/
Text
ББК 22.1я721
Б36
Рекомендовано Міністерством освіти і науки України
наказ від 17 березня 2008 р., А4 1 79
Видано за рахунок державних коштів. Продаж заборонено
Відповідальні від Міністерства освіти і науки України за підготовку до видання під-
ручника: Прокопвнко Н. С. — головний спеціаліст. Потапова Ж. В — методист вищої
категорії.
ТВОРЧА ГРУПА РОЗРОБНИКІВ ПІДРУЧНИКА
Юрій Кузнецов — керівник проекту, розробник концепцій: структу-
ри, дизайну;
Григорій Бевз, Валентина Бевз — автори тексту і методичного апа-
рату;
Олег Костенко — заступник керівника проекту;
Наталія Демнденко редактор-організатор, контрольне редагування;
Андрій Віксенко — розробник макета, художнього оформлення,
художник обкладинки;
Валентина Макснмовська — організатор виробничого процесу;
Галина Кузнєцова — економічний супровід проекту;
Роман Костенко — маркетингові дослідження підручника;
Андрій Кузнецов — моніторинг апробації підручника
Бевз, Г. П,
Б36 Алгебра : підруч. для 8 кл. загальноосвіт. навч. закл. /
Г. П. Бевз, В. Г. Бевз. — К. : Зодіак-ЕКО, 2008. — 256 с. : іл.
18ВМ 978 966 7090-51-7.
ВБК22.1я721
© Видавництво «Зодіак-ЕКО». Усі права захищені. Жодні частина, еле-
мент, ідея, композиційний підхід цього видання не можуть бути копійо-
ваними чи відтвореними в будь-якій формі та будь-якими засобами —
ні електронними, ні фотомеханічними, зокрема ксерокопіюванням,
записом або комп'ютерним архівуванням, — без письмового дозволу
видавця.
© Г. П. Бевз, В. Г. Бевз. 2008
© Видавництво «Зодіак-ЕКО», 2008
© Художнє оформлення. А. М. Віксенко. 2008
© Концепції: структури, дизайну.
Ю. Б. Кузнецов. 2008
зміст
Дорогі Ііо< і.міи. 1.І< ииі и! ............................... 5
РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ
§ 1. Ділення степенів і одночленів.......... 7
§ 2. Ділення і дроби ..................... 16
§ 3. Основна властивість дробу............. 27
§ 4. Раціональні вирази.....................36
§ 5. Додавання і віднімання дробів......... 44
§ 6. Множення дробів .................. 55
Завдання для самостійної роботи....... 64
Готуємося до тематичного оцінювання
Тестові завдання № 1....................65
Типові завдання
до контрольної роботи № 1...............66
§ 7. Ділення дробів ........................67
§ 8. Перетворення раціональних виразів....... 76
§ 9. Раціональні рівняння................. 86
§ 10. Степені з цілими показниками......... 96
§11. Стандартний вигляд числа............ 104
§ 12. Функція у = — ...................... 111
Завдання для самостійної роботи...... 121
Історичні відомості.................. 122
Головне в розділі.................... 123
Готуємося до тематичного оцінювання
Тестові завдання № 2................. 124
Типові завдання
до контрольної роботи № 2............ 125
КВАДРАТНІ КОРЕНІ І ДІЙСНІ ЧИСЛА
§ 13. Функція у — х1...................... 127
§ 14. Квадратні корені.................... 135
§ 15. Дійсні числа........................ 144
§ 16. Квадратний корінь
з добутку, дробу, степеня ................. 152
§ 17. Перетворення виразів з коренями..... 161
§ 18. Функція у = уГх .................... 171
Завдання для самостійної роботи...... 179
Історичні відомості................... 180
Головне в розділі................... 181
Готуємося до тематичного оцінювання
Тестові завдання № 3.................. 182
Типові завдання
до контрольної роботи №3.............. 183
КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ
§ 19. Неповні квадратні рівняння........... 185
§ 20. Формула коренів квадратного рівняння .... 194
і 21. Теорема Віста........................ 205
§ 22. Квадратний тричлен................... 213
§ 23. Розв’язування задач складанням
квадратних рівнянь......................... 220
Завдання для самостійної роботи....... 231
Історичні відомості................... 232
Головне в розділі......................233
Готуємося до тематичного оцінювання
Тестові завдання № 4.................. 234
Типові завдання
до контрольної роботи № 4............ 235
ЗАДАЧІ І ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ
Раціональні вирази ...................... 236
Квадратні корені та дійсні числа......... 239
Квадратні рівняння....................... 240
Задачі та вправи підвищеної складності .. 242
Відомості з курсу алгебри 7 класу........ 246
Відповіді та вказівки до задач і вправ... 250
Предметний покажчик...................... 254
5
Дорогі восьмикласники!
Цей підручник — продовження підручника з алгебри,
за яким ви працювали в 7 класі. Він містить виклад теорії,
задачі та вправи, «Завдання для самостійної роботи»,
«Тестові завдання», «Типові завдання до контрольної
роботи» тощо.
Користуючись підручником, ви значно розширитесвої
математичні знання й уміння. Якщо досі вам були відомі
з алгебри тільки раціональні числа, цілі вирази і лінійні
рівняння, то у 8 класі ви опануєте дійсні числа, раціо-
нальні вирази і квадратні рівняння. Отже, навчитесь роз-
в’язувати багато і таких задач, які досі розв’язувати не
вміли. Вивчаючи теоретичний матеріал, звертайте ува-
гу на слова, надруковані курсивом, — це нові алгебраїчні
терміни. Ви повинні усвідомити, що вони означають, і
запам’ятати їх. Виділені жирним шрифтом речення є ос-
новними означеннями, правилами та іншими важливи-
ми математичними твердженнями. Слід навчитися їх
формулювати (можна — своїми словами) та застосову-
вати до розв’язування пропонованих вправ і задач.
У кожному параграфі підручника є рубрика «Хочете
знати ще більше?». Вона містить додатковий матеріал, ад-
ресований зацікавленим учням. У книжці є також «Відо-
мості з курсу алгебри 7 класу», «Історичні відомості».
Підручник містить вправи різних рівнів складності:
для усного розв’язування та рівнів А і Б. У рубриці «Ви-
конаємо разом!» наведено зразки розв’язань важливих
видів задач. Корисно ознайомитися з ними перед вико-
нанням домашніх завдань, які позначено Ш.
Рубрику «Готуємося до тематичного оцінювання» по-
будовано так, щоб ви мали змогу якнайкраще підготува-
тися до зовнішнього незалежного оцінювання.
Велика добірка задач і вправ для повторення допомо-
же закріпити набуті навички. Окремо вміщено задачі
підвищеної складності. їх пропоновано насамперед тим
учням, які цікавляться математикою і мають бажання
краще опанувати цей предмет. Сподіваємося, що ви діста-
нете насолоду, розв’язуючи логічні задачі.
Бажаємо успіхів у вивченні алгебри!
Досі вам були відомі тільки цілі
алгебраїчні вирази. А вони да-
ють можливість розв’язувати
лише прості задачі. Набагато
зручнішою і потужнішою є ал-
гебра, в якій використовуються
не тільки цілі вирази, а й дро-
бові. Такі вирази разом назива-
ють раціональними.
У цьому розділі
ви дізнаєтеся про:
• алгебраїчні дроби та дії над
ними;
• раціональні вирази, тотож-
ності та рівняння;
• стандартний вигляд числа;
к
'функцію у=— та її пласти -
вості.
х
§ 1. ДІЛЕННЯ СТЕПЕНІВ
(ОДНОЧЛЕНІВ
У курсі алгебри 7 класу ми озна-
йомилися з цілими виразами, навчи*
лися додавати і віднімати їх, множи-
ти і підносити до степеня. Тепер роз-
глянемо, як можна ділити вирази.
<> Поділити вираз А на вираз В — означає знайти
такий вираз X, щоХ • В = А.
Приклади, а' : а4 * = а3, оскільки а3 а4 = а7,
х12 : х11 = х, оскільки х • х11 = х12.
Взагалі, якщо а — відмінне від нуля число, а т і п. — нату
ральні числа, причому т > п, то
Адже за правилом множення степенів, ат " ап = ат п*п = ат.
З тотожності ат : ап .^= ат " випливає правило:
при діленні степенів з однаковими основами основу
залишають без зміни, а від показника степеня ділено-
го віднімають показник степеня дільника.
Користуючись цим правилом, можна писати, так:
б9: б7 = б2, а8 :а8-а6,(-х)ї5:(-х)8-(-х)7. )
Якщо а # 0, то завжди ат : ат - 1. Щоб тотожність
ат : ап = ат п поширити і на цей випадок, у математиці до-
мовились вважати, що при кожному значенні а, відмінному
від нуля, а0 = 1. Запис 0° не має змісту.
Приклади. 7° - 1; 3,5° = 1; (-8)° = 1.
Розглянемо ще, як можна ділити одночлени.
12а3 : 6а - 2а2, бо 2а2 • ба = 12а3;
15х2у : 5ху - Зх, бо Зх 5ху = 15х2у;
-а2? : 2аг3 = - •і а , бо - -у а 2аг3 - -а2г3.
І -------------------—-------------------------------
< . Щоб поділити одночлен на одночлен, треба:
А-І 1) поділити коефіцієнт діленого на коефіцієнт діль-
ника;
2) до знайденої частки приписати множниками кожну
змінну діленого з показником, що дорівнює різниці
показників цієї змінної в діленому і дільнику.
Приклад. Нехай треба поділити одночлен 8а5т2х4 на
4ат2х2.
Ділимо 8 на 4, а5 — на а, т2 — на т2 і х4 — на х2. Маємо,
відповідно, 2, а4, 1 і х2. Отже,
І 8а5лі2х4 : 4апг2х2 - 2а4х2.")
Але, наприклад, одночлен а2с на пс таким способом по-
ділити не можна. їх частка не дорівнює тотожно деякому од-
ночлену. Говорять, що у множині одночленів ділення не зав-
жди можливе. Якщо виникає потреба поділити і такі одно-
члени, частка яких не є одночленом, її записують у вигляді
дробу. Про це йтиметься в наступному параграфі.
Хочете знати ще більше?]
Розглянемо, як можна ділити не лише одночлени, а й вирази, що
містять степені многочленів.
Наприклад,
(8-х)6: (8-х)2» (8-х)3,
12а4(а + с)4:4а3(а + с)3 — За(а + с).
Інколи перед діленням треба перетворити многочлени. Поділимо,
наприклад, х‘ - 2ах + а* 2 на х - а:
(х2 - 2ах + а2): (х - а) = (х - а)2: (х - а) - х - а.
Відомі й інші способи ділення многочленів. Зокрема, многочлени
можна ділити «кутом», подібно до того, як ділять числа. Порівняйте,
для прикладу, ділення чисел 7488 і 234 та ділення многочленів
х3 - Зх2 + 5х - 3 і х2 - 2х + 3:
7488 1234. х3- Зх2+ 5х - 3 х2- 2х + 3.
702 32 х3- 2х2+ Зх х -1
468 468 _ -х2+ 2х - 3 -х2+ 2х - 3
0 0
Частка відділення многочленів не завжди є многочленом. Як і част-
ка відділення двох цілих чисел не завжди число ціле. Тобто у множині
многочленів ділення не завжди можливе.
Перевірте себе
1 Що означає поділити вираз А на вираз В?
2. Сформулюйте правило ділення одночленів.
3. Як можна перевірити, чи правильно виконано ділення
одного виразу на інший?
4. Чому дорівнює нульовий степінь числа, відмінного від
нуля?
5. Чи позначає запис 0° яке-небудь число?
Викомсимо рсиомі /
1 • Поділіть: а) 6а2 х5 на 2ах; б) а5с3 на -2ас3.
Розв’язання, а) 6а2 х5 : 2ах = Зах4;
б) а5с3 : (-2ас3) а4 = -0,5а4.
А
Відповідь, а) Зах4; б) -0,5а4.
2. Перевірте, чи правильно виконано ділення:
-18х5у3 : (-бху2) = Зх4у.
Розв’язання. Зх4у • (-бху2) = -18х5у3.
Добуток частки і дільника тотожно дорівнює діленому,
тому ділення виконано правильно.
Відповідь. Правильно.
3. Спростіть вираз: (а - 2)8 : (а - 2)6 + 4 (а - 1).
Роз в ’ я за н н я. (а - 2)8 : (а - 2)6 + 4 (а - 1) =
- (а - 2)8 " 6 + 4а - 4 = (а - 2)2 + 4а - 4 -
= а2 - 4а + 4 + 4а - 4 « а2.
Відповідь, а2.
Виконайте усно
1. Обчисліть:
а) 325 : 10; 2. Знаючи, що а Ь б) 327 : 3,27; = 12, обчисліть: . 3-5 В)5:3-
а) а : 12; 6)6: 12; в) 12: аЬ.
Знайдіть частку (3- -4).
3. а) З12: З7; б) (—8)в : (—8>5; в) 10*°: 1О10;
г)(-3)5: (-З)3; ґ) 75: 7°; д) 503: 50.
4. а) а18 : а7; б) х®: х; \ „,9 , ..,9. в) лі : т ;
г)лп:л10; ґ)р30:р10; Д)с .
5. Укажіть, яку частку слід вписати в кожну порожню клі-
тинку таблиці.
Ділене Дільник
3 За' -2а 2а2 -6а4
6а5
-9а4
6. Виконайте ділення:
а) (х - 5)3 : (х - 5); б) (2х + у)4 : (2х + у);
в) (т + л)5: ( т + л)2; г) (1 - Зх)4 : (1 - Зх)4.
Рівень
Обчисліть (7-8).
7. а)28:24; б) 0,43:0,4; в) З10: 9; г) 3,758 : 3,757;
& 8. а)0,б9:0,66;
б)(-О,2)1о:(-О,2)7;
г)|1|]5:(1|)4;ґ)3,3п:3,39;
д)(-8 75)7 : (-8 75)6.
9. Знайдіть значення виразу:
а) 54 : 52 - 25; б) (-2)5 : (-2)2 + 23; в) 1 + З7 : З5;
г) 100 + 193: 193; ґ)23 2 -32:3; д)04:4°-44°.
Знайдіть частку (10—12).
& 10. а)х8:х3; б) лі10: лі4;
г)р12:р; ґ)х10:х9;
11. а) (Зх)20: (Зх)16;
в) (-5а)17: (-5а)14;
12. а)(х + 4)8:(х + 4)6;
в) (35 - 2)12: (2 - Зб)3;
Поділіть (13-14).
13. а) 18а4х на 9а;
в) 20х4ї/3г2 на 4х2у;
& 14. а) 12х4/наЗх/;
в) 9а352 на -За2Ь;
15. Виконайте ділення:
а) За5: а2;
г)їїаг . Заг ;
б) 6/п8: Злі3;
ґ) 0,8х2уг : 0,2ху;
в) л5: л;
д)с5:с5.
б) (2р)34: (2«/)29;
г)(10лі2)23: (Юлі2)19.
б) (6 - 2а)9 : (6 - 2а)8;
г)(х-у)10:(«/-х)5.
б) -9а2сх4 на -Зах2;
г) -15а5б2с на -5а3с.
б) ІбхУ на 8х2у;
г) -18и6л3 на Зтп2.
в) 2а10: 2а;
д) -Я^аЬсх: 2,2ах
□
н----
Розділ
16. а) (З5 - 7)°; б) 17° + 15; в)(8° - 2) (2,57 - 3)°;
г) 910 : 98 (З2 - 10)°;
^17. а) 16°+4;
ґ)64:63-(5: 125)°.
б)(128-82)0;
в) (7^- 12) (3+ 14°);
г)(26- 14)° + (53- 13 2)3.
18. Знайдіть відношення чисел 276 і 2,76.
19. Розгадайте ребус (мал. 1).
Знайдіть значення виразу (18-19).
йї 20. а) -36а8 : 9а5, якщо а - 7;
б) х9: 0,5х3, якщо х - ;
в) 0,03х!6у8 : Юх1 V. якщо х = 2, у - 10.
21. а) 12т5 : 6т3, якщо т = -5;
б) х4 : 2х3, якщо х = 0,8;
в) 0,01а36‘ : 4а264, якщо а = 1000, 6 = 3.
Рівень
22. Виконайте дії:
а)45: 16+ (7,6- 11,б)3; б) 6й: 36 - б7: б4;
і
23. На який одночлен треба помножити одночлен Зах3, щоб
дістати:
а) 6а2х5; б) 12а5х7; в) -а6х3?
Виконайте ділення одночленів (24—25).
йі 24. а)а3х5:а2х4; б)п'х3:л5х2; в)хбт : х5т;
г) аЬ2с3 : аЬс; ґ) бас3 : 2ас2; д) Юах' : 5ах5;
е) 24с5х5 : 8с4х; є) 20т2х7: 4тх5.
25. а) -2,5а2х3 : 0,5ах;
в) 6а3хх2: (-Зах);
б) -3,2с5х4 :0,4сх4;
г) 16л‘,хр4: (-4лх);
ґ)|аЬх5:|ах4; д) |а2х3/: -^ах3у;
5 а 7 14
6 2 3 2 2 2 4 7 б ( 2 я А
е)—аггхл:~пх‘ • є)—а х :--------а х
'7 7 ’ е' 5 15
26. Виконайте ділення:
а) 7(х - 7)5: (х - 7)4; б) (3 + 2,5х)10: (3 + 2,5х)9;
в) ас(а - 2с)7 : (а - 2с)5; г)(1 + 2ах2)’5 : (2ах2 + І)13;
ґ) 2,5а2(х + 2)4 : (х + 2)3; д) 2а8(2а + З)8 : (2а + З)6.
27. Спростіть вираз:
а)(4-х)5:(4-х)3 + 8(х-2);
б) 4а(а + 3) - (2а + З)10: (2а + З)8;
в)(х+ 1)7:(х + 1)4-3х(х+ 1);
г) 6а(2 - а) - (а - 2)11: (а - 2)8.
28. Розв’яжіть рівняння:
а)х8:х5 = -1; б)4х5:2х4 = 6;
в) (х - З)7 : (г - З)6 = 5; г) (х - 2)5: (х - 2)2 = -1.
29. Замініть зірочку «*» одночленом так, щоб утворилась
правильна рівність:
а) * : (~5х8) = 4х2;
в)0,6а4 : *-0,2;
ґ)*: т2п6 — -8п-,
£
б)* :3л5-12л5;
г)-хп :*»5х3;
Д) ^х12у3:* = ~ху2.
ЗО. Знайдіть значення виразу:
і 1 3 2
а) — т п
З
2 2 2
— тп.
З
якщо т = 4, п — 14, р — 114
б) (-1—а‘*Ь3с2 1~—алЬс2 1, якщо а = “, Ь= 10, с = 7;
І 2 М 3 ) 10
в) (-4,5х5у5г5): (-1,5х5і/4г), якщо у = 0,5, г - 2; х = 9;
г) (-1 7р2д2г3): 28,9р2дг, якщо р • 28,9, д = 1,7, г = -1.
31. Подайте у вигляді степеня частку від ділення:
а)ат + 3:а,п; б) Ьп + 2 : Ьп ~ 2; в) х2ж + 8 : х2т;
г) у3я+1 :уп + 1; ґ) т5й: т3*+1; д) л6* ‘ 2 : п™ + Ч
32. Виконайте ділення:
а) 16хл+У+3 : 8хл+,у3'"; б) 36х,'пд2л : Зх1-2"/;
в)-2аЬт*'ст : (-5а,т5); г) 2,1атЬгпЛст2 : О,ЗЬп 2ст~3.
ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ |
------------------------------------1
33. Виконайте дії:
а) 7х2 - 2х + (5 + 1 їх - 6х2); б) 8аЬ + 75 - (4аЬ + 7Ь- 3);
в) 2а3 (4а2 + За); г)(х-1)(х2-2х +2);
ґ) (х - 2) (х + 2); д) (За - Ь) (За + 5) (9а2 + Ь2).
Подайте у вигляді многочлена вираз (34—35).
34. а) 7х2 - 2х (Зх - у)-, б) (а + 2) (а - 5) + За;
в) Зх (х - 6) + (2х2 + 18х - 4); г)(а - 2)(а + 3)+2а (1 - а).
35. а) (х - у) (х + у) - х (х - 3); б) (Ь + І)2 + 35 (25 - 1);
в) і/(д + 2х) - (х + д)2; г)(5 + 4)2-(5 - 3)(5 + 3).
36. Розкладіть на множники вираз:
а)х2-16; б)х2-9у4; в)х2-6х + 9;
г) ал — 4а; ґ) За2 - 6аЬ + 352; д) 2х + 2у - ах - ау.
Розв’яжіть рівняння (37—39).
37. а) 3,5 - Зх = х - 4,5; б) Зх - (х + 2) = 5;
в)5-3(х+ 1,5)-2(х + 3); г)9х-3(х+1,5) = 4х + 0,5.
38. а) х + |х = -|; б)х:1 = 1.
о «5 £ З
39. а)3х-17х=5 ; /и 2 1 18 . б) х: —=—:—;
16 8 3 3 19
Розв’яжіть систему рівнянь (40—41).
40. а) СС 04 II II 3> 3» + 1 м и б)' Ь- 00 II II 3> 3> + 1 И X в) © її II 3> 3, | 1 н х х
41. а) 1-4 Ю II II 3 3 04 сч 1 + 3 3 б)' 2я + « = 7, в-2Г=1; в) т-п, 4т=п+6.
42. Складіть задачу, математична модель якої наведена на
малюнку 2. Розв’яжіть її:
а) за допомогою системи двох рівнянь;
б) за допомогою одного рівняння;
в) арифметичним способом.
210
П '
Мал. 2
43. Знайдіть два числа, якщо їх сума дорівнює 71, а різни-
ця становить 31.
44. Половина одного числа на 4 більша від третини друго-
го, а половина другого — на 18 більша від чверті пер-
шого. Знайдіть ці числа.
45. 20 % першого числа на 15 менше, ніж ЗО % другого, а
40 % першого на 2 більше від 20 % другого. Знайдіть ці
числа.
46. Різниця двох чисел дорівнює 10, а різниця їх квадратів
становить 240. Знайдіть ці числа.
к______________________________________________________>
§2. ДІЛЕННЯ І ДРОБИ
Ділення двох цілих виразів не
завжди можна виконати без остачі.
Наприклад, частки а3: а5,4ху2: 2уг
не можна записати у вигляді цілих
виразів. Ділення одночленів не
можна виконати без остачі, якщо дільник містить змінну,
якої немає в діленому, або якщо показник степеня будь-якої
змінної в дільнику більший від показника степеня тієї самої
змінної в діленому.
Якщо частка відділення одного виразу на інший не є цілим
виразом, то її записують у вигляді дробу. Наприклад:
2 ч е а3 9 2ах
2:3= — , а3 : а = —г, 2ах : ЗЬх2 - 2 ,
З а5 АЬх
ах
ах : (а + х) = —
<> Дробом називають частку від ділення двох ви-
разів, записану за допомогою дробової риски.
Які б не були вирази А і В, їх частка — — дріб. Вирази А і
н
В — члени цього дробу, А — чисельник, В — знаменник.
Як і інші вирази, дроби бувають числові й зі змінними.
„ 5 -3 22+32
Наприклад, дроби —, ——, -;--т — числові вирази, а
7 0,4 4+5
аЬ 4т а-2Ь
~х ’ т+1 * а+Ь — вирази зі змінними.
Звичайний дріб — окремий вид дробу. Це дріб, члени яко-
го — натуральні числа. Якщо члени дробу — многочлени,
його називають алгебраїчним дробом.
Дроби зі змінними мають значення (зміст) не при всіх зна-
ченнях змінних. Наприклад, якщо а = 5, то
2а+3 _ 2 5+3 _ 13
а-5 5-5 0
Запис— — не число, бо на 0 ділити не можна. Отже,
2а + 3
дріб а Г) при а 5 не має змісту. При всіх інших значеннях
а він має зміст. Говорять, що для даного дробу допустими-
ми є всі значення змінної а. крім а 5.
І . Д ія «мінних, що входять у знаменник дробу, іопусти-
Аи мини < тільки ті значення, які не перетворюють цей
знаменник на нуль.
Розглянемо два дроби:
б . 6(сі 3)
* 1 ------.
« а(а-З)
Складемо таблицю їх значень для таких а: 4, 3,-2, 1.
0, 1,2,3, 4,5,6, 7.
а -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
«о | я -1,5 -2 -3 -6 6 3 2 1,5 1,2 1 6 7
6(а-3) а(а-З) -1,5 -2 -3 ~6 6 3 1,5 1,2 1 7
Як видно з таблиці, при значеннях а, що дорівнюють -4,
-З, -2, -1, 1,2, 4, 5. 6, 7, обидва дроби мають рівні значення.
Рівні вони і при інших значеннях змінної а, за винятком 0
і 3. Значення а 0 недопустиме для обох розглядуваних
дробів, значення а 3 недопустиме для другого дробу. При
всіх допустимих значеннях змінної а всі відповідні значен-
ня цих дробів рівні.
<> Два вирази, відповідні значення яких рівні при всіх
допустимих значеннях змінних, називаються
тотожно рівними, або тотожними.
Це означення від подібного означення для цілих виразів
відрізняється тільки словом «допустимих» Говорячи тільки
про цілі вирази, це слово раніше ми вилучали, оскільки для
них усі значення змінних допустимі.
Два тотожних вирази, сполучені знаком рівності,
утворюють тотожність. Заміна одного виразу
іншим, тотожним йому, називається тотожним
перетворенням даного виразу.
Хочете знати ще більше
Як співвідносяться між собою різні види дробів, можна ілюструва-
ти такою діаграмою (мал. 3). Тут кожне вужче поняття є складовою
ширшого. Звичайні дроби є складовою частиною числових дробів,
які, у свою чергу, є складовою алгебраїчних дробів, і т. д. Приклади
звичайних дробів:
З 11 1
7 ’ 35 ’ 149 ’
числових:
0,5 -4 3.7-1
2,3 ’ 0,25 ’ 22+7 ’
алгебраїчних:
а 1 х2-2 а2-3ас+5с2
5 * п ’ 2х ’ 2ас
Мал. З
Загальне поняття дробу досить широке. Крім алгебраїчних дроби
бувають і неалгебраїчні, поки що вам не відомі, наприклад,
соях т]1-х2 1 + іпх
1—/х ’ 8ІПХ ’ Зх2 ’ 2ІПХ
Перевірте себе
; 1. Що Таке дріб?
' 2. Як називають члени дробу?
3. Які дроби називають алгебраїчними?
• Наведіть приклади.
; 4. Що таке допустимі значення змінних?
• Наведіть приклади.
’ 5. Які вирази називають тотожними?
» б. Що таке тотожність?
1. Які значення змінних допустимі для дробу:
1 х-а
а>х+7; б*х2-а2?
Розв’язання, а) х + 7 = 0, якщо х — -7. Це значення х
недопустиме для даного дробу. Всі інші значення допустимі;
б)х2-а2 = 0, якщо (х-аХх + а) - 0, звідси або х = а,
або х - -а.
Відповідь, а) Для даного дробу допустимі всі значен-
ня, крім х - -7;
б) допустимі всі значення, крім х — а і х = -а.
_ _ . ._ т
2. Доведіть, що дріб —;— має зміст при всіх значеннях т.
Доведення. При кожному раціональному значенні т
число т2 невід’ємне, а т2 + 1 — додатне. Знаменник даного
дробу при кожному значенні т не дорівнює 0.
Отже, при кожному значенні т даний дріб має зміст. А це
й треба було довести.
3. Чи тотожні вирази:
14а3Ь2 2
а) і 2а2Ь-,
7аЬ
л.(-а)7 .
Розв’язання, а) Подамо дріб
(~Д)6 ?
а5 1
14а3Ь2
— . у вигляді частки
7аЬ
двох одночленів і виконаємо ділення:
14а362 о
Т = 14а3Ь2 : 7аЬ = 2а2Ь.
7аЬ
При всіх допустимих значеннях змінних (а # 0, Ь * 0) пер-
ший вираз дорівнює другому, а тому їх відповідні значення
. _ І4а3Ь2 . _
рівні. Отже, вирази - і 2а Ь тотожні.
б) Виконаємо дії в кожному виразі, використовуючи вла-
стивості степенів:
(-а)7 -а7
—г~ =~в"
а а
(~а)6
5 5 “а-
а а
Як бачимо, при всіх допустимих значеннях змінної (а * 0)
вирази набувають протилежних значень. Отже, вони нето-
тожні.
Відповідь, а) Вирази тотожні; б) вирази нетотожні.
Виконайте усно
47. Які з наведених нижче виразів — дроби:
48. Обчисліть:
. 0,8
а) V
б)
2
0,5
0,
0.2
25
2е
49. Які значення змінних допустимі для дробів:
2х 1 с-х а
а> 77з * б) х(х-у) ; в) 1+с2х2 ; г) а2-1 ?
50. Чи тотожні вирази:
4х4 . 2 8т5 7х2 2
а)—~2 їх2; б)ТТ ІЗт5 в> 1х ’
4х 5т 7х
а-Ь а+Ь аЬ Ьа а2 а+Ь
г)—Г" і—ОТ77ІТГГ; Д) 1 + —— і ~— ?
аЬ аЬ ’ а+о а+Ь 7 & ь
Рівень
51. Запишіть у вигляді дробу частку від ділення:
а) 2 на 7; б) хна у; в)3тнас;
г) 2х на Зу; ґ) х2 на 1 + х; д) 4аЬ на (а + Ь)2 .
52. Запишіть дріб, у якого: а) чисельник 2с, знаменник Зр;
б) чисельник 1, знаменник х - у, в) чисельник г2, знамен-
ник 2+г2.
53. Складіть дріб, у якого чисельник дорівнює 6т, а знамен-
ник: а) на 5 менший від чисельника; б) дорівнює чисель-
нику; в) удвічі менший за чисельник; г) дорівнює квад-
рату чисельника без одиниці.
54. Обчисліть:
5» О,310 (-3)1* -0,5* 3,4°
5^; б) 0,3і1 ’ В) 5 (-3)” ’ Г) (-0,5)’ ; Ґ) 2е-52 ’
55. Знайдіть значення виразу:
89 72 (—7)& 0,2т 2,44
а) 8в 8< ; б) 5 в> о,28 10 * Г) 84 0,34 ’
Визначте, при яких значеннях змінних не має змісту дріб
(56-58).
Л. т 2 х+р Зс-8
Рп 56. а) —: б) *: в) —7: г) » 7.
’ п ’ а-3 ’ ' х+4 ’ ' Зс+8
З а-6 Зт 12г
57‘ а) х^5 ’ б) а+9 ; в) 2-т ; г) Зг-15 ’
За 1 т а°
а2-16 : ’ х(х2-9) 1 В) (т2-1Хт2-4) 1 П а’ + Г
59. Наведіть приклади дробів, знаменники яких дорівню
ють нулю, якщо:
а)х-5; б)г--1; в)І-0; г) х - 0 або х --3.
60. Укажіть значення х, допустимі для дробу:
, 1 „2 , Зх . х-3
а)--г; б) -—; в) —я—; г) —я-.
х-5 5-х х2-4 х2 + 3
61. Які значення х допустимі для дробу:
З х Зх
а,ТТ5: >>з77:
-5 2 1
х+4 2х-5
62. Знайдіть значення дробу:
а)----=-, якщо х - -3; б) —— , якщо а - — ;
Зх-х 6а 2
в) —=-, якщо с - -3; г) і—г, якщо т « -5.
с -9 т
й 63. Заповніть таблицю:
Які значення а недопустимі для дробу--? А для дро-
а-3
2а
бу а2_3д ? Чи рівні значення цих дробів, коли а = 100?
64. Чиє тотожністю рівність:
о5 та з бх3 ч
а)—т~а' б)—— = т ; в)-------= т3?
а т Зх
65. Чи можна вважати тотожними дроби:
X 12 • а)Т і 12х3 2а . 2а2 х2 ’ б) ~Ь 1 Ь2
. Зх2 в) 6х і|4; г)“ іЛ? 12х п т
Доведіть тотожність (66—67).
Й66. а) 2а Зд =-&а.Ь ;
а + Ь а + Ь
. 2а-і-5а За + 4а
в)--------=---------;
За + 4а 2а + 5а
67. а)4=а2 а;
а3
За5+2а5 15а5
В а5 ~2а5+а5:
(т-1)7 _ (т-1)5 .
(т-1)5 (т-1)3
. (х + а)2
г) Х+у = ---— .
х + у
Рівень
Запишіть у вигляді одночлена або дробу частку (68—69).
68. а) -8х4 : 2а; б) -6х4 : Зх6; в) -9х7: 9х7;
г) 32ас2 : 8а3с; ґ) 2,5х7:0,5х3; д) 1,2: (-О,Зху3).
69. а) бас : (-За); б) бху : (-Зх.г); в) 4а2 : (-2а8);
г) -3 : 21х; ґ) 3,3а5с3 :11а3; д) 1,8р2 : б?2.
70. Знайдіть значення дробу:
х2
а) —----, якщо х - 2,5;
а2-10
2х
б) —5—, якщо х “-12 і у = 13;
х -У
2(а + Ь)
в) о_& , якіцо а = 9 і Ь = -7;
г) х , якщо х - 6 і у - -.
у(х-2) З
71. Користуючись калькулятором, знайдіть значення дро-
бу + 3 , якщо: а)х - 2,75; б) х = 21,8.
72. Складіть і заповніть таблицю значень дробів - %а. ,
2 + а
а . 2а2 । ।
1 + 0 5а і 2а + в2 Для Цілих значень а, |а| < 5. Який ви-
сновок можна зробити?
73. Чи при будь-якому значенні змінної х значення дробу:
ч 9
а) —2—- додатне;
Зх2
б) —;--------додатне;
4х2-4х + 1
-х2
в) —;----від’ємне;
х2 + 15
х2
Г)------
2х-х2 -1
від’ємне?
74.
Доведіть, що при будь-якому значенні змінної х значен-
, 5 - (-3)2
ня дробу —=----- додатне, а значення дробу --------—
, х +3 -3-х2
від ємне.
75. Доведіть, що для даного дробу допустимими є будь-які
значення змінних:
Зх 5 2
а)х2+1; б)(х-1)2+3’ в) 4х2-4х + 3 ’
76. При яких значеннях змінної х не має змісту дріб:
х3
в>—г-----
4х2-100
1-х
1 + х2
д)т-Ц-?
9х-х
77. Які значення х допустимі для дробу:
1 . т 3-х (х-3)2 ф
а) х(х-1Х*+2) ’ ' (2х-1Мх2-16) ’ В) (2х+1)2(х-7)2 ’
ч х + 13 х2-5х + 100 „ 1
(х2 + 1Х2х2 + 3) (х2-4М* -1) х2-4х + 4
78. Укажіть допустимі значення змінної для дробу:
2х 4
а) х + 7 ’ б) 1-2х ;
3 , 8-х
Ґ) (У-1Му + 6); Д) х(х2 + і);
в)
е)
5а
а2 +3
(е-2)2
24
г)
є)
т +12
т2 -16
7а-2
а2 -5а
79. Запишіть дроби, які не мають змісту, якщо:
а) х = 3; б) у = -1; в) у = -4 і у = 0; г) а = 0 і а = 0,5;
ґ) ти — 1 і ти —-5; д)х-0іх--2,абох-2.
80. Розв’яжіть рівняння відносно змінної х і вкажіть, при
яких значеннях а рівняння має корені:
а)ах-2 = 2х + 3; б) ах- а = 7х- 4;
в) 4(а2х - 3) = а + х; г) 9х - 5 = а(ах - 2).
с + 2
81. При яких значеннях с значення дробу —— дорівнює:
5
а)1; 6)0; в)-1; г) 2; ґ)-100?
82. При яких значеннях х значення дробу —-— дорівнює:
а)-3; 6)0; в) 1; г)3?
Розв’яжіть рівняння (83—86):
. 4х + 1 2х-3 2х + 3
183. а)—-—=3; б)—----9; в)— -7.
х + 4 2х-1 х + 1 2х + 1 ч х-3 2-Зх
м- «»—-—! в>—!
7 + Зх2 2х2+5х-2 4х2-х + 9 2х2+1
г)—----------2--= 0--------в-З-•
2х Зх _ ч 5х _ х о
“• “’Т~=в; 6) 2+Т=14: >-8—в’2'
* + 2 х-2 2х-1 5-х Зх + 1 2х
івв. ; в)—. — ; ,)—-- —-в.
87. Чи можна вважати тотожними дроби:
2 2
а а а а
а) ^2 1 а2-4 5 б) її^2 1 (а-2)2 ?
88. Чи тотожні вирази:
а Ь х х
а2-Ь2 1 а2 -Ь2 ’ б> х2-у2 1 (х-у)(х + у) ’
а2 +2аЬ2 +Ь2 (а Ь)2 х + 1 х2 +2ху + у2
В) (а + 6)2 * а2-2аЬ + Ь2 * х-1 * х2 -2ху-у2
89*. Доведіть тотожність, поділивши чисельник на знамен-
ник:
. X8-6х2+11х-6 2 е
а) = х -5х + 6;
х-1
х8-6х2+11х-6 2 л .п
б) = х-4х + 3;
х-2
х8-6х2+11х-6 2 о , о
в)------------= х -Зх + 2.
х-3
90. Доведіть тотожність:
ч х4 + 2х3-13х2-14х + 24 2
а)--------------------= х
(х-ЗМх + 4)
х4 + 2х3-13х2-14х + 24 2
б)--------------------= х + х -12.
' (х-ІХх + 2)
ВПЯЛВИ ДЛЯ ПОВТОРЯННЯ !
91. Скоротіть дріб
. 35 144 к 5120 % 693 ч 3366
а) 56 5 > 441 ’ ” 2520 ; ' 825 ’ Ґ) 4488 *
92. Заповніть порожні клітинки таблиці.
Ділене Дільник
а2 ас 2а3с -2ас3 -12с2
6а5с4
12а3с5
-6а4с3х
0,5а3с2
93. Задайте формулами функції, графіки яких зображено
на малюнках 4 і 5.
Мал. 4
Мал. 5
§3. ОСНОВНА
ВЛАСТИВІСТЬ
ДРОБУ
Згадаймо основну властивість
звичайного дробу. Якщо чисельник і знаменник звичайного
дробу помножити на одне й те саме натуральне число, то
дістанемо дріб, який йому дорівнює. Іншими словами: при
будь-яких натуральних а, Ь і т
ат _ а
Ьт Ь
Ця рівність — тотожність. Доведемо її для будь-яких ра-
ціональних а, Ь і т, таких, що Ь * 0 і т * 0.
а
Нехай — = г , де г — деяке раціональне число. За означен-
О
ням дії ділення, а = Ьг. Помноживши обидві частини цієї
рівності на відмінне від нуля число т, одержимо рівність
ат
ат = Ьт • г, звідси —— = г .
От
ат а
Отже, якщо Ь * 0 і т * 0, то -г— = ~г.
от о
Доведена тотожність справедлива для будь-яких дробів.
Її називають основною властивістю дробу.
Якщо чисельник і знаменник дробу помножити або
поділити на один і той самий вираз, то дістанемо дріб,
який тотожно дорівнює даному.
ДАМ А М А
~В~ В М ; вТм “ ~В '
Тут під «виразом» розуміють вираз зі змінними, який то-
тожно не дорівнює нулю, або число, відмінне від нуля.
Основна властивість дробу дає можливість замінити дріб
А М д
виду в м тотожно рівним йому дробом —. Таке перетво-
рення називають скороченням дробу. Наприклад,
сх3 _ с 5а2т3х а2х
ах3 “ а ’ Ют4 2т ’
Перший з цих дробів скорочено на хЛ , другий — на 5т'1.
З основної властивості дробу випливають такі наслідки.
1. Значення дробу не зміниться, якщо знаки чисель-
ника і знаменника змінити на протилежні.
2. Значення дробу не зміниться, якщо змінити знак у
одного з членів дробу і перед самим дробом.
—А А А А —А А —А А
~В~ = ^В=~~В: В В В
Якщо члени дробу — многочлени, то перед скороченням
дробу їх часто доводиться розкладати на множники. Іноді
перед скороченням дробу змінюють знак чисельника або зна-
менника, змінивши відповідно і знак перед дробом.
Приклади.
2ах-4а 2а(х-2) _ 2а
х2~4 (х-2Х« + 2) х + 2 »
т2-1 (т-ІМ^і + 1) т + 1
_——— =------------= — = -щ -1.
1-т т-1 1
Зауваження. Останнє перетворення і рівність
2 і
а» -— 1 _ , . _ ,,,
—----= -т-1 є правильними тільки для т # 1. Щоб не
1 — т
ускладнювати розв’язування вправ, подібні умови можна не
вказувати. Домовимось кожний дріб розглядати тільки при
допустимих значеннях його змінних.
Хочете знати ще більше?!
Скоротити дріб можна діленням чисельника й знаменника на їх
спільний дільник, виражений не тільки цілим виразом, а й дробовим
Наприклад, можна писати
Ця рівність — тотожність, правильна за умови, що а * 0 і т # 5а.
Іноді доводиться мати справу з дробами, члени яких містять вира-
зи з модулями, наприклад:
|а|с2 а2
Такі дроби не відносять до алгебраїчних дробів. Докладніше з ними
ви ознайомитеся в старших класах. А тепер розглянемо тільки най-
простіші випадки. Перший дріб можна скоротити на с. Рівність
правильна при будь-яких значеннях а і с * 0.
а1 2 а2
Рівність і- = а правильна, якщо а > 0. Якщо а < 0, то -г-г- = -а .
|а| І«|
> Перевірте себе
1. Сформулюйте основну властивість дробу.
2. Що означає «скоротити дріб»?
ат
3. При яких а, Ь, т значення дробу —— існує? А значення
от
а
дробу —?
4. Чи можна множити чисельник і знаменник дробу на 0?
5. Сформулюйте наслідки з основної властивості дробу.
Виконаємо разом!
1. Скоротіть дріб —----.
аг + 2а
Розв’язання.
а2-4 (а-2Ха + 2) _ а-2
а2 + 2а а(а + 2) а
З з
2. Подайте дріб — зі знаменником: а) 4х ; б) 6х(х - 1).
Розв’язання, а) Щоб одержати знаменник 4х , треба
о о 2 ~ З 3 2х2 6х2
2х помножити на 2х . Отже, —— =---— = ——;
2х 2х2х2 4х*
б) щоб одержати знаменник 6х(х - 1), треба 2х помножи-
ти на 3(х - 1). Отже,
З З-З(х-І) _ 9(х-1)
2х 2х 3(х-1) 6х(х-1)’
6х2 9(х-1)
Відповідь. а)^р-; б)
О о • , з . 2а
3. Зведіть до спільного знаменника дроби —— і ——.
ах сх3
о
Розв’язання. Спільний знаменник асх .
3 _ Зсх _ Зсх 2 2 і ах ах сх асх „. . Зсх Відповідь. асх3 2Д _ 2а а _ 2а2 ’ сх3 сх3 а асх3 ' 2а2 асх3
Виконайте усно
▼ 94. Скоротіть дріб: ч_1. » 21 Я) 12 ’ б) 105 х 6 14 Ґ) 54 ’ Д) -56 % 160 ч -21 В) 20 : Г) 21 . у °’9 ’ Є) -48 ’ Є) 0.15
95. Скоротіть дріб:
а) на а, а2, а3; б) —на х, х2, х3, х4, 4х, 2х2, 4х4
а5 12х4
96. Оцініть роботу учнів 7 класу (мал. 6).
агс*
97. На які вирази можна скоротити дріб . , ?
98. Зведіть до спільного знаменника вирази:
12 13 а Ь
а) — і — ; б)—7 і—; в) — і—.
а с х2 2х ху уг
Скоротіть дріб (99—107).
99. а)^; б) ; , 15 3,6 ; .>151 ГІ-Ї5-.
2а а5 100. а) —; б) —; 45 а' ч X 4а в) ~г; г)—. х а
6а2 Зс “*• ’ І2в> ! «» 15с< 7/>з 18 ’ В) 1453 ’ *} 9а2х •
-6 130 102. а)-; б)—; „ -25 0,5 В) -ЗО ’ Г) 0,2 •
103. а) ; б) ; -а <г . -х -2а2 в) ; г) . -ха -а
і 1210 хі 35& 104. а) (21І і 6» 35< ’ В 0,3" ’ -0.44 ’
х(а-2) 105. а) х(& + 2)ї б> тр(т-р) 27 х2 (х + 1) т2р(т + р)’ В) 9х(х + 1) ’
«(а + Ь)2 10в- а» у(а+Ь} ’ « (а-хУс 4х(х-у) (а-х/т ’ В) 7у(х-у? *
2а(х + 3) 107 а> а2(х + 3)’ б> т2 (т - п.)2 6а(2-х) п2(т-п)2 ’ В) 8а’(2-х)’
Скоротіть дріб, розклавши, якщо потрібно, чисельник і зна-
менник дробу на множники і (108—111).
а(Ь-х) а(4а -3) х2(5х-1)
108. а) хЬ-х2 ’ 4а2-3а ’ и) к 2 2 » 5ху-у*
хс-тс ах2-х3 2х- х*
г) ах-ат ' ґ) 2 ; ах-х А) 2у-хау •
8а-85 т - п
109. а) 165 ’ х + ху> и) Зт-Зл ’
а + 1 ах-ау 6а-35
г) а2 + а ’ 1 Ьх-Ьу ’ 65-12а *
32
110.
а)
5-х
(х-5)2 1
7а3 + а*
б) а3+7а2 1
а5- та2
В) а3Ь2-тЬ2 ’
112.
йї113.
114.
а)
2с2- 4с
2а - ас *
Ь-а
617^7:
гп - т
в) 1 тз •
1 — т
Виконайте ділення:
а) 24р2х : 4$рх2;
в) (а2с + Ьс): (ха2 + хб);
б) - Зах : 12а2х3;
г)(с2- л2): (л-с).
Подайте дріб — зі знаменником: а) За4; б) 5а2(а
а
Зведіть до спільного знаменника дроби:
-3).
а) 4 і
. 8 .
г) — і
£
а *
7
а . Ь
2т ' Зт2 ’
; Ґ) —— і —
х-а х+а
.2 1
в> 7 і а-Ь
х 1
д) —Т 1
а + Ь 2
2а
а-Ь '
Доведіть тотожність (115—118).
115.
а)
5х2у _ Юху
116.
® 117.
в)
а)
в)
а)
в)
118. а)
ху 2у *
4Ь(а + Ь) _ 5а(а + Ь) .
125
15а
б)
г)
баб
З ас
2Ьгс Ьсг ’
2(х-у)_ 4(х-у)
ху-у2 2у(х-у) •
а2-1
а -1
б)
а2-1
-ттт=а-1;
4а2-х2 _
—------= 2а-х:
2а+ х
х2 + 2х + 1
з „з
2
2
С.
г)
б)
г)
б)
л „2 „2
4а -х „
—------= 2а + х .
2а-х
= (а + с)2;
х2-2х + 1
2
2
119.
Замініть «зірочку» одночленом так. щоб рівність ста-
ла тотожністю:
5х3 г 3 * 3 Зху
а) -ї~ = '2; б) ху ~ 2х2у ’ в) 7 у2
* _ 4х3 * _ 3л
10а4х “ 5а3 ! Ґ) 16тт 4т ’
4х3 _ 8ах4
5а3
120. Скоротивши дріб, учень
витер на класній дошці
частину записів (мал. 7).
Відновіть ці записи.
121. Знайдіть значення дробу:
а)
6а3с2
За2с3 ’
якщо а = 8, с -
16;
х2-9
6) . якщох - 3,25
X + о
Рівень
Скоротіть дріб (122—125).
7а2Ь 35хг5 25ах2 53 ст
122. а) г; 21аЬ3 7хг* в) к ; 75а”х Г) к0 2 5 с т
х2-а? 5х*-5ху Зх2с-6хс2
123. а) зха_3а2х • 6) • в) х2с-2хс2 *
а2-2ас+са _ (х + г)4 а2-п2
124. в) , ч8 » 6) 29 2 » в) ~~і 9пп , _2 •
(а-сг х + 4хг + г а —Лап + п
ах + ау-аг __ а3-1 хг-хг + 22
125- й) СХ + СУ-С2 ; б) ~г7а71 : В) х’+28 •
126. Виконайте ділення:
а) 8а2с3: 4а3сг;
в) (пх2 + тх2): (т + п);
ґ) (ха3-х): (а - 1);
б) 5а3х5 : (- 25а2х4);
г)(а2-36): (36-а2);
д) (пх34- п4): (пх + п2).
Доведіть тотожність (127 - 128).
127. а) ---------^- = 1;
\а+Ьг-\а-ЬГ
. х + У _ х-у
х’-у3 х-2ху + у2
За2+2а _ 2(а3 + а)
128. а) 6 ,да 67ба2 ';
б) °а*»а -1
(а+ 6)2+(а-д)2 ’
а2 + аЬ _ а3-а
г) а + Ь (а -1 Ха +1) *
х3—1 _ х-2х2 + х3
б) (х + 1)2 —X х2-х ’
Спростіть вираз (129 - 131).
Зх + 2 + Зху+2у
129, а> 2у-2 + Зху-Зх ;
130. а)
(х + 2)(х-1)
х2+Зх + 2 ’
6а 2 +15ад - 8ас - 20Ьс
12а2-9аЬ- 16ас + 12Ьс ’
2а2-18 . х2-4х+3
а2+2а-15 ’ В х2-2х-3 *
141 аі х(у + 1)2-у(х + 1)2 Зр3-8к3
' х(у+ 1)-у(х + 1) ’ ) 2р2д + 6<72р + 18<73 *
132. Чи зміниться значення дробу, якщо х і у одночасно по-
множити на 10:
х 5х
•>7> «)у;
х + у Юх
Ґ) у2 ; Д) х2 + у2 ;
. Х-у Х-у
в>“зГ; г>777;
х-5 х -у
е)7^5; е}х2+у2?
133. Який з наступних дробів: а) найменший; б) найбільший,
якщо кожне з чисел а і с більше від 1:
а _ а 2а 2а За За
с-1 ’ с + 1 ’ 2с+ 1 ’ 2с-1 ’ Зс + 1 ’ Зс-1 ?
134. Відновіть втрачені у знаменниках записи:
15(х-у)2х2 _ 5х 4(х2-у2)_ х + у
а) 21(х-........-у); 24........х ’
х + у
135. Подайте дріб, тотожний дробу Зх , за умови, що його
знаменник дорівнює:
а)9х2у; б) 12ху2; в)Зх(х-у); г)6х2-6ху.
Зведіть до спільного знаменника дроби (136—138).
З . 2 5.7 4г _____
І36. а) а 2 і (2-а)2 ; * * * б) Зх-4 1 4-Зх ’ в) 3-г 1 (г-З)3 ‘
х + 3 х а + Ь а + 2
137> а) х(х--5) 1 х’-25 ; б) 1 аг-Ь2 •
а + Ь а + 2 _ а + 2 1
138- а) а2(а-Ь) 1 а3-аЬ2 ; б) * а2-2а ’
Спростіть вираз (139 — 141).
ас + Ьх + ах + Ьс
Ь39. а) ау + 2^х + 2ах + Ьу ’
х2-(а-Ь)х-аЬ
140. а) з -----------т;
х +Ьх + ах + аІ>
х4 + (2с2-а2)х2 + с4
' І*’ х4 + 2ах3 + а2хг-с4 ’
х-ху + г-гу
б) 1-Зу + Зу2-у3 *
(х + а/-(г + с)2
б) (х + 2^-(а + с/ '
а3с-2а2с2 + ас3-аЬ2с
б) ----------ї-------.
(а2 + с2-Ь2) -4агс2
ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ
142. Напишіть число без показника степеня:
б)2,7 -107; в) 1,43-10е.
а) З 105;
143. Розв’яжіть рівняння: а) 5 (2х - 8) + 8 (Зх - 2) — 12;
б) 5 - 2х (Зх - 2) - х (х + 4) - 7х (х - 5).
144. Складіть вираз для обчислення площі фігури, зобра-
женої на малюнку 8 (а, б).
Мал. 8
145. Катер за 7 год проходить за течією річки такий самий
шлях , як за 9 год проти течії. Знайдіть власну швид-
кість катера, якщо швидкість течії річки — 2,5 км/год.
§4> РАЦІОНАЛЬНІ
ВИРАЗИ
'> Вираз, складений із чи-
сел і змінних за допомо-
гою дій додавання,
віднімання, множення,
ділення або піднесення
до степеня, називається
раціональним.
Приклади раціональних виразів:
Цілі вирази — це раціональні вирази, які не містять ділен-
ня на змінну.
Дробові вирази — це раціональні вирази, які містять
ділення на змінну.
Цілі вирази і дроби — найпростіші види раціональних ви-
разів. Інші види цих виразів пов’язані між собою, як пока-
зано на схемі (мал. 9).
Мал. 9
Словом «інші» тут позначено дробові раціональні вира-
зи, які не є дробами, наприклад:
•> Рівняння називається раціональним, якщо його
ліва і права частини — раціональні вирази.
<> Раціональне рівняння називається дробовим,
якщо його права або ліва частина — вирази дро* *
бові.
Приклади дробових рівнянь:
2*(х 2)=() 1--£ = 3. Л + 1 = 2х-
X ’ 5 + х х ’ 2 X ’ X х+2
Щоб розв’язувати такі рівняння, потрібно перш за все зна-
ти, як виконують дії з дробовими виразами. Тому в наступ-
них параграфах будемо розглядати додавання, віднімання,
множення, ділення і піднесення дробів до степеня.
Найпростіші дробові рівняння, а саме рівняння, в яких
ліва частина — це дріб, а права — нуль, розв’язують на ос-
нові умови рівності дробу нулю.
Дріб дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли чисельник
• | дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля.
• і _ , . 5х-3
Наприклад, щоб розв язати рівняння =0, потрібно
прирівняти до нуля чисельник і розв’язати утворене рівнян-
ня:
З
5х-3 = 0, 5х = 3, х = —.
а
Крім того, слід перевірити, чи не дорівнює нулю при тако-
му значенні х знаменник:
10 ^- = 6*0.
5
Отже, х = — — корінь даного рівняння.
О
Зверніть увагу! Умова рівності дробу нулю складається з
двох частин:
1) чисельник дорівнює нулю;
2) знаменник відмінний від нуля.
Кожна з цих частин умови однаково важлива.
СІ Хотсте знати ще <ильше?'1
У наведеній вище схемі словом «дроби» названо тільки раціональні
дроби (частину раціональних виразів). А бувають дроби не лише ра-
ціональні, наприклад,
2-х віпх ^3
2-|х| * совх * 5 + »/3
Це також дроби, але не раціональні.
Тому, забігаючи трохи наперед,
співвідношення між різними видами
виразів можна зобразити такою діа-
грамою (мал. 10).
Якщо вираз містить змінні під зна-
ком модуля, його не вважають раціо-
нальним. Хоч багато таких виразів
можна замінити двома, трьома чи
більшою кількістю раціональних ви-х_|д
разів. Наприклад, розглянемо дріб „ 2
2х
Якщо х > 0, то |х| = х; якщо х < 0, то |х| = - х. Тому
0, якщо х > 0,
—, якщох<0,
х
не існує, якщо X = 0.
Перевірте себе
! 1. Які вирази називають раціональними?
• 2. Які вирази називають цілими?
• 3. Які вирази називають дробовими?
І 4. Чим відрізняються поняття «дріб» і «дробовий вираз»?
• 5. Які рівняння називають раціональними?
; 6. Які рівняння називають дробовими?
’ 7. Сформулюйте умови рівності дробу нулю.
Виконаємо разом! /
бх-1
1. При яких значеннях змінної х значення дробу до-
рівнює нулю?
Розв’язання. Значення дробу дорівнює нулю тільки
тоді, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник відмінний
від нуля. Прирівняємо чисельник до нуля: 5х - 1 = 0, 5х = 1,
х = 0,2.
Якщо х = 0,2, знаменник 4 - Зх не дорівнює нулю. Отже,
5х-1
якщо х = 0,2, то дріб дорівнює нулю.
Від повід ь. х = 0,2.
2. Чи має корені рівняння ——- = 0?
х-9
Розв’язання. Значення дробу дорівнює нулю тільки
тоді, коли нулю дорівнює його чисельник. Чисельник дробу
в даному рівнянні дорівнює 0 тільки тоді, коли х = 3. Але
при такому значенні х знаменник дорівнює нулю. А на нуль
л 0
ділити не можна. Символ — — не число.
Відповідь: Рівняння коренів не має.
Виконайте усно ДІМММИИ
146. Який з виразів: 1) цілий; 2) дробовий; 3) раціональний:
а)ух+у: б)7“7; в)х4:/;
2 + Зх 1-х2 , ..
ґ) 3х + 2 ; д) 5 + 5 : х; е) ; є) а3 Ьл'!
12
147. Знайдіть значення виразу —, якщо:
т
а)щ=1; б) т - 2; в)т~3; г)ти4;
ґ)т = 5; д)т=6; е)т = 7; є)яі = 8.
148. При яких значеннях змінної не має змісту вираз:
х+1 4 1 1
»—+ТЙ> «>х+Тй: ''ТІЇТЇЇ7
149. При яких значеннях змінної дріб дорівнює нулю:
х + 5 5
а>73б; б)х^5;
X Х“5 х х2~5 о
Рівень
150. Які з виразів цілі, а які — дробові:
„ 7х + 3 Зх-7 1 _ „ 1 ,
а)——; б) —-—; в)-т-х + 7; г)^:(х-7)?
X о о о
151. Знайдіть значення виразу:
9 1 3,5 П
а) 7,5- 2,52; б) 1 —-2,5; в) 2<3 + 4>7 ; г)(1+51)°.
152.
Знайдіть значення виразу
10 х
—+їо , якщ°:
а)х=1; б)х = 2; в)х = 5; г)х = 10.
Укажіть, при яких значеннях х не має змісту вираз
(153 - 154).
9 3 5 8
153. а)-; б)р-; в)-р-; г) —.
5 7 х х + 1
154. а)^; б)^; в) ; г)^.
155. При яких значеннях х дорівнює нулю значення дробу:
15в. Наведіть приклади дробів, які дорівнюють нулю, якщо:
а)х = 3; б)у = -1; в) х = 0,5; г)у = -1,5.
157. Чи може дорівнювати нулю значення дробу:
5 (-1)2 х —1 х + 1
158. Чи є значення х = 15 коренем рівняння:
159.
ЗО Л 11
а) Т = 2; б) х-8 ~ 7 5
Яке з чисел -2; -1; 0;
в) А±їїї = 0?
х-15
1; 2 є коренем рівняння
2х-х2
4-х2
= 0?
Розв’яжіть рівняння (160—161).
6 160. а) = б) 2х~10 =0; в)^- = 0; г)“Т~=0.
3-х х + 5 х + 2 х+1
_л х*-4 п ха-25 п 2ха-10х „
’ і6)Р77'°!В)і77їїг ;г)“?ї775Г=0-
161. а)-р?ї
_2
162. Розмістіть вирази 4а2Ь; —; 4 + а2Ь; 4 : а2Ь; 4а2 + |Ь|;
4о
2 2 |Ь| о2Ь 4 +а2 (а V
(4 + а2Ь); (4 + а)2 : б; 11; —; -Ц^-; Т +*
4а 4 о V 4 /
у відповідних колонках таблиці.
Ш 163. Чи є дробом вираз:
а) 4х; 6)^7^: в) 5(х + 5); г) ^—- + 10; ґ) 5-| ?
Який з цих виразів є дробовим?
164. Знайдіть значення виразу |х| + |у|, якщо
а) х = 0,75, у - - 7,25; б) х = 1,331, у = - 1,331.
Чи є цей вираз раціональним?
й 165. Знайдіть значення числового виразу:
, —.. 15а-5а , 444 Л >44 ?
«>4.5-1р 6>—20-’ ,)Ї2Г1“Ї2')-
166. Знайдіть значення виразу:
а) х2 + 2х + 1-г— ---, якщо: 1) х — 0; 2) х == 1; 3) х = 9;
х +2х + 1
б) 4а2 - 4а + 1 + —=---, якщо: 1) а = —; 2) Л = 5—
4а -4а + 1 * 2
167. Знайдіть значення виразу, розглянувши всі можливі
випадки:
|а| а |Ь|
а)І+Т: б)й+т:
аЬ
168. Швидкість човна становить
V км/год, а швидкість течії
річки — 2 км/год. За який
час човен пройшов 100 км:
а) за течією; б) проти течії?
169. Швидкість катера —
50 км/год, а швидкість течії
річки — V км/год. За який
час човен пройшов 50 км:
а) за течією річки; б) проти
течії річки?
170. Один кухар виготовив 96 ва-
реників за п хв, а другий —
105 вареників за т хв. Скіль-
ки вареників виготовляли
обидва кухарі за 1 год?
171. Змішали т г 10 %-го та п г 15 %-го розчину солі. Якою
буде концентрація утвореного розчину?
172. Чи може значення даного дробу бути від’ємним? А до-
рівнювати нулю?
8 _ л2 + 2 (х + уУ
а) 2 + с2 ; б) (л-І^ + г ; В) х’+/ + 2 •
Визначте, при яких х дорівнює нулю значення дробу
(173-174).
2х + 3
173
х + 3
174
х2-4х
б)"?7з“
2у-1
б)ТТ;
у -1
х2-9 х
в) х-3 ’ г) х2-3х *
х(х-4) 12т
в) 12 + х * г) т + т2
175. Наведіть приклади дробів, які дорівнюють нулю, якщо:
а)х = 0; б)т = -4і/п = 4; в) у - 0 і у - - 2;
1 2
г)х = 5; ґ) г = 3 і 2 - - 4; д)а = — абоа = —.
з з
176. Чи є значення х = 12 коренем рівняння:
А-І Н II со * • Зх-1 _ х х + 12 6) 5 =7; в)х_12-0;
II еч Н 1 1 М сч *~4 _ х . х(х-9) Ґ> 4 6! Д) 4 ~Х 3?
177. Покажіть, що дане рівняння не має розв’язків:
О II ю І н "а? г2 + 10 _ х-7 б) г-5 "°; в) 2 , ~°- 20 х-іх
Розв’яжіть рівняння (178-180).
2х-3 п 178. а) —= = 0; ’ 5х 15-Зх 0,5 + 2х л б> Х + 4 “> -0-
Зх -0 179. а) Х2-1 °; х2-2х + 1 _ х2_! 6> 1-х1 : в>А-7=°- 1 х х +4
х*+4 п 180. а) х2_1 с°; х*-3х -о 4-4х + х2 п б> х*-вх + 9 > ^.,2 =0
181. Виконайте дії:
.25 ,25 , „ 9 5.1
а) 1 3 + 3 ’ 6) з + б ’ Г 11 * Д 21 35
Зведіть до спільного знаменника дроби (182—184):
а Ь 182-а) 4(а_ь) * 20(а-Ь); х + г 6у б) 1 , • хуг хг2
х 2 ІвЗ.в) 2(х-і) 1 х(х-1) ’ 1 . 1 х2+х * х2 + 2х + 1
184.а) .2о- і—; аг-Ь2 18а 8 Х + 1 б) , ,1 „ . х2-а2 (х + а)2
185. Розкладіть на множники:
а) 6х2 - 6у2; б) 5 - 5т2; в) ах2 - а3;
г)Зх4-12х2; ґ) 20а2 - 45Ь2; д)48х2-75у2.
ДОДАВАННЯ
І ВІДНІМАННЯ
ДРОБІВ
Для натуральних чисел а, Ь, с
справджується рівність
а Ь а + Ь
- + - =-------------.
1 с с с
Справджується вона і для довільних раціональних зна-
чень а, Ь, с, крім с = 0. Доведемо це.
Нехай а, Ь і с * 0 — довільні раціональні числа. Тоді — і
с
б . . _ а . Ь
— — також раціональні числа. Якщо — = г і — = р , то, за
означенням дії ділення, а = сг і Ь - ср. Додавши ліві й праві
частини цих рівностей, одержимо а + 6 = с(г + р). За означен-
ням дії ділення, з утвореної рівності випливає, що
а+Ь ~ а Ь а+Ь
г + р =---, тобто —+— =----.
с с с с
Подібним способом можна довести і тотожність
а Ь а-Ь
с с с ’
Із цих двох тотожностей випливають правила додавання і
віднімання дробів з однаковими знаменниками.
Щоб додати дроби з однаковими знаменниками,
треба додати їх чисельники, а знаменник залиши-
ти той самий.
Щоб знайти різницю дробів з однаковими знамен-
никами, треба від чисельника зменшуваного відня-
ти чисельник від'емника, а знаменник залишити
той самий.
На основі цих правил виконують додавання і віднімання
будь-яких дробів з однаковими знаменниками:
А В А±В
~С±~С С~'
Приклади.
5ах 2с _ 5х + 2с
Зт Зт Зт
а т _а-т
т + х т + х т + х
Якщо треба знайти суму або різницю дробів з різними зна-
менниками, то спочатку їх зводять до спільного знаменни-
ка, як це роблять при додаванні та відніманні звичайних
дробів.
Щоб звести дроби до спільного знаменника, попередньо
знаменник кожного дробу розкладають на множники. Якщо
знаменники дробів не мають спільних множників, то дода-
вання і віднімання дробів виконують за формулою:
А С _ А й В А О ±С В
в±1) ~ІГп-ІГв в о
Приклади.
1 За _ 5х 6а2 _ 5х + 6а2
2а 5х Юах Юах Юах
х 2 _ х 2
хг-4 Зх + 6 " (х-2Хх + 2)" 3(х + 2)
Зх 2(х-2) _ Зх-2х + 4 _ х + 4
“ (х-2Хх + 2)3 ” 3(х + 2Хх-2) “ 3(х-2Хх + 2) ~ з(х2- 4) '
Іноді виникає потреба знайти суму або різницю дробу і
цілого виразу. їх можна додавати або віднимати, як дроби,
записавши цілий вираз у вигляді дробу зі знаменником 1.
Приклад.
2ху _ 2ху + 5с _ 2ху + 15с2
Зс С ~ Зс ~Г “ Зс *
Подібним способом спрощують вирази, які складаються
з трьох або більше дробів, сполучених знаками «плюс» або
«мінус». Наприклад,
2с 1 За _ 4ас 6х 9а2 _ 4ас + 6х-9а2
Зх а 2х бах бах бах бах
Хочете знати ще більше?^
Домовившись розглядати кожну тотожність тільки при її допусти-
мих значеннях змінних, тобто за умови, коли її ліва і права частини
мають зміст, ми свідомо спрощуємо задачу. Довівши тотожність,
стверджуємо тільки, що вона правильна на всій області допустимих
значень, не зазнаючи, яка це область.
Щоб дати вичерпне розв'язання такої вправи, варто не лише пе-
реконатися, що тотожність правильна на всій області допустимих зна-
чень, а й указати, якою є ця область. Або чітко зазначити, які з дійсних
чисел не належать цій області. Наприклад, показавши, що
1___1 _ У
х-у х (х-у)х’
бажано вказати, що доведена рівність правильна, якщо х # у і х # 0.
У відповідальних випадках, наприклад у екзаменаційних роботах,
такі уточнення доцільні.________________________________
Перевірте себе
• 1. Сформулюйте правило додавання і віднімання дробів з
однаковими знаменниками.
\ 2. Як додавати дроби з різними знаменниками?
• 3. Як знайти різницю дробів з різними знаменниками?
• 4. Як знайти суму чи різницю дробу і цілого виразу?
Виконаємо разом!
1 о - • Л- °2 •
1. Знайдіть різницю дробів —-— і —т.
а2 а2
п , 3-а2 3 3-а2-3 -а2
Розв Я38ННЯ. -----;---Г =---;--=---— = -1.
а2 а2 а2 а2
Відповідь. -1.
9 о - 6 • За
Знайдіть суму дробів — 1 —-— .
а аг-с
Розв’язання. Спільний знаменник даних дробів
а(а2 - с). ІЦоб звести дані дроби до спільного знаменника,
треба домножити першій дріб на а2 - с, а другий — на а.
6 + За _ 6а2 - 6с + За2 9а2-6с 3(3а2-2с)
а а2-с а(а2-с) а(а2-с) а(а2-с)
Відповідь.
3. Виконайте дії:
3(3а2-2с)
а(а2-с)
За2 аг-Ь2
2а-Ь Ь-2а
Розв’язання. Використаємо формулу
А А
За2 а2-Ь2 За2 а2-Ьг За2 + а2-Ь2
2а-Ь Ь-2а 2а-Ь 2а-Ь 2а-Ь
4а2-Ь2 (2а-ЬК2а + Ь) _
= —х :— =---- :-----= 2 а + о .
2а-Ь 2а-Ь
Відповідь. 2а + Ь.
Виконайте усно
186. Додайте дроби:
,2.4 7 . 6 3 1.5
а,5*5: 6)Ї31ЇЗ= В»7'її‘7;
А. 2с2 . 1-е2 . 2х 6 . х
Г 2х 1 2х ’ Ґ ЗаЬ 1 ЗаЬ ’ Д х + 2 * х + 2 1 х + 2 '
187. Знайдіть різницю дробів:
. 2с . с ^х • х х 2а • 6
а Зах 1 Зах ’ 6аЬ * 6аЬ ’ В а -3 1 а -3 ’
4х + 1 . х-3 а2 , с2 _ х2 + 1 , 2х
г) Зх-2 1 Зх-2 ; ґ) а^с 1 а7с ; д) (х_і)2 1 (х_!)2 '
Подайте у вигляді дробу вираз (188—189).
х и 1 а _ч 1 3 5
188’ а) За + За ’ б) -5х * -5х » В) 4т 4 Іт 4т
1 с . л х + т X ; д) х + 3 9
> 9а 9а ’ > 2т 2т 0,5с 0,5с •
а 2х X 2с с X
іо». а, а + х • а + х а + х і б) с-х с-х с-х ’
т+с т-с 2х х-с с
г)
П) 2х + 2х » 0,5а 0,5а 0,5а ’
190. Спростіть вираз:
13 2 б) а 2а 4а
а> 2х 2х 2х ’ 7т Ь 7т 7т ’
3 2 4 5 2,5 0,5
а> Нас 5ас 5ас ; г) Зат Зат Зат •
191. Який дріб слід записати у рамку на картці, щоб у сумі я
написаним дробом одержати номер картки (мал. 11)?
Подайте у вигляді дробу або одночлена вираз (192—196).
192. а) 2а а с За 2а 1
а-с а-с а-с ’ а2-1 а2-1 а2-1 :
Зх + у г-2х 2а-Ь а-2Ь + с
в) Х + .(/ + 2 х+у+г ’ *' а + Ь-с а + Ь-с
193. а) 1-а а — 3 с-3 + . а2-с3 с2-а3 а8-а2
г п *» 1 п ♦— 1 п 0 а-с + ь . а-с а-с
194. а) а + 6-с а-Ь + с Ь-а + с
Ь -4"
ЗаЬс ЗаЬс ЗаЬс »
б) х + у—г І х—у + г д-х+у+г
Є
х + у+г х+у + г х + у + г
© 195. а) 2 і.4 6 °2 б) 2а+ 3 2а-9 а + 1 .А. -1.
За* За За ’ 5Ь 5Ь ЬЬ ’
х2 2х-1 1-х 2{т + л ) т. т
в) х + 1 * х + 1 * х + 1 ’ т - п т - п т - п
196. а) 5х х + у 2х + у 2а2 . аЬ а2
2у 2у 2у ’ б) а + Ь а + Ь а + Ь ’
& І сд н а і м І о 1 х3 х3-х 2
в) 2а-3 2а-3 2а-3 і *' х’-4 х2-4 х2-4
© 197. Доведіть тотожність:
а с а с -і.
а) + 1; о) а+с а+с а-с а-с ’
в) х(1 + у) у(1 + х) Х-у х-у ~ ’ г) а(Ь-1) а-Ь Ма-1)_ . а-Ь
199. Спростіть ліву частину рівняння і знайдіть його корені:
„ X з а) х + 5 х + 5 ’ 2х б в> х + з + х + з"°; 200. Розв’яжіть рівняння: 8 2х п , 2х + 3 Зх + 2 _ б) -т——=°; 5х 5х . 1 *+1 п г) 2 2 =0. X -х X -X х 2
а) 57+з7=0; б) -4—^ = 0; х-2 х-2
.) -£2^—_г_=0; х -25 х2-25 , 5х-1 2х + 15 Л г) + = 0. 2х + 5 2х + 5
Зведіть до спільного знаменника
вирази (201—202).
201. а) . с 1 4а"’ в) 35 9а2 7 1 12а :
4 7 1 1 ’ І 2 ' У 2 2 а
г) а3 1 а2Ь : Ґ) х2У ; д) Зах2 1 6Ьх2 •
202. а) 1 . 2 а2-х2 1 а + х ’ б) а і а-с с в) 47г , Ь 18а ’
а2-с 2 ’
г) 2с . Зг X 2 1 х( а X Зх ;д) , 56а3 . х2 1 63а '
л3 „,2 І. с -ех с + сг а(х + а) х + а)
М _ -М
Використовуючи формули д _ д = д або - В)2 =
“ (В -А)2, зведіть до спільного знаменника дроби (203—204).
203. а)
1 . З
----1-----;
а-с с-а
б)
Х-у у-х
-5
в) -Т~7
а -4
а
4-а2
204. а)
4 ах
а + х
5х
2 а
4 х
в) 35(х-2) 1 147х 5
Зх ____£_
б) х-1 1 (1-х)2 ;
1 2.3
г) ---,---- 1----.
с~а а~с (а-с}г
2 ;
ебрв 8
205. Додайте дроби:
1 . З д-с а2 _1_ 5
г) а + Ь * х(а + д)’ с * с(а-с)’д^ 2а*Ьх3 ’ Зах* ’
206. Знайдіть різницю дробів:
. 4а . 5 1 . 1 . х2-т , х
ах ах с а-с' т(х + т) т
З 2 х2 х х 2
г) а-Ь 1 а + Ь ' Ґ) (а + х)2 1 а + х ; д) За2ьзс 1 •
207. Знайдіть суму і різницю дробів:
1 с-х а~ а 3 2
а) Зсх І Зс2х ’ б) (а-Ь)2 ' а-Ь ' в^ с(х-у) ’ х2-ху ’
Виконайте дії (208-211).
14 2 1 2 1
208. а) о“+—гї; б) «-----в)--------------.
’ 2х х + 2 ’ ' Зс с-3 ’ ’ а-х ах’
63 3 х+2 7 + 2х 2
209 а) 4х-5у 2х ; б) 4 4-Зх ’ в) 5-Зх + 3 *
л.л . а + Ь . Зс-т2 Зх2
210. а)---+ 1; б) т +-----; в) 5—.
с ' т-с ' ’ а-х2
211. а)а + -^і; б) 2с—Ц-; в)х2—.
а с-1 а+х
212. Доведіть, що значення виразу не залежить від значен-
ня змінної:
5х-3 4х 2 Зт-2 2т-2
а) 4х + 4 Зх + З : > 8 + 4т 6 + 3/п ’
Розв’яжіть рівняння (213—214).
5 5 3 2
213. в) 2х + 1 Зх-2- ; б) 1 + 2х + 1-х "°;
214. а)
За -1 2 + а
За2 2Г
б) За-З 2-2а
„ 1 + т2 т + 5
г) ——Г+^~Г
т - пг т _ *
в)
(т >3)2 + т + 3
Подайте у вигляді дробу вираз (215—218).
л__ V 4х-5у + 8 7х + Зу-5 2х + 5у + 3
2І5' а) ' 18, '*• ЗО, ~йГ~;
б) 2а + ЗЬ а + 2Ь 4а-Ь За -45
4с 6с 8с 12с ‘
216. а) х-4 5х-7 Зх + 9 2х + 5
2х Юх 4х 5х >
б) 2а-аЬ + ЗЬ а-2аЬ 4а + аЬ-5Ь
9аЬ аЬ ЬаЬ
217. а) х + 1 в 2Ь в) 1-аи і. 2а2
х —1 1’ ЗЬс2 5ас2 , с; н—- - . а + 1
218. а) 2 х2-х-2 , 4* 1 * б) , 2т + 1 т 1 А.
Зх + 6 х2-4 т - -1 т -1 •
Спростіть вираз (219—228).
219. а) 9х2+4у2 ( Зх 2а+ 1 а + 3 4. 2а+ 1
12х2у-8ху 2ху-3х2 » О) 6-За 6а-12 ' 2а-4 '
220. а) 6а-4Ь 8а-ЗЬ 4- • б) х-1 Зх-4 2х-1
4аЬ-2Ь2 8а2-4а5 ’ 2х + 2 Зх + З ' 6х + 6 ’
221. а) 5 8 За + 7 1 X +1 X- 1
а-1 1 + а а2-1 ’ б) X + хг -X X2 - -х *
222. а) 2 5 5 2 1 . 4- 2
х + 1 ' х-1 х + 2 ’ б) (а + 1)3 (а + 1)2 1-а •
223. а) 2х-3 Зх-1 х + 2 7 Заг-2Ь2 з &
Зх-З 4х + 4 х2-1 ; б) а + Ь а2-Ь2 а-Ь •
2 3 2а-Зх і 3 2а
224 а)а + х-2а 4а2-х2 : б) а-2 * а + 2 + (в + 2)2 ’
®225. а) 2_
х + 4 х2-4х + 16 х3 + 64
1 2а + Зх бах
226. а) 2а-3х 4а2+6ах + 9х2 8а*-27х3 '
а. 3 2 2
Ро 2 27. а) т-й--г+~і---п--г ~ і-й---г;
(х-аХх-с) (х-адс-а) (с-хХа-с)’
а+Ь Ь+с с+а
-28. а) 0_еде_о)+ (с-аХа-6)+ (а-ИЬ-с) •
229. Знайдіть значення виразу:
2а і а +1 а -1
а) ТТР"* 2ЇЇ^2~З^Тз , якщоа = 3;
х+2 хх+2 1
б> ~~х х^2 + х2_2х .якщо Х = -;
1 х + 2у 4х
в) х1-2ху~ Xі-Ау1 .якщох = 2,^-3;
х-3 х+3 4х
г) х2+3х Р-З? ~Сі.якщох-7.
230. Подайте дріб у вигляді суми дробів:
2х + 9 4а2 + 5&2 6а2 + ЗЬ2 + аЬ
а) їгР": б) ЮаЬ ; в) аь(?а2 + ь2)
231. Подайте дріб у вигляді суми цілого і дробового виразів:
10х2-у2 _ х2 + 2х х3-ху + у3
я) Я ’ і . 12 * а)я 2 •
5х2 (х + 1Г х2-ху + у2
232. Доведіть тотожність:
т 2тп п _
а т + п + тг-п2 т-п ’
х3 х 2
б) тт^2~і72=х~'-
233. Для кмітливих. Пройдіть через
лабіринт так, щоб перетнути
дроби, сума яких дорівнює 2. Не
можна проходити двічі один і той
самий відрізок шляху або пере-
тинати пройдену лінію (мал. 12).
234. Доведіть, що значення виразу
7х2 + 4 5х2 + 3
не залежить від
значення х.
Мал. 12
235. Доведіть, що значення виразу не
може бути від’ємним числом:
а)
2Ь2 4Ь , 2 .
а2 + 2 аг + 2 аг + 2
б)
4 + 12У + 9 .
х2 + 1 14-х2 х2 + 1 ’
____£ + Зт_ * т
В) (1-т)2 (т-1)2
Юх + 6(х + 4) + 4х
Г) (х-2)2 (2-х)2 *~2 '
236. Доведіть, що при кожному допустимому а значення вира
а’ + За За2-14а + 16 _
зу------------------+ 2а є додатним числом.
а + 2 аг-4
237. Доведіть тотожність:
2 2 3 3
а-х а — х г 2
я) -----= а + х; б) -----= а + ах 4-х •
' а-х а-х
в) ————— = а3 4-а2х 4-ах2 4-х3;
’ а-х
«8-х5
г) ------- а4 4- а3х 4- а2х2 4- ах3 4- х4.
а-х
238. Виконайте дії:
«) у—
х2 + 3х«/ 9у2-х2 2х-6у
6>11£Ї+ з^±.+_2_;
х’-І х2 + х + 1 1-х’
. 3-Ь Ь + 4 Ь + 3 Ь
в)--------------4----------;
Ь-2 2Ь3-»Ь Ь + 2 ь2-4
Г) За*2 _ 18а _ 1 ’ 9а2-6а + 4 27а3+8 За + 2’
239. Доведіть тотожність: ч 1 . 1 2 . 4 _ 8 а) 1-х і+х і+х2 і+х< і_х8 ; 111,2! 4 8 ' 1-2х 1 + 2х 1 + 4х2 1+16х< 1-256х8 ’
Розв’яжіть рівняння (240—243).
й 240. . х-25 Зх + 5 _ 6 12 + х _ а) т—хг з- = о; б) — +— = 0 ах-25 5х-ха х2-6х 6х-36 . х2-6х х „ . х + 3 х-1 _ х2-4 х-2 х2-1 х2+х
241. а) і _о» —-— +——— =о; (х-1)2 1 х 2х-1 1-8х3 в)— -^±=0; Г) !_=0 (х-2)2 2х-4 ’ П хз+8 х + 2
242. . 12х 2х-3 2х + 3 _ Я 4х2-9 *" 4х + 6 + 6х-9 б) -Г— +7-Ц- + —Г = 0- х2+3х 9-х2 2х -6х
243. . 1 х-2 6х х-2 х2 + 2х + 4 х3-8 3х2 + 7х + 3 2х-1 і х’-1 х2 + х + 1 х-1"
Доведіть тотожність (244-246).
244. х2-(у-г)2 + у2-(х-г)2 з2-(х-у)2 _] (х + з)2-у2 (х + у)2 —з2 (у + х^-х2
245. хг-уг у2 + хг з2+ху (х-уХх-х) (у + зХу-х) (х-хХз + у)
І&246. (у-ЬХз-Ь) (у-сХз-с) ух _ Ь(Ь-с) с(с-Ь) Ьс
ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ |
Т-----------1
247. Напишіть замість букв числа, назви
яких починаються на вказані букви, і
такі, щоб їх сума в кожному рядку і
кожному сповпчику дорівнювали одна
одній (мал. 13).
248. Обчисліть:
а) 530 Ззо-(1518-1)(1515+ 1);
б) 724 824 + (1 -56,2М1 + 5612).
Мал. 13
Виконайте дії (240-250).
249 а» 2+їнб>:
25О.а) 2^1-61;
6) 1А.2+4
б) 2іїї Ч+в І'І) «•
§а
МНОЖЕННЯ
ДРОБІВ
Правило множення звичайних
дробів вам уже відоме. Для будь-
яких натуральних чисел а, Ь, сі сі
справджується рівність
а с ас
ь а ~м'
Доведемо, що ця рівність — тотожність, тобто що вона справ-
джується для всіх допустимих значень а, Ь, с, сі (Ь # 0 і сі * 0).
а с
Нехай — = г і — = р . За означенням дії ділення, а = Ьг і с—сір,
о а г
звідси ас = Ьг • сір = Ь<1 гр . Оскільки Ьсі # 0, то з рівності
ас = Ьсі гр, за означенням дії ділення, маємо:
ас а с ас
гр = —, або---------= —
М Ь сі М
З доведеної тотожності випливає правило множення
дробів.
Щоб помножити дріб на дріб, треба перемножити їх
чисельники й окремо знаменники і перший добуток за-
писати чисельником, а другий — знаменником дробу.
На основі цього правила виконують множення будь-яких
дробів:
А С АС
В І) ~ В - І) ‘
Приклади.
2х т 2х • т _ 2хт
Зл 5л Зл -5л 15л2 *
а 2х _ а • 2х _ 2ах
а-Ь а + Ь (а-Иа + 6) аг-Ьг '
Оскільки цілий вираз можна вважати дробом із знамен-
ником 1, то, за сформульованим правилом, можна перемно-
жити дроби і цілі вирази.
Приклади.
2а п 2 2а Злі2 2а Злі2 балі
Злі = -— =-=-----;
тх-----------------------------тх 1 тх х
(с2 - її с = ~1 Хс -ь 1 к _ (с-1к
(с + 1)2 (с + 1)2 (с + 1)2 С + 1 *
Правило множення дробів поширюється на добуток трьох
і більше множників, наприклад:
1 а аг-Ьг _ а(а-Ь)(а + Ь) _ 1
а-Ь а + Ь 4а2 (а-Ь^а + ЬАа2 ~ 4а '
Піднести дріб до л-го степеня означає перемножити л
таких дробів:
а \п _ а а а аа а ая
її) її її •••' Ь ~ЬЬ ... Ь ~Ьп’
ІЦоб піднести дріб до степеня, треба піднести до цього
степеня чисельник та знаменник і перший результат за-
писати у чисельнику, а другий — у знаменнику дробу.
Г А ? = А"
І в ; вп
ах2
Приклад. Піднесемо дріб —— до п’ятого степеня:
2с
Гах2 ? (ах2Г_а6х1п
I 2с ) (2с)5 32с6
Хочете знати ще більше?
Ви знаєте, що для множення многочленів існує обернене перетво-
рення: розкладання многочленів на множники. Чи існує обернене до
множення дробів перетворення?
Кожний дріб можна подати у вигляді добутку двох, трьох чи довіль-
ної кількості інших дробів. Наприклад,
а _ а с а _ а п с
т с т т п с т
Перетворення, обернене до множення дробів, неоднозначне, не-
визначене. Простішою є така задача. Подайте дріб ~ у вигляді до-
п
бутку двох дробів, один з яких дорівнює — . У даному випадку
са
відповідь неважко підібрати:
а _ п са2
п~ са л2
Розв'язування таких задач у складніших випадках, як і операції,
обернені до піднесення дробів до степеня, розглянемо згодом.
> Перевірте себе
1. Сформулюйте правило множення двох дробів.
• 2. Як помножити дріб на цілий вираз? А цілий вираз — на
дріб?
; 3. Чому дорівнює добуток кількох дробів?
• 4. Як піднести дріб до степеня?
Виконаємо разом!
/ хі_ с2 їв
1. Знайдіть добуток дробів: —- і----— .
2хс (х-с)
✓ Розв’язання.
х2-с2 16 _ (х-сХх + с)-16 _ 8(х + с)
2хс (х-с)2” гхс(х-с)2 "хс(х-с)-
8(х + с)
відповідь. жс(х_с).
2. Знайдіть значення виразу
у о . І Х-5 І -І Х-& І -( 1? -1
✓ Розв язання. ------- -------= -(-1) -1.
^5-х ) х-5 )
Відповідь. При кожному значенні х, крім х = 5, зна-
чення даного виразу дорівнює 1.
а7х14
3. Подайте у вигляді степеня дробу вираз-гг- .
(а-х)
✓ Розв’язання.
а7 хи а7-(ж»? _[ ах2 ї
(а-х)21 ((а-х)3]7 ((а-х)3]’
( V
п • • І «X
Відповідь. -------— .
І (а-х)3
Виконайте усно у і1*11 іЯС”
251. Перемножте дроби:
2 . 5 _ 2,5 . 0,4 3 . -з
а>3 '7 = 6>-г‘ 5а ’ в) 75 1 4 ;
х т 3 0,5 -1 . -1
г) — 1 : а 2с ґ) -г 1 ао ах2 ; д»^ і —. ас
Виконайте множення (252—253).
х г 2а т 1 1 4а X
252.а)-т; п * в) ; ах о — За *
3 65 х3 9 2 с , т □ V 8°2 25
253 а> 2Ь —І б>-Г х4 : в»-іо Г) 15 12а ’
254. Піднесіть до квадрата і куба дріб:
Виконайте множення (255—260).
2,7 20 1 -2а % 2аЬ 5с2
255.а)-^г^рг; б> 7с ; В) -5а« 4а3Ь3 1
г) 2т2 ґ> Д) -^-2- (“6ас3). ’ ЗЬс2
к 15л6 4 лі2 За3 5х 1 -4с2
□ 256. а) , г ; -8лі2 5л —х4 4а * В) 2сх зх2 ’
п 2 За г)2ах —; . 7а2т . о ґ)-—— 4х2л; оХП «> 2;с (-за').
а + Ь Зх2 1 х-у 3 (х + 1/)’
*о7,а) х 2{а + Ь)' 6) х2-у2 4ху » ш и >0 1 ••с іе 00
„ а2-аЬ т2 Зах сх + с2 х 6 лі 2а-2
Г) т3 а-Ь' ‘ ’ ах + ас 9х а2-а 9лі2
к а-Ь 15 а-х Ібалі а2-с2 8
□ м о ас ® сс Сі 1 £Г N3 <* • О) 4т2 (а-х)2 ; в) 2ас (а + суг ’
За-35 (а + с)2 За+ 9 2а-4 • лі ж2~у2 °'6
4а + 4с аг-Ь2 ’ г) (а + 3)2 а2-4 ’ Д’ »2 (х_^
1 * 1 <с ЧС м . (а + 5)2 Ь
(х + у)у х2 у2 б) (а-ЬЇЬ а2-Ь2 '
а2+аЬ а3-Ь3 ч х2-ху (х + у)2
а2-Ь2 а(а + Ь)' у(х + уІ 2 2 ’
х2-с2 а + х а2-4 а + 2
260. а) хг_а2 с + х і б) 2 л ' а£ + 4 а-2 ї
а3-1 а3+1 . х2-1 . х’+х + І
и' а + 1 а-1 ’ Г) .3-1 X 4- 1
В 261. Піднесіть до квадрата дріб:
.5а х -т 3X2
а 4х * °» о + х ; ь) 2«г- 2а+ 2
2о 262. Піднесіть до квадрата, куба і четвертого степеня дріб .
Зсх
Піднесіть до степеня (263—264).
( т Г (а \3 ( Зс |2 ( -2х )4
263. а) — ; б) —- Зл ) 2<іх ) ‘ “Ч 1-а1 | ’ Г) ( ЗаЬс ) ’
265. Спростіть вираз:
х2-9у2 а2-16Ь2 х2+6х + 9 х2-4
а) а2+ваЬ + 16Ь2 Зу-х ; б) 2х-4 Зх + 9 ’
в)
2х-6 х2-у2
х*+2ху + уг х2-3х ’
РЗ 266. Відновіть утрачені записи:
г)
х2-10х + 25
6х + Зу
2ху + у2
25-х2 ‘
(х + 2)2 ах2 _ х(х + 2) х-у 2хгу2 _ ху
й) д2...' ...(х-2)’ б) ... ’ ... "х + і
Рівень
©
267. Виконайте множення дробів:
4а2-9 6а 1-9х4 х-1
а) 3 + 2а 3 —2а ; б) Зх2-1 Зх2 + 1 '
а3+х3 аг-2ах + х2 1 + д2
в> а-х а2-ах + х2 ’ Г) а«+і а4+1+а2 '
Перемножте дроби (268—269).
9х ( 5/ )
у [ Зх2 )•
Й2вв..)4£г
У
б)
з ь* °3 8а
а 4а д^3 Ь
а+3 6-2а 5а3 0,2 х2-1 5х
269. а) --=------=---; б)----------=------г ;
10а2 а 3-а ’ х 2х х + 1 ’
-6х* ~ - 49*Лу2 ) а352 -5а4с 16Ь3с3
В> З5у*г3 42х6 ( гл )’-20с4 24Ь5 -30а” ’
270. Заповніть таблицю:
X -3 -2 -1 0 1 2 3
х + 1 2х X х2-1
х2-4 Xі-2х х х + 1 вйнав
271. Знайдіть значення виразу:
ах2-а а3-х3 —
а) х2+ах + а2 ’ТТТх- ’ яки*° а = 4, х - 3;
/-16х2 8х3-125 1
6) . а » якщо х = — , у = 3;
4х +10х + 25 4х-у » -* 4
х2-ху + 2у-4 х2+2х
в> х^Ту (х-У)2-і ’ ЯКЩ°Х “ 3’ У = 2;
аЬ-2Ь 4а2 + 2а& + 36-9 1
Г) (Ь-3)2-4а2 аг-2а
272. Виконавши перетворення
дробових виразів, учень
витер частину класної
дошки (мал. 14). Відно-
віть витерті записи.
Спростіть вираз (273—274).
273- «)^-гр-(-4х(х-3));
2
(о . д - Ь
(а (и - Ь)с
2х . гіг 9
-' 1 ’ 2* + 1 н ’ і
б) 4а2<> 6а2-ЗдЬ 2аЬг
4аг-Ьг \2алЬл 2а + Ь'
х2-х х2 + 2х + 1 х2-16
2х + 2 х2+4х Зх-3 *
Піднесіть до степеня дріб (275-276).
/ 2 \2 1 X 2 1 1 275. а) —— ; б) \ а л 7 ' / » \3 ( 0,2а2 ) 276- а) , з ; б) у ОА У у [ -Зтал .3 ) ’ В) і ; в) < 2 V 2 ] 4 .0
[ 2ас3 [ а ~С ї -гал4 ) ґ О.Зах5 1 2х-1
-2х2г /
277. Подайте дріб у вигляді степеня:
а,5х“
а) :
б)
.20
Спростіть вираз (278—283).
278 а)(-Йз-1 12‘,4',“:
(2х + у)2”
б)
,2
279. а) (-8х6у3)
3г4 V
2х2у )
б)
~2у3 ,
_ам3
зь3
-2у2
х3
96 і
а3
,2
280. а)
ах3 а2-2а + 1
5~5в 0,2ах3
б)
2а -1
а -1
,2
281. а)
х2-4
25 +10а
^2-а)-—р
( х-2
За +4
б) —
2 ч
а'1- 1
4а2-4а +1
і (а2 с2 }
— — + —
ке І с а
2х
4а2-25 2а-5
У--у
.2 . „2 "
283. а)
1-а2
2
ї~б)
а2+3а 1
9а 2 + За
9а2-1 За + 1
284. Знайдіть значення
2х + 4 х2-4
(х-2)2 (х + 2)2 ’
виразу:
якщо х = 3,2;
б)
і+1V 3т2
~~ ---7» якщо т = 4,357.
) 2тг+4т + 2
Доведіть тотожність (285-286).
285. а) 1-^1.
7 1+Ь 1 + а
а
1-а
= 1-5;
(1 3-а \ ( а2+1 а 1
( ~ а + 2 Д 2а-1 ~ ЇЇ ] ЇЇ*
286. а) -1—
Х^У
5х
-х-у =1;
2
1
2
З
а
1
х + у
287. Доведіть, що квадрат суми двох взаємно обернених
дробів на 2 більший від суми їх квадратів.
288. Доведіть, що при будь-якому натуральному п число
р 1 \ / 2 і
І "і» 7Г+Ї ' — натуральне.
Розв’яжіть рівняння (289-291).
289. а) ^ = 0; б) *2_~4х + 4 . х4~2 = р.
х-3 х х2-4 х
290. а)
2х-3
^-4=°; б)
7х-5
(х-1)2 х-2
х*-16 х2 + 1
= 0.
(х2 1
291. а) -=г + х + 0,5
І
х2-9
(х-1Хх + 3)
= 0;
Зх2-12
6> ~3-
( х2 А
3-2х+-у- = 0.
ґ--------- ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ І
292. Провідміняйте слова: дріб, частка, знаменник.
293. Графік якого рівняння з двома
змінними зображено на малюн-
ку 15? Чи є ця пряма графіком
функції?
294. Розкладіть на множники:
а) 6х2 - б/;
в) ах2 - а3;
ґ) 20а2 - 45Ь2;
б) 5 - 5т2;
г) Зх4-12х2;
д) 48х2 - 75/.
V
Мал. 15
295. Виконайте дії:
а)ґ1±;3± + А:А
13 13 7 21
б) ^28—:13—+6—: —
5 7 5 3
Ц8 2 ]
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ
Варіант 1
1°. Обчисліть: З6 : 81 + (5,3 - 7,3)3.
. 8х2с 15а2-60
2 • Скоротіть лріб: а> —: б) .
З*. Знайдіть суму, різницю та добуток дробів:
, ас2 . 5ас2 . _1
' 12х 12х ’ х(х-4) 4-х •
Варіант II
1°. Обчисліть: 25: 8 + (3,5 - 5,5)2.
16ах2 6л"-24
2*. Скоротіть дріб: б) •
З*. Знайдіть суму, різницю та добуток дробів:
л2х . 7л2х . а-1 • 1
а) 12с 12с ’ а(а-5) 5-а •
Варіант III
1°. Обчисліть: 45 : 16 + (7,5 - 5,5)3.
. 20сх3 12х’-48
2*. Скоротіть дріб: 6) 10х+20 .
З*. Знайдіть суму, різницю та добуток дробів:
, ах2 . Зах2 . Д-*-1 . 1
а 10т 1 10т * л(л-5) 1 5-л
Варіант IV
1°. Обчисліть: 32 : 24 + (5,7 - 7.7)3.
л 32аг2 8с2-32
2 • Скоротіть дріб: а) ; б) .
З*. Знайдіть суму, різницю та добуток дробів:
<•4 сх* і бдс3 . с~2 - 1
а) 14л 1 14л ’ с(с-З) 1 3-с •
1. Скоротіть дріб:
о ба2*3
а°) —г-г ;
8а4 Ь2
6е) 3°2 75
9а+ 45
2. При яких значеннях змінних не має змісту дріб:
х2 +х
б*)—--?
4.
5.
6.
5
3. Виконайте дії:
х 2у _О\ 4- . б’) а2 а
а ) ' , 'х + у х + у * Перемножте дроби: а2-4 а + 2 '
Л 2а2 Ь 5ах2 6е) 9ху3 х + у
& > Зх3 4х3 ’ 2 2 6у2 '
Розв’яжіть рівняння:
0 2х-5 х + 5 б’) 2х2-18 х2 + 3х = 0.
Спростіть вираз:
о / За 3 а ) +—г ; ’а + 1 а + 1 ) ’ б*) 2с-1 4- 2с + 1
4с + 2 бс-3
4с
4с2-1 ’
7. Обчисліть значення виразу:
о а2
а ) а----, якщо а = 2;
а -1
х3 + у3 х + у
б*) 2 222 » якщо х = 1,5, и — 0,5;
х -ху + у х ~у ’
4т2+2тп-п
8т2 + 3л2
2 і
т і
,якщо = -
п 2
8е*. Розв’яжіть рівняння 4(а2х - 1) “ 9(а + х) відносно
змінної х і вкажіть, при яких значеннях а рівняння має
корені.
§7« ДІЛЕННЯ ДРОБІВ
Дія ділення дробів обернена до
множення:
3 4 3 7 , 3 7 4 3
—: —= -—г , оскільки г „ =
57 5 4 5475
Так само
° . с _ асі бо осі с _ а
Ь ’ д Ьс ’ Ьс сі Ь
асі а сі
Вираз . — добуток дробів , і . Отже,
ос ос
с _ а й
Л Ь с ‘
сі с
Дріб — називають оберненим до . Тому ділити дроби
можна за таким правилом.
I І Щоб поділити один дріб на другим, треба перший дріб
2Д І помножити на дріб, обернений до другого.
ґ А С А О А О
~с~ в с
Приклади.
4а2Ь . 2ах = 4а2Ь ЗЬ2 _ 12а2Ь3 _ 6аЬ3
5х ' з*2 " бх 2ах ~ Юах2 " 5х2 ’
1а 1 а2-Ь2 _(а-Ь)(а + Ь) _ а-Ь
а + Ь‘ а2 — Ь2 о+Ь а (а + Ь)а а
Оскільки цілий вираз можна подати у вигляді дробу зі зна-
менником 1, то, за сформульованим правилом, можна діли-
ти дріб на цілий вираз і цілий вираз — на дріб:
а 2а + 3
(2“ + 3’:2и-3= 1
4ах2 „ 2 4ах2 1 2х
- :2а х = =
2а2х 5ас ’
2а-3 4а2-9
а а
Хочете знати ще більше?)
Проаналізуємо, при яких значеннях змінних а, Ь, с, сі значення
а с
частки —існує.
о а
Знаменники дробів не можуть дорівнюватиме нулю, тому Ь * 0 і
(і * 0. Не може дорівнювати нулю і значення с, бо за цієї умови зна-
чення другого дробу дорівнює 0, а на 0 ділити не можна.
Отже, дана частка має значення тільки в тому випадку, коли вико-
нуються всі три наступні умови: 6*0, </#0іс*0.
Розглянемо, при яких значеннях х має зміст вираз
6 X + ІХІ
х-|х| * 2 ’
Якщо х > 0, то х - |х| = 0; у цьому випадку знаменник першого
дробу дорівнює 0, і частки не існує.
Якщо х < 0, то х 4- |х| — 0; у цьому випадку значення другого дробу
дорівнює 0, а на нуль ділити не можна.
Отже, даний вираз не має змісту при будь-якому значенні х.
Перевірте себе
1. Що означає «поділити один вираз на другий»?
2. Який дріб називається оберненим до даного дробу?
3. Сформулюйте правило ділення дробів.
4. Як поділити дріб на цілий вираз? А як — цілий вираз
на дріб?
5. При яких значеннях змінних частка дробів —має
т п
зміст?
Виконоємо разом! /
1. Спростіть вираз 1-
Розв’язання.
2 2
= — = 1-^- = 1-с .
с с£ с а с • а
Відповідь. 1 - с.
ас2 2с
2. Знайдіть частку від ділення дробу д2_1 на аз_аг і
вкажіть, при яких значеннях змінних частка існує.
✓ Розв’язання.
ас2 . 2с _ ас2 а2(а-1)_ а3с
: а3-а2 ~ (а-1Ха + 1) 2? 2(а + 1) •
Перший з даних дробів не має змісту, якщо а2 - 1 = 0, тоб-
то при а — 1, або а — -1.
Другий дріб не має змісту, якщо а2(а-1) = 0, тобто при
а = 0, або а - 1.
При с = 0 значення другого дробу дорівнює 0, а на 0 ділити
не можна.
Отже, частка даних дробів існує, якщо а # 0, а # 1, а * - 1
і с#0.
а3с
Відповідь. 2(а+~ї) ’ частка існує при а*0,а#1,а#-1,
с #0.
Виконайте усно
296. Поділіть вираз с3 на: с, с2, с3, с4, с5, с6.
г 2 11 1 *
297. Поділіть дріб — на: х , х, —, —т , —т-, — .
х х X X X
298. Обчисліть частку:
1 4 10:|; 20:±; □ □ І=«=
С0 І М «| ьа Сл| 00 оо| сл яв • 4=1=
299. Заповніть порожні клітинки таблиці:
А с 2х с ~ 2х с 4х с2 4х 1 ах с
— \А 2х
Рівень
Виконайте ділення (300—308).
Ж .42 5 3,5-7
©300. 6)-15:-; в> —: ;
\ . Зд , 1 4т2 12т3
Г)3у*6у; Ґ 8Ь2 ' 4Ь2 ’
1 1 6х2 1,5х’ 14 , 7х
301' й) Здх2 :9д2х;б) У : у2 ’ в) 5х3 2у2 ’
г) Зх ' 9х ’ Ьху ' 15*2 ’ Д) хуг • х2у •
34дЬ2 . 1 Зт2п3 „4 . „ 2 1
302. а) 2 •—б)—----------:9тл ; в Зх2:—
17{г ас 4ар 9хз
. _ 2дЬ ф 8а2Ь2 х / 1 \ 2ху
Г) Зху-9х2у2’ ’ 5сх\ 15гз р ДП:-^Г-
£о 303. а) —і—: ;
* + У (х + у)2
304.
. д3 + д2 4д + 4
а)---ї“:—Г"
11с2 с3
(д+5)2 д + 5 . х х + у
8сх # 4сх тс2 . зс
о,. ‘ Зс - 6 ’ Вт 2 і ' т з т 2 *
с —Ас ос и т — і т -т
305.
За 6а2 (х2-у2)
Х~У (х-у^ху
б)
306
^307
а)
в)
а)
Г)
х2-2х +1 (х-1)2
Зх2 ' Зх3 ’
2х + 1 2х
2х - І ' 2х-1 '
4с2-х2 2с + х
Зсх
бсх2
х3-Зх
х2-4
х2-3
х2 + 2х
аЬ3
6-6а
аЬ2
а2-2а +1
б) 2ас2 : ;
За-с
(а + с)2 . а2-с2
г) а-с 2а
І
5а2-5 . (а-уі)2 .
За2 ' 5а
б)
2 2 2
308. а) ——^—:(уг-х);
уг + х
в) (а - 4х2): (16х4 - а2);
9-25х2
15х
:(5х + 3);
г) (х2 + х+ 1):(х3- 1).
Спростіть вираз (309—310).
|к Зх (х у \
ш 309. а) -х—ч - ~ ;
оа (а 4с )
-5а2 ( а3 т 'і
3,°- в) 4ся \2с8 1 с2 /
311. Знайдіть значення виразу:
а) : (і2 -4), якщо і *= 0,5;
б) (2а-46): ,
’ а + 2Ь
312. Які з чисел -2, -1, 0, 1
х-1
X
313. Розв’яжіть рівняння:
а)х;-^=3; б)
X 4и
2х + 6 2 _
в)-----: — =3 ; г)
хх '
якщо а = 2,65, Ь = 7,35.
2 задовольняють рівняння
X _х4-1л
^-:1 = 2;
2х х
_ 18х 5
вх:зТТ2 = з-
Рівень
Виконайте ділення (314-318).
хг-ху . ху а2Ь-4Ь3 а2-2аЬ
314. а) 2 • 2,2 ; б) ——2 : 2~ ;
х +ху х у + ху ЗаЬ а Ь
4х2-16х + 16 е х-2 . а2 + 6а + 9 а + 3
Г) 36 —а2 :^б‘
315. а)
16хі/2-Х3 # х2у-16у3
х2-2ху + у2 х2-у2
хг+2ху + у2 . хг-у2
у2 х-9х3 9х2у-у3
2 2
х +ху е х ~ху
’’ 5хг-5/ :РТ7;
а2+2а + 1 За3 + 3
х2-2ху # (х-2у)2
Г) хг + 4уг ' х*-1ву*
б) 1~х2у2 : ху~1 •
1 + ' ху2+у ’
317. а) - :(4а-125); б) (8х-12у): <2х ;
Зо ху
2 2Ч 10х + 5і/ 9а3-аЬ2 г . ..
в)(4х-у): —--------г) ---------—-----.(За'+аЬ).
х-у 2о
„<о . х2-6х + 9 6-2х а2 + ах + х2 а3-х3
318. а) —:-------------г ; б)-----------: —------;
4х2-6х + 9 27 + 8х3 *-1 х2-1
. 2а3+16 а2-2а + 4
в) :--і-----!
а2+За + 9 2а3-54
64а3-Ь3 <16а2 + 4д»*Ь2
Г 16а2-8а& + Ь2 ' д2-16а2
Знайдіть значення виразу (319—320).
аЬ + 4Ь-5а-20 2Ь-10 . З
319- а)----------:-£7]-.якЩоа = 4, Ь = -;
б)
9-(а + х)2
6а + 6х
а2+3а-х2-3х
а2 + ах
якщо а = - , х = - .
£> £
З 1
ж . ху + 2х + у + 2 ху + 2х 1
ВД 320. а)------5-----;, якщо х = — , у = З
4у2-16 4-2у 2’*
(а-л)2-16 а2-п2 + 4а + 4п 5
б) : 5»-6.— яка,° “ 4 •
ї 321. Заповніть таблицю:
322. Спростіть вираз:
Зу-9 ху-3х + 2у-6
Я) 2 • 2 2*
х -ху + х-у х -у
а2- 2аЬ + а - 2Ь а2-4Ь2
б) =—5---------: —5---.
аЬ +а Ь а +аЬ + а +Ь
323. На який вираз треба помножити дріб -, щоб одер-
а-2
жати:
а-2 а+2
а> ; б) ; в) За<а ~ 2)?
ОЯ іл £.
Спростіть вираз (324—332).
) 324. а) ґ 2а баб ' |. 4аь2 б) -Зху / -2сх 3 )
36 5С2 , ) 9с2 ’ 25ас3 ‘ 5а -2с3 )'
325. а) 1 ґ 2а У .2 \2 4а 1 . б) 1 ( ~а Ч 3 Г 2а ч4
\ т с Зтс2 ) 9с2х / \ Зсх2
326. а) 8тп ґ 6т в Зх2 \ б) ( 0,5ах х \ т
9ах2 1 5х ’ 2п 1’ 2т 4т2 ) а
1327. а) | ( а + х х- -у х2 + ху б)| ( х у у х2 + у2
1 а 1. *-У х + у )' 2 * х +ху
328. а) 1 ґ а + 11 :(1- 3“! ї б) ( 2х-1 2х + 1 ' 1. 4х
[ а + 1 \ 1-<,г )' [гх+і 2х-1 5-10х '
329. а) І ь у (а 1 . 1 1 б)| 14+ 1 1 \ 1
а Г 1 «•1 ч ® 1 ч 1* ' і х + 1 ) х’-1 ‘
/ і \ ( і _9г£ і
330. а) —і 1 : 1 + х-А-** ;
\1~х / І 1-х |
Л. (. ь . Ь2 }
б) 1-----Г : а + ь---- .
( а + Ь ) І а+Ь І
( 1 б2 ) а~^ а )
331. аЦ д + £ ал-аЬ2 ] \ а2+аЬ аЬ + Ь2 ]’
333. Розв’яжіть рівняння:
. х2-2х + 1 х-1 _
8) 4ж,8 :772°6;
в) 4** ‘=|Ц^іо
3-х 6-2х
в)
х2-9
х2 + 4
х + 3
х-2
= 0:
. 16-х2
Г) -----
Зх
16 + х2
6х2
= 0.
Поділіть многочлен на многочлен, записавши частку у
вигляді дробу і скоротивши його (334—338).
334. а)(а5-а):(а2 - 1); б) (г6 - г2): (з2 - 1);
в) (2а + 86): (1662 - а2); г)(4х2 - 4ху + у2): (у2 - 4х2).
335. а) (с6 - с2): (с3 - с); б) (с4 + с): (с2 + с);
в) (х3 + 4х2 + 4х): (х2 + 2х); г) (х4 + х): (х2 - х + 1).
336. а) (ас +- ах + Ьс + Ьх): (с + х);
б) (ас -ах + Ьс- Ьх): (а + Ь).
337. а) (а3 - 2а2 + 2а - 4): (а2 + 2);
б) (а3 + 2а2-2а-4): (а+ 2).
338. а) (2а3 Ь2 + ЗаЬс2х - 2а2Ьсх - Зслх2): (аЬ - сх);
б) (32ас2 + 15сх2 - 48ах2 - 10с3): (2с2 - Зх2).
Спростіть вираз (339-341).
1,2, 2 2
о + с -а
2Ьс
341. а)
)а+Ь+с 2
—— + а ;
2аЬс
і, 2 2 2 \ / , \ ь2
о -а — с і/а + с о
2ас 1'1 / 2ас
—
ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ
342. Розв’яжіть систему рівнянь:
а) <
б)
8(2х-Зу-3)=6х(4у-3)-Зу(8х-5),
3(10х + Зу)=9«/(4х + 7)-6х(6у + 1);
(х-2)1-(х+3),=(у-3)’-(І/+2)’,
(х + 2)2 +(х-3)2 =2х(х-4)+13у.
343. Знайдіть координати точок перетину з осями коорди
нат графіка рівняння:
а)Зх + 2</-6; б)х-5|/=12. ,
344. У таборі для відпочинку є учні 40
тільки 7—9 класів. Кількість зо
учнів 7 і 8 класів наведено на 20
діаграмі (мал. 16). Домалюйте
діаграму в зошиті, якщо всьо- іо
го у таборі було 95 учнів.
Мал. 16
ПЕРЕТВОРЕННЯ
РАЦІОНАЛЬНИХ
ВИРАЗІВ
Ви вже знаєте, що будь-який
числовий вираз після виконання
усіх наявних у ньому дій набуває конкретного значення, яке
виражається деяким числом. Подібно до того, як знаходять
значення числового виразу, виконують перетворення раціо-
нальних виразів. Заданий вираз замінюють іншим — тотож-
ним йому. Такі перетворення називають тотожними пере-
твореннями.
Тотожні перетворення раціональних виразів виконують
частинами або «ланцюжком» на основі відомих вам з попе-
редніх параграфів правил дій над дробами і цілими вираза-
ми. Якщо вираз містить кілька дій різних ступенів, то їх ви-
конують у такій самій послідовності, що й при перетворенні
числових виразів:
1) дії в дужках;
2) дії третього ступеня (піднесення до степеня);
3) дії другого ступеня (множення, ділення);
4) дії першого ступеня (додавання, віднімання).
Кожний раціональний дробовий вираз можна подати у
вигляді дробу, а деякі — навіть у вигляді цілого виразу. Роз-
глянемо, наприклад, вирази: а-
X + у ху
а
1 + 1
а
Перший з них можна перетворювати так:
1) 1 + 1 = ИІ
а а
а2 а2+ а - аг _ а
а + 1 а + 1 а + 1
Отже, а----= а , .
1+1 а + 1
а
Подібним способом (частинами) можна спростити і дру-
гий вираз. А можна перетворювати його і «ланцюжком»:
1 _1_
* + у 1 У +х / \ 1 1 1 л
------ =- :(х+у) = =0.
X + у ху-ху-ху-ху ху
І Хочете знати ще більше?]
У математиці часто доводиться не лише спрощувати вирази, на-
приклад суму кількох дробів записати одним виразом, а й робити
зворотні операції.
Задача (О. Коші). Розкладіть дріб
2
х* 2 * * *-1
на суму двох
дробів зі знаменниками х - 1 і х + 1.
✓ Розв'язання. Нехай —— = —. + В. (1)
хя-1 х- 1 х+ 1 ' 7
Перетворимо праву частину рівності у дріб:
А(х+ 1)+В(х-1)
(х- 1Мх+ 1)
х-1 х+1
Ах+А + Вх-В х(А + В)+А-В
(х-ІХх+1) “ (х-ІХх+1) ’
Підставимо цей вираз у праву частину (1):
2
(х- 1Хх+1) "
х(А + В) +А-В
(х- 1Хх+ 1) ’ звідси Х(А + В)+А-В-2.
Права частина останньої рівності не містить змінної х. Це
можливо тільки за умови, коли А + В - 0, тобто коли В = - А.
За такої умови А - (-А) = 2, звідси 2А = 2, А - 1, В “ -1.
2 1—1
Відповідь.
Перевірте себе
> 1. Які вирази називають раціональними?
; 2. Які вирази називають дробовими?
* 3. Які дії можна виконувати з раціональними виразами?
• 4. Який порядок виконання дій?
Виконаємо разомі
1- Спростіть вираз:
п) * + 1_! *2"4 . х-у_____у \х2-3ху
х х + 2 х ’ [ х + у х — у ] х- у
✓ Розв’язання.
а) Перетворюватимемо даний вираз частинами:
1 х2- 4 1 (х-2Мх + 2) = (х-2Хх + 2) х - 2
’ х + 2 х х + 2 х (х + 2) х х ’
„.х + 1 х - 2 х + 1- х + 2_3
хх хх
б) Перетворимо даний вираз «ланцюжком»:
( х-у___у_ 1 х2- Зху _ (х - у)2 - у(х + у) х(х-Зу) =
(х + у х-у)' х-у (х + уМх-у) ' х-у
_ х2- 2ху + у2- ух - у2 х-у _ X2- Зху х-у
(х-умх + у) х(х-Зу) (х-уХх + у) х(х-Зу)
х(х - ЗуХх - у) 1
(х - уХх+у)х(х - Зу) х + у’
З 1
Відповідь: а) —; б) х + у .
о гт - ._ 5х + 19 . , п
Подайте дріб ----- у вигляді т +--, де ті п — цілі
х + 3 х + З
числа.
✓ Розв’язання.
5х+19 5(х+3)+4 5(х+3) । 4 _5 , 4
х+3 х+3 х+3 х+3 х+3 ’
Виконайте усно
Спростіть вираз (345—348).
345. а) (а + —1:[а + —1; б) (1+ £);*?.?
\ с Д с ) V п ) л
346. а) 1:—б)1:3±£.
а + с х-1
іл'г -л ( . * ¥ 1 1 / а а а~с а+с
347. а) и + — І п-: л-- І; б)---
( п К п / \ гг ) с а+с а
348. а) ^-=Д:(а2+а + 1); б) -1,-- 3 :(1-х-х2).
а-1 1 + х
Виконайте дії (349-352).
349. а) —(а-1)2+!;
а- 1
в)і-—:(х-2)2;
х х
350. аЦх-ЗІ -^+А;
В) т- - (х2-9) + —^-
(х + 3) х+ З
б) (х + 2)-
Г)^Аїї(а + 4И2-
б) -^^:(а + 6)2+ ^;
а а
г)
-------<а + 2)2
а - 4
10
а - 2
351.
я)
5х + 10 2х-1 *
Т7~;б)
[ У - 4 4 ) у - 4 ’
1 . 1 .
ха-4 х ’
х + 2
х + З
в) --Ц-.-і—+^—=-
(х-у)2 х + у х-у
г)
т - 5
т + 5
2ап2
5 - т
352.
я)
а2-4
9-а2
б)
х-2
: х + З
иЧ аг-Ь2 а + 1 а + Ь .
в)------------+------;
4а + 4 а - Ь 4
г)
2а
2а- 1
6а-З
4а2- а
а - 2 2
З + а 3 - а ’
+ 1
Спростіть вираз (353-357).
( х 1 Д 1 1 ї
а) : ~+— ;
Ду2 * Д * у )
354
х-у х+у ) х2-у2
б)
. ( За+1 За-1 А
г)------------:
За-1 За+1)
12а
15а-5
х X ) х+у
. У х+у І х ;
а-Ь а+Ь \ 4
а+Ь а-Ь І а2-Ь2
356.
. а2-2а+1 ( а+1 )2
а)---------1--- ;
а2-1 М’
б) 1-4x2 Зх
4х2+4х+1 2х-1
357
а)
х3-а3 х+а
ж2-а2 а2+ах+х2 ’
а2 -2ах+х2
6а2
Доведіть тотожність (358-359).
©358. а) (2а^1>г .1; б) .1,
(2а-1)2+8а (2а+1)2-8а
око \ _-і 8<Д 4-2 -
359. а)-----5-----Г = б)------5------х- = 1 •
(2с+1)2-(2с-1)2 (2а+1)2+(2а-1)2
360. Доведіть, що значення виразу не залежить від значень
змінних, які до нього входять:
(1-АЇҐД________1 | [2 За И 1 । 1 )
аЦх 4^4-х 4+х )’ бЦ За 2 Цза-2 + За+2/
(2а Н а а 1 ( 1___1 1 Г хгу х2у 1
ВЦ Ь а } [ а-2Ь а+2Ь )' [ х2 у2 ] [ у-х у+х ]'
Виконайте дії:
©381. а)[ЛІ»__5!!_ЦЦ. . б)|'^_ + £^ї^.
\ У У~х ) хг+уг '^а+х а ) х+а
І 2ах ) (а - х х ) . ґ у 2и V х2+и2 )
в) а + х---: ----+ — ;г) х-—у+ а .
V а + х^а+х а ) ^х х + у П х-у І
362. Знайдіть значення виразу:
а ( і \
а) а “ ~ якщо а = 2,37;
(х+1 2х 'і 1-х
бЦ X ’х-І х*+1’ якщо х--0,25;
(а+х х-1 ) а2 х
„ ~ 4 г , якщо а = 2,25, х ’ 3,5.
“ * / х —а
363. Доведіть рівності, які Евклід (ІП ст. до н. е.) довів гео-
метричним способом для додатних а і Ь.
Спростіть вираз (364-377).
364. а) -2—2. ;
2.
п
а-±
365. а)---;
Ь--2—
а+Ь
±+*
б)
' а Ь
Ь а
366. а) а(о-х)-х(а+х) .
367. а) 1 +---Ц—
\2
368. а)-ф1-1-----Ц- ;
Л^ + П 1 - —
. л >
(а - с)2
2
369.
2с Зс А 9с2+6с+1
Зс+1 + 1-2с ) Юс2+10с
б)
і__£
370. а) а*с х Ї£_£
а+с-х І с а
1____2
б) а>г * :2;
а+с-|
1 п2-2п+1 . / ху ах Ьу ху ах Ьу 1
) л2-л+1 [ ак + Ь2 а2 П аЬ ь2 * а2 /
/ і \ / і\ / 1 \ Г х2 ї
371. а) 1 + х + - 1+х-- ; б) х+1---— : х—=— .
х Д х ) 1 - х И х-1 І
в) І л-
Й372. а) (аа-1)ї-1----1—1
І а-1 а+1
373. И—ї
2х+3у )^4х2-9у2 Зу - 2х ] х х2
( а2 +аЬ Ь 1 2аЬ
І а3+а2Ь+аЬ2+ Ьл а2+Ь2 І І о-Ь а3- а2Ь+аЬ2-Ь3 І
. ( 3 За2 + 6а + З
•а) Т4~ ,--1
а4 + а \ а + а2
а3+ 1
4а а3-8 а2-4 1 а+2
а+2 а3+8 4а2-16а+16 І 16
й 375.
4аЬ / 1 • 1
ьг-а2 [ Ь2-а2 а2+2аЬ + Ь2
Зс - 3 с + 2 3(с+2)
' с2-4 с2-2с + 1 с2-4 *
( х2 х3 Н х _х2
х + а х2+2ха + а2 Д х+а х2-а2
4а2+16+16а / а а2+4 2
а-2 І 2а - 4 2а2-8 а2+2а
. ( 2х -1 З 1 З
(х + 1 Цх3+1 х+1 х2-х+1)
Зх2 о Г 1 х а2+ах+х2 'і
б) “а--Г-За---------я-Г-----7---- :
а2-х2 (а-х а3-х3 а+ х І
. хуг-хя ( х_______у ) у
В' 2 2 1 / >2 2 2 Г ~ *
Х+у ((Х-у) х-у* ) х-у
Доведіть тотожність (378—380).
378. а) ——---1—(1
аЬ а + Ь ( Ь а ) Ь
1 (х2 и2} х2+у2
б) — — +У_ +1=* У ..
х+у( ух) ху
ї 379. а) ( — + а-Ь V1+—)=а + 6;
( а-Ь ) ( а-Ь )
(2а+2 «V, 2 А
б) ---+ а + 1 1--=а + 1.
'( а-1 Д а+1 )
^1^2 х - У X2- ху
380. а) —+ х -ху----:------— = х + у;
ху ( ху + у2 ) х + у
(2 \
^±у_+ху+у‘ ї_2------
X -ху ) X + у х-у
381. Доведіть, що вирази А] і А2 тотожно рівні:
382.
ах + 15
Значення дробу -— дорівнює 8, якщо х = 3. При
якому значенні х цей дріб дорівнює 18?
383. Подайте дріб 7х + - у вигляді а + —, де а, Ь — цілі
х+1 х + 1
числа.
384. При яких цілих значеннях п число + є цілим?
л + 1
385. Натуральні числа а, Ь, с, (і. е такі, що аЬ = 2, Ьс — 3.
ссі ж 4, де = 5. Знайдіть значення дробу — .
а
38Н. При яких натуральних значеннях п число
4л2- 12л + 21
----------є натуральним?
П — о
387. Доведіть, що при будь-якому натуральному значенні п
_з „2
л л л „
число — + —— + — є натуральним?
6 2 3
388. Доведіть, що при будь-якому значенні а > 1 число
112 4 8
ЇТ7+ТТ^+ТТР'+ї77г+ї7^’ є від’ємиим-
389. Доведіть, що при всіх допустимих значеннях х вираз
18х , 1 Зх + 2
27х3+8 Зх + 2 9х2-6х + 4
дорівнює нулю.
390. Доведіть, іцо при всіх допустимих значеннях х вираз
( 1 3 і 3 V х 2х “1 1
[ х + 1 х3 + і х2-х + 1 Д х + 1
не залежить від значення змінної.
391. Задача китайського вченого Дай Шу.
Спростіть:
і 1 + 1 + 1 \ _ аЬ
[ аЬ ас Ьс ) аг-(Ь + с)2
392. Знайдіть значення виразу:
а) І —+—-2 |:| ——- І, якщох = 3,7, у “ -1,3;
х Д у х)
б) -Т-+-
Ь2 а
в)
ху
1-І а
а Ь ь2
У
х2- у2 2у- 2х
, якщо а - 12, 6 = 8;
X2 у
2у 2
, якщо х = 5,6, у - -2,4;
_1____£
2 2
У X*
І X 4- у Х-у
11 X - у х + у
1
, якщо х = — , у = 12,
«5
393. Доведіть твердження:
а) якщо
а-Ь
----, то
а+Ь
б) якщо
в) якщо
аЬ х
х-----, то —
а+Ь х
аЬ
Х ~ ’ ТО
а2+Ь2
а \ Ь
—х--------
Ь ) ах+Ь
2 „2 1.3
— а о
= 1;
2-Ь2 а3 Ь + 2а ’
0,5 - х _ (а - Ь)2
0,5 + х “ (а + Ь)2 '
а + 2Ь
394. Виконайте підстановку і спростіть:
а)
х - а
аЬ
---—, де х = —
х-Ь а+Ь
б)
в)
ах Ьх
аЬ
----,де х =---;
Ь-х а+Ь
х + 2Ь х + 2а
х
х - 2Ь х - 2а І 2 ’
395*. Спростіть вираз:
а)
1
1
б)
а
-----, де
а
~ь*х
4аЬ
Де х =----
а + Ь
1
а-Ь
а + Ь '
(а - &)(Ь - с) (с - а)(а - Ь) (Ь - с)(с - а) ’
2
У2
22
(х-уХх-2) (у - х)(у - 2) (г - хХг - у)
,------- ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ |
396. Подайте вираз у вигляді добутку:
а) 0,36х4-(1-0,4х2)2;
в) (2х-1)2-(4-5х)2;
б) (3+0,і/)2-0,81/;
г) (а - 2д)2 - (За + б)2 •
з буквами перекресліть двома прямими так, щоб
із букв у кожній частині круга можна було б скласти
алгебраїчний термін (мал. 17).
Мал. 17
398. Обчисліть:
а>(4-|}(-2)-164:(-4);
V. ” 7 *
/ і я \ і / і \
б) :(-3)+її" ’її :("2)-
399. Розв’яжіть рівняння:
.х + 1 2х _ х - 2 5х +1 1 їх
а)--------= 5; б)-----------=----;
6 9 З 4 12
. Зх 2(х - 1) 111 . 2х + 3 15-Зх 4
в)— + —---- =----; г)---------+-------= —.
4 5 10 5 3 5
РАЦІОНАЛЬНІ
РІВНЯННЯ
Уміти перетворювати дробові
вирази потрібно, зокрема, для
того, щоб розв’язувати дробові
рівняння.
Ви вже знаєте, що рівняння на-
зивається раціональним, якщо його ліва і права частини —
раціональні вирази. Раціональне рівняння називають дро-
бовим, якщо його права, ліва або права і ліва частини — дро-
бові вирази.
Приклади дробових рівнянь:
1 о 1 - 2х „ х + 1 х - З
= 3, х = 2 ,-=-.
х + 5-------------------------х х-2 х+2
Розв’язуючи ціле рівняння, його найчастіше намагають-
ся замінити рівносильним. З дробовими рівняннями це мож-
на зробити тільки в окремих випадках. Здебільшого їх замі-
няють рівняннями-наслідками.
Рівняння називають наслідком даного, якщо всі
розв’язки даного рівняння задовольняють утворе-
не рівняння.
Рівняння-наслідок задовольняють усі корені даного
рівняння, але крім них воно може мати і сторонні корені.
Розв’язувати дробові раціональні рівняння можна різни-
ми способами. Зокрема:
1) заміняти дане рівняння рівносильним йому рівнянням,
ліва частина якого є дробом, а права - нулем;
2) заміняти дане рівняння цілим, яке є наслідком даного.
Розглянемо на конкретних прикладах кожен із цих спо-
собів.
Приклад 1. Розв’яжіть рівняння:
2 х + 2 10
х-2 х + 3 ~ (х + ЗХх-2) ’
Розв’язання. Замінимо дане рівняння рівносильним
йому, в якому права частина — нуль, а ліва — дріб. Для цьо-
го перенесемо дріб з правої частини в ліву, змінивши знак
перед ним на протилежний, і спростимо одержаний дробо-
вий вираз:
2 х + 2 10 =
х-2 х + 3 (х + ЗХх-2)
2(х + 3)-(х + 2Хх-2)-10 р х(х-2)
(х + ЗХх-2) ’ (х + ЗХх-2)
Одержане рівняння рівносильне даному. А розв’язати його
неважко, врахувавши, що дріб дорівнює нулю тільки тоді,
коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник відмінний від
нуля.
Прирівняємо чисельник до нуля: х(х - 2) — 0, якщо х = 0
або х = 2.
Якщо х = 0, то знаменник (х + 3) (х - 2) не дорівнює 0. Отже,
х = 0 — корінь даного рівняння.Якщох —2,то(х + ЗМх-2)= 0.
Отже, х - 2не задовольняє дане рівняння.
Відповідь. х = 0.
Щоб розв’язати дробове рівняння з використанням
рівняння-наслідку, потрібно помножити його обидві части-
ни на спільний знаменник — цілий вираз. Одержимо ціле
рівняння. Треба знайти його корені й випробувати, які з них
не задовольняють дане рівняння. Таким чином, перевірка
коренів є невід’ємною складовою розв’язання.
Приклад 2. Розв’яжіть рівняння:
а + 3 1 ,
----+—= 1.
а-1 а
Розв’язання. Помножимо обидві частини рівняння на
а(а - 1) — спільний знаменник дробів.
Маємо:
а-1 а
а2 + За + а - 1 “ а2 - а, 5а = 1, а = -^- = 0,2.
5
Перевірка. ^А+А = -^+5=-4+5=1.
Відповідь, х = 0,2.
Якщо дробове рівняння має вигляд пропорції або є таким,
що його легко подати у вигляді пропорції, то можна скорис-
татися основною властивістю пропорції. У цьому випадку та-
кож одержують рівняння-наслідок.
знати
ще більше
Відомі вам лінійні рівняння — це окремий вид раціональних рівнянь.
Як пов’язані між собою раціональні рівняння, ілюструє малюнок 18. Ті
раціональні рівняння, які не є цілими, називають дробово-раціональ-
ними. Тільки деякі з них зводяться до лінійних. Переважна більшість
дробово-раціональних рівнянь зводяться до таких, які ви розв’язува-
ти ще не вмієте. Розв’язування деяких з них розглянемо згодом.
Мал. 18
Дробово-раціональними бувають не тільки рівняння з однією
змінною, а й з двома, трьома і більшою кількістю змінних та системи
таких рівнянь. Для прикладу розв’яжемо систему рівнянь:
-----1-----
Х-1 У+1
6 4
х-1 у + 1
= 2,
= 2.
Додавши ліві й праві частини цих рівнянь, одержимо:
8
х-1
або 4х - 4 = 8, звідси х - 3.
Підставивши це значення х у перше рівняння, матимемо:
----— = 1, звідси и = 3.
У + 1
Відповідь, х — 3, у = 3.
Перевірте себе
1. Що таке рівняння?
2. Які рівняння називають раціональними?
3. За якої умови дріб дорівнює нулю?
4. Як розв’язують рівняння з використанням основної
властивості пропорції? Сформулюйте цю властивість.
Виконаємо родом! !
, о , • * + 3 1
1. Розв яжіть рівняння---=-----.
6(х-3) х-3
✓ Розв’язання. За основною властивістю пропорції:
х2 - 9 = 6х - 18; х2 - 6х + 9 - 0; (х - З)2 = 0, звідси х = 3.
При такому значенні х знаменники дробів, що входять до
даного рівняння, дорівнюють 0. Тому це значення х не є ко-
ренем рівняння.
Відповідь. Рівняння розв’язків не має.
з
2. Яке число слід додати до членів дробу — , аби одержати
5
5
дріб, що дорівнює — ?
б
✓ Розв’язання. Позначимо шукане число буквою х.
Тоді за умовою задачі:
—, 18 + 6х = 25 + 5х, звідси х ~ 7.
5 + х 6
3+7 _ 10 5
Перевірка. ^у-Ї2"б’
Відповідь. Шукане число дорівнює 7.
Виконайте усно
400. Укажіть, при яких значеннях змінної чисельник дробу
дорівнює нулю, при яких — нулю дорівнює знаменник:
. 2х-8 16 + 4// , 6х-18 . 1 + За
а)---— ’• б)----—; в)-------; г) ———-;
Зх + 15 3-6у х(х + 5) а(2-а)
- 25 . . 5х + 2
е)
а2 -2а +1 . Зу-2
" 1 > є) п •
2а-1 4+4у+у
401. Чи має розв’язки рівняння:
х2 +1
—----^ = о
(Х + 1)2
±»ї=0
2 1
= 0?
402. Поясніть, чому не має розв’язків рівняння:
ґ х —1 У* , „ 2 1 л
----1+1=0; х +—т- = 0.
І х ) х2
403. Розв’яжіть рівняння:
.х-2 _
а)----= 0;
г)
х2
П-Ц- = о
х-1
в)
5х3
х2 +9
= 0.
Розв’яжіть рівняння (404—408).
404. а) -І1£_2=0; X 2 г — 1 х б» ЗХ =0: ”772-2=0!
г) ^ = 3; X ґ)—= 6; д)-£- = 2. х х-2
405. а) ±2^.-2 = 0; X б)-^ + 2 = 0; в) 3£^і+4 = о; х + б х
г)^± = 2; X ґ)^^-=3; д)-^- = 1. х х + 3
406. а) 5x2+1 = 2х; Зх Зх2 -4 „ . х2 -1 „ б) = 2х; в) = 2х; X X
г) ^£11-3=0; х-1 . 4х-2 4-Зх _ _ Ґ) х + 3+6 = 0;Д’1-2х-5“°-
407. а)-Ц- = -5; х + 2 6)^ = 3; в)ІІ = 5; х + 2 Зх-1
. 4 +х 1 г) Зх °з; 7-2х 2 . х + 5 3 ° хМ =3= Д)х-3 = 4‘
408. а) 7х +1 =4х; 2х б) 5х.2ЛІ =3х; в)£ІЇІ = 2; 2х х2+1
ч Зх2-4 Г) „ =х; 2х Зх’+5 . 9-4х2 Г> х'-м Ж4= Д> Зх -Х-
Користуючись властивістю пропорції, розв’яжіть рівняння
(409—412). 409- ” 23-3x4’ 1 1 . х 2 б) — = ; в) = —. 29 34//-5 х + 1 3
18-х 4 _.5 13 .25 б) = ; в) =—. 7х-2 0,2 х-1 х
411. а) = ; х2 +4 4 ^21 ч 5х2-16 х б)х’-Г12; 12х "»•
412.
б)
Зг-1 1
2 ' Зг + 1 ;
. 2х2+8 2х
в)------= —.
6х З
413. Яке одне й те саме число треба додати до чисельника і
й 414.
знаменника дробу — , щоб одержати — ?
17 4
Знаменник даного дробу на 2 більший від чисельника.
Якщо його чисельник збільшити в 3 рази, а до знамен-
ника додати 67, то одержимо —. Знайдіть даний дріб.
О
415. Чисельник дробу на 5 менший від знаменника. Якщо до
чисельника додати 11, а від знаменника відняти 2, то
одержимо дріб, обернений доданого. Знайдіть даний дріб.
Рівень
Розв’яжіть рівняння (416—427).
416. а) Зх2-5 х + 2 =3х+1; б) 6*-— Зх + 2 =2х-1; . 4х2-х в) 2х + 3 +3=2х;
г) 2-х 1 2 3-х х + 1 3
Зх2 х + 2 ’ Г) х + 3 4х2 ’ 5 х-1 '
Йї 417. а) Зх2-4 =3х+1; 2х2-3 = Х + 1 ; 1 2
X б) 2х + 1 в) х-1 х + 1 ’
г) 2 3 Л у 2 - У лі — - с-5
г-3 2-2 ’ Ґ) у-6 у-5 ’ д) с-1 с-3 ’
418. а) х-2 х + 3 X х + 4 У-5 _ у + 1
х + 2 х-4 ' С) х-3 х + 5 » в) у-з У-1 ’
г) 2х + 3 _ х“б ґ) 1+ЗХ _ б"3* д> ^4= У-2 _ 5у-2
2х-1 х + 3 ’ Ґ 1-2х 1 + 2х ’ і
419. а) 6 2 — 3 • б 7х сл 1
х2 -9 х + 3 л :-3 ’ о ’ 4-х2 2 + х 2- X
й 420. а) 2х+4 , 5-х 3-х х+2 б] Зх-5 х + 1 — = 2. х-3
421. а) 2хг+8х-5 „ 2х х + 3 4х2 = 1; б) 2х-^- 2х ^=8. -1
422. _4 х + 1 х2-3 . 2г-1 2г + 1 _ 8 И 1 + х х-1 1-х2 ’ 2а + 1 2г-1 і-4г2 *
423. 3 + 2 5 Й (х + 2)2 * (х-2)2 х2 -4 ’ б| 1 3 _ 2 . ’ (х + 5)2 (х-5)2 25-х2 ’ 2 5 _ 3 В (1 + х)2 (1-х)2 1-х2 ’ 1 4 _ 3 ' (3-2х)2 (3 + 2х)2 9-4х2 '
424. 8 + 9х 1 2 1-2х 1 + 2х 16 8 36х2-11-6х 6х + 1’6 1 + 2х 1-2х + 4х2-1’
425. . 55 8 2 + 1 а) = ; 2-2і 18 3/-3 Г-1 3 5 14 2 + х 8-2х 6 Зх-12 х-4
426. 2г-1 Зг-1 96 _ г + 4 4-2 г2-16
427. 6л + 5 Зл-7 12лг+30л + 7 _ + + = 0. 4л + 3 3-4л 9-16л2
428. 7 3 4 (5 + 2хМ1 + 2х) (5 + 2х)2 (1 + 2х)2 ’
429. 1 3 2 (1-32)2 (11 + Зг)2 (1-ЗгХИ + Зг) ’
Розв’яжіть систему рівнянь (430—434).
ї 430. а)
— + — = —,
х у 4
1-1 = 1-
х у 4 ’
б)
—+—2,
х у
10 £ =1
х У
431. а)
5 4
— + — = 51
х У
1-1 = 8;
X у
<+1 = 35,
х У
—-1 = 9.
х у
11 5 10 + 1 -1
432. а) 100 00 І® 1 II ?-І? ч | ч Н 1 а» % 1 « 1 ч ч г-5 х+2 ’ -^- + -®- = 2. г-5 х + 2
Зу х
9-х2 х-3
йї 433. а)
х-5 1
3-у “ 2:
«21=2
х-5
ху + 13 х— = 2, у + 6 ху-13 У—- = 2; х + 4 Н-Ху+х-21
434. а) б)' У + 2 ' 7’ ^+,=8.
Яке число слід додати до знаменника дробу —
5
435.
щоб
^436.
одержати дріб, на — менший відданого?
Яке число слід відняти від знаменника дробу -1 , щоб
значення дробу збільшилось на — ?
437. Коли від мотузки відрізали 6 м, то виявилося, що
відрізана частина відноситься до решти, як 2 : 7. Якої
довжини була мотузка?
438. Один брат старший за другого на 6 років. Скільки років
кожному з них, якщо три роки тому їх літа відноси-
лись, як 4 : З?
439. Відстань 160 км легковий автомобіль долає на 2 год
швидше, ніж автобус. Знайдіть їх швидкості, якщо
вони відносяться, як 2 : 1.
440. Два трактористи, працюючи разом, можуть зорати
поле за 6 год, а один перший — за 10 год. За скільки
годин може зорати поле другий тракторист?
І 441. Басейн наповнюється водою через дві труби за 6 год, а
через одну трубу — за 10 год. За скільки годин може на-
повнитися басейн, якщо відкрити тільки другу трубу?
442. Дві бригади шляховиків, працюючи разом, можуть
відремонтували дорогу за 12 днів. За скільки днів вико-
нала б цю саму роботу кожна бригада окремо, якщо
відомо, що продуктивність однієї з них у 1,5 разе вища
від продуктивності другої?
443. Стародавня задача. Один чоловік випиває ба-
рильце квасу за 14 днів, а із жінкою — за 10 днів. За
скільки днів таке барильце квасу випиває одна жінка?
[ 444. Задач а-жарт.
Для тата з мамою десяток
на рік потрібно поросяток,
із сином тато вісім з’їсть,
а мама з сином — тільки шість.
За скільки тижнів кожен сам
упорався б із поросям?
445. Басейн наповнюється водою через одну трубу за 4 год,
через другу — за 2 год. За який час наповниться басейн,
якщо відкрити одночасно обидві труби?
446. Один робітник може скласти секційні меблі для кабінету
математики за 9 год, а другий — за 6 год. За який час вони
виконають завдання, якщо працюватимуть одночасно?
447. Катер пройшов 28 км за течією річки і 25 км — проти
течії, витративши на весь шлях стільки часу, скільки
йому потрібно для проходження 53 км у стоячій воді.
Знайдіть власну швидкість катера, якщо швидкість
течії річки становить 2 км/год.
448. Розв’яжіть математичні кросворди, які зображено на
малюнках 19 і 20.
Мал. 19
Мал. 20
419. Пасажирський поїзд, швидкість якого на 20 км/год
більша від швидкості товарного, затрачає на шлях між
станціями А і В на 3 год менше, ніж товарний поїзд.
Швидкий поїзд, швидкість якого на 20 км/год більша
від швидкості пасажирського, затрачає на проїзд від
А до В у 2 рази менше часу, ніж товарний. Знайдіть
відстань між А і В та швидкості поїздів.
ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ |---------------.
450. Які з чисел 7, 84, 0, , 0,5, -8, 2-|-, -24, 9 натуральні;
У о
які — цілі; які —раціональні?
451. Доведіть, що 1012 -І- 2 ділиться на 3.
452. Доведіть, що: а) 1 + 1О10 + 10і00 ділиться на 3;
б) 1015 + 8 ділиться на 9; в) ІО10 - 1 ділиться на 9.
453. Побудуйте графік функції:
а)у = 3-2х; б)у = ±21.
СТЕПЕНІ
З ЦІЛИМИ
ПОКАЗНИКАМИ
Деякі дроби часто записують у
вигляді степенів з від’ємними по-
казниками. Наприклад, замість
* 1 1 -1 -2 -5
— , —у , —, пишуть а , х , т .
Згадайте, як ділять степені з однаковими основами:
а : а = а
Розглядаючи степені тільки з додатними показниками, на-
голошують, що остання рівність правильна тільки за умови,
що т > п. Знявши це обмеження, приходимо до таких наслідків.
1 _ п . „п_ „п п „0
1 = а : а = а = а .
Тому й домовились вважати, що а0 = 1 (коли а # 0).
1:а', = а°:а" = а° " = а-".
Отже, можна розглядати степені з довільними цілими по-
казниками. Коротко зміст цього поняття пояснюється так:
аа ...а, якщо натуральне число п > 1,
п |М-<
ап = а, 1, якщо п. = 1; якщо п 0 і а * 0;
1 якщо число п — ціле відємне і а * 0.
а "
Властивості степенів з цілими показниками такі самі, як і
степенів з натуральними показниками:
а • а = а ;
3) (а'”)'* = атп;
2) ат : ап = ат“";
4) (аЬ)п - апЬп;
Доведемо першу з цих тотожностей (її називають основ-
ною властивістю степенів) для випадку, якщо т і п — цілі
від’ємні числа. За цієї умови т = -р і п - -<?, де р, д — нату-
ральні числа. Тому
ат ая = а~р а~ч =— —= а~<р+ч) =ап+п
ар а4 ар'4
Так само можна довести рівність ат ап - ат+п для ви-
падку, якщо один з показників т і п від’ємний, а другий —
додатний або дорівнює 0.
Зверніть увагу на степені, в яких основа або показник до-
рівнюють нулю.
Якщо а і п відмінні від нуля, то
( а°-1,0л-0. )
о 0
Вираз 0 не має змісту, це не число, як і вираз —.
Вирази, що містять степені з цілими показниками, мож-
ебра-8
на перетворювати двома способами: замінюючи їх дробами
або користуючись властивостями степенів. Наприклад,
спростимо вираз 9х-3 • 3 2х6.
Перший спосіб.
9х 5 3 2х6 =9 -V “V =*•
х5 З2
Другий спосіб.
9х-5 32х6 = З2 З 2 х"5 Xе = З2'2 х = 3°х - х.
ще більше?^
Зверніть увагу на те, як здійснюється розширення поняття степінь.
Спочатку вам були відомі тільки квадрат числа і куб числа. Потім узна-
ли про степені чисел і змінних з довільним натуральним показником.
Тепер ви ознайомлюєтеся зі степенями з довільними цілими показ-
никами. Згодом ви узнаєте також про степені, показники яких -
довільні раціональні і навіть нераціональні числа.
Перевірте себе
1. Що таке квадрат числа, куб числа?
2. Сформулюйте означення степеня числа з натуральним
показником п.
3. Що розуміють під степенем числа з показником 1?
4. Що розуміють під степенем числа з показником 0?
5. Що розуміють під степенем числа з цілим від’ємним
показником?
6. Запишіть у вигляді формули означення степеня з до-
вільним цілим показником.
Виконаємо разом!
1. Обчисліть: а) 100 2 2; б) 81 (-З)-4.
т/ Розв’язання.
1 100 о_ 1 81
»юо р- = —= 25; б>8Ь^Г’вї
В і д п о в і д ь. а) 25; 6)1.
2. Запишіть без знаменника вираз —— .
ах2
✓ Розв’язання. —— = 2 ——— = 2а-1х-2.
ах2 а х2
Від повід ь. 2а ’х 2.
3. Спростіть вираз: (а -с)”1 (а 1 - с~ *).
✓ Розв’язання, (а-с)-1 (а*1-€“*)=—— •[—1
а-с \ а с
1 с-а _ 1 а-с 1
а-с ас а-с -ас ас '
Відповідь. .
ас
Виконайте усно
454. Обчисліть: а) 35°; (-8)°; ; 1,23°; (<|)°;
/ 1 уі / О \"1
б) - ; у ; (-5)"1; 0,3 1; 0,02 і.
455. Як записати вираз без знаменника:
і ї 1 і і
23 ’ З2 ’ ЇЇ’ 1* ’ а2 ’ с5 ?
456. Обчисліть: а) 31°+2-1; 6)3 +З-1; в) 22 + 2-2; г)(-1)"4.
457. Згрупуйте степені: а 3; а 2; а а; а2; а3 по два так,
щоб їх добутки дорівнювали один одному.
Рівень
458. Замініть степінь з цілим від’ємним показником дробом:
а) 2-3; б) З-2; в) 77-1;
г)6"3; ґ)(ху)-3; д)(ш-п)"2.
459. Замініть дріб степенем з цілим від’ємним показником:
1 1 1
"’Г «і?' "’й3-’
1 1 1
г) —г; ґ) “V; д) 2 2 •
аЬ х т +п
460. Подайте числа:
а) 16 8.4.2.1.1, 1,1 і
вою 2;
6)81.27,8.3.1.1.1,1 і
вою 3;
в)625,125, 25,1,
О 25
основою 5;
1
125 ’
у вигляді степеня з осно-
у вигляді степеня з осно-
1
625
у вигляді степеня з
г) 10000, 1000, 100, 10,1,±, у
вигляді степеня з основою 10.
Знайдіть значення виразу (461—462).
461. а) З4 З2; б)54 5‘4; в)0,5’3 0,52;
г)(-2)-3 (-2)5;
463. Спростіть вираз:
а)а10 а8; б)х5 х°; в)?2 с10; г)а3:<Г3.
464. Подайте у вигляді дробу вираз:
а)3х 2; б)а2с-3; в) 4а“2х 3; г) уа2с-5х-3.
465. Знайдіть значення виразу:
а) 800а 3, якщо а = 2;
б) 0,5а"2х 5, якщо а = 4, х - 0,5.
Спростіть вираз (466—467).
466. а)6х 1 2с • 1,5хс 3; б) 1,6х 'у ° | ху; в) ^а2п 4 8а Зл2;
о 4
6х~5 а 8х2 2 3
Г) а 6 Збх 9 ’ Ґ) г 16х 8 ’
14с’17 х
д) х-я 7с-ів •
467. а) р2Ц ’^Р '<7 3; б) 15ас 2 : агс; в) 3,6х4у5: ху5;
. б* 5 У
г) у-6 Збх 7 ;
9х5
—д>
с
2
(ах-1)2.
ґ)^-
ґ а 2
[ 104х
Подайте степінь у вигляді добутку (468—469):
468. а) (0,5х Зу2)’2; б) (6а2Ь)’’; в) (-0,2т2п’4)~3;
г)[1х3у-2Ґ; ґ)(|т-8лҐ; д)(-0,Зх Зу)2.
469. а) (хГ2)-3; б)(а3у-2)4; в) (5а‘36)-1;
г)ґ11а46‘2)2; ґ)(-0,1аЬ)-2; д)(-2т5п-1)-1.
470. На малюнку 21 зображена розгорт-
ка куба. Напишіть на кожній п грані
один з виразів а, Ь, с, а х,Ь~1,с~1 так,
щоб добуток на двох протилежних
гранях дорівнював добутку на двох
інших протилежних гранях.
Мал. 21
Рівень
Обчисліть значення виразу (471—474).
/ о \2
471. а) - -4-1 5;
І 2 І
б) -ґ — ) * +0,252 112 ;
І 3 )
1 /9
в) 2— І- І +35 2’3;
2 5 )
Йї 472.
а) 1000’2:0,Г5+ —;
5
6)0,Г1- 1,1°: 10
в)
(0,05)2+(0,2) 3; г)(-0.8)3:
+ 2,8.
473. а) 0.0642 : 0,163; б)0,00813 О,310; в)—г—г!
258 5 3
б10 ’ 0,643 О,4'7 ’ Д ІОО-’ ІО12 '
Спростіть вираз (475—477).
475. а) 0,2х~3 5х2у3; б)3’3а *х 81а2х; в)0,2с 5х 5"2с3х-1;
г)0,5х 6у2 4х"у 2;
ґ) 8а V • 0,25а5&“’;
(-За2& 5).
5х
9?
476.
477.
16а466
в)
У
2х
д)9а6Ь-2 :
27х’/
а) 10
ґ)(х ’у):
в) (2а 2х3)2
За 3
12х2 14/
б) —=-----V;
7у' Зх 2
Зх8 . х7у^
Г) 4/г'8 ’ 12г’2 ’
Спростіть вираз і знайдіть його значення (478—479).
478. а) 2,2а V 5а,06 4 при а = -0,2, Ь = 50;
б) 2,8х9у : (О,7х1оу~2) при х = 0,125, у - -0,25.
14а*7 Ь~2
479. а)----------— при а 1,5, Ь = 45;
Ь3 56а 5
21х,& 7х‘2 з і
б) —-—г:----7 при х = - , у = 2— .
10у*5 5у 2 н 7 у З
480. Доведіть, що вираз набуває одного й того самого зна-
чення при будь-якому цілому п:
52я+’ 2"’*-З"*1 4"**-4" 2 3”+3"
а)----7" ; б)----й---; в)--------Гп--; •
25" 6" 22 2-3 1
481. Скоротіть дріб (л — ціле число):
ч 4"42-4" 5 і + 5 3 4 3"+1 6"+6"
а)--------; б)-----------; в)-------; г)----------.
15 26 3 "+1 36"+1
482. Спростіть вираз (л — ціле число):
4 х6пуп** _3л і. л-3 а о *‘’"+х" _2л „Зл а —а
й) Х2Я1Г5 ’ с в м 3 о- 3 сл -л ’ X " а 2п '
Спростіть вираз (483—486).
„7 . „13 8 12
. _ _ х + х а 4-а
483- а) х -з + хз 5 6) —&;
х4+2хб+х' х4+Зх5+х®
В) 2 + х + х*2 ’ Г) х 4+Зх 6+х-6
, . а2—с2 1 1
484. а) (а 1-с* ):------; б) 3 3 -з з •
и — X а Т X
485. а)(т 1 +л ')2 + (лі 1 -п *)2; б)(с 2-с2)2-с 4 + 2.
486. а) (х - у)~2(х2 - у2у, б) (а’3 - Ь 3)'1 - (а 3 + Ь’3)’1.
Розв’яжіть рівняння (487—488).
487. а)2Х'1-х“*-2; б)х"2-х-1-0; в)х‘*-4х’3-0.
488. а) х'1 + х - 2; б) (2х - 1)х~‘ = х.
с-2
489. Чи може значення виразу —-— дорівнювати 0 або 1?
с’-1
Чи може воно бути більшим за 1?
ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ
490. Виконайте множення:
а) (2х - 3)(у + 1);
в)(/п + 5)(и - т);
б)(х-а)(у-6);
г) (6 - аХ2Ь - а).
491. Подайте вираз у вигляді добутку трьох або чотирьох
множників:
а)16а‘-1; 6)81-х12;
г) а2Ь2 - (а2 + аЬ - б2)2.
492. На діаграмі (мал. 22) вказано
кількість зошитів, альбомів,
блокнотів і ручок, проданих
крамницею за тиждень. Назви
предметів не вказано, але відо-
мо, що зошитів продали най-
більше, альбомів — удвічі мен-
ше, ніж блокнотів. Скільки
чого було продано?
493. Побудуйте графік рівняння:
в)(х2 + ху + у2)2 - х2у2;
ь
О
2
з
а
Предмети
Мал. 22
а) 2х - Зу = 0;
б) 2х + Зу = х.
СТАНДАРТНИЙ
ВИГЛЯД ЧИСЛА
Якщо мають справу з дуже вели-
кими або дуже малими числами, то
такі числа зручно записувати в стан-
дартному вигляді, тобто у вигляді
а 10", де 1 < а < 10 і число п ціле. Показник степеня п назива-
ють порядком числа а 10". Масу Землі, яка дорівнює
6 000 000 000 000 000 000 000 т, у стандартному вигляді
записують так: 6 • 1021 т. А масу атома Гідрогену
0,0000000000000000000017 г у стандартному вигляді за-
писують так: 1,7 10”21 г. Порядок маси Землі дорівнює 21,
а маси атома Гідрогену — становить -21.
Над числами, записаними у стандартному вигляді,
математичні дії можна виконувати так само, як їх викону-
ють над одночленами. Але щоб вміти робити це, треба на-
вчитися перетворювати добутки вигляду а • 10" у рівні їм
добутки з іншими показниками степенів. Щоб значення та-
кого добутку не змінилось, при збільшенні показника степе-
ня п на 1, 2, 3, значення а слід відповідно зменшувати в 10,
100, 1000 разів. 1 навпаки, зменшуючи п. на 1, 2, 3, значення
а слід відповідно збільшувати в 10, 100, 100 разів.
Наприклад,
35 10й = 3,5 106; 0,23 108 - 2,3 107;
227 10 4 - 2,27 10"2; 0,024 10й = 2,4 • 1012.
Як виконувати дії над числами, записаними в стандарт-
ному вигляді, покажемо на прикладах.
Якщо а = 1,5 • 108, Ь = 2,4 • 10', то:
а 6 = (1,5 108) (2,4 107) = 1,5 2,4 108 107 = 3,6 10ій;
а : Ь = (1,5 108): (2,4 107) -(15 • 107) : (2,4 107) = 6,25;
а + Ь = 1,5 • 108 + 0,24 108 = (1,5 + 0,24) 108 = 1,74 108;
а - Ь - 1,5 108 - 0,24 108 - (1,5 - 0,24) 108 -1,26 108.
Зверніть увагу! Числа, записані у стандартному вигляді,
виражають переважно наближені значення величин. Це по-
яснюється тим, що у такий спосіб найчастіше записують зна-
чення відстаней, площ, мас, об’ємів, швидкостей, темпера-
тур, які майже завжди є наближеними.
Наприклад, маса Місяця дорівнює 7,35 • 1022 кг, тобто
73 500 000 000 000 000 000 000 кг. Чи є це значення точ-
ним? Ні, це наближене значення. Усі нулі в цьому числі —
цифри не точні, а округлені. Значущими є тільки три перші
цифри: 7, 3 і 5. А всі нулі поставлено замість невідомих нам
точних цифр.
Взагалі, якщо значення величин записують у стандарт-
ному вигляді, тобто а 10", то число а — точне, всі його циф-
ри — значущі. А всі нулі, які одержують від множення а на
10", є результатом округлення.
Як треба розуміти вислів число х більше від у на порядок?
Це передбачає, що число х більше від у приблизно в 10 разів.
Наприклад,
210' і 9 10; — числа одного порядку;
2 107 більше від 9 106 на порядок, оскільки бо 7 — 6 = 1;
2 107 менше від 8 10’° на три порядки, оскільки 10-7 = 3.
Перевірте себе
1. Що таке стандартний вигляд числа?
2. Наведіть приклад числа, записаного в стандартному
вигляді.
; 3. Що таке порядок числа?
> 4. Укажіть порядок чисел 327, 0,5, 0,000026.
5. Перше число менше від другого у 100 разів. На скільки
порядків друге число більше від першого?
Виконоємо розойї! /
1. Запишіть у стандартному вигляді число:
а) 320; 6)0,4; в) 1000 000; г) 0,00000027.
✓ Розв’язання.
а) 320 = 3,2 Ю* 1 2; б) 0,4 = 4 10 і;
в) 1 000 000 = 1 • 10е; г) 0,00000027 - 2,7 10’7.
2. Знайдіть добуток, частку, суму, різницю чисел х = 4,5 10 1 і
у= 1,5 10 ®.
✓ Роз в ’я зан н я.ху - (4,5 1,5)-10 ‘ • 10 6 = 6,75 10 |3;
х: у = (4,5:1,5)•(10~7:10 в) = 3 10"7 ( в,-3 10 і;
х + у = 4,5 10 7+ 15 10 7= 19,5 10 7= 1,95 10 ®;
х-у -4,5 107- 1,5 10 6 = 0,45 10 6- 1,5 10 6 =
= -1,05 10 е.
Виконайте усно
494. Яке з чисел записано в стандартному вигляді:
а) 0,35 1012; 6)2 1О30; в) 32,4 108;
г)2,5 10 4; ґ)5 100*; д)0,23 106?
495. Назвіть порядок числа:
а) 3,07 107; 6)5,9 Ю8; в) 6,2 10 8;
г) 300 000; ґ) 8 320 000; д) 0,000008.
496. Обчисліть:
а)2 104 + 3 104; 6)5 107-3 107;
в)(2 107) (З 107); г)(б-109):(3-109).
Рівень
Запишіть без показника степеня (497—498).
497. а)7-Ю5; 6)2,3 Ю8; в)4,7 1О10; г)3,02 Ю13.
498. а) 9 10 8; 6)3,5 Ю’12; в) 1,9 10’9; г) 9,83 1011.
Запишіть у стандартному вигляді число (499—500).
499. а) 370 000 000; 6) 4 250 000 000; в) 1 002 000 000.
500. а) 0,000 000 053; 6) 0,000 000 000 27;
в) 0,000 000 034 05.
501. Запишіть у стандартному вигляді масу:
а) Місяця — 73 500 000 000 000 000 000 т;
6) Сонця — 1 990 000 000 000 000 000 000 000 000 т.
502. Маса Землі дорівнює 5 980 000 000 000 000 000 000 т, а
маса Місяця — 73 500 000 000 000 000 000 т. На скільки
тонн маса Землі перевищує масу Місяця?
503. Виразіть:
а) 2,6 103 т у грамах; 6) 4,75 1012 см у метрах;
в) 1,44 109 г у тоннах; г) 9,6 • 105 см у кілометрах;
ґ) 3,4 10 8 т у грамах; д) 3,2 • 108 м2 у гектарах.
504. Виконайте дії і результати запишіть у стандартному
вигляді:
а) 8 105 + 4 105; 6) 15 10 8 - 8 108;
в) (2 107) ЗО; г) (8 10~9): 400.
505. Виконайте дії над числами, записаними в стандартно-
му вигЛйді:
а) (5,2 109) (5 10"2); б) 8,4 106 + 5,6 10е;
в)(9,6 10’12):(3,2 10 і6); г) 9,5 10’5-8,6 10 3.
506. Знайдіть добуток чисел 5 106 і 8 109, а також порядок
кожного множника та добутку.
507. Знайдіть квадрат і куб числа:
а) 4 10”12; 6)1,3 10 6.
508. Густина алюмінію становить 2,7 • 103 кг/м3. Знайдіть
масу алюмінієвого куба, ребро якого дорівнює:
а) 0,2 м; 6)10 3 м; в) 2,5 10*2 дм.
509. Швидкість світла становить 3 105 км/с. Яку відстань
світло проходить за: а) 5 с; б) за 1 год?
510. У таблиці подано маси і радіуси семи планет Сонячної
системи.
Планета М, кг Я, м
Меркурій 3,26 1023 2,42 10е
Венера 4,88 1024 6,10 10е
Марс 6,43 1023 3,38 106
Юпітер 1,90 1027 7,13 107
Сатурн 5,69 1026 6,04 107
Уран 8,69 1025 2,38 107
Нептун 1,04 1026 2,22 107
За даними таблиці:
а) виразіть діаметри планет у кілометрах;
б) знайдіть маси планет у тоннах;
в) перелічіть планети в порядку зростання їх мас;
г) обчисліть, у скільки разів маса Нептуна більша за
масу Меркурія;
ґ) порівняйте радіуси Урана і Марса. Який із них
більший? Обчисліть, на скільки метрів;
д) порівняйте радіуси і маси Урана та Нептуна. Зробіть
висновок.
511. Виконайте дії:
а) (2,8 105) (2,5 10’7); б) (1,5 10 3) (9,2 10’4);
в)(5,7 104):(3,8 10 3); г)(1,56 10 2): (2,6 10 6);
ґ)6,2 10 2+ 4,8 10’2; д) 5,1 Ю5-2,9 10е.
Знайдіть суму, різницю, добуток і частку чисел (512—513).
512. а) 1,8 -104 і 6 103; 6)8 10 6 і 4 • Ю45.
513. а) 6,5 •107 і 5 106; б) 3,2 10~6 і 4 10 4.
514. Округліть число до десятків і одержаний результат за-
пишіть у стандартному вигляді:
а) 1427; 6) 155,678; в) 54,23; г) 4911,2.
і 515. Округліть число до одиниць і одержаний результат за-
пишіть у стандартному вигляді:
а) 157,415; 6)8901,5; в) 18,9; г) 315,5.
516. Порівняйте числа:
а) 4,2 106 і 3,95 106; 6) 2,1 10’5 і 2 Ю'6;
в) 5,8 109 і 7,5 108; г) 7,3 10’7 і 6,4 10 е;
ґ) 2,26 1О20 і 8,12 1019; д) 4,71 10’12 і 5 10’13.
517. Порядок числа а дорівнює -12. Який порядок числа:
а) 1000а; 6) 0,0001а; в) а 1015; г) ?
І 518. Знаючи наближені значення х = 3,7 1011 і у~8,5 ІО10,
обчисліть:
а)ху; б)х:у; в)х + у; г)х-у.
519. Відомо, що перша космічна швидкість дорівнює
7,9 • 103 м/с, друга — 1,12 104 м/с, третя становить
1,667 • 104 м/с. Виразіть ці швидкості в кілометрах за
секунду і запишіть одержані результати числами у стан-
дартному вигляді.
ї 520. Яку відстань у метрах пролетить супутник, що має пер-
шу космічну швидкість, за 1 год?
521. Швидкість світла V - 3 108 м/с. Яку відстань воно про-
ходить за 1 рік? За скільки секунд світло проходить
10 км?
522. Виразіть:
а) 2,5 103 м2у см2 і км2; б) 3,7 102 м3у см3 і км3.
523. Маса Юпітера дорівнює 1,90 102' кг, а Землі — 5,98 х
х 1024 кг. Що більше: маса Юпітера чи маса Землі? У
скільки разів? На скільки порядків?
524. Густина сталі дорівнює 7,8 103 кг/м3. Знайдіть масу
сталевого листа розміром 1,5 х 8 10’* х 2 • 10 3 м.
525. За даними таблиці:
а) запишіть наведені значення величин у стандартному
вигляді;
б) округліть значення швидкості світла у вакуумі так,
щоб воно мало тільки одну значущу цифру;
в) порівняйте (приблизно) радіус Сонця і відстань від
Землі до Місяця;
г) обчисліть, на скільки порядків відстань від Землі до
Сонця більша за відстань від Землі до Місяця;
ґ) обчисліть, на скільки порядків діаметр еритроцита
більший (чи менший) за діаметр молекули води.
—
Числа «ліліпути» і числа «велетні»
^Ліліпути
«Велетні»
0,000 000 000 28 м — діаметр
молекули води
0,000 000 000 6 м — товщина
плівки мильної бульбашки
0,000 003 75 м — радіус
еритроцита
0,000 000 000 000 000 000 001 7 мг —
маса атома Гідрогену
0,000 000 000 001 с — час існуван-
ня атома надважкого Гідрогену
299 792 458 м/с —
швидкість світла
у вакуумі
696 000 000 м —
радіус Сонця
510 083 000 км2 —
площа поверхні
Землі
384 400 000 м —
відстань від Землі до
Місяця
149 600 000 000 м —
відстань від Землі до
Сонця
ВПРАВИ ДЛЯ^ПОВТОРЕННЯ |
526. Знайдіть добуток і частку чисел, сума і різниця яких
дорівнюють: а) 1,5 і 0,5: б)аіс.
527. Знайдіть середнє арифметичне чисел 2, 4 і х.
52Я. Розв’яжіть рівняння:
а)|2х-1| = 5; б)|6-х|-2х.
529. Подайте у вигляді многочлена:
а)(хя + 1)2; б)(а2я*-1)2; в)(а" + а"')2;
г)(х" '-х)а; НІІ^+К2")2; д)-2Ьг .
§12. ФУНКЦІЯ у = 4
Ви вже знаєте, що функція — це
відповідність між двома змінними,
при якій кожному значенню однієї
змінної відповідає єдине значення
другої. Пригадайте, що таке аргу
мент функції, її область визначення, множина значень, як
можна задавати функції (див. с. 248).
_ , . /?
Далі ми розглянемо функцію, задану формулою у = — , де
к — довільне дійсне число, відмінне від нуля; аргумент х може
набувати не тільки додатних, а й від’ємних значень.
Нприклад, дано функцію У = —. Область її визначення —
множина всіх дійсних чисел, окрім х = 0 (бо на 0 ділити не
можна). Складемо таблицю значень цієї функції для кількох
значень аргументу:
0
х -6 -5 -4 -3 -2
-1-1,2-1,5 -2
-З
-1
-6
3 4 5 6
2 1,5 1,2 1
У
1 2
6 З
Позначимо точки, координати яких наведено в таблиці
(мал. 23, а). Коли б на цій самій координатній площині по-
значили більше точок, координати яких задовольняють
6
рівність у , вони розмістилися б, як показано на малюн-
ку 23, б. Якщо для кожного дійсного значення х, крім х = 0,
6
за формулою У = ~ обчислити відповідне значення у і нанес-
ти всі точки з одержаними координатами на координатну
площину, матимемо графік даної функції (мал. 23, в). Таку
лінію називають гіперболою. Гіпербола складається з двох
віток.
Графік функції У = ~ — гіпербола, симетрична відносно
початку координат. Її вітки розміщено в І і III координатних
кутах. (Осі координат поділяють координатну площину на
чотири координатних кути, їх називають також координат-
ними чвертями, або квадрантами, і нумерують, як показано
на малюнку 24).
-12
Якщо таким способом побудувати графік функції у = ,
дістанемо також гіперболу; тільки її вітки розміщені в II і
IV координатних кутах (мал. 25).
<> Графік кожної функції у = — , де к — відмінне від
нуля дане число, — це гіпербола, симетрична
відносно початку координат.
Якщо к > 0, вітки такої гіперболи розміщено в І і III коор-
динатних кутах, коли к < 0, — у II та IV.
Властивості функції У = ~ для різних значень к можна
визначити за графіками, наведеними, наприклад, на малюн-
ках 23, в і 25. Подаємо їх у вигляді таблиці.
Властивості функції Вид функції
у = —(к>0) X У = -(*<0) X
Область визначення Область значень Додатні значення Від’ємні значення Проміжки спадання Проміжки зростання Усі числа, крім х = 0 Усі числа, крім у = 0 х>0 х<0 х<0 і х>0 Усі числа, крім х = 0 Усі числа, крім у = 0 х<0 х>0_ х<0 і х>0
Хочете знати ще більше?)
к
Функцію, задану формулою У = — , часто називають оберненою
пропорційністю (на відміну від функції у = кх, яку називають прямою
пропорційністю). Раніше оберненою пропорційністю ви називали
відповідність, при якій зі збільшенням однієї змінної в кілька разів
значення другої зменшувалися в стільки само разів. Так буває тільки у
, *
випадку, коли к і х — додатні числа. Якщо у функції У = — число к
від’ємне, то зі збільшенням значень х у кілька разів значення у також
збільшуються у стільки само разів. Це видно з мал. 26.
Використовуючи степінь з
від'ємним показником, функцію
к -1
У = — можна записати так: у = кх .
х
Іноді її записують і у вигляді:
ух = к.
Приклад. Чи є оберненою про-
порційністю залежність, задана
к к
рівністю: а) «/ = -гг;б) у = —-?
И х* 2 З *
Відповідь, а) Ні; б) ні.
Мал. 26
Перевірте себе
! • 1- ІЦо таке функція, аргумент функції?
। • 2. Що таке область визначення функції?
і ’ 3. Яку функцію називають лінійною, яку — прямою про-
і І порційністю?
] • 4. Наведіть приклади прямої пропорційності.
! • 5. Як називають графік оберненої пропорційності?
Виконаємо разомі /
1- Функцію задано формулою У = ~- Знайдіть значення п,
якщо графік функції проходить через точку А (5; 2).
✓ Розв’язання. Підставимо значення х = 5 і у - 2 у
формулу, якою задано функцію. Одержимо 2 = — . Отже,
п = 10. 5
Розв’яжіть графічно рівняння
х + 2 = —.
х
✓ Розв’язання. Побудуємо в
одній системі координат графіки
З
функцій у = х + 2 і У~~ (мал. 27).
Ці графіки перетинаються в точках
Р і (?, абсциси яких дорівнюють
приблизно 1 і -3. Перевіряємо, чи
це точне значення, чи наближене: 1 + 2 = 3, -3 + 2 = -1.
Відповідь. X] = 1, х2 = -3.
Виконайте усно
530. Яка із заданих функцій є прямою пропорційністю:
2
а)у = 2х; б)у = -—х; в)у = 3х-1?
531. Яка з заданих функцій є оберненою пропорційністю:
а)У = —; б) У = 4» в)!/”3х-1; г)у--3х?
X о
532. Укажіть область визначення функції:
а)У = ТТ7; б)У = ^--2; в)У = —£—; Г)у = -^-.
хг х х -4 х-9
533. В яких чвертях координатної площини розміщений
графік функції:
12 8 .
а)у = —; б)У = -—; в)у = х ’?
534. Чим відрізняються графіки функцій:
а)У=—іу = —; б)у = —іу-21?
X X 2
— ---------------------------------—
1 535. Сторони прямокутника дорівнюють х і у, а площа —
60 см2. Виразіть формулою залежність у від х.
536. Відомо, що сила струму І в провіднику пропорційна
напрузі на кінцях провідника V і обернено пропорцій-
на його опору Н. Зобразіть цю залежність формулою.
-12
537. Складіть таблицю значень функції У = ~~ для цілих
значень х, якщо -6 £ х < 6.
. 12
| 538. Складіть таблицю значень функції У~~ для нату-
ральних значень х, менших від 13. Запишіть кілька
пропорцій із чисел цієї таблиці.
г
539. Функцію задано формулою у = —. Заповніть таблицю:
X -32 -2 -0,5 8
У -1 16 8 4
540. Обернену пропорційність задано формулою у =-----.
Знайдіть значення функції, що відповідає значенню
аргументу, яке дорівнює -1000; -100; 0,1; 0,02; 50. При
якому значенні аргументу значення функції дорівнює
-100; -40; 2; 100; 200?
541. Функцію задано формулою у = —. Яке значення фун-
кції відповідає значенню х — 0,2? При якому значенні
аргументу значення функції дорівнює -5?
542. На малюнку 28 побудова-
но графік оберненої про-
порційності, заданої фор-
4 О X
мулою У = —. Знайдіть
за графіком:
а) значення у, яке відпові-
дає значенню х, що дорів-
нює -5; -4; -1; -0,8; 1,6;
2; 4;
б) значення х, якому від-
повідає значення у, що до-
рівнює -4; -2,6; -2; 0,8; 1;
1,6; 5.
543. Які з точок А(-8; 1), В(16; 0,5), С(0; 0), £>(0,01; -800),
Е(-32; 0,25), В(80; 0,1), С(100; -0,08), #(-0,08; 1000)
належать графіку функції ?
544. Побудуйте графік функції:
ч 12 „ 12 , 4 , 1
а)У = —; б) </ = -—; в)у = -; г) </=--.
XX XX
Ш 545. Знайдіть область визначення функції:
0,5 3 5 1 „
а)у = —; бП-^; в)У— ; г)у = ?-2.
И 546. Побудуйте графік функції, заданої формулою:
2 2 9 9
а)У = —; б) !/ = -—; в)у = —; г)у = -7‘
547. Знайдіть область визначення функції:
. 1 „ 8 . 12 4 З
а)у = —; б)у = —; в) у = ——; г) У;
2х х х-ох ох 2х
.а 3 . , „ 1 . 1 . 16
ґ) «/ = - + !; д)у = 2-—; е)у = — ; ^У = ~^-
й 548. Функцію задано формулою у = — . Заповніть таблицю:
549. Чи перетинає графік функції У~~ вісь абсцис; вісь
ординат?
£
550. При якому значенні к графік функції У~~ проходить
через точку:
а)А(1; 1); б)В(2;3); в)С(1;-3)?
551. Графік якої функції зображено на малюнках 29, ЗО?
Мал. 29
Мал. ЗО
Графік функції У~~ проходить через точку А( 2; 1). Чи
проходить він через точку: В( 1; 2), С(-2; -1), К(-1; -2)?
553. Графік функції У =—проходить через точку А(-3; 3).
Покажіть, що він проходить і через точку В(3; -3).
Узагальніть задачу.
554. Побудуйте в одній системі координат графіки функцій
зо . ЗО Л .
У = — і У = —— для х > 0. Як розміщені ці графіки?
555. Чи правильно, що при рівномірному русі час, який за-
трачає поїзд на проїзд 10 км, обернено пропорційний
швидкості?
556. Три трактори мають зорати поле за 48 год. За скільки
годин зорють це поле чотири таких самих трактори?
Рівень й ?
Йї 557. На малюнку 31 зображено графік залежності часу, за-
траченого на шлях з пункту А в пункт В, від швидкості
руху. Яка відстань між А і В? Скільки часу потрібно,
щоб прибути з А до В, рухаючись зі швидкістю
6 км/год; ЗО км/год; 60 км/год? З якою швидкістю тре-
ба рухатись, щоб дістатися з А до В за 1 год; 2 год; 10 год?
558. Зобразіть формулою залежність тиску сталої сили Р на
площу поверхні 5. Чи є ця залежність є оберненою про-
порційністю?
559. Зі збільшенням висоти над рівнем моря зменшується
атмосферний тиск і температура повітря. Чи кожна з
цих залежностей оберненою пропорційністю?
560. Мідний і алюмінієвий бруски мають однакову масу.
Який з них має більший об’єм і в скільки разів? Густи-
на міді становить 8,6 г/см3, алюмінію — 2,6 г/см3.
561. Побудуйте в одній системі координат графіки функцій
(і
У = — і у = 5 - х. За допомогою цих графіків, назвіть
6 к
корені рівняння —«5-х.
562. Побудуйте в одній системі координат графіки функцій:
а) У = — і у = 2х; б)у = —іу = х-4;
х х
6 х 4
в) У-~— і '/ = 1-—; г)у = —іу = -2х-2.
о X
Вкажіть координати точок їх перетину.
к
563. При яких значеннях к і Ь гіпербола У = ~ > пряма
у “ кх 4- Ь проходять через точку:
а)/С(3; 4); б) Ь(-4; 6); в)М(-1;-8); г) N(2;-2)?
564. Побудуйте графік рівняння:
а)-уху = 4; б)ху = -6; в)2ху = 1.
565. Побудуйте графік функції:
а)у = ^т; б)у = ^- + 1; в)у = —г)у = х’2-2.
1*1 1*1 X
Знайдіть область визначення функції і побудуйте її графік
(566—567).
566. а) у =
32
(2-х)2-(2 + х)2
б) У =
48
(х-1)’-(х + 1)2
_о_ . Зх(* + 2)-Зх2-18 16 + 7х З
567. а) у = —---; б) у = —=------------------
х(х-З) х2+4х * +
568*. Побудуйте графік функції:
2 12 36 24
Побудуйте графік функції, заданої формулою (569—570).
569*. а) у = Ч 7 Ч V V /у - " н <0 1 Ізн. 1 | СО б) У = - —, х<-2, X -4, -2<х<2, -, х>2. X
570*. а) у = —, х<-2, X 1,5х,-2<х<2, —, х£2; X б) у = -х-3, х<-5, —у,-5$х<0, —, 0<х<5, X х-3, х25.
ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ |
571. Обчисліть і порівняйте:
а) суму кубів чисел 3 і 2 та куб їх суми;
б) різницю кубів чисел 5 і 2 та куб їх різниці;
в) півсуму кубів чисел 7 і 5 та куб їх півсуми.
572. Спростіть вираз і знайдіть його значення:
а) -4х(х2 - х - 3) + 2х(2х2 + х - 5), якщо х - -3;
б) За(4а2 - За) - 6(4 + 2а3) - 5а(2 - 5а), якщо а = і;
в) (5а(а - 45) + 12аЬ) 2Ь + ІбаЬ2, якщо а - З, Ь = 1,2.
573. Знайдіть два числа, якщо їх сума дорівнює 2,5, а різни-
ця квадратів становить -2,5.
574. Сума квадратів двох від’ємних чисел дорівнює 74, а
різниця їх квадратів — 24. Знайдіть ці числа.
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ
Варіант І
1*. Спростіть вираз:
і 9а*3 а + * ЗаI 2 .
а) х’-а’ ’бх2 2х-2а ’
2*. Розв’яжіть рівняння: * * + 2
Х 6
3°. Побудуйте графік функції у = —.
Варіант II
1*. Спростіть вираз:
б)
І £» + ТІ
З _ 10 7
п + 1
' п + 2 П
2 2 \
-•с^ п І а-с
--------2а ----------а
с 2с
4
5
2*. Розв’яжіть рівняння:
3°. Побудуйте графік функції: у = .
х-3 х-2
Варіант III
1*. Спростіть вираз:
. бас2 а + с За2 .
а) с2 —а2 4с 2а - 2с *
2*. Розв’яжіть рівняння:
а +1
2а + 1
а
2г2-7г + 3
2г-1
3°. Побудуйте графік функції: у = —.
Варіант IV
Iе. Спростіть вираз:
1 4*а3 х + а 2ах .
а2-х2 бах З(х-а) ’
2*. Розв’яжіть рівняння:
3°. Побудуйте графік фун
б) [а + 2 + -М:і-^-1.
\ а ) а
х + 9 х+1 о
---г+----=- = 2.
х-1 х+5
4
ції: у --.
ІСТОРИЧНІ ВІДОМОСТІ
Звичайні дроби в стародавніх Вавилоні та Єгипті були
відомі ще 4 тис. років тому. Грецькі математики вміли вико-
нувати над звичайними дробами всі арифметичні дії. В
«Арифметиці» Діофанта (ПІ ст.) є також багато дробів зі
змінними. Наприклад, у ній показано, що
96 12 12х2 + 24
х2 + 36-12х2 6-х2 х4 + 36-12х2 '
Записували тоді дробові вирази зовсім не так, як тепер.
Дробову риску вперше застосував італійський математик
Л. Фібоначчі (1180—1240).
Дроби зі змінними стали широко використовувати після
появи «Загальної арифметики» відомого англійського вче-
ного І. Ньютона (1643—1727). У цій книжці, зокрема.
а
пояснювалось: «...у — це величина, що утворюється при
аЬ-ЬЬ
діленні а на Ь, ... а + х означає величину, утворену при
діленні аЬ - ЬЬ на а + х і т. п. Величини такого роду назива-
ють дробами». Тоді замість Ь2 ще писали ЬЬ.
Степені з цілими показниками впроваджувалися в мате-
матику поступово. Майже 4 тис. років тому вчені Вавилона
розглядали квадрат і куб числа під час з обчислення площі
квадрата та об’єму куба. До нашого часу збереглися глиняні
плитки з таблицями квадратів і кубів натуральних чисел,
зроблені стародавніми вавилонянами. Згодом учені стали
розглядати четвертий, п’ятий та вищі степені, називаючи їх
спочатку квадрато-квадратом, кубо-квадратом і т. п.
Степінь з нульовим показником запровадили в V ст. неза-
лежно один від одного самаркандець аль-Каші і француз
Н. Шюке. Степені з від’ємними показниками Н. Шюке та-
кож використовував. Теорію степенів з від’ємними показ-
никами розробив у XVII ст. англійський математик
Д. Валліс. Він ототожнював послідовності
,111
аЛ’ а ’ а2 ’ а3..
а, а0, а’1, а 2, а 3
Стандартний вигляд числа введено в науку тільки в XX ст.
у зв’язку з використанням електронних обчислювальних
(ЕОМ).
ГОЛОВНЕ В РОЗДІЛІ
Частку від ділення виразу А на вираз В можна записати
д
у вигляді дробу —. Дріб має зміст тільки тоді, коли його
О
знаменник не дорівнює нулю. Алгебраїчним дробом назива-
ють дріб, чисельник і знаменник якого — многочлени. Ви-
раз, складений зі змінних і чисел за допомогою дій додаван-
ня, віднімання, множення, ділення або піднесення до сте-
пеня з цілим показником, називають раціональним. При
будь-яких значеннях а, Ь і с * 0 — = — (основна вла
О ос
стивість дробу). На основі цієї властивості дроби можна
скорочувати або зводити до спільного знаменника.
Дії над будь-якими дробами можна виконувати так само,
як над звичайними дробами. Якщо знаменники не дорів-
нюють 0, то завжди
а + Ь _ а + Ь а Ь _ а-Ь а Ь аЬ
с с с ’ с с с * с д сд '
1
Дробовий вираз —— записують також
Степінь з цілим показником
а Ь _ ад
с д сд "
у вигляді а п.
а" < ааа...а, якщоиєМ,
л раз 1, якщо л = 0, а#0, 1 л , якщо псО. а"
Властивості степенів з цілими показниками аналогічні
властивостям степенів із натуральними показниками.
Якщо числа тіл — цілі, аїЬ — відмінні від 0, то завжди:
ат а"=ат+л; (аЬ)п =ап Ьп; (а\п а*
ат:ап=ат~"; (ат)п-атп; [ Ь ) ьп '
Якщо число х записане у вигляді а 10", де л — ціле чис-
ло, а 1 < а < 10, то кажуть, що воно записане в стандартно-
му вигляді, а л — порядок числа х.
к . . ..
Функція У = — визначена на множині всіх дійсних чисел
за винятком х = 0. Якщо к > 0, то вона спадна.
Тестові завдання № 2
ГОТУЄМОСЯ ДО ТЕМАТИЧНОГО ОЦІНЮВАННЯ
1. Дріб можна записати у вигляді:
а) 24;
б) 25 6;
в) 2
г) 26.
2. Значення виразу (3,75 - 5,75) 2 дорівнює:
а) 4;
б) -4;
в) 0,5; г) 0,25.
3. Подайте у вигляді дробу вираз 4а 2с 3:
1
4
Й) ЛА3 ’ б) л2л3 * В)
4а с ас
2
ас
2 V 4
; г)—т-
а с
4. Порядок числа 3,07 105 дорівнює:
а)3;
б) 10;
в) 7;
г) 5.
5. Яке з чисел записане в стандартному вигляді:
а) 255 102; 6)0,1 Ю5; в) 3,5 1021; г) 35700?
6. Скільки коренів має рівняння х 2 = 0:
а) один;
б) два;
в) жодного; г) безліч?
і
7.
х3 + 1
Вираз: --—:(х2-х+1) тотожно дорівнює:
8.
а) 0;
6)1;
Укажіть корені рівняння
в)-1;
х>~8ж =0:
х2-9
г) х.
а)х = 0; б)х = 3; в)х = 0іх = 3; г)х-3іх = -3.
9.
Графіком якої з функцій є гіпербола:
5
а) у -5; б)у = 5х; в)у = —;
V Х
г> »=-.
2
Ю. Графік функції У~~ проходить через точку:
а)(0;2); б)(1;2); в) (2; 2); г)(3;2).
в*) 2,8 10'12 4,5 10
х + 6 8
х+4 х2+4х
ВИРАЗИ
125
1. Виконайте ділення:
б*)
4. Розв’яжіть рівняння:
б*)
1
а + Ь
1
1
а)
2
,-1
-і
3. Запишіть число в
а°) 257 000 000;
2(а + Ь)
б*) За + Ь
(х-2)2
а-' +Ь 1
а~3+Ь2
х2-4 х2-4х + 4
6а + З
а + 3
б*)і^1
а2 -9
4 е 16 5
8-ю
о 2 3
а ) х-3 " х-2 ;
Типові завдання до контрольної роботи № 2
6х5 12х5
® ) 4 ' 2
У У
2. Обчисліть:
З5 З 8
стандартному вигляді:
б*) 0,000 000 002 2.
0
5*. Розв’яжіть графічно рівняння — = 6х.
X
6*. Катер проходить 160 км за течією річки за той самий
час, що й 136 км — проти течії. Знайдіть власну швидкість
катера, якщо швидкість течії річки дорівнює 2,4 км/год.
7. Знайдіть значення виразу:
(х-1)2 2х
а ) —-----х_| • ЯКЩОх = 1,5;
За + Ь ।
а2-Ь2 • якщоа = 1,5; Ь = -1—.
8**. Доведіть, що для всіх допустимих значень змінних
значення виразу є сталим:
3(а~‘ -ьд1)
(аЬ)
127
Раціональні числа, з якими ви
ознайомилися в попередніх кла-
сах, — це тільки незначна ча-
стина множини чисел. На чис-
ловій прямій крім чисел раціо-
нальних є ще більше нераціо-
нальних чисел. Без засвоєння і
цих чисел, без уміння викону-
вати дії з ними неможливо далі
вивчати математику та інші
прикладні науки.
У цьому розділі
ви дізнаєтеся про:
• квадратні корені;
•дійсні числа;
• квадратний корінь
з добутку, дробу, степеня;
• перетворення виразів
з коренями;
• функції у -X2, у =
§13• ФУНКЦІЯ
у = Х2
Розглянемо функцію, задану
формулою у " х2. Область її визна-
чення — множина всіх чисел.
Складемо таблицю значень функції для деяких значень
аргументу х:
X -3 -2,5 -2 -1,5 -1 0 1 1,5 2 2,5 3
У 9 6,25 4 2,25 1 0 1 2,25 4 6,25 9
Позначимо точки, координати яких подано в цій таблиці
(мал. 32, а). Якщо на координатній площині позначити
більше точок з координатами х і у, що задовольняють фор-
мулу у = х2, вони розмістились би так, як показано на ма-
люнку 32, б. Якщо для кожного дійсного значення х за фор-
мулою у = х2 обчислити відповідне значення у і позначити
точки з такими координатами на координатній площині,
одержимо неперервну криву лінію, яку називають парабо-
лою (мал. 32, є). Парабола має дві нескінченні вітки, що
плавно сходяться в одній точці — вершині параболи.
Для функції у -= х2 вершиною параболи є точка (0; 0). Тоб-
то графік функції у х2 проходить через початок коорди-
нат. Оскільки протилежним значенням аргументу відпові-
дають рівні значення функції, то її графік симетричний
відносно осі у.
Побудований графік дає змогу наочно виявити властивості
функції у = X2.
Властивості функції у = х2, що їх визначено за графіком,
можна подати у вигляді таблиці.
Властивості
функції
Область визначення
Область значень
Додатні значення
Від’ємні значення
Проміжки спадання
Проміжки зростання
Вид функції
__________________
Усі числа (Я)
Усі невід’ємні числа (у 2 0)
х*0
х<0
х> 0
Навіщо треба знати, яким є графік функції? Докладніше
про це ви дізнаєтеся в старших класах. А зараз звернемо ува-
гу тільки на те, що графіки функцій дають змогу розв’язува-
ти рівняння, які іншими способами розв’язувати або надто
важко, або й взагалі не можливо.
Скільки розв’язків має рівняння х2 = 4? Пряма, рівняння
якої у — 4, перетинає графік функції у = х2 у двох точках
(мал. 33). їх абсциси х = 2іх = -2 — розв’язки рівняння.
А скільки розв’язків має рівняння х2 = 2? Спробуйте
відповісти на це запитання самостійно.
[]^| Хочете знати ще більше?)
З кривими у вигляді парабол мають
справу фізики, астрономи, архітектори та
інші фахівці. Графічне зображення траєк-
торії струменя води або кинутого (не вер-
тикально) предмета — це параболи
(мал. 34), арки мостів і споруд часто ма-
ють форму парабол. У багатьох прожек-
торів і різних приймачів радіохвиль також
осьові перерізи параболічної форми.
Функція у — х2 — найпростіша із квад-
ратичних функцій. Приклади інших квадра-
тичних функцій:
у = х2 + 1, у = х2-3, у*-х2.
Кожне значення функції у — х2 -І- 1 на
одиницю більше за відповідне значення
функції у — х. Тому графік функції — така
сама парабола, тільки зміщена вверх на
1 одиницю (мал. 35).
Спробуйте побудувати графіки функцій:
2 2 л 2
у = х -1, у = -х, у = 2х .
Перевірте себе
• 1. Як називають лінію, що є гра-
• фіном функції у = х2?
. ; 2. Назвіть основні елементи пара-
I * боли.
* 3. Укажіть основні властивості
І • функції у = х2.
; • 4. На яких проміжках функція
1 • у - х2 зростає, на яких — спа-
дає?
у' Вмконочмо разом! /
1. Побудуйте графік залежності площі квадрата 5 від дов-
жини його сторони а.
Розв’язання. Якщо сторона квадрата а, то його
площа 5 — а2. Це та сама функція у — х2, тільки позначена
буквами а і 8. Тому такими самими буквами слід позначити і
координатні осі. Оскільки довжина сторони квадрата може
ігебра В
набувати тільки додатних значень, то область визначення
розглядуваної функції — множина додатних чисел. Її
графік — на малюнку 36.
2. Розв’яжіть графічно рівняння х2 + 2х - 3 = 0.
✓ Розв’язання. Запишемо рівняння у вигляді
х2 = 3 - 2х.
В одній системі координат побудуємо графіки функцій у = х2
і у = 3 - 2х (мал. 37). Перетинаються вони в точках, абсциси
яких дорівнюють (можливо, наближено) 1 і -3. Перевірка
переконує, що це — точні корені.
Відповідь, х, = 1, х2 = -3.
Виконайте усно
575. При яких значеннях аргументу значення функції у = х2
дорівнює: 4, 9, 16, 25, 0,01, 0,04, 0,36?
576. Чи при всіх відповідних значеннях аргументу значен-
ня функцій у = х2 і у - (-х)2 рівні? Чим різняться гра-
фіки цих функцій?
577. Як називають криві лінії, що є графіками функцій
У -х2 і у = х1?
578. Чи може функція у — х2 набувати від’ємних значень?
579. Як, маючи графік функції у — х2, побудувати графік
функції у - х2 + З? А функції у = -х2?
Побудуйте графік.
581. Побудуйте графік функції у " х2:
а)для0£х£4; б)для-4<х<0; в) для-3^x5 3.
582. Побудуйте графік функції, яка виражає залежність
площі квадрата від його периметра.
ї 583. Чи проходить графік функції у = х2 через точки: А (5; 25);
В (-5; 25); С (5;-25)?
584. Які з точок належать графіку функції у = х2:
А (0,1; 0,01); В (0,2; 0,4); С (-10; 100);
Р(-1,1; 1,21); ЕІ1^2!
585. Користуючись графіком функції
у = х2 (мал. 38), знайдіть:
а) значення функції, якщо зна-
чення аргументу дорівнює: -2,6;
-1,7;-0,9; 0,9; 1,4;
б) значення аргументу, при яко-
му значення функції дорівнює:
2,3, 4, 5,6.
586. Користуючись графіком функції
у - х2, зображеним на малюн-
ку 38, знайдіть:
а) значення функції, якщо зна-
чення х дорівнює: 1,2; 3,1; 2,3;
б) значення х, при яких значення у дорівнюють: 4; 5; 6;
в) цілі значення х, при яких значення функції менші
від 5;
г) значення аргументу, при яких значення функції —
цілі числа, не більші від 7.
587. Заповніть порожні клітинки таблиці:
X -3 -2 -1 0 1 2 3 1
-х2 1
Побудуйте графік функції у = -х2.
588. Одна сторона прямокутника дорівнює х, а друга —
вдвічі довша. Як залежить площа прямокутника від
його меншої сторони?
589. Як залежить площа 8 прямокутного рівнобедреного
трикутника від довжини його катета а? Заповніть
таблицю:
а 1 2 3 4 5 6 7 8 1
8
Рівень
590. У скількох точках перетинаються графіки функцій:
а) у - х2 і у = х + 2; б) у - х2 і у - - 2х 4- 4;
в) у = х2іу = х-1; г)у = х2іу = -3х?
591. При яких значеннях аргументу функції і/-х2іу = 2x4-3
набувають рівних значень?
592. Знайдіть координати точок перетину графіків функцій
і/= х2 і у = 8х"*.
593. Дано графік функції:
1)у-хЛ 2)у = -х2.
Чи перетинає кожний графік пряма:
а)у=1; б)у = -1; в)у = 8;
г)у = -8; ґ) у =1000; д)у--1000?
Якщо перетинає, то в якій точці?
594. Доведіть, що кожна пряма, паралельна осі у, перети-
нає графік функції у = х2. Чи кожна пряма, паралельна
осі х, перетинає графік цієї функції?
595. При яких значеннях х значення функції у = х2 менші
від 9? А при яких — більші за 9?
596. Знайдіть значення с, при яких графіки функцій у = х2 і
у « с перетинаються в точці з абсцисою 5. Яка ордина-
та цієї точки? Знайдіть координати другої точки пере-
тину цих графіків.
597. На якому проміжку функція у = х2 зростає швидше:
коли х змінюється від 1 до 2, чи — від 3 до 4?
598. Чим графіки функцій у - х2 і у - |х| подібні і чим вони
відрізняються? Побудуйте ці графіки в одній системі
координат.
599. Побудуйте графік залежності площі круга від довжини
його радіуса.
600. Чи має розв’язки рівняння:
о 1 о 4 2
а)х =-—х-1; б)х2 + 3-х; в)— = х2?
601. Розв’яжіть графічним способом рівняння:
а)ха = х + 2; б)х2-Зх-2; в)у-х2=0;
г)х2=-^; ґ)х2-х = 6; д)х2 + 2х-3 = 0.
602. Складіть і розв’яжіть графічно рівняння, яке мало
би:
а) один розв’язок у І чверті;
б) один розв’язок у II чверті;
в) один розв’язок у III чверті;
г) один розв’язок у IV чверті.
602. Складіть і розв’яжіть графічно рівняння, яке мало
би:
а) один розв’язок у І чверті та один — у II чверті;
б) один розв’язок у І чверті та один — у Ш чверті;
в) один розв’язок у II чверті та один — у IV чверті, які
були б симетричні відносно початку координат;
г) один розв’язок у І чверті та один — у III чверті, які
були б симетричні відносно початку координат.
604*. Складіть і розв’яжіть графічно рівняння, яке мало б
корені:
а)х1-0,х2-2; б) хг = - 1, х2= 1; в)х = 4;
г)х1 = -3,х2 = 0; ґ)х-9; д) х, - - 1, х2 “ 2.
605*. Розв’яжіть графічно рівняння:
а)х2 = 2|х|; б)*2-^.
Лї 606*. Побудуйте графік функції, заданої формулою:
а)у = х2 + 2; б)у = 3-х2; в) у - (х+1)2.
607*. Розв’яжіть графічно рівняння:
а)х2-2-х2; б)х2-1 = у; в)(х - З)2 « х - 1.
Г ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ і
1..........- V"
608. Запишіть у стандартному вигляді число:
а) 47 000 000; б) 308 000 000; в) 0,000000039;
г) 0,00000407; ґ) 803 • 109; д) 0,067 • 107;
е) 3,7 • 1005; с) 0,42 • 10-7; ж) 20005.
609. Назвіть порядок числа:
а) 2,3 • 108; б) 7,8 • 10 х2.
610. Спростіть вираз:
а) 2а2 + 3 - ((а2 - 5аЬ) - (7 - Зад));
б) - (1 - бху) + (7 + х4 - (4ху + 6 - 2х4));
в) 4а3 + Ь3 - (а3 - 5аЬ + (За3 - (Зд3 + 4аЬ - а3))).
611. Доведіть, що для будь-якого натурального п значення
дробу є натуральним числом:
. б"-1 10л + 5 х 10л-1
«“Г"’ в>—9~!
, з'”*4 , Т4"-! , 92п1 + 1
г)^-; Д)^о“•
612. При якому значенні х:
а) значення виразу |х - 5| + 9 найменше;
б) значення виразу 13 - |2х + 3| найбільше?
613. Розв’яжіть рівняння:
а)|х-5| = 8; б) |2х - 3| « 2,5; в)|х-3]-х.
§14. КВАДРАТНІ
КОРЕНІ
Рівняння х2 “ 9 має два розв’яз-
ки: З і -3. Говорять, що 3 і -3 —
квадратні корені з числа 9.
> Квадратним коренем з числа а називають число,
квадрат якого дорівнює а.
Приклади. Квадратними коренями з числа:
а) 1600 є 40 і -40, тому що 402 — 1600 і (-40)2 = 1600;
б) 0,49 є 0,7 і -0,7, тому що 0,72 = 0,49 і (-0,7)2 - 0,49.
Оскільки серед відомих вам чисел немає такого, квадрат
якого дорівнював би від’ємному числу, то квадратний
корінь з від’ємного числа не існує.
Квадратний корінь з числа 0 дорівнює нулю. Квадратний
корінь з додатного числа має два значення: одне з них додат-
не, інше — протилежне йому від’ємне число.
с> Невід’ємне значення квадратного кореня назива-
ють арифметичним значенням цього кореня.
Арифметичне значення квадратного кореня з числа а по-
значають символом • Наприклад,
^9=3, ДбОО 40, ^0,49 -0,7, 70=0.
Зауваження. Символом 4а позначають тільки ариф-
метичне значення квадратного кореня з числа а, хоч і чита-
ють його коротше: «квадратний корінь з числа а».
Обчислення арифметичного значення квадратно-
го кореня називають добуванням квадратного
кореня.
З невеликих чисел, що є точними квадратами натураль
них чисел, добувати квадратні корені бажано усно.
а і 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144
7^ і 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Квадратні корені з більших натуральних чисел можна
знаходити, користуючись таблицею квадратів (див. 2-й фор-
зац). Наприклад, 75329 = 73, 71000 ~ 32.
Користуючись калькулятором, можна добувати квад-
ратні корені з більшою точністю. Наприклад, щоб добути
квадратний корінь з 1000, набираємо це число, після чого
натискуємо клавіш*А. На екрані висвітиться число
31,622776. Отже, 71000 =31,622776.
Якщо таким способом знайти значення 70,0035 , то деякі
калькулятори висвітять два числа: 5,9160797 і -2. Число -
2 тут показує порядок шуканого значення, записаного в стан-
дартному вигляді. Отже,
70,0035 » 5,9160797 • 10'2 = 0,059160797.
Добувати квадратні корені з натуральних чисел вавилонські вчені
вміли ще 4 тис. років тому. Вони склали таблицю квадратів багатьох
натуральних чисел і, користуючись нею, знаходили квадратні корені з
чисел, які були в тій таблиці. Якщо число т не було точним квадратом
натурального числа, то вони шукали найближче наближене значення
а квадратного кореня з т, подавали число т у вигляді
т — а2 + Ь і застосовували правило, яке тепер можна записати у
вигляді формули
Г~2 Г Ь
чіа +Ь = а+——.
2а
Наприклад, якщо т = 108, то
7108 =7ю2+8 = 10 + —^—= 10,4
2 10
Перевірка. 10,42 = 108,16.
Таке правило добування квадратних коренів знали і вчені Старо-
давньої Греції.
Відомі й інші алгоритми добування квадратних коренів, але тепер
це найзручніше робити, користуючись калькулятором.
Перевірте себе
} * 1. Що таке квадратний корінь з числа а?
* 2. Скільки існує різних квадратних коренів з додатного
|; числа а? А з числа 0?
: І 3. Що таке арифметичне значення квадратного кореня з
і і числа а?
} • 4. Скільки існує арифметичних значень квадратних ко-
} • ренів з додатного числа а? А з числа 0?
І ‘ 5. Як читають вираз: ^0,9 ; ^а1 2 +Ь2 ?
Виконаємо равом!
1. Покажіть, що 28 — арифметичне значення квадратного
кореня із 784.
✓ Розв’язання. 282 - 784; 28 — число додатне, тому
7784 =28.
2. Чи є число — квадратним коренем з числа — ? А число
7 49
4’
-ї
7
✓ Розв’язання.
1
49
1 1
7 І 49 ’
1 . 1 1
В і д п о в і д ь.Числа — і — квадратні корені з числа —
7 7 49
3. Обчисліть 2,5764 -3^0,64.
✓ Розв’язання. Убї = 8 , ^0,64 = 0,8. Тому
2,5Уб4-ЗУб^64 =2,5 8-3 0,8 = 20-2,4=17,6.
Відповідь. 17,6.
4. Розв’яжіть рівняння: а) ^/10х + 9 =7; б) ^х2-9 =4 .
✓ Розв’язання.
а) За означенням квадратного кореня, 72 = ІОх + 9, тоді
ІОх + 9 - 49, ІОх - 40, х = 4;
б) 42 = х2 - 9, х2 - 9 - 16 = 0, х2 - 25 = 0, (х - 5)(х + 5) = 0,
Х| = 5» х2 “ " 5.
Відповідь, а)х = 4; б)х! = 5, х2 = -5.
Виконайте усно
614. Обчисліть:
а) То, 71, 7Ї, 7Ї6, 7400, 790000;
б) 70,01, 70,04, 70,09, 70,16, 70,0081;
[± [± [її
В)У4’У9’1/9’У36’Ї9 *
615. Знайдіть усі квадратні корені з числа:
25, 36, 49, 64, , З2, 72, 4,22, /8Ї, /Ї6 .
лО оі
616. Знайдіть арифметичний квадратний корінь з числа:
9, 100, 400, 4, Л , З2, (- 4)2.
4 16
Рівень
617. Покажіть, що 8 — квадратний корінь із числа 64. Чи
існують інші квадратні корені з числа 64?
618. Покажіть, що:
а) 5,4 — квадратний корінь з числа 29,16;
б) 0,99 — квадратний корінь з числа 0,9801.
619. Знайдіть від’ємні значення квадратних коренів з чисел
29,16 і 0,9801.
620. Чи є число -37 арифметичним значенням квадратного
кореня а числа 1369? А число 37?
Обчисліть значення виразу (621—630). Г) /36Ї;
Ш 621. а) /Ї69 ; б) 7256 ; в)Тз24 ;
ґ) /400 ; д) 7900 ; е) 72500 ; є) 7збоо .
й 622. а) 70,04 ; б) 70,09 ; в) 70,16 ; г) 70,64 ;
ґ) /1,21 ; д) 71,44 ; е) 72,89 ; є) ТЗЇ2Ї.
623. а) /Ї2Ї; б) 7196 ; в) 7225 ; Г) 7625 ;
ґ) /100 ; д) 710000 ; е) 71600 ; є) 72500 .
624. а) 70,01 ; б) 70,49 ; ґ) 74,84 ; д) 72,25 ; в) 71,44 ; е) 70,0004 г) 71,69 ; ; є) /0,0036 .
625. /т б>& в) ; /гГ г) V 49 ’
ґ) 2-/49 ; д) 4 /64 ; е)7 /Ї00 : є)5 ТЇ44 •
с) 626. а) б) /25~ в) V 36 : г>/^ =
ґ) 16:716 ; Д) 25:, /25; е)90: 78Ї.
627. а) -5 736 ; б) -4,7 •То; в) о-7 47 ;
г)|Т8Ї; 1 і я Г)ІУ225 ; л) -у □ 4 7Ї96 .
628. а) /25 +7 49; 6)8 + 7 16; в)7зб ’-4;
г) 5 /36 + 7Ї6 ; ґ) /49 -7 725 ;д) 3 Ї6-2 Тзб •
629. а) 3 /0,01 + /0?09;
в) У^25-уУП96 ;
630. а) Узб ^25 ;
в) /вї 725 /Ї6 ;
631. Розв’яжіть кросворд (мал. 39).
По горизонталі:
4. Давньогрецький мате-
матик. 7. Елемент систе-
ми координат. 8. Основна
думка. 9. Компонент дії
додавання.
По вертикалі:
1. Квадрат числа 1000.
2. Знак 7~ • 3. Латинсь-
ка назва многочлена.
5. Четверте просте чис-
ло. 6. Латинська буква.
б) 70,04 -0,5 /Г;
г) 270,16 +71,44 .
б) -70,49 -749 ;
г) /б4 -70,25 .
Користуючись таблицею квадратів, обчисліть значення ви-
разу (632—637).
632. а) ^529 ; б) 7729 ; в) Т84Ї ; г) Т96Ї.
633. а) 71089 ; б) 72601 ; в) 72916 ; г) 73364 .
634. а) -Т504Ї ; б) -77396 ; в) -78464 ; г) Т5776 .
635. а) -748400 ; б) -32,25 То ; в) 247325 0 .
® 636. а) 169:7169 ї б) 576:Тб76; в) 24:7144-
637. а)-|736; б)-7Ї600 ; в)--7Ї225.
3 4 5
638. Чи правильна рівність:
а) 7Ї2Ї=-11; б) ^47^ = 47; в) 7(-12)2 =-12?
639. Користуючись таблицею квадратів, знайдіть наближе-
не значення виразу:
а) 7624 ; б) 7840 ; в) Т5775 ; г) -76725 .
Користуючись калькулятором, знайдіть наближене значен-
ня виразу (640—641).
640. а) 72 ; б) 7з ; в) 7б ; Г) 7Ї0 •
^641. а)Т37; б) ТЗД ; в) 730,7 ; г) 754,76 .
642. Чи має зміст вираз:
а) 748 ; б) 7-49 ; в) -Тб4 ; г) ,/(-5)2 ;
ґ) 7(-4)3 ; д) 78 (-4) ; е) -7Л7; є) 7(-6) (-12) ?
м 643. Заповніть таблицю:
644. Знайдіть значення виразу:
а) 72х + 3 , якщох = 11; х =-1; х = 83;
б) 714-тп, якщо т - 5; т = -2; т = 14;
в) у/а + 2с, якщо а = 6іс = 5;а-0іс = 8.
645. Знайдіть сторону квадрата (у сантиметрах), площа яко-
го дорівнює:
а) 64 см2; б) 25 дм2; в) 0,36 дм2;
г)16м2; ґ) 0,49 м2; д) 6,25 м2.
Рівень
646. Заповніть таблицю:
а 0 49 144
Уа £ 2 1 4 15 16
Обчисліть (647—648).
/121 (225 ГТ ГТ
в47-а) ГвГ ’ бН~вГ! в) (її ’ г) V 4!
І., 1 гт /ГЇ9- /_ 1
г>(иїї: д);(вТ е>ГЇЇ5 : є)?їїї •
648. а) 70.0001 ; б) ,/0,0025 ; в) ^0,0081 ; г) 70,0169 ;
ґ) 710,24 ; д) 710,89 ; е) 712^25 ; є) 798,01 .
Обчисліть значення виразу (649—652).
5 649. а) 7225-7Ї96 ; б) Тб76 +7196 ;
в) 72025 + 72704 ; г) ТЇ68Ї -Тб929 .
650. а) 27256+37169 ; б) 47225 -ЗТЇ69 ;
в) 0,571936 -0,17256 ; г) 2,57676 + 1,2Тб25 .
651. а) ^7784--Т676 ; б)-73025-297^01 ;
3 4 5
в) --^71156+1770,04 ; г) -77056 -380Т0Ї25 .
652. а) 71296-0,2^2025 ; б) 0,471225+7256 ;
в) 5,4:73,24 --ТЇ44 ; г) -Т576 +71,96 :0,35.
З 4
653. Знайдіть значення виразу:
а) , якщо а - 102, Ь - 19; а — - 4, Ь — 85;
а-1,21, Ь =
4
б) 72х + у , якщох = 32, </= 0; х = 17, у = -18; х = -^ ,у = 2.
о
Знайдіть наближене значення виразу (654—655).
^654. а) 27Т32Ї-15ТЇ05 ; 6)327635+157483:
в) (7353-7187): 12; г) (7879 + ТЇЇ25 ) 0,5.
655. а) 34:7127+127; 6)85:7325-12;
в) 0,24:70,15 +2,4; г) 1,37: Т^2-73,8 ..
й 656. Знайдіть число, квадратний корінь з якого дорівнює:
а) 48; 6) -37; в) 0,07; г) -0,0004.
657. Знайдіть значення виразу:
а) 7х2-2х + 1 , якщох - 3,5;
6) 7х2 + 2х + 1 , якщо х = -2,8;
в) 74х2-4х + 1 , якщо х-0,25.
658. Чи існує значення змінної х, при якому:
а) Тх =4; б)7х=0; в) Тх =-2; г)5+Тх=0;
ґ) Тх =100; д) Тх =360; е)ТхТ3=5; є)ТГх=2?
Розв’яжіть рівняння (659—662).
659. а)Тх=7; б)3-Тх=0; в)2 Тх=12;
г)бТІГ=10; ґ)-3+Т7=0; д) гТ7 = 0.
и 660. а) Тх+з =5; б) Ти-1/ =7: в) Т2 + х = -3;
г) 71+х2 =1; ґ)75х^ї=з; д) і+71-х =о.
36
661. а) 7772 =3; 6)77^42=8; в)
г)-7=Г7=3; Ґ) 714+5Х =8; д) Л-/х =3.
X ~ о ж
662. а) 77*+5 =4; б) 7х2+2О =6; в) 758-х2 =7;
г) ^2 +^3 + 7х = 2; ґ) ^7 + ^6- /х = 3 .
663. Заповніть таблицю:
X 0 0,01 0,04 0,09 0,16 0,25 0,36 0,49 0,64 0,81 1
7х
Позначте точки з відповідними координатами на коор-
динатній площині.
664. Подайте многочлен у вигляді степеня:
а) а3 - За2 + За - 1; б) 8у3 -36у2 + 54у - 27.
665. Обчисліть значення виразу:
а) (Зх - 7у)г - (7х - Зу)2, якщо х - 2,8, у - 2,2;
б) (Зх - 4у)2 + (4х + Зу)2, якщо х = 1,8, у - 2,6.
666. Доведіть, що значення виразу не залежить від значен
ня змінної:
а) (х + 5Хх2 - 2х - 3) - (5х + х2Мх - 2) + 3(х + 5);
б) (2х2 - Зх + 6)(х + 4)-
- (х2 + 4х + 3)(2х - 3).
667. На малюнку 40 зображено
графік руху жука, який пов-
зе прямолінійно і рівномір-
но. За який час він подолає
відстань 6 дм, рухаючись з
тією самою швидкістю?
Мал. 40
Відомі вам досі числа — цілі й
ЧИСЛА
дробові, додатні й від’ємні — ста-
новлять множину раціональних
чисел. Раціональними їх назива-
ють тому, що кожне з них можна
записати у вигляді частки, відношення двох цілих чисел, а
слово «відношення» латинською мовою — гаііо.
Спробуємо записати раціональні числа
9 7 4
її’ б’ й УВИ
гляді десяткових дробів. Для цього їх чисельники поділимо
на знаменники.
Отже,= 1,125 , 1 = 1,16666..., — = 0,363636....
8 б 11
У двох останніх прикладах ділення можна продовжувати
без кінця (чому?). Утворені частки — нескінченні десяткові
дроби, цифри яких періодично повторюються. Це
нескінченні періодичні десяткові дроби.
Нескінченні періодичні десяткові дроби записують корот-
ше:
0,363636... - (0,36); 1,166666... = 1,1(6).
Цифру або групу цифр, які повторюються, називають пе-
ріодом періодичного десяткового дробу.
Будь-який десятковий дріб і навіть ціле число можна по-
дати у вигляді нескінченного періодичного десяткового дро-
бу, якщо дописати до його дробової частини безліч нулів:
1,125 - 1,125000... , 18 - 18,000... , -3,7 - -3,7000...
Можна довести, що:
кожне раціональне число можна подати у вигляді
• і нескінченного періодичного десяткового дробу;
—І кожний нескінченний періодичний десятковий дріб
зображає деяке раціональне число.
Чи існують числа, відмінні від раціональних? Існують.
Наприклад, обчислюючи значення ^2 » ^10, л, дістають
нескінченні неперіодичні десяткові дроби:
72 =1,4142135...» 710 = 3,1622776..., я = 3,1415926....
Ці числа — нераціональні.
Числа, які зображаються нескінченними неперіодични-
ми десятковими дробами, називають ірраціональними. Ірра-
ціональний — значить не раціональний (латинське іг відпо-
відає заперечувальній частці не).
> Ірраціональні числа разом з раціональними утво-
рюють множину дійсних чисел.
Множини натуральних, цілих, раціональних і дійсних
чисел позначають відповідно буквами IV, 2, і К. Кожна з
цих множин є підмножиною (части-
ною) наступної множини (мал. 41).
Кожне натуральне число є водночас
і цілим, і раціональним, і дійсним.
Кожне ціле число є також раціональ-
ним і дійсним. Наприклад, усі числа
2 ___
12, - 3, — , 710 — дійсні, три пер-
ших — раціональні, два перших —
цілі і тільки число 12 — натуральне.
Дійсні числа, записані у вигляді
Мал. 41
нескінченних десяткових дробів, порівнюють за тим самим
правилом, що й десяткові дроби. Наприклад, число
3,131313... менше від 4,0111..., і від 3,25, і від л, але більше
від 3,1222..., від - 2, від 0.
Дійсні числа можна додавати, віднімати, множити, підно-
сити до степеня і ділити (на числа, відмінні від 0). Для дода-
вання і множення їх справедливі переставний, сполучений і
розподільний закони.
Наприклад,
у[2 +к = п+у[2 , (3 + л) + 75 =3 + (л + У5),
72-7з=7з-Т2 . (75-720) Те =7б (720 78).
п (1,020202... -1- 5,12345...) =
= Я 1,020202...+ л 5,12345....
Усі правила дій над виразами зі змінними, доведені рані-
ше для раціональних значень змінних, справедливі і для до-
вільних дійсних значень цих змінних. Зокрема, для будь-
яких дійсних чисел правильні відомі вам властивості про-
порцій, дробів, степенів.
Розв’язуючи прикладні задачі, ірраціональні числа зви-
чайно округлюють, відкидаючи їх нескінченні «хвости» де-
сяткових знаків. Наприклад, якщо треба знайти значення
суми чисел п і у[2 з точністю до тисячних, пишуть:
Л+У2 - 3,1416 + 1,4142 = 4,556.
Ірраціональність числа ^2 можна довести так. Припустимо, що
число ^2 раціональне, тобто дорівнює деякому нескоротному
2 о 2
звичайному дробу —. Тоді: 2п — т , тобто число т , а отже, і т —
п 2 2
парне: т = 2к, к є 2. Тоді, підставивши т = 2к у рівність 2п т ,
одержимо 2п1 2 = 4Аг2, п2 = 2к2, число п також парне. Виходить, що
т
дріб — можна скоротити на 2. А припускалось, що цей дріб неско-
ротний. Отже, Припущення приводить ДО протиріччя, тому ЧИСЛО у/2
не є раціональним.
Доведіть таким способом, що числа ^2 • у[5 — ірраціональні.
* Перевірте себе
!• Які числа називають дійсними?
2. Які числа називають раціональними, які — ірраціо-
нальними?
3. Наведіть приклади ірраціональних чисел.
4. Чи бувають ірраціональні числа від’ємними?
5- Чи є число 0 цілим, раціональним, дійсним?
6. Які дії можна виконувати над ірраціональними числа-
ми? А над дійсними числами?
7. Чи завжди сума, різниця, добуток або частка двох ірра-
ціональних чисел є числом ірраціональним?
і Виконаємо разом! /
д із
1- Подайте у вигляді десяткового дробу: а) — ; б) — ; в) —.
о 11 о
✓ Розв’язання, а) Щоб перетворити звичайний дріб
у десятковий, потрібно чисельник даного дробу поділити на
його знаменник. Маємо:
а) | = 0,375;
5
б) уу = О,4545... = 0,(45);
і ч
в) — = 2,1666.. . = 2,1(6)
6
Відповідь: а) 0,375; б) 0,(45); в) 2,1(6).
2- Порівняйте числа:
4 4 4
а)--і-1,33; б)--і-1,34; в)-- і-1,333....
З з з
✓ Розв’язання, а) Поділивши чисельник даного дро-
4
бу — на знаменник, одержимо 1,333... . Число 1,333...
З
4
більше від 1,33. Тому - 1,333... < -1,33, або —г< —1,33;
З
б) 1,333... < 1,34, отже, • > -1,34;
З
4 4
в) —= 1,333..., отже,1,333... .
З з
Виконайте усно
668. Які з чисел 35, -128, л, ^25 , -/Ї0 , -^/0,04 — раціо-
нальні, які — ірраціональні, які — дійсні?
669. Яке з тверджень правильне:
а) кожне натуральне число е дійсним:
б) кожне ціле число є дійсним;
в) кожне раціональне число є дійсним;
г) кожне ірраціональне число є дійсним;
ґ) не кожне дійсне число є раціональним;
д) не кожне дійсне число є ірраціональним?
670. Укажіть правильні твердження:
2 л — число дійсне, -л — число ірраціональне,
1 + л — число ірраціональне, л: 2л —число раціональне.
671. Чи правильні схеми на малюнках 42 і 43?
148
Розділ 2
Мал 42
Мал 43
672. Чи правильно, що:
а)10е^ б) 11 є 2\ в) 12 є 9;
673. Який із записів правильний:
а) 10,5 є АГ; б) 10,6 є 2: в) 10,7 є
г) 13 є Я?
г) 10,8 е Я;
Д) Д є 2; е) Д є
є) Д е Я?
ґ) Д є N1
Рівень
£. 674. Із наведених чисел випишіть — а) цілі, б) ірраціональні:
5, 4^4.-32. Л.0,7,-УЇ9 ,-у.о. т|,
.__ 2
675. Які з чисел -3,5, -Д9 , 6, 1,010010001, —, Д,
О
-71024,5— є раціональними?
«>
676. Чи є серед чисел 49, - 1,21, 1, -2,оД00,3, 0, 71000
а) натуральні: б) дійсні?
677. Яке з наведених чисел є ірраціональним: 7Г7.717,64 ,
4^3 , ЗА’ V2? ’ Гїї ’ 5+У2 . 0.30033000333. я,
-2 л?
678. Подайте у вигляді звичайного дробу:
а) 0.7; 6)0.53; в) 3; г) 1,25.
679. Подайте у вигляді десяткового дробу:
9 2 13 а) Т’ б> Тї ”> 77? 4 5 2-і 17 1 г’іїї: ґ’т-
680. Подайте у вигляді нескінченного десяткового дробу:
2» 00 | № | сл * • я ЇЛ I О) 38 1 Г»Ї2: Г»7'
681. Яке з чисел більше:
а) 0,3754 чи 1,2; б) 2,0379 чи 2,0401;
в) 2,333... чи 2,327; г) 13,777... чи 12.888...?
Порівняйте числа (682—685). . 5 . 6 , 8 . 9 3 . 682. а>- 1 в>- т: ,)'в ’ £ 9 '
683. а) - і 0,66; б)-і 0,67; о «5 684. а) 72 і 1.41; б) 72 і 1.42; в) | і 0,666.... в) 72 і 1,414141... .
.27 685. а) я і 3,14; б)лі —; в) я і Тїо .
686. Користуючись таблицями, обчисліть з точністю до ти-
сячних:
2 .—
а) —+ 715 ; 6)4,13-710; в)Т23+я;
♦5
г)У35 Ло; ґ) 745 ^20: д)л:У5Д.
687. Користуючись калькулятором, обчисліть:
а)Лв 75О; б) 740+^90; в)л + 7Ї8;
г) 3 730-4; ґ) - + 273 ; д)я 7Ї0--.
О О і
й 688.
Подайте у вигляді нескінченного десяткового дробу:
689.
йї 690.
691.
а»
її;
7
г) 5—.
’ 18
Яке з чисел більше:
а) 0,257 чи 0,26;
в) 7,666... чи 7,67;
б) - 3,0973 чи - 3,098;
г) - 0,0222... чи - 0,019?
Записи 0,(6) і 0,(58) означають нескінченні періодичні
десяткові дроби 0,666... і 0,585858... . Яке з цих чисел
більше? Знайдіть таке раціональне число, яке менше
одного з них, але більше за друге.
Відомо, що числа а і Ь: 1) натуральні; 2) цілі; 3) раціо-
нальні. Яким буде в кожному з випадків 1) - 3) число:
а) а + Ь; б) а - Ь; в) аЬ;
г) | (5*0)?
692. Раціональне чи ірраціональне число 2,001001001...,
якщо група його цифр 001 нескінченно повторюється?
693. Раціональне чи ірраціональне число 2,010010001...,
якщо після кожної його одиниці на один нуль більше,
ніж перед нею?
694. Обчисліть з точністю до тисячних:
а) 0,5 + 72: б) ^- + 710 ; в) п +^2 ;
«5
Г) 710-0,4; Оя-ТЇО; д) 72 л;
е) 710-72; є)1:л; ж) л:7Ї0.
ЙЕї 695. Користуючись калькулятором, обчисліть:
а) з720: б) 737-1,5; в) 5,74-774 І
г) Тбо-Тзо: О27їз+7з; д) л-Тзї .
й 696. Доведіть, що сума двох раціональних чисел — число
раціональне.
697. Доведіть, що добуток двох раціональних чисел — чис-
ло раціональне.
698. Чи правильно, що різниця двох будь-яких раціональ
них чисел є раціональним числом? А частка?
Ф 699. Чи може сума двох ірраціональних чисел бути числом
раціональним? Наведіть приклад.
700. Наведіть приклад двох ірраціональних чисел, добуток
яких дорівнює раціональному числу.
701. Доведіть, що сума раціонального та ірраціонального
чисел завжди є числом ірраціональним.
702. Доведіть, що ірраціональним с число:
а) Д;
б) 73 ;
в) Те .
ВПРАВИ для
]-----------
703. Спростіть вираз:
а) (х + 4М2х4 - х3 + Зх2); б) (а3 + а2 + а 4- І)(а -1).
704. а) (х2 - ху + у2}(х + у); б) (а2 + аЬ - 62М« + Ь).
705. На скільки порядків число 342 000 000 більше за
4 000 000?
706. Виразіть:
а) 2,4 103 т у грамах; б) 6,23 10і2 кг у тоннах;
в) 5,4 10 6 км у міліметрах; г) 3,8 10-,° см у метрах.
707. Знайдіть суму, різницю, добуток і частку чисел:
а) 8-Ю9 і 4 109; 6)4,8 107і4 106;
в) 6 10’5 і З 10'5; г) 4,5 10 е і 1,5 10 7.
708. Перенесіть у зошит малюнок 44 і переставте числа так,
щоб чотири суми — в двох горизонтальних і двох вер-
тикальних рядах — стали рівними. Знайдіть наймен-
шу з таких сум.
Мал. 44
§16• КВАДРАТНИЙ
КОРІНЬ
ЗДОБУТКУ,
ДРОБУ,
СТЕПЕНЯ
Арифметичний корінь із а — невід’ємне значення квад-
ратного кореня з невід’ємного числа а. Тому для будь-якого
невід’ємного числа а справджується тотожність (-/а\ =а .
Приклади. (/Г =7, (Т^з)2 =0,3. (у/о/=О-
Правильні й такі тотожності:
1. 4аЬ = /а у[Ь —для невід’ємних значень а і Ь.
2.
— для невід’ємного а і додатного Ь.
3. ^а2>1 =ак — Для невід’ємного а і натурального к.
Доведемо ці тотожності.
1. Якщо а і Ь — довільні невід’ємні числа, то числа у[а .
4ь , /аЬ і у[а /Ь також невід’ємні. Крім того,
(77
Отже, ,/а -у[ь — невід’ємне число, квадрат якого дорів-
нює аЬ, тобто
2. Якщо а > 0 і Ь > 0, то числа у[а
невід ємні, а
— додатне. Крім того,
_ Vа . , .0
Отже, л- -невід ємне число, квадрат якого дорівнки -- .
V 0 Ь
тобто
Га _ 4а
> ь Х'
3. Якщо число а — невід’ємне, а А — натуральне, го 'іис.іа
а^.а2' і уІа2к — невід’ємні. Крім того, (а*)2 = о2*. Отже. а*
невід'ємний квадратний корінь з а2*, тобто
Л7Г = «‘-
Доведені три теореми коротко можна сформулювати так.
1. Корінь із добутку двох невід'ємних чисел дорівнює
добутку коренів із цих чисел (теорема про корінь із
добутку).
2. Корінь із дробу, чисельник якого невід’ємний, а зна-
менник додатний, дорівнює кореню з чисельника, по-
діленому на корінь із знаменника (теорема про корінь
із дробу).
3. Корінь із степеня я2*. в якому числа а — невід’ємне
і к — натуральне, дорівнює а* (теорема про корінь із
степеня).
Зауваження. Тут під «коренем* розуміють тільки
квадратний арифметичний корінь.
Теорему про корінь із добутку можна поширити на три і
більше множників. Справді, якщо числа я, Ьіс — невід’ємні,
то
4аЬс = ^(аЬ) с = -/аЬ 4? = 4а -4^ -4с .
Якщо в доведених тотожностях поміняти місцями їх ліві
й праві частини, одержимо:
Ці тотожності показують, як можна множити і ділити
корені. Наприклад,
/ О
З теореми про корінь із степеня випливає, що V а =а, якщо
а > 0. Якщо а < 0, то рівність 7 а 2 -а, неправильна, оскільки
число 4а2 невід ємне і не може дорівнювати від’ємному числу а.
Рівність
правильна при кожному значенні а, оскільки число |а| — не-
від’ємне і його квадрат дорівнює а2.
Приклади. 412 =1, 7(-3)2 =|-3| = 3.
У сформульованих вище теоремах ідеться тільки про найпростіші
випадки перетворення арифметичних значень квадратних коренів:
коли усі числа під коренями додатні або невід’ємні. Але нерідко дово-
диться мати справу і з такими виразами, в яких під знаком кореня —
добуток чи частка двох від’ємних чисел. У таких випадках можна ко-
ристуватися означенням квадратного кореня, арифметичного значен-
ня квадратного кореня тощо. Наприклад,
7(-4М-9) =</4"ЇЇ = /Г 79 =2 3 = 6;
7(-2)4 =716=4 .
З теореми 3 неважко одержати такий наслідок.
Якщо натуральне число к — парне, то для будь-яких значень а пра-
вильна тотожність
І2к к
=а •
Адже обидві частини цієї рівності — числа невід'ємні, їх квадра-
ти — рівні.
; Перевірте себе
1. Сформулюйте теорему про корінь з добутку.
2. Сформулюйте теорему про корінь з дробу.
3. Сформулюйте теорему про корінь зі степеня.
4. При яких значеннях змінної правильні тотожності
4а2 =| а |; (</а )2 = а ?
Виконаємо разом! у
Знайдіть значення виразу:
а) 749 25 ; б) 79 0,16 ; в) 7з 7Ї2 ; г) •
✓ Розв’язання.
а) 749 25 =749 725 -7 5 = 35;
б) 79 0,16 =79-70,16 =3 0,4 = 1,2;
в) 7з 7Ї2 =73 12 =736 =6;
7з ПГ_ ГГ_ 1
Г) ТЇ2 » 12 » 4 ~ 2 ’
Відповідь, а) 35; б) 1,2; в) 6; г) .
Виконайте усно
Знайдіть значення виразу (709—712).
709. а) 725 36 ; б) 718 2 ; в) 710-0,1 .
710. а) 73 0,03 ; 6)77-77; в) 70,2 0,2 .
ГГ 42 /7ГГ 75
711. а) б)Ж; в) ; г) Ж .
712. а) ТІ7: б) Уз7; в) ^(-З)2 ; г) То .
713. Знайдіть добуток чисел:
а) ТЗО і 73О ; б) 718 і 72 •
714. Знайдіть значення х, якщо:
а)х-Т2=2; б)хТ7=7; в)Х1/2=4.
Рівень
Обчисліть значення виразу (715—722).
З 715. а) 764 100 ; б) 749 144 ;
в) 725 121 ;
г) 736 900 ; ґ) 7121 64 ; д) 7900 81 .
716. а) 70.01 25 ; б) 70.04 144 ; в) 70,25 0,01 ;
г) ^0,16 49 ; ґ) 70,01 0.04 ; д) 70,16 0,09 .
ГЇ6 Гй ГГЇЇГ /0,04
717. а) ; 6) (44 ; в) ; г) у 0 49 .
718. а)^: б) . в) ; г) .
719. а) Т8~50’ ; б) 740 90 ; в) 720 45 ; г) /ГбЗ ;
Ґ) 772 72 ; Д) 718 98 ; е) ^2,5 6,4 ; є) 79,8 7,2 .
й 720. а) 710 490 : б) 7360 40 ; в) 77 700 ; г) 712 48 ;
Ґ) 772 32 ; Д) 780 45 ; е) 71,6 90 ; є) 7б,4 250 .
721. а) 74 9 25 ; б) 736 225 144 ; в) 7144 36 25 9 ;
Г) 764 100 9 ; ґ) 725 16 81 ; д) 71,69 0,0001 0,16 .
722. »Н1ОЙ =
/9 25 8Ї~ /8 50 49 /16 49 64
Г)Ї 4 49 121 ;Ґ) V 27 81 3 ; д) V 25 36 81 ’
Обчисліть значення добутку (723—727).
723. 8) 72 732; 6)714’756;
г)7її ЛТ; пТїб Тбо;
е) 7200 70.18 ; є) 712,5 724,5 ;
в) 775 7з;
Ї72в.а)ЛТ^: 6)^^; в>ЯЛ-
Д-
728. Користуючись таблицею квадратів, обчисліть:
а) 202 500 ; б) 7 4 840000 ; в) ^33,64 ;
г) -7152100 ; ґ) 27230 100 ; д) ^77 290 000 •
Знайдіть значення частки (729—730).
Ь у[32 77 /їїї Тб2
0 729, а> 750 ’ б) /Г12 ’ В) ТЇ08 : Г) ТГз •
723 796 7^8 7^7
730’ ?90 ’ 6) 7^5 ’ в) 7^8 ’ Г) 7^8 ’
Обчисліть значення виразу (731—734).
731. а) Тз^; б) 79752 ;в) 7»,2® ; г) 71.2 і ;
Об ЛР"; Д)3 7(-2)8 ;е)-о,4 7<-Ю)° ;є) о,і .
р 732. а) 3 Тб7: б) -ТЇД в) 47о,1' ; г)-87б,2‘;
О 7(-5)2 ;д) 7(-3)2 ;е) -^(-7)2 ; є) - 2^/.
733. а) 7з 71^ +72 750 ; 6)715 7135-724 76.
«>•»>/! Я+Я'Д; 6>^Л-7олЛ.
Обчисліть найраціональнішим способом (735—737).
735. а) 72О2-162 ; 6) 7292-202 ; в) 7172-82 :
г) 7252-242 ; О 7112-402 ; Д) 7бО,52 -49,52
ї 736. а) 71002-962 ; 6) 7б12-602 н) 7з72 -122 і
г) 7б,82-3,22 ; ґ) 7132-6,62 ; д) 7з,732 -2,522 .
737• а) 7б602+8802 ; б) 7з332+4442 ; в) 7б662+8882 .
738. Гіпотенуза і катет прямокутного трикутника дорівню-
ють с і а. Знайдіть другий катет, якщо:
а) с = 13 см, а — 12 см; б) с = 8,2 м, а = 1,8 м;
в) с - 21,8 дм, а = 18,2 дм; г) с = 45,8 км, а = 44,2 км.
---------- --------------
739. Обчисліть, розклавши підкореневий вираз на множни-
ки:
а) 7640 000 ; б) ^6 250000 ; в) 720 736 • г) 750625 ;
ґ) 730 976 ; д) 786436 ; е) 7213444 ; є) 7104 976 .
Обчисліть значення виразу (740 - 741).
й 740. а) 712 27 ; б) 780-45 ; в) 7297 33 ; г) ^48 768 :
ґ) 7250 160 ; Д) 7600150 ; Є) 7243 108 ; є) 7125 245 .
742. При яких значеннях змінної правильна рівність:
а)Л^ = а2; б)Л^ = а3; в)УаГ = аЛ2'?
743. Замініть вираз тотожно рівним йому, користуючись
знаком модуля:
а) (7х )“; б) Ь^а2 ; в) Ьу[ь^ ; г) -^т2 ,
744. При яких значеннях змінної правильна рівність:
а)Ух^ = х; б)(7а)2=а; в) ту]т2 = т2?
745. Спростіть вираз:
а) Тол2 , якщо п < 0; б) х^х2 , якщо х < 0.
746. Замініть вираз тотожно рівним:
а) ; б) 7(0-І)2 ; в) -7(а-1)2 •
747. Спростіть вираз:
а) 7(-х)2 , якщо х > 0; б) 7<х -1 )2 , якщо х < 1;
в) 7(а-Ь)2 , якщо а < Ь; г) ^(а-Ь)2 , якщо а > Ь.
748. Знайдіть значення виразу:
а) уІ4т2 ♦ якщо т = - 3; б) 7(~4лі)2 , якщо т = - 3;
С V*” Г/
її а ) І о і _
в) . --- , якщо а = 2; г) « -- , якщо а = 2.
а -1 ) Ц 1 - а )
749. Знайдіть значення виразу ^ь2 -4ас •
а) якщо а “ З, Ь = 5, с = -2;
б) якщо а = 100, Ь = 160, с — 63.
750. Знайдіть значення виразу:
а) Тс2"»якщос - З, с = - 6, с = ~ 12;
6) х^х2 . якщо х = 5, х = - 5, х = - 7.
751. Спростіть вираз, якщо а, Ь, с — додатні числа:
а) уІ9а4Ь2с6 ; б) 7о,25а2д6с10 ?
в) -716а4д4св ; г) -^2,25а2Ь2с* .
752. Спростіть вираз, якщо х, у, г — від’ємні числа:
а) ^х2у2г2 ; б) ^х2у2г* ;
в) -уІ4х2у2г2 ; г) ~7о»81х4у4г2 .
753. Спростіть вираз:
а) уІа2 + 2аЬ+Ь2 ; б) ^х2-2ху+у2 ;
в) 7(а+1)2(а2+1)2 ; г) 7(2п-1)2(п4+1)2 •
754. Обчисліть:
а) ^(і-</з| +7(73-2^ ; б) 7(г-ЛГ -7(7б+з^ ;
в) 7(717"-з)? + 7(і2-7Г7 ;
г) 7(7ГГ-4)г> + 7(3-711^ .
755*. Спростіть вираз:
а) 74-273 ; б) 77 + 276 ; в) 721-875 ;
г) 7зі + 12Тз ; г) 717-1272 ; д) 767 + 1277 ?
<---— ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ І
-------------------------------1
756. Замініть «зірочки» одночленом, щоб утворилась то-
тожність;
а)(* + 2а)2 - * + НаЬ + 462; б)(Зх- *)2 = 25у2 + *-ЗОху;
в) (4а2 + *)2 = * + * + б6; г) (* - 6б)2 = * - 60а4/» + *.
757. Розкладіть на множники:
а) - 1 + 4а - 4а2; б) О.Збх2 + 25/ - бху;
в) 2ху - 0,01 х2/ - 100; г) 2аЬ - 25а2Ь2 - 0,04.
758. Подайте у вигляді добутку:
а)х2л-1; б)а‘д-4;в)9х2" 2-/"; г)а4"'~2-49б2'" ‘4.
759. У таблиці представлено результати виконання учня-
ми контрольної роботи з 10 завдань. Скільки учнів
одержали більше 7 балів? Скільки це становить
відсотків від усіх учнів класу?
Кількість балів Підрахунок Кількість учнів
4 / 1
5 III 3
6 ЖА/ 6
7 II 2
8 ті 4
9 пі 3
10 і 1
, §іг ПЕРЕТВОРЕННЯ
1^-' ВИРАЗІВ
З КОРЕНЯМИ
Вирази, що містять квадратні ко-
рені, можна додавати, віднімати,
множити, підносити до степеня і
ділити (на дільник, відмінний від 0).
Приклади.
2^3+5УЗ =7^3 ;
12Тб :37б =^^ = 4;
з Те
4,/5 3^2 = 12-710 ;
(з72)1 2=з72 ЗТ2 =18.
Розглянемо ще деякі перетворення виразів з коренями.
7200 = 7100 2 = 7100 72 =1072.
Таке перетворення називають винесенням множника за
знак кореня. В останньму прикладі за знак кореня винесено
множник 10.
Перетворення, обернене до винесення множника за знак
кореня, називають внесенням множника під знак кореня.
о,з7їо =70,09-710 = 70,09 10 = Тіїїї •
У цьому прикладі під знак кореня внесено множник 0,3.
Розглянуті перетворення здійснюються на основі теореми
про корінь з добутку.
Якщо знак кореня міститься в знаменнику дробу, то та-
кий дріб можна замінити тотожним йому дробом, знамен-
ник якого не містить коренів. Досить домножити члени дро-
бу на відповідно підібраний вираз. Наприклад,
З 3 Ті зТз
72 “ 72 -72 ~ 2 ’
1 _ 2 + Тз _ 2 + ТІЇ _ 2 + 7з
2-Тз (2-7зХ2 + 73) 22-(73)2
Такі перетворення називають звільненням дробу від ір-
раціональності в знаменнику.
Наведені перетворення можна виконувати і над виразами
зі змінними. Наприклад,
мЛра-в
а^ЇЇ-х/З ах^2 73 = ,/бах ;
79а = ^9 -/а = 3-/а ;
г]^ =І4~± = ,/2х ;
V 2 V 2
х _ х(а + '/х) хІа + '/х)
а-4х (а -/їНа + 4х ) а2-х
Зауваження. Виносячи за знак кореня змінну, слід
пам’ятати, що рівність ^а2с =а-/с правильна тільки при
невід’ємних значеннях а і с. Якщо а < 0, с > 0, то
7а2с = -а-/с • При будь-яких дійсних значеннях а і не-
від’ємних с правильною є тотожність:
7а2с =|а|-Ус .
Приклад. Винесіть множник з-під знака кореня:
а) 716а2с4с/3 . а > 0, <і > 0; б) тІ50х6у, х < 0, у > 0.
Розв’язання.
а) 7іба2с4гі3 =4|а| с2 |<ї| 7^ = 4ас2(і/(І ;
б) ^0х6у =5|х3|72у =-5х3Т2у .
Відповідь, а) 4ас2гіУ<7; б) -5х3^2у .
Вносячи змінну під знак кореня, слід пам’ятати, що під
корінь можна вносити лише додатні числа.
Приклад. Внесіть множник під знак кореня:
а) 2а^ЗаЬ2 , а >0; б) тп2 ^5тп , т < 0, л< 0.
Розв’язання.
а) 2а^ЗаЬ2 = 7(2а)2ЗаЬ2 = уІ12а3Ь2 ;
б) тп2 >/5тп = -(-т) п2 = -7((-пг)п2)2 5/пл =
= т2п* -5тп = -7б^і3п5 .
В і д п о в і д ь. а) 712а362 ; б) ~^5т3п5 .
( І Хочете знати ще більше?)
Вживаючи словосполучення «вирази з коренями», в цьому розділі
ми маємо на увазі тільки «вирази з арифметичними квадратними ко-
ренями». Насправді вирази з коренями в математиці мають ширший
зміст. Бо корені бувають не тільки квадратні, а й кубічні четвертого,
п’ятого..п-го степенів. Корені з числа а таких степенів позначають
символами:
Вирази, що містять будь-які з та-
ких коренів, називають виразами з
коренями, або ірраціональними ви-
разами. Вирази з арифметичними
квадратними коренями — це тільки
частина ірраціональних виразів
(мал. 45).
Раніше знаки коренів у/~а , %[а ,.... і/а називали радикалами, тому
в деяких публікаціях дотепер ірраціональні вирази називають вираза-
ми з радикалами.
Мал. 45
Перевірте себе
1. Які дії можна виконувати над виразами з коренями?
2. Чи можна перетворювати вирази з коренями за форму-
лами скороченого множення?
3. Наведіть приклади винесення множника за знак коре-
ня.
4. Покажіть на прикладах, як можна вносити множник
під знак кореня.
5. Як можна позбутися ірраціональності в знаменнику
дробу?
Виконаємо разом! /
1. Спростіть вираз:
а) 750 - 718; б) (УЇ7-іХТЇТ + 1);
✓ Розв’язання.
В) (/5+2^-475 •
а) /50-/18 =/2Г2-7^2=572-3/2 =272 .
б)(/Ї7-і)(7Ї7п)=(Тй^1=17-1=16-
в) (^5+2^-475 =(75^+275 -2+4-475 =9.
Відповідь, а) 272; 6)16; в) 9.
2. Розкладіть на множпики вираз:
а) - 72 ; б) п. + 4п ; в) а - 1, якщо а > 1.
✓ Розв’язання.
а) 728-72 = УГЇ4-^2 = 72 ЛІ-72 = ^(ЛТ-і);
б) п + 4п = 4п 4п = 4п[4п -¥1);
в) якщо а — число додатне, то а = (7<7 Ґ. Тому
а-1 = (Л’Г1 = (Л'-1)(/Г+1)-
Відповідь, а) 72(714*-1); б) 7п*(У7Г+1);
в)(У7-ім7^+і).
3. Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу:
4 с
а>7Г 6)7^+7^'
✓ Розв’язання.
4 _ 4 7б 476 2Тб
а> Те Те-Те в з ;
2-/б , с(4а-4Ь)
ід повід ь. а) ——; б)--——
Виконайте усно ДЦИМІ—
760. Спростіть вираз:
а) 275+775; б)8ТЗ-4ТЗ; в)13-37ЇЗ.
761. Знайдіть суму, різницю, добуток і частку чисел:
а)б72із72; 6)-ю7зі57з.
762. Знайдіть квадрат числа: а) 723 ; б) зТЙ ї в) -^0,4 .
763. Піднесіть до квадрата вираз:
а) /7; 6)78; в)-7зї; г)-ОД^бТ.
764. Винесіть множник з-під знака кореня:
а) УЇ2 ; б) УЇ8 ; В) Уз2 ; г) 798 ; ґ) 7500
765. Внесіть множник під знак кореня:
а) 5^3; б) 6^6 ; в)-з72; г)7л/Ї0‘-
Рівень
Винесіть множник з-під знака кореня (766—768).
766. а) ,/250 ; б) ^490 ; в) Тббоо ; г) 7Ї600 ;
ґ) 76000 ; д) -77200 : е) -77500 : є) 717500 .
767. а) Т24ЇЇ; б) 7363 ; в) 748?; г) 784? ;
ґ) 7605 ; Д) 7882 ; е) 7720 ї є) 72178 .
768. а) 7^5 ; б) 712,1 ; в) 76,75 ; г) 728,88 .
Внесіть множник під знак кореня (769-773).
769. а) 27?: б) зТЇО ; в) 1272; г) 272? 5
г) одТїо ;д) 0,275; е) 1,276л .
3 770. а) 117ЇЇ; б) 573 ; в) 1О77 ;
г) одТоТ; ґ) 1,572; Д) 2,5710 .
771. а) О.зТЙ) ; б) 0,2735 ; в) 0,04765 ;
г) 0,576^; ґ) 0,276л ; д) ТЙ2 1,5.
ь і гт 3 772. а) 2^3 » в)3Л;
г)|Л; 2 ЛГ з V 2 : 3 /з" 5 ¥ 5 *
773. мі & с N |Ю го
№
774. Дайте відповідь на запитання, наведені на малюнку 46.
Спробуйте зробити узагальнення.
Що більше:
0,25 чи №0,25
0,64
Мал. 46
0,64?
Порівняйте значення виразів (775—777).
775. а) 2^3 і Л5 ; б) 3^2 і 7Й ? в) ^26 і 3^3 .
й 776. а) 3^5 і бТз ;
в) 1,57ЇЛ і 1,3 Д2 ;
777. а) 4^27 і 7 І- ;
Виконайте дії (778—783).
778. а) (712 + 775 ) 73;
в) (4УЗ-У24) 7Ї2;
й 779. а) (720 + 745 ) 75 ;
в) (773+572) 7б ;
780. а) (77-2X77+3);
в) (з+ 75X3-75);
Й 781. а) (2-Тз Х4 + 2Тз);
в) (гТз+1X273-1);
782. а)(1 + Уз)2;
в) (7з+72)^-276 ; •
й 783. а) (2Тз-Т5)2;
б) іТїо і 1072;
Г) зТЇ Іб72 .
б) 0,27150 і 4 754 .
о
б) (718-750 ) 72 ;
г) (2718 +712) 78 •
б) (ТбЗ -728 ) 77 ;
г) (бТїг-ЗТз ) 2Тз .
б) (2-Тз Хб-27з);
г) (77-2X77+2).
б) (б-372X2-72);
г) (4 + зТ7ХзТ7-4).
б) (з-7б)Р;
г) (75 -Т2/2 +2710 •
б) (зТг+57з^;
ї 784. Винесіть множник з-під знака кореня, якщо а > 0:
а) ^2а2 ; б) 712а2 5 в) з/а2 ; г) уІЗа4 •
785. Винесіть множник з-під знака кореня, якщо х > 0, у > 0:
а) 73х2 ї б) ^7 у4 ; в) 72х3 ; г) 79х5 •
І 786. Внесіть множник під знак кореня, якщо х > 0:
а) 2x73 ; б)Ху[2х; в)х2У5; г)Зх37х-
787. Внесіть множник під знак кореня, якщо х > 0, у > 0:
а) Ху[2 ; б)і/73; в)2х2У7; г)3у/х.
Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу
(788—791).
788. а) ь. X а б) 3 77 * і 7 В) 372 5 а г) 6 5ТЇ2 ’ 3
3 789. а) 7з ’ б) 77 * г) 275 ’
ї 790. а) 2 с 1 X
72 б) і-7з ; в) 72+ х ’ г) 1-7х •
791. а) т і а 1
1-75 9 б) 7з+75 ; в) і + 7с * г) Та -7ь
Рівень ?
Порівняйте значення виразів (792—793).
ї792. а) -ЗУЇО і-2у[22 ; б) -І.бТЇО і -2^5 .
793. а) -1,572 і-2ДГ ; б)-0,2Т0Д і-0,17^2 •
794. Що більше:
а) 7б 7235 7б чи 7з 7237 7Ї0 ;
б) Тод 7°,°з 7о,ооб чи То^з 7°’°6-70’002 ?
795. Що більше: сума десяти доданків 72+72+72^ + -..+ 72
чи добуток десяти множників 72-72
Обчисліть (800—801).
800. а) (3732 +7162-27288\^2 +15;
б) (4712-6748+5727}73-12.
801. а) (27320-7720-745^ +20;
б) (47150-6754+2796^-20•
802. Площа поверхні куба дорівнює 37,5 дм2 (мал. 47).
Знайдіть довжину його ребра.
803. Площа поверхні тіла, складеного із семи рівних кубів
(мал. 48), дорівнює 480 см2. Знайдіть довжину ребра
такого куба.
Мал. 47
Мал. 48
804. Винесіть множник з-під знака кореня, якщо х < 0:
а) уІ2х2 і б) уІ20х4 ;в) ; г) ^х6т •
805. Винесіть множник з-під знака кореня, якщо а < 0, с < 0:
а) 712а4 ; б) 7зс10 ; в) -7-18а7 ; г) -7з2с8 ;
ґ) 7-48апс2 ; Д) 7бОа'с9 ;е) ї є)
806. Внесіть множник під знак кореня, якщо с < 0:
а) Су[а ; б) с2 ; в) с3 /х І г) с4 /р .
807. Внесіть множник під знак кореня, якщо т < 0:
Спростіть вираз (808—816).
808. а) 2-/а +З4а -4-/а ; б) 2у[х +у^х ~44х .
809. а) 725а -7б4а + 79а : б) 9/р -^9р + 716р .
810. а) 27207-757-7457: б) /ЇЗр -Др + Тйї.
811. а) (Т7-1)(77 + 2);
812. а) /а[/а -2)+2у[а ;
813. а) (-6 + 77\-Ь-уГх );
814. а) у[а(^[а -/х]+у/ах ;
815. а)(а-6):(7а-7б);
816. а) (4а2-х):(2а-77);
Розкладіть на множники вираз (817—819).
817. а> 735 -75 ; б) 735-7?; п)7-Т7.
818. а)а + Т7; б) х/у -/х ; в) а^с -с4а .
б) (77+2)(з+77).
б) (з-277)77-зТх .
6)^-7^-4ас ^6+7б2 -4ас
б) /ху-4х (77 + 77)•
б) (х-у): (77+77).
б) (х4-9г):(х2+з7г )•
в)х-2.
819. а)а2-с; б) а -с;
Скоротіть дріб (820—822).
820. а) 4а -1 а-1 ; б) м“|. і
х-г *
4а +1 4~а +4х
РП 821. а) б)
4а +а ’ а4^с +х/а ’
х-б7х +9 (Тз+і)2
822. а) х-9 ’ б) 2+Тз ’
а + 72
В) 2 9 •
а —і
Звільніть від ірраціональності знаменник дробу (823—825).
823. а)
824. а)
б) 7а + 3 “2 ’ В) Л-^-Л-2х * Г) Уб+1 *
826. Доведіть, що:
а) [ ^5 + 724 +75-724 = 12;
б) (7б + <7го -7б-7го =4.
827. Порівняйте числа:
а)77+7зіТЇ9; б) 6-7Ї5 і Т37-УЇ4;
в) Д+ТЇ9 і 77+7їо; г) Тї-Тб і Тй-Тіб.
Ш 828. Що більше: 72003-72001 чи 72004 -72002 ?
829. Знайдіть суму, різницю, добуток і частку виразів:
-Ь + ^Ь2~4ас . -Ь~^Ь2-4ас
2а 2а
830. Спростіть вираз:
2
б)
1
1
831*. Доведіть рівності індійського математика А. Бхас-
кара (1114 - 1185):
в) 7ю+724+740+760 = 72 + 7з + 75 .
832*. Задача французького математика Ж. Л. Ф. Бертра-
на (1822-1900). Доведіть, що
2 + 73
2+72 + 73
ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ
833. Знайдіть квадрат і куб числа: а) 2,1 106; б) 8,3 10 3.
834. Побудуйте графік рівняння х2 - у = 0.
835. Розв’яжіть систему рівнянь:
х + у
а)
З
У~
+ х = 15,
*^ = 6; б)
5
+ У = 4,
з-**
Іх + !/ = 7,
в>1|х-у|=5.
2
836. Один із кутів трикутника дорівнює 50°, а різниця двох
інших — 50°. Знайдіть міри цих кутів.
1§18.ФУНКЦІЯ У =
Ви вже знаєте, що площа квадра-
та є функцією довжини його сторо-
ни: 3 = а2. У даному параграфі ми
з’ясуємо, як залежить довжина сторони квадрата від зміни
його площі. Для цього розв’яжемо рівняння а2 - 5 (8 > 0,
а > 0), використавши означення арифметичного кореня.
Маємо: а = ^8 . Користуючись цією формулою, кожному
значенню 8 можемо поставити у відповідність єдине значен-
ня а, тобто а є функцією 8.
Існують й інші задачі, розв’язування яких приводить до
функцій, де аргумент розміщується під знаком квадратного
кореня. Наведемо приклади.
Площу круга (8) знаходять за формулою 8 = дЯ2, де Я —
радіус круга, п = 3,14 . Звідси Я =
Шлях, що проходить тіло під час вільного падіння, визначається
формулою Л = ,деі — час,я — стале число. Звідси і = — .
2 \ Я
Далі розглянемо властивості функції у = Ух . Область її
визначення — множина невід’ємпих дійсних чисел, оскіль-
ки тільки з невід’ємного числа можна добути квадратний
корінь. Складемо таблицю значень функції для кількох зна-
чень аргументу х:
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
У 0 1 1,41 1,73 2 2,24 2,45 2,65 2,83 3
Дробові значення тут наближені. Точки з координатами,
наведеними у цій таблиці, позначимо па малюнку 49, а. Якщо
на координатній площині позначити точки з координатами
х і у за умови, що змінна х набуває всіх невід'ємних дійсних
значень, то одержимо графік функції у = 7х (мал. 49, б). Цей
графік — одна вітка параболи, вона виходить з початку
координат і розміщена в першому координатному куті.
Функція у = -/х зростає на всій області визначення.
а
б
Властивості функції У = ^х можна встановити за графі-
ком, зображеним, наприклад, на малюнку 19, 6. Подаємо їх
у вигляді таблиці.
Властивості функції Вид функції — 1 у = у/х
Область визначення Область значень Додатні значення Від’ємні значення Проміжки спадання Проміжки зростання Усі невід’ємні числа (х £ 0) Усі невід’ємні числа (у > 0) Усі числа, крім х 0 _ | *>0 .
У сучасній математиці графіки функцій використовують
досить часто. Зупинимось на графічному розв’язуванні
рівнянь.
8 /“
Нехай треба розв’язати рівняння — ~^х = 0.
Замінимо дане рівняння рівносильним — = 4х і побудує-
8 і—
мо в одній системі координат графіки функцій у = — і у =
(мал. 50).
Ці графіки перетинаються в точці з абсцисою х ~ 4.
„ . 8 . г- ,
При такому значенні х вирази — і у/х набувають рівних
значень, тобто число 4 — корінь (можливо, наближений)
8 і— „
рівняння — = <х . Підставивши х = 4 у дане рівняння, пере-
конуємось, що 4 — точний корінь.
Інших спільних точок побудовані графіки не мають, отже,
дане рівняння має тільки один корінь: х = 4.
Хочете знати
ще більше?!
Графік функції у = Ух не обов’язково будувати за точками. Вияв-
ляється, що цей графік для у > X симетричний графіку функції у = х1 2
відносно бісектриси першого координатного кута. Адже рівності
І— -2
у = у/х і у = х при додатному х виражають одну и ту саму залежність
між змінними х і у. Якщо у другій з цих рівностей поміняти х на у, а
у — на х, то це рівнозначно заміні осі х віссю у і навпаки. Такі функції,
як у = 7х і у = х , називаються оберненими. Побудуйте їх графіки в
одній системі координат і переконайтесь, що вони симетричні віднос-
но прямої у = х.
Перевірте себе
І. Якою є область визначення функції у = у[х ?
2 Яких значень може набувати функція у = у[х ?
3. Чи має найменше значення функція у = ,[х 2
4. Чи має найбільше значення функція у = Ух ?
5. Який графік має функція у = ^х ?
Виконаємо разом!
1. В одній системі координат побудуйте графіки функцій
у = -/х , у = 2-/х та у~-2-/х .
✓ Розв’язання.
Складемо таблицю відповідних значень х і у.
X 0 0,5 1 2 3 4 5 в 7 8 9
/х 0 0,7 1 1,4 1,7 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3
2Тх 0 1,4 2 2,8 3,4 4 4,4 4,8 5,2 5,6 6
-2Тх 0 -1,4 -2 -2,8 -3,4 -4 -4,4 -4,8 -5,2 -5,6 в
Дробові значення тут набли-
жені.
Побудуємо в системі коорди-
нат точки, координати яких по-
дано в таблиці. Одержимо гра-
фіки відповідних функцій
(мал. 51).
Мал. 51
Виконайте усно
837. Обчисліть:
ТЇ6 ;
б) 71,21 ; 71,44 ; 71.69
1,96 ;
2,25 .
838. Зростаючою чи спадною є функція:
а) у = -/х ; б) У = ~^х ?
839. Розв’яжіть рівняння:
а) Тх =0; б) Тх =-1; в)Тх=2.
840. Скільки спільних точок мають графіки функцій:
а)у=1іу = Тх; б)у = -5і у = —/х;
в) у- 1і у = -Т* ; г) У = Тх і у = - 5?
842. Користуючись графіком функції у = ^[х (мал. 52),
знайдіть:
а) значення функції, якщо значення аргументу дорів-
нює: 0,8: 1,2: 2; 2,3; 5;
б) значення аргументу, якому відповідає значення
функції, що дорівнює: 0,5; 1,3; 1,7; 2; 2,2.
843. Які з точок належать графіку функції у = ^х :
А(0,01; 0,1); В(0,16; - 0,4); С(0,4; 0,2);
Го7 , 2) (4 2)
«0,09; 0.3): Е^їїДЗр Д'» ’ Г
844. Побудуйте графік функції у = , якщо 0 < х < 10.
М 845. Чи проходить графік функції у = ^х через точки
А(16; 4), В(16; - 4), С(- 5; 25), К(10; /10)?
Йї 846. Користуючись графіком функції у = (див. мал. 52),
знайдіть:
а) значення функції, якщо значення х дорівнюють:
0,5; 2; 3; 4; 5;
б) значення х. при яких значення у дорівнюють:
0,5; 1; 2;
в) цілі значення х, при яких значення функції менші від 3.
Розв’яжіть графічно рівняння (847—848).
1847. а) 77 = 3; б) 77-1 =0; в) 77 + 2 = 0.
848. а) 7* =0; б) 77+3 = 0; в) 77-2 = 0.
Рівень
849. В одній системі координат побудуйте графіки функцій:
а) у = 7х і у = -</х ; б) у = 2^х і у = -277;
в) У-/х і у = 2/х ; г) у = 2/х і У = .
А
ї 850. Побудуйте графіки функцій у = у[х іу = х2, якщо х > 0,
в одній системі координат. Чи симетричні ці графіки?
Відносно якої прямої?
851. Дано графік функції: 1) у — х2; 2) у = 77.
Чи перетинає його пряма:
а)у=1; б)у = -1; в)у = 4;
г)р--4; ґ)у-100; д)у--100,
кожний графік? Якщо перетинає, то в якій точці?
852. На малюнку 53, а, б побудовано графіки функцій у — х;
у - х2, у = 77. Користуючись графіками, порівняйте:
а)0,72і0,7; б)О,22і7о?2; в) 2 і 72; г)1,Зі7М;
а
Шгебра-8
й 853. Розмістить у порядку зростання числа:
а)0,32; 0,322; Т0Ї32 ; б) 1,74; 1,742; УїдТ.
854. Розв’яжіть графічним способом рівняння:
а)Ух+-і- = 0; б)х2-7х=0; в)Ух--^=0;
г)/х+2 = х; ґ)х+Ух=6; д)х2+Ух=0.
855. Чи має розв’язки рівняння:
а)Ух=х + 3; б)х + Ух+1 = 0; в) Ух =0,5х-4?
856*. Побудуйте графік функції:
а) у=Ух+3 ; б)у = Ух+3; в)у = Ух-3.
И 857. Скільки коренів має рівняння:
а) Ух =0,5х + 2; б) 4х = —(х+2); в)Ух=х2-2?
«>
ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ І
-----------------------------1
Спростіть вираз (858—859).
858. а) 0,2х 2у • 5х2у-1; б) (а*1 + Ь -1) • (а + &)"*;
т4п2 Н т2л 3 У* ( а*Ь3 У3( ся ?
В) [ 9р Ц Зр Г Г Ь5 ) іаЬ3 ] ’
X 2 1 2х 2а2
859.а) х2_4 Зх + 6 ї б) Зх-1 6х2-5 ; в)1~а + 7й'’
860. Сплав міді та цинку масою 16 кг містить 55 % міді.
Скільки міді потрібно додати у сплав, щоб новий сплав
містив 60 % міді?
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ
Варіант І
1°. Обчисліть: а) 7б • 745 ; б) 7б622 -4622 •
2*. Спростіть вираз:
а) (4-7з)(4 + 7з); б) (і + У5 ^-720 ;
в) (2 + Т?Гг )(2-зТх ); г)(а + ^):(7^ + 1).
З*. Розв’яжіть графічно рівняння а) -Лс = 0,5х.
Варіант II
1°. Обчисліть: а) 77 ^28 ; б) 7б282 -5282 •
2*. Спростіть вираз:
а) (б+Т5)(б-Т5 ); б) (х-у[х ):(Тх-1);
в)(з-Л?)(з+2У?); г) (з-Тг7+772 .
З*. Розв’яжіть графічно рівняння Лс = х-6.
Варіант III
1°. Обчисліть: а) 7з • 775 ; б) 7б982-5982 г .
2*. Спростіть вираз:
а) (Л4 -б)(ЛЇ +6); б) (2 + 7з)Р-748 5
в) (5+ТЇ7)(б-277); г) {п+2^п+1): (77 + 1).
З*. Розв’яжіть графічно рівняння х2 - 2х.
Варіант IV
1°. Обчисліть: а) 727-^88 ; б) 79222 - 5222 •
2*. Спростіть вираз:
а) (гТз-і)(ТЇ2 +1); б) (2-7б)Р+780 ;
в) (4-79с)(4+з77); г) (х2-з):(х-7з).
З*. Розв’яжіть графічно рівняння х2 = х + 2.
ІСТОРИЧНІ ВІДОМОСТІ
Квадратні корені з чисел вавилонські математики вміли
добувати ще 4 тис. років тому. Знаходили навіть наближені
значення квадратних коренів, користуючись правилом, яке
тепер можна записати (при малих с) у вигляді такої набли-
женої рівності:
2Ь
У XIII ст. європейські математики запропонували скоро-
чене позначення кореня. Наприклад, замість теперішнього
УЇ2 писали /?12 (латинське Надіх — корінь). Згодом замість
/? стали писати знак V, наприклад У7, \'(а + Ь). Пізніше над
многочленом за коренем додали риску: Уа+Ь. Р. Декарт
(1596-1650) сполучив знак кореня з рискою, після чого за-
пис набув сучасного вигляду: ^а+Ь .
Дійсні числа входили в математику непросто. Вчені ан-
тичного світу не допускали і думки, що крім цілих і дробо-
вих можуть існувати ще якісь інші числа. Хоч Піфагор
(VI ст. до н. е.) та його учні довели: якщо довжина сторони
квадрата дорівнює 1, то довжину його діагоналі не можна
виразити жодним раціональним числом. Тим самим вони
встановили існування відрізків, довжини яких не виража-
ються раціональними числами, проте ірраціональних чисел
не запровадили.
Математики Індії і Середнього Сходу користувались ірра-
ціональними числами, але вважали їх несправжніми, непра-
вильними, «глухими*. Тільки коли Р. Декарт запропонував
кожній точці координатної прямої ставити у відповідність
число, ірраціональні числа довелось об’єднати з раціональ-
ними в одну множину дійсних чисел. Строга теорія дійсних
чисел була опрацьована тільки в XIX ст.
У 8 класі розглядають не всі дійсні числа. Крім квадрат-
них існують також корені третього, четвертого та вищих
степенів, наприклад ^2 , у/ї , ^0,6 . З такими дійсними чис-
лами ви ознайомитесь у старших класах.
ГОЛОВНЕ В РОЗДІЛІ
Квадратним коренем із числа а називають число, квад-
Ірат якого дорівнює а. Наприклад, з числа 16 існує два квад-
ратних корені: 4 і - 4. Невід’ємне значення квадратного
кореня з числа а називають арифметичним значенням
кореня і позначають символом /а .
Властивості квадратних коренів. Якщо а > 0 і Ь > 0, то
Для будь-якого дійсного а ^а2 =| а |.
Значення багатьох квадратних коренів — числа не ра-
ціональні, а ірраціональні.
Числа цілі й дробові, додатні, від’ємні та нуль разом ста-
новлять множину раціональних чисел. Кожне раціональ-
т
не число можна записати у вигляді дробу —, де т — число
п
ціле, а п — натуральне.
Кожне раціональне число можна подати у вигляді не-
скінченного періодичного десяткового дробу. І кожний не-
скінченний періодичний десятковий дріб зображає деяке
раціональне число.
Приклади: — = 0,6666..., -77 " -1,181818... .
з 11
Числа, які зображаються нескінченними неперіодични-
ми десятковими дробами, називають ірраціональними.
Приклади ірраціональних чисел: /2 " 1,4142136... ,
я - 3,1415927... .
Ірраціональні числа разом з раціональними утворюють
множину дійсних чисел. Множини натуральних, цілих, ра-
ціональних і дійсних чисел позначають відповідно буква-
ми 2У, 2, Ц, К (див. мал. 41).
Дійсні числа можна додавати, віднімати, множити,
підносити до степеня і ділити (на числа, відмінні від 0). Для
додавання і множення довільних дійсних чисел справедливі
переставні, сполучні й розподільний закони: а 4- Ь = Ь 4- а,
аЬ = Ьа, а + (6 + с)“ (а 4- Ь) + с, а • (Ьс) = (аЬ) • с, (а 4- Ь) с “ ас 4- Ьс.
ГОТУЄМОСЯ ДО ТЕМАТИЧНОГО ОЦІНЮВАННЯ
Тестові завдання N° 3
1- Скільки коренів має рівняння х2 = 4:
а) один; б) два; в) безліч; г) жодного?
2. Число ТбТ міститься між числами:
а) 5 і 6; б) 6 і 7; в) 7 і 8; г)8і9.
3. Укажіть, яке число є ірраціональним:
а) 725 ; б)-1,7; в) 3,14; г) 75.
4. Значення виразу 2^25 - 4 дорівнює:
а) 5; б) 6; в) 4; г) 2.
5- Рівність ( Тх" )2 ™ -х виконується, якщо:
а)х>0; б)х = 0; в)х<0; г)х — будь-яке.
6. Графіком якої функції є парабола:
а)у = х; 2 х 5 х б)у= X ; в) у = —; г) </= X 0
7. Знайдіть корені рівняння /х = 3:
а) 5; 6)3; в) 9; г) 10.
8. Значення /и 1 иіі— дорівнює:
а) 1-; ' 3 ’ 6»їїї= •»?= г’пїї-
9- Число 0,27777777... можна записати так:
а) 0,27; б) 0,(27); в) 0,2(7); г) 0,28.
10. Графік функції у = Тх проходить через точку:
а) (2; 4); б)(1;2); в) (4; 2); г)(4;-2).
----- - і
РОЗДІЛ
КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ
Мені доводиться розподіляти
свій час між політикою і
вняннями. Але рівняння, на
думку, набагато важ-
ЇУ попередніх класах ви вже на-
вчилися складати та розв'язу-
вати рівняння, але тільки най-
простіші, до яких зводяться по-
рівняно нескладні задачі. Для
розв’язування складніших за-
дач використовують квадратні
рівняння. Вивчивши цю тему,
ви зможете розв'язувати бага-
то прикладних задач з різних
галузей знань.
У цьому розділі
ви дізнаєтеся про:
• неповні квадратні рівняння;
• формулу коренів
квадратного рівняння;
« теорему Вієта;
• розкладання квадратного
тричлена на множники.
І §1Я НЕПОВНІ
КВАДРАТНІ
РІВНЯННЯ
Задача. Одне з двох чисел
більше від другого на 6, а їх добуток дорівнює 112. Знайдіть
ці числа.
Розв’язання. Позначимо менше із шуканих чисел бук-
вою х. Тоді більше число дорівнює х + 6. їх добуток — 112.
Отже,
х(х + 6)- 112, абох2 + 6х- 112 = 0.
Це рівняння другого степеня з однією змінною. Такі
рівняння називають також квадратними. Як його розв’язу-
вати, покажемо у § 20.
<4 Квадратним називають рівняння виду
ах2 + Ьх + с = 0, де х — змінна; а, Ь, с — дані чис-
ла, причому а # 0.
Числа а, Ь, с — коефіцієнти квадратного рівняння:
а — перший коефіцієнт, Ь — другий, с — вільний член.
За означенням перший коефіцієнт квадратного рівняння
не може дорівнювати нулю. Якщо хоч один коефіцієнт
(Ь або с) дорівнює нулю, то квадратне рівняння називають
неповним. Неповні квадратні рівняння бувають трьох
видів:
1)ах2 = 0; 2)ах2 + Ьх-0; 3) ах2 + с = 0.
1. Рівняння виду ах2 - 0 рівносильне рівнянню і2 » 0, і
тому завжди має тільки один корінь х = 0.
2. Рівняння виду ах2 + Ьх - 0 рівносильне рівнянню
х(ах + Ь) = 0 і завжди має два корені: х. = 0, х2 =-.
а
Приклад. Розв’яжіть рівняння 5х2 + 4х = 0.
Розв’язання. Винесемо змінну х за дужки:
х(5х + 4) = 0.
Отже, х = 0, або 5х + 4 = 0, звідси х «= -0,8.
В і д п о в і д ь. Х| = 0, х2 = -0,8.
3. Квадратне рівняння виду ах2 + с = 0 рівносильне рівнян-
2 с „ с _
ню х =----. Якщо----> 0 , то воно має два розв язки; якщо
а а
с
---<0 — жодного розв’язку.
а
Приклад. Розв’яжіть рівняння 4х2 -3 = 0.
Розв’язання. Перетворимо дане рівняння: 4х2 = З,
2 _ з
4
З
4
х — число, квадрат якого дорівнює
ратний корінь із числа
Таких коренів є два:
, тобто квад
£
4 ‘
Відповідь.
Якщо знаки коефіцієнтів а і с різні, то число-додатне,
а
і рівняння має два корені. Якщо знаки коефіцієнтів а і с од-
накові, то число----від’ємне, і рівняння ах2 + с = 0 не має
коренів.
Деякі квадратні рівняння (повні) можна розв'язувати, зводячи їх
до неповних квадратних рівнянь. Наприклад, користуючись форму-
лою квадрата двочлена, рівняння
х2 - 2х + 1 = 0
можна подати у вигляді (х - І)2 = 0 і розв’язати його так:
(х - 1 )2 дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли х - 1 = 0, тобто X = 1.
Таким способом можна розв’язати кожне квадратне рівняння, ліву
частину якого можна подати у вигляді квадрата двочлена.
Наприклад.
4у2 + 4у + 1 = 0, (2 у + І)2 - 0, 2у + 1 - 0, у = - 0,5.
с2-2/2с + 2 = О, (с-72)2=0, с-^2=0, с = 42.
Перевірте себе
1. Які рівняння називають квадратним?
2. Як інакше називають рівняння другого степеня з однією
змінною?
3. Які рівняння називають неповними квадратними?
4. Назвіть три види неповних квадратних рівнянь. Як роз-
в’язувати рівняння виду:
а) ах2 = 0; б) ах2 + Ьх = 0; в) ах2 + с = 0?
5. Скільки розв’язків може мати неповне квадратне
рівняння?
Виконокмо разом!
1. Розв’яжіть квадратне рівняння:
а) Зх2 - 6х = 0; б) 2у2 -72-0.
✓ Розв’язання.
а) Зх2 — 6х = 0;
Зх(х - 2) - 0;
х^О;
х-2-0;
х2 = 2.
Від повід ь. а)х, -
2. Розв’яжіть рівняння
б) 2у2 - 72 = 0;
2(</2 36) = 0;
у2 - 36 - 0;
Уі = 6;
у2“-6.
2, х2 = 0; б) у, = 6, у2 = -6
9 16 ,
-----+— = 1.
х + 25 х
Т1 , 9 16 , Л
и Розв язання. --------+----1=0,
х + 25
9х + 16х + 400-х2 ~25х
х(х + 25)
звідси X] - -20, х2 = 20.
400-х2 Л »
—---— = 0,400-х2 = 0
х(х + 25)
При цих значеннях х знаменник не перетворюється на
нуль. Отже, Хі - - 20, х2 - 20 — корені рівняння.
Відповідь. Хі = -20, х2 " 20.
Виконайте усно
861. Яке з даних рівнянь є квадратним:
а)х2 = *+3; б)2х2-Зх-0; в)-х2+5х +^8 =0;
г)2х2 + х3«0; ґ) 5х2 = 4 - Зх ; д) 2г(г + 5) - 7?
862. Яке з рівнянь є неповним квадратним:
а)х2 + 8 = 0; б) У2х2 =0ї в)х2 + 3х=1;
г)х2+—= 0; ґ) Убх2+лх = 0; д)2х2-,/х=0?
Розв’яжіть рівняння (863—866).
863. а)Зх2 = 0; б) 41у2 =0; в)-г2 = 0.
864. а) х2 - 2х = 0; б) Зх2 - 6г - 0; в) 2с = с2.
865. а) у2 - 9 = 0; б) 2х2 - 8 = 0; в) - х2 + 1 = 0.
866. а)(х - 3)(х - 5) = 0; б) 3(х + 7)(х - 2) = 0;
в)(2х- 1)(х + 3) = 0; г)(х - 1)(х-2)(х + 3) = 0.
Рівень
8<>7 3 наведених нижче рівнянь випишіть: а) квадратні
рівняння; б) неповні квадратні рівняння. Для кожного
з них укажіть, чому дорівнюють його перший і другий
коефіцієнти та вільний член.
а)3х-7 = х2; б) -2х2 + У3х = 4 ; в)6х2-х3-0;
г)(х + 4)2 = 8х; ґ)|х2+2х = 0; д)х+у+4 = 0;
е)9х2 = 0; є)х2-25-х.
868. Замініть дане рівняння рівносильним йому квадратним
рівнянням:
а) 2х (х - 3) = 50; б) (х - у)у - Ьу2 - 4;
в) 4г2 = 2г(3г + 5); г) (І - х) (Зх - 2) = 2х + х2;
ґ)(х -1) (х - 2) = 4х; д) 3 (х + 5) - 8 = - 5х(х + 2).
Розв’яжіть рівняння (869—881).
] 869. а) Зх2 + 27-0; б) Зх2 -27 = 0; в) 0,5/ + у = 0;
г)г-2г2-0; ґ)|х2=0; д)(5 - 0,5)х2 = 0.
870. а) 16х2 - 0; б)-4«/2-0; в) (/?-Уз )х2 =0 .
871. а) 2х2 - 8х = 0; б)х2 + Зх = 0; в)7х2=^х;
г) 12х = 0,24х2; ґ)х-х2 = 0; д)0,5х + 9х2 - 0.
872. а) х2-144 -0;
в) -2х2 + 50 = 0;
ґ) ІООх2 - 225 = 0;
і 873. а)(х- 1)х + х = 0;
в) (г + 2)(г - 2) — 0;
874. а) 2х(х + 5) = 7х;
в) 4х2 - 2х - х(х - 2);
875. а) 5х2 + Зх + 7 - 7(х + 1
і 876. а) - 2х2 + 6 = 3(х2 + х +
877. а)2(х2-1) = (х-1Мх +
б)9х2 - 64;
г)0,16х2 +100-0;
д) х2 + 162 = 652.
б) 2у(у + 3) = 6і/;
г)(х + 2Мх - 2)- 4.
б) -х(2х + 3) = 8х;
г) 8 - 6г — 2г(г - 3).
і; б) 15 - 2у — 8у2 + 3(у + 5).
ї); б) 3(х2 + 5) = 4х2 + х(1 - х).
і); б) (х + З)2 = (х - 3)(х + 3).
878. а)-^^-= 3x2 2; б)—= ^-^-
' 3 4 5 4
. х2 —1 3 „ 2х2+3 4
Г879. =
881. а)(2х+1):13 = 3:(2х-1); б)(3х2- 4): 5 = Зх2 : 20.
882. Знайдіть периметр квадрата, площа якого дорівнює:
а) 289 см2; б) 0,81 м2; в) 8.
І 883. а) Знайдіть сторону квадрата, якщо його площа дорів-
нює 484 м2;
б) знайдіть сторону квадрата, якщо його площа дорів-
нює 8.
Рівень
Розв’яжіть рівняння (884—887).
884. а) Зх(х - 1) - 12 - Зх; б) 5х(х + 2) = 10(1 + х);
в) х(х+У2 )=4 + 42х ; г) 2х(3 - х) = 6х - 8.
885. а)|(х2+2х) = 1(2ха-3х); б) |(х2+3х) = 1(5х-х2);
о 4 5 2
в) 5х2 + Зх = х(3 + х) + 32; г)(7х - 2)(х + 1) - 5(х + 4) - 1.
Л 886. а) (х + 3)(х - 3) = 16; б) (2х + 4)2 - 16х + 20;
в) 6х - (X + 2)2 - Зх2 - 4; г) (2х + ЗМ3 - 2х) = 24х + 9.
887. а) 1,5(х2 - 2х) = 0,9(2х - х2);
б) 3,7(х2 - 5х) - 2(5х - х2).
888. Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок
перетину графіків функцій:
а)у = х2 і у = 121; б)у = х2 і у = 25,6.
Розв’яжіть рівняння (889—892).
889. а)3(х-5)2-0;
в)(х - З)2 = 1;
890. а) 23(3х - 2)2 = 0;
в) 2(х - 7)2 - 8;
б) 0,7(2-а)2 = 0;
г)(5-у)2-1.
б) 78(5а - 4)2 = 0;
г) 3(5-а)2 - 12.
Й891. а)(х+15)2 + (х+15) = 0;
892. а) 5(3 - 2х)2 + 20(3 - 2х) - 0;
( 2 Г 2
б) х + 4 -х-- = 0.
І 3 У 3
б) 6| Зх-— 1 +5І--Зх |=0.
\ 3 ) \3 )
893. Складіть неповне квадратне рівняння, яке мало б ко-
рені:
а)-ЗіЗ; б)-У2іУ2; в)0і7; г)0і-4.
894. Доповніть вираз 2хг + х - 8 так, щоб утворилося рівнян-
ня, яке мало б корені:
а)0і-2; б)-2 і 2.
895. Доповніть вираз х2 - Зх так, щоб утворилось рівняння,
яке мало б корені:
а)-З ІЗ; 6)0 ІЗ.
Розв’яжіть рівняння (896—900). 2х + 5 9(х + 2) 4х + 12 х-3
опо, а/ х-2 8х-20 ’ х-3 х + 3 '
897. а) * + х -22- х + 2 ( х-2 3 1
х + 5 х-5 3 ’ б) х-2 х + 2 3'
898. а) х-1 х-2 5 х-2 х-1 2 ’ б) х-3 х+3 х+3 3-х
899. а) 1 сч М чГ 1 со 1 ч? 5(х + 2) + 1 _х
3 + х х2-9 х-3 ’ б) х2+6х + 9 х + 3
900. а) (х2 - 2)2 - 2(х2 - 2) = 0; б) (х2 + З)2 - 5(х2 + 3) = 0.
901. Які значення змінних задовольняють пропорцію:
а) (х + 1): 2 = 4 : (х - 1); б) (х - 4): 3 - 3 : (х + 4);
в)(3х-б): х = 5х : (Зх + 6);
г) (0,2 - х): 4 - (0,01 + х): (0,2 + х)?
902. Знайдіть довжини катетів прямокутного рівнобедрено-
го трикутника, площа якого дорівнює 0,72 дм2.
сі 903. Площу круга радіуса г знаходять за формулою 8 — яг2.
Знайдіть радіус круга, площа якого дорівнює:
а) 314 см2; 6)8.
904. Площа кільця дорівнює 942 см2, а радіус його зовніш-
нього кола — 20 см (мал. 54). Знайдіть радіус його внут-
рішнього кола.
& 905. Знайдіть радіус кола г, якщо площа зафарбованої фігу-
ри (мал. 55) дорівнює 8, а сторона квадрата — а.
Мал. 54
Мал. 55
906. Добуток двох послідовних натуральних чисел на 324
більший від меншого з них. Знайдіть ці числа.
^907. Добуток двох послідовних натуральних чисел на 224
більший від більшого з них. Знайдіть ці числа.
908. Сума квадратів трьох послідовних натуральних чисел
дорівнює 365. Знайдіть ці числа. Як слід позначити їх,
щоб розв’язання задачі звелося до неповного квадрат-
ного рівняння?
909. За якої умови дорівнює нулю:
а) один корінь квадратного рівняння ах2 + Ьх + с ж 0;
б) сума коренів рівняння (х - а)(х + а - Ь) = 0?
910. Знайдіть число, яке менше від квадратного кореня з
цього числа в 2,5 раза.
911. Добуток двох послідовних натуральних чисел в 1,5 раза
більший від квадрата меншого з них. Знайдіть ці
числа.
912. Знайдіть площу прямокутного трикутника, в якого гі-
потенуза дорівнює 10 м, а катети відносяться, як 3 : 4.
® 913. Периметр одного квадрата на 8 см менший від перимет-
ра другого, а їх площі відносяться, як 1 : 4. Знайдіть
довжини сторін квадратів.
914. Сторона одного квадрата на 3 дм довша від сторони дру-
гого квадрата, а їх площі відносяться, як 9 : 4. Знайдіть
їх периметри.
^915. Користуючись калькулятором, розв’яжіть рівнян-
ня:
а) 2,324х2 - 74,825; б) 4,027/ - 12,449 = 0;
в) 4,574г2 = 48,226г; г) 7,467х2 = 15,227х.
916*. Розв’яжіть рівняння:
а)х2-7|х| = 0; б) х2 + 3|х| - х = 0;
в) 2х —-р = 0; г) х+—— = 0.
И 1*1
ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ |
Обчисліть:
*> / 1 / 1 \ \
917.а)-12^- + -і+ |:(-0,8) :(-2);
ОІІ \ О у 4 ) )
б) (3,56 - (-7,92 : 11) + (-2,54 + 1,26)): (-1,25);
в) 5(14,7:[-0,75-0,7:2—|-0,15)-101,21;
І ЗІ
г) -5,33 :| 5 — -1-1,25 + 1— ] + 101,26
28 9 63
918. Знайдіть останню цифру числа:
а)5100; б) б66; в)410(Х); г)99";
ґ)2100; д)2"; е)3101; є) З102.
919. Спростіть вираз і знайдіть його значення:
а) (х2 + Зху + 2у2)(х - Зу) + 6у2(х + у), якщо х = 6, у = 5;
б) (а + 5ЬХа2 - 5аЬ + 652) - 10Ь2(Зб - 2а),
якщо а “ - 8, Ь — 6.
920.Опишіть властивості функції, заданої графіком
(мал. 56, 57).
Мал. 57
Мал. 56
г«Пр>Л
§20. ФОРМУЛА
КОРЕНІВ
КВАДРАТНОГО
РІВНЯННЯ
Розв’яжемо рівняння
х2 + 6х- 112-0,
яке ми склали за умовою задачі (с. 185).
Розв’язання. Якщо до виразу х2 + 6х додати 9, то одер-
жимо квадрат двочлена х + 3. Тому дане рівняння рівносиль-
не рівнянню
х2 + 6х + 9 - 9 - 112 = 0, або (х + З)2 = 121.
Отже, х + 3 = 11, звідки х = 8; або х + 3 = -11, звідси х - -14.
В і д п о в і д ь. х1 = 8, х2 — -14.
Розглянутий спосіб розв’язування квадратного рівняння
називають способом виділення квадрата двочлена.
Розв’яжемо цим способом рівняння
5х2 - 2х - 3 = 0.
Щоб перший його член став квадратом одночлена з цілим кое-
фіцієнтом, помножимо обидві частини даного рівняння на 5:
25х2- ІОх- 15 = 0,
25х2-2 5х+ 1-1 -15 = 0, (5х-1)2-16.
Отже, 5х - 1 = 4, звідси 5х = 5, х = 1; або 5х - 1 = - 4, звідси
5х = - 3, х = - 0,6.
Відповідь. X] - 1, х2 = -0,6.
Розв’яжемо таким способом рівняння ах2 + Ьх + с = 0.
Помножимо обидві частини рівняння на 4а (пам’ятаємо,
що а * 0):
4а2х2 + 4ах Ь + 4ас - 0,
(2ах)2 + 2 • 2ах Ь + Ь2 - Ь2 + 4ас - 0,
(2ах + Ь)2 = Ь2 - 4ас.
<>Вираз Ь2 — Аас називають дискримінантом (від
латинського (іізсгітіпапз — розрізняючий) даного
квадратного рівняння і позначають буквою Л.
Якщо Л < 0, то дане рівняння не має коренів: не існує та-
кого значення х, при якому значення виразу (2ах + Ь)2 було б
від’ємним.
Ь
Якщо Р = 0, то 2ах + 6 = 0, звідси х = —— — єдиний
2а
корінь.
Якщо Р > 0, то дане квадратне рівняння рівносильне
рівнянню (2ах + б)2 =(УІ))2 » звідси
2ах+6 = ,/Р » х~—
2а
або
2ах + Ь = -Л Л . х =
2а
У цьому випадку дане рівняння має два корені, які
відрізняються тільки знаками перед /Р. Коротко запису-
ють їх так:
«1,2 =—X----, деР = 6 - 4ас.
Це формула коренів квадратного рівняння ах2 + Ьх + с = 0.
Користуючись нею, можна розв’язати будь-яке квадратне
рівняння.
Приклад 1. Розв’яжіть рівняння:
а) Зх2 - 5х + 2 = 0; б)х2 + бх + 9 = 0; в)5х2-х+1=0.
Розв’язання, а)Р
5±ТЇ 5±1
х =----=---; х, -
6 6 і
б) Р = 36 - 36 = 0,
25-24-1,Р>0,
2
З
х = —— = -3; Х1--3;
в) Р = 1 - 20 = -19, Р < 0. Рівняння коренів не має.
Відповідь, а) X]
2
2 ” з” ї б) х = -3; в) рівняння
коренів не має.
Формулу коренів квадратного рівняння використовують для
розв’язування багатьох рівнянь, які зводяться до квадратних.
Приклад 2. Розв’яжіть рівняння:
а) 4х4 - 9х2 + 5 = 0; б) (Зх2 - х - ЗХЗх2 - х + 5) = 9.
Розв’язання. Такі рівняння зручно розв’язувати
шляхом уведення допоміжної змінної.
IV
а) 4х4 - 9х2 + 5 = 0. Нехай х2 = і, тоді х4 = і2, одержимо
рівняння відносно змінної І:
4і2 -9і + 5 = 0, Я - (-9)2 - 445 = 81-80 = 1,Р>0,
9±/Г_9±1 л 9 + 1 10 5 л 9-1 ,
|,г 2 4 8 ’ 1 8 8 4 2 8
Повернемося до змінної х:
1)х2 = 1, х1 = - 1, х2 = 1;
т 2 5 Л Л
2>х = -,х,-----г.х4=—.
Рівняння виду ах4 + Ьх2 + с = 0 називають біквадратним.
б) (Зх2 - х - ЗХЗх2 - х + 5) - 9. Нехай Зх2 - х = і, тоді
відносно змінної і одержимо рівняння:
(і - 3)(І + 5) = 9. І2 + 21 - 15 = 9, і2 + 21 - 24 = 0,
£) - 4 - 4 (-24) = 4 + 96 = 100, П > 0,
-2 ± Л00 -2 ± 10
*1,2 =------- ---2—’ 4’ *2 6’
1)Зх2-х = -6,Зх2-х + 6 = 0,£) = (-1)2-4 З 6--71,І)<0,
отже, це рівняння коренів не має.
2) Зх2 - х = 4, Зх2 - х -4=0, х, = -1, х2 =1•
Л Л
В і д п о в і д ь. а)х, = -1, х2 = 1, х3 =—— , х< = —;
£
б)Х] = - 1, х2 =1—.
о
Хочете знати ще більше?]
Формулу коренів рівняння ах2 + Ьх + с " 0 можна записати і в
такому вигляді:
-Ь±^Ь2-4ас
х 1.2 =---7Т-----
2а
Якщо другий коефіцієнт рівняння — парне число, тобто рівняння
має вигляд ах2 + 2кх + с = 0, то
-к±^к2-ас
Г
Якщо перший коефіцієнт квадратного рівняння дорівнює 1, то таке
рівняння називають зведеним Зведене квадратне рівняння має
вигляд х2 + рх + д = 0. Формула його коренів така:
X] 2 = — ±Т—----<]
1,2 2 V 4
Виведіть ці формули з основної формули коренів квадратного
рівняння.
Перевірте себе
Як називають рівняння виду ах2 + Ьх + с “ 0?
2 Що таке дискримінант квадратного рівняння?
Скільки коренів мас квадратне рівняння залежно від
його дискримінанта?
1 Який вигляд має формула коренів квадратного рівнян-
ня ах2 + Ьх + с = 0?
З Яке квадратне рівняння називають зведеним?
Виконаємо разом!
Зведіть рівняння (х - 4Х2х + 1) - Зх(х - 1) до квадратного
та знайдіть його корені.
✓ Розв’язання, (х - 4Х2х + 1) = Зх(х - 1). Розкриємо
дужки і зведемо подібні доданки:
2х2 - 8х + х - 4 = Зх2 - Зх,
Зх2 - 2х2 - Зх + 8х - х + 4 = 0, х2 + 4х + 4 - 0.
Одержане рівняння розв’яжемо, зваживши на те, що в його
лівій частині — квадрат двочлена: х2 + 2 х 2 + 2 - (х + 2)2.
Отже, (х + 2)2 = 0, звідси х + 2 = 0, х = -2.
Відповідь. х = -2.
- Розв’яжіть дробове раціональне рівняння:
х 2 2
х-2 (х-2Хх-3) ” х-3 *
. , х 2 2
✓ Розвивання. —+-------------------- = 0,
х-2 (х-2Хх-3) х-3
х(х-3) + 2-2(х-2) _х2-5х+6 _
(х-2Хх-3) ’ (х-2Хх-3) "
Дріб дорівнює нулю, якщо чисельник дорівнює нулю, а
знаменник не дорівнює нулю: х2 - 5х + 6 = 0.
£>“25-4-6 = 1, х1>2= —, Хі-2,х1“3.
Дане рівняння ці значення не задовольняють, оскільки
при х = 2 знаменник першого дробу дорівнює 0, а при х = З
знаменник другого дробу дорівнює 0.
Відповідь. Рівняння коренів не має.
Виконайте усно ИиШиШміМММИМИ
921. Обчисліть дискримінант рівняння:
а) х2 - 2х 4-1 = 0; б) х2 4- 2х 4-1 - 0;
в)у2-6у 4-1 =0; г)г24-6г-1 —0;
Ґ) 2х2 - х - 1 = 0; д) Зх2 - 2х - 1 - 0.
922. Скільки коренів має рівняння: а) х2 - 2х 4- 2 = 0; б) х2 4- 2х 4- 2 - 0; в) х2 - 5х 4- 6 = 0; г) х2 4- 5х 4- 6 = 0; ґ) х2 - 6х 4- 9 = 0; д) х2 4- 6х 4- 9 - 0?
923. Чому не має коренів рівняння: а)х24-(х-1)2 =0; б) х2 4-|х|-і-1=0; в) Зх24-У2=0; г) (2х - 5)2 4- 3 - 0?
Способом виділення квадрата двочлена розв’яжіть рівнян-
ня (924 - 926).
924. а) х2-6x4-8 = 0;
в)х2-4х- 12-0;
й 925. а)х2- 11x4-18 = 0;
в) т2 - 12т + 36 = 0;
926. а) х2 4-6х - 27 = 0;
в) х2 + Зх - 4 - 0;
б) х2-12х + 35 = 0;
г) з2 4-4г- 12 = 0.
б) у2 - 5у - 24 - 0;
г) х2 4- 14x4-49 = 0.
б) х2- 10x4-9-0;
г) х2 - 5х 4- 6 = 0.
927. Знайдіть дискримінанти квадратних рівнянь у завдан-
нях 924—926.
928. Яке з рівнянь не має коренів:
а) х2 4-х 4-1-0; б) 2у2 - Зу 4- 2 = 0;
в)0,5х2 4-2х 4-2 = 0; г) 8г2 - г 4- 4 - 0?
Користуючись формулою коренів, розв’яжіть рівняння
(929-936).
929. а) х2 - їх - 18 = 0; б)х2 + їх - 18 - 0;
в) х2 + х - 6 = 0; г) х2 - х - 42 = 0.
І 930. а) х2 + Зх - 130 - 0; б) х2 - 7х - 120 = 0;
в) 4х2 - 4х - 3 = 0; г) 4х2 - 4х - 15 = 0.
931. а) 9х2 - 12х- 5 — 0; б) 9г2 - 24г - 20 = 0;
в) 2у2 - 1у + 3 = 0; г) 5г2 - 8г + 3 = 0.
І 932. а) 2х2 - 7х - ЗО - 0; б) 4х2 + Зх - 10 = 0;
в) 9у2 - ІЗу + 4 = 0; г) 5х2 + Зіх - 28 - 0.
933. а) 16х2 - 24х + 27-0; б) 25с2 + 15с - 4 = 0;
в) 6х2 - 5х - 6 = 0; г)4х2-19х+12 = 0.
934. а) 2р2 - 1р + 6 = 0; б) 10т2 - 53т + 15-0;
в) бх2 - 12,5х + 6 = 0; г) 8х2 - 8,8х + 2,1 = 0.
І 935. а) 10у2 - 0,8у = 1,92; б) 4п2 + 11п + 7,36 - 0;
в)6х2- —-1 = 0; г) 6х2-25—х + 26 —= 0.
'6 2 4
936. а) 5х2-7-^-х+2-^ = 0; б) -2-х-7=0;
’ 6 2 2 2
, о 2 . о 1 , х2 X ,2
в) 2у +3— £/ = 18— ; г)---+ —= 1—.
З З 4 9 9
Розв’яжіть рівняння, що зводиться до квадратного (937-950).
ї 937. а) 4х(х - 1) = 3; б)4г(г - 1) - 15;
в) 3х(3х - 8) = 20; г) 3у(3у - 4) = 5.
938. а) (2х - З)2 - 8х; б) (2х + І)2 - Зх + 4;
в) 2(3г + 9) - (2г + 5)2; г) 12(3 - х) - (Зх - І)2.
939. а) х(7 - х) = 5х - 8; б) 2х(3х + 4) - 4х2 + 5х + 27.
940. а) Зх(2х - 5) = 2(х2 + 2); б) Зх(5х + 3) = 2х(6х + 5) + 2.
5 941. а) (х - 5)2 - Зх + 25; б) (х + 4)2 - Зх2 - 8;
в) (р - З)2 = 2(р + 1); г)(Зс-5)2= 10с + 9.
942. а)(2х +4)2= 11х2+ 1; б) (9 - 4х)2 = 5(4х + 1);
в) х2 + 1 = 625 - 2х; г) у2 + 4 - 961 + 4у.
943. а) (х + 4)(2х - 3) - (5х - 6)(х - 3) - 10;
б) (2х - 8)(3х + 1) = (4х - 12Хх - 2) + 8.
944. а) х+3 = ^-^; б) ^- = с-2.
х с-1
.... X 16 «Ч 18
945. а)——= х; б) у = -.
х+2 у-3
^946. г + 2 5г +1 5 т2-6т
и) г 2 + 1 * ’ 5-т т-5 ’
947. х-5 3+2х 2х —1 х-1
х + 3 2х-1 ’ 3-2х 2х + 3 •
948. а) х4 — 5х2 + 4 = 0; б) х4 + 5х2 + 4 = 0;
в) х4 - х2 - б = 0; г)х4 + х2-6 = 0.
949. а)х4 -8х2 - 9 - 0; б)х4 + 8х2 - 9 = 0;
в) х4 - 6х2 + 5 = 0; г) х4 + 6х2 + 5 = 0.
950. а) 4х4 - Зх2 - 1 = 0; б) 4х4 + Зх2 - 1 = 0;
^951. в) 9х4 - 10х2 + 1 - 0; г)9х4 + 10х2 + 1 =0.
Складіть рівняння виду (х - аХх - Ь) = 0, корені якого:
а) 2 і 3; б) 1 і 5; в) Зі-2; г)-2і-6.
952. Складіть квадратне рівняння, корені якого:
а)2і 5; б)Зі-7; в) 0,5 і 4; г)-0,2 і-8.
953. Один корінь квадратного рівняння ах2 + Ьх + с = 0
дорівнює 1. Чому дорівнює а + Ь + с?
Рівень
Розв’яжіть рівняння способом виділення квадрата двочле-
на (954 — 955).
954. а) 4х2 + 4х - 15 - 0; б) 9уг + 18у + 8 - 0;
в) 6х2 - ІЗх + 6 = 0; г) 5х2 + Зіх - 28 = 0.
й 955. а) 2г2 - 9г - 10; б) 8 = Зу + 5 у2;
в) Зх2 + 4х - 7 = 0; г) 5х2 + Зх + 2 = 0.
956. Розв’яжіть рівняння, розклавши його ліву частину на
множники:
а) х2 + 5х + 4 - 0;
в)х2-8х+ 15 = 0;
б) х2 + 5х + 6 = 0;
г)х2-х-6 = 0.
957. При яких значеннях змінної х правильна рівність:
а) (Зх + І)2 - Зх + 1; б) (Зх + І)2 - 3(х + 1);
в) 4(3х + І)2 - (6х + 2)2; г) (Зх + 1 )2 = Зх2 + х?
Розв’яжіть рівняння (958—973).
958. а) (2,5х - 7)(2х + 3) + Зх + 4 - (4х - 9)(1,5х + 1);
б) (Зх - 5М4з + 1) + (2г + ЗХ5г - 4) - 6г(3 + 2г) - 11.
ї 959. а) (2і - 3)(5ґ + 2) + (Зі - 1)(4Г + 2) - 1012 - 5;
б) (Зп - 2МЗп + 2) - (2п - З)2 = Зп(п + 7)-17.
окп 1 + Зх + Х 1 -1 • б) 2у-2 6.
2 + х 2-х У + 3 3-І/
5 961. а) с —6 2 = —- 7 5 -19
с + 5 5-е ’ 2х-3 х-1
962. а) 7 3 _ 16 ; б) 5 4 _ 1
х + 2 2-х х N 1 ьз N 1 -3 г *
ї 963. а) 3 39
2х-1 2х + 1 4х2-1
6) 2(х + 7) х +11 х + 1 х*-1 + — = 4. х + 1
964. а) ЗО ІЗ 7 + 18х _ 0;
Xі -1 х2 + х + 1 х3-1
б) х + 6 х2-х + 16 _ х + 36
х-1 х2 + х + 1 Xа -1 ' •
965. а) х + 1 8-х 5х-1 3-2х 3 х + 3 ,
4х Зх2-6х 2х-4 ’ б) 5-х ' 3-х х + 1
966. а) 1 1 2х-7
х-1 ' х3-Зх + 2 х2-9х + 14 ’
б) 1 3 2х + 7
х-1 х2 + 9х + 18 х*+5х- 6 '
1967. а) 5х-7 :-1; б) х-4 2 !х-22 16-х
9 2х-3 12 х —6 4 '
® 968.
х 6 2
8 *-2 + х2-7х + 10 *-5’
2 х 10
б)----=-----+----------
1 х-1 х-2 (х-2Хх-7) *
969.
ч 2г-3 2 + 1 32 + 11
а)-----+-----=-------;
2-2 2-1 2+1
б)
Зс + 1 । 2с-1 5с-14
с-3 с-2 с-4
970. а) (х + І)2 = 7918 - 2х; б) (х + 2)2 - 3131 - 2х.
® 971. а) х2+2У2х + 1 = 0; б) х2-ЗУ2х + 4 = 0 •
972. а) 42Ь2-ЗЬ + 42 = 0і б) с2-Тбс + 2,5 = 0.
а-г-1 л 1 . 8 6
973. а)-----+----------=--------------:
х + х2 х-8х2 + х3 1-7х-7х2 + х3
б) 1 + ХІ = Х + 2
х4-1 х3 + 3х2 + х + 3 х3 + 3х2-х-3 '
Ш 974. Розв’яжіть ребуси, зображені на малюнках 58 і 59.
Розв’яжіть рівняння (975—978).
975. а) х4 - 5х2 + 4 = 0;
в) х-44х +3 = 0;
®976. а) х2-б(7х)2-6 = 0;
в) х*-4^7-21 = 0;
977. а) х+4Ух-12 = 0;
в) Зх-8-/х +5 = 0;
б)х4 - 8х2 - 9 = 0;
г) х-7/г+12 = 0.
б) х2 +(Ух)Р-12 = 0;
г) х2 +2УІХ2 -3 = 0.
б) х-в^х +15 = 0;
г) 2х + 3/г +1 = 0.
Мал. 58
Мал. 59
ї 978. а) х4 - 7х2 + 12-0; б) 4х4 - 5х2 + 1 = 0;
в)(х + 3)4-(х + 3)2-2 —0;
г) (2х - І)4 - 10(2х - І)2 + 9 - 0.
Знайдіть корені рівняння (979—980).
979. а)(х-3)2-6(х-3) + 8 = 0; б)(х + 2)2-(х + 2)-6-0;
в) х2 + 2х + 2(х + 1) - 23 - 0;
г) 4х2 - 12х + 2(2х - 3) - б = 0.
980. а)х6-9х3 + 8-0; б)х3 + 7 - 7х2 - х;
в)(х2 + хХх2 + х- 7) = 60; г)х2+5 = з7х2+5 .
981. Покажіть, що рівняння ах2 + Ьх + с = 0 навіть за умови,
що а = 0, можна розв’язувати за формулою
2с
х1,2------•
-Ь + ^Ь-4ас
Знайдіть корені рівняння (982—987).
5 982. а) (х2 + 2х + ІХх2 + 2х + 4)- 10;
б) (2х2 - 5х - 4Х2х2 - 5х) = 21.
983. а)х(х+1Хх + 2Хх + 3) = 24;
б) (х - 2Хх + 1 Хх + 2Хх + 5) + 20 = 0.
984. а) (х2 + Зх + ІХх2 + Зх + 3) + 1 - 0;
б) (х2 - 5х + 2Хх2 - 5х - 1) - 28 = 0.
987. а) (х - 1)2(х2 - 2х) = 12;
б)(х - 2)2(х2 - 4х) —-3.
988*. Розв’яжіть рівняння з параметром т. При яких зна-
ченнях т дане рівняння має два рівних корені? При
яких — не має розв’язків?
а) х2 + 4х + т - 0; б) х2 + тх + 4-0;
в) тх2 + 8х + 1 = 0; г) тх2 + 20х + т = 0.
989*. При яких значеннях т рівняння матиме один корінь:
а) 5х2 - 2х + т = 0;
1 9
б) - Xі + тх + 4 = 0;
в) тх2 + (т + 1)х +1 = 0; г) х2 + (т + 2)х + 2т + 1-0?
990*. При яких значеннях т рівняння матиме три корені:
а) (5х2 - 2х - ЗМх2 - тх + 4) = 0;
б) (х2 + Зх - 10)(тх2 - 6х + 1) - 0?
991. Розв’яжіть рівняння з модулем:
а)х2 - 7|х| + 6 = 0; б) х2 - 4|х| - 21 - 0.
Розв’яжіть систему рівнянь (992—994).
ЙЇ992. а)
х2 +ху = 2,
Зх-у = -7;
б)
х2 +у2-6х = 0,
х + 2у = 0.
3 2
+ = 2,
х + 5 у-3
993. а) 4 - ‘ =0:
<0 І СМ 1 X
х2 + х + 1
у2 + у + 1
х+у = 6.
994. а)
(Зх-уМЗу-х)
х-у = 0,4(х + у);
б)
2х-5 2у-3
х-2 + у-1
Зх-4у = 1.
ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЯННЯ |
995. Порівняйте числа 7,8 • 105 і 2,4 106. Знайдіть різницю
їх квадратів.
996. Доведіть, що:
а) 420 - 1 ділиться на 5; б) 960 + 5 ділиться на 2;
в) 1716 + 9 ділиться на 10; г) ЗЗ25 - 3 ділиться на 6;
ґ) 810 - 108 ділиться на 8; д) 2324 + 2423 ділиться на 5.
997. Спростіть вираз:
а) (- х - 5)(2х + 3); б) (За - 2Ма - 4);
в) (2у + 8)(з--^у \ Г) | 5-* аїба + 9).
£ І І о 1
998. Чи проходить графік функції
у ~ х2 + 1, зображений на ма-
люнку 60, через точку
А(3,5; 13,25)? При яких зна-
ченнях х значення цієї функції
дорівнює 7,25?
Мал. 60
. §21- ТЕОРЕМА ВІЄТА
Квадратне рівняння називають
зведеним, якщо перший його ко-
ефіцієнт дорівнює одиниці. У таб-
лиці наведено приклади трьох зве-
дених квадратних рівнянь, їх ко-
рені, а також суми і добутки ко-
ренів:
Рівняння ХіІХ2 Хі + х2 хі х2 ;
х2-5х + 6-0 2ІЗ 5 в
х2 - Зх - 4 - 0 -1І4 3 -4
х2 +8х + 15-0 -5 і-3 -8 15
Порівняйте суму коренів кожного зведеного квадратного
рівняння з його другим коефіцієнтом, а добуток коренів —
звільним членом.
Теорема Вієта.
Якщо зведене квадратне рівняння має два корені, то
ф і їх сума дорівнює другому коефіцієнту рівняння, взя-
тому з протилежним знаком, а добуток — вільному
члену.
Доведення. Якщо рівняння х2 + рх + д = 0 має корені
хї і х2, то їх можна знайти за формулами:
-р + у/О
2
(*)
2
де О = р - 4д — дискримінант рівняння.
Додамо і перемножимо ці корені:
Хї + х2 =
-р-Уо , -р + -/л
~2 + 2~
_ (-р)2-(Уп)2 _ р2-(р2-4д)
Х1 * х2~ ------------------1----
Отже, хх + х2 = -р, хх • х2 = д. А це й вимагалось довести.
Примітка. Якщо р2 - 4д = 0, то рівняння х2 + рх + д = 0
має один корінь х = . Формули (*) у цьому випадку дають
р . р _
хх = —— і х2 = —. Тому часто вважають, що дане рівняння
2 2
має два рівних корені. Теорема Вієта правильна і для цього
випадку, оскільки
р ( р \
Хї +х2 = -—+ =-р,
12 2 2 ) и
Р
2
£
2
4 4
Кожне квадратне рівняння виду ах2 + Ьх + с = 0 (а * 0) рів-
• 2 ь С _
носильне зведеному квадратному рівнянню х +—х + —= 0.
а а
Тому якщо таке рівняння має корені хх і х2, то
, Ь с
х1+х2=-----1 х1х2=—.
а а
Теорема (обернена до теореми Вієта).
Якщо сума і добуток чисел т і п. дорівнюють відповід-
но —р і д, то тіл — корені рівняння х2 + рх + д = 0.
Доведення. Нехай т-¥ п = -рїт п = д.
За цих умов рівняння х2 4- рх + д = 0 рівносильне рівнянню
х2 - (т + п)х + тп = 0.
Підставимо у це рівняння замість змінної х числа т і п:
т2 - (т + п)т + тп = т2 - т2 - пт + тп - 0,
п2 ~(т + п)п + тп = п2 - тп - п2 + тп = 0.
Отже, т і п — корені даного рівняння. А це й треба було
довести.
З теореми Вієта випливає, що коли рід — цілі числа, то
цілі розв’язки рівняння х2 + рх + д = 0 є дільниками числа д.
Користуючись оберненою теоремою, можна перевіряти, чи
є та чи інша пара чисел коренями зведеного квадратного
рівняння. Це дає можливість усно розв’язувати такі рів-
няння.
Приклад. Розв’яжіть рівняння х2 + 12х + 11 = 0.
Розв’язання (усне). Якщо рівняння має цілі корені,
то їх добуток дорівнює 11. Це можуть бути числа 1 і 11 або
-1 і -11. Другий коефіцієнт рівняння додатний, тому корені
від’ємні.
Відповідь. Х1 = -1,Х2 = - 11.
Хочете знати ще більше?)
Теорема Вієта правильна не тільки для зведеного квадратного
рівняння, а й для рівнянь вищих степенів. Наприклад, якщо рівняння
третього степеня х3 + ах2 + Ьх + с = 0 має корені хр х2 і х3, то
хі + х2 +х3 = -а,
х,х2 +х,х3 + х2х3 = Ь,
хіх2хз = ~с-
Якщо таке рівняння з цілими коефіцієнтами має цілі розв'язки, то
вони є дільниками вільного члена.
• Перевірте себе
>
І
і
І. Які квадратні рівняння називають зведеними?
2. Сформулюйте теорему Вієта для зведеного квадратно-
го рівняння.
3. Сформулюйте теорему, оберену до теореми Вієта.
4. Як можна знаходити цілі розв’язки квадратного рівнян-
ня з цілими коефіцієнтами?
Виконаємо разом! [
1. Знайдіть суму і добуток коренів рівняння:
а) х2 + х - 6 = 0; б) х2 + 2х + 3 = 0.
✓ Розв’язання, а) 0=1 +24 >0. Корені існують, тому
хі + х2--1; х1х2 = -6;
б)Л = 4-12<0. Корені не існують.
В і д п о в і д ь. а) х1 + х2 — -1, X] • х2 = -6; б) корені не існу-
ють.
2. При яких значеннях т добуток коренів рівняння
х2 + 8х + т- 7 = 0 дорівнює З?
✓ Розв’язання, лі - 7 = 3, т = 10.
Відповідь, т = 10.
3. Не розв’язуючи рівняння х2 - 4х + 1 = 0, знайдіть суму
квадратів його коренів.
✓ Розв’язання. О=16-4>0. Корені існують.
х1 + х1-4; хґх2-1;
(X] + х2)2 - 16; х2 +2х]Х2 +х2 =16;
х2+21+х| =16; х2+х2=16-2, х?+х^=14.
Відповідь. х2+х2=14.
Виконайте усно
999. Знайдіть суму і добуток коренів рівняння:
а)х2-7х+10 = 0; б)х2 - 9х + 14 = 0;
в)х2-0,5х-1,5 = 0; г)х2-4х + 2 = 0.
1000. Перевірте, чи є дані числа коренями рівняння:
а)х2 - 8х + 7 = 0, 1 і 7; б)х2 + 8х+15 = 0, 3 і 5;
в) г2 - 12г - 13 = 0, -1 і 13; г) і2 - ві + 6 = 0, 3 і 3.
1001. Визначте знаки коренів рівняння (якщо вони є), не роз-
в’язуючи рівняння:
а)х2-4х + 3 = 0; б)х2- 7х + 10 = 0;
в)х2-6х + 8 = 0; г)х2+ ІОх+ 21 =0;
ґ)у2- 15у + 44 = 0;
д) г2 - 8г - 48 = О.
Розв’яжіть рівняння (1002—1005).
1002. а)х2-Зх + 2 = 0; б) х2 - 4х - 5 - 0.
1003. а)х2- 4х + 3 - 0; в)у2-р-12 = 0; 1004. а) г2 - 13г + 40-0; б) х2-7х+12 = 0; г)у2 + У~ 12 “0. б) г2 - Зг - 40 = 0;
в) х2 + 5х + 6 = 0; 1005. а) у2 + 5у- 14 = 0; в) с2 + 2с - 8 - 0; г) х2 + х - 20 = 0. б) г2-2г-15 = 0; г) ґ2 + 9і- 10 = 0.
1006. Рівняння х2 + рх + д = його коефіцієнти рід. 0 має корені 0,7 і 10. Знайдіть
Перевірте, чи є дані числа т і п коренями рівняння
(1007—1008).
1007. а) 6х2 - 5х + 1 = О, т = і» » =
2 З
б) 4х2 - 4х - 3 = 0, т = --і-, п = 1-і- •
2 2
11008. а) Зх2 - 8х + 5 = О,/п = - 1, л = -1-|;
б) Зх2 + 4х + 1 - 0, т = - 1, п =—.
З
1009. Знайдіть значення д, при якому рівняння має рівні
корені:
а) х2 - 14х + д - О; б)х2 + 12х + д = О;
в) х2 + дх + 25 = 0; г)х2 + дх + 121 - 0.
1010. Знайдіть р і хр якщо:
а) х2 + рх + 25 = 0 і х2 = 7;
б) х2 + рх + 21 ~ 0 і х2 - - 3.
і 1011. Знайдіть д і Хр якщо:
а) х2 - 1 їх + д = О і х2 = 6; б) х2 + 6х + д - О і х2 = 3.
1012. Знайдіть к і хр якщо:
а) кх2 + 9х - 2 - 0 і х2 — -2;
б) кх2 - 4х - 39 = 0 і х2 = -3.
1013. Рівняння х2 + кх + І = 0 має корені -3 і у. Знайдіть 51.
1014. Складіть зведене квадратне рівняння, корені якого до-
рівнюють: а) 2 і 4; б) -3 і 5; в) 0,5 і 4; г) у і 7;
ґ) 2-ТЗ і 2 + Д .
1015. Один із коренів рівняння х2 - 5х + с — 0 дорівнює 3.
Знайдіть с.
1016. Один із коренів рівняння х2 + тх + 3-0 дорівнює 5.
Знайдіть т.
1017. Один із коренів рівняння ах2 + 7х + 8 = 0 дорівнює -2.
Знайдіть а.
1018. Один із коренів рівняння х2 + 14х + с - 0 дорівнює 7.
Знайдіть другий корінь і число с.
2 1
1019. Один із коренів рівняння х + рх + 8 = 0 дорівнює — .
Знайдіть другий корінь і коефіцієнт р.
1020. Дано рівняння ах2 + Ьх + с = 0. За якої умови:
а) сума його коренів дорівнює 0;
б) добуток його коренів дорівнює 0;
в) різниця його коренів дорівнює 0;
г) сума квадратів його коренів дорівнює 0?
1021. Знайдіть корені рівняння х2 - 8х + с = 0, якщо;
а) один з них у 3 рази більший від другого;
б) один з них на 5 менший від другого;
в) один з них становить 20 % від другого.
Рівень
1022. Складіть квадратне рівняння, корені якого дорівню-
ють:
а) ЇЇ * Хїї
з . ,2
б> 5 ‘ ‘‘З
Г- . г- „ -2-^5 . -2 + 75
в) 2-73 1 2 + у[3 ; Г)------ і-------.
о <5
1023. Складіть усі можливі квадратні рівняння, які мали б
по одному спільному кореню з даними рівняннями:
а) х2 - Зх - 28 = 0 і 2х2 + х - 10 = 0;
б) 2х2 + 5х - 3 - 0 і х2 - 4х + 4 = 0.
[ 1024. Не розв’язуючи дане рівняння, складіть нове квадрат-
не рівняння, корені якого менші за відповідні корені
даного рівняння на одиницю:
а) Зх2 + 11х - 4 = 0; б) 2х2 - 6х-3 = 0.
1025. Не розв’язуючи дане рівняння, складіть нове квадрат-
не рівняння, корені якого втричі більші за відповідні
корені даного рівняння:
а) Зх2 + 2х - 85 = 0; б) 2х2 - 6х + 3 = 0.
ї 1026. Знайдіть корені рівняння х, і х2 (х2 > х,) та вільний
член 9, якщо:
а) х2 - ІОх + 9 = 0 і х2 - хх = 14;
б) х2 + 5х + д = 0 і х2 - х, = 9.
1027. Знайдіть корені рівняння х; і х2 (х2 > х,) і значення Л,
якщо:
а) х2 + кх + 10 = 0 і х1: х2 = 0,4;
б) х2 - 8х + к = 0 і X]: х2 - - 0,2.
] 1028. Різниця коренів рівняння х2 + 6х + 9 = 0 дорівнює 8.
Знайдіть його корені та число 9.
1029. Різниця коренів рівняння 2х2 + Зх + с — 0 дорівнює 2,5.
Знайдіть число с.
1030. Знайдіть корені рівняння х2 - 81х + 9 = 0, якщо один з
4
них: а) вдвічі більший від другого; б) становить — дру-
гого.
1031. При яких значеннях параметра с рівняння х2 - 4х + с - 0
має два корені, з яких:
а) один у 3 рази більший від другого;
б) один на 1 більший від другого?
1032. Не знаходячи коренів х1 і х2 рівняння х2 - 8х + 6 = 0,
обчисліть:
1
+—;
*2
б) х2 + х2; в) х2 + х2 .
1033. Не розв’язуючи рівняння х2 - 2тх + 2т2 - 2 - О,
знайдіть суму квадратів його коренів.
Ш 1034. Доведіть, що коли р2 - 4<? - 0, то х2 + рх + ц — квадрат
двочлена. Якого?
1035. Не розв’язуючи дане рівняння, складіть нове квадрат-
не рівняння, корені якого були б обернені до відповід-
них коренів даного рівняння:
а) 8х2 - 14х + 5 “ 0; б) 2х2 - 7х + б = 0.
1036. Не розв’язуючи рівняння Зх2 - 2х + 6 = 0, обчисліть:
а)т- +
1
*2
де х1 і х2 — корені даного рівняння.
1037. Не розв’язуючи рівняння х2 - 2х - 9 = 0, обчисліть:
а) х2 + х|; б) х3 + х2 ,
де X] і х2 — корені даного рівняння.
,--------- ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ |
1038. Залишить у стандартному вигляді число:
а) 375 000 000 000; б) 0,000000038.
1039. Знайдіть різницю і відношення чисел:
а) 8,27 107 і 4,135 107; б) 2,3 10’5 і 4,6 10 е.
1040. Подайте у вигляді многочлена:
а)(а + Ь2Ха2 + 6); б)(х2 - ЗуХ2х2 + у);
в) (5а2 + 52Х2а2 - ЗЬ2); г) (2т2 - п)(2п2 - т);
ґ) (х3 - 4ХЗх3 + 5); д) (х3 - 2х2ХЗх3 + х2).
1041. Розв’яжіть систему рівнянь:
в)
0,5х+0,Зу = 8,
1,2х-0,5і/ = 7;
б)
1,4х-2,5у = 39,
0,8х-1,Зу = 21.
1042. На малюнку 61 зображено
графіки руху двох велосипе-
дистів. Прокоментуйте, як
довго кожен з них їхав, з
якою швидкістю?
1043. Замініть літери цифрами,
щоб виконувалась рівність
ДИСК + РИМ = ІНАНТ.
Квадратним тричленом
називають многочлен
вигляду ах2 + Ьх + с, де
х — змінна, а, Ь, с — дані
числа, причому а # 0.
Змінну квадратного тричлена можна позначати
будь-якою буквою. Приклади квадратних тричленів:
4х2- 5х + 6, -у2 + 4у + 7, 1г2+г-1.
2
Якщо квадратний тричлен прирівняти до нуля, матиме-
мо квадратне рівняння. Його корені й дискримінант назива-
ють відповідно коренями і дискримінантом даного квадрат-
ного тричлена. Наприклад, дискримінант і корені квадрат-
ного тричлена 5х2 - 7х - 6 дорівнюють відповідно 169, 2 і
З 2
, бо це дискримінант і корені рівняння 5х - 7х - 6 = 0.
• )
З теореми Вієта випливає правило розкладання квадрат-
них тричленів на множники.
Якщо ті п — корені рівняння х~ + рх + у = 0. то
* І х2 + рх + </ = (х - тХх - п).
Бо х2 + рх + <7 = х2 - (т + п)х + тп = х2 - тх - пх + тп =
= (х - т)(х - п).
Приклад. Розкладіть на множники тричлен: х2 + 4х - 21.
Розв’язання.а) Корені рівняння х2 + 4х - 21 = 0 дорів-
нюють 3 і -7. Тому
х2 + 4х - 21 = (х - 3)(х + 7).
Відповідь, (х- ЗМ х + 7).
Правильною є й така теорема.
Якщо корені квадратного тричлена ах2 + Ьх + с дорів-
• | нюють т і п, то його можна розкласти на множники:
ах2 + Ьх + с = а(х — тХ« ~ п).
Доведення, ах2 + &х + с = а[х2+ — х + — І а # 0. Отже,
, . 2 V а а )
корені т і п тричлена ах + Ьх + с є також коренями рівнян-
ня х2 +—х+ —= 0. За теоремою Вієта,
а а
Ь . . с
— = -(т + п), — = тп.
а а
Тому
ах2 + Ьх + с = а(х2 ~ (т + п) х + тп) "
= а (х2 - тх - пх + тп) =
= а (х (х - т) - п (х - т)) “ а (х - т)(х - п).
Наприклад, якщо треба розкласти на множники тричлен
Зх2 + 5х - 2, розв’язуємо рівняння Зх2 + 5х - 2 = 0. Його
дискримінант О = 25 + 24 = 49, тому
Отже,
Зх2 + 5х-2= з(х-|)(х + 2).
Відповідь можна записати і так:
Зх2 + 5х - 2 = (3х - 1)(х + 2).
Розкладати квадратні тричлени на множники доводить-
ся при скороченні дробів, зведенні їх до спільного знаменни-
З 4* * _ 2
ка тощо. Наприклад, щоб скоротити дріб —=----, спочат-
х^ + х-2
ку розкладають його чисельник і знаменник на множники.
Оскільки
Зх2 + 5х-2 = (Зх- ІМх + 2), х2 + х-2 = (х- 1Хх+2),
то
Зх2 + 5х-2 (8х-1Хх + 2) Зх-1
х2 + х-2 (х-ІХх + 2) х-1 ’
Кожний квадратний тричлен ах2 + Ьх + с можна подати у
вигляді а(х - к)2 + р, де к і р — деякі числа. Таке перетворення
називають виділенням квадрата двочлена. Як виконувати
таке перетворення, покажемо на прикладі. Щоб виділити з
квадратного тричлена 2х2 - 12х + 25 квадрат двочлена, спо-
чатку винесемо за дужки множник 2:
2х2 - 12х + 25-21 х2 -6х + —
І 2
Одночлен 6х подамо у вигляді добутку 2 • Зх, додамо до
нього 9 і віднімемо 9:
о 25 9 7
х2 - 2 Зх + 9 - 9 + — - (х - З)2 + - .
Остаточно маємо: 2х2 - 12х + 25 - 2 (х - З)2 + 7.
Виділення квадрата двочлена дає можливість розв’язува-
ти задачі на знаходження найбільшого чи найменшого зна-
чення квадратного тричлена. Наприклад, щоб знайти, при
якому значенні х значення виразу 2х2 - 12х + 25 найменше,
виділимо з нього квадрат двочлена:
2х2 - 12х 4- 25 - 2(х - З)2 + 7.
Другий доданок одержаної суми — число 7, а перший має
найменше значення, коли дорівнює 0, тобто якщо х = 3.
Отже, тричлен 2х2 - 12х + 25 має найменше значення 7,
якщо х = 8.
Якщо квадратний тричлен має дробові корені, то в розкладі його
на лінійні множники бажано перший коефіцієнт цього тричлена вне-
сти в дужки Наприклад:
□ 2
Зх2 - 5х + 2 = 3(х - 1 Хх - - ) = (х - 1) (Зх - 2).
О
10х2 - 17х + З = 10(х - |хх- 4) = (2х-3)(5х-1).
о
Перевірте себе
1. Що називають квадратним тричленом?
2. Скільки коренів може мати квадратний тричлен?
3. Як розкласти на лінійні множники тричлен виду
х2 + рх + д?
4. Як розкласти на лінійні множники тричлен виду
ах2 + Ьх + Є1
5. Як виділити квадрат двочлена з квадратного тричлена:
а) х2 + рх + д; б) ах2 + Ьх + с?
Виконаємо разом! /
2х2 + х-3
Знайдіть значення функції У = —~--— при х = 2008.
4- о
✓ Розв’язання. Розкладемо чисельник формули на
множники:
У~
2(х-1)(х + |
2х + 3
(х-1Х2х+3)
2х + 3І
Якщо х = 2008, то у = 2008 - 1 = 2007.
Відповідь. р = 2007.
Виконайте усно
1044. Знайдіть корені квадратного тричлена:
а)х2 + 2х + 1; б)х2 + 6х + 9; в)х2 + 4 + 4х;
г)х2-4х + 4; ґ)х2-10х + 25; д)1+х2-2х.
е) х2 + 2х + 3; є)х2 + 6х + 5; ж)х2-4х+1.
Знайдіть корені квадратного тричлена (1045—1046).
й 1045. а) х2 + 8х - 9; б) 2х2 - 5х - 7; в) 5х2 + 2х - 3;
г)д2-у-6; ґ)4г2-5г+1; д)Зл2-л-2.
1046. а) 4х24-3х- 1;
в) — х2 — 4х 4- 5;
ґ) - 4х2 4- 5х - 2;
б) 6х2 + 7х - б;
г)9х2 + 6х+ 1;
д) 0,4х2 4-0,7х - 3.
Розкладіть на множники квадратний тричлен (1047—1049)
1047. а) х2- 10x4-21; б) а2 + 2а-15; в)2х2 + 5х-3;
г)с2-11с-26; ґ) 9а2 4-За-2; д) 4с2 4-25с 4-25.
1048. а) 9х2 - 12х 4-4; б) 0,5х2 - 2х 4-4; в)-х2 + 5х-6;
г) х2 - 5х + 6, ґ) х2 - Зх 4- 5; д) у2 4- 2у - 8.
1049. а) 5 4-4г - г2; б) х2 + Юх + 25; в) 2х2 - 12х + 16;
г)2х2-13х + 6; ґ)6а2-5а + 1; д) 0,2с2 - с + 1,2.
Скоротіть дріб (1050—1051).
1050. а)
х2-2х-3
х + 1
б)
х-4
х2-х-12
в)
1051. а) -*-5----; б) Х~3 —;
хг + 7х + 10 х -2х-3
в)
2х-10
х2-Зх-10
12 + Зх
х2 + 5х + 4
Виділіть квадрат двочлена з квадратного тричлена (1052—1053).
1062. а) х2 + 6х - 4; б) х2-4x4-5; в) х2-8x4-15;
1053. а) х2 4-4х - 18; 6)х2-6х4-8; в)х24-8х4-7.
Рівен^'~
1054. Знайдіть корені квадратного тричлена:
а)2хг-5х4-2; б)-х2-7x4-8; в) 1,5у2-Зу-ь—;
З
г) г2-722+0,5; ґ)-^х2+1|х + 9; д) 1|х2-Зх + 1^.
і і М
1055. Розкладіть на множники тричлен:
а) ба2 4-а-2; б)с2-72с-4;
в) 0,2л2 4-0,8п - 12; г) т2.
Скоротіть дріб (1056 — 1058).
х2+2х
1056. а) —г--
х +7х + 10
х2-4х + 3 х2+Зх + 2
—я-----; в) -я----
х2-9 х^ + 4х + 3
г) 2а2-5а + 2 —2 Г;ґ) За 2 - 3,5а+ 1 х2-3 с2+У5с-10
х2-24з +3 ’ Д с2-ЗУ5с + 10’
й 1057. а) 23*"9 ;б) X Сі 1 сч О с2-8с-20
2х-5х-3 2а + 7а + 3 с2-11с + 10
х2 + 2х-15 а2 + 9а + 14 2с2-5с-3
г) 2 ;д>
п » 1)
х24-4х-5 а2 + 10а + 21 2с24-7с + 3
1058. а) а2-8а+7 2-Зс + с2 2х2-Зх+1
2 :б>
п , в)
а2-9а + 14 с-4с + 4 Зх2-4х + 1
Зс2-5с + 2 х2 + 2х-15 -Зх2 + 5х-2
г) ~2 ; Ґ>
9 5 Д)
Зс-с-2 35 + 2х-х2 х2-1
1059. Знайдіть суму і різницю дробів:
а) —5------і —=-------;
2х2 + 5х-3 2х -7х+3
’ --9------- ---5------- •
6а2-13а + 6 За2-11а + 6
9
1060. Доведіть: якщо в квадратному тричлені ах + Ьх + с = ії
коефіцієнти а 4- Ь 4- с = 0, то х1 = 1, х2 = —.
1061. Доведіть: якщо в квадратному тричлені ах2 4- Ьх 4- с = 0
с
сума коефіцієнтів а 4- с = Ь, то х, = -1, х2=— .
З даного тричлена виділіть квадрат двочлена (1062—1063).
1062. а) х2- 2x4- 5; б) а2-6а 4-10; в)2х24-х-3;
г)с2-—С4-1; ґ) п2-^2п + 3,5; Д)“Х24 4х + 5.
1063. а) 2а2 - 12а - 9; б) Зс2 4- 30с 4- 5; в) За2 - 6а - 9;
г)10 4-6х-х2; ґ)5 4-4х-х2; д)-4п24-4л-3.
1064. Доведіть, що при будь-якому значенні х значення виразів
х2-4х4-5, Зх2-12х4-7, -І-х2-2x4-4 є додатними.
О
Е 1065. Обчисліть значення дробу — ---- при х = -1,1; х “ 9;
2х -2х-4
х = 11;х = 99.
1066. Чим відрізняються графіки функцій у = х 4- 3 і
х2-2х-15
у=-----і—?
х-5
] 1067. При якому значенні х значення даного тричлена най-
менше:
а) х2-6х+10; б) 2х2 4-16x4-13; в) Дх2-6х + 9?
1068. Знайдіть найбільше значення тричлена:
а)4-2х-х2; б) 1 - 4г - 4г2; в) 3 4- 12с -с2.
1069*. При яких значеннях х значення виразу Дх) наймен-
ше? Обчисліть це найменше значення Дх), якщо:
а) Дх) = х2 - 2х 4- 2; б) Дх) = х2 - 6х 4-11;
в) Дх) - 2х2 - 12х 4-19; г) Дх) = 1,5х2 - Зх 4- 2.
1070*. Знайдіть відстань між найближчими точками осі х і
графіка функції у “ х2 - 2х 4- 7.
1071*. При яких значеннях х значення виразу Дх) найбіль-
ше? Обчисліть це значення, якщо:
а) Дх) - 8 4- 6х - х2; б) Дх) = х - х2.
1072*. Знайдіть область значень функції:
а) у - -х4 - 6х2 4-5; б) у - х4 - 2х3 4- х2 - 2.
ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ [
1073. Скоротіть дріб з натуральними показниками степенів:
З" 23л ал+2 хя*3
а)-^тг; б)тг;
О О (ЇХ
а2" +1 а2п-2ап + 1 х8"-1
Ґ) а"4-1 ’’ Д) а”-1 ; Є) х"-1 ’
1074. Розв’яжіть рівняння:
х2+2_х2+4х х2+2х_ х2-8
х + 3 Х4-3 ’ 6) х-4 х-4
1075. Квадрат цілого числа не може закінчуватися однією з
цифр — 2, 3, 7 або 8. Чи завжди є цілим числом квад-
ратний корінь з числа, яке закінчується цифрою 5?
РОЗВ'ЯЗУВАННЯ
ЗАДАЧ
СКЛАДАННЯМ
КВАДРАТНИХ
РІВНЯНЬ
За допомогою квадратних рівнянь можна спростити роз-
в’язування багатьох задач.
Задача 1. Знайдіть два числа, добуток і середнє арифме-
тичне яких дорівнюють відповідно 108 і 10,5.
Розв’язання. Якщо середнє арифметичне двох чисел
дорівнює 10,5, то їх сума вдвічі більша, тобто 21. Нехай одне
з шуканих чисел х, тоді друге дорівнює 21-х. Маємо рівнян-
ня:
х(21 - х) = 108, або х2 - 21х 4- 108 = 0.
Розв’яжемо це рівняння: £> - 212 - 4 108 = 9,
21±^9
Х1.2 =-----’ хі ”9’ х2 = 12-
Якщо х = 9, то 21 - х - 12; якщо х = 12, то 21 - х “ 9.
Відповідь. 9 і 12.
Задача 2. Власна швидкість моторного човна — 18 км/год.
Відстань 12 км за течією річки він проходить на 9 хв швид-
ше, ніж проти течії. Знайдіть швидкість течії річки.
Розв’язання. 9 хв - 0,15 год. Якщо швидкість течії
річки дорівнює х км/год, то швидкість човна за течією ста-
новить (18 4- х) км/год, а проти течії — (18 - х) км/год.
12
Відстань 12 км за течією він проходить за і$ + х год, а проти
12
течії — за і** _х год. Маємо рівняння:
12 12 , 4 4
-------------= 0,15 , або, -------------- 0,05 ,
18-х 18 + х---18-х 18 + х
звідси
4(18 4- х) - 4(18 - х) - 0,05(18 - х)(18 4- х) - 0,
х2 4- 160х - 324 = 0, £> = 1602 4- 4 • 324 = 26 896.
-160 ±^/26 896
*1.2=-------~2-----
-160 ±164
2
X, = 2, х2“ - 162.
Задачу задовольняє тільки додатний корінь.
Відповідь. 2 км/год.
Задача 3. На площині п точок розміщені так, що жодні три з
них не лежать на одній прямій. Якщо кожну з цих точок сполу-
чити відрізком з усіма іншими, то утвориться 351 відрізок.
Знайдіть число п.
Розв’язання. З однієї точки виходить п - 1 відрізків,
з усіх п даних точок виходить п(п - 1) відрізків. При цьому
кожен відрізок повторюється двічі, бо має два кінці. Отже,
. . . п(п-1)
всього відрізків -
Маємо рівняння:
п(п~1)=351, або п* 2 * 4-п- 702 = 0.
2
Розв’яжемо це рівняння: Р - 1 + 4 • 702 = 2809,
1 ± 72809 1 ± 53
”’’2 “ 2 2 ’
звідси п1 = 27, п2 = -26. Від’ємний корінь задачу не задоволь-
няє.
Відповідь, п = 27.
Іноді в задачах крім числових даних бувають і параметри. В таких
випадках розв’язування задачі бажано супроводжувати відповідни-
ми дослідженнями — вказувати, яких значень можуть набувати пара-
метри. Наприклад, розв'яжемо таку задачу.
Задача. Знайдіть сторони рівнобедреного трикутника, якщо відо-
мо, що дві нерівні висоти його дорівнюють а і Ь.
Розв'язання. Позначимо сторони
трикутника буквами: АС = АВ = х, СВ “ у
(мал. 62). Тоді, користуючись теоремою
Піфагора і формулою для обчислення
площі трикутника, складемо таку систему:
2 у2 2
х = — + а
4
Ьх = ау.
Визначивши з другого рівняння у і підставивши його в перше,
одержимо: х
.2
2 6 2,2
— ___ V 4. П
т . 6
Тоді у = — х =
а
4а2
2аЬ
X2-»2
2а2
XX?
Отже,
2а2
2аЬ
Г • М — 1
^4а2-Ь2 ^4а2-Ь2
Дослідження. В обчислених значеннях х і у під знаком кореня
маємо різницю 4а2 - Ь2, яка має бути додатною, а це можливо тільки
при Ь < 2а.
Отже, наведений розв'язок задачі правильний не при будь-яких
додатних а і Ь, а лише при Ь < 2а.
Однак це ще не все. Ми розглянули випадок, коли на основу у опу-
щено висоту а. Але для тих самих а і Ь можливий іншій варіант
(мал. 63). Тоді маємо:
х1.£.ь2,
4 звідси
ах = Ьу,
2
2 О 2 . .2
=-----—X +Ь
4Ь2
У цьому випадку а < 2Ь.
Відповідь. Якщо а
має два розв'язки:
< 2Ь < 4а, то задача
1)*1 =
2а2
2аЬ
Мал. 63
Г - 21,2 _ 2аЬ
2 У2
Якщо 2а < 6, то задача має один розв'язок:
2Ь2
2аЬ
х ~ і------ . У = , .
А»2-»2
Якщо 26 £ а,то задача також має один розв’язок:
2а2
Т^2 ’ у~
2аЬ
ТХ?
Перевірте себе
1. Які задачі можна розв’язувати за допомогою квадрат-
них рівнянь?
2. Що таке математична модель задачі?
3. Як знайти швидкість тіла за течією?
4. Як знайти швидкість тіла проти течії?
Виконаємо разом! /
Задача 1. Знайдіть три послідовних цілих числа, сума квад-
ратів яких дорівнює 509.
✓ Розв’язання. Нехай шукані числа: х - 1, х, х + 1.
Тоді маємо рівняння: (х - 1 )2 + х2 + (х + І)2 = 509. Розв’яжемо
його. Розкриємо дужки та зведемо подібні доданки:
х2 - 2х + 1+ х2 + х2 + 2х + 1 - 509 - 0,
Зх2 - 507 = 0, звідси х2 - 169, х1 = 13, х2 = -13.
Отже, два інші числа: 12, 14 або -12, -14.
Відповідь. 12, 13, 14 або -12, -13, -14.
Виконайте усно
1076. Знайдіть сторону квадрата, площа якого 100 см2.
1077. Площа квадрата дорівнює 8. Знайдіть його:
а) сторону;
б) периметр;
в) діагональ.
1078. Площа поверхні куба дорівнює (). Знайдіть:
а) площу грані куба;
б) ребро куба;
в) діагональ грані куба.
Рівень
1079. Знайдіть два числа, сума яких дорівнює 61, а добу-
ток — 900.
1080. 3найдіть два числа, різниця яких Дорівнює 11, а добу-
ток — 312.
х + 20
Мал. 64
1081. Знайдіть довжину і ширину
ділянки прямокутної форми, і
якщо її площа дорівнює 800 м2,
а довжина на 20 м більша від н
ширини (мал. 64).
1082. Периметр поля прямокутної
форми дорівнює 6 км, а його
площа — 200 га. Знайдіть дов-
жину і ширину поля.
1083. Добуток двох послідовних цілих чисел більший від їх
суми на 239. Знайдіть ці числа.
1084. Задача Л. Магніцького. Знайдіть число, знаючи, що,
додавши до його квадрата 108, одержимо число в 24
рази більше від шуканого.
1085. Знайдіть число, яке на:
а) 132 менше за його квадрат;
б) 0,16 більше за його квадрат;
в) 435 менше за його подвоєний квадрат;
г) 240 більше від квадратного кореня з цього числа.
1086. Знайдіть два числа, якщо:
а) їх сума дорівнює 20, а добуток — 91;
б) їх різниця дорівнює 7, а добуток — 198;
в) їх сума дорівнює 23, а сума квадратів — 265;
г) їх різниця дорівнює 16, а сума квадратів — 257.
1087. Знайдіть дві суміжні сторони прямокутника, якщо:,
а) їх сума дорівнює 13 м, а площа прямокутника — 40 м2;
б) їх різниця дорівнює 5 м, а площа прямокутника —
66 м2;
в) периметр прямокутника дорівнює 60 м, а площа —
221 м2;
г) їх сума дорівнює 28 см, а довжина діагоналі — 20 см.
1088. Знайдіть два послідовних натуральних числа, сума
квадратів яких дорівнює 545.
1089. Добуток двох послідовних парних чисел на 41 більший
від їх середнього арифметичного. Знайдіть ці числа.
1090. Квадрат суми двох послідовних натуральних чисел
більший від суми їх квадратів на 264. Знайдіть числа.
1091. Знайдіть три послідовних цілих числа, сума квадратів
яких дорівнює 434.
1092. Периметр прямокутника дорівнює 26 см, а сума площ
квадратів, побудованих на двох суміжних сторонах
прямокутника, дорівнює 89 см2. Знайдіть сторони цьо-
го прямокутника (мал. 65).
ї 1093. Периметр прямокутника дорівнює 32 см, а сума площ
чотирьох квадратів, побудованих на його сторонах, —
260 см2. Знайдіть сторони прямокутника (мал. 66).
1094. У кінотеатрі було 320 місць. Коли кількість місць у
кожному ряді збільшили на 4 і додали ще один ряд, у
залі стало 420 місць. Скільки стало рядів у кінотеатрі?
5 1095. Теплохід пройшов за течією річки 48 км і стільки само
проти течії, затративши на весь шлях 5 год. Знайдіть
власну швидкість теплохода, якщо швидкість течії
річки становить 4 км/год.
1096. Човен пройшов проти течії 22,5 км і за течією — 28,5 км,
затративши на весь шлях 8 год. Швидкість течії річки —
2,5 км/год. Знайдіть власну швидкість човна.
1097. Електропоїзд затримався в дорозі на 4 хв і ліквідував
запізнення на перегоні в 20 км, пройшовши його зі
швидкістю на 10 км/год більшою, ніж за розкладом.
Якою була швидкість поїзда на цьому перегоні?
1098. 3 пункту А відправили за течією річки пліт. Через
5 год 20 хв з пункту А слідом за плотом вийшов мотор-
ний човен, який наздогнав пліт, пройшовши 20 км.
Знайдіть швидкість течії річки, якщо човен проходив
щогодини на 12 км більше, ніж пліт.
ї 1099. На середині шляху між А і В поїзд затримали на 10 мв.
Щоб прибути у В за розкладом, довелось початкову
гівраЛ
маткову швидкість поїзда, якщо відстань між А і В до-
рівнює 120 км.
1100. Теплохід пройшов униз річкою 150 км і повернувся
назад, затративши на весь шлях 5,5 год. Знайдіть
швидкість течії річки, якщо швидкість теплохода в
стоячій воді становить 55 км/год.
1101. Турист проплив моторним човном угору річкою 25 км,
а назад спустився плотом. Човном він плив на 10 год
менше, ніж плотом. Знайдіть швидкість течії річки,
якщо швидкість човна в стоячій воді — 12 км/год.
Рівень
1102. Велосипедист проїхав 96 км на 1,6 год швидше, ніж
передбачав. При цьому за кожну годину він проїжджав
на 2 км більше, ніж передбачав проїжджати. З якою
швидкістю він їхав?
1103. З А до В, відстань між якими становить 700 км, виїхав
автобус. Якби він зменшив швидкість на 10 км/год, то
в дорозі був би на 1 — год довше. Скільки годин їде ав-
тобус від А до В?
Ф 1104. Мотоцикліст їхав з одного міста в друге впродовж
4 год. Повертаючись назад, він перші 100 км їхав з тією
самою швидкістю, а потім зменшив її на 10 км/год і
тому на зворотний шлях затратив на ЗО хв більше.
Знайдіть відстань між містами.
1105. Рибалка вирушив на човні з пунктуА проти течії річки.
Пропливши 6 км, він кинув весла, і через 4,5 год після
виходу з А течія знову віднесла його до пункту А.
Знайдіть швидкість течії річки, якщо швидкість чов-
на в стоячій воді — 90 м/хв.
1106. Батько й син пройшли 480 м, причому батько зробив
на 200 кроків менше, ніж син. Знайдіть довжину кро-
ку кожного з них, якщо крок батька довший від кроку
сина на 20 см.
1107. Мати з дочкою готували великодні крашанки і писанки
(мал. 67). Дочка підрахувала: жовтих крашанок у
стільки разів більше, ніж голубих, у скільки голубих
більше, ніж писанок. А якщо з однієї жовтої крашан-
ки зроблю ще одну писанку, то
писанок стане утричі менше, ніж
жовтих крашанок. Скільки було
тих і тих?
1108. Катер пройшов за течією 90 км
за певний час. За той самий час
він пройшов би проти течії 70 км.
Яку відстань за цей час пропливе
пліт?
1109. Дві бригади, працюючи разом,
закінчили асфальтування доро-
ги за 4 дні. Скільки днів потрібно
Мал. 67
було б на виконання цієї роботи
кожній бригаді окремо, якщо одна з них могла б зак-
інчити асфальтування дороги на 6 днів раніше, ніж
друга?
1110. Два комбайнери зібрали пшеницю з поля за 4 дні. Якби
один з них зібрав половину всієї пшениці, а другий —
решту, то всю пшеницю зібрали б за 9 днів. За скільки
днів кожний комбайнер окремо міг би зібрати всю пше-
ницю з поля?
1111. Бригада планувала засіяти 200 га до певного терміну,
але засівала щодня на 5 га більше, ніж планувала, і
тому завершила роботу на 2 дні раніше. За скільки днів
бригада закінчила сівбу?
1112. Двоє мулярів, виконуючи певне завдання разом, мог-
ли б закінчити його за 12 днів. Якщо спочатку працю-
ватиме тільки один з них, а коли він виконає половину
всієї роботи, його замінить другий робітник, то на ви-
конання завдання потрібно 25 днів. За скільки днів
кожний муляр міг би виконати всю роботу?
1113. Два робітники, з яких другий починає роботу на
1,5 дня пізніше від першого, можуть виконати роботу
за 7 днів. За скільки днів кожний з них окремо міг би
виконати всю роботу, якщо другий робітник може ви-
конати її на 3 дні швидше, ніж перший?
1114. Водонапірний бак наповнюється за допомогою двох
труб за 2 год 55 хв. Перша труба може наповнити його
на 2 год швидше, ніж друга. За який час кожна труба
окремо може наповнити бак?
1115. Стародавня індійська задана (Бхаскара, 1114 р.).
Розділившись на дві зграї,
забавлялись мавпи в гаї.
Одна восьма їх в квадраті
танцювали, вельми раді.
А дванадцять на деревах
підняли веселий регіт,
що навколо аж гуло.
Скільки їх всього було?
Йї 1116. На вишні заквітчаній кілька гілок,
на них сіли порівну двісті бджілок.
Коли б на п’ять менше гілок розцвіло,
на кожній би бджіл на дві більше було б.
То ж скільки гілок на цій вишенці гожій
і скільки бджілок працювало на кожній?
1117. Кілька точок розміщено на площині так, що жодні три
з них не лежать на одній прямій. Якщо кожну з них
сполучити відрізками зі всіма іншими даними точка-
ми, то утвориться 153 відрізки. Скільки дано точок?
Л 1118. У шаховому турнірі було зіграно 66 партій. Знайдіть
кількість учасників турніру, коли відомо, що кожний
учасник зіграв з кожним по одній партії.
1119. На першості району з футболу зіграно 56 матчів, при-
чому кожна команда грала з кожною по два рази.
Скільки команд брало участь у грі?
® 1120. Розв’яжіть математичні кросворди, які зображені на
малюнку 68.
1121. Дно ящика — прямокутник, довжина якого в 1,5 раза
більша від ширини. Висота ящика дорівнює 0,5 м.
Знайдіть об’єм ящика, коли відомо, що площа його дна
на 0,76 м2 менша від площі бічних стінок.
Мал. 68
1122.3 першої ділянки землі зібрали 4,8 т картоплі. З дру-
гої ділянки, площа якої на 0,03 га менша від першої, —
2 т картоплі, причому з однієї сотки цієї ділянки зібра-
ли на 200 кг менше, ніж з однієї сотки першої ділянки.
Знайдіть площу кожної ділянки.
1123. Круговою доріжкою завдов-
жки 2 км рухаються в одно-
му напрямку два ковзанярі,
які сходяться через кожні
20 хв (мал. 69). Знайдіть
швидкість кожного ковза-
няра, якщо перший з них
пробігає коло на 1 хв швид-
ше, ніж другий.
1124. До розчину, що містить 40 г солі, додали 200 г води, після
чого його концентрація зменшилась на 10 %. Скільки
води містив розчин і яка була його концентрація?
1125. З двох кусків металу перший має масу 880 г, а дру-
гий — 858 г, причому об’єм першого куска на 10 см3
менший, ніж другого. Знайдіть густину кожного мета-
лу, якщо густина першого на 1 г/см3 більша за густину
другого.
1126. До 20 %-го розчину кислоти додали 200 г води, після
чого його концентрація зменшилась на 10 %. Якою
стала концентрація розчину і скільки в ньому води?
1127. Сплав золота зі сріблом, який містив 80 г золота, спла-
вили зі 100 г чистого золота. В результаті вміст золота
в сплаві збільшився на 20 %. Скільки в сплаві срібла?
1128. Скільки сторін має опуклий многокутник, якщо у ньо-
му всього 135 діагоналей?
1129. Практичне завдання. Знаючи, що маса М
Землі у 81,5 раза більша від маси т Місяця і що сила
взаємного притягання двох космічних тіл прямо про-
порційна добутку їх мас і обернено пропорційна квад-
ратові відстані між ними, знайдіть на прямій Земля -
Місяць точки, в яких сили тяжіння Землі й Місяця
зрівноважені.
Порівняйте власне розв'язання з тим, що є в статті
«Алгебра місячного перельоту» в книжці Я. І. Пе-
рельмана «Цікава алгебра».
1130. Розв’яжіть кросворд (мал. 70).
По горизонталі: 2. Третій степінь. 5. Компонент
ділення. 8. Куб числа. 9. Система штрихів на вимірю-
вальному приладі. 12. Нахил на бік корабля. 13. Пер-
ше натуральне число. 14. Первоначало, найпростіша
неподільна єдність. 15. Те, чим міряють що-небудь.
17. Вираз виду а". 18. Латинська буква.
По вертикалі:!. Ціле число. 3. Натуральне число,
менше від 20. 4. Вираз Ь2 - 4ае для рівняння ах2 4- Ьх + с - 0.
6. Рівність із невідомою змінною. 7. Сукупність опе-
рацій, яка призводить до розв’язування певного виду
задач. 10. Одиниця маси. 11. Податок, сплачуваний
за перевезення товарів за кордон. 16. Німецький ма-
тематик і астроном, який відкрив закон руху планет.
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ
Варіант І
1°. Розв’яжіть рівняння:
а)Зх2-27 = 0; б)4г2 + г = 0;
в)у2-9у+14 =0; г) — -Зх=14.
х
2*. Знайдіть сторони прямокутника, якщо одна з них
на 3,5 см довша від другої, а площа прямокутника дорів-
нює 92 см2.
Варіант II
1°. Розв’яжіть рівняння:
а) 2х2 - 50 = 0; б) 9г2 - г - 0;
в)у2 +2у = 15; г)—-5х = 27.
2*. Знайдіть сторони прямокутника, якщо одна з них
на 2,6 см коротша від другої, а площа прямокутника
дорівнює 5,6 см2.
Варіант III
1°. Розв’яжіть рівняння:
а) 5г2-20-0; б)9х2 + 4х = 0;
в) У2 + У ” 12; г)—-7х = 24.
2*. Знайдіть два числа, сума яких дорівнює 8,5, а до-
буток — 15.
Варіант IV
1°. Розв’яжіть рівняння:
а) 7с2 - 28 - 0; б) 4х2 - 9х = 0;
О 12
в) у -Зу =10; г) ——5х = 28.
2*. Знайдіть два числа, сума яких дорівнює 47, а добу-
ток — 510.
в
ІСТОРИЧНІ ВІДОМОСТІ
Квадратні рівняння найпростіших видів вавилонські
математики вміли розв’язувати ще 4 тис. років тому. Зго-
дом розв’язували їх також у Китаї і Греції. Особливу увагу
квадратним рівнянням приділив Мухаммед аль-Хорезмі
(IX ст.). Він показав, як розв’язувати (при додатних а і 6)
рівняння видів х2 + ах - Ь, х2 + а - Ьх, ах + Ь = х2, не викори- ,
стовуючи будь-яких виразів, навіть числа записував слова-
ми. Наприклад, рівняння х2 + 21 = ІОх вчив розв’язувати
так: ♦ Поділи пополам корені, вийде п’ять, і помнож це на
рівне йому — буде двадцять п’ять, і відніми від цього двад-
цять один, то залишиться чотири, добудь з цього корінь,
буде два, і відніми це від половини коренів, тобто від
п’яти, — залишиться три; це й буде корінь, який ти шу-
каєш». Від’ємних коренів тоді не визначали.
Індійські вчені у вирішенні цього питання пішли далі.
Вони знаходили і від’ємні корені квадратних рівнянь. На-
приклад, Бхаскара (1114—1178), розв’язуючи рівняння
х2 - 45х = 250, знаходить два корені: 50 і -5. Тільки після
цього зауважує: «Друге значення в даному випадку не слід
брати, бо люди не схвалюють від’ємних абстрактних
чисел».
Алгебраїчні задачі на складання рівнянь індійські вчені
записували у віршованій формі й розглядали їх як окремий
вид мистецтва. Вони пояснювали: «Як сонце затьмарює
зірки своїм сяйвом, так і вчена людина може затьмарюва-
ти славу інших в народних зібраннях, пропонуючи алгеб-
раїчні задачі і, тим паче, розв’язуючи їх».
Формули коренів квадратного рівняння вивів Франсуа
Вієт( 1540-1603). Теорему, яку тепер називають його ім’ям,
учений формулював так: «Якщо (В + В) А -А2 дорівнює ВВ,
то А дорівнює В і дорівнює В». Від’ємних коренів він не роз-
глядав.
Сучасні способи розв’язування квадратних рівнянь по-
ширились завдяки працям Рене Декарта (1596—1650) та
Ісаака Ньютона (1643—1727).
ГОЛОВНЕ В РОЗДІЛІ
Рівняння — це рівність, яка містить невідомі числа, по-
значені буквами. Числа, які задовольняють рівняння, —
його розв’язки (або корені). Розв’язати рівняння — це озна-
чає знайти всі його розв’язки або показати, що їх не існує. '
Два рівняння називають рівносильними, якщо кожне з них
має ті самі розв’язки, що й друге. Рівняння, які не мають
розв’язків, також вважають рівносильними одне одному.
Квадратним називають рівняння вигляду ах2 4- Ьх + с *0,
де х — змінна, а, Ь, с — дані числа, причому а 0. Вираз В =
Ь2 - Аас — його дискримінант. Якщо Р > 0, то дане рівнян-
ня має два корені:
!х. =------------------, х2 =----.
1 2а 2 2а
Якщо Р = 0, то ці корені рівні. Якщо Р < 0, то таке квад-
ратне рівняння не має дійсних коренів.
Якщо треба, наприклад, розв’язати квадратне рівняння
2х2 4- 9х -5-0, знаходимо його дискримінант:
Р - 92 - 4 • 2 (-5) =121. Тому корені рівняння:
І -9 + 11 -9-11
х, =-----, х2 =----.
1 4 ’ 2 4
Квадратне рівняння називають неповним, якщо хоч один
з його коефіцієнтів, крім першого, дорівнює 0. Рівняння:
ах2 = 0 має єдиний корінь: х = 0;
2
ах 4-бх = 0 має два корені: х1 = 0, х2 ”—;
ах2 4- с - 0
і с
має два корені: хі = \І~~ » хг =~
якщо с : а < 0, і жодного, якщо с : а > 0.
Квадратне рівняння називають зведеним, якщо його перший
коефіцієнт дорівнює одиниці. Якщо рівняння х2 4- рх 4- <7 = 0
має два корені, то
-р+^р -4д -Р-^Р -4д
х, =----’-----, х2 =----’-------
1 2 2 2
Теорема Віета. Якщо зведене квадратне рівняння
х2 + рх + д “ 0 має два корені, то їх сума дорівнює р,
а добуток — д.
ГОТУЄМОСЯ ДО ТЕМАТИЧНОГО ОЦІНЮВАННЯ
Тестові завдання № 4
1. Укажіть квадратне рівняння:
а)х2+12 = 0; б)20-х = 0;
в) 3х =9; г)х”2=100.
2. Рівняння ах2 +- с “ 0 має корені, якщо:
а) а > 0, е>0; б) а > 0, с<0;
в)а<0, с<0; г)а=0, с^О.
3. Скільки коренів має рівняння х2 + 2х + 1 = 0:
а) один; б) два; в) безліч; г) жодного?
4. Дискримінант рівняння х2 + 7х + 6 = 0 дорівнює:
а) 7; б) 6; в) 25; г) 5.
5. Перший коефіцієнт зведеного квадратного рівняння
дорівнює:
а) 1; 6)2; в) 3; г) 5.
6. Добуток коренів рівняння х2 + 12х +20 = 0 дорівнює:
а)1; 6)20; в) 3; г) 12.
7. Сума коренів рівняння х2 + 2х - 15 = 0 дорівнює:
а) 5; 6)2; в)-2; г)-5.
8. Дискримінант рівняння ах2 + Ьх + с = 0 - це вираз:
а) б2-ас; б)2Ь-4ас; в)62-4ас; г)-Ь2-4ас.
9. Рівняння ах2 + Ьх + с “ 0 мас два корені, якщо:
а)В>0; б)Л = 0; в)І)<0; г)І)<0.
10. Рівняння х2 + 6х - 7 = 0 має корені:
а) 1 і 7; 6) 1 і 6; в) 1 і—7; г)-1і7.
І ! . . . : 1’11______...111-1
Типові завдання до контрольної роботи N° 4
1°. Розв’яжіть рівняння:
а)х2~9х = 0: б)16х2 = 49.
2°. Знайдіть корені рівняння:
а) х2 - 6х - 280 « 0; б) Зх2 + 8х - 3 = 0.
3°. Розкладіть квадратний тричлен на множники:
а)х2-5х+4: б)Зх2+2х-5.
4°. У рівнянні х2 + рх +35 - 0 один з коренів дорів-
нює 7. Знайдіть другий корінь і коефіцієнту.
5*. Одне з двох натуральних чисел на 5 більше за інше.
Знайдіть ці числа, якщо їх добуток дорівнює 266.
6*. Розв'яжіть рівняння:
а)(5х - 7)(8х + 1) = (8х + 1 )2;
б)(2х 1/-5(2х- І)2+ 4 = 0.
2х 1 6
7* Розв’яжіть рівняння: .> ~ 2
г х-3 х+3 х -9
8*. Фірма зобов’язалася виготовити за певний час
1200 одиниць продукції. Роботу було закінчено на 4 дні
раніше, бо план щоденно перевиконували на 10 одиниць.
За скільки днів фірма зобов'язалася виконати роботу?
9е’. Не обчислюючи коренів Х| і х2 рівняння
х2-4х- 10 = 0,
знайдіть
9
а) х2 ьх2 ; б) х‘+х2\
10**. При яких значеннях а рівняння
х2 - (а + 2)х + а + 5 = 0
має один корінь?
ЗАДАЧІ ТА ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ
РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ
Виконайте ділення (1131—1135).
1131. а)7а3:а2;
1132. а) 12а5 : За4;
1133. а) -8с10:4с5;
1134. а) (-8с)10 : 8с5;
1135. а) 1,5х5 : 0,5х4;
б) 8с4: с3;
б) 15х12 : 5х7;
б)-25х12: х12;
б) Збх13 : (-Зх)2
б) 2,4а7 : 0,3а5;
в) 5х8: х7.
в) 4с13 :2с10.
в) 16л18: 16.
в) 2х3 : (- 2х)3.
в) 2,1л6:0,3л3.
Знайдіть, при яких значеннях змінних не має значенн..
дріб (1136—1140).
а лі а
1136. а)-; б)—; в)" 2 .
X п с
1 5 ас2
1137. а) а 3; 6>2а-6; в) х(х-З) ‘
а + 2 х + 1 х+7
1138. а) в(3_в) ; б) (х-2)(х + 3) ; в) (х2-4)(х2-9) •
1139. Знайдіть значення виразу:
а) (3 - х)4 : (3 - х)3, якщо х= 1,4;
б) (2а - Ь)л : (2а - б)3, якщо а = 2,3 і Ь = 5.
1140. Знайдіть значення дробу:
а+ 1,25
а) , — .якщо а = 2,5;
а2-0,25
х-у
б) 9 „ , якщо х = 0,63 і у = 0,37.
Xі— у2
Скоротіть дріб (1141—1145).
5а Зх 8/п 7а
И41. а) 10; б) —; X в> 2т : Г) 14а ’
1142. а) ах ; б) ; . сг2 в) ; 6а2 г) - .
2а Зл2 2сг 12а
ч 2а2Ь Зсх3 8а3г 15аш3
1143. а) „ ; б) „ 2 ; в) 2 2’ г) , .
6а3с 9с2х 25а 2 т
-4ах3 -5пгь 8а2с3 2а3Ьс2
1144. й) л е у б) 9 4’ ч * г) р
12а2х5 15п2г4 -12ас3 -а2Ьс3
(а + х)2 (2-х)7 (3 + с)5 (а-1)3
1145-’«1 + «)з;б>(2-х)в; *><««)<’ Г’(а-1)5
Спростіть вираз (1146—1148).
, , 2х2 + 7ху-9у2 11х2-7ху-2у2
П46. 2—*-----+ 2--.
X -у X -у
1147 Х + 2у + 2х~2у + 6х-8^ + х~2у
’ 2х-у 2х-у 2х - у 2х-у’
1148 ^х2 + 20хУ + і^У2 + 6х2-30хі/ _ 10х2-ху+ 10</2
Зх-15у Зх-15у Зх-15у
1149. Доведіть тотожність:
4а _ 20
а-5 а-5
1150. Доведіть, що значення виразу
а2 _ 2а2 < 1
в*+1 а2 +1 а2+1
не може бути від’ємним числом.
Зведіть до спільного знаменника вирази (1151—1153).
1151. «) Ч23-; 6)
“« > зЛ 1 • 6>
х т 1.5
а + х 1 3(а + х) ’ в) Зс 1 7с '
с с2 4 5
5Ь3г * 2аг3 ’ ЗаЬ4г * 4а2Ьг3
1 1 т п 1 1
1153. а) „ і . ,2 ; б) і г 2 ; в) з , і . .
’ а-х (а-х) а-с а -с х -1 х-1
1154. Додайте дроби:
а. З а-х. 1-х 1. З - п.
Зт ' 4т ’ 2ах * 4х ’ В) 2л 1 4п2
1155. Знайдіть різницю дробів:
. х 1 , 2 . с-2 х2 +2 . 2
а) — і - ; б) _ і ~ ~ ; в) — - і _ .
5а а Зс 2с Зх З
Спростіть вираз (1156—1159).
,15ва>зг<ь с 5 б) -+^-; х 2х 1 4 в) — + — . 5с с
1157. а) —--Г"; т 4т 2х х ’ 1 _2 в) 0,5с с ’
1 2 4т 1 4 3
1158. а) 2 - 2 » Зах 5аг б) л 9 ’ Зргх 5т*х в) а 2ас2х ’
4а 2Ь . х Зх 2хг
1159. а) ~ ~ » б)г,+ „,7 2 2 •
' а —о а + о ’ ' х — г х + г х —г
1160. При яких значеннях т і п є тотожністю рівність
7 т п
(х-бХх + 1) х-6 х + 1 1
Виконайте множення дробів (1161—1165).
1161. а) 5ай2 9х2 4ал3 с3х 7хг3 Зас
Зх 10а2 І б) 5с2х 8ал4 в) 9ас2 14хг '
1162. а) -2х 2 ба2 б) 5а л3 8х3 в) -ах4 9т3
Зас 4х3 9 -4х Юал Зт4 -2х5
1163. а) а +1 4х2 б) 1-а X в) а2-1 Зс
X а2-1 * Зх 1-а2 ’ с а + 1
1164. а) 2а бас2 15т2 6л2 14с3 5п2
Зс 5т 4а2 ♦ ” 7с2 15л3 Ьс2
1165. а) а2- ах сх -х2 6) а 2 ас - а
с2- сх а » б) с3- с2 ах + х
Виконайте ділення дробів (1166—1168).
2ах 1166. а) —у Зс2 4ах2 9с3 ’ б) а3с2 . 2а2с3 Зх2у ’ 12тл3 в) _ 2 5ас Зтл2 10а2
5ху
1,5а За2 2ас2 4а2 4лх Г 4х2
1167. а) 4х3 ’ б) Зтл 15т3 ’ в) " 3-є : 9с2
а2- х2 а + х 2а + 2л ба + 6л
1168. а) з а - 3 ’ 2 х а - х2 ; б) За -Зл 5а - 5л *
Спростіть вираз (1169—1173).
а26-462 а2Ь 4р2—9ц2 ^2ар + 3ац
1169. а) 1170. а) 1171. а) 1172. а) 1 17.4 т ЗаЬ2 а2-Ь2 а2 а2-Ь2 (а + Ь)2 ' а Ь с (а За 4а і2-2аЬ ’ і4 *-Ь)2 ; + 36 -4Ь ; ґ(а + 6)2 1 б) б) б) 2 2 Р Я а2 -25 а2 - За 5-5а (1 + а)2 ґа26-31 а2 +5а а2-9 ‘ 10-10а2 3 -ь За 3 А„3. 5 V2 1 а о І
4Ь 4а ї „и2 - тп [(а-Ь)2 п ; б) т 6с -2п 9с ]
2 2 т +п т 3 »,2„.т„2 „3 — т пі тп т +"3,
КВАДРАТНІ КОРЕНІ ТА ДІЙСНІ ЧИСЛА
Винесіть множник з-під знака кореня (1174—1175).
1174. а) ^50; б) ТЗОО ; в) 7405 .
1175. а) 71960 ; б) 72890 ; в) 71083 .
1176. Внесіть множник під знак кореня:
а) 5710 ; б) 875 ; в) юТІЗ ; г) ЗОТЙ.
Обчисліть значення виразу (1177—1181).
1177. а) 764 900 ; б) 725 196 ; в) 749 676 .
1178. а) 70,01 121 ; б) 70,04 169 ; в) 70,09 441 .
/ш 9 1179. а) ; в) ^1— . ' \ 121
1180. а) 76 10 15 ; б) 715 21 35 ; в) 720 28 35 .
/1 4 10 ІЗ 7 35 /, 1 _ 7
1181. а) 15 4д ; б) V 5 36 27 ’ В) 4 5 210 '
Обчисліть добуток (1182- -1184).
1182. а) 72 712 7150 ; б) Те Тїо Тбо.
1183. а) Д4,1 Д2,1 ; б) Д8?9 • ДЇЇД .
/ТГ / 80 СТ ГЇГ
1184. а) 25 7135 5 б> у 9 У 73 '
Спростіть вираз (1185—1190).
1185. а) (Д-2)2+4 Д ; б) (з +Д)Р-бД .
1186. а) (Д7-Д)(Д7 + Д); б) (Дз-Дїї)(Д9+Дз).
1187. а) (гД-і)(гД+і); б) (зДЇ-2Д)(зДТ+2Д).
1188. а) 8-(Д-Д)2; б)10-(Д + Д)Р.
1189. а) (Д + Д): Д; б) (Дб - Д): Д.
1190. а) (7-5):(Д-Д); б) (13-7):(Дз + Д).
1191. Скоротіть дріб:
2-Д 3 +Д ДО-5
а) Д-1 ’ б) Д ; в) д •
1192. Звільніть від ірраціональності знаменник дробу:
6 10
а’7Г; 6>їл!
а
В) 5-Д
Г) 2+715
КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ
1193. Розв’яжіть рівняння:
а) х2 - Зх + 2 - 0; б) х2 - 8х - 20 = 0;
в) 4г2 + 2 - 3 - 0; г) Зу2 - 2і/ - 8 - 0;
Ґ) 0,25х2 - 2х + 3 - 0; д) 2г2 - Зг + 0,75 = 0.
1194. Розкладіть на множники тричлен:
а) х2 - 7х + 10; б) х2 - 9х + 18;
в)у2-2^-35; г)|/2-4«/-60;
ґ)а2-а-56; д)с2-5с-24.
1195. Скоротіть дріб:
х2 + Зх + 2 г2 + г-6 а 2 - 5а + 6
х2 + 4х + 3 * б) г2-2г-15 ’ а2 + За-10 ‘
1196. Складіть квадратне рівняння за його коренями:
2 г- г-
а) 1 і 3; б)-2 і 7; в) 3 і — ; г) У2-1 і У2 4-1.
О
Розв’яжіть рівняння (1197—1205).
1197. а) ±2І + £2і = 2;
х+5 х-5
б)
2х-1 1-2х .
----=------+ 4 ;
х+2 х-2
.х-1 _ 1-х . 2х-1 1-2х л
в)------2 =---; г)-----------=-----+ 2.
х + 4 х-4 2х + 4 2х-4
, . 2х + 2 х2 + 2х + 4 х2-2х + 4
1198. а) —-------------------= —--------;
х-4 х»2х<4х+8 х-2х>4х-8
х + 10 х + 10 50
б) ~2---------2---------= “ї-2-----•
х2+х-10 х2-х-10 х4-21х2»1ОО
1199. а) х4 - 5х2 + 4 = 0; б) х4 - ІОх2 + 9 - 0.
1200. а) Зх4 - 2х2 - 40 = 0; б) 5у4 + 1у2 - 12 = 0.
1201. а) х6 - 9х3 + 8 = 0; б)/ - 19г3 + 216 = 0.
1202. а) х-бУх+5 = 0; б) 2х-ЗУ?-9 = 0 .
1203. а) (х2 - х)2 - 11(х2 - х) + 18 = 0;
б) (7х -2^-б(Тх -2)+8 = 0-
1204. а) х + 2-1зТхТ2 +42 = 0;
б) х-3 + 4^х-3-12 = 0.
1205. а) (2х - І)4 - (2х - І)2 - 12 = 0;
б) (х + 3)2-13 + --36— =0.
(х + 3)2
Розв’яжіть рівняння (1206—1207).
1206. а)/г+9 = 11; б) 12-Ух =0.
1207. а) З + Ух-2 =7; б) Л2-2х + 1 =3.
1208. Розв’яжіть систему рівнянь.
а)
2х2-і/ = 2,
х-у = 1;
б)
х + у = 8,
х2 +у2 =40;
в)
х2 -у = 14,
у + 2 = х.
6рА В
ЗАДАЧІ ТА ВПРАВИ ПІДВИЩЕНОЇ СКЛАДНОСТІ
1209. Скоротіть дріб:
203203203 342+127 341 999999
а) 405405405 ’ б) 342 127 + 215 ’ в) 1002001 '
1210. Яке число більше:
35 + 17 З53+173 10®+1 1010 + 1
а) 35718 ЧИ З53 +183 ; б) ю‘° + 1 ЧИ 10П+1?
1211. Доведіть тотожність:
а + Ь _ а3 + Ь3
а + (а-Ь) а3 + (а-Ь)3 ’
1212. Обчисліть суму 999 дробів:
І--
1 2 2 3 3 4 999 1000 *
1213. Скоротіть дріб:
„ х4+а2х2+а4 8х4+х х а4+4
а) ч Ч ; б> -----------Л---А---Г • В) ~2~;---г •
х3+а3 16х6+4х4+х2 а +2а + 2
а-Ь Ь-с с-а
1214. Доведіть, іцо сума дробів уууу, уууу , уууу тотож-
но дорівнює їх добутку.
1215. Доведіть тотожність Ейлера:
2а3Ь + Ь*
„з Аз
а -о
з . йЗ
а4 + 2аЬ
а3-Ь3
\
Чи існують такі натуральні числа х, у, г і І, що
х3 + у3 + г3 = І3?
1216. Раціональним чи ірраціональним є число
,/6 + 275-75 ?
1217. Доведіть, що число ^4 + 2^3 -^4-2-/3 є натуральним.
1218. Чому дорівнюють 71156 , 71И556 , 71Ш5556 ?
Спробуйте узагальнити задачу.
1219. Що більше: 72009 - 72008 чи 72010-72009 ?
1220. Обчисліть:
1
<3
1221. Доведіть, що
79999 +710000
Розв’яжіть рівняння (1222—1225).
1222. а) 2ОО8х2 + 2011х + 3 = 0;
б) 2010х2 + 2008х - 2 = 0.
1223. а) х4 - 10х2 + 9 = 0; б)(х-І)4 - 5(х-І)2 + 4 = 0.
1224. а)(х + 4)(х + 5) (х + 7)(х + 8) = 4;
б) (х2 - 2х -1)2 + (Зх2 - 6х - 13) = 0.
1225. а) 2-Ух =72^7;
б) х2+^5 =714 + 6^5 .
1226. Доведіть, що корені рівняння ах2 + Ьх + а = 0 обернені
один до одного.
1227. При якому значенні т різниця коренів рівняння
х1 + тх +1 = 0 дорівнює 1?
1228. При якому значенні т сума квадратів коренів рівнян-
ня х2 - 5тх + 4т2 = 0 дорівнює 68?
1229. При якому значенні т один із коренів рівняння
х2 - 12х + 9т2 = 0 є квадратом другого кореня?
1230. При якому значенні т сума квадратів коренів рівнян-
ня х2 + тх + т - 2 = Оє найменшою? Чому дорівнює ця
сума?
1231. Доведіть, що корені рівняння х2 + рх + д = 0 не можуть
бути раціональними числами, якщо рід — цілі непарні
числа.
1232. Катер, швидкість якого в стоячій воді — 15 км/год,
відійшов від пристані і, пройшовши 36 км, наздогнав
пліт, який відправився від тієї самої пристані на 10 год
раніше, ніж катер. Знайдіть швидкість течії річки.
1233. Відстань між пристанями Аі В човен звичайно долає
за 5 год, а від В до А — за 6 год. Якось одночасно з чов-
ном від А відправився і пліт. Дійшовши до В і постояв-
ши там 1 год, човен повернув назад і зустрівся з пло-
том на відстані 22 км від А. Знайдіть відстань від
А до В.
1234. Пливучи проти течії річки,
біля високої верби юнак за- 20 хв 2 км
губив порожню флягу. Че- ------------1---•---
рез 20 хв він помітив це і по- ( *
вернувся, щоб наздогнати______
флягу. Наздогнав він її біля ________________
пристані. Знайдіть швид- Мал 71
кість течії річки, якщо від-
стань від пристані до високої верби 2 км (мал. 71).
1235. Задача з несподіваною відповіддю.
Автомобіль їхав з А до В зі швидкістю 60 км/год, а з В
до А — зі швидкістю 70 км/год. Знайдіть його середню
швидкість.
1236. Населення міста за два роки збільшилося з 20 000 до
22 050 осіб. Знайдіть щорічний середній відсоток при-
росту населення цього міста.
1237. Стародавня китайська задача. Два чо-
ловіки одночасно вийшли з одного місця: В — на схід,
а А, пройшовши 10 бу на південь, повернув на
північний схід до В. Яку відстань пройшов кожний з
них, якщо за 1 год А проходив 7 бу, а В — тільки 3 бу?
1238. Задача Везу. Хтось купив коня і через деякий
час продав його за 24 пістолі. При цьому він втратив
стільки відсотків, скільки коштував йому кінь. За
скільки пістолів він купив коня?
1239. Задача Ейлера. Знайдіть число, четвертий
степінь якого, поділений на половину шуканого числа
і збільшений на 14— , дорівнює 100.
4
1240. Розв’яжіть рівняння з праць відомих математиків:
(Омар Хайям);
б) х4 - 2х2 - 400х - 9999
в) у3 - 9у2 + 26у - 24 = 0
(Бхаскара)',
(Рене Декорт).
1241. Якщо між цифрами двоцифрового числа вписати чис-
ло, на одиницю менше від нього, вийде чотирицифро-
ве число, яке в 91 раз більше від нього. Знайдіть це
двоцифрове число.
1242. Знайдіть двоцифрове число, відношення якого до чис-
ла, записаного тими самими цифрами у зворотному
порядку, дорівнює 0,375.
1243. Знайдіть два натуральних числа, сума яких дорівнює
667, а частка від ділення їх найменшого спільного
кратного на найбільший спільний дільник дорівнює
120.
1244. Знайдіть дріб з найменшим знаменником, який мен-
шнйза 2Й2 івільший:м г^з-
21п + 4 „ ,
1245. Доведіть, що дріб —--— нескоротний при будь-яко-
14п + З
му натуральному значенні п.
1246. Задача Вієта. Доведіть, що числа а, Ь, с — ко-
рені рівняння х3 - (а + Ь 4- с) х2 4- (аЬ + ас + Ьс)х = аЬс.
Користуючись цим твердженням, розв’яжіть рівняння
х3-6х2 4-Их-6-0.
1247. Доведіть, що коли ас * 0, то
1248. Розв’яжіть рівняння
1
X
13
9
1249. Три вівторки місяця припадають на парні числа. Який
день тижня припадає на 21 число цього місяця?
1250. Замініть букви цифрами, щоб виконувались рівності:
а) алгебра = левв", б) алгебра — ліга; в) алгебра = банк.
ВІДОМОСТІ З КУРСУ АЛГЕБРИ
7КЛАСУ
РІВНЯННЯ
Рівняння — це рівність, яка містить невідомі числа, по-
значені буквами. Числа, які задовольняють рівняння, — його
розв'язки (або корені). Розв’язати рівняння — це означає
знайти всі його розв’язки або показати, що їх не існує.
Два рівняння називають рівносильними, якщо кожне з них
має ті самі розв’язки, що й друге. Рівняння, які не мають роз-
в’язків, також вважають рівносильними одне одному.
Основні властивості рівнянь
1. У будь-якій частині рівняння можна звести подібні до-
данки або розкрити дужки, якщо вони є.
2. Будь-який член рівняння можна перенести з однієї ча-
стини рівняння в іншу, змінивши його знак на протилежний.
3. Обидві частини рівняння можна помножити або поділи-
ти на одне й те саме число, відмінне від нуля.
Рівняння вигляду ах = Ь, де а і Ь — довільні числа, нази-
вається лінійним рівнянням зі змінною х. Якщо а # 0, то
рівняння ах — Ь називають рівнянням першого степеня з од-
нією змінною. Кожне рівняння першого степеня ах = Ь має
один корінь х = —. Лінійне рівняння може мати один корінь,
а
безліч або не мати жодного кореня.
Наприклад, рівняння:
12х = 6 має один корінь.
Ох - 0 має безліч коренів,
Ох = 5 не має жодного кореня.
ЦІЛІ ВИРАЗИ
Добуток кількох рівних множників називають степенем.
Наприклад, 22-222 -25 — п’ятий степінь числа 2. Він
дорівнює 32. Отже, 25 = 32. Тут 2 — основа степеня, 5 —
показник степеня, 2’, або 32, — степінь. Другий і третій сте-
пені називають також квадратом та кубом числа. Якщо на-
туральне число п більше за 1, то
ап =ааа-...а.
п радів
Якщо п = 1, то ап = а.
Основна властивість степеня: ат ап = ат*п.
Перемножуючи степені одного й того самого числа,
показники степенів додають, а основу залишають тією самою.
Інші властивості степенів:
(ап)т = атп; (аЬ)п - ап Ьп.
Числа, змінні, а також різні записи, складені з чисел чи
змінних та знаків дій, разом називають виразами. Вирази
бувають числові (наприклад, 3 — 0,5 : 6) і зі змінними (напри-
клад, Зх, 2аЬ,с2 - 3). Якщо вираз не містить жодних дій, крім
додавання, віднімання, множення, піднесення до степеня і
ділення, то його називають раціональним. Раціональний ви-
раз, який не містить дії ділення на вираз зі змінною, назива-
ють цілим виразом.
Найпростіші вирази — числа, змінні, їх степені або добут-
ки. їх називають одночленами. Приклади одночленів:
4х; ; -Зх2; -З^ат3; 2ах Зах2.
о о
Якщо одночлен містить тільки один числовий множник, до
того ж поставлений на перше місце, і якщо кожна змінна вхо-
дить тільки до одного множника, такий одночлен називають
одночленом стандартного вигляду. Числовий множник одно-
члена, записаного в стандартному вигляді, називають коефіці-
єнтом цього одночлена.
Перемножуючи одночлени, ставлять між ними знак мно-
ження і одержаний добуток зводять до одночлена стандарт-
ного вигляду. Щоб піднести одночлен до степеня, слід підне-
сти до цього степеня кожний множник одночлена і знайдені
степені перемножити. Наприклад,
2ах (-Зх2) = 2 (-3) а х х2 = - бах3;
(0,Зпс3)2 = 0,32 п2 (с3)2 = 0,09п2с®.
Суму кількох одночленів називають многочленом. Для
зручності кожний одночлен також вважають многочленом.
Як пов’язані між собою різні види цілих виразів, показано
на схемі (мал. 72).
Мал. 72
Подібними членами многочлена називають такі, що
відрізняються тільки коефіцієнтами або й зовсім не відрізня-
ються. Многочлен записано в стандартному вигляді, якщо
всі його члени — одночлени стандартного вигляду і серед них
немає подібних.
Додаючи многочлени, користуються правилом розкрит-
тя дужок: якщо перед дужками стоїть знак ♦+», то їх не пи-
шуть. Наприклад,
(2а + 3) + (а2 - 2а - 4) - 2а + 3 + а2 - 2а - 4 = а2 - 1.
Віднімаючи многочлен від многочлена, користуються
правилом розкриття дужок: якщо перед дужками стоїть знак
«мінус», то дужки можна не писати, змінивши знаки
всіх доданків, які були в них, на протилежні. Наприклад,
4х2 + 5 - (х2 - 2х + 5) = 4х2 + 5 - х2 + 2х - 5 - Зх2 + 2х.
Щоб помножити многочлен на одночлен, потрібно кож-
ний член многочлена помножити на даний одночлен і резуль-
тати додати. Наприклад,
(За2 + а - 8) • 2ах - За2 2ах + а 2ах - 8 • 2ах
= 6а3х + 2а2х - Ібах.
Щоб помножити многочлен на многочлен, потрібно кож-
ний член першого многочлена помножити на кожний член
другого і отримані добутки додати. Наприклад,
(х + 2г - 3) (4х - 7) = х 4х + 2г 4х - 3 4х - х - 7 -
- 2г 7 + 3 7 = 4х2 + 8хг - 19х - 14г + 21.
Формули скороченого множення
(а ± Ь)2 = а2 ± 2аЬ + Ь2
— квадрат двочлена,
(а ± б)3 — а3 ± За2б + Заб2 ± Ь3 — куб двочлена,
а2 - Ь2 -(а - бХа + б)
— різниця квадратів,
а3 - Ь3 - (а - Ь)(а2 + аЬ + Ь2) — різниця кубів,
а3 + б3 + (а + бХа2 ~ аЬ + Ь2) — сума кубів.
Розкласти многочлен на множники — це означає замінити
його добутком кількох многочленів, тотожним даному много-
члену. Найпростіші способи розкладання многочленів на множ-
ники: винесення спільного множника за дужки, спосіб групу-
вання, використання формул скороченого множення.
ФУНКЦІЇ
Якщо кожному значенню змінної х відповідає єдине зна-
чення змінної у, то змінну у називають функцією від х, змін-
ну х називають незалежною змінною, або аргументом
функції. Наприклад, площа 5 квадрата — функція від дов-
жини його сторони а.
Функції можна задавати за допомогою формул, таблиць,
графіків тощо. Графіки функцій найчастіше будують у де
картовій системі координат, яка складається з двох вза-
ємно перпендикулярних координатних осей — горизонталь-
ної осі абсцис, або осі х, і вертикальної осі ординат, або осі у.
Площину із системою координат називають координатною
площиною, кожній її точці відповідає єдина пара чисел.
Графіком функції називають множину всіх точок коор-
динатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням
аргументу, а ординати — відповідним значенням функції.
Усі значення, яких може набувати аргумент функції,
утворюють її область визначення, а всі відповідні значення
функції — область значень функції.
Лінійною називають функцію, яку можна задати форму-
лою у = кх + Ь, де х — аргумент, а к і Ь — дані числа. Якщо
Ь = 0, то лінійну функцію називають прямою пропорційністю.
Графік кожної лінійної функції — пряма. Графік прямої
пропорційності — пряма, яка проходить через початок ко-
ординат.
СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ
Рівняння вигляду ах + Ьу ~ с, де а, Ь, с — дані числа, називають
лінійним рівнянням з двома змінними х і у. Якщо а * 0 і Ь * 0,
його називають рівнянням першого степеня з двома змінними.
Кожну пару чисел, яка задовольняє рівняння з двома змінни-
ми, називають розв'язком цього рівняння. Наприклад, пара чи-
сел (3; -2) — розв’язок рівняння 5х + Зу = 9. Кожне рівняння
першого степеня з двома змінними має безліч розв’язків. У де-
картовій системі координат кожному рівнянню першого степе-
ня з двома змінними відповідає пряма — графік цього рівняння.
Два рівняння з двома змінними називають рівносильни-
ми, якщо кожне з них має ті самі розв’язки, що й друге. Рівно-
сильні рівняння з двома змінними мають однакові графіки.
Якщо потрібно знайти спільні розв’язки двох чи кількох
рівнянь, говорять, що ці рівняння утворюють систему
рівнянь. Розв'язком системи рівнянь називають спільний
розв’язок усіх її рівнянь. Система рівнянь може мати один
розв’язок, безліч або не мати жодного розв’язку.
Розв’язувати системи рівнянь з двома змінними можна
способами підстановки, додавання або графічним.
ВІДПОВІДІ ТА ВКАЗІВКИ
ДО ЗАДАЧ І ВПРАВ
7. а) 16; г) 3,75. 8. а) 0,216; ґ) 10,89. 9. а) -7; ґ) 13. 10. а) х5;
в) п\ ґ) х. 11. а) 81х , г) 10000т . 12. б) 6 -2а. 13. а) 2а3х;
г) За2Ь. 14. а) 4х3у; г) -6т5л. 15. б) 2т5; г) 2а. 16. б) 16; ґ) 5.
17. б) 1; в) - 44. 20. а) - 1372. 21. б) 0,4. 25. а) - бах2; г) -
4пу. 26. а) 7(х - 7); в) ас(а - 2с)2. 27. б) - 9; г) 8 - а3. 28. а) -1;
г) 1. 29. б) 36л10; в) За4. ЗО. б) 22,5. 31. а) а3; в) х5. 32. а) 2ху2л;
б) 12хпуп. 33. а) х2 + 9х + 5; г) х3 - Зх2+ 4х - 2. 34. б) а2 - 10.
35. в) -х2. 36. а) (х - 4Хх + 4); ґ) 3(а - Ща - Ь). 37. б) 3,5.
38. г) 5,5. 39. а) 0,4. 40. а) (4; 2). 41. б) (3; 1). 43. 20 і 51. 44. 48
і 60. 45. 45 і 80. 46. 17 і 7. 54. а) 125; г) 2. 55. б) -7; г) 1.
56. а) л = 0;б)аиЗ; в)х- -4. 57. а) х = 5. 58. б) х = 0, х - З,
х - - 3.60. а) х # 5; г) х є Я. 61. в) х # -3.62. а) - 2.64. а) Так;
б) ні. 65. б) Ні. 68. в) -1; ґ) 5х4. 69. а) -2с; ґ)0,За2с3. 70. в) 0,25;
г) 4,5. 73. б) Ні. 76. а) х = 0, х - -1. 77. а) х * -2, х * 0, х * 1.
5 5-2а
78. б) х *0,5. 80. а) хт, а # 2; г) х = о 2 , а * 3, а # - 3.
81. в) с - -7. 82. а) х = 0.83. б) 33. 84. б) - 2. 85. а) 90.86. в) - 87.
87. а) Ні. 88. а) Ні.
15 с
102.а) ; в) — . 104. г)-1.1О5.в)Зх. 106.6) —.108.6)1.
2 о т
1 р 6а 3
109. в) - . 110. б) а. 111. в) -т. 112. а) ; г) ~(п ♦*). 113. а) —г •
•> 2х За’
119. б) 6х. 121. б) 0,25. 122. б) 5. 124. б) х2 + 2хг +>2. 125. б) а - 1.
л •
У + 1 х-1 І С+Х
129. 130. а) —. 131. а) 1 - ху.^39. а) .
х-а х -ах + с о
140.а)-2~. 141. а) —------------------Г. 144. б) а -лх .
х + а х +ах-с* ’
145.20 км/год. 151. а) 1,25. 152. а) 10,1. 153. а) х = 0.
154. а) х= 3.155. в)х = - 1,5.157. а)Ні. 160.а)-3.161.6)2;-2.
164. а) 8. 165. б) 10.167. а) 2, якщо а > 0; 0, якщо а < 0, вираз
0,1т + 0,15л
не має змісту, якщо а - 0. 171.------------;-. 173. в) х = - 3.
т + л
174. в) х - 0, х = 4. 178. б) 5. 179. а) 0. 180. а) Рівняння роз-
в’язків не має. 181.6) 1,5.192. а) 1.193.6)0.194.6) 1.195. в) х.
196.6) а. 198. а) а - 3.199. а) 3.
а + 5х 4а-5х 2с-х . 1
200. а) -4.205. в) ——. 206. а) —у-. 207. а) -у- і -у.
ох ах 6с х 6с
6 + с 15у а + Ь + с ах2
з^зЗТ) •209 а) 2х(4х-5у) -210 а>~Г~-211в)777•
213. 6) -5. 214. в) -2. 215. б) ^72^. • 216. а) ~7*О~51 .
2 11 4-х
217. а) . 218. а) . 219. 6) -. 220. 6) .
20 2х2 + 17х + 11 х2 + 4х + 39
221. а) Т“7« 222. а) . 2 73 “«7. 223. а) утт-ГГ .
’ а-1 ' (х -1Хх + 2) ' 12(1-х2)
2х2 44 18х2
224'а) а(ха-4а2)- 225’ х3 + 64‘ 226’ 8а3-27х3 *
1 13
227. у^^у.228.0.230.а)^+^р-.238.б)0.240.б)-6.
241. а) 0. 242.6) -1. 243. а) 0. 269. а) а + 3; в) х. 271. а) 2; 6) 18.
278. а) 27а4. 279. а) -27а12. 280. а) 1 - а. 284. 6) 1,5. 289. а) - 3.
290. 6) 1. 291. а) 3 і -1. 294. а) 6 (х - у)( х + у).
300. а) 6. 302. а) 2а2с2: в) 27х5. 303. а) х + у. 305. 6) х.
306. а) 2х(2с - х). 307. г)х12 - 1.308. а) -1. 311. а) 1,2.313. а) 8.
314. а)х - у. 315. г)х(х+2у). 316.6)у(ху + 1). 318. а) 0,5(3 - хХЗ + 2х).
319. 6) 0,25. 323. в) (а - 2)2. 326. 6) а2. 329. а) а + Ь. 331. 6) 0.
332. 6) 0. 333. а) 25; 6) 3. 334. а) а(а2 + 1). 335. 6) с2 - с + 1.
336. а) а + Ь. 337. а) а - 2.338. б) 16а - 5с. 339. в) 6с. 340. б) За2.
349. а) а2 - а + 1. 351. б) Зу. 352. б) х. 353. а) х - у. 355. г) -аЬ.
357. а) 1. 362. а) 1,37. 366. а) а2 - х2.368. б) (а + с)2. 371. б) -х.
372. а) 3 - а2. 375. а) 2а(а + 2). 377. а) 1. 382. х - 13. 384. 2, 0,
-2, -4. 386. 4, 6,10, 24. 392. а) 5. 395. а) 0; б) 1.
404. а) 3.405. а) -5. 406. а) -1 і 1. 407. б) -1.408. б) -2 і 2.
409. а) 7. 410. а) 16. 411. а) 0. 412. а) -5 і 5. 413. 7. 416. а) -1.
417. а) -4.418. б) -3.419. а) -9.421. а) 8.422. а) 4.423. б) -2,5.
425. а) 4. 426. а) 8. 428. а) -8,5. 430. а) (2;4). 431. а) (0,1; 4).
432. а) (5; 3). 433. а) (4; 5). 434. а) (4,5; 1). 435. 3. 436. 4.
437. 27 м. 438. 27 і 21 рік. 439. 80 км/год і 40 км/год.
440.15 год. 442. 20 днів і ЗО днів. 446. 3,6 год. 449. 40, 60 і
80 км/год; 360 км. 461. б) 1.462. г) 250.463. а) а'2. 465. а) 25.
466. а) 9х’с"2. 467. б) Іба^с-3. 468. г) 8х’9/. 469. а) х*3Л
471. а) 1. 474. г) 1. 478. б) -0,5. 487. б) 1. 497. а) 700 000.
498. а) 0,00000009. 499. а) 3,7-108.
500. а) 5,3 • 10 ®. 501. а) 7,35 • 10,9т. 502. а) 5,91 • 1021.
503. а) 2,6 • 109 г. 504. а) 1,2 • 106. 507. а) 1,6 10 23; 6,4 • 10
508. а) 21,6 кг. 509. а) 1,5 • 106 км. 511. а) 7 • 10 2.512. а) 2,4 • 104;
1,2 • 104; 1,08 • 108; 3. 514. а) 1,43 • 103. 515. а) 1,57 • 102.
517. а) -9. 518. а) «3,1 • 1022. 520. «2,8 • 107. 541. 50; -2.
543. А, Р, Е, С. 545. а) х # О. 547. в) х # О, х # 5. 550. а) к - 1.
552. Так. 555. Так. 556. За 36 год. 562. а) хх = -2, х2= 2.
563. а) к ~ 12, Ь = -32.566. а) х # 0.567. а) х # 0 і х * 3.572. а) 48.
573. 0,75 і 1,75. 574. -7 і -5. 583. Проходить через А і В.
588. 5 = 2х2. 591. При х = -1 і х = 3.
621. а) 13. 622. б) 0,3. 623. а) 11. 624. а) 0,1. 627. а) -ЗО.
628. а) 12. 629. а) 0,6. 630. а) ЗО. 634. а) -71. 635. а) -220.
636. а) 13. 638. а) Ні. 644. а) 5; 1; 13. 649. а) 1. 650. а) 71.
652. а) 27. 656. а) 2304; б) 1369. 658. а) Так; в) ні. 659. а) 49.
660. а) 22. 662. б) 4 і -4. 679. б) 0,4. 688. а) 0,(3).
715. а) 80.716. а) 0,5.719. а) 20.720. а) 70.721. а) ЗО. 723. а) 8.
724. а) 20. 726. а) 1.731. а) 9. 733. а) 16. 739. а) 800. 740. а) 18.
742. б) а > 0.745. а) -Зп. 751. а) За2Ьс3.752. а) -хуг. 753. а) |а + Ь|.
754. а) 1.755. а) Уз -1.766. а) 5 УЇО . 767. а) 11 У2 .768 а)5 УОД •
769. а) УЇ2.771. а) Уо?9. 772. г) . 778. а) 21. 779. а) 25.
780. а) 1 + У7. 781. а) 2. 782. а) 4+2 Уз. 784. а) а У2 .
785. а) х Уз . 786. а) Т12х2 . 787. а) Тгх2". 796. а) - Уз .
797. а) УЗ . 798. б) 15. 799. а) 1.
804. а)-х 72. 806. а) -Лс7.812. а) а. 818, а) Та (Та +1).
822. б) 2.825. г) 10 - 4 Тб . 857. в) Один. 876.0 і -0,6.887. а) 0 і 2.
897. а) 10 і-10.
909. а) с = 0. 916. а) О; 7 і -7. 932. а) 6 і -2,5. 941. а) 0 і 13.
946. а) 1 і -0,5.959. а) 1 і -0,25.963. а) 1 і -4,6.970. а) 87 і -91.
973. а) 3.985. а)0,25. 992. а) (-2; 1) і (0,25; 7,75). 993. а) (-2; 5)
і (-7,5; 3,625).
1015. с — 6.1016. т = -5,6.1026. а)Хі - -2; х2 - 12; д - -24.
1037. а) 22. 1048. а) (Зх - 2)х х(3х - 2). 1053. а) (х + 2)2 - 22.
1065. -21; 0,8. 1067. При х-3. 1071. При х-3, /(3) = 17.
1079. 25 і 36. 1080. 24 і 13 або -13 і -24. 1081. 40 м і 20 м.
1082. 2 км і 1 км. 1083. 16 і 17 або -14 і -15. 1084. 6 або 18.
1085. а) 12 і-11. 1О86.а)13і7. 1087.а)5і8м. 1088. 16і 17.
1089. 6 і 8. 1090. 11 і 12. 1091. 11, 12 і 13або-11.-12 і 13.
1094. 21 ряд. 1096. 7 км/год. 1097.60 км/год. 1098. З км год.
1099. 60 км/год.
1101. 2 км/год. 1102. 12 км/год. 1103. 10 год. 1104. 200 км
або 160 км. 1105. 2,4 км/год або 3 км/год. 1106. 80 см і 60 см.
1108. 10 км. 1109. 12 днів, 6 днів. 1110. 12 днів, 6 днів.
1111. 8 днів. 1112. ЗО днів, 20 днів. 1113. 14 днів, 11 днів.
1114. 5 год, 7 год. 1115. 48 або 16. 1116. 25 гілок, 8 бджілок.
1117. 18 точок. 1118. 12. 1123. ЗО км/год і 24 км-год.
1124. 160 г, 20 %. 1125.8,8 г/см3, 7,8 г/см3. 1126. 10 %,
360 г. 1127.120 г. 1128.18 сторін. 1133. а)-2с3.1140. а) 0,625.
1145. б) 2 - х. 1162. б) -л2х2. 1164. а) Зет. 1169. а) а 4- 2Ь.
8с _ т-п .—
1172. б) —. 1173. 2 ,. 1175. а) 14710.1183. а) 23,1.
Зо т +п
1188.а) 2715.1191.а) 72.1197.а)25. 1198. Коренів немає.
1199. а) ±4,±1.
1207.а)18.1208.а)(1;0),(-0,5;-1,5). 12О9.а) ^|;в) .
1210. а) Ці числа рівні. 1212. 0,999. 1213. а) Розкладіть на
множники чисельник: х4 + а2х2 + а4 - х4 + 2а'Xі 4- а4 - а2х2 =
- (х2 + а2)2 - (ах)2 = (х2 - ах + а2) (х2 + ах + а2). 1215. Існують.
1216. Раціональне. 1217. Покажіть, що 4 ±2Тз^ = (1± 7з )2 .
1218. 34, 334, 3334. 1219. Перша різниця більша. 1220. 99.
1222. а) Розкладіть на множники ліву частину рівняння.
1224. а) Зробіть заміну х + 6 - у; б) Зробіть заміну х - 2х -1 - у.
1227. ±7б.1228. ±2. 1229. ±7з . 1230. 1; 3. 1231. Щоб ко-
рені даного рівняння були раціональними, необхідно, щоб ви-
конувалась рівність р2 - 4<? = т2, де т — ціле непарне число.
Покажіть, що такого тп не існує. 1232. З км/год. 1233.121 км.
1234. З км/год. 1235. =64,4 км/год. 1236. 5%. 1237. 10,5 бу
і 24,5 бу. 1238. 40 або 60 пістолів. 1239. 3,5. 1240. а) Зробіть
заміну — = у; б) дане рівняння рівносильне рівнянню
о 2
(х - 11)(х 4- 9)(х2 4- 2х+ 101) = 0. 1242. 27. 1244. .
1245. Зверніть увагу на те, що 3(14л 4- 3) - 2(21 л 4- 4) - 1.
1248. а) 1; б) 4 або -1,2. 1250. а) 1933.
ПРЕДМЕТНИМ ПОКАЖЧИК
Абсциса точки 248
Аргумент функції 248
Вершина параболи 117
Винесення за дужки 248
— за знак кореня 161
Вирази дробові 36
— зі змінними 247
— з коренями 161
— раціональні 36
— цілі 36
Віднімання дробів 44
— многочленів 248
Вісь абсцис 248
— ординат 249
Властивості рівнянь 246
— степенів 247
— функцій 113
Гіпербола 112
Графік рівняння 249
— функції 249
Дискримінант 194
Ділення виразів 7
— дійсних чисел145
— дробів 67
— одночленів 8
— степенів 7
Добування квадратного
кореня 135
Додавання дробів 44
— многочленів 248
— одночленів 247
Допустимі значення 17
Дроби 16
— алгебраїчні 16
— взаємно обернені 67
Знаменник дробу 16
Квадрат двочлена 248
Квадратний тричлен 213
Корінь арифметичний 135
— з добутку 135
— з дробу 135
— зі степеня 135
— квадратний 135
Координатна площина 249
Куб двочлена 248
Многочлен 247
Множення дробів 55
— многочленів 248
— одночленів 248
— степенів 247
Множина дійсних чисел 145
— раціональних чисел 144
— цілих чисел 145
Незалежна змінна 248
Обернена пропорційність 113
Область визначення
функції 249
Одночлен 247
— стандартного вигляду 247
Ордината точки 248
Осі координат 248
Основа степеня 246
Основна властивість
дробу 27
----степеня 97
Парабола 127
Перетворення виразів
— з коренями 161
— раціональних 76
Періодичні дроби 144
Подібні члени 248
Показник степеня 246
Порядок числа 10
Пропорційність обер-
нена 113
— пряма 113
Раціональні вирази 36
— числа 144
Рівняння 246
— біквадратні 196
— дробові 86
— дробово-раціональні 88
— з двома змінними 249
— квадратні 185
----зведені 196, 205
— лінійні 249
— неповні 185
— першого степеня 249
— раціональні 36, 86
— рівносильні 246
Рівняння-наслідок 87
Різниця квадратів 248
— кубів 248
— одночленів 248
Розв’язок
— рівняння 246
----з двома змінними 249
— системи рівнянь 249
Розкладання много-
членів 249
Система рівнянь 249
Скорочення дробів 27
Стандартний вигляд
числа 104
Степінь числа 246
----з від’ємним
показником 97
----з нульовим
показником 96
----з цілим показником 97
Сума кубів 249
— одночленів 247
Теорема Вієта 205
Тотожні вирази 17
— перетворення виразів 18,
76
Тотожність 18
Умова рівності дробу нулю 37
Формула квадрата
двочлена 248
— коренів квадратного
рівняння 195
Формули скороченого мно-
ження 248
Функція 111, 249
— !/ = х2127
— У=у/х 171
— лінійна 249
Функції обернені 174
Чисельник дробу 16
Числа дійсні 144
— ірраціональні 145
— натуральні 145
— раціональні 144
— цілі 145
Члени дробу 16
Відомості про стан підручника
Мі Прізвище та ім'я учня Навчальний рж Стан підручника Оцінка
на початку року в кінщ року
1
2
3
4
5
Навчальне видання
БЕВЗ Григорій Петрович, БЕВЗ Валентина Григорівна
АЛГЕБРА
Підручник для 8 класу загальноосвітніх навчальних закладів
Рекомендовано Міністерством освіти і науки України
Видано за рахунок державних коштів. Продаж заборонено
Малюнки А.Лапушена
Фото: А. Віксенка.О. Ганжі, Е. Золотарьовді,
І. Красуцького, Р.Якименка
У підручнику використано ілюстрований матеріал з журналів:
•Образотворче мистецтво» (2002, № 3; 2004, № 3: 2007, .№ 1,2,3),
•Україна*. •Українська культура» (1998. «V 4—5; 2000, .№ 9—10,
2001, № 6; 2002, А4 1. 2006. Л* 1—2. 9), а також репродукції картин
художників: А Вінничка.А. Віксенка. І. Гресик. Н. Гумена.
Д. ДЬбровольського, О. Дубовика. М. Малишка. Н. Мартиненко.
І. Марчука, І. Остафійчука, І. Павельчук, Ф. Панчука. А. Перейми.
С. Савченка. Т. Чувалової. Л. Ястреб
Редактори: О. П. Парполіто, Н. В. Демиденко
Художній редактор А М. Віксенко
Технічний редактор Л. І. Аленіна
Коректор Є. С. Святицька
Комп’ютерний набір і верстка С.МГ1 «АВЕРС»
Підписано до друку 14.05.2008. Формат 60*90 У1е .
Папір офсет. Гарнітура Шкільна. Друк офсет. Умов. друк,
арк. 16.0-0.25 форз. Обл.-вид. арк. 16,2-0.2 форз. Наклад 137 600 пр. Зам. 30 05.
Видавництво «Зодіак-ЕКО»
Свідоцтво про державну реєстрацію серія ДК № 155 від 22.08.2000 р.
01004, Київ-4, вул. Басейна. */,
Видруковано ТО В «Торнадо»
61045. м. Харків, вул. Отара Яроша, 18