Передмова
АЛГЕБРА ТА ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ
Тема 2. Відсотки
Тема 3. Цілі вирази
Тема 4. Дробово-раціональні вирази
Тема 5. Ірраціональні вирази
Тема 6. Логарифмічні та показникові вирази
Тема 7. Тригонометричні вирази
Тема 8. Цілі рівняння
Тема 9. Цілі нерівності
Тема 10. Раціональні рівняння
Тема 11. Раціональні нерівності
Тема 12. Ірраціональні рівняння
Тема 13. Ірраціональні нерівності
Тема 14. Показникові рівняння
Тема 15. Показникові нерівності
Тема 16. Логарифмічні рівняння
Тема 17. Логарифмічні нерівності
Тема 18. Тригонометричні рівняння
Тема 19. Тригонометричні нерівності
Тема 20. Системи рівнянь
Тема 21. Арифметична та геометрична прогресії
Тема 22. Елементарні функції та їхні властивості
Тема 23. Побудова графіків функцій методом геометричних перетворень
Тема 24. Похідна функції, її геометричний і механічний зміст
Тема 25. Застосування похідної для дослідження функцій
Тема 26. Первісна. Інтеграл
Тема 27. Елементи комбінаторики
Тема 28. Початки теорії ймовірностей та елементи статистики
ГЕОМЕТРІЯ
Тема 30. Прямокутний трикутник
Тема 31. Рівнобедрений трикутник
Тема 32. Чотирикутники
Тема 33. Многокутники
Тема 34. Коло, круг та їх елементи
Тема 35. Аксіоми стереометрії. Прямі та площини в просторі
Тема 36. Призма
Тема 37. Піраміда
Тема 38. Циліндр
Тема 39. Конус
Тема 40. Куля
Тема 41. Координати
Тема 42. Вектори
Тема 43. Перетворення фігур
Тема 44. Найпростіші геометричні фігури на площині
Відповіді. Алгебра та початки аналізу
Відповіді. Геометрія
Text
                    Довідковий теоретичний матеріал
Розв’язування типових задач
Тренувальні тестові завдання
Відповіді до всіх завдань
Видавництво
« Підручники
мамявмшкжямцмяжмикг-ламавапапянвмі
і посібники»
ГОЛОГРАФІЧНА МАРКА ГАРАНТУЄ ОРИГІНАЛЬНІСТЬ
І ЯКІСТЬ ЦЬОГО ВИДАННЯ

МАТЕМАТИКА Комплексна підготовка до зовнішнього незалежного оцінювання За чинною програмою ЗНО Укладачі Анатолій Капіносов, Галина Білоусова, Галина Гап’юк, Лариса Кондратьєва, Олеся Мартинюк, Сергій Мартинюк, Лариса Олійник, Петро Ульшин, Олег Чиж Тернопіль Видавництво «Підручники і посібники» 2013
УДК 371.32 ББК 22.1 МЗЗ Рецензент: Ярослав Гап ’юк — доцент кафедри математики та методики її викладання Тернопіль- ського національного педагогічного університету імені Володимира Гнатюка Літературне редагування Людмили Олійник Дизайнер обкладинки Віталій Нехай Математика : Комплексна підготовка до зовнішнього не- М 33 залежного оцінювання І Уклад.: А. М. Капіносов, Г. І. Білоусова, Г. В. Гап’юк, Л. І. Кондратьєва, О. М. Мартинюк, С. В. Марти- шок, Л. І. Олійник, П. І. Ульшин, О. Й. Чиж. — Тернопіль : Підручники і посібники, 2013. — 528 с. І8ВИ 978-966-07-2497-6 Посібник містить теоретичний матеріал, а також тестові завдання різних рівнів складності з усіх тем шкільного курсу математики. Зміст матеріалів відповідає вимогам чинної програми зовнішнього незалеж- ного оцінювання та чинних навчальних програм з математики. Для абітурієнтів, учнів 11 класу, учителів математики. УДК 371.32 ББК 22.1 І8ВИ 978-966-07-2497-6 © Капіносов А. М., Білоусова Г. І., Гап’юк С. Я., Л. І. Кондратьєва, Мартинюк О. М., Мартинюк С. В., Олійник Л. І., Ульшин П. І., Чиж О. Й., 2013
ПЕРЕДМОВА Посібник призначений для підготовки учнів загальноосвітніх навчальних закладів та абітурієнтів до зовнішнього незалежного оцінювання. Його укладений відповідно до чинної програми зовнішнього незалежного оцінювання та чинних навчальних програм з математики. Метою посібника є надання практичної, методичної та психологічної допомоги учням у підготовці до зовнішнього незалежного оцінювання. У книзі міститься довідковий теоретичний матеріал, приклади розв’язання задач і вправ і завдан- ня з усіх тем шкільного курсу математики. Завдання кожної теми складаються з чотирьох частин. Пе- рша частина містить довідковий теоретичний матеріал і зразки розв’язання вправ. Друга частина — тестові завдання із п’ятьма варіантами відповідей, з яких лише один правильний. Усі завдання розмі- щені в послідовності зростання складності. Третя частина містить завдання, які передбачають уста- новлення відповідності між деякими математичними поняттями, позначеними цифрами 1-4, та їхніми властивостями, позначеними буквами А-Д. У четвертій частині вміщено тестові завдання відкритої форми — самостійне знаходження відповіді у вигляді десяткового дробу. З
АЛГЕБРА ТА ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ Тема 1. Обчислення. Арифметичні задачі Натуральні числа — це числа, які використовують при лічбі: 1, 2, 3, ... . Множину натуральних: чисел позначають буквою N. Цілі числа — це натуральні числа, числа протилежні до них та число нуль. Цілими є числа -2, 4, 0 тощо. Множину цілих чисел позначають буквою 2. Раціональні числа — це числа, які можна подати у вигляді — , де т — ціле число (/иєх), п — нату- п ральне число (иє2У). Кожне раціональне число можна представити у вигляді скінченного або нескінчен- 3 7 ного періодичного десяткового дробу. Раціональними є числа 4,5; -3; -7,3; —; -2-- тощо. Множину ра- ціональних чисел позначають буквою (£. Ірраціональні числа — це нескінченні десяткові неперіодичні дроби. Наприклад, ірраціональними є числа л/5, со$7°, я тощо. Множину ірраціональних чисел позначають буквою І. Дійсні числа — це раціональні та ірраціональні числа. Кожне дійсне число можна зобразити точ- кою на числовій осі, а кожній точці числової осі відповідає дійсне число. Множину дійсних чисел по- значають буквою /?. Прості та складені числа Натуральне число називають простим, якщо воно має лише два дільники: одиницю і саме число. Найменше просте число — 2. Наприклад, число 19 має два дільники (1 і 19), тому воно є простим. Натуральне число називають складеним, якщо воно має більше, ніж два дільники. Число 6 має чотири дільники (1, 2, 3 і 6), тому воно є складеним. Число 1 має лише один дільник, тому воно є ні простим, ні складеним. Розкласти складене число на прості множники означає записати дане число у вигляді добутку простих чисел — дільників даного числа. Наприклад, 12600 - 7 • 52 • З2 -23. Взаємно простими числами називають числа, які не мають спільних дільників, крім одиниці. На- приклад, 65 = 5 • 13, 306 = 2 • З2 • 17, тому числа 65 і 306 — взаємно прості. Найбільшим спільним дільником (НСД) кількох натуральних чисел називають найбільше число, на яке дані числа діляться без остачі. НСД даних чисел дорівнює добутку спільних простих множни- ків цих чисел. Найменшим спільним кратним (НСК) кількох натуральних чисел називають найменше число, яке ділиться без остачі на кожне з даних чисел. НСК даних чисел дорівнює добутку одного з них на прості множники, яких нема у його розкладі, але є у розкладах решти чисел. Якщо числа а та Ь — взаємно прості, тобто НСД(а; Ь) - 1, то НСК(а; Ь) = а • Ь. Наприклад, оскі- льки числа 9 і 25 є взаємно простими (НСД(9; 25) = 1), то НСК(9; 25) - 9 • 25 = 225. Звичайним дробом називають число виду — , де т та п — натуральні числа. Риска дробу означає п т дію ділення: — = т: п. п Число п — знаменник дробу — вказує, на скільки рівних частин поділили число (величину), чис- ло т — чисельник дробу — скільки таких частин узято. 4
Дріб, у якому чисельник менший за знаменник, називають правильним. Дріб, у якому чисельник .. . ті г 7 16 більший за знаменник або дорівнює йому, називають неправильним. Наприклад, дроби —, —, 8 . 20 99 15 — —правильні, а дроби —, —, — —неправильні. Число, яке складається з натурального числа і звичайного дробу, називають мішаним. Наприклад, 8 2 4—, 132— — мішані числа. Мішане число можна записати у вигляді суми натурального числа і зви- 8 8 чайного дробу. Наприклад, 4— = 4 +—. Щоб записати мішане число у вигляді неправильного дробу, досить його цілу частину помножи- ти на знаменник дробової частини, до знайденого добутку додати чисельник і результат записати в З 5-4 + 3 23 чисельнику, а знаменник залишити тим самим. Наприклад, 5— =--= —. 4 4 4 З будь-якого неправильного дробу можна виділити цілу частину. Для цього досить поділити з ос- тачею чисельник на знаменник. Частка від ділення буде цілою частиною, остача— чисельником, а 38 2 дільник — знаменником. Наприклад, — = 4—, бо 38 : 9 = 4 (ост. 2). Основна властивість дробу. Якщо чисельник і знаменник дробу помножити чи поділити на одне .. „114 4 и те саме натуральне число, то отримаємо дріб, який дорівнює даному. Наприклад, — =-= —; 6 6-4 24 100 _100:10 _10 70 “ 70:16’“ 7 * Скороченням дробу називають ділення чисельника і знаменника дробу на їх спільний дільник, відмінний від одиниці. Найбільше число, на яке можна скоротити дріб, — найбільший спільний діль- ник чисельника і знаменника і якщо він дорівнює 1, то дріб називають нескоротним. Наприклад, дріб 100 „ 100 100:10 10 9 скоротний, бо = = — , а дріб-нескоротний. 70-------------------------------------------------70-70:10-7 13 Заміну дробів з різними знаменниками відповідно рівними їм дробами з однаковими знаменни- ками називають зведенням дробів до спільного знаменника. Найменшим спільним знаменником дробів є найменше спільне кратне їх знаменників. Щоб звести дріб до найменшого спільного знаменника, досить: 1) знайти найменше спільне кратне знаменників дробів; 2) поділити найменше спільне кратне на кожен знаменник і знайти додаткові множники для кож- ного дробу; 3) помножити чисельник і знаменник кожного дробу на його додатковий множник. 7 5 Наприклад, звести дроби — і — до найменшого спільного знаменника. 1) Найменше спільне кра- 8 6 тне чисел 8 і 6 дорівнює 24; 2) 24 : 8 = 3; 24 : 6 = 4. Отже, числа 3 і 4 є додатковими множниками для ..7.5. 7 7-3 21 5 5-4 20 дробів — і — відповідно; 3) — =-= —; — =---= —. 8 6 8 8'3 24 6 6-4 24 Дії над звичайними дробами 1. Додавання і віднімання. Сумою (різницею) дробів з однаковими знаменниками є дріб, чисель- ник якого є сумою (різницею) чисельників цих дробів, а знаменник дорівнює їх знаменникам: а с а + с (а с а-с\ ттт х — + — =----------=------ . Щоб додати (відняти) дроби з різними знаменниками, треба їх спочатку Ь Ь Ь \Ь Ь Ь / звести до спільного знаменника. 5
2. Множення. Добутком дробів є дріб, чисельник якого дорівнює добутку чисельників, а знамен- а с ас ник — добутку знаменників даних дробів:-- = — Ь а Ьа 3. Ділення. Часткою двох дробів є дріб, який дорівнює добутку дробу-діленого та оберненого чи- а с а б/ а сі сла до дробу-дільника: —: — =-----=-----. Ь б/ Ь с Ь-с „ 1Ч 2 , 3 2 + 3 5 2* Г Наприклад: 1) —ь— =---------= —; 2) — + — Е 7 11 11 11 11 3 4 4-2 + 3-1_ 8 + 3 = 11. 3-4 12 12’ 1* 1д З-1 + 2-1 } 6 9 18 = 3±2 = А; 4) 2—+ 7— 18 18 10 15 п п 31 + 2-4 =2+7+ зо = 9 + — = зо = 9—; зо 5) 6—-2—= 6-2 + —• 5 4 5 3 .16-15 . 1 2 4 20 20 7 7) 5 7-5 35 2—-3—= 2 3 5 И_ 2 3 511 2-3 = 55 6 = 9—; 6 2 -3^ 2 8= 2-8 =16- 9) 5,_4_=5.17 = 5Ч7 = 85 = 211. 13'8 13 3 13-3 39’ ? ’ 17 1 4 1-4 4 4’ 54 112_49.33^ 7Х-Х" 7-11 = 77 =85. ' 9 21 9 21 3/-Хз 3-3 9 9’ 2 5 ,5 5 ^ 38.170^ 38 33 = 19Х'Х3 _ 19-3 = 57 11 33 11’33 11 170 Х-І70?5 1-85 85 Числові вирази Числовий вираз— це запис, який складається 83 чисел, об’єднаних знаками арифметичних дій, і дужок. Якщо в числовому виразі виконати зазначені дії, дотримуючись порядку виконання арифмети- чних дій, то одержимо число, яке називають значенням числового виразу. Порядок дій у числовому виразі Додавання і віднімання чисел називають діями першого ступеня, а множення і ділення — діями другого ступеня. 1. Якщо в числовому виразі немає дужок і він містить лише дії одного ступеня, то їх виконують за порядком запису зліва направо. 2. Якщо у виразі є дії першого та другого ступенів, а дужок немає, то спочатку виконують дії другого ступеня, а потім — дії першого ступеня. 3. Якщо у виразі є дужки, то спочатку виконують дії в дужках у порядку, зазначеному в п. 1 і 2. Наприклад, у числовому виразі 25 • 296 - 17 • (300 - 7 • 40) + 5 • 138 порядок виконання арифме- тичних дій є таким: ф © @ @ ф @ ф 25 • 296 - 17 • (300 - 7 • 40) + 5 • 138 Десятковий дріб— інша форма запису звичайного дробу зі знаменником 10”, де п — натуральне 4 53 609 число. Наприклад, — = 0,4; ---= 0,053; ---= 60,9 . Р 10 1000 10 Дії над десятковими дробами 1. Додавання, віднімання. Щоб додати або відняти десяткові дроби, потрібно їх записати так, щоб однакові розряди були один під одним (або «кома під комою») і виконати дію. Якщо необхідно, то до одного з дробів можна дописати нулі праворуч. Наприклад, знайдемо суму 16,8 + 0,5347: 16,8000 + 0,5347 17,3347 6
2. Множення. Множать десяткові дроби, не зважаючи на коми, як натуральні числа, а в добутку відділяють комою праворуч стільки цифр, скільки їх є після коми в обох множниках разом. Напри- клад, х !35 0,006 0,00810 3. Ділення. Щоб поділити десяткові дроби, спочатку їх домножають на 10", де п — кількість цифр після коми в дільнику і перетворюють дільник у натуральне число. Кому в частці ставлять після заве- ршення ділення цілої частини діленого. Наприклад, поділимо 3,12 на 2,6: 3,12:2,6 = 31,2:26 _31,2 І 26 26 гй _5 2 52 0 Кожен звичайний дріб можна подати у вигляді скінченного або нескінченного десяткового дробу. 14 Для цього потрібно чисельник поділити на знаменник. Наприклад, — = 1,272727..., 7 З — = 0,5833333..., - = 0,375. 12 8 Періодом нескінченного десяткового дробу називають найменшу групу цифр після коми десятко- вого дробу, яка повторюється. Період записують раз, поміщаючи його в круглі дужки, наприклад, 1,27272727... = 1,(27); 0,583333... = 0,58(3); 0,375 = 0,375000... = 0,375(0). Кожен нескінченний десятковий періодичний дріб можна подати у вигляді звичайного. Правило перетворення нескінченного періодичного дробу в звичайний Щоб перетворити періодичний дріб у звичайний, потрібно від числа, яке стоїть до другого періо- ду, відняти число, що стоїть до першого періоду, і записати цю різницю чисельником звичайного дро- бу, а в знаменнику записати цифру 9 стільки разів, скільки цифр у періоді, і дописати стільки нулів, 24-0 24 8 скільки цифр між комою і першим періодом. Наприклад: 1) 0,(24) = 0,242424... = —= —= —; 2) 2,5(3) = 2,5333... = 253 ~ 25 = — = —. 90 90 15 Модуль дійсного числа Модулем (абсолютною величиною) дійсного числа а називають саме це число, якщо воно не- від’ємне (а > 0), і протилежне йому число, якщо воно від’ємне (а < 0), тобто: . . [а, а>0, \а = 1 1 [-а, а<0. Наприклад, |13| = 13; |-9| = 9; |о| = 0; |^5 - ю| = -(75-10) = 10-Тбї Модуль числа а дорівнює відстані на числовій осі від початку відліку до точки, яка позначає чис- ло а. Додавання від’ємних чисел і чисел з різними знаками 1. Щоб додати два від’ємні числа, потрібно: 1) додати їхні модулі; 2) поставити перед одержа- ним результатом знак «-». Наприклад, -6 + (-2) = -8. 7
2. Щоб додати два числа з різними знаками, потрібно: 1) з’ясувати, модуль якого числа більший; 2) від більшого модуля відняти менший; 3) перед одержаним результатом поставити знак того додан- ка, модуль якого більший. Наприклад: а) -5 + 12 = 7; б) -23,5 + 9,1 = —(23,5 - 9,1) = -14,1. 3. Щоб від одного числа відняти інше число, потрібно до зменшуваного додати число, протиле- жне до від’ємника: а- Ь-а + (-/?). Наприклад: а) 20-50 = 20 + (-50) =-ЗО; б)-20-50 = -20 + + (-50) = -70; в) -20 - (-50) = -20 + (+50) = -20 + 50 = 30. Множення і ділення додатних і від’ємних чисел Добуток (частка) двох чисел з різними знаками є число від’ємне; модуль добутку (частки) дорів- нює добутку (частці) модулів цих чисел. Наприклад: а) -0,25 • 5 = -1,25; б) 0,6 : (-3) = -1,8. Добуток (частка) двох від’ємних чисел є число додатне; модуль добутку (частки) дорівнює добу- тку (частці) модулів цих чисел. Наприклад: а) -7 • (-9) = 63; б) -24 : (-8) ~ 3. Властивості дій над числами 1. Властивості додавання'. а + Ь- Ь + а (переставна властивість); (а + Ь) + с = а + (Ь + с) (сполучна властивість); а + 0 = а (властивість нуля); а + (-а) = 0 (властивість суми протилежних чисел). 2. Властивості множення'. аЬ - Ьа (переставна властивість); (аії) • с- а - (Ьс) (сполучна властивість); (а + Ь) • с = ас + Ьс (розподільна властивість); а • 1 = а (властивість одиниці); а • 0 = 0 (властивість нуля); а • — = 1, якщо а = 0 (властивість обернених чисел). а Пропорція Пропорцією називають рівність двох часток (відношень): — = —, або а'.Ь = с.с1. Числа а та с! на- Ь с/ зивають крайніми членами пропорції, Ь та с — середніми членами пропорції. Основна властивість пропорції: добуток крайніх членів пропорції дорівнює добутку середніх її членів: асІ = Ьс. Прямо пропорційні величини Дві величини називають прямо пропорційними, якщо зі збільшенням значень однієї величини у Х2 У1 7 певну кількість разів значення іншої величини збільшується в таку ж кількість разів: — = — ~к — Уі коефіцієнт пропорційності. Наприклад, якщо швидкість руху автомобіля постійна, то: Час Відстань 2год І 120 км І 2 _ 120 8 год | 480 км | 8 ~ 480 Обернено пропорційні величини Дві величини називають обернено пропорційними, якщо зі збільшенням значень однієї величини Х2 у1 _Т у певну кількість разів значення іншої величини зменшується в таку ж кількість разів: — = —. На- Уі приклад, якщо відстань постійна, то: 8
Швидкість 40 км/ год 80 км/год Час 4 год 2 год 40 = 2 80 4 Масштаб. Масштаб— це відношення відстані на карті до відповідної відстані на місцевості. Наприклад, масштаб 1 : 100000 означає, що 1 см на карті відповідає 100000 см = 1000 м = 1 км на місцевості. Стандартний вигляд числа. Стандартним виглядом числа т називають його запис у вигляді а • 10”, де 1 < а < 10, пе2. Число п називають порядком числа т. Наприклад: т = 63000 = 6,3 • 104; к = 0,0000014 = 1,4- 1(Г6. Приклад 1. Знайти НСД(120; 220). 120 = 2-2-2-3-5,220 = 2-2-5-11. Тоді НСД(120; 220) = 2 • 2 • 5 = 20. Відповідь. 20. Приклад 2. Знайти НСК(28; 16; 10). 28 = 2-2-7; 16 = 2-2-2-2; 10 = 2 • 5. Отже, НСК (28; 16; 10) = 2 • 2 • 7 • 2 • 2 • 5 = 560. Відповідь. 560. Приклад 3. Оксана, Сергій і Петро о 16 годині почали розв’язувати задачі. Оксана на виконання кожної вправи витрачала 16 хв, Сергій— 24 хв, а Петро— 18 хв. Через деякий час вони одночасно закінчили виконувати свої завдання. О котрій годині найшвидше це могло статися? А Б В г д 17 год 12 хв 18 год 18 год 20 хв 18 год 24 хв 19 год І Час, за який діти виконали свої завдання, має виражатися числом, яке ділиться на 16, на 24 і на 18, тобто необхідно знайти НСК чисел 16, 24 і 18. 16 = 24; 24 = 23 • 3; 18 = 2- З2; НСК(16; 24; 18) = = 24 • З2 = 144. Отже, діти закінчать одночасно виконувати вправи через 144 хв = 2 год 24 хв. Це буде об 16 год + 2 год 24 хв = 18 год 24 хв. Відповідь. Г. Приклад 4. Знайти значення числового виразу 15у^ + 11у:^4^-2^-3^. 1) 4±-22=2.2О = 92О = Ь1О = 1о. 2 9 2 9 2-9 1-1 2) 10-3—= 9—-3—= 6—; 6 6 6 6 ,.5 ,5 82 41 82-6 2-6 12 .5 3) 11—:б—= —: — =---=---= — = 1—; 7676 7-41 7-1 7 7 4) 15—+ 1— = 15 + 1+1 + 10 = 16 + — = 16 + — = 16 + 1—= 17—. 14 7 14 14 2 2 2 Відповідь. 17—. 9
2)4,6-А = 4А_А = 4 + ҐА>6_АП=4+3^25=4І1; 12 10 12 110 12 ) 60 60 3) 4— 0 4 = — — 251= 251 =251 • ' 60 ’ 60 10 І5Х-10 15 10 150’ 4) 8—: — = ^ ЗО 150 Відповідь. Б. = 5. Приклад 6. Установити відповідність між числами (1-4) та множинами (А-Д), до яких вони на- лежать. 1 -8 2 23 З Лб 4 1,7 А множина парних чисел Б множина цілих чисел, які не є натуральними В множина раціональних чисел, які не є цілими числами Г множина ірраціональних чисел Д множина простих чисел А Б В Г Д 1 Відповідь. 2 З 4 2 Приклад 7. Турист пройшов у шляху за 3 год. За який час він пройде решту шляху, рухаючись із такою ж швидкістю? А Б В Г д 4,5 год 4 год 5 год 3,5 год 1,8 год Дві частини з п’яти турист пройшов за 3 год, отже, одну частину він пройшов за З : 2 - 1,5 (год). Йому залишилося пройти 5-2 = 3 (ч.) з п’яти, тоді цей шлях він пройде за З - 1,5 =4,5 (год). Відповідь. А. Приклад 8. Мотоцикліст проїхав деяку відстань за 6 год. Якщо він рухатиметься зі швидкістю 48 км/год) то проїде цю відстань за 5 год. Знайти початкову швидкість руху мотоцикліста. Якщо відстань є постійною величиною, то швидкість і час є обернено пропорційними величи- нами, тобто якщо х км/год — початкова швидкість руху мотоцикліста, то Швидкість Час х км/ год І 6 год 48 км/год ▼ 5 год 10
Тоді — = —; х = -8--; х - 40 (км/год). 48 6 6 Відповідь. 40 км/год. Приклад 9. Два оператори комп’ютерного набору, працюючи разом, виконали деяку роботу за 12 год. Другий оператор, працюючи самостійно, може виконати цю роботу за 20 год. За скільки годин виконає цю ж роботу перший оператор, працюючи самостійно? Другий оператор, працюючи самостійно, за 1 год виконає ± усієї роботи. Працюючи разом, за 1 год обидва оператори виконають частину всієї роботи. Отже, перший оператор, працюючи Iх5 1х3 5-3 2 1 самостійно, за 1 год виконає —----=--------= — = — (ч.) всієї роботи. Тоді на виконання всієї ро- 12 20 60 60 30 Е боти першому оператору знадобиться 1: = 30 (год). Відповідь. 30 год. Приклад 10. У магазині купили 9 однакових зошитів по 5 грн. за кожен та кілька ручок по 3 грн. за кожну. Яке з наведених значень може дорівнювати вартості покупки?___________________________ А Б В Г д 55 грн. 56 грн. 57 грн. 58 грн. 59 грн. Суму покупки можна записати у вигляді виразу 5 • 9 + 3 • п, де п — кількість куплених ручок. 5 • 9 + 3 • п = 3 • (5 • 3 + л). Цей вираз містить добуток, у якому один з множників дорівнює 3, тоді вар- тість покупки має ділитися на 3. Отже, сума цифр числа повинна ділитися на 3. Серед запропонованих чисел це лише число 57 (5 + 7 = 12). Відповідь. В. Приклад 11. Середнє арифметичне п’яти чисел дорівнює 400, а одне з цих чисел.— 600. Знайти середнє арифметичне решти чотирьох чисел. . сг + ск + + аЛ + а, Нехай Лі, б/41 б/5 — задані числа, тоді —!----------------- = 400, звідки а\ + сь + а3 + а4 + + а$ = 2000. Якщо одне з чисел дорівнює 600, то, наприклад, а\ + а2 + «з + «4 + 600 = 2000; Яі + аг + аз + щ = 1400. Тоді середнє арифметичне решти чотирьох чисел дорівнює а, +а2 + а3 + а4 = 1400 = 35() 4 4 Відповідь. 350. Приклад 12. Відстань у 2400 км між Києвом і Парижем зображена на карті відрізком завдовжки 48 см. Знайти масштаб карти. А Б В Г Д 1 : 5000000 1 :200000 1 :2400 1 :5000 1 :50 48 см : 2400 км = 48 см : 240000000 см = 1 : 5000000. Відповідь. А. 11
Завдання 1.1-1.22 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 1.1. Яке з наведених чисел кратне числу 9? А Б В Г Д 978999 100009 199999 253647 3333333 1.2. Знайти найбільший спільний дільник чисел 42 і 63. А Б В Г д 126 3 7 9 21 1.3. Знайти найменше спільне кратне чисел 28 і 35. А Б В Г д 7 140 70 175 280 1.4. Обчислити: 1,521 : 0,3 - 1,9 0,3. А Б в г д 0 -0,063 5,13 4,5 -0,63 3 12 3 1.5. Обчислити: 2-----1---: —. 4 25 20 А Б В Г д 3,575 3,7 4,7 5,7 4,07 1.6. Обчислити: 4— -6— -ґ-1—] + 5—. З 7 V 9> 21 А Б В г д И 23 63 422 63 4» 63 -4— 63 „ 4 з— 63 1.7. Обчислити: -4,8 : (-2,6 + 3,4) + 0,8. А Б В Г д -7,2 -6,8 6,8 -5,2 5,2 1.8. Розв’язати рівняння (5х - 7): 12 = 2:3. А Б В Г д 3 2 7 4 6 1.9. Вказати найбільше з наведених чисел. А Б В г д 0,23 0,(23) 0,233 0,2(3) 0,2(31) 1.10. Вказати звичайний дріб, який дорівнює дробу 0,1(3). А Б В Г д 13 13 13 3 2 100 99 90 13 15 12
1.11. |л-4| = ... А Б В Г д тс-4 л + 4 -4л 4-л 4л 1.12. Не виконуючи ділення, встановити остачу від ділення 33333333341 на 9. А Б В Г д 1 5 14 4 41 1.13. Швидкість равлика дорівнює — м/хв. Яку відстань проповзе равлик за 6— години? А Б В Г д 0,75 м 31,25 м 75 м 25 м 48 52— м 12 1.14. Із 68 жовтих і 85 червоних троянд склали букети, розділивши жовті та червоні троянди в усі букети порівну. Скільки найбільше букетів можна одержати? А Б В Г д 9 20 34 17 8 1.15. Яка найменша кількість метрів тканини може бути в рулоні, щоб його можна було продати без залишку по 6 м, по 8 м або по 10 м? А Б В г д 480 60 120 240 4800 1.16. За три дні зорано 1800 га поля. За перший день зорано — поля, а за другий — — поля. Скільки гектарів поля було зорано за третій день? А Б В г Д 1100 700 1200 800 900 1.17. За перший день турист пройшов — усього шляху, а за другий — решту — 26у км. Яку від- стань пройшов турист за два дні? А Б В г д 1 46— км 4 54— км 3 60 км С£1 56— км 4 48 км 1.18. Басейн наповнюється через першу трубу за 4 години, а через другу — за 6 годин. Яку частину басейну залишиться наповнити після спільної роботи обох труб протягом 2 годин? А Б В г Д 4 5 3 5 1 6 2 3 9 10 1.19. Басейн заповнюють водою через першу трубу за а годин, через друг}' — за Ь годин. Через скільки годин можна заповнити басейн при використанні обох труб разом? А Б в Г д а + Ь а-Ь аЬ аЬ а + Ь а + 6 аЬ 13
1.20. Майстер виготовляє одну деталь за 5 хв, а його учень таку ж деталь — за 9 хв. Працюючи ра- зом, вони виготовили 42 деталі. Скільки деталей виготовив майстер? А Б В г д 28 32 зо 27 25 1.21. Добуток двох послідовних парних натуральних чисел дорівнює 728. Знайти суму цих чисел. А Б В Г Д 56 66 54 32 28 1.22. В одному місті всі мешканці розмовляють англійською або французькою мовою. Англійською мовою розмовляє 90% усіх мешканців, французькою — 80%. Скільки відсотків мешканців во- лодіє лише однією мовою? А Б В г Д 70% 60% 30% 20% 10% Завдання 1.23-1.32 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 1.23. Установити відповідність між числами (1-4) та їх остачами від ділення на 9 (А-Д). 1 53229465 2 81720245 З 33333332 4 33333016 А 2 Б З В 4 Г 5 Д 0 1.24. Установити відповідність між числами (1^4) та їх записами у стандартному вигляді (А-Д). 1 73,4 А 7,34 • 10’3 2 734 Б 7,34 • 10’2 З 0,734 В 7,34 • 10-' 4 0,00734 Г 7,34 • 10 Д 7,34 • 102 1.25. Установити відповідність між періодичними десятковими дробами (1-4) та їх записами у ви- гляді звичайних дробів (А-Д). 1 0,(6) 2 0,2(3) З 0,2(6) 4 0,7(30) . 241 А ---- 330 в 5 г з Д - б 14
1.26. Установити відповідність між виразами (1-4) та їх значеннями (А-Д). 1 |я- 4| + |л- 3| 2 |3-я|-|-л-4| З -|л-4|-|л-3| 4 |тс-4| + І-тс-ЗІ А 2л-7 Б 7 В 1 Г -1 Д-7 1.27. Установити відповідність між виразами (1—4) та їх значеннями (А-Д). 1 1000 • 0,02 + 100 • 0,004 + 10 • 0,0003 А 2,0403 2 1000 • 0,02 + 100 - 0,04 + 10- 0,0003 Б 2,4003 З 10000 • 0,02 + 1000 • 0,004 + 100 • 0,0003 В 20,403 4 100 • 0,02 + 100 • 0,004 + 10 • 0,00003 Г 24,003 Д 204,03 1.28. Установити відповідність між виразами (1—4) та їх значеннями (А-Д). 1 1,824:0,3-1,9-0,2 А 5,048 2 0,2432:0,04-1,9-0,02 Б 5,98 З 36,48 : 6 + 4,5 • 0,2 В 5,7 4 4,864:8 + 0,111-40 Г 6,042 Д 6,98 1.29. Установити відповідність між виразами (1—4) та їх значеннями (А-Д). 1 23 3 4 1-4-1 — : — 2 25 20 А 15— 3 4:1—4-2—-7— 2 3 7 Б 16- 3 00 1 — | ю си’к- 1 ю МІ- В 17— 3 Ґ18—+ 2—1:1— V 4 6> 4 Г 18— 5 д 19— 1.30. Установити відповідність між виразами (1—4) та їх значеннями (А-Д). 1 -48 : (-26 + 34) + 80 2 -120: (-26-34)+ 36-(-2) З 68 : (7-41)-18 • 4 4 -144 : (42-46)-12-(-3) А -72 Б -74 В -70 Г 74 Д 72 15
1.31. Установити відповідність між степенями (1-4) та їх значеннями (А-Д). 1.32. Установити відповідність між виразами (1-4) та їх значеннями (А-Д). 1 2 5~2 • 54 (б’2)’1 • 5-3 А 1 125 3 4 (5-'Г2 - 5 (5-1)4 • 52 Б 1 25 В х Г 25 Д 125 Розв’яжіть завдання 1.33-1.47. Відповідь запишіть десятковим дробом. / 7 17Л 1 1.33. Обчислити значення виразу ^8—-2—-2,7-4—:0,65 . У відповідь записати результат, округлений до 0,01. ( 2 3 2 З 'І 1.34. Обчислити зручним способом: ^74,7 - — + (-105,3) • 2— — (—105,3) • — -2у 74,7^ : 10. .о „ . ... 1,2:0,375-0,2 (0,016:0,12 + 0,7)-3 1.35. Знайти невідомий член пропорції: -2—-------= 3---------------—. 6—:15—+ 0,8 х 25 5 1.36. Два пароплави заходять у порт після кожного рейсу. Перший робить рейс за 4 дні, а другий — за 6 днів. Якось у неділю вони зустрілись у порту. Через скільки днів вони зустрінуться в пор- ту в неділю наступного разу? 1.37. Для учнів класу приготували однакові подарунки. В усіх подарунках було разом 588 цукерок, 140 яблук і 252 горіхи. Скільки учнів у класі, якщо їх більше, ніж 20? 1.38. Середній вік одинадцяти футболістів команди становить 22 роки. Під час гри однин із гравців залишив поле, після чого середній вік футболістів, які залишилися, дорівнював 21 рік. Скільки років футболістові, який залишив поле? 1.39. Кішка з кошенятами з’їдають куплений господарем корм за 8 днів. Якби кішку годували саму, то їй вистачило б корму на 11 днів. На скільки повних днів вистачило б корму кошенятам? 1.40. Швидкість товарного поїзда дорівнює 60 км/год. Чому дорівнює його довжина у метрах, якщо відомо, що він проходить повз нерухомого спостерігача за 15 секунд? 16
1.41. Петрик збирає за 21 хвилину 48 яблук, а Сашко за 84 хвилини — 36 яблук. Скільки яблук збере Петрик за час, за який Сашко збере 54 яблука? 1.42. У класі із 40 учнів ЗО уміють плавати, 27 — грати у шахи і 5 не вміють ні плавати, ні грати в шахи. Скільки учнів уміють плавати і грати в шахи? 1 1.43. Знайти х, якщо ( 3—: 16 / 2,75 7 + 6,2 2 :12— = 1,2 3 2 лс х: — 45 < 7 24 ) 1.44. У ліцеї навчається 70 учнів, з них 27 записалося в драмгурток, 32 співають у хорі, 22 захоплюються спортом. Драмгурток відвідує 10 учнів, які також займаються в хорі, у хорі співає 6 спортсменів, у драмгуртку займається 8 спортсменів, 3 спортсмени відвідують і драм- гурток, і хор. Скільки дітей не співають у хорі, не захоплюються спортом і не займаються в драмгуртку? 1.45. Катер пройшов за течією річки 60 км за деякий час. За цей же час проти течії він пройшов би 40 км. Яку відстань у кілометрах за цей час пропливе пліт? 1.46. Відстань між містами за течією річки теплохід проходить за 6 год, а проти течії — за 8 год. За скільки годин пропливе цю відстань пліт? 1.47. Автомобіль проїхав першу половину шляху зі швидкістю 60 км/год. Шлях, що залишився, по- ловину часу він їхав зі швидкістю 80 км/год, а другу половину часу — зі швидкістю 100 км/год. Знайти у кілометрах за годину середню швидкість руху автомобіля. 2* Каліносов А. Математика. Комплексна підготовка до ЗНО 17
Тема 2. Відсотки Відсотком (процентом) називають число одну соту. Отже, у^ = 1%; 100% = ~~ = 1; 50% = - = - 100 2 25% = —= 1 100 4 Тоді 100% числа а дорівнюють а, 50% числа а дорівнюють ^а, 25% числа а становлять . Щоб перетворити десятковий дріб у відсотки, потрібно помножити його на 100. Щоб перетворити відсотки у десятковий дріб, потрібно число відсотків поділити на 100. Наприклад: а) 0,002 = 0,002 • 100% = 0,2%; 0,07 = 0,07 • 100% = 7%; 1,34 = 1,34 • 100% = 134%; б) 2,3% = 2,3% : 100% = 0,023; 40% = 40%: 100% = 0,4; 263% = 263% : 100% = 2,63. 2 2 200 Аналогічно поступають і у випадку звичайних дробів. Наприклад: а) у = — -100% = —— % = 2 4 4 200 200 1 2 = 66—%; б) 28—% = 28-%:100% = —: 100 = — - — = - 3 7 7 7 7 100 7 Знаходження відсотків від числа Приклад 1. Зарплата водія становить 3400 грн. Авансом йому виплатили 40 % зарплати. Яку суму отримав водій? 3400 грн. — 100%; х грн. — 40%. „ . 3400 100 . 3400-40 Складаємо пропорцію:------= -^-.Тоді х =———;х = 1360. Отже, водій отримав 1360 грн. Відповідь. 1360 грн. Розв’язання задачі можна провести і так: 1) записати 40% десятковим дробом: 40% = 0,4; 2) знайти дріб 0,4 від числа 3400: 3400 • 0,4 = 1360 (грн.). Для того щоб знайти р відсотків від заданого числа а, можна: 1) записати р відсотків десятковим дробом; 2) помножити число а на одержаний десятковий дріб. Наприклад: знайти 13% від 40. 13% = 0,13; 40 • 0,13 = 5,2. Знаходження числа за його відсотками Приклад 2. Робітникові виплатили авансом 1400 грн., що становить 35% його зарплати. Яка за- робітна плата у робітника? 1400 грн, —35%; х грн. —100%. . 1400 35 т . 1400-100 Складаємо пропорцію:-----=----. Тоді х =-------; х = 4000. х 100 35 Отже, заробітна плата робітника становить 4000 грн. Відповідь. 4000 грн. Розв’язання задачі можна провести і так: 1) записати 35% десятковим дробом: 35% = 0,35; 2) знайти число за його дробом: 1400 : 0,35 = 4000 (грн.). 18
Для того щоб знайти число за відомою його частиною т і числом відповідних відсотків р, можна: 1) записати р відсотків десятковим дробом; 2) поділити т на одержаний десятковий дріб. Наприклад: знайти число, якщо 19% його становлять 57. 19% - 0,19; 57 : 0,19 - 300. Знаходження відсоткового відношення двох чисел Приклад 3. Сторожеві із зарплати 1800 грн. виплатили авансом 720 грн. Який відсоток зарплати він отримав? 1800 грн. —100%; 720 грн. — х %. . 1800 100 . 720-100 Складаємо пропорцію: —— =------. Тоді х = ——; х - 40. Отже, сторож отримав 40% зарплати. Відповідь. 40%. Розв’язання задачі можна провести і так: 1Ч 720 1) знайти відношення —- = 0,4; 2) помножити одержаний результат на 100%: 0,4 • 100% = 40%. Для того щоб знайти, скільки відсотків становить число а від числа Ь, можна: 1) знайти значення дробу —; Ь 2) помножити його на 100%. 9 Наприклад: знайти, скільки відсотків становить число 9 від числа 24. — • 100% = 37,5%. Формули простих і складних відсотків. Якщо банк виплачує клієнтові щомісячно р% внесеної суми Ао, то на рахунку клієнта через п мі- сяців буде сума: Ап = Л^І + . Це формула простих відсотків. Якщо клієнт поклав у банк суму Ао під р% річних, то через п років нагромаджений (накопичений) капітал становитиме: ґ \п Ап = Ло11+у-у І . Це формула складних відсотків. Приклад 4. Якою має бути початкова сума, покладена в банк під 20% річних, щоб через два роки прибуток становив 22000 грн.? Нехай початкова сума становить Ао грн. Тоді через два роки на рахунку буде Л2 = 4) (1 + 0,2)2 = Д) -1,44 (грн.). Прибуток дорівнює різниці нарощеного (А2) та початкового (Ло) 22000 капіталу: ^4 - 4> = 4) ’ 1>44 - 4> = 4> ’ 034. Рівняння: Ао 0,44 = 22000; 4> = - 50000 (грн.). Відповідь. 50000 грн. Приклад 5. Скільки сухої ромашки вийде із 50 кг свіжої, якщо при сушінні вона втрачає 84% своєї маси? А Б В Г д 34 кг 312,5 кг 60 кг 42 кг 8 кг 19
1)84% = 0,84; 2) 0,84 • 50 = 42 (кг) — втрачає ромашка при сушінні; 3) 50 - 42 = 8 (кг) — залишиться сухої ромашки. Відповідь. Д. Приклад 6. Товар був виставлений на продаж за 4000 грн. Після двох знижок на одну й ту ж кіль- кість відсотків він був проданий за 2250 грн. Визначити, на скільки відсотків щоразу знижували ціну. Нехай ціну знижували на х% = ^^. Тоді, застосувавши формулу складних відсотків, де ( х У ( х V 225 Ао = 4000 грн., и = 2, А2 = 2250 грн., р% =х%, одержимо: 4000 1------=2250; 1---- =------; Р Р V 100> < 1007 400 . х 15 х 1 1------= —; ----= —;х-25. 100 20 100 4 Відповідь. 25%. Приклад 7. Токареві за перший рік роботи підвищили заробітну плату на 10%, а через рік — ще на 20%. На скільки відсотків підвищили токареві заробітну плату за два роки? Нехай заробітна плата токаря становила а грн. Після першого підвищення вона становила а + 0,1а = 1,1а. Після другого підвищення (за 100% беремо вже 1,1а) заробітна плата становитиме 1,1а + 0,2 • 1,1а = 1,32а. Отже, заробітна плата токаря зросла на 1,32а - а = 0,32а, тобто на 0,32а : а = 0,32 = 32%. Відповідь. На 32%. Приклад 8. Вологість свіжоскошеної трави становить 60%, а вологість сіна— 15%. Скільки сіна можна одержати з 1,7 т свіжоскошеної трави? 1) 1700 • 0,4 = 680 (кг) — маса сухої трав’яної маси; 2) 680 : 0,85 = 800 (кг) — маса сіна. Відповідь. 800 кг. Приклад 9. Скільки води потрібно додати до 50 г 35%-го розчину, щоб одержати 10%-й розчин? 1) 50 • 0,35 = 17,5 (г) — маса солі в розчині; 2) у новому розчині 17,5 г солі становлять 10%, тоді маса нового розчину дорівнює 17,5 : 0,1 = = 175 (г); 3) 175 - 50 = 125 (г) — води потрібно додати до розчину. Відповідь. 125 г води. Приклад 10. У зв’язку із впровадженням новітніх технологій на виробництві продуктивність праці зросла на 60%. На скільки відсотків зменшиться час виконання деякого завдання? Продуктивність праці становить р одиниць продукції за 1 год, час її виконання — і год. Тоді вся робота А полягає у виготовленні рі одиниць продукції. Оскільки продуктивність праці зросла на 60%, то вона стала дорівнювати 1,6/? одиниць продукції за 1 год. Кількість виготовлених одиниць продукції не змінилася, тому рі - 1,6/? *Л, де і\ — час виконання завдання зі збільшеною продуктивніс- /?/ і 10/ 5. ~ , 5, З, тю, звідки Д = —— = — = — = -і. Тоді час виконання завдання зменшився на і —і = -і, що стано- 1,6/? 1,6 16 8 8 8 З З вить -/:/ = -= 37,5%. 8 8 Відповідь. Час зменшиться на 37,5%. Приклад 11. У яких пропорціях потрібно змішати 70%-й і 50%-й розчини кислоти, щоб одержати 65%-й розчин цієї кислоти? Нехай узяли х г 70%-го розчину кислоти, а 50%-го — у г. Тоді маса 65%-го розчину дорівнює (х+у)(г). Чистої кислоти в 70%-му розчині було 0,7хг, у 50%-му— 0,5уг. Чистої кислоти в ново- 20
утвореному розчині 0,65(х + у) г. Рівняння: 0,7х + 0,5у - 0,65(х + у); 0,7х + 0,5у = 0,65х + 0,65у; х З 0,05х = 0,15у; х = 3у; — = —. Отже, потрібно взяти 3 частини 70%-го розчину й одну частину 50%-го У 1 розчину. Відповідь. З : 1. Завдання 2.1-2.23 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРА- ВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 2.1. Як знайти 52% від числа 960? А Б В Г д 960 100 52 52•100 96 960 52 100 960:52 960 • 52 2.2. Як знайти число, 60 % якого дорівнюють 360? А Б в г д 360 • 60 360 60 60 100 360 360-60 100 360 100 60 2.3. Як встановити, скільки відсотків становить число 9 від 96? А Б В Г д 9 100 96 96-9 100 96 100 9 9 96 96 9 2.4. Банк сплачує своїм вкладникам 8% річних. Визначити, скільки грошей потрібно внести на ра- хунок, щоб через рік отримати 60 грн. прибутку. А Б В Г д 1150 грн. 1050 грн. 950 грн. 850 грн. 750 грн. 2.5. Уміст олова у сплаві становить 40%. Скільки грамів олова у 300 г такого ж сплаву? А Б В Г д 133- г 3 120 г 75 г .о 1 13— г 3 240 г 2.6. Сплав містить 50 г олова і 200 г міді. Який відсотковий уміст олова у сплаві? А Б В Г д 24% 40% 20% 25% 50% 2.7. Вкладник вніс до банку 2000 грн., а через рік отримав 2160 грн. Під який відсоток річних були покладені іроші? А Б В г д 12% 8% 6% 14% 16% 2.8. 10%-й розчин солі містить 180 г води. Яка маса цього розчину? А Б В Г Д 198 г 190 г 1800 г 200 г 400 г 21
2.9. Ціна товару дорівнює 64 грн. Після зниження ціни товар коштував 56 грн. На скільки відсотків було знижено ціну? А Б В г Д 25% 8% 10% 2 14—% 7 12,5% 2.10. Скільки відсотків від 180 становлять 15% від 300? А Б В Г Д 15% 20% 25% 30% 40% 2.11. Сплав, маса якого дорівнює 320 кг, містить 20% олова, 144 кг свинцю і решту — домішки. Ви- значити відсотковий уміст домішок. А Б В Г Д 80% 25% 35% 55% 48,75% 2.12. Скільки відсотків становить НСД(99; 126) від НСК(12; 20)? А Б В Г Д 25% 20% 15% 10% 30% 2.13. Ціна товару була підвищена на 25%. На скільки відсотків необхідно зменшити нову ціну това- ру, щоб одержати початкову? А Б В Г д 25% 15% 35% 20% 10% 2.14. Власник клубу має стабільний прибуток. Щоб збільшити прибуток, він підвищив ціну на квит- ки на 25%. Кількість відвідувачів значно зменшилася, і він вимушений був повернутися до по- чаткової ціни квитка. На скільки відсотків власник клубу зменшив ціну квитка? А Б В Г д 125% 100% 25% 20% Інша відповідь 2.15. Деяке додатне число спочатку збільшили на 50%, а потім одержане число зменшили на 50%. Як змінилося початкове число? А Б В Г д Не змінилося Зменшилося на 25% Зменшилося на 20% Зменшилося на 5% Збільшилося на 5% 2.16. На скільки відсотків збільшиться об’єм куба, якщо його ребро збільшити на 50%? А Б В Г д 237,5% 125% 150% 50% 337,5% 2.17. Вкладник вніс до банку 1000 грн. під 8% річних. Яку суму він матиме на рахунку через 3 роки? А Б В г Д 3 • 1000- 1,08 3 • 1000 • 0,08 1000 • 0,082 1000 • 0,083 1000- 1,083 2.18. Число а становить 25% числа Ь. Скільки відсотків становить число Ь від числа а? А Б В Г д 400% 200% 250% 750% 500% 22
2.19. Товар подешевшав на 20%. На скільки відсотків більше можна купити товару за ту ж кількість грошей? А Б В г Д 25% 20% 10% 40% 5% 2.20. Тривалість робочого дня зменшилась з 8 год до 6 год. На скільки відсотків потрібно підвищити продуктивність праці, щоб випуск продукції залишився тим же? А Б В г Д 20% 25% 33-% 3 35% 24-% 3 2.21. Машиніст провів поїзд за 7 год ЗОхв замість 9 год за графіком. На скільки відсотків було збільшено середню швидкість? А Б В Г д 20% 2 16-% 3 25% 15% 30% 2.22. У сплаві міді та цинку мідь становить — частину маси цинку. Який відсотковий уміст міді у сплаві? А Б В Г д 2 14—% 7 12,5% 25% 45% 6,2% 2.23. 2 кг сплаву міді з оловом містить 40% міді. Скільки потрібно додати до цього сплаву олова, щоб отриманий сплав містив 16% міді? А Б В Г д 3 кг 2,5 кг 2 кг 4 кг 3,5 кг Завдання 2.24-2.28 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 2.24. Установити відповідність між частинами (1—4) та відсотками (А-Д). 2 5 х 8 А 40% Б 20% В 80% Г 12,5% Д 25% 4 5 23
2.25. Установити відповідність між затушованими частинами круга (1^4) та відсотками (А-Д), які вони становлять від круга. А 62-% 2 Б 58—% З В 83—% З Г 75% Д 66^% 2.26. Установити відповідність між задачами (1-4) та їх розв’язаннями (А-Д). 1 Скільки відсотків становить число 40 від числа 240? А 240-40% 100% 2 Знайти 40% від числа 240. к 240-40% 3 Знайти число, 40% якого дорівнюють 240. л> т> 100 240-100% 4 Скільки відсотків становить число 240 від числа 40? о г Д 40 240-100% 40% 40-100% 240 2.27. Кількість дівчат у класі становить — кількості хлопців. Установити відповідність між задача- 4 ми (1-4) та відповідями (А-Д) до них. 1 Скільки відсотків хлопців у класі? А 20% 2 Скільки відсотків дівчат у класі? Б 75% З Знайти відсоткове відношення кількості В 25% дівчат до кількості хлопців. р 80% 4 Знайти відсоткове відношення кількості д 400% хлопців до кількості дівчат. 2.28. Установити відповідність між задачами (1-4) та відповідями (А-Д) до них. 1 Вкладник вніс до банку 11000 грн. під А 12320 13% річних. Скільки гривень становити- б 1382 4 ме прибуток через рік? В 1340 2 Вкладник вніс до банку 11000 грн. під р 12% річних. Скільки гривень буде на йо- го рахунку через рік? Д 1440 З Вкладник вніс до банку 4000 грн. під 16% річних. Скільки гривень становити- ме прибуток через 2 роки? 4 Вкладник вніс до банку 1000 грн. під 20% річних. Скільки гривень буде на йо- го рахунку через 2 роки? 24
Розв’яжіть завдання 2.29-2.40. Відповідь запишіть десятковим дробом. 2.29. 2 кг сплаву міді з оловом містить 40% міді. Скільки кілограмів олова потрібно додати до цього сплаву, щоб отриманий сплав містив 25% міді? 2.30. Скільки кілограмів води потрібно випарувати зі 100 кг 10%-го розчину солі, щоб одержати розчин з концентрацією 20%? 2.31. Сплав міді та цинку, маса якого дорівнює 6 кг, містить 45% міді. Скільки кілограмів міді пот- рібно додати до цього сплаву, щоб він містив 60% міді? 2.32. З молока одержують 21% вершків, а з вершків — 24% масла. Зі скількох тонн молока можна одержати 126 кг масла? 2.33. Змішали 2 л молока, жирність якого дорівнює 6%, і 3 л молока, жирність якого дорівнює 8%. Знайди у відсотках жирність утвореної суміші. 2.34. Щоб одержати 800 г 50%-го розчину азотної кислоти, слід змішати 60%-й розчин цієї кислоти з 20%-м розчином. Скільки грамів 20% розчину використали? 2.35. До 400 г 5%-го розчину солі додали солі й одержали 24%-й розчин. Яка маса утвореного роз- чину у грамах? 2.36. Порода містить 32% мінералу, в якому є 4,5% золота. Який відсоток золота в породі? 2.37. Вкладник вніс до банку 9000 грн. Частину грошей він поклав під 10% річних, а решту — під 8%. Через рік прибутки від обох вкладів були однаковими. Скільки тисяч гривень було покла- дено на перший рахунок? 2.38. Скільки тисяч гривень було покладено в банк, якщо через два роки прибуток становив 840 грн. за 10% річних? 2.39. Встановити, який відсоток річних нараховує банк, якщо через два роки за початкового вкладу 800 грн. на рахунку стає 882 грн. 2.40. Ціна вхідного квитка в кінотеатр становить 36 грн. Після зменшення вхідної плати кількість глядачів збільшилися на 50%, а виручка — на 25%. Скільки гривень став коштувати квиток? 25
Тема 3. Цілі вирази Степінь числа а з натуральним показником п(п> 1) Степенем числа а з натуральним показником п (п > 1) називають добуток п множників, кожен з яких дорівнює а: а" =аа-...а. п множників Наприклад: 25 =2-2-2-2-2 = 32; (-3)4 = -3• (-3)• (-3)• (-3) = 81; (-5)3 =-5-(-5)-(-5) = -125. 5 множників 4 множники 3 множники Вважають, що а{ - а . Наприклад, 7і = 7; (-8)1 = -8. Легко помітити, що 0” = 0; Г = 1. (3^з 27 Будь-який степінь додатного числа є додатним числом. Наприклад, 210 = 1024 > 0; — = — > 0. к4> 64 Парний степінь від’ємного числа є додатним числом. Наприклад, (-8)2 = 64 > 0; 2Ї=-*б>о. 3> 81 Непарний степінь від’ємного числа є від’ємним числом. Наприклад, (-5)3 = -125 <0; (—0,1)5 = = -0,00001 <0. Степінь з цілим показником Якщо а Ф 0 і п — натуральне число, то аГп = -у. Наприклад, 7’2 = (-6)-3 = Г,2У4 Ґ5^ ГЗУ 81 п ГаГ" ґдУ Вважають, що <т° = 1, якщо а Ф 0. Наприклад, 3° = 1; (-2)° - 1. Основні властивості степенів: 1. а”'-а'=ат*п. Наприклад, 23 • 24 = 23+4 = 27 = 128; 2. -^ = ат'\ Наприклад, -|у = З6-2 = З4 = 81; 3. = ат". Наприклад, (42)3 =42 3 =46 =4096; 4. (а • Ь)" = а" Ь". Наприклад, 203 = (2 • 10)3 = 23 • 103 = 8 • 1000 = 8000; _ ґаГ ап „ ( 2У 24 16 5. — =—. Наприклад, — =—-г =—. <Ь) Ьп V 3> З4 81 Одночленами називають числа, змінні, їхні степені з натуральними показниками та добутки. На- 2 приклад, 5; х; 5т2п-(-3)т4. Одночлен, який містить єдиний числовий множник, записаний пер- шим (коефіцієнт), та степені різних змінних, називають одночленом стандартного вигляду. Напри- клад, щоб подати одночлен 5т2п • (-3)т4 у стандартному вигляді, слід помножити 5 і -3 та т2 і т4\ 5т2п • (-З)и?4 = -15твп. Коефіцієнт цього одночлена — число -15. Степенем одночлена називають суму показників степенів усіх змінних, які входять до нього. Якщо одночлен містить лише число, то його степінь дорівнює нулю. Наприклад, -15иЛ? — одночлен сьомого степеня, ІОх — одночлен першого степеня, 78 — одночлен нульового степеня. Многочленом називають суму кількох одночленів. Доданки многочлена, які відрізняються лише коефіцієнтом, називають подібними членами (доданками) многочлена. Наприклад, у тричлені Зх2 -9х5 • 2/и -х2 подібними доданками є Зх2 та -х2. 26
Многочлен, який містить лише одночлени стандартного вигляду, серед яких немає подібних чле- нів, називають многочленом стандартного вигляду. Степенем многочлена стандартного вигляду на- зивають найбільший зі степенів одночленів, з яких складається даний многочлен. Формули скороченого множення 1. (а-Ь\а+Ь)=а2 -Ь2. Наприклад, (а-3)(а + 3) = а2 - 32 = а2-9; 2. (а±Ь)2 = а2 ±2аЬ+Ь2. Наприклад, (2а - 5)2 = (2а)2 - 2 • 2а • 5 + 52 = 4а2 - 20а + 25; 3. (а+Ь^ = а3 +За2Ь+ЗаЬ2 ±Ь3. Наприклад, (5 + 2х)3 = 53 + 3 - 52 - 2х + 3- 5- (2х)2 + (2х)3 = = 125 + 150х +60х2 + 8х3; 4. (а±Ь^а2 + аі> + Ь2)= а3 ±Ь3. Наприклад, (2 -х)(4 + 2х + х2) = 23 -х3 = 8 -х3; 5. (а1 + а2 +... + а„)2 = а2 + а2 +... + а2 + 2а}а2 + 2^ +... + 2а„_1ап. Наприклад, (т - х + Зс)2 = т2 + х2 + 9с2 - 2тх + бтс - бхс. Розкладання многочлена на множники 1. Винесення спільного множника за дужки. Наприклад, 12а5 - ЗОа36+ба3 = ба3 • 2а2 + ба3 • (-56)+ба3 • 1= = ба3 (2а2-56 + 1). 2. Використання формул скороченого множення. Наприклад, 100х2 -у8 =(10х)2 -(у4) = = (10х-/)(10х + /). 3. Групування. Наприклад, 6х2у2 + 8у + Зх2у + 4 = (бх2у2 + Зх2у) + (8у + 4) = = Зх27- (2у +1) + 4 • (2у +1) = (2у + 1)(3х2у + 4). Дії над многочленами Щоб додати (відняти) многочлени, досить розкрити дужки, перед якими стоїть знак «+» або «->?, та звести подібні доданки, якщо вони є. Якщо перед дужками стоїть знак «+», то при розкриванні дужок знаки всіх одночленів, які були в дужках, не змінюються; якщо знак «-» — то знаки змінюють- ся на протилежні. Наприклад, (3 + 5х) + (7х - 4) - 3 + 5х + 7х - 4 = 12х - 1; (-4 + Зх) - (3 - 5х) = = -4 + Зх-3 + 5х = 8х-7. Щоб помножити одночлен на многочлен, потрібно одночлен помножити на кожен член много- члена й отримані добутки додати. Наприклад, Зх • (2х + 5) - Зх • 2х + Зх • 5 = 6х2 + 15х. Щоб помножити многочлен на многочлен, потрібно кожен член одного многочлена помножити на кожен член іншого многочлена й отримані добутки додати. Наприклад, (3 + 5х)(7х - 4) = 3 • 7х + + 3 • (-4) + 5х • 7х + 5х • (-4) = 21х- 12 + 35х2 -20х = 35х2 + х- 12. Щоб поділити многочлен на одночлен, досить кожен член многочлена розділити на цей одночлен і одержані результати додати. Наприклад, (15х4 - 9х3 + 24х2 - 6х): (Зх) = 5х3 - Зх2 + 8х - 2. Ділення многочлена на многочлен Якщо для двох многочленів А(х) і В(х) можна знайти такий многочлен 0(х), що А(х) = В(х) • <2(х), то кажуть, що многочлен А(х) ділиться на многочлен В(х). Наприклад, оскільки х2 - 9 = (х - 3)(х + 3), то многочлен А(х) = х2 - 9 ділиться на многочлен В(х) = х + 3, тоді ()(х) -х-З — частка. Ділення многочлена на многочлен за правилом кута. Щоб поділити многочлен на многочлен за правилом кута, потрібно: 1. Упорядкувати члени многочленів за спаданням степенів змінної. 2. Поділити старший член діленого на старший член дільника. 3. Одержаний результат помножити на дільник й одержаний добуток відняти від діленого. 4. З одержаною різницею повторити кроки 1-3 доки не залишиться в остачі нуль або степінь ос- тачі не стане меншим від степеня дільника. 27
Наприклад: Xі + Зх2 - 18х - 40 х+ 2 ’х + 2х2 х2 + х- 20 х2 - 18х х2 + 2х _-20х-40 -20х-40 0 Многочлен від однієї змінної можна записати так: Р(х) = аохп + аре" 1 + а2х” 2 +... + ап_хх + ап, де а0, аі, а2,а„ — числа, до того ж а0 * 0, х — змінна. Число б/ називають коренем многочлена, якщо Р(сІ) - 0. Наприклад, число 5 — корінь многочлена Р(х) — х3-4х2-4х-5, боР(5) = 53 - 4 • 52 - 4 - 5 - 5 = 125-100 - 20 - 5 = 0. Схема Горнера ділення многочленів Виконання ділення многочленів можна виконувати за допомогою схеми Горнера. Нехай потрібно поділити многочлен <70хл + аххп~х + а2х"~2 +... + ап_рс + ап на двочлен х - а. Тоді ділення можна записа- ти за допомогою таблиці: ао аі а2 ап-\ а2 а ао Ь\- а • а0 + а\ Ь2- а • Ь\+ а2 ~ а * Ьп_2 + ап-\ Ьп - а Ьп-\ + а„ коефіцієнти многочлена (п - 1) степеня остача Наприклад, (2х4 - 9х3 + 4х2 + 2їх - 18): (х - 1). 2 -9 4 21 -18 1 2 -7 -3 18 0 Отже, можна записати: 2х4 - 9х3 + 4х2 + 2 їх - 18 = (х - 1 )(2х3 - 7х2 - Зх + 18). Теорема Безу Остача від ділення многочлена Р(х) на лінійний двочлен х-сі дорівнює значенню цього много- члена, якщо х — б/, тобто Р(сГ). Наприклад, остача від ділення многочлена 2х3 - Зх2 + 4х + 9 на двочлен х + 1 (х + 1 = х - (-1), ос- тача дорівнює -1) дорівнює Р(-1) = 2 • (-1)3 - 3 • (-1/ + 4 • (-1) + 9 = -2 - 3 - 4 + 9 = 0, тобто Р{х) ді- литься на х + 1 націло. Розклад на множники квадратного тричлена і деяких многочленів Вираз ах1 + Ьх + с, де а, Ь і с — деякі числа (а Ф 0), х — змінна, називають квадратним тричле- ном. Його корені Хі та х2 можна обчислити за формулою х, 2 = -—, де £) = б2 - 4ас — дискримі- 2а нант. Якщо хі та х2— корені квадратного тричлена, то ах2 + Ьх + с = а(х-Х|)(х-х2). Наприклад, три- член 2х2 + х - 3 має два корені: -1,5 і 1, тоді 2х2 + х - 3 = 2(х - 1 )(х + 1,5). ап — Ьп — (а — Ь)(а"~1 + а”~2Ь 4- ап3Ь2 + ... + сґЬп~3 + аЬп~2 + />""*). Наприклад: а) а4 — Ь4 = (а — />)(а3 + + а2Ь + аЬ2 + Ь3); б) а5 - Ь5 = (а - Ь)(а4 + а3Ь + а2Ь2 + аЬ3 + Ь4). Якщо иє N і п = 2к + 1 — непарне число, то ап + Ьп = (а + Ь)(а"~х - ап~2Ь + а"~3Ь2 -... + а2Ьп~3 - - аЬп~2 + б”"1). Наприклад, а5 + Ь5 = (а + Ь)(а4 - а3Ь + а2Ь2 - аЬ3 + Ь4). Степінь двочлена (біном Ньютона) (а + Ь)п = ап + Ріб/1-'/) + Ргб/1-2/?2 + ... + Р„_2бї2/>"“2 + Р„_|бб^”-1 + Ьп. Коефіцієнти цього розкладу 1; рь Рз,...; ря-г; Рл-ь 1 можна взяти з таблиці, яку називають трикутником Паскаля. 28
степінь коефіцієнти розкладу (а + Ь)° 1 (а + 6)1 1 1 (а + 6)2 1 2 1 (а + й)3 13 3 1 (а + 6)4 1 4 6 4 1 (а + б)5 1 5 10 10 5 1 (а + />)6 1 6 15 20 15 6 1 У таблиці в кожному рядку по краях розміщені 1, а кожне з решти чисел дорівнює сумі двох чи- сел, які містяться над ним ліворуч і праворуч. Наприклад, (а + Ь)5 - а5 + 5а4Ь + 10а3Ь2 + \0а2Ь3 + + 5аЬ* 4- Ь5. Приклад 7. Спростити вираз (я4)12: я8. А Б В Г д а2 а6 а40 а8 а /4x12 . 8 _ 4 • 12 8 _ 48 . 8 _ 48 - 8 _ 40 (а ) : а — а : а — а : а — а —а . Відповідь. В. Приклад 2. Записати в порядку спадання числа 430; З40; 250. А Б в г д 250- дзо. з40 340. дзо. 2$° 250- З40- 430 дзо. 340. 340. 250. дЗО 430 = 43 •10 - (43)10 = 64і0; З40 = З4’10 = (З4)10 = 811 °; 250 = 25 10 = (25)10 = 3210. Оскільки основи сте- пенів більші за 1, то при однаковому показнику степеня більшим є те число, основа якого більша. От- же, числа слід впорядкувати так: 81 ; 64 ; 32 аоо 3 ;4 ;2 . Відповідь. Б. Приклад 3. Обчислити: 218 • 14~7 • б9 • 3 і6. А Б В Г д си І 42 56 84 9— 3 218 • 14’7 • б9 • 3'16 = (3 • 7)8 • (2 • 7)-7 • (3 • 2)9 • З-16 = З8 • 78 • 2-7 • Г1 • З9 • 29 • З'16 = 8 о9 -,9 о8+9 -тЦт- = У = з • 7 • 4 = 84. 77-36 Х-Х-З16 З16 = 222 27 • Відповідь. Г. Приклад 4. Подати многочлен Зх2 - 9х5 • 2у22 - х2 у стандартному вигляді й визначити його сте- пінь. Зх2 - 9х5 • 2у22 - х2 = Зх2 - х2 -18х5у22 = 2х2 -18х5у2г. Даний многочлен є многочленом вось- мого степеня. Приклад 5. Виконати дії: ЗаЬ4 -(а26-8а). ЗаЬ4 \а2Ь- 8а) = ЗаЬ4 а2Ь + ЗаЬ4 • (-8а) = За2Ь5 - 24а2 Ь4. Приклад 6. Спростити вираз (ЗЬ - 2а)(2а + ЗЬ)(9Ь2 + 4а2). А Б В Г д 8164+ 16а4 8164- 16а4 -8164+ 16а4 9Ь4-2аЬ + а4 9Ь4-2аЬ-а4 29
(ЗЬ - 2а)(2а + ЗЬ)(9і>2 + 4а2) = ((36)2 - (2а)2)(9Ь2 + 4а2) = (9Ь2 - 4а2)(962 + 4а2) = (96)2 + (4а)2 = = 8164-16а4. Відповідь. Б. Приклад 7. Знайти суму лінійних множників, на які розкладається многочлен х4 + 5х3 -х2 - 17х + 12. А Б В Г д 4х- 5 4х + 7 4х + 5 4х-3 4х + 3 Знайдемо корені многочлена х4 + 5х3 -х2 - 17х + 12. х4 + 5х3 -х2 - 17х + 12 = 0. Випишемо ді- льники вільного члена: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Обчислимо, що Р(1) = 1 + 5 - 1 - 17 + 12 = 0. За схемою Горнера виконаємо ділення: 1 5 -1 -17 12 1 1 6 5 -12 0 Отже, можна записати: х4 + 5х3 -х2 - 17х + 12 = (х - 1)(х3 + 6х2 + 5х - 12). Виконаємо аналогічні дії з многочленом х3 + 6х2 + 5х - 12. Цілі дільники числа -12: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Знайдемо, що Р(1) =1+6 + 5-12 = 0. За схемою Горнера виконаємо ділення: 1 6 5 -12 1 1 7 12 0 Отже, можна записати: х3 + 6х2 + 5х - 12 = (х - 1 )(х2 + 7х + 12). Розкладемо двочлен х2 + 7х + 12 на множники: х2 + 7х + 12 = 0; £> = 72 - 4 • 1 • 12 = 1; х, = = -3; х2 = = -4. х2 + 7х + 12 = (х - (-3))(х - (-4)) = (х + 3)(х + 4). Тоді заданий многочлен можна записати у вигляді: х4 + 5х3-х2- 17х + 12 = (х- 1)2(х + 3)(х + 4). Сума лінійних множників: (х - 1) + (х - 1) + (х + 3) + (х + 4) = х - 1 + х - 1 + х + 3 + х + 4 = 4х + 5. Відповідь. В. Приклад 8. Виконати дії: (х2 -7)(Зх-5). (х2 -7)(3х-5) = х2-Зх + х2 •(-5) + (-7)-Зх + (-7)-(-5) = Зх3-5х2-21х+35. Приклад 9. Розкласти на множники многочлен с3 + с2 - 4с - 4. А Б В Г д (с2+1)(с-4) (с2 + 4)(с-1) (с+ 1)(с-4)(с + 4) (с+ 1)(с-2)(с + 2) с(с2 + с - 4) с3 + с2-4с-4 = (с3 + с2)-(4с + 4) = с2(с + 1)-4(с + 1) = (с + 1)(с2-4) = (с + 1)(с-2)(с + 2). Відповідь. Г. Приклад 10. Вказати значення, якого може набувати вираз а2 + 10а + 25, якщо аєМ А Б В г д 1 49 16 25 48 а2 + 10а + 25 = а2 + 2 • а • 5 + 52 = (а + 5)2. За натуральних значень а вираз а + 5 теж є натураль- ним числом. Отже, (а + 5)2 — квадрат натурального числа. Із запропонованих чисел квадратом нату- рального числа, більшого за 5, є лише число 49. Відповідь. Б. 30
Приклад 11. Установити відповідність між виразами (1-4) та тотожно рівними їм виразами (А-Д). 1 (2а-3)(За + 2) 2 (2а-З)2 З (3-2а)(3 + 2а) 4 (3 + 2а)2 А 9+ 12а + 4а2 Б 6а2-5а-6 В 4а2 - 6а + 9 Г 9 - 12а + 4а2 Д 9-4а2 1. (2а - 3)(3а + 2) = 2а • За + 2а • 2 - 3 • За - 3 • 2 = 6а2 + 4а - 9а - 6 = 6а2 - 5а - 6 —» Б 2. (2а-З)2- (2а)2-2 • 2а • 3 + З2 = 4а2- 12а +9 = 9- 12а +4а2 —> Г 3. (З - 2а)(3 + 2а) = З2 - (2а)2 = 9 - 4а2 -» Д 4. (З + 2а)2 = З2 + 2 • 3 • 2а + (2а)2 = 9 + 12а + 4а2 -> А А Б В Г Д 11_ ВІДПОВІДЬ. 2 1 ] см 4 Приклад 12. Знайти значення виразу х+у, якщо |х -у| + |4 -х| - 0, А Б в г д 4 інша відповідь 0 6 8 Значення виразів |х-у| і |4-х| — невід’ємні. Сума двох невід’ємних виразів дорівнює нулю лише тоді, коли кожен з них дорівнює нулю. Знайдемо, за яких значень х та у це відбудеться. |4-х|=0, (4-х = 0, ґх = 4, (х = 4, А „ < ( < ( Якщо х - 4, у = 4, то х +у = 4 + 4 = 8. |х-у|=0; [х-у = 0; [у = х; [у = 4. Відповідь. Д. Завдання 3.1-3.23 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРА- ВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 3.1. Обчислити: 9999 • 1001 + 1001. А Б в г д 1010000 10100 101001 101000 10010000 3.2. Обчислити: (-1)1 + (-1)2 + (-1)3 + ... + (-1)2008. А Б В г д 2008 -2008 0 1 -1 95 -43 3.3. Обчислити: —-—-. 274 • 2’ А Б В Г д 2 9 1 2 2 27 4 9 4-З32 +9-З30 3.4. Обчислити: ------------ А Б В г д 4-З16 15 13 4-З14 5 31
3.5. ^Зк+2 в Знайти значення виразу------------- Е 7 1000" А Б В Г д 2 10" 5 50 10"+ 2 3.6. ла+1 _ На скільки -—-----------менше від 9? А Б В Г д 3,5 3 4,5 5,5 7 3.7. Подати у вигляді многочлена вираз аЬс 4- саЬ. А Б в г д 110а+ 116+ 101с 2а + 2Ь + 2с 200(7 + 206 + 2с 200а + 26 + 20с 111а+ 116 + с 3.8. Відомо, що а + Ь- + с-2, а + с = 3. Знайти 3(а + Ь + с). А Б В Г д 6 9 12 15 18 3.9. Спростити вираз (а - 1)(а9 + я8 + а1 + ... + а2 + а + 1) + 1. А Б в Г д 10 9 а + а (710 + а а10 - 1 а10 а9 3.10. Спростити вираз (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1) • ... • (232 + 1) + 1. А Б в Г Д 234 964 2й4+ 2 234 + 2 234 -2 3.11. Розкласти на множники вираз 4(х + у)2 - 9(х-у)2. А Б В г д -(13х-5у)х х (13х + 5у) (13х-5у)х х(13х-5у) -(5х - у) х х (5х + у) (5х-у)х х (5х + у) (5х-у)х х(5у-х) 3.12. Подати многочлен 0,25х2 + у2 - ху -12 у вигляді добутку. А Б В Г д (0,25х-у- г)х х(0,25х + у + і) (0,25х - у - /)х х(0,25х-у + /) (0,05х - у - /)х х(0,05х-у + /) (0,5х-у- /)х х(0,5х-у + ї) (0,5х — у + /)х х(0,5х + у + і) 3.13. Розкласти многочлен х4 + х2+ 1 на множники і знайти суму вільних членів многочленів роз- кладу. А Б В г д 2 4 0 1 -1 3.14. Знайти (а - б)2, якщо (а + б)2 = 36, а2 - Ь2 - 24. А Б В Г д 2 4 8 16 32 32
3.15. Знайти (а + Ь)4, якщо (аЬ)3 = 125, а2 + Ь2 = 15. А Б В г д 25 225 400 500 625 3.16. 1-2 + 3- 4 + 5- 6 + ... + 2007 - 2008 = ... А Б В г д 2008 -2008 1004 -1004 0 3.17. (200 + 1 )(200 - 2)(200 + 3)(200 - 4)... (200 + 2007)(200 - 2008) = ... А Б В г д 2008000 -2008000 1004000 -1004000 0 3.18. Знайти х, якщо 222222х = 111111 + 222222 + 333333 + 444444. А Б В Г д 1 4 5 10 12 3.19. Обчислити: І2 - 22 + З2 -42 + ... + 992 - 1002 + 1012. А Б В г д -500 4949 1012 -1 -50 5151 3.20. Спростити вираз: 70 • (719 + 718 + 717 + ... + 712 + 71) + 71. А Б В Г д 7О10 7110- 1 7110 71'°+ 1 70'°+ 1 3.21. Якою цифрою закінчується значення виразу 116 + 146 - ІЗ3? А Б В г д 0 2 3 5 7 3.22. Знайти частку від ділення многочленів х4 - х2 + х + 1 та х3 - х2 + 1. А Б в г д х2-1 X х- 1 X + 1 х2+ 1 3.23. Знайти остачу від ділення многочлена х3 + 5х2 - х - 4 на двочлен х - 1. А Б В Г д 0 1 2 -1 -2 Завдання 3.24-3.28 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте познач- ки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 3.24. Установити відповідність між виразами (1^4) та тотожно рівними їм виразами (А-Д). 1 х2-(х-1)(х + 3) 2 х2-(х+ 1)(х+3) З х2-(х-1)(х-3) 4 х2 — (х + 1)(х-3) А 2х + 3 Б 4х-3 В —4х-3 Г -4х + 3 Д -2х + З З* Капіносов А. Математика. Комплексна підготовка до ЗНО 33
3.25. Установити відповідність між виразами (1-4) та тотожно рівними їм виразами (А-Д). 1 (а - 2Ь)2 - (а - Ь)(а + Ь) 2 (2а + Ь)(Ь - 2а) - (а - Ь)2 З (-2а - Ь)2 - (а - Ь)2 4 ~(2а - Ь)2 - (а - Ь)(а + Ь) А 2аЬ-5а2 Б 2аЬ-5Ь2 В -4аЬ + 562 Г 4а6-5а2 Д 6аЬ + За2 3.26. Установити відповідність між виразами (1-4) та їх розкладами на множники (А-Д). 1 ах - ау - Ьу + Ьх А (а + 6)(у-х) 2 ах + ау - Ьх - Ьу Б (а + Ь)(х -у) 3 -ах + ау + Ьх - Ьу В (а-6)(х-у) 4 ах - ау - Ьх + Ьу Г (а-Ь)(у-х) Д (а-Ь)(х + у) 3.27. Установити відповідність між виразами (1-4) та їх розкладами на множники (А-Д). 1 4(х-у)2-9у2 А (х + Зу)(5х - Зу) 2 4(х-у)2-9х2 Б (х - Зу)(5х - Зу) 3 9(х-у)2-4у2 В (х + 2у)(2у - 5х) 4 9(у-х)2-4х2 Г (2х + у)(2х-5у) Д (Зх-5у)(3х-у) 3.28. Установити відповідність між сумами (1^4) та їх записами у вигляді многочленів (А-Д). 1 аЬс + Ьас А 2а + 1106+ 110с Б 20а + 1016+ 101с 2 аЬс 4- сЬа В 101а+ 206+ 101с 3 аЬс 4- асЬ Г 110а+1106 +2с 4 Ьас 4- саЬ Д 200а + 116+ 11с Розв’яжіть завдання 3.29-3.34. Відповідь запишіть десятковим дробом. . 221-273 +15-410-94 3.29. Знайти значення виразу-----5— -----------. б9-2 ° 4-12 ° 3.30. Знайти частку від ділення 165 + 215 на 33 у вигляді степеня числа 2. У відповідь записати по- казник степеня. 3.31. Виконати ділення многочлена 2х3 - Зх2 - 1 їх + 6 на двочлен х - 3 і знайти значення отриманої частки, якщо х = -2. 3.32. Якою цифрою закінчується значення виразу 159 + 269 + 399? 3.33. Якою цифрою закінчується число 99"’ ? 3.34. Знайти, за яких значень а і Ь многочлен х4 + 6х3 + Зх2 + ах + Ь ділиться без остачі на многочлен х2 + 4х + 3. У відповідь записати суму ай + Ьо знайдених значень а та Ь. 34
Тема 4. Дробово-раціональні вирази Вирази, які можуть містити додавання, віднімання, множення, ділення і піднесення до натураль- ного степеня чисел та змінних, називають раціональними. Якщо раціональний вираз не містить ді- лення на вираз зі змінною, то його називають цілим, а інакше— дробовим. Наприклад, вирази _ 2 6(я + 6) ... . 4£+у 2 1 г • 2 + а ; ----- — цілі раціональні, а вирази--; х + х +-----дробові раціональні. 7 Зт — сх Два вирази називають тотожно рівними, якщо для всіх допустимих значень змінних їхні відповід- ні значення рівні. Наприклад, тотожно рівними є вирази 2х2 - 18 та (2х 4- 6)-(х - 3). А Раціональним дробом називають вираз виду —, де А і В — многочлени. В Допустимими значеннями змінних у виразі називають такі значення змінних, за яких вираз має числове значення. Іншими словами, за допустимих значень змінних можна виконувати всі дії, які міс- тить даний вираз. Наприклад, для виразу а3 + Ь - 2 всі значення змінних а та Ь є допустимими, оскіль- • - с і. ™ т~2 ки зазначені дії можна виконати за будь-яких значень а та о. Для виразу - допустимими є всі т значення т. крім т = 0 (на 0 ділити не можна). Множину всіх допустимих значень змінних для даного виразу називають областю допустимих 2 значень виразу (ОДЗ). Наприклад, для виразу х-3 +- областю допустимих значень є всі числа, х-5 крім х = 0 та х = 5, бо якщо х = 0, то значення виразу х-3 = Дг не існує, а якщо х = 5, то не існує зна- X 2 чення виразу----. х-5 Застосування основної властивості дробу 1. Скорочення дробу— ділення чисельника і знаменника на спільний множник. Щоб скоротити раціональний дріб, слід спочатку чисельник і знаменник розкласти на множники. ІТ 12-Зх2 12-Зх2 3(4"*2) 3(2-х)(2 + х) 2-х Наприклад: скоротити дріб-------. Одержимо: ------= —------- =-----------=-----. 15х + 30 15х + 30 15(х + 2) 15(2 + х) 5 А 2. Зміна знаків членів дробу. Якщо чисельник і знаменник дробу — помножити на -1, то одер- В А —А жимо: — =----, тобто значення дробу не зміниться, якщо одночасно змінити знаки чисельника та В —В знаменника. Якщо ж змінити знак тільки чисельника або тільки знаменника, то й дріб змінить свій -А А А ,г А -А А знак: --=----=----. Також правильно: — =----=-----. В -В В В В -В 3. Зведення дробів до спільного знаменника. Щоб звести дроби до спільного знаменника, потрібно: 1) розкласти на множники знаменники дробів; 2) скласти спільний знаменник, внісши до нього усі різні множники в найвищих степенях, в яких вони входять у розклади знаменників; 3) знайти додатковий множник для кожного дробу (для цього спільний знаменник потрібно поді- лити на знаменник дробу); 4) помножити чисельник і знаменник кожного дробу на відповідний додатковий множник. Додавання і віднімання раціональних дробів. Щоб додати чи відняти дроби з різними знамен- никами, слід спочатку звести їх до спільного знаменника. 35
Наприклад: знайти різницю дробів —-----------. Одержимо: а — Ь а+Ь а2-2Ь а _ а2-2Ь а _ а2-2Ь а(а-Ь) _а2 -2Ь-а2 +аЬ _-2Ь+аЬ а2-Ь2 а + Ь (а-Ь)(а+Ь) а+Ь (а-Ь)(а + Ь) (а-Ь)(а + Ь) (а-Ь)(а+Ь) а2-Ь2 5. Множення раціональних дробів. Добутком двох раціональних дробів є дріб, чисельник якого дорівнює добутку чисельників, а знаменник — добутку знаменників. тт с 2а~ у 2а2 У 2-а2 у ау Наприклад: знайти добуток дробів-------—. Маємо:--------=-------=----. х 6аЬ х 6аЬ хбаЬ ЗхЬ , А, А, А. В-. 6. Ділення раціональних дробів: —: —- - —-—-. В, В, 5| • Л2 О - 16х 12*У т • Наприклад: знайти частку дробів---:—т----. Тоді: а+ 7 а -49 16х3 * * . 12ху _ 16х3 (а2-49) _ ібх3 (а-7)(а + 7) _ 4х2(а-7) а + 7 а2-49~ (а + 7)-12ду " (л + 7)-12ху ” Зу 7. Піднесення раціонального дробу до степеня з цілим показником: Ап В" ’ Наприклад: ґ5/ии2>|3 = (^т2)3 = 53 • т3 п6 * * * ' Зх(Зх4)3 З3-х12 125/и3и6 27х12 Умова рівності дробу нулю А Дріб — дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник не В А дорівнює нулю, тобто — = 0 <=> Л = 0; Я*0. х — 9 Наприклад: знайти значення змінної, за яких дріб -- дорівнює нулю. Одержимо: х + 3 х2-9 _п |х2-9 = 0; х + 3 [х + 3^0; ґ(х-3)(х + 3) = 0; Гх = 3 або х = -3; х2-9 <1^0 ^3 Отже, дріб ------ дорівнює нулю, якщо* = 3. Приклад 1. Скоротити дріб — 28у“ -36у 12/-8/ = 4у2(Зу-2) Зу-2 28/ - 36/ “ 4/ (7 - 9/) “ 7 - 9/ ’ З х-5 Приклад 2. Вказати допустимі значення змінної у виразі —-+ —--. X +1 X2 -1 Знайдемо значення змінної х, за яких знаменник кожного з дробів дорівнює нулю: х2 + 1 = 0; х2 = -1; хє 0; х2 - 1 =0; х2= 1; х —±1. Відповідь. Усі числа, крім ±1. 36
Приклад 3. Скоротити дріб а --- А Б В г Д а1 а- 1 <2 — 1 <2 + 1 а3 2 а2 - 1 и а3+а2-а-1 = а2 (а +1) - (а +1) = (а + 1)(а2-1) = (а + 1)(О + 1)(а -1) = (а + 1)2(а-1) = ] а2+2а + 1 (а + 1)2 (а +1)2 (а +1)2 (а + 1)2 ° Відповідь. Б. х — 1 х + З Приклад 4. Записати дробом вираз---+------ 5-х 2х-10 А Б В Г д _Х 2 х 5 х X 1 10 2 3 2(х-5) , х + 3 х —। х + 3 _-2(х-1) + (х + 3) _-2х + 2 + х + 3 __ -х + 5^-(х-5) = 1 5-х + 2х-10 х-5 2(х-5) 2(х-5) 2(х-5) 2(х-5) 2(х-5) 2 Відповідь. А. -4х3 -х2 Приклад 5. Якому з виразів тотожно рівний вираз--? 5(у - 2) А Б В Г д 4х5 4х5 4х6 4 4х5 5(2-у) 5(2-у) 5(2-у) 5(2-у) 5(у-2) ~4*3 *Л'2 _ 4х5 _ 4х5 5(у-2)" 5{у-2) ~5(2-у) Відповідь. Б. Приклад 6, Визначити, за яких натуральних значень змінної п вираз — + набуває цілих зна- 2п чень. У відповідь записати їх добуток. — ті “ 2/7 4-12 2п 12 . 6 , . 6 /- Перетворимо заданий вираз: ------= — -і-= 1 + —. 1 — ціле число, щоб дріб — був цілим 2п 2п 2п п п числом, необхідно, щоб п було дільником числа 6, тобто щоб: п = 1, п = 2, п - 3, п = 6. Добуток цих чисел дорівнює: 1 • 2 • 3 • 6 = 36. Відповідь. 36. Приклад 7. Відомо, що — = 5. Знайти значення виразу —— У х 2у — х 2у х у х VI Перетворимо заданий вираз: —----------= 2- —-1. Якщо — = 5, то — = —. Отже, одержи- х х х х у х 5 мо: 2- —-1 = 2- —-1 = —-1 = -0,6. х 5 5 Відповідь. -0,6. 37
Приклад 8. Знайти найбільше значення дробу------ і відповідне йому значення змінної. У від- | х | +13 повідь записати добуток цих чисел. Дріб, у якому чисельник — число (52), набуде свого найбільшого значення, якщо знаменник, зменшуючись, набуде свого найменшого значення. Відомо, що |х| > 0, тому найменше значення, якого 52 може набути |х|, дорівнює 0. 0+13 = 13; — = 4. Для всіх інших значень змінної х |х| > 0, і тоді 52 52 |х| + 13 > 13, а дріб --< 4. Отже, якщо х = 0, то найбільше значення дробу ----- дорівнює 4. |х|+13 |х|+13 Тоді добуток цих значень дорівнює 0-4 = 0. Відповідь. 0. 2 1 1 Приклад 9. Відомо, що х +—7 = 3. Знайти значення виразу х —. Якщо таких значень кілька, то X X у відповідь записати їх суму. 1 ( П2 2 О К 1 20^1 2,1 Піднесемо вираз х— до квадрата: х— -х -2х- — + —у = х -2 + — = х + — -2 - X V X' хх х" х“ ( і\2 і і = 3 - 2 = 1. Отже, х— =1, тоді х— = 1 або х— = — 1. їх сума: 1 + (-1) = 0. V X' X X Відповідь. 0. Завдання 4.1-4.20 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРА- ВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. ------1---- 5а -2 2-5а А Б В Г д 11 11 5 5 24 2-5а 5а-2 2-5а 5а-2 5а-2 А Б В Г д 2с 4-е2 2с с2-4 с2 с2 -4 - о 1 с2 -с с2-4 а2 -14а + 49 а6 А Б в Г д а4(а-7) а4(а~7) -14а5 а4 (а+ 7) а + 7 а + 7 а-7 4.4. (б + 20):^-у^ =... А Б В г д Ь2 3 6(6+ 20)2 3 6 3 3 6 3 б2 38
7 За + 6 5 аЬ а а + 2 А Б в Г д 7-15а 7-156 7 + 156 7 + 15а 76-15 аЬ аЬ аб аб аб А Б В Г д 1 (2а +1)2 а(а +1) (2а +1)2 (2а +1)2 а(а + 1) а2 + а 1 а1 + а 4.7. а + -^- + 9=... а-9 А Б В Г д а-9 а2 а2 а+ 90 а-9 81 а-9 а-9 а + 90 а2-81 а3+ 8 . 7а-14 а = а3 - 4а а2 — 2а + 4 7 А Б в Г д 2а 7 7а а + 7 а + 7 7а а2 +49 7а 7а а2+ 49 4.9. (а2 - Ь2): (а-1 + б’1) = ... А Б в г д аЬ(а - Ь) 1 аЬ(а-Ь) аЬ а-Ь а-Ь аЬ аЬ(а + Ь) А Б В Г д 1 а19 1 а78 а78 а19 1 а7 < IV П 1 4.11. а+— 6+— =... V 6/V а' А Б В Г д 6 а (аб + 1)2 а + Ь аб а 6 аб аЬ а + Ь . а 111 4.12. Якщо — =-, тос = ... а Ь с А Б В г д а-Ь аЬ Ь — а а-Ь аЬ аб а-Ь аЬ 39
4.13. а + ^. - 4 Знайти значення виразу —. Ь а А Б В г Д х 4 4 3 3 5 4.14. а + а 1 = Ь. Знайти значення виразу я2 + я 2. А Б В г Д 1 Ь2-2 1 Ь2 Ь2-2 26-1 б2+ 2 х 1 4.15. Якщо у = — (х Ф 0,2 Ф 0), то - ... 2 X А Б В г Д 4їу г У У_ 2 у? 1 У2 4.16. 1 +------Ц— А Б в г д дч-3 2а + 3 2а + 1 а + 2 2а + 1 2 сі Ч- 2 67 Ч- 2 2а + 1 2а + 2 л । 2 . , 2007 а + а +... + д -1 . -2 . . -20 А Б в г д 2007 а 2008 а 1 2008 а 1 2006 а а2006 4.18. - ч---— ч-----— ч------— ч---— ч------тт 1-а3 1 + а3 1 + а6 1 + а12 1 + а24 1 + а48 А Б В Г д 96 1-а96 96 96 48 1-а96 96 1 + а48 1 + а96 1-а48 4.19. — = 2. Знайти значення виразу +а . Ь а -аЬ А Б В Г Д -16 8 4 -8 -4 4.20. Обчислити: —— + —!— + —^— + —!— + —!— + —^— + —!— = ... 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7 7-8 А Б В Г д _7 8 х 8 1 56 7 8 _х 8 40
Завдання 4.21-4.26 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте познач- ки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 4.21. Установити відповідність між виразами (1-4) та виразами, які їм тотожно дорівнюють (А-Д). і а2~Ьг ( .х АО 1 Т7Г'(о"',) в(о+ь)г Г Г7 В 4а3 2 ^а + ^Ь — * - Г (2а + І)2 - 1 а-Ь уІа-уІЬ Д>а2-2аЬ + Ь2 З -----+ ЗаЬ а + Ь 4 4а2 + 4а 4.22. Установити відповідність між дробовими виразами (1—4) та тотожно рівними їх нескоротними дробами (А-Д). і ау-ах А _а Ьу-Ьх Ь - ах-Ьх Б а2 - аЬ а Ьх-Ьу В - 3 ь ау —ах л а2-аЬ Г - 4 - а Ьх —ах д -- X 4.23. Установити відповідність між різницями (1—4) та тотожно рівними їм дробами (А-Д). 1 а Ь а + Ь а-Ь А а2+Ь2 а2-Ь2 2 а Ь а-Ь а+Ь Б а2+ 2аЬ-Ь2 а2-Ь2 3 а Ь Ь-а а+Ь В Ь2 + 2аЬ-а2 а2-Ь2 4 Ь а а-Ь а+Ь Г д Ь2-2аЬ-а2 а2-Ь2 а2-2аЬ-Ь2 а —Ь 4.24. Установити відповідність між виразами (1—4) та тотожно рівними їм дробами (А-Д). 1 а2-± а А 1-а2 а 2 Б 1-а2 а2 3 В 1-а3 а 4 1 а а Г д а2-1 а а3-1 а 41
4.25. Установити відповідність між частками (1-4) та тотожно рівними їм дробами (А-Д). 1 ґ 1 1 У 2 Аа+1 У-1 а + Р а-1 Ба-1 2 О В-!- ^а + 1 а-Р а + 1 а + ^ .. ( а V 2 Г —— 3 Іа +--7І-а а-1 а-Р л ( а ) а2 Д -р— 4 °----7):—2—7--7 1-а \ а +1' сі + 2я +1 4.26. Установити відповідність між виразами (1-4) та тотожно рівними їм дробами (А-Д). „ 1 * 2а+ 1 1 —=— А 1+1 2(а + 1) а і г 2а+ 1 і) 2 Ц— а + 1 і+—!— п а + 1 2а + 1 В 2а + 1 г 1 + 67 + 1 1 + а тг ^ + 1 л 1 д —~ 4 1 а + 2 1+^т 1+і Розв’яжіть завдання 4.27-4.40. Відповідь запишіть десятковим дробом. „ Ь 1,3] Ь -66 + 9 . . . . 4.27. Спростити вираз -г—;-+ —-- :—----- і знайти його значення, якщо а = З, Р Р <9а-а3 а2+3а а2Ь-9Ь>> а*Ь-9аЬ Ь = 2. 4.28. Спростити вираз 1-------1: 1--------+ а і знайти його значення, якщо а = 2. V 1 - а' \ 1-67 7 4.29. а1 + а-аЬ-Ь Спростити вираз —:------- а + а + аЬ + Ь а2 - а-аЬ + Ь а2 -а + аЬ-Ь 4.30. \ 6 Спростити вираз -— ----- 2 а 2. а2 +4а + 4 а2 + Зб7 + 2 а2 + 6б7 + 87 2 4.31. Спростити вираз [ 1 + —+ -у + -у]:[ 1- —+ -у--у) і знайти його значення, якщо а - 5. V а а а 7 \ а а а 7 (аЬ'{ +б7’16 + 1)(б7-1 -б’1)2 4.32. Спростити вираз -у—----—— ----------2-- і знайти його значення, якщо а = 4, Ь = 5. а2Ь~2+а'2Ь2-[аІГ + а 6) л Г. а , а2+а-1 , а2-а-1 2а3 . „ „ З 4.33. Спростити вираз -г;— Н—:--:------Ь—г--:----------— і знайти його значення, якщо а = —. а2-1 а3-а2+а-1 а3+а2+а + 1 а4-1 2 42
-2 і сі і Ь~п І 7 4.34. Спростити вираз і знайти його значення, якщо а - 0, Ь - 3 —. 4.35. Спрости™ вираз (і_^_ а) + + 4.36. Спростити вираз 1------—---- і знайти його значення, якщо а = 8. а , (а + Ь + с)2 +(а-Ь + с)2 +(а + Ь-с)2 + (Ь + с-а)2 4.37. Спростити вираз ------------------т2—-------------------2—. а +Ь + с 4.38. Спростити вираз ———г+т------Д-----г + т--Д---г + т---77-----с+т-----Д-----г і знайти а(я + 3) (а + 3)(а + б) (а + б)(а + 9) (а + 9)(а + 12) (а + 12)(а + 15) його значення, якщо а = 5. . х3у-ху3 +у32-у23 +23х-гх3 . 4.39. Спростити вираз >---7 і знайти його значення, якщо х- 1, у = 0,1, х у-ху + у 2 - у2 + 2 Х-2Х 7 = 0,01. л ал □ ~ х3333 + х333 + х33 + х3 +1996 2і її ґ\ 4.40. Знайти значення виразу---------1—----, якщо х + х + 1 = 0. 100-(х2+х) 43
Тема 5. Ірраціональні вирази Квадратним коренем з числа а називають таке число, квадрат якого дорівнює а. Наприклад, для числа 100 квадратними коренями є числа 10 та-10, бо 102 = 100 і (-10)2 = 100. Арифметичним квадратним коренем з числа а називають невід’ємне число, квадрат якого дорів- нює а, і позначають 4а . Вираз 4а має зміст, якщо а > 0. Наприклад, арифметичним квадратним ко- ренем з числа 36 є \/36 = 6. Вираз л/—100 не існує. Справедливі рівності: 1. 4а = Ь, якщо Ь2 = а, Ь > 0. Наприклад, 725 = 5, бо 52 = 25 і 25 > 0. 2. (л/а)2 = а, а > 0. Наприклад, (73б) = 36. 3. 4а2 = |а|, аєК. Наприклад, 4Ї2 = |7| = 7, ^/(-7)2 = |-7| = 7. Властивості арифметичного квадратного кореня. 1. 4аЬ = 4а-4ї>, якщо а > 0, Ь > 0. Наприклад, 725-16 = 725 • 4Ї6 = 5 • 4 = 20. - [а 4а . п и /144 7144 12 0 . 2. 7— - , якщо а > 0, Ь > 0. Наприклад, 7^^ = = — = 2,4. 3. 4а2п =| а" |. Наприклад, 4Ї* - |32| = 9. 4. Винесення множника з-під знака кореня. ь4а, якщо Ь > 0; -Ь4а, якщо Ь < 0. Наприклад, 4ь2а - |б|л/а - л/Ї8 = 79Т2 = 7зГ^2 = |3|л/2 = Зл/2; ^-5}2 -3 =|-5|Тз = 573. 5. Внесення множника під знак кореня. Наприклад, 2л/з=722 •3 = 74Т3-^Ї2; ~а4Ї = • 2 = -^16 2 = -732. Корінь п-го степеня Коренем п-го степеня, де пєК, п > 1 з числа а називають таке число, л-й степінь якого дорівнює а. Корінь другого степеня прийнято називати квадратним коренем, а корінь третього степеня — ку- бічним коренем. Наприклад, коренями четвертого степеня з числа 625 є числа -5 та 5 (бо (-5)4 = 625 і 54 = 625); кубічним коренем з числа -27 є число -3 (бо (-З)3 = -27). Якщо п — непарне натуральне чи- сло (п > 1), то існує єдиний корінь /7-го степеня з довільного числа а. у/а — корінь, п — показник, а — підкореневий вираз. Наприклад, у/32 = 2, оскільки 25 = 32; </8Ї = 3 , оскільки З4 = 81; 7-125 = -5, бо (-5)3 = -125. Арифметичним коренем п-го степеня з невід’ємного числа а називають таке невід’ємне число, п- й степінь якого дорівнює а, і позначають . Якщо число п непарне, то запис у[а використовують і для від’ємних значень а і він означає корінь /7-го степеня з числа а (але не арифметичний). Наприклад, у/129 = 3 — арифметичний корінь; -^-243 = -З — не арифметичний корінь. Показники коренів виду п - 2к + 1 (п — непарне число) використовують для позначення будь- яких коренів. Корені \/а , \[а , ..., 2к\/а існують для будь-яких значень а (аєК). Показники коренів виду п = 2к (п — парне число) використовують для позначення арифметичних коренів. Корені у[а , у[а ,..., 2\[а існують лише для а > 0. Показником кореня може бути будь-яке натуральне число більше за 1. 44
Властивості арифметичних коренів п-го степеня. 1. у/о = 0. Наприклад, л/о = 0; 2-Уо = 0. 2. л/ї = 1. Наприклад, у/\ = 1; Л/ї = 1. 3. (Л)" = а. ДО того ж, 24+1 \2* І =а для будь-яких значень а, І \а\ =а лише для а>0. На- приклад, (</з) =3; (>/-з) = —3. • 2к+№^ = а. Наприклад, = 2; ^/(-2)5 = -2; • 2ку[^а = -2ку/а. Наприклад, л/-27 = ->/27 = -3; ,4гчт- । । Гл> якщо а >0; ,/-т . . г. "7 . . • 2<Іа2к =|а|= Наприклад,-72б =|2| = 2; ^/(-3) =|-3| = 3. 4. (у/а\ = для всіх значень а з області визначення виразу у/а , т — ціле, п — натуральне. Наприклад, (-^2) = уі2$ = у/32. 5. Для кореня непарного степеня (а та Ь — довільні): 2к+у[аЬ = 2ку[а • 2ку[Ь. Наприклад, >/8000 = = ^/64 -125 = у/б4 • >/125 = 4 • 5 = 20. Звідси можна одержати: 4 5’ якщо Ь^0. Наприклад, 6. Для кореня парного степеня: 2у[аЬ = 2^\а\ • 2^\Ь\. Наприклад, >/1296 = ^/16-81 = = </їб-</81 = 2-3 = 6; ^(-16)-(-81) = </|-їбї• </І-8Ї| = >/їб-</8І = 2-3 = 6; ^(1->/2)(1->/5) = = ^|1-л/2| • ^|1-Т5| = л/л/2-1 • уіу/5-1. 7. Винесення множника з-під знака кореня. • для кореня непарного степеня: 2к+у/а2к+'Ь = а • 2к\[Ь. Наприклад, ^(-5)3 • 2 = -5 • у/2; ^(1-7з)5 -7 = (1 - Л) • ^7; • для кореня парного степеня: 2УІа2кЬ =|о| • 2ку[Ь. Наприклад, ^(-2)6 -5 =|-2| • ^5 = 2^5; ^(1-ч/2)4-3=|1-л/2|-</з=(л/2-1)-</з. 8. Внесення множника під знак кореня: • для кореня непарного степеня: а2к*4ь = 2куІа2к+,Ь. Наприклад, 2>/5 = у/22, -5 = >/40; (1 -у[ї) • </5 = ^1-^У -5; • для кореня парного степеня: а • 2у[ь = 2у]а2кЬ, якщо а > 0; ____ де Ь > 0. Наприклад, -2у]а2кЬ, якщо а < 0, 2</5=^24-5=</§0; (1-Т5)-^7 =-^(1->/5)6-7. 9. = пу[а для всіх значень а з області визначення виразу пу/~а. Наприклад, \[ї/5 = ^5. 1Л пк тк п т п т пк тк 10. Якщо а > 0, то \]а =\/а , \1а =\а . 45
Степенем додатного числа а з раціональним показником — — ціле число, а п — натураль- п не (п > 1), називають корінь и-го степеня з числа ат : — і ап = \[сґ __ т ___ 5 11. Якщо а > 0, то =ап. Наприклад, -у25 = 23. 1 1_____ ї ї • а > 0, пєі'ї, п > 2: ап = Ца. Наприклад, 164 = 7І6 = 2; 57 =75; (-8)3—не визначений; • а>0,лєМ«>2,щє7: а" =^. Наприклад, 164 = 7167 = ^(24)3 = ^(23)4 = 23=8; Приклад 1. Спростити вираз А Б в г д Тїо -Тїо 11 -275 -3772 її ^2 15Ду--ТїбО = 7—--71610 = 790-4710 = 79-10-4л/Ї0 =з7їо- 47їо = -7їо. Відповідь. Б. Приклад 2. Спростити вираз л/18г4 • \ІГ2г5 . 718/ -712? = 718/-12? = 7216? = ^(бг3)3 =6?. Приклад 3. Обчислити значення виразу 7? • 'Тб4 . 74-іТй=7?-'7? =7?-Тг3 =7? =2. Приклад 4. Винести множник за знак кореня: а) 754 ; б) 7з<я9 ; в) у/їх^у , якщо х < 0. а) 754 = ^2-27=3-72; б) 73а9 = ^За-(а4)2 = а4 у/За ; в) якщо х < 0, то уІ5х6у = |х| • ^5у = -х • ^5у . Приклад 5. Звільнитися від ірраціональності у знаменнику дробу: а) -к-; б) -у=; в) — 75 72 7х+3 _ ч 1 1-75 75 а) -г= = —і=—г= = —’> 75 75-75 5 б 6-7? 6-7? 6-7? б) 77= = ~7=—Т= =-7=^ =-- 72 72-7? 7? 2 в) ~г= /х - З х-9 46
Приклад 6. Знайти х із пропорції \[а^/а : \[>/а = х А Б в Г д а2 а а л/а €Га Відповідь. Б. Приклад 7. Спростити вираз А Б в г д 777 277 ТЇ4 -2,8 -1,8 и Л _ УІЇ = 5/2(72 + 5/7)-5/7(72-У?) = 2 + 714-714 + 7 = 9 77-77 77+77 (77-77)(77+77) 2-7 -5 Відповідь. Г. Приклад 8. Знайти значення виразу ^2-л/?) + . А Б в г Д 277-5 5-277 1 + 2л/7 1 5 ^(г-77)2 +^(з-77)2 =|2-77|+|з-77| =77-2+3-77=1. Відповідь. Г. Приклад 9. Спростити вираз ( -- -- 81х^/3/3 16 к / з 4 А Б В Г д 832 X У2 27 -Х322 2 27 з 2 X У2 8 3 2х3д2 81 2 —хуг 16 Л ( 4 8 5.-2 з Л_3) _4.ґ_з) _М_з> _'81Х^РР’ З4 4> 3 4^ 3 4І 3-ЗхЗ 2 23х3 2 8 ------------- =-------------------------------------£ ----------= X у2 I 16 (2<р 2 3 27 Відповідь. А. 47
Приклад 10. Спростити вираз А Б В Г д 1 2 >/2-1 ^5 + 2у/2 л/2 +1 \і2 + уі9 + 4у/2 = ^2 + 78 + 1 + 2-2л/2 = ^2 + ^(2>/2)2+2-2>/2-1 + 12 = ^2 + ^2^2 +1)2 = = >/2 + 2л/2 + 1 = ^(г/2)2 + 2-^-і + 12 = ^(72 +1)2 = л/2 +1. Відповідь. Д. Приклад 11. Виконати дії: -т=- -З А Б В г д _2 2 2>/а —2>/а у[а 3 3 Зу[а + 27 Зл/п + 27 ?>4а + 27 ҐУ^+з ТЙ-З'і 3,й + 27 9-^ (7Й)‘+2;й-3 + 3-+(^),-2^-3 + 3* + ^7=---- : —----1=- = —Г^=------Г7-7=---Г- • ~7=^-----= 2-------------------Г=Н-----'--------------X 1>/а-3 &+з)' 9->£ (^-3)(<£ + 3) 3>/а + 27 (^-З2 _9^_=2 з(>^ + 9) ^ + 18 .= 2(У^ + 9) (-1) 2 7^-9 з(>/^ + 9) з(>/^ + 9) 3’ Відповідь. А. Приклад 12. Спростити вираз (1 + >/а^1 ++ + + А Б в г Д 1-^ інша відповідь 1+9^ 1 -а 1-^ + >/а)(1 - л/а) = 1—а. Відповідь. Г. Приклад 13. Установити відповідність між числами (1-4) та проміжками (А-Д), до яких вони на- лежать. 1 3>/5 2 2>/8 З 5^2 4 2>/б А [4; 5] Б [7; 8] В [5; 6] Г [6; 7] Д [8; 9] 1) 3>/5 = >/з2 • 5 = >/45; >/36 < >/45 < >/49; 6 <>/45 <7; >/45 є [6; 7]. Отже, 1-» Г; 48
2) 2>/8 = л/22 -8 = >?32; >/25 < 732 < >/36; 5 < 732 < 6; >/32 є [5; 6]. Отже, 2 -» В; 3) 5>/2 =-^52-2 =>/50; >/49 <>/50 <>/б4; 7<>/50<8; >/50 є [7; 8]. Отже, 3-» Б; 4) 2>/б = ^22 • 6 = >/24; >/їб < >/24 < >/25; 4<>/24<5; >/24 є [4; 5]. Отже, 4-» А. А Б В Г Д 1 Відповідь. 2 З 4 Завдання 5.1-5.25 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРА- ВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 5.1. Обчислити: >/б400 + >/49 + >/0,04 + >/0,0025 . А Б В Г д 807,025 870,25 87,0205 87,25 870,025 5.2. 75 /з Обчислити: А Б В Г д 26— 6 26— 36 5— 6 5— 6 6- 6 5.3. Знайти значення виразу >/152 +д/(-13)2 +(>/3 А Б В г д 5 31 37 32 42 5.4. 5.5. 5.6. Спростити вираз 10>/2 + >/8 + >/50 . А Б В г д 17>/2 39>/2 37>/2 19>/2 24>/2 Знайти значення виразу ^>/7 - з) - V? . А Б В Г д -3 3-2>/7 2->/7 3 -3-2>/7 Обчислити: у/25 >/5 - ^16 . А Б В г д 1 2 3 4 5 5.7. Вказати правильну рівність. А Б в г д ^2-^9=^І8 (^/іо)5 = *^їо ^(-2)'° = -2 ^/(-з)9 = -3 4* Капіносов А. Математика. Комплексна підготовка до ЗНО 49
З 1 5.8. Обчислити: 164 +252. А Б В г Д 9 12 13 15 зі З _1 5.9. Обчислити: 92 +64 3. А Б В Г Д 27,25 31 278 27 -7— 6 5.10. Обчислити: ^56 • 29 . А Б В г д 200 8000 1600 400 800 5.11. Звільнитися від ірраціональності в знаменнику дробу А Б В г д л/7+1 2 л/7-2 2 2(77+1) 3(77 + 1) 77-1 2 5.12. Внести множники під знаки коренів: а4~а + Ь\[Ь . А Б в Г д Г~з , Г7з +\1о / 3 . / ї 3 V— а +\—р -уГЛ~у[ІЇ уГа^ + у[^ -уГ^ + у^ 5.13. ^а\Іау/а =... А Б в г д Та 77 77 Т7 5.14. Спростити вираз Я— N а А Б В Г д -а2Ь -аЬ а2Ь 2,2 а о аЬ2 5.15. Спростити вираз з х9/? 4-(~2)4 ’ А Б В Г д Х3у22 2 4 Х3у22 4 2 4г 5.16. □ - |1 |1 ІЇ Знайтих, якщо . — = 2 . \2\2\2 А Б В Г д -1,125 -0,875 -0,625 -0,375 -0,125 50
5.17. ^(-2-л/5)2+^(2-л/5)2 =... А Б В г д 0 4 -4 4 + 275 275 5.18. Знайти значення виразу д/(х - З)4 + ^/(х - 7,5)4 , якщо х = л/Го . А Б в Г д -4,5 2ТЇ0 -Ю,5 2х- 10,5 4,5 3,5 5.19. _|_ 2^/Го = А Б В Г д 710 3,5 + 710 Тз + 2 5/2 + у/5 і+7б 5.20. О • ... . л 2 Звільнитись від ірраціональності в знаменнику дробу . А Б В г д 1-0 І м 1 + |(Т49 +714+74) 1(749 +2714 +74) 5.21. Обчислити: 3-75 2 А Б В г д 7 зТ5 13 + зТ5 4 3,5 -1-1,575 5.22. Знайти значення виразу 7?! -1бТ7 + 711-477 . А Б В г д 10-277 -10 -6 10 6 5.23. Обчислити! \І2 + л/з • д/2 + \І2 + л/з •^2 + ^2 + ^2 + л/з *^2 — ^2+ ^2 + 5/3 . А Б в г д 1 2 3 4 5 5.24. Обчислити: (72-1)74+ 79-472 . А Б в г д 1 2 3 4 272 5.25. Обчислити: —+ —^2—= + ——=- +... + .— —=. 1+72 72+7з 7з+74 780+781 А Б в Г д 1 3 5 8 9 51
Завдання 5.26-5.32 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте познач- ки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 5.26. Установити відповідність між заданими виразами (1-4) та виразами, які їм тотожно дорівню- ють (А-Д). 1'/('/З'2)2 2 >/(72-2)’ 3 -(^2 + л/2)4 4 76 + 4^2 А 2 + 72 Б -2-72 В 2-72 Г 6-472 Д 72-2 5.27. Установити відповідність між заданими виразами (1-4) та виразами, які їм тотожно дорівню- ють (А-Д). 1 716аУ,а<0 А 2|ф2 2 >/16а3&6 3 уІ4а*Ь4 4 \І4а2Ь4 Б 2а2Ь2 В -2аЬ2 Г 2аЬ2 Д 2ІІ2аЬ2 5.28. Установити відповідність між виразами (1-4) та їх значеннями (А-Д). 1 (-27)з А -- 3 2 (-27)4 Б - 3 3 27’ 1 1 В -3 Г 3 4 27’-8’ Д 6 5.29. Установити відповідність між виразами (1—4) та їх значеннями (А-Д). 1 7Ї8-7з2+772 А 272 2 772 + Т50-ТЇ62 Б 372 В 472 3 7200-78-750 Г 572 4 7Ї28 + 7Ї8-798 Д 672 5.30. Установити відповідність між виразами (1-4) та їх значеннями (А-Д). 1 ^(-1-75)2+^(4-75)2 2 ^(і-Т?)2 +^(-1-Т5)2 3 ^(75-2)2 +^(75-З)2 4 ^(-75)!+1/(75-4)’ А 1 Б 75 В 4 Г 275 Д 5 52
5.31. Установити відповідність між виразами (1-4) та тотожно рівними їм степенями (А-Д). А я16 9 Б а16 В а* із Г а16 Д <3 5.32. Установити відповідність між виразами (1—4) та їхніми значеннями (А-Д). 1 ^4-2>/з-73 2 >/7-4з/з+73 З л/12-бТз+ч/З 4 л/з-2^2 -л/з + 2^2 А -2 Б -1 В 1 Г 2 Д З Розв’яжіть завдання 5.33-5.42. Відповідь запишіть десятковим дробом. 5.33. Обчислити: (^27+</б4)(^27-</б4). 5.34. Обчислити: (^49 + 20>/б + ^5 + 2у[б]^5-2^6 . 53 2 9 5.35. Обчислити: ---т= + —т=---;= —. 8 —VII 713 + л/іІ 713 + 2 5.36. Спростити вираз X2 +1 <х2 ДіЧІ х2 -17 п ґ а0,5 + 2 а0,5 - 2 16 ' 5.37. Спростити вираз 0.5_9 + до.5 + 7 5.38. Обчислити: ^21 + 2^50 (5 - 5/2). с | г, Ь-уІаЬ] І а , Ь а + Ь\ . 5.39. Спростити вираз х1а + —г=-: ~у=--------і--=------т=І і знайти його значення, якщо \ УІа+уІЬ) \уіаЬ+Ь уіаЬ-а \ІаЬ) а = 2—, 6 = 25. 4 5.40. Обчислити: ^5>/2-7 у/з + 2^2 . 5.41. Обчислити: ^2 + ^/5 +уі2 — у/5 . 5.42. Спростити вираз ^28 -16>/з - у/ї. 53
Тема 6. Логарифмічні та показникові вирази Показникові співвідношення Показникові тотожності. 1. ах+у = ах • ау. Наприклад, Зх+2 = 3х • З3 = 9 • 3х. 2. ах-у = ах:ау. Наприклад, 25“х = 25: 2х = 3. ^ = (^7 = (ау. Наприклад, 7* = (72)х = 49х; £ = Ш = |Ц І = | 4. ах • Ьх = (аЬ)х. Наприклад, 2х • 3х = (2 • 3)х = 6х. 5. = ] , якщо Ь*0. Наприклад, ^- = (—] . Ьх 5 \5>' / о\° 6. <2° = 1, якщо а Ф 0. Наприклад, 7° = = 0,09° -1. 7. а1 = а. Наприклад, 5 і = 5; 0-1 (а] (ЬУ „ о-х 1 8. а =—, якщо а ;*0; — = — . Наприклад, 2 = — а” \Ь' ^а' 2 т ____ х-4 ---- 9. ап = у/ат, якщо а > 0, иєЛС Наприклад, 7 х = л/7"’4. Логарифм Логарифмом додатного числа Ь за основою а (а > 0, а * 1) називають показник степеня, до якого треба піднести основу а, щоб отримати число Ь. Тобто якщо ах =Ь і а > 0, а *1, то 1о§а Ь = х і, навпа- ки, якщо 1о§а Ь = х, то ах = Ь . Наприклад, 1о§3 81 - 4, бо З4 = 81. Логарифм за основою 10 називають десятковим. Записують: 1о§10 х = 1§х . Логарифм за основою е ~ 2,718281828459045... називають натуральним. Записують: 1о§ех = 1пх. Логарифмічні тотожності. 1. Основна логарифмічна тотожність: (№ь =Ь, а>0, а Ф 1, Ь> 0. Наприклад, 31083 5 = 5; 2-,°Е25 — 1 — _к- ДІОВ26 — 221°б26 _ (2,ОВг6 )2 = б2 = 36 2. 1о§и 1 = 0, оскільки а° = 1. Наприклад, 1о§і31 = 0, бо 13° = 1. 3. 1о§а а = 1, оскільки ах - а. Наприклад, 1о§55 - 1, бо 5і = 5. - 4. Іо&рсу = 1о§о|х| + 1о§0[у|, ху > 0. Наприклад, 1о§240 = 1о§2(8 • 5) = 1о§28 + 1о§25 = 3 + 1о§25. 5. 1о§а — = 1о§а|х| - ІО^ІУІ, — > 0. Наприклад, 1о§3-^- = 1о§33 - 1о§317 = 1 - 1о§317. У У 17 6. = /Яо§о|х|, х^ > 0. Зокрема: 1) Іо&д2* = 2А:1о§о|х|, де х 0, к&2. Наприклад, 1о§381 = 1о§334 = = 41о8з3 =4-1=4; 1^32 = 1825 = 51Є2; 2) 1о8а = 1о§а х» = 11о81 х |. п 7. 1о§? х = Іо&д. Наприклад, 1о§8 2 = 1о§2, 2 = ^1о§2 2 = |; 3 = 1о§ , 3 = 21о§3 3 = 2. Зокре- К 3 3 з2 ма, ІО£ „ х" =—к)£а X. Наприклад, 1о§4 32 = 1о§ 2 25 = т-1о§2 2 = 2,5. ° т 2 54
Іое Ь 8. Формула переходу до іншої основи: 1о§а Ь = ——, де Ь > 0, с > 0, с Ф 1. Наприклад, 1о§253 = 1оеса = .ІО%3 ІО8711 = Зокрема, 1о§а/> = —!—. Наприклад, 1о§310 = —-Ц-= -^-. 1о§525 2 1§7 1о&,а 1о§10 З 1§3 9. а^ь = Ь'ОІ‘°. Наприклад, 2і085 х + 4х108’2 = х'°8і2 + 4х10852 = 5х'°8і2. Логарифмування Обчислення логарифмів заданих чисел або виразів називають логарифмуванням. Наприклад, прологарифмувати вираз х - 'ІаЬс3 за основою а\ Іо&д = 1о§0(7д/>с3) = 1о§07 + Іо&х? + 1о§06 + Іо&х? = = 1о§07 + 1 + Іо&аЬ + 31о§ос. Потенціювання Знаходження чисел (виразу) за даним його логарифмом називають потенціюванням. Наприклад, пропотенціювати вираз 1§х = 1§7 + 21§а - 31§6 і знайти х: - 1§7 + 21§д - 31§6 - 1§7 + 1§д2 -1§63 = -1§(7-б7)-1§6 - 18—г; 1&Х-І8—г; х — —. О 0 0 Приклад 1. Обчислити: А Б В Г Д 3 1 27 27 9 х 3 Відповідь. Б. Приклад 2. Обчислити: 21ОВ49+1ОВ28. А Б В Г Д 10 24 12 13 6 Ц 21оВ4 9+ІОЕ2 8 —. 21ОВ22 32+1082 8 _ 22,ОЕ23.2і0828 — 3 • 8 — 24 Відповідь. Б. Приклад 3. Знайти значення виразу 1о§2о5 + 1о§2о4 + 2. А Б В г Д 11 2 3 22 51 1о§205 + 1о§204 + 2 = 1о§20(5 • 4) + 2 = 1о§2020 + 2 = 1 + 2 = 3. Відповідь. В. Приклад 4. Обчислити суму 3х + З х, якщо 9х + 9 х = 47. А Б В Г д 7 49 45 >/23 >/47 55
Нехай 3х + З х = і, Піднесемо обидві частини рівності до квадрата й одержимо: (3х + З х) = /2; 32х + 2-Зх-З’х + 3~2х =12; (з2)х+2-Зх+(~х)+(32)~х=Л 9х+ 2-3°+9~х = ґ2; 9х+ 2-1 + 9~х =/2. Оскільки за умовою 9х + 9~х = 47, то 47 + 2 = ?; ? - 49; І = ±7. Так як 3х + 3~х > 0, бо показникова функція набу- вас тільки додатних значень, то і = 7. Отже, 3х + 3"х = 7. Відповідь. А. 1082 9“ьГ”2 Приклад 5. Обчислити: 4 75 . 2 4 82 1о87з2 _ д1о82 9-2-1О82>/3 — 4і0829-1°82(^) — 41оЄг 9~1о823 -.^ег^3) — 41о8г3 гг^2)^^3 = 221°823 = 21О8г9 =9 Відповідь. 9. Приклад 6. Обчислити: 27і08л + 4 • 5ІО8і 2 - 21О8і 2 • 1о§216. А Б В г Д 1 2 3 4 і 81 27І08^ + 4 • 5'°8'2 - 2ІО8і 2 • Іо§216 = 27'°8’й + 4 • (51085 2 )'°8і" - 2'°8і 2 • 1о§2 24 = 27і + +4 • 2і08’2 -2ІО8і2 • 4 = ^27 = 3. Відповідь. В. М Приклад 7. Обчислити: + 1о§|218 1о§2718 А Б В Г д 27 18 12 2 3 " Г"Чїї + Г“Чїї =1о8'812 + 1О8'8 27 = 1о8ів (12 •27) = 324 = 2. 1о&218 1о§2718 Відповідь. Г. Приклад 8. Обчислити значення виразу 1о§2 зіп — + 1о§2 зіп — + 1о§2 зіп —. А Б В г д 2“3 3 -3 _2 3 не існує ІОЙ,8ІП— + ІОЙ,8ІП— + ІОЙ2ЗІП— = І0Є2ґзІП—-8ІП—-ЗІП—- ІОЄ,| ЗІП— 'ЗІП— • ЗІпґ——— 2 12 2 6 2 12 2< 12 6 12/ 2< 12 6 <2 12- = 1о§2ґзіп — -СО8— -зіп—= 1о§2ґ—-2зіп —-соз—-ЗІП—= 1о§2ґ—зіп—-зіп—1 = V 12 12 6/ ^2 12 12 6/ ^2 6 6/ = 1о§2 | = 1°82 (2~3) = "З- Відповідь. В. 56
Приклад 9. Спростити 1о&23 • 1о&34 • 1о&45 •... • 1о&78. А Б В Г Д 2 3 5 7 8 гт - о - 1 1 1°82 4 і°82 5 1о§2 8 Перейдемо у всіх множниках до основи 2 и одержимо: 1о§2 3--------— •...---— 1о§2 З 1о§2 4 1о§2 7 = 1о§28 = 3. Відповідь. Б. Приклад 10. Знайти 1о^308, якщо 1о£303 = а, ІО£305 = с. 1о§308 = 1о§зо23 = 31о§302 = 31о830~ = 3(1о830Ю-1о§105) = 3^1о§30у-^ =3(1о§3030-1о§303-с) = = 3(1 -а-с). Відповідь. 3(1 - а - с). Приклад 11. Установити відповідність між виразами (1-4) та їхніми числовими значеннями л/3 (А-Д), якщо а = — 1 1о§027\/3 2 108, </3 а З А 0,6 Б -1,6 В -7 Г -10 Д 0,5 4 1о§а81 1. ІО8О 27л/з = 108^ 27^3 = 1о§ З3 • У = 1о8 _2 зМ^: 1о8з 3 = -1 • ± = -7 В з 3^ з ~ 2*'' 2 1 г- /— - - (1 1А 1 ? 1 2. 108, </3 = 108 , </3 = 1О8з З4 =1о8 и З4 = 1о833 = ^ = ^ = 0,5 -*Д а 2 Тз з 2 44 V 4 12 з 9 9 2-- і- Л З 5Л 3 2 3 3. 1ое9 = 108 9 = 1°897з 3 > = 108 ,д 3 > = Ц: 1о8з 3 = ^- Щ = 0,6^А а УЗ д/3 з 2 2 З 5 4. 1о8а 81 = 108 л З4 = 108 З4 = 1о§ З4 = Ґ4: ґ-7]] 1о8з 3 = -1,6 Б 9 3.9 З2 3 2 2 57
Завдання 6.1-6.23 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРА- ВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 6.1. Вказати неправильну рівність. А Б В Г д ІО§2І6 = 4 1 1 л 1о§2 — = —4 216 ,О81^ = 4 2 1 ІО8116 = 7 2 4 1о§, 16 = -4 2 6.2. Обчислити: 5’°85 7 + 1о§ 1 — + 1о§71. 3 3 А Б в г д 6 7 8 7— 3 12— 3 6.3. „ 31§2 + 31§5 Спростити вираз 2 . Р Е 181300-І80,13 А Б В г д 0,6 0,7 0,65 0,75 0,5 6.4. 1о§9 27 + 1о§9 3 _ 1о§68 + 1о§627 А Б В Г д 6 6 7 3 8 СП І ГЧ 2 3 6.5. ІОВ8 128-1о§8 2 = 1о§236-1о§29 А Б В г д 1 14 3 2 16 3 6.6. Обчислити значення виразу 1о§5 49 + 21о§5 у. А Б В г д 2 1 0 4 25 6.7. Знайти значення х, якщо 1о§7 х = 21о§7 6 - 1о§712 + 1о§715 . А Б в г д 39 7,5 15 17 4 45 6.8. 1о§3 32 1о§7 27 Обчислити: — 1- —. ІО83 2 1о§7 3 А Б В Г д 15 8 25 54 64 58
6.9. Обчислити: 8'°8:3 + 9|08’4. А Б В г Д 33 7 14 43 60 6.10. Обчислити: 1о§8І6. А Б В г Д 8 2 3 4 12 4 3 6.11. Знайти 1о§3200, якщо 1о§32 = а. 1о§35 = Ь, А Б В Г д За + 2Ь 32аЬ 2а + 36 За + Ь 6(а + 6) 6.12. Обчислити: І£і§2° 1§і§3° ... 1§ 1§88° 1§89°. А Б В г д 89! 0,1 10 1 0 6.13. Обчислити: І£і£І° + і§2° + 1§і§3° + ... + і§88° + !§і§89°. А Б в г д 10 1 0 0,1 89! 6.14. Обчислити: 7і0813-З10827 . А Б В г Д 0 7 3 1 -1 2 6.15. Обчислити: 1о§57 • 1о§49125. А Б В Г д 2 6 1 6 2 3 1,5 6.16. Г ґ -6 Серед чисел соз2л; л/2 ; 1о§20,25; ; 7^ знайти найбільше. А Б В Г д соз2я ^2 1о§20,25 ґ-ї ІзУ 7-6 6.17. уі+1о872 _ А Б В Г Д 9 14 49 343 81 6-18- А Б В г Д 14 2 1 -1 -2 59
6.19. 1о§7^7-</7 =... А Б В г Д 4 5 5_ 4 х 4 1 20 1 у 20 6.20. Обчислити: 1о§8? ’ І0&76 • 1о§64. А Б В г д 3 2 2 3 х 2 2 3 6.21. С 2+— V Обчислити: 2 10812 + 25 21083 5 + 1 . к 7 А Б В Г д 8 16 3 4 5 6.22. х \ 2 Обчислити: - З'ое’^-8^ . А Б в Г д 64 12 8 2 65 - 16л/3 6.23. Обчислити: 1 1 . 2008 А Б В Г д 2008 -2008 1004 -1004 1 Завдання 6.24-6.34 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте познач- ки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 6.24. Установити відповідність між виразами (1-4) та виразами, які їм тотожно дорівнюють (А-Д). 1 2185 + 184 2 1о§35:Іо§32 З Іо§Да2+л)-1О£а(а + 1) 4 2і08^Л А 5 Б 1о§52 В 1 Г 1оЄ25 Д 1°824 6.25. Установити відповідність між виразами (1-4) та їхніми значеннями (А-Д). 1 ІО8278І 2 1о§, — 63 81 З ІОЙ813 Л 1 1 4 І0&,- 60
6.26. Установити відповідність між виразами (1-^4) та їхніми значеннями (А-Д). 1 108816 А 0,(6) , 1 Б 0,75 2 1°8 । — .7 32 В 1,25 3 10825125 Г 1,(3) 4 1о82?9 Д 1,5 6.27. Установити відповідність між виразами (1-4) та їхніми значеннями (А-Д). 1 . 5^5 А 0,3 І0Є’Ж Б 0,(3) 2 ^4 В '-3 У 2 г 1,(3) 3 іо6>4 д і.(в) У25 4 108,3^3 6.28. Установити відповідність між виразами (1-4) та їхніми значеннями (А-Д). 1 1ое84 + 1°8816 к>8616 + ІО86 81 2 108,2 2+ 108,2 72 108,75-108,3 3 ІО§5 75 ~ І0§5 3 к>84 32 + ІО84128 3 108,6 + 108,- 4 ІО8,54 -108,2 а’ 3 Б - 2 В - 3 Г 1 д 4 3 6.29. Установити відповідність між логарифмічними виразами (1-4) та їхніми значеннями (А-Д). Д 22І°В4І2-1 А 6 Б 8 В 10 Г 12 Д 25 6.30. Установити відповідність між виразами (1-4) та їхніми значеннями (А-Д). 1 108,64 । 1о§59 А 7 1о£32 іо§5 З Б 8 2 1о84625 । 1ое7128 В 9 1о§45 ІО£72 Г 6 1 ± ДП 3 1О8549 , Іо^16 1085 7 Ю8з| 4 1Є125 । 1оЄз16 185 108,2 61
6.31. Установити відповідність між виразами (1-4) та їхніми значеннями (А-Д). 1 1о§37 • 1о§4981 2 І0&8 • ІОЄ16І25 3 1о§91000 • 1§3 4 1о§8і128 1о§23 А 1,25 Б 1,5 В 1,75 Г 2 Д 2,25 6.32. Установити відповідність між виразами (1-4) та їхніми значеннями (А-Д). 1 16 • 1о§65 • 1о§54 2 1о§і48 • 1о§і5І4 • 1о§|615 3 1о§75 • 1о§54 • 1о§з27 4 1§2 • ІоенІО • ІО812811 А - 8 Б - 7 В - 3 г - 4 д - “ 5 6.33. 1о£72 = а, 1о§73 = Ь. Установити відповідність між логарифмами чисел (1-4) та їх вираженням через а та Ь (А-Д). 1 10871,5 2 1о§74,5 3 1о§67 4 1о£29 А —— а + Ь „ 2Ь а В 2Ь-а г —5— а-Ь Д Ь-а 6.34. 1о§0Л = 5. Установити відповідність між виразами (1-4) та їх значеннями (А-Д). 1 1о&,ла 2 Хо^ьЬ 3 \о^ь4аЬ А 5,5 Б 3 В - 6 4 \о%а4аЬ Г 0,6 Д - 6 Розв’яжіть завдання 6.35-6.46. Відповідь запишіть десятковим дробом. 6.35. Обчислити: -108,2 V + 41+4іо842 ;100 6.36. Обчислити: (252’,О8і75 + 7’'°8’3) • 27 . 62
1°Вз5 6.37. Обчислити: 3ІО8і3 - 510&5 + 7і08’49. 6.38. Обчислити: О,2518°’5 • 0,04І8°5 + 81°’5|°8’7 - 0,5 • 27І°8?3. 6.39. Обчислити: 1о§3 49 • 5 • 1о§25 27 . 6.40. Обчислити: 2'°8’3-З'°8г3-9'°8’2. 6.41. Обчислити: 1о§3+^(з-\/8) + 1о£3 _^(з + -Ув). 6.42. Обчислити: 3 • 7^ІО8л +і'°878 - 3 1о§9 ^9^9 -10. 6.43. Обчислити: 1о§_, | • 1о§, | • 1о§, | •... • 1 • 1§ 2. 2 з > 4“^ 99 1 '-'І/ 6.44. Дано: = 9. Знайти ІО86(1о&, а) 6.45. Спростити вираз а Хо*ьа • 1о§а Ь . 6.46. Обчислити: (1о§5 24- 1о§2 5 4- 2)(1о§5 2 -1§2) • 1о§2 5 - 1о§5 2. 63
Тема 7. Тригонометричні вирази Нехай у прямокутній системі координат одиничний вектор ОА лежить на додатному напрямку осі х. Вважатимемо, що ОА — початкова сторона кута АОВ й /ЛОВ - а. Координати точки В на осях х тау позначимо відповідно ха тауа. Синусом кута а (зіпа) називають ординату точки В одиничного кола, яка відповідає куту а. Косинусом кута а (соза) називають абсцису точки В одиничного кола, яка відповідає куту а. Тангенсом кута а (і§а) називають відношення ординати кінця одиничного рухомого радіуса до зіпа його абсциси: і§а = —=-------, де соза ^0. у соза Котангенсом кута а (сі§а) називають відношення абсциси кінця одиничного рухомого радіуса до уп соза його ординати: сі§а = — =------, де зіпа 0. хп зіпа Секансом кута а (зеса) називають відношення---, де соза Ф 0. соза Косекансом кута а (созеса) називають відношення----, де зіпа Ф 0. зіпа Пряму, яка проходить через точку Ра(1; 0) паралельно до осі ординат, називають лінією танген- сів. Пряму, яка проходить через точку (0; 1) паралельно до осі абсцис, називають лінією котангенсів. Значення синуса, косинуса, тангенса та котангенса деяких кутів: а 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° 0 с* 1 я 4 я ЇЇ £ | сч Я Зл т 2л зіпа 0 2 Л 2 2 1 0 -1 0 соза 1 л/3 2 ЇЇ2 2 2 0 -1 0 1 0 ЇЇЗ 3 1 — 0 — 0 — 1 3 0 — 0 — 64
Для будь-якого кута а |зіпа| < 1, |со8а| < 1, і сі§а змінюються від -«> до +оо. Знаки тригонометричних функцій у чвертях: І§Х, СІ§.Г С08Х 8ІПХ Функції у - 8Іпх, у = і&х, у - сі§х — непарні, а функція у = со8х — парна, тому: 8Іп(-а) = -8Іпа; і£(-а) = -і£а; сі§(-а) = -сі§а; со8(-а) = соза. Значення тригонометричних функцій у точках х та х + 2ял, лє 7, рівні за всіх допустимих значень х, тобто 8Іп(х) = 8Іп(х + 2ял); со8(х) = со8(х + 2ял); і§(х) = і§(х + 2пп); сі§(х) = сі§(х + 2ял). Усі тригоно- метричні функції є періодичними і довільне число виду 2тіп, п/0, є їх періодом. Функції у = І£Х, у - сї&с мають своїми періодами і числа виду ял, лє7, п Ф 0: і§(х) = і§(х + ял); сі§(х) = сі§(х + ял). Се- ред усіх можливих періодів функцій виділяють основний період — найменший додатний період. Фу- нкції у - 8ІПХ, у = СО8Х мають основний період 2я, а функції у - І£Х, у = сі^х — я. Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу 8Іп2 а + со82 а = 1 — основна тригонометрична тотожність 8Іпа соза ; сі£а = соза (§а сі§а = 1; 1 2 І 1 + (£ а =--— со8 а 8Іпа ’ , 2 1 ; 1 + сі§ а = 8іп а 8Іпа соза і§а сі§а 8Іпа = — ±л/1-со82 а ± *§<* ^1 + і§2а ± і 71 +сіє а соза = +>/1-8Іп2а — ± і VI + а ± сіеа 71 + сі§2а і§а- + 8Іпа >/1 -8Іп2 а + >/1-соз2а соза — 1 сі^а сі§а = + >/1-8Іп2а 8Іпа соза л/1-со82 а 1 — Формули додавання для тригонометричних функцій 8Іп(а ± р) = зіп а • со8 р ± со8 а • 8Іп р; со8(а ± р) = со8 а со8р + 8Іп а 8Іп р ; .Є(а±Р) = Д^;с1е(а±Ю = -^-уРТ‘ Формули суми та різниці тригонометричних функцій . „ „ . а+В а-р . п ~ а+В . а-В зіпа + зіпр - 28іп----соз-; зіп а - зіп Р = 2соз----8іп--; 2 2 н 2 2 _ „ а + В а-В „ . . а + В . а-В соз а + соз В = 2 соз-соз-; соз а - соз В = -2 зіп-- зш-- 2 2 2 , п зіп(а ± В) , п зіп(В ± а) і§а ± і8р =-----------; сі§а ± сі§р = -—. созасозр зіпа-зіпр 2 5* Капіносов А. Математика. Комплексна підготовка до ЗНО 65
Формули тригонометричних функцій подвійного та потрійного аргументу зіп2а = 2зіпасоза; С08 2а = 2соз2 а-1; » 2ї§а 1§2а=, , 2 ’ зіпЗа = 3зіп а - 4зіп3 а; Зі§а-1§3а іеЗа = 9 ; 1-3і£ а Формули універсальної підстановки ос 2 зіпа = —; соз 2а = соз2 а - зіп2 а; соз2а = 1-2зіп2а; сі§2а-1 сі§2а = ; 2сІ§а созЗа = 4соз3 а-Зсоза; сі§3а-Зсі§а сі£3а = ——г —. Зсі§2 а-1 -*’ї соза = —; 1 + ^у •8» = а’ , 2 а 1-16 - «8а= а . 2,Є2 Формули половинного аргументу . а , /1-соза зіп— = ±. ; 2 N 2 а , /1 + соза соз— = ±. ; 2 V 2 а /1-соза = ±. ; 2 V 1 + соза а зіп а 1-соза ; 2 1 + соза зіп а а , /1 + соза сіе=±. ; 2 V 1-соза а зіпа 1 + соза с(§— = = . 2 1-соза зіпа Формули пониження степеня . 2 1-со8 2а зіп а = ; 2 , 1 + соз2а соз а = . 2 Формули добутку тригонометричних функцій . _ соз(а - В) - соз(а + В) зіп а • зіп В =------------; 2 „ со8(а-В) + со8(а + В) соз а • соз В =------------; 2 сіп» рпей §іп(а-р) + 8Іп(а + р) 8іп а • соз р =------------. 2 Формули зведення V • X Я — а 2 я —+ а 2 я-а л + а Зя а 2 Зя — + а 2 2я-а 9(Г-а 9(Г+а 180°-а 180° +а 27(У-а 270° +а 360°-а зіпх соза соза зіпа -зіпа -соза -соза -зіпа СО8Х зіпа -зіпа -соза -соза -зіпа зіпа соза сі§а -сі§а -1§а сІ§а -сі£а СІ£Х -і§а -сі§а сі£а -сі^а 66
Наприклад, соз(90° + х) = -8Іпх; і§(л + 5а) = і§5а; зіп л+ а^ = соза; сі§^630° + а^ = -1§а; 2 чверть 3 чверть 4-----V----' 4----------' 2 чверть 4 чверть 003(540° + а) =-соза; іеґа-—л'і = -іе( — л + а \б-90“ І к 2 ' V 2 З чверть 4 чверть -(-сі£а) = сі£а. Обернені тригонометричні функції Арксинусом числа Ь, де |6| < 1, називають таке число а із проміжку —, синус якого дорів- нює Ь. Наприклад, якщо зіп—= —, то агезіп—= — 6 2 2 6 я — є З тс, тс 2’ 2. . ( я 1 ЗІП І------ < З =-----. Узагалі агезіпб - а, якщо ає і зіпа - Ь. Наприклад, . Зя \/2 . <2 Зя . Зя зіп— = —, але агезш-------Ф—, оскільки —£ 4 2 2 4 4 я. я 2’2.' Арккосинусом числа Ь. де |6| < 1, називають таке число а із проміжку [0; я], косинус якого дорів- / тт 1 я с я гл і • тс 1 ( 5я 5я ГЛ п . нює Ь. Наприклад, агссоз—= — , бо — є[0;я] і соз—= —; агссоз-=—, бо —є[0;я] і 23 3 32 \2/6 6 соз—=------—. Узагалі агссоз/? - а, якщо ає[0;я] і соза = />. Наприклад, созґ-—]= —, але 6 2 3' 2 1 Я • Я ГЛ -| агссоз — Ф —, оскільки — £ [0; я]. 2 З 3 і л і. • і я я । • і Арктангенсом числа Ь називають таке число а з проміжку > тангенс якого дорівнює Ь. тт 4. і тс я ґ я я । • . Я « . / тс • Я ( Я Я^ • Наприклад, агсі£І = —, бо — є І—; —І і = 1; агсі£І-л/ЗІ = —, оскільки —є І—; —І і 4 4 ^ 2 2 4 3 3^2 2^ ґ я^ г । я я 1 . 2я г” =-л/3. Узагалі, агсі£/? = а, якщо ає [] і ї^а-Ь. Наприклад, = -<3, але агсіе(- 2л . 2л ( л л ] З , оскільки — й —; — . І Д 14 7 7/ Арккотангенсом числа Ь називають таке число а з проміжку (0; я), котангенс якого дорівнює Ь. Наприклад, агссі£^у- = у, бо ує(0;я)і = агссїб(“^/з) = ~є(О;тс)і сС§-^- = -л/з. Узагалі, агссі§Л = а, якщо ає(0;я) і сі§а = />. Наприклад, сі§(-^=->/з, але агссі§(-л/з^-^-, оскільки — £ (0; я). Основні співвідношення між оберненими тригонометричними функціями агс8Іп(зіпх) - х, хє я. я 2’ 2^’ зіп(агсзіпх) = х, хє [-1; 1]; агсзіп(-х) = -агезіпх; агссоз(соях) = х, хє [0; л]; соз(агссозх) = х, хє [-1; 1]; 67
агссоз(-х) = я - агссозх; агсі§(іех)=х, хє ; 1§(агсі§х) = х; агсІ§(-х) - -агсі^х; агссі§(сІ§х) - х, хє (0; я); сІ§(агссІ§х) - х; агссІ§(-х) = я - агсс(£х; агсзіпх + агссозх = у, хє [-1; 1 ]; . . . тс агсі^х + агссі^х = —. Синусом кута є ордината кінця одиничного рухомого радіуса. Знайдемо на колі точки, ордина- ти яких дорівнюють 0,5. Це точки А та В. Відповідь. В. Приклад 2. Обчислити знак добутку зіп280° • созЗО0 • 1§170° • сі§190°. Для кожного множника визначимо чверть, у якій міститься кінець рухомого радіуса, й з’ясуємо знак даної функції. 280°— IV чверть, зіп280°<0; 30°— І чверть, созЗО0> 0; 170° — II чверть, і£І70° < 0; 190° — III чверть, сі§190° > 0. Отже, маємо: «-» • «+» • «-» • «+» > 0. Відповідь. 8Іп280° • соз30° • (§170° • сі§190° > 0. Приклад 3. Знайти знак виразів: а) зіп2,5; б) созб. у < 2,5 < я, ^- < 6 < 2я. Отже, кут а = 2,5 радіана закінчується у II чверті, а кут [3 = 6 радіан закінчується у IV чверті. Тоді зіп2,5 > 0, созб > 0. Відповідь. зіп2,5 > 0, созб > 0. Приклад 3. Обчислити: зіп (-30°) соз (-60°) + і£ (-45°) сі§ (-60°) соз (-30°) - зіп (-60°) (-30°) Урахувавши парність (непарність) тригонометричних функцій, одержимо: 1.1 . 8Іп(-300)соз(-600) + 1;§(-450) _ — 8Іп30осоз60о — і§45° _ 2 2 сі§(-60о)соз(-30о)-8Іп(-60о)і§(-30о) — сі£б00соз300 — зіп60оі§30° 1 Уз >/з 1 Уз 2 з Уз = —= 1—= 1,5. 4 4 Відповідь. 1,5. 5 4 5 6 68
гт Л , г, 391л ... Приклад 4. Звести соз----до тригонометричної функції гострого кута. 18 А Б В Г д ТС соз— 18 . 2л -зіп— 9 7л соз— 18 . 2л зіп— 9 31л соз 18 _ 391л соз------= со: 18 Відповідь. Г. о іп^д.«-д.9я + 4л 2 10 Я + Я Ч------ 18 ( , л , 4л І ( Зя , 2л) . 2л = соз лч---1--= соз----1--= зіп—. V 2 18/ <2 9/ 9 Приклад 5. Яка з указаних функцій є ні парною, ні непарною? А Б В г д /і(х) = созЗхсі§4х гг ч 2ч-Ззіп25х ^(х)= А. 6і§х (х) = 5л/созх + х4 Г , х х2 +зіп2х /4(л)= • 9 3 81П 2х - X /5(х) = зіпбхі^хЧ-х2 /і(-х) = соз(-3х)сі§(-4х) = созЗх • (-сі§4х) = -созЗхсі§4х = Функція непарна; . . 2ч-Ззіп2(-5х) 2ч-3(-зіп5х)2 2ч-Ззіп25х ,, ч _ =----г. / \ " =-------Т7------ =--------77-----= ФУНКЦ1Я непарна; 6і§(-X) -6І£Х 61§Х /3(-х) = 5-7соз(-х) Ч- (-х)4 = 5\созх Ч- х4 = /з(х). Функція парна; у/ ч (—х)2 ч- зіп(-2х) х2-зіп2х х2-зіп2х^ , , . ч . /4 (-*)=. ’ , ,—7Ї = — — = —гт;-----*/4(*); /4(-х)*-/4(х). Функція ні парна, ні зш(-2х) - (—х) - зіп 2х Ч- х зіп 2х - х непарна; (—х) = зіп(-бх) 1§(-х) Ч- (—х)2 = - зіп 6х • (- х) Ч- х2 = зіп 6 с!§ х Ч- х2 = /5 (х). Функція парна. Відповідь. Г. Приклад 6. Знайти найбільше значення виразу 12соза + 5зіпа - 7. соза -7 = л/122 +52 ) .12 _ . 13 Перетворимо вираз: 12созач- 5зіпа-7 = л/122 ч-521 —, зіпач—, <з/122Ч-52 ґ 5 12 'Х 5 = 13^—зіпач-— соза^ -7 = 13зіп(ач-ф)-7, де ф = агссоз-^ або ф = агсзіп-^. Далі маємо: -1 <зіп(ач-<р)< 1; -13 < 13зіп(ач-ф)< 13; -13-7 < 13зіп(а ч-ф) - 7 < 13-7; -20 < 13зіп(ач-ф)- - 7 < 6. Отже, найбільше значення виразу 12соза ч- 5зіпа - 7 дорівнює 6. Відповідь. 6.1 З 73 —агссоз— 2 2 Приклад 7. Обчислити числове значення виразу агсзіп А Б в г д 5 я 12 1 1 6 7 —я 12 5 —я 12 _ .[1)3 л/З - + і агсзіп — Ч-—агссоз---Загсіе —т= - — <2/2 2 < 7з> я , я , - я я , я , я -2лч-3лч-6л 7 6 4 6 6 4 2 12 12 Відповідь. Г. я +2. 6 2 6 69
1 тс Приклад 8. Знайти 1§а, якщо соза = і - — < а < 0. А Б В Г Д 0,5 2 -0,5 -2 5 Кут а міститься у четвертій чверті, тому зіпа < 0. Обчислимо зіпа: зіпа = - ->/1 - соз2 а = -.11-- = -.1^=—т= Знайдемо і§а: а = 5*па = —: -4= = = -2. N 5 45 л/5 соза 75 75 75 Відповідь. Г. Приклад 9. Обчислити: зіп 75° • зіп 15°. 8Іп750-8Іп150 = 8Іп(900-150)-8Іп150 = со8І50-8Іп15° = -^8Іп300 = 4-. Приклад 14. Знайти значення виразу 2 зіп2 2а + 2 соз І — - а І + 2 соз2 2а, якщо а - —. V 2 ' 6 А Б В г д 5 2 + %/з 3 2-у/з 1 Спочатку спростимо вираз: 2зіп22а+2созІ — -а] + 2соз22а= 28Іп22а+2со822а+2зіпа= = 2(зіп2а+соз2а) + 2зіпа=2+2зіпа.Якщо а = —,то 2 + 28Іпа = 2 + 2• зіп— = 2 + 2• — = 3. ' 1 6 6 2 Відповідь. В. гг і ,л соз200-соз400 Приклад 10. Спростити вираз----------------. і§10° + і§20° — соз20°-соз40° _ -2зіп30°зіп(-10о) _ 2зіп30°зіп 10°соз 10°соз20° _ і§10° + і§20' зіп 30° соз10°соз20° = 2 зіп 10° соз 10° соз 20° = зіп 20° соз 20° = — зіп 40°. 2 зіп 30° Завдання 7.1-7.22 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 7.1. зіп4а + зіп2асоз2а - зіп2а =... А Б В Г Д -2зіп2а 1 2соз2а 2зіп2а 0 7.2. і§2|3 + сі§2р + 2 - —-у— СОЗ Р А Б В Г д 1 ЗІП2 Р ЗІП2р 1 ЗІП2 Р 1 2 ЗІП2р 7.3. Спростити вираз сі§(-а) • 1§(-а) - зіп2(-а). А Б в Г Д соза 2 соз а зіп2а 1 + зіп2а -соз2а 70
1А. 7.5. 7.6. Обчислити (§2а + сі§2а, якщо і§а + сі§а = 2. А Б В Г Д 2 1 4 3 -2 зіп а-соза . ~ Обчислити-----------, якщо 1§а = 3. зіп а + соз а А Б В Г д 1 0 х 2 _х 2 2 Знайти значення виразу 38Іп2а - 7соз2а, якщо соза = -0,1. 7.7. А Б В Г Д 2 2,9 3,1 3,96 2,92 Знайти значення виразу со8^а-р + ^ + 2зіп(а + я)соз(р- -я), якщо а = 0,1л, р = 0,15л. А Б В Г Д 0 2 У2 2 л/3 2 1-^ 2 7.8. 7.9. 7.10. 7.11. 7.12. 1§7°і§83° + і§19°1§71° = ... А Б В Г Д 0 1 2 3 4 соз а соз Р - соз (а + Р) соз (а - Р) - зіп а зіп Р А Б В г Д 1 зіпазіпр созасозр сі§ас(§р і£х + ї8у ! і%х-(§у 1§(х + у) 1§(х-у) А Б В г Д 2 0 1 2і£Х 2і§(х+у) ґ З А (З зіп(л-2а) + 2соз^|л + а^ зіп^-|л-а А Б В г д зіп2а 1 Зсоз2а 3 0 4 а . 4 а соз------зіп — = 2 2 А Б В г Д зіпа соза а СО8 — 4 соз2а 1 71
7.13. 8Іп40° 2 соз2 20° А Б В Г д соз20° 2 зіп20о сі§20° і§20° 7.14. зіп48° + 8Іп12° =... А Б В Г Д 8Іп36° Уз 2 соз18° х 2 —соз 18° 2 7.15. СО870° - СО8І0° = ... А Б В Г д -зіп40° зіп40° созЗО0 х 2 2зіп40° 7.16. соз70° + соз50° = ... А Б В Г д _х 2 х 2 2соз10° зіп 10° соз10° 7.17. Знайти значення виразу зіп у соз у, якщо х = - А Б В Г Д 0,5 -0,25 -0,5 -2 0,25 7.18. со875°соз15° =... А Б В г д х 2 х 4 1 х 4 Уз 2 7.19. 8Іп105°со8І5° =... А Б В Г д Уз Уз 2 + Уз 1 і+Уз І 2 4 4 2 2 7.20. 8Іп75о8Іп15° =... А Б В г д х 2 х 4 х 4 Уз 2 Уз 4 7.21. • ( О зіп! агссоз— =... V 4> А Б В Г д х 4 х 4 УЇ5 4 х 2 УЇ5 4 72
7.22. соз [ 2агс8Іп— V 6- А Б В г Д 17 18 ]_ 3 3 4 2 3 15 16 7.23.- і§^“агсзіпО,б) = А Б В г Д 0,3 2 х х 3 3 2 3 4 7.24. Обчислити: Зл/Зсоз(агсі§>/2). А Б В г д 3 -3 ±3 зТб 3^2 7.25. ., л 2л 4л _ Ібсоз—соз—соз ... 9 9 9 А Б в г д 0,5 -0,5 2 -2 0 7.26. . Зл . л сіп _ сіп - - — сіп 5л _ ОІ11 ОІ11 оЦ.1 14 14 14 А Б В Г д 2 1 0 1 2 -1 Завдання 7.27-7.39 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 7.27. Установити відповідність між виразами (1^4) та виразами, які їм тотожно дорівнюють (А-Д). 1 зіп а соз а 2 1-2зіп2а 4 со$(л-2а) . 1 . _ А —зіп 2а 2 Б -соз2а В соз 2а Г 2 соз а Д зіп 2а 7.28. Установити відповідність між виразами (1^4) та виразами, які їм дорівнюють (А-Д). 1 зіп 740° А соз50° 2 соз560° Б зіп 50° 3 соз225° В зіп 20° 4 2зіп 20°соз20° Г зіп(-45°) д -соз 20° 73
7.29. Установити відповідність між виразами (1-4) та виразами, які їм тотожно дорівнюють (А-Д). 1 зіп(45° + а) 2 соз(45° + а) З соз За 4 зіп За /2 А —(соза-зіпа) 2 1 ’ Б соз а соз 2а + зіп а зіп 2а •\/2 В —(зіп а + соза) 2 к ' Г созасоз2а-зіпазіп2а Д зіп 2а соз а + соз 2а зіп а 7.30. Одна зі сторін кута збігається з додатною піввіссю абсцис, а інша перетинає одиничне коло в ( 5 12А точці-----;----. Установити відповідність між тригонометричними функціями кута В (1—4) < 13 13> та їх значеннями (А-Д). 1 8ІП|3 А — 2 созр 12 3 *§Р Б — 4 сі£р 5 В 13 г -— 13 7.31. зіп|3 = а, а— кут І чверті. Установити відповідність між тригонометричними виразами (1-4) та їх значеннями (А-Д). 1 8Іп(у+Р; А а Б -а 2 зіп(л-р) В 3 зіп(л + Р) а і Г -уіі-а2 . . (Зіі о) 4 81Чур; Д ^\-а2 7.32. а— кут першої чверті, 1§а = а. Установити відповідність між тригонометричними виразами (1-4) та їх значеннями (А-Д). 1 + а! 1 Б« 2 ів(^-“) В 1 2 а З і§(л-а) Г -а 4 і§(л + а) д _1 а 74
7.33. Установити відповідність між тригонометричними виразами (1-4) та їх значеннями (А-Д). 1 8Іп510° 2 соз690° З соз840° 4 зіп960° 7.34. Д - 2 Установити відповідність між тригонометричними виразами (1-4) та їх значеннями (А-Д). 7.35. 7.36. 1 + 20л 1е— 2 , 28л •8— 3 . ( зі”' Ч~— 4 . 16л с18— Б -л/3 Г л/З д -і Установити відповідність між тригонометричними виразами (1—4) та тотожно рівними їм вира- зами (А-Д). 1 созЗхсозх - 8ІпЗх8Іпх А 8Іп4х 2 СО83ХСО8Х + 8ІПЗХ8ІПХ Б -СО84х 3 8ІПЗХСО8Х + СО83Х8ІПХ В СО84х 4 8ІПХСО83Х - 8ІПЗХСО8Х Г СО82х Д -8Іп2х а — кут другої чверті, зіп а = —. Установити відповідність між заданими тригонометричними виразами (1-4) та їх значеннями (А-Д). 1 зіп 2а 2 соз 2а З 1§2а 4 с(§2а А -і** 120 с 119 Б В И* 169 г 120 119 д -1^ 169 75
7.37. Установити відповідність між тригонометричними виразами (1—4) та тотожно рівними їм вира- зами (А-Д). 1 зіпЗа-зіпа А созЗа-соза Б сі§а 2 соза-созЗа В і§2а зіп а + зіп За г с1е2а 3 зіп 2а + зіп 4а д соз2а-соз4а . зіп За + зіп а 4 соз За + соз а 7.38. Установити відповідність між тригонометричними виразами (1-4) та тотожно рівними їм вира- зами (А-Д). 1 зіп 10° + соз20° А зіп50° 2 зіп20° + соз 10° Б зіп40° 3 соз20° - зіп 10° В >/з зіп40° 4 г Л-,,,50- Д -л/з зіп50° 7.39. Установити відповідність між тригонометричними виразами (1-4) та їх значеннями (А-Д). ( 4\ 4 1 іе агсзіп— А — < 5> 5 ( з> к 2 2 сі§^агссоз^ " / X ч\ 3 . ( . ( 3^ В — 3 созі агсзіпі —1 1 4 . ( с 4^ Г | < < 5» д~| Розв’яжіть завдання 7.40-7.49. Відповідь запишіть десятковим дробом. 8іп^а + —соз(а-л)і§(-а) 7.40. Обчислити: — г . зіп(а - я)соз^а - — сі§(л - а) 7.41. Спростити: зіп4а - соз4а - зіп2а + соз2а. 7.42. п і§2а 1 + сі£2а 2 Спростити: —— а. 1 + і§ а сі§ а 7.43. соза-со83а + соз5а-соз7а х Спростити: 2сі§а. зіп а + зіп За + зіп 5а + зіп 7 а 7.44. 1 + соз а + соз 2а + соз За Спростити: —. 5 соз а • (соз а + соз 2а) 76
7.45. Спростити: + СО82 (П - х) . 7.46. Обчислити: 2 зіп 20° соз 50° зіп 60° соз 10°. „ 1 1 1 1 ійі-1001 7.47. Обчислити:----------н----------1-----------ь... +----------н —--------. созІ + созЗ соз1 + соз5 соз1 + соз7 соз1 + соз2001 2зіп1 _ .о „ со85а + 5созЗа + 10соза 7.48. Спростити вираз---------------------. 7.49. ґ 2^ (1 7' Спростити вираз 26зіп^2агсі§—) агссоз— 77
Тема 8. Цілі рівняння Лінійні рівняння з однією змінною Лінійним рівнянням з однією змінною називають рівняння виду ах - Ь, де х — змінна, а та Ь — ві- домі числа. Якщо а =£ 0, то х = — — єдиний корінь лінійного рівняння; а якщо а = 0, Ь * 0, то 0 • х - Ь і рівняння коренів не має; якщо а = 0, Ь = 0, то 0 • х = 0 і коренями рівняння є всі дійсні числа. Рівняння, які зводяться до лінійних: 2х-2(х-3) = 10; 2х + 2(х-3) = 10; 2х-2(х-5) = 10; 2х-2х + 6 = 10; 2х + 2х-6 = 10; 2х-2х + 10 = 10; Ох = 4. 4х = 16; 0х = 0. х = 4. Відповідь. Коренів немає. Відповідь. 4. Відповідь. Довільне число. Квадратні рівняння Квадратним рівнянням (рівнянням другого степеня з однією змінною) називають рівняння виду ах1 + Ьх + с - 0, де х — змінна, а, Ь, с — відомі числа, до того ж а * 0. Якщо Ь * 0, с * 0, то квадратне рівняння називають повним. Якщо ж Ь — 0 або с - 0, то квадратне рівняння називають неповним. Розглянемо випадки. 1)с = 0, 6=£0. Тоді одержимо рівняння ах2 + Ьх-^\ х(ах + 6) = 0; *і=0, х2 - —• Наприклад, а Зх2 - 7х = 0; х(3х - 7) = 0; х = 0; Зх-7 = 0; *1 ~ 0’ «у 7 Відповідь. 0; —; х, =-. З . З 2) Ь = 0, с =£ 0. Тоді одержимо рівняння ах2 + с - 0; ах2 - -с\ х2 - а) х = ±, , якщо > 0, а \ а а тобто — <0; б) якщо -—<0, тобто — >0, то рівняння коренів не має. Наприклад: а)9х2-64 = 0; а а а ,2= 64. 9 ’ 8 х, =~ ’ З Відповідь. ±—; б) 4х2 + 25 = 0; 4х2 = -25; х2 - ; хє 0. 8 3 4 х, = —. . З Відповідь. 0; 3)6 = 0, с = 0. Тоді одержимо рівняння ах2 = 0; Х|=х2 = 0 (а*0). Наприклад: 25х2 = 0; х2 = 0; х = 0. Відповідь. 0; 4) Ь Ф 0, с Ф 0. Тоді одержимо рівняння ах2 + Ьх + с = 0. Вираз Ьг - 4ас називають дискримінантом квадратного рівняння і позначають літерою О. Кіль- кість коренів квадратного рівняння залежить від значення дискримінанта. Умова Корені О — Ь2 —4ас> 0 -ь+Л5 х2 = 1,2 2а £> = 62-4ас = 0 -Ь х = — 2а П = 62-4ас<0 коренів немає 78
Наприклад, 5х2 - 18х + 9 = 0. £> = (-18)2 - 4 • 5 • 9 = 324 - 180 = 144 > 0. 18 + 7144 18 + 12 » 18-7144 18-12 6 З п. а З х. =--------=-------= 3; х9 =--------=-------= — = —. Відповідь. 3; —. 1 2-5 10 2 2-5 10 10 5 5 Квадратне рівняння, у якому перший коефіцієнт дорівнює одиниці (а- 1), називають зведеним. Другий коефіцієнт та вільний член зведеного квадратного рівняння позначають відповідно р та д, і рі- вняння має вигляд х2 + рх + д = 0. Теорема Вієта. Сума коренів зведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів — вільному члену. Тобто якщо хі та х2— корені рі- вняння х2 +рх + # = 0, то: хі + х2 = -р, хі • х2 = д. Наприклад, корені зведеного рівняння х2 - 5х + 6 = 0 дорівнюють X] = 2, х2 = 3. Тоді X] + х2 - 2 + 3 = 5; X) • х2 = 2 • 3 = 6. Теорема, обернена до теореми Вієта. Якщо сума і добуток чисел т і п дорівнюють відповідно -р і д, то т і п — корені квадратного рівняння х2 + рх + д = 0. Наприклад, -3 і -4 є відповідно сумою та добутком коренів квадратного рівняння х2 + Зх - 4 = 0, тому коренями рівняння є числа -4 і 1. Біквадратні рівняння Біквадратним рівнянням називають рівняння виду ах4 + Ьх2 + с - 0, де х — змінна, а, Ь, с — відо- мі числа, до того ж а * 0. Заміною х2 = і біквадратне рівняння зводять до квадратного. Наприклад, розв’язати рівняння х4-6х2-7 = 0. Зробимо заміну х2 = Л Тоді х4=(х2) =ґ2. Отримуємо рівняння /2 - 6ґ - 7 = 0. Корені цього рівняння іх = 7, і2 = -1. Повертаємося до змінної х: х2 = 7; хх2 = ±у/ї або х2=-1; коренів немає. Відповідь, -л/7; л/7. Двочленні рівняння Алгебраїчне рівняння називають двочленним рівнянням, якщо воно має вигляд хп - а - 0 (иєА)- За будь-якого парного п (п = 2к, ке IV), якщо а > 0, рівняння х2*-я = 0 має два дійсні корені: х1 = 2у[а, х2 = -2\[а. Якщо а = 0, то рівняння має один корінь х = 0. Якщо а < 0, рівняння не має дійс- них коренів. Наприклад: а) х6 - 64 = 0; х6 = 64; х1 = ^64 = 2; х2 = -^64 = -2. Відповідь. ±2; б) х4 + 16 = 0; х4 = -16; хє 0. Відповідь, хє 0. За будь-якого непарного п (п = 2к- 1, кеМ), рівняння х2*-1 - а - 0 має один дійсний корінь (аеК)\ х = 2к\[а. Наприклад: а) х3-27 = 0; х3 = 27; х = ^27=3. Відповідь. З; б)х5 + 32 = 0; х5=-32; х = >/-32 = -2. Відповідь. -2. Якщо а = 0 за будь-якого пеN рівняння хп -а-0 має один корінь х = 0. Наприклад: а)х5 = 0; х = 0. Відповідь. 0; б) х8 = 0; х = 0. Відповідь. 0. Цілі раціональні рівняння вищих степенів Рівняння виду а^хп + аххп~х +а2хп~2 +... + ап_хх + ап =0 (пеИ, а^ії) називають алгебраїчним рів- нянням степеня п. Якщо п = 1, то а&с + а\ - 0 — лінійне рівняння. Якщо п = 2, то а&с2 + а}х + я2 = 0 — квадратне рівняння. Алгебраїчне рівняння степеня п має не більше п дійсних коренів. Нехай Рп (х) = а^хп + аххп~} + а2хп~2 +... + ап_хх + ап. Для рівняння Рп(х) - 0 справедлива теорема Ве- зу (див. тему 3). Розв’язання рівнянь вищих степенів, які мають хоча б один цілий корінь, виконують у такій послідовності: 1) знаходять множину дільників вільного члена ап\ 2) за теоремою Везу перевіряють, які з дільників є коренями рівняння Рп(х) - 0; 3) діленням у стовпчик знаходять частку від ділення Рп(х) на х-хь де Хі— корінь рівняння Л(х) = 0; 4) записують частку 0,п_\(х) як многочлен степеня (п - 1); 79
5) визначають, якщо це можливо, корені многочлена які є також коренями початкового рівняння і т. д. Наприклад, знайти корені рівняння 2х4-9х3 + 4х2 + 21х- 18 = 0. Випишемо дільники вільного члена (-18): ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18. Оскільки Р(1) - 0, то поділимо многочлен 2х4 - 9х3 + 4х2 + 21х- 18 на двочлен х - 1 і визначимо многочлен-частку: 1 -9 4 ’ 21 -18 1 1 -7 -3 18 0 2х4 - 9х3 + 4х2 + 21х - 18 = 0 <=> (х- 1 )(2х3 - 7х2 - Зх + 18) = 0 <=> х = 1; 2х3-7х2-Зх + 18 = 0. Анало- гічно визначаємо корінь рівняння 2х3 - 7х2 - Зх + 18-0. Коренем рівняння є число 2. 2 -7 -3 18 2 2 -3 -9 0 Маємо: 2х3 - 7х2 - Зх + 18 = 0 (х - 2)(2х2 - Зх - 9) = 0 <=> х = 2; 2х2-Зх-9 = 0; х = 2; х = 3; х = -1,5. Відповідь. -1,5; 1; 2; 3. Рівняння з модулями Найпростіше рівняння з модулем |Дх)| = а рівносильне сукупності рівнянь Дх) = а; /(х) = -а, ЯКЩО а > 0. Якщо ж а < 0, то рівняння коренів не має. Наприклад, розв’язати рівняння |2х - 3| = 5. 2х-3 = 5; 2х-3 = -5; х = 4; Відповідь. -1; 4. х = -1. Розв’язуючи рівняння, які містять змінну під знаком модуля, найчастіше застосовують такі методи: 1) розкриття модуля за означенням. Наприклад, розв’язати рівняння |х-1| = 2х-5. Розглянемо два випадки, коли підмодульний вираз х- 1 невід’ємний і коли він від’ємний. Якщо х - 1 >0, то |х - 11 = х - 1; якщо х - 1 < 0, то |х - 11 = - (х - 1) - -х + 1. Тоді початкове рівняння еквівалентне сукуп- х-1>0; х>1; ності двох систем: < х-1 = 2х —5; х -1 < 0; х = 4; Перша система має розв’язок х = 4, а друга система х<1; _-х+1 = 2х- 5; х = 2. розв’язків не має. Відповідь. 4; 2) піднесення обох частин рівняння до квадрата. Наприклад, розв’язати рівняння |2 -х| = 2х- 10. Якщо 2х - 10 < 0; х < 5, то рівняння розв’язків не має, оскільки |2 -х| > 0. У випадку коли 2х - 10 > 0, обидві частини рівняння невід’ємні й тому при піднесенні обох частин до квадрата одержимо рівно- сильну початковому рівнянню систему: 2х-10>0; (2-х)2=(2х-10)2; 2х> 10; 4 - 4х + х2 = 4х2 - 40х +100; |2х-3| = 5 <=> х> 5; х2-12x4-32 = 0; х>5; ' = 8; х = 8. х2 = 4; Відповідь. 8. 80
Спосіб піднесення до квадрата найбільше підходить для розв’язування рівнянь виду |Дх)| = Наприклад, розв’язати рівняння |2х - 3| = |х + 7|; (2х - З)2 = (х + 7)2; 4х2 - 12х + 9 = х2 + 14х + 49; Зх2 - 26х - 40 = 0; 4 х\ = —; 4 З Відповідь. —*- х2=10. 3 ; Ю; 3) метод інтервалів (проміжків). Даний метод полягає у наступному: а) прирівнюють до нуля ви- рази, які стоять під знаком модуля; б) отримані значення відкладають на числовій прямій, яка при цьому розбивається на проміжки (інтервали), на кожному з яких визначається знак підмодульного ви- разу; в) розв’язують отримані рівняння на кожному з інтервалів. Цей метод доцільно використовувати тоді, коли рівняння містить більше одного модуля. Наприклад, розв’язати рівняння |3 -х| - |х + 2| = 5. Нанесемо на числову пряму значення х, за яких 3-х = 0іх + 2 = 0, тобто х = 3 і х - -2. Числова пряма при цьому розіб’ється на три проміжки: (-©©; -2], (-2; 3], (3; +©©). -2 3 х Розв’яжемо рівняння на кожному з цих проміжків. 1)хє(-оо;-2]. На цьому проміжку |3-х| = 3-х, |х + 2| = -х-2; 3-х-(-х-2) = 5; 3-х + + х + 2 = 5; Ох = 0; х — будь-яке число із заданого проміжку, тобто хє (-©©; -2]; 2)хє(-2; 3]. На цьому проміжку |3 — х| = 3 — х, |х + 2|=х + 2; 3-х-(х + 2) = 5; 3-х-х-2 = 5; -2х = 4;х = -2 і-2£(-2; 3]; 3)хє (3 ;+©©). На цьому проміжку |3 -х| = -(3 -х) =-3 +х, |х + 2|=х + 2; -3+х-(х + 2) = 5; -З + х-х -2 = 5; Ох = 10;хє0. Одержимо: хє (-©©; -2]. Відповідь, хє (-©©; -2]. Рівняння з параметрами 1. Лінійні рівняння з параметром. Якщо в рівнянні, крім букв, що позначають невідомі, є одна або кілька інших букв, то таке рів- няння називають рівнянням з буквеними коефіцієнтами. Буквені коефіцієнти в рівнянні називають па- раметрами. Наприклад, якщо в рівнянні (а + 3) • х = 7 х — змінна, а буква а позначає якесь число, то кажуть, що це рівняння з параметром а. Розв’язати рівняння з параметром означає знайти його корені для всіх значень параметра. Рівняння з параметрами розв’язують так само, як і рівняння без параметрів, але лише доти, доки кожне перетворення можна виконати однозначно. Якщо ж якесь перетворення не можна виконати од- нозначно, то розв’язання потрібно розбити на різні випадки залежно від значення параметра. Наприклад, щоб розв’язати рівняння (а + 3) • х = 7, потрібно розглянути такі випадки: 1) якщо а + 3 = 0, тобто а - -3, одержимо рівняння Ох = 7, яке не має коренів; 7 2) якщо а + З Ф 0, тобто а Ф 3, то рівняння має корінь х --, до того ж він єдиний. 67 + 3 7 Відповідь. Якщо а - -3, то рівняння коренів не має; якщо а Ф 3, то рівняння має корінь х =-. 67 + 3 Узагалі будь-яке лінійне рівняння з параметром можна звести до рівняння виду ах -Ь, де а та Ь — деякі числа. Наприклад, розв’язати рівняння 4х + с = с2х + 2. 4х + с - с2х + 2 <=> 4х - с2х = 2 - с <=> <=> (4 - с2)х = 2 - с <=> (2 - с)(2 + с)х -2-е. Якщо 2 - с = 0, тобто с = 2, то рівняння набуває виду Ох = 0. Це рівняння має безліч коренів. Якщо 2 + с = 0, тобто с - -2, одержимо Ох = 4. Це рівняння не 2-е 1 має коренів. Якщо с Ф 2 і с Ф -2, то рівняння має єдиний корінь х = --—-г =----. (2-с)(2 + с) 2 + с Відповідь. Якщо с = 2, то хє К; якщо с = -2, то хє 0; якщо с Ф ±2, то х = —-—. 2 + с 8* Капіносов А. Математика. Комплексна підготовка до ЗНО 81
Квадратні рівняння з параметрами Розв’язання квадратного рівняння з параметром слід розпочинати із запитання «А чи є рівняння квадратним?». Якщо коефіцієнт біля х2 може набувати нульового значення, то рівняння ах2 + Ьх + с =0 перетвориться в лінійне рівняння Ьх + с = 0. Наприклад, розв’язати рівняння дх2 + 2х + 1 = 0. Розв’язання почнемо з випадку, коли а = 0. Тоді одержимо рівняння 2х + 1 = 0, звідки х = -0,5. Якщо ж я;*0, то обчислимо: /) = 4-4о = 4(1-о). Далі, якщо а>1, то £><0 і хє0. Якщо а=1, то £> = 0 і х = —— - — 1. Якщо д < 1, то /) > 0 і х. , = —а._ 2-1 а Відповідь. Якщо а > 1, то хє 0; якщо а = 0, то х = -0,5; якщо а = 1, то х = -1; якщо дє (-«>; 0)о о(0; 1),то х, 2 = , якщодє (1; +<»),тохє0. Приклад 1. Розв’язати рівняння х(х - 4) = х2 + 8. А Б В Г Д -2 2 -2; 2 0 хєТ? х(х - 4) = х2 + 8; х2 - 4х - х2 + 8; -4х = 8; х = -2. Відповідь. Б. Приклад 2. Розв’язати рівняння 4х + Зх2 = 7. 4х + Зх2 = 7; Зх2 + 4х-7 = 0. О = 42 - 4-3-(-7) = 16 + 84 = 100. -4 + л/Ї00 -4 + 10 6 , -4-7100 -14 7 „1 х. =---------=-------= — = 1; х, =--------= = — = -2—. 1 2-3 6 6 2 2-3 6 3 3 Відповідь. -2—; 1. Приклад 3. Обчислити відношення меншого кореня квадратного рівняння х2 + 5х - 6 = 0 до його більшого кореня. А Б В г д 6 -6 1 6 6 1 х2 + 5х - 6 = 0; хі = -6, х2 = 1. Оскільки хі < х2, то хі : х2 = -6 : 1 = -6. Відповідь. Б. Приклад 4. Розв’язати рівняння (х2 + 2х)(х - 1) = 0. А Б В Г д 1 0; 2 -2; 0; 1 0 -2; 1 (х2 + 2х)(х - 1) = 0; х(х + 2)(х - 1) = 0; х = 0; х = -2; х = 1. Відповідь. В. 82
Приклад 5. Розв’язати рівняння |х — 5| = 3. А Б В г д 8 2; 8 ро -2 коренів немає Відповідь. Б. Приклад 6. Знайти х2 4- х2, де Хі та х2 — корені рівняння х2 - 12х + 13 = 0. А Б В Г Д 157 131 144 169 118 За теоремою Вієта хі • х2 - 13, Хі +х2 = 12. Піднесемо обидві частини рівності х, + х2 = 12 до ква- драта: (х] + х2)2 = 122; х^+2х1х2+х^ =144; х2 + х2 =144-2х,х2; х2+х2 =144-2-13; х2+х2 =144-26; х2 + х2 = 118. Відповідь. Д. Приклад 7. Розв’язати рівняння |2х + 3| - 5х - 18 = 0. А Б В г д -5;-3 -5 3 -3 5 |2х + 3|-5х- 18 = 0; |2х + 3| = 5х + 18; В2х + 3) (5х + 18) і [5х + 18>0; 4х2 +12х + 9 = 25х2 +180х + 324; 18 х>----; 5 21х2 +168x4-315 = 0; х>-3,6; х2+8х + 15 = 0; х>-3,6; х = -5; ' х = -3; х--3. х > -3,6; Відповідь. Г. Приклад 8. Розв’язати рівняння х4 - х3 - 27х + 27 = 0. А Б В Г д -1;-3 -3; 1 -1;3 1; 3 1; 27 х4-х3 - 27х + 27 = 0; х3(х- 1)-27(х- 1) = 0; (х-1)(х3-27) = 0; (х- 1)(х-3)(х2 + Зх + 9) = 0; х -1 = 0; х = 1; х3-27 = 0; |_х = 3. Відповідь. Г. Приклад 9. Розв’язати рівняння 2х8 + х4 - 15 = 0. А Б В г Д ±^2?5 ±3 -3; 2,5 ±7^5 Нехай х4 = 1, і>0. Тоді х8 = А Маємо: 2Г + і- 15 = 0; £> = 1 + 4 • 2 • 15 = 121; і. = -1 + 11 =2,5, 1 4 (2 - —-— = -3 — не задовольняє умову і > 0. Повертаємося до заміни: х4 = 2,5; х, 2 = ±^2^5 . Відповідь. Б. 83
Приклад 10. Розв’язати рівняння х2 -2|х| -8 = 0. А Б В Г д ±4 -2; 4 ±2; ±4 -4;-2 ±2 х2 -2|х| -8 = 0; |х|2 -2|х| - 8 = 0; |х| = -2 — рівняння коренів не має; |х| = 4, х = ±4. Відповідь. А. Приклад 11. Розв’язати рівняння (х2 - 5х)2 - 2х2 + Юх = 24. А Б В Г Д -1; і;4; 6 -4; -1; 1;6 -6;-1; 1;4 -6; -4; -1; 1 -4:6 одержимо: (х2-5х) 2 - 2х2 + 1 Ох = 24; (х2 - 5х)2 - 2(л :2-5х) = 24. Нехай х2 - 5х - - і, тоді Хі - 6; г-2/-24 = 0; 6 - 6; Повернемося до заміни: [ґ2 - -4- х2 - 5х = 6; _х2 - 5х = -4; х2 - 5х - 6 = 0; _х2 -5х + 4 = 0; х2 — -1; х3 = 1; _Х4 = 4. Відповідь. А. Приклад 12. Розв’язати рівняння (х2 + 4х)2 - 2(х + 2)2 = 7. А Б В Г Д -5;-1; 1;3 -5;-3;-1; 1 -3;-1; 1;5 -і; і; 3; 5 -3;-1; 1; 5 Запишемо дане рівняння у вигляді (х2 + 4х)2 -2(х2 + 4х + 4) = 7; (х2+ 4х)2-2(х2 + 4х) - 15 = 0. Введемо заміну / = х2 + 4х; Г-2/-15 = 0; ґ,=-3; $ Повернемося до заміни: х2 + 4х = -3; х2 + 4х = 5; Х| = -3; х2+4х + 3 = 0; х, = -1; х2 + 4х - 5 = 0; -У, ~ ”5; _х4 = 1. Відповідь. Б. Приклад 13. Розв’язати рівняння |[5 — 5х| — |5х — 11[ = 3. У відповідь записати добуток коренів. Якщо коренів безліч, то у відповідь записати число 100, якщо коренів немає, то у відповідь записати число 200. Розкриємо зовнішній модуль й одержимо: |5-5х|-|5х-11= 3; (1) Розв’яжемо рівняння (1). |5-5х|-|5х-1|=-3. (2) Е 7 Для цього знайдемо нулі підмодульних виразів: 5 - 5х = 0 і 5х - 1 = 0, звідки х = 1 та х = 0,2. Нанесемо одержані значення на числову пряму. 0,2 1 х Розв’яжемо рівняння на кожному з одержаних проміжків. 1)хє(-°о; 0,2]. |5-5х| = 5 -5х, |5х-1| = -(5х-1) = -5х+ 1. 5-5х-(-5х+1) = 3; 5-5х + 5х-1=3; 0х= -1;хє0; 2)хє(0,2; 1]. |5-5х| = 5 -5х, |5х- 11 = 5х- 1. 5 -5х-(5х-1) = 3; 5-5х-5х+1=3; -10х = -3; х = 0,3;0,Зє(0,2; 1]; 3)хє(1; +°о). |5 -5х| = -(5 - 5х) = -5 + 5х; |5х- 1| = 5х- 1. -5 + 5х-(5х- 1) = 3; -5 + 5х- 5х + 1 = 3; Ох = 7; хє0. Отже, рівняння (1) має розв’язок х = 0,3. 84
Аналогічно можна одержати, що розв’язком рівняння (2) є х = 0,9. Тоді добуток коренів дорівнює 0,3 • 0,9 = 0,27. Відповідь. 0,27. Приклад 14. Розв’язати рівняння х3 + 12х2 + 44х + 48 = 0. У відповідь записати суму коренів. Якщо рівняння має цілий корінь, то він є дільником вільного члена 48, тобто це може бути ±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±8; ±12; ±16; ±24; ±48. Перевірка показує, що число -2 є коренем вихідного рівняння. Поділимо многочлен х3 + 12х2 + 44х + 48 на двочлен х + 2. Отримаємо: х3 + 12х2 + 44х + 48 = 0; (х + 2)(х2 + 1 Ох + 24.) - 0; х = -2; х2 +1 Ох + 24 = 0; х = -2; х = -4; х- -6. Тоді сума коренів рівняння дорівнює -2 + (-4) + (-6) —12. Відповідь. -12. Приклад 15. Розв’язати рівняння (а1 - За - 4)х + 16 = я2. У відповідь записати значення параметра а, за якого рівняння має безліч коренів. Запишемо дане рівняння у вигляді (<7 - 4)(<7 + 1 )х = а' - 16; (а - 4)(я + 1)х = (а - 4)(а + 4). Якщо а = -1, то Ох = -15; хє 0; якщо а = 4, то Ох = 0; хє /?; (<7-4)(<7 + 4) а + 4 якщо ає (—°°; -1)и(-1; 4)и(4; +«>), то х = --—----- =----. (<7-4)(<7 + 1) я + 1 Відповідь. 4. Приклад 16. За якого значення параметра <7 сума квадратів коренів рівняння х2 + (2 - а)х -<7-3=0 найменша? За умови Р = (2 - а)2 + 4(<7 + 3) > 0 за теоремою Вієта маємо: х1 + х2 = а - 2; . , 0 Тоді: хх+х2 = X] -Х2 = -<7-3. = (х1 +х2)2 -2хх -х2 =(<7-2)2 +2(<7 + 3) = <72 -2<7 + 10-(<7-1)2 +9. Сума х2 + х2 набуває найменшого значення, якщо <7=1. Якщо <7 = 1, то корені існують, оскільки Р = 12 + 4 • (1 +3)>0. Відповідь. 1. Завдання 8.1-8.24 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРА- ВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 8.1. Розв’язати рівняння ах + Ь = с, де а Ф 0. 4 Б В г д <7 X- Ь-с <7 х = с-Ь Ь-с х — а с~Ь х = а с + Ь X- а 8.2. Розв’язати рівняння —х - 2 = 0 і -0,2х = 4 та записати добуток їх коренів. А Б В Г д -70 __1_ 70 -28 280 -280 8.3. Розв’язати рівняння |х - 11 = 3 та знайти суму його коренів. А Б В Г д 0 4 2 -2 -4 85
8.4. Знайти дискримінант рівняння Зх2 - 2х - 5 = 0. А Б В Г Д 64 -64 8 -31 49 8.5. Знайти суму коренів рівняння 2х2 - 5х - 7 - 0. А Б В Г д 5 -2,5 2,5 -7 -3,5 8.6. Скласти зведене квадратне рівняння з коренями 72 і 78 . А Б В г д х2-Зл/2х + 16 = 0 х2-4х + з72=0 х2 + Зл/2х + 4 = 0 х2 - Зл/2х + 4 = 0 Скласти неможливо 8.7. Знайти суму цілих чисел, що належать відрізку, кінцями якого є корені квадратного рівняння 10х2 + 7х- 12 = 0. А Б В г д -2 -1 0 1 8.8. Скільки коренів має рівняння |х2 - Зх + 2| = 2? А Б в Г д Один два три чотири жодного 8.9. У першій пачці зошитів було удвічі більше, ніж у другій. Коли з другої пачки переклали до першої 10 зошитів, то в другій стало в 4 рази менше зошитів, ніж у першій. Скільки зошитів було у другій пачці? Яке з наведених рівнянь відповідає умові задачі, якщо кількість зошитів у другій пачці позна- чено через х? А Б В Г д 2х = 4(х- 10) 4(2х+ 10) =х- 10 2г+ 10 = 4х- 10 2х+ 10 = 4(х- 10) х + 2 + 10 = 4(х- 10) 8.10. Одну й ту ж відстань один автомобіль проїхав за 3 год, а інший — за 2 год. Знайти швидкість руху автомобіля, який їхав повільніше, якщо його швидкість на 24 км/год менша від швидкості іншого автомобіля. Яке з наведених рівнянь відповідає умові задачі, якщо шукану швидкість позначено через х км/год? А Б В Г Д 3(х-24) = 2х 3(х + 24) = 2х Зх = 2(х + 24) х _ х + 24 3" 2 Зх = 2х+24 8.11. У першості з волейболу було зіграно 21 матч, при цьому кожна команда зіграла з іншою по одному разу. Скільки команд брало участь у першості? Яке з наведених рівнянь відповідає умові задачі, якщо кількість команд позначено через х? А Б В Г д х(х+ 1) = 2 х(х-1) -І - = 21 2 х(х + 1) -і - = 21 2 х + х- 1 =21 х(х — 1) = 21 8.12. За якої умови рівняння ах + Ь- сх + сі не має коренів? А Б в г д а = 0, с Ф 0 а^с,сІ^Ь а^с.(1-Ь а~ с, б/ * Ь а - с. (і - Ь 86
8.13. Коренем рівняння кх - 3 є число 0,2. Знайти корінь рівняння кх - -1. А Б В г Д __1_ 15 15 1 І 5 3 _2 3 8.14. Знайти значення параметра а, за якого рівняння (а2 - 1)х = а2 + 5а - 6 має безліч коренів. А Б В г д 1 ±1 -6; 1 -6; ±1 0 8.15. За якого значення а рівняння а2х - 2а2 - 49х + 14а має єдиний корінь? А Б В Г Д (—;-7) (7; +~) (—;-7М7;+~) (-7; 7) (-~ ;-7)и о(-7; 7)о(7; +<«) 8.16. За якого значення і значення виразу -0,3/ + 18 на 5 більше від значення виразу 0,1/ + 1? А Б В г Д -16,25 16,25 ЗО 55 -зо 8.17. Знайти суму коренів рівняння |4х - 8| + |2 - х| = 4. А Б В г д 2,8 1,2 1,6 4 3 8.18. Знайти корінь рівняння |х - 1| + |х + 3| = 6,2, який належить проміжку (-<»; -3). А Б В Г д -4,1 -2,1 -4 -5 -6 8.19. Вказати всі значення а, за яких рівняння |х - 5| - 1 = а має два корені. А Б В г д а > 5 а <4 а > 1 а >-1 а > -1 8.20. Знайти всі значення а, за яких один з коренів рівняння х2 + 2ах + а2 - 0 дорівнює -2. А Б в г д а = ±2 а - 2 а - 4 а = ±4 а = -2 8.21. За яких значень т рівняння 4х2 + 2х - т = 0 має тільки один корінь? А Б В Г д 0,5 -0,5 0,25 -0,25 ±0,25 8.22. Знайти всі значення с, за яких рівняння Зх2 - 2х + с - 0 має хоча б один спільний корінь з рів- нянням х2 + х - 2 = 0. А Б В Г д с = -5, с = -1,6 с = 8, с 7 1 с = -16, с = -1 с — 8, с — —1 с = 5, с - 1,6 8.23. хі та х2 — корені рівняння х2 - Зх - 5 = 0. Не розв’язуючи рівняння, знайти х2 + х2. А Б В Г д -1 19 4 -4 -19 87
8.24. Скільки коренів має рівняння х2 - 7|х| + 10 = 0? А Б в г Д Один два три чотири жодного Завдання 8.25-8.34 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 8.25. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та їх коренями (А-Д). 1 ах + Ь = с, а^О 2 ах- Ь — с, а^О З ах-Ь + с = 0, а + 0 4 ах + Ь + с = 0, а*0 с + Ь Г с + Ь ------ а в а Г а 8.26. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та кількістю їх розв’язків (А-Д). 1 5х-0,(3) = 5х-| 2 5х-2 = 5х + 2 З |5х-2| = 2 4 5х-2 = 2 А Жодного Б Один В Два Г Три Д Безліч 8.27. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та їх коренями (А-Д). 17х + 2 = 5х + 6 1 2 7х-2 = 6-5х З З 7х-2 = -6-5х Б -1 4 7х + 6 = —6 — 5х В 0 Г - З Д 2 8.28. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та їх коренями (А-Д). 1 х2-4х = 0 2±ч/Ї0 2 2х2->/Зх-1 = 0 2 З -х2 + 2х + 1,5 = 0 Б Тз + л/її 4 х2-л/5х-2 = 0 4 В 0; 4 г л/5±УІЗ 2 л 2 + УЇО. з + УЇЇ д 2 ’ 4 88
8.29. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та множинами їх коренів (А-Д). 1 х2-4х + 3 = 0 2 х2 + 2х-3 = 0 З х2 + 4х + 3 = 0 4 х2-2х-3=0 А 0 Б {-1;-3} В {-1; 3} Г {-3; 1} Д {1;3} 8.30. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та їх коренями (А-Д). 1х2-6х+1=0 Д 2 х2 - 6х - 1 = 0 , Б 3 х2-6х + 2 = 0 4 х2 — 6х + 4 = 0 В хІ 2 - 3 ± л/5 х|2 =3±7Ї0 х12=3 + 2>/2 Г х|2 =з±7П Д х, 2 = 3 ± л/7 8.31. Установити відповідність між виразами (1-4) та їх значеннями (А-Д), якщо Х| та хг — корені квадратного рівняння х2 - 5х - 4 = 0. 1 Х1 • Х2 + X] + Х2 2 х2 + Х2 З (хі + хг)2 + 2хіх2 4 х2х2 + х,х2 А -20 Б 1 В 33 Г 65 Д 17 8.32. Установити відповідність між рівняннями (1—4) та кількістю їх коренів (А-Д). 1 х4-13х2 + 36 = 0 А Жодного 2 х4-5х2-36 = 0 Б Один 3 х4 + 13х2 + 36 = 0 В Два 4 х5 + 5х3 - 36х = 0 Г Три Д Чотири 8.33. Установити відповідність між рівняннями (1—4) та множинами їх коренів (А-Д). 1 |х-3| = 4 А 0 2 іх-4| =-3 Б {1;7} 3 |х + 4| = 3 В {-7; 1} 4 |х + 3| = 4 Г {-7;-1} Д {-і;7} 8.34. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та множинами їх коренів (А-Д). 1 |2х- 3| = 2х - 3 А (-~; 1,5] 2 |2х-3| =-2х + 3 Б (^о; +оо) 3 |2х-3|=-х2- 1 В [0; +о°) 4 1-І -х2|=х2+ 1 Г [1,5;+оо) Д 0 89
Розв’яжіть завдання 8.35-8.49. Відповідь запишіть десятковим дробом. 8.35. Розв’язати рівняння ——- + ——- + ——- = 4 - х. 5 4 20 8.36. За якого значення параметра а сума коренів рівняння х2 -(а2 - 17я + 83)х-21 =0 буде най- меншою? 8.37. Розв’язати рівняння х6 - Зх3 + 2 = 0. У відповідь записати найменший корінь. 8.38. Розв’язати рівняння х3 + 9х2 + 9х + 1 = 0. У відповідь записати суму коренів. 8.39. Розв’язати рівняння (х2 + Зх + 1)(х2 + Зх + 3) + 1 = 0. У відповідь записати найбільший корінь. 8.40. Розв’язати рівняння (х2 + 2х)2 - (х + І)2 = 55. У відповідь записати добуток коренів. 8.41. Розв’язати рівняння |3х2 -х| = 8 + х. У відповідь записати найбільший корінь. 8.42. Розв’язати рівняння |х + 1| + |х - 5| = 20. У відповідь записати модуль різниці коренів. 8.43. Батько старший від сина в 9 разів, а сума їхніх років дорівнює 30. Через скільки років батько стане старшим від сина удвічі? 8.44. У двоцифровому числі цифра десятків утричі більша, ніж цифра одиниць. Якщо від цього чис- ла відняти число, записане цими ж цифрами, але у зворотному порядку, то отримаємо 36. Знайти це число. 8.45. Розв’язати рівняння (х + 2)(х + 1)х(х - 1) = 24. У відповідь записати додатний корінь. 8.46. Розв’язати рівняння х4 + (х - 4)4 = 82. У відповідь записати найбільший корінь. 8.47. Розв’язати рівняння х3 - 5х2 - 2х + 24 = 0. У відповідь записати найменший корінь. 8.48. Розв’язати рівняння ||х + 1| - |х - 3|| = |х|. У відповідь записати суму коренів. 8.49. Розв’язати рівняння |х2 - 9| + |х2 - 16| = 7. У відповідь записати кількість цілих коренів. 90
Тема 9. Цілі нерівності Якщо два вирази зі змінною сполучити одним зі знаків — >, <, >, <, то одержимо нерівність зі змінною. Розв'язком нерівності називають будь-яке значення змінної, за якого нерівність зі змінною перетворюється у правильну числову нерівність. Наприклад, число 3 є розв’язком нерівності 2х + 5 < 20, бо 2 • 3 + 5 < 20; 11 < 20 — правильна нерівність. Розв ’язати нерівність зі змінною озна- чає знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків не існує. Наприклад, будь-яке число, менше за 7,5 (хє (-оо; 7,5)), перетворює нерівність 2х + 5 < 20 у правильну, а всяке інше — у неправильну, тому розв’язком цієї нерівності є проміжок хє (-оо; 7,5). Нерівності називають рівносильними, якщо вони мають одну й ту саму множину розв’язків. На- приклад, нерівності х2 < 1 і |х| < 1 рівносильні, оскільки вони мають одну й ту саму множину розв’язків — відрізок [-1; 1]. Множина розв’язків нерівності, як правило, нескінченна, тому зробити перевірку її розв’язків, як правило, неможливо. Отже, розв’язуючи нерівність, потрібно проводити рівносильні перетворення. Основні властивостірівносильності нерівностей: • якщо доданок перенести з одної частини нерівності в іншу, змінивши при цьому його знак на протилежний, то отримаємо нерівність, рівносильну даній. Наприклад, нерівність х - 7 < 4 рівносильна нерівності х < 4 + 7; • якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на вираз, який набуває лише додат- них значень (зокрема, на додатне число), то отримаємо нерівність, рівносильну даній. Напри- клад, нерівність Зх < 15 рівносильна нерівності х < —; З • якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на вираз, який набуває лише від’ємних значень (зокрема, на від’ємне число), і змінити знак нерівності на протилежний, то отримаємо нерівність, рівносильну даній. Наприклад, нерівність -8х > 4 рівносильна нерівнос- . 4 ті х < — . -8 Лінійні нерівності Нерівності виду ах о Ь, а, Ь — числа, х — змінна, о — один зі знаків >, <, >, <, називають лі- Ь (Ь нійними. Розглянемо нерівність ах > Ь. Якщо а>0, то ах > Ь х > — <=> хє —; + оо ; якщо а < 0, то а ^а ' ах> Ь <=> х < — <=> хє -оо; — ; якщо а = 0, то нерівність Ох> Ь правильна за будь-якого значення х, а \ а' якщо Ь — від’ємне число (Ь < 0), і не має розв’язків, якщо Ь — невід’ємне число (6 > 0). Наприклад, розв’язати нерівність 12-7х> 33 -7х>33-12; -7х>21; х<-3. Відповідь. (-«>;-3]. Квадратні нерівності Нерівності виду ах2 + Ьх + с 0 0, де а, Ь, с — числа, а*0, х — змінна, 0 — один зі знаків >, <, >, <, називають квадратними. Наприклад, 7х2 + Зх -11 < 0, х2-8>0 — квадратні нерівності. Розв’язання квадратних нерівностей зводять до відшукання проміжків, на яких відповідна квадратич- на функція у = ах2 +Ьх + с набуває додатних, від’ємних, невід’ємних, недодатних значень. Наприклад, розв’язати нерівність х2 - 5х -14 > 0 . Графіком квадратичної функції у = х2-5х-14 є парабола, вітки якої на- прямлені вгору (бо а = 1 > 0). Знайдемо нулі цієї функції: х2 - 5х - 14 = 0; хі = -2, х2 = 7. Визначаємо, що функція набуває невід’ємних значень (у > 0), якщо х є (-©о; -2] ЦІ [7;-К»). Ці проміжки і є розв’язками даної нерівності. Відповідь, (-оо; - 2] І] [7; + оо). 91
Раціональні нерівності Нерівності виду Р(х) 0 0, де Р(х) — мноточлен, 0 — один зі знаків >, <, >, <, називають раціона- льними. Раціональними також називають нерівності, які набувають вказаного вигляду після розкри- вання дужок та зведення подібних доданків. Наприклад, 5х3 - 4х2 - 2х -1 > 0; х(х - 7)’ (2х2 + о) > 0 — раціональні нерівності. Лінійні та квадратичні нерівності є раціональними. Метод інтервалів Нехай потрібно розв’язати нерівність (х-хі)(х-х2)... (х-х„) > 0. Не порушуючи загальності, ві- зьмемо, наприклад, (х - 1)(х - 2)(х - 3)(х - 4) > 0. 1. Позначимо на осі Ох точки 1, 2, 3, 4 — нулі множників лівої частини нерівності. Вони поділять вісь Ох на проміжки (-«>; 1), (1; 2), (2; 3), (3; 4), (4; +<»). 2. Для будь-якого х, що міститься праворуч від 4, будь-який двочлен лівої частини нерівності до- датний, тому (х - 1)(х - 2)(х - 3)(х - 4) > 0 для будь-якого х, що належить проміжку (4; +»). 3. Для будь-якого х, що лежить між точками 3 й 4, останній множник у добутку (х — 1 )(х — 2)(х — 3)(х — 4) від’ємний, а решта— додатні, тому (х - 1 )(х - 2)(х - 3)(х - 4) < 0 для будь- якого х, що належить проміжку (3; 4). 4. Для будь-якого х, що лежить між точками 2 і 3, останніх два множники в добутку (х - 1)(х - 2)(х - 3)(х - 4) від’ємні, а решта додатні, тому (х - 1)(х - 2)(х - 3)(х - 4) > 0 для будь-якого х, що належить проміжку (2; 3). 5. Аналогічно одержимо, що (х - 1)(х - 2)(х - 3)(х - 4) > 0 для х із проміжку (--«>; 1). Отже, Відповідь. (-°о; 1 )о(2; 3)о(4; +°°). Наприклад, розв’язати нерівність (х - 3)(х - 4)(х - 5) > 0. Встановимо нулі множників: х = 3, х - 4, х = 5. Розташуємо знайдені числа на числовій осі. Отже, хє (3; 4)о(5; +<»). Відповідь, хє (3; 4)о(5; +<»). Розглянемо розв’язання нерівностей виду Р(х) <> 0, де Р(х) = (х - X] )(х - х2)... (х - х„), Хі < х2 < ... < х„, п > 1, пєА, і не всі числа х,, х2,..., х„ — різні. У цьому випадку добуток однакових дво- членів записують у вигляді степеня цього двочлена. Для розв’язання таких нерівностей використову- ють загальний метод інтервалів. Наприклад, розв’язати нерівність (х + 8)(х - 1)2(х - 5) < 0. Ліва частина цієї нерівності є добутком, який містить множник (х - І)2. Цей множник за будь-яких значень х, крім 1, є додатним числом. Тому для всіх х Ф 1 добуток має той же знак, що й добуток (х + 8)(х - 5). Отже, дана нерівність рівносильна системі (х + 8)(х-5)<0; Множиною розв’язків нерівності (х + 8)(х - 5) < 0 є проміжок (-8; 5). Щоб хг 1. знайти всі розв’язки нерівності (х + 8)(х - 1)2(х - 5) < 0, потрібно із проміжку (-8; 5) виключити число 1. У результаті одержимо хє(-8; 1)о(1; 5). Узагалі під час переходу через нуль множника парної кра- тності чергування знаків не відбувається. Наприклад, розв’язати нерівність (х - 2)3(х + 1)(х - 4) > 0. Позначимо на координатній прямій ну- лі множників: -1, 2 і 4. Рухаючись справа наліво при переході через нуль множника (х - 2)3 — значен- ня 2, добуток (х - 2)3(х + 1)(х - 4) змінює знак так само, як і добуток (х - 2)(х + 1 )(х — 4). оскільки мно- 92
жник (х - 2)3 змінює знак (непарний степінь числа має той самий знак, що й перший степінь цього ж числа). У результаті одержимо відповідь хє(-1; 2)и(4; +«>). Загальний метод інтервалів для розв’язання нерівностей виду Р(х) о 0, де Р(х) = (х-хі)(х - -Х2) ... (Х-ХЛ),Х1 <Х2 < ... <Х„, п > 1, ПЄІЧ, ЯКЩО не ВСІХ1,Х2, ...,х„ різні. 1. Привести раціональну нерівність до виду Р(х) <> 0, де Р(х) - (х - Х|)(х - х2)... (х - х„), Хі <х2 < ... <хп, п> 1, иєУ, якщо не всі хь х2, ..., хп різні, то добуток однакових двочленів записують у вигляді степеня цього двочлена Р(х) = (х-х,)*1 (х-х2)*2 ...(х-хи)*л, кт > 1, ктЕІУ. 2. Знайти нулі множників, що розташовані в лівій частині нерівності, і розташувати їх на осі Ох у відповідному порядку. 3. Над проміжком праворуч від найбільшого нуля многочлена Р(х) поставити знак «+». Потім, рухаючись справа наліво, при переході через черговий нуль змінювати знак на протилежний, якщо цьому нулеві відповідає двочлен у непарному степені, і зберігати знак, якщо цьому нулеві відповідає двочлен у парному степені. Наприклад, розв’язати нерівність (х + 7)4(х + 4)3(х - 2)2(х - 3) < 0. Знайдемо нулі множників: х - -7, х = -4, х = 2, х - 3. Отже, хє (-4; 2)и(2; 3). Розв ’язування нерівностей з модулем Розглянемо нерівність |х| < а. де а > 0. Скористаємося геометричною інтерпретацією модуля числа. х Нерівність виду |х| < а задовольняють координати тих і тільки тих точок координатної прямої, які віддалені від початку відліку на відстань, меншу ніж а, тобто -а < х < а, хє (-а; а). Якщо ж а < 0, то дана нерівність розв’язків не має. Наприклад, розв’язати нерівність |5х- 1| < 9. Задана нерівність рів- носильна системі * 5х-1<9; 5х-1>-9 5х<10; ЗВ1ДКИ [5х>-8; х<2; х> —1,6; хє(-1,6; 2). Нерівність виду |х| > а, де а > 0, задовольняють координати тих і тільки тих точок координатної прямої, які віддалені від початку відліку на відстань, більшу за а, тобто нерівність виду |х| > а рівно- сильна сукупності нерівностей х> а; х < -а. х шжжу_____________ -а х () V а а м а Якщо а = 0, то множиною розв’язків нерівності |х| > а є множина хє (-©©; 0)и(0; +©©). Якщо а < 0, то множиною розв’язків нерівності |х| < а є множина хє (-©о; +<х>), оскільки модуль як невід’ємна величина завжди більша за від’ємне число. Наприклад, розв’язати нерівність |4х- 5| > 7. 4х>12; ^х>3; Задана нерівність рівносильна сукупності нерівностей звідки _4х-5<-7, -0,5 З х хє (- оо; -0,5)и(3; +©о). Розв’язуючи нерівність виду |Дх)| <> |#(х)|, застосовують піднесення квадрата. обох частин нерівності до 93
Наприклад, розв’язати нерівність |2х --1| < |3х + 1|. При піднесенні до квадрата обох частин нері- вності одержимо: (2х - І)2 < (Зх + І)2; 4х2 - 4х + 1 < 9х2 + 6х + 1; 5х2 + Юх > 0; х2 + 2х > 0; х(х + 2) > 0. хє (-оо; -2]о[0; +оо). Відповідь, (-оо; -2]о[0; +°°). При розв’язуванні нерівностей, які містять кілька виразів під знаком модуля, можна застосувати метод інтервалів. Наприклад, розв’язати нерівність |2х + 6| + |х -4|> 10. Зазначимо на координатній прямій точки —З і 4. Розглянемо нерівність на кожному з утворених проміжків. 1) х < -3; -2х - 6 - х + 4 > 10; -Зх > 12; х < -4. Отже, хє (-оо; —4); 2)-3 <х<4; 2х + 6-х +4 > 10;х> 0. -З 0 4 Отже, хє (0; 4]; 2 3)х> 4. 2х + 6+ х-4 > 10; Зх> 8; х>2у. Отже, хє (4; +оо). Об’єднаємо одержані розв’язки: -4 0 4 х Одержимо відповідь: хє(-оо; -4)о(0; +ос). Відповідь, (-оо; -4)и(0; +«>). Приклад 1. Розв’язати нерівність 4(х - 2) - 3(х + 1) < 2х - 2. А Б в г д (-9; +с«) (—; 9] (—;-9] [-9; +°°) ґ-оо;-4-1 < з] 4х - 8 - Зх - 3 < 2х - 2; 4х - Зх - 2х < 8 + 3 - 2; -х < 9; х > -9; хє [-9; +©о). Відповідь. Г. Приклад 2. Знайти суму найбільшого та найменшого натуральних розв’язків нерівності А Б В г Д 12 10 11 9 8 2 < ——- <3|-2;4<х-1<6;4+1<х<6+1;5<х<7;хє[5;7]. Найменший розв’язок — чи- сло 5, найбільший — 7, а їх сума — 5 + 7=12. Відповідь. А. 94
Приклад 3. Розв’язати нерівність (х - 1)(х - 3) < 27 - 2х. А Б в г д Н; 6] [-4; 5] (—;4] -4]о[6; +°°) (-4; 6) (х-1)(х-3) <27-2х; х2-3х-х + 3 <27-2х; х2-2х-24<0; Х|=6, х2 = -4. Одержимо: хє [-4; 6]. Відповідь. А. Приклад 4. Розв’язати нерівність 4х2 + 4х + 1 > 0. 4х2 + 4х + 1 > 0; (2х + І)2 > 0. -0,5 Розв’язком нерівності є всі дійсні числа, крім х = -0,5. Відповідь. (-<»; -0,5)о (-0,5; +°°). Приклад 5. Розв’язати нерівність (х2-6х +8)(3-х)(х+1) > 0. У відповідь записати суму цілих розв’язків нерівності. (х2 - 6х + 8)(3 -х)(х + 1) > 0; (х-2)(х-4)(х- 3)(х + 1) < 0. Отже, хє(-1; 2)и(3; 4). Цілими розв’язками нерівності є х = 0 та х = 1, а їх сума дорівнює 0+1 = 1. Відповідь. 1. Приклад 6. Розв’язати нерівність (х3 - 1)(х2 + 2х)(6-х)(49-х2) > 0. У відповідь записати найбі- льший від’ємний цілий розв’язок нерівності. (х3 - 1 )(х2 + 2х)(6 - х)(49 - х2) > 0; х(х - 1 )(х2 + х + 1 )(х + 2)(х - 6)(х - 7)(х + 7) > 0. З огляду на те, що х2 + х+ 1 >0, якщо хє/?, поділимо обидві частини нерівності на додатне число х2+х+ 1 й розв’яжемо нерівність х(х - 1 )(х + 2)(х - 6)(х - 7)(х + 7) > 0. Отже, хє(-оо; -7]и[-2; 0]и[1; 6]и[7; +«>). Найбільший цілий від’ємний розв’язок дорівнює -1. Відповідь. -1. Приклад 7. Розв’язати нерівність (х + 1)7(3 -х)5(х- 2)2 < 0. А Б В Г Д (-чх>;-1]и[2; 3] Нх>;-1МЗ;+со) (-<ю;-1М2}о о[3; +оо) [1;2]о[3;+оо) (-оо; 1]и{2}о о[3; +оо] (х + 1 )7(3 - х)5(х - 2)2 < 0; (х + 1 )7(х - 3)5(х - 2)2 > 0. 95
Отже,хє(-о°; 1]о{2}о[3;+о«). Відповідь, (-оо; 1]о{2}о[3; +®о). Приклад 8. Знайти найменший розв’язок нерівності (х + 2)2(х-1)>2(х + 2)' на проміжку (-5; 5). А Б В г Д 4 5 3 -2 2 (х+2)2(х-1)>2(х+2)2; (х+2)2(х-1)-2(х+2)2>0; (х+2)2(х-1 -2)>0; (х + 2)2(х-3)>0; х-3 >0 або (х + 2)2 = 0; х > 3 або х - -2. Найменшим розв’язком нерівності на проміжку (-5; 5) є х = -2 Відповідь. Г. Приклад 9. Розв’язати нерівність |х + 1| > 1. А Б в Г Д (-~; 0) (0; +°°) (-<о; -2)о(0; +оо) (0; 2) (—;-2) -2 0 х Отже, хє (-оо; -2)о(0; +°о). Відповідь. В. Приклад 10. Розв’язати нерівність |2 -х| < 3. А Б В Г Д (—; -1)0(5; +оо) (5; +°°) (-оо;-1) Н;5) (—; -5М1;+оо) Отже, хє(-1; 5). Відповідь. Г. В Приклад 11. Розв’язати нерівність |х - 11 + |х - 2| < 3. А Б в г Д [0;3] [0; 3) (0; 3] (0; 3) 0 |х - 11 + |х - 2| < 3. Нулі підмодульних виразів х = 1 та х = 2. 1)хє(-оо; 1).-х+ 1 + (-х + 2) < 3;-2х + 3 <3;-2х< 0; х> 0. Отже, хє[0; 1); 2) хє [1; 2]. х - 1 + (—х + 2) < 3; Ох + 1 < 3; Ох < 2; х — будь-яке число. Отже, хє [1; 2]; 96
3) хє (2; +оо). X - 1 +х-2<3;2х-3<3;х<3. 2 З Отже, хє (2; 3]. Об’єднавши всі розв’язки, одержимо: хє [0; 1)о[1; 2]о(2; 3] = [0; 3]. Відповідь. А. Приклад 12. За якого найменшого цілого значення параметра а нерівність (а- 1)х2 - 2х- -а > 0 справедлива для довільного х > З? Розглянемо випадок, коли а - 1. Тоді одержимо -2х - 1 > 0 або х < -0,5. У цьому випадку умо- ва задачі не виконується. Нехай а*1. Дискримінант тричлена У(х) = (а - 1 )х2 - 2х - а дорівнює: 0 = 4 + 4(а - 1)а = 4(а2 - а + 1) > 0 за довільного значення а. Для виконання умови Дх) > 0 для всіх значень х > 3 необхідно, щоб більший корінь тричлена х2 задовольняв умову х2 < 3 і щоб перший коефіцієнт був додатним. Тоді: </(3)>0; о>1; 9(а-1)-6-о>0, —-—^3; 2(о-1) о>1; &7>15; ——3<О, .а-1 а > 1; а>1—; 8 1-За + З а —І а> 1; г/— 1 > 0; . 0-1 Одержимо: о > 1—. Тоді найменше ціле значення а = 2. Відповідь. 2. Завдання 9.1-9.22 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРА- ВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 9.1. Розв’язати нерівність -Ах < 20. А Б В г Д (-оо; 5) (-«>;-5) (5; +оо) (-5; +°°) К; 20) х — 1 9.2. Розв’язати нерівність < 2. А Б В г Д (5; +оо) (-«>; 5) (-<»; 3) (3; +°о) —°о; 2— V 2> X X 9.3. Розв’язати нерівність------< 4. 2 3 А Б в Г д [4; +°о) (-°°; 4] [24; +оо) 24) (-оо; 24] 7* Капіносов Л. Математика. Комплексна підготовка до ЗНО 97
9.4. Розв’язати нерівність 2 < х - 7 < 5. А Б в г Д (2; 12] (-5;-2] (9; 12] (-5; 5] (-12; 9] 9.5. Розв’язати нерівність -3 < -х + 4 < 2. А Б в г Д (2; 7] [2; 7) [1; 6) Н;-2) (1; 6] 9.6. Розв’язати нерівність (х + 7)(х - 3) < 0. А Б В Г Д (-3; 7) (-оо; 3)о(7;+оо) (-оо; -7)0(3; +«) (3;7) . (-7;3) 9.7. Розв’язати нерівність х2 + 7х - ЗО > 0. А Б В Г Д [-10; 3] (-оо; -10]о[3; +°о) (-°°; -3]о[10; +оо) [-3; 10] (-оо; 3]о[10; +°о) 9.8. Розв’язати нерівність -х2 + Зх + 10 > 0. А Б В г д (2; 5) (-а); -5)0(2; +со) (-5; 2) (-оо; -2)и(5; +оо) (-2; 5) 9.9. Розв’язати нерівність х2 > 10. А Б В г д (>/10; + (->/ЇО;7їо) (-л/ЇО; + сю) (-оо;-100)о о(100; + оо) — л/їо) 'о и(л/Ї0; + 9.10. Розв’язати нерівність (х - І)2 < 16. А Б В г д (-5; 3) (-4; 4) (-3; 5) (-оо; -3)и(5; +оо) (-оо; -4)о(4; +оо) 9.11. Розв’язати нерівність (х - 3)(х + 5)(4 - х) > 0. А Б В Г д (-оо; -5]о[3; 4] [-5; 3]о[4; +оо) [-4; -3]о[5; +оо) (-оо;^1]о[-3;5] (^о; 4] 9.12. Знайти кількість цілих розв’язків нерівності (2 - х)3(х + 2)2(х - 3) > 0. А Б В г д 2 [2; 3] 0 3 Безліч 9.13. Знайти множину розв’язків нерівності (х - 2)2 (х + 3) < 0. А Б в г д (-оо; -3]о[2; +оо) (-°°;-з] [-3; 2] (-оо;—3]о{2} (-оо;-2]о{3} 9.14. Розв’язати нерівність х(5 - х)3 > 0. А Б В Г Д (5; +оо) (-оо; -5)0(0; +оо) (-оо;0)о(5; +оо) (-5; 0) (0; 5) 98
9.15. Скільки цілих розв’язків має нерівність -х - 5 < -Зх < х - 1? А Б в г д Жодного ОДИН два три більше, ніж три 9.16. Розв’язати нерівність (х2 - Зх - 10)(х - 1) > 0. А Б В Г д (-оо;-2)о(1; 5) (-2; 1)о(5; +оо) (-5; -1)0(2; +оо) (^о; -5)о(-1; 2) (1;+оо) 9.17. Знайти множину розв’язків нерівності |х - 5| < 8. А Б в Г д (-оо;-13)0(3;+оо) (-оо; із) (-13; 3) (-3; із) (-оо;-3)0(13;+оо) 9.18. Розв’язати нерівність |х + 4| > 3. А Б В г Д (-оо; -7)о(-1; +оо) (-7;-1) (-1; +°о) (-оо; 1)о(7;+оо) (і;7) 9.19. 9.20. Розв’язати нерівність |3х| < х + 1. А Б В Г д (-оо; 0,5) (0,5; +оо) (-0,25; 0,5) (-0,5; 0)о(0; 0,25) (0,25; +оо) Г 7 А За яких значень а розв’язком нерівності (а - 3)х < 7 є проміжок ; + » ' \а-3 ) ? А Б В г д а > 3 а > 3 <2*3 а < 3 а < 3 9.21. Знайти значення параметра а, за якого розв’язками нерівності Зх - 1 < ах + 5 є усі дійсні числа. А Б В Г д 3 1 5 0 6 9.22. Знайти множину розв’язків нерівності (х - 4)(а - х) > 0, якщо а < 4. А Б В Г д (-оо; а]о[4; +оо) [а; 4] Н;а] (-оо; -4]о[а; +оо) [4;-а] Завдання 9.23-9.32 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте познач- ки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 9.23. Установити відповідність між нерівностями (1-4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 5х>30 2 -5х>30 З 5х<30 4 -5х<30 А (-оо;-6) Б (-оо; 6) В (-6; +оо) Г (-6; 6) Д (6; +°°) 99
9.24. Установити відповідність між нерівностями (1—4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 х—1 < і А (-оо; -4) 3 Б(-~ ; 2) 2 —<1 В (-°о; 4) 3 , Г (-4; +«>) і ~х + 1 3 з <] Д(-2;+°°) 4 3 9.25. Установити відповідність між нерівностями (1-4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 А (-оо;-12) 34 Б (-оо; 12) 2 ---<1 В (-12; 12) 4 3 Г (-12;+~) -XX . 3 7~7<_1 Д(12;+°°) 4 *_*<-! 4 3 9.26. Установити відповідність між нерівностями (1-4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 (х - 8)(х - 3) < 0 А (-оо; -8)о(-3; +«>) 2 (х - 8)(х + 3) > 0 Б (-°о; -3)о(8; +~) 3 (х + 8)(х - 3) < 0 В (—о; 3)о(8; +оо) 4 (х + 8)(х + 3)>0 Г (-8; 3) Д (3; 8) 9.27. Установити відповідність між нерівностями (1—4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 (х - 2)(х + 3) < 0 А (-оо; -3)0(2; +оо) 2 (2 - х)(х + 3) < 0 Б (-оо; -2)0(3; +оо) 3 (х + 2)(х-3)<0 В (-3;-2) 4 (х + 2)(3-х)<0 Г (-3; 2) Д (-2; 3) 9.28. Установити відповідність між нерівностями (1-4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 (х + 3)2х(х-1) < 0 А (-оо; 0] 2 х2(х + 3) (х-1) < 0 Б(-оо;0]о{1} 3 (х + 3)х(х - І)2 < 0 В [-3; 1] 4 (х + 3)2х(х - І)2 < 0 Г [-3; 0]о{ 1} Д {-3}о[0; 1] 9.29. Установити відповідність між нерівностями (1^1) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 х2 + х-6<0 А 0 2 X X 6 < 0 Б (—оо’ 4"оо) 3 -х2 + х+12<0 В (-2; 3) 4 -х2-6х-10<0 Г (-3; 2) Д (-оо; -3)0(4; +оо) 100
9.30. Установити відповідність між нерівностями (1-4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 3<х-2<5 А (-7; -5) 2 3<х+2<5 Б (-3;-1) 3 3<-х-2<5 В (-1;3) 4 3<-х + 2<5 Г (1;3) Д (5; 7) 9.31. Установити відповідність між нерівностями (1-4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 |х-2|<5 А (-7; -3) 2 |х + 2| <5 Б (-7; 7) 3 |х-5|<2 В (-7; 3) 4 |х + 5| <2 Г (-3; 7) Д (3; 7) 9.32. Установити відповідність між нерівностями (1-4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 |х-3| = >4 А (—°°; -7)о(1;+«) 2 |х-4| = >3 Б (—; —7)о(—1; +°°) 3 |х + 4|: >3 В (-о; -7)о(-1;+~) 4 |х + 3|: >4 Г (-°; -1)0(7; +°°) Д (-оо; 1)и(7;+оо) Розв’яжіть завдання 9.33-9.45. Відповідь запишіть десятковим дробом. 2 — х 2 х — 1 2х — З 9.33. Розв’язати нерівність ------+ 1<—--------------. У відповідь записати найменший цілий 4 10 6 розв’язок. 9.34. Розв’язати нерівність 7 < 1 - Зх < 16. У відповідь записати найбільший цілий розв’язок. 9.35. Розв’язати нерівністьх+1<~<х + 2. У відповідь записати суму цілих розв’язків. 9.36. Розв’язати нерівність 2 < х2 + х < 6. У відповідь записати найменший додатний розв’язок. 9.37. Розв’язати нерівність (х2 + 2х - 15)(х2 - 4х + 3)(х - 1) < 0. У відповідь записати кількість додат- них цілих розв’язків. 9.38. Розв’язати нерівність х6 -- 9х3 + 8 < 0. У відповідь записати кількість цілих розв’язків. 9.39. Розв’язати нерівність (х - 2)4 - І3(х - 2)2 + 36 < 0. У відповідь записати суму цілих розв’язків. 9.40. Розв’язати нерівність 1 < |х - 2| < 5. У відповідь записати добуток цілих розв’язків. 9.41. Розв’язати нерівність х2 - 3|х| + 2 < 0. У відповідь записати добуток цілих розв’язків. 9.42. Розв’язати нерівність |3х - 8| < х - 2. У відповідь записати середину проміжку, який є розв’язком нерівності. 9.43. Розв’язати нерівність (х2 -х - 1)(х2-х- 7) <-5. У відповідь записати добуток усіх цілих розв’язків. 9.44. Розв’язати нерівність |х2 - х + 11 > |х2 - Зх + 4|. У відповідь записати найменший розв’язок. 9.45. Розв’язати нерівність |х - 11 + |х + 11 < 4. У відповідь записати найменший цілий розв’язок. 101
Тема 10. Раціональні рівняння Раціональним називають рівняння видуДх) = %(х), де/(х) та &(х) — раціональні вирази. Якщо хо- ча б один із цих виразів дробовий, то рівняння називають дробовим. Наприклад,------=---------дробове раціональне рівняння. 5зс «X- . Р(х) п .. , - . Розв язуючи дробове раціональне рівняння виду —= 0, потрібно розв язати алгебраїчне рів- <2(х) няння Р(х) = 0 і вилучити ті його корені, за яких ()(х) = 0 (якщо такі є). Схема розв ’язування дробових раціональних рівнянь Щоб розв’язати дробове раціональне рівняння, можна: 1 • Р(х) А 1) звести рівняння до вигляду —--у - 0; 2) розв’язати рівняння Р(х) = 0; 3) перевірити корені рівняння Р(х) - 0 на виконання умови ^(x) Ф 0. и • Зх 1 Зх 1 Зх2-(х + 2) Наприклад, розв язати рівняння -------= — ;-------- 0; -------------= 0; х + 2 х х + 2 х х(х + 2) 'Зх2 — (х + 2) = 0; [х(х + 2)^0; Зх2 - х - 2 = 0 ; х. = 1, х, = —. За значень змінної 1 і ' 2 3 — вираз х(х + 2) не дорівнює нулю. Отже, — і 1 — корені рівняння. Зауваження. Щоб розв’язати дробове раціональне рівняння, можна спочатку знайти його ОДЗ; помножити обидві частини рівняння на спільний знаменник; розв’язати одержане ціле рівняння й пе- ревірити, чи всі знайдені розв’язки входять до ОДЗ (якщо знайдений розв’язок не входить до ОДЗ, то він не є коренем заданого рівняння). Розв’язування рівнянь методом заміни Розв’язати рівняння 7( х + —-2[ х2 + -у) = 9. Нехай V х' \ х ' тоді х2 + 2х • — + -у = /2, звідки х2 + — = І2 - 2. Отже, одержали рівняння 7/ - 2(/2 - 2) = 9; 2/2 - 7/ + 5 = 0; /і=2,5; Повернемося до заміни: /2 = 1. 2х2 - 5х + 2 - 0; < х2 - х +1 = 0; Перше рівняння має коренями чис- х 0. ла хі = 2, Х2 = 0,5, а друге рівняння дійсних коренів не має. Відповідь. 2; 0,5. п. Л Ах 1 Вх . ах2+Ь.х + с ах2+Ь.х + с Рівняння виду —---------1- —---------= V та рівняння виду — ----1---+ — --------= А ах +1\х + с ах +Ь2х + с ах +Ь2х + с ах +Ь4х + с Ах Вх Загальний метод розв’язування рівнянь виду — -------+— ---------= О полягає у діленні ах +Ьхх + с ах~+Ь2х + с чисельника та знаменника на х + 0 та використанні заміни / = ах + — в отриманому рівнянні Ах , Вх ~ о ... ----------1--------= £>. За допомогою такої заміни останнє рівняння зводиться до квадратного. ах+ ЬХ+— ах + Ь2+ — X X 102
2х Зх 5 г~ Наприклад, —---------+ —--------= —. ОДЗ: х*2±уі2. Оскільки х = 0 не є коренем даного рі- х 4х “І- 2 х х “І- 2 4 вняння, то, розділивши чисельник і знаменник кожного дробу у лівій частині рівняння на х, одержимо 2 3 5 2 рівняння, рівносильне вихідному: ------— н------— = —. Виконаємо заміну: х + — = ї. Тоді одер- х-4 + ± х+1 + - 4 х X X 2 3 5 жимо:-----1----= —; /-4 ґ+1 4 8(/ +1) +12(1-4) = -5(1 -4)(і + 1); І /2 + / -12 = 0; < і Ф 4; V + 4; (Ф-1; /*-1; ІЛ=3; ІФ4\ /*-1; А = -4; Л=3. Повер- 2 . таємося до заміни: х + — = -4 Xі + 4х + 2 = 0; хфО; х, = —2-У 2; 2 або х + —= 3; х2=-2 + у2 х х2-Зх + 2 = 0; х3 = 1; х Ф 0; х4 = 2. Відповідь. 1; 2; -2±у2 . Симетричні рівняння третього степеня Рівняння виду ах3 + Ьх2 + Ьх + а = 0, де а Ф 0, К, називають симетричним рівнянням третього степеня. 1. Симетричне рівняння третього степеня має коренем число х = -1. Справді, а • (-1)3 + Ь (-1)2 + + Ь • (-1) + а = -а + Ь - Ь + а = 0; 0 = 0. 2. Діленням многочлена ах3 + />х2 + Ьх + а на двочлен х + 1 рівняння зводиться до квадратного. Наприклад, розв’язати рівняння Зх3 - 7х2 - 7х + 3 = 0. Оскільки х = -1 — корінь рівняння, то Зх3 - 7х2 - - 7х + 3 = 0 <=> (х + 1)(3х2 - Юх + 3) = 0 <=> х = -1; Зх2-10х + 3 = 0; Відповідь. -1; —; 3. З Симетричні рівняння четвертого степеня Рівняння виду ах4 + Ьх3 + ех2 + Ьх + а = 0, де а Ф 0, 7?, сє Я, називають симетричним рівнянням четвертого степеня. Для розв’язування рівняння такого виду можна: і. Поділити обидві частини рівняння нах2 і згрупувати вирази так: а[ х2 +~тІ + бґх + —^+с = 0. Х~ ' V X' 1 2 1 2 2. Уведенням заміни х + — = 1, х +—г=і -2, зведемо рівняння до квадратного, х х Наприклад, розв’язати рівняння 2х4 + х3 - 1 їх2 + х + 2 = 0. Очевидно, що х = 0 не є коренем зада- 2 2 12 ного рівняння. Поділимо обидві частини рівняння нах * 0: 2х + х -11Ч-і- — = 0; х х 21 11 = 0; < 1 = /; ’=/: х + —= 2,5; 2?+/-15 = 0; /, = 2,5; ,Л = -3; х*0; 2х2 —5х+2 = 0; х2 + Зх+1 = 0; х, = 2; х2 = 0,5; '3,4 2 1 -З + л/5 Відповідь.---------; 2; 0,5. 2 103
Дробові раціональні рівняння з параметрами Дробові раціональні рівняння з параметрами розв’язують, як звичайні рівняння, але тільки доти, доки кожне перетворення можна виконувати однозначно. Якщо ж перетворення не можна виконувати однозначно, то розв’язання слід розбити на кілька випадків. сі Наприклад, розв’язати рівняння ----= 2 + —. ОДЗ: х * -2; х * 0. Помножимо обидві частини за- х + 2 х даного рівняння на вираз х(х + 2) й одержимо ціле рівняння, яке за умови х(х + 2) 0 рівносильне за- даному: 2х2 - 2х(х + 2) + а(х + 2); 2х2 = 2х2 + 4х + ах + 2а; 4х + ах + 2а - 0; (4 + а)х - -2а. Якщо 4 + я = 0, тобто а - -4, то одержимо: Ох = 8 — рівняння коренів не має; якщо а * -4, то матимемо: х- . З’ясуємо, за яких значень а знайдені корені не входять до ОДЗ заданого рівняння, тобто 4 + а знайдемо такі значення а, за яких х = -2 або х = 0. -= -2; 2а - 2(4 + а); 2а = 8 + 2а; 0а = 8; <зє 0. 4 + а Отже, не існує такого значення а, щоб х = -2. Знайдемо значення а, за якого х = 0:-= 0; а = 0. 4 + а Відповідь. Якщо а = 0 або а - -4, то рівняння коренів не має; якщо а + 0 і а * -4, то х =-. 4 + а тт- х т > • х2 -1 Ох +15 4х Приклад 1. Розв язати рівняння —-----------= —5--------- Е х2-6х + 15 х2-12х + 15 х2 — 1 Ох + 15 4х і— —---------. ОДЗ: х^6±л/21. х = 0 не є коренем даного рівняння. Розділимо х —6х + 15 х~ —12х + 15 х + —-10 чисельник і знаменник кожного із дробів на х + 0 й одержимо: -- х + —— — 6 4 ---77---. Виконаємо х + —-12 15 _ т . /-10 заміну хч---= /. Тоді -----------, х (-6 (-12 х + —= 18; х х2-18х + 15 = 0; х + 0; /2 -26/+ 144 = 0; /*6; /*12; х = 9 ± л/бб або х + — = 8; /, =18; /2 =8; і Ф 6; /*12; /, =18; /2 =8. Повернемося до заміни: х2 —8x4-15 = 0; х = 5; х = 3. х^0; 4 Відповідь. 9±>/б6 ; 5; 3. Приклад 2. Розв’язати рівняння -----------= —-----. х2-4 х2+2х х--2х А Б В Г д 3 4 5 6 2ІЗ и 2 | х-4 1 2 | х-4 _ 1 х2-4 х2 + 2х х2 -2х’ (х-2)(х + 2) х(х + 2) х(х-2)’ 2 Хх | х-4'х~2 1 и+2_0. 2х + (х-2)(х-4)-(х + 2)^0. 2х + х2-6х + 8-х-2 (х - 2)(х + 2) х(х + 2) х(х - 2) ’ х(х - 2)(х + 2) ’ х(х - 2)(х + 2) 104
х2 - 5х + 6 = 0; х?ь0; х^±2; х, = 2; х2 = 3; х^О; х = 3. х^±2; Відповідь. А. х1 2 + 1 X Приклад 3. Розв’язати рівняння -----1- ——- = -2,5. А Б В Г д -2 -1 -2,5 0,5 1 у 2 4- 1 г X + 1 X 1 15 ^^- + ^— = -2,5; ОДЗ: х*0. Нехай = тоді Маємо: / + - + - = 0; х х2 + 1 х х2+1 і і 2 2ґ + 5/ + 2 - 0; л . х~ +1 л _ о _ ? _ _ < /і = -0,5; її = -2. Повернемося до заміни:----= -0,5; 2х + 2 = -х; 2х + х + 2 = 0; і Ф 0; х О < 0, рівняння не має коренів; Х --- = -2; х2 + ] = -2х; х2 + 2х + 1 = 0; (х + І)2 = 0; х = -1. х Відповідь. Б. Приклад 4. Розв’язати рівняння —--------------------= 5. У відповідь записати найбільший Зх2-5х + 2 Зх2+х + 2 корінь рівняння. Перевіркою встановлюємо, іцо х = 0 не є коренем рівняння. Поділимо чисельник і знаменник 13 12 2 кожного дробу нах^О, одержимо: --------—---------у = 5. Нехай Зх + —= /, тоді останнє рівняння Зх-5 + - Зх + 1 + -- х X X можна записати у вигляді: 13 ґ-5 ^-=5; 13(74-1)—12(7—5)=5(ґ-5)(7+1); |5?-2к-98=0; /^5; 1*5-, р, =-2,8; ІЛ = 7; <ґ*5; і*\. Повертаючись до заміни, матимемо: Зх + - = -2,8; 15х2+ 14х+ 10 = 0; І) < 0, рівняння коренів не х 2 - 1 має; Зх + — = 7; Зх" - 7х + 2 - 0; х{ = —; х9 = 2. Найбільшим коренем рівняння є х = 2. х З Відповідь. 2. Приклад 5. Розв’язати рівняння 2х4 + Зх3 - 4х2 - Зх + 2 - 0. У відповідь записати суму його коре- нів. 2 7 3 2 Поділимо обидві частини рівняння на х ^0 й одержимо: 2х +Зх-4------------+ — = 0; х х 2^х2 +3^х-—-4 = 0. Нехай х- —= /, тоді х2+-^- = ^х-—) +2 = ґ2 + 2. Одержимо: 2(? + 2) + Зґ- 4 = 0; 2ґ2 + 3/ = 0; Г(2Г + 3) = 0; 1 ’ Повернемося до заміни: 1) х--= 0; х2 - 1 = 0; /2 = ~1,5. х 105
х2 = 1; х = ±1; 2) х —- = -1,5; 2х2 + Зх - 2 = 0; Х| = -2; Х2 = 0,5. Отже, рівняння має 4 корені. їхня сума х дорівнює: -1 + 1 - 2 + 0,5 = -1,5. Відповідь. -1,5. Приклад 6. Розв’язати рівняння 12х 1 о г ---;------------= Зх - 6. Зх2 — 10х + 1 х У відповідь записати число, обернене до добутку коренів рівняння. _ 12х 1 - , —;-------------- Зх - о; Зх2-10х + 1 х 12х , —-Зх + 6 = 0; Зх2 -10х + 1 х 12х Зх2-6х + 1 Л ,Л —:------------------= 0. Ураху- Зх2-10х + 1 х вавши, що х 0, одержимо: 12 Зх + —-10 Зх + -- - 6 -----*----= 0. 1 Нехай Зх + — -і, тоді одержимо: -»2_-^6 = 0. Г-10 1 12-(ґ-б)(ґ-10) = 0; І? і *10; -16/ + 48 = 0; /*10; =4; Повернувшись до заміни, одержи- мо: Зх + —= 4; X Зх + —= 12; X Зх2-4х + 1 = 0; Обидва рівняння мають корені. Тоді добуток коренів першого рів- Зх2 -12х + 1 = 0. няння дорівнює і, другого — і, обох рівнянь — і • -і- = . Число, обернене до числа , — 9. Відповідь. 9. „ А о ~ . (х + а)(х-5а) . Приклад 7. Знайти всі значення а, за яких рівняння --------- = 0 має єдинии корінь. У від- х + 7 повідь записати найменший з них. ОДЗ: х Ф -1, На ОДЗ дане рівняння рівносильне рівнянню (х + а)(х - 5а) = 0; х + а - 0 або х - 5а = 0; х = -а або х = 5а. З’ясуємо, за яких значень а знайдені корені не входять до ОДЗ, тобто за яких значень а буде виконуватися рівність х = -7. Одержуємо: 1)-а = -7; а = 7; 2)5(7 =-7; а = -1,4. Якщо а = 7, то тоді х = 5а = 35 — єдиний корінь. Якщо а = -1,4, то тоді х = -а = 1,4 — єдиний корінь. Задане рівняння матиме єдиний корінь і тоді, коли -а-5аФ 7, тобто якщо <7 = 0. Отже, одержали: а = 7, а = -1,4, а = 0. Найменше значення а дорівнює -1,4. Відповідь. -1,4. Завдання 10.1-10.21 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 10.1. Розв’язати рівняння ——| = 0. А Б В г Д К 5 0 (-оо; 5)и(5; +оо) (5; +а>) 10.2. Розв’язати рівняння ——- = 1. х-5 А Б В г д 5 К 0 (-оо; 5)о(5; +оо) (5; +°°) 106
10.3. Розв’язати рівняння ——- = 0 . х-3 А Б В Г д 0 К (-^;-ЗМ-3;+а>) О; 3)0(3;+оо) -3 10.4. Розв’язати рівняння 5х + ——- = ——- + 10. А Б В Г Д {2;3} 0 {-3; 2; 3} {-3; 3} {2} 10.5. Розв’язати рівняння 6х + ——- = ——- + 18. А Б В г д 0 {0} {-3} {-3:3} {3} х3 — 4х 10.6. Розв’язати рівняння —-—— = 0 . А Б В г Д 0 {2} {-2; 2} {-2; 0; 2} {0} їх2-9)(х2-16) 10.7. Розв’язати рівняння -----7- = 0. (х-3)(х + 4) А Б в г Д М; -3; 3; 4} {3;4} {-3;-4} {-3; 4} Н;3} 10.8. Знайти суму коренів рівняння ----------= 0 . А Б В г д 5 -8 -1 8 10 Зх + 4 10.9. Розв’язати рівняння-----— = 2 . А Б в г д {-1} 1 с<^ 1 (_41 1 зі {-2} {2} 10.10. Вказати інтервал, який містить корені рівняння -- = —- . х х + 1 А Б в г Д (-5;-3) Н;2) (2; 4) (-2; 1) Н;-2) 10.11. Розв’язати рівняння----- +----- = 0 і вказати проміжок, якому належить його корінь. А Б В г д (і; 2) (-2;-1) Н;-2) (2; 4) (4; 6) 107
10.12. Розв’язати рівняння---------+1 = 0 і вказати проміжок, якому належить більший його корінь. х + 3 х-3 А Б В г Д (0; 1) (2; 3) (4; 5) (3;4) (4; +«>) X з 10.13. Знайти суму коренів рівняння — =-----. З х + 2 А Б В Г д 2 -2 15 -15 5 х — СІ 10.14. Встановити значення а, за яких рівняння -------= 0 не має коренів. х2-8x4-15 А Б В Г д а= 15 а - 3 або а = 5 <7 = 8 а = -3 або а = -5 <7 = -8 х — 5 а — х 10.15. Встановити значення а. за яких рівняння-=----- не має коренів. х + 9 х + 9 А Б в г д <7 = -23 а = -9 (7 = 5 <7 = 23 (7 = 9 10.16. За якого найменшого значення параметра а рівняння |4х + 3| = 5а + 3 має розв’язок? А Б В г д 1,25 -3 3 -0,6 1 10.17. Катер проходить 160 км за течією річки за той же час, що й 140 км проти течії. Знайти власну швидкість катера, якщо швидкість течії річки дорівнює 2 км/год. Яке з наведених рівнянь відповідає умові задачі, якщо власну швидкість катера позначено че- зез х км/год? А Б В г д х + 2 _ 2х 160 " 140 х —2 _ х 140 “ 160 160 140 х-2 х + 2 160 140 = X х + 2 х 160 _ 140 х + 2 х-2 10.18. Робітник повинен був виготовити за деякий час 90 деталей. Щоденно він виготовляв на З деталі більше, ніж планувалося, і тому завдання виконав на 1 день раніше. Скільки деталей щоденно виготовляв робітник? Кількість деталей, що виготовляє робітник за 1 день, позначено через х. Яке з наведених рів- нянь відповідає умові задачі? А Б в Г д 90 90 = 3 х-1 X 90 90 __ 1 х-3 х 90 90 1 х х-3 90 90 _ , х х-1 1 сп II І 23 О о 1 О' 1 10.19. З одного міста в інше, відстань між якими дорівнює 300 км, одночасно виїхали два автомобілі. Швидкість першого з них на 10 км/год більша від швидкості другого, а тому він приїхав до мі- сця призначення на 1 год раніше. Знайти швидкість кожного з автомобілів. Швидкість першого автомобіля позначено через х км/год. Яке з наведених рівнянь відповідає умові задачі? А Б В І' д 300 300 10 х-1 X 300 300 ^10 х х-1 300 300 х х-10 300 300 х-10 х х-10 х і 300 300 " 108
10.20. Два робітники, працюючи разом, можуть виконати деяке завдання за 60 год. За скільки годин може виконати всю роботу кожний з робітників, працюючи окремо, якщо перший з них може це зробити на 22 год швидше, ніж другий? Яке з наведених рівнянь відповідає умові задачі, якщо час, за який може виконати завдання пе- рший робітник, позначено через х год? А Б В Г Д х + (х + 22) - 60 х + (х - 22)=60 — + —^— = 60 х х + 22 х х + 22 60 1+_1_=± х х - 22 60 10.21. На заводі за певний термін повинні були відремонтувати 300 вагонів. Перевиконуючи план ремонту на 3 вагони за тиждень, за два тижні до закінчення терміну відремонтували 299 вагонів. Скільки вагонів ремонтували щотижня? Кількість вагонів, які ремонтували за тиждень, позначено через х. Яке з наведених рівнянь від- повідає умові задачі? А Б В Г д 300 299 о х-3 х 300 299 ? х х-3 300 2993 х-2 х 300 299 __3 х х-2 299 300 __ ? х-3 х Завдання 10.22-10.27 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 10.22. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та рівносильними їм рівняннями або система- ми (А-Д). 1 х - 2 х-1 х + 1 2 х2+Зх-2 = 0 3 >/х(х + 1)(х-2) = 0 4 х2+7 = 0 А (х + 1)(х-2) = 0 Б х(х-2) = 0 В х4+13 = 0 г Іх(х + 1) = -2(х-1); (х-1)(х + 1)^0 Д х(х + 1) = -2(х-1) 10.23. Установити відповідність між рівняннями (1—4) та множинами їх розв’язків (А-Д). А {4} Б {5} В (-оо; 4)0(4; +~) Г (-оо; 5)0(5; +«) Д 0 109
10.24. Установити відповідність між рівняннями (1^4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 2x4—-— = х-5 — +10 х-5 А Б {-5; 5} {0} 2 2х2+ —— = -+- + 50 В 0 х-5 х-5 Г {-5} 3 2х2+— = -— -1-50 д {5} х + 5 х + 5 4 2х2+^— = ^+ + 50 X X 10.25. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 2 3 (х2 - 4)(х2 - 25) _ р (х-2)(х-5) (х2-4)(х2-25)^0 (х + 2)(х + 5) (х + 2)(х-5) _р (х2-4)(х2 -25) А Б В Г д {-2; 5} {-2; -5} {2; 5} {2;-5} 0 4 (х2 - 4)(х2 - 25) _ 0 (х-2)(х + 5) 10.26. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 2х-4_1 х-2 А Б {1} {-1} 2 Зх + 2 _ । В {0} х + 2 Г {2} 3 4 (2х + 3)(х-2) х2-4 4х-3_ г х-2 д 0 10.27. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 А = _3_ X х+1 А {-5} Б М) 2 2=_Ь В {4} х х-2 Г {5} з — Д {6} х-3 9-х 4 = х + 1 х-3 110
Розв’яжіть завдання 10.28-10.42. Відповідь запишіть десятковим дробом. 2х — 2 х + З 10.28. Розв’язати рівняння----+-------5 = 0. У відповідь записати суму коренів. х + 2 х-3 10.29. Розв’язати рівняння----+----= —і---. х + 2 х-2 х2-4 10.30. Розв’язати рівняння —;---:--------- Е х2-9 х2-6х + 9 З 2х2 + 6х 10.31. Розв’язати рівняння —5-----------5------------г. У відповідь записати найменший корінь. 4х + 4х + 4 х 1. 2 х 1. у х^ + х — 5 Зх 10.32. Розв’язати рівняння----------+ --------+ 4 = 0. У відповідь записати добуток коренів, х х + х — 5 10.33. Розв’язати рівняння —5-----------;--------- 2. У відповідь записати суму коренів, х + 2х - 8 х + 2х - З 10.34. Розв’язати рівняння 2---ї/ ~ \ 2---и = • У відповідь записати найбільший корінь. Розв ’язати задачі за допомогою рівнянь (10.35-10.37). 10.35. З пункту А в пункт В, відстань між якими дорівнює 60 км, спочатку виїхав автобус, а через 20 хв — легковий автомобіль, швидкість якого на 20 км/год вища, ніж швидкість автобуса. Знайти швидкість автобуса у км/год, якщо він приїхав до пункту В на 10 хв пізніше від легко- вого автомобіля. 10.36. Бригада робітників повинна була за кілька днів виготовити 272 деталі. Перші десять днів бри- гада виконувала встановлену норму, а потім почала виготовляти щоденно на 4 деталі більше, ніж за нормою. Тому за один день до терміну було виготовлено 280 деталей. Скільки деталей повинна була виготовляти бригада щоденно за планом? 10.37. Басейн наповнюється водою двома трубами за 6 год. Перша труба може заповнити басейн во- дою на 5 год швидше, ніж друга. За скільки годин може заповнити весь басейн лише перша труба? 10.38. Розв’язати рівняння 9( х + — 1 - 2[ х2 + -у ] = 14 . У відповідь записати суму коренів. V X/ V X / 10.39. Розв’язати рівняння ------------ - ----------- = 1. У відповідь записати найменший корінь. (х + б)(х —1) (х + 2)(х + 3) 1 2х Зх 5 10.40. Розв’язати рівняння —---------+ —т-------= —. У відповідь записати найбільший корінь. х2-4х + 2 х2+х + 2 4 Е х — 1 х — 2 х — 4 х — 5 10.41. Розв’язати рівняння-----------=--------------. У відповідь записати найбільший корінь. х + 2 х + 3 х + 5 х + 6 10.42. Знайти всі значення параметра а, за яких рівняння —Ц- + —+ я = 0 має тільки один корінь. У 4х х відповідь записати найбільше значення а. 111
Тема 11. Раціональні нерівності р(х) Нерівності виду 00, де Р(х) і ()(х) — многочлени, 0 — один зі знаків >, <, >, <, називають б(х) дробово-раціональними. Шляхом виконання рівносильних перетворень дробово-раціональну нерів- ність зводять до раціональної. 1)^77>0 Лх)Є(х)>0; С(х) 2)^<0 ~ Р(х)Є(х)<0; Є(х) 3)^)>0 « І>(х)2(х)>0, 2(х) ~ 1б(х) * 0; 4)^)<0 « ГЛх)Є(х)<0, ’ 2(х) 1 2(х) * о. Р(х) Р(х) Метод інтервалів для розв’язання нерівностей виду-- > 0 і -- < 0, де Р(х) і 0(х) — многоч- 2(х) Є(х) Р(х\ Р(х\ лени відносно х. Нерівності Р(х) 0(х) > 0 і --> 0 (Р(х) • ()(х) < 0 і ---< 0) рівносильні. Розгля- б(х) ^(x) немо випадок, коли многочлени Р(х) і ()(х') розкладаються у добутки двочленів виду х - х0. т 2 5х [х * -3; Наприклад, розв’язати нерівність —'—Ч------<-.----—------г. ОДЗ: ч Тоді одержимо: х + 3 х —2 (х + 3)(х — 2) [х5*2. х ! 2 5х х ! 2________5х д. х(х - 2) + 2(х + 3) - 5х < х2 - 5х + 6 х+3 х-2 (х+3)(х-2)’ х + 3 х-2 (х + 3)(х-2) ’ (х + 3)(х-2) ’ (х + 3)(х-2) (х —3)(х — 2) , }----------- < 0. Тоді (х - 3)(х + 3)(х - 2)2 < 0. Нулі множників: х = 3, х = -3, х-2. (х + 3)(х-2) Отже, хє (-3; 2)и(2; 3). Відповідь. (-3; 2)и(2; 3). 9 п > • р(хКа р(х^а Зауваження. Розв язки нерівностей виду ->0 та----<0 є об єднаннями розв язків відпо- £?(х) б(х) Р(х} Р(х) Р(х) відних нерівностей ——- > 0 і —— < 0 та рівняння —— -- 0. 2(Х) 2(Х) р Є(х) и „... ,... 8х + 3 . 1 .. Наприклад, знайти кількість цілих розв язків нерівності -------Г-~2-----• Маємо: + 2х + Ідх +х~ 6^ х — х--2 8х+3 > 1 8х+3____________1_>0. 8х+3___________1__ (х2+2х+1)(х2+х-б) х2-х-2’ (х2+2х+1)(х2+х-б) х2-х-2- ’ (х+1)2(х+3)(х-2) (х-2)(х+1)- 8х + 3-(х + 1)(х + 3) >() -х2+4х >о. х(х-4) <() Іх(х-4)(х + 1)2(х + 3)(х-2)<0; (х + 1)2(х + 3)(х-2) " ’ (х+1)2(х+3)(х-2) ~ ’ (х+1)2(х+3)(х-2)" ’ [(х + 1)2(х + 3)(х-2)*0. Нулі чисельника: х - 4, х = 0; нулі знаменника: х = -3, х = -1; х = 2. 112
( + ХжжшЛ г Зк - - /о 2\. - У4 * ---<1Х-Х ------ -3<х<-1; Отже, -1 < х < 0; Цілими розв’язками є -2; 0; 3; 4. 2<х<4. Відповідь. 4. Розв ’язування дробових раціональних нерівностей з параметром х — 2 Розглянемо приклад: розв’язати нерівність-< 0. Якщо а = 0, то одержимо лінійну нерівність ах — ї ~{х - 2) < 0, тобто х > 2. Нехай а*0, тоді дана нерівність рівносильна нерівності а(х-2дх- —1 <0. Застосуємо для а' розв’язування цієї нерівності метод інтервалів. Нулі множників: хі = 2 та х2 = —, до того ж: а 1) Хі = х2 = 2, якщо а - 0,5; 2) х2 < хі, якщо— < 2 <=> — — 2 < 0; -—— <0; 2 ( а - — ] а > 0; б/ < 0 або а > 0,5; а а а ^2' 3) < х2, якщо ає (0; 0,5). Розглянемо випадки. 1) а = 0,5. У цьому випадку нерівність набуває вигляду (х-2)2<0, що неможливо. Отже, якщо а = 0,5, то вихідна нерівність не має розв’язків; 2.1) б/ < 0. б/ґх — —) (х — 2) < 0; ( х-“1(х-2) >0; хє і ] и(2; + <~); \ а' V а' а' 2.2) ає ґ—;+ °ор аґх-—1(х-2) <0; ґх-—\х-2)<0; хє ґ—;2^ ; ^2 ' \ а' а' ' 2.3) ає (0; 0,5). а(х-2)ґх--1 <0; (х-2)[ х--) <0; хє [2;-) . V 67' V 67' V 67' Відповідь. Якщо а < 0, то хє о (2; + °°); якщо 67 = 0, то хє(2;+<~); якщо ає^О;-^, то хє ґ2; —; якщо а - 0,5, то хє 0; якщо а > 0,5, то хє ґ—; 2^! . V 67' ^67 ' Приклад 1. Визначити кількість цілих розв’язків нерівності ——— > 0 . Зх-9 А Б в г Д 3;4; 5; 6 інша відповідь 3 4 4; 5; 6 т~^-0; ^ГТЇЇ7-°І’(-3); М-0; ~0~Н-----------------------отже’ а;є(3;6]. Цілими X і) X «З розв’язками нерівності є 4; 5; 6 і їх кількість дорівнює 3. Відповідь. В. 8* Капіносов А. Математика. Комплексна підготовка до ЗНО 113
Приклад 2. Розв’язати нерівність 5х + 7^2 х-1 5х + 7 5х + 7 5х+7-2(х-1) Зх + 9 х-1 х-1 х-1 х-1 :3; ---- х-1 -ЗХ____ - _У1 х Отже, розв’язок нерівності —хє [-3; 1). Відповідь. [-3; 1). х2 — 5х Ч" 4 Приклад 3. Розв’язати нерівність —--->0. У відповідь записати кількість цілих розв’язків нерівності. х + > 0. —11 < 0; (х _ і)(х - 4)(х + 1 )(х - 7) < 0. Нулі множників: х = -1, х = 1, -х2+6х + 7 (х + 1)(х-7) х — 4, х — 7. г -1\^ - ^/1 4\^ - ^/7 X Отже, хє(-1; 1)о(4; 7). Цілими розв’язками є 0; 5; 6. Відповідь. 3. . . X 1 Приклад 4. Розв’язати нерівність---------> — 2х + 3 х А Б в Г д (—;-3)о(-1;0)о о(3; +©о) (-1,5;-1)0 <->(3; +°°) (—;-1,5]о о[-1;0]о о[3; -н») (-1,5; 1)о(0; 3) (—;-1,5)0 ,о(-1;0)о ь»(3; +°°) , X . 1 . х 1.0. х2-(2х + 3)^ 0; л2-2х-3. 0. (х + 1)(х-3)^ 0 2х + 3 х’ 2х + 3 х ’ х(2х + 3) ’ х(2х + 3) ’ х(2х + 3) (х + 1)(х - 3)х(2х + 3) > 0. Нулі множників: х = -1, х = 3, х - 0, х = -1,5. Отже, хє (-©о; -1,5)о(-1; 0)о(3; +«>). Відповідь. Д. ГТ А г п , •• х2-5х+6 Приклад 5. Розв язати нерівність------ А Б в Г д хє/? (2; 3) (-«о; 2)о(3; +оо) (—;-3)о(-2; +<=о) (—; -7)о(2; 3) Оскільки ІхІ + 7 > 0 за будь-якого значення х, то маємо: ——^х + ^ < 0; х2 - 5х + 6 < 0; |х | +7 (х - 2)(х - 3) < 0. 114
2< - Уз X Отже, хє (2; 3). Відповідь. Б. + Зх + 2 Приклад 6. Розв’язати нерівність —----------> -Зх. У відповідь записати найменший цілий х — | х | —2 розв’язок нерівності. х +^х + ^ > -зх Знайдемо ОДЗ нерівності х2 - |х| - 2 Ф 0. х -|х|-2 1)х > 0: х2 - х- 2 0; 2) х < 0: х2 + х - 2 Ф 0; х Ф 2; х 2; х?ь-1; хф -2; х*1; х + -2. Отже, х + ±2. х + 2 х —2 1) Нехай х>0, х*2, тоді отримаємо: х2 + Зх + 2 х2 - х - 2 (х + 1)(х + 2) > х + 2 (х + 1)(х-2)" ’ х-2 Отже, хє х + 2 + Зх2 - 6х Зх2 - 5х + 2 > д. х —2 2 .3 х —2 0 2 З 1 2 х 2) нехай х < 0, х -2, тоді отримаємо: х2 + Зх + 2 х —1 х + 1 + 3х(х-1) Зг2-2х + 1 2 -------------- > 0; —-------> 0. Квадратний тричлен Зх - 2х + 1 має від’ємний дискримінант, пе- рший коефіцієнт а = 3 > 0, тому за всіх значень х набуває тільки додатних значень, тому одержимо не- рівність х - 1 > 0, звідки хє 0. 2 Розв’язками вихідної нерівності є хє — ;1 и(2; + °о), а найменший цілий розв’язок нерівності Відповідь. 1. Приклад 7. Знайти найбільший цілий розв’язок нерівності Зх +1 х-3 Зх + 1 х-3 Зх + 1 , х-3 ОДЗ: х^З. х-3 Зх +1 - Зх + 9 х-3 Зх + 1 + Зх-9 > д. х-3 10 х-3 6х-8 , х-3 4 З 115
' х<—. Отже,хє -о®; — . Тоді найбільший цілий розв’язокх = 1. 4 3 х З' Відповідь. 1. х2 - Зх + 2 х2 + Зх + 2 Приклад 8. Розв’язати нерівність А Б В Г д (-2; -1)и(0; +°о) (-«;-2Ц-2;-1)и и(-1;0] (—;0) (0; +°°) х2 - Зх + 2 - х2 - Зх - 2 х2 - Зх + 2 х2 + Зх + 2 х2 - Зх + 2 х2 + Зх + 2 х2 — Зх + 2 хє(-2;-1) хє(-оо;-2М-1;0] х2 + Зх + 2 х2 - Зх + 2 + х2 + Зх + 2 х2 + Зх + 2 х + Зх + 2 2х2+4 х2 + Зх + 2 Отже, хє (-оо; -2)о(-2; -1 )и(-1; 0]. Відповідь. В. їх2 + 4а(а-х) + 4І Приклад 9. Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких нерівність --:------:----1 < |х - 2а| < 2х + 3 - х2 має хоча б один розв’язок. У відповідь записати найбільше значення параметра а. Перетворимо чисельник дробу: |х2 +4а(а - х) + 4| = |х2 + 4а2 - 4ах + 4| = |(х - 2а)2 + 4| = = (х - 2а)2 + 4. Тепер ліва частина нерівності перетвориться так: (х-2а)2 +4 . 4 ґ|х-2а| 2 /?(х) = —і---— = їх-2а +:---------г=2| -1---1 + :----ті. Для всіх Ь>0 виконується нерівність х - 2а х -2а \ 2 х - 2а у Ь + — >2. Тому ——--------------->2. Отже, Л(х)>2-2 = 4, звідки —^|х-2а|+-:—-—Н>2; Ь 2 |х-2а| 2у |х-2а|у їх - 2а| + ї—-—? > 4. Права частина нерівності перетвориться так: Дх) = -х2 + 2х + 3 = -(х2 - 2х - 3) = |х - 2а| = —(х2 - 2х + 1) + 4 - —(х - І)2 + 4, тому —(х - І)2 + 4 < 4. Маємо: Л(х) > 4, Дх) < 4. Задана нерівність ви- конується лише тоді, коли й(х) =Дх) = 4. З умовиДх) = 4 випливає, що х = 1. Тоді умову Л(х) = 4 мож- на записати так: 2 • | ——+ —-— | = 4. Нехай 11 - 2а\ = і. Тоді і + — - 4; і2 - 4і + 4 - 0; (і - 2)2 = 0; < 2 |1-2а|7 і 116
і-2, тобто 11 - 2а| = 2; 1-2а = 2; 1 - 2а = -2; а = -0,5; а = 1,5. Найбільше значення а - 1,5. Відповідь. 1,5. Завдання 11.1-11.22 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 11.1. Знайти множину розв’язків нерівності х + — > — -2. X X А Б В Г д К (-2; +°о) (-2; 0)о(0; +°о) (0; +°°) (—>; -2)о(-2; 0)о о(0; +°о) 11.2. Вибрати нерівність, множиною розв’язків якої є Я. А Б в Г д О VI "к І 1 04 к >0 ^х + 3' х2 — 4 —Г——>0 х-4 ^>0 X -^-<0 х +4 11.3. Вибрати нерівність, множиною розв’язків якої є 0. А Б В Г д * +І <1 х2 +1 <1 х +1 >1 х+1 4=1 >0 х' -1 —> 1 х2 X 11.4. Розв’язати нерівність----- > 0 . А Б В Г Д (-оо; 0]о(5; +°°) (-«о; 0)о[5; +оо) (-оо; 0)о(5; +о=) [0; 5) (0; 5] х + 5 11.5. Розв’язати нерівність---< 0. х-2 А Б В г Д (-°°; -2)о[5; 4-»о) (-оо; -5]о(2; +оо) [-5; 2] [-5; 2) (-2; 5] 11.6. Розв’язати нерівність --—-—- < 0. А Б В Г д (-3; 5) (-5; 3) (-оо;-5)0(2; 3) (-о; -5)0(3; +~) (-о;-3)о(5;+оо) х + 5 11.7. Розв’язати нерівність —-—-- < 0. А Б В Г Д [-5; -2)о(2; +оо) (—; -5]о(-2; 2) (-~; -5]о[-2; 2] (-~; -5) (—; 5] х + 5 11.8. Розв’язати нерівність----> 1. х + 3 А Б В г Д (-оо; -5)о(-3; +®о) (-5; +~) (—3; +°°) (—; -5) (-о;-3) 117
Зх + 4 11.9. Розв’язати нерівність-----< 2. х + 1 А Б в г д 1 з / [-2;-1] [-2;-1) 1 т 1 '1 1 1 1 (—;-2М-1;+~) 11.10. Розв’язати нерівність — < -х. X А Б В г д (1;+°°) (-оо;-1) (0; +°°) 0) (—; 0] 11.11. Розв’язати нерівність — <----. х х + 1 А Б В г Д (-~; -3]о(-1; 0) (-о; -3]о[-1; 0] [-3; -і) (-і;0) (-3; -і] 11.12. Знайти множину розв’язків нерівності---->-----. х-3 х+2 А Б В Г Д (—; -2)о(3; +~) (-©о;-4,5)о(-2; 3) (-4,5; -2)о(3; +~) (-2; 3) (-3; 2)о(4,5; +«) 11.13. Знайти множину розв’язків нерівності -----------г > 0. (х + 4)(х-3) А Б в Г д (-«о; -4)0(3; +оо) (-4; 3) І-4’2^ и(3’ +°°') Н°; -4)о {1} о о(3; +оо) (-оо; —4]и[3; +°°) 11.14. Розв’язати нерівність + < 0. х2 + 2х-8 А Б В г Д (-4; 3) (-4; 2)0(2; 3] (-о; -4)о{2}о и(3; (-оо; -4)о(3; +оо) (-3; 4) (77? -2-х2 11.15. Обчислити найменший цілий розв’язок нерівності -— ------------< 0 . х + 9 А Б В г д -9 -8 0 9 1 11.16. Розв’язати нерівність --------—----— > 0. х2+6х + 9 А Б В г д [-7;-3)о[1;+°°) (-оо; -7]о(-3; +°°) Е-7;-з) (-о; 3)о[7; +«) (3;7] 118
. х(х - 3)(3х - 2) л 11.17. Знайти кількість цілих розв язків нерівності-----------<0. 2х-3 А Б В Г Д 1 2 3 4 інша відповідь „ , . . х2 - 5х + 6 .. Розв язати нерівність 2 $ < 1. А Б в Г Д (-4; 3) (-4; 3) (-оо;-|) (—4; +о°) (-4; 2)о(2; +-) Знайти множину розв’язків нерівності —— >1. х-5 А Б В г Д (4; 5)0(5; 6) (4; 6) (-«о; 4)о(6; +оо) (-6;-4) -6)и(—4; +°°) 11.20. Знайти множину розв’язків нерівності р-1—- < 1. А Б в Г д К (-2; 2) (—;-2)0(2;+оо) (-оо; -5)0(2; +°о) (-5; 2) 11.21. Знайти множину розв’язків нерівності --—------- < 0, якщо -2< а < 3. х-4 А Б В г Д [-2; а\ [а; 4) [-2'; я]о(4; +<») (—;-2]о[а;4) [а; 4] х -2х-15 11.22. Знайти множину розв язків нерівності -—---- < 0, якщо -3 < а < 5. (х-5)(х-а) А Б В Г д [-3;а] [-3;а) (-оо;-3]о(5;+°о) (-оо; -3]О[5; +оо) (-оо; -3]о(а; 5)о и(5; +оо) Завдання 11.23-11.29 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 11.23. Установити відповідність між нерівностями (1—4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 х2>3 2 |х|<7з З х + ^0 х-<3 4 х-л/з>0 А [-^;л/з) Б (-;-7з) В [~л/3;>/з] Г (73;о°) Д л/з) о (л/3;о°) 119
11.24. Установити відповідність між нерівностями (1-4) та рівносильними їм нерівностями (А-Д). 1 (х + 2)(х-3)<0 2 (х + 2)(х-3)>0 З £±2>о х-3 4 (х + 2)2>0 11.25. Установити відповідність між нерівностями (1-^4) та множинами їх розв’язків (А-Д). "1 у- 1 >-^- + 2 1 X і х-2 х-2 2 х + 1 >—— + 2 х-3 х-3 3 х + 1 >—!—+ 2 X +1 х + 1 А [2; +°°) Б (-о»;-2] В (-2; 3)о(3; +~) Г (2; 3)0(3;+оо) Д (2; +~) 11.26. Установити відповідність між нерівностями (1-^4) та множинами їх розв’язків (А-Д). З -----1----<0 (х + 2)(х-3) 4 (х + 2)(х-3),0 5 А (-2; 3) Б [-2; 3] В [-2;3) Г (-2; 3] Д (—;-2]о[3;+оо) 11.27. Установити відповідність між нерівностями (1^4) та множинами їх розв’язків (А-Д). і х-4 2 4-^^° х-4 х2 -4 З -—->0 х + 3 А (-о; -3)о[-2; 2] Б (-о»; -3]о(-2; 2) В (-оо; -3]о[-2; 2] Г [-3;-2)0(2;+оо) Д (-3;-2]о[2;+оо) 120
11.28. Установити відповідність між нерівностями (1-4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 х + 1 2 Х±1>і х + 4 З Х±1<і х + 4 . х + 4 , 4 ----<1 х + 1 А (-~;-4) Б (—;-1) В (-~;4) Г Н;+~) Д (-1;+со) 11.29. Установити відповідність між нерівностями (1-4) та множинами їх розв’язків (А-Д). А (-оо;-1]и(0; 1] Б (-оо; 0) В [-1;0М1;+оо) Г (-1; 1) Д (0; +~) Розв’яжіть завдання 11.30-11.43. Відповідь запишіть десятковим дробом. х — 5 11.30. Розв’язати нерівність----< х. У відповідь записати найменший цілий розв’язок. х + 5 2 х 11.31. Розв’язати нерівність ----<-----У відповідь записати суму всіх цілих чисел, які не є розв’язками нерівності. 11.32. Розв’язати нерівність -->1-2х. У відповідь записати суму всіх додатних цілих чисел, які 1-х не є розв’язками нерівності. 11.33. Розв’язати нерівність —---------<1. У відповідь записати суму всіх цілих чисел, які не є 2(х + 1) 2х розв’язками нерівності. 11.34. Розв’язати нерівність ---------< —. У відповідь записати добуток усіх цілих чисел, які не є х - Зх + 2 2 розв’язками нерівності. 1 х-3 1 11.35. Розв’язати нерівність 2 +---+------<------—-----г. У відповідь записати найбільший цілий н х-3 х + 2 (х-3)(х + 2) розв’язок. 11.36. Розв’язати нерівність ------ <-----------. У відповідь записати найбільший цілий розв’язок. х — 8 2 11.37. Розв’язати нерівність —5-------->------. У відповідь записати найменший додатний цілий х -5х + 4 х + 1 розв’язок. 121
— X + х — 1 11.38. Розв’язати нерівність--------------< 0. У відповідь записати добуток усіх розв’язків. х + 8 11.39. Розв’язати нерівність 2х + 5 4х + 1 У відповідь записати суму всіх цілих чисел, які не є розв’язками нерівності. 11.40. Розв’язати нерівність 1->у----г-----. У відповідь записати суму всіх цілих чисел, х + 2 ґ1 + -Оїх-і) V Х + Р' ’ які не є розв’язками нерівності. х^ — Зх 4" 2 11.41. Розв’язати нерівність -------<0. У 6-х відповідь записати суму всіх цілих чисел, які не є розв’язками нерівності. 11.42. Розв’язати нерівність 1—<5. У х2+8х + 7 відповідь записати суму всіх цілих чисел, які не є розв’язками нерівності. 1 х + 1 11.43. Розв’язати нерівність 2 х-2 відповідь записати суму всіх цілих чисел, які не є розв’язками нерівності. 122
Тема 12. Ірраціональні рівняння Ірраціональними називають рівняння, які містять змінну під знаком кореня (радикала) або в ос- нові степеня з раціональним показником. Наприклад, х + 3 = 72х-1 ; х4 -10 - 6. Основними методами розв’язування ірраціональних рівнянь є: а) метод піднесення обох частин рівняння до одного й того ж степеня; б) метод уведення нових змінних; в) штучні прийоми. При розв’язуванні ірраціональних рівнянь методом піднесення обох частин до парного степеня можуть з’явитися побічні (зайві) корені. Так, наприклад, якщо задано рівняння 7х + 5 = х -1, то, піднісши до квадрата обидві його части- ни, одержимо: (7х + 5) = (х -1)2; х + 5 - х - 2х + 1; х -- Зх - 4 = 0; хі = 4 і х2 - -1. Коренем вихідного рівняння (74 + 5 =4-1) є X] = 4, а х2 = —1 є побічним коренем (7-1 + 5 -1 -1; 74 Ф -2). При розв’язуванні ірраціонального рівняння, яке містить парні степені радикалів, буває корисним знаходження ОДЗ, що може полегшити його розв’язування. Відокремлення квадратного кореня Наприклад, розв’язати рівняння 7х + 2 + 7з-х = 3. Відокремимо один квадратний корінь 7х + 2 = 3 - 73 —х , а потім піднесемо обидві частини рівняння до квадрата: х + 2 = 9 - б7з -х + 3 - х; 5-х = з7з-х. Ще раз піднесемо до квадрата: 25 - 10х + х2 = 9(3-х); х2-х-2=0; X] = -1, х2 = 2. Обидва значення є коренями даного рівняння: якщо хі =-1, то одержимо: 7-1 + 2 + ^/з - (-1) = 3; 71 + 74 = 3; 3 = 3; якщо х2 = 2, то одержимо: 72 + 2 + 73- 2 =3; 74 + 71 - 3; 3 = 3. Іноді корисно почати розв’язання рівняння з визначення його області визначення. Наприклад, розв’язати рівняння 71 їх + 3 -72-х -79х + 7 + 7х - 2 = 0. ОДЗ: < 1їх + 3 > 0; 2-х>0; 9х-7>0; х ~ 2 > 0; х = 2. Отже, х > 2; область визначення складається тільки з однієї точки х = 2. Перевіримо, чи буде це значення коренем вихідного рівняння: 711 ’ 2 + 3 -72-2 ~79 • 2 + 7 +72- 2 = 0; 725 - 725 = 0; 0 = 0. Відповідь. 2. При розв’язуванні ірраціональних рівнянь слід пам’ятати: 1) у рівнянні корені парного степеня є арифметичними, а це значить, що значення кореня завжди невід’ємне, крім цього, підкореневий вираз теж невід’ємний; 2) корені непарного степеня визначені для будь-якого значення підкореневого виразу; 3) формальне використання властивостей кореня 2у[аЬ = 2-х[а • 2у[ь або 2^ = може призвести до звуження області визначення рівняння, що не допустимо. Одним зі способів, який застосовують для розв’язування ірраціональних рівнянь, є введення нової змінної. Наприклад, розв’язати рівняння 7х2 -6х + 9 + 7х2 -6х + 18 =9. Позначимо вираз х2-6х + 9 через і: х2 - 6х + 9 = і > 0. Тоді х2 - 6х + 18 = і + 9 і вихідне рівняння набуде вигляду: 7/ + 7/ + 9 = 9. Розв’яжемо його: 7/ = 9-7/ + 9; (7/) = (9-77+9) ; / = 81-1877+9+ / + 9; 187/+ 9 = 90; 77+9 = 5; / + 9 = 25; /=16. Повернувшись до заміни, одержимо: х2-6х + 9=16; х2-6х-7 = 0; 123
хі =-1, хг = 7. Виконавши перевірку, встановлюємо, що обидва значення задовольняють початкове рівняння. Відповідь. -1; 7. Рівняння виду у]/(х) ± ^(х) = Л(х) При розв’язуванні рівнянь такого виду доцільно піднести обидві частини до куба за формулою + = а + Ь + Зі/аЬ^\/а ±. Раціональне рівняння, яке виникне, може мати сторонні розв’язки, тому для знайдених розв’язків обов’язково потрібно виконати перевірку. Наприклад, розв’язати рівняння ^8-х + ^х +1 = 3. Після піднесення обох частин рівняння до куба отримаємо: 8-х + х + 1 + 3^(8 -х)(х+1)(^ х + -\/х + 1) = 27. Використаємо умову, що уіі-х + л/х + 1 = 3. Одержимо: ^(8-х)(х + 1) = 2; (8-х)(х + 1) = 8; х2 - 7х = 0; Хі = 0, хг = 7. Перевір- кою встановлюємо, що обидва значення перетворюють задане рівняння в тотожність. Відповідь. 0; 7. Зведення ірраціонального рівняння до системи рівнянь Нехай потрібно розв’язати рівняння \/8-х + \/89 + х = 5. Позначимо л/8-х = <2, звідки 8 - х = а4; л/89 + х = Ь, звідки 89 + х = Ь4 і а4 + Ь4 - 8 - х + 89 + х = 97. Одержимо систему рівнянь: - 2,2 - 97 = 0; 2,2 - 100, + 528 = 0; ,2 - 50, + 264 = 0; ' 4 ' Перетворимо вираз а4 + Ь4: а4 + Ь4 = (а2 + б2)2 - 2а2 Ь2 = ((а + />)2 - 2аЬ)2 - 2а2Ь2. Одержи- мо рівняння: (25 - 2аЬ)2 - 2а2Ь2 - 97. Нехай аЬ = 1, тоді маємо: (25 - 2,)х - 2? - 97; 625 - 100,+ 4/2 - а + Ь = 5; аЬ = 6; Розв’язками першої си- а + Ь = 5; аЬ = 44. ,, - 44; тобто _,2 = 6, стеми є а = 2, Ь = 3 або <2 = 3, Ь-2, друга система розв’язків не має. Повертаємося до заміни й одер- жуємо: Хі = -8, Хг = -73. Відповідь. -8; -73. Спряженість в ірраціональних рівняннях Наприклад, розв’язати рівняння ^1 + х + х2 + 71 - х + х2 =4 (1). Складемо нове рівняння: 71 + х + х2 - 71-х + х2 = А (2). Перемножимо почастинно рівняння (1) і (2): (1 +х+х2)-(1 - х + х2) = - 4А й виразимо А через х: 2х = 4А; А = \ Таким чином, 71 + х + х2 - л/1-х + х2 = у. Додамо вихідне рівняння до останнього: 2л/Г+х + х2 =4 + -|; 4(1 + х + х2) = 16 + 4х + ^-; 16 + 16х+ 16х2 = 64 + 16х + + х2; 15х2 = 48; ' г4л/5. 1 5 ’ г =_^ї . 2 5 Перевіркою встановлюємо, що обидва корені задовольняють вихідне рів- няння. Відповідь. 124
Розв'язування ірраціональних рівнянь з використанням властивостей відомих функцій та оцінки значень лівої й правої частин рівняння Розв’язати рівняння л/х2 - 7х 4- 6 = 12х - х2 - 36. Перепишемо задане рівняння так: 7х2 -7х + 6 = -(х-б)2; /(х) = <ух2 -7x4-6 >0; #(х) = -(х-б)2 <0. Отже, дане рівняння рівносиль- не системі: >/х2 -7x4-6 = 0; _(х-б)2 =0; Відповідь. 6. Якщо розв’язування рівнянь призводить до громіздких обчислень, то іноді варто скористатися властивостями зростання чи спадання відповідних функцій. Це можна зробити так: 1) дібрати один чи кілька коренів рівняння; 2) довести, що дане рівняння не має інших коренів. Наприклад, розв’язати рівняння >/х-7 4- \[х = 3. ОДЗ: х > 7. Неважко побачити, що х = 8 є коре- нем заданого рівняння. Розглянемо функцію /(х) = >/х-7 + \[х. Вона зростає на проміжку [7;4-оо)5 тоді рівнянняДх) = 3 має єдиний корінь, і цей корінь х = 8. Відповідь. 8. Ірраціональні рівняння з параметрами Нехай потрібно з’ясувати, за яких значень параметра а рівняння ^а + >/а + =х = х має тільки один корінь. Оскільки ліва частина рівняння невід’ємна, то рівняння може мати корінь, лише якщо х>0. Виконаємо заміну >]а + х - у, у > 0. Тоді * у]а + у = х: у2 -х-а = 0; х2 - у - а = 0; Віднявши від першого рівнян- ня друге, отримаємо рівняння: (у2 -х2) 4- (у-х) - 0; (у-х)(у 4-і + 1) - 0. Оскільки у 4- х 4- 1 > 0 за усіх значень х та у, то залишається одна можливість: >»-х = 0; у-х. Отже, система набуде вигляду: х2 - х - а = 0* - , < Вона матиме один додатний розв язок у таких випадках: 1) * О = 1 + 4а = 0; 1 звідки ^о=->О5 1 2 а = —; 2) а > 0 (корені квадратного тричлена ах + Ьх + с мають різні знаки, коли ас < 0). 4 Відповідь. а = -— абоа>0. 4 Приклад І. Розв’язати рівняння л/3х4- 7 = х - 7. А Б В Г д 3 14 3,14 -7 6 л/3х4-7 = х-7. Якщо х-7<0, то рівняння коренів не має. Якщо х-7>0, х>7, то: '4-7) =(х-7)2; Зх 4-7 = х2 - 14х 4-49; х2 - 17х 4-42 = 0; хі = 3— не задовольняє умову х>7, х2 - 14. Відповідь. 14. 125
Приклад 2. Розв’язати рівняння у/х + 3 + л/4х-23 - >/х + 10 = 0. А Б В Г д 6 7,5 4,14 8 5 л/х + 3 + ^4х-23->/х + 10 = 0; л/х + 3 + лДх^23 = 7х+Ї0 ; (л/х+3 + >/4х-23)2 =(л/х+16)2; 5х - 20+2Х//(х+3)(4х-23) = х+10; 27(х+3)(4х-23) = ЗО - 4х; х/4х2-11х-69 = 15 - 2х; 4х2 -1 їх - 69 = 225 - 60х + 4х2; 49х = 294; х - 6. Перевірка: л/б + 3 + 74-6-23 -7б +10 = \І9 + ТІ - 7Ї6 = 0; 0 = 0 — правильна рівність; 6 — ко- рінь рівняння. Відповідь. А. Приклад 3. Розв’язати рівняння 2х2 - 5х4 = 3. А Б В Г д 1 16 1 16 81 12 3 1 1 1 1 2х2 -5х4 = 3. Зробимо заміну: х4 = і, ї>0. Тоді х2 -і2, і задане рівняння матиме вигляд: 2/2 — 5/ = 3 ; 2і2 - 5г-3 = 0; - 3; Г2 = — не задовольняє умову і > 0. Тому: х4 = 3; х = З4; х - 81. Відповідь. В. Приклад 4. Розв’язати рівняння 3^2х-9 -у/4-х = 1. [2х-9>0; |2х>9; Гх>4,5; Знайдемо ОДЗ: < < < х є 0 . Оскільки ОДЗ — порожня множина, то [4-х>0; [-х>-4; [х<4; рівняння коренів не має. Відповідь. 0. Приклад 5. Розв’язати рівняння \Іх-3 = у/-2-х. ОДЗ: -2 -х > 0 або х < -2. Якщо х < -2, то тоді х - 3 < 0. Отже, У х-3 < 0. Звідси випливає, що на ОДЗ рівняння його ліва частина від’ємна, а права— невід’ємна, тому вихідне рівняння коренів не має. Відповідь. 0. Приклад 6. Розв’язати рівняння >/х + 7 - >/х + 3 = 0. ТТ+7-77+3 = 0. ОДЗ: х>-3. = (Т7+з)6; (х + 7)2 = (х + З)2; х2+14х + 49 = = х3 + 9х2 + 27х + 27; х3 + 8х2 + ІЗх — 22 = 0. Підбором знаходимо, що х = 1 — корінь рівняння. Тоді маємо: х3 + 8х2 + ІЗх - 22 = (х- 1)(х2 + 9х + 22); х2 + 9х + 22 = 0; О < 0, це рівняння не має коренів. Пе- ревіркою встановлюємо, що х = 1 задовольняє вихідне рівняння. Відповідь. 1. Приклад 7. Розв’язати рівняння л/х + 3 + >/5 - х = 2. У відповідь записати суму коренів рівняння. 7х + 3 + х = 2. ОДЗ: х < 5. Нехай Цх + 3 - а, ^5-х = Ь, Ь>0. Тоді х + 3 = а3, 5 -х = Ьг і а3 + 63=х + 3 + 5- х = 8. Маємо: а + Ь = 2; а3 + 62=8; Ь = 2 - а\ 4 а3+(2-а)2 =8; Ь = 2 — а; а3 + 4 - 4а + а2 = 8; 126
\Ь = 2-а\ Ь= 2 - а; Ь = 2-а; Ь = 2-а; Ь = 2-а; а = -1; >/х + 3=-1; х = -4; < а" + а2 -4а-4 = 0; а2(а + 1)-4(а + 1) = 0; (а + 1)(а2 -4) = 0; а = 2; _а = -2; >/х + 3 = 2; -\/х + 3=-2; х = 5; _х = -11 Сума коренів рівняння: -4 + 5-11=-10. Відповідь. -10. Приклад 8. Розв’язати рівняння л/х + \/х = —. У відповідь записати суму коренів рівняння. х у[х + \/х = —. ОДЗ: х Ф 0. Розглянемо функцію /(х) = у[х + у[х. Вона є зростаючою на кожно- х 7 мл із проміжків області визначення. Функція #(х) = — спадає на кожному із проміжків хє (-©о; 0) і х хє (0; +©о). На проміжку хє (0; +©©) вихідне рівняння має корінь х - 1, і він єдиний, оскільки якщо в рі- внянніу(х) ~ функціяДх) зростає на певному проміжку, а функція #(х) спадає на цьому ж проміж- ку. то це рівняння може мати не більше одного кореня на даному проміжку. Розглянемо тепер промі- жок (-©о; 0). На ньому корінь даного рівняння х = -1, і він з аналогічних міркувань єдиний. Отже, ви- хідне рівняння має два корені: х = 1 тах = -1. Тоді сума коренів дорівнює 1 + (-1) = 0. Відповідь. 0. Приклад 9. За якого найбільшого значення параметра а рівняння (л/х-2-3)(х-а) = 0 має єдиний корінь? ОДЗ: х - 2 > 0; х > 2. Маємо: (л/х-2 -з)(х-а) =0; 7х-2-3 = 0; х - а = 0; 7х-2 = 3; Гх-2 = 9; х = а; _х = я; х = 11; Рівняння має лише один корінь х = 11, якщо а < 2 або якщо а = 11. Отже, найбільшим значен- х = а. ням параметра а, за якого рівняння має єдиний корінь, є а = 11. Відповідь. 11. Приклад 10. Розв’язати рівняння х+3-. У відповідь записати найбільший корінь ух-5 х-5 гівняння. ОДЗ: > 0; (х + 3)(х - 5) > 0. хє (^о; -3)о(5; +«>). х-5 СТТ Л(х + 3)(х-5) Оскільки -------= -—і------і---, то дана нерівність рівносильна сукупності таких систем: Ух —5 |х-5| ’хіЗ У(х+3)(х~5) 6 . (1) Х $ Х $ Розв’яжемо друге рівняння системи (1): (х+3)(х-5)-^(х+3)(х-5) -6. XI Зі У(х+3Хх~5к 6 (2) і. х-5 х-5 127
Нехай ^(х + 3)(х-5) = і, і > 0, тоді маємо: ? -1 - 6 - 0; Розв’яжемо друге рівняння системи (2): ЛУ(х + 3)(х-5) = і, (>0, тоді маємо: ? + і - 6 = 0; х< 5; ' 7(х + 3)(х-5) = 2; х < 5; х2-2х-15 = 4; Іі =3; Д=-2; Іг = -2 не задовольняє умову і > 0. (х + 3)(х - 5) + -уДх + 3)(х - 5) = 6. Нехай 6 = -3; ? і\ = -3 не задовольняє умову І > 0. Отже, х<5; 4 х2-2х-19 = 0; х<5; < х, -1 + 2^5; х = 1 - 2>/5 . |_х2 = 1- 2>/5; Корені х = 6 і х - 1 - 2^І5 задовольняють ОДЗ. Більшим коренем є х = 6. Відповідь. 6. Завдання 12.1-12.23 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 12.1. Знайти область визначення (область допустимих значень) рівняння у/5-х 4- л/х + 1 - 2. А Б в Г Д К (—;-!] [5;+°о) (-і;5) Н;5] 12.2. Вказати рівняння, областю визначення якого є одне число. А Б в г д у/х-4 + уі5-х = 3 уі5-х + л/х-7 = 2 л/х + 2-у/х ——х \І2х-6 +\І9-Зх = х у/х 4- у/~Х -1=2 12.3. Вказати рівняння, область визначення якого є порожня множина. А Б В г д у] X 4- 4 4- у/х = 2 >/4-х + л/-х = 2 у[х + у/~Х = 0 у/х-3 4-д/х-6 = 1 у/х-5 +^4-х = 2 12.4. Вказати рівняння, коренем якого є число 2. А Б В Г д (х-2)^х-3 = 0 (х-2)л/3-2х = 0 (х-2)>/^х = 0 (х-2)л/х- 1 - 0 (х- 2)71 -х = 0 12.5. Знайти суму коренів рівнянь у/х = 2, у/х = -З і = 1. А Б В г д -20 -18 0 12 9 12.6. Знайти суму коренів рівнянь л/х-1 = 2 і у/-х = 5 . А Б В Г Д зо -20 8 -7 -24 128
12.7. Яке з наведених рівнянь має корені? А Б В г д л/х + 7=-1 л/х-З +4\-х -2 >/х + 5 + л/2 — х = 0 \І2х-6 + >/х-3 =0 4х + у/3-х = -2 12.8. Знайти значення виразу у/2х-9 , якщо значення х задовольняє умову >/2х-9 = л/б-х . А Б В Г д 0 5 або -1 1 або -1 5 1 12.9. Знайти значення виразу >/х + 11, якщо значення х задовольняє умову 7х + 11 = 1 - х . А Б В г д 3 або 4 3 або -3 3 4 або -4 4 12.10. Знайти суму коренів рівняння V? - З^х + 2 = 0. А Б В г Д 9 -9 3 -3 2 12.11. Розв’язати рівняння 2>/х + 1 -у/х + ї = 6 . А Б В Г д 0 -4—; 7 8 7 -7 63 12.12. Скільки коренів має рівняння Зл/х -1 + 7л/1 -х = Зх3 + 7х5 ? А Б в г д Жодного ОДИН два три більше, ніж три 12.13. Скільки цілих коренів має рівняння ^/Зх-6 + \/х + 6 = 2- \І2-х ? А Б в г д Жодного ОДИН два три чотири 12.14. Скільки цілих коренів має рівняння л/2008-х + л/х-2007 = 1 ? А Б в г д Жодного ОДИН два три чотири 12.15. Скільки ірраціональних коренів має рівняння л/2х-3 = 3-2х? А Б в г д Жодного ОДИН два три чотири 12.16. Скільки коренів має рівняння (х2 - 5)(х + 4-х) = 0 ? А Б в г д Жодного ОДИН два три чотири 9* Капіносов А. Математика. Комплексна підготовка до ЗНО 129
12.17. Розв’язати рівняння (Зх + 12)>/х-2 =0. А Б В Г д —4 -4; 2 2 -2; 4 -2 12.18. Знайти суму коренів рівняння (х2 + 5х - б) ^х + 1,5 = 0. А Б В Г Д -6,5 3,5 -5 -2,5 -0,5 12.19. Скільки коренів має рівняння (х-1)>/х2 -х-6 = 6х-6? А Б в г д Жодного ОДИН два три чотири 12.20. Розв’язати рівняння л/х-а = а. А Б в г д За будь-якого а х-2а за будь-якого а х- а1 + а якщо а < 0, хє 0, якщо а > 0, х - а2 + а якщо а < 0, х£ 0, якщо а > 0, х - а2 + а якщо а < 0, хй 0, якщо а > 0, х - 2а 12.21. Розв’язати рівняння л/х + 4 = а - 2 . А Б в г д За будь-якого а х = а2-2а якщо а < 2, хє 0, якщо а > 0, х-а-2 якщо а < 2, хє 0, якщо а > 0, х-а-2 якщо а < 2, хє 0, якщо а > 0, х — а2 -2а якщо а < 2, хє 0, якщо а > 0, х = а2 - 4а 12.22. Знайти всі значення а, за яких рівняння ^(х-а)(х + 1) -0 та (х-а)л/х + 1 =0 рівносильні. А Б в г д а<-\ а--\ а > -1 а > -1 а < -1 12.23. Знайти всі значення а, за яких рівняння ^(х-а)(х +1) = 0 та (х + 1)л/х-а = 0 рівносильні. А Б В Г д а < -1 а = -1 а>-1 а>-1 а < -1 Завдання 12.24—12.30 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 12.24. Установити відповідність між заданими рівняннями (1-4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 л/х-2 = -2 2 (х + 2)7х-6 = 0 їх — 2 З V х-6 4 л/х + 6 = 2 А {2} Б {6} В 0 Г {-2; 6} Д {-2} 130
12.25. Установити відповідність між заданими рівняннями (1-4) та рівносильними їм рівняннями або системами (А-Д). 1 л/х-2 = \І-5-х + х2 А х2 - 6х + 9 = 0 2 л/х2-2х = л/3 3 (х + 1) >/х-3 = 0 4 >/х2-6х + 9 = 1 Б л/х + 1-(х-3) = 1 В х2-2х-3 = 0 Г |х-3| = 1 „ |х2-2х-3 = 0; Д ч х-2>0 12.26. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та областями їх визначення (А-Д). 1 л/х-4 + а/4-х = 0 А 0 2 л/х-4+ >/х + 4 = 4 3 л/4-х + >/х + 4 = 4 4 V* - 4 + >/-х = 4 Б (—;-4] В [-4; 4] Г [4; +оо) Д {4} 12.27. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та множинами їх коренів (А-Д). 1 >/=х = 4 А 0 2 Тх = -4 Б М;4} 3 л/? = 16 4 х/х-4 = 0 В {16} Г {-16} Д {-16; 16} 12.28. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та множинами їх коренів (А-Д). 1 >/-2х = 4 А 0 2 <Л4? = 4 Б {-64} 3 і/^4х = -4 4 ^2х = -2 В {-32} Г {32} Д {16} 12.29. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та кількістю їх коренів (А-Д). 1 х2-10хл/х+ 9х = 0 2 х + 10л/х + 9 = 0 3 х-5л/х + 4 = 0 4 х -Зл/х -4 = 0 А Один Б Два В Три Г Чотири Д Жодного 12.30. Установити відповідність між рівняннями (1—4) та їх коренями (А-Д). 1 (х-2)>/х + 1=0 2 (х + 1)7х-2 = 0 3 (х-1)7х-2 = 0 4 (х + 2)л/х-1=0 А -1; 2 Б 2 В 2 Г -1;1 Д І 131
Розв’яжіть завдання 12.31-12.47. Відповідь запишіть десятковим дробом. 12.31. Розв’язати рівняння >/х2 -5х + 1 = л/х-4 . 12.32. Розв’язати рівняння л/З-хл/2-х = \І2 . 12.33. Розв’язати рівняння д/4 + 2х - х2 = х — 2. 12.34. Розв’язати рівняння (х- 1)л/х2 -х-42 = 0 . У відповідь записати модуль різниці коренів. 12.35. Розв’язати рівняння у/х + 5 - 4х = 1. 12.36. Розв’язати рівняння >/х-1 + л/Зх-1 = л/х + 1 . / 5 — х їх 4- З 12.37. Розв’язати рівняння 7/---+ .7/----= 2. V х + 3 V 5-х 12.38. Розв’язати рівняння у/х2 -Зх + 5 = -х2 + Зх + 7. У відповідь записати модуль різниці коренів. 12.39. Знайти суму коренів рівняння (х + 1)(х - 4) = л/х2 -Зх + 7 + 9. г3/г-1 л/т2 — 1 12.40. Розв’язати рівняння —---------= 4 . V?-! ^ + 1 12.41. Розв’язати систему рівнянь Ту + 7-7х-9 = 2. У відповідь записати найбільше зі значень х0 абоу0, де пара (х0; уо) — розв’язок системи. 12.42. Розв’язати рівняння \/х2 -Зх-88 + л/176 + 6х-2х2 агссо$(х-10) = 0. 12.43. Розв’язати рівняння ^(2 - х)~ + ^(7 + х)2 - ^(7 + х)(2-х) = 3 . У відповідь записати суму коренів. 12.44. Розв’язати рівняння у/х + 1 - л/х + 3 = 0 . 12.45. Розв’язати рівняння >/х + 6 + л/х-1 + 2 л/х2 + 5х - 6 = 51 - 2х. 12.46. Розв’язати рівняння л/х + 6 + 4>/х + 2 ->/х + 6-4л/х + 2 =4. У відповідь записати найменший корінь. 12.47. Розв’язати рівняння дУ|х| +1 -= <7. У відповідь записати найбільше значення а, за якого рі- вняння має корені. 132
Тема 13. Ірраціональні нерівності Нерівність, яка містить змінну під знаком радикала або в основі степеня з раціональним показни- ком, називають ірраціональною. Наприклад, >/х-2 >3-7х, >/х + ^2х + \ <1, х3-х>3 — ірраціональні нерівності. Основним методом розв’язування ірраціональних нерівностей є піднесення обох її частин до сте- пеня. Необхідно звернути увагу на таке: 1. Піднесення обох частин нерівності до непарного степеня зі збереженням знака нерівності зав- жди є рівносильним перетворенням. Наприклад, розв’язати нерівність >/х-2 < -2. Можна виконати такі рівносильні перетворення: ^х-2^ < (-2)3; х - 2 < -8; х < -6; хє (-©о; -6). Відповідь, (-©о; -6). 2. Якщо обидві частини нерівності на деякій множині X визначені та набувають лише не- від’ємних значень, то при піднесенні обох частин нерівності до квадрата або іншого парного степеня зі збереженням знака вихідної нерівності одержимо нерівність, рівносильну вихідній на множині X. Наприклад, розв’язати нерівність ^2х-6 < 1. ОДЗ: 2х - 6 > 0; х > 3. Обидві частини вихідної нерівно- сті невід’ємні, отже, дана нерівність рівносильна на £)(/) нерівностям: (^2х-б) <16; 2х- 6<1; х < 3,5. Врахувавши ОДЗ, одержимо: 3 < х < 3,5. Відповідь. [3; 3,5). 3. Ірраціональні нерівності виду 2>//(х) < #(х), де #(х) < 0, розв’язків не мають. 4. Щоб уникнути помилок, при розв’язуванні ірраціональних нерівностей доцільно розглядати ті значення змінної, за яких усі функції, які входять до нерівності, є визначеними, тобто знайти £)(/) цієї нерівності, а потім обґрунтовано виконати рівносильний перехід на всій області визначення або на її частинах. Для розв’язування ірраціональних нерівностей можна застосовувати ще такі рівносильні пере- творення: /(х)>0; 1 < 8(х) <=> • §(х) > 0; /(х) < (#(х)) Наприклад, розв’язати нерівність >У4-х <х + 2. Замінимо вихідну нерівність системою нерівно- стей < 0 <х < 4; хє(0; 4]. Відповідь. (0; 4]. 2- 2<І/(х) > §(х) [#(х) < 0; І#(х) > 0; зокрема, нерівність /(х) > ^(х) рівносильна системі нерівностей < /(х) > &(х). 133
Наприклад: а) розв’язати нерівність /-->-1. ОДЗ:-------->0; ------ V1 - Зх 1 - Зх Зх -1 х*1; З 1 І х —3 і 1 — < х < 3. Оскільки . /-> 0 , то за всіх хє —; 3 виконується нерівність З \1-3х <3 х-3 1-Зх Відповідь. б) розв’язати нерівність >/4-х > х + 2. 1) - 2) хє [-2; 0). -5-20 4 3) запишемо відповідь, об’єднавши результати, отримані в 1) і 2), й одержимо: хє (-°о;-2)о[-2; 0) = = (—; 0). -2 0 Відповідь, (-оо; 0). Розв ’язування ірраціональних нерівностей виду ^/(х) + Ьо Ь/ (х) + с Розв’яжемо нерівність л/2х2-8x4-12 <х2-4х-6. Виконаємо перетворення: ^2х2 -8x4-12 < <-^-(2х2 -8x4-12)-12. Уведемо нову змінну: \І2х2 -8x4-12 = /, />0. Отримаємо: /<±і2-12; і2 - 21 - 24 > 0; і\ - 6,12 - -4. Урахувавши, що і > 0, маємо: / > 6. х -4 6 Повертаємося до заміни: >/2х2 - 8x4-12 > 6; 2х2 - 8х 4- 12 > 36; х2 - 4х - 12 > 0. хє (—о°; -2)о(6; 4-оо). Відповідь, (-оо; -2)о(6; 4-оо). Розв’язування ірраціональних нерівностей виду >1ах + Ь 4- уісх + (і о у/кх+ т Розв’яжемо нерівність у/х + 3 > \І2х-\ + л/х-1. ОДЗ: х>0,5; х> 1. Оскільки обидві частини нерівності невід’ємні, то піднесемо їх до квадрата й одержимо: х4-3>2х-14-х-14- 5-2х>0; < х>1; 4(2х2 - Зх 4-1) < 25 - 20х 4- 4х2; хє[1; 1,5). Відповідь. [1; 1,5). 1<х<2,5; ' 8х2-12х4-4<25-20х4-4х2; 1<х<2,5; 4х2 4-8х-21<0; 1<х<2,5; -3,5 < х < 1,5; 134
Розв'язування ірраціональних нерівностей методом інтервалів Алгоритм розв’язання складається із таких кроків: 1. Звести нерівність до видуХХ) > 0 абоХ*) < 0. 2. Знайти £>(/). 3. Знайти нулі функції Дх), розв’язавши рівняння Дх) = 0. 4. Позначити нулі функції та знайти знаки функції на кожному із проміжків, на які розбито £>(/). 5. Записати відповідь, урахувавши знак нерівності. Наприклад, розв’язати нерівність 2>/х + л/5-х >-Ух + 21. 1. Зведемо нерівність до виду 2>/х + л/5-х ->/х+ 21 > 0. Нехай /(х) = 2>/х + л/5-х ->/х + 21. х> 0; 2. £>(/): <5-х>0; х + 21>0; х> 0; х<5; х> - 21; 0<х<5. 3. Нулі функції 2>/х + л?5-х -л/х + 21 = 0. 2>/х + >/5-х = -Ух + 21; 4х + 5-х + 4л/х>/5-х = х + 21; 4л/ 5х — х2 =16 — 2х; 2уі5х-х2 = 8 - х; 4( 5х - х2) = 64 -16х + х2; < 0 < х < 5; 8-х>0; 5х2 -36х + 64 = 0; ' 0<х<5; х,=4; < х2 =“; X] =4;х2 = 3,2. 0<х<5; 4. Розбиваємо £>(/) точками 4 і 3,2 на проміжки і знаходимо знак / (х) = 2>/х + л/5-х - -Ух+ 21 на кожному із проміжків: х 5. Відповідь. (3,2; 4). Ірраціональні нерівності з параметрами Розв’яжемо нерівність \Іх + а + 4х < а. Оскільки ліва частина нерівності за умов х>0тах + а>0 невід’ємна, то якщо а < 0 нерівність розв’язків не має. Якщо а > 0, то отримаємо ^х + а <а-4х\ а - 4х > 0; < а-, < а-, 4х < а', , і~\~ ] г ї,— у і- а _ і За умови а < 1 нерівність х + а<\а-у/х\ ; [х + а<а2-2ау/х + х; \2а\/х<а2-а; >/х < . розв’язків не має. Якщо а>\, то тому система рівносильна нерівності а1, звідки хє 0; 4 Відповідь. Якщо а < 1, то хє 0; якщо а > 1, то х є 135
Приклад 1, Розв’язати нерівність л/2х + 3 > -4. А Б в г д (-3,5; +°°) (6,5; +оо) (1,5;+°°) [6,5; +оо) [-1,5; +°°) >/2х + 3 > -4. Розв’язки нерівності— усі допустимі значення х. Отже, 2х + 3>0; 2х>-3; х >-1.5. Відповідь. Д. Приклад 2. Розв’язати нерівність V*3 ~2х > х + 2. Піднесемо обидві частини нерівності л/х3 -2х >х+2 до куба: х3 - 2х > х3 + 6х2 +12х + 8; п 4 ( 4 6х2 + 14х + 8 < 0; Зх" + 7х + 4 < 0; х, = -1, х9 - —; х є —; -1 . 1 2 З І 3 ) ( 4 А в Відповідь. —; -1 . Приклад 3. Розв’язати нерівність >/9х-20 < х. А Б в Г Д Ґ20.Х V 9 ’ > Ж 4^0(5;+-) [5; +°°) < 9 > і <Х5; +°°) (5; +°°) 9х-20>0; <х>0; (>/9х-20)2 <х2; [х>—; 9 х> х > 0; * 9х-20<х2; Iх 20. 9 X] = 4, Х2 = 5; < -9х + 20>0; [х>—; 9 хє(—;4) ю(5; + °°). хє —; 4І и(5;+оо) Відповідь. Б. Приклад 4. Розв’язати нерівність Л(х2 - 5х + б) > 2 - х. А Б в г д (-°°; +оо) (2; +оо) [3; +°°) 2)о(2; +°о) (-оо; 2)о(2; 3)0 о(3; +°о) ченням Замінимо вихідну х2 - 5х + 6 > 0; х2 -5х + 6>2- х2 - 5х + 6 < 0; -(х2 -5х + 6)> нерівність на нерівність |х2 - 5х + 6| > (1) Розв’яжемо систему (1): (2) 2-х. 2-х; далі розкриємо модуль за озна- х2-5х + 6>0; Г(х-2)(х-3)>0; х2-5х + 6>2-х; [х2-4х + 4>0; хє(-оо; 2)о[3;+оо). х Ф 2; 136
Розв’яжемо систему (2): х2 - 5х + 6 < 0; х2 - 5х + 6 < х - 2; (х-2)(х-3)<0; х2 — 6х + 8 < 0; 2 < х < 3; [2<х<4; хє(2; 3). --------------------------------------------Г 2 3 4 Об’єднавши результати, одержимо: 2 3 Х хє(-о°; 2)0(2; +~). Відповідь. Г. Приклад 5. Розв’язати нерівність -\/х2 — Зх - 4 < л/х2 - 5х + 6 . А Б В г д (—;-!] Н-1]и[4; 5) [4; 5) (—;-1М4; 5) (-~; 5) х2-Зх-4>0; Дана нерівність рівносильна системі: < х2 - 5х + 6 > 0; х2 - Зх - 4 < х2 - 5х + 6; (х + 1)(х-4)>0; «(х-2)(х-3)>0; 2х < 10; \ 7 хє(-оо; -1)и(4; + «>); < хє(-оо; 2)и(3; + °о); х<5; хє(-оо; -1]о[4; 5). Відповідь. Б. х — 3 Приклад 6. Розв’язати нерівність ----< 0. V 1 —5х А Б В г д 0,2; 3 (0,2; 3] 3 [3; +°о) 0 / х — з Ураховуючи, що ------> 0 для всіх допустимих значеннях х, можемо зробити висновок, що х — З х З розв’язком заданої нерівності є лише розв’язок рівняння --= 0; —-----= 0; х ~ 3. \1-5х 1-5х Відповідь. В. Приклад 7. Розв’язати нерівність ^2-х + у!х-\ > 1. У відповідь записати найменший цілий розв’язок нерівності. ОДЗ: х - 1 > 0; х > 1. Перепишемо нерівність у вигляді: л/2-х > 1 -у/х-1 й піднесемо обидві частини нерівності до куба: (л/2-х) >(1-; 2-х>(1-. Не- хай л/х-1 = /. Тоді останню нерівність перепишемо у вигляді: 1—ґ2 > (1 — ґ)3» (1 _ 0(1 + 0 > (1 - 03> (1 - Г)(1 + і - 1 + 2/ - /2) > 0; (1 - /)(3/ - /2) > 0; /(/ - 1)(/ - 3) > 0. 137
З * і>3; л/х-1>3; Гх-1>9; х>10; О< і < 1; о < 7х-1 <]; [0 < х -1 < 1; |_1 < х < 2. Отже, хє (1; 2)о(10; +°°). Найменший цілий розв’язок дорівнює 11. Відповідь. 11. Приклад 8. Знайти кількість цілих розв’язків нерівності (х-2)>/16-х2 <0. хє[-4; 4]; ОДЗ: 16 - х2 > 0; (х - 4)(х + 4) < 0; -4 < х < 4; хє [-4; 4]. Тоді: х = -4; х = 4; звідки х - 2 < 0; хє [-4; 4], х = -4; х = 4; х = 2; -4< х< 2. Отже, хє [-4; 2]о{4}. Цілими розв’язками є: -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 4, усього їх є 8. Відповідь. 8. Приклад 9. Розв’язати нерівність у]5х + 8-6\/5х-1 + >/5х + 24-10^5х-1 < 2. (*) У відповідь за- писати суму цілих розв’язків нерівності. л/5х + 8-6>/5х-1+-\/5х + 24-10л/5х-1 <2. Нехай л/5х-1 =(, ґ>0. Тоді 5х-1=?; 5х + 8 = ? + 9; 5х + 24 = ? + 25. Тоді маємо: -6ґ + 9+ >//2-10/ + 25 <2; ^(ґ-З)2 + ^(/-5/ <2; |ґ-3| + |ґ-5| <2. (**) 1. ОДЗ нерівності (**): /є Я, але за умовою і > 0. 2. Нулі підмодульних функцій: і\ = 3; І2 = 5. П. 0</<3; Ґ0<ґ<3; Ґ0<ґ<3; -/ + 3-ґ + 5<2; 1-2Г<—6; Ь>3; 'З < і < 5; /-3-Г + 5<2; |0ґ<0; ґ = 3; III. ( розв’язків немає. / —3 + ґ —5<2; [2/<10; Ц<5; Отже, 3 < і < 5. Повернемося до заміни: 3 < л/5х-1 <5; 9 < 5х - 1 < 25; 10 < 5х < 26; 2 < х < 5,2. Цілі розв’язки: 2, З, 4, 5, а їхня сума 2 + 3 + 4 + 5 = 14. Відповідь. 14. Приклад 10. За якого найбільшого цілого значення параметра а будь-яке х із проміжку [1; 5] за- довольняє нерівність Зах + 2>/Зх + 1 -6х + а- 5<0? Задана нерівність на проміжку хє[1;5] рівносильна нерівності: (Зх + 1)а < 6х - 2л/3х +1 + 5; 6х + 5 2 а<-------------, ; а<2+--------------? ; а<----------2---------• 2!— + + - + + 2; «< — + ./—---------— Зх+1 /Зх + 1 Зх + 1 л/Зх + 1 Зх + 1 73х + 1 3 3 3 3 Ц/Зх+1 З 138
/ 3 л/З 8 । З 3 8і Рівняння , /— ----•*— = 0 має єдиний корінь х = — ------= — <=> Зх +1 = 9; х = — і цей корінь нале- \3х + 1 З З ^Зх + 1 9 3> жить проміжку [1; 5]. Доходимо висновку: лише якщо а<-|, то будь-яке хє[1; 5] задовольняє почат- кову нерівність. Отже, а < —, а є ( -оо; — 1 найбільше ціле значення а = 1. З < З/ Відповідь. 1. Завдання 13.1-13.20 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 13.1. Знайти множину розв’язків нерівності у[х > -3. А Б В г д п 0 (9; +°°) [0; (0; +«>) 13.2. Розв’язати нерівність л/х > 5 . А Б в Г Д [0; +оо) [5; +°°) [25; +со) (5; +°°) (25; +оо) 13.3. Розв’язати нерівність >/х < 4. А Б в г Д (—; 16] (0; 2] [0; 2] (0; 16] [0; 16] 13.4. Знайти множину розв’язків нерівності л/х<-2. А Б В г Д К 0 (-~ ;-2) -4) [0; 4) 13.5. Розв’язати нерівність ух <2. А Б в г Д [0; 2) [0; 8) (—; 16) [0; 16) (0; 16) 13.6. Розв’язати нерівність Цх>~2. А Б в г Д (-8; +°°) (0; +о©) (8; +«>) (-8; 0) (-8; 0] 13.7. Знайти множину розв’язків нерівності ^х + 3 > \/х-1 . А Б в г Д п [3; +°°) [і; +о°) (і; +°°) [3; +©о) 13.8. Розв’язати нерівність >/х < х. А Б в г Д [1;+°о) [0; +°°) [0;і] {0}о(1;+оо) {0}о[1;+оо) 139
13.9. Скільки цілих розв’язків мас нерівність \/2х > х ? А Б в г Д Жодного ОДИН два три більше, ніж три 13.10. Розв’язати нерівність (х + 4)а/-х > 0 . А Б В Г д 0 (-4; 0) (-4; 0] (—4; +°°) {0}о(4; +оо) 13.11. Скільки цілих розв’язків має нерівність (5 -х)>/х > 0? А Б в г д Три чотири п’ять шість більше, ніж шість 13.12. Розв’язати нерівність (х - б) \[х > 0 . А Б в г д (0; [0; +°°) (6; +<*>) [6; +оо) {0}о[6; +°о) 13.13. Розв’язати нерівність (х + 1)>/х + 3 <0. А Б В Г Д 0 [-3; +<*>) [-1; +°о;) [—3;—1] [і;?] 13.14. Розв’язати нерівність л/х2 - 9 < х . А Б В г Д —3]о[3; +оо) (3; +о°) [3; +°°) (—;-з] 0 13.15. Знайти множину розв’язків нерівності л/х2 -1 > х. А Б в г Д 0 Н;і] (-оо; —1]о[1; +°°) (—;-!) (—;-!] 13.16. Знайти множину розв’язків нерівності л/3х + 7 < х +1. ,А Б в г Д Г-2; + ~) ІЗ 7 (-1; 0) (3; +°°) [3; +°°) (-1;3) 13.17. Серед наведених нерівностей вказати ту, множина розв’язків якої містить множину натураль- них чисел. А Б в г д л/х > 1 >-і 4х<-\ \[х <1 7-х > -і 13.18. Серед наведених нерівностей вказати ту, множиною розв’язків якої є відрізок [-2; 0]. А Б В Г д II * 1 IV кП 4х>уі2 у/х<УІ2 л/^х<>/2 уГх<-Л 140
13.19. Розв’язати нерівність -Ух-3^х-2^/5-х < 0. А Б в г Д [3; +~) [5; +°°) (—;3] [2; 3] [2; 3]о{5} 13.20. Знайти суму цілих розв’язків нерівності ^/х-Зл/х-Зл/о-х >0. А Б В Г д 14 12 9 7 6 Завдання 13.21-13.27 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 13.21. Установити відповідність між заданими нерівностями (1-4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 Л2 +1 > -2 2 Тх+ї<-2 З -=!==>0 л/3 ~~ х 4 уіх > >/2х —З А (—°°; + °°) Б (-оо; -7з)и(7з; +«) В (-оо; 3) Г 0 Д (1,5; 3) 13.22. Установити відповідність між заданими нерівностями (1—4) та рівносильними їм нерівностями або системами (А-Д). 1 >/х2 + 7 > х А х2 + 2х > 9 2 УІХ-2 < у/1 - х Б соз X < -у/ї 3 -\Іх2 + 2х > -3 В 2х<3; . . [х —1>0 4 >/2 —х >ух-1 Г 8ІПХ>- — 2 Д х2+2х>0 13.23. Установити відповідність між нерівностями (1-4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 у/х > -4 А [—4; +°°) 2 л/х + 4>0 Б [-2; +оо) 3 4 О ЛІ СЧ СЧ ЛІ І В [0;+оо) Г [2;+оо) д [4; +~) 13.24. Установити відповідність між нерівностями (1-4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 у/х <2 А [-2;0] 2 у/х <-2 Б [-2; 2] В [0;4] 3 у/х-2<2 Г [2; 6] 4 у/х + 2<2 д 0 141
13.25. Установити відповідність між нерівностями (1-4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 4-х > -л/з 2 уГ4і<-4з з 7^х>7з 4 4-х<4з А(-о;-3] Б (-о» ; 0] В [-3;0] Г [0;+«=) Д 0 13.26. Установити відповідність між нерівностями (1-4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 л/х + 2 > 4х 2 4х > 4х-2 З 4х + 2 > 4-х 4 4-х > 4х-2 А 0 Б [-2;+оо) В [-1;0] Г [0; +°о) Д [2;+~) 13.27. Установити відповідність між нерівностями (1-4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 л/х > х 2 4х <х З 4-х > х 4 4-х < х А 0 Б (-°°; 0] В [0; 1] Г [1 ;+<*>) Д {0} Розв’яжіть завдання 13.28-13.40. Відповідь запишіть десятковим дробом. 13.28. Розв’язати нерівність 4х2 - 7х + 5 > л/Зх-4 . У відповідь записати найменший цілий розв’язок нерівності. І2х-3 /х-2 13.29. Розв’язати нерівність ./--->./-----. У відповідь записати добуток усіх цілих розв’язків не- V 4х -1 V х + 2 рівності. 13.30. Розв’язати нерівність ЛДх-3)(2-х) <3 +2х. У відповідь записати добуток усіх цілих розв’язків нерівності. 13.31. Розв’язати нерівність 4-х2 + 6х - 5 > 8 - 2х. У відповідь записати добуток усіх цілих розв’язків нерівності. — 1 13.32. Розв’язати нерівність -----<1. У відповідь записати суму всіх натуральних чисел, які не є х-2 розв’язками нерівності. 13.33. Розв’язати нерівність (х-1)7х2 - х-2 >0 . У відповідь записати найбільше ціле від’ємне чис- ло, яке не є розв’язком нерівності. 13.34. Розв’язати нерівність 7х-6 -7x4-10 <1. У відповідь записати найменший цілий розв’язок нерівності. 13.35. Розв’язати нерівність 72х-14-7х4-15<5. У відповідь записати суму найбільшого та най- меншого розв’язків нерівності. 142
13.36. Розв’язати нерівність л/Зх2+5х + 7 --уЗх2+5х + 2 >1. У відповідь записати суму всіх цілих розв’язків нерівності. 13.37. Розв’язати нерівність ^Зх-2)2 >х + 6. У відповідь записати суму всіх цілих чисел, які не є розв’язками нерівності. 13.38. Розв’язати нерівність |>/х-2 -з|>р7-х -2| +1. У відповідь записати добуток усіх цілих розв’язків нерівності. 13.39. Розв’язати нерівність уі25-х2 < —. У відповідь записати добуток усіх цілих розв’язків нерів- х ності. 13.40. Розв’язати нерівність розв’язків нерівності. 11-л/25-х2 X < 2. У відповідь записати модуль добутку усіх цілих 143
Тема 14. Показникові рівняння Рівняння, яке містить змінну в показнику степеня, називають показниковим рівнянням. Рівняння виду ах = 6, де а > 0, а Ф 1, називають найпростішим показниковим рівнянням. Напри- ґ 2У клад, 5 х =125; =1,5 тощо. Якщо 6>0, то розв’язком рівняння а=Ь є х = 1о§а6; якщо Ь < 0, то рівняння ах -Ь коренів не має. Показникові рівняння найчастіше розв’язують шляхом логарифмування обох його частин: • рівняння виду </х) = Ь, де а > 0, а Ф 1, Ь > 0 розв’язують, логарифмуючи обидві його частини за основою а. Отримують рівносильне рівнянняУ(*) - Іо&Д • рівняння виду де а > 0, а Ф 1 рівносильне рівнянню/(х) = #(х); • рівняння виду дЛх) = де а > 0, а 1, 6 > 0, Ьф \ рівносильне рівняннюДх) = §(х)]о%аЬ. Зведення до однієї основи лу-4 Розв’язати рівняння 27 Зх = . Маємо: 27 Зх = ; 27 Зх = 24 х; 7 - Зх = 4 - х; 2х = 3; х = 1,5. Відповідь. 1,5. Розв’язати рівняння 728,п+^ =1. Одержимо: 7281П+^ =1; уЗзш+Тз _ уо. 28Іпх + л/з=0; 8Іпх = -^; X = (-1)Л+1 у + ли, иє 7. Відповідь. х = (-1)п+1у + пп, пєХ. Рівняння а^х) = Ь^х\ які не зводяться до однієї основи Розв’язати рівняння Зх+2 = 5Х+2 (основи різні, показники однакові). Розділимо обидві частини рів- О Л' + 2 няння на 5Х+2 Ф 0. Одержимо: = 1; о ; х + 2 = 0; х = -2. Відповідь. -2. Розв’язати рівняння 32х-1 = 53-х. Прологарифмуємо рівняння за основою 10 (логарифмувати мож- на й за основою 5 або за основою 3): 1§32х-1 = 1§53-х; (2х-1)1§3 = (3-х)1§5; 2х1§3+х1§5 = 31§5 + 1§3; х(2183 +1§5) = 3185 +183, звідки х = ^ + ^3 = ^5_3| = 1^ = 21§3 + 1§5 1§(3-5) 1^45 Відповідь. 1§45375. Винесення спільного множника за дужки Розв’язати рівняння 2 • Т +1 - 6 • 7х"1 - 7х = 85. Винесемо за дужки 7х’1 — множник з найменшим показником. Матимемо: 7х" '(2 • 72 - 6 - 7) - 85; 7х’1 • 85 = 85; 7х”1 = 1; 7х-1 = 7°; х- 1 = 0; х= 1. Відповідь. 1. Рівняння, які зводять до квадратних 1. Рівняння виду А а2х + В- <1х+С = 0 Уведемо нову змінну о1 = і, і > 0 й одержимо квадратне рівняння. Наприклад, розв’язати рівняння 2а - 10 • 2х + 16 = 0. Нехай 2х = і, тоді маємо: ? - 10? + 16 = 0; ?! = 2; 2Х=2; Гх = 1; Повертаємося до заміни: ?2 =8. 2х =8; |_х = 3. Відповідь. 1; 3. 144
2. Рівняння виду А а* + В • ах = С За допомогою заміни 0х = і, і > 0 рівняння можна звести до квадратного. Наприклад, розв’язати рівняння 5х + 3 • 5-х = 4. Нехай 5х = і, тоді маємо: і + — -4; і1 2-4і +3-0; З Повертаємося до заміни: 5х = 1; х = 0; 5х = 3; |_х = 1о§53. Відповідь. 0; 1о§53. Однорідні показникові рівняння А • а2* + В • а* • Ьх + С • Ь2* = 0 / ґ іЛ2х Поділимо обидві частини рівняння на а2* 0, тоді одержимо рівняння А + В — =С 1—1 . Ви- '•а' конаємо заміну [ — ] = і, і > 0, і зведемо це рівняння до квадратного. 'а' Наприклад, розв’язати рівняння 3 • 16х + 2 • 81х = 5 • 36х. Маємо: 3 - 16х + 2-8Iх-5 • 36х; /.\2х ( д\х З • 42х + 2 92х = 5 • 4х • 9х. Поділимо обидві частини на 92х 0: 3 • — - 5 • — +2 = 0. Нехай <9? і > 0, тоді маємо: 3? - 51 + 2 = 0; '. = і; . з Повертаємося до заміни: Ґ4Ї _ 2 Ґ4У = Ґ4Г. {<)) І9^ ’ х = 0; Ґ2У\2. І2х = 1; ^3> З’ х = 0; х = 0,5. Відповідь. 0; 0,5. Рівняння виду Ах + 8х = С, де А • В - 1 Уведемо заміну Ах = ґ, і > 0. Тоді Вх = | і рівняння можна звести до квадратного. Наприклад, розв’язати рівняння - 6. Нехай = /, і > 0. Тоді 1 Іл/з + 2>/2 Повертаємося до _і2=3-2у/2. 1 і , /,=3 + 2>/2; = -. Одержимо: і + - = 6; і-6і+1=0; і і заміни: = 3 + 2>/2; (з + 2 >/2)2 = 3 + 2>/2; х - 2; х = -2. Відповідь. ±2. Використання монотонності функцій Розв’язати рівняння 2х = 3 -х. Методом підбору знаходимо, що х = 1 — корінь рівняння. Функція у = 2х — зростаюча, а функція у-3-х — спадна, тому цей корінь — єдиний. Відповідь. 1. 10* Капіносов А. Математика. Комплексна підготовка до ЗНО 145
Розв’язати рівняння 12х + 5х = 13х. Поділимо обидві частини рівняння на 12х Ф 0: 1 + • Методом підбору знаходимо, що х - 2 — корінь рівняння. Функція у = 1 + — спадна, а функція у - — зростаюча (а > 1), тому графіки цих функцій перетинаються не більше як в одній точці. Відповідь. 2. Показниково-степеневі рівняння — рівняння, які мають змінну в показнику степеня і в основі Розв’язування рівнянь виду (/(х))г(х) = (/(х))7” зводиться до випадків: 1 .Лх)=1. 2 .Лх) = -1. З .Лх) = 0. 4 . #(х) = т. Наприклад, розв’язати рівняння (х + 1)* +х =(х + 1) . Для відшукання коренів рівняння потрібно розглянути чотири випадки: 1. х + 1 = 1, звідки х - 0. Одержимо: 1-4=12;1 = 1.х — 0 — корінь рівняння; 2. х + 1 - -1, звідки х = -2. Одержимо: (-1)"2 - (-1)2; 1 = 1. х = -2 — корінь рівняння; 3. х + 1 - 0, звідки х - -1. Одержимо: вираз О-4 не має змісту, тому х = -1 не є коренем рівняння; 4. х2 + х - 4 = 2; х2 + х - 6 - 0; Х\ - 2, х2 = -3. Відповідь. -3; -2; 0; 2. Показникові рівняння з параметром Розв’язати рівняння 3 • 4х-2 + 27 = а + а • 4х"2. Перетворимо задане рівняння: 3 • 4х-2 - а • 4х”2 = а - 27; 4Х-2(3 - а)- а- 27. Якщо а = 3, то маємо: 4х-2 • 0 - -24 — рівняння коренів не має. У випадку, коли а Ф 3, одержимо рівняння: 4х-2 = ———. Це 3-а а -27 рівняння матиме корені, якщо----->0, тобто коли ає(3; 27). Тоді за означенням логарифма маємо: 3-а -її я “27 _ 1 а-27 х-2 = 1о§4 —---; х = 2 + 1о§4 —--. 3-а 3-а а 77 Відповідь. Якщо а < 3 або а > 27, то рівняння коренів не має; якщо яє (3; 27), то х = 2 + 1о§4-. 3-я Приклад 1. Розв’язати рівняння 0,23х 1 = 7125 . А Б В г ’ д 5 3 1 6 0,4 0,23х-1 = 7125 ; (5’')ЗЛ’'=(53)2; 5’3х+'=52; -Зх + 1 = |; х = -|. Відповідь. Г. Приклад 2. Розв’язати рівняння 4х 1 -1,5 • 2Х+2 + 20 = 0 . А Б В Г Д ІО&20 2 2; 1о§220 10 4 146
4х 4х"1-1,5* 2Х+2+20 = 0; — -1,5-2х -22 +20 = 0; 4х-24-2х+80 = 0. Зробимо заміну: 2х = Г, то- ді 4х = і2. Одержимо: ґ2 - 24г + 80 = 0; ^ = 20, і2 = 4. Повертаємось до змінної х: 2х = 20; х = 1о§2 20 або 2А = 4 ; х = 2. Відповідь. В. Приклад 3. Розв’язати рівняння 3 • 4х - 5 • 6х + 2 • 9х = 0. А Б В Г д 0 1 2 3 і; - 3 0; і 3 • 4х - 5 • 6х + 2 • 9х = 0 ; 3 • 22х - 5 • 2х • 3х + 2 • 32х = 0. Поділимо обидві частини рівняння на вираз <2У* Ґ2У ґ 2У ( 2^2х 32х Ф 0 й одержимо: 3-^—-5*^—+ 2 = 0. Зробимо заміну: = а. Тоді = а2. Отримаємо: 2 Ґ2] За2 - 5а + 2 = 0; ах = 1, а2 = у . Повертаємося до попередньої змінної: = 1; х = 0 або 2У 2 і — = —; х = 1. ЗУ З Відповідь. Д. спадна. Тому дане рівняння має не більше одного коре- / 1 \ Зх+1 у = 7г+1 зростаюча, а функція у = 14 ня. Отже, інших коренів, крім х = 0, немає. Відповідь. В. х+4 2 Приклад 5. Розв’язати рівняння 5 х -124 • 5х - 25 = 0. А Б В Г д 1 4 2 0 0,5 х+4 2 ]+4 2 Зведемо степені лівої частини до одного показника: 5 х -124 • 5х - 25 = 0; 5 х -124- 5х -25=0; ґ - - 2 1 5-^5^ -124-5Х -25=0. Зробимо заміну 5х = а. Одержимо: 5а - 124а-25 = 0; а, =-—; а2 - 25. Пове- - 1 - 2 2 ртаємося до попередньої заміни: 5х =----коренів немає. 5Х=25; 5х =52; — = 2 ; х = 1. 5 х Відповідь. А. 147
Приклад 6. Знайти суму коренів рівняння І32х 29 - 27]>/5х + 18 = 0. А Б В Г д 0,4 -3,6 4 інша відповідь -7,6 ОДЗ рівняння: 5х+18 > 0; х >-3,6. Маємо: 1. З2*2’29 -27 = 0; 32?'29 = 33 ; 2х2-29 = 3; х2 = 16; X] = -4, Х2 = 4. Урахувавши ОДЗ, маємо: х = 4. 2. \/5х +18 = 0;5х+18 = 0;х = -3,6. Отже, коренями рі- вняння є числа -3,6 і 4, а їх сума дорівнює -3,6 + 4 = 0,4. Відповідь. А. Приклад 7. Знайти суму коренів рівняння Т + 2 х = 2соз2х. Оцінимо ліву й праву частини рівняння: 2 х + 2 х = 2х + > 2; 2соз2х < 2. Замінимо рівняння [2х+-^ = 2; (1) рівносильною системою: < 2 [2соз2х = 2. (2) 1 2 Розв’яжемо перше рівняння системи. Нехай 2х = /, і > 0. і + - = 2; г - 2/ + 1 = 0; і - 1; Т = 1; х - 0. Перевіримо, чи задовольняє корінь х = 0 друге рівняння системи: 2соз(2 • 0) = 2; 2 • 1 = 2; 2 = 2. Отже, х = 0 — розв’язок системи, а, отже, й даного рівняння. Відповідь. 0. Приклад 8. Розв’язати рівняння 3 • 4х + (Зх - 10) • 2х + 3 -х = 0. У відповідь записати більший ко- рінь. Нехай 2х = ґ, />0. Тоді З/2 + (Зх- 10)/+3-х = 0; З/2 + 3/х- 10/ + 3 -х = 0; 3/2--9/ + 3/х- -/ + 3- х = 0; 3/(/- 3 + х) - (/ - 3 +х) = 0; (/-3 + х)(3/ - 1) = 0; /, = 3 - х; Повертаємося до за- міни: 1) 2х = 3 - х (1). Ліва частина рівняння (1) — зростаюча функція, права — спадна; х = 1 — єди- ний корінь; 2) 2х (2); х = 1о§2^- =-1о§23. Отже, корені рівняння х- 1 та х = -1о§23. Більший ко- рінь дорівнює 1. Відповідь. 1. Приклад 9. За яких значень а рівняння 3х2+а + 4х +а + 5х*+а = 6х +а має тільки один корінь? Нехай х2 + а = і. Тоді маємо: 3/ + 4/ + 5і = 6Г. Підбором знаходимо, що і = 3 — корінь цього рів- няння. Покажемо, що цей корінь єдиний. Для цього поділимо обидві частини рівняння на 6' й одер- жимо: =1’ Оскільки функція /(/) = ^1^ +1б^ За дов*льних значень і спад- на, як сума спадних функцій і £(/) = (0; +«>), то її графік перетинає пряму у - 1 лише один раз (якщо і - 3). Отже, х2 + а = 3; х2 = 3 - а. Одержане рівняння має лише один корінь х - 0, якщо а - 3. Відповідь. 3. 148
Завдання 14.1-14.23 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 14.1. Розв’язати рівняння 5=8. А Б В Г д л/8 ^5 1о§58 1о§85 ±^5 14.2. 14.3. 14.4. Розв’язати рівняння 5х 9 = 5 і 3х - 3 = 0 та вказати суму їх коренів. А Б В Г д 0 1 8 9 11 х 1 х х+2 Розв’язати рівняння = 42х і 43х+1 = 8-2х-1 та вказати інтервал, який містить їх корені. А Б в г д (-3;-2) (-і; 0) (0;і) (і;2) Розв’язати рівняння 3х 5 = 9 2х 14.5. А Б В г д 1— 3 1 1,25 0 -і 2~2 1 Розв’язати рівняння 5<х+2ХхЧ) = 1 і (х2-4)(х-1) = 1 та вказати їх спільні корені. А Б В Г д -2; 2 і 1 2 і 1 -2 і 1 -2 і 2 2 14.6. 14.7. Якому з проміжків належить корінь рівняння 0,008х =5’ 2х ? А Б в г д [0;2] (-1; 5] (2; +°°) (0;і) (-3; 0] Серед наведених рівнянь вказати рівняння, рівносильне рівнянню 8х = 16 1 \32х А Б в Г д Зх = х - 1 1 И| Г4 II И сп _ 5х . Зх = 4 2 , 5х . Зх = 4 2 Зх = — -4 2 14.8. Яке з наведених рівнянь має корені? А Б В г Д 7х2 = — 2 7х =- 2 7ІхІ _ А. 2 7х =0 7Х=-— 2 14.9. Розв’язати рівняння 6х+1 = Зх+| і 2х 5 = 8х 5 і знайти суму їх коренів. А Б в Г д 4 -4 5 -5 53 14.10. Розв’язати рівняння 4х+2 - 4х+| + 4х = 39 . А Б В Г Д </з ^4 1о§34 1о§43 0 149
14.11. Знайти суму коренів рівняння 52х - 6 • 5х + 5 = 0. А Б В г Д 1 0 1 6 -5 14.12. 14.13. 14.14. 2 2 2 Встановити кількість коренів рівняння 3х -12 -3х +27 = 0. А Б в г д Жодного ОДИН два три чотири Розв’язати рівняння 7х2 = 2. А Б В Г д ±71о82 7 л/і0227 ±л/1о§7 2 л/1ое7 2 +І7 Розв’язати рівняння 2х • 3х 1 = 72 і >/2* • у/ї* = 196 і вказати суму їх коренів. 14.15. 14.16. 14.17. А Б В г д 8 7 6 5 4 / 2У ґ 9У 27 Розв’язати рівняння і 52х • 62х = 900 і вказати суму їх коренів. А Б В Г д 8 7 6 5 4 Знайти значення виразу 7х, якщо 7х - ( =6. <7> А Б В Г д 1 2 6 7 14 ( 2^ х Знайти значення виразу , якщо 3 • 22х + 2 • 32х = 5 • 6х . А Б В г Д 4 3 або 4 2 « , — або 1 3 0 або 1 4 Л , — або 1 9 14.18. 14.19. 14.20. Знайти значення виразу 2х, якщо 22 х - 2х 1 = 1. А Б В г д 2 2 або -4 1 4 2 або 4 1 11 Знайти значення виразу 9х , якщо 81х - 4 • 9х = 45 . А Б В Г д 4 або 9 -4 або 9 9 81 16 або 25 2 *+3 Указати проміжок, якому належить корінь рівняння 9х + 2 • З х -27 = 0. А Б в г Д [-4;-2] [-2; 0] [0;2] [2; 4] [4; 6] 150
14.21. Розв’язати рівняння 25Ш х + 2е08 х = 3. А Б В Г д 0 0 2лЛ, ке 7 кк, ке 7 — ,ке7 2 14.22. За якого значення параметра а рівняння 16х - (а +1) • 4х + а = 0 має один корінь? А Б В г д -2 -1 0 1 2 14.23. Знайти суму коренів рівняння (х2 + х + 1)х 3 = 1. А Б В Г Д 3 0; -1 -1; 0; 3 2 -2 Завдання 14.24-14.28 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 14.24. Установити відповідність між рівняннями (1—4) та їх коренями (А-Д). 1 5х = 7 2 х5 = 7 З 7х = 5 4 х7 = 5 А 57 Г 1о§75 Д ІО£57 14.25. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та кількістю їх коренів (А-Д). / . \ |Х-1| 1 І = 2|-х <2> (і \3 2 2к-"= - <2> х і \ -х+3 З 2-х+І= - <2> 4 2|х'" = ґ-1 \2> А Жодного Б Один В Два Г Три Д Безліч 14.26. Установити відповідність між парами рівнянь (1-4) та сумою їх коренів (А-Д). х 1ч 2х+1 1 6’2х =36 І - х 8 ( 8 \х+4 ( З 3х =243 і — = - Ч25> <2> А -2 Б 2 В -1 Г 5 Д 0 151
14.27. Установити відповідність між рівняннями (1—4) та значеннями (А-Д) виразу 2х” 1, де хо — ко- рінь рівняння. 1 2х-2х"2 =24 А 2 2 2Х+І-7-2х~2 =16 Б 4 3 2х+4-(£) =120 X X 1 — т В 8 Г 16 Д 32 4 Л 1 \1 2х+2 - - =56 <2> 14.28. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та сумами їх коренів (А-Д). <1УХ <іГх 1 - -8- - +16 = 0 <47 <27 2 4х-36-2Х+128 = 0 З 16х-20-4х+64 = 0 Лі Vх Ґ1)”х 4 - -ЗО- - +81 = 0 <9> <37 А З Б 4 В 5 Г 2 Д 7 Розв’яжіть завдання 14.29-14.43. Відповідь запишіть десятковим дробом. (./їУ* 14.29. Розв’язати рівняння 0,125 • 82х 5 = І-1 14.30. Розв’язати рівняння 02х • -у 4х • 0,125х = ^4 . У відповідь записати суму коренів рівняння. 14.31. Розв’язати рівняння 52 • 54 • 56 •... • 52х = 0,04~28. 14.32. Розв’язати рівняння 2'^х+2-2^+1 = 12 + 2'^“'. 14.33. Розв’язати рівняння 7 • 3х - 5Х+1 = Зх+3 - 5Х+2. 14.34. Розв’язати рівняння З2'^ _ і о • 3'^ + 9 = 0. У відповідь записати суму коренів рівняння. 2 1 14.35. Указати найбільше ціле значення параметра а, за якого рівняння 2 х + (а +1) • 2х + — = 0 має два 4 різних корені. 14.36. 4 1 Розв’язати рівняння ——= 2 • У відповідь записати суму коренів рівняння. 14.37. Розв’язати рівняння 8 • 8Г + 9 • 64х = 17 • 72х . У відповідь записати суму коренів рівняння. 14.38. Розв’язати рівняння 2СО52х = 3-2СО5 х -4. У відповідь записати —, де х0— найменший додат- п ний корінь рівняння. 14.39. Розв’язати рівняння 50 • 7^”^ - 7^^+1 -7 = 0. 152
36 ( б А 14.40. Розв’язати рівняння 32х + - (^Зх + — = 8 . У відповідь записати найбільший корінь рівняння. 14.41. Розв’язати рівняння 81- 14.42. Розв’язати рівняння |х - = 1. У відповідь записати найбільший корінь рівняння. 14.43. Розв’язати рівняння 25х - (2а +1) • 5х + а2 + а = 0. У відповідь записати найменше ціле значен- ня а, за якого рівняння має два корені. 153
Тема 15. Показникові нерівності Нерівність, яка містить змінну в показнику степеня, називають показниковою. Наприклад, 2 ґ 1 2* 2Х+3 < 7 ; 5х < тощо. Розв’язування показникових нерівностей, як правило, ґрунтується на влас- тивостях показникової функції, а саме: 1) функція у = ах зростає, якщо а > 1; 2) функція у = ах спадає, якщо 0 < а < 1; 3) функція у = ах набуває лише додатних значень. Показникові нерівності можна класифікувати за способами їх розв’язання: 1. Найпростіші та ті, які зводяться до найпростіших: а) зведення до однієї основи; б) винесення спільного множника за дужки; в) ділення обох частин на степінь. 2. Нерівності, які зводяться до алгебраїчних: а) зведення до квадратної нерівності шляхом заміни; б) однорідні. 3. Нестандартні показникові нерівності. Показникові нерівності виду а™ о Ь™ (а Ф Ь) зводяться до найпростіших шляхом ділення обох частин на Ь™ або а™ (Ь™ *0, а™ Ф 0) Наприклад, розв’язати нерівність 53х‘2 < 73х"2. Поділимо обидві частини нерівності на 73х'2 > 0. <5^3x4 Ґ5УХ~2 Ґ5Л° 5 Одержимо: ^у^ < 1. Приведемо нерівність до однієї основи: . Оскільки у < 1, то <2 одержимо: Зх - 2 > 0; хє . . (2 А Відповідь. ^у; + °°/ Нерівності виду Наприклад: а) розв’язати нерівність (0,5)* Маємо: ^-0 . Оскільки основа 0 < ± < 1, то отримаємо: х < 5; хє (-оо; 5]. Відповідь, (-оо; 5]. б) розв’язати нерівність 16х > 0,125. Маємо: 24х > 2-3. Оскільки основа 2 > 1, то отримаємо: 4х > -3; х > -0,75; хє (-0,75; +оо). Відповідь. (-0,75; +оо). Нерівності виду > Ь Необхідно розглянути випадки: 1) Ь < 0, тоді > Ь; хє £>(/); 2)/>>0,тоді а/(х)>&; /(х)>І0£а6, якщоа>1,і /(х)<І0£а/>, якщо0<а<1. Наприклад: а) розв’язати нерівність >-2. Оскільки >0, якщо хє/?, то >-2;хє/?. Відповідь, хє /?; 154
б) розв’язати нерівність 2х > 7. Одержимо нерівність 2х > 2ІО8і 1. Оскільки основа 2 > 1, то отрима- ємо: х > ІО&7; хє (1о§27; +оо). Відповідь. (1о§27; +<»). Нерівності виду При розв’язуванні нерівностей такого виду застосовують логарифмування обох частин за осно- вами а чи Ь. Врахувавши властивості функцій, одержимо: >Ь8(^ <=>Дх) > #(х)1°§о/>, якщо а> 1, д/(х) > < #(х)1О£о/>, якщо 0 < а < 1. Наприклад, розв’язати нерівність 113-х>32х-1. Прологарифмуємо обидві частини нерівності за основою 3 й одержимо: Іо&І 13-х > Іо&З2*" *; (3 -х)1о§311 > 2х- 1; (2 + ІО£31 1)х < 1 + ЗІо&П. Оскільки хє 1 + З1ое31Г 2 + 1о8зП, . Відповідь. І + ЗІоВдП 2 + І083П Розв’язування показникових нерівностей методом заміни змінної Нехай потрібно розв’язати нерівність 5х-5 5х+15 Уведемо заміну 5х = і. Тоді одержимо: _1_______2—<0- , + 15~2('~5)<о. -‘ + 25 <р- ________<2125____>0 1-5 ґ + 15’/-5 ґ + 15 (/-5)(ґ + 15) ’ (/-5)(/ + 15) (і-5)(г +15) /є (—15; 5)о[25;+оо). Повернемося до заміни: -15 < 5х <5; 5х > 25; 5х <5 , х<1; хє(-^о; 1)о[2; +оо). 5х >52; |_х>2; Відповідь, (-оо; 1)о[2; +оо). Зведення показникових нерівностей до найпростіших шляхом винесення спільного множни- ка за дужки Показникові нерівності виду • аІа+ь° + А, аІа+ь' + ... + Ап -ам' о В зводяться до найпростіших шляхом винесення за дужки спільного множника акх+ь‘, де />, — найменше з чисел Ьо, Ь\, Наприклад, розв’язати нерівність 3 • 4х + 2 • 4х +1 + 3 • 4х+ 2 < 236. Перетворимо нерівність і вине- семо спільний множник 4х за дужки: 3 • 4х + 8 • 4х + 48 • 4х < 236; 4Х(3 + 8 + 48) < 236; 4х • 59 < 236; 4х<4;х< 1. Відповідь, (-оо; 1]. Зведення показникових нерівностей до квадратних шляхом уведення нової змінної Показникові нерівності виду Аа2х + Вах + С о 0 зводяться до квадратних шляхом уведення за- міни 0х -1, і > 0. Наприклад, розв’язати нерівність 4"х+0,5-7 • 2“х-4<0. Нехай 2“х = /, г>0. Тоді 4-х = 2~2х = = (2~х) - Одержимо: 2? - 1і-4 < 0; 2^/ + -0(/-4)<О; —і- < і < 4. Врахувавши, що І > 0, маємо: 0 < і < 4. Тоді початкова нерівність рівносильна нерівності: 2"х < 4; 2~х < 22; -х < 2; х > -2. 155
Отже, хє (-2; +оо). Відповідь. (-2; +оо). Розв’язування нерівностей, які містять однорідні функції відносно показникових функцій Нерівності виду + А^^Ь* + + ... + Ап_хахЬ^х + А^™ о 0 є однорідними відно- сно функцій с? і Ьх. Поділимо обидві частини нерівності на й одержимо таку нерівність: X \лх х х(и-1)х X у X у 4 — + Л, — І +... + Лп_, — + Ап о 0, яку після заміни — = і, і > 0, можна звести до раціо- \Ь) \Ь/ \Ь; \Ь/ нальної нерівності А^і” + Л/"-1 + ••+ Лл_,/ + Ап о 0. Наприклад, розв’язати нерівність 2 • 9х - 5 • 6х + 3 • 4х > 0. Запишемо задану нерівність у вигляді 2 • 3іх - 5 • 2х • 3х + 3 • 221 > 0. Поділимо обидві частини на З2* > 0 й отримаємо: 2-5-ґ—+зї-1 >0. Нехай {з) Ш <з хє(-оо; 0]о[1; +оо). Відповідь. (-<»; 0]о[1; +а>). Степенево-показникові нерівності 1. Нерівності виду (/(х))*^ > 1 • -| £1; з) 2Ї<2 з) ' З тоді одержимо: 3? - 5ґ + 2 > 0; = 1, 2. З’ 0</(х)<1; Наприклад, розв’язати нерівність (4х2 + 2х +1)* > 1. (4х2+2х + 1) > 1 <=> (4х2 +2х + 1) х >(4х2 +2х + 1)° <=> 0< 4х2 + 2х + 1 < 1; х2 - х < 0; 4х2 + 2х + 1>1; х2 - х > 0; 4х2 + 2х + 1>0; - 4х2+2х + 1<1; х2 - х < 0; 4х2 + 2х>0; х2 - х > 0; —©о < х < +°о; < х(х + 0,5) < 0; х(х-1)<0; <=> х(х + 0,5)>0; х(х-1)>0; -0,5 < х < 0; 0 < х < 1; х>0; х < -0,5; ' х>1; х<0; х< -0,5; х>1; х<-0,5. Отже, хє (-оо; -0,5)и(1; +оо). Відповідь, (-оо; -0,5)о(1; +оо). 2. Нерівності виду (/(х))г^ < 1 • 0</(х)<1; £(х)>0; &(х)<0. 156
Наприклад, розв’язати нерівність (3 - х) з-* < 1. / \ Зх~5 / \0 (з - х) 3-х <1 <=> (з - х) 3-х < (з - х) <=> 0<3-х<1; Зх - 5 > 0; 3-х 3-х>1; —- < 0; . 3-х -З < -х < -2; | х-—](х-3)<0; 3>К ' х<2; | х-—1(х-3)>0; ІА з" 1 2 < х < 3; — <х<3; ІЗ х< 2; <=> Гх> 3; 2<х<3; Отже, хє °°; о(2; 3). Відповідь. и(2; 3). 3. Нерівність виду (/(х))Ф^ > (5’(х))4’1^ Нерівності такого виду найпростіше розв’язують логарифмуванням обох частин зі збереженням знака початкової нерівності, якщо основа логарифма а > 1, і зі зміною знака на протилежний, якщо основа логарифма 0 < а < 1. Наприклад, розв’язати нерівність — х1о?2Х <2ІОб2Х. Знайдемо ОДЗ: х> 0. Прологарифмуємо обидві частини нерівності за основою а = 2>1 на її ОДЗ: І0£2^х'°Є2<ІО£2(2'°82'); 1о§2+ 1о§2х'°821 < < 1о§, х • ІО£2 2; -2 + 1о§2 х • 1о§2 х < 1о§2 х; 1о§2 х - 1о§, х - 2 < 0. Уведемо позначення: і = 1о§, х, тоді одержимо нерівність: ?-ґ-2<0; /і=-1, /г = 2; -1<ґ<2. Повертаємося до заміни: 1о£2х>-1; ІО£2 х < 2; Приклад 1. Розв’язати нерівність 0,52х+7 <4. А Б В Г Д 5] [-2,5; +оо) Н,5; +о°) (-~ ;-2,5] [2,5; +оо) т2х+7 гіг2 0,52х+7<4. - < - ; 2х + 7 >-2; 2х >-9; х>-4,5. хє[-4,5;+«> Відповідь. В. 157
Приклад 2. Розв’язати нерівність 58х+| + 58х 1 < 130 . А Б В Г Д (—;-0,25) (-~; 0,25) (-0,25; +оо) (0,25; +оо) (-~;4) 58х 58х+і+58хЧ <130 . 5-58х +— <130 5 8х < 2; х < 0,25. хє (-о°;0,25). Відповідь: Б. х+1 Приклад 3. Розв’язати нерівність 4х- х5; 25 • 58х + 58х < 650; 26-58х<650; 58х < 25 ; 58х<52; і 17-2х+4>0. А Б В Г Д ґо;-! V 2> ґ--;о] V 2 ' 'Неч Нсч 1 кИ— о С о <2 > 1 4х =(2 х+1 1 ^1 1 11 1 4 х -17-2х+4>0; 4 х-17-2х+4>0; 4-4х -17-2х +4>0. Зробимо заміну: 2х = а. Тоді 1 ( іу і 2)Х=І 2х 1 =а2. 4а2-17а + 4>0; а, =4, а2=-. а <— або а > 4. Повернемось до заміни: 4 - 1 - 1 1. 2х <-; 2х < 2'2; -<-2; 4 х '-^<0 X - _2 1 . 1-2х л V 2/ 2. 2х > 4; 2х > 22; - > 2 ;-> 0;-< 0. XX X Отже, хє о) ° (о; Відповідь. Г. 158
Приклад 4. Розв’язати нерівність 3х"3 > 5х2"7х+12. У відповідь записати найменший цілий розв’язок нерівності. Прологарифмуємо обидві частини нерівності за основою 5. Оскільки 5 > 1, то знак нерівності зберігається. Тоді: (х- 3)1о§53 >х2 - 7х + 12; (х- 3)1о§53 > (х-3)(х-4); (х - 3)(х-4 - 1о§53) < 0. 4+ІО&3 х Отже, хє (3; 4 + 1о§53). Найменший цілий розв’язок — 4. Відповідь. 4. Приклад 5. Розв’язати нерівність ^4 + \/15^ + ^4-^15^ <8. У відповідь записати найбільший цілий розв’язок нерівності. Очевидно, що 74 + 715-74-715=1, звідки 74-7Ї5 = -. Виконавши заміну: 74 + 715 (74 + 715) = І, і > 0, одержимо: і +1 < 8; ґ2-8? + 1<0. ґ|2 = 4±7ї"5 4-У15 <ґ<4 + >/15. Задана нерівність рівносильна нерівності 4 - <4 + ТЇ5; (4 + 715)<(4 + ТЇ5)2 <(4 + 715)'; -1 < — < 1; -2 < х < 2. Найбільший цілий розв’язок — х = 1. Відповідь. 1. Приклад 6. Розв’язати нерівність 31+'^‘ + З2 > 28. У відповідь записати найменший цілий розв’язок нерівності. І 31+^ + З2-^ > 28; 3 • З^1 + > 28. Нехай 3^*=ґ, />0. Тоді задану нерівність можна записатитак: Зґ + —-28>0; Зґ2-28/ + 9>0; 3[/-Г|(/-9)>0; , і V 3^ ’ х />9. Повернемося до заміни: 1)3'/^‘<-|; 3^ <3~'; 7х + 1 < -1 2) 3^ > 9; >/х + 1 > 2 ; х > 3. Найменший цілий розв’язок — х = 3. Відповідь. 3. нерівність розв’язків не має; 159
Приклад?. Розв’язати нерівність (х2 + х + 1)х+2 >(х2 + х + 1) . У відповідь записати суму цілих розв’язків нерівності. Оскільки х2 + х + 1 > 0 для всіх значень х, то вихідна нерівність рівносильна сукупності двох систем нерівностей: х2 + х +1 > 1; х + 5 > ->. .х + 2 х2 + х +1 < 1; Х + 5 <7. .х + 2 х2 + х > 0; ’ х + 5 - Зх - 6 > д. 0) х + 2 х2 + х < 0; ' х + 5-Зх-6 < д (2) х+2 Розв’яжемо систему (1): < Розв’яжемо систему (2): < х -2; х(х +1) < 0; 21 х + — І (х х Ф -2; 1. 2’ хє(-2;-1]. 1. 2’ хє ;0 . І 2 ] Об’єднавши розв’язки систем (1) і (2), одержимо: хє(-2; -1]о Цілими розв’язками є -1 і 0, а їх сума дорівнює -1 + 0 = -1. Відповідь. -1. Приклад 8. За яких значень а нерівність 4х - (а - 4)2Х + 4> 0 виконується для будь-яких дійсних значень х? У відповідь записати найбільше ціле значення а. Нехай 2х = І, І > 0. Одержимо квадратну нерівність ? - (а - 4)/ + 4 > 0. Сформулюємо завдання так: за яких значень параметра а графік квадратичної функціїД/) = ? - (а - 4)/ + 4 на проміжку (0; +<») розміщений над віссю /? Це можливо у двох випадках: 1) графік функції у -/{І) міститься над віссю І для будь-якого І, а, отже, і на інтервалі (0; і), якщо дискримінант квадратного тричлена У(/) від’ємний: (а - 4)2 - 16 < 0; а2 - 8а + 16 - 16 < 0; а(а - 8) < 0; ає(0; 8); 2) якщо £> > 0, то тричлен УЦ) не повинен мати додатних коренів. А це можливо за умови 7(°) го; г4>0; - 67 ~ ^ < 0; звідки <а<4; ае0]. Об’єднавши розв’язки 1) і 2), одержимо п>(} [ає(-оо;0]о[8; + сю); ає (-оо; 8). Найбільше ціле значення дорівнює а - 7. Відповідь. 7. Завдання 15.1-15.21 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 15.1. Розв’язати нерівність 5х > 5. А Б В г Д (—; і) (-оо; 0) (0; +°°) (1;+°о) (5; +оо) 160
15.2. Розв’язати нерівність А Б в г Д (і; +о°) < 3' (—; 0) (—; і) 15.3. Знайти множину розв’язків нерівності 0,7х < 1. А Б В Г д 0 (-оо; +оо) (-оо; 0) (0; +°°) (1;+°°) 15.4. Розв’язати нерівність 2х < —. А Б В г д (—;-з) ґ-00-11 V ’32 Г С І —оо" V 3> (-3; +оо) Ґ1; + оо1 <3 > 15.5. Розв’язати нерівність 9х+5 > 27х. А Б в г Д (-~; 5) (10; +сю) (-~; 10) (0; 10) Будь-яке дійсне число 15.6. Яка з наведених нерівностей має розв’язки? А Б В Г д 7Х<-1 7^ <0,7 7? <1 (і у2 - <2 <7> ну2 >2 <71 >2 15.7. 1 Розв’язати нерівність 7х - 7х > 0. А Б в Г д (-о;-1)0(0; 1) (-1; і) (1;+°°) (-°о; -1)о(1; (-1; 0)о(1;+оо) 15.8. Знайти множину розв’язків нерівності 4х > 3. А Б В Г д Я (—>; 10&13) (-оо; 1о§34) (1о§43; +оо) (1о§34; +оо) 15.9. Розв’язати нерівність 1 < < 27 . А Б в г д Го;1~І 1 з^ [0; 3] ГМ Із [-3;0] Г-—;0І 1 з 1 15.10. Розв’язати нерівність 3х > 5х. А Б в Г д (-оо; 0) (0; +©о) (-»;-!) (і; +°°) 0 11 * Капіносов А. Математика. Комплексна підготовка до ЗНО 161
г і ч х2-х-20 15.11. Розв’язати нерівність >1. А Б в г Д С і. п 1 4’5> (-5; 4) (4; 5) —1 Г«Л 1 Н; 5) 15.12. Розв’язати нерівність 2х+ + 2х < 24. А Б В г д (-3; +°°) (-~;-3) (3; +°°) (0; 3) (-°°; 3) 15.13. Знайти множину розв’язків нерівності 4х - 6 • 2х + 8 < 0. А Б в г д (-6; 8) (2; 4) (і;2) (-оо; 2)о(4; +~) (-оо; 1)и(2; +оо) 15.14. Розв’язати нерівність х2 • 3х - Зх+| < 0. А Б в Г Д (—;-1)о(-1;1) (-1; і) [-л/3;л/з] (-3; 3) (-оо; - 7з) о (>/3; + 15.15. Розв’язати нерівність 3х + З2 х > 10. А Б В г д (-оо; 0)о(2; +-) (-оо; 1)о(9; +оо) (0; 2) (-«>; 3)0(10; +оо) (і;9) 15.16. Указати найменший розв’язок нерівності А Б в Г д 0 -4 4 -2 Не існує 15.17. Розв’язати нерівність з'х'+2 > 27. А Б в г д (-о;-5)о(5;+оо) (-5; 5) (-оо ;-1М1;+оо) 0 15.18. Ґ1 о 1 Розв’язати нерівність — < —. <2/ 8 А Б в г д п (-оо; —4)и(4; +°°) (-4; 4) (4; +оо) (-оо; -2)0(2; +оо) 15.19. Розв’язати нерівність (2х -2^х2 -5х + 6 >0. А Б В г Д [1; 2)о(3; +-) [0; 2]о[3; +оо) [3; +°°) [і; +о°) [1;2]о[3;+оо) 15.20. Розв’язати нерівність 2х2 > зіп х. А Б В Г Д п 0 (-оо; 0)о(0; +оо) 0 (-о; 1)0(1;+оо) 162
15.21. За якого значення параметра а нерівність а2 - 2 • 4Х+І - а • 2Х+І > 0 не має розв’язків? А Б в г д а> 1 а Ф 0 а < 0 а > 0 а = 0 Завдання 15.22-15.25 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 15.22. Установити відповідність між нерівностями (1-4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 7Х>1 2 7Х>-1 А (1; +оо) Б (-»;0) В (0; +°°) Г (-оо;+оо) Д 0 15.23. Установити відповідність між нерівностями (1—4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 (І§5)х+2 >(1§5)~' А (6;+=о) 2 (І8І2Г2>(1812)-’ В('__;) 3 (зіпЗ)' 3 > (зіпЗ)4 Г (-оо; 3) 4 (іпЗ)х3 >(іпЗ)3 Д(-3;+~) 15.24. Установити відповідність між нерівностями (1—4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 1<ґ-1 <16 <2> А -—;0 1 4 2 1 < 2х < 16 Б Н;0] 3 1 < 16х < 2 / 1 \ X В 0; — 1 4^ 4 1< — <2 46/ г 1;4І Д [0; 4] 15.25. Установити відповідність між нерівностями (1-4) та множинами їх розв’язків (А-Д). А (1; +о°) Б (-1; 1) В (-оо; -1)0(1; +оо) Г (—оо;+оо) Д 0 163
Розв’яжіть завдання 15.26-15.41. Відповідь запишіть десятковим дробом. 15.26. Розв’язати нерівність 27-3 . У відповідь записати суму всіх цілих розв’язків не- рівності. 15.27. Розв’язати нерівність 2х+Зх-8• 2х >0 . У відповідь записати суму всіх цілих чисел, які не є розв’язками нерівності. 15.28. Розв’язати нерівність 5-2^ -3•2^х-1 >56. У відповідь записати найменший цілий розв’язок нерівності. 15.29. Розв’язати нерівність 2х 4-2"х+1-3 < 0 . У відповідь записати координату середини проміжку, який є розв’язком нерівності. 15.30. Розв’язати нерівність 2^ -21"^х <1. У відповідь записати координату середини проміжку, який є розв’язком нерівності. 15.31. Розв’язати нерівність (2х -8)(х2 -4x4- 3) > 0 . У відповідь записати добуток усіх натуральних чисел, які не є розв’язками нерівності. 15.32. Розв’язати нерівність —;----->------- Н 2Х+1-І 2х 4-3 який є розв’язком нерівності. У відповідь записати координату середини проміжку. 15.33. Розв’язати нерівність 2-4х - 5-6х 4-3-9х <0. У відповідь записати координату середини про- міжку, який є розв’язком нерівності. 15.34. Знайти найбільший цілий розв’язок нерівності 7х-5 > 3х +х~30. 15.35. Розв’язати нерівність [у/ї -1)Х+1 <(>/2 + 1) . У відповідь записати найбільший розв’язок не- рівності. 15.36. Розв’язати нерівність 3х +2 -5х -1 >5Х +1 4-3х -І. У відповідь записати суму всіх розв’язків не- рівності. 15.37. Розв’язати нерівність х/9х + 24 - 2 > Зх+1. У відповідь записати найбільший цілий розв’язок нерівності. л \ 2л-0,5х2 15.38. Розв’язати нерівність > 2'2х~'°І+х. у відповідь записати суму всіх цілих чисел, які не є розв’язками нерівності. 15.39. Розв’язати нерівність 7х'5 > 3х ’х“30. У відповідь записати найменший цілий розв’язок нерівності. 15.40. Розв’язати нерівність (л/5-2) +(л/5+2) <2л/5. У відповідь записати суму всіх розв’язків нерівності. 15.41. Розв’язати нерівність (х + 3) 2х 7х5<1. У відповідь записати суму всіх цілих недодатних розв’язків нерівності. 164
Тема 16. Логарифмічні рівняння Рівняння, яке містить змінну під знаком логарифма або в основі логарифма, називають логариф- мічним. Найпростіші логарифмічні рівняння 1. Іо&д = Ь <=> х = аь, а > 0, а 1. Наприклад, 1о§2х = 4; х = 24; х = 16. Відповідь. 16. . (іу2 2. 1о§Дх) = Ь <=>Дх) ~ > а > 0, а * 1. Наприклад, 1о£0,2(х + 4) = -2; х + 4- (0,2) , х + 4 = - ; х +4 = 52; х = 25-4;х = 21. Відповідь. 21. 3. ІоеДх) = §(х) « Дх) = ^(х), а > 0, а * 1. Наприклад, 1о82(4х - 2) = х; 4х - 2 = 2х; (2х)2 - 2х - 2 = 0. Нехай 2х = і, тоді маємо: ? - і - 2 - 0; Відповідь. 1. 2х =2; і= 2; 2х = 2; х = 1; / = -1; 2Х=-1; _хє0; 4. Рівняння Іо&Дх) = 1о§^(х) рівносильне системі Наприклад, 1о§2(х2 - х - 2) = 1о§2(х + 1); 4 Відповідь. 3. або системі < х +1 > 0; х +1 > 0; х +1 > 0; х2 -х-2 = х+1; (х2-2х-3 = 0; 5. Рівняння Іо&р^Дх) - І0£<р(Х)£(х) рівносильне системі < /(х) = £(х); /7)>0; 7(х) = £(х); Наприклад, 1о§2х(*2 - Зх) = І0£?х(6х - 8); * ф(х) >0; ф(х) + 1; або системі &(х)>0; ф(х) > 0; ф(х)*1. х2 - Зх = 6х - 8; 6х-8>0; 2х>0; 2х*1; х2 - 9х + 8 = 0; х> 0; х = 1, х = 8; 4 х = 8. х>—: [/(х)>0; аФ 1. Відповідь. 8. Розв’язування логарифмічних рівнянь потенціюванням Перехід від рівняння, яке містить логарифми, до рівняння, яке їх не містить, називають потенці- юванням. Наприклад, розв’язати рівняння 1§(х - 9) + 1§(2х - 1) = 2. Подамо число 2 у вигляді десяткового логарифма: 2 = 100. Тоді 1§(х - 9) + 1§(2х - 1) = 1§100. Суму логарифмів замінимо логарифмом добу- Гх-9>0; тку виразів: 1§((х-9)(2х- !)) = !§ 100. Врахувавши ОДЗ , замінимо рівняння рівносильною 2х-1>0 165
(х-9)(2х-1) = 100; 2х2-19х + 9 = 100; х = 13; системою й одержимо: < х-9>0; 2х-1>0; х>9; х>1; 1 2 х = -3,5; х= 13. х>9; Відповідь. 13. Розв’язування рівнянь із застосуванням основної логарифмічної тотожності а'°*вЬ -Ь Наприклад, розв’язати рівняння 91ОЄз(1"2х) = 5х2 -5. Перетворимо ліву частину початкового рівнян- ня, застосувавши основну логарифмічну тотожність: 9,ОЄз^”2х^ = (З2) = з210^1"*) = З1083(|-х) = (1 - 2х)" І71-2хї?=5х2-5- [1—4х + 4х — 5х —5, за умови, що 1 - 2х > 0. Звідки одержимо: 91ОЄз(1-2х) = 5х2 - 5 ; V ' ' < і 11 —2х > 0; х<-; 1 12 х2 + 4х - 6 = 0; 'х = -2 + >/Ї0; 1 х < —; 1 2 _х = -2 —а/10; х = -2 — у/Ї0. х<1; . 2 Відповідь. -2-л/Го. Використання формул , де а>0, а #7,/> 0,§> 0 Наприклад, розв’язати рівняння Зх108*2 + 21О8$Х = 64. ОДЗ: х > 0. На цій множині х‘°852 = 2ІО85Х, тому вихідне рівняння рівносильне рівнянню 3 • 2,О85Х + 2і085 х = 64; 4 • 2ІО85Х = 64; 2І085 х = 16; 2Іор5Х = 24; 1о§5Х = 4; х - 625. Відповідь. 625. Зведення до однієї основи Наприклад, розв’язати рівняння Іо^х + Іо^ х + 1о§8х3 =5. Зведемо всі логарифми до основи 2: їб ІО£2 х 1о§2 х 1о§2 х3 1 1 3, - о ... . 5. , —-—і------*-у—+—-— = 5; — 1о£2х — 1о§2 х + -1о§2 х = 5. Зведемо подібні доданки: —1о§, х = 5; 1о&4 1ое 2_ 1о§2 8 2 4 3 4 - 6216 1о§2* = 4; х = 24; х = 16. Відповідь. 16. Розв ’язування рівнянь логарифмуванням обох частин рівняння Розв’язати рівняння х'8А =100х. Прологарифмуємо обидві частини рівняння за основою 10: 1§х'8Х =1§100х; 1§х-1§х = 1§100 + 1§х; 1§2х = 2 + І£х; 1§2х - 1§х - 2 = 0. Нехай 1§х = /. Тоді одержимо: ?-/-2 = 0; / = 2; і = -\. Повернемося до заміни: і£х = 2; 1§х = -1; =100; х2 =0,1. Відповідь. 0,1; 100. Розв’язування логарифмічних рівнянь методом заміни змінної При розв’язуванні рівнянь цим методом необхідно звернути увагу на таке: 1о§а (х2) = (1о8о X2 )2 = (21°8а кі)2 = 22 (1о§о |х|)2 = 41о§2 |х|; ІО£2 х3 = (1о£а х3)2 = (31О£а х)2 = З2Іо§2 х = 91о§2 х. 166
Узагалі, для непарних т маємо: Іо§” хт = т" 1о§" х. Для парних т маємо: 1о§" хт = тп 1о§^ |х|. Наприклад: 1)розв’язати рівняння ЗІО£3х-41о§3х-4 = 0. Нехай 1о§іх = /, тоді маємо рівняння: Зг2-4ґ- -4 = 0; <і=2; Л 2 2 — 1 2 Повертаємося до заміни: а) к>£зх = 2; х = 9; б) 1о§3 х = —; х = 3’; х = ~п= — • З ^9 З Відповідь. 9; -^=; 2) розв’язати рівняння 1§2х4 -І£х14 = 2. Перетворимо дане рівняння: 1§2х4 - 1§х14 = 2; 421§2|х| - - 14і£|х| -2 = 0; 8і£2|х| - 71§|х| -1=0. Нехай 1§|х| = і, тоді маємо: 8Г2 -11 - 1 = 0; до заміни: 18|х| = 1; Г|х| = 10’; ’х = ±Ю; [н=і<>4; Г=±Ж' Отже, дане рівняння має чотири корені: ±10; ±—. л/10 Відповідь. ±10; ±—т= . VI0 '. = і; 1 Повернемося <2 =---• . 8 Застосування монотонності при розв’язуванні логарифмічних рівнянь Розв’язати рівняння 1о§5(х + 3) - 3 -х. Встановимо монотонність функцій у лівій і правій части- нах: у - 1о§5(х + 3) — зростаюча функція (а-5> 1); у-3-х — спадна. Підбором знайдемо корінь: х = 2. Із властивостей монотонності х = 2 — єдиний корінь. Відповідь. 2. Приклад 1. Розв’язати рівняння 1§(5х - 3) = 1. А Б В Г Д 0,6 1,2 2,6 1 0 і£(5х-3) = 1; 1§(5х - 3) = 1§10 ; 5х - 3 = 10; х = 2,6. Відповідь. В. Приклад 2. Розв’язати рівняння 1о§2 (2х +1) = 1о§2 (9х + 17)- 1о§2 (х + 5). А Б В г д -3 2 2;-3 1 | сп -2 1о£2 (2х +1) = ІО£2 (9х + 17)- 1о§2 (х + 5); 1о§2 (2х +1) + 1о§2 (х + 5) = 1о§2 (9х +17). 167
1о§2 ((2х + 1)(х + 5)) = 1о§2 (9х +17); 2х + 1>0; 9x4-17 > 0; х + 5 > 0; 2х2+11х + 5 = 9х + 17; 2х2+2х-12 = 0; 1 х> —; 2 х2 + х - 6 = 0; х, = ~3; х, = 2; _ » 2 Отже, х = 2 — корінь рівняння. 1 х> —. 2 Відповідь. Б. Приклад 3. Розв’язати рівняння 1о§51о§41о§3 х = 0. А Б В г д 0 12 0 1 81 1о§51о§4 ІО£3 X = 0. 1о§51о§4 1о§3 х = 1о§51; 1о§41о§3 х = 1. 1о§41о§3 х = 1о§4 4; 1о§3 х = 4; х = З4; х = 81. Відповідь. Д. Приклад 4. Розв’язати рівняння 1о§2 х - 1о§2 х5 = 41о§2 64 . А Б В г д -3; 8 8 -3 -; 256 8 256 1о§2 х - 1о§2 х5 = 4 ІО£2 64 ; 1о§2 х - 51о§2 х = 24. Заміна: 1о§2 х - а. Матимемо: а1 - 5а - 24 = 0 ; =8, а2 = -3 . 1о§2 х = 8; Відповідь. Г. х = 28; х = 256 або 1о§2 х = -3; х = 2 3; х = — . Приклад 5. Розв’язати рівняння 1о§8(х -7)4- 1о§3(7 - х) = 11. А Б В Г д 0 7 ±7 ±2-\/Г5 0 1о§8(х-7)4-1о§3(7-х) = 11 . Визначимо ОДЗ рівняння: < коренів не має. Відповідь. А. •а* X є 0 . Рівняння х<7; Приклад 6. Розв’язати рівняння 1о§/7 + 2ІО&7 - 3. А Б В Г д Немає коренів 1; 7 ^56 інша відповідь 7 1о&7 + 2ІО&7 = 3; 31о&7 = 3; 1о§г7 = 1; х = 7. Відповідь. Д. 168
Приклад 7. Розв’язати рівняння х -1 + 1о§4 3 = 1о§4 (5х - 4х 1). А Б В г Д 1 4 0 0 3 За означенням логарифма одержимо: 4^"1+1°Є43) = 5х -4х"1. Ліву частину перетворимо так: 4(х-і+іоЄ4 з) _ . ^іовдЗ _ . у Одержимо рівняння: 3 • 4х"1 = 5х - 4х"1; 4 • 4х"1 = 5х; 4х = 5х; = 1; х = 0. Відповідь. В. Приклад 8. Розв’язати рівняння 1о§х (2х2 - Зх - 4) = 2. А Б в Г Д -1 4 -1; 4 -4; 1 1 Замінимо задане рівняння рівносильною системою: х2=2х2-Зх-4; |х2-Зх-4 = 0; < х > 0; < х > 0; х* 1; хтИ; х = 4; х = -1; < х>0; х = 4. хтИ; Відповідь. Б. Приклад 9. Розв’язати нів рівняння. Задане рівняння рівносильне системі рівняння _1 (х3 + б) = 1о§х2 _1 (4 х2 -х). У відповідь записати суму коре- х3 + 6>0; х2-1>0; 3 2 , Рівняння системи х - 4х + х + 6 = 0 за х2-1*1; х3 + 6 = 4х2 - х. наслідком з теореми Везу має три корені: хі =-1, х2 = 2, х3 = 3. Число хі =-1 не задовольняє умову х2 - 1 > 0. Числа х2 = 2, х3 = З є розв’язками цієї системи, а отже, й вихідного рівняння. Сума коренів дорівнює 2 + 3 = 5. Відповідь. 5. Приклад 10. Розв’язати рівняння х1о§3 х -(2х + 3) 1о§3 х + 6 = 0. У відповідь записати добуток ко- ренів рівняння. Нехай 1о§зХ = Л Перетворимо одержане квадратне рівняння відносно і: х?-(2х +3)^+6 = 0; х/2 - 2хі - Зі + 6 = 0; хі(і - 2) - 3(1 - 2) = 0; (7 - 2}(хі - 3) = 0. Тоді коренями рівняння є: 1 .і\ = 2; 1о§зх = 2; х = 9; 3 3 З 2. і2 = —; 1о§зх = —. Якщо х > 0, то функція у = 1о§зх зростаюча, функція у =-спадна. Тому, хх х З якщо існує корінь рівняння 1о§3 х = —, то він єдиний. Підбором знаходимо корінь X = 3. 169
Отже, вихідне рівняння має два корені: х = 3 і х - 9. Тоді їх добуток дорівнює 3-9-27. Відповідь. 27. Приклад 11. Розв’язати рівняння 1§2х + 1§(2 - х) = І£І£а. За яких значень параметра а рівняння має корені? 1§(2х(2-х)) = І£І§а; 1§2х +1§(2 - х) = І£І§а; 2х > 0; 2 - х > 0; 2х(2- х) = І£а; 0 < х < 2. Оскільки 2х(2 - х) > 0, то рів- няння матиме корені, лише якщо 1%а > 0; а> 1. Тоді одержимо: 2х2-4х + 1еа = 0; « Розв яжемо рів- 0<х<2. няння системи. Для цього знайдемо дискримінант: И - (—4)2 - 4 • 2 • - 16 - 81§а. Щоб вихідне рів- няння мало розв’язки, необхідно виконання умови 7) > 0, тобто 16 - 81§а > 0; < 2; а < 100. Якщо 1 < а < 100, то 4 ±^16(1-0,518 а) 0 < х < 2; х12 = 1±^/1-0,51§а; 0< х< 2. Так як 1 < а < 100, то 0<1§а<2; -1<“І£а<0; 0<1-^-1§а<1; 0<^1-^І£а<1; 1 < 1 + х 1 —< 2 і 0 < 1-Л1 1§а < 1. Отже, щохі і х2 задовольняють умову 0 <х < 2. V 2 V 2 Відповідь. Якщо 1 < а < 100, то х1>2 = ііл/1 -0,51§а ; якщо а > 100, то рівняння коренів не має; якщо а < 1, то рівняння не має змісту. Завдання 16.1-16.20 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 16.1. Розв’язати рівняння 1о§^ = с. А Б в г д 0 а • с са ас с а 16.2. Розв’язати рівняння 1о§ х х = -4. А Б В г Д 0 -16 1 16 —; 16 16 16 16.3. Розв’язати рівняння 1о§2 (-х) = 5 . А Б В Г Д 0 32 -32 1 32 __1_ 32 16.4. Розв’язати рівняння 1§(х2 - х) = 1 -1§5 . А Б В Г Д 0 -3; 2 -2; 1 -2; 3 -1; 2 170
16.5. Скільки коренів має рівняння 1§(х4 - 10х2) = 1§Зх3 ? А Б в г д Жодного ОДИН два три чотири 16.6. Розв’язати рівняння 1о§6(х-2) + 1о§6(х-1) = 1 і вказати проміжок, якому належить його корінь. А Б В Г Д (-2,1;-1,9) (3,9; 4,1) (2,9; 3,1) (1,9; з,і) (5,9; 6,1) 16.7. Розв’язати рівняння 1о£2(х + 1)-1о£2(х-1) = 1 і вказати проміжок, якому належить його корінь. А Б В Г Д (0,9; 1,1) (1,9; 2,1) (2,9; 3,1) (3,9; 4,1) (5,9; 6,1) 16.8. Розв’язати рівняння 1о§2 (х +1) + 1о§2 (х 4- 2) = 3 - 1о£2 4 і вказати проміжок, якому належить йо- го корінь. А Б в Г Д (-1,1;-0,9) (-0,1; 0,1) (0,9; 1,1) (1,9; 2,1) (3,9; 4,1) 16.9. Розв’язати рівняння 1о§2 х - 21о§2 х - 3 = 0 і вказати суму його коренів. А Б В Г д -8,5 7,5 -2 2 8,5 16.10. Указати рівняння, рівносильне рівнянню 1о£3 х + 1о§9 х + 1о§81 х = 7 . А Б В Г д і 49 1о§3х = — Іо&рс = 1 Іо&х = 4 , 7 ІО&Х = -у 1о§зх = 35 16.11. Указати рівняння, рівносильне рівнянню х1е* = 10. А Б В Г д 2і£г = 10 2і£х= 1 1§2х = 10 І£2х = 1 і£2х = 2 16.12. Указати рівняння, яке утворюється з рівняння х]&х = ІОООх2 у результаті логарифмування обох його частин. А Б В г д і£2х + 21§х + +1000 = 0 1§2х - 21§х - -1000 = 0 1§2х = 6І£Х і£2х + 21&г + 3 = 0 і£2х - 21§х -3 = 0 16.13. Указати рівняння, рівносильне рівнянню 21&х2 - І£2(-х) = 4. А Б В Г д 51§(-х) = 4 318(-х) = 4 1§2х - 41§х + 4 = 0 І82(-х) - -4І8(-х) + 4 = 0 І82(-х) - -41§(-х) -4 = 0 16.14. Розв’язати рівняння Іо&До&До&х = 0. А Б В г д сь аЬс ьс ас аЬс 171
16.15. Указати кількість коренів рівняння 1о§2х2-51о§2х4+24 = 0. А Б в г д Чотири три два один жодного 16.16. Розв’язати рівняння 1&г1о§2* = 1&2 і знайти суму його коренів. А Б В Г д 2,5 3,5 4,5 10,5 1 16.17. Розв’язати рівняння 5ІОЕзХ + х'°8'5 = 50 і вказати проміжок, якому належить його корінь. А Б В Г д (3,9; 4,1) (4,9; 5,1) (5,9; 6,1) (6,9; 7,1) (8,9; 9,1) 16.18. Указати рівняння, рівносильне рівнянню 1§ х(х + 9) +1§ Л + ^ = 0. А Б В г д І£Х = 0 1§(х + 9) = 0 18|х| = 0 18|х + 9| = 0 1§|-х-9| = 0 16.19. Розв’язати рівняння 52 =7. А Б В Г д 1о£51о§27 1о§21о§57 • ІО£7ІО£52 1о£71о§25 1о§2іо§75 16.20. За якого найбільшого значення параметра а рівняння (х - а) 1о§2 (Зх - 8) = 0 має один корінь? А Б В г д -3 -1 0 1 3 Завдання 16.21-16.26 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 16.21. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 1о§2 х = 1 2 21о§2х-1о§2(2-х) = 0 3 2-Зх=-6 4 3-22х = 2-32х А {1} Б 2} І2 1 в!-] 12) Г 0 д {-2; 1} 16.22. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та множинами їх коренів (А-Д). 1 1о§3(-х) = 4 2 1о§4Х = - 3 3 Іо§зХ = -4 4 1о§4(-х) = 3 А -— 64 Б — 64 В -64 Г — 81 Д -81 172
16.23. Установити відповідність між рівняннями (1—4) та їх коренями (А-Д). 1 Іо§21о§31о§4Х = 0 2 1о§41о§31о§2х = 0 3 ІО§3ІО§2ІО§4Х = 0 4 І082І0&4І083Х = 0 А 8 Б 9 В 16 Г 64 Д 81 16.24. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та добутками їх коренів (А-Д). 1 1о§2х + 41о£2х + 3 = 0 2 1о£2х + 21о£2х-3 = 0 3 1о§2 х-41о§2 х + 3 - 0 4 1о£2х-21о£2х-3 = 0 А 4 Б 16 В - 4 Г - 2 д — “ 16 16.25. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та кількістю їх коренів (А-Д). 1 1§5х - ЗІ£3х - 4і£х = 0 2 і£4х-51§2х + 4 = 0 3 1е4х + 51£2х + 4 = 0 4 1§4х + 31§2х -4 = 0 А жодного Б два В три Г чотири Д п’ять 16.26. Установити відповідність між рівняннями (1—4) та їх коренями (А-Д). 1 52’ =9 А 1о§51о§92 2 25' = 9 Б 1о§9ІО£г5 3 29' = 5 В ІО§2ІО§9$ Г іо§51о§29 4 92' = 5 Д ІО£2ІО§59 Розв’яжіть завдання 16.27-16.39. Відповідь запишіть десятковим дробом. 16.27. Розв’язати рівняння 1о§7(х-2)- 1о§7(х + 2) — 1 - 1о§7(2х-7). 16.28. Розв’язати рівняння 1о§2 ——| + 1о§2 (х2 - 25) = 0 . 16.29. Розв’язати рівняння 1§2 х4 -1§х14 = 2 . У відповідь записати найменший корінь рівняння. 16.30. Розв’язати рівняння 41§х2-1§2(-х) = 16. У відповідь записатиХо: 1000, дехо — корінь рівняння. 12 16.31. Розв’язати рівняння----1-----= 1. У відповідь записати модуль різниці коренів рівняння. 5-і£х 1 + 1§х 16.32. Розв’язати рівняння І§2(100х) + І§2(10х) = 14 + 1§—. У відповідь записати найбільший корінь рівняння. 173
16.33. Розв’язати рівняння 1о§5 х + 1о§х 25 = 3 . У відповідь записати добуток коренів рівняння. 16.34. Розв’язати рівняння 1о§2 х • 1о§4 х • 1о§8 х = 36. 16.35. Розв’язати рівняння х'*х = ІОООх2. У відповідь записати найменший корінь рівняння. 16.36. Розв’язати рівняння 61о8бХ + х'°8‘х = 12. У відповідь записати добуток коренів рівняння. 16.37. Розв’язати рівняння = 10. У відповідь записати добуток коренів рівняння. 16.38. Розв’язати рівняння 31о§х 4 + 21о§4х 4 + 31о§16х 4 = 0. У відповідь записати суму коренів рівняння. 16.39. Розв’язати рівняння |ІО£^ х - 4 - |1о§5 х - 4[ = 1. У відповідь записати добуток коренів рівняння. 174
Тема 17. Логарифмічні нерівності Нерівність, яка містить змінну під знаком логарифма або в його основі, називають логарифміч- ною, Наприклад, 1о§5Х <3, 1§х + 1§(х + 8) > 1§(4 - 5х) тощо. Розв’язування логарифмічних нерівностей ґрунтується на властивості монотонності логарифмічної функції: функція у = 1о§^х монотонно зростає, якщо а > 1, і монотонно спадає, якщо 0 < а < 1. При цьому слід урахувати, що підлогарифмічний вираз може набувати лише додатних значень. Нерівності, що розв’язуються з використанням властивостей логарифмів Розглянемо нерівність ІО&Дх) > І0§о£(Х). Одержимо: а>1; #(х) > 0; а>1; /(х) > £(х); 0<£(х)</(х); І0§Лх) > І08а§(х) <=> 0 < а < 1; 0 < а< 1; < /(х)>0; 0 < /(х) > £(х). /(х) < ^(х); Аналогічно розв’язується нерівність Іо&Дх) < Іо&^х). Наприклад, розв’язати нерівність Іо^ (х2-6х + 18)<21о§1 (х-4). Перепишемо задану нерів- 3 з ність у вигляді 1о§। (х2 - 6х +18) < ІО£! (х - 4)2 за умови, що х - 4 > 0. Оскільки 0 < — < 1, то дана нері- 3 3 З вність рівносильна системі: х2 — 6х +18 > (х — 4)2; х-4>0; х2 — 6х +18 > х2 — 8х +16; Ґ2х + 2>0; х >4; [х > 4; х > -1; х>4; жммг» 4 * хє (4; +оо). Відповідь. (4; +оо). Нерівності виду Іо&Дх) > Ь розв’язують так: Іо&Дх) >/><=> Іо&Дх) > /Яа <=> Іо&Дх) > 1ал <=> 0</(х)<<?; 0<а<1; //(*)> ' а>1. Аналогічно: Іо&Дх) </><=> Іо&Д*)< ЬХо&а о 1о§Дх) < 1о§^л <=> ’7(х)>а4; 0<а<1; /0</(х)<а6; 4 а>1. Наприклад: 1) розв’язати нерівність 1о§2(8-х)<1. Одержимо: 1о§2(8 -х)<1; 1о§2(8 -х) < 1о£22; 0 < 8 - х < 2. Тоді « хє (6; 8). Відповідь. (6; 8); 175
2) розв’язати нерівність 1о§, І0£5(х2-4)>0. Запишемо дану 2 Іо^ 1о§5 (х2 - 4) > Іо^ 1; 0 < 1о§5 (х2 - 4) < 1; 2 2 хє(-3; 3); л/5)и(л/5; + «*>). Тоді спільний розв’язок: нерівність у вигляді: 1о£5(х2 -4)<1о£,5; 1о£5(х2-4)>1о85 1; х2-4<5; І*2 <9; < < х2-4>1; [х2>5; хє (-3;->/5)и(>/5; з). Відповідь. (-3;-л/5)о(л/5; з). Логарифмічні нерівності, які розв ’язуються заміною змінної Розв’язати нерівність 1о£о5х + 1о£05х-2<0. Нехай 1о§0,5^-^ Перепишемо нерівність у вигляді: ? + і-2 < 0; і\ = -2,і2 = 1; /є [-2; 1]. Повернемося до заміни: Ьі; ІО§0,5 х>-2-, ГІ08о,5 х * 1°8о.5 °> 5~2; < < 10£о,5 х < 1; [ІО£0 5 X < 1о§0 5 0,5; х< 4; \>0,5; хє [0,5; 4]. Відповідь. [0,5; 4]. Показниково-логарифмічні нерівності Показниково-логарифмічними нерівностями називають нерівності виду (#(х))^ о а, деДх) мі- стить логарифмічну функцію, а знак <> — один зі знаків <, >, <, > Розв’язуючи такі нерівності, спочатку переконуємося, що обидві частини нерівності набувають тільки додатні значення, тобто що логарифми цих частин існують, і тоді логарифмуємо їх за деякою основою. Наприклад, розв’язати нерівність <100. ОДЗ: х > 0. Обидві частини нерівності при х > 0 набувають тільки додатні значення, тобто логарифми обох частин існують. Прологарифмуємо дану нерівність за основою 10. Оскільки 10 >1, то одержимо: 1§ \ 18 х-2 \ і] ^<18100; (і8х-2)іе^<2; (1§х-2)(і£х-і£ІО)<2; (1§х-2)(1§х-1)< 2. Нехай 1&х = /, тоді маємо: (/-2)(і~ 1) < 2; ґ2-Зг<0; 0< (< 3; 0 < І£х< 3; І£І < 1§х< І£І03; 1 <х< 1000;хє[1; 1000]. Відповідь. [1; 1000]. Нерівності, які містять змінну під знаком логарифма й в основі логарифма 1о8Ф(х)/(х)>^ <=> 1о8ф(х)/(х)>1о§ф(х)(ф(х))л/ <=> ф(х) > 1; /(х)>(ф(х))л/; 0 < ф(х) < 1; 0</(х)<(ф(х))М. 176
1о8Ф<х) /(*) > 1о8Ф<х) «(*) *=> 'ф(х)>1; 0<$(х)</(х); О < <р(х) < 1; О < /(х) < £(х). хт , ... Зх-1 Наприклад, розв язати нерівність 1о§г —- х +1 Зх-1 Перепишемо нерівність так: 1о§г — > 1о§х 1. х +1 Ця нерівність рівносильна сукупності двох систем: 0<х<1; < Зх-1<х2+1; Зх-1>0; х > 1; Зх-1 > х2 +1; 0 < х < 1; х2-Зх + 2>0; 1 І З х>1; х2 - Зх + 2 < 0; 1<х<2. —* з Відповідь. [— ;1]о(1;2). — | . Звідси випливає: 0 < х2 2> Логарифмічні нерівності з параметрами Розв’язати нерівність 1о§ ] (х2 - 2х + а) > -3. 2 Перепишемо дану нерівність у вигляді: Іо^, (х2 -2х + а)>І02, 2 2 - їх + а < 8; 0 < (х - І)2 + а - 1 < 8; 1 - а < (х - І)2 < 9 - а. (1) Зобразимо на координатній площині гра- фіки функційуі = (х - І)2; уг - 9 - а та у з = 1 - а. 12* Капіносов А. Математика. Комплексна підготовка до ЗНО 177
З нерівності (1) та рисунка слідує, що якщо 9 - а < 0, тобто а > 9, то нерівність розв’язків не має. Якщо < 1 < а < 9, то нерівність матиме розв’язки і ними будуть усі такі х, що хі < х < х2, де хі і х2 — абсциси точок перетину параболи у і = (х - І)2 з прямою уг = 9 - а, які обчислюють за фор- мулою х12 = 1 ± л/9- а. Якщо ж припустити, що а< 1, то розв’язками вихідної нерівності є всі такі х, що хі < х < х3, х4 < х < х2, де х3 і х4 — абсциси точок перетину параболи у і = (х - І)2 з прямою у2 = 1 - а, які обчислюють за формулою х3 4 — 1 ±у/ї-а. Відповідь. Якщо а < 1, то хє (хь х3)о(х4; х2); якщо 1 < а < 9, то хє (хь х2); якщо а > 9, то хє 0, де X] = 1 -УІ9-а , х2 = 1 + у]9-а ; х3 = 1 -л/1-я ; х4 = 1 + л/1-а . Приклад 1. Розв’язати нерівність 1о§3 (х2 - 5х - 5) > 2. 1о§3 (х2 - 5х - 5) > 2; 1о§3 (х2 - 5х - 5) > 1о§3 З2. Оскільки основа логарифмів 3 > 1, то дана нері- вність рівносильна такій: х2 - 5х - 5 > 9; х2 - 5х -14 > 0; Х| = -2, х2 = 7; х є (-®°; - 2) ЦІ (7; Ч- . Відповідь. (-оо;-2)и(7; + °о). „ х „ _ , . . , 2х-3 Приклад 2. Розв язати нерівність 1о§. —- 2 X +2х А Б В Г д (—; -2)о(2; 12) (2; 12) (-2; 0)о(2; 12) (^е; -2)о(0; 2)о о(12; +оо) 0 2х-3 . . 2х-3 1 1о§, ----<3; 1о§, —----<102,-. Оскільки функція 2 X + 2х 2 X + 2х 2 8 16х-24-х2-2х > х2-14x4-24 <0 . (х-2)(х-12) < 8(х2 + 2х) ’ х2 + 2х ’ х(х + 2) , 2х-3 1 у = 1о§ ] х спадна, то —--> —; % ’ + 2х 8 -2 0 2 12 х хє(-2; 0)0(2; 12). Відповідь. В. Приклад 3. Знайти цілі розв’язки нерівності /Іо^ (х2 Ч-4х-4) < 1. У відповідь записати їхню V з суму. Дана нерівність рівносильна подвійній нерівності: 0<1о§] (х2 +4х-4)<1. Перетворимо з останню нерівність: 1о£, 1 < 1о§1 (х2 + 4х - 4) < 1о§, —. Врахувавши, що її -і З з з з одержимо: < х2 + 4х - 4 < 1, звідки: < Зх2+ 12х-13>0; х2+4х-5<0; , 5>/з х + 2 Ч----- З . у = І02, х — спадна функція, з ( 5л/з> х + 2—— >0; І 3 ) 178
хе[-5;1]. -2-^3 2 ! 5л/з Отже, хе Цілими розв’язками є -5 і 1. їхня сума дорівнює -5 + 1 = -4. Відповідь. -4. Приклад 4. Розв’язати нерівність 1о£СО5, 1о§8 (х2 + 6х +1) > 0. 1О2СО5І1о§8(х2 + 6х + 1)>0; 1о§со811о§8(х2+ 6х + 1) > ІО£СО511. Оскільки основа логарифмів 0 < сові < 1, то дана нерівність рівносильна подвійній нерівності: 0 < 1о£8 (х2 + 6х +1) < 1; 1о§81 < 1о§8 (х2 + 6х +1) < 1о§8 8; 1<х2 + 6х + 1<8; х2 + 6х + 1>1; |х2 + 6х>0; х(х + 6)>0; Іхе(-«>;-6)о(0; + °о); х2+6х + 1<8; |х2+6х-7<0; |(х + 7)(х -1) < 0; |хє(-7;1). х є (-7;-6) 11(0; 1). Відповідь. (-7; - 6) ЦІ (0; 1). Приклад 5. Знайти суму цілих розв’язків нерівності 1о§2 х + (2х - 7) 1о§5 х + х2 - 7х + 6 < 0. Ліву частину нерівності розглянемо як квадратний тричлен відносно 1о§5Х. Нехай 1о§5Х = і. Знайдемо корені рівняння: ? + (2х - 7)ґ + х2 - 7х + 6 = 0; £> = (2х - 7)2 - 4 • 1 • (х2 - 7х + 6) = , , (7-2х)±5 — 4х - 28х + 49 - 4х + 28х — 24 — 25; 2 =-------; 1\ = -х + 1, Іг = —х + 6. Повернемося до заміни: (1о§5Х + х - 1)(ІО£5Х + х - 6) < 0. Функції = 1о§5Х + х - 1 та І2 - І0£$х + х - 6 при х > 0 є монотонно зро- стаючими і перетворюються у нуль, якщо Хі = 1 або х2 = 5 відповідно. Отже, знаки лівої частини нерівності такі: 1 5 х Тоді хе [1; 5]. Цілими розв’язками є числа 1,2, 3, 4, 5, а їхня сума дорівнює 1+2 + 3 + 4 + 5 = 15. Відповідь. 15. 179
Завдання 17.1-17.22 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 17.1. Знайти множину розв’язків нерівності 1о§3 (х - 4) < 1о§3 8 . А Б в г Д Н»; 12) (-а»; 12] [4; 12] (4; 12] (0; 12] 17.2. 17.3. 17.4. 17.5. 17.6. 17.7. Розв’язати нерівність 1о§0, (2х - 5) > 1о§03 х. А Б В г Д (2,5; +оо) (5; +оо) (-°°; 5) (0; 5) (2,5; 5) Розв’язати нерівність 1о§к х > 1о§я 3 + 1о§л 5. А Б В г Д (15; +оо) (-оо; 15) (0; 15) (8; +°о) (0; 8) Розв’язати нерівність 1о§0, (2х -1) > 1о§0л 10 - 1о§0,2. А Б В Г Д (0; 3] [3; +оо) Ь»; 3] (0,5; 3] (0,5; 4,5] Знайти множину розв’язків нерівності 1о§ ІП1 х > 21о§ . 17 . А Б В Г Д (49; +оо) (0; 49) (14; +о°) (0; 14) (^;49) Знайти множину розв’язків нерівності 1о§5 х < 2 . А Б В Г Д (-оо; 25) (25; +оо) (0; 25) (0; 2) (-«>; 2) Скільки цілих чисел є розв’язками нерівності 1о§ 1 (х + 3) > -1 ? 17.8. А Б в г д Одне два три жодне більше, ніж три Розв’язати нерівність 1о§8 (Зх -10) < —. А Б в г д (о;3-] V 3/ с -аП —ОО , 3 — V 3> (4; +оо) (-х>;4) (з-;4і V 3 > 17.9. Вказати найбільший цілий розв’язок нерівності 1о§1 (х + 3) > -1. А Б В Г Д 6 7 4 3 -3 / |\ Іо8,(2-.г) 17.10. Розв’язати нерівність 5 < 2. А Б В г Д (-оо; 2) (-оо; 0) (0; +°о) (0; 2) (2;+а>) 180
17.11. Скільки цілих розв’язків має нерівність -2 < 1о§] х < 3 ? 2 А Б в г д Один два три жодного більше, ніж три 17.12. Розв’язати нерівність 1о§2 х - З1о§3 х + 2 < 0. А Б в г д (-«>;1]о[2;+оо) [і; 2] [3;9] (-оо; 3]о[9; +«) (3;9) 17.13. Розв’язати нерівність 1§2х-41§х + 3>0. А Б В Г д (—; 1]о[3;+~) (0; 1]о[3; +оо) [10; 1000] (-оо; 10М1000;+оо) (0; 10]о[1000;+оо) 17.14. Розв’язати нерівність 1о§, (1о§5 х) > 0. А Б в г д Ґ-;5І <з (і;5] (0; і] (-о; 0]о[1;+оо) (-оо; 1]о[5; +оо) 17.15. Скільки цілих розв’язків має нерівність------г < 0 ? 1о§Д2х-3) А Б в г д Жодного ОДИН два три більше, ніж три 17.16. Знайти множину розв’язків нерівності 1о§х 5 < 1. А Б В г д (0; 1)о(1;+оо) (0; 1)о(5; +оо) (0; +<») (0; 5)о(5; +<*>) (0; 1)0(1; 5) 17.17. Вказати цілі розв’язки нерівності 1о§ 2хЧ 2 < 0 . А Б В г Д 1;2 1 0; 1 0; 1;2 2; 3 17.18. Розв’язати нерівність 1о§9 (х + З)2 < 1. А Б В Г д [-6; 0] [-6; -3)о(-3; +=о) (-оо; -6]о[0; +оо) (—°°; -6)о(0; +оо) [-б;-3)о(-3;0] 17.19. Розв’язати нерівність (х -*2)1о§0 5 х < 0 . А Б в Г Д (-оо;1]о[2;+оо) [і;2] (0; 1]о[2; +оо) (0; 2] (0; 1)о(2; +оо) 17.20. Розв’язати нерівність хх < 1, якщо х > 0, застосувавши логарифмування. А Б В г д (1;+°о) (0; +оо) (0; і) (—; 0)о(0; 1) 1 181
17.21. Розв’язати нерівність 1о§,х<1. А Б В Г Д -;2 І2 І2 1 ґо; — < 2^ ґо;-] V 2/ [2; +°°) 17.22. Розв’язати нерівність |1о§зх| > 1. А Б в Г д -;3 Із [3; +°°) ^;-1)и[3;+оо) ґо;- V 3^ о [3; + °°) -1;о)и[3; + ~) Завдання 17.23-17.28 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 17.23. Установити відповідність між нерівностями (1—4) та рівносильними їм нерівностями або сис- темами (А-Д). 1 1о§і (х +1) > - 2 2 2 1о§2(х + 1)>2 3 2Х+1 < 16 4 0,5х+І <4 А х+1>4 Б х + 1<4 х + 1 <4; В х + 1>0 Г х + 1>-2 Д х + 1<-2 17.24. Установити відповідність між нерівностями (1-4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 ІО§4Х < 0 2 1о§4Х > 0 3 1о§4(-х) < 0 4 1о§4(—х) > 0 А (-о; -1) Б (-оо; 1) В (1;+°°) Г (-1; 0) Д (0; 1) 17.25. Установити відповідність між нерівностями (1-4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 ІО£0,5Х<0 2 І02о,5^>0 3 1о§о,5(-х)<0 4 1о£о,5(-х)>0 А(-оо ;-1) Б (—; 1) в (1; +оо) Г (-1;0) Д (0; 1) 17.26. Установити відповідність між нерівностями (1—4) та множинами їх розв’язків (А-Д). і і 1 1 2 1о§] х>-2 3 , , 1 3 1о§1х<-- 9 2 4 ІО£_|Х<Д 9 А (0; 9) Б (9; +оо) В (-;+оо| кз / Г (0; 3) Д (3; +~) 182
17.27. Установити відповідність між нерівностями (1-4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 1о§5(х - 2) < 1о§5(-х) 2 1о§і(2-х)<1о§,(-х) 5 5 З 1о§5(х + 2) > ІО£5(-Х) 4 1о§і(х + 2)>1о§і(-х) 5 5 А (-1; +°°) Б (-1; 0) В (-2;-1) Г (-со;0) Д 0 17.28. Установити відповідність між нерівностями (1^4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 ІО§2(ІО§5Х) < 0 2 1о£± (1о§5 х) < 0 2 З 1о§5(1о§2х) < 0 4 ІО£1 ^1о§А х^ < 0 А (0; 0,5) Б (1;2) В (1;5) Г (-~;5) Д (5; +~) Розв’яжіть завдання 17.29-17.41. Відповідь запишіть десятковим дробом. 17.29. Розв’язати нерівність 1о§, (х2 -5х + б)>-1. У відповідь записати найменше натуральне число, 2 яке не є розв’язком нерівності. 17.30. Розв’язати нерівність 1§(х-2) + 1§(27-х)<2. У відповідь записати найбільший цілий розв’язок нерівності. 17.31. Розв’язати нерівність х + 61о§х 10 < 5 . У відповідь записати кількість цілих розв’язків нерів- ності. 17.32. Розв’язати нерівність 1§2 (-х) + 1§х2 - 3 < 0 . У відповідь записати кількість цілих розв’язків не- рівності. 17.33. Розв’язати нерівність 1§2100х-51§х> 6. У відповідь записати кількість натуральних чисел, які не є розв’язками нерівності. 17.34. Розв’язати нерівність 9,О8зХ < 4хІО8зХ - 3. У відповідь записати суму всіх натуральних розв’язків нерівності. 2х 1 17.35. Розв’язати нерівність 1о§ 2--< —. У відповідь записати суму всіх цілих чисел, які не є х х-3 2 розв’язками нерівності. 17.36. Розв’язати нерівність 1о§х 2 • 1о§2х 2 • 1о§2 4х > 1. У відповідь записати найменше натуральне чи- сло, яке не є розв’язком нерівності. Зх-1 17.37. Розв’язати нерівність х2-х >1. У відповідь записати найменше натуральне число, яке не є розв’язком нерівності. 17.38. Розв’язати нерівність 1о£2(5-х)1о§х+ — > -6 . У відповідь записати добуток усіх цілих розв’язків нерівності. 183
17.39. Розв’язати нерівність Іо^ |х| > |х| -1. У відповідь записати добуток усіх цілих розв’язків нерів- 2 ності. 17.40. Розв’язати нерівність 1о§х Зх < ^Іо^ДЗх7) . У відповідь записати добуток усіх натуральних чи- сел, які не є розв’язками нерівності. Розв’язати нерівність 1о§х+1 |х-2| < 1. У відповідь записати суму всіх натуральних чисел, які не є розв’язками нерівності. 17.41. 184
Тема 18. Тригонометричні рівняння Тригонометричними називають рівняння, які містять змінну під знаком тригонометричних функцій. Найпростіші тригонометричні рівняння Рівняння виду зіпх = а, созх = а, ї%х - а, сі&х = а, де х — невідома величина, а — довільне дійсне число, називають найпростішими тригонометричними рівняннями. 1. Рівняння зіпх = а. Оскільки -1 < зіпх < 1 для будь-якого х, то якщо а > 1 або а < -1, рівняння зіпх = а не має коренів. Для того, щоб розв’язати рівняння зіпх - а, досить знайти на одиничному колі або графіку відповідної функції такі точки, ординати яких дорівнюють а. Якщо пряма у = а перетинає одиничне коло (графік) у точках Ма і Л/р, то кути а і р є коренями рівняння зіпх = а. зіпх = а зіпх = а <=> |а|<1 х - агсзіп а + 2я£, ке 7; х = я - агсзіп а + 2пк, ке 7. Ці формули можна об’єднати в одну: х - (-і/агсзіпя + пк, ке 7. а = агсзіпя; р = я - агсзіпя Окремі випадки а = -1 зіпх = -1 я _ _ _ а - 0 зіпх - 0 х — пк. ке 7 а = 1 8ІПХ= 1 я * II І Чи М|: А + 2л«, кєХ У: тг( \ог + \ :|сч X. II и N । 1 X Х° 7 * * х X 0 Ух Наприклад: 1. Розв’язати рівняння зіпх = у. Використаємо формулу коренів рівняння: х - (-1)* агсзіпа + пк , ке7\ х = (-!)* агсзіп^- + пк ,ке7; х = (-!)* ~^ + пк ,ке7. Відповідь. (-1)* — + пк, ке7. 6 2. Розв’язати рівняння зіпх =— .Маємо: х = (-1)* агсзіп —\+пк,ке7; х = (-1)* І+яА:, 2 \ 2/ \ 6/ ке 7; х = (-1)*+1 —+ я£ , ке 7. к ' 6 Відповідь. (-1)*+1 — + пк , ке7. 6 185
/— . ЯХ 3. Знайти найменший розв’язок рівняння л/2 - 28Іп— = 0, який задовольняє умову 0 < х < 10. За- ЯХ л/2 ЯХ / ч* Я / \* 9 пишемо рівняння у вигляді: зіп—= -^-, тоді — = (-1) —+ кєХ', х = (-1) — + 9к, кє2. Якщо к < 0, то х < 0; якщо к - 0, то х = (-1)°| + 9-0 = 2,25 , якщо к = 1, то х = (-1)‘| + 9-1= -2,25 + 9 = = 6,75. Оскільки 0 < х < 10, то найменший розв’язок з цього проміжку дорівнює 2,25. Відповідь. 2,25. 4. Розв’язати рівняння зіп(я • 4* * х) = 0. Використаємо формулу для випадку 8Іпґ = 0, і = пп. Отже, я • 4х = ял; 4х = п, пеіУ, бо показникова функція набуває лише додатних значень, звідки х - 1о§4и. ВІДПОВІДЬ. ІО£4И. 2. Рівняння со&х = а. Оскільки -1 < созх < 1 для будь-якого х, то якщо а > 1 або а < -1, рівняння созх = а не має коре- нів. Для того, щоб розв’язати рівняння созх = а, досить знайти на одиничному колі або графіку відпо- відної функції такі точки, абсциси (ординати) яких дорівнюють а. Якщо пряма х = а перетинає одини- чне коло (графік) у точках Ма і Л/р, то кути а і р є коренями рівняння созх = а. созх = а созх = а <=> |я|<1 х = агссоз <7 + 2я&, к є 2\ х = - агссоз а + 2я&, ке 2. Ці формули можна об’єднати в одну: х - ±агссоз<7 + 2я£, кє2. а--\ созх = — 1 х = ті + 2тіпк кє.2 Окремі випадки (7 = 0 созх = 0 7Г * і —— Х = — + Ял, к^2 9 а - 1 созх = 1 х = 2я&, А:є 2 Наприклад: 1. Розв’язати рівняння 2созх=1. Запишемо рівняння у вигляді: созх = —; х = ±агссоз—+ 2я&, я кє2; х = +—+2пк,кє2. З я Відповідь. ±у + 2тік , кє2. 186
2. Розв’язати рівняння соз4х = “. Нехай 4х-і, тоді соз/ = —; / = ±агссо8^~+ 2пк, кє2; 2 тс _ _ _ __ . . 2тс _ _ _ тс тік _ Г = ±— + 2тс£ , Повернемося до заміни: 4х = ±----н2тсЛ , х = ±— + — ,ке7. З 3 6 2 , я пк , _ Відповідь. ±— Н---, кє2. 6 2 3. Рівняння і%х = а і = а. „ ( тс тсЛ . Для будь-якого дійсного числа а на проміжку —існує тільки один кут а такий, що і£ОС = а. Це кут а = агсС§а. Враховуючи періодичність функції у = і%х, одержуємо формулу коренів рів- няння і&х = а\ х - агсі§я + тік, ке 7. Для будь-якого дійсного числа а на проміжку (0; тс) існує тільки один кут а такий, що сі§а = а. Це кут а = агссС§я. Враховуючи періодичність функції у - сі&х, одержуємо формулу коренів рівняння &£х - а\х- агссС§я + тік, ке 2. Ґ5тс _ л/з ~ ґ тс л/з -----2x1 =----. Скористаємося формулами зведення и одержимо: тс-------2x1 =----; х 6 / 3 \ 6 / З ( ґ-і '/ї тс^ л/з тс^ л/з хг . тс тс- 2х + — =-------; 2х + — =----------; 2х + — = —. Уведемо заміну і = 2х + —. Маємо: х х 6// 3 х 6/ 3 х 6/ 3 6 £ = агсі§-^- + тс&, ке2\ і = — + тік, ке2. Повернемося до заміни: 2х + — = — + тік, ке7', 3 3 6 6 6 і і п тік _ 2х — тік, ке2\ х = — ,ке2. 2 Тї- • л/: . _ Відповідь. —,ке7. 2 Рівняння, що зводяться до квадратних XX X Нехай потрібно розв’язати рівняння 4соз2 — - 8соз— + 3 = 0. Уведемо нову змінну: с°8^- = і, зві- 1 ' 2 дки одержимо рівняння: 4? - 8/ + 3 = 0; Повернемося до заміни та розв’яжемо одержані рів- 12 =1,5. 187
х 1 х 1 х я 2я х няння: 1) соз—= —; — = ± агссоз— + 2пк, к&2~ — = ±—\-2пк ,к&2‘. х = +-і-4я&, кє2'2) соз— = 1,5; 2 2 2 2 23 3 2 ХЄ0. 2я Відповідь. ±— + 4пк, ке2. Рівняння виду азіпх + Ьсоах = с, де а, Ь, сєК Рівняння цього виду розв’язують за допомогою введення допоміжного кута. Вважаючи, що а1 2 З +-/>2 * 0, поділимо обидві частини вихідного рівняння на ^а2 +Ь2 й одержимо: а . Ь с ТТТТ7 л/ТТЇ2 Одержані коефіцієнти при зіпх і созх мають такі властивос- СО8Х = а ч^ь2 а Ь___ Ц^Ь2 ті: ь V , . ----І = 1, тому можна стверджувати, що існує а2 + Ь2) а Ь . Ь . такий кут ф, що, наприклад, . = созф, . - =зіпф, — = і§ф. Тоді останнє рівняння зво- уІа2+Ь2 уІа2+Ь2 а 3.4 2 . З = ; —зтх + усозх = у. Уведемо допоміжний кут: — = созф, диться до найпростішого: зіпхсозф + созхзіпф = -=£=^; зіп(х + ф)= , С-= . \]а2 + Ь у/а2 +Ь2 Наприклад, розв’язати рівняння Ззіпх + 4созх = 2. Перетворимо рівняння: Ззіпх + 4созх = 2; 3.4 2 —т== ЗІП X + —7= СОЗ X = —7= 7з2+42 л/з2+42 а/з2^ 4 4 — - зіпф. Оскільки зіпф > 0 і созф > 0, то за допоміжний кут ф можна взяти ф = агсзіп— . Тоді маємо: 2 . / \ 2 / .2 .4 зіп хсоз ф + соз хзіп ф = — ; зш(х + ф) = у; х = (-1) агсзіпу-ф + як , ке2, де ф = агсзіпу. , >к 2 4 Відповідь. (-1) агсзіпу-ф + пк, ке2, де ф = агсзіпу. Однорідні тригонометричні рівняння Однорідні тригонометричні рівняння — це рівняння виду ^озіп^х + #і зіп"" х созх + ^28Іпл"2хсоз2х + 4-... + я„ ізіпхсоз'21х + 67„соз"х = 0, де б70, а\, а^, ..., ап — дійсні числа, п > 1. Таке рівняння легко звести до рівняння відносно і§х, якщо всі його члени поділити на соз'х. При цьому, якщо ао Ф 0, то ділення не спричиняє втрати коренів. Справді, якщо созх = 0, то початкове рівняння набуває вигляду Яо8Іп"х = 0, звідки зіпх = 0, що неможливо, оскільки созх і зіпх одночасно не можуть дорівнювати нулю. Наприклад, розв’язати рівняння Ззіп2х-2зіпхсо8х- соз2х = 0. Поділимо обидві частини рівняння 2 Ззіп2х 2 зіп хсоз х соз2х 0 на соз х 0: ------— соз х . Одержимо: Зі§2х - 21§х -1=0. Уведемо заміну СОЗ X соз- х і£х = і й матимемо: 3/2 — 2/ — 1 = 0; соз2 х 1 1'~ З’ ?2=1. 1) і§х = -х = агсІ§^—+пк, кє2; Повернемося до заміни: х = -агсІ£І + пк, ке2; я 2) і§х = 1; х = агсі§ 1 + яА:, ке2; х = — + пк,ке2. 4 1 я Відповідь, -агсіе— + пк, ке2: — + пк, ке2. З 4 188
Дробово-раціональні тригонометричні рівняння Складність розв’язування рівнянь цього типу полягає у формуванні відповіді. Основною складні- стю при розв’язуванні дробово-раціональних тригонометричних рівнянь є відбір його коренів. тт , . созх + созЗх пк , Наприклад, розв язати рівняння -----------= 0. ОДЗ: 8іп2х^0; 2х^як, к^2\ —, кє/. 8Іп2х 2 Розв’яжемо рівняння созх + созЗх = 0; х + Зх х-Зх Л Л . 2со8-----соз------= 0 ; 2со82хсо8х = 0. Тоді 2 2 созх = 0; соз2х = 0; я х = — + яи, пє2'. 2 я пк , х = —+—,к^2. 4 2 Зобразимо на одиничному колі точки, які відповідають кореням рівняння созх = 0 і соз2х = 0 і за- креслимо точки, які не входять в ОДЗ. я тік . Отже, х = — + — ,кє2 — корені рівняння. я тік Відповідь. — + —, кє. 2. Розв’язування рівнянь на застосування обмеженості функцій у - зіпх іу - созх 5х Наприклад, розв’язати рівняння созЗх + соз-^- = 2. Маємо: |созЗх|<1, _ 5х . . созЗх + соз— - 2, до того ж рівність виконується лише тоді, коли: * созЗх = 1; 5х 1 соз—-1; 2 5х соз— < 1, 2 2ли „ х =---,иє/; З 4л£ , х =---,кє^. 5 тоді При- 2яи 4я£ . , рівнюючи праві частини цих рівностеи, одержуємо: —, звідки 10яи=12я£, пє2, к^2\ лише 6£ ' . . .... . и = —, пє2, к^2. Оскільки п і к— цілі числа, то в праву частину замість к можна підставити цілі числа кратні 5. Тому останнє рівняння має розв’язки лише у цілих числах виду к - 5/, Іе2. Підс- тавляючи значення к = 5/ в розв’язок системи х = , одержуємо, що х = 4я/, Іє2. Відповідь. 4я/, Іє2. Тригонометричні рівняння з параметрами Розв’язати рівняння азіп2х + 2(а + 2)зіпх +8 = 0. Задане рівняння є або лінійним відносно зіпх, якщо а = 0, або квадратним відносно зіпх, якщо а Ф 0. 189
1. а = 0: 4зіпх + 8 = 0; зіпх = -2; хє 0; 2. а Ф 0. Уведемо заміну зіпх = і й одержимо: а? + 2(а + 2)1 + 8 = 0; = (а + 2)2 - 8а = (а - 2)2; -(а + 2)±(а-2) і. , = —і---—і------; 4 Повернемося до заміни: а г2=—. Ь а 1) 8Іпх = -2;хє0; 4 * ґ 4 Л 2) 8Іпх- —. Якщо ає(-о°;-4]м[4;+о°), то х = (-1) агсзіп—\+тік,ке2; якщо ае(-4;4), то а \ а/ ХЄ0. / ( 4^ Відповідь. Якщо ає (-оо; -4]м[4; +°о), то х = (-1) агсзіп — + пк, ке 2; якщо ае (-4; 4), то хє 0. \ а/ І Я і І~ Приклад 1. Розв’язати рівняння 5х + — =>/3 . А Б В Г д х = пк, ке2 я . тік х = — + —, 60 5 ке2 х = —— + пк, 60 ке2 х - — + тік, 12 к є 2 х = — + Зик, 4 ке2 5х + — | = л/з ; 5х + — = агсіел/з + 7і&, ке2, 5х-І- —= —+ л£, ке2; 5х = — + лк9 кє2; Ч 4> 4 6 4 3 12 Відповідь. Б. Приклад 2. Розв’язати рівняння со$2х = —. А Б в Г Д (~1)"^ + пп,пе2 ±—+ 2яи, п є 2 3 -— + ли, пе2 3 ±— + тіп, пе2 3 ±— + тіп, пе2 6 соз2х — —; 2х = +— + 2яи, не 2: х = +— + тіп,пе2. 2 З З Відповідь. Г. Приклад 3. Знайти найбільший від’ємний корінь рівняння созЗх = 1. А Б в Г д 1 І?! -я _2л 3 ^Д, ке2 3 _7Г 2 2ктї 2кп созЗх = 1; Зх = 2Ля, ке2, х =-, ке2. ----<0; кп<0; к<0. Найбільший від’ємний корінь одержимо, якщо к = -1. Отже, х = ——. Відповідь. В. 190
Приклад 4. Розв’язати рівняння созЗх + зіп2х -созх = 0. А Б В Г д 7Г —; (-1) - + пп, 2 0 к, пе2 / Л\п Я (-1) — + пп, к ' 6 пе2 пк , —, ке 2 2 лк л —; — + лп, 2 6 к9 пе2 лк; (-1) —+ ші, к9 не 2 созЗх + зіп2х-созх = 0 . Розкладемо ліву частину рівняння на множники: -2 зіп 2х • зіп х + зіп 2х = 0; зіп 2х • (1 - 2 зіп х) = 0; або 1-2зіпх = 0; зіп 2х = 0; 2х = пк, кє2; пк , „ х =—, кє2 2 1 зіпх = —; 2 х = (-1)" + пп, ке 2. Відповідь. А. Приклад 5. Розв’язати рівняння 2зіп2 х + созх -1 = 0. А Б в Г д _ , 2л . 2л£, н2ли, 3 к, п&2 2лк9 кє2 2л „ ± 1- 2ли, 3 п&2 гч » . 2 Я 2Л&, ± \г2лп9 3 к9 пе2 „ , 2л . 2пк, Ь 2ли, 3 к, п&2 созх = 1; х = 2пк, кє 2 2зіп2х + созх-1 = 0; 2(1-соз2х) + созх-1 = 0; -2соз2х + созх + 1 = 0; 2соз2х-созх-1 = 0. або созх = ——; 2 , 2л „ х = ±--Ь2лп, п&2. З Відповідь. Г. Приклад 6. Розв’язати рівняння созЗх + зіп2х - зіп4х = 0. У відповідь записати найменший додат- ний корінь (у градусах). созЗх + зіп2х - зіп4х = 0 <=> созЗх - 2зіпх созЗх = 0 <=> созЗх(1 - 2зіпх) = 0 <=> созЗх = 0; 1-2зіпх = 0; я ли „ х = —І--, п є 2; 6 3 —» /г 5 ли . / . \ а я . . _ <=> Зобразимо множину розв язків х = —+—,пе2 і х = (-1) — + пк,кє2 / -\Л я _ _ 6 3 6 х = (-1) — + пк,к є 2. 6 на одиничному колі. 191
. / < \ її г» • тем . Множина розв язків х = (-1) — + пк,к є 2 є підмножиною множини х = — +—, п є 2 . Тому ві- 6 6 3 тс пп дповіддю є х = — +—, п є 2 . 6 З Отже, х- (-1)к — + пк,к є2. к ' 6 ТС Найменший додатний корінь дорівнює — - 30°. 6 Відповідь. 30°. Приклад 7. Розв’язати рівняння соя2х 4- соя22х 4- соя23х 4- соя24х = 2. У відповідь записати кіль- кість коренів, які належать проміжку 0; — . в . . 2 2^ 2-» 2 а 1 + соя2х 1 + соя4х Перетворимо вихідне рівняння: соя х 4- соя 2х 4- соя Зх 4- соя 4х = 2 <=>--- 4---- І4-СО8бх 14-соя8х X . / . А х гх О г 0.0^ /X ---------+----------- = 2 <=> (соя8х + соя2х) + (соябх + соя4х) = 0; 2соя5х • сояЗх 4- 2соя5х • соях = 0 <=> <=> 2соя5х(сояЗх + соях) = 0 <=> 4соях • соя2х • соя5х = 0 <=> ТС ~ х = — 4-ТСИ, ПЕ£} 2 п пк , ~ х = - + — ,кє2} 4 2 п пт х = — 4---.тє2. 10 5 тс Проміжку 0; — нале- . тс Зтс п жать три корені: —, —, —. Р Р 10 10 4 Відповідь. 3. Приклад 8. За яких значень параметра а рівняння яіп4х 4- соя4х = а має корені? У відповідь запи- сати найменший з них. Маємо: яіп4х + соя4х = яіп4х + 2зіп2хсо82х + соя4х - 2яіп2хсоя2х = (яіп2х + соя2х)2 - 2яіп2хсоя2х = = 1 - 2яіп2 хсоя2 х = 1 - у яіп2 2х = 1 “~(1 “ соя4х) = |-4- -^-соя4х = -^-(соя4х 4- 3). Тоді дане рівняння рівносильне такому: -^-(соя4х4- 3) = а, або соя4х = 4я-3. Воно має корені, якщо виконується умова -1 < 4а- 3 < 1, звідки ає [0,5; 1]. Найменшим значення є 0,5. Відповідь. 0,5. Приклад 9. За яких значень параметра а рівняння яіп2х + (а + 2)(яіпх - соях) = 2а + 1 має принай- мні один корінь? У відповідь записати кількість цілих значень а. Перетворимо рівняння: яіп2х + (я + 2)(яіпх - соях) = 2а 4- 1; -(1 - яіп2х) + (а + 2)(яіпх - соях) = -2а} -(яіп2х - 2яіпхсоях 4- соя2х) + (а + 2)(яіпх - соях) = 2а\ (зіпх - соях)2 - (а + 2)(8Іпх - соях) 4- 2а = 0. Уве- демо заміну: яіпх - соях = Л Тоді одержимо рівняння: ? - (а + 2)/ 4- 2а = 0; і\ -2,1^- а. Повернемося до за- г~ ґ тс^ г~ г~ міни: яіпх - соях = 2 або яіпх - соях = а. Оскільки яіпх-соях = л/2 яіп х-, то —72 <яіпх-соях<л/2 , звідки слідує, що рівняння яіпх - соях = 2 коренів не має, а рівняння яіпх - соях = а має корені тільки у випадку виконання умови -у[2<а<у/2 . Проміжок |^-л/2;л/2містить такі цілі числа: -1, 0, 1, а їх кількість дорівнює 3. Відповідь. 3. 192
Завдання 18.1-18.22 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки .ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 18.1. Розв’язати рівняння 2зіпх = -1. А Б в г д к ’ 12 2 / .\п+І я . ял х = (-1 —і , к ' 12 2 я , X = Ь ТІЇІ, 4 / і\»+1 я , тій « = (-!) + Х = (-1)Л+І —+ ЯЛ, ' ’ 6 иє7 п є 7 п є 7 п єX 18.2. Розв’язати рівняння зіпях = 1. А Б в г д х = — + 2яи, 2 х- — + 2я2и, 2 її . Х- — + ПП, 2 X = — -І- и, 2 х = — + 2и, 2 п є X п є X пє2 п є 7 п є X 18.3. Розв’язати рівняння 2соз2х = -д/2. А Б В г д 0 , Зя , х = ± і- ял, 8 х = ±—+ ЯП, 8 х = ±—+ 2яп, 4 . я х-±—\-пп, 4 п є2 п є 7 пе. X п є 2 18.4. Розв’язати рівняння >/3 = 1. А Б В Г д X = пп, пє2 П . х = — +пп, 6 X = + ЯИ, 3 х = — + 2яи, 6 я . А' = — +ЯИ, 4 п є 7 п Е 7 п є 2 п є 2 18.5. Розв’язати рівняння (сі§х)10° -1. А Б в Г д § + N ш 1 8 II И х = — + яи, 4 п є 2 х = ±— + пп, 4 п є X 0 х = агссІ§100+ял, п^Х 18.6. Указати рівняння, яке має хоча б один корінь. А Б В г д Я СО8Х = — 3 Я агссоз х = — 3 агсзіп х - я агсі§ х - 2 агсс!§х - 3 18.7. Указати рівняння, яке має тільки один корінь. А Б в Г д 8ІПХ = -1 созх - -2 агсі§х = 1 І£Х = 1 СО8Х-1 о зіпх 18.8. Розв’язати рівняння зіп2 х - зіп х = 0. А Б В Г д х — ял, п є X я х = яп, х = —1- яп, 2 п є X х - — + 2Я/7, 2 п є 2 X = ЯИ, X + 7Ш, 2 пе2 я , п х = ялг, х=—+ 2яп, 2 пє7 13 Капіносов А. Математика. Комплексна підготовка до ЗНО 193
18.9. Знайти корінь рівняння зіп2х - 4созх = 0, який належить проміжку [2л; Зл]. А Б В Г Д 7л 5л 9л 13л 7л 3 2 4 6 4 18.10. Розв’язати рівняння 1§х = с!§х. А Б в Г д Я . X = — + 7ГЛ7, 4 п є 2 £ + N і к її § 04 + N £ +1 с II и л , ля Х = —Н , 4 2 п є 7 Рівняння коренів немає 18.11. Розв’язати рівняння 008 = 0. зіпх-1 А Б в Г д II 3 1 т го |й N + а з £ £ + N 1 * II и х = — + 2ля, 2 п є 7 х = ля, иє2 ї N К|сч £ II 18.12. Розв’язати рівняння л/38Іпх-созх = 0. А Б в г д п . х = — + ля, 6 х = — + 2яи, 3 Я . X = — + ЯИ, 3 х = —— + ля, 6 X = — + ЯИ, 4 ие2 п є 2 п є X пеХ п є 2 18.13. Розв’язати рівняння соз2х + 5созх-6 = 0. А Б В г д х = л + 2ля, п є X х = ±агссоз1 + іт, пеХ х = 2яи,иє7, х = ±(тс-агссо8б) + +2я£, к е 2 х = ля, пє2 х — 2пп, пе2 18.14. Розв’язати рівняння зіп х +созх = ->/2. А Б в г д х = ±—+ 2ля, 4 яє X х = я + 2яи, п Е 2 х = -—+ 2я«, 4 п є 2 5л , х = — + ля, 4 яє7 х=агс(§( + ля, яє/ 18.15. Розв’язати рівняння зіпх2=0. А Б В г д л/тсй, п є N 0 {0} о|л/2ли,иє7У| ~у]2пп, пеМ {0} м ±>/лй,яєМ| 18.16. Розв’язати рівняння 1§>/х = -1. А Б В г д * II > + <! а х = -—+ л2я2, 16 / \ 2 ( П , ) X = 1- 7СИ , V 4 > п є N я , 2 2 х- — + я и , 16 х = 1- пп, 4 я є N 194
18.17. У якому вигляді можна подати розв’язок рівняння соз( лх) = х2 - 4х + 5 ? А Б В Г д л2 і я 1°8И- 1л Я 1оеи я3 18.18. Розв’язати рівняння соз(созх) = ]. А Б В Г д 0 х = — + лп, 2 ле2 х = ±агссо8(2лп) + +2лм, п є 2 х — 2пп, пє7. х = ±л + 2ли, лє2 18.19. Розв’язати рівняння 8Іпх + 8Іп[х| = 0. А Б В г д пп, пеХ 0 (—;0] (-оо;0]о{лп,нєУ] (-«5 0] иє2^ 18.20. Розв’язати рівняння |со8х| = соях + 2зіпх. А Б в г д х = 2лл, лє2 Х= ТІЙ, п є X Я . X = тій, х = — 4- 4 +27і£, и, кєХ х = пп, х = ~— + 4 +тг£, и, к є X х = 2пп, х = — + 4 +27і£, п, кєХ 18.21. За якого найменшого значення параметра а рівняння 2соз4х = а - 5 має корені? А Б В г д -3 0 3 1 -1 18.22. Знайти всі значення а, за яких рівняння (а + 2)зіпх = а2 - 4 має корені. А Б в г д ає(1;3) аєК а ^2 ає{-2М1;3] 0 Завдання 18.23-18.34 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 18.23. Установити відповідність між заданими рівняннями (1-4) та множинами їх розв’язків на про- міжку [0; 2л] (А -Д). 1 8Іп2х = 0 2 2 соз х = 2 З соз 2х = 0 4 іе—х = 1 А {0; 2л} Т— I Л Я Зл л 1 Б (0;—; л;—;2л І 2 2 ] В ;я! І 4 2 4 ] Г і”) І2] Л І п.3л.5л,7л1 Д | 4’ 4 ’ 4 ’ 4 ] 195
18.24. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 зіп[ — — х | =а, |а|<1 <2 / 11 А ± агссоз а + 2 ля, л є 2 Б агсІ§ а + ля, л є 2 « а 2 81ПХСО8Х = — 2 3 зіпх = асозх В агссі§ а + ля, л є 2 Г (-1)"агсзіп а + ля, л є/ л , (Зя V 4 ~х^=а Д (-1)” ^агсзіп а+“, лє7 18.25. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та їх розв’язками (А-Д). 1 2зіпх = 1 2 зіп2х= 1 А х = (-!)*— + ял,ле/ К ’ 12 3 зіп—= 1 2 Б х = (-1)* —+ ял, лє7 к ’ 6 4 2зіп—= 1 2 В х = (-1)*у + 2ял,ле/ Г х = — + ял, л є 2 4 Д х = (4л + 1)я, лє7 18.26. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та кількістю їх коренів на відрізку [0; 2 л] (А-Д). 1 зіп2х = 0 2 зіп 2х = -— 2 А жодного Б один В два 3 зіп—— 1 8 Г чотири Д п’ять , . х 1 4 8іп—= — 4 2 18.27. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та кількістю їх коренів на проміжку (0; я) (А-Д). 1 сі§3х = 4 2 сІ§ 2х = 2 А чотири Б три 3 сід^ = 0 4 |с!§ 2х| = 1 В два Г один Д жодного 18.28. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та їх коренями (А-Д). 1 зіп2х - 4зіпх + 3 = 0 2 зіп2х - Ззіпх -4 = 0 3 соз2х - 5созх + 4 = 0 А х = 2ял, л є 2 Б х = я(2л +1), л є 2 4 соз2х - 4созх -5 = 0 В х = -— + 2ял, пє.2 2 Г х = — + ял, л є 2 2 Д х = — + 2ял, пє.2 2 196
18.29. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та рівносильними їм рівняннями (А-Д). 1 созЗх- созх = 0 А зіп2хсозЗх = 0 2 созЗх + созх - 0 Б зіпЗхсоз2х = 0 3 зіп Зх - зіпх = 0 В зіпхсозх - 0 4 зіп5х + зіпх = 0 Г зіпх соз 2х = 0 Д со8хсоз2х = 0 18.30. Установити відповідність між рівняннями (1—4) та їх коренями (А-Д). 1 ЗІП——-\/ЗС08—= 0 2 2 2 ЗІП—-СОЗ—= 0 2 2 З >/ззіпх-созх = 0 . /Т . X X п 4 УЗ зіп— + со8— = 0 2 2 А х = —І-пп, пє2 6 Б х ——— + тгп, пє.2 6 В х- — + 2пп, пє2 2 Г х-— — + 2пп,пє2 З Д х =-----1- 2лп, п є 2 З 18.31. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та рівносильними їм рівняннями (А-Д). СО8Х зіп х - 2 2 СОЗХ зіп х -1 = 0 3 зіпх 1-созх = 0 4 зіпх-1 созх = 0 А 8ІПХ = -1 Б зіпх = 1 В созх = 2 Г созх - 0 Д созх — —1 18.32. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та їх коренями (А-Д). 1 зіпх2 - 1 15тг А х = .- + 2я(п-1),иєМ 2 зіп 4х - 1 3 зіп2х = 1 4 зіпІх| = 1 N 2 Б х = ±— + 2яи, де п — ціле невід’ємне число 2 В х = — + як, кє.2 2 Г х = ±^-~ + 2яп, деп— ціле невід’ємне число ґл V Д х = ^— + 2ли^ , деп — ціле невід’ємне число 197
18.33. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та їх коренями (А-Д). 1 І8ІПХІ = -8ІПХ тс ~ Зя — 11 А хє —і- 2 тсА:; Ь 2пк ,кє2 2 |8Шх| - 81ПХ І2 2 ] 3 ІСО8ХІ - -СОЗХ ТС . ТС - ' Б ХЄ -- + 2пк;- + 2пк ,кє2 4 |СО8Х| = созх .2 2 В хє [л(2Л + 1); 2п(к + 2)],кє2 Г хє - + 4тік; — + 4пк ,кєХ І2 2 Д ХЄ [2пк; п(2к + Х)},кєХ 18.34. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та їх коренями (А-Д). 1 8ІП(Х - |х|) = 0 А {-7іп,пєА} о[0; + <») 2 3 О 11 Л § § + + .5 о сл О Б {—2 ям, п є А] о [0; + ©о) 4 соз(х - |х|) = 1 В Г д (-оо; 0]О<— , ИЄЛП (-оо; 0]о{лп, иє2У} {-у,лєЛг}о[0; + ~) Розв’яжіть завдання 18.35-18.52. Відповідь запишіть десятковим дробом. 18.35. Розв’язати рівняння 8Іп(я8Іпх) =-1. У відповідь записати кількість коренів на проміжку [0; я]. 18.36. Розв’язати рівняння СО82 ^-^СО8Х-—= 1. У відповідь записати найменший додатний ко- рінь, округлений з точністю до 0,1. 18.37. Знайти кількість коренів рівняння 8Іп2х • і&х + 1 = Ззіпх на проміжку (0; я). 18.38. Розв’язати рівняння Ззіпх-2со82 х =-3. У відповідь записати кількість коренів на проміжку [0; я]. 18.39. Розв’язати рівняння 38Іп2х-48Іпхсо8х + со82х = 0. У відповідь записати кількість коренів на проміжку [0; я]. 18.40. Розв’язати рівняння у/1-ьіпх = СО8Х. У відповідь записати значення —, де х0— найменший я додатний корінь рівняння. 18.41. Розв’язати рівняння С08х-С08 3х = 8Іп2х. У відповідь записати кількість коренів на проміжку [0; я]. 18.42. Розв’язати рівняння созх = 8ІпЗх. У відповідь записати значення —, де х0 — найменший дода- я тний корінь рівняння. 198
г~ Зх 18.43. Розв’язати рівняння созх-л/3 зіпх = 2 . У відповідь записати значення —де Хо— най- л менший додатний корінь рівняння. 18.44. Розв’язати рівняння зіп2 2х - зіп2 х = —. У відповідь записати кількість коренів на проміжку [0; 2л]. 18.45. Розв’язати рівняння соз2 х + соз2 2х + соз2 Зх + соз2 4х = 2. У відповідь записати кількість коре- нів на проміжку [0; 2л]. 18.46. Розв’язати рівняння (зіпх +созх)2-3(зіпх +созх)+ 2 = 0. У відповідь записати кількість ко- ренів на проміжку [0; 2л]. 18.47. Нехай х0 — найменший додатний корінь рівняння соз2х - 5зіпхсозх + 2 = 0. Знайти 18.48. За яких значень параметра а рівняння зіп4х + соз4х = а має розв’язки? У відповідь записати су- му найбільшого та найменшого значень а. 18.49. Розв’язати рівняння зіп4 2х + соз4 2х = соз2 4х + —. У відповідь записати значення —-, де х0 — 4 п найменший додатний корінь рівняння. 18.50. Розв’язати рівняння 9(і§4 х + сі£4 х) = 15(і£х + сі£х)2 +2. У відповідь записати кількість коре- нів на проміжку [0; 2л]. х 5* 18.51. Розв’язати рівняння агссоз(зіпх) = — . У відповідь записати значення —, де 5— сума всіх ко- 2 я ренів рівняння. 18.52. Розв’язати рівняння зіп4х + соз4х + 8Іп2х = а. У відповідь записати найбільше значення а, за якого рівняння має корені. 199
Тема 19. Тригонометричні нерівності Нерівності, які містять змінну під знаком тригонометричної функції, називають тригонометрич- 1 . 7 ними. Наприклад, созх<—; 58Іп“х + Зсо8х>6 тощо. Розв’язування тригонометричних нерівностей зводять до розв’язування найпростіших тригонометричних нерівностей. Найпростіші тригонометричні нерівності Найпростіші тригонометричні нерівності — це нерівності виду зіпх <>а. созх <>а, <>я, сї£х<>а. Розв’язувати найпростіші тригонометричні нерівності можна графічно або за допомогою одиничного кола. За означенням, синусом кута а є ордината точки Ра(х; у) одиничного кола, а косинусом — абсци- са точки Ра(х;у) одиничного кола. Цей факт використовується при розв’язуванні тригонометричних нерівностей виду зіпх <>а, созх <>а за допомогою одиничного кола. Наприклад: 1. Розв’язати нерівність зіпх<—. Оскільки <1, то розв’язок існує. Побудуємо в одній системі координат графіки функцій у - зіпх і у =- та виділимо проміжки, на яких трафік функцій у = зіпх розташований нижче від гра- Знайдемо абсциси точок Хі і х2 (хі<х2)— перетину графіків зазначених функцій. . у/2 я 5я . ТІ я п .. . х, = -я-агсзіп = — я------=------; х2 — агсзіп---= —. Запишемо відповідь, врахувавши період фун- кції^ = зіпх. Відповідь.----+ 2я£; —+ 2я£ , ке 7; <4 4 7 >/3 2. Розв’язати нерівність зіпх<-у. д/З Побудуємо одиничне КОЛО, пряму у - — І позначимо ТОЧКИ Рх І Р<2 перетину одиничного кола ..................................................... . 7з и зазначеної прямої та виділимо множину точок, ординати яких менші за -у . 200
Знайдемо значення Х\ і Х2, здійснюючи обхід дуги проти годинникової стрілки: Х| < Х2, . л/з Л 2л . л/з л х, =л-агс8іп— = л — = —; х, - агсзіп—+2л = —+2л. 1 2 3 3 2 З . . । 2 я Я _ . । . „ Відповідь. — + 2як; — + 2я + 2як , «є/. \ 3 3 ) Розглянемо розв’язування тригонометричних нерівностей, які містять функцію у = созх. Наприклад: 1. Розв’язати нерівність созх>-^. Побудуємо в одній системі координат графіки функцій у - созх і у = та виділимо проміжки, на ..1 яких графік функцій у - созх розташований вище від графіка прямої у - — . -2я _3я Знайдемо абсциси точок хі і х2 (хі < х2) — перетину графіків зазначених функцій, які є кінцями . . 1 я 1 я одного з проміжків, на якому виконується задана нерівність, х, = -агссоз— = ; х2 = агссоз— - — . Запишемо відповідь, врахувавши період функції у = созх. І Я Я ] Відповідь. — + 2я£; — + 2лк , <3 3 ) 7з 2. Розв’язати нерівність созх > — . 7з Побудуємо одиничне КОЛО І пряму у - — , позначимо ТОЧКИ Рх І РХ2 перетину одиничного кола .......................... . .. . 7з и зазначеної прямої та виділимо множину точок, абсциси яких більші за — . Знайдемо значення Хі і х2, здійснюючи обхід дуги проти годинникової стрілки: хі<х2, х, = -агссоз— =--; х0 = агссоз— = — ' 2 6 2 6 ґ л л Відповідь.-------1- 2л&; — + 2л& , кеХ. \ 6 6 / 201
Розглянемо розв’язування тригонометричних нерівностей, які містять функцію^ = Ї£Х. Наприклад: 1. Розв’язати нерівність і£х<л/з. Побудуємо в одній системі координат графіки функцій у = і у - >/з та виділимо проміжки, на яких графік функцій у = ї&с розташований нижче від графіка прямої у = \[ї. Знайдемо абсцису точки х0 — перетину графіків зазначених функцій, яка є кінцем одного з про- . . я т . п міжків, на якому виконується задана нерівність х0 = —. Іншим кінцем цього проміжка є точка , у якій функція >> = невизначена. . , . . я я .. Одним із проміжків, який є розв язком нерівності, є <х<у. Запишемо відповідь, врахував- ши, що період функції у = ї&с дорівнює я. ТЛ* • | Я -Я ІІІГЖ Відповідь.---+ яЛ; —+ яЛ , кеХ- \ 2 З ) 2. Розв’язати нерівність і&х < 1. Побудуємо одиничне коло, лінію тангенсів, на якій позначимо точку Тх(1; 1) і виділимо ту части- ну лінії тангенсів, яка розміщена нижче від точки Тх, та дугу кола, яка відповідає виділеній частині лі- нії тангенсів. Запишемо значення кутів, які відповідають виділеній дузі. я я я _ .. ... < х < агсі£1; < х < —. Запишемо відповідь, врахувавши, що період функції у = ї&с дорів- нює я. К*’ • ^С І 1 1 ГУ Відповідь. — + яЛ; — + пк , кє2. <2 4 ) 202
Розглянемо розв’язування тригонометричних нерівностей, які містять функцію у = СІ£Х. 1. Розв’язати нерівність сі§х < —— . Побудуємо в одній системі координат графіки функцій у = сі§х і у = —— та виділимо проміжки, х „ 7з на яких графік функцій у = сі&х розташований не вище від графіка прямої у =-. Знайдемо абсцису точки х0, яка є кінцем одного з проміжків, на якому виконується задана нерів- 2л _ • - і ність х0 = —. Іншим кінцем цього проміжка є точка л, у якій функція у = сі&х невизначена. 2л Одним із проміжків, який є розв’язком нерівності, є — < х < л. Запишемо відповідь, врахувавши, ЩО період функції}? - сІ§х дорівнює л. Г 2л Відповідь. — + л£; л + л& , ке 2 З ) 2. Розв’язати нерівність сІ§х > д/з . Побудуємо одиничне коло, лінію котангенсів, на якій позначимо точку сД>/3;1) і виділимо ту частину лінії котангенсів, яка розміщена праворуч від точки Сх, та дугу кола, яка відповідає виділеній частині лінії котангенсів. 0 < х < — . Запишемо відповідь, врахувавши, що період функції у = сі§х дорівнює л. л Відповідь, пк; — + пк , ке 7. 6 203
Тригонометричні нерівності зі складним аргументом у/2 Наприклад, розв’язати нерівність соз2х > — 72 Уведемо нову змінну і - 2х і запишемо дану нерівність у вигляді: соз/ > —Виділимо на оди- ничному колі множину точок, абсциси 72 яких не менші за--- 2 Знайдемо значення =-агссоз Зя . — І =------і л = агссоз 2 ) 4 1 2 Зя = —, здійснюючи обхід проти 4 годинникової стрілки: < /2- Зя Зя Запишемо умову, за якої точка і належить дузі Рц РІ2: —— + 2тік<і< — + 2тік, кєХ. Поверне- •• Зя „ , Зя , _ „ , *« * мося до початкової змінної:-------і-2як<2х<-------ь2як, кє7. Розв яжемо одержану подвійну нерів- 4 4 Зя , Зя . , _ ність відносно х: —— + як < х < — + як, кє X. . Зя , Зя , , _ Відповідь.-------+ як; — + як , кєл. 8 8 Подвійні тригонометричні нерівності „ , . . 1 . X 72 Розв язати нерівність — < зіп — < . 2 2 2 . х „ . . 1 . 72 тт . . Уведемо нову змінну і- — и одержимо нерівність — <зіп/<—На одиничному КОЛІ ВИДІЛИМО 1 УІ2 множину точок, ординати яких більші за — і менші за -у (дуги Р( РІ2 і Р{ Р^ ). Знайдемо значення і2, (з і Ц, здійснюючи обхід кола проти годинникової стрілки: ґ, < 12, із < і*. . 1 я . 41 я . 41 я Зя .1 я 5я і. = агсзіп— = —; л = агсзіп— = —; л = я - агсзіп— = я — = —; г,=л - агсзіп— = я — = — 1 2 6 2 2 4 3 2 44 4 2 66 204
Тоді маємо: — + Тик < і < — + 2пк, ке2 і —+ 2л£<Т< —+ 2л&, ке2. Повернувшись до замі- 6 4 4 6 я /ч 7 л і у • 3 л _ _ х 5 тс _ _ _ _ , ни,одержимо: — + 2лА < — < — + 2лк, ке2 і — + 2лк < — < — + 2лк, ке2, Розв яжемо одержані нері- • • л _ тс . . . . Зтс . . 5л . . _ вності відноснох: —+ 4лк<х< —+ 4л/с, ке2\--------ь4лк<х<— + 4лк, ке2. З 2 2 З —,. . ( тс 1 тс . . А (Зтс . _ 5тс . _ . Відповідь. —і- 4тік' — + 4л£ о------Ь 4тсА:;-Ь 4тсА: , ке2. <3 2 М2 3 ) Нерівності, у яких тригонометрична функція міститься під знаком модуля Нехай необхідно розв’язати нерівність |зіпх| < Запишемо задану нерівність у вигляді подвій- ної нерівності: <зіпх< —. Для цього виділимо на одиничному колі множини точок, ординати яких більші за -— і менші за — (дуги Р Р. і Р Рг ). 9 х 1 х 2 х3 Х4 7 Знайдемо значення хь х2, х3 і х4, виконуючи обхід кола проти годинникової стрілки: X] < х2, х3 < х4. . ( П тс . 1 тс . 1 5л . 1 7л х, = агсзіп — = —; х9 = агсзіп — = —; х. = л - агсзіп — = — ; х4 = л + агсзіп— = —. 1 1 2) 6 2 2 6 3 2 6 4 26 Запишемо умови, за яких точка х є розв’язком нерівності: — + 2л£<х< —+ 2л&, ке2; 6 6 5л 7л —+ 2л£<х< —+ 2л£, ке2. Запишемо відповідь, врахувавши, що дуги Рх Рх і Рх^ Рх< симетричні відносно початку координат. . . (^л _ л .А . Відповідь.-----ь лк < х < — + лк , ке 2. \ 6 6 / 72 Приклад 1. Розв’язати нерівність зіпЗх>-^-. І2 . . 2 в л/2 л/2 я Зл Зхє агсзіп— + 2лк; п - агсзіп--1- 2пк , к&2', Зхє — + 2іск; — + 2пк , кє%; 2 2 4 4 2 2 205
л*є я 2пк я 2тік ---1----; —і----- 12 3 4 З ке х. Відповідь. я 2пк я 2лк ----1----і---1----- 12 3 4 З , кег. Прикладі. Розв’язати нерівність зіп-------1 <------. У відповідь записати кількість цілих роз- в’язків нерівності з проміжку [-6; 2]. X Уведемо нову змінну і =----1 4 і розв’яжемо нерівність 8ІП/<--(див. рис.). Знайдемо абсциси точок 6 і її (6 < ііу. 1} = -я + агсзіп-= -я Н— Зя . ( у/2\ ----; Л = агсзіп І---- 4 2 І 2) ——+ 2я&</<-— + 2я£, кеХ. Повернемося до заміни: ——+ 2пк < — -1 < + 2пк, кеХ', 4 4 4 4 4 1——+ 2я£< — <1- — + 2яА:, кеХ', 4-Зя + 8я&<х<4-я + 8я£, кеХ. Якщо £ = 0, то цілими 4 4 4 розв’язками є числа -5, -4, -3-2, -1, 0, усього їх є 6. Якщо Л = ±1, ±2, ..., то розв’язків на проміжку [-6; 2] немає. Відповідь. 6. Приклад 3. Визначити найменше додатне значення х, для якого виконується нерівність 2созґх-—>-]. І б) А Б В Г д 0° 30° 45° 60° 90° Запишемо нерівність у вигляді соз(х -150°) > —. Далі маємо: -120° + 360°и <х - 150° < 120° + 360°и, пеХ; 30° + 360°и <х < 270° + 360° • п, пеХ. Відповідь. Б. 2 Приклад 4. Розв’язати нерівність соз х<—. соз2х<—; ------<—; 1 + соз2х<—; соз2х<—; агссоз—ь2пк<2х<2я-агссоз— + 2ігк, 4 2 4 2 2 2 2 206
ке 2; — + 2я£<2х<2я- — + 2я£, ке2\ —+ 2я£<2х< —+2я£, ке2\ —+ я£<х< —+ я£, ке 2. З 3 3 3 6 6 . । я _ 5я - । . _ Відповідь. — + тік < х < — + тік І, ке2. \ 6 6 / Приклад 5. Розв’язати нерівність д/з зіп 2х + соз 2х > 1. \/з зіп 2х + соз 2х > 1; ^^зіп2х +—соз2х>—; зіп2хсоз—+ соз2хзіп—>—; зіпҐ2х + —1>—; 2 2 2 6 6 2 І 6) 2 1 я 1 я я я агсзіп— + 2лк < 2х + — < п-агсзіп— + 2лк, ке2; — + 2лк<2х + — <л-+ 2пк, кє7; 2 6 2 6 6 6 — - — + 2пк<2х< К- — - — + 2лк, кє7; 2лк<2х< — + 2лк, кє7; як < х< — + лк, кєХ. 6 6 6 6 З З Я Відповідь. тік\ — + тік ке2.^Л З Приклад 6. Розв’язати нерівність |І£х| > 1. Запишемо дану нерівність у вигляді сукупності нерівностей Побудуємо графіки і§х>1. функцій у - 1%х, у = -1 і у = 1 та виділимо проміжки, на яких графік функції у = і§х розташований вище від прямої у - 1 і нижче від прямої^ = -1. я я Знайдемо абсциси точок Хі і х2 (хі < х2): X] = агсі§(-1) = ; х2 = агсі§1 = — . П- ( П Відповідь. -- І 2 я Я у Я у Я у Ті у । у —— —+ я£; — + я£ и — + я&; — + тік , ке2. 2 4 4 2 ) 4 Приклад 7. Знайти всі значення параметра а із проміжку я Зя її’Т , для кожного з яких нерів- З ність 8Іп2х + со82(х-я)> —+ 28Іпх8Іпясо8(х-я) виконується для всіх х. У відповідь записати найбі- льше значення параметра з цього проміжка (у градусах). З Виконаємо перетворення: 8Іп2 х + соз2 (х - а) > — + 2 8Іп х8Іп асоз(х - а); З З 8ІП2 Х- —> 28ІПХ8ІПЛСО8(х-я) -СО82(х-я) ; 8ІП2 Х- —> СО8(х-д)(28ІПХ8ІПЯ-СО8(х-а)) ; з 8ІП2 х - — > (СО8 X СО8 а + 8ІП X 8ІП б?) ( 2 8ІП X 8ІП а - СО8 X СО8 а - 8ІП X 8ІП а); 207
зіп2 х - — > (зіп хзіп а + созхсо8 а) (8Іп хзіп а - соз хсоз а); зіп2 х - — > зіп2 хзіп2 а - соз2 хсоз2 а; 4 ' А >' 4 З 3 3 3 8Іп2х(1-8Іп2а) + соз2хсо82а> —; 8Іп2хсоз2а + соз2хсоз2а> —; со82а(зіп2х + со82х)> —; соз2а> —; \ / 4 4 к '44 |соза|>^. 71 Зл 2’~2 Відповідь. 210°. — =210°. 6 71 _ , Я _ , Отже, ає — + 2пк;—+2пк о 6 6 Завдання 19.1-19.20 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 19.1. Розв’язати нерівність 2зіп2х> —х/2 . А Б В Г д ( л , ,3л, Л —+іїк\ —+л* , <8 8 > Ґ-—+л*;—+л*), <4 4 > (— +2ті*;—+2л*), V 4 4 / (—+271*;—+2л*), V 8 8 > Ґ-—+л*;—+л*), V 8 8 > кеХ *є7 ке2 *є7 *є7 19.2. Знайти довжину кожного з відрізків координатної прямої, які утворюють розв’язки нерівності 28ІПХ < 1. А Б В Г д Зл 6л 4л 8л 2л 2 3 3 3 3 19.3. п , . . 1 Розв язати нерівність созлх> —. А Б В Г д [ —+2л*;—+271*), V 3 3 > ґ-- + 2*;- + 2*ї V 8 6 / <1 7 > - + 2*;- + 2* , <3 3 А 1—1”*>—ь* |, V 3 3 ) ґ--+2*;-+2*|, <3 3 ) *є7 *є7 *є7 кєХ к&г 19.4. Знайти довжину кожного з відрізків координатної прямої, які утворюють розв’язки нерівності 2 X . 2.Г> у3 СОЗ----ЗІП — <-----. 2 2 2 А Б В Г д л л 5л 7л 2л 3 6 6 3 3 208
А Б В Г д (я я А — + яп;— + яп , <4 2 / п&2 ЯГ а § N А, (я я А — + яп;— + яп , <6 2 / п є 2 ґ X 1 ю |й + Ф і3. N о\ |й + й ( 71 яп;— + ди , < 3 7 пе2 19.6. Серед наведених нерівностей вибрати ту, яка не мас розв’язків. А Б В г Д 3 СО8 X < 4 8Іпх> 0,2 агс1£х> 2 агсі§х< 1,2 19.7. Серед наведених нерівностей вибрати ту, яка має розв’язки. А Б В Г д 3 “СОЗХ^ — 2 СО8Х< -1 8ІПХ>1 І£Х<^ агсзіп х< -тс 19.8. Розв’язати НерІВНІСТЬ СО85ХСО8Х-8ІП5Х8ІПХ<—. А Б в г д (2 1О 4 ~ —я + 2яи:—я + 2яи , <3 3 > лє7 [ —я + 2яи;—я + 2яи ], <6 3 > п Е 7 ( 4 2 А —я + 2яи;-я + 2ли , V 3 3 > пеТ. ґ71 1 7Г/7.^Л: 1 І9 3 ’ 9 3 >’ п є 7 ( 2 , пп я , пп\ —яч ;—і і, < 9 3 9 3 > п Е 7 2 1 19.9. Розв’язати нерівність зіп х>~^- А Б В г д (іт 5 А —+2яп;-я+2яп , <6 6 / пе2 [—+2яп;—я+2яп], <66 > п&2 т + о і чо Лг ш 1 * + й| 40 т Ч- К| V© N ЦІ § К + (я 5 , — + яп;—я + яп , <6 6 / пе2 2 19.10. Розв’язати нерівність соз х-~^- А Б в г д 1 1 1 Ій + Ф N їй + 1 1 5 1 1 їй + » а N + £ ? 1 їй + ф ?Г N їй + я 2 ~ - + 2як\-я+2як ІЗ 3 ке2 5 ЯГ + й N СЧ | ф + ^й| гп 19.11. Розв’язати нерівність (2зіпх- 3)і§х>0. А Б в г Д ( тс ~ ~ 1- 2 яп; 2яп <2 п є 2 5 ТС тси;—+ тси і, 1 2 > п є 7 ( ТС , — + тси;тси ^2 п є 2 5 0 я 1- тгп; яп , 12 > п є 2 19.12. Розв’язати нерівність зіпх< созх. А Б В Г д Ґ-— + 2тси; — + 2л/?), <4 2 ) ( 3 , я А —я+яп;— + 71» , <4 4 > ґ—л+2ли;-+2ли|, <4 4 > (-я + 2яп;2яп), ґл 5 А — + 2яп;-я+2яп , <4 4 > пе2 пє2 пє2 п є 2 пє2 14* Капіносов А. Математика. Комплексна підготовка до ЗНО 209
19.13. Розв’язати нерівність зіпх - созх > 1. А Б в г д [-+2л*;л+2лА:), кєХ + В- N ю ( К ! 11 — + я£; п + пк , <2 / к(=г <3 9 А -п+пк;-п+пк , М 4 > к<=2 ґл+2лА;-л+2тй:\ V 2 > кєг 19.14. Розв’язати нерівність л/зіпх > л/созх . А Б в Г Д -+2пк;-п+2пк , [_4 4 .] кєХ 1 1 £ + "Ь сч 1 1 \2пк-- + 2пк], V 2 > кєХ 0 1 1 4^ |Й + N “ І* ю £ 1 1 9 19.15. Розв’язати нерівність |8ІПх| < ±. А Б в г д (--+2пк;-+2пк), <6 6 > к&Т. + Є N | О ці ї •* + 'О + КІ'о N ї * + о 1 (—+2лЛ;-7Г+2лл\ <6 6 > к<=2 їй 4- *• Й- N + 19.16. Розв’язати нерівність |соз х| > у . А Б В Г д { — + пк;—л + пк |, <3 3 > кєХ + - .4 (Ті О\ і сг» N й 4- иПй4 - і N + їй + £ я N їй 4- А +пк;—+л&\ к 3 3 А кєї 19.17. Розв’язати нерівність агссозх< —. А Б в Г д Г і її соз—; 1 1 2 1 1 о 1?) 1 1 Г і П -1; соз— 1 2^ ґ 1 соз—;1 V 2 / ґ і П С05~^ 19.18. Розв’язати нерівність 0 < агсзіп х < —. А Б в Г д о 1 1 К>| — 1 1 1 2 _ о о 1 1 19.19. Розв’язати нерівність агсі£х> —. А Б в г Д ЬЛ] л/3 —; + °° 1 _ 3 ) [1;+о°) £5/3; + °°) 1-;Т 210
19.20. Розв’язати нерівність < агсі§х < —. А Б В г д ІЗ] (-^] 1 3 ) Завдання 19.21-19.27 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 19.21. Установити відповідність між заданими нерівностями (1-4) та їх найбільшими розв’язками на проміжку [0; 2л] (А-Д). , 1 . 5л 1 СО8Х< А — 2 2 зіп х > — 2 3 1§х<1 4 сі§х>-1 6 г Зл І> 4 В 2л г 25 4 д — 3 19.22. Установити відповідність між заданими нерівностями (1-4) та їх найменшими розв’язками на проміжку [0; я] (А-Д). 1 СО82 X - 8ІП2 X < 2 2 зіп 2х > 1 3 с(§ 2х < 1 4 і§|х>1 А - 8 Б - 2 В - 4 Г 0 Д я 19.23. Установити відповідність між нерівностями (1—4) та їх розв’язками (А-Д). 1 2 2 - . х л/2 2 зіп—<----- 4 зіп—<-2 2 2 2 З З А-----ь 4лп < х <-1- 4пп, пє.2 З З Б — + 4пп<х< — + 4пп, пє2 З З Зтг 9тг В — + 4пп<х< — + 4лп,пєг 2 2 Г — + 4яп<х< — + 4яп, пе2 З З Д 0 211
19.24. Установити відповідність між нерівностями (1-4) та їх розв’язками (А-Д). 1 . Зя Зл ~ 1 соз2х> — А \-пп<х<— + пп,пє 2 2 8 8 2 соз2х< — Б ^- + лп<х<^ + тіп,пє2 2 8 8 1 ТШ Я 1 1 ТС гу 3 соз2х>-- В — + лп<х<—+лп,пє2 2 12 12 . ~ . 4Ї Г + пп<х< — + пп, пе2 4 соз2х<—— 3 3 ’ ТС тс Д 1-тіп< х< —і-пп,пє2 6 6 19.25. Установити відповідність між нерівностями (1-4) та їх розв’язками (А-Д). 1 '84**1 А , . . г: 8 4 24 4 2 1§4х<-л/3 „ я пп _ _ я , ям і Б 1- — <х< 1 ,п&2 3 1§4х >--у=- 8 4 12 4 ТС ЯЛ Я ЯТ2 г- В + — <х< +—,лє7 4 1§4х<73 8 4 12 4 „ я , ям , я ям ~ Г — + — <х< —+ — ,лє7 16 4 8 4 „ я , ям я , ям г, Д + — <х< —+—,пє.2 24 4 8 4 19.26. Установити відповідність між нерівностями (1—4) та їх розв’язками (А-Д). 1 сі§— >>/з А —+ 3яи<х<3я(м + 1), мє2 3 2 2 сій— <Д= Б Зям<х< — + 3ям,пє.2 3 л/3 4 3 с(§— >-1 В 3лм<х<у + 3лм, мєТ’ х г Г я(3м +1) < х < Зя(и +1), и є 2 4 сі§-<-УЗ Д -^ + 3яп<х<3я(и + 1), п^2 19.27. Установити відповідність між нерівностями (1-4) та їх розв’язками (А-Д). 1 я Зя 1 СО82Х-8ІП2Х> г= А —ьяи<х< І-ям, п&2 а/2 8 8 2 со8хсозЗх-зіпхзіпЗх<^у- В — + 2ям<х< — + 2пп,пє2 3 со82хсозх +зіп2хзіпх<-1- В —+ ям<х< — + пп,пе.2 і „ я ям 11я ям „ л сіп2^1 г — + — <х< +—,пе2 4 зіп х>- 24 2 24 2 Д — + пп < х < — + пп, пє.2 6 6 212
Розв’яжіть завдання 19.28-19.33. Відповідь запишіть десятковим дробом. 19.28. Розв’язати нерівність 8Іп^х + ^ >^. У відповідь записати найменший додатний цілий розв’язок нерівності. 19.29. Розв’язати нерівність 28Іп2х-5зіпх + 2<0. У відповідь записати найбільший цілий розв’язок нерівності на проміжку [0; 2тс]. 19.30. Розв’язати нерівність соз2х + созх> 0. У відповідь записати найбільший цілий розв’язок не- рівності на проміжку [0; 2тс]. 19.31. Розв’язати нерівність 28Іп42х>8Іп22х. У відповідь записати найбільший цілий розв’язок не- рівності на проміжку [0; 2тс]. 19.32. Розв’язати нерівність >/з 8Іпх + со8х< 1. У відповідь записати найменший цілий розв’язок не- рівності на проміжку [0; 2тс]. 19.33. Розв’язати нерівність агсзіп — + агссо8—< 2. У відповідь записати найменший додатний х х розв’язок нерівності. 213
Тема 20. Системи рівнянь Якщо завдання полягає у відшуканні спільних розв’язків кількох рівнянь, то кажуть, що треба розв’язати систему рівнянь. Наприклад, 5х - 2у = 3; — система двох лінійних рівнянь із двома неві- х + у = 15 домими. Розв ’язком системи рівнянь називають такий набір значень невідомих, який задовольняє ко- жне з рівнянь системи. Розв’язати систему рівнянь означає знайти всі її розв’язки або довести, що си- стема не має розв’язків. Дві системи рівнянь називають рівносильними, якщо множини їх розв’язків збігаються. Справед- ливі такі твердження: 1. Якщо рівняння системи замінити рівносильним йому рівнянням, то отримаємо систему, рівно- сильну даній. 2. Якщо одне рівняння системи замінити його почастинною сумою з іншим, то отримаємо систе- му, рівносильну даній. Основними способами розв’язування систем рівнянь є графічний, спосіб підстановки і додавання. Графічний спосіб Щоб розв’язати систему рівнянь графічно, слід в одній системі координат побудувати графіки кожного з рівнянь і знайти спільні точки цих графіків. Координати точок перетину будуть наближе- ними розв’язками системи, які можна уточнити перевіркою. Наприклад, знайти графічним способом розв’язки системи рівнянь Зх + 2у = 8; (2х-у = 3. Кожне з рівнянь системи є лінійним, тому їхніми графіками є прямі. Зх + 2у = 8 X 0 4 У 4 -2 2х-у = 3 X 0 1 У -3 -1 Будуємо графіки рівнянь в одній системі координат. Графіки перетинаються в одній точці— точці Л(2; 1). Перевіркою встановлюємо, що (2; 1) — розв’язок системи. Відповідь. (2; 1). Спосіб підстановки Спосіб підстановки полягає в тому, що одне з рівнянь подають у вигляді у -](х) або х - §(у) (ви- ражають одну змінну через іншу) і підставляють в інше рівняння замість змінної отриманий вираз. У результаті такої підстановки отримують рівняння з однією змінною. Розв’язавши його, підставляють отриманий корінь в інше рівняння системи і визначають значення іншої змінної. Наприклад, розв’язати систему рівнянь х-у = 1; \3-/=7. Виразимо з першого рівняння системи змінну х через змінну у. х - 1 + у та підставимо одержане значення у друге рівняння системи. Маємо: (1 + у)3 - 214
-у3 = 7; 1 + Зу + Зу2 + у3 - у3 = 7; Зу2 + Зу - 6 = 0; у2 + у - 2 = 0; уі -~2,уг - 1. Підставимо знайдені зна- чення й одержимо: х\ = 1 + (-2) = -1; х2 - 1 + 1 = 2. Отже, розв’язками системи є (-1; -2) і (2; 1). Відповідь. (-1; -2), (2; 1). Спосіб додавання Суть способу додавання полягає в тому, що рівняння системи домножують на такі числа, щоб у них коефіцієнти при одній зі змінних стали протилежними числами. Тоді, почастинно додавши ці рів- няння, отримують алгебраїчне рівняння з однією змінною і т. д. Наприклад, розв’язати систему рівнянь Зх-2у = 11; х Домножимо друге рівняння на 2 й одержи- х+ у = 7. мо: Зх-2у = 11; х + у = 7; •2 Зх-2у = 11; [2х+ 2у = 14. Додамо рівняння системи й результат запишемо другим рівнян- ням, а перше рівняння перепишемо без змін: Зх-2у = 11; Виконаємо перетворення й підставимо 5х = 25. знайдене значення х у перше рівняння: 2у = 3х-11; < х = 5; 2у = 3-5-11; < х = 5; у = 2; < Отже, (5; 2) — розв’язок х = 5. системи. Відповідь. (5; 2). Систему алгебраїчних рівнянь часто можна спростити, якщо ввести нові значення для невідомих. Наприклад, розв’язуючи систему 12 + у - 2; систему < [уг ~ 1? звідки < у = і; 2 = 1. 1 2х- у + У = 2; -^- = 1, 2х-у 1 зручно ввести заміну 2 ----- 2х- у Повертаючись до заміни, отримаємо систему рівнянь й одержати 2х-у з якої знайдемо розв’язок вихідної системи — (1; 1). Відповідь. (1; 1). 2х- у = 7; -Зх + 4у = -8. Приклад 1. Розв’язати систему рівнянь 3 першого рівняння отримуємо: у = 2х - 7 . Підставивши замість у в друге рівняння вираз 2х - 7 , отримаємо: -Зх + 4(2х - 7) = -8 ; 5х = 20; х = 4. Тоді у = 2 • 4 - 7 = 1. Розв’язок системи рівнянь: (4; 1). Відповідь. (4; 1). Приклад 2. Нехай (хо; уо) — розв’язок системи рівнянь л/25-10х + х2 + у = 4; у-Зх + 11 = 0. Знайти добуток Хо Уо. Спочатку розв’яжемо систему рівнянь: х 725-Юх + х2 + у = 4; у-Зх + 11 = 0; \/(х-5)2+у = 4; у = 3х-11; 'І х-51 + Зх-11 = 4; у = 3х-11; |х-5| + 3х = 15; ґх —5 + Зх = 15; 1. Нехай х - 5 > 0, тобто х > 5. < у = 3х-11. [у = 3х-11; 4х = 20; у = Зх -11; 215
х = 5; -х + 5 + Зх = 15; < 2. Нехай х - 5 < 0, тобто х < 5. - у = 4. [у = Зх -11; 2х = 10; х = 5 — не підходить. Отже, [у = 3х-11; х0 = 5, у0 = 4. Тоді х0 • у0 - 5 • 4 = 20. Відповідь. 20. 3 х • 5-’’ = 75; Зг-5х =45. Приклад 3. Розв’язати систему рівнянь А Б в г д (і;2) (3;5) (2; 1) інша відповідь (2; 3) 3х -5у = 75; 3у • 5х = 45; 3 х-5^75. З'-5х 45’ 3х ,5у .у ,5х = 75.45; у-у . _ 75 . 45’ 3х+у.5х^=5.15.3.15. 1_=5. 1^ ‘-у з’ К5> ґзу-^ґзг1. х — у = —1; 2х = 2; х = 1,у = 2. Відповідь. А. Приклад 4. Розв’язати систему рівнянь х4 + у4 = 17(х + у)2; < ху = 2(х + у). частину першого рівняння: - 2г2 = (? - 2г)2 - 2г2 = і4 - 4?г + 2г2. Тоді одержимо: Уведемо заміну х + у - і. ху = 2. Перетворимо ліву х4 + у4 = х4 + 2х2у2 + у4 - 2х2у2 - (х2 + у2)2 - 2и2 = (х2 + 2ху + у2- 2ху)2 -2г2 = ((х + у)2 - 2и)2 - Г4 -4/22 + 222 = 17/2; звідки перше рівняння можна переписати так: ? - 2і2 • 2і + 2 • (2/)2 = 17/2; і4 - 8? - 9г2 = 0; і\і2 - 8/ - 9) = 0, яке має розв’язки і\ — 0, її — -1, 6 — 9. Із рівності 2 = 2/ маємо, що 2\ = 0, 22 = -2, 23 = 18. Тоді одержуємо три системи: Гх + у = О; Гх + у = -1; 1) < звідки розв’язком є (0; 0); 2) < звідки розв’язками є (1;—2) і (-2; 1); [ху = 0, [ху = -2, 3) < ’ звідки розв’язками є (3; 6) і (6; 3). [ху = 18, Відповідь. (0; 0), (1; -2), (-2; 1), (3; 6), (6; 3). Приклад 5. Розв’язати систему рівнянь < 'хх~1у = 36; 4(х - 2у) + 1о§6 х = 9. Прологарифмуємо перше рівняння системи за основою 6, врахувавши, що х > 0, а значить, ґ(х-2у)1о§6х = 2; хх-2>’>0 й одержимо: < і Увівши заміну / = 1о§б*, одержимо: < І*-2У = -(9-1о8бх)- (х-2у)-/ = 2; х-2у = |(9-ґ). Далі маємо: ^-(9-ф = 2; ? -9і+ 8 = 0; і\ = 1, /2 = 8. 216
Отже, 1о§6 х = 1; ^-2у = ^(9-1о§6Х}> 1о§6 х = 8; х-2у = -^(9-1о§6х); І 4 х = 6; 6_2?, = 1(9-1); х = б8; 6'-2у = 1(9-8); ґх = 6; Ь = 2; |х = 68; 1 4-68-1 V 2 Відповідь. (6; 2), ^6, Приклад 6. Розв’язати систему рівнянь ’10І+І8(х+?) = 50; 1§(х - у) + 1§(х + у) = 2 -1§5. Прологарифмуємо перше рівняння системи й одержимо: (1 + 1§(х + у))І£І0 = 1§50 + 1§10; 1§((х-у)(х + у)) = 2-1§5; 1 + 1§(х + у) = 1§5 + 1; |1е(х + у) = 1Є5; 18((х - у)(х + у)) = 2 - 1Є 5; 1§((х - у)(х + у)) = 1Є^-; ґх + у = 5; (х + у = 5; ґх = 4,5; [х-у = 4; 2х = 9; [у = 0,5. Відповідь. (4,5; 0,5). х + у = 5; (х-у)(х + у) = 20; х + у — 5; 5(х-у) = 20; Приклад 7. Розв’язати систему рівнянь -+2 = 1. у х 2’ х2-у2=3 Уведемо заміну х = — й одержимо: '1 — + Х = • X 5 2’ х2-у2=3; 2г2-5г + 2 = 0; ' х2-у2 =3; х, =0,5; < х2 = 2; х2-у2 = 3; — = 0,5; < х х2-у2=3; — = 2; * X х2 - у2 = 3. Розглянемо першу систему: - = 0,5; х х2 - у2 = 3; у = 0,5х; ґу = 0,5х; ґу = 0,5х; х2 ~(0,5х)2 = 3; [0,75х2=3; |х2=4; = 2; Для х2 = -2; у2=“1- другої системи матимемо: < ^ = 2; х х2-у2 = 3; у = 2х; (у = 2х; < < 0 х2-4х2=3; [-3х2=3; Отже, розв’язками системи є (-2; -1), (2; 1). Відповідь. (-2; -1), (2; 1). 217
Г|х -1| + |у - 2| = 1; Приклад 8. Розв’язати систему рівнянь < Розкриємо модулі |х — 1| і [у — 2|. 1. Нехай х-1>0; у-2>0. Тоді матимемо систему: х -1 > 0; у-2>0; х-1 + у- 2 = 1; |^у = 3-(х-1); х > 1; ґх>1; < у > 2; < у > 2; х + у = 4; [у = 4 - х; 1<х<2; у = 4 - х. 2. Нехай х-1<0;у-2>0. Тоді матимемо систему: < II Г'І 1 .. - ? 7 О ° А * VI Л| Т + «МІМ 1 1 II И 1 >4 1; < II IV іл * ь? - + о II ІЛ н X + ІЛ х-1>0; х>1; х>1; 3. Нехай х-1>0;у-2<0. Тоді матимемо систему: < у-2 < 0; х-1-у + 2 = 1; ' > л ) ї і 2; -у = 0; У- X- £ 2; = 2;(2;2)' у = 3-(х-1); х + у = 4; .У' = 2; х-1<0; х<1; х< 1; 4. Нехай х - 1 < 0; у - 2 < 0. Тоді матимемо систему: у-2<0; -х +1 - у + 2 = 1; * У <2; х + у = 2; у <2; п (0;2). х = 0; у = 3 + х-1; -х + у = 2; .У = 2; Загальний розв’язок системи зручно зобразити графічно. Завдання 20.1-20.23 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 20.1. х + 3^ = 14; Розв’язати систему рівнянь < і знайти добуток компонентів розв’язку. [2у-х = 6 А Б В Г д 16 20 8 11 5 13— 3 20.2. х + у = 3; Дано систему рівнянь < Яке утвориться рівняння, якщо з першого рівняння вира- [2х - Зу = -4. зити змінну у через х, і отриманий вираз підставити у друге рівняння замість у? А Б В Г д 5х + 3 = -4 Зх-9 = А 5х-3=А 5х + 9 = А 5х-9 = А 218
х + у = -2; 20.3. Знайти суму компонентів х0 + у0 + 2о розв’язку системи рівнянь < у + 2 = -11; х + 2 = 1. А Б В г Д -6 -12 -18 -24 -3 20.4. ҐЗх 4- 4у = -20, Розв’язати систему рівнянь < [5х + 2у = -10. А Б В г Д (3;4) (0;-5) (7; 9) (2;-4) (і; -7,5) 20.5. Знайти середнє арифметичне для значень чисел х та у, які є розв’язками системи рівнянь Ґ3х + 2у = 7; [-х + Зу = 16. А Б В г д 3 2 1 4 3,5 20.6. Знайти компонент Хо розв’язку (хо; Уо) системи рівнянь < 4- 1 СЧ| и и V . . . 7 1 = 4; У 1 = 9. У А Б в г Д 3 ]_ 3 147 91 її 7 20.7. Скільки розв’язків має система рівнянь < х2 + у2 = 5; х2-2у2=-7? А Б В Г д Один два три чотири жодного 20.8. Скільки розв’язків має система рівнянь < 1 1 ф. — 11 4 о •о II О А Б в г д Один два три чотири жодного {х - у = 16; /- ,— і вказати добуток компонентів її розв’язку. УІх + ^у = 8 20.10. А Б В Г д 34 128 64 15 225 Розв’язати систему рівнянь і вказати компонент хо п розв’язку (хо; Уо)- А Б В г д 0 -1 1 2 -2 219
20.11. Розв’язати систему рівнянь < ^(х + у) = 2; 1§(х-у) = 1 і вказати компонентно її розв’язку (х0; уо)- А Б В г д 35 110 90 55 45 20.12. Знайти суму компонентів розв’язку системи рівнянь * 1§х + 1§у = 1§2; х2+у2 = 5. А Б В Г д -3 3 9 7 20.13. Яка з наведених систем за будь-яких значень р має єдиний розв’язок? А Б В Г д Ґ2у = х; і х . [У=2 + Р х 7 — + у = 3; 2 х + 2у = р (х-2у = 5; [2х - 4у = р Гх + 2у = 3; |х-у = р (х-Зу = 5; [6у-2х = р Ґ2х - у = 5; 20.14. За якого значення а система рівнянь <! не має розв’язків? [х + ау = 2 А Б В г д 0,5 -0,5 -1 2,5 10 20.15. За якого значення а система рівнянь < Зх + у = -15; -х - ау = 5 має безліч розв’язків? А Б в Г д х 3 3 3 -3 -1 20.16. За яких значень а і Ь система рівнянь (бх + Ьу = 5а; [5ах-6у = Ь має розв’язок (-1; 2)? А Б в г д II II ^3 "О а II ГО 1 — о II го 1 — а=--,Ь 2 2 о а и п а--\, Ь=2 20.17. Скільки розв’язків системи рівнянь < к2 - 2ху + у2 = г2 + ху = 4 = 4; містять нульовий компонент? А Б В Г д Один два три чотири жодного 20.18. [х2 -ху = 79, Знайти |х -у|, якщо < і/ -ху = 2. А Б в г д 8 9 л/77 7 81 220
'|х|-|у| = °; х2-4х = 0? 20.19. Скільки розв’язків має система рівнянь А Б В г Д Один два три більше, ніж три ЖОДНОГО 20.20. За якого значення а система рівнянь < х2 + у2 = 4; „ має єдинии розв язок? х-у-а А Б в г д а-3 а = 2>/3 а= -2ч/2 або а = 2л/2 а = -2ч/з або а = 2ч/з а = -\І2 або а = уІ2 20.21. Скільки розв’язків має система рівнянь < ю бо" С! н н п £ й ч / А Б В Г д Один два три чотири жодного 20.22. За якого значення к пряма у = кх 4- 2 проходить через точку перетину прямих х 4- у = 5 і х-у = 1? А Б в г д -2 -1 0 1 2 20.23. За якого значення а система рівнянь * — 4-—= 1—; ' х у 2 111 , „ = —; має розв язок? х у 2 ох 4-у = 13 А Б В г д -2 -3 4 5 6 Завдання 20.24-20.28 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 20.24. Установити відповідність між системами рівнянь (1—4) та кількістю їх розв’язків (А-Д). |х-і-2у = 4; [1,5х +Зу = 6 [2х4-Зу = 10; |4х4-6у = 7 З 2x4- 3 у = 7; 4х4-5у = 19 А жодного Б один В два Г три Д безліч ,'|х|-у = 3; )х|4-у = 3 221
20.25. Установити відповідність між системами рівнянь (1-4) та першими компонентами х0 розв’язків (х0; у0) Цих систем (А-Д). х + у = 20; 11 х-у -14 2 х + у = 19; 2х - у = 5 А 8 Б 10 В 12 Г 14 Д 17 З х + у = 16; [х - 2у = 4 х-3у = 1; [х + у = 13 20.26. Установити відповідність між системами рівнянь (1-4) та рівняннями (А-Д), які утворюються з цих систем при їх розв’язуванні способом підстановки. х-у = 1; 11 ху = 20 х + у = 1; ху = -20 А у2 + 20у = 0 Б у2 + у + 20 — 0 В у2+у-20 = 0 Г у2—у +20 = 0 Д/-у-20 = 0 х-у = 1; ху = -20 х + у = 1; ху = 20 20.27. Установити відповідність між системами рівнянь (1-4) та першими компонентами х0 розв’язків (хо; Уо) цих систем (А-Д). 1 <! і+а=і; X у 6 1_А=_± х у 12 А 6 Б 12 В 16 Г 20 Д 24 У~у = 81; х+— [2 2 =128 1о£,(х + у) = 4; .1о§2(х-у) = 3 222
20.28. Установити відповідність між системами рівнянь (1-4) та кількістю їх розв’язків (А-Д). А жодного Б один В два Г три Д чотири Розв’яжіть завдання 20.29-20.44. Відповідь запишіть десятковим дробом. 20.29. Розв’язати систему рівнянь 2х + 5у = 12; Зх-4у = -5. У відповідь записати найбільшу суму Хо + Уо, де (х0; Уо) — розв’язок системи. 20.30. Вказати значення параметра а, за якого система ах + Зу = 9, 12х + ду = 18 має безліч розв’язків. 20.31. Розв’язати систему рівнянь х + у = 7; У відповідь записати найбільшу суму хо + Уо, де х +у = 25. (х0; Уо) — розв’язок системи. 20.32. Розв’язати систему рівнянь х2 - ху + у2 = 3; х3 + у3 = 9. У відповідь записати найбільшу суму хо + уо, де (х0; Уо) — розв’язок системи. 20.33. Розв’язати систему рівнянь х2 - ху = 6; у2-ху = 3. У відповідь записати найбільшу суму х0 + уо, де (х0; Уо) — розв’язок системи. 20.34. Розв’язати систему рівнянь х2 -Зху + у2 =-1, 2х2+5ду-у2 =17. У відповідь записати найбільше значення х із 20.35. 20.36. розв’язків системи. Розв’язати систему рівнянь де (х0; уо) — розв’язок системи. Розв’язати систему рівнянь 2. 5’ З У відповідь записати найбільшу суму хо + уо, 5’ 1о§2х-1о§2у = 1; . У відповідь записати найбільшу суму хо + уо, де у(х + 2) = 40. (*оі Уо) — розв’язок системи. 223
20.37. 20.38. 2-Зх-4у = 14; У відповідь записати найбільшу суму хо + уо, де 3х + 4У =13. (х0; Уо) — розв’язок системи. 1О'+Ів(х+у) =40. У відповідь записати найбільшу суму І£(х - у) + 1§(х + у) = 31§2. х0 + уо, де (х0; уо) — розв’язок системи. Розв’язати систему рівнянь Розв’язати систему рівнянь < 20.39. Розв’язати систему рівнянь У відповідь записати найбільшу суму х0 + Уо, де (х0; Уо) — розв’язок системи. 20.40. ху = 1; Розв’язати систему рівнянь <уг-2; У відповідь записати найбільшу суму хо+уо + ^о, де 2Х = 8. (х0; уо; г0) — розв’язок системи. 20.41. Розв’язати систему рівнянь < 4лу- —= 30; у У відповідь записати найбільшу суму хо+уо, де Зху + —= 28. У (х0; уо) — розв’язок системи. 20.42. 20.43. 2х2 + ху - у =0; У відповідь записати найбільшу суму х0 + Уо, х2 -Злу + у2 = -1. де (х0; уо) — розв’язок системи. 1оЄ8(лу) = 31о88х-1оє8 у; х 1о§8 х У відповідь записати найбільшу суму 4іо§8 =- . У 1о§8 у Хо + \/2 Уо, де (хо; Уо) — розв’язок системи. Розв’язати систему рівнянь < Розв’язати систему рівнянь < 20.44. За якого значення а сума х + у набуває найменшого значення, якщо 2х + Зу = 2а2 -12а + 8; Зх-2у = 3а2+ 8а + 12? 224
Тема 21* Арифметична та геометрична прогресії Послідовністю називають функцію, задану на множині всіх натуральних чисел або на множині перших п натуральних чисел. Число а\ називають першим членом послідовності, ап — и-м членом (чи- тають: а енне), а натуральне число п — його номером. Ми розглядатимемо лише послідовності, еле- ментами яких є числа. їх називають числовими послідовностями. Послідовності позначають (а„), (6„), (с*л), ... і записують: (а„): а\, а2, ф, .... Наприклад, розглянемо послідовність (а„): 2; 4; 6; 8; ... — послідовність парних натуральних чисел. У ній а\ =2, а2- 4, а3 - 6, а4 - 8, ... Член послідовності а2 = 4 є попереднім до члена а3 ~ 6 і наступним за членом а\ - 2. Арифметична прогресія Арифметичною прогресією називають послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, утворюється додаванням до попереднього члена одного і того самого числа. Це число називають різ- ницею арифметичної прогресії і позначають б/. Отже, якщо а}; а2; ...; ап; ... — арифметична про- гресія, то а2 -а\+ сі; а3 = а2 + сІ; ..., тобто для будь-якого натурального п виконується рівність = аЛ + с/. Наприклад: а) послідовність (а„): -8; -1; 6; 13; ... є арифметичною прогресією, перший член якої дорівнює а\ - -8, а різниця — (2~ 7; б) 4; 7; 10; 13; 16; 19 — скінченна арифметична прогре- сія, у якій сі - 3; -4; -11; -18; -25; ... — нескінченна арифметична прогресія, у якій с/ = -7; 3; 3; 3; 3; ... — нескінченна арифметична прогресія, у якій с/ = 0. Арифметична прогресія має такі властивості: Властивість 1. Будь-який член арифметичної прогресії, починаючи з другого, є середнім ариф- метичним двох сусідніх з ним членів. Тобто якщо а\; а2\ а3; а4; ... — арифметична прогресія, то а}+а3 а2+а4 ап_}+ап+} ~ . . . а2 = - --- ; а3- £ -; ...; ап- . Правильно и навпаки: послідовність, у якій будь-який член, починаючи з другого, є середнім арифметичним двох сусідніх з ним членів, є арифметичною прогресією. Наприклад, знайти невідомі члени арифметичної прогресії (ап): -11; а2; - 21; -26; а5; -36. -її _ гр . _ +б73 _ -11-21 _ _ а4 +а6 _ -26-36 _ а\ —11, а3 = -21. Тоді а2 - —-- =----------16; а5-------- =-------= -31; 2 2 2 2 Властивість 2. Сума будь-яких двох членів скінченної арифметичної прогресії, які рівновіддале- ні від її крайніх членів, дорівнює сумі крайніх членів цієї прогресії. Тобто якщо (д„): ах; а2; а3; а4; а5; аь — арифметична прогресія, то = а2 + а5 = а3 + а4. Наприклад, знайти суму середніх членів арифметичної прогресії (а„): 5; 7; ...; 19. Середніми членами цієї прогресії є а4 і а5. Тоді а4 + а3 = а\ + а% - 5 + 19 = 24. Формула п-го члена арифметичної прогресії має вигляд «„=«, +</(«-!), де <7| — перший член прогресії, <1— різниця, п — порядковий номер члена прогресії. Наприклад: а) нехай задано арифметичну прогресію (<7„), у якій <7| = 3,2, сі = 0,3, потрібно знайти аіо. Запишемо формулу и-го члена арифметичної прогресії ап - а} + сі(п -1). Тоді маємо: <7іо = «і + 9<У = 3,2 + 9 • 0,3 = 5,9; б) знайти п’ятий член арифметичної прогресії (<7„), якщо її восьмий член дорівнює 24, а різниця — 3. Оскільки а„ = аІ + сі(п - 1), то а5 = а\ + 4сі. Знайдемо <7,: - а\ + 7<7, звідки а, = а» - 7<7= 24 - 7 • 3 = 3. Тоді а5 = 3 + 4 • 3 = 15. Для. обчислення суми членів арифметичної прогресії використовують такі формули: 2 2а}+с1(п-\) \ :-------------п 2 Наприклад, знайти суму десяти перших членів арифметичної прогресії у якій = -4, с7=2. 9 і с 2-(-4) + 2-(10-1) 1А СА За другою формулою знаходимо: 510 =--------г—------ * 10 = 50. 15* Капіносов А. Математика. Комплексна підготовка до 3110 2 225
Геометрична прогресія Геометричною прогресією називають послідовність, перший член якої відмінний від нуля, а інші утворюються множенням попереднього члена на одне й те саме число, відмінне від нуля. Це число на- зивають знаменником геометричної прогресії і позначають д. Отже, якщо (/>„): Ь\; Ь2, Ь3; ...; Ь„, ... — геометрична прогресія, то для будь-якого натурального п виконується рівність: Ьп+] = Ьп д. Знаменник геометричної прогресії дорівнює частці від ділення будь-якого її члена, починаючи з другого, на по- передній, тобто: — = — = ... = = д. Якщо (/>„) — геометрична прогресія, то її рекурентна фор- Ь2 ь„ мула має вигляд: Ьп+} = Ьпд, Ь} Ф 0, д Ф 0. Наприклад: а) послідовність (7>п): 1; 3; 9; 27;... є геометрич- ною прогресією, перший член якої дорівнює Ь\ = 1, а знаменник — д ~ 3; 6)3; 1; —скінченна геометрична прогресія, у якій д- 5; -10; 20; -40; ... — нескінченна геометрична прогресія, у якій д - -2; 7; 7; 7; 7; ... — нескінченна геометрична прогресія, у якій д - 1. Геометрична прогресія має такі властивості: Властивість 1. Квадрат будь-якого члена геометричної прогресії, починаючи з другого, дорівнює добутку двох сусідніх з ним членів. Отже, якщо (7>л): Ь\9 Ь2, ...; Ьп; ... — геометрична прогресія, то = Ь\ • /?з, Ьу -Ь2- Ь4 тощо. Правильно й навпаки: якщо в деякій послідовності відмінних від нуля чисел квадрат будь-якого числа, починаючи з другого, дорівнює добутку двох сусідніх з ним чисел, то ця послідовність є геометричною прогресією. Якщо всі члени геометричної прогресії (Ьп) є додатними числами, то з рівності Ь* = Ь„-\ • Ьп+\ випливає Ьп - у[Ьп_} • Ьп+1 . Кожний член такої прогресії, починаю- чи з другого, є середнім геометричним двох сусідніх з ним членів. Наприклад, знайти сьомий член ге- ометричної прогресії (Ьп\ якщо Ьв = З, Ь^~ 27. За описаною вище властивістю геометричної прогресії маємо: Ь$ -Ь^- Ь%, Ь^ = 3 • 27 = 81; Ь7 - ± 9. Отже, /?7 = 9 або 67 - -9. Властивість 2. Добутки членів скінченної геометричної прогресії, рівновіддалених від її крайніх членів, однакові й дорівнюють добутку її крайніх членів. Тобто якщо (6Л): Ь\, Ь2, Ь3, Ь4, Ь$, Ь6 — скін- ченна геометрична прогресія, то Ь\ • Ь6 = Ь2 • Ь5 = Ь3 • Ь4. Наприклад, знайти сьомий член геометричної прогресії (6Л), якщо /?6--36, Ь^~-4. За описаною вище властивістю геометричної прогресії маємо: />72 = Ьь • 68; 67 = (-36) • (-4) = 144; />7 = ± 12. Отже, &7 = 12 або &7 = -12. Формула и-го члена геометричної прогресії має вигляд: ьп = ь^п-\ де Ь\ — перший член прогресії, д — її знаменник, п — порядковий номер члена прогресії. Наприклад, між числами 3 і 48 вставити такі три числа, щоб вони разом з даними числами утво- рювали геометричну прогресію (Ь„). Нехай (Ьп)'. 3; Ь2, Ь3; Ь4; 48 — дана геометрична прогресія. Вико- риставши формулу Ьп=Ь{дп~} й урахувавши, що Ь\ = З, Л5 = 48, складемо та розв’яжемо рівняння: 48 = 3 - д4; д4 = 16; д - ± 2. Якщо д ~ 2, то Ь2 ~ 3 • 2 = 6, Ь3 = 6 • 2 - 12, Ь4 = 12 • 2 = 24. Якщо д - -2, то Ь2 = 3 • (-2) = -6, Ь3 - (-6) • (-2) = 12, Ь4 - 12 • (-2) = -24. Одержали прогресії: 3; 6; 12; 24; 48 або 3; -6; 12;-24; 48. Для обчислення суми членів геометричної прогресії (Ьп), де Ь\ — перший член, Ьп — п-й член, д — її знаменник, д Ф 1, п — кількість членів, використовують такі формули: Д - Ьд ^п=-—— п 1 ’ 1 7 1-9 п 1 п 1 7 Л 1-д д-\ 226
Якщо <7 = 1, то 5п = п • Ьх — формула суми п перших членів геометричної прогресії, знаменник якої дорівнює 1. Наприклад, знайти суму перших чотирьох членів геометричної прогресії, перший член якої , 1 1 „ . с _ _ 40 І , Ь\- —, а знаменник — ц - —. За формулою 8п----1----- маємо: 8п =-------------= 40 3 1-^ З = 1 80 3 = 1 ~ 40 ’ 81 * 2 " 27 ’ Нескінченна геометрична прогресія • 1 1 1 1 1 1 1 1 У прогресіях 1; —; —; —г;..., і; —; -тг; Р Р 4 42 43 4 3 3 _1_. З3 ’ ; ... зі зростанням номера п модулі їхніх членів необмежено зменшуються, наближуючись до нуля. Прогресії такого виду назива- ють нескінченно спадними. Геометричну прогресію називають нескінченно спадною, якщо модуль її знаменника менший за одиницю, тобто |д| < 1. Сумою нескінченно спадної геометричної прогресії (Ь„) називають число, до якого прямує сума її перших п членів за необмеженого збільшення п. Формула суми нескінченно спадної геометричної про- гресії має вигляд: 5 = -*Ь. 1-9 Наприклад, знайти суму членів послідовності 2; 1; —;.... Задана послідовність є нескінченною геометричною прогресією, у якій перший член дорівнює 2, а знаменник— —. Тоді сума членів про- 2 2 гресії дорівнює: 5 =--р = у = 4. Приклад 1. Послідовність (ап) задана формулою и-го члена ап = 2п2 + 1. Знайти: а3, а5, ад. а3 = 2 • З2 + 1 = 19; а5 = 2 • 52 + 1 = 51; а9 = 2 • 92 + 1 = 163. Відповідь. 19; 51; 163. Приклад 2. Числова послідовність (а„) задано формулою и-го члена ап - (п - 1 )(и + 4). Чи є чле- ном цієї послідовності число: а) 150; б) 8? а) Розв’яжемо рівняння: (п - 1)(п + 4) = 150, де пє.І'І; «2 + Зп - 154 - 0; Пі = 11, п3 = -14 — не задовольняє умови задачі. Отже, число 150 є членом послідовності; б) розв’яжемо рівняння: (и - 1)(п + 4) = 8; п2 + Зи-12 = 0; п\ - + , П2= —^22- п&ІУ, 2 2 Отже, число 8 не є членом послідовності. Відповідь, а) Так, б) ні. Приклад 3. Записати для арифметичної прогресії (а„): -38; -34; -30;... формулу п-го члена. И Оскільки «і = -38, а2 = -34, то <1- а2 - «і = -34 - (-38) = 4. Формула п-го члена арифметичної прогресії (а„): ап = -38 + 4(и -1) - 4п - 42. Відповідь. ап = 4п - 42. 227
Приклад 4. Знайти різницю і п’ятий член арифметичної прогресії (б/„): а) 9,8; И; 12,2; 13,4 ...; б) -7; >/з -4; >/з -1; 7з +2; ... . ь)а=а2-ах = 11 -9,8= 1,2; б74= 13,4; б75 = б74 + б/ = 13,4 + 1,2 = 14,6; б) б/ = ад — б?з = л/з + 2 — (л/з — 1) = 3; ад = л/з + 2; а$ = ад + сі = л/з + 2 -4- 3 = л/з + 5. Відповідь, а) 14,6; б) л/з + 5. Приклад 5. Між числами 2,5 і 4 вставити два таких числа, щоб вони разом з даними утворювали арифметичну прогресію (<?„). Маємо прогресію (ап): 2,5; а2, 4. Використавши формулу ап-а} + сі{п- 1) й урахувавши, що дгі=2,5; 6/4 = 4, складемо та розв’яжемо рівняння: 2,5 + 3б7 = 4; Зб/=1,5; б7= 0,5. Тоді а2 = 2,5 + 0,5 = 3; б7з = 3 + 0,5 = 3,5. Відповідь. 3; 3,5. Приклад 6. Знайти суму всіх трицифрових чисел, кратних 4, та менших за 250. А Б В Г д 124 4712 174 6612 348’ Вказані числа утворюють арифметичну прогресію, перший член якої а\ = 100, різниця б/= 4. За формулою и-го члена одержимо: ап = 100 + 4(и - 1) = 4п + 96. Щоб знайти кількість членів прогресії, складемо та розв’яжемо нерівність: 4п + 96 < 250; п < 38,5. Отже, потрібно знайти суму 38 перших членів арифметичної прогресії. Знаходимо: = 2-100 + 4- 37 38 = 6612 2 Відповідь. Г. Приклад 7. Шість чисел утворюють арифметичну прогресію (б7„). Сума перших трьох її членів дорівнює -24, а сума трьох останніх дорівнює 12. Знайти ці числа. Урахувавши, що 53 = -24, 56 = -24 + 12 = -12, складемо і розв’яжемо систему: 2а'+2б/-3 = -24, 2 2а| + 5(1 67| + б/ — —8, 2б71+5б/ = -4; 2б7, + 2б7 = -16; 2б?! + 5б7 = -4; -Зб7 = -12; б7=4. Тоді: ах = -8 - 4 = -12; •6 = -12; І 2 а2 = -12 + 4 = -8; а3 = -8 + 4 = -4; а4 = -4 + 4 = 0; а5 - 0 + 4 = 4; а6 = 4 + 4 = 8. Відповідь. -12; -8; -4; 0; 4; 8. Приклад 8. Щоб заасфальтувати ділянку завдовжки 117 м, використовують два котки. Перший коток встановили на одному кінці ділянки, другий — на протилежному. Працювати вони почали од- ночасно. За першу хвилину перший коток пройшов 1 м, за кожну наступну хвилину він проходив па 0,5 м більше, ніж за попередню. Другий коток за кожну хвилину проходив 6 м. Через скільки хвилин обидва котки зустрінуться? І Нехай обидва котки зустрінуться через х хв, тоді другий коток пройде до зустрічі шлях, що дорівнює 6х м, а перший пройде шлях, який можна виразити за допомогою суми членів арифметичної , , 1 с 2а!+(и-1)<і 2+ (х 1) 4 + х_і Зх + х2 прогресії, де а\ - 1, п = х, а = —. 8„ = —1------ • п =----------- • х =------- • х ------. Увесь 2 2 2 4 4 3.x Ч- х2 шлях дорівнює 117 м. Отже, маємо квадратне рівняння 6х +-------------- 117. х2 + 27х - 468 = 0, звідки 4 X) = 12, Х2 = -39 — не задовольняє умову задачі. Отже, обидва котки зустрінуться через 12 хв. Відповідь. 12 хв. 228
Приклад 9. Знайти знаменник та четвертий член геометричної прогресії (/>„): 4; -6; 9; ... . _ _ ь2 _ -6 _ З , , _а ( 3> _ 27_іас ~-,Ь4-Ь3- ц-9 • І --І--------13,5. р] 4------------------------------------2 2' 2 З — Відповідь. —; —13,5. Зл-2+3 Приклад 10. За яких значень х числа 55х, 10 4 і 32х будуть послідовними членами геометричної прогресії (6„)? У відповідь записати добуток цих значень. А Б В г Д 1 2 3 4 5 За властивістю 1 геометричної прогресії маємо: Ь2 - Ь\ • 63. Тоді: = 55х • 32х; 10 4 V з*г+з Зх2 + З 1 10 2 -55х-25х;102 = 105х; ---------------------= 5х; Зх2 - Юх + 3 = 0; х, = 3; х2 = -. Тоді Хі • х2 = 2 З Відповідь. А. Приклад 11. Знайти чотири числа, що утворюють геометричну прогресію (£„), у якій сума край- ніх членів дорівнює 27, а добуток середніх — 72. Маємо геометричну прогресію (6„): Ь\\ Ь2; у якій 6і + 64 = 27, 62-6з = 72. Оскільки А 6. 6, + 6. — 27, — = — , то 626з = 6164 = 72. Складемо і розв’яжемо систему: < Звідки 6і =3 , 64 = 24 або Ьх Ь3 [6, • 64 = 72. б! = 24, 64 = 3. Маємо дві прогресії: 1) 3; 62; 63; 24, 2) 24; 62; 63; 3. Знайдемо 62 і 63 в кожному з випад- ків. 1) Використавши формулу и-го члена геометричної прогресії, одержимо: 64 = бцу3; 3 • <?3 = 24; 73 = 8; # = 2. Тоді 62 = 3 - 2 = 6; 63 = 6 • 2 = 12. Маємо прогресію 3; 6; 12; 24. 2) 64 = 61#3; 24#3 = 3; <?' = ~; ^ = ^. Маємо прогресію: 24; 12; 6; 3. Відповідь. 3: 6; 12; 24 або 24; 12; 6; 3. Приклад 12. З бактерії за 30 хвилини утворюється дві, кожна з яких за 30 хвилини знову ділиться навпіл тощо. Скільки бактерій буде в організмі з однієї через добу? А Б в Г д 2з° 248 210 60 зо Число бактерій збільшується удвічі через кожні півгодини. Якщо зафіксувати кількість бакте- рій щопівгодини, то одержимо послідовність: 1; 2; 22; 23; ...; 2м”1. Ця послідовність є геометричною прогресією. Потрібно визначити, скільки бактерій утвориться з однієї бактерії через 24 год (48 разів по півгодини), тобто потрібно знайти 49-й член прогресії. Маємо Ь\ = 1, <7 = 2, п = 49. Тоді за форму- лою 6і = 1 маємо: 649 = 1 • 2494 = 248. Відповідь. Б, 229
Приклад 13. Знайти третій член нескінченної геометричної прогресії (/>„), сума якої дорівнює -. ' =8 1 $ Поділивши почленно друге рівняння на ^=4 □ • 1 5 о Звідки маємо <?і - — ,ді~ — • Значення д- не за- 4 4 1 а другий член----—. За умовою складаємо та розв’язуємо систему: перше, отримаємо <у(1 - <?) = або дг - д - = 0. довольняє умову |</| < 1. Отже, д = “. Тоді Ь2 - Ь2д = П- 1 Відповідь. -. Приклад 14. Перший, п’ятий та одинадцятий члени арифметичної прогресії («„) утворюють гео- метричну прогресію (/>„). Запиши шість перших членів арифметичної прогресії, якщо = 24. Нехай «і = 24 — перший член арифметичної прогресії, <1 — різниця прогресії. Тоді «5 = 24 + 417, «іі - 24 + 10с/. (Ьп): />,; Ь2; Ь2,... — геометрична прогресія. За умовою, />і=24. Ь2 = а5 = 24 + 4(7, Ь2 = с/ц = 24 + 10с/. За властивістю геометричної прогресії Ь}-Ь\-Ь2. Маємо: (24+ 4(7)2 = 24(24+ 10(7); 242 + 8 • 24 <1+ 16^ = 242 + 10 • 24 • (7; 16с/2 - 2 - 24 - с/= 0; 16<7(<7-3) = 0. (7 = 0 або (7=3. Отже, можливі два випадки: 1) (7= 0, «і = 24, тоді маємо арифметичну прогресію: 24; 24; 24; 24; 24; 24. 2) (7= 3, «і = 24, тоді маємо арифметичну прогресію: 24; 27; 30; 33; 36; 39. Відповідь. 24; 24; 24; 24; 24; 24 або 24; 27; ЗО; 33; 36; 39. Завдання 21.1-21.22 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 21.1. Знайти тридцять перший член арифметичної прогресії 3; 5,5; 8;... А Б В Г Д : 85,5 83 80,5 78 73,5 21.2. В арифметичній прогресії («„) «і = -2,7; «іб - 1,8. Знайти різницю прогресії. А Б В Г д 0,5 0,2 0,4 -0,4 0,3 21.3. Ламана містить 14 відрізків. Кожний її відрізок, починаючи з другого, на 2 см більший від по- переднього. Знайти довжину найменшого з відрізків, якщо найбільший з них дорівнює 29 см. А Б В Г д 2 см 2,5 см 3 см 3,5 см 4 см 21.4. В арифметичній прогресії а\ - 3, «75 = 299. Знайти «50. А Б В Г д 90 99 190 199 203 230
21.5. В арифметичній прогресії тридцять членів. Знайти суму всіх членів прогресії, якщо перший її член дорівнює -12, а останній — 75. А Б В Г д 1305 945 2610 835 1890 21.6. Знайти суму перших тринадцяти членів арифметичної прогресії -8; -5; -2;... А Б В г д 140 120 130 240 260 21.7. Третій і сьомий члени арифметичної прогресії відповідно дорівнюють 11 і 23. Знайти суму 10-ти перших членів цієї прогресії. А Б В Г Д 85 35 185 175 370 21.8. Записати формулу для обчислення и-го члена геометричної прогресії 4; 12; 36;... А Б В г Д 6и = 3-4л-‘ 6и-4-8л’1 ьп =4-3”-‘ 6„=4-Зл 21.9. Записати формулу для обчислення суми п перших членів геометричної прогресії 2; 6; 18;... А Б В г д 2и Зл+1 - 7 Зп-1 2” + 1 зл-1 21.10. 17 + 172 + 173 + ... + 1720 = ... А Б В Г д 16-(1720 -1) 17-(1719-1) 17 • (1720 -1) 1720 -1 1721 -1 17 16 16 16 16 21.11. Знайти суму нескінченно спадної геометричної прогресії 3; —; —; —;... А Б В г Д 2 3 6 2,5 1 21.12. Обчислити суму 21 1 + 21 2 + 21 3 = ... А Б В г д 0,1 0,05 0,01 0,2 0,02 21.13. (а„) — арифметична професія, в якої а1 - 9, аю = 27. Знайти аі5. А Б В Г Д Не можна визначити 41 39 47 37 21.14. В арифметичній прогресії (а„) а$ = 6. Знайти 5|5. А Б В Г д 180 84 96 90 не можна визначити 231
21.15. Сума восьмого і двадцятого членів арифметичної прогресії дорівнює 48. Знайти чотирнадця- тий член прогресії. А Б В Г д 96 24 26 22 не можна визначити 21.16. (ял) — арифметична прогресія. Знайти суму перших її десяти членів, якщо щ = 10 і а7 = 19. А Б В Г Д 145 290 155 390 310 21.17. Знайти суму натуральних чисел від 40 до 200 включно. А Б В г д 19280 19200 19320 38400 38640 21.18. Знайти знаменник нескінченно спадної геометричної прогресії, якщо її перший член = —•, а 1 сума . 100 А Б В г д 1 1 1 1 1 50 100 101 200 300 21.19. Вираз 1 - а + а2 - а3 + а' - а5 + а" - а* + а8 - а9, де а * 1, тотожно дорівнює виразу ... А Б в г д а'°-1 а — \ а10 +1 а + \ а‘°-1 а +1 1-а10 а -Ь1 1-а9 я + 1 21.20. У пробірці міститься три клітини, які розмножуються поділом навпіл. Скільки утвориться клі- тин після п-го поділу? а' Б В Г д 2-3" 2 • 3"’’ 3 + 2" 3 • 2"’1 3-2" 21.21. Вкладник вніс до банку а гривень під 10% річних. Скільки грошей буде на рахунку вкладника через п років? А Б В Г д 1,Га 1,1а" (1 +0,Г)а (1 + 1,1")а 0,1а" 21.22. 11 + 101 +1001 +10001 +100...001 =... А Б В г д ! 10"+І + и -10 10п+2 + 9п-1 10и+2 -10 10п+І -10 10"+2+10п-1 9 9 9 9 9 232
Завдання 21.23-21.33 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 21.23. Установити відповідність між послідовностями (1-4) та їхніми можливими властивостями (А-Д). 1 Арифметична прогресія 2 Не прогресія 3 Геометрична прогресія (|д| > 1) 4 Нескінченна геометрична прогресія (І<7І< 1) А 5 = +13л ” 2 Б 8 = -^- 1-д В 5н = Зп + 2 Г ап=Т Д Ьп=Ьл-СЬ,^ 21.24. Установити відповідність між арифметичними прогресіями («„) (1—4), заданими двома члена- ми, та їх різницями (А-Д). 1 «і = -1, аг — 3 2 а\ = -ЗО, а$ - -6 3 «1 = 13, «4 = 1 4 «і = 17, «п = —3 А -2 Б -4 В 2 Г 4 Д 6 21.25. Установити відповідність між арифметичними прогресіями (а„) (1-4), заданими двома члена- ми, та формулами и-го члена (А-Д). 1 аі = 2, аз = 12 2 02 = -11,05 =--20 3 03= 18,07 = 38 4 04 = -23 , 06 = -33 А ап = 5 + Зп Б ап = 3 + 5п В ап- -5 - Зи Г ап - -3 - 5п Д а„ = -3 + 5п 21.26. Установити відповідність між арифметичними прогресіями (ап) (1-4), заданими двома члена- ми, та їх десятим членом (А-Д). 1 01 = -9, 03 = -23 2 0і = -2, 07 = 16 3 0і =-5, 0із =-29 4 0і = -1,0И = 51 А «ю = 25 Б «ю = 35 В «10 = -45 Г «ю = -23 Д «ю = -72 21.27. Установити відповідність між арифметичними прогресіями (а„) (1^4), заданими двома члена- ми, та формулами сум п перших її членів (А-Д). 1 «і = 5, «2 = 9 2 «і = -5, «з = -13 3 «і = 7, «4 = 13 4 «і =-11, «5 =-19 А 8п = п2 + 6п Б 8п = —п2 - 10/7 В = -2п2 - Зп Г 8п = 2п2 + Зп Д 5п = -п2 + 1 Он 233
21.28. Установити відповідність між арифметичними прогресіями (а„) (1-4), заданими двома члена- ми, та сумами 10 перших її членів (А-Д). 1 а\ - 7, а-і - 9 2 а\ - -1, аг = -9 З а\ = -3, аг = 1 4 а\ = 3, аг - -1 А -160 Б -60 В 0 Г 60 Д ібо 21.29. Установити відповідність між геометричними прогресіями (а„) (1=1), заданими двома членами, та їх знаменниками (А-Д). 1 Ьу = -2, 64 = -54 2 Ьг = -6,65=162 З 6, =32, г>4 = 4 4 63 = -24, 66 = 3 А -З Б -0,5 Г 0,5 Д З 21.30. Установити відповідність між геометричними прогресіями (а„) (1-^4), заданими двома членами, та формулами и-го члена (А-Д). 1 6і = 4, Ь4 = 108 2 6і = 2, 64 = -54 З 62 = -6, 65 = 48 л а -а а - 81 4 62 - 6, 65 --- А 6„ = 2-(-3)"-1 Б Ь„ = 3 • (-2Г1 В 6„ = 4-(-3)л~1 Г 6„ = 4-3"’1 < зГ-1 Д 6„=8- 4 <47 21.31. Установити відповідність між геометричними прогресіями (а„) (1=1). заданими двома першими членами, та формулами суми п перших їх членів (А-Д). 1 6, =4, 62 = 8 2 6, = -4, 62 = -2 З б! = 12, 62=-24 В 5я = 2”+2-4 Г 5„ = 2“"+3-8 Д 5п = 2-(-2)"+І +4 21.32. Установити відповідність між нескінченними спадними геометричними прогресіями (а„) (1-4), заданими двома першими членами, та їх сумами (А-Д). 1 2 З 4 6, = 6, 62 = 1 б! =25, 62=-5 6і = -,62 = -- З З А _ з ,6 О] — — , 02 — - 7 49 А 20— 6 Б 0,6 В 3,6 Г 7,2 234
21.33. Установити відповідність між заданими виразами (1-4) та їх сумами (А-Д). 1 1 + а2 + а4 + а6 + я8 + б?10, де а Ф 1 2 1 — а + а2 — а3 + а* + а5 — а\ де а Ф 1 З а2 + а4 + а6 + а8 + б?10 + а12, де а Ф 1 4 а - а2 + а3 - а + а5 - а6, де а Ф -1 Розв’яжіть завдання 21.34-21.46. Відповідь запишіть десятковим дробом. 21.34. Знайти найбільший від’ємний член арифметичної прогресії (ал), у якої а\ = 101, сі- -1. 21.35. Знайти суму 5 членів арифметичної прогресії (а„) з десятого до сорокового включно, якщо ах = -10, сі- 2. У відповідь записати 5: 100. 21.36. Із двох точок, відстань між якими дорівнює 155 м, одночасно починають рухатися назустріч одне одному два тіла. Перше тіло рухається рівномірно зі швидкістю 8 м/с, а друге тіло за пе- ршу секунду пройшло 3 м, а кожної наступної секунди проходить на 1 м більше, ніж за попе- редню. Через скільки секунд тіла зустрінуться? 21.37. Знайти суму 5 усіх трицифрових натуральних чисел, які діляться на число 7 без остачі. У від- повідь записати 5: 100. 21.38. Знайти найбільше значення х, за яких числа х - 1, 2х - 1 і х2 - 5, записані в указаному порядку, утворюють арифметичну прогресію. 21.39. Визначити, за яких значень х три числа 1§2, 1§(3Г - 3) і І£(3Х + 9), узяті в заданій послідовності, утворюють арифметичну прогресію. 21.40. Знайти різницю арифметичної прогресії, якщо сума перших її 100 членів на 50 більша від суми ста наступних. 21.41. Інфузорїї-туфельки розмножуються поділом на дві частини. Скільки утвориться інфузорій із п’яти після семи поділів? 21.42. (х„) — нескінченна спадна геометрична прогресія, у якої хі = 3, 9 = ~- Знайти суму її членів з непарними номерами. 21.43. У посудині міститься 1000 л повітря. Кожний рух поршня розріджувального насоса видаляє з посудини 0,1 частини повітря. Скільки літрів повітря залишиться в посудині після п’яти рухів поршня? 235
21.44. Спростити рівняння функції у - х4 ч--ч-------ч-------+... та знайти її значення, якщо 1 + х (1 + х4) (1 + х4)' 21.45. Знайти перші п’ятдесят членів двох арифметичних прогресій 2; 7; 12; ... і 3; 10; 17;..., які од- накові в обох прогресіях та обчислити їх суму 5. У відповідь записати 5 : 100. 21.46. Числа ти, п і р. відмінні від нуля та записані в заданій послідовності, утворюють геометричну прогресію, а числа т + и, п + р і р + ти, записані в заданій послідовності, — арифметичну про- гресію. Знайти знаменник геометричної прогресії, відмінний від 1. 236
Тема 22. Елементарні функції та їхні властивості Поняття функції Змінну у називають функцією від змінної х, якщо кожному значенню змінної х відповідає одне певне значення змінної у. При цьому змінну х називають незалежною змінною, або аргументом, а змінну у — залежною змінною, або функцією (від аргументу х). Якщо змінна у є функцією від аргументу х, то записують: у ~/{х) (читають: у дорівнює / від х). Значення функції для х = х0 позначають через/(*о)« Так, якщо функцію задано формулою у - 2х - 3, то можна записати: Дх) ~ 2х - 3. Тоді, наприклад, У(1) = 2 • 1 -- 3 = -1, /(2,5) = 2 • 2,5 - 3 = 2. Область визначення і множина значень функції Множину значень, яких набуває незалежна змінна (аргумент), називають областю визначення функції; множину значень, яких набуває залежна змінна (функція), називають областю значень функ- ції. Область визначення функції у -/(х) позначають Е(/) або £>(у), а область значень — Е(/) або Е(у). Якщо вираз /(х) є многочленом, то областю визначення функції у -/(х) є множина всіх дійсних чисел; якщо/(г) — раціональний дріб, то областю визначення функції є множина всіх дійсних чисел, крім тих значень х, для яких знаменник дробу дорівнює нулю; якщо функція задана формулою у - у[/\х) , то областю визначення функції є множина всіх дійсних чисел, для яких виконується нері- вність /(х) > 0. Наприклад, розглянемо функцію у ~ —-—. Вираз —-— має зміст для всіх значень х, крім х = 4. х - 4 х - 4 Тому областю визначення цієї функції є множина всіх дійсних чисел, крім х-4, тобто І)(у)- - (--<х>; 4)и(4; +оо). Графіком функції називають фігуру, яка складається з усіх точок координатної площини, абсци- си яких дорівнюють усім значенням аргументу, а ординати — відповідним значенням функції. Нулі функції. Проміжки знакосталості Розглянемо функцію у -/(х). графік якої зображено на рисунку. Якщо х = -1, х = 4 або х = 6, то значення функції дорівнює нулю. Такі значення аргументу х називають нулями функції. Рис. 1 Щоб знайти нулі функції у ~/{х), потрібно розв’язати рівняння^*) = 0- Нулі функції розбивають її область визначення на проміжки знакосталості — проміжки, на яких функція набуває значень од- ного знака. Наприклад, нулем функції у-х-2 є лише одне значення х: х-2 = 0; х = 2; нулями функції у = х2 - 2х є числа 0 та 2. Зростання, спадання функції Розглянемо графік функції^ =/(х) на рисунку 1. На проміжку [-3; 2] графік «іде вгору»: якщо збільшувати значення х із цього проміжку, то відповідні значення функції збільшуватимуться. Напри- клад, візьмемо значення аргументу Хі=-3 і х2 = -1, тоді х2>хь Оскільки /(хі) = /(-З) = -2, а 237
/(х2) = /(“О - 0, тоУ(х2) >/(хі). Більшому значенню аргументу (х2) відповідає більше значення функції (Дх2)). Кажуть, що на проміжку [-3; 2] функція у =У(Х) зростає (або є зростаючою). Такою ж вона є й на проміжку [5; 7]. На проміжку [2; 5] графік функції у =ЛХ) «іде вниз»: якщо збільшувати значення аргументу, то відповідні значення функції зменшуватимуться. Кажуть, що на цьому проміжку функція у =ЛХ) спа- дає (або є спадною). Якщо функція зростає на всій області визначення, то її називають зростаючою функцією} якщо ж функція спадає на всій області визначення, то її називають спадною функцією. Наприклад, на рисунку 2 зображено графік функції, областю визначення якої є проміжок [-1; 5]. Ця функція є зростаючою, бо вона зростає на всій області визначення. Функція, графік якої зображено на рисунку 3, є спадною, бо вона спадає на всій області визначення — проміжку [-1; 5]. Зростаючими, наприклад, є функції у = 2х, у - \[х , а спадними — функції у = -2х, у = -х. Функція у =ЛХ), графік якої зображено на рисунку 1, є ні зростаючою, ні спадною. Вона лише зростає або спадає на окремих проміжках. Парні та непарні функції Розглянемо функціюУ(*) = її графік зображено на рисунку 5. Оскільки для будь-якого значен- ня х виконується рівність (-х)2 = х2, тоУ(“*) -Лх\ ФункціюДх) = х2 називають парною. Функцію у -Лх^ називають парною, якщо для будь-якого значення х з області її визначення значен- ня -х також належить області визначення і виконується рівністьУ(“*) -Лх\ Область визначення парної функції симетрична відносно початку координат, бо разом із точкою х вона містить і точку -х. Графік парної функції сішетричний відносно осі у (див., наприклад, рис. 5). Тому для побудови графіка парної функції досить побудувати частину графіка для х > 0, а потім симетрично відобразити цю частину відносно осі у. На рисунку 6 зображено графік функції Дх) = х3. Оскільки для будь-якого значення х виконується рівність (-х)3 = -(х3), тоу(-*) = ~ЛХУ ФункціюДх) = х3 називають непарною. Функцію у =ЛХ) називають непарною, якщо для будь-якого значення х з області її визначення значення -х теж належить області визначення і виконується рівністьЛ~х) - ~ЛХ)- Розглянемо функцію Дх) = 2х + 3. Область її визначення — множина всіх дійсних чисел — симе- трична відносно початку координат. Для цієї функції Л~х) -~2х + 3. Рівності/-х) =ЛХ) і ~ _У(Х) не виконуються для всіх значень х, наприклад, для х = 1 (Д1) = 5;Д-1) = 1;У(-1)*У(1) ІУ(-1) Ця функція є ні парною, ні непарною; функція Дх) = >/х , де х > 0, також є ні парною, ні непарною, бо область визначення функції (проміжок [0; +«>)) не симетрична відносно початку координат. 238
Область визначення та графік непарної функції симетричні відносно початку координат. Тому для побудови графіка непарної функції досить побудувати частину графіка для х > 0, а потім симетри- чно відобразити цю частину відносно початку координат. Періодичність функції Функцію у =Дх) називають періодичною, якщо існує таке число Т> 0, що для будь-якого числа х із області визначення функції виконується рівність± Т) -^х). Число Т називають періодом функції. Найменше додатне число, яке є періодом функції називають найменшим додатним періодом, або ос- новним періодом цієї функції, і позначають То. Наприклад, основним періодом функцій у - зіпх та у - созх є число 2л, а функцій у - і£х та у - сі&х — я. Пряма пропорційність у = кх (к * 0) Функцію, задану формулою у - кх (к * 0), де х та у — змінні, к — число, називають прямою про- порційністю. Число к називають коефіцієнтом пропорційності. Графіком прямої пропорційності є пряма, яка проходить через початок координат під кутом а (к = і§а). Коефіцієнт к називають також кутовим коефіцієнтом прямої. Для побудови прямої достатньо знати дві точки. Оскільки графік пря- Лінійна функція у = кх + Ь (к * 0) Функцію, задану формулою у - кх + Ь. де х та у — змінні, к і Ь — числа, називають лінійною фун- кцією. Число к називають кутовим коефіцієнтом прямої. Графіком лінійної функції є пряма, яка про- ходить під кутом а (к - (§а) до осі абсцис. 239
Пряма у = кх + Ь перетинає вісь ординат у точці (0; Ь) і вісь абсцис у точці 0 Обернена пропорційність Функцію, задану формулою у - — (к * 0), де х та у— змінні, к— число, називають оберненою х пропорційністю. Графіком функції у - — (к * 0) є гіпербола, частини графіка — вітки гіперболи. Гра- х фік не перетинає осей координат. у=- (*>0) X Область визначення функції: Д(у) = (-<»; 0)о(0; +<~). Множина значень функції: £(у) = 0)о(0; +<*>) Квадратична функція у = ох2 + Ьх + с (а * 0) Функцію, задану формулою у - ах2 + Ьх + с (а * 0), де х та у — змінні, а, Ь і с — числа (а Ф 0), на- зивають квадратичною функцією. Графіком функції у = ах2 + Ьх + с є парабола з вершиною у точці [ —— і , де Д -Ь2 - Аас. Віссю симетрії параболи є пряма х = —~, яка паралельна до осі у. V 2а Аа' 2а Область визначення функції: Д(у) = (-«о; +©©). Якщо а < 0, то вітки параболи напрямлені вниз і значення —— є найбільшим значенням функції, 4(7 тобто Е(у) = ; якщо а > 0, то вітки параболи напрямлені вгору і значення —— є найменшим V 4^ 4(7 значенням функції, тобто Е(у) - Якщо Д < 0, то парабола не перетинає осі абсцис; якщо О = 0, то парабола дотикається до осі х у \ л • —Ь — • —Ь + л/д вершині; якщо и > 0, то парабола перетинає вісь х у точках х, =----— і х2 =---------—. 2(7 ~ 2(7 240
Парабола перетинає вісь у в точці з координатами (0; с). Наприклад, побудувати графік функції у -х2 + 4х + 3. Оскільки а - 1 >0, то вітки параболи на- прямлені вгору, 6 = 4, с = 3.£> = 42-4* 1 *3 = 16-12 = 4>0 — парабола перетинає вісь х у двох точ- Ь 4 І) _ 4 ках. Вершина параболи має координати: х0----------------2; 3/0---------------1* Точки пере- 2а 2-1 4а 4*1 -Ь - 75 -4-2 6 о -Ь + 75 -4 + 2 2 і тину з віссю х: хх -----— = ——- = — = -3; х2 =---------— =-----= — = -1. Точка перетину з 2а 2*1 2 2а 2*1 2 віссю у: (0; 3). Знайдемо значення функції для кількох цілих значень х, близьких до абсциси вершини: X -5 -4 -3 -2 -1 0 1 У 8 3 0 -1 0 3 8 Тоді графік має вигляд: Приклад 1. Функцію задано формулою /(х) = ^(2х +1). ЗнайтиУ(-5). А Б В г д 3 -1 1 -3 І ю /(-5) = |( 2 (-5) +1) = 1(-10 + 1) = і (-9) = -3. Відповідь. Г. Приклад 2. Вказати проміжки, на яких функція/(х) = -5х + 15 набуває від’ємних значень. А Б в г д (-°°; 3) (3; +°°) (-~ ;-з) (-3; +оо) 'ї —; + оо <3 ) Функція набуває від’ємних значень на тих проміжках, де $х) < 0. Розв’яжемо нерівність: -5х + 15 < 0; -5х < -15; х > 3; хє (3; +«>). Відповідь. Б. 16* Капіносов А. Математика. Комплексна підготовка до ЗНО 241
Д л т Ч Приклад 3. Знайти область визначення функції у = Д|х| - 3 +-----. У відповідь записати (х-1) -4 суму найменшого додатного і найбільшого від’ємного цілих значень цієї області. Для того, щоб знайти область визначення функції, необхідно розв’язати таку систему: |х|-3>0; (1) <! Розглянемо (1): |х| - 3 > 0; |х|-3; (х-1) -4*0. (2) хє(--о°; -3]о[3; +«=). Розглянемо (2): (х — 1)2-4*0;(х- 1)2*4; х -1 * 2; х-1*-2; х * 3; х*-1. ///////////^^^^^^^ _____________________ -З -1 З X Отже, хє (-оо; -3]о[3; +°°). Найбільше від’ємне ціле значення дорівнює -3, найменше ціле додатне значення — 4, а їх сума дорівнює -3 + 4 = 1. Відповідь. 1. Приклад 4. Вказати проміжок, якому належать нулі функції у = х3 + 2х2 - х - 2. А Б в Г Д (-~; о) (-5; 3) [-2; 1) (-2; +°°) [0; 1] Щоб знайти нулі функції, потрібно розв’язати рівняння х3 + 2х2 - х - 2 = 0; х°(х + 2) - (х + 2) = 0; (х + 2)(х2 - 1) = 0; х = -2; х — —1; Числа -2; -1 і 1 належать проміжку (-5; 3). х = 1. Відповідь. Б. Приклад 5. За якого значення параметра с графік функції у = 1одг(х + с) проходить через точку (2; 3)? А Б В г д 7 4 1 6 4,5 х = 2; у = 3.10^(2 + с) = 3; 2 + с = 23; с = 8 - 2; с = 6. Відповідь. Г. Приклад 6. Знайти множину значень функції у = $іпх - 3. А Б В г Д [-4;-2] 1-Ю; 4] [2; 4] (-оо; +оо) [-3;3] За властивістю функції у = зіпх, множиною її значень є [-1; 1], тобто -1 < зіпх < 1. Додамо до всіх частин подвійної нерівності число -3 й отримаємо: -1 - 3 < §іпх - 3 < 1 - 3; -4 < зіпх - 3 < -2. От- же, множиною значень функціїу - §іпх - 3 є проміжок [-4; -2]. Відповідь. А. Приклад 7. Знайти область визначення функції^*) - 1о£0,5(2х - х2). А Б В г д (0; 2) (-«>; 0)о(2; +«) інша відповідь (-«>; 0]и[2; +-) [0; 2) 242
За властивістю логарифмічної функції областю визначення функції Хх) = 1оео,5(2х-^2) є Усі значення х, які задовольняють умову 2х-х2>0. Розв’яжемо утворену нерівність: 2х - х2 > 0; х2 - 2х < 0; х(х - 2) < 0; хі = 0, х2 = 2. хє (0; 2). Відповідь. А. Приклад 8. Яке з наведених чисел входить до множини значень функції у = 2х + 4 ? А Б в г д 5 жодне з чисел не входить 3 4 0 Знайдемо множину значень функції у = 2х + 4. Оскільки 0 < 2х < +<~, то 4 < 2х + 4 < +<~. Тому множиною значень функції у = 2х + 4 є ує(4; +оо), 3 указаних у відповідях чисел у проміжок (4; +«>) входить лише число 5. Відповідь. А. Приклад 9. Графіку функції, заданої формулою у = 4 —, якщох>0; х належать точки А(-2; а), —, якщох<0, . х 5(2; &), С. Знайти а, Ь і с. У відповідь записати їхню суму. ЯА(-2;а): -2<0, тому точка належить частині графіка функції у = —, якщо х<0. Маємо: х 4 у =----= 2. Отже, а = 2; -2 4 4 5(2; Ь)\ 2 > 0, тому точка належить частині графіка функції у = —, якщо х > 0. Маємо: у = — = 2. х 2 Отже, 6 = 2; (1 А 1 . . 4 С — ;с : — >0, тому точка належить частині графіка функції у = —, якщо х>0. Маємо: \2 / 2 х 4 _ у = = 8. Отже, с = 8. 2 Сума знайдених значень дорівнює: 2 + 2 + 8 = 12. Відповідь. 12. Приклад 10. Функція спадає, якщо х < 0. Вкажіть найменше з чисел. А Б в г д і"4 оо | їм 4-Й 1 о 4-ї} Оскільки функція спадна, то більшому значенню аргументу відповідає менше значення функ- ції. Найменше із запропонованих чисел відповідає найбільшому значенню аргументу. Відповідь. А. 243
Завдання 22.1-22.29 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 22.1. Знайти область визначення функції у - 1§(х2 - 6х + А Б В Г Д К (—°°; 2]и[4; +оо) (-<»; 2)и(4; +°°) (2; 4) (-оо; 2)и(2; 4)о и(4; +°°) 22.2. 22.3. Знайти область визначення функції у -• \І52х 3 -1 . А Б В Г Д (1,5; +оо) [2; +оо) [1,5;+°°) [5; +°°) [3; +°°) Знайти область визначення функції у = .----. V х + 1 А Б в г д -і)и(-1; +оо) (—1; +оо) (-і;4) (—°°; — 1)о(4; +сю) (-оо; -1)о[4; +оо) 22.4. Яка з множин є областю визначення функції у = ^-1о§? х + 1 ? А Б В г д ; [0; 3] [0;4] [-3; 3) (-оо; 3] (0; 3] 22.5. Вказати область визначення функції у - +(х2 + 2)^2 + 1о§5 —. А Б в Г Д (2; 5] (0; 2] (0; 25] (2; +°°) (-2; +оо) 22.6. Знайти множину значень функції у = -х2 + 4х - 5. А Б в Г Д і (—;И (—;-і] [1; +°°) (-«>; 5] [ --5; +°°) ! 22.7. Обчислити відстань від початку координат до вершини параболи у - -х2 + 1 Ох - 13. А Б В Г Д і 5 13 12 17 10 22.8. Знайти множину значень функціїу = -2совх + 5. А Б в г д і [-і; і] [2; 5] [-2;-5] [3; 7] к 244
22.9. Знайти множину значень функції у - 3 соз І х + — і - 2. А Б в г Д Н; і] [-5; 1] [і;3] [-5;-2] [-3; з] 22.10. Знайти множину значень функції у = 3 - 2зіп5х. А Б в г Д [і;5] [2; 4] [3;5] [1;3] [-1; і] 22.11. Дано функцію /(х) = -—-. Знайти Дх + 1). 1 + х А Б В Г д /(Х + 1)“Ц2Х /(х + 1) = — У ’ х + 2 \ 1 + х /(Л + 1) = 1-Х /(х+1) = —— К 7 1 + х 22.12. Яка з наведених функцій є парною? А Б в Г д У = X3 + X у = х6 + Зх у - х2 + |х| X У=х-1 у = зіпх + і£х 22.13. Яка з наведених функцій є непарною? А Б в Г д у = х + |х| у = зіп2х х2 У=х-1 У = уі\А у = ^х 22.14. Функція^*) — парна, а функція §(х) — непарна. Х~7) ~ -11, #(5) = -2. Обчислити 2Х~7) - 3^(-5). А Б В Г Д -28 -16 28 16 29 22.15. Ескіз графіка якої з наведених функцій зображено на рисунку? А Б в Г д у = -2х + 4 у = 2х - 4 _у = 2х + 4 у = -2х - 4 у - -4х - 4 245
22.16. За ескізом графіка^ = ах + Ь вказати знаки параметрів а і Ь. 22.17. За ескізом графіка функції у = аг2 + Ьх + с знайти значення параметрів а, Ь і с. А Б В г Д а > 0, Ь>0, с>0 а>0, Ь>0, с < 0 а>0, 6<0, с<0 а>0, Ь<0, с > 0 а < 0, 6 < 0, с<0 22.18. За яких значень а параболау = 9х2 - 12г + 35а має з віссю абсцис дві точки перетину? А Б В Г д а = А 35 а< — 35 а> — 35 а< — 35 а< — 35 22.19. Вказати функцію, в якої основний період дорівнює я. А Б В Г д У - 8Іп(х + я) у - соз(2х + 1) у = 1§(3х + я) у - сі§(4х + 2) у-п 22.20. Знайти основний період функціїу = соз26х. А Б В г Д 2я 3 Зя я 3. 6я я 6 X X 22.21. Знайти основний період функції у = 2 соз— + 3 . А Б В Г д я 24 6я 24я 8я функція неперіодична 246
22.22. Вказати функцію, обернену до функції у - 4х - 1. А Б В г д х + 1 У= 4 1 У 4х-1 + И| тГ II у - 4х + 1 у - -4х + 1 22.23. Вказати функцію, обернену до функції у = х2 - 2, хє [0; +°°). А Б В Г д 1 У = * х -2 у = 4х-2 у = 4х + 2 у = -у]х + 2 у = >/* + 2 22.24. Вказати складену функцію у =У(^(х)), якщо #(х) = —, /(х) = А Б В Г д х2 ^=х2+1 у = х2 + 1 X ? = х2+1 х2 + 1 У = X X2 +1 У= X2 22.25. Вказати складену функцію у =А§(х)), якщо §(х) = л/х + 1, /(х) = х2 -1. А Б В Г д у = (х2 - 1)>/х + 1 , ад = [-!;+-) У = х, О(у) = +°°) У = 4х, О(у)= [0; +°°) у=^, П(у) = +°°) у = х П(у) = [-!;+-) 22.26. Знайти множину значень функції у = 55ШГ. А Б В г д (0; +°°) п [-5; 5] Г-;5І І5 3 [-1; і] 22.27. Графік якої з наведених функцій зображено на рисунку? А Б В Г д х2 у=— X У = \[х2 у = 10І8Л у = 1*1 247
22.28. Знайти множину значень функції у = ---. А Б В г Д К (0; +°°) (0; і] ґо;-4) V 2/ Го;-') 22.29. Знайти найбільше ціле значення функції у = 25 • зСО54хсо53х+5іп4х5іп3х 2 А Б В Г д 25 3 0 75 8 -1 Завдання 22.30-22.40 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 22.30. Установити відповідність між функціями (1—4) та областями їх визначення (А-Д). 1 /(х) = 1о§, 2-Х’”! 2 /«-Л + 7 V х + 2 3 /(Х)=3/2^ V Х-1 4 /МГ А (-<»;1)и(1;+оо) Б (-2;1) В (-оо;-2)и(1;+~) Г (-~;-2)и(-2;+~) Д (-оо;-2)и[1;+оо) 22.31. Установити відповідність між функціями (1-4) та їхніми областями визначення (А-Д). 1 І5 + х 4-1 А (1;5) Б [1;5] 2 к 1 1 ОО II В [1; 5) Г (-°°; -5]и(1; +«>) 3 Ч II * о 1 । — * Д (1;5] 4 Ч II СП >7" 1 1 * — 22.32. Установити відповідність між функціями (1-4) та їхніми множинами значень (А-Д). і у = 7х2 + 9 +1 А (- -4) 2 у = 2х-4 Б Є ~;-4] 3 у = —х2 +4х - 8 В (-« ~;4) 4 у = -Зх + 4 Г [4; +«>) Д (-4; +~) 248
22.33. Установити відповідність між функціями (1—4) та їхніми множинами значень (А-Д). 1 у = 2агс8Іпх 2 у = 2агссо8х З у = 2агсІ§х 4 у = 2агссІ§х А (-я; я) Б [-я; я] В (0;я) Г (0; 2я) Д [0; 2я] 22.34. Установити відповідність між функціями (1-4) та їх найменшими додатними періодами (А-Д). 1 X X А я 4 2 у = 2х Б я 2 3 X у = СО8 — 2 В я 4 у = зіп 2.x Г 2я Д 4Я 22.35. Установити відповідність між функціями (1-4) та оберненими до них функціями (А-Д). 1 у = Зх 2 уЛ X З у - -Зх В у = -Зх г х Г у = — З тт X Д т = -- 22.36. Дано лінійну функцію у = ах + Ь. Установити відповідність між знаками коефіцієнтів а й Ь (1-4) та ескізами графіків (А-Д). 1 2 3 4 а > 0, Ь > 0 а > 0, Ь < 0 а < 0, Ь > 0 а < 0, Ь < 0 249
22.37. Дано квадратичну функцію у = ах2 + Ьх + с. Установити відповідність між ескізами графіків функцій (1-4) та знаками коефіцієнтів а, Ь і с (А-Д). А Б В Г Д а > 0, Ь > 0, с > 0 а > 0, Ь>0, с<0 а > 0, Ь < 0, с > 0 а < 0, Ь<0, с > 0 а <0, Ь> 0, с <0 22.38. Установити відповідність між функціями (1—4) та проміжками їх зростання (А-Д). 1 у = х2-3 2 у = (х-3)2 З у = -х2 + 3 4 у = -(х + 3)2 А (-«>; 0] Б [0;+оо) В (-оо;-3] Г [-3;+оо) Д [3;+~) 22.39. Установити відповідність між функціями (1-4) та їх парністю (А-Д). 1 у = 0 2 у = X3 + З у = х4 - зіпх 4 у = х5зіпх А на парність не досліджується Б парна В непарна Г ні парна, ні непарна Д парна і непарна 22.40. Установити відповідність між функціями (1-4) та ескізами їх графіків (А-Д). Розв’яжіть завдання 22.41-22.53. Відповідь запишіть десятковим дробом. -^5 — — 4х 22.41. Знайти область визначення функції у =-----------. У відповідь записати кількість цілих зна- 3-х чень аргументу в області визначення. І х — 1 22.42. Знайти область визначення функції у =. 1о£03----. У відповідь записати найменше ціле зна- V " х + 5 чення аргументу. 250
22.43. Знайти область визначення функції у = ’о§х+4(9-8х - х2). У відповідь записати кількість цілих значень аргументу з області визначення. 1(х + 4)(3-х) 22.44. Знайти область визначення функції у = --т—---. У відповідь записати кількість цілих у +1) значень аргументу з області визначення. 22.45. Знайти область визначення функції у = агсзіп-1§(х2 -10х + 24). У відповідь записати кількість цілих значень аргументу з області визначення. х — 4 22.46. Знайти область визначення функції у = агссоз-. У відповідь записати найменше значення X аргументу. 22.47. Знайти область значень функції у = Ззіп2х + 2соз2х. У відповідь записати кількість цілих зна- чень функції. 22.48. Скільки різних цілих значень набуває функція /(х) = ^8 (зіп2 2х + соз2 2х-2зіп2хсоз2х) ? 22.49. Знайти найменший додатний період То функції у = зіпх + соз+зіпу. У відповідь записати значення То: я. 22.50. Знайти нулі функції у = 1п2 (х2 - Зх - 9) + л/х3 -8х- 8 . 22.51. Знайти область визначення функції /(х) = ^1о£х_2 (х2 - 8х +15). У відповідь записати кількість натуральних чисел, які не належать області визначення функції. 22.52. За якого найбільшого значення параметра а функція /(х) = 1п^л/а2 + х2 -х) буде непарною? 22.53. За яких значень параметра а число л є періодом функції /(х) = 8-* ? а + зіпх 251
Тема 23. Побудова графіків функцій методом геометричних перетворень Якщо відомий графік функції у ~АХ\ то шляхом його перетворення можна отримати графіки ни- зки інших функцій. Графік функції у - /(х) ±а, де а> 0 Нехай хі належить області визначення функції у тодіДп) і/(хі) + а є значеннями відповід- но функцій у =Дх) і У ~АХ) + а У пій точці. Тоді точка А і(хі;Дхі)) належить графіку функції у =АХ\ а точка А' + «) — графіку функції у = у?х) + я. Але точку А[ (х^Дхі) + можна одержати пере- несенням точки А і угору на відстань а одиниць, якщо а > 0, або вниз на відстань |а|, якщо а < 0. Оскі- льки вибрана точка хі — довільна точка з області визначення функцій, то аналогічно можна одержати будь-яку точку графіка функції у =У(х) + а 3 графіка функції у =/(*)• Узагалі, графік функції у = /(х) + а, де а > 0, можна одержати із графіка функції у =АХ) за до- помогою паралельного перенесення вздовж осі у на а одиниць угору, якщо а > 0, і на а одиниць униз, якщо а < 0. Нехай задано графік функції у ~АХ\ Побудувати графік функції у ~ Дх) + 4. Оскільки 4 > 0, то для побудови графіка функції}; - /(х) + 4 достатньо перенести графік функції у ~АХ) на 4 одиниці вго- ру (див. рис. 1). Наприклад, побудувати графік функції у - х2 + 1. Будуємо графік функції у = х2 і паралельно пе- реносимо графік вгору на 1 одиницю вздовж осі >’ (оскільки 1 > 0). Одержуємо графік функції у = хг + 1 (див. рис.). Графік функції у - /(х ±Ь), де Ь> 0 Нехай Х| належить області визначення функції у =Дх) і уі =./(х1). Знайдемо значення у2 функції У ~АХ + Ь) у точці хі - Ь. Одержимо: у2 =Л(хі - 6) + 6) ~АХ\) “Ті- Отже, значення функції у -ф{х + Ь) відносно значення функції у =/(*) зміщується на відстань \Ь\ праворуч, якщо Ь > 0, або ліворуч, якщо 6<0. 252
Узагалі, графік функції у -](х + Ь), можна одержати із графіка функції у ~/{х) за допомогою паралельного перенесення вздовж осі х на Ь одиниць праворуч, якщо Ь < 0, і на Ь одиниць ліворуч, як- що Ь> 0. Нехай задано графік функції у -/4х)- Побудувати графік функції у -}[х + 3). Оскільки 3 > 0, то для побудови графіка функції у + 3) достатньо перенести графік функції у =Дх) на 3 одиниці лі- воруч (див. рис. 2). Рис. 2 Наприклад, побудувати графік функції у = (х - З)2. Будуємо графік функції у = х2 і паралельно пе- реносимо графік праворуч на 3 одиниці вздовж осі х (оскільки -3 < 0). Одержуємо графік функції у - (х - З)2 (див. рис.). Графік функції у - /(х + а) + Ь Щоб побудувати графік функції у =У(х + а) + Ь, необхідно послідовно виконати два паралельних перенесення графіка функції у -уїх) (див. розглянуті вище випадки) або виконати одне паралельне пе- ренесення графіка функції у =У(х) на вектор (-а; 6). Нехай задано графік функції у =Дх). Побудувати графік функції у -Лх + 3) - 5. Оскільки 3 > 0, -5 < 0, то для побудови графіка функції у - Дх + 3) - 5 достатньо перенести графік функції у - Дх) на З одиниці ліворуч і 5 одиниць вниз (див. рис. 3). Наприклад, побудувати графік функції у - у/х - 2 -1. Будуємо графік функції у = у/х і паралель- но переносимо графік праворуч на 2 одиниці вздовж осі х (оскільки -2 < 0), одержуючи графік функції 253
у - у/х-2 ; паралельно переносимо отриманий графік униз на 1 одиницю вздовж осі у й одержуємо графік функції у = 4х-1 -1 (див. рис.). Графік функції у = -/(х) Щоб побудувати графік функції у-~Лх), необхідно симетрично відобразити графік функції Наприклад, побудувати графік функції у = -(х - З)2. Будуємо графік функції у - х2; паралельно переносимо графік праворуч на 3 одиниці вздовж осі х (оскільки -3 < 0) й одержуємо графік функції у = (х - З)2; відображаємо одержаний графік симетрично відносно осі х й одержуємо графік функції У = -(х - З)2 (див. рис.). 254
Графік функції у = /(-х) Щоб побудувати графік функції у=Я-х), необхідно симетрично відобразити графік функції у =Дх) відносно осі ординат. Нехай задано графік функції у = Дх). Побудувати графік функції у =Л~х). Симетрично відобра- жаємо графік відносно осі у (див. рис. 5). Наприклад, побудувати графік функції у = -х + 3. Будуємо графік функції у = х + 3 і відображає- мо одержаний графік симетрично відносно осіу й одержуємо графік функції у = -х + 3 (див. рис.). Графік функції у = с/(х) Щоб побудувати графік функції у = сДх), необхідно виконати розтяг графіка функції у = Дх) від осі абсцис у с разів, якщо с > 1, або стиск до осі абсцис у — разів, якщо 0 < с < 1. с Нехай задано графік функції у=У(х). Побудувати графіки функцій: а)у = 2/(х); б)у=—/(х). а) Оскільки 2 > 1, то виконуємо розтяг удвічі від осі х, (див. рис. 6 а); б) оскільки 0 < — < 1, то для по- будови графіка функціїу = -І-Дх) виконаємо стиск графіка функції у =Дх) до осі х (див. рис. 6 б). а) б) Рис. 6 Наприклад, побудувати графіки функцій: а) у = 2л/х; б) у = -^/х . Будуємо графік функції у = >/х. а) Виконуємо розтяг графіка функції у =-Тх удвічі від осі х й одержуємо графік функції 255
у = 2у/х; б) виконуємо стиск графіка функціїу = л/х удвічі до осі х й одержуємо графік функції 1г, \ у = —\]Х (див. рис.). ^ = |Лл)| = Графік функції у = \[(х)\ За означенням модуля числа маємо: /(х), якщо/(х)>0; -/(х), якщо /(х) < 0. Отже, якщоДх) > 0, то значення функцій у ~ |Дх)| та у =Дх) однакові, якщо /(х) < 0, то значення цих функцій є протилежними числами. Тому графік функції у - ]Дх)| можна одержати так: будуємо графік функції у і ту його частину, яка розташована нижче від осі х, симетрично відображаємо відносно цієї осі. Нехай задано графік функції у = /(х). Побудувати графік функції;/ = |/(х)|. Ту частину графіка фу- нкції у =/(х), яка розміщена над віссю х, у тому числі точки перетину графіка з віссю абсцис, залиша- ємо без змін, а ту частину, яка розміщена під віссю абсцис, симетрично відображаємо відносно цієї осі (див. рис. 7). Наприклад, побудувати графік функції у = |(х - З)2 - 11. Будуємо графік функції у = х2; паралельно переносимо графік праворуч на 3 одиниці вздовж осі х (оскільки -3 < 0) й одержуємо графік функції у = (х - З)2; паралельно переносимо отриманий графік униз на 1 одиницю вздовж осі у й одержуємо графік функції у = (х - З)2 - 1; відображаємо симетрично відносно осі х ту частину графіка, яка міс- 256
Графік функції у =/фф Функція у =/СМ) — парна (Д|-х|) = ЛІХІ))- Тому достатньо побудувати графік функції у = /(И) Для х > 0 і симетрично відобразити його відносно осі ординат. Нехай задано графік функції у =У(*)- Побудувати графік функції}/ =/(И)- Ту частину графіка фу- нкції у =/(х), яка розміщена праворуч осі у, у тому числі точки перетину графіка з віссю ординат, за- лишаємо без змін, а ту частину, яка розміщена ліворуч від абсцис, замінюємо симетричною до розта- шованої праворуч частини відносно осі ординат (див. рис. 8). Наприклад, побудувати графік функції у - (|х| - І)2. Будуємо графік функції у = х2; паралельно переносимо графік ліворуч на 1 одиницю вздовж осі х й одержуємо графік функціїу = (х- І)2; зали- шаємо ту частину графіка, яка відповідає невід’ємним значенням х; симетрично відображаємо віднос- но осі у частину отриманого графіка для невід’ємних х й одержуємо графік функції}/ = (|х| - І)2. Графічний метод розв ’язування рівнянь Часто, використовуючи побудову графіків функцій методом геометричних перетворень, зручно розв’язувати деякі види рівнянь. Для цього рівняння/(х) = 0 зводять до рівняння виду #(х) = /?(х), бу- дують графіки рівнянь у - #(х) і у - Л(х) та знаходять точки перетину цих рівнянь. Абсциси точок пе- ретину є наближеними значеннями коренів рівняння, за якими, якщо це можливо, встановлюють ко- рені. 4 Наприклад, розв’язати рівняння -= х-2. Будуємо в одній системі координат графіки функ- х + 1 4 цій у =--- і у - х - 2 та знаходимо абсциси точок їх перетину. х + 1 17* Капіносов Л Математика. Комплексна підготовка до ЗНО 257
З рисунка видно, що хі = 3, х2 = -2. Перевіркою встановлюємо, що Хі = З і х2 = -2 — корені рів- няння. У деяких випадках за допомогою методу геометричних перетворень зручно розв’язувати рівнян- ня з параметрами. Наприклад, знайти всі значення параметра а, для яких рівняння |1 -х2| = а має три корені. Будує- мо графік функції у - х2; симетрично відображаємо одержаний графік відносно осі х й одержуємо графік функції у - -х2; паралельно переносимо отриманий графік угору на 1 одиницю вздовж осі у й одержуємо графік функції у - 1 -х2; симетрично відображаємо відносно осі х ту частину отриманого графіка, яка міститься під віссю х, й одержуємо графік функції;/ = |1 -х2|. Рівняння |1 -х2| = а матиме три корені, якщо а - 1 (графіки функцій у = |1 -х2| і у - 1 перетина- ються у трьох точках). Приклад 1. Серед наведених графіків указати графік функції у = 2х 1 - 1. А Б в Г д У . .1 і. :У - - - ’ у • , 1 । У 1 -1 1 У -1 : : 0 : 1 х . У) 1 : X 1 . .0 1 5 Це графік функції у = 2х, зміщений на 1 одиницю праворуч відносно осі у та опущений на 1 ОДИНИЦЮ ВНИЗ ВІДНОСНО ОСІ X. Відповідь. А. Приклад 2. Серед наведених графіків указати графік функції у = (х - І)2 + 2. Будуємо графік функції у - х2; переносимо графік праворуч на 1 одиницю вздовж осі х й одер- жуємо графік функції ;/ = (х-1)2; паралельно переносимо одержаний графік угору на 2 одиниці вздовж осі у й одержуємо графік функції;/ = (х - І)2 + 2. 258
Відповідь. Б. Приклад 3. Серед наведених графіків указати графік функції;/ = -(х + З)2 + 4. Будуємо графік функції у - х2; паралельно переносимо графік ліворуч на 3 одиниці й одержує- мо графік функції^ - (х + З)2; відображаємо отриманий графік симетрично відносно осі х й одержуємо графік функції у - -(х + З)2; паралельно переносимо отриманий графік угору на 4 одиниці й одержує- мо графік функції у - -(х + З)2 + 4. Відповідь. Б. 259
ємо графік функції у = Відповідь. В. Приклад 5. Користуючись методом геометричних перетворень, побудувати графік функції у = (х - 2)2 - 4 та знайти проміжки її зростання. А Б в Г д (~°°> +оо) (-~; 2] [0;4] [2; +оо) [4; 4-е») Будуємо графік функції у - х2; паралельно переносимо графік праворуч на 2 одиниці й одер- жуємо графік функції у = (х - 2)2; паралельно переносимо отриманий графік униз на 4 одиниці й оде- ржуємо графік функції у - (х - 2)2 - 4. 260
Функція зростає на проміжку [2; +<»). Відповідь. Г. Я Приклад 6. Серед наведених графіків указати графік функціїу = |х2 - 4|. Я Будую графік функції у = х2; паралельно переношу графік униз на 4 одиниці вздовж осі у й одержую графік функції у = х2 - 4; симетрично відображаю відносно осі х ту частину отриманого гра- фіка, яка міститься під віссю х, й одержую графік функціїу = |х2 - 4|. Відповідь. Г. Я Приклад 7. Серед наведених графіків указати графік функції у = |3 -|х - 3||. Я Будуємо графік функції у = х; паралельно переносимо графік праворуч на 3 одиниці й одержу- ємо графік функції у = х - 3; симетрично відображаємо відносно осі х ту частину отриманого графіка, яка міститься під віссю х, й одержуємо графік функції у = |х - 3|; симетрично відображаємо відносно осі х отриманий графік й одержуємо графік функції у = —[х — 3|; паралельно переносимо графік угору на 3 одиниці й одержуємо графік функції у - 3 - |х - 3|; симетрично відображаємо відносно осі х ту ча- стину отриманого графіка, яка міститься під віссю х, й одержуємо графік функціїу = |3 -|х - 3||. 261
Відповідь. Г. Приклад 8. Користуючись графічним методом, встановити кількість коренів рівняння >/х + 1 = = -х2 + 2,5. А Б в г д Один два три чотири рівняння коренів не має Будуємо графіки функцій у = >/х + 1 та^ = -х2 + 2,5. Дане рівняння має один корінь, бо графіки перетинаються лише в одній точці. Відповідь. А. Приклад 9. Користуючись графічним методом, розв’язати рівняння л/х + З = 4 - 2х. А Б В г Д 5 2 1 3,5 -і л/х + З = 4 - 2х. Будуємо графіки функцій у = >/х + 3 і у - 4 - 2х та знаходимо абсцису точки їх перетину. “[X т 1 □ 1 1 2; 1 • • і »• _ о. 2- 1. (7 1- 1 1 і, і і 1 і- 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 їх+3_ >< • а • •• —2 1- 5- 7- X \ х = 1. Перевіркою встановлюємо, що х = 1 — корінь рівняння Відповідь. В. 262
Приклад 10. Скільки коренів має рівняння 1 - |1 - [х|| = а? У відповідь записати кількість коренів, якщо 0 < а < 1. Будуємо графік функції у - |х|; симетрично відображаємо його відносно осі х графік й одержу- ємо графік функції у - -|х|; паралельно переносимо отриманий графік угору на 1 одиницю вздовж осі у й одержуємо графік функції у = 1 - |х|; симетрично відображаємо відносно осі х ту частину отримано- го графіка, яка міститься під віссю х, й одержуємо графік функції у = |1 - |х||; симетрично відображає- мо відносно осі х графік й одержуємо графік функції у = -|1 - |х||; паралельно переносимо графік угору Якщо а < 0, то рівняння має два корені; якщо а - 0, то рівняння має три корені; якщо 0 < а < 1, то рівняння має чотири корені; якщо а = 1, то рівняння має 2 корені; якщо а > 1 — коренів немає. Відповідь. 4. Завдання 23.1-23.20 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 23.1. Вказати формулу функції, графік якої отримують із графіка у = — у результаті його паралель- ного перенесення в додатному напрямі осі у на 5 одиниць. А Б В г д 1 ^=х + 5 1 ^=х-5 у = --5 X у = - + 5 X »п| К II А Б В Г д у =Зсо&х 1 у =—созх 3 у - созЗх X У = СО8 — 3 И | сп сл О О — 1 II >4 263
23.4. Областю значень функції у-^х) є проміжок [-4; 16]. Знайти область значень функції 4 А Б в г д [-16; 64] [4; 4] Н;4] [-4; 16] не можна визначити ралельного перенесення в додатному напрямі осі х на 4 одиниці. А Б В г д у = (х-4)3 у = (х + 4)3 у = х3 - 4 у = х3 + 4 _у-4х3 А Б в г д 1 . У = — 81ПХ 8 у - 8зіпх . X у = 81П — 8 у = 8Іп8х у - зіпх + 8 23.9. Областю визначення функції у -/(х) є проміжок [-4; 6]. Знайти область визначення функції У=/2х). А Б в г Д [-8; 12] [-2; 3] Н; 3] [-2; 8] не можна визначити 264
23.10. На рисунку зображено ескіз графіка функції у =Цх). На якому з рисунків зображено ескіз гра- фіка функції у = /(-х)? 265
23.13. Графік функції у-х3 зсунули ліворуч на 4 одиниці й відобразили симетрично відносно осі х. Графік якої функції отримали в результаті таких перетворень? А Б В Г д у = -(х-4)3 У = -(х + 4)3 3> = (-х)3-4 у - (-х)3 + 4 У = (х + 4)3 23.14. Областю значень функції у -^х) є проміжок [-2; 2]. Знайти область значень функції ^4/х)-3. А Б в Г Д [-20; -4] [-2; 2] [-3,5;-2,5] [-її; 5] [0; 5] 23.15. У результаті яких послідовних перетворень із графіка функції у -]{х) можна отримати графік функції^ =У(2* + 6)? А Б в г д стиском до осі у удвічі й пара- лельним перене- сенням ліворуч на 6 одиниць розтягом від осі у удвічі й паралель- ним перенесенням ліворуч на 6 одиниць стиском до осі у удвічі й пара- лельним перене- сенням ліворуч на 3 одиниці стиском до осі у удвічі й паралель- ним перенесенням праворуч на 3 одиниці розтягом від осі у удвічі й паралель- ним перенесенням ліворуч на 3 одиниці 23.16. Областю визначення функції у =У(х) є проміжок [0; 2]. Знайти область визначення функції А Б в г д Н; -2] [4; 5] [-8;-4] [4; 8] [8; 12] 23.17. Ескіз графіка якої з наведених функцій зображено на рисунку? А Б В Г д _у = (х + 2)2 + 1 у = -(х-2)2 + 1 _У = -(х-2)2- 1 у = (-х-2)2+1 У = -(х-2)2-1 266
23.18. Ескіз графіка якої з наведених функцій зображено на рисунку? _у, —Л. 1 •У і ! —9- 2 — 1- 1 1 3- -10 -1 -2 X —1 1 1 1 V о Г 1 1 -3- 1 |_ ї < 1 1 м- [-5 в—ї~ 1-4 А Б В Г д У = |1п(х- 1)| у = |1п(х + 1)1 у = 1п(И + 1) у —1п(|х|—1) У = 1п(|х| - 2) 23.20. Ескіз графіка якої з наведених функцій зображено на рисунку? А Б в Г д З' = 7іх1 + 1 у=7іхН у = -^/|х + 1| у=-7іхі+1 У = -7X + 1 Завдання 23.21-23.32 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 23.21. Установити відповідність між функціями (1-4) та їх графіками (А-Д). 1 2 3 4 _ х-4 У~ х + 2 — 2 у = 308,3 У = д/-1-Х у = -|х~2| 267
23.22. Установити відповідність між функціями (1-4) та їх графіками (А-Д). 23.23. Установити відповідність між функціями (1-4) та їх графіками (А-Д). 23.24. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та їх графіками (А-Д). 1 2 3 4 ЗІП .У о Іяіп .г| у = 3і 1 х + |х|=у + м М - |5ІПХ| М = |сО8х| 268
23.25. Задано функцію у =ЛХ) з множиною значень [-2; 5]. Установити відповідність між функціями (1-4) та їхніми множинами значень (А-Д). 1 у = /(х) + 2 2 У = ~Лх) З У = 2Дх) 4 У = ИЛ)| А [0; 5] Б [-4; 10] В [2; 5] Г [0; 7] Д [-5; 2] 23.26. Задано функцію у = <р(х) з областю визначення [--4; 10]. Установити відповідність між функці- ями (1-4) та їхніми областями визначення (А-Д). 1 у = (р(х + 4) 2 у = <р(х-4) 3 у - <р(х) + 5 4 у = <р(х - 5) - 3 А [-4; 10] Б [0; 14] В [4; 18] Г [1; 15] Д [-8; 6] 23.27. Задано функцію у - Л(х) з областю визначення [-2; 6]. Установити відповідність між функція- ми (1-4) та їхніми областями визначення (А-Д). 1 у = лґ-1 <2> 2 у = А(2х) 3 У = А(-х) 4 У = й(|х|) А [0; 6] Б [-6; 2] В [-4; 12] Г [-6; 6] Д [-1; 3] 23.28. Установити відповідність між геометричними перетвореннями графіка функцїіу = зіпх (1-4) та функціями, одержаних у результаті цих перетворень (А-Д). 1 Графік функції у - зіп х паралельно пере- несли вздовж осі х на 3 одиниці ліворуч 2 Графік функції у = зіп х паралельно пере- несли вздовж осі у на 3 одиниці вниз 3 Графік функції у = зіп х стиснули до осі х утричі 4 Графік функції у - зіп х стиснули до осі у утричі А у = зіпЗх г 1 • Б у-— 81ПХ 3 В у = 8Іп(х- 3) Г у = 8Іп(х + 3) Д у = 8ІПХ-3 269
23.29. Установити відповідність між геометричними перетвореннями графіка функції у - созх (1-4) та функціями, одержаних у результаті цих перетворень (А-Д). 1 Графік функції у = созх симетрично ві- добразили відносно осі х 2 Графік функції у = созх симетрично ві- добразили відносно осі у З Частину графіка функції у - созх, яка лежить вище від осі х і на самій осі, за- лишили без змін, а частину, яка лежить нижче від осі х, відобразили симетрично відносно цієї осі 4 Першу частину графіка функції у = созх, яка лежить праворуч від осі у і на самій осі, залишили без змін, а другу частину замінили симетричною до першої відно- сно осі у А у = |созх| Б у = |соз|х|| В у = соз|х| Г у — соз(—х) Д у = -созх 23.31. Установити відповідність між графіками функцій (1-4), утворених із графіка функції у = —, та X їх формулами (А-Д). І 2 3 4 А Б В г д у = — + 2 х + 1 1 0 У= , 2 х-1 У = “4+2 х-1 у- 1 +1 х-2 1 -7 у = і 2 х + 1 270
23.32. Установити відповідність між графіками функцій (1-4), утворених із графіка функції у = |х|, та 271
Тема 24. Похідна функції, її геометричний і механічний зміст Границя функції Розглянемо функцію У(х) = х - 1 і точку хо = 1. Якщо значення аргументу х прямують до числа 1 (позначають х-^1), то відповідні їм значення функції У(х) прямують до числа 0 (позначають У(х)-*0). По-іншому: якщо значення аргументу усе ближче знаходяться до числа 1, то відповідні їх значення функції У(х) усе менше відрізняються від числа 0. У цьому випадку кажуть, що число 0 є границею функції/(х) у точці 1, і відповідно записують Ііт/(х) = 0 або 1іт(х -1) = 0. Для границь функції спра- ведливими є всі твердження для границь послідовностей. Наприклад: 1іт8 = 8; 1іт(3х2) = Зіітх2 = 3 • 22 = 12; 1іт(х2 - Зх + 2) = Ііт х2 - Зііт х + Ііт 2 = х—>3 х—>2 ' ' х-^2 х-»3 ' 7 х—>3 х-»3 х-»3 Неперервність функції Функцію у -/(х) називають неперервною у точці х0, якщо вона визначена в деякому околі цієї то- чки і при х-»х0 границя функції дорівнює значенню функції у цій точці, тобто Ііт /(х) = /(х0). Якщо х->г0 функція у ~Лх) неперервна в кожній точці деякої множини А/сі/?, то кажуть, що вона неперервна на всій множині М. Якщо функція у =У(х) неперервна на £)(/), то таку функцію називають неперервною. Справедливою є теорема'. Якщо функції у =Дх) і у - #(х) неперервні в точці х0, то в цій точці не- /* (х) перервними є й функції^ = Дх) + #(х), у ~^х) - $(х), у =/х) • §(х) і у = —— (якщо §(х) * 0). £(*) Похідна функції Розглянемо функцію у =/(х)« Нехай х0 — фіксована точка з області визначення функції / Якщо х— довільна точка області визначення функції у-]{х) така, що х^х0, то різницю х-х0 називають приростом аргументу функції у -ф{х) у точці х0 і позначають Дх (читають «дельта ікс»). Отже, Дх = х-хо, звідки х = х0 +Дх. Кажуть, що аргумент одержав приріст Дх у точці х0. Якщо аргумент одержав приріст Дх у точці х0, то значення функції змінилося на величину У(хо + Ах) -/(х0). Цю вели- чину називають приростом функції у =У(х) у точці х0 і позначають Д/ Наприклад, знайти приріст функції у = х3 у точці х0, який відповідає приросту аргументу Дх. Оде- ржимо: Ду = (х0 + Дх)3 - Хд = х03 + 3 Хо Дх + Зх0(Дх)2 + (Дх)3 - х^ = 3 х2 Дх + Зх0(Дх)2 + (Дх)3. Похідною функції у -ф(х) у точці х називають границю (якщо вона існує) відношення приросту функції Д/(х) до приросту аргументу Дх, якщо приріст аргументу прямує до нуля: , Д/(х) г /(х + Дх)-/(х) / (х) = Ііт ------ = Ііт —-----—. Лг^° Дх Дх Похідну функції позначають у або /'(х). Якщо функція у -ф{х) має похідну, то функцію нази- вають диференційованою. Відшукання похідної функції/називають диференціюванням. Наприклад, користуючись означенням, знайти похідну функції у~4х. Маємо: ^'=1іт —= Дл-»0 Дд- 272
Таблиця похідних елементарних функцій 1. (С)' = 0, С — константа. 2. (х)=\. 3. (х") =пх"-'. 8. (а*) = ах Іпа . 9. (іпх) = —. 10. (1о§ах) = — ХІП6 / 11. (зіпх) = СО8Х. 12. (созх) = -зіпх. 13. = СОЗ X 14. (СЇ£Х)' = —Д—. зт х Правила диференціювання Якщо функції у =ЛХ) і У ~ &(х) диференційовані, С — деяка константа, то диференційованими /* (х) будуть також функції у = СЦх), у =Лх) ± &(х), у =/х) • §(х), у = 7 , до того ж справедливими є рів- §(х) ності: (С/(х))'=С/'(х). 5 (/(*)± £(*)/ = /'(х) ± §'(х). 5 (/(*) • Я*)/ = /'(х)§(х) + £'(х)/(х); /(х)1 УХх)§(х)- §'(х)/(х) §(х)) §2(х) Наприклад: а) (Зх4) =3-(х4) =3-4х4 1 =12х3; б) ^2х + >/х^ = (2х) +(л/х) =2ч— в) (х2 • зіпх)' = (х2)' • зіпх + (зіпх)' • х2 = 2х • зіпх + х2 • созх; . ҐЗх + Н' = (3^ + 1) (4х2 -3)-(4х2 -3) (Зх + 1) = 3(4х2-3)-8х(3х + 1) = 12х* _9_24хг _8х (4х!-3)’ (4х2-3)2 (4х2—З)2 -12х2-8х-9 (4х2-3)’ Похідна складеної функції Якщо значенням аргументу функції/є значення функції то кажуть, що задано складену функ- цію у =У(?(Х))- Наприклад, нехай задано функції У(0 - 3/ + 1, /(х) = со&х, тоді У(0 “Л^(х)) ~ 3/(х) + 1 = - З • со&х + 1. Отже, можна сказати, що у = Зсо&х + 1 задає складену функцію у =УОКХ))- Похідну складеної функції обчислюють за формулою (/(Я*))) =/'(&)•&'(*)• 18* Капіносов Л. Математика. Комплексна підготовка до ЗНО 273
Наприклад, знайти похідну функції ((2х + 1)4) = 4(2х + 1)3 -(2х + 1) = 4(2х + 1)3 -2 = 8(2х + 1)3. Фізичний зміст похідної Похідна функції у =Дх) у точці х0 виражає швидкість зміни функції або процесу, який ця функція описує, у цій точці. Так, якщо функція 8 = 8(1) описує рух матеріальної точки, тобто залежність прой- деної відстані з від часу І, то її похідна задає залежність швидкості V матеріальної точки від часу і: 8'(і) = и(іу, похідна швидкості V = ц(/) за часом є прискоренням: ю'(ї) = а(ї). Геометричний зміст похідної Значення похідної функції у =ЛХ) У точці х0 дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції в цій точці: Рівняння дотичної до графіка функції Нехай функція у =Лх) диференційована в точці Хо. Тоді до графіка функції у точці з абсцисою х0 можна провести невертикальну дотичну (див. рис.). Рівняння невертикальної прямої має вигляд у = кх + Ь. Виходячи з геометричного змісту похідної, одержимо: к=/'(х0). Тоді у=/'(х0) х + Ь. Ця пряма проходить через точку А/(хо;/(хо)), тому У(хо) (хо) х0 + Ь, звідки Ь =У(хо) -/*(хо) • +о- Тоді рів- няння дотичної має вигляд: у =/'(х0) • (х - х0) +/(хо)- Наприклад, скласти рівняння дотичної до графіка функції у = х2 + Зх - 4 у точці з абсцисою х(> = 2. Маємо: /(х0) =У(2) = 22+ 3- 2- 4 = 6; /'(х) = 2х + 3; /' (хо) =/*(2) = 2 • 2 + 3 = 7. Підставивши знайдені числові значення у рівняння дотичної, одержимо: у - 7(х - 2) + 6; у = їх - 8. Приклад 1. Знайти Ііт —-—. 7x^2-1 А Б В г д 1 2 -1 3 -3 Ііт х-3 л/х-2-1 (х-3)(л/х-2 + 1) [^х-2 - 1)(7х-2 +1) (х-3)(л/х-2 + 1) . --- --------- = Ііт----і-------= Ііт д/х-2 +1 = у/3^2 + 1 = 2. ~з х-2-1 / Відповідь. Б. Приклад 2. Яка з послідовностей не має границі? А Б В Г д / \ И х„ = 1 " <3/ х„ = 0,99" г -2и-1 " 2п усі ПОСЛІДОВНОСТІ мають границі (IV і Ііт - =—— = 0; П —>оо '-З-' Ііт 3й 1 100 274
Ііт——- = Ііт------— = 1; 1іт(л/з) = 1іт(1,73...)п — члени послідовності можуть стати як завгод- но великими. Отже, послідовність границі немає. Відповідь. Г. Приклад 3. Знайти похідну функції /(х) = —. 4 А Б В г д 1 4 -ї£х 4 -1 . X 81П — 4 X соз— 4 4 1 4соз2 — 4 / 1 .[ х^ СО82 - ^4' 4 / /'(х) = (і^) = Відповідь. Д. 1 4 соз2 — 4 Приклад 4. Знайти похідні: а) (5х3 +8х-11) ; б) (х2 созх) ; в) (зіп(3х2)) ; г) (\/бх4 +1 а) (5х3+8х-11) =(5х3) + (8х/-П' = 5(х3) +8(х) -О = 15х2+8; б) (х2созх) =(х2) созх + (созх) х2 = 2хсозх + (—зіпх)х2 = 2хсозх-х2зіпх; в) (зіп(3х2)) = соз(3х2)-(3х2) = соз(3х2)-6х = 6хсоз(3х2). г) (л/бх4 +1) = —. • (6х4 + 1) = — 1-— • 24х3 = ,^Х— . ' ’ 27бх4+1 к ’ 2^6х4+1 л/бх4+1 Приклад 5. Знайти/'(3), якщо/х) - (2х + І)3. А Б В Г д 300 294 280 264 147 /'(х)= ((2х+1)3) =3(2х+1)2-(2х+1)' =3(2х+1)2-2 = б(2х+1)2. Якщох = 3, то:/'(3) = 6(2 • 3 + )2 = = 6-72 = 6-49 = 294. Відповідь. Б. Приклад 6. Знайти/{0,75), якщо /(х) = 5е4х 3 - 8. А Б В г Д 20е 20 10 7 5 И/(х) = (5е4х“3 - 8)'= 5(е4х-3)'= 5 • е4х~3 • (4х-3)'= 5 • е4х“3 • 4 = 20е4х~3. Якщо х = 0,75, то /'(0,75) = 20е4 ’ °’75 ’3 = 20е° = 20. Відповідь. Б. 275
І я] 5х Приклад 7. Знайти/ — , якщо /(х) = 4соз-їх + 3. А Б В г Д -2 -3 3 4 2 иґ(х)= ґдсоз—-7х + 3| =—48ІП—-ґ—1 -7 =-48Іп—• —-7 =-ІОзіп—-7. ’ 4 V 2 7 2 V 2> 22 2 = -10зіп| -/--П-7 = ІОзіп—-7 = 10—-7 =-2. З) <2 V З'/ 6 2 Відповідь. А. Приклад 8. Вказати функцію, для якої рівняння Зх->>-2 = 0є рівнянням дотичної до її графіка в точці Л(1; 1). А Б в г д У = ЗІП X т—И гч 1 и II 1 ^ = х2 ^ = (х-1)2 Функції у - ЗІПХ, у =---, у = (х- І)2 не проходять через точку Л(1; 1), тому вони не можуть х-1 мати дотичної у цій точці. Для функції у-х3 маємо: у - Зх2; у'(1) = 3. За формулою дотичної У ~Уо ~у(хо)(х - Хо) отримаємо: у - 1 = 3(х -1); Зх - - 2 = 0 — рівняння дотичної. Для функції у - х2: у -2х; у’(1) -2. Кутовий коефіцієнт дотичної к-2 не збігається з кутовим коефіцієнтом прямої у = Зх - 2. Відповідь. А. Приклад 9. Знайти кутовий коефіцієнт дотичної, яку проведено до графіка функції у - 5х2 - - Зх + 2 в точці з абсцисою х0 = 2. А Б в г д 16 інша відповідь 0,3 0 19 Скористаємося властивістю, що к - у (х0). Отримуємо: у = (5х2 - Зх + 2)' = 1 Ох - 3. к = у\2) = 10-2-3 = 17. Серед числових значень запропонованих відповідей відповіді 17 немає, тому правильною є відповідь, позначена літерою Б — «Інша відповідь». Приклад 10. Обчислити тангенс кута нахилу дотичної до графіка функціїДх) = х —у точці з Зх с 1 абсцисою х0 = —. А Б В Г д 19 4 а 9 -17 0,5 ( і \ \ 9 2 /п 2 2-27 /'(х) =х-------- = х—х-2 =1ч—х"3=1ч—-. Тоді 1§а=/' - =1ч------------г=1ч----=1+18=19. 7 к 7 І Зх/ І 3 ) 3 Зх3 5 7 І3> ПА3 3-1 з- - <3> Відповідь. А. 276
Приклад 11. Обчислити ординату точки графіка функції у - 2х2 - Зх + 1, у якій дотична до цього графіка паралельна до прямої у - Зх + 7. А Б В г Д -1 1,5 1 3 10 Оскільки дотична до графіка функції паралельна до прямої у - Зх + 7, то кутові коефіцієнти дотичної у = к\х + Ь\ і функції у = Зх + 7 рівні, тобто к\ - 3. Отже,/'(х0) - к\ - 3. Знайдемо /'(х) - (2х2 - - Зх + 1)' = 4х - 3; /'(х0) - 4х0 - 3; 4х0 - 3 = 3; х0 = 1,5. Знайдемо у$ — ординату точки графіка функції у = 2х2-3х + 1:у0 = 2 • (1,5)2-3 • 1,5+1 =4,5-4,5+ 1 = 1. Відповідь. В. Приклад 12. Знайти, у який момент часу прискорення рухомої точки дорівнюватиме 2 см/с2, як- що точка рухається прямолінійно за законом х(/) = 3? + 91п/ + 7, де х(ґ) — шлях у сантиметрах, і — час у секундах. А Б В Г Д 1 с 1,5 с 2с 2,5 с 5 с Знайдемо похідну функції х(7): х'(7) = (З/2 + 91п/ +7)'= 6ґ + 9*- = 6ґ + —. Отже, 6ґ +—. , ( У і У 2 Знайдемо прискорення а(і) = V (і) - + = 6-—. За умовою, <7(7) = 2 см/с. Маємо рівняння: 9 9 6 - — = 2; 4? = 9; Г - Врахувавши, що і > 0, маємо: і - 1,5 (с). і 4 Відповідь. Б. Приклад 13. Тіло рухається прямолінійно за законом 5(7) - і + ґ + 4, де 8— відстань у метрах, і — час у секундах. Знайти: 1) початкову швидкість тіла; 2) швидкість тіла через 3 с після початку ру- ху; 3) прискорення тіла. г(0= 5'(<) = (<2+< + 4)/ =2/ + 1. 1) Початкова швидкість — це швидкість, якщо І = 0 с. Тому г»о = ^(0) = 2 • 0 + 1 = 1 (м/с). 2) у(3) = 2 • 3 + 1 = 7 (м/с). 3) а(ї) - ь'(і) =(2/4-1) = 2. Отже, прискорення, з яким рухається тіло, дорівнює 2 м/с2. Приклад 14. Вказати функцію, дотичну до графіка якої у точці х - 1 зображено на рисунку. А Б В г д у = Зх - 4 у = х2 - 2 у = х3 - 2х у - х2 - 2х у = -х2 277
Графік дотичної у-кх + Ь проходить через точки (0; 1) і (1; -1). Знайдемо значення к та Ь: 1=к0+к, -! = £•! + />; Рівняння дотичної має вигляд: у = -2х +1.3 іншого боку, к = /'(/), тобто к = -2. /'(1) = -2. Знайдемо/'(1) для кожної із запропонованих функцій: А/ = (Зх-4)' = 3;/(1) = 3 Б У = (х2 - 2)'= 2х;У(1) = 2 • 1 = 2 В У = (х3 - 2х)' = Зх2 - 2; у'(1) = 3 • 1 - 2 • 1 = 1 Г У = (х2-2х)' = 2х-2;У(1) =21-2=0 Д У = (-Х2)' = -2х; У(1) = -2 • 1 = -2 Отже, У(1) = -2 відповідає функція у - -х2. у(1) = -І2 = -1. Рівняння дотичної до функції у = -х2 має вигляд: у + 1 = -2(х - 1); у = -2х + 1. Відповідь. Д. Завдання 24.1-24.27 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 24.1. (х6 + 3х2 -х + 3)' = ... А Б в г д X7 3 X2 ~ — + х + Зх 7 2 6х5 + 6х 6х5 + 6х - 1 6х5 + 6х - 3 V7 V2 —+ х3-—+ 3х+1 7 2 24.2. (Ц- + >/х) =... V* / А Б В г д -А+-1_ X2 2>/х -А+_1_ X4 2>/х 3 1 X4 4х і 4х 7 Зх2 2 А Б в Г д 3 8зіпх соз X 1 . 3 — ЗІПХ — 8 соз х 1 . 3 ЗІПХ — 8 зіп х 1 . -—зіпх-3сі§х 1 . 3 —зіпх -— 8 соз х 24.4. Знайти похідну функціїу = 5зіп7х - 7х2 + 7. А Б в Г д 5соз7х- 14х 35соз7х- 7х 35соз7х- 14х 7соз7х- 7х + 7 5соз7х - 7х 24.5. Знайти похідну функції у - 1п(2х) + 2х3 - 3. А Б В г д — + 6х2 - Зх —+ 6х2-3 —+ 6х2 —+ 6х2 —+ 6х2 X 2х 2х X X 24.6. А Б В Г д 5х4 • Т + х5 • Т\£1 5х4 • 7х1п7 5х4 • 7Х1§7 5х4 • Т + х5Т • 1п7 5х4 + 7х1п7 278
А Б В Г д —х4 -4х3 Іпх х 1 X 4х3 Іпх 4х3 —х4 -4х3 Іпх х —х4 -4х3 Іпх х X8 X4 4х3 24.8. (е3х+5)'=... А Б В Г Д 3 Зех (Зх + 5)<?3х+5 Зе3х+5 е3х+5 24.9. Знайти похідну функції у = созЗх у точці х0 = —. А Б В Г Д 2 _3 2 зУз 2 _7з 2 3 2 24.10. Знайти кут, який утворює з додатним напрямом осі х дотична до графіка функції у = -^-х4 у то- чці ХО = -1. А Б В Г д 30° 45° 120° 135° 150° 24.11. Рівняння дотичної до кривої у - 2х2 - 4х - 1 має вигляд: у = 8х - 19. Визначити абсцису точки дотику. А Б В Г д 2 3 4 -4 8 24.12. Скласти рівняння дотичної до графіка функції у = х3 у точці (2; 8). А Б В Г Д ^+8 = 12(х + 2) у-8 = —(х-2) 12к ’ у —8-х-2 у-8 = 8(х-2) у-8 = 12(х-2) 24.13. На кривій У(х) ~ _ х + 1 Знайти точку, в якій дотична до кривої паралельна до прямої Зх-у-1 =0. А Б в г д (2; 3) (0; 3) (0;і) 2 3 24.14. Знайти усі значення параметра а, за яких числа хь у/а2 + 3 , х2 утворюють геометричну прогре- сію, якщо хі та х2 — абсциси точок графіка функціїДх) = х3 + 7х2 + (2 - 9я)х, у яких дотичні до графіка нахилені до осі абсцис під кутом 135°. А Б В г Д -1 1 0 0; 1 -1;0 279
24.15. Знайти миттєву швидкість точки, яка рухається за законом $(і) = + 41 +1 (5 — шлях у мет- рах, і — час у секундах) через 3 с після початку руху. А Б В Г д 12 м/с 13 м/с 14 м/с 15 м/с 16 м/с 24.16. Тіло рухається за законом .?(/) = І2 - 4л/Г. Знайти швидкість тіла в момент 10 = 4. А Б В Г Д 5 4,75 12 7 7,875 24.17. ОбчислитиДх), якщо Де) = зіп5 + е3. А Б В г д соз5 + Зе2 8Іп5 + е3 соз5 0 Зе2 24.18. Обчислити Дх), якщо/(х) = Іпсозх2. А Б В Г д -2хі§х2 -і&х2 2х СОЗХ2 -2і§х2 24.19. Обчислити Дх), якщоДх) - зіп2(2х + 0,5). А Б В Г д 2(2х + 0,5)со82хх х(2х + 0,5) 2соз(4х + 1) -2соз(4х+ 1) 28Іп(4х + 1) -2зіп(4х+ 1) 24.20. Обчислити значення похідної функції у - (Зх + І)3 • со83(х2 + 2х + 1) + я3 у точці хо = -1. А Б В Г д 36 12 -12 0 36 + я3 24.21. Матеріальна точка рухається прямолінійно за законом л(/) = 2,5/2 —15/, 5— шлях у метрах, І — час у секундах. Через який час від початку руху ця точка зупинилася? А Б В г д 1 с 2с Зс 3,5 с 4 с 24.22. На рисунку зображено графік функції і дотичну до нього в точці з абсцисою хо. Знайти значен- ня Дхо). :у: 12- ч- А Б В Г Д 5 -2 2 0,5 -0,5 280
24.23. Дано функцію у = |3х + 2|. У якій точці функція не має похідної? А Б В г д 2 -2 _2 3 _3 2 похідна існує в будь-якій точці 24.24. Обчислити похідну функції у = |2х - 5| на проміжку (-«»; 0]. А Б В Г д 2,5 5 -5 2 -2 24.25. /х) = х(х - 1)(х - 2)...(х - 19)(х - 20). Знайти ДО). А Б В г д -20! 20! 0 1 20 24.26. На якому з рисунків побудовано графік похідної функціїу = 11 - х|? 281
Завдання 24.28-24.38 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 24.28. Установити відповідність між функціями (1-4) та їхніми похідними (А-Д). 1 /(*) = 8Іп(2х + 3) 2 /(х) = 2соз(х + 3) 3 /(х) = 8ІП2(х + 3) 4 /(х) = іе2х А / '(*) = _2 8Іп(х + 3) Б / '(х) = зіп 2(х + 3) В /’(*) = 28іп(2х + 3) Г /'(х) = 2соз(2х + 3) Д /'(*)=—ту соз 2х 24.29. Установити відповідність між функціями (1^4) та їхніми похідними (А-Д). 1 /(х)=2зіп2 (Зх - 4)+созх 2 /(х) = 2зіп(Зх-4) со8х 3 дх)=281п<3*~4). созх 4 /(х) = 1§(3х - 4) • соз х \ _ Зсо8х-0,5зіп(6х-8) -8Іпх А / (х) — 2 СО8 (Зх-4) Б /'(х) = 6 зіп(6х - 8) - 8ІП X . 6соз(Зх-4)-собх+28Іп(Зх-4)-8Іпх в /(х)= СОЗ X Г /'(х) = -2сО8(Зх-4)-8ІПХ Д /Xх) = 6 соз(3х - 4) • соз х - 2 зіп(3х - 4) • зіп х 24.30. Установити відповідність між функціями (1-4) та їхніми похідними (А-Д). 1 * . с 1 у=—+5 3 А у' = -3 Б у'= 5 - 4-Х 2 у = 5 3 3 у = 3 + 5х 4 у - 5 - Зх В у' = -- 3 Г/ = -5 ДУ=| 24.31. Установити відповідність між функціями (1-4) та їхніми похідними (А-Д). 1 у = зіп5 + е5 2 у - зіп5х + е5 3 у - зіп5 + е5х 4 у = 8Іп5х + е5х А у' = 5(соз5х + е5х) Б у - соз5х В у' = 5е5х Г у = 5соз5х ду = о 24.32. Установити відповідність між функціями (1-4) та їхніми похідними (А-Д). 1 Л 4 2 1 У = 4х т X ~ X4 1 2 у = т- 4 2х2 . х4 2 3 4 у = 4х4 Ц- Л 2х2 А у' - х3+-т X в У - х —у X В у = 16х3+4 X Г у'= 16х3+-^ X Д у = *3+-т X 282
24.33. Установити відповідність між функціями (1-4) та їх похідними (А-Д). 1 у - СО8ХСО87Х - 8ІПХ8Іп7х 2 у - СО8ХСО87Х + 8ІПХ8Іп7х 3 у - 8Іп7хСО8Х - 8ІПХСО87Х 4 у = 8Іп7хСО8х +8ІПХСО87Х А у - 8соз8х Б у — бсозбх В у - 8зіп8х Г у' = -85Іп8х Д у = -бзіпбх 24.34. Установити відповідність між функціями (1-4) та їх похідними (А-Д). 1 у = Х8ІпЗ 2 у - Ззіпх 3 у = 8ІПХ3 4 у - 8ІП3Х А у - 38ІП2ХСО8Х Б у - созЗ В у - Зх2СО8Х3 Г у - 8ІпЗ Д у = ЗСО8Х 24.35. Установити відповідність між функціями (1^4) та їх похідними в точці п (А-Д). . . X А -3 1 У = 81П — Л 3 2 у - 8ІпЗх - 8ІПХ з У = 3 Б -- 3 В 0 г - . СО8Х 4 у = 3 6 Д І 24.36. Установити відповідність між залежностями відстані 5 від часу і руху матеріальних тіл (1-4) та їх швидкостями в момент часу і = 1 (А-Д). 1 А 4 1 5(/) = 8|/3 + 5/ 2 5(/) = 4/+ 1 3 5(/) = -| + 5/ 4 5(/) = 2? + / Б 5 В 5— 3 Г 5- 3 Д зо 24.37. Установити відповідність між залежностями відстані 5 від часу і руху матеріальних тіл (1-4) та часом від початку руху до зупинки тіла (А-Д). 1 5(/) = -у-/ 2 5(/) = ^--/3 + 2 .5 3 5(0 = у-/3 + 4 4 5(/) = /2-/ АІ 2 Б 1 в 7з Г 3 Д 4 283
24.38. Установити відповідність між функціями (1-4) та тангенсами кутів, які утворюють дотичні, проведені до графіків функцій у точці з абсцисою х = 0 з додатним напрямком осі х (А-Д). 1 у = е* 2 у - 2зіп4х 3 у = 8созх 4 У~ 2*81 А 0 Б 1 В 2 Г 4 Д 8 Розв’яжіть завдання 24.39-24.51. Відповідь запишіть десятковим дробом. 24.39. Обчислити значення похідної функції у = дД§6х у точці хп = — 0 24 24.40. Обчислити значення похідної функції у - (2х2 - 1 )1п2х у точці х0 = 1. 24.41. Знати похідну функції у = + соз3 х у точці х0 = . 24.42. Знати похідну функції у = ^/хл/хл/х у точці х<> = 1. 24.43. Записати рівняння дотичної до графіка функції у = 5х2 - 2х, яка утворює з додатним напрямом осі х кут 135°. У відповідь записати абсцису точки дотику. 24.44. Скласти рівняння дотичної до графіка функції /(х) = е5х+|, яка паралельна до прямої у = 5х - 8. У відповідь записати абсцису точки дотику. 24.45. За яких від’ємних значень а пряма у = ах - 5 дотикається до кривої у = Зх2 - 4х - 2? 24.46. Пряма у = —х + С є дотичною до лінії, заданої рівнянням у - 0,5х4 - х. Знайти абсцису точки 4 дотику. 24.47. Знайти тангенс додатного кута, під якими парабола^ = х2 + 2х - 8 перетинає вісь абсцис. 24.48. Обчислити площу трикутника, утвореного осями координат і дотичною до графіка функції х + 2 /(х) =-----у точці з абсцисою Хо = 2. У відповідь записати наближене значення площі з точ- х-1 ністю до 0,01. 24.49. Знати похідну функції у - л/б + бсоз2 х2 у точці х0 - . У відповідь записати . 2 ул 24.50. Скласти рівняння прямої, не паралельної до осі абсцис, яка проходить через Точку Л/І —; 2 і X дотикається до графіка функції у = 2---.У відповідь записати абсцису точки дотику. х і— 24.51. За якого значення параметра а пряма у = — дотикається до кривої у = у]х-а1 284
Тема 25. Застосування похідної для дослідження функцій Якщо для всіх х з проміжку (а; Ь) виконується нерівність(х) > 0, то на цьому проміжку функція зростає. Якщо ж для всіх х з проміжку (а; Ь) виконується нерівність Д(х) < 0, то на цьому проміжку функція спадає. Проміжки зростання та спадання функції називають проміжками монотонності. Щоб дослідити функцію Дх) на монотонність, слід: 1) знайти її похідну/*(х); 2) знайти критичні точки функції (/У(х) - 0 абоГ(х) не існує); 3) визначити знак похідної функції на кожному з проміжків, на які критичні точки розбивають область визначення функції; 4) визначити проміжки зростання та спадання функції (якщо Д(х) > 0, то на проміжку функція зростає, якщо ж/г(х) <0 — спадає). Наприклад, з’ясувати, чи зростає функція /(х) = 4л/х + 6х на проміжку (0; +«>). Знайдемо похід- ну функції: /'(х) = (4>/х + 6х) = -І + 6. Оскільки ОДЗ — хє(0;+°о)і -^ +6>0, то функціяУ(х) зро- У 7 УІХ у/х стає на проміжку (0; +<*>). Максимуми й мінімуми функції Кажуть, що функція у =У(Х) має в точці х0 максимум (мінімум), якщо існує такий 8-окіл точки х0 (х0 - 5; хо + 8), що для всіх х з цього околу, відмінних від х0, виконується нерівність Xх) <Лхо) (/(х) >Лхо)). Точки максимуму й мінімуму називають точками екстремуму. Значення функції в точках максимуму й мінімуму називають екстремумами (максимами й мінімумами) функції. Точки області визначення, у яких похідна функції дорівнює нулю або не існує, називають крити- чними. Достатня умова екстремуму. Якщо похідна функції у =Дх) перетворюється в нуль у точці х0 і при переході через цю точку у напрямку зростання х змінює знак з «+» («-») на «-» («+»), то в точці хо функція має максимум (мінімум). Якщо ж при переході через точку хо похідна функції не змінює зна- ка, то в цій точці функція у -Дх) екстремуму не має (має перегин). Наприклад, задано функцію у -х2. Тоді у = (х2)'= 2х. У точці х = 0 дана функція має мінімум, оскільки/'(О) - 0 і похідна змінює знак з «-» на «+». Щоб дослідити функцію на екстремум, потрібно: 1) знайти критичні точки функції; 2) перевірити, чи змінює знак похідна функції при переході через критичну точку; 3) обчислити значення максимуму утах або мінімуму утіп- Наприклад, знайти точки екстремуму функції Дх) = х3 - Зх2 + 18. Обчислимо похідну функції: Д(х) = (х3 - Зх2 4-18)' = Зх2 - 6х. Знайдемо критичні точки функції: Д(х) - 0; Зх2 - 6х = 0; х(3х - 6) = 0; хі - 0, х2 - 2. Дослідимо знак похідної в околах критичних точок. Оскільки при переході через точку х — 0 похідна змінює знак з «+» на «-», то ця точка є точкою максимуму; при переході через точку х-2 похідна змінює знак з «-» на «+», тому ця точка є точкою мінімуму. Відповідь. хтах 0, хтіп 2. Щоб знайти найбільше та найменше значення неперервної на відрізку [а; Ь] функції, потрібно: 1) знайти всі критичні точки функції на інтервалі (а; Ь); 2) обчислити значення функції у кожній критичній точці та на кінцях відрізка; 285
3) вибрати найбільше та найменше з отриманих чисел (див. рис.). При дослідженні функцій поряд з першою похідною використовують другу похідну, за допомо- гою якої досліджують характер опуклості (вгнутості) функцій. Якщо для всіх хє(а; Ь) виконується нерівність/"(х) 0 (Ґ'(х) 0), то графік функції Xх) є вгну- тим (опуклим) на даному проміжку. Асимптоти Пряму х- а називають вертикальною асимптотою графіка функції у =/(х), якщо Ііш/(х) = °° . Наприклад, пряма х = 0 є вертикальною асимптотою графіка функції у = —, оскільки Ііт — = оо X ^Х Пряму у - Ь називають горизонтальною асимптотою графіка функції у -Дх), якщо Ііт /(х) = Ь або Ііт /(х) = 6. Наприклад, пряма у = 0 є горизонтальною асимптотою графіка функції у = —р, X -1 оскільки Ііт —г— = 0. Х-*±~ Х2 _ 1 Дослідження функції Повне дослідження функції на побудову на її основі графіка функції можна виконувати за такою схемою: 1. Знайти область визначення функції. 2. Дослідити функцію на парність, непарність, періодичність. 3. Знайти проміжки зростання, спадання та екстремуми функції. 4. Знайти асимптоти графіка функції. 5. Знайти точки перетину графіка функції з осями координат та проміжки знакосталості функції. 6. Використовуючи результати дослідження й обчисливши ряд контрольних точок, будуємо гра- фік функції. Наприклад, побудувати графік функції у = —х3 4- 1,5х2 + 2х - 3—. З 6 1. Область визначення функції £>(/) = К. 2. Функція ні парна, ні непарна, боу(-*) ~ —(-х)3 + 1,5(-х)2 4- 2(-х) - 3— = З 6 = х3 4- 1,5х2 - 2х - З— Ф -у(х) г(~х)- Функція неперіодична. З.у - | — х3 4-1,5х2 4-2х-3— ІЗ 6, - х2 4- Зх 4- 2. х2 4- Зх 4- 2 = 0; хі = -2, х2 = -1. На проміжках (-оо; -2) і (-1; 4-оо) функція зростає, бо у' > 0; а на проміжку (-2; -1) функція спадає, бо у' < 0. Оскільки в точці 286
х = -2 похідна змінює знак з «+» на «-», тому точка х = -2 — точка максимуму, упіах = -4— ; в точці , • • 1 . • Л х = -1 похідна змінює знак з «-» на «+», то точка х = -1 — точка мінімуму, утіп = -4— . 4. у" - (х2 + Зх + 2)' = 2х + 3. Тоді на проміжку (-1,5; +«>) у" >0, тому графік на цьому проміжку / • • ( 3 7^1 вгнутий, а на проміжку (-оо; -1,5) у <0, тому графік на цьому проміжку опуклий. Точка —; - 4— є точкою перегину. 5. Асимптот функція не має. 6. Графік перетинає вісь у в точці [ 0;-3— | , боД0) = — • О3 +1,5-О2 + 2-0-3— = -З—. Підбором \ 6/ 3 6 6 встановлюємо, що х=1— корінь рівняння — х3 + 1,5х2 + 2х-3—= 0. Тоді —х3+1,5х2+2х-3—= З 6 3 6 / і/1 2 И 23Л . . ~ = (х- 1) — х ч—хч---, звідки одержуємо, що це єдинии корінь. Отже, графік перетинає вісь х у \3 6 6 / точці (1; 0). На проміжку (-сю; 1) функція Дх) < 0, а на проміжку (1; +«>) —Дх) > 0. 7. Будуємо графік функції. 287
Приклад 7. На рисунку зображено графік похідної функціїДх), яка диференційована на К. Указа- ти проміжки зростання та спадання функції/*). жному з цих проміжків. Оскільки на проміжках (-4; 1) та (5; +©о) виконується нерівність/^*) < 0, то на цих проміжках функція/х) спадає. Відповідь. Зростає на проміжках (-оо; -4) та (1; 5) і спадає на проміжках (-4; 1) та (5; +©©). Приклад 2. Яка з указаних функцій є зростаючою на всій області визначення? А Б В г д » = 0,4х У(Х)=х2 Лх)= (7з)х Хх) = з зростаючої функції немає /х) = 0,4*, 0 < 0,4 < 1, функція спадна;/х) = х2, функція спадна, якщо х < 0;/х) - [4^ , л/З > 1, функція зростаюча; /х) = 3 — ні зростаюча, ні спадна. Відповідь. В. х 2 Приклад 3. Дослідити на монотонність та екстремум функцію у - — - Зх + 5. ґхз V у' = І-Зх2 + 5 І =х2 -6х. Знайдемо критичні точки, прирівнявши похідну до нуля: у =0; х2 - 6х = 0; ^ = 0; х2 = 6. Критичні точки — 0 та 6 — розбивають область визначення на три промі- жки • (—°°; 0), (0; 6), (6; + оо). Визначимо, який знак має похідна функції на кожному з проміжків. Для цього виберемо довільне число з проміжку (-оо; 0), наприклад, -10, і обчислимо відповідне значення похідної функції: у'(-10) = (-10)2 - 6 • (-10) = 160 > 0. Тобто на проміжку (-оо; 0) похідна функції на- буває лише додатних значень. Виконавши аналогічні обчислення, визначимо знак похідної на інших проміжках. Результати обчислень подамо таблицею: X (-«; 0) (0; 6) (6; +°о) У + - + Оскільки на проміжках (-°о;0) та (б; + °о) похідна набуває додатних значень, то функція на цих проміжках зростає. На проміжку (0; 6) похідна від’ємна, тому функція на ньому спадає. Оскільки при переході через точку 0 похідна функції змінює знак з «+» на «-», то х = 0 — точка максимуму. Максимум функції дорівнює: утах = у(0) - 5. При переході через точку 6 похідна функції змінює знак з «-» на «+». Тому х = 6— точка мінімуму. Мінімум функції дорівнює: утіп~Х6) = = -31. 288
Приклад 4. Знайти проміжки зростання (спадання) функції /(х) = ух2 -х-2. Знайдемо область визначення функції: х2 - х - 2 > 0; хє (-<»; -1 ]и[2; +©»). Похідна функціїУ(х) дорівнює: /'(х)= >/х2 -х-2) =—. Функція Дх) зростає, якщо/'(х) > 0, тому —. >0, 1 1 2уіх2-х-2 2ух2-х-2 -1>0 х2-х-2>0; х> 0,5; х < -1; х > 2. Отже, функція зростає на проміжку (2; +°°). х> 2, Аналогічно, функція спадає, якщо(х) < 0, тому 2х-1 2\Іх2 - х-2 <0, тобто 2х-1<0; х2 - х - 2 > 0; х<0,5; х<-1; х> 2, х < -1. Отже, функція спадає на проміжку -1). Слід зазначити, що в точках х = -1 і х = 2 функція Дх) неперервна, але не диференційована. Приклад 5. Яка з указаних функцій має максимум у точці хо - 0? А Б В Г Д у = 7х2 + 5 у = 2х3-7 у = -Зх2 + 4 у = х + 2 у - СО8 X а) Функція у - 7х2 + 5 — не має максимуму взагалі (рис. а); б) = 2х3 - 7 — не має максимуму взагалі; в)<у = -Зх2 + 4— має максимум у точці х0 = 0, бо у -~6х\ У = 0; -6х = 0; х = 0 (рис. в); Г)^= х + 2 (рис. д). і ТЕ і не має максимуму взагалі; д)у= соз^х- —— не має екстремуму в точці х0 = 0 д) а) Відповідь. В. х2 і 8 Приклад 6. Знайти найбільше значення функції /(х) =-на відрізку [-3; 0]. х-1 п \-(х2 + »У _ Р +8) '(4-і)-(х-1)''(х2+8)_2х(х-1)-1-(хг+8)_ (х-!)2 = (х-1)2 --+-42>4 8 х'-2х-8у( (|; 42-2х-8 = 0. х2-2х-8 = 0; х, = -2; х2 = 4. Порівняємо зна- (4-1) (4-1) (4-І) ченняЛ-3)Л-2),Л0)./(-3)=^^=^ = -ІІ; /(-2) = 8 ==-4; /(0) = = А = _8. Найбільше значенняу(-2) = -4. 2х3 Приклад 7. Побудувати графік функції у = —,-. х +1 1. Область визначення функції £>(/) - К. „ Л ч 2(-х)3 -2х3 2х3 2. Функція непарна, бо у(-х) =------ —------= —--= -у(х), неперіодична. Звідси маємо, (-х/+1 х2 +1 X І 1 що дослідження функції достатньо провести ДЛЯ X > 0. 19* Капіносов А. Математика. Комплексна підготовка до ЗНО 289
з. у’ = 6х4 + 6х2 - 4х4 2х4 + 6х2 ---------:---=--------Якщо х > 0, то у >0. Отже, на проміж- ку (0; +°°) функція зростає. 4. Графік проходить через початок координат, боу(О) = 0- 5. Знайдемо кілька точок, які належать графіку: X -2 -1 0 1 2 У -3,2 -1 0 1 3,2 6. Будуємо графік функції на проміжку [0; +<»). Використавши симетрію відносно початку коор- динат, будуємо графік на проміжку (-оо; 0). Завдання 25.1-25.24 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 25.1. Визначити проміжок зростання функції у = х2 - 1. А Б в г Д (-оо; +оо) [0; +оо) [і; +о°) (-о; 0] 25.2. Знайти проміжки зростання функції у =Дх), якщо/(х) = (х - 1)(х - 5). А Б в г д (-~;-5М1;+оо) [-5;-і] [і;-5] (—;1М5;+оо) (-о;-5] 25.3. Знайти проміжки спадання функції у = <р(х), якщо ф (х) = (х + 2)(х - 1)2(х - 3). А Б В Г д [-3; 2] (-о;-3]і[-1;2] (-оо;-2] і [1; 3] (-о; -2] і [3; +оо) [-2; 3] 25.4. Знайти проміжки зростання функції у = х2ех. А Б В г д (-оо; +оо) (-оо; -2] і [0; +оо) [-2; 0] (-оо; 0] і [2; +оо) [0; 2] 290
25.5. Знайти проміжки спадання функції у = 8Іп2х. А Б В Г д Г я "І [2 п є 7. я „ „ 1 — + 2тг.л+2тг , .2 [л+2яи;2я+2яи], п&2 1 1 а і 1 1 (—о; +оо) 25.6. Серед наведених функцій вибрати ту, яка є зростаючою на множині дійсних чисел. А Б В Г д у = -х7 У - СО82Х у = 1п(х2 + 1) У = ЄХ 2 У = 25.7. Серед наведених функцій вибрати ту, в якої проміжком спадання є проміжок [0; +«>). А Б в Г д 1 У=х2+1 у = хех у = 1п(х3+ 1) у = ех1 у = ех2 А Б в г д Одну дві три чотири більше, ніж чотири 25.9. Знайти критичні точки функції /(х) = —— х2 - Зх. А Б В г Д 0 -3 і-1 -Зі 1 1 ІЗ -1 ІЗ 25.10. Вказати критичні точки функції у = х(х - 4)'’. А Б В Г Д 0; 4 4 1; 4 3 і 25.11. Знайти критичну точку функції у = 2х2 - 4х. А Б В Г Д -1 1 4 0 2 291
25.5. Знайти проміжки спадання функції у = зіп2х. А Б В Г д ! Гя 1 [_2 ] п є 2 я . . "І —+ 2яи;я+2яп , [2 .1 пє/ [я+2ям;2я+2яи], пє2 1 "1 £ ї N £ 1 1 (-оо; +оо) 25.6. Серед наведених функцій вибрати ту, яка є зростаючою на множині дійсних чисел. А Б В Г д У ~ ~х у - СО82Х у- 1п(х2 + 1) У - Є1 2 у = 25.7. Серед наведених функцій вибрати ту, в якої проміжком спадання є проміжок [0; +<~). А Б В Г д 1 ^х2+1 у -хех у = 1п(х3 + 1) у = ех' у = ех' А Б в г д Одну Дві три чотири більше, ніж чотири 25.9. Знайти критичні точки функції /(х) = —— х2 - Зх . А Б В г Д 0 -3 і-1 -3 і 1 1 ІЗ -1 ІЗ 25.10. Вказати критичні точки функції у - х(х - 4)3. А Б В Г Д 0; 4 4 1;4 3 і 25.11. Знайти критичну точку функції у - 2х2 - 4х. А Б В Г Д -1 1 4 0 2 292
25.17. Вказати проміжки зростання функції у - ф(х) на відрізку [-5; 5], якщо на рисунку зображено графік функції у = ф'(х). — л. 4 г 3 г 9. і 2 “І 1- 2- -Е -У 1- 1- Д-Х І і ’ т - 1—] и А Б в Г Д [-2; 3] [-і;2] [-2; 1] і [4; 5] [і;3] [-5;-3] і [1;4] 25.18. Функція у =Дх) визначена на множині дійсних чисел; -3 і 2 — нулі функції. Зміну знаків по- хідної функції подано в таблиці. (—;-і) -1 (-і;3) 3 (3; +°°) Дх)<0 Д-1) = 0 Лх)>0 Л3) = о Лх)<0 293
25.20. Знайти точку, в якій функція у - хіпх набуває найменшого значення. А Б В г д 1 е2 х е 1 е ег 25.21. Знайти точку максимуму функції у = . х А Б В г д £ е 1 е е2 25.22. х3 За яких значень а функція у = — - х2 + ах має критичні точки, але не має точок екстремумів? А Б В г д -1 -1 і 1 1 -4 і 4 4 25.23. За яких значень а точка 5 є точкою мінімуму функції у =Дх), якщо /\х) = (х - 5)(х - а)? А Б В Г д а>5 а = 5 а > 5 а<5 а < 5 25.24. За яких значень а точка 3 є точкою максимуму функції у = 2 + ? А Б в Г д а = 3 а > З а< 3 а< 3 а > 3 Завдання 25.25-25.35 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 25.25. Установити відповідність між функціями (1-4) та їхніми властивостями (А-Д). 1 У = 1°8і(* + 2) 2 2 у = 2|х| + 2 З у = 2Л+2 4 у = -3х2+7х-14 А зростаюча на всій області визначення Б спадна на всій області визначення В має максимальне значення Г має найменше значення Д періодична 25.26. Установити відповідність між похідними/(х) функцій (1-4) та проміжками спадання відповід- них їм функцій^) (А-Д). 1/(х) = (х+1)(х-5) 2/(х) = (х+1)(5-х) 3/(х) = (х+1)2(х-5) 4/(х) = (х+1)(х-5)2 А (-«>;-1] Б (-оо; 5] В (-^>;-1]о[5;+оо) Г [-5; 1] Д [-1; 5] 294
25.27. Установити відповідність між похідними /(х) функцій (1-4) та проміжками зростання відпові- дних їм функційДх) (А-Д). 1/(х) = (х + 3)(х - 4) 2/(х) = (х + 3)(4-х) З Д(х) = (х + 3)1 2 З(х - 4) 4/(х) = (х + 3)(х-4)2 А [4; +о°) Б [-3;+оо) В (-оо; -3]о[4; +оо) Г [-3;4] Д Н;3] 25.28. Установити відповідність між функціями (1-4) та проміжками спадання цих функцій (А-Д). 1 у = -3х5-4х 2 у = х4-2х2 З у = ех!-2х+3 4 у — ех — х А (-оо; 1] Б (-оо; 0] В (-оо;-1]м[0; 1] Г [0;+оо) Д (-оо; +оо) 25.29. Установити відповідність між функціями (1-А) та проміжками зростання цих функцій (А-Д). 1 у = Зх - х2 2 у = 71-х2 З у — х — Іпх 4 у = ех + х - 1 А (—оо; +оо) Б [-1; 0] В (^о;0]о[1;+оо) Г [1;+°о) Д (—; 1,5] 25.30. Установити відповідність між ескізами графіків функцій (1-А) та кількістю критичних точок цих функцій (А-Д). А Б в г Д Жодної одна Дві три чотири 25.31. Установити відповідність між функціями (1^4) та їх критичними точками (А-Д). 1 у = х5 - 5х 2 у = х2+- X З у = ех2+2х 4 у = ^1 — х2 А 1 Б -1 В 0 Г 0; 2 Д -1; і 295
25.32. Установити відповідність між похідними /(х) функцій (1—4) та точками максимуму функцій ЛО (А-Д). 1 /(х) = х(х + 2)(х-4) 2 /(х)=х2(х + 2)(х-4) 3 /(х) = х(х + 2)(4-х) 4 /(х) = х2(х +2)(4-х) А -2 Б 4 В -2; 4 Г -4 Д о 25.33. Установити відповідність між похідними/(х) функцій (1-4) та точками мінімуму функцій/х) (А-Д). 1 /(х) = (х + 3)(х - 1)(х - 5) 2/(х) = (х + 3)(х-1)2(х-5) 3 /(х) = (х + 3)(х- 1)(5-х) 4/(х) = (х + 3)(х-1)2(5-х) А 5 Б 1 В -3 Г -1 Д -3;5 25.34. Установити відповідність між функціями (1—4) та точками максимуму цих функцій (А-Д). х3 х2 1 у = -±- + І- 7 3 2 - X3 X2 2 у = 1 3 2 - х3 х2 3 у = 3 2 . X4 X2 4 у = 1 4 2 А 0 Б 1 В -1 Г -1; 0 Д -1; 1 25.35. Установити відповідність між функціями (1—4) та точками мінімуму цих функцій (А-Д). 1 2 1 у = 2х 4 2 у = -у + 2х2 « х5 4х3 3 у = 5 3 . х5 4х3 4 у = 1 5 3 А 0 Б 2 В -2; 2 Г -2; 0 Д -2 Розв’яжіть завдання 25.36-25.45. Відповідь запишіть десятковим дробом. 25.36. Знайти проміжки спадання функції у = ±х4-±х2+5. У відповідь записати додатну абсцису середини одного з проміжків спадання. Зх “І- х2 25.37. Знайти проміжки спадання функції у ----------. У відповідь записати додатну абсцису середи- х —1 ни одного з проміжків спадання. 296
25.38. Знайти найбільше значення функції у - -2х3 + 6х2 + 9 на відрізку [0; 3]. 25.39. Число 64 подати у вигляді добутку двох додатних множників так, щоб сума їхніх квадратів бу- ла найменшою. У відповідь записати найменшу суму квадратів знайдених множників. 25.40. Прямокутну ділянку землі, яка прилягає до стіни будинку, потрібно обгородити парканом завдовжки 160 метрів. Знайти довжину прямокутника в метрах, за якої площа ділянки буде найбільшою. 25.41. Визначити висоту в метрах відкритого басейну із квадратним дном, об’єм якого дорівнює 32 м3, такого, щоб на облицювання його стін і дна витрати на матеріал, були найменшими. 25.42. За якого найменшого цілого значення а функція у = х3 + Зх2 + ах - 1 не має критичних точок? 25.43. За якого від’ємного значення Ь один із екстремумів функції у = 2х3 - Зх2 + Ь дорівнює -1? 25.44. За якого найбільшого значення а функція у = хех є спадною на проміжку [а - 5; а + 3]? 25.45. Знайти, за яких значень параметра а сума кубів коренів рівняння 6х2 + 6(а - 1)х - 5а + 2а2 = 0 буде найбільшою. 297
Тема 26. Первісна. Інтеграл Функцію Р(х) називають первісною для функції Цх) на проміжку X, якщо для довільного хеХ справедлива рівність /'*(*) =У(х). Наприклад, оскільки (х3)' = Зх2 на проміжку (-оо; +«>), то Р(х) = х3 є первісною функціїДх) = Зх2 на К. Основна властивість первісної Якщо Р(х) — первісна для функціїДх) на проміжку X, то функція У(х) має безліч первісних, і всіх їх можна задати формулою Р(х) + С, де С — довільне число. Наприклад, первісною для функції Дх) - 4х3, є функція Р(х) = х4, оскільки (х4) = 4х3. Первісними для функціїУ(х) = 4х3 є також функції Р(х) = х4 + 6, Р(х) = х4 + 50,1, Р(х) — х4 — 1 і взагалі, Р(х) - х4 + С, де С — довільне число. Сукупність усіх первісних для функції Дх) на проміжку X називають невизначеним інтегралом функції на цьому проміжку і позначають | /(х)о5г = Р(х) + С. Наприклад, | соз хсіх = зіп х + С. Властивості невизначеного інтеграла 1. \р'(х)сіх = Р(х) + С. 2. ({/(х^х^Лх). З. / (/ (х) ± /2 (х)) (їх =| / (х)ейс ±| /2 (хріх. 4. | а/(х)<іх =4 /(х)сіх. Таблиця інтегралів 1. | сіх = х + С. , х"+І 2. \хпсіх =-----+ С. и + 1 4. Г-</х = 1п|х| + С. * X 6. | ехсіх = ех + С. 7. |зіп хсіх = - соз х + С. 8. |сО8Хб& = 8ІПХ + С . 9. [—\—сіх = і£х + С. * СОЗ X 5. [ахсіх = ——ьС. 10. [—з—сіх = -сї£х + С. : \па ’ 8Іп х При обчисленні інтегралів підінтегральну функцію зводять до однієї з табличних. Наприклад, знай- і ~~+1 -> г 1 ГІГ--Х3 3 - і— ти інтеграл І -4=А. Виконаємо перетворення: -~і=с1х = х 3сіх =—:-ь С = — х3 + С = 1,5 л/х2 +С. ’ УХ •’ л/х •’ --4-І 2 з Якщо підінтегральна функція Дх) не може бути безпосередньо перетворена до однієї з табличних, то можна використати метод заміни змінної чи інтегрування за частинами. Наприклад, знайти |соз(3х + б)<7х. Введемо позначення / = 3х + 6, звідки х = ±ї-2. Тоді сіх = сі і - 2^ = -і сіі. Одержимо: | соз(Зх + 6) сіх 4 соз і • Л = соз іЛ = 8Іп і + С = зіп (Зх + 6) + С. 298
Згідно методу інтегрування частинами, | ио'сіх =ио - ) ои'сіх, де и = и(х) і V = о(х) — диференці- йовані функції. Наприклад, знайти [хІпхаЬг. Уведемо позначення: и = 1пх, о' = х. Звідси и' = —, ' х г , , г , х2 _ г , , х2. гх2 1 х21пх 1 г , х21пх 1 х2 _ о = IV ах= \хах = —. Отже, х1пхох = —Іпх--------—ах=-----------\хах=----------------ЬС = •> •’ 2 і 2 > 2 х 2 2і 2 2 2 х21п х х2 _ =----------+ С. 2 4 На рис. 1 а) зображена криволінійна трапеція, обмежена графіком функціїу =#х) і прямими у - 0, х = а і х = Ь. Площу криволінійної трапеції обчислюють за формулою 8 - Р(Ь) - Р(а), де Р — будь-яка первісна функції у =Дх) на проміжку [а; />]. Різницю Р(Ь) - Р(а) називають визначеним інтегралом функції у =Дх) на проміжку [а; 6] і позна- ь чають \Нх)сІх = Р(Ь)-Р(а). Ь Ь ь При обчисленні визначеного інтеграла Р(Ь) - Р(а) позначають Рівність |/(х)с1х- /^(х) а а називають формулою Ньютона — Лейбніца. Слід враховувати, що якщо функції у =Дх) і мають первісні на проміжку [а\ 6], то спра- ведливі рівності: Ь с Ь 1. |/(х)<& = |/(х)о5г + |/(х)<&. а а с Ь Ь Ь 2. }(/(*)+ &(х))<& = |/(х)і&+|^(х)б&. а а а Ь Ь 3. ^к/(х)сіх = /(х)б&. а а Ь а 4. | /(х)А = -1 /(х)Л. а Ь 5 5 5 5 5 Наприклад, обчислити |(2х + 6)б/х. Маємо: |(2х + 6)е/х = ^2хсіх+|бй5с = (х2 +6х)| =52+6-5- і ііі 1 -(і2+ 61) = 48. Відповідь. 48. ь Формула площі криволінійної трапеції запишеться так: 5 = Г/(х)сіх, якщоу(х) 0 (рис. 1). Рис. 1 Наприклад, знайти площу фігури, обмеженої лініями: у = х2-4х- 1, у = 0, х = 0, х = 3. Фігура, обмежена заданими лініями, є криволінійною трапецією (рис. 2). Функція у = х2 - 4х - 1 на відрізку 299
[0; 3] набуває від’ємних значень, тому площа фігури дорівнює модулю відповідного визначеного інте- грала: з о -18-3-О| = 12. Як і у випадку невизначеного інтеграла, при обчисленні визначеного інтеграла використовують безпосереднє інтегрування, та методи заміни змінної й інтегрування частинами. е2 ! Наприклад, обчислити Г—1п2 хсіх. Оскільки функція 1п2х є неперервною на проміжку [е; е2] і Іпх і х е має неперервну похідну — на цьому відрізку, то, використовуючи заміну змінної і - Іпх, одержимо X нові межі інтегрування: якщо Хі=е, то і\ - Іпе - 1; якщо ж х2 - є2, то ґ2-1пе2 = 2. Таким чином, 2 е2 } 2 3 2 1п2хб& = р2Л= — е Х 1 3 ! 8_1=7=21 3 3 3 3’ Відповідь. 2—. З = 2---1-(21-2°} = 2----і- 0 1п22' ' 1п22 Наприклад, обчислити Г х • 2х сіх. Позначимо и = х, V' - 2х. Тоді и' = 1, V = . Отже, І х • 2х сіх = і 1п 2 о 111 о 1 х і 1 । л х = х-2т І' Л = 1-2-0——\2хсіх = 2.------------- Іо {1п2 1п2{ 1п2 1п2 Нехай у -]{х) і у - &(х) — неперервні на проміжку [а\ Ь] функції і для всіх хє [а; Ь] виконується нерівністьУ(х) >&(х). Тоді площу фігури, зображеної на рисунку 3, обчислюють за формулою: ь 5 = 1(/(х)_^(х))6&с- 300
Наприклад, знайти площу фігури, обмеженої функціями^*) = х2 - 2х + 4 і §(х) = х + 4. Побудуємо фігуру, площу якої слід знайти. Знайдемо точки перетину графіків заданих функцій: х2-2х + 4 = = х + 4; х2 - Зх = 0; Х| = 0, х2 = 3. Графіки заданих функцій перетинаються у точках з абсцисами х - 0 і з з х = 3. Оскільки £(х) >/(х), то площа фігури дорівнює: 5-|(^(х)-/(х))і/х = |(х + 4-х2 +2х-4)г/х = о о 3.9_27Ї43.0_0>| .2 3) <2 З) Відповідь. 4,5. Об’єм тіла, утвореного від обертання криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції ь у ~Лх), де хє [а; Ь], навколо осі х, обчислюють за формулою: V = /2(х)<& (рис. 4). Рис. 4 Наприклад, знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі абсцис фігури, обмеженої ліні- ями у = х2 + 2, х = 1, х = 2, у = 0. Побудуємо фігуру, об’єм якої слід знайти. 301
2 2 2 / 5 3 \ 2 V = л| /2 (х)сіх = л| (х2 + 2)2 сіх = л| (х4 +4х2 + 4)дЕг = л^-^-+4•-^-+4x^ ґ—+ 4-- + 8і - Ґ- + 4-- + 4І < 5 3 > <5 3 ) 293л 15 Приклад 1. Знайти первісну Р(х) функції/(х) = зіпх. Оскільки (-созх)' = зіпх на проміжку (-°°; +«>), то Р(х) = -созх є однією з первісних. Загальний вигляд первісної функції має вигляд Р(х) = -созх + С. В Приклад 2. Знайти первісну функції^) = Зх2, графік якої проходить через точку (2; 10). Оскільки (х3)' = Зх2, то загальний вигляд первісної є Р(х) = х3 + С. Знайдемо значення С. За умовою, Р(2) = 10. Тому 23 + С = 10; С = 2. Таким чином, первісна функції у(х) = Зх2, яка проходить через точку (2; 10), має вигляд Р(х) = х3 + 2. Приклад 3. Знайти невизначений інтеграл: а) |(4х3 -б)<Д; б) П а) |(4х3 - б)сіх = 4|х3сіх-6^сіх = 4-^- — 6х + С = х4 — бх + С. б) |^3созх + —</х = з|созхб/х +ю|— -Ззіпх + 101п|х| + С. Відповідь, а) х4 - 6х + С; б) Ззіпх + 101п|х| + С. Приклад 4. Знайти невизначений інтеграл | соз2 м г> 2Х 1 + СО8Х -г • Г гі + созх Врахуємо, що соз — = —. Тоді ^оз —ах = ]—-— Відповідь. ~(х + зіпх) + С. Приклад 5. Знайти невизначений інтеграл хзіпхб&. Проінтегруємо частинами, припустивши, що и-х, V' = зіпх. Тоді и'=1, г = -созх. Маємо: х зіп хсіх = х • (- соз х) -1 (- соз х]сіх = —х соз х + У соз хсіх = - х соз х + зіп х + С. Відповідь. -хсозх + зіпх + С. Приклад 6. Знайти невизначений інтеграл |>/х2 + 3х + 1(2х + 3)^х. Використаємо метод заміни змінної, позначивши / = х2 + 3х+1, звідки ґ' = 2х + 3. Тоді -------- . _ О З П З 2 - Відповідь, —[х2 + Зх +1)2. 302
Приклад 7. Знайти визначений інтеграл СО82 л/4 — 81ПХ \ л/4 л/4 х 1 . Г • 9 х , Г І-соз* , — дх = зпг — ах-----------------ах = і) 1 2 1 2 л/6 л/6 "л/4 л/4 | Л/4 Л/4 — | (ІХ~ | С08Х6& = _л/6 л/6 л/4 Л/6 Л/6 я._ я. 4 6 ґзіп—-8ІП—1 <4 6> я >І2 -1 _ я - 6л/2 + 6 24 4 24 г>- я-6л/2 + 6 н Відповідь.-----. і Приклад 8. Знайти визначений інтеграл |(2х-1)6 сіх. о Уведемо заміну: ґ = 2х-1, тоді ґ' = 2. Якщо х = 0, то ґ = —1; якщо х=1, то ґ = . Отже, |(2х-1)6с/х = ||(2х-1)6-2^ = ||?Л = |4 0 0 2 -1 2 ' 1 1г1і н? .. 2^7 7 ПІ 1 —---1- 2\7 7. Відповідь. —. Приклад 9. Знайти визначений інтеграл 1п хсіх. і Використаємо інтегрування частинами, прийнявши, що и - Іпх, ї/ = 1, звідки и = —, V х — х. Ма- ємо: е |1ПХ4& = (ІПХ-Х 1 Є -Іпі-1)-|б/х = е-х і Відповідь. 1. л/3 Приклад 10. Знайти визначений інтеграл | зіп2х зіпх сіх. л/6 л/3 л/3 । л/3 । । | 8ІП2х ЗІПX (їх = | — (соз(2х-х)-со8(2х + х))б&= | —(созх-созЗх)(їх = — зіпх л/6 л/6 2 л/6 2 2 л/3 л/6 гр о 1 1ґ. Я . яА 1? , 1(7з її 1 . — СО83Х — Зах = —І 81П-------81П—------СО83х-3<ЯХ = —----------------8іп3х 2я/б 3 2\ 3 6/ 6^., 2< 2 2) 6 Л/6 Л/6 4 х л/з —| 8ІПЯ-8ІП — 6< 2< 1 Чо 1 І 1 ^За/З-1 4 4 6 4 4 6 12 Відповідь. За/З-1 12 1 2 1 2 7 1 4 4 303
Приклад 11. Установити відповідність між визначеними інтегралами (1-4) та їхніми числовими значеннями (А-Д). 1 Дх2+2)б& і 2 \-сіх І* я/6 З | 8ІП2 2хСО3 2хб& я/8 я/4 4 | ЗІПХСОЗХб/х я/6 З З’ 1 „ , 2 — —н 6--------2 —12— 3 3 З 2. г£с = з|—«5с = 31п|х| іх іх = 3(1пе-1п1) = 3 —> Б А Зл/з-2л/2 А --------- 48 Б З в 4Ї-42 8 Г і 8 Д 12з Я/6 3. | зіп2 2х соз2х (Їх. Уведемо заміну і - зіп2х, тоді сіі - 2соз2хб/х і соз2хб7х = —. Обчислимо нові я/8 межі інтегрування: якщо х = то ґ = зіп ^2 • ^ = зіп^- = якщо х = , то і = зіп^2 • = зіп у~ Таким я/6 Тз/2 , 1 Тз/2 . З [ 8ІП2 2х СО3 2х (їх - Г і2 — Г і2(1і =--------------------------- я/8 Л/2 Л/2 ЧИНОМ, х/з/2 >/2/2 я/4 я/4 । । л/4 4. | зіпхсозх(їх- Г —• 2зіпхсозх(їх-— Г зіп2хсІх. Уведемо позначення: / = 2х, тоді х = —, •і 7 2 2 я/6 я/6 л/6 1 я/4 । я/2 1 я/2 сіх-—. Якщо х — —~, то І — —; якщо х- —, то і-—. Отже, — Г зіп2хо'х = — Г зіпґ—- - ( зіпг<7г = 2 6 3 4 2 2/, 2/л 2 4/ч Приклад 12. Знайти площу фігури, обмеженої лініями у = х2-2х + 1, § = х + 5 . Розв’язавши рівняння х2 - 2х + 1 = х + 5; х2 - Зх - 4 - 0; хі = 4, х2 = -1, знаходимо абсциси то- чок перетину графіків даних функцій (межі інтегрування): 4 і -1. На відрізку [-1; 4] §(х) >у(х) (див. рис. 4). Тому площа фігури, обмеженої графіками даних функцій дорівнює: 4 4 5 = Дх + 5 - (х2 - 2х +1))(їх = | (-х2 + Зх + 4) (їх = -і -і = 20 6 304
8- 7- -і — 1-2-3-4-Х -З- □^ЇВЯ ЇЙ^ІІЯЯ №^шіва Е^К’ІЯЯ итаиі ,._ЙВИИ ІИЯЯ^а^ВЗ^ "ЖШЯГ іа^ЕГ і^^і -24-1О -1—1- X 11 К~Е Приклад 13. За яких значень Ь площа криволінійної трапеції, обмеженої лініями у - >/х , у = 0, х = Ь дорівнює 18? ь ь 1 2 - 8 = |>/х с!х = |х2 сіх = —х2 о о З Відповідь. 9. з Приклад 14. Обчислити значення визначеного інтеграла | ^9-х2 сіх. -з з Значення визначеного інтеграла | ^9-х2 (їх можна розглядати якф площу фігури, обмеженої -з лініями у = \І9-х2, х = -3, х = 3. Перетворимо функцію у = ^9-х2. Піднесемо обидві частини у = л/9-х2 до квадрату, врахувавши, що у > 0 і -3 < х < 3. Одержимо: у2 = 9 - х2; звідси х + у2 = 9. Це є рівняння півкола з центром у точці (0; 0) і радіусом К = 3. Отже, досить знайти площу відповідного • г /Л 7 і 1 7 1 ^7 півкруга: ^9-х сіх = 5 = —пг =— я-3 = —= 4,5я. 20* Капіносов А. Математика. Комплексна підготовка до ЗНО 305
Приклад 15. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо вісі абсцис фігури, обмеже- ної лініями у - 4х , у = 0, х = 2 і х = 4. = л(8-2) = 6л. Відповідь. 6л. Завдання 26.1-26.23 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 26.1. Знайти загальний вигляд первісних для функції^*) = х10 - х8 + х + 13. А Б В Г д 7Дх)= 10х9- - 8х7 + 1 + С х" х9 Р(х) = - — + 11 9 г2 +—+ 13х + С 2 х" х9 Р(х) = - — + 11 9 х2 +—+ 13 + С 2 /Дх)= 11хн-9х9 + + 2х2 + 1 Зх + С х" X9 Г(х) = -— + -— 119 х2 --—ІЗх + С 2 26.2. Знайти загальний вигляд первісних для функцїїДх) = —4созх. А Б В Г Д Р(х) = —4зіпх + С Р(х) = 4зіпх + С Р(х) = -4сО8Х + С Р(х) = 4созх + С Г(х) = -16со8х + С 26.3. Яка з функцій задовольняє рівняння /'(х) = —=—? 8ІП X А Б В г д Дх)= 10і§х У(х) = -10сі§х /х) = -10і§х /(х) = ~сі8х У(х) = 1 ОсІ£Х 26.4. Для функціїДх)= «іпх знайти первісну Р(х), графік якої проходить через точку 0(0; 0). А Б в г Д Р(х) = ЗІПХ Р(х) = созх Р(х) = созх + 1 Р(х) = 1 - созх Р(х) - созх - 1 26.5. Обчислити інтеграл | х20<1х . о А Б В Г Д 19 21 20 1 20 1 21 306
26.6. Обчислити | (х2 - 4х)сІх. А Б В Г д 5 3 1 3 2 1 7 3 26.7. Обчислити 0 А Б В Г д 1 2 1 3 3 1 1 4 26.8. |зІпЛіс = ... 0 2 А Б в г д я 2СО8Х 1 ХІя —соз— „ 2 21° 1 X Я —соз— „ 2 2 0 о ХІЛ -2со8—і 21° 2 соз—1” 2І° 26.9. я 10 / \ Обчислити: 80(л/з +1) | зіп ^10х + сіх. 20 А Б В г д 0,8 1-л/З 20 -0,8 8 -8 26.10. Тіло рухається прямолінійно зі швидкістю о(/) = 2/ + 1. Знайти закон руху тіла 8(1), якщо 5(1) = 3. А Б В Г д 5(/) = ? + / + 3 5(ґ) = ? + і 8(1) = ? +1 + 1 5(ґ) = Г2 + / + 2 5(0 = ^ + /- 1 26.11. Вказати інтеграл для обчислення площі фігури, обмеженої лініями у = х2, у = 0 і х = 2. А Б В Г д |х2ейс 0 |(х2 -х)<Д 0 2 $2хс!х 0 0 3 | х2сіх 0 26.12. Вказати формулу для обчислення площі 5 фігури, обмеженої лініями у = х2 і у = х. А Б В Г д 5 = |(х2 -х)<7х 0 1 5 = |(х2 + х) сіх 0 5 = |(х - х2) 0 5 = |х2ейс 0 5 = |х<7х 0 307
26.13. Вказати формулу для обчислення площі фігури, зображеної на рисунку. А Б в г д 5=)/(х)а>с 1 5 = 2|/(х)е& 1 5 = |/(х)<7х- І 2 5 = |/(х)<& + І +|/(х)г& 2 1 -]7(х)<& 2 26.14. Знайти загальний вигляд первісних для функціїДх) = соз2х. А Б В Г д Г(х) ' - зіп2х + С Г(х) = | + +—зіп2х + С 4 зіп 2х+ С 4 ^(х) = | + + зіп 2х + С Р{Х}=2 + +—соз2х + С 2 Г сіх 26.15. Обчислити інтеграл . =. ^2x4-1 А Б В г Д 3 1,5 6 2 0,75 4 26.16. Використовуючи геометричний зміст інтеграла, обчислити | уі\6-х2сіх . А Б В Г Д і 8 16 8л 16л 32л 26.17. Вказати формулу для обчислення об’єму тіла, утвореного обертанням навколо осі абсцис фігу- ри, утвореної ЛІНІЯМИ у = Л/СО8Х , у - 0, х = —9 х = —. 4 4 А Б В г д V = 7Г8ІПХ я 4 _я 4 V = лсозх Я 4 _я 4 У = * 2>/сО8Х я 4 _п 4 V = л^созх Я 4 __я 4 V = я7зіпх я 4 _я 4 । 26.18. Вказати первісну функцію для функції Дх) = і§2х. А Б В г д Г(х) - СІ£2Х + С Г(х) = - х Г(х) = СІ£Х - X Р(х) = СІ£Х 4- X Г(х) = І£Х + X | 308
26.19. Вказати формулу для обчислення площі фігури, обмеженої частинами параболи у - х2 - 4 й осі абсцис. А Б В г д 4 * 5= -4)б/г 2 8 = /(х2-4)Ос -2 ГҐХ3 ї 8 = -Ц—-4хІс& _2\ 3 / 4 8 = -|(х2-4)біс 8 = -| (х2 -4)<& -2 А Б В Г д 3 3 3 3 3 5 = | (|х|-3)сіс 5 = | (|х| + 3) (їх 5 = | (3-|х|)сіс 8 = ||3-х|б7х 8 = ||х + 3|б& -3 -3 -3 -3 -3 26.21. Серед наведених інтегралів вказати той, значення якого найменше. А Б в г д 0 1 |хб/х 0 1 |х2б/х 0 |х3сіс 0 Г СІХ о 26.22. Обчислити інтеграл ІхсозхА. А Б В Г д -4л 4л -2л 2л 0 26.23. Яка з наведених функцій є первісною для функціїу - 2|х|? А Б В Г Д ^ = х2 7 = -х2 ^ = х|х| у = -х|х| 309
Завдання 26.24-26.32 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 26.24. Установити відповідність між визначеними інтегралами (1-4) та їхніми числовими значеннями (А-Д). 1 1 12хусІх о я 6 2 |§іп2хб& о я 6 З |2со8хг/х о 1 4 | (х + ї)сіх о В 2 Г 1 Д 1 26.25. Установити відповідність між функціямиДх) (1—4) та їх первісними ^(х) (А-Д). 1 Лх)=х3 А Р(х) = Зх2 + С 2 /(х) = 4 X Б 77(х) = 61пх + С 3 7(х) = 6х В Р(х) = -^ + С X 4 /(х) = - X Г ^(х) = у + С Д Р(х) = --Ь +С 2х 26.26. Установити відповідність між функціямиДх) (1-4) та їх первісними Р(х) (А-Д). 1 /(х) = СО8—+ 8Іп4х 4 А /?(х) = 8ІП-^--СО84х + С 2 /(х) = соз4х + 8Іп— 4 Б /7(х) = 8Іп4х-СО8-^ + С 3 /(х) = —СО8—+ 48Іп4х 4 4 В 77(х) = 1б8Іп4х-—со8— + С 16 4 4 /7х) = 4со84х + — 8Іп— 4 4 г Лх) = 48Іп--4соз- +С 4 4 Д /?(х) = 48Іп—-—со84х + С 4 4 310
26.27. Установити відповідність між функціями (1-4), заданими на відрізку ~) , та їх первісними (А-Д) на цьому відрізку. 1 /(х) = 1§х А Г(х) = 1пІ§х + С 2 /(х) = сі§х Б ^(х) — 1псІ§х + С 3 2 В Г(х) = ІП8ІПХ + С чіп2х Г Дх) = -1П8іпх + С ділі 4 » Д Г(х) = —ІПСО8Х + С /(х) = — 81П 2х 26.28. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та їх розв’язками (А-Д) — функціями, які за- довольняють рівняння. 1 Г(х) = -4— А /(х) = . 4 + С СО8 4х 81П 4х 2 /'(х) = -4- Б /(х) = —+С соз 4х соз 4х 3 32соз4х В /(х) = 4і§4х+С зіп34х Г /(х) = -сі§4х + С 4 /'(х) = —4— Д /(х) = 4х + С 8ІП“ 4х 26.29. Установити відповідність між визначеними інтегралами (1-4) та їх значеннями (А-Д). 1 |х3Л А /0 0 Г 2 Б - 2 ]х2й1х 5 0 1 \ в 7 3 $хгіх 0 р 1 1 з 4 ҐХб/х , —1 26.30. Установити відповідність між визначеними інтегралами (1-4) та їх значеннями (А-Д). 1 -|тг -| 1 1 й) | ті- й) | < и НІ гі * 11 < 1 > о 2 ге2 , 2 2 —ах І 2 Ве-1 1 Г 2е -2 2 3 Д4е-4 0 2 2х 4 0 311
26.31. Установити відповідність між визначеними інтегралами (1-4) та їх значеннями (А-Д). * А -2 1 Гсозхбйс | Б -1 В 0 2 |зіп2х<7х Г 1 0 Д 2 З | С08—сіх о 2 о 4 | 8ІПХ4& -л 26.32. Установити відповідність між лініями, заданими рівняннями (1-4), та об’ємами тіл (А-Д), утворених у результаті обертання цих ліній навколо осі х. 1 у = \/х, дехє[-2; 2] 2 у = %/зіпх, де х є 0; — , 1 Л Я З у =-----, де хе 0; — созх Ь 3. 8ІПХ де хє я. я 4’2 А 0,5я Б я В 1,5 л Г Тзя Д 4я Розв’яжіть завдання 26.33-26.42. Відповідь запишіть десятковим дробом. 26.33. Точка рухається прямолінійно з прискоренням а(І) = 12?+ 4. Знайти закон руху 8(і) точки, якщо в момент часу і = 1 с її швидкість дорівнювала 10 м/с, а 5(1) = 12 м. У відповідь записати 5(3). гі-х4 26.34. Обчислити інтеграл 12| --сіх. ґ сіх 26.35. Обчислити інтеграл 3 .--- - . {уІЗх + 4 і 1 26.36. Знайти площу фігури, обмеженої лініями у - 8х - 6х , х = — ,х=1,у = 0. 26.37. Обчислити площу фігури, обмежену лініямиу = 6-2х,у = 6 + х-х2. 26.38. Обчислити з точністю до 0,01 площу фігури, обмежену лініями у = х2,у = х3. 26.39. Обчислити площу фігури, обмеженої графіком функціїД*) = 8 - 0,5х2, дотичною до нього в то- чці х = -2 і прямою х = 1. 312
26.40. Знайти об’єм V тіла обертання, утвореного при обертанні навколо осі абсцис фігури, обмеже- г . ЗУ ної лініями у = ух і у = х. У відповідь записати —. я 26.41. Знайти найменше значення інтеграла | соз—сіх, а&К. 0 2 26.42. Знайти меншу з площ кожної з фігур, на які пряма у = х + 4 ділить фігуру, обмежену лініями у = —х2 і у = 8. 2 313
Тема 27. Елементи комбінаторики Множини Поняття множини належить до основних понять математики. Йому не дають означення. Множину вважають заданою, якщо вказано властивість, яку мають усі її елементи і не мають жо- дні інші об’єкти. Наприклад, множина учнів даного класу, множина дерев у даному саду, множина парних чисел. Кожний об’єкт, який входить до множини, називають елементом цієї множини. Множину, яка не містить жодного елемента, називають порожньою множиною. Множини позначають великими буквами латинського алфавіту, а їхні елементи — малими літе- рами латинського алфавіту. Порожню множину позначають символом «0». Запис аєА означає, що елемент а належить множині Л, а запис ЬєА означає, що елемент Ь не належить множині Л. Множини бувають скінченні та нескінченні. Наприклад, множина літер українського алфавіту скінченна. Для скінченної множини А через т(А) позначають число її елементів. Число елементів по- рожньої множини дорівнює 0. Множина натуральних чисел, множина простих чисел, множина точок прямої — нескінченні множини. Іноді множину записують, вказуючи на властивість кожного її елемента: В - {х|Р(х)}. Наприклад, А = <х х = 5к\ — множина всіх цілих чисел, кратних 5. Якщо кожний елемент множини А є елементом множини 5, то множину А називають підмножи- ною множини В, Позначають: АсЛ або В^>А. Кожна множина є підмножиною сама собі: ЛсзЛ. Порож- ня множина є підмножиною будь-якої множини: 0сзЛ. Дві множини називають рівними, якщо вони складаються з однакових елементів. Наприклад, А — множина коренів рівняння х2 = 36, В — множина коренів рівняння |х| = 6. Тоді А - {-6; 6} і В = {-6; 6}. Отже, множини А та В рівні (Л = В). Перерізом (добутком) множин А та В називають множину С, яка складається з усіх тих і лише тих елементів, які належать кожній з даних множин. Позначають: С - АглВ. Якщо хє С, то хє Л і хє В, і навпаки, якщо хє А і хє В, то хє С. На рисунку І затушована частина відповідає множині С = Аг\В. Рис. 1 Рис. 2 Рис. З Якщо множини А та В не мають спільних елементів, то перерізом цих множин є порожня множи- на (рис. 2): ЛпВ = 0. Наприклад, якщо Л, В і С— множини учнів класу, які розв’язали відповідно за- дачу з алгебри, з геометрії, з хімії, то перерізом цих трьох множин є множина учнів класу, які розв’язали всі три задачі (рис. 3). Об "єднанням (сумою) множин А та В називають множину С, яка складається з усіх тих і лише тих елементів, які належать хоча б одній із множин А або В. Позначають: С = Ли5. Якщо хє С, то хє А або хє В, і навпаки, якщо хє А або хє В, то хє С. Наприклад, об’єднанням множин гострокутних, тупокутних і прямокутних трикутників є множи- на всіх трикутників. На рис. 4 об’єднанням множин А та В є заштрихована множина. Якщо множини А та В мають спільні елементи, то кожен з них входить до об’єднання лише один раз. Різницею двох множин А та В називають таку множину С, яка складається лише з усіх тих елеме- нтів множини Л, які не належать множині В. Позначають: С = А\В або С-А-В. 314
Рис. 4 Рис. 5 Рис. 6 На рис. 5 заштрихована множина С — різниця множин А та В. Якщо множини А та В такі, що В<^А, то множину С, яка містить лише усі елементи множини А, які не належать множині В, називають доповненням множини В до множини А. На рис. 6 заштрихована частина — доповнення множини В до множини А \ САВ. Тоді С и В - А і СпВ = 0. Доповнення множини В до множини А позначають ще й так: В. Тоді ВиВ = А, ВпВ=0. Комбінаторика Задачі, у яких доводиться відповідати на запитання: скількома різними способами можна викона- ти те, що вимагається, називають комбінаторними. Скінченні впорядковані множини — це скінченні множини, для яких суттєвим є порядок розмі- щення їх елементів. Для позначення впорядкованих множин використовують круглі дужки. Напри- клад, (а; Ь; с), (1; 5; 9) — скінченні впорядковані множини. Множини (1; 5; 9) і (9; 5; 1) є різними впо- рядкованими множинами. Добуток п перших натуральних чисел називають п-факторіалом\ п\ = І, п = 0; 1, п(п-1).. 1, и>1. Наприклад, 5! = 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120 (читають: «П’ять факторіал дорівнює сто двадцять»). Таблиця деяких факторіалів: 1! = 1 6! = 720 2! = 1 • 2 = 2 7! =5040 Увага! 3! = 1 -2-3 = 6 8! =40320 За означенням, 4! = 1 • 2 • 3 • 4 = 24 9! = 362880 01 = 1 5! = 1 - 2-3-4-5=120 101 = 3628800 Перестановками з п елементів (Р„) називають будь-які впорядковані множини, кожна з яких міс- тить усі п цих елементів, і які відрізняються одна від одної лише порядком розміщення елементів. Кі- лькість усеможливих перестановок з п елементів обчислюють за формулою: Рп - п\. Наприклад, з еле- ментів множини А = {3; 8; 5} можна утворити перестановки (5; 8; 3), (5; 3; 8), (3; 8; 5), (3; 5; 8), (8; 3; 5), (8; 5; 3), усього Р3 = 3! = 3 • 2 • 1=6 (перестановок). Розміщеннями (Апт), утвореними з множини т різних елементів по п елементів (п < т, п > 0), на- зивають будь-які впорядковані підмножини цієї множини, які містять п елементів. Розміщення відріз- няються одне від одного або елементами, або порядком розташування елементів. Кількість усеможли- вих розміщень з т елементів по п обчислюють за формулою А"п = ———. (т-п)1 Кількість розміщень з т елементів по п може бути обчислена за формулами: 4 = т> 4 =т(т-1), 4 =т(т- 1)(т-2), 315
= т(т - 1)(/и - 2)(т - 3), Апт = т(т ~ ОС"7 - 2). • .(т - (п - 1)), т * 0, т < п, тобто кількість можливих розміщень з т елеме- нтів по п дорівнює добутку п послідовних чисел натурального ряду, найбільшим з яких є т. Напри- клад, Л52 = 5 • 4 = 20, Л64 = 6 • 5 • 4 • 3 = 360. Комбінацією з п елементів по т (С") називають «-елементну підмножину лі-елементної множини (п < т). Кількість усеможливих комбінацій з т елементів по п обчислюють за формулою ті „ т(т-1)...(т-п + 1) =------'--. Справедлива й формула Ст = —--------—----------. (т-п)!п! п\ Комбінації мають такі властивості: 1. С” = С”~п — властивість індексів. Ця властивість дає можливість спростити визначення числа комбінацій у випадку, якщо п > — т. Наприклад, С“ = С*'2* = С20 = = 435. 2. С>С* + С2+... + С”=2т. Правило суми. Якщо елемент А можна вибрати т способами, а елемент В — п способами, то ви- бір елементу А або елементу В можна здійснити (т + п) способами. Правило добутку. Якщо елемент А можна вибрати т способами, а після кожного такого вибору елемент В можна вибрати п способами, то вибір пари (Я; В) в указаному порядку можна виконати т п способами. Приклад 1. Знайти переріз множин: а) Я та В, якщо А = {7; 15; 20; 48; 68}, В = {12; 15; 18; 20; 88}; б) С та £>, якщо С — множина прямокутників, £) — множина ромбів. а) С = А п В = {15; 20}; б) Р = С п £>, Р — множина квадратів. Приклад 2. Числовими проміжками задано множини А = [1; 3], В = [2; 5], С = [3; 8], О = [0; 6]. Знайти: а) ЛпВ; б) Сп£); в) Ви£); г) АиВ; д) (ЯиР)п(ВоС); е) (ЯоВ)п(Во£)). а) АпВ = [1; 3]п[2; 5] = [2; 3]; б) Сп£) = [3; 8]п[0; 6] = [3; 6]; в) ВиП = [2; 5]п[0; 6] = [0; 6]; г)ЯоВ = [1;3]о[2; 5] = [1; 5]; д) (АиИ)п(ВиС) = ([1; 3]о[0; 6])п([2; 5]о[3; 8]) = [0; 6]п[2; 8] = [2; 6]; е) (ЛоВ)п(ВоЦ) = [1; 3]о[2; 5])п([2; 5]о[0; 6]) = [1; 5]п[0; 6] = [1; 5]. Приклад 3. Знайти різницю множин А та В, якщо: а) А = {3; 4; 13; 20; 25}, В = {13; 20}; б) А = {7; 8; 9}, В = {2; 3}; в) А = {3; 6}, В = {3; 6; 13}. а) С = Я\В = {3; 4; 25}; б)С = А\В= {7; 8; 9}; в)С = Я\В = 0. Приклад 4. Скільки семицифрових чисел, кратних 5, можна скласти з цифр 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 так, щоб цифри в числі не повторювались. Щоб число, складене із заданих цифр, ділилось на 5, необхідно і достатньо, щоб цифра 5 була на останньому місці. Решта — шість цифр — можуть розміщуватися в будь-якому порядку на місцях, 316
що залишились. Отже, шукана кількість семицифрових чисел, кратних 5, дорівнює числу перестано- вок із 6 елементів, тобто Р = 6! = 6- 5- 4- 3- 2- 1= 720. Відповідь. 720. Приклад 5. На книжковій полиці розміщують 20 томів енциклопедії. Скількома способами їх можна розмістити так, щоб томи 12 і ІЗ не стояли поруч? Усього книги можна розмістити 20! способами. Том 12 і 13 можна поставити поряд Р2 = способами. Усі інші 18 томів разом з цією парою можна розмістити способами. Тоді за прави- лом добутку є 2 • Р19 таких способів. Отже, шукане число дорівнює Р2о - 2 • Р\$ = 20! - 2 • 19! = = 20- 19!-2- 19! = (20-2)- 19! = 18 - 19!. Відповідь. 18 • 19! способів. Р -10Р Р Приклад 6. Обчислити: а) — ---------; б) ——. ?10 ?к-3 _ ч Я2-10Р9 12! —10-9! 12-11-101-10! 10!(12-11-1) а) —--------- -----------=---------------- —1---------- = 131; Рі0 10! 10! 10! Рк_, (4-3)! 1-2-3-...-(*-3) Відповідь, а) 131; б) (к-2)(к- 1)£. Приклад 7. Скільки різних чотирицифрових чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, якщо цифри не повторюються? Маємо розміщення із 7 елементів по 4: А* = 7 6 • 5 • 4 - 840. Відповідь. 840. Приклад 8. Розв’язати рівняння: а) Ах = 18АХ_2; б) 4Х_, = 20. а) Ах -18Д?_2 , х > 5, х - 2 > 4. Отже, х > 6, хє N. х (х - 1 )(х - 2)(х - 3)(х - 4) = 18(х - 2)(х - 3)(х - 4)(х - 5); х(х - 1 )(х - 2)(х - 3)(х - 4) - 18(х - 2)(х - 3)(х - 4)(х - 5) = 0; (х - 2)(х - 3)(х - 4)(х(х - 1) - 18(х - 5)) = 0. Оскільки х > 6, то х 2, х 3, х 4. Отже, маємо: х2 -х - 18х + 90 - 0; х2 - 19х + 90 = 0; х, = 10, х2 = 9. Хі і х2 задовольняють умову х > 6, хєУ. Отже, корені рівняння — 10 і 9. б)х-1 > 2, х > 3, хє.У. Ахі, = 20; (х - 1 )(х - 2) = 20; х2 - Зх - 18 = 0; х, = -3, х2 = 6. = -3 не задовольняє умову х > 3. Отже, х = 6 — корінь рівняння. Відповідь, а) 9; 10; б) 6. Приклад 9. Скількома різними способами з класу, в якому навчається 24 учні, можна вибрати 4 учні для чергування? Різними будуть ті групи учнів, які відрізнятимуться хоча б однією особою, порядок у групі не 24-23-22-21 істотний. Отже, маємо справу з кількістю комбінацій із 24 елементів по 4: С2. =---------= 10626 24 1-2-3-4 способів вибрати учнів для чергування. Відповідь. 10626 способів. Приклад 10. Множина М складається з трьох елементів: {; А; •}. Знайти Р3; Л2; С2. Усеможливих перестановок цієї множини існує Р3 = 3! = 3-21 = 6: {, А,.}, {,•, А}, {А,-,.}, {А,«, }, {•,, А}, {.,!,}. 317
тч . . .2 3-21 Розміщень з множини Л/по два елементи існує л3 = ——— = —ї— = 6: {,А}, {,•}, {А,.}, {А,.}, {•,}, {•, А}. тг • ^2 З! 3-2-1 „ Комбінацій з множини м по два елементи існує С, =-----=------= 3: 3 (3-2)!-2! 121 {, А}, {«,.}, {А,.}.И Приклад 11. Скільки п’ятизначних чисел, не кратних п’яти, можна скласти з цифр 3, 4, 5, 6, 7 без повторень цифр у кожному з них? А Б В Г Д 96 156 120 5 24 Усіх таких чисел, разом з кратними 5, є Ру. Р$ = 5!. Для чисел, кратних 5, цифра 5 є останньою цифрою. Таких чисел є А = 4!. Отже, шуканих чисел є 5!-4! = 5-4-3-2-1- -4-3-2-1=4-3-2-(5-1) = 4- 3- 2- 4 = 96. Відповідь. А. Приклад 12. Із 8 чоловіків і 6 жінок потрібно утворити таку комісію, щоб до її складу входило 2 чоловіки і 3 жінки. Скількома способами це можна зробити? сі — кількість способів утворення чоловічої частини комісії; С} — кількість способів утво- рення жіночої частини комісії. За правилом добутку: С8 • С63 = ~ — способів утворен- ня комісії. Відповідь. 560 способами. Приклад 13. Спростити вираз — А Ип , т\ (2х-1)! (2х-1)! Використаємо формулу Ат = ---, тоді А2х_і =—-——------— = Урахувавши, (т-пу. ((2х-1)-(и-1))! (2х-и)! що х та п можуть набувати лише натуральних значень і те, що (2х - и)є П, одержимо: Дх+І = (2х + 1)!-^х^Й)! = (2х + 1)! = (2х + 1)-2х-^иЯ = (2х-1)!-^х-Я)! (2х-1)! ^<)! Відповідь. 2х(2х+ 1). В Ля+2 • Р Приклад 14. Розв’язати рівняння х+2? х~п =110. Виконаємо перетворення лівої частини рівняння: С22-^-я = (х + 2)!(х-и)! = (х + 2)!(х-и)! = (х + 2)! = (х + 2)(х + 1)/ Рх ((х +2)-(и + 2))!-х! (х-и)!х! х! Урахувавши, що х та п можуть набувати лише натуральних значень і те, що (х-и)єУ, одержимо: (х + 2)(х + 1) = 110; х2 + Зх - 108 = 0; Хі = -12, хг = 9. х, = -12 не задовольняє умову. Отже, х = 9, якщо пє N і п < 9; рівняння не має коренів, якщо пе. N і п > 9. Відповідь. 9, якщо иєУі п < 9; 0, якщо иєУі п > 9. 318
с*+І Приклад 15. Розв’язати рівняння: а) — Ох+1 = 0,6; б) С20 = С^'12. аі Сх+| = с2л-<л+|) = Сх-1 =_____(2*)!________ (2*)! _ (2х + 1)! Воахува- ) 2х 2х 2х (х-1)!(2х-(х-1))! (х-1)!(х + 1)! 21+1 (х-1)!(х + 2)!' Р У вши, що х може набувати лише натуральних значень і 2х > х + 1; х > 1, одержимо: Сх+Х' _ (2х)! . (2х + 1)! _ (2х)!^><У!'(х + 2)! _ рх)ї^>И5!'(х + 2) = х + 2 С2;‘, " (х-1)!(х + 1)! (х-1)!(х + 2)! + 1)!(2х +1)! 2х + ґ Тоді: х + ^ = 0,6. Отже, 5х + 10 = 6х + 3, х - 7; 2х + 1 б) С20 = С’о"12. Врахувавши, що х може набувати лише натуральних значень і х < 20; Зх - 12 < 20; 2 х < 10 —, одержимо: І. х = Зх — 12, х = 6. 2. х 4- Зх - 12 = 20,4х = 32, х = 8. х = 6 і х = 8 задовольняють умови задачі. Отже, корені рівняння — 6 і 8. Відповідь, а) 7; б) 6; 8.1 Завдання 27.1-27.24 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 27.1. Є 5 різних олівців і 7 різних ручок. Скількома різними способами можна утворити набір з од- нієї ручки й одного олівця? А Б В Г д 7! 4-5! 57 75 5-7 7 + 5 27.2. У їдальні є 3 перші страви, 5 других і 2 треті страви. Скількома способами можна скласти з них обід? А Б В г д 17 10 зо 15 11 27.3. Скількома способами можна скласти список з 8 учнів? А Б В Г Д 82 88 8 1 + 2 + 3+ ... + 8 1 • 2 • 3 - ... - 8 27.4. Скількома способами можна з 30 учнів вибрати трьох чергових? А Б в Г д Рзо 30-3 30 + 29 + 28 лЗ лзо с3 ’-зо 27.5. Із класу, в якому навчається 18 учнів, вибирають трьох делегатів на шкільну конференцію. Скількома способами це можна зробити? А Б В Г д 4896 2448 816 1224 1632 27.6. Скількома способами можна розсадити 6 учнів за круглим столом? А Б В г д 720 36 120 5040 60 319
27.7. Скільки чотирицифрових чисел можна утворити з цифр 1, 3, 5, 7 і 9, якщо цифри в числі не повторюються? А Б В г д 4 С4 ^5 Рз 45 27.8. Скільки існує звичайних правильних дробів, у яких чисельники і знаменники прості числа — 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 і 23? А Б В Г Д 19 18 144 72 36 27.9. Скількома способами групу із 15 осіб можна розділити на дві групи так, щоб в одній було 11 осіб, а в іншій — 4? А Б в г д С4 ^15 4з 4 4'-^ 1 . /^4 С15 ’ С15 27.10. Скільки існує різних телефонних номерів, які містять п’ять цифр? А Б В Г Д 5! 1 +2 + 3 + 4 + 5 55 95 105 27.11. Скільки існує різних телефонних номерів, які містять сім цифр і не починаються з нуля? А Б В г Д 9! 97 107 9- 106 10! 27.12. Скільки є чисел, кратних числу 5, серед п’ятицифрових чисел, складених з цифр 1, 3, 5, 7 і 9 без повторення? А Б В г д 3! 4 с; 5! 4! 27.13. Скільки існує точок у координатному просторі, координати яких є цілими одноцифровими до- датними числами? А Б В Г Д З10 З9 93 103 4 27.14. Скільки існує шестицифрових чисел, усі цифри в яких непарні? А Б В Г д 56 б5 5! 6! 4 27.15. Скільки чотирицифрових чисел, кратних 5, у яких усі цифри різні, можна записати, використо- вуючи цифри 5, 6, 7, 8 і 9? А Б В г Д 120 60 6 24 720 27.16. З п’яти різних томів прози і шести різних томів віршів потрібно вибрати 2 томи прози і 4 томи віршів. Скількома способами можна це зробити? А Б в г Д 4 4< с2 с4 ^5 ''б 4-4 с2+с64 320
27.17. Збори з 20 осіб обирають голову, секретаря і трьох членів редакційної комісії. Скількома спо- собами можна це зробити? А Б В г д С2 С3 ^20 '-'18 А2 С3 ^20 '“'18 А2 • А3 ^20 ^18 ^20 + 4 8 ^20 4 8 27.18. Автомобільний номер складається з двох букв (усього використовують ЗО букв) і чотирьох цифр (використовують усі 10 цифр). Скільки існує таких номерів? А Б В г Д ЗО2 • 410 230 • 104 230 • 410 ЗО4•102 ЗО2 • 104 27.19. У шкільному розкладі на понеділок є шість різних уроків, серед них є алгебра та геометрія. Скількома способами можна скласти розклад уроків на цей день, щоб уроки математики були поруч? А Б В г д с2 '-'6 Р5 Рб Р5Р2 А2 27.20. Скільки п’ятицифрових чисел можна утворити з цифр 1, 2, 3, 4 і 5 без повторення, щоб парні цифри не були поруч? А Б В г Д р$ Р4Р2 Р5-Р4Р2 Р4-РЗР2 Рз Р2 27.21. Скількома способами 5 хлопчиків і 5 дівчаток можуть зайняти в театрі в одному ряді місця з 1 по 10 так, щоб хлопчики сиділи на непарних місцях, а дівчатка — на парних? А Б В Г Д 5! -5! 10! 5! 10! • 5! 5! +5! 27.22. Поїзд, у якому їдуть 300 пасажирів, робить к зупинок. Скількома способами можуть вийти па- сажири на цих зупинках? А Б в г Д 300/с 300і ^з°о 300 + к ЗООА! 27.23. У ліфт 12-поверхового будинку зайшло на першому поверсі 10 осіб. Скількома способами во- ни можуть вийти з ліфта? А Б В г Д 12" 10" 1012 1210 и10 27.24. У стандартному вигляді розкладу бінома І 2х - — і вказати коефіцієнт біля х, V X' А Б В Г д 40 80 20 240 160 21 * Капіносов А. Математика. Комплексна підготовка до ЗНО 321
Завдання 27.25-27.33 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 27.25. Установити відповідність між задачами (1—4) та відповідями до них (А-Д). 1 Скількома способами можна вибрати двох чергових із шести учнів класу? 2 Скількома способами можна вибрати із 6 учнів класу голову зборів і секретаря? 3 Скількома способами можна вишикувати в ряд 6 учнів класу? 4 Із коробки з шістьма різнокольоровими олівцями навмання беруть один олівець, А^ 1-2 Б 6-5 В 6 + 5 + 4 + 3 + 2+1 Г б2 Д 6-5-4-3-2-1 малюють ним і ставлять на місце, потім знову навмання беруть один олівець, ма- люють ним і ставлять на місце. Скільки різних розмальовок може утворитись? 27.26. Установити відповідність між виразами (1—4) та їх значеннями (А-Д). 1 8! А ЗО Б 40 2 * 2 3 4- 4! -42 4 3! +4! В 60 Г 80 Д 90 27.27. Установити відповідність між позначеннями кількостей сполук (1—4) та виразами, за якими їх обчислюють (А-Д). і 4 А п! 2 Ск (и-£)! Б к\ • п\ 3 Рп В — к\ 4 Ап~к г А! п\ д —-— (п-к)\к\ 27.28. Установити відповідність між заданими позначеннями кількостей сполук (1-4) та їх числовими значеннями (А-Д). і с2 А 36 2 4 Б 30 В 24 3 с29 Г 20 4 Р4 д ю 322
27.29. Установити відповідність між записами (1-4) та їх доповненнями (А-Д) до правильних тверджень. 1 Якщо є 5 видів конвертів без марок та А 9 4 види марок, то вибір конверта та марки б і $ можна здійснити ... способами 2д 2 Якщо на тарілці є 6 різних груш і р З різних яблука, то вибір одного фрукту можна здійснити ... способами Д З Якщо на полиці є 12 різних підручників з алгебри, 6 різних підручників з геометрії та 7 різних підручників з фізики, то вибір одного підручника з математики можна здійснити ... способами 4 Якщо на вершину гори веде 5 доріг, то вийти на гору й опуститися з неї можна ... способами 27.30. Установити відповідність між записами (1-4) та їх доповненнями (А-Д) до правильних тверджень. 1 Множину {а, Ь, с} можна впорядкувати А 5 ... способами б 5 2 Із множини {а, Ь, с, сі} можна утворити в 10 ... упорядкованих пар елементів р З Із множини {а, Ь, с, сі. е} можна утворити Д 15 ... чотириелементних множин 4 Із множини {а. Ь. с. сі, е. /} можна утво- рити ... невпорядкованих пар елементів 27.31. Установити відповідність між множинами (1-4), заданими характеристичними властивостями, та кількістю елементів у цих множинах (А-Д). 1 Множина трицифрових чисел, у яких усі А 96 цифри різні Б 12о 2 Множина трицифрових чисел, які утво- в 594 рені з цифр 1, 2, 3. 8, 9 і в яких усі ци- р фри різні а Лтг а. Д 648 3 Множина чотирицифрових чисел, у яких усі цифри різні й які утворені з непарних цифр 4 Множина чотирицифрових чисел, які утворені з парних цифр і в яких усі циф- ри різні 27.32. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та їх коренями (А-Д). 1 ^2 =1Ю А 12 2 С2-! = 55 Б 11 В 10 3 Сх2+2=45 Г 9 4 ЛД, =72 Д 8 323
27.33. Установити відповідність між виборами об’єктів (1-4) та записами (А-Д) кількості можливих способів їх виконання. 13 10 осіб вибирають голову, секретаря і 4 членів комісії 2 Для формування посилки необхідно виб- рати два підручники з алгебри з 10 різних або 4 підручники з геометрії з 8 різних 3 Для складання коду необхідно вибрати з 10 літер дві різні або з 8 цифр чотири різні а 4 +А4 б 4+с82 в с2+с84 Г 4-А4 Д 4-е4 4 Для складання номера автомобіля необ- хідно вибрати з 10 літер дві різні з 8 цифр чотири різні Розв’яжіть завдання 27.34-27.46. Відповідь запишіть десятковим дробом. 27.34. Обчислити 15 • -^-(С7 + С7). 27.35. Розв’язати рівняння С2_3 = 21. 27.36. Знайти коефіцієнт четвертого члена розкладу степеня двочлена (х2 - у)6 • Л \9 27.37. Знайти коефіцієнт п’ятого члена розкладу степеня двочлена у/х + —г= . х у/х/ 27.38. Скільки всього існує трицифрових чисел, у яких усі цифри різні й непарні? 27.39. Скільки трицифрових чисел, кратних 3, можна записати, використовуючи лише цифри 1, 2, З, 4, 5 і 6, якщо в цих числах цифри можуть повторюватися? 27.40. Із цифр 1, 2, 3, 4 і 5 складають різні п’ятицифрові числа, які не містять однакових цифр. Скіль- ки серед цих чисел є таких, які не починаються з числа 45? 27.41. У чемпіонаті області з футболу грає 7 команд. Скількома способами можуть розподілитися місця в турнірній таблиці, якщо відомо, що команди «Нива» і «Вимпел» посядуть перші два місця? 27.42. В одного учня 6 різних книжок з математики, а в іншого — 7. Скількома способами можна об- міняти 3 книжки першого учня на 3 книжки другого учня? ґ і /~У2 27.43. Знайти член розкладу степеня двочлена — + л/х , який не залежить від х. XX ) 27.44. Скількома способами можна розташувати на полиці 3 чорні, 2 сині і 3 червоні кулі? 27.45. З 10 різних троянд і 8 різних жоржин потрібно скласти букет, у якому повинно бути не менше 8 троянд і 7 жоржин. Скількома способами це можна зробити? 27.46. Серед членів шахового гуртка 2 дівчинки і 7 хлопчиків. Для участі в змаганнях необхідно скласти команду з чотирьох осіб, у яку обов’язково повинна увійти хоча б одна дівчина. Скіль- кома способами можна це зробити? 324
Тема 28. Початки теорії ймовірностей та елементи статистики Теорія ймовірностей — наука, яка вивчає закономірності масових однорідних випробувань. До основних понять теорії ймовірностей належать поняття стохастичного експерименту та події. Експеримент (дослід, випробування) називають стохастичним, якщо за виконання певної сукуп- ності умов його можна повторювати необмежену кількість разів і результати якого наперед не можна передбачити. Результат стохастичного експерименту — це подія. Випробування — це умови, в результаті яких відбувається (або не відбувається) подія. Напри- клад: 1) підкидання монети — випробування, поява «герба» — подія: 2) покупка білетів лотереї — випробування, поява виграшу на певний білет — подія. Якщо випадковий експеримент проведено п разів і в п(А) випадків відбулася подія Л, то число п(А) називається частотою події Я. Відносною частотою випадкової події називають відношення чис- ................ . п(А) ла появи цієї події до загального числа проведених експериментів-. п Неможливою називають подію, яка внаслідок даного випробування не може відбутися. Вірогідною називають подію, яка внаслідок даного випробування обов’язково має відбутися. Випадковою називають подію, яка може відбутися або не відбутися під час здійснення певного випробування (таблиця 1). Таблиця 1 Випробування Подія Вид події Підкидаємо гральний кубик На верхній грані з’явиться число 10 Неможлива Підкидаємо гральний кубик На верхній грані з’являється число, менше від 7 Вірогідна Підкидаємо тральний кубик На верхній грані з'являється число, менше від 5 Випадкова Імовірністю випадкової події називають відношення кількості подій, які сприяють цій події, до кількості всіх подій під час певного випробування. Р(А) = —; Р(А) — імовірність появи події Я, п — п загальна кількість елементарних подій, т — кількість елементарних подій, які сприяють події А. Імовірність вірогідної події 1} приймають як таку, яка дорівнює 1, оскільки для вірогідної події т = п: Р(Ц)=— = 1. и Імовірність неможливої події (її часто позначають 0) дорівнює 0, бо для неможливих подій чис- ло т елементарних подій, які сприяють їм, дорівнює нулю: Р(0) = — = — =0. п п Якщо А — випадкова подія, то ймовірність її появи задовольняє умову 0 <Р(А) < 1, бо в цьому випадку 0 < т < п. Імовірність будь-якої події В задовольняє умову 0 < Р(В) < 1. Класична ймовірність має обмежену область застосування через те, що ймовірність випадкової події у багатьох реальних випадках наперед визначити неможливо. У таких випадках для наближено- го визначення ймовірності події використовують її статистичне означення. Нехай п — кількість усіх випробувань в окремій серії випробувань, п{А) — кількість тих випробувань, за яких відбудеться по- . п{А) . - дія А. IV -------відносна частота події А в даній серп випробувань або статистична частота появи п події А. Наприклад: а) відділ механічного контролю виявив чотири нестандартних деталі (п(А) - 4) у партії з 97 (п = 97) випадково вибраних деталей. Статистична частота IV появи нестандартних деталей дорівнює: IV ~ ; б) по мішені зроблено 25 пострілів (п = 25), до того ж було зареєстровано п 97 п(А) 19 19 влучень (п(А) = 19). Статистична частота IV влучання у ціль дорівнює: IV - = —. п 25 325
У різних серіях випробувань відповідні частоти для великих п практично збігаються, коли- п ваючись біля деякого постійного значення Р(А), яке називають статистичною ймовірністю події. У 4 19 першому прикладі Р(А) ~ , у другому — Р(А) ~ . Для значної кількості випробувань статистична частота буде близькою до імовірності події А: = або Р(Л) = Ііт . п п^°° п Наприклад, багаторазово проводились досліди підкидання монети, у яких підраховувалася кіль- кість появи герба. Результати деяких дослідів наведено в таблиці 2. Таблиця 2 Число підкидань Число появи герба Відносна частота 4040 2048 0,5069 12000 6019 0,5016 24000 12012 0,5005 Тут відносні частоти мало відрізняються від числа 0,5, до того ж що більше дослідів, то менше відхилення. У теорії ймовірностей розрізняють прості та складені події. Складеною називатимемо подію, поява якої залежить від появи інших подій, які називатимемо простими. Наприклад, під час кидання двох кубиків випало 11 очок. Ця подія є складеною, бо вона складається з різних можливостей для двох простих подій: 1) на першому кубику випало 5, а на дру- гому — 6 очок; 2) на першому кубику випало 6, а на другому — 5 очок. Сумою подій А та В називають подію С, яка полягає у виконанні під час одиничного випробуван- ня події А або події В, або обох подій разом (хоча б однієї з них). Наприклад, подія А — влучення в ціль з першого пострілу, подія В — влучення з другого пострілу. Тоді С = А + В — подія, яка означає влучення у ціль із двох пострілів хоча б одного разу. Позначають суму подій: С = А + В або С - АиВ. Події називають сумісними в даному випробуванні, якщо поява однієї з них не виключає можли- вості появи інших (не обов’язково одночасно). Наприклад, три стрільці стріляють у мішень. Розгля- немо випадкові події: А — перший стрілець влучив у мішень, В — другий стрілець влучив у мішень, С — третій стрілець влучив у мішень. А, В, С — сумісні випадкові події. Події називають попарно несумісними в даному випробуванні, якщо поява однієї з них виключає появу інших подій у тому ж випробуванні. Наприклад, з ящика з деталями виймають одну деталь. По- ява стандартної деталі виключає появу нестандартної деталі. Події «взяли стандартну деталь» і «взяли нестандартну деталь» — дві попарно несумісні події. Теорема про ймовірність суми двох несумісних подій (теорема додавання). Імовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій: Р(А + В) = Р(А) + Р(В). Подію А називають протилежною до події А, якщо вона відбувається тоді й тільки тоді, коли не відбувається подія А. Якщо А — деяка подія, то протилежну їй подію позначають А. Наприклад: а) влучення в ціль під час вистрілу і промах — протилежні події. Якщо А — влучення, то А — про- мах; б) з ящика з деталями вибирають деталь. Подія А — вибрали стандартну деталь і А — вибрали нестандартну деталь. Події А та А — протилежні. З теореми додавання випливають такі наслідки: І .Якщо подіїЛі,т42,...,Ял попарно несумісні, тоР(Лі +Я2+ ... + Ап) = Р(Аі) + Р(А2) + ... +Р(Ап). 2 . Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює 1, тобто Р(Я) + р(я) = 1; Р(А) = 1 • Якщо ймовірність однієї з протилежних подій позначити через р, а іншої — через д, то р + д ~ 1. 326
Добутком двох подій А та В називають подію С, яка полягає у здійсненні під час одиничного ви- пробування події А і події В. Добуток позначають С = АВ або С = Ас\В. Дві події називають залежними, якщо ймовірність появи однієї з них залежить від того, відбулася чи не відбулася інша подія. Наприклад, у коробці лежить 80 деталей: 50 стандартних і ЗО нестандарт- них. З ящика навмання беруть одну деталь і не повертають її назад. Якщо вийняли стандартну деталь (подія А), то імовірність появи стандартної деталі при другому випробуванні (подія В) дорівнює 49 Р(Б) - —. Якщо в першому випробуванні вийнята нестандартна деталь, то ймовірність Р(В) дорів- нює Р(В) = Отже, ймовірність появи події В залежить від того, відбулася чи не відбулася подія А. Події А і В — залежні. Подію В називають незалежною від події А. якщо поява події А не змінює ймовірності появи по- дії В. Умовною імовірністю події А. залежної від події В. називають імовірність, обчислену для події А в припущенні, що подія В вже відбулася. Позначають Рд(Л). Наприклад, нехай в урні є дві білі й одна чорна кульки. Дві особи виймають навмання з урни по одній кульці. Розглянемо події: А — поява бі- лої кулі у першої особи; В — поява білої кулі у другої особи. Імовірність події В до того, поки невідо- 2 мо про подію А. дорівнює у. Якщо ж стало відомо, що подія А відбулася, то ймовірність події В дорі- внюватиме ±. Якщо ж подія А не відбудеться, то ймовірність події В (друга особа взяла білу кульку) 2 дорівнює 2 = 1 ’ Отже’ ймовірність події В залежить від події А і є умовною. Умовну ймовірність події РІ АВ\ В за умови, що подія А вже відбулася, обчислюють за формулою РА (В) = —-—. Р(А) 0. (1) Імовірність події АВ (обидві особи взяли білі кульки) можна обчислити за класичним означенням імовірності, врахувавши, що всеможливих варіантів є три (бб, бч, чб), а сприяє настанню події АВ ли- р(лв) = } = і Р(Л) 2 2 З ше один варіант (бб). Тому Р(АВ) - , Р(А) - , отже, РА (В) 3 формули (1) слідує: Р(АВ) - Р(А) • Ра(В). Оскільки подія ВА не відрізняється від події АВ і Р(ВА) - Р(В) • РВ(А), то одержимо: Р(А) • РА(В) = Р(В) РВ(А). Імовірність появи добутку двох незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій: Р(ЛВ) = Р(Л)Р(В). Взаємно незалежними називають такі випробування, у яких імовірність результату кожного з них не залежить від того, які результати має чи матиме решта випробувань. Наприклад, кілька послідов- них виймань кульок з урни, в якій міститься 12 зелених і 9 синіх кульок є незалежними випробуван- нями за умови, що вийняту кульку щоразу повертають назад до урни. Якщо кульку не повертати, то випробування будуть залежними. Якщо виконують п незалежних випробувань, у кожному з яких подія А відбувається з імовірніс- тю р і не відбувається з імовірністю д, то ймовірність того, що подія А відбудеться т разів, визнача- ється за формулою: Рщ.п- С™ртдп т —формула Бернуллі. 327
Відомо, що С„ =-------—-------1, або Сп =------------------, тому формула Бернуллі може т(т -1)...2-1 т\(п - т)\ п 1 мати вигляд: Рт,„ = —Г,Рт(1П • т\{п-ту. Інколи замість символу п використовують символ Рп(т). Тоді формула Бернуллі матиме ви- гляд: Рп(т) =---------ртдп~т. т\(п-т)\ При застосуванні теореми додавання і множення, які дають змогу простіше визначати шукану ймовірність події, корисно пам’ятати два основних правила ймовірностей. Елементи статистики Статистикою називають науку, яка збирає, обробляє і вивчає різні дані, пов’язані з масовими явищами, процесами та подіями. Усю сукупність, з якої роблять вибір одиниць спостереження, називають генеральною. Напри- клад, зі 100 деталей для спостереження вибирають 10. 100 деталей — генеральна сукупність. Сукупність одиниць, дібраних для вибіркового спостереження, називають вибіркою. Для того щоб за вибіркою можна було судити про властивості генеральної сукупності, вибірка має бути пред- ставницькою (репрезентативною). Якщо у вибірці присутні всі значення випадкової величини в тих самих пропорціях, що й у гене- ральній сукупності, то цю вибірку називають репрезентативною (від французького гергезепіаіі/ — представницький). Нехай, наприклад, потрібно утворити вибірку з генеральної сукупності великого обсягу, якою є виготовлені заводом трактори. Кожному трактору присвоюють номер, який заносять до таблиці. Якщо у вибірці має бути 30 тракторів, то з таблиці навмання вибирають 30 чисел і тракто- ри з відповідними номерами підпадають під проведення контролю. Після того як вибірка утворена, всі її об’єкти обстежують щодо властивості, яку досліджують, і в результаті отримують дані, які дослі- джують. Оскільки номери у таблиці (а значить і відповідні трактори) вибрані випадково, то репрезен- тативність вибірки буде забезпеченою. Обробка результатів спостережень, яка полягає, наприклад, у тому, що отримані наслідки спо- стережень розташовують у порядку неспадання, називають районуванням дослідних даних, а одержа- ний при цьому ряд чисел називають ранжированим рядом. Наприклад, відділ технічного контролю заводу виміряв глибину пазів у 20 однотипних деталях. Одержали такий результат (у см): 2,1; 3; 1; 1; 2; 3; 1; 1; 2,2; 3; 1; 2,1; 3,2; 2,2; 3; 2,3; 1; 2; 2; 3,3. Такий ряд не дозволяє судити про закономірності, за- кладені в розподілених даних. Розташуємо дані ряду в порядку неспадання. Одержимо ранжирований ряд: 1; 1; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 2,1; 2,1; 2,2; 2,2; 2,3; 3; 3; 3; 3; 3,2; 3,3. Можемо зробити висновок, що 6 де- талей мають глибину пазу 1 см, 3 деталі — 2 см, 2 деталі — 2,1 см і т. д. Тепер легше встановити: на- 328
вколо якої величини групується більшість показників; які є відхилення від цієї величини; яка загальна картина розподілу. Числове значення кількісної ознаки заданого члена статистичної сукупності називають варіан- тою. Позначають: X/, де і— індекс варіанти. Варіантами у наведеному вище прикладі є: 1; 2; 2,1; 2,2; 2,3; 3; 3,2; 3,3. Частота — це число, яке показує, скільки разів трапляється кожна варіанта. Позначають де і — індекс варіанти. Загальна сума частот дорівнює: п = п\ + п2 + ... + Частотами у наведеному ви- ще прикладі є: п\ = 6; п2 = 3; и3 = 2; и4 = 2; п5 = 1; п6 = 4; и7 = 1; и8 = 1. Гістограмою називають послідовність стовпців, кожний з яких спирається на один розрядний ін- тервал завширшки Л = Х/+і -х/, а висота його Н обчислюється за формулою Н- —. Наприклад, у таб- к лиці 3 подано розподіл кількості робітників за кількістю виготовлених ними деталей за зміну. Таблиця З Кількість деталей, шт. (х) Кількість робітників, осіб (п^ 20-25 80 25-30 116 30-35 350 35-40 120 40-45 60 45-50 50 Усього 776 оп За даними таблиці 3 на рисунку 1 зображена гістограма. й = х/+і -х, = 25-20 = 5. Нх = — = 16; Полігоном частот називають ламану, відрізки якої сполучають точки (хь иі), (х2; и2), •••, (х*; и^), де X/ — варіанти, и, — частоти (або частотності). Для побудови полігону частот на осі абсцис відкладають варіанти X/, а на осі ординат — відпові- дні їм частоти Пі. Точки (х,; и,-) сполучають відрізками прямих. Наприклад, графічне зображення роз- поділу цивільних справ у суді за терміном їх розгляду (за таблицею 4) ілюструє полігон розподілу, зо- бражений на рисунку 2. 329
Таблиця 4 Термін розгляду, міс. Кількість справ, шт. 1 7 2 8 3 6 4 5 При оцінюванні даних за розподілом частот використовують моду, медіану та середні значення. Модою називають значення ознаки варіанти, яке трапляється найчастіше в даному ряді розподі- лу. Позначають: М$. Наприклад, за результатами написання контрольної роботи учні отримали такі бали: 5 балів — 2 учні; 6 балів — 3 учні; 7 балів — 8 учнів; 8 балів — 10 учнів; 9 балів — 2 учні; 10 балів — 4 учні; 11 балів — 3 учні; 12 балів — 2 учні. Модальним номером є 8 балів, оскільки він має найбільшу чисельність — 10 учнів. Отже, Мо - 8. У групі значень 2; 4; 4; 4; 5; 7; 7; 10; 10; 10 модами є Мо = 4, Мо = 10. Медіаною вибірки називають число, яке поділяє навпіл упорядковану (у порядку зростання чи спадання ознаки) сукупність усіх значень вибірки. Позначають Ме. Наприклад, медіана групи значень 5, 7, 11, 13, 19 буде 11. Ме =11. Медіана групи значень 3,4, 8, 16, 17, 19 дорівнює 12 ((8 + 16): 2 = 12). Ме - 12. Середнім значенням (середнім арифметичним) називають таке число х, яке отримують діленням суми всіх даних вибірки хь х2, ...,хп на кількість цих даних п: х = ~~Х1 . Відхиленням 4 п кожного значення х, від середнього арифметичного х називають різницю між цим значенням і середнім арифметичним, тобто 4 = */ - х. Відхилення може бути як додатним, так і від’ємним. Середнє геометричне тс для п додатних чисел хь х2, ...,х„ визначають за формулою тс= ^хі-х2-...-х„ . Дисперсією И називають середнє арифметичне суми квадратів усіх відхилень випадкової величи- _ 42+/2+... + 72 п Середнє квадратичне відхилення о дорівнює кореню квадратному із дисперсії: о = у[~Б. Приклад 1. З колоди, яка містить 36 карт, навмання витягають одну карту. Яка ймовірність того, що вибраною картою є туз? Нехай подія А — «вибрана карта — туз». Оскільки в колоді є 4 тузи, то настанню події А спри- 4 1 яють 4 випадки вибору карти. Усіх можливих випадків є 36. Тому Р(А) = — = —. 330
Приклад 2. В урні є 5 синіх, 7 червоних і 10 білих кульок однакового розміру та маси. Кульки перемішують і навмання виймають одну. Яка ймовірність того, що вийнята кулька буде білого кольо- ру? Нехай А — подія, яка полягає в тому, що навмання вийнята кулька буде білого кольору. Усьо- го є кульок (випадків), « = 5 + 7 + 10 = 22, а випадків, які сприяють події А, — 10, т = 10. Р(А) = —. п Отже, Р(А) = — = —. 22 11 Відповідь. . Приклад 3. З п’яти букв, написаних на картках, складене слово «пісня». Хлопчик перемішав кар- тки і потім навмання їх склав. Яка ймовірність того, що він знову складе слово «пісня»? Нехай А — подія, яка полягає в тому, що хлопчик складе слово «пісня». Усього може бути 5! елементарних подій (маємо перестановки з п’яти елементів), п = 5!. З них один випадок сприяє події А, т = 1. Р(Л) = — . Отже, Р(А) = — =----------= —. п 5! 1-2-3-4-5 120 Відповідь. ——. 120 Приклад 4. В учня є 20 зошитів. Серед них — 5 у лінійку, а решта — в клітинку. Яка ймовірність того, що серед шести випадково вибраних зошитів усі будуть у клітинку? Нехай подія А — «усі 6 вибраних зошитів є зошитами у клітинку». Оскільки учень має 20 - 5 = = 15 зошитів у клітинку, то сприяють настанню події А число комбінацій з 15 по 6. Усіх можливих варіантів вибору шести зошитів із двадцяти існує С260 . Тому ймовірність настання події А дорівнює: 15•14-13-12 • 11-10 /'''б Р^ = ^= 20 19 18^-17 16 15 “°’13’ И 6! Приклад 5. Набираючи номер телефону, дівчинка забула дві останні цифри і, пам’ятаючи тільки те, що ці цифри різні, набрала їх навмання. Яка ймовірність того, що номер набраний правильно? Нехай подія А — номер набрано правильно. Дві останні цифри можна набрати Л20 способами. Тоді кількість можливих подій — и=Д20. Події А сприяє тільки одна з них, т-\. Отже, Р(А) = — = Ц- = —. « 4 45 „. 1 _ Відповідь. —. Приклад 6. З якою ймовірністю круг, зображений на рисунку, який обертається навколо свого центру, зупиниться «чорним» сектором на- впроти стрілки? Оскільки вертушка поділена на 8 рівних секторів, з яких 2 зафар- бовані у чорний колір, то відношення довжин дуг і шукана ймовірність о 2 1 дорівнюватимуть: Р - — = —. о- 1 - Відповідь. —. 331
Приклад 7. Світлана й Олександр домовились зустрітись у ценз ральному парку з 12 год до 13 год. Той, хто прийде першим, чекає другого протягом ЗОхв, після чого йде з парку. Яка ймовір- ність того, що вони зустрінуться? Позначимо час приходу в парк Світлани через х, а Олександра через у (для зручності виража- тимемо час у хвилинах, які пройшли після 12 год). Очевидно, що 0 < х < 60; 0 <у < 60. 20 40 60 х Рис. З 20 40 60 * Рис. 4 Кожна точка (х; у) квадрата (рис. 3) — це один з можливих випадків (подія). Експеримент завер- шиться зустріччю, якщо виконається умова |х -у| < 30. Множина таких точок заштрихована на рис. 4. Знайдемо площу заштрихованої частини квадрата: Шукану ймовірність зустрічі знаходимо як відношення площі частини квадрата, яка сприяє зу- 2700 З стрічі, до площі всього квадрата: Р =----= —. 3600 4 о- 3 Відповідь. —. 4 Приклад 8. Імовірність того, що перший баскетболіст зробить влучний кидок, становить 0,8, а другий — 0,85. Яка ймовірність того, що, виконавши по одному кидку, обидва спортсмени влучать у кошик? Нехай подія А — «перший баскетболіст зробив влучний кидок», а подія В — «другий баскет- боліст зробив влучний кидок». Події А та В незалежні. Тому ймовірність виконання кожної з них до- рівнює Р(АВ) = 0,8 • 0,85 = 0,68. В Приклад 9. У коробці є ЗО курчат: 17 білих, 9 рябих та 4 чорних. Яка ймовірність того, що на- вмання вибране курча не чорне? В Нехай подія А — «вибране курча не чорне». Тоді протилежна подія А — «вибране курча чо- - . - 4 2 рне». Імовірність події А дорівнює Р(А) = —------------- —. Тоді ймовірність події А дорівнює: 17 + 9 + 4 15 2 13 Р(Л) = 1-Р(Л) = 1--= — 15 15 о- 13 и Відповідь. —. В Приклад 10. Мисливець стріляє у мішень, поділену на чотири області. Імовірність влучення в пе- ршу область дорівнює 0,29, у другу— 0,23, у третю— 0,4. Знайти ймовірність того, що мисливець влучить у першу або в другу, або у третю область. В Нехай О — подія, ймовірність якої потрібно знайти, А — мисливець влучить у першу область, В — мисливець влучить у другу область, С — мисливець влучить у третю область. Події А, В і С — несу- місні, тому за теоремою про ймовірність суми несумісних подій маємо: Р(Д) = Р(А) + Р(В) + Р(С); Р(Г>) = 0,29 + 0,23 + 0,4 = 0,92. Відповідь. 0,92. В 332
Приклад 11. Імовірність того, що біатлоніст не влучить у мішень становить 0,2. Знайти ймовір- ність того, що п’ять пострілів поспіль будуть влучними. Нехай події А,- — «7-й постріл біатлоніста — влучний» (/ - 1; 2; 3; 4; 5), подія А — «біатлоніс- ту вдалася серія із п’яти влучних пострілів». За умовою, Р(Л;.) = 1 - 0,2 = 0,8. Оскільки події А, — не- залежні, то ймовірність події А дорівнює: Р(А) = Р(А,)- Р(А2)- Р(А3)- Р(А4)- Р(А5) = 0,85 = 0,32678 = 33%. Відповідь. -33%. Приклад 12. Імовірність того, що Оленка розв’яже задачу, дорівнює 0,8, а ймовірність того, що її розв’яже Остап — 0,7. Знайти імовірність того, що задачу не розв’яже жоден з учнів. А Б В г д 0,06 0,3 0,2 0,56 0,44 Імовірність того, що Оленка не розв’яже задачу, дорівнює 1 - 0,8 - 0,2; імовірність того, що Остап не розв’яже задачу, дорівнює 1 - 0,7 = 0,3; Імовірність того, що задачу не розв’яжуть Оленка й Остап, дорівнює 0,2 • 0,3 = 0,06. Відповідь. А. Приклад 13. У токаря є 13 конусних і 17 циліндричних деталей. Він навмання взяв одну деталь, а потім іншу. Знайди ймовірність того, що перша деталь конусна, а друга — циліндрична. Нехай А — перша деталь конусна, а друга — циліндрична; В — перша деталь конусна; С — 13 друга деталь циліндрична. Р(В) = —. Імовірність того, що друга деталь циліндрична, обчислимо за 17 ІЗ 17 221 умови, що перша взята деталь є конусною: Рв(С) - — • Тоді Р(А) = Р(В) • Рв(С) - — • — “ ““ • 221 — Відповідь.----. 870 Приклад 14. Кожен із трьох робітників виготовив по 15 деталей. Під час перевірки виявилося, що серед деталей, виготовлених першим, другим і третім робітником окремо, стандартних деталей було 12, 10 і 11 відповідно. У кожного робітника навмання взяли по одній деталі. Яка ймовірність того, що всі три взяті деталі будуть стандартними? Нехай А — усі три взяті деталі будуть стандартними; В — навмання взята деталь у першого робітника є стандартною; С — навмання взята деталь у другого робітника є стандартною; 7) — на- вмання взята деталь у третього робітника є стандартною. Р(В) - — = у; Р(С) = — = у; Р(Р) ~ —. Події В, С і 7) — незалежні в сукупності. Р(А) = Р(В) • Р(С) • 7^(7)) = — • — • — = . 5 3 15 225 О- 88 и Відповідь.----. 225 Приклад 15. Із двох гармат стріляють по цілі. Імовірність влучення у ціль першою і другою гар- матою відповідно дорівнюють 0,6 і 0,9. Знайти ймовірність того, що при одному залпі по цілі влучать тільки з однієї гармати. Нехай Аі — влучення у ціль першою гарматою; А2 — влучення в ціль другою гарматою; В} — відбулася тільки подія А і; В2 — відбулася тільки подія А2. Поява події В\ рівносильна появі події А}А2 (відбулася перша подія і не відбулася друга). Поява події В2 рівносильна появі події А}А2 (не відбулася перша подія і відбулася друга). 333
Отже, щоб знайти ймовірність появи тільки однієї з подій А\ й А2, досить знайти ймовірність поя- ви однієї (не важливо якої) з подій В\ чи В2. Події В\ і В2 несумісні, тому Р(В\ + В2) = Р(В\) + Р(В2) = = Р(А!~А2) + РСА'Ад = 0,6(1 -0,9) + (1 -0,6) • 0,9 = 0,6 • 0,1 + 0,4 • 0,9 = 0,06 + 0,36 = 0,42. Відповідь. 0,42. Приклад 16. У ворота одночасно кидають два м’ячі. Імовірність влучення першого м’яча дорів- нює 0,4, а другого — 0,7. Яка ймовірність влучення у ворота хоча б одного з двох м’ячів? И Нехай А — у ворота влучив хоча б один з двох м’ячів; А\ — у ворота влучив перший м’яч; Л2 — у ворота влучив другий м’яч. А। і А2 — події, незалежні в сукупності та сумісні. Р(Я) = Р(Л1)+Р(Л2)-Р(Я1Л2); Р(А,А2) = 0,4 • 0,7 = 0,28; Р(А) = 0,4 + 0,7 - 0,28 = 0,82. Відповідь. 0,82. В Приклад 17. Дано ранжирований ряд урожайності зернових культур у 20 господарствах (у ц з 1 га): 28, 29, 29, 29, 30, 30, 31, 31, 31, 31, 32, 35, 35, 35, 35, 35, 38, 38, 40,41. Вказати варіанти, частоту та відносну частоту кожної варіанти. Згрупуємо дані по варіантах: 28, 29,29,29, 30,30, 31,31,31,31, 32, 35,35,35,35,35, 38,38, 40, 41. Маємо такі варіанти: хі = 28, х2 = 29, Хз = ЗО, х4 = 31, х5 = 32, х& = 35, х2 - 38, х« = 40, х9 = 41. Частоти цих варіант відповідно дорівнюють: п = 20, щ = 1, п2 = 3, п3 = 2, и4 = 4, «5=1, пь = 5, _ , , 1 3 2 1 4 1 1 «7 = 2, «8 - 1, «9 = 1 > а ВІДНОСНІ частоти- IVІ = -, ІГ2 = -, И>3 = -=---, И>4 = — - —, И-Ч = -, 20 20 20 10 20 5 20 ^6 = 5 1 ---= — , И>7 = 20 4 _2___1_ 20 10’ 1 1 И’я = ---, И>9 ~----- 20 20 В Приклад 18. З метою вивчення середньої врожайності пшениці на площі 500 000 га проведено вибіркове вимірювання врожайності на полях загальною площею 2850 га. Результати вимірювань по- дано в таблиці. Врожайність, ц/га 15-17 17-19 19-21 21-23 23-25 25-27 27-29 29-31 Кількість, га 100 300 500 700 600 300 200 150 За даними таблиці побудуй гістограму врожайності пшениці на площі 2850 га. В На осі абсцис відкладаємо врожайність з 1 га (у ц), а на осі ординат — кількість гектарів, поді- лену на довжину проміжку (17-15 = 2). 334
Приклад 19. Проведено 50 підкидань грального кубика. Результати випробувань занесені до таб- лиці. Кількість очок, яка випала Частота Відносна частота 1 9 9 — =0,18 50 2 6 — =0,12 50 3 8 — =0,16 50 4 11 — = 0,22 50 5 9 9 — =0,18 50 6 7 7 — =0,14 50 Побудуй полігон частот випадання певного числа очок. Побудуємо точки, координати яких є парами чисел з дискретного варіаційного ряду (1; 0,18), (2; 0,12) і т. д. З’єднавши утворені точки відрізками, одержимо полігон частот випадання певного числа очок. Приклад 20. Знайти медіану сукупності даних: а) 2,1; 4,8; 1,9; 5,1; 7,3; б) 1,5; 2,8; 11,3; 12,1; 4,5; 5,7. а) Розмістимо дані сукупності в порядку зростання: 1,9; 2,1; 4,8; 5,1; 7,3. Оскільки п - 5 — не- парне число, то Ме = 4,8; б) розмістимо дані сукупності в порядку зростання: 1,5; 2,8; 4,5; 5,7; 11,3; 12,1, п = 6 — парне чи- ,, 4,5 + 5,7 10,2 С1 сло. Ме - —-----— —— =5,1. 2 2 Відповідь, а) 4,8; б) 5,1. Приклад 21. Із двох воротарів потрібно вибрати одного для участі в чемпіонаті з футболу. Кіль- кості «взяття» ними м’яча при кожних десяти штрафних ударах під час тренувань подані в таблиці. Номер тренування 1 2 3 4 5 Кількість І воротар 7 8 9 6 8 «взяття» II воротар 8 9 8 10 6 335
Кого з воротарів слід запросити на гру? Знайдемо середню кількість «взяття» м’ячів. п - 7+8+9+6+8 38 _ . Для першого воротаря: х, =------------- - — - 7,6. „ 8 + 9 + 8 + 10 + 6 41 оп Для другого воротаря: х2 =-------------= — - 8,2. х2 > х, . Отже, на чемпіонат слід запросити другого воротаря. Відповідь. Другого воротаря. Приклад 22. Побудуй закон розподілу дискретного варіаційного ряду й накресли полігон розпо- ділу вимірювання висоти 25 дерев: 140, 210, 320, 150, 140, 210, 210, 120, 100, 140, 320, 150, 100, 210, 250, 240, 320, 140, 100, 250, 320, 140, 320, 120, 140. Розташуємо значення ознаки в неопадному порядку: 100, 100, 100, 120, 120, 140, 140, 140, 140, 140, 140, 150, 150, 210, 210, 210, 210, 240, 250, 250, 320, 320, 320, 320, 320. Знайдемо для кожного зна- чення його частоту і результат занесемо до таблиці. Висота дерева 100 120 140 150 210 240 250 320 Кількість дерев 3 2 6 2 4 1 2 5 На осі абсцис системи координат відкладаємо значення висот дерев, а на осі ординат — відповід- ні частоти. Будуємо точки, координати яких є парами чисел з дискретного варіаційного ряду: (100; 3), (120; 2) і т. д. З’єднавши утворені точки відрізками, отримаємо полігон розподілу 25 дерев за їхньою висотою (див. рис.). Приклад 23. За даними таблиці побудуй гістограму врожайності пшениці на різних ділянках по- сівної площі. Врожайність, ц/га 20-25 25-30 30-35 35-40 40—45 45-50 Частина ділянки, % 5 10 33 21 25 6 На рисунку побудована гістограма врожайності пшениці на різних ділянках посівних площ. 336
Завдання 28.1-28.24 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 28.1. У лотереї 10 виграшних квитків і 240 квитків без виграшу. Яка ймовірність виграти в цю лоте- рею, купивши один квиток? А Б В Г д 1 _1_ 1 1 1 20 2 23 24 25 28.2. У ящику з 25 деталей 23 стандартні. Яка ймовірність, що перша навмання взята деталь буде нестандартною? А Б В Г Д 23 25 25 2 2 25 23 2 25 23 28.3. З шухляди, у якій лежить 8 червоних, 3 сині та 20 зелених олівців, навмання вийняли один олі- вець. Яка ймовірність того, що це не зелений олівець? А Б в г д 3 8 20 11 11 - — — 31 31 31 20 31 28.4. Зі слова «математика» навмання вибирають одну літеру. Яка ймовірність того, що виберуть лі- теру «а»? А Б В г д 1 10 1 7 2 7 1 3 3 10 28.5. Імовірність того, що стрілець одним пострілом влучає у ціль, дорівнює 0,4. Стрілець виконав два постріли. Знайти ймовірність того, що обома пострілами стрілець влучив у ціль. А Б В г д 0,4 0,8 0,16 1,6 0,6 28.6. Тричі кидають гральний кубик. Яка ймовірність того, що тричі випаде «4»? А Б В Г д 1 1 3 1 3 — » — 216 4 4 8 216 28.7. У коробці 10 куль, з них 7 білих. Навмання беруть одну за одною дві кулі, до того ж узяту першу кулю до коробки не повертають. Знайти ймовірність того, що обидві кулі будуть білі. А Б в Г Д 7 49 42 49 42 —— 10 100 90 90 100 28.8. Стрілець ціляє по мішені та влучає в десятку з імовірністю 0,2, а в дев’ятку — з імовірністю 0,3. Виконано один постріл. Яка ймовірність того, що вибито не менше дев’яти очок? А Б в г Д 0,06 0,3 0,6 0,9 0,5 22* Капіносов А. Математика. Комплексна підготовка до ЗНО 337
28.9. Імовірність закинути у корзину м’яч для першого хлопчика дорівнює 0,6, а для другого — 0,5. Обидва хлопчики роблять по одному кидку. Яка ймовірність того, що хоча б один з них закине м’яч у корзину? А Б В г Д 1,1 0,3 0,7 0,8 0,2 28.10. При увімкненні запалення двигун починає працювати з імовірністю 0,8. Яка ймовірність того, що двигун почав працювати за другого увімкнення? А Б В г д- 0,16 0,64 0,04 0,8 0,2 28.11. Імовірність виготовлення стандартної деталі дорівнює 0,9. Визначити ймовірність того, що з шести навмання взятих деталей 4 виявляться стандартними. А Б В г д 6 0,94 0,94 0,12 С40,94 С64 0,94 0,12 С64 0,12 28.12. У коробці є шість однакових занумерованих кубиків. Навмання дістають по одному всі кубики. Яка ймовірність того, що номери вийнятих кубиків з’являтимуться в порядку зростання? А Б в Г Д 1 1 1 6 1 — — —- 36 6 6! 6! 12 28.13. У ящику 100 деталей, з них 6 пофарбовані. Навмання виймають 2 деталі. Яка ймовірність того, що обидві деталі будуть пофарбовані? А Б В г д 1 ^6 ^100 1 С2 С2 '-б '-'100 с2 А2 ^іоо 4 Я* ^100 с2 '-6 с2 '-100 28.14. Набираючи номер телефону, абонент забув останні дві цифри і, пам’ятаючи, що цифри різні, набрав їх навмання. Знайти ймовірність того, що набрано потрібні цифри. А Б В г Д 1 1 1 1 1 А2 С2 '-ю 102 2-Ю! 28.15. У мішку лежать 20 однакових на дотик куль: 12 білих та 8 чорних. З мішка навмання витягнуто 8 куль. Яка ймовірність того, що рівно 3 з них чорні? А Б В г д С3 С5 ^8 ^20 С8 '—20 СІ + 4 4-4 44 с8 '-'20 С3 С5 '-8 '—12 с8 '-20 4 4 28.16. В одному класі з 20 учнів є 8 хлопчиків, а в іншому з 25 учнів — 15 хлопчиків. За жеребкуван- ням вибирають двох учнів з кожного класу. Яка ймовірність того, що з кожного класу виберуть тільки дівчат? А Б в г д А2 С2 Л12 . Чо А2 А2 Л20 Л25 Дг 4 4 4 с2 с2 '-12 , '-ю с2 с2 *-20 25 4 4 '4 4 338
28.17. У скриньці є 12 білих і 8 чорних куль. Навмання вибрали 2 кулі. Яка ймовірність того, що вони одного кольору? А Б в г д РІ-Н о «Р РІп £ ОО (О С2 С2 42 . 4 с2 с2 '-'20 4о 4 4 л2 л2 ^20 л20 4 + 4 4> 4« 2 С] ^20 28.18. У ящику лежить 31 деталь першого сорту та 6 деталей другого сорту. Навмання вибирають три деталі. Яка ймовірність того, що хоча б одна з деталей першого сорту? А Б в г д С3 4 с3 ^37 С3 1-Ь- с337 с3 ^31 с3 ^37 1 г—< 4 4 28.19. Механізм складається з трьох виробів. Імовірність браку при виготовленні першого виробу до- рівнює 0,1, другого — 0,2, третього — 0,3. Яка ймовірність браку при виготовленні механізму? А Б В г д 0,9 + 0,8107- - 0,9 • 0,8 • 0,7 1-0,1 0,2 0,3 0,1 -0,2-0,3 0,9 • 0,8 • 0,7 1 - 0,9 • 0,8 • 0,7 28.20. У сім’ї троє дітей. Знайти ймовірність того, що серед них є хоча б один хлопчик. А Б в Г д 2 3 2 3 0,875 0,125 0,5 28.21. У результаті експерименту відбуваються рівноможливі події, які виключають одна одну. Ймо- вірність появи кожної з них дорівнює 0,05. Яка кількість цих подій? А Б В Г д 500 50 20 200 1000 28.22. Куб, усі грані якого пофарбовано, розрізали на 1000 однакових кубиків. Знайти імовірність то- го, що взятий навмання кубик має дві пофарбовані грані. А Б В г д 0,69 0,96 0,096 0,5 0,001 28.23. Велосипедист проїхав 20 км зі швидкістю 10 км/год і 15 км — зі швидкістю 5 км/год. Знайти середню швидкість руху велосипедиста. А Б в г д 7,5км/год 7 км/год 5 км/год 12,5 км/год 8 км/год 28.24. Середнє арифметичне трьох чисел дорівнює 25, а середнє арифметичне шести інших чисел дорівнює 34. Знайти середнє арифметичне усіх дев’яти чисел. А Б В г д 5 6 зо 60 31 339
Завдання 28.25-28.35 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 28.25. Установити відповідність між завданнями (1-4) та відповідями до них (А-Д). У коробці є 5 червоних, 5 жовтих, 5 синіх і 5 зелених кульок — усього 20 штук. Яка ймовір- ність, що навмання вийнята кулька буде ... 1 жовтою А 0,75 2 зеленою або червоною 3 не жовтою Б 0 В 0,5 4 фіолетовою Г 1 Д 0,25 28.26. Установити відповідність між подіями (1—4) та їхніми ймовірностями (А-Д). 1 У ящику є 8 білих і 12 червоних куль. Подія: навмання вийнята куля — біла 2 Серед 40 електричних лампочок 4 зіпсо- ваних. Подія: навмання вибрана лампоч- ка — якісна А 0,9 Б 0,8 В 0,6 Г 0,4 3 У лотереї 50 білетів, з них 5 — із грошо- вими виграшами, 15 — з речовими, реш- та — без виграшу. Подія: вибраний пер- шим білет без виграшу Д 0,2 4 У коробці є 11 червоних, 6 синіх, 13 зелених олівців. Подія: навмання взя- тий олівець не синій 28.27. У ящику є 6 червоних, 8 синіх, 12 зелених і 14 білих куль. Установити відповідність між зада- ними подіями (1-4) та їхніми ймовірностями (А-Д). 1 Перша навмання вийнята куля — черво- на або біла А — 20 2 Перша навмання вийнята куля — червона або зелена Б — 20 3 Перша навмання вийнята куля — не чер- вона В — 4 Перша навмання вийнята куля — не біла 20 г 20 д 1 2 340
28.28. Установити відповідність між заданими подіями (1—4) та їхніми ймовірностями (А-Д). 1 2 3 4 Двічі кидають монету. Подія: обидва ра- зи випадає «герб» Двічі кидають гральний кубик. Подія: обидва рази випадає число «4» У сім’ї троє дітей. Подія: Усі діти — хлопці Хлопчик тричі кидає м’яч у корзину. Імовірність влучити у корзину при одно- му кидку дорівнює —. Подія: хлопчик тричі влучив у корзину А Б В Г д х 8 1 27 1 16 1 36 х 4 28.29. Установити відповідність між подіями (1-4) та їхніми ймовірностями (А-Д). 1 2 3 4 У коробці є 5 пронумерованих кубиків. Подія: послідовно вийняті кубики будуть впорядковані за зростанням їхніх номерів Дівчинка забула останні дві цифри теле- фонного номера подруги, але пам’ятає, що вони різні. Подія: при першому набо- рі був набраний правильний номер На 7 аркушах паперу написали літери А, Б, В, Г, К, Р, Л. Подія: послідовно взяті три аркуші утворили слово «РАК» На п’яти кулях написані цифри 1, 2, 3, 4 і 5. Подія: послідовно взяті три кулі утво- рять найбільше трицифрове число А Б В Г д 1 45 1 60 1 90 1 120 1 210 28.30. Виконали два постріли по мішені. Подія А — влучення при першому пострілі, подія В — влу- чення при другому пострілі. Установити відповідність між заданими подіями (1^4) та їх вира- зами (А-Д) через операції над подіями А та В. 1 Жодного разу не влучили А А • В 2 Влучили в мішень хоча б одним пострі- б ~ав лом _ В А • В З 3 першого пострілу не влучили, а з дру- того — влучили р Л - В 4 Двічі влучили в мішень _ . о Д л + в 28.31. М’яч тричі кидають у баскетбольну корзину. Подія Лі— м’яч влучив у корзину з першого кидка, подія Л2 — м’яч влучив у корзину з другого кидка, подія Л3 — м’яч влучив у корзину з третього кидка. Установити відповідність між заданими подіями (1-4) та їх виразами (А-Д) через операції над подіями А і, Л2 та Л3. 1 М’яч не влучив у корзину жодного разу 2 М’яч хоча б один раз не влучив у корзину З М’яч хоча б один раз влучив у корзину 4 М’яч тричі влучив у корзину А Л] • Лг • Л3 Б А{ • Л2 • Л3 В Л1 • Л2 • Л3 г д+4+4 Д Аі+А2+А} 341
28.32. Два спортсмени стріляють по одному разу в одну й ту ж ціль. Імовірність влучання у ціль для першого спортсмена дорівнює 0,8, а для другого — 0,7. Установити відповідність між задани- ми подіями (1-4) та їхніми ймовірностями (А-Д). 1 Перший спортсмен влучив у ціль, а дру- гий — не влучив 2 Другий спортсмен влучив у ціль, а пер- ший — не влучив 3 У ціль влучив хоча б один спортсмен 4 У ціль влучили обидва спортсмени А 0,94 Б 0,56 В 0,5 Г 0,24 Д 0,14 28.33. У ящику є 12 чорних і 8 білих куль. З нього навмання виймають дві кулі, не повертаючи їх до ящика. Установити відповідність між заданими записами (1-4) та їх доповненнями (А-Д) до правильних тверджень. 1 Імовірність того, що перша вийнята куля буде чорною, дорівнює... 2 Якщо перша вийнята куля чорна, то ймо- вірність того, що друга куля чорна, дорі- внює ... 3 Якщо перша вийнята куля чорна, то ймо- вірність того, що друга куля — біла, до- рівнює ... 4 Якщо перша вийнята куля біла, то ймові- рність того, що друга куля чорна, дорів- нює ... А А 19 Б А 19 В — 19 Г - 5 д - 2 28.34. Гральний кубик кидають 10 разів. Установити відповідність між подіями (1-4) та виразами (А-Д) для обчислення їх ймовірностей. 1 Рівно 4 рази випаде число «1» 2 Рівно 4 рази випаде парне число З Рівно 4 рази випаде число, кратне З 4 Рівно 4 рази випаде число, більше 2 28.35. Ряд даних вибірки має вигляд: 3, 4, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 9. Установити відповідність між заданими статистичними характеристиками ряду даних (1-4) та їх значеннями (А-Д). 1 Розмах вибірки 2 Мода 3 Медіана 4 Середнє значення А 4 Б 5 В 5— 9 Г 6 Д 7 342
Розв’яжіть завдання 28.36-28.50. Відповідь запишіть десятковим дробом. 28.36. У партії з 10 деталей 7 стандартних. Знайти ймовірність того, що серед 6 взятих навмання де- талей виявиться 4 стандартних. 28.37. Підкидають три гральні кубики. Знайти імовірність того, що добуток чисел, які випадуть на верхній грані, буде парним числом. 28.38. Імовірність того, що Петрик розв’яже задачу, дорівнює 0,7, а ймовірність того, що задачу розв’яже Михайлик, дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що жоден з них не розв’яже цю задачу. ,28.39. Два стрільці намагаються влучити в одну мішень. Імовірність влучення в мішень першим стрі- льцем дорівнює 0,6, а другим — 0,9. Знайти ймовірність того, що в мішень влучить тільки один з них. 28.40. У кожній із двох партій є 100 деталей. У першій партії є 5 бракованих деталей, а в другій — 4. Навмання вибирають по одній деталі з кожної партії. Яка ймовірність того, що хоча б одна де- таль виявиться бракованою? 28.41. У конверті серед 100 карток є потрібна картка. З конверта навмання витягують 10 карток. Яка ймовірність того, що серед вибраних карток є потрібна? 28.42. Серед 20 уболівальників випадковим чином розподіляють 12 квитків на футбол і 8 — на баскет- бол. Знайти з точністю до 0,01 ймовірність того, що двоє друзів відвідають одні й ті ж змагання. 28.43. На деякій прямій узято 3 точки, а на паралельній до неї прямій — 4 точки. Навмання вибирають З точки. Знайти з точністю до 0,01 ймовірність того, що вони будуть вершинами трикутника. 28.44. В урні 10 куль. Скільки в урні білих куль, якщо ймовірність того, що 3 навмання вибрані кулі будуть білими, дорівнює — ? 6 28.45. Імовірність хоча б одного влучення в ціль чотирьох пострілів дорівнює 0,9984. Знайти ймовір- ність влучення у ціль одним пострілом. 28.46. Під час тестування з математики учень має відповісти на 5 запитань. Імовірність того, що він правильно відповість на одне запитання, дорівнює 0,8. Щоб скласти тест, учневі потрібно дати правильну відповідь не менше ніж на 3 запитання. Знайти з точністю до 0,01 ймовірність того, що учень складе тест. 28.47. Монету кидають 6 разів. Знайти з точністю до 0,01 ймовірність того, що випаде більше разів «герб», ніж «число». 28.48. Два гравці по черзі кидають монету. Переможе той, у кого раніше з’явиться «герб». Знайти з точністю до 0,01 ймовірність виграшу для того, хто починає гру. 28.49. Імовірність виграшу в грошово-речовій лотереї на кожен квиток дорівнює 0,5. Скільки най- менше потрібно купити лотерейних квитків, щоб з імовірністю не менше ніж 0,999 отримати виграш принаймні по одному квитку? 28.50. Імовірність того, що в результаті чотирьох незалежних випробувань подія А настане хоча б один раз, дорівнює 0,8704. Знайти імовірність ненастання події А за одного випробування, як- що вона під час усіх випробувань однакова. 343
ГЕОМЕТРІЯ Тема 29. Трикутник Трикутником називають геометричну фігуру, яка складається із трьох то- & чок, що не лежать на одній прямій, трьох відрізків, які сполучають ці точки, й УІ обмеженої ними частини площини. / \ Точки А, В і С називають вершинами, а відрізки АВ, ВС, АС — сторонами І трикутника. Трикутник називають і позначають за його вершинами. Трикут- ник, зображений на рисунку, позначають так: ДАВС (читають: трикутник АВС), або ДВСА, або ДСАВ. Кути АВС. ВАС, АСВ — кути трикутника АВС. їх можна позначати й однією буквою: ЛВ, АА, Х_С. Сторони трикутника АВС можна позначати маленькими буквами а, Ь і с. При цьому дотримують- ся такого порядку: проти кута А лежить сторона а або ВС', проти кута В лежить сторона Ь або АС', про- ти кута С лежить сторона с або АВ. Кут В називають кутом, протилежним до сторони АС, а кути А і С — прилеглими до цієї сторони. Суму довжин усіх сторін трикутника називають його периметром'. Р = я + Ь + с. Те, що периметр трикутника АВС дорівнює 36 см, коротко записують так: Р^авс - 36 см. Види трикутників Залежно від довжин сторін трикутники поділяють на такі види: різносторонні, рівнобедрені, рів- носторонні. Трикутник, у якого всі сторони мають різні довжини, називають різностороннім. Трикутник, у якого дві сторони рівні, називають рівнобедреним. Рівні сторони рівнобедреного трикутника називають бічними сторонами, а третю його сторону — основою. Трикутник, у якого всі сторони рівні, називають рівностороннім. Різносторонній 75*52*^2 Рівнобедрений 7 Рівносторонній основа 70 = ^ СО = ИГ=СГ Залежно від міри кутів трикутники поділяють на такі види: гострокутні, прямокутні, тупокутні. Гострокутним називають трикутник, у якого всі кути гострі. Прямокутним називають трикутник, у якого один з кутів є прямим. Тупокутним називають трикутник, у якого один з кутів є тупим. 344
Гострокутний К Тупокутний Прямокутний А АГ > 90° АИ < 90°, АК < 90°, АЕ < 90° АС = 90° Властивості сторін і кутів Будь-яка сторона трикутника менша від суми двох інших його сторін і більша за їх різницю: с-Ь<а<с + Ь, Ь<с. Щоб перевірити, чи можна з трьох відрізків а, Ь і с утворити трикут- ник, досить перевірити, чи буде найдовший з цих відрізків меншим від суми двох інших. Проти більшої сторони трикутника лежить більший кут: якщо Ь > а, то Р > а; і навпаки, якщо р > а, то Ь > а; а також, якщо а-Ь, то а = р. Периметр трикутника: Р-а + Ь + с. Теорема. Сума кутів трикутника дорівнює 180°. З теореми про суму кутів трикутника випливають такі наслідки: 1) трикутник може мати лише один прямий або тупий кут. Якщо один з кутів трикутника прямий або тупий, то два інші кути — гострі; 2) сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°. Зовнішній кут Кут, суміжний з кутом трикутника, називають зовнішнім кутом три- кутника. При кожній вершині є два зовнішніх кути. Наприклад, при вер- шині А зовнішніми є кути 1 і 4. Зовнішній кут трикутника більший від кожного кута трикутника, не А суміжного з ним. Сума зовнішніх кутів трикутника, взятих по одному при кожній ве- ршині, дорівнює 360°: А\ + 2^2 + АЗ- 360°. Теорема. Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох кутів трику- тника, не суміжних з ним. 2Г1=у+р. А\ + А2 + 2^3 = 360°. Медіани трикутника Медіаною трикутника називають відрізок, який сполучає вершину трикутника із серединою про- тилежної сторони. Кожен трикутник — гострокутний, прямокутний і тупокутний — має три медіани. Медіани будь-якого трикутника перетинаються в одній точці, яка міститься усередині трикутника. Г Г 345
СК - КВ, АК — медіана. А Медіану позначають буквою т. Те, що медіани проведені до сторін а, Ь і с, відповідно записують так: та, ть і тс. Медіани точкою перетину діляться у відношенні 2:1, починаючи від ве- д ршини трикутника. АО\ОК = ВО\ОМ=СО\ОК=2\ 1. та = ^2(Ь2 +с2)-а2 , ть = ^2(а2 +с2)-Ь2 , тс = ^2(а2 +Ь2)-с2 . т2 + т2 + т2 = |(а2 + Ь2 + с2). Медіана ділить трикутник на два рівновеликі трикутники. Рівновеликими називають трикутники, які маю рівні площі. Висоти трикутника Висотою трикутника називають перпендикуляр, проведений з вер- шини трикутника до прямої, яка містить його протилежну сторону. Кожен трикутник має три висоти. АЇ'ЛВС, АN— висота. ка— висота, проведена з вершини А, Висоти трикутника або їх продо- вження перетинаються в одній точці. У гострокутному трикутнику точка О перетину висот розміщена всередині трикутника; у прямокутному (точка Є) — у вершині прямого кута; у тупокутному (точка Г) — поза трикутни- ком. ка±± 1-1.1 а Ь с 25 Будь-яку висоту трикутника можна знайти за формулами Ла=сзіпР, ка= —, де 5— площа а трикутника. Бісектриси трикутника Бісектрисою трикутника називають відрізок бісектриси кута трикутника, який сполучає його вершину з точкою на протилежній стороні трикутника. Кожний трикутник має три бісектриси. Бісект- риси трикутника перетинаються в одній точці, яка міститься усередині трикутника. 346
ААВК - Х.СВК, АМ- Іа — бісектриса кута Я. Властивість бісектриси трикутника. Бісектриса поділяє протилеж- АВ КА ну сторону на відрізки, пропорційні до прилеглих сторін:-=---. У нерівнобедреному трикутнику кожна бісектриса лежить між медіаною і висотою, проведеними з цієї ж вершини: ка<Іа< та. Визначні точки трикутника Точка перетину медіан (центр мас) А Точка перетину висот або їх продовжень (ортоцентр) Точка перетину бісектрис (інцентр) — центр вписаного кола Точка перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника — центр описа- ного кола У будь-який трикутник можна вписати коло і навколо будь-якого трикутника можна описати коло. Середня лінія трикутника В Середня лінія трикутника — це відрізок, який з’єднує середини двох / ^Х. М4------ХЛ його сторін. /X. /X У кожному трикутнику можна провести три середні лінії. А*----—*------- Мії— середня лінія трикутника АВС. Середня лінія трикутника паралельна до однієї з його сторін і дорівнює її половині. Наприклад, Ш=^АС ЇЛЖ]\АС. Середні лінії трикутника ділять його на 4 рівні трикутники. Наприклад, рівними є трикутники ЯМР, МРМ, РМВ і МВІЇ. Рівні трикутники Два трикутники називають рівними, якщо при накладанні вони суміщаються. У позначенні вершин рівних трикутників має значення порядок запису літер: літери, які відпові- дають рівним кутам, потрібно записувати в обох трикутниках на однакових місцях. У рівних трикутників проти рівних сторін лежать рівні кути; проти рівних кутів — рівні сторони. Ознаки рівності трикутників Два трикутники рівні між собою, якщо в них відповідно рівні: 1) дві сторони та кут між ними; 2) сторона та прилеглі до неї кути; 3) три сторони. 347
Подібні трикутники Два трикутники називають подібними, якщо в них відповідні кути рівні й відповідні сторони пропорційні. Подібність трикутників АВС і АХВХС\ коротко записують так: ЛАВС ~ЛАіВхСх. Знак «~» замінює слово «подібний». Якщо коефіцієнт подібності відомий, то записують: ЛАВС ~ ЛАХВХСХ. Для подібних трикутників має значення порядок запису вершин. Щоб скласти відношення відповідних сторін подібних трикутників, потрібно: 1) визначити рівні кути трикутників; 2) з’ясувати, які сторони є відповідними; 3) записати відповідні рівності. Ознаки подібності трикутників Два трикутники подібні між собою {ЛАВС ~ ЛА ХВХСі), якщо: 1) два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам іншого трикутника: ЛА - ЛАХ, ЛВ = ЛВХ\ 2) дві сторони одного трикутника відповідно пропорційні до двох сторін іншого трикутника, а А В АС кути, утворені цими сторонами, рівні: ——1 = к , ЛА = ЛАі; АВ АС 3) три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам іншого трикутника: А^ А1С1 * В& , . ... .. . ——1 к = к, де к — коефіцієнт подібності. АВ АС ВС Відношення периметрів подібних трикутників дорівнює відношенню відповідних сторін (коефі- р цієнту подібності): мвс =к. Відношення відповідних лінійних елементів (медіан, бісектрис, висот тощо) подібних трикутників теж дорівнює коефіцієнту подібності. Відношення площ подібних трикутників дорівнює квадрату відношення відповідних сторін (ква- 5 драту коефіцієнта подібності): —±^— = к2. Пряма, яка паралельна до сторони трикутника і перетинає дві інші його сторони, відтинає від нього подібний йому трикутник. Співвідношення між сторонами та кутами трикутника ™ а Ь с 1 еорема синусів: -----=-----=--------. зіп а зіп Р зіп у Наслідок теореми синусів: —-— = 27?, де 7? — радіус описаного кола. зіпа Терема косинусів: Ь2 = а2 + с2 - 2ассозр. Площа трикутника 5 = — сіп . 2 а 8 = — (7С8ІП В. 2 к 8 = р{р - а){р - Ь)(р - с), де р = с —півпериметр (формула Герона). с аЬс с а + Ь + с 8 ----, 8 = рг, де р =-------. 47? И Ь 2 348
Радіуси вписаного й описаного кіл о аЬс 25 „ . к =---, г =------, де В — радіус описаного кола, г — радіус вписаного кола. 45 а+Ь+с Приклад 1. Сторони трикутника дорівнюють 4 см і 8 см. Яке найменше ціле значення повинна мати третя сторона, щоб кут між двома даними сторонами був тупим? А Б в г д 81 см 6 см 10 см 9 см 13 см Якщо в трикутнику зі сторонами а, Ь і с справджується нерівність а2 + Ь2 < с2, то кут, протиле- жний стороні с, тупий. Маємо: 42 + 82 < с2; 80 < с2; с > 9. Відповідь. В. к Приклад 2. У трикутнику МКЛ ХК - 60°. Радіус кола, описаного навколо трикутника, дорівнює 2 см. Скільки сантиметрів має радіус кола, описаного навколо трикутника МОО, де О — точка пере- тину бісектрис трикутника МКО1 Нехай МКО — заданий трикутник, у якого МК - сі, КО - т, МО - к, ХК - 60°, В — радіус описаного кола, В = 2 см, О — точка перетину бісектрис. За к наслідком з теореми синусів ------------= 2В. Отримаємо: к = 2Язіп^АГ — зіп /К = 2-2 зіпбО0 = 2л/з (см), тобто ЛЯ) = 2л/з (см). Нехай /М= 2х°, /О = 2у°. За тео- ремою про суму кутів трикутника /М+ /А) + /К- 180°; 2х + 2у + 60° = 180°; 2х + 2у=120°; х+у- 60°. Оскільки МО і ОО — бісектриси кутів Мі О відповідно, то /ОМО = х°, /ООМ=у°. Із трикутникаМОО‘. х+у + /МОО - 180°; /МОО = 180°-60°= 120°. о • • МО о За наслідком з теореми синусів---------= 2к., де «і— радіус кола, описаного навколо трику- зіп /.МОО тника МОО. = 2П., В. = = 2 (см). зіп120° 2,>/3 2 Відповідь. 2. Приклад 3. Знайти найбільший кут трикутника, якщо їхні градусні міри відносяться як 3 : 4 : 5. Нехай одна частина становить х°, тоді Х\ - Зх°, 2^2 = 4х°, ХА - 5х°. Складемо і розв’яжемо рі- вняння: Зх + 4х + 5х = 180; 12х = 180; х = 15. Тоді 5х = 5 • 15 = 75. Відповідь. 75°. Приклад 4. У трикутнику СКА бісектриси кутів К і А при перетині утворюють кут 115°. Знайти кут С. Оскільки КВ й АЕ — бісектриси кутів К і А, то /ВКА = - /К, /ЕАК = -/А. 2 2 Із &ОКА за теоремою про суму кутів трикутника: ~/К + — /А + /КОА = 180°. 2 2 Звідси: ±/К + = 180°- 115°; | (/К + /А) = 65°,тоді /К + /А = 65 • 2 = 130°. Із трикутника СКА за теоремою про суму кутів трикутника: ХС + ХК + Х_А - 180°. 349
Звідси: АС = 180° - 130° = 50°. Відповідь. 50°. Приклад 5. Трикутники МСК і подібні (див. рис.). Знайти сторону МК, якщо МС — 32 см, ЛЮ =16 см, ІЇА — 10,5 см. . . . . МС МК 1_г. . . . . Складемо відношення відповідних сторін:--------=------. Підставимо в одержану рівність відомі N0 КА . . 32 МК _ _ 3210,5 ч довжини сторін. Одержимо пропорцію: — = . Маємо: МК-----—-----21 (см). Відповідь. 21 см. Завдання 29.1-29.21 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 29.1. У трикутнику АВС сторони АВ і АС відповідно дорівнюють 6 см і 10 см. Указати всі можливі значення довжини сторони ВС. А Б в г д ВС < 16 см 6 см < ВС < 16 см 6 см <ВС < 10 см 4 см < ВС < 16 см 5 см < ВС < 15 см 29.2. Градусні міри кутів трикутника відносяться як 3 : 2 : 10. Знайти градусну міру найменшого ку- та трикутника. А Б В Г д 12° 20° 24° 36° 18° 29.3. Зовнішні кути при двох вершинах трикутника дорівнюють 70° і 150°. Знайти внутрішній кут при третій вершині. А Б В г д 40° 50° 60° 100° 140° 29.4. У трикутнику АВС ЛА - 50°, ЛВ - 70°. Визначити гострий кут, утворений бісектрисами даних кутів. А Б В Г Д 25° 30° 55° 35° 60° 29.5. У трикутнику АВС ЛА - 30° і /.В - 105°. Знайти відношення-. А Б в Г д Уз 2 1 Уз 2 У2 1 У2 29.6. У трикутнику АВС АВ - л/3 см, АС = 2 см і /_А - 30°. Знайти довжину медіани ВМ. А Б В г д 7 У? 1 Уіз УГЇ 350
29.7. О — точка перетину відрізків АО і ВС, відрізки АВ і СО паралельні. АВ = а, СО = Ь. Знайти АО, якщо ОО = с. А Б В Г д Ь ас Ьс а а Ьс аЬс ас Ь 29.8. У трикутнику ММК - к, 1УК = т і МК -п^Ь — бісектриса трикутника. Знайти довжину ві- дрізка МЬ. А Б в г д к к + т + п ктп кп т кп к + т тп к + т 29.9. Відповідні сторони подібних трикутників дорівнюють 14 см і 21 см. Знайти площу меншого трикутника, якщо площа більшого трикутника дорівнює 180 см2. А Б В Г д 80 см2 120 см2 60 см2 100 см2 90 см2 29.10. Одна зі сторін трикутника дорівнює 7 см. Знайти висоту, проведену до цієї сторони, якщо площа трикутника дорівнює 35 см2. А Б в Г д 2,5 см 5 см 7,5 см 10 см 12,5 см 29.11. Два кути трикутника дорівнюють а і р, а радіус кола, описаного навколо трикутника, дорівнює К. Визначити площу трикутника. А Б В Г Д 4/?2 зіп(а + р) 2/?2 зіп(а + р) 2К2 8Іпа8Іп|3 47?2 8Іпа8Іпр8Іп(а+р) 27?2 8Іпа8Іпр8Іп(а+р) 29.12. Дві сторони трикутника дорівнюють 48 см і 28 см. Указати всі можливі значення периметра трикутника. А Б в Г д 20 см < Р < 76 см 76 см<Р< 152 см 20 см < Р < 152 см 96 см <Р< 152 см 76 см < Р < 96 см 351
29.13. О — точка перетину бісектрис АК і ВЬ трикутника АВС. Знайти ЛА ОВ, якщо ХС - 50°. В А Б В Г Д 100° 115° 120° 130° 135° 29.14. Градусні міри зовнішніх кутів трикутника АВС при вершинах А, В і С відносяться як 3 : 4 : 5. Як відносяться градусні міри внутрішніх кутів трикутника при вершинах А, В і С? А Б В Г д 3:4:5 5:4:3 3:2:1 7:8:9 9:8:7 29.15. Кути трикутника відносяться як 1 : 2 : 3. Знайти відношення протилежних їм сторін. А Б В Г д 1:2:3 3:2:1 1:3:2 1 : л/3 :2 1 : Л : 2 29.16. Сторони трикутника дорівнюють 7 см, 8 см і 10 см. Знайти косинус найбільшого кута цього трикутника. А Б В Г д 29 23 19 13 13 140 112 140 112 56 29.17. У трикутнику АВС ВМ— медіана, ХАВМ= а, ХМВС - Р, ВМ = т. Визначити сторону АВ. В А Б В Г д 2/изіп(а + р) яіп р 2т зіп а зіп р зіп(а + р) 2/изіпР зіпа 2я7 8Іпа8ІПр 2т зіп р зіп(а + р) 29.18. Два трикутники подібні. Сторони одного з них дорівнюють 7 см, 12 см і 16 см, а сторони іншо- го — 40 см, ЗО см та х см. Знайти х. А Б В г д 18 см 17,5 см 20 см 24 см 18,5 см 352
29.19. У трикутнику АВС відрізок ЕЕ з кінцями на сторонах АВ і ВС паралельний до сторони АС. §ьове - 4 см2, Злпес = 5 см2, ЕЕ = 7 см. Знайти довжину АС. В А Б В Г д 9,5 см 9— см 3 12 см 10,5 см 9 см 29.20. 5(а) — площа трикутника з даними сторонами а і & та змінним кутом а між ними. Який з наве- 29.21. 5(/г) — площа трикутника з даною стороною а і змінною висотою й, проведеною до неї. Який з Завдання 29.22-29.25 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 29.22. Установити відповідність між елементами (1-4) рівностороннього трикутника зі стороною а та їхніми величинами (А-Д). 1 Висота 2 Радіус вписаного кола З Кут між медіанами 4 Радіус описаного кола А Б В Г д —а 6 —а 2 30° 60° —а З 23* Капіносов А. Математика. Комплексна підготовка до ЗНО 353
29.23. Установити відповідність між коефіцієнтами подібності (1-4) двох трикутників і відношенням їх площ (А-Д). 1^=2 2 £2 = 3 З = 4 4 А4 = 5 А 25 Б 9 В 16 Г 36 Д 4 29.24. Установити відповідність між довжинами сторін (1-4), які лежать проти кута 30° у прямокут- них трикутниках, і довжинами діаметрів (А-Д), описаних навколо трикутників кіл. 1 2 см 2 4 см З 10 см 4 15 см А 8 Б 20 В 4 Г 10 Д ЗО 29.25. Установити відповідність між сторонами трикутників (1-4) та їх площами (А-Д). 1 4 см, 5 см, 3 см 2 8 см, 10 см, 6 см З 16 см, 20 см, 12 см 4 12 см, 15 см, 9 см А 96 см2 Б 48 см2 В 6 см2 Г 54 см2 Д 24 см2 Розв’яжіть завдання 29.26-29.40. Відповідь запишіть десятковим дробом. 29.26. Величини кутів трикутника АВС при вершинах А, В і С відносяться, як 5 : 6 : 7. Знайти в граду- сах величину кута між висотою С£> і бісектрисою кута А трикутника. 29.27. Знайти площу 5 гострокутного трикутника у квадратних сантиметрах, якщо дві його сторони дорі- внюють 2 см і 1 см, а квадрат косинуса кута між ними дорівнює —. У відповідь записати д/35. 4 29.28. У трикутнику АВС висота ВК поділяє сторону АС на відрізки 1 і 3. Знайти квадрат медіани ВМ трикутника АВС, якщо ВК =2. 13 г) 29.29. У трикутнику АВС проведено медіану АК, яка дорівнює------ й утворює зі стороною АС кут 4 30°. Знайти ВС, якщо /_ВСА = 45°. 29.30. Периметр трикутника дорівнює 50, а його бісектриса ділить протилежну сторону на відрізки завдовжки 15 і 5. Знайти меншу сторону трикутника. 29.31. Сторона трикутника дорівнює 10. Знайти квадрат довжини відрізка прямої, яка паралельна до цієї сторони та ділить площу трикутника навпіл. 29.32. Одна зі сторін трикутника дорівнює 2, а прилеглі до неї кути дорівнюють 30° і 45°. Знайти площу трикутника з точністю до 0,01. 29.33. Знайти площу трикутника, дві сторони якого дорівнюють 28 і 30, а медіана, яка проведена до третьої сторони, дорівнює 13. 29.34. На сторонах АВ і АС трикутника АВС відповідно позначено такі точки М і К, що ААМК - ЛС. АМ- 4, МВ - 2 і АК - 3. Знайти довжину відрізка КС. 354
29.35. Відношення двох внутрішніх кутів трикутника дорівнює 2 : 3, а зовнішніх кутів при цих же ве- ршинах 11:9. Знайти в градусах третій внутрішній кут трикутника. 29.36. Сторони трикутника дорівнюють 4 см, 5 см і 6 см. Знайти з точністю до 0,01 см довжину меді- ани, проведеної до сторони завдовжки 5 см. 29.37. Одна зі сторін трикутника дорівнює 10, а медіани, що проведені до двох інших сторін, дорів- нюють 9 і 12. Знайти площу трикутника. 29.38. Дві сторони трикутника дорівнюють Ь і с, а бісектриса кута між ними дорівнює /. Визначити третю сторону трикутника й обчислити її значення, якщо Ь = 1, с - 4,1 - 1,2. 29.39. У трикутнику, дві сторони якого дорівнюють а і Ь, сума висот, опущених на ці сторони, дорів- нює третій висоті. Визначити третю сторону й обчислити її значення, якщо а = 4, Ь = 6. 29.40. Промінь світла падає від ліхтарика на поверхню дзеркала А під кутом 70°, а відбитий від нього промінь падає на поверхню іншого дзеркала В під кутом 60° і відбивається від нього. Дзеркала розміщені так, що всі падаючі та відбиті промені лежать в одній площині (див. рис.). Знайти градусну міру найменшого внутрішнього кута утвореного променями трикутника АВС. 355
Тема ЗО. Прямокутний трикутник Прямокутним називають трикутник, у якого один з кутів є прямим. /.С - 90°, трикутник АВС — прямокутний. а,Ь — катети, с — гіпотенуза. Теорема Піфагора. У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорів- нює сумі квадратів катетів: с2 = а2 + Ь2. Теорема, обернена до теореми Піфагора. Якщо квадрат сторони трикутни- ка дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін, то цей трикутник — прямо- кутний. Властивості прямокутних трикутників 1. Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°. 2. У прямокутному трикутнику гіпотенуза більша від катета. 3. Катет прямокутного трикутника, який лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи; якщо а = 30°, то а - ±с. Справедливе й обернене твердження: якщо катет прямокутного трикутника дорівнює половині гіпотенузи, то кут, протилежний цьому катету, дорівнює 30°. Описане та вписане кола Центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника, є серединою гіпотенузи: АО-ВО- = СО = В = -АВ. 2 Радіус описаного кола: К-—с, П = тс. Залежність між сторонами та кутами прямокутного трикутника а - сзіпа - ссозр = = 6сі§р, Ь - сзіпр = сссза = = ясі§а. а а Ь Ь с =----=------=------=-----. зіпа созр соза зіпр Висоти прямокутного трикутника -Ь.кь- а, Нс - с Висоти Иа і Иь збігаються з катетами Ь та а. Медіани прямокутного трикутника т =—\І4Ь2 + а2; т. = —\І4а2 + Ь2; т =—с = К; т2+т2ь=5т2. а 2 2 2 6 356
Площа прямокутного трикутника У прямокутному трикутнику бісектриса прямого кута поділяє навпіл кут між висотою і медіаною, проведеними з цієї ж вершини: ЛИСК — = ЛОСК. 8 = -аЬ, 8 = -ск, 5 = -а2іеР, 5 = -62і§а. 2 2 2 2 Ознаки рівності прямокутних трикутників. 1. Якщо катети одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно катетам іншого прямо- кутного трикутника, то такі трикутники рівні. 2. Якщо катет і гострий кут одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно катету і го- строму кугу іншого прямокутного трикутника, то такі трикутники рівні. 3. Якщо гіпотенуза й гострий кут одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно гіпо- тенузі й гострому куту іншого прямокутного трикутника, то такі трикутники рівні. 4. Якщо гіпотенуза й катет одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно гіпотенузі й катету іншого прямокутного трикутника, то такі трикутники рівні. Ознаки подібності прямокутних трикутників. Два прямокутні трикутники подібні між собою, якщо: 1) гострий кут одного трикутника дорівнює гострому куту іншого трикутника; 2) катети одного трикутника пропорційні катетам іншого трикутника; 3) гіпотенуза та катет одного трикутника пропорційні гіпотенузі та катету іншого трикутника. У прямокутному трикутнику: 1) висота, проведена з вершини прямого кута, є середнім пропорційним між прое- кціями катетів на гіпотенузу; 2) катет є середнім пропорційним між гіпотенузою і його проекцією на гіпотенузу. Наприклад, у трикутнику АВС ЛС - 90°, АС - Ь, ВС - а, ИВ - ас, СО = Лс, АО - Ьс. Тоді: 1) Л2 = ас • Ьс\ 2) а1 — с • ас, Ь2 = с • Ьс. Приклад 1. Знайти гіпотенузу прямокутного трикутника, якщо його катети дорівнюють 5 см і 12 см. За теоремою Піфагора маємо: АВ2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169; АВ - >/169 = 13. Відповідь. 13 см. Приклад 2. Висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює й, а гострий кут — р. Знайти гіпотенузу трикутника. А Б В Г д к 8ІПр к 8ІпРсО8р к С08Р 357
Трикутник СКВ — прямокутний. За співвідношеннями між елементами СN Л прямокутного трикутника маємо: СВ =---, тобто СВ = —-. зіп В зіпр СВ Із прямокутного трикутника АСВ маємо: АВ =---------, тобто АВ = соз В /7 ЗІП Р соз (З Відповідь. Г. Приклад 3. Катет прямокутного трикутника дорівнює 12 см, а медіана, проведена до іншого ка- тета, — 13 см. Знайти гіпотенузу трикутника. А Б В Г д 5 см 2^/бї см 25 см 22 см 26 см Із трикутника АСИ за теоремою Піфагора маємо: АО2 = СВ2 + СА2, звідки С£> = л/132 -122 = 5 (см). СВ = 2СИ = 2 • 5 = 10 (см). Із трикутника АВС. АВ = уіАС2 + ВС2 = \/122+102 = ^244 = = 2г/бї (см). Відповідь. Б. Приклад 4. Навколо прямокутного трикутника АВС з прямим кутом С описано коло (див. рис.). Знайти радіус кола, якщо АС = 12 см, /.В - 30°. За властивістю катета, який лежить проти кута 30°, АС- ~АВ, звідси АВ = 2АС = 2 • 12 = 24 (см). В = ±АВ = | • 24 = 12 (см). Відповідь. 12 см. Приклад 5. Знайти площу прямокутного трикутника у квадратних метрах, якщо радіуси вписано- го в нього й описаного навколо нього кіл відповідно дорівнюють 2 м і 5 м. Нехай трикутник АВС заданий. У нього: ЛС = 90°, г — радіус вписаного ко- ла, г = 2 м, В — радіус описаного кола, К = 5 м. У прямокутному трикутнику центр описаного кола £> є серединою гіпотенузи і його радіус дорівнює половині гіпотену- зи. Отже, ОА = £>В = В = 5 м. Нехай точка О — центр вписаного в трикутник кола; ОК, ОР, ОЬ — радіуси, проведені в точки дотику кола зі сторонами трикутника. Тоді ОКЬВС, ОР1.СА, /.С - 90° і тому СРОК — прямокутник. Звідки: ОК = СР = г = 2 м; ОР = КС = г = - 2 м. За властивістю дотичних до кола відрізки дотичних, проведених з однієї точки до точок дотику, рівні. Тому ВК = ВЬ, АР - АЬ і СР = СК. Знайдемо периметр трикутника АВС: Р = КВ + ВЬ + ЬА + АР + РС + СК = ВЬ + ВЬ + ЬА + ЬА + РС + РС = 2ВЬ + 2ЬА + 2РС = = 2(ВЬ + ЬА) + 2РС = 2ВА + 2РС = 2 • 2К + 2г = 4В + 2г = 4 • 5 + 2 • 2 = 24 (м). Площу трикутника знай- демо з формули 5 =^Р’г, ДеР — периметр, г — радіус вписаного кола. Маємо: 8МВС = у • 24 • 2 = В = 24 (м2). Відповідь. 24. 358
Завдання 30.1-30.21 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 30.1. Один з гострих кутів прямокутного трикутника на 18° більший від іншого. Знайти більший з цих кутів. А Б В г д 66° 68° 36° 54° 48° 30.2. Катети прямокутного трикутника дорівнюють а і Ь (а > Ь). Визначити довжину медіани, прове- деної до меншого катета. А Б В г Д > ь2 а 2 а2+ — 2 —\Іа2+Ь2 2 і^+ь2 4 4 30.3. Катет прямокутного трикутника дорівнює 12 см, а медіана, що проведена до нього, дорівнює 8 см. Знайти інший катет трикутника. А Б В г д 8 см 2у/Ї см 4\/5 см 12 см 8д/5 см 30.4. Один з катетів і гіпотенуза прямокутного трикутника відповідно дорівнюють 5 см і 13 см. Знайти площу трикутника. А Б В г д 65 см2 32,5 см2 30 см2 60 см2 130 см2 30.5. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 60 см і 80 см. Знайти висоту трикутника, прове- дену до гіпотенузи. А Б В Г д 24 см 36 см 48 см 56 см 96 см Катет та гіпотенуза прямокутного трикутника відповідно дорівнюють 10 проекцію цього катета на гіпотенузу. см і 26 см. Знайти А Б В Г д 8 см 5,2 см _ 8 7— см 13 2,6 см .11 3— см 13 30.7. Знайти гіпотенузу прямокутного трикутника, у якого висота, проведена до гіпотенузи, дорів- нює 6у/з см, а проекція одного з катетів на гіпотенузу дорівнює 6 см. А Б В г д 12 см 18 см 24 см 28 см 32 см 7 30.8. Довжина гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює . Обчислити площу круга, описа- ного навколо трикутника. А Б В Г Д я 5 4л 4л 5 5л л2 359
30.9. Один з катетів прямокутного трикутника дорівнює Ь, а протилежний до нього кут — р. Визна- чити радіус кола, описаного навколо трикутника. А Б В Г д Ь Ь АзІП Р 2Ь 2Ь 2зіпр 2созр 2 ЗІП Р С08р 30.10. Гострий кут прямокутного трикутника дорівнює а. Визначити катет, прилеглий до цього кута, якщо радіус кола, вписаного в трикутник, дорівнює г. А Б в Г д а| оо Ч—» а| оо ґі . 0^ г^1 + 2г у 30.11. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 5 см і 12 см. Знайти радіус кола, вписаного в трикутник. А Б В г Д 4 см 2 см 8 см 8,5 см 6 см 30.12. У прямокутному трикутнику один з гострих кутів дорівнює а, а висота, що проведена до гіпо- тенузи, дорівнює к. Визначити площу трикутника. А Б В Г Д А2 2 зіп а 2А2 зіп 2а А2 зіп 2а и2 2 зіп 2а А2 зіп 2а 30.13. Гострі кути прямокутного трикутника відносяться як 1 : 2. Знайти відношення протилежних їм катетів. А Б В Г д 1 : 2 1 :3 1 : 72 1 : 7з 1 : 75 30.14. Один з катетів прямокутного трикутника дорівнює 12 см, а гіпотенуза дорівнює 20 см. Знайти менший з відрізків, на які поділяє гіпотенузу бісектриса прямого кута. А Б В г 1 тт ' „4 8— см 7 , 5 о— см 12 6 см 5 см .2 4— см 7 30.15. Бісектриси двох кутів прямокутного трикутника утворюють при перетині кут 79°. Знайти менший гострий кут трикутника. А Б В Г д 11° 17° . 22° 34° 44° 30.16. У прямокутному трикутнику один з гострих кутів дорівнює 27°. Знайти кут між бісектрисою і висотою трикутника, проведеними з вершини прямого кута. А Б В Г д 8° 16° 32° 28° 18° 360
30.17. У прямокутному трикутнику один з гострих кутів дорівнює 32°. Знайти кут між висотою і ме- діаною, проведеними з вершини прямого кута. А Б В г д 32° 26° 36° 33° 23° І 30.18. Бісектриса прямого кута прямокутного трикутника поділяє гіпотенузу на відрізки у відношенні З : 4. У якому відношенні ділить гіпотенузу висота? А Б В Г д 3:4 73 :2 9: 16 2:3 1 :2 30.19. Знайти площу прямокутного трикутника, у якого бісектриса прямого кута ділить гіпотенузу на відрізки завдовжки 4 см і 8 см. А Б В Г д 32 см2 16 см2 57,6 см2 28,8 см2 14,4 см2 30.20. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 10 см. Якою найбільшою може бути площа трикутника? А Б В Г д 75 см2 100 см2 50 см2 25 см2 12,5 см2 30.21. На сторонах прямокутного трикутника АВС (/.С- 90°) побудовані квадрати. Площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює 400 см2, а різниця площ квадратів, побудованих на кате- тах, дорівнює 112 см2. Знайти площу трикутника. 400 см2 А Б В Г д 168 см2 84 см2 96 см2 192 см2 48 см2 361
Завдання 30.22-30.25 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 30.22. На рисунку зображено прямокутний трикутник АВС (АС = 90°), його висоту СН, медіану СМ і позначено величини деяких його елементів. Установити відповідність між елементами трикут- ника (1-4) та їхніми величинами (А-Д). 30.23. 1 АМСН 2 АСМН З СМ 4 СН 2 зіп 20° Б 5зіп20° В 50° Г 5зіп70° Д 40° У прямокутному трикутнику АВС (АС = 90°) проведено бісектрису СК та висоту СН. Установити відповідність між значеннями кута при ве- ршині А (1-4), розміщеній зі сторони бісектриси, і кутом КСН (А-Д). 1 8° 2 32° З 28° 4 18° А 27° Б 33° В 37° Г 13° Д 17° 30.24. Установити відповідність між катетами а й Ь (1-4) прямокутних трикутників і значеннями гос- трого кута, протилежного до катета а (А-Д). 1 2 см, 2 см А 22,5° 2 1 см, л/з см Б 45° В 60° 3 >/з см, 1 см Г 90° 4 2-^2 см, см д 30° 30.25. Установити відповідність між довжинами гіпотенуз і катетів (1-4) прямокутних трикутників і їх площами (А-Д). 1 5 см, 3 см А 84 см2 2 13 см, 5 см Б 6 см2 3 10 см, 8 см В 24 см2 4 25 см, 7 см Г 48 см2 д 30 см2 362
Розв’яжіть завдання 30.26-30.41. Відповідь запишіть десятковим дробом. 30.26. Бісектриса гострого кута прямокутного трикутника утворює з протилежною стороною кути, один з яких дорівнює 70°. Знайти у градусах менший гострий кут трикутника. 30.27. Катети прямокутного трикутника відносяться як 2 : 1, а гіпотенуза дорівнює 5\І5 см. Знайти у сантиметрах більший катет. 30.28. Катет прямокутного трикутника дорівнює 28 см, різниця двох інших його сторін дорівнює 8 см. Знайти у сантиметрах гіпотенузу. 30.29. У прямокутному трикутнику висота і медіана, проведені до гіпотенузи, відповідно дорівнюють 24 см і 25 см. Знайти у сантиметрах периметр трикутника. 30.30. У прямокутному трикутнику катет дорівнює 12, а тангенс прилеглого кута дорівнює —. Знайти 6 квадрат довжини гіпотенузи. 30.31. Проекції катетів прямокутного трикутника на гіпотенузу дорівнюють 4 см і 21 см. Знайти у са- нтиметрах менший катет. 30.32. Один з катетів прямокутного трикутника дорівнює \І5 см, а проекція іншого катета на гіпоте- нузу дорівнює 4 см. Знайти у сантиметрах гіпотенузу. 30.33. Точка дотику вписаного в прямокутний трикутник кола ділить гіпотенузу на відрізки 3 см і 10 см. Знайти у квадратних сантиметрах площу трикутника. 30.34. Точка дотику вписаного в прямокутний трикутник кола ділить гіпотенузу на відрізки 4 см і 6 см. Знайти у сантиметрах радіус вписаного кола. 30.35. Знайти у квадратних сантиметрах площу прямокутного трикутника, якщо його висота ділить гіпотенузу на відрізки 18 см і 32 см. 30.36. Бісектриса прямого кута прямокутного трикутника поділяє гіпотенузу на відрізки, що дорів- нюють т і п. Визначити висоту, проведену з вершини прямого кута й обчислити її значення, якщо т - 3, п = 4. 30.37. У прямокутному трикутнику висота і бісектриса, проведені з вершини прямого кута, відповід- но дорівнюють к і /. Визначити площу трикутника й обчислити її значення, якщо к - 0,5, / = 0,7. 30.38. У прямокутний трикутник вписано коло радіуса г. Визначити синус меншого гострого кута трикутника, якщо довжина гіпотенузи 5г. 30.39. Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, дорівнює Л, а відстань від вершини прямого кута до точки перетину бісектриси меншого гострого кута з меншим ка- тетом дорівнює а. Визначити довжину меншого катета й обчислити її значення, якщо к = 7, а=5. 30.40. У прямокутному трикутнику катет дорівнює 12, а гіпотенуза— 13. Знайти квадрат довжини бісектриси трикутника, проведеної з вершини меншого кута. 30.41. Від високої тополі падає тінь завдовжки 9 м, а від вертикальної жердини завдовжки 2 м — тінь завдовжки 1,2 м. Знайти висоту тополі. 363
Тема 31. Рівнобедрений трикутник Трикутник, у якого дві сторони рівні, називають рівнобедреним. АС- ВС, а, Ь — бічні сторони, с — основа. У рівнобедреному трикутнику АВСз основою АВ\ АС- ВС, а = £. Властивості рівнобедреного трикутника 1. Бісектриса, проведена до основи рівнобедреного трикутника, є його медіаною і висотою. На- приклад, якщо трикутник АВС — рівнобедрений (див. рис.), АС-ВС і СК— його бісектриса, то СК — медіана та висота трикутника АВС. 2. Кути при основі рівнобедреного трикутника рівні. Наприклад, для рівнобедреного трикутника АВС (див. рис.) АС- ВС. Тоді /А - ЛВ. 3. Висота рівнобедреного трикутника, проведена до основи, є одночасно його медіаною і бісект- рисою. 4. Медіана рівнобедреного трикутника, проведена до основи, є одночасно його висотою і бісект- рисою. 5. Медіани, бісектриси та висоти, проведені до бічних сторін рівнобедреного трикутника, рівні. 6. Зовнішній кут при вершині рівнобедреного трикутника удвічі більший за кут при основі. Ознаки рівнобедреного трикутника Трикутник є рівнобедреним, якщо: 1) у нього є два рівні кути; 2) одна з медіан є висотою або бісектрисою; 3) одна з висот є бісектрисою або медіаною; 4) одна з бісектрис є медіаною або висотою; 5) дві медіани (висоти, бісектриси) рівні. Подібність рівнобедрених трикутників 1. Рівнобедрені трикутники подібні, якщо вони мають по рівному куту: а) при основі; б) при ве- ршині. 2. Усі рівнобедрені прямокутні трикутники подібні. Основні співвідношення для рівнобедреного трикутника С Для будь-якого рівнобедреного трикутника (див. рис.) мають місце такі А співвідношення: / \ 2) к = ч=4 = / с \в 364
Для прямокутного рівнобедреного трикутника (див. рис.) мають місце такі співвідношення: ., , с^2 . 1) а = Ь =-; 2 2)а=р = 45°, у=90°; 3) 5 = — = —; 2 4 4) т = т = кс-Іс—~- у а о 2 2 Рівносторонній трикутник АВ - ВС - АС - а, трикутник АВС — рівносторонній. ЛА -ЛВ - ЛС - 60°. , _ - і - Іа Властивості рівностороннього трикутника 1. Будь-який рівносторонній трикутник має усі властивості рівнобедреного трикутника. 2. Усі кути рівностороннього трикутника рівні. 3. Будь-яка бісектриса рівностороннього трикутника є його медіаною і висотою. Радіус вписаного й описаного кіл для рівностороннього трикутника П = ^ = 2г, г = ^-;К = 2г. З 6 Справедливими є такі властивості: 1. Центри вписаного й описаного кіл збігаються. 2. Сума радіусів описаного та вписаного кіл дорівнює висоті (Л = К + г). ГГ • о Площа рівностороннього трикутника. 8 - —-—. Ортоцентр, центр мас, центр вписаного й описаного кіл у рівносторонньому трикутнику збігаються. /к Усі рівносторонні трикутники подібні. Сума відстаней від будь-якої точки рівностороннього трикутника до його /|^ \ сторін дорівнює висоті трикутника Ь ЕХ+ЕХ+ЕК=к. м Приклад 1. Кут при основі рівнобедреного трикутника учетверо більший від кута при вершині. Знайти кут при вершині. А Б В Г д 20° 40° 15° 140° 10° Нехай трикутник АВС — заданий. У ньому АС - ВС, ЛА - 4ЛС. Оскільки С ЛА-ЛВ і ЛА + ЛВ + ЛС = 180°, то одержимо: 4ЛС + 4ЛС + ЛС = 180°; 9ЛС =180°; А ЛС = 2(У>. / \ Відповідь. А. / \ А<------- 365
Приклад 2. Кут між бічними сторонами рівнобедреного трикутника дорівнює 82°. Знайти кут при основі трикутника. А Б В Г д 82° 90° 49° 51° 98° За теоремою про суму кутів трикутника АК + АМ+ АР- 180°. За властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника АМ— АР. Нехай АМ-АР-х°. Складемо і розв’яжемо рівняння: 82+х + х= 180; 82 + їх = 180; 2х = 98; х = 49. Отже, АМ= АР = 49°. Відповідь. В. Приклад 3. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 12 см. Знайти периметр трикутника, якщо його бісектриса, проведена до основи, дорівнює 8 см. Оскільки трикутник МВК рівнобедрений, то ВС — бісектриса, медіана та висота. Тому МС — КС — у МК = -^ • 12 = 6 (см); ВСАМК і трикутник МВС — прямокутний. За теоремою Піфагора МВ1 = б2 + 82 = 36 + 64 = 100; МВ - л/100 = 10 (см). КВ - МВ = 10 см (як бічні сторони рівнобедреного трику- тника). Р^мвк- 10 + 10 + 12 = 32 (см). Відповідь. 32 см. Приклад 4. Кут, протилежний основі рівнобедреного трикутника, дорівнює 120°. Знайти основу трикутника, якщо висота, проведена до бічної сторони дорівнює 7 см. П Нехай у рівнобедреному трикутнику АВС (рис. 195) АС— основа, АО— висота, тому ААОВ - 90° і трикутник АОВ прямокутний. Оскільки в прямокутному трикутнику АОС АС- (180° - 120°) : 2 = 30°, 1 А то за властивістю катета, який лежить проти кута 30°, АО- ~АС, тоді ЛС= 2 • 7 = 14 (см). Відповідь. 14 см. Приклад 5. Знайти кути рівнобедреного трикутника, якщо один з його зовнішніх кутів дорівнює: а) 48°; б) 116°. Скільки розв’язків має задача? Рис. 1 Рис. 2 Рис. З Нехай А\ — зовнішній кут трикутника. а) Якщо зовнішній кут при деякій вершині трикутника гострий, то кут трикутника при цій вер- шині — тупий. Трикутник може мати лише один тупий кут. У рівнобедреному трикутнику це кут між бічними сторонами. На рис. 1 це кут О. А\ і АО—суміжні, тому А\ + АО- 180°, АО- 180°- -48° = 132°. За властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника АА - АВ. За теоремою про зовнішній кут трикутника А\ - АА + АВ. Тому А_А - АВ - 48° : 2 = 24°. У цьому випадку задача має один розв’язок; 366
б) якщо зовнішній кут при деякій вершині трикутника тупий, то кут трикутника при цій верши- ні— гострий. У рівнобедреному трикутнику це може бути: 1)кут між бічними сторонами (рис. 2); 2) кут при основі (рис. 3). Маємо: 1) А\ + АО = 180°, АО = 180° - 116° = 64°; АА = АВ = 116° : 2 = 58°; 2)21 і АА — суміжні, тому 21+2Л = 180°, АА = 180° -116° = 64°; 2В = 2Л = 64°. А1 = АО + АВ, тому АО - 116° - 64° = 52°. У цьому випадку задача має два розв’язки. Відповідь, а) Один розв’язок: 132°, 24°, 24°; б) два розв’язки: 64°, 58°, 58° або 64°, 64°, 52°. Приклад 6. З вершини А рівнобедреного трикутника АВС з основою АВ проведена медіана завдо- вжки 90 см. Ця медіана утворює з бісектрисою кута С кут 60°. Знайти в сантиметрах довжину бісект- риси кута С. Нехай трикутник АВС— заданий рівнобедрений трикутник з основою АВ, АС- СВ, АК — медіана, АК = 90 см, СУ — бісектриса кута С, О — точка перетину АК і СУ, ААОК = 60°. За властивістю бісектриси, проведеної до основи рівнобедреного трикут- ника, СУ— медіана та висота. За властивістю медіан трикутника АО: ОК = = 2: 1. СУ = = |-90 = 30 (см). АО = 90 - 30 = 60 (см). У трикутнику АОії ААКО-900, оскільки СУ— висота, ААОії = 60°, тоді 2ОЛУ= 30°. Маємо: СУ = = | 60 = 30 (см). СО = 2ОУ = 2 • 30 = 60 (см). СУ = ЗОУ = 90 (см). Відповідь. 90. Завдання 31.1-31.20 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 31.1. Знайти периметр рівнобедреного трикутника зі сторонами 3 см і 7 см. А Б В Г д 20 см 10 см 13 см 17 см 17 см або 13 см 31.2. У рівнобедреному трикутнику АВС кут С дорівнює 104°. Знайти кут В. А Б В Г Д 66° 76° 38° 28° 48° 31.3. Знайти площу рівнобедреного трикутника, у якого бічна сторона дорівнює 4у/~2 см, а кут між бічними сторонами дорівнює 30°. А Б в г д см2 ІбТз см2 8^3 см2 16 см2 8 см2 31.4. У рівнобедреному трикутнику бічна сторона дорівнює 10 см, а висота, що проведена до осно- ви, — 6 см. Знайти площу трикутника. А Б В Г д 48 см2 24 см2 96 см2 30 см2 60 см2 367
31.5. У рівнобедреному трикутнику висота, проведена до бічної сторони, поділяє її на відрізки 8 см і 2 см, починаючи від вершини кута між бічними сторонами. Знайти площу трикутника. В 31.6. У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює 6 см, а радіус кола, описаного навколо трикут- ника, — 5 см. Знайти висоту, проведену до основи. В 31.7. У рівнобедреному трикутнику кут при основі дорівнює а, а радіус кола, вписаного в трикут- ник, дорівнює г. Визначити бічну сторону трикутника. В А Б в г д . а гзш—соза 2 ж ОС гі^усоза . ОС ГІ82 соза А ос гсі^усоза * ос ГСІ£у соза 31.8. Знайти площу рівностороннього трикутника зі стороною 2л/3 см. А Б В Г Д 3 см2 л/З см2 Зл/З см2 4л/3 см2 2л/з см2 31.9. Радіус кола, вписаного в рівносторонній трикутник, дорівнює 4^3 см. Знайти сторону трику- тника. А Б В Г д 12 см 16 см 24 см 36 см 48 см 368
31.10. Сторона правильного трикутника дорівнює 20л/з см. Знайти проекцію однієї медіани на іншу. А Б В г д 15 см 20 см 30 см 40 см 10л/3 см 31.11. У рівнобедреному трикутнику бісектриси кутів при основі утворюють при перетині кут 52°. Знайти кут між бічними сторонами трикутника. В 31.12. О — точка перетину висот АМЇ СК рівнобедреного трикутника АВС з основою АС. Знайти кут В, якщо ЛАОС = 110°. В А Б В г Д 70° 80° 60° 50° 35° 31.13. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 55 см, а висота, що проведена до основи, — 44 см. Знайти відношення відрізків, на які поділяє бічну сторону бісектриса кута при основі. А Б В Г д 2:3 3:4 4:5 5 : 6 6 : 7 31.14. Сторона рівностороннього трикутника дорівнює 8УЗ см. Знайти радіус кола, яке проходить через середини сторін трикутника. А Б В г д 2 см 8 см 4 см 4л/3 см 2>/з см 31.15. Знайти радіус кола, вписаного в рівнобедрений трикутник, основа якого дорівнює 160 см а ви- сота, проведена до неї, — 60 см. А Б В г д _2 26— см 3 пі 13— см 3 40 см 17— см 7 8— см 7 31.16. Знайти відстань від точки перетину медіан до центра кола, вписаного в рівнобедрений трикут- ник з основою 160 см і бічною стороною 100 см. А Б В Г Д ,»1 13— см ,1 3— см 23— см ,2 6— см _2 7— см 3 3 7 3 3 24* Капіносов А. Математика. Комплексна підготовка до ЗНО 369
31.17. Центр кола, вписаного в рівнобедрений трикутник, поділяє висоту, що проведена до основи, у відношенні 10:3. Знайти периметр трикутника, якщо бічна сторона дорівнює 20 см. А Б В Г д 64 см 49 см 43 см 46 см 52 см 31.18. Основа і бічна сторона рівнобедреного трикутника відповідно дорівнюють 16 см і 10 см. Знай- ти висоту трикутника, проведену до бічної сторони. А Б в Г д 34 см 6 см 8 см 9,6 см 4,8 см 31.19. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 48 см. За якого значення висоти, проведе- ної до основи, площа трикутника буде найбільшою? А Б В Г д 24 см 24>І2 см 12л/2 см 12л/з см 8>/3 см 31.20. 5— площа рівностороннього трикутника. Серед наведених графіків указати графік залежності Завдання 31.21-31.24 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 31.21. На рисунку зображено рівнобедрений трикутник АВС (АС = ВС), його висоту АО і позначено величини деяких елементів. Установити відповідність між елементами трикутника (1-4) та їх- німи величинами (А-Д). 1 АО З Радіус вписаного кола 4 Радіус описаного кола А 9,6 Б 6,25 В З Г 48 Д 32 370
31.22. Установити відповідність між заданими довжинами основ (1-4) рівнобедреник трикутників з кутами 120° при вершинах, протилежних до основ, та їх висотами (А-Д) до цих основ. 1 4 см 2 8л/з см З 10 см 4 12>/3 см А 4 см „ 2х/з Б -----см З В 6 см Г 16 см тт 5^3 Д -у см 31.23. Установити відповідність між довжинами бічних сторін рівнобедреник трикутників (1—4), кут між якими дорівнює 30°, та площами (А-Д) цих трикутників. 1 20 см 2 24 см З 28 см 4 32 см А 196 см2 Б 100 см2 В 256 см2 Г 625 см2 Д 144 см2 31.24. Установити відповідність між довжинами сторін рівнобедреник трикутників (1-4) та радіусами описаних навколо них кіл (А-Д). 1 29 см, 29 см, 42 см А 21,025 см 2 30 см, 30 см, 48 см Б 20 см 3 5 см, 5 см, 8 см В 25 см 4 20 см, 20 см, 32 см Г 25 — см 6 Д 50 — см 3 Розв’яжіть завдання 31.25-31.37. Відповідь запишіть десятковим дробом. 31.25. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 20. Знайти його основу, якщо вона на 2 більша від бічної сторони. 31.26. Кут при основі АВ рівнобедреного трикутника дорівнює 30°. Висоти трикутника, проведені до бічних сторін, перетинаються в точці О. Знайти у градусах величину кута ЛОВ. 31.27. У рівнобедреному трикутнику АВС основа АС дорівнює 18. Через точку О— середину висоти ВИ— проведено промені АО і СО, які перетинають бічні сторони в точках М і К. Знайти дов- жину відрізка МК. 31.28. У рівнобедреному трикутнику основа і бічна сторона відповідно дорівнюють 5 і 20. Знайти менший з відрізків, на які поділяє бічну сторону бісектриса кута при основі. 31.29. У рівнобедреному трикутнику центр вписаного кола ділить висоту, проведену до основи, у ві- дношенні 12 : 5, а бічна сторона дорівнює 60. Знайти периметр трикутника. 31.30. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 108 см, а основа — 30. Знайти радіус вписано- го кола. 31.31. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 12, а висота, що проведена до основи, — 8. Знай- ти радіус кола, вписаного в цей трикутник. 371
31.32. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює а, радіус вписаного кола— г. Визначити бічну сторону трикутника й обчислити її значення, якщо а = 6, г = 2. 31.33. У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює а, висота, що проведена до основи, — /?. Ви- значити відстань від середини основи до бічної сторони й обчислити її значення, якщо а - З, А = 2. 31.34. Знайти у градусах кут між бічними сторонами рівнобедреного трикутника, якщо бісектриса кута при основі відтинає від нього трикутник подібний даному. 31.35. Знайти площу рівнобедреного трикутника з точністю до 0,01 см2, якщо висота, яка проведена до бічної сторони, дорівнює 12 см, а інша висота — 9 см. 31.36. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює Ь, медіана, яка проведена до бічної сторо- ни, дорівнює т. Визначити квадрат основи трикутника й обчислити його значення, якщо т = 2,5; Ь = 3. 31.37. У правильному трикутнику зі стороною 6 на одній зі сторін узято точку на відстані 1 від вер- шини. Знайти квадрат відстані від цієї точки до центра трикутника. 372
Тема 32. Чотирикутники А Чотирикутником називають фігуру, яка складається з чотирьох точок, жодні три з яких не лежать на одній прямій, та чотирьох відріз- ків, які послідовно з’єднують ці точки. Чотирикутник позначають, послідовно записуючи його вершини. Наприклад, чотирикутник, зображений на рисунку, можна позначити так: АВСЕ, ВСЕА, СЕАВ, ЕАВС. Чотирикутники бувають опуклі й неопуклі. Чотирикутник називають опуклим, якщо він лежить з одного боку від кожної прямої, яка містить його сторону. Чотирикутник називають неопуклим, якщо він не лежить з одного боку від кожної прямої, яка містить його сторону. Далі ми розглядатимемо лише опуклі чотирикутники. Елементами чотирикутника є його вершини, сторони та кути. На рисунку А, В, С і £> — верши- ни чотирикутника, АВ, ВС, СЕ і ЕА — сторони чотирикутника, кути ЕАВ, АВС, ВСЕ і СЕА — кути чотирикутника. Кути позначають і так: /_А, /.В, /.С і /.Е відповідно. Дві вершини чотирикутника називають сусідніми, якщо вони є кінцями однієї сторони. На рисун- ку А та В, В та С, С та Е, Е та А — сусідні вершини. Дві несусідні вершини чотирикутника називають протилежними. На рисунку А та С, В та Е — протилежні вершини. Сторони чотирикутника назива- ють сусідніми, якщо вони виходять з однієї вершини. На рисунку АВ та АЕ, АВ та ВС, ВС та СЕ, СЕ та АЕ — сусідні сторони. Сторони чотирикутника, які не мають спільної вершини, називають протиле- жними. На рисунку АВ та СЕ, ВС та АЕ — протилежні сторони. Відрізок, який сполучає протилежні вершини чотирикутника, називають його діагоналлю. Кожен чотирикутник має дві діагоналі, які перетинаються. Кожна діагональ розбиває чотирикутник на два трикутники. Периметр чотирикутника — це сума довжин усіх його сторін. Периметр позначають літерою Р. Периметр чотирикутника обчислюють за формулою Р = а + Ь + с + сі. Кожна сторона чотирикутника менша за суму трьох інших його сторін. Щоб установити, чи мо- жна з чотирьох відрізків утворити чотирикутник, потрібно перевірити, чи буде найдовший з них мен- шим за суму трьох інших. Сума кутів опуклого чотирикутника дорівнює 360°: а+р + у+8 = 360°. Кут, суміжний з кутом чотирикутника, називають зовнішнім ку- том чотирикутника. При кожній вершині чотирикутника є два зовні- шні кути, які рівні між собою. Сума зовнішніх кутів чотирикутника, £) взятих по одному при кожній вершині, дорівнює 360°. (1^2 8ІП ф Площа чотирикутника, д = • -. Чотирикутник, вписаний у коло Чотирикутник, усі вершини якого лежать на колі, називають вписаним у це коло, а коло називають описаним навколо чотирикутника. Навколо чотирикутника можна описати коло тоді й тільки тоді, коли суми його протилежних кутів дорівнюють 180°: ЛА + /_С - /_В + /_Е - 180°. Площа чотирикутника, вписаного в коло: 8 = уІр(р- а)(р-Ь)(р-с)(р-<і), а + Ь + с + сі ДЄ Р =-----2----' 373
Чотирикутник, описаний навколо кола Чотирикутник, усі сторони якого дотикаються до кола, називають описа- ним навколо цього кола, а коло називають вписаним у чотирикутник. У чотирикутник можна вписати коло тоді й тільки тоді, коли суми його протилежних сторін рівні: а + с = Ь + сі. у-, п а + Ь + с + сі Площа чотирикутника, описаного навколо кола: 8 ------------г. Паралелограм Паралелограмом називають чотирикутник, у якого протилежні сто- рони попарно паралельні. АВ\\СО, АО\\ВС, АВСО — паралелограм. Висотою паралелограма називають перпендикуляр, проведений з будь-якої точки однієї сторони до протилежної сторони або до її продо- вження. Властивості паралелограма: 1) у паралелограма протилежні сторони рівні: АВ - СО - а, ВС - АО - Ь; 2) у паралелограма протилежні кути рівні: АА - АС, АВ - АО; 3) діагоналі паралелограма при перетині діляться навпіл: А О - ОС, В О = ОО; 4) кожна діагональ паралелограма ділить його на два рівні трикутники; 5) сума кутів паралелограма, прилеглих до однієї сторони, дорівнює 180°; 6) ^+<і2=2а2+2Ь2. 1) у паралелограмі кут між висотами дорівнює його гострому куту. 8) бісектриси кутів, прилеглих до однієї сторони паралелограма, взаємно перпендикулярні; 9) бісектриси двох протилежних кутів паралелограма паралельні. Ознаки паралелограма Чотирикутник АВСО буде паралелограмом, якщо: V) АВ - СО '\ АВ\\СО; 2) АВ = СО Ї ВС = АО; З) АО = ОС Ї ВО-ОО; 4) АА = АСЇАВ = АО. Теорема. Діагоналі паралелограма перетинаються і точкою перетину діляться навпіл. Точка перетину діагоналей паралелограма є його центром симетрії. Площа 8 - аИа; 8 = Ькь; 8 - аЬзїпа; 8 = -^сІ}сі2 зіп<р. Ромб Ромбом називають паралелограм, у якого всі сторони рівні. АВ - ВС - СО = ОА, АВСО — ромб. Оскільки ромб — це паралелограм, то він має всі властивості пара- лелограма, а також властивості, характерні лише для нього. Властивості: 1) діагоналі ромба перпендикулярні; 2) діагоналі ромба є бісектрисами його кутів. 374
Ознака ромба: 1. Паралелограм, діагоналі якого взаємно перпендикулярні, є ромбом. 2. Паралелограм, діагоналі якого є бісектрисами його кутів, є ромбом. Площа ромба 8- я28Іпа; 8- ак\ 8 =—скск; 8-аг. 2 1 2 У будь-який ромб можна вписати коло. Центр кола, вписаного в ромб, є точкою перетину його 1 діагоналей. г = — 2 Прямокутник Паралелограм, у якого всі кути прямі, називають прямокутником. АА - АВ - АС - АО - 90°, АВСВ — прямокутник. Оскільки прямокутник — це окремий вид паралелограма, то він має всі властивості паралелограма. Крім цих властивостей, прямокутник має особливу властивість: Діагона- лі прямокутника рівні. Наприклад, у прямокутнику АВСВ (див. рис.) АС і ВВ — діагоналі. Тоді АС = ВО. Ознака прямокутника Якщо діагоналі паралелограма рівні, то такий паралелограм є прямокутником. Площа прямокутника 8-аЬ; 8 -—сі2 зіпер. 2 Навколо будь-якого прямокутника можна описати коло. Центром кола, описаного навколо пря- мокутника, є точка перетину його діагоналей. К = —сі; К = —>]а2 + Ь2. Квадрат Квадрат— це ромб, у якого всі кути прямі. АА - АВ - АС- АО = 90°, АВ - ВС - СВ - ОА, АВСВ — квадрат. Ознака квадрата Якщо діагоналі чотирикутника рівні та є бісектрисами його кутів, то такий чотирикутник — квадрат. Площа квадрата 8 = а2; 8 = -сі2. 2 У будь-який квадрат можна вписати коло й навколо квадрата можна описати коло. Центром вписаного й описаного кіл є точка перетину діагоналей квадрата. г-—а, К = —сІ, 375
Трапеція Трапецією називають чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші — непаралельні. Паралельні сторони трапеції називають її осно- вами, а непаралельні — бічними сторонами. Висотою трапеції називають перпендикуляр, проведений з будь-якої точки однієї основи до іншої або до її продовження. ВС\\АО, АВ і С£)— не паралельні. АВСО— трапеція. ВІЇ1АО, СК1АО, ВК, СК— висоти. Сума градусних мір кутів, прилеглих до бічної сторони, дорівнює 180°: АА + АВ = 180°, 2Х?+210= 180° (рис. 1). Трапецію, один з кутів якої прямий, називають прямокутною. Рівнобічною називають трапецію, у якої бічні сторони рівні. Якщо АВ - СО , то трапеція рівнобі- чна. У рівнобічній трапеції кути при кожній основі рівні. Навколо трапеції можна описати коло, лише тоді, коли вона рівнобічна. У трапецію можна впи- сати коло, коли сума її основ дорівнює сумі бічних сторін. Середня лінія трапеції Середньою лінією трапеції називають відрізок, який сполучає середини її бічних сторін. АМ- МВ, СР - РО, МР — середня лінія трапеції АВСО. Середня лінія трапеції паралельна до основ і дорівнює їх півсумі: МР = —(ВС + АО). Властивості рівнобічної трапеції: 1. Сума протилежних кутів рівнобічної трапеції дорівнює 180°: АА + АС - 180°, АВ + АО - 180° (рис. 1). 2. Діагоналі рівнобічної трапеції рівні: АС - ВО (рис. 2). 3. Якщо ВК і СМ — висоти рівнобічної трапеції АВСО (рис. 3), то: 1) ^АВК-\ОСМ\ 2)АК = ВМ= (АО - ВС); 3) КО = МА = |(ЛГ> + ВС). Рис. 1 Рис. З Ознаки рівнобічної трапеції: 1. Якщо кути при основі трапеції рівні, то трапеція рівнобічна. 2. Якщо в трапеції сума протилежних кутів дорівнює 180°, то трапеція рівнобічна. 3. Якщо діагоналі трапеції рівні, то трапеція рівнобічна. Площа трапеції 5 = ^-Л. 2 376
Приклад 1. Знайти кути чотирикутника, якщо відомо, що три з них, взяті послідовно, відносяться як 5 : 3 : 4 і навколо цього чотирикутника можна описати коло. А Б В г Д 120°, 80°, 80°, 20°, 100°, 60°, 80°, 120°, 110°, 90°, 60°, 100° 130°, 130° 80°, 120° 110°, 50° 80°, 80° Нехай коло (О; К) описане навколо чотирикутника МИКИ. ЛМ: : /.К - = 5:3:4. Оскільки навколо чотирикутника описане коло, то /-М+ /.К- 180°, [і е н АЛ + гГР = 180°. Нехай одна частина дорівнює х°. Тоді одержимо: АМ= 5х°, ^У=3х°, АК = 4х°. ' 5х + 4х=180; 9х=180; х = 20. Тоді ^Л/= 5 • 20 = 100°, ^=3-20 = 60°, ^=4-20 = 80°. /£) = 180°-60°= 120°. Відповідь. В. Приклад 2.0 — точка перетину діагоналей паралелограма АВСО. Знайти сторону АВ, якщо периметр трикутника СОО дорівнює 15 см, ЯС=10см, ВО - 8 см. А Б В Г д 15 см 10 см 8 см 6 см 4 см За властивістю діагоналей паралелограма: АО= ОС= — АС= 10 : 2 - 5 (см). ВО-ОО- - — ВО = 8:2 = 4 (см). С£> = Р\соо - (ОС + ОО); СО = 15 - (5 + 4) = 6 (см). За властивістю протилеж- них сторін паралелограма АВ = СО = 6 см. Відповідь. Г. Приклад 3. Знайти сторони чотирикутника, якщо перша з них на 9 см менша за другу, на 2 см бі- льша за третю й удвічі більша за четверту, а периметр чотирикутника дорівнює 147 см. Нехай четверта сторона дорівнює х см. Тоді перша дорівнює 2х см, друга — (2х + 9) см, тре- тя — (2х - 2) см. Складемо й розв’яжемо рівняння: 2х + 2х + 9 + 2х-2+х = 147; їх + 7 = 147; їх = 140; х = 20(см). Тоді 2х = 2 • 20 = 40 (см), 2х + 9 = 40 + 9 = 49 (см), 2х -2 = 40-2 =38 (см). Отже, перша сторона чотирикутника дорівнює 40 см, друга — 49 см, третя — 38 см, четверта — 20 см. Відповідь. 40 см, 49 см, 38 см, 20 см. Приклад 4. Знайти кути чотирикутника, якщо вони пропорційні числам 7, 8, 9 і 12. Кути чотирикутника відповідно дорівнюють 7х°, 8х°, 9х° і 12х°, де х — деяке число. Складемо й розв’яжемо рівняння: їх + 8х + 9х + 12х = 360; 36х = 360; х=10. Тоді: 7х = 7 10 = 70, 8х = 8 • 10 = 80, 9х = 9 • 10 = 90, 12х = 12 • 10 = 120. Отже, кути чотирикутника дорівнюють 70°, 80°, 90° і 120°. Відповідь. 70°, 80°, 90° і 120°. Приклад 5. Градусні міри двох кутів паралелограма відносяться як 5 : 7. Знайти кути паралелограма. / / Оскільки протилежні кути паралелограма рівні, то кути, про які йдеться / / в умові задачі, будуть прилеглими до однієї сторони. Нехай це АО і АК (див. рис.). АО = 5х°, АК = 1х°, де х — деяке число. За властивістю кутів пара- лелограма, прилеглих до однієї сторони, АО + АК- 180°. Маємо: 5х + 7х=180; 12х= 180; х=15, 5х = 5 15 = 75; 7х = 7 • 15 = 105. Отже, АЕ- АО = 75°, АА = АК = 105°. Відповідь. 75°, 105°, 75°, 105°. 377
Приклад 6. Бісектриса тупого кута паралелограма МКОР поділяє сторону МР на відрізки 8 см і 10 см, рахуючи від вершини гострого кута. Знайти периметр паралелограма. Оскільки КО\\МР, то 2ОКК = 2МКИ як внутрішні рівносто- ронні. КК — бісектриса кута У, отже, 2ОКК = 2МКК. Тому 2МКК- 2МКК і трикутник Л/УАГ— рівнобедрений з основою КК. Отже, МК- МК = 8 (см). За влас- тивістю вимірювання відрізків маємо: МР - 8 + 10= 18 (см). Ршор - 2 • (МК + МР); Рмкпр - = 2(8+ 18) = 52 (см). Відповідь. 52 см. Приклад 7. Знайти площу паралелограма, периметр якого дорівнює 24 см, а висоти — 10 см і 14 см. Л/7 + 2К = 24 : 2; М7, + 2К - 12 (см). Нехай М2 - х см, тоді Ж = (12-х)см. Зммкг ~ М7, КА; 8ммкі — х 10= 1 Ох (см) (1). Зшкг = 2К • КВ; 8^К2 = 14 • (12-х) (2). З рівностей (1) і (2) складемо та розв’яжемо рівняння: Юх = 14(12 -х); Юх = 168 - 14х; 24х = 168; х = 7. Отже, М2 = 7 см. 5 = 7 10 = 70 (см2). Відповідь. 70 см. Приклад 8. Сторона ромба утворює з діагоналями кути, градусні міри яких відносяться як 4 : 5. Знайти кути ромба. 2КАР = 4х°, 2АКР - 5х°, де х — деяке число. За властивістю діаго- налей ромба ВК1АК, тому трикутник АРК — прямокутний (2АРК - 90°). 4х + 5х = 90, 9х = 90, х = 10; 4х = 40, 5х = 50. Отже, 2КАР = 40°, /-АКР = 50°. Оскільки діагоналі ромба — бісектриси його кутів, то 2А = 22КАР = 2 • 40° = 80°, 2К = 22АКР = 2 • 50° = 100°. Відповідь. 80°, 100°, 80°, 100°. Приклад 9. Діагональ ромба, що виходить з вершини кута 60°, до- рівнює 24 см. Знайти радіус кола, вписаного в ромб. Нехай АВСО — ромб, про який ідеться в умові задачі (див. рис.). За властивістю діагоналей ромба: ВО = ОО= • 24 = 12 (см). 2АВ0 = = 2СВО = 60° : 2 = 30°. Проведемо КО1АВ. КО — радіус вписаного ко- ла. Трикутник ВКО — прямокутний, бо КО1АВ. За властивістю катета, який лежить проти кута 30°, КО = — ВО = — • 12 = 6 (см). Відповідь. 6 см. Приклад 10. Бісектриса кута N прямокутника МКРК ділить сторону МК на Мц? ............. К7 відрізки у відношенні 5 :2, починаючи від вершини М. Знайти сторони прямо- 1^4 кутника, якщо його периметр дорівнює 72 см. Оскільки КА — бісектриса кута К, то 2\ = 22. КР\\МК, КА — січна, то- МА му 22 = 23 як внутрішні різносторонні. Отже, 2\ = 23 і трикутник КМА — рів- нобедрений з основою КА. Отже, МК-МА. Довжини відрізків МА і АК відповідно дорівнюють 5х см, 2х см, де х — деяке число. Маємо: 2 • ((5х + 2х) + 5х) = 72; 12х = 36; х = 3. 7х = 7 • 3 = 21, 5х = 5 • 3 = 15. Отже, 7^ = Ж = 21 см,ЛСУ = ^= 15 см. Відповідь. 15 см, 21 см, 15 см, 21 см. 378
Приклад 11. Відстань від точки перетину діагоналей квадрата до однієї з його сторін дорівнює 7 см. Знайти периметр квадрата. МИ.ХМС, 0В1МС, отже, МИ\\ОВ. За властивістю діагоналей квадрата точка О — середина УС. Тоді за теоремою Фалеса точка В — середина сторони МС. Отже, ОВ — середня лінія трикутника МИС. За теоремою про середню лінію ОВ - — МИ. Тому МИ = 2 • 05 = 2 • 7 = 14 (см). Р^кс = 4 • МИ = 4•14 = 56 (см). Відповідь. 56 см. Приклад 12. Середня лінія трапеції дорівнює 12 см, а більша осно- ва — 14 см. Знайти меншу основу. _ ....... а + Ь За теоремою про середню лінію трапеції маємо: ИК - ——, де а 14 + х та Ь — основи трапеції. Нехай а - 14 см, Ь = х см. Тоді 12 = —-—; 14 + х = 24; х = 10. Отже, менша основа дорівнює 10 см. Відповідь. 10 см. Приклад 13. Діагональ рівнобічної трапеції ділить навпіл її гострий кут, який дорівнює 60°. Знайти периметр трапеції, якщо її менша основа дорівнює 12 см. Оскільки АС— бісектриса, то Х\ = Х2. Х2 - ХЗ (як внутрішні різносто- ронні при ВС\\АО і січній АС). Отже, XI = ХЗ, тому трикутник АВС— рівнобед- рений з основою АС. АВ - ВС - 12 см. СО-АВ - 12 (см) (як бічні сторони рівно- бічної трапеції). Проведемо висоти ВК і СУ, ВК = СИ. &АВК - М)СИ за гіпотенузою і катетом. Отже, АК-ОИ. У прямокутному трикутнику АВК Х1А = 60°, тому Х1АВК-3^. АК- ±АВ (як катет, який лежить проти кута 30°). АК - ИО =12:2 = 6 (см). КИ- ВС = 12 см (як протилежні сторони прямокут- ника КВСИ). АО-АК + КИ + ИО. АО = 6 + 12 + 6 = 24 (см).Р= 12+ 12 + 12 + 24 = 60 (см). Відповідь. 60 см. Приклад 14. У прямокутній трапеції менша основа дорівнює 21 см. Обчислити площу трапеції, якщо довжина кола, вписаного в неї, дорівнює 24л см. Нехай АВСО (ЛРЦ5С) — задана прямокутна трапеція, у яку вписано ко- ло (О; г) завдовжки 24л см, ВС- 21 см. Тоді 2лг = 24л, г- 12 (см). Проведемо висоту СИ. Оскільки трапеція прямокутна, то СИ -АВ-2г- 24л : л. За власти- вістю сторін описаного чотирикутника ВС + АО-АВ + СО; 21 + АО = 24 + СО; АО - СО = 3. Нехай СО = х см. Тоді АО = (х + 3) см. АВСИ— прямокутник, тому ЛУ=5С = 21 (см). Оскільки АО = АИ+ИО, то ИО = АО-АИ = (х + 3)-21 = = (х - 18) см. Із трикутника СМ) = 90°): С£>2 = СІЇ2 + ^^2; х2 = 242 + (х - 18)2; х2 = 576 + х2 - 36х + + 324; Збх = 900; х = 25. Отже, СО = 25 см. М) = л/252 - 242 = л/625-576 = 7. АО - 21+ 7 = 28 (см). ^АВСИ ~ ~2 $АВСО = 2 ^4 = 588 (см )• Відповідь. 588 см2. 379
Завдання 32.1-32.24 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 32.1. Сума двох кутів паралелограма дорівнює 130°. Знайти найбільший кут паралелограма. А Б В Г д 140° 120° 105° 115° 125° 32.2. Периметр паралелограма дорівнює 84 см, а сума двох його сторін — 58 см. Знайти меншу сто- рону паралелограма. А Б В Г д 11 см 29 см 17 см 23 см 13 см 32.3. Бісектриса гострого кута паралелограма поділяє сторону на відрізки завдовжки 7 см і 10 см, починаючи від вершини тупого кута. Знайти периметр паралелограма. А Б В Г д 48 см 54 см 96 см 68 см 56 см 32.4. У чотирикутнику діагоналі дорівнюють 8 см і 5 см. Обчислити периметр чотирикутника, вер- шинами якого є середини сторін даного чотирикутника. А Б В Г д 40 см 13 см 26 см 3 см 20 см 323. Одна зі сторін прямокутника дорівнює 8 см. Знайти площу прямокутника, якщо площа круга, описаного навколо нього, дорівнює 25л см2. А Б В Г д 80 см2 48 см2 40 см2 24 см2 200 см2 32.6. У прямокутнику АВСИ О — точка перетину діагоналей, ЛВОС - 108°. Знайти ЛАВИ. А Б В г д 72° 45° 30° 54° 18° 32.7. Діагональ ромба утворює з однією зі сторін кут, що дорівнює 54°. Знайти менший кут ромба. А Б В Г д 36° 26° 72° 62° 27° 32.8. Одна з діагоналей ромба дорівнює ЗО см. Знайти іншу діагональ ромба, якщо його периметр дорівнює 68 см. А Б в г д 20 см 24 см 30 см 16 см 19 см 32.9. Сторона ромба дорівнює 6 см, а його площа — 18 см2. Знайти найбільший кут ромба. А Б В г д 105° 120° 130° 135° 150° 32.10. Сторони паралелограма дорівнюють 18 см і ЗО см, а висота, яка проведена до більшої сторо- ни, — 6 см. Знайти іншу висоту паралелограма. А Б В Г д 10 см 20 см 15 см 3,6 см 18 см 380
32.11. Висота рівнобічної трапеції, яка проведена з вершини тупого кута, поділяє основу на відрізки завдовжки 5 см і 11 см. Знайти периметр трапеції, якщо її висота дорівнює 12 см. А Б В Г д 50 см 43 см 48 см 47 см 53 см 32.12. Дві менші сторони прямокутної трапеції дорівнюють а, а один з її кутів— 45°. Визначити площу трапеції. А Б В Г д 5 2 —а 2 2аг За2 т 1 см 32.13. Висоти паралелограма дорівнюють і к2, а кут між ними — а. Визначити площу паралелог- рама. А Б в г д сова ^2 зіпа ЛЛ зіпа 1 2. кхк2 соза № зіп2 а 32.14. Діагоналі прямокутника утворюють кут 50°. Знайти кут між діагоналлю прямокутника та бісе- ктрисою кута, проведеними з однієї вершини. А Б В Г д 50° 30° 25° 15° 20° 32.15. Точка О, яка є перетином діагоналей трапеції АВСО (Л£>||5С), ділить діагональ АС на відрізки АО - 8 см і ОС - 4 см. Знайти основу ВС. якщо АО - 14 см. А Б в Г д 5 см 6 см 7 см 8 см 4 см 32.16. Менша основа трапеції дорівнює 20 см. Точка перетину діагоналей віддалена від основ на 5 см і 6 см. Знайти площу трапеції. А Б В Г Д 110 см2 363 см2 121 см2 242 см2 484 см2 32.17. Відстань між серединами діагоналей трапеції дорівнює 7 см, а менша її основа — 6 см. Знайти середню лінію трапеції. А Б В Г д 9 см 6,5 см 12 см 26 см 13 см 381
32.18. У рівнобічну трапецію вписане коло. Знайти у квадратних сантиметрах площу трапеції, якщо її основи дорівнюють 2 см і 8 см. А Б в Г д 40 см2 5 см2 20 см2 16 см2 8 см2 32.19. Діагоналі рівнобічної трапеції перпендикулярні. Знайти площу трапеції, якщо її основи дорів- нюють 8 см і 20 см. А Б В Г Д 196 см2 392 см2 784 см2 588 см2 98 см2 32.20. Одна з діагоналей паралелограма дорівнює сі і поділяє його гострий кут на кути а і р. Визначи- ти площу паралелограма. А Б В Г Д сі1 8ІпазіпРзіп(а+Р) сі1 зіп а зіп р зіп3(а + Р) (Iі зіп(а + Р) зіп а зіп р б/2 зіп а зіп Р зіп(а + Р) (і1 зіп а зіп Р 2зіп(а + Р) 32.21. У ромбі АВСИ більша діагональ АС поділяє висоту ВК на відрізки ВМ-5 см і МК-3 см. Знайти площу ромба. А Б В Г д 40 см2 80 см2 120 см2 140 см2 20 см2 32.22. Діагональ трапеції поділяє її на два подібні трикутники. Знайти цю діагональ, якщо основи трапеції дорівнюють 50 см і 72 см. А Б В г д 90 см 30,5 см 30 см 61 см 60 см 32.23. У рівнобічній трапеції діагональ є бісектрисою гострого кута й утворює з більшою основою кут 30°. Знайти периметр трапеції, якщо більша основа дорівнює 8 см. А Б В Г д 18 см 24 см 16 см 20 см 32 см 32.24. Периметр паралелограма більший від однієї з його сторін на 23 см і більший на 19 см від іншої його сторони. Знайти периметр паралелограма. А Б В г Д 42 см 28 см 34 см 36 см 32 см 382
Завдання 32.25-32.28 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 32.25. Установити відповідність між фігурами (1-4) та їхніми характерними властивостями (А-Д). 1 Описаний навколо кола чотирикутник 2 Вписаний у коло чотирикутник 3 Паралелограм 4 Ромб А Сума протилежних кутів дорівнює 180° Б Діагоналі рівні В Суми протилежних сторін рівні Г Сума кутів при одній стороні дорівнює 180° Д Діагоналі є бісектрисами кутів 32.26. Діагональ ромба утворює зі стороною кут 60°. Установити відповідність між довжинами сторін (1-4) ромба і площами (А-Д) прямокутників з вершинами на серединах сторін ромба. 1 20 см 2 36 см 3 42 см 4 50 см А 441л/з см2 Б ІООл/з см2 В 529>/з см2 Г 625>/3 см2 Д З24д/3 см2 32.27. Сторони паралелограма дорівнюють 12 см і 5 см. Установити відповідність між величинами го- стрих кутів (1^4) паралелограмів і їх площами (А-Д). 1 30° 2 45° 3 60° 4 80° А 30л/3 см2 Б 30 см2 В 15>/3 см2 Г 30>/2 см2 Д 60 зіп — см2 9 32.28. У рівнобічних трапеціях діагональ є бісектрисою гострого кута й утворює з більшою основою кут 30°. Установити відповідність між довжинами більших основ (1-4) та периметрами трапе- цій (А-Д). 1 4 см 2 8 см 3 24 см 4 12 см А 20 см Б 60 см В 10 см Г 30 см Д 50 см Розв’яжіть завдання 32.29-32.47. Відповідь запишіть десятковим дробом. 32.29. Перпендикуляр, проведений з вершини прямокутника на діагональ, дорівнює 12 і поділяє діа- гональ на відрізки, різниця яких дорівнює 7. Знайти площу прямокутника. 32.30. Одна з діагоналей паралелограма дорівнює бл/б і утворює зі стороною паралелограма кут 60°. Знайти іншу діагональ, якщо вона утворює з тією ж стороною кут 45°. 32.31. Одна з діагоналей паралелограма, яка дорівнює Зл/б, утворює з основою паралелограма кут 60°. Обчислити довжину другої діагоналі, якщо вона утворює з цією ж основою кут 45°. 383
32.32. Висоти паралелограма дорівнюють 4 і 6, а його периметр — 40. Знайти у градусах гострий кут паралелограма. 32.33. Одна сторона паралелограма на 2 більша за іншу, а його діагоналі дорівнюють 8 і 14. Знайти периметр паралелограма. 32.34. Діагоналі ромба відносяться як 3 : 4. Знайти висоту ромба, якщо його периметр дорівнює 80. 32.35. Сума довжин діагоналей ромба дорівнює /, а площа ромба — 5. Визначити сторону ромба й обчисли її значення, якщо /=5,5=4. 32.36. Визначити площу паралелограма за його висотами к\ і Л2 та периметром Р й обчислити її зна- чення, якщо = З, Л2 -1,Р- 20. 32.37. Основи трапеції дорівнюють 10 і 24, а бічні сторони — 15 і 13. Знайти площу трапеції. 32.38. У рівнобічну трапецію, верхня основа якої удвічі менша від її висоти, вписане коло, радіус якого дорівнює 3 см. Знайти у квадратних сантиметрах площу трапеції. 32.39. Основи трапеції дорівнюють 5 і 15, а діагоналі — 12 і 16. Знайти площу трапеції. 32.40. Навколо трапеції описане коло, діаметром якого є більша основа. Обчислити площу трапеції у квадратних сантиметрах, якщо її діагональ і висота відповідно дорівнюють 5 см і 3 см. 32.41. Площі трикутників, утворених основами трапеції та відрізками діагоналей дорівнюють 5і і 52. Визначити площу трапеції й обчисли її значення, якщо 51 = 4, 52 = 1. 32.42. Квадрат зі стороною а повернуто навколо свого центра на 45°. Знайти площу спільної частини цих квадратів й обчисли її значення з точністю до 0,01, якщо а = 1. 32.43. Знайти квадрат площі паралелограма, якщо його більша діагональ дорівнює 2>/7 , а висоти до- рівнюють л/з і 2>/з . 32.44. Висота ромба дорівнює 24, а менша діагональ — 30. Знайти більшу діагональ ромба. 32.45. Знайти площу паралелограма з точністю до 0,01 см2, якщо його більша діагональ дорівнює 5, а висоти дорівнюють 2 і 3. 32.46. Канал з Дніпра до Кривого Рогу в районі села Червоні Поди має у поперечному перерізі форму рівнобедреної трапеції, у якої довжина більшої основи дорівнює 12 м, висота 3 м, а бічні сто- рони нахилені до основи під кутом 45°. Швидкість руху води в каналі дорівнює 3 м/хв. Скільки кубічних метрів води забирається з Дніпра за 1 хв? 32.47. Скільки потрібно листів бляхи завширшки 3 м, щоб обгородити земельну ділянку прямокутної форми під будівництво офісного центру, площа якої дорівнює 480 м2, а одна зі сторін — 16 м? 384
Тема 33. Многокутники Нехай задано точки А\, А2, А3, А4,..., Ап, жодні три сусідні з яких не лежать на одній прямій, і відрізки Ар42, Л2Я3> •••, А„А], жодні два з яких не перетинаються. Одержану таким чином фігуру називають много- кутником. Точки Л2, А3, Л4,..., Ап називають вершинами многокутника, від- різки А]А2, А2А3, АуА4, Ап_іАп, АпА} — сторонами многокутника. Кутом многокутника при даній вершині називають кут, утворений його сторо- нами, які сходяться в цій вершині. ХА\, /_А2, /.А3, /_А4,..., /Лп— кути (або внутрішні кути} многокутника. Кут, суміжний із внутрішнім кутом многокутника, називають його зовнішнім кутом многокутника. У многокутнику є сусідні сторони та вершини. Наприклад, на рисунку А] і А2, А2 і А3 — сусідні вершини, А іЛ2 і Л2Л3 — сусідні сторони. Многокутник, який має п вершин (а отже, й п сторін), називають п-кутником. Залежно від кіль- кості вершин (сторін) многокутник може бути трикутником, чотирикутником, п’ятикутником тощо. Многокутник позначають назвами його вершин. При цьому букви, що стоять у назві многокут- ника поруч, є назвами сусідніх вершин. Наприклад, п’ятикутник АСРВК не можна назвати АРСВК. Многокутник називають опуклим, якщо він лежить з одного боку від будь-якої прямої, що міс- тить його сторону. Довжина кожної сторони многокутника менша за суму довжин усіх інших сторін. Периметром многокутника називають суму довжин усіх його сторін. Позначають периметр літе- роюР: Р^ = АУА2 + А2А3 +...+ А„_УАЛ + АЛАУ. Діагоналлю многокутника називають відрізок, який сполучає дві несусідні його вершини. Многокутник називають вписаним у коло, якщо всі його вершини лежать на цьому колі. Многокутник називають описаним навколо кола, якщо всі його сторони дотикаються до кола. Властивості опуклого п-кутника 1. Сума кутів опуклого п-кутника дорівнює 180° • (п - 2). 2. Сума зовнішніх кутів опуклого п-кутника, узятих по одному при кожній вершині, дорівнює 360°. 3. З однієї вершини опуклого многокутника виходить (п - 3) діагоналі, які розбивають його на (п - 2) трикутники. п(п-З) 4. В опуклому многокутнику є —— діагоналі. 5. Опуклий многокутник існує, якщо сума його кутів кратна 180°. Правильні многокутники Правильним многокутником називають опуклий многокутник, у якого всі сторони й усі кути рівні. Сума кутів правильного многокутника, як і довільного многокутника, дорівнює 180° • (п - 2). о 180(п-2) Величина кута а„ правильного п-кутника: ап =------. п Навколо будь-якого правильного многокутника можна описати коло; у будь-який правильний многокутник можна вписати коло, до того ж центри вписаного й описаного кіл збігаються. а а о I 2 । сі сі І 2 а г. . . В =-----186у’ К = \| Г~-------------180у’ Г=\ ~Т’ де К—радіус описаного кола, г—радіус 2зіп —-— * 4 2і§----- ' 4 п п вписаного кола, а — сторона правильного п-кутника. 25* Капіносов А. Математика. Комплексна підготовка до ЗНО 385
Формули для обчислення сторони ап, радіуса К описаного та радіуса г вписаного кіл для пра- вильних п-кутників п К через а„ г через ап ап через В ап через г Я через г г через Я 3 аз л/З аз 2у[з п4з 2гд/3 2г Я_ 2 4 а4 72 2 Пу[2 2г гуі2 кЛ 2 6 Яб д67з 2 її 2г у[з 2г 7з 7?УЗ 2 п ап о . 180° 2§ш п ап п • 180° 27?8іп п „ 180° 2Н§ п г 180° соз п п 180° ЛСО8 п Спільний центр описаного і вписаного кіл називають центром правиль- ного многокутника. Апофемою правильного многокутника називають перпендикуляр, прове- дений з центра правильного многокутника до його сторони. Апофема — це радіус вписаного кола. На рисунку ОК, ОМ, ОК,... — апофеми. Правильні и-кутники подібні. Відношення їхніх периметрів, радіусів впи- саних й описаних кіл дорівнюють відношенню їхніх сторін, а відношення їх площ — відношенню квадратів сторін. Центральним кутом правильного многокутника називають кут, утворений двома радіусами, проведеними до сусідніх вершин. Наприклад, кути АОВ, ВОС, СОО, ... — центральні кути. тт , п 360° Центральний кут правильного и-кутника оочислюють за формулою р =--- п Приклад 1. Знайти зовнішній кут многоку- тника, зображеного на рисунку. А Б В г д 150° 45° 160° 140° 135° Сума кутів п’ятикутника дорівнює: 180° • 5 - 180° • 2 = 540°. ЛАМО = 540° - (150° + 140° + 45° + + 160°) = 45°. ААШ= 180° -45°= 135°. Відповідь. Д. Приклад 2. Скільки сторін має многокутник, якщо в ньому можна провести 20 діагоналей? Б 15 В 5 д 6 10 8_____ и(и-З) . . и(и-З) _ ? _ У и-кутнику можна провести -------------- діагоналі. Маємо: ——- = 20; п - Зп - 40 = 0; П] = -5 — не задовольняє умову задачі, п2 = 8. Відповідь. Г. 386
Приклад 3. Знайти найбільший кут п’ятикутника, якщо градусні міри його внутрішніх кутів від- носяться як 3 : 2 : 4 : 4 : 5. Нехай кути п’ятикутника дорівнюють Зх°, 2х°, 4х°, 4х°, 5х°, де х — деяке число. Сума кутів опу- клого п’ятикутника дорівнює 180° • (5 - 2) = 180° • 3. Рівняння: Зх + 2х + 4х + 4х + 5х = 180 • 3; 18х = = 180 • 3; х = ЗО. Тоді Зх = 90, 2х = 60, 4х = 120, 5х = 150. Отже, кути п’ятикутника дорівнюють 90°, 60°, 120°, 120° і 150°. Найбільший кут дорівнює 150°. Відповідь. 150°. Приклад 4. Скільки вершин має опуклий многокутник, якщо сума його внутрішніх кутів дорів- нює 2160°? В Опуклий многокутник має стільки вершин, скільки й кутів. Сума кутів опуклого многокутника дорівнює 180° • (п - 2). Складемо та розв’яжемо рівняння: 180° • (п - 2) = 2160; п - 2 = 12; п = 14. Отже, многокутник має 14 вершин. Відповідь. 14. В Приклад 5. Скільки вершин у правильного многокутника, якщо його внутрішній кут відноситься до зовнішнього кута як 5 : 2? В Нехай внутрішній кут дорівнює 5х°, а зовнішній— 2х°. Маємо: 5х + 2х=180; 7х=180; 180 . .. . 0 180° 360° „ ... х = —Отже, зовнішній кут многокутника дорівнює 2- Сума зовнішніх кутів многоку- 360° тника, узятих по одному при кожній вершині, дорівнює 360°, а кожен зовнішній кут-----. Маємо: п 360° 360° ----=------; п - 7. Отже, у многокутнику є 7 вершин. п 7 Відповідь. 7. В Приклад 6. Три кути опуклого и-кутника дорівнюють по 80°, а решта по 160°. Визначити кіль- кість кутів и-кутника. В Нехай ЛА2, АІАз,..., ^Ап— кути и-кутника. АА} - АА2 - ^Аз = 80°. Тому АА{ + АА2 4- ЛАз - 80° • 3 ~ 240°. У даному и-кутнику ще є (и-3) кути по 160°, їх сума дорівнює 160° • (п - 3). Отже, сума всіх кутів даного и-кутника дорівнює 240° + 160° • (п - 3), а сума кутів опук- лого и-кутника дорівнює 180° • (п - 2). Складемо та розв’яжемо рівняння: 240 + 160 • (и - 3) - - 180 • (п - 2); 240 + 160 • п - 480 = 180 • п - 360; 20и - 120; п = 6. Отже, в и-кутнику 6 кутів. Відповідь. 6. В Приклад 7. На скільки градусів збільшиться сума внутрішніх кутів многокутника, якщо число сторін збільшити на 5? В Сума кутів опуклого и-кутника дорівнює 180° • (п - 2). Якщо число сторін збільшити на 5, то й число кутів збільшиться на 5. Тоді їх сума дорівнюватиме 180° • (п + 5 - 2) = 180° • (п + 3) і вона збі- льшиться на: 180° • (п + 3) - 180° • (п - 2) = 180° • п + 540° - 180° • п + 360° = 900°. Відповідь. На 900°. В Приклад 8. Знайти радіус кола, описаного навколо правильного восьми- кутника, сторона якого дорівнює а. В Нехай АВСПІіїКМЕ — правильний восьмикутник, вписаний у коло, АС— сторона квадрата, вписаного в це коло (див. рис.) АС - Ку/1 , де К — . гг . 180°(и-2) т . шуканий радіус. Кут правильного и-кутника дорівнює ап =--------. Тоді п 387
^ = 18О°(8-2)д135Д 8 Із трикутника АВС за теоремою косинусів АС2 - АВ2 + ВС2 - 2АВ ВС созЛВ. АС2 = а2 + а2 - 2а • а • соз 135°; 2П2 = 2а2 + 2а2 • —; 2 К2 = а2 + 42а2-, Л2 = о2(1 + >/2); П = а4 + 42. Відповідь. а4 + 42 . Завдання 33.1-33.20 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 33.1. Скільки всього діагоналей має десятикутник? А Б В Г д 10 50 75 70 35 33.2. Чому дорівнює сума внутрішніх кутів опуклого дванадцятикутника? А Б В Г д 1800° 1980° 2160° 1620° 2520° 33.3. Скільки вершин має опуклий многокутник, якщо сума його внутрішніх кутів дорівнює 900°? А Б в г д п’ять ШІСТЬ сім вісім дев’ять 33.4. Якщо в опуклому многокутнику всі кути гострі, то він... А Б в г д трикутник чотирикутник п’ятикутник трикутник або чотирикутник стокутник 33.5. Чому дорівнює внутрішній кут правильного восьмикутника? А Б В Г д 36° 45° 54° 135° 126° 33.6. Скільки сторін має правильний многокутник, якщо його внутрішній кут дорівнює 156°? А Б В Г д ІЗ 14 15 16 17 33.7. Скільки вершин має правильний многокутник, якщо його зовнішній кут дорівнює 20°? А Б В г д 9 12 16 18 20 33.8. Якщо у правильного многокутника всі діагоналі рівні, то він... А Б в г д Чотирикутник п’ятикутник шестикутник чотирикутник або п’ятикутник чотирикутник або шестикутник 388
33.9. Кути п’ятикутника пропорційні до чисел 3, 5, 5, 6 і 8. Знайти найбільший кут п’ятикутника. А Б В Г Д 160° 150° 140° 130° 155° 33.10. Скільки діагоналей має многокутник, якщо сума його внутрішніх кутів дорівнює 1620°? А Б В Г д 35 54 65 55 44 33.11. Сторона правильного шестикутника дорівнює 10 см. Знайти його найбільшу діагональ. А Б В Г д Юл/з см 20-Тз см 10 см 40 см 20 см 33.12. Сторона правильного шестикутника дорівнює а. Визначити меншу діагональ. А Б в Г д 2ал/з а 2ау[2 ау/ї 2а 33.13. Сторона правильного шестикутника дорівнює 2 см. Знайти його площу. А Б В г д 6л/з см2 12>/3 см2 зТз см2 32 см2 64 см2 33.14. Знайти периметр правильного шестикутника, якщо довжина кола, описаного навколо нього, дорівнює 18л см. А Б В г д 108 см 54 см 27 см 27-Тз см 54\ІЗ см 33.15. Знайти меншу діагональ правильного шестикутника, якщо більша його діагональ дорівнює 2>/з см. А Б В Г д 7з — см 2 5/3 см 3 см 2 см 1 см 33.16. Радіус кола, вписаного в правильний шестикутник, дорівнює 8д/з см. Знайти периметр шести- кутника. А Б В Г д 24 см 48 см 96 см 192 см 72 см 33.17. Чому дорівнює найбільший кут між двома діагоналями, проведеними з однієї вершини прави- льного шестикутника? А Б В г Д 45° 60° 80° 90° 120° 33.18. Скільки сторін має опуклий многокутник, у якого сума внутрішніх кутів дорівнює сумі його зовнішніх кутів, узятих по одному при кожній вершині? А Б в г д Три чотири п’ять шість вісім 389
33.19. Скільки сторін має опуклий многокутник, якщо сума його усіх внутрішніх кутів і усіх зовніш- ніх дорівнює 2520°? А Б В Г Д 10 11 12 13 14 33.20. Скільки вершин має правильний многокутник, у якого внутрішній кут у 8 разів більший від зо- внішнього? А Б В г д 12 14 16 18 20 Завдання 33.21-33.23 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 33.21. Установити відповідність між кількістю кутів (1-4) многокутника та кількістю його діагоналей (А-Д). 1 12 А 14 2 15 Б 5 3 7 » 54 4 5 Г 20 Д 90 33.22. Установити відповідність між величиною внутрішнього кута (1—4) правильного многокутника та кількістю його сторін (А-Д). 1 156° А 9 2 108° Б 12 З 150° в 5 4 140° Г 7 Д 15 33.23. Сторона правильного многокутника дорівнює 2 см. Установити відповідність між кількістю сторін (1-4) цього многокутника та його площею (А-Д). 16 А 12сІ§15°см2 2 9 Б бл/3 см2 З 12 В 9сі§20° см2 4 15 Г 12сі£І2° см2 Д 15сі§12°см2 Розв’яжіть завдання 33.24-33.35. Відповідь запишіть десятковим дробом. 33.24. Сума внутрішніх кутів многокутника удвічі більша від суми зовнішніх кутів, узятих по одному при кожній вершині. Знайти число сторін многокутника. 33.25. Кожний із трьох внутрішніх кутів многокутника дорівнює 80°, а кожний з решти кутів — 150°. Скільки найменше сторін може мати многокутник? 33.26. Три кути многокутника прямі, а решта дорівнюють по 150°. Скільки найменше вершин може мати многокутник? 390
33.27. На скільки градусів збільшиться сума внутрішніх кутів многокутника, якщо число його сторін збільшити на 5? 33.28. Внутрішній кут правильного многокутника на 144° більший від зовнішнього. Скільки сторін має многокутник? 33.29. Радіус кола, описаного навколо правильного восьмикутника, дорівнює 4\/2 . Знайти найменшу діагональ восьмикутника. 33.30. Менша діагональ правильного шестикутника дорівнює у/з . Визначити більшу його діагональ. 33.31. К — радіус кола, описаного навколо правильного шестикутника. Визначити радіус кола, впи- саного в правильний шестикутник, якщо 7? = у/з. 33.32. Під яким кутом (у градусах) перетинаються дві діагоналі правильного п’ятикутника, проведені з різних вершин? 33.33. За стороною а правильного дванадцятикутника визначити його апофему (перпендикуляр, опу- щений з центра до сторони), якщо а = 2- у/з. 33.34. Виразити сторону а правильного дванадцятикутника через радіус К описаного кола, й обчис- лити її довжину, якщо К = ^2 +А 33.35. На клумбі, яка має форму правильного восьмикутника зі стороною 1 м, потрібно посадити кві- ти. Скільки найбільше квітів можна посадити на такій клумбі, якщо для однієї рослини потріб- но 160 см2 землі? 391
Тема 34. Коло, круг та їх елементи Колом називають геометричну фігуру, яка складається з усіх точок площи- д/'" X. ни, рівновіддалених від даної точки. Цю точку називають центром кола. Радіу- \ сом кола називають відрізок, який сполучає будь-яку точку кола з його центром. / х. \ Коло позначають так: К(О\ г). Читають: «Коло з центром О і радіусом ер». І >0 І Кругом називають частину площини, обмежену колом. Точки круга радіуса \ / г віддалені від його центра О на відстань, яка менша або дорівнює г. Центр кру- \ у га збігається з центром кола, яке його обмежує, а радіус круга дорівнюють раді- ______ усу кола. Коло, яке обмежує круг, належить кругові. Круг позначають так: Кр(О\ г). Читають: «Круг з центром О йрадіусом ер». Усі точки круга, крім точок кола, яке його обмежує, називають внутрішніми. Хордою називають відрізок, який сполучає будь-які дві точки кола. Діаметром називають хорду, яка проходить через центр кола. Діаметр кола зазвичай позначають буквою (і або £>. Діаметр дорівнює двом радіусам: сі - 2г, Р - 2К Довжина кола Довжину кола обчислюють за формулами: С = ти/, С - 2лг, де л - 3,1415.... Площа круга Площу круга обчислюють за формулами: 5 = яг2, 8 = Властивість хорди та діаметра Діаметр, перпендикулярний до хорди, ділить її і дугу, яку вона стягує, на- впіл. Якщо РК1АВ. то АР - РВ і иЛ/С = \ЖВ. Справедливе й обернене твердження: Якщо діаметр кола проходить через середину хорди, яка не є діаметром, чи через середину дуги, яку вона стягує, то цей діаметр перпендикулярний до даної хорди. Рівні дуги стягуються рівними хордами, а рівні хорди стягують рівні дуги. Дуги, які лежать між паралельними хордами, рівні. Взаємне розміщення прямої й кола Відомі три випадки взаємного розміщення прямої й кола: 1) пряма та коло не мають спільних точок (рис. 1): 2) пряма та коло мають одну спільну точку (рис. 2); 3) пряма та коло мають дві спільні точки (рис. 3). Рис. 1 Рис. 2 Рис. З Пряму, яка має з колом лише одну спільну точку, називають дотичною до кола. На рис. 2 пряма а — дотична до кола, А — точка дотику. Пряму, що перетинає коло у двох точках, називають січною. На рис. З МК — січна. 392
Ознака дотичної Якщо пряма проходить через точку кола й перпендикулярна до радіуса, проведеного в цю точку, то вона є дотичною до кола. Наприклад, на рис. 2 зображено К(О; г), ОА — радіус, пряма а прохо- дить через точку Л, а.і-г. Тоді а — дотична до кола. З ознаки дотичної випливає наслідок: Якщо відстань від центра кола до деякої прямої дорівнює радіусу, то ця пряма є дотичною до даного кола (сі — г) (рис. 2). Також справедливі твердження: Якщо відстань від центра кола до деякої прямої більша від раді- уса, то ця пряма з колом не мають спільних точок (сі > г) (рис. 1); якщо відстань від центра кола до деякої прямої менша від радіуса, то ця пряма з колом мають дві спільні точки, тобто перетинають- ся ((1 < г), де г — радіус кола, (1 — відстань від центра кола до прямої (рис. 3). Властивість дотичної Дотична до кола перпендикулярна до радіуса, проведеного в точку дотику. Наприклад, на рис. 2, пряма а дотична до кола, а±СМ. Властивість дотичних, проведених до кола з однієї точки Якщо з даної точки до кола провести дві дотичні, то відріз- ки дотичних, які сполучають дану точку з точками дотику, рівні. Наприклад, на рисунку зображено К(О\ г), СМ і СК— доти- чні до кола. Тоді СМ - СК. Взаємне розміщення двох кіл Два кола можуть бути розміщені так: 1) кола не мають спільних точок. Вони лежать або: а) одне поза кругом іншого (рис. 4), у цьому випадку відстань між центрами буде більша від суми радіусів; б) одне всередині круга іншого (рис. 5), у цьому випадку відстань між центрами буде меншою від різниці радіусів; Рис. 5 2) кола мають одну спільну точку (рис. 6, 7). Кола, які мають одну спільну точку, називають до- тичними. Спільну точку називають точкою дотику. На рис. 6 і 7 точка А — точка дотику. Дотик кіл може бути зовнішнім (рис. 6) (Л = Гі + г2) або внутрішнім (рис. 7) (Н - г\ - г2). 393
3) кола мають дві спільні точки (рис. 8), у цьому випадку відстань між центрами буде меншою від суми їх радіусів, але більшою від їх різниці. Гі - г2 < И < П + г2 Рис. 8 Пряму, яка проходить через центри двох кіл, називають лінією центрів. На рис. 9-11 пряма а — Центральний кут Центральним є кут з вершиною в центрі кола. Кут АОВ— центральний, він спирається на дугу АВ. Кут і дуга мають однакові градусні міри. І ' Частину кола, розміщену всередині центрального кута, називають дугою \ /^\ ? кола, що відповідає цьому центральному куту. Центральному куту АОВ відповідають дві дуги з кінцями А і В. Одна з них К менша за півколо (на ній позначена проміжна буква К), а інша більша за півко- ло (на ній позначена проміжна буква IV). Дугу можна називати і без проміжної точки, якщо зрозуміло, про яку з двох дуг ідеться. Градусною мірою дуги кола називають градусну міру відповідного центрального кута. Наприклад, якщо /ВОА - 110°, то ^АЬВ =110° (див. рис.). І навпаки, градусною мірою центра- льного кута є градусна міра відповідної дуги. Наприклад, якщо ^АВ =110°, то /.АОВ - 110°. Градусну міру дуги, як і саму дугу, позначають знаком «и». Наприклад: запис читають: дуга ТУК, запис иС£) = 35° читають: градусна міра дуги С£) дорівнює 35°, або дута С£> дорівнює 35°. Довжина дуги /„ -----п, де п — градусна міра відповідного центрально- 180 го кута. Кути й дуги вимірюють у градусах й радіанах. Вписаний кут Кут РИМ— вписаний у коло. Вписаний у коло кут вимірюється полови- ною дуги, на яку він спирається: /РИМ= ^иРОМ. Вписані кути, які спира- ються на одну й ту ж дугу, рівні: /РИМ= /.РАМ. Вписані кути, які спирають- ся на діаметр, прямі: /ВРС = 90°. 394
Кут з вершиною всередині кола вимірюється півсумою дуг, на які спирається даний кут і кут, ве- ^АС+^ОК ртикальнии з ним. На рис. 12 ЛАВС ------------. Кут, вершина якого лежить зовні кола, а сторони перетинають коло, вимірюється піврізницею бі- . . . „ тт ^АС-иИК льшої та меншої дуг, які містяться між його сторонами. На рис. 13 ЛАВС --------. Кут між дотичною і хордою, яка проходить через точку дотику, вимірюється половиною дуги, що лежить між його сторонами. На рис. 14 .ЛАВС = — иВС. Рис. 12 Круговий сектор Круговим сектором називають частину круга, яка лежить усередині відповід- ного центрального кута. На рисунку сектор АОС затушований, АС — дуга сектора, Л-АОС — центра- льний кут, який відповідає сектору АОС. Площу сектора з центральним кутом в 1° визначають за формулою с - *К2 сек 360° ’ Площу сектора з центральним кутом п° визначають за формулою сек 360° ’ Круговим сегментом називають частину круга, яка лежить з одного боку від прямої, що перетинає даний круг. Будь-яка пряма розбиває круг на два кругових сегменти. Площу кругового сегмента, який не дорівнює півкругу, обчислюють за формулою _ пК2п° 5сег _ ± 5аов- (див- рис>- Зої) Приклад 1. Знайти площу частини круга, яка лежить поза вписаним у коло радіуса К правильним шестикутником. А Б .в Г д я7?2+1,5я2ч/з 2пК2 -1,5я27з 2пК2 + 3я2л/з 12 2я7?2-Зя2Уз 12 я7?2-1,5я2-7з Шукана площа є різницею між площею круга і шестикутника. Знайдемо їх рі і— площі: 8кр. - я/?2; 8шест. = 65д4<д? = 6—-— - 1,5/?2-73. Шукана площа дорівнюва- тиме: 5 = кК2 - \,5К24з. Відповідь. Д. 395
Приклад 2, У колі з центром О проведено діаметр КМ і хорду КА (див. рис.). Знайти кутЛОЛ/, якщо АОАК- 48°. А Б В Г д 48° 86° 96° 90° 24° Розглянемо трикутник КОА. У ньому ОК- ОА = г. Отже, ЛКОА — рівнобедрений з основою КА. За властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника АОАК- АОКА - 48°. Кут АОМ— зовнішній кут трикутника КОА. За теоремою про зовнішній кут ААОМ- А.ОАК + + = 48° + 48° = 96°. Відповідь. В. Приклад 3. У колі з центром О проведено хорду МК і дотичну в точці К. Знайти кут між хордою і дотичною, якщо АМОК - 80°. За властивістю дотичної АВАОК, отже, /.ОКА - 90°. Трикутник МОК рівнобедрений {ОМ- ОК - г). За властивістю кутів при ос- нові рівнобедреного трикутника АОМК = АОКМ. Отже, АОМК - АОКМ- = (180° - 80°): 2 = 50°. За властивістю вимірювання кутів АМК4 - 90° - 50° = 40°. Відповідь. 40°. Приклад 4. Через кінці хорди КМ, яка дорівнює радіусу, проведено дві дотич- ні, які перетинаються в точці Р (див. рис.). Знайти кутЛРМ Трикутник ОКМ — рівносторонній, тому АКОМ- 60°. РК -РМз& власти- вістю дотичних, проведених з однієї точки до кола. Тоді трикутник РКМ— рівно- бедрений, АРКМ = АРМК = 60° : 2 = 30°. Із трикутника КРМ\ АР = 180° - (30° + 30°) = 120°. Відповідь. 120°. Приклад 5. Як розміщені два кола, якщо: 1) радіуси дорівнюють 7 см і 13 см, а відстань між центрами — 20 см? 2) радіуси дорівнюють 5 см і 8 см, а відстань між центрами — 14 см? 3) радіуси дорівнюють 6 см і 15 см, а відстань між центрами — 9 см? 4) радіуси дорівнюють 8 см і 10 см, а відстань між центрами — 1,5 см? 5) радіуси дорівнюють 4 см і 9 см, а відстань між центрами — 7 см? 1) 7 + 13 = 20, 20 = 20 — відстань між центрами дорівнює сумі радіусів, отже, кола дотикають- ся (зовнішній дотик); 2) 5 + 8 = 13, 14 > 13 — відстань між центрами більша від суми радіусів, отже, кола не мають спі- льних точок; 3) 15-6 = 9, 9 = 9 — відстань між центрами дорівнює різниці радіусів, отже, кола дотикаються (внутрішній дотик); 4) 10 - 8 = 2, 1,5 < 2 — відстань між центрами менша від різниці радіусів, отже, кола не мають спільних точок; 5) 9 + 4=13, 9-4 = 5, 5 < 7 < 13 — відстань між центрами більша від різниці радіусів і менша від їх суми, отже, кола перетинаються. Відповідь. 1), 3) — дотикаються; 2), 4) — не мають спільних точок; 5) — перетинаються. 396 /
Приклад 6. Хорди кола ИК і КХ утворюють кут 30°. Знайти хорду №, якщо діа- метр кола дорівнює 38 см. За умовою, /.N1(2 - 30°. Проведемо діаметр ХМ і сполучимо точки N і М. ХИМХ - Х1УКХ як вписані, що спираються на дугу №. Отже, ХИМХ - 30°. І Л Кут М№ спирається на діаметр кола, тому ХМ№ - 90°. \І/ > 1 У прямокутному трикутнику М№ № - — МХ за властивістю катета, який лежить 2 проти кута 30°. Отже, № - — -38 = 19 (см). Відповідь. 19 см. Приклад 7. За даними на рисунку знайти кут х. Оскільки центральний кут ЛОВ спирається на дугу ЯВ, то оЯВ = Х_АОВ - 80°. За теоремою про вписаний кут ХАКВ - — оЯВ = — • 80° = 40°. Відповідь. 40°. Приклад 8. Трикутник АКС вписаний у коло, центр якого належить стороні АК. Знайти: 1) кут К, якщо ХА - 46°; 2) медіану, проведену з вершини С, якщо АК = 14 см. 1) Оскільки центр кола лежить на одній зі сторін трикутника, то такий трикутник прямокутний (ХС = 90°). За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника ХК = 90° - 46° = 44°. 2)АК = сі~ 14см;г = • 14 = 7(см). СО = г =7 см. Відповідь. 1) 44°; 2) 7 см. Приклад 9. Знайти площу сектора круга радіуса 5 см з центральним кутом 72°. _ _ пК2п° с л-25-72° . . 2. 5 =-----, і =----------- 5 л (см ). 360° 360° Відповідь. 5л см2. Приклад 10. Площа кругового сектора становить площі круга. Знайти площу цього сектора, якщо довжина дуги, на яку він спирається, дорівнює 20л см. Площу сектора визначають за формулою ВсеКт. 7ГЛ2й° п , -------. оКп = лЛ . Маємо: 360° р т 360° 9 360° 9 9 тт і , лВи° Довжину дуги визначають за формулою І = лЛ-200° . Маємо: ------= 20л. Звідси К = 18. 180° 180° _л-182-200° . 2. Осект--------------= 1 80л (СМ ). 360° Відповідь. 180лсм2. 397
Приклад 11. Сторона правильного трикутника дорівнює а. З його центра радіусом, утричі мен- шим від сторони, проведено коло. Знайти площу частини трикутника, розміщеної поза кругом. У від- Зл/З-я , повідь записати значення-------, якщо а - 3. В Нехай АВС— рівносторонній трикутник зі стороною АВ = а і центром О. Знайдемо площу фігури МРОС. С1\1'3 1 У прямокутному трикутнику СІЇШ 90°) ОП=-----------------. ОМ =—а, зві- 6 З в А дки зіп ЛОМN = ОМУ =60°. Аналогічно ЛООК= 60а. ЛМСО = 60° як 2 кут рівностороннього трикутника. Маємо: /.ООК — АМСО - 60°, а вони є від- повідними при прямих ОО і МС та січній £>С. Отже, 0О\\МС, аналогічно ОМ||£>С. ОМ- ОО - г. Тому МООС — ромб. /.МОО — ЛМСО — 60°. Вмеос ~ Вомсо — Всект. моо- Вомсо ~ МС • ОС • зіпХС^ _а а л/З _а2Тз с _ я • а2 • 60 _ па2 „ _ а27з па2 За2у/ї-па2 ЇЇ ЇЇ’Т’“ЇГ- сект моо~ "Тзбо~"1Г мрос~ 5 _ 3. За уЗ—у відП0відь необхідно записати 54 18' ’ Зл/з-я 18 п 18 18 о —г—=-----7 = —. Якщо а - 3, то —г = — = 2. а2 З73-я а2 ’ а2 9 54 зТз - я - . —-—. Тоді одержимо: 18 Відповідь. 2. Завдання 34.1-34.20 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 34.1. Знайти довжину кола, якщо його діаметр дорівнює 20 см. А Б В г д 10л см 40л см 20л см 100л см 50л см 34.2. Знайти радіус кола, якщо довжина кола дорівнює 24л см. А Б В Г д 4л см 12 см 24 см 48 см 96 см 34.3. Знайти довжину дуги кола, радіус якого дорівнює 10 см, якщо її кутова величина дорівнює 30°. А Б В г Д 4 —я 3 10 —я 3 6 6 —я 5 5 —я 3 34.4. Знайти радіус кола, в якого кутова величина дуги завдовжки л см дорівнює 45°. А Б В г д 6 см 3 см 8 см 2 см 4 см 398
34.5. Яка кутова величина дуги завдовжки — см у колі радіуса 3 см? А Б В Г Д 15° 30° 45° 60° 75° 34.6. Знайти площу круга, у який вписано трикутник зі сторонами 6 см, 8 см і 10 см. А Б В Г д 10л см2 36л см2 64л см2 25л см2 480л см2 34.7. Знайти діаметр круга, площа якого дорівнює я см2. А Б В Г д 2 см 4 см 3 см 5 см 6 см 34.8. Знайти площу кругового сектора радіуса 3 см з центральним кутом 120°. А Б В г д 2л см2 Зл см2 4л см2 5л см2 6л см2 34.9. Площа кругового сектора радіуса 6 см дорівнює 5 я см2. Знайти кутову величину дуги. А Б В г Д 30° 50° 60° 80° 100° 34.10. При збільшенні круга його площа збільшилась у 9 разів. У скільки разів збільшилась довжина кола цього круга? А Б В Г д 1,5 27 9 2 3 34.11. З точки кола проведено дві перпендикулярні хорди, довжини яких дорівнюють 12 і 16. Знайти довжину кола. А Б В Г Д 20л 40л 50л 60л 35л 34.12. Площа кругового сектора становить 15% площі круга. Яка величина центрального кута сектора? А Б В Г д 30° 45° 54° 15° 20° 34.13. Коло, радіус якого дорівнює 9, розігнуто в дугу, радіус кола якої дорівнює 24. Знайти центра- льний кут, який стягує утворену дугу. А Б В Г д 100° 120° 135° 150° 180° 34.14. Точки А, В і С ділять коло на дуги у відношенні 2:3:4. Знайти найбільший кут трикутника АВС. А Б В Г Д 160° 80° 120° 100° 70° 399
34.15. У коло, довжина якого дорівнює 6л см, вписано прямокутник АВСВ. М, N. К \ Ь — середини сторін прямокутника. Чому дорівнює периметр чотирикутника МЇЇКІР. А Б В Г д 6 см 9 см 12 см 14 см 18 см 34.16. Знайти площу заштрихованої на рисунку частини квадрата зі стороною а. а А Б В г д л-2 > а 2 Я —3 2 а 3 3-Я 2 а 3 4-я 2 а 4 00 ос 1 я 34.17. На рисунку зображено квадрат зі стороною 1 і дуги кіл радіуса 1. Знайти площу заштрихованої частини. а А Б В Г Д я + 1 я-2 - + 1 2 я- 1 N1 |а 1 34.18. Довжина сторони правильного трикутника АВС дорівнює 6. Точки Р, 0 і 7? — середини його сторін. РК9 Р(£ і 0& — дуги кіл з центрами відповідно у точках Л, В і С. Знайти площу криво- лінійного трикутника Р()К. В 400
А Б В Г Д 1 2 --1 2 6(71-3) цТ] 1 М 1^, 34.19. Три кола, радіуси яких дорівнюють 2, 3 і 10, попарно дотикаються зовні. Знайти радіус кола, яке вписане в трикутник, утворений центрами цих кіл. А Б В Г д 3,5 3 2,5 2 1,5 34.20. /(х) — довжина хорди, проведеної на відстані х від центра кола. Який із наведених графіків Завдання 34.21-34.23 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 34.21. З точки кола проведено дві перпендикулярні хорди а та Ь. Установити відповідність між дов- жинами цих хорд (1-4) та довжиною кола (А-Д). 1 12 см, 16 см А 571 см 2 5 см, 12 см Б 20л см 3 3 см, 4 см В 10л см 4 6 см, 8 см Г 13л см д 12л см 34.22. Установити відповідність між довжинами сторін квадрата (1-4) та радіусами вписаних у квад- рати кіл (А-Д). 1 2 см А 3 см 2 6 см Б 15 см 3 10 см В 1 см 4 ЗО см Г 4 см д 5 см 34.23. Установити відповідність між заданими відношеннями радіусів двох концентричних кругів (1-4) та відношенням площі першого круга до площі кільця (А-Д). 12:1 А 9:5 23:2 Б 16:7 3 5:3 в 4:3 4 4 • з Г 16 : 5 Д 25 : 16 26* Капіносов А. Математика. Комплексна підготовка до ЗНО 401
Розв’яжіть завдання 34.24-34.34. Відповідь запишіть десятковим дробом. 34.24. Знайти довжину кола /, вписаного в ромб, діагоналі якого дорівнюють 15 і 20. У відповідь за- / писати —. тс 34.25. У рівнобедрену трапецію вписано коло. Основи трапеції дорівнюють 9 і 25, а бічна сторона — 17. Знайти довжину / вписаного кола. У відповідь записати —. тс 34.26. Периметр правильного трикутника дорівнює 36. На стороні трикутника як на діаметрі, побудо- вано коло. Знайти довжину / дуги, розміщену у внутрішній області трикутника. У відповідь за- / писати —. тс 34.27. Знайти площу 5 круга, описаного навколо правильного трикутника зі стороною 9 см. У відпо- 5 відь записати —. тс 34.28. Знайти площу 5 круга, вписаного в правильний шестикутник зі стороною 6 см. У відповідь за- 5 писати —. тс 34.29. Дано два круги зі спільним центром. Радіус меншого круга дорівнює радіуса більшого. Знайти відношення площі утвореного кільця до площі круга більшого радіуса. 34.30. Знайти відношення площ кругів, вписаного й описаного навколо квадрата. 34.31. На рисунку сторона квадрата дорівнює 5. Кожна його вершина є центром кола радіуса 5. Знайти периметр Р замальованого криволінійного чотирикутника обмеженого цими колами. У відповідь ЗР записати —. тс 34.32. У прямокутну трапецію з основами 1 і 3 вписано коло. Знайти радіус вписаного кола. 34.33. На висоті рівностороннього трикутника як на діаметрі побудовано круг. Довжина сторони три- кутника дорівнює 1. Знайти з точністю до 0,01 площу тієї частини трикутника, яка лежить поза даним кругом. 34.34. Клумбу діаметром 6 м потрібно розбити на 6 рівних секторів для квітів різних видів. Скільки квітів одного виду можна посадити, якщо для кожної квітки необхідно 1 дм2 землі? 402
Тема 35. Аксіоми стереометрії. Прямі та площини в просторі Розділ геометрії, в якому вивчають властивості фігур у просторі, називають стереометрією. Ос- новними фігурами у просторі є точка, пряма та площина. Властивості всіх фігур, які вивчали в планіметрії, справджуються і в кожній площині простору. Аксіоми стереометрії та наслідки з них. 1. Яка б не була площина, існують точки, що належать цій площині, і точки, які не належать їй. 2. Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій. 3. Якщо дві різні прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину і до того ж лише одну. Прямі в просторі Прямі в просторі можуть: — перетинатися (рис. 1); — лежати в одній площині й не перетинатися (рис. 2). Такі прямі називають паралельними', — не лежати в одній площині й не перетинатися (рис. 3). Такі прямі називають мимобіжними. Через одну точку простору можна провести безліч прямих (рис. 4). Через будь-які дві точки простору можна провести одну пряму (рис. 5). Через будь-яку пряму в просторі можна провести безліч площин (рис. 6). Оскільки пряму визначають дві точки, то через будь-які дві точки у просторі можна провести безліч площин (рис. 6). Властивості площини Через будь-які три точки, які не лежать на одній прямій, можна провести площину і до того ж лише одну (рис. 7). Єдину площину можна провести: — через дві прямі, що перетинаються (рис. 8); — через пряму і точку, що не належить цій прямій (рис. 9); — через дві паралельні прямі (рис. 10). 403
Взаємне розміщення прямої і площини Пряма може: — перетинати площину (рис. 11), А — єдина спільна точка; — лежати в площині (рис. 12); — не мати з площиною спільних точок (рис. 13). Такі пряму і площину називають паралельними. На рис. 13 пряма а паралельна до площини а. Рис. 11 Рис. 13 Паралельність прямих і площин Ознака паралельності прямої та площини. Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна до якої-небудь прямої у цій площині, то вона паралельна і до самої площини (рис. 14). Коротко: якщо а\\Ь, Ьаа, то а||а. Ознака паралельності площин. Якщо дві прямі, які перетинаються, однієї площини, відповідно паралельні двом прямим, що пе- ретинаються, іншої площини, то такі площини паралельні (рис. 15). Коротко: якщо я, бсза, аглЬ, а||аь б?і, &іс=р, то а||р. Рис. 14 Перпендикулярність прямих і площин Ознака перпендикулярності прямої та площини. Пряму а називають перпендикулярною до площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині. Пряма а буде перпендикулярною до площини а, якщо вона перпендикулярна до двох прямих, які лежать у площині а і перетинаються (рис. 16). Коротко: а±Ье а, а±сє а, б# с, то а±а. Перпендикуляр і похила Перпендикуляром, проведеним з даної точки до даної площини, називають відрізок, який сполу- чає дану точку з точкою площини і лежить на прямій, перпендикулярній до площини. Кінець перпендикуляра, який лежить у площині, називають основою перпендикуляра. На рис. 17 АС— перпендикуляр, проведений з точки А до площини а, точка С — основа перпендикуляра. Відстанню від точки до площини називають довжину перпендикуляра, проведеного з цієї точки на площину. На рис. 17 АС — відстань від точки А до площини а. Похилою, проведеною з даної точки до даної площини, називають будь-який відрізок, який спо- лучає дану точку з точкою площини і не є перпендикуляром до площини. На рис. 17 АВ — похила. Відрізок, який сполучає основи перпендикуляра і похилої, проведених з однієї й тієї ж точки, на- зивають проекцією похилої. На рис. 17 СВ — проекція похилої АВ. 404
Теорема про три перпендикуляри Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до її проекції, то во- на перпендикулярна до похилої (рис. 18). Навпаки: якщо пряма на площині перпендикулярна до похи- лої, то вона перпендикулярна й до проекції похилої на цю площину. Коротко: якщо аІВС, то аІАС або якщо аІЛС. то а!_ВС (рис. 18). Рис. 16 Рис. 17 Рис. 18 Відстань між мимобіжними прямими Відстанню між мимобіжними прямими називають довжину їх спільного перпендикуляра (рис. 19). Кут між мимобіжними прямими Кутом між мимобіжними прямими називають кут між прямими, які перетинаються й паралельні до мимобіжних прямих: Л(аЬ) - ДсІЬ) (рис. 20). Рис. 19 Рис. 20 Кут між прямою та площиною Кутом між прямою та площиною називають кут між прямою і її проекцією на цю площину (рис. 21). Якщо пряма перпендикулярна до площини, то кут між нею й площиною вважається таким, що дорівнює 90°, а між паралельними прямою та площиною таким, що дорівнює 0°. Кут між площинами Двогранний кут — це фігура, утворена двома півплощинами, які мають спільну пряму, що їх об- межує. Півплощини називаються гранями кута, а спільну пряму — ребром кута. Мірою двогранного кута є міра відповідного йому лінійного кута. Лінійний кут двогранного кута — це кут, утворений двома півпрямими, по яких площина, пер- пендикулярна до ребра двогранного кута, перетинає даний двогранний кут. Міра двогранного кута не залежить від вибору лінійного кута. Нехай дані площини перетинаються (див. рис. 22). Проведемо площину, перпендикулярну до прямої їх перетину. Ця площина перетинає дані площини по двох прямих. Кут між цими прямими на- зивають кутом між даними площинами. Означений таким чином кут між площинами не залежить від вибору січної площини. Коротко: якщо апР = с, у±с, апу- а, Рпу = Ь => Ь) — кут між площи- нами а і р. 405
Якщо кут між площинами а і р дорівнює 90°, то ос±р. Ознака перпендикулярності площин Якщо площина проходить через пряму, перпендикулярну до другої площини, то ці площини пер- пендикулярні. Коротко: якщо а±а, асір, то р±а (рис. 23). Якщо пряма, яка лежить в одній із двох перпендикулярних площин, перпендикулярна до лінії їх перетину, то вона перпендикулярна і до другої площини. Справедливими є такі твердження: 1. Через точку поза площиною можна провести безліч площин, перпендикулярних до цієї площини і всі вони пройдуть через перпендикулярну до цієї площини пряму, яка проходить через дану точку. 2. Якщо площина й пряма, що не належить цій площині, перпендикулярні до однієї й тієї ж пло- щини, то ці площина й пряма паралельні. 3. Через довільну пряму, яка не перпендикулярна до даної площини, можна провести єдину пло- щину, перпендикулярну до даної. 4. Якщо дві площини перпендикулярні, то пряма, яка є перпендикулярною до однієї з цих пло- щин і проходить через їх спільну точку, лежатиме в іншій площині. Приклад 1. З даної точки до площини проведено перпендикуляр і похилу. Довжина перпендикуля- ра дорівнює довжині проекції похилої. Знайти кут між перпендикуляром і похилою. А Б В г д 45° 60° 30° 40° 20° Нехай з точки А до площини а проведено перпендикуляр А В (АВХа) і 1 похилу АС. Тоді ВС— проекція похилої АС на площину а. АВ-ВС. ХСАВ — кут між перпендикуляром і похилою. Трикутник АВС прямокутний (ХВ = 90°) і рівнобедрений. Отже, ХСАВ - 45°. \ В' Відповідь. А. \ 406
Приклад 2. Визначити вид перерізу куба АВСОА\В\С\О\ площиною, яка проходить через середи- ни ребер АВ, ВС і ________________________________________________________________ А Б в Г д Трикутник Трапеція Паралелограм П’ятикутник Прямокутник М Будуємо точку Ь — КМсуОС, точку Р = 2Ьг\ССі, точку N таку, що РеАА\,И- 2МгАА\, ХЇ^РМ. Отже, перерізом є п’ятикутник МКМРХ. Відповідь. Г. Приклад 3. Дано зображення куба АВСОА\В\С\О\. а) Чи перетинаються прямі ВВ\ і СС|, АВ і С£>? Як називають ці прямі? б) Чи перетинаються прямі ВС і АА\, СО і ВВ|? Як називають ці прямі? а) Прямі ВВ\ і СС\ лежать в одній площині (ВССі) і не перетинаються. Вони паралельні. Прямі АВ і СО лежать у площині (АВС) і не перетинаються. Вони паралельні; б) прямі ВС і АА) лежать в різних площинах і не перетинаються. Вони мимобіжні. Прямі СО і ВВ} лежать в різних площинах і не перетинаються. Вони мимобіжні. Приклад 4. Дано зображення прямокутного паралелепіпеда АВСОА\В{С\О\. Визначити взаємне розміщення площини АВС і прямих: а) б) ВВХ; в) ОВХ; г) СО. Позначимо площину АВС через а. а) Оскільки АХВХ\\АВ, АВєа, то Л|Ві||а; б) оскільки ВВХА-АВ, ВВХ1ВС і АВє а, ВСє а, то ВВХ±а; в) оскільки пряма ОВХ і площина а мають спільну точку О, то пряма ОВХ перетинає площину а; г) пряма СО належить площині а. Приклад 5. Пряма а перпендикулярна до площини а і перетинає її в то- чці О (див. рис.). Точка К лежить на даній прямій і віддалена від площини а на 32 см, а від точки N цієї площини — на 40 см. Знайти N0. Оскільки а±а, Л^єа, то аІРЮ і &ІЇКО — прямокутний (ХО- 90°). Маємо: N0 = >ІЬТК2 -КО2 , N0 = УІ402 -322 = ^8-72 = 24 (см). Відповідь. 24 см. Приклад 6. Дано зображення прямокутного паралелепіпеда АВСОАХВХСХОХ (див. рис.). Користуючись рисунком, визначити: а) площини, які перети- нають площину АВС', б) площини, які паралельні до площини АВС. а) Площина АВВХ перетинає площину АВС по прямій АВ; площина ВВХСХ перетинає площину АВС по прямій ВС; площина £>£>] Сі перетинає площину АВС по прямій РС; площина ААХОХ перетинає площину АВС по прямій АО; б) площина АХВХСХ паралельна площині АВС. 407
Приклад 7. Дано рівносторонній трикутник АВС, АВ = 2 см, ААЩАВС), ВВІ1.(АВС), СЛ] = 3 см, СВ\ - 7 см, А\В = ВВ\. Знайти довжину СО. Лї / ЛЛ]±(ЛВС), тому АА]1АВ і АА]1АС. З АЛіСЛ знайдемо довжину АА^: Л /І / ААІ = у]СА2 - АС2 , АА, = ^9^4 = уі5 (см). А\Г Г7[)^В ВВі-ЦАВС), тому ВВуСВС, ВВ\1АВ. З АСВХВ знайдемо довжину ВВ\. \1//г ВВ' = у]св2-вс2 , ВВ' = >/49-4 = 3^5 (см). £ ААі-ЦАВС), ВВ]-ЦАВС), тоді ААі||2?2?і. Чотирикутник АА]В\В — трапеція, то- чка О — середина відрізка А\В\, В\В1_(АВС), тобто ВВіЦАА] і ВВ]\\ВВ], тоді ООі — середня лінія тра- пеції. = АА' + ВВ± = у/5+Зу[5 = <см) ' 2 1 2 л/з л/З У рівносторонньому трикутнику АВС медіана С£>і є висотою. СО\- — АС, СО} — 2’ - - >/з (см). З ДСО,О знайдемо СО: СО = ^СО2+ОО2 , СО = >/3 + 20 = ^23 (см). Відповідь, л/23 см. Приклад 8. Через точку О перетину діагоналей квадрата АВСО проведено перпендикуляр МО до його площини, сторона квадрата дорівнює 2а. Знайти відстань між прямими АВ і МО. Прямі АВ й МО мимобіжні. Відстанню від точки О до АВ є ОКУАВ. МОЦАВС), тому МОА-КО. Отже, КО— спільний перпендикуляр до мимобіж- них прямих МО і АВ, КО — шукана відстань. КО = — АО, КО = а. Відповідь. КО - а. Приклад 9. В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом а при вершині.. Через ос- нову трикутника проведено переріз перпендикулярно до протилежного бічного ребра, який утворює з площиною основи кут [3. Висота піраміди дорівнює Н і усі її бічні ребра рівні. Знайти площу перерізу. У відповідь записати значення площі перерізу, якщо Н= 4, а = 60°, [3 = 30°. Нехай 8АВС— задана піраміда, АВ-ВС, ЛАВС- а. 80— висота £ піраміди, 80 = Н. Оскільки похилі 8А, 8В і 8С рівні, то рівними будуть і їх / проекції ОА, ОВ і ОС. Тому О— центр кола, описаного навколо трикутни- / \ ка АВС. Нехай площина, проведена через сторону АС перпендикулярно до / • \ "'тЧ ребра 8В, перетинає це ребро в точці К. Д8ВА = Л8ВС за трьома сторонами. / л V / Отже, АКВА - АКВС за двома сторонами і кутом між ними. Тому АК — СК і / трикутник АКС— рівнобедрений. Проводимо КВ1АС. Оскільки АК-КС, // / то АВ - ВС. Точки В,О\В рівновіддалені від кінців відрізка АС, тому вони у лежать на серединному перпендикулярі до цього відрізка. Отже, О&ВВ, О ВВ1ЛС. Кут КВВ— лінійний кут двогранного кута між площинами АКС і АВС. За умовою, АКВВ = р. Оскільки 8ВЦАКС), то ВК±8В. З АВКВ (ЛК= 90°): ККВВ - 90° - р. З АЗОВ (ЛО = 90°): ОВ - 5Ос(§(90° - Р) = /Л§Р- Із трикутника АВС за наслідком з теореми синусів —— = 27?, крім зіп ААВС того, К = ОВ = Яі§р. Отже, АС= 27й§Рзіпа. Оскільки ВВ — висота, а отже, медіана та бісектриса трику- 408
тника АВС, то ОС = Ні§рзіпа, АСВО = у. З ЛАОС (^£> = 90°): ОВ = ОСсї^ = Яі§р8Іпасі§-у. З М)КВ (/.К = 90°): ОК = ОВсоз Р= /Й§Рзіпасі:§ у со§Р = ЯзіпРзіпасі^-у . 8МКС = ~-ЛС ’ &К; Змкс =-| • 2Ні§Р8Іпа• Н8ІпРзіпасІ§у = Н2 8Іп2 а8ІпрІ§Рсі§у. Якщо Н - 4, а = 60°, Р = 30°, то: Бмкс = 42 зіп2 60°8Іп30°(:§30осі§-^- = 16 • /З 2 1 і: Відповідь. 6. Завдання 35.1-35.22 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 35.1. Шість точок не лежать в одній площині. Яке найбільше число цих точок може лежати на одній прямій? А Б в г д ДВІ три чотири п’ять шість 35.2. На рисунку зображено тетраедр АВСО. Точка М належить ребру ОВ, а точка Р — ребру ОС. Точки К\, Кг, Ку, К4 і Кг належать площині АВС. У якій з цих точок пряма РМ перетинає пло- щину АВС! Б В Г д кх Кг Кг К4 Кг 35.3. На рисунку зображено куб АВСОА\ВіС\О\ і точку Мна ребрі ВВ\. Якій із прямих належить то- чка перетину прямої МС із площиною А\В\С\> 409
А Б В г Д АХВХ в^ А& в^ 35.4. Яка з наведених фігур не може бути паралельною проекцією прямокутної трапеції? А Б в Г д трапеція з тупим кутом при більшій основі прямокутна трапеція рівнобічна трапеція відрізок паралелограм 35.5. На рисунку зображено куб АВСОА\В\С\О\. Вказати ортогональну проекцію діагоналі А\С на площину £>£>і Сі. 5, С, А Б В г Д СіИ СС} С,А СО, 35.6. На рисунку площини а і Р перетинаються по прямій с. Пряма а належить площині а, пряма Ь — площині р. Яке з наведених тверджень правильне? А Б в Г д прямі а і Ь перетинаються прямі а і Ь паралельні прямі а і Ь мимобіжні прямі а і Ь паралельні або мимобіжні прямі а і Ь паралельні або перетинаються 35.7. На рисунку зображено куб АВСОА\В\С\О\, ребро якого дорівнює 1. Знайти відстань між пря- мими АА\ і В\И\. 410
35.8. Дано куб Л8СОЛ]ВіСі.Е>і. Вказати кут між прямою А^С і площиною ОСС\. 35.9. Дано прямокутний паралелепіпед АВСОА\В\С\О\, у якого АВСО — квадрат зі стороною 1, а бічне ребро АА\ = >/з . Чому дорівнює кут між площинами ААїВі іА^ВіС? В{ С, А Б В г д 30° 45° 60° 75° 90° 35.10. Дано куб АВСОА\В\С\О\. Знайти кут між прямими АВ\ і А\О. В, С, А Б В г д 30° 45° 60° 75° 90° 35.11. На рисунку АВСО — прямокутна трапеція з прямим кутом В, точка М— середина сторони АО. РВ — перпендикуляр до площини АВС. Визначити кут між площинами АВС і АРО. 411
А Б В г Д АРМС АРШ) АРОВ АРАЛ АРАБ 35.12. Площини а і р перетинаються по прямій а під кутом 60°. Точка А належить площині ос. Дов- жина відрізка АМ є відстанню від точки А до площини Р, а довжина відрізка АК— відстанню від точки А до прямої а. Знайти довжину відрізка АК, якщо АМ- д/з . А Б В г д 2 1 Уз 2 Уз 3 35.13. Точка А віддалена від площини на відстань 6>/3 см. Обчислити довжину проекції похилої, проведеної з цієї точки під кутом 60° до площини. А Б В г д 18 см З-Уз см 3 см 2л/з см 6 см 35.14. Сторона рівностороннього трикутника дорівнює а. Точка А розміщена від кожної вершини трикутника на відстані Ь. Визначити відстань від точки А до площини трикутника. А Б В Г Д Л2+ — V 3 У/)2-а2 \ь2 12 ь2-— 3 N 9 35.15. Точка М розміщена на відстані т від кожної сторони правильного трикутника і на відстані И від площини трикутника. Визначити сторону трикутника. А Б в Г д 2\1т2 + Л2 2л//и2 — И2 2уІЗ(т2-В2) 7з(/и2-Л2) 7з(™2+л2) 35.16. На рисунку АВСИ — квадрат, МВ — перпендикуляр до площини АВС. Похила АМ нахилена до площини АВС під кутом 45°. Під яким кутом нахилена до площини АВС похила Л//9? М А Б В Г д 30° 60° агс!§У2 + 1 агсІ§-у=т агс!§2 412
35.17. З вершини А квадрата АВСО до його площини проведено перпендикуляр АК завдовжки 6 см. Знайти відстань від точки К до вершини С квадрата, якщо його сторона дорівнює 4>/2 см. А Б В Г д 9 см 10,5 см 17 см 14 см 10 см 35.18. Сторони трикутника АВС дорівнюють 10 см, 17 см і 21 см. З вершини найбільшого кута трику- тника до його площини проведено перпендикуляр АИ, який дорівнює 15 см. Знайти відстань від точки /) до сторони ВС трикутника. А Б В Г д л/241 см 17 см л/зї см 23 см л/335 см 35.19. Знайти кут між площинами, якщо точка, яка лежить на одній з них, віддалена від прямої пере- тину площин утричі далі, ніж від другої площини. А Б В Г д 1 агссоз г- 2л/2 1 агсзіп г- 2<2 . 1 агсзіп— 3 1 агссоз- 3 35.20. Відрізок завдовжки 10 м перетинає площину, його кінці розміщені на відстані 2 м і 3 м від площини. Знайти кут між даним відрізком і площиною. А Б В г Д 30° 45° 60° . 2 агсзіп— 3 2 агссоз— 5 35.21. На рисунку зображено куб АВСОА^С^ з ребром 2а. Точка М—середина ребра АА^ Вста- новити вид многокутника, який є перерізом куба площиною МВС, визначити його площу. 35.22. На рисунку зображено правильний тетраедр 8АВС з ребром а. Точки М,К \Р — відповідно се- редини ребер А8, 8С і АВ. Встановити вид многокутника, який є перерізом тетраедра площи- ною МКР, визначити його периметр. 413
А Б В г Д За 3 —а 2 а 2а 4а Завдання 35.23-35.29 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 35.23. На рисунку зображено піраміду ЗАВСО, де 80— висота піраміди, М— середина висоти, К— середина ребра 8А, Р— середина ребра АВ. Уста- новити відповідність між прямими і площинами (1^4) та їхнім взаємним розміщенням (А-Д). 1 Пряма МК і площина АВС 2 Прямі ОР і МК З Пряма МР і площина 8ОС 4 Площини ВМК і 8ОС А Площини перетинаються Б Пряма і площина перетинаються В Пряма паралельна площині Г Прямі паралельні Д Прямі мимобіжні 35.24. На рисунку зображено паралелепіпед АВСОА\В\С\О\. Точки М, N і Р— середини ребер АВ, ВВ\ і ВС відповідно. Установити відповідність між прямими і площинами (1-4) та їхнім взаєм- ним розміщенням (А-Д). 1 Прямі МК і ОО\ 2 Прямі МК і ОС\ З Площини МКР і АВ\С 4 Прямі КР і ССі А Площини паралельні Б Площини перетинаються В Прямі паралельні Г Прямі мимобіжні Д Прямі перетинаються 35.25. На рисунку зображено піраміду 8АВСО, в основі якої паралелограм. 80 — висота піраміди. Точки М, К і Р— середини відрізків ОС, 8С і 8В відповідно. Установити відповідність між прямими і площинами (1^4) та їх взаємним розміщенням (А-Д). 8 414
1 Пряма М№ і площина АВС 2 Прямі ЛС'/ і 80 З Прямі ЛСУ і 57) 4 Пряма ОС і площина А8О А Не можна встановити Б Перпендикулярні В Перетинаються Г Мимобіжні Д Паралельні 35.26. На рисунку зображено правильну чотирикутну піраміду 8АВСО, у якої 80 — висота, М— се- редина ребра 8С, діагональні перерізи — рівносторонні трикутники. Установити відповідність між точками, прямими, площинами (1-4) та відстанями між ними (А-Д). 1 Точка 7) і пряма 8В 2 Точка Мі площина АВС З Прямі АО і ВС 4 Прямі ОВ і 8С А ВО Б АВ В АМ Г АМ 2 Д “ 2 35.27. Установити відповідність між кількостями точок, які не лежать в одній площині (1-4) та най- більшою з них кількістю точок (А-Д), які можуть лежати на одній прямій. 1 6 2 8 З 12 4 20 А 6 Б 4 В 16 Г 10 Д 18 35.28. Установити відповідність між відрізками (1-4), побудованими на гранях і ребрах куба, та ве- Д 30° 415
35.29. Установити відповідність між кутами нахилу (1-4) відрізка завдовжки 10 см до площини та довжиною його проекції на площину (А-Д). 1 30° 2 45° З 60° 4 0° А 5 см Б 5л/з см В 5>/2 см Г 0 см Д 10 см Розв’яжіть завдання 35.30-35.44. Відповідь запишіть десятковим дробом. 35.30. Через кінець А відрізка АВ проведено площину а. Через кінець В і точку С відрізка АВ прове- дено паралельні прямі, які перетинають площину а відповідно в точках М і N. Знайти довжину відрізка СК, якщо АС: СВ = 2 : З, ВМ= 12. 35.31. Площина а перетинає сторони кута АВС у точках А] і Сі, а паралельна їй площина 0 — у точ- ках А2 і С2. Знайти ВС\, якщоЛіВ : А\А^ = 1 : 3, ВСі = 12. 35.32. З точки А до площини проведено дві похилі АВ - 30 і АС = 40. Знайти відстань від точки А до площини, якщо проекції похилих відносяться як 9 : 16. 35.33. З точки В, яка розміщена від площини на відстані 1, проведено дві похилі, які утворюють із площиною кути 45°, а між собою — кут 60°. Знайти квадрат відстані між кінцями похилих. 35.34. Один з катетів прямокутного трикутника АВС дорівнює 6, а гострий кут, прилеглий до цього катета, дорівнює 30°. Через вершину прямого кута С проведено відрізок СО, перпендикуляр- ний до площини цього трикутника, СО = 4. Визначити відстань від точки О до прямої АВ. 35.35. З точки А, що розміщена на колі, радіус якого дорівнює 2, побудований перпендикуляр АК за- вдовжки 1 до площини круга. З точки А проведено діаметр АВ, а з точки В під кутом 45° до ді- аметра — хорду ВС. Знайти у сантиметрах відстань від точки К до хорди ВС. 35.36. Основи трапеції дорівнюють 18 см і 12 см. Через більшу основу проведено площину на відста- ні 5 см від меншої основи. Знайти у сантиметрах відстань від точки перетину діагоналей тра- пеції до цієї площини. 35.37. З точок А і В, які лежать у двох перпендикулярних площинах, опущено перпендикуляри АА । і ВВ\ на лінію перетину площин. Знайти АВ, якщо АВ\ -1,ВА\ = 5,А\В\ - л/10 . 35.38. Рівнобедрені трикутники АВС і АВО зі спільною основою АВ лежать у різних площинах, кут між якими дорівнює а. Знайти у градусах кут а, якщо АВ - 6, С£> = >/2Ї, АС = АО = 4. 35.39. Дано куб АВСОАіВ\СіО\. Знайти площу перерізу куба площиною, яка проходить через верши- ни В\ і Сі та середину ребра ОО\, якщо ребро куба дорівнює ^5^5 . 35.40. Дано куб АВСОА\В\С\О\. Знайти площу перерізу куба площиною, яка проходить через верши- ни В\ і О та середину ребра СС\, якщо ребро куба дорівнює л/бл/б . 35.41. Дано куб АВСОА\В\С\О\ Знайти площу перерізу куба з точністю до 0,01 площиною, яка прохо- дить через центр куба і середини ребер АВ і АО, якщо ребро куба дорівнює 1. 35.42. Через центр основи правильної трикутної піраміди паралельно до двох ребер, які не перетина- ються, проведено площину. Визначити площу утвореного перерізу, якщо бічне ребро піраміди дорівнює 9, а ребро основи — 7. 416
35.43. У правильній чотирикутній піраміді проведено площину через діагональ основи паралельно до бічного ребра. Сторона основи дорівнює >/2 , а бічне ребро — 5. Визначити площу утвореного перерізу. 35.44. У правильній чотирикутній піраміді 8АВСО через середини сторін АВ і АО проведено площи- ну, яка паралельна бічному ребру 8А. Знайти площу утвореного перерізу, якщо сторона основи дорівнює >/2 , а бічне ребро — 5. 27* Капіносов А. Математика. Комплексна підготовка до ЗНО 417
Тема 36. Призма Многогранник, який складається із двох рівних плоских многокутни- ків, які лежать у паралельних площинах, та бічної поверхні, утвореної пара- лелограмами, вершини яких є відповідними вершинами многокутників, на- зивають призмою. АВСПП, А\В}С\П\И\ — основи призми. ААХ, ВВ}, СС\, ИОХ, — бічні ребра; ЛЛі||БВі||СС1||ОО1||Ж; АА! = ВВі = СС} = ИН = ПИХ. АВВХА\, ВСС\В\, ПСС\И\, ПОПХПХ, АППХАХ — бічні грані. НН\ — висота призми — відстань між площинами основ. Відрізок, який сполучає дві вершини, які не належать одній грані, на- зивають діагоналлю призми. Пряма призма — призма, бічні ребра якої перпендикулярні до площин основи, похила призма — призма, бічні ребра якої не перпендикулярні до площин основи. Правильна призма — пряма призма, основи якої — правильні многокутники. Паралелепіпед — призма, в основі якої паралелограм. Усі діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці й цією точкою діляться навпіл. Прямокутний паралелепіпед — паралелепіпед, в основі якої — прямокут- ник. У прямокутному паралелепіпеді квадрат будь-якої діагоналі дорівнює су- мі квадратів його вимірів: </ = а2 + Ь2 + с2. Площа поверхні й об’єм Пряма призма. Бічна поверхня: 8б. = РОСн. ‘ Н, деН— висота призми. Повна поверхня: 5„. - 8б + 28ОСН. Об’єм: V = 8ЖН. Н. Похила призма. Бічна поверхня: 8б. =Рпер. АА\, де Р„ер^ — периметр перерізу, перпендикулярного до бічного ребра. Повна поверхня: 8„. = 8д,.+ 28ОСН. Об’єм: V = 8ЖН_. • Н. Прямокутний паралелепіпед. Бічна поверхня: 8б. = Росн • Н= 2(а + Ь)с. Повна поверхня: 8„. = 86.. + 28жн. = 2(аЬ + Ьс + ас). Об’єм: V - 8ЖН.. Н = аЬс. Куб. Бічна поверхня: 8б. - Ржн. Я = 4а2. Повна поверхня: 8п. = 86,. + 25ОСН. = 6а2. Об’єм: V = 8ЖН.. • Н = аі. 418
Приклад 1. Знайти площу бічної поверхні й об’єм правильної шестикутної призми, якщо сторона її основи дорівнює 8 см, а висота — 9 см. і’б.22 Л>сн. * Я, Росн. = 6а = 6 • 8 = 48 (см), Я = ВВХ = 9 см. 5*б ~ 48 • 9 — 432 (см2). Г — З^сн. • Я, 5*осн. — 6 • 5длоя- а24з \АОВ — рівносторонній, 8^ов ------------, а - 8 см. 4 8МОВ = =16^ (СМ2). 50СН. = 6 • 16>/з = 96>/з (см2). К = 96-Уз • 9 = 864л/з (см3). Відповідь. 432 см2, 864л/з см3. Приклад 2. Основою прямої призми є паралелограм зі сторонами 9 см і 14 см і кутом між ними 30°. Висота призми — 15 см. Обчислити площу повної поверхні й об’єм призми. ® *$п. — 5б. 25ОСН.- 5осн. = 9-14- зіп30° = 9 • 14 • - = 63 (см2). Росн. = 2 • (АВ + АО) = 2 • (9 + 14) = 46 (см). 5б. = 46- 15 = 690(см2). 8„. = 2 • 63 + 690 = 126 + 690 = 816 (см2). К= 50СН. Н~ 63 • 15 = 945 (см3). Відповідь. 816 см2, 945 см3. Приклад 3. Основою прямої призми є роомб з тупим кутом 150°. Площа бічної поверхні призми дорівнює 96 см2, а площа її повної поверхні — 132 см2. Знайти висоту призми. Нехай АВСПА\В\С\П\ — пряма призма, АВСО— ромб, ЛАОС= 150°, - 96 см2, 5П. - 132 см2. 5П. - 5б - 28авсо - 132 - 96 = 36 (см2), звідки Вавсо = 18 (см2). Отже, 8авсо = АО2 • зіпХАОС. Звідки АИ= І ^-|ДГ,) ~ = | 18 V зіп ЛАОС V зіп 150° = 6 (см). 86 = 4АИ ОИ., звідки ОИ} = = — = 4 (см). 4 ЛЯ 4-6 Відповідь. 4 см. Приклад 4. Сторони основи прямокутного паралелепіпеда відносяться як 1 : 7, довжини діагона- лей бічних граней дорівнюють 13 см та 37 см. Визначити площу повної поверхні паралелепіпеда. Оскільки протилежні грані прямокутного паралелепіпеда — рівні прямокутники, то в задачі заданими є довжини діагоналей суміжних біч- них граней. Нехай у прямокутному паралелепіпеді АВСОАХВХСХОХ відрізки ОХА та ЯіС— діагоналі суміжних бічних граней; ОХА - 13 см, ОХС- 37 см. Сто- рони основи ЯЛ і ОС є ортогональними проекціями на площину основи ді- агоналей ОХА та Я|С відповідно. Оскільки довшій похилій відповідає дов- ша проекція, то АО<СО і згідно з умовою ЛЯ:СЯ=1:7. Нехай ЛЯ = &см, СВ-Іксм (к>0), ОхО-Нсм. Тоді з &ОхОА (2^Я = 90°) і &ОХВС (Х.В - 90°) за теоремою Піфагора отримаємо: \32 = Н2+к2, 372 = Н2+49к\ 419
звідки 372 - ІЗ2 = 48£2, к=5. Отже, АО = 5 см, СО = 35 см, Н= х/132-к1 = л/132 -52 = 12 (см). Тоді: Досн. = АО • СО = 5 • 35 = 175 (см2); Р - 2(АО + СО) = 2(5 + 35) = 80 (см); 5б. = Р • Н= 80 • 12 = 960 (см2); 5„. = 5б. + 25ОСН. = 960 + 2 • 175 = 1310 (см2). Відповідь. 1310 см2. Приклад 5. В основі прямої призми лежить прямокутник, діагоналі якого утворюють між собою кут ф. Діагональ однієї з бічних граней дорівнює Ь й утворює з площиною основи кут а. Обчислити об’єм призми. Нехай основою прямої призми АВСОА}В\С\Оі є прямокут- ник АВСО, О— точка перетину діагоналей АС і ВО основи, ЛАОВ = ф. Протилежними бічними гранями призми є рівні прямо- кутники, діагоналі яких рівні. Вважатимемо спочатку, що задана діагональ А\В грані ЛЛіВ|В. Оскільки ААі-ЦАВС), то проекцією діа- гоналі АіВ на площину основи є сторона АВ. Згідно з умовою зада- чі, АА^ВА = а, АіВ - Ь. З ДЛіЛБ (/14 = 90°): АВ-АіВсоза = Ьсоза; ААх-А1Взта = = йзіпа. Діагоналі прямокутника рівні й точкою перетину діляться навпіл. Тому ОА = ОВ і /ЛВО= -180°~(р =90°- З ЬВАО 7 2 2 (ЛА - 90°): АО = АВ^ААВО = = 6со8а-і£ ^90° - = 6-со8а-сі§ у. Тоді V- АО • АВ • АА\- &со8а-сі§— • бсояа • Ь • зіпа = ^3 (0 = — • зіп2а • соза • у. Якщо вважати заданою діагональ А грані ААто з АА^АО одержимо: АИ - бсоза; АА{ - Азіпа. Тоді з \ВАП\ АВ - = /гсоза-і^у і V ~ -зіп2а • соза • . Відповідь. -зіп2а-соза-сґд-у або ^-•зіп2а-соза і§у. Приклад 6. У прямокутному паралелепіпеді діагональ сі утворює з площиною основи кут а, а з площиною бічної грані — кут р. Знайти об’єм паралелепіпеда. Нехай у прямокутному паралелепіпеді АВСВА\В\С\П{ діагональ В\И - сі. Оскільки В\ВА.(АВС), а В\Сі_Ь(2?1 С}С), то ЛВ\ИВ і ЛВ\ОС\ — це кути, які діагональ В\И утворює з площиною основи і з площиною бічної грані відповідно. Згідно з умовою, ЛВуИВ = а, а АВ\ИС\ - р. К=50СН. Н. З ДВр&Р (ЛВ = 90°): = • зіп^4О = б/зіпа; ВИ - В£) • соза = б/соза. З ЬВХСХВ = 90°): ВХСХ = ВС=ВХИ • зіп^Р = = б/8Іпр. З Д5СП (/ГС=90°): ВС2 + СО2 = ВО2; </зіп2р + С£>2 = </соя2а; СО = <д/соя2 а-зіп2 р. Тепер знаходимо: * $осн. - ВС • СО - <І8ІпР • бУ^сов2 а-зіп2 Р = сі зіп Рд/соз2 а-8Іп2 р. V = сізіп р-^соз2 а-8Іп2р • сі 8Іпа = сі3 8Іпаяіп Р-^со82а-зіп2р. Відповідь, сі3 зіпазіпР^/соз^а-зіп2 р. 420
Приклад 7. Основою прямого паралелепіпеда є паралелограм, сторони якого дорівнюють 3 м і 4 м. Одна з діагоналей цього паралелепіпеда дорівнює 5 м, а інша — 7 м. Знайти об’єм паралелепіпеда. Нехай АВСОА\В\С\О\ — прямий паралелепіпед, АВСО— парале- лограм, ЛВ = Зм, /]£> = 4м, ВО\ і А\С— діагоналі паралелепіпеда, В\О - 5 м, А^С - 7 м. Позначимо діагоналі основи ВИ -(1^АС-(І2. Нехай Я = А4,=хм. Тоді з (^£ = 90°): тобто В2 = 25-х2. З ЬАХАС (ХА = 90°): АЄ=А^-А$, тобто <72=49-х2. За властивістю діагоналей паралелограма, ВО2 + АС2 - 2(АВ2 + АО2), тобто (25 - х2) + (49 - х2) =2(9 + 16). Звідки 74 - 2х2 = 50; 2х2 = 74 - 50; х2 = 12; х = 2л/з (м). Таким чином, й2 = ВР = 25-х2 =25-12 = 13 (м), <1Х = л/ЇЗ (м). З іхАВО за теоремою ко- ВГ? ЛР2 ЛГЇ 'І ЛП ЛП 7Л ’З ’ /Л + АіУ ~В[У З2 + 42 ~ 13 1 синусів одержимо: ВГг =А& +АГг -2АВ- АО-соз ЛА Звідки сов/А=-----------=----------= — 2АВ ’ АО 2’3*4 2 Тому ЛА = 60°. 5осн. = АВ • ЛЯзіп^Л = 3 • 4 • віп60° = 12 • = 6>/3 (м). = 6^3 • 2>/з = 36 (м3). Відповідь. 36 м3. Отже, V - ^осн. • Н - Приклад 8. Ребро куба дорівнює а. Знайти відстань від діагоналі куба до ребра, яке її не перетинає. Нехай маємо куб АВСОА\В\С\О\ з ребром а. Розглянемо діаго- наль А\С і ребро И\О, яке її не перетинає. Потрібно знайти відстань / між мимобіжними прямими АіС і О\И. Ця відстань дорівнює відстані між па- ралельними площинами, що проходять через дані прямі, зокрема, відста- ні від деякої точки прямої О\И до площини, що проходить через А\С па- ралельно до ОИ\. Оскільки О{О\\С}С, то площина А]С\С паралельна пря- мій О\И і містить пряму А\С, Тому / дорівнює відстані, наприклад, від точки О] до площини А\С\С. Нехай М— точка перетину діагоналей А іС\ і В\И\ грані А\В\С\О[. Оскільки (О\АіСі)±(Л\С\С) і О\М1-А\С\, то О[А41.(А}С]С). Отже, — перпендикуляр до площини А і С\ С, а тому / = И\М- —О\В\ - о. а^2 Відповідь. —— В} Приклад 9. Основою прямого паралелепіпеда є ромб. Площі діагональних перерізів паралелепі- педа дорівнюють 8 і Знайти площу бічної поверхні паралелепіпеда. Нехай в основі прямого паралелепіпеда АВСОА\В\С\О\ лежить ромб, АСС\А\ і ВОО\В\ — діагональні перерізи цього паралелепіпеда, 8ЛСС^ -8, 8вт ^ = (£. Позначимо через Н бічне ребро паралелепіпеда. Тоді АС Н- 8, <? О ВО • Н ~ О, звідки АС = —, ВО - —. Діагоналі АС і ВО ромба АВСО взає- Н Н мно перпендикулярні й точкою перетину М діляться навпіл. Тому з ЬМСО (АМ=90°, МС=—, МО =-£-): СО = уіМС2+МО2 2Н 2Н . = 4СО Н=4- ЛШЇ- н = 2у[8Г+^2. 2Н Відповідь. 2^82 +О2. 52 , б2 4Н2 4Н2 У---8&=Р-Н- 2Н 421
в в, Приклад 10. В основі прямої призми лежить трикутник з кутами а і р. Діагональ бічної грані, що містить сторону, для якої дані кути є прилеглими, дорівнює <1 й утворює з площиною основи кут у. Знайти об’єм призми. Нехай в основі прямої призми АВСА,В,Сі лежить трикутник АВС, у якому ЛА - а, ЛВ = р. Тоді заданою є діагональ грані АА,В,В: А,В-В. Оскіль- ки ребро АА і перпендикулярне до площини АВС, то проекцією діагоналі А ,В на цю площину є сторона ЛВ трикутника АВС. Тому за умовою задачі ЛА,ВА = у. Об’єм призми Р^Восн.' Н. З &А,ВА (ЛА-90°): Н = АА, = б/зіпу; АВ АС АВ - б/созу. За теоремою синусів для трикутника АВС маємо: --=----------, 5ІпЛС $ІйЛВ АВзіпЛВ е/созузіпр _ б/созузіпр . _ 1 АО ._ зіпЛС зіп(180°-а-Р) 8іп(а + р) 2 1 , б/созузіпР . В2 соз2 узіпазіпР тг Л2 соз2 у зіп а зіп Р .. В3 соз2 у зіп у зіп а зіп Р 2 зіп(а + Р) 2зіп(а + Р) 2зіп(а + р) 2зіп(а + Р) . Л3соз2 узіпузіпазіпр _ Відповідь.----——------—------. 2зіп(а + Р) А] В лі А N в, Приклад 11. В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник. Дві діагоналі суміжних бічних граней, що мають спільну вершину, дорівнюють І і утворюють між собою кут а. Площина, що проходить через ці діагоналі, нахилена до площини основи під кутом р. Знайдіть об’єм призми. Нехай в основі прямої призми АВСА,В,С, лежить рівнобедрений трикутник АВС (АВ = ВС). Бічними гранями прямої призми є прямокутни- ки. Оскільки АВ-ВС, то прямокутники АА,В,В і СС,В,В рівні, а тому ма- ють рівні діагоналі. Проведемо діагоналі АВ, і СВ,. За умовою, АВ, - СВ, = / і ЛАВ,С = а. З точки В, проведемо перпендикуляр В,ії до сторони АС. Тоді за теоремою про три перпендикуляри В1У1АС. Тому ЛВ,8’В є лінійним ку- том двогранного кута, утвореного площинами АВ,С та АВС, і, згідно з умо- вою задачі, ЛВ^В = р. Об’єм призми знайдемо за формулою: V- />осн Н. Висота В^рівнобедреного трикутника АВ,С є його бісектрисою і медіаною. Тому ЛАВ^- і АИ=-МС. З (,/У=90о): В,ії= = АВ, • соз.ЛАВ^Ісоз®; А^=І5Іп^. З ДМВ,В (ЛВ = 90°): Н~- В,В = В,її-зіпр - /соз у • зіпр; а _:_о. 2 В/У=/соз— • созр. Тоді: ^осн = — • АС • ВИ=АЛ • ВИ = Ізіа— • /соз— • созВ = —/2зіпасозВ; 2 ’ 2 2 2 2 — /2зтасозВ • /соз— • зіпВ - — /3 • зіпа • соз— • зіп2В- 2 н 2 н 4 2 1 (X Відповідь. —/3 • зіпа • соз-у • зіп2р. Приклад 12. У правильній трикутній призмі сума ребер, що виходять з однієї вершини, дорівнює 2 см. При якій величині кута, утвореного діагоналлю бічної грані з площиною основи призми, площа бічної поверхні буде найбільшою? Нехай АВСА,В,С,— правильна трикутна призма, у якої АВ-АС- ~ ВС - а см, ААі = Ь см. За умовою 2а + Ь = 2. Ребро основи АВ є проекцією на площину основи АВС діагоналі АВ, бічної грані АВВ,А,. Отже, ЛВ,АВ— кут, утворений цією діагоналлю з площиною основи. Нехай = ф (0°< ф < 90°). Виразимо площу бічної поверхні через ф. З ААВВ, (ЛВ - 90°): с 422
ВВі - Ь- АВіеЛА - а№р. Отже, 2а + а і&р = 2, звідки а -----------. 5б. - За/> - За2і£(р =-. 2 + 1§Ф (2 + і§<р) і 7Г і Проведемо заміну змінної, поклавши і§ф = х. Оскільки ф = |^0; , то хє (0; +«>). Отже, задача звелася 12х до знаходження значення змінної х, за якого функція 5(х) -----набуває найбільшого значення на (2 + х) ч 12(2 + х)2-12х-2(2 + х) 12(2-х) проміжку (0; +©о). Знаходимо критичні точки функції: о(х) =— ---------------—-------- -—1 (2 + х) (2 + х) У(х) - 0, якщо х = 2. Якщо 0 < х < 2, то ^(х) > 0, а якщо х > 2, то &(х) < 0. Тому точка х0 = 2 — точка максимуму функції 5*(х). Отже, бічна поверхня призми буде найбільшою, якщо І£ф = х0=2, звідки ф = агсі£2. Відповідь, ф = агсі§2. Приклад 13. Сторона основи правильної трикутної призми АВСА\В\СХ дорівнює 8>/з см. На реб- рі ВВ] позначено точку К так, що ВК: КВу = 3:5. Знайти тангенс кута між площинами АВС і АКС, якщо відстань між прямими ВСнА\С\ дорівнює 16 см. Прямі ВС і АіСі — мимобіжні, СС\ — їх спільний перпендикуляр, бо правильна призма є прямою і її бічне ребро перпендикулярне до площин ос- нов, а отже, і до сторін основ ВС і АіСі . Отже, ССі = 16см. Тоді ВВі = ССі = 16 см. Нехай ВХ'=Зхсм, тоді ХВ] = 5хсм. Звідки Зх + 5х=16; х = 2. ВК = Зх = 6 (см). Позначимо точку £) — середину сторони АС. Очевидно, що ВИ1АС, а значить, КЛ1АС за теоремою про три перпендикуляри. Оскільки КЛ1АС і ВИ1АС, то кут КИВ — лінійний кут двогранного кута утвореного площинами АВС і АКС. З рівностороннього трикутника АВС\ ВИ -^-ВС - — • 8>/з = 12 (см). Із прямокутного трикутника КВН. /.КЛВ = = — = 0,5. Отже, тангенс кута між площинами АВС й АКС дорівнює 0,5. Відповідь. 0,5. Приклад 14. Бічне ребро похилої трикутної призми дорівнює 6 см, дві бічні грані її взаємно пер- пендикулярні та їх площі дорівнюють 24 см2 і 30 см2. Знайти об’єм призми. Нехай маємо похилу трикутну призму АВСА{В\С\ з бічним ребром А\А = 6 см, площини бічних граней АСС{А\ та ВСС\В\ якої взаємно перпенди- кулярні, 8АСС^ - 24 см2, 8ВСС^ - 30 см2. Проведемо перпендикулярний переріз А'В'С. Тоді: А\А А'С = 84ССА , 6А'С = 24, А'С = 4 (см); ВІВ В'С'= 8всев , 6В'С = 30, В'С - 5 см. Оскільки (А'В^С)1.С\С і площини АіС{С та ВгС\С взаєм- ноперпендикулярні, то АА'СВ' - 90°. Отже, 8^в-с- = — А'С • В'С' - х 2 4-5=10 (см2) і шуканий об’єм V = 8^.^. • А^А = 10 • 6 = 60 (см)3. Відповідь. 60 см3. 423
Приклад 15. Основою похилого паралелепіпеда є паралелограм АВСО, у якого АВ - 3 дм, ЛР = 7дм і ВО - 6 дм. Діагональний переріз АА\С\С перпендикулярний до площини основи і його площа дорівнює 1 м2. Обчислити об’єм паралелепіпеда. Нехай маємо похилий паралелепіпед АВСОА\В\С\О\, у якому площина діагонального перерізу АСС\А\ перпендикулярна до площини основи. Крім того, за умовою. АВ - 3 дм, АО = 7 дм, ВО - 6 дм, ВАСС^ = 1 м2 = 100 дм2. За властивістю сторін і діагоналей паралелог- рама АС2 + ВО2 = 2(АВ2 + АО2), звідки: АС2 = 2(9 + 49) - 36 = 80; АС = = 4^5 (дм). Проведемо висоту А^-Н паралелепіпеда (Ь/єАС) і визначимо її АС'С А з паралелограма АСС\А\. Н---------12 А С 100 4уі5 5уі5 (дм). і^осн. — 28^аво- Площу трикутника АБО знайдемо за формулою Герона: />=-^(3 + 7 +6) = 8 (дм); Удлво = л/8 • 5 -1 - 2 = = 4л/5 (дм2). Тому і'осн. = 8^5 дм2. У= 5ОСН. • Н= 8^5 • 5^5 = 200 (дм3) = 0,2 (м3). Відповідь. 0,2 м3. Притклад 16. Основа похилого паралелепіпеда — квадрат зі стороною а. Одна з вершин другої основи проектується в центр цього квадрата. Висота паралелепіпеда дорівнює Н. Знайдіть бічну пове- рхню паралелепіпеда. Нехай основою похилого паралелепіпеда АВСОА\В\С\О\ є ква- драт АВСО зі стороною АВ- а, О — центр цього квадрата, А\О-Н— висота паралелепіпеда. Проведемо ОК1АО, ОМА-АВ. Тоді за теоремою про три перпендикуляри А\КА-АО, А\М1АВ, тобто А і К і А\М— висоти бічних граней АОО\А\ та АВВ\А\ відповідно. Прямокутні трикутники А\ОК та А}ОМ рівні (А і О— спільний катет і ОК - ОМ- ^), звідки А\К-А\М. Оскільки, крім того, АО-АВ, то 8,рр А - . Тому 86=48АВВіАі З АА।ОМ (АО = 90°): А,М= ^(У+ОМ2 = А//2 +(^) . Отже, 8аВВ>а, = а ї8ь.-48аВВіах -2ауІ4Н2 + а2. Відповідь. 2а у] 4Н2 + а2. Приклад 17. її основі похилого паралелепіпеда лежить прямокутник. Бічне ребро утворює із су- міжними сторонами основи кути, кожний з яких дорівнює по 60°. Знайти кут, який утворює це бічне ребро з площиною основи паралелепіпеда. Нехай АВСОА\В\С\О\ — заданий похилий паралелепіпед, АВСО — прямокутник, АА\АО - АА\АВ = 60°. А\К — висота парале- лепіпеда. Проведемо КИ1АО і КМ1АВ. У ДЛ|ЛМ (21У=90о): АААіУ= 90°-60° = 30°. Отже, АК = ±АА,. Аналогічно у АА^МА АААІМ= 30°, тому АМ = ^АА,. Оскільки АК = АМ = -^АА,, то АМКК— квадрат і прямокутний трикутник АКК— рівнобедрений. г у/ї АК 1 \І2 Звідси АК = у12АК = —АА.. З ААХКА (АК=90°): соз АА.АК = - = -+---------------= —. Отже, 2 1 АА, АА, 2 ААХАК = 45°. Відповідь. 45°. 424
Завдання 36.1-36.22 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 36.1. Сторона куба дорівнює 10 см. Знайти площу поверхні куба. А Б В Г Д 80 см2 800 см2 400 см2 360 см2 600 см2 36.2. Діагональ грані куба дорівнює 4>/2 см. Знайти об’єм куба. А Б В Г д 4 см3 16 см3 12>/з см3 64 см3 48 см3 36.3. Обчислити довжину ребра куба, діагональ якого дорівнює 2>/з . А Б В г Д л/б >/з 1 УІ2 2 36.4. Знайти діагональ прямокутного паралелепіпеда, виміри якого дорівнюють 2 см, 3 см і 6 см. А Б В Г д 5,5 см 49 см 36 см 11 см 7 см 36.5. Сторони основи прямокутного паралелепіпеда дорівнюють 5 см і 12 см, а діагональ паралеле- піпеда нахилена до площини основи під кутом 45°. Знайти бічне ребро паралелепіпеда. А Б В Г Д 6,5 см 13 см 12 см 8,5 см 9,5 см 36.6. Основою прямої призми є прямокутний трикутник з гіпотенузою 10 см і катетом 6 см. Знайти площу бічної поверхні призми, якщо її бічне ребро дорівнює 5 см. А Б В Г Д 120 см2 90 см2 60 см2 180 см2 240 см2 36.7. Сторона основи правильної трикутної призми дорівнює 4 см, а бічне ребро дорівнює 2>/з см. Знайти об’єм призми. А Б В Г д 96>/з см3 96 см3 24л/3 см3 24 см3 П>ІЗ см3 36.8. Сторона основи правильної трикутної призми дорівнює 12 см, а діагональ бічної грані дорів- нює 13 см. Знайти бічну поверхню призми. А Б В г д 60 см2 195 см2 360 см2 180 см2 468 см2 36.9. Знайти площу повної поверхні правильної чотирикутної призми, сторона основи якої дорівнює а, а висота — Н. А Б В Г д 4аН ЗаН 4а(а + Н) а(а + 4/7) 2а(а + 2Н) 425
36.10. В основі прямої призми лежить рівнобічна трапеція з основами 4 см і 10 см і бічною стороною 5 см. Бічне ребро призми дорівнює 10 см. Обчислити повну поверхню призми. А Б В Г д 170 см2 176 см2 186 см2 190 см2 296 см2 36.11. Основою похилої призми є паралелограм зі сторонами 6 см і 3 см і гострим кутом 45°. Бічне реб- ро призми дорівнює 4 см і нахилене до площини основи під кутом 30°. Знайти об’єм призми. А Б В Г д 185/6 см3 12л/б см3 18>/2 см3 9>/2 см3 36>/2 см3 36.12. Бічне ребро похилої чотирикутної призми дорівнює 12 см, а перпендикулярним перерізом є ромб зі стороною 5 см. Знайти площу бічної поверхні призми. А Б В Г д 60 см2 80 см2 180 см2 240 см2 300 см2 36.13. Куб з ребром 1 м поділили на кубики з ребром 1 см й усі ці кубики поставили в стовпець. Чому дорівнює висота стовпця? А Б в г д 1 км 10 км 100 км 1000 км 10000 км 36.14. Площа діагонального перерізу куба дорівнює 4^2 см2 Знайти площу поверхні куба. А Б В Г д 36>/2 см2 16 см2 24 см2 192 см2 32 см2 36.15. Основою прямого паралелепіпеда є ромб. Площі його діагональних перерізів дорівнюють 5] і 82. Визначити висоту паралелепіпеда, якщо його об’єм дорівнює V. А Б В Г д 28}82 V V 2К V 8х82 V 28х82 36.16. Діагональ правильної чотирикутної призми дорівнює 13 см, а діагональ бічної грані дорівнює 12 см. Знайти площу основи призми. А Б В Г д л/зЇЗ см2 25 см2 50 см2 144 см2 169 см2 36.17. У правильній чотирикутній призмі площа діагонального перерізу дорівнює 5. Визначити пло- щу бічної поверхні. А Б В Г д 148 428 2у/28 28 2^28 36.18. Діагональним перерізом правильної чотирикутної призми є квадрат, площа якого дорівнює 8. Визначити об’єм призми. А Б В Г д 8428 8у[8 4Ї 2848 848 848 2 426
36.19. Основою прямого паралелепіпеда є ромб, площа якого дорівнює 5, а площі діагональних пере- різів паралелепіпеда — 5і і 5г- Визначити висоту паралелепіпеда. А Б В Г д 1^2 N 25 І25,52 N 5 /^1*^2 V 5 1 15*] 5 2 2У 5 5 28{52 36.20. Бічна поверхня правильної чотирикутної призми дорівнює (), а її об’єм — V. Визначити сторо- ну основи призми. А Б в г Д 27 V V V 47 - —> 22 40 2 2 36.21. Розгорткою бічної поверхні правильної чотирикутної призми є квадрат зі стороною 8 дм. Знай- . ти об’єм призми. А Б В Г д 16 дм3 24 дм3 32 дм3 48 дм3 64 дм3 36.22. Площі трьох граней прямокутного паралелепіпеда дорівнюють 5|, 52 і ^з- Визначити об’єм па- ралелепіпеда. А Б В Г д 2^5,5,53 2 8 Завдання 36.23-36.24 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 36.23. Установити відповідність між сторонами основи та діагоналями (1-4) бічних граней правиль- них трикутних призм та площами їх бічних поверхонь (А-Д). 1 3 см, 5 см 2 6 см, 10 см 3 5 см, 13 см 4 7 см, 25 см А 180 см2 Б 504 см2 В 36 см2 Г 144 см2 Д 164 см2 36.24. Установити відповідність між площами діагональних перерізів (1—4), які є квадратами у прави- льних чотирикутних призм, та об’ємами цих призм (А-Д). 1 64 см2 2 16 см2 3 36 см2 4 4 см2 А 32 см3 Б 234 см3 В 108 см3 Г 256 см3 Д 4 см3 427
Розв’яжіть завдання 36.25-36.37. Відповідь запишіть десятковим дробом. 36.25. Сторона основи правильної трикутної призми дорівнює 12, а висота призми — 6. Знайти пло- щу перерізу цієї призми площиною, яка проходить через сторону нижньої основи і протилежну вершину. 36.26. Діагональ правильної чотирикутної призми утворює з площиною основи кут 45°. Знайти у гра- дусах кут, утворений цією діагоналлю з площиною бічної грані. 36.27. Основою паралелепіпеда є ромб. Діагоналі паралелепіпеда дорівнюють 8 см і 5 см, а висота — 2 см. Знайти у сантиметрах сторону основи. 36.28. Діагоналі граней прямокутного паралелепіпеда мають довжини 2, 2 і 2л/б . Визначити діаго- наль паралелепіпеда. 36.29. Визначити об’єм прямокутного паралелепіпеда, основою якого є прямокутник зі сторонами 3 і 4, а площа діагонального перерізу 20. 36.30. У прямому паралелепіпеді сторони основи 2 і 8, а кут між ними 30°. Бічна поверхня паралеле- піпеда дорівнює 20. Визначити об’єм паралелепіпеда. 36.31. Периметри двох граней правильної трикутної призми дорівнюють 48 см і ЗО см. Знайти об’єм у V призми у кубічних сантиметрах. У відповідь записати . 36.32. Знайти у кубічних сантиметрах об’єм похилої трикутної призми, якщо відстані між її бічними ребрами дорівнюють 3,7 см, 1,3 см і 3 см, а площа бічної поверхні — 480 см2. 36.33. Основою похилого паралелепіпеда є ромб зі стороною 4 см і гострим кутом 60°. Бічне ребро паралелепіпеда дорівнює 4 см й утворює з ребрами основи, які виходять з цієї ж вершини, кути 45°. Знайти об’єм паралелепіпеда у кубічних сантиметрах. 36.34. Висота правильної чотирикутної призми дорівнює 5, а кут між діагоналями, проведеними з од- нієї вершини основи у двох суміжних бічних гранях, — 60°. Визначити площу бічної поверхні призми. 36.35. Основою призми є правильний трикутник зі стороною 4. Одна з бічних граней перпендикуляр- на до основи і є ромбом, діагональ якого дорівнює 6. Знайти об’єм V призми. У відповідь запи- сати >/21V. 36.36. Основою похилого паралелепіпеда є прямокутник зі сторонами 4 і 6. Бічне ребро дорівнює 2 й утворює із суміжними сторонами основи кути в 60°. Знайти об’єм V паралелепіпеда. У відпо- відь записати 36.37. Для зберігання 1,8 м3 води на присадибній ділянці виготовили резервуар у формі прямокутного паралелепіпеда з квадратним дном, сторона якого дорівнює 1,2 м. Обчислити висоту резервуару. 428
Тема 37. Піраміда и-кутною пірамідою називають многогранник, одна з граней якого — 8 довільний и-кутник, а решта граней — трикутники (бічні грані), що мають Лк спільну вершину. / Спільну вершину бічних граней називають вершиною піраміди, а и-кут- / І її уХ ник— основою піраміди. Відрізки, які сполучають вершину піраміди з вер- / І ІиЛХХ шинами основи, називають бічними ребрами. -г *** А \ \ На рисунку АВСОМ— основа піраміди, 5— вершина, 8А, 8В. 8С, 80, / б 8М — бічні ребра, 80 — висота, 8О1.(АВС) Властивості 1. Якщо всі бічні ребра нахилені до площини основи під однаковим кутом, то вони рівні й вер- шина піраміди проектується в центр кола, описаного навколо основи піраміди. 2. Якщо всі бічні грані піраміди нахилені до площини основи під одинаком кутом а, то вершина піраміди проектується в центр кола, вписаного в основу піраміди, а площа основи піраміди дорівнює добутку площі бічної поверхні та косинуса кута а: 8ОСЦ, - 8& • соза. Правильна піраміда Піраміду називають правильною, якщо її основою є правильний многокутник, а основа висоти збігається з центром цього многокутника. У правильній піраміді висота 8К бічної грані, проведена з її вершини, — апофема. Площа поверхні й об’єм Площа бічної поверхні правильної піраміди: 8^ - ' /, де І — апофема. Площа повної повер- хні. Зп 8а 8()сн. Об'єм піраміди: V- —8ОСІК • Н. Зрізана піраміда АВСО— нижня основа, А\В\С\Р\ — верхня основа. Висота (9(9і — відрізок прямої, перпендику- лярної до основ й обмежений ними. _ 8О2. 8А. ^8В. ^8С. 8Р} 8авсо 8О2' 8А 8В 8С ’’ 80 ’ Правильна зрізана піраміда: основи — правильні многокутники; відрі- зок, який з’єднує центри основ, є висотою. Площа бічної поверхні: р +р 8б - -1 2 • т. де Р\ і Р2 — периметри основ, т — апофема, т - К\К. Площа повної поверхні: 8п. - 8б. + 51 + 82, де 51 + 82 — площі основ. Об’єм: V- -і- уІ8і82 + 82) • Н, де Н— висота. Приклад 1. Обчислити об’єм піраміди, в основі якої лежить ромб з діагоналями 8 см і 6 см, якщо висота піраміди дорівнює 16 см. А Б В Г д 128 см3 32 см3 256 см3 64 см3 512 см3 В основі піраміди лежить ромб з діагоналями сІ\ - 8 см і с/2 = 6 см. Обчислимо його площу: ^осн.- ~ * 8 • 6 = 24(см2). Знайдемо об’єм піраміди: И = |5’осн Я=^-24-16 = 128 (см3). Відповідь. А. 429
Приклад 2. В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з катетом 8 см. Основа висоти пі- раміди — центр описаного навколо трикутника основи кола радіуса 5 см. Знайти об’єм піраміди, якщо її висота дорівнює 7 см. И Центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника, — середина гіпотенузи. АВ-2К, АВ - 10 см. Із прямокутного трикутника АВС одержимо: ВС = УІАВ2-АС2 = л/102 -82 = 6 (см). Уосн. = | • 8 • 6 = 24 (см2). И= роси. • н= І • 24 • 7 = 56 (см3). Відповідь. 56 см3. @ Приклад 3. У правильній трикутній піраміді бічне ребро дорівнює 4л/2 см й утворює з площи- ною основи кут 45°. Знайти об’єм піраміди. Н Нехай 8АВС — правильна піраміда, 8А = 4^2 см, 8ОА.(АВС), Х8АО = 45°, 8Е — апофема. З ДЛО5 (^0 = 90°): АО = 8АсозХ8АО- = 4у/2 • = 4 (см); 80 = Н - ОА - 4 (см). Проведемо 8ЕЦВС. Оскільки 8В = 8С, то ВЕ = ЕС і тому АЕ1ВС. АЕ = АО : 2 • 3 = 4 : 2 • 3 = 6 (см). З ЛАЕС (ХЕ = 90°): ЕС= Л£4в30° = 6 ~ = 2>/3 (см). ВС = 2£С = 2-2л/з=4>/з (см). 50С, = |ВС • АЕ = | • 4л/з • 6 = 12л/з (см2). Тоді об’єм піраміди: V = ^8жиН = | • 12>/3 • 4 = 16>/3 (см3). Відповідь. 16л/з см3. И Приклад 4. У правильній чотирикутній піраміді бічне ребро утворює зі стороною основи кут р. Відрізок, що сполучає центр вписаного в бічну грань кола з вершиною основи цієї грані, дорівнює /. Визначити бічну поверхню піраміди. О Нехай 8АВСГ) — задана правильна піраміда. Проведемо бісект- риси 8ІЇ і ОК трикутника 8СО. Точка О перетину цих бісектрис є центром кола, вписаного в даний трикутник. За умовою задачі, ОО = /, Бісектриса 57У є одночасно висотою та медіаною трикутника 8СО. Тому Х8КЕ = 90° і ОМ = МС. З Д(9Ж> ^N = 90°, ХО = ^: = ОБ • соз££ = І • соз. З Д5Л7) (^У = 90°): 8П=ИП- ^Х8йК = /соз Враховуючи, що ОК = КС, знаходимо: 5б = 45,дд5с = 4 • = 8№= = 4/созу • /со8^ = 4/2 соз2^і§р. Відповідь. 4/2со82-^Ч§р. Приклад 5. Двогранний кут при основі правильної чотирикутної піраміди дорівнює 30°, а відрі- зок, який сполучає середину апофеми й основу висоти, — 2 дм. Знайти об’єм піраміди. И Нехай 8АВСО — правильна чотирикутна піраміда, 80 — її висота. Проведемо 8М1ПС. За теоремою про три перпендикуляри, ОМ1Е>С. Тоді Х8МО — лінійний кут двогранного кута при основі й Х8МО - 30°. К — середина апофеми, ОК = 2 дм. Оскільки ОК — медіана прямокутного три- кутника 8ОМ (ХО - 90°), то ОК = Отже, 8М= 2ОК =2-2 = 4 (дм). 430
З \80М (АО = 90°): 80 = 8МЙ&А8МО = 4 • 8ІпЗО° = 4 • | = 2 (дм). ОМ- £Л/созЗО° = 4 • = 2>/з (дм). Сторона основи дорівнює: АО - 2ОМ- 2 • 2>/з = 4л/з (дм). V = ^ЖИН = ±М)2 -8О = ±-(4л/з)2 • 2 = 32 (дм3). Відповідь. 32 дм3. Приклад 6. У правильній трикутній піраміді бічне ребро утворює з висотою кут а. Визначити об’єм піраміди, якщо відстань від середини висоти до бічного ребра дорівнює а. Нехай 8АВС — задана правильна піраміда, 80 — її висота, АА8О - а, точка М— середина висоти. Проведемо з цієї точки перпенди- куляр ЛЙУ до ребра 8А. Згідно з умовою задачі, Л/У= а. Об’єм піраміди • Н. З Ь8ИМ(АП= 90°): 8М= Тоді З зіпа Н=8О- 28М= З Д5Ш (АО - 90°): ОА - 8Оіуа = = -2°-. зіпа зіпа соза Оскільки точка О — центр правильного трикутника АВС, то відрізок ОА є о _ Зл/з Л2 _ для цього трикутника радіусом описаного кола, а тому дОсН.-— ’ ОА - = зУЗа2 2 соз а т . ІЛ 1 Зу/За2 2а _ 2у[3а2 ТОДІ V- - ----— ----------------;--- З соз а зіпа соз а-зіпа о. 2уІЗа3 - Відповідь.------------. соз“а-зіпа Приклад 7. В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом а при основі. Усі бічні ребра піраміди утворюють із площиною основи кут р. Визначити об’єм піраміди, якщо відстань від основи її висоти до бічного ребра дорівнює сі. У відповідь записати значення об’єму, якщо сі- 3 см, а = 45°,р = 30°. Нехай 8АВС— задана піраміда, Основа якої— рівнобедрений трикутник АВС (АВ - ВС), АВАС - АВСА - а. Проведемо висоту 80. ОА, ОВ і ОС— відповідно проекції ребер 8А, 8В і 8С на площину основи. Л8АО- /-8ВО- А8СО- р. Прямокутні трикутники 8ОА, 8ОВ і 8ОС ма- ють спільний катет 80 та рівні гострі кути. Тому А5ОЛ = &8ОВ - А8ОС. У рівних трикутників відповідні елементи рівні, тому їх висоти, проведе- ні до гіпотенуз, будуть рівними. Це означає, що відстані від точки О до бічних ребер будуть рівними. Проведемо ОК1ВВ. За умовою, ОК-сі. З трикутника ОКВ (2^=90°): ОВ--^^ Ь трикутника 8ОВ зіпр зіпр (ЛО - 90°): Н- 80- ОВї^АВ - • і§р = -----. Оскільки ОА - ОВ - ОС, то точка О — центр кола, зіпр созР описаного навколо трикутника АВС, ОВ - К. За наслідком з теореми синусів для трикутника АВС\ ~^— = 2ОВ; ВС =2ОВ зіпа = . Оскільки в трикутнику АВС АВ-ВС і 2^6=180°-2а, то зіпа зіпр 8ті = — АВ-ВС- зіп ААВС = -і" 2</.51^—1 8іп(180°-2а) = 2 2к зіпр ) 431
2г/2 аіп2 а5Іп2а у _ _1$ . # _ 1. 2г/2 аіп2 а8Іп2а сі _ 2с13 зіп2 а зіп 2а зіп2 Р З ис"' 3 зіп2 р совР Ззіп2рсозР / г~ \2 4-33-|^| -1 < 2 ) Якщо сі-З см, а = 45°, р = 30°, то V =--— -------= 72. 4<73 зіп2 а зіп 2а З зіп Р соз 2Р Відповідь. 72. Приклад 8. Основа піраміди — ромб з гострим кутом а. Дві бічні грані піраміди, що містять сто- рони цього кута, перпендикулярні до основи. Дві інші бічні грані нахилені до неї під кутом р, а від- стань від основи висоти піраміди до цих граней дорівнює сі. Визначити об’єм піраміди. Нехай РАВСО — задана піраміда, АВСО — ромб, АОАВ = а < 90°. То- ді, згідно з умовою задачі, перпендикулярними до площини основи є грані РАО і РАВ, а отже, і пряма РА їх перетину. Тому відрізок РА — висота пірамі- ди. Проведемо висоту РК грані РОС. За теоремою про три перпендикуляри АК1.СО. Згідно з умовою задачі, АРКА - р. Проведемо з точки А перпендику- ляр АК до грані РОС', АК= сі. Покажемо, що точка N належить висоті РК грані РОС. Справді, пряма СО перпендикулярна до висоти РК і її проекції АК на площину основи. Тому пряма СО перпендикулярна до площини РКА. Оскільки площина РОС містить пряму СО, то вона також перпендикулярна до площини РКА. Тоді перпендикуляр АК до площини РОС лежить у площині РКА, а тому його основа К належить висоті РК. З ЬАНК (АН= 90°): АК = . З КРАК {АА = 90°); Н= РА = АК • і£р = 1§Р = . Оскі- 8Іпр 8Іпр СО8р льки АВІІСО, то ААОК^а. З ЬАКО {АК=90°): АО=^~ = —---------------------. Тоді 50СН = АО2 • зіпа = зіпа зіп р зіп а сГ~ гл 1 о тт - 1 (І2 _ СІ3 - з-------• Отже5 V - — £осн • Н - — • ——---- • ----- - ----—---------. зіп рзіпа З 3 зіп рзіпа созр Ззіп рсозрзіпос Відповідь. сі3 Ззіп2 Рсозрзіпа Приклад 9. Сторони основ правильної зрізаної трикутної піраміди відносяться як 1 : 2, висота пі- раміди дорівнює 3 см, бічне ребро утворює з більшою основою кут 45°. Знайти площі основ піраміди. Нехай АВСА\В]С]— задана правильна зрізана піраміда, А\С] :АС- 1 : 2, (9 і (9і— центри основ. Тоді (9і(9— висота піраміди, (9(9і = 3 см. Площина АОО\ проходить через вершину повної піраміди, а тому містить бічне ребро А\А зрізаної піраміди, звідки випливає, що АА\О\О— плоский чотирикутник. Крім того, ця площина перетинає па- ралельні площини основ піраміди по прямих А і (9і та А О і містить її ви- соту, а тому Аі(9і|[Л(9 і АОЮіО. Таким чином, АА\О\О— прямокутна трапеція. Проведемо висоту А\М цієї трапеції. Оскільки АіМЦОїО, то АіМЦАВС). Тоді відрізок МА є ортогональною проекцією бічного ребра А\А на площину АВС. За умовою, аСА^АМ- 45°. З ЛАіМА (ХА/=90°): АМ-А\М- О\О-3 см. Трикутники А\В\С\ і АВС подібні, а тому відно- шення радіусів (91/41 і ОА кіл, описаних навколо цих трикутників, дорівнює відношенню сторін: (91/41 : ОА = 1 : 2; ОА = 2 • О^А]. З цієї рівності, урахувавши, що ОХА] = ОМ, маємо: (9/4 = 2- ОМ. Отже, точка М— середина відрізка ОА. Тому ОА - 2АМ- 6 см. 432
Знаходимо площу більшої основи через радіус ОА описаного кола: 8МВС = —ОА2 = = . 62 = 27>/з (см2). Оскільки А& : АС= 1 : 2,то 8..вс = “ $*авс = (см2). Г>- 27л/3 2 • тт /7 2 в Відповідь.-----см і 27 л/3 см . 4 Приклад 10. Сторони основ правильної чотирикутної зрізаної піраміди дорівнюють 4 см і 2 см, а гострий кут бічної грані — 60°. Знайти висоту зрізаної пі- раміди. Нехай АВСОА}В\С\О\— задана правильна зрізана піраміда, ЛІ) = 4 см, Л|Р| = 2см, АА}АО- 60°, <?і і О — центри основ. Тоді О\О— висота піраміди. Проведемо ви- соту А^ прямокутної трапеції АА\О\О. Оскільки ЛіУЦО]О, то Л|#±(ЛВС), тобто А^—також висота зрізаної піраміди. У рівнобічній трапеції АА\й\О проведемо висоту А\К та апофему М\М піраміди. Тоді: А\Мі — -^А^ = 1 см, АМ= •^•АО = 2см, АК-АМ-КМ—АМ—А\М\ - = 1 см. З ДЛіХЛ {АК- 90°): А\К-АК і§60° = д/З см. Відрізок ПК є ортогональною проекцією похилої А,К на площину АВС. Тому, оскільки А,К1АО, то ПК1АИ. З ДЛКУ (^=90°, АА = 45°): Я77=Л7С-1§45° = 1 см. З ДЛіУК:Л,У= ^А^-КИ2 = >/2 (см). Відповідь. >/2 см. Завдання 37.1-37.22 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 37.1. Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює Ьу/з , а висота піраміди — Н. Визна- чити бічне ребро піраміди. А Б В г Д ^Ь2-Н2 уіЬ2+Н2 УІЗЬ2+Н2 УІЬ2 +4Н2 2 уіЬ2-Н2 37.2. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює а. Бічна грань нахилена до пло- щини основи під кутом р. Визначити апофему піраміди. А Б В Г Д а а асо§Р азіпР а 2зіпР 2іеР 2 2 2со§Р 37.3. Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює 6 см, а бічне ребро — 5см. Знайти бі- чну поверхню піраміди. А Б В Г д ЗО см2 12 см2 36 см2 72 см2 45 см2 28* Капіносов А. Математика. Комплексна підготовка до ЗНО 433
37.4. Ребро куба АВСВА\ВХС\В\ дорівнює 6 см. Знайти об’єм піраміди з основою і вершиною С. А Б В Г д 36 см3 48 см3 24^2 см3 36^2 см3 108-72 см3 37.5. Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 8 см, апофема піраміди — 10 см. Знайти у квадратних сантиметрах площу перерізу піраміди, проведеного через середину висоти парале- льно до площини основи. А Б В Г д 24 см2 72 см2 48 см2 9 см2 36 см2 37.6. Висота та бічне ребро правильної чотирикутної піраміди відповідно дорівнюють 3 см і 5см. Знайти об’єм піраміди. А Б В Г д 48 см3 128 см3 64 см3 96 см3 32 см3 37.7. Основою піраміди є трикутник зі сторонами 5 см, 12 см і ІЗ см. Знайти висоту піраміди, якщо бічні грані нахилені до площини основи під кутом 45°. А Б В г Д 1 см 4 см 2 см 2л/2 см 4л/2 см 37.8. Основою піраміди є трикутник зі сторонами 6 см, 8 см і 10 см. Знайти висоту піраміди, якщо всі її бічні ребра рівні та дорівнюють 13 см. А Б В Г д 12 см 9 см 10 см 11 СМ 8 см 37.9. Основа піраміди — квадрат зі стороною а. Висота піраміди дорівнює Н і проходить через одну з вершин основи. Визначити площу бічної поверхні піраміди. А Б В Г д 2аН 4аН 2а(Н + 4а2 +Н2) а(Н + ^а2 +Н2) а(Н + у/а2-Н2) 37.10. Висота піраміди поділена на 4 рівні частини і через точки поділу проведено перерізи, парале- льні до основи. Знайти площу найбільшого перерізу, якщо площа основи дорівнює 800 см2. А Б В Г д 600 см2 400 см2 450 см2 350 см2 150 см2 37.11. Знайти висоту правильної чотирикутної зрізаної піраміди, у якої сторони основ дорівнюють а і Ь (а > Ь), а кут нахилу бічного ребра до більшої основи дорівнює а. А Б В г д а-Ь. 42 8<Х а-Ь . —т=^8іпа 42 а-Ь —т^-соза 42 (а-6)8Іпа 37.12. У правильній зрізаній чотирикутній піраміді сторони основи а і Ь (а > Ь)9 двогранний кут при більшій основі — р. Знайти висоту піраміди. А Б В Г д а-Ь . □ 2 (а-6)1§р (а -Ь) зіп Р зіпр 2 (а -Ь) соз Р 434
37.13. Ребро правильного тетраедра дорівнює а. Визначити об’єм тетраедра. А Б В Г д 12 д3У2 4 а3 У2 6 а3>/3 4 д37з 6 37.14. У правильній трикутній піраміді бічне ребро нахилено до площини основи під кутом 60°. Під яким кутом нахилена до площини основи бічна грань? А Б В Г д агсІдТз агсі§(2>/з) агсзіп уіЗ агсзіп(2л/3) агссоз л/з 37.15. У правильній чотирикутній піраміді двогранний кут при основі дорівнює 45°. Під яким кутом нахилено до площини основи бічне ребро? А Б В Г д 45° у[2 агсзіп 2 агссі§л/2 агсі§л/2 . ^2 агссІ§-^- 37.16. Площа основи правильної трикутної піраміди дорівнює 5е, а площа бічної поверхні — О. Ви- значити двогранний кут при основі. А Б В Г д агсзіп— 6 5 агссоз— 0 5 агссоз— <2 б агссоз— 5 . 8 агсзіп— б 37.17. Повна поверхня правильної чотирикутної піраміди дорівнює 5. Двогранний кут при ребрі ос- нови — 60°. Визначити бічну поверхню піраміди. А Б В Г д -5 —8 -5 -8 9 2 6 4 3 37.18. Діагональним перерізом правильної чотирикутної піраміди є прямокутний трикутник, площа якого дорівнює О. Знайти площу основи піраміди. А Б В г д 26 46 б б 2 б 4 37.19. Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює а, а площа перерізу піраміди площи- ною, яка проходить через бічне ребро і перпендикулярна до основи, дорівнює £>. Знайти об’єм піраміди. А Б в г д б« ^5 зда б- 4 4ба 37.20. Усередині призми з об’ємом V взято довільну точку О й побудовано дві піраміди з вершиною О, що мають основами основи призми. Знайти суму об’ємів цих пірамід. А Б В Г д —V 9 -И 4 -V 3 —V 6 —V 3 435
37.21. Бічні ребра трикутної піраміди попарно перпендикулярні й дорівнюють а, Ь і с. Визначити об’єм піраміди. А Б в Г д баЬс аЬс 1 , —аос 12 1 , —аос 6 —аЬс 3 37.22. 8(х) — площа перерізу правильної чотирикутної піраміди, проведеного паралельно до основи на відстані х від неї. Який з наведених графіків може бути графіком функції 5(х)? Завдання 37.23-37.27 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 37.23. На рисунку зображено правильну піраміду 8АВСО, висота якої дорівнює 8 діагоналі основи. Установити відповідність між кутами (1—4) та їхніми / градусними мірами (А-Д). В » 1 Кут нахилу бічного ребра до площини основи тг , А агссоз- 2 Кут нахилу апофеми до площини основи 3 Кут між прямими 8А і ОС л 4 ЛА8С Б агс% В агсІ§2 Г агсі§ Д 2агсіД 37.24. На рисунку зображено правильну трикутну піраміду 8АВС, у якої: 80— висота; 8М— апофема; сторона основи дорівнює а; бічна грань нахилена до площини основи під кутом а. Установити відпо- відність між елементами піраміди (1—4) та їхніми величинами (А-Д). /іо 10 "о [) /2 [_ > Дх / ""ІД А' / м 436
1 8М 2 8В З 80 4 ОС 6 соз а В —-------71 + 3 соз2 а 273 соза 7з . Г —а зіп а 2 Д ^аі^а О 37.25. Установити відповідність між пірамідами (1^) та ортогональними проекціями їх вершин на площину основи (А-Д). 1 Усі бічні грані піраміди рівнонахилені до площини основи 2 Усі бічні ребра піраміди рівнонахилені до площини основи З Дві сусідні бічні грані піраміди перпен- дикулярні до площини основи 4 Піраміда, в основі якої рівносторонній трикутник. Одна бічна грань піраміди перпендикулярна’ до площини основи, а дві інші рівнонахилені до неї А Вершина многокутника основи Б Середина сторони основи В Точка перетину діагоналей основи Г Центр кола, вписаного в многокутник ос- нови Д Центр кола, описаного навколо многоку- тника основи 37.26. Установити відповідність між довжиною ребра (1-4) тетраедра та його об’ємом (А-Д). 1 6 см 2 12 см З 18 см 4 24 см А 14472 см3 Б 115272 см3 В 1872 см3 Г 26>/2 см3 Д 48бТ2 см3 37.27. Площа діагонального перерізу правильної чотирикутної піраміди дорівнює 5е і є прямокутним трикутником. Установити відповідність між площею перерізу (1-4) та площею бічної поверхні (А-Д) піраміди. 1 4см2 А ІбТз см2 2 8 см2 Б 12 см2 3 2Тз см2 В юТз см2 4 5 см2 . Г 14>/3 см2 Д 8>/3 см2 Розв’яжіть завдання 37.28-37.41. Відповідь запишіть десятковим дробом. 37.28. Основою піраміди є рівнобедрений трикутник з висотою 9 см й основою 6 см. Кожне з бічних ребер піраміди дорівнює 13 см. Знайти у сантиметрах висоту піраміди. 437
37.29. У правильній чотирикутній піраміді бічне ребро утворює з висотою кут 30°. Відрізок, що спо- лучає основу висоти з серединою бічного ребра, дорівнює л/з . Знайти об’єм піраміди. 37.30. Площа основи піраміди дорівнює 72 см2. Площі двох перерізів, які паралельні до основи, дорі- внюють 18 см2 і 50 см2. Знайти у сантиметрах висоту піраміди, якщо відстань між перерізами дорівнює 8 см. 37.31. Сторони основи правильної зрізаної трикутної піраміди дорівнюють 2 см і 5 см, бічне ребро — 2 см. Знайти у сантиметрах висоту піраміди. 37.32. Апофема правильної чотирикутної піраміди дорівнює 1 і нахилена до площини основи під ку- том 60°. Визначити повну поверхню піраміди. 37.33. У правильній піраміді площа основи становить площі повної поверхні. Знайти у градусах двогранний кут при основі піраміди. 37.34. Основою піраміди є правильний трикутник зі стороною 2, одна з бічних граней перпендикуля- рна до площини основи, а дві інші утворюють із площиною основи кут 45°. Визначити об’єм піраміди. 37.35. У правильній чотирикутній піраміді відстань від центра основи до бічної грані дорівнює 3. Бі- чні грані нахилені до основи під кутом 60°. Визначити об’єм піраміди. 37.36. Основою піраміди є ромб зі стороною 7з і кутом 30°. Бічні грані, що проходять через сторони гострого кута ромба, перпендикулярні до площини основи, а дві інші — нахилені до неї під ку- том 60°. Знайти об’єм піраміди. 37.37. Бічні ребра правильної трикутної піраміди взаємно перпендикулярні й дорівнюють 7>/2 . Знай- ти відстань між мимобіжними ребрами піраміди. 37.38. У правильній чотирикутній піраміді РАВСй з вершиною Р проведено переріз через сторону АВ і середину бічного ребра РС. У якому відношенні цей переріз поділяє об’єм піраміди? 37.39. Основою піраміди є рівносторонній трикутник зі стороною у/у/Ї5 ->/3 . Одна з бічних граней є рівностороннім трикутником і перпендикулярна до площини основи. Визначити бічну поверх- ню піраміди. 37.40. У трикутній піраміді всі чотири грані — рівні рівнобедрені трикутники з основою 714 й біч- ною стороною 4. Визначити об’єм піраміди. 37.41. Основою піраміди є прямокутник, площа якого дорівнює 9. Дві бічні грані перпендикулярні до площини основи, а дві інші — нахилені до неї під кутами 30° і 60°. Визначити об’єм піраміди. 438
Тема 38. Циліндр Циліндром називають тіло, утворене внаслідок обертання прямокутника навколо осі, що містить його сторону. На рисунку зображено циліндр, який отримали внаслі- док обертання прямокутника АА\О\О навколо сторони ОО\. Пряма а — вісь симетрії циліндра, проходить через центри основ. Н- ОО\ — висота циліндра. Циліндр складається із двох кругів, які лежать у паралельних площинах, і бічної поверхні (див. рис. 1). Круги називають основами циліндра, їх радіуси — радіусом циліндра. Основи циліндра паралельні й рівні. Відрізки, що сполучають відповідні точки кіл основ, називають твірними цилінд- ра. Твірні утворюють бічну поверхню циліндра. Твірні й вісь циліндра перпендикулярні до площин основ. Відстань між площинами основ є висотою циліндра. верхня основа вісь циліндра О,О2 — висота циліндра (Н) нижня основа Рис. 1 Розгорткою циліндра є прямокутник, одна зі сторін якого дорівнює висоті циліндра, а інша — довжині кола основи, та два рівні круги (рис. 2). Площа бічної поверхні циліндра: 8 - 2пКН. Площа повної поверхні циліндра: 5ПОВн. - 5бічн. + З^осн.. і'повн. = 2л/?Н + 2лЯ2 = 2пК(К + Н). Об’єм циліндра: К= і^сн.' Н - пК2Н. 439
Переріз циліндра площиною, паралельною до його осі, — прямокутник. Дві сторони прямокут- ника — твірні циліндра, а дві інші — паралельні хорди основ. Осьовий переріз циліндра— переріз, який проходить через його вісь. Переріз циліндра площиною, паралельною до його основ, є кругом, який дорівнює основам ци- ліндра. Дотична площина до циліндра — площина, яка проходить через твірну прямого циліндра і пер- пендикулярна до осьового перерізу, проведеного через цю твірну. Приклад 1. Знайти площу повної поверхні циліндра радіуса 3 см, висота якого дорівнює 5 см. 5П. = 2лЛ(Л + Н), де В = О,А = 3 см, Н = АВ = 5 см. 5П. = 2л • 3(3 + 5) = 48л (см2). Відповідь. 48л см2. Приклад 2. Знайти площу бічної поверхні циліндра, утвореного обертанням квадрата з діагонал- лю 5>/2 см навколо сторони. ВС - АО = В. Оскільки АВСО — квадрат, то АВ - АО - В. Із прямокутного трикутника АВО (ЛА - 90°) маємо: В2 + В2 = , 2В2 = 50, В2 = 25, В = 5 (см). 5б. = 2лЯЯ, Н = АВ = В = 5 (см). Отже, 5б. = 2л • 5 • 5 = 50л (см2). Відповідь. 50л см2. Приклад 3. Знайти об’єм циліндра, якщо його висота дорівнює 4 см, а відрізок, який сполучає центр верхньої основи з точкою кола нижньої основи, дорівнює 6 см. Гц. = лВ2Н, Д$В = О{К,Н = О\О2. Із прямокутного трикутника О\О2К (ЛО\ - 90°) маємо: О}К = у]О2К2 -О}О2 = 7б2-42 = 720 = 2^5 (см). Гц. = л • (2>/5)2 • 4 = 80л (см3) Відповідь. 80л см3. Приклад 4. Об’єм циліндра дорівнює 8лТ5 см3, а його висота — 2^5 см. Знайти діагональ осьового перерізу. А Б в г д 6 см 4 см 36 см 8 см 20 см 440
Осьовим перерізом циліндра є прямокутник, одна сторона якого дорівнює ді- аметру основи, а інша — висоті циліндра. = л7?277. Нехай перерізом є прямокут- ник АВСО, у якому АВ =Н= 2^5 см, О\В = К. Тоді одержимо: 8яТ5 = п/?2 • 2л/5 , звідки 7?2 = 4; К = 2 (см). АО = 27? = 4 (см). Проведемо діагональ ВО. Із трикутника АБО (АА = 90°) маємо: ВО2 = АВ2 + АО2 = ^Тб)2 + 42 = 720 + 16 = 736 = 6 (см). Відповідь. А. Приклад 5. Перерізом циліндра площиною, яка паралельна до його осі, є квадрат, що відтинає від кола основи дугу 90°. Висота циліндра дорівнює 6 см. Знайти відстань від осі циліндра до цього пере- різу. Нехай ОО\ — циліндр, ОО\ — його висота, ОО\ - 6 см, АВСО — заданий пере- різ (квадрат), АВ - АО, ООх\\АО. ^АтВ - 90°, тому ААОВ - 90°. Оскільки АО - ООХ, то АО - АВ - 6 см. З рівнобедреного прямокутного трикутника АОВ ОА = == 342 (см). ОМ1АВ і ОА = ОВ = К, тоді АМ= ВМ= — АВ = - • 6 = 72 7Ї 2 2 = 3 (см). З кАМО (АМ=90°): ОМ = УІОА2- АМ2 = ^(зТг)2 - З2 = З (см). Так як ОМАОО\ і ОО^АО, то ОМ1АВ. Отже, пряма ОМ перпендикулярна до двох непаралельних прямих АВ й АО площини перерізу, а тому ОМА(АВО) і є відстанню від прямої ОО\ до паралельної їй площини АБО. Відповідь. З см. О* А Приклад 6. У циліндрі паралельно до його осі проведено площину, що перетинає нижню основу по хорді, яку видно із центра цієї основи під кутом 2а. Діагональ утвореного перерізу нахилена до площини основи циліндра під кутом р. Визначити об’єм циліндра, якщо площа перерізу дорівнює (А Перерізом циліндра площиною, яка паралельна до його осі ООХ і перетинає _____В} основу, є прямокутник. Нехай це прямокутник ААХВ\В із площею 0. АВ— хорда нижньої основи; ААОВ = 2а. Оскільки ААХА_(АОВ), то ортогональною проекцією діагоналі А ХВ на площину основи є хорда АВ. Тому АА \ВА - р. Об’єм циліндра V- тсТ?2Н, де К = ОА, Н-ААХ. З АА\АВ {АА - 90°): АВ - АА і • сі§Р = Н • сі§р. Оскільки АВАА\ = <2, то: Нсі§Р ' Н2 = 0§Р; Н- лД^р. Виразимо радіус К основи через висоту Н. а Для цього проведемо висоту ОИ трикутника АОВ. Оскільки ЛАОВ рівнобедрений, то висота ОN є од- ночасно його бісектрисою і медіаною. Тому ААОN- а, АИ = ~4В = -^-Ясі§р. З ААОИ {А1Ч = 90°): К - О* 4 зіп2 а = ОА- = Яс1§Р зіп ХЛ ОТУ 2 зіп а Отже, И=тг -Т?2 Я = л ґЯ<*ЄРУ . Н= я//3с182Р = 71б1ЄР7б^Рс^2 Р = ^б7бс1ЄР \2зіпа/ 4зіп2а 4зіп2а 4зіп2а лЄ7бс18Р н Відповідь.-*—;----. 4 зіп а 441
Приклад 7. В основі циліндра проведено хорду, що стягує дугу а. Відрізок, який сполучає центр іншої основи із серединою цієї хорди, дорівнює / й утворює з площиною основи кут р. Визначити об’єм циліндра. Нехай у циліндрі з віссю ОО\ \ АВ— задана хорда, ^АМВ - а; точка N— середина хорди АВ, О^-1. Оскільки відрізок СНУ— ортогональна проекція похи- лої ОіЛ^на площину основи, то ЛО\ИО - [3. З ДОіОИ (Х<9 = 90°): Н-ОО\ - /8Іп[3; ОТУ=/со8[3. Оскільки трикутник АОВ рівнобедрений, то медіана ОИ є його висотою і бісектрисою. Тому /ХЖА - 90°, _ /созР а ’ СО8 — 2 СМ созЛАОМ ЛАОії = —. З &ОШ: К = ОА = 2 Отже, V = я • К2 • Н = я • /со§Р \2 ксоз(а/2) , . о Я/3СО82В8ІпВ • / • 8іпр = -----12---- 2 ОС СО8 — 2 . Я/3 СО82 Р8ІпР Відповідь.--------с----- 2 ОС СО8 — 2 Приклад 8. Площа бічної поверхні циліндра дорівнює половині площі його повної поверхні. Діа- гональ осьового перерізу дорівнює 5 см. Знайти повну поверхню циліндра. Нехай осьовим перерізом циліндра з віссю ОО\ є прямокутник АА\В\В, А\В-5 см. Позначимо: ОА - В, АА\- Н. Виходячи з рівності 5б. - ±5П., матимемо: 28а. = 8„_; 28б=86, + 25'осн.; 5б. = 25'ос„.; 2лПН=2лК2; Н = Я. Тоді АВ-2К-2Н. З ЬА\АВ (ЛА = 90°): АА2 + АВ2 = Я, в2; Н2 + (2Н)2 = 52; Н2 = 5. Враховуючи, що К-Н, знаходимо повну поверхню: 8а. = 2яЛ(Л + Н) = 4лН2 = 20я (см2). Відповідь. 20я см2.И Приклад 9. Основою прямої призми є ромб з гострим кутом а. Діагональ бічної грані дорівнює І й утворює з площиною основи кут р. Знайдіть бічну поверхню циліндра, вписаного в дану призму. Нехай в основі прямої призми АВСОА\В\С\О\ лежить ромб АВСО, у якому ЛА = а< 90°; АВ\ -1. Проекцією діагоналі АВ{ грані АА\В{В на пло- щину основи є сторона АВ ромба, а тому, за умовою задачі, ЛВіАВ - р. Висота Н циліндра, вписаного в дану призму, дорівнює висоті призми, а радіус г основи — радіусу кола, вписаного в ромб АВСО. Бічна поверхня вписаного циліндра дорівнює 8а. = 2пгН. З &АВВ\ (ЛВ = 90°): Н - ВВ\ = /зіпр; АВ = /созр. З формули для площі ромба 8 - рг, де р = 2АВ — його півпериметр, знаходимо: 8 АВ2 -зіпа 1 . 1 . „ . — =-----------= —лВзіпа = — /созр-зіпа. р 2АВ 2 2 Отже, 5б. = 2я • • / • созР • зіпа • І • зіпр = ± я/2зіп2Рзіпа. 1 2 Відповідь, —я/ 8Іп2р8Іпа. 442
Завдання 38.1-38.20 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 38.1. Знайти повну поверхню циліндра з радіусом 5 см і висотою 15 см. А Б В Г д 375л см2 100л см2 400л см2 200л см2 150л см2 38.2. Прямокутник зі сторонами а і Ь (а > Ь) обертається навколо більшої сторони. Визначити об’єм тіла обертання. А Б В Г д. 2ла2/> па2Ь паЬ2 2лаЬ2 4ла2/> 38.3. Діагональ осьового перерізу циліндра дорівнює / і утворює з площиною основи кут а. Визна- чити радіус циліндра. А Б в Г Д 2/соза /аіп а /зіпа 2 /соза /соза 2 38.4. У циліндрі паралельно до його осі проведено площину на відстані 3 см від неї. Ця площина пе- ретинає основу циліндра по хорді, яка дорівнює 8 см. Знайти радіус циліндра. А Б В г д л/73 см 5 см л/55 см у/1 см \/5 см 38.5. Осьовим перерізом циліндра є квадрат зі стороною 10 см. Знайти площу бічної поверхні циліндра. А Б В Г Д 100 см2 50л см2 150л см2 100л см2 200л см2 38.6. Діагональ розгортай бічної поверхні циліндра дорівнює сі й утворює з висотою розгортай кут а. Знайти радіус циліндра. А Б В г д <7 зіп а <7 зіп а е/соза <7 зіп а <7 соз а 2 2л я я 2 38.7. Площа бічної поверхні циліндра дорівнює 5. Визначити площу осьового перерізу. А Б В Г д 5 4л 5 2 л5 5 2л 5 л 38.8. Відро циліндричної форми вміщує 10 л води. Іграшкове відро має розміри в 10 разів менші. Скільки літрів води вміщує іграшкове відро? А Б В г Д 1 л 0,1 л 0,01 л 0,001 л 0,0001 л 443
38.9. Відрізок, який сполучає центр верхньої основи циліндра з точкою кола нижньої основи, утво- рює з площиною основи кут а. Даний відрізок розміщений на відстані сі від центра нижньої основи. Визначити висоту циліндра. А Б в г Д 4 зіп а а соза сі зіп а а соз а 38.10. Паралельно до осі циліндра проведено площину, яка відтинає від кола основи дугу а. Діаго- наль утвореного перерізу нахилена до площини основи під кутом р. Визначити площу перері- зу, якщо радіус циліндра дорівнює К. А Б в Г д Я2 зіп2 47?2СО82уІ£(3 4Я2 зіп2 азіп2 ~ Я2 8ІП2уІ§р 4Я2 8ІП2уІ£Р 38.11. Діагоналі осьового перерізу циліндра утворюють при перетині кут (р. Визначити площу бічної поверхні циліндра, якщо площа його основи дорівнює 5. А Б в Г д 4Ясі8у «4 45 зіп— 2 45 соз— 2 48 • ф зіп — 2 38.12. Радіус основи циліндра В. Площина перетинає бічну поверхню циліндра, але не перетинає ос- нови й утворює кут а з площиною основи. Знайти площу перерізу циліндра цією площиною. А Б В г д лЯ2 (§а пК2 соза лЯ2зіпа пК2 соза лЯ2 зіпа 38.13. Осьовий переріз циліндра — квадрат АВСИ зі стороною 2а. Визначити найкоротпіу відстань між точками А і С по поверхні циліндра. А Б В Г д 2а2 41 4а2 41 а>/л2 +4 па а^п + 4 38.14. Через твірну циліндра проведено два взаємно перпендикулярні перерізи циліндра, площі яких дорівнюють 60 см2 і 80 см2. Знайти площу осьового перерізу. А Б В Г д 70 см2 80 см2 90 см2 100 см2 200 см2 38.15. У куб, ребро якого дорівнює а, вписано циліндр. Визначити повну поверхню циліндра. А Б В Г д па2 2 3 2 —па 2 5 2 —па 2 Зла2 12ла2 38.16. У циліндр вписано куб, об’єм якого дорівнює 8 см3. Знайти об’єм циліндра. А Б В г д 2л см3 4л см3 4л/2л см3 8л см3 2л/2л см3 444
38.17. Знайти радіус циліндра, описаного навколо прямокутного паралелепіпеда зі сторонами основи 9 см та 12 см і висотою 8 см. А Б В Г д 7,5 см 15 см 34 см 8,5 см 17 см 38.18. Об’єм правильної трикутної призми дорівнює V. Визначити об’єм циліндра, вписаного в призму. А Б В г Д лК зТз 4лИ зТз лИ І2л/3 лИ л/З л/ЗлК 38.19. У циліндр вписано правильну трикутну призму, а у призму — циліндр. Знайти відношення об’ємів циліндрів. А Б В г Д 1 : 8 1:4 3:4 оо 38.20. Дано циліндр з радіусом 2 і висотою 0,5. 8(х) — площа перерізу циліндра площиною, парале- льною до його осі, де х — відстань від осі циліндра до площини перерізу. Який з наведених Завдання 38.21-38.23 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 38.21. Осьовий переріз циліндра дорівнює 5, а висота циліндра — Н. Установити відповідність між величинами 8 ЇН(\-4) та об’ємом циліндра (А-Д). 1 8 см2, 4 см 2 6 см2, 3 см З 12 см2, 6 см 4 10 см2, 5 см А Зл см3 Б 5л см3 В 4л см3 Г 8л см3 Д 6л см3 38.22. Площа основи циліндра дорівнює 8, а діагоналі осьового перерізу утворюють при перетині кут ф. Установити відповідність між величинами 8 і ф (1-4) та площею бічної поверхні циліндра (А-Д). 1 4 см2, 60° 2 Зсм2, 90° З 6 см2, 120' 4 5 см2, 60° А 8л/з см2 Б І6л/3 см2 В 20^3 см2 Г 12 см2 Д 14 см2 445
38.23. Установити відповідність між об’ємами правильних трикутних призм (1—4) та об’ємами вписа- них у них циліндрів (А-Д). 1 18 см3 А 4>/Зл см3 2 9 см3 Б л/Зтг см3 3 36 см3 4 27 см3 В 5%/Зл см3 Г 2>/Зл см3 Д Зл/Зл см3 Розв’яжіть завдання 38.24-38.35. Відповідь запишіть десятковим дробом. 38.24. Площа основи циліндра відноситься до площі осьового перерізу як л/Зтс : 4. Знайти у градусах кут між діагоналлю осьового перерізу циліндра і площиною основи. 38.25. Висота циліндра дорівнює 12, а радіус основи дорівнює 10. Циліндр перетнуто площиною, па- ралельною до його осі так, що в перерізі утворився квадрат. Знайти відстань від осі циліндра до січної площини. 38.26. Площина, паралельна до осі циліндра, відтинає від кола основи дугу 120°. Знайти площу пере- різу, якщо висота дорівнює 10, а відстань від осі циліндра до січної площини дорівнює д/з . 38.27. Кут між твірною циліндра і діагоналлю осьового перерізу дорівнює 60°, площа основи цилінд- ра дорівнює >/з . Визначити площу бічної поверхні циліндра. 38.28. Із квадрата, діагональ якого дорівнює 2д/л, згорнута бічна поверхня циліндра. Визначити площу основи циліндра. 38.29. Площина, паралельна до осі циліндра, відтинає від кола основи дугу 60°. Твірна циліндра дорі- внює Юл/З, а відстань від осі до січної площини — 2. Знайти площу перерізу. 38.30. Знайти об’єм циліндра, якщо розгорткою його бічної поверхні є квадрат, сторона якого дорів- нює у/тІ . 38.31. У циліндр вписано призму, основою якої є прямокутний трикутник з катетом 1 і прилеглим до нього кутом 60°. Визначити об’єм циліндра, якщо висота призми дорівнює —. Я 38.32. Основою прямої призми є рівнобічна трапеція, основи якої дорівнюють 8 і 2. Висота призми дорівнює —. Знайти об’єм циліндра, вписаного в цю призму. ТІ 38.33. У циліндрі проведено два перерізи АВСО і АВЕЕ, де АВ — твірна циліндра. Площа кожного з цих перерізів дорівнює у площі осьового перерізу. Знайти у градусах кут між площинами АВС ЬАВЕ. 38.34. На присадибній ділянці воду для поливу рослин зберігають у циліндричному резервуарі, діа- метр основи якого дорівнює 2,5 м. Обчислити висоту резервуару з точністю до 0,01 м, якщо його місткість дорівнює 3 м3. 38.35. Криниця має форму циліндра, діаметр основи якого дорівнює 1,2 м, а глибина— 3 м. Він на- 2 повнений водою на — глибини. Обчислити з точністю до 0,01 м3 об’єм води у криниці. 446
Тема 39. Конус Тіло, утворене обертанням прямокутного трикутника навколо прямої, що містить один з його катетів, називають конусом. Конус складається із круга основи й бічної поверхні (див. рис.). Круг називають основою конуса, його радіус — радіусом конуса. Відрізки, що сполучають вершину конуса з точками кола основи, називають тві- рними конуса. Усі твірні конуса рівні. Пряму, яка проходить через вершину конуса і центр основи, називають віссю ко- нуса. Вісь конуса перпендикулярна до площини основи. Відрізок осі, що сполучає вершину конуса з центром основи, називають висотою конуса. вершина конуса ВС — висота конуса твірна конуса вісь конуса основа конуса радіус конуса Розгорткою конуса є круговий сектор круга, радіус якого дорівнює твірній конуса /, а довжина дуги — довжині кола основи і круг, радіус якого дорівнює радіусу основи конуса. Площа бічної поверхні конуса: 5 = лЯ/, де К — радіус основи, / — твірна. Площа повної поверхні конуса: 5Повн. = 5бічн. + ^осн.- £Повн. - пКІ + лЯ2 = лЯ(/ + Я). Об’єм конуса: V - ^тіК2к. Зрізаний конус АА] - І — твірна. О]А] = Я, ОА = г, ОО} -И — висота. В Осьовий переріз зрізаного конуса — рівнобічна трапеція А\АВВ]. Площа бічної поверхні зрізаного конуса: 8 - п(К + г)/. {І/ Площа повної поверхні зрізаного конуса: 5ПОВН = 5біЧН + + 82, де 5і і 52 — площі 22 А основ. 5Повн. - + г)1 + л(Я + г ), де Я і г — радіуси основ. 1 Об’єм: V = -^лй(Я2 + Яг + г2). 447
Перерізом конуса площиною, що проходить че- рез його вершину, є рівнобедрений трикутник, у яко- го бокові сторони — твірні циліндра. Осьовий переріз конуса— переріз, який прохо- дить через його вісь. Переріз конуса площиною, паралельною до його основи, є кругом. Дотична площина до конуса — площина, яка проходить через твірну конуса та перпендикулярна до площини осьового перерізу, проведеного через цю твірну. Приклад 1. Обчислити площу бічної поверхні конуса, висота якого дорівнює Зл/з см, а радіус основи удвічі менший від твірної. А Б В Г Д 18 л см2 36л см2 54л см2 9>/Зл см2 48л см2 Нехай (9(91 — конус, висота якого (9(9і дорівнює Зл/з см. Радіус основи О\А удвічі менший від твірної АО. Нехай АО\ -х. Тоді з прямокутного трикутника АО\О отримаємо: х2 + (Зл/з = (2х)2; 4х2 -х- 27; Зх2 = 27; х2 = 9; X] = 3, х2 = -3 — не задо- вольняє умову задачі. Отже, АО\ - 3 (см). А О = 2х = 6 (см). Маємо: 5б = я • АОі • АО = = тс • 3 • 6 = 18л (см2). Відповідь. А. Приклад 2. Кут між висотою і твірною конуса дорівнює 45°, а висота конуса — 3\/2 см. Знайти площу бічної поверхні конуса. Трикутник 8ОА — прямокутний (^(9 = 90°). ЛО8А + Л8АО - 90°, Л8АО = = 90° - 45° = 45°. Отже, трикутник 8ОА — рівнобедрений, ОА - 80 = Зл/2 (см) і К = ОА= Зл/2 см. 5^ = Зл/2-72 = 6 (см).5б. = Л- 3^2 • 6 = 18 ^2 л (см2). Відповідь. 18 >/2 л см2. Приклад 3. Висота конуса дорівнює 8 см, довжина кола основи — 12л см. Знайти площу повної поверхні конуса. С = 2л7?. Маємо: 2лЯ = 12л, звідси К = 6 см. Із прямокутного трикутника 5ОА (ХО - 90°) маємо: ЗА = л/82 +62 =10. 5П. = л • 6(6 + 10) = 96л (см2). Відповідь. 96л см2. 448
Приклад 4. Площа бічної поверхні конуса втричі більша від площі основи. Знайти об’єм конуса, якщо радіус основи 2 см. К = 2 см. 5б. = З^осн.; пП! = ЗлЯ2; І = ЗЯ = 6 (см). Н = л//2 — Я2 = 4^2 (см). У= ^пК2Н= ——л(см3). п. 16^2 з - Відповідь.------п см . Приклад 5. Через вершину конуса проведено площину, яка перетинає його основу радіуса К по хорді, яку видно з центра цієї основи під кутом а, а з вершини — під кутом р. Визначити площу 5 пе- 5 рерізу. У відповідь записати значення виразу —^=, якщо Я = 2 см, а = 90°, Р = 60°. Л/3 Нехай 8 — вершина конуса, О — центр його основи, 80 — висота, ОА — ра- 8 діус. Через вершину конуса проведемо площину, що перетинає його основу по хорді АВ, яку видно з центра основи під кутом АОВ, а з вершини — під кутом А8В. За умо- //!р\ / /11 А вою, /.АОВ - а, /А8В - р, ОА =К. Оскільки 8А = 5В, то трикутник А5В — рівнобед- / \\ А рений. У трикутнику А8В проведемо медіану 8К. Вона буде висотою і бісектрисою. 1 З ( Отже, 8К1АВ, /А8К =/В8К - — /А8В = ^. Із трикутника АОВ, у якому АО - ВО = Я, /АОВ = а за теоремою косинусів одержимо: АВ2 —АО2 + ВО2 -2АО- ВО • соз/АОВ; АВ2 = Я2 + Я2 - - 2Я2соза = 2Я2 - 2Я2соза = 2Я2(1 - соза) = 2Я2 • 2зіп2 у = 4Я2 зіп2 у. АВ = 2Язіпу. Із трикутника А8К, у якому /АК8 = 90°, /А8К = у, АК = ± АВ- Язіп-^, отримаємо: 8К = АКсІ§/А8К= = Язіп —сі£—. 8— АВ-8К = — -2Язіп— Язіп —сі£— = Я2зіп2—сіє—. Якщо Я-2см, а = 90°, 2 2 р' 2 2 2 2 2 2 2 Р = 60°, то 5пер = 22 зіп2 45°сІ§30° = 4 • • л/з = 2л/з. Тоді -у= = 2. Відповідь. 2. Приклад 6. В основі конуса проведено хорду, яку видно із центра основи під кутом а, а з верши- ни конуса — під кутом <р. Визначте бічну поверхню конуса, якщо його радіус дорівнює Я. Нехай 80— висота конуса, АВ— задана хорда, /АОВ = а, /А8В = <р, ОА = Я. Проведемо 8К/АВ, тоді ОК/АВ. Оскільки трикутники АОВ і А8В рівно- /АОК=^, /А8К=^. З ДОУЛ: ЯУ = Я-зіп-. З ДЯУЛ: 2 2 2 бедрені, то 1 = 8А = ^~ зіп — 2 п а Т?8іп — ----^-.5б. = лЯ/ = зіп— 2 лЯ2 8ІП — 2 • <р 81П — 2 Відповідь. лЯ2 8ІП — 2 • ф 81П — 2 29* Капіносов А. Математика. Комплексна підготовка до ЗНО 449
Приклад 7. Через вершину конуса проведено площину, яка перетинає основу конуса по хорді. Цю хорду видно із центра основи під кутом 60°. Відстань від центра основи до середини висоти перерізу дорі- внює 4 см. Знайти, під яким кутом площина перерізу нахилена до площини основи, якщо радіус основи конуса дорівнює 8 см. Нехай задана площина перетинає основу конуса по хорді АВ, 80 — ви- сота конуса, /ЛОВ = 60°, ОА = 8 см. Проведемо 8ІЇ1АВ, М— середина 8И, ОМ- 4 см. Оскільки 8И1АВ, то ОЗ'ІАВ. Потрібно знайти /.81ЧО. /АОN='$0°. З Д(9ЛА: ОN= ОА соз30° = 4^3 (см). ОМ— медіана прямокутного А8О1У, тому 8М= 2ОМ= 8 (см). соз/ЗМ) = — = ; /8ВЮ = 30°. 5У 8 2 Відповідь. 30°. Приклад 8. У конусі з центра основи до твірної проведено перпендикуляр, який нахилений до площини основи під кутом а. Знайти об’єм конуса, якщо довжина перпендикуляра дорівнює а. Нехай 80 — висота конуса, 8А — твірна, ОN— перпендикуляр до твір- ної 8А', 031 = а. Оскільки площина 80А перпендикулярна до площини основи ко- Л|\ нуса, то проекцією прямої ОN на площину основи є пряма ОА. Тому /]ЮА = а. /[ \ З ДЛМ9 (^У = 90°): В = ОА = —— . /N80 = 90° - /N40 = ЛІЇОА = а. //_ - - А соза 1 і 3 (/ ) З Д5ЛЇ9 (/М = 90°): Н= 80 = . Отже, V = - М/Н =--- зіпа З 3соз азіпа А . ТС673 Відповідь.---------------- З соз а зіп а Приклад 9. Твірна зрізаного конуса нахилена до площини більшої основи під кутом а. Радіуси основ Я і г (Я > г). Знайти площу бічної поверхні зрізаного конуса. Нехай А\А — твірна заданого зрізаного конуса, (91 О— його вісь, ОА- Я ї О\А\ =г (Я> г). Прямі АА\ і ОО\ перетинаються (у вершині повного конуса), а тому точки А, А\9 О\ і О лежать в одній площині. Оскільки ця площина перетинає //; ! \ паралельні площини основ зрізаного конуса по прямих АО та А\О\ і містить його / /!_ _ \ висоту ОіО, то АОЦА]Оі і (9і(9±Л(9. Отже, АА\О\О— прямокутна трапеція і А / | ! \ (9іО— її висота. Проведемо висоту А^М трапеції. Тоді Аі2У||(9і(9, звідки Апер- О пендикулярна до площини нижньої основи. Ортогональною проекцією твірної А А \А на площину нижньої основи є відрізок №4, а тому ЛА\АП = а. ДМ я А^АО-М^П-г.ЗЗАіМАІЛ^^у.^А^ = 22—Тоді соза соза К-г л(я2-г2) л(я2-г2) $6, = л(Я + г) • І = п(К + г) 22—!- = _ї-'. Відповідь, -і- соза соза соза Приклад 10. У зрізаному конусі діагоналі осьового перерізу взаємно перпендикулярні, а твірна І утворює з площиною більшої основи кут а. Знайти площу бічної поверхні конуса. Нехай ААіВ^В — осьовий переріз зрізаного конуса, АВ і А }ВХ — діаметри відповідно більшої та меншої основ, Оі і О — центри основ. Тоді О\О — висота зрізаного конуса, А\А = В\В— його твірні. Оскільки площина АА}В\ перетинає паралельні площини основ конуса по паралельних прямих АВ та А]В\, то АА\В\В— рівнобічна трапеція, О^О— її висота. А[А = І, АіВІВ^А. Проведемо висоту ЛіУ трапеції. Тоді А|7У||О|(9, а тому А\И перпендикулярна до площини 450
нижньої основи. Ортогональною проекцією твірної А\А на площину нижньої основи є відрізок №. За умовою задачі, ЛА}АВІ= а. Площа бічної поверхні 5б. - + де Л = 04, г = Ор4(. Із прямокутного трикутника А)№ знаходимо висоту АуИ трапеції: 4 /зіпа. Покажемо, що В + г - А\№. З рівності трикутників А\АВ і В\ВА (АВ — спільна, А\А =В\В і ЛАіАВ - ЛВіВА) випливає, що ЛА^ВА = ЛВ\АВ. Нехай К— точка перетину діагоналей А\В і В}А. Тоді &АКВ прямокутний (^К=90°) і рівнобедрений (ЛА = ЛВ), а тому ^|ВЛ = 45°. Оскільки Л]Л/]|ОіО, Лі0і||М9 і ЛО^ОN-90°, то чотирикутник А^ОіОМ є прямокутником. Тому ОВІ = А\О\ = г, ВN = ВО + ОN = = К + г.Зі\А^В (ЛЯ-90°, ЛВ-^5°)\ А^-ВВІ-В.-^ г. Отже, К + г = А= /зіпа. Знаходимо: 86. - л/зіпа • І = л/2зіпа. Відповідь. л/2зіпа. Приклад 11. Площі основ зрізаного конуса дорівнюють 4 м2 і 16 м2. Через середину висоти про- ведено площину паралельно до основи. Знайти площу перерізу. = 4 м2,52 = 6 м2. К\ = . — = (м), Т?2 = А— - -4= (м) — радіуси основ. V л >/л V л л/л В - + - _А_ — радіус перерізу. Площа перерізу: 5 = л/?2 = 9 (м2). 2 7л Відповідь. 9 м2. Приклад 12. Конус вписано в кулю, радіус якої дорівнює Я. Знайти площу бічної поверхні кону- са, якщо кут при вершині його осьового перерізу дорівнює а. На рисунку зображено осьовий переріз конуса та кулі, 80 — висота ко- нуса, 8А- 8В — його твірні, Оі — центр описаної кулі, О\8 - Я, АА8В - а. АВ За наслідком з теореми синусів для трикутника А8В маємо: -------= 27?; 8ІП0С АВ - 27? • зіпа. У рівнобедреному трикутнику А8В висота 80 є його медіаною і бісектрисою. Тому /-О8В - -у, ОВ - - Я • зіпа. З А8ОВ: 8В - ~ . а зіп — 2 Взіпа а „ с, п „2 • а =------= 27?соз—. Отже, 5б = л • ОВ 8В = 2лЛ зіпасоз—. зіп— 2 2 2 ? ос Відповідь. 2пК зіпасоз —. 2 Приклад 13. Твірна конуса нахилена до площини основи під кутом ф. Відстань від вершини нуса до центра вписаної в нього кулі дорівнює сі. Визначити площу бічної поверхні конуса. На рисунку зображено осьовий переріз конуса та кулі, 80 — висота ко- нуса, 8А = 8В — його твірні, /_8АВ = ф, О\ — центр вписаної кулі, 8О\ = (і. У рівнобедреному трикутнику А8В центр О\ вписаного кола лежить на ви- соті 80. Врахувавши, що промінь АОі є бісектрисою кута 8АВ, знаходимо кути ЛО, = 180°-ЛА-Л8= 90° + ^-. З 2 80, - соз— 1 2 • Ф зіп — 2 трикутника /ІЛ'Оі у; ЛАВО] за теоремою синусів: /5 = 90°- (р, 8А зіп 90° • ф 81П — 2 ко- , Ф 451
З М8ОА: ОА = £4 созф. Отже, 5б. = я • ОА • 8А = л • 8А2 • созф = леї2 сІ§2 у созф. ВІДПОВІДЬ. 7и/2СІ§2-^СО8(р. Приклад 14. Трикутник зі сторонами 13 см, 14 см і 15 см обертається навколо сторони 14 см. Знайти площу поверхні та об’єм тіла обертання. Нехай у трикутнику АВС АВ = 15 см, ВС = 14 см, СА = 13 см, Т— тіло, утво- рене обертанням цього трикутника навколо сторони ВС. Проведемо висоту ЛУ трику- тника АВС. Покажемо, що N— внутрішня точка сторони ВС. Для цього достатньо довести, що кути В і С— гострі. За теоремою косинусів АВ2 = ВС2 + СА2 - -2ВССА- СО82ГС, звідки: 152 = 142 + ІЗ2-2 • 14 • 13 • со&ЛС, 2-14-13- со$ЛС = = 140; со82ЇС= . Оскільки созЛС > 0, то /.С— гострий. У трикутнику АВС кут В лежить проти найменшої сторони, а тому /.В < Х.С < 90°. Отже, У— внутрішня точка сторони ВС. У такому випадку тіло Т є об’єднанням двох конусів зі спільною основою радіуса К = МА та висотами СМ і ВМ. Знайдемо радіус МА з трикутника СМА-. МА = СА з'тАС = СА -Уі-соз2 АС = 13 • ^1 - = 12 = 13 • Ц = 12 (см). Площа 8 поверхні тіла Т дорівнює сумі площ бічних поверхонь зазначених конусів: 8 = л • МА • СА + л • МА • ВА = л • МА • (СА + ВА) = л • 12 • (13 + 15) = 336л (см2). 1 2 1 2 Об’єм V тіла Т дорівнює сумі об’ємів конусів: V = — лМА СМ + - лМА ВМ' = = |лУЛ2 -(СМ + МВ) = |лМ42 СВ = |л • 122 -14 = 672л(см3). Відповідь: 336л см2; 672л см3. Приклад 15. Рівнобедрений трикутник, основа якого дорівнює 16 см і бічна сторона— 10 см, обертається навколо бічної сторони. Знайти площу поверхні та об’єм тіла обертання. Нехай у трикутнику АВС АС - 16 см, ВС - В А = 10 см. Проведемо висоти ВК і АИ трикутника. Тоді ВК— його медіана і бісектриса. СК - уЛС=8(см). З \СКВ\ ВК= л]вс2-ск2 = 6 (см). Оскільки 1&АСВК = | > 1, то АСВК> 45°, а тому АСВА > 90°. Отже, об’єм V тіла Т, утвореного обертанням трикутника АВС навколо біч- ної сторони ВС, дорівнює різниці об’ємів конусів зі спільною основою (радіус В = МА) та висотами СМ і ВМ. Площа 8 поверхні тіла Т дорівнює сумі площ бічних поверхонь цих конусів. Знайдемо радіус ос- нови конусів: 8МВС - - АС • ВК= - СВ • МА\ МА- — ВК = Ш* = 9,6 (См). Тоді: 8 = я • МА - СА + 2 2 СВ 10 + я • МА • ВА = 249,6л (см2). У= ^лМА2 СМ-^лМА2 ВМ = ^лМА2 СВ = 307,2л (см3). Відповідь. 249,6л см2, 307,2л см3. 452
Завдання 39.1-39.21 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 39.1. Діаметр основи конуса 8 см, а його висота 3 см. Знайти твірну конуса. А Б В г д 10 см л/73 см 2 см 10 см 5 см 39.2. Твірна конуса дорівнює /, а кут між твірною і висотою — 0. Визначити площу бічної поверхні конуса. А Б В Г д я/2 СО8р я/2 ЗІП Р 2л/2 соз Р я/2 ЗІпР я/2 созр 39.3. Знайти площу повної поверхні конуса, твірна якого дорівнює 10 см, а радіус основи дорівнює 6 см. А Б В Г Д 160я см2 96л см2 320л см2 192 см2 48л см2 39.4. Прямокутний трикутник з катетами 3 см і 4 см обертається навколо меншого катета. Обчисли- ти об’єм утвореного тіла обертання. А Б В Г д 16л см3 12л см3 36л см3 48л см3 4л см3 39.5. Осьовим перерізом конуса є прямокутний трикутник. Радіус основи конуса дорівнює 6. Знайти площу осьового перерізу конуса. А Б В Г д 72 9 12 18 36 39.6. Радіус основи конуса дорівнює 8 см, а його твірна— 10 см. Знайти площу осьового перерізу конуса. А Б В Г д 48 см2 24 см2 96 см2 60 см2 72 см2 39.7. Розгорткою бічної поверхні конуса є сектор, радіус якого дорівнює 9 см, а дуга — 120°. Знайти радіус конуса. А Б В г Д 4,5 см 1,5 см 6 см 3 см 9 см 39.8. Висоту конуса поділено на чотири рівні відрізки і через точки поділу паралельно основі прове- дено площини. Визначити площу найбільшого перерізу, якщо площа основи дорівнює 5. А Б В Г Д -5 4 -5 4 —5 16 —5 16 16 453
39.9. Хорду основи конуса, довжина якої а, видно з центра основи під кутом а. Твірна конуса нахи- лена до площини основи під кутом р. Визначити висоту конуса. А Б В Г Д 2сО8 — 2 2зіп — 2 2зіп— 2 28ІП — 2 В а1§2 2сО8 — 2 39.10. Радіус основи конуса дорівнює г. Визначити площу перерізу, який проходить через вершину конуса і хорду основи, яка стягує дугу 60°, якщо площина перерізу утворює з площиною осно- ви конуса кут 30°. А Б В Г д г2 л/З ±г2 2 2г2 г2 г2 2 39.11. Радіуси основ зрізаного конуса дорівнюють 7 см і 15 см, а його твірна— 10 см. Знайти висоту конуса. А Б В Г д 3 см 4>/2Ї см 2>/2Ї см 6 см 12 см 39.12. Два конуси мають однакову площу бічної поверхні. Знайти відношення площ їх основ, якщо твірна першого конуса утричі більша від твірної другого. А Б В Г д 1 : 9 1 :3 1 : 81 2:3 4:9 39.13. Осьовим перерізом конуса є правильний трикутник зі стороною 2г. Визначити площу перерізу, проведеного через дві твірні, кут між якими дорівнює 30°. А Б В г д г2 2г2 Зг2 4г2 £1 2 39.14. Найбільший кут між твірними конуса дорівнює 60°. Знайти відношення бічної поверхні до площі основи конуса. А Б В г д 1 2 3 4 5 39.15. Відношення площі основи конуса до площі осьового перерізу дорівнює я. Знайти кут нахилу твірної до основи. А Б В Г Д 15° 30° 45° 60° 75° 39.16. Півкруг згорнули в конус. Знайти кут при вершині осьового перерізу цього конуса. А Б В г Д 30° 45° 60° 90° 120° 454
39.17. Розгорткою бічної поверхні конуса є сектор з дугою а. Знайти а, якщо висота конуса дорівнює 4 см, а радіус основи — 3 см. А Б В Г д 54° 72° 58° 216° 108° 39.18. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює а. Бічна грань утворює з площи- ною основи кут а. Визначити об’єм конуса, вписаного в піраміду. А Б В Г Д ла3 л<а3сі§а ла3 аіпа па3 сі§а ла31§а 8 8 8 24 24 39.19. Бічне ребро правильної чотирикутної піраміди дорівнює Ь й утворює з площиною основи кут а. Визначити об’єм конуса, описаного навколо піраміди. А Б В г Д лЬ3 (§3 а лЬ3 зіп2 а соз а лЬ3 соз2 а зіп а лЬ3 . 2 зіп а соз а 3 лЬ3 2 соз а зіп а 3 39.20. Трикутник зі сторонами 3 см, 4 см і 5 см обертається навколо найбільшої сторони. Знайти площу поверхні обертання. А Б В Г д 10л см2 12,6л см2 14,4л см2 16,8л см2 20,2л см2 39.21. Радіуси основ зрізаного конуса дорівнюють П і г, а твірна — /. Знайти твірну повного конуса, від якого відокремлений зрізаний конус. А Б В г д ПІ ПІ ПІ П + г П-г г П — г П + г ПІ ПІ Завдання 39.22-39.24 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 39.22. Установити відповідність між кутом при вершині осьового перерізу конуса (1—4) та відношен- ням площ його бічної поверхні та основи (А-Д). 1 30° 2 90° З 60° 4 120° А л/2 Б 2 В 25/2 + 72 Г 2^2+ 73 Д З 455
39.23. Установити відповідність між довжинами висоти та радіуса основи (1—4) конуса і кутом (А-Д) сектора, який є розгорткою бічної поверхні конуса. 1 4 см, 3 см 2 3 см, 4 см 3 12 см, 5 см 4 24 см, 7 см . 8л А — 5 „ Юл г> 13 13 г 6 71 5 д— 25 39.24. Установити відповідність між кутом нахилу твірної конуса (1-4) та відношенням площ його основи та осьового перерізу (А-Д). 1 30° лУз 2 45° З 3 60° Б лУз 4 15 В л(2 + Уз) Г л Д 2лУз Розв’яжіть завдання 39.25-39.37. Відповідь запишіть десятковим дробом. 39.25. Осьовим перерізом конуса є прямокутний трикутник. Знайти площу 5 бічної поверхні конуса, якщо радіус основи конуса дорівнює 5. У відповідь записати-—. я 39.26. Площа осьового перерізу конуса дорівнює 0,6. Висота конуса дорівнює 1,2. Обчислити площу 5 5 повної поверхні конуса. У відповідь записати —. я 39.27. Твірна конуса утворює з його основою кут 30°, а площа перерізу, що проходить через твірні, г V кут між якими 120°, дорівнює л/3 . Знайти об’єм V конуса. У відповідь записати —. ті 39.28. Бічна поверхня конуса дорівнює 10 см2 і розгортається в сектор з кутом 36°. Знайти у квадрат- них сантиметрах повну поверхню конуса. 39.29. Висота конуса дорівнює 6. Розгорткою бічної поверхні цього конуса є сектор з центральним у кутом 120°. Визначити об’єм V конуса. У відповідь записати —. я 39.30. Знайти об’єм V тіла, яке утворюється при обертанні ромба зі стороною 1 і гострим кутом 60° навколо меншої діагоналі. У відповідь записати —. ТІ 456
39.31. Ромб, площа якого дорівнює 0, обертається навколо сторони. Визначити площу 5 поверхні одержаного тіла. У відповідь записати значення виразу---. 39.32. Рівнобічну трапецію, основи якої дорівнюють 8 і 18, обертають навколо більшої основи. Знай- ти площу 5 поверхні тіла обертання, якщо відомо, що в цю трапецію можна вписати коло. У 5 відповідь записати —. я 39.33. У конус із радіусом 7з і висотою 3 вписано правильну трикутну призму, всі ребра якої рівні. Визначити ребро призми. 1 ? /з 39.34. У конус із твірною —2=- , яка нахилена до площини його основи під кутом 60°, вписано кулю, уя Знайти об’єм кулі. 39.35. Визначити бічну поверхню конуса, вписаного в правильний тетраедр з ребром . уя 39.36. Бічною поверхнею конус розгортається у чверть круга. Визначити повну поверхню цього ко- 715 нуса, якщо площа його осьового перерізу дорівнює-----. я 39.37. У правильній чотирикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює 60°. Визначити площу ..... ..... . [72 бічної поверхні конуса, описаного навколо піраміди, якщо п висота дорівнює у— . V я 457
Тема 40. Куля Кулею називають тіло, утворене внаслідок обер- тання півкруга навколо, прямої, що містить його діаметр (див. рис.). На рисунку зображено кулю, яка утворена внаслідок обертання півкола навколо його діаметра АВ. АВ — діаметр кулі, О — центр кулі. Пряму, яка містить діаметр кулі, вважають віссю кулі. Поверхню кулі нази- вають сферою. сфера (поверхня кулі) радіус кулі СО — діаметр кулі Діаметральна площина — площина, яка проходить через центр кулі. Переріз кулі діаметральною площиною — великий круг, а переріз сфери — велике коло. Будь-який переріз кулі площиною є кругом. Центр цього круга — основа перпен- дикуляра, опущеного з центра кулі на січну площину. Площа сфери Площу сфери обчислюють за формулою 8 - 4л7?2. Площі двох сфер відносяться як квадрати їх радіусів або діаметрів. Об’єм кулі 4 3 Об'єм кулі обчислюють за формулою V — -К.В . Об’єми двох куль відносяться як куби їх радіу- сів або діаметрів. Кульовий сегмент Кульовий сегмент (сферичний сегмент) — частина кулі, яка відтинається від неї площиною. ОА -К — радіус кулі, О\А -г — радіус основи сегмента, О\Р -Н— висота сегмента. Збічн. — 2пКН. И = ля(я-|я); И = |лЯ2(ЗЯ-Я). Кульовий сектор Кульовий сектор складається із кульового сегмента та відповідного конуса. К - ОА — радіус кулі, Н = О\Р — висота сегмента. 5= пк(2Н + уі2КН-Н2}. V =—пК2Н. З Дотичні площина і пряма до кулі (сфери) Дотична площина (пряма) має з кулею (сферою) тільки одну спільну точку. Дотична площина (пряма) перпендикулярна до радіуса кулі (сфери), проведеного в точку дотику, і навпаки: якщо площина (пряма) проходить через точку кулі (сфери) і перпендикулярна до радіуса, проведеного в цю точку, то вона дотикається до кулі (сфери). 458
Приклад 1. Обчислити площу поверхні кулі, якщо її радіус дорівнює 2 см. 5сф. = 4я/?* 2. ^ф. = 4я • 22 = 16л (см2). Відповідь. 16л см2. Приклад 2. Знайти об’єм кулі, якщо її обмежує сфера, площа якої дорівнює 100л см2. йф. = 4л7?2. 4л7?2 = 100л, В2 = 25, В = 5 (см). Ик. = у я/?3 = у • я • 53 = я (см3). п. -500 з - Відповідь.-----я см . Приклад 3. У скільки разів потрібно збільшити радіус кулі, щоб її об’єм збільшився у 8 разів? 4 И Нехай радіус даної кулі дорівнює 7?і, а радіус кулі після збільшення— В2. Тоді: Ух = —пВх, У2 = у я/?23 • Маємо: У2 = 8ИЬ у я/?23 = 8• упВ], В2 - 8Я3, В2 = (2ВХ )3. Отже, В2 = 27?і, тобто радіус кулі потрібно збільшити удвічі. Відповідь. Збільшити удвічі. Приклад 4. Площина перетинає кулю. Діаметр кулі, проведений з однієї з точок лінії перетину, утворює з площиною кут 45°. Знайдіть площу перерізу, якщо діаметр кулі дорівнює 4л/з см. Нехай площина перетинає кулю по кругу з центром у точці Оіг О}А— радіус круга, АВ— діаметр кулі, а точка О— її центр. За умовою, АВ = 4л/з см. Оскільки центр О\ круга є основою перпендикуляра, опущеного з центра кулі на січну площину, то проекцією прямої ОА на цю площину є пряма О\А, а тому ЛОАО} = 45°. Знайдемо радіус О\А круга. ОА = ^АВ= 2>/з (см). З АОСМ (/.О\ =90°): О\А = ОЛсо845° = 2>/з • = л/б (см). Тоді площа круга: 5 = я • 6М2 = я • (л/б) - 6я (см2). Відповідь: 6я см2. Приклад 5. Радіуси двох куль дорівнюють 25 дм і 29 дм, а відстань між їх центрами — 36 дм. Ви- значити довжину лінії, по якій перетинаються їх поверхні. На рисунку зображено переріз куль площиною, що проходить -----------------------'Х через їх центри Оі і О2. Нехай Ві = 25 дм і В2 = 29 дм — радіуси куль ґ \ відповідно з центрами Оі і О2, ОіО2 = 36 дм. Оскільки В\ + В2 > О\О2, а / /І л\\ \ І О и І лб? І Т?2-Л1 < то поверхні куль перетинаються по колу. На рисунку І 1 2 \ АВ — діаметр цього кола, висота А О трикутника СМ О2 — його радіус. \ А У / Знайдемо радіус кола, використавши формулу Герона для обчис- лення площі трикутника О\АО^ р-------------------=45(дм). 5 = = ^/45(45-25)(45-29)(45-36) =360(дм2). З іншого боку, 5 = -ОіО2 • ОА, звідки ОА = = 2 О,О2 <2.360 =------- = 20 (дм). Тоді довжина кола дорівнює: І = 2пОА = 40я (дм). 36 Відповідь. 40я дм. 459
Приклад 6. Визначити об’єм меншого кульового сектора кулі, якщо радіус кола його основи до- рівнює 60 см, а радіус кулі — 75 см. Нехай О— центр кулі, ОА— вісь меншого кульового сектора, С— центр кола основи сектора, СВ — радіус цього кола; СВ - 60 см, ОА - ОВ - = 75 см. 2 2 Об’єм кульового сектора дорівнює: V- ~^В Н •> Де В-ОА, Н-СА. З \ОСВ (АС = 90°): ОС = \ІОВ2 - СВ2 = 45 (см). СА = ОА - ОС = 75 - 45 = = ЗО (см). Отже, И= | л • 752 • ЗО - 112500л (см3). Відповідь. 112500л см3. Приклад 7. Радіуси основ кульового пояса дорівнюють 10 см і 12 см, а йо- го висота — 11 см. Знайдіть поверхню сферичного пояса, якщо паралельні площини, які перетинають кулю, розміщені з різних боків від центра кулі. На рисунку зображено переріз сфери, О\А - 10 см, О2В =12 см, Н~ О\Ог~ 11 см. Площа поверхні пояса: 5 = 4тсЛ2 - (51 + 52), де В— радіус ку- лі, 51 , 52— площі поверхонь сферичних сегментів з висотами Н\-0\М і Н2 = О2К. 8 = 4лЯ2 - (2пВН\ + 2пВН2) = 2тсЛ(2Л - Нх - Н2) = 2пВН. Знайдемо Л: ОХО + ООг = ОхОі, >//?2-102 + Лї-П2 =11; Я2-102 = 11 - л/л2-122 V; В = 12,5 (см). Отже, 5 = 2л • 12,5 • 11 = 275л (см2). Відповідь. 275тс см2. Приклад 8. На якій відстані від центра кулі радіуса 12 см повинна 1 ... .о міститися точка, яка світиться, щоб вона освітлювача — п поверхні? Нехай М— точка, яка освітлює поверхні кулі радіуса В- 12 см. На рисунку зображено осьовий переріз кулі площиною, що проходить через точку М; О— центр кулі. Потрібно знайти довжину від- різка ОМ. Проведемо через точку М дотичні МА й МВ до кола, що обмежує осьовий переріз, і нехай С — точка перетину цього кола з відрізком ОМ. Точка Мосвітлюватиме дугу АСВ цього кола і сферичний сегмент, утворений обертанням дуги АС навколо осі ОМ. Проведемо висоту АК трикутника ОАМ. То- ді КС - Н— висота сферичного сегмента; його площа 5 = 2тіВН. Оскільки ця площа становить трети- 1 9 2 ну площі поверхні кулі, то: 2тіВН- ~ • 4яЛ"; Н- —В = 8 (см). Тоді ОК-ОС-КС- 12-8 = 4(см). Трикутники ОАМ і ОКА прямокутні {/ОАМ- /ОКА - 90°), мають спільний гострий кут (9, а тому є .Л „ . ОМ ОА „„ ОА2 _ 122 ,, , . подібними. Звідки: ---=-----; ОМ----------------36 (см). ОА ОК ОК 4 Відповідь. 36 см. Приклад 9. Навколо циліндра описана куля. Площа основи циліндра дорівнює 64л см2, а йот о ви- сота — 30 см. Знайти радіус кулі. А Б В Г д 15 см 3 см 9 см 17 см 20 см 460
Нехай циліндр, у якого круги (О\; г) і (О2; г) — основи, ^н. = 64л см2, вписа- но в кулю (О; Я), К-ОА. Оскільки площа основи циліндра дорівнює 64лсм2, то лг2 = 64л; г - 8 (см). Із трикутника АО\О (ХО{ = 90°), у якому АО\ = г = 8 см, ОО\ - = ЗО: 2 - 15 (см), за теоремою Піфагора маємо: О А2 = ОО2 + АО2, звідки ОА - = ТЙЧ 82 = ^289 = 17 (см). Відповідь. Г. Приклад 10, У кулю вписано правильну чотирикутну піраміду, сторона основи якої дорівнює а. Визначити площу поверхні кулі, якщо бічне ребро піраміди нахилене до площини основи під кутом а. 5 У відповідь записати значення виразу —, якщо а = 4 см, а = 45° я Нехай 8АВСО — задана правильна чотирикутна піраміда, сторона осно- ви якої дорівнює а. Проведемо діагоналі основи АС і ВИ. Вони перетинаються в точці Р. Оскільки піраміда правильна, то її вершина — точка 8 — проектується у центр кола, описаного навколо основи піраміди — точку Р. Тоді висота піра- міди проходить через цю точку. Отже, 8Р— перпендикуляр до площини осно- ви, 8А — похила, РА — її проекція. Кут 8АР— кут нахилу бічного ребра до площини основи. За умовою, Х.8АР - а. У трикутнику 8РА побудуємо середин- ний перпендикуляр МО до гіпотенузи 8А. Тоді 80-АО. Аналогічно можна до- вести, що точка О рівновіддалена від інших вершин піраміди, тобто є центром кулі, описаної навколо даної піраміди. Тому 8О-АО-К. Площина, проведена через діагональ основи АС і вершину 8 піра- міди, перетинає кулю по великому кругу, описаному навколо діагонального перерізу піраміди — три- кутнику Л5С, у якому Л.8АС - Л8СА - а, Л.А8С - 180° - 2а. За наслідком з теореми синусів = 27?; 7? =-. Із трикутника АСО (27) = 90°) за теоремою Піфагора одержимо: зіп(180° - 2а)---------------2 зіп 2а АС2 - АО2 + СО2; АС2 = а2 + а2 = 2а2; АС- ау[ї. Тоді 7? = ——. Площу поверхні кулі можна обчис- 2 зіп 2а ґ \І2 і 2 42 лити за формулою 5 = 4лЯ2. 5 = 4я|-------І =—;—. Якщо а - 4 см, а = 45°, то 5=—т------------=32я. <2зіп2а> зіп2 2а зіп2(2-45°) т . 8 32я ,» Тоді — =-----= 32. я я Відповідь. 32. Приклад 11. Навколо правильної трикутної призми описано кулю. Радіус кулі, проведений до вер- шини призми, утворює з бічним ребром кут у. Визначити об’єм кулі, якщо бічне ребро призми дорівнює Ь. Нехай К — центр кулі, описаної навколо правильної трикутної призми АВСА&С^ААї =Ь,ЛКАА\ = у. 4 з Об’єм кулі V- — яЯ , де К — її радіус. Проведемо радіуси КА і КА\ описа- ної кулі та висоту КК утвореного трикутника КАА і. Оскільки КА = КА і = Я, то ЛКАА] — рівнобедрений, а тому його висота КК є одночасно медіаною, звідки АИ=~. З &А1УК (^N = 90°): К = КА = = ——. Отже, Г = 2 созу 2созу _ 4 ( Ь V _ тії3 ЯІ І з ’ З ^2созу7 бсоз у Відповідь. —. бсоз у 461
Завдання 40.1-40.21 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРА- ВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 40.1. Кулю, радіус якої 5 см, перетнуто площиною, що розміщена на відстані 3 см від центра. Знайти площу перерізу. А Б В Г д 4л см2 8л см2 12л см2 16л см2 32л см2 40.2. Діаметр кулі дорівнює 6 см. Точка А лежить на дотичній площині на відстані 4 см від точки дотику. Знайти відстань від точки А до поверхні кулі. А Б В Г д 0,5 см 1 см 2 см 3 см 4 см 40.3. Площа великого круга кулі дорівнює 4л см2. Знайти об’єм кулі. А Б В Г д «К см1 3 16л см3 32л см3 — Л СМ3 3 64л см3 40.4. Діаметр кулі дорівнює 6 см. Знайти площу поверхні кулі. А Б В Г д 18л см2 36л см2 54л см2 72л см2 108л см2 40.5. Площина перетинає сферу. Довжина лінії перетину дорівнює 10л см, а діаметр сфери, прове- дений в одну з точок лінії перетину, утворює з площиною перетину кут 60°. Знайти площу по- верхні сфери. А Б В Г д 40л см2 100 л см2 25л см2 1600л см2 400л см2 40.6. Відстань між рівновеликими паралельними перерізами кулі, радіус якої становить 10 см, дорів- нює 12 см. Знайти площу кожного з цих перерізів. А Б В Г Д 22л см2 16л см2 64л см2 128л см2 100л см2 40.7. Об’єми двох куль відносяться як 27 : 125. Як відносяться площі їх поверхонь? А Б В Г д 9:25 3 : 5 727 : 7125 27 : 125 727 : 7125 40.8. Діаметр одного кавуна вдвічі більший від діаметра іншого. У скільки разів перший кавун важ- чий від другого? А Б В Г д 2 3 4 8 16 40.9. М’яч, площа повної поверхні якого дорівнює 400л см2, зробив один повний оберт по прямій. Знайти довжину шляху, яку він при цьому подолав. А Б В г д 10л см 20л см 30л см 40л см 60л см 40.10. На поверхні кулі радіуса г дано дві точки, відстань між якими дорівнює радіусу кулі. Визначи- ти найкоротшу відстань на поверхні кулі між цими точками. А Б В г д 2л лг лг лг лг Зг 12 6 3 4 462
40.11. Металеву кулю переплавлено на 8 рівних куль. Як змінилася при цьому загальна поверхня? А Б в г д Збільшилася у 4 рази збільшилася удвічі зменшилася удвічі зменшилася у 8 разів не змінилася 40.12. Дві рівні кулі радіуса К розміщені так, що центр однієї з них лежить на поверхні іншої. Знайти задіус кола, по якому перетинаються їхні поверхні. А Б В Г д 7? К 2 —к 2 к у/2П 40.13. Вершини трикутника лежать на сфері радіуса 13 см. Знайти відстань від центра сфери до пло- щини трикутника, якщо сторони трикутника дорівнюють 6 см, 8 см і 10 см. А Б В г д 4\/ГЇ см -УЇ65 см 6 см 24 см 12 см 40.14. Вершини прямокутника лежать на сфері радіуса 10 см. Знайти відстань від центра сфери до площини прямокутника, якщо його діагональ дорівнює 16 см. А Б в г д 2>/4Ї см 6 см 3 см 7 см 5 см 40.15. Через точку, що лежить на поверхні сфери, проведено дві взаємоперпендикулярні площини, які перетинають сферу по колах з радіусами г\ і г2- Визначити площу поверхні сфери. А Б В Г д л^ + к,2) 47г(г,2+г22) 2л(г,2+г22) 4 2 40.16. Через точку, що не лежить на сфері, проведено дві площини, які дотикаються до сфери. Знайти відстань від центра сфери до лінії перетину площин, якщо кут між площинами дорівнює 60°, а площа поверхні сфери — 32л см2. А Б В Г д 4\І2 см 8л/2 см 4 см 2>/2 см 16г/2 СМ 40.17. Знайти відношення площ поверхні куба і вписаної в нього кулі. А Б В Г Д 2 я 3_ я 4 я 6^ я 12 я 40.18. У циліндр вписано кулю. Визначити об’єм кулі, якщо об’єм циліндра дорівнює V. А Б в г д -V 3 -К 3 -V 6 -V 6 -V 4 40.19. Знайти відношення об’ємів кулі та вписаного в неї куба. А Б В Г д я 2 ^Я л/Зя 2 Узя 4 Зя 4 40.20. Знайти відношення площі поверхні кулі описаної навколо рівностороннього конуса, до площі поверхні кулі, вписаної в цей конус. А Б В Г д 2 3 4 6 8 463
40.21. Навколо кулі описана правильна трикутна призма. Знайти відношення об’ємів призми і кулі. А Б В г Д 27л/з 9>/з 9л/3 7з < 4л 4л я 4л я Завдання 40.22-40.26 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 40.22. Установити відповідність між геометричними тілами (1-4) та формулами для відшукання їх об’ємів (А-Д). 1 Циліндр 2 Куля 3 Конус 4 Піраміда А лг2Я Б пгі В -лг2Я 3 Г -лг3 3 д н 3 ж- 40.23. Установити відповідність між геометричними тілами (1—4) та формулами для відшукання їх поверхонь (А-Д). 1 Циліндр 2 Куля 3 Конус 4 Правильна чотирикутна піраміда А яг(г + /) Б 4яг2 В 67<67 + 2/) Г 2яг(г + /) Д 2яг/ 40.24. Установити відповідність між відношеннями об’ємів двох куль (1-4) та відношеннями площ їх поверхонь (А-Д). 1 27: 125 2 8:27 3 27 :64 4 125:64 А4:9 Б 9: 16 В 9 :25 Г 49 :64 Д25: 16 40.25. Дві площини, які перетинаються під кутом 60°, дотикаються до сфери. Установити відповідність між площею поверхні сфери (1-4) та відстанню від її центра до лінії перетин цих площин (А-Д). 36л см2 А 16>/з см 12л см2 Б 6 см 48л см2 В 2л/3 см 192 л см2 Г 5л/з см Д 4>/з см 464
40.26. Кулю радіуса г вписали в конус висотою Н і радіусом основи К. Установити відповідність між висотою Н і радіусом основи К конуса (1-4) та радіусом г кулі (А-Д). 1 4 см, 3 см А 6 см 2 16 см, 12 см Б 3 см З 24 см, 7 см В 1,5 см 4 8 см, 6 см ^21 Г — см 4 Д 3 см Розв’яжіть завдання 40.27-40.36. Відповідь запишіть десятковим дробом. 40.27. Перерізи кулі двома паралельними площинами, між якими лежить центр кулі, мають площі 144тг см2 і 25л см2. Відстань між площинами дорівнює 17 см. Знайти у квадратних сантиметрах площу 5 поверхні кулі. У відповідь записати —. я 40.28. Перерізи сфери двома паралельними площинами мають довжини 10л см і 24л см. Знайти у квадратних сантиметрах площу 8 поверхні сфери, якщо відстань між площинами дорівнює 5 7 см і центри перерізів лежать на одному радіусі сфери. У відповідь записати —. я 40.29. Основою прямої призми є трикутник зі сторонами 6, 8 і 10. Висота призми дорівнює 24. Знайти радіус кулі, описаної навколо призми. 40.30. Сторона основи і висота правильної чотирикутної піраміди дорівнюють 4. Знайти радіус опи- саної навколо піраміди кулі. 40.31. Навколо конуса з радіусом основи 9 і висотою 3 описано кулю. Визначити радіус цієї кулі. 40.32. У пряму чотирикутну призму, основою якої є ромб з діагоналями 3 і 4, вписано кулю. Визна- чити радіус кулі. 40.33. У циліндр, об’єм якого дорівнює 16л, вписано кулю. Визначити радіус кулі. 40.34. Висота конуса дорівнює 8 см, а його твірна дорівнює 10 см. Знайти у сантиметрах радіус кулі, вписаної в конус. 40.35. Основою піраміди є правильний трикутник зі стороною 6 см. Одне з бічних ребер піраміди є перпендикулярним до площини основи і дорівнює 4 см. Знайти у сантиметрах радіус кулі, опи- саної навколо піраміди. 40.36. Ребро правильного тетраедра дорівнює 3>/б . Визначйти радіус сфери, яка дотикається до біч- них граней тетраедра, якщо центр цієї сфери лежить на основі тетраедра. 465
Тема 41. Координати КООРДИНАТИ НА ПЛОЩИНІ Координатна площина Координатна площина — площина, на якій уведена прямоку- тна система координат. Прямокутну систему координат утворю- ють дві взаємно перпендикулярні числові осі, які мають спільний початок відліку — точку О. Одну з осей, як правило горизонталь- ну, називають віссю абсцис (вісь х), а іншу — вертикальну — віс- сю ординат (вісь у). Точку О називають початком координат (див. рис.). Кожній точці площини відповідає впорядкована пара чи- сел — координати точки. Перша координата — абсциса точки (позначають х), друга координата — ордината точки (позначають у). Тоді М(х;у)— позначення точки на координатній площині. Наприклад, координати точок, які зображені на рисунку, є такими: Л(1;3),5(3; 1), С(-2; 1), £)(1; 0), ДО; -2). Якщо точка лежить на осі абсцис, то її ордината дорівнює ну- лю (у = 0) (наприклад, точка /)); якщо точка лежить на осі орди- нат, то її абсциса дорівнює нулю (х - 0) (наприклад, точка К)\ абс- циса й ордината початку координат дорівнюють нулю (0(0; 0)). Координатні осі розбивають площину на чотири чверті (квадранти). Точки координатних осей не належать до жодної із чвертей. У межах однієї чверті знаки координат точок не зміню- ються (див. рис.). 3 початок координат 2 » вісь абсцис • і О । । -3 -2 -1 0 12 3 X -1- -2- - вісь ординат -З -2 Ч 0 -і 3’- II чверть (-;+) . -1 І чверть • і ( + ;+) 1 1 ' 0 1 X III чверть -1 IV чверть (+;-) Відстань між двома точками Відстань (і між точками А(хі; уі) та В(х2;у2) в координатній площині обчислюють за формулою: сІ = АВ = у/(х, - х2 )2 +(>’!- у2)2. Середина відрізка Координати точки С(х;у) — середини відрізка АВ, де А(хі; у}) та В(х2;у2), обчислюють за форму- Х'+х2 У\+У2 лами: х = —у = —— 2 2 Рівняння фігур на площині Рівняння з двома змінними називають рівнянням фігури Р у прямокутній системі координат, якщо: 1) координати будь-якої точки фігури Р задовольняють це рівняння; 2) будь-які два числа, що задовольняють це рівняння, є координатами деякої точки фігури Р. Наприклад: 1) у - х — рівняння прямої (рис. І); 2')у-х — рівняння параболи (рис. 2); З 3) у =---рівняння гіперболи (рис. 3). X 466
Рис. 2 Рис. З Рівняння кола У прямокутній системі координат рівняння кола має вигляд: (х-а)2 + + (у- Ь)2 = Л2, де К(а; Ь)— координати центра, К— радіус кола. х2+у2-К2 — рівняння кола з центром у початку координат. Рівняння прямої Пряма, яка проходить через початок координат, задається рівнянням у = кх. де к — кутовий кое- фіцієнт прямої, к - і£ОС, а — кут нахилу прямої до осі абсцис. На рис. 4 зображено графік рівняння у - кх. для к > 0, на рис. 5 для к < 0. Рівняння прямої у прямокутній системі координат можуть мати вигляд: 1) рівняння ах + Ьу + с - 0 (8), де а. Ь. с — деякі числа, а та Ь не дорівнюють одночасно 0, нази- вають загальним рівнянням прямої; 2) рівняння у - кх + Ь (9) називають рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом к. Одну й ту ж пряму можна задати рівнянням кожного з видів 1)-2). Пряма у прямокутній системі координат Пряма ах + Ьу + с-0. а^О, Ь^Оу прямокутній системі координат може бути розміщена такими трьома способами: с с 1. а = 0, Ь 0. Маємо Ьу + с = 0, у = —. Пряма у = — паралельна до осі абсцис (рис. 6) або збі- Ь Ь гається з нею. Рівняння у - 0 — рівняння осі абсцис. 467
с с І.аФІЇ, Ь-0. Маємо ах + с - 0, х = —. Пряма х = — паралельна до осі ординат (рис. 7) або а а збігається з нею. Рівняння х - 0 — рівняння осі ординат. а с З.а^О.6^0. у = —х — = Ах + т — рі Взаємне розміщення прямих Якщо прямі /і та 12 задані рівняннями;/ = к\Х + т\\у - к2х + т2, то вони: а) паралельні тоді й тільки тоді, коли к\ - к2 і гщ Фт2, тобто коли їх кутові коефіцієнти будуть рівними; б) перетинаються, якщо к\ Ф к2. Метод координат Метод дослідження геометричних фігур та їхніх властивостей засобами алгебри (із застосуван- ням системи координат) називають методом координат. Методом координат розв’язують такі задачі: 1) знаючи деякі геометричні властивості фігури, знаходять її рівняння і досліджують інші влас- тивості; 2) знаючи рівняння фігури, знаходять її властивості. Щоб розв’язати задачу методом координат, слід: 1) сформулювати задачу мовою координат. Для цього вводять декартову систему координат і вказують спосіб розміщення в ній даної фігури. Доцільно вибрати систему координат так, щоб якнай- більше координат вершин фігури дорівнювали нулю або одному й тому самому числу; 2) визначити координати деяких точок даної фігури; 3) використати відомі співвідношення і формули; 4) перекласти отримані результати мовою геометрії. КООРДИНАТИ У ПРОСТОРІ Аналогічно до площини, можна розглянути координати у просторі. Нехай задано точки Л(х1;у1;2і)іВ(х2;у2; *2). Координати точки С(х;у;2)— середини відрізка АВ, де Я(хі;уь 20, А(х2;у2; 22), обчислюють за X, + х2 ^4- у2 2, + 22 формулами: х- ; у- —г - . Відстань (1 між точками А та В обчислюють за формулою (1 = АВ = -х2)2 4-(у, -у^ +(2, -22)2. Відстань від точки М(х;у;г) до координатних площин ху, Х2, уг відповідно дорівнює |2|, [у|, |х|. Від- стань від точки Л/(х; у; і) до початку координат <9(0; 0; 0) дорівнює д/х2 4-у2 4-22 Рівняння сфери (х - а)2 + (у - Ь)2 + (2 - с)2 = К2, де (а; Ь; с) — координати центра, К — радіус сфе- ри; х2 +у2 + 22 = В2 — рівняння сфери з центром у початку координат. 468
Приклад 1. Знайти довжину відрізка ОК, якщо £)(9; 1), /С(5; -2). Скориставшись формулою <7 = ^(хх - х2)2 + (у{ - у2)2, маємо: ОК = л/(9-5)2+(1-(-2))2 = >/42 +32 = 725 = 5. Відповідь. 5. Приклад 2. На осі ординат знайти точку, рівновіддалену від точок Л(1; 2) і 5(2; 3). Нехай точка С(0;у) — шукана точка. За формулою = (хі -х2)2 + (у\ -уг)2 маємо: АС2 - = (0-1)2 + (у-2)2; 56? = (0 - 2)2 + (у - З)2. Оскільки АС = ВС, то: 1 +у2-4у + 4 = 4 +у2 - 6у + 9; 2у = 8; у = 4. Отже, точка С(0; 4) рівновіддалена від точок А та В і лежить на осі у. Відповідь. (0; 4). Приклад 3. Знайти периметр і площу трикутника з вершинами Л(-3; І), 5(-1; 3) і С(1; 1). За формулою <^ = ^(х| -х2)2 +(_У] -у2)2 знайдемо довжини сторін трикутника: Л5=7(-3+1)2 +(1-3)2 = 74 + 4 = 272; 5С=>/(-1-1)2 +(3-1)2 =74+4=272; СЛ=7(-3-1)2+(1-1)2 =716 = 4. Маємо: Рмвс = АВ + ВС + СА; Рмвс = 2^2 + 272 + 4 = 472 + 4 (см). Для сторін трикутника АВС має- мо: 42 = {2уі2) + (272) ; 16 = 16, тобто виконується рівність: СА2 =АВ2 + ВС2. Отже, трикутник АВС прямокутний з гіпотенузою СА. 5МС = ~ АВ ВС; 5МВС = + 272 • 272 = 4 (см2). Відповідь. (472 + 4) см; 4 см2. Приклад 4. Точка О — середина відрізка АВ. Знайти координати точки А, якщо 0(5; -5), В(7; -12). _ . X. + х7 у. + у7 _ 3 формул координат середини відрізка Х = > У = ~ %— маємо: 2х = хі + х2; = 2х-х2; 2у ~у\ + у2; уі = 2у-у2. Маємо: хх = 2 • 5 - 7 - 3; уі - 2 • (-5) - (-12) - -10 +12 = 2. А(3; 2) — шукана точка. Відповідь. (3; 2). Приклад 5. Вершини чотирикутника КОСМ мають координати АГ(1; 1), £)(3; 3), С(8; 3), Л/(6; 1). Довести, що КОСМ— паралелограм. За ознакою паралелограма, чотирикутник, діагоналі якого діляться навпіл, — паралелограм. Знайдемо координати середин діагоналей КС і ОМ чотирикутника КОСМ за формулами х = — , у । + у? 1 + 8 1 + 3 у= •* . Координати середини сторони КС: х = —^— = 4,5; у = —— = 2; координати середини сторони ОМ: х = ~~~ = 4,5; у = = 2. Отже, діагоналі мають спільну середину — точку (4,5; 2). Тому чотирикутник КОСМ— паралелограм. Приклад 6. Визначити центр і радіус кола, заданого рівнянням х2 - 6х + у2 - 2у - 26 = 0. Зведемо дане рівняння до вигляду (х - а)2 + (у - Ь)2 - К2: х2 - 6х + у2 - 2у - 26 = (х2 - 6х + 9) + + (у2 - 2у + 1) - 36 = 0; (х - З)2 + Су - І)2 = 36. Отже, (3; 1) — центр кола, К = 6 — радіус кола. Відповідь. (3; 1); 6. Приклад 7. Скласти рівняння прямої, паралельної до прямої 5х+у- 1 =0, яка проходить через точку А(1; 2). Запишемо рівняння прямої у вигляді у = кх + т: у = -5х + 1. Тоді у = -5х + т — шукана пряма. Оскільки вона проходить через точку А(1; 2), то: 2 = -5 • 1 + т, т - 7. Отже, у - -5х + 7 — шукане рів- няння прямої. Відповідь, у = -5х + 7. 469
Приклад 8. Скласти рівняння кола з центром на прямій х = 3, що дотикається до осі ординат у точці ДО; 2). Точка У(3;у) — центр кола, оскільки вона лежить на прямій х = 3 (див. рис.). За властивістю дотичної, уІХУ. Отже, у - 2, К - З, У(3; 2). Викорис- тавши формулу рівняння кола (х-а)2 + (у- Ь)2 - Я2, де а = З, Ь - 2, Я - 3, одер- жимо: (х - З)2 + (у - 2)2 = 9 — шукане рівняння кола. Відповідь, (х - З)2 + (у - 2)2 = 9. Приклад 9. Відстань між населеними пунктами А та В, розміщеними з одного боку від залізнич- ної колії, становить 13 км, а від них до колії — відповідно 6 км і 11 км. Де слід побудувати залізничну станцію, щоб вона була однаково віддалена від пунктів А та В? Знайти відстань від станції до пункту А. Результат округлити до цілих. Уведемо систему координат так, щоб вісь х збігалася із за- лізничною колією, а пункт А розміщувався на осі;/. Тоді ОА - 6 км, ВК = 11 км. Л(0; 6), В(пг9 11). АВ = 13. Оскільки АВ - 13, то за фор- мулою відстані між точками на координатній площині одержимо: (ти-О)2+ (11 -6)2 = ІЗ2; ти2 = 169-25; т2= 144; т = ±12. ти = -12 не підходить. Отже, В(12; 11). Знайдемо точку Л/(х; 0), рівновідда- лену від точок Л(0; 6) і В(12; 11). ЛЛ/2 = (0 - х)2 + (6 - О)2 = х2 + 36; ВМ* = (12-х)2 + (11 - О)2 = 144 - 24х + х2 + 121. З рівності ЛЛ/ = ВМ2 одержимо: х2 + 36 = 144 - 24х + х2 + 121; 24х = 229; х ~ 9,5 (км). Отже, Л/(9,5; 0) — точка, у якій має розміститися залізнична стан- ція. АМ-ВМ- 79,52 +36 = >/127 ==11,3 (км). Округливши резуль- тат до цілих, одержимо: 11,3 км ~ 11 км. Відповідь. 11 км. Приклад 10. Довести, що трикутник з вершинами Л(2; 0; 5), В(3; 4; 0) і С(2; 4; 0) прямокутний. Знайти координати центра кола, описаного навколо трикутника АВС. У відповідь записати суму коор- динат центра. АВ2 = (3-2)2 +(4-0)2 +(0-5)2 =42; ВС2 =(3-2)2 +(4-4)2 +(0-0)2 = 1; СА2 = (2 - 2)2 + (4 - О)2 + (0 - 5)2 = 41. 42 = 41 + 1; 42 = 42. Отже, за теоремою, оберненою до теореми Піфагора, трикутник АВС прямокутний з гіпотенузою АВ. Центр кола, описаного навколо прямокут- • у.. 2 + Зос 0 + 4 о 0 + 5 ~ _ ного трикутника, є серединою гіпотенузи. її координати: х - =2,5; у = —— = 2; г- = 2,5. Отже, точка (2,5; 2; 2,5) — центр кола. Тоді 2,5 + 2 + 2,5 - 7. Відповідь. 7. Приклад 11. Скласти рівняння сфери, яка проходить через початок координат, а центр її містить- ся в точці С(4; -4; 2). Оскільки сфера проходить через початок координат, то її радіус дорівнює відстані від центра С сфери до початку системи координат. В = ^Л2 + (-4)2 +22 =6. Отже, рівняння сфери: (х-4)2 + + (у + 4)2 + (2-2)2 = 36. Приклад 12. На осі аплікат знайдіть точку Л, рівновіддалену від точок АЛ(-2; 3; 5) і У(3; -5; 1). Нехай шукана точка має координати Л(0; 0; 2). За умовою, АМ = А1>Ц звідки АМ2 - Аії2. Оскі- льки АМ2 = 4 + 9 + (г-5)2, Я7У2 = 9 + 25 + (г- І)2, то: 13 + (г-5)2 = 34 + (г- І)2; 8г = 3; г= -. Отже, 8 ( З'ї А 0; 0; — . V 8> 470
Завдання 41.1-41.21 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРА- ВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 41.1. Точки А(2; -4; -8) і 2?( 10; -20; 6) симетричні відносно точки С. Знайти координати точки С. А Б В Г д (-10; 20; -6) (3; -4; -0,5) (12;-24; -1) (6;-12;-1) (-2; 4;-8) 41.2. Скласти рівняння кола, в якого відрізок — діаметр і Л/(7; 6), У(11; 9). А Б В Г Д (х-7)2+(у-6)2 = = 6,25 (х+9)2 +(у+7,5)2 = = 6,25 (х-9)2+(у-7,5)2 = = 6,25 (х-9)2+(у-7,5)2 = =25 (х+9)2 +(у+7,5)2 = =9 41.3. Дано трикутник АВС, вершини якого мають координати А(-2; 6), В(-2; -2) і С (4; -2). Знайти довжину медіани ВМ. А Б В Г д 2 3 4 5 6 41.4. Скласти рівняння геометричного місця точок, рівновіддалених від точок С(0; 3) і 0(2; І). А Б В г д у = х + 3 у =х+ 1 у = х + 2 у - -х + 1 У = 2 41.5. Знайти координати точки, яка симетрична точці 4(1; 2; 3) відносно площини ху. А Б В г Д (-і;-2;-3) (-1;-2; 3) (і;-2; 3) (-1;2; 3) (1;2;-3) 41.6. Знайти координати точки, яка симетрична точці А/(10; 20; ЗО) відносно осі аплікат. А Б В Г Д (-10;-20; 30) (10; 20; 30) (10; 20; 0) (-10; -20; -ЗО) (10; 20;-30) 41.7. При паралельному перенесенні точка 4(1; 2; 6) переходить у точку 4|(6; 7; 0). Вказати коорди- нати точки, у яку при цьому переходить точка В(Т, 9; 1). А Б В Г Д (21; 31,5; 0) (2; 4; 7) (12; 14; -5) (12; 14; 7) (-12;-14; 5) 41.8. Знайти відстань від точки М(5; 4; 12) до осі ординат. А Б В Г Д 5 4 12 13 21 41.9. Знайти відстань від точки Р(3; -6; 8) до площини ут.. А Б В г Д 3 4 6 8 10 41.10. Скласти рівняння сфери, яка проходить через початок координат із центром у точці 5(-1;2;-3). А Б В Г Д (х-1)2+ (у+2)2 + +(*-3)2=14 (х +1)2 + (у - 2)2 + +(7 + 3)2=2 (х + 1)2+(у-2)2 + +(г + 3)2 = 14 (х-1)2+(у + 2)2 + +(г-3)2=2 (х + 1)2 + (у-2)2 + +(г + 3)2 =10 471
41.11. Вказати рівняння кола, яке на площині симетричне до кола (х-4)2 +(у + 5)2 =9 відносно осі у. А Б В Г д (х + 5)2 + (х-5)2 + (х + 4)2 + (х - 4)2 + (х + 4)2 + +(у-4)2=9 +(;и + 4)2=9 +(у-5)2=9 +(у-5)2=9 +(у + 5)2=9 41.12. Скласти рівняння кола з центром у точці С(5; -2), яка дотикається до осі ординат. А Б В Г Д (х+5)2+(у+2)2 = = 25 (х+5)2 + (у-2)2 = = 4 (х-5)2+(у + 2)2 = = 4 (х-5)2+(у + 2)2 = = 5 (х-5)2+(у + 2)2 = = 25 41.13. Скласти рівняння сфери з центром у точці Л(-1; 3; 2), яка дотикається до площини ху. А Б В Г д (х +1)2 + (у - З)2 + (х + 1)2 + (у-3)2 + (х + 1)2 +(у-3)2 + (х + 1)2 +(у-3)2 + (х-1)2+(у + 3)2 + +(г-2)2 =10 +(г-2)2 = 4 +(г-2)2 =13 +(2-2)2 = 2 +(г + 2)2 = 2 41.14. Знайти координати центра кола х2 - 4х + у2 +1 Оу + 20 = 0. А Б в г д (2; 5) (-2; 5) (-2;-5) (2;-5) (4;-10) 41.15. Знайти радіус сфери х2 + у2 - 2у + 22 + 6г - 6 = 0. А Б В Г д 2 3 4 5 6 41.16. Дано АВСВ — паралелограм. А(-4; 1; 5), 5(-5; 4; 2), С(3; -2; -1). Знайти координати вершини £>. А Б В Г Д (12; 7;-8) (6;-3;-6) (-6; 3; 6) (-12; 7; 8) (4;-5; 2) 41.17. Дано АВСВА]ВІС)ВІ — куб. А(7; 0; 0), 5(5; 0; 0), 0(5; 2; 2). Знайти координати вершини £>ь А Б В Г Д (7; 5; 2) (5; 2; 0) (2; 2; 2) (7; 2; 2) (7; 0; 2) 41.18. Дано трикутник АВС з вершинами А(2; 2; -4), 5(2; -1; -1), С(3; -1; -2). Знайти зовнішній кут при вершині В. А Б В Г д 60° 90° 120° 135° інша відповідь 41.19. Точки А(2; 4) і С(5; 8) є вершинами квадрата АВСВ. Знайти площу цього квадрата. А Б В Г Д 2,5 5 12,5 25 20 41.20. Точки А(-1; 0; 2) і 5(0; 1; 1) є вершинами правильного трикутника. Знайти площу цього трикутника. А Б В г Д , 3 ' 4 зТз зУз 4 3 9 41.21. <7(х) — відстань від точки М(х; 0; 0) до площини ух. Який з наведених графіків є графіком фун- 472
Завдання 41.22-41.24 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 41.22. При паралельному перенесенні точка Л(1; 3; 2) переходить у точку А'(3; 0; 1). Установити від- повідність між точками (1-4) та точками (А-Д), утвореними при цьому паралельному перене- сенні. 1 Мі(1;3;0) АЛГ(2;-2;-3) 2 М2(6;8;-1) БЛГ(8;5;-2) З Л/з(0;1;-2) ВЛГ(3;0;-1) 4 М4(-1; 2; 3) г д/(2; -3; -1) ДЛГ(1;-1;2) 41.23. Установити відповідність між центрами і радіусами сфер (1-4) та їх рівняннями (А-Д). 1 Сі(1;2;0);4 А х2 +у2 + г2 - 6х + 2г+ 1 = 0 2 С2(3;0;-1);3 Б х2+у2 + г2-8у-2г-8 = 0 З С3(0;4;1);5 В х2 + у2 + г2 - 2х + 4у-6г-2 = 0 4 С4(2; 3; 1); 10 Г х2+у2 + г2-2х-4у-11 =0 Д х2 + у2 + г2 - 4х - 6у - 2г - 86 = 0 41.24. Установити відповідність між парами точок (1-4), та відстанями між цими точками (А-Д). 1 М(1;3;4),М(2; 1;2) АЗ 2 М2(3; 5; 1),У2(0; 1; 1) Б 13 З Мз(-2; 3; 4), У3(6; 3; -2) В 5 4 Л/4(1;-2; 5),У4(1; 10; 0) Г7 Д ю Розв’яжіть завдання 41.25-41.32. Відповідь запишіть десятковим дробом. 41.25. На осі ординат знайти ординату точки, рівновіддаленої від точки А(-4; 2) і початку координат. 41.26. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М(-2; 5) й утворює з додатним напрямом осі абсцис кут 45°. У відповідь записати абсцису точки перетину прямої з віссю абсцис. 41.27. Знайти площу трикутника, обмеженого осями координат і прямою 4х + Зу = 24. 41.28. Знайти квадрат довжини медіани АА\ трикутника АВС, якщо А(3; -2; 1), В(3; 1; 5) і С(4; 0; 3). 41.29. Знайти радіус сфери заданої рівнянням х2 + у2 + г2 - 2х + 2у - 2 = 0. 41.30. Скласти рівняння кола з центром на осі ординат, яке проходить через точки Л(-3; 0), 23(0; 9). У відповідь записати довжину радіуса кола. 41.31. Точка М(2; 6; 3) — середина відрізка, кінці якого лежать на осі х і на площині уг. Знайти дов- жину відрізка. 41.32. На ділянці, яка обмежена з двох боків взаємно перпендикулярними дорогами, посадили сад. Відстань від яблуні до першої дороги становить 3 м, а до другої — 4 м. Відстань від груші до першої дороги дорівнює 6 м, а до другої— 8 м. Знайти відстань між цими деревами. 473
Тема 42. Вектори ВЕКТОРИ НА ПЛОЩИНІ Вектором називають напрямлений відрізок, тобто відрізок, для якого вказано, який з його кінців є початком, а який — кінцем. На рис. 1 зображено вектор АВ ,А — початок вектора, В — кінець век- тора. Позначають АВ або АВ. Риска або стрілка над назвою вектора заміняють слово «вектор». Век- тори позначають також малими латинськими буквами: а або а, Ь або Ь (рис. 2). При позначенні ве- ктора двома буквами на першому місці ставлять його початок. Щоб задати вектор, достатньо вказати його початок і кінець. Координати вектора Координатами вектора з початком Л(хі;уі) і кінцем В(х2,у2) нази- У вають числа а{ = х2 - х(, а2 =у2-уі (див. рис.). Отже, координати вектора дорівнюють різниці відповідних координат його кінця і початку. Запису- В(х2;у2) ють: а) АВ(а,;а2) або б) а(а,;а2) або в) (а,;а2); читають а) вектор АВ з координатами а\ і а2, б) вектор а з координатами а\ і а2, в) вектор з коор- х, х динатами а\ і а2. Довжина вектора Довжиною (модулем) вектора називають довжину відрізка, що зображає цей вектор. На рис. 1 довжина вектора АВ дорівнює 3 см. Записують |лв| = 3 см. Довжину вектора а (#і; а2) обчислюють за формулою |а| = + а2 . Довжина і напрям вектора не залежатьт від розміщення його початку у системі координат. Рис. 1 Рис. 2 Нуль-вектором (нульовим вектором) називають вектор, початок і кінець якого збігаються. По- значають: б або б. Нуль-вектор не має напрямку, а його довжина дорівнює нулю: |б| = 0. Будь-яку точку X площини можна вважати нульовим вектором XX . Одиничним вектором називають вектор, довжина якого дорівнює 1. Позначають е. За означен- ням, |е| = 1. Колінеарність векторів Ненульові вектори називають колінеарними, якщо вони паралельні до однієї прямої. На рис. З а\\Ь, вектори АВ і СО, АВ і МК , СО і 7УАГ — колінеарні. Нульовий вектор вважають колінеарним будь-якому вектору. Вектори АВ і СО називають однаково напрямленими (співнапрямленимй), якщо промені АВ і СО однаково напрямлені. На рис. 4 вектори АВ і СО однаково напрямлені. Позначають: АВ Т? СО . Вектори МХ і КР називають протилежно напрямленими, якщо промені МИ і КЕ протилежно напрямлені. На рис. 5 вектори МХ і КР протилежно напрямлені. Позначають: МХ ?Ф КР . Якщо вектори а (аи а2) і Ь (Ь\, Ьі) колінеарні, то — = — = к, і навпаки, якщо — = — = к, то век- ^2 Ь\ Ь2 тори колінеарні. Вектори протилежно напрямлені, якщо к < 0, і однаково напрямлені, якщо к > 0. 474
Вектори називають протилежними, якщо вони мають рівні довжини (модулі) і протилежно на прямлені. На рис. 6 вектори т і п — протилежні: т = -п, тому що т 14 п і \т = \п . Рівність векторів. Вектори називають рівними, якщо вони співнапрямлені та мають однакові довжини (модулі). На рисунку вектори а і Ь рівні а = Ь, тому що а ?? Ь і |а| = |б|. Можна сказати й так: два вектори будуть рівними, якщо рівними є їхні відповідні координати: а{а\ \ аі)~ Ь2), якщо ді = Ь\, а2 - Ь2. Сума векторів а а2) і Ь Ь2) Якщо від довільної точки А відкласти вектор АВ = а, потім від точки В — вектор ВС = Ь і сполучити початок вектора АВ з кінцем вектора ВС, \ \ то одержимо вектор АС = с, який називають сумою векторів а і Ь (див. рис.). Записують: с = а + Ь. Щоб додати вектори, можна додати їх відповідні координати. Наприклад, сумою векторів а (аь а?) і Ь (6і; 62) є вектор с (сі; с2) з координатами с\ = ах + 6Ь с2 - а2 + Ь2. Отже, (а1;б72) + (б1;62):=(«і +61^2 +^2)- Для будь-яких векторів а (а\9 а2); Ь (6ь 62) і с(с}; с2) виконуються властивості: 1) переставна: а + Ь = Ь + а; 2) сполучна: (а + 6) + с = а + (6 + с); 3) додавання нульового вектора: а + б = а ; 4) додавання протилежних векторів: а +(-а) = 0. Для будь-яких точок А, В і С справджується векторна рівність АВ + ВС -АС. Побудувати вектор-суму неколінеарних векторів (або додати вектори) можна за: 1) правилом трикутника. Якщо будувати суму двох неколінеарних ненульових векторів, виходя- чи з означення, то утвориться трикутник (рис. 7). Цей спосіб знаходження суми двох векторів нази- вають додаванням векторів за правилом трикутника: с - а + Ь. Побудова суми векторів а та Ь у випадку, коли вони колінеарні, показано на рис. 8. а а) б) а) б) Рис. 7 Рис. 8 2) правилом паралелограма. Щоб додати вектори а і Ь (рис. 9 а) за правилом паралелограма, по- трібно від довільної точки А відкласти вектори АВ = а і АО = Ь, потім побудувати на цих векторах як на сторонах паралелограм АВСО. Діагональ цього паралелограма — вектор АС є сумою с векторів а та і (рис. 9 б). 475
В а) б) Рис. 9 3) правилом многокутника. Щоб додати кілька векторів за правилом многокутника, потрібно век- тори-доданки відкладати так, щоб початок другого вектора збігався з кінцем першого, початок третьо- го — з кінцем другого і т. д. Тоді вектор, початок якого є початком першого вектора, а кінець — кін- цем останнього, буде вектором-сумою (рис. 10): А{А2 + Л2Л3 + Л3Л4 +... + Ап_хАп = А}Ап . Різниця векторів а («і; а2) і Ь(Ь^ Ь2) Різницею векторів а і Ь називають такий вектор с (с = а - 6 ), який у сумі з вектором Ь дає вектор а : Ь + с - а . Щоб побудувати вектор-різницю, або відняти вектори а і Ь (рис. 11 а), потріб- но: відкласти вектори від однієї точки (рис. 11 б). Вектор, початок якого збігається з кінцем вектора Ь, а кінець — з кінцем вектора а , буде різницею а - Ь. Отже, вектор-різниця сполучає кінці векто- рів а та Ь й напрямлений у бік зменшуваного. а) Рис. 11 Добуток вектора на число Добутком ненульового вектора а на число к 0 називають вектор Ь, довжина якого дорівнює добутку довжини вектора а на модуль числа к. Напрям вектора Ь збігається з напрямом вектора а , коли к > 0, і протилежний до напряму вектору а , коли к < 0 (рис. 12). Записують: Ь - ка. Рис. 12 Щоб помножити вектор на число, можна помножити його координати на це число. Наприклад, добутком вектора а(аі;а2) на число к буде вектор 62) з координатами Ьх -ках, Ь2-ка2. Отже, Ь = к(ах; а2) = 5 ^2 )• 476
Множення вектора на число має такі властивості: 1. 1 • а = а. 2. -1 • а --а . 3. к • 0=0- а =0. 4. Переставний закон: к • а = а • к. 5. Сполучний закон: к • (т • а ) = (к • т) • а . 6. Розподільний закон: к - а + т - а -(к + т) • а ; к • а + к • Ь -к{а + 6 ). Кут між векторами Кутом між ненульовими векторами АВ і АС називають кут ВАС (рис. 13). Кутом між довільни- ми векторами а та Ь називають кут між векторами, що дорівнюють даним векторам і мають спільний початок. На рис. 14 /_МКК — кут між векторами а та Ь. Позначають а , Ь). 1. Якщо а ?? Ь , то а , Ь ) = 0°. 2. Якщо я 14 6 , то 2^( а , Ь)-\80°. 3. Якщо а , Ь)- 90°, то вектори називають перпендикулярними (пишуть а ±6 ). Рис. 14 Скалярний добуток векторів а і Ь Скалярним добутком двох ненульових векторів називають число, що дорівнює добутку їх дов- жин та косинуса кута між ними: а • Ь - |а| • |Й • со$(яА). Звідси соз(аб) = тД-Дг. "1 \ Н-М Скалярний добуток векторів л(аі; а2) і Ь(Ь\ \ Ь2) дорівнює сумі добутків відповідних координат цих векторів: а • Ь - а\Ь\ + а2Ь2. Скалярний добуток векторів має такі властивості: 1. Переставну а • Ь = Ь • а. 2. Сполучну (к а) - Ь - к • (а Ь) (відносно скалярного множника). 3. Розподільну (а +Ь) с = ас + Ьс. Скалярним квадратом вектора а називають скалярний добуток а а і позначають: а2: ~2 2 2 |~|2 а = а} • а2 - а . Косинус кута між ненульовими векторами аЬ а}Ь}+а,Ь, СОЗ ф = —--— = ..'..А—; 2 Властивість і ознака перпендикулярних ненульових векторів Якщо , то а-Ь = (і і навпаки, якщо а = 0 , то аІІ . 477
ВЕКТОРИ У ПРОСТОРІ Координати вектора А(хі;уйі\), В(х2; у2; г2); АВ(х2-хі;у2-уу,г2-іії= АВ (а^; а2; а3), де =х2-х{; а2 =у2-Уь «з = = 72-7!. Рівність векторів а (а\; а2, а3) = Ь(Ьі; Ь2, Ьз), якщо а\ - Ьі, а2 - Ь2, а3 = Ь3. Колінеарність векторів. Якщо вектори а (аь а2, а3) і Ь (Ь\\ Ь2, Ьз) колінеарні, то = -р- = к. Ц Ь2 Ь3 Сума векторів Сумою векторів а (а\; а2, а3) і Ь (Ь\, Ь2, Ьз) є вектор с (сі; с2, с3), такий що с1 = + Ьь с2 = а2 + Ь2, Сз~аз + Ьз, тобто (а,;а2;<^)+(^;^;^)=(ц+^;а2+^;<^+^). Різниця векторів (^^;^)Ч^Ь2;Ьі)=(а1-Ьі;а2-Ь2-,аі-Ьі). Модуль (довжина) вектора а (аі; а2; а3) | а |= 7^ + «22 + аз Множення вектора на число (а,; а2; а3) • X = (Ха,; Хд2; Хд3). Скалярний добуток векторів а (а3; а2; а3) і Ь (Ь3; Ь2; Ь3) сгЬ = ахЬх + а2Ь2 + а3Ь3. а • Ь =| а | • | Ь І • соз ф, де ф — кут між векторами. Косинус кута між ненульовими векторами СО8ф = а-Ь _ а^+а^+а^ І а| • | Ь | ^+с^+<^ зІ^ +Ь^+Ь^ Приклад 1. За якого значення т вектори а(2; - 4) і Ь(ти; 2ти -1,5) будуть перпендикулярними? А Б В Г д 1 -1 2 1,5 -6 а ± Ь , якщо а • Ь = 0. 2т- 4(2ит - 1,5) = 0; 2т - 8ти + 6 = 0; -6т = -6; т = 1. Відповідь. А. Приклад 2. За якого значення І вектори а(8;/;6) і <7(4; 2; 3) будуть перпендикулярними? А Б в г д -23 25 -5 5 -25 Не нульові вектори а(ах',а2,а3) і Ь(ЬХ,Ь2',Ь3) будуть перпендикулярними лише тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю, тобто коли а Ь = 0 або а\Ь\ + а2Ь2 + азЬз = 0. Для векторів а(8; /; 6) і <7(4; 2; 3) отримаємо: 8-4 + ґ- 2 + 6- 3 = 0;2ґ+50 = 0;ґ = -25. Відповідь. Д. 478
Приклад 3. Знайти координати вектора С£> і вектора, йому протилежного, якщо: а) С(3; -2), О(-2; 5); б) С(-5; 7), £(4; -6). Координати вектора обчислюють за формулами а\=Х2-Х],а2=у2~уі. а) <7і = —2 — 3 — —5, <72 = 5 — (-2) = 7. Отже, С£>(-5;7). ОС — вектор, протилежний С£>, £>С (5; -7); б) щ = 4 - (-5) = 9, аг = -6 - 7 = -13. Отже, СО(9;-13); ^С(-9; 13). Відповідь, а) (-5; 7), (5; -7); б) (9; -13), (-9; 13). Приклад 4. Модуль вектора а (12; гі) дорівнює 13. Знайти п. |а|2 = а2 + а2 ; ІЗ2 = 122 + я2; п2 = 169 - 144 = 25; п = ±5. Відповідь. -5, 5. Приклад 5. Дано точки Л(3; 5), В(-1; -2) і С(0; 4). Знайти таку точку £>, щоб вектори АВ і С£> були рівними. Знайдемо координати вектора АВ^а^а^) , а\ - -1 - 3 = -4, а2 = -2 - 5 = -7. Отже, ЛВ(-4;-7). Якщо вектори рівні, то їх відповідні координати рівні. СО = АВ , тому С£>(-4;-7). Знаючи координа- ти вектора СО, знайдемо координати його кінця: х2 = аі+хі, х2 = -4 + 0 = -4; _у2 = а2+.уі, уг = - -7 + 4 = -3. Отже, О(-4; -3) — шукана точка. Відповідь. (-4; -3). Приклад 6. За якого значення п вектори а (п + 5; -8) і Ь (5; 1-й) колінеарні? Вектори а і Ь будуть колінеарними, якщо Л+ = ——. Звідси: (п + 5)( 1 - гі) - 5 • (-8); п + 5 - 5 1-й - и2 - 5п - -40; п2 + 4п - 45 = 0; щ - -9, и2 = 5. Отже, вектори будуть колінеарними, якщо п = -9 або п - 5. Відповідь. -9; 5. Приклад 7. Знайти координати та довжину вектора с, який дорівнює а + 6, якщо а (-10; 5), 6(25; 3). Нехай сі і с2 — координати вектора с . сі = а\ + 6і, Сі = -10 + 25 = 15; с2 - аг + 62, с2 = 5 + 3 = 8. Отже, с (15; 8). |с| = у]с2+с2 , |с| = >/152 +82 = >/289 = 17. Відповідь. (15; 8); 17. Приклад 9. Спростити вираз АВ + ЛСУ + ВС + СА + Р() + ИМ. Маємо: ~АВ+ ШІ + ^С+ СА+ + ~ІЇМ = [АВ + 5С) + СА + (Л/7У + їш] + Р<2 = = ЛС + СЛ + б + Р0 = б + б + РС = Р2. Відповідь. Р(). Приклад 10. Дано: |а| = 2, |й| = 1, <р = 60°, де ф — кут між векторами а і Ь. Знайти: а) скалярний добуток векторів а + Ь і а ; б) модуль вектора а + Ь; в) косинус кута між векторами а і а + Ь. а) (а + &)• а = а2 + а Ь - |а| + |<7||&|созф = 4 + 2 • 1 • соз60° = 4 + 2 • = 5; б) |а + б| = ^а + б) = у] а +2аЬ + Ь = >/4 + 2 • 2 • 1 • соз60° +1 = >/4 + 2 + 1 = у/ї; 479
5 277 ‘ - -г . - (а+ї)-а 5 5 в) якщо а — кут між векторами а + о і а, то соза = р—і.,- р,, соза = , соза = — а + 6 • а 77 • 2 27 Відповідь, а) 5; б) 77 ; в) Приклад 11. Знайти у градусах зовнішній кут при вершині А трикутника АМК, якщо А(2; -2; -3), М(4;-2;-1),К(2; 2; 1). Кут КАМ— кут між векторами АК і АМ. Знайдемо модулі цих векторів. АК (2 - 2; 2 + 2; 1 + 3). АК (0; 4; 4), тоді |Т^| = 7о2+42+42 =>/32=472. ~АМ(4 -2; -2+ 2; -1+ 3). 7л/(2;0;2), тоді \ам\ = уі22 +02 + 22 = 78 = 271 АК • ~АМ = 0 • 2 + 4 • 0 + 4 • 2 = 8. с.^/КАМ = .АК'^-1= 8 ^=-1 АКАМ= 60°. Тоді ЛСАМ= 180°-60°= 120°. |як|-|ЛА/| 472-272 2 Відповідь. 120. Приклад 12. Дано куб АВСВА\В\Сф\. Обчислити кут між векторами 5Д і МА} , де М— сере- дина ребра Л£). Задамо в просторі систему координат, початком якої є вер- шина А куба, а осі х, у і 2 містять відповідно ребра АВ, АО, АА\. Приймемо довжину ребра куба за одиницю. Тоді: В(1; 0; 0), £,(0; 1; 1), М(0; 0,5; 0), Л^О; 0; 1); Щ (-1; 1; 1), Щ(0;-0,5; 1). Знаходимо кут <р між векторами 5Ц і МА{: ---- = (-1)0 + 1(-0,5) + 11 _ 0,5 = 0,5 = 0,5 = СО8<Р- 71 + 1 +1 -70,25 +1 73’ !>25 " V3'°’25• 5 ~ 0,5• 715 - х 1 1 = —=; ф = агссоз -7=-. 715 715 о. 1 _ Відповідь, агссоз —т=. 715 Завдання 42.1-42.24 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРА- ВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 42.1. Дано паралелограм АВСО. О — точка перетину діагоналей. Який з наведених векторів дорів- нює сумі ВС + ОА2 480
42.2. Дано вектор а. Який з наведених векторів дорівнює —а ? 42.3. Дано вектори а і Ь. ь- і а / а_7 В А Б В Г Д ОВ=-а+-с 2 2 — 2- 2- ОВ=—а+—с 3 3 —• 2-2- ОВ=--а--с 3 3 ОВ=--а--с 3 3 ОВ=-а+-с 3 3 42.5. Дано точки А(5; -6; 7) і В(8; -2; 7). Знайти абсолютну величину вектора АВ. А Б В г Д 5 25 л/ЇЗЗ 9л/2 4 31 * Капіносов А. Математика. Комплексна підготовка до ЗНО 481
42.6. Знайти довжину вектора АВ, якщо Л(-1; 1; -1), В(-1; 1; 1). А Б В г Д л/2 2 3 і 42.7. Серед векторів а (4; 14; 2), Ь (2; 7; -1), с (0; 0; 3), сі (-6; -21; 3) знайти колінеарні. А Б в Г Д а і Ь а і с а і сі Ь і с Ь і сі 42.8. За якого значення п вектори а(п + 5; - 8; п +1) і 6(5; 1 - и; 3) колінеарні? А Б В Г д ±5 ±5; 9 -9 5 5; 9 42.9. Дано вектори а (3; -6; 2) і Ь (8; 4; 5). Знайти скалярний добуток а • Ь. А Б В Г Д -17 0 -5760 10 -3 42.10. Обчислити квадрат довжини вектора а, якщо відомо, що він колінеарний вектору с(2; - 2; 3) і їх скалярний добуток дорівнює 34. А Б В Г д 17 >/Ї7 2 4,5 68 42.11. За якого значення х вектори а (3; 0; 6) і Ь (-8; 7; х) перпендикулярні? А Б В Г д 6 4 2 -4 -2 42.12. Сторона рівностороннього трикутника АВС дорівнює 4. Знайти скалярний добуток векторів ~АВВС. А Б в Г д 8 1 оо 4 —4 2 42.13. Знайти кут між векторами а (1; 0; -1) і 6(0; -1; 1). А Б В Г д 60° 120° 45° 135° 150° 42.14. Знайти координати вектора а , зображеного на рисунку. А Б в г Д (-3;-1) (2; 4) (5; 3) (3;-1) (3;1) 482
42.15. Знайти абсолютну величину вектора Ь, зображеного на рисунку. А Б В г д 3 7з Тїо 2 77 42.16. Знайти скалярний добуток векторів т і п. 42.17. Обчислити косинус кута між векторами а і с. у 1- с 1 ІІ _1_ 1 аП ї їх А Б В г Д 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 42.18. Вектори а і Ь утворюють кут 135°, а! = 2, /> = 2>/2 . Знайти |а-/>| А Б В Г Д 2^2 2д/5 5 4д/2 4 42.19. Дві сили Р\ і Р2 утворюють між собою кут 120°. =|Г2 = 10 Н. Знайти модуль рівнодійної цих сил. А Б В г Д 5Н 10 Н 5>/3 Н 20 Н 10а/2 Н 42.20. а і Ь —ненульові вектори, а + /> = а-5 . Знайти кут між векторами а і Ь. А Б В Г Д 30° 60° 45° 90° 120° 483
42.21. Дано вектори а і Ь такі, що а =1, 6 = 2, а + Ь = 3. Знайти скалярний добуток векторів а і Ь. А Б В Г Д 1 2 4 6 8 42.22. 42.23. Знайти модуль вектора 2а + ЗЬ, якщо а(1; 2), 6(1; 0) . А Б В Г Д 741 3 ТЇ7 1 9 Дано квадрат АВСО. Який з наведених векторів дорівнює сумі АС + ОВ ? А Б В г д 2АВ 2ВС б 2АС 2АО А Б В Г д у/2 710 2>/2 2 2а/3 Завдання 42.25-42.28 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 42.25. Установити відповідність між назвами формул для векторів а(а},а2,а3) і 6(6,62,63) (1-^1) та формулами (А-Д). 1 Довжина вектора |а| А (а^; а2Ь2, а3Ь3) 2 Скалярний добуток векторів а • Ь р ^д2 + д2 + д2 З Умова перпендикулярності векторів й±£ . В аі.Ьі=а2 :Ь2=а3:Ь3 . . . . _ . г Г + а2Ь2 + а3Ь3 4 Умова колінеарності векторів а і Ь Д ахЬх + а2Ь2 + а3Ь3 = 0 42.26. Установити відповідність між векторами (1-4) та їх скалярними добутками (А-Д). 1 3,(1; 5; 14), 6,(3;4;-1) А7 Б 9 2 32(3;0;-4), 32(5;-7;2) в _6 З 53(4;-2;9), 63(-З;1;4) Г 22 4 а4 (5;-4;-1), 6,(3; 4; 5) Д5 484
42.27. Установити відповідність між значеннями числа х (1—4) та парами векторів (А-Д), які за цих значень взаємно перпендикулярні. 18 А а,(2;х;-1), 6,(-3;2;х) 2 6 3 5 Б а2(-4; 5; 2х), 62(6;х;-1) 4 1 В а3(-х;4;2), 63(6;3;-3х) Г а4(2;3х;1), 64(х;1;-25) Д а5(х;-10;1), 65(4; 1;-ЗО) 42.28. Установити відповідність між векторами (1-4) та їх координатами (А-Д). 1 2 а Ь А(1;2) Б (4; 1) У а/ 3 с В (2; 2) і ; : ~І>. 4 т Г (3; 1) у Д (і; 3) 0 і X Розв’яжіть завдання 42.29-42.43. Відповідь запишіть десятковим дробом. 42.29. Відомо, що |х| = 11, |у| = 23, а |х - у| = ЗО. Знайти |х + у|. 42.30. Дано |а| = 13, |б| = 19, |а + б| = 24. Знайти |а - б|. 42.31. Вектори а і Ь утворюють кут 120°. |а| = 3, |б| = 2. Обчислити (За-2Ь)(а + 2Ь). 42.32. а (4; -2; -4), Ь (6; -3; 2). Обчислити (2а - ЗЬ)(а - 2Ї>). 42.33. Дано |т| = 2, |и| = 3, а кут між векторами т і п дорівнює 120°. Обчислити косинус кута між векторами т і т + п і знайти його значення з точністю до 0,01. 42.34. Знайти довжину вектора а-Ь-с, якщо |а| = 2, |б| = 3, |с| = 4, Л(а; Ь) = 60°, Л(Ь;с) = 90°, Л(а; с) = 120° й обчислити його значення з точністю до 0,01. 42.35. Знайти косинус кута між векторами -5а і -^-6 з точністю до 0,01, якщо а (-1; 1; 4) і Ь (1; 0; -1). 42.36. Дано вектори а(-2;0), 6(1;-1) і с (2; 3). За якого значення к вектори 2а-кЬ та с будуть ко- лінеарними? 42.37. Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах АВ(3; 0; -4) і Л£> (0; 5; 0). 42.38. Дано трикутник МРК, Л/(-3; -2), Р(1; 4), А?(2; -1). Знайти у градусах величину кута М. 42.39. Дано вектор а (2; 1; -3). Знайти квадрат довжини вектора Ь, якщо а • 6 = 7 і вектор Ь коліне- арний вектору а . 42.40. Дано |а| = 2, |б| = 1, а; Ь ) = 60°. Знайти косинус кута між векторами а + Ь і а - Ь з точні- стю до 0,01. 42.41. Знайти косинус кута між діагоналями паралелограма, побудованого на векторах а (3; 2) і 6(1; -2) з точністю до 0,01. 42.42. Знайти косинус кута між діагоналями паралелограма, побудованого на векторах а = 4»і + 2п і 6 = 4т + п з точністю до 0,01, якщо |ти| = |и| = 1, ф = ^(тя; п) - 60°. 42.43. На озері від пристані одночасно відпливають два катери. Один з них рухається зі швидкістю 25 км/год під кутом 30° до берега, а інший — зі швидкістю 30 км/год перпендикулярно до бе- рега. Якою буде відстань між човнами через 6 хв? Відповідь округли до сотих кілометра. 485
Тема 43. Перетворення фігур Перетворення фігур Якщо кожній точці фігури Р поставити у відповідність деяку точку площини, то всі відповідні точки утворюють деяку фігуру Р\. Кажуть, що фігуру Р\ одержали у результаті перетворення фігури Р. Фігуру Р] називають образом фігури Р. При перетворенні фігури Р у фігуру Р* мають місце такі властивості: 1) кожній точці фігури Р відповідає єдина точка фігури Р; 2) кожній точці фігури /** відповідає деяка точка фігури Р; 3) різним точкам фігури Р відповідають різні точки фігури Р'; Наприклад: 1) поставимо у відповідність кожній точці X півкола основу перпендикуляра, опуще- ного з точки X на діаметр — точку X (рис. 1). Ця відповідність буде перетворенням півкола в діаметр. Діаметр — образ півкола; 2) поставимо у відповідність кожній точці кола К діаметрально протилежну їй точку К. Ця відповідність буде перетворенням кола в коло (рис. 2) або кола в себе. Образом кола буде те саме коло. Переміщення Перетворення фігури Р, яке зберігає відстані між точками, називають переміщенням (рухом) фі- гури Р. Наприклад, перетворенням фігури Р у фігуру Р' (рис. 3) — переміщення, оскільки X —»X', У-+ Т,ХЇ-^ХТ,ХЇ=ХТ. Рис. З Властивості переміщення (руху): А, 1. Унаслідок переміщення точки, які лежать на прямій, переходять у точки, які лежать на пря- / мій, до тогож зберігається порядок їх взаємного а С В розташування. На рисунку А -» А', С —> С, В —> В', / до того ж якщо точка С лежить між точками А та В, то точка С лежить між точками А' та В'. 2. Унаслідок переміщення прямі переходять у прямі, промені — у промені, відрізки — у відрізки. На рисунку: а —> а', Ь —> Ь', промінь АК — у про- мінь А'К.', АС А'С, ВС -> В'С. 3. Унаслідок переміщення кут переходить у рівний йому кут. На рисунку ХА —» ХА'. 4. Унаслідок переміщення паралельні прямі переходять у паралельні прямі. Переміщення будь-яку фігуру переводить її у рівну їй фігуру. Дві фігури називають рівними, якщо існує переміщення, яке переводить одну фігуру в іншу. Симетрія Дві точки Хта X називають симетричними відносно даної точки О, якщо точка О — середина ві- дрізка XX (рис. 4). Точку О вважають симетричною самій собі й називають центром симетрії. 486
Щоб побудувати точку А*, симетричну до точки X відносно точки О, потрібно: 1) провести промінь ХО; 2) відкласти на ньому з другого боку від точки О відрізок ОХ = ОХ (рис. 5). X 1 о 1 X' х 1 о 1 Ь7 Рис. 4 Рис. 5 Перетворення, за якого кожна точка X фігури Р переходить у точку X фігури симетричну від- носно даної точки О, називають перетворенням симетрії відносно точки О. Фігури Р і Р* називають симетричними відносно точки О. На рисунку 6 показано побудову фігури, симетричної даній відносно точки О: а) відрізка Властивості центральної симетрії: 1) центральна симетрія є переміщенням, тому вона має всі властивості переміщення; 2) образом прямої, що проходить через центр симетрії, є сама ця пряма, а образом прямої, яка не проходить через центр симетрії, є паралельна їй пряма. Образом довільної точки Л/(х0; Уо) при центральній симетрії з центром у початку координат є точ- ка л/і(—х0; -уо). Фігуру Р називають центрально-симетричною, якщо існує така точка О, при симетрії відносно якої фігура Р переходить у себе. Прикладом центрально-симетричної фігури є квадрат (рис. 7 а), коло (рис. 7 б). Центром симетрії квадрата є точка перетину його діагоналей, а кола — його центр. Рис. 7 Точки X та Хі називають симетричними відносно прямої /, якщо пряма / є серединним перпенди- куляром до відрізкаХХ\, Осьовою симетрією відносно прямої / називають перетворення, при якому кожна точка X фігури Р переходить у точку Хі фігури Рі, симетричну відносно прямої /. Осьова симетрія є переміщенням (рухом), отже, вона має всі властивості переміщення. Якщо при симетрії відносно прямої І фігура пе- реходить сама в себе, то фігуру називають симетричною відносно прямої /, а пряму / — віссю симетрії фігури. Симетрію з віссю / називають осьовою симетрією. На рис. 8 показано побудову фігури, симетричної даній відносно прямої /: Рис. 8 487
Точки, симетричні відносно осі х, мають однакові абсциси та протилежні ординати. Точки, симе- тричні відносно осі у, мають однакові ординати та протилежні абсциси. Поворот Поворотом фігури Е навколо точки О на кут а за годинниковою стрілкою (проти годинникової стрілки) називають перетворення фігури Е у фігуру Е*, при якому кожній точці X фігури Е ставиться у відповідність така точка Хі фігури Е\, що ОХ = ОХ і ХХОХ = а. Точку О називають центром поворо- ту, а кут а — кутом повороту (рис. 9). Центр повороту переходить у себе. Поворот є переміщенням (рухом). а) б) Рис. 9 Поворот задається: 1) центром повороту; 2) кутом повороту; 3) напрямом повороту. Щоб побудувати точку X, у яку перейде точка X унаслідок повороту навколо точки О на кут а, потрібно: 1) провести промінь ОХ (рис. 10); 2) від променя ОХ відкласти кут ХОА, що дорівнює куту а — на рис. а) — проти годинникової стрілки, на рис. б) — за годинниковою стрілкою; 3) на промені ОА знайти точку X, яка лежить на відстані ОХ від центру повороту О. а) б) Рис. 10 Послідовне виконання двох поворотів навколо однієї й тієї ж точки є поворотом. Щоб виконати поворот фігури Е навколо точки О на кут а, потрібно кожну точку X фігури Е змі- стити по дузі кола з центром О радіуса ОХ на кут а (рис. 11). С Рис. 11 488
Паралельне перенесення Паралельним перенесенням фігури Р називають таке перетворення фігури Р у фігуру Р\9 при якому всі точки фігури Р зміщуються на один і той же вектор (в одному й тому ж напрямі та на одну й ту ж відстань). По-іншому кажуть, що всі точки фігури зміщуються уздовж паралельних прямих або прямих, які збігаються, в одному й тому ж напрямі й на одну й ту ж відстань. На рисунку: АХ|И?Ї'||СС'|^, XX = АА' = СС = УЛГ Кожну точку фігури Р змістили в одному й тому ж напрямку на одну й ту ж відстань: X —> Х9 А —> А'9 СС 9 N X. Отже, фігура Р перейде у фігуру Р' унаслідок паралельного перене- сення на вектор XXі. Властивості 1) паралельне перенесення є переміщенням, тому має усі його властивості; 2) при паралельному перенесенні пряма переходить у паралельну їй пряму або в себе; 3) переміщення, обернене до паралельного перенесення, є паралельним перенесенням; 4) послідовне виконання двох паралельних перенесень є паралельним перенесенням. Щоб побудувати точку А'9 у яку перейде точка А при парале- льному перенесенні, що переводить точку Xу точку Х9 потрібно: 1) провести пряму XX (див. рис.); 2) через точку А провести пряму АА'ЦХХ; 3) на прямій АА' відкласти відрізок АА' -XX так, щоб проме- ні АА' і XX були співнапрямлені. Точка А' — шукана. Задання паралельного перенесення: 1. Паралельне перенесення можна задати парою точок, указавши, яка з точок переходить у яку. 2. Паралельне перенесення можна задати формулами. У прямокутній системі координат паралельне перенесен- ня, яке переводить точку Х(х*9у) у точку Х(х'\у'\ задається формулами: х = х + а, у - у + Ь9 де а та 6 — координати вектора переносу (див. рис.). Перетворення подібності Перетворенням подібності з коефіцієнтом к > 0 називають перетворення фігури Р у фігуру Р\9 при яко- му довільним точкам X та У фігури Р ставлять у відпо- відність такі точки Х\ та Уі фігури Р\9 що Х\¥\ -кХ¥, Коефіцієнт к (к > 0) називають коефіцієнтом подібності. \ Це означає: якщо довільні точки X та У фігури Р Ху унаслідок перетворення подібності переходять у точки X і У фігури Р*9 то XV - кХУ9 де к > 0 (див. рис.). Переміщення є окремим випадком перетворення подібності, якщо к - 1. Властивості перетворення подібності: 1. Перетворення подібності переводить прямі в прямі, промені — у промені, відрізки — у відрізки. 2. Перетворення подібності переводить кут у рівний йому кут. Дві фігури називають подібними, якщо вони переводяться одна в одну перетворенням подібності. Запис Р~Р'означає: фігура Р подібна до фігури Р' Інколи вказують коефіцієнт подібності, наприклад, з якщо к- 3, пишуть Р~Р' Коефіцієнт подібності к дорівнює відношенню довжин відповідних ліній- них елементів фігур Р' і Р. 489
Властивості подібних фігур: 1. Будь-яка фігура подібна сама собі: Р~Р. 2. Якщо Р\~Рг, то Рг~Р\. 3. Якщо Р\~Рг, а Рг~Рз, то Рі~Рз. 4. Відношення площ подібних фігур дорівнює квадрату коефіцієнта подібності, тобто якщо Р~Р\, Гомотетія Гомотетією з центром О і коефіцієнтом к Ф 0 називають таке пе- ретворення фігури Р у фігуру Р', унаслідок якого кожна точка X фігури Р переходить у точку X фігури Р1 так, що точка X лежить на промені ОХ, якщо к > 0, або на доповняльному до нього промені ОХ", якщо к < 0, і ОА* = |А| • ОХ (к — будь-яке число, відмінне від нуля, О — фік- Л сована точка) (див. рис.). Точку О називають центром гомотетії, а число к — коефіцієнтом гомотетії. На рисунку відрізок А \ВХ гомотетичний відрізку АВ з центром гомотетії О і к = 2. Щоб побудувати фігуру Р', гомотетичну фігуру Р, потрібно: 1) зафіксувати на площині точку О; 2) вибрати довільну точку X фігури Р; 3) відкласти на промені ОХ (або на доповняльному промені) відрізок ОХ, що дорівнює |Л| • ОХ, 4) провести такі побудови для кожної точки фігури Р. Одержимо фігуру /**, яка є образом фігури Р, отриманим у результаті гомотетії. На рис. 12 показано побудову чотирикутника, гомотетичного чотирикутнику АВСО з центром гомотетії О і коефіцієнтом гомотетії: а) к = 2; б) к = -2. Рис. 12 Властивості гомотетії: Гомотетія є перетворенням подібності й вона має всі властивості перетворення подібності, а та- кож властивості: 1) гомотетія переводить пряму в паралельну їй пряму або в саму себе, якщо дана пряма прохо- дить через центр гомотетії; 2) на координатній площині гомотетія з центром у початку координат задається формулами х, = кх; де (х; у) — координати точки А, а (хі; у\) — координати образу цієї точки при гомотетії. ,Уі = ку; Приклад 1. Трикутник АВС— образ трикутника ОКХ, отриманий у результаті переміщення. Знайти кути трикутника ОКИ, якщо ОК = КИ, а найбільший кут трикутника АВС дорівнює 120°. Переміщення переводить фігуру у рівну їй фігуру, тому якщо трикутник ОКМ рівнобедрений, то трикутник АВС теж рівнобедрений. ХА = ХС — за вла- 490
стивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника. Оскільки в трикутнику не може бути два тупі кути, то ^В=120°. Тоді ЛА-ЛС- = (180° - 120°): 2 = 30°. Лй = ЛА = 30°, 2^= ЛС = 30°, ЛК = ЛВ = 120°. Відповідь. 30°, 30°, 120°. Приклад 2. Побудувати точку, симетричну до точки Д-2; 5) відносно: а) осі х; б) осі у; в) початку координат. Записати координати одержаних точок. а) Точка /ч(-2; -5) — симетрична точці К(-2; 5) відносно осі х (див. рис.); б) точка К2(2; 5) симетрична точці К(-2; 5) відносно осі у; в) точка Л7з(2; -5) симетрична точці АГ(-2; 5) відносно початку коор- динат. Відповідь, а) (-2; -5); б) (2; 5); в) (2; -5). к, У, і & \ у -А- -Д- л їп. -\ V - 5 - 3 е - '-1° -2- І 2 3 \ 1 - 5 з. /\ \ Приклад 3. Дано коло (х 4- 7)2 4- (у - З)2 = 49. Встановити рівняння образу кола, утвореного при симетрії відносно початку координат. А Б В Г д х2+у2 = 49 (х + 7)2 + 4-(у 4-З)2 = 49 (х-7)2 + + (у + 3)2 = 49 (х-7)2 + + (у-3)2 = 49 (х-3)2 + + (у + 7)2 = 49 Рівняння (х + 7)2 + (у - З)2 = 49 є рівнянням кола з центром у точці Л(-7; 3) і радіуса г-1. При симетрії відносно початку координат Л(-7; 3) —>ЛҐ(7; -3). Оскільки центральна симетрія є рухом, то коло перейде в рівне йому коло. Отже, (х - 7)2 + (у + З)2 = 49 — рівняння образу даного кола. Відповідь. В. Приклад 4. Встановити рівняння образу параболи у - х2 при паралельному перенесенні на вектор а (-5; 1). А Б В Г д у = -х2 + Юх - 26 у = х2 - 4 у = х2 - 5х + 1 у = х2- 10x4-26 у = х24- 10x4-26 При паралельному перенесенні на вектор а (-5; 1) вершина параболи (0; 0) перейде в точку <?і(0 - 5; 0 + 1); Оі(-5; 1). Рівняння параболи-образу з вершиною (-5; 1) має вигляд: у — 1 =(х + 5)2;у = (х + 5)2 4- 1;у = х2+ 10x4-26. Відповідь. Д. Приклад 5. Сторони двох подібних правильних многокутників відносяться як 6 : 5, а різниця їх площ дорівнює 77 см2. Знайти площу меншого з цих многокутників. Позначимо сторону меншого многокутника через 5х см, тоді сторона більшого — 6х см, де X— деяке число. Тоді 7!- = 7і4т = ІГТ = ||; 52-^і = 77, звідки ^-5, =77; о2 (6х) ЗиХ Зо 23 23 ^5, = 77; 5і = 175 (см2). Відповідь. 175 см2. 491
Приклад 6. Побудувати трикутник, симетричний трикутнику АКЛ відносно точки У, де А(-2; 2), ДЗ;6),П(2;-3),М1;2). Побудова зображена на рисунку. ЬА'К'Л' симетричний \АКЛ відносно точки N. Приклад 7. Побудувати фігуру, у яку перейде рівнобедрений трикутник АВС внаслідок повороту навколо точки С на 80° проти годинникової стрілки. Виконаємо поворот точок А та В навколо точки С проти годинникової стрілки на 80° (див. рис.), одержимо ТОЧКИ А і І ВІ ВІДПОВІДНО. Сполучимо ТОЧКИ А і І В і з точкою С. Одержимо трику- тник В1СЛ]. Приклад 8. При паралельному перенесенні точка Л/(2; -3) переходить у точку Л/(1; 5). Побуду- вати точку К, у яку перейде точка Д1; -6) при такому паралельному перенесенні. Знайти координати точки К’. Побудуємо на координатній площині точки Л/(2; -3), Л/(1; 5) і АГ(1; -6). Через точку К прове- демо пряму /, паралельну до прямої Л/Л/. На прямій І від точки К у напрямі ММ відкладемо відрізок КК' = Л/Л/. Точка К' — шукана. Знайдемо координати вектора переносу Л/ЛГ. а=1-2 = -1;/> = 5- - (-3) = 8. Отже, ММ’ (-1;8). Тоді координати точки /Ґ дорівнюють: -\ = хк. -1; 8 = ул.,-(-6); хк, = 0; ук, = 2. Отже, А7'(0; 2). Відповідь. (0; 2). 492
Приклад 9. Побудувати трикутник АВС, у якому Л(1; 1), В(6; 1), С(7; 3). Побудувати фігуру, у яку перейде цей трикутник унаслідок паралельного перенесення, заданого формулами х' - х + 4, у' =у - 3. Побудуємо трикутник АВС (див. рис.). Знайдемо координати точок А', В', С, у які перейдуть точки А, В, С відповідно при даному паралельному перенесенні: А'(1 + 4; 1 - 3), В'(6 + 4; 1 - 3), С(1 + 4; 3 - 3), тобто А'(5;-2), В'(10;-2), (7(11; 0). Сполучимо точки А', В' і (7 послідовно. Одержимо трикутник А'В'С, у який перейде трикутник АВС внаслідок даного паралельного перенесення. Приклад 10. &АВС~ АА\В\С\. Знайти невідомі сторони трикутників, якщо АВ=18см, ЛС = 16,4 см, А\В\ - 9 см, В\С\ - 7 см. В £ = = = 1. Отже, = = 1 Звідси 5С = 2В]Сі, ВС = 2 • 7 = 14 (см). АВ 18 2 ВС АС 2 Л1С, =АС : 2, А,С1 = 16,4:2 = 8,2 (см). Відповідь. 14 см; 8,2 см. Приклад 11. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 20 см і 28 см, а бічна сторона — 5 см. Знайди площу трапеції, подібної до даної, висота якої дорівнює 12 см. Нехай АВСВ — дана рівнобічна трапеція, у якої ВС - 20 см, АИ - 28 см, АВ - 5 см. Проведемо ВИЇЛИ. СК1ЛИ. ІЛВИ-М)СК (як прямокутні за гіпотенузою і катетом). ИВСК— прямокутник. АИ = КИ = (28 - 20): 2 = 4 (см). Із прямокутного трикутника АВИ за теоремою Піфагора АВ2 = ВИ1 + АИ2. Звідси ВК=4^ = 3 (см).Тоді З^Л^С.ВИ, 5^=^~3=Т2 (см2). Оскільки ДЛ^С^-ДЛЯСІ) і к=^- = — = 4, то -А'в'с'°' =к2, 8ЛВСП = 8, вгп-к2 =72 • 16 = пдт Д О ’ А8СО 3 °АВСО = 1152(см2). Відповідь. 1152 см2. Завдання 43.1-43.20 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРА- ВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 43.1. Який з відрізків є образом відрізка АВ при русі? 493
А Б В г д СО ОР кь К8 43.2. Знайти координати точки, симетричної точці (3; 5) відносно початку координат. А Б В г д (-5; 3) (5;-3) (3;5) (-3;-5) (-3; 5) 43.3. Яка з указаних фігур має цент симетрії? А Б в г д Трапеція трикутник кут промінь відрізок 43.4. Знайти координати точки, симетричної точці (-3; 4) відносно осі х. А Б в г Д (4;-3) (3;4) (3;-4) (-3;-4) (-4; 3) 43.5. Яка з указаних фігур має лише одну вісь симетрії’? А Б в г д Квадрат КОЛО відрізок парабола ромб 43.6. Дано точку С(1; 3). Знайти координати точки С, у яку перейде точка С при повороті навколо початку координат на 90° проти годинникової стрілки. А Б В г д (-3; і) (3;-1) (-і;3) (-2; 2) (-2; 3) Яка з прямих, зображених на рисунку, може бути образом прямої а при паралельному перене- сенні? а \с \ У# ь \/ А Б в г Д Жодна Ь с СІ а 43.8. При паралельному перенесенні точка А(2; 3) переходить у точку Л'(5; 1). У яку точку перейде при цьому паралельному перенесенні точка В(-2; 1)? А Б в г Д (-5;3) (-1; і) (5;-3) (9; 3) 43.9. Точка Я'(-8; 12) — образ точки А(х; -3) при гомотетії з центром у початку координат. Знайти х. А Б В Г д -17 -2 2 -7 5 43.10. Площі двох подібних трикутників дорівнюють 27 см2 і 48 см2. Одна зі сторін першого трикут- ника дорівнює 6 см. Знайти відповідну їй сторону другого трикутника. А Б в Г д 10- см 3 8 см 20,25 см 9 см 7,25 см 494
43.11. Встановити образ прямої у = 2х + 3 при симетрії відносно початку координат. А Б В Г д у - -2х - 3 у = -2х + 3 у = 0,5х + 3 у = 2х-3 у = -0,5х - 3 43.12. Встановити образ параболи у = (х - І)2 + 3 при симетрії відносно початку координат. А Б В г Д у = (х-1)2-3 у = -(х+1)2-3 у = -(х-1)2-3 у — —(х + 1)2 + 3 у = (х-1)2 + 3 43.13. Знайти образ прямої у - -4х - 3 при симетрії відносно вісі у. А Б в Г д _ х ~ у х-3 л 4 _ х ~ у х- 3 л 4 у = -4х + 3 у - 4х + 3 у - 4х - 3 43.14. При симетрії відносно прямої у = х пряма у = —4х + 4 переходить у пряму ... А Б В Г д - х 1 У--+1 у = - +4 л 4 у = -4х - 4 у = 4х + 4 _ X , 1 у-- + ! 43.15. Встановити образ параболи у = х2 при паралельному перенесенні на вектор а (-1; 2). А Б В Г д у = х2 - 2х + 1 у = х2 - 2х - 1 у = х2 - 2х + 3 у = х2 + 2х + 3 у = х2 + 2х + 1 43.16. Встановити образ прямоїу = -х + 4 при паралельному перенесенні на вектор т (1; 1). А Б В Г д у - -2х + 5 у - -х + 5 у = -х + 6 у - -2х + 6 у = х + 5 43.17. Знайти образ точки (72 ; 0) при повороті навколо початку координат на кут 45° проти годин- никової стрілки. А Б в Г д (0; 72) (і; і) (72; 72) [7/2.7Г| 1 2 ’ 2 ) (72 ;1) 43.18. Вказати рівняння образу кола (х- І)2 + (у + 2)2 = 4 при гомотетії з коефіцієнтом 3 і центром у початку координат. А Б В Г д (х-3)2 + + (у + б)2 = 36 (х-3)2 + + (у + 6)2= 12 (х-1)2 + + (у + 2)2= 12 (х-1)2 + + (у + 2)2 = 36 (х + З)2 + + (у-6)2 = 36 43.19. Точка Л(2; -3) — образ точки В(8; 6) при гомотетії з центром у точці Л/(4; 0). Знайти коефіці- єнт гомотетії. А Б В Г Д 3 2 0,5 -2 -0,5 43.20. Точка М(6; -3) — образ точки N(2; 1) при гомотетії з коефіцієнтом к = —. Вказати координа- ти центра гомотетії. А Б в г д (5;-2) (-5; 2) (-2; і) 1 гч | сп 1 (-5;-2) 495
Завдання 43.21-43.28 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 43.21. Дано точку А(5; -2). Установити відповідність між перетвореннями (1—4) та координатами об- разу точки (А-Д). 1 Паралельне перенесення на вектор (3; 4) 2 Симетрія відносно початку координат 3 Симетрія відносно осі X 4 Симетрія відносно осі у А (5; 2) Б (2; -6) В (-5; 2) Г (-5; -2) Д (8; 2) 43.22. Дано точку В(0; \Ї2 ). Установити відповідність між поворотами навколо початку координат (1—4) та координатами образу точки (А-Д). 1 Поворот на 90° за годинниковою стрілкою 2 Поворот на 90° проти годинникової стрілки 3 Поворот на 45° за годинниковою стрілкою 4 Поворот на 135° проти годинникової стрілки А(1;1) Б (-1; 1) В(-1;-1) Г (л/2 ; 0) Д(-л/2;0) 43.23. Дано пряму у = у+1. Установити відповідність між перетвореннями (1-4) та рівняннями об- разів даної прямої (А-Д). 1 Симетрія ВІДНОСНО ОСІ X 2 Симетрія відносно осі у 3 Симетрія відносно початку координат 4 Паралельне перенесення на вектор (3; 1) А у = --+1 3 Б у = - + 1 3 В у=---\ 3 Г у — х + 2 Д У = |-1 43.24. Дано точку А(4; 6). Установити відповідність між гомотетіями (1—4) та координатами образу точки (А-Д). 1 Гомотетія з центром 0(3; 3) і к - 2 2 Гомотетія з центром 0(2; 5) і к - 3 3 Гомотетія з центром 0(3; 7) і к - -2 4 Гомотетія з центром 0(5; 7) і к - -3 А (8; 8) Б (8; 10) В (2; 8) Г(1;9) Д(5;9) 43.25. Дано коло (х - З)2 + (у + 5)2 - 4. Установити відповідність між перетвореннями (1-4) та рівнян- нями образів кола (А-Д). 1 Симетрія ВІДНОСНО ОСІ X 2 Симетрія відносно осі у 3 Симетрія відносно прямої у - X 4 Симетрія відносно початку координат А (х + 5)2 + (у-З)2 = 4 Б (х-5)2 + (у + З)2 = 4 В (х - З)2 + (у-5)2 = 4 Г (х + З)2 + (у + 5)2 = 4 Д (х +З)2 + (у-5)2 = 4 496
43.26. Дано графік у = у]х. Установити відповідність між перетвореннями (1-4) та рівняннями обра- зів графіка (А-Д). 1 Симетрія відносно прямої X = 4 2 Симетрія відносно прямої у = 2 3 Симетрія відносно прямої у = -1 4 Симетрія відносно прямої х = -1 А у = -у[х-2 Б у = 4-х-2 В у = V-х + 4 Г у = 4-х + 8 Д >> = -л/х + 4 43.27. Дано коло (х + З)2 + (у - 4)2 - 9. Установити відповідність між гомотетіями (1-4) та рівняннями образів кола (А-Д). 1 Гомотетія з центром 0(0; 1) і к = —- 2 Гомотетія з центром 0(0; 1) і к = 3 Гомотетія з центром 0(0; -2) \ к = •- 4 Гомотетія з центром 0(0; 2) і к = — А (х + І)2 + (у — 2)2 = 1 Б (х — І)2 + (у-4)2 = 0 В (х — І)2 + (у + 1)2= 1 , ( 2У Г (х- 1)2+ |у + |) =1 Д (х+І)2 + (у-І)2 = 1 43.28. Дано параболу у -х2 - 4х + 8. Установити відповідність між перетвореннями (1-4) та рівнян- нями образів параболи (А-Д). 1 Паралельне перенесення на вектор (2; -1) 2 Паралельне перенесення на вектор (-4; 1) 3 Паралельне перенесення на вектор (1; 2) 4 Симетрія відносно осі у А у - Xі + 4х + 8 Б у = х2 - 8х + 19 В у — X* - 6х + 15 Г у - х2 + 4х + 9 Д у = х2 - 4х - 8 Розв’яжіть завдання 43.29-43.32. Відповідь запишіть десятковим дробом. 43.29. Вершина А квадрата АВСО є центром повороту проти годинникової стрілки на кут 90°. Знайти довжину відрізка ССі, де точка С\ — образ точки С при заданому повороті, якщо АВ - 5 см. 43.30. Середня лінія трикутника відтинає від нього трапецію, площа якої дорівнює 21 см2. Знайти площу даного трикутника. 43.31. Продовження бічних сторін АВ і С£> трапеції АВСО перетинаються у точці £. Знайти площу трапеції, якщо ВС: АО = 3 : 5, а площа трикутника АБО дорівнює 175 см2. 43.32. Пряма, паралельна до сторони АВ трикутника АВС, перетинає його сторону АС у точці Е, а сторону ВС — у точці Е. Знайти площу трикутника СЕР, якщо АЕ : ЕС - 3 : 2, а площа трикут- ника АВС дорівнює 75 см2. 32* Капіносов А. Математика. Комплексна підготовка до ЗНО 497
Тема 44. Найпростіші геометричні фігури на площині Точка та пряма Точка та пряма — основні, неозначувані фігури на площині. точка пряма Точки позначають великими буквами латинського алфавіту: А, В, С, О, ... (рис. 1 а), а прямі — малими буквами латинського алфавіту: а, Ь, с, ... або двома великими: АВ, СО, КЬ,... (рис. 1 б). а) б) Рис. 1 Промінь і відрізок Відрізок і промінь — частини прямої. Променем називають частину прямої, що складається з точки на прямій, яку називають початком променя, а також з усіх точок прямої, які лежать з одного боку від указаної точки. Будь-яка точка прямої розбиває пряму на два промені (рис. 2). Промінь позначають двома великими латинськими літерами, перша з яких позначає початок променя, а друга — будь-яку іншу точку променя. На рисунку 3 промінь ОР можна назвати променем ОВ, променем ОК, променем ОА. Два промені, які мають спільний початок і доповнюють один одного до прямої, називають допов- няльними. На рисунку 4 промені ОВ й ОР — доповняльні. Точка О є спільним початком цих променів. Рис. 2 Рис. З Рис. 4 Відрізком називають частину прямої, яка складається із двох точок на прямій та всіх її точок, що лежать між даними точками (рис. 5). Згадувані дві точки називають кінцями відрізка. Інші точки відрізка називають його внутрішніми точками. Відрізок позначають двома великими латинськими літерами, якими позначено його кінці. Наприклад, на рисунку 6 зображено відрізок МЛ або ЛМ. Довжину відрізків вимірюють у таких оди- ницях вимірювання: 1 мм, 1 см, 1 дм, 1 м, 1 км тощо. £___ Рис. 5 Рис. 6 Відрізки називають рівними, якщо при накладанні вони суміщаються. Рівні відрізки мають одна- кові довжини, і навпаки, якщо довжини відрізків рівні, то рівні й самі відрізки (рис. 7). Рівні відрізки позначають на рисунках однаковою кількістю рисок. На рисунку 8 зображено рівні між собою відрізки: а) ВМі ОК, б) АО і СР. 498
А В С Е> АВ = СО = 2,5 см Рис. 8 Рис. 7 Щоб встановити, чи лежить точка С між точками А та В, потрібно перевірити правильність рівно- сті АВ = АС + ВС (рис. 9). Ця рівність виражає основну властивість вимірювання відрізків. Щоб встановити, чи лежать на одній прямій три точки А, В і С, потрібно переконатись у правиль- ності однієї з рівностей: або АВ = АС+СВ (рис. 10), або АС = АВ + ВС (рис. 11), або ВС = ВА +АС (рис. 12). В ------* А С & а 4 ? С а В А С а ---"" Рис. 9 Рис. 10 Рис. 11 Рис. 12 Кут Два промені (наприклад, ОМ і Оії) зі спільним початком — точкою О — ділять площину на дві частини. На рисунку 13 ці частини зафарбовані по-різному. Кутом називають частину площини, обмежену двома променями зі спільним початком. Промені О А й ОВ, або промені т і п, називають сторонами кута, а точку О — вершиною кута (рис. 14). На рисунку 15 зображено два кути — /.1 і 2^2. Чим вони відрізняються? Ми розглядатимемо ли- ше ті кути, які містять будь-який відрізок з кінцями на його сторонах. На рис. 15 це кут 1. М N Рис. 13 Рис. 14 Рис. 15 Кут позначають або назвою його вершини, або назвою променів — його сторін, або назвою трьох точок: вершини і двох точок, які лежать на сторонах кута. Якщо кут позначають трьома буквами, то середньою в запису має бути буква, якою позначена вершина кута. Знак «X» замінює слово кут. За- писують /.О, ААОВ, АВОА, А(тп) (рис. 14). Кут також позначають маленькими буквами грецького алфавіту: а, р, у тощо, тоді знак кута не пишуть. Можна позначати кут цифрами: /А, А2, Х2> тощо. Є такі одиниці вимірювання кутів: 1) 1 градус. Записують 1 °. У перекладі з латинської «§гас1и8» означає «ступінь, крок»-, 2) 1 хвилина — це частина градуса. Записують 1'; 3) 1 секунда — це частина хвилини. Записують 1". Наприклад, кут 60 градусів 47 хвилин і 19 секунд записують так: 60°47'19". Кути вимірюють також у радіанах (1 радіан ~ 57° 18'); у градах (1 град ~ 0,9°); у румбах (1 румб ~ 11,29°). Кути вимірюють транспортиром. Наприклад, кут АСК на рисунку дорівнює 45°. 499
Кут, сторони якого є доповняльними променями, називають розгорну- К______о_________— тим. На рисунку кут КОС — розгорнутий кут. Кути називатимемо рівними, якщо вони при напкладанні суміщаються. Кути порівнюють за їхні- ми градусними мірами. Рівні кути мають однакові градусні міри, і навпаки, якщо градусні міри кутів однакові, то й кути рівні. Наприклад, якщо /N07 = 65°, /ЬЕК = 65°, то /N07 = /ВЕК, якщо /КВМ= 48°, /ЕКС = 34°, то /КВМ> /ЕКС. Рівні кути позначають на рисунку однаковою кількістю дужок. На рисунку 16 /АВС- /МОК, /ЕМК-/В07. Рис. 16 Кут, який дорівнює 90°, називають прямим кутом (рис. 17). /МОО — прямий, /МОО = 90°. Кут, менший від прямого, називають гострим кутом (рис. 18). /АОК — гострий, /АОК < 90°. Кут, більший від прямого, але менший від розгорнутого, називають тупим кутом (рис. 19). /МОК — тупий, 90° < /МОК < 180°. Рис. 17 Щоб встановити, чи проходить промінь ОС між сторонами кута АОВ, достатньо перевірити пра- вильність рівності /АОС + /СОВ - /АОВ. На рисунках 20 і 21 показано, як за допомогою транспортира та лінійки від променя ОР відкласти кут КОР, який дорівнює 85°. Рис. 21 500
При перетині двох прямих утворюються 4 кути, менші за розгор- нутий. Менший з кутів, утворених при перетині двох прямих, назива- ють кутом між двома прямими. Два кути називають суміжними, якщо в них одна сторона спільна, а дві інші — доповняльні промені. На рисунку 21 і Л2, ЛЛ і 24, 22 і 23, 23 і 24 — суміжні кути. Два кути називають вертикальними, якщо сторони одного кута є доповняльними променями до сторін іншого кута. На рисунку 21 і 23, 22 і 24 — вертикальні. Теорема. Сума суміжних кутів дорівнює 180°. Наприклад, кути А ОС й ВОС — суміжні (див. рис.). Тоді ЛАОС + ЛВОС = 180°. Наслідки з теореми про суміжні кути. З теореми про суміжні кути випливають такі наслідки: 1) Якщо один із суміжних кутів гострий, то інший тупий; 2) якщо один із суміжних кутів тупий, то інший гострий; 3) якщо два суміжні кути рівні, то вони прямі; 4) якщо два кути рівні, то суміжні з ними кути теж рівні; 5) бісектриси суміжних кутів утворюють прямий кут. Теорема. Вертикальні кути рівні. Наприклад, кути А ОС й ВОИ — вертикальні (див. рис.). Тоді ЛАОС = ЛВОИ. Перпендикулярні прямі Дві прямі називають перпендикулярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом (див. рис.). Перпендикулярність прямих а і Ь позначається зна- ком «±». На рисунку аЛЬ (читають: «пряма а перпендикулярна до прямої /»>). Кут між перпендикулярними прямими дорівнює 90°. На рисунку ЛМОИ = ЛИОК = ЛКОС = ЛСОМ= 90°. Пряму Ь, перпендикулярну до прямої а, можна побудувати за допомогою косинця (рис. 22) або за допомогою транспортира та лінійки (рис. 23). Рис. 22 Рис. 23 Перпендикуляром до даної прямої називають відрізок прямої, перпендикулярної до даної прямої, один з кінців якого лежить на даній прямій. Довжину перпендикуляра, проведеного з даної точки до даної прямої, називають відстанню від даної точки до даної прямої. Відрізок АО— найкоротший з усіх відрізків, які сполучають точку А з точками прямої а. 501
Паралельні прямі Дві прямі на площині називають паралельними, якщо вони не перетинаються. Паралельність прямих позначають знаком «||». Записують: а\\Ь і читають: «пряма а паралельна до прямої 6». Пряму, яка перетинає дві дані прямі, називають їх січною. При перетині прямих а та Ь січною с утворюються такі види кутів (див. рис.): 21, 22, 23, 24 — внутрішні кути; 25, 26, 27, 28 — зовнішні кути; 21 і 23, 22 і 24 — пари внутрішніх різносторонніх кутів; 21 і 24, 22 і 23 — пари внутрішніх односторонніх кутів; 24 і 25, 23 і 26; 21 і 28, 22 і 27 — пари відповідних кутів; 25 і 28, 26 і 27 — пари зовнішніх односторонніх кутів; 25 і 27, 26 і 28 — пари зовнішніх різносторонніх кутів. Ознаки паралельності прямих 1-іиа ознака паралельності прямих Якщо при перетині двох прямих третьою сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°, то прямі паралельні. На рис. 24 прямі а і Ь перетнуті січною с і 21 + 22 = 180°. Тоді прямі а та Ь парале- льні. 2-га ознака паралельності прямих Якщо при перетині двох прямих третьою внутрішні різносторонні кути рівні, то прямі паралель- ні. На рис. 25 прямі а і Ь перетнуті січною с і 21 = 22. Тоді прямі а і Ь — паралельні. 3-тя ознака паралельності прямих Якщо при перетині двох прямих третьою відповідні кути рівні, то прямі паралельні. На рис. 26 прямі а і Ь перетнуті січною с і 21 = 22. Тоді прямі а і Ь — паралельні. 4-та ознака паралельності прямих Якщо дві прямі перпендикулярні до третьої прямої, то вони паралельні. На рис. 27 а±с, 6±с. Тоді прямі а і Ь — паралельні. Властивості паралельних прямих: 1-ша властивість паралельних прямих Якщо дві паралельні прямі перетнуті третьою, то сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°. На рис. 24 а\\Ь, с — січна, кути 1 і 2 — внутрішні односторонні. Тоді 21 + 22 = 180°. 2-га властивість паралельних прямих Якщо дві паралельні прямі перетнуті третьою, то внутрішні різносторонні кути рівні. На рис. 25 а\\Ь, с — січна, кути 1 і 2 — внутрішні різносторонні. Тоді 21 = 22. 3-тя властивість паралельних прямих Якщо дві паралельні прямі перетнуті третьою, то відповідні кути рівні. На рис. 26 а\\Ь9 с — січна, кути 1 і 2 — відповідні. Тоді 21 = 22. 502
4-та властивість паралельних прямих Якщо пряма перпендикулярна до однієї із двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна й до іншої прямої. На рис. 27 а\\Ь, с!.а. Тоді с!.Ь. Теорема Фалеса. Якщо паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають на одній йо- го стороні рівні відрізки, то вони відтинають рівні відрізки й на іншій його стороні. На рисунку: якщо АА \ — А \Аі — Я]5і||Л2-®2ІИз5з, то АВ] = В1В2 = В2В3. Теоерма Фалеса буде справеливою й у випадку, якщо замість сторін кута взяти дві довільні прямі. Узагальнена теорема Фалеса. Паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають на його сторонах пропорційні відрізки. Приклад 1. Дано п’ять точок, жодні три з яких не лежать на одній прямій. Через кожні дві точки проведено пряму. Скільки прямих проведено? А Б В г д 5 20 10 40 4 Через кожну з даних п’яти точок можна провести чотири прямі, що проходять через кожну з • • • 5’4 1А інших даних точок. Загальна кількість прямих дорівнює —— = 10, оскільки кожну з прямих порахова- но двічі. Відповідь. В. Приклад 2. Провести чотири прямі, кожні дві з яких перетинаються. Скільки точок перетину мо- же утворитися? Може утворитися одна (рис. 32), чотири (рис. 33), шість (рис. 34) точок перетину. Рис. 33 Рис. 34 Приклад 3. Назвати всі промені, зображені на рисунку. Які з них є доповняльними? На рисунку зображено промені СА, КА, РА, РВ, КВ, СВ. До- повняльними є промені СА і СВ, КА і КВ, РА і РВ. 503
Приклад 4. Промінь АС проходить між сторонами кута ВАО, який дорівнює 72°. Чому дорівнює кут ВАС, якщо він у 5 разів більший за кут САО1 Оскільки промінь АС проходить між сторонами кута ВАИ, то /.ВАС + /.САО - 72°. Нехай /САО = х°, тоді /ВАС = 5х°. Рівняння: х + 5х = 72; 6х = 72; х=І2. Отже, /САО-\2°, /.ВАС- = 5- 12 = 60°. Відповідь. 60°. Приклад 5. Точка К ділить відрізок МТ за- М К Т вдовжки 35 см на частини, різниця яких дорівнює 13 см. Знайти довжину кожної частини. МК + КТ= 35 см (див. рис.). Нехай МК дорівнює хсм, тоді КТ дорівнюватиме (х+13)см. Складемо й розв’яжемо рівняння: х + х+ 13 = 35; 2х = 22; тоді х = 11; х + 13 = 24. Отже, МК = 11 см, АГ = 24 см. Відповідь. 11 см, 24 см. Приклад 6. Точка О належить відрізку Л_______________________2___________________________& АВ. Знайти довжини відрізків АО й ОВ, як- що вони відносяться як 3 : 4, а АВ = 49 см. За властивістю вимірювання відрізків АВ -АО + ОВ (див. рис.). Нехай одна частина становить х см, тоді АО - Зх см, а ОВ — 4х см. Складемо й розв’яжемо рівняння: Зх + 4х = 49; 7х = 49; х = 7; тоді Зх = 3 • 7 = 21 (см); 4 • 7 = 28 (см). Отже, АО = 21 см, а ОВ = 28 см. Відповідь. 21 см, 28 см. Приклад 7. Із двох пунктів £ і N вийшли в пункт Р два туристи. Відстань, пройдена першим ту- ристом, дорівнює 9,7 км, а відстань, пройдена другим туристом, — 8,3 км. Якою може бути відстань ЬК, якщо пункти Ь, N і Р розміщені на одній прямій? Розглянемо два випадки. 1-й випадок Пункт Р лежить між пунктами £ і N (рис. 35). Тоді ЬК = ЬР + РК, тому ЬК= 9,7 + 8,3 = 18 (км). Ь Р N І турист II турист » Рис. 35 2-й випадок Пункт Р не лежить між пунктами Ь і N. Тоді можливим є лише випадок, що пункт N лежить між пунктами £ і Р (рис. 36). Отже, ЬР = ЬК + РК, звідси ЬК -ЬР- РК, ЬК = 9,7 - 8,3 = 1,4 (км). N________II турист___ £| — І І турист Рис. 36 Відповідь. 18 км або 1,4 км. Приклад 8. Сума двох кутів, що утворилися при перетині двох прямих, дорівнює 270°. Під яким кутом перетинаються ці прямі? Будь-які два нерозгорнуті кути, що утворюються при перетині двох прямих, або суміжні, або вертикальні. Оскільки сума даних кутів не дорівнює 180°, то вони не будуть суміжними, отже, вони вертикальні. Кожен з них дорівнює по 270° : 2 = 135°. Оскільки за кут між прямими, що перетинають- ся, приймають менший з утворених кутів, то прямі перетинаються під кутом 180° - 135° = 45°. Відповідь. 45°. 504
Приклад 9. На рисунку /\ = 52°, /2 = 128°, /З = 110°. с у Знайти 2Г4. а___________/__________\________ /\ і /2 — внутрішні односторонні при прямих а та Ь і 1 / з¥ січній с. Оскільки 2^1 + 2^2 = 52° + 128° = 180°, то а\\Ь. /З і / \ 2^4 — внутрішні односторонні при паралельних прямих а та Ь і Ь 2/4\ січній а. Тому /З + 2^4 = 180°; ^4 = 180° - 110° = 70°. '' Відповідь. 70°. Приклад 10. Кути ООС і КОС — суміжні, промінь ОА — бісек- триса кута ООС, кут КОС на 33° менший за кут АОС. Знайти кути ИОСіКОС. Нехай /КОС = х° (див. рис.), тоді ЛАОС =(х + 33)°. За теоремою про суміжні кути: /ООС+ /КОС = 180°, за влас- тивістю бісектриси /ООС = 2/АОС, тому 2/АОС + /.КОС = 180°. Складемо і розв’яжемо рівняння: 2(х + 33) + х = 180; Зх + 66 = 180; Зх = 114; х = 38. Отже, /КОС = 38°, /000 = 180° - 38° = 142°. Відповідь. 142°, 38°. Приклад 11. За рисунком знайти кут 2. Кут 5 вертикальний з кутом 4. Тоді /5 = /А = 117°. Кути 5 і З — внутрішні односторонні при прямих а і Ь та січній с. /5 + /3 - 117° + 63° = 180°. Отже, за ознакою паралельності пря- мих, а||6. Кути 1 і 2 — відповідні при паралельних прямих а і Ь та січній а. За властивістю паралельних прямих /2- /\- 45° (як відповідні). Відповідь. 45°. Приклад 12. Знайти градусні міри кутів, утворених при перетині двох па- ралельних прямих січною, якщо сума трьох з них дорівнює 303°. Скільки розв’язків має задача? Нехай /1=а, /2 = Р (див. рис.). Тоді /\-/3 (як вертикальні); /З - /5 (як внутрішні різносторонні); /5 - /1 (як вертикальні). Отже, /1 - /3 - /5 - /1 - а. Аналогічно /2 = /А - /6 = /8 = р. Розглянемо два випадки. 1-й випадок 2а + Р = 303°. За теоремою про суміжні кути а + р = 180°, 2а + р = а + (а + Р). Отже, а = 303° - -180°;а= 123°. Тоді р = 180° - а = 180° - 123° = 57°. Отже,/\ = /3 = /5 = /1 = 123°, /2 = /А = /Ь = /8 = 57°. 2-й випадок За = 303°. а = 303° : 3 = 101°. Тоді р = 180° - а = 180° - 101° = 79°. Отже,/\ = /3 = /5 = /1 = 101°, /2 = /А = /6 = /8 = 79°. Відповідь. 123°, 57°, 123°, 57°, 123°, 57°, 123°, 57° або 101°, 79°, 101°, 79°, 101°, 79°, 101°, 79°. 505
Завдання 44.1-44.19 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРА- ВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 44.1. Дано чотири точки, жодні три з яких не лежать на одній прямій. Через кожні дві точки прове- дено пряму. Скільки прямих проведено? А Б в г д Три чотири п’ять шість вісім 44.2. На прямій позначено чотири точки. Скільки утворилося променів з початком у цих точках? А Б в г д Чотири п’ять шість сім вісім 44.3. На прямій позначено чотири точки Скільки всього утворилося відрізків з кінцями у цих точках? А Б в г д Три чотири шість сім вісім 44.4. Точка С лежить між точками А та В. Вказати спільну частину променів АВ та ВС. А Б В г д Відрізок ВС відрізок АВ промінь АВ точка В 0 44.5. На відрізку АВ позначено точку М таку, що АМ= 5 см, А/В=15см. Знайти відношення АМ: АВ. А Б в Г д х 4 х 3 х 2 х 5 х 6 44.6. На відрізку МК завдовжки 26 см вибрано точку О. Знайти відстань між точками М та О, якщо вона на 12 см більша за відстань між точками О та К. А Б В Г д 7 см 13 см 12 см 19 см 14 см 44.7. На відрізку АВ завдовжки 20 см позначено точки Ста О такі, що АС = 15 см, ВО = 17 см. Знай- ти довжину відрізка СО. А О С В А Б В Г д 10,5 см 12,5 см 14 см 18 см 12 см 44.8. Який кут утворюють стрілки годинника о 16 годині? А Б В г д 100° 110° 120° 130° 150° 44.9. Між сторонами кута АОВ проведено промінь ОС так, що /ЛОС - 2/ВОС. Знайти кут АОС, якщо /ЛОВ - 54°. А Б В Г Д 9° 18° 27° 36° 40° 506
44.10. Бісектриса кута А утворює з його стороною кут, що дорівнює 30°. Знайти кут, суміжний з ку- том А. А Б В Г д 150° 120° 165° 140° 170° 44.11. Сума двох кутів, суміжних з кутом В, дорівнює 80°. Знайти кут В. А Б В г Д 50° 100° 80° 70° 140° 44.12. На рисунку прямі АВ, СО і МК перетинаються у точці О. Знайти кут ВОК, якщо ЛАОС- 30°, АМОО- 110°. А Б В г Д 70° 60° 20° 40° 50° 44.13. За даними рисунка знайти градусну міру кута х. 44.14. На рисунку АА] - А]Аг - АгАу- А^А^ іЛіВ^Лг-БгІИз^зІИЛ. Знайти АВг, якщо 5|В4 = 24 см. ______________________________________________________ \ \ А Б В Г д 12 см 8 см 16 см 18 см визначити неможливо 44.15. Точка С належить відрізку АВ завдовжки 9 см. Знайти довжину відрізка ВС, якщо 4ЛС+ЗБС = 32 см. А Б В Г д 6 см 5 см 4 см 3 см 7 см 507
44.16. Відрізок завдовжки 72 см поділили на 6 рівних частин. Знайти відстань між серединами край- ніх частин. А Б в Г Д 62,5 см 60,6 см 58,6 см 63 см 60 см 44.17. Промінь ОО ділить прямий кут АОВ на кути АОО і ВОО так, що виконується рівність: АААОО + 3/.ВОО = 280°. Знайти градусну міру кута АОО. А Б В г Д 10° 20° 30° 70° 80° 44.18. Який кут утворюють стрілки годинника о 15 годині ЗО хвилин? А Б В Г д 80° 70° 65° 75° 85° 44.19. На рисунку прямі АВ і СО — паралельні. Знайти градусну міру кута АОС, якщо ЛВАО = 30°, АОСО = 50°. О А Б В Г Д 30° 50° 80° 100° визначити неможливо А Промінь СА Б Відрізок ВС В Відрізок АВ Г Відрізок АС Д Промінь А С Завдання 44.20-44.24 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 44.20. Точки А, В та С лежать на одній прямій. Встановити відповідність між характерними властиво- стями множин (1-4) та фігурами (А-Д). 1 Множина всіх точок прямої, що лежать разом з точкою В між точками А та С 2 Множина всіх точок прямої, які лежать з точкою С по один бік від точки А З Множина всіх точок прямої, які лежать з точкою А по один бік від точки С 4 Множина всіх точок прямої, які разом з точкою А лежать між точками В та С 44.21. Встановити відповідність між рівностями (1-4) та розміщенням точок на прямій (А-Д). 1 АС = 7 см, ВС-3 см, АВ= 10 см 2 АС = 7 см, ВС - 3 см, АВ - 9 см З АС = 12 см, ВС = 4 см, АВ = 8 см 4 АС=ВС-АВ А Точка В лежить між точками А та С Б Точка А лежить між точками В та С В Жодна з точок А, В та С не лежить між двома іншими Г Точка С лежить між точками А та В Д Кожна з точок А, В та С лежить на прямій між двома іншими 508
44.22. З точки А проведено промені АВ, АС та АО. Встановити відповідність між градусними мірами утворених кутів (1-4) та розміщеннями променів (А-Д). 1 /.ВАС = 30°, /ВАВ = 70°, /САО = 40° 2 /ВАС = 30°, /ВАВ = 70°, /САВ = 100° 3 /ВАО = /ВАС-/САО 4 /ВАС =120°, /ВАВ = 140°, /САВ = 100° А Промінь АО проходить між сторонами кутаВЛС Б Жоден з променів не проходить між сто- ронами кута, утвореного двома іншими променями В Промінь АВ проходить між сторонами кута САВ Г Промінь АС проходить між сторонами кута ВАВ Д Кожен з променів не проходить між сто- ронами кута, утвореного двома іншими променями 44.23. Встановити відповідність між парами кутів (1-4), зображеними на рисунку, та їх назвами (А-Д). 1 і 24 2 26 і 28 З Л6 і П 4 і 28 А Внутрішні односторонні Б Внутрішні різносторонні В Відповідні Г Зовнішні односторонні Д Зовнішні різносторонні 44.24. Встановити відповідність між рисунками (1-4) та довжинами відрізків х на них, якщо прямі а, Розв’яжіть завдання 44.25-44.34. Відповідь запишіть десятковим дробом. 44.25. На відрізку позначили п’ять точок. Скільки всього відрізків утворилося? 44.26. Відрізок завдовжки 24 см поділили на чотири нерівні відрізки. Відстань між серединами край- ніх відрізків дорівнює 20 см. Знайти відстань між серединами середніх відрізків. 509
44.27. Скільки кутів, менших за розгорнутий, зображено на рисунку? 44.28. З даної точки проведено три промені так, що кути між будь-якими двома з них рівні. Яка гра- дусна міра кожного з цих кутів? 44.29. Різниця двох суміжних кутів менша за їхню суму на 20°. Знайти градусну міру меншого з цих кутів. 44.30. Один з кутів, що утворилися в результаті перетину двох прямих, дорівнює сумі двох інших ку- тів. Знайти кут між прямими. 44.31. Через точку перетину двох перпендикулярних прямих проведено третю пряму. Знайти най- менший з тупих кутів, що утворився в результаті перетину, якщо найбільший з кутів дорівнює 165°. 44.32. Знайти градусну міру кута, під яким січна перетинає паралельні прямі, якщо різниця внутріш- ніх односторонніх кутів відноситься до їх суми як 2 : 3. 44.33. На рисунку прямі АВ та СО — паралельні. Знайти градусну міру кута МОС. 44.34. Який кут утворюють стрілки годинника о 9 год 15 хв? 510
ВІДПОВІДІ АЛГЕБРА ТА ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ Тема 1. Обчислення. АииЛметичні задачі 1.1. Г. 1.2. Д. 1.3. Б. 1.4. Г. 1.5. В. 1.6. В. 1.7. Г. 1.8. А. 1.9. Г. 1.10. Д. 1.11. Г. 1.15. В. 1.16. А. 1.17. Д. 1.18. В. 1.19. Г. 1.20. Г. 1.21. В. 1.22. В. 1.12. Б. 1.13. Б. 1.14. Г. А Б В Г Д А Б В Г Д А Б В Г Д А Б В Г Д А Б В Г Д Тема 2. Відсотки 2.1. В. 2.2. Д. 2.3. А. 2.4. Д. 2.5. Б. 2.6. В. 2.7. Б. 2.8. Г. 2.9. Д. 2.10. В. 2.11. В. 2.12. В. 2.13. Г. 2.14. Г. 2.15. Б. 2.16. А. 2.17. Д. 2.18. А. 2.19. А. 2.20. В. 2.21. А. 2.22. Б. 2.23. А. 2.34 2.35 2.36 2.37 2.38 1 ? 2 |5 < 2 > 2 5 2 5 5 7 5 2 2 ( ) о , н 5 0 0 5 і 5 4 4 4 5 4 2.39 2.40 5 5 3 0 5 1 Тема 3, Нілі виоази 3.1. Д. 3.2. В. 3.3. А. 3.4. Д. 3.5. Г. 3.6. Г. 3.7. А. 3.8. Б. 3.9. Г. 3.10. Б. 3.11. Д. 3.12. Г. 3.13. А. 3.14. Г. 3.15. Д. 3.16. Г. 3.17. Д. 3.18. В. 3.19. Д. 3.20. В. 3.21. А. 3.22. Г. 3.23. Б. 511
3.29 3.30 3.31 3.32 3.33 2 5 1 5 , ок ок 3.34 _ 4 Тема 4. Лробово-оаиіональні вирази 4.1. Г. 4.2. А. 4.3. В. 4.4. Г. 4.5. Б. 4.6. Д. 4.7. Б. 4.8. Г. 4.9. А. 4.10. Г. 4.11. Б. 4.12. Г. 4.13. Г. 4.14. В. 4.15. Д. 4.16. Б. 4.17. Б. 4.18. А. 4.19. В. 4.20. Г. Я,І І І І І |-ЮІ,І5| | | | | |1|,| | | | | | |0|,|5| | | | | |1|,|5| _5к_ _оМз 4.32 4.33 4.34 4.35 4.36 ок 0 5 ЇГ ) І ок 2 5 _0кк 4.37 4.38 4.39 4.40 4|,І І І І І І |0|,|0|5| | | | |1|7|1|1| | |-|2|0|ї| і і і Тема 5. Іррашональні вирази 5.1. Г. 5.2. Д. 5.3. Б. 5.4. А. 5.5. Б. 5.6. В. 5.7. Д. 5.8. В. 5.9. А. 5.10. А. 5.11. А. 5.12. Д. 5.13. Г. 5.14. В. 5.15. В. 5.16. Б. 5.17. Д. 5.18. Г. 5.19. Г. 5.20. В. 5.21. Г. 5.22. Д. 5.23. А. 5.24. А. 5.25. Г. 5.33 5.37 5.38 5.39 5.40 5.41 5.42 2 3 3 5 5 1 ? 1 1 5 Тема 6. Логарифмічні та показникові вирази 6.1. Г. 6.2. В. 6.3. Г. 6.4. Д. 6.5. А. 6.6. А. 6.7. Д. 6.8. Б. 6.9. Г. 6.10. Д. 6.11. А. 6.12. Д. 6.13. В. 6.14. А 6.15. Д. 6.16. Б. 6.17. Б. 6.18. Г. 6.19. В. 6.20. Б. 6.21. Г. 6.22. Б. 6.23. Б. 512
6.30 6.31 6.32 6.33 6.34 6.40 6.41 6.42 6.43 6.44 6 4 9 1 2 5 4 9 6 5 — 2 9 7 9 2 9 — 8 6.45 6.46 1|, Тема 7, Тригонометричні вирази 7.1. Д. 7.2. В. 7.3. Б. 7.4. А. 7.5. В. 7.6. Б. 7.7. В. 7.8. В. 7.9. Б. 7.10. А. 7.11. Д. 7.12. Б. 7.13. Д. 7.14. В. 7.15. А. 7.16. Д. 7.17. Б. 7.18. Г. 7.19. В. 7.20. Б. 7.21. Д. 7.22. А. 7.23. Г. 7.24. А. 7.25. В. 7.26. А. 7.45 7.46 7.47 7.48 7.49 1 9 1 0 9 3 7 5 ] ібМ 2 3 9 2 5 Тема 8. Цілі рівняння 8.1. Г. 8.2. Д. 8.3. В. 8.4. А. 8.5. В. 8.6. Г. 8.7. Б. 8.8. Б. 8.9. Г. 8.10. В. 8.11. Б. 8.12. Г. 8.13. А. 8.14. А. 8.15. Д. 8.16. В. 8.17. Г. 8.18. А. 8.19. Д. 8.20. Б. 8.21. Г. 8.22. В. 8.23. Б. 8.24. Г. 33* Капіносов А. Математика. Комплексна підготовка до ЗНО 513
Тема 9, Цілі нерівності 9.1. Г. 9.2. Б. 9.3. Д. 9.4. В. 9.5. А. 9.6. Д. 9.7. Б. 9.8. Д. 9.9. Д. 9.10. В. 9.11. А. 9.12. Г. 9.13. Г. 9.14. Д. 9.15. В. 9.16. Б. 9.17. Г. 9.18. А. 9.19. В. 9.20. Г. 9.21. А. 9.22. Б. і|о|,І І ТІ І І-Із|,| | | | | |-|зП ГІ І 1'1 ІіІ.І І І І ГТЖ 9.38 9.39 9.40 9.41 9.42 9.43 9.44 9.45 1І2ІЇІ і і і і і |1|7і5| | | | 1-І1|,| Тема 10. Раціональні рівняння 10.1. В. 10.2. Г. 10.3. Г. 10.4. Д. 10.5. А. 10.6. Д. 10.7. Г. 10.8. Г. 10.9. Г. 10.10. Д. 10.11. А. 10.12. Г. 10.13. Б. 10.14. Б. 10.15. А. 10.16. Г. 10.17. Д. 10.18. Б. 10.19. Г. 10.20. Г. 10.21. А. 1|,| | | | | |-|0|, |5| ТІ І І |9|,| | П І І~|з|,|5| П І |2|5|, 1Е — 0 , 5 — Т 5 10.33 10.34 10.35 10.36 10.37 — ТІ ( ОО 2 ЕОМ ] 1 6 , ] і оГ, 10.38 10.39 10.40 10.41 10.42 — 7 , — 0,5 _1М Тема 11. Раціональні нерівності 11.1. В. 11.2. Д. 113. В. 11.4. А. 11.5. Г. 11.6. Б. 11.7. Б. 11.8. В. 11.9. В. 11.10. Г. 11.11. А. 11.12. В. 11.13. Г. 11.14. Б. 11.15. В. 11.16. Б. 11.17. В. 11.18. Д. 11.19. А. 11.20. В. 11.21. Г. 11.22. Б. 514
11.27 11.28 11.29 А Б В Г Д АБВГД АБВГД Тема 12. Іппашональні рівняння 12.1. Д. 12.2. Г. 123. Д. 12.4. Г. 12.5. А. 12.6. Б. 12.7. Г. 12.8. Д. 12.9. В. 12.10. А. 12.11. Д. 12.12. А. 12.13. Б. 12.14. В. 12.15. А. 12.16. В. 12.17. В. 12.18. Д. 12.19. В. 12.20. Г. 12.21. Д. 12.22. Г. 12.23. А. 12.38 12.37 12.39 12.42 12.43 12.44 12.35 4|, 12.40 12.45 Ш З , 12.46 2ЇТ 12.47 Тема 13. Іррашональні нерівності 13.1. Г. 13.2. В. 13.3. Д. 13.4. Б. 13.5. Г. 13.6. А. 13.7. В. 13.8. Д. 13.9. Г. 13.10. Б. 13.11. Б. 13.12. Д. 13.13. Г. 13.14. В. 13.15. Д. 13.16. В. 13.17. Б. 13.18. Г. 13.19. Д. 13.20. Б. 515
13.28 9]? 13.33 2ЇТ 2|4|, 13.34 НІ 13.35 1|,|5 2|0|,| 13.36 13.32 1 14М 13.37 13.38 13.39 13.40 2|4|,| | | | |1|2|0|, | | Т~1 |4|8|0|,| | Тема 14. Показникові рівняння 14.1. В. 14.2. Д. 143. В. 14.4. Б. 14.5. Д. 14.6. Д. 14.7. Г. 14.8. Б. 14.9. А. 14.10. Г. 14.11. А. 14.12. Д. 14.13. В. 14.14. Б. 14.15. Д. 14.16. Г. 14.17. В. 14.18. А. 14.19. В. 14.20. Г. 14.21. Д. 14.22. Г. 14.23. Г. 9 > І І І4І.І І І І І І І0І,І4| | | | | |7|,| | | | | | |9|,| | | | ГП0Щ-| 14.34 14.35 14.36 14.37 14.38 51 14.39 14.40 14.41 14.42 14.43 1 - ( ) , : 1 зЦ_ 1 ІШ ШН 1 1 |1М 1 Тема 15. Показникові нерівності 15.1. Г. 15.2. Д. 15.3. Г. 15.4. А. 15.5. В. 15.6. Г. 15.7. Д. 15.8. Г. 15.9. Г. 15.10. А. 15.11. Д. 15.12. Д. 15.13. В. 15.14. В. 15.15. А. 15.16. Б. 15.17. Г. 15.18. Б. 15.19. Д. 15.20. А. 15.21. Д. 15.31 15.32 15.33 15.34 15.35 3 0 .Лі — 0 ,5 4 51 3 > 15.36 15.37 15.38 15.39 15.40 0 — 1 9 5 — 4 А 0 ? 1 15.41 оЦ Тема 16. Логарифмічні рівняння 16.1. Г. 16.2. Д. 16.3. В. 16.4. Д. 16.5. Б. 16.6. Б. 16.7. В. 16.8. Б. 16.9. Д. 16.10. В. 16.11. Г. 16.12. Д. 16.13. Г. 16.14. А. 16.15. А. 16.16. А. 16.17. Д. 16.18. Д. 16.19. Б. 16.20. Д. 516
16.21 16.22 16.23 16.24 16.25 16.26 16.34 16.35 16.36 9 5 — 1 0 5 — 1 0 9 0 0 16.32 1ІОІ.1 16.33 1|2|5|,1 6 4 5 | • 0 21 11Н т 16.37 16.38 16.39 ( ) Иб 2 5 2 5 ? 1 Тема 17. Логарифмічні нерівності 17.1. Г. 17.2. Д. 17.3. А. 17.4. Г. 17.5. Б. 17.6. В. 17.7. Б. 17.8. Д. 17.9. Г. 17.10. Г. 17.11. В. 17.12. В. 17.13. Д. 17.14. Б. 17.15. А. 17.16. Б. 17.17. Б. 17.18. Д. 17.19. В. 17.20. В. 17.21. А. 17.22. Г. 17.29 17.30 17.31 17.32 17.33 1 0 0 17.34 17.35 17.36 17.37 17.38 |9| , І | 1 нм _І2 <1 17.39 17.40 17.41 І 1-111,1 І П ШШЕШ ГГЖП Тема 18. Тригонометричні рівняння 18.1. Д. 18.2. Д. 18.3. Б. 18.4. А. 18.5. В. 18.6. Д. 18.7. В. 18.8. Д. 18.9. Б. 18.10. Г. 18.11. Б. 18.12. А. 18.13. Д. 18.14. В. 18.15. Д. 18.16. В. 18.17. А. 18.18. Б. 18.19. Г. 18.20. Д. 18.21. В. 18.22. Г. 18.29 18.30 18.31 18.32 18.33 18.34 І І ІОМ І І І І І |1|,|0| І І І І І2|,| І І І І І |0|,І І І І І | |2|,| 18.40 18.41 18.42 18.43 18.44 11.|0| 21,1 _<І5 3 А 8 , 18.45 18.46 18.47 18.48 18.49 ] 14М_ _ 1М5 _<І2 5 18.50 18.51 18.52 8[7 3 5 11, 5 517
Тема 19. Тригонометричні нерівності 19.1. Д. 19.2. В. 19.3. Д. 19.4. А. 19.5. Д. 19.6. В. 19.7. Г. 19.8. Г. 19.9. Д. 19.10. Б. 19.11. В. 19.12. В. 19.13. А. 19.14. Д. 19.15. В. 19.16. Д. 19.17. А. 19.18. Г. 19.19. Г. 19.20. В. 19.25 19.26 19.27 11,1 І І І І І І2|,| | | | | | |6|,| | | 1 | | |5|,| | | | | | |3|,| 1 > -Ці 9 6 ,1 5, 19.33 Тема 20. Системи рівнянь 20.1. В. 20.2. Д. 203. А. 20.4. Б. 20.5. Б. 20.6. Б. 20.7. Г. 20.8. А. 20.9. Д. 20.10. В. 20.11. Д. 20.12. Б. 20.13. Г. 20.14. Б. 20.15. А. 20.16. Г. 20.17. Б. 20.18. Б. 20.19. В. 20.20. В. 20.21. Б. 20.22. В. 20.23. Д. 20.24 20.25 20.26 20.27 20.28 з , ж ЖШ І І І6|,| | | | І І |7|,П | | 1-І |з|,| | | | ГТЖЇ 1М 20.34 20.35 20.36 20.37 20.38 _зЦ_ 20.39 20.40 20.41 20.42 20.43 ( ' 8- 1 1 |б|,|5 1 І _зЦ_ 20.44 .211. Тема 21. Арифметична та геометрична прогресії 21.1. Г. 21.2. Д. 213. В. 21.4. Г. 21.5. Б. 21.6. В. 21.7. В. 21.8. Г. 21.9. Д. 21.10. В. 21.11. А. 21.12. Б. 21.13. Д 21.14. Г. 21.15. Б. 21.16. А. 21.17. В. 21.18. В. 21.19. Г. 21.20. Д. 21.21. А. 21.22. Б. 518
21.34 -41,| 21.39 2 21.35 21.36 1|1|7|,|8| П І |1|0|,| 21.40 21.41 -|0|,|0|0|5~| |6|4|О|,| 21.44 21.45 8|2|,| | |~| |4|3|7|,|2|5 21.37 21.38 7 ( )3 , 3 6 4|, 21.42 _зЦз 7 5 21.46 21.43 5|9|о|,|4|9 Тема 22. Елементарні Лункиії та їхні властивості 22.1. В. 22.2. В. 22.3. Д. 22.4. Д. 22.5. В. 22.6. Б. 22.7. Б. 22.8. Г. 22.9. Б. 22.10. А. 22.11. В. 22.12. В. 22.13. Д. 22.14. А. 22.15. Г. 22.16. Б. 22.17. А. 22.18. Б. 22.19. Б. 22.20. Д. 22.21. В. 22.22. А. 22.23. Д. 22.24. А. 22.25. Д. 22.26. Г. 22.27. В. 22.28. В. 22.29. Г. 22.36 22.39 А Б В Г Д 22.41 22.46 1 2 З А Б В Г Д 22.40 І ІзЬІ І І І 22.48 22.52 |1|,| 22.44 22.50 22.49 зЮМ І І І 22.53 <гтп Тема 23, Побудова гоаЛіків Лункиій методом геометричних перетворень 23.1. Г. 23.% Д. 23.3. Б. 23.4. В. 23.5. Г. 23.6. А. 23.7. Д. 23.8. В. 23.9. Б. 23.10. В. 23.11. Д. 23.12. В. 23.13. Б. 23.14. Г. 23.15. В. 23.16. Д. 23.17. Б. 23.18. Г. 23.19. А. 23.20. В. 23.27 23.28 23.29 23.30 23.31 23.32 Тема 24, Похідна Лункиії. її геометричний і механічний зміст 24.1. В. 24.2. Б. 24.3. Д. 24.4. В. 24.5. Г. 24.6. Г. 24.7. А. 24.8. Г. 24.9. Б. 24.10. Г. 24.11. Б. 24.12. Д. 24.13. А. 24.14. А. 24.15. Б. 24.16. Г. 24.17. Г. 24.18. А. 24.19. Г. 24.20. А. 24.21. В. 24.22. Д. 24.23. В. 24.24. Д. 24.25. Б. 24.26. Г. 24.27. Б. 519
24.36 о]7[ 0 51 24.44 0|,|2 24.46 0 >5 24.50 Г І ІОІ.І5І | | Тема 25. Застосування похідної для дослідження функцій 25.1. Б. 25.2. Г. 253. Д. 25.4. Б. 25.5. А. 25.6. Г. 25.7. А. 25.8. В. 25.9. Д. 25.10. В. 25.11. Б. 25.12. Б. 25.13. В. 25.14. А. 25.15. В. 25.16. Г. 25.17. Д. 25.18. Г. 25.19. Б. 25.20. Б. 25.21. Г. 25.22. В. 25.23. Д. 25.24. Д. 25.31 25.32 25.36 ( ) ^5 25.37 □І А |1|7|,| | | | |1|2|8|,| | |~] І |8|0|,| ЛІ: 12 ? 8 0 25.43 25.44 25.45 25.42 4 91 — 1 - ( ) ’ІА Тема 26. Первісна. Інтеграл 26.1. Б. 26.2. А. 26.3. Б. 26.4. Г. 26.5. Д. 26.6. Г. 26.7. Б. 26.8. Г. 26.9. Д. 26.10. В. 26.11. Д. 26.12. В. 26.13. Д. 26.14. Б. 26.15. Г. 26.16. В. 26.17. А. 26.18. Б. 26.19. Д. 26.20. В. 26.21. Г. 26.22. Д. 26.23. Г. 520
26.33 1|1|2|,| 26.38 |0|,|0І8 26.34 3 1 3 26.39 І * >|5 26.35 ЇП 26.40 26.36 1|,|2|5 26.41 0 — 2 ? 1 26.37 4ГЇЇ5 26.42 1|8|,| Тема 27. Елементи комбінаторики 27.1. Г. 27.2. В. 27.3. Д. 27.4. Д. 27.5. В. 27.6. А. 27.7. А. 27.8. Д. 27.9. А. 27.10. Д. 27.11. Г. 27.12. Д. 27.13. В. 27.14. А. 27.15. Г. 27.16. В. 27.17. Б. 27.18. Д. 27.19. Г. 27.20. В. 27.21. А. 27.22. В. 27.23. Д. 27.24. Б. І І |1|,І І І І І |і|о|,1 І ГІ І-|2|оГ,Т~ГП |1|2|6|,| | | | гжл 27.39 27.40 27.41 27.42 27.43 І І7|2| ,| | | | |1|1|4|,| | | | |2|4|0|,| | | | |7|0|0|,| | | | |4|9|5|,| | | | 27.44 27.45 27.46 |5|б|0|‘ | | | | |5|0|4|,| | | | | |9|1|,| Тема 28, Початки теорії ймовірностей та елементи статистики 28.1. Д. 28.2. Г. 28.3. Д. 28.4. Д. 28.5. В. 28.6. А. 28.7. В. 28.8. Д. 28.9. Г. 28.10. А. 28.11. Г. 28.12. В. 28.13. Д. 28.14. А. 28.15. Д. 28.16. Г. 28.17. Б. 28.18. Б. 28.19. Д. 28.20. В. 28.21. В. 28.22. В. 28.23. Б. 28.32 АБВГД 28.34 28.35 28.31 АБВГД 28.33 АБВГД АБВГД пп X II 1 XI 1 □X 1 2 З 4 1 2 З 4 2! 8.37 0 ТІ8 7 5 28.42 0|,|4 9 28.47 0|,|3 “ 28.38 . о|,1о 6 28.43 о|,|8 6 28.48 _оМб 7 28.40 _оМо 8 8 28.45 _<І8 28.50 0 , 6 521
ГЕОМЕТРІЯ Тема 29. Трикутник 29.1. Г. 29.2. В. 29.3. А. 29.4. Д. 29.5. Д. 29.6. В. 29.7. Д. 29.8. Г. 29.9. А. 29.10. Г. 29.11.Д. 29.12. Г. 29.13. Б. 29.14. В. 29.15. Г. 29.16. Г. 29.17. Д. 29.18. Б. 29.19. Г. 29.20. Б. 29.21. А. 29.23 АБВГД 29.24 А Б В Г Д 1 2 З 4 29.25 А Б В Г Д □СЕШ 29.28 6|5|, 29.31 5|0І,І 29.36 1| ,|5 29.32 5|, 29.33 29.37 7|2| ,| 3|3|6|,| 29.38 29.29 6|,|5 29.34 1Т 29.39 2 З 4 Тема ЗО. Прямокутний трикутник 30.1. Г. 30.2. Д. 30.3. Б. 30.4. В. 30.5. В. 30.6. Д. 30.7. В. 30.8. А. 30.9. А. 30.10. В. 30.11. Б. 30.12. Д. 30.13. Г. 30.14. А. 30.15. В. 30.16. Д. 30.17. Б. 30.18. В. 30.19. Г. 30.20. Г. 30.21. В. 30.26 ИШШ 30.31 30.36 № 30.27 110|, 30.32 цю: 30.37 30.28 жп 30.33 30.29 30.34 1|2|,|2|5 30.38 Шї 30.41 30.39 30.30 2|4|4|,] і і 30.35 [ЗД0І7ГПП 30.40 Тема 31. Рівнобедрений трикутник 31.1. Г. 31.2. В. 31.3. Д. 31.4. А. 31.5. Г. 31.6. Б. 31.7. Д. 31.8. В. 31.9. В. 31.10. А. 31.11. В. 31.12. А. 31.13. Г. 31.14. В. 31.15. А. 31.16. Г. 31.17. Д. 31.18. Г. 31.19. Б. 31.20. Б. 31.21 31.22 31.23 31.24 АБВГД АБВГД АБВГД АБВГД 522
Тема 32. Чотирикутники 32.1. Г. 32.2. Д. 32.3. А. 32.4. Б. 32.5. Б. 32.6. Г. 32.7. В. 32.8. Г. 32.9. Д. 32.10. А. 32.11. В. 32.12. Д. 32.13. Б. 32.14. Д. 32.15. В. 32.16. Г. 32.17. Д. 32.18. В. 32.19. А. 32.20. Г. 32.21. Б. 32.22. Д. 32.23. Г. 32.24. Б. 32.34 32.35 32.36 32.37 32.38 1|9|,|2| | | | | |1|,|5| ]~І І |2|1|,| | |~| |2|0|4|,| | |~| І |4|5|,| 1 ‘ > Ті 2 1 ,| _т 2 0 4 4 5 ? 1 32.39 32.40 32.41 32.42 32.43 9 6 1 2 9 оЬІ8 3 4 8 32.44 32.45 32.46 32.47 1 І4|0І,| І І І І І |б|,|8|9| | | |8|11,| | | | | |3|1|,| Тема 33. Многокутники 33.1. Д. 33.2. А. 33.3. В. 33.4. А. 33.5. Г. 33.6. В. 33.7. Г. 33.8. Г. 33.9. А. 33.10. Д. 33.11. Д. 33.12. Г. 33.13. А. 33.14. Б. 33.15. В. 33.16. В. 33.17. Б. 33.18. Б. 33.19. В. 33.20. Г. 33.24 І'ІбМ гп 33.29 ЕЖГШ | І |5|,| | Т~| | | |6|,| | п |9|о|о 33.30 33.31 33.32 -її 5 1 7 2 51 33.28 2 0 > 33.33 Ш9І>|5 33.34 33.35 Тема 34. Коло, круг та їх елементи 34.1. В. 34.2. Б. 34.3. Д. 34.4. Д. 34.5. Б. 34.6. Г. 34.7. А. 34.8. Б. 34.9. Б. 34.10. Д. 34.11. А. 34.12. В. 34.13. В. 34.14. Б. 34.15. В. 34.16. Г. 34.17. Д. 34.18. Д. 34.19. Г. 34.20. А. 1 2 5 1 5 2 2 7 2 7 34.30 34.31 34.32 34.33 34.29 0 7 5 0 И5 1 0 _Ц_ 0 5 0 7 34.34 4 7 1 51 523
Тема 35, Аксіоми стереометрії. Прямі та площини в просторі 35.1. В. 35.2. Д. 35.3. Б. 35.4. Д. 35.5. Д. 35.6. В. 35.7. Г. 35.8. В. 35.9. А. 35.10. В. 35.11. Д. 35.12. А. 35.13. Д. 35.14. Г. 35.15. В. 35.16. Г. 35.17. Д. 35.18. Б. 35.19. В. 35.20. А. 35.21. Г. 35.22. Г. 35.29 35.30 ШШ 1 2 З 4 АБВГД АБВГД 35.40 35.36 35.32 □ШШ 35.33 ШШ [ 35.34 ШШ 35.37 І І І8|,ГІ г І 35.42 2|8|,| 35.38 бЖТТТІ 35.39 35.43 35.44 ш 5 Тема 36. Призма 36.1. Д. 36.2. Г. 36.3. Д. 36.4. Д. 36.5. Б. 36.6. А. 36.7. Г. 36.8. Г. 36.9. Д. 36.10. Д. 36.11. В. 36.12. Г. 36.13. Б. 36.14. В. 36.15. В. 36.16. Б. 36.17. В. 36.18. Д. 36.19. А. 36.20. Д. 36.21. В. 36.22. А. 36.25 36.26 36.27 36.28 36.29 Г І7ШТГ1 1 (3(01,1 І І 1 14|,|5( ШШ 36.30 36.31 36.32 36.33 1 3 5 0 ,1 3 2 □_ 36.35 36.36 36.37 |1|2|б|,| | | | | |4|8|,| | | | | | |1|,|2|5 Тема 37. Піраміда 36.34 2 0 37.1. Б. 37.2. Д. 37.3. В. 37.4. А. 37.5. Д. 37.6. Д. 37.7. В. 37.8. А. 37.9. Г. 37.10. В. 37.11. Б. 37.12. А. 37.13. А. 37.14. Б. 37.15. Д. 37.16. Б. 37.17. Д. 37.18. А. 37.19. Б. 37.20. Д. 37.21. Г. 37.22. Б. 37.23 37.24 37.25 37.26 37.27 АБВГД АБВГД 2 іхіпт з ота 4 ппмпі 524
Тема 38. Пиліндр 38.1. Г. 38.2. В. 38.3. Д. 38.4. Б. 38.5. Г. 38.6. Б. 38.7. Д. 38.8. В. 38.9. Б. 38.10. Д. 38.11. А. 38.12. Г. 38.13. В. 38.14. Г. 38.15. Б. 38.16. Б. 38.17. А. 38.18. А. 38.19. Б. 38.20. Д. 38.30 38.31 38.32 О|,|2|5| і і і |1|,| і і і і |4|0|,| ( > Лі 5 ю, 38.28 5 38.33 і: іоМ 38.34 38.35 2|,|2|б| | Тема 39. Конус 39.1. Д. 39.2. Б. 39.3. Б. 39.4. А. 39.5. Д. 39.6. А. 39.7. Г. 39.8. Д. 39.9. Б. 39.10. Д. 39.11. Г. 39.12. А. 39.13. А. 39.14. Б. 39.15. В. 39.16. В. 39.17. Г. 39.18. Д. 39.19. Д. 39.20. Г. 39.21. Б. 0 И5І 50| М | | І І І |0|,|9| | | | | |1|,| | | | | |1|1|,| | | | | | |9|, 39.30 39.31 39.32 39.33 39.34 5 0 4 л 2 8 8 1 39.35 39.36 39.37 І І |6|,|2|5| | | | |5|,| | | | | | |2|’| | |~| Тема 40. Куля 40.1. Г. 40.2. В. 40.3. Г. 40.4. Б. 40.5. Д. 40.6. В. 40.7. А. 40.8. Г. 40.9. Б. 40.10. Г. 40.11. Б. 40.12. В. 40.13. Д. 40.14. Б. 40.15. Б. 40.16. А. 40.17. Г. 40.18. А. 40.19. В. 40.20. В. 40.21. Г. 40.24 40.36 ] ізк_ 40.34 зЦ лл _ЛЛ_ 40.35 ЗІ Тема 41. Координати 41.1. Г. 41.2. В. 41.3. Г. 41.4. Б. 41.5. Д. 41.6. А. 41.7. В. 41.8. Г. 41.9. А. 41.10. В. 41.11. Д. 41.12. Д. 41.13. Б. 41.14. Г. 41.15. В. 41.16. Д. 41.17. Г. 41.18. В. 41.19. В. 41.20. В. 41.21. В. 525
41.25 41.26 -|7|, 41.30 1І5|,|5 41.28 41.32 41.29 Тема 42, Вектори 42.1. Г. 42.2. В. 423. В. 42.4. Г. 42.5. А. 42.6. Б. 42.7. Д. 42.8. Г. 42.9. Г. 42.10. Д. 42.11. Б. 42.12. Б. 42.13. Б. 42.14. Г. 42.15. В. 42.16. В. 42.17. Д. 42.18. Б. 42.19. Б. 42.20. Г. 42.21. Б. 42.22. А. 42.23. А. 42.24. Б. 42.26 А Б В Г Д 210|, 42.34 42.27 А Б В Г Д 42.28 А Б В Г Д 5|,|5|7 42.39 __| 1 [ ]□ 2 [ Е 3 Т~1 4 42.31 -Ш 42.36 -Н.|4 42.41 0|,|4|5 1 ТІ 2 [ ТІ 3 £ —ІП 4 [ 4232 2|1|2|,| 42.37 2|5|,| 42.42 2|2|, 42.35 0|,|8|3 42.40 0|,|б|5 Тема 43. Перетворення Лігур 43.1. В. 43.2. Г. 43.3. Д. 43.4. Г. 43.5. Г. 43.6. А. 43.7. Д. 43.8. Б. 43.9. В. 43.10. Б. 43.11. Г. 43.12. Б. 43.13. Д. 43.14. А. 43.15. Г. 43.16. В. 43.17. Б. 43.18. А. 43.19. Д. 43.20. А. 43.25 А Б В Г Д 43.26 А Б В Г Д 43.27 А Б В Г Д 43.28 А Б В Г Д 1 2 З 4 43.29 110|, 1 2 З 4 43.30 1 2 З 4 43.31 1|1|2|, 1 2 З 4 43.32 112|, Тема 44. Найпростіші геометричні Лігури на площині 44.1. Г. 44.2. Д. 44.3. В. 44.4. Б. 44.5. А. 44.6. Г. 44.7. Д. 44.8. В. 44.9. Г. 44.10. Б. 44.11.Д. 44.12. Г. 44.13. Г. 44.14. В. 44.15. В. 44.16. Д. 44.17. А. 44.18. Г. 44.19. В. 8 , 110|, 44.32 з|о|,| 110|, 44.34 1|7|2|,|5 2111, 44.30 112|0|, 44.33 7|0|, 44.31 б|о|,| 1|0|5|,| 526
ЗМІСТ Передмова...............................................................................З АЛГЕБРА ТА ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ Тема 1. Обчислення. Арифметичні задачі..................................................4 Тема 2. Відсотки.......................................................................18 Тема 3. Цілі вирази....................................................................26 Тема 4. Дробово-раціональні вирази.....................................................35 Тема 5. Ірраціональні вирази...........................................................44 Тема 6. Логарифмічні та показникові вирази.............................................54 Тема 7. Тригонометричні вирази.........................................................64 Тема 8. Цілі рівняння..................................................................78 Тема 9. Цілі нерівності.............................................................. 91 Тема 10. Раціональні рівняння.........................................................102 Тема 11. Раціональні нерівності.......................................................112 Тема 12. Ірраціональні рівняння.......................................................123 Тема 13. Ірраціональні нерівності.....................................................133 Тема 14. Показникові рівняння.........................................................144 Тема 15. Показникові нерівності.......................................................154 Тема 16. Логарифмічні рівняння........................................................165 Тема 17. Логарифмічні нерівності......................................................175 Тема 18. Тригонометричні рівняння.....................................................185 Тема 19. Тригонометричні нерівності...................................................200 Тема 20. Системи рівнянь..............................................................214 Тема 21. Арифметична та геометрична прогресії.........................................225 Тема 22. Елементарні функції та їхні властивості......................................237 Тема 23. Побудова графіків функцій методом геометричних перетворень...................252 Тема 24. Похідна функції, її геометричний і механічний зміст..........................272 Тема 25. Застосування похідної для дослідження функцій................................285 Тема 26. Первісна. Інтеграл...........................................................298 Тема 27. Елементи комбінаторики.......................................................314 Тема 28. Початки теорії ймовірностей та елементи статистики...........................325 ГЕОМЕТРІЯ Тема 29. Трикутник....................................................................344 Тема 30. Прямокутний трикутник........................................................356 Тема 31. Рівнобедрений трикутник......................................................364 Тема 32. Чотирикутники................................................................373 Тема 33. Многокутники.................................................................385 Тема 34. Коло, круг та їх елементи....................................................392 Тема 35. Аксіоми стереометрії. Прямі та площини в просторі...........................403 Тема 36. Призма.......................................................................418 Тема 37. Піраміда.....................................................................429 Тема 38. Циліндр......................................................................439 Тема 39. Конус........................................................................447 Тема 40. Куля.........................................................................458 Тема 41. Координати...................................................................466 Тема 42. Вектори......................................................................474 Тема 43. Перетворення фігур...........................................................486 Тема 44. Найпростіші геометричні фігури на площині....................................498 Відповіді (алгебра та початки аналізу)................................................511 Відповіді (геометрія).................................................................522 527
Навчальне видання Укладачі Капіносов Анатолій Миколайович Білоусова Галина Миколаївна Гап ’юк Галина Володимирівна Кондратьєва Лариса Іванівна Мартинюк Олеся Миронівна Мартинюк Сергій Володимирович Олійник Лариса Іванівна Ульшин Петро Іванович Чиж Олег Йосипович МАТЕМАТИКА Комплексна підготовка до зовнішнього незалежного оцінювання За чинною програмою ЗНО Літературний редактор Людмила Олійник Дизайнер обкладинки Віталій Нехай Формат 60x84/8.61,58 ум. др. арк., 49,56 обл.-вид. арк. Тираж 2000. Замовлення №13-294. Видавець і виготовлювач Редакція газети «Підручники і посібники». 46000, м. Тернопіль, вул. Поліська, 6а. Тел.: (0352) 43-15-15; 43-10-21. Збут: гЬиІ@рр-Ьоокз.сот.иа Редакція: гегі@рр-Ьоок8.сот.иа Виробництво: ргіпі@рр-Ьоок8.сот.иа \уду\у.рр-Ьоок8.сот.иа Свідоцтво про внесення суб’єкта видавничої справи до державного реєстру видавців, виготівників і розповсюджувачів видавничої продукції серія ДК № 765 від 11.01.2002 р. Книга-поштою: а/с 376, Тернопіль, 46011. Тел.: (0352) 42-43-76; 097-50-35-376 ро8і@рр-Ьоок8.сот.иа