а в некоторой точке Хо , имеет вид
. Соответственно для производных 5	- функции инеем
<-iyWeu*c =(-W)aeWx%
т.е., как и для обычных функций [см. формулу (2.2)] , каждая
производная дает множитель - иск .
20
Интересно отметить, что в то время, как обобщенные и обычные
функции являются принципиально различными объектами (первые вооб-
ще не функции), трансформанты Фурье и тех и других являются ана-
литическими функциями, отличающимися только поведением при
В этом смысле использование преобразования Фурье (и не толь-
ко Фурье) при решении конкретных задач позволяет забыть об этом
различии и работать просто с фунм*иш комплексного переменного.
2.9.	Кратные преобразования Фурье
*
Для функций п. переменных £(х) , х с Rn
= <2Л9>
Интегрирование здесь проводится по всему пространству К,
ы А,- -^п), Х=(х1,Х1,...>хп.) - и- “ «ерии® векторы и
<d,x> = £dKXK .
к=1
Например, в двумерном случае
R4 А) = И f
Т-'[П 4(«,»)	й Г(Ч.
Для производных, как и в одномерном случае, справедливо
г 7^*? ап	Р Р
7 <2-ад
3. КОЛЕБАНИЯ УПРУГОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА
ПОД ДЕЙСТВИЕМ ГАРМОНИЧЕСКИХ
ПОВЕРХНОСТНЫХ НАГРУЗОК
Использование преобразования Фурье при решении краевых задач
теории упругости наиболее эффективно в тех случаях, когда упругое
тело занимает объем, содержащий бесконечно удаленные точки, и все
границы тела параллельны тем координатным осям, по которым берет-
21
ся преобразование. Свойства тела вдоль этих направлений также
должны быть постоянными, но могут меняться в перпендикулярных
направлениях. Преобразование Фурье неприменимо по тем координа-
там, вдоль которых свойства среды непрерывно меняются.
Указанна! условиям удовлетворяют слой, цилиндр или полупро-
странство. Для простоты остановимся на случае полупространства.
Наша задача: получить интегральное представление решения для уп-
ругого полупространства в форме (2.7), (2.10).
3.1. Постановка задачи
3.1.I. Физическая постановка
Однородное изотропное упругое
полупространство в декартовой сис-
теме координат X,ty,2 занимает объ-
ем -оо<х,у<»о, -оо^г^оо (рис.З).
К его поверхности в области Q
приложена нагрузка /C=^.(a:,y)e~Lot>
а вне напряжения 'С отсутст-
вуют. Колебания среды предполагают-
ся гармоническими установившимися с
круговой частотой со . На бесконеч-
ности перемещения и напряжения стремя™тя к нулю и выполняются ус-
ловия излучения Зоммерфельда /I/.
Требуется определить волновое поле, возбуждаемое источником
колебаний в упругой среде.
3.2.2. Математическая постановка
Установившийся режим колебаний означает, что зависимость всех
характеристик задачи (перемещения, напряжения и др.) от времениt
описывается множителем . В силу линейности задачи данный
множитель можно сократить и в дальнейшем работать только с комп-
лексными амплитудами соответствующих величин, не оговаривая это-
го особо. Например, Re[CL(x,^>2)e''Uk>t]- вектор перемещений то-
чек среды. В дальнейшем работаем только с вектором	=
называя его также вектором перемещений (подробнее эти
вопросы см. в Д7).
22
Вектор перемещений характеризует отклонение каждой точки те-
ла с т начального положения, компоненты его u,, V, W	являются
непрерывными функциями координат. Векторные величины здесь и да-
лее обозначаются чертой сверху; предполагается, что векторы явля-
ются векторами-столбцами. Наряду о традиционными обозначениями в
тех случаях, когда необходима тензорная запись, мы будем пользо-
ваться цифровой индексацией координатных осей и соответствующих
компонент векторов и тензоров: st={а:1,х2,а:3}, u.=£u1,U.2,uj)h т.п.
Механическое состояние упругого тела характеризуется компо-
нентами тензоров деформаций бу и напряжений бу /9/, кото-
рые в линейной теории упругости связаны уравнениями движения
здв- > ь = 1,2,5.. •
соотношениями обобщенного закона Гука
. 4=1.2,3...
и геометрическими соотношениями Копи
^=»Чг+и/>1 ’ Ч=1’2’5-
Здесь	- вектор объемных сил, Р~ плотность.
С^п - коэффициенты- упругости материала. Как обычно в тензорной
записи предполагается суммирование по одинаковом индексам и ис-
пользуется обозначение для производных по координатам в виде
Эх/ *	_ .
Вектор напряжений ‘Т=гС1,Тг,'Г3^ } возникающих в упругом те-
ле на'некоторой элементарной площадке с нормалью п.= nJ,
выражается через компоненты тензора напряжений
1=1,2,3.
(3.1)
(3.2)
(3.3)
(3.4)
“ t »
В изотропном случае, когда упругие свойства тела одинаковы
во всех направлениях, закон Гука (3.2) выражается только через
две независимые константы
В=£ц"*£22+£35 •
(константы Ляме):
4=1.2 А
«4
(3.5)
1 ,
О,
23
Учитывая (3.3)-(3.5), напряжения Т можно выразить через
перемещения , и. в виде Т; = Т- й. , где Т - линейный дифферен-
циальный оператор. В изотропном случае
—	_ - А Эй
. T = Tu=ActLVLL-ri+2/L-g^ + JU\flX ^XOtu).	(3-6)
В соответствии с (3.3), (3.6)
_ п Эи. ' ~ (Ъи. L Этт)
бх-Л.е+2>да. , Чеу-луэд + вх/>
4=Ле.+2/1^±,	=
e-dML=^+'*£+&,
здесь ^z=<olt,	и т.д.
_^Для установившихся гармонических колебаний инерциснжй член
Рт? в (3.1) принимает вид — рб/й . Подстановка соотношений
(3.5), (3.3) в уравнения (3.1) приводит к уравнениям относительно
вектора перемещений CL , называемым уравнениями Ляме /9/
(JL+/L)V-diVU+7XALL+pC0au + J = 0.	(3.8)
Или в покомпонентней записи и в традиционных обозначениях
+	+fx=0
< (71+ JUL) + JJ.AV + рсогтг + ^=Q	(3?9)
[(Л+	+ JLUAXJ+pcO2V+^=0.
В дальнейшем предполагается, что объемные силы отсутствуют,
Т-е- fx=fy=fl = 0-
В рассматриваемой задаче на_поверхности полупространства
Л = 0 задан вектор напряжений 'Е={.Тхг
Я=1 _ 1Ч<а>У) .	(а,у)€Л,
[о ,	(3:10>
24
а на бесконечности требуется выполнение условий
й-*0	при R =Vx2+y2+.z2 <эо (З.П)
и условий излучения.
Итак, относительно неизвестных перемещений й имеем крае-
вую задачу (3.9)-(3.п).
3.2. Сведение к обыкновенным дифференциальным
уравнениям
Геометрия задачи позволяет применить двумерное преобразова-
ние Фурье по х ,у к уравнениям (3.9) и граничным условиям (3.10
Учитывая правило (2.20), имеем
KW) +/tC-dfU-o(f U+U')+
+ pto2U=0,
(Л+ЮС-^А^-0^ V- idgW')+u-(-d2V-c(2V+V,')+
<	,	„	(3.12)
+pc/V=O,
СЛ+/x-х- ци- ld2V+W>+A(-<W-4 w+ w'>+
+pco2W=0.
Штрихом здесь и далее обозначена производная по Z ,
u=(u,v,w)=3-[tt].
Из (3.10) с учетом (3.7) получаем при 2 = 0
/l(V'-W2W)= 0г,	(3.13)
д c-4v-Lc<2v)+a+2/t.)w'=03,
Систему третьего порядка (3.12) с граничными условиями (3.13)
можно упростить, расщепив на две независимые задачи второго и
25
первого порядка. Расщепление осуществляется заменой
(и +8+
0Х Зу ’
-ц- =	(3.14)
0у Зх’
кЪТ=ЪГ.
Или в трансформантах
'U= -
. V=-Ld^ + Ld^,
|w=w, Ф=яу]Л=Я+1-
(3.15)
Данная замена является частным случаем замены
LL=Vy+'U>tf,	+	+ = {0,0,
расщепляющей уравнения Ляме на два независимых волновых уравне-
ния. Наличие поверхности 2=0 не позволяет воспользоваться ею
в общем случае (граничные условия не расщепляются), поэтому мы
используем замену (3.14), дающую расщепление уравнений и гранич-
ных условий только в плоскости, параллельной X0Y.
Подставим (3.15) в уравнения (3.12), получим
1 -	+ td1^'4rn+
+ i.d9[(^2K)c(z-p^]4>+ ц(->о/г+ра/)ф=0,
(. Jt+2^)W"-	=0.
(3.16)
26
В системе (3.16) домножим первое уравнение на , а вто-
рое - на dj и сложим, а затем первое - на о!г , второе на -с^
и еще раз сложим, в результате получим две независимые системы
относительно 4>jW
A^"+QVL)W+(pco2-(V2/u)o(2)<i> =b,
(3.17)
-(Л^^Ф'+Срсо2-/lc?)W = U
и относительно 4^
>L4r"+(p6>2-/M.clL)'^’=0.	(3.18)
Аналогичные преобразования граничных условий (3.13) приводят
их к ваду:
(-Л^Ф+СЛ+2^)^7’= й3,
I-L^oZ^^'+V^xoQQj+o/^	при 2=0,	(3.19)
-Ь^.с1г'Ф‘,=о(2.01-о(10^	при 2=0.	(3.20)
Перепишем задачи (3.16)-(3.20) в матричном виде. С этой
целью введем два вектора неизвестных
У=(Ф,Ф',ЧУ'}’, Х={'У,Г)Т,	. (3.21)
27
-	% =[da(A+2/t)-ро?]	,	a„=-
а«=°<г(Л+/4-)/(Л4-2>и.),	а45= (ot^u.
(b	*Л
В = Ь о ),	61=(.рсо2+Ло/г;/^
\ 4 J
/-W О О 71+2/\
\ О -уд.с(г	О /
/ &3 \	_ / о \
Р-	I	- / I
\< Qt. + °кйг. / ’	y-ijxopl-
3.3. Построение общего решения полученных
систем
Итак, имеем две краевые задачи (3.22) дая систем обыкновен-
ных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Об-
щее решение таких систем в случае отсутствия кратных собственных
значений может быть выписано в виде
__ и _______ J
Y=EtK-mKeK,	(3.23)
здесь N - размерность системы, - собственные значения, а
тк соответствующие им собственные векторы матрицы системы, .
неизвестные константы, определяемые из N граничных условий.
Конкретно для первой задачи Ы=4,
/к - ^CA-fKE)=0,	(3.24)
С А -/КЕ)"Ч'О>	(3.25)
для второй задачи N=2,
х = Е s.-n-.e^'.	(3.26)
i *
28
'.det CB-5p=0,	(3.27)
rt. *. Q В - E) nj = 0,	(3.28)
£^-Ccxrtt,E- единичные матрицы размерности N.
Найдем вад собственных значений и векторов из уравнений (3.24),
(3.25) И (3.27), (3.28).
I.	Раскроем определитель (3.24):
-X	I 0	0
—У 0 ч. _
О	О	-у.	1
0	0.1*2, ^43	“X
det(A-XE>
— X — С^2^чг +	+0иО«з=^*
Здесь Q^z/ "	*
Ои= <
<^-гт-)пг- (<**•
4	Л1, 7	12
В динамических задачах теории упругости традиционно приняты
следующие обозначения /I/:
21
,aea=£^L, <^n=i(< п=1Д (3.29)
причем ветви радикалов бп. выбраны так, чтобы выполнялись усло-
вия Ив^п ^0, Imdn^0 при о( - вещественных. Данное требова-
ние диктуется условиями излучения и обеспечивается выбором разре-
зов, соединяющих точки ветвления ± cBn.^nsl.S с бесконечно уда-
ленной точкой и целиком лежащих в I и Ш квадранте комплексной
плоскости ol (подробнее см. ZI7).
29
В обозначениях (3.29) уравнение принимает вид
откуда ^г=^, и.=1,2 и окончательно
/ = -б) У =±И	(з.зо)
“1,2.	°2-
Для определения собственных векторов тк распишем систему
(3.25)
тк = {т15тг, т3,т«}
~^К1П4 + та = О
Gai171* ~	+	— 0
|	- ^кт5 -+ т<, = О
- 0.
Отсюда, выразив гт>г,п^ через т£,п^, получим
+ 6^*3 ~ Ук >3 = 0.
(3.31)
Уравнения (3.31) в силу (3.24) линейно зависимы, пользовать-
ся можно только одним из них, зафиксировав одно из неизвестных и
выразив остальные через него. Для различных к имеем
4 =d4,	mi= 1 => гп^Л ,<,d423;
Уа=-^1» miel=>rn2=(l,-^4»-^i,^};	(3 32)
=d2 , m3=o(a=>m3={e$a, d2,	o(ada J;
X, =-dz,	т3хс(г=>т^=4-^г>^а,с(а-dzdz}.
Аналогично для матрицы В
30
-S’ i
сЦ(В-$Е> _б =^=0=>
Для определения собственных векторов nj имеем !
(3.33)
КЗ
-&|\ + пг =0	(	1'
О	I
а	=>п.4=|
^ап4 “ £;п2=0
О
(3.34)
Неизвестные константы tK>6. в (3.23), (3.26) определяются
условий при_ 2 = 0 и 2-»-оо. Последние выполняются, если
Уб>*>2),Х(<Л2)-»0 при 2—>-оо.	(3.35)
Проанализируем поведение экспонент в Х(У,Н),У(с(,2) при
2—>-оо. Для каждой из них при о{ - вещественных наделяется два
случая:	'____(
I) HI >аек, dK=14/8-aeK - вещественная,
2)|Ы|4аек, dK - чисто мнимая.
сГкЖ А
В первом случае е	—>иэ в	—>оо при Z—у-оо и для
выполнения условий (3.35) необходимо положить ^г=^=2г-0. Три ос-
тальные константы	однозначно определяются из трех ус-
ловий при 2 = 0.
Во втором случае экспонента становится осциллирующей, не име-
ющей предела при 2 —♦ -оо (|ee"^| = 1 при V 2), однако анализ их
вклада в окончательное решение LL(x,^.,z) показывает, что он стре-
мится к нулю при Z-9-оо как для ed|c2, так и для в~^2 ZV.
Следовательно, для |Ы| 4аек при обеих экспонентах е^2 констан-
ты могут быть ненулевыми, что не противоречит условию (З.П).
Таким образом, число ненулевых констант становится больше
трех, и из условий при z = 0 они определяются неоднозначно - ре-
шение становится неединственным*.
Для наделения единственного решения формулируются дополнитель-
31
ные условия, которые принято называть условиями или принципами
излучения, Формулировка различных принципов и техника их приме-
нении подробно описаны в Д7» Так как в случае однородного полу-
пространства все они эквивалентны, воспользуемся наиболее прос-
том и физически наглядным принципе»* Зоммерфельда, в соответствии
с которым требуется, чтобы в решении оставались только те состав-
ляющие, которые описывают распространение волн от источника на
бесконечность.	. .
„	___ „	-гос .
Учитывая опущенный ранее множитель е , убеждаемся, что
при |а|<аек	списнвает плоскую волну, уравнение расп-
ространения которой дает условие постоянства фазы
±1тёк 2- cot = COn4>t.	(3.36)
Продифференцировав уравнение (3.36) по времени t , считая, что
ж=гСЬ) определим фазовую скорость iT?" -	•Так как
ТО Jf-<0 дая е+б*а И g-70 даМ
В соответствии с принципом Зоилерфельда фазовая скорость
долина быть отрицательной ( ось Z направлена вверх), поэтому,
слагаемые, содержащие экспоненты	Должны быть отброшены,
так как они описывают волны, идущие к источнику из глубины. Сле-
довательно,	и для |сЦ4ёек.
3.4. Вывод матрицы Грина упругого полупространства
Итак,
>	/о 4*74
и осталось определить неизвестные t±, t5, S4 из граничных ус-
ловий при 2=0 (см, (3.22)).
В силу линейности задачи можно_вдраэита в виде су-
перпозиции решений вспомогательных задач У, удовлетво-
ряющих тем же уравнениям с единичными граничными условиями при
Ж=0:	. .
__	(1\ _ 0
Т-Х1ж=0=^п > Пх1Д ei= \0 )» &г~V /	(3.38)
'32
и • (е,х£)=1.'
(3.39)
Действительно, несложно убедиться в том, что
Y=Pa'XtP“’Ya, Х=(аг0.-а,0г)х,
удовлетворяют уравнениям и граничным условиям (3.22)
компоненты вектора Р '	— —
(3.40)
(здесь г -
тенты вектора ) •	— —
Для компонент векторов "X, традиционно приняты следующие
обозначения:
Найдем вид функций M,F^R,SfN для’однородного полупрост-
ранства. ’ ___
Подставляя .в виде (3.37) в условия (3.38) относительно
неизвестных получаем
Т- X, = (Т.(Tffi3)t3=en , п={г2,
или в матричном виде
B-t=en_, п=1»2,
Л _ (2/1 (ol-0,5ae.|) ’ 2л°<г4 т Ai)
b“\ -2i.Ad4	\t3/’
По правилу Крамера Ь. =	, Ь.=. -^г,
здесь А = det В,	А	Л
для п=1, Д^вгг, Аг = ~8г1>
для ti=Z, Д1 = -61г, <Аг= 841 .
Определитель матрицы В имеет вад:
Д=4^го1г[-(Ыг-0,5эе|)\^М^г] •	(3.42)
Таким образом,
Р«Л)= 2у4г[.(<Л 0,5^)^^**],
R (о1.г)= г^Ч[.(о|». О.бафе'ЧсЛ^], (з 2,
М (a,z)=	[- Ыге^ + («А 0,5аЦ )е^г],
S <а,2)= [-^е^оАОДафе**].
Аналогично дая Х£ из (3.39) следует
- L/L	St = 1 => Si = _	- У
N (cl 2) - L__Q?1*.	(3.44)
' ’	=	5
Выразим искомые перемещения U через заданную нагрузку
Учитывая (3.15) и (3.40), имеем
’U = -Lo(1(PC1)P+
- v= -1о1г CPW Р+ Р<2) М)+
1х= P^R + P^s,
или, группируя члены при Ок в матричном виде
VColi А) = К (^,^,2)0(44 А),	(3.45)
4lcoi2m-k£N) -wtda<M-N) -ь°*1Р\
к= (-w^CM-N) - tCdlM+^N) -L<4p).
\ dAs	<4s R /
Применив обратнее преобразование Фурье, получаем
[jKWA,z)6«,oe*'“'b”[idld<l!=	<з.4в)
(2т> ; 1	34
=Я*-	у-г.2)?(^г)сЦФг,
здесь
5 S K^.da.^e^^^cLo/a.
Vc3Tj IJ £
Контуры интегрирования *4>t почти всюду совпадают с вещест-
венной осью, отклоняясь от нее в комплексную плоскость только при
обходе вещественного полюса функций М, Р, f?,£, Такой выбор
контуров диктуется условиями излучения ZV. Полюс £ является '
единственным вещественным корнем уравнения Релея
д(Ы)= -«г-0.5аф\<Л5^,	<3-47>
его вклад в решение (вычет (3.46) в данном полюсе) определяет
волну Релея, распространяющуюся вдоль поверхности упругого полу-
пространства от области приложения нагрузки. Матрица в (3.46) на-
зывается матрицей Грина упругого полупространства по аналогии с
функцией Грини для неоднородных дифференциальных уравнений. Из-
вестно /8/, что функция Грина уравнения Zu=^ (Z - диф-
ференциальный оператор) определяется как решение уравнения
(3 - £ - функция Дирака). Свертка с правой частью яв-
ляется частным решением исходного уравнения:
Аналогично столбцами матрицы й. являются векторы перемеще-
ний, вызванные в полупространстве сосредоточенными поверхностны-
ми нагрузками	т=1,2,3, направленными вдоль коорди-
натных осей ( йщ,- координатные орты), а перемещение й, вызван-
ное произвольной нагрузкой выражается сверткой (3.46).
Матрица K(o(^oL,,2) является преобразованием Фурье от й(х,у,Д)
по а, у.; в соответствии с терминологией теории псевдодифферен-
циальных операторов ее называют также символом матрицы й.. Пере-
ход от К к L в (3.46) осуществляется путем подстановки
О=(Г[ф] и замены порядка интегрирования.
3.5. О построении матрицы Грина для других
задач теории упругости
Общая структура (3.46) решения первой краевой задачи теории
упругости сохраняется и в случаях, отличных от однородного упру-
35
того полупространства. Например» в случае упругого слоя конечной
толщины остаются прежними уравнения и условия на поверхно-
сти 2=0, а условия на бесконечности заменяются условиями на ниж-
ней поверхности слоя z=-Fi, к которым как и к условиям на поверх-
ности 2=0 также применимо преобразование Фурье.
Таким образом, остается в силе изложенная схема построения
рещения, а в случае нулевых условий при — и структура мат-
рицы К. Меняется только конкретный вид составляющих ее функций
M,N,P»R,S.
Аналогично в случае многослойного полупространства добавля-
ются условия на границах раздела слоев, которые не портят общей
схемы решения, но размерность системы для определения неизвест-
ных констант tK,S. быстро растет с увеличением числа слоев, что
практически не позволяет выписать элементы матрицы К в явном
виде. В этом случае разрабатываются специальные алгоритмы пост-
роения матрицы K(o/itda,7) на ЭВМ.
Также только численно строятся функции M,N,P,R,S и для
слоя или полупространства с непрерывной зависимостью свойств сре-
ды от глубины. Системы (3.22) становятся в этом случае системами'
обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициен-
тами, что не позволяет выписать их общее решение. Решени' возни-
кающих здесь краевых задач строится численно с’помощью изместных
разностных’ методов.
Обзор методов построения матрицы К для вертикально-неод -
неродных сред дан в /V .
Рассмотренная схема построения интегрального представления
решения первой краевой задачи неприменима, если свойства среды
зависят от горизонтальных координат. В этом случае исходные урав-
нения в частных производных не сводятся к обыкновенным дифферен-
циальным уравнениям с помощью преобразования Фурье, так как из
интегралов типа
7 , . сГи.(Х) 'io/х .
J Ф) е dx
нельзя выделить U(o()=7[u].
Итак, на примере однородного изотропного упругого полупрост-
ранства нами разобрана общая схема построения решения (матрицы
Грина) с помощью интегрального преобразования Фурье.
Данный метод используется также и в случае многослойных и
вертикально-неоднородных полупространства или слоя, причем не
только изотропных. Его используют и в аналогичных задачах стати-
ки (при 0=0 ), а в сочетании с преобразованием Лапласа по f -
и для решения соответствующих нестационарных задач. Во многих
случаях решения имеют вид (3.46), отличающиеся только конкретным
видом функций M,N,P,R,£ в матрице К .
4. УПРУГОЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО, СОДЕРЖАЩЕЕ
ВНУТРЕННИЕ ИСТОЧНИКИ КОЛЕБАНИЙ
Выше мы рассмотрели первую краевую задачу для^упругого полу-
пространства при условии отсутствия объемных сил: |=0. Объемные
силы моделируют так называемые внутренние источники колебаний,
например, в упругой среде это могут быть очаги землетрясений, под-
земные взрывы, излучающие трещины и т.п.; в средах,' описываемых
волновым уравнением,- источники ^вука, света, радиоволн и других
видев электромагнитного излучения.
Как уже указывалось ранее, решение,описывающее излучение
волн внутренними источниками, выражается в ваде свертки фундамен-
тального решения с правой частью соответствующих уравнений. В нас-
тоящей главе на примере акустической и упругой сред показана тех-
ника применения преобразования Фурье для построения фундаменталь-
ных решений. Далее на их основе получено решение для внутреннего
источника в упругом полупространстве, списывающее наряду с волна-
ми, излучаем^ источником, также и волны, отраженные от поверхно-
сти среды.
4.1* Фундаментальное решение уравнения Гельмгольца
Рассмотрим уравнение Гельмгольца
= f Сх), Х = (2С1,ЭС2,Х3}& R, (4.1)
описывающее гармонические колебания в акустической, электромаг-
нитной и ряде других сред. Для определенности будем считать, что
имеем дело с акустической средой, в этом случае -^потенциал
скоростей /5,67. Скорость смещения частиц среды ТГёий> является
градиентом ^>:-ir=-vy, а давление р пропорционально Ч*:
( р - плотность среды); волновое число ft.=6)/C, где С - ско-
роста звука в среде. Правая часта ^(х)е задает источник звука,
локализованный в некоторой области V ( ^(х)=0 вне V ).
- Известно /8/, что частное решение неоднородного уравнения
может быть построено в виде свертки фундаментального решения д(х),
удовлетворяющего уравнению
XG R3
(4.2)
(4.3)
и правой части f (х)
7(*)=(g*f)(x)=f9(x-fy(£)oLf.
Дельта-функция В(х) в уравнении (4.2) описывает источник
колебаний, сосредоточенный в начале координат*.
Примеры построения фундаментальных решений различных урямне-
ний с помощью интегральных преобразований приведены в учебнике
/§7. Действуя аналогично, применим к (4.2) преобразование Фурье
по всем трем координатам.-Относительно	<X={o/bd₽,<^A
получим	’ J
(4.4)
(4.5)
G&)+№G(d)=l, у?=0^4-i-ctj-»-о(* t
откуда
Таким образом, ___________
j .	-L<o(,X>
В пространстве d сфера fi-k. является полярным множеством
подынтегральной функции, поэтому $(£) определена неоднозначно.
Для однозначного определения $(х) необходимо предварительно ука-
зать, как понимается интеграл ст функции, имеющей особенность
(например, в смысле главного значения или же полюс обходится кон-
туром, отклоняющимся в комплексную плоскость).
Кроме того, фундаментальные решения определяются о точностью
до слагаемых <£(х), являющихся решениями однородного уравнения.
Этим произволом в выборе фундаментального решения пользуются для
удовлетворения граничных услевий излучения на бесконечности. Фи-
зически наиболее наглядным результат получается, если условия на
бесконечности удовлетворяются не за счет добавления %(х) , а
самим фундаментальным решением ф(х). В этом случае ф(х) описи-
еает волны, идущие от точечного источника на бесконечность, т.е.
является решением для сосредоточенного источника в однородном без-
граничном пространстве. При наличии границ к нему добавляется
удовлетворяющее граничным условиям и условиям излучения и описыва-
ющее поле отраженных волн.
Итак, необходимо из представления (4.5) выделить решение,
удовлетворяющее условиям излучения. Для этой цели воспользуемся •
принципом предельного поглощения /1,5,5/. Пусть в (4.5) ft_=ft.£=
=ft+tfe.t, ft. >0, тогда у подынтегральной функции нет полюсов и интег-
рал однозначно определяет функцию ^£(х). Мнилая часть волнового
числа ft.2 пропорциональна внутреннему трению 6 ( ft=0 при 6=0 ),
поэтому #£(х) описывает поле источника в среде с затуханием; на
бесконечности при |х|—»оо, 2£(Х)—»0.	В соответствии с прин-
ципом предельного поглощения в качестве $(х) возьмем равномерный
предел при &—*0.
В .пространствах хи/ перейдем к сферическим координатам
и ® заменой
x1=Rcot>y> 5in^,	d1=y>cot>^6in8,	040 ,
Хг = ₽<ХЛ <-f	.	o(2-y>Oin^6in0,	0^^,
x3 = Rco«>^,	d5 = £C0i8,	O^Ji,
Имеем
(4.6)
] оо Лг
+ c^0coe>f.
Внутренние интегралы по 0 берутся в явном виде. Интег-
рал по в соответствии с формулой /10/:
J е?хсоъ(у"^/ =	(х)	(4.7)
дает 2зг Oo(^RtHa0*in.'j')} далее по формуле 2.12.21(6) из /tlj
39
т1!.. "I
солсбл^-х2')
.. л/с? - X2'
2/oCcx)dx =
^(ол/бЛ+с2)
Убг+с2’ ’
а>0
О
получаем
[Гс-г .)dfd0=4^^
Таким образом,
(4.8)
,,,*,_ 1 7 >***., I 7№R^
2w*R i ГЛ Рг-<4» J ..
Здесь в силу четности подынтегральной функции $(...)cLy>=
Подынтегральная функция имеет два полюса jb=±&£ , располо-
женных при £#=0 выше и ниже контура интегрирования. При 6-» О
полюса выходят на вещественную ось, поатому предварительно дефор-
мируем контур интегрирования таким образом, чтобы при »0 полю-
са не пересекались с ним (рис.4)
Значение интеграла (4.8) при де-
формации контура без пересечения
полюсов в силу теоремы Коши /4/
не изменится.
Переход к интегрированию по
контуру d позволяет выполнить
равномерный предельный переход
при <5-*0 , что приводит к интег-
ральному представлению:
। y>-t>in.C)R
у-i1
Здесь в отличие от представления (4.5) интеграл определен
однозначно. Иной выбор контура б (например, с обходом обоих по-
люсов снизу или сверху) также дает фундаментальное решение исход-
ного уравнения, но они уже не удовлетворяют условиям излучения,
соответствующим принципу предельного поглощения.
' Несложно убедиться, что решение (4.9) удовлетворяет и усло-
виям излучения Зоммерфельда (описывает волны, фазовая скорость
которых направлена от источника на бесконечность). Действительно,
40
замыкая в (4.9) контур ё для составляющей синуса е\ в верх-
няя) полуплоскость комплексной плоскости £ , а для e^R - в
нижнюю, по лемме Жордана и теореме Коши, взяв вычеты в полюсах
tfe. , получим

е<ЛЯ
Т
(4.Ю)
Выражение (4.10) является классическим представлением сфери-
ческой волны, излучаемой точечным источником /5,£$ ее фазовая
скорость R= -^-=С равна скорости звука в среде и направлена от ис-
точника на бесконечность вдоль радиусов R .
4.2. Представление фундаментального решения в виде
суперпозиции цилиндрических волн
Интегральное представление (4.5) можно трактовать _как разло-
жение сферической волны (4.10) по плоским волнам е1<^>ж> (супер-
позицию плоских волн). При рассмотрении слоистых сред использует-
ся разложение решения (4.10) пс системе цилиндрических волн, расп
ространяющихся параллельно границам раздела.
С этой целью найдем преобразование Фурье пс хгу. :
I00 tJbR
.. И’П’
Используя цилиндрические координаты
X = ЪС-ОЪ^,	,	о(г=о(*+о(*,
y = 2Otn.cf, о/г = о/
и формулу (4.7), получим
[В
z i
По формуле 2.12.23 (8) из [l^ :
(4.12)
41
Г «
О ^хЧ?2
Л'
_сог> С 6 т/зЛ+г2)
’с4»(гУбГ^
• Cl
2J (.Сх)с1а: =; л i
Сг )1 0 <с <6,
^яп. От/вг~с2) J Re г >0,
-4= expC-jrV^F), 0<6<с,
Иег>П
имеем
 -dial ।------------------------.
G(cl,jr)=--X--——»	, Red->0, Imd^O. (4.13)
с ©
Обратно
2(г>= Аг Я	(4.14)
*1	—OQ
1 7 edia*
=~dV^"'	•
Для каждого фиксированного, ol подынтегральная функция в
(4.14) представляет собой цилиндрические волны, амплитуда которых
убывает при g—»°о как Qdz)- ,г (в силу асимптотики функции Бес-
селя	х-»оо,а множитель e"rfl?l описывает зависи-
мость их амплитуды от вертикальной координаты Я.
Представление (4.13), (4.14) можно получить непосредственно
из (4.5), взяв по вычетам интеграл по о^. Рассмотрим интеграл
т 1 с е
I ) = А 5 Й г.г~Тг; dd3 >
контур , как и ранее, выберем по принципу предельного поглоще-
ния.
При 2 7U контур Q
Полсоами в плоскости о(3
можно замыкать вниз, при Z<U - вверх,
являются точки	положение ко-
торых меняется при изменении с*. Здесь важно правильно выбрать
42
ветви радикалов, чтобы однозначно определить положение полюсов
относительно 15 . При о(г > ft2 имеем два чисто мнимых полюса,
расположенных выше и ниже контура, а для о(г4 ft2 они, сливаясь
в нуле при c(=fe. , выходят на
вещественную ось, расходясь
далее с уменьшением d в про-
тивоположные стороны (см.рис.5).
Контур Q должен быть выб-“
ран так, чтобы при выходе полю-
сов на вещественную ось не проис-
ходило пересечения контура. Вводя
внутреннее трение
убеждаемся, что полюо Vft4-d2',
Рис. 5
спустившийся сверху, движется далее вправо и поэтому должен обхо-
диться контуром Q снизу, а - л/&г-ог - влево и сверху. Ветвь
радикала должна быть выбрана так, чтобы при вещественных d
^0,
Взяв вычеты, получим
eu7ll2-e(2’|3E|
I(2)=‘L
d = -illkZ~dZ'.
Полученное представление (4.13), (4.14) удобно для сопряже-
ния фундаментального решения с условиями, заданными на горизонталь-
ных границах раздела ? -conot.
4.3. Матрица фундаментальных решений упругой среды
4.3.1. Рассмотрим внутренний источник f(x) в упругой сре-
де, описываемой уравнениями Ляме (3.8). Здесь в отличие от преды-
дущего случая объемная сила £ , описывающая источник, является
векторной Величиной и поэтому фундаментальное решение $(х) в
свертке
(4.15)
—со
должно быть матрицей соответствующей размерности.
Действительно, рассмотрим системы
.	ft=i,2,3.	(4.16)
43
Здесь L матричный дифферендаальный оператор уравнений
Ляме (3.8), ёк координатные орты. \
Вектор-функции фк— фундаментальный решения, соответствую-
-------------“ ---- осциллирующей вдоль направле-
iK. Для произвольной силы	в силу линейно-
задачи имеем
щие сосредоточенной силе Sfije1
ния ё,
сти
з °*	_
щх)=Е
Ksl "~ОО
. Предполагая, что ЯкС®) являются столбцами матрицы
приходим к представлению (4.15).
Для построения матрицы д(х), как и в случае акустической
среды, применим к уравнениям (4.16) преобразование Фурье по всем
трем координатам X. Относительно матрицы	получим
алгебраическую систему
М-б=Е,
(4.17)
М = (_рсог_^рг)Е - СЛ.+АУ2), cD=llc5/e.oiK ||£K=i,
где Е-единичная матрица.
Отсюда G=M-1. Обратить матрицу М можно в явном виде,
выполнив предварительно некоторые упрощающие преобразования.
Ранее при построении матрицы К замена (3.14) и ряд преоб-
разований приводили к расщеплению исходной системы на две неза-
висимые. Данные преобразования эквивалентны замене
G=P-V,
(4.18)
и умножению-системы слева на
(P-M-P)V =р,
(4.19)
РМ Р= (р«Чи^г)Рг-<А+Л) Р^Р,
44

О
D
D
Система (4.19) распадается на две независимые
N.VR и N.-U=Pa. <4.ад
Здесь ч.в-матрицы 2x3, состоящие из первой и третьей
строк матриц V и Р соответственно, а ^}1|-1хЗ - вторые
строки V иР;
(clz (А	7-<Х	— 1о13с1г\
i/-^)	dj! J.
йг=-<*гср<*>а->£г.)*
Определив V из (4.20) и учитывая связь (4.19), имеем
А<Ж^
«Ж
А=у.	4).
Или, учитывая разложение
х_ ______________Г_1________1 '
A >4^2>X4-4) [^-4 Х~**Р	(4.21)
При обращении преобразования Фурье множители о^входящ.
матрицу Ч), дают производные по хк (см. (2.3)), а интегралы
ст 1/(^г-ае£) имеют вид (4.5) (на месте ft. константы аеа).
45
Для последних получено явное представление (4.10), следова-
тельно-,
^Las^R
~R R"
(4.22)
lae.R
а2 з
8I°“ ®*=l1 вЦ1Ч V
Кроме того, опираясь на представления (4.II), (4.13), нес-
ложно получить аналогичное разложение для матрицы ф(ге) в слу-
чае упругой среды
Л 1 ГгьЧ'21 I . flx/₽d*lzl е*^|х,М
-------<4.23)
4.3.2. В качестве примера рассмотрим точечный источник
= Аб(Х-Хв)е , расположенный в точке хо=(0,0,-А} уп-
ругого полупространства 2^0, —оо ^Х,у4оо. Предполагается, что
поверхность полупространства 2=0 свободна от напряжений, т.е.
выполняются условия
T=T-U=0 при 2=0,	(4.24)
Т - оператор напряжений (3.6).
В соответствии с (4.15) возбуждаемое источником прямое поле
смещений Ло имеет шд
txo(x)=g(x-x0)A	(4.25)
(интеграл в (4.15) берется в явном виде в силу свойства S' —
функции).	_
Функция U-0(x) не удовлетворяет условиям на поверхности
(4.25), поэтому полное волновое поле й.(х) наряду с СЕО долж-
но содержать и некоторую составляющую обеспечивающую выпол-
нение этих условий: u. = U.o+ll4. Считая и.о найденной, сформу-
лируем задачу относительно и.±.	т _ —
Из исходных уравнений L CL+J>C3aLL= А б (х. - Хо) и гранич-
ных условий Тй Ij.q—-0 получаем
= А б(х-х0)г(£йв+рогйв)=0>	(4.26)
46
ТиД=о = “Tu-oUo -
(4.27)
Если обозначить - то задача (4.26), (4.27) полно-
стью совпадает ^рассмотренной ранее задачей о действии поверхно-
стной нагрузки Q на упругое полупространство. Ее решение в тран-
сформантах Фурье по а,у- имеет вид (см.(3.56))
Ц(Л,о1г,Е)=
здесь Q-=^ty [-Тщ]|ж=0=--Т.ив|гз1),
/лй 0 -Ьо?1Л \
Т* — I 0 yLt'5? ъ j.
Трансформанта	легко строится с помощью матрицы
в&АЛ) (4.23). Таким образом,
OtCpQ >о,г) = "“Т-G (dodaj/l)-А •
Физически условие (4.27) означает, что напряжения, возникающие на
поверхности при рдении волны LLO, компенсируются полем смещений
ц-поверхность также становится источником, эквивалентным нагрузке
— Tu. I . возбуждающей поле отраженных волн LL,.
о|2х0
5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХАНКЕЛЯ
Ранее в главе 4 при переходе к цилиндрической системе коор-
динат возникали интегралы вида (4.12),.(4.14), содержащие функ-
ции Бесселя. Данные интегралы можно рассматривать как новое ин-
тегральное преобразование, ядром которого являются функции Бессе-
ля. Ввиду тесной их связи с двукратными преобразованиями Фурье
неоложно сформулировать их свойства, исходя из свойств преобразо-
ваний Фурье, перечисленных во второй главе. Таким образом, прихо-
дим к понятию преобразования Ханкеля (используется также название
"преобразование Фурье-Бесселя").
Преобразование Ханкеля может быть введено и непосредственно,
47
без ссылок на преобразование Фурье. К понятию преобразования
Фурье мы пришли, рассматривая решение задачи о струне методом раз-
деления переменных. Рассмотрим аналогичную вспомогательную задачу,
приводящую к понятию преобразования Ханкеля.
5.1. Задача о колебании круглой мембраны
Смещения поверхности u.Ct,y,t) круглой тонкой мембраны ради-
уса о- удовлетворяют волновому уравнению
С — константа, зависящая от жесткости материала мембраны; в поляр-
ных координатах ч, у оператор Лапласа имеет вид
Предполагается, что край мембраны жестко защемлен:
и в начальный момент времени t=0 заданы форма изгиба и скорость
смещения точек мембраны:
Ou.ez,y,D) _ f f 7 уч .	(5.2)
Как и ранее, строим решение методом разделения переменных
Из (5.1) имеем
ДУ. - Т = -Л*- corvi>t.
тг саТ
Квадрат и знак минус при X поставлены здесь для дальней-
шего удобства, изначально же никаких ограничений на значение кон-
станты нет, Л. может быть как вещественной, так и чисЩо мнимой.
Зависимость от времени определяется из уравнения
- Т" + Л*оЧ=0,
общее решение которого имеет вид
48
T(l) ^CO&COTltj+C^Oin СсН).	(5.3)
Относительно 1Г(?,У) имеем краевую задачу
B'lT 1 ВтГ . 1 0й1Г П
+Т1г + ггТ572 + 4Г-и’	(5.4)
ТГС<2.,</)= О ,	0^7.40..
Разделение переменных 7 и ij приводит к общему представле-
нию решения уравнения (5.4) в виде ряда Фурье '
V(«,y) = £ W)e^
пг—о»
функции е1"* исчерпывают все решения уравнения Ф /ф=соги>£,
удовлетворяющие условиям непрерывности Ф(.О)=ФС20Г)].
Для функций 1£,(7) приходим к уравнениям
+ To? "	(5,5)
с граничными условиями
lTn(Q)=0.	(5.6)
Заменой х = АЛ, у (X)=Vn	уравнение (5.5) сво-
дится к уравнению Бесселя
К*у,'+Ху, + СХа-Па)у=О,	(5.7)
свойства его решений (цилиндрических функций Бесселя, Неймана и
др.) подробно описаны в руководствах по специальным функциям (см.,
например, /То/).
Функция	„
m! rCJ+rn+1)	(5,8)
называется функцией Бесселя первого рода. Вторым линейно незави-
симым решением уравнения Бесселя является функция С[п(х) с отри-
цательным индексом.
Таким образом,
у(х>ед=6Дад+^-п<Л*), 6*. 8г-со™1.
Функция Хп(х) в точке х=0 имеет П- кратный полюс, поэ-
тому, исходя из требования ограниченности решения (смещений мем-
браны), необходимо положить 6а=0.
Условие (5.6) в свою очередь определяет допустимые значения
- 49
константы Ji : из ^(аЛ)=0 следует Л=Л.пгп=^,т=1,2,3,.:.,
где Znm - нули функции За6с). Функции Бесселя первого рода имеют
счетный набор вещественных нулей До/, причем
Znm~ гпЗГ+п-тР +	при т->оо.	(5.9)
Таким образом, общее решение исходной 'задачи является линей-
ной комбинацией собственных функций задачи (5.4) -
rt=0,±l,„. и функций (5.3) для задачи по t :
u.(^,t)=f	С5.ю)
Пл-оо msi
Аналогично тому, как функции е141^ являются ортогональными
на отрезке 0	у^25Г, т.е.
21Г
J е.^- е14”* <±у = 0	дан и =# m,
ортогональны и функции	/5,10.7:
=0 для	C5.II)
(это общее свойство собственных функций, соответствующих различ-
ным собственным значениям).
Константы Clnm, С8ит определяются из начальных условий
(5.2):
3wCU4e‘"’4iC1^-
k С этой целью разложим’ функции , /г в ряд Фурье по и
в ряд Фурье-Бесселя по t .По у имеем
*•	П=»С9_
• \ 25Г1	,
j	e=i,2.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых экспонентах,получим
^Clnm	(5.12)
£ С7|-«г,С2пт	= fzn(Z) •
ГП-1
50
P g §
Воспользуемся условием ортогональности (5.II), домнохим
(5.12) на	и проинтегрируем по X от 0 до CL ,
учитывая, что ZV
о.	о	о
Г 3W1 unm*ndT.=-|*[3lnl anB><n],
получим
с*~ =[|,дч	(ЗХл-))1] •
< О-	ПаА . а1 (5,13)
5йпт = j fzn^ ДпЛЛпт’г)7-С^г/КС^-пт'2^ Нп| ]•
О
Ряды (5.12), коэффициенты которых определяются соотношения-
(5.13), определяют разложение Фурье-Бесселя функций, заданных
отрезке 0 41 4= а. Как и в случае рядов Фурье в пределе при
-юо приходам к интегральному преобразованию.
Действительно, исходя из асимптотики /5,10/
и учитывая (5.9), получим при О.—»00
wna^’l~"a 4 *2*'’
I ДА —А — Л .
Далее в разложении типа (5.12)
при О.—>оо сумма становится интегральной:
что в пределе приводит к соотношению
f w=Т	)pdpdA	(5.14)
или
51
Hn[fl = jHjpftap W=Fn а),	(5.i5)
H“*[F] s fF„ сэдЗ, (лэдал=/Ф-	(б-к)
Здесь E„ (ЭД-преобразование Ханкеля (Фурье-Бесселя) функции,
интегрируемой на полуоси с весом ZfnQj>)p’ соотношение
(5.16) дает обратное преобразование Ханкеля.
5.2.	Некоторые свойства преобразования Ханкеля
*>1
’.К,
5.2.1.	Рассмотрим подробнее связь между преобразованием Хан-
келя и двумерным преобразованием Фурье:
Fc«1.o‘8)=/f/c^)et(4a:+e,‘«>dxdy.	(5-17)
—со
Перейдем к полярным координатам
X=ZCO*y, Г<*< =е<с<х>/,	Ч=.~\1х1+^г,
у = г>йгу,	[с(г = о(-еЛпу,	+
и разложим функции f и F в ряд Фурье по У и / :
^а»У>“Д/"<г)е8лу»	(5.18)
Г(&,су=ЕГп^)еЧ	(5.К)
Нг-о»
Подставим ряды (5.18), (5.19) в соотношение (5.17) и восполь-
зуемся интегральным представлением функции Бесселя /ТО/:
^Cx)=^₽fe^+^d&.	.
• fc»*'» о	ULJ
Приравнивая коэффициенты при одинаковых экспонентах е , полу-
чим	ж
Fn (d) =2<Hn ffn(2) Э/о(г)г4*=2'П',-Ч,[/п]
о
или
Таким образом, коэффициенты рядов Фурье (5.18) и (5.19) с
точностью до постоянных множителей связаны между собой соотноше-
ниями преобразования Ханкеля. Особенно простая связь получается
52
для осесимметричных функций •j-(a,y)=j (г). В этом случае
JT [fl=£ (d)=2flT Jf/г) Зо (с!г) гс1г = 2trH0[fJ.
о
5.2.2.	Известно, что преобразование Фурье от производных
гладкой функции выражается через ее трансформанту (2.2), (2.20),
что позволяет уменьшать размерность дифференциальных уравнений
либо даже сведать их к алгебраическим системам.
Для преобразования Ханкеля соотношение вида (2.2) не выпол-
няется, однако ясно, что должен быть некоторый аналог этого свой-
ства.
Равенство (5.20) показывает, что двумерное преобразование
Фурье с параметрами d4>d& выражается через преобразования Хан-
келя с параметром	Следовательно, к выносу в преобразо-
вании Ханкеля множителя
них, дающая <d4 + oij,
Лапласа Д=-^Ц;+-— .
8
должна приводить комбинация производ-
в преобразовании Фурье, т.е. оператор
Таким образтал, для преобразования Ханкеля имеем
(5.21)
Справедливость данного соотношения можно проверить непос-
редственной подстановкой (г) в виде (5.16) в уравнение (5.5)
(заменив в нем Д. на d ), учитывая, что функция Еесселя «Jn(dz)
является его решением.
6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА И МЕЛЛИНА
Итак, мы рассмотрели преобразование Фурье для функций, за-
данных на всей прямей или плоскости (в общем случае во всем про-
странстве R ), и тесно связанное с.ним преобразована»? Ханкеля,
возникающее естественным образе»! при переходе к полярным коорди-
ната*». Для функций, заданных на полупрямой	используют
также преобразования Лапласа с ядром ер и Меллина с ядром
Рассмотрим их свойства.
6.1.	Преобразование Лапласа
Формулы для прямого и обратного преобразования Лапласа (как
53
и связанного с ним преобразования Меллина) с помощью замены пе-
ременных можно также получить из преобразования Фурье. В этом
смысле их можно рассматривать просто как различные перефорыулиров
ки одного исходного преобразования, приспособленные к специфике
рассматриваемых задач (геометрия области, аналитические свойства
и др.)* На практике однако во многих случаях удобнее бывает изу-
чать свойства каждого из них непосредственно, а не получать их
соответствующим переносом свойств исходного, т.е. рассматривать
их как независимые преобразования.
Пусть функция ^(х) интегрируема на любом конечном интервале,
а на бесконечности удовлетворяет условиям
тогда по свойству (2.6) ее преобразование Фурье регулярно в
полосе Imd4'C’a и контур обратного преобразования дол-
жен быть расположен в этой полосе
ifC+oo
Рис.6
Замена переменной о(=1р дает
Rup)=<PcP)=H(x)e‘P*dx>	(6.2)
f Cx)=^T J Ф(р)е₽х<Ар •	(6*3)
Контур интегрирования в (6.3) - произвольная вертикальная
прямая Rep=T, расположенная внутри полосы ^<Рер<Т2 (рис.6).
Формулы (6.2), (6.3) представляют собой так называемое дву-
стороннее преобразование Лапласа, определенное на функциях, обла-
дающих свойством (6.1). Обычное (одностороннее) преобразование
Лапласа получается из (6.2), (6.3) в случае, если ^(х)зО для
зс.<0, т.е. для функций заданных на полуоси х>0:
Д[НМ|с*)е*1ах=Фср),	(6.4)
Z‘l№ J-T I	•	(6.5)
v	л5ГЬ«е-1.о»
Для таких функций снимаются ограничения (6.1) при X—>~оо,
поэтому полоса регулярности становится полуплоскостью регулярно-
сти Rep > ‘tj.; единственное ограничение для контура интегрирования
в (6.5): Т >'Ei.
Наиболее широко преобразование Лапласа используется при ре-
шении линейных нестационарных задач, %ак как зависимость от вре-
мени "t определена на полупрямой tМ). Аналогично свойству (2.2),
преобразование Лапласа по времени переводив дифференциальные опе-
раторы в полиномы от р :
= рФср)+£СШ, f
=P14,cp)'’-pK0H'C°)>
(6.6)
Пример. Рассмотрим некоторую линейную систему с одной сте-
пенью свободы, движение которой act) описывается обыкновенным
дифференциальным уравнением:
/ [П
ь . at1
Здесь	— полином с постоянными коэффи-
циентами ак, £(^-заданная функция (вынуждающая сила).
Считая, что в начальный момент времени система покоится
55
u.cO)=1l(.0)=u.tN’i,cO)=0,	(6.8)
требуется определить траекторию ее движения U.Ct).
Применим к уравнению (6.7) преобразование Лапласа по t, учи-
тывая (6.6) и (6.8), имеем
(6.9)
AMCp)Ucp)=Fcp),
здесь Ucp)=L[u.L Fcp)=Z»LH-
Отсюда UCp)=RCp)/ANCp) и для U.(t) имеем
u.(l)=^- ( -ElEleptdp.	(6.10)
2«e?tee АмСр)
Контур интегрирования в (6.10) расположен правее всех полю-
сов подынтегрального выражения. Предположим для определенности,
что вынуждающая сила действует ограниченное время, т.е. О
при t > to. В этом случае ГСр) - целая функция, не имеющая
полюсов, (интеграл (6.4) по конечному отрезку абсолютно сходится
для всех р ) и полюсами Ufp) являются только корни полинома
Аи(Р)»Обозначим их рк , k=£,2,...,N.
Зная корни рк> интеграл (6.10) можно представить в виде
суммы вычетов.
Замыкая по лемме Жордана контур интегрирования при t<0 в
правую, а при t > 0 в левую полуплоскость плоскости р, в. слу-
чае однократных корней имеем:
О , ь<0
д£<ме-л с
(6.II)
Уравнения типа (6.7) возникают во многих областях техники,
в частности, при анализе электрических цепей и радиосхем. Преоб-
разование Лапласа для их решения впервые в конце прошлого века
было использовано (без достаточного математического обоснования)
английским инженером Хевисайдом. Начиная с его работ, такой метод
решения нестационарных задач, в котором дифференцирование заменя-
ется умножением на р носит название "операционное исчисление".
В настоящее время по операционному исчислению имеется обширная
литература (см., например, [2] и обзор в ней).
56
6.2.	Преобразование Медлина
6.2.1.	Пусть на луче (0,«») задана функция |(г), локально
интегрируемая на любом конечном отрезке [6,R], fc>0, R< ОО.
В отличие от рассмотренного выше преобразования Лапласа фун-
кция f(Z) в нуле может иметь особенность вида -f	Z-*0,
причем допускаются и неинтегрируемые особенности при	На
бесконечности I	при Z.>R, €>z > .
Для функций данного класса при •»i<ReS<dJ> существует ин-
теграл (6.12), который определяет ее преобразование Медлина:
= И1<^г	•	(6.12)
Обратное преобразование задается формулой
(6.13)
Ьс-иоо	~ у
здесь контур лежит в полосе регулярности Т (S): 61< пе.ц<®г.
Преобразование Медлина можно получить из двусторежнег» преоб-
разования Лапласа заменой переменных. Действительно, обозначим в
(6.2), (б.з) p=-s,“t = ex, (friz),0(5)=Фс-£),
получим
Ф C-S)=J К en.x)za'1clt = f 9 (z)zs'lclz = Mg [ 9 J t
REn.7.)=~f 45(-s)z‘/!cLs = ^? [GcsX^m/CGI.
^Jlb-T-Lo*
Таким образом, преобразование Медлина, хотя и определено,
как и Лапласа, на функциях, заданных на луче (0,°°), эквивалент-
но не одностороннему, а двустороннему преобразованию Лапласа.
Преобразование Медлина можно определить и на функциях, у ко-
торых < >dt, т.е. нет полосы регулярности. В зтсм случае интег-
рал (6.12) разбивают на два (. £= f ) ив каждом из них берет-
ся свой параметр S удовлетворяющий условиям сходимости Res>dt
для первого и Res < С>г для второго. Далее строится аналитичес-
кое продолжение получившихся функций ^(S), Тг($) на всю плоскость
5, и контуры интегрирования в формуле обращения (6.13) для них
сводятся к одному.
При пересечении в процессе деформирования контурами полосов
Sjs) CT(S) в соответствии с теоремой Коши к интегралам добавляются
вычеты в данных полюсах.	,
57
Однако на практике случай > da встречается редко, так
как обычно преобразование Меллина используется при изучении
свойств решения в окрестности нуля, и при 2-*<х> функции предпо-
лагаются убывающими с достаточной скоростью (например, быстрее
любой степени t , при этом ^а=°° ). Во многих случаях, рассмот-
ренных ниже, также предполагается, что функции и их производные
удовлетворяют требованиям сходимости встречающихся интегралов.
Основные свойства преобразования Меллина:
I)	M3[fccui)]=as2'cs),
Ms[f(Z.'>)]=	p-веществ., p#D,
Mg <с1чу] = R?	Г^амма-функция, (6.14)
2)
3)
4)
5)_
6)
7)
Свойства 1-3 легко получить из (6.12) соответствующей заме-


ной переменных. Свойство 4 получается интегрированием по частям:
lU4J ° мРН
Для S, таких, что I	сходится, внеинтегральное сла-
гаемое обращается в нуль, в результате
Ms[g£]-d_s)^£s~b-	(6.15)
Далее обозначим	тогда по (6.15) имеем
м,[
G	=(2~s)tT(s-2),
ИЛИ
(еле)
58
М Г б jI	п-ь
При рассмотрении ] обозначим $z)=J^ и воспользуемся
формулами (6.15) и (6.16) и т.д. В результате при переходе к сле-
дующей производной порядка п. на единицу уменьшается аргумент в
Ф и добавляется множитель (п-S). Цепочка множителей
...(n-S) в силу свойства гамма-функции Г(1+а)-хГ(х) может быть
записана в виде Г(п+1-5)/Г(1-й) или с помощью символа Похг'аммера
(О-\Д07:
а. Са+1)... (а+n-i) =	.
Свойства 5 и 6 следуют из 4 и 2. Действительно, рассмотрим
МЙ<»[41=	16.^
=T(s)+(l-(s+l))‘X(s)=(l-s)7cs-).
Последовательное применение формулы (6.17) дает требуемое
свойство 5.
Аналогично
что приводит к свойству 6.
И наконец, свойство 7 (йеллинсвская свертка) может быть полу-
чено как из соответствующих выражений для преобразования Фурье
или Лапласа от свертки (равенство Парсеваля), так и путем непос-
редственного интегрирования. В последнем случае имеем:
мЖ-тМ ?.(*)„ (пс свойству I), а интеграл по t в свою
очередь имеет вид J £s' -j-	=^(S), что приводит к требуемому
равенству.	°	1
6.2.2. Изучая свойства преобразования Фурье, мы убедились,
что с его помощью можно построить явное решение интегрального
уравнения типа свертки, заданного на всей оси (точнее интеграль-
ное представление решения в виде обратного преобразования Фурье
от известной функции). К уравнениям такого типа сводятся линейные
краевые задачи для областей с параллельными прямолинейными грани-
цами, уходящими на бесконечность (многослойные среды), и несмешан-
ными граничными условиями.
В свою очередь с помощью преобразования Лапласа решаются ли-
59
нейные задачи для дифференциальных уравнений на полупрямой.
Аналогично преобразование Меллина лучше всего приспособлено
для решения задач в клиновидных областях. Но здесь уже для пост-
роения явного интегрального Представления, решения необходима не
только линейность, но и однородность уравнений (все дифференциаль-
ные операторы по пространственным координатам должны , быть одного
порядка). Таким условиям отвечают задачи статики теории упругости,
электростатики, гидростатики и т.п. Наличие инерционного члена в .
задачах динамики нарушает однородность уравнений. С помощью преоб-
разования Меллина в этом случае задача сводится к дифференциально-
разностным уравнениям, для которых не существует общих методов
построения решений, как, например, для обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений с постоянными коэффициентами.
В качестве примера рассмотрим задачу об антиплсспсй деформа-
В условиях антиплоской деформации предполагается, что все
напряжения и смещения направлены вдоль оси у и зависят только
от координат а,2 т.е. -
ц.={0,11,0} , 1Г=1Г(Х,2)
_ е 4o,s,o},
n. - нормаль к поверхности.
Относительно *(*>¥) имеем краевую задачу:
Д1Г=0,	0^^400,	(6.18)
= i	при у=±0, 0^24°°-	(6.19)
Для простоты предположим, что заданные напряжения не
имеют особенностей при Z-*0 и убывают быстрее любой степени при
'г. —»оо.
60
к
Применим преобразование Меллина по 7 к уравнениям и гра- •
ничным условиям (6.18), (6.19). Учитывая, что в полярных коорпи)'
натах (г,у) оператор Лапласа имеет вид
~ г 8iAx Вг /	>	имеем
^+S®V=0,	-94^40,	(6.20)
cs?- <6-2I>
Здесь V (M) =	•
Общее решение уравнения ,(6.20) имеет вид
VCs.y)+ eae"tsy,'
константы сА,Сг определяются из граничных условий (6.21):
. i-SB .	_ 1 П+
t/je c-f_ — use сд — jj^r ,
Is e“Ls0c. - i.seuBc4 =4tFT
Таким ооразом,
тг _ Fg)^xcs(y-t-9))+ ГЪ)<нп.С5(У-8))
*CS,yj •	ct^QZsQ)	}	(6.22)
и исходным уравнениям и граничным условиям (6. 18), (6.19 ) будет
удовлетворять любая из функций
• С +иоО
4C^y)=^JieeVcs,cf)<eds.	(6.23)
Константа С здесь определяет положение контура интегрирования
в обращении Меллина. При различных значениях С функции 1^. от-
личаются
61
на сумму вычетов в полюсах, расположенных между этими контурами
(см. рис.8). В рассматриваемом случае полюсами функции (6.22 )
являются нули косинуса:
±sK=±f(2K-i)/2B , к = 1,2,3,...	(6.24)
Итак, решение исходной задачи (6.18), (6.19) неединственно.
Неоднозначность возникла из-за того, что при постановке не было
указано требуемое поведение решения в окрестности вертким клина,
,т.е. при Ч—*0. Однозначную связь между характером поведения
функции при Ч—*0 и полюсами ее преобразования Меллина устанав-
ливает следующая
Теорема /3/. Пусть функция foo непрерывна, при Z-*°о
убывает быстрее любой степени 2, а в окрестности Z=U разлага-
ется в сходящийся ряд
{О!) = ЁскНк, 0 4г 46,	(6.25)
Ksl	г—
тогда ее преобразование Меллина r(s) аналитически продолжим© на
всю плоскость S за исключением точек <8 = ^,^,^,..., являющихся
однократными полюсами Rs).
Обратно, если функция Rs) - аналитическая в плоскости S ,
за исключением полюсов расположенных левее контура обратного
преобразования Меллина, то при Z —» 0	справедливо разложение
(6.23), причем С.к = че.Л F (S).
Доказательство.
I) Рассмотрим Mg[{]5 интеграл по Ч разобьем на два
участка:	.
С	оф	.
Fcs)= S fcms'cix и tcs)= J f .
* о
функция F2(S) - целая, так как в силу убывания ^СЧ) при
1—*оо быстрее любой степени интеграл сходится при VGS. ’
{г‘-‘-Чг=£
В силу (6.25)
СО
Ск
s-аГк »
(6.26)
(*z.s ^к14=о-0 , так как ReS"> RejfK).
2) Рассмотрим
f С*) = Л: f Г .	(6.27)
UC-lo.	62
В силу экспвненциального убывания 1~а при Res—» -со (так
как Z~*=e“'*bx^ &гг-»-«э при Z-»D ) замкнем контур интегрирова-
ния в леву» пелуплоскостъ и по лемме Еордана и теореме Коши получим
|С7)=£гейГсв)|&лг'<<	при 1 -*0.
Итак, между поведением функции в окрестности нуля и полюсами
ее преобразования Меллина существует тесная связь, обеспечивающая
единственность решения при задании требуемого поведения решения в
окрестности верил» клина, тем самым однозначно определяется поло-
жение контура в (6.23). .
Однако до начала решения задачи нам не известно значение по-
люсов <SK, поэтому при постановке задачи условия в вершине форму-
лируют в виде некоторых ограничений, накладываемых на решение в
окрестности угловых точек.
В теории упругости наиболее часто используются условия конеч-
ности пстенпиальней энергии: в реиекии при t~»0 допускаются
только те составляющие, для которых потенциальная энергия деформа-
ции в окрестности вершины будет ограниченной.
Энергия деформации Е в некотором объеме упругого тела V
определяется выражением :
E-WedV, e = l.Ed,44>
6tj,6y-компоненты тензоров напряжения и деформаций.
Пусть V('Z,y)~tTi(<f)'Z/' при Z—»0, тогда главный член пове-
дения и выражающихся через производные от тГ по прост-
ранственным координатам, имеет порядок . Интеграл по конечно-
му объему V может расходиться только за счет особенности
e-(z,/,»p) при Z-*0, поэтому рассмотрим вклад интеграла по Z.:
t eczjzdx ~c.f z^-^zd/z-.
Данный интеграл сходится при	т.е. при £>0.
Для выполнения этого условия контур в (6.23)должен проходить меж-
ду -Si и S , для зтого достаточно выбрать С=0. Любое иное поло-
жение контура приведет либо к появлению неинтегрируемой особенно-
сти (при С.><8± ), либо к потере допустимых составляющих в разло-
жении вида (6.25) (при C<-SA ).
Отметим, что поле напряжений	описываемое-данным реше-
нием, в окрестности вершины клина имеет особенность
63
ч -*D; /=^-1=^-1.
Показатель зависит от_величины раствора клина 0, стано-
вясь отрицательным при 20>f.
Характер изменения показателя особенности поля напряжений а
окрестности угловых точек упругих тел. мест их соединения, трещин,
включений и т.п. представляет самостоятельный интерес для оцеикж
возможных процессов разрушения. Определение показателя особенности
напряжений по доказанной теореме сводится к анализу расположения
полюсов в комплексной плоскости. Полюсами в свою очередь являются
точки спектра соответствующих краевых задач или интегральных урав-
нений, возникающих после применения преобразования Меллина. Сущест-
вуют методы нахождения точек спектра операторов без построения пол-
ного решения соответствующих-задач. Для случая клиновидных штампов,
контактирующих о упругой средой, подробнее см. в flj .
Таким образом, важной областью применения преобразования Мел-
лина, наряду с построением решений в клиновидных областях, являет-
ся анализ структуры поля напряжений в окрестности угловых точек.
Отметим также чисто математическое применение преобразования
Меллина в качестве эффективного средства вычисления интегралов от
специальных функций /3/.
7. МЕТОДЫ ОБРАЩЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Итак, во многих случаях использование интегральных преобразо-
ваний позволяет получить явное решение задачи в виде обратного
преобразования от известной функции. Например, для смещений упруго-
го полупространства U-, вызванных поверхностными напряжениями
нами было получено представление (3,46). В плоском случае аналогич-
ное представление имеет вид:
u.Cac,z)= — jU(<2)e‘Ute<W,
(для простоты здесь и в дальней-
шем рассматриваем только одну
компоненту векторов й и и
соответствующий элемент матрицы
К ).
Для.получения конкретных
U(c(,Z)=K(o!,Z)Q(cO	(7.1)
Рис. 9
64
значений решения необходимо уметь вычислять эти интегралы.
В настоящей главе на примере интегралов (7.1), (3.46) дает-
ся краткое описание трудностей, встречающихся при обращении интег-
ральных преобразований, и возможных путей их преодоления.
7.1. Прямое вычисление контурных интегралов
При замене исходного контурного интеграла оуммой по выбран-
ным квадратурным формулам (метод Симпсона, Гаусса, прямоугольни-
ков или др.) возникают следующие проблемы-:
-	сведение двукратных интегралов (3.46) к однократным;
-	влияние на точность интегрирования полосов подынтегральной
функции;
-	выбор шага интегрирования, обеспечивающего заданную точность;
-	осцилляция подынтегральной функции;
-	бесконечный верхний предел интегрирования.
Остановимся на каждой из них подробнее.
В случае кратных интегралов необходимо постараться свести их
к однократным. Интеграл (3.46) в случае осесимметричной нагрузки
, *=Vx^y* сводится к однократному путем перехода
к полярным координатам:
х='г.собс/’,
г~5----Г (7*2)
d =~\Jd* +	.
Возникающий при этом интеграл по берется в явном виде:
Je^ct?s^’d.f=23r7e(o('t).	(7>3)
Предварительно множители df4 d* ,входящие в матрицу К
в соответствии с правилом (2.20) можно заменить производными
С^Эх) действующими на экспоненту, а после замены (7.2),
(7.3) на функцию Бесселя. В результате •	_
й.(х,у,2)=й(г,у,я)=Х	(7,4)
Здесь а. 2Г	.	“
№)=	Wf,
г -°	°
контур I отклоняется от вещественной полуоси при обходе вещест-
венных полюсов.
65
Рис. 10
На практике для удобства организации вычислений контур Г
£или 6 для (7.1)] составляют из прямолинейных отрезков. Здесь
необходим рациональный выбор параметров отклонения контура Т, Т],
Т2 .Он должен достаточно далеко отклоняться от вещественных полю-
сов, так как их наличие вблизи контура усложняет рельеф подынтег-
ральной функции, что приводит к необходимости сильно уменьшать
шаг интегрирования для достижения заданной точности, т.е. к увели-
чению времени счета и накоплению ошибок округления. С другой сто-
роны, контур не должен пересекать комплексные полюоа, приближающи-
еся с ростом частоты к вещественной оси и поочередно выходящие на
нее.
Таким образом, правильный выбор контура требует предваритель-
ного анализа расположения не только вещественных, но и ближайших
к оси комплексных полюсов.
При выборе шага интегрирования существенную экономию времени
счета дает использование следующих принципов»
-	шаг не должен быть фиксированным для всего контура, он дол-
жен уменьшаться до достижения требуемой точности и автоматически
увеличиваться на тех участках, где подынтегральная функция стано-
виться более плавной,
-	при повторном интегрировании участков контура с более мелким -
шагом с целью контроля точности, должна использоваться вся уже на-
копленная информация в старых узлах, а дополнительный счет ведет-
ся только по новым узлам, расположенным между старыми.
Шаг интегрирования определяется также осцилляцией подынтег-
ральной функции, обуславливаемой экспонентой в (7.1) или функцией
Бесселя в (7.4). Период осцилляции по d уменьшается с увеличе-
нием расстояния X или 1, что приводит к уменьшению шага интег-
рирования и увеличению времени счета. Начиная с некоторых
прямой счет становится практически невозможным.
66
С другой стороны, осцилляция при x/i»{ из недостатка
превращается в преимущество, если воспользоваться асимптотичес-
кими методами- вычисления интегралов [методы Лапласа, стационарной
фазы, перевала и др.; подробное их описание см. в /12? » примене-
ние для вычисления интегралов (7.1), (7.4) в /I/ ] . Асимптоти-
ческие формулы, во-первых, имеют вид явных выражений, вычисление
по которым, практически не требует машинного времени, а во-вторых,
их точность повышается с ростом Х,Х.
Таким образом, сочетание' прямого вычисления контурных интег-
ралов и асимптотических методов позволяет получить значения для
всего диапазона изменения пареметров X ,1.
При проведении расчетов'необходимо также решить проблемы,
связанные с наличием бесконечного верхнего предела. К ним относят-
ся:
-	выбор верхней границы численного интегрирования А , обеспечи-
вающей требуемую точность 6 , т.е. выполнение условия
А
-	ускорение сходимости интегралов.
Проведенные расчеты показывают, что при.убывании подынтег-
ральной функции. F(c()~Co( , d—быстрее второй степени
( р^2 ), как правило, А не велико и расход машинного време-
ни умеренный. Но при р—время счета резко возрастает, а при
р< 1 (сходимость за счет осцилляции) прямой счет не дает резуль-
тата приемлемой точности.
Последняя ситуация наблюдается, например, при анализе смеще-
ния поверхности полупространства от действия сосредоточенной наг-
рузки: q.(x,y) = cfe5(x,y). В этом случае acd)=<k, и, учи-
тывая, что K(el)~c/d, d-»oo в (7.4),имеем
К fj)Q(jpoyi)ol ~ cq, Jo (с(г)~ d.
Главная идея ускорения сходимости состоит в выделении из ..
подынтегральных функций медленноубывающих составляющих так, чтобы
интегралы от них удалось взять в явном виде. Оставшиеся интегралы,
имеющие лучшую сходимость, интегрируются численно.
В рассматриваемом случае представим K(J) в виде:
KU)=KtG4) + £>
67
при
Интеграл от
[см. 2.12.2(1) в
берется в явном виде:
/Ц7 .
4 ЫЧ.Ш = ££=-,
с квадратичным убыванием подынтегральной функ-
о
а интеграл от К±
ции - численно.
При необходимости еще более ускорить сходимость можно взять
следующие члены разложения К(о1):
-кы)-^-
о(
ol olJ о(
(здесь надо уметь определять конкретные численные значения коэф-
фициентов С,, Са ,С5 ...у.
7.2. Использование теории вычетов
Если мы располагаем возможностью найти не только все вещест-
венные, но и комплексные полюса, то наиболее выгодным способом вы-
числения контурных интегралов, безусловно, является их замена сум-
мой вычетов в соответствии с теоремой Коши.
Обозначим т=1Д:- , - полюса ОД , лежащие выше кон-
тура ё , в силу четности K(cQ ниже d расположены полюса - £ . В
соответствии с леммой Жордана замкнем контур €> в сторону убыва-
ния подынтегральной функции. Направление убывания определяется эк-
споненциальным поведением	и множителя	Для
|х| > О. определяющим является поведение экспоненты в" ; при
она убывает в нижней полуплоскости, т.е. при
а при а - в верхней.
Заменяя интеграл по замкнутому контуру суммой
тывая, что интеграл по полуокружности в силу лемиы
нулевой вклад, получим
вычетов и учи-
Жордана дает
E'be.iKc^Z)!

u(x,i)=<
х>а
’ (7.5)
lEwKiwI Q(ye
m=4	®~5m
xX-a.,
Ряда здесь сходятся экспоненциально, и с ростом |Х( скорость
сходимости увеличивается, так как Тт^^ЭГт при m—►о©.
68
Следовательно, для достижения требуемой точности достаточно огра-
ничиться конечным числом слагаемых, уменьшающимся с ростом |х| .
Прй |x|<cl (под источником) определяющим является поведе-
ние U(J), которая экспоненциально растет в обоих направлениях, так
как содержит как составляющие так и е'1'”1?’ Здесь можно замк-
нуть контур интегрирования и воспользоваться леммой Жордана толь-
ко в т<^м случае, если удается представить в виде двух слагае-
мых Q-~ (cl), убывающих одно вверх, другое вниз. Соответственно замы-
кается и контур для каждого из них.
1 В пространственном случае"для применения теории вычетов необ-
ходимо . предварительно перейти в интеграле (7.4) от полубесконечно-
го контура Г к бесконечному контуру £>. Выполняется это с помо-
щью следующей процедуры разворота контура.
Функцию Ьесселя мо^но представить в жде полусуммы функций '
Ханкеля
3, (4г)=-i- С Н^’саг) *	.
11^
В интеграле, содержащем К (dz)t сделаем замену cL на -d и
воспользуемся соотношением	при этом контур Г
перейдет в симметричный относительно начала координат контур - П
В силу четности K^-ot) = K (ol),Q(-ci)xQ(cl), Изменив „направле-
ние интегрирования по - Г на противоположное, получим интеграл
от той же функции, что и по Г или окончательно
щг.н)=~ f K(<J,z)Q(ol)Ho (clZ)4cLd.
Чтг
воль экспоненты С здесь играет функция Ханкеля, имеющая асимп-
тотику
,	|о(г|—>oo.
При zya. возможно замыкание контура d в верхнюю полу-
плоскость, в результате: 
' (7-«
Л* т=1	Згп	*
При 24 CL те же проблемы, что и в плоском случае.
Полученные представления (7.5), (7.6) справедливы в том слу-
чае, если подынтегральные функции не имеют точек ветвления. При
наличии точек ветвления (например, в случае полупространства) к
суммам вычетов добавляются интегралы по берегам разрезов , про-
веденных дая выделения однозначных ветвей подынтегральных функций:
U.=E C...) + f(...)cLol.	(7.7)
">=1 </
Несмотря на то, что здесь осталась необходимость численного ,
Интегрирования интегралов по <£ , представление (7.7) может быть
более выгодным, чем исходные (7.1), (7.4), так как сходимость ин-
тегралов по <£ экспоненциальная (в силу экспоненциального убыва-
ния подынтегральной функции в направлении замыкания контуре). Од-
нако здесь по сравнению с функциями, не имеющими точек ветвления,
как правило, более труден поиск комплексных полюсов.
Перечисленные выше методы, естественно, не исчерпывают и ма-
лой части используемых на практике подходов к обращению интеграль-
ных преобразований. Мы не рассматривали здесь, например, аппрокси-
мацию подынтегральной функции так, чтобы от базисных функций ин-
тегралы брались явно (метод Филона и другие) или способ, когда об-
ращение рассматривается, как решение интегрального уравнения с
гладким ядром, или методы, связанные с учетом специфики решаемой
задачи.
,	Заключение
Итак, в данном учебном пособии изложены основные 'первона-
чальные сведения»об интегральных преобразованиях Фурье, Ханке-
ля, Лапласа и Меллина, позволяющие самостоятельно использовать
их при решении задач теории упругости, акустики, радиофизики и
других разделов математической физики.
70
-^^йвойства преобразований и техника их применения показаны на
РДЧ^оделъных и прикладных задач.
^/©собенно важное значение для приложений имеют разделы, пос-
вящённге выводу матрицы Грина полупространства и матрицы фундат
ментальных решений для внутренних источников. Эти матрицы играют
ключевую роль при получении интегральных представлений решения
широкого круга задач, возникающих в геофизике, гидроакустике,
акуотоэлектронике, дефектоскопии, строительной механике и многих
других областях науки и техники. Они необходимы также при выводе
интегральных уравнений смешанных контактных задач теории упругос-
ти, задач о.трещинах и включениях.
Естественна дальнейшим обобщением данного материала являет-
ся интенсивно развивающаяся в настоящее время теория граничных
интегральных уравнений (ГИУ). Построенные матрицы фундаментальных
решений во многих случаях являются основой при выводе ГНУ для тел
сложной конфигурации.
Описанный в пособии переход от интегральных представлений к
рядам с помощью теории вычетов, позволяет установить связь с ши-
роко используемыми в теории волноводов разложениями по нормальным
модам (метод кусочно-однородных решений).
Однако и здесь, и в методе ГИУ, и в теории смешанных задач
имеется широкий круг нерешенных проблем как аналитического, так
и вычислительного характера. К ним относятся вопросы учета неод-
нородности и анизотропии тел, воздействия сильных связных полей
(теплового, электромагнитного и др.), вопросы регуляризации ин-
тегральных уравнений и разработки устойчивых методов их решения.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ
I.	Бабешко В.А., Глушков Е.В., Зинченко К.Ф. Динамика неоднород-
ных линейно-упругих сред. М., 1989.
2.	Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и опе-
рационное исчисление. М т974.
3.	Маричев О.И. Метод вы .лен. интегралов от специальных функ-
ций: теория и таблиг рормул. Минск, 1978.
4.	Лаврентьев М.А., Ш? т Б.В. Методы теории функций комплексно-
го переменного. М. 73.
71
5.	Texoboe A.H., Самарский А.А. Уравнения математической физики.
М., 1972.
6.	Трев Ф. Введение в теорию псевдодифференциальных операторов и
интегральных операторов Фурье. М., 1984. Т. 1,2.
7.	Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М., 1977,
8.	Владимиров В.С. Уравнения математической физики. 5-е изд. М.,
1988.
9.	Амензаде Ю.А. Теория упругости. М., 1976.
10.	Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М., 1974
Т. 1,2.
II.	Прудников А.П., Брнчков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды.
Специальные функции. М., 1983.
12.	Федорюк М.В. Метод перевала. М., 1977.
Глушков Евгений Викторович
Глушкова Наталья Вилениновна
Интегральные преобразования в задачах
теории упругости
Редактор Т.В.Шилова
Технический редактор И.А.Зиновская
Корректор Т. А .Шилова
Свод. тем. пл. № 505.
Подписано в печать 29.05.90. Формат 60x84 ^16.
Бумага тип. М 3. Печать офсетная.
Усл. печ.л. 4,0.	Усл. кр.-отт. 4,0.
Уч.~изд.л. 4,3.	Тираж 500 экз.
Заказ М ,эоз цена 25 к.
Кубанский государственный университет
350064 ГСП г. Краснодар, ул. им. К. Либкнехта, 149.
Краснодарское производственное ’
полиграфическое объединение
350000 г.Краснодар, ул. Красноармейская, 43.