Передмова
АЛГЕБРА ТА ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ
Тема 2. Відсотки
Тема 3. Цілі вирази
Тема 4. Дробово-раціональні вирази
Тема 5. Ірраціональні вирази
Тема 6. Логарифмічні та показникові вирази
Тема 7. Тригонометричні вирази
Тема 8. Цілі рівняння
Тема 9. Цілі нерівності
Тема 10. Раціональні рівняння
Тема 11. Раціональні нерівності
Тема 12. Ірраціональні рівняння
Тема 13. Ірраціональні нерівності
Тема 14. Показникові рівняння
Тема 15. Показникові нерівності
Тема 16. Логарифмічні рівняння
Тема 17. Логарифмічні нерівності
Тема 18. Тригонометричні рівняння
Тема 19. Тригонометричні нерівності
Тема 20. Системи рівнянь
Тема 21. Арифметична та геометрична прогресії
Тема 22. Елементарні функції та їхні властивості
Тема 23. Побудова графіків функцій методом геометричних перетворень
Тема 24. Похідна функції, її геометричний і механічний зміст
Тема 25. Застосування похідної для дослідження функцій
Тема 26. Первісна. Інтеграл
Тема 27. Елементи комбінаторики
Тема 28. Початки теорії ймовірностей та елементи статистики
ГЕОМЕТРІЯ
Тема 30. Прямокутний трикутник
Тема 31. Рівнобедрений трикутник
Тема 32. Чотирикутники
Тема 33. Многокутники
Тема 34. Коло, круг та їх елементи
Тема 35. Аксіоми стереометрії. Прямі та площини в просторі
Тема 36. Призма
Тема 37. Піраміда
Тема 38. Циліндр
Тема 39. Конус
Тема 40. Куля
Тема 41. Координати
Тема 42. Вектори
Тема 43. Перетворення фігур
Тема 44. Найпростіші геометричні фігури на площині
Відповіді. Алгебра та початки аналізу
Відповіді. Геометрія
Text
                    Довідковий теоретичний матеріал
Розв’язування типових задач
Тренувальні тестові завдання
Відповіді до всіх завдань
Видавництво
« Підручники
мамявмшкжямцмяжмикг-ламавапапянвмі
і посібники»
ГОЛОГРАФІЧНА МАРКА ГАРАНТУЄ ОРИГІНАЛЬНІСТЬ
І ЯКІСТЬ ЦЬОГО ВИДАННЯ

МАТЕМАТИКА Комплексна підготовка до зовнішнього незалежного оцінювання За чинною програмою ЗНО Укладачі Анатолій Капіносов, Галина Білоусова, Галина Гап’юк, Лариса Кондратьєва, Олеся Мартинюк, Сергій Мартинюк, Лариса Олійник, Петро Ульшин, Олег Чиж Тернопіль Видавництво «Підручники і посібники» 2013
УДК 371.32 ББК 22.1 МЗЗ Рецензент: Ярослав Гап ’юк — доцент кафедри математики та методики її викладання Тернопіль- ського національного педагогічного університету імені Володимира Гнатюка Літературне редагування Людмили Олійник Дизайнер обкладинки Віталій Нехай Математика : Комплексна підготовка до зовнішнього не- М 33 залежного оцінювання І Уклад.: А. М. Капіносов, Г. І. Білоусова, Г. В. Гап’юк, Л. І. Кондратьєва, О. М. Мартинюк, С. В. Марти- шок, Л. І. Олійник, П. І. Ульшин, О. Й. Чиж. — Тернопіль : Підручники і посібники, 2013. — 528 с. І8ВИ 978-966-07-2497-6 Посібник містить теоретичний матеріал, а також тестові завдання різних рівнів складності з усіх тем шкільного курсу математики. Зміст матеріалів відповідає вимогам чинної програми зовнішнього незалеж- ного оцінювання та чинних навчальних програм з математики. Для абітурієнтів, учнів 11 класу, учителів математики. УДК 371.32 ББК 22.1 І8ВИ 978-966-07-2497-6 © Капіносов А. М., Білоусова Г. І., Гап’юк С. Я., Л. І. Кондратьєва, Мартинюк О. М., Мартинюк С. В., Олійник Л. І., Ульшин П. І., Чиж О. Й., 2013
ПЕРЕДМОВА Посібник призначений для підготовки учнів загальноосвітніх навчальних закладів та абітурієнтів до зовнішнього незалежного оцінювання. Його укладений відповідно до чинної програми зовнішнього незалежного оцінювання та чинних навчальних програм з математики. Метою посібника є надання практичної, методичної та психологічної допомоги учням у підготовці до зовнішнього незалежного оцінювання. У книзі міститься довідковий теоретичний матеріал, приклади розв’язання задач і вправ і завдан- ня з усіх тем шкільного курсу математики. Завдання кожної теми складаються з чотирьох частин. Пе- рша частина містить довідковий теоретичний матеріал і зразки розв’язання вправ. Друга частина — тестові завдання із п’ятьма варіантами відповідей, з яких лише один правильний. Усі завдання розмі- щені в послідовності зростання складності. Третя частина містить завдання, які передбачають уста- новлення відповідності між деякими математичними поняттями, позначеними цифрами 1-4, та їхніми властивостями, позначеними буквами А-Д. У четвертій частині вміщено тестові завдання відкритої форми — самостійне знаходження відповіді у вигляді десяткового дробу. З
АЛГЕБРА ТА ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ Тема 1. Обчислення. Арифметичні задачі Натуральні числа — це числа, які використовують при лічбі: 1, 2, 3, ... . Множину натуральних: чисел позначають буквою N. Цілі числа — це натуральні числа, числа протилежні до них та число нуль. Цілими є числа -2, 4, 0 тощо. Множину цілих чисел позначають буквою 2. Раціональні числа — це числа, які можна подати у вигляді — , де т — ціле число (/иєх), п — нату- п ральне число (иє2У). Кожне раціональне число можна представити у вигляді скінченного або нескінчен- 3 7 ного періодичного десяткового дробу. Раціональними є числа 4,5; -3; -7,3; —; -2-- тощо. Множину ра- ціональних чисел позначають буквою (£. Ірраціональні числа — це нескінченні десяткові неперіодичні дроби. Наприклад, ірраціональними є числа л/5, со$7°, я тощо. Множину ірраціональних чисел позначають буквою І. Дійсні числа — це раціональні та ірраціональні числа. Кожне дійсне число можна зобразити точ- кою на числовій осі, а кожній точці числової осі відповідає дійсне число. Множину дійсних чисел по- значають буквою /?. Прості та складені числа Натуральне число називають простим, якщо воно має лише два дільники: одиницю і саме число. Найменше просте число — 2. Наприклад, число 19 має два дільники (1 і 19), тому воно є простим. Натуральне число називають складеним, якщо воно має більше, ніж два дільники. Число 6 має чотири дільники (1, 2, 3 і 6), тому воно є складеним. Число 1 має лише один дільник, тому воно є ні простим, ні складеним. Розкласти складене число на прості множники означає записати дане число у вигляді добутку простих чисел — дільників даного числа. Наприклад, 12600 - 7 • 52 • З2 -23. Взаємно простими числами називають числа, які не мають спільних дільників, крім одиниці. На- приклад, 65 = 5 • 13, 306 = 2 • З2 • 17, тому числа 65 і 306 — взаємно прості. Найбільшим спільним дільником (НСД) кількох натуральних чисел називають найбільше число, на яке дані числа діляться без остачі. НСД даних чисел дорівнює добутку спільних простих множни- ків цих чисел. Найменшим спільним кратним (НСК) кількох натуральних чисел називають найменше число, яке ділиться без остачі на кожне з даних чисел. НСК даних чисел дорівнює добутку одного з них на прості множники, яких нема у його розкладі, але є у розкладах решти чисел. Якщо числа а та Ь — взаємно прості, тобто НСД(а; Ь) - 1, то НСК(а; Ь) = а • Ь. Наприклад, оскі- льки числа 9 і 25 є взаємно простими (НСД(9; 25) = 1), то НСК(9; 25) - 9 • 25 = 225. Звичайним дробом називають число виду — , де т та п — натуральні числа. Риска дробу означає п т дію ділення: — = т: п. п Число п — знаменник дробу — вказує, на скільки рівних частин поділили число (величину), чис- ло т — чисельник дробу — скільки таких частин узято. 4
Дріб, у якому чисельник менший за знаменник, називають правильним. Дріб, у якому чисельник .. . ті г 7 16 більший за знаменник або дорівнює йому, називають неправильним. Наприклад, дроби —, —, 8 . 20 99 15 — —правильні, а дроби —, —, — —неправильні. Число, яке складається з натурального числа і звичайного дробу, називають мішаним. Наприклад, 8 2 4—, 132— — мішані числа. Мішане число можна записати у вигляді суми натурального числа і зви- 8 8 чайного дробу. Наприклад, 4— = 4 +—. Щоб записати мішане число у вигляді неправильного дробу, досить його цілу частину помножи- ти на знаменник дробової частини, до знайденого добутку додати чисельник і результат записати в З 5-4 + 3 23 чисельнику, а знаменник залишити тим самим. Наприклад, 5— =--= —. 4 4 4 З будь-якого неправильного дробу можна виділити цілу частину. Для цього досить поділити з ос- тачею чисельник на знаменник. Частка від ділення буде цілою частиною, остача— чисельником, а 38 2 дільник — знаменником. Наприклад, — = 4—, бо 38 : 9 = 4 (ост. 2). Основна властивість дробу. Якщо чисельник і знаменник дробу помножити чи поділити на одне .. „114 4 и те саме натуральне число, то отримаємо дріб, який дорівнює даному. Наприклад, — =-= —; 6 6-4 24 100 _100:10 _10 70 “ 70:16’“ 7 * Скороченням дробу називають ділення чисельника і знаменника дробу на їх спільний дільник, відмінний від одиниці. Найбільше число, на яке можна скоротити дріб, — найбільший спільний діль- ник чисельника і знаменника і якщо він дорівнює 1, то дріб називають нескоротним. Наприклад, дріб 100 „ 100 100:10 10 9 скоротний, бо = = — , а дріб-нескоротний. 70-------------------------------------------------70-70:10-7 13 Заміну дробів з різними знаменниками відповідно рівними їм дробами з однаковими знаменни- ками називають зведенням дробів до спільного знаменника. Найменшим спільним знаменником дробів є найменше спільне кратне їх знаменників. Щоб звести дріб до найменшого спільного знаменника, досить: 1) знайти найменше спільне кратне знаменників дробів; 2) поділити найменше спільне кратне на кожен знаменник і знайти додаткові множники для кож- ного дробу; 3) помножити чисельник і знаменник кожного дробу на його додатковий множник. 7 5 Наприклад, звести дроби — і — до найменшого спільного знаменника. 1) Найменше спільне кра- 8 6 тне чисел 8 і 6 дорівнює 24; 2) 24 : 8 = 3; 24 : 6 = 4. Отже, числа 3 і 4 є додатковими множниками для ..7.5. 7 7-3 21 5 5-4 20 дробів — і — відповідно; 3) — =-= —; — =---= —. 8 6 8 8'3 24 6 6-4 24 Дії над звичайними дробами 1. Додавання і віднімання. Сумою (різницею) дробів з однаковими знаменниками є дріб, чисель- ник якого є сумою (різницею) чисельників цих дробів, а знаменник дорівнює їх знаменникам: а с а + с (а с а-с\ ттт х — + — =----------=------ . Щоб додати (відняти) дроби з різними знаменниками, треба їх спочатку Ь Ь Ь \Ь Ь Ь / звести до спільного знаменника. 5
2. Множення. Добутком дробів є дріб, чисельник якого дорівнює добутку чисельників, а знамен- а с ас ник — добутку знаменників даних дробів:-- = — Ь а Ьа 3. Ділення. Часткою двох дробів є дріб, який дорівнює добутку дробу-діленого та оберненого чи- а с а б/ а сі сла до дробу-дільника: —: — =-----=-----. Ь б/ Ь с Ь-с „ 1Ч 2 , 3 2 + 3 5 2* Г Наприклад: 1) —ь— =---------= —; 2) — + — Е 7 11 11 11 11 3 4 4-2 + 3-1_ 8 + 3 = 11. 3-4 12 12’ 1* 1д З-1 + 2-1 } 6 9 18 = 3±2 = А; 4) 2—+ 7— 18 18 10 15 п п 31 + 2-4 =2+7+ зо = 9 + — = зо = 9—; зо 5) 6—-2—= 6-2 + —• 5 4 5 3 .16-15 . 1 2 4 20 20 7 7) 5 7-5 35 2—-3—= 2 3 5 И_ 2 3 511 2-3 = 55 6 = 9—; 6 2 -3^ 2 8= 2-8 =16- 9) 5,_4_=5.17 = 5Ч7 = 85 = 211. 13'8 13 3 13-3 39’ ? ’ 17 1 4 1-4 4 4’ 54 112_49.33^ 7Х-Х" 7-11 = 77 =85. ' 9 21 9 21 3/-Хз 3-3 9 9’ 2 5 ,5 5 ^ 38.170^ 38 33 = 19Х'Х3 _ 19-3 = 57 11 33 11’33 11 170 Х-І70?5 1-85 85 Числові вирази Числовий вираз— це запис, який складається 83 чисел, об’єднаних знаками арифметичних дій, і дужок. Якщо в числовому виразі виконати зазначені дії, дотримуючись порядку виконання арифмети- чних дій, то одержимо число, яке називають значенням числового виразу. Порядок дій у числовому виразі Додавання і віднімання чисел називають діями першого ступеня, а множення і ділення — діями другого ступеня. 1. Якщо в числовому виразі немає дужок і він містить лише дії одного ступеня, то їх виконують за порядком запису зліва направо. 2. Якщо у виразі є дії першого та другого ступенів, а дужок немає, то спочатку виконують дії другого ступеня, а потім — дії першого ступеня. 3. Якщо у виразі є дужки, то спочатку виконують дії в дужках у порядку, зазначеному в п. 1 і 2. Наприклад, у числовому виразі 25 • 296 - 17 • (300 - 7 • 40) + 5 • 138 порядок виконання арифме- тичних дій є таким: ф © @ @ ф @ ф 25 • 296 - 17 • (300 - 7 • 40) + 5 • 138 Десятковий дріб— інша форма запису звичайного дробу зі знаменником 10”, де п — натуральне 4 53 609 число. Наприклад, — = 0,4; ---= 0,053; ---= 60,9 . Р 10 1000 10 Дії над десятковими дробами 1. Додавання, віднімання. Щоб додати або відняти десяткові дроби, потрібно їх записати так, щоб однакові розряди були один під одним (або «кома під комою») і виконати дію. Якщо необхідно, то до одного з дробів можна дописати нулі праворуч. Наприклад, знайдемо суму 16,8 + 0,5347: 16,8000 + 0,5347 17,3347 6
2. Множення. Множать десяткові дроби, не зважаючи на коми, як натуральні числа, а в добутку відділяють комою праворуч стільки цифр, скільки їх є після коми в обох множниках разом. Напри- клад, х !35 0,006 0,00810 3. Ділення. Щоб поділити десяткові дроби, спочатку їх домножають на 10", де п — кількість цифр після коми в дільнику і перетворюють дільник у натуральне число. Кому в частці ставлять після заве- ршення ділення цілої частини діленого. Наприклад, поділимо 3,12 на 2,6: 3,12:2,6 = 31,2:26 _31,2 І 26 26 гй _5 2 52 0 Кожен звичайний дріб можна подати у вигляді скінченного або нескінченного десяткового дробу. 14 Для цього потрібно чисельник поділити на знаменник. Наприклад, — = 1,272727..., 7 З — = 0,5833333..., - = 0,375. 12 8 Періодом нескінченного десяткового дробу називають найменшу групу цифр після коми десятко- вого дробу, яка повторюється. Період записують раз, поміщаючи його в круглі дужки, наприклад, 1,27272727... = 1,(27); 0,583333... = 0,58(3); 0,375 = 0,375000... = 0,375(0). Кожен нескінченний десятковий періодичний дріб можна подати у вигляді звичайного. Правило перетворення нескінченного періодичного дробу в звичайний Щоб перетворити періодичний дріб у звичайний, потрібно від числа, яке стоїть до другого періо- ду, відняти число, що стоїть до першого періоду, і записати цю різницю чисельником звичайного дро- бу, а в знаменнику записати цифру 9 стільки разів, скільки цифр у періоді, і дописати стільки нулів, 24-0 24 8 скільки цифр між комою і першим періодом. Наприклад: 1) 0,(24) = 0,242424... = —= —= —; 2) 2,5(3) = 2,5333... = 253 ~ 25 = — = —. 90 90 15 Модуль дійсного числа Модулем (абсолютною величиною) дійсного числа а називають саме це число, якщо воно не- від’ємне (а > 0), і протилежне йому число, якщо воно від’ємне (а < 0), тобто: . . [а, а>0, \а = 1 1 [-а, а<0. Наприклад, |13| = 13; |-9| = 9; |о| = 0; |^5 - ю| = -(75-10) = 10-Тбї Модуль числа а дорівнює відстані на числовій осі від початку відліку до точки, яка позначає чис- ло а. Додавання від’ємних чисел і чисел з різними знаками 1. Щоб додати два від’ємні числа, потрібно: 1) додати їхні модулі; 2) поставити перед одержа- ним результатом знак «-». Наприклад, -6 + (-2) = -8. 7
2. Щоб додати два числа з різними знаками, потрібно: 1) з’ясувати, модуль якого числа більший; 2) від більшого модуля відняти менший; 3) перед одержаним результатом поставити знак того додан- ка, модуль якого більший. Наприклад: а) -5 + 12 = 7; б) -23,5 + 9,1 = —(23,5 - 9,1) = -14,1. 3. Щоб від одного числа відняти інше число, потрібно до зменшуваного додати число, протиле- жне до від’ємника: а- Ь-а + (-/?). Наприклад: а) 20-50 = 20 + (-50) =-ЗО; б)-20-50 = -20 + + (-50) = -70; в) -20 - (-50) = -20 + (+50) = -20 + 50 = 30. Множення і ділення додатних і від’ємних чисел Добуток (частка) двох чисел з різними знаками є число від’ємне; модуль добутку (частки) дорів- нює добутку (частці) модулів цих чисел. Наприклад: а) -0,25 • 5 = -1,25; б) 0,6 : (-3) = -1,8. Добуток (частка) двох від’ємних чисел є число додатне; модуль добутку (частки) дорівнює добу- тку (частці) модулів цих чисел. Наприклад: а) -7 • (-9) = 63; б) -24 : (-8) ~ 3. Властивості дій над числами 1. Властивості додавання'. а + Ь- Ь + а (переставна властивість); (а + Ь) + с = а + (Ь + с) (сполучна властивість); а + 0 = а (властивість нуля); а + (-а) = 0 (властивість суми протилежних чисел). 2. Властивості множення'. аЬ - Ьа (переставна властивість); (аії) • с- а - (Ьс) (сполучна властивість); (а + Ь) • с = ас + Ьс (розподільна властивість); а • 1 = а (властивість одиниці); а • 0 = 0 (властивість нуля); а • — = 1, якщо а = 0 (властивість обернених чисел). а Пропорція Пропорцією називають рівність двох часток (відношень): — = —, або а'.Ь = с.с1. Числа а та с! на- Ь с/ зивають крайніми членами пропорції, Ь та с — середніми членами пропорції. Основна властивість пропорції: добуток крайніх членів пропорції дорівнює добутку середніх її членів: асІ = Ьс. Прямо пропорційні величини Дві величини називають прямо пропорційними, якщо зі збільшенням значень однієї величини у Х2 У1 7 певну кількість разів значення іншої величини збільшується в таку ж кількість разів: — = — ~к — Уі коефіцієнт пропорційності. Наприклад, якщо швидкість руху автомобіля постійна, то: Час Відстань 2год І 120 км І 2 _ 120 8 год | 480 км | 8 ~ 480 Обернено пропорційні величини Дві величини називають обернено пропорційними, якщо зі збільшенням значень однієї величини Х2 у1 _Т у певну кількість разів значення іншої величини зменшується в таку ж кількість разів: — = —. На- Уі приклад, якщо відстань постійна, то: 8
Швидкість 40 км/ год 80 км/год Час 4 год 2 год 40 = 2 80 4 Масштаб. Масштаб— це відношення відстані на карті до відповідної відстані на місцевості. Наприклад, масштаб 1 : 100000 означає, що 1 см на карті відповідає 100000 см = 1000 м = 1 км на місцевості. Стандартний вигляд числа. Стандартним виглядом числа т називають його запис у вигляді а • 10”, де 1 < а < 10, пе2. Число п називають порядком числа т. Наприклад: т = 63000 = 6,3 • 104; к = 0,0000014 = 1,4- 1(Г6. Приклад 1. Знайти НСД(120; 220). 120 = 2-2-2-3-5,220 = 2-2-5-11. Тоді НСД(120; 220) = 2 • 2 • 5 = 20. Відповідь. 20. Приклад 2. Знайти НСК(28; 16; 10). 28 = 2-2-7; 16 = 2-2-2-2; 10 = 2 • 5. Отже, НСК (28; 16; 10) = 2 • 2 • 7 • 2 • 2 • 5 = 560. Відповідь. 560. Приклад 3. Оксана, Сергій і Петро о 16 годині почали розв’язувати задачі. Оксана на виконання кожної вправи витрачала 16 хв, Сергій— 24 хв, а Петро— 18 хв. Через деякий час вони одночасно закінчили виконувати свої завдання. О котрій годині найшвидше це могло статися? А Б В г д 17 год 12 хв 18 год 18 год 20 хв 18 год 24 хв 19 год І Час, за який діти виконали свої завдання, має виражатися числом, яке ділиться на 16, на 24 і на 18, тобто необхідно знайти НСК чисел 16, 24 і 18. 16 = 24; 24 = 23 • 3; 18 = 2- З2; НСК(16; 24; 18) = = 24 • З2 = 144. Отже, діти закінчать одночасно виконувати вправи через 144 хв = 2 год 24 хв. Це буде об 16 год + 2 год 24 хв = 18 год 24 хв. Відповідь. Г. Приклад 4. Знайти значення числового виразу 15у^ + 11у:^4^-2^-3^. 1) 4±-22=2.2О = 92О = Ь1О = 1о. 2 9 2 9 2-9 1-1 2) 10-3—= 9—-3—= 6—; 6 6 6 6 ,.5 ,5 82 41 82-6 2-6 12 .5 3) 11—:б—= —: — =---=---= — = 1—; 7676 7-41 7-1 7 7 4) 15—+ 1— = 15 + 1+1 + 10 = 16 + — = 16 + — = 16 + 1—= 17—. 14 7 14 14 2 2 2 Відповідь. 17—. 9
2)4,6-А = 4А_А = 4 + ҐА>6_АП=4+3^25=4І1; 12 10 12 110 12 ) 60 60 3) 4— 0 4 = — — 251= 251 =251 • ' 60 ’ 60 10 І5Х-10 15 10 150’ 4) 8—: — = ^ ЗО 150 Відповідь. Б. = 5. Приклад 6. Установити відповідність між числами (1-4) та множинами (А-Д), до яких вони на- лежать. 1 -8 2 23 З Лб 4 1,7 А множина парних чисел Б множина цілих чисел, які не є натуральними В множина раціональних чисел, які не є цілими числами Г множина ірраціональних чисел Д множина простих чисел А Б В Г Д 1 Відповідь. 2 З 4 2 Приклад 7. Турист пройшов у шляху за 3 год. За який час він пройде решту шляху, рухаючись із такою ж швидкістю? А Б В Г д 4,5 год 4 год 5 год 3,5 год 1,8 год Дві частини з п’яти турист пройшов за 3 год, отже, одну частину він пройшов за З : 2 - 1,5 (год). Йому залишилося пройти 5-2 = 3 (ч.) з п’яти, тоді цей шлях він пройде за З - 1,5 =4,5 (год). Відповідь. А. Приклад 8. Мотоцикліст проїхав деяку відстань за 6 год. Якщо він рухатиметься зі швидкістю 48 км/год) то проїде цю відстань за 5 год. Знайти початкову швидкість руху мотоцикліста. Якщо відстань є постійною величиною, то швидкість і час є обернено пропорційними величи- нами, тобто якщо х км/год — початкова швидкість руху мотоцикліста, то Швидкість Час х км/ год І 6 год 48 км/год ▼ 5 год 10
Тоді — = —; х = -8--; х - 40 (км/год). 48 6 6 Відповідь. 40 км/год. Приклад 9. Два оператори комп’ютерного набору, працюючи разом, виконали деяку роботу за 12 год. Другий оператор, працюючи самостійно, може виконати цю роботу за 20 год. За скільки годин виконає цю ж роботу перший оператор, працюючи самостійно? Другий оператор, працюючи самостійно, за 1 год виконає ± усієї роботи. Працюючи разом, за 1 год обидва оператори виконають частину всієї роботи. Отже, перший оператор, працюючи Iх5 1х3 5-3 2 1 самостійно, за 1 год виконає —----=--------= — = — (ч.) всієї роботи. Тоді на виконання всієї ро- 12 20 60 60 30 Е боти першому оператору знадобиться 1: = 30 (год). Відповідь. 30 год. Приклад 10. У магазині купили 9 однакових зошитів по 5 грн. за кожен та кілька ручок по 3 грн. за кожну. Яке з наведених значень може дорівнювати вартості покупки?___________________________ А Б В Г д 55 грн. 56 грн. 57 грн. 58 грн. 59 грн. Суму покупки можна записати у вигляді виразу 5 • 9 + 3 • п, де п — кількість куплених ручок. 5 • 9 + 3 • п = 3 • (5 • 3 + л). Цей вираз містить добуток, у якому один з множників дорівнює 3, тоді вар- тість покупки має ділитися на 3. Отже, сума цифр числа повинна ділитися на 3. Серед запропонованих чисел це лише число 57 (5 + 7 = 12). Відповідь. В. Приклад 11. Середнє арифметичне п’яти чисел дорівнює 400, а одне з цих чисел.— 600. Знайти середнє арифметичне решти чотирьох чисел. . сг + ск + + аЛ + а, Нехай Лі, б/41 б/5 — задані числа, тоді —!----------------- = 400, звідки а\ + сь + а3 + а4 + + а$ = 2000. Якщо одне з чисел дорівнює 600, то, наприклад, а\ + а2 + «з + «4 + 600 = 2000; Яі + аг + аз + щ = 1400. Тоді середнє арифметичне решти чотирьох чисел дорівнює а, +а2 + а3 + а4 = 1400 = 35() 4 4 Відповідь. 350. Приклад 12. Відстань у 2400 км між Києвом і Парижем зображена на карті відрізком завдовжки 48 см. Знайти масштаб карти. А Б В Г Д 1 : 5000000 1 :200000 1 :2400 1 :5000 1 :50 48 см : 2400 км = 48 см : 240000000 см = 1 : 5000000. Відповідь. А. 11
Завдання 1.1-1.22 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 1.1. Яке з наведених чисел кратне числу 9? А Б В Г Д 978999 100009 199999 253647 3333333 1.2. Знайти найбільший спільний дільник чисел 42 і 63. А Б В Г д 126 3 7 9 21 1.3. Знайти найменше спільне кратне чисел 28 і 35. А Б В Г д 7 140 70 175 280 1.4. Обчислити: 1,521 : 0,3 - 1,9 0,3. А Б в г д 0 -0,063 5,13 4,5 -0,63 3 12 3 1.5. Обчислити: 2-----1---: —. 4 25 20 А Б В Г д 3,575 3,7 4,7 5,7 4,07 1.6. Обчислити: 4— -6— -ґ-1—] + 5—. З 7 V 9> 21 А Б В г д И 23 63 422 63 4» 63 -4— 63 „ 4 з— 63 1.7. Обчислити: -4,8 : (-2,6 + 3,4) + 0,8. А Б В Г д -7,2 -6,8 6,8 -5,2 5,2 1.8. Розв’язати рівняння (5х - 7): 12 = 2:3. А Б В Г д 3 2 7 4 6 1.9. Вказати найбільше з наведених чисел. А Б В г д 0,23 0,(23) 0,233 0,2(3) 0,2(31) 1.10. Вказати звичайний дріб, який дорівнює дробу 0,1(3). А Б В Г д 13 13 13 3 2 100 99 90 13 15 12
1.11. |л-4| = ... А Б В Г д тс-4 л + 4 -4л 4-л 4л 1.12. Не виконуючи ділення, встановити остачу від ділення 33333333341 на 9. А Б В Г д 1 5 14 4 41 1.13. Швидкість равлика дорівнює — м/хв. Яку відстань проповзе равлик за 6— години? А Б В Г д 0,75 м 31,25 м 75 м 25 м 48 52— м 12 1.14. Із 68 жовтих і 85 червоних троянд склали букети, розділивши жовті та червоні троянди в усі букети порівну. Скільки найбільше букетів можна одержати? А Б В Г д 9 20 34 17 8 1.15. Яка найменша кількість метрів тканини може бути в рулоні, щоб його можна було продати без залишку по 6 м, по 8 м або по 10 м? А Б В г д 480 60 120 240 4800 1.16. За три дні зорано 1800 га поля. За перший день зорано — поля, а за другий — — поля. Скільки гектарів поля було зорано за третій день? А Б В г Д 1100 700 1200 800 900 1.17. За перший день турист пройшов — усього шляху, а за другий — решту — 26у км. Яку від- стань пройшов турист за два дні? А Б В г д 1 46— км 4 54— км 3 60 км С£1 56— км 4 48 км 1.18. Басейн наповнюється через першу трубу за 4 години, а через другу — за 6 годин. Яку частину басейну залишиться наповнити після спільної роботи обох труб протягом 2 годин? А Б В г Д 4 5 3 5 1 6 2 3 9 10 1.19. Басейн заповнюють водою через першу трубу за а годин, через друг}' — за Ь годин. Через скільки годин можна заповнити басейн при використанні обох труб разом? А Б в Г д а + Ь а-Ь аЬ аЬ а + Ь а + 6 аЬ 13
1.20. Майстер виготовляє одну деталь за 5 хв, а його учень таку ж деталь — за 9 хв. Працюючи ра- зом, вони виготовили 42 деталі. Скільки деталей виготовив майстер? А Б В г д 28 32 зо 27 25 1.21. Добуток двох послідовних парних натуральних чисел дорівнює 728. Знайти суму цих чисел. А Б В Г Д 56 66 54 32 28 1.22. В одному місті всі мешканці розмовляють англійською або французькою мовою. Англійською мовою розмовляє 90% усіх мешканців, французькою — 80%. Скільки відсотків мешканців во- лодіє лише однією мовою? А Б В г Д 70% 60% 30% 20% 10% Завдання 1.23-1.32 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 1.23. Установити відповідність між числами (1-4) та їх остачами від ділення на 9 (А-Д). 1 53229465 2 81720245 З 33333332 4 33333016 А 2 Б З В 4 Г 5 Д 0 1.24. Установити відповідність між числами (1^4) та їх записами у стандартному вигляді (А-Д). 1 73,4 А 7,34 • 10’3 2 734 Б 7,34 • 10’2 З 0,734 В 7,34 • 10-' 4 0,00734 Г 7,34 • 10 Д 7,34 • 102 1.25. Установити відповідність між періодичними десятковими дробами (1-4) та їх записами у ви- гляді звичайних дробів (А-Д). 1 0,(6) 2 0,2(3) З 0,2(6) 4 0,7(30) . 241 А ---- 330 в 5 г з Д - б 14
1.26. Установити відповідність між виразами (1-4) та їх значеннями (А-Д). 1 |я- 4| + |л- 3| 2 |3-я|-|-л-4| З -|л-4|-|л-3| 4 |тс-4| + І-тс-ЗІ А 2л-7 Б 7 В 1 Г -1 Д-7 1.27. Установити відповідність між виразами (1—4) та їх значеннями (А-Д). 1 1000 • 0,02 + 100 • 0,004 + 10 • 0,0003 А 2,0403 2 1000 • 0,02 + 100 - 0,04 + 10- 0,0003 Б 2,4003 З 10000 • 0,02 + 1000 • 0,004 + 100 • 0,0003 В 20,403 4 100 • 0,02 + 100 • 0,004 + 10 • 0,00003 Г 24,003 Д 204,03 1.28. Установити відповідність між виразами (1—4) та їх значеннями (А-Д). 1 1,824:0,3-1,9-0,2 А 5,048 2 0,2432:0,04-1,9-0,02 Б 5,98 З 36,48 : 6 + 4,5 • 0,2 В 5,7 4 4,864:8 + 0,111-40 Г 6,042 Д 6,98 1.29. Установити відповідність між виразами (1—4) та їх значеннями (А-Д). 1 23 3 4 1-4-1 — : — 2 25 20 А 15— 3 4:1—4-2—-7— 2 3 7 Б 16- 3 00 1 — | ю си’к- 1 ю МІ- В 17— 3 Ґ18—+ 2—1:1— V 4 6> 4 Г 18— 5 д 19— 1.30. Установити відповідність між виразами (1—4) та їх значеннями (А-Д). 1 -48 : (-26 + 34) + 80 2 -120: (-26-34)+ 36-(-2) З 68 : (7-41)-18 • 4 4 -144 : (42-46)-12-(-3) А -72 Б -74 В -70 Г 74 Д 72 15
1.31. Установити відповідність між степенями (1-4) та їх значеннями (А-Д). 1.32. Установити відповідність між виразами (1-4) та їх значеннями (А-Д). 1 2 5~2 • 54 (б’2)’1 • 5-3 А 1 125 3 4 (5-'Г2 - 5 (5-1)4 • 52 Б 1 25 В х Г 25 Д 125 Розв’яжіть завдання 1.33-1.47. Відповідь запишіть десятковим дробом. / 7 17Л 1 1.33. Обчислити значення виразу ^8—-2—-2,7-4—:0,65 . У відповідь записати результат, округлений до 0,01. ( 2 3 2 З 'І 1.34. Обчислити зручним способом: ^74,7 - — + (-105,3) • 2— — (—105,3) • — -2у 74,7^ : 10. .о „ . ... 1,2:0,375-0,2 (0,016:0,12 + 0,7)-3 1.35. Знайти невідомий член пропорції: -2—-------= 3---------------—. 6—:15—+ 0,8 х 25 5 1.36. Два пароплави заходять у порт після кожного рейсу. Перший робить рейс за 4 дні, а другий — за 6 днів. Якось у неділю вони зустрілись у порту. Через скільки днів вони зустрінуться в пор- ту в неділю наступного разу? 1.37. Для учнів класу приготували однакові подарунки. В усіх подарунках було разом 588 цукерок, 140 яблук і 252 горіхи. Скільки учнів у класі, якщо їх більше, ніж 20? 1.38. Середній вік одинадцяти футболістів команди становить 22 роки. Під час гри однин із гравців залишив поле, після чого середній вік футболістів, які залишилися, дорівнював 21 рік. Скільки років футболістові, який залишив поле? 1.39. Кішка з кошенятами з’їдають куплений господарем корм за 8 днів. Якби кішку годували саму, то їй вистачило б корму на 11 днів. На скільки повних днів вистачило б корму кошенятам? 1.40. Швидкість товарного поїзда дорівнює 60 км/год. Чому дорівнює його довжина у метрах, якщо відомо, що він проходить повз нерухомого спостерігача за 15 секунд? 16
1.41. Петрик збирає за 21 хвилину 48 яблук, а Сашко за 84 хвилини — 36 яблук. Скільки яблук збере Петрик за час, за який Сашко збере 54 яблука? 1.42. У класі із 40 учнів ЗО уміють плавати, 27 — грати у шахи і 5 не вміють ні плавати, ні грати в шахи. Скільки учнів уміють плавати і грати в шахи? 1 1.43. Знайти х, якщо ( 3—: 16 / 2,75 7 + 6,2 2 :12— = 1,2 3 2 лс х: — 45 < 7 24 ) 1.44. У ліцеї навчається 70 учнів, з них 27 записалося в драмгурток, 32 співають у хорі, 22 захоплюються спортом. Драмгурток відвідує 10 учнів, які також займаються в хорі, у хорі співає 6 спортсменів, у драмгуртку займається 8 спортсменів, 3 спортсмени відвідують і драм- гурток, і хор. Скільки дітей не співають у хорі, не захоплюються спортом і не займаються в драмгуртку? 1.45. Катер пройшов за течією річки 60 км за деякий час. За цей же час проти течії він пройшов би 40 км. Яку відстань у кілометрах за цей час пропливе пліт? 1.46. Відстань між містами за течією річки теплохід проходить за 6 год, а проти течії — за 8 год. За скільки годин пропливе цю відстань пліт? 1.47. Автомобіль проїхав першу половину шляху зі швидкістю 60 км/год. Шлях, що залишився, по- ловину часу він їхав зі швидкістю 80 км/год, а другу половину часу — зі швидкістю 100 км/год. Знайти у кілометрах за годину середню швидкість руху автомобіля. 2* Каліносов А. Математика. Комплексна підготовка до ЗНО 17
Тема 2. Відсотки Відсотком (процентом) називають число одну соту. Отже, у^ = 1%; 100% = ~~ = 1; 50% = - = - 100 2 25% = —= 1 100 4 Тоді 100% числа а дорівнюють а, 50% числа а дорівнюють ^а, 25% числа а становлять . Щоб перетворити десятковий дріб у відсотки, потрібно помножити його на 100. Щоб перетворити відсотки у десятковий дріб, потрібно число відсотків поділити на 100. Наприклад: а) 0,002 = 0,002 • 100% = 0,2%; 0,07 = 0,07 • 100% = 7%; 1,34 = 1,34 • 100% = 134%; б) 2,3% = 2,3% : 100% = 0,023; 40% = 40%: 100% = 0,4; 263% = 263% : 100% = 2,63. 2 2 200 Аналогічно поступають і у випадку звичайних дробів. Наприклад: а) у = — -100% = —— % = 2 4 4 200 200 1 2 = 66—%; б) 28—% = 28-%:100% = —: 100 = — - — = - 3 7 7 7 7 100 7 Знаходження відсотків від числа Приклад 1. Зарплата водія становить 3400 грн. Авансом йому виплатили 40 % зарплати. Яку суму отримав водій? 3400 грн. — 100%; х грн. — 40%. „ . 3400 100 . 3400-40 Складаємо пропорцію:------= -^-.Тоді х =———;х = 1360. Отже, водій отримав 1360 грн. Відповідь. 1360 грн. Розв’язання задачі можна провести і так: 1) записати 40% десятковим дробом: 40% = 0,4; 2) знайти дріб 0,4 від числа 3400: 3400 • 0,4 = 1360 (грн.). Для того щоб знайти р відсотків від заданого числа а, можна: 1) записати р відсотків десятковим дробом; 2) помножити число а на одержаний десятковий дріб. Наприклад: знайти 13% від 40. 13% = 0,13; 40 • 0,13 = 5,2. Знаходження числа за його відсотками Приклад 2. Робітникові виплатили авансом 1400 грн., що становить 35% його зарплати. Яка за- робітна плата у робітника? 1400 грн, —35%; х грн. —100%. . 1400 35 т . 1400-100 Складаємо пропорцію:-----=----. Тоді х =-------; х = 4000. х 100 35 Отже, заробітна плата робітника становить 4000 грн. Відповідь. 4000 грн. Розв’язання задачі можна провести і так: 1) записати 35% десятковим дробом: 35% = 0,35; 2) знайти число за його дробом: 1400 : 0,35 = 4000 (грн.). 18
Для того щоб знайти число за відомою його частиною т і числом відповідних відсотків р, можна: 1) записати р відсотків десятковим дробом; 2) поділити т на одержаний десятковий дріб. Наприклад: знайти число, якщо 19% його становлять 57. 19% - 0,19; 57 : 0,19 - 300. Знаходження відсоткового відношення двох чисел Приклад 3. Сторожеві із зарплати 1800 грн. виплатили авансом 720 грн. Який відсоток зарплати він отримав? 1800 грн. —100%; 720 грн. — х %. . 1800 100 . 720-100 Складаємо пропорцію: —— =------. Тоді х = ——; х - 40. Отже, сторож отримав 40% зарплати. Відповідь. 40%. Розв’язання задачі можна провести і так: 1Ч 720 1) знайти відношення —- = 0,4; 2) помножити одержаний результат на 100%: 0,4 • 100% = 40%. Для того щоб знайти, скільки відсотків становить число а від числа Ь, можна: 1) знайти значення дробу —; Ь 2) помножити його на 100%. 9 Наприклад: знайти, скільки відсотків становить число 9 від числа 24. — • 100% = 37,5%. Формули простих і складних відсотків. Якщо банк виплачує клієнтові щомісячно р% внесеної суми Ао, то на рахунку клієнта через п мі- сяців буде сума: Ап = Л^І + . Це формула простих відсотків. Якщо клієнт поклав у банк суму Ао під р% річних, то через п років нагромаджений (накопичений) капітал становитиме: ґ \п Ап = Ло11+у-у І . Це формула складних відсотків. Приклад 4. Якою має бути початкова сума, покладена в банк під 20% річних, щоб через два роки прибуток становив 22000 грн.? Нехай початкова сума становить Ао грн. Тоді через два роки на рахунку буде Л2 = 4) (1 + 0,2)2 = Д) -1,44 (грн.). Прибуток дорівнює різниці нарощеного (А2) та початкового (Ло) 22000 капіталу: ^4 - 4> = 4) ’ 1>44 - 4> = 4> ’ 034. Рівняння: Ао 0,44 = 22000; 4> = - 50000 (грн.). Відповідь. 50000 грн. Приклад 5. Скільки сухої ромашки вийде із 50 кг свіжої, якщо при сушінні вона втрачає 84% своєї маси? А Б В Г д 34 кг 312,5 кг 60 кг 42 кг 8 кг 19
1)84% = 0,84; 2) 0,84 • 50 = 42 (кг) — втрачає ромашка при сушінні; 3) 50 - 42 = 8 (кг) — залишиться сухої ромашки. Відповідь. Д. Приклад 6. Товар був виставлений на продаж за 4000 грн. Після двох знижок на одну й ту ж кіль- кість відсотків він був проданий за 2250 грн. Визначити, на скільки відсотків щоразу знижували ціну. Нехай ціну знижували на х% = ^^. Тоді, застосувавши формулу складних відсотків, де ( х У ( х V 225 Ао = 4000 грн., и = 2, А2 = 2250 грн., р% =х%, одержимо: 4000 1------=2250; 1---- =------; Р Р V 100> < 1007 400 . х 15 х 1 1------= —; ----= —;х-25. 100 20 100 4 Відповідь. 25%. Приклад 7. Токареві за перший рік роботи підвищили заробітну плату на 10%, а через рік — ще на 20%. На скільки відсотків підвищили токареві заробітну плату за два роки? Нехай заробітна плата токаря становила а грн. Після першого підвищення вона становила а + 0,1а = 1,1а. Після другого підвищення (за 100% беремо вже 1,1а) заробітна плата становитиме 1,1а + 0,2 • 1,1а = 1,32а. Отже, заробітна плата токаря зросла на 1,32а - а = 0,32а, тобто на 0,32а : а = 0,32 = 32%. Відповідь. На 32%. Приклад 8. Вологість свіжоскошеної трави становить 60%, а вологість сіна— 15%. Скільки сіна можна одержати з 1,7 т свіжоскошеної трави? 1) 1700 • 0,4 = 680 (кг) — маса сухої трав’яної маси; 2) 680 : 0,85 = 800 (кг) — маса сіна. Відповідь. 800 кг. Приклад 9. Скільки води потрібно додати до 50 г 35%-го розчину, щоб одержати 10%-й розчин? 1) 50 • 0,35 = 17,5 (г) — маса солі в розчині; 2) у новому розчині 17,5 г солі становлять 10%, тоді маса нового розчину дорівнює 17,5 : 0,1 = = 175 (г); 3) 175 - 50 = 125 (г) — води потрібно додати до розчину. Відповідь. 125 г води. Приклад 10. У зв’язку із впровадженням новітніх технологій на виробництві продуктивність праці зросла на 60%. На скільки відсотків зменшиться час виконання деякого завдання? Продуктивність праці становить р одиниць продукції за 1 год, час її виконання — і год. Тоді вся робота А полягає у виготовленні рі одиниць продукції. Оскільки продуктивність праці зросла на 60%, то вона стала дорівнювати 1,6/? одиниць продукції за 1 год. Кількість виготовлених одиниць продукції не змінилася, тому рі - 1,6/? *Л, де і\ — час виконання завдання зі збільшеною продуктивніс- /?/ і 10/ 5. ~ , 5, З, тю, звідки Д = —— = — = — = -і. Тоді час виконання завдання зменшився на і —і = -і, що стано- 1,6/? 1,6 16 8 8 8 З З вить -/:/ = -= 37,5%. 8 8 Відповідь. Час зменшиться на 37,5%. Приклад 11. У яких пропорціях потрібно змішати 70%-й і 50%-й розчини кислоти, щоб одержати 65%-й розчин цієї кислоти? Нехай узяли х г 70%-го розчину кислоти, а 50%-го — у г. Тоді маса 65%-го розчину дорівнює (х+у)(г). Чистої кислоти в 70%-му розчині було 0,7хг, у 50%-му— 0,5уг. Чистої кислоти в ново- 20
утвореному розчині 0,65(х + у) г. Рівняння: 0,7х + 0,5у - 0,65(х + у); 0,7х + 0,5у = 0,65х + 0,65у; х З 0,05х = 0,15у; х = 3у; — = —. Отже, потрібно взяти 3 частини 70%-го розчину й одну частину 50%-го У 1 розчину. Відповідь. З : 1. Завдання 2.1-2.23 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРА- ВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 2.1. Як знайти 52% від числа 960? А Б В Г д 960 100 52 52•100 96 960 52 100 960:52 960 • 52 2.2. Як знайти число, 60 % якого дорівнюють 360? А Б в г д 360 • 60 360 60 60 100 360 360-60 100 360 100 60 2.3. Як встановити, скільки відсотків становить число 9 від 96? А Б В Г д 9 100 96 96-9 100 96 100 9 9 96 96 9 2.4. Банк сплачує своїм вкладникам 8% річних. Визначити, скільки грошей потрібно внести на ра- хунок, щоб через рік отримати 60 грн. прибутку. А Б В Г д 1150 грн. 1050 грн. 950 грн. 850 грн. 750 грн. 2.5. Уміст олова у сплаві становить 40%. Скільки грамів олова у 300 г такого ж сплаву? А Б В Г д 133- г 3 120 г 75 г .о 1 13— г 3 240 г 2.6. Сплав містить 50 г олова і 200 г міді. Який відсотковий уміст олова у сплаві? А Б В Г д 24% 40% 20% 25% 50% 2.7. Вкладник вніс до банку 2000 грн., а через рік отримав 2160 грн. Під який відсоток річних були покладені іроші? А Б В г д 12% 8% 6% 14% 16% 2.8. 10%-й розчин солі містить 180 г води. Яка маса цього розчину? А Б В Г Д 198 г 190 г 1800 г 200 г 400 г 21
2.9. Ціна товару дорівнює 64 грн. Після зниження ціни товар коштував 56 грн. На скільки відсотків було знижено ціну? А Б В г Д 25% 8% 10% 2 14—% 7 12,5% 2.10. Скільки відсотків від 180 становлять 15% від 300? А Б В Г Д 15% 20% 25% 30% 40% 2.11. Сплав, маса якого дорівнює 320 кг, містить 20% олова, 144 кг свинцю і решту — домішки. Ви- значити відсотковий уміст домішок. А Б В Г Д 80% 25% 35% 55% 48,75% 2.12. Скільки відсотків становить НСД(99; 126) від НСК(12; 20)? А Б В Г Д 25% 20% 15% 10% 30% 2.13. Ціна товару була підвищена на 25%. На скільки відсотків необхідно зменшити нову ціну това- ру, щоб одержати початкову? А Б В Г д 25% 15% 35% 20% 10% 2.14. Власник клубу має стабільний прибуток. Щоб збільшити прибуток, він підвищив ціну на квит- ки на 25%. Кількість відвідувачів значно зменшилася, і він вимушений був повернутися до по- чаткової ціни квитка. На скільки відсотків власник клубу зменшив ціну квитка? А Б В Г д 125% 100% 25% 20% Інша відповідь 2.15. Деяке додатне число спочатку збільшили на 50%, а потім одержане число зменшили на 50%. Як змінилося початкове число? А Б В Г д Не змінилося Зменшилося на 25% Зменшилося на 20% Зменшилося на 5% Збільшилося на 5% 2.16. На скільки відсотків збільшиться об’єм куба, якщо його ребро збільшити на 50%? А Б В Г д 237,5% 125% 150% 50% 337,5% 2.17. Вкладник вніс до банку 1000 грн. під 8% річних. Яку суму він матиме на рахунку через 3 роки? А Б В г Д 3 • 1000- 1,08 3 • 1000 • 0,08 1000 • 0,082 1000 • 0,083 1000- 1,083 2.18. Число а становить 25% числа Ь. Скільки відсотків становить число Ь від числа а? А Б В Г д 400% 200% 250% 750% 500% 22
2.19. Товар подешевшав на 20%. На скільки відсотків більше можна купити товару за ту ж кількість грошей? А Б В г Д 25% 20% 10% 40% 5% 2.20. Тривалість робочого дня зменшилась з 8 год до 6 год. На скільки відсотків потрібно підвищити продуктивність праці, щоб випуск продукції залишився тим же? А Б В г Д 20% 25% 33-% 3 35% 24-% 3 2.21. Машиніст провів поїзд за 7 год ЗОхв замість 9 год за графіком. На скільки відсотків було збільшено середню швидкість? А Б В Г д 20% 2 16-% 3 25% 15% 30% 2.22. У сплаві міді та цинку мідь становить — частину маси цинку. Який відсотковий уміст міді у сплаві? А Б В Г д 2 14—% 7 12,5% 25% 45% 6,2% 2.23. 2 кг сплаву міді з оловом містить 40% міді. Скільки потрібно додати до цього сплаву олова, щоб отриманий сплав містив 16% міді? А Б В Г д 3 кг 2,5 кг 2 кг 4 кг 3,5 кг Завдання 2.24-2.28 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 2.24. Установити відповідність між частинами (1—4) та відсотками (А-Д). 2 5 х 8 А 40% Б 20% В 80% Г 12,5% Д 25% 4 5 23
2.25. Установити відповідність між затушованими частинами круга (1^4) та відсотками (А-Д), які вони становлять від круга. А 62-% 2 Б 58—% З В 83—% З Г 75% Д 66^% 2.26. Установити відповідність між задачами (1-4) та їх розв’язаннями (А-Д). 1 Скільки відсотків становить число 40 від числа 240? А 240-40% 100% 2 Знайти 40% від числа 240. к 240-40% 3 Знайти число, 40% якого дорівнюють 240. л> т> 100 240-100% 4 Скільки відсотків становить число 240 від числа 40? о г Д 40 240-100% 40% 40-100% 240 2.27. Кількість дівчат у класі становить — кількості хлопців. Установити відповідність між задача- 4 ми (1-4) та відповідями (А-Д) до них. 1 Скільки відсотків хлопців у класі? А 20% 2 Скільки відсотків дівчат у класі? Б 75% З Знайти відсоткове відношення кількості В 25% дівчат до кількості хлопців. р 80% 4 Знайти відсоткове відношення кількості д 400% хлопців до кількості дівчат. 2.28. Установити відповідність між задачами (1-4) та відповідями (А-Д) до них. 1 Вкладник вніс до банку 11000 грн. під А 12320 13% річних. Скільки гривень становити- б 1382 4 ме прибуток через рік? В 1340 2 Вкладник вніс до банку 11000 грн. під р 12% річних. Скільки гривень буде на йо- го рахунку через рік? Д 1440 З Вкладник вніс до банку 4000 грн. під 16% річних. Скільки гривень становити- ме прибуток через 2 роки? 4 Вкладник вніс до банку 1000 грн. під 20% річних. Скільки гривень буде на йо- го рахунку через 2 роки? 24
Розв’яжіть завдання 2.29-2.40. Відповідь запишіть десятковим дробом. 2.29. 2 кг сплаву міді з оловом містить 40% міді. Скільки кілограмів олова потрібно додати до цього сплаву, щоб отриманий сплав містив 25% міді? 2.30. Скільки кілограмів води потрібно випарувати зі 100 кг 10%-го розчину солі, щоб одержати розчин з концентрацією 20%? 2.31. Сплав міді та цинку, маса якого дорівнює 6 кг, містить 45% міді. Скільки кілограмів міді пот- рібно додати до цього сплаву, щоб він містив 60% міді? 2.32. З молока одержують 21% вершків, а з вершків — 24% масла. Зі скількох тонн молока можна одержати 126 кг масла? 2.33. Змішали 2 л молока, жирність якого дорівнює 6%, і 3 л молока, жирність якого дорівнює 8%. Знайди у відсотках жирність утвореної суміші. 2.34. Щоб одержати 800 г 50%-го розчину азотної кислоти, слід змішати 60%-й розчин цієї кислоти з 20%-м розчином. Скільки грамів 20% розчину використали? 2.35. До 400 г 5%-го розчину солі додали солі й одержали 24%-й розчин. Яка маса утвореного роз- чину у грамах? 2.36. Порода містить 32% мінералу, в якому є 4,5% золота. Який відсоток золота в породі? 2.37. Вкладник вніс до банку 9000 грн. Частину грошей він поклав під 10% річних, а решту — під 8%. Через рік прибутки від обох вкладів були однаковими. Скільки тисяч гривень було покла- дено на перший рахунок? 2.38. Скільки тисяч гривень було покладено в банк, якщо через два роки прибуток становив 840 грн. за 10% річних? 2.39. Встановити, який відсоток річних нараховує банк, якщо через два роки за початкового вкладу 800 грн. на рахунку стає 882 грн. 2.40. Ціна вхідного квитка в кінотеатр становить 36 грн. Після зменшення вхідної плати кількість глядачів збільшилися на 50%, а виручка — на 25%. Скільки гривень став коштувати квиток? 25
Тема 3. Цілі вирази Степінь числа а з натуральним показником п(п> 1) Степенем числа а з натуральним показником п (п > 1) називають добуток п множників, кожен з яких дорівнює а: а" =аа-...а. п множників Наприклад: 25 =2-2-2-2-2 = 32; (-3)4 = -3• (-3)• (-3)• (-3) = 81; (-5)3 =-5-(-5)-(-5) = -125. 5 множників 4 множники 3 множники Вважають, що а{ - а . Наприклад, 7і = 7; (-8)1 = -8. Легко помітити, що 0” = 0; Г = 1. (3^з 27 Будь-який степінь додатного числа є додатним числом. Наприклад, 210 = 1024 > 0; — = — > 0. к4> 64 Парний степінь від’ємного числа є додатним числом. Наприклад, (-8)2 = 64 > 0; 2Ї=-*б>о. 3> 81 Непарний степінь від’ємного числа є від’ємним числом. Наприклад, (-5)3 = -125 <0; (—0,1)5 = = -0,00001 <0. Степінь з цілим показником Якщо а Ф 0 і п — натуральне число, то аГп = -у. Наприклад, 7’2 = (-6)-3 = Г,2У4 Ґ5^ ГЗУ 81 п ГаГ" ґдУ Вважають, що <т° = 1, якщо а Ф 0. Наприклад, 3° = 1; (-2)° - 1. Основні властивості степенів: 1. а”'-а'=ат*п. Наприклад, 23 • 24 = 23+4 = 27 = 128; 2. -^ = ат'\ Наприклад, -|у = З6-2 = З4 = 81; 3. = ат". Наприклад, (42)3 =42 3 =46 =4096; 4. (а • Ь)" = а" Ь". Наприклад, 203 = (2 • 10)3 = 23 • 103 = 8 • 1000 = 8000; _ ґаГ ап „ ( 2У 24 16 5. — =—. Наприклад, — =—-г =—. <Ь) Ьп V 3> З4 81 Одночленами називають числа, змінні, їхні степені з натуральними показниками та добутки. На- 2 приклад, 5; х; 5т2п-(-3)т4. Одночлен, який містить єдиний числовий множник, записаний пер- шим (коефіцієнт), та степені різних змінних, називають одночленом стандартного вигляду. Напри- клад, щоб подати одночлен 5т2п • (-3)т4 у стандартному вигляді, слід помножити 5 і -3 та т2 і т4\ 5т2п • (-З)и?4 = -15твп. Коефіцієнт цього одночлена — число -15. Степенем одночлена називають суму показників степенів усіх змінних, які входять до нього. Якщо одночлен містить лише число, то його степінь дорівнює нулю. Наприклад, -15иЛ? — одночлен сьомого степеня, ІОх — одночлен першого степеня, 78 — одночлен нульового степеня. Многочленом називають суму кількох одночленів. Доданки многочлена, які відрізняються лише коефіцієнтом, називають подібними членами (доданками) многочлена. Наприклад, у тричлені Зх2 -9х5 • 2/и -х2 подібними доданками є Зх2 та -х2. 26
Многочлен, який містить лише одночлени стандартного вигляду, серед яких немає подібних чле- нів, називають многочленом стандартного вигляду. Степенем многочлена стандартного вигляду на- зивають найбільший зі степенів одночленів, з яких складається даний многочлен. Формули скороченого множення 1. (а-Ь\а+Ь)=а2 -Ь2. Наприклад, (а-3)(а + 3) = а2 - 32 = а2-9; 2. (а±Ь)2 = а2 ±2аЬ+Ь2. Наприклад, (2а - 5)2 = (2а)2 - 2 • 2а • 5 + 52 = 4а2 - 20а + 25; 3. (а+Ь^ = а3 +За2Ь+ЗаЬ2 ±Ь3. Наприклад, (5 + 2х)3 = 53 + 3 - 52 - 2х + 3- 5- (2х)2 + (2х)3 = = 125 + 150х +60х2 + 8х3; 4. (а±Ь^а2 + аі> + Ь2)= а3 ±Ь3. Наприклад, (2 -х)(4 + 2х + х2) = 23 -х3 = 8 -х3; 5. (а1 + а2 +... + а„)2 = а2 + а2 +... + а2 + 2а}а2 + 2^ +... + 2а„_1ап. Наприклад, (т - х + Зс)2 = т2 + х2 + 9с2 - 2тх + бтс - бхс. Розкладання многочлена на множники 1. Винесення спільного множника за дужки. Наприклад, 12а5 - ЗОа36+ба3 = ба3 • 2а2 + ба3 • (-56)+ба3 • 1= = ба3 (2а2-56 + 1). 2. Використання формул скороченого множення. Наприклад, 100х2 -у8 =(10х)2 -(у4) = = (10х-/)(10х + /). 3. Групування. Наприклад, 6х2у2 + 8у + Зх2у + 4 = (бх2у2 + Зх2у) + (8у + 4) = = Зх27- (2у +1) + 4 • (2у +1) = (2у + 1)(3х2у + 4). Дії над многочленами Щоб додати (відняти) многочлени, досить розкрити дужки, перед якими стоїть знак «+» або «->?, та звести подібні доданки, якщо вони є. Якщо перед дужками стоїть знак «+», то при розкриванні дужок знаки всіх одночленів, які були в дужках, не змінюються; якщо знак «-» — то знаки змінюють- ся на протилежні. Наприклад, (3 + 5х) + (7х - 4) - 3 + 5х + 7х - 4 = 12х - 1; (-4 + Зх) - (3 - 5х) = = -4 + Зх-3 + 5х = 8х-7. Щоб помножити одночлен на многочлен, потрібно одночлен помножити на кожен член много- члена й отримані добутки додати. Наприклад, Зх • (2х + 5) - Зх • 2х + Зх • 5 = 6х2 + 15х. Щоб помножити многочлен на многочлен, потрібно кожен член одного многочлена помножити на кожен член іншого многочлена й отримані добутки додати. Наприклад, (3 + 5х)(7х - 4) = 3 • 7х + + 3 • (-4) + 5х • 7х + 5х • (-4) = 21х- 12 + 35х2 -20х = 35х2 + х- 12. Щоб поділити многочлен на одночлен, досить кожен член многочлена розділити на цей одночлен і одержані результати додати. Наприклад, (15х4 - 9х3 + 24х2 - 6х): (Зх) = 5х3 - Зх2 + 8х - 2. Ділення многочлена на многочлен Якщо для двох многочленів А(х) і В(х) можна знайти такий многочлен 0(х), що А(х) = В(х) • <2(х), то кажуть, що многочлен А(х) ділиться на многочлен В(х). Наприклад, оскільки х2 - 9 = (х - 3)(х + 3), то многочлен А(х) = х2 - 9 ділиться на многочлен В(х) = х + 3, тоді ()(х) -х-З — частка. Ділення многочлена на многочлен за правилом кута. Щоб поділити многочлен на многочлен за правилом кута, потрібно: 1. Упорядкувати члени многочленів за спаданням степенів змінної. 2. Поділити старший член діленого на старший член дільника. 3. Одержаний результат помножити на дільник й одержаний добуток відняти від діленого. 4. З одержаною різницею повторити кроки 1-3 доки не залишиться в остачі нуль або степінь ос- тачі не стане меншим від степеня дільника. 27
Наприклад: Xі + Зх2 - 18х - 40 х+ 2 ’х + 2х2 х2 + х- 20 х2 - 18х х2 + 2х _-20х-40 -20х-40 0 Многочлен від однієї змінної можна записати так: Р(х) = аохп + аре" 1 + а2х” 2 +... + ап_хх + ап, де а0, аі, а2,а„ — числа, до того ж а0 * 0, х — змінна. Число б/ називають коренем многочлена, якщо Р(сІ) - 0. Наприклад, число 5 — корінь многочлена Р(х) — х3-4х2-4х-5, боР(5) = 53 - 4 • 52 - 4 - 5 - 5 = 125-100 - 20 - 5 = 0. Схема Горнера ділення многочленів Виконання ділення многочленів можна виконувати за допомогою схеми Горнера. Нехай потрібно поділити многочлен <70хл + аххп~х + а2х"~2 +... + ап_рс + ап на двочлен х - а. Тоді ділення можна записа- ти за допомогою таблиці: ао аі а2 ап-\ а2 а ао Ь\- а • а0 + а\ Ь2- а • Ь\+ а2 ~ а * Ьп_2 + ап-\ Ьп - а Ьп-\ + а„ коефіцієнти многочлена (п - 1) степеня остача Наприклад, (2х4 - 9х3 + 4х2 + 2їх - 18): (х - 1). 2 -9 4 21 -18 1 2 -7 -3 18 0 Отже, можна записати: 2х4 - 9х3 + 4х2 + 2 їх - 18 = (х - 1 )(2х3 - 7х2 - Зх + 18). Теорема Безу Остача від ділення многочлена Р(х) на лінійний двочлен х-сі дорівнює значенню цього много- члена, якщо х — б/, тобто Р(сГ). Наприклад, остача від ділення многочлена 2х3 - Зх2 + 4х + 9 на двочлен х + 1 (х + 1 = х - (-1), ос- тача дорівнює -1) дорівнює Р(-1) = 2 • (-1)3 - 3 • (-1/ + 4 • (-1) + 9 = -2 - 3 - 4 + 9 = 0, тобто Р{х) ді- литься на х + 1 націло. Розклад на множники квадратного тричлена і деяких многочленів Вираз ах1 + Ьх + с, де а, Ь і с — деякі числа (а Ф 0), х — змінна, називають квадратним тричле- ном. Його корені Хі та х2 можна обчислити за формулою х, 2 = -—, де £) = б2 - 4ас — дискримі- 2а нант. Якщо хі та х2— корені квадратного тричлена, то ах2 + Ьх + с = а(х-Х|)(х-х2). Наприклад, три- член 2х2 + х - 3 має два корені: -1,5 і 1, тоді 2х2 + х - 3 = 2(х - 1 )(х + 1,5). ап — Ьп — (а — Ь)(а"~1 + а”~2Ь 4- ап3Ь2 + ... + сґЬп~3 + аЬп~2 + />""*). Наприклад: а) а4 — Ь4 = (а — />)(а3 + + а2Ь + аЬ2 + Ь3); б) а5 - Ь5 = (а - Ь)(а4 + а3Ь + а2Ь2 + аЬ3 + Ь4). Якщо иє N і п = 2к + 1 — непарне число, то ап + Ьп = (а + Ь)(а"~х - ап~2Ь + а"~3Ь2 -... + а2Ьп~3 - - аЬп~2 + б”"1). Наприклад, а5 + Ь5 = (а + Ь)(а4 - а3Ь + а2Ь2 - аЬ3 + Ь4). Степінь двочлена (біном Ньютона) (а + Ь)п = ап + Ріб/1-'/) + Ргб/1-2/?2 + ... + Р„_2бї2/>"“2 + Р„_|бб^”-1 + Ьп. Коефіцієнти цього розкладу 1; рь Рз,...; ря-г; Рл-ь 1 можна взяти з таблиці, яку називають трикутником Паскаля. 28
степінь коефіцієнти розкладу (а + Ь)° 1 (а + 6)1 1 1 (а + 6)2 1 2 1 (а + й)3 13 3 1 (а + 6)4 1 4 6 4 1 (а + б)5 1 5 10 10 5 1 (а + />)6 1 6 15 20 15 6 1 У таблиці в кожному рядку по краях розміщені 1, а кожне з решти чисел дорівнює сумі двох чи- сел, які містяться над ним ліворуч і праворуч. Наприклад, (а + Ь)5 - а5 + 5а4Ь + 10а3Ь2 + \0а2Ь3 + + 5аЬ* 4- Ь5. Приклад 7. Спростити вираз (я4)12: я8. А Б В Г д а2 а6 а40 а8 а /4x12 . 8 _ 4 • 12 8 _ 48 . 8 _ 48 - 8 _ 40 (а ) : а — а : а — а : а — а —а . Відповідь. В. Приклад 2. Записати в порядку спадання числа 430; З40; 250. А Б в г д 250- дзо. з40 340. дзо. 2$° 250- З40- 430 дзо. 340. 340. 250. дЗО 430 = 43 •10 - (43)10 = 64і0; З40 = З4’10 = (З4)10 = 811 °; 250 = 25 10 = (25)10 = 3210. Оскільки основи сте- пенів більші за 1, то при однаковому показнику степеня більшим є те число, основа якого більша. От- же, числа слід впорядкувати так: 81 ; 64 ; 32 аоо 3 ;4 ;2 . Відповідь. Б. Приклад 3. Обчислити: 218 • 14~7 • б9 • 3 і6. А Б В Г д си І 42 56 84 9— 3 218 • 14’7 • б9 • 3'16 = (3 • 7)8 • (2 • 7)-7 • (3 • 2)9 • З-16 = З8 • 78 • 2-7 • Г1 • З9 • 29 • З'16 = 8 о9 -,9 о8+9 -тЦт- = У = з • 7 • 4 = 84. 77-36 Х-Х-З16 З16 = 222 27 • Відповідь. Г. Приклад 4. Подати многочлен Зх2 - 9х5 • 2у22 - х2 у стандартному вигляді й визначити його сте- пінь. Зх2 - 9х5 • 2у22 - х2 = Зх2 - х2 -18х5у22 = 2х2 -18х5у2г. Даний многочлен є многочленом вось- мого степеня. Приклад 5. Виконати дії: ЗаЬ4 -(а26-8а). ЗаЬ4 \а2Ь- 8а) = ЗаЬ4 а2Ь + ЗаЬ4 • (-8а) = За2Ь5 - 24а2 Ь4. Приклад 6. Спростити вираз (ЗЬ - 2а)(2а + ЗЬ)(9Ь2 + 4а2). А Б В Г д 8164+ 16а4 8164- 16а4 -8164+ 16а4 9Ь4-2аЬ + а4 9Ь4-2аЬ-а4 29
(ЗЬ - 2а)(2а + ЗЬ)(9і>2 + 4а2) = ((36)2 - (2а)2)(9Ь2 + 4а2) = (9Ь2 - 4а2)(962 + 4а2) = (96)2 + (4а)2 = = 8164-16а4. Відповідь. Б. Приклад 7. Знайти суму лінійних множників, на які розкладається многочлен х4 + 5х3 -х2 - 17х + 12. А Б В Г д 4х- 5 4х + 7 4х + 5 4х-3 4х + 3 Знайдемо корені многочлена х4 + 5х3 -х2 - 17х + 12. х4 + 5х3 -х2 - 17х + 12 = 0. Випишемо ді- льники вільного члена: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Обчислимо, що Р(1) = 1 + 5 - 1 - 17 + 12 = 0. За схемою Горнера виконаємо ділення: 1 5 -1 -17 12 1 1 6 5 -12 0 Отже, можна записати: х4 + 5х3 -х2 - 17х + 12 = (х - 1)(х3 + 6х2 + 5х - 12). Виконаємо аналогічні дії з многочленом х3 + 6х2 + 5х - 12. Цілі дільники числа -12: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Знайдемо, що Р(1) =1+6 + 5-12 = 0. За схемою Горнера виконаємо ділення: 1 6 5 -12 1 1 7 12 0 Отже, можна записати: х3 + 6х2 + 5х - 12 = (х - 1 )(х2 + 7х + 12). Розкладемо двочлен х2 + 7х + 12 на множники: х2 + 7х + 12 = 0; £> = 72 - 4 • 1 • 12 = 1; х, = = -3; х2 = = -4. х2 + 7х + 12 = (х - (-3))(х - (-4)) = (х + 3)(х + 4). Тоді заданий многочлен можна записати у вигляді: х4 + 5х3-х2- 17х + 12 = (х- 1)2(х + 3)(х + 4). Сума лінійних множників: (х - 1) + (х - 1) + (х + 3) + (х + 4) = х - 1 + х - 1 + х + 3 + х + 4 = 4х + 5. Відповідь. В. Приклад 8. Виконати дії: (х2 -7)(Зх-5). (х2 -7)(3х-5) = х2-Зх + х2 •(-5) + (-7)-Зх + (-7)-(-5) = Зх3-5х2-21х+35. Приклад 9. Розкласти на множники многочлен с3 + с2 - 4с - 4. А Б В Г д (с2+1)(с-4) (с2 + 4)(с-1) (с+ 1)(с-4)(с + 4) (с+ 1)(с-2)(с + 2) с(с2 + с - 4) с3 + с2-4с-4 = (с3 + с2)-(4с + 4) = с2(с + 1)-4(с + 1) = (с + 1)(с2-4) = (с + 1)(с-2)(с + 2). Відповідь. Г. Приклад 10. Вказати значення, якого може набувати вираз а2 + 10а + 25, якщо аєМ А Б В г д 1 49 16 25 48 а2 + 10а + 25 = а2 + 2 • а • 5 + 52 = (а + 5)2. За натуральних значень а вираз а + 5 теж є натураль- ним числом. Отже, (а + 5)2 — квадрат натурального числа. Із запропонованих чисел квадратом нату- рального числа, більшого за 5, є лише число 49. Відповідь. Б. 30
Приклад 11. Установити відповідність між виразами (1-4) та тотожно рівними їм виразами (А-Д). 1 (2а-3)(За + 2) 2 (2а-З)2 З (3-2а)(3 + 2а) 4 (3 + 2а)2 А 9+ 12а + 4а2 Б 6а2-5а-6 В 4а2 - 6а + 9 Г 9 - 12а + 4а2 Д 9-4а2 1. (2а - 3)(3а + 2) = 2а • За + 2а • 2 - 3 • За - 3 • 2 = 6а2 + 4а - 9а - 6 = 6а2 - 5а - 6 —» Б 2. (2а-З)2- (2а)2-2 • 2а • 3 + З2 = 4а2- 12а +9 = 9- 12а +4а2 —> Г 3. (З - 2а)(3 + 2а) = З2 - (2а)2 = 9 - 4а2 -» Д 4. (З + 2а)2 = З2 + 2 • 3 • 2а + (2а)2 = 9 + 12а + 4а2 -> А А Б В Г Д 11_ ВІДПОВІДЬ. 2 1 ] см 4 Приклад 12. Знайти значення виразу х+у, якщо |х -у| + |4 -х| - 0, А Б в г д 4 інша відповідь 0 6 8 Значення виразів |х-у| і |4-х| — невід’ємні. Сума двох невід’ємних виразів дорівнює нулю лише тоді, коли кожен з них дорівнює нулю. Знайдемо, за яких значень х та у це відбудеться. |4-х|=0, (4-х = 0, ґх = 4, (х = 4, А „ < ( < ( Якщо х - 4, у = 4, то х +у = 4 + 4 = 8. |х-у|=0; [х-у = 0; [у = х; [у = 4. Відповідь. Д. Завдання 3.1-3.23 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРА- ВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 3.1. Обчислити: 9999 • 1001 + 1001. А Б в г д 1010000 10100 101001 101000 10010000 3.2. Обчислити: (-1)1 + (-1)2 + (-1)3 + ... + (-1)2008. А Б В г д 2008 -2008 0 1 -1 95 -43 3.3. Обчислити: —-—-. 274 • 2’ А Б В Г д 2 9 1 2 2 27 4 9 4-З32 +9-З30 3.4. Обчислити: ------------ А Б В г д 4-З16 15 13 4-З14 5 31
3.5. ^Зк+2 в Знайти значення виразу------------- Е 7 1000" А Б В Г д 2 10" 5 50 10"+ 2 3.6. ла+1 _ На скільки -—-----------менше від 9? А Б В Г д 3,5 3 4,5 5,5 7 3.7. Подати у вигляді многочлена вираз аЬс 4- саЬ. А Б в г д 110а+ 116+ 101с 2а + 2Ь + 2с 200(7 + 206 + 2с 200а + 26 + 20с 111а+ 116 + с 3.8. Відомо, що а + Ь- + с-2, а + с = 3. Знайти 3(а + Ь + с). А Б В Г д 6 9 12 15 18 3.9. Спростити вираз (а - 1)(а9 + я8 + а1 + ... + а2 + а + 1) + 1. А Б в Г д 10 9 а + а (710 + а а10 - 1 а10 а9 3.10. Спростити вираз (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1) • ... • (232 + 1) + 1. А Б в Г Д 234 964 2й4+ 2 234 + 2 234 -2 3.11. Розкласти на множники вираз 4(х + у)2 - 9(х-у)2. А Б В г д -(13х-5у)х х (13х + 5у) (13х-5у)х х(13х-5у) -(5х - у) х х (5х + у) (5х-у)х х (5х + у) (5х-у)х х(5у-х) 3.12. Подати многочлен 0,25х2 + у2 - ху -12 у вигляді добутку. А Б В Г д (0,25х-у- г)х х(0,25х + у + і) (0,25х - у - /)х х(0,25х-у + /) (0,05х - у - /)х х(0,05х-у + /) (0,5х-у- /)х х(0,5х-у + ї) (0,5х — у + /)х х(0,5х + у + і) 3.13. Розкласти многочлен х4 + х2+ 1 на множники і знайти суму вільних членів многочленів роз- кладу. А Б В г д 2 4 0 1 -1 3.14. Знайти (а - б)2, якщо (а + б)2 = 36, а2 - Ь2 - 24. А Б В Г д 2 4 8 16 32 32
3.15. Знайти (а + Ь)4, якщо (аЬ)3 = 125, а2 + Ь2 = 15. А Б В г д 25 225 400 500 625 3.16. 1-2 + 3- 4 + 5- 6 + ... + 2007 - 2008 = ... А Б В г д 2008 -2008 1004 -1004 0 3.17. (200 + 1 )(200 - 2)(200 + 3)(200 - 4)... (200 + 2007)(200 - 2008) = ... А Б В г д 2008000 -2008000 1004000 -1004000 0 3.18. Знайти х, якщо 222222х = 111111 + 222222 + 333333 + 444444. А Б В Г д 1 4 5 10 12 3.19. Обчислити: І2 - 22 + З2 -42 + ... + 992 - 1002 + 1012. А Б В г д -500 4949 1012 -1 -50 5151 3.20. Спростити вираз: 70 • (719 + 718 + 717 + ... + 712 + 71) + 71. А Б В Г д 7О10 7110- 1 7110 71'°+ 1 70'°+ 1 3.21. Якою цифрою закінчується значення виразу 116 + 146 - ІЗ3? А Б В г д 0 2 3 5 7 3.22. Знайти частку від ділення многочленів х4 - х2 + х + 1 та х3 - х2 + 1. А Б в г д х2-1 X х- 1 X + 1 х2+ 1 3.23. Знайти остачу від ділення многочлена х3 + 5х2 - х - 4 на двочлен х - 1. А Б В Г д 0 1 2 -1 -2 Завдання 3.24-3.28 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте познач- ки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 3.24. Установити відповідність між виразами (1^4) та тотожно рівними їм виразами (А-Д). 1 х2-(х-1)(х + 3) 2 х2-(х+ 1)(х+3) З х2-(х-1)(х-3) 4 х2 — (х + 1)(х-3) А 2х + 3 Б 4х-3 В —4х-3 Г -4х + 3 Д -2х + З З* Капіносов А. Математика. Комплексна підготовка до ЗНО 33
3.25. Установити відповідність між виразами (1-4) та тотожно рівними їм виразами (А-Д). 1 (а - 2Ь)2 - (а - Ь)(а + Ь) 2 (2а + Ь)(Ь - 2а) - (а - Ь)2 З (-2а - Ь)2 - (а - Ь)2 4 ~(2а - Ь)2 - (а - Ь)(а + Ь) А 2аЬ-5а2 Б 2аЬ-5Ь2 В -4аЬ + 562 Г 4а6-5а2 Д 6аЬ + За2 3.26. Установити відповідність між виразами (1-4) та їх розкладами на множники (А-Д). 1 ах - ау - Ьу + Ьх А (а + 6)(у-х) 2 ах + ау - Ьх - Ьу Б (а + Ь)(х -у) 3 -ах + ау + Ьх - Ьу В (а-6)(х-у) 4 ах - ау - Ьх + Ьу Г (а-Ь)(у-х) Д (а-Ь)(х + у) 3.27. Установити відповідність між виразами (1-4) та їх розкладами на множники (А-Д). 1 4(х-у)2-9у2 А (х + Зу)(5х - Зу) 2 4(х-у)2-9х2 Б (х - Зу)(5х - Зу) 3 9(х-у)2-4у2 В (х + 2у)(2у - 5х) 4 9(у-х)2-4х2 Г (2х + у)(2х-5у) Д (Зх-5у)(3х-у) 3.28. Установити відповідність між сумами (1^4) та їх записами у вигляді многочленів (А-Д). 1 аЬс + Ьас А 2а + 1106+ 110с Б 20а + 1016+ 101с 2 аЬс 4- сЬа В 101а+ 206+ 101с 3 аЬс 4- асЬ Г 110а+1106 +2с 4 Ьас 4- саЬ Д 200а + 116+ 11с Розв’яжіть завдання 3.29-3.34. Відповідь запишіть десятковим дробом. . 221-273 +15-410-94 3.29. Знайти значення виразу-----5— -----------. б9-2 ° 4-12 ° 3.30. Знайти частку від ділення 165 + 215 на 33 у вигляді степеня числа 2. У відповідь записати по- казник степеня. 3.31. Виконати ділення многочлена 2х3 - Зх2 - 1 їх + 6 на двочлен х - 3 і знайти значення отриманої частки, якщо х = -2. 3.32. Якою цифрою закінчується значення виразу 159 + 269 + 399? 3.33. Якою цифрою закінчується число 99"’ ? 3.34. Знайти, за яких значень а і Ь многочлен х4 + 6х3 + Зх2 + ах + Ь ділиться без остачі на многочлен х2 + 4х + 3. У відповідь записати суму ай + Ьо знайдених значень а та Ь. 34
Тема 4. Дробово-раціональні вирази Вирази, які можуть містити додавання, віднімання, множення, ділення і піднесення до натураль- ного степеня чисел та змінних, називають раціональними. Якщо раціональний вираз не містить ді- лення на вираз зі змінною, то його називають цілим, а інакше— дробовим. Наприклад, вирази _ 2 6(я + 6) ... . 4£+у 2 1 г • 2 + а ; ----- — цілі раціональні, а вирази--; х + х +-----дробові раціональні. 7 Зт — сх Два вирази називають тотожно рівними, якщо для всіх допустимих значень змінних їхні відповід- ні значення рівні. Наприклад, тотожно рівними є вирази 2х2 - 18 та (2х 4- 6)-(х - 3). А Раціональним дробом називають вираз виду —, де А і В — многочлени. В Допустимими значеннями змінних у виразі називають такі значення змінних, за яких вираз має числове значення. Іншими словами, за допустимих значень змінних можна виконувати всі дії, які міс- тить даний вираз. Наприклад, для виразу а3 + Ь - 2 всі значення змінних а та Ь є допустимими, оскіль- • - с і. ™ т~2 ки зазначені дії можна виконати за будь-яких значень а та о. Для виразу - допустимими є всі т значення т. крім т = 0 (на 0 ділити не можна). Множину всіх допустимих значень змінних для даного виразу називають областю допустимих 2 значень виразу (ОДЗ). Наприклад, для виразу х-3 +- областю допустимих значень є всі числа, х-5 крім х = 0 та х = 5, бо якщо х = 0, то значення виразу х-3 = Дг не існує, а якщо х = 5, то не існує зна- X 2 чення виразу----. х-5 Застосування основної властивості дробу 1. Скорочення дробу— ділення чисельника і знаменника на спільний множник. Щоб скоротити раціональний дріб, слід спочатку чисельник і знаменник розкласти на множники. ІТ 12-Зх2 12-Зх2 3(4"*2) 3(2-х)(2 + х) 2-х Наприклад: скоротити дріб-------. Одержимо: ------= —------- =-----------=-----. 15х + 30 15х + 30 15(х + 2) 15(2 + х) 5 А 2. Зміна знаків членів дробу. Якщо чисельник і знаменник дробу — помножити на -1, то одер- В А —А жимо: — =----, тобто значення дробу не зміниться, якщо одночасно змінити знаки чисельника та В —В знаменника. Якщо ж змінити знак тільки чисельника або тільки знаменника, то й дріб змінить свій -А А А ,г А -А А знак: --=----=----. Також правильно: — =----=-----. В -В В В В -В 3. Зведення дробів до спільного знаменника. Щоб звести дроби до спільного знаменника, потрібно: 1) розкласти на множники знаменники дробів; 2) скласти спільний знаменник, внісши до нього усі різні множники в найвищих степенях, в яких вони входять у розклади знаменників; 3) знайти додатковий множник для кожного дробу (для цього спільний знаменник потрібно поді- лити на знаменник дробу); 4) помножити чисельник і знаменник кожного дробу на відповідний додатковий множник. Додавання і віднімання раціональних дробів. Щоб додати чи відняти дроби з різними знамен- никами, слід спочатку звести їх до спільного знаменника. 35
Наприклад: знайти різницю дробів —-----------. Одержимо: а — Ь а+Ь а2-2Ь а _ а2-2Ь а _ а2-2Ь а(а-Ь) _а2 -2Ь-а2 +аЬ _-2Ь+аЬ а2-Ь2 а + Ь (а-Ь)(а+Ь) а+Ь (а-Ь)(а + Ь) (а-Ь)(а + Ь) (а-Ь)(а+Ь) а2-Ь2 5. Множення раціональних дробів. Добутком двох раціональних дробів є дріб, чисельник якого дорівнює добутку чисельників, а знаменник — добутку знаменників. тт с 2а~ у 2а2 У 2-а2 у ау Наприклад: знайти добуток дробів-------—. Маємо:--------=-------=----. х 6аЬ х 6аЬ хбаЬ ЗхЬ , А, А, А. В-. 6. Ділення раціональних дробів: —: —- - —-—-. В, В, 5| • Л2 О - 16х 12*У т • Наприклад: знайти частку дробів---:—т----. Тоді: а+ 7 а -49 16х3 * * . 12ху _ 16х3 (а2-49) _ ібх3 (а-7)(а + 7) _ 4х2(а-7) а + 7 а2-49~ (а + 7)-12ду " (л + 7)-12ху ” Зу 7. Піднесення раціонального дробу до степеня з цілим показником: Ап В" ’ Наприклад: ґ5/ии2>|3 = (^т2)3 = 53 • т3 п6 * * * ' Зх(Зх4)3 З3-х12 125/и3и6 27х12 Умова рівності дробу нулю А Дріб — дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник не В А дорівнює нулю, тобто — = 0 <=> Л = 0; Я*0. х — 9 Наприклад: знайти значення змінної, за яких дріб -- дорівнює нулю. Одержимо: х + 3 х2-9 _п |х2-9 = 0; х + 3 [х + 3^0; ґ(х-3)(х + 3) = 0; Гх = 3 або х = -3; х2-9 <1^0 ^3 Отже, дріб ------ дорівнює нулю, якщо* = 3. Приклад 1. Скоротити дріб — 28у“ -36у 12/-8/ = 4у2(Зу-2) Зу-2 28/ - 36/ “ 4/ (7 - 9/) “ 7 - 9/ ’ З х-5 Приклад 2. Вказати допустимі значення змінної у виразі —-+ —--. X +1 X2 -1 Знайдемо значення змінної х, за яких знаменник кожного з дробів дорівнює нулю: х2 + 1 = 0; х2 = -1; хє 0; х2 - 1 =0; х2= 1; х —±1. Відповідь. Усі числа, крім ±1. 36
Приклад 3. Скоротити дріб а --- А Б В г Д а1 а- 1 <2 — 1 <2 + 1 а3 2 а2 - 1 и а3+а2-а-1 = а2 (а +1) - (а +1) = (а + 1)(а2-1) = (а + 1)(О + 1)(а -1) = (а + 1)2(а-1) = ] а2+2а + 1 (а + 1)2 (а +1)2 (а +1)2 (а + 1)2 ° Відповідь. Б. х — 1 х + З Приклад 4. Записати дробом вираз---+------ 5-х 2х-10 А Б В Г д _Х 2 х 5 х X 1 10 2 3 2(х-5) , х + 3 х —। х + 3 _-2(х-1) + (х + 3) _-2х + 2 + х + 3 __ -х + 5^-(х-5) = 1 5-х + 2х-10 х-5 2(х-5) 2(х-5) 2(х-5) 2(х-5) 2(х-5) 2 Відповідь. А. -4х3 -х2 Приклад 5. Якому з виразів тотожно рівний вираз--? 5(у - 2) А Б В Г д 4х5 4х5 4х6 4 4х5 5(2-у) 5(2-у) 5(2-у) 5(2-у) 5(у-2) ~4*3 *Л'2 _ 4х5 _ 4х5 5(у-2)" 5{у-2) ~5(2-у) Відповідь. Б. Приклад 6, Визначити, за яких натуральних значень змінної п вираз — + набуває цілих зна- 2п чень. У відповідь записати їх добуток. — ті “ 2/7 4-12 2п 12 . 6 , . 6 /- Перетворимо заданий вираз: ------= — -і-= 1 + —. 1 — ціле число, щоб дріб — був цілим 2п 2п 2п п п числом, необхідно, щоб п було дільником числа 6, тобто щоб: п = 1, п = 2, п - 3, п = 6. Добуток цих чисел дорівнює: 1 • 2 • 3 • 6 = 36. Відповідь. 36. Приклад 7. Відомо, що — = 5. Знайти значення виразу —— У х 2у — х 2у х у х VI Перетворимо заданий вираз: —----------= 2- —-1. Якщо — = 5, то — = —. Отже, одержи- х х х х у х 5 мо: 2- —-1 = 2- —-1 = —-1 = -0,6. х 5 5 Відповідь. -0,6. 37
Приклад 8. Знайти найбільше значення дробу------ і відповідне йому значення змінної. У від- | х | +13 повідь записати добуток цих чисел. Дріб, у якому чисельник — число (52), набуде свого найбільшого значення, якщо знаменник, зменшуючись, набуде свого найменшого значення. Відомо, що |х| > 0, тому найменше значення, якого 52 може набути |х|, дорівнює 0. 0+13 = 13; — = 4. Для всіх інших значень змінної х |х| > 0, і тоді 52 52 |х| + 13 > 13, а дріб --< 4. Отже, якщо х = 0, то найбільше значення дробу ----- дорівнює 4. |х|+13 |х|+13 Тоді добуток цих значень дорівнює 0-4 = 0. Відповідь. 0. 2 1 1 Приклад 9. Відомо, що х +—7 = 3. Знайти значення виразу х —. Якщо таких значень кілька, то X X у відповідь записати їх суму. 1 ( П2 2 О К 1 20^1 2,1 Піднесемо вираз х— до квадрата: х— -х -2х- — + —у = х -2 + — = х + — -2 - X V X' хх х" х“ ( і\2 і і = 3 - 2 = 1. Отже, х— =1, тоді х— = 1 або х— = — 1. їх сума: 1 + (-1) = 0. V X' X X Відповідь. 0. Завдання 4.1-4.20 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРА- ВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. ------1---- 5а -2 2-5а А Б В Г д 11 11 5 5 24 2-5а 5а-2 2-5а 5а-2 5а-2 А Б В Г д 2с 4-е2 2с с2-4 с2 с2 -4 - о 1 с2 -с с2-4 а2 -14а + 49 а6 А Б в Г д а4(а-7) а4(а~7) -14а5 а4 (а+ 7) а + 7 а + 7 а-7 4.4. (б + 20):^-у^ =... А Б В г д Ь2 3 6(6+ 20)2 3 6 3 3 6 3 б2 38
7 За + 6 5 аЬ а а + 2 А Б в Г д 7-15а 7-156 7 + 156 7 + 15а 76-15 аЬ аЬ аб аб аб А Б В Г д 1 (2а +1)2 а(а +1) (2а +1)2 (2а +1)2 а(а + 1) а2 + а 1 а1 + а 4.7. а + -^- + 9=... а-9 А Б В Г д а-9 а2 а2 а+ 90 а-9 81 а-9 а-9 а + 90 а2-81 а3+ 8 . 7а-14 а = а3 - 4а а2 — 2а + 4 7 А Б в Г д 2а 7 7а а + 7 а + 7 7а а2 +49 7а 7а а2+ 49 4.9. (а2 - Ь2): (а-1 + б’1) = ... А Б в г д аЬ(а - Ь) 1 аЬ(а-Ь) аЬ а-Ь а-Ь аЬ аЬ(а + Ь) А Б В Г д 1 а19 1 а78 а78 а19 1 а7 < IV П 1 4.11. а+— 6+— =... V 6/V а' А Б В Г д 6 а (аб + 1)2 а + Ь аб а 6 аб аЬ а + Ь . а 111 4.12. Якщо — =-, тос = ... а Ь с А Б В г д а-Ь аЬ Ь — а а-Ь аЬ аб а-Ь аЬ 39
4.13. а + ^. - 4 Знайти значення виразу —. Ь а А Б В г Д х 4 4 3 3 5 4.14. а + а 1 = Ь. Знайти значення виразу я2 + я 2. А Б В г Д 1 Ь2-2 1 Ь2 Ь2-2 26-1 б2+ 2 х 1 4.15. Якщо у = — (х Ф 0,2 Ф 0), то - ... 2 X А Б В г Д 4їу г У У_ 2 у? 1 У2 4.16. 1 +------Ц— А Б в г д дч-3 2а + 3 2а + 1 а + 2 2а + 1 2 сі Ч- 2 67 Ч- 2 2а + 1 2а + 2 л । 2 . , 2007 а + а +... + д -1 . -2 . . -20 А Б в г д 2007 а 2008 а 1 2008 а 1 2006 а а2006 4.18. - ч---— ч-----— ч------— ч---— ч------тт 1-а3 1 + а3 1 + а6 1 + а12 1 + а24 1 + а48 А Б В Г д 96 1-а96 96 96 48 1-а96 96 1 + а48 1 + а96 1-а48 4.19. — = 2. Знайти значення виразу +а . Ь а -аЬ А Б В Г Д -16 8 4 -8 -4 4.20. Обчислити: —— + —!— + —^— + —!— + —!— + —^— + —!— = ... 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7 7-8 А Б В Г д _7 8 х 8 1 56 7 8 _х 8 40
Завдання 4.21-4.26 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте познач- ки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 4.21. Установити відповідність між виразами (1-4) та виразами, які їм тотожно дорівнюють (А-Д). і а2~Ьг ( .х АО 1 Т7Г'(о"',) в(о+ь)г Г Г7 В 4а3 2 ^а + ^Ь — * - Г (2а + І)2 - 1 а-Ь уІа-уІЬ Д>а2-2аЬ + Ь2 З -----+ ЗаЬ а + Ь 4 4а2 + 4а 4.22. Установити відповідність між дробовими виразами (1—4) та тотожно рівними їх нескоротними дробами (А-Д). і ау-ах А _а Ьу-Ьх Ь - ах-Ьх Б а2 - аЬ а Ьх-Ьу В - 3 ь ау —ах л а2-аЬ Г - 4 - а Ьх —ах д -- X 4.23. Установити відповідність між різницями (1—4) та тотожно рівними їм дробами (А-Д). 1 а Ь а + Ь а-Ь А а2+Ь2 а2-Ь2 2 а Ь а-Ь а+Ь Б а2+ 2аЬ-Ь2 а2-Ь2 3 а Ь Ь-а а+Ь В Ь2 + 2аЬ-а2 а2-Ь2 4 Ь а а-Ь а+Ь Г д Ь2-2аЬ-а2 а2-Ь2 а2-2аЬ-Ь2 а —Ь 4.24. Установити відповідність між виразами (1—4) та тотожно рівними їм дробами (А-Д). 1 а2-± а А 1-а2 а 2 Б 1-а2 а2 3 В 1-а3 а 4 1 а а Г д а2-1 а а3-1 а 41
4.25. Установити відповідність між частками (1-4) та тотожно рівними їм дробами (А-Д). 1 ґ 1 1 У 2 Аа+1 У-1 а + Р а-1 Ба-1 2 О В-!- ^а + 1 а-Р а + 1 а + ^ .. ( а V 2 Г —— 3 Іа +--7І-а а-1 а-Р л ( а ) а2 Д -р— 4 °----7):—2—7--7 1-а \ а +1' сі + 2я +1 4.26. Установити відповідність між виразами (1-4) та тотожно рівними їм дробами (А-Д). „ 1 * 2а+ 1 1 —=— А 1+1 2(а + 1) а і г 2а+ 1 і) 2 Ц— а + 1 і+—!— п а + 1 2а + 1 В 2а + 1 г 1 + 67 + 1 1 + а тг ^ + 1 л 1 д —~ 4 1 а + 2 1+^т 1+і Розв’яжіть завдання 4.27-4.40. Відповідь запишіть десятковим дробом. „ Ь 1,3] Ь -66 + 9 . . . . 4.27. Спростити вираз -г—;-+ —-- :—----- і знайти його значення, якщо а = З, Р Р <9а-а3 а2+3а а2Ь-9Ь>> а*Ь-9аЬ Ь = 2. 4.28. Спростити вираз 1-------1: 1--------+ а і знайти його значення, якщо а = 2. V 1 - а' \ 1-67 7 4.29. а1 + а-аЬ-Ь Спростити вираз —:------- а + а + аЬ + Ь а2 - а-аЬ + Ь а2 -а + аЬ-Ь 4.30. \ 6 Спростити вираз -— ----- 2 а 2. а2 +4а + 4 а2 + Зб7 + 2 а2 + 6б7 + 87 2 4.31. Спростити вираз [ 1 + —+ -у + -у]:[ 1- —+ -у--у) і знайти його значення, якщо а - 5. V а а а 7 \ а а а 7 (аЬ'{ +б7’16 + 1)(б7-1 -б’1)2 4.32. Спростити вираз -у—----—— ----------2-- і знайти його значення, якщо а = 4, Ь = 5. а2Ь~2+а'2Ь2-[аІГ + а 6) л Г. а , а2+а-1 , а2-а-1 2а3 . „ „ З 4.33. Спростити вираз -г;— Н—:--:------Ь—г--:----------— і знайти його значення, якщо а = —. а2-1 а3-а2+а-1 а3+а2+а + 1 а4-1 2 42
-2 і сі і Ь~п І 7 4.34. Спростити вираз і знайти його значення, якщо а - 0, Ь - 3 —. 4.35. Спрости™ вираз (і_^_ а) + + 4.36. Спростити вираз 1------—---- і знайти його значення, якщо а = 8. а , (а + Ь + с)2 +(а-Ь + с)2 +(а + Ь-с)2 + (Ь + с-а)2 4.37. Спростити вираз ------------------т2—-------------------2—. а +Ь + с 4.38. Спростити вираз ———г+т------Д-----г + т--Д---г + т---77-----с+т-----Д-----г і знайти а(я + 3) (а + 3)(а + б) (а + б)(а + 9) (а + 9)(а + 12) (а + 12)(а + 15) його значення, якщо а = 5. . х3у-ху3 +у32-у23 +23х-гх3 . 4.39. Спростити вираз >---7 і знайти його значення, якщо х- 1, у = 0,1, х у-ху + у 2 - у2 + 2 Х-2Х 7 = 0,01. л ал □ ~ х3333 + х333 + х33 + х3 +1996 2і її ґ\ 4.40. Знайти значення виразу---------1—----, якщо х + х + 1 = 0. 100-(х2+х) 43
Тема 5. Ірраціональні вирази Квадратним коренем з числа а називають таке число, квадрат якого дорівнює а. Наприклад, для числа 100 квадратними коренями є числа 10 та-10, бо 102 = 100 і (-10)2 = 100. Арифметичним квадратним коренем з числа а називають невід’ємне число, квадрат якого дорів- нює а, і позначають 4а . Вираз 4а має зміст, якщо а > 0. Наприклад, арифметичним квадратним ко- ренем з числа 36 є \/36 = 6. Вираз л/—100 не існує. Справедливі рівності: 1. 4а = Ь, якщо Ь2 = а, Ь > 0. Наприклад, 725 = 5, бо 52 = 25 і 25 > 0. 2. (л/а)2 = а, а > 0. Наприклад, (73б) = 36. 3. 4а2 = |а|, аєК. Наприклад, 4Ї2 = |7| = 7, ^/(-7)2 = |-7| = 7. Властивості арифметичного квадратного кореня. 1. 4аЬ = 4а-4ї>, якщо а > 0, Ь > 0. Наприклад, 725-16 = 725 • 4Ї6 = 5 • 4 = 20. - [а 4а . п и /144 7144 12 0 . 2. 7— - , якщо а > 0, Ь > 0. Наприклад, 7^^ = = — = 2,4. 3. 4а2п =| а" |. Наприклад, 4Ї* - |32| = 9. 4. Винесення множника з-під знака кореня. ь4а, якщо Ь > 0; -Ь4а, якщо Ь < 0. Наприклад, 4ь2а - |б|л/а - л/Ї8 = 79Т2 = 7зГ^2 = |3|л/2 = Зл/2; ^-5}2 -3 =|-5|Тз = 573. 5. Внесення множника під знак кореня. Наприклад, 2л/з=722 •3 = 74Т3-^Ї2; ~а4Ї = • 2 = -^16 2 = -732. Корінь п-го степеня Коренем п-го степеня, де пєК, п > 1 з числа а називають таке число, л-й степінь якого дорівнює а. Корінь другого степеня прийнято називати квадратним коренем, а корінь третього степеня — ку- бічним коренем. Наприклад, коренями четвертого степеня з числа 625 є числа -5 та 5 (бо (-5)4 = 625 і 54 = 625); кубічним коренем з числа -27 є число -3 (бо (-З)3 = -27). Якщо п — непарне натуральне чи- сло (п > 1), то існує єдиний корінь /7-го степеня з довільного числа а. у/а — корінь, п — показник, а — підкореневий вираз. Наприклад, у/32 = 2, оскільки 25 = 32; </8Ї = 3 , оскільки З4 = 81; 7-125 = -5, бо (-5)3 = -125. Арифметичним коренем п-го степеня з невід’ємного числа а називають таке невід’ємне число, п- й степінь якого дорівнює а, і позначають . Якщо число п непарне, то запис у[а використовують і для від’ємних значень а і він означає корінь /7-го степеня з числа а (але не арифметичний). Наприклад, у/129 = 3 — арифметичний корінь; -^-243 = -З — не арифметичний корінь. Показники коренів виду п - 2к + 1 (п — непарне число) використовують для позначення будь- яких коренів. Корені \/а , \[а , ..., 2к\/а існують для будь-яких значень а (аєК). Показники коренів виду п = 2к (п — парне число) використовують для позначення арифметичних коренів. Корені у[а , у[а ,..., 2\[а існують лише для а > 0. Показником кореня може бути будь-яке натуральне число більше за 1. 44
Властивості арифметичних коренів п-го степеня. 1. у/о = 0. Наприклад, л/о = 0; 2-Уо = 0. 2. л/ї = 1. Наприклад, у/\ = 1; Л/ї = 1. 3. (Л)" = а. ДО того ж, 24+1 \2* І =а для будь-яких значень а, І \а\ =а лише для а>0. На- приклад, (</з) =3; (>/-з) = —3. • 2к+№^ = а. Наприклад, = 2; ^/(-2)5 = -2; • 2ку[^а = -2ку/а. Наприклад, л/-27 = ->/27 = -3; ,4гчт- । । Гл> якщо а >0; ,/-т . . г. "7 . . • 2<Іа2к =|а|= Наприклад,-72б =|2| = 2; ^/(-3) =|-3| = 3. 4. (у/а\ = для всіх значень а з області визначення виразу у/а , т — ціле, п — натуральне. Наприклад, (-^2) = уі2$ = у/32. 5. Для кореня непарного степеня (а та Ь — довільні): 2к+у[аЬ = 2ку[а • 2ку[Ь. Наприклад, >/8000 = = ^/64 -125 = у/б4 • >/125 = 4 • 5 = 20. Звідси можна одержати: 4 5’ якщо Ь^0. Наприклад, 6. Для кореня парного степеня: 2у[аЬ = 2^\а\ • 2^\Ь\. Наприклад, >/1296 = ^/16-81 = = </їб-</81 = 2-3 = 6; ^(-16)-(-81) = </|-їбї• </І-8Ї| = >/їб-</8І = 2-3 = 6; ^(1->/2)(1->/5) = = ^|1-л/2| • ^|1-Т5| = л/л/2-1 • уіу/5-1. 7. Винесення множника з-під знака кореня. • для кореня непарного степеня: 2к+у/а2к+'Ь = а • 2к\[Ь. Наприклад, ^(-5)3 • 2 = -5 • у/2; ^(1-7з)5 -7 = (1 - Л) • ^7; • для кореня парного степеня: 2УІа2кЬ =|о| • 2ку[Ь. Наприклад, ^(-2)6 -5 =|-2| • ^5 = 2^5; ^(1-ч/2)4-3=|1-л/2|-</з=(л/2-1)-</з. 8. Внесення множника під знак кореня: • для кореня непарного степеня: а2к*4ь = 2куІа2к+,Ь. Наприклад, 2>/5 = у/22, -5 = >/40; (1 -у[ї) • </5 = ^1-^У -5; • для кореня парного степеня: а • 2у[ь = 2у]а2кЬ, якщо а > 0; ____ де Ь > 0. Наприклад, -2у]а2кЬ, якщо а < 0, 2</5=^24-5=</§0; (1-Т5)-^7 =-^(1->/5)6-7. 9. = пу[а для всіх значень а з області визначення виразу пу/~а. Наприклад, \[ї/5 = ^5. 1Л пк тк п т п т пк тк 10. Якщо а > 0, то \]а =\/а , \1а =\а . 45
Степенем додатного числа а з раціональним показником — — ціле число, а п — натураль- п не (п > 1), називають корінь и-го степеня з числа ат : — і ап = \[сґ __ т ___ 5 11. Якщо а > 0, то =ап. Наприклад, -у25 = 23. 1 1_____ ї ї • а > 0, пєі'ї, п > 2: ап = Ца. Наприклад, 164 = 7І6 = 2; 57 =75; (-8)3—не визначений; • а>0,лєМ«>2,щє7: а" =^. Наприклад, 164 = 7167 = ^(24)3 = ^(23)4 = 23=8; Приклад 1. Спростити вираз А Б в г д Тїо -Тїо 11 -275 -3772 її ^2 15Ду--ТїбО = 7—--71610 = 790-4710 = 79-10-4л/Ї0 =з7їо- 47їо = -7їо. Відповідь. Б. Приклад 2. Спростити вираз л/18г4 • \ІГ2г5 . 718/ -712? = 718/-12? = 7216? = ^(бг3)3 =6?. Приклад 3. Обчислити значення виразу 7? • 'Тб4 . 74-іТй=7?-'7? =7?-Тг3 =7? =2. Приклад 4. Винести множник за знак кореня: а) 754 ; б) 7з<я9 ; в) у/їх^у , якщо х < 0. а) 754 = ^2-27=3-72; б) 73а9 = ^За-(а4)2 = а4 у/За ; в) якщо х < 0, то уІ5х6у = |х| • ^5у = -х • ^5у . Приклад 5. Звільнитися від ірраціональності у знаменнику дробу: а) -к-; б) -у=; в) — 75 72 7х+3 _ ч 1 1-75 75 а) -г= = —і=—г= = —’> 75 75-75 5 б 6-7? 6-7? 6-7? б) 77= = ~7=—Т= =-7=^ =-- 72 72-7? 7? 2 в) ~г= /х - З х-9 46
Приклад 6. Знайти х із пропорції \[а^/а : \[>/а = х А Б в Г д а2 а а л/а €Га Відповідь. Б. Приклад 7. Спростити вираз А Б в г д 777 277 ТЇ4 -2,8 -1,8 и Л _ УІЇ = 5/2(72 + 5/7)-5/7(72-У?) = 2 + 714-714 + 7 = 9 77-77 77+77 (77-77)(77+77) 2-7 -5 Відповідь. Г. Приклад 8. Знайти значення виразу ^2-л/?) + . А Б в г Д 277-5 5-277 1 + 2л/7 1 5 ^(г-77)2 +^(з-77)2 =|2-77|+|з-77| =77-2+3-77=1. Відповідь. Г. Приклад 9. Спростити вираз ( -- -- 81х^/3/3 16 к / з 4 А Б В Г д 832 X У2 27 -Х322 2 27 з 2 X У2 8 3 2х3д2 81 2 —хуг 16 Л ( 4 8 5.-2 з Л_3) _4.ґ_з) _М_з> _'81Х^РР’ З4 4> 3 4^ 3 4І 3-ЗхЗ 2 23х3 2 8 ------------- =-------------------------------------£ ----------= X у2 I 16 (2<р 2 3 27 Відповідь. А. 47
Приклад 10. Спростити вираз А Б В Г д 1 2 >/2-1 ^5 + 2у/2 л/2 +1 \і2 + уі9 + 4у/2 = ^2 + 78 + 1 + 2-2л/2 = ^2 + ^(2>/2)2+2-2>/2-1 + 12 = ^2 + ^2^2 +1)2 = = >/2 + 2л/2 + 1 = ^(г/2)2 + 2-^-і + 12 = ^(72 +1)2 = л/2 +1. Відповідь. Д. Приклад 11. Виконати дії: -т=- -З А Б В г д _2 2 2>/а —2>/а у[а 3 3 Зу[а + 27 Зл/п + 27 ?>4а + 27 ҐУ^+з ТЙ-З'і 3,й + 27 9-^ (7Й)‘+2;й-3 + 3-+(^),-2^-3 + 3* + ^7=---- : —----1=- = —Г^=------Г7-7=---Г- • ~7=^-----= 2-------------------Г=Н-----'--------------X 1>/а-3 &+з)' 9->£ (^-3)(<£ + 3) 3>/а + 27 (^-З2 _9^_=2 з(>^ + 9) ^ + 18 .= 2(У^ + 9) (-1) 2 7^-9 з(>/^ + 9) з(>/^ + 9) 3’ Відповідь. А. Приклад 12. Спростити вираз (1 + >/а^1 ++ + + А Б в г Д 1-^ інша відповідь 1+9^ 1 -а 1-^ + >/а)(1 - л/а) = 1—а. Відповідь. Г. Приклад 13. Установити відповідність між числами (1-4) та проміжками (А-Д), до яких вони на- лежать. 1 3>/5 2 2>/8 З 5^2 4 2>/б А [4; 5] Б [7; 8] В [5; 6] Г [6; 7] Д [8; 9] 1) 3>/5 = >/з2 • 5 = >/45; >/36 < >/45 < >/49; 6 <>/45 <7; >/45 є [6; 7]. Отже, 1-» Г; 48
2) 2>/8 = л/22 -8 = >?32; >/25 < 732 < >/36; 5 < 732 < 6; >/32 є [5; 6]. Отже, 2 -» В; 3) 5>/2 =-^52-2 =>/50; >/49 <>/50 <>/б4; 7<>/50<8; >/50 є [7; 8]. Отже, 3-» Б; 4) 2>/б = ^22 • 6 = >/24; >/їб < >/24 < >/25; 4<>/24<5; >/24 є [4; 5]. Отже, 4-» А. А Б В Г Д 1 Відповідь. 2 З 4 Завдання 5.1-5.25 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРА- ВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 5.1. Обчислити: >/б400 + >/49 + >/0,04 + >/0,0025 . А Б В Г д 807,025 870,25 87,0205 87,25 870,025 5.2. 75 /з Обчислити: А Б В Г д 26— 6 26— 36 5— 6 5— 6 6- 6 5.3. Знайти значення виразу >/152 +д/(-13)2 +(>/3 А Б В г д 5 31 37 32 42 5.4. 5.5. 5.6. Спростити вираз 10>/2 + >/8 + >/50 . А Б В г д 17>/2 39>/2 37>/2 19>/2 24>/2 Знайти значення виразу ^>/7 - з) - V? . А Б В Г д -3 3-2>/7 2->/7 3 -3-2>/7 Обчислити: у/25 >/5 - ^16 . А Б В г д 1 2 3 4 5 5.7. Вказати правильну рівність. А Б в г д ^2-^9=^І8 (^/іо)5 = *^їо ^(-2)'° = -2 ^/(-з)9 = -3 4* Капіносов А. Математика. Комплексна підготовка до ЗНО 49
З 1 5.8. Обчислити: 164 +252. А Б В г Д 9 12 13 15 зі З _1 5.9. Обчислити: 92 +64 3. А Б В Г Д 27,25 31 278 27 -7— 6 5.10. Обчислити: ^56 • 29 . А Б В г д 200 8000 1600 400 800 5.11. Звільнитися від ірраціональності в знаменнику дробу А Б В г д л/7+1 2 л/7-2 2 2(77+1) 3(77 + 1) 77-1 2 5.12. Внести множники під знаки коренів: а4~а + Ь\[Ь . А Б в Г д Г~з , Г7з +\1о / 3 . / ї 3 V— а +\—р -уГЛ~у[ІЇ уГа^ + у[^ -уГ^ + у^ 5.13. ^а\Іау/а =... А Б в г д Та 77 77 Т7 5.14. Спростити вираз Я— N а А Б В Г д -а2Ь -аЬ а2Ь 2,2 а о аЬ2 5.15. Спростити вираз з х9/? 4-(~2)4 ’ А Б В Г д Х3у22 2 4 Х3у22 4 2 4г 5.16. □ - |1 |1 ІЇ Знайтих, якщо . — = 2 . \2\2\2 А Б В Г д -1,125 -0,875 -0,625 -0,375 -0,125 50
5.17. ^(-2-л/5)2+^(2-л/5)2 =... А Б В г д 0 4 -4 4 + 275 275 5.18. Знайти значення виразу д/(х - З)4 + ^/(х - 7,5)4 , якщо х = л/Го . А Б в Г д -4,5 2ТЇ0 -Ю,5 2х- 10,5 4,5 3,5 5.19. _|_ 2^/Го = А Б В Г д 710 3,5 + 710 Тз + 2 5/2 + у/5 і+7б 5.20. О • ... . л 2 Звільнитись від ірраціональності в знаменнику дробу . А Б В г д 1-0 І м 1 + |(Т49 +714+74) 1(749 +2714 +74) 5.21. Обчислити: 3-75 2 А Б В г д 7 зТ5 13 + зТ5 4 3,5 -1-1,575 5.22. Знайти значення виразу 7?! -1бТ7 + 711-477 . А Б В г д 10-277 -10 -6 10 6 5.23. Обчислити! \І2 + л/з • д/2 + \І2 + л/з •^2 + ^2 + ^2 + л/з *^2 — ^2+ ^2 + 5/3 . А Б в г д 1 2 3 4 5 5.24. Обчислити: (72-1)74+ 79-472 . А Б в г д 1 2 3 4 272 5.25. Обчислити: —+ —^2—= + ——=- +... + .— —=. 1+72 72+7з 7з+74 780+781 А Б в Г д 1 3 5 8 9 51
Завдання 5.26-5.32 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте познач- ки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 5.26. Установити відповідність між заданими виразами (1-4) та виразами, які їм тотожно дорівню- ють (А-Д). 1'/('/З'2)2 2 >/(72-2)’ 3 -(^2 + л/2)4 4 76 + 4^2 А 2 + 72 Б -2-72 В 2-72 Г 6-472 Д 72-2 5.27. Установити відповідність між заданими виразами (1-4) та виразами, які їм тотожно дорівню- ють (А-Д). 1 716аУ,а<0 А 2|ф2 2 >/16а3&6 3 уІ4а*Ь4 4 \І4а2Ь4 Б 2а2Ь2 В -2аЬ2 Г 2аЬ2 Д 2ІІ2аЬ2 5.28. Установити відповідність між виразами (1-4) та їх значеннями (А-Д). 1 (-27)з А -- 3 2 (-27)4 Б - 3 3 27’ 1 1 В -3 Г 3 4 27’-8’ Д 6 5.29. Установити відповідність між виразами (1—4) та їх значеннями (А-Д). 1 7Ї8-7з2+772 А 272 2 772 + Т50-ТЇ62 Б 372 В 472 3 7200-78-750 Г 572 4 7Ї28 + 7Ї8-798 Д 672 5.30. Установити відповідність між виразами (1-4) та їх значеннями (А-Д). 1 ^(-1-75)2+^(4-75)2 2 ^(і-Т?)2 +^(-1-Т5)2 3 ^(75-2)2 +^(75-З)2 4 ^(-75)!+1/(75-4)’ А 1 Б 75 В 4 Г 275 Д 5 52
5.31. Установити відповідність між виразами (1-4) та тотожно рівними їм степенями (А-Д). А я16 9 Б а16 В а* із Г а16 Д <3 5.32. Установити відповідність між виразами (1—4) та їхніми значеннями (А-Д). 1 ^4-2>/з-73 2 >/7-4з/з+73 З л/12-бТз+ч/З 4 л/з-2^2 -л/з + 2^2 А -2 Б -1 В 1 Г 2 Д З Розв’яжіть завдання 5.33-5.42. Відповідь запишіть десятковим дробом. 5.33. Обчислити: (^27+</б4)(^27-</б4). 5.34. Обчислити: (^49 + 20>/б + ^5 + 2у[б]^5-2^6 . 53 2 9 5.35. Обчислити: ---т= + —т=---;= —. 8 —VII 713 + л/іІ 713 + 2 5.36. Спростити вираз X2 +1 <х2 ДіЧІ х2 -17 п ґ а0,5 + 2 а0,5 - 2 16 ' 5.37. Спростити вираз 0.5_9 + до.5 + 7 5.38. Обчислити: ^21 + 2^50 (5 - 5/2). с | г, Ь-уІаЬ] І а , Ь а + Ь\ . 5.39. Спростити вираз х1а + —г=-: ~у=--------і--=------т=І і знайти його значення, якщо \ УІа+уІЬ) \уіаЬ+Ь уіаЬ-а \ІаЬ) а = 2—, 6 = 25. 4 5.40. Обчислити: ^5>/2-7 у/з + 2^2 . 5.41. Обчислити: ^2 + ^/5 +уі2 — у/5 . 5.42. Спростити вираз ^28 -16>/з - у/ї. 53
Тема 6. Логарифмічні та показникові вирази Показникові співвідношення Показникові тотожності. 1. ах+у = ах • ау. Наприклад, Зх+2 = 3х • З3 = 9 • 3х. 2. ах-у = ах:ау. Наприклад, 25“х = 25: 2х = 3. ^ = (^7 = (ау. Наприклад, 7* = (72)х = 49х; £ = Ш = |Ц І = | 4. ах • Ьх = (аЬ)х. Наприклад, 2х • 3х = (2 • 3)х = 6х. 5. = ] , якщо Ь*0. Наприклад, ^- = (—] . Ьх 5 \5>' / о\° 6. <2° = 1, якщо а Ф 0. Наприклад, 7° = = 0,09° -1. 7. а1 = а. Наприклад, 5 і = 5; 0-1 (а] (ЬУ „ о-х 1 8. а =—, якщо а ;*0; — = — . Наприклад, 2 = — а” \Ь' ^а' 2 т ____ х-4 ---- 9. ап = у/ат, якщо а > 0, иєЛС Наприклад, 7 х = л/7"’4. Логарифм Логарифмом додатного числа Ь за основою а (а > 0, а * 1) називають показник степеня, до якого треба піднести основу а, щоб отримати число Ь. Тобто якщо ах =Ь і а > 0, а *1, то 1о§а Ь = х і, навпа- ки, якщо 1о§а Ь = х, то ах = Ь . Наприклад, 1о§3 81 - 4, бо З4 = 81. Логарифм за основою 10 називають десятковим. Записують: 1о§10 х = 1§х . Логарифм за основою е ~ 2,718281828459045... називають натуральним. Записують: 1о§ех = 1пх. Логарифмічні тотожності. 1. Основна логарифмічна тотожність: (№ь =Ь, а>0, а Ф 1, Ь> 0. Наприклад, 31083 5 = 5; 2-,°Е25 — 1 — _к- ДІОВ26 — 221°б26 _ (2,ОВг6 )2 = б2 = 36 2. 1о§и 1 = 0, оскільки а° = 1. Наприклад, 1о§і31 = 0, бо 13° = 1. 3. 1о§а а = 1, оскільки ах - а. Наприклад, 1о§55 - 1, бо 5і = 5. - 4. Іо&рсу = 1о§о|х| + 1о§0[у|, ху > 0. Наприклад, 1о§240 = 1о§2(8 • 5) = 1о§28 + 1о§25 = 3 + 1о§25. 5. 1о§а — = 1о§а|х| - ІО^ІУІ, — > 0. Наприклад, 1о§3-^- = 1о§33 - 1о§317 = 1 - 1о§317. У У 17 6. = /Яо§о|х|, х^ > 0. Зокрема: 1) Іо&д2* = 2А:1о§о|х|, де х 0, к&2. Наприклад, 1о§381 = 1о§334 = = 41о8з3 =4-1=4; 1^32 = 1825 = 51Є2; 2) 1о8а = 1о§а х» = 11о81 х |. п 7. 1о§? х = Іо&д. Наприклад, 1о§8 2 = 1о§2, 2 = ^1о§2 2 = |; 3 = 1о§ , 3 = 21о§3 3 = 2. Зокре- К 3 3 з2 ма, ІО£ „ х" =—к)£а X. Наприклад, 1о§4 32 = 1о§ 2 25 = т-1о§2 2 = 2,5. ° т 2 54
Іое Ь 8. Формула переходу до іншої основи: 1о§а Ь = ——, де Ь > 0, с > 0, с Ф 1. Наприклад, 1о§253 = 1оеса = .ІО%3 ІО8711 = Зокрема, 1о§а/> = —!—. Наприклад, 1о§310 = —-Ц-= -^-. 1о§525 2 1§7 1о&,а 1о§10 З 1§3 9. а^ь = Ь'ОІ‘°. Наприклад, 2і085 х + 4х108’2 = х'°8і2 + 4х10852 = 5х'°8і2. Логарифмування Обчислення логарифмів заданих чисел або виразів називають логарифмуванням. Наприклад, прологарифмувати вираз х - 'ІаЬс3 за основою а\ Іо&д = 1о§0(7д/>с3) = 1о§07 + Іо&х? + 1о§06 + Іо&х? = = 1о§07 + 1 + Іо&аЬ + 31о§ос. Потенціювання Знаходження чисел (виразу) за даним його логарифмом називають потенціюванням. Наприклад, пропотенціювати вираз 1§х = 1§7 + 21§а - 31§6 і знайти х: - 1§7 + 21§д - 31§6 - 1§7 + 1§д2 -1§63 = -1§(7-б7)-1§6 - 18—г; 1&Х-І8—г; х — —. О 0 0 Приклад 1. Обчислити: А Б В Г Д 3 1 27 27 9 х 3 Відповідь. Б. Приклад 2. Обчислити: 21ОВ49+1ОВ28. А Б В Г Д 10 24 12 13 6 Ц 21оВ4 9+ІОЕ2 8 —. 21ОВ22 32+1082 8 _ 22,ОЕ23.2і0828 — 3 • 8 — 24 Відповідь. Б. Приклад 3. Знайти значення виразу 1о§2о5 + 1о§2о4 + 2. А Б В г Д 11 2 3 22 51 1о§205 + 1о§204 + 2 = 1о§20(5 • 4) + 2 = 1о§2020 + 2 = 1 + 2 = 3. Відповідь. В. Приклад 4. Обчислити суму 3х + З х, якщо 9х + 9 х = 47. А Б В Г д 7 49 45 >/23 >/47 55
Нехай 3х + З х = і, Піднесемо обидві частини рівності до квадрата й одержимо: (3х + З х) = /2; 32х + 2-Зх-З’х + 3~2х =12; (з2)х+2-Зх+(~х)+(32)~х=Л 9х+ 2-3°+9~х = ґ2; 9х+ 2-1 + 9~х =/2. Оскільки за умовою 9х + 9~х = 47, то 47 + 2 = ?; ? - 49; І = ±7. Так як 3х + 3~х > 0, бо показникова функція набу- вас тільки додатних значень, то і = 7. Отже, 3х + 3"х = 7. Відповідь. А. 1082 9“ьГ”2 Приклад 5. Обчислити: 4 75 . 2 4 82 1о87з2 _ д1о82 9-2-1О82>/3 — 4і0829-1°82(^) — 41оЄг 9~1о823 -.^ег^3) — 41о8г3 гг^2)^^3 = 221°823 = 21О8г9 =9 Відповідь. 9. Приклад 6. Обчислити: 27і08л + 4 • 5ІО8і 2 - 21О8і 2 • 1о§216. А Б В г Д 1 2 3 4 і 81 27І08^ + 4 • 5'°8'2 - 2ІО8і 2 • Іо§216 = 27'°8’й + 4 • (51085 2 )'°8і" - 2'°8і 2 • 1о§2 24 = 27і + +4 • 2і08’2 -2ІО8і2 • 4 = ^27 = 3. Відповідь. В. М Приклад 7. Обчислити: + 1о§|218 1о§2718 А Б В Г д 27 18 12 2 3 " Г"Чїї + Г“Чїї =1о8'812 + 1О8'8 27 = 1о8ів (12 •27) = 324 = 2. 1о&218 1о§2718 Відповідь. Г. Приклад 8. Обчислити значення виразу 1о§2 зіп — + 1о§2 зіп — + 1о§2 зіп —. А Б В г д 2“3 3 -3 _2 3 не існує ІОЙ,8ІП— + ІОЙ,8ІП— + ІОЙ2ЗІП— = І0Є2ґзІП—-8ІП—-ЗІП—- ІОЄ,| ЗІП— 'ЗІП— • ЗІпґ——— 2 12 2 6 2 12 2< 12 6 12/ 2< 12 6 <2 12- = 1о§2ґзіп — -СО8— -зіп—= 1о§2ґ—-2зіп —-соз—-ЗІП—= 1о§2ґ—зіп—-зіп—1 = V 12 12 6/ ^2 12 12 6/ ^2 6 6/ = 1о§2 | = 1°82 (2~3) = "З- Відповідь. В. 56
Приклад 9. Спростити 1о&23 • 1о&34 • 1о&45 •... • 1о&78. А Б В Г Д 2 3 5 7 8 гт - о - 1 1 1°82 4 і°82 5 1о§2 8 Перейдемо у всіх множниках до основи 2 и одержимо: 1о§2 3--------— •...---— 1о§2 З 1о§2 4 1о§2 7 = 1о§28 = 3. Відповідь. Б. Приклад 10. Знайти 1о^308, якщо 1о£303 = а, ІО£305 = с. 1о§308 = 1о§зо23 = 31о§302 = 31о830~ = 3(1о830Ю-1о§105) = 3^1о§30у-^ =3(1о§3030-1о§303-с) = = 3(1 -а-с). Відповідь. 3(1 - а - с). Приклад 11. Установити відповідність між виразами (1-4) та їхніми числовими значеннями л/3 (А-Д), якщо а = — 1 1о§027\/3 2 108, </3 а З А 0,6 Б -1,6 В -7 Г -10 Д 0,5 4 1о§а81 1. ІО8О 27л/з = 108^ 27^3 = 1о§ З3 • У = 1о8 _2 зМ^: 1о8з 3 = -1 • ± = -7 В з 3^ з ~ 2*'' 2 1 г- /— - - (1 1А 1 ? 1 2. 108, </3 = 108 , </3 = 1О8з З4 =1о8 и З4 = 1о833 = ^ = ^ = 0,5 -*Д а 2 Тз з 2 44 V 4 12 з 9 9 2-- і- Л З 5Л 3 2 3 3. 1ое9 = 108 9 = 1°897з 3 > = 108 ,д 3 > = Ц: 1о8з 3 = ^- Щ = 0,6^А а УЗ д/3 з 2 2 З 5 4. 1о8а 81 = 108 л З4 = 108 З4 = 1о§ З4 = Ґ4: ґ-7]] 1о8з 3 = -1,6 Б 9 3.9 З2 3 2 2 57
Завдання 6.1-6.23 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРА- ВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 6.1. Вказати неправильну рівність. А Б В Г д ІО§2І6 = 4 1 1 л 1о§2 — = —4 216 ,О81^ = 4 2 1 ІО8116 = 7 2 4 1о§, 16 = -4 2 6.2. Обчислити: 5’°85 7 + 1о§ 1 — + 1о§71. 3 3 А Б в г д 6 7 8 7— 3 12— 3 6.3. „ 31§2 + 31§5 Спростити вираз 2 . Р Е 181300-І80,13 А Б В г д 0,6 0,7 0,65 0,75 0,5 6.4. 1о§9 27 + 1о§9 3 _ 1о§68 + 1о§627 А Б В Г д 6 6 7 3 8 СП І ГЧ 2 3 6.5. ІОВ8 128-1о§8 2 = 1о§236-1о§29 А Б В г д 1 14 3 2 16 3 6.6. Обчислити значення виразу 1о§5 49 + 21о§5 у. А Б В г д 2 1 0 4 25 6.7. Знайти значення х, якщо 1о§7 х = 21о§7 6 - 1о§712 + 1о§715 . А Б в г д 39 7,5 15 17 4 45 6.8. 1о§3 32 1о§7 27 Обчислити: — 1- —. ІО83 2 1о§7 3 А Б В Г д 15 8 25 54 64 58
6.9. Обчислити: 8'°8:3 + 9|08’4. А Б В г Д 33 7 14 43 60 6.10. Обчислити: 1о§8І6. А Б В г Д 8 2 3 4 12 4 3 6.11. Знайти 1о§3200, якщо 1о§32 = а. 1о§35 = Ь, А Б В Г д За + 2Ь 32аЬ 2а + 36 За + Ь 6(а + 6) 6.12. Обчислити: І£і§2° 1§і§3° ... 1§ 1§88° 1§89°. А Б В г д 89! 0,1 10 1 0 6.13. Обчислити: І£і£І° + і§2° + 1§і§3° + ... + і§88° + !§і§89°. А Б в г д 10 1 0 0,1 89! 6.14. Обчислити: 7і0813-З10827 . А Б В г Д 0 7 3 1 -1 2 6.15. Обчислити: 1о§57 • 1о§49125. А Б В Г д 2 6 1 6 2 3 1,5 6.16. Г ґ -6 Серед чисел соз2л; л/2 ; 1о§20,25; ; 7^ знайти найбільше. А Б В Г д соз2я ^2 1о§20,25 ґ-ї ІзУ 7-6 6.17. уі+1о872 _ А Б В Г Д 9 14 49 343 81 6-18- А Б В г Д 14 2 1 -1 -2 59
6.19. 1о§7^7-</7 =... А Б В г Д 4 5 5_ 4 х 4 1 20 1 у 20 6.20. Обчислити: 1о§8? ’ І0&76 • 1о§64. А Б В г д 3 2 2 3 х 2 2 3 6.21. С 2+— V Обчислити: 2 10812 + 25 21083 5 + 1 . к 7 А Б В Г д 8 16 3 4 5 6.22. х \ 2 Обчислити: - З'ое’^-8^ . А Б в Г д 64 12 8 2 65 - 16л/3 6.23. Обчислити: 1 1 . 2008 А Б В Г д 2008 -2008 1004 -1004 1 Завдання 6.24-6.34 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте познач- ки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 6.24. Установити відповідність між виразами (1-4) та виразами, які їм тотожно дорівнюють (А-Д). 1 2185 + 184 2 1о§35:Іо§32 З Іо§Да2+л)-1О£а(а + 1) 4 2і08^Л А 5 Б 1о§52 В 1 Г 1оЄ25 Д 1°824 6.25. Установити відповідність між виразами (1-4) та їхніми значеннями (А-Д). 1 ІО8278І 2 1о§, — 63 81 З ІОЙ813 Л 1 1 4 І0&,- 60
6.26. Установити відповідність між виразами (1-^4) та їхніми значеннями (А-Д). 1 108816 А 0,(6) , 1 Б 0,75 2 1°8 । — .7 32 В 1,25 3 10825125 Г 1,(3) 4 1о82?9 Д 1,5 6.27. Установити відповідність між виразами (1-4) та їхніми значеннями (А-Д). 1 . 5^5 А 0,3 І0Є’Ж Б 0,(3) 2 ^4 В '-3 У 2 г 1,(3) 3 іо6>4 д і.(в) У25 4 108,3^3 6.28. Установити відповідність між виразами (1-4) та їхніми значеннями (А-Д). 1 1ое84 + 1°8816 к>8616 + ІО86 81 2 108,2 2+ 108,2 72 108,75-108,3 3 ІО§5 75 ~ І0§5 3 к>84 32 + ІО84128 3 108,6 + 108,- 4 ІО8,54 -108,2 а’ 3 Б - 2 В - 3 Г 1 д 4 3 6.29. Установити відповідність між логарифмічними виразами (1-4) та їхніми значеннями (А-Д). Д 22І°В4І2-1 А 6 Б 8 В 10 Г 12 Д 25 6.30. Установити відповідність між виразами (1-4) та їхніми значеннями (А-Д). 1 108,64 । 1о§59 А 7 1о£32 іо§5 З Б 8 2 1о84625 । 1ое7128 В 9 1о§45 ІО£72 Г 6 1 ± ДП 3 1О8549 , Іо^16 1085 7 Ю8з| 4 1Є125 । 1оЄз16 185 108,2 61
6.31. Установити відповідність між виразами (1-4) та їхніми значеннями (А-Д). 1 1о§37 • 1о§4981 2 І0&8 • ІОЄ16І25 3 1о§91000 • 1§3 4 1о§8і128 1о§23 А 1,25 Б 1,5 В 1,75 Г 2 Д 2,25 6.32. Установити відповідність між виразами (1-4) та їхніми значеннями (А-Д). 1 16 • 1о§65 • 1о§54 2 1о§і48 • 1о§і5І4 • 1о§|615 3 1о§75 • 1о§54 • 1о§з27 4 1§2 • ІоенІО • ІО812811 А - 8 Б - 7 В - 3 г - 4 д - “ 5 6.33. 1о£72 = а, 1о§73 = Ь. Установити відповідність між логарифмами чисел (1-4) та їх вираженням через а та Ь (А-Д). 1 10871,5 2 1о§74,5 3 1о§67 4 1о£29 А —— а + Ь „ 2Ь а В 2Ь-а г —5— а-Ь Д Ь-а 6.34. 1о§0Л = 5. Установити відповідність між виразами (1-4) та їх значеннями (А-Д). 1 1о&,ла 2 Хо^ьЬ 3 \о^ь4аЬ А 5,5 Б 3 В - 6 4 \о%а4аЬ Г 0,6 Д - 6 Розв’яжіть завдання 6.35-6.46. Відповідь запишіть десятковим дробом. 6.35. Обчислити: -108,2 V + 41+4іо842 ;100 6.36. Обчислити: (252’,О8і75 + 7’'°8’3) • 27 . 62
1°Вз5 6.37. Обчислити: 3ІО8і3 - 510&5 + 7і08’49. 6.38. Обчислити: О,2518°’5 • 0,04І8°5 + 81°’5|°8’7 - 0,5 • 27І°8?3. 6.39. Обчислити: 1о§3 49 • 5 • 1о§25 27 . 6.40. Обчислити: 2'°8’3-З'°8г3-9'°8’2. 6.41. Обчислити: 1о§3+^(з-\/8) + 1о£3 _^(з + -Ув). 6.42. Обчислити: 3 • 7^ІО8л +і'°878 - 3 1о§9 ^9^9 -10. 6.43. Обчислити: 1о§_, | • 1о§, | • 1о§, | •... • 1 • 1§ 2. 2 з > 4“^ 99 1 '-'І/ 6.44. Дано: = 9. Знайти ІО86(1о&, а) 6.45. Спростити вираз а Хо*ьа • 1о§а Ь . 6.46. Обчислити: (1о§5 24- 1о§2 5 4- 2)(1о§5 2 -1§2) • 1о§2 5 - 1о§5 2. 63
Тема 7. Тригонометричні вирази Нехай у прямокутній системі координат одиничний вектор ОА лежить на додатному напрямку осі х. Вважатимемо, що ОА — початкова сторона кута АОВ й /ЛОВ - а. Координати точки В на осях х тау позначимо відповідно ха тауа. Синусом кута а (зіпа) називають ординату точки В одиничного кола, яка відповідає куту а. Косинусом кута а (соза) називають абсцису точки В одиничного кола, яка відповідає куту а. Тангенсом кута а (і§а) називають відношення ординати кінця одиничного рухомого радіуса до зіпа його абсциси: і§а = —=-------, де соза ^0. у соза Котангенсом кута а (сі§а) називають відношення абсциси кінця одиничного рухомого радіуса до уп соза його ординати: сі§а = — =------, де зіпа 0. хп зіпа Секансом кута а (зеса) називають відношення---, де соза Ф 0. соза Косекансом кута а (созеса) називають відношення----, де зіпа Ф 0. зіпа Пряму, яка проходить через точку Ра(1; 0) паралельно до осі ординат, називають лінією танген- сів. Пряму, яка проходить через точку (0; 1) паралельно до осі абсцис, називають лінією котангенсів. Значення синуса, косинуса, тангенса та котангенса деяких кутів: а 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° 0 с* 1 я 4 я ЇЇ £ | сч Я Зл т 2л зіпа 0 2 Л 2 2 1 0 -1 0 соза 1 л/3 2 ЇЇ2 2 2 0 -1 0 1 0 ЇЇЗ 3 1 — 0 — 0 — 1 3 0 — 0 — 64
Для будь-якого кута а |зіпа| < 1, |со8а| < 1, і сі§а змінюються від -«> до +оо. Знаки тригонометричних функцій у чвертях: І§Х, СІ§.Г С08Х 8ІПХ Функції у - 8Іпх, у = і&х, у - сі§х — непарні, а функція у = со8х — парна, тому: 8Іп(-а) = -8Іпа; і£(-а) = -і£а; сі§(-а) = -сі§а; со8(-а) = соза. Значення тригонометричних функцій у точках х та х + 2ял, лє 7, рівні за всіх допустимих значень х, тобто 8Іп(х) = 8Іп(х + 2ял); со8(х) = со8(х + 2ял); і§(х) = і§(х + 2пп); сі§(х) = сі§(х + 2ял). Усі тригоно- метричні функції є періодичними і довільне число виду 2тіп, п/0, є їх періодом. Функції у = І£Х, у - сї&с мають своїми періодами і числа виду ял, лє7, п Ф 0: і§(х) = і§(х + ял); сі§(х) = сі§(х + ял). Се- ред усіх можливих періодів функцій виділяють основний період — найменший додатний період. Фу- нкції у - 8ІПХ, у = СО8Х мають основний період 2я, а функції у - І£Х, у = сі^х — я. Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу 8Іп2 а + со82 а = 1 — основна тригонометрична тотожність 8Іпа соза ; сі£а = соза (§а сі§а = 1; 1 2 І 1 + (£ а =--— со8 а 8Іпа ’ , 2 1 ; 1 + сі§ а = 8іп а 8Іпа соза і§а сі§а 8Іпа = — ±л/1-со82 а ± *§<* ^1 + і§2а ± і 71 +сіє а соза = +>/1-8Іп2а — ± і VI + а ± сіеа 71 + сі§2а і§а- + 8Іпа >/1 -8Іп2 а + >/1-соз2а соза — 1 сі^а сі§а = + >/1-8Іп2а 8Іпа соза л/1-со82 а 1 — Формули додавання для тригонометричних функцій 8Іп(а ± р) = зіп а • со8 р ± со8 а • 8Іп р; со8(а ± р) = со8 а со8р + 8Іп а 8Іп р ; .Є(а±Р) = Д^;с1е(а±Ю = -^-уРТ‘ Формули суми та різниці тригонометричних функцій . „ „ . а+В а-р . п ~ а+В . а-В зіпа + зіпр - 28іп----соз-; зіп а - зіп Р = 2соз----8іп--; 2 2 н 2 2 _ „ а + В а-В „ . . а + В . а-В соз а + соз В = 2 соз-соз-; соз а - соз В = -2 зіп-- зш-- 2 2 2 , п зіп(а ± В) , п зіп(В ± а) і§а ± і8р =-----------; сі§а ± сі§р = -—. созасозр зіпа-зіпр 2 5* Капіносов А. Математика. Комплексна підготовка до ЗНО 65
Формули тригонометричних функцій подвійного та потрійного аргументу зіп2а = 2зіпасоза; С08 2а = 2соз2 а-1; » 2ї§а 1§2а=, , 2 ’ зіпЗа = 3зіп а - 4зіп3 а; Зі§а-1§3а іеЗа = 9 ; 1-3і£ а Формули універсальної підстановки ос 2 зіпа = —; соз 2а = соз2 а - зіп2 а; соз2а = 1-2зіп2а; сі§2а-1 сі§2а = ; 2сІ§а созЗа = 4соз3 а-Зсоза; сі§3а-Зсі§а сі£3а = ——г —. Зсі§2 а-1 -*’ї соза = —; 1 + ^у •8» = а’ , 2 а 1-16 - «8а= а . 2,Є2 Формули половинного аргументу . а , /1-соза зіп— = ±. ; 2 N 2 а , /1 + соза соз— = ±. ; 2 V 2 а /1-соза = ±. ; 2 V 1 + соза а зіп а 1-соза ; 2 1 + соза зіп а а , /1 + соза сіе=±. ; 2 V 1-соза а зіпа 1 + соза с(§— = = . 2 1-соза зіпа Формули пониження степеня . 2 1-со8 2а зіп а = ; 2 , 1 + соз2а соз а = . 2 Формули добутку тригонометричних функцій . _ соз(а - В) - соз(а + В) зіп а • зіп В =------------; 2 „ со8(а-В) + со8(а + В) соз а • соз В =------------; 2 сіп» рпей §іп(а-р) + 8Іп(а + р) 8іп а • соз р =------------. 2 Формули зведення V • X Я — а 2 я —+ а 2 я-а л + а Зя а 2 Зя — + а 2 2я-а 9(Г-а 9(Г+а 180°-а 180° +а 27(У-а 270° +а 360°-а зіпх соза соза зіпа -зіпа -соза -соза -зіпа СО8Х зіпа -зіпа -соза -соза -зіпа зіпа соза сі§а -сі§а -1§а сІ§а -сі£а СІ£Х -і§а -сі§а сі£а -сі^а 66
Наприклад, соз(90° + х) = -8Іпх; і§(л + 5а) = і§5а; зіп л+ а^ = соза; сі§^630° + а^ = -1§а; 2 чверть 3 чверть 4-----V----' 4----------' 2 чверть 4 чверть 003(540° + а) =-соза; іеґа-—л'і = -іе( — л + а \б-90“ І к 2 ' V 2 З чверть 4 чверть -(-сі£а) = сі£а. Обернені тригонометричні функції Арксинусом числа Ь, де |6| < 1, називають таке число а із проміжку —, синус якого дорів- нює Ь. Наприклад, якщо зіп—= —, то агезіп—= — 6 2 2 6 я — є З тс, тс 2’ 2. . ( я 1 ЗІП І------ < З =-----. Узагалі агезіпб - а, якщо ає і зіпа - Ь. Наприклад, . Зя \/2 . <2 Зя . Зя зіп— = —, але агезш-------Ф—, оскільки —£ 4 2 2 4 4 я. я 2’2.' Арккосинусом числа Ь. де |6| < 1, називають таке число а із проміжку [0; я], косинус якого дорів- / тт 1 я с я гл і • тс 1 ( 5я 5я ГЛ п . нює Ь. Наприклад, агссоз—= — , бо — є[0;я] і соз—= —; агссоз-=—, бо —є[0;я] і 23 3 32 \2/6 6 соз—=------—. Узагалі агссоз/? - а, якщо ає[0;я] і соза = />. Наприклад, созґ-—]= —, але 6 2 3' 2 1 Я • Я ГЛ -| агссоз — Ф —, оскільки — £ [0; я]. 2 З 3 і л і. • і я я । • і Арктангенсом числа Ь називають таке число а з проміжку > тангенс якого дорівнює Ь. тт 4. і тс я ґ я я । • . Я « . / тс • Я ( Я Я^ • Наприклад, агсі£І = —, бо — є І—; —І і = 1; агсі£І-л/ЗІ = —, оскільки —є І—; —І і 4 4 ^ 2 2 4 3 3^2 2^ ґ я^ г । я я 1 . 2я г” =-л/3. Узагалі, агсі£/? = а, якщо ає [] і ї^а-Ь. Наприклад, = -<3, але агсіе(- 2л . 2л ( л л ] З , оскільки — й —; — . І Д 14 7 7/ Арккотангенсом числа Ь називають таке число а з проміжку (0; я), котангенс якого дорівнює Ь. Наприклад, агссі£^у- = у, бо ує(0;я)і = агссїб(“^/з) = ~є(О;тс)і сС§-^- = -л/з. Узагалі, агссі§Л = а, якщо ає(0;я) і сі§а = />. Наприклад, сі§(-^=->/з, але агссі§(-л/з^-^-, оскільки — £ (0; я). Основні співвідношення між оберненими тригонометричними функціями агс8Іп(зіпх) - х, хє я. я 2’ 2^’ зіп(агсзіпх) = х, хє [-1; 1]; агсзіп(-х) = -агезіпх; агссоз(соях) = х, хє [0; л]; соз(агссозх) = х, хє [-1; 1]; 67
агссоз(-х) = я - агссозх; агсі§(іех)=х, хє ; 1§(агсі§х) = х; агсІ§(-х) - -агсі^х; агссі§(сІ§х) - х, хє (0; я); сІ§(агссІ§х) - х; агссІ§(-х) = я - агсс(£х; агсзіпх + агссозх = у, хє [-1; 1 ]; . . . тс агсі^х + агссі^х = —. Синусом кута є ордината кінця одиничного рухомого радіуса. Знайдемо на колі точки, ордина- ти яких дорівнюють 0,5. Це точки А та В. Відповідь. В. Приклад 2. Обчислити знак добутку зіп280° • созЗО0 • 1§170° • сі§190°. Для кожного множника визначимо чверть, у якій міститься кінець рухомого радіуса, й з’ясуємо знак даної функції. 280°— IV чверть, зіп280°<0; 30°— І чверть, созЗО0> 0; 170° — II чверть, і£І70° < 0; 190° — III чверть, сі§190° > 0. Отже, маємо: «-» • «+» • «-» • «+» > 0. Відповідь. 8Іп280° • соз30° • (§170° • сі§190° > 0. Приклад 3. Знайти знак виразів: а) зіп2,5; б) созб. у < 2,5 < я, ^- < 6 < 2я. Отже, кут а = 2,5 радіана закінчується у II чверті, а кут [3 = 6 радіан закінчується у IV чверті. Тоді зіп2,5 > 0, созб > 0. Відповідь. зіп2,5 > 0, созб > 0. Приклад 3. Обчислити: зіп (-30°) соз (-60°) + і£ (-45°) сі§ (-60°) соз (-30°) - зіп (-60°) (-30°) Урахувавши парність (непарність) тригонометричних функцій, одержимо: 1.1 . 8Іп(-300)соз(-600) + 1;§(-450) _ — 8Іп30осоз60о — і§45° _ 2 2 сі§(-60о)соз(-30о)-8Іп(-60о)і§(-30о) — сі£б00соз300 — зіп60оі§30° 1 Уз >/з 1 Уз 2 з Уз = —= 1—= 1,5. 4 4 Відповідь. 1,5. 5 4 5 6 68
гт Л , г, 391л ... Приклад 4. Звести соз----до тригонометричної функції гострого кута. 18 А Б В Г д ТС соз— 18 . 2л -зіп— 9 7л соз— 18 . 2л зіп— 9 31л соз 18 _ 391л соз------= со: 18 Відповідь. Г. о іп^д.«-д.9я + 4л 2 10 Я + Я Ч------ 18 ( , л , 4л І ( Зя , 2л) . 2л = соз лч---1--= соз----1--= зіп—. V 2 18/ <2 9/ 9 Приклад 5. Яка з указаних функцій є ні парною, ні непарною? А Б В г д /і(х) = созЗхсі§4х гг ч 2ч-Ззіп25х ^(х)= А. 6і§х (х) = 5л/созх + х4 Г , х х2 +зіп2х /4(л)= • 9 3 81П 2х - X /5(х) = зіпбхі^хЧ-х2 /і(-х) = соз(-3х)сі§(-4х) = созЗх • (-сі§4х) = -созЗхсі§4х = Функція непарна; . . 2ч-Ззіп2(-5х) 2ч-3(-зіп5х)2 2ч-Ззіп25х ,, ч _ =----г. / \ " =-------Т7------ =--------77-----= ФУНКЦ1Я непарна; 6і§(-X) -6І£Х 61§Х /3(-х) = 5-7соз(-х) Ч- (-х)4 = 5\созх Ч- х4 = /з(х). Функція парна; у/ ч (—х)2 ч- зіп(-2х) х2-зіп2х х2-зіп2х^ , , . ч . /4 (-*)=. ’ , ,—7Ї = — — = —гт;-----*/4(*); /4(-х)*-/4(х). Функція ні парна, ні зш(-2х) - (—х) - зіп 2х Ч- х зіп 2х - х непарна; (—х) = зіп(-бх) 1§(-х) Ч- (—х)2 = - зіп 6х • (- х) Ч- х2 = зіп 6 с!§ х Ч- х2 = /5 (х). Функція парна. Відповідь. Г. Приклад 6. Знайти найбільше значення виразу 12соза + 5зіпа - 7. соза -7 = л/122 +52 ) .12 _ . 13 Перетворимо вираз: 12созач- 5зіпа-7 = л/122 ч-521 —, зіпач—, <з/122Ч-52 ґ 5 12 'Х 5 = 13^—зіпач-— соза^ -7 = 13зіп(ач-ф)-7, де ф = агссоз-^ або ф = агсзіп-^. Далі маємо: -1 <зіп(ач-<р)< 1; -13 < 13зіп(ач-ф)< 13; -13-7 < 13зіп(а ч-ф) - 7 < 13-7; -20 < 13зіп(ач-ф)- - 7 < 6. Отже, найбільше значення виразу 12соза ч- 5зіпа - 7 дорівнює 6. Відповідь. 6.1 З 73 —агссоз— 2 2 Приклад 7. Обчислити числове значення виразу агсзіп А Б в г д 5 я 12 1 1 6 7 —я 12 5 —я 12 _ .[1)3 л/З - + і агсзіп — Ч-—агссоз---Загсіе —т= - — <2/2 2 < 7з> я , я , - я я , я , я -2лч-3лч-6л 7 6 4 6 6 4 2 12 12 Відповідь. Г. я +2. 6 2 6 69
1 тс Приклад 8. Знайти 1§а, якщо соза = і - — < а < 0. А Б В Г Д 0,5 2 -0,5 -2 5 Кут а міститься у четвертій чверті, тому зіпа < 0. Обчислимо зіпа: зіпа = - ->/1 - соз2 а = -.11-- = -.1^=—т= Знайдемо і§а: а = 5*па = —: -4= = = -2. N 5 45 л/5 соза 75 75 75 Відповідь. Г. Приклад 9. Обчислити: зіп 75° • зіп 15°. 8Іп750-8Іп150 = 8Іп(900-150)-8Іп150 = со8І50-8Іп15° = -^8Іп300 = 4-. Приклад 14. Знайти значення виразу 2 зіп2 2а + 2 соз І — - а І + 2 соз2 2а, якщо а - —. V 2 ' 6 А Б В г д 5 2 + %/з 3 2-у/з 1 Спочатку спростимо вираз: 2зіп22а+2созІ — -а] + 2соз22а= 28Іп22а+2со822а+2зіпа= = 2(зіп2а+соз2а) + 2зіпа=2+2зіпа.Якщо а = —,то 2 + 28Іпа = 2 + 2• зіп— = 2 + 2• — = 3. ' 1 6 6 2 Відповідь. В. гг і ,л соз200-соз400 Приклад 10. Спростити вираз----------------. і§10° + і§20° — соз20°-соз40° _ -2зіп30°зіп(-10о) _ 2зіп30°зіп 10°соз 10°соз20° _ і§10° + і§20' зіп 30° соз10°соз20° = 2 зіп 10° соз 10° соз 20° = зіп 20° соз 20° = — зіп 40°. 2 зіп 30° Завдання 7.1-7.22 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 7.1. зіп4а + зіп2асоз2а - зіп2а =... А Б В Г Д -2зіп2а 1 2соз2а 2зіп2а 0 7.2. і§2|3 + сі§2р + 2 - —-у— СОЗ Р А Б В Г д 1 ЗІП2 Р ЗІП2р 1 ЗІП2 Р 1 2 ЗІП2р 7.3. Спростити вираз сі§(-а) • 1§(-а) - зіп2(-а). А Б в Г Д соза 2 соз а зіп2а 1 + зіп2а -соз2а 70
1А. 7.5. 7.6. Обчислити (§2а + сі§2а, якщо і§а + сі§а = 2. А Б В Г Д 2 1 4 3 -2 зіп а-соза . ~ Обчислити-----------, якщо 1§а = 3. зіп а + соз а А Б В Г д 1 0 х 2 _х 2 2 Знайти значення виразу 38Іп2а - 7соз2а, якщо соза = -0,1. 7.7. А Б В Г Д 2 2,9 3,1 3,96 2,92 Знайти значення виразу со8^а-р + ^ + 2зіп(а + я)соз(р- -я), якщо а = 0,1л, р = 0,15л. А Б В Г Д 0 2 У2 2 л/3 2 1-^ 2 7.8. 7.9. 7.10. 7.11. 7.12. 1§7°і§83° + і§19°1§71° = ... А Б В Г Д 0 1 2 3 4 соз а соз Р - соз (а + Р) соз (а - Р) - зіп а зіп Р А Б В г Д 1 зіпазіпр созасозр сі§ас(§р і£х + ї8у ! і%х-(§у 1§(х + у) 1§(х-у) А Б В г Д 2 0 1 2і£Х 2і§(х+у) ґ З А (З зіп(л-2а) + 2соз^|л + а^ зіп^-|л-а А Б В г д зіп2а 1 Зсоз2а 3 0 4 а . 4 а соз------зіп — = 2 2 А Б В г Д зіпа соза а СО8 — 4 соз2а 1 71
7.13. 8Іп40° 2 соз2 20° А Б В Г д соз20° 2 зіп20о сі§20° і§20° 7.14. зіп48° + 8Іп12° =... А Б В Г Д 8Іп36° Уз 2 соз18° х 2 —соз 18° 2 7.15. СО870° - СО8І0° = ... А Б В Г д -зіп40° зіп40° созЗО0 х 2 2зіп40° 7.16. соз70° + соз50° = ... А Б В Г д _х 2 х 2 2соз10° зіп 10° соз10° 7.17. Знайти значення виразу зіп у соз у, якщо х = - А Б В Г Д 0,5 -0,25 -0,5 -2 0,25 7.18. со875°соз15° =... А Б В г д х 2 х 4 1 х 4 Уз 2 7.19. 8Іп105°со8І5° =... А Б В Г д Уз Уз 2 + Уз 1 і+Уз І 2 4 4 2 2 7.20. 8Іп75о8Іп15° =... А Б В г д х 2 х 4 х 4 Уз 2 Уз 4 7.21. • ( О зіп! агссоз— =... V 4> А Б В Г д х 4 х 4 УЇ5 4 х 2 УЇ5 4 72
7.22. соз [ 2агс8Іп— V 6- А Б В г Д 17 18 ]_ 3 3 4 2 3 15 16 7.23.- і§^“агсзіпО,б) = А Б В г Д 0,3 2 х х 3 3 2 3 4 7.24. Обчислити: Зл/Зсоз(агсі§>/2). А Б В г д 3 -3 ±3 зТб 3^2 7.25. ., л 2л 4л _ Ібсоз—соз—соз ... 9 9 9 А Б в г д 0,5 -0,5 2 -2 0 7.26. . Зл . л сіп _ сіп - - — сіп 5л _ ОІ11 ОІ11 оЦ.1 14 14 14 А Б В Г д 2 1 0 1 2 -1 Завдання 7.27-7.39 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 7.27. Установити відповідність між виразами (1^4) та виразами, які їм тотожно дорівнюють (А-Д). 1 зіп а соз а 2 1-2зіп2а 4 со$(л-2а) . 1 . _ А —зіп 2а 2 Б -соз2а В соз 2а Г 2 соз а Д зіп 2а 7.28. Установити відповідність між виразами (1^4) та виразами, які їм дорівнюють (А-Д). 1 зіп 740° А соз50° 2 соз560° Б зіп 50° 3 соз225° В зіп 20° 4 2зіп 20°соз20° Г зіп(-45°) д -соз 20° 73
7.29. Установити відповідність між виразами (1-4) та виразами, які їм тотожно дорівнюють (А-Д). 1 зіп(45° + а) 2 соз(45° + а) З соз За 4 зіп За /2 А —(соза-зіпа) 2 1 ’ Б соз а соз 2а + зіп а зіп 2а •\/2 В —(зіп а + соза) 2 к ' Г созасоз2а-зіпазіп2а Д зіп 2а соз а + соз 2а зіп а 7.30. Одна зі сторін кута збігається з додатною піввіссю абсцис, а інша перетинає одиничне коло в ( 5 12А точці-----;----. Установити відповідність між тригонометричними функціями кута В (1—4) < 13 13> та їх значеннями (А-Д). 1 8ІП|3 А — 2 созр 12 3 *§Р Б — 4 сі£р 5 В 13 г -— 13 7.31. зіп|3 = а, а— кут І чверті. Установити відповідність між тригонометричними виразами (1-4) та їх значеннями (А-Д). 1 8Іп(у+Р; А а Б -а 2 зіп(л-р) В 3 зіп(л + Р) а і Г -уіі-а2 . . (Зіі о) 4 81Чур; Д ^\-а2 7.32. а— кут першої чверті, 1§а = а. Установити відповідність між тригонометричними виразами (1-4) та їх значеннями (А-Д). 1 + а! 1 Б« 2 ів(^-“) В 1 2 а З і§(л-а) Г -а 4 і§(л + а) д _1 а 74
7.33. Установити відповідність між тригонометричними виразами (1-4) та їх значеннями (А-Д). 1 8Іп510° 2 соз690° З соз840° 4 зіп960° 7.34. Д - 2 Установити відповідність між тригонометричними виразами (1-4) та їх значеннями (А-Д). 7.35. 7.36. 1 + 20л 1е— 2 , 28л •8— 3 . ( зі”' Ч~— 4 . 16л с18— Б -л/3 Г л/З д -і Установити відповідність між тригонометричними виразами (1—4) та тотожно рівними їм вира- зами (А-Д). 1 созЗхсозх - 8ІпЗх8Іпх А 8Іп4х 2 СО83ХСО8Х + 8ІПЗХ8ІПХ Б -СО84х 3 8ІПЗХСО8Х + СО83Х8ІПХ В СО84х 4 8ІПХСО83Х - 8ІПЗХСО8Х Г СО82х Д -8Іп2х а — кут другої чверті, зіп а = —. Установити відповідність між заданими тригонометричними виразами (1-4) та їх значеннями (А-Д). 1 зіп 2а 2 соз 2а З 1§2а 4 с(§2а А -і** 120 с 119 Б В И* 169 г 120 119 д -1^ 169 75
7.37. Установити відповідність між тригонометричними виразами (1—4) та тотожно рівними їм вира- зами (А-Д). 1 зіпЗа-зіпа А созЗа-соза Б сі§а 2 соза-созЗа В і§2а зіп а + зіп За г с1е2а 3 зіп 2а + зіп 4а д соз2а-соз4а . зіп За + зіп а 4 соз За + соз а 7.38. Установити відповідність між тригонометричними виразами (1-4) та тотожно рівними їм вира- зами (А-Д). 1 зіп 10° + соз20° А зіп50° 2 зіп20° + соз 10° Б зіп40° 3 соз20° - зіп 10° В >/з зіп40° 4 г Л-,,,50- Д -л/з зіп50° 7.39. Установити відповідність між тригонометричними виразами (1-4) та їх значеннями (А-Д). ( 4\ 4 1 іе агсзіп— А — < 5> 5 ( з> к 2 2 сі§^агссоз^ " / X ч\ 3 . ( . ( 3^ В — 3 созі агсзіпі —1 1 4 . ( с 4^ Г | < < 5» д~| Розв’яжіть завдання 7.40-7.49. Відповідь запишіть десятковим дробом. 8іп^а + —соз(а-л)і§(-а) 7.40. Обчислити: — г . зіп(а - я)соз^а - — сі§(л - а) 7.41. Спростити: зіп4а - соз4а - зіп2а + соз2а. 7.42. п і§2а 1 + сі£2а 2 Спростити: —— а. 1 + і§ а сі§ а 7.43. соза-со83а + соз5а-соз7а х Спростити: 2сі§а. зіп а + зіп За + зіп 5а + зіп 7 а 7.44. 1 + соз а + соз 2а + соз За Спростити: —. 5 соз а • (соз а + соз 2а) 76
7.45. Спростити: + СО82 (П - х) . 7.46. Обчислити: 2 зіп 20° соз 50° зіп 60° соз 10°. „ 1 1 1 1 ійі-1001 7.47. Обчислити:----------н----------1-----------ь... +----------н —--------. созІ + созЗ соз1 + соз5 соз1 + соз7 соз1 + соз2001 2зіп1 _ .о „ со85а + 5созЗа + 10соза 7.48. Спростити вираз---------------------. 7.49. ґ 2^ (1 7' Спростити вираз 26зіп^2агсі§—) агссоз— 77
Тема 8. Цілі рівняння Лінійні рівняння з однією змінною Лінійним рівнянням з однією змінною називають рівняння виду ах - Ь, де х — змінна, а та Ь — ві- домі числа. Якщо а =£ 0, то х = — — єдиний корінь лінійного рівняння; а якщо а = 0, Ь * 0, то 0 • х - Ь і рівняння коренів не має; якщо а = 0, Ь = 0, то 0 • х = 0 і коренями рівняння є всі дійсні числа. Рівняння, які зводяться до лінійних: 2х-2(х-3) = 10; 2х + 2(х-3) = 10; 2х-2(х-5) = 10; 2х-2х + 6 = 10; 2х + 2х-6 = 10; 2х-2х + 10 = 10; Ох = 4. 4х = 16; 0х = 0. х = 4. Відповідь. Коренів немає. Відповідь. 4. Відповідь. Довільне число. Квадратні рівняння Квадратним рівнянням (рівнянням другого степеня з однією змінною) називають рівняння виду ах1 + Ьх + с - 0, де х — змінна, а, Ь, с — відомі числа, до того ж а * 0. Якщо Ь * 0, с * 0, то квадратне рівняння називають повним. Якщо ж Ь — 0 або с - 0, то квадратне рівняння називають неповним. Розглянемо випадки. 1)с = 0, 6=£0. Тоді одержимо рівняння ах2 + Ьх-^\ х(ах + 6) = 0; *і=0, х2 - —• Наприклад, а Зх2 - 7х = 0; х(3х - 7) = 0; х = 0; Зх-7 = 0; *1 ~ 0’ «у 7 Відповідь. 0; —; х, =-. З . З 2) Ь = 0, с =£ 0. Тоді одержимо рівняння ах2 + с - 0; ах2 - -с\ х2 - а) х = ±, , якщо > 0, а \ а а тобто — <0; б) якщо -—<0, тобто — >0, то рівняння коренів не має. Наприклад: а)9х2-64 = 0; а а а ,2= 64. 9 ’ 8 х, =~ ’ З Відповідь. ±—; б) 4х2 + 25 = 0; 4х2 = -25; х2 - ; хє 0. 8 3 4 х, = —. . З Відповідь. 0; 3)6 = 0, с = 0. Тоді одержимо рівняння ах2 = 0; Х|=х2 = 0 (а*0). Наприклад: 25х2 = 0; х2 = 0; х = 0. Відповідь. 0; 4) Ь Ф 0, с Ф 0. Тоді одержимо рівняння ах2 + Ьх + с = 0. Вираз Ьг - 4ас називають дискримінантом квадратного рівняння і позначають літерою О. Кіль- кість коренів квадратного рівняння залежить від значення дискримінанта. Умова Корені О — Ь2 —4ас> 0 -ь+Л5 х2 = 1,2 2а £> = 62-4ас = 0 -Ь х = — 2а П = 62-4ас<0 коренів немає 78
Наприклад, 5х2 - 18х + 9 = 0. £> = (-18)2 - 4 • 5 • 9 = 324 - 180 = 144 > 0. 18 + 7144 18 + 12 » 18-7144 18-12 6 З п. а З х. =--------=-------= 3; х9 =--------=-------= — = —. Відповідь. 3; —. 1 2-5 10 2 2-5 10 10 5 5 Квадратне рівняння, у якому перший коефіцієнт дорівнює одиниці (а- 1), називають зведеним. Другий коефіцієнт та вільний член зведеного квадратного рівняння позначають відповідно р та д, і рі- вняння має вигляд х2 + рх + д = 0. Теорема Вієта. Сума коренів зведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів — вільному члену. Тобто якщо хі та х2— корені рі- вняння х2 +рх + # = 0, то: хі + х2 = -р, хі • х2 = д. Наприклад, корені зведеного рівняння х2 - 5х + 6 = 0 дорівнюють X] = 2, х2 = 3. Тоді X] + х2 - 2 + 3 = 5; X) • х2 = 2 • 3 = 6. Теорема, обернена до теореми Вієта. Якщо сума і добуток чисел т і п дорівнюють відповідно -р і д, то т і п — корені квадратного рівняння х2 + рх + д = 0. Наприклад, -3 і -4 є відповідно сумою та добутком коренів квадратного рівняння х2 + Зх - 4 = 0, тому коренями рівняння є числа -4 і 1. Біквадратні рівняння Біквадратним рівнянням називають рівняння виду ах4 + Ьх2 + с - 0, де х — змінна, а, Ь, с — відо- мі числа, до того ж а * 0. Заміною х2 = і біквадратне рівняння зводять до квадратного. Наприклад, розв’язати рівняння х4-6х2-7 = 0. Зробимо заміну х2 = Л Тоді х4=(х2) =ґ2. Отримуємо рівняння /2 - 6ґ - 7 = 0. Корені цього рівняння іх = 7, і2 = -1. Повертаємося до змінної х: х2 = 7; хх2 = ±у/ї або х2=-1; коренів немає. Відповідь, -л/7; л/7. Двочленні рівняння Алгебраїчне рівняння називають двочленним рівнянням, якщо воно має вигляд хп - а - 0 (иєА)- За будь-якого парного п (п = 2к, ке IV), якщо а > 0, рівняння х2*-я = 0 має два дійсні корені: х1 = 2у[а, х2 = -2\[а. Якщо а = 0, то рівняння має один корінь х = 0. Якщо а < 0, рівняння не має дійс- них коренів. Наприклад: а) х6 - 64 = 0; х6 = 64; х1 = ^64 = 2; х2 = -^64 = -2. Відповідь. ±2; б) х4 + 16 = 0; х4 = -16; хє 0. Відповідь, хє 0. За будь-якого непарного п (п = 2к- 1, кеМ), рівняння х2*-1 - а - 0 має один дійсний корінь (аеК)\ х = 2к\[а. Наприклад: а) х3-27 = 0; х3 = 27; х = ^27=3. Відповідь. З; б)х5 + 32 = 0; х5=-32; х = >/-32 = -2. Відповідь. -2. Якщо а = 0 за будь-якого пеN рівняння хп -а-0 має один корінь х = 0. Наприклад: а)х5 = 0; х = 0. Відповідь. 0; б) х8 = 0; х = 0. Відповідь. 0. Цілі раціональні рівняння вищих степенів Рівняння виду а^хп + аххп~х +а2хп~2 +... + ап_хх + ап =0 (пеИ, а^ії) називають алгебраїчним рів- нянням степеня п. Якщо п = 1, то а&с + а\ - 0 — лінійне рівняння. Якщо п = 2, то а&с2 + а}х + я2 = 0 — квадратне рівняння. Алгебраїчне рівняння степеня п має не більше п дійсних коренів. Нехай Рп (х) = а^хп + аххп~} + а2хп~2 +... + ап_хх + ап. Для рівняння Рп(х) - 0 справедлива теорема Ве- зу (див. тему 3). Розв’язання рівнянь вищих степенів, які мають хоча б один цілий корінь, виконують у такій послідовності: 1) знаходять множину дільників вільного члена ап\ 2) за теоремою Везу перевіряють, які з дільників є коренями рівняння Рп(х) - 0; 3) діленням у стовпчик знаходять частку від ділення Рп(х) на х-хь де Хі— корінь рівняння Л(х) = 0; 4) записують частку 0,п_\(х) як многочлен степеня (п - 1); 79
5) визначають, якщо це можливо, корені многочлена які є також коренями початкового рівняння і т. д. Наприклад, знайти корені рівняння 2х4-9х3 + 4х2 + 21х- 18 = 0. Випишемо дільники вільного члена (-18): ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18. Оскільки Р(1) - 0, то поділимо многочлен 2х4 - 9х3 + 4х2 + 21х- 18 на двочлен х - 1 і визначимо многочлен-частку: 1 -9 4 ’ 21 -18 1 1 -7 -3 18 0 2х4 - 9х3 + 4х2 + 21х - 18 = 0 <=> (х- 1 )(2х3 - 7х2 - Зх + 18) = 0 <=> х = 1; 2х3-7х2-Зх + 18 = 0. Анало- гічно визначаємо корінь рівняння 2х3 - 7х2 - Зх + 18-0. Коренем рівняння є число 2. 2 -7 -3 18 2 2 -3 -9 0 Маємо: 2х3 - 7х2 - Зх + 18 = 0 (х - 2)(2х2 - Зх - 9) = 0 <=> х = 2; 2х2-Зх-9 = 0; х = 2; х = 3; х = -1,5. Відповідь. -1,5; 1; 2; 3. Рівняння з модулями Найпростіше рівняння з модулем |Дх)| = а рівносильне сукупності рівнянь Дх) = а; /(х) = -а, ЯКЩО а > 0. Якщо ж а < 0, то рівняння коренів не має. Наприклад, розв’язати рівняння |2х - 3| = 5. 2х-3 = 5; 2х-3 = -5; х = 4; Відповідь. -1; 4. х = -1. Розв’язуючи рівняння, які містять змінну під знаком модуля, найчастіше застосовують такі методи: 1) розкриття модуля за означенням. Наприклад, розв’язати рівняння |х-1| = 2х-5. Розглянемо два випадки, коли підмодульний вираз х- 1 невід’ємний і коли він від’ємний. Якщо х - 1 >0, то |х - 11 = х - 1; якщо х - 1 < 0, то |х - 11 = - (х - 1) - -х + 1. Тоді початкове рівняння еквівалентне сукуп- х-1>0; х>1; ності двох систем: < х-1 = 2х —5; х -1 < 0; х = 4; Перша система має розв’язок х = 4, а друга система х<1; _-х+1 = 2х- 5; х = 2. розв’язків не має. Відповідь. 4; 2) піднесення обох частин рівняння до квадрата. Наприклад, розв’язати рівняння |2 -х| = 2х- 10. Якщо 2х - 10 < 0; х < 5, то рівняння розв’язків не має, оскільки |2 -х| > 0. У випадку коли 2х - 10 > 0, обидві частини рівняння невід’ємні й тому при піднесенні обох частин до квадрата одержимо рівно- сильну початковому рівнянню систему: 2х-10>0; (2-х)2=(2х-10)2; 2х> 10; 4 - 4х + х2 = 4х2 - 40х +100; |2х-3| = 5 <=> х> 5; х2-12x4-32 = 0; х>5; ' = 8; х = 8. х2 = 4; Відповідь. 8. 80
Спосіб піднесення до квадрата найбільше підходить для розв’язування рівнянь виду |Дх)| = Наприклад, розв’язати рівняння |2х - 3| = |х + 7|; (2х - З)2 = (х + 7)2; 4х2 - 12х + 9 = х2 + 14х + 49; Зх2 - 26х - 40 = 0; 4 х\ = —; 4 З Відповідь. —*- х2=10. 3 ; Ю; 3) метод інтервалів (проміжків). Даний метод полягає у наступному: а) прирівнюють до нуля ви- рази, які стоять під знаком модуля; б) отримані значення відкладають на числовій прямій, яка при цьому розбивається на проміжки (інтервали), на кожному з яких визначається знак підмодульного ви- разу; в) розв’язують отримані рівняння на кожному з інтервалів. Цей метод доцільно використовувати тоді, коли рівняння містить більше одного модуля. Наприклад, розв’язати рівняння |3 -х| - |х + 2| = 5. Нанесемо на числову пряму значення х, за яких 3-х = 0іх + 2 = 0, тобто х = 3 і х - -2. Числова пряма при цьому розіб’ється на три проміжки: (-©©; -2], (-2; 3], (3; +©©). -2 3 х Розв’яжемо рівняння на кожному з цих проміжків. 1)хє(-оо;-2]. На цьому проміжку |3-х| = 3-х, |х + 2| = -х-2; 3-х-(-х-2) = 5; 3-х + + х + 2 = 5; Ох = 0; х — будь-яке число із заданого проміжку, тобто хє (-©©; -2]; 2)хє(-2; 3]. На цьому проміжку |3 — х| = 3 — х, |х + 2|=х + 2; 3-х-(х + 2) = 5; 3-х-х-2 = 5; -2х = 4;х = -2 і-2£(-2; 3]; 3)хє (3 ;+©©). На цьому проміжку |3 -х| = -(3 -х) =-3 +х, |х + 2|=х + 2; -3+х-(х + 2) = 5; -З + х-х -2 = 5; Ох = 10;хє0. Одержимо: хє (-©©; -2]. Відповідь, хє (-©©; -2]. Рівняння з параметрами 1. Лінійні рівняння з параметром. Якщо в рівнянні, крім букв, що позначають невідомі, є одна або кілька інших букв, то таке рів- няння називають рівнянням з буквеними коефіцієнтами. Буквені коефіцієнти в рівнянні називають па- раметрами. Наприклад, якщо в рівнянні (а + 3) • х = 7 х — змінна, а буква а позначає якесь число, то кажуть, що це рівняння з параметром а. Розв’язати рівняння з параметром означає знайти його корені для всіх значень параметра. Рівняння з параметрами розв’язують так само, як і рівняння без параметрів, але лише доти, доки кожне перетворення можна виконати однозначно. Якщо ж якесь перетворення не можна виконати од- нозначно, то розв’язання потрібно розбити на різні випадки залежно від значення параметра. Наприклад, щоб розв’язати рівняння (а + 3) • х = 7, потрібно розглянути такі випадки: 1) якщо а + 3 = 0, тобто а - -3, одержимо рівняння Ох = 7, яке не має коренів; 7 2) якщо а + З Ф 0, тобто а Ф 3, то рівняння має корінь х --, до того ж він єдиний. 67 + 3 7 Відповідь. Якщо а - -3, то рівняння коренів не має; якщо а Ф 3, то рівняння має корінь х =-. 67 + 3 Узагалі будь-яке лінійне рівняння з параметром можна звести до рівняння виду ах -Ь, де а та Ь — деякі числа. Наприклад, розв’язати рівняння 4х + с = с2х + 2. 4х + с - с2х + 2 <=> 4х - с2х = 2 - с <=> <=> (4 - с2)х = 2 - с <=> (2 - с)(2 + с)х -2-е. Якщо 2 - с = 0, тобто с = 2, то рівняння набуває виду Ох = 0. Це рівняння має безліч коренів. Якщо 2 + с = 0, тобто с - -2, одержимо Ох = 4. Це рівняння не 2-е 1 має коренів. Якщо с Ф 2 і с Ф -2, то рівняння має єдиний корінь х = --—-г =----. (2-с)(2 + с) 2 + с Відповідь. Якщо с = 2, то хє К; якщо с = -2, то хє 0; якщо с Ф ±2, то х = —-—. 2 + с 8* Капіносов А. Математика. Комплексна підготовка до ЗНО 81
Квадратні рівняння з параметрами Розв’язання квадратного рівняння з параметром слід розпочинати із запитання «А чи є рівняння квадратним?». Якщо коефіцієнт біля х2 може набувати нульового значення, то рівняння ах2 + Ьх + с =0 перетвориться в лінійне рівняння Ьх + с = 0. Наприклад, розв’язати рівняння дх2 + 2х + 1 = 0. Розв’язання почнемо з випадку, коли а = 0. Тоді одержимо рівняння 2х + 1 = 0, звідки х = -0,5. Якщо ж я;*0, то обчислимо: /) = 4-4о = 4(1-о). Далі, якщо а>1, то £><0 і хє0. Якщо а=1, то £> = 0 і х = —— - — 1. Якщо д < 1, то /) > 0 і х. , = —а._ 2-1 а Відповідь. Якщо а > 1, то хє 0; якщо а = 0, то х = -0,5; якщо а = 1, то х = -1; якщо дє (-«>; 0)о о(0; 1),то х, 2 = , якщодє (1; +<»),тохє0. Приклад 1. Розв’язати рівняння х(х - 4) = х2 + 8. А Б В Г Д -2 2 -2; 2 0 хєТ? х(х - 4) = х2 + 8; х2 - 4х - х2 + 8; -4х = 8; х = -2. Відповідь. Б. Приклад 2. Розв’язати рівняння 4х + Зх2 = 7. 4х + Зх2 = 7; Зх2 + 4х-7 = 0. О = 42 - 4-3-(-7) = 16 + 84 = 100. -4 + л/Ї00 -4 + 10 6 , -4-7100 -14 7 „1 х. =---------=-------= — = 1; х, =--------= = — = -2—. 1 2-3 6 6 2 2-3 6 3 3 Відповідь. -2—; 1. Приклад 3. Обчислити відношення меншого кореня квадратного рівняння х2 + 5х - 6 = 0 до його більшого кореня. А Б В г д 6 -6 1 6 6 1 х2 + 5х - 6 = 0; хі = -6, х2 = 1. Оскільки хі < х2, то хі : х2 = -6 : 1 = -6. Відповідь. Б. Приклад 4. Розв’язати рівняння (х2 + 2х)(х - 1) = 0. А Б В Г д 1 0; 2 -2; 0; 1 0 -2; 1 (х2 + 2х)(х - 1) = 0; х(х + 2)(х - 1) = 0; х = 0; х = -2; х = 1. Відповідь. В. 82
Приклад 5. Розв’язати рівняння |х — 5| = 3. А Б В г д 8 2; 8 ро -2 коренів немає Відповідь. Б. Приклад 6. Знайти х2 4- х2, де Хі та х2 — корені рівняння х2 - 12х + 13 = 0. А Б В Г Д 157 131 144 169 118 За теоремою Вієта хі • х2 - 13, Хі +х2 = 12. Піднесемо обидві частини рівності х, + х2 = 12 до ква- драта: (х] + х2)2 = 122; х^+2х1х2+х^ =144; х2 + х2 =144-2х,х2; х2+х2 =144-2-13; х2+х2 =144-26; х2 + х2 = 118. Відповідь. Д. Приклад 7. Розв’язати рівняння |2х + 3| - 5х - 18 = 0. А Б В г д -5;-3 -5 3 -3 5 |2х + 3|-5х- 18 = 0; |2х + 3| = 5х + 18; В2х + 3) (5х + 18) і [5х + 18>0; 4х2 +12х + 9 = 25х2 +180х + 324; 18 х>----; 5 21х2 +168x4-315 = 0; х>-3,6; х2+8х + 15 = 0; х>-3,6; х = -5; ' х = -3; х--3. х > -3,6; Відповідь. Г. Приклад 8. Розв’язати рівняння х4 - х3 - 27х + 27 = 0. А Б В Г д -1;-3 -3; 1 -1;3 1; 3 1; 27 х4-х3 - 27х + 27 = 0; х3(х- 1)-27(х- 1) = 0; (х-1)(х3-27) = 0; (х- 1)(х-3)(х2 + Зх + 9) = 0; х -1 = 0; х = 1; х3-27 = 0; |_х = 3. Відповідь. Г. Приклад 9. Розв’язати рівняння 2х8 + х4 - 15 = 0. А Б В г Д ±^2?5 ±3 -3; 2,5 ±7^5 Нехай х4 = 1, і>0. Тоді х8 = А Маємо: 2Г + і- 15 = 0; £> = 1 + 4 • 2 • 15 = 121; і. = -1 + 11 =2,5, 1 4 (2 - —-— = -3 — не задовольняє умову і > 0. Повертаємося до заміни: х4 = 2,5; х, 2 = ±^2^5 . Відповідь. Б. 83
Приклад 10. Розв’язати рівняння х2 -2|х| -8 = 0. А Б В Г д ±4 -2; 4 ±2; ±4 -4;-2 ±2 х2 -2|х| -8 = 0; |х|2 -2|х| - 8 = 0; |х| = -2 — рівняння коренів не має; |х| = 4, х = ±4. Відповідь. А. Приклад 11. Розв’язати рівняння (х2 - 5х)2 - 2х2 + Юх = 24. А Б В Г Д -1; і;4; 6 -4; -1; 1;6 -6;-1; 1;4 -6; -4; -1; 1 -4:6 одержимо: (х2-5х) 2 - 2х2 + 1 Ох = 24; (х2 - 5х)2 - 2(л :2-5х) = 24. Нехай х2 - 5х - - і, тоді Хі - 6; г-2/-24 = 0; 6 - 6; Повернемося до заміни: [ґ2 - -4- х2 - 5х = 6; _х2 - 5х = -4; х2 - 5х - 6 = 0; _х2 -5х + 4 = 0; х2 — -1; х3 = 1; _Х4 = 4. Відповідь. А. Приклад 12. Розв’язати рівняння (х2 + 4х)2 - 2(х + 2)2 = 7. А Б В Г Д -5;-1; 1;3 -5;-3;-1; 1 -3;-1; 1;5 -і; і; 3; 5 -3;-1; 1; 5 Запишемо дане рівняння у вигляді (х2 + 4х)2 -2(х2 + 4х + 4) = 7; (х2+ 4х)2-2(х2 + 4х) - 15 = 0. Введемо заміну / = х2 + 4х; Г-2/-15 = 0; ґ,=-3; $ Повернемося до заміни: х2 + 4х = -3; х2 + 4х = 5; Х| = -3; х2+4х + 3 = 0; х, = -1; х2 + 4х - 5 = 0; -У, ~ ”5; _х4 = 1. Відповідь. Б. Приклад 13. Розв’язати рівняння |[5 — 5х| — |5х — 11[ = 3. У відповідь записати добуток коренів. Якщо коренів безліч, то у відповідь записати число 100, якщо коренів немає, то у відповідь записати число 200. Розкриємо зовнішній модуль й одержимо: |5-5х|-|5х-11= 3; (1) Розв’яжемо рівняння (1). |5-5х|-|5х-1|=-3. (2) Е 7 Для цього знайдемо нулі підмодульних виразів: 5 - 5х = 0 і 5х - 1 = 0, звідки х = 1 та х = 0,2. Нанесемо одержані значення на числову пряму. 0,2 1 х Розв’яжемо рівняння на кожному з одержаних проміжків. 1)хє(-°о; 0,2]. |5-5х| = 5 -5х, |5х-1| = -(5х-1) = -5х+ 1. 5-5х-(-5х+1) = 3; 5-5х + 5х-1=3; 0х= -1;хє0; 2)хє(0,2; 1]. |5-5х| = 5 -5х, |5х- 11 = 5х- 1. 5 -5х-(5х-1) = 3; 5-5х-5х+1=3; -10х = -3; х = 0,3;0,Зє(0,2; 1]; 3)хє(1; +°о). |5 -5х| = -(5 - 5х) = -5 + 5х; |5х- 1| = 5х- 1. -5 + 5х-(5х- 1) = 3; -5 + 5х- 5х + 1 = 3; Ох = 7; хє0. Отже, рівняння (1) має розв’язок х = 0,3. 84
Аналогічно можна одержати, що розв’язком рівняння (2) є х = 0,9. Тоді добуток коренів дорівнює 0,3 • 0,9 = 0,27. Відповідь. 0,27. Приклад 14. Розв’язати рівняння х3 + 12х2 + 44х + 48 = 0. У відповідь записати суму коренів. Якщо рівняння має цілий корінь, то він є дільником вільного члена 48, тобто це може бути ±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±8; ±12; ±16; ±24; ±48. Перевірка показує, що число -2 є коренем вихідного рівняння. Поділимо многочлен х3 + 12х2 + 44х + 48 на двочлен х + 2. Отримаємо: х3 + 12х2 + 44х + 48 = 0; (х + 2)(х2 + 1 Ох + 24.) - 0; х = -2; х2 +1 Ох + 24 = 0; х = -2; х = -4; х- -6. Тоді сума коренів рівняння дорівнює -2 + (-4) + (-6) —12. Відповідь. -12. Приклад 15. Розв’язати рівняння (а1 - За - 4)х + 16 = я2. У відповідь записати значення параметра а, за якого рівняння має безліч коренів. Запишемо дане рівняння у вигляді (<7 - 4)(<7 + 1 )х = а' - 16; (а - 4)(я + 1)х = (а - 4)(а + 4). Якщо а = -1, то Ох = -15; хє 0; якщо а = 4, то Ох = 0; хє /?; (<7-4)(<7 + 4) а + 4 якщо ає (—°°; -1)и(-1; 4)и(4; +«>), то х = --—----- =----. (<7-4)(<7 + 1) я + 1 Відповідь. 4. Приклад 16. За якого значення параметра <7 сума квадратів коренів рівняння х2 + (2 - а)х -<7-3=0 найменша? За умови Р = (2 - а)2 + 4(<7 + 3) > 0 за теоремою Вієта маємо: х1 + х2 = а - 2; . , 0 Тоді: хх+х2 = X] -Х2 = -<7-3. = (х1 +х2)2 -2хх -х2 =(<7-2)2 +2(<7 + 3) = <72 -2<7 + 10-(<7-1)2 +9. Сума х2 + х2 набуває найменшого значення, якщо <7=1. Якщо <7 = 1, то корені існують, оскільки Р = 12 + 4 • (1 +3)>0. Відповідь. 1. Завдання 8.1-8.24 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРА- ВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 8.1. Розв’язати рівняння ах + Ь = с, де а Ф 0. 4 Б В г д <7 X- Ь-с <7 х = с-Ь Ь-с х — а с~Ь х = а с + Ь X- а 8.2. Розв’язати рівняння —х - 2 = 0 і -0,2х = 4 та записати добуток їх коренів. А Б В Г д -70 __1_ 70 -28 280 -280 8.3. Розв’язати рівняння |х - 11 = 3 та знайти суму його коренів. А Б В Г д 0 4 2 -2 -4 85
8.4. Знайти дискримінант рівняння Зх2 - 2х - 5 = 0. А Б В Г Д 64 -64 8 -31 49 8.5. Знайти суму коренів рівняння 2х2 - 5х - 7 - 0. А Б В Г д 5 -2,5 2,5 -7 -3,5 8.6. Скласти зведене квадратне рівняння з коренями 72 і 78 . А Б В г д х2-Зл/2х + 16 = 0 х2-4х + з72=0 х2 + Зл/2х + 4 = 0 х2 - Зл/2х + 4 = 0 Скласти неможливо 8.7. Знайти суму цілих чисел, що належать відрізку, кінцями якого є корені квадратного рівняння 10х2 + 7х- 12 = 0. А Б В г д -2 -1 0 1 8.8. Скільки коренів має рівняння |х2 - Зх + 2| = 2? А Б в Г д Один два три чотири жодного 8.9. У першій пачці зошитів було удвічі більше, ніж у другій. Коли з другої пачки переклали до першої 10 зошитів, то в другій стало в 4 рази менше зошитів, ніж у першій. Скільки зошитів було у другій пачці? Яке з наведених рівнянь відповідає умові задачі, якщо кількість зошитів у другій пачці позна- чено через х? А Б В Г д 2х = 4(х- 10) 4(2х+ 10) =х- 10 2г+ 10 = 4х- 10 2х+ 10 = 4(х- 10) х + 2 + 10 = 4(х- 10) 8.10. Одну й ту ж відстань один автомобіль проїхав за 3 год, а інший — за 2 год. Знайти швидкість руху автомобіля, який їхав повільніше, якщо його швидкість на 24 км/год менша від швидкості іншого автомобіля. Яке з наведених рівнянь відповідає умові задачі, якщо шукану швидкість позначено через х км/год? А Б В Г Д 3(х-24) = 2х 3(х + 24) = 2х Зх = 2(х + 24) х _ х + 24 3" 2 Зх = 2х+24 8.11. У першості з волейболу було зіграно 21 матч, при цьому кожна команда зіграла з іншою по одному разу. Скільки команд брало участь у першості? Яке з наведених рівнянь відповідає умові задачі, якщо кількість команд позначено через х? А Б В Г д х(х+ 1) = 2 х(х-1) -І - = 21 2 х(х + 1) -і - = 21 2 х + х- 1 =21 х(х — 1) = 21 8.12. За якої умови рівняння ах + Ь- сх + сі не має коренів? А Б в г д а = 0, с Ф 0 а^с,сІ^Ь а^с.(1-Ь а~ с, б/ * Ь а - с. (і - Ь 86
8.13. Коренем рівняння кх - 3 є число 0,2. Знайти корінь рівняння кх - -1. А Б В г Д __1_ 15 15 1 І 5 3 _2 3 8.14. Знайти значення параметра а, за якого рівняння (а2 - 1)х = а2 + 5а - 6 має безліч коренів. А Б В г д 1 ±1 -6; 1 -6; ±1 0 8.15. За якого значення а рівняння а2х - 2а2 - 49х + 14а має єдиний корінь? А Б В Г Д (—;-7) (7; +~) (—;-7М7;+~) (-7; 7) (-~ ;-7)и о(-7; 7)о(7; +<«) 8.16. За якого значення і значення виразу -0,3/ + 18 на 5 більше від значення виразу 0,1/ + 1? А Б В г Д -16,25 16,25 ЗО 55 -зо 8.17. Знайти суму коренів рівняння |4х - 8| + |2 - х| = 4. А Б В г д 2,8 1,2 1,6 4 3 8.18. Знайти корінь рівняння |х - 1| + |х + 3| = 6,2, який належить проміжку (-<»; -3). А Б В Г д -4,1 -2,1 -4 -5 -6 8.19. Вказати всі значення а, за яких рівняння |х - 5| - 1 = а має два корені. А Б В г д а > 5 а <4 а > 1 а >-1 а > -1 8.20. Знайти всі значення а, за яких один з коренів рівняння х2 + 2ах + а2 - 0 дорівнює -2. А Б в г д а = ±2 а - 2 а - 4 а = ±4 а = -2 8.21. За яких значень т рівняння 4х2 + 2х - т = 0 має тільки один корінь? А Б В Г д 0,5 -0,5 0,25 -0,25 ±0,25 8.22. Знайти всі значення с, за яких рівняння Зх2 - 2х + с - 0 має хоча б один спільний корінь з рів- нянням х2 + х - 2 = 0. А Б В Г д с = -5, с = -1,6 с = 8, с 7 1 с = -16, с = -1 с — 8, с — —1 с = 5, с - 1,6 8.23. хі та х2 — корені рівняння х2 - Зх - 5 = 0. Не розв’язуючи рівняння, знайти х2 + х2. А Б В Г д -1 19 4 -4 -19 87
8.24. Скільки коренів має рівняння х2 - 7|х| + 10 = 0? А Б в г Д Один два три чотири жодного Завдання 8.25-8.34 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 8.25. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та їх коренями (А-Д). 1 ах + Ь = с, а^О 2 ах- Ь — с, а^О З ах-Ь + с = 0, а + 0 4 ах + Ь + с = 0, а*0 с + Ь Г с + Ь ------ а в а Г а 8.26. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та кількістю їх розв’язків (А-Д). 1 5х-0,(3) = 5х-| 2 5х-2 = 5х + 2 З |5х-2| = 2 4 5х-2 = 2 А Жодного Б Один В Два Г Три Д Безліч 8.27. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та їх коренями (А-Д). 17х + 2 = 5х + 6 1 2 7х-2 = 6-5х З З 7х-2 = -6-5х Б -1 4 7х + 6 = —6 — 5х В 0 Г - З Д 2 8.28. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та їх коренями (А-Д). 1 х2-4х = 0 2±ч/Ї0 2 2х2->/Зх-1 = 0 2 З -х2 + 2х + 1,5 = 0 Б Тз + л/її 4 х2-л/5х-2 = 0 4 В 0; 4 г л/5±УІЗ 2 л 2 + УЇО. з + УЇЇ д 2 ’ 4 88
8.29. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та множинами їх коренів (А-Д). 1 х2-4х + 3 = 0 2 х2 + 2х-3 = 0 З х2 + 4х + 3 = 0 4 х2-2х-3=0 А 0 Б {-1;-3} В {-1; 3} Г {-3; 1} Д {1;3} 8.30. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та їх коренями (А-Д). 1х2-6х+1=0 Д 2 х2 - 6х - 1 = 0 , Б 3 х2-6х + 2 = 0 4 х2 — 6х + 4 = 0 В хІ 2 - 3 ± л/5 х|2 =3±7Ї0 х12=3 + 2>/2 Г х|2 =з±7П Д х, 2 = 3 ± л/7 8.31. Установити відповідність між виразами (1-4) та їх значеннями (А-Д), якщо Х| та хг — корені квадратного рівняння х2 - 5х - 4 = 0. 1 Х1 • Х2 + X] + Х2 2 х2 + Х2 З (хі + хг)2 + 2хіх2 4 х2х2 + х,х2 А -20 Б 1 В 33 Г 65 Д 17 8.32. Установити відповідність між рівняннями (1—4) та кількістю їх коренів (А-Д). 1 х4-13х2 + 36 = 0 А Жодного 2 х4-5х2-36 = 0 Б Один 3 х4 + 13х2 + 36 = 0 В Два 4 х5 + 5х3 - 36х = 0 Г Три Д Чотири 8.33. Установити відповідність між рівняннями (1—4) та множинами їх коренів (А-Д). 1 |х-3| = 4 А 0 2 іх-4| =-3 Б {1;7} 3 |х + 4| = 3 В {-7; 1} 4 |х + 3| = 4 Г {-7;-1} Д {-і;7} 8.34. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та множинами їх коренів (А-Д). 1 |2х- 3| = 2х - 3 А (-~; 1,5] 2 |2х-3| =-2х + 3 Б (^о; +оо) 3 |2х-3|=-х2- 1 В [0; +о°) 4 1-І -х2|=х2+ 1 Г [1,5;+оо) Д 0 89
Розв’яжіть завдання 8.35-8.49. Відповідь запишіть десятковим дробом. 8.35. Розв’язати рівняння ——- + ——- + ——- = 4 - х. 5 4 20 8.36. За якого значення параметра а сума коренів рівняння х2 -(а2 - 17я + 83)х-21 =0 буде най- меншою? 8.37. Розв’язати рівняння х6 - Зх3 + 2 = 0. У відповідь записати найменший корінь. 8.38. Розв’язати рівняння х3 + 9х2 + 9х + 1 = 0. У відповідь записати суму коренів. 8.39. Розв’язати рівняння (х2 + Зх + 1)(х2 + Зх + 3) + 1 = 0. У відповідь записати найбільший корінь. 8.40. Розв’язати рівняння (х2 + 2х)2 - (х + І)2 = 55. У відповідь записати добуток коренів. 8.41. Розв’язати рівняння |3х2 -х| = 8 + х. У відповідь записати найбільший корінь. 8.42. Розв’язати рівняння |х + 1| + |х - 5| = 20. У відповідь записати модуль різниці коренів. 8.43. Батько старший від сина в 9 разів, а сума їхніх років дорівнює 30. Через скільки років батько стане старшим від сина удвічі? 8.44. У двоцифровому числі цифра десятків утричі більша, ніж цифра одиниць. Якщо від цього чис- ла відняти число, записане цими ж цифрами, але у зворотному порядку, то отримаємо 36. Знайти це число. 8.45. Розв’язати рівняння (х + 2)(х + 1)х(х - 1) = 24. У відповідь записати додатний корінь. 8.46. Розв’язати рівняння х4 + (х - 4)4 = 82. У відповідь записати найбільший корінь. 8.47. Розв’язати рівняння х3 - 5х2 - 2х + 24 = 0. У відповідь записати найменший корінь. 8.48. Розв’язати рівняння ||х + 1| - |х - 3|| = |х|. У відповідь записати суму коренів. 8.49. Розв’язати рівняння |х2 - 9| + |х2 - 16| = 7. У відповідь записати кількість цілих коренів. 90
Тема 9. Цілі нерівності Якщо два вирази зі змінною сполучити одним зі знаків — >, <, >, <, то одержимо нерівність зі змінною. Розв'язком нерівності називають будь-яке значення змінної, за якого нерівність зі змінною перетворюється у правильну числову нерівність. Наприклад, число 3 є розв’язком нерівності 2х + 5 < 20, бо 2 • 3 + 5 < 20; 11 < 20 — правильна нерівність. Розв ’язати нерівність зі змінною озна- чає знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків не існує. Наприклад, будь-яке число, менше за 7,5 (хє (-оо; 7,5)), перетворює нерівність 2х + 5 < 20 у правильну, а всяке інше — у неправильну, тому розв’язком цієї нерівності є проміжок хє (-оо; 7,5). Нерівності називають рівносильними, якщо вони мають одну й ту саму множину розв’язків. На- приклад, нерівності х2 < 1 і |х| < 1 рівносильні, оскільки вони мають одну й ту саму множину розв’язків — відрізок [-1; 1]. Множина розв’язків нерівності, як правило, нескінченна, тому зробити перевірку її розв’язків, як правило, неможливо. Отже, розв’язуючи нерівність, потрібно проводити рівносильні перетворення. Основні властивостірівносильності нерівностей: • якщо доданок перенести з одної частини нерівності в іншу, змінивши при цьому його знак на протилежний, то отримаємо нерівність, рівносильну даній. Наприклад, нерівність х - 7 < 4 рівносильна нерівності х < 4 + 7; • якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на вираз, який набуває лише додат- них значень (зокрема, на додатне число), то отримаємо нерівність, рівносильну даній. Напри- клад, нерівність Зх < 15 рівносильна нерівності х < —; З • якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на вираз, який набуває лише від’ємних значень (зокрема, на від’ємне число), і змінити знак нерівності на протилежний, то отримаємо нерівність, рівносильну даній. Наприклад, нерівність -8х > 4 рівносильна нерівнос- . 4 ті х < — . -8 Лінійні нерівності Нерівності виду ах о Ь, а, Ь — числа, х — змінна, о — один зі знаків >, <, >, <, називають лі- Ь (Ь нійними. Розглянемо нерівність ах > Ь. Якщо а>0, то ах > Ь х > — <=> хє —; + оо ; якщо а < 0, то а ^а ' ах> Ь <=> х < — <=> хє -оо; — ; якщо а = 0, то нерівність Ох> Ь правильна за будь-якого значення х, а \ а' якщо Ь — від’ємне число (Ь < 0), і не має розв’язків, якщо Ь — невід’ємне число (6 > 0). Наприклад, розв’язати нерівність 12-7х> 33 -7х>33-12; -7х>21; х<-3. Відповідь. (-«>;-3]. Квадратні нерівності Нерівності виду ах2 + Ьх + с 0 0, де а, Ь, с — числа, а*0, х — змінна, 0 — один зі знаків >, <, >, <, називають квадратними. Наприклад, 7х2 + Зх -11 < 0, х2-8>0 — квадратні нерівності. Розв’язання квадратних нерівностей зводять до відшукання проміжків, на яких відповідна квадратич- на функція у = ах2 +Ьх + с набуває додатних, від’ємних, невід’ємних, недодатних значень. Наприклад, розв’язати нерівність х2 - 5х -14 > 0 . Графіком квадратичної функції у = х2-5х-14 є парабола, вітки якої на- прямлені вгору (бо а = 1 > 0). Знайдемо нулі цієї функції: х2 - 5х - 14 = 0; хі = -2, х2 = 7. Визначаємо, що функція набуває невід’ємних значень (у > 0), якщо х є (-©о; -2] ЦІ [7;-К»). Ці проміжки і є розв’язками даної нерівності. Відповідь, (-оо; - 2] І] [7; + оо). 91
Раціональні нерівності Нерівності виду Р(х) 0 0, де Р(х) — мноточлен, 0 — один зі знаків >, <, >, <, називають раціона- льними. Раціональними також називають нерівності, які набувають вказаного вигляду після розкри- вання дужок та зведення подібних доданків. Наприклад, 5х3 - 4х2 - 2х -1 > 0; х(х - 7)’ (2х2 + о) > 0 — раціональні нерівності. Лінійні та квадратичні нерівності є раціональними. Метод інтервалів Нехай потрібно розв’язати нерівність (х-хі)(х-х2)... (х-х„) > 0. Не порушуючи загальності, ві- зьмемо, наприклад, (х - 1)(х - 2)(х - 3)(х - 4) > 0. 1. Позначимо на осі Ох точки 1, 2, 3, 4 — нулі множників лівої частини нерівності. Вони поділять вісь Ох на проміжки (-«>; 1), (1; 2), (2; 3), (3; 4), (4; +<»). 2. Для будь-якого х, що міститься праворуч від 4, будь-який двочлен лівої частини нерівності до- датний, тому (х - 1)(х - 2)(х - 3)(х - 4) > 0 для будь-якого х, що належить проміжку (4; +»). 3. Для будь-якого х, що лежить між точками 3 й 4, останній множник у добутку (х — 1 )(х — 2)(х — 3)(х — 4) від’ємний, а решта— додатні, тому (х - 1 )(х - 2)(х - 3)(х - 4) < 0 для будь- якого х, що належить проміжку (3; 4). 4. Для будь-якого х, що лежить між точками 2 і 3, останніх два множники в добутку (х - 1)(х - 2)(х - 3)(х - 4) від’ємні, а решта додатні, тому (х - 1)(х - 2)(х - 3)(х - 4) > 0 для будь-якого х, що належить проміжку (2; 3). 5. Аналогічно одержимо, що (х - 1)(х - 2)(х - 3)(х - 4) > 0 для х із проміжку (--«>; 1). Отже, Відповідь. (-°о; 1 )о(2; 3)о(4; +°°). Наприклад, розв’язати нерівність (х - 3)(х - 4)(х - 5) > 0. Встановимо нулі множників: х = 3, х - 4, х = 5. Розташуємо знайдені числа на числовій осі. Отже, хє (3; 4)о(5; +<»). Відповідь, хє (3; 4)о(5; +<»). Розглянемо розв’язання нерівностей виду Р(х) <> 0, де Р(х) = (х - X] )(х - х2)... (х - х„), Хі < х2 < ... < х„, п > 1, пєА, і не всі числа х,, х2,..., х„ — різні. У цьому випадку добуток однакових дво- членів записують у вигляді степеня цього двочлена. Для розв’язання таких нерівностей використову- ють загальний метод інтервалів. Наприклад, розв’язати нерівність (х + 8)(х - 1)2(х - 5) < 0. Ліва частина цієї нерівності є добутком, який містить множник (х - І)2. Цей множник за будь-яких значень х, крім 1, є додатним числом. Тому для всіх х Ф 1 добуток має той же знак, що й добуток (х + 8)(х - 5). Отже, дана нерівність рівносильна системі (х + 8)(х-5)<0; Множиною розв’язків нерівності (х + 8)(х - 5) < 0 є проміжок (-8; 5). Щоб хг 1. знайти всі розв’язки нерівності (х + 8)(х - 1)2(х - 5) < 0, потрібно із проміжку (-8; 5) виключити число 1. У результаті одержимо хє(-8; 1)о(1; 5). Узагалі під час переходу через нуль множника парної кра- тності чергування знаків не відбувається. Наприклад, розв’язати нерівність (х - 2)3(х + 1)(х - 4) > 0. Позначимо на координатній прямій ну- лі множників: -1, 2 і 4. Рухаючись справа наліво при переході через нуль множника (х - 2)3 — значен- ня 2, добуток (х - 2)3(х + 1)(х - 4) змінює знак так само, як і добуток (х - 2)(х + 1 )(х — 4). оскільки мно- 92
жник (х - 2)3 змінює знак (непарний степінь числа має той самий знак, що й перший степінь цього ж числа). У результаті одержимо відповідь хє(-1; 2)и(4; +«>). Загальний метод інтервалів для розв’язання нерівностей виду Р(х) о 0, де Р(х) = (х-хі)(х - -Х2) ... (Х-ХЛ),Х1 <Х2 < ... <Х„, п > 1, ПЄІЧ, ЯКЩО не ВСІХ1,Х2, ...,х„ різні. 1. Привести раціональну нерівність до виду Р(х) <> 0, де Р(х) - (х - Х|)(х - х2)... (х - х„), Хі <х2 < ... <хп, п> 1, иєУ, якщо не всі хь х2, ..., хп різні, то добуток однакових двочленів записують у вигляді степеня цього двочлена Р(х) = (х-х,)*1 (х-х2)*2 ...(х-хи)*л, кт > 1, ктЕІУ. 2. Знайти нулі множників, що розташовані в лівій частині нерівності, і розташувати їх на осі Ох у відповідному порядку. 3. Над проміжком праворуч від найбільшого нуля многочлена Р(х) поставити знак «+». Потім, рухаючись справа наліво, при переході через черговий нуль змінювати знак на протилежний, якщо цьому нулеві відповідає двочлен у непарному степені, і зберігати знак, якщо цьому нулеві відповідає двочлен у парному степені. Наприклад, розв’язати нерівність (х + 7)4(х + 4)3(х - 2)2(х - 3) < 0. Знайдемо нулі множників: х - -7, х = -4, х = 2, х - 3. Отже, хє (-4; 2)и(2; 3). Розв ’язування нерівностей з модулем Розглянемо нерівність |х| < а. де а > 0. Скористаємося геометричною інтерпретацією модуля числа. х Нерівність виду |х| < а задовольняють координати тих і тільки тих точок координатної прямої, які віддалені від початку відліку на відстань, меншу ніж а, тобто -а < х < а, хє (-а; а). Якщо ж а < 0, то дана нерівність розв’язків не має. Наприклад, розв’язати нерівність |5х- 1| < 9. Задана нерівність рів- носильна системі * 5х-1<9; 5х-1>-9 5х<10; ЗВ1ДКИ [5х>-8; х<2; х> —1,6; хє(-1,6; 2). Нерівність виду |х| > а, де а > 0, задовольняють координати тих і тільки тих точок координатної прямої, які віддалені від початку відліку на відстань, більшу за а, тобто нерівність виду |х| > а рівно- сильна сукупності нерівностей х> а; х < -а. х шжжу_____________ -а х () V а а м а Якщо а = 0, то множиною розв’язків нерівності |х| > а є множина хє (-©©; 0)и(0; +©©). Якщо а < 0, то множиною розв’язків нерівності |х| < а є множина хє (-©о; +<х>), оскільки модуль як невід’ємна величина завжди більша за від’ємне число. Наприклад, розв’язати нерівність |4х- 5| > 7. 4х>12; ^х>3; Задана нерівність рівносильна сукупності нерівностей звідки _4х-5<-7, -0,5 З х хє (- оо; -0,5)и(3; +©о). Розв’язуючи нерівність виду |Дх)| <> |#(х)|, застосовують піднесення квадрата. обох частин нерівності до 93
Наприклад, розв’язати нерівність |2х --1| < |3х + 1|. При піднесенні до квадрата обох частин нері- вності одержимо: (2х - І)2 < (Зх + І)2; 4х2 - 4х + 1 < 9х2 + 6х + 1; 5х2 + Юх > 0; х2 + 2х > 0; х(х + 2) > 0. хє (-оо; -2]о[0; +оо). Відповідь, (-оо; -2]о[0; +°°). При розв’язуванні нерівностей, які містять кілька виразів під знаком модуля, можна застосувати метод інтервалів. Наприклад, розв’язати нерівність |2х + 6| + |х -4|> 10. Зазначимо на координатній прямій точки —З і 4. Розглянемо нерівність на кожному з утворених проміжків. 1) х < -3; -2х - 6 - х + 4 > 10; -Зх > 12; х < -4. Отже, хє (-оо; —4); 2)-3 <х<4; 2х + 6-х +4 > 10;х> 0. -З 0 4 Отже, хє (0; 4]; 2 3)х> 4. 2х + 6+ х-4 > 10; Зх> 8; х>2у. Отже, хє (4; +оо). Об’єднаємо одержані розв’язки: -4 0 4 х Одержимо відповідь: хє(-оо; -4)о(0; +ос). Відповідь, (-оо; -4)и(0; +«>). Приклад 1. Розв’язати нерівність 4(х - 2) - 3(х + 1) < 2х - 2. А Б в г д (-9; +с«) (—; 9] (—;-9] [-9; +°°) ґ-оо;-4-1 < з] 4х - 8 - Зх - 3 < 2х - 2; 4х - Зх - 2х < 8 + 3 - 2; -х < 9; х > -9; хє [-9; +©о). Відповідь. Г. Приклад 2. Знайти суму найбільшого та найменшого натуральних розв’язків нерівності А Б В г Д 12 10 11 9 8 2 < ——- <3|-2;4<х-1<6;4+1<х<6+1;5<х<7;хє[5;7]. Найменший розв’язок — чи- сло 5, найбільший — 7, а їх сума — 5 + 7=12. Відповідь. А. 94
Приклад 3. Розв’язати нерівність (х - 1)(х - 3) < 27 - 2х. А Б в г д Н; 6] [-4; 5] (—;4] -4]о[6; +°°) (-4; 6) (х-1)(х-3) <27-2х; х2-3х-х + 3 <27-2х; х2-2х-24<0; Х|=6, х2 = -4. Одержимо: хє [-4; 6]. Відповідь. А. Приклад 4. Розв’язати нерівність 4х2 + 4х + 1 > 0. 4х2 + 4х + 1 > 0; (2х + І)2 > 0. -0,5 Розв’язком нерівності є всі дійсні числа, крім х = -0,5. Відповідь. (-<»; -0,5)о (-0,5; +°°). Приклад 5. Розв’язати нерівність (х2-6х +8)(3-х)(х+1) > 0. У відповідь записати суму цілих розв’язків нерівності. (х2 - 6х + 8)(3 -х)(х + 1) > 0; (х-2)(х-4)(х- 3)(х + 1) < 0. Отже, хє(-1; 2)и(3; 4). Цілими розв’язками нерівності є х = 0 та х = 1, а їх сума дорівнює 0+1 = 1. Відповідь. 1. Приклад 6. Розв’язати нерівність (х3 - 1)(х2 + 2х)(6-х)(49-х2) > 0. У відповідь записати найбі- льший від’ємний цілий розв’язок нерівності. (х3 - 1 )(х2 + 2х)(6 - х)(49 - х2) > 0; х(х - 1 )(х2 + х + 1 )(х + 2)(х - 6)(х - 7)(х + 7) > 0. З огляду на те, що х2 + х+ 1 >0, якщо хє/?, поділимо обидві частини нерівності на додатне число х2+х+ 1 й розв’яжемо нерівність х(х - 1 )(х + 2)(х - 6)(х - 7)(х + 7) > 0. Отже, хє(-оо; -7]и[-2; 0]и[1; 6]и[7; +«>). Найбільший цілий від’ємний розв’язок дорівнює -1. Відповідь. -1. Приклад 7. Розв’язати нерівність (х + 1)7(3 -х)5(х- 2)2 < 0. А Б В Г Д (-чх>;-1]и[2; 3] Нх>;-1МЗ;+со) (-<ю;-1М2}о о[3; +оо) [1;2]о[3;+оо) (-оо; 1]и{2}о о[3; +оо] (х + 1 )7(3 - х)5(х - 2)2 < 0; (х + 1 )7(х - 3)5(х - 2)2 > 0. 95
Отже,хє(-о°; 1]о{2}о[3;+о«). Відповідь, (-оо; 1]о{2}о[3; +®о). Приклад 8. Знайти найменший розв’язок нерівності (х + 2)2(х-1)>2(х + 2)' на проміжку (-5; 5). А Б В г Д 4 5 3 -2 2 (х+2)2(х-1)>2(х+2)2; (х+2)2(х-1)-2(х+2)2>0; (х+2)2(х-1 -2)>0; (х + 2)2(х-3)>0; х-3 >0 або (х + 2)2 = 0; х > 3 або х - -2. Найменшим розв’язком нерівності на проміжку (-5; 5) є х = -2 Відповідь. Г. Приклад 9. Розв’язати нерівність |х + 1| > 1. А Б в Г Д (-~; 0) (0; +°°) (-<о; -2)о(0; +оо) (0; 2) (—;-2) -2 0 х Отже, хє (-оо; -2)о(0; +°о). Відповідь. В. Приклад 10. Розв’язати нерівність |2 -х| < 3. А Б В Г Д (—; -1)0(5; +оо) (5; +°°) (-оо;-1) Н;5) (—; -5М1;+оо) Отже, хє(-1; 5). Відповідь. Г. В Приклад 11. Розв’язати нерівність |х - 11 + |х - 2| < 3. А Б в г Д [0;3] [0; 3) (0; 3] (0; 3) 0 |х - 11 + |х - 2| < 3. Нулі підмодульних виразів х = 1 та х = 2. 1)хє(-оо; 1).-х+ 1 + (-х + 2) < 3;-2х + 3 <3;-2х< 0; х> 0. Отже, хє[0; 1); 2) хє [1; 2]. х - 1 + (—х + 2) < 3; Ох + 1 < 3; Ох < 2; х — будь-яке число. Отже, хє [1; 2]; 96
3) хє (2; +оо). X - 1 +х-2<3;2х-3<3;х<3. 2 З Отже, хє (2; 3]. Об’єднавши всі розв’язки, одержимо: хє [0; 1)о[1; 2]о(2; 3] = [0; 3]. Відповідь. А. Приклад 12. За якого найменшого цілого значення параметра а нерівність (а- 1)х2 - 2х- -а > 0 справедлива для довільного х > З? Розглянемо випадок, коли а - 1. Тоді одержимо -2х - 1 > 0 або х < -0,5. У цьому випадку умо- ва задачі не виконується. Нехай а*1. Дискримінант тричлена У(х) = (а - 1 )х2 - 2х - а дорівнює: 0 = 4 + 4(а - 1)а = 4(а2 - а + 1) > 0 за довільного значення а. Для виконання умови Дх) > 0 для всіх значень х > 3 необхідно, щоб більший корінь тричлена х2 задовольняв умову х2 < 3 і щоб перший коефіцієнт був додатним. Тоді: </(3)>0; о>1; 9(а-1)-6-о>0, —-—^3; 2(о-1) о>1; &7>15; ——3<О, .а-1 а > 1; а>1—; 8 1-За + З а —І а> 1; г/— 1 > 0; . 0-1 Одержимо: о > 1—. Тоді найменше ціле значення а = 2. Відповідь. 2. Завдання 9.1-9.22 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРА- ВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 9.1. Розв’язати нерівність -Ах < 20. А Б В г Д (-оо; 5) (-«>;-5) (5; +оо) (-5; +°°) К; 20) х — 1 9.2. Розв’язати нерівність < 2. А Б В г Д (5; +оо) (-«>; 5) (-<»; 3) (3; +°о) —°о; 2— V 2> X X 9.3. Розв’язати нерівність------< 4. 2 3 А Б в Г д [4; +°о) (-°°; 4] [24; +оо) 24) (-оо; 24] 7* Капіносов Л. Математика. Комплексна підготовка до ЗНО 97
9.4. Розв’язати нерівність 2 < х - 7 < 5. А Б в г Д (2; 12] (-5;-2] (9; 12] (-5; 5] (-12; 9] 9.5. Розв’язати нерівність -3 < -х + 4 < 2. А Б в г Д (2; 7] [2; 7) [1; 6) Н;-2) (1; 6] 9.6. Розв’язати нерівність (х + 7)(х - 3) < 0. А Б В Г Д (-3; 7) (-оо; 3)о(7;+оо) (-оо; -7)0(3; +«) (3;7) . (-7;3) 9.7. Розв’язати нерівність х2 + 7х - ЗО > 0. А Б В Г Д [-10; 3] (-оо; -10]о[3; +°о) (-°°; -3]о[10; +оо) [-3; 10] (-оо; 3]о[10; +°о) 9.8. Розв’язати нерівність -х2 + Зх + 10 > 0. А Б В г д (2; 5) (-а); -5)0(2; +со) (-5; 2) (-оо; -2)и(5; +оо) (-2; 5) 9.9. Розв’язати нерівність х2 > 10. А Б В г д (>/10; + (->/ЇО;7їо) (-л/ЇО; + сю) (-оо;-100)о о(100; + оо) — л/їо) 'о и(л/Ї0; + 9.10. Розв’язати нерівність (х - І)2 < 16. А Б В г д (-5; 3) (-4; 4) (-3; 5) (-оо; -3)и(5; +оо) (-оо; -4)о(4; +оо) 9.11. Розв’язати нерівність (х - 3)(х + 5)(4 - х) > 0. А Б В Г д (-оо; -5]о[3; 4] [-5; 3]о[4; +оо) [-4; -3]о[5; +оо) (-оо;^1]о[-3;5] (^о; 4] 9.12. Знайти кількість цілих розв’язків нерівності (2 - х)3(х + 2)2(х - 3) > 0. А Б В г д 2 [2; 3] 0 3 Безліч 9.13. Знайти множину розв’язків нерівності (х - 2)2 (х + 3) < 0. А Б в г д (-оо; -3]о[2; +оо) (-°°;-з] [-3; 2] (-оо;—3]о{2} (-оо;-2]о{3} 9.14. Розв’язати нерівність х(5 - х)3 > 0. А Б В Г Д (5; +оо) (-оо; -5)0(0; +оо) (-оо;0)о(5; +оо) (-5; 0) (0; 5) 98
9.15. Скільки цілих розв’язків має нерівність -х - 5 < -Зх < х - 1? А Б в г д Жодного ОДИН два три більше, ніж три 9.16. Розв’язати нерівність (х2 - Зх - 10)(х - 1) > 0. А Б В Г д (-оо;-2)о(1; 5) (-2; 1)о(5; +оо) (-5; -1)0(2; +оо) (^о; -5)о(-1; 2) (1;+оо) 9.17. Знайти множину розв’язків нерівності |х - 5| < 8. А Б в Г д (-оо;-13)0(3;+оо) (-оо; із) (-13; 3) (-3; із) (-оо;-3)0(13;+оо) 9.18. Розв’язати нерівність |х + 4| > 3. А Б В г Д (-оо; -7)о(-1; +оо) (-7;-1) (-1; +°о) (-оо; 1)о(7;+оо) (і;7) 9.19. 9.20. Розв’язати нерівність |3х| < х + 1. А Б В Г д (-оо; 0,5) (0,5; +оо) (-0,25; 0,5) (-0,5; 0)о(0; 0,25) (0,25; +оо) Г 7 А За яких значень а розв’язком нерівності (а - 3)х < 7 є проміжок ; + » ' \а-3 ) ? А Б В г д а > 3 а > 3 <2*3 а < 3 а < 3 9.21. Знайти значення параметра а, за якого розв’язками нерівності Зх - 1 < ах + 5 є усі дійсні числа. А Б В Г д 3 1 5 0 6 9.22. Знайти множину розв’язків нерівності (х - 4)(а - х) > 0, якщо а < 4. А Б В Г д (-оо; а]о[4; +оо) [а; 4] Н;а] (-оо; -4]о[а; +оо) [4;-а] Завдання 9.23-9.32 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте познач- ки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 9.23. Установити відповідність між нерівностями (1-4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 5х>30 2 -5х>30 З 5х<30 4 -5х<30 А (-оо;-6) Б (-оо; 6) В (-6; +оо) Г (-6; 6) Д (6; +°°) 99
9.24. Установити відповідність між нерівностями (1—4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 х—1 < і А (-оо; -4) 3 Б(-~ ; 2) 2 —<1 В (-°о; 4) 3 , Г (-4; +«>) і ~х + 1 3 з <] Д(-2;+°°) 4 3 9.25. Установити відповідність між нерівностями (1-4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 А (-оо;-12) 34 Б (-оо; 12) 2 ---<1 В (-12; 12) 4 3 Г (-12;+~) -XX . 3 7~7<_1 Д(12;+°°) 4 *_*<-! 4 3 9.26. Установити відповідність між нерівностями (1-4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 (х - 8)(х - 3) < 0 А (-оо; -8)о(-3; +«>) 2 (х - 8)(х + 3) > 0 Б (-°о; -3)о(8; +~) 3 (х + 8)(х - 3) < 0 В (—о; 3)о(8; +оо) 4 (х + 8)(х + 3)>0 Г (-8; 3) Д (3; 8) 9.27. Установити відповідність між нерівностями (1—4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 (х - 2)(х + 3) < 0 А (-оо; -3)0(2; +оо) 2 (2 - х)(х + 3) < 0 Б (-оо; -2)0(3; +оо) 3 (х + 2)(х-3)<0 В (-3;-2) 4 (х + 2)(3-х)<0 Г (-3; 2) Д (-2; 3) 9.28. Установити відповідність між нерівностями (1-4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 (х + 3)2х(х-1) < 0 А (-оо; 0] 2 х2(х + 3) (х-1) < 0 Б(-оо;0]о{1} 3 (х + 3)х(х - І)2 < 0 В [-3; 1] 4 (х + 3)2х(х - І)2 < 0 Г [-3; 0]о{ 1} Д {-3}о[0; 1] 9.29. Установити відповідність між нерівностями (1^1) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 х2 + х-6<0 А 0 2 X X 6 < 0 Б (—оо’ 4"оо) 3 -х2 + х+12<0 В (-2; 3) 4 -х2-6х-10<0 Г (-3; 2) Д (-оо; -3)0(4; +оо) 100
9.30. Установити відповідність між нерівностями (1-4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 3<х-2<5 А (-7; -5) 2 3<х+2<5 Б (-3;-1) 3 3<-х-2<5 В (-1;3) 4 3<-х + 2<5 Г (1;3) Д (5; 7) 9.31. Установити відповідність між нерівностями (1-4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 |х-2|<5 А (-7; -3) 2 |х + 2| <5 Б (-7; 7) 3 |х-5|<2 В (-7; 3) 4 |х + 5| <2 Г (-3; 7) Д (3; 7) 9.32. Установити відповідність між нерівностями (1-4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 |х-3| = >4 А (—°°; -7)о(1;+«) 2 |х-4| = >3 Б (—; —7)о(—1; +°°) 3 |х + 4|: >3 В (-о; -7)о(-1;+~) 4 |х + 3|: >4 Г (-°; -1)0(7; +°°) Д (-оо; 1)и(7;+оо) Розв’яжіть завдання 9.33-9.45. Відповідь запишіть десятковим дробом. 2 — х 2 х — 1 2х — З 9.33. Розв’язати нерівність ------+ 1<—--------------. У відповідь записати найменший цілий 4 10 6 розв’язок. 9.34. Розв’язати нерівність 7 < 1 - Зх < 16. У відповідь записати найбільший цілий розв’язок. 9.35. Розв’язати нерівністьх+1<~<х + 2. У відповідь записати суму цілих розв’язків. 9.36. Розв’язати нерівність 2 < х2 + х < 6. У відповідь записати найменший додатний розв’язок. 9.37. Розв’язати нерівність (х2 + 2х - 15)(х2 - 4х + 3)(х - 1) < 0. У відповідь записати кількість додат- них цілих розв’язків. 9.38. Розв’язати нерівність х6 -- 9х3 + 8 < 0. У відповідь записати кількість цілих розв’язків. 9.39. Розв’язати нерівність (х - 2)4 - І3(х - 2)2 + 36 < 0. У відповідь записати суму цілих розв’язків. 9.40. Розв’язати нерівність 1 < |х - 2| < 5. У відповідь записати добуток цілих розв’язків. 9.41. Розв’язати нерівність х2 - 3|х| + 2 < 0. У відповідь записати добуток цілих розв’язків. 9.42. Розв’язати нерівність |3х - 8| < х - 2. У відповідь записати середину проміжку, який є розв’язком нерівності. 9.43. Розв’язати нерівність (х2 -х - 1)(х2-х- 7) <-5. У відповідь записати добуток усіх цілих розв’язків. 9.44. Розв’язати нерівність |х2 - х + 11 > |х2 - Зх + 4|. У відповідь записати найменший розв’язок. 9.45. Розв’язати нерівність |х - 11 + |х + 11 < 4. У відповідь записати найменший цілий розв’язок. 101
Тема 10. Раціональні рівняння Раціональним називають рівняння видуДх) = %(х), де/(х) та &(х) — раціональні вирази. Якщо хо- ча б один із цих виразів дробовий, то рівняння називають дробовим. Наприклад,------=---------дробове раціональне рівняння. 5зс «X- . Р(х) п .. , - . Розв язуючи дробове раціональне рівняння виду —= 0, потрібно розв язати алгебраїчне рів- <2(х) няння Р(х) = 0 і вилучити ті його корені, за яких ()(х) = 0 (якщо такі є). Схема розв ’язування дробових раціональних рівнянь Щоб розв’язати дробове раціональне рівняння, можна: 1 • Р(х) А 1) звести рівняння до вигляду —--у - 0; 2) розв’язати рівняння Р(х) = 0; 3) перевірити корені рівняння Р(х) - 0 на виконання умови ^(x) Ф 0. и • Зх 1 Зх 1 Зх2-(х + 2) Наприклад, розв язати рівняння -------= — ;-------- 0; -------------= 0; х + 2 х х + 2 х х(х + 2) 'Зх2 — (х + 2) = 0; [х(х + 2)^0; Зх2 - х - 2 = 0 ; х. = 1, х, = —. За значень змінної 1 і ' 2 3 — вираз х(х + 2) не дорівнює нулю. Отже, — і 1 — корені рівняння. Зауваження. Щоб розв’язати дробове раціональне рівняння, можна спочатку знайти його ОДЗ; помножити обидві частини рівняння на спільний знаменник; розв’язати одержане ціле рівняння й пе- ревірити, чи всі знайдені розв’язки входять до ОДЗ (якщо знайдений розв’язок не входить до ОДЗ, то він не є коренем заданого рівняння). Розв’язування рівнянь методом заміни Розв’язати рівняння 7( х + —-2[ х2 + -у) = 9. Нехай V х' \ х ' тоді х2 + 2х • — + -у = /2, звідки х2 + — = І2 - 2. Отже, одержали рівняння 7/ - 2(/2 - 2) = 9; 2/2 - 7/ + 5 = 0; /і=2,5; Повернемося до заміни: /2 = 1. 2х2 - 5х + 2 - 0; < х2 - х +1 = 0; Перше рівняння має коренями чис- х 0. ла хі = 2, Х2 = 0,5, а друге рівняння дійсних коренів не має. Відповідь. 2; 0,5. п. Л Ах 1 Вх . ах2+Ь.х + с ах2+Ь.х + с Рівняння виду —---------1- —---------= V та рівняння виду — ----1---+ — --------= А ах +1\х + с ах +Ь2х + с ах +Ь2х + с ах +Ь4х + с Ах Вх Загальний метод розв’язування рівнянь виду — -------+— ---------= О полягає у діленні ах +Ьхх + с ах~+Ь2х + с чисельника та знаменника на х + 0 та використанні заміни / = ах + — в отриманому рівнянні Ах , Вх ~ о ... ----------1--------= £>. За допомогою такої заміни останнє рівняння зводиться до квадратного. ах+ ЬХ+— ах + Ь2+ — X X 102
2х Зх 5 г~ Наприклад, —---------+ —--------= —. ОДЗ: х*2±уі2. Оскільки х = 0 не є коренем даного рі- х 4х “І- 2 х х “І- 2 4 вняння, то, розділивши чисельник і знаменник кожного дробу у лівій частині рівняння на х, одержимо 2 3 5 2 рівняння, рівносильне вихідному: ------— н------— = —. Виконаємо заміну: х + — = ї. Тоді одер- х-4 + ± х+1 + - 4 х X X 2 3 5 жимо:-----1----= —; /-4 ґ+1 4 8(/ +1) +12(1-4) = -5(1 -4)(і + 1); І /2 + / -12 = 0; < і Ф 4; V + 4; (Ф-1; /*-1; ІЛ=3; ІФ4\ /*-1; А = -4; Л=3. Повер- 2 . таємося до заміни: х + — = -4 Xі + 4х + 2 = 0; хфО; х, = —2-У 2; 2 або х + —= 3; х2=-2 + у2 х х2-Зх + 2 = 0; х3 = 1; х Ф 0; х4 = 2. Відповідь. 1; 2; -2±у2 . Симетричні рівняння третього степеня Рівняння виду ах3 + Ьх2 + Ьх + а = 0, де а Ф 0, К, називають симетричним рівнянням третього степеня. 1. Симетричне рівняння третього степеня має коренем число х = -1. Справді, а • (-1)3 + Ь (-1)2 + + Ь • (-1) + а = -а + Ь - Ь + а = 0; 0 = 0. 2. Діленням многочлена ах3 + />х2 + Ьх + а на двочлен х + 1 рівняння зводиться до квадратного. Наприклад, розв’язати рівняння Зх3 - 7х2 - 7х + 3 = 0. Оскільки х = -1 — корінь рівняння, то Зх3 - 7х2 - - 7х + 3 = 0 <=> (х + 1)(3х2 - Юх + 3) = 0 <=> х = -1; Зх2-10х + 3 = 0; Відповідь. -1; —; 3. З Симетричні рівняння четвертого степеня Рівняння виду ах4 + Ьх3 + ех2 + Ьх + а = 0, де а Ф 0, 7?, сє Я, називають симетричним рівнянням четвертого степеня. Для розв’язування рівняння такого виду можна: і. Поділити обидві частини рівняння нах2 і згрупувати вирази так: а[ х2 +~тІ + бґх + —^+с = 0. Х~ ' V X' 1 2 1 2 2. Уведенням заміни х + — = 1, х +—г=і -2, зведемо рівняння до квадратного, х х Наприклад, розв’язати рівняння 2х4 + х3 - 1 їх2 + х + 2 = 0. Очевидно, що х = 0 не є коренем зада- 2 2 12 ного рівняння. Поділимо обидві частини рівняння нах * 0: 2х + х -11Ч-і- — = 0; х х 21 11 = 0; < 1 = /; ’=/: х + —= 2,5; 2?+/-15 = 0; /, = 2,5; ,Л = -3; х*0; 2х2 —5х+2 = 0; х2 + Зх+1 = 0; х, = 2; х2 = 0,5; '3,4 2 1 -З + л/5 Відповідь.---------; 2; 0,5. 2 103
Дробові раціональні рівняння з параметрами Дробові раціональні рівняння з параметрами розв’язують, як звичайні рівняння, але тільки доти, доки кожне перетворення можна виконувати однозначно. Якщо ж перетворення не можна виконувати однозначно, то розв’язання слід розбити на кілька випадків. сі Наприклад, розв’язати рівняння ----= 2 + —. ОДЗ: х * -2; х * 0. Помножимо обидві частини за- х + 2 х даного рівняння на вираз х(х + 2) й одержимо ціле рівняння, яке за умови х(х + 2) 0 рівносильне за- даному: 2х2 - 2х(х + 2) + а(х + 2); 2х2 = 2х2 + 4х + ах + 2а; 4х + ах + 2а - 0; (4 + а)х - -2а. Якщо 4 + я = 0, тобто а - -4, то одержимо: Ох = 8 — рівняння коренів не має; якщо а * -4, то матимемо: х- . З’ясуємо, за яких значень а знайдені корені не входять до ОДЗ заданого рівняння, тобто 4 + а знайдемо такі значення а, за яких х = -2 або х = 0. -= -2; 2а - 2(4 + а); 2а = 8 + 2а; 0а = 8; <зє 0. 4 + а Отже, не існує такого значення а, щоб х = -2. Знайдемо значення а, за якого х = 0:-= 0; а = 0. 4 + а Відповідь. Якщо а = 0 або а - -4, то рівняння коренів не має; якщо а + 0 і а * -4, то х =-. 4 + а тт- х т > • х2 -1 Ох +15 4х Приклад 1. Розв язати рівняння —-----------= —5--------- Е х2-6х + 15 х2-12х + 15 х2 — 1 Ох + 15 4х і— —---------. ОДЗ: х^6±л/21. х = 0 не є коренем даного рівняння. Розділимо х —6х + 15 х~ —12х + 15 х + —-10 чисельник і знаменник кожного із дробів на х + 0 й одержимо: -- х + —— — 6 4 ---77---. Виконаємо х + —-12 15 _ т . /-10 заміну хч---= /. Тоді -----------, х (-6 (-12 х + —= 18; х х2-18х + 15 = 0; х + 0; /2 -26/+ 144 = 0; /*6; /*12; х = 9 ± л/бб або х + — = 8; /, =18; /2 =8; і Ф 6; /*12; /, =18; /2 =8. Повернемося до заміни: х2 —8x4-15 = 0; х = 5; х = 3. х^0; 4 Відповідь. 9±>/б6 ; 5; 3. Приклад 2. Розв’язати рівняння -----------= —-----. х2-4 х2+2х х--2х А Б В Г д 3 4 5 6 2ІЗ и 2 | х-4 1 2 | х-4 _ 1 х2-4 х2 + 2х х2 -2х’ (х-2)(х + 2) х(х + 2) х(х-2)’ 2 Хх | х-4'х~2 1 и+2_0. 2х + (х-2)(х-4)-(х + 2)^0. 2х + х2-6х + 8-х-2 (х - 2)(х + 2) х(х + 2) х(х - 2) ’ х(х - 2)(х + 2) ’ х(х - 2)(х + 2) 104
х2 - 5х + 6 = 0; х?ь0; х^±2; х, = 2; х2 = 3; х^О; х = 3. х^±2; Відповідь. А. х1 2 + 1 X Приклад 3. Розв’язати рівняння -----1- ——- = -2,5. А Б В Г д -2 -1 -2,5 0,5 1 у 2 4- 1 г X + 1 X 1 15 ^^- + ^— = -2,5; ОДЗ: х*0. Нехай = тоді Маємо: / + - + - = 0; х х2 + 1 х х2+1 і і 2 2ґ + 5/ + 2 - 0; л . х~ +1 л _ о _ ? _ _ < /і = -0,5; її = -2. Повернемося до заміни:----= -0,5; 2х + 2 = -х; 2х + х + 2 = 0; і Ф 0; х О < 0, рівняння не має коренів; Х --- = -2; х2 + ] = -2х; х2 + 2х + 1 = 0; (х + І)2 = 0; х = -1. х Відповідь. Б. Приклад 4. Розв’язати рівняння —--------------------= 5. У відповідь записати найбільший Зх2-5х + 2 Зх2+х + 2 корінь рівняння. Перевіркою встановлюємо, іцо х = 0 не є коренем рівняння. Поділимо чисельник і знаменник 13 12 2 кожного дробу нах^О, одержимо: --------—---------у = 5. Нехай Зх + —= /, тоді останнє рівняння Зх-5 + - Зх + 1 + -- х X X можна записати у вигляді: 13 ґ-5 ^-=5; 13(74-1)—12(7—5)=5(ґ-5)(7+1); |5?-2к-98=0; /^5; 1*5-, р, =-2,8; ІЛ = 7; <ґ*5; і*\. Повертаючись до заміни, матимемо: Зх + - = -2,8; 15х2+ 14х+ 10 = 0; І) < 0, рівняння коренів не х 2 - 1 має; Зх + — = 7; Зх" - 7х + 2 - 0; х{ = —; х9 = 2. Найбільшим коренем рівняння є х = 2. х З Відповідь. 2. Приклад 5. Розв’язати рівняння 2х4 + Зх3 - 4х2 - Зх + 2 - 0. У відповідь записати суму його коре- нів. 2 7 3 2 Поділимо обидві частини рівняння на х ^0 й одержимо: 2х +Зх-4------------+ — = 0; х х 2^х2 +3^х-—-4 = 0. Нехай х- —= /, тоді х2+-^- = ^х-—) +2 = ґ2 + 2. Одержимо: 2(? + 2) + Зґ- 4 = 0; 2ґ2 + 3/ = 0; Г(2Г + 3) = 0; 1 ’ Повернемося до заміни: 1) х--= 0; х2 - 1 = 0; /2 = ~1,5. х 105
х2 = 1; х = ±1; 2) х —- = -1,5; 2х2 + Зх - 2 = 0; Х| = -2; Х2 = 0,5. Отже, рівняння має 4 корені. їхня сума х дорівнює: -1 + 1 - 2 + 0,5 = -1,5. Відповідь. -1,5. Приклад 6. Розв’язати рівняння 12х 1 о г ---;------------= Зх - 6. Зх2 — 10х + 1 х У відповідь записати число, обернене до добутку коренів рівняння. _ 12х 1 - , —;-------------- Зх - о; Зх2-10х + 1 х 12х , —-Зх + 6 = 0; Зх2 -10х + 1 х 12х Зх2-6х + 1 Л ,Л —:------------------= 0. Ураху- Зх2-10х + 1 х вавши, що х 0, одержимо: 12 Зх + —-10 Зх + -- - 6 -----*----= 0. 1 Нехай Зх + — -і, тоді одержимо: -»2_-^6 = 0. Г-10 1 12-(ґ-б)(ґ-10) = 0; І? і *10; -16/ + 48 = 0; /*10; =4; Повернувшись до заміни, одержи- мо: Зх + —= 4; X Зх + —= 12; X Зх2-4х + 1 = 0; Обидва рівняння мають корені. Тоді добуток коренів першого рів- Зх2 -12х + 1 = 0. няння дорівнює і, другого — і, обох рівнянь — і • -і- = . Число, обернене до числа , — 9. Відповідь. 9. „ А о ~ . (х + а)(х-5а) . Приклад 7. Знайти всі значення а, за яких рівняння --------- = 0 має єдинии корінь. У від- х + 7 повідь записати найменший з них. ОДЗ: х Ф -1, На ОДЗ дане рівняння рівносильне рівнянню (х + а)(х - 5а) = 0; х + а - 0 або х - 5а = 0; х = -а або х = 5а. З’ясуємо, за яких значень а знайдені корені не входять до ОДЗ, тобто за яких значень а буде виконуватися рівність х = -7. Одержуємо: 1)-а = -7; а = 7; 2)5(7 =-7; а = -1,4. Якщо а = 7, то тоді х = 5а = 35 — єдиний корінь. Якщо а = -1,4, то тоді х = -а = 1,4 — єдиний корінь. Задане рівняння матиме єдиний корінь і тоді, коли -а-5аФ 7, тобто якщо <7 = 0. Отже, одержали: а = 7, а = -1,4, а = 0. Найменше значення а дорівнює -1,4. Відповідь. -1,4. Завдання 10.1-10.21 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 10.1. Розв’язати рівняння ——| = 0. А Б В г Д К 5 0 (-оо; 5)и(5; +оо) (5; +а>) 10.2. Розв’язати рівняння ——- = 1. х-5 А Б В г д 5 К 0 (-оо; 5)о(5; +оо) (5; +°°) 106
10.3. Розв’язати рівняння ——- = 0 . х-3 А Б В Г д 0 К (-^;-ЗМ-3;+а>) О; 3)0(3;+оо) -3 10.4. Розв’язати рівняння 5х + ——- = ——- + 10. А Б В Г Д {2;3} 0 {-3; 2; 3} {-3; 3} {2} 10.5. Розв’язати рівняння 6х + ——- = ——- + 18. А Б В г д 0 {0} {-3} {-3:3} {3} х3 — 4х 10.6. Розв’язати рівняння —-—— = 0 . А Б В г Д 0 {2} {-2; 2} {-2; 0; 2} {0} їх2-9)(х2-16) 10.7. Розв’язати рівняння -----7- = 0. (х-3)(х + 4) А Б в г Д М; -3; 3; 4} {3;4} {-3;-4} {-3; 4} Н;3} 10.8. Знайти суму коренів рівняння ----------= 0 . А Б В г д 5 -8 -1 8 10 Зх + 4 10.9. Розв’язати рівняння-----— = 2 . А Б в г д {-1} 1 с<^ 1 (_41 1 зі {-2} {2} 10.10. Вказати інтервал, який містить корені рівняння -- = —- . х х + 1 А Б в г Д (-5;-3) Н;2) (2; 4) (-2; 1) Н;-2) 10.11. Розв’язати рівняння----- +----- = 0 і вказати проміжок, якому належить його корінь. А Б В г д (і; 2) (-2;-1) Н;-2) (2; 4) (4; 6) 107
10.12. Розв’язати рівняння---------+1 = 0 і вказати проміжок, якому належить більший його корінь. х + 3 х-3 А Б В г Д (0; 1) (2; 3) (4; 5) (3;4) (4; +«>) X з 10.13. Знайти суму коренів рівняння — =-----. З х + 2 А Б В Г д 2 -2 15 -15 5 х — СІ 10.14. Встановити значення а, за яких рівняння -------= 0 не має коренів. х2-8x4-15 А Б В Г д а= 15 а - 3 або а = 5 <7 = 8 а = -3 або а = -5 <7 = -8 х — 5 а — х 10.15. Встановити значення а. за яких рівняння-=----- не має коренів. х + 9 х + 9 А Б в г д <7 = -23 а = -9 (7 = 5 <7 = 23 (7 = 9 10.16. За якого найменшого значення параметра а рівняння |4х + 3| = 5а + 3 має розв’язок? А Б В г д 1,25 -3 3 -0,6 1 10.17. Катер проходить 160 км за течією річки за той же час, що й 140 км проти течії. Знайти власну швидкість катера, якщо швидкість течії річки дорівнює 2 км/год. Яке з наведених рівнянь відповідає умові задачі, якщо власну швидкість катера позначено че- зез х км/год? А Б В г д х + 2 _ 2х 160 " 140 х —2 _ х 140 “ 160 160 140 х-2 х + 2 160 140 = X х + 2 х 160 _ 140 х + 2 х-2 10.18. Робітник повинен був виготовити за деякий час 90 деталей. Щоденно він виготовляв на З деталі більше, ніж планувалося, і тому завдання виконав на 1 день раніше. Скільки деталей щоденно виготовляв робітник? Кількість деталей, що виготовляє робітник за 1 день, позначено через х. Яке з наведених рів- нянь відповідає умові задачі? А Б в Г д 90 90 = 3 х-1 X 90 90 __ 1 х-3 х 90 90 1 х х-3 90 90 _ , х х-1 1 сп II І 23 О о 1 О' 1 10.19. З одного міста в інше, відстань між якими дорівнює 300 км, одночасно виїхали два автомобілі. Швидкість першого з них на 10 км/год більша від швидкості другого, а тому він приїхав до мі- сця призначення на 1 год раніше. Знайти швидкість кожного з автомобілів. Швидкість першого автомобіля позначено через х км/год. Яке з наведених рівнянь відповідає умові задачі? А Б В І' д 300 300 10 х-1 X 300 300 ^10 х х-1 300 300 х х-10 300 300 х-10 х х-10 х і 300 300 " 108
10.20. Два робітники, працюючи разом, можуть виконати деяке завдання за 60 год. За скільки годин може виконати всю роботу кожний з робітників, працюючи окремо, якщо перший з них може це зробити на 22 год швидше, ніж другий? Яке з наведених рівнянь відповідає умові задачі, якщо час, за який може виконати завдання пе- рший робітник, позначено через х год? А Б В Г Д х + (х + 22) - 60 х + (х - 22)=60 — + —^— = 60 х х + 22 х х + 22 60 1+_1_=± х х - 22 60 10.21. На заводі за певний термін повинні були відремонтувати 300 вагонів. Перевиконуючи план ремонту на 3 вагони за тиждень, за два тижні до закінчення терміну відремонтували 299 вагонів. Скільки вагонів ремонтували щотижня? Кількість вагонів, які ремонтували за тиждень, позначено через х. Яке з наведених рівнянь від- повідає умові задачі? А Б В Г д 300 299 о х-3 х 300 299 ? х х-3 300 2993 х-2 х 300 299 __3 х х-2 299 300 __ ? х-3 х Завдання 10.22-10.27 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 10.22. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та рівносильними їм рівняннями або система- ми (А-Д). 1 х - 2 х-1 х + 1 2 х2+Зх-2 = 0 3 >/х(х + 1)(х-2) = 0 4 х2+7 = 0 А (х + 1)(х-2) = 0 Б х(х-2) = 0 В х4+13 = 0 г Іх(х + 1) = -2(х-1); (х-1)(х + 1)^0 Д х(х + 1) = -2(х-1) 10.23. Установити відповідність між рівняннями (1—4) та множинами їх розв’язків (А-Д). А {4} Б {5} В (-оо; 4)0(4; +~) Г (-оо; 5)0(5; +«) Д 0 109
10.24. Установити відповідність між рівняннями (1^4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 2x4—-— = х-5 — +10 х-5 А Б {-5; 5} {0} 2 2х2+ —— = -+- + 50 В 0 х-5 х-5 Г {-5} 3 2х2+— = -— -1-50 д {5} х + 5 х + 5 4 2х2+^— = ^+ + 50 X X 10.25. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 2 3 (х2 - 4)(х2 - 25) _ р (х-2)(х-5) (х2-4)(х2-25)^0 (х + 2)(х + 5) (х + 2)(х-5) _р (х2-4)(х2 -25) А Б В Г д {-2; 5} {-2; -5} {2; 5} {2;-5} 0 4 (х2 - 4)(х2 - 25) _ 0 (х-2)(х + 5) 10.26. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 2х-4_1 х-2 А Б {1} {-1} 2 Зх + 2 _ । В {0} х + 2 Г {2} 3 4 (2х + 3)(х-2) х2-4 4х-3_ г х-2 д 0 10.27. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 А = _3_ X х+1 А {-5} Б М) 2 2=_Ь В {4} х х-2 Г {5} з — Д {6} х-3 9-х 4 = х + 1 х-3 110
Розв’яжіть завдання 10.28-10.42. Відповідь запишіть десятковим дробом. 2х — 2 х + З 10.28. Розв’язати рівняння----+-------5 = 0. У відповідь записати суму коренів. х + 2 х-3 10.29. Розв’язати рівняння----+----= —і---. х + 2 х-2 х2-4 10.30. Розв’язати рівняння —;---:--------- Е х2-9 х2-6х + 9 З 2х2 + 6х 10.31. Розв’язати рівняння —5-----------5------------г. У відповідь записати найменший корінь. 4х + 4х + 4 х 1. 2 х 1. у х^ + х — 5 Зх 10.32. Розв’язати рівняння----------+ --------+ 4 = 0. У відповідь записати добуток коренів, х х + х — 5 10.33. Розв’язати рівняння —5-----------;--------- 2. У відповідь записати суму коренів, х + 2х - 8 х + 2х - З 10.34. Розв’язати рівняння 2---ї/ ~ \ 2---и = • У відповідь записати найбільший корінь. Розв ’язати задачі за допомогою рівнянь (10.35-10.37). 10.35. З пункту А в пункт В, відстань між якими дорівнює 60 км, спочатку виїхав автобус, а через 20 хв — легковий автомобіль, швидкість якого на 20 км/год вища, ніж швидкість автобуса. Знайти швидкість автобуса у км/год, якщо він приїхав до пункту В на 10 хв пізніше від легко- вого автомобіля. 10.36. Бригада робітників повинна була за кілька днів виготовити 272 деталі. Перші десять днів бри- гада виконувала встановлену норму, а потім почала виготовляти щоденно на 4 деталі більше, ніж за нормою. Тому за один день до терміну було виготовлено 280 деталей. Скільки деталей повинна була виготовляти бригада щоденно за планом? 10.37. Басейн наповнюється водою двома трубами за 6 год. Перша труба може заповнити басейн во- дою на 5 год швидше, ніж друга. За скільки годин може заповнити весь басейн лише перша труба? 10.38. Розв’язати рівняння 9( х + — 1 - 2[ х2 + -у ] = 14 . У відповідь записати суму коренів. V X/ V X / 10.39. Розв’язати рівняння ------------ - ----------- = 1. У відповідь записати найменший корінь. (х + б)(х —1) (х + 2)(х + 3) 1 2х Зх 5 10.40. Розв’язати рівняння —---------+ —т-------= —. У відповідь записати найбільший корінь. х2-4х + 2 х2+х + 2 4 Е х — 1 х — 2 х — 4 х — 5 10.41. Розв’язати рівняння-----------=--------------. У відповідь записати найбільший корінь. х + 2 х + 3 х + 5 х + 6 10.42. Знайти всі значення параметра а, за яких рівняння —Ц- + —+ я = 0 має тільки один корінь. У 4х х відповідь записати найбільше значення а. 111
Тема 11. Раціональні нерівності р(х) Нерівності виду 00, де Р(х) і ()(х) — многочлени, 0 — один зі знаків >, <, >, <, називають б(х) дробово-раціональними. Шляхом виконання рівносильних перетворень дробово-раціональну нерів- ність зводять до раціональної. 1)^77>0 Лх)Є(х)>0; С(х) 2)^<0 ~ Р(х)Є(х)<0; Є(х) 3)^)>0 « І>(х)2(х)>0, 2(х) ~ 1б(х) * 0; 4)^)<0 « ГЛх)Є(х)<0, ’ 2(х) 1 2(х) * о. Р(х) Р(х) Метод інтервалів для розв’язання нерівностей виду-- > 0 і -- < 0, де Р(х) і 0(х) — многоч- 2(х) Є(х) Р(х\ Р(х\ лени відносно х. Нерівності Р(х) 0(х) > 0 і --> 0 (Р(х) • ()(х) < 0 і ---< 0) рівносильні. Розгля- б(х) ^(x) немо випадок, коли многочлени Р(х) і ()(х') розкладаються у добутки двочленів виду х - х0. т 2 5х [х * -3; Наприклад, розв’язати нерівність —'—Ч------<-.----—------г. ОДЗ: ч Тоді одержимо: х + 3 х —2 (х + 3)(х — 2) [х5*2. х ! 2 5х х ! 2________5х д. х(х - 2) + 2(х + 3) - 5х < х2 - 5х + 6 х+3 х-2 (х+3)(х-2)’ х + 3 х-2 (х + 3)(х-2) ’ (х + 3)(х-2) ’ (х + 3)(х-2) (х —3)(х — 2) , }----------- < 0. Тоді (х - 3)(х + 3)(х - 2)2 < 0. Нулі множників: х = 3, х = -3, х-2. (х + 3)(х-2) Отже, хє (-3; 2)и(2; 3). Відповідь. (-3; 2)и(2; 3). 9 п > • р(хКа р(х^а Зауваження. Розв язки нерівностей виду ->0 та----<0 є об єднаннями розв язків відпо- £?(х) б(х) Р(х} Р(х) Р(х) відних нерівностей ——- > 0 і —— < 0 та рівняння —— -- 0. 2(Х) 2(Х) р Є(х) и „... ,... 8х + 3 . 1 .. Наприклад, знайти кількість цілих розв язків нерівності -------Г-~2-----• Маємо: + 2х + Ідх +х~ 6^ х — х--2 8х+3 > 1 8х+3____________1_>0. 8х+3___________1__ (х2+2х+1)(х2+х-б) х2-х-2’ (х2+2х+1)(х2+х-б) х2-х-2- ’ (х+1)2(х+3)(х-2) (х-2)(х+1)- 8х + 3-(х + 1)(х + 3) >() -х2+4х >о. х(х-4) <() Іх(х-4)(х + 1)2(х + 3)(х-2)<0; (х + 1)2(х + 3)(х-2) " ’ (х+1)2(х+3)(х-2) ~ ’ (х+1)2(х+3)(х-2)" ’ [(х + 1)2(х + 3)(х-2)*0. Нулі чисельника: х - 4, х = 0; нулі знаменника: х = -3, х = -1; х = 2. 112
( + ХжжшЛ г Зк - - /о 2\. - У4 * ---<1Х-Х ------ -3<х<-1; Отже, -1 < х < 0; Цілими розв’язками є -2; 0; 3; 4. 2<х<4. Відповідь. 4. Розв ’язування дробових раціональних нерівностей з параметром х — 2 Розглянемо приклад: розв’язати нерівність-< 0. Якщо а = 0, то одержимо лінійну нерівність ах — ї ~{х - 2) < 0, тобто х > 2. Нехай а*0, тоді дана нерівність рівносильна нерівності а(х-2дх- —1 <0. Застосуємо для а' розв’язування цієї нерівності метод інтервалів. Нулі множників: хі = 2 та х2 = —, до того ж: а 1) Хі = х2 = 2, якщо а - 0,5; 2) х2 < хі, якщо— < 2 <=> — — 2 < 0; -—— <0; 2 ( а - — ] а > 0; б/ < 0 або а > 0,5; а а а ^2' 3) < х2, якщо ає (0; 0,5). Розглянемо випадки. 1) а = 0,5. У цьому випадку нерівність набуває вигляду (х-2)2<0, що неможливо. Отже, якщо а = 0,5, то вихідна нерівність не має розв’язків; 2.1) б/ < 0. б/ґх — —) (х — 2) < 0; ( х-“1(х-2) >0; хє і ] и(2; + <~); \ а' V а' а' 2.2) ає ґ—;+ °ор аґх-—1(х-2) <0; ґх-—\х-2)<0; хє ґ—;2^ ; ^2 ' \ а' а' ' 2.3) ає (0; 0,5). а(х-2)ґх--1 <0; (х-2)[ х--) <0; хє [2;-) . V 67' V 67' V 67' Відповідь. Якщо а < 0, то хє о (2; + °°); якщо 67 = 0, то хє(2;+<~); якщо ає^О;-^, то хє ґ2; —; якщо а - 0,5, то хє 0; якщо а > 0,5, то хє ґ—; 2^! . V 67' ^67 ' Приклад 1. Визначити кількість цілих розв’язків нерівності ——— > 0 . Зх-9 А Б в г Д 3;4; 5; 6 інша відповідь 3 4 4; 5; 6 т~^-0; ^ГТЇЇ7-°І’(-3); М-0; ~0~Н-----------------------отже’ а;є(3;6]. Цілими X і) X «З розв’язками нерівності є 4; 5; 6 і їх кількість дорівнює 3. Відповідь. В. 8* Капіносов А. Математика. Комплексна підготовка до ЗНО 113
Приклад 2. Розв’язати нерівність 5х + 7^2 х-1 5х + 7 5х + 7 5х+7-2(х-1) Зх + 9 х-1 х-1 х-1 х-1 :3; ---- х-1 -ЗХ____ - _У1 х Отже, розв’язок нерівності —хє [-3; 1). Відповідь. [-3; 1). х2 — 5х Ч" 4 Приклад 3. Розв’язати нерівність —--->0. У відповідь записати кількість цілих розв’язків нерівності. х + > 0. —11 < 0; (х _ і)(х - 4)(х + 1 )(х - 7) < 0. Нулі множників: х = -1, х = 1, -х2+6х + 7 (х + 1)(х-7) х — 4, х — 7. г -1\^ - ^/1 4\^ - ^/7 X Отже, хє(-1; 1)о(4; 7). Цілими розв’язками є 0; 5; 6. Відповідь. 3. . . X 1 Приклад 4. Розв’язати нерівність---------> — 2х + 3 х А Б в Г д (—;-3)о(-1;0)о о(3; +©о) (-1,5;-1)0 <->(3; +°°) (—;-1,5]о о[-1;0]о о[3; -н») (-1,5; 1)о(0; 3) (—;-1,5)0 ,о(-1;0)о ь»(3; +°°) , X . 1 . х 1.0. х2-(2х + 3)^ 0; л2-2х-3. 0. (х + 1)(х-3)^ 0 2х + 3 х’ 2х + 3 х ’ х(2х + 3) ’ х(2х + 3) ’ х(2х + 3) (х + 1)(х - 3)х(2х + 3) > 0. Нулі множників: х = -1, х = 3, х - 0, х = -1,5. Отже, хє (-©о; -1,5)о(-1; 0)о(3; +«>). Відповідь. Д. ГТ А г п , •• х2-5х+6 Приклад 5. Розв язати нерівність------ А Б в Г д хє/? (2; 3) (-«о; 2)о(3; +оо) (—;-3)о(-2; +<=о) (—; -7)о(2; 3) Оскільки ІхІ + 7 > 0 за будь-якого значення х, то маємо: ——^х + ^ < 0; х2 - 5х + 6 < 0; |х | +7 (х - 2)(х - 3) < 0. 114
2< - Уз X Отже, хє (2; 3). Відповідь. Б. + Зх + 2 Приклад 6. Розв’язати нерівність —----------> -Зх. У відповідь записати найменший цілий х — | х | —2 розв’язок нерівності. х +^х + ^ > -зх Знайдемо ОДЗ нерівності х2 - |х| - 2 Ф 0. х -|х|-2 1)х > 0: х2 - х- 2 0; 2) х < 0: х2 + х - 2 Ф 0; х Ф 2; х 2; х?ь-1; хф -2; х*1; х + -2. Отже, х + ±2. х + 2 х —2 1) Нехай х>0, х*2, тоді отримаємо: х2 + Зх + 2 х2 - х - 2 (х + 1)(х + 2) > х + 2 (х + 1)(х-2)" ’ х-2 Отже, хє х + 2 + Зх2 - 6х Зх2 - 5х + 2 > д. х —2 2 .3 х —2 0 2 З 1 2 х 2) нехай х < 0, х -2, тоді отримаємо: х2 + Зх + 2 х —1 х + 1 + 3х(х-1) Зг2-2х + 1 2 -------------- > 0; —-------> 0. Квадратний тричлен Зх - 2х + 1 має від’ємний дискримінант, пе- рший коефіцієнт а = 3 > 0, тому за всіх значень х набуває тільки додатних значень, тому одержимо не- рівність х - 1 > 0, звідки хє 0. 2 Розв’язками вихідної нерівності є хє — ;1 и(2; + °о), а найменший цілий розв’язок нерівності Відповідь. 1. Приклад 7. Знайти найбільший цілий розв’язок нерівності Зх +1 х-3 Зх + 1 х-3 Зх + 1 , х-3 ОДЗ: х^З. х-3 Зх +1 - Зх + 9 х-3 Зх + 1 + Зх-9 > д. х-3 10 х-3 6х-8 , х-3 4 З 115
' х<—. Отже,хє -о®; — . Тоді найбільший цілий розв’язокх = 1. 4 3 х З' Відповідь. 1. х2 - Зх + 2 х2 + Зх + 2 Приклад 8. Розв’язати нерівність А Б В Г д (-2; -1)и(0; +°о) (-«;-2Ц-2;-1)и и(-1;0] (—;0) (0; +°°) х2 - Зх + 2 - х2 - Зх - 2 х2 - Зх + 2 х2 + Зх + 2 х2 - Зх + 2 х2 + Зх + 2 х2 — Зх + 2 хє(-2;-1) хє(-оо;-2М-1;0] х2 + Зх + 2 х2 - Зх + 2 + х2 + Зх + 2 х2 + Зх + 2 х + Зх + 2 2х2+4 х2 + Зх + 2 Отже, хє (-оо; -2)о(-2; -1 )и(-1; 0]. Відповідь. В. їх2 + 4а(а-х) + 4І Приклад 9. Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких нерівність --:------:----1 < |х - 2а| < 2х + 3 - х2 має хоча б один розв’язок. У відповідь записати найбільше значення параметра а. Перетворимо чисельник дробу: |х2 +4а(а - х) + 4| = |х2 + 4а2 - 4ах + 4| = |(х - 2а)2 + 4| = = (х - 2а)2 + 4. Тепер ліва частина нерівності перетвориться так: (х-2а)2 +4 . 4 ґ|х-2а| 2 /?(х) = —і---— = їх-2а +:---------г=2| -1---1 + :----ті. Для всіх Ь>0 виконується нерівність х - 2а х -2а \ 2 х - 2а у Ь + — >2. Тому ——--------------->2. Отже, Л(х)>2-2 = 4, звідки —^|х-2а|+-:—-—Н>2; Ь 2 |х-2а| 2у |х-2а|у їх - 2а| + ї—-—? > 4. Права частина нерівності перетвориться так: Дх) = -х2 + 2х + 3 = -(х2 - 2х - 3) = |х - 2а| = —(х2 - 2х + 1) + 4 - —(х - І)2 + 4, тому —(х - І)2 + 4 < 4. Маємо: Л(х) > 4, Дх) < 4. Задана нерівність ви- конується лише тоді, коли й(х) =Дх) = 4. З умовиДх) = 4 випливає, що х = 1. Тоді умову Л(х) = 4 мож- на записати так: 2 • | ——+ —-— | = 4. Нехай 11 - 2а\ = і. Тоді і + — - 4; і2 - 4і + 4 - 0; (і - 2)2 = 0; < 2 |1-2а|7 і 116
і-2, тобто 11 - 2а| = 2; 1-2а = 2; 1 - 2а = -2; а = -0,5; а = 1,5. Найбільше значення а - 1,5. Відповідь. 1,5. Завдання 11.1-11.22 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 11.1. Знайти множину розв’язків нерівності х + — > — -2. X X А Б В Г д К (-2; +°о) (-2; 0)о(0; +°о) (0; +°°) (—>; -2)о(-2; 0)о о(0; +°о) 11.2. Вибрати нерівність, множиною розв’язків якої є Я. А Б в Г д О VI "к І 1 04 к >0 ^х + 3' х2 — 4 —Г——>0 х-4 ^>0 X -^-<0 х +4 11.3. Вибрати нерівність, множиною розв’язків якої є 0. А Б В Г д * +І <1 х2 +1 <1 х +1 >1 х+1 4=1 >0 х' -1 —> 1 х2 X 11.4. Розв’язати нерівність----- > 0 . А Б В Г Д (-оо; 0]о(5; +°°) (-«о; 0)о[5; +оо) (-оо; 0)о(5; +о=) [0; 5) (0; 5] х + 5 11.5. Розв’язати нерівність---< 0. х-2 А Б В г Д (-°°; -2)о[5; 4-»о) (-оо; -5]о(2; +оо) [-5; 2] [-5; 2) (-2; 5] 11.6. Розв’язати нерівність --—-—- < 0. А Б В Г д (-3; 5) (-5; 3) (-оо;-5)0(2; 3) (-о; -5)0(3; +~) (-о;-3)о(5;+оо) х + 5 11.7. Розв’язати нерівність —-—-- < 0. А Б В Г Д [-5; -2)о(2; +оо) (—; -5]о(-2; 2) (-~; -5]о[-2; 2] (-~; -5) (—; 5] х + 5 11.8. Розв’язати нерівність----> 1. х + 3 А Б В г Д (-оо; -5)о(-3; +®о) (-5; +~) (—3; +°°) (—; -5) (-о;-3) 117
Зх + 4 11.9. Розв’язати нерівність-----< 2. х + 1 А Б в г д 1 з / [-2;-1] [-2;-1) 1 т 1 '1 1 1 1 (—;-2М-1;+~) 11.10. Розв’язати нерівність — < -х. X А Б В г д (1;+°°) (-оо;-1) (0; +°°) 0) (—; 0] 11.11. Розв’язати нерівність — <----. х х + 1 А Б В г Д (-~; -3]о(-1; 0) (-о; -3]о[-1; 0] [-3; -і) (-і;0) (-3; -і] 11.12. Знайти множину розв’язків нерівності---->-----. х-3 х+2 А Б В Г Д (—; -2)о(3; +~) (-©о;-4,5)о(-2; 3) (-4,5; -2)о(3; +~) (-2; 3) (-3; 2)о(4,5; +«) 11.13. Знайти множину розв’язків нерівності -----------г > 0. (х + 4)(х-3) А Б в Г д (-«о; -4)0(3; +оо) (-4; 3) І-4’2^ и(3’ +°°') Н°; -4)о {1} о о(3; +оо) (-оо; —4]и[3; +°°) 11.14. Розв’язати нерівність + < 0. х2 + 2х-8 А Б В г Д (-4; 3) (-4; 2)0(2; 3] (-о; -4)о{2}о и(3; (-оо; -4)о(3; +оо) (-3; 4) (77? -2-х2 11.15. Обчислити найменший цілий розв’язок нерівності -— ------------< 0 . х + 9 А Б В г д -9 -8 0 9 1 11.16. Розв’язати нерівність --------—----— > 0. х2+6х + 9 А Б В г д [-7;-3)о[1;+°°) (-оо; -7]о(-3; +°°) Е-7;-з) (-о; 3)о[7; +«) (3;7] 118
. х(х - 3)(3х - 2) л 11.17. Знайти кількість цілих розв язків нерівності-----------<0. 2х-3 А Б В Г Д 1 2 3 4 інша відповідь „ , . . х2 - 5х + 6 .. Розв язати нерівність 2 $ < 1. А Б в Г Д (-4; 3) (-4; 3) (-оо;-|) (—4; +о°) (-4; 2)о(2; +-) Знайти множину розв’язків нерівності —— >1. х-5 А Б В г Д (4; 5)0(5; 6) (4; 6) (-«о; 4)о(6; +оо) (-6;-4) -6)и(—4; +°°) 11.20. Знайти множину розв’язків нерівності р-1—- < 1. А Б в Г д К (-2; 2) (—;-2)0(2;+оо) (-оо; -5)0(2; +°о) (-5; 2) 11.21. Знайти множину розв’язків нерівності --—------- < 0, якщо -2< а < 3. х-4 А Б В г Д [-2; а\ [а; 4) [-2'; я]о(4; +<») (—;-2]о[а;4) [а; 4] х -2х-15 11.22. Знайти множину розв язків нерівності -—---- < 0, якщо -3 < а < 5. (х-5)(х-а) А Б В Г д [-3;а] [-3;а) (-оо;-3]о(5;+°о) (-оо; -3]О[5; +оо) (-оо; -3]о(а; 5)о и(5; +оо) Завдання 11.23-11.29 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 11.23. Установити відповідність між нерівностями (1—4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 х2>3 2 |х|<7з З х + ^0 х-<3 4 х-л/з>0 А [-^;л/з) Б (-;-7з) В [~л/3;>/з] Г (73;о°) Д л/з) о (л/3;о°) 119
11.24. Установити відповідність між нерівностями (1-4) та рівносильними їм нерівностями (А-Д). 1 (х + 2)(х-3)<0 2 (х + 2)(х-3)>0 З £±2>о х-3 4 (х + 2)2>0 11.25. Установити відповідність між нерівностями (1-^4) та множинами їх розв’язків (А-Д). "1 у- 1 >-^- + 2 1 X і х-2 х-2 2 х + 1 >—— + 2 х-3 х-3 3 х + 1 >—!—+ 2 X +1 х + 1 А [2; +°°) Б (-о»;-2] В (-2; 3)о(3; +~) Г (2; 3)0(3;+оо) Д (2; +~) 11.26. Установити відповідність між нерівностями (1-^4) та множинами їх розв’язків (А-Д). З -----1----<0 (х + 2)(х-3) 4 (х + 2)(х-3),0 5 А (-2; 3) Б [-2; 3] В [-2;3) Г (-2; 3] Д (—;-2]о[3;+оо) 11.27. Установити відповідність між нерівностями (1^4) та множинами їх розв’язків (А-Д). і х-4 2 4-^^° х-4 х2 -4 З -—->0 х + 3 А (-о; -3)о[-2; 2] Б (-о»; -3]о(-2; 2) В (-оо; -3]о[-2; 2] Г [-3;-2)0(2;+оо) Д (-3;-2]о[2;+оо) 120
11.28. Установити відповідність між нерівностями (1-4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 х + 1 2 Х±1>і х + 4 З Х±1<і х + 4 . х + 4 , 4 ----<1 х + 1 А (-~;-4) Б (—;-1) В (-~;4) Г Н;+~) Д (-1;+со) 11.29. Установити відповідність між нерівностями (1-4) та множинами їх розв’язків (А-Д). А (-оо;-1]и(0; 1] Б (-оо; 0) В [-1;0М1;+оо) Г (-1; 1) Д (0; +~) Розв’яжіть завдання 11.30-11.43. Відповідь запишіть десятковим дробом. х — 5 11.30. Розв’язати нерівність----< х. У відповідь записати найменший цілий розв’язок. х + 5 2 х 11.31. Розв’язати нерівність ----<-----У відповідь записати суму всіх цілих чисел, які не є розв’язками нерівності. 11.32. Розв’язати нерівність -->1-2х. У відповідь записати суму всіх додатних цілих чисел, які 1-х не є розв’язками нерівності. 11.33. Розв’язати нерівність —---------<1. У відповідь записати суму всіх цілих чисел, які не є 2(х + 1) 2х розв’язками нерівності. 11.34. Розв’язати нерівність ---------< —. У відповідь записати добуток усіх цілих чисел, які не є х - Зх + 2 2 розв’язками нерівності. 1 х-3 1 11.35. Розв’язати нерівність 2 +---+------<------—-----г. У відповідь записати найбільший цілий н х-3 х + 2 (х-3)(х + 2) розв’язок. 11.36. Розв’язати нерівність ------ <-----------. У відповідь записати найбільший цілий розв’язок. х — 8 2 11.37. Розв’язати нерівність —5-------->------. У відповідь записати найменший додатний цілий х -5х + 4 х + 1 розв’язок. 121
— X + х — 1 11.38. Розв’язати нерівність--------------< 0. У відповідь записати добуток усіх розв’язків. х + 8 11.39. Розв’язати нерівність 2х + 5 4х + 1 У відповідь записати суму всіх цілих чисел, які не є розв’язками нерівності. 11.40. Розв’язати нерівність 1->у----г-----. У відповідь записати суму всіх цілих чисел, х + 2 ґ1 + -Оїх-і) V Х + Р' ’ які не є розв’язками нерівності. х^ — Зх 4" 2 11.41. Розв’язати нерівність -------<0. У 6-х відповідь записати суму всіх цілих чисел, які не є розв’язками нерівності. 11.42. Розв’язати нерівність 1—<5. У х2+8х + 7 відповідь записати суму всіх цілих чисел, які не є розв’язками нерівності. 1 х + 1 11.43. Розв’язати нерівність 2 х-2 відповідь записати суму всіх цілих чисел, які не є розв’язками нерівності. 122
Тема 12. Ірраціональні рівняння Ірраціональними називають рівняння, які містять змінну під знаком кореня (радикала) або в ос- нові степеня з раціональним показником. Наприклад, х + 3 = 72х-1 ; х4 -10 - 6. Основними методами розв’язування ірраціональних рівнянь є: а) метод піднесення обох частин рівняння до одного й того ж степеня; б) метод уведення нових змінних; в) штучні прийоми. При розв’язуванні ірраціональних рівнянь методом піднесення обох частин до парного степеня можуть з’явитися побічні (зайві) корені. Так, наприклад, якщо задано рівняння 7х + 5 = х -1, то, піднісши до квадрата обидві його части- ни, одержимо: (7х + 5) = (х -1)2; х + 5 - х - 2х + 1; х -- Зх - 4 = 0; хі = 4 і х2 - -1. Коренем вихідного рівняння (74 + 5 =4-1) є X] = 4, а х2 = —1 є побічним коренем (7-1 + 5 -1 -1; 74 Ф -2). При розв’язуванні ірраціонального рівняння, яке містить парні степені радикалів, буває корисним знаходження ОДЗ, що може полегшити його розв’язування. Відокремлення квадратного кореня Наприклад, розв’язати рівняння 7х + 2 + 7з-х = 3. Відокремимо один квадратний корінь 7х + 2 = 3 - 73 —х , а потім піднесемо обидві частини рівняння до квадрата: х + 2 = 9 - б7з -х + 3 - х; 5-х = з7з-х. Ще раз піднесемо до квадрата: 25 - 10х + х2 = 9(3-х); х2-х-2=0; X] = -1, х2 = 2. Обидва значення є коренями даного рівняння: якщо хі =-1, то одержимо: 7-1 + 2 + ^/з - (-1) = 3; 71 + 74 = 3; 3 = 3; якщо х2 = 2, то одержимо: 72 + 2 + 73- 2 =3; 74 + 71 - 3; 3 = 3. Іноді корисно почати розв’язання рівняння з визначення його області визначення. Наприклад, розв’язати рівняння 71 їх + 3 -72-х -79х + 7 + 7х - 2 = 0. ОДЗ: < 1їх + 3 > 0; 2-х>0; 9х-7>0; х ~ 2 > 0; х = 2. Отже, х > 2; область визначення складається тільки з однієї точки х = 2. Перевіримо, чи буде це значення коренем вихідного рівняння: 711 ’ 2 + 3 -72-2 ~79 • 2 + 7 +72- 2 = 0; 725 - 725 = 0; 0 = 0. Відповідь. 2. При розв’язуванні ірраціональних рівнянь слід пам’ятати: 1) у рівнянні корені парного степеня є арифметичними, а це значить, що значення кореня завжди невід’ємне, крім цього, підкореневий вираз теж невід’ємний; 2) корені непарного степеня визначені для будь-якого значення підкореневого виразу; 3) формальне використання властивостей кореня 2у[аЬ = 2-х[а • 2у[ь або 2^ = може призвести до звуження області визначення рівняння, що не допустимо. Одним зі способів, який застосовують для розв’язування ірраціональних рівнянь, є введення нової змінної. Наприклад, розв’язати рівняння 7х2 -6х + 9 + 7х2 -6х + 18 =9. Позначимо вираз х2-6х + 9 через і: х2 - 6х + 9 = і > 0. Тоді х2 - 6х + 18 = і + 9 і вихідне рівняння набуде вигляду: 7/ + 7/ + 9 = 9. Розв’яжемо його: 7/ = 9-7/ + 9; (7/) = (9-77+9) ; / = 81-1877+9+ / + 9; 187/+ 9 = 90; 77+9 = 5; / + 9 = 25; /=16. Повернувшись до заміни, одержимо: х2-6х + 9=16; х2-6х-7 = 0; 123
хі =-1, хг = 7. Виконавши перевірку, встановлюємо, що обидва значення задовольняють початкове рівняння. Відповідь. -1; 7. Рівняння виду у]/(х) ± ^(х) = Л(х) При розв’язуванні рівнянь такого виду доцільно піднести обидві частини до куба за формулою + = а + Ь + Зі/аЬ^\/а ±. Раціональне рівняння, яке виникне, може мати сторонні розв’язки, тому для знайдених розв’язків обов’язково потрібно виконати перевірку. Наприклад, розв’язати рівняння ^8-х + ^х +1 = 3. Після піднесення обох частин рівняння до куба отримаємо: 8-х + х + 1 + 3^(8 -х)(х+1)(^ х + -\/х + 1) = 27. Використаємо умову, що уіі-х + л/х + 1 = 3. Одержимо: ^(8-х)(х + 1) = 2; (8-х)(х + 1) = 8; х2 - 7х = 0; Хі = 0, хг = 7. Перевір- кою встановлюємо, що обидва значення перетворюють задане рівняння в тотожність. Відповідь. 0; 7. Зведення ірраціонального рівняння до системи рівнянь Нехай потрібно розв’язати рівняння \/8-х + \/89 + х = 5. Позначимо л/8-х = <2, звідки 8 - х = а4; л/89 + х = Ь, звідки 89 + х = Ь4 і а4 + Ь4 - 8 - х + 89 + х = 97. Одержимо систему рівнянь: - 2,2 - 97 = 0; 2,2 - 100, + 528 = 0; ,2 - 50, + 264 = 0; ' 4 ' Перетворимо вираз а4 + Ь4: а4 + Ь4 = (а2 + б2)2 - 2а2 Ь2 = ((а + />)2 - 2аЬ)2 - 2а2Ь2. Одержи- мо рівняння: (25 - 2аЬ)2 - 2а2Ь2 - 97. Нехай аЬ = 1, тоді маємо: (25 - 2,)х - 2? - 97; 625 - 100,+ 4/2 - а + Ь = 5; аЬ = 6; Розв’язками першої си- а + Ь = 5; аЬ = 44. ,, - 44; тобто _,2 = 6, стеми є а = 2, Ь = 3 або <2 = 3, Ь-2, друга система розв’язків не має. Повертаємося до заміни й одер- жуємо: Хі = -8, Хг = -73. Відповідь. -8; -73. Спряженість в ірраціональних рівняннях Наприклад, розв’язати рівняння ^1 + х + х2 + 71 - х + х2 =4 (1). Складемо нове рівняння: 71 + х + х2 - 71-х + х2 = А (2). Перемножимо почастинно рівняння (1) і (2): (1 +х+х2)-(1 - х + х2) = - 4А й виразимо А через х: 2х = 4А; А = \ Таким чином, 71 + х + х2 - л/1-х + х2 = у. Додамо вихідне рівняння до останнього: 2л/Г+х + х2 =4 + -|; 4(1 + х + х2) = 16 + 4х + ^-; 16 + 16х+ 16х2 = 64 + 16х + + х2; 15х2 = 48; ' г4л/5. 1 5 ’ г =_^ї . 2 5 Перевіркою встановлюємо, що обидва корені задовольняють вихідне рів- няння. Відповідь. 124
Розв'язування ірраціональних рівнянь з використанням властивостей відомих функцій та оцінки значень лівої й правої частин рівняння Розв’язати рівняння л/х2 - 7х 4- 6 = 12х - х2 - 36. Перепишемо задане рівняння так: 7х2 -7х + 6 = -(х-б)2; /(х) = <ух2 -7x4-6 >0; #(х) = -(х-б)2 <0. Отже, дане рівняння рівносиль- не системі: >/х2 -7x4-6 = 0; _(х-б)2 =0; Відповідь. 6. Якщо розв’язування рівнянь призводить до громіздких обчислень, то іноді варто скористатися властивостями зростання чи спадання відповідних функцій. Це можна зробити так: 1) дібрати один чи кілька коренів рівняння; 2) довести, що дане рівняння не має інших коренів. Наприклад, розв’язати рівняння >/х-7 4- \[х = 3. ОДЗ: х > 7. Неважко побачити, що х = 8 є коре- нем заданого рівняння. Розглянемо функцію /(х) = >/х-7 + \[х. Вона зростає на проміжку [7;4-оо)5 тоді рівнянняДх) = 3 має єдиний корінь, і цей корінь х = 8. Відповідь. 8. Ірраціональні рівняння з параметрами Нехай потрібно з’ясувати, за яких значень параметра а рівняння ^а + >/а + =х = х має тільки один корінь. Оскільки ліва частина рівняння невід’ємна, то рівняння може мати корінь, лише якщо х>0. Виконаємо заміну >]а + х - у, у > 0. Тоді * у]а + у = х: у2 -х-а = 0; х2 - у - а = 0; Віднявши від першого рівнян- ня друге, отримаємо рівняння: (у2 -х2) 4- (у-х) - 0; (у-х)(у 4-і + 1) - 0. Оскільки у 4- х 4- 1 > 0 за усіх значень х та у, то залишається одна можливість: >»-х = 0; у-х. Отже, система набуде вигляду: х2 - х - а = 0* - , < Вона матиме один додатний розв язок у таких випадках: 1) * О = 1 + 4а = 0; 1 звідки ^о=->О5 1 2 а = —; 2) а > 0 (корені квадратного тричлена ах + Ьх + с мають різні знаки, коли ас < 0). 4 Відповідь. а = -— абоа>0. 4 Приклад І. Розв’язати рівняння л/3х4- 7 = х - 7. А Б В Г д 3 14 3,14 -7 6 л/3х4-7 = х-7. Якщо х-7<0, то рівняння коренів не має. Якщо х-7>0, х>7, то: '4-7) =(х-7)2; Зх 4-7 = х2 - 14х 4-49; х2 - 17х 4-42 = 0; хі = 3— не задовольняє умову х>7, х2 - 14. Відповідь. 14. 125
Приклад 2. Розв’язати рівняння у/х + 3 + л/4х-23 - >/х + 10 = 0. А Б В Г д 6 7,5 4,14 8 5 л/х + 3 + ^4х-23->/х + 10 = 0; л/х + 3 + лДх^23 = 7х+Ї0 ; (л/х+3 + >/4х-23)2 =(л/х+16)2; 5х - 20+2Х//(х+3)(4х-23) = х+10; 27(х+3)(4х-23) = ЗО - 4х; х/4х2-11х-69 = 15 - 2х; 4х2 -1 їх - 69 = 225 - 60х + 4х2; 49х = 294; х - 6. Перевірка: л/б + 3 + 74-6-23 -7б +10 = \І9 + ТІ - 7Ї6 = 0; 0 = 0 — правильна рівність; 6 — ко- рінь рівняння. Відповідь. А. Приклад 3. Розв’язати рівняння 2х2 - 5х4 = 3. А Б В Г д 1 16 1 16 81 12 3 1 1 1 1 2х2 -5х4 = 3. Зробимо заміну: х4 = і, ї>0. Тоді х2 -і2, і задане рівняння матиме вигляд: 2/2 — 5/ = 3 ; 2і2 - 5г-3 = 0; - 3; Г2 = — не задовольняє умову і > 0. Тому: х4 = 3; х = З4; х - 81. Відповідь. В. Приклад 4. Розв’язати рівняння 3^2х-9 -у/4-х = 1. [2х-9>0; |2х>9; Гх>4,5; Знайдемо ОДЗ: < < < х є 0 . Оскільки ОДЗ — порожня множина, то [4-х>0; [-х>-4; [х<4; рівняння коренів не має. Відповідь. 0. Приклад 5. Розв’язати рівняння \Іх-3 = у/-2-х. ОДЗ: -2 -х > 0 або х < -2. Якщо х < -2, то тоді х - 3 < 0. Отже, У х-3 < 0. Звідси випливає, що на ОДЗ рівняння його ліва частина від’ємна, а права— невід’ємна, тому вихідне рівняння коренів не має. Відповідь. 0. Приклад 6. Розв’язати рівняння >/х + 7 - >/х + 3 = 0. ТТ+7-77+3 = 0. ОДЗ: х>-3. = (Т7+з)6; (х + 7)2 = (х + З)2; х2+14х + 49 = = х3 + 9х2 + 27х + 27; х3 + 8х2 + ІЗх — 22 = 0. Підбором знаходимо, що х = 1 — корінь рівняння. Тоді маємо: х3 + 8х2 + ІЗх - 22 = (х- 1)(х2 + 9х + 22); х2 + 9х + 22 = 0; О < 0, це рівняння не має коренів. Пе- ревіркою встановлюємо, що х = 1 задовольняє вихідне рівняння. Відповідь. 1. Приклад 7. Розв’язати рівняння л/х + 3 + >/5 - х = 2. У відповідь записати суму коренів рівняння. 7х + 3 + х = 2. ОДЗ: х < 5. Нехай Цх + 3 - а, ^5-х = Ь, Ь>0. Тоді х + 3 = а3, 5 -х = Ьг і а3 + 63=х + 3 + 5- х = 8. Маємо: а + Ь = 2; а3 + 62=8; Ь = 2 - а\ 4 а3+(2-а)2 =8; Ь = 2 — а; а3 + 4 - 4а + а2 = 8; 126
\Ь = 2-а\ Ь= 2 - а; Ь = 2-а; Ь = 2-а; Ь = 2-а; а = -1; >/х + 3=-1; х = -4; < а" + а2 -4а-4 = 0; а2(а + 1)-4(а + 1) = 0; (а + 1)(а2 -4) = 0; а = 2; _а = -2; >/х + 3 = 2; -\/х + 3=-2; х = 5; _х = -11 Сума коренів рівняння: -4 + 5-11=-10. Відповідь. -10. Приклад 8. Розв’язати рівняння л/х + \/х = —. У відповідь записати суму коренів рівняння. х у[х + \/х = —. ОДЗ: х Ф 0. Розглянемо функцію /(х) = у[х + у[х. Вона є зростаючою на кожно- х 7 мл із проміжків області визначення. Функція #(х) = — спадає на кожному із проміжків хє (-©о; 0) і х хє (0; +©о). На проміжку хє (0; +©©) вихідне рівняння має корінь х - 1, і він єдиний, оскільки якщо в рі- внянніу(х) ~ функціяДх) зростає на певному проміжку, а функція #(х) спадає на цьому ж проміж- ку. то це рівняння може мати не більше одного кореня на даному проміжку. Розглянемо тепер промі- жок (-©о; 0). На ньому корінь даного рівняння х = -1, і він з аналогічних міркувань єдиний. Отже, ви- хідне рівняння має два корені: х = 1 тах = -1. Тоді сума коренів дорівнює 1 + (-1) = 0. Відповідь. 0. Приклад 9. За якого найбільшого значення параметра а рівняння (л/х-2-3)(х-а) = 0 має єдиний корінь? ОДЗ: х - 2 > 0; х > 2. Маємо: (л/х-2 -з)(х-а) =0; 7х-2-3 = 0; х - а = 0; 7х-2 = 3; Гх-2 = 9; х = а; _х = я; х = 11; Рівняння має лише один корінь х = 11, якщо а < 2 або якщо а = 11. Отже, найбільшим значен- х = а. ням параметра а, за якого рівняння має єдиний корінь, є а = 11. Відповідь. 11. Приклад 10. Розв’язати рівняння х+3-. У відповідь записати найбільший корінь ух-5 х-5 гівняння. ОДЗ: > 0; (х + 3)(х - 5) > 0. хє (^о; -3)о(5; +«>). х-5 СТТ Л(х + 3)(х-5) Оскільки -------= -—і------і---, то дана нерівність рівносильна сукупності таких систем: Ух —5 |х-5| ’хіЗ У(х+3)(х~5) 6 . (1) Х $ Х $ Розв’яжемо друге рівняння системи (1): (х+3)(х-5)-^(х+3)(х-5) -6. XI Зі У(х+3Хх~5к 6 (2) і. х-5 х-5 127
Нехай ^(х + 3)(х-5) = і, і > 0, тоді маємо: ? -1 - 6 - 0; Розв’яжемо друге рівняння системи (2): ЛУ(х + 3)(х-5) = і, (>0, тоді маємо: ? + і - 6 = 0; х< 5; ' 7(х + 3)(х-5) = 2; х < 5; х2-2х-15 = 4; Іі =3; Д=-2; Іг = -2 не задовольняє умову і > 0. (х + 3)(х - 5) + -уДх + 3)(х - 5) = 6. Нехай 6 = -3; ? і\ = -3 не задовольняє умову І > 0. Отже, х<5; 4 х2-2х-19 = 0; х<5; < х, -1 + 2^5; х = 1 - 2>/5 . |_х2 = 1- 2>/5; Корені х = 6 і х - 1 - 2^І5 задовольняють ОДЗ. Більшим коренем є х = 6. Відповідь. 6. Завдання 12.1-12.23 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 12.1. Знайти область визначення (область допустимих значень) рівняння у/5-х 4- л/х + 1 - 2. А Б в Г Д К (—;-!] [5;+°о) (-і;5) Н;5] 12.2. Вказати рівняння, областю визначення якого є одне число. А Б в г д у/х-4 + уі5-х = 3 уі5-х + л/х-7 = 2 л/х + 2-у/х ——х \І2х-6 +\І9-Зх = х у/х 4- у/~Х -1=2 12.3. Вказати рівняння, область визначення якого є порожня множина. А Б В г д у] X 4- 4 4- у/х = 2 >/4-х + л/-х = 2 у[х + у/~Х = 0 у/х-3 4-д/х-6 = 1 у/х-5 +^4-х = 2 12.4. Вказати рівняння, коренем якого є число 2. А Б В Г д (х-2)^х-3 = 0 (х-2)л/3-2х = 0 (х-2)>/^х = 0 (х-2)л/х- 1 - 0 (х- 2)71 -х = 0 12.5. Знайти суму коренів рівнянь у/х = 2, у/х = -З і = 1. А Б В г д -20 -18 0 12 9 12.6. Знайти суму коренів рівнянь л/х-1 = 2 і у/-х = 5 . А Б В Г Д зо -20 8 -7 -24 128
12.7. Яке з наведених рівнянь має корені? А Б В г д л/х + 7=-1 л/х-З +4\-х -2 >/х + 5 + л/2 — х = 0 \І2х-6 + >/х-3 =0 4х + у/3-х = -2 12.8. Знайти значення виразу у/2х-9 , якщо значення х задовольняє умову >/2х-9 = л/б-х . А Б В Г д 0 5 або -1 1 або -1 5 1 12.9. Знайти значення виразу >/х + 11, якщо значення х задовольняє умову 7х + 11 = 1 - х . А Б В г д 3 або 4 3 або -3 3 4 або -4 4 12.10. Знайти суму коренів рівняння V? - З^х + 2 = 0. А Б В г Д 9 -9 3 -3 2 12.11. Розв’язати рівняння 2>/х + 1 -у/х + ї = 6 . А Б В Г д 0 -4—; 7 8 7 -7 63 12.12. Скільки коренів має рівняння Зл/х -1 + 7л/1 -х = Зх3 + 7х5 ? А Б в г д Жодного ОДИН два три більше, ніж три 12.13. Скільки цілих коренів має рівняння ^/Зх-6 + \/х + 6 = 2- \І2-х ? А Б в г д Жодного ОДИН два три чотири 12.14. Скільки цілих коренів має рівняння л/2008-х + л/х-2007 = 1 ? А Б в г д Жодного ОДИН два три чотири 12.15. Скільки ірраціональних коренів має рівняння л/2х-3 = 3-2х? А Б в г д Жодного ОДИН два три чотири 12.16. Скільки коренів має рівняння (х2 - 5)(х + 4-х) = 0 ? А Б в г д Жодного ОДИН два три чотири 9* Капіносов А. Математика. Комплексна підготовка до ЗНО 129
12.17. Розв’язати рівняння (Зх + 12)>/х-2 =0. А Б В Г д —4 -4; 2 2 -2; 4 -2 12.18. Знайти суму коренів рівняння (х2 + 5х - б) ^х + 1,5 = 0. А Б В Г Д -6,5 3,5 -5 -2,5 -0,5 12.19. Скільки коренів має рівняння (х-1)>/х2 -х-6 = 6х-6? А Б в г д Жодного ОДИН два три чотири 12.20. Розв’язати рівняння л/х-а = а. А Б в г д За будь-якого а х-2а за будь-якого а х- а1 + а якщо а < 0, хє 0, якщо а > 0, х - а2 + а якщо а < 0, х£ 0, якщо а > 0, х - а2 + а якщо а < 0, хй 0, якщо а > 0, х - 2а 12.21. Розв’язати рівняння л/х + 4 = а - 2 . А Б в г д За будь-якого а х = а2-2а якщо а < 2, хє 0, якщо а > 0, х-а-2 якщо а < 2, хє 0, якщо а > 0, х-а-2 якщо а < 2, хє 0, якщо а > 0, х — а2 -2а якщо а < 2, хє 0, якщо а > 0, х = а2 - 4а 12.22. Знайти всі значення а, за яких рівняння ^(х-а)(х + 1) -0 та (х-а)л/х + 1 =0 рівносильні. А Б в г д а<-\ а--\ а > -1 а > -1 а < -1 12.23. Знайти всі значення а, за яких рівняння ^(х-а)(х +1) = 0 та (х + 1)л/х-а = 0 рівносильні. А Б В Г д а < -1 а = -1 а>-1 а>-1 а < -1 Завдання 12.24—12.30 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 12.24. Установити відповідність між заданими рівняннями (1-4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 л/х-2 = -2 2 (х + 2)7х-6 = 0 їх — 2 З V х-6 4 л/х + 6 = 2 А {2} Б {6} В 0 Г {-2; 6} Д {-2} 130
12.25. Установити відповідність між заданими рівняннями (1-4) та рівносильними їм рівняннями або системами (А-Д). 1 л/х-2 = \І-5-х + х2 А х2 - 6х + 9 = 0 2 л/х2-2х = л/3 3 (х + 1) >/х-3 = 0 4 >/х2-6х + 9 = 1 Б л/х + 1-(х-3) = 1 В х2-2х-3 = 0 Г |х-3| = 1 „ |х2-2х-3 = 0; Д ч х-2>0 12.26. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та областями їх визначення (А-Д). 1 л/х-4 + а/4-х = 0 А 0 2 л/х-4+ >/х + 4 = 4 3 л/4-х + >/х + 4 = 4 4 V* - 4 + >/-х = 4 Б (—;-4] В [-4; 4] Г [4; +оо) Д {4} 12.27. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та множинами їх коренів (А-Д). 1 >/=х = 4 А 0 2 Тх = -4 Б М;4} 3 л/? = 16 4 х/х-4 = 0 В {16} Г {-16} Д {-16; 16} 12.28. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та множинами їх коренів (А-Д). 1 >/-2х = 4 А 0 2 <Л4? = 4 Б {-64} 3 і/^4х = -4 4 ^2х = -2 В {-32} Г {32} Д {16} 12.29. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та кількістю їх коренів (А-Д). 1 х2-10хл/х+ 9х = 0 2 х + 10л/х + 9 = 0 3 х-5л/х + 4 = 0 4 х -Зл/х -4 = 0 А Один Б Два В Три Г Чотири Д Жодного 12.30. Установити відповідність між рівняннями (1—4) та їх коренями (А-Д). 1 (х-2)>/х + 1=0 2 (х + 1)7х-2 = 0 3 (х-1)7х-2 = 0 4 (х + 2)л/х-1=0 А -1; 2 Б 2 В 2 Г -1;1 Д І 131
Розв’яжіть завдання 12.31-12.47. Відповідь запишіть десятковим дробом. 12.31. Розв’язати рівняння >/х2 -5х + 1 = л/х-4 . 12.32. Розв’язати рівняння л/З-хл/2-х = \І2 . 12.33. Розв’язати рівняння д/4 + 2х - х2 = х — 2. 12.34. Розв’язати рівняння (х- 1)л/х2 -х-42 = 0 . У відповідь записати модуль різниці коренів. 12.35. Розв’язати рівняння у/х + 5 - 4х = 1. 12.36. Розв’язати рівняння >/х-1 + л/Зх-1 = л/х + 1 . / 5 — х їх 4- З 12.37. Розв’язати рівняння 7/---+ .7/----= 2. V х + 3 V 5-х 12.38. Розв’язати рівняння у/х2 -Зх + 5 = -х2 + Зх + 7. У відповідь записати модуль різниці коренів. 12.39. Знайти суму коренів рівняння (х + 1)(х - 4) = л/х2 -Зх + 7 + 9. г3/г-1 л/т2 — 1 12.40. Розв’язати рівняння —---------= 4 . V?-! ^ + 1 12.41. Розв’язати систему рівнянь Ту + 7-7х-9 = 2. У відповідь записати найбільше зі значень х0 абоу0, де пара (х0; уо) — розв’язок системи. 12.42. Розв’язати рівняння \/х2 -Зх-88 + л/176 + 6х-2х2 агссо$(х-10) = 0. 12.43. Розв’язати рівняння ^(2 - х)~ + ^(7 + х)2 - ^(7 + х)(2-х) = 3 . У відповідь записати суму коренів. 12.44. Розв’язати рівняння у/х + 1 - л/х + 3 = 0 . 12.45. Розв’язати рівняння >/х + 6 + л/х-1 + 2 л/х2 + 5х - 6 = 51 - 2х. 12.46. Розв’язати рівняння л/х + 6 + 4>/х + 2 ->/х + 6-4л/х + 2 =4. У відповідь записати найменший корінь. 12.47. Розв’язати рівняння дУ|х| +1 -= <7. У відповідь записати найбільше значення а, за якого рі- вняння має корені. 132
Тема 13. Ірраціональні нерівності Нерівність, яка містить змінну під знаком радикала або в основі степеня з раціональним показни- ком, називають ірраціональною. Наприклад, >/х-2 >3-7х, >/х + ^2х + \ <1, х3-х>3 — ірраціональні нерівності. Основним методом розв’язування ірраціональних нерівностей є піднесення обох її частин до сте- пеня. Необхідно звернути увагу на таке: 1. Піднесення обох частин нерівності до непарного степеня зі збереженням знака нерівності зав- жди є рівносильним перетворенням. Наприклад, розв’язати нерівність >/х-2 < -2. Можна виконати такі рівносильні перетворення: ^х-2^ < (-2)3; х - 2 < -8; х < -6; хє (-©о; -6). Відповідь, (-©о; -6). 2. Якщо обидві частини нерівності на деякій множині X визначені та набувають лише не- від’ємних значень, то при піднесенні обох частин нерівності до квадрата або іншого парного степеня зі збереженням знака вихідної нерівності одержимо нерівність, рівносильну вихідній на множині X. Наприклад, розв’язати нерівність ^2х-6 < 1. ОДЗ: 2х - 6 > 0; х > 3. Обидві частини вихідної нерівно- сті невід’ємні, отже, дана нерівність рівносильна на £)(/) нерівностям: (^2х-б) <16; 2х- 6<1; х < 3,5. Врахувавши ОДЗ, одержимо: 3 < х < 3,5. Відповідь. [3; 3,5). 3. Ірраціональні нерівності виду 2>//(х) < #(х), де #(х) < 0, розв’язків не мають. 4. Щоб уникнути помилок, при розв’язуванні ірраціональних нерівностей доцільно розглядати ті значення змінної, за яких усі функції, які входять до нерівності, є визначеними, тобто знайти £)(/) цієї нерівності, а потім обґрунтовано виконати рівносильний перехід на всій області визначення або на її частинах. Для розв’язування ірраціональних нерівностей можна застосовувати ще такі рівносильні пере- творення: /(х)>0; 1 < 8(х) <=> • §(х) > 0; /(х) < (#(х)) Наприклад, розв’язати нерівність >У4-х <х + 2. Замінимо вихідну нерівність системою нерівно- стей < 0 <х < 4; хє(0; 4]. Відповідь. (0; 4]. 2- 2<І/(х) > §(х) [#(х) < 0; І#(х) > 0; зокрема, нерівність /(х) > ^(х) рівносильна системі нерівностей < /(х) > &(х). 133
Наприклад: а) розв’язати нерівність /-->-1. ОДЗ:-------->0; ------ V1 - Зх 1 - Зх Зх -1 х*1; З 1 І х —3 і 1 — < х < 3. Оскільки . /-> 0 , то за всіх хє —; 3 виконується нерівність З \1-3х <3 х-3 1-Зх Відповідь. б) розв’язати нерівність >/4-х > х + 2. 1) - 2) хє [-2; 0). -5-20 4 3) запишемо відповідь, об’єднавши результати, отримані в 1) і 2), й одержимо: хє (-°о;-2)о[-2; 0) = = (—; 0). -2 0 Відповідь, (-оо; 0). Розв ’язування ірраціональних нерівностей виду ^/(х) + Ьо Ь/ (х) + с Розв’яжемо нерівність л/2х2-8x4-12 <х2-4х-6. Виконаємо перетворення: ^2х2 -8x4-12 < <-^-(2х2 -8x4-12)-12. Уведемо нову змінну: \І2х2 -8x4-12 = /, />0. Отримаємо: /<±і2-12; і2 - 21 - 24 > 0; і\ - 6,12 - -4. Урахувавши, що і > 0, маємо: / > 6. х -4 6 Повертаємося до заміни: >/2х2 - 8x4-12 > 6; 2х2 - 8х 4- 12 > 36; х2 - 4х - 12 > 0. хє (—о°; -2)о(6; 4-оо). Відповідь, (-оо; -2)о(6; 4-оо). Розв’язування ірраціональних нерівностей виду >1ах + Ь 4- уісх + (і о у/кх+ т Розв’яжемо нерівність у/х + 3 > \І2х-\ + л/х-1. ОДЗ: х>0,5; х> 1. Оскільки обидві частини нерівності невід’ємні, то піднесемо їх до квадрата й одержимо: х4-3>2х-14-х-14- 5-2х>0; < х>1; 4(2х2 - Зх 4-1) < 25 - 20х 4- 4х2; хє[1; 1,5). Відповідь. [1; 1,5). 1<х<2,5; ' 8х2-12х4-4<25-20х4-4х2; 1<х<2,5; 4х2 4-8х-21<0; 1<х<2,5; -3,5 < х < 1,5; 134
Розв'язування ірраціональних нерівностей методом інтервалів Алгоритм розв’язання складається із таких кроків: 1. Звести нерівність до видуХХ) > 0 абоХ*) < 0. 2. Знайти £>(/). 3. Знайти нулі функції Дх), розв’язавши рівняння Дх) = 0. 4. Позначити нулі функції та знайти знаки функції на кожному із проміжків, на які розбито £>(/). 5. Записати відповідь, урахувавши знак нерівності. Наприклад, розв’язати нерівність 2>/х + л/5-х >-Ух + 21. 1. Зведемо нерівність до виду 2>/х + л/5-х ->/х+ 21 > 0. Нехай /(х) = 2>/х + л/5-х ->/х + 21. х> 0; 2. £>(/): <5-х>0; х + 21>0; х> 0; х<5; х> - 21; 0<х<5. 3. Нулі функції 2>/х + л?5-х -л/х + 21 = 0. 2>/х + >/5-х = -Ух + 21; 4х + 5-х + 4л/х>/5-х = х + 21; 4л/ 5х — х2 =16 — 2х; 2уі5х-х2 = 8 - х; 4( 5х - х2) = 64 -16х + х2; < 0 < х < 5; 8-х>0; 5х2 -36х + 64 = 0; ' 0<х<5; х,=4; < х2 =“; X] =4;х2 = 3,2. 0<х<5; 4. Розбиваємо £>(/) точками 4 і 3,2 на проміжки і знаходимо знак / (х) = 2>/х + л/5-х - -Ух+ 21 на кожному із проміжків: х 5. Відповідь. (3,2; 4). Ірраціональні нерівності з параметрами Розв’яжемо нерівність \Іх + а + 4х < а. Оскільки ліва частина нерівності за умов х>0тах + а>0 невід’ємна, то якщо а < 0 нерівність розв’язків не має. Якщо а > 0, то отримаємо ^х + а <а-4х\ а - 4х > 0; < а-, < а-, 4х < а', , і~\~ ] г ї,— у і- а _ і За умови а < 1 нерівність х + а<\а-у/х\ ; [х + а<а2-2ау/х + х; \2а\/х<а2-а; >/х < . розв’язків не має. Якщо а>\, то тому система рівносильна нерівності а1, звідки хє 0; 4 Відповідь. Якщо а < 1, то хє 0; якщо а > 1, то х є 135
Приклад 1, Розв’язати нерівність л/2х + 3 > -4. А Б в г д (-3,5; +°°) (6,5; +оо) (1,5;+°°) [6,5; +оо) [-1,5; +°°) >/2х + 3 > -4. Розв’язки нерівності— усі допустимі значення х. Отже, 2х + 3>0; 2х>-3; х >-1.5. Відповідь. Д. Приклад 2. Розв’язати нерівність V*3 ~2х > х + 2. Піднесемо обидві частини нерівності л/х3 -2х >х+2 до куба: х3 - 2х > х3 + 6х2 +12х + 8; п 4 ( 4 6х2 + 14х + 8 < 0; Зх" + 7х + 4 < 0; х, = -1, х9 - —; х є —; -1 . 1 2 З І 3 ) ( 4 А в Відповідь. —; -1 . Приклад 3. Розв’язати нерівність >/9х-20 < х. А Б в Г Д Ґ20.Х V 9 ’ > Ж 4^0(5;+-) [5; +°°) < 9 > і <Х5; +°°) (5; +°°) 9х-20>0; <х>0; (>/9х-20)2 <х2; [х>—; 9 х> х > 0; * 9х-20<х2; Iх 20. 9 X] = 4, Х2 = 5; < -9х + 20>0; [х>—; 9 хє(—;4) ю(5; + °°). хє —; 4І и(5;+оо) Відповідь. Б. Приклад 4. Розв’язати нерівність Л(х2 - 5х + б) > 2 - х. А Б в г д (-°°; +оо) (2; +оо) [3; +°°) 2)о(2; +°о) (-оо; 2)о(2; 3)0 о(3; +°о) ченням Замінимо вихідну х2 - 5х + 6 > 0; х2 -5х + 6>2- х2 - 5х + 6 < 0; -(х2 -5х + 6)> нерівність на нерівність |х2 - 5х + 6| > (1) Розв’яжемо систему (1): (2) 2-х. 2-х; далі розкриємо модуль за озна- х2-5х + 6>0; Г(х-2)(х-3)>0; х2-5х + 6>2-х; [х2-4х + 4>0; хє(-оо; 2)о[3;+оо). х Ф 2; 136
Розв’яжемо систему (2): х2 - 5х + 6 < 0; х2 - 5х + 6 < х - 2; (х-2)(х-3)<0; х2 — 6х + 8 < 0; 2 < х < 3; [2<х<4; хє(2; 3). --------------------------------------------Г 2 3 4 Об’єднавши результати, одержимо: 2 3 Х хє(-о°; 2)0(2; +~). Відповідь. Г. Приклад 5. Розв’язати нерівність -\/х2 — Зх - 4 < л/х2 - 5х + 6 . А Б В г д (—;-!] Н-1]и[4; 5) [4; 5) (—;-1М4; 5) (-~; 5) х2-Зх-4>0; Дана нерівність рівносильна системі: < х2 - 5х + 6 > 0; х2 - Зх - 4 < х2 - 5х + 6; (х + 1)(х-4)>0; «(х-2)(х-3)>0; 2х < 10; \ 7 хє(-оо; -1)и(4; + «>); < хє(-оо; 2)и(3; + °о); х<5; хє(-оо; -1]о[4; 5). Відповідь. Б. х — 3 Приклад 6. Розв’язати нерівність ----< 0. V 1 —5х А Б В г д 0,2; 3 (0,2; 3] 3 [3; +°о) 0 / х — з Ураховуючи, що ------> 0 для всіх допустимих значеннях х, можемо зробити висновок, що х — З х З розв’язком заданої нерівності є лише розв’язок рівняння --= 0; —-----= 0; х ~ 3. \1-5х 1-5х Відповідь. В. Приклад 7. Розв’язати нерівність ^2-х + у!х-\ > 1. У відповідь записати найменший цілий розв’язок нерівності. ОДЗ: х - 1 > 0; х > 1. Перепишемо нерівність у вигляді: л/2-х > 1 -у/х-1 й піднесемо обидві частини нерівності до куба: (л/2-х) >(1-; 2-х>(1-. Не- хай л/х-1 = /. Тоді останню нерівність перепишемо у вигляді: 1—ґ2 > (1 — ґ)3» (1 _ 0(1 + 0 > (1 - 03> (1 - Г)(1 + і - 1 + 2/ - /2) > 0; (1 - /)(3/ - /2) > 0; /(/ - 1)(/ - 3) > 0. 137
З * і>3; л/х-1>3; Гх-1>9; х>10; О< і < 1; о < 7х-1 <]; [0 < х -1 < 1; |_1 < х < 2. Отже, хє (1; 2)о(10; +°°). Найменший цілий розв’язок дорівнює 11. Відповідь. 11. Приклад 8. Знайти кількість цілих розв’язків нерівності (х-2)>/16-х2 <0. хє[-4; 4]; ОДЗ: 16 - х2 > 0; (х - 4)(х + 4) < 0; -4 < х < 4; хє [-4; 4]. Тоді: х = -4; х = 4; звідки х - 2 < 0; хє [-4; 4], х = -4; х = 4; х = 2; -4< х< 2. Отже, хє [-4; 2]о{4}. Цілими розв’язками є: -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 4, усього їх є 8. Відповідь. 8. Приклад 9. Розв’язати нерівність у]5х + 8-6\/5х-1 + >/5х + 24-10^5х-1 < 2. (*) У відповідь за- писати суму цілих розв’язків нерівності. л/5х + 8-6>/5х-1+-\/5х + 24-10л/5х-1 <2. Нехай л/5х-1 =(, ґ>0. Тоді 5х-1=?; 5х + 8 = ? + 9; 5х + 24 = ? + 25. Тоді маємо: -6ґ + 9+ >//2-10/ + 25 <2; ^(ґ-З)2 + ^(/-5/ <2; |ґ-3| + |ґ-5| <2. (**) 1. ОДЗ нерівності (**): /є Я, але за умовою і > 0. 2. Нулі підмодульних функцій: і\ = 3; І2 = 5. П. 0</<3; Ґ0<ґ<3; Ґ0<ґ<3; -/ + 3-ґ + 5<2; 1-2Г<—6; Ь>3; 'З < і < 5; /-3-Г + 5<2; |0ґ<0; ґ = 3; III. ( розв’язків немає. / —3 + ґ —5<2; [2/<10; Ц<5; Отже, 3 < і < 5. Повернемося до заміни: 3 < л/5х-1 <5; 9 < 5х - 1 < 25; 10 < 5х < 26; 2 < х < 5,2. Цілі розв’язки: 2, З, 4, 5, а їхня сума 2 + 3 + 4 + 5 = 14. Відповідь. 14. Приклад 10. За якого найбільшого цілого значення параметра а будь-яке х із проміжку [1; 5] за- довольняє нерівність Зах + 2>/Зх + 1 -6х + а- 5<0? Задана нерівність на проміжку хє[1;5] рівносильна нерівності: (Зх + 1)а < 6х - 2л/3х +1 + 5; 6х + 5 2 а<-------------, ; а<2+--------------? ; а<----------2---------• 2!— + + - + + 2; «< — + ./—---------— Зх+1 /Зх + 1 Зх + 1 л/Зх + 1 Зх + 1 73х + 1 3 3 3 3 Ц/Зх+1 З 138
/ 3 л/З 8 । З 3 8і Рівняння , /— ----•*— = 0 має єдиний корінь х = — ------= — <=> Зх +1 = 9; х = — і цей корінь нале- \3х + 1 З З ^Зх + 1 9 3> жить проміжку [1; 5]. Доходимо висновку: лише якщо а<-|, то будь-яке хє[1; 5] задовольняє почат- кову нерівність. Отже, а < —, а є ( -оо; — 1 найбільше ціле значення а = 1. З < З/ Відповідь. 1. Завдання 13.1-13.20 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 13.1. Знайти множину розв’язків нерівності у[х > -3. А Б В г д п 0 (9; +°°) [0; (0; +«>) 13.2. Розв’язати нерівність л/х > 5 . А Б в Г Д [0; +оо) [5; +°°) [25; +со) (5; +°°) (25; +оо) 13.3. Розв’язати нерівність >/х < 4. А Б в г Д (—; 16] (0; 2] [0; 2] (0; 16] [0; 16] 13.4. Знайти множину розв’язків нерівності л/х<-2. А Б В г Д К 0 (-~ ;-2) -4) [0; 4) 13.5. Розв’язати нерівність ух <2. А Б в г Д [0; 2) [0; 8) (—; 16) [0; 16) (0; 16) 13.6. Розв’язати нерівність Цх>~2. А Б в г Д (-8; +°°) (0; +о©) (8; +«>) (-8; 0) (-8; 0] 13.7. Знайти множину розв’язків нерівності ^х + 3 > \/х-1 . А Б в г Д п [3; +°°) [і; +о°) (і; +°°) [3; +©о) 13.8. Розв’язати нерівність >/х < х. А Б в г Д [1;+°о) [0; +°°) [0;і] {0}о(1;+оо) {0}о[1;+оо) 139
13.9. Скільки цілих розв’язків мас нерівність \/2х > х ? А Б в г Д Жодного ОДИН два три більше, ніж три 13.10. Розв’язати нерівність (х + 4)а/-х > 0 . А Б В Г д 0 (-4; 0) (-4; 0] (—4; +°°) {0}о(4; +оо) 13.11. Скільки цілих розв’язків має нерівність (5 -х)>/х > 0? А Б в г д Три чотири п’ять шість більше, ніж шість 13.12. Розв’язати нерівність (х - б) \[х > 0 . А Б в г д (0; [0; +°°) (6; +<*>) [6; +оо) {0}о[6; +°о) 13.13. Розв’язати нерівність (х + 1)>/х + 3 <0. А Б В Г Д 0 [-3; +<*>) [-1; +°о;) [—3;—1] [і;?] 13.14. Розв’язати нерівність л/х2 - 9 < х . А Б В г Д —3]о[3; +оо) (3; +о°) [3; +°°) (—;-з] 0 13.15. Знайти множину розв’язків нерівності л/х2 -1 > х. А Б в г Д 0 Н;і] (-оо; —1]о[1; +°°) (—;-!) (—;-!] 13.16. Знайти множину розв’язків нерівності л/3х + 7 < х +1. ,А Б в г Д Г-2; + ~) ІЗ 7 (-1; 0) (3; +°°) [3; +°°) (-1;3) 13.17. Серед наведених нерівностей вказати ту, множина розв’язків якої містить множину натураль- них чисел. А Б в г д л/х > 1 >-і 4х<-\ \[х <1 7-х > -і 13.18. Серед наведених нерівностей вказати ту, множиною розв’язків якої є відрізок [-2; 0]. А Б В Г д II * 1 IV кП 4х>уі2 у/х<УІ2 л/^х<>/2 уГх<-Л 140
13.19. Розв’язати нерівність -Ух-3^х-2^/5-х < 0. А Б в г Д [3; +~) [5; +°°) (—;3] [2; 3] [2; 3]о{5} 13.20. Знайти суму цілих розв’язків нерівності ^/х-Зл/х-Зл/о-х >0. А Б В Г д 14 12 9 7 6 Завдання 13.21-13.27 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 13.21. Установити відповідність між заданими нерівностями (1-4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 Л2 +1 > -2 2 Тх+ї<-2 З -=!==>0 л/3 ~~ х 4 уіх > >/2х —З А (—°°; + °°) Б (-оо; -7з)и(7з; +«) В (-оо; 3) Г 0 Д (1,5; 3) 13.22. Установити відповідність між заданими нерівностями (1—4) та рівносильними їм нерівностями або системами (А-Д). 1 >/х2 + 7 > х А х2 + 2х > 9 2 УІХ-2 < у/1 - х Б соз X < -у/ї 3 -\Іх2 + 2х > -3 В 2х<3; . . [х —1>0 4 >/2 —х >ух-1 Г 8ІПХ>- — 2 Д х2+2х>0 13.23. Установити відповідність між нерівностями (1-4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 у/х > -4 А [—4; +°°) 2 л/х + 4>0 Б [-2; +оо) 3 4 О ЛІ СЧ СЧ ЛІ І В [0;+оо) Г [2;+оо) д [4; +~) 13.24. Установити відповідність між нерівностями (1-4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 у/х <2 А [-2;0] 2 у/х <-2 Б [-2; 2] В [0;4] 3 у/х-2<2 Г [2; 6] 4 у/х + 2<2 д 0 141
13.25. Установити відповідність між нерівностями (1-4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 4-х > -л/з 2 уГ4і<-4з з 7^х>7з 4 4-х<4з А(-о;-3] Б (-о» ; 0] В [-3;0] Г [0;+«=) Д 0 13.26. Установити відповідність між нерівностями (1-4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 л/х + 2 > 4х 2 4х > 4х-2 З 4х + 2 > 4-х 4 4-х > 4х-2 А 0 Б [-2;+оо) В [-1;0] Г [0; +°о) Д [2;+~) 13.27. Установити відповідність між нерівностями (1-4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 л/х > х 2 4х <х З 4-х > х 4 4-х < х А 0 Б (-°°; 0] В [0; 1] Г [1 ;+<*>) Д {0} Розв’яжіть завдання 13.28-13.40. Відповідь запишіть десятковим дробом. 13.28. Розв’язати нерівність 4х2 - 7х + 5 > л/Зх-4 . У відповідь записати найменший цілий розв’язок нерівності. І2х-3 /х-2 13.29. Розв’язати нерівність ./--->./-----. У відповідь записати добуток усіх цілих розв’язків не- V 4х -1 V х + 2 рівності. 13.30. Розв’язати нерівність ЛДх-3)(2-х) <3 +2х. У відповідь записати добуток усіх цілих розв’язків нерівності. 13.31. Розв’язати нерівність 4-х2 + 6х - 5 > 8 - 2х. У відповідь записати добуток усіх цілих розв’язків нерівності. — 1 13.32. Розв’язати нерівність -----<1. У відповідь записати суму всіх натуральних чисел, які не є х-2 розв’язками нерівності. 13.33. Розв’язати нерівність (х-1)7х2 - х-2 >0 . У відповідь записати найбільше ціле від’ємне чис- ло, яке не є розв’язком нерівності. 13.34. Розв’язати нерівність 7х-6 -7x4-10 <1. У відповідь записати найменший цілий розв’язок нерівності. 13.35. Розв’язати нерівність 72х-14-7х4-15<5. У відповідь записати суму найбільшого та най- меншого розв’язків нерівності. 142
13.36. Розв’язати нерівність л/Зх2+5х + 7 --уЗх2+5х + 2 >1. У відповідь записати суму всіх цілих розв’язків нерівності. 13.37. Розв’язати нерівність ^Зх-2)2 >х + 6. У відповідь записати суму всіх цілих чисел, які не є розв’язками нерівності. 13.38. Розв’язати нерівність |>/х-2 -з|>р7-х -2| +1. У відповідь записати добуток усіх цілих розв’язків нерівності. 13.39. Розв’язати нерівність уі25-х2 < —. У відповідь записати добуток усіх цілих розв’язків нерів- х ності. 13.40. Розв’язати нерівність розв’язків нерівності. 11-л/25-х2 X < 2. У відповідь записати модуль добутку усіх цілих 143
Тема 14. Показникові рівняння Рівняння, яке містить змінну в показнику степеня, називають показниковим рівнянням. Рівняння виду ах = 6, де а > 0, а Ф 1, називають найпростішим показниковим рівнянням. Напри- ґ 2У клад, 5 х =125; =1,5 тощо. Якщо 6>0, то розв’язком рівняння а=Ь є х = 1о§а6; якщо Ь < 0, то рівняння ах -Ь коренів не має. Показникові рівняння найчастіше розв’язують шляхом логарифмування обох його частин: • рівняння виду </х) = Ь, де а > 0, а Ф 1, Ь > 0 розв’язують, логарифмуючи обидві його частини за основою а. Отримують рівносильне рівнянняУ(*) - Іо&Д • рівняння виду де а > 0, а Ф 1 рівносильне рівнянню/(х) = #(х); • рівняння виду дЛх) = де а > 0, а 1, 6 > 0, Ьф \ рівносильне рівняннюДх) = §(х)]о%аЬ. Зведення до однієї основи лу-4 Розв’язати рівняння 27 Зх = . Маємо: 27 Зх = ; 27 Зх = 24 х; 7 - Зх = 4 - х; 2х = 3; х = 1,5. Відповідь. 1,5. Розв’язати рівняння 728,п+^ =1. Одержимо: 7281П+^ =1; уЗзш+Тз _ уо. 28Іпх + л/з=0; 8Іпх = -^; X = (-1)Л+1 у + ли, иє 7. Відповідь. х = (-1)п+1у + пп, пєХ. Рівняння а^х) = Ь^х\ які не зводяться до однієї основи Розв’язати рівняння Зх+2 = 5Х+2 (основи різні, показники однакові). Розділимо обидві частини рів- О Л' + 2 няння на 5Х+2 Ф 0. Одержимо: = 1; о ; х + 2 = 0; х = -2. Відповідь. -2. Розв’язати рівняння 32х-1 = 53-х. Прологарифмуємо рівняння за основою 10 (логарифмувати мож- на й за основою 5 або за основою 3): 1§32х-1 = 1§53-х; (2х-1)1§3 = (3-х)1§5; 2х1§3+х1§5 = 31§5 + 1§3; х(2183 +1§5) = 3185 +183, звідки х = ^ + ^3 = ^5_3| = 1^ = 21§3 + 1§5 1§(3-5) 1^45 Відповідь. 1§45375. Винесення спільного множника за дужки Розв’язати рівняння 2 • Т +1 - 6 • 7х"1 - 7х = 85. Винесемо за дужки 7х’1 — множник з найменшим показником. Матимемо: 7х" '(2 • 72 - 6 - 7) - 85; 7х’1 • 85 = 85; 7х”1 = 1; 7х-1 = 7°; х- 1 = 0; х= 1. Відповідь. 1. Рівняння, які зводять до квадратних 1. Рівняння виду А а2х + В- <1х+С = 0 Уведемо нову змінну о1 = і, і > 0 й одержимо квадратне рівняння. Наприклад, розв’язати рівняння 2а - 10 • 2х + 16 = 0. Нехай 2х = і, тоді маємо: ? - 10? + 16 = 0; ?! = 2; 2Х=2; Гх = 1; Повертаємося до заміни: ?2 =8. 2х =8; |_х = 3. Відповідь. 1; 3. 144
2. Рівняння виду А а* + В • ах = С За допомогою заміни 0х = і, і > 0 рівняння можна звести до квадратного. Наприклад, розв’язати рівняння 5х + 3 • 5-х = 4. Нехай 5х = і, тоді маємо: і + — -4; і1 2-4і +3-0; З Повертаємося до заміни: 5х = 1; х = 0; 5х = 3; |_х = 1о§53. Відповідь. 0; 1о§53. Однорідні показникові рівняння А • а2* + В • а* • Ьх + С • Ь2* = 0 / ґ іЛ2х Поділимо обидві частини рівняння на а2* 0, тоді одержимо рівняння А + В — =С 1—1 . Ви- '•а' конаємо заміну [ — ] = і, і > 0, і зведемо це рівняння до квадратного. 'а' Наприклад, розв’язати рівняння 3 • 16х + 2 • 81х = 5 • 36х. Маємо: 3 - 16х + 2-8Iх-5 • 36х; /.\2х ( д\х З • 42х + 2 92х = 5 • 4х • 9х. Поділимо обидві частини на 92х 0: 3 • — - 5 • — +2 = 0. Нехай <9? і > 0, тоді маємо: 3? - 51 + 2 = 0; '. = і; . з Повертаємося до заміни: Ґ4Ї _ 2 Ґ4У = Ґ4Г. {<)) І9^ ’ х = 0; Ґ2У\2. І2х = 1; ^3> З’ х = 0; х = 0,5. Відповідь. 0; 0,5. Рівняння виду Ах + 8х = С, де А • В - 1 Уведемо заміну Ах = ґ, і > 0. Тоді Вх = | і рівняння можна звести до квадратного. Наприклад, розв’язати рівняння - 6. Нехай = /, і > 0. Тоді 1 Іл/з + 2>/2 Повертаємося до _і2=3-2у/2. 1 і , /,=3 + 2>/2; = -. Одержимо: і + - = 6; і-6і+1=0; і і заміни: = 3 + 2>/2; (з + 2 >/2)2 = 3 + 2>/2; х - 2; х = -2. Відповідь. ±2. Використання монотонності функцій Розв’язати рівняння 2х = 3 -х. Методом підбору знаходимо, що х = 1 — корінь рівняння. Функція у = 2х — зростаюча, а функція у-3-х — спадна, тому цей корінь — єдиний. Відповідь. 1. 10* Капіносов А. Математика. Комплексна підготовка до ЗНО 145
Розв’язати рівняння 12х + 5х = 13х. Поділимо обидві частини рівняння на 12х Ф 0: 1 + • Методом підбору знаходимо, що х - 2 — корінь рівняння. Функція у = 1 + — спадна, а функція у - — зростаюча (а > 1), тому графіки цих функцій перетинаються не більше як в одній точці. Відповідь. 2. Показниково-степеневі рівняння — рівняння, які мають змінну в показнику степеня і в основі Розв’язування рівнянь виду (/(х))г(х) = (/(х))7” зводиться до випадків: 1 .Лх)=1. 2 .Лх) = -1. З .Лх) = 0. 4 . #(х) = т. Наприклад, розв’язати рівняння (х + 1)* +х =(х + 1) . Для відшукання коренів рівняння потрібно розглянути чотири випадки: 1. х + 1 = 1, звідки х - 0. Одержимо: 1-4=12;1 = 1.х — 0 — корінь рівняння; 2. х + 1 - -1, звідки х = -2. Одержимо: (-1)"2 - (-1)2; 1 = 1. х = -2 — корінь рівняння; 3. х + 1 - 0, звідки х - -1. Одержимо: вираз О-4 не має змісту, тому х = -1 не є коренем рівняння; 4. х2 + х - 4 = 2; х2 + х - 6 - 0; Х\ - 2, х2 = -3. Відповідь. -3; -2; 0; 2. Показникові рівняння з параметром Розв’язати рівняння 3 • 4х-2 + 27 = а + а • 4х"2. Перетворимо задане рівняння: 3 • 4х-2 - а • 4х”2 = а - 27; 4Х-2(3 - а)- а- 27. Якщо а = 3, то маємо: 4х-2 • 0 - -24 — рівняння коренів не має. У випадку, коли а Ф 3, одержимо рівняння: 4х-2 = ———. Це 3-а а -27 рівняння матиме корені, якщо----->0, тобто коли ає(3; 27). Тоді за означенням логарифма маємо: 3-а -її я “27 _ 1 а-27 х-2 = 1о§4 —---; х = 2 + 1о§4 —--. 3-а 3-а а 77 Відповідь. Якщо а < 3 або а > 27, то рівняння коренів не має; якщо яє (3; 27), то х = 2 + 1о§4-. 3-я Приклад 1. Розв’язати рівняння 0,23х 1 = 7125 . А Б В г ’ д 5 3 1 6 0,4 0,23х-1 = 7125 ; (5’')ЗЛ’'=(53)2; 5’3х+'=52; -Зх + 1 = |; х = -|. Відповідь. Г. Приклад 2. Розв’язати рівняння 4х 1 -1,5 • 2Х+2 + 20 = 0 . А Б В Г Д ІО&20 2 2; 1о§220 10 4 146
4х 4х"1-1,5* 2Х+2+20 = 0; — -1,5-2х -22 +20 = 0; 4х-24-2х+80 = 0. Зробимо заміну: 2х = Г, то- ді 4х = і2. Одержимо: ґ2 - 24г + 80 = 0; ^ = 20, і2 = 4. Повертаємось до змінної х: 2х = 20; х = 1о§2 20 або 2А = 4 ; х = 2. Відповідь. В. Приклад 3. Розв’язати рівняння 3 • 4х - 5 • 6х + 2 • 9х = 0. А Б В Г д 0 1 2 3 і; - 3 0; і 3 • 4х - 5 • 6х + 2 • 9х = 0 ; 3 • 22х - 5 • 2х • 3х + 2 • 32х = 0. Поділимо обидві частини рівняння на вираз <2У* Ґ2У ґ 2У ( 2^2х 32х Ф 0 й одержимо: 3-^—-5*^—+ 2 = 0. Зробимо заміну: = а. Тоді = а2. Отримаємо: 2 Ґ2] За2 - 5а + 2 = 0; ах = 1, а2 = у . Повертаємося до попередньої змінної: = 1; х = 0 або 2У 2 і — = —; х = 1. ЗУ З Відповідь. Д. спадна. Тому дане рівняння має не більше одного коре- / 1 \ Зх+1 у = 7г+1 зростаюча, а функція у = 14 ня. Отже, інших коренів, крім х = 0, немає. Відповідь. В. х+4 2 Приклад 5. Розв’язати рівняння 5 х -124 • 5х - 25 = 0. А Б В Г д 1 4 2 0 0,5 х+4 2 ]+4 2 Зведемо степені лівої частини до одного показника: 5 х -124 • 5х - 25 = 0; 5 х -124- 5х -25=0; ґ - - 2 1 5-^5^ -124-5Х -25=0. Зробимо заміну 5х = а. Одержимо: 5а - 124а-25 = 0; а, =-—; а2 - 25. Пове- - 1 - 2 2 ртаємося до попередньої заміни: 5х =----коренів немає. 5Х=25; 5х =52; — = 2 ; х = 1. 5 х Відповідь. А. 147
Приклад 6. Знайти суму коренів рівняння І32х 29 - 27]>/5х + 18 = 0. А Б В Г д 0,4 -3,6 4 інша відповідь -7,6 ОДЗ рівняння: 5х+18 > 0; х >-3,6. Маємо: 1. З2*2’29 -27 = 0; 32?'29 = 33 ; 2х2-29 = 3; х2 = 16; X] = -4, Х2 = 4. Урахувавши ОДЗ, маємо: х = 4. 2. \/5х +18 = 0;5х+18 = 0;х = -3,6. Отже, коренями рі- вняння є числа -3,6 і 4, а їх сума дорівнює -3,6 + 4 = 0,4. Відповідь. А. Приклад 7. Знайти суму коренів рівняння Т + 2 х = 2соз2х. Оцінимо ліву й праву частини рівняння: 2 х + 2 х = 2х + > 2; 2соз2х < 2. Замінимо рівняння [2х+-^ = 2; (1) рівносильною системою: < 2 [2соз2х = 2. (2) 1 2 Розв’яжемо перше рівняння системи. Нехай 2х = /, і > 0. і + - = 2; г - 2/ + 1 = 0; і - 1; Т = 1; х - 0. Перевіримо, чи задовольняє корінь х = 0 друге рівняння системи: 2соз(2 • 0) = 2; 2 • 1 = 2; 2 = 2. Отже, х = 0 — розв’язок системи, а, отже, й даного рівняння. Відповідь. 0. Приклад 8. Розв’язати рівняння 3 • 4х + (Зх - 10) • 2х + 3 -х = 0. У відповідь записати більший ко- рінь. Нехай 2х = ґ, />0. Тоді З/2 + (Зх- 10)/+3-х = 0; З/2 + 3/х- 10/ + 3 -х = 0; 3/2--9/ + 3/х- -/ + 3- х = 0; 3/(/- 3 + х) - (/ - 3 +х) = 0; (/-3 + х)(3/ - 1) = 0; /, = 3 - х; Повертаємося до за- міни: 1) 2х = 3 - х (1). Ліва частина рівняння (1) — зростаюча функція, права — спадна; х = 1 — єди- ний корінь; 2) 2х (2); х = 1о§2^- =-1о§23. Отже, корені рівняння х- 1 та х = -1о§23. Більший ко- рінь дорівнює 1. Відповідь. 1. Приклад 9. За яких значень а рівняння 3х2+а + 4х +а + 5х*+а = 6х +а має тільки один корінь? Нехай х2 + а = і. Тоді маємо: 3/ + 4/ + 5і = 6Г. Підбором знаходимо, що і = 3 — корінь цього рів- няння. Покажемо, що цей корінь єдиний. Для цього поділимо обидві частини рівняння на 6' й одер- жимо: =1’ Оскільки функція /(/) = ^1^ +1б^ За дов*льних значень і спад- на, як сума спадних функцій і £(/) = (0; +«>), то її графік перетинає пряму у - 1 лише один раз (якщо і - 3). Отже, х2 + а = 3; х2 = 3 - а. Одержане рівняння має лише один корінь х - 0, якщо а - 3. Відповідь. 3. 148
Завдання 14.1-14.23 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 14.1. Розв’язати рівняння 5=8. А Б В Г д л/8 ^5 1о§58 1о§85 ±^5 14.2. 14.3. 14.4. Розв’язати рівняння 5х 9 = 5 і 3х - 3 = 0 та вказати суму їх коренів. А Б В Г д 0 1 8 9 11 х 1 х х+2 Розв’язати рівняння = 42х і 43х+1 = 8-2х-1 та вказати інтервал, який містить їх корені. А Б в г д (-3;-2) (-і; 0) (0;і) (і;2) Розв’язати рівняння 3х 5 = 9 2х 14.5. А Б В г д 1— 3 1 1,25 0 -і 2~2 1 Розв’язати рівняння 5<х+2ХхЧ) = 1 і (х2-4)(х-1) = 1 та вказати їх спільні корені. А Б В Г д -2; 2 і 1 2 і 1 -2 і 1 -2 і 2 2 14.6. 14.7. Якому з проміжків належить корінь рівняння 0,008х =5’ 2х ? А Б в г д [0;2] (-1; 5] (2; +°°) (0;і) (-3; 0] Серед наведених рівнянь вказати рівняння, рівносильне рівнянню 8х = 16 1 \32х А Б в Г д Зх = х - 1 1 И| Г4 II И сп _ 5х . Зх = 4 2 , 5х . Зх = 4 2 Зх = — -4 2 14.8. Яке з наведених рівнянь має корені? А Б В г Д 7х2 = — 2 7х =- 2 7ІхІ _ А. 2 7х =0 7Х=-— 2 14.9. Розв’язати рівняння 6х+1 = Зх+| і 2х 5 = 8х 5 і знайти суму їх коренів. А Б в Г д 4 -4 5 -5 53 14.10. Розв’язати рівняння 4х+2 - 4х+| + 4х = 39 . А Б В Г Д </з ^4 1о§34 1о§43 0 149
14.11. Знайти суму коренів рівняння 52х - 6 • 5х + 5 = 0. А Б В г Д 1 0 1 6 -5 14.12. 14.13. 14.14. 2 2 2 Встановити кількість коренів рівняння 3х -12 -3х +27 = 0. А Б в г д Жодного ОДИН два три чотири Розв’язати рівняння 7х2 = 2. А Б В Г д ±71о82 7 л/і0227 ±л/1о§7 2 л/1ое7 2 +І7 Розв’язати рівняння 2х • 3х 1 = 72 і >/2* • у/ї* = 196 і вказати суму їх коренів. 14.15. 14.16. 14.17. А Б В г д 8 7 6 5 4 / 2У ґ 9У 27 Розв’язати рівняння і 52х • 62х = 900 і вказати суму їх коренів. А Б В Г д 8 7 6 5 4 Знайти значення виразу 7х, якщо 7х - ( =6. <7> А Б В Г д 1 2 6 7 14 ( 2^ х Знайти значення виразу , якщо 3 • 22х + 2 • 32х = 5 • 6х . А Б В г Д 4 3 або 4 2 « , — або 1 3 0 або 1 4 Л , — або 1 9 14.18. 14.19. 14.20. Знайти значення виразу 2х, якщо 22 х - 2х 1 = 1. А Б В г д 2 2 або -4 1 4 2 або 4 1 11 Знайти значення виразу 9х , якщо 81х - 4 • 9х = 45 . А Б В Г д 4 або 9 -4 або 9 9 81 16 або 25 2 *+3 Указати проміжок, якому належить корінь рівняння 9х + 2 • З х -27 = 0. А Б в г Д [-4;-2] [-2; 0] [0;2] [2; 4] [4; 6] 150
14.21. Розв’язати рівняння 25Ш х + 2е08 х = 3. А Б В Г д 0 0 2лЛ, ке 7 кк, ке 7 — ,ке7 2 14.22. За якого значення параметра а рівняння 16х - (а +1) • 4х + а = 0 має один корінь? А Б В г д -2 -1 0 1 2 14.23. Знайти суму коренів рівняння (х2 + х + 1)х 3 = 1. А Б В Г Д 3 0; -1 -1; 0; 3 2 -2 Завдання 14.24-14.28 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 14.24. Установити відповідність між рівняннями (1—4) та їх коренями (А-Д). 1 5х = 7 2 х5 = 7 З 7х = 5 4 х7 = 5 А 57 Г 1о§75 Д ІО£57 14.25. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та кількістю їх коренів (А-Д). / . \ |Х-1| 1 І = 2|-х <2> (і \3 2 2к-"= - <2> х і \ -х+3 З 2-х+І= - <2> 4 2|х'" = ґ-1 \2> А Жодного Б Один В Два Г Три Д Безліч 14.26. Установити відповідність між парами рівнянь (1-4) та сумою їх коренів (А-Д). х 1ч 2х+1 1 6’2х =36 І - х 8 ( 8 \х+4 ( З 3х =243 і — = - Ч25> <2> А -2 Б 2 В -1 Г 5 Д 0 151
14.27. Установити відповідність між рівняннями (1—4) та значеннями (А-Д) виразу 2х” 1, де хо — ко- рінь рівняння. 1 2х-2х"2 =24 А 2 2 2Х+І-7-2х~2 =16 Б 4 3 2х+4-(£) =120 X X 1 — т В 8 Г 16 Д 32 4 Л 1 \1 2х+2 - - =56 <2> 14.28. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та сумами їх коренів (А-Д). <1УХ <іГх 1 - -8- - +16 = 0 <47 <27 2 4х-36-2Х+128 = 0 З 16х-20-4х+64 = 0 Лі Vх Ґ1)”х 4 - -ЗО- - +81 = 0 <9> <37 А З Б 4 В 5 Г 2 Д 7 Розв’яжіть завдання 14.29-14.43. Відповідь запишіть десятковим дробом. (./їУ* 14.29. Розв’язати рівняння 0,125 • 82х 5 = І-1 14.30. Розв’язати рівняння 02х • -у 4х • 0,125х = ^4 . У відповідь записати суму коренів рівняння. 14.31. Розв’язати рівняння 52 • 54 • 56 •... • 52х = 0,04~28. 14.32. Розв’язати рівняння 2'^х+2-2^+1 = 12 + 2'^“'. 14.33. Розв’язати рівняння 7 • 3х - 5Х+1 = Зх+3 - 5Х+2. 14.34. Розв’язати рівняння З2'^ _ і о • 3'^ + 9 = 0. У відповідь записати суму коренів рівняння. 2 1 14.35. Указати найбільше ціле значення параметра а, за якого рівняння 2 х + (а +1) • 2х + — = 0 має два 4 різних корені. 14.36. 4 1 Розв’язати рівняння ——= 2 • У відповідь записати суму коренів рівняння. 14.37. Розв’язати рівняння 8 • 8Г + 9 • 64х = 17 • 72х . У відповідь записати суму коренів рівняння. 14.38. Розв’язати рівняння 2СО52х = 3-2СО5 х -4. У відповідь записати —, де х0— найменший додат- п ний корінь рівняння. 14.39. Розв’язати рівняння 50 • 7^”^ - 7^^+1 -7 = 0. 152
36 ( б А 14.40. Розв’язати рівняння 32х + - (^Зх + — = 8 . У відповідь записати найбільший корінь рівняння. 14.41. Розв’язати рівняння 81- 14.42. Розв’язати рівняння |х - = 1. У відповідь записати найбільший корінь рівняння. 14.43. Розв’язати рівняння 25х - (2а +1) • 5х + а2 + а = 0. У відповідь записати найменше ціле значен- ня а, за якого рівняння має два корені. 153
Тема 15. Показникові нерівності Нерівність, яка містить змінну в показнику степеня, називають показниковою. Наприклад, 2 ґ 1 2* 2Х+3 < 7 ; 5х < тощо. Розв’язування показникових нерівностей, як правило, ґрунтується на влас- тивостях показникової функції, а саме: 1) функція у = ах зростає, якщо а > 1; 2) функція у = ах спадає, якщо 0 < а < 1; 3) функція у = ах набуває лише додатних значень. Показникові нерівності можна класифікувати за способами їх розв’язання: 1. Найпростіші та ті, які зводяться до найпростіших: а) зведення до однієї основи; б) винесення спільного множника за дужки; в) ділення обох частин на степінь. 2. Нерівності, які зводяться до алгебраїчних: а) зведення до квадратної нерівності шляхом заміни; б) однорідні. 3. Нестандартні показникові нерівності. Показникові нерівності виду а™ о Ь™ (а Ф Ь) зводяться до найпростіших шляхом ділення обох частин на Ь™ або а™ (Ь™ *0, а™ Ф 0) Наприклад, розв’язати нерівність 53х‘2 < 73х"2. Поділимо обидві частини нерівності на 73х'2 > 0. <5^3x4 Ґ5УХ~2 Ґ5Л° 5 Одержимо: ^у^ < 1. Приведемо нерівність до однієї основи: . Оскільки у < 1, то <2 одержимо: Зх - 2 > 0; хє . . (2 А Відповідь. ^у; + °°/ Нерівності виду Наприклад: а) розв’язати нерівність (0,5)* Маємо: ^-0 . Оскільки основа 0 < ± < 1, то отримаємо: х < 5; хє (-оо; 5]. Відповідь, (-оо; 5]. б) розв’язати нерівність 16х > 0,125. Маємо: 24х > 2-3. Оскільки основа 2 > 1, то отримаємо: 4х > -3; х > -0,75; хє (-0,75; +оо). Відповідь. (-0,75; +оо). Нерівності виду > Ь Необхідно розглянути випадки: 1) Ь < 0, тоді > Ь; хє £>(/); 2)/>>0,тоді а/(х)>&; /(х)>І0£а6, якщоа>1,і /(х)<І0£а/>, якщо0<а<1. Наприклад: а) розв’язати нерівність >-2. Оскільки >0, якщо хє/?, то >-2;хє/?. Відповідь, хє /?; 154
б) розв’язати нерівність 2х > 7. Одержимо нерівність 2х > 2ІО8і 1. Оскільки основа 2 > 1, то отрима- ємо: х > ІО&7; хє (1о§27; +оо). Відповідь. (1о§27; +<»). Нерівності виду При розв’язуванні нерівностей такого виду застосовують логарифмування обох частин за осно- вами а чи Ь. Врахувавши властивості функцій, одержимо: >Ь8(^ <=>Дх) > #(х)1°§о/>, якщо а> 1, д/(х) > < #(х)1О£о/>, якщо 0 < а < 1. Наприклад, розв’язати нерівність 113-х>32х-1. Прологарифмуємо обидві частини нерівності за основою 3 й одержимо: Іо&І 13-х > Іо&З2*" *; (3 -х)1о§311 > 2х- 1; (2 + ІО£31 1)х < 1 + ЗІо&П. Оскільки хє 1 + З1ое31Г 2 + 1о8зП, . Відповідь. І + ЗІоВдП 2 + І083П Розв’язування показникових нерівностей методом заміни змінної Нехай потрібно розв’язати нерівність 5х-5 5х+15 Уведемо заміну 5х = і. Тоді одержимо: _1_______2—<0- , + 15~2('~5)<о. -‘ + 25 <р- ________<2125____>0 1-5 ґ + 15’/-5 ґ + 15 (/-5)(ґ + 15) ’ (/-5)(/ + 15) (і-5)(г +15) /є (—15; 5)о[25;+оо). Повернемося до заміни: -15 < 5х <5; 5х > 25; 5х <5 , х<1; хє(-^о; 1)о[2; +оо). 5х >52; |_х>2; Відповідь, (-оо; 1)о[2; +оо). Зведення показникових нерівностей до найпростіших шляхом винесення спільного множни- ка за дужки Показникові нерівності виду • аІа+ь° + А, аІа+ь' + ... + Ап -ам' о В зводяться до найпростіших шляхом винесення за дужки спільного множника акх+ь‘, де />, — найменше з чисел Ьо, Ь\, Наприклад, розв’язати нерівність 3 • 4х + 2 • 4х +1 + 3 • 4х+ 2 < 236. Перетворимо нерівність і вине- семо спільний множник 4х за дужки: 3 • 4х + 8 • 4х + 48 • 4х < 236; 4Х(3 + 8 + 48) < 236; 4х • 59 < 236; 4х<4;х< 1. Відповідь, (-оо; 1]. Зведення показникових нерівностей до квадратних шляхом уведення нової змінної Показникові нерівності виду Аа2х + Вах + С о 0 зводяться до квадратних шляхом уведення за- міни 0х -1, і > 0. Наприклад, розв’язати нерівність 4"х+0,5-7 • 2“х-4<0. Нехай 2“х = /, г>0. Тоді 4-х = 2~2х = = (2~х) - Одержимо: 2? - 1і-4 < 0; 2^/ + -0(/-4)<О; —і- < і < 4. Врахувавши, що І > 0, маємо: 0 < і < 4. Тоді початкова нерівність рівносильна нерівності: 2"х < 4; 2~х < 22; -х < 2; х > -2. 155
Отже, хє (-2; +оо). Відповідь. (-2; +оо). Розв’язування нерівностей, які містять однорідні функції відносно показникових функцій Нерівності виду + А^^Ь* + + ... + Ап_хахЬ^х + А^™ о 0 є однорідними відно- сно функцій с? і Ьх. Поділимо обидві частини нерівності на й одержимо таку нерівність: X \лх х х(и-1)х X у X у 4 — + Л, — І +... + Лп_, — + Ап о 0, яку після заміни — = і, і > 0, можна звести до раціо- \Ь) \Ь/ \Ь; \Ь/ нальної нерівності А^і” + Л/"-1 + ••+ Лл_,/ + Ап о 0. Наприклад, розв’язати нерівність 2 • 9х - 5 • 6х + 3 • 4х > 0. Запишемо задану нерівність у вигляді 2 • 3іх - 5 • 2х • 3х + 3 • 221 > 0. Поділимо обидві частини на З2* > 0 й отримаємо: 2-5-ґ—+зї-1 >0. Нехай {з) Ш <з хє(-оо; 0]о[1; +оо). Відповідь. (-<»; 0]о[1; +а>). Степенево-показникові нерівності 1. Нерівності виду (/(х))*^ > 1 • -| £1; з) 2Ї<2 з) ' З тоді одержимо: 3? - 5ґ + 2 > 0; = 1, 2. З’ 0</(х)<1; Наприклад, розв’язати нерівність (4х2 + 2х +1)* > 1. (4х2+2х + 1) > 1 <=> (4х2 +2х + 1) х >(4х2 +2х + 1)° <=> 0< 4х2 + 2х + 1 < 1; х2 - х < 0; 4х2 + 2х + 1>1; х2 - х > 0; 4х2 + 2х + 1>0; - 4х2+2х + 1<1; х2 - х < 0; 4х2 + 2х>0; х2 - х > 0; —©о < х < +°о; < х(х + 0,5) < 0; х(х-1)<0; <=> х(х + 0,5)>0; х(х-1)>0; -0,5 < х < 0; 0 < х < 1; х>0; х < -0,5; ' х>1; х<0; х< -0,5; х>1; х<-0,5. Отже, хє (-оо; -0,5)и(1; +оо). Відповідь, (-оо; -0,5)о(1; +оо). 2. Нерівності виду (/(х))г^ < 1 • 0</(х)<1; £(х)>0; &(х)<0. 156
Наприклад, розв’язати нерівність (3 - х) з-* < 1. / \ Зх~5 / \0 (з - х) 3-х <1 <=> (з - х) 3-х < (з - х) <=> 0<3-х<1; Зх - 5 > 0; 3-х 3-х>1; —- < 0; . 3-х -З < -х < -2; | х-—](х-3)<0; 3>К ' х<2; | х-—1(х-3)>0; ІА з" 1 2 < х < 3; — <х<3; ІЗ х< 2; <=> Гх> 3; 2<х<3; Отже, хє °°; о(2; 3). Відповідь. и(2; 3). 3. Нерівність виду (/(х))Ф^ > (5’(х))4’1^ Нерівності такого виду найпростіше розв’язують логарифмуванням обох частин зі збереженням знака початкової нерівності, якщо основа логарифма а > 1, і зі зміною знака на протилежний, якщо основа логарифма 0 < а < 1. Наприклад, розв’язати нерівність — х1о?2Х <2ІОб2Х. Знайдемо ОДЗ: х> 0. Прологарифмуємо обидві частини нерівності за основою а = 2>1 на її ОДЗ: І0£2^х'°Є2<ІО£2(2'°82'); 1о§2+ 1о§2х'°821 < < 1о§, х • ІО£2 2; -2 + 1о§2 х • 1о§2 х < 1о§2 х; 1о§2 х - 1о§, х - 2 < 0. Уведемо позначення: і = 1о§, х, тоді одержимо нерівність: ?-ґ-2<0; /і=-1, /г = 2; -1<ґ<2. Повертаємося до заміни: 1о£2х>-1; ІО£2 х < 2; Приклад 1. Розв’язати нерівність 0,52х+7 <4. А Б В Г Д 5] [-2,5; +оо) Н,5; +о°) (-~ ;-2,5] [2,5; +оо) т2х+7 гіг2 0,52х+7<4. - < - ; 2х + 7 >-2; 2х >-9; х>-4,5. хє[-4,5;+«> Відповідь. В. 157
Приклад 2. Розв’язати нерівність 58х+| + 58х 1 < 130 . А Б В Г Д (—;-0,25) (-~; 0,25) (-0,25; +оо) (0,25; +оо) (-~;4) 58х 58х+і+58хЧ <130 . 5-58х +— <130 5 8х < 2; х < 0,25. хє (-о°;0,25). Відповідь: Б. х+1 Приклад 3. Розв’язати нерівність 4х- х5; 25 • 58х + 58х < 650; 26-58х<650; 58х < 25 ; 58х<52; і 17-2х+4>0. А Б В Г Д ґо;-! V 2> ґ--;о] V 2 ' 'Неч Нсч 1 кИ— о С о <2 > 1 4х =(2 х+1 1 ^1 1 11 1 4 х -17-2х+4>0; 4 х-17-2х+4>0; 4-4х -17-2х +4>0. Зробимо заміну: 2х = а. Тоді 1 ( іу і 2)Х=І 2х 1 =а2. 4а2-17а + 4>0; а, =4, а2=-. а <— або а > 4. Повернемось до заміни: 4 - 1 - 1 1. 2х <-; 2х < 2'2; -<-2; 4 х '-^<0 X - _2 1 . 1-2х л V 2/ 2. 2х > 4; 2х > 22; - > 2 ;-> 0;-< 0. XX X Отже, хє о) ° (о; Відповідь. Г. 158
Приклад 4. Розв’язати нерівність 3х"3 > 5х2"7х+12. У відповідь записати найменший цілий розв’язок нерівності. Прологарифмуємо обидві частини нерівності за основою 5. Оскільки 5 > 1, то знак нерівності зберігається. Тоді: (х- 3)1о§53 >х2 - 7х + 12; (х- 3)1о§53 > (х-3)(х-4); (х - 3)(х-4 - 1о§53) < 0. 4+ІО&3 х Отже, хє (3; 4 + 1о§53). Найменший цілий розв’язок — 4. Відповідь. 4. Приклад 5. Розв’язати нерівність ^4 + \/15^ + ^4-^15^ <8. У відповідь записати найбільший цілий розв’язок нерівності. Очевидно, що 74 + 715-74-715=1, звідки 74-7Ї5 = -. Виконавши заміну: 74 + 715 (74 + 715) = І, і > 0, одержимо: і +1 < 8; ґ2-8? + 1<0. ґ|2 = 4±7ї"5 4-У15 <ґ<4 + >/15. Задана нерівність рівносильна нерівності 4 - <4 + ТЇ5; (4 + 715)<(4 + ТЇ5)2 <(4 + 715)'; -1 < — < 1; -2 < х < 2. Найбільший цілий розв’язок — х = 1. Відповідь. 1. Приклад 6. Розв’язати нерівність 31+'^‘ + З2 > 28. У відповідь записати найменший цілий розв’язок нерівності. І 31+^ + З2-^ > 28; 3 • З^1 + > 28. Нехай 3^*=ґ, />0. Тоді задану нерівність можна записатитак: Зґ + —-28>0; Зґ2-28/ + 9>0; 3[/-Г|(/-9)>0; , і V 3^ ’ х />9. Повернемося до заміни: 1)3'/^‘<-|; 3^ <3~'; 7х + 1 < -1 2) 3^ > 9; >/х + 1 > 2 ; х > 3. Найменший цілий розв’язок — х = 3. Відповідь. 3. нерівність розв’язків не має; 159
Приклад?. Розв’язати нерівність (х2 + х + 1)х+2 >(х2 + х + 1) . У відповідь записати суму цілих розв’язків нерівності. Оскільки х2 + х + 1 > 0 для всіх значень х, то вихідна нерівність рівносильна сукупності двох систем нерівностей: х2 + х +1 > 1; х + 5 > ->. .х + 2 х2 + х +1 < 1; Х + 5 <7. .х + 2 х2 + х > 0; ’ х + 5 - Зх - 6 > д. 0) х + 2 х2 + х < 0; ' х + 5-Зх-6 < д (2) х+2 Розв’яжемо систему (1): < Розв’яжемо систему (2): < х -2; х(х +1) < 0; 21 х + — І (х х Ф -2; 1. 2’ хє(-2;-1]. 1. 2’ хє ;0 . І 2 ] Об’єднавши розв’язки систем (1) і (2), одержимо: хє(-2; -1]о Цілими розв’язками є -1 і 0, а їх сума дорівнює -1 + 0 = -1. Відповідь. -1. Приклад 8. За яких значень а нерівність 4х - (а - 4)2Х + 4> 0 виконується для будь-яких дійсних значень х? У відповідь записати найбільше ціле значення а. Нехай 2х = І, І > 0. Одержимо квадратну нерівність ? - (а - 4)/ + 4 > 0. Сформулюємо завдання так: за яких значень параметра а графік квадратичної функціїД/) = ? - (а - 4)/ + 4 на проміжку (0; +<») розміщений над віссю /? Це можливо у двох випадках: 1) графік функції у -/{І) міститься над віссю І для будь-якого І, а, отже, і на інтервалі (0; і), якщо дискримінант квадратного тричлена У(/) від’ємний: (а - 4)2 - 16 < 0; а2 - 8а + 16 - 16 < 0; а(а - 8) < 0; ає(0; 8); 2) якщо £> > 0, то тричлен УЦ) не повинен мати додатних коренів. А це можливо за умови 7(°) го; г4>0; - 67 ~ ^ < 0; звідки <а<4; ае0]. Об’єднавши розв’язки 1) і 2), одержимо п>(} [ає(-оо;0]о[8; + сю); ає (-оо; 8). Найбільше ціле значення дорівнює а - 7. Відповідь. 7. Завдання 15.1-15.21 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 15.1. Розв’язати нерівність 5х > 5. А Б В г Д (—; і) (-оо; 0) (0; +°°) (1;+°о) (5; +оо) 160
15.2. Розв’язати нерівність А Б в г Д (і; +о°) < 3' (—; 0) (—; і) 15.3. Знайти множину розв’язків нерівності 0,7х < 1. А Б В Г д 0 (-оо; +оо) (-оо; 0) (0; +°°) (1;+°°) 15.4. Розв’язати нерівність 2х < —. А Б В г д (—;-з) ґ-00-11 V ’32 Г С І —оо" V 3> (-3; +оо) Ґ1; + оо1 <3 > 15.5. Розв’язати нерівність 9х+5 > 27х. А Б в г Д (-~; 5) (10; +сю) (-~; 10) (0; 10) Будь-яке дійсне число 15.6. Яка з наведених нерівностей має розв’язки? А Б В Г д 7Х<-1 7^ <0,7 7? <1 (і у2 - <2 <7> ну2 >2 <71 >2 15.7. 1 Розв’язати нерівність 7х - 7х > 0. А Б в Г д (-о;-1)0(0; 1) (-1; і) (1;+°°) (-°о; -1)о(1; (-1; 0)о(1;+оо) 15.8. Знайти множину розв’язків нерівності 4х > 3. А Б В Г д Я (—>; 10&13) (-оо; 1о§34) (1о§43; +оо) (1о§34; +оо) 15.9. Розв’язати нерівність 1 < < 27 . А Б в г д Го;1~І 1 з^ [0; 3] ГМ Із [-3;0] Г-—;0І 1 з 1 15.10. Розв’язати нерівність 3х > 5х. А Б в Г д (-оо; 0) (0; +©о) (-»;-!) (і; +°°) 0 11 * Капіносов А. Математика. Комплексна підготовка до ЗНО 161
г і ч х2-х-20 15.11. Розв’язати нерівність >1. А Б в г Д С і. п 1 4’5> (-5; 4) (4; 5) —1 Г«Л 1 Н; 5) 15.12. Розв’язати нерівність 2х+ + 2х < 24. А Б В г д (-3; +°°) (-~;-3) (3; +°°) (0; 3) (-°°; 3) 15.13. Знайти множину розв’язків нерівності 4х - 6 • 2х + 8 < 0. А Б в г д (-6; 8) (2; 4) (і;2) (-оо; 2)о(4; +~) (-оо; 1)и(2; +оо) 15.14. Розв’язати нерівність х2 • 3х - Зх+| < 0. А Б в Г Д (—;-1)о(-1;1) (-1; і) [-л/3;л/з] (-3; 3) (-оо; - 7з) о (>/3; + 15.15. Розв’язати нерівність 3х + З2 х > 10. А Б В г д (-оо; 0)о(2; +-) (-оо; 1)о(9; +оо) (0; 2) (-«>; 3)0(10; +оо) (і;9) 15.16. Указати найменший розв’язок нерівності А Б в Г д 0 -4 4 -2 Не існує 15.17. Розв’язати нерівність з'х'+2 > 27. А Б в г д (-о;-5)о(5;+оо) (-5; 5) (-оо ;-1М1;+оо) 0 15.18. Ґ1 о 1 Розв’язати нерівність — < —. <2/ 8 А Б в г д п (-оо; —4)и(4; +°°) (-4; 4) (4; +оо) (-оо; -2)0(2; +оо) 15.19. Розв’язати нерівність (2х -2^х2 -5х + 6 >0. А Б В г Д [1; 2)о(3; +-) [0; 2]о[3; +оо) [3; +°°) [і; +о°) [1;2]о[3;+оо) 15.20. Розв’язати нерівність 2х2 > зіп х. А Б В Г Д п 0 (-оо; 0)о(0; +оо) 0 (-о; 1)0(1;+оо) 162
15.21. За якого значення параметра а нерівність а2 - 2 • 4Х+І - а • 2Х+І > 0 не має розв’язків? А Б в г д а> 1 а Ф 0 а < 0 а > 0 а = 0 Завдання 15.22-15.25 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 15.22. Установити відповідність між нерівностями (1-4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 7Х>1 2 7Х>-1 А (1; +оо) Б (-»;0) В (0; +°°) Г (-оо;+оо) Д 0 15.23. Установити відповідність між нерівностями (1—4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 (І§5)х+2 >(1§5)~' А (6;+=о) 2 (І8І2Г2>(1812)-’ В('__;) 3 (зіпЗ)' 3 > (зіпЗ)4 Г (-оо; 3) 4 (іпЗ)х3 >(іпЗ)3 Д(-3;+~) 15.24. Установити відповідність між нерівностями (1—4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 1<ґ-1 <16 <2> А -—;0 1 4 2 1 < 2х < 16 Б Н;0] 3 1 < 16х < 2 / 1 \ X В 0; — 1 4^ 4 1< — <2 46/ г 1;4І Д [0; 4] 15.25. Установити відповідність між нерівностями (1-4) та множинами їх розв’язків (А-Д). А (1; +о°) Б (-1; 1) В (-оо; -1)0(1; +оо) Г (—оо;+оо) Д 0 163
Розв’яжіть завдання 15.26-15.41. Відповідь запишіть десятковим дробом. 15.26. Розв’язати нерівність 27-3 . У відповідь записати суму всіх цілих розв’язків не- рівності. 15.27. Розв’язати нерівність 2х+Зх-8• 2х >0 . У відповідь записати суму всіх цілих чисел, які не є розв’язками нерівності. 15.28. Розв’язати нерівність 5-2^ -3•2^х-1 >56. У відповідь записати найменший цілий розв’язок нерівності. 15.29. Розв’язати нерівність 2х 4-2"х+1-3 < 0 . У відповідь записати координату середини проміжку, який є розв’язком нерівності. 15.30. Розв’язати нерівність 2^ -21"^х <1. У відповідь записати координату середини проміжку, який є розв’язком нерівності. 15.31. Розв’язати нерівність (2х -8)(х2 -4x4- 3) > 0 . У відповідь записати добуток усіх натуральних чисел, які не є розв’язками нерівності. 15.32. Розв’язати нерівність —;----->------- Н 2Х+1-І 2х 4-3 який є розв’язком нерівності. У відповідь записати координату середини проміжку. 15.33. Розв’язати нерівність 2-4х - 5-6х 4-3-9х <0. У відповідь записати координату середини про- міжку, який є розв’язком нерівності. 15.34. Знайти найбільший цілий розв’язок нерівності 7х-5 > 3х +х~30. 15.35. Розв’язати нерівність [у/ї -1)Х+1 <(>/2 + 1) . У відповідь записати найбільший розв’язок не- рівності. 15.36. Розв’язати нерівність 3х +2 -5х -1 >5Х +1 4-3х -І. У відповідь записати суму всіх розв’язків не- рівності. 15.37. Розв’язати нерівність х/9х + 24 - 2 > Зх+1. У відповідь записати найбільший цілий розв’язок нерівності. л \ 2л-0,5х2 15.38. Розв’язати нерівність > 2'2х~'°І+х. у відповідь записати суму всіх цілих чисел, які не є розв’язками нерівності. 15.39. Розв’язати нерівність 7х'5 > 3х ’х“30. У відповідь записати найменший цілий розв’язок нерівності. 15.40. Розв’язати нерівність (л/5-2) +(л/5+2) <2л/5. У відповідь записати суму всіх розв’язків нерівності. 15.41. Розв’язати нерівність (х + 3) 2х 7х5<1. У відповідь записати суму всіх цілих недодатних розв’язків нерівності. 164
Тема 16. Логарифмічні рівняння Рівняння, яке містить змінну під знаком логарифма або в основі логарифма, називають логариф- мічним. Найпростіші логарифмічні рівняння 1. Іо&д = Ь <=> х = аь, а > 0, а 1. Наприклад, 1о§2х = 4; х = 24; х = 16. Відповідь. 16. . (іу2 2. 1о§Дх) = Ь <=>Дх) ~ > а > 0, а * 1. Наприклад, 1о£0,2(х + 4) = -2; х + 4- (0,2) , х + 4 = - ; х +4 = 52; х = 25-4;х = 21. Відповідь. 21. 3. ІоеДх) = §(х) « Дх) = ^(х), а > 0, а * 1. Наприклад, 1о82(4х - 2) = х; 4х - 2 = 2х; (2х)2 - 2х - 2 = 0. Нехай 2х = і, тоді маємо: ? - і - 2 - 0; Відповідь. 1. 2х =2; і= 2; 2х = 2; х = 1; / = -1; 2Х=-1; _хє0; 4. Рівняння Іо&Дх) = 1о§^(х) рівносильне системі Наприклад, 1о§2(х2 - х - 2) = 1о§2(х + 1); 4 Відповідь. 3. або системі < х +1 > 0; х +1 > 0; х +1 > 0; х2 -х-2 = х+1; (х2-2х-3 = 0; 5. Рівняння Іо&р^Дх) - І0£<р(Х)£(х) рівносильне системі < /(х) = £(х); /7)>0; 7(х) = £(х); Наприклад, 1о§2х(*2 - Зх) = І0£?х(6х - 8); * ф(х) >0; ф(х) + 1; або системі &(х)>0; ф(х) > 0; ф(х)*1. х2 - Зх = 6х - 8; 6х-8>0; 2х>0; 2х*1; х2 - 9х + 8 = 0; х> 0; х = 1, х = 8; 4 х = 8. х>—: [/(х)>0; аФ 1. Відповідь. 8. Розв’язування логарифмічних рівнянь потенціюванням Перехід від рівняння, яке містить логарифми, до рівняння, яке їх не містить, називають потенці- юванням. Наприклад, розв’язати рівняння 1§(х - 9) + 1§(2х - 1) = 2. Подамо число 2 у вигляді десяткового логарифма: 2 = 100. Тоді 1§(х - 9) + 1§(2х - 1) = 1§100. Суму логарифмів замінимо логарифмом добу- Гх-9>0; тку виразів: 1§((х-9)(2х- !)) = !§ 100. Врахувавши ОДЗ , замінимо рівняння рівносильною 2х-1>0 165
(х-9)(2х-1) = 100; 2х2-19х + 9 = 100; х = 13; системою й одержимо: < х-9>0; 2х-1>0; х>9; х>1; 1 2 х = -3,5; х= 13. х>9; Відповідь. 13. Розв’язування рівнянь із застосуванням основної логарифмічної тотожності а'°*вЬ -Ь Наприклад, розв’язати рівняння 91ОЄз(1"2х) = 5х2 -5. Перетворимо ліву частину початкового рівнян- ня, застосувавши основну логарифмічну тотожність: 9,ОЄз^”2х^ = (З2) = з210^1"*) = З1083(|-х) = (1 - 2х)" І71-2хї?=5х2-5- [1—4х + 4х — 5х —5, за умови, що 1 - 2х > 0. Звідки одержимо: 91ОЄз(1-2х) = 5х2 - 5 ; V ' ' < і 11 —2х > 0; х<-; 1 12 х2 + 4х - 6 = 0; 'х = -2 + >/Ї0; 1 х < —; 1 2 _х = -2 —а/10; х = -2 — у/Ї0. х<1; . 2 Відповідь. -2-л/Го. Використання формул , де а>0, а #7,/> 0,§> 0 Наприклад, розв’язати рівняння Зх108*2 + 21О8$Х = 64. ОДЗ: х > 0. На цій множині х‘°852 = 2ІО85Х, тому вихідне рівняння рівносильне рівнянню 3 • 2,О85Х + 2і085 х = 64; 4 • 2ІО85Х = 64; 2І085 х = 16; 2Іор5Х = 24; 1о§5Х = 4; х - 625. Відповідь. 625. Зведення до однієї основи Наприклад, розв’язати рівняння Іо^х + Іо^ х + 1о§8х3 =5. Зведемо всі логарифми до основи 2: їб ІО£2 х 1о§2 х 1о§2 х3 1 1 3, - о ... . 5. , —-—і------*-у—+—-— = 5; — 1о£2х — 1о§2 х + -1о§2 х = 5. Зведемо подібні доданки: —1о§, х = 5; 1о&4 1ое 2_ 1о§2 8 2 4 3 4 - 6216 1о§2* = 4; х = 24; х = 16. Відповідь. 16. Розв ’язування рівнянь логарифмуванням обох частин рівняння Розв’язати рівняння х'8А =100х. Прологарифмуємо обидві частини рівняння за основою 10: 1§х'8Х =1§100х; 1§х-1§х = 1§100 + 1§х; 1§2х = 2 + І£х; 1§2х - 1§х - 2 = 0. Нехай 1§х = /. Тоді одержимо: ?-/-2 = 0; / = 2; і = -\. Повернемося до заміни: і£х = 2; 1§х = -1; =100; х2 =0,1. Відповідь. 0,1; 100. Розв’язування логарифмічних рівнянь методом заміни змінної При розв’язуванні рівнянь цим методом необхідно звернути увагу на таке: 1о§а (х2) = (1о8о X2 )2 = (21°8а кі)2 = 22 (1о§о |х|)2 = 41о§2 |х|; ІО£2 х3 = (1о£а х3)2 = (31О£а х)2 = З2Іо§2 х = 91о§2 х. 166
Узагалі, для непарних т маємо: Іо§” хт = т" 1о§" х. Для парних т маємо: 1о§" хт = тп 1о§^ |х|. Наприклад: 1)розв’язати рівняння ЗІО£3х-41о§3х-4 = 0. Нехай 1о§іх = /, тоді маємо рівняння: Зг2-4ґ- -4 = 0; <і=2; Л 2 2 — 1 2 Повертаємося до заміни: а) к>£зх = 2; х = 9; б) 1о§3 х = —; х = 3’; х = ~п= — • З ^9 З Відповідь. 9; -^=; 2) розв’язати рівняння 1§2х4 -І£х14 = 2. Перетворимо дане рівняння: 1§2х4 - 1§х14 = 2; 421§2|х| - - 14і£|х| -2 = 0; 8і£2|х| - 71§|х| -1=0. Нехай 1§|х| = і, тоді маємо: 8Г2 -11 - 1 = 0; до заміни: 18|х| = 1; Г|х| = 10’; ’х = ±Ю; [н=і<>4; Г=±Ж' Отже, дане рівняння має чотири корені: ±10; ±—. л/10 Відповідь. ±10; ±—т= . VI0 '. = і; 1 Повернемося <2 =---• . 8 Застосування монотонності при розв’язуванні логарифмічних рівнянь Розв’язати рівняння 1о§5(х + 3) - 3 -х. Встановимо монотонність функцій у лівій і правій части- нах: у - 1о§5(х + 3) — зростаюча функція (а-5> 1); у-3-х — спадна. Підбором знайдемо корінь: х = 2. Із властивостей монотонності х = 2 — єдиний корінь. Відповідь. 2. Приклад 1. Розв’язати рівняння 1§(5х - 3) = 1. А Б В Г Д 0,6 1,2 2,6 1 0 і£(5х-3) = 1; 1§(5х - 3) = 1§10 ; 5х - 3 = 10; х = 2,6. Відповідь. В. Приклад 2. Розв’язати рівняння 1о§2 (2х +1) = 1о§2 (9х + 17)- 1о§2 (х + 5). А Б В г д -3 2 2;-3 1 | сп -2 1о£2 (2х +1) = ІО£2 (9х + 17)- 1о§2 (х + 5); 1о§2 (2х +1) + 1о§2 (х + 5) = 1о§2 (9х +17). 167
1о§2 ((2х + 1)(х + 5)) = 1о§2 (9х +17); 2х + 1>0; 9x4-17 > 0; х + 5 > 0; 2х2+11х + 5 = 9х + 17; 2х2+2х-12 = 0; 1 х> —; 2 х2 + х - 6 = 0; х, = ~3; х, = 2; _ » 2 Отже, х = 2 — корінь рівняння. 1 х> —. 2 Відповідь. Б. Приклад 3. Розв’язати рівняння 1о§51о§41о§3 х = 0. А Б В г д 0 12 0 1 81 1о§51о§4 ІО£3 X = 0. 1о§51о§4 1о§3 х = 1о§51; 1о§41о§3 х = 1. 1о§41о§3 х = 1о§4 4; 1о§3 х = 4; х = З4; х = 81. Відповідь. Д. Приклад 4. Розв’язати рівняння 1о§2 х - 1о§2 х5 = 41о§2 64 . А Б В г д -3; 8 8 -3 -; 256 8 256 1о§2 х - 1о§2 х5 = 4 ІО£2 64 ; 1о§2 х - 51о§2 х = 24. Заміна: 1о§2 х - а. Матимемо: а1 - 5а - 24 = 0 ; =8, а2 = -3 . 1о§2 х = 8; Відповідь. Г. х = 28; х = 256 або 1о§2 х = -3; х = 2 3; х = — . Приклад 5. Розв’язати рівняння 1о§8(х -7)4- 1о§3(7 - х) = 11. А Б В Г д 0 7 ±7 ±2-\/Г5 0 1о§8(х-7)4-1о§3(7-х) = 11 . Визначимо ОДЗ рівняння: < коренів не має. Відповідь. А. •а* X є 0 . Рівняння х<7; Приклад 6. Розв’язати рівняння 1о§/7 + 2ІО&7 - 3. А Б В Г д Немає коренів 1; 7 ^56 інша відповідь 7 1о&7 + 2ІО&7 = 3; 31о&7 = 3; 1о§г7 = 1; х = 7. Відповідь. Д. 168
Приклад 7. Розв’язати рівняння х -1 + 1о§4 3 = 1о§4 (5х - 4х 1). А Б В г Д 1 4 0 0 3 За означенням логарифма одержимо: 4^"1+1°Є43) = 5х -4х"1. Ліву частину перетворимо так: 4(х-і+іоЄ4 з) _ . ^іовдЗ _ . у Одержимо рівняння: 3 • 4х"1 = 5х - 4х"1; 4 • 4х"1 = 5х; 4х = 5х; = 1; х = 0. Відповідь. В. Приклад 8. Розв’язати рівняння 1о§х (2х2 - Зх - 4) = 2. А Б в Г Д -1 4 -1; 4 -4; 1 1 Замінимо задане рівняння рівносильною системою: х2=2х2-Зх-4; |х2-Зх-4 = 0; < х > 0; < х > 0; х* 1; хтИ; х = 4; х = -1; < х>0; х = 4. хтИ; Відповідь. Б. Приклад 9. Розв’язати нів рівняння. Задане рівняння рівносильне системі рівняння _1 (х3 + б) = 1о§х2 _1 (4 х2 -х). У відповідь записати суму коре- х3 + 6>0; х2-1>0; 3 2 , Рівняння системи х - 4х + х + 6 = 0 за х2-1*1; х3 + 6 = 4х2 - х. наслідком з теореми Везу має три корені: хі =-1, х2 = 2, х3 = 3. Число хі =-1 не задовольняє умову х2 - 1 > 0. Числа х2 = 2, х3 = З є розв’язками цієї системи, а отже, й вихідного рівняння. Сума коренів дорівнює 2 + 3 = 5. Відповідь. 5. Приклад 10. Розв’язати рівняння х1о§3 х -(2х + 3) 1о§3 х + 6 = 0. У відповідь записати добуток ко- ренів рівняння. Нехай 1о§зХ = Л Перетворимо одержане квадратне рівняння відносно і: х?-(2х +3)^+6 = 0; х/2 - 2хі - Зі + 6 = 0; хі(і - 2) - 3(1 - 2) = 0; (7 - 2}(хі - 3) = 0. Тоді коренями рівняння є: 1 .і\ = 2; 1о§зх = 2; х = 9; 3 3 З 2. і2 = —; 1о§зх = —. Якщо х > 0, то функція у = 1о§зх зростаюча, функція у =-спадна. Тому, хх х З якщо існує корінь рівняння 1о§3 х = —, то він єдиний. Підбором знаходимо корінь X = 3. 169
Отже, вихідне рівняння має два корені: х = 3 і х - 9. Тоді їх добуток дорівнює 3-9-27. Відповідь. 27. Приклад 11. Розв’язати рівняння 1§2х + 1§(2 - х) = І£І£а. За яких значень параметра а рівняння має корені? 1§(2х(2-х)) = І£І§а; 1§2х +1§(2 - х) = І£І§а; 2х > 0; 2 - х > 0; 2х(2- х) = І£а; 0 < х < 2. Оскільки 2х(2 - х) > 0, то рів- няння матиме корені, лише якщо 1%а > 0; а> 1. Тоді одержимо: 2х2-4х + 1еа = 0; « Розв яжемо рів- 0<х<2. няння системи. Для цього знайдемо дискримінант: И - (—4)2 - 4 • 2 • - 16 - 81§а. Щоб вихідне рів- няння мало розв’язки, необхідно виконання умови 7) > 0, тобто 16 - 81§а > 0; < 2; а < 100. Якщо 1 < а < 100, то 4 ±^16(1-0,518 а) 0 < х < 2; х12 = 1±^/1-0,51§а; 0< х< 2. Так як 1 < а < 100, то 0<1§а<2; -1<“І£а<0; 0<1-^-1§а<1; 0<^1-^І£а<1; 1 < 1 + х 1 —< 2 і 0 < 1-Л1 1§а < 1. Отже, щохі і х2 задовольняють умову 0 <х < 2. V 2 V 2 Відповідь. Якщо 1 < а < 100, то х1>2 = ііл/1 -0,51§а ; якщо а > 100, то рівняння коренів не має; якщо а < 1, то рівняння не має змісту. Завдання 16.1-16.20 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 16.1. Розв’язати рівняння 1о§^ = с. А Б в г д 0 а • с са ас с а 16.2. Розв’язати рівняння 1о§ х х = -4. А Б В г Д 0 -16 1 16 —; 16 16 16 16.3. Розв’язати рівняння 1о§2 (-х) = 5 . А Б В Г Д 0 32 -32 1 32 __1_ 32 16.4. Розв’язати рівняння 1§(х2 - х) = 1 -1§5 . А Б В Г Д 0 -3; 2 -2; 1 -2; 3 -1; 2 170
16.5. Скільки коренів має рівняння 1§(х4 - 10х2) = 1§Зх3 ? А Б в г д Жодного ОДИН два три чотири 16.6. Розв’язати рівняння 1о§6(х-2) + 1о§6(х-1) = 1 і вказати проміжок, якому належить його корінь. А Б В Г Д (-2,1;-1,9) (3,9; 4,1) (2,9; 3,1) (1,9; з,і) (5,9; 6,1) 16.7. Розв’язати рівняння 1о£2(х + 1)-1о£2(х-1) = 1 і вказати проміжок, якому належить його корінь. А Б В Г Д (0,9; 1,1) (1,9; 2,1) (2,9; 3,1) (3,9; 4,1) (5,9; 6,1) 16.8. Розв’язати рівняння 1о§2 (х +1) + 1о§2 (х 4- 2) = 3 - 1о£2 4 і вказати проміжок, якому належить йо- го корінь. А Б в Г Д (-1,1;-0,9) (-0,1; 0,1) (0,9; 1,1) (1,9; 2,1) (3,9; 4,1) 16.9. Розв’язати рівняння 1о§2 х - 21о§2 х - 3 = 0 і вказати суму його коренів. А Б В Г д -8,5 7,5 -2 2 8,5 16.10. Указати рівняння, рівносильне рівнянню 1о£3 х + 1о§9 х + 1о§81 х = 7 . А Б В Г д і 49 1о§3х = — Іо&рс = 1 Іо&х = 4 , 7 ІО&Х = -у 1о§зх = 35 16.11. Указати рівняння, рівносильне рівнянню х1е* = 10. А Б В Г д 2і£г = 10 2і£х= 1 1§2х = 10 І£2х = 1 і£2х = 2 16.12. Указати рівняння, яке утворюється з рівняння х]&х = ІОООх2 у результаті логарифмування обох його частин. А Б В г д і£2х + 21§х + +1000 = 0 1§2х - 21§х - -1000 = 0 1§2х = 6І£Х і£2х + 21&г + 3 = 0 і£2х - 21§х -3 = 0 16.13. Указати рівняння, рівносильне рівнянню 21&х2 - І£2(-х) = 4. А Б В Г д 51§(-х) = 4 318(-х) = 4 1§2х - 41§х + 4 = 0 І82(-х) - -4І8(-х) + 4 = 0 І82(-х) - -41§(-х) -4 = 0 16.14. Розв’язати рівняння Іо&До&До&х = 0. А Б В г д сь аЬс ьс ас аЬс 171
16.15. Указати кількість коренів рівняння 1о§2х2-51о§2х4+24 = 0. А Б в г д Чотири три два один жодного 16.16. Розв’язати рівняння 1&г1о§2* = 1&2 і знайти суму його коренів. А Б В Г д 2,5 3,5 4,5 10,5 1 16.17. Розв’язати рівняння 5ІОЕзХ + х'°8'5 = 50 і вказати проміжок, якому належить його корінь. А Б В Г д (3,9; 4,1) (4,9; 5,1) (5,9; 6,1) (6,9; 7,1) (8,9; 9,1) 16.18. Указати рівняння, рівносильне рівнянню 1§ х(х + 9) +1§ Л + ^ = 0. А Б В г д І£Х = 0 1§(х + 9) = 0 18|х| = 0 18|х + 9| = 0 1§|-х-9| = 0 16.19. Розв’язати рівняння 52 =7. А Б В Г д 1о£51о§27 1о§21о§57 • ІО£7ІО£52 1о£71о§25 1о§2іо§75 16.20. За якого найбільшого значення параметра а рівняння (х - а) 1о§2 (Зх - 8) = 0 має один корінь? А Б В г д -3 -1 0 1 3 Завдання 16.21-16.26 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 16.21. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 1о§2 х = 1 2 21о§2х-1о§2(2-х) = 0 3 2-Зх=-6 4 3-22х = 2-32х А {1} Б 2} І2 1 в!-] 12) Г 0 д {-2; 1} 16.22. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та множинами їх коренів (А-Д). 1 1о§3(-х) = 4 2 1о§4Х = - 3 3 Іо§зХ = -4 4 1о§4(-х) = 3 А -— 64 Б — 64 В -64 Г — 81 Д -81 172
16.23. Установити відповідність між рівняннями (1—4) та їх коренями (А-Д). 1 Іо§21о§31о§4Х = 0 2 1о§41о§31о§2х = 0 3 ІО§3ІО§2ІО§4Х = 0 4 І082І0&4І083Х = 0 А 8 Б 9 В 16 Г 64 Д 81 16.24. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та добутками їх коренів (А-Д). 1 1о§2х + 41о£2х + 3 = 0 2 1о£2х + 21о£2х-3 = 0 3 1о§2 х-41о§2 х + 3 - 0 4 1о£2х-21о£2х-3 = 0 А 4 Б 16 В - 4 Г - 2 д — “ 16 16.25. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та кількістю їх коренів (А-Д). 1 1§5х - ЗІ£3х - 4і£х = 0 2 і£4х-51§2х + 4 = 0 3 1е4х + 51£2х + 4 = 0 4 1§4х + 31§2х -4 = 0 А жодного Б два В три Г чотири Д п’ять 16.26. Установити відповідність між рівняннями (1—4) та їх коренями (А-Д). 1 52’ =9 А 1о§51о§92 2 25' = 9 Б 1о§9ІО£г5 3 29' = 5 В ІО§2ІО§9$ Г іо§51о§29 4 92' = 5 Д ІО£2ІО§59 Розв’яжіть завдання 16.27-16.39. Відповідь запишіть десятковим дробом. 16.27. Розв’язати рівняння 1о§7(х-2)- 1о§7(х + 2) — 1 - 1о§7(2х-7). 16.28. Розв’язати рівняння 1о§2 ——| + 1о§2 (х2 - 25) = 0 . 16.29. Розв’язати рівняння 1§2 х4 -1§х14 = 2 . У відповідь записати найменший корінь рівняння. 16.30. Розв’язати рівняння 41§х2-1§2(-х) = 16. У відповідь записатиХо: 1000, дехо — корінь рівняння. 12 16.31. Розв’язати рівняння----1-----= 1. У відповідь записати модуль різниці коренів рівняння. 5-і£х 1 + 1§х 16.32. Розв’язати рівняння І§2(100х) + І§2(10х) = 14 + 1§—. У відповідь записати найбільший корінь рівняння. 173
16.33. Розв’язати рівняння 1о§5 х + 1о§х 25 = 3 . У відповідь записати добуток коренів рівняння. 16.34. Розв’язати рівняння 1о§2 х • 1о§4 х • 1о§8 х = 36. 16.35. Розв’язати рівняння х'*х = ІОООх2. У відповідь записати найменший корінь рівняння. 16.36. Розв’язати рівняння 61о8бХ + х'°8‘х = 12. У відповідь записати добуток коренів рівняння. 16.37. Розв’язати рівняння = 10. У відповідь записати добуток коренів рівняння. 16.38. Розв’язати рівняння 31о§х 4 + 21о§4х 4 + 31о§16х 4 = 0. У відповідь записати суму коренів рівняння. 16.39. Розв’язати рівняння |ІО£^ х - 4 - |1о§5 х - 4[ = 1. У відповідь записати добуток коренів рівняння. 174
Тема 17. Логарифмічні нерівності Нерівність, яка містить змінну під знаком логарифма або в його основі, називають логарифміч- ною, Наприклад, 1о§5Х <3, 1§х + 1§(х + 8) > 1§(4 - 5х) тощо. Розв’язування логарифмічних нерівностей ґрунтується на властивості монотонності логарифмічної функції: функція у = 1о§^х монотонно зростає, якщо а > 1, і монотонно спадає, якщо 0 < а < 1. При цьому слід урахувати, що підлогарифмічний вираз може набувати лише додатних значень. Нерівності, що розв’язуються з використанням властивостей логарифмів Розглянемо нерівність ІО&Дх) > І0§о£(Х). Одержимо: а>1; #(х) > 0; а>1; /(х) > £(х); 0<£(х)</(х); І0§Лх) > І08а§(х) <=> 0 < а < 1; 0 < а< 1; < /(х)>0; 0 < /(х) > £(х). /(х) < ^(х); Аналогічно розв’язується нерівність Іо&Дх) < Іо&^х). Наприклад, розв’язати нерівність Іо^ (х2-6х + 18)<21о§1 (х-4). Перепишемо задану нерів- 3 з ність у вигляді 1о§। (х2 - 6х +18) < ІО£! (х - 4)2 за умови, що х - 4 > 0. Оскільки 0 < — < 1, то дана нері- 3 3 З вність рівносильна системі: х2 — 6х +18 > (х — 4)2; х-4>0; х2 — 6х +18 > х2 — 8х +16; Ґ2х + 2>0; х >4; [х > 4; х > -1; х>4; жммг» 4 * хє (4; +оо). Відповідь. (4; +оо). Нерівності виду Іо&Дх) > Ь розв’язують так: Іо&Дх) >/><=> Іо&Дх) > /Яа <=> Іо&Дх) > 1ал <=> 0</(х)<<?; 0<а<1; //(*)> ' а>1. Аналогічно: Іо&Дх) </><=> Іо&Д*)< ЬХо&а о 1о§Дх) < 1о§^л <=> ’7(х)>а4; 0<а<1; /0</(х)<а6; 4 а>1. Наприклад: 1) розв’язати нерівність 1о§2(8-х)<1. Одержимо: 1о§2(8 -х)<1; 1о§2(8 -х) < 1о£22; 0 < 8 - х < 2. Тоді « хє (6; 8). Відповідь. (6; 8); 175
2) розв’язати нерівність 1о§, І0£5(х2-4)>0. Запишемо дану 2 Іо^ 1о§5 (х2 - 4) > Іо^ 1; 0 < 1о§5 (х2 - 4) < 1; 2 2 хє(-3; 3); л/5)и(л/5; + «*>). Тоді спільний розв’язок: нерівність у вигляді: 1о£5(х2 -4)<1о£,5; 1о£5(х2-4)>1о85 1; х2-4<5; І*2 <9; < < х2-4>1; [х2>5; хє (-3;->/5)и(>/5; з). Відповідь. (-3;-л/5)о(л/5; з). Логарифмічні нерівності, які розв ’язуються заміною змінної Розв’язати нерівність 1о£о5х + 1о£05х-2<0. Нехай 1о§0,5^-^ Перепишемо нерівність у вигляді: ? + і-2 < 0; і\ = -2,і2 = 1; /є [-2; 1]. Повернемося до заміни: Ьі; ІО§0,5 х>-2-, ГІ08о,5 х * 1°8о.5 °> 5~2; < < 10£о,5 х < 1; [ІО£0 5 X < 1о§0 5 0,5; х< 4; \>0,5; хє [0,5; 4]. Відповідь. [0,5; 4]. Показниково-логарифмічні нерівності Показниково-логарифмічними нерівностями називають нерівності виду (#(х))^ о а, деДх) мі- стить логарифмічну функцію, а знак <> — один зі знаків <, >, <, > Розв’язуючи такі нерівності, спочатку переконуємося, що обидві частини нерівності набувають тільки додатні значення, тобто що логарифми цих частин існують, і тоді логарифмуємо їх за деякою основою. Наприклад, розв’язати нерівність <100. ОДЗ: х > 0. Обидві частини нерівності при х > 0 набувають тільки додатні значення, тобто логарифми обох частин існують. Прологарифмуємо дану нерівність за основою 10. Оскільки 10 >1, то одержимо: 1§ \ 18 х-2 \ і] ^<18100; (і8х-2)іе^<2; (1§х-2)(і£х-і£ІО)<2; (1§х-2)(1§х-1)< 2. Нехай 1&х = /, тоді маємо: (/-2)(і~ 1) < 2; ґ2-Зг<0; 0< (< 3; 0 < І£х< 3; І£І < 1§х< І£І03; 1 <х< 1000;хє[1; 1000]. Відповідь. [1; 1000]. Нерівності, які містять змінну під знаком логарифма й в основі логарифма 1о8Ф(х)/(х)>^ <=> 1о8ф(х)/(х)>1о§ф(х)(ф(х))л/ <=> ф(х) > 1; /(х)>(ф(х))л/; 0 < ф(х) < 1; 0</(х)<(ф(х))М. 176
1о8Ф<х) /(*) > 1о8Ф<х) «(*) *=> 'ф(х)>1; 0<$(х)</(х); О < <р(х) < 1; О < /(х) < £(х). хт , ... Зх-1 Наприклад, розв язати нерівність 1о§г —- х +1 Зх-1 Перепишемо нерівність так: 1о§г — > 1о§х 1. х +1 Ця нерівність рівносильна сукупності двох систем: 0<х<1; < Зх-1<х2+1; Зх-1>0; х > 1; Зх-1 > х2 +1; 0 < х < 1; х2-Зх + 2>0; 1 І З х>1; х2 - Зх + 2 < 0; 1<х<2. —* з Відповідь. [— ;1]о(1;2). — | . Звідси випливає: 0 < х2 2> Логарифмічні нерівності з параметрами Розв’язати нерівність 1о§ ] (х2 - 2х + а) > -3. 2 Перепишемо дану нерівність у вигляді: Іо^, (х2 -2х + а)>І02, 2 2 - їх + а < 8; 0 < (х - І)2 + а - 1 < 8; 1 - а < (х - І)2 < 9 - а. (1) Зобразимо на координатній площині гра- фіки функційуі = (х - І)2; уг - 9 - а та у з = 1 - а. 12* Капіносов А. Математика. Комплексна підготовка до ЗНО 177
З нерівності (1) та рисунка слідує, що якщо 9 - а < 0, тобто а > 9, то нерівність розв’язків не має. Якщо < 1 < а < 9, то нерівність матиме розв’язки і ними будуть усі такі х, що хі < х < х2, де хі і х2 — абсциси точок перетину параболи у і = (х - І)2 з прямою уг = 9 - а, які обчислюють за фор- мулою х12 = 1 ± л/9- а. Якщо ж припустити, що а< 1, то розв’язками вихідної нерівності є всі такі х, що хі < х < х3, х4 < х < х2, де х3 і х4 — абсциси точок перетину параболи у і = (х - І)2 з прямою у2 = 1 - а, які обчислюють за формулою х3 4 — 1 ±у/ї-а. Відповідь. Якщо а < 1, то хє (хь х3)о(х4; х2); якщо 1 < а < 9, то хє (хь х2); якщо а > 9, то хє 0, де X] = 1 -УІ9-а , х2 = 1 + у]9-а ; х3 = 1 -л/1-я ; х4 = 1 + л/1-а . Приклад 1. Розв’язати нерівність 1о§3 (х2 - 5х - 5) > 2. 1о§3 (х2 - 5х - 5) > 2; 1о§3 (х2 - 5х - 5) > 1о§3 З2. Оскільки основа логарифмів 3 > 1, то дана нері- вність рівносильна такій: х2 - 5х - 5 > 9; х2 - 5х -14 > 0; Х| = -2, х2 = 7; х є (-®°; - 2) ЦІ (7; Ч- . Відповідь. (-оо;-2)и(7; + °о). „ х „ _ , . . , 2х-3 Приклад 2. Розв язати нерівність 1о§. —- 2 X +2х А Б В Г д (—; -2)о(2; 12) (2; 12) (-2; 0)о(2; 12) (^е; -2)о(0; 2)о о(12; +оо) 0 2х-3 . . 2х-3 1 1о§, ----<3; 1о§, —----<102,-. Оскільки функція 2 X + 2х 2 X + 2х 2 8 16х-24-х2-2х > х2-14x4-24 <0 . (х-2)(х-12) < 8(х2 + 2х) ’ х2 + 2х ’ х(х + 2) , 2х-3 1 у = 1о§ ] х спадна, то —--> —; % ’ + 2х 8 -2 0 2 12 х хє(-2; 0)0(2; 12). Відповідь. В. Приклад 3. Знайти цілі розв’язки нерівності /Іо^ (х2 Ч-4х-4) < 1. У відповідь записати їхню V з суму. Дана нерівність рівносильна подвійній нерівності: 0<1о§] (х2 +4х-4)<1. Перетворимо з останню нерівність: 1о£, 1 < 1о§1 (х2 + 4х - 4) < 1о§, —. Врахувавши, що її -і З з з з одержимо: < х2 + 4х - 4 < 1, звідки: < Зх2+ 12х-13>0; х2+4х-5<0; , 5>/з х + 2 Ч----- З . у = І02, х — спадна функція, з ( 5л/з> х + 2—— >0; І 3 ) 178
хе[-5;1]. -2-^3 2 ! 5л/з Отже, хе Цілими розв’язками є -5 і 1. їхня сума дорівнює -5 + 1 = -4. Відповідь. -4. Приклад 4. Розв’язати нерівність 1о£СО5, 1о§8 (х2 + 6х +1) > 0. 1О2СО5І1о§8(х2 + 6х + 1)>0; 1о§со811о§8(х2+ 6х + 1) > ІО£СО511. Оскільки основа логарифмів 0 < сові < 1, то дана нерівність рівносильна подвійній нерівності: 0 < 1о£8 (х2 + 6х +1) < 1; 1о§81 < 1о§8 (х2 + 6х +1) < 1о§8 8; 1<х2 + 6х + 1<8; х2 + 6х + 1>1; |х2 + 6х>0; х(х + 6)>0; Іхе(-«>;-6)о(0; + °о); х2+6х + 1<8; |х2+6х-7<0; |(х + 7)(х -1) < 0; |хє(-7;1). х є (-7;-6) 11(0; 1). Відповідь. (-7; - 6) ЦІ (0; 1). Приклад 5. Знайти суму цілих розв’язків нерівності 1о§2 х + (2х - 7) 1о§5 х + х2 - 7х + 6 < 0. Ліву частину нерівності розглянемо як квадратний тричлен відносно 1о§5Х. Нехай 1о§5Х = і. Знайдемо корені рівняння: ? + (2х - 7)ґ + х2 - 7х + 6 = 0; £> = (2х - 7)2 - 4 • 1 • (х2 - 7х + 6) = , , (7-2х)±5 — 4х - 28х + 49 - 4х + 28х — 24 — 25; 2 =-------; 1\ = -х + 1, Іг = —х + 6. Повернемося до заміни: (1о§5Х + х - 1)(ІО£5Х + х - 6) < 0. Функції = 1о§5Х + х - 1 та І2 - І0£$х + х - 6 при х > 0 є монотонно зро- стаючими і перетворюються у нуль, якщо Хі = 1 або х2 = 5 відповідно. Отже, знаки лівої частини нерівності такі: 1 5 х Тоді хе [1; 5]. Цілими розв’язками є числа 1,2, 3, 4, 5, а їхня сума дорівнює 1+2 + 3 + 4 + 5 = 15. Відповідь. 15. 179
Завдання 17.1-17.22 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 17.1. Знайти множину розв’язків нерівності 1о§3 (х - 4) < 1о§3 8 . А Б в г Д Н»; 12) (-а»; 12] [4; 12] (4; 12] (0; 12] 17.2. 17.3. 17.4. 17.5. 17.6. 17.7. Розв’язати нерівність 1о§0, (2х - 5) > 1о§03 х. А Б В г Д (2,5; +оо) (5; +оо) (-°°; 5) (0; 5) (2,5; 5) Розв’язати нерівність 1о§к х > 1о§я 3 + 1о§л 5. А Б В г Д (15; +оо) (-оо; 15) (0; 15) (8; +°о) (0; 8) Розв’язати нерівність 1о§0, (2х -1) > 1о§0л 10 - 1о§0,2. А Б В Г Д (0; 3] [3; +оо) Ь»; 3] (0,5; 3] (0,5; 4,5] Знайти множину розв’язків нерівності 1о§ ІП1 х > 21о§ . 17 . А Б В Г Д (49; +оо) (0; 49) (14; +о°) (0; 14) (^;49) Знайти множину розв’язків нерівності 1о§5 х < 2 . А Б В Г Д (-оо; 25) (25; +оо) (0; 25) (0; 2) (-«>; 2) Скільки цілих чисел є розв’язками нерівності 1о§ 1 (х + 3) > -1 ? 17.8. А Б в г д Одне два три жодне більше, ніж три Розв’язати нерівність 1о§8 (Зх -10) < —. А Б в г д (о;3-] V 3/ с -аП —ОО , 3 — V 3> (4; +оо) (-х>;4) (з-;4і V 3 > 17.9. Вказати найбільший цілий розв’язок нерівності 1о§1 (х + 3) > -1. А Б В Г Д 6 7 4 3 -3 / |\ Іо8,(2-.г) 17.10. Розв’язати нерівність 5 < 2. А Б В г Д (-оо; 2) (-оо; 0) (0; +°о) (0; 2) (2;+а>) 180
17.11. Скільки цілих розв’язків має нерівність -2 < 1о§] х < 3 ? 2 А Б в г д Один два три жодного більше, ніж три 17.12. Розв’язати нерівність 1о§2 х - З1о§3 х + 2 < 0. А Б в г д (-«>;1]о[2;+оо) [і; 2] [3;9] (-оо; 3]о[9; +«) (3;9) 17.13. Розв’язати нерівність 1§2х-41§х + 3>0. А Б В Г д (—; 1]о[3;+~) (0; 1]о[3; +оо) [10; 1000] (-оо; 10М1000;+оо) (0; 10]о[1000;+оо) 17.14. Розв’язати нерівність 1о§, (1о§5 х) > 0. А Б в г д Ґ-;5І <з (і;5] (0; і] (-о; 0]о[1;+оо) (-оо; 1]о[5; +оо) 17.15. Скільки цілих розв’язків має нерівність------г < 0 ? 1о§Д2х-3) А Б в г д Жодного ОДИН два три більше, ніж три 17.16. Знайти множину розв’язків нерівності 1о§х 5 < 1. А Б В г д (0; 1)о(1;+оо) (0; 1)о(5; +оо) (0; +<») (0; 5)о(5; +<*>) (0; 1)0(1; 5) 17.17. Вказати цілі розв’язки нерівності 1о§ 2хЧ 2 < 0 . А Б В г Д 1;2 1 0; 1 0; 1;2 2; 3 17.18. Розв’язати нерівність 1о§9 (х + З)2 < 1. А Б В Г д [-6; 0] [-6; -3)о(-3; +=о) (-оо; -6]о[0; +оо) (—°°; -6)о(0; +оо) [-б;-3)о(-3;0] 17.19. Розв’язати нерівність (х -*2)1о§0 5 х < 0 . А Б в Г Д (-оо;1]о[2;+оо) [і;2] (0; 1]о[2; +оо) (0; 2] (0; 1)о(2; +оо) 17.20. Розв’язати нерівність хх < 1, якщо х > 0, застосувавши логарифмування. А Б В г д (1;+°о) (0; +оо) (0; і) (—; 0)о(0; 1) 1 181
17.21. Розв’язати нерівність 1о§,х<1. А Б В Г Д -;2 І2 І2 1 ґо; — < 2^ ґо;-] V 2/ [2; +°°) 17.22. Розв’язати нерівність |1о§зх| > 1. А Б в Г д -;3 Із [3; +°°) ^;-1)и[3;+оо) ґо;- V 3^ о [3; + °°) -1;о)и[3; + ~) Завдання 17.23-17.28 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 17.23. Установити відповідність між нерівностями (1—4) та рівносильними їм нерівностями або сис- темами (А-Д). 1 1о§і (х +1) > - 2 2 2 1о§2(х + 1)>2 3 2Х+1 < 16 4 0,5х+І <4 А х+1>4 Б х + 1<4 х + 1 <4; В х + 1>0 Г х + 1>-2 Д х + 1<-2 17.24. Установити відповідність між нерівностями (1-4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 ІО§4Х < 0 2 1о§4Х > 0 3 1о§4(-х) < 0 4 1о§4(—х) > 0 А (-о; -1) Б (-оо; 1) В (1;+°°) Г (-1; 0) Д (0; 1) 17.25. Установити відповідність між нерівностями (1-4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 ІО£0,5Х<0 2 І02о,5^>0 3 1о§о,5(-х)<0 4 1о£о,5(-х)>0 А(-оо ;-1) Б (—; 1) в (1; +оо) Г (-1;0) Д (0; 1) 17.26. Установити відповідність між нерівностями (1—4) та множинами їх розв’язків (А-Д). і і 1 1 2 1о§] х>-2 3 , , 1 3 1о§1х<-- 9 2 4 ІО£_|Х<Д 9 А (0; 9) Б (9; +оо) В (-;+оо| кз / Г (0; 3) Д (3; +~) 182
17.27. Установити відповідність між нерівностями (1-4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 1о§5(х - 2) < 1о§5(-х) 2 1о§і(2-х)<1о§,(-х) 5 5 З 1о§5(х + 2) > ІО£5(-Х) 4 1о§і(х + 2)>1о§і(-х) 5 5 А (-1; +°°) Б (-1; 0) В (-2;-1) Г (-со;0) Д 0 17.28. Установити відповідність між нерівностями (1^4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 ІО§2(ІО§5Х) < 0 2 1о£± (1о§5 х) < 0 2 З 1о§5(1о§2х) < 0 4 ІО£1 ^1о§А х^ < 0 А (0; 0,5) Б (1;2) В (1;5) Г (-~;5) Д (5; +~) Розв’яжіть завдання 17.29-17.41. Відповідь запишіть десятковим дробом. 17.29. Розв’язати нерівність 1о§, (х2 -5х + б)>-1. У відповідь записати найменше натуральне число, 2 яке не є розв’язком нерівності. 17.30. Розв’язати нерівність 1§(х-2) + 1§(27-х)<2. У відповідь записати найбільший цілий розв’язок нерівності. 17.31. Розв’язати нерівність х + 61о§х 10 < 5 . У відповідь записати кількість цілих розв’язків нерів- ності. 17.32. Розв’язати нерівність 1§2 (-х) + 1§х2 - 3 < 0 . У відповідь записати кількість цілих розв’язків не- рівності. 17.33. Розв’язати нерівність 1§2100х-51§х> 6. У відповідь записати кількість натуральних чисел, які не є розв’язками нерівності. 17.34. Розв’язати нерівність 9,О8зХ < 4хІО8зХ - 3. У відповідь записати суму всіх натуральних розв’язків нерівності. 2х 1 17.35. Розв’язати нерівність 1о§ 2--< —. У відповідь записати суму всіх цілих чисел, які не є х х-3 2 розв’язками нерівності. 17.36. Розв’язати нерівність 1о§х 2 • 1о§2х 2 • 1о§2 4х > 1. У відповідь записати найменше натуральне чи- сло, яке не є розв’язком нерівності. Зх-1 17.37. Розв’язати нерівність х2-х >1. У відповідь записати найменше натуральне число, яке не є розв’язком нерівності. 17.38. Розв’язати нерівність 1о£2(5-х)1о§х+ — > -6 . У відповідь записати добуток усіх цілих розв’язків нерівності. 183
17.39. Розв’язати нерівність Іо^ |х| > |х| -1. У відповідь записати добуток усіх цілих розв’язків нерів- 2 ності. 17.40. Розв’язати нерівність 1о§х Зх < ^Іо^ДЗх7) . У відповідь записати добуток усіх натуральних чи- сел, які не є розв’язками нерівності. Розв’язати нерівність 1о§х+1 |х-2| < 1. У відповідь записати суму всіх натуральних чисел, які не є розв’язками нерівності. 17.41. 184
Тема 18. Тригонометричні рівняння Тригонометричними називають рівняння, які містять змінну під знаком тригонометричних функцій. Найпростіші тригонометричні рівняння Рівняння виду зіпх = а, созх = а, ї%х - а, сі&х = а, де х — невідома величина, а — довільне дійсне число, називають найпростішими тригонометричними рівняннями. 1. Рівняння зіпх = а. Оскільки -1 < зіпх < 1 для будь-якого х, то якщо а > 1 або а < -1, рівняння зіпх = а не має коренів. Для того, щоб розв’язати рівняння зіпх - а, досить знайти на одиничному колі або графіку відповідної функції такі точки, ординати яких дорівнюють а. Якщо пряма у = а перетинає одиничне коло (графік) у точках Ма і Л/р, то кути а і р є коренями рівняння зіпх = а. зіпх = а зіпх = а <=> |а|<1 х - агсзіп а + 2я£, ке 7; х = я - агсзіп а + 2пк, ке 7. Ці формули можна об’єднати в одну: х - (-і/агсзіпя + пк, ке 7. а = агсзіпя; р = я - агсзіпя Окремі випадки а = -1 зіпх = -1 я _ _ _ а - 0 зіпх - 0 х — пк. ке 7 а = 1 8ІПХ= 1 я * II І Чи М|: А + 2л«, кєХ У: тг( \ог + \ :|сч X. II и N । 1 X Х° 7 * * х X 0 Ух Наприклад: 1. Розв’язати рівняння зіпх = у. Використаємо формулу коренів рівняння: х - (-1)* агсзіпа + пк , ке7\ х = (-!)* агсзіп^- + пк ,ке7; х = (-!)* ~^ + пк ,ке7. Відповідь. (-1)* — + пк, ке7. 6 2. Розв’язати рівняння зіпх =— .Маємо: х = (-1)* агсзіп —\+пк,ке7; х = (-1)* І+яА:, 2 \ 2/ \ 6/ ке 7; х = (-1)*+1 —+ я£ , ке 7. к ' 6 Відповідь. (-1)*+1 — + пк , ке7. 6 185
/— . ЯХ 3. Знайти найменший розв’язок рівняння л/2 - 28Іп— = 0, який задовольняє умову 0 < х < 10. За- ЯХ л/2 ЯХ / ч* Я / \* 9 пишемо рівняння у вигляді: зіп—= -^-, тоді — = (-1) —+ кєХ', х = (-1) — + 9к, кє2. Якщо к < 0, то х < 0; якщо к - 0, то х = (-1)°| + 9-0 = 2,25 , якщо к = 1, то х = (-1)‘| + 9-1= -2,25 + 9 = = 6,75. Оскільки 0 < х < 10, то найменший розв’язок з цього проміжку дорівнює 2,25. Відповідь. 2,25. 4. Розв’язати рівняння зіп(я • 4* * х) = 0. Використаємо формулу для випадку 8Іпґ = 0, і = пп. Отже, я • 4х = ял; 4х = п, пеіУ, бо показникова функція набуває лише додатних значень, звідки х - 1о§4и. ВІДПОВІДЬ. ІО£4И. 2. Рівняння со&х = а. Оскільки -1 < созх < 1 для будь-якого х, то якщо а > 1 або а < -1, рівняння созх = а не має коре- нів. Для того, щоб розв’язати рівняння созх = а, досить знайти на одиничному колі або графіку відпо- відної функції такі точки, абсциси (ординати) яких дорівнюють а. Якщо пряма х = а перетинає одини- чне коло (графік) у точках Ма і Л/р, то кути а і р є коренями рівняння созх = а. созх = а созх = а <=> |я|<1 х = агссоз <7 + 2я&, к є 2\ х = - агссоз а + 2я&, ке 2. Ці формули можна об’єднати в одну: х - ±агссоз<7 + 2я£, кє2. а--\ созх = — 1 х = ті + 2тіпк кє.2 Окремі випадки (7 = 0 созх = 0 7Г * і —— Х = — + Ял, к^2 9 а - 1 созх = 1 х = 2я&, А:є 2 Наприклад: 1. Розв’язати рівняння 2созх=1. Запишемо рівняння у вигляді: созх = —; х = ±агссоз—+ 2я&, я кє2; х = +—+2пк,кє2. З я Відповідь. ±у + 2тік , кє2. 186
2. Розв’язати рівняння соз4х = “. Нехай 4х-і, тоді соз/ = —; / = ±агссо8^~+ 2пк, кє2; 2 тс _ _ _ __ . . 2тс _ _ _ тс тік _ Г = ±— + 2тс£ , Повернемося до заміни: 4х = ±----н2тсЛ , х = ±— + — ,ке7. З 3 6 2 , я пк , _ Відповідь. ±— Н---, кє2. 6 2 3. Рівняння і%х = а і = а. „ ( тс тсЛ . Для будь-якого дійсного числа а на проміжку —існує тільки один кут а такий, що і£ОС = а. Це кут а = агсС§а. Враховуючи періодичність функції у = і%х, одержуємо формулу коренів рів- няння і&х = а\ х - агсі§я + тік, ке 7. Для будь-якого дійсного числа а на проміжку (0; тс) існує тільки один кут а такий, що сі§а = а. Це кут а = агссС§я. Враховуючи періодичність функції у - сі&х, одержуємо формулу коренів рівняння &£х - а\х- агссС§я + тік, ке 2. Ґ5тс _ л/з ~ ґ тс л/з -----2x1 =----. Скористаємося формулами зведення и одержимо: тс-------2x1 =----; х 6 / 3 \ 6 / З ( ґ-і '/ї тс^ л/з тс^ л/з хг . тс тс- 2х + — =-------; 2х + — =----------; 2х + — = —. Уведемо заміну і = 2х + —. Маємо: х х 6// 3 х 6/ 3 х 6/ 3 6 £ = агсі§-^- + тс&, ке2\ і = — + тік, ке2. Повернемося до заміни: 2х + — = — + тік, ке7', 3 3 6 6 6 і і п тік _ 2х — тік, ке2\ х = — ,ке2. 2 Тї- • л/: . _ Відповідь. —,ке7. 2 Рівняння, що зводяться до квадратних XX X Нехай потрібно розв’язати рівняння 4соз2 — - 8соз— + 3 = 0. Уведемо нову змінну: с°8^- = і, зві- 1 ' 2 дки одержимо рівняння: 4? - 8/ + 3 = 0; Повернемося до заміни та розв’яжемо одержані рів- 12 =1,5. 187
х 1 х 1 х я 2я х няння: 1) соз—= —; — = ± агссоз— + 2пк, к&2~ — = ±—\-2пк ,к&2‘. х = +-і-4я&, кє2'2) соз— = 1,5; 2 2 2 2 23 3 2 ХЄ0. 2я Відповідь. ±— + 4пк, ке2. Рівняння виду азіпх + Ьсоах = с, де а, Ь, сєК Рівняння цього виду розв’язують за допомогою введення допоміжного кута. Вважаючи, що а1 2 З +-/>2 * 0, поділимо обидві частини вихідного рівняння на ^а2 +Ь2 й одержимо: а . Ь с ТТТТ7 л/ТТЇ2 Одержані коефіцієнти при зіпх і созх мають такі властивос- СО8Х = а ч^ь2 а Ь___ Ц^Ь2 ті: ь V , . ----І = 1, тому можна стверджувати, що існує а2 + Ь2) а Ь . Ь . такий кут ф, що, наприклад, . = созф, . - =зіпф, — = і§ф. Тоді останнє рівняння зво- уІа2+Ь2 уІа2+Ь2 а 3.4 2 . З = ; —зтх + усозх = у. Уведемо допоміжний кут: — = созф, диться до найпростішого: зіпхсозф + созхзіпф = -=£=^; зіп(х + ф)= , С-= . \]а2 + Ь у/а2 +Ь2 Наприклад, розв’язати рівняння Ззіпх + 4созх = 2. Перетворимо рівняння: Ззіпх + 4созх = 2; 3.4 2 —т== ЗІП X + —7= СОЗ X = —7= 7з2+42 л/з2+42 а/з2^ 4 4 — - зіпф. Оскільки зіпф > 0 і созф > 0, то за допоміжний кут ф можна взяти ф = агсзіп— . Тоді маємо: 2 . / \ 2 / .2 .4 зіп хсоз ф + соз хзіп ф = — ; зш(х + ф) = у; х = (-1) агсзіпу-ф + як , ке2, де ф = агсзіпу. , >к 2 4 Відповідь. (-1) агсзіпу-ф + пк, ке2, де ф = агсзіпу. Однорідні тригонометричні рівняння Однорідні тригонометричні рівняння — це рівняння виду ^озіп^х + #і зіп"" х созх + ^28Іпл"2хсоз2х + 4-... + я„ ізіпхсоз'21х + 67„соз"х = 0, де б70, а\, а^, ..., ап — дійсні числа, п > 1. Таке рівняння легко звести до рівняння відносно і§х, якщо всі його члени поділити на соз'х. При цьому, якщо ао Ф 0, то ділення не спричиняє втрати коренів. Справді, якщо созх = 0, то початкове рівняння набуває вигляду Яо8Іп"х = 0, звідки зіпх = 0, що неможливо, оскільки созх і зіпх одночасно не можуть дорівнювати нулю. Наприклад, розв’язати рівняння Ззіп2х-2зіпхсо8х- соз2х = 0. Поділимо обидві частини рівняння 2 Ззіп2х 2 зіп хсоз х соз2х 0 на соз х 0: ------— соз х . Одержимо: Зі§2х - 21§х -1=0. Уведемо заміну СОЗ X соз- х і£х = і й матимемо: 3/2 — 2/ — 1 = 0; соз2 х 1 1'~ З’ ?2=1. 1) і§х = -х = агсІ§^—+пк, кє2; Повернемося до заміни: х = -агсІ£І + пк, ке2; я 2) і§х = 1; х = агсі§ 1 + яА:, ке2; х = — + пк,ке2. 4 1 я Відповідь, -агсіе— + пк, ке2: — + пк, ке2. З 4 188
Дробово-раціональні тригонометричні рівняння Складність розв’язування рівнянь цього типу полягає у формуванні відповіді. Основною складні- стю при розв’язуванні дробово-раціональних тригонометричних рівнянь є відбір його коренів. тт , . созх + созЗх пк , Наприклад, розв язати рівняння -----------= 0. ОДЗ: 8іп2х^0; 2х^як, к^2\ —, кє/. 8Іп2х 2 Розв’яжемо рівняння созх + созЗх = 0; х + Зх х-Зх Л Л . 2со8-----соз------= 0 ; 2со82хсо8х = 0. Тоді 2 2 созх = 0; соз2х = 0; я х = — + яи, пє2'. 2 я пк , х = —+—,к^2. 4 2 Зобразимо на одиничному колі точки, які відповідають кореням рівняння созх = 0 і соз2х = 0 і за- креслимо точки, які не входять в ОДЗ. я тік . Отже, х = — + — ,кє2 — корені рівняння. я тік Відповідь. — + —, кє. 2. Розв’язування рівнянь на застосування обмеженості функцій у - зіпх іу - созх 5х Наприклад, розв’язати рівняння созЗх + соз-^- = 2. Маємо: |созЗх|<1, _ 5х . . созЗх + соз— - 2, до того ж рівність виконується лише тоді, коли: * созЗх = 1; 5х 1 соз—-1; 2 5х соз— < 1, 2 2ли „ х =---,иє/; З 4л£ , х =---,кє^. 5 тоді При- 2яи 4я£ . , рівнюючи праві частини цих рівностеи, одержуємо: —, звідки 10яи=12я£, пє2, к^2\ лише 6£ ' . . .... . и = —, пє2, к^2. Оскільки п і к— цілі числа, то в праву частину замість к можна підставити цілі числа кратні 5. Тому останнє рівняння має розв’язки лише у цілих числах виду к - 5/, Іе2. Підс- тавляючи значення к = 5/ в розв’язок системи х = , одержуємо, що х = 4я/, Іє2. Відповідь. 4я/, Іє2. Тригонометричні рівняння з параметрами Розв’язати рівняння азіп2х + 2(а + 2)зіпх +8 = 0. Задане рівняння є або лінійним відносно зіпх, якщо а = 0, або квадратним відносно зіпх, якщо а Ф 0. 189
1. а = 0: 4зіпх + 8 = 0; зіпх = -2; хє 0; 2. а Ф 0. Уведемо заміну зіпх = і й одержимо: а? + 2(а + 2)1 + 8 = 0; = (а + 2)2 - 8а = (а - 2)2; -(а + 2)±(а-2) і. , = —і---—і------; 4 Повернемося до заміни: а г2=—. Ь а 1) 8Іпх = -2;хє0; 4 * ґ 4 Л 2) 8Іпх- —. Якщо ає(-о°;-4]м[4;+о°), то х = (-1) агсзіп—\+тік,ке2; якщо ае(-4;4), то а \ а/ ХЄ0. / ( 4^ Відповідь. Якщо ає (-оо; -4]м[4; +°о), то х = (-1) агсзіп — + пк, ке 2; якщо ае (-4; 4), то хє 0. \ а/ І Я і І~ Приклад 1. Розв’язати рівняння 5х + — =>/3 . А Б В Г д х = пк, ке2 я . тік х = — + —, 60 5 ке2 х = —— + пк, 60 ке2 х - — + тік, 12 к є 2 х = — + Зик, 4 ке2 5х + — | = л/з ; 5х + — = агсіел/з + 7і&, ке2, 5х-І- —= —+ л£, ке2; 5х = — + лк9 кє2; Ч 4> 4 6 4 3 12 Відповідь. Б. Приклад 2. Розв’язати рівняння со$2х = —. А Б в Г Д (~1)"^ + пп,пе2 ±—+ 2яи, п є 2 3 -— + ли, пе2 3 ±— + тіп, пе2 3 ±— + тіп, пе2 6 соз2х — —; 2х = +— + 2яи, не 2: х = +— + тіп,пе2. 2 З З Відповідь. Г. Приклад 3. Знайти найбільший від’ємний корінь рівняння созЗх = 1. А Б в Г д 1 І?! -я _2л 3 ^Д, ке2 3 _7Г 2 2ктї 2кп созЗх = 1; Зх = 2Ля, ке2, х =-, ке2. ----<0; кп<0; к<0. Найбільший від’ємний корінь одержимо, якщо к = -1. Отже, х = ——. Відповідь. В. 190
Приклад 4. Розв’язати рівняння созЗх + зіп2х -созх = 0. А Б В Г д 7Г —; (-1) - + пп, 2 0 к, пе2 / Л\п Я (-1) — + пп, к ' 6 пе2 пк , —, ке 2 2 лк л —; — + лп, 2 6 к9 пе2 лк; (-1) —+ ші, к9 не 2 созЗх + зіп2х-созх = 0 . Розкладемо ліву частину рівняння на множники: -2 зіп 2х • зіп х + зіп 2х = 0; зіп 2х • (1 - 2 зіп х) = 0; або 1-2зіпх = 0; зіп 2х = 0; 2х = пк, кє2; пк , „ х =—, кє2 2 1 зіпх = —; 2 х = (-1)" + пп, ке 2. Відповідь. А. Приклад 5. Розв’язати рівняння 2зіп2 х + созх -1 = 0. А Б в Г д _ , 2л . 2л£, н2ли, 3 к, п&2 2лк9 кє2 2л „ ± 1- 2ли, 3 п&2 гч » . 2 Я 2Л&, ± \г2лп9 3 к9 пе2 „ , 2л . 2пк, Ь 2ли, 3 к, п&2 созх = 1; х = 2пк, кє 2 2зіп2х + созх-1 = 0; 2(1-соз2х) + созх-1 = 0; -2соз2х + созх + 1 = 0; 2соз2х-созх-1 = 0. або созх = ——; 2 , 2л „ х = ±--Ь2лп, п&2. З Відповідь. Г. Приклад 6. Розв’язати рівняння созЗх + зіп2х - зіп4х = 0. У відповідь записати найменший додат- ний корінь (у градусах). созЗх + зіп2х - зіп4х = 0 <=> созЗх - 2зіпх созЗх = 0 <=> созЗх(1 - 2зіпх) = 0 <=> созЗх = 0; 1-2зіпх = 0; я ли „ х = —І--, п є 2; 6 3 —» /г 5 ли . / . \ а я . . _ <=> Зобразимо множину розв язків х = —+—,пе2 і х = (-1) — + пк,кє2 / -\Л я _ _ 6 3 6 х = (-1) — + пк,к є 2. 6 на одиничному колі. 191
. / < \ її г» • тем . Множина розв язків х = (-1) — + пк,к є 2 є підмножиною множини х = — +—, п є 2 . Тому ві- 6 6 3 тс пп дповіддю є х = — +—, п є 2 . 6 З Отже, х- (-1)к — + пк,к є2. к ' 6 ТС Найменший додатний корінь дорівнює — - 30°. 6 Відповідь. 30°. Приклад 7. Розв’язати рівняння соя2х 4- соя22х 4- соя23х 4- соя24х = 2. У відповідь записати кіль- кість коренів, які належать проміжку 0; — . в . . 2 2^ 2-» 2 а 1 + соя2х 1 + соя4х Перетворимо вихідне рівняння: соя х 4- соя 2х 4- соя Зх 4- соя 4х = 2 <=>--- 4---- І4-СО8бх 14-соя8х X . / . А х гх О г 0.0^ /X ---------+----------- = 2 <=> (соя8х + соя2х) + (соябх + соя4х) = 0; 2соя5х • сояЗх 4- 2соя5х • соях = 0 <=> <=> 2соя5х(сояЗх + соях) = 0 <=> 4соях • соя2х • соя5х = 0 <=> ТС ~ х = — 4-ТСИ, ПЕ£} 2 п пк , ~ х = - + — ,кє2} 4 2 п пт х = — 4---.тє2. 10 5 тс Проміжку 0; — нале- . тс Зтс п жать три корені: —, —, —. Р Р 10 10 4 Відповідь. 3. Приклад 8. За яких значень параметра а рівняння яіп4х 4- соя4х = а має корені? У відповідь запи- сати найменший з них. Маємо: яіп4х + соя4х = яіп4х + 2зіп2хсо82х + соя4х - 2яіп2хсоя2х = (яіп2х + соя2х)2 - 2яіп2хсоя2х = = 1 - 2яіп2 хсоя2 х = 1 - у яіп2 2х = 1 “~(1 “ соя4х) = |-4- -^-соя4х = -^-(соя4х 4- 3). Тоді дане рівняння рівносильне такому: -^-(соя4х4- 3) = а, або соя4х = 4я-3. Воно має корені, якщо виконується умова -1 < 4а- 3 < 1, звідки ає [0,5; 1]. Найменшим значення є 0,5. Відповідь. 0,5. Приклад 9. За яких значень параметра а рівняння яіп2х + (а + 2)(яіпх - соях) = 2а + 1 має принай- мні один корінь? У відповідь записати кількість цілих значень а. Перетворимо рівняння: яіп2х + (я + 2)(яіпх - соях) = 2а 4- 1; -(1 - яіп2х) + (а + 2)(яіпх - соях) = -2а} -(яіп2х - 2яіпхсоях 4- соя2х) + (а + 2)(яіпх - соях) = 2а\ (зіпх - соях)2 - (а + 2)(8Іпх - соях) 4- 2а = 0. Уве- демо заміну: яіпх - соях = Л Тоді одержимо рівняння: ? - (а + 2)/ 4- 2а = 0; і\ -2,1^- а. Повернемося до за- г~ ґ тс^ г~ г~ міни: яіпх - соях = 2 або яіпх - соях = а. Оскільки яіпх-соях = л/2 яіп х-, то —72 <яіпх-соях<л/2 , звідки слідує, що рівняння яіпх - соях = 2 коренів не має, а рівняння яіпх - соях = а має корені тільки у випадку виконання умови -у[2<а<у/2 . Проміжок |^-л/2;л/2містить такі цілі числа: -1, 0, 1, а їх кількість дорівнює 3. Відповідь. 3. 192
Завдання 18.1-18.22 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки .ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 18.1. Розв’язати рівняння 2зіпх = -1. А Б в г д к ’ 12 2 / .\п+І я . ял х = (-1 —і , к ' 12 2 я , X = Ь ТІЇІ, 4 / і\»+1 я , тій « = (-!) + Х = (-1)Л+І —+ ЯЛ, ' ’ 6 иє7 п є 7 п є 7 п єX 18.2. Розв’язати рівняння зіпях = 1. А Б в г д х = — + 2яи, 2 х- — + 2я2и, 2 її . Х- — + ПП, 2 X = — -І- и, 2 х = — + 2и, 2 п є X п є X пє2 п є 7 п є X 18.3. Розв’язати рівняння 2соз2х = -д/2. А Б В г д 0 , Зя , х = ± і- ял, 8 х = ±—+ ЯП, 8 х = ±—+ 2яп, 4 . я х-±—\-пп, 4 п є2 п є 7 пе. X п є 2 18.4. Розв’язати рівняння >/3 = 1. А Б В Г д X = пп, пє2 П . х = — +пп, 6 X = + ЯИ, 3 х = — + 2яи, 6 я . А' = — +ЯИ, 4 п є 7 п Е 7 п є 2 п є 2 18.5. Розв’язати рівняння (сі§х)10° -1. А Б в Г д § + N ш 1 8 II И х = — + яи, 4 п є 2 х = ±— + пп, 4 п є X 0 х = агссІ§100+ял, п^Х 18.6. Указати рівняння, яке має хоча б один корінь. А Б В г д Я СО8Х = — 3 Я агссоз х = — 3 агсзіп х - я агсі§ х - 2 агсс!§х - 3 18.7. Указати рівняння, яке має тільки один корінь. А Б в Г д 8ІПХ = -1 созх - -2 агсі§х = 1 І£Х = 1 СО8Х-1 о зіпх 18.8. Розв’язати рівняння зіп2 х - зіп х = 0. А Б В Г д х — ял, п є X я х = яп, х = —1- яп, 2 п є X х - — + 2Я/7, 2 п є 2 X = ЯИ, X + 7Ш, 2 пе2 я , п х = ялг, х=—+ 2яп, 2 пє7 13 Капіносов А. Математика. Комплексна підготовка до ЗНО 193
18.9. Знайти корінь рівняння зіп2х - 4созх = 0, який належить проміжку [2л; Зл]. А Б В Г Д 7л 5л 9л 13л 7л 3 2 4 6 4 18.10. Розв’язати рівняння 1§х = с!§х. А Б в Г д Я . X = — + 7ГЛ7, 4 п є 2 £ + N і к її § 04 + N £ +1 с II и л , ля Х = —Н , 4 2 п є 7 Рівняння коренів немає 18.11. Розв’язати рівняння 008 = 0. зіпх-1 А Б в Г д II 3 1 т го |й N + а з £ £ + N 1 * II и х = — + 2ля, 2 п є 7 х = ля, иє2 ї N К|сч £ II 18.12. Розв’язати рівняння л/38Іпх-созх = 0. А Б в г д п . х = — + ля, 6 х = — + 2яи, 3 Я . X = — + ЯИ, 3 х = —— + ля, 6 X = — + ЯИ, 4 ие2 п є 2 п є X пеХ п є 2 18.13. Розв’язати рівняння соз2х + 5созх-6 = 0. А Б В г д х = л + 2ля, п є X х = ±агссоз1 + іт, пеХ х = 2яи,иє7, х = ±(тс-агссо8б) + +2я£, к е 2 х = ля, пє2 х — 2пп, пе2 18.14. Розв’язати рівняння зіп х +созх = ->/2. А Б в г д х = ±—+ 2ля, 4 яє X х = я + 2яи, п Е 2 х = -—+ 2я«, 4 п є 2 5л , х = — + ля, 4 яє7 х=агс(§( + ля, яє/ 18.15. Розв’язати рівняння зіпх2=0. А Б В г д л/тсй, п є N 0 {0} о|л/2ли,иє7У| ~у]2пп, пеМ {0} м ±>/лй,яєМ| 18.16. Розв’язати рівняння 1§>/х = -1. А Б В г д * II > + <! а х = -—+ л2я2, 16 / \ 2 ( П , ) X = 1- 7СИ , V 4 > п є N я , 2 2 х- — + я и , 16 х = 1- пп, 4 я є N 194
18.17. У якому вигляді можна подати розв’язок рівняння соз( лх) = х2 - 4х + 5 ? А Б В Г д л2 і я 1°8И- 1л Я 1оеи я3 18.18. Розв’язати рівняння соз(созх) = ]. А Б В Г д 0 х = — + лп, 2 ле2 х = ±агссо8(2лп) + +2лм, п є 2 х — 2пп, пє7. х = ±л + 2ли, лє2 18.19. Розв’язати рівняння 8Іпх + 8Іп[х| = 0. А Б В г д пп, пеХ 0 (—;0] (-оо;0]о{лп,нєУ] (-«5 0] иє2^ 18.20. Розв’язати рівняння |со8х| = соях + 2зіпх. А Б в г д х = 2лл, лє2 Х= ТІЙ, п є X Я . X = тій, х = — 4- 4 +27і£, и, кєХ х = пп, х = ~— + 4 +тг£, и, к є X х = 2пп, х = — + 4 +27і£, п, кєХ 18.21. За якого найменшого значення параметра а рівняння 2соз4х = а - 5 має корені? А Б В г д -3 0 3 1 -1 18.22. Знайти всі значення а, за яких рівняння (а + 2)зіпх = а2 - 4 має корені. А Б в г д ає(1;3) аєК а ^2 ає{-2М1;3] 0 Завдання 18.23-18.34 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 18.23. Установити відповідність між заданими рівняннями (1-4) та множинами їх розв’язків на про- міжку [0; 2л] (А -Д). 1 8Іп2х = 0 2 2 соз х = 2 З соз 2х = 0 4 іе—х = 1 А {0; 2л} Т— I Л Я Зл л 1 Б (0;—; л;—;2л І 2 2 ] В ;я! І 4 2 4 ] Г і”) І2] Л І п.3л.5л,7л1 Д | 4’ 4 ’ 4 ’ 4 ] 195
18.24. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та множинами їх розв’язків (А-Д). 1 зіп[ — — х | =а, |а|<1 <2 / 11 А ± агссоз а + 2 ля, л є 2 Б агсІ§ а + ля, л є 2 « а 2 81ПХСО8Х = — 2 3 зіпх = асозх В агссі§ а + ля, л є 2 Г (-1)"агсзіп а + ля, л є/ л , (Зя V 4 ~х^=а Д (-1)” ^агсзіп а+“, лє7 18.25. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та їх розв’язками (А-Д). 1 2зіпх = 1 2 зіп2х= 1 А х = (-!)*— + ял,ле/ К ’ 12 3 зіп—= 1 2 Б х = (-1)* —+ ял, лє7 к ’ 6 4 2зіп—= 1 2 В х = (-1)*у + 2ял,ле/ Г х = — + ял, л є 2 4 Д х = (4л + 1)я, лє7 18.26. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та кількістю їх коренів на відрізку [0; 2 л] (А-Д). 1 зіп2х = 0 2 зіп 2х = -— 2 А жодного Б один В два 3 зіп—— 1 8 Г чотири Д п’ять , . х 1 4 8іп—= — 4 2 18.27. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та кількістю їх коренів на проміжку (0; я) (А-Д). 1 сі§3х = 4 2 сІ§ 2х = 2 А чотири Б три 3 сід^ = 0 4 |с!§ 2х| = 1 В два Г один Д жодного 18.28. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та їх коренями (А-Д). 1 зіп2х - 4зіпх + 3 = 0 2 зіп2х - Ззіпх -4 = 0 3 соз2х - 5созх + 4 = 0 А х = 2ял, л є 2 Б х = я(2л +1), л є 2 4 соз2х - 4созх -5 = 0 В х = -— + 2ял, пє.2 2 Г х = — + ял, л є 2 2 Д х = — + 2ял, пє.2 2 196
18.29. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та рівносильними їм рівняннями (А-Д). 1 созЗх- созх = 0 А зіп2хсозЗх = 0 2 созЗх + созх - 0 Б зіпЗхсоз2х = 0 3 зіп Зх - зіпх = 0 В зіпхсозх - 0 4 зіп5х + зіпх = 0 Г зіпх соз 2х = 0 Д со8хсоз2х = 0 18.30. Установити відповідність між рівняннями (1—4) та їх коренями (А-Д). 1 ЗІП——-\/ЗС08—= 0 2 2 2 ЗІП—-СОЗ—= 0 2 2 З >/ззіпх-созх = 0 . /Т . X X п 4 УЗ зіп— + со8— = 0 2 2 А х = —І-пп, пє2 6 Б х ——— + тгп, пє.2 6 В х- — + 2пп, пє2 2 Г х-— — + 2пп,пє2 З Д х =-----1- 2лп, п є 2 З 18.31. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та рівносильними їм рівняннями (А-Д). СО8Х зіп х - 2 2 СОЗХ зіп х -1 = 0 3 зіпх 1-созх = 0 4 зіпх-1 созх = 0 А 8ІПХ = -1 Б зіпх = 1 В созх = 2 Г созх - 0 Д созх — —1 18.32. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та їх коренями (А-Д). 1 зіпх2 - 1 15тг А х = .- + 2я(п-1),иєМ 2 зіп 4х - 1 3 зіп2х = 1 4 зіпІх| = 1 N 2 Б х = ±— + 2яи, де п — ціле невід’ємне число 2 В х = — + як, кє.2 2 Г х = ±^-~ + 2яп, деп— ціле невід’ємне число ґл V Д х = ^— + 2ли^ , деп — ціле невід’ємне число 197
18.33. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та їх коренями (А-Д). 1 І8ІПХІ = -8ІПХ тс ~ Зя — 11 А хє —і- 2 тсА:; Ь 2пк ,кє2 2 |8Шх| - 81ПХ І2 2 ] 3 ІСО8ХІ - -СОЗХ ТС . ТС - ' Б ХЄ -- + 2пк;- + 2пк ,кє2 4 |СО8Х| = созх .2 2 В хє [л(2Л + 1); 2п(к + 2)],кє2 Г хє - + 4тік; — + 4пк ,кєХ І2 2 Д ХЄ [2пк; п(2к + Х)},кєХ 18.34. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та їх коренями (А-Д). 1 8ІП(Х - |х|) = 0 А {-7іп,пєА} о[0; + <») 2 3 О 11 Л § § + + .5 о сл О Б {—2 ям, п є А] о [0; + ©о) 4 соз(х - |х|) = 1 В Г д (-оо; 0]О<— , ИЄЛП (-оо; 0]о{лп, иє2У} {-у,лєЛг}о[0; + ~) Розв’яжіть завдання 18.35-18.52. Відповідь запишіть десятковим дробом. 18.35. Розв’язати рівняння 8Іп(я8Іпх) =-1. У відповідь записати кількість коренів на проміжку [0; я]. 18.36. Розв’язати рівняння СО82 ^-^СО8Х-—= 1. У відповідь записати найменший додатний ко- рінь, округлений з точністю до 0,1. 18.37. Знайти кількість коренів рівняння 8Іп2х • і&х + 1 = Ззіпх на проміжку (0; я). 18.38. Розв’язати рівняння Ззіпх-2со82 х =-3. У відповідь записати кількість коренів на проміжку [0; я]. 18.39. Розв’язати рівняння 38Іп2х-48Іпхсо8х + со82х = 0. У відповідь записати кількість коренів на проміжку [0; я]. 18.40. Розв’язати рівняння у/1-ьіпх = СО8Х. У відповідь записати значення —, де х0— найменший я додатний корінь рівняння. 18.41. Розв’язати рівняння С08х-С08 3х = 8Іп2х. У відповідь записати кількість коренів на проміжку [0; я]. 18.42. Розв’язати рівняння созх = 8ІпЗх. У відповідь записати значення —, де х0 — найменший дода- я тний корінь рівняння. 198
г~ Зх 18.43. Розв’язати рівняння созх-л/3 зіпх = 2 . У відповідь записати значення —де Хо— най- л менший додатний корінь рівняння. 18.44. Розв’язати рівняння зіп2 2х - зіп2 х = —. У відповідь записати кількість коренів на проміжку [0; 2л]. 18.45. Розв’язати рівняння соз2 х + соз2 2х + соз2 Зх + соз2 4х = 2. У відповідь записати кількість коре- нів на проміжку [0; 2л]. 18.46. Розв’язати рівняння (зіпх +созх)2-3(зіпх +созх)+ 2 = 0. У відповідь записати кількість ко- ренів на проміжку [0; 2л]. 18.47. Нехай х0 — найменший додатний корінь рівняння соз2х - 5зіпхсозх + 2 = 0. Знайти 18.48. За яких значень параметра а рівняння зіп4х + соз4х = а має розв’язки? У відповідь записати су- му найбільшого та найменшого значень а. 18.49. Розв’язати рівняння зіп4 2х + соз4 2х = соз2 4х + —. У відповідь записати значення —-, де х0 — 4 п найменший додатний корінь рівняння. 18.50. Розв’язати рівняння 9(і§4 х + сі£4 х) = 15(і£х + сі£х)2 +2. У відповідь записати кількість коре- нів на проміжку [0; 2л]. х 5* 18.51. Розв’язати рівняння агссоз(зіпх) = — . У відповідь записати значення —, де 5— сума всіх ко- 2 я ренів рівняння. 18.52. Розв’язати рівняння зіп4х + соз4х + 8Іп2х = а. У відповідь записати найбільше значення а, за якого рівняння має корені. 199
Тема 19. Тригонометричні нерівності Нерівності, які містять змінну під знаком тригонометричної функції, називають тригонометрич- 1 . 7 ними. Наприклад, созх<—; 58Іп“х + Зсо8х>6 тощо. Розв’язування тригонометричних нерівностей зводять до розв’язування найпростіших тригонометричних нерівностей. Найпростіші тригонометричні нерівності Найпростіші тригонометричні нерівності — це нерівності виду зіпх <>а. созх <>а, <>я, сї£х<>а. Розв’язувати найпростіші тригонометричні нерівності можна графічно або за допомогою одиничного кола. За означенням, синусом кута а є ордината точки Ра(х; у) одиничного кола, а косинусом — абсци- са точки Ра(х;у) одиничного кола. Цей факт використовується при розв’язуванні тригонометричних нерівностей виду зіпх <>а, созх <>а за допомогою одиничного кола. Наприклад: 1. Розв’язати нерівність зіпх<—. Оскільки <1, то розв’язок існує. Побудуємо в одній системі координат графіки функцій у - зіпх і у =- та виділимо проміжки, на яких трафік функцій у = зіпх розташований нижче від гра- Знайдемо абсциси точок Хі і х2 (хі<х2)— перетину графіків зазначених функцій. . у/2 я 5я . ТІ я п .. . х, = -я-агсзіп = — я------=------; х2 — агсзіп---= —. Запишемо відповідь, врахувавши період фун- кції^ = зіпх. Відповідь.----+ 2я£; —+ 2я£ , ке 7; <4 4 7 >/3 2. Розв’язати нерівність зіпх<-у. д/З Побудуємо одиничне КОЛО, пряму у - — І позначимо ТОЧКИ Рх І Р<2 перетину одиничного кола ..................................................... . 7з и зазначеної прямої та виділимо множину точок, ординати яких менші за -у . 200
Знайдемо значення Х\ і Х2, здійснюючи обхід дуги проти годинникової стрілки: Х| < Х2, . л/з Л 2л . л/з л х, =л-агс8іп— = л — = —; х, - агсзіп—+2л = —+2л. 1 2 3 3 2 З . . । 2 я Я _ . । . „ Відповідь. — + 2як; — + 2я + 2як , «є/. \ 3 3 ) Розглянемо розв’язування тригонометричних нерівностей, які містять функцію у = созх. Наприклад: 1. Розв’язати нерівність созх>-^. Побудуємо в одній системі координат графіки функцій у - созх і у = та виділимо проміжки, на ..1 яких графік функцій у - созх розташований вище від графіка прямої у - — . -2я _3я Знайдемо абсциси точок хі і х2 (хі < х2) — перетину графіків зазначених функцій, які є кінцями . . 1 я 1 я одного з проміжків, на якому виконується задана нерівність, х, = -агссоз— = ; х2 = агссоз— - — . Запишемо відповідь, врахувавши період функції у = созх. І Я Я ] Відповідь. — + 2я£; — + 2лк , <3 3 ) 7з 2. Розв’язати нерівність созх > — . 7з Побудуємо одиничне КОЛО І пряму у - — , позначимо ТОЧКИ Рх І РХ2 перетину одиничного кола .......................... . .. . 7з и зазначеної прямої та виділимо множину точок, абсциси яких більші за — . Знайдемо значення Хі і х2, здійснюючи обхід дуги проти годинникової стрілки: хі<х2, х, = -агссоз— =--; х0 = агссоз— = — ' 2 6 2 6 ґ л л Відповідь.-------1- 2л&; — + 2л& , кеХ. \ 6 6 / 201
Розглянемо розв’язування тригонометричних нерівностей, які містять функцію^ = Ї£Х. Наприклад: 1. Розв’язати нерівність і£х<л/з. Побудуємо в одній системі координат графіки функцій у = і у - >/з та виділимо проміжки, на яких графік функцій у = ї&с розташований нижче від графіка прямої у = \[ї. Знайдемо абсцису точки х0 — перетину графіків зазначених функцій, яка є кінцем одного з про- . . я т . п міжків, на якому виконується задана нерівність х0 = —. Іншим кінцем цього проміжка є точка , у якій функція >> = невизначена. . , . . я я .. Одним із проміжків, який є розв язком нерівності, є <х<у. Запишемо відповідь, врахував- ши, що період функції у = ї&с дорівнює я. ТЛ* • | Я -Я ІІІГЖ Відповідь.---+ яЛ; —+ яЛ , кеХ- \ 2 З ) 2. Розв’язати нерівність і&х < 1. Побудуємо одиничне коло, лінію тангенсів, на якій позначимо точку Тх(1; 1) і виділимо ту части- ну лінії тангенсів, яка розміщена нижче від точки Тх, та дугу кола, яка відповідає виділеній частині лі- нії тангенсів. Запишемо значення кутів, які відповідають виділеній дузі. я я я _ .. ... < х < агсі£1; < х < —. Запишемо відповідь, врахувавши, що період функції у = ї&с дорів- нює я. К*’ • ^С І 1 1 ГУ Відповідь. — + яЛ; — + пк , кє2. <2 4 ) 202
Розглянемо розв’язування тригонометричних нерівностей, які містять функцію у = СІ£Х. 1. Розв’язати нерівність сі§х < —— . Побудуємо в одній системі координат графіки функцій у = сі§х і у = —— та виділимо проміжки, х „ 7з на яких графік функцій у = сі&х розташований не вище від графіка прямої у =-. Знайдемо абсцису точки х0, яка є кінцем одного з проміжків, на якому виконується задана нерів- 2л _ • - і ність х0 = —. Іншим кінцем цього проміжка є точка л, у якій функція у = сі&х невизначена. 2л Одним із проміжків, який є розв’язком нерівності, є — < х < л. Запишемо відповідь, врахувавши, ЩО період функції}? - сІ§х дорівнює л. Г 2л Відповідь. — + л£; л + л& , ке 2 З ) 2. Розв’язати нерівність сІ§х > д/з . Побудуємо одиничне коло, лінію котангенсів, на якій позначимо точку сД>/3;1) і виділимо ту частину лінії котангенсів, яка розміщена праворуч від точки Сх, та дугу кола, яка відповідає виділеній частині лінії котангенсів. 0 < х < — . Запишемо відповідь, врахувавши, що період функції у = сі§х дорівнює л. л Відповідь, пк; — + пк , ке 7. 6 203
Тригонометричні нерівності зі складним аргументом у/2 Наприклад, розв’язати нерівність соз2х > — 72 Уведемо нову змінну і - 2х і запишемо дану нерівність у вигляді: соз/ > —Виділимо на оди- ничному колі множину точок, абсциси 72 яких не менші за--- 2 Знайдемо значення =-агссоз Зя . — І =------і л = агссоз 2 ) 4 1 2 Зя = —, здійснюючи обхід проти 4 годинникової стрілки: < /2- Зя Зя Запишемо умову, за якої точка і належить дузі Рц РІ2: —— + 2тік<і< — + 2тік, кєХ. Поверне- •• Зя „ , Зя , _ „ , *« * мося до початкової змінної:-------і-2як<2х<-------ь2як, кє7. Розв яжемо одержану подвійну нерів- 4 4 Зя , Зя . , _ ність відносно х: —— + як < х < — + як, кє X. . Зя , Зя , , _ Відповідь.-------+ як; — + як , кєл. 8 8 Подвійні тригонометричні нерівності „ , . . 1 . X 72 Розв язати нерівність — < зіп — < . 2 2 2 . х „ . . 1 . 72 тт . . Уведемо нову змінну і- — и одержимо нерівність — <зіп/<—На одиничному КОЛІ ВИДІЛИМО 1 УІ2 множину точок, ординати яких більші за — і менші за -у (дуги Р( РІ2 і Р{ Р^ ). Знайдемо значення і2, (з і Ц, здійснюючи обхід кола проти годинникової стрілки: ґ, < 12, із < і*. . 1 я . 41 я . 41 я Зя .1 я 5я і. = агсзіп— = —; л = агсзіп— = —; л = я - агсзіп— = я — = —; г,=л - агсзіп— = я — = — 1 2 6 2 2 4 3 2 44 4 2 66 204
Тоді маємо: — + Тик < і < — + 2пк, ке2 і —+ 2л£<Т< —+ 2л&, ке2. Повернувшись до замі- 6 4 4 6 я /ч 7 л і у • 3 л _ _ х 5 тс _ _ _ _ , ни,одержимо: — + 2лА < — < — + 2лк, ке2 і — + 2лк < — < — + 2лк, ке2, Розв яжемо одержані нері- • • л _ тс . . . . Зтс . . 5л . . _ вності відноснох: —+ 4лк<х< —+ 4л/с, ке2\--------ь4лк<х<— + 4лк, ке2. З 2 2 З —,. . ( тс 1 тс . . А (Зтс . _ 5тс . _ . Відповідь. —і- 4тік' — + 4л£ о------Ь 4тсА:;-Ь 4тсА: , ке2. <3 2 М2 3 ) Нерівності, у яких тригонометрична функція міститься під знаком модуля Нехай необхідно розв’язати нерівність |зіпх| < Запишемо задану нерівність у вигляді подвій- ної нерівності: <зіпх< —. Для цього виділимо на одиничному колі множини точок, ординати яких більші за -— і менші за — (дуги Р Р. і Р Рг ). 9 х 1 х 2 х3 Х4 7 Знайдемо значення хь х2, х3 і х4, виконуючи обхід кола проти годинникової стрілки: X] < х2, х3 < х4. . ( П тс . 1 тс . 1 5л . 1 7л х, = агсзіп — = —; х9 = агсзіп — = —; х. = л - агсзіп — = — ; х4 = л + агсзіп— = —. 1 1 2) 6 2 2 6 3 2 6 4 26 Запишемо умови, за яких точка х є розв’язком нерівності: — + 2л£<х< —+ 2л&, ке2; 6 6 5л 7л —+ 2л£<х< —+ 2л£, ке2. Запишемо відповідь, врахувавши, що дуги Рх Рх і Рх^ Рх< симетричні відносно початку координат. . . (^л _ л .А . Відповідь.-----ь лк < х < — + лк , ке 2. \ 6 6 / 72 Приклад 1. Розв’язати нерівність зіпЗх>-^-. І2 . . 2 в л/2 л/2 я Зл Зхє агсзіп— + 2лк; п - агсзіп--1- 2пк , к&2', Зхє — + 2іск; — + 2пк , кє%; 2 2 4 4 2 2 205
л*є я 2пк я 2тік ---1----; —і----- 12 3 4 З ке х. Відповідь. я 2пк я 2лк ----1----і---1----- 12 3 4 З , кег. Прикладі. Розв’язати нерівність зіп-------1 <------. У відповідь записати кількість цілих роз- в’язків нерівності з проміжку [-6; 2]. X Уведемо нову змінну і =----1 4 і розв’яжемо нерівність 8ІП/<--(див. рис.). Знайдемо абсциси точок 6 і її (6 < ііу. 1} = -я + агсзіп-= -я Н— Зя . ( у/2\ ----; Л = агсзіп І---- 4 2 І 2) ——+ 2я&</<-— + 2я£, кеХ. Повернемося до заміни: ——+ 2пк < — -1 < + 2пк, кеХ', 4 4 4 4 4 1——+ 2я£< — <1- — + 2яА:, кеХ', 4-Зя + 8я&<х<4-я + 8я£, кеХ. Якщо £ = 0, то цілими 4 4 4 розв’язками є числа -5, -4, -3-2, -1, 0, усього їх є 6. Якщо Л = ±1, ±2, ..., то розв’язків на проміжку [-6; 2] немає. Відповідь. 6. Приклад 3. Визначити найменше додатне значення х, для якого виконується нерівність 2созґх-—>-]. І б) А Б В Г д 0° 30° 45° 60° 90° Запишемо нерівність у вигляді соз(х -150°) > —. Далі маємо: -120° + 360°и <х - 150° < 120° + 360°и, пеХ; 30° + 360°и <х < 270° + 360° • п, пеХ. Відповідь. Б. 2 Приклад 4. Розв’язати нерівність соз х<—. соз2х<—; ------<—; 1 + соз2х<—; соз2х<—; агссоз—ь2пк<2х<2я-агссоз— + 2ігк, 4 2 4 2 2 2 2 206
ке 2; — + 2я£<2х<2я- — + 2я£, ке2\ —+ 2я£<2х< —+2я£, ке2\ —+ я£<х< —+ я£, ке 2. З 3 3 3 6 6 . । я _ 5я - । . _ Відповідь. — + тік < х < — + тік І, ке2. \ 6 6 / Приклад 5. Розв’язати нерівність д/з зіп 2х + соз 2х > 1. \/з зіп 2х + соз 2х > 1; ^^зіп2х +—соз2х>—; зіп2хсоз—+ соз2хзіп—>—; зіпҐ2х + —1>—; 2 2 2 6 6 2 І 6) 2 1 я 1 я я я агсзіп— + 2лк < 2х + — < п-агсзіп— + 2лк, ке2; — + 2лк<2х + — <л-+ 2пк, кє7; 2 6 2 6 6 6 — - — + 2пк<2х< К- — - — + 2лк, кє7; 2лк<2х< — + 2лк, кє7; як < х< — + лк, кєХ. 6 6 6 6 З З Я Відповідь. тік\ — + тік ке2.^Л З Приклад 6. Розв’язати нерівність |І£х| > 1. Запишемо дану нерівність у вигляді сукупності нерівностей Побудуємо графіки і§х>1. функцій у - 1%х, у = -1 і у = 1 та виділимо проміжки, на яких графік функції у = і§х розташований вище від прямої у - 1 і нижче від прямої^ = -1. я я Знайдемо абсциси точок Хі і х2 (хі < х2): X] = агсі§(-1) = ; х2 = агсі§1 = — . П- ( П Відповідь. -- І 2 я Я у Я у Я у Ті у । у —— —+ я£; — + я£ и — + я&; — + тік , ке2. 2 4 4 2 ) 4 Приклад 7. Знайти всі значення параметра а із проміжку я Зя її’Т , для кожного з яких нерів- З ність 8Іп2х + со82(х-я)> —+ 28Іпх8Іпясо8(х-я) виконується для всіх х. У відповідь записати найбі- льше значення параметра з цього проміжка (у градусах). З Виконаємо перетворення: 8Іп2 х + соз2 (х - а) > — + 2 8Іп х8Іп асоз(х - а); З З 8ІП2 Х- —> 28ІПХ8ІПЛСО8(х-я) -СО82(х-я) ; 8ІП2 Х- —> СО8(х-д)(28ІПХ8ІПЯ-СО8(х-а)) ; з 8ІП2 х - — > (СО8 X СО8 а + 8ІП X 8ІП б?) ( 2 8ІП X 8ІП а - СО8 X СО8 а - 8ІП X 8ІП а); 207
зіп2 х - — > (зіп хзіп а + созхсо8 а) (8Іп хзіп а - соз хсоз а); зіп2 х - — > зіп2 хзіп2 а - соз2 хсоз2 а; 4 ' А >' 4 З 3 3 3 8Іп2х(1-8Іп2а) + соз2хсо82а> —; 8Іп2хсоз2а + соз2хсоз2а> —; со82а(зіп2х + со82х)> —; соз2а> —; \ / 4 4 к '44 |соза|>^. 71 Зл 2’~2 Відповідь. 210°. — =210°. 6 71 _ , Я _ , Отже, ає — + 2пк;—+2пк о 6 6 Завдання 19.1-19.20 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 19.1. Розв’язати нерівність 2зіп2х> —х/2 . А Б В Г д ( л , ,3л, Л —+іїк\ —+л* , <8 8 > Ґ-—+л*;—+л*), <4 4 > (— +2ті*;—+2л*), V 4 4 / (—+271*;—+2л*), V 8 8 > Ґ-—+л*;—+л*), V 8 8 > кеХ *є7 ке2 *є7 *є7 19.2. Знайти довжину кожного з відрізків координатної прямої, які утворюють розв’язки нерівності 28ІПХ < 1. А Б В Г д Зл 6л 4л 8л 2л 2 3 3 3 3 19.3. п , . . 1 Розв язати нерівність созлх> —. А Б В Г д [ —+2л*;—+271*), V 3 3 > ґ-- + 2*;- + 2*ї V 8 6 / <1 7 > - + 2*;- + 2* , <3 3 А 1—1”*>—ь* |, V 3 3 ) ґ--+2*;-+2*|, <3 3 ) *є7 *є7 *є7 кєХ к&г 19.4. Знайти довжину кожного з відрізків координатної прямої, які утворюють розв’язки нерівності 2 X . 2.Г> у3 СОЗ----ЗІП — <-----. 2 2 2 А Б В Г д л л 5л 7л 2л 3 6 6 3 3 208
А Б В Г д (я я А — + яп;— + яп , <4 2 / п&2 ЯГ а § N А, (я я А — + яп;— + яп , <6 2 / п є 2 ґ X 1 ю |й + Ф і3. N о\ |й + й ( 71 яп;— + ди , < 3 7 пе2 19.6. Серед наведених нерівностей вибрати ту, яка не мас розв’язків. А Б В г Д 3 СО8 X < 4 8Іпх> 0,2 агс1£х> 2 агсі§х< 1,2 19.7. Серед наведених нерівностей вибрати ту, яка має розв’язки. А Б В Г д 3 “СОЗХ^ — 2 СО8Х< -1 8ІПХ>1 І£Х<^ агсзіп х< -тс 19.8. Розв’язати НерІВНІСТЬ СО85ХСО8Х-8ІП5Х8ІПХ<—. А Б в г д (2 1О 4 ~ —я + 2яи:—я + 2яи , <3 3 > лє7 [ —я + 2яи;—я + 2яи ], <6 3 > п Е 7 ( 4 2 А —я + 2яи;-я + 2ли , V 3 3 > пеТ. ґ71 1 7Г/7.^Л: 1 І9 3 ’ 9 3 >’ п є 7 ( 2 , пп я , пп\ —яч ;—і і, < 9 3 9 3 > п Е 7 2 1 19.9. Розв’язати нерівність зіп х>~^- А Б В г д (іт 5 А —+2яп;-я+2яп , <6 6 / пе2 [—+2яп;—я+2яп], <66 > п&2 т + о і чо Лг ш 1 * + й| 40 т Ч- К| V© N ЦІ § К + (я 5 , — + яп;—я + яп , <6 6 / пе2 2 19.10. Розв’язати нерівність соз х-~^- А Б в г д 1 1 1 Ій + Ф N їй + 1 1 5 1 1 їй + » а N + £ ? 1 їй + ф ?Г N їй + я 2 ~ - + 2як\-я+2як ІЗ 3 ке2 5 ЯГ + й N СЧ | ф + ^й| гп 19.11. Розв’язати нерівність (2зіпх- 3)і§х>0. А Б в г Д ( тс ~ ~ 1- 2 яп; 2яп <2 п є 2 5 ТС тси;—+ тси і, 1 2 > п є 7 ( ТС , — + тси;тси ^2 п є 2 5 0 я 1- тгп; яп , 12 > п є 2 19.12. Розв’язати нерівність зіпх< созх. А Б В Г д Ґ-— + 2тси; — + 2л/?), <4 2 ) ( 3 , я А —я+яп;— + 71» , <4 4 > ґ—л+2ли;-+2ли|, <4 4 > (-я + 2яп;2яп), ґл 5 А — + 2яп;-я+2яп , <4 4 > пе2 пє2 пє2 п є 2 пє2 14* Капіносов А. Математика. Комплексна підготовка до ЗНО 209
19.13. Розв’язати нерівність зіпх - созх > 1. А Б в г д [-+2л*;л+2лА:), кєХ + В- N ю ( К ! 11 — + я£; п + пк , <2 / к(=г <3 9 А -п+пк;-п+пк , М 4 > к<=2 ґл+2лА;-л+2тй:\ V 2 > кєг 19.14. Розв’язати нерівність л/зіпх > л/созх . А Б в Г Д -+2пк;-п+2пк , [_4 4 .] кєХ 1 1 £ + "Ь сч 1 1 \2пк-- + 2пк], V 2 > кєХ 0 1 1 4^ |Й + N “ І* ю £ 1 1 9 19.15. Розв’язати нерівність |8ІПх| < ±. А Б в г д (--+2пк;-+2пк), <6 6 > к&Т. + Є N | О ці ї •* + 'О + КІ'о N ї * + о 1 (—+2лЛ;-7Г+2лл\ <6 6 > к<=2 їй 4- *• Й- N + 19.16. Розв’язати нерівність |соз х| > у . А Б В Г д { — + пк;—л + пк |, <3 3 > кєХ + - .4 (Ті О\ і сг» N й 4- иПй4 - і N + їй + £ я N їй 4- А +пк;—+л&\ к 3 3 А кєї 19.17. Розв’язати нерівність агссозх< —. А Б в Г д Г і її соз—; 1 1 2 1 1 о 1?) 1 1 Г і П -1; соз— 1 2^ ґ 1 соз—;1 V 2 / ґ і П С05~^ 19.18. Розв’язати нерівність 0 < агсзіп х < —. А Б в Г д о 1 1 К>| — 1 1 1 2 _ о о 1 1 19.19. Розв’язати нерівність агсі£х> —. А Б в г Д ЬЛ] л/3 —; + °° 1 _ 3 ) [1;+о°) £5/3; + °°) 1-;Т 210
19.20. Розв’язати нерівність < агсі§х < —. А Б В г д ІЗ] (-^] 1 3 ) Завдання 19.21-19.27 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 19.21. Установити відповідність між заданими нерівностями (1-4) та їх найбільшими розв’язками на проміжку [0; 2л] (А-Д). , 1 . 5л 1 СО8Х< А — 2 2 зіп х > — 2 3 1§х<1 4 сі§х>-1 6 г Зл І> 4 В 2л г 25 4 д — 3 19.22. Установити відповідність між заданими нерівностями (1-4) та їх найменшими розв’язками на проміжку [0; я] (А-Д). 1 СО82 X - 8ІП2 X < 2 2 зіп 2х > 1 3 с(§ 2х < 1 4 і§|х>1 А - 8 Б - 2 В - 4 Г 0 Д я 19.23. Установити відповідність між нерівностями (1—4) та їх розв’язками (А-Д). 1 2 2 - . х л/2 2 зіп—<----- 4 зіп—<-2 2 2 2 З З А-----ь 4лп < х <-1- 4пп, пє.2 З З Б — + 4пп<х< — + 4пп, пє2 З З Зтг 9тг В — + 4пп<х< — + 4лп,пєг 2 2 Г — + 4яп<х< — + 4яп, пе2 З З Д 0 211
19.24. Установити відповідність між нерівностями (1-4) та їх розв’язками (А-Д). 1 . Зя Зл ~ 1 соз2х> — А \-пп<х<— + пп,пє 2 2 8 8 2 соз2х< — Б ^- + лп<х<^ + тіп,пє2 2 8 8 1 ТШ Я 1 1 ТС гу 3 соз2х>-- В — + лп<х<—+лп,пє2 2 12 12 . ~ . 4Ї Г + пп<х< — + пп, пе2 4 соз2х<—— 3 3 ’ ТС тс Д 1-тіп< х< —і-пп,пє2 6 6 19.25. Установити відповідність між нерівностями (1-4) та їх розв’язками (А-Д). 1 '84**1 А , . . г: 8 4 24 4 2 1§4х<-л/3 „ я пп _ _ я , ям і Б 1- — <х< 1 ,п&2 3 1§4х >--у=- 8 4 12 4 ТС ЯЛ Я ЯТ2 г- В + — <х< +—,лє7 4 1§4х<73 8 4 12 4 „ я , ям , я ям ~ Г — + — <х< —+ — ,лє7 16 4 8 4 „ я , ям я , ям г, Д + — <х< —+—,пє.2 24 4 8 4 19.26. Установити відповідність між нерівностями (1—4) та їх розв’язками (А-Д). 1 сі§— >>/з А —+ 3яи<х<3я(м + 1), мє2 3 2 2 сій— <Д= Б Зям<х< — + 3ям,пє.2 3 л/3 4 3 с(§— >-1 В 3лм<х<у + 3лм, мєТ’ х г Г я(3м +1) < х < Зя(и +1), и є 2 4 сі§-<-УЗ Д -^ + 3яп<х<3я(и + 1), п^2 19.27. Установити відповідність між нерівностями (1-4) та їх розв’язками (А-Д). 1 я Зя 1 СО82Х-8ІП2Х> г= А —ьяи<х< І-ям, п&2 а/2 8 8 2 со8хсозЗх-зіпхзіпЗх<^у- В — + 2ям<х< — + 2пп,пє2 3 со82хсозх +зіп2хзіпх<-1- В —+ ям<х< — + пп,пе.2 і „ я ям 11я ям „ л сіп2^1 г — + — <х< +—,пе2 4 зіп х>- 24 2 24 2 Д — + пп < х < — + пп, пє.2 6 6 212
Розв’яжіть завдання 19.28-19.33. Відповідь запишіть десятковим дробом. 19.28. Розв’язати нерівність 8Іп^х + ^ >^. У відповідь записати найменший додатний цілий розв’язок нерівності. 19.29. Розв’язати нерівність 28Іп2х-5зіпх + 2<0. У відповідь записати найбільший цілий розв’язок нерівності на проміжку [0; 2тс]. 19.30. Розв’язати нерівність соз2х + созх> 0. У відповідь записати найбільший цілий розв’язок не- рівності на проміжку [0; 2тс]. 19.31. Розв’язати нерівність 28Іп42х>8Іп22х. У відповідь записати найбільший цілий розв’язок не- рівності на проміжку [0; 2тс]. 19.32. Розв’язати нерівність >/з 8Іпх + со8х< 1. У відповідь записати найменший цілий розв’язок не- рівності на проміжку [0; 2тс]. 19.33. Розв’язати нерівність агсзіп — + агссо8—< 2. У відповідь записати найменший додатний х х розв’язок нерівності. 213
Тема 20. Системи рівнянь Якщо завдання полягає у відшуканні спільних розв’язків кількох рівнянь, то кажуть, що треба розв’язати систему рівнянь. Наприклад, 5х - 2у = 3; — система двох лінійних рівнянь із двома неві- х + у = 15 домими. Розв ’язком системи рівнянь називають такий набір значень невідомих, який задовольняє ко- жне з рівнянь системи. Розв’язати систему рівнянь означає знайти всі її розв’язки або довести, що си- стема не має розв’язків. Дві системи рівнянь називають рівносильними, якщо множини їх розв’язків збігаються. Справед- ливі такі твердження: 1. Якщо рівняння системи замінити рівносильним йому рівнянням, то отримаємо систему, рівно- сильну даній. 2. Якщо одне рівняння системи замінити його почастинною сумою з іншим, то отримаємо систе- му, рівносильну даній. Основними способами розв’язування систем рівнянь є графічний, спосіб підстановки і додавання. Графічний спосіб Щоб розв’язати систему рівнянь графічно, слід в одній системі координат побудувати графіки кожного з рівнянь і знайти спільні точки цих графіків. Координати точок перетину будуть наближе- ними розв’язками системи, які можна уточнити перевіркою. Наприклад, знайти графічним способом розв’язки системи рівнянь Зх + 2у = 8; (2х-у = 3. Кожне з рівнянь системи є лінійним, тому їхніми графіками є прямі. Зх + 2у = 8 X 0 4 У 4 -2 2х-у = 3 X 0 1 У -3 -1 Будуємо графіки рівнянь в одній системі координат. Графіки перетинаються в одній точці— точці Л(2; 1). Перевіркою встановлюємо, що (2; 1) — розв’язок системи. Відповідь. (2; 1). Спосіб підстановки Спосіб підстановки полягає в тому, що одне з рівнянь подають у вигляді у -](х) або х - §(у) (ви- ражають одну змінну через іншу) і підставляють в інше рівняння замість змінної отриманий вираз. У результаті такої підстановки отримують рівняння з однією змінною. Розв’язавши його, підставляють отриманий корінь в інше рівняння системи і визначають значення іншої змінної. Наприклад, розв’язати систему рівнянь х-у = 1; \3-/=7. Виразимо з першого рівняння системи змінну х через змінну у. х - 1 + у та підставимо одержане значення у друге рівняння системи. Маємо: (1 + у)3 - 214
-у3 = 7; 1 + Зу + Зу2 + у3 - у3 = 7; Зу2 + Зу - 6 = 0; у2 + у - 2 = 0; уі -~2,уг - 1. Підставимо знайдені зна- чення й одержимо: х\ = 1 + (-2) = -1; х2 - 1 + 1 = 2. Отже, розв’язками системи є (-1; -2) і (2; 1). Відповідь. (-1; -2), (2; 1). Спосіб додавання Суть способу додавання полягає в тому, що рівняння системи домножують на такі числа, щоб у них коефіцієнти при одній зі змінних стали протилежними числами. Тоді, почастинно додавши ці рів- няння, отримують алгебраїчне рівняння з однією змінною і т. д. Наприклад, розв’язати систему рівнянь Зх-2у = 11; х Домножимо друге рівняння на 2 й одержи- х+ у = 7. мо: Зх-2у = 11; х + у = 7; •2 Зх-2у = 11; [2х+ 2у = 14. Додамо рівняння системи й результат запишемо другим рівнян- ням, а перше рівняння перепишемо без змін: Зх-2у = 11; Виконаємо перетворення й підставимо 5х = 25. знайдене значення х у перше рівняння: 2у = 3х-11; < х = 5; 2у = 3-5-11; < х = 5; у = 2; < Отже, (5; 2) — розв’язок х = 5. системи. Відповідь. (5; 2). Систему алгебраїчних рівнянь часто можна спростити, якщо ввести нові значення для невідомих. Наприклад, розв’язуючи систему 12 + у - 2; систему < [уг ~ 1? звідки < у = і; 2 = 1. 1 2х- у + У = 2; -^- = 1, 2х-у 1 зручно ввести заміну 2 ----- 2х- у Повертаючись до заміни, отримаємо систему рівнянь й одержати 2х-у з якої знайдемо розв’язок вихідної системи — (1; 1). Відповідь. (1; 1). 2х- у = 7; -Зх + 4у = -8. Приклад 1. Розв’язати систему рівнянь 3 першого рівняння отримуємо: у = 2х - 7 . Підставивши замість у в друге рівняння вираз 2х - 7 , отримаємо: -Зх + 4(2х - 7) = -8 ; 5х = 20; х = 4. Тоді у = 2 • 4 - 7 = 1. Розв’язок системи рівнянь: (4; 1). Відповідь. (4; 1). Приклад 2. Нехай (хо; уо) — розв’язок системи рівнянь л/25-10х + х2 + у = 4; у-Зх + 11 = 0. Знайти добуток Хо Уо. Спочатку розв’яжемо систему рівнянь: х 725-Юх + х2 + у = 4; у-Зх + 11 = 0; \/(х-5)2+у = 4; у = 3х-11; 'І х-51 + Зх-11 = 4; у = 3х-11; |х-5| + 3х = 15; ґх —5 + Зх = 15; 1. Нехай х - 5 > 0, тобто х > 5. < у = 3х-11. [у = 3х-11; 4х = 20; у = Зх -11; 215
х = 5; -х + 5 + Зх = 15; < 2. Нехай х - 5 < 0, тобто х < 5. - у = 4. [у = Зх -11; 2х = 10; х = 5 — не підходить. Отже, [у = 3х-11; х0 = 5, у0 = 4. Тоді х0 • у0 - 5 • 4 = 20. Відповідь. 20. 3 х • 5-’’ = 75; Зг-5х =45. Приклад 3. Розв’язати систему рівнянь А Б в г д (і;2) (3;5) (2; 1) інша відповідь (2; 3) 3х -5у = 75; 3у • 5х = 45; 3 х-5^75. З'-5х 45’ 3х ,5у .у ,5х = 75.45; у-у . _ 75 . 45’ 3х+у.5х^=5.15.3.15. 1_=5. 1^ ‘-у з’ К5> ґзу-^ґзг1. х — у = —1; 2х = 2; х = 1,у = 2. Відповідь. А. Приклад 4. Розв’язати систему рівнянь х4 + у4 = 17(х + у)2; < ху = 2(х + у). частину першого рівняння: - 2г2 = (? - 2г)2 - 2г2 = і4 - 4?г + 2г2. Тоді одержимо: Уведемо заміну х + у - і. ху = 2. Перетворимо ліву х4 + у4 = х4 + 2х2у2 + у4 - 2х2у2 - (х2 + у2)2 - 2и2 = (х2 + 2ху + у2- 2ху)2 -2г2 = ((х + у)2 - 2и)2 - Г4 -4/22 + 222 = 17/2; звідки перше рівняння можна переписати так: ? - 2і2 • 2і + 2 • (2/)2 = 17/2; і4 - 8? - 9г2 = 0; і\і2 - 8/ - 9) = 0, яке має розв’язки і\ — 0, її — -1, 6 — 9. Із рівності 2 = 2/ маємо, що 2\ = 0, 22 = -2, 23 = 18. Тоді одержуємо три системи: Гх + у = О; Гх + у = -1; 1) < звідки розв’язком є (0; 0); 2) < звідки розв’язками є (1;—2) і (-2; 1); [ху = 0, [ху = -2, 3) < ’ звідки розв’язками є (3; 6) і (6; 3). [ху = 18, Відповідь. (0; 0), (1; -2), (-2; 1), (3; 6), (6; 3). Приклад 5. Розв’язати систему рівнянь < 'хх~1у = 36; 4(х - 2у) + 1о§6 х = 9. Прологарифмуємо перше рівняння системи за основою 6, врахувавши, що х > 0, а значить, ґ(х-2у)1о§6х = 2; хх-2>’>0 й одержимо: < і Увівши заміну / = 1о§б*, одержимо: < І*-2У = -(9-1о8бх)- (х-2у)-/ = 2; х-2у = |(9-ґ). Далі маємо: ^-(9-ф = 2; ? -9і+ 8 = 0; і\ = 1, /2 = 8. 216
Отже, 1о§6 х = 1; ^-2у = ^(9-1о§6Х}> 1о§6 х = 8; х-2у = -^(9-1о§6х); І 4 х = 6; 6_2?, = 1(9-1); х = б8; 6'-2у = 1(9-8); ґх = 6; Ь = 2; |х = 68; 1 4-68-1 V 2 Відповідь. (6; 2), ^6, Приклад 6. Розв’язати систему рівнянь ’10І+І8(х+?) = 50; 1§(х - у) + 1§(х + у) = 2 -1§5. Прологарифмуємо перше рівняння системи й одержимо: (1 + 1§(х + у))І£І0 = 1§50 + 1§10; 1§((х-у)(х + у)) = 2-1§5; 1 + 1§(х + у) = 1§5 + 1; |1е(х + у) = 1Є5; 18((х - у)(х + у)) = 2 - 1Є 5; 1§((х - у)(х + у)) = 1Є^-; ґх + у = 5; (х + у = 5; ґх = 4,5; [х-у = 4; 2х = 9; [у = 0,5. Відповідь. (4,5; 0,5). х + у = 5; (х-у)(х + у) = 20; х + у — 5; 5(х-у) = 20; Приклад 7. Розв’язати систему рівнянь -+2 = 1. у х 2’ х2-у2=3 Уведемо заміну х = — й одержимо: '1 — + Х = • X 5 2’ х2-у2=3; 2г2-5г + 2 = 0; ' х2-у2 =3; х, =0,5; < х2 = 2; х2-у2 = 3; — = 0,5; < х х2-у2=3; — = 2; * X х2 - у2 = 3. Розглянемо першу систему: - = 0,5; х х2 - у2 = 3; у = 0,5х; ґу = 0,5х; ґу = 0,5х; х2 ~(0,5х)2 = 3; [0,75х2=3; |х2=4; = 2; Для х2 = -2; у2=“1- другої системи матимемо: < ^ = 2; х х2-у2 = 3; у = 2х; (у = 2х; < < 0 х2-4х2=3; [-3х2=3; Отже, розв’язками системи є (-2; -1), (2; 1). Відповідь. (-2; -1), (2; 1). 217
Г|х -1| + |у - 2| = 1; Приклад 8. Розв’язати систему рівнянь < Розкриємо модулі |х — 1| і [у — 2|. 1. Нехай х-1>0; у-2>0. Тоді матимемо систему: х -1 > 0; у-2>0; х-1 + у- 2 = 1; |^у = 3-(х-1); х > 1; ґх>1; < у > 2; < у > 2; х + у = 4; [у = 4 - х; 1<х<2; у = 4 - х. 2. Нехай х-1<0;у-2>0. Тоді матимемо систему: < II Г'І 1 .. - ? 7 О ° А * VI Л| Т + «МІМ 1 1 II И 1 >4 1; < II IV іл * ь? - + о II ІЛ н X + ІЛ х-1>0; х>1; х>1; 3. Нехай х-1>0;у-2<0. Тоді матимемо систему: < у-2 < 0; х-1-у + 2 = 1; ' > л ) ї і 2; -у = 0; У- X- £ 2; = 2;(2;2)' у = 3-(х-1); х + у = 4; .У' = 2; х-1<0; х<1; х< 1; 4. Нехай х - 1 < 0; у - 2 < 0. Тоді матимемо систему: у-2<0; -х +1 - у + 2 = 1; * У <2; х + у = 2; у <2; п (0;2). х = 0; у = 3 + х-1; -х + у = 2; .У = 2; Загальний розв’язок системи зручно зобразити графічно. Завдання 20.1-20.23 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 20.1. х + 3^ = 14; Розв’язати систему рівнянь < і знайти добуток компонентів розв’язку. [2у-х = 6 А Б В Г д 16 20 8 11 5 13— 3 20.2. х + у = 3; Дано систему рівнянь < Яке утвориться рівняння, якщо з першого рівняння вира- [2х - Зу = -4. зити змінну у через х, і отриманий вираз підставити у друге рівняння замість у? А Б В Г д 5х + 3 = -4 Зх-9 = А 5х-3=А 5х + 9 = А 5х-9 = А 218
х + у = -2; 20.3. Знайти суму компонентів х0 + у0 + 2о розв’язку системи рівнянь < у + 2 = -11; х + 2 = 1. А Б В г Д -6 -12 -18 -24 -3 20.4. ҐЗх 4- 4у = -20, Розв’язати систему рівнянь < [5х + 2у = -10. А Б В г Д (3;4) (0;-5) (7; 9) (2;-4) (і; -7,5) 20.5. Знайти середнє арифметичне для значень чисел х та у, які є розв’язками системи рівнянь Ґ3х + 2у = 7; [-х + Зу = 16. А Б В г д 3 2 1 4 3,5 20.6. Знайти компонент Хо розв’язку (хо; Уо) системи рівнянь < 4- 1 СЧ| и и V . . . 7 1 = 4; У 1 = 9. У А Б в г Д 3 ]_ 3 147 91 її 7 20.7. Скільки розв’язків має система рівнянь < х2 + у2 = 5; х2-2у2=-7? А Б В Г д Один два три чотири жодного 20.8. Скільки розв’язків має система рівнянь < 1 1 ф. — 11 4 о •о II О А Б в г д Один два три чотири жодного {х - у = 16; /- ,— і вказати добуток компонентів її розв’язку. УІх + ^у = 8 20.10. А Б В Г д 34 128 64 15 225 Розв’язати систему рівнянь і вказати компонент хо п розв’язку (хо; Уо)- А Б В г д 0 -1 1 2 -2 219
20.11. Розв’язати систему рівнянь < ^(х + у) = 2; 1§(х-у) = 1 і вказати компонентно її розв’язку (х0; уо)- А Б В г д 35 110 90 55 45 20.12. Знайти суму компонентів розв’язку системи рівнянь * 1§х + 1§у = 1§2; х2+у2 = 5. А Б В Г д -3 3 9 7 20.13. Яка з наведених систем за будь-яких значень р має єдиний розв’язок? А Б В Г д Ґ2у = х; і х . [У=2 + Р х 7 — + у = 3; 2 х + 2у = р (х-2у = 5; [2х - 4у = р Гх + 2у = 3; |х-у = р (х-Зу = 5; [6у-2х = р Ґ2х - у = 5; 20.14. За якого значення а система рівнянь <! не має розв’язків? [х + ау = 2 А Б В г д 0,5 -0,5 -1 2,5 10 20.15. За якого значення а система рівнянь < Зх + у = -15; -х - ау = 5 має безліч розв’язків? А Б в Г д х 3 3 3 -3 -1 20.16. За яких значень а і Ь система рівнянь (бх + Ьу = 5а; [5ах-6у = Ь має розв’язок (-1; 2)? А Б в г д II II ^3 "О а II ГО 1 — о II го 1 — а=--,Ь 2 2 о а и п а--\, Ь=2 20.17. Скільки розв’язків системи рівнянь < к2 - 2ху + у2 = г2 + ху = 4 = 4; містять нульовий компонент? А Б В Г д Один два три чотири жодного 20.18. [х2 -ху = 79, Знайти |х -у|, якщо < і/ -ху = 2. А Б в г д 8 9 л/77 7 81 220
'|х|-|у| = °; х2-4х = 0? 20.19. Скільки розв’язків має система рівнянь А Б В г Д Один два три більше, ніж три ЖОДНОГО 20.20. За якого значення а система рівнянь < х2 + у2 = 4; „ має єдинии розв язок? х-у-а А Б в г д а-3 а = 2>/3 а= -2ч/2 або а = 2л/2 а = -2ч/з або а = 2ч/з а = -\І2 або а = уІ2 20.21. Скільки розв’язків має система рівнянь < ю бо" С! н н п £ й ч / А Б В Г д Один два три чотири жодного 20.22. За якого значення к пряма у = кх 4- 2 проходить через точку перетину прямих х 4- у = 5 і х-у = 1? А Б в г д -2 -1 0 1 2 20.23. За якого значення а система рівнянь * — 4-—= 1—; ' х у 2 111 , „ = —; має розв язок? х у 2 ох 4-у = 13 А Б В г д -2 -3 4 5 6 Завдання 20.24-20.28 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 20.24. Установити відповідність між системами рівнянь (1—4) та кількістю їх розв’язків (А-Д). |х-і-2у = 4; [1,5х +Зу = 6 [2х4-Зу = 10; |4х4-6у = 7 З 2x4- 3 у = 7; 4х4-5у = 19 А жодного Б один В два Г три Д безліч ,'|х|-у = 3; )х|4-у = 3 221
20.25. Установити відповідність між системами рівнянь (1-4) та першими компонентами х0 розв’язків (х0; у0) Цих систем (А-Д). х + у = 20; 11 х-у -14 2 х + у = 19; 2х - у = 5 А 8 Б 10 В 12 Г 14 Д 17 З х + у = 16; [х - 2у = 4 х-3у = 1; [х + у = 13 20.26. Установити відповідність між системами рівнянь (1-4) та рівняннями (А-Д), які утворюються з цих систем при їх розв’язуванні способом підстановки. х-у = 1; 11 ху = 20 х + у = 1; ху = -20 А у2 + 20у = 0 Б у2 + у + 20 — 0 В у2+у-20 = 0 Г у2—у +20 = 0 Д/-у-20 = 0 х-у = 1; ху = -20 х + у = 1; ху = 20 20.27. Установити відповідність між системами рівнянь (1-4) та першими компонентами х0 розв’язків (хо; Уо) цих систем (А-Д). 1 <! і+а=і; X у 6 1_А=_± х у 12 А 6 Б 12 В 16 Г 20 Д 24 У~у = 81; х+— [2 2 =128 1о£,(х + у) = 4; .1о§2(х-у) = 3 222
20.28. Установити відповідність між системами рівнянь (1-4) та кількістю їх розв’язків (А-Д). А жодного Б один В два Г три Д чотири Розв’яжіть завдання 20.29-20.44. Відповідь запишіть десятковим дробом. 20.29. Розв’язати систему рівнянь 2х + 5у = 12; Зх-4у = -5. У відповідь записати найбільшу суму Хо + Уо, де (х0; Уо) — розв’язок системи. 20.30. Вказати значення параметра а, за якого система ах + Зу = 9, 12х + ду = 18 має безліч розв’язків. 20.31. Розв’язати систему рівнянь х + у = 7; У відповідь записати найбільшу суму хо + Уо, де х +у = 25. (х0; Уо) — розв’язок системи. 20.32. Розв’язати систему рівнянь х2 - ху + у2 = 3; х3 + у3 = 9. У відповідь записати найбільшу суму хо + уо, де (х0; Уо) — розв’язок системи. 20.33. Розв’язати систему рівнянь х2 - ху = 6; у2-ху = 3. У відповідь записати найбільшу суму х0 + уо, де (х0; Уо) — розв’язок системи. 20.34. Розв’язати систему рівнянь х2 -Зху + у2 =-1, 2х2+5ду-у2 =17. У відповідь записати найбільше значення х із 20.35. 20.36. розв’язків системи. Розв’язати систему рівнянь де (х0; уо) — розв’язок системи. Розв’язати систему рівнянь 2. 5’ З У відповідь записати найбільшу суму хо + уо, 5’ 1о§2х-1о§2у = 1; . У відповідь записати найбільшу суму хо + уо, де у(х + 2) = 40. (*оі Уо) — розв’язок системи. 223
20.37. 20.38. 2-Зх-4у = 14; У відповідь записати найбільшу суму хо + уо, де 3х + 4У =13. (х0; Уо) — розв’язок системи. 1О'+Ів(х+у) =40. У відповідь записати найбільшу суму І£(х - у) + 1§(х + у) = 31§2. х0 + уо, де (х0; уо) — розв’язок системи. Розв’язати систему рівнянь Розв’язати систему рівнянь < 20.39. Розв’язати систему рівнянь У відповідь записати найбільшу суму х0 + Уо, де (х0; Уо) — розв’язок системи. 20.40. ху = 1; Розв’язати систему рівнянь <уг-2; У відповідь записати найбільшу суму хо+уо + ^о, де 2Х = 8. (х0; уо; г0) — розв’язок системи. 20.41. Розв’язати систему рівнянь < 4лу- —= 30; у У відповідь записати найбільшу суму хо+уо, де Зху + —= 28. У (х0; уо) — розв’язок системи. 20.42. 20.43. 2х2 + ху - у =0; У відповідь записати найбільшу суму х0 + Уо, х2 -Злу + у2 = -1. де (х0; уо) — розв’язок системи. 1оЄ8(лу) = 31о88х-1оє8 у; х 1о§8 х У відповідь записати найбільшу суму 4іо§8 =- . У 1о§8 у Хо + \/2 Уо, де (хо; Уо) — розв’язок системи. Розв’язати систему рівнянь < Розв’язати систему рівнянь < 20.44. За якого значення а сума х + у набуває найменшого значення, якщо 2х + Зу = 2а2 -12а + 8; Зх-2у = 3а2+ 8а + 12? 224
Тема 21* Арифметична та геометрична прогресії Послідовністю називають функцію, задану на множині всіх натуральних чисел або на множині перших п натуральних чисел. Число а\ називають першим членом послідовності, ап — и-м членом (чи- тають: а енне), а натуральне число п — його номером. Ми розглядатимемо лише послідовності, еле- ментами яких є числа. їх називають числовими послідовностями. Послідовності позначають (а„), (6„), (с*л), ... і записують: (а„): а\, а2, ф, .... Наприклад, розглянемо послідовність (а„): 2; 4; 6; 8; ... — послідовність парних натуральних чисел. У ній а\ =2, а2- 4, а3 - 6, а4 - 8, ... Член послідовності а2 = 4 є попереднім до члена а3 ~ 6 і наступним за членом а\ - 2. Арифметична прогресія Арифметичною прогресією називають послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, утворюється додаванням до попереднього члена одного і того самого числа. Це число називають різ- ницею арифметичної прогресії і позначають б/. Отже, якщо а}; а2; ...; ап; ... — арифметична про- гресія, то а2 -а\+ сі; а3 = а2 + сІ; ..., тобто для будь-якого натурального п виконується рівність = аЛ + с/. Наприклад: а) послідовність (а„): -8; -1; 6; 13; ... є арифметичною прогресією, перший член якої дорівнює а\ - -8, а різниця — (2~ 7; б) 4; 7; 10; 13; 16; 19 — скінченна арифметична прогре- сія, у якій сі - 3; -4; -11; -18; -25; ... — нескінченна арифметична прогресія, у якій с/ = -7; 3; 3; 3; 3; ... — нескінченна арифметична прогресія, у якій с/ = 0. Арифметична прогресія має такі властивості: Властивість 1. Будь-який член арифметичної прогресії, починаючи з другого, є середнім ариф- метичним двох сусідніх з ним членів. Тобто якщо а\; а2\ а3; а4; ... — арифметична прогресія, то а}+а3 а2+а4 ап_}+ап+} ~ . . . а2 = - --- ; а3- £ -; ...; ап- . Правильно и навпаки: послідовність, у якій будь-який член, починаючи з другого, є середнім арифметичним двох сусідніх з ним членів, є арифметичною прогресією. Наприклад, знайти невідомі члени арифметичної прогресії (ап): -11; а2; - 21; -26; а5; -36. -її _ гр . _ +б73 _ -11-21 _ _ а4 +а6 _ -26-36 _ а\ —11, а3 = -21. Тоді а2 - —-- =----------16; а5-------- =-------= -31; 2 2 2 2 Властивість 2. Сума будь-яких двох членів скінченної арифметичної прогресії, які рівновіддале- ні від її крайніх членів, дорівнює сумі крайніх членів цієї прогресії. Тобто якщо (д„): ах; а2; а3; а4; а5; аь — арифметична прогресія, то = а2 + а5 = а3 + а4. Наприклад, знайти суму середніх членів арифметичної прогресії (а„): 5; 7; ...; 19. Середніми членами цієї прогресії є а4 і а5. Тоді а4 + а3 = а\ + а% - 5 + 19 = 24. Формула п-го члена арифметичної прогресії має вигляд «„=«, +</(«-!), де <7| — перший член прогресії, <1— різниця, п — порядковий номер члена прогресії. Наприклад: а) нехай задано арифметичну прогресію (<7„), у якій <7| = 3,2, сі = 0,3, потрібно знайти аіо. Запишемо формулу и-го члена арифметичної прогресії ап - а} + сі(п -1). Тоді маємо: <7іо = «і + 9<У = 3,2 + 9 • 0,3 = 5,9; б) знайти п’ятий член арифметичної прогресії (<7„), якщо її восьмий член дорівнює 24, а різниця — 3. Оскільки а„ = аІ + сі(п - 1), то а5 = а\ + 4сі. Знайдемо <7,: - а\ + 7<7, звідки а, = а» - 7<7= 24 - 7 • 3 = 3. Тоді а5 = 3 + 4 • 3 = 15. Для. обчислення суми членів арифметичної прогресії використовують такі формули: 2 2а}+с1(п-\) \ :-------------п 2 Наприклад, знайти суму десяти перших членів арифметичної прогресії у якій = -4, с7=2. 9 і с 2-(-4) + 2-(10-1) 1А СА За другою формулою знаходимо: 510 =--------г—------ * 10 = 50. 15* Капіносов А. Математика. Комплексна підготовка до 3110 2 225
Геометрична прогресія Геометричною прогресією називають послідовність, перший член якої відмінний від нуля, а інші утворюються множенням попереднього члена на одне й те саме число, відмінне від нуля. Це число на- зивають знаменником геометричної прогресії і позначають д. Отже, якщо (/>„): Ь\; Ь2, Ь3; ...; Ь„, ... — геометрична прогресія, то для будь-якого натурального п виконується рівність: Ьп+] = Ьп д. Знаменник геометричної прогресії дорівнює частці від ділення будь-якого її члена, починаючи з другого, на по- передній, тобто: — = — = ... = = д. Якщо (/>„) — геометрична прогресія, то її рекурентна фор- Ь2 ь„ мула має вигляд: Ьп+} = Ьпд, Ь} Ф 0, д Ф 0. Наприклад: а) послідовність (7>п): 1; 3; 9; 27;... є геометрич- ною прогресією, перший член якої дорівнює Ь\ = 1, а знаменник — д ~ 3; 6)3; 1; —скінченна геометрична прогресія, у якій д- 5; -10; 20; -40; ... — нескінченна геометрична прогресія, у якій д - -2; 7; 7; 7; 7; ... — нескінченна геометрична прогресія, у якій д - 1. Геометрична прогресія має такі властивості: Властивість 1. Квадрат будь-якого члена геометричної прогресії, починаючи з другого, дорівнює добутку двох сусідніх з ним членів. Отже, якщо (7>л): Ь\9 Ь2, ...; Ьп; ... — геометрична прогресія, то = Ь\ • /?з, Ьу -Ь2- Ь4 тощо. Правильно й навпаки: якщо в деякій послідовності відмінних від нуля чисел квадрат будь-якого числа, починаючи з другого, дорівнює добутку двох сусідніх з ним чисел, то ця послідовність є геометричною прогресією. Якщо всі члени геометричної прогресії (Ьп) є додатними числами, то з рівності Ь* = Ь„-\ • Ьп+\ випливає Ьп - у[Ьп_} • Ьп+1 . Кожний член такої прогресії, починаю- чи з другого, є середнім геометричним двох сусідніх з ним членів. Наприклад, знайти сьомий член ге- ометричної прогресії (Ьп\ якщо Ьв = З, Ь^~ 27. За описаною вище властивістю геометричної прогресії маємо: Ь$ -Ь^- Ь%, Ь^ = 3 • 27 = 81; Ь7 - ± 9. Отже, /?7 = 9 або 67 - -9. Властивість 2. Добутки членів скінченної геометричної прогресії, рівновіддалених від її крайніх членів, однакові й дорівнюють добутку її крайніх членів. Тобто якщо (6Л): Ь\, Ь2, Ь3, Ь4, Ь$, Ь6 — скін- ченна геометрична прогресія, то Ь\ • Ь6 = Ь2 • Ь5 = Ь3 • Ь4. Наприклад, знайти сьомий член геометричної прогресії (6Л), якщо /?6--36, Ь^~-4. За описаною вище властивістю геометричної прогресії маємо: />72 = Ьь • 68; 67 = (-36) • (-4) = 144; />7 = ± 12. Отже, &7 = 12 або &7 = -12. Формула и-го члена геометричної прогресії має вигляд: ьп = ь^п-\ де Ь\ — перший член прогресії, д — її знаменник, п — порядковий номер члена прогресії. Наприклад, між числами 3 і 48 вставити такі три числа, щоб вони разом з даними числами утво- рювали геометричну прогресію (Ь„). Нехай (Ьп)'. 3; Ь2, Ь3; Ь4; 48 — дана геометрична прогресія. Вико- риставши формулу Ьп=Ь{дп~} й урахувавши, що Ь\ = З, Л5 = 48, складемо та розв’яжемо рівняння: 48 = 3 - д4; д4 = 16; д - ± 2. Якщо д ~ 2, то Ь2 ~ 3 • 2 = 6, Ь3 = 6 • 2 - 12, Ь4 = 12 • 2 = 24. Якщо д - -2, то Ь2 = 3 • (-2) = -6, Ь3 - (-6) • (-2) = 12, Ь4 - 12 • (-2) = -24. Одержали прогресії: 3; 6; 12; 24; 48 або 3; -6; 12;-24; 48. Для обчислення суми членів геометричної прогресії (Ьп), де Ь\ — перший член, Ьп — п-й член, д — її знаменник, д Ф 1, п — кількість членів, використовують такі формули: Д - Ьд ^п=-—— п 1 ’ 1 7 1-9 п 1 п 1 7 Л 1-д д-\ 226
Якщо <7 = 1, то 5п = п • Ьх — формула суми п перших членів геометричної прогресії, знаменник якої дорівнює 1. Наприклад, знайти суму перших чотирьох членів геометричної прогресії, перший член якої , 1 1 „ . с _ _ 40 І , Ь\- —, а знаменник — ц - —. За формулою 8п----1----- маємо: 8п =-------------= 40 3 1-^ З = 1 80 3 = 1 ~ 40 ’ 81 * 2 " 27 ’ Нескінченна геометрична прогресія • 1 1 1 1 1 1 1 1 У прогресіях 1; —; —; —г;..., і; —; -тг; Р Р 4 42 43 4 3 3 _1_. З3 ’ ; ... зі зростанням номера п модулі їхніх членів необмежено зменшуються, наближуючись до нуля. Прогресії такого виду назива- ють нескінченно спадними. Геометричну прогресію називають нескінченно спадною, якщо модуль її знаменника менший за одиницю, тобто |д| < 1. Сумою нескінченно спадної геометричної прогресії (Ь„) називають число, до якого прямує сума її перших п членів за необмеженого збільшення п. Формула суми нескінченно спадної геометричної про- гресії має вигляд: 5 = -*Ь. 1-9 Наприклад, знайти суму членів послідовності 2; 1; —;.... Задана послідовність є нескінченною геометричною прогресією, у якій перший член дорівнює 2, а знаменник— —. Тоді сума членів про- 2 2 гресії дорівнює: 5 =--р = у = 4. Приклад 1. Послідовність (ап) задана формулою и-го члена ап = 2п2 + 1. Знайти: а3, а5, ад. а3 = 2 • З2 + 1 = 19; а5 = 2 • 52 + 1 = 51; а9 = 2 • 92 + 1 = 163. Відповідь. 19; 51; 163. Приклад 2. Числова послідовність (а„) задано формулою и-го члена ап - (п - 1 )(и + 4). Чи є чле- ном цієї послідовності число: а) 150; б) 8? а) Розв’яжемо рівняння: (п - 1)(п + 4) = 150, де пє.І'І; «2 + Зп - 154 - 0; Пі = 11, п3 = -14 — не задовольняє умови задачі. Отже, число 150 є членом послідовності; б) розв’яжемо рівняння: (и - 1)(п + 4) = 8; п2 + Зи-12 = 0; п\ - + , П2= —^22- п&ІУ, 2 2 Отже, число 8 не є членом послідовності. Відповідь, а) Так, б) ні. Приклад 3. Записати для арифметичної прогресії (а„): -38; -34; -30;... формулу п-го члена. И Оскільки «і = -38, а2 = -34, то <1- а2 - «і = -34 - (-38) = 4. Формула п-го члена арифметичної прогресії (а„): ап = -38 + 4(и -1) - 4п - 42. Відповідь. ап = 4п - 42. 227
Приклад 4. Знайти різницю і п’ятий член арифметичної прогресії (б/„): а) 9,8; И; 12,2; 13,4 ...; б) -7; >/з -4; >/з -1; 7з +2; ... . ь)а=а2-ах = 11 -9,8= 1,2; б74= 13,4; б75 = б74 + б/ = 13,4 + 1,2 = 14,6; б) б/ = ад — б?з = л/з + 2 — (л/з — 1) = 3; ад = л/з + 2; а$ = ад + сі = л/з + 2 -4- 3 = л/з + 5. Відповідь, а) 14,6; б) л/з + 5. Приклад 5. Між числами 2,5 і 4 вставити два таких числа, щоб вони разом з даними утворювали арифметичну прогресію (<?„). Маємо прогресію (ап): 2,5; а2, 4. Використавши формулу ап-а} + сі{п- 1) й урахувавши, що дгі=2,5; 6/4 = 4, складемо та розв’яжемо рівняння: 2,5 + 3б7 = 4; Зб/=1,5; б7= 0,5. Тоді а2 = 2,5 + 0,5 = 3; б7з = 3 + 0,5 = 3,5. Відповідь. 3; 3,5. Приклад 6. Знайти суму всіх трицифрових чисел, кратних 4, та менших за 250. А Б В Г д 124 4712 174 6612 348’ Вказані числа утворюють арифметичну прогресію, перший член якої а\ = 100, різниця б/= 4. За формулою и-го члена одержимо: ап = 100 + 4(и - 1) = 4п + 96. Щоб знайти кількість членів прогресії, складемо та розв’яжемо нерівність: 4п + 96 < 250; п < 38,5. Отже, потрібно знайти суму 38 перших членів арифметичної прогресії. Знаходимо: = 2-100 + 4- 37 38 = 6612 2 Відповідь. Г. Приклад 7. Шість чисел утворюють арифметичну прогресію (б7„). Сума перших трьох її членів дорівнює -24, а сума трьох останніх дорівнює 12. Знайти ці числа. Урахувавши, що 53 = -24, 56 = -24 + 12 = -12, складемо і розв’яжемо систему: 2а'+2б/-3 = -24, 2 2а| + 5(1 67| + б/ — —8, 2б71+5б/ = -4; 2б7, + 2б7 = -16; 2б?! + 5б7 = -4; -Зб7 = -12; б7=4. Тоді: ах = -8 - 4 = -12; •6 = -12; І 2 а2 = -12 + 4 = -8; а3 = -8 + 4 = -4; а4 = -4 + 4 = 0; а5 - 0 + 4 = 4; а6 = 4 + 4 = 8. Відповідь. -12; -8; -4; 0; 4; 8. Приклад 8. Щоб заасфальтувати ділянку завдовжки 117 м, використовують два котки. Перший коток встановили на одному кінці ділянки, другий — на протилежному. Працювати вони почали од- ночасно. За першу хвилину перший коток пройшов 1 м, за кожну наступну хвилину він проходив па 0,5 м більше, ніж за попередню. Другий коток за кожну хвилину проходив 6 м. Через скільки хвилин обидва котки зустрінуться? І Нехай обидва котки зустрінуться через х хв, тоді другий коток пройде до зустрічі шлях, що дорівнює 6х м, а перший пройде шлях, який можна виразити за допомогою суми членів арифметичної , , 1 с 2а!+(и-1)<і 2+ (х 1) 4 + х_і Зх + х2 прогресії, де а\ - 1, п = х, а = —. 8„ = —1------ • п =----------- • х =------- • х ------. Увесь 2 2 2 4 4 3.x Ч- х2 шлях дорівнює 117 м. Отже, маємо квадратне рівняння 6х +-------------- 117. х2 + 27х - 468 = 0, звідки 4 X) = 12, Х2 = -39 — не задовольняє умову задачі. Отже, обидва котки зустрінуться через 12 хв. Відповідь. 12 хв. 228
Приклад 9. Знайти знаменник та четвертий член геометричної прогресії (/>„): 4; -6; 9; ... . _ _ ь2 _ -6 _ З , , _а ( 3> _ 27_іас ~-,Ь4-Ь3- ц-9 • І --І--------13,5. р] 4------------------------------------2 2' 2 З — Відповідь. —; —13,5. Зл-2+3 Приклад 10. За яких значень х числа 55х, 10 4 і 32х будуть послідовними членами геометричної прогресії (6„)? У відповідь записати добуток цих значень. А Б В г Д 1 2 3 4 5 За властивістю 1 геометричної прогресії маємо: Ь2 - Ь\ • 63. Тоді: = 55х • 32х; 10 4 V з*г+з Зх2 + З 1 10 2 -55х-25х;102 = 105х; ---------------------= 5х; Зх2 - Юх + 3 = 0; х, = 3; х2 = -. Тоді Хі • х2 = 2 З Відповідь. А. Приклад 11. Знайти чотири числа, що утворюють геометричну прогресію (£„), у якій сума край- ніх членів дорівнює 27, а добуток середніх — 72. Маємо геометричну прогресію (6„): Ь\\ Ь2; у якій 6і + 64 = 27, 62-6з = 72. Оскільки А 6. 6, + 6. — 27, — = — , то 626з = 6164 = 72. Складемо і розв’яжемо систему: < Звідки 6і =3 , 64 = 24 або Ьх Ь3 [6, • 64 = 72. б! = 24, 64 = 3. Маємо дві прогресії: 1) 3; 62; 63; 24, 2) 24; 62; 63; 3. Знайдемо 62 і 63 в кожному з випад- ків. 1) Використавши формулу и-го члена геометричної прогресії, одержимо: 64 = бцу3; 3 • <?3 = 24; 73 = 8; # = 2. Тоді 62 = 3 - 2 = 6; 63 = 6 • 2 = 12. Маємо прогресію 3; 6; 12; 24. 2) 64 = 61#3; 24#3 = 3; <?' = ~; ^ = ^. Маємо прогресію: 24; 12; 6; 3. Відповідь. 3: 6; 12; 24 або 24; 12; 6; 3. Приклад 12. З бактерії за 30 хвилини утворюється дві, кожна з яких за 30 хвилини знову ділиться навпіл тощо. Скільки бактерій буде в організмі з однієї через добу? А Б в Г д 2з° 248 210 60 зо Число бактерій збільшується удвічі через кожні півгодини. Якщо зафіксувати кількість бакте- рій щопівгодини, то одержимо послідовність: 1; 2; 22; 23; ...; 2м”1. Ця послідовність є геометричною прогресією. Потрібно визначити, скільки бактерій утвориться з однієї бактерії через 24 год (48 разів по півгодини), тобто потрібно знайти 49-й член прогресії. Маємо Ь\ = 1, <7 = 2, п = 49. Тоді за форму- лою 6і = 1 маємо: 649 = 1 • 2494 = 248. Відповідь. Б, 229
Приклад 13. Знайти третій член нескінченної геометричної прогресії (/>„), сума якої дорівнює -. ' =8 1 $ Поділивши почленно друге рівняння на ^=4 □ • 1 5 о Звідки маємо <?і - — ,ді~ — • Значення д- не за- 4 4 1 а другий член----—. За умовою складаємо та розв’язуємо систему: перше, отримаємо <у(1 - <?) = або дг - д - = 0. довольняє умову |</| < 1. Отже, д = “. Тоді Ь2 - Ь2д = П- 1 Відповідь. -. Приклад 14. Перший, п’ятий та одинадцятий члени арифметичної прогресії («„) утворюють гео- метричну прогресію (/>„). Запиши шість перших членів арифметичної прогресії, якщо = 24. Нехай «і = 24 — перший член арифметичної прогресії, <1 — різниця прогресії. Тоді «5 = 24 + 417, «іі - 24 + 10с/. (Ьп): />,; Ь2; Ь2,... — геометрична прогресія. За умовою, />і=24. Ь2 = а5 = 24 + 4(7, Ь2 = с/ц = 24 + 10с/. За властивістю геометричної прогресії Ь}-Ь\-Ь2. Маємо: (24+ 4(7)2 = 24(24+ 10(7); 242 + 8 • 24 <1+ 16^ = 242 + 10 • 24 • (7; 16с/2 - 2 - 24 - с/= 0; 16<7(<7-3) = 0. (7 = 0 або (7=3. Отже, можливі два випадки: 1) (7= 0, «і = 24, тоді маємо арифметичну прогресію: 24; 24; 24; 24; 24; 24. 2) (7= 3, «і = 24, тоді маємо арифметичну прогресію: 24; 27; 30; 33; 36; 39. Відповідь. 24; 24; 24; 24; 24; 24 або 24; 27; ЗО; 33; 36; 39. Завдання 21.1-21.22 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 21.1. Знайти тридцять перший член арифметичної прогресії 3; 5,5; 8;... А Б В Г Д : 85,5 83 80,5 78 73,5 21.2. В арифметичній прогресії («„) «і = -2,7; «іб - 1,8. Знайти різницю прогресії. А Б В Г д 0,5 0,2 0,4 -0,4 0,3 21.3. Ламана містить 14 відрізків. Кожний її відрізок, починаючи з другого, на 2 см більший від по- переднього. Знайти довжину найменшого з відрізків, якщо найбільший з них дорівнює 29 см. А Б В Г д 2 см 2,5 см 3 см 3,5 см 4 см 21.4. В арифметичній прогресії а\ - 3, «75 = 299. Знайти «50. А Б В Г д 90 99 190 199 203 230
21.5. В арифметичній прогресії тридцять членів. Знайти суму всіх членів прогресії, якщо перший її член дорівнює -12, а останній — 75. А Б В Г д 1305 945 2610 835 1890 21.6. Знайти суму перших тринадцяти членів арифметичної прогресії -8; -5; -2;... А Б В г д 140 120 130 240 260 21.7. Третій і сьомий члени арифметичної прогресії відповідно дорівнюють 11 і 23. Знайти суму 10-ти перших членів цієї прогресії. А Б В Г Д 85 35 185 175 370 21.8. Записати формулу для обчислення и-го члена геометричної прогресії 4; 12; 36;... А Б В г Д 6и = 3-4л-‘ 6и-4-8л’1 ьп =4-3”-‘ 6„=4-Зл 21.9. Записати формулу для обчислення суми п перших членів геометричної прогресії 2; 6; 18;... А Б В г д 2и Зл+1 - 7 Зп-1 2” + 1 зл-1 21.10. 17 + 172 + 173 + ... + 1720 = ... А Б В Г д 16-(1720 -1) 17-(1719-1) 17 • (1720 -1) 1720 -1 1721 -1 17 16 16 16 16 21.11. Знайти суму нескінченно спадної геометричної прогресії 3; —; —; —;... А Б В г Д 2 3 6 2,5 1 21.12. Обчислити суму 21 1 + 21 2 + 21 3 = ... А Б В г д 0,1 0,05 0,01 0,2 0,02 21.13. (а„) — арифметична професія, в якої а1 - 9, аю = 27. Знайти аі5. А Б В Г Д Не можна визначити 41 39 47 37 21.14. В арифметичній прогресії (а„) а$ = 6. Знайти 5|5. А Б В Г д 180 84 96 90 не можна визначити 231
21.15. Сума восьмого і двадцятого членів арифметичної прогресії дорівнює 48. Знайти чотирнадця- тий член прогресії. А Б В Г д 96 24 26 22 не можна визначити 21.16. (ял) — арифметична прогресія. Знайти суму перших її десяти членів, якщо щ = 10 і а7 = 19. А Б В Г Д 145 290 155 390 310 21.17. Знайти суму натуральних чисел від 40 до 200 включно. А Б В г д 19280 19200 19320 38400 38640 21.18. Знайти знаменник нескінченно спадної геометричної прогресії, якщо її перший член = —•, а 1 сума . 100 А Б В г д 1 1 1 1 1 50 100 101 200 300 21.19. Вираз 1 - а + а2 - а3 + а' - а5 + а" - а* + а8 - а9, де а * 1, тотожно дорівнює виразу ... А Б в г д а'°-1 а — \ а10 +1 а + \ а‘°-1 а +1 1-а10 а -Ь1 1-а9 я + 1 21.20. У пробірці міститься три клітини, які розмножуються поділом навпіл. Скільки утвориться клі- тин після п-го поділу? а' Б В Г д 2-3" 2 • 3"’’ 3 + 2" 3 • 2"’1 3-2" 21.21. Вкладник вніс до банку а гривень під 10% річних. Скільки грошей буде на рахунку вкладника через п років? А Б В Г д 1,Га 1,1а" (1 +0,Г)а (1 + 1,1")а 0,1а" 21.22. 11 + 101 +1001 +10001 +100...001 =... А Б В г д ! 10"+І + и -10 10п+2 + 9п-1 10и+2 -10 10п+І -10 10"+2+10п-1 9 9 9 9 9 232
Завдання 21.23-21.33 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 21.23. Установити відповідність між послідовностями (1-4) та їхніми можливими властивостями (А-Д). 1 Арифметична прогресія 2 Не прогресія 3 Геометрична прогресія (|д| > 1) 4 Нескінченна геометрична прогресія (І<7І< 1) А 5 = +13л ” 2 Б 8 = -^- 1-д В 5н = Зп + 2 Г ап=Т Д Ьп=Ьл-СЬ,^ 21.24. Установити відповідність між арифметичними прогресіями («„) (1—4), заданими двома члена- ми, та їх різницями (А-Д). 1 «і = -1, аг — 3 2 а\ = -ЗО, а$ - -6 3 «1 = 13, «4 = 1 4 «і = 17, «п = —3 А -2 Б -4 В 2 Г 4 Д 6 21.25. Установити відповідність між арифметичними прогресіями (а„) (1-4), заданими двома члена- ми, та формулами и-го члена (А-Д). 1 аі = 2, аз = 12 2 02 = -11,05 =--20 3 03= 18,07 = 38 4 04 = -23 , 06 = -33 А ап = 5 + Зп Б ап = 3 + 5п В ап- -5 - Зи Г ап - -3 - 5п Д а„ = -3 + 5п 21.26. Установити відповідність між арифметичними прогресіями (ап) (1-4), заданими двома члена- ми, та їх десятим членом (А-Д). 1 01 = -9, 03 = -23 2 0і = -2, 07 = 16 3 0і =-5, 0із =-29 4 0і = -1,0И = 51 А «ю = 25 Б «ю = 35 В «10 = -45 Г «ю = -23 Д «ю = -72 21.27. Установити відповідність між арифметичними прогресіями (а„) (1^4), заданими двома члена- ми, та формулами сум п перших її членів (А-Д). 1 «і = 5, «2 = 9 2 «і = -5, «з = -13 3 «і = 7, «4 = 13 4 «і =-11, «5 =-19 А 8п = п2 + 6п Б 8п = —п2 - 10/7 В = -2п2 - Зп Г 8п = 2п2 + Зп Д 5п = -п2 + 1 Он 233
21.28. Установити відповідність між арифметичними прогресіями (а„) (1-4), заданими двома члена- ми, та сумами 10 перших її членів (А-Д). 1 а\ - 7, а-і - 9 2 а\ - -1, аг = -9 З а\ = -3, аг = 1 4 а\ = 3, аг - -1 А -160 Б -60 В 0 Г 60 Д ібо 21.29. Установити відповідність між геометричними прогресіями (а„) (1=1), заданими двома членами, та їх знаменниками (А-Д). 1 Ьу = -2, 64 = -54 2 Ьг = -6,65=162 З 6, =32, г>4 = 4 4 63 = -24, 66 = 3 А -З Б -0,5 Г 0,5 Д З 21.30. Установити відповідність між геометричними прогресіями (а„) (1-^4), заданими двома членами, та формулами и-го члена (А-Д). 1 6і = 4, Ь4 = 108 2 6і = 2, 64 = -54 З 62 = -6, 65 = 48 л а -а а - 81 4 62 - 6, 65 --- А 6„ = 2-(-3)"-1 Б Ь„ = 3 • (-2Г1 В 6„ = 4-(-3)л~1 Г 6„ = 4-3"’1 < зГ-1 Д 6„=8- 4 <47 21.31. Установити відповідність між геометричними прогресіями (а„) (1=1). заданими двома першими членами, та формулами суми п перших їх членів (А-Д). 1 6, =4, 62 = 8 2 6, = -4, 62 = -2 З б! = 12, 62=-24 В 5я = 2”+2-4 Г 5„ = 2“"+3-8 Д 5п = 2-(-2)"+І +4 21.32. Установити відповідність між нескінченними спадними геометричними прогресіями (а„) (1-4), заданими двома першими членами, та їх сумами (А-Д). 1 2 З 4 6, = 6, 62 = 1 б! =25, 62=-5 6і = -,62 = -- З З А _ з ,6 О] — — , 02 — - 7 49 А 20— 6 Б 0,6 В 3,6 Г 7,2 234
21.33. Установити відповідність між заданими виразами (1-4) та їх сумами (А-Д). 1 1 + а2 + а4 + а6 + я8 + б?10, де а Ф 1 2 1 — а + а2 — а3 + а* + а5 — а\ де а Ф 1 З а2 + а4 + а6 + а8 + б?10 + а12, де а Ф 1 4 а - а2 + а3 - а + а5 - а6, де а Ф -1 Розв’яжіть завдання 21.34-21.46. Відповідь запишіть десятковим дробом. 21.34. Знайти найбільший від’ємний член арифметичної прогресії (ал), у якої а\ = 101, сі- -1. 21.35. Знайти суму 5 членів арифметичної прогресії (а„) з десятого до сорокового включно, якщо ах = -10, сі- 2. У відповідь записати 5: 100. 21.36. Із двох точок, відстань між якими дорівнює 155 м, одночасно починають рухатися назустріч одне одному два тіла. Перше тіло рухається рівномірно зі швидкістю 8 м/с, а друге тіло за пе- ршу секунду пройшло 3 м, а кожної наступної секунди проходить на 1 м більше, ніж за попе- редню. Через скільки секунд тіла зустрінуться? 21.37. Знайти суму 5 усіх трицифрових натуральних чисел, які діляться на число 7 без остачі. У від- повідь записати 5: 100. 21.38. Знайти найбільше значення х, за яких числа х - 1, 2х - 1 і х2 - 5, записані в указаному порядку, утворюють арифметичну прогресію. 21.39. Визначити, за яких значень х три числа 1§2, 1§(3Г - 3) і І£(3Х + 9), узяті в заданій послідовності, утворюють арифметичну прогресію. 21.40. Знайти різницю арифметичної прогресії, якщо сума перших її 100 членів на 50 більша від суми ста наступних. 21.41. Інфузорїї-туфельки розмножуються поділом на дві частини. Скільки утвориться інфузорій із п’яти після семи поділів? 21.42. (х„) — нескінченна спадна геометрична прогресія, у якої хі = 3, 9 = ~- Знайти суму її членів з непарними номерами. 21.43. У посудині міститься 1000 л повітря. Кожний рух поршня розріджувального насоса видаляє з посудини 0,1 частини повітря. Скільки літрів повітря залишиться в посудині після п’яти рухів поршня? 235
21.44. Спростити рівняння функції у - х4 ч--ч-------ч-------+... та знайти її значення, якщо 1 + х (1 + х4) (1 + х4)' 21.45. Знайти перші п’ятдесят членів двох арифметичних прогресій 2; 7; 12; ... і 3; 10; 17;..., які од- накові в обох прогресіях та обчислити їх суму 5. У відповідь записати 5 : 100. 21.46. Числа ти, п і р. відмінні від нуля та записані в заданій послідовності, утворюють геометричну прогресію, а числа т + и, п + р і р + ти, записані в заданій послідовності, — арифметичну про- гресію. Знайти знаменник геометричної прогресії, відмінний від 1. 236
Тема 22. Елементарні функції та їхні властивості Поняття функції Змінну у називають функцією від змінної х, якщо кожному значенню змінної х відповідає одне певне значення змінної у. При цьому змінну х називають незалежною змінною, або аргументом, а змінну у — залежною змінною, або функцією (від аргументу х). Якщо змінна у є функцією від аргументу х, то записують: у ~/{х) (читають: у дорівнює / від х). Значення функції для х = х0 позначають через/(*о)« Так, якщо функцію задано формулою у - 2х - 3, то можна записати: Дх) ~ 2х - 3. Тоді, наприклад, У(1) = 2 • 1 -- 3 = -1, /(2,5) = 2 • 2,5 - 3 = 2. Область визначення і множина значень функції Множину значень, яких набуває незалежна змінна (аргумент), називають областю визначення функції; множину значень, яких набуває залежна змінна (функція), називають областю значень функ- ції. Область визначення функції у -/(х) позначають Е(/) або £>(у), а область значень — Е(/) або Е(у). Якщо вираз /(х) є многочленом, то областю визначення функції у -/(х) є множина всіх дійсних чисел; якщо/(г) — раціональний дріб, то областю визначення функції є множина всіх дійсних чисел, крім тих значень х, для яких знаменник дробу дорівнює нулю; якщо функція задана формулою у - у[/\х) , то областю визначення функції є множина всіх дійсних чисел, для яких виконується нері- вність /(х) > 0. Наприклад, розглянемо функцію у ~ —-—. Вираз —-— має зміст для всіх значень х, крім х = 4. х - 4 х - 4 Тому областю визначення цієї функції є множина всіх дійсних чисел, крім х-4, тобто І)(у)- - (--<х>; 4)и(4; +оо). Графіком функції називають фігуру, яка складається з усіх точок координатної площини, абсци- си яких дорівнюють усім значенням аргументу, а ординати — відповідним значенням функції. Нулі функції. Проміжки знакосталості Розглянемо функцію у -/(х). графік якої зображено на рисунку. Якщо х = -1, х = 4 або х = 6, то значення функції дорівнює нулю. Такі значення аргументу х називають нулями функції. Рис. 1 Щоб знайти нулі функції у ~/{х), потрібно розв’язати рівняння^*) = 0- Нулі функції розбивають її область визначення на проміжки знакосталості — проміжки, на яких функція набуває значень од- ного знака. Наприклад, нулем функції у-х-2 є лише одне значення х: х-2 = 0; х = 2; нулями функції у = х2 - 2х є числа 0 та 2. Зростання, спадання функції Розглянемо графік функції^ =/(х) на рисунку 1. На проміжку [-3; 2] графік «іде вгору»: якщо збільшувати значення х із цього проміжку, то відповідні значення функції збільшуватимуться. Напри- клад, візьмемо значення аргументу Хі=-3 і х2 = -1, тоді х2>хь Оскільки /(хі) = /(-З) = -2, а 237
/(х2) = /(“О - 0, тоУ(х2) >/(хі). Більшому значенню аргументу (х2) відповідає більше значення функції (Дх2)). Кажуть, що на проміжку [-3; 2] функція у =У(Х) зростає (або є зростаючою). Такою ж вона є й на проміжку [5; 7]. На проміжку [2; 5] графік функції у =ЛХ) «іде вниз»: якщо збільшувати значення аргументу, то відповідні значення функції зменшуватимуться. Кажуть, що на цьому проміжку функція у =ЛХ) спа- дає (або є спадною). Якщо функція зростає на всій області визначення, то її називають зростаючою функцією} якщо ж функція спадає на всій області визначення, то її називають спадною функцією. Наприклад, на рисунку 2 зображено графік функції, областю визначення якої є проміжок [-1; 5]. Ця функція є зростаючою, бо вона зростає на всій області визначення. Функція, графік якої зображено на рисунку 3, є спадною, бо вона спадає на всій області визначення — проміжку [-1; 5]. Зростаючими, наприклад, є функції у = 2х, у - \[х , а спадними — функції у = -2х, у = -х. Функція у =ЛХ), графік якої зображено на рисунку 1, є ні зростаючою, ні спадною. Вона лише зростає або спадає на окремих проміжках. Парні та непарні функції Розглянемо функціюУ(*) = її графік зображено на рисунку 5. Оскільки для будь-якого значен- ня х виконується рівність (-х)2 = х2, тоУ(“*) -Лх\ ФункціюДх) = х2 називають парною. Функцію у -Лх^ називають парною, якщо для будь-якого значення х з області її визначення значен- ня -х також належить області визначення і виконується рівністьУ(“*) -Лх\ Область визначення парної функції симетрична відносно початку координат, бо разом із точкою х вона містить і точку -х. Графік парної функції сішетричний відносно осі у (див., наприклад, рис. 5). Тому для побудови графіка парної функції досить побудувати частину графіка для х > 0, а потім симетрично відобразити цю частину відносно осі у. На рисунку 6 зображено графік функції Дх) = х3. Оскільки для будь-якого значення х виконується рівність (-х)3 = -(х3), тоу(-*) = ~ЛХУ ФункціюДх) = х3 називають непарною. Функцію у =ЛХ) називають непарною, якщо для будь-якого значення х з області її визначення значення -х теж належить області визначення і виконується рівністьЛ~х) - ~ЛХ)- Розглянемо функцію Дх) = 2х + 3. Область її визначення — множина всіх дійсних чисел — симе- трична відносно початку координат. Для цієї функції Л~х) -~2х + 3. Рівності/-х) =ЛХ) і ~ _У(Х) не виконуються для всіх значень х, наприклад, для х = 1 (Д1) = 5;Д-1) = 1;У(-1)*У(1) ІУ(-1) Ця функція є ні парною, ні непарною; функція Дх) = >/х , де х > 0, також є ні парною, ні непарною, бо область визначення функції (проміжок [0; +«>)) не симетрична відносно початку координат. 238
Область визначення та графік непарної функції симетричні відносно початку координат. Тому для побудови графіка непарної функції досить побудувати частину графіка для х > 0, а потім симетри- чно відобразити цю частину відносно початку координат. Періодичність функції Функцію у =Дх) називають періодичною, якщо існує таке число Т> 0, що для будь-якого числа х із області визначення функції виконується рівність± Т) -^х). Число Т називають періодом функції. Найменше додатне число, яке є періодом функції називають найменшим додатним періодом, або ос- новним періодом цієї функції, і позначають То. Наприклад, основним періодом функцій у - зіпх та у - созх є число 2л, а функцій у - і£х та у - сі&х — я. Пряма пропорційність у = кх (к * 0) Функцію, задану формулою у - кх (к * 0), де х та у — змінні, к — число, називають прямою про- порційністю. Число к називають коефіцієнтом пропорційності. Графіком прямої пропорційності є пряма, яка проходить через початок координат під кутом а (к = і§а). Коефіцієнт к називають також кутовим коефіцієнтом прямої. Для побудови прямої достатньо знати дві точки. Оскільки графік пря- Лінійна функція у = кх + Ь (к * 0) Функцію, задану формулою у - кх + Ь. де х та у — змінні, к і Ь — числа, називають лінійною фун- кцією. Число к називають кутовим коефіцієнтом прямої. Графіком лінійної функції є пряма, яка про- ходить під кутом а (к - (§а) до осі абсцис. 239
Пряма у = кх + Ь перетинає вісь ординат у точці (0; Ь) і вісь абсцис у точці 0 Обернена пропорційність Функцію, задану формулою у - — (к * 0), де х та у— змінні, к— число, називають оберненою х пропорційністю. Графіком функції у - — (к * 0) є гіпербола, частини графіка — вітки гіперболи. Гра- х фік не перетинає осей координат. у=- (*>0) X Область визначення функції: Д(у) = (-<»; 0)о(0; +<~). Множина значень функції: £(у) = 0)о(0; +<*>) Квадратична функція у = ох2 + Ьх + с (а * 0) Функцію, задану формулою у - ах2 + Ьх + с (а * 0), де х та у — змінні, а, Ь і с — числа (а Ф 0), на- зивають квадратичною функцією. Графіком функції у = ах2 + Ьх + с є парабола з вершиною у точці [ —— і , де Д -Ь2 - Аас. Віссю симетрії параболи є пряма х = —~, яка паралельна до осі у. V 2а Аа' 2а Область визначення функції: Д(у) = (-«о; +©©). Якщо а < 0, то вітки параболи напрямлені вниз і значення —— є найбільшим значенням функції, 4(7 тобто Е(у) = ; якщо а > 0, то вітки параболи напрямлені вгору і значення —— є найменшим V 4^ 4(7 значенням функції, тобто Е(у) - Якщо Д < 0, то парабола не перетинає осі абсцис; якщо О = 0, то парабола дотикається до осі х у \ л • —Ь — • —Ь + л/д вершині; якщо и > 0, то парабола перетинає вісь х у точках х, =----— і х2 =---------—. 2(7 ~ 2(7 240
Парабола перетинає вісь у в точці з координатами (0; с). Наприклад, побудувати графік функції у -х2 + 4х + 3. Оскільки а - 1 >0, то вітки параболи на- прямлені вгору, 6 = 4, с = 3.£> = 42-4* 1 *3 = 16-12 = 4>0 — парабола перетинає вісь х у двох точ- Ь 4 І) _ 4 ках. Вершина параболи має координати: х0----------------2; 3/0---------------1* Точки пере- 2а 2-1 4а 4*1 -Ь - 75 -4-2 6 о -Ь + 75 -4 + 2 2 і тину з віссю х: хх -----— = ——- = — = -3; х2 =---------— =-----= — = -1. Точка перетину з 2а 2*1 2 2а 2*1 2 віссю у: (0; 3). Знайдемо значення функції для кількох цілих значень х, близьких до абсциси вершини: X -5 -4 -3 -2 -1 0 1 У 8 3 0 -1 0 3 8 Тоді графік має вигляд: Приклад 1. Функцію задано формулою /(х) = ^(2х +1). ЗнайтиУ(-5). А Б В г д 3 -1 1 -3 І ю /(-5) = |( 2 (-5) +1) = 1(-10 + 1) = і (-9) = -3. Відповідь. Г. Приклад 2. Вказати проміжки, на яких функція/(х) = -5х + 15 набуває від’ємних значень. А Б в г д (-°°; 3) (3; +°°) (-~ ;-з) (-3; +оо) 'ї —; + оо <3 ) Функція набуває від’ємних значень на тих проміжках, де $х) < 0. Розв’яжемо нерівність: -5х + 15 < 0; -5х < -15; х > 3; хє (3; +«>). Відповідь. Б. 16* Капіносов А. Математика. Комплексна підготовка до ЗНО 241
Д л т Ч Приклад 3. Знайти область визначення функції у = Д|х| - 3 +-----. У відповідь записати (х-1) -4 суму найменшого додатного і найбільшого від’ємного цілих значень цієї області. Для того, щоб знайти область визначення функції, необхідно розв’язати таку систему: |х|-3>0; (1) <! Розглянемо (1): |х| - 3 > 0; |х|-3; (х-1) -4*0. (2) хє(--о°; -3]о[3; +«=). Розглянемо (2): (х — 1)2-4*0;(х- 1)2*4; х -1 * 2; х-1*-2; х * 3; х*-1. ///////////^^^^^^^ _____________________ -З -1 З X Отже, хє (-оо; -3]о[3; +°°). Найбільше від’ємне ціле значення дорівнює -3, найменше ціле додатне значення — 4, а їх сума дорівнює -3 + 4 = 1. Відповідь. 1. Приклад 4. Вказати проміжок, якому належать нулі функції у = х3 + 2х2 - х - 2. А Б в Г Д (-~; о) (-5; 3) [-2; 1) (-2; +°°) [0; 1] Щоб знайти нулі функції, потрібно розв’язати рівняння х3 + 2х2 - х - 2 = 0; х°(х + 2) - (х + 2) = 0; (х + 2)(х2 - 1) = 0; х = -2; х — —1; Числа -2; -1 і 1 належать проміжку (-5; 3). х = 1. Відповідь. Б. Приклад 5. За якого значення параметра с графік функції у = 1одг(х + с) проходить через точку (2; 3)? А Б В г д 7 4 1 6 4,5 х = 2; у = 3.10^(2 + с) = 3; 2 + с = 23; с = 8 - 2; с = 6. Відповідь. Г. Приклад 6. Знайти множину значень функції у = $іпх - 3. А Б В г Д [-4;-2] 1-Ю; 4] [2; 4] (-оо; +оо) [-3;3] За властивістю функції у = зіпх, множиною її значень є [-1; 1], тобто -1 < зіпх < 1. Додамо до всіх частин подвійної нерівності число -3 й отримаємо: -1 - 3 < §іпх - 3 < 1 - 3; -4 < зіпх - 3 < -2. От- же, множиною значень функціїу - §іпх - 3 є проміжок [-4; -2]. Відповідь. А. Приклад 7. Знайти область визначення функції^*) - 1о£0,5(2х - х2). А Б В г д (0; 2) (-«>; 0)о(2; +«) інша відповідь (-«>; 0]и[2; +-) [0; 2) 242
За властивістю логарифмічної функції областю визначення функції Хх) = 1оео,5(2х-^2) є Усі значення х, які задовольняють умову 2х-х2>0. Розв’яжемо утворену нерівність: 2х - х2 > 0; х2 - 2х < 0; х(х - 2) < 0; хі = 0, х2 = 2. хє (0; 2). Відповідь. А. Приклад 8. Яке з наведених чисел входить до множини значень функції у = 2х + 4 ? А Б в г д 5 жодне з чисел не входить 3 4 0 Знайдемо множину значень функції у = 2х + 4. Оскільки 0 < 2х < +<~, то 4 < 2х + 4 < +<~. Тому множиною значень функції у = 2х + 4 є ує(4; +оо), 3 указаних у відповідях чисел у проміжок (4; +«>) входить лише число 5. Відповідь. А. Приклад 9. Графіку функції, заданої формулою у = 4 —, якщох>0; х належать точки А(-2; а), —, якщох<0, . х 5(2; &), С. Знайти а, Ь і с. У відповідь записати їхню суму. ЯА(-2;а): -2<0, тому точка належить частині графіка функції у = —, якщо х<0. Маємо: х 4 у =----= 2. Отже, а = 2; -2 4 4 5(2; Ь)\ 2 > 0, тому точка належить частині графіка функції у = —, якщо х > 0. Маємо: у = — = 2. х 2 Отже, 6 = 2; (1 А 1 . . 4 С — ;с : — >0, тому точка належить частині графіка функції у = —, якщо х>0. Маємо: \2 / 2 х 4 _ у = = 8. Отже, с = 8. 2 Сума знайдених значень дорівнює: 2 + 2 + 8 = 12. Відповідь. 12. Приклад 10. Функція спадає, якщо х < 0. Вкажіть найменше з чисел. А Б в г д і"4 оо | їм 4-Й 1 о 4-ї} Оскільки функція спадна, то більшому значенню аргументу відповідає менше значення функ- ції. Найменше із запропонованих чисел відповідає найбільшому значенню аргументу. Відповідь. А. 243
Завдання 22.1-22.29 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 22.1. Знайти область визначення функції у - 1§(х2 - 6х + А Б В Г Д К (—°°; 2]и[4; +оо) (-<»; 2)и(4; +°°) (2; 4) (-оо; 2)и(2; 4)о и(4; +°°) 22.2. 22.3. Знайти область визначення функції у -• \І52х 3 -1 . А Б В Г Д (1,5; +оо) [2; +оо) [1,5;+°°) [5; +°°) [3; +°°) Знайти область визначення функції у = .----. V х + 1 А Б в г д -і)и(-1; +оо) (—1; +оо) (-і;4) (—°°; — 1)о(4; +сю) (-оо; -1)о[4; +оо) 22.4. Яка з множин є областю визначення функції у = ^-1о§? х + 1 ? А Б В г д ; [0; 3] [0;4] [-3; 3) (-оо; 3] (0; 3] 22.5. Вказати область визначення функції у - +(х2 + 2)^2 + 1о§5 —. А Б в Г Д (2; 5] (0; 2] (0; 25] (2; +°°) (-2; +оо) 22.6. Знайти множину значень функції у = -х2 + 4х - 5. А Б в Г Д і (—;И (—;-і] [1; +°°) (-«>; 5] [ --5; +°°) ! 22.7. Обчислити відстань від початку координат до вершини параболи у - -х2 + 1 Ох - 13. А Б В Г Д і 5 13 12 17 10 22.8. Знайти множину значень функціїу = -2совх + 5. А Б в г д і [-і; і] [2; 5] [-2;-5] [3; 7] к 244
22.9. Знайти множину значень функції у - 3 соз І х + — і - 2. А Б в г Д Н; і] [-5; 1] [і;3] [-5;-2] [-3; з] 22.10. Знайти множину значень функції у = 3 - 2зіп5х. А Б в г Д [і;5] [2; 4] [3;5] [1;3] [-1; і] 22.11. Дано функцію /(х) = -—-. Знайти Дх + 1). 1 + х А Б В Г д /(Х + 1)“Ц2Х /(х + 1) = — У ’ х + 2 \ 1 + х /(Л + 1) = 1-Х /(х+1) = —— К 7 1 + х 22.12. Яка з наведених функцій є парною? А Б в Г д У = X3 + X у = х6 + Зх у - х2 + |х| X У=х-1 у = зіпх + і£х 22.13. Яка з наведених функцій є непарною? А Б в Г д у = х + |х| у = зіп2х х2 У=х-1 У = уі\А у = ^х 22.14. Функція^*) — парна, а функція §(х) — непарна. Х~7) ~ -11, #(5) = -2. Обчислити 2Х~7) - 3^(-5). А Б В Г Д -28 -16 28 16 29 22.15. Ескіз графіка якої з наведених функцій зображено на рисунку? А Б в Г д у = -2х + 4 у = 2х - 4 _у = 2х + 4 у = -2х - 4 у - -4х - 4 245
22.16. За ескізом графіка^ = ах + Ь вказати знаки параметрів а і Ь. 22.17. За ескізом графіка функції у = аг2 + Ьх + с знайти значення параметрів а, Ь і с. А Б В г Д а > 0, Ь>0, с>0 а>0, Ь>0, с < 0 а>0, 6<0, с<0 а>0, Ь<0, с > 0 а < 0, 6 < 0, с<0 22.18. За яких значень а параболау = 9х2 - 12г + 35а має з віссю абсцис дві точки перетину? А Б В Г д а = А 35 а< — 35 а> — 35 а< — 35 а< — 35 22.19. Вказати функцію, в якої основний період дорівнює я. А Б В Г д У - 8Іп(х + я) у - соз(2х + 1) у = 1§(3х + я) у - сі§(4х + 2) у-п 22.20. Знайти основний період функціїу = соз26х. А Б В г Д 2я 3 Зя я 3. 6я я 6 X X 22.21. Знайти основний період функції у = 2 соз— + 3 . А Б В Г д я 24 6я 24я 8я функція неперіодична 246
22.22. Вказати функцію, обернену до функції у - 4х - 1. А Б В г д х + 1 У= 4 1 У 4х-1 + И| тГ II у - 4х + 1 у - -4х + 1 22.23. Вказати функцію, обернену до функції у = х2 - 2, хє [0; +°°). А Б В Г д 1 У = * х -2 у = 4х-2 у = 4х + 2 у = -у]х + 2 у = >/* + 2 22.24. Вказати складену функцію у =У(^(х)), якщо #(х) = —, /(х) = А Б В Г д х2 ^=х2+1 у = х2 + 1 X ? = х2+1 х2 + 1 У = X X2 +1 У= X2 22.25. Вказати складену функцію у =А§(х)), якщо §(х) = л/х + 1, /(х) = х2 -1. А Б В Г д у = (х2 - 1)>/х + 1 , ад = [-!;+-) У = х, О(у) = +°°) У = 4х, О(у)= [0; +°°) у=^, П(у) = +°°) у = х П(у) = [-!;+-) 22.26. Знайти множину значень функції у = 55ШГ. А Б В г д (0; +°°) п [-5; 5] Г-;5І І5 3 [-1; і] 22.27. Графік якої з наведених функцій зображено на рисунку? А Б В Г д х2 у=— X У = \[х2 у = 10І8Л у = 1*1 247
22.28. Знайти множину значень функції у = ---. А Б В г Д К (0; +°°) (0; і] ґо;-4) V 2/ Го;-') 22.29. Знайти найбільше ціле значення функції у = 25 • зСО54хсо53х+5іп4х5іп3х 2 А Б В Г д 25 3 0 75 8 -1 Завдання 22.30-22.40 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 22.30. Установити відповідність між функціями (1—4) та областями їх визначення (А-Д). 1 /(х) = 1о§, 2-Х’”! 2 /«-Л + 7 V х + 2 3 /(Х)=3/2^ V Х-1 4 /МГ А (-<»;1)и(1;+оо) Б (-2;1) В (-оо;-2)и(1;+~) Г (-~;-2)и(-2;+~) Д (-оо;-2)и[1;+оо) 22.31. Установити відповідність між функціями (1-4) та їхніми областями визначення (А-Д). 1 І5 + х 4-1 А (1;5) Б [1;5] 2 к 1 1 ОО II В [1; 5) Г (-°°; -5]и(1; +«>) 3 Ч II * о 1 । — * Д (1;5] 4 Ч II СП >7" 1 1 * — 22.32. Установити відповідність між функціями (1-4) та їхніми множинами значень (А-Д). і у = 7х2 + 9 +1 А (- -4) 2 у = 2х-4 Б Є ~;-4] 3 у = —х2 +4х - 8 В (-« ~;4) 4 у = -Зх + 4 Г [4; +«>) Д (-4; +~) 248
22.33. Установити відповідність між функціями (1—4) та їхніми множинами значень (А-Д). 1 у = 2агс8Іпх 2 у = 2агссо8х З у = 2агсІ§х 4 у = 2агссІ§х А (-я; я) Б [-я; я] В (0;я) Г (0; 2я) Д [0; 2я] 22.34. Установити відповідність між функціями (1-4) та їх найменшими додатними періодами (А-Д). 1 X X А я 4 2 у = 2х Б я 2 3 X у = СО8 — 2 В я 4 у = зіп 2.x Г 2я Д 4Я 22.35. Установити відповідність між функціями (1-4) та оберненими до них функціями (А-Д). 1 у = Зх 2 уЛ X З у - -Зх В у = -Зх г х Г у = — З тт X Д т = -- 22.36. Дано лінійну функцію у = ах + Ь. Установити відповідність між знаками коефіцієнтів а й Ь (1-4) та ескізами графіків (А-Д). 1 2 3 4 а > 0, Ь > 0 а > 0, Ь < 0 а < 0, Ь > 0 а < 0, Ь < 0 249
22.37. Дано квадратичну функцію у = ах2 + Ьх + с. Установити відповідність між ескізами графіків функцій (1-4) та знаками коефіцієнтів а, Ь і с (А-Д). А Б В Г Д а > 0, Ь > 0, с > 0 а > 0, Ь>0, с<0 а > 0, Ь < 0, с > 0 а < 0, Ь<0, с > 0 а <0, Ь> 0, с <0 22.38. Установити відповідність між функціями (1—4) та проміжками їх зростання (А-Д). 1 у = х2-3 2 у = (х-3)2 З у = -х2 + 3 4 у = -(х + 3)2 А (-«>; 0] Б [0;+оо) В (-оо;-3] Г [-3;+оо) Д [3;+~) 22.39. Установити відповідність між функціями (1-4) та їх парністю (А-Д). 1 у = 0 2 у = X3 + З у = х4 - зіпх 4 у = х5зіпх А на парність не досліджується Б парна В непарна Г ні парна, ні непарна Д парна і непарна 22.40. Установити відповідність між функціями (1-4) та ескізами їх графіків (А-Д). Розв’яжіть завдання 22.41-22.53. Відповідь запишіть десятковим дробом. -^5 — — 4х 22.41. Знайти область визначення функції у =-----------. У відповідь записати кількість цілих зна- 3-х чень аргументу в області визначення. І х — 1 22.42. Знайти область визначення функції у =. 1о£03----. У відповідь записати найменше ціле зна- V " х + 5 чення аргументу. 250
22.43. Знайти область визначення функції у = ’о§х+4(9-8х - х2). У відповідь записати кількість цілих значень аргументу з області визначення. 1(х + 4)(3-х) 22.44. Знайти область визначення функції у = --т—---. У відповідь записати кількість цілих у +1) значень аргументу з області визначення. 22.45. Знайти область визначення функції у = агсзіп-1§(х2 -10х + 24). У відповідь записати кількість цілих значень аргументу з області визначення. х — 4 22.46. Знайти область визначення функції у = агссоз-. У відповідь записати найменше значення X аргументу. 22.47. Знайти область значень функції у = Ззіп2х + 2соз2х. У відповідь записати кількість цілих зна- чень функції. 22.48. Скільки різних цілих значень набуває функція /(х) = ^8 (зіп2 2х + соз2 2х-2зіп2хсоз2х) ? 22.49. Знайти найменший додатний період То функції у = зіпх + соз+зіпу. У відповідь записати значення То: я. 22.50. Знайти нулі функції у = 1п2 (х2 - Зх - 9) + л/х3 -8х- 8 . 22.51. Знайти область визначення функції /(х) = ^1о£х_2 (х2 - 8х +15). У відповідь записати кількість натуральних чисел, які не належать області визначення функції. 22.52. За якого найбільшого значення параметра а функція /(х) = 1п^л/а2 + х2 -х) буде непарною? 22.53. За яких значень параметра а число л є періодом функції /(х) = 8-* ? а + зіпх 251
Тема 23. Побудова графіків функцій методом геометричних перетворень Якщо відомий графік функції у ~АХ\ то шляхом його перетворення можна отримати графіки ни- зки інших функцій. Графік функції у - /(х) ±а, де а> 0 Нехай хі належить області визначення функції у тодіДп) і/(хі) + а є значеннями відповід- но функцій у =Дх) і У ~АХ) + а У пій точці. Тоді точка А і(хі;Дхі)) належить графіку функції у =АХ\ а точка А' + «) — графіку функції у = у?х) + я. Але точку А[ (х^Дхі) + можна одержати пере- несенням точки А і угору на відстань а одиниць, якщо а > 0, або вниз на відстань |а|, якщо а < 0. Оскі- льки вибрана точка хі — довільна точка з області визначення функцій, то аналогічно можна одержати будь-яку точку графіка функції у =У(х) + а 3 графіка функції у =/(*)• Узагалі, графік функції у = /(х) + а, де а > 0, можна одержати із графіка функції у =АХ) за до- помогою паралельного перенесення вздовж осі у на а одиниць угору, якщо а > 0, і на а одиниць униз, якщо а < 0. Нехай задано графік функції у ~АХ\ Побудувати графік функції у ~ Дх) + 4. Оскільки 4 > 0, то для побудови графіка функції}; - /(х) + 4 достатньо перенести графік функції у ~АХ) на 4 одиниці вго- ру (див. рис. 1). Наприклад, побудувати графік функції у - х2 + 1. Будуємо графік функції у = х2 і паралельно пе- реносимо графік вгору на 1 одиницю вздовж осі >’ (оскільки 1 > 0). Одержуємо графік функції у = хг + 1 (див. рис.). Графік функції у - /(х ±Ь), де Ь> 0 Нехай Х| належить області визначення функції у =Дх) і уі =./(х1). Знайдемо значення у2 функції У ~АХ + Ь) у точці хі - Ь. Одержимо: у2 =Л(хі - 6) + 6) ~АХ\) “Ті- Отже, значення функції у -ф{х + Ь) відносно значення функції у =/(*) зміщується на відстань \Ь\ праворуч, якщо Ь > 0, або ліворуч, якщо 6<0. 252
Узагалі, графік функції у -](х + Ь), можна одержати із графіка функції у ~/{х) за допомогою паралельного перенесення вздовж осі х на Ь одиниць праворуч, якщо Ь < 0, і на Ь одиниць ліворуч, як- що Ь> 0. Нехай задано графік функції у -/4х)- Побудувати графік функції у -}[х + 3). Оскільки 3 > 0, то для побудови графіка функції у + 3) достатньо перенести графік функції у =Дх) на 3 одиниці лі- воруч (див. рис. 2). Рис. 2 Наприклад, побудувати графік функції у = (х - З)2. Будуємо графік функції у = х2 і паралельно пе- реносимо графік праворуч на 3 одиниці вздовж осі х (оскільки -3 < 0). Одержуємо графік функції у - (х - З)2 (див. рис.). Графік функції у - /(х + а) + Ь Щоб побудувати графік функції у =У(х + а) + Ь, необхідно послідовно виконати два паралельних перенесення графіка функції у -уїх) (див. розглянуті вище випадки) або виконати одне паралельне пе- ренесення графіка функції у =У(х) на вектор (-а; 6). Нехай задано графік функції у =Дх). Побудувати графік функції у -Лх + 3) - 5. Оскільки 3 > 0, -5 < 0, то для побудови графіка функції у - Дх + 3) - 5 достатньо перенести графік функції у - Дх) на З одиниці ліворуч і 5 одиниць вниз (див. рис. 3). Наприклад, побудувати графік функції у - у/х - 2 -1. Будуємо графік функції у = у/х і паралель- но переносимо графік праворуч на 2 одиниці вздовж осі х (оскільки -2 < 0), одержуючи графік функції 253
у - у/х-2 ; паралельно переносимо отриманий графік униз на 1 одиницю вздовж осі у й одержуємо графік функції у = 4х-1 -1 (див. рис.). Графік функції у = -/(х) Щоб побудувати графік функції у-~Лх), необхідно симетрично відобразити графік функції Наприклад, побудувати графік функції у = -(х - З)2. Будуємо графік функції у - х2; паралельно переносимо графік праворуч на 3 одиниці вздовж осі х (оскільки -3 < 0) й одержуємо графік функції у = (х - З)2; відображаємо одержаний графік симетрично відносно осі х й одержуємо графік функції У = -(х - З)2 (див. рис.). 254
Графік функції у = /(-х) Щоб побудувати графік функції у=Я-х), необхідно симетрично відобразити графік функції у =Дх) відносно осі ординат. Нехай задано графік функції у = Дх). Побудувати графік функції у =Л~х). Симетрично відобра- жаємо графік відносно осі у (див. рис. 5). Наприклад, побудувати графік функції у = -х + 3. Будуємо графік функції у = х + 3 і відображає- мо одержаний графік симетрично відносно осіу й одержуємо графік функції у = -х + 3 (див. рис.). Графік функції у = с/(х) Щоб побудувати графік функції у = сДх), необхідно виконати розтяг графіка функції у = Дх) від осі абсцис у с разів, якщо с > 1, або стиск до осі абсцис у — разів, якщо 0 < с < 1. с Нехай задано графік функції у=У(х). Побудувати графіки функцій: а)у = 2/(х); б)у=—/(х). а) Оскільки 2 > 1, то виконуємо розтяг удвічі від осі х, (див. рис. 6 а); б) оскільки 0 < — < 1, то для по- будови графіка функціїу = -І-Дх) виконаємо стиск графіка функції у =Дх) до осі х (див. рис. 6 б). а) б) Рис. 6 Наприклад, побудувати графіки функцій: а) у = 2л/х; б) у = -^/х . Будуємо графік функції у = >/х. а) Виконуємо розтяг графіка функції у =-Тх удвічі від осі х й одержуємо графік функції 255
у = 2у/х; б) виконуємо стиск графіка функціїу = л/х удвічі до осі х й одержуємо графік функції 1г, \ у = —\]Х (див. рис.). ^ = |Лл)| = Графік функції у = \[(х)\ За означенням модуля числа маємо: /(х), якщо/(х)>0; -/(х), якщо /(х) < 0. Отже, якщоДх) > 0, то значення функцій у ~ |Дх)| та у =Дх) однакові, якщо /(х) < 0, то значення цих функцій є протилежними числами. Тому графік функції у - ]Дх)| можна одержати так: будуємо графік функції у і ту його частину, яка розташована нижче від осі х, симетрично відображаємо відносно цієї осі. Нехай задано графік функції у = /(х). Побудувати графік функції;/ = |/(х)|. Ту частину графіка фу- нкції у =/(х), яка розміщена над віссю х, у тому числі точки перетину графіка з віссю абсцис, залиша- ємо без змін, а ту частину, яка розміщена під віссю абсцис, симетрично відображаємо відносно цієї осі (див. рис. 7). Наприклад, побудувати графік функції у = |(х - З)2 - 11. Будуємо графік функції у = х2; паралельно переносимо графік праворуч на 3 одиниці вздовж осі х (оскільки -3 < 0) й одержуємо графік функції у = (х - З)2; паралельно переносимо отриманий графік униз на 1 одиницю вздовж осі у й одержуємо графік функції у = (х - З)2 - 1; відображаємо симетрично відносно осі х ту частину графіка, яка міс- 256
Графік функції у =/фф Функція у =/СМ) — парна (Д|-х|) = ЛІХІ))- Тому достатньо побудувати графік функції у = /(И) Для х > 0 і симетрично відобразити його відносно осі ординат. Нехай задано графік функції у =У(*)- Побудувати графік функції}/ =/(И)- Ту частину графіка фу- нкції у =/(х), яка розміщена праворуч осі у, у тому числі точки перетину графіка з віссю ординат, за- лишаємо без змін, а ту частину, яка розміщена ліворуч від абсцис, замінюємо симетричною до розта- шованої праворуч частини відносно осі ординат (див. рис. 8). Наприклад, побудувати графік функції у - (|х| - І)2. Будуємо графік функції у = х2; паралельно переносимо графік ліворуч на 1 одиницю вздовж осі х й одержуємо графік функціїу = (х- І)2; зали- шаємо ту частину графіка, яка відповідає невід’ємним значенням х; симетрично відображаємо віднос- но осі у частину отриманого графіка для невід’ємних х й одержуємо графік функції}/ = (|х| - І)2. Графічний метод розв ’язування рівнянь Часто, використовуючи побудову графіків функцій методом геометричних перетворень, зручно розв’язувати деякі види рівнянь. Для цього рівняння/(х) = 0 зводять до рівняння виду #(х) = /?(х), бу- дують графіки рівнянь у - #(х) і у - Л(х) та знаходять точки перетину цих рівнянь. Абсциси точок пе- ретину є наближеними значеннями коренів рівняння, за якими, якщо це можливо, встановлюють ко- рені. 4 Наприклад, розв’язати рівняння -= х-2. Будуємо в одній системі координат графіки функ- х + 1 4 цій у =--- і у - х - 2 та знаходимо абсциси точок їх перетину. х + 1 17* Капіносов Л Математика. Комплексна підготовка до ЗНО 257
З рисунка видно, що хі = 3, х2 = -2. Перевіркою встановлюємо, що Хі = З і х2 = -2 — корені рів- няння. У деяких випадках за допомогою методу геометричних перетворень зручно розв’язувати рівнян- ня з параметрами. Наприклад, знайти всі значення параметра а, для яких рівняння |1 -х2| = а має три корені. Будує- мо графік функції у - х2; симетрично відображаємо одержаний графік відносно осі х й одержуємо графік функції у - -х2; паралельно переносимо отриманий графік угору на 1 одиницю вздовж осі у й одержуємо графік функції у - 1 -х2; симетрично відображаємо відносно осі х ту частину отриманого графіка, яка міститься під віссю х, й одержуємо графік функції;/ = |1 -х2|. Рівняння |1 -х2| = а матиме три корені, якщо а - 1 (графіки функцій у = |1 -х2| і у - 1 перетина- ються у трьох точках). Приклад 1. Серед наведених графіків указати графік функції у = 2х 1 - 1. А Б в Г д У . .1 і. :У - - - ’ у • , 1 । У 1 -1 1 У -1 : : 0 : 1 х . У) 1 : X 1 . .0 1 5 Це графік функції у = 2х, зміщений на 1 одиницю праворуч відносно осі у та опущений на 1 ОДИНИЦЮ ВНИЗ ВІДНОСНО ОСІ X. Відповідь. А. Приклад 2. Серед наведених графіків указати графік функції у = (х - І)2 + 2. Будуємо графік функції у - х2; переносимо графік праворуч на 1 одиницю вздовж осі х й одер- жуємо графік функції ;/ = (х-1)2; паралельно переносимо одержаний графік угору на 2 одиниці вздовж осі у й одержуємо графік функції;/ = (х - І)2 + 2. 258
Відповідь. Б. Приклад 3. Серед наведених графіків указати графік функції;/ = -(х + З)2 + 4. Будуємо графік функції у - х2; паралельно переносимо графік ліворуч на 3 одиниці й одержує- мо графік функції^ - (х + З)2; відображаємо отриманий графік симетрично відносно осі х й одержуємо графік функції у - -(х + З)2; паралельно переносимо отриманий графік угору на 4 одиниці й одержує- мо графік функції у - -(х + З)2 + 4. Відповідь. Б. 259
ємо графік функції у = Відповідь. В. Приклад 5. Користуючись методом геометричних перетворень, побудувати графік функції у = (х - 2)2 - 4 та знайти проміжки її зростання. А Б в Г д (~°°> +оо) (-~; 2] [0;4] [2; +оо) [4; 4-е») Будуємо графік функції у - х2; паралельно переносимо графік праворуч на 2 одиниці й одер- жуємо графік функції у = (х - 2)2; паралельно переносимо отриманий графік униз на 4 одиниці й оде- ржуємо графік функції у - (х - 2)2 - 4. 260
Функція зростає на проміжку [2; +<»). Відповідь. Г. Я Приклад 6. Серед наведених графіків указати графік функціїу = |х2 - 4|. Я Будую графік функції у = х2; паралельно переношу графік униз на 4 одиниці вздовж осі у й одержую графік функції у = х2 - 4; симетрично відображаю відносно осі х ту частину отриманого гра- фіка, яка міститься під віссю х, й одержую графік функціїу = |х2 - 4|. Відповідь. Г. Я Приклад 7. Серед наведених графіків указати графік функції у = |3 -|х - 3||. Я Будуємо графік функції у = х; паралельно переносимо графік праворуч на 3 одиниці й одержу- ємо графік функції у = х - 3; симетрично відображаємо відносно осі х ту частину отриманого графіка, яка міститься під віссю х, й одержуємо графік функції у = |х - 3|; симетрично відображаємо відносно осі х отриманий графік й одержуємо графік функції у = —[х — 3|; паралельно переносимо графік угору на 3 одиниці й одержуємо графік функції у - 3 - |х - 3|; симетрично відображаємо відносно осі х ту ча- стину отриманого графіка, яка міститься під віссю х, й одержуємо графік функціїу = |3 -|х - 3||. 261
Відповідь. Г. Приклад 8. Користуючись графічним методом, встановити кількість коренів рівняння >/х + 1 = = -х2 + 2,5. А Б в г д Один два три чотири рівняння коренів не має Будуємо графіки функцій у = >/х + 1 та^ = -х2 + 2,5. Дане рівняння має один корінь, бо графіки перетинаються лише в одній точці. Відповідь. А. Приклад 9. Користуючись графічним методом, розв’язати рівняння л/х + З = 4 - 2х. А Б В г Д 5 2 1 3,5 -і л/х + З = 4 - 2х. Будуємо графіки функцій у = >/х + 3 і у - 4 - 2х та знаходимо абсцису точки їх перетину. “[X т 1 □ 1 1 2; 1 • • і »• _ о. 2- 1. (7 1- 1 1 і, і і 1 і- 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 їх+3_ >< • а • •• —2 1- 5- 7- X \ х = 1. Перевіркою встановлюємо, що х = 1 — корінь рівняння Відповідь. В. 262
Приклад 10. Скільки коренів має рівняння 1 - |1 - [х|| = а? У відповідь записати кількість коренів, якщо 0 < а < 1. Будуємо графік функції у - |х|; симетрично відображаємо його відносно осі х графік й одержу- ємо графік функції у - -|х|; паралельно переносимо отриманий графік угору на 1 одиницю вздовж осі у й одержуємо графік функції у = 1 - |х|; симетрично відображаємо відносно осі х ту частину отримано- го графіка, яка міститься під віссю х, й одержуємо графік функції у = |1 - |х||; симетрично відображає- мо відносно осі х графік й одержуємо графік функції у = -|1 - |х||; паралельно переносимо графік угору Якщо а < 0, то рівняння має два корені; якщо а - 0, то рівняння має три корені; якщо 0 < а < 1, то рівняння має чотири корені; якщо а = 1, то рівняння має 2 корені; якщо а > 1 — коренів немає. Відповідь. 4. Завдання 23.1-23.20 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 23.1. Вказати формулу функції, графік якої отримують із графіка у = — у результаті його паралель- ного перенесення в додатному напрямі осі у на 5 одиниць. А Б В г д 1 ^=х + 5 1 ^=х-5 у = --5 X у = - + 5 X »п| К II А Б В Г д у =Зсо&х 1 у =—созх 3 у - созЗх X У = СО8 — 3 И | сп сл О О — 1 II >4 263
23.4. Областю значень функції у-^х) є проміжок [-4; 16]. Знайти область значень функції 4 А Б в г д [-16; 64] [4; 4] Н;4] [-4; 16] не можна визначити ралельного перенесення в додатному напрямі осі х на 4 одиниці. А Б В г д у = (х-4)3 у = (х + 4)3 у = х3 - 4 у = х3 + 4 _у-4х3 А Б в г д 1 . У = — 81ПХ 8 у - 8зіпх . X у = 81П — 8 у = 8Іп8х у - зіпх + 8 23.9. Областю визначення функції у -/(х) є проміжок [-4; 6]. Знайти область визначення функції У=/2х). А Б в г Д [-8; 12] [-2; 3] Н; 3] [-2; 8] не можна визначити 264
23.10. На рисунку зображено ескіз графіка функції у =Цх). На якому з рисунків зображено ескіз гра- фіка функції у = /(-х)? 265
23.13. Графік функції у-х3 зсунули ліворуч на 4 одиниці й відобразили симетрично відносно осі х. Графік якої функції отримали в результаті таких перетворень? А Б В Г д у = -(х-4)3 У = -(х + 4)3 3> = (-х)3-4 у - (-х)3 + 4 У = (х + 4)3 23.14. Областю значень функції у -^х) є проміжок [-2; 2]. Знайти область значень функції ^4/х)-3. А Б в Г Д [-20; -4] [-2; 2] [-3,5;-2,5] [-її; 5] [0; 5] 23.15. У результаті яких послідовних перетворень із графіка функції у -]{х) можна отримати графік функції^ =У(2* + 6)? А Б в г д стиском до осі у удвічі й пара- лельним перене- сенням ліворуч на 6 одиниць розтягом від осі у удвічі й паралель- ним перенесенням ліворуч на 6 одиниць стиском до осі у удвічі й пара- лельним перене- сенням ліворуч на 3 одиниці стиском до осі у удвічі й паралель- ним перенесенням праворуч на 3 одиниці розтягом від осі у удвічі й паралель- ним перенесенням ліворуч на 3 одиниці 23.16. Областю визначення функції у =У(х) є проміжок [0; 2]. Знайти область визначення функції А Б в г д Н; -2] [4; 5] [-8;-4] [4; 8] [8; 12] 23.17. Ескіз графіка якої з наведених функцій зображено на рисунку? А Б В Г д _у = (х + 2)2 + 1 у = -(х-2)2 + 1 _У = -(х-2)2- 1 у = (-х-2)2+1 У = -(х-2)2-1 266
23.18. Ескіз графіка якої з наведених функцій зображено на рисунку? _у, —Л. 1 •У і ! —9- 2 — 1- 1 1 3- -10 -1 -2 X —1 1 1 1 V о Г 1 1 -3- 1 |_ ї < 1 1 м- [-5 в—ї~ 1-4 А Б В Г д У = |1п(х- 1)| у = |1п(х + 1)1 у = 1п(И + 1) у —1п(|х|—1) У = 1п(|х| - 2) 23.20. Ескіз графіка якої з наведених функцій зображено на рисунку? А Б в Г д З' = 7іх1 + 1 у=7іхН у = -^/|х + 1| у=-7іхі+1 У = -7X + 1 Завдання 23.21-23.32 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 23.21. Установити відповідність між функціями (1-4) та їх графіками (А-Д). 1 2 3 4 _ х-4 У~ х + 2 — 2 у = 308,3 У = д/-1-Х у = -|х~2| 267
23.22. Установити відповідність між функціями (1-4) та їх графіками (А-Д). 23.23. Установити відповідність між функціями (1-4) та їх графіками (А-Д). 23.24. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та їх графіками (А-Д). 1 2 3 4 ЗІП .У о Іяіп .г| у = 3і 1 х + |х|=у + м М - |5ІПХ| М = |сО8х| 268
23.25. Задано функцію у =ЛХ) з множиною значень [-2; 5]. Установити відповідність між функціями (1-4) та їхніми множинами значень (А-Д). 1 у = /(х) + 2 2 У = ~Лх) З У = 2Дх) 4 У = ИЛ)| А [0; 5] Б [-4; 10] В [2; 5] Г [0; 7] Д [-5; 2] 23.26. Задано функцію у = <р(х) з областю визначення [--4; 10]. Установити відповідність між функці- ями (1-4) та їхніми областями визначення (А-Д). 1 у = (р(х + 4) 2 у = <р(х-4) 3 у - <р(х) + 5 4 у = <р(х - 5) - 3 А [-4; 10] Б [0; 14] В [4; 18] Г [1; 15] Д [-8; 6] 23.27. Задано функцію у - Л(х) з областю визначення [-2; 6]. Установити відповідність між функція- ми (1-4) та їхніми областями визначення (А-Д). 1 у = лґ-1 <2> 2 у = А(2х) 3 У = А(-х) 4 У = й(|х|) А [0; 6] Б [-6; 2] В [-4; 12] Г [-6; 6] Д [-1; 3] 23.28. Установити відповідність між геометричними перетвореннями графіка функцїіу = зіпх (1-4) та функціями, одержаних у результаті цих перетворень (А-Д). 1 Графік функції у - зіп х паралельно пере- несли вздовж осі х на 3 одиниці ліворуч 2 Графік функції у = зіп х паралельно пере- несли вздовж осі у на 3 одиниці вниз 3 Графік функції у = зіп х стиснули до осі х утричі 4 Графік функції у - зіп х стиснули до осі у утричі А у = зіпЗх г 1 • Б у-— 81ПХ 3 В у = 8Іп(х- 3) Г у = 8Іп(х + 3) Д у = 8ІПХ-3 269
23.29. Установити відповідність між геометричними перетвореннями графіка функції у - созх (1-4) та функціями, одержаних у результаті цих перетворень (А-Д). 1 Графік функції у = созх симетрично ві- добразили відносно осі х 2 Графік функції у = созх симетрично ві- добразили відносно осі у З Частину графіка функції у - созх, яка лежить вище від осі х і на самій осі, за- лишили без змін, а частину, яка лежить нижче від осі х, відобразили симетрично відносно цієї осі 4 Першу частину графіка функції у = созх, яка лежить праворуч від осі у і на самій осі, залишили без змін, а другу частину замінили симетричною до першої відно- сно осі у А у = |созх| Б у = |соз|х|| В у = соз|х| Г у — соз(—х) Д у = -созх 23.31. Установити відповідність між графіками функцій (1-4), утворених із графіка функції у = —, та X їх формулами (А-Д). І 2 3 4 А Б В г д у = — + 2 х + 1 1 0 У= , 2 х-1 У = “4+2 х-1 у- 1 +1 х-2 1 -7 у = і 2 х + 1 270
23.32. Установити відповідність між графіками функцій (1-4), утворених із графіка функції у = |х|, та 271
Тема 24. Похідна функції, її геометричний і механічний зміст Границя функції Розглянемо функцію У(х) = х - 1 і точку хо = 1. Якщо значення аргументу х прямують до числа 1 (позначають х-^1), то відповідні їм значення функції У(х) прямують до числа 0 (позначають У(х)-*0). По-іншому: якщо значення аргументу усе ближче знаходяться до числа 1, то відповідні їх значення функції У(х) усе менше відрізняються від числа 0. У цьому випадку кажуть, що число 0 є границею функції/(х) у точці 1, і відповідно записують Ііт/(х) = 0 або 1іт(х -1) = 0. Для границь функції спра- ведливими є всі твердження для границь послідовностей. Наприклад: 1іт8 = 8; 1іт(3х2) = Зіітх2 = 3 • 22 = 12; 1іт(х2 - Зх + 2) = Ііт х2 - Зііт х + Ііт 2 = х—>3 х—>2 ' ' х-^2 х-»3 ' 7 х—>3 х-»3 х-»3 Неперервність функції Функцію у -/(х) називають неперервною у точці х0, якщо вона визначена в деякому околі цієї то- чки і при х-»х0 границя функції дорівнює значенню функції у цій точці, тобто Ііт /(х) = /(х0). Якщо х->г0 функція у ~Лх) неперервна в кожній точці деякої множини А/сі/?, то кажуть, що вона неперервна на всій множині М. Якщо функція у =У(х) неперервна на £)(/), то таку функцію називають неперервною. Справедливою є теорема'. Якщо функції у =Дх) і у - #(х) неперервні в точці х0, то в цій точці не- /* (х) перервними є й функції^ = Дх) + #(х), у ~^х) - $(х), у =/х) • §(х) і у = —— (якщо §(х) * 0). £(*) Похідна функції Розглянемо функцію у =/(х)« Нехай х0 — фіксована точка з області визначення функції / Якщо х— довільна точка області визначення функції у-]{х) така, що х^х0, то різницю х-х0 називають приростом аргументу функції у -ф{х) у точці х0 і позначають Дх (читають «дельта ікс»). Отже, Дх = х-хо, звідки х = х0 +Дх. Кажуть, що аргумент одержав приріст Дх у точці х0. Якщо аргумент одержав приріст Дх у точці х0, то значення функції змінилося на величину У(хо + Ах) -/(х0). Цю вели- чину називають приростом функції у =У(х) у точці х0 і позначають Д/ Наприклад, знайти приріст функції у = х3 у точці х0, який відповідає приросту аргументу Дх. Оде- ржимо: Ду = (х0 + Дх)3 - Хд = х03 + 3 Хо Дх + Зх0(Дх)2 + (Дх)3 - х^ = 3 х2 Дх + Зх0(Дх)2 + (Дх)3. Похідною функції у -ф(х) у точці х називають границю (якщо вона існує) відношення приросту функції Д/(х) до приросту аргументу Дх, якщо приріст аргументу прямує до нуля: , Д/(х) г /(х + Дх)-/(х) / (х) = Ііт ------ = Ііт —-----—. Лг^° Дх Дх Похідну функції позначають у або /'(х). Якщо функція у -ф{х) має похідну, то функцію нази- вають диференційованою. Відшукання похідної функції/називають диференціюванням. Наприклад, користуючись означенням, знайти похідну функції у~4х. Маємо: ^'=1іт —= Дл-»0 Дд- 272
Таблиця похідних елементарних функцій 1. (С)' = 0, С — константа. 2. (х)=\. 3. (х") =пх"-'. 8. (а*) = ах Іпа . 9. (іпх) = —. 10. (1о§ах) = — ХІП6 / 11. (зіпх) = СО8Х. 12. (созх) = -зіпх. 13. = СОЗ X 14. (СЇ£Х)' = —Д—. зт х Правила диференціювання Якщо функції у =ЛХ) і У ~ &(х) диференційовані, С — деяка константа, то диференційованими /* (х) будуть також функції у = СЦх), у =Лх) ± &(х), у =/х) • §(х), у = 7 , до того ж справедливими є рів- §(х) ності: (С/(х))'=С/'(х). 5 (/(*)± £(*)/ = /'(х) ± §'(х). 5 (/(*) • Я*)/ = /'(х)§(х) + £'(х)/(х); /(х)1 УХх)§(х)- §'(х)/(х) §(х)) §2(х) Наприклад: а) (Зх4) =3-(х4) =3-4х4 1 =12х3; б) ^2х + >/х^ = (2х) +(л/х) =2ч— в) (х2 • зіпх)' = (х2)' • зіпх + (зіпх)' • х2 = 2х • зіпх + х2 • созх; . ҐЗх + Н' = (3^ + 1) (4х2 -3)-(4х2 -3) (Зх + 1) = 3(4х2-3)-8х(3х + 1) = 12х* _9_24хг _8х (4х!-3)’ (4х2-3)2 (4х2—З)2 -12х2-8х-9 (4х2-3)’ Похідна складеної функції Якщо значенням аргументу функції/є значення функції то кажуть, що задано складену функ- цію у =У(?(Х))- Наприклад, нехай задано функції У(0 - 3/ + 1, /(х) = со&х, тоді У(0 “Л^(х)) ~ 3/(х) + 1 = - З • со&х + 1. Отже, можна сказати, що у = Зсо&х + 1 задає складену функцію у =УОКХ))- Похідну складеної функції обчислюють за формулою (/(Я*))) =/'(&)•&'(*)• 18* Капіносов Л. Математика. Комплексна підготовка до ЗНО 273
Наприклад, знайти похідну функції ((2х + 1)4) = 4(2х + 1)3 -(2х + 1) = 4(2х + 1)3 -2 = 8(2х + 1)3. Фізичний зміст похідної Похідна функції у =Дх) у точці х0 виражає швидкість зміни функції або процесу, який ця функція описує, у цій точці. Так, якщо функція 8 = 8(1) описує рух матеріальної точки, тобто залежність прой- деної відстані з від часу І, то її похідна задає залежність швидкості V матеріальної точки від часу і: 8'(і) = и(іу, похідна швидкості V = ц(/) за часом є прискоренням: ю'(ї) = а(ї). Геометричний зміст похідної Значення похідної функції у =ЛХ) У точці х0 дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції в цій точці: Рівняння дотичної до графіка функції Нехай функція у =Лх) диференційована в точці Хо. Тоді до графіка функції у точці з абсцисою х0 можна провести невертикальну дотичну (див. рис.). Рівняння невертикальної прямої має вигляд у = кх + Ь. Виходячи з геометричного змісту похідної, одержимо: к=/'(х0). Тоді у=/'(х0) х + Ь. Ця пряма проходить через точку А/(хо;/(хо)), тому У(хо) (хо) х0 + Ь, звідки Ь =У(хо) -/*(хо) • +о- Тоді рів- няння дотичної має вигляд: у =/'(х0) • (х - х0) +/(хо)- Наприклад, скласти рівняння дотичної до графіка функції у = х2 + Зх - 4 у точці з абсцисою х(> = 2. Маємо: /(х0) =У(2) = 22+ 3- 2- 4 = 6; /'(х) = 2х + 3; /' (хо) =/*(2) = 2 • 2 + 3 = 7. Підставивши знайдені числові значення у рівняння дотичної, одержимо: у - 7(х - 2) + 6; у = їх - 8. Приклад 1. Знайти Ііт —-—. 7x^2-1 А Б В г д 1 2 -1 3 -3 Ііт х-3 л/х-2-1 (х-3)(л/х-2 + 1) [^х-2 - 1)(7х-2 +1) (х-3)(л/х-2 + 1) . --- --------- = Ііт----і-------= Ііт д/х-2 +1 = у/3^2 + 1 = 2. ~з х-2-1 / Відповідь. Б. Приклад 2. Яка з послідовностей не має границі? А Б В Г д / \ И х„ = 1 " <3/ х„ = 0,99" г -2и-1 " 2п усі ПОСЛІДОВНОСТІ мають границі (IV і Ііт - =—— = 0; П —>оо '-З-' Ііт 3й 1 100 274
Ііт——- = Ііт------— = 1; 1іт(л/з) = 1іт(1,73...)п — члени послідовності можуть стати як завгод- но великими. Отже, послідовність границі немає. Відповідь. Г. Приклад 3. Знайти похідну функції /(х) = —. 4 А Б В г д 1 4 -ї£х 4 -1 . X 81П — 4 X соз— 4 4 1 4соз2 — 4 / 1 .[ х^ СО82 - ^4' 4 / /'(х) = (і^) = Відповідь. Д. 1 4 соз2 — 4 Приклад 4. Знайти похідні: а) (5х3 +8х-11) ; б) (х2 созх) ; в) (зіп(3х2)) ; г) (\/бх4 +1 а) (5х3+8х-11) =(5х3) + (8х/-П' = 5(х3) +8(х) -О = 15х2+8; б) (х2созх) =(х2) созх + (созх) х2 = 2хсозх + (—зіпх)х2 = 2хсозх-х2зіпх; в) (зіп(3х2)) = соз(3х2)-(3х2) = соз(3х2)-6х = 6хсоз(3х2). г) (л/бх4 +1) = —. • (6х4 + 1) = — 1-— • 24х3 = ,^Х— . ' ’ 27бх4+1 к ’ 2^6х4+1 л/бх4+1 Приклад 5. Знайти/'(3), якщо/х) - (2х + І)3. А Б В Г д 300 294 280 264 147 /'(х)= ((2х+1)3) =3(2х+1)2-(2х+1)' =3(2х+1)2-2 = б(2х+1)2. Якщох = 3, то:/'(3) = 6(2 • 3 + )2 = = 6-72 = 6-49 = 294. Відповідь. Б. Приклад 6. Знайти/{0,75), якщо /(х) = 5е4х 3 - 8. А Б В г Д 20е 20 10 7 5 И/(х) = (5е4х“3 - 8)'= 5(е4х-3)'= 5 • е4х~3 • (4х-3)'= 5 • е4х“3 • 4 = 20е4х~3. Якщо х = 0,75, то /'(0,75) = 20е4 ’ °’75 ’3 = 20е° = 20. Відповідь. Б. 275
І я] 5х Приклад 7. Знайти/ — , якщо /(х) = 4соз-їх + 3. А Б В г Д -2 -3 3 4 2 иґ(х)= ґдсоз—-7х + 3| =—48ІП—-ґ—1 -7 =-48Іп—• —-7 =-ІОзіп—-7. ’ 4 V 2 7 2 V 2> 22 2 = -10зіп| -/--П-7 = ІОзіп—-7 = 10—-7 =-2. З) <2 V З'/ 6 2 Відповідь. А. Приклад 8. Вказати функцію, для якої рівняння Зх->>-2 = 0є рівнянням дотичної до її графіка в точці Л(1; 1). А Б в г д У = ЗІП X т—И гч 1 и II 1 ^ = х2 ^ = (х-1)2 Функції у - ЗІПХ, у =---, у = (х- І)2 не проходять через точку Л(1; 1), тому вони не можуть х-1 мати дотичної у цій точці. Для функції у-х3 маємо: у - Зх2; у'(1) = 3. За формулою дотичної У ~Уо ~у(хо)(х - Хо) отримаємо: у - 1 = 3(х -1); Зх - - 2 = 0 — рівняння дотичної. Для функції у - х2: у -2х; у’(1) -2. Кутовий коефіцієнт дотичної к-2 не збігається з кутовим коефіцієнтом прямої у = Зх - 2. Відповідь. А. Приклад 9. Знайти кутовий коефіцієнт дотичної, яку проведено до графіка функції у - 5х2 - - Зх + 2 в точці з абсцисою х0 = 2. А Б в г д 16 інша відповідь 0,3 0 19 Скористаємося властивістю, що к - у (х0). Отримуємо: у = (5х2 - Зх + 2)' = 1 Ох - 3. к = у\2) = 10-2-3 = 17. Серед числових значень запропонованих відповідей відповіді 17 немає, тому правильною є відповідь, позначена літерою Б — «Інша відповідь». Приклад 10. Обчислити тангенс кута нахилу дотичної до графіка функціїДх) = х —у точці з Зх с 1 абсцисою х0 = —. А Б В Г д 19 4 а 9 -17 0,5 ( і \ \ 9 2 /п 2 2-27 /'(х) =х-------- = х—х-2 =1ч—х"3=1ч—-. Тоді 1§а=/' - =1ч------------г=1ч----=1+18=19. 7 к 7 І Зх/ І 3 ) 3 Зх3 5 7 І3> ПА3 3-1 з- - <3> Відповідь. А. 276
Приклад 11. Обчислити ординату точки графіка функції у - 2х2 - Зх + 1, у якій дотична до цього графіка паралельна до прямої у - Зх + 7. А Б В г Д -1 1,5 1 3 10 Оскільки дотична до графіка функції паралельна до прямої у - Зх + 7, то кутові коефіцієнти дотичної у = к\х + Ь\ і функції у = Зх + 7 рівні, тобто к\ - 3. Отже,/'(х0) - к\ - 3. Знайдемо /'(х) - (2х2 - - Зх + 1)' = 4х - 3; /'(х0) - 4х0 - 3; 4х0 - 3 = 3; х0 = 1,5. Знайдемо у$ — ординату точки графіка функції у = 2х2-3х + 1:у0 = 2 • (1,5)2-3 • 1,5+1 =4,5-4,5+ 1 = 1. Відповідь. В. Приклад 12. Знайти, у який момент часу прискорення рухомої точки дорівнюватиме 2 см/с2, як- що точка рухається прямолінійно за законом х(/) = 3? + 91п/ + 7, де х(ґ) — шлях у сантиметрах, і — час у секундах. А Б В Г Д 1 с 1,5 с 2с 2,5 с 5 с Знайдемо похідну функції х(7): х'(7) = (З/2 + 91п/ +7)'= 6ґ + 9*- = 6ґ + —. Отже, 6ґ +—. , ( У і У 2 Знайдемо прискорення а(і) = V (і) - + = 6-—. За умовою, <7(7) = 2 см/с. Маємо рівняння: 9 9 6 - — = 2; 4? = 9; Г - Врахувавши, що і > 0, маємо: і - 1,5 (с). і 4 Відповідь. Б. Приклад 13. Тіло рухається прямолінійно за законом 5(7) - і + ґ + 4, де 8— відстань у метрах, і — час у секундах. Знайти: 1) початкову швидкість тіла; 2) швидкість тіла через 3 с після початку ру- ху; 3) прискорення тіла. г(0= 5'(<) = (<2+< + 4)/ =2/ + 1. 1) Початкова швидкість — це швидкість, якщо І = 0 с. Тому г»о = ^(0) = 2 • 0 + 1 = 1 (м/с). 2) у(3) = 2 • 3 + 1 = 7 (м/с). 3) а(ї) - ь'(і) =(2/4-1) = 2. Отже, прискорення, з яким рухається тіло, дорівнює 2 м/с2. Приклад 14. Вказати функцію, дотичну до графіка якої у точці х - 1 зображено на рисунку. А Б В г д у = Зх - 4 у = х2 - 2 у = х3 - 2х у - х2 - 2х у = -х2 277
Графік дотичної у-кх + Ь проходить через точки (0; 1) і (1; -1). Знайдемо значення к та Ь: 1=к0+к, -! = £•! + />; Рівняння дотичної має вигляд: у = -2х +1.3 іншого боку, к = /'(/), тобто к = -2. /'(1) = -2. Знайдемо/'(1) для кожної із запропонованих функцій: А/ = (Зх-4)' = 3;/(1) = 3 Б У = (х2 - 2)'= 2х;У(1) = 2 • 1 = 2 В У = (х3 - 2х)' = Зх2 - 2; у'(1) = 3 • 1 - 2 • 1 = 1 Г У = (х2-2х)' = 2х-2;У(1) =21-2=0 Д У = (-Х2)' = -2х; У(1) = -2 • 1 = -2 Отже, У(1) = -2 відповідає функція у - -х2. у(1) = -І2 = -1. Рівняння дотичної до функції у = -х2 має вигляд: у + 1 = -2(х - 1); у = -2х + 1. Відповідь. Д. Завдання 24.1-24.27 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 24.1. (х6 + 3х2 -х + 3)' = ... А Б в г д X7 3 X2 ~ — + х + Зх 7 2 6х5 + 6х 6х5 + 6х - 1 6х5 + 6х - 3 V7 V2 —+ х3-—+ 3х+1 7 2 24.2. (Ц- + >/х) =... V* / А Б В г д -А+-1_ X2 2>/х -А+_1_ X4 2>/х 3 1 X4 4х і 4х 7 Зх2 2 А Б в Г д 3 8зіпх соз X 1 . 3 — ЗІПХ — 8 соз х 1 . 3 ЗІПХ — 8 зіп х 1 . -—зіпх-3сі§х 1 . 3 —зіпх -— 8 соз х 24.4. Знайти похідну функціїу = 5зіп7х - 7х2 + 7. А Б в Г д 5соз7х- 14х 35соз7х- 7х 35соз7х- 14х 7соз7х- 7х + 7 5соз7х - 7х 24.5. Знайти похідну функції у - 1п(2х) + 2х3 - 3. А Б В г д — + 6х2 - Зх —+ 6х2-3 —+ 6х2 —+ 6х2 —+ 6х2 X 2х 2х X X 24.6. А Б В Г д 5х4 • Т + х5 • Т\£1 5х4 • 7х1п7 5х4 • 7Х1§7 5х4 • Т + х5Т • 1п7 5х4 + 7х1п7 278
А Б В Г д —х4 -4х3 Іпх х 1 X 4х3 Іпх 4х3 —х4 -4х3 Іпх х —х4 -4х3 Іпх х X8 X4 4х3 24.8. (е3х+5)'=... А Б В Г Д 3 Зех (Зх + 5)<?3х+5 Зе3х+5 е3х+5 24.9. Знайти похідну функції у = созЗх у точці х0 = —. А Б В Г Д 2 _3 2 зУз 2 _7з 2 3 2 24.10. Знайти кут, який утворює з додатним напрямом осі х дотична до графіка функції у = -^-х4 у то- чці ХО = -1. А Б В Г д 30° 45° 120° 135° 150° 24.11. Рівняння дотичної до кривої у - 2х2 - 4х - 1 має вигляд: у = 8х - 19. Визначити абсцису точки дотику. А Б В Г д 2 3 4 -4 8 24.12. Скласти рівняння дотичної до графіка функції у = х3 у точці (2; 8). А Б В Г Д ^+8 = 12(х + 2) у-8 = —(х-2) 12к ’ у —8-х-2 у-8 = 8(х-2) у-8 = 12(х-2) 24.13. На кривій У(х) ~ _ х + 1 Знайти точку, в якій дотична до кривої паралельна до прямої Зх-у-1 =0. А Б в г д (2; 3) (0; 3) (0;і) 2 3 24.14. Знайти усі значення параметра а, за яких числа хь у/а2 + 3 , х2 утворюють геометричну прогре- сію, якщо хі та х2 — абсциси точок графіка функціїДх) = х3 + 7х2 + (2 - 9я)х, у яких дотичні до графіка нахилені до осі абсцис під кутом 135°. А Б В г Д -1 1 0 0; 1 -1;0 279
24.15. Знайти миттєву швидкість точки, яка рухається за законом $(і) = + 41 +1 (5 — шлях у мет- рах, і — час у секундах) через 3 с після початку руху. А Б В Г д 12 м/с 13 м/с 14 м/с 15 м/с 16 м/с 24.16. Тіло рухається за законом .?(/) = І2 - 4л/Г. Знайти швидкість тіла в момент 10 = 4. А Б В Г Д 5 4,75 12 7 7,875 24.17. ОбчислитиДх), якщо Де) = зіп5 + е3. А Б В г д соз5 + Зе2 8Іп5 + е3 соз5 0 Зе2 24.18. Обчислити Дх), якщо/(х) = Іпсозх2. А Б В Г д -2хі§х2 -і&х2 2х СОЗХ2 -2і§х2 24.19. Обчислити Дх), якщоДх) - зіп2(2х + 0,5). А Б В Г д 2(2х + 0,5)со82хх х(2х + 0,5) 2соз(4х + 1) -2соз(4х+ 1) 28Іп(4х + 1) -2зіп(4х+ 1) 24.20. Обчислити значення похідної функції у - (Зх + І)3 • со83(х2 + 2х + 1) + я3 у точці хо = -1. А Б В Г д 36 12 -12 0 36 + я3 24.21. Матеріальна точка рухається прямолінійно за законом л(/) = 2,5/2 —15/, 5— шлях у метрах, І — час у секундах. Через який час від початку руху ця точка зупинилася? А Б В г д 1 с 2с Зс 3,5 с 4 с 24.22. На рисунку зображено графік функції і дотичну до нього в точці з абсцисою хо. Знайти значен- ня Дхо). :у: 12- ч- А Б В Г Д 5 -2 2 0,5 -0,5 280
24.23. Дано функцію у = |3х + 2|. У якій точці функція не має похідної? А Б В г д 2 -2 _2 3 _3 2 похідна існує в будь-якій точці 24.24. Обчислити похідну функції у = |2х - 5| на проміжку (-«»; 0]. А Б В Г д 2,5 5 -5 2 -2 24.25. /х) = х(х - 1)(х - 2)...(х - 19)(х - 20). Знайти ДО). А Б В г д -20! 20! 0 1 20 24.26. На якому з рисунків побудовано графік похідної функціїу = 11 - х|? 281
Завдання 24.28-24.38 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 24.28. Установити відповідність між функціями (1-4) та їхніми похідними (А-Д). 1 /(*) = 8Іп(2х + 3) 2 /(х) = 2соз(х + 3) 3 /(х) = 8ІП2(х + 3) 4 /(х) = іе2х А / '(*) = _2 8Іп(х + 3) Б / '(х) = зіп 2(х + 3) В /’(*) = 28іп(2х + 3) Г /'(х) = 2соз(2х + 3) Д /'(*)=—ту соз 2х 24.29. Установити відповідність між функціями (1^4) та їхніми похідними (А-Д). 1 /(х)=2зіп2 (Зх - 4)+созх 2 /(х) = 2зіп(Зх-4) со8х 3 дх)=281п<3*~4). созх 4 /(х) = 1§(3х - 4) • соз х \ _ Зсо8х-0,5зіп(6х-8) -8Іпх А / (х) — 2 СО8 (Зх-4) Б /'(х) = 6 зіп(6х - 8) - 8ІП X . 6соз(Зх-4)-собх+28Іп(Зх-4)-8Іпх в /(х)= СОЗ X Г /'(х) = -2сО8(Зх-4)-8ІПХ Д /Xх) = 6 соз(3х - 4) • соз х - 2 зіп(3х - 4) • зіп х 24.30. Установити відповідність між функціями (1-4) та їхніми похідними (А-Д). 1 * . с 1 у=—+5 3 А у' = -3 Б у'= 5 - 4-Х 2 у = 5 3 3 у = 3 + 5х 4 у - 5 - Зх В у' = -- 3 Г/ = -5 ДУ=| 24.31. Установити відповідність між функціями (1-4) та їхніми похідними (А-Д). 1 у = зіп5 + е5 2 у - зіп5х + е5 3 у - зіп5 + е5х 4 у = 8Іп5х + е5х А у' = 5(соз5х + е5х) Б у - соз5х В у' = 5е5х Г у = 5соз5х ду = о 24.32. Установити відповідність між функціями (1-4) та їхніми похідними (А-Д). 1 Л 4 2 1 У = 4х т X ~ X4 1 2 у = т- 4 2х2 . х4 2 3 4 у = 4х4 Ц- Л 2х2 А у' - х3+-т X в У - х —у X В у = 16х3+4 X Г у'= 16х3+-^ X Д у = *3+-т X 282
24.33. Установити відповідність між функціями (1-4) та їх похідними (А-Д). 1 у - СО8ХСО87Х - 8ІПХ8Іп7х 2 у - СО8ХСО87Х + 8ІПХ8Іп7х 3 у - 8Іп7хСО8Х - 8ІПХСО87Х 4 у = 8Іп7хСО8х +8ІПХСО87Х А у - 8соз8х Б у — бсозбх В у - 8зіп8х Г у' = -85Іп8х Д у = -бзіпбх 24.34. Установити відповідність між функціями (1-4) та їх похідними (А-Д). 1 у = Х8ІпЗ 2 у - Ззіпх 3 у = 8ІПХ3 4 у - 8ІП3Х А у - 38ІП2ХСО8Х Б у - созЗ В у - Зх2СО8Х3 Г у - 8ІпЗ Д у = ЗСО8Х 24.35. Установити відповідність між функціями (1^4) та їх похідними в точці п (А-Д). . . X А -3 1 У = 81П — Л 3 2 у - 8ІпЗх - 8ІПХ з У = 3 Б -- 3 В 0 г - . СО8Х 4 у = 3 6 Д І 24.36. Установити відповідність між залежностями відстані 5 від часу і руху матеріальних тіл (1-4) та їх швидкостями в момент часу і = 1 (А-Д). 1 А 4 1 5(/) = 8|/3 + 5/ 2 5(/) = 4/+ 1 3 5(/) = -| + 5/ 4 5(/) = 2? + / Б 5 В 5— 3 Г 5- 3 Д зо 24.37. Установити відповідність між залежностями відстані 5 від часу і руху матеріальних тіл (1-4) та часом від початку руху до зупинки тіла (А-Д). 1 5(/) = -у-/ 2 5(/) = ^--/3 + 2 .5 3 5(0 = у-/3 + 4 4 5(/) = /2-/ АІ 2 Б 1 в 7з Г 3 Д 4 283
24.38. Установити відповідність між функціями (1-4) та тангенсами кутів, які утворюють дотичні, проведені до графіків функцій у точці з абсцисою х = 0 з додатним напрямком осі х (А-Д). 1 у = е* 2 у - 2зіп4х 3 у = 8созх 4 У~ 2*81 А 0 Б 1 В 2 Г 4 Д 8 Розв’яжіть завдання 24.39-24.51. Відповідь запишіть десятковим дробом. 24.39. Обчислити значення похідної функції у = дД§6х у точці хп = — 0 24 24.40. Обчислити значення похідної функції у - (2х2 - 1 )1п2х у точці х0 = 1. 24.41. Знати похідну функції у = + соз3 х у точці х0 = . 24.42. Знати похідну функції у = ^/хл/хл/х у точці х<> = 1. 24.43. Записати рівняння дотичної до графіка функції у = 5х2 - 2х, яка утворює з додатним напрямом осі х кут 135°. У відповідь записати абсцису точки дотику. 24.44. Скласти рівняння дотичної до графіка функції /(х) = е5х+|, яка паралельна до прямої у = 5х - 8. У відповідь записати абсцису точки дотику. 24.45. За яких від’ємних значень а пряма у = ах - 5 дотикається до кривої у = Зх2 - 4х - 2? 24.46. Пряма у = —х + С є дотичною до лінії, заданої рівнянням у - 0,5х4 - х. Знайти абсцису точки 4 дотику. 24.47. Знайти тангенс додатного кута, під якими парабола^ = х2 + 2х - 8 перетинає вісь абсцис. 24.48. Обчислити площу трикутника, утвореного осями координат і дотичною до графіка функції х + 2 /(х) =-----у точці з абсцисою Хо = 2. У відповідь записати наближене значення площі з точ- х-1 ністю до 0,01. 24.49. Знати похідну функції у - л/б + бсоз2 х2 у точці х0 - . У відповідь записати . 2 ул 24.50. Скласти рівняння прямої, не паралельної до осі абсцис, яка проходить через Точку Л/І —; 2 і X дотикається до графіка функції у = 2---.У відповідь записати абсцису точки дотику. х і— 24.51. За якого значення параметра а пряма у = — дотикається до кривої у = у]х-а1 284
Тема 25. Застосування похідної для дослідження функцій Якщо для всіх х з проміжку (а; Ь) виконується нерівність(х) > 0, то на цьому проміжку функція зростає. Якщо ж для всіх х з проміжку (а; Ь) виконується нерівність Д(х) < 0, то на цьому проміжку функція спадає. Проміжки зростання та спадання функції називають проміжками монотонності. Щоб дослідити функцію Дх) на монотонність, слід: 1) знайти її похідну/*(х); 2) знайти критичні точки функції (/У(х) - 0 абоГ(х) не існує); 3) визначити знак похідної функції на кожному з проміжків, на які критичні точки розбивають область визначення функції; 4) визначити проміжки зростання та спадання функції (якщо Д(х) > 0, то на проміжку функція зростає, якщо ж/г(х) <0 — спадає). Наприклад, з’ясувати, чи зростає функція /(х) = 4л/х + 6х на проміжку (0; +«>). Знайдемо похід- ну функції: /'(х) = (4>/х + 6х) = -І + 6. Оскільки ОДЗ — хє(0;+°о)і -^ +6>0, то функціяУ(х) зро- У 7 УІХ у/х стає на проміжку (0; +<*>). Максимуми й мінімуми функції Кажуть, що функція у =У(Х) має в точці х0 максимум (мінімум), якщо існує такий 8-окіл точки х0 (х0 - 5; хо + 8), що для всіх х з цього околу, відмінних від х0, виконується нерівність Xх) <Лхо) (/(х) >Лхо)). Точки максимуму й мінімуму називають точками екстремуму. Значення функції в точках максимуму й мінімуму називають екстремумами (максимами й мінімумами) функції. Точки області визначення, у яких похідна функції дорівнює нулю або не існує, називають крити- чними. Достатня умова екстремуму. Якщо похідна функції у =Дх) перетворюється в нуль у точці х0 і при переході через цю точку у напрямку зростання х змінює знак з «+» («-») на «-» («+»), то в точці хо функція має максимум (мінімум). Якщо ж при переході через точку хо похідна функції не змінює зна- ка, то в цій точці функція у -Дх) екстремуму не має (має перегин). Наприклад, задано функцію у -х2. Тоді у = (х2)'= 2х. У точці х = 0 дана функція має мінімум, оскільки/'(О) - 0 і похідна змінює знак з «-» на «+». Щоб дослідити функцію на екстремум, потрібно: 1) знайти критичні точки функції; 2) перевірити, чи змінює знак похідна функції при переході через критичну точку; 3) обчислити значення максимуму утах або мінімуму утіп- Наприклад, знайти точки екстремуму функції Дх) = х3 - Зх2 + 18. Обчислимо похідну функції: Д(х) = (х3 - Зх2 4-18)' = Зх2 - 6х. Знайдемо критичні точки функції: Д(х) - 0; Зх2 - 6х = 0; х(3х - 6) = 0; хі - 0, х2 - 2. Дослідимо знак похідної в околах критичних точок. Оскільки при переході через точку х — 0 похідна змінює знак з «+» на «-», то ця точка є точкою максимуму; при переході через точку х-2 похідна змінює знак з «-» на «+», тому ця точка є точкою мінімуму. Відповідь. хтах 0, хтіп 2. Щоб знайти найбільше та найменше значення неперервної на відрізку [а; Ь] функції, потрібно: 1) знайти всі критичні точки функції на інтервалі (а; Ь); 2) обчислити значення функції у кожній критичній точці та на кінцях відрізка; 285
3) вибрати найбільше та найменше з отриманих чисел (див. рис.). При дослідженні функцій поряд з першою похідною використовують другу похідну, за допомо- гою якої досліджують характер опуклості (вгнутості) функцій. Якщо для всіх хє(а; Ь) виконується нерівність/"(х) 0 (Ґ'(х) 0), то графік функції Xх) є вгну- тим (опуклим) на даному проміжку. Асимптоти Пряму х- а називають вертикальною асимптотою графіка функції у =/(х), якщо Ііш/(х) = °° . Наприклад, пряма х = 0 є вертикальною асимптотою графіка функції у = —, оскільки Ііт — = оо X ^Х Пряму у - Ь називають горизонтальною асимптотою графіка функції у -Дх), якщо Ііт /(х) = Ь або Ііт /(х) = 6. Наприклад, пряма у = 0 є горизонтальною асимптотою графіка функції у = —р, X -1 оскільки Ііт —г— = 0. Х-*±~ Х2 _ 1 Дослідження функції Повне дослідження функції на побудову на її основі графіка функції можна виконувати за такою схемою: 1. Знайти область визначення функції. 2. Дослідити функцію на парність, непарність, періодичність. 3. Знайти проміжки зростання, спадання та екстремуми функції. 4. Знайти асимптоти графіка функції. 5. Знайти точки перетину графіка функції з осями координат та проміжки знакосталості функції. 6. Використовуючи результати дослідження й обчисливши ряд контрольних точок, будуємо гра- фік функції. Наприклад, побудувати графік функції у = —х3 4- 1,5х2 + 2х - 3—. З 6 1. Область визначення функції £>(/) = К. 2. Функція ні парна, ні непарна, боу(-*) ~ —(-х)3 + 1,5(-х)2 4- 2(-х) - 3— = З 6 = х3 4- 1,5х2 - 2х - З— Ф -у(х) г(~х)- Функція неперіодична. З.у - | — х3 4-1,5х2 4-2х-3— ІЗ 6, - х2 4- Зх 4- 2. х2 4- Зх 4- 2 = 0; хі = -2, х2 = -1. На проміжках (-оо; -2) і (-1; 4-оо) функція зростає, бо у' > 0; а на проміжку (-2; -1) функція спадає, бо у' < 0. Оскільки в точці 286
х = -2 похідна змінює знак з «+» на «-», тому точка х = -2 — точка максимуму, упіах = -4— ; в точці , • • 1 . • Л х = -1 похідна змінює знак з «-» на «+», то точка х = -1 — точка мінімуму, утіп = -4— . 4. у" - (х2 + Зх + 2)' = 2х + 3. Тоді на проміжку (-1,5; +«>) у" >0, тому графік на цьому проміжку / • • ( 3 7^1 вгнутий, а на проміжку (-оо; -1,5) у <0, тому графік на цьому проміжку опуклий. Точка —; - 4— є точкою перегину. 5. Асимптот функція не має. 6. Графік перетинає вісь у в точці [ 0;-3— | , боД0) = — • О3 +1,5-О2 + 2-0-3— = -З—. Підбором \ 6/ 3 6 6 встановлюємо, що х=1— корінь рівняння — х3 + 1,5х2 + 2х-3—= 0. Тоді —х3+1,5х2+2х-3—= З 6 3 6 / і/1 2 И 23Л . . ~ = (х- 1) — х ч—хч---, звідки одержуємо, що це єдинии корінь. Отже, графік перетинає вісь х у \3 6 6 / точці (1; 0). На проміжку (-сю; 1) функція Дх) < 0, а на проміжку (1; +«>) —Дх) > 0. 7. Будуємо графік функції. 287
Приклад 7. На рисунку зображено графік похідної функціїДх), яка диференційована на К. Указа- ти проміжки зростання та спадання функції/*). жному з цих проміжків. Оскільки на проміжках (-4; 1) та (5; +©о) виконується нерівність/^*) < 0, то на цих проміжках функція/х) спадає. Відповідь. Зростає на проміжках (-оо; -4) та (1; 5) і спадає на проміжках (-4; 1) та (5; +©©). Приклад 2. Яка з указаних функцій є зростаючою на всій області визначення? А Б В г д » = 0,4х У(Х)=х2 Лх)= (7з)х Хх) = з зростаючої функції немає /х) = 0,4*, 0 < 0,4 < 1, функція спадна;/х) = х2, функція спадна, якщо х < 0;/х) - [4^ , л/З > 1, функція зростаюча; /х) = 3 — ні зростаюча, ні спадна. Відповідь. В. х 2 Приклад 3. Дослідити на монотонність та екстремум функцію у - — - Зх + 5. ґхз V у' = І-Зх2 + 5 І =х2 -6х. Знайдемо критичні точки, прирівнявши похідну до нуля: у =0; х2 - 6х = 0; ^ = 0; х2 = 6. Критичні точки — 0 та 6 — розбивають область визначення на три промі- жки • (—°°; 0), (0; 6), (6; + оо). Визначимо, який знак має похідна функції на кожному з проміжків. Для цього виберемо довільне число з проміжку (-оо; 0), наприклад, -10, і обчислимо відповідне значення похідної функції: у'(-10) = (-10)2 - 6 • (-10) = 160 > 0. Тобто на проміжку (-оо; 0) похідна функції на- буває лише додатних значень. Виконавши аналогічні обчислення, визначимо знак похідної на інших проміжках. Результати обчислень подамо таблицею: X (-«; 0) (0; 6) (6; +°о) У + - + Оскільки на проміжках (-°о;0) та (б; + °о) похідна набуває додатних значень, то функція на цих проміжках зростає. На проміжку (0; 6) похідна від’ємна, тому функція на ньому спадає. Оскільки при переході через точку 0 похідна функції змінює знак з «+» на «-», то х = 0 — точка максимуму. Максимум функції дорівнює: утах = у(0) - 5. При переході через точку 6 похідна функції змінює знак з «-» на «+». Тому х = 6— точка мінімуму. Мінімум функції дорівнює: утіп~Х6) = = -31. 288
Приклад 4. Знайти проміжки зростання (спадання) функції /(х) = ух2 -х-2. Знайдемо область визначення функції: х2 - х - 2 > 0; хє (-<»; -1 ]и[2; +©»). Похідна функціїУ(х) дорівнює: /'(х)= >/х2 -х-2) =—. Функція Дх) зростає, якщо/'(х) > 0, тому —. >0, 1 1 2уіх2-х-2 2ух2-х-2 -1>0 х2-х-2>0; х> 0,5; х < -1; х > 2. Отже, функція зростає на проміжку (2; +°°). х> 2, Аналогічно, функція спадає, якщо(х) < 0, тому 2х-1 2\Іх2 - х-2 <0, тобто 2х-1<0; х2 - х - 2 > 0; х<0,5; х<-1; х> 2, х < -1. Отже, функція спадає на проміжку -1). Слід зазначити, що в точках х = -1 і х = 2 функція Дх) неперервна, але не диференційована. Приклад 5. Яка з указаних функцій має максимум у точці хо - 0? А Б В Г Д у = 7х2 + 5 у = 2х3-7 у = -Зх2 + 4 у = х + 2 у - СО8 X а) Функція у - 7х2 + 5 — не має максимуму взагалі (рис. а); б) = 2х3 - 7 — не має максимуму взагалі; в)<у = -Зх2 + 4— має максимум у точці х0 = 0, бо у -~6х\ У = 0; -6х = 0; х = 0 (рис. в); Г)^= х + 2 (рис. д). і ТЕ і не має максимуму взагалі; д)у= соз^х- —— не має екстремуму в точці х0 = 0 д) а) Відповідь. В. х2 і 8 Приклад 6. Знайти найбільше значення функції /(х) =-на відрізку [-3; 0]. х-1 п \-(х2 + »У _ Р +8) '(4-і)-(х-1)''(х2+8)_2х(х-1)-1-(хг+8)_ (х-!)2 = (х-1)2 --+-42>4 8 х'-2х-8у( (|; 42-2х-8 = 0. х2-2х-8 = 0; х, = -2; х2 = 4. Порівняємо зна- (4-1) (4-1) (4-І) ченняЛ-3)Л-2),Л0)./(-3)=^^=^ = -ІІ; /(-2) = 8 ==-4; /(0) = = А = _8. Найбільше значенняу(-2) = -4. 2х3 Приклад 7. Побудувати графік функції у = —,-. х +1 1. Область визначення функції £>(/) - К. „ Л ч 2(-х)3 -2х3 2х3 2. Функція непарна, бо у(-х) =------ —------= —--= -у(х), неперіодична. Звідси маємо, (-х/+1 х2 +1 X І 1 що дослідження функції достатньо провести ДЛЯ X > 0. 19* Капіносов А. Математика. Комплексна підготовка до ЗНО 289
з. у’ = 6х4 + 6х2 - 4х4 2х4 + 6х2 ---------:---=--------Якщо х > 0, то у >0. Отже, на проміж- ку (0; +°°) функція зростає. 4. Графік проходить через початок координат, боу(О) = 0- 5. Знайдемо кілька точок, які належать графіку: X -2 -1 0 1 2 У -3,2 -1 0 1 3,2 6. Будуємо графік функції на проміжку [0; +<»). Використавши симетрію відносно початку коор- динат, будуємо графік на проміжку (-оо; 0). Завдання 25.1-25.24 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. 25.1. Визначити проміжок зростання функції у = х2 - 1. А Б в г Д (-оо; +оо) [0; +оо) [і; +о°) (-о; 0] 25.2. Знайти проміжки зростання функції у =Дх), якщо/(х) = (х - 1)(х - 5). А Б в г д (-~;-5М1;+оо) [-5;-і] [і;-5] (—;1М5;+оо) (-о;-5] 25.3. Знайти проміжки спадання функції у = <р(х), якщо ф (х) = (х + 2)(х - 1)2(х - 3). А Б В Г д [-3; 2] (-о;-3]і[-1;2] (-оо;-2] і [1; 3] (-о; -2] і [3; +оо) [-2; 3] 25.4. Знайти проміжки зростання функції у = х2ех. А Б В г д (-оо; +оо) (-оо; -2] і [0; +оо) [-2; 0] (-оо; 0] і [2; +оо) [0; 2] 290
25.5. Знайти проміжки спадання функції у = 8Іп2х. А Б В Г д Г я "І [2 п є 7. я „ „ 1 — + 2тг.л+2тг , .2 [л+2яи;2я+2яи], п&2 1 1 а і 1 1 (—о; +оо) 25.6. Серед наведених функцій вибрати ту, яка є зростаючою на множині дійсних чисел. А Б В Г д у = -х7 У - СО82Х у = 1п(х2 + 1) У = ЄХ 2 У = 25.7. Серед наведених функцій вибрати ту, в якої проміжком спадання є проміжок [0; +«>). А Б в Г д 1 У=х2+1 у = хех у = 1п(х3+ 1) у = ех1 у = ех2 А Б в г д Одну дві три чотири більше, ніж чотири 25.9. Знайти критичні точки функції /(х) = —— х2 - Зх. А Б В г Д 0 -3 і-1 -Зі 1 1 ІЗ -1 ІЗ 25.10. Вказати критичні точки функції у = х(х - 4)'’. А Б В Г Д 0; 4 4 1; 4 3 і 25.11. Знайти критичну точку функції у = 2х2 - 4х. А Б В Г Д -1 1 4 0 2 291
25.5. Знайти проміжки спадання функції у = зіп2х. А Б В Г д ! Гя 1 [_2 ] п є 2 я . . "І —+ 2яи;я+2яп , [2 .1 пє/ [я+2ям;2я+2яи], пє2 1 "1 £ ї N £ 1 1 (-оо; +оо) 25.6. Серед наведених функцій вибрати ту, яка є зростаючою на множині дійсних чисел. А Б В Г д У ~ ~х у - СО82Х у- 1п(х2 + 1) У - Є1 2 у = 25.7. Серед наведених функцій вибрати ту, в якої проміжком спадання є проміжок [0; +<~). А Б В Г д 1 ^х2+1 у -хех у = 1п(х3 + 1) у = ех' у = ех' А Б в г д Одну Дві три чотири більше, ніж чотири 25.9. Знайти критичні точки функції /(х) = —— х2 - Зх . А Б В г Д 0 -3 і-1 -3 і 1 1 ІЗ -1 ІЗ 25.10. Вказати критичні точки функції у - х(х - 4)3. А Б В Г Д 0; 4 4 1;4 3 і 25.11. Знайти критичну точку функції у - 2х2 - 4х. А Б В Г Д -1 1 4 0 2 292
25.17. Вказати проміжки зростання функції у - ф(х) на відрізку [-5; 5], якщо на рисунку зображено графік функції у = ф'(х). — л. 4 г 3 г 9. і 2 “І 1- 2- -Е -У 1- 1- Д-Х І і ’ т - 1—] и А Б в Г Д [-2; 3] [-і;2] [-2; 1] і [4; 5] [і;3] [-5;-3] і [1;4] 25.18. Функція у =Дх) визначена на множині дійсних чисел; -3 і 2 — нулі функції. Зміну знаків по- хідної функції подано в таблиці. (—;-і) -1 (-і;3) 3 (3; +°°) Дх)<0 Д-1) = 0 Лх)>0 Л3) = о Лх)<0 293
25.20. Знайти точку, в якій функція у - хіпх набуває найменшого значення. А Б В г д 1 е2 х е 1 е ег 25.21. Знайти точку максимуму функції у = . х А Б В г д £ е 1 е е2 25.22. х3 За яких значень а функція у = — - х2 + ах має критичні точки, але не має точок екстремумів? А Б В г д -1 -1 і 1 1 -4 і 4 4 25.23. За яких значень а точка 5 є точкою мінімуму функції у =Дх), якщо /\х) = (х - 5)(х - а)? А Б В Г д а>5 а = 5 а > 5 а<5 а < 5 25.24. За яких значень а точка 3 є точкою максимуму функції у = 2 + ? А Б в Г д а = 3 а > З а< 3 а< 3 а > 3 Завдання 25.25-25.35 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позна- ченого ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 25.25. Установити відповідність між функціями (1-4) та їхніми властивостями (А-Д). 1 У = 1°8і(* + 2) 2 2 у = 2|х| + 2 З у = 2Л+2 4 у = -3х2+7х-14 А зростаюча на всій області визначення Б спадна на всій області визначення В має максимальне значення Г має найменше значення Д періодична 25.26. Установити відповідність між похідними/(х) функцій (1-4) та проміжками спадання відповід- них їм функцій^) (А-Д). 1/(х) = (х+1)(х-5) 2/(х) = (х+1)(5-х) 3/(х) = (х+1)2(х-5) 4/(х) = (х+1)(х-5)2 А (-«>;-1] Б (-оо; 5] В (-^>;-1]о[5;+оо) Г [-5; 1] Д [-1; 5] 294
25.27. Установити відповідність між похідними /(х) функцій (1-4) та проміжками зростання відпові- дних їм функційДх) (А-Д). 1/(х) = (х + 3)(х - 4) 2/(х) = (х + 3)(4-х) З Д(х) = (х + 3)1 2 З(х - 4) 4/(х) = (х + 3)(х-4)2 А [4; +о°) Б [-3;+оо) В (-оо; -3]о[4; +оо) Г [-3;4] Д Н;3] 25.28. Установити відповідність між функціями (1-4) та проміжками спадання цих функцій (А-Д). 1 у = -3х5-4х 2 у = х4-2х2 З у = ех!-2х+3 4 у — ех — х А (-оо; 1] Б (-оо; 0] В (-оо;-1]м[0; 1] Г [0;+оо) Д (-оо; +оо) 25.29. Установити відповідність між функціями (1-А) та проміжками зростання цих функцій (А-Д). 1 у = Зх - х2 2 у = 71-х2 З у — х — Іпх 4 у = ех + х - 1 А (—оо; +оо) Б [-1; 0] В (^о;0]о[1;+оо) Г [1;+°о) Д (—; 1,5] 25.30. Установити відповідність між ескізами графіків функцій (1-А) та кількістю критичних точок цих функцій (А-Д). А Б в г Д Жодної одна Дві три чотири 25.31. Установити відповідність між функціями (1^4) та їх критичними точками (А-Д). 1 у = х5 - 5х 2 у = х2+- X З у = ех2+2х 4 у = ^1 — х2 А 1 Б -1 В 0 Г 0; 2 Д -1; і 295
25.32. Установити відповідність між похідними /(х) функцій (1—4) та точками максимуму функцій ЛО (А-Д). 1 /(х) = х(х + 2)(х-4) 2 /(х)=х2(х + 2)(х-4) 3 /(х) = х(х + 2)(4-х) 4 /(х) = х2(х +2)(4-х) А -2 Б 4 В -2; 4 Г -4 Д о 25.33. Установити відповідність між похідними/(х) функцій (1-4) та точками мінімуму функцій/х) (А-Д). 1 /(х) = (х + 3)(х - 1)(х - 5) 2/(х) = (х + 3)(х-1)2(х-5) 3 /(х) = (х + 3)(х- 1)(5-х) 4/(х) = (х + 3)(х-1)2(5-х) А 5 Б 1 В -3 Г -1 Д -3;5 25.34. Установити відповідність між функціями (1—4) та точками максимуму цих функцій (А-Д). х3 х2 1 у = -±- + І- 7 3 2 - X3 X2 2 у = 1 3 2 - х3 х2 3 у = 3 2 . X4 X2 4 у = 1 4 2 А 0 Б 1 В -1 Г -1; 0 Д -1; 1 25.35. Установити відповідність між функціями (1—4) та точками мінімуму цих функцій (А-Д). 1 2 1 у = 2х 4 2 у = -у + 2х2 « х5 4х3 3 у = 5 3 . х5 4х3 4 у = 1 5 3 А 0 Б 2 В -2; 2 Г -2; 0 Д -2 Розв’яжіть завдання 25.36-25.45. Відповідь запишіть десятковим дробом. 25.36. Знайти проміжки спадання функції у = ±х4-±х2+5. У відповідь записати додатну абсцису середини одного з проміжків спадання. Зх “І- х2 25.37. Знайти проміжки спадання функції у ----------. У відповідь записати додатну абсцису середи- х —1 ни одного з проміжків спадання. 296
25.38. Знайти найбільше значення функції у - -2х3 + 6х2 + 9 на відрізку [0; 3]. 25.39. Число 64 подати у вигляді добутку двох додатних множників так, щоб сума їхніх квадратів бу- ла найменшою. У відповідь записати найменшу суму квадратів знайдених множників. 25.40. Прямокутну ділянку землі, яка прилягає до стіни будинку, потрібно обгородити парканом завдовжки 160 метрів. Знайти довжину прямокутника в метрах, за якої площа ділянки буде найбільшою. 25.41. Визначити висоту в метрах відкритого басейну із квадратним дном, об’єм якого дорівнює 32 м3, такого, щоб на облицювання його стін і дна витрати на матеріал, були найменшими. 25.42. За якого найменшого цілого значення а функція у = х3 + Зх2 + ах - 1 не має критичних точок? 25.43. За якого від’ємного значення Ь один із екстремумів функції у = 2х3 - Зх2 + Ь дорівнює -1? 25.44. За якого найбільшого значення а функція у = хех є спадною на проміжку [а - 5; а + 3]? 25.45. Знайти, за яких значень параметра а сума кубів коренів рівняння 6х2 + 6(а - 1)х - 5а + 2а2 = 0 буде найбільшою. 297
Тема 26. Первісна. Інтеграл Функцію Р(х) називають первісною для функції Цх) на проміжку X, якщо для довільного хеХ справедлива рівність /'*(*) =У(х). Наприклад, оскільки (х3)' = Зх2 на проміжку (-оо; +«>), то Р(х) = х3 є первісною функціїДх) = Зх2 на К. Основна властивість первісної Якщо Р(х) — первісна для функціїДх) на проміжку X, то функція У(х) має безліч первісних, і всіх їх можна задати формулою Р(х) + С, де С — довільне число. Наприклад, первісною для функції Дх) - 4х3, є функція Р(х) = х4, оскільки (х4) = 4х3. Первісними для функціїУ(х) = 4х3 є також функції Р(х) = х4 + 6, Р(х) = х4 + 50,1, Р(х) — х4 — 1 і взагалі, Р(х) - х4 + С, де С — довільне число. Сукупність усіх первісних для функції Дх) на проміжку X називають невизначеним інтегралом функції на цьому проміжку і позначають | /(х)о5г = Р(х) + С. Наприклад, | соз хсіх = зіп х + С. Властивості невизначеного інтеграла 1. \р'(х)сіх = Р(х) + С. 2. ({/(х^х^Лх). З. / (/ (х) ± /2 (х)) (їх =| / (х)ейс ±| /2 (хріх. 4. | а/(х)<іх =4 /(х)сіх. Таблиця інтегралів 1. | сіх = х + С. , х"+І 2. \хпсіх =-----+ С. и + 1 4. Г-</х = 1п|х| + С. * X 6. | ехсіх = ех + С. 7. |зіп хсіх = - соз х + С. 8. |сО8Хб& = 8ІПХ + С . 9. [—\—сіх = і£х + С. * СОЗ X 5. [ахсіх = ——ьС. 10. [—з—сіх = -сї£х + С. : \па ’ 8Іп х При обчисленні інтегралів підінтегральну функцію зводять до однієї з табличних. Наприклад, знай- і ~~+1 -> г 1 ГІГ--Х3 3 - і— ти інтеграл І -4=А. Виконаємо перетворення: -~і=с1х = х 3сіх =—:-ь С = — х3 + С = 1,5 л/х2 +С. ’ УХ •’ л/х •’ --4-І 2 з Якщо підінтегральна функція Дх) не може бути безпосередньо перетворена до однієї з табличних, то можна використати метод заміни змінної чи інтегрування за частинами. Наприклад, знайти |соз(3х + б)<7х. Введемо позначення / = 3х + 6, звідки х = ±ї-2. Тоді сіх = сі і - 2^ = -і сіі. Одержимо: | соз(Зх + 6) сіх 4 соз і • Л = соз іЛ = 8Іп і + С = зіп (Зх + 6) + С. 298
Згідно методу інтегрування частинами, | ио'сіх =ио - ) ои'сіх, де и = и(х) і V = о(х) — диференці- йовані функції. Наприклад, знайти [хІпхаЬг. Уведемо позначення: и = 1пх, о' = х. Звідси и' = —, ' х г , , г , х2 _ г , , х2. гх2 1 х21пх 1 г , х21пх 1 х2 _ о = IV ах= \хах = —. Отже, х1пхох = —Іпх--------—ах=-----------\хах=----------------ЬС = •> •’ 2 і 2 > 2 х 2 2і 2 2 2 х21п х х2 _ =----------+ С. 2 4 На рис. 1 а) зображена криволінійна трапеція, обмежена графіком функціїу =#х) і прямими у - 0, х = а і х = Ь. Площу криволінійної трапеції обчислюють за формулою 8 - Р(Ь) - Р(а), де Р — будь-яка первісна функції у =Дх) на проміжку [а; />]. Різницю Р(Ь) - Р(а) називають визначеним інтегралом функції у =Дх) на проміжку [а; 6] і позна- ь чають \Нх)сІх = Р(Ь)-Р(а). Ь Ь ь При обчисленні визначеного інтеграла Р(Ь) - Р(а) позначають Рівність |/(х)с1х- /^(х) а а називають формулою Ньютона — Лейбніца. Слід враховувати, що якщо функції у =Дх) і мають первісні на проміжку [а\ 6], то спра- ведливі рівності: Ь с Ь 1. |/(х)<& = |/(х)о5г + |/(х)<&. а а с Ь Ь Ь 2. }(/(*)+ &(х))<& = |/(х)і&+|^(х)б&. а а а Ь Ь 3. ^к/(х)сіх = /(х)б&. а а Ь а 4. | /(х)А = -1 /(х)Л. а Ь 5 5 5 5 5 Наприклад, обчислити |(2х + 6)б/х. Маємо: |(2х + 6)е/х = ^2хсіх+|бй5с = (х2 +6х)| =52+6-5- і ііі 1 -(і2+ 61) = 48. Відповідь. 48. ь Формула площі криволінійної трапеції запишеться так: 5 = Г/(х)сіх, якщоу(х) 0 (рис. 1). Рис. 1 Наприклад, знайти площу фігури, обмеженої лініями: у = х2-4х- 1, у = 0, х = 0, х = 3. Фігура, обмежена заданими лініями, є криволінійною трапецією (рис. 2). Функція у = х2 - 4х - 1 на відрізку 299
[0; 3] набуває від’ємних значень, тому площа фігури дорівнює модулю відповідного визначеного інте- грала: з о -18-3-О| = 12. Як і у випадку невизначеного інтеграла, при обчисленні визначеного інтеграла використовують безпосереднє інтегрування, та методи заміни змінної й інтегрування частинами. е2 ! Наприклад, обчислити Г—1п2 хсіх. Оскільки функція 1п2х є неперервною на проміжку [е; е2] і Іпх і х е має неперервну похідну — на цьому відрізку, то, використовуючи заміну змінної і - Іпх, одержимо X нові межі інтегрування: якщо Хі=е, то і\ - Іпе - 1; якщо ж х2 - є2, то ґ2-1пе2 = 2. Таким чином, 2 е2 } 2 3 2 1п2хб& = р2Л= — е Х 1 3 ! 8_1=7=21 3 3 3 3’ Відповідь. 2—. З = 2---1-(21-2°} = 2----і- 0 1п22' ' 1п22 Наприклад, обчислити Г х • 2х сіх. Позначимо и = х, V' - 2х. Тоді и' = 1, V = . Отже, І х • 2х сіх = і 1п 2 о 111 о 1 х і 1 । л х = х-2т І' Л = 1-2-0——\2хсіх = 2.------------- Іо {1п2 1п2{ 1п2 1п2 Нехай у -]{х) і у - &(х) — неперервні на проміжку [а\ Ь] функції і для всіх хє [а; Ь] виконується нерівністьУ(х) >&(х). Тоді площу фігури, зображеної на рисунку 3, обчислюють за формулою: ь 5 = 1(/(х)_^(х))6&с- 300
Наприклад, знайти площу фігури, обмеженої функціями^*) = х2 - 2х + 4 і §(х) = х + 4. Побудуємо фігуру, площу якої слід знайти. Знайдемо точки перетину графіків заданих функцій: х2-2х + 4 = = х + 4; х2 - Зх = 0; Х| = 0, х2 = 3. Графіки заданих функцій перетинаються у точках з абсцисами х - 0 і з з х = 3. Оскільки £(х) >/(х), то площа фігури дорівнює: 5-|(^(х)-/(х))і/х = |(х + 4-х2 +2х-4)г/х = о о 3.9_27Ї43.0_0>| .2 3) <2 З) Відповідь. 4,5. Об’єм тіла, утвореного від обертання криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції ь у ~Лх), де хє [а; Ь], навколо осі х, обчислюють за формулою: V = /2(х)<& (рис. 4). Рис. 4 Наприклад, знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі абсцис фігури, обмеженої ліні- ями у = х2 + 2, х = 1, х = 2, у = 0. Побудуємо фігуру, об’єм якої слід знайти. 301
2 2 2 / 5 3 \ 2 V = л| /2 (х)сіх = л| (х2 + 2)2 сіх = л| (х4 +4х2 + 4)дЕг = л^-^-+4•-^-+4x^ ґ—+ 4-- + 8і - Ґ- + 4-- + 4І < 5 3 > <5 3 ) 293л 15 Приклад 1. Знайти первісну Р(х) функції/(х) = зіпх. Оскільки (-созх)' = зіпх на проміжку (-°°; +«>), то Р(х) = -созх є однією з первісних. Загальний вигляд первісної функції має вигляд Р(х) = -созх + С. В Приклад 2. Знайти первісну функції^) = Зх2, графік якої проходить через точку (2; 10). Оскільки (х3)' = Зх2, то загальний вигляд первісної є Р(х) = х3 + С. Знайдемо значення С. За умовою, Р(2) = 10. Тому 23 + С = 10; С = 2. Таким чином, первісна функції у(х) = Зх2, яка проходить через точку (2; 10), має вигляд Р(х) = х3 + 2. Приклад 3. Знайти невизначений інтеграл: а) |(4х3 -б)<Д; б) П а) |(4х3 - б)сіх = 4|х3сіх-6^сіх = 4-^- — 6х + С = х4 — бх + С. б) |^3созх + —</х = з|созхб/х +ю|— -Ззіпх + 101п|х| + С. Відповідь, а) х4 - 6х + С; б) Ззіпх + 101п|х| + С. Приклад 4. Знайти невизначений інтеграл | соз2 м г> 2Х 1 + СО8Х -г • Г гі + созх Врахуємо, що соз — = —. Тоді ^оз —ах = ]—-— Відповідь. ~(х + зіпх) + С. Приклад 5. Знайти невизначений інтеграл хзіпхб&. Проінтегруємо частинами, припустивши, що и-х, V' = зіпх. Тоді и'=1, г = -созх. Маємо: х зіп хсіх = х • (- соз х) -1 (- соз х]сіх = —х соз х + У соз хсіх = - х соз х + зіп х + С. Відповідь. -хсозх + зіпх + С. Приклад 6. Знайти невизначений інтеграл |>/х2 + 3х + 1(2х + 3)^х. Використаємо метод заміни змінної, позначивши / = х2 + 3х+1, звідки ґ' = 2х + 3. Тоді -------- . _ О З П З 2 - Відповідь, —[х2 + Зх +1)2. 302
Приклад 7. Знайти визначений інтеграл СО82 л/4 — 81ПХ \ л/4 л/4 х 1 . Г • 9 х , Г І-соз* , — дх = зпг — ах-----------------ах = і) 1 2 1