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Author: Lebossé C. Hémery C.
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C.LEBOSSE C.HÈMERY Arithmétique Algèbre et Géométrie A CLASSE ne QUATRIÈME FERNAND NATHAN
ARITHMÉTIQUE ALGÈBRE ET GÉOMÉTRIE
C. LEBOSSÉ C. HÉMERY Agrégé de Mathématiques Agrégé de Mathématiques Professeur au Lycée Claude Bernard Professeur au Collège Lavoisier ARITHMÉTIQUE ALGÈBRE ET GÉOMÉTRIE Classe de Quatrième des Lycées et Collèges PROGRAMMES DE I 958 FERNAND NATHAN, ÉDITEUR 18, rue Monsieur-le-Prince PARIS 6° Tous droits réservés
COLLECTION LEBOSSÉ ET HÊMERY Lycées et Collèges 6e Arithmétique et Travaux pratiques (1 Se Arithmétique et Géométrie (1 4e Arithmétique, Algèbre et Géométrie (1 3e Algèbre, Arithmétique et Géométrie (1 2e A et B Algèbre et Géométrie (1 2e A’C MM’ Algèbre (1 Géométrie plane (1 11Ve A et B Algèbre et Géométrie (1 11’e A’C MM’ Algèbre et Trigonométrie (1 Géométrie dans l’espace (1 1re Technique Compléments d’Algèbre et Géométrie descriptive (1 Mathématiques Géométrie (1 Mathématiques Algèbre (en préparation) (1 Enseignement technique (avec la collaboration de M. LOUBES) 4e Arithmétique et Algèbre (1 Géométrie (1 3e Arithmétique et Algèbre (1 Géométrie (1 2e et 1’:e Algèbre (1 le et 11re Géométrie (en préparation) Enseignement court (Cours complémentaires) 6e Arithmétique et Travaux pratiques (1 5e Arithmétique et Géométrie (1 4e Arithmétique, Algèbre et Géométrie (1 3° Algèbre et Géométrie (1 vol .) vol vol .) vol.) vol.) vol vol .) v—ol .) vol.) vol .) vol.) vol .) vol.) vol.) vol.) vol.) vol .) vol .) vol.) vol .) vol.) vol.)
PROGRAMME DU 31 JUILLET 1958 CLASSE DE QUATRIÈME Arithméthuo Pratique, sur des exemples, de la décomposition d'un nombre entier en un produit de nombres premiers; pratique de la recherche du plus grand diviseur commun et du plus petit multiple commun de deux ou plusieurs nombres. Apph- cations. Algèbre I. — Nombres relatifs (positifs, nuls, négatifs). Orientation d’un segment (vecteur); orientation d’une droite, axe; mesure algébrique d’un segment orienté sur un axe; repérage d’un point sur un axe (abscisse). II. — Opérations élémentaires sur les nombres relatifs : addition et sous— traction, multiplication et division. Extension aux nombres relatifs des ropriétés fondamentales établies pour les nombres arithmétiques (classe de cinqu ème), concernant les sommes, les diflé— rences, les produits, les puissances nièmes, les quotients, l’inverse d’un nombre non nul. Condition pour qu’un produit soit nul. Définition des exposants négatifs et de l’exposant nul. Comparaison des nombres relatifs, inégalités. Inégalités concernant la valeur absolue d'une somme ou d’une difiérence. Formule de Chasles pour trois points situés sur un axe. Segment défini par les abscisses des deux points qui le limitent: mesure algébrique de ce segment orienté, mesure de la longueur de ce segment, abscisse du milieu de ce segment. III. — Notions de variable et de correspondance entre variables. Expressions algébriques dépendant d'une ou plusieurs variables; calcul de la valeur numérique d’une expression algébrique pour des valeurs numériques données aux variables. Monômes à une ou plusieurs variables, multiplication; addition de monômes semblables. Polynômes; forme réduite. Polynômes à une variable: degré; polynômes ordonnés; addition; multiplication. Identités relatives aux produits : (a: + y)’, (a: — y)‘, (a: + y) (a: — y). IV. — Équations position du problème; signification du signe = dans ce problème. Équation du premier degré à une inconnue à coefficients numériques. Réso- lution de problèmes simples à l’aide d’une telle équation. Géométrie plane I. —-— Rappel des définitions et des résultats acquis dans la classe de cinquième. II. — Inégalités dans les triangles. Régions séparées par la médiatrice d'un segment. Comparaison des segments joägrnant un point aux différents points d’une' droite; distance d’un point à une oit .
III. — Droites parallèles; angles formés par deux parallèles et une sécante. Angles a côté parallèles. Somme des angles d’un triangle, d’un polygone convexe (angles intérieurs, angles extérieurs). IV. Quadrilatères particuliers; propriétés des angles du trapèze; propriétés des angles, des côtés, des diagonales du parallélogramme, du rectangle, du losange du carré; propriétés réciproques. Médiane relative à l’hypoténuse d’un triangle rectangle. V. — Positions d’un point par rapport à un cercle. Positions relatives d’une droite et d’un cercle. Tangente à un cercle. Comparaison des segments joignant un point aux diflérents points d’un cercle. Positions relatives de deux cercles. Cercles passant par deux points. Cercles tangents à deux droites. VI. — Comparaison d'un angle inscrit dans un cercle et de l’angle au centre interceptant le même arc. VII. — Droites concourantes d’un triangle : médianes, médiatrices, hauteurs, bissectrices. Cercle circonscrit à un triangle. Cercles tangents à trois droites.
ARITHMÉTIQUE PREMIÈRE LEÇON PUISSANCES l. Définition. — On appelle puissance d’un nombre le produit de plusieurs facteurs égaux à ce nombre. Ainsi: I? X l3 I3 XOI3 s'écrit 13‘ et se lit a I3 puissance 4». Le nombre entier 4 écrlt à droxte et au—dessus de I3 est un exposant. L'exposant 'une puissance indique le nombre des facteurs égaux de cette pulssance. a X a s'écrit a2_et se lit (t a puissançe 2 D ou a au carré. a X a X a s'écrit aa_et se ht << a puissance 3 D ou a au cube. a X a X a X a s'écnt a4 et se ht t< a puissance 4», etc. On convient que al = a. 2. Produit de puissances d’un même nombre. — Le produit de deux ou plusieurs puissances d’un même nombre est la puis- sance de ce nombre dont l’exposant est la somme des exposants des facteurs. Ainsi: 54X53=(5><5X5><5)><(5X5X5) Pour multiplier deux produits, on forme un produit conservant tous les facteurs, donc: \ 54><53=5><5><5><5><5><5><5=57 soit: 54x 53:54+3 De même: 54X53X5 =57x5=58=54+8+1 Plus généralement, m, n et p désignant trois nombres entiers: amXan=am+n amXanXap=am+n+P
8 ARITHMÉTIQUE 3. Puissance d’une puissance. — La puissance d’une puissance d’un nombre est la puissance de ce nombre dont l’exposant est. le produit des deux exposants. ' EXEMPLE: (75)4= 75 >< 75 >< 75 x 75 = 720 soit : (75)4 = 75x4 Plus généralement, p et q désignant deux nombres entiers: (ap)q = apq 4. Quotient exact de deux puissances d’un même nombre. — Le quotient exact de deux puissances d’un même nombre est la puis- sance de ce nombre dont l’exposant est la différence des exposants des deux termes. L'égalité: “2 >< ll4=116 montre que H4 est le quotient exact de Il6 116 par H2. Donc: fié = "4:11"—2 Plus généralement, si p et q sont deux nombres entiers tels que p > q : g—p = (ID-q a5 v r . Notons que — = l = 05"” = a0; on conVIent que a0 = l. a5 5. Puissance d’un produit. — Pour élever un produit de facteurs à une puissance, on peut élever chaque facteur du produit à cette puissance. EXEMPLE: (2> (2> <7)3=(2><5><7)><(2><5x7)><(2><5><7) On forme un seul produit contenant tous les facteurs: (2x5><7)3=2><5><7><2><5><7><2><5><7 On peut remplacer plusieurs facteurs par leur produit effectué: (2x5><7)3=(2><2><2)><(5><5><5)><(7><7><7) soit: (2X5 >< 7)3= 23 >< 53 X 73 De même: (22 >< 33 >< 5)4 = (22)4 >< (33)4 >< 54 = 28 >< 312 >< 54 Plus généralement : (abc)"' = ambmcm
PUISSANCES 9 6. Puissance d’un rapport. — Pour élever un rapport à une puis- sance on peut élever les deux termes de ce rapport à cette puis- sance. EXEMPLE: g symbolise le rapport (ou quotient exact) de 7 par 9 et : 23_Z Z 7_7x7x7 G)_9X9X 6—9x9x9 O 7 s _ 73 801|: . — 98 , , , g m = ï" Plus generalement . (b) bm 7. Applications. — 1° Multiplication de produits : soit: A=(43><52><7)><(42x73> A=(43><52><7)><(42x73> Nous obtenons: A=43><52X7><42><73>< Il =43><42><52><7><73> =43><42><52><7><73> unit: A=45X52X74XH‘ 2° Quotient exact de produits : . _ 25 X 74 >< I3 mut. A——————23X75XH On peut écrire ce rapport: A=__23><22><74><13 23x74>< 7 >< Il puis diviser ses deux termes par 23 >< 74. On obtient: A = âiï—lî EXERCHÆB - Elfectuer les puissances suivantes: 0 l. 2.7. o 2. 35. o 3. 54. o 4. 43. o ü. 103. o 6. 107. o 7. 123. o 8. 174.
l0 o 35. (2 X 3 x 5)”. o 37. (22 X 3 X 5)3. .48.(2 x3'x7)x(23x3x 5). .50.(2°x3'x5)x(23x7x11). ARITHMÉTIQUE -— Efiectuer les produits suivants: 9. 2‘ x 23. o 1o. 10‘ >< 10. o 11. 53 X 52. 12. 2‘l X 25 X 23. o 13. 7‘ x 73 X 7. o 14. 105 X 103 X 10. 15. a5 X (12. o 16. x7 X x“ o 17. b8 X b2. 18. a4 X a5 X a3. o 19. x X 2:7 X x2. o 20. y3 X y"l X y“. 21. (2493. o 22. (103)3. o 23. (52)2. 24. (a5)3. o 25. (x7)3. o 26. (y25)4. —— Calculer les quotients suivants: 213 1741 1013 57 27. 2—16. o 28. W. o 29. 102- o 30. a15 1,17 x5 1.3 31. 11—60 0 32. Fin O 33- Ei- O 34. a; — Effectuer les puissances suivantes, de deux façons différentes: o 36. (4 x 7 x 11)3. . 38.- (22 x 7 x 13)4. \ —— Calculer les puissances suivantes : 5 2 7 2 39. (12). . 4o. (13). 42. (êÿ. . 43. <%>3. 45. (0,5)4. o 46. (1,25)3. 14 2 41. — o ' (25) 11 3 44- — ' ' (20) o 47. (0,75)5. —, Effectuer les produits suivants : .49.(52><7><13)x(5><7><112). .51.(2><5><7)2><(3><4)2. — Simplifier les quotients exacts suivants : 52_2*5x7='><17 . . 53_ 35x47><13_ 23 x 73 x 172 3° >< 4°>< 11‘ 54“ 11=l x 13 x293 _ 55_ 1913 '>< 3114 x 5 11 x 13!I x29“. 1912 >< 3115 x 2' .‘ë.
DEUXIÈME LEÇON NOMBRES PREMIERS 8. Diviseurs d’un nombre entier. — La division de 105 par 21 se fait exactement car: 105 = 21 X 5. On dit alors que: 105 est un multiple de 21 ou que 105 est divisible par 21. 21 est un diviseur de 105 ou que 21 divise 105. Or 21 est égal à 7 X 3, ce qui permet d'écrire: 105=21><5=7><3><5=7><15. Par suite, 7 qui est un diviseur de 21, est aussi un diviseur de 105, mul- tiple de 21. Inversement 105. multiple de 21, est aussi multiple de 7 divia seur de 21. Donc : 9. Théorème. — Tout 'diviseur d’un nombre entier A divise aussi ses multiples. Tout multiple d’un nombre entier A est mul- tiple de chacun de ses diviseurs. Les diviseurs d'un nombre s'obtiennent en essayant de 1e diviser par les dlfiérents nombres entiers successris. Amsr 315 admet pour lelseurs: 1. 3. 5. 7. 9, 15, 315, 105, 63, 45, 35, 21. Comme 315 n'est pas divisible par 2, il ne peut être divisible par un mul— tiple de 2. 11 est _donc inutile d'essayer les divisions par 4, 6,_ 8, etc. Notons qu'à chaque dmseur a s assoc1e le diviseur complémentaire b tel que: ab = 315. 10. Nombres premiers. — Un nombre premier est un nombre entier quifln’est divisible que par lui-même et par l’unité. 13 est premier, car ses seuls diviseurs sont 1 et 13. 25 n'est pas premier. car il admet pour diviseurs 1, 5 et 25.
l 2 ARITHMÊTIQ UE Il. Table des nombres premiers. - Soit à établir la liste des nombres premiers inférieurs à 50. Écrrvons les nombres entiers de l à 50 et supprl— mous les nombres non premiers. l 2 3 l 5 fi 7 2’ fi n yz :3 y: y; )6 l7 M l9 zr Z 23 24 ,25 jä y ,28 29 3l 2% 26 24 25 :6 37 }6' ï! äääääi zzlfl4344’25’9647539q Nous avons sUppri‘mé tous les multiples de 2, 3, 5 et 7. Le plus petit nombre à barrer ensuite serait donc Il X Il = 12]. Nous pouvons en conclure que tous les nombres qui restent dans le tableau sont premlers. Sorent: l, 2, 3, 5, 7, Il, l3, I7, l9, 23, 29, 3l, 37, 4l, 43. 47. 12. Théorème. — Tout nombre entier non premier admet au moins un diviseur premier. Soit le. nombre non premier 3 55]. Son plus petit diviseur, autre _que I2 est 53. SI 53 admettait un_d1v13eur autre que l et 53, ce lelseur serait auSSI un diviseur de 3 55| , 1nfér1eur_à_'_53. Cela est 1mp0331ble; 53 est donc premier. l3. Recbnnaître si un nombre entier est premier. — Un_ n0mbr_e entier qui n'admet aucun leiseur premier eât un nômbre premier. Sont par exemple le nombre 97. ' l° 97 n'est pas divisible par 2, 3 ou 5 (règles de divisibilité). 2° 97 n'est pas divisible par 7 (quotient: l3, reste: 6). 3° 97 n'est pas divisible par ll (quotient: 8, reste: 9). 4° 97 n'est pas divisible par un nombre supérieur à Il. En effet, le quo- tient de 97 par ll e'St 8. Si 97 était divisible par l9 nous auriOns : 97 = l9 X q, avec q au plus égal à 8. Le nombre“ 97 serait divisible par le nombre q, ce qui est impossrble d'après les premiers essals. 97 est donc un nombre premier. RÈGLE. — Pour reconnaître si un nombre entier est premier, on le divise par les nombres premiers successifs. Si division ne se fait exactement le nombre est premier. _ On arrête tu diviaiôäô loräqüè le gratifiant 05mn cet égal ou inférieur au diviseur premier essayé.
NOMBRES PREMIERS 13 DÉCOMPOSITION D’UN NOMBRE ENTIER EN FACTEURS PREMIERS l4. Théorème. — Tout nombre entier non premier peut se décomposer en un produit de facteurs premiers. Considérons 1e nombre 315. Il est divisible par 3: 315=3><105 Or:105=3><35d’où: 315:3 X 3 X 35 Et, puisque 35:5 X 7, 3l5=3><3><5><7. Soit315=32X5X7. Le nombre 315 est décomposé en un produit de facteurs premiers. La décomposition d’un nombre en facteurs premiers ne peut se faire que d’une seule manière. Ainsi, nous aurions pu écrire: 315 = 15 X 21. Comme 15 = 3 X 5 et 21 = 3 X 7, nous obtenons: 3I5=3><5><3‘><7=32><5><7. Nous retrouvons la même décomposition: Cette .opération est appelée factorisation. Le nombre 32 X 5 X 7 est dlt factorlsé. 15. Disposition pratique. — La première méthode employée conduit à la disposition pratique suivante: 315 3 360 2 1 400 2 105 3 180 2 700 2 35 5 90 Z 350 2 7 7 45 3 175 5 1 15 3 35 5 5 5 7 7 1 1 315=32X5X7 360=Z3X32X5 1400=Z3X52X7. On écrit à gauche d'un trait vertical le nombre a décomposer et les difféu rents quotients Jusqu à 1 et à dr01te les différents leiseurs premiers successifs. REMARQUE. — Il est évident que leOnornbre,premier 1 ne peut jouer le rôle de facteur premier dans la factorisation d un nombre. 16. Produit de deux nombres factorisés. Soit à effectuer le produit: (2Il X 3‘ X 5’) X (2‘ X 32 X 7). Ce produit s'écrit: 23 X 3‘ X 5' X 2‘ X 3' X 7. Soit (n° 2): 27 X 3° X 5' X 7.
I 4 ARITHMÉTIQ UE Le produit de deux nombres factorisés contient tous les facteurs contenus dans les deux nombres, chacun d’eux étant affecté d’un exposant égal à la somme des exposants qu’il a dans chacun des deux nombres. Cette règle se généralise pour plusieurs facteurs et permet de calculer o 9 les puissances d un nombre: EXEMPLES: l° (23x3x52)><(2x34x52)><(32><7)=2‘><37><5‘><7. 2° (23x 34x 52)2=2°>< 38x 54. 3° (24x 3 >< 72)3=212 >< 33 >< 7“. l7. Quotient exact de deux nombres factorisés. — Considérons les nombres : 27><34><53 et 24x32. On peut, d'après la règle précédente, écrire: 27 >< 34x 53=(24>< 32) >< (23 x 32x 53). Soit: (27 >< 34 >< 53): (24 >< 32) = 23 >< 32 >< 53. Le quotient de deux nombres factorisés contient les facteurs du dividende, chacun d’eux étant affecté d’un exposant égal à la différence des exposants qu’il a dans le dividende et le diviseur. Nous voyons apparaître la condition: Pour qu’un nombre entier A soit divisible par un nombre entier B (ou soit multiple de B), il faut et il suffit qu’il contienne tous les facteurs premiers de B avec des exposants au2moins égaux à ceux de B. EXERCICES o 56. Établir la liste et le nombre des diviseurs de 54. Grouper par deux les divi- seurs dont le produit est 54 et montrer qu’il suffit de rechercher le plus petit nombre de chaque groupe. — Reprendre le même problème pour les nombres : o 57. 80. 0 58. 108. 0 59. 128. 0 60. 252. O 61. 34. 0 62. 250. 0 63. 288. Q 64. 315. C 65| 36a . 86. 1000 0 .7. Q 08.
NOMBRES PREMIERS 15 —— Reconnaître si les nombres entiers suivants sont premiers et donner s’il y heu leur plus petit diviseur premier: Os n o 69. 79. o 70. 107. o 71. 143. 0 72. 173. o 73. 83. 0 74. 149. o 75. 181. 0 76. 221. o 77. 89. o 78. 167. o 79. 187. o 80. 241. o 81. 97. O 82.179. o 83. 193. 0 84. 283. o 85. Montrer que tout nombre premier supérieur à 5 est obligatoirement ter- miné par 1, 3, 7 ou 9 —— Décomposer en facteurs premiers les nombres entiers suivants : . 86. 108. o 87. 144. o 88. 2520. o 89. 8000. a 9o. 84. . 91. 250. o 92. 864. . 93. 5740. .194. 176. o 95. 294. . 96. 7920. . 97. 1 053. o" 98. 36 x 42. o 99. 72 >< 77. o 100. 108 x 75. . 101. 84 x 25 x 121. o 102. 36 >< 27 >< 143. o 103. 65 >< 49 >< 24. . 104. 1082. o 105. 2523. o 106. 242 >< 333 >< 115. -— Calculer les nombres : 0107.22X3X7. 0108.2X32X5X7. .109.23><3x5><11. 0110.32X52x11. 0111.32X7X11x13. 0112.22X73X11X17. — Effectuer en laissant les résultats sous forme décomposée: . 113.(22x34x5)x(2x3x72). o 114. (29 x 34 >< 5) >< (32 x 7 >< 113) >< (5 >< 112). o 115. (24 x 32 >< 7 >< 113)2. o 116. (2 >< 34 >< 73 >< 112)3. . 117. (25 x 32 >< 52 x 72): (23 x 5 x 72). o 118. (27 x 32 >< 54 >< 11): (27 >< 3 x 52).
TROISIÈME LEÇON PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR (P. G. C. D.) 18. Définitions. — On appelle diviseur commun à deux ou plu- sieurs nombres entiers tout nombre qui divise chacun d’eux. Pour obtenir la liste des diviseurs communs à plusieurs nombres, on peut établir la liste des lelseurs de chacun d’eux et prendre les nombres communs à ces listes: EXEMPLE. -— Les diviseurs des nombres 30, 45 et 75 sont respectivement : I, Z, 3, 5, 6, I0, I5, 30 I, 3, 5, 9, I5, 45 I, 3, 5, I5, 25, 75. Leurs diviseurs communs sont I, 3, 5, I5. Le plus grand des. diviseurs communs à plusieurs nombres s’appelle leur plus grand commun diviseur, en abrégé P On voit ainsi que le P. C. C. D. de 30, 45 et 75 est I5. l9. Diviseurs communs à deux nombres factorisés. La condition de divisibilité (nO I7), montre que, pour qu’un nombre soit un diviseur d’un nombre A, il faut et il suffit qu'il ne contienne que des facteurs contenus dans A, chacun d’eux étant affecté d'un exposant au plus égal à son exposant dans A. Il en résulte que: Pour qu’un nombre entier soit un diviseur commun à deux nombres entiers A et B, il faut et il suffit qu’il ne contienne que des facteurs premiers communs à A et B, chacun d’eux étant affecté d’un exposant au plus égal à son plus petit exposant dans A et B. Ainsi les nombres: 720 = 24 >< 32 >< 5 et I 5I2 = 23 >< 33 >< 7 admettront pour diviseurs communs: 3, 23:8, 22X3=12, 23X3=24.
PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR l7 Le plus grand des diviseurs s'obtient donc en prenant tous les facteurs communs et en affectant chacun d’eux de l'exposant le plus grand posmble. D'où : 20. Règle. — Le P. G. C. D. de deux nombres entiers décom- posés en facteurs premiers s’obtient en faisant le produit des facteurs communs aux deux nombres, chacun d’eux étant affecté de son plus petit exposant. Ainsi le P. C. C. D. de 720=Z4><32><5 et I5IZ=Z3><33><7 23x 2 2 est égal à: D'autre part, nous voyons que les diviseurs communs aux nombres 720 ct l 512 ne contiennent que des facteurs premiers contenus dans leur P. C. C. D. avec des exposants au plus égaux à ceux de ce P. G. C. D. Il en résulte que : 21. Théorème. — Les diviseurs communs à deux nombres entiers sont les diviseurs de leur P. G. C. D. Ainsi la liste des diviseurs communs à 720 et I 512 est la liste des diviseurs (le leur P. C. C. D.: 72. Soit: l, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72. 22. Nombres premiers entre eux. — On appelle nombres pre- miers entre eux deux nombres entiers qui n’admettent comme diviseur commun que le nombre 1. Autrement dit, leur P. G. C. D. est égal à I. Les nombres 36 = 22 >< 32 et 25 = 52 sont premiers entre eux. Il en est ainsi chaque fois que deux nombres décomposés en facteurs premiers m‘ contiennent pas de facteur commun. 23. Théorème. — Lorsqu’on divise deux nombres entiers par leur P. G. C. D., les quotients obtenus sont premiers entre eux. Soient par exemple les nombres: 25 >< 32 X 73 et 23 >< 34 >< 5. Divisons—les par leur P. G. C. D. qui est: 23 X 32. Les quotients sont wnpcctivement: 22 >< 73 et 32 >< 5. Ces quotients n'ont pas de facteur premier commun. Ils sont donc premiers NIth eux.
l 8 ARITHMÊTIQ UE PLUS PETIT COMMUN MULTIPLE (P. P. C. M.) 24. Définitions. — On appelle multiple commun à deux ou plu- sieurs nombres entiers tout nombre multiple de chacun d’eux. Ainsi 60 est un multiple commun à 6, l0 et l5. Il y a toujours une infinité de multiples communs à plusieurs nombres (en particulier le produit de ces nombres et ses multiples). Le plus petit des multiples communs à plusieurs nombres s’appelle leur plus petit commun multiple. En abrégé P. P. C. M. Il est facile de vérifier que le P. P. C. M. de 6, 10 et 15 est égal à 30. 25. Multiples communs ‘a deux nombres factorisés. ll résulte immédiatement de la condition de divisibilité (n° l7) que: Pour qu’un nombre entier soit un multiple commun à deux nombres entiers A et B, il faut et il suffit qu’il contienne tous les facteurs premiers contenus dans A et dans B, chacun d’eux étant affecté d’un exposant au moins égal àson plus grand expo- sant dans A et B. Ainsi les nombres: 360 = 23 X 32 X 5 et 500 = 22 X 53 admettent pour multiples communs: 23X33>< 53:27000, 24X 32X 53X 7:126000. l_e plus petit des multiples communs s'obtient donc en prenant seulement les {acteurs contenus dans les deux nombres et en affectant chacun d eux de lexposant le plus petit posmble. D où: 26. Règle. — Le P. P. C. M. de deux nombres entiers décom- posés en facteurs premiers s’obtient en faisant le produit de tous les facteurs contenus dans les deux nombres, chacun d’eux étant afiecté de son plus grand exposant. Ainsi le P. P. C. M. des nombres 360 et 500 est égal à: 23 >< 32 >< 53:9000. Nous voyons d'autre part que les multiples communs aux deux nombres contiennent tous les facteurs premiers de leur P. P. C. M. avec des exposants au moms égaux à ceux de ce P. P. C. M. D’où: 27. Théorème. —— Les multiples communs à deux nombres entiers sont les multiples de leur P. P- C. M. Ainsi les multiples communs à 360 et à 500 sont les multiples de leur P. P. C. M.: 9 000. Leur liste commence donc par: 9000, l8 000, 27 000, 36 000, etc.
PLUS PETIT COMMUN MULTIPLE l9 28. P. G. C. D. et P. P. C. M. de plusieurs nombres. — Les conditions nécessaires e_t suffisantes des n°3 l9 et 25 “s'étendent à plusieurs nombres. Il en est par suite de même des règles du P. C. C. D. et du P. P. C. M 8.11181 que des théorèmes noB 2| et 27. EXEMPLE. —- Calculer le P. G. C. D. et le P. P. C. M. des nombres 300, 360 et 480. Établir la liste de leurs diviseurs communs et celle de leurs multiples communs. 300:22X3X52; o I138. 972 et 1 134. Décomposons ces nombres en facteurs premiers‘: 360=23>< 32X 5; Leur P. G. C. D. est égal à: 22 >< 3 >< 5 = 60. Leur P. P. C. M. est égal à: 25 >< 32 >< 52:7200. La liste de leurs diviseurs communs est la liste des diviseurs de 60: l, 2, 3, 4, 5, 6, lO. 12, l5, 20, 30, 60. La liste de leurs multiples communs est la liste des multiples cle 7 200: 7 200, 14400, 2| 600, 28 800, etc. 480:25x3x5. EXERCICES — Calculer le P. G. C. D. des nombres suivants:- 119. 168 et 360. o 120. 252 et 684. 121. 336 et 462. o 122. 1 840 et 1 260. 123. 18 150 et 23 850. o 124. 33 390 et 58 800. 125. 315, 819 et 924. o 126. 252, 693 et 945. 127. 2 520, 3 150, 4410. o 1.28. 7 560, 10 080 et 12 096. -- Établir la liste des diviseurs communs aux nombres: 129. 4 200 et 5 880° o 1.30. 1 440 et 1 764. 131. 3 780, 4 320 et 5 184. o 132. 10 584,. 11 520 et 13 104. - Calculer le P. P. C. M. et les trois multiples communs les plus simples de; 433. 360 et 504. o 1.34. 252 et 672. o 136. 720 et 900. 137. 108, 252 et 886. o 138. 120. 130 et 2'70.
20 ARITHMÉTIQUE o 139. 1° Calculer le P. G. C. D. et P. P. C. M. des nombres 576 et 1 080. 2° Comparer le produit des deux résultats au produit des deux nombres. Énoncer le résultat obtenu. o 140. 1° Calculer le P. G. C. ’D. et le P. P. C. M. des nombres 99 et 140. 2° Quel est le P. P. C. M. de deux nombres premiers entre eux? o 141. 1° Calculer le P. G. C. D. et le P. P. C. M. des nombres 144 et 180. 2° Que deviennent les résultats précédents lorsqu’on multiplie (ou lorsqu’on divise) les deux nombres par 6? Généraliser. o 142. Démontrer que, si un nombre en divise deux autres, il divise leur somme, leur difÏérence et le reste- de leur division. o 143. La division de deux nombres se fait exactement. Quel est leur P. G. C. D et quel est leur P. P. C. M.? Exemple : 6 375 et 375. o 144. Montrer que la liste des diviseurs communs à deux nombres est la même que celle du plus petit de ces nombres et du reste de leur division. Que peut-on dire des P. G. C. D.? APPLICATION. — Remplacer la recherche du P. G. C. D. de 792 et 240 par la recherche du P. G. C. D. de deux nombres plus simples. Répéter cette opération afin d’obtenir 'un P. G. C. D. évident. (Méthode des divisions successives.) ' o 145. Utiliser la méthode indiquée au numéro précédent pour la recherche du P. G. C. D. des nombres 2 021 et 2 679. o 146. Trouver deux nombres non divisibles l’un par l’autre sachant que leur P. G. C. D. est égal à 336 et leur somme égale à 2 688. o 147. Par quel nombre inférieur à 100 faut-il diviser 29 687 et 35 312 pour obtenir pour restes respectifs 47 et 32. Quels sont alors les quotients? o 148. En divisant 809 et 1 024 chacun par un certain nombre, on trouve le même quotient et pour restes respectifs 27 et 35. Reconstituer les deux divisions. o 149. On a planté des arbres également espacés sur le pourtour d’un terrain triangulaire dont les côtés mesurent 144 m, 180 m et 240 m. Sachant qu’il y a un arbre à chaque sommet et que la distance de deux arbres consécutifs est com— prise entre 4 mètres et 10 mètres, calculer le nombre d’arbres plantés. o 150. Un ouvrier a touché pour trois mois successifs : 462 F, 528 F et 594 F. Trouver son salaire journalier sachant que c’est un nombre entier de francs compris entre 20 F et 30 F. Trouver le nombre de jours de travail efiectués chaque mois. o 151. On a fait carreler une pièce rectangulaire de 4,20 m sur 2,24 m. Sachant que les carreaux employés ont un côté compris entre 10 cm et 25 cm, calculer la longueur de leur côté et leur nombre. o 152. On veut partager en coupons d’égale longueur quatre pièces d’étofie mesurant respectivement 17,50 m, 28 mètres, 31,50 m et 42 mètres. Trouver la plus grande longueur possible pour chaque coupon et le nombre total de ces coupons. o 153. Deux règles égales de 504 mm de longueur sont graduées l’une en 72 parties, l’autre en 126 parties. On fait coïncider leurs extrémités. Déterminer les traits de division qui coïncident. o 154. Trouver les multiples c'ommnns in 0, 8 et 10 compris entre 500 et 1 000.
PLUS PETIT COMMUN MULTIPLE 2] o 155. Trouver les trois nombres les plus simples divisibles par les 10 premiers nombres entiers. o 156. Quel est le plus petit nombre qui donne 7 pour reste quand on le divise par l2, par 15 ou par 16? o 157. Trouver un nombre qui donne 16 pour reste quand on le divise par 24 ou par 32, et 8 pour reste lorsqu’on le divise par 20. o 158. Trouver le plus petit nombre qui, divisé par 5, 6 ou 8, donne respective- ment pour restes 4, 5 et 7. o 159. Deux cyclistes roulent dans le même sens sur une piste. Le premier fait un tour en 1 minute 45 secondes et le second en 1 minute 36 secondes. Sachant qu’ils sont partis ensemble de la ligne de départ, on demande après combien de temps passeront-ils ensemble cette ligne de départ. Combien de tours chacun d’eux aura-t—il eflectués? o 160. Des pavés rectangulaires qui ont 12 cm de large et 21 cm de long ont servi à paver entièrement une place carrée. Calculer le côté de cette place sachant qu’il mesure un nombre entier de mètres compris entre _3O mètres et 60 mètres. o 161. Trois règles graduées de 960 mm de long sont placées côte à côte de façon que leurs extrémités coïncident. Les divisions ont pour longueurs respectives 10 mm, 12 mm et 16 mm. Déterminer les traits de divisions qui coïncident_sur les trois règles. o 162. Une personne a acheté un certain nombre entier de mètres d’étoffe à 6,50 francs le mètre. Elle paye exactement avec des billets de 10 francs. Sachant que la dépense totale n’excède pas 200 francs, trouver le nombre de mètres achetés. o 163. Un enfant compte ses timbres-poste par 12, par 16 et par 20. Il lui en reste 8 à chaque fozis. En les comptant par 13, il ne lui en reste plus. Combien posSède-t-il de timbres o 164. En Comptant les élèves d’une école par 9, 10 ou 12, il en reste respective- ment 8, 9 et 11. En les comptant par 11, il n’en reste pas. Trouver le nombre d’élèves de l’école. ' o 165. Des autobus partent d’un même point dans quatre directions différentes. Les départs se font respectivement dans chaque direction toutes les 5 minutes, 8 minutes, 12 minutes et 18 minutes. Un départ simultané a lieu à 7 heures le matin. Quelles sont les heures des autres départs simultanés de la journée?
QUATRIÈME ’ LEÇON APPLICATION AUX FRACTIONS 29. Simplification d’une fraction. Pour simplifier une fraction, il suffit de diviser ses deux termes par un de leurs diviseurs communs. I_2_6_=126:9=151_ 189 189:9 21' Il est évident queOI'on ne peut répéter indéfinirnent cette oBération. Si. en particulier, on divise les deux termes d'une fraction par leur . G. C. on obtient une fraction qui a ses termes premiers entre eux (no 23). Ainsi I26 et I89 ont pour P. C. C. D. : 63. D'où: I26 I26 : 63 2 189—189:63—3' Ainsi : On ne peut plus simplifier la fractiong : elle est dite irréductible. 3 On appelle fraction irréductible une fraction dont les termes sont premiers entre eux. Nous admettrons, sans démonstration: qu’il n'y a qu'une seule fraction irréductible égale à une fraction donnée, d où: 30. Théorème. — Pour obtenir la fraction irréductible égale à une fraction donnée, il suffit de diviser ses termes par leur P. G. C. D. On dit encore que la fraction ainsi obtenue est réduite à sa plus simple expressxon.
APPLICATION AUX FRACTIONS 23 31. Méthode pratique. — La recherche d'un P. G. C. D. est parfois assez longue. Lorsque les deux termes d'une fraction admettent un divi— seur commun évident, on commence par diviser les deux termes de la fraction par ce diviseur commun. . . I4490 EXEMPLE : Simplifier m. On obtient immédiatement en divisant les termes par I0, puis par 9 : I4490 __ I449 __ 191 22 770 — 2277 _ 253. La décomposition en facteurs premiers donne : ä = î: = % (fraction irréductible). 32. Fractions égales. —- Soit n le P. C. C. D. des deux termes d'une fraction gb- égale à" la fraction irréductible _7- . Puisque M = l la frac— Il bzn II’ tion g s'écrit : Lä—E b IIXn’ On - traduit ceci en disant que: Une fraction quelconque a ses termes équimultiples de ceux de la fraction irréductible égale. Pour obtenir toutes les fractions égales à 1—713 il suffit de donner à n toutes les valeurs possibles: _7_ 7 >< 2 7 >< 3 7 >< 4 II' Il >< 2’ Il >< 3’ Il X 4'" 33. Règle. — Pour obtenir une fraction quelconque égale à une fraction donnée, il faut : 10 Chercher la fraction irréductible égale. 2° Multiplier les deux termes de cette fraction irréductible par un même nombre entier. 34. Application aux fractions décimales. — Une fraction est dite décrmale lorsque son dénommateur est une puissance de I0, soit I0, IOO, I 000. I0 000, etc. I° Considérons la fraction décimale 324 ___ 2.2 >< 34': 34 I 000 23 X 53 2 >< 53 Le dénominateur de la fraction irréductible égale ne contient que les fac— teurs premiers 2 et 5 et ne peut évidemment en contenir d'autres. Simplifions :
24 ARITHMÉTIQUE 2° Considérons la fraction irréductible à; ï Multiplions ses termes 7> 7> <5= 385 23x53 IOOO' Nous pouvons en conclure: Pour qu’une fraction donnée soit égale “à une fraction déci- male, il faut et il sufiit que le dénominateur de la fraction irréductible égale ne contienne pas [de facteur premier autre que 2 et 5. " par 5. Nous obtenons: 35. Réduction au même dénominateur. — Soit à réduire au même dénomlnateur : n A t 2.2 96’ 120 e 270' l° Simplifions ces fractions, nous obtenons: 2 1 et u 48’ 40 90. 2° Le dénominateur commun cherché est un multiple commun de 48, 40 et 90. Calculons leur P. P. C. M 48=Z4><3 40=Z3><5 90=2X32X5. Le P. P. C. M. est donc: 24 >< 32 >< 5 = 720. 3° Pour obtenir 720, il nous faut multiplier 48 par l5, 40 par 18 et 90 par 8. Les fractions s’écriront : |5><15 7x18 et Il><8 48 >< 15’ 40>< 18 90 8' SOit' 7—59 1—29 et “8—8—3 ° 720 720 720 36. Règle. — Pour réduire plusieurs fractions au plus petit dénominateur commun possible, il faut : 1O Réduire ces fractions à leur plus simple expression ; 2° Chercher le P. P. C. M. des. nouveaux dénominateurs ; 3° Multiplier les termes de chaque fraction réduite par le quotient de ce P. P. C. M. par son dénominateur. L23. _ je _7_7_ APPLICATION. — Calculer . 270 '75 + 882. 4l 9 Il Simplifions : 9—0 — “3—; o
APPLICATION AUX FRACTIONS 25 . , o 4l _ 9 H_____ Sont en decomposant . 2 X 32 X 5 5 X 7 + 2———X 32 X 7. Prenons pour dénominateur commun, le P. P. C. M. : 2 >< 32 >< 5 >< 7. Nous obtenons : 4I><7 __ 9><2><32 + II><5 '2x32x5x7 2X32><5><7 2x32x5x7' Soit. Æ_Æ 5_5=287—IÔZ+55=I_89=Ê ° 630 630 630 630 630 7' EXERCICES —— Simplifier les fractions suivantes: 1 815 2 184 8 613 12 012 166“ 2 385’ 7 560' ' 167° 9 009’ 25 025' 3 339 17 226 6 720 15 120 168' 5 880’ 18 810' ' 169“ 9 405’ 30 576° 5 292 9 360 5 203 43 659 170. 8—10—0, 18144. . 171. 6 149’ 68 607' 507 >< 451 . 315 >< 693 861 >< 396’ 924 >< 504' 756 >< 336 >< 2205‘ 252 >< 924 X 12 096 168 >< 462. 252 >< 684 "2' 336 >< 360’ 840 x 1 260' ° "3' 441 >< 1 815 x 3339 174“ 588 >< 3 150 x 2 385' ' "5' —— Effectuer les opérations suivantes : 176__92+ië___75_ .52 ë_26 189 84 126° ' "7' 56 + 231 39' 77 80 56 91 9 55 . _———_——0 . — "'_' 178 35 66 105 ' 9 52 +84 105 Æ"fl_ÿ Æ_fl_ë 180. 160 105 77 . 181. . 192 _ 112 273 ’18 23 '45 2 1 l __..__ __ :_. ° 84 (72 115 ' 63) 7 168 50 65 3 85 21 35\ 182. —— —— —-— x—. 183. ____ ( + > 4 ° 153 + 60 225) X 2 50 100 45 60 3 185. -——-___— __. ._. ° (275 189+1_98)'11 \
26 ARITHMÉTIQUE 5 . o 186. Trouver une fraction égale à l—Ê et dont la somme des termes soit égale à 325. 44 o 187. Trouver une fraction égale à ñî et dont la diflérence des termes soit égale à 357. _4_0 o 188. La somme de deux fractions dont l’une est les g de l’autre est égale à 21. Calculer les deux fractions. 192 o 189. Trouver une fraction égale à äô dont le P. G. C. D. des termes soit égal à 13. 13 o 190. Trouver une fraction égale à 133% et dont le P. P. C. M. des termes soit 2 100. o 191. Trouver deux fractions sachant que leur quotient est égal à ë et que 35 leur somme est égale à o 192. Trouver deux fractions sachant que leur quotient est égal à l—SZ et que leur 3 différence est égale à 12 o 193. Trouver les tractions égales à ïë—g et: 1o Dont les termes soient inférieurs à ceux de la fraction proposée; 2° Dont le numérateur soit inférieur à 400 et le dénominateur supérieur à 500; 3° Dont la difiérence des termes soit égale à 132. o 194. Trouver deux fractions ayant pour numérateur 1, dont les dénominateurs sont deux nombres entiers consécutifs et comprenant entre elles la fraction 5;. o 195. Deux règles graduées placées côte à côte de façon que leurs origines coïn- cident mesurent respectivement 1,40 m et 1,68 m. La première est partagée en 48 parties égales et la seconde en 32 parties égales. Déterminer par leurs numéros les traits des deux graduations qui coïncident. o 196. Deux pièces d’étoffe mesurent respectivement 23—5 de mètre et 11—725 de mètre. On veut les découper en coupons d’égale longueur. Quelle est la plus grande longueur possible pour chacun de ces coupons et combien de coupons chacune de ces pièces fournira-t-elle? o 197. Trouver la plus petite fraction dont les quotients par Î—Ë et par Ë—g soient des nombres entiers. Comparer les termes de la fraction irréductible trouvée au P. P. C. M. des numérateurs et au P. G. C. D. des dénominateurs des deux frac— tions prOposées.
APPLICATION AUX FRACTIONS 27 o 198. Soient les fractions 3—2 et Trouver la plus grande fraction qui soit contenue un nombre entier de fois dans chacune de ces deux fractions. Comparer les termes de la fraction trouvée au P. G. C. D. des numérateurs et au P P. C. M. des dénominateurs des deux fractions proposées. o 199. Réduire la fraction äîë à sa plus simple expression. 4 Trouver ensuite toutes les fractions égales à la fraction donnée, et à termes plus petits. — Quel est le nombre de ces fractions? Déterminer une fraction égale à äôâ et dont “le numérateur et le dénomina- teur ont pour somme 8 303. (Bourses.) o 200. Calculer l’excès de l’unité sur la fraction On ajoute 5 à chacun des deux termes de cette fraction (on remarquera que la diflérence des deux termes ne change pas) :calculer l’excès de l’unité sur la fraction ainsi obtenue. Dire d’après cela si la fraction fi augmente ou diminue lorsqu’on ajoute un même nombre à ses deux termes. En employant un procédé analogue, dire si la fraction 1; augmente ou diminue lorsqu’on ajoute un même nombre à ses deux termes. (Bourses.) o 201. Un marchand revend à raison de 9 francs le mètre une pièce d’étoffe qu’il a achetée à un prix inconnu. Il vend une première fois les ä de la pièce, une deuxième fois les Ê du reste et une troisième fois la moitié du nouveau reste. Ces trois ventes ont déjà produit une somme égale au prix d’achat total de la pièce, augmenté de 9 francs. Dans une quatrième vente, le marchand vend le reste de la pièce, et son bénéfice total ont de 144 francs. Calculer la longueur de la pièce et le prix d’achat du mètre. (Bourses.) o 202. Une pièce de ruban de 84 mètres a été vendue à trois acheteurs. Le pre- mler a eu les Ë de la pièce; le second a eu une part égale aux g de la part vendue nul premier; le troisième a eu le reste. Calculer la longueur du ruban vendu à chaque m'. Icteur. Le premier a payé 45 francs par mètre, les deux autres ont payé 70 francs par mètre. Calculer le prix d’achat de la pièce, sachant que le bénéfice du marchand nul. lo du prix d’achat. (Bourses)
Q ALGEBRE CINQUIÈME LEÇON NOMBRES ALGÉBRIQUES ou RELATIFS 37. Grandeurs orientées. — Certaines grandeurs peuvent être mesurées dans deux sens différents. Ô FIG. 1 . ler EXEMPLE. -— Les opérations faites par un commer— çant sont des recettes ou des dépenses. L'avoir de ce com— merçant n'est pas le même selon qu'il encaisse l 000 francs ou qu'il dépense I 000 francs. Il est commode de remplacer le mot recette par un signe (+ par exemple) et le mot dépense par un autre signe (— par exemple). Le nombre (+ I 000) désigne ainsi une recette de l 000 F et le nombre (-— I 000) une dépense de I 000 francs. 2° EXEMPLE. — Le repérage des températures s'effectue, à l'aide du thermomètre, à partir de 0, température de la glace fondante. Une température de 15° n'a de signification précise que si le nombre 15° est précédé des mots << au— essus de 0 >> ou « au—dessous de 0 ». Il est commode de remplacer ces mots par les signes + et —. On dit + 15° ou — I5° Ces exemples justifient les définitions suivantes : 38. Définitions. — On appelle nombre positif un nombre arithmétique précédé du signe +. On appelle nombre négatif un nombre arithmétique précédé du signe —. L'ensemble des nombres positifs et négatifs constitue les nombres algé- briques ou relatifs. Exemples: (+ l2), (— l5).
NOMBRES ALGÊBRIQUES OU RELATIFS 29 On appelle valeur absolue d’un nombre algébrique le nombre arithmétique obtenu en supprimant son signe. Le nombre (+ 12) a pour valeur absolue l2. Ire .RENEARQUE. — La valeur absolue et le signe d'un nombre algébrique sont liés lun à l'autre et ne peuvent être dlSJOlnts; c’est pourqu01 on place sOuvent les nombres algébriques entre parenthèses. 2° REMARQUE. — Un nombre algébrique peut. être représenté par une lettre. son Signe est alors incorporé à la lettre. Ainsi la lettre x peut aussr bien déSIgner un nombre négatif qu'un nombre posmf. Sa valeur absolue est représentée par le symbole suivant: IxI. Si x désigne le nombre (—12), on a: le = lZ. 3f’_REMARQUE.. — Les signes + et — qui indiquent qu'un nombre est positif ou négatif ne sont pas des Signes d’opérations; nous aurions pu en utiliser d autres que ceux-là. 39. Nombres algébriques égaux ou opposés. 1° Deux nombres algébriques sont égaux lorsqu’ils ont même valeur absolue et même signe. 2° Deux nombres algébriques sont opposés (ou symétriques) lorsqu’ils ont même valeur absolue et des signes difiérents. Les nombres (-I- 0,75) et (+ sont égaux. On écrit :(+ 0,75) = (+ I’nr contre les nombres (— 9) et (+ 9) sont opposés. 40. Vecteur. Deux points A et B définissent un segment que l’on peut parcourir dans .lnux sens différents. SI on ch01s1t sur le segment In mans de parcours de vers B, on obtient un segment B minuté ou vecteur d’ongmefx et d’extrémité B (fig. 2) ultra l'on symbolise par AB (lire : «vecteur A B»). A/ "Il" 2 FIG. 2. Un "vecteur—îst un segment de droite orienté. La symbole AB désigne le vecteur d’origine A et d’extrémité B. |.u droite AB est le support du vecteur AB et définit sa direction. Le mm (le A à B est le sens de ce vecteur et la longueur AB, le module du w‘c'lmlr. -—-> ——> Notons qu'à un segment AB on peut associer deux vecteurs AB et BA, nlv ncns opposés, qu'il ne faut pas confondre.
30 ALGËBRE 4l. Axe. — Si on adopte, sur la droite x’x (fig. 3) le sens de parcours de x’ vers x, on obtlent laxe x'x: Un axe est une droite orientée, c’est-à-dire une droite sur laquelle on a choisi un sens de parcours appelé sens de l’axe. _. A une droite x'x don— .x’ I} _ .2: née correspondent deux l; > —> _ axes x’x et xx’ de sens FIG. 3. opposés. On appelle vecteur uni— taire d'un axe! tout vecteur i porté par cet axe ayant pour module l'unité de longueur utilisée, et de même sens que cet axe. Notons qu un axe est déterminé lorsque lon connaît un de ses vecteurs unitaires. 42. Mesure algébrique d’un vecteur sur un axe. On appelle mesure algébrique d’un vecteur porté par un axe, le nombre algébrique dont la valeur absolue est le module du vec- teur et dont le signe est + ou — suivant que le vecteur et l’axe sont de même sens ou de sens opposés. Ainsi, sur l'axe x'x, gradué en unités de longueur (fig. 4) on voit que la mesure algébrique du vec_tgur est (+ 3), celle du vecteur Cf) est (— 5) : on écrit: AB = (+ 3); CD = (— 5). x'A BD .Lc a A 1 Ï ñ v r rl Ï l‘ v î l l l I FIG. 4. _On peut vérifier que : AC = (+ 10); BC = (+ 7); DA = (-— 5); DB = (— 2), etc. La mesure algébrique de tout vecteur unitaire d'un axe est (+ l). Notons qu’il faut éviter de confondre les trois symboles : è>B : segment ËB ou longueur AB. AB : vecteur AB : élément géométrique. AB : mesure algébrique du vecteur AB. 43. Vecteurs égaux ou opposés portés par un même axe. Deux vecteurs de même module, portés par un même axe, peuvent être de même sens ou de sens opposés. Ils sont égaux dans le premier cas, opposés
NOMBRES ALGÉBRIQUES OU RELATIFS 3| (legs le fîcond. Ainsi (fig—î) les lecteurs et sont égauxÇOn écrit : AB = CD. Par contre : AB et EF sont opposés. Deux vecteurs égaux d’un même axe ont des mesures algé- briques égales, tandis que deux vecteurs opposés ont des mesures algébriques opposées. Ainsi'(fig. 5) X15, = (+ 3); E25: (+ 3), donc ‘Ë: CT). A..AB Ç,.EF,..E 1 _' l l u r I‘ .JC’ &v FIG. 5. Au contraire : ËIË = (-— 3). _D_ogc Âîçt Êîsont des nombres opposés. _Inversî:;nent (fig. 4) on>az A2: DC = (+ 5). On en conclut que: > AD = DC, donc que : AD et sont opposés. _> _ Noton_s_ que les vecteurs AB et BA sont opposés et par suite si AB = (+ 3), ona:BA=(—3). ' 44: Repérage d’un point .sur un axe. — Considérons un axe x’x et chomssons sur cet axe un pomt fixe O, appelé origine (fig. 6) : On appelle abscisse du point M s_u>r un axe d’origine O, la mesure algébrique x = 0M du vecteur 0M. 1°. A tout point de l'axe correspond le nombre algébrique égal à son abscise. AlnSl : Q_A_= (+ 3) : l'abscisse du point A est a = (+ 3). 0B = (—- Z) : l'abscisse du point B est b = (— 2). :6 -4 —3 -2 -1 +11 +12 +3 +4 +5 +6 +7 w" 6(—s)' ' è(—2)' ô ' ' Â(+3)' Mi ' î FIG.6. 2° Inversement, tout nombre algébrique, on peut associer un point de l'axe et un seul appelé image ou point représentatif de ce nombre : amsn au nombre négatif (— 5) correspond un point C et un seul, tel que ÎË = (— 5). ( ln l'obtient en construisant le vecteur 0C de module 5, dans le sens opposé A celui de l'axe. Il en résulte que : Tout point M__ d’un axe d’origine O est déterminé par son abscisse x = 0M.
32 ALGËBRE Il y a correspondance entre les différents nombres algébriques et les points un axe donné. Sl on gradue cet axe on obtient une échelle des nombres algébriques. EXERCICES o 203. Peut-on mesurer à l’aide des nombres algébriques les grandeurs suivantes : fortune d’une personne, gains d’un joueur, vitesse d’un mobile sur un axe, date d’un événement (après ou avant J.-C.)? o 204. Placer sur un axe xy les points suivants donnés par leurs abscisses, expri- mées en centimètres: A (+ 3); B g— 22; C (— 5); DE 4). En déduire les valeurs de AB, AC, AD, BC, BD, CD. o 205. Sur un axe æ’x, d’origine O on construit les points A Si 3), B (+ 11) et M (+ 7). Calculer les mesures algébriques AB, AM, MB et 0M. Que représente le point M pour le segment AB et que peut dire des vecteurs MA et MB. o 206. On construit sur un axe x’Oæ les points A (+ 5), B (+ 9), C (— 1) et D (— 5). Comparer les vecteurs AB et DG ainsi que les vecteurs AD et BC. Que représente le point M (+ 2) pour chacun des segments AC et BD? o 207. On place sur un axe æy deux points A et B d’abscisses (+ 1) et (— 3). Quelles sont les abscisses des points qui partagent le segment AB en 8 parties égales? o 208. Soient A et B deux points d’abscisses — 2 et — 5. QLelle est Æbscisse du milieu M de AB‘? Quelle est l’abscisse du point N tel que BN= 2 AN? o 209. Soit un point A d’abscisse + 5; quelle est l’abscisse du point A’ symé— trique de A par rapport à l’origine O des abscisses?_Soit de même B d’abscisse — 1 et B’ son symétrique par rapport à O. Évaluer AB et A’B'. o 210. Dans l’échelle d’un thermomètre Farenheit la division 32 correspond au O centigrade et la division 212 à 100° centigrades. 1° A combien de degrés centigrades correspond un degré Farenheit? 2° Trouver les températures centigrades correspondant à + 50 degrés Farenheit et à + 5 degrés Farenheit? o 211. 1° A combien de degrés Farenheit correspond un degré centigrade? 2° Trouver la température Farenheit correspondant à + 15° centigrades et à —— 15° centigrades.
SIXIÈME LEÇON ADDITION DE NOMBRES ALGÉBRIQUES 45. Somme de deux nombres algébriques. — Convenons d'appeler gains positifs les sommes gagnées par un joueur et gains négatifs celles qu'il perd. S’il joue successivement deux parties, leur ensemble se solde par un gain ou une perte que nous appellerons gain total ou somme des deux autres : l° S'il gagne successivement 8 F et 7 F, il gagne en définitive l5 F; nous écrirons : (+ 8) + (+ 7) = (+ 15). 2° S’il perd successivement 8 F et‘7 F, il perd en définitive l5 F; nous c’w-rirons : (— 8) + (-- 7) = (— l5)- 3" S’il gagne 12 F puis perd 7 F, il gagne en définitive 5 F; nous écrirons : (+12)+(— 7) = (+ 5)- 4” S'il perd 12 F puis gagne 7 F, iljperd en définitive 5 F; nous écrirons : (—12)+(+ 7) = (— 5)- Ces exemples justifient les définitions suivantes: 46. Définitions. l” La somme de deux nombres algébriques de même signe ut un nombre algébrique dont la valeur absolue est la somme du leurs valeurs absolues et dont leqsigne est leur signe commun. 2U La somme de deux nombres algébriques de signes contraires mut un nombre algébrique dont la valeur absolue est la différence «la leurs valeurs absolues et dont le signe est celui des deux nombres qui a la plus grande valeur absolue.
34 ALGËBRE Le signe de la somme est le signe +. On en déduit immédiatement que : 1° La somme de deux nombres est indépendante de leur ordre : Ainsi: ' (—23)+(+ l9)=(+ l9)+(—23)=(—4) Ia+b=b+a 2° La somme de Jeux nombres opposés est le nombre 0. La somme + 7) + (— 7) a pour valeur absolue 7 — 7 = 0; le signe peut être indi éremment + ou —; on écrit donc: (+ 7) + ('— 7) = 0. 3° Si l'un des nombres est 0, leur somme est égale à l'autre. Ainsi: ‘ (— l3)+0=(—l3) a + = a. 47. Somme (le plusieurs nombres algébriques. La somme de plusieurs nombres algébriques rangés dans un certain ordre est le nombre algébrique obtenu en ajoutant le pre- mier nombre au second, le nombre obtenu au troisième, et ainsi de suite. La somme (+ l3) + (— l5) + (— 7) + (+ 3) + (- l) se calcule en disant: +13)+E-—l5)= —2 — 2g+ — 7): —-9 — 9 + + 3 = —6 ‘ ä — 6)+(— I =(——7). Chacun des nombres est un terme de la somme. Les ropriétés des sommes de nombres algébriques sont les mêmes que celles es sommes anthméthues: nous nous contenterons de les vérlfier. 48. lre Propriété. — La valeur d’une somme est indépendante de l’ordre de ses termes. L'avoîr d'un commerçant ne varie pas, quel que soit l'ordre dans lequel s'opèrent ses recettes ou ses dépenses: (—1000)+(+ 800) + (+ 700) + (— 300) = (+ 800) + (+ 700) + (— 300) + (— l 000) = (+ 200) |a+b+c+d=c+d+b+aL
ADDITION DES NOMBRES ALGÊBRIQUES 35 49. 2e Propriété. — On ne change pas la valeur d’une somme de plusieurs termes en remplaçant deux ou plusieurs de ces termes par leur somme efiectuée. Ainsi le bilan annuel d'un cpmmerçant peut se calculer en dressant d'abord le bilan de chaque mons, puis en faisant leur somme. Autres exemples : (— 4.5)+(+ IO)+(— 3)+(+ 2,7)=(— 4,5)+(+ 7)+(+ 2,7) |a+b+c+d+e=a+(b+c+d)+e|. En particulier: On peut dans une somme supprimer un groupe de termes dont la somme est nulle. (—14)+(—5)+(+ 7) + (+ 5): (— l4) + (+ 7). Car les nombres (— 5) et (+ 5) ont une somme nulle. Pour calculer la somme de plusieurs nombres on peut calculer la somme des tîrmes positifs. puis la somme des termes négatifs, et additionner les deux nombres o tenus. (-1000)+(+ 800) + (+ 700) + (--300)= (+ l 500) + (- 1&300)=(+ 200). 50. Corollaire. - Il en résulte que: La valeur absolue d'une somme de plusieurs termes est inférieure au égale à la somme des valeurs absolues de ses termes. L'égalité se produit quand tous les termes ont même signe. 51. 3° Propriété. — Pour ajouter une somme, on peut ajouter successivement chacun de ses termes. a+(b+c+d)=a+b+c+d Car: a+b+c+d=a+(b+c+d)(Zepropriété). Ainsi: (l-47)+[(—")+(+7)+(—9)l=(+47)+(—'")+(+7)+(—9)- 52. .Convention. -_- Nous conviendrons, .dans une somme de nombres nI ébriques, de supprimer les signes d addition; les termes s'écrlront amsx l n suite l'un de l'autre, accompagnés de leurs Signes propres. Exemple: La somme (- 5) + (— 4) + (+ 3) n'écrit ainsi : — 5 - 4 + 3. SI valeur est: —9+3-—6.
36 ALGÈBRE EXERCICES — Effectuer les additions suivantes : o 212. (+ 3) + (— 5) + (+ 7). 213. (+ 13) + (+ 17) + (+ 15). o 214. (——— 17) + (+ 14) + (— 41). o 215. (+ 3)+ (—— 3) + (+ 5) + (— 5). 216. (— 15) + (—— 30) + (—— 40). o 217. (—— 100) + (+ 75) + (+ 25). — Efiectuer les additions suivantes : <— à) + ç— â) + (+ 2). \ . 220. (— 0,75) + (+ 4) + <—— 22 (-â)+(+â)+<—ä- .(+ â) +(—ä-’\ +(+ 223. (— 4,51) + <—— il) + 7‘). p . 222. (— 12) + (—— 11,57) + (+ 9,87). 5 _ïô — Effectuer les additions suivantes: 3 7 5 0224.—13+15—-7—9+1. 0225.+4_'3+12+1 1 1 4 5 7 7 7 0228.+7—9—11+0,75. 0229.—4—ë'1'ë' — Effectuer les opérations suivantes : .o 230. (+ 7—8 + 4) + (—9—13—1) + (+ 4——5—7). o 231. [(— 3) + (—— 7) + (— 1)1+[(— 5) + (—— 9) + (+ 4)]. 13 3 5 4 . 232. (œî—ñ + 28) + <7—3). 0 233- [(+ 5 — 0,7) + (+ 4 — 0,3)1 + [(—- 13 - 4,7) + (— 3)]. o 234. Placer sur un axe les points suivants dont les abscisses sont données en centimètres A (— 3); B (— 1); C (+ 1); D (+ 2) et E (+ 5). Vérifier les égalités : ÂË =ÎB + ËË ÂË =Kñ + ñî: KË=ÎB+B—C+Œ Æ=ÂT3+BË+EË KË=ÎB+ËÎI+EÎD+BÎ1 KË=K5+Ë3+ËE+EË
SEPTIÈME LEÇON SOUSTRACTION DES NOMBRES ALGÉBRIQUES 53. Définition. — On appelle différence de deux nombres algé- briques, le nombre qu’il faut ajouter au second pour obtenir le premier. Comme en arithmétique, on peut écrire indifféremment: la—b=x| ou la=b+xl Ainsi: (+I7)—(+l.4)=(+3) car (+14)+(+3)=(+Î7) (—' lÔ)——(—I8)=(+2) car (—18)+(+2)=(—16) (— 7)—(— 4)=(—3) car (—' 4)+(—3)=(— 7). 54. Règle. — Pour retrancher un nombre algébrique, on ajoute non opposé. En effet, soit x la valeur inconnue de la différence (—- 7) -- (—- 4); l'égalité (— 7) — ('— 4) = x mlraîne la suivante : x + (- 4) = (—- 7). Ajoutons (+ 4) aux deux nombres égaux x + (— 4) et — 7; nous obte— "uns encore deux nombres égaux: x+(—4)+(+4)=(—-7)+(+4) nu (no x = (—' + Ainsi: (— 7) —— (— 4) = (——- 7) + (+ 4). Au lieu de retrancher (—- 4), nous pouvons ajouter (+ 4). La soustraction d'un nombre algébrique peut être remplacée par l’addition .Iu nombre opposé.
38 ALGËBRE EXEMPLES: (—- 10) — (+ Il) = (— IO) + (— Il) = (— 21) (+4)—(—9)= (+4) +(+ 9)= (-I- l3). La soustraction se ramenant à une addition, il en résulte que: La valeur absolue d'une diflérence est égale à la somme des valeurs absolues de ses termes ou à leur diflérence. _55. Conventions. — l° La règle de la soustraction conduit à la convention suivante : Le symbole — a désigne l’opposé du nombre algébrique a. Ainsi, soit : a = + 2, nous écrirons —- (+ 2) = -- 2 soit: a= -—7, 12113 écirgns—(—7)= +7. Les mesures algébriques AB etJâA (fig. 5) sont deux nombres opposés. On peut donc écrire : BA = — AB. 2° La différence (-l- l5) -— (+ 7) est égale à la somme (+ l5) + (—- 7) que nous écrirons (n0 52) : + l5 — 7 = + 8. Le symbole -|- l5 - 7 a donc deux significations: addition des nombres + l5 et — 7 ou soustraction des nombres positifs + l5 et + 7. Ce symbole conduit à la soustraction arithmé— tique l5 -— 7 = 8, compte tenu de la convention suivante que nous adopterons: Tout nombre positif peut être remplacé par sa valeur absolaz. On écrit indifféremment + Il ou H, + â ou 56. Sommes algébriques. -— On appelle somme algébrique une suite de nombres algébriques séparés par les signes + ou —. Chacun de ces nombres est un terme de la somme. EXEMPLE: La somme algébrique (—3)+(—5)—<—g):(+;)+<+7> se calcule en disant: (—3) + — 8)—E—6)=——2 E—2)— +4)=-—6 —6)+(+7)=+l. Cette somme peut encore s'écrire (règle de la soustraction): (—3) +(—5) +(+ 6) +(—4) +(+ 7) ou (n°52): -3—5+6—4+7 (dans cette suite chaque terme 3, 5, 6, etc., peut être assimilé à un nombre positif). La règle de la suppression des parenthèses dans une somme algébrique en résulte + devant + se remplace par + + (+ 7) a donné + 7 — devant — se remplace par + - —- 6) a donné + 6 + devant -- se remplace par - + -5; a donné — 5 — devant + se remplace par -— —(+ 4 a donné —4.
SOUSTRACTION DES NOMBRES ALGÉBRIQUES 39 57. Propriétés des sommes algébriques. Toute somme algébrique peut donc s'écrire sous forme d'un ensemble de nombres arithmétiques séparés par les Signes +. ou -—, c'est-àndire sous forme d une somme généralisée de nombres arithmétiques, avec cette seule diffé- rence que le premier terme peut être précédé du Signe —. Il est donc naturel d'admettre que les propriétés de ces sommes s'appliquent ici: 1° La valeur d’une somme algébrique peut s’obtenir en calcu- lant la somme des termes précédés du signe +, puis la somme des termes précédés du signe —, et en ajoutant les nombres algé- briques obtenus. —5+4+8—IO+ l = I3—I5=(+ l3)—(+ l5)=—2.I 2° La valeur d’une somme algébrique est indépendante de l’ordre de ses termes. 0,5—4+9—7= —4+9—7+0,5. Remarquer que le ler terme 0,5 n'étant précédé d’aucun signe on suppose qu’il est précédé d'un signe +. 30 Pour ajouter une somme algébrique on peut supprimer les parenthèses précédées du signe +, sans changer aucun signe. — 12 +(——0,5 +3—4)=— 12—05 +3—4 7+(7—8+Î)=7+7—8+1. En général Ia+(b—c+cl)=a+b—c+d.l 4° Pour retrancher une somme algébrique on peut supprimer les parenthèses précédées du signe ——, à condition de changer les signes qui précèdent chaque terme placé entre ces parenthèses. —7——(—8—12+4)=——7+8+ 12—4 —- 10——(5 —-3 + I)=— 10—5 +3—— l. En général Ia—(b—c+d)=a—-b+c—d.] 5° Il résulte du n0 49 que: La valeur absolue d'une somme algébrique est inférieure ou égale à la somme des valeurs absolues de ses termes. 58. Principes relatifs aux égalités. l° Si deux nombres a et b sont égaux, il en est de même des nombres a+c et b+c ou des nombres a—c et b—c. Donc: On peut ajouter un même nombre aux deux membres d’une égalité. 2°Sil'on a: a=b et c=d onaaussi a+c=b+d et a—c=b—d Donc: On peut ajouter ou retrancher des égalités membre à membre.
40 ALGËBRE 3° Considérons l'égalité a - I) = c + d. (l) Ajoutons le nombre (b —- d) aux deux membres; nous obtenons : (a—b)+(b—d)= (C+d)+(b—J) ou: a—b+b—d=c+d+b—d soit: a—cl=c+b. (2) Le terme d qui figurait dans le second membre de l’égalité (l) aVec le signe + figure dans le premier membre de l’égalité (2) avec le signe —; le terme b qui figurait dans le premier membre de (I) aVec le signe -- figure dans le second membre de (2) avec le Signe +. Donc : Dans une égalité on peut faire passer un terme d’un membre dans l’autre, à condition de changer le signe qui le précède. Cette opération qui est appelée transposition s'énonce simplement : Tout terme qui change de membre change de signe. EXERCICES -——— Calculer les différences : . 235. (—15)—(4—13). o 236. (+ 4,5)—-(+ 5,49). . 237. (+ä)_<+ l 99K]. . 238. (+ 12)—(+ 9). . 239. (—3,9)—(— 7,4). o 240. (_:Î)—(_— . 241. (+ 5)-——(+ 17). o 242. (—13,75)-—(—-4,01). . 243. ——— Calculer la valeur des sommes algébriques suivantes : n 244. (— 10) + (—— 15) — (—— 30) + (+ 7) --—— (+ 12). ' 245- (— 7) -— (- 9) —- (+ 17) + (— 41) + (+ 1). .ç o 246. (+ 49) — (—— 63) —|— (— 3) — (+ 4). — Calculer la valeur des sommes algébriques suivantes : o 247. (— 0,7) —— (—— 0,9) + (—— 13,5) —— (+ 4). 248. + ë) —— ('+ — (—— 1). 2 4, , . 249. (9— + — i—— + (— 1) —- (+ 0,5). —— Calculer la valeur des sommes algébriques suivantes : o 250. 7—10 + 14—13—21 + 3. 251. 0,75 + 4,7 — 0,7 — 0,5 —— 1. 2 3 5 5 .252.â_4+12 6 3.
o tl ù so US TRACTION DES NOMBRES ALGÊBRIQUES 41' — Effectuer les opérations suivantes: 253. (5—3+7—1)+(—9+4—1)—(——3—7+2). 254. (—14+7—3)+(5—-7—8)—(—5+4+10). 1;>-(-ä+â-2>+(-1+ä)- — Effectuer les opérations suivantes : 256. [(5 — 9) + (3 — 5)] — [(7 + 3 — 5) — (7 —— 10)]. 257. [12 — (14 —— 5 + O,75)] + [—_15 + (3,25 — 2)]. 2 4 ’ ’4 \ '7 ‘ ' 258' [1 _ * 3)] — — 1) _ + —— Supprimer les parenthèses et les crochets dans les expressions suivantes: 259. (a—b + c)——(d—e——f) + (b—a). 260. [(a -— b) ——— (a — 5)] + [b — 7 —— (a --— 3)]. 261. [12 — (a — b) + 6] — [15 + (b — a —— 13)]. 262. .Quel est l’accroissement de la température indiquée par un “thermomètre ut passe de + 70' à + 13°, ou de —— 3° à + 1°, ou de —— 5° à ---—— 7°, ou de + 3° -—— 1°? »— Quels sont. les intervalles des temps séparant les dates suivantes? 263. +2h15mnet+11h45mn. o 264.—21112mnet—‘lh17mn. 265. +3h51mnet+ 7h17mn. o 266. ——3h.10mnet—-1h5mn. 267.—7h14mnet+8h16mn. o 268. —13h45mnet +51151mn. 269.—4h17mn51set+12h17mn47s.
A HUITIÈME LLEÇON PRODUITS DE NOMBRES ALGÉBRIQUES 59. _Produit de deux facteurs. — Lorsqu'un mobile M décrit une droite à la Vitesse de v mètres à la seconde, la distance x parcourue en t secondes est donnée par la formule : x =- vt. Supposons que le mobile se déplace sur un axe x'x. Nous désignerons par v la mesure algébrique du vecteur parcouru en une seconde. Nous appeu lerons temps zéro l'instant où le mobile passe en O et nous affecterons du signe + les temps postérieurs au temps t = 0 et du SÎŒ— les temps anté- rieurs. Voyons à quelles conditions l'abscisse x = 0M du point M au temps t, reste donnée, par la formule : x = vt. Temps —4 —3 —2 -1 0 +1 +2 +3 l +4 Abscisses—12 -9 -6 -3 Q +3 +6 +9 +12 J; x' B(-l2) ' ‘ ô 'î'f 'ñ" ' AÎ+i2)’ FIG. 7. ler cas. La vitesse v est positive. — Si v = + 3 m/s le point M (fig. 7) se déplace dans le sens de l'axe x’x et parcourt 3 m X 4 = l2 m en 4 secondes. Au temps t = + 4, le point mobile M sera en A (x = -l- l2) et la formule vt =' x conduit à écrire: | (+ 3) >< (+ 4) = (+ 12) | Au temps t= -- 4, le mobile M était en B (x = — l2) et l'on doit alors écrire : i (+ 3) >< (—- 4) = (— 12) | 2° cas. La vitesse v est négative. Si v = - 3 m/s le point M (fig, 8) se déplace dans le sens xx' et parcourt encore l2 m en 4 secondes. Au temps t = + 4 le mobile M sera en B (x = —- l2) et la formule vt = x conduit à écrire: | (— 3) >< (+ 4) = (— 12) |
PRODUITS DE NOMBRES ALGÊBRIQUES 43 Au temps t = -—— 4 le mobile M était en A (x = + 12) et l'on est amené àécrire: |(——3)><(—4)=(+ 12)] Temps +4 +3 +2 +1 0 —1 —2 -3 -4 à Abscisses -12 -9 -6 {.54 Ç +3 +6 +9 +12 .1; x' ËHz) ñ ' 0'" ô ' ' ' A'olzî FIG. 8. Nous sommes ainsi conduits aux définitions suivantes: 60. Définition. —— Le produit de deux nombres dgébriques est un nombre algébrique dont la valeur absolue est le produit des valeurs absolues des deux facteurs; son signe est + si les deux facteurs sont de même signe, — s’ils sont de signes contraires. Le signe de la _multiplication est le signe >< . On le supprime ou on le rem- place par un pomt devant une lettre ou une parenthèse: 4 X x s’écrit 4x, a >< b s'écrit ab ou al) La règle des signes résulte de ces définitions: + par + donne + — par — donne + + par — donne — - par + donne — 61. Remarques. l0 Si l’un des facteurs est nul, le produit est nul: a X ,0 = 0 «I récxproquement, _si un produit de deux facteurs est nul, lun des facteurs au nmins est nul, car 31 aucun d'eux n’était nul, le produit ne le serait pas. 2" Le produit de deux facteurs est indépendant de leur ordre : (—5) (-l- 7)=(+ 7) (—5) 05:50. l” Si l'on change le signe d'un facteur on change le signe du produit: (—4) (+ 7)= -—28 et (—4) (—7): +28. 4” Si l'on change le signe des deux facteurs, le produit ne change pas : (— 4) (+ 7). = (.— 28) et (+ 4) (— 7) = (— 23). ’3" Multiplication par l et par (— l): (+9) (—|—'l) =(+ 9) en général a X (+ l) =a (+ 9) (— l) _—.-..(——9) en général a>< ==-.— a.
44 ALGËBRE 62. Produit de plusieurs facteurs. On appelle produit de plusieurs nombres algébriques rangés dans un certain ordre le nombre algébrique obtenu en multipliant le premier facteur par le deuxième, le nombre obtenu par le troi- sième et ainsi de suite. Ainsi le produit : (—- 3) (— 4) (+ 5) (— l) se calcule en disant : (—3) (—4) = +12; (+12) <+ 5) = + 60; (+ 60) (—1): —60. Il en résulte que la valeur absolue du produit est le produit des valeurs absolues des facteurs. D'autre part, dans le calcul des produits successifs, le produit change de signe quand on rencontre un facteur négatif; il ne change pas de signe quand on rencontre un facteur positif. Seul, le nombre des facteurs négatifs importe donc pour prévoir le signe du produit cherché: Règle. — Le produit est positif si le nombre des facteurs négatifs est pair ou zéro. Le produit est négatif si le nombre des facteurs négatifs est impair. ‘ EXEMPLES: (— 3) (+ 2) (—- 5) (— 4) (— l) = + 120 (— 3) (— 2) (- 5) (— 4) (— l) = -120. Il en résulte que la valeur du produit est indépendante de l'ordre des facteurs. et que : Pour qu’un produit de plusieurs facteurs soit nul, il faut et il suffit que l’un au moins des facteurs du produit soit nul. 63. Propriétés des produits. - Ce sont les mêmes que celles des pro- duits de nombres arithmétiques. 1° Pour multiplier une somme algébrique par un nombre (ou un nombre par une somme algébrique) on peut multiplier chaque terme de la somme par ce nombre et ajouter les produits obtenus. Vérifionsule sur les exemples suivants: (+7+5) (—2)=(-——I4)+(—-IO)=—I4—lO=—Z4 (—13 +8) (—3)=(+39)+(——24)=39—24= l5 (—3+4—5) (—4): +IZ—16+20= 16. En général l (a —b_ x =_ ax -—,bx + 61.] 2° Pour multiplier deux sommes algébriques on peut multi- lier chaque terme de l’une par chaque terme de l’autre et ajouter fis produits obtenus.
PRODUITS DES NOMBRES ALGÉBRIQUES 45 EXEMPLE: (—5+7—l _..3+4)= (+15)+(—-21)+(+3)+(—20)+(+28)+(—4)= l5—-—2| +3—-—20+28——4= l. En général I (a—b+c) (ci—e):ad—bd+cd—ae+be—ce.] 3° On ne change pas la valeur d’un produit de facteurs en rem- plaçant deux ou plusieurs d’entre eux par leur produit effectué. EXEMPLES: (— 3) (- 7) (+ IO) (— l) = (— 3) (— 70) (— I) abc e = a bcd) e. 4° Pour multiplier un produit de facteurs par un nombre il suffit de multiplier l’un des" facteurs du produit par ce nombre. EXEMPLES: [(—- 2) (+ 4) (- 9)] (- 25) = (- 2) (—- 100) (— 9) 5a X — = -—3 a — IZab X (— l) = + IZab. 50 Pour multiplier un nombre par un produit de facteurs on multiplie ce nombre par le premier facteur du produit, puis le résultat obtenu par le second facteur et ainsi de suite jusqu’à épuisement des facteurs du produit. EXEMPLES: (— 3) [(- 5) (+ l) (- 4)] = (— 3) (- 5) (+ l) (— 4) (— >< xyz = — 5xyz. 6° Pour multiplier entre eux deux produits de facteurs on forme un seul produit contenant tous les facteurs. EXEMPLES : [(—' 2) (+ l) (— 3)] [(+ 7) (— 9) (+ 6); = (— 2) (+ l) (— 3) (+ 7) (— 9) (+ 6 (— 3xy) (+ 7ab) = — Zlabxy. 64. Priorité du signe >< dans une suite d’opérations. l‘" EXEMPLE: Envisageons la somme de produits suivante: (—31,27) +<—:1>, +<—:1>, —<+ 2) L210)- On doit d'abord eflectuer les produits, ce qui donne: (+ZI)+(—4)—(—20)= +2] —4+20= +37. 2° EXEMPLE : (x — y) (c — d) — W. Eflectuons les produits no 63) (cx—cy—dx + dy) —-(ax+ay + bx + by). Supprimons les parenthèses (11° 57) cxw—cyrwdx-J—dymaxaway—mbx-mby.
46 . 285. (4—5+7—9-—1)(—-3). ALGÈBRE EXERCICES —— Eflectuer : 270. (+ 17) (— 13). . 271. (+ (+ 0 272. (— 0,7) (+ 2&3 11 4 ° 2&5 9 5 ' — Effectuer: 279- (— 3) (+ 7) (— 5) (— 4)- ' 230- (+ 1,7) (— 2,5) (— 3) (— 1.9)- 281. (—1)(+1)(—1)(+1)(—1)(-—1).. 282. (— (+ 3) (— 3P3E3 5F%tÔ-Æ) 2 4 8 ' 2 11 8 ( 15 — Calculer de deux façons diflérentes les produits suivants : e 286. (+ 12 — 17 —— 9) (+ 7). . 288. (—— 13 + 11,7 + 12,5) (— 4,7). o 290. (—Ê’+g+Ηä) (4. 1) 11 . (— (— 0,5). . 278. (+ 0,7) (— 3). 273. (— 14) (— 11). e 274. <— 276. (+ 12) (+ 4). o 277. (+ 283. (+ . 284. (+ 287. (— 12 + 0,7) (+ 0,5). 1 2 3 289. (—— 2 + 3 + 5) (—- 4). — Calculer de deux façons différentes les produits suivants: 291.(—5+12——7)(5—7). 3 4 3 293. (+ 5 + 14 — 13) (— 7 —— 2). e 284. (— 295. (— 3,5 + 2,7 + 4,9) (0,75 —— 1).. 296. <— —— 1) (Ë fi). 2 . 282. (5 — E) (:7- _ fi). 5 171—) 9 27 5 11 12 12 —— Eflectuer le plus rapidement possible les opérations suivantes: o 297. (5 —— 3 + 2) (12 — 9) + (15 — 17) (7 — 10). o 298. (7 —— 17) (10 —— 12) —— (15 —— 17) (—— 14 + 11). o 299. (2,5 + 0,7) (7,9 — 8) — 0,5 (11 —— 8). ’2 3 z 4 _ 1 _ . 300. (ä + 5—1)(1—9>+ 5(17 3) . 301. [(5 -— 11) —- (17 —— 14)] [12 — (14 —— 11)] + 13 (17 —— 12). . 302. [14-—— (0,7—1)] [0,5 + ——3)] — [12 — (2,4 + 4,1)} [(1,7 + 2,3) __ 1]. o 303. La vitesse d’un moint mobile sur un axe est + 4 cm par seconde et ce mobile passe au point O, origine des abscisses, au temps t = O. Quelles sont les abscisses de ce point aux temps + 3 et + 7. Quelle est la valeur algébrique du vecteur joignant les 2 positions de ce point aux temps considérés? Même question si 0 la vitesse est — 4 cm par seconde. 30‘. An temps + 5 l’absolue d’un mobile est —— 16 cm, au tempe -- 3 eue est + 8. Quelle est la vitesse de ce mobile sachant qu’il est anime d’un mouve- ment uniforme?
NEUVIÈME LEÇON DIVISION DES NOMBRES ALGÊBRIQUES 65. Définition. — On appelle quotient exact de a par b le nombre algébrique x dont le produit par b est égal à a. = x , ce qui signifie a = bx. I Le symbole î se nomme fraction algébrique ou rapport des nombres On écrit azb=x ou Œlh a et b; a est le numérateur, b Ie dénominateur. a et b sont les deux termes du rapport. + '88 EXEMPLES: n = +7 car (+4) (+ 7)= +28 ——28_ __ :Η+7 car (—4) (+7)———28 È—z—Ë=—7 car (—4) (—7)=+28 ËÊ=—7 car (+4) (—7)=——28. Il en résulte la règle suivante: Règle. — Le quotient exact de deux nombres algébriques ut un nombre algébrique dont la valeur absolue est le quotient exact des valeurs absolues du dividende et du diviseur et dont le signe est + si ces deux nombres ont même signe, —- s’ils sont de s gnes contraires.
48 ALGËBRE 66. Remarques. l° La division d’un nombre non nul par Û est impossible. Si l'on avait a: 0 = x, on aurait a= 0 X x, donc a = 0. 2° Le quotient de l par un nombre algébrique est l'inverse de ce nombre. I _1 5 4 + 3' L'inverse de (— 5) est: L'inverse de (+ est : +1 'l .Nw—UI Il 3° Diviser un nombre par a c’est le multiplier par l’inverse de a. Ainsi : = —% = (+ 7) (-— or - à est l’inverse de - 9 + â X â = (— (— â),or - â- est l'inverse de— g, Toute division est ainsi remplacée par une multiplication. I i I ||+ mlàwimxoxr En général : = a >< bd]— Q b 67. Quotient d’une somme algébrique par un nombre. Cherchons le quotient de (- 5 + 7 -— 8) par —3; nous avons: _*_5 i2 :Ê _—3+—3 —3° Donc: Pour diviser une somme algébrique par un nombre on peut diviser chaque terme de la somme algébrique par ce nombrefiet ajouter les quotients obtenus. . _;-_èi:=g_ë+s, x x x x En général :
DIVISION DES NOMBRES ALGÉBRIQUES 4‘. 68. Applications aux égalités. 1° Si deux nombres a et b sont égaux, on obtient encore deux nombre: égaux en multipliant ou en lelsant a et b par un même nombre c. L’égalité a = b entraîne les suivantes: 2 c ac = bc = Ê (c différent de zéro). On peut multiplier les deux membres d’une égalité par ut même inombre. On peut diviser les deux membres d’une égalit4 par un même nombre différent de zéro. .En particulier, on peut changer de signe chacun des deux membres (multi phcatlon par — l) : — x = 5 donne x = -- 5. 2° Les égalités a = b et c = d entraînent les deux suivantes : ac= bd Gin 91| 3" On peut multiplier ou diviser membre à membre deux égalités .PROPRIÉTÉS DES RAPPORTS 69. Propriété fondamentale. — On ne change pas la valeur d’u; rapport en multipliant ou en divisant ses deux termes par u; même nombre. En effet soit x la valeur du quotient g. On a (n° 65): b a = bx. Multiplions les deux membres de cette égalité par n : an = bxn ou (n° 63) : an = (bn)x 9L1_ donc : b — x et n
50 ALGËBRE Les rapports peuvent être simplifiés : +2 . 0,36_3_6__9_. __â=__2. —5a :_a EÆWUK 4 «m Iæ’ _é -—ÿ æb ü 3 Ils peuvent être réduits au même dénominateur : . 9 9 . e_ÿ e_Æ EXEMPLES. betd ona. b—bd et d—bd :_7€ti_5 on“ _—_=::_Zy et :F_5=+5x_ x y x xy y xy 70. Somme algébrique de rapports. — On réduit les rapports au même dénominateur; on' calcule la somme algébrique des numérateurs obtenus et on conserve le dénominateur commun. EXEMPLES : 10 L+_3) LTÂ+Ë__Ï)_(—21)_(—IO)+L—_U o—æ‘ï+n (+æñ—c+æ) H3» c+%) zhw—FW+FD. (+35) 209+L4=g+ä_g=giï:& x y xy xy xy xy 7l. Produit de rapports. —— On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. p tÿxtflxfifi=FDFÆHD. (+5) (+7) (—3) (+5)(+7)(-3)’ c e_ace o 2 _ ___fi 2 bXdX; La 72. Quotient de deux rapports. — On multiplie le rapport divi- dende par l’inverse du rapport diviseur. p tÿl+®=tÿxkflgk4M40 c+ew—n> H4) H-o (+ec+® 4=a 2° ë:—=ZXC c
DIVISION DES NOMBRES ALGÉBRIQUES 5l EXERCICES — Efiectuer les divisions suivantes z 305. (+ 56) : (+ 7). 308. (— 360) : (+ 12). 311. (+ 221) : (— 17). o 306. (— 56) : (— 8). o 309. (+ 105) 2 (— 7). o o 312. (— 286) : (— 11). 307. (+ 64) : (— 16). 310. (— 286) : (— 13). 313. (+ 96) : (+ 8). — Eflectuer les divisions suivantes : 314. (+ 15) : (—— o 315. (— 7,5) : (— o 316. (— 1) : (+ 317. <— Ê) : (+ 1,4). o 318. <+ Ê): (— o 319. (—— <+ 320. (+ 1):<+ o 321.<— 5%): <—-— . — Eflectuer les divisions suivantes : 322. (+ â>=<- mn— V O 323. —12+4—72. . 324. +35—75+25. . 325. —12+144—108 4 5 — 12 ° 326_ . 327_ . 328_ “‘11 + 10—7’8_ — 2 — 11 5 — Simplifier les rapports suivants et trouver leur valeur z — 63 — 308 273 329. 70 . o 330. _484. o 331. 468. 48 — 169 — 365 332. _96. o 333. __26 . o 334. ___ 146. « Effectuer les Opérations suivantes : 3+â—â 335. . o 336. . 5+2_2 2_ë_ë 5 3 2 4 1_ë_è 7 9 —— 3 — 0,5 — 0,75 837.1_ëm7. 0338. g—ë . 8 ÎS 3 4
52 ALGÈBRE —— Eflectuer les opérations suivantes: _æ&—s+5—6 4—3+1 mä—r 2+7—1 2—3—1 w 1 2 5 1 7 .3405_äxë+äx_ë+1 'ë_1 _é ë ° 4 5 2 — Effectuer les opérations suivantes: 1_1 .341.äï+ 111———3—1. .342.3————%. 5—2 4—7 _7+ä 1+:z 1 1 3 1 1 1—3+ 1 5 ä ë 1+5 . — . 44. . 0343 l—_1+l__2 03 1—l_ . 1 3 5 8 16 3 1 1+5 — Le nombre x prend toutes les valeurs entières de — 5 à + 10. Dresser le tableau de correspondance entre x et y dans les cas suivants : .345.y=3—;+1. .346.y=—32‘”+4. . 347.y ;=ZËËÏ-—-4. o 348.y ==IÊ;Ë-—-1o .349.y=2æ;'3. o350.y=::3ï—+-1. . 351. y =3xz_7. o 352. y =:5—“;——3.
DIXIÈME LEÇON RELATION DE CHASLES 73. Théorème. — Lorsque trois_po_ig_ts 643, C sont alignés sur un axe, les mesures algébriques AB, BC et AC vérifient la relation : Æ+ÎE=ÂE Cette relation fondamentale est connue sous le nom de relation de Chasles (mathématicien français 1793-1880). Observons qu 11 emste 31x cas de figure possibles (fig. 9) : A B C ® : J. a B C A B A C ® : : : © :- i : V <9 > o un v V V FIG. 9. Démontrons par exemple la relation dans le 2° cas de figure, où le point C nnt entre B et A, donc : BC + CA = BA. Or les vecteurs B—ë, C— et B ayant le même sens que l'axe, cette relation est identique à : Bt+ (ΗÀ—=Ê—Ao-u B'C“——7îc_—=——ÂB (n° 43). Soit en transposant : Â—Ë + Ëë m
54 ALGËBRE Ainsi (fig._1_0) : ÂÉ :5: 7); Ë: (+ 4) et Âê = (— 3). L’égalité : AB + BC = AC est vérifiée car : (- 7) + (+ 4) ='(- 3). P . . . 9 a . 6 N t4 P .x" ' ' ' ñ‘ ' 'îï .22" ' ' È FIG. 10. FIG. 11. 74. Remarques... — 1° Il _f_aut trois.égalités arithmétiques pour traduire selon le cas de figure la posmon relative de trms pomts alignés : AB+BC=AC, AB—BC=AC et BC—AB=AC. Au contraire : La relation de Chasles est générale et indépendante du sens de l’axe. On peut bien souvent se dispenser de préciser le sens de cet axe. 2° Pour éc-_1j_re la relation __en_tre trois points alignés quelconques M, N et P on écrit: MP = MN + NP, en intercalant la lettre N entre les lettres M et P qui figurent au premier membre (fig. Il). 75. Mesure ralgébrique d’un vecteur porté par un axe. — La mesure algébrique d’un vecteur sur un axe est égale à l’abscisse de son extrémité, diminuée de l’abscisse de son origine. CODSÎdéI‘QË sur un aire x'x d'origine O (fig. 12 et I3) les points A et B d'abscisses 0A =fla et OB La_relati_ol de Chasles appliquée aux trois points 0, A et B s'écrit : 0A + AB = 0B. Soit:ÂPÏ=-—O_Ë—-Œ ou: —I—3=b—a 9 A . . J3 54 9 . . A +2'_':s’ -1"""+z’ FIG. 12. FIG. 13. On vérifie ainsi que : Fig. 12 :a:('+2);b=(—|—5); ïä=(+5)—(+2) = (+ 3). Fig. 13za=(+4);b=(——»l); AB=(——l)——(+4) =(__ 5).
RELATION DE CHASLES 55 EXEMPLE. — L'échelle du thermomètre (fig. Î) peut être assimilée à un axe. La variation de température entre deux instants donnés est la différence : température finale — température initiale. Si le thermomètre indique + 9° à midi et — 3° à minuit le même jour, la température a subi dans cet inter- valle une variation égale à : (- 3°) -— (+ 9°) = — 12°. 76. Longueur d’un segment. — La longueur d’un segment porté par un axe est la valeur absolue de la différence des abscisses de ses extrémités. Erigffet, on sait (n° 42) que la valeur absolue de la mesure algébrique AB (ou BA) n'est autre que la mesur_e_du segm_e_r_1t AB à l’aide de l'unité de lon- gueur aäptée. Donc : AB = l AB I = I BA I. Or : BA = a — b. On obtient donc : IAB=|a——bl| On vérifie ainsi que (fig. 12) : AB = = l (+ 5) -- (+ 2) I et (fig. l3) : AB = 5 = I (— l) — (+ 4) I. No_t_o_ns qï cette formule s'écrit quelque uoit le point P de l'axe : AB = I PA — PB l. 77. Abscisse duîmilieu d’un segment. — Le milieund’un'segment porté par un axe a pour abscisse la demi-somme des abscisses des extrémités de ce segment. Soit M (x) le milieu du segment AB d'extrémités A (a) et B (b) de l'axe . ê U . B a A 9 J Ü. m 5 A) r +i +2. ' +3 r -’l I 43;}! i i +4 l, Fm. 141 FIG. 15. —_> — .r’x_(fig.fl_et l5). LeiïecteuriAMïMîïv étant égaux on peut écrire (n° 43) : AM = MB soit 0M — 0A = OB — 0M ou en transposant : ;!()M=O_.A+5Ë soit; 0—: (__A-+—BÎ ou x20”. Ainsi (fig. 14) :ô = (+ 2); 61E .—_ (+ 6) et 6191?: (+ 4) = filL-Zttj—Ji) °l(fiH-l5)=Ô—Â=(-'l);ÔË=(+4)etŒ=(+Ë)=(—Î)Ë(+ 4),
56 ALGÈBRE EXERCICES -—— Vérifier la relation ÂÎ = A_B + B6, les points A, B et C appartenant à un axe xy, dans les cas suivants: o 353. Les abscisses des points A, o 354. Les abscisses des points A, o 355. Les abscisses des points A, o 356. Les abscisses des points A, o 357. Les abscisses des points A, o 358. Les abscisses des points A, C sont 0, + 3, + 5 (en centimètres) CsontO,—-——2,—4 Csont0,+7,+2 C C V v sont O, —— 5, — 3 Sont O, + 2, —— 3 , C sont 0, — 3, + 2. , U wwwpuww .—. — Soit un axe xy, O l’origine des abscisses, vérifier la relation—B .= OB et déterminer la longueur AB dans les cas suivants: o 359. Les abscisses de A et B sont + 3, + 5. o 360. Les abscisses de A et B sont — 2, — o 361. Les abscisses de A et B sont -+ 7, + o 362. Les abscisses de A et B sont —— 5, — o 363. Les abscisses de A et B sont + 2, —— o 364. Les abscisses de A et B sont — 3, + Neveu-ce — Soient A Æ B deux points d’un axe, M le milieu de AB; vérifier la relation ÔÎ’I _ W dans les cas suivants : o 365. Les abscisses de A et B sont + 5 et + 9. o 366. Les abscisses de A et B sont —— 5 et + 9. o 367. Les abscisses de A et B sont —— 5 et — 9. o 368. Les abscisses de A et B sont — 9 et + 5. o 369. Soient sur 11Laxe algues points A, B, C, D d’abscisses + 2, + 4, — 1, —— 3. Vérifier la relation AD = AB + BC + CD; en est-il ainsi, quelle que soit la dis- position des points A, B, C et D? o 370. Soient 4 points A, B, C, D sur un axe. Démontrer la relation : A_B + B_c' + C—D + D_A = 0. o 371. Calculer le nombre d’années qui s’est écoulé entre les dates suivantes: 51 ans avant J.-C. et 800 ans après J.-C. Généraliser avec les années a et b. (Tenir compte du fait qu’il n’y a pas d’année zéro.) o 372. Soient A et B d’abscisses + 4 et —- 3. Déterminer les abscisses des points C et D qui partagent AB en 3 parties égales. Généraliser en désignant par a l’abscisse de A et par b celle de B. o 373. Soient A, B, C et D quatre points d’un axe dont les abscisses sont + 2, —— 3, —- 1, + 4. Vérifier la relation z D_A.B_C + bic—A + D_c.AT3 = o. E]; eCst-ilääoujours ainsi lorsqu’on désigne par a, b, c, d les abscisses des points ‘A’ ’ 9
ONZIÈME LEÇON PUISSANCES 78. Définition. — On appelle puissance d’un nombre algébrique le produit de plusieurs facteurs égaux à ce nombre. Ainsi : (— 7) (— 7) (—- 7) (— 7) s'écrit (—- 7)4 et se lit << — 7 puissance 4 ».‘ En fgénéral le symbole a", se lit (< a puissance n >> et représente le produit (le n acteurs égaux au nombre algébrique a. l a" = a.a . . . . . .a I (n facteurs) Le nombre entier n_ est l'exposant de la puissance. Notons que : a1 == a. C'est le nombre a lui-même. az‘est le carré de a et se lit «a au carré» ou «a deux». a3 est le cube de a et se lit « a au cube» ou « a trois D. D'après la règle relative au signe d’un produit de: facteurs:(n° 62) on voit que t .10 Toute puissance d’un nombre positif est unùnombre positif. .20 Toute puissance d’un nombre négatif est positive si l’expo- nant est pair, négative si l’exposant est impair. Ainsi: (+ 3)5 = + 35 = + Z43; (— 3)5 = — 35 = — 243; (+ 3)“: + 36: +729;(—*3)6= + 36: + 729. (— a)" = a" si n est pair et (— a)" = — a" si n est impair. En particulier : Un carré est toujours positif, tandis que le cube d’un nombre donné est du signe de ce nombre. (I‘5)2=(—5)2=+25;(+5)“= +53: + I25;(—5)3=—53=— 125
58 ALGËBRE 79. Puissance d’un produit. On a : (abc)3 = (abc) (abc) (abc) = abc. abc. abc. = a3b3c3. En général : l (abc)’" = ambmcfl. Pour élever un produit de facteurs à une puissance, on peut élever chaque facteur de ce produit à cette puissance. Ainsi: [(— 3) (+ 2) (— 7)]z = (— 3)2 (+ 2V (— 7)”. De même : (7 xy)?’ = 73x3y3. 80. Puissance d’un rapport. Ona- (9)4=(9)(Q)(g)(9)=a> (9)4=(9)(Q)(g)(9)=a> (9)4=(9)(Q)(g)(9)=a> . b b b b b b >< b >< b x b b ' 1 . g m = 2—": En gênera] . (b) 6m . Pour élever un rapport à une puissance on peut élever les deux termes de ce rapport à cette puissance. n. Lu! aimai ä)2.__.9_x3 AlnSl . [(_ 3) (__I 3)2 9 et zy 45,2. u; 81. Produit de plusieurs puissances d’un même nombre. On a: aa >< a2 == (a.a.a} >< (a.a) = a.a.a.a.a. = a5 = 03”. Demême: 03 X02 > > Xa7=05+7=c112=a3+2+7. En général: Lam X a" X aP = am+n+P Le produit de plusieurs puissances d’un même nombre est une puissance de ce nombre dont l’exposant est la somme des ïexpo- sants des facteurs. Ainsi : (— 2)4 X (— 2)8 = (— 2)7; 32 >< 34 >< 35 = 32+4+5 = 3". 82. Puissance d’une puissance. (ag‘=a3> (ag‘=a3> (ag‘=a3> (ag‘=a3> Donc:(a3)4=a3x4.
PUISSANCES 59 La puissance d’une puissance d’un nombre est une puissance de ce nombre dont l’exposant est le produit des deux exposants. En général: mm)" = a'm' i. Ainsi: [(— 5>213 = (-- 5P; [(76315 = [7615 = 73°. 83. Quotient de deux puissances d’un même nombre. L’égalité a8 = 05 X a3 . . a ontrame la sulvante : - = a8 = 08—5. Q Le quotient de deux puissances d’un même nombre est une puissance de ce nombre dont l’exposant est la différence des expo- sants du dividende et du diviseur. m .\ 0 '— En général : g— = am_P . Amsn : ap (_ 5)4. 5)3 = (— 84. Exposant nul. Exposants négatifs. La formule précédente suppose m > p. Voyons comment on peut l'inter— préter pour m = p ou m < p. am . . , . . l0 2,; = + Î et cecx quel que sclt a i 0. Or l apphcatlon de la formule am du n° 83 donne : ——m = a'"_’" = 0°. Donc : a° = + I - a - - Toute puissance d’exposant zéro est égale à + l. 4 4 a I . ,. 2” -9 = -f— = - . Or la formule du n° 33 condmt à écrlre : a a .05 05 4 9 o 0 I 9 "(1*- a4—9 = 0—5. C est pourquon on convxent de poser : (1—5 = j; et d une u a façon générale : a—m = J- ° am Le symbole c"m représente l’inverse de am. On pourra vérifier que toutes. les formules ci—dessus (nos 79 à 83) sont valables avec des exposants négatlfs. AmSI : as.a“.a‘ = 05"8“ = a“: (a'”)‘ == 11"".
60 ALGËBRE 85. Racine carrée d’un nombre algébrique. On appelle racine carrée d’un nombre algébrique A tout nombre x dont le carré est égal d A. Si x2 = A, le nombre x est racine carrée de A. Or, x2 est un nombre positif (n0 79); il en est donc de même de A. Ainsi : Un nombre négatif n’a pas de racine carrée. l__.e_s égalités (+ 5)2 = 25 et (— 5)2 = 25 montrent que le nombre posmf + 25 a deux racines carrées opposées. De même: Tout nombre positif a deux racines carrées qui sont deux nombres opposés. On écrit: +5Î + ou et: —5=—\/Ë. Le symbole \/ s'appelle un radical et se lit: « racine carrée de ». Par suite \/ A désigne la racine carrée arithmétique ou la racine carrée positive du nombre posmf EXERCICES o 374. Calculer les puissances d’exposant 2, 3, 4, 5 des nombres suivants: (+ 1); (+ 3); (+ 5); (-- 2); (- 4); (- 5)- . 375. Calculer: (— 11)3; (+ 9)2; (— 10)5; (+ 7)4; (— 13)4. o 376. Calculer: (—ä)‘; (——â)5; (+592; 54—233; (+1,4)‘“’; (—0,25)? o 377. Calculer: (äweï: [<-ä)2]2[<—2>2]3- — Calculer : | 378- [(—— 1) (+ 2) (— 3)]2- ° 379- [(+ 1) (— 3) (— 5)]3- . 380. [(+ 2) (—— 2) (— 3)]2. o 381. <— (—— . 382. [(—— 5) (— (+ o 383. [(— 0,5) (+ 0,75) (+ A—i/
PUISSANCES 6| 384. Calculer : . 4*«2 4 2 (— 5)? : <-— 5)3; (+ 0,01? = (+ 0,01); (— 5 =(—— - 2 3 2‘6 3. e. _ 2. __ 3. _ . _ . 4 .4, ( 2,5) .( 2,5), (3) 385. Calculer la valeur de x4 —— x3 + x2 — ac + 1. 1° pourx :3; 2°pouræ =—2; 3°poura: :513; 4°pourx=—-ä-o 386. Calculer la valeur de x3 — 3 x2 + 5 a: — 7. 1°pouræ=4; 2°pourx=—1; 3°pourx=â; 4°pouræ=—äw 387 C'l 1 1 1 d x——3_1 . acuer avaeur est32+ 1. 1° pouræ=1; 2°pourœ=——1; 3°pouræ=î; 4°pourx=——î. 388. Calculer la valeur de a4 — 4 aab + 6 afib2 —— 4 ab3 + b4. 1° poura= + 2et b]=—-3; 2°poura=—âetb =—-ä. 389. Calculer la valeur de Æ- — U x2+y2 æ+y' 1° poura: =1ety =—2; 2°pouræ =——âety= +â- o 390. Soient 3 points A, B, C d’abscisses + 2, — 1, — 3, sur un axe où 0 est l’origine des abscisses. Vérifier la relation: ÜÂSËE + ŒMΠ+ ÎÎŒÆ + ÆÆTCEK = 0. o 391. Sur un axe où O est l’origine des abscisses, sont placés trois points A, B, M d’abscisses + 3, —— 3, + 1. Vérifier les relations: LÎÂM—B =fi62—6Â2. MA” + M132 = 2M—03 + 26K”. MA” — MB' = 2 Âîafifi.
! DOUZIÈME LEÇON l HNÉGALITÊS 85. Définitions. —-—- On dit qu’un nombre a est plus grand qu’un nombre b si ta différence a —— b est un nombre positif. On écrit: a>l> ou b< a. Si Ïa différence a -- Ï) est positive, la différence b -— a est négative car les ’ o o , 9 nombres a -- b et. b -- a sont opposes. AmSI, un nombre b est plus petit qu un nombre a si la diflérence b— a est négative. a > b et b -< a sont des inégalités. Ce qui est écrit à gauche du signe > ou < est le premier membre, ce qui est écrit à droite est le second membre. Il résulte de la définition, que: 1° Tout nombre positif est plus grand que zéro. (+7)——O=+7. Donc:+7>0. Pour écrire que a est positif, on écrit: a> 0. 2° Tout nombre négatif est plus petit que zéro. Ü—(--3)=+3. Donc:0>—3ou—-—3<Ü. Pour écrire que a est négatif, on écrit: a < 0. 3° Tout nombre positif est supérieur à tout nombre négatif. (+l)—-(--9)=l+9=+ÎÛ. Doncz+l>'—-9. 1’401 De cieux nombres positifs, le plus grand est celui qui a Ïa plus grande valeur a so ne. (+Î5)“(+12)=Î5-12=+3. Donc: -‘r' Ë5>+12. 65°] De cieux nominres négatifs le plus grand est celui qui a la plus petite valeur a so ne. ("5)m(-"—-8)x-5+8==+3. Donc:(-5)>(-—8). REMARQUE. - Les inégalités a > b et c > d sont dites de même sens; les mégahtés a > la et c < J, de sens contraires (<- au heu de >).
I NËGALI TES 63 37. Interprétation graphique d’une inégalité, --' Considérons sur un axe x x le pomt A d absmsse a 7—“ --- 2 et le point B d'abscisse b ='—'= + 3. Lmégahté -— 2 < i} c'est—àudire a < b ou 15-"- a > 0 exprime que ia>mesure algébrique AB = b -- a est positive. Elle montre que ie vecteur ABe le même sens que l'axe x'x, donc que le point B appartient à ia demi— dronte Ax. On voit de même que tout point M (x) se piace sur la demifldroite Àx' Ma) O M (ac) B(b) ,‘ - .L A 1&4 î a . x -4 —3 —2 —1 0 1 2 3 4 5 6 J? FIG.16. si x < —- 2, sur le segment AB si -- 2 < x < 3, sur in demiuciroite Bx S! x > 3. _ Réciproquernent tout point du segment AB a une abscisse comprise entre — 2 et + 3, tout pomt de la demiudrmte Ax' a une absusse Inférieure à -- 2 et tout pomt de 5x une absmsse supérieure à + 3. Lorsque le point mobile M décrit l’axe, son abscisse x augmente ou croît 31 ce pomt se déplace dans le sens x’x. Elle «iimmiie décroît si ce , pomt se déplace dans le sens xx’. 88. Théorème I. — On peut ajouter ou retrancher un même nombre aux deux membres d’une inégalité. Soit a > b, c'est-à-dire : a —- b > 0. Or, la difiérence (a + c) —— (b + c) est égale à a m 6 (11° 56), donc : (a+c)-(I>+c)>0. Soit: a+c>b+c. On peut donc ajouter le nombre c (ou retrancher le nombre n— c) aux deux membres de l’inégalité a > b. EXEMPLE. —- Soit l’inégalité: x + 5 > ——— y —-— '2’. Ajoutons le nombre y —5 aux cieux membres. (x+s)+(y—s)> (-‘—y-—7) +.(y—5) soit: x+y>--7—5. Les termes '-- y et + 5 ont ainsi changé de membre et sont devenus + y et —-5. Donc; Dans une inégalité on peut faire passer un terme d’un membre dans l'autre à condition de changer le signe qui le précède. Cette opération analogue à l'opération sur les égalités (n0 58, 3°) est appelée transposiiion et s’énonce de même : Tout terme qui change de membre change de signe.
64 ALGÈBRE 89. Théorème Il. — On peut ajouter membre à membre des inégalités de même sens. Les inégalités a > b; c > d; e > f sont de même sens (même signe >). Elles signifient que les nombres (a — b), (c —_d), (e — sont positifs; la somme de ces trms nombres est elle-même posmve; donc: (a—b)-+(c—d)+(e—f)>0 ou (n°57): a—b+c—d+e— >0 soit: (a+c+e)—-(b+d+ )>0 ce quientraîne: “a+c+e>b+d+f. On peut remarquer que le théorème subsiste si l'une des inégalités est remplacée par une égalité: Si l'on a: a>b; c=d; e>f on a aussi: a+c+e>b+d+f. .90. Théorème III. — 10 On peut multiplier ou‘Îdiviser les deux membres d’une inégalité par un même nombre positif en conser- vant le sens de cette inégalité. 2° On peut multiplier ou diviser les deux membres d’une‘iné- galité par un même nombre négatif à condition de changer le sens de l’inégalité. l0 Soit: a>b ce qui signifie: a—b>0. I Multiplions le nombre positif a -— b par un nombre positif m; le produit m (a — b) est positif. Donc: m(a—b)>0 ou ma—mb>0 Soit:ma>fnb. I a > b I entraîne l ma > ml) I pour m > 0. EXEMPLES: Soit -— 7 > —- 8, Iîultiplions les deux membres par -I- 2. Nous obtenons : - > — 16 Soit de même: +%>—-ä. Multiplions les deux membres par + 6. Nous obtenons: + 10 > — 2| . 2° Soit : a > b ce qui signifie a — b > 0. Multiplions le nombre positif a — b par le nombre négatif m; le produit m (a— b) est négatif. Donc: m(a—-b)<0 ou ma—mb<0. Soit:ma Soit:ma Soit:ma entraîne pour m < 0. EXEMPLES: Soit l’inégalité: f2 < Multiplions les deux membres par — 4. Nous obtenons: x > — 2.
INÉGALITÉS 65 Soit de même: -— x < — 5. l Multiplions les deux membres de l'inégalité par — l. Nous obtenons: x > 5. REMARQUE. —_ Multiplier les deux membres d'une inégalité par — l revient à changer de Signe ses deux membres (n0 69). ' Donc : Si l’on change le signe des deux membres d’une inégalité, il faut aussi en 'changer le sens. o CC EXERCICES —— Comparer les nombres algébriques suivants: 392.+2et—5; +îet—î; +3et0; Oet 9. 393. + 7 et + 6; — 5 et— 9; —3 etL—3,5; —O,54et——O,57. 3. 2. _ë _ë. _ _lZ. _ _1_5 394. +4et+3, 5et 7, 3et 3, 5et 2. E._ _9. _E __12. 3_.4 35 395. +2,54et+ 8, 1,3et 7, __12 et 13, +43 et+44. 396. Quels sont les nombres a: qui vérifient à la fois les deux inégalités suivantes: < 3 et :c < — 1? Interprétation graphique : Comparer la position sur un axe, du point M d’abscisse a: par rapport aux points d’abscisses + 3 et — 1. o 397. Quels sont les nombres a: qui vérifient à la fois les deux inégalités a: < —— 1 et x > — 5‘? Interprétation graphique. o 398. Existe—t—il des nombres x qui ’Vérifient à la fois les deux inégalités a: > 0 et x» < 2? Interprétation graphique. 1° La double inégalité —-Ë < a: < + 2o L’une ou l’autre des inégalités x > ä ou a: < Â-? 399. Quels sont les nombres'x qui vérifient à la fois: 1° La double inégalité 2 < a: < 6? 2° L’une des inégalités x < 3 ou a: > 5? Interprétation graphique. 400. Existe-t-il des nombres a: qui vérifient à la fois: 10 La double inégalité —— 3 < a: < — 1? 2° L’une ou l’autre des inégalités a: < — 4 ou a: > 0? Interprétation graphique. 401. Quels sont les nombres x qui vérifient à la fois les inégalités suivantes: > 0; x < 5; æ < 3 et a: > 2? Interprétation graphique. 402. Quels sont les nombres :1: qui vérifient à la fois: 2 3? . 12 Interprétation graphique.
TREIZIÈME LEÇON EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES 9l. Variable. — On appelle variable toute quantité qui peut prendre diverses valeurs. L’âge d'une personne, la distance parcourue par une auto, la température de latmospbère au cours d une Journée sont des variables. Il est commode de représenter ces variables par des lettres. 92. Correspondance entre variables. Si la largeur x d'un terrain rectangulaire varie de 20 m à 30 m et si le demi-périmètre de ce terrain mesure 100 m, sa longueur est une variable y telle que : y= 100—1; (I) A une largeur x comprise entre 20 m et 30 m, correspond une longueur y comprise entre 80 m et 70 m et donnée par la formule (î). De même la longueur x d'ùne pièce d’étoffe et son prix y, le prix du mètre étant donné, sont des variables correspondantes; la distance d parcourue par une auto qui roule à 80 km/h et le temps t pendant lequel elle a roulé, sont des variables correspondantes, etc. 93. Expression algébrique. — C’est un ensemble de nombres donnés et de variables sur lesquels sont indiquées des opérations à efl‘ectuer. 2__ .____._ EXEMPLEszy=Zax2—3bx u=:_â v=a—-\/62—c2. y, u et v sont des expressions algébriques. Ce sont ellesîmêmes des variables dont la valeur dépend des valeurs attribuées aux variables figurant dans chacune d'elles.
EXPRESSIONS ALGÊBRIQUES 67 Une expression algébrique est rationnelle quand elle ne contient pas de lettres sous un radical. Slnon elle est irrationnelle. Une expression rationnelle est entière si elle ne contient pas de dénomi- nateur littéral. Dans le cas contraire elle est fractionnaire. â a2 -— b V3 est une expression entière. x-I-_l x+3 est une fraction rationnelle. 2x + \/x2 + 7 est une expression irrationnelle. 94. Valeurs numériques d’une expression algébrique. La, valeur numérique d’une expression algébrique, pour un ensemble de valeurs attribuées aux lettres qui y figurent, s obtient en remplaçant chaque lettre par sa valeur et en effectuant les opérations indiquées. Ainsi pour a = + 4 et b = —5, l'expression Mg?) a pour valeur numérique : 2X4 4+5:24 3 . On dit que l’expression est définie pour a = + 4 et b = — 5. Parfois il est impossible de calculer la valeur numérique d'une expression. Ainsi pour x = + l, les expressions 1 et \/x — 2 n'ont pas de valeur numérique : elles ne sont pas définies pour x = + l. Dans ce qui suit nous supposerons toujours que les expressrons enVIsagées sont définies. )(Lorsque deux expressions ont même valeur numérique, quelles que soient les valeurs attribuées aux variables, elles sont équi- valentes. (a + b)x et ax + 6x sont deux expressions équivalentes. 95. Calcul algébrique. ' Le calcul algébrique a pour but la transfor- mation des expressrons algébriques en expressrons équivalentes. Simplifier ou réduire une expression, c'est l’écrire sous une forme équivalente plus Simple, et par conséquent plus facrle à calculer numériquement.
68 ALGËBRË MONÔMES 96. Définition. — Un monôme est une expression algébrique dans laquelle les seules opérations à efiectuer sur les variables sont des multiplications ou des élévations à une puissance. Ainsi: ga2b3x, — a2 (— 4)b2 (— c), (2 + a2 x (— y) sont des monômes. La valeur numérique d’un monôme peut toujours se calculer, quelles que sorent les valeurs attribuées aux varlables. Pour a = —2, b = + 3, x = — l le monôme ä a2b3x a pour valeur numérique : gx(—.2)2><(+3)3><(—l)=—-ä><4><27> gx(—.2)2><(+3)3><(—l)=—-ä><4><27> 97. Réduction d’un monôme. — Soit le monôme : (— 4) a2b2 a 63x2. ,Nous pouvons modifier l'ordre des facteurs, puis remplacer plusieurs d entre eux par leur produit effectué. Nous obtenons: (— 4) X a2a.bzb3.x2 puis ____;.‘ a?» 55 x2 Le monôme a été réduit: a"'b5x2 est la partie littérale du monôme. —Ê—; est le coefficient numérique du monôme. , (Il faut éviter de confondre, dans un monôme réduit, le coefficient avec lexposant de lune des lettres.) Le coefficient numérique n’est pas toujours apparent: a3x3y a pour coefficient + l. — azby a pour coefficient —- l.
EXPRESSIONS ALGÊBRIQ UES 69 98. Monômes identiques. —- Lorsque deux . monômes sont équiva- lents, ils ont même forme rédu1te. On dlt alors qu llS sont identiques; llS ont même partie littérale et même coefficœnt. Ainsi les monômes : (— 2) a l) (-l— b3x2 et a _(+ 4) 62 (- b2x2 I ' \ 2 ne redulsent tous deux a: -- â ab4x2. Ils sont identiques. 99. Monômes semblables. — Deux monômes sont semblables lorsqu’ils ont la même partie littérale. Ainsi : l5 aabzc, -— 7 a3b2c et â a362c. sont des monômes semblables. 100. Somme algébrique de monômes semblables. —— Considérons In somme algébrique de plusieurs monômes semblables: 4 02x3y a2x3y +2 a2x3y. Cette somme est le développement du produit équivalent (nO 63): (4 —â + â) azxay obtenu en mettant entre les parenthèses la somme des coefficients. La somme algébrique proposée est donc égale au monôme: 2 a2x3y. 4 La somme algébrique de plusieurs monômes semblables est un monôme semblable à ces monômes dont le coefficient est égal d la somme algébrique des coefficients des monômes considérés. La réduction d'une somme de monômes semblables se ramène donc à celle. des coefficxents. Ml. Degré d’un monôme. On appelle degré d’un monôme par rapport à une lettre l’expo- sant de cette lettre dans le monôme. -8 3 degré en x; alf’"x2 est du premier degré en a, du quatrième degré en b et du second
70 ALGËBRE On appelle degré d’un monôme par rapport à plusieurs lettres la somme des degrés par rapport à chacune de ces lettres. galæ‘l‘x2 est du cinquième degré (1+ 4) en a et b- du troisième degré É] + 2) en a et x du septième degré I + 4 + 2) en a, b et x. EXERCICES — Calculer la valeur numérique de 0403.3a2—2a+5 poura=+4,——2et—.1. 0404.3æ2—5x+7 pourœ=+3,+5et——3. 0405.4x3—12x2—4x+7 pouras=+5,———3et+ä. 2 __ o 0406.2:2î—ëlä—b+3—%—7 pourx=+3,——2et+5. 7 — 3 æ 2 (a: ——— 2) 5 407. — = , —— . o 12 + 3 +4 pouræ +4 +2et 3 0408.(Œ2+1)2-—x4—2Œ2 pourœ=—1,+äet—â. o 409. (a'4‘+1)(a2—1)+4a2 poura——3,+3et—lâ. 2 _ 2 2 0410.(x+y)‘ xyœ +y) pourx=—5ety=+2. .411.—‘fi:—a—b—— poura=+7etb=—2. a2 — 2 ab + b2 o 41.2. Vérifier que, pour a = — 5 et b = + 3, les expressions suivantes ont même valeur numérique : a _ 2 ÿ_+_b_3 2 _ b a ab+b, a+b et (a+b) 3a. o 413. Même exercice pour a = + 4 et b = —— l avec les expressions : 4 4 _ 2 2 .(a + b)"(a——b), (a2—b2) (a + b) et a +2 b2“ b. o 4’14. Peut-on calculer pour a = + 5 et b = -— 2 la valeur numérique de l’expres- sion. a3+2ab——3b3 a (a — 1) —— 5 b2' . , . _ 3a“3 + 5b” o 415. Même exercice pour a = 1 et b = + 2 avec l expressron . ———————— 4a3— b9°
EXPRESSIONS ALGÉBRIQ UES 7l ——- Réduire les monômes suivants et calculer leurs valeurs numériques : o416.<—ä—>a2æx(—3y)><<+ä> poura=—3,x=+2,y=——1. o417.xyX<—ä—>x3xäa2 poura=+5,æ=——2,y=+3. 2 2 3 a 2 2 _ _ _ 1418.—ÿa X ——Z xy x —5 ax poura—+3,5,æ—+3,y—-—2. I 3 2 2 2 4 _ _ _ 0419.(———g XG bœX(——:c) poura——4,b———1,æ——2 8 2 5 225 _ l -_ _ë 0420.43: x(—3y)X<—-ë axy poura——2,:L—+4,y—2- — Eflectuer les sommes de monômes suivantes: 2 1 3 5 o 421. 3ax—2aæ+4ax—6aæ. o 422. — Ê azbæ + :11 azbœ — ä azbçc + îlo asz. o 423. — â a2b3x + â azbsx — :51 a2b3x. o 424. a2b3æ4y —ä a2b3x4y + î a2b3x4y. o 425. Dire quels sont les degrés des monômes suivants: 2 —— ä azx, Î ab3x2, — a4b5y, —— g a°x3y2. 1° Par rapport à la lettre æ, puis par rapport à y. 2° Par rapport à l’ensemble des lettres :v et y, puis par rapport à l’ensemble (les lettres a, b, a: et y.
QUATORZIÈME LEÇON POLYNÔMES 102. Définition. — Un polynôme est une somme algébrique de plusieurs monômes. Chacun de ces monômes constitue un ‘ terme du polynôme. EXEMPLES : 3a2b -—- ab2 —— a3 + 4 b3 2x—x3 +5—gx2. Lorsqu’un polynôme, contient seulement deux termes, on l'appelle un o A ,0 I 0 , ° A bmome. S Il contient trms termes, c-est un trmome. 2x3 —5x est un binôme. 4x2 — 3x + 5 est un trinôme. La voleur numérique d’un polynôme s’obtient en faisant la somme des valeurs numériques de chacun de ses termes: Ainsi pour: x = —-2 le trinôme 2x2 —3x + l est égal à: 2 (—2)2———3 (—2)+l=8+6+l=l5. 103. Réduction d’un polynôme. — Considérons le polynôme. 7x3 +8x—3 +4x—2x3—5x +2. Croupons les termes semblables et remplaçons chacun de ces groupes par le monôme équivalent. Nous obtenons: 7x3—2x3+8x+4x—5x—3 +2 ou: (7—2)x3+(8+4—5)x+(—3+2). Soit finalement : 5 x3 + 7x - l. Le polynôme ainsi obtenu; est équivalent au polynôme proposé et ne contient plus de termes semblables. On dlt que le polynôme a été réduit ou que l'on a fait la réduction des termes semblables.
POLYNOMES 73 104. Polynômes identiques. -- Lorsque deux polynômes se composent, après réduction, des mêmes termes, on dlt qu’ils sont identiques. Les polynômes: —3+x2—-5x et —5x—3+x2 sont deux polynômes identiques. On passe de l'un à l'autre en modifiant l'ordre des termes. On démontre que deux polynômes équivalents sont identiques. 105. Degré d’un polynôme. — Levdegré d’un polynôme réduit, par rapport à une lettre‘f (ou à plusieurs lettres), est le degré du monôme de plus haut degré par rapport à cette lettre (ou à ces lettres). x 2x—3 + 4x2 est du second degré en x. x‘iy3 -- 3x4y5 - ny4 est de degré 6 en x, de degré 5 en y et de degré 9 en x et y. Contrairement à ce qui se passe pour un monôme le degré par rapport deux lettres n’est pas obligatoirement la somme des degrés' par rapport chacune de ces lettres. Lorsque tous les termes d'un polynôme ont même degré par rapport plusieurs lettres on dit que le polynôme est homogène par rapport à ces lettres. 2x3 — 4.1ry2 + x2y est un trinôme homogène du troisième degré en x et y. 93’ 93’ m; 106. Polynômes ordonnés. — Considérons un polynôme à une seule variable, c est-à-dlre contenant une seule lettre: 3x2 — 2x —I- 4 -— 5x3. O Il est logique d’écrire les termes de'ce. polynôme de façon que leurs degrés aillent smt en augmentant son en dlmmuant. 4—2x+3x2—-5x3 ou ——5x3+3x2—-2x+4. Dans le premier cas le polynôme est ordonné par rapport aux puissances Croissantes (le x et dans le deux1ème cas il est ordonné par rapport aux puis— sances décroissantes de x. Un tel polynôme est complet s'il y figure un terme de chaque degré. Le polynôme mcomplet du 3e degré Jç3 — 2x + l peut d’allleurs s'écrire: x3+0x2—-2x+l ou x3+°—2x+l en remplaçant le terme manquant en x2 par 0x2 ou par un point. Un polynôme à plusieurs variables peut être ordonné par rapport à l'une de ces variables. d x2y - 3xy + 4x — 2 est ordonné par rapport aux puissances décroissantes e x.
74 ALGÈBRE 2x3 '— 3.xzy — 4xy2 + y3 est un polynôme homogène du 3e degré en x et y ordonné Simultanément par. rapport aux puissances décrmssantes de x et par rapport aux puissances crmssantes de y_. 107. Somme de polynômes. — Soit à additionner les polynômes: 02 +5a—7b, 602+3b—2 et —4a2+5b_—-3. La somme de ces polynômes s’écrit : (a2 + 5a—7b) + (602 +3b—2) + (—4az + 512—3). Cette expression a, quelles que soient les valeurs numériques données aux lettres, même valeur que le polynôme obtenu en supprlmant les paren- thèses (n° 57). a2+5a—7b+6a’+3b—2——4a’+5b—3. La somme de plusieurs polynômes est équivalente au polynôme formé par tous les termes de ces polynômes. Nous pouvons d'ailleurs, clans l'exemple envisagé, réduire le résultat: nous obtenons : 302+5a+b-5. 108. Différence de deux polynômes. La différence des polynômes 3a2 + 6a — 7b et 2a2 -— 4a -— 3b s'écrit : (3a2 + 6a — 7b) — (2a2 —- 4a — 3b). Cette expression a même valeur numérique que le polynôme obtenu en suppnmant les parenthèses (n° 57). 3a2+6a—7b—-2a2 +4a +36. Par suite ce résultat est équivalent à la somme: (3a2 + 6a -— 7b) + (- 202 + 4a + 3b). D'où la règle: Pour retrancher un polynôme il suffit d’ajouter le polynôme symétrique obtenu en changeant les signes de chacun de ses termes. Une somme algébrique de polynômes se ramène ainsi à une suite d'addia tions. 109. Somme algébrique de polynômes à une variable. l1 est bon dans ce cas d'ordonner ces polynômes et de les compléter s'il y a heu. On peut alors les disposer, comme pour une addition numérique, l'un
POLYNOMES 75 film-dessous de l'autre. en faisant correspondre verticalement les termes sem— ) ables : EXEMPLE. — Soient les polynômes : /\=2—5x+4x’3 B=—8x+4x2+6 C=-—2x3+3+x2+2x. Pour calculer la somme algébrique S = A — B + C on écrit: A = + 4x3 0 — 5x + 2 —-B= 0 —-4x2 +8x —6 C=—2x3 + x2 +2x +3 S= 2x3 —3x2 +5.: —l La réduction des termes semblables est immédiate et on obtient un résultat ordonné. EXERCICES — Réduire et ordonner les polynômes suivants: _ë Ë __ a E_ËI n .426. 2x+4x 333+6 2:1:+5+4a:. a o427.ëæ3+æy+y'—2æy+î——êœ'. 2 3 2 2 3 1 2 2__ __ 2 _ _ __ 2 0428.41: 3a 5a+3a 5a 15a. o 429,43x2-1—Ê—âx—2æ3—Êæ3+4—2x2+7x. 0,430.4æ2—g+-Ëx—— [0101 x2+âx3—5+äx3+7—2æ. 2b+ à . 431. azb +3 a3 — 4 au;2 + b3 —— b3 + 2 ab2. [C ICI [le'l o\ 432. Soient les deux polynômes : A = 3 æ? — 7 x3 — 2 a: + 2. B =4x —6:I:2 + 5æ3—2. Calculer A + B. Vérifier en calculant les valeurs numériques de A, B et A + B pour a: == 2. o 433. Mêmes données que pour l’exercice précédent: Former A — B. Vérifier pour æ — 3.
76 ALGËBRE — Réduire les expressions suivantes: 434. ——5:c4+ 3—êœ3) + (_gx3—2x)_(7æ9—Ëx + 5x4). o 3 5 435. (12æ3+2Œ2—5æ+ 13)+(3x+5—4æ3)—(5x3—8+2x2). 436. (a3—3a2b+ 3ab2—b3) + (a3 + 3a2b + 3ab2+ b3)—(6 ab2—3a3). — Effectuer: 437. (33—5) + [2x—5—(3x—2y + 4)—(4x—3y—9)]. 438. (2œ—5y+ 7)—[(3:c+2y—3)—(4x+4y—2)]—[2x—(3 y + 4)]. 439. [cc—2g + 5)—(.3x + 2g + 7>1—[(2x + 3>—(4y—2)1. 440. Soient les polynômes: A=3x2—4x+5 B=2x9+5x—4 C=4æ2—x+3. FormerlespolynômeszA+B+C,A+B—C,A—B+Cet—A+B+C. 441. Soient les polynômes : A=5a*‘——3ab+7b2 B=.6a2—8ab+9b2 C=4a2——3ab—7b9. Formerles polynômeszA—B—C, —A—B+Cet—A+B—C. 442. Soient les polynômes: = 2 :135 — 3 x2 + 4 a: R=4æ5—2æ3+3x——1 S Former les polynômes : (P+Q)*—(R+S), P—Q—R+S. (P—Q)+(R-S)
QUINZIÈME LEÇON MULTIPLICATION DES MONÔMES ET DES POLYNOMES 110. Produit de deux monômes. — Soient les monômes: A: â ax3y2 et B=-42a4x5. Le produit de ces deux monômes s'écrit: A.B. = ax3y2) >< (— Za4x5). Or pour multiplier deux produits, nous pouvons former le produit unique contenant tous les facteurs de ces deux produits (n0 63). Nous obtenons: A.B. = È a.x3.y2 (— 2) a4.x5. Soit en réduisant: Aa=—gùv. D'où la règle: Le produit de deux monômes est un monôme dont : 1° le coefficient est le produit des coefficients de chacun des facteurs, 20 la partie littérale est formée des lettres contenues dans les deux monômes, chacune d’entre elles ayant pour exposant la nomme de ses exposants dans chacun des facteurs. Remarquons que cette règle s'étend immédiatement au produit de plusieurs monômes : EXEMPLE : azxay) x (—ä ay‘) >< (2 x5112) = —â >< ê >< 2 a’xay-ay‘-x5y' — Ë aaxsy".
78 ALGËBRE 111. Carré d’un monôme. -- Soit le monôme —-â ax‘y”. Nous obtenons immédiatement : (-â WÏ = (- â s‘y“) >< (-% m‘y”) __._ _ a ast. a: il asxsys_ ( 3) 9 _ Pour obtenir le carré d'un monôme, il suffit de prendre le carré du coeffi— c1ent et de doubler l'exposant de chaque lettre. On obtiendrait de même le cube du monôme précédent: (— â w)“ ——- <— ê)” = 112. Produit d’un polynôme par un monôme. — Soit à effectuer le produit : (azx3 — 5x + 3a) (—- Z 03x). En supposant les d'iflérents termes remplacés par des valeurs numérigues, nous avons à multiplier une somme par un nombre (11° 63). (Je produit est donc équivalent au polynôme: (a’xa) (—- 2 03x) + (— 5x) (-- Zasx) + (3a) (—— 203x). Soit : — 205x4 + IÛa’äc2 —— 604x. 113. Produit de deux polynômes. -— Soit à calculer: (3x2 —- 2x + y) (3x —- y). En supposant les termes (les deux polynômes remplacés par des valeurs numériques, nous avons à effectuer le produit de deux sommes (n0 63), et nous voyons que ce prodult a même valeur numérique que le polynôme: (3x2) (3x) + (— 2x) (3x) + (y) (3x) + (3x2) (- y) + (—- 2x) (— y) + (y) (—' y). Soit : 9x3 —- 6x2 + 3xy -- 3x29: + ny —— y2 ou : -— 3x2? + 5ry -— 652 -— yz. 114. Produit de deux polynômes à une seule variable. Soient les polynômes : A=3x3—2+5x B:- 2x2—4x+3. Pour effectuer leur produit, on les écrit en les ordonnant l'un au-dessous de l'autre et on calcule les produits partiels du premier par chacun des termes du second en disposant les résultats comme pour l’addition (11° 109).
MULTIPLICATION DES POLYNOMES 79 A=3x3 - + 5x —2 B: 212 —— 4x___+ 3 A X 2x2 = 6x5 o + uoxa :252“ A X (.— 4x) = '_ l2x4 o 20x2 + 8x A X 3 z 9x3 ' + l5x —6 A X B = 6x5 --12x4 +1913 -—24x2 +23x —6. , On obtient immédiatement le résultat réduit et ordonné. Remarquons Ëautre part que le degré du produit est la somme des degrés de chacun des acteurs. 115. Produit de plusieurs polynômes. —— Soit à effectuer le produit des trms polynômes suivants: À=3x2—-l; B=2x+l; C=4x2—2x+l. On calcule: A.B=(3x2-—l) (2x -l- l)==6x3+3x2—2x—l. Puis: A.B.C. = (6x3 +3x2—2x— l)‘(4x2—2x +1). Soit: A.B.C=24x5—8x3+3x2—l. .Le produit est d’ailleurs indépendant de l'ordre des facteurs et o_n peut par su1te remplacer deux quelconques des polynômes par leur produit effectué. Le degré du prodult est la somme des degrés de chacun des facteurs. 116. Carré, cube d’un polynôme. —— Soit le polynôme: 2x — y. (2x —— y)2 = (2x — y) (2x —- y) = 4x2 -— ny — ny + yz. Soit : (2x -- y)2 = 4x2 — 4xy + y2. Nous obtenons de même : (2x - y)3 = (2x —- y)2 (2x - y) = (4x2 — 4xy + yz) (2x — y) = 8x3 -- 8x2y + ny2 -- 4x2y + 4xy2 — Soit : (2x -- y)3 = 8x3 -— l2x2y + 6xy2 - y3. 117. Exemple de calcul. pratique. — Soit à calculer l'expression : A=3 (2x—3) (3x +2)——Z (x+4) (4x—3) +9x (4—x). Cette expression est une somme de produits. Il faut calculer d’abord chacun de ces produits: 3 (2x—3) (3x+2)= (6x—9) (3x+2)= l8x2—l5x—18 -—2 (x +4) (4x—3) = (—2x—-8) (4x—3)= — 8x2—26x +24 9x (4 — x) = 36x -— 9x2. L’expression A est donc égale à : 18x2— l5 x—18—8x2—26x +24 -l-36x—9.7c2 Soit: A=x2—5x+6.
80 ALGËBRE EXERCICES —— Effectuer les produits suivants: 443. (3 a2b3) (Ë ab5). o 444. (Ë a3b2c> (—— -3- abc4>. 3 5 4 y 445. a2xy3> (— g a3y4). o 446. (— â x2 ) _ Z 2 __ 3 2)  a) _ Ê 2>2 __ 2 449. < 2 ax y < 15 b xy (21 abx . o 450. < 3 :cy ( 4 a: y). À42)_2 23) '_1_424) :12)3(_ë> < abx< 7aœy < 5bxy .o452.<5xy ‘ 4xy. -— Calculer les expressions suivantes: 2 2 5 3 3 3 453. (— 5 ab3> . o 454. (ä a2b3x4) . o 455. (—— ë a4b3y2> . 7 l 2 9 2 6 3 456. a3b5x3) . o 457. (— z a4b2æ5) . o 458. (— Ë aœ4y5> . —— Eiïectuer les produits suivants: 46 O ë2__ë __éza) ë2ê_>_4 5) 459. <2ab 4ab,+3a>( 3ab . aœ +2bx 4c < 5aba: . 4 461. azx —— 3ay — 4by> (4a3x2y). o 462. <——äæ5 + (—239134). 463. (2æ—3y)(4œ—2). o464.(2a+3b)(———4a+6b). 465.(——4œ+3y+1)(y——3). o466.(—2a+3b—5)(a——b). 467. (2 :63 -— 3 y2 + 5) (332 — y). o 468. (4 a3 — 5 b4 + ab) (a2 — b). 469. (5æy + 3x—2y)(2x—y). o 470; (—3æy + 4x—2y)(a: + 5). 471. (14 a2b + 5 a2 — b) (a2 — 2 b). o 472. (7 a3b—4 b2 + 2a3) (2 a3 + 4122). 473. Soient les polynômes: A = — 2 x2 + 3 æ + 5 ct B = x2 — a: —l— 3. 1° Calculer le produit A.B. 2° Vérifier, pour a: = — 3 en calculant les valeurs numériques de A, B et du produit A.B.
o 474 MULTIPLICATION DES POLYNOMES :A=.’c2-—3x+2. . Soit le polynôme 81 1° Calculer le carré, puis le cube de ce polynôme. 2° Vérifier pour x dcs résultats trouvés. — 4, en calculant les valeurs numériques du polynôme et —— Effectuer les produits suivants, réduire et ordonner les résultats: 475 477 479 481 483 .(2œ—7)(—3æ+2). o . (5x3—2x)(3x—4x2). .<—2æ+â>(4x+3). . (7x4—2x3+4æ2)(3x2—5). . (2x2—4+2x)(x2+5——2x). —— Calculer les expressions suivantes : 0.485. (2x+3) (3x+2) (as—4)._ o o 487. (3 x2 -—— 1) (a: + 1) (a: —— 1). o o 489. (2 :02 + 3 a: — 4)2. 0 o 491. (7 a: —— 5)3. o 476. (4 x5 + 7—2x3)(x3—2x). 478. (2x— 7x2 + 5x3) (31:— 5æ2 + 8). ë _ë 2 3'_ 2 480. (33: 2x +5)(4œ 5x +7). 482. (2 :132 — 4 :133) (:1:2 —— 2 x). ë 3_ l Z 3_2 2) 484. (4x 2œ+2) (2x 3ac+x . 486. (5x—1)(2x+ 3)(7+4:c). ___92 2__ (a: 5) (5 x 1) (5x + 3). 490. (4 333—73: + 2x2 + 5)2. 492. (x2 — a; + 2)3. 488 . — Développer et réduire les expressions suivantes : 494. 495 . 496. 497. 498 . 499 . 500 . 2 3 493. 5(3 a2—'—4b3)——[9 (2 az—b3)—2(a2—5 123)]. 3a2(2b——1)—[2a2(5b—3)——2b(3a2+1)]. (2a+5b)(3a——2b)——(2a—1)(3a+2b)—(a—2b)(5b——1). (2x—3y><5x—2y)—<3x—2y)(2æ+1>—(5x—y)(3y+1). (axé—b)(ax2—2b)+3b(ax2—b)+ b(b——1). (œ—1)(æ—2)(x—3)+6(x—1)(x———2)+7(:c—1). (x2 + .112) (ms—112) (as—y) + avycv3 + .113)- —x2y<2x2—=ä)—2x2(2æ2—1)+ (ma—ä) <1—g> (2x2—1).
| SEIZIÈME LEÇON l IDENTITÉS REMARQUABLES 118. Définition. —- Une identité est l’égalité de deux expressions algébriques équivalentes. Une identité est donc vérifiée quelles que soient les valeurs attribuées aux. 9 0 ’ a o ’ lettres. Ces lettres pourront d allleurs representer Indifieremment des nombres ou des expressmns algébriques. 119. Carré de la somme de deux termes. —— Soit à calculer (a + b)‘3 : (a+bz=(a+b) (a+b)=a2+ab+ba+b2. En réduisant nous obtenons l’identité : {(a+b)2=a2+2ab+b2|. (1) APPLICATIONS. —— 1° Calculer (3x + 5)2. Remplaçons dans l’identité (Î) a par 3x et b par 5, nous obtenons : (3x+5)2=(3x)2+2 >< 3x >< 5 +5°=9x2+3ox+25 2° (2x2 + 3y)2 = (2x2)2 + 2 >< 2x2 >< 3g -'r- (3y)2 = 4x4 + 12x254 + 9142; 3° (ä-axz +âby>2 = (ê «2)2 + 2 (ê «2) (îby) + (36-102 4 9 = a2x4 + â- abxzy + Ë bzyz. 120. Carré de la différence de deux termes. (a—b)2= (a—b) (a—b)= aznab—ba + [72 Soit = | (a — 192 = .12 — Zab + 62 |. (2)
IDEN T1 TÊS REMARQUABLES 83 Remarquons que cette identité est une conséquence de l'identité ll suffit de remplacer + b par '—-b et par suite + Zab par —2ab. Le terme + b” ne change pas car (— b)2 = + 62. EXEMPLES. — l° Calculer (2x —3)’. Remplaçons dans l'identité (2) a par 2x et b par 3, nous obtenons: (2x—3)3== (2102—2 >< 2x X 3 +3’=4x’-— l2x+9. b Ce résgltat s'obtient aussi en remplaçant dans l'identité (l). a par 2x et par — : ' (2:;-3'=(2x)3+2x2x><(—3)+(—-3)'=4x’—l2x+9 ’ __Z _ ’_ 2 Z Z ' 20 (39 5y3)—(3x’) 2X3x><5y3+(5y”) =9x4—152x2y3+ï45y°. 121. Produit de la somme de deux nombres par leur différence. Soit à calculer (a + b) (a — b) nous obtenons: (a+l>) (cl—b): az+ab— ab—b’. Soit en réduisant : l(a+b)(a—b)=a’—b’ EXEMPLES : l0 (2x +5) (2x—5)= (2x)2—-5’= 4x3—25 20 42 2 2 2 _ 2 2 2 a (“+äy)(4“—äy)*(4”) —(äy) = W .. g 122. Autres identités. — Les identités suivantes pourront être vérifiées h litre d'exerc1ces: (a-+b+'c2=a2+bz+c2+26c+2ca+Zab (a + b)3 = a3 -l- 3a25 + 3062 + b3 (a —- b)3 = a3 —- 3a2b + 3a62 -- b3 (0+6) (az—ab +52): 034—53. (a—b) (a2 +ab +152): a3—b3. (x+a) (x+b)=x2+(a+b)x+ab. ll suth d'effectuer les calculs indiqués dans le premier membre pour ulttflllll‘ le second. Signalons aussi les identités suivantes qui sont des consé- qucnces des identités (l) et (a + l3)a + (a -- b)2 ==_2 (a’ + 52) (a + b)” — (a -- b)’ =:4ab.
84 ALGËBRE 123. Sommes de plusieurs termes. l0 Soit à calculer : (2x —3y +5)2. Si on ne veut pas employer la première identité du n° 122 on peut écrire (2x -- 3y + 5)2 = [(Zx — 3y) + 5]2 = (2x — 3g)2 + IO (2x -— 3y) ‘I- 25. Soit: (2x -— 3y + 5)2 = 4x2 — ley + 9y2 + 20x -— 30g + 25 2° Soit à calculer : (2a + 5b + 3) (2a + 5b — 3) Ce produit est égal à: [(Za + 55) + 3] [(2a + 5b) — 3] = (2a + 5b)2 — 32 Soit: (Za + 5b + 3) (20 + 5b — 3) = 4a2 + 20ab -I— 2562 — 9. 124. Applications au calcul mental. 1° Carré d’un nombre terminé par 1 ou 9. (4l)2=(40+l)2=(40)2+2>< 40+12=1600+80+l=1681 (29)2= (30—l)2=(30)2—2 >< 30+ 12: 900—60+ l = 841. '20 Carré d’un nombre terminé par 5. — Soit d le nombre des dizaines. Le nombre considéré s'écrit: lOd + 5. (lOd+5)2= (10.1)2 + 2 >< 5 >< 104+ 52: 100.12 +1004+ 25. = 100d (d+ 1) + 25 Soit = [(10.1 + 5)2 = d (d + l) centaines + 25 unités J. On voit ainsi que: 752 = 7 >< 8 centaines + 25 = 5 625 1252 = 12 X l3 centaines + 25 = l5 625. 30 Produit de deux nombres différents. 32 >< 28= (30+2) (30—2):= 900— 4= 896 28 >< 22=(25 +3) (25—3): 625— 9= 616 57 >< 43 = (50 +7) (50—7)= 2500—49: 245|.
IDENTITÉS REMARQUABLES 85 EXERCICES — Vérifier les identités suivantes: 501. 502 . 503 . 504 . 505 . 506 . 507 . 508 . 509 . 510 . 5’11 . â(a+b)2+-;—(a——b)2 =a2+b2. <“ Ë 'Ο— (a? ’32 = ab' (a—b) (a3 + azb + ab2 + b3) =a4—b4. (a + b) (as—azb + ab2—b3) =a4—b4. (œ2+:c+1)(:c2——x+1) =x4+x2+1. (aa' + bb')2 + (ab’—a'b)2 = (a2 + b2)(a’2 + b”). (x—1)(œ+1)(x2+1) =(x——1)(æ3+æ=+x+1)=x4—1. a(b——c)+ b(c—a)+c(a—b) =0. a(bz—cy)+ b(cx—az)+c(ay—bx) =0. (x+y)3—3æy(x+y) =x3+y3. (æ+y)3+2(=v3+y3) =3(æ+y)(x2+y’)- —— Utiliser les identités classiques pour développer les produits suivants : 512. 2 2_._ë 2. 2 ë) 514.(5x 4y>(5x +4y. 5’16. -518. 3 3 2 2 (Ex _5y2>_ . 513. il. 5 2 3)2 (3x +5y . 223_l 4>223 l 4). (Ban: 2by (3aa: +2by 2 4 2 4 <3x—5y—1> <3æ+5y+1>. 2 o 519. (ëx—äy+z). 2 o 515. \ (3x+4y+5)(3œ+4y+5). o 5'17. (3x+4y—2z)2. — Développer et réduire les expressions suivantes: 520 . 521. . 522. 523 . 524. 525 . (a+b)(a+œ)(b+æ)—a(b+x)2——b(a+æ)3. bc(b—c)+ca(c——a)+ab(a——b)+(b—c)(c—a)(a——b). (a + b+ 0)[(a—b)' + (b—C)’ + (0-— ‘0']- (b—0)(Œ—a)'+(c*-a)(Œ—b)'+(a—b)(æ—c)'o (a+b)'+(b+0)'+(c+a)'—(a+b+c)'o a'(a—b)(a—-c)+ bI(b—c)(b—a)+cI'(c—a)(c—b).
DIX-SEPTIÈME LEÇON I DIVISION DES MONÔMES ET DES POLYNÔMES 125. Définitions. —- Le quotient exact de deux monômes ou polynômes A et B s'indique par l'expression — appelée fraction rationnelle. B Lorsqu'une fraction rationnelle Ê se réduit à un monôme ou à un polynôme on dit que le polynôme (ou monôme) A est divisible par le polynôme (ou monôme) B. EXEMPLE I. — L'égalité : 3 a‘xay = Zaaxy X â ax’ montre que le quotient de 3a‘x‘y par 2 aaxy est le monôme 32- ax'. Nous pouvons écrire: 4 s 3a‘x3y: Zany ou êzîâ-y == ä axzo EXEMPLE II. -- L'égalité : 6a3x2y — 5a3x“ + 2a‘x2y = Zazxz. (3g -— â x2 + ay) permet d'écrire : 6 3 2 —— 5a3 4 + 2 4x2 5 axy 203; a y=3y_ëx2+ay_ EXEMPLE III. — L’égalité: 6x3+3x2+8x +4: (2x+ I) (3x2+4) montre de même que: 6x3+3x2+8x+4_ 2x+l —3x’+4. Le quotient de deux polynômes est parfois un polynôme ou un monôme.
DIVISION DES MONOMES ET DES POLYNOMES 87 DÉCOMPOSITION EN FACTEURS 126. Définition. — Un polynôme étant donné, il est souvent utile de pouvoir l'écrire sous forme d'un produit de facteurs (monômes et polynômes). Ainsi l'expression : Zazx + 4ab peut s’écrire : 2a2x + 4ab = 2a (ax + 26). _ Cette opération est appelée décomposition en un produit de facteurs ou plus Simplement factorisation du polynôme donné. 127. Mise en facteur d’un monôme dans un polynôme. — Consi— dérons le polynôme: ' 603x2y — 5a3x4 + 2a4x2y. Tous les termes sont divisibles par axz. Nous pouvons donc écrire: 6a3x2y —- 5a3x4 + Za4x2y = ax2. (6a2y — 5a2x2 + 2a3y). On dit que le monôme a):2 a été mis en facteur commun ou factorisé dans le polynôme. De cet exemple, résulte la règle suivante: Le monôme de plus haut degré possible pouvant être mis en facteur dans un polynôme est formé des lettres communes à tous les termes du polynôme, chacune d’entre elles étant affectée de son plus petit exposant. Le coefficient de ce monôme est d’ailleurs arbitraire. Ainsi dans l'exemple précédent nous pouvons mettre - 3a3x2 en facteur: 6a3x2y — 5a3x4 + 2&ny = — 3a3x2. (—- Zy + â x2 -- â ay). 128. Autres procédés de factorisation d’un polynôme. Il n’v a pas de procédé général applicable à tous les cas pour mettre une expressmn _en facteur dans un polynôme. Les procédés les plus employés sont les suivants : 1° Utilisation des identités remarquables. 4x2— l2x2+ 9 ? (2x)2—2 >< 2x >< 3 +32: (2x—3)2 ==x2—52=(x+5) (x—5 x — 3 25a2x4 — 462 = (5 ax2)2 -—- (2(2)2 = (5a):2 + 26) (5 ax2 -— 2b). 20 Groupement des termes ayant un facteur commun. ax+by+ay+bx=(ax+ay)+(bx+by)=a(x+y)+b(x+y) =(a+b) (x+y) x2—-ax+bx—ab=x (x—a)+b (x—a)=(x—a) (x+b) a (x2+l)+x (a2+l)=ax2+a2x+a+x=ax (a+x)+(a+x) =(ax+l) (a+x).
88 ALGÈBRE 3° Utilisation successive des méthodes précédentes. a2 +172---c2 +206:— (a2 +201) +b2)—c2= (a + [2)2—-c2 =(a+b+c) (a-l-b—c) x2— 12x +20: (x2— 12x +36)— lô= (x---6)2—-42 = (x—6 +4) (x—6—4)= (x—Z) (x— IO). REMARQUE. -— Pour décomposer un polynôme, il faut toujours commencer par la mise en facteur du monôme de plus haut degré possible, puls essayer ensu1te l’une des méthodes précédentes. FRACTIONS RATIONNELLES 129. Définition. — On appelle fraction rationnelle une fraction dont les deux termes sont des monômes ou des polynômes. l . 3x._- . 2&2 xz' 2x +3' 3x2—5x sont des fractions rationnelles. La valeur numérique d'une fraction rationnelle est le quotient de la valeur du numérateur par celle du dénominateur. Par sulte, une fraction ration— nelle ne peut se calculer lorsque la valeur du dénominateur est nulle. Ainsi (nO 125): . . o 2x ‘I AmSI, la fraction n a pas de sens pour x = 5. x —— 5 Dans ce qui suit, nous ne considérons que les valeurs des lettres pour lesquelles les fractions enVISagées sont définles. 130. Propriétés. — Nous admettrons que toutes les propriétés des rap- ports numériques (n°5 70 à 73) sont valables pour les fractions rationnelles. Les règles de simplification, réduction au même dénominateur, et celles des opérations subsistent donc. 131. Simplification d’une fraction rationnelle. -— On décompose ses termes en facteurs puls on lelse ces deux termes par leurs facteurs communs: EXEMPLES: Io Zgäyf‘ 2: 203 âges? 1.: âge? 3x35;2 3x2 >< xy2 3x2 20 3x2—6x_ 3x (x—Z) _ 3x x2—4 _(x+2) (x—2)_x+2 3x2—27___3(x+3) (ac—3): ___ 30 x+3 x+3 3(x 3).
DIVISION DES MONOMES ET DES POLYNOMES 89 On voit, d’après le dernier exemple, qu’une fraction rationnelle se réduit parfors à un polynôme. 132. Réduction au même dénominateur. —— On choisit comme déno— minateur commun un multiple commun à tous les dénominateurs: EXEMPLES: _5 . . 4_x_ 3x — I, '° 14’ 21 et 6 . . i. 4_x 3x —— I . 5°“ ' 2.7’ 3.7 et 2.3 On peut prendre pour dénominateur commun le produit 2 >< 3 >< 7 = 42. l_5__ ÿ; t 7(3x—I_) On obtient : 42’ 42 e 42 ÿ _ 6x l _ 2° xs’ 2(x+l) et xz-I-x Simplifions d'abord ces fractions: l 3x et l _ x ’ x + l x (x + l) Nous pouvons prendre comme dénominateur commun le produit : x (x + l). Nous obtenons a1n31 : x+l 3x2 et l _ x(x+l) x(x+l) x(x+l) Il_y a toujours avantage à obtenir le dénominateur de plus faible degré possrble. 133. Somme algébrique de fractions rationnelles. — On réduit les fractions données au même dénominateur. La somme a pour numérateur la somme algébrique des numérateurs obtenus et pour dénominateur le déno- minateur commun : . .2 __ac sac—I EXEMPLES. 1° Effectuer. l 4 2| + 6 Nous obtenons successivement: _5___4_x 3x—-l __ 5.3 2.4x 7.f3x-—l) 2.7 3.7 2.3 2.3.7 2.3.7 2.3.7 l5—8x-l-2l x—7_ l3x+8 2.3.7 _ 42 ' 2° Effectuer : {à +
90 ALGÈBRË Nous obtenons de même: l 3x l _ __ 3x2 l x + x + I .— x (x + Î) z:— x (x + + x (x_ÀF—_I—) _ =x+l+3x2—l = 3x2+x =x(3x+l)=3x+l' x(x+l) x(x-I-l) x(x+l) x+l 134. Multiplication et division des fractions rationnelles. --—- On applique les règles des no‘3 72 et 73: EXEMPLES: o g ail M@_mae+4bww ' 2>< 6 Xa2—1_2><6(a2—l) _4azfa+l)= 4a2(a+l) __ a2 _ —12(a2—I) 12(a—l)(a+l)—3(a-—l) 20 x2 _x+2= x2 > > x2(x-I) x2—l'x—l xg—l x+2 (xz—l)(x+2) x2(x—-l) x =e+nemne+æ=e+ne+fl EXERCICES —— Calculer les quotients de: 526. —-Ê a4235y2 par ax3y2. o 527. ï; (1‘1chñ par — Ê abzc3. l‘OIU‘ _.Œ527 1223 529—1326 . __ê 22 0528. 7aazy par 21axy. o . 20axy par 4aœy. o '_530. 3 a‘5x4y3 par —— Ê a4x2y3. o 531. —— â— :133y5z2 par 9—41 x3y2z, — Effectuer la division de: o 532. 14 a5—21 a3 + 3a2 par gaz. o 533. 7 (13:02 — 4 a2x + 8 a2œ4 par — 3 azx. o 534. — —13Ê azba;3 + l; ab3cL'4 — 5 aba:2 par abxz. _21 l o 535. a2b3œ2y3 + ä a3bœ4y —— ’7 (12mg2 par _— azbæy. —— Mettre en facteur le monôme de plus haut degré possible dans les polynômes : o 536. '5' 1:6 -—— 7 :123 — 4 565 + 2 CE2. o 537. 2 (1351:2 —— 4 axa + 7::a2xs‘ r . o 538. — (12b3a:2 a3bx4 + a'1b2œ3. e 539. âazb3x2y34+ asbx4y2 __ 70129694. l D‘IŒ C:
DIVISION DES MONOMES ET DES POLYNOMES 9l — Décomposer en un produit de facteurs les expressions suivantes: ,, 540. — .æ " 2 t. 542. v — Simplifier : o 554. »o 557. o 560. 3y2 __ 5 xzyz + xyg —5— a3x2 ——- .5 a3y2. 25 a2x4y2 —— 4 bzyz. (2:1: + 3)2—4(2æ + 3). (332—5)2 + (3x—5) (2x + 3). a(œ2+1)—x(a2+1). _ (a2+b2—10)2 ——— (a2-—-—b2———8)2. (9544. b 546. o 548. ,‘o 550. "o 552. o 541. e a o o e Ut ñ.‘ {D —— 2 a3b2æ n 3 a3bœ3 {ÇM 1:3 — a: ' — Calculer les expressions suivantes : . 563. o 565. o 567.-—-——-—— o 569. o 571. 2(2œ—-—1)___3x+ 1 ü 14 2a a(a—1) a ___2_33__ x+1 xz—l' 2__1' o 568. o 570. ——- Simplifier les expressions suivantes: o 573.‘ o 575. o 577. o 579. 3 a a2 ___ b2. o 574. o 578. o 566. o 572. o 576.- 18 abx2 —— 12 abx + 2 ab. ‘3 25 _*_ 2b2___a2b 2_ 4a“; 3 y V. (2x—3)2—(3x—5)2. . (5:1:2 + 3x—2)2——(4x2—3x—2)2. . (a2 + b2 —— 2)2 — (2 ab — 2)2. - 6119(2:2 + .112) + œy (et2 + b2). . (4 a3 + b2 — 9 02)2 — 16 a2b2. 232 .556_!0_a_x_u_. ‘—4a4x3y 6x2—4ax ' 9aœ—6a2° .562_æ*‘+2___g_t_1 133—1 ' «2+2 4æ+1 5+1 “5_" 15 M 3 2 1 2 2a+1—2a—1+4a2——1 "c 2 2 Η1——+—Ηx3——1 33—2 — 1 1 5+2x—x+2+5 1 50—2 2 x+3x<æ+1 ac _ 5 ' æ” (a:+3)(œ+ 1) 1 4 az—b2 (13——abxan>< 5 °
DIX-HUITIÈME LEÇON EQUATION DU PREMIER DEGRÉ A UNE INCONNUE 135. Définitions. — On appelle équation une égalité qui n’est vérifiée que par certaines valeurs attribuées aux lettres qu’elle contient. Ces lettres sont les inconnues de l'équatlon. ler EXEMPLE. L’égalité : 3x — 7 = 8 est une équation _à une inconnue. Les deux membres ne sont égaux que si on attribue à cette inconnue la valeur x = 5. Cette valeur s'appelle la racine de l’équation. 2e EXEMPLE. L’égalité : 2x — 3y = 7 est une équation à cieux inconnues; les deux membres sont égaux si on attribue à x la valeur 2 et à y la valeur -— l. Le système de valeurs x = 2, y = — l est une solution de I équation. En général: On appelle racine d’une équation à une inconnue toute valeur de cette inconnue pour laquelle l’équation devient une égalité numérique. On appelle solution d’une équation à plusieurs inconnues tout système de valeurs attribuées à ces inconnues, pour lequel l’équa- tion devient une égalité numérique. Résoudre une équation, c'est en trouver les racines ou les solutions. Nous utiliserons à cet effet les théorèmes sur les égalités N°3 58 et 69. 136. Théorème. I. — On peut ajouter ou retrancher une même expression aux deux membres d’une équation. De l’équation: 3x+7-—x2=28—x2—-2x on peut déduire la suivante, en ajoutant l'expression x2 + 2 x aux deux membres : 5 4x + 7 = 28.
ËQUA TION DU PREMIER DEGRÉ A UNE INCONNUE 93 Ire APPLiCATION. — Dans une équation on peut faire passer un terme d’un membre dans l’autre, à condition de changer le signe qui le précède. Soit l'équation : 3 x + 7 = 28 -- 2 x. (l) Ajoutons 2 x -— 7 aux deux membres: 3 x+7+2 x—7=28—Z x+2 x—7. Soit: 3x+2x=28—7 (2) Les termes —— 2 x et + 7 de l’équation (l) ont changé de membre et sont devenus + 2 x et —- 7 dans l'équation Cette opération se nomme trans- posmon. 2e APPLICATION. — DEGRÉ D’UNE ÉQUATION ENTIÈRE. Si les deux membres d’une équation sont des polynômes, on dit que l’équation est entière. En faisant passer tous les termes dans le ler membre, l'autre se réduit a zéro. Le degré, par rapport à l’ensemble des inconnues du polynôme amsn obtenu dans le Ier membre, est le degré de l’équation. Ainsi : 3x + 7 = 0 est du premier degré 4x2 — 5 x — l = 0 est du second degré 5x —- 4 y + 7 = 0 est du premier degré xy -|— 3x —- 4y — l = 0 est du second degré. 137. Théorème II. — On peut ajouter ou retrancher des équa- tions membre à membre. Ainsi des équations: 5 x—Z y = 3 x + 2 y = 5 on peut déduire la suivante: (5 x—Zly)+(x+2y)=8 soit : 6 x = 8. 138. Théorème III. — On peut multiplier ou diviser les deux membres d’une équation par un même nombre difiérent de zéro. x -|— 5 x -— 3 _ x 4 6 — 3 (l) on peut, en multipliant les deux membres par 12, déduire la suivante: 3(x+5)—2(x—3)=4x (2) Ainsi, de l'équation:
94 ALGËBRË Ire APPLICATION. — On peut supprimer les dénominateurs d’une équation en multipliant ses termes par un multiple commun des dénominateurs. _ L‘exemple précédent montre en effet qu’on passe de l'équation (I) à l'équa- tion (2) en multipliant les termes de la première par 12, multiple commun de3,4et6 2e APPLICATION. — On peut simplifier une équation en divisant ses termes par un même nombre différent de zéro. Soit: 25x—20=I5x+l0. Divisons les deux membres par 5: 5 x—4=3 x+2. 139.. Remarques. -- 1° Lorsqu'on multiplie les deux. membres d’une équation par une expressmn qu1 contient l’mconnue, l équation obtenue peut admettre des racmes qu1 ne vérifient pas l’équation primitlve. Soit l'équation : 3 x —— 2 = 0. (l) Multiplions les deux membres par x -— I : (3 x—Z) (x—l)=0. (2) On Vérifie que x = I est racine de l'équation (2), mais pas de l'équation 2° Lorsqu’on divise les deux membres d'une équation par une expression 0 a ,0 ’ ’ o o o o o o qu1 contient lmconnue, lequation primitive peut admettre des racmes qu1 ne vérifient pas la nouvelle équation obtenue. Soit l'équation : x2 — 5 x = 3 x. (I) Divisons les deux membres par x: x — 5 = 3. (Ï) On vérifie que x = 0 est racine de l’équation (I), mais pas de l’équation 140. Résolution de l’équation entière du premier degré ‘a une inconnue. Ier EXEMPLE. - Soit à résoudre l'équation: 3 (x+4)—-5 (x—Z)= 4 (3 x— I) +82. Réduisons chaque membre; nous obtenons: 3 x+ 12—5 x+10=12 x—4+82 soit: —2x+22=12x+78.
ËQUATION DU PREMIER DEGRÉ A UNE INCONNUE 95 Faisons passer les termes qui'contiennent x dans le premier membre, les termes indépendants de x dans le deux1ème (théorème I): —2 x—IZ x=——22+78. ou : — I4 x = 56. Divisons les deux membres par -—- l4 (théorème HI): = soit x = — 4. L'équation proposée ne peut avoir pour racine que x = —4. Vérification: 3 (—4 +4)——5 (—4—2)=4 (— 12— I) +82 ou : + 30 = + 30. Donc: x = --4 est racine de l’équation proposée. ' 3_ï:_4. _ E _ i, 2e EXEMPLE. SOIt . 5 — 3 l5 Multiplions les deux membres par 15 (théorème HI). 3 (3x—4)=5x—4 soit: 9x—|2=5x—-4 ou (théorème I) : 9x —- 5x = 12 -—- 4 soit: 4x = 8_ Divisons les deux membres par 4, on voit que: x=â=2. UIIN Il Sic» , . . _ L ___ _ _ _ Verification . 5 —— 3 15 ou 141. La marche à suivre est donc la suivante: 10 Supprimer _les dénominateurs (s'il y a lieu) en multipliant chaque terme par un multiple commun des dénominateurs. 20 Réduire les deux membres de l'équation obtenue. 30 Faire passer dans un membre les termes qui contiennent l’inconnue et dans l’autre membre les termes qui ne la contiennent pas. 40 Pour obtenir la racine , diviser le terme connu par le coeffi- cient de l’inconnue. 50 Vérifier que le nombre ainsi trouvé est racine de l’équation.
96 ALGÈBRE EXERCICES -— Quel est le degré des équations suivantes? 581. (433—1)2 =(2x + 3)2. 582. 2:c(:z:+5)—(:c——3)2 =0. 583. (2x—1)2+(x+3)2—5(x+7)(x—7) =8. 584. (x+1)3+2(x—1)3+x3—3x(x+1)(œ—1) :0. ——— Résoudre les équations suivantes: 585 . 586 . 587. 588 . 589 . 590 . 5(2x—3)—4(5x—7) =19—2(æ+11). 4(a:+3)—7œ+17 =8(5x—1)+166. 17—14(x+1)=13—-4(æ+1)——5(æ—3). 5œ+3,5+(3x—4) =7x—3(x—0,5). 7(4x+3)——4(:c—1)=15(x+0,75)+7. 17æ+15(:c——1) —1—14(3æ+1). — Résoudre les équations suivantes- (æ—1)2+(æ+3)2 =2(x—2)(x+1>+38. 5(æ2—2æ—1)+2(3œ—2) =5(œ+1)2. (9x+1)(:c—2) =(3:c+4)(3æ—5). 7(3—2x)—5œ(2œ——1)=(5x+3)(3—2:c). (3x—1)2—(2x+3)2+7 =(2æ+1)(2x——1)+x(x+7). (x+2)3+(œ—2)3+(x +1)3 3(x+1)(x—2)(æ+2). 591 . 592. 593. 594 . 595 . 596 . — Résoudre les équations suivantes: 5 7a:_ g 597.2:c+3——4 —x 4. x
ÉQUATION DU PREMIER DEGRÉ A UNE INCONNUE 97 æ 333—1 3—:1: 3gœ+3_) 1 5x+9 7x——9 607.———— — :1. . —= —— ° 5 6 + 4 ( ° 608 4 +2 3 4 233—7 x+11 2x—3 33—3 4x+3 6 . =— . —, = —1 . 09 5 + 2 4 o 610 3 6 4 7 V ——3 735—5 x+19 5x+1 x—l 4(2x—Ë 11. 0x —' = . _ -—- = _ 6 4 9 6 ' 612 8 3 9 293—1 5x+2 8x+2 32—11 5æ—3 3x—1 1 . -— = . -—— = .._. 0 6 3 3 ,_ æ+13 o 614 5 7 2 4 2x—7__æ—5_x—9 5x+7_3æ+5_4x+9_œ—9_ 615. 9 6 — 8 . o 616 4 8 __ 5 3 617_5x+6_3œ+1=x+16. . 618 4x+7 æ—5=2x:|—14 2x—7_ 7 4 5 5 6 3 9 —— Résoudre les équations suivantes : 619_(œ_—_1Mx_i_5)_(x+2)(œ+5) =(œ—1)(a:+2) 4 . 620 . 621 622 623 . 624 625 3 12 (:z:+12 (x—2Hæ—3}_(5x—1)(x——4) 2_8 3 + 2 — 6 + 3' (3œ+1)@æ—1)_(x-5Mx+1)-(9x—1)(x+3)+ë ' 9 2 ’ 18 9' (4x+7)2__(5x——1)2 _(8x——3)(3x+4)—79œ . 4 _ . 7 5 3 (x — (æ + 0,75) = (x + 4,5) (a: + 1,5) —— 56 145 3 C ___(3x+1)(3œ—1)——œ(œ+1). 15 .(3œ—Ê) (5512+ :15(a:——1)(œ+1)+1—75.
DIX-NEUVIÈME LEÇON ÉQUATIONS QUI SE RAMENE‘NT AU PREMIER DEGRÉ 142. Le premier membre est un produit de facteurs du premier degré, le second est nul. Ier EXEMPLE. Résoudre l’équation: (x—I) (3 x+ I) (x—2)=0. On sait que: pour qu’un produit:l de facteurs soit nul, il faut et il suffit que l'un des facteurs soit nul. L'équation donnée peut donc se décomposer en trms autres : x — I = 0 dont la racine est x = I 3 x + I = 0 dont la racine est x = —% x -— 2 = 0 dont la racine est x = 2. L'équation proposée admet 3 racines : x = I ; x = — à ; x = 2. 2° EXEMPLE. Résoudre l'équation: 5 x2 + 7 x = 0. Mettons x en facteur commun dans le ler membre: nous obtenons 3 x (5 x + 7) = 0 x = 0 racine x = 0. qui se décompose en : 5 x + 7 = O racine x ____ _ 5 L'équation proposée admet deux racines: x = O et x == 3° EXEMPLE. Résoudre l’équation: x3 — x = 0. Elle s'éCrit : x (“x2 — I) = 0 9g; x(x+l')(x—I)=O
ÊQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ 99 x = 0 racine x = 0 équation qui se décompose en : x + l = 0 racine x = — I x—I=0. racine x=l. L'équation proposée admet 3 racines: x = 0; x = — I; x = l. D'une façon générale : L’équation A.B.C = 0 (où A, B, C, désignent des facteurs du ler degré) admet pour racines celles des équations A = 0; B = 0; 143. Équations où l’inconnue figure au dénominateur. EXEMPLE. Résoudre l'équation: 2x x+ln x Elle n'a de sens que si les valeurs numériques des fractions 2x et x + l allai) existent, ce qui impose (n° 67) les deux conditions: x+ I #0 soit x;É-—I et xÿfo. Réduisons les deux membres au dénominateur commun x (x + I) 2x2 +3(x—I)(x+l)=5xfx+lè_ x(x+l) x(x+l) x(x+l) Nous pouvons multiplier les deux membres par x (x + l) (n° 138). Nous obtenons : 2x2+3 (x—l) (x+ l)=5x (x+l) soit: 2x2+3 (x2—1)=5x2+5x 5x2 — 3 = 5x2 + 5x. Retranchons 5x2 aux deux membres (n° I36); nous avons i - 3 = 5x 3 soit: x=—-- 5 Les conditions x ï 0; x i — I sont satisfaites; l'équation proposée a pour racme: 3 x=—- 5 ce qu'il est facile de vérifier. La règle suivante en résulte: Les racines de l’équation A = 0 (où A symbolise une fraction B B ratiognelle) sont les racines de l’équation A = 0 qui n’annulent pas
100 ALGËBRE 144. Retpafquç. Il .peut arriver qu'une équation n’ait pas de racines ou qu elle en ait une infinité. Dans le premier cas, on dit qu'elle est impossible, dans le second qu elle est indéterminée: EXEMPLE I. — L’équation : 3x — 5 = 2 (x -— l) + x s'écrit:3x—5=3x——2 ou: 3x—3x=5—2 ce qui donne : 0x = 3 soit: 0 _= 3 donc impossibilité. EXEMPLE Il. — L’équation : (x + 2)2 -— (x - 2)2 = 8 x s’écrit: x2+4 x—l—4—x2-I—4 x—4=8 x ce qui donne: 8 x=8 x ou: 8 x—8 x=0 soit : 0 x = 0. Ceci est vrai quel que soit x, donc indétermination. SYSTÈMES D’ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ 145. Équation à deux inconnues. — Considérons l'équation du pre- mier degré à deux inconnues: 3x + 4y = 5. On peut vérifier qu’elle admet pour solutions (n0 135): x=-l,y=+2. x=+l,y=% x=+3, y=—I, etc. Une équation à plusieurs inconnues admet une infinité de solu- .tions. A 146. Système de deux équations à deux inconnues. —— Considé— rons les deux équations du premier degré à deux inconnues: 2x—5y=—IZ; 3x+4y=5. Leur association constitue un système de deux équations à deux inconnues. Résoudre ce système, c’est trouver les solutions com- munes aux deux équations qui le composent. A cet efiet, on forme à partir du système donné une équation contenant . ç o o A g p 9 une seule inconnue; il faut donc faire disparaitre ou éliminer lautre. Nous utiliserons pour cela deux méthodes:
ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ 10] 147. Élimination par substitution. — Considérons le système : I 3x + 4y = 5 (I) 2x-—-5y=—12. (2) Dans l'équation (l), calculons y comme si x était connu: __ 5 — 3x Dans l'équation (2), remplaçons y par cette valeur; nous obtenons : 2x—5(5—ÎË)=—12. (4) , L'équation (4) contient la seule inconnue x. Résolvons-la; pour cela multi— plions ses deux membres par 4. On obtient: 8x—5 (5 —3x)=—48 8x—25+ l5x=—-48 Donc: 23x=-—-23 soit: x=-—l. Portons x = —- l dans l’équation (3); nous avons : y = 5T” = 2. On peut vérifier que le système (I) admet la solution à x = — l ; y = 2 La méthode de substitution consiste donc à calculer l’une des inconnues dans l’une des équations puis, dans l’autre équation, à substituer à cette inconnue la valeur ainsi trouvée. On réussit ainsi à éliminer une inconnue. 148. Élimination par addition. — Soit le système : 9x + Zy = l7 (l) 6x + 5y = — 7. (2) Les coefficients de y sont + 2 et + 5. Afin de les rendre opposés, multi— plions les membres de l'équation (l) par + 5 et ceux de l’équation (2) par —2 (n0 l38), puis additionnons membre à membre (n0 l37): 45x + IÛy = 85 — l2x — lÛy = l4 On obtient : 33x = 99 ce qui donne : x 4—: 3. Portons x = 3 dans l'équation (l) : 27 + 2y = l7 soit z y = — 5. Il est facile de vérifier que le système admet pour solution : x = 3 ; y = ‘- 5.
102 ALGÈBRE Remarguons que la valeur de y_peut aussi se calculer en éliminant x entre les équations (I) et _Les coefficœnts de x étant 9 et 6, les multlpllcateurs 6 et — 9 peuvent être Slmpllfiés et ramenés à 2 et —-3. 18x + 4y = 34 — 18x — I5y = 2| —Hy=55 soity=--5. La méthode d’addition consiste donc à multiplier les deux membres de chaque équation par des nombres choisis de telle sorte que les coefficients d’une des inconnues deviennent des nombres opposés. L'une des inconnues s'élimine alors par addition. EXERCICES —— Résoudre les équations: o 626. (æ—1)(x + 2) (su—3) =0. o 627. (x—3)(x——4) (x—5) =,0. o 628. (223+ 1)(:1:+1)(4æ——3)=0. o 629. (227+ 1)(x + 4)(3x + 1) :0. o 630. x(5x+1)(4æ—3)(3æ—4)=:0. o 631. 5æ(3x——7) =O. .632.x2—3æ=0. 0633.5æ2+8x=0. 2 0634.4æ2—7—:33:-=0. 0635.%+œ=0. 3x2 _ _5æ2_3_._'r_ 0636.-— 5 +œ—0. 0637. —7 4 ——0. o 638.x(a:+1)=x+1. o 639. (4æ—1)(x—3) =(x——3)(5:c+2). o 640.(x+3)(x—5)+(æ+3)(3a:—4) =0. o 641. 5(æ+1)(x+2)(æ——3) =4(æ+1)(x+2)(x—4). o 642. (œ+5)(4x—1)+:c2—25 =O. o 643. (x+4)(5æ+9)——x2+16 =0. 0644.æ2—9=0. 0645.5x2—125=0. o 646. 4x2—49 =0. o 647. xz—IOO =0. . 648. æa = 81. . 649. 9 x2 = 64. o 650. (æ + 1)2—(.?.:1:—5)2 = O. o 651. (2x + 7)2——(4:r—9)2 = 0. . 652. (5 a: + 1)2 = (æ— 1)2. o 653. (3 a: + 1)2 = (æ —— 4)2. o 654. 4(æ + 1)2——9(:c—1)2 = 0. o 655. (a: + 7)2—81(:1:—5)2 = 0. o 656. 5 x3 — 5 a: = O. o 657. (56+ 1)(œ——1)2——(æ+ 1)(x——2)2=0. . 658. 3 2:3 —— 12 a: = 0. o 659. (3x+ 1)(x——I3)2=(3x + 1)(2x—5)2. 0660.7x3—175x=0. o661.(x+5)(3a:+2)2=æ2(æ+5).
EQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ l03 423+? 12x+5 5x—1 5x—7 662. = _ _____ =____ ° x—l 3x+4 '663 3x+2 3æ—1 1032—3 2 2(3—7æ2 1 664. —— e =—«. . =—. ° x—l 3 ° 665 1 +51: 2 a:+5 œ—5 20 x+4 23—4 24 666. ———— =—————. 7. — = . . x—5 x_+5 æ2—25 .66 x—4 :c+4 x2—16 7 4 3 9 8 1 668. = . 6 . — = . . x—5 x+1+x—2 . 69:1: x+1+x—1 o 670 (av—3)2 = 3:3 t o 671 (x—4)2 = æs ' x+6° ' x+8° o 672. 4æ+5_‘x+4,5 ___5x+1. O 673- 5œ+9_3_:1_: =10x—1_8_ œ+2 3(œ+1) x+1 14 7 14(x—1) . 674. 4x2—2x+3=7œ2—3x+5. . 6.75. 4a: + 1 = a: + 2 O 423—3 7x——5 œ+2 4x+1 8x+5 3x+1 2x 1+æ—î—3 . -— =——. 677. —————— = , '676 12 433—12 3 ° 1_ æ 3 ‘ æ+3 —— Résoudre les équations en :c suivantes: 0678.5:c=m+1. 0679.(m2+1)x=4m-—5. o 680._(m—1)æ = a. o 681. ax—bæ = cx + 5. .682.mx+25=m2—5x. 0683.m(x+2)=x+a+2. o 684. Déterminer m pour que l’équation: 5 352—2 (m— 1) a: + m—3 = 0 soit vérifiée pour a: = 0; pour a: = —— 1; pour a: = + 1. o 685. Peut—on déterminer m pour que l’équation: m1: '+ (m — 1) a: :1; soit vérifiée pour a: = 0; pouræ = + 5; pourx = — 5? — Résoudre les systèmes: 5x+3y=19. {—5æ+y=10. {———11x+13y=24_ ' 686' É 2a: + 9g =31.‘ 687' x+3y =—18.° 688' 13æ+11y=—2. 4g;_3y=_10_ 5 7x+13y=—39. g 10x—49y=—48. ° 689' ï 293+ 5y =8. ‘ 690' t 5x—11y :33. ° 69" 15x+17y = 109. 13æ+21y = 123. g 7x + 36g =37. î 22x—12y=2. ' 692' Ê 15x—35y=—95. ' 693' 9x+108y=171. ' 694- 33x—15y=——3. 5E_H=2_ 345+ÊH=2,3. Ë_2_Ll=6. . 695, 3x 4 . 696. 4 à; o 697. x7 y 3 — =18. — =O,8. — = \ 5 +y .x 5 2+3 9 r” . 7:1: æ 1 L —0 5x+1,2y=2,7. 2 4 3 6 , 698. î ’ o 699. . 700. u x—4,5y=—7,5- Êx+5—«‘l=4 “’___H+ =l i 11 5 60
104 ALGËBRE -—— Résoudre les systèmes : o 701. o 703. o 705. o 707. o 709. o 711. o 713. î 5 ’W W w W «A, 5(x+2y)—3(æ—y) = 99. x—By =7æ—4y—17. 3(y—5)+2(œ—3) =0. 7(œ—4)——3(x + y—1)=14. 2:1:—5y_3:z:——7y=_55 3 y=2x. 11 4x—5y+1 + 3y—52 = 7 2 5x+9y+6_x+y=16_ 5 3 æ+y=7x—5ÿ+3œ—6 2 6 12 ' æ+6y x—2y = 4. 2. 7 + 31:5 t1- __‘ 5 + 11 —x+y 12. x_+_5 ELËJ=4 5 7 ' x+2__æ+1_ 8 {1—3 y+1—(y+1)'(y—3)' 2 5 ——16. 702. 704. 706. 708. 710. 712. 714. /'\,'\_/\ M com:lpnc c:Iî—à. M W w /w\ 8 (5'c + 1)2 + (y— 2)C a:2+y2 :1 AA ce ++ égto N l A a l à: N H (æz — 1) — (ac — 2)2. = (a: + 3)2—— (x— 3)2.
' VINGTIÈME LEÇON ' PROBLÈMES D’ALGÈBRE 149. Problème. — Quel nombre entier faut-il ajouter à la fois aux deux termes de la fraction Ê pour obtenir une fraction égale . 2 a -- ? 3 Désignons par x le nombre entier et positif inconnu. Nous avons '- â—+—x = ' 5 + x 3 9' 0 ' o \ , . Llnconnue satisfait a cette equatlon. Réciproquement, toute racine entière et positive de cette équation est une solution du problème. Nous avons, en réduisant au dénominateur 3 (5 + x): 3(3 +x)= 2(5+x). 3(5-I-x) 3(5+x) Nous pouvons supprimer le dénominateur commun: 3 (3+x)=2 (5+x) mit: 9+3x=10+2x ou: 3x-'—2x=IO—-9 x=l. Cette racine est la solution du problème. 3+I_4 2 Vérification : - = —° 5+l—6 3
l 06 ALGËBRE 150. Problème. — 21 livres sont empilés les uns sur les autres; la hauteur de la pile atteint 81 cm. Certains de ces livres ont une épaisseur de 5 cm; les autres une épaisseur de 3 cm. Trouver le nombre de livres de chaque sorte. Désignons par x le nombre des livres de 5 cm d'épaisseur; par y le nombre des lIvres de 3 cm d'épalsseur. Le nombre total des hvres est 2|. Donc: x+y=2l ou y=2|—x. (I) Les livres de 5 cm d'épaisseur ont, en centimètres, une épaisseur totale 5x; les hvres de 3 cm d'épalsseur ont, en centlmètres, une épaIsseur totale 3y ou 3 (2] —x). La hauteur totale de la plle est 81 cm. Donc: 5x+3 (2|—x)=81. (2) Réciproquement, t’oute racine entière de cette équation convient au pro— blème pourvu que lon alt x posxtIf et y posrtlf, sclt d après (I) x < 2]. Résolvons l'équation (2) : 5x + 63 — 3x = 8] ou: 2x=18 soit: x=9 et y=ZI—8=IZ. VÉRIFICATION: 12 + 9 = 2] (5 cm X 9) + (3 cm X IZ)= 8] cm. 151. Problème. — Les fortunes de trois personnes sont propor- tionnelles aux nombres 2, 3 et 5. En additionnant le triple de la première, le double de la seconde et la troisième, on trouve 5 100 F. Quelles sont ces fortunes? Désignons par x la fortune de_1a Ire, par y celle de la 2", par z celle de la 3°. Ces fortunes sont proportIonnelles aux nombres 2, 3 et 5, selt: E = H = ë l 2 3 5‘ () Désignons par r la valeur commune de ces rapports; nous avons: x=2r; y=3 r; z=5 r. Additionnons le.triple de la Ire, soit 6r, le double de la seconde, soit 6r, et la trOISIème, SOlt 5r. Nous trouvons: 6r+ 6r+ 5r= 5100, soit: I7r= 5100 _ 5 IOO_ et. r— ——]7 —— 300.
PROBLÈMES D’ALGËBRE 107 La Ire fortune est 300 F >< 2 = 600 F; la seconde 300 F >< 3 = 900 F; la troisième 300 F >< 5 = I 500 F. La vérification est immédiate. 152. Remarques générales. -- Des exemples précédents il résulte que la solution algébrlque d'un problème comporte: 1° le choix (le l’inconnue. -- choix doit entraîner la solution du pro- blème dès _que l_mconnue est déterminée. Dans le cas où le problème com- porte’ plumeurs inconnues, il faut: ' -— Ou bien exprimer ces inconnues à partir de l’une d'entre elles. Ainsi le problème du n° l50 comporte deux inconnues et nous avons exprimé l'une y à partir de l'autre x, à l'aide de l'équation y = 2l —x. — Ou bien exprimer toutes ces inconnues à l’aide d'une inconnue auxi- liaire. Ainsi le problème n° l5] comporte 3 inconnues et nous les avons exprignées à l'aide deîl'inconnue auxiliaire r sous la forme x = 2 r, y = 3 r, z = r. 2° la mise en équation. --Elle consiste àtraduire l'énoncé par une égalité où entrent les données et l'inconnue. Il faut aussi se demander quelles sont les conditions pour que toute racine deäl'équation obtenue soit une solution du problème. 3° la résolution de l’équation obtenue. — Ç'est la partie purement algébriqueÎdu problème. On vérifie ensmte sn la racme trouvée satisfait aux condltlons imposées Cl-deSSUS. 153. Interprétation d’une solution négative. — Un père a 43 ans. Son fils 23 ans. Dans combien d’années l’âge du père sera-t-il le double de l’âge du fils? Soit x le nombre d'années demandé; l'âge du père devient 43 + x, celui (lu fils devient 23 + x. Il faut donc: 43 +x=2 (23 +x). Réciproquement, toute racine positive de cette équation est une solution (lu problème. On obtient: 43+ x=46+2x 43-—4 =2x-—x noit: x=—3. Le problème est impossible. Cependant on peut interpréter la réponse de In façon suivante. Ajouter (—3) années à l’âge du ère et à l'âge du fils, c'est leur retrancher 3 ans. La réponse : 3 ans satis ait au problème si l'on convient d'en modifier ainsi l'énoncé : Il y a combien d'années l'âge du père {lait-il le double de l'âge du fils?
108 ALGËBRE EXERCICES o 715. Trouver 3 nombres entiers consécutifs dont la somme est égale à 57. o 716. La somme de 5 nombres impairs consécutifs est 85. Quels sont ces nombres? o 717. Un père a 29 ans; son fils a 5 ans; dans combien d’an-nées l’âge du père sera—t—il le triple de l’âge du fils? o 718. Un père a 41 ans; ses trois enfants sont âgés de 7, 9 et 13 ans. Dans combien d’années l’âge du père sera-t—il la somme des âges de ses 3 enfants? o 719. Trouver un nombre dont la somme des quotients par 5, 7 et 9 soit égale à 429. o 720. En retranchant 5 aux ä d’un nombre on trouve le même résultat qu’en ajoutant 2 aux Ê de ce nombre. Quel est ce nombre? o 721. Trouver un nombre dont le carré augmente de 189 quand on augmente ce nombre de 7. o 722. Quel nombre faut-il ajouter aux deux termes de la fraction i773 pour qu’elle devienne égale à â? 0-723. Quel nombre faut—il retrancher aux deux termes de la fraction g pour obtenir une fraction égale à g? o 724. Quel nombre faut: il ajouter aux deux termes de la fraction g et retrancher aux deux termes de la fraction â pour obtenir deux fractions égales? o 725. Une personne diSpose de 2 heures pour effectuer une promenade. Elle part en tramway à la vitesse moyenne de 12 km à l’heure et revient à pied, à la vitesse moyenne de 4 km à l’heure. A quelle distance du point de départ devra— t-elle quitter le tramway? o 726. Un épicier achète un certain nombre de bouteilles de Vin pour 225 francs. En vendant la bouteille 1,65 franc il gagnerait autant que ce qu’il perdrait s’il la vendait 1,35 franc. Quel est le nombre des bouteilles de vin? o 727. Un capital est lacé à 6 % pendant 18 mois. S’il était placé à 5 % pen- dant deux ans, les int rêts augmenteraient de 450 francs. Quel est ce capital? o 728. Deux capitaux dont l’un est les Ê de l’autre sont placés pendant 18 mois au même .taux 5 %. La somme totale ainsi obtenue, capitaux et intérêts réunis, est 90 300 francs. Quels sont ces deux capitaux? 9 729. Pour se rendre à son travail un employé parcourt les Ê de la distance totale en autobus à la vitesse moyenne de 20 km à l’heure, et le reste à pied à la vitesse moyenne de 5 km à l’heure. Sachant qu’il met 21 minutes pour se rendre à son travail, quelle distance totale parcourt-il?
PROBLÈMES D’ALGÈBRE IO9 o 730. A quelle heure entre 2 heures et 3 heures les aiguilles d’une montre sont— elles exactement l’une sur l’autre? A quelle heure font-elles un angle droit? o 731. Une automobile parcourt 207 km en 2 h 45 m. Elle perd les Ê de sa vitesse dans la traversée des agglomérations dont la longueur totale est 27 km. Quelle est la vitesse moyenne, sur route, de cette automobile? o 732. Deux automobiles partent à la même heure d’une ville A pour une ville B, la première avec une vitesse moyenne de 80 km à l’heure, la seconde avec une vitesse moyenne de 60 km à l’heure. Sachant que les heures d’arrivée sont 15 h 45 mn et 16 h 15 mn, trouver la distance des villes A et B. o 733. Une somme est partagée entre plusieurs personnes de la façon suivante : la première a 100 francs {plus le z du reste, la seconde a 200 francs plus le -1- du nouveau reste et ainsi de suite. Il se trouve que toutes les parts sont égales. Quelle est la somme partagée? Quelle est la valeur d’une part et le nombre de parts? o 734. Une personne a placé les Ë d’un capital à 5 % et le reste à 4,50 %. La première partie rapporte en 18 mois 360 francs de plus que la seconde en un an. Quel est le capital total? o 735. Un fil d’or et de cuivre pesant 83 grammes subit quand on le plonge dans l’eau une perte de poids de 7 grammes. Quelles sont les quantités d’or et de cuivre contenues dans ce fil sachant que les densités de l’or et du cuivre sont 19,5 et 8,8? o 736. Un mètre de drap coûte 7,20 francs de plus qu’un mètre de toile. Sachant que 10 m de drap et 12 m de toile coûtent ensemble 256,80 francs, trouver le prix du mètre de' chaque étoffe. o 737. Une fermière vend 3 canards et 4 poulets pour 75 francs. Sachant qu’un canard et un poulet valent ensemble 21 francs, trouver le prix d’un canard et celui d’un poulet. o 738. Deux ouvriers gagnent ensemble 57 francs par jour. En un mois, le pre- mier a travaillé 24 jours et le second 20 jours. Ils ont reçu ensemble 1 260,‘ francs. Quel est le prix du salaire journalier de chacun d’eux? o 739. Un commerçant a vendu 5 m de toile et 10 m de drap pour 195 francs. Une seconde fois, il a vendu 27m de toile et 23 m de drap pour obtenir 619 francs. Quel est le prix du mètre de chaque étoffe? f o 740. Un bateau fait sur un fleuve le service entre deux localités A et B. Cette dernière est située à 25 km 200 en aval de A. La vitesse du courant est de 3- km à l’heure et elle s’ajoute ou se retranche à la vitesse horaire du bateau =._suivant qu’il descend ou remonte le courant. La durée du trajet de A à B est les Ê de celle du retour. 1° Trouver la vitesse horaire propre du bateau. 2° Calculer le retard dû au courant sur la durée du trajet aller et retour. o 741. Un marchand a vendu une pièce de drap pou-r 1 224 francs, une pièce de soie pour 714 francs et une pièce de toile pour 510 francs. La longueur de la pièce de drap surpasse de 3 mètres celle de la pièce de soie et est inférieure de 6 mètres à celle de la pièce de toile. Sachant qu’un mètre de drap coûte autant qu’un mètre de soie et un mètre de toile réunis : 1° Trouver la longueur de chacune des 3 pièces. 2° Trouver le prix du mètre de chaque étoffe.
EXERCICES DE RÉVISION Calcul algébrique o__742._Qn donne 31L un axe quatre points A, B, C, D. Démontrer la relation: AC+BD=AD+BC. o 743. Soient sur un axe deux points A et B d’abscisses a et b. Calculer les abscisses des points M et N qui partagent AB en 3 parties égales. o 744. On donne sur un axe trois points A, B et C d’abscisses a, b et c. Trouver l’abscisse du point G tel que: ÔÎ + €157 + EE = 0. o 745. Soient sur un axe 4 points, A, B, C. et D. Démontrer la relation : AB.CD + BC.AD + CA.BD :- 0. o 746. On donne sur un axe 3 points, A, B et M. On désigne par O le milieu de AB. Démontrer les relations : —— —— —— —4 —- —— X5! l°MA+MB—2M0. 2°MA.MB—MO'—T. o 747. Soient 2 points A et B d’un axe, O le milieu de AB et M un point quelconque de l’axe. Démontrer les relations: __ ___ ____ "—Î __ _ __ __ 1° MA'+NH3' =2MO'+-AÎB. 2° MA'—MB' —2AB.OM. — Efleetuer les produits suivants: e 748. a2x3y2) bxzy“) (-— 10 azbsx‘yz). o 749. (2x + 3) (x—5)(3x + 1). e 750. (2æ3—3æ2+4æ)(4æ2+6x+8). o 751. (2æ—3y)2(x—y+1). — Calculer les expressions suivantes: 752. æ(x + 1) (a: + 2)—3(Œ—2)(33 + 2) + 2017—6). 753. (2a: + 3y)(2y—-1)—(2x—y)(5x—1)+(2m—3y)(5æ + 211). 754. (5x+3y)(3x——2y)+(5x+2y)(3y+1)—(5x—2y)(3a=+1). 755. (aœ—y)(aœ—2y)+3y(ax—y+1)—y(8y+3). —— Établir les identités suivantes: o 756. (a+b—c)"+(cI—b+c)2 =2a8+2(b_c)2_ e 757. (a+b+c)'—(a—b—c)' —4a(b+c)_
EXERCICES DE RÉVISION l Il 753. (a + b)3 + (a— b)” = 2 a (a3 + 3 b2). o .759. (ab + 1)2 + (a —— b)” = (a3 + 1) (b2 + 1). . 760. (ab + 1)2 -— (a + b)“ = (a2 -— 1) (b2 — 1). — Décomposer en un produit de facteurs les' expressions suivantes: 761. 12 aab — 3 b3. o 762. 48 :zz’3y2 —— 27 y‘. 763.æ2+6œ+9. 0764.3x2—30x+75. 765. (2 a: + 3)” — 49. o 766.. x2 — 10 x + 21. 767. (2 a — b)“ —- a3. o 768. (2 a + b)2 —— (a + 2 b)”. 769. (a2: + 1)2 — (a: + a)”. o '770. (ax + b)2 + (bx — a)2. — Simplifier les expressions suivantes: - 3—— 2 3 +2b)"—(a+2b)2 771.(“+b———°. .( a . o (a + c)2 _b2 o 772 (la—(J2 æ2—2œ+1 4x9—9 773. ——————. 74. . . x2—1 .7 4æ3+8æ—21 a+1 a—1 4a 2 1 2b 775.— — . . — ' a—1+a+1 a2—1 '776 2a+b 2a—b 4a2—b2 x2 1 2:1: x+1 2 æ—l 777. — . . ————— . . x—1+æ+1 œil—1 .778 x- x2+2x x+2 x+1__ x a—b+ 2b o' 779. —i—‘”+1. . 780. b a+b. 1_1_ x a+b__ 2b '1+a: a a+b o 781.. Soit les rapports égaux 511,. = 511, = Démontrer que chacun de ces rap- - _5a—3b+2c ports est égal à.5a,_3b, + 26,. o 782. Soit l’égalité% = 9. Démontrer que = d c2 + dz cd' o 783. Démontrer que si a, b, c, d, vérifient la relation (ad + bc)3 = 4 abcd, ces 4 nombres vérifient l’égalité ad = bc. o 784. Démontrer que si (a2 + b2) (c2 + dz) = (ac + bd)”, les 4 nombres a, b, c et d vérifient l’égalité ad = bc. a2 + b3 ab Équations du 1er degré -—— Résoudre les équations suivantes: x—l 4(2x—3)_5x+1 x+5 æ+9=2x+7 n 785. ————3 + 9 —— 8 . o 786.. ———6 + 8 9 . 533—9 7x—5 3x—143 1333—16 x—32_295—a:
I 12 ALGËBRE . 789. 3x1—8——2+2x4—5—9=:c;|63. . 790_ 4x7î7l—9_5x1—|:112=11œ2;—28_ o 791. #—%3=ä. o 792. x—Ï—È—l=3—‘ŸË. .793_5x4—7+3x8—5=9æ5—4. .794.4xg—1+3x2—1=10x7+63. o 795. æ;_3_œ—1—523=431—;x. . .796. 13x21—34__3x5—6—7=19—2:17œi — Résoudre les équations suivantes : " . 797. 3x7_1+2::â=6x1ï 5. . 798. 2—2(;:z)=1 +4ix. .799.æ33+x_4_5=xl4. .800.Ê:ïä=2(2î_3)+â. ' 801“ Æ—äiâz—ïïî' ' 802' 2(3x5+2)_2x1+3=3}è"1—m—Ï5' -— Résoudre les équations suivantes: .803.(2x-—3)(4x——12)=0. .804.x(x—7)(3x_2)=0. . 805. xz—(4œ + 5)2 = o. . 8062. (2x—3)2—(x + (5)2 = 0; .807'3——42x+x—î—3=2x1î)|—3' .808'x—Ë10+x——5-20=xî20‘ — Résoudre les équations suivantes où le nombre m est supposé connu : 8x—5m_5x—11m :78—x .809. 7 5 35 .0810.m(œ—m)=æ—1. o 811. î’æ—E)JE"—"—3( —1)_2x—1’g+3.. 812. x+ m2 + 1' =m(x+ 2). 813. Soit l’équation : 5œ—m_4x + m __ 7(3œ+4) 3 5 1'4 dans laquelle m est en nombre connu. 1o Résoudre cette équation. 2° Déterminer m de façon que a: = 1. 3° Calculer les valeurs de m pour lesquelles x > 3. Problèmes du 1er degré o 814. La somme de deux nombres. est 324. En ajoutant 26 à= chacun d’eux, l’un devient triple de l’autre. Quels sont ces deux nombres? o 815. La différence de deux nombres est 1' 032. Le quotient entier de ces deux nombres est 13 et le reste de leur division 48. Quels sont ces deux nombres?
\ EXERCICES DE RÉVISION 113 o 816. Deux cyclistes partent en même temps de deux villes A et B distantes de 200 km et vont à la rencontre l’un de l’autre. Ils se rencontrent au bout de 4 heures. Si le cycliste qui part de A était parti une demi—heure avant l’autre, la rencontre aurait eu lieu 3 h 48 mn après le départ du deuxième cycliste. QUelle est la vitesse de chacun d’eux? o 817. Un train a mis 36 secondes à passer devant un observateur immobile. Sa longueur est 300 m. Quelle est sa vitesse? Un second train met 24 secondes pour croiser le premier et passe devant l’observateur immobile en 18 Secondes. Trouver la longueur et 1a vitesse du second train. o 818. Deux cyclistes sont séparés par une distance de 54 km. S’ils allaient à la rencontre l’un de l’autre ils se rencontreraient au bout de 1 heure. S’ils allaient dans le même sens, ils se rejoindraient au bout de 9 heures. Quelle est la vitesse de chaque cycliste? o 819. Deux capitaux ont pour somme 3 000 francs. L’un est placé à 6 % et l’autre à 5 %. La somme de leurs intérêts annuels est 162 francs. Quelle est la valeur de chaque capital. o 820. Deux lingots d’or sont l’un au titre de 0,95, l’autre au titre de 0,8. On les fond ensemble en ajoutant 3 kg d’or pur. Le lingot ainsi obtenu est au titre de 0,906 et pèse 37,5 kg. Quel est le poids respectif des lingots primitifs? o 821. On veut obtenir 450 g d’un alliage d’or au titre de 0,83 en fondant des lingots aux titres respectifs de 0,8 et 0,9. Quels doivent être les poids de ces deux lingots? o 822. Un épicier achète 100 kg de café, une partie à 9,60 francs le kilogramme, l’autre a 11,20 francs le kilogramme. Il revend le tout pour 1 209,60 francs avec un bénéfice de 20 % sur le prix d’achat. Quels sont les poids respectifs de chaque qualité de café? o 823. Un terrain rectangulaire a 414 m de périmètre. Si la longueur augmentait du de sa valeur et si la largeur diminuait du de la sienne, le périmètre aug- menterait de 26 m. Quelles sont les dimensions de ce terrain? “o 824. La longueur d’un rectangle est supérieure à sa largeur de 21 m. Si on augmentait ses dimensions de 4 'm, la surface augmenterait de 492 m2. Trouver les dimensions de ce rectangle. o 825. Deux capitaux sont tels que le second surpasse de 2 300 francs les â du remier. En les plaçant à 3,6 %, le premier pendant 7 mois, le second pendant mois, l’intérêt du premier dépasse de 207,30 francs l’intérêt du second. Calculer les deux capitaux. u 826. Deux villes A et B sont distantes de 600 km. La tonne de charbon coûte 120 francs en A et 144 francs en B; et le transport coûte 0,15 franc par tonne et par kilomètre. Trouver le point situé entre A et B où le charbon revient au même prix, soit qu’il vienne de A, soit qu’il vienne de B. o 827. Une somme de 2 170 francs est partagée entre 2 personnes. La 1re ayant r t ' dépensé les â de sa part et la 2e les Ë de la sienne, il leur reste la même somme Trouver les deux parts. o 828. Deux cyclistes partent en même temps de deux villes A et B et vont à la rencontre l’un de l’autre. Celui qui part de A fait 6 km à l’heure de plus que l’autre et s’arrête â d’heure après chaque heure de marche. L’autre, qui part de B, n’a qu’un seul arrêt de 12 minutes. Les cyclistes se rencontrent au bout de 5 heures au milieu de AB. Trouver la distance AB et la vitesse de chaque cycliste.
l l4 ALGËBRE o 829. Partager une somme de 41 340 francs proportionnellement aux trois nombres 11,13 et 15. o 830. Les fortunes de 3 personnes sont proportionnelles aux nombres 2, 3 et 4. En additionnant la première, le double de la seconde et le triple de la troisième, on trouve 1 000 francs. Quels sont ces trois fortunes? o 831. Un cultivateur a vendu 2 880 francs sa récolte de blé et 1 440 francs sa récolte d’avoine. Le poids du blé surpasse de 16 quintaux celui de l’avoine. Sachant que le prix du quintal de blé est les g de celui du quintal d’avoine: 1° Trouver les quantités vendues de chacune des deux céréales. 2° Quel est le prix du quintal de chacune d’elles. o 832. Un automobiliste part à 8 h 40 d’une ville A et se rend à une ville B située à 39 km de A. Au retour il fait un détour de 21 km, mais sa vitesse horaire surpasse de 10 km sa vitesse à l’aller, si bien que la durée du trajet retour est égale aux â de la durée du trajet aller. 1° Calculer la vitesse de l’automobiliste à l’aller et au retour. 2° Il s’est arrêté 1 h 26 mn en B. Quelle est l’heure de son retour en A? "o 833. Un chemisier a acheté deux lots de chemises identiques. Il vend le pre- mier lot pour 576 francs en réalisant un bénéfice de 2,40 francs par unité. Il vend une partie du deuxième lot pour 180 francs avec un bénéfice de 3 francs et le reste pour 252 francs avec un bénéfice de 2 francs par chemise. Sachant que le nombre de chemises du deuxième lot est les î de celui du premier lot: 1° Trouver le prix d’achat d’une chemise. 2° Trouver le nombre de chemises vendues à chaque fois. o 834. Un cycliste effectue un trajet comprenant 36 km de terrain plat, 24 km de montées et 48 km de descentes.. Dans les montées sa vitesse horaire moyenne diminue de 12 km et en descente elle augmente de 15 km. Sachant que la durée du trajet en terrain plat est le tiers de la durée totale du trajet : 1° Trouver la vitesse horaire du cycliste en terrain plat. 2° Quelle est la durée totale du trajet et la vitesse moyenne réalisée. o 835. Un automobiliste part à 8 h 20 d’une localité A pour une ville B située à 192 km de A et où il doit arriver à une heure déterminée. Il calcule la vitesse horaire moyenne qu’il doit réaliser, mais arrivé à mi-route, il s’aperçoit que sa vitesse horaire a été inférieure de 12 km à la vitesse prévue. Il accélère son allure et arrive à l’heure fixée, en effectuant dans la deuxième partie du parcours une Vitesse horaire supérieure de 18 km à la vitesse prévue. 1° Calculer la vitesse moyenne réalisée sur le parcours entier, puis l’heure d’arrivée. 2° Quel était à mi-route le retard de l’automobiliste?
GÊOMÉTRIE
I GËOMETRIE PREMIÈRE LEÇON RAPPEL DE DÉFINITIONS 1. Droite. — Segments de droite. — Deux points donnés A et B définissent une droite (image d'un fil fin tendu). La droite AB (fig. l), que l'on peut prolonger indéfiniment, partage le plan en deux régions appelées demi-plans. La portion de la droite xy comprise entre A et B est le segment AB. Les prolongements de ce segment sont les demi-droites Ax et By. Deux segments de droite sont égaux s'ilssont superposables. Le milieu O du seg— ment AB est le point qui le divise en deux segments égaux : 0A = 0B = ë AB. x A Q l3 5/ à l3 Ç r FIG. 1. FIG. 2. Si B est un point du segment AC (fig. 2), ce dernier est la somme des seg— ments AB et BC. On écrit: AC: AB + BC et l'on a: AB < AC ou AC > AB. La . longueur d'un segment AB est aussi appelée distance des points A et B. 2. Angles. — Les demi-droites 0A et OB sont les côtés de l'angle saillant AOB (fig. 3) et le point 0 est le sommet de cet angle. Un angle délimite deux portions de plan, l'une (I) intérieure, l'autre (Il) extérieure à l'angle. Deux angles sont égaux si on peut les superposer. Les angles AOB et BOC, de même sommet et situés de part et d'autre de leur côté commun OB sont dits a/JjËents 4). L'angle AOC est la 0 somme de ces deux angles: fi + B = AOC et KO\B <
IIB GÉOMÉTRIE La bissectrice 0M de l'angle AOB (fig. 5) est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles adjacents égaux: m: W: à B C B 0 (D B Blssectrice M 50mm“ Intérieur 0 0 Extérieur A A A FIG. 3. FIG. 4. FIG. 5. L'angle plat AOB (fig. 6) a ses côtés alignés. Sa bissectrice OC le partage en deux angles droits : û = B/O\C = ID. On dit que la demi-droite 0C est perpendiculaire à AB. Tous les angles plats étant égaux, il en est de même de tous les angles droits. c c: B .c 1° 90° i i A 0 B 0 0 A FIG. 6. FIG. 7. FIG. 8. L'angle droit se divise en 90°, chaque degré en 60' et chaque minute en 60 '. Donc: ID = 90° et un angle plat vaut 20 = 180°. Un angle saillant est aigu s'il est inférieur à ID (fig. 7), obtus s'ilîest supérieur à ID (fig. 8). 3. Angles associés. — 1° Deux angles complémentaires (fig. 9) ont pour somme un angle droit (ID ou 90°). Deux angles supplémentaires (fig. 10) ont pour somme un angle plat (2D ou 180°). Deux angles donnés sont égaux lorsqu’ils ont soit le même complément, soit le même supplément. 2° Soient 0M et ON les bissectrices des /d&1x arglei adjacents supplé- mentaires AOB et BOC (fig. 10). L'égalité AOB + BOC = 180° entraîne: àîgîg+àäôî=90°donœñ0î=90ï Les bissectrices de deux angles adjacents supplémentaires sont perpendiculaires.
RAPPEL DE DÉFINITIONS H9 3° Deux angles AOB et À'OB' Il) sont opposés par le sommet lorsque les côtés de l'un_sont les prolongements des côtés de l'autre. Ces deux angles sont égaux car Ils ont tous deux pour supplément l'angle AOB'. C B A B' 0 A A C B A' FIG. 9. FIG. 10. FIG. 11 4. Droites perpendiculaires. — Deux droites AB et CD sont perpen- diculaires (ou rectangulaires) s1 les quatre angles qu'elles_forment en O sont drorts (fig. 12). ll suffit pour cela que l’un d'entre eux sort droit. Les bissectrices des quatre angles déterminés par deux droites concou— rantes (fig. I3) forment deux drortes perpendiculaires (n° 3, 2°). C A :N B' M“ f“ M ____ __' _____P1' r À A Û B .1: H y 0 B :N' A' Mu" FIG. 12. FIG. 13. FIG. 14. Par un point donné M on peut mener, à une droite xy, une per- pendiculaire et une seule. C’est la droite MH qui 'oint M au point M' qui coïncide avec M lorsqu'on plie la figure suivant xy l4). Les angles MHx et M'Hx étant à la fois égaux et supplémentaires sont tous deux droits, tandis que les angles égaux MNx et M'Nx sont aigus comme moitiés de l'angle saillant MNM'. Le point H est le pied de la per- pendiculaire MH ou projection de M sur la droite xy. La longueur y MH est la distance du point M à ' la droite xy. Provisoirement nous construirons les perpendiculaires à l'aide de l'équerre l5).
l 20 GÉOMÉ TRIE 5. Cercle. --'* Le cercle est une courbe plane fermée dont tous les points sont à une même distance d'un point donné appelé centre (fig. 16). On le trace à l'aide du compas. Le segment 0M = R est un rayon du cercle O (R). Tout point N situé sur un rayon (fig. 17) est dit intérieur au cercle et la dis- tance ON = d vérifie la relation : d < R. Tout point P situé sur le prolon- Rayon Diamètre FIG. 17. gement d’un rayon est dit extérieur et vérifie: (l > R. Par suite seuls les pomts du cercle vérlfient: (l = R. Le cercle O (R) est la figure formée par l’ensemble des points du plan dont la distance au point O est égale à R. Dans un cercle donné (fig. 16) la mesure. d'un arc AB est pr0portionnelle à la mesure de l’angle au centre AOB qui l'intercepte. Cec1 permet d’adopter pour unité d arc, celui qu1 correspond à l’unité d'angle au centre, 31 bien que : La mesure en degrés d’un arc de cercle est la même que celle de l’angle au centre correspondant. Il y a 360° dans le cercle, 180° dans un demi—cercle de diamètre CD (fig. 16). 6. Polygone. -— Un polygone est une ligne brisée fermée. Le polygone ABCDE (fig. 18) est convexe car il est tout entier situé d'un même côté de l’une quelconque des droites obtenues en prolongeant l’un de ses côtés. E L'angle saillant EAB est dit intérieur. Son supplément BAx est dit extérieur au polygone. Les principaux polygones sont 1e triangle (3 côtés), le quadrilatère (4 côtés), le pentagone _ . (5 côtés), l'hexagone (6 côtés), l'octogone D C (8 côtés), etc. FIG. 18. Angle extérieur Angle interleur
RAPPEL DE DÉFINITIONS 12] 7. Triangle. -— Un triangle. ABC a six éléments. —— Ce sont les mesures A, B, C de ses angles intérieurs et les mesures : BC = a, CA = b et AB = c de ses côtés. Dans le triangle ABC (fig. l9): , La hauteur Al'l est la perpendiculaire menée de A au côté BC. La médiane AM est le segment joignant le sommet A au milieu M du côté BC. La médiatrice Mx est la médiatrice du côté BC c'est-à—dire la perpendicu— laire au côté BC en son milieu _ A .1 Q) .5 s a ë :o I ë J B M H C FIG. 19. Laobissectrice intérieure AD (fig. 20) est la bissectrice de l'angle intérieur A. La bissectrice extérieure AE est la bissectrice de l’angle extérieur CAx. Les bissectrices intérieure et extérieure relatives au même sommet sont rectan- guIaires. Cela résulte du n° 3, 2°. 8. Syinétrie par rapport à un point. — Deux points M et M’ sont symétriques par rapport au point O si 'ce point est le milieu du segment MM’. Un centre de symétrie O étant donné (fig. 2l), on peut construire le point M' symetrique, par rapport à O, de chaque point M d'une figure F en prolon- geant M0 d'une longueur: OM’ = M0. M’ " fi Æâ’, N , _ _ 57% ,_ ' ' î J ' FIG. 22. FIG. 23. La figure F' ainsi obtenue est symétrique de la figure F par rapport au point O. Calquons la figure .F sur un transparent fixé en Û par une pointe. Nous pouvons encore par glissement, faire tourner ce transparent autour du point O,
122 GÉOMÉ TRIE de façon à amener le point A sur son homologue À'. Les angles AOM et A’OM' étant égaux (opposés par le sommet), le calque de l'angle AOM coïncide alors avec A'OM’ et comme OM' = 0M, le calque de M coïncide avec M'. La figure F se superpose donc par glissement à la figure F '. Ces deux figures sont dites directement égales: Deux figures symétriques par rapport à un point O sont direc- tement égales. Une figure donnée admet un centre de symétrie O si elle coïncide avec elle- même dans la symétrie de centre Û. Il en est ainsi des lettres de l'alphabet : N, S, Z (fig. 22) ou de certains objets (cartes à jouer, dominos) que l'on peut retourner bout pour bout sans en modifier l'apparence (fig. 23). 9. Symétrie par rapport à une droite. — Deux points M et M’ sont. symétriques par ra port à la droite xy si cette; droite est la médiatrice du segment M’. 'Un axe de symétrie xy étant donné (fig._24) on peut construire le symé- trique M',_ parOrapport à xy, de chaque pomt M d'une figure F en menant la perpendiculaire MH à xy et en la prolongeant d'une longueur : HM' = MH. v FIG. 24. Fia.g25. FIG. 26. La figure F' ainsi obtenue est symétrique Je la figure F par rapport à la droite xy. Plions la feuille de papier suivant xy. Les angles droits MHx et M'Hx se recouvrent et comme HM = HM', les points M et M' coïncident. La figure F se superpose donc par retournement à la figure F'. Ces deux figures sont dites inversement égales. Deux figures symétriques par rapport à une droite xy sont inversement égales. Une figure donnée admet un axe de symétrie A. si, lorsqu'on plie cette figure suivant la dr01te A, les deux parties se recouvrent. Il en est a1ns1 de
RAPPEL DE DÉFINITIONS 123 certaines lettres de l'alphabet :A, B, H (fig. Z5), de la plupart des motifs de décoration (fig. 26). La bissectrice d'un angle est un axe de symétrie de cet angle (fig. 5) et tout diamètre est un axe de symétrie pour le cercle (fig. 16). EXERCICES o 1. On considère sur une droite xy trois points O, A, B dans cet ordre et on cons- truit le milieu M de AB. Soit 0A = a et OB = b. 1° Calculer à partir de a et b les longueurs AM, MB et OM. 2° Comment faut-il modifier les résultats si O est entre A et M. .v’ fin o 2. Soit B3 un point du segmentAC. On désigne par M le milieu de AB, par N celui de BC et on pose AB = a et BC = b. 1° Calculer à partir de a et b la longueur MN. 2° Soit P le milieu de AC. Calculer MP et PN. o 3. Deux angles AOB et BOC sont adjacents et OM est la bissectrice de l’angle BOC. A A 1° Construire la figure sachant que AOB = 48° et AOC = 112°. Calculer la mesure de l’angle AOM. 2° Si oc et (3 désignent les mesures des angles AOB et AOC, montrer que l’on a . A 1 toujours : AOM = ë (a + B). o 4. Soient 0M et ON les bissectrices de deux angles adjacents AOB et AOC. 1° Construire la figure pour AOB = 64° et AOC = 108°. 2° Calculer la mesure de l’angle MON. Comparer le résultat à la mesure de BOC. 3° Énoncer un théorème donnant la mesure de l’angle des bissectricesde deux angles adjacents de mesures on et B ,o 5. On construit un angle AOB de 72°, puis les angles droits AOA’ et BOB’ adjacents au premier. 1° Calculer la mesure de l’angle A’OB’. Comment sont les deux angles AOB et A’ OB’ ? 2° Montrer que les bissectrices OM et ON des angles AOB et A’ OB’ sont alignées. 3° Calculer l’angle des bissectrices des angles droits AOA’ et BOB’. o 6. Soit un angle AOB de 54°. On construit les angles droits AOA’ et BOB’ non adjacents à l’angle AOB. - 1° Montrer que les angles AOB et A’OB’ sont supplémentaires et qu’ils ont même bissectrice OM. 2° Démontrer que les angles AOB’ et A’ OB sont égaux. Calculer l’angle de leurs bissectrices. o 7. On construit trois angles successivement adjacents AOC = 48°, COD = 72° et DOB = 34°. Puis on trace les demi-droites OM, ON, OP et OQ bissectrices des angles AOC, AOD, BOC et BOD. 1° Calculer les angles MON et POQ et comparer leur valeur à celle de l’angle _2° Montrer que les angles MOQ et NOP ont même bissectrice.
124 GËoMËTRIË o 8. On considère sur u‘n cercle les arcs consécutifs îB = 90°, BC = 68° et 613 = 90°. 1° Calculer la mesure de l’arc DA qui termi/nâ le cercle. A 2° Construire au rapporteur le milieu M de BC et le milieu N de DA. 3° On plie la figure suivant la droite MN. Qu’en déduisez-vous pour le dia- mètre MN et les cordes BC et' DA‘I o 9. Soient I et J deux points d’une droite xy et A et B deux points extérieurs situés d’un même côté de cette droite. Les cercles de centre I et J passant par A se recoupent en A’, les cercles de centre I et J passant par B se recoupent en B’. 1° Montrer sur si on plie la figure suivant xy, le point A Vient en A’ et B en B’. 2° Montrer que xy est médiatrice de AA’ ainsi que de BB’. 3° La droite AB’ c'oupe xy en M. Montrer que A' M et B sont alignés. o 10. Construire d’un même côté d’une droite xy un polygone F de six à huit âôtés présentant un angle rentrant, puis le polygone F’, symétrique de F par rapport xy. 2° Vérifier que? les prolongements de deux côtés homologues BC et B’C’ par exemple se coupent sur æy en un même point I. Comparer les angles BIa: et B’Ix. o 11. Soit un contour polygonal ABCDEA’ situé d’un même côté de la droite AA’ et présentant un angle rentrant en C ou D. On désigne par O le milieu de AA’. 1o Construire le contour A’B’C’D’E’A symétrique du précédent par rapport au point O. Comparer les angles BC’D et B’CD’ ainsi que BC’ et B’C. 2° Les segments BC’ et CD’ se coupent en M. Soit M’ le symétrique de M par rapport à O. Démontrer que M’ se trouve à la fois sur CB’ et sur DC’. o 12. On considère un angle droit AOB et on dessine une ligne F, brisée ou compre- nant des arcs de courbes, joignant A à B soit AMNPQB. 1° Construire la figure F1 et“ la figure F. symétrique de F par rapport à OA et à OB. Puis la figure F2 symétrique de F par rapport à O. 2° Montrer que F2 et F1 sont symétriques par rapport à la droite 0B, tandis que F2 et F3 sont symétriques par rapport à OA et que F1 et F3 sont symétriques par rapport à O. 3° Quels sont les éléments de symétrie (centre et axes) de la figure totale formée par F, F1, F3 et F..
DEUXIÈME LEÇON TRIANGLE ISOCÈLE 10. Définition. — Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés égaux. On obtient un triangle isocèle ABC en coupant les côtés d'un .angle xÀy par un arc de cercle de centre (fig. 27). Le côté BC_est la base et le sommet opposé A est le sommet pr1nc1pal ou sommet du triangle Isocèle. Il. Théorème. — Dans tout triangle isocèle les angles adjacents à la base sont égaux. Soit A'B'C’ le calque du triangle isocèle ABC (fig. 27). Retournons ce calque et fai- sons coïncider l'angle y'A'x' avec son égal xAy. Comme A’C’ = AC = AB = A'B', le point C' vient en B et de même le point B' vient en C. L’angle C’, calque de l'angle C du triangle ABC coïncide avec l’angle B. On a donc _. . V-.. . _._.- v—---->__.._/—- à A' C' ‘5' ,\ g A B = C. FIG. 27. 12. Réciproque. — Tout triangle qui a deux angles égaux est isocèle. Soit ABC un triangle dans lequel les angles B et C sont égaux (fig. 28). Retournons le calque B'A'C' de ce triangle, puis amenons B' en Cet C' en B. L’angle C'B'A' étant égal à l’angle CBA donc à l’angle BCA, le côté B'A' rendra la direction de CA. De même le côté C'A' prendra la direction de A. Le point A’ vient à la fois sur CA et sur BA, c'estnà-dire en A. Le seg- ment A’B' calque de AB coïncide avec AC. Donc : AB = AC. Notons que : Les angles égaux d'un triangle isocèle sont opposés aux côtés égaux.
l 26 GÊOMÉ TRIE 13. Autres énoncés. — Les deux théorèmes précédents sont dits réci— proques car l’hypothèse de l'un constitue la conclusmn de lautre: THÉORÈME DIRECT: Hypothèse AB = AC —> Conclusion : Ê = THÉORÈME RÉCIPROQUE: Hypothèse B = C —> Conclusion : AB = AC. On énonce simultanément ces deux théorèmes en disant que: Pour qu’un triangle soit isocèle il faut et il suffit que ce triangle ait deux angles égaux. L'égalité de deux angles permet, aussi bien que l’égalité de deux côtés, de reconnaître un triangle isocèle. On dit que: L’égalité de deux angles est une propriété caractéristique du triangle isocèle. En _ général une propriété caractéristique d'une figure donnée est une propnété équivalente à la définition de cette figure. rrw’î’fi‘i A A A l ‘ ; r‘l _. B C j C' B, B I C W___.J FIG. 28. FIG. 29. .14. Théorème. — Dans tout triangle isocèle la médiane issue du sommet est également bissectrice intérieure, hauteur, média- trice et axe de symétrie du triangle. Soit AI la médiane relative à la base du triangle isocèle ABC (fig. 29). Lorsqu'on retourne le triangle ABC sur lui-même, comme au n° l I , le calque l' du point I milieu de BC revient en I. Le calque du triangle ÀIB vient coïn— cider BEC le ËËngle AIC. Donc: l° IAB = IAC. La médiane Al est donc bissectrice intérieure de l'angle A. 2° = ÂIÎ: = ID car ces deux angles sont à la fois égaux et supplé— mentalres. Donc AI est hauteur et médiatrice de BC. 3° Lorsqu'on plie le triangle ABC, suivant la droite Al, le point B vient en C et les triangles AIB et AIC se superposent. La droite AI est donc un axe de symétrie du triangle (n0 9). Et l'on vort que: Dans un triangle isocèle la médiatrice de la base passe par le sommet opposé.
TRIANGLE ISOCËLE 127 APPLICATIONS 15. Triangle équilatéral. — Un triangle équilatéral est un triangle qui a ses trois côtés égaux. On obtient un triangle équilatéral de côté BC en prenant le point A à l'intersection de deux arcs de cercle de rayon BC et de centres respectifs B et C (fig. 30). Ce triangle est ““sA I”. un triangle isocèle quel que soit le côté considéré comme base, ce qui entraîne l’égalité des trois angles A, B et C. Réciproquement, si un triangle ABC a ses trois angles égaux, il est de même isocèle de trois façons différentes (n0 l2), ce qui entraîne l'égalité de ses trois côtés : I” l Un triangle équilatéral a ses trois angles égaux. Réciproquement tout triangle qui a Fm 30_ ses trois angles égaux est équilatéral. L'égalité des trois angles est une propriété caractéristique du triangle équi- latéral. W16. Médiatrice d’un segment. — Soit xx’ la médiatrice du segment AB, c'est—à-dlre la perpendiculaire à ce segment en son m1l1eu H (fig. 3l). l0 Si le point M est situé sur xx', les segments MA et MB, symétriques par rapport à la droxte xx' sont égaux (n0 9). Donc: MA = MB. 2° Si un point M est équidistant de A et B, on a : MA = MB. Le triangle MAB est isocèle et sa médiane lVlH est la médiatrice de la base AB (n0 l4). Donc le point M appartient à la droite xx'. Pour qu’un point soit équidistant des extrémités d’un segment il faut et il suffit qu’il appartienne à la médiatrice de ce segment. x C _M r—rÿr r Il ‘ A H B ,1 ,1 B A D .20 FIG. 31. FIG. 32. _ l._.es points de la_ médiatrice du segment AB ont pour propriété caracté- ristique d’être équldistants des extrémités A et B de ce segment.
l 28 GËOMÉ TRI E 17. Triangle rectangle. --— Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit. Le côté opposé à l’angle droit est i’hypoténuse Prolongeons le côté BA du triangle rectangle ABC d’une longueur AD égale à BA (fig. 32). Le côté CA est la médiatrice du segment BD et par suite (n0 l6): CB -'—*—‘- CD. Le triangle BCD est isocèle et les deux triangles rec-r tangles ÀBC et ACD sont superposables (nO l4). On peut toujours considérer un triangle rectangle comme élan! la moitié d'un triangle isocèle. '18. Théorème. — Dans tout triangle rectangle les angles adjw- cents à l’hypoténuse sont des angles aigus. Dans le triangle isocèle BCD (fig. 32), la droite CA est bissectrice de l'angle saillant BÇD. Par SUltC langle BCA, mortié d un angle inférieur à 2D est donc lniéneur à lb. C est un angle aigu. On peut faire une démonstration analogue pour l’angle ABC en prolongeant CA d’une longueur égale. 19. Corollaire. — Les angîes adjacents à la base d’un triangle isocèle sont des angles aigus égaux. ll en est ainsi (les angles B et C (lu triangle isocèle ABC de base BC (fig. 29,;- car ce sont des angles algus cles triangles rectangles égaux AlB et ÀIC. EXERCICES o“. 13. Soit un triangle isocèle ABC (le sommet A. On prolonge 13A d’une lou gueur AD :1'3A. 10 Montrer que le triangle ACD est isocèle. 20 Montrer que l’un (les angles du triangle BCD est égal à la somme des (leu- autres. 3° Si dans un triangle ARC, l’angle A est égal a la somme des angles P. el, montrer que la médiane A31 est égale a la moitie du côte 13(1. o 14. On construit un cercle (le centre O et deux diamètres AC et BD. 1° Démontrer" que le quadrilatère AISCD a ses quatre angles égaux. 2° Quels sont les axes de symétrie de ce quadrilatère? En déduire l’égalité a; Al} et CD ainsi que de AD et BC. o 15. Dans un. triangle quelconque ABC, la bissectrice extérieure de l’angle coupe en D 1e prolongement (la: du côté 13C. On prolonge BA d’une longuetr AE AC. 1° Que représente la droite DA pour le segment CE, pour le triangle BDlËΑ 2° Calculer la mesure de l’angle BED sachant que: ACB = 84°. a 16. On prolonge d’une même longueur et dans le même sens de parcours, ». trois côtés (l’un triangle; équilatéral ABC. On obtient les points. A’ sur le prolo-r: gemen't de 13C, B’ sur celui de ÇA et C’ sur celui de AB. 1° Montrer que“ l’on peut par glissement amener le calque de la figure obtenu:- ABCA’B’C’ sur BCAB’C’A’ ou sur (JAI-SC’A’B". “.20 En déduire que les trois triangles A’l'l’Ç, B’C’A et C’A’B sont. directemen-2 égaux. Quelle est la nature du triangle A’B’G"?
TRIANGLE ISOCËLE 129 o 17. Soit un quadrilatère conVexe ABCD dans lequel Al} =- BC et BAD =—- BCD. 1° Montrer que les angles DAC et DCA sont égaux. Comparer DA et DC. 2° Que représente BD pour le segment AC et pour les angles ABC et ADC? o 18. Démontrer que si dans un triangle ABC l’une des conditions suivantes est remplie, le triangle est isocèle. 1° La hauteur AH est en même temps bissectrice de l’angle A. 20 La hauteur AH est en même temps médiane relative à BC. 3° La médiatrice de BC passe par le sommet A. o 19. Soit un triangle ABC dans lequel la médiane AM est bissectrice de l’angle intérieur A. On prolonge AM d’une longueur MD = AM. 1° Montrer que les triangles MAB et MDC sont symétriques par rapport à M. En déduire que les angles MAB et MDC sont égaux ainsi que les segments AB et DC. 2° Nature du triangle CAD? Comparer AB et AC. 3° Énoncer le théorème qui en résulte. o 20. Dans un triangle isocèle ABC de base BC on mène la médiane BM. Soit N le milieu de AB et. G le point de rencontre de BM avec la hauteur AH. 1° On retourne le triangle ABC sur lui-même en amenant B’ calque de B en C et C’ calque de C en B. Où viennent les calques M’ et N’ de M et de N. 2° Montrer que les points C, G, N sont alignés et que les triangles GBC et GMN sont isocèles. Comparer BM et CN. 3° Que représente AH pour le segment MN? o 21. On considère un triangle isocèle ABC. La bissectrice intérieure de l’angle B coupe le côté AC en D et la hauteur AH en I 1° Nature du triangle IBC? Montrer que CI est la bissectrice intérieure de l’angle C. 2° La bissectrice CI coupe le côté AB en E. Montrer que le symétrique de D par rapport à la droite AH est. le point E. Comparer AD et AE, puis ID et IE. 3° Démontrer que BD = CE. o 22. On considère un triangle AHB rectangle en H. 1° On suppose que AB = 2 HB. Démontrer que l’angle aigu B est double de l’angle aigu A (prolonger BH de HC = BH). 2° On suppose que par hypothèse l’angle B soit le double de l’angle A. Démontrer que l’on a: AB = 2 HB. o 23. 1° Construire un quadrilatère convexe dans lequel les trois angles D, A «l: B sont égaux à 100° et les côtés AB et AD égaux à 20 mm. 2° Démontrer que le triangle BCD est isocèle et comparer CB et CD. 3° Que représente la droite AC pour le segment BD et pour les angles DAB et BCD? o 24. On considère un angle aigu ny et un point intérieur A. 1° Construire les symétriques B et C du point A par rapport à 0x} et Oy. Montrer que les points A, B, C sont sur un cercle de centre O. 2° On mène la droite BC qui coupe 0x en M et Oy en N. Comparer les angles UBC et OCB, puis montrer que AO est la bissectrice de l’angle MAN. 3° Soit D le symétrique de C par rapport à 0x. Démontrer que les trois points A, M, D sont alignés.
TROISIÈME LEÇON CAS D’ÉGALITÉ DES TRIANGLES‘ 20. Triangles égaux. — Deux triangles sont égaux s’ils sont superposables. La superposition de deux triangles égaux peut s'effectuer par simple glis- sement du calque de l’un des triangles, ou après retournement préalable de ce calque. Lorsque deux triangles ABC et A'B’C’ sont égaux, leurs six élé— ments sont égaux deux à deux et vérifient les relations : A=A' ; B=B' ; C=C’ BC = B'C'; CA = C'A'; AB = A'B'. Il existe des théorèmes permettant d'éviter la superposition de deux triangles pour en établir l'égalité. Ces théorèmes connus sous le nom de cas d’égalité ne font intervenir que trois relations convenablement choisies parmi les six précédentes. 21. 1er cas. -— Lorsque deux triangles ont un côté égal adjacent à deux angles respectivement égaux, ils sont égaux. Soient ABC et A’B'C’ deux triangles (fig. 34) tels que, par hypothèse: FIG. 34. BC= B’C’; Ê: Ê; ê: ê'. Transportons le calque du triangle A’B'C' et faisons coïncider B'C' avec
CAS D'ÊGALITÉ DES TRIANGLES I3] son égal BC‘en amenant B' en B, C' en C et A' du même côté de BC que le point A. L'angle C'B'x' coïncide alors avec son égal CBx et de même l'angle B' 'y' coïncide avec son égal BCy. Le point A' se lace donc à la fois sur Bx et Cy, soit au point A. Les deux triangles coïncident; ils sont donc égaux. 22. 2° cas. — Lorsque deux triangles ont un angle égal compris entre deux côtés respectivement égaux, ils sont égaux. Soient ABC et A'B'C' deux A x, B’ l A' triangles 35) tels que, par ' hypothèse: Â = Â’; AB = A'B'; AC = A'C'. Faisons coïncider l'angle x'A'y' B/ C avec son égal xAy en amenant A'x' 1/1 1/ /y’ sur A1 et A'y' sur Ay. Comme F 35 A'B' = AB, le point B' se place en IG' ' B et puisque A'C' = AC, le point C' se place en C. Les deux triangles coïncident; ils sont donc égaux. 23. 3° cas. — Lorsque deux triangles ont leurs trois côtés respec- tivement égaux ils sont égaux. Soient ABC et A’B'C’ deux triangles (fig. 36) tels que, par hypothèse: BC = B'C’; CA = C'A'; AB = A’B'. Transportons le calque du triangle A'B'C’ en amenant B’ en B, Cà' e61: C et A' du côîé opposé par rapport à a droite BC. Le point B est alors équidistant de A et A' et le point C également. Les points B et C sont donc sur la média- trice de AA' (n° l6). Cette ' médiatrice est la droite BC, axe de symétrie de chacun des triangles isocèles ABA' et ACA’. FIG. 36. En pliant la figure ABA'C suivant BC le point A’ vient c-n A et les deux triangles ABC et A'B'C’ coïncident. Ils sont égaux.
132 GÊOMÉTRIE ÉGALITÉ DES TRIANGLES RECTANGLES 24. ler cas. — Lorsque deux triangles rectangles ont l’hypo- ténuse égale et un angle aigu égal, ils sont égaux. Soient ABC et A’B'C' deux triangles rectangles en AAet ê: tels que: BC = B’C’ et C = C’ (fig. 37). Complétons les triangles isocèles BCD et B’C'D'. comme cela a été expliqué au n° l7 en prolon— geant BA d'une longueur égale AD et B'A' d'une longueur égale A'D' Les deux triangles isocèles BCD et B'C'D' ont: v ÆE=Œ5CR= 09' FIG._ 37. = B’C’D’ = 2G,). Ces deux triangles sont donc égaux d’après le 29 cas des triangles quelconques (no 22) et leur superpo— sition entraîne celle de leurs moitiés ABC et A'B'C’. 25. 2e cas. — Lorsque deux triangles rectangles ont l’hÿpoté- nuse égale et un côté de l’angle droit égal, ils sont égaux. Soient ABC et A’B’C’ deux c c' B' triangles rectangles en A et A' tels _ que : .BC = B'C’ et AB = A'B' (fig. 38). Complétons comme ci— essus les deux triangles isocèles BCD et B'C’D'. Ces deux tri- angles ont: BC = B'C’ = CD = C'D’ et BD = B’D’ (ZAB ou 2A’B’). B Ils sont égaux d'après le 3° cas FIG. 38. d’égalité des triangles quelconques (11° 23) et leur superposition entraîne celle de leurs moitiés ABC et A'B'C'. 26. Remarque. —- Les cinq théorèmes précédents sont les cas d’égalité classiques. Il en existe d'autres (cf. exercice n° 25), mais leur utilité, ainsi que celle du l“ cas des triangles rectangles, disparaît après l'étude de la somme des angles d'un triangle. Montrons ainsi que :
CAS D’ÉGALITË DES TRIANGLES 133 Lorsque deux triangles rectangles ont un côté de l’angle droit égal opposé à un angle aigu égal, ils sont égaux. Supposons (fig. 39) que les tri— i4 C' angles ABC et A’B'C’ rectangles en . ê etA A' aient: AC = A’C’ et B = B'. Transportons le calque du triangle A'B'C’ de façon que A' vienne en A, C’ en C et B’ en D sur le prolongement de BA.Le triangle BCD, ainsi obtenu a ses angles B et D égaux. Il est donc isocèle B (n° l2) et la hauteur CA le partage Fm, 39, en deux triangles rectangles égaux. Le triangle ABC, égal au triangle ADC, est donc égal au triangle A'B'C’. APPLICATIONS 27. Utilisation des cas d’égalité des triangles. — 1° Les cas d'éga- lité des triangles permettent de démontrer l'égalité de deux triangles sans avoir à en vérifier la superposition. Ne pas oublier que les cas d'égalité rela— tifs aux triangles quelconques peuvent s'appliquer à des triangles rectangles. 2° Les cas d'égalité supposent l'égalité de trois éléments (dont au moins un côté). lls permettent de conclure à l'égalité des trois autres éléments. Pour démontrer l’égalité de deux angles (ou de deux segments) il suffit d’établir l’égalité de deux triangles comprenant ces angles (ou ces segments comme côtés). 3° Lorsque deux triangles sont égaux il faut énoncer les sommets correspondants dans le même ordre. Ces sommets sont dits homologues. A D F Si les triangles ABC et DEF sont égaux éfig. 40), on l peut écrire l DEF. Les angles et les côtés 2 homologues se correspondent 2 3 ainsl verticalement et on peut écrire, sans même regarder la B C figure : FIG. 40. /\ /'\ /\ /\ /\ A=D. B=.E, C=F; BC=EF; CA=FD et AB=DE. A deux angles égaux sont opposés des côtés égaux et récipro- quement. A A Ainsi les côtés égaux DE et AB sont opposés aux angles égaux E et C.
134 GÉOMÉ TRIE 28. Théorème. — Lorsque sur deux figures égales, on eflectue les mêmes constructions, les éléments homologues ainsi construits sont égaux. Tout se passe, en effet, comme si on avait fait une seule construction sur la figure umque obtenue en superposant ces deux figures. Amsu Lorsque deux triangles sont égaux les hauteurs, les médianes, les bissectrices homologues sont respectivement égales. _Il_ est d'ailleurs possible, dans chaque cas, d'en faire la démonstration en utilisant un cas d'égalité des triangles. 29. Bissectrîce d’un angle. -— Pour qu’un point intérieur soit équidistant des côtés d’un angle il faut et il suffit qu’il appartienne à la bissectrice de cet angle. Considérons un angle xOy et un point M situé à l'intérieur de cet angle (fig. 4l). Menons les perpendiculaires MA et MB aux côtés de cet angle: l° Si MA = MB, les deux triangles rectangles OMA et OMB qui ont même hypoténuse 0M et un côté de l'angle droit égal sont égaux (2e cas des triangles rectangles). Les angles homologues MÛA et MOB sont égaux, ce qui montre que 0M est la bissectrice de l'angle xOy. I) cr I A , M “r y A B. 1 M ' o 2 u, O A M a B J' B y a ' w FIG. 41. FIG. 42. 2° Réciproquement si le point M appartient à la bissectrice de l'angle xOy, les deux triangles rectangles OMA et OMB ont même hypoténuse 0M et un angle aigu égal: m =MCÎ1 lls sont égaux (ler cas des triangles rectangles) et par suite: MA = MB. 30..Corollaire. —— Pour qu’un point soit équidistant de deux droites concourantes il faut et il suffit qu’il soit situé sur l’une des deux droites perpendiculaires, bissectrices des quatre angles définis par ces deux droites. Rappelons que (n° 4), les bissectrices des quatre angles formés par deux drortes concourantes constituent deux drortes perpendiculaires (fig. 42).
CAS D'ÊGALITÊ DES TRIANGLES 135 EXERCICES . 25. Deux triangles ABC et A’B’C’ ont AB — A’B’, fi — 13,6 - 6'. On mène les hauteurs AH et A’H’. 1° Comparer les triangles rectangles ABH et A’B’H'. Conséquences? 2° Comparer les triangles ACH et A’C’H’, puis les triangles ABC et A'B'C’. 3° Énoncer le cas d’égalité non classique correspondant. o 26. Comparer deux triangles isocèles dans chacun des cas suivants : 1° Les bases sont égales et les angles au sommet égaux. 2° Les hauteurs relatives à la base sont égales ainsi que les angles à la base. 3° Énoncer les cas d’égalité correSpondants. 27. 1° Dans un triangle ABC on prolonge la médiane AM d’une lon eur O MD == AM. Comparer les triangles BMD et CMA, puis évaluer les côt s du triangle ABD par rapport aux côtés AB, AC et à la médiane AM. 2° Comparer deux triangles ABC et A’B’C’ ayant deux côtés respectivement égaux ainsi que la médiane relative au troisième. Énoncer le cas d’égalité. / 28. Deux triangles ABC et A’B’C’ ont un côté égal BC -= B’C’ ainsi que les hauteurs AH et A’H’ et les médianes AM et A’M’. 1° Comparer les triangles AMH et A’M’H’. 2° On superpose ces deux triangles. En déduire l’égalité des triangles ABC et A’B’C’ et énoncer le‘ cas d’égalité correspondant. o, 29. Démontrer que dans un triangle isocèle ABC de base BC. 1° Les médianes relatives aux côtés égaux sont égales. 2° Les bissectrices intérieures des angles B et C sont égales. 3° Les hauteurs BH et CK sont égales. Étudier la réciproque. o 30. On prend sur les côtés d’un angle :cAy deux points B et C (AB 7b AC). La bissectrice de xAy et la médiatrice de BC se coupent en D. 1o Comparer DB et DC puis les distances DE et DF aux côtés de :uAy. 2° Comparer les triangles DBE et DCF, puis les angles BDC et EDF. 3° Montrer que BE et FC sont égaux à la demi-différence de AB et AC. o 314T Soit un triangle isocèle ABC, dans lequel la base BC est inférieure aux c t s égaux AB et AC. On prolonge AB et BC de longueurs BD et CE égales à la différence AB —— BC. 1° Montrer que BE =- AC. Puis comparer les triangles ACE et EBD. /'\ 1 /\ /\ 2° Montrer que ADE — ä (AED + BAC). o 32. Soient deux points A et B équidistants d’une même droite xy. On désigne par M et N les pieds des perpendiculaires menées de A et B sur æy et par O, le milieu .de MN. 1° Comparer les triangles OAM et OBN. Conséquences? 2° On suppose que A et B soient de part et d’autre de xy. Montrer que O milieu de MN est le milieu de AB. 3° On suppose A et B du même côté de asy. Montrer que la médiatrice de AB est la médiatrice de MN.
' 136 GÉOMÉTRIE o 33. On considère un triangle isocèle ABC dans lequel la médiatrice du côté AC coupe le prolongement de la base BC au point D. On joint DA que l’on prolonge d’une longueur AE = BD. 1° Montrer que le triangle DAC est isocèle. Conséquences? 2° Comparer les triangles ABD et CAE. Que peut-on dire du ‘triangle CDE? o 34. La médiatrice du côté AB du triangle isocèle ABC coupe la base BC (ou son prolongement) en D. Le cercle de centre B passant par D recoupe AD en E. 1° Montrer que les triangles DAB et BDE sont isocèles. Comparer les longueurs AD et BE puis les angles ACD et BAE ainsi que les angles ADC et BEA. 2° En utilisant le résultat de l’exercice 25 démontrer l’égalité des triangles ACD et BEA puis, que AE = CD. . 35. 1° Deux triangles ABC et A’B’C’ ont AB = A’B’, Ê + Ê’ = 2D et Ê = 6'. Montrer que les hauteurs AH et A’H’ sont égales, puis, que AC = A’C’. 2° Réciproquement, si AB = A’B’, AC = A’C’ et Ë + Ë' = 2D, les angles C et C’ des deux triangles sont égaux (on pourra amener A’B’C’ sur ABC de telle sorte que A’B’ coïncide avec AB et que C’ Vienne sur le prolongement de CA). o 36. Soit un triangle isocèle ABC de base BC. On construit une demi-droite B3: intérieure à l’angle ABC, et une demi-droite Cy extérieure à l’angle ACB de telle sorte que les angles ABa: et ACy soient égaux. Aæ et By se coupent en M. 1° Soient H et K les pieds des perpendiculaires menées de A a Ba: et à Cy. Comparer les triangles ABH et ACK, puis les segments AH et AK. 2° Établir que la droite AM est bissectrice extérieure du triangle BMC. o 37. Les bissectrices intérieures des angles B et C du triangle ABC se coupent en l, tandis que leurs bissectrices extérieures se coupent en J. 1° Montrer que I et J sont équidistants des 3 droites BC, CA et AB. 2° Démontrer que les trois points A, I, J sont alignés. o 38. Dans un quadrilatère convexe ABCD on a: AB = AD et B + = 2D . On prolonge CB d’une longueur BE = CD. 1° Comparer les triangles ABE et ADC. Nature du triangle ACE. 2° Démontrer que CA est bissectrice intérieure de l’angle C du quadrilatère. o 39. On considèile un triangle ABC dans lequel AB > AC. La médiatrice de BC coupe en M la bissectrice intérieure de l’angle A. Le point M se projette en H sur AB et en K sur le prolongement de AC. 1° Comparer les triangles rectanglles MBH et MCK, puis les triangles rectangles AMH et AMK. Démontrer que A = AK et BH = CK. 2o En déduire que: AH = ä- (AB + AC) et BH = à (AB —— AC). o 40. Dans le triangle ABC tel que AB < AC, la médiatrice de BC coupe en D le côté AC, en I la bissectrice intérieure de l’angle A et en J la bissectrice extérieure. 1° Montrer que le triangle DBC est isocèle. Que représente la droite IJ pour l’angle en D du triangle ADB? 2° Montrer que chacun des points I et J est équidistant des trois droites AB, AD et BD puis que B1 et BJ sont bissectrices intérieure et extérieure de l’angle ABD. 3° Démontrer que les angles ABJ et ACJ sont égaux tandis que les angles ABI et ACl sont supplémentaires.
IMQUATRIÈME LEÇON INÉGALITÉS DANS LE TRIANGLE 3l. Théorème préliminaire. —— Dans tout triangle un côté opposé à un angle droit ou obtus est supérieur à chacun des deux autres côtés du triangle. Considérons un triangle ABC (fig. 43) dans lequel on a par hypothèse: A 2 ID et sclt Cx le prolongement du côté BC. Portons, sur la demi—drmte Bx, une longueur BD = BA. Le triangle BAD est un triangle Isocèle de base AD dont l’angle à la base BAD est aigu. Par suite ËAÎ) <ËÈ. La "droite AD est dont intérieure à l'angle BAC et par suite .BC > BD. Donc BC > BA. On démontrerait de même que BC est supérieur à CA. FIG. 43. FIG. 44. 32. Théorème. — Dans tout triangle un côté quelconque est inférieur à la somme des deux autres. Supposons que dans le triangle ABC (fig. 44) les côtés BC = a, CA = b et AB == c soient tels que : a > b > c. Soit D le point du côté BC tel que BD = BA = c. On obtient : DC= BC—BD= a—c. Le triangle BAD étant‘ isocèle l'angle à la‘base ADB est aigu et son sup— plément ADC est obtus. Dans le triangle ADC, on obtient. d'après le théo- rème précédent : DC < AC,c'est-à—dIre a — c < b ou, en ajoutant c aux deux membres de cette inégalité, on obtient : l a < b + c Le théorème est évident pour les côtés b et c car les inégalités b < a etc < a entraînent à fortIorI : b < a + c et c < a + b.
I 38 GÉOMÉ TRIE 33. Corollaire. — Dans tout triangle un côté quelconque est supérieur à la différence des deux autres. Supposons que dans le triangle ABC on ait: a > b > c. D'après le théorème précédent, on a : a + c > b. Retranchons c aux deux membres de cette inégalité; nous obtenons : . De même, en retranchant c ou b aux deux membres de l'inégalité b + c > a, nous obtenons : b>a—c et c>a-b. En définitive on voit que: 34. Résumé. — Dans tout triangle un côté quelconque est compris entre la somme et la différence des deux autres. Ib—c Ib—c 35. Théorème. — Lorsqu’un triangle a deux angles inégaux, les côtés opposés à ces angles sont inégaux et au plus grand angle est opposé le plus grand côté. C Hypothèse : Â > Ê > ê J; Conclusion : a > b > c ° Soit un trianglîABg (fig. 45) dans lequel on a par hypothèse : A > B > C. Construisons, à l'intérieur de l'angle BAC, un angle BAx égal à l'angle ABC, ce qui est possible d'a rès l’hypothèse. La demi—droite A1 coupe le côté Bëen A B D. Le triangle DAB ayant deùx angles égaux est FIG“ 45. isocèle et DA = DB. Or dans le triangle ACD, nous avons (no 32) : AC < CD + DA, soit AC < CD + DB. On obtient donc AC < CB, c'est-vèzdireAb < a ou a > b.“ On démontrerait de même que: B > C entraîne: b > c.
INÉGALITÉS DANS LE TRIANGLE 139 36. Réciproque. — Lorsqu’un triangle a deux côtés inégaux les angles opposés à ces côtés sont inégaux et au plus grand côté est opposé le plus grand angle. A Hypothèse : a > /b\ > /c\ Conclusion : A > B > C ' Soit un triangle ABC (fig. 46) dans lequel on a par hypothèse : a > b > c. L'hypothèse a > b ne peut correspondre à A < B qui entraîne a < b d'après le théorème \ précédent, ni à A = B qui entraîne: a= b B C (n° Il). Seule la conclusion : A > B est com— F16, 46. patible avec l'hypothèse a > b. On verrait de même que l'hypothèse b > c exige B > C. Il en résulte que: 37. Résumé. —— Dans tout triangle les angles et les côtés: opposés à ces angles sont dans le même ordre de grandeur. Les deux groupes d'inégalités suivants sont conséquences l'un de l'autre : Â>Ê>Ê a>b>c. APPLICATIONS 38. Théorème. — Dans tout triangle rectangle l’hypoténuse est supérieure à chacun des côtés de l’angle droit. a Cç théorème qui est contenu dans le théorème préliminaire (n0 3l) résulte aussn du fait que dans le triangle ABC rectangle en A on a : A > B ce qui entraîne: BC > CA (n0 35). 39. Théorème. — Un segment de droite est plus court que toute ligne brisée de mêmes extrémités. Soient un segment AB et une ligne brisée C ACDEB (fig. 47). Menons ÀD et AE. Nous pouvons écrire : AB < AE + EB AE < AD + DE AD < AC + CD. Additionnons membre à membre ces iné— galités, puis supprimons les termes AE et communs aux deux membres du résul- tat. Il reste : F‘G' ‘7' AB AB Le segment AB est plus court que le périmètre de la ligne brisée ACDEB. > ml
MG GÊOMÉ TRIE 40. Corollaire. -—- Une ligne brisée convexe est plus courte que toute ligne brisée enveloppante de mêmes extrémités. Considérons (fig. 48) une ligne brisée convexe ABCD, c’est-à-dire tout entière située d'un même côté de l'une (les droites ÀB, BC et CD. Soit (l'autre part une ligne brisée enveloppante quelconque ÀEFGD qui coupe en H le prolongement de AB et en l le prolongement de BC La ligne ABCD est plus courte que la ligne ÀBÎD car elles ont en commun la partie ABC et CD est plus court que A D Cl + ID. FIG. 48, K On verrait de même que la ligne ABlD est plus courte que la ligne AHFGD et que cette dernière est elle-même plus courte que la ligne AEFCD. On obtient donc: ABCD < ABID < AHFGD < AEFGD. Ce qui entraîne : ABCD < AEFCD. EXERCICES o 4'1. On donne un point M intérieur au. triangle ABC. 1° Montrer que MA + MB est compris entre AB et CA + CB. 2° En déduire que MA + MB + MG est compris entre le demi—périmètre et le périmètre du triangle. o 42. Soit O le point d’intersection des diagonales du quadrilatère convexe ABCD. 1° Montrer que chaque diagonale est inférieure au demi-périmètre du quadri» latère. 2-0 Montrer que AC + BD est supérieure à chacune des sommes AB + CD et AD —i— BC. 3° En déduire que la somme des diagonales est comprise entre le demi-périmètre et le périmètre du quadrilatère. o 43. Démontrer que la médiane AM d’un triangle ABC est comprise entre la demi—différence et la demi—somme des côtés AB et AC (on prolongera AM d’une longueur égale à elle—même). o 4e. Soit un point A et un cercle O. Le diamètre passant par A coupe le cercle en B et G. Soit M un point quelconque du cercle. 1° Comparer AM à la somme et à la difiérenee de ÛA et 2° Montrer que AM est compris entre A8 et AU.
INÉGALITÉS DANS LE TRIANGLE l4] o 45. Deux points A et B sont d’un même côté de la droite xy. 1° Trouver sur cette droite un point P, tel que la somme PA + PB, soit la plus petite possible (utiliser A’ symétrique de A par rapport à æy). 2° Que représente xy pour l’angle APB? 3° Montrer que lorsque le point M décrit la droite :ry la somme MA + MB augmente en même temps que PM. o 46. Deux points A et B sont de part et d’autre de asy. 1° Trouver sur cette droite un point P, tel que la différence entre PA et PB soit la plus grande possible (utiliser A’ symétrique de A par rapport à xy). 2° Que représente :cy pour l’angle APB? o 47. On donne un angle æOy inférieur à 60° et deux points A et B intérieurs à cet angle. Trouver un point M sur 0x et un point N sur Oy de façon que le péri- mètre de la ligne brisée AMNB soit le plus petit possible (utiliser les symétriques A’ de A par rapport à 0x et B' de B par rapport à Oy). o 48. On considère un triangle ABC et la bissectrice extérieure de l’angle A. 1° Montrer que le symétrique C’ de C par rapport à cette bissectrice se trouve sur BA et que AC’ = AC ' 2° Démontrer que pour tout point M de la bissectrice on a: MB+MC >AB+AC. o 49. On considère un triangle ABC et la bissectrice intérieure de l’angle A. 1° Montrer que le symétrique C’ de C par rapport à cette bissectrice est sur AB et que AC’ = AC. 2° Démontrer que pour tout point M de la bissectrice on a: MB — MC < AB —— AC. o 50. Dans un triangle ABC, on prolonge la médiane CM d’une weur MD = CM_ 1° Comparer les triangles MBC et MAD et montrer que BAD = ÀÎ3\C. 2° Soit BAa: l’angle extérieur en A au triangle ABC. Démontrer que BÀÎ: > À/BÎ; et en déduire le théorème: Dans tout triangle, un angle extérieur est supérieur à tout angle intérieur non adjacent. o 51. On considère deux triangles ABC et A’B’C’ tels que BC = B’C’ et B = Ë’_ On superpose ces deux triangles en amenant B’ en B, C’ en C et A’ sur la demj- droite BA. 1° En utilisant le théorème établi à l’exercice précédent démontrer que l’une des inégalités AB > A’B’, C > C’ et A < A' entraîne les deux autres. 2° Qu’arrive-t-il si A = A’ ‘2 En déduire le cas d’égalité non classique: Lorsque deux triangles ont deux angles homologues respectivement égaux et le côté opposé à l’un d’eux égal, ils sont égaux. o 52. Soit un triangle ABC dans llequel AB < AC. On prolonge la médiane AM d’une longueur MD = AM. 1° Comparer les triangles MCA et MDB. Conséquences? 2° En déduire que: à (AC ——- AB) < AM < à (AB + AC). Comparer la somme des médiane: au périmètre du triangle. 3° Démontrer que l’an e MAC est inférieur à l'angle MAB et (En la bluectrlce Antérieure de l’angle BA est située à l’intérieur de l’angle MA .
CINQUIÈME LEÇON PERPENDICULAIRE ET OBLIQUES 41. Définitions. — Rappelons que. d'un point A situé hors d'une droite _xy (fig. 50), on peut mener une perpendiculaire AH et une seule à cette drorte (n° 2). Tout autre segment tel que AB est oblique par rapport xy. ‘ 42. Théorème. — Si d’un point situé hors d’une droite on mène à cette droite la perpendiculaire et diverses obliques : 1° La perpendiculaire est plus courte que toute oblique. 2° Deux obliques qui s’écartent également du pied de la perpen- diculaire sont égales. Réciproquement deux obliques égales s’écartent également du pied de la perpendiculaire. .A A A "î l \ "l “1 ,r H B 5/ .r C H B ÿ 4” C H B D 5’ FIG. 50. FIG. 51. FIG. 52. 3° Si deux obliques s’écartent inégalement du pied de la perpen- diculaire, celle qui s’en écarte le plus est la plus longue. Récipro- quement si deux obliques sont inégales, c’est la plus longue qui s’écarte le plus du pied de la perpendiculaire. l° Soient AH la perpendiculaire et AB une oblique quelconque menées du point extérieur A à la droite xy (fig. 50). Dans le triangle AHB rectangle en H le côté de l'angle droit AH est plus court que l'hypoténuse AB (n° 38). 2° Considérons deux obliques AB et AC (fig. 5l) telles que HB = HC. La droite AH est la médiatrice du segment BC, donc (n° l6): AB = AC. Récipr uement, si ar hy othèse les obliques AB et AC sont égales, le triangle C est isocè e et la auteur AH est médiatrice de la base BC (n° l4). Donc : HB -= HC.
PERPENDICULAIRE ET OBLIQUES l43 3° Considérons deux obliques distinctes AB et AD situées d'un même côté de la droite AH (fig. 52) et telles que I'IB < HD. Dans le triangle ABD l'angle ABD, extérieur au triangle rectangle AHB, est obtus, tandis que l/Zanglî ADB, intérieur au triangle rectangle AHD, est aigu. On a donc: B > D, ce qui entraîne (n° 35): AD > AB. La conclusion est valable pour les obliques AC et AD car si HC < HD. on remplace l’oblique AC par l’oblique AB qui lui est égale et la conclusion AD > AB donne AD > AC. Réciproquement supposons que les obliques AB et AC soient telles que D > AB. On ne peut avoir HD < HB car cela entraînerait AD < AB. ni HD = HB car cela entraînerait AD = AB. ce qui est contraire à l’hypo— thèse. Seule la conclusion HD > HB est compatible avec l'hypothèse. 43. Distance :d’un point à une droite. — Nous savons (n° 4) que la longueur AH est la distance du point A à la droite xy. On voit que: La distance d'un point à une droite est la plus courte distance de ce point à un point quelconque de la droite. RÉGIONS SÉPARÉES PAR UNE MÉDIATRICE 44. Théorème. — Pour que dans un triangle MAB on ait MA < MB, il aut et il suffit que le point M soit du même côté que le point par rapport à la médiatrice du segment AB. Considérons un segment AB et la méu a; diatrice xy de ce segment (fig. 53). Cette droite xy divise le plan en deux demi-plans Œ M ŒD I et Il contenant l'un le point A, l'autre le point B. / C 1° Supposons que le point M appar- tienne à la région I qui contient le point A. , 1’ Les points M et B étant de part et d'autre 06’— ———————————— —— Elle la droite xy le segènent MB coupe l(ÇÎtte A B r01te en un pomt; compris entre et B. Par suite (n° l6) on a: CA = CB. Dans MA MA MA v MB MB MB le triangle MAC le côté MA est inférieur ’J à la somme des deux autres (n° 32) donc : FIG. 53. MA < MC + CA = MC + CB. C'est-à— dire: MA < MB. On démontrerait de même que pour tout point de la région Il qui contient B on a par contre: MB < MA. 2° Si on a par hypothèse MA < MB, le point M ne peut se trouver dans la région Il qui exige MA > MB, ni sur xy car cela entraîne MA = MB. Le point M se trouve donc dans la région I qui contient le point A.
144 GÊOMÉTRIE TRIANGLES AYANT DEUX COTÉS ÉGAUX 45. Théorème. — Lorsque deux triangles ont un angle. inégal compris entre deux côtés respectivement égaux, leurs trozsœmes côtés sont inégaux et au plus grand angle est opposé le plus grand côté. A, Hypothèse : AB = A'B' AC = A'C' Â > A’ Conclusion : BC > B’C’ FIG. 54. Considérons /(\fig. 5/4) deux triangles ABC et A'B'C’ tels que : AB '-= A'B’; AC = A'C’ et A > A'. Transportons le triangle A’B'C' sur le triangle ABC de façon que le point A’ vienne en A, B' en B et que C' vienne en D à l'intéw rieur de l’angle BAC ce qui est possible puisque cet angle est supérieur à l'angle B'A'C’. On a donc: BD = B'C' et AD = A'C’ = AC. Menons la bissectrice de l'angle CAD. Cette bissectrice, située à l'intérieur de l’angle AC, coupe BC en un point E situé entre B et C. Cette bissectrice est d'autre part médiatrice de la base CD du triangle isocèle ADC, donc: ED = Eci Et comme dans le triangle BDE on a: BD < BE + ED on peut écrire; B’C’ < BE + EC c’est dire : B’C’ < BC. 46. Réciproque. — Lorsque deux triangles ont deux côtés respectivement égaux et leurs troisièmes côtés inégaux, les angles opposés à ces côtés sont inégaux et au plus grand côté est opposé le plus grand angle. Supposons que les triangles ABC et A'B'C' aient AB =—' A'B'; AC = A'C' et BC > B’C’. On ne peut avoir A < A', car d’après le n° 45 cela entraînerait BC < B'C’, ni A = A' car les deux triangles seraient égaux (2e cas) et l'on aurait BC. = B'C'. Seule la conclusion A > A' est compatible avec l'hypon thèse.
PERPENDIC ULAIRE ET OBLIQ UE5 145 EXERCICES n 53. On considère un quadrilatère convexe ABCD dans leque lles angles C et D ;ont droits : 1° Comparer AD à AC puis AC à AB + BC. 2° En déduire que: AD < AB + BC. n 54. Soit un triangle ABC rectangle en A. La bissectrice intérieure de l’angle B :oupe AC en D et on mène DE perpendiculaire en E à BC. 1° Comparer AD et DE puis DE et DC. 2° En déduire l’inégalité: AD < DC. o 55. On considère un triangle ABC dans lequel on mène la hauteur AH: 1° Comparer AH à AB puis à AC et montrer que: 2AH < AB + AC. 2° En, déduire que la somme des hauteurs est inférieure au périmètre du triangle ABC. o 56. Soit un triangle ABC dans lequel on a: AB < AC. Soit AM la médiane issue de A. , /\ /'\ ,/_\__ /"\\.‘ 1° Démontrer que: AMB < AMC et que AMB < 1D < AMC. 2° En déduire que la hauteur AH est du même côté que AB par rapport à AM. o 57. On mène la bissectrice Oz de l’angleœOy et on porte deux longueurs égales OA sur 0x, 0B sur Oy. 1° Que représente Oz pour le segment AB? 2° Montrer que pour tout point M intérieur à l’angle æOz on a: MA < MB. o 58. Deux triangles isocèles OAB et OA’B’ sont tels que OA = OB ——- OA’ = OB’. Soient H et H’ les milieux des bases AB et A’B'. 1° On suppose : AOB < A’O’B’. Comparer AB et A’B’, puis AH et A’H'. 2° On suppose: AH < A’H’. Comparer les angles AOB et A’O’B’. 3° En déduire que : Si deux triangles rectangles ont même hypote’nuse les côte’s de l’angle droit sont dans le même ordre de grandeur que les angles opposés. o 59. Deux triangles rectangles ABC et A’BC sont situés du même côté de leur hypoténuse commune BC. On suppose BCA < BCA’, si bien que la droite CA coupe le côté BA’ en un point. D situé entre B et A’. 1° Montrer que l’angle CDB est obtus, extérieur au triangle rectangle BAD et que D se trouve également entre A et C. 2° En déduire que: BA < BA’, CA > CA’ et > Étudier les réciproques, o 60. D’un point A on mène la perpendiculaire AH et. les obliques AB et AC à la droite æy. ' , . , . . .._ A _/'\\ 1° Démontrer que l’une des egahtes: HB HC, AB =—- AC, HAB = HAC, .-/'\ .——’\»\ et HBA HCA. entraîne les trois autres. 2° En supposant B et C d’un même côté de H et, en utilisant le théorème établi à l’exercice 50, démontrer que l’une des inégalités HB < HC, AB <1 AC, HAË < ÎÏAC‘ et H'BA“ > HC‘ entraîne les trois autres.
l46 GÉOMÉTRIE o 61. On considère un angle xOy et sa bissectrice Oz. Soit M un point quelconque intérieur à l’angle 1:02, N et P ses symétriques par rapport à On: et Oy, A et B ses projections sur 0x et Oy. 1° Comparer les triangles isocèles MON et MOP et en déduire que MA < MB. 2° Étudier réciproquement la région où se trouve le point Mintérieur à l’angle æOy si on a'par hypothèse MA < NIB. o 62. On considère deux droites AA’ et BB’ se coupant en O et les bissectrices Oa: et Oy des angles AOB et AOB’, Ox’ et Oy' des angles A’OB’ et A’OB. Démontrer en utilisant les résultats de l’exercice 58 (ou 61) que: 1° Tout point M situé à l’intérieur de l’un des angles droits xOy ou x'Oy' est plus près de la droite AA’ que de la droite BB'. 2° Étudier et énoncer la réciproque de cette propriété.
SIXIÈME LEÇON DROITES PARALLÈLES 47. Définitions. - Rappelons que deux droites distinctes d'un plan ont au plus un pomt commun, car 51 elles en ont deux elles sont confondues (no l). Deux droites D et D' qui ont un seul point commun sont dites sécantes ou concourantes. On dit encore que la droite D coupe la droite D'. On appelle droites parallèles, deux droites d’un même plan qui n’ont aucun point commun. . Lorsque deux droites D et D' sont parallèles on écrit en abrégé: D Il D'. Le théorème suirant donne un moyen de construire deux droites paral— lèles et prouve l'exlstence de telles drortes. 48. Théorème. — Lorsque deux droites distinctes sont perpen- diculaires à une même troisième, elles sont parallèles. D1 D2 Hypothèse B, Conclusion : D I I D' Si les droites D et D', perpendiculaires r _ à la droite xy, étaient concourantes (fig. 55) x A B y on pourrait, par leur pomt commun, mener deux perpendiculaires à la drmte xy, ce qui FIG, 55, est impossible (nO Les droites D et D' n'ont ' onc pas de point commun et sont parallèles. 49. Théorème. — Par un point extérieur d une droite, on peut mener une parallèle à cette droite.
148 GÉOMÉ TRIE Soit à mener par le point A une paral— A c lèle à la droite xy (fig. 56). Traçons une : - perpendiculaire quelconque Bz à la droite xy puis la perpendiculaire AC à la droite Ëz. Les droätes lA_C et zig étant toutîs eux perpen icu aires à z sont para - ' ' ' lèles (no 48). æ B 9 FIG. 56. 50. Postulat d’Euclide. — Par un point extérieur à une droite on ne peut mener qu’une seule parallèle à cette droite. ll est impossible de démontrer que la parallèle construite comme ciudessus est la seule que l'on puisse mener par le point A à la droite xy (par exemple en déplaçant le point B). Cette propriété uniquement vérifiée par l'expé- rience constitue un postulat, mis en évidence par le géomètre grec Euclide (IIIe siècle av. J.-C.). 51. Corollaire I. — Deux droites parallèles à une troisième sont parallèles entre elles. D: DQ \ D1 D3 Hypothèse D2 Il D3 D5 Conclusion : D1 ll D2 FIG. 57. En eflet si D1 et D2 étaient concourantes (fig. 57), on pourrait par leur point commun mener deux parallèles à D3, ce qui est impossible d'après le postulat d'Euclide. Les droites D1 et D2 n'ont donc pas de point commun et sont donc parallèles. On dit que les trois droites sont parallèles. 52. Corollaire Il. — Lorsque deux droites sont parallèles, toute droite qui coupe l’une coupe l’autre. A D1 A / D1 ll D2 Hypothèse A coupe D1 Conclusion : A coupe D2 D2 FIG. 58. Soient D1 et D3 deux droites parallèles et une troisième droite A qui coupe D; en A (fig. 58). La droite Dl est la seule droite parallèle à D, pas... ment par A. La droite A n'étant pas parallèle à D1 coupe donc Dl.
DROI TES PARALLÈLES 149 53. Corollaire III. — Lorsque deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre. a A o1 A _l Hypothèse [ADI D Conclusion : A .L D2 2 B FIG. 59. Soient D1 et D2 deux droites parallèles et A la perpendiculaire en à la droite D1 (fig. 59). La droite A rencontre D , par suite, elle rencontre D2 au point B. Si nous menons par B la perpendiculaire à la droite A, nous obtenons une droite parallèle à D1 (n° 48) et par conséquent confondue avec D2. 54. Définitions : l° Direction d’une droite. — Lorsque deux ou plusieurs droites sont parallèles, on dit qu'elles ont même direction. 2° Segments, demi-droites parallèles. — Deux segments de droites ou deux demi-drmtes sont parallèles s1 les droites illimitées qui les contiennent sont D parallèles. ïJ 3° Bande. — On appelle bande E la portion de plan comprise entre 51 deux droites parallèles. A H. D. Les deux parallèles D et D' (fig. Fm, 60, définissent la bande (D, D'). Les drOItes D‘et D’ sont les côtés ou bords de bande. La portion de plan comprise entre D et D' est l'intérieur de la bande. EXERCICES o 63. Démontrer qu’une perpendiculaire A2: et une oblique By à une même droite AB sont concourantes. e 64. Démontrer que, Il deux droite! A et A' sont respectivement perpendi- salaires a deux droite: parallèles D' et D’. elles Ion: parallèles entre elles.
150 GÉOMÊTRIE o 65. Démontrer que, si deux droites Aœ et By sont respectivement perpendicul- laires aux côtés d’un angle saillant AOB, elles sont concourantes. o 66. Soit un triangle isocèle ABC de base BC. 1° Montrer que la bissectrice extérieure de l’angle A est parallèle à la base BC. 2° La réciproque est—elle vraie? La démontrer. o 67. Soient AB et CD deux diamètres d’un cercle O. 1° Comparer les directions de AC et de BD avec celle de la bissectrice de l’angle AOC. 2° Que peut—on en conclure pour AC et BD? o 68. Soit un angle xOy. Du point O comme centre on trace un premier cercle qui coupe Oæ en A et Oy en B, puis un second cercle qui coupe Ox en C et Oy en D. 1° Comparer les directions de AB et de CD avec celle de la bissectrice de l’angle xOy. 2° En déduire que AB et CD sont parallèles. o 69. On considère sur un cercle O quatre points ABCD disposés dans cet ordre et tels que les arcs AB et CD soient égaux. 1° Montrer que les angles AOD et BOC ont même bissectrice. 2° Comparer les directions de AD et de BC. o 70. D’un point intérieur M on mène les perpendiculaires MA et MB aux côtés de l’angle droit æOy. 1° Montrer que MA et Oy sont parallèles et qu’il en est de même de MB et 0x. 2° Quelle est la valeur de l’angle AMB? o 71.. On considère un point M pris sur un demi—cercle de diamètre AB et de centre O. On mène les perpendiculaires OH à MA et 0K à MB. 1° Montrer que l’angle HOK est droit. Comparer les directions de OH et de MB ainsi que celles de 0K et de MA. 2° Évaluer l’angle AMB et montrer que les angles MAB et MBA sont complé- mentaires. o 72. Soit un quadrilatère ABCD dans lequel les diagonales AC et BD ont même milieu O. On mène les perpendiculaires OH à AB et 0K à CD. 1° Comparer les triangles OAB et OCD, puis les triangles OAH et OCK. Consé- quences? e 2° Comment sont disposés les points O, H et K? En déduire que AB et CD sont parallèles. En est-il de même de AD et BC.? o 73. Étant donné une droite xy et un point extérieur O, on mène la perpen— diculaire OH et l’oblique 0M à la droite æy puis on construit H’ et M’ symétriques de H et M par rapport à O. 1° Comparer les triangles OHM et OH’M’. Conséquences? 2° Que peut-on dire des directions HM et H’M’? En déduire que: Deux droites symétriques l’une de l’autre par rapport à un point sont parallèles. 3° En déduire une construction de la parallèle menée par A à la droite xy. o 74. On considère deux parallèles D et D’ perpendiculaires en A et A’ au seg- ment AA’ dont on désigne par O le milieu. 1° Démontrer que la médiatrice æy du segment AA’ est un axe de symétrie de la bande (D, D’). t 21;,Établir que :cy est médiatrice de tout segment HH' perpendiculaire a D e . 3° En déduire que tout point Ide :cy est un centre de symétrie des deux droites D et D’ et qu’il est équidistant de ces deux droites.
SEPTIÈME LEÇON PROPRIÉTÉS ANGULAIRES DES PARALLÈLES 55. Définitions. — Lorsque l'on coupe deux droites D1 et D2 par une sécante AB on forme huit angles (fig. 6|). On appelle: 1° Angles attentes-internes deux angles Situés de part _et d'autre de la sécante, D1 A 1 2 entre les deux drontes et non adjacents: A . A3 et B1 sont alternes-internes. 2° Angles correspondants deux angles situés d'un. même côté de la sécante, non 2 adjacents, l un entre les deux drortes, l'autre 2 4 3 B à l'extérieur : A1 et B1 sont correspondants. F 61 ‘IG. . 3° Angles intérieurs d’un même côté _ deux angles Situés d'un même côté de la sécante entre les deux drmtes: A4 et B] sont intérieurs d'un même côté. 56. Théorème. —— Lorsque deux droites parallèles sont coupées par une sécante : ’ 1° Deux angles alternes-internes sont égaux; 2° Deux angles correspondants sont égaux. 3° Deux angles intérieurs d’un même côté sont supplémen- taires. 1° Soient CD et EF deux droites parallèles coupées par la sécante AB (fig. 62). Par le milieu O de AB menons la perpendiculaire HK aux deux parallèles et considérons les triangles rectangles OAH et OBK. Ils ont l’hipp- /'\ -\ ténuse égale 0A = OB par construction, et un angle aigu égal AQH =_ BOK comme Opposés par le sommet. Ils sont égaux d'après le le: cas d égalitédes triangles rectangles (11° 24). Les angles aigus OAC et OBF sont donc égaux. _
152 GEOMÉTRIE 2° Reportons-nous à la figure 63. Nous venons de démontrer que A4 =_ B2. Or les quatre angles formés en A sont deux à deux égaux ou supplémentaires, ainsi que les quatre angles formés en B. On vort donc qu 1l en est de meme D C 7%? D [As C 72 F E 4%4‘ F FIG. 62. FIG. 63. de ces huit angles : A3 = B1, A1 = B1, A4 + Bl = 2D, etc. ce qui achève la démonstration du théorème. 57. Réciproque. — Pour que deux droites soient parallèles il suffit qu’elles forment avec une sécante : 1° Soit deux angles altemes-internes égaux; 2° Soit deux angles correspondants égaux; 3° Soit deux angles intérieurs d’un même côté supplémentaires. L'une de ces hypothèses entraîne entre les huit angles formés en A et B les mêmes relations que dans le théorème direct. Supposons donc (fig. 62) que la u A ’lf sécante AB forme avec les deux droites CD et EF des angles alternes—internes CAB et FBA égaux. Menons par le milieu O de AB, la perpendiculaire OH à CD. Elle coupe EF en K et les triangles OAH et OBK ont : 0A = 0B, æ ÎOÎI = ËÔÎ et (îAî'l = lls FIG. 64. sont égaux (ler cas des triangles quel- conques) et (Îlî = OT<Ë = ID. Les droites CD et EF, perpendiculaires à HK, sont parallèles. 3 .9 58. Application au tracé des parallèles. — Soit à mener par le point A la parallèle à la droite xy (fig. ll suffit de mener une sécante AB et de construire en A l'angle BAv égal à l'angle ABx. D'après la réciproque précédente la droite av est parallèle à xy.
PROPRIÉTÉS ANGULAIRES DES PARALLÈLES 153 EMPLOI DE L'ÉQUERRE. -- Lorsqu'une ,équerre glisse contre une règle fixe deux positions d'un même côté de léquerre sont parallèles, car elles forment des angles correspondants égaux avec le bord de la règle 65). Il suffit de placer un bord de l'équerre sur x_y.puis ,d'apgliquer la règle contre l'équerre et de faire alors glisser celle-c1 Jusqu en pour pouv01r tracer la parallèle cherchée. FIG. 65. FIG. 66. 59. Application au tracé d’une perpendiculaire. — Soit à mener, par le point A. la perpendiculaire à xy Plaçons l'un des côtés de l’angle droit de l'équerre suivant xy (position l) et appliquons la règle contre le côté hypoténuse. Faisons alors glisser l'équerre de façon que le deuxième côté de l'angle droit vienne en A Ce côté initialement perpendiculaire à xy est resté parallèle à lui-même et permet de mener la perpendiculaire AH (tracé des dessinateurs). Ce tracé est préférable à celui du n° 4 (fig: l5) car on obtient le prolonge- ment de AH et une bien meilleure détermination du pomt H. ANGLES A COTÉS PARALLÈLES OU PERPENDICULAIRES 60. Définition. — Deux demi-droites ou deux segments parallèles AM et BN sont de même sens s'ils sont situés d un même côté de la droite AB. Ils sont de sens contraires s'ils sont Situés de part et d'autre de la drorte AB. 6ÏÏThéorème. — 10 Lorsque deux angles ont leurs côtés paral- lèles et de même sens, ils sont égaux. 2° Lorsque deux angles ont leurs côtés parallèles et de sens contraires, ils sont égaux.
154 GËOMÊ TRIE 3° Lorsque deux angles ont deux côtés parallèles et de même sens et les deux autres parallèles et de sens contraires, ils sont supplémentaires. Par le point B, menons les parallèles u'u et v'v aux côtés de l'angle xAy M v A C .2; 5' Va u’ v! :0. V FIG. 67. (fig. 67). Les demi-droites Ax et Bv ou leurs prolongements se coupent en C. ΰ Les angles xAy et qu à côtés parallèles et de même sens sont sépa- rément égaux à l'angle va comme correspondants. Ils sont donc égaux. 2° Les angles xAy et u'Bv' à côtés parallèles et de sens contraires sont aussi égaux car les angles u'Bv' \et qu sont égaux comme opposés par le sommet. 3° Les angles xAy et u'Bv ont deux côtés parallèles et de même sens et deux côtés parallèles et de sens contraires. Ils sont supplémentaires, car l'angleu'Bv étant le supplément de l'angle qu est aussi celui de l'angle xAy. 62. Théorème. -— Lorsque deux angles ont leurs côtés respec- tivement perpendiculaires, ils sont égaux ou supplémentaires. Ils sont égaux s’ils sont tous deux aigus ou tous deux obtus. Ils sont supplémentaires si l’un est aigu et l’autre obtus. Considérons deux angles xAy et qu à côtés respectivement per- pendiculaires (fig. 68), construi— sons l’angle droit xAx' non adja» cent à xAy et l'angle droit yAy’ adjacent à xAy. Les angles xAy et x'Ay' ont le même complément yAx' : ils sont donc égaux. D'autre part Ax' et Bu perpendiculaires à Ax sont parallèles et, de même Ay' et BU perpendiculaires à Ay sont paral- y! x' u U” A 55 B FIG. 68. lèles. Les angles x'Ay’ et qu sont donc égaux ou supplémentaires et, par suite, Il en est de même de xAy et de qu. La deuxième partie du théorème résulte du fait que deux angles aigus (ou obtus) ne peuvent être qu'égaux tandis qu'un angle aigu et un angle obtus ne peuvent être que supplémentaires.
PROPRIÉTÉS ANG ULAIRES DES PARALLÈLES 155 EXERCICES o 75. Démontrer que pour que deux droites soient concourantes, il suffit: 1° Que l’une soit perpendiculaire et l’autre oblique par rapport à une troisième. 2° Qu’elles soient perpendiculaires aux côtés d’un angle saillant. o 76. Étant données deux parallèles coupées par une sécante, montrer que: 1° Les bissectrices de deux angles alternes internes ou correspondants sont parallèles. 12° Les bissectrices de deux angles intérieurs d’un même côté sont perpendi- cu aires. 3° Énoncer les réciproques de ces propriétés et les démontrer. o 77. Sur les côtés d’un angle de sommet O on porte deux longueurs égales OA = OB. Puis extérieurement à cet angle on construit deux angles égaux 0A3: et'OBy et on porte sur A1: et By deux longueurs égales AC = BD. 1° Comparer les triangles OACet OBD. 2° Montrer que les angles AOB et COD ont même bissectrice. 3° Comparer les directions de AB et CD. o 78. On considère deux angles adjacents supplémentaires AOB et BOC et leurs bissgctricesNOx et Oy. Par le point B on mène la parallèle à AC qui coupe 0:1: en M et y en 1° Comparer MB et OB; puis NB et OB. 2° Que représente le point B pour le segment MN‘I o 79. Par le point de rencontre I des bissectrices intérieures des angles B et C du triangle ABC, on mène la parallèle à BC, qui coupe AB en D et AC en E. 1° Comparer DB et DI puis EC et EI. _ 2° Montrer que DE = BD + CE. o 80. Soit un triangle ABC rectangle en A. Sur la perpendiculaire en C à AC on porte des segments CD et CE égaux à BC. 1° Comparer les directions de AB et DE. 2° Que représentent BD et BE pour l’angle B? o 81. Soit un triangle ABC. On mène les bissectrices intérieures des angles B et C qui coupent en D et E la parallèle menée par A à BC. 1° Comparer AD et AB, puis de même AE et AC. 2° Montrer que DE = AB + AC. 3° Reprendre le problème avec les bissectrices extérieures des angles B et C. o 82. Soit un triangle ABC. On mène par le milieu D de BC la perpendiculaire à la bissectrice intérieure de l’angle A. Cette perpendiculaire coupe AB en Eet AC en F. EF coupe la parallèle menée par B à AC en G 1° Montrer que les triangles AEF et BEG sont isocèles. 2° Comparer les triangles DBG et DCF. 3° Démontrer l’égalité des segments BE et CF.
HU'T'ËME. LEÇQNJ SOMME DES ANGLES D’UN TRIANGLE 63. Théorème. — La somme des angles d’un triangle est égale à deux droits (2D ou 180°). A Hypothèse : A, B, C sont les angles du triangle ABC. Conclusion : A+B+_C=2°-... B w . C v D FIG. 69. Soit un triangle ABC (fig. 69). Prolongeons BC jusqu'en D et menons CE parallèle à BA et de même sens que BA. L'angle A du triangle ABC est égal à l'angle ACE comme alterne—interne. L'angle B du triangle ABC est égal à l’angle ECD comme correspondant. On voit que la somme des trois angles du triangle est égale à la somme des trois angles formés en C. On a onc: Â+Ë+Ô=ZD=180°. 64. Corollaire I. — Un angle extérieur à un triangle est égal à la somme des angles intérieurs non adjacents à cet angle. Il résulte en effet de la démonstration précédente (fig. 69) que: Â + Ê = KCÈ + ËCÎ) = ÂÎÎ). C'est-à-dire que la somme des deux angles intérieurs A et B est égale à l'angle extérieur relatif au sommet C.
SOMME DES ANGLES D’UN TRIANGLE 157 65. Corollaire II. -— La somme de deux angles d’un triangle est inférieure à deux droits. Il en résulte qu'un_ triangle ne _peut avoir plus d_’un angle droit ou d’un angle obtus. Il a toujours au moms deux angles aigus. APPLICATIONS 66. Théorème I. — Les angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires. A Si l'angle A du triangle ABC est un angle droit (fig. 70), il en résulte : B + C = lD. En particulier (fig. 7l): Pour qu'un triangle soit un triangle rectangle isocèle, il faut et il sufiït qu’il ait deux angles égaux à 45°. 67. Théorème H. ——— Chacun des angles d’un triangle équilatéral vaut 60°. Leur valeur commune est en effet l80°: 3 = 60° (fig. 72). Il en résulte aisément que: l° Un triangle isocèle qui a un angle de 60°, est équilatéral. Ceci, que ce soit l'angle au sommet ou l’un (les angles à la base qui soit égal à 60°. B C 350 45° 55 45° C A B A B FIG. 70. FIG. 71. FIG. 72. 2° Lorsqu’un triangle rectangle a un angle de 60° (ou de 30°) l'un des côtés cle l'angle droit est égal à la moitié de l'hypoténuse. Dans le triangle ABH rectangle en H (fig. 72), on a Ë = 60° et  = 30°, le triangle ABH est la moitié du triangle équilatéral ABC et le côté HB opposé à l'angle (le 30° est égal à la moitié (le l’hypoténuse AB.
158 GÉOMÉ TRIE 68. Théorème III. — Lorsque deux triangles ont deux angles respectivement égaux, leurs trois angles sont égaux. Cela résulte du fait que le troisième angle de chaque triangle est le supplé— ment de la somme des deux premiers. Par suite: Lorsque deux triangles ont un côté égal et deux angles homo- logues respectivement égaux ils sont égaux. Ce théorème _qui constitue une extension du_ ler cas d'égalité (n° 2|) permet de ne plus utiliser le ler cas d'égalité des tnangles rectangles (n° 24) ou le cas non clasmque (n° 26). SOMME DES ANGLES D’UN POLYGONE 69. Théorème. — La somme des angles d’un quadrilatère convexe est égale à quatre droits. Soit le quadrilatère convexe ABCD (fig. 73). Menons la diagonale AC. La somme des angles du quadrilatère est égale à la somme des angles des deux triangles ABC et CDA. Comme il y a deux droits par triangle, on a donc : Â+Ë+ê+ñ=w. D .L B FIG. 73. FIG. 74. 70. Théorème. — La somme des angles intérieurs d’un poly- gone convexe est égale à autant d’angles plats que ce polygone a de côtés moins deux. Soit un polygone convexe ABCDEF (fig. 74) et désignons par n le nombre de ses côtés. En menant les diagonales issues de A, nous décomposons le polygone en autant de triangles qu'il a de côtés autres que AB et AF, soit onc en (n-Z) triangles. La somme S des angles du polygone est égale à celle des angles de tous ces triangles et par suite à (n-Z) angles plats. mm: IS=pxm—D=ML4M.
SOMME DES ANGLES D'UN TRIANGLE 159 7l. Corollaire. — La somme des angles extérieurs de tout polygone convexe est égale à quatre droits. La somme de l'angle intérieur et de l'angle extérieur relatifs à chacun des n som— mets est 2D (fig. 75). La somme des angles, tant intérieurs qu’extérieurs, est donc égale à ZnD. Cette somme surpasse de 4D la somme des seuls angles intérieurs égale à ZnD—4D. La somme des angles exté- {ÎCÏSS est donc, dans tous les cas, égale a . EXERCICES o 83. Soient deux triangles ABC et A’B’C’ ayant leurs côtés respectivement parallèles. B'C’ coupe les droites AB et AC en D et E. 1° [comparer les angles des triangles ABC et ADE, puis ceux des triangles ADE et A B C . 2° Énoncer la propriété qui en résulte pour deux triangles qui ont leurs côtés parallèles. o 84. Soient deux demi—droites Ax et By situées d’un même côté de la droite AB et Ax’ et By"'les_ demi-droites opposées. On suppose BAa: + ABy < 2°. 1° Montrer que les droites :c’x et y’y sont concourantes et que les demi-droites Ax' et By' n’ont pas de point commun. 2° En déduire que Aa: et By se coupent en un point C et énoncer la condition pour que deux demi—droites aient un point commun. o 85. Soit un triangle ABC. On désigne par A, B et C les valeurs reSpectives des angles du triangle. 1° Évaluer en fonction de B et C l’angle de la hauteur AA’ et de la bissectrice intérieure AD. 2° Évaluer en fonction de A, l’angle BIC des bissectrices intérieures des angles B et C. 3° Évaluer en fonction de A, l’angle BHC des hauteurs issues de B et C. Application numérique: B =. 57°, C = 75°. o 86. Soit un triangle ABC dans lequel AC > AB. On mène la bissectrice de l’angle A qui coupe BC en D puis la perpendiculaire BE à AD. Évaluer en fonction des angles B et C du triangle: 1° Les angles ADB et ADC. 2° Les angles ABE et EBD. /'\ Application numérique: B = 68°, ’ô = 54°. o 87. Dans un triangle ABC la bissectrice de Il’angle B coupe en I la hauteur issue de A et en D la perpendiculaire en A à AB. 1° Évaluer en fonction de B du triangle les angles IAB, AID et ADI. 2° Comparer les segments AI et AD.
l 60 GÉOMÊ TRIE o 88. On considère un cercle 0 et un diamètre :L‘y de ce cercle. D’un point M de ce cercle tel que: angle yOM < 45°, on mène MH perpendiculaire à xy et on construit le point A de xy tel que HA = OH. La droite AM recoupe le cercle en . 1° Montrer que les triangles MOA et OMB sont isocèles. 2° Calculer les angles OBM et BOx en fonction de l’angle OAB. o 89. Soit un triangle ABC rectangle en A. On prolonge CB d’une longueur BD = BA et sur la perpendiculaire en C à BC, on porte du côté de A une longueur CE = CA. 1° Calculer en fonction de B les angles BAD, ACE et CAE. 2° Évaluer l’angle DAE et montrer que D, A et E sont alignés. o 90. Soit un triangle rectangle isocèle ABC. Par le sommet A de l’angle droit, on mène, extérieurement au triangle, une droite xy, puis les perpendiculaires BM et CN à xy, ainsi que la hauteur AH du triangle ABC.. 1° Montrer que HA = HB = HC. 2° Comparer les triangles AMB et CNA. Que représente MN pour BM et CN? 3° Comparer les triangles HBM et HAN et démontrer que le triangle MHN est rectangle isocèle. o 91. On mène la hauteur AH issue du sommet de l’angle droit d’un triangle rectangle ABC, puis les bissectrices intérieures des angles BAH et CAH qui coupent l’hypoténuse en D et E. 1° Évaluer la valeur de l’angle DAE. 2° Montrer que les triangles BAE et CAD sont isocèles. 3° Comparer DE à la longueur AB + AC — BC. o 92. Soit un triangle ABC. On prolonge BC de deux longueurs BD = BA et CE = CA. 1° Que représente DE pour le triangle ABC? 2° Calculer les angles D et E du triangle ADE en fonction des angles B et C. 3° Comparer deux triangles ayant leurs angles respectivement égaux et même périmètre. o 93. Dans un triangle ABC l’angle aigu B est le double de l’angle C. La média- trice de AC coupe BC en D. 1° Montrer que AD partage ABC en deux triangles isocèles. 2° Comparer l’angle extérieur A à l’angle C dans le triangle ABC. o 94. Dans un triangle ABC, l’angle B est triple de l’angle C. La médiatrice de BC coupe CA en D. 1° Montrer que BD partage ABC en deux triangles isocèles. _. 2° Comparer l’angle extérieur A à l’angle C dans le triangle‘ ABC.
NEUVIÈME LEÇON PARALLÉLOGRAMME 72. Définition. — Le parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés sont parallèles deux à deux. - DZ C / On obtient un parallélogramme en coupant deux parallèles par deux sécantes parallèles entre elles (fig. 76). Le quadrilatère ABCD obtenu est convexe, car il est tout entier situé d'un même côté de l'une des quatre / 7 dr01tes précédentes. PROPRIÉTÉ DES ANGLES 73. Théorème. — Dans tout parallélogramme : 1° Deux angles consécutifs sont supplémentaires; 20 Deux angles opposés sont égaux. Dans le parallélogramme ABCD (fig. 76) les deux angles consécutifs A et B occupent la position d'intérieurs d'un même côté de la sécante AB pour les parallèles AD et BC. Ils sont donc supplémentaires (n° 56). Les_ deux angles opposés A et C ont leurs côtés parallèles et de sens contraires. Ils sont donc égaux (n° 6l). 74. Théorème. — Lorsqu’un quadrilatère convexe Ba ses angles opposés égaux deux à deux, c’est un parallélogramme. Si dans/le quadrilatère ABCD (fig. 76) nous avons /Â = ê et Ê = Û la somme A + B vaut la moitié de la îomm/e des quatre angles. Cette somme étant égale à 4D (n° 69) nous avons : A + B = 2D. Les angles A et B accu. ALGÈBRE ET GÉOMÉTRIE — QUATRIÈME LYCÉES COLLÈGES 5
162 GÉOMÉ TRIE pant la position d'intérieurs d'un même côté de la sécante AB pour les drmtes AD et BC, ces drortes so/nt donc parallèles (n° 57). ÏÎ On démontrerait devmême que A + D = ZD et que AB et CD sont paral- lèles. Le quadrilatère ABCD est donc un parallélogramme. PROPRIÉTÉ DES côrEs 75. Théorème. — Dans tout parallélogramme les côtés opposés sont égaux deux à deux. Soit un parallélogramme ABCD (fig. 77). Menons la diagonale AC et compa/rpns les triangles ABC et CDA. lls ont le côté AC en commun A1 = C1 comme alternés-internes et de même C2 = A2. lls sont donc égaux (ler cas) et par suite: AB = CD et AD = BC. A B A _ a FIG. 77. FIG. 78. 76. Réciproque I. — Lorsqu’un quadrilatère convexe a deux côtés à la fois égaux et parallèles, c’est un parallélogramme. Supposons que le quadrilatère ABCD (fig. 78) ait les côtés AB et CD égaux et parallèles. Les deux triangles êBC et CDA ont le côté AC commun. AB = CD (par hypothèse) et A1 = C1 comme alterna-internes. Ils sont donc égaux (2° cas). Les angles alternes-internes A2 et C2 Osont par suite égaux et les côtés AD et BC sont parallèles (n° 57). Le quadrilatère est donc un parallélogramme. , . - . Cette réciproque permet de construire facrlement un parallélogramme sur du papier réglé ou quadrillé. 77. Réciproque Il. ——- Lorsqu’un quadrilatère convexe a ses côtés opposés égaux deux à deux, c’est un parallélogramme. Supposons que le quadrilatère ABCD 77) ait AB '_—=.CD et AD = BC. Les triangles ABC et CDA ont deux côtés égaux et le tronsrèAme A9 commun. Ils sont donc égaux (3° cas). Les angles alternes—intern/es A1 Aet C1 sont par suite égaux et AB et CD sont parallèles. De même. C2 = A2 et par suite AD et BC sont parallèles. Le quadrilatère est donc un parallélogramme.
PARALLËLOGRAMME I 63 PROPRIÉTÉ DES DIAGONALES 78. Théorème. — Dans tout parallélogramme les diagonales se coupent en leur milieu, centre du parallélogramme. Soit O le point de rencontre des diagonales du parallélogramme ABCD 79). AB étant parallèle et égal à CD, les triangles OAB et OCD \A B/ ont AB = CD, /Â = Ô comme alternés—internes et de même B = D. lls sont donc égaux et par suite 0A = OC et OB = 0D. Le point 0, milieu de chacune des diagonales, est un centre de symétrie du parallélo- gramme. On l'appelle centre du paral— D C\ ä Iélogramme. FIG. 79. 79. Réciproque. — Lorsque les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leur milieu, ce quadrilatère est un parallélogramme. Supposons que le quadrilatère ABCD (fig. 79) ait été obtenu en portant sur deux droites se coupant en O, des segments 0A = OC sur la première et OB = 0D sur la seconde. Les angles AOB et COD étant égaux comme opposés par le sommet, les deux triangles OAB et OCD sont égaux (2° cas). Les angles alternes—internes OAB et OCD sont donc égaux et par suite les côtés AB et CD sont à la fois égaux et parallèles. Le quadrilatère ABCD est donc un parallélogramme (n° 76). ' 80. Corollaire. — Deuxî droites symétriques par rapport à un point sont parallèles. Si C et D sont les symétriques de A et B par rap ort au point O le quadri— latère ABCD est un parallélogramme de centre . Donc AB et CD sont parallèles. APPLICATIONS 81. Reconnaître un parallélogramme. — L'étude précédente montre qu'un quadrilatère convexe est un parallélogramme s'il possède l'une quel— conque des propriétés caractéristiques suivantes: l° Ses côtés opposés sont parallèles deux à deux. 2° Ses angles opposés sont égaux deux à deux. 3° Deux de ses côtés sont à la fois égaux et parallèles. 4° Ses côtés opposés sont égaux deux à deux. 5° Ses diagonales se coupent en leur milieu.
l64 GEOME TRIE 82. Généralisation. —«- Les portions de parallèles comprises entre deux parallèles sont égales. Les segments parallèles ÀA', BB' et CC’ compris entre les parallèles D A B C D A D _. s e? - ç A’ B' C' D' A' D' FIC. 80. FIG. 81. et D’ (fig. 80) sont égaux comme côtés opposés des parallélogrammes tels que ABB’A’. 83. Distance de deux parallèles. -- En particulier si les segments égaux sont perpendiculaires aux deux parallèles D et D’ (fig. 8l), on Voir. que tous les points de l’une sont à la même distance de. l’autre. D'où la définition : On appelle distance de deux parallèles la longueur du segmem‘; qu’elles découpent sur une perpendiculaire commune quelconque" Cette distance d 7:: AA', est la largeur de la bande (D, D') définie par les parallèles D et D'. EXERCICES e 95. Soit un parallélogramme ABCD. Par le sommet A on mène la parallèle ù la diagonale BD qui coupe en E et en F les prolongements de CB et CD. 10 Comparer les côtés et les angles du triangle CEF à ceux du triangle ABD, 2° Que représentent A, B et D pour les segments EF, EC et FC? a 96. On mène deux segments AB et CD parallèles, égaux et de même sens puis, de même, deux autres segments AE et CF parallèles,'égaux et de même sens. 1° Comparer les segments BD et EF en grandeur et en direction. 2° Comparer de même les segments BE et DF. o 97. On mène deux segments AB et C-D parallèles, égaux et de sens contraires? puis les segments AE et CF parallèles, égaux et de sens contraires. 1° Montrer que les segments BD et EF ont même milieu. 2° Comparer les segments B152 et DF en grandeur et en direction. o 98. Soient M et N les milieux des côtés AD et BC du parallélogramme ABCl'îs de centre O. 1° Montrer que MN est parallèle et égal à AB et (32L). L30 Montrer que le centre (Î) du parallélogramme est. le milieu de MN. 3° Que peul-on (lire des distances de MN aux côtés A18 et. DC?
PARALLÉLOGRAMME l 65 o 99. Dans un "triangle ABC on mène par un point E de AC les parallèles à AB et BC qui coupent BC en D et AB en F. On suppose que .AE = BF. 1° Quelle est la nature du triangle AED‘? 2°t QFue représente AD pour le triangle ABC? En déduire la construction du pom 4. o "100. Soit un triangle ABC. Les hauteurs issues de [i5 et C se coupent en il. ()n mène les perpendiculaires en B à AB et en C à AC : elles se coupent en D. 1° Quelle est la nature du quadrilatère BI-ICD? d 2° Que représente pour HD le milieu M de BC? o 101. D’un point D de la base BC d’un triangle ABC on mène les parallèles nuitcôtés AB et AC. Elles coupent respectivement en E et F la parallèle à BC menée par le point A. 1° Comparer les triangles ABC et DEF. 2° Comparer les segments CE et BF en grandeur et en direction. 3° La figure obtenue admet—elle un centre de symétrie? o 102. D’un point M de la base BC d’un triangle isocèle ABC, on mène les paral— lèles aux côtés AB et AC. Elles coupent ces côtés en N et P. 1° Comparer la somme MN + MP au côté AB. 2° Que peut—on dire du périmètre du quadrilatère APMN lorsque M décrit le segment BC? 3° Si M est sur le prolongement de BC, que représente AB pour MN et MP‘? o 103. Soit un triangle isocèle ABC. D’un point M de la base on mène les perpen- diculaires MI-I et MK aux côtés AB et AC. MK rencontre en I la parallèle a AC menée par B. 1° Comparer les triangles M'IB et MHB. Conséquences? 2° Montrer que la somme MH + MK est indépendante du point M. Comparer sa valeur à la hauteur BD du triangle. 3° Comment modifier le 2° si le point M est sur le prolongement de BC. o 104. Par un point M intérieur à un triangle équilatéral ABC, on mène les parala lôles DE à BC, FG à CA et HI à AB. 1° Comparer les segments déterminés sur les trois côtés du triangle. 2° Comparer la somme DE + FG + HI à l’un des côtés du triangle. 3° Comparer la somme des distances du point M aux trois côtés du triangle ù la hauteur de ce triangle.
DIXIÈME LEÇON RECTANGLE 84. Définition. — Un rectangle est un parallélogramme qui a un angle drolt. On obtient un rectangle ABCD en coupant deux parallèles par deux sécantes perpendiculaires à ces parallèles (fig. 82). ll en résulte (no 73) que : Les quatre angles d’un rectangle sont droits. D C D C Fig. 82. FIG. 83. 85. Théorème. — Tout quadrilatère qui a ses angles droits est un rectangle. Deux côtés Opposés sont en effet parallèles car ils sont perpendiculaires à cliacun des deux autres. Comme dans tout parallélogramme les côtés opposés d un rectangle sont égaux et les diagonales se coupent en leur milieu. 86. Théorème. — Les diagonales d’un refitqngle sont égales. Les deux triangles ABC et BAD (fig. 83) ont ABC = BAD = lD, le côté AB commun et BC = AD comme côtés opposés du rectangle. Ils sont égaux (2e cas) et“ par suite AC = BD. 87. Réciproque. — Lorsqu’un parallélogramme a ses diago- nales égales, c’est un rectangle. Les deux triangles ABC et BAD (fig. 83) ont alors AB en commun.
REC TANGLE l67 BC = AD et AC = BD par hypothèse. Ils sont égaux (3° cas). Les angles A et B du ,arallélogramme sont donc égaux. Comme ils sont supplémentaires, chacun eux vaut un drort. 88. Cercle circonscrit, axef' de symétrie du rectangle. Les diagonales d'un rectangle étant égales, le milieu de ces diagonales est équldlstant des quatre sommets (fig. 84), et par suite ll est le centre d'un cercle passant par les quatre sommets : c'est le cercle circonscrit au rectangle. A A B A B 0 x’_______ _'O_ a; i l C D V D C W FIG. 84. FIG. 85. Les quatre triangles tels que AOD sont isocèles (fig. 85). La droite x'x bissectrice de AOD et BOC est donc médiatrice de AD et BC. De même y'y est médiatrice de AB et CD. ll en résulte que x'x et y'y sont deux axes de symétrie du rectangle. 89. Théorème. —— Les extrémités de deux diamètres d’un cercle sont les sommets d’un rectangle. Les égalités 0A = OC, OB = 0D et AC = BD montrent que l'on obtient un parallélogramme (no 79) qui a ses diagonales égales (no 87). PROPRIÉTÉ CARACTÉRISTIQUE DU TRIANGLE RECTANGLE 90. Théorème. — Dans tout triangle rectangle la médiane issue du sommet de l’angle droit est égale C D à la moitié de l’hypoténuse. Soit un triangle ABC rectangle en A M (fig. 86). Prolongeons la médiane AM d'une longueur égale MD'. Le quadrilatère ABD'C cst un parallélogramme car ses diagonales ont même milieu (no 78) et un rectangle puisque l’angle BAC est droit. La demi- A B diagonale AM est donc la moitié de BC. FIG. 86.
I68 GÉOMÉ TRIE 91. Réciproque. — Lorsqu’une médiane d’un triangle est égale à la moitié du côté correspondant, ce triangle est rectangle. La construction précédente donne un parallélogramme qui a des diagow nales égales, c'est-à-dlre un rectangle (n0 87). 92. Cercle circonscrit au triangle rectangle. — Il en résulte que A FIG. 87. (fig. 86) Le cercle ayant pour diamètre l’hypoténuse d’un triangle rec- tangle passe par le sommet de l’angle droit. Ce cercle est le cercle circonscrit au trlangle rectangle. Réelproque- ment z Lorsqu’on joint un point d’un cercle aux extrémités d’un dia- mètre, on obtient un angle droit. _ Les points A d’un cercle de diamètre BC ont pour propriété caractérisu thueîd être tels que langle BAC 48011: droit (fig. 87). LOSANGE {Î 93. Définition. — Un losange est un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs égaux. Il en résulte (n° 75), que: Les quatre côtés d’un losange sont égaux. Réciproquement : 94. Théorème. — Tout quadri- latère convexe qui a ses quatre côtés égaux est un losange. Car ses côtés opposés étant égauxz c'est un parallélogramme (n° 77) qui a deux côtés consécutifs égaux. On en déduit que l'on obtient un losange ABCD en prenant B et D sur un arc de centre A et le point C à l’intersection de deux cercles de même rayon de centres B et D (fig. 88). FIG.
RECTANGLE 169. Comme dans tout parallélogramme les angles opposés d'un losange sont égaux et les diagonales se coupent en leur milieu. 95'. Théorème. — Les diagonales d’un losange sont perpendi- culaires et bissectrices des angles A du losange. Soit un losange ABCD de centre O ä (fig. 89). Dans le triangle isocèle DAB, D B la médiane A0 est également hauteur 0 ‘“ et bissectrice de l'angle A. Donc A_C est perpendiculaire à BD et bissectrice des angles A et C du C losange. FIG_ 89_ 96. Réciproque I. — Lorsqu’un parallélogramme a ses diago- nales perpendiculaires c’est un losange. Les diagonales _duiqiparallélogramme ABCD sel—coupant _en leur milieu, sont alors médiatrices l'une de l'autre. Le pomt A est équidistant de B et D (n° 16) et par suite AB = AD. 97. Réciproque II. — Lorsqu’une diagonale ïd’un parallélo- gramme est bissectrice de l’un de ses angles, ce parallélogramme est un losange. D C Si dans le parallélogramme ABCD (fig. 90), la diagonale AC est\ hisse/c- trice/de l’angle A, nous avons A1 = A2. Or A2 est égal à C2, comme alterne- interne et ' par suite A1 = Le: A B triangle ABC ayant delëi angles égaux Fia. 90. est isocèle et AB = . 98. Axes de symétrie du losange. — Les diagonales d'un losange sont des axes de symétrie du losange. En effet les diagonales du losange ABCD fig. 89) sont médiatrices l’une de l’autre. En pliant le losange suivant la iagonale BD par exemple, les deux parties ABD et CBD coïncident.
l 70 GÉOMÉ TRIE CARRÉ 99. Définition. — Le carré est un rectangle qui a deux côtés consécutifs égaux (lou uriz )lo- sange qui a un ang e dro t . D /\ c . . On obtient un carré en construl- sant un parallélogramme ABCD dont un angle DAB est droit et dont les 0 deux côtés consécutifs AB et AD sont égaux. Il est plus rapide (fig. 9l) de prendre pour sommets les extré— mités de deux diamètres rectangu— 45° laires d’un cercle. Le rectangle ainsi obtenu (n° 89) a ses côtés égaux. A B \+/ Le carré possède toutes les pro— priétés du rectangle et du losange: FIG. 91. 100. Théorème. — Dans un carré, les quatre côtés sont égaux, les quatre angles sont droits et les diagonales sont égales, perpen- diculaires et bissectrices des angles du carré. L'angle formé par un côté et une diagonale est donc égal à 45°, et le centre du carré est le centre du cercle circonscrit au carré (fig. 9l). Le carré possède quatre axes de symétrie : les médiatrices des côtés opposés, comme dans un rectangle et les diagonales, comme dans un losange. EXERCICES o 105. Deux cercles inégaux de centres O et 0’ passent par deux points A et B. Or’ramène les diamètres AOC et AO'D. 1° Évaluer les angles ABC et ABD. 2° Comment sont diSposés les points B, C et D? o 106. Soit un triangle ABC. On mène la hauteur AH et on joint les milieux M et N des côtés AB et AC. 1° Comparer les triangles AMN et HMN et montrer que MN est médiatrice de AH. 2° On mène les hauteurs MI et NJ des triangles MBH et NCH. Quelle est la nature du quadrilatère MNJ I? 3° Comparer MN et BC en grandeur et en direction.
RECTANGLE l7] o 107. Deux droites parallèles x’x et y’ y sont coupées en A et B par une sécante. Les bissectrices des angles intérieurs formés en A et B se coupent en M et N. 1° Quelle est la nature du quadrilatère AMBN? Comparer AB et MN. 2° Montrer que MN est parallèle à x’x et y’ y et équidistant de ces 2 droites. mène les bissectrices intérieures des angles A et B d’un parallélo- gramme ABCD tel que AB < AD. Ces bissectrices coupent BC et AD en E et F et se coupent en M. ‘ A 1° QIÂËle est la nature du quadrilatère ABEF? Comparer EC à la différence 2° Les bissectrices des angles C et D se coupent en N. Comparer les triangles EMF et CND. 3° Comparer MN, en grandeur et en direction, aux côtés du parallélogramme. o 109. Avec un même rayon on trace des arcs de cercles de centres A et B se coupant en I. Puis on trace le cercle de centre I passant par A et B, et les dia— mètres AE et BF de ce cercle. AF et BE coupent respectivement en D et C les deux premiers arcs. 1° Montrer que les angles ABE et BAF sont droits. 2° Quelle est la nature du quadrilatère ABCD? . 3° Comment faut-il choisir le rayon initial pour obtenir un carré? o 110. Soit un cercle de diamètre BC et un point A de ce cercle. On désigne par I et J les intersections du demi-cercle BAC avec les médiatrices de AC et AB. 1° Comparer les directions de ces médiatrices et des côtés de l’angle A. 2° Que représentent BI et CJ pour le triangle ABC? 3° I’ et J ’ étant diamétralement opposés à I et J, que représentent de même BI’ et CJ'? o 111. Soit un triangle ABC rectangle en A. On mène la médiane AM et la hau— teur AH (on supposera H entre B et M). 1° Comparer les angles BAH et ACB à l’angle ABC. Conséquence? /\ /'\ /\ A 2° Comparer ensuite BAH et CAM et montrer que BAC et HAM ont même bissectrice. . y o 112. ,Un triangle ABC a ses sommets sur le cercle de diamètre BC. Soit D l’inter- section du demi-cercle qui ne contient pas A avec la médiatrice de BC. On mène DE et DF perpendiculaires à AB et AC. 1° Comparer les segments DB et DC et les angles BDE et CDF. 2° Comparer les triangles BDE et CDF Conséquences pour DE et DF? 3° Quelle est la nature du quadrilatère AEDF? Montrer que AD est bissec— trice de l’angle BAC. o 113. Dans un triangle ABC rectangle en A, la médiatrice de BC coupe AC en D. Soit E le point symétrique de D par rapport à A. 1° Comparer les angles E et C du triangle EBC. 2° La médiane AM du triangle ABC coupe BE en F. Comparer EF et EA. 3° Comparer les segments BF et AC.
ONZIÈME LEÇON TRAPÈZE 101. Définition. — Un trapèze est un quadrilatère convexe qui a deux côtés parallèles. Les côtés parallèles d'un trapèze (fig. 92) sont les bases. Les côtés non parallèles sont les côtés obliques. La dis- D C tance des deux bases est la hauteur du trapèze. Un parallélogramme 'est un trafl pèze particulier dont les bases:sont égales. L. Deux angles adjacents à un même côté oblique sont supplémentaires. Cette condition est suffisante pour A B qu'un quadrilatère convexe SOlt un tra— FIG. 92. pèze (n° 57). 102. Trapèzes particuliers. 1° Un trapèze rectangle a un côté perpendiculaire aux bases. ll a donc deux angles droits consécutifs (fig. 93) et cette propriété est suffisante pour_Lqu'un quadrilatère convexe son un trapèze rectangle. D C D C .1 A B A FIG. 93. FIG. 94. -n —_r---—-—- I Ë l l ri. E 2° Un trapèze isocèle a des côtés non parallèles égaux. On obtient un trapèze isocèle en prolon eant la base EF d’un rectan le CDEF de deux longueurs égales EA = F B . 94 . Le d t . l D A et CFB étant égaux (2. c”) on a bien A fig: Bè. 8 eux nang es
TRAPËZE 173 103. Théorème. — Pour qu’un trapèze soit isocèle il faut et il suffit que les angles adjacents à D c une même base soient égaux. Dans le trapèze ABCD (fig. 95) ter-— minons le parallélogramme BCDE. Nous avons BC = ED et fic = KEÏ) comme correspondants. ç l° L'égalité des côtés AD et BC A E B entraîne celle de AD et ED. Le FIG. 95. triangle DAE est isocèle et par suite /\ /\ /'\ /\ /\ BAD = AED = ABC. Les angles A et B du trapèze sont donc égaux. Il en est de même de leurs suppléments C et D. /'\ /\ /\ 2° L’égalité des angles A et B (ou C et D) du trapèze entraîne celle de DAE et Le triangle DAE est donc isocèle. Le côté AD est égal à ED et par suite à BC. ' 104. Axe de symétrie; cercle circonscrit au trapèze isocèle. Prolongeons les côtés non parallèles du trapèze ABCD jusqu’en M (fig. 96). Les triangles MAB et MCD ont des angles à la base égaux : ils sont isocèles. La bissectrice de l'angle M est médiatrice de AB et de CD et par suite axe de symétrie du trapèze isocèle. FIG. 96. FIG. 97. La médiatrice du côté obli ue BC coupe cet axe en un point O (fig. 97). Par suite (n° l6) 0A = OB, B = OC et OC = 0D. Le point O est donc équidistant des quatre sommets. C’est donc le centre d’un cercle circonscrit en trapèze isocèle.
l 74 GÉOMÊ TRIE PARALLÈLES ÉQUIDISTANTES 105. Théorème. —- Lorsque des parallèles déterminent des seg- ments égaux sur une première sécante, elles déterminent des ségments correspondants égaux sur toute autre sécante. A A’ Soient deux segments égaux AB et CD déterminés par des , parallèles sur la sécante A A I (fig. 98). Pour comparer les seg— ments correspondants A’B' et C'D' détermmés sur A', rempla— B, J çons-les par les segments paral- B E lèles AE et CF. Nous avons AE = A'B' et CF = C'D' I comme côtés opposés de paral- C C K lélogrammes. Les deux triangles ABE et CDF ont AB= CD, les angles A et C égaux comme ’ L D F correspondants et de même B = D. lls sont donc égaux I \ (I‘Îr cas). AE et CF sont par Fm. 98, SUlte égaux, let par conséquent: A’B’ = C’D 106. Parallèles équidistantes. — Si tous les segments consécutifs déter- minés sur la première sécante sont égaux, il en est de même des segments déterminés sur une sécante rpendiculaire à ces parallèles qui sont donc équidistantes. Il en estuainsi es lignes d'une feuille de papier réglé ou de celles d'un guide-lignes. REMARQUE. —- La propriété précédente montre que les bandes consécutives définies par des parallèles équidistantes sont égales et déterminent des segments égaux sur toute sécante. / APPLICATIONS 107. Partage d’un segment en parties égales. Soit à partager un segment AB en cinq parties égales (fig. 99). Portons à partir de A, sur une demi-droite auxiliaire Ax. cin segments consécutifs égaux. Joignons l'extrémité C du dernier au point et par les points de division de AC menons les parallèles à BC. Ces parallèles sont équidistantes. Elles partagent donc AB en cinq segments égaux.
TRAPÈZE l 75 On peut aussi reporter AB sur le bord d:une bande_ de papier et placer cette bande sur du papier réglé de façon à intercaler cmq mterlrgnes entre A et B (fig. 100). L / / / / / A B [B f A FIG. 99. FIG. 100.. 108. Droites des milieux des côtés dans un triangle. —— Le seg- ment qui joint les milieux de deux côtés d’un triangle est paral- lèle au troisième côté et égal à sa moitié. Soient un triangle ABC et M, N et P les milieux des côtés ÀB, AC et BC (fig. 10|). Par M menons la parallèle à BC. D’après la construction précédente, cette parallèle passe par N. Autrement dit MN est parallèle à BC. De même, NP est parallèle à AB. Dans le parallélogramme MNPB, nous avons MN = BP, soit MN = BC. A A B B pr ‘ c D ‘ C FIG. 101. FIG. 102. 109. Base moyenne d’un trapèze. — Le segment qui joint les milieux des côtés non parallèles d’un trapèze est parallèle aux bases et égal à leur demi-somme. Menons dans le trapèze ABCD, la parallèle aux bases passant par le milieu M de AD (fig. l02). Elle passe par le milieu P’de AC et le milieu N de BC. Autrement dit MN est parallèle aux bases.
l 76 GÊOMÉ TRIE D'autre part, d'après le théorème précédent MP = à DC et PN = 12- AB. 1 1 AB + CD_ Par suite MN = MP + PN = 2 AB + -2- CD, soit MN = 2 Le segment MN est appelé base moyenne du trapèze. EXERCICES o 113. Soient, dans un cercle de centre O, deux arcs égaux et de même sens AB et C . 1° Montrer que les angles AOD et BOC ont même bissectrice. Comparer les directions de AD et BC. AB2(‘3’DC‘Ïomparer les triangles AOB et COD. Quelle est la nature du quadrilatère o 115. Soit un trapèze isocèle ABCD de bases AB et CD. 1° Comparer les triangles ABC et BAD. Conséquences? 2° Montrer que les diagonales AC et BD sont égales et qu’elles forment des angles égaux avec chacune des bases et avec les côtés non parallèles. o 116. Dans un trapèze rectangle la base AB est double de CD et égale au côté oblique BC. 1° Montrer que AC = BC. Quelle est la nature du triangle ABC? 2° Évaluer les angles du trapèze. o 117. Dans un trapèze isocèle ABCD, la petite base CD est égale aux} côtés non parallèles AD et BC. ' 1° Montrer que la diagonale AC est bissectrice de l’angle A. 2° Calculer les angles du trapèze en supposant AC = AB. 3° Même calcul en supposant AC perpendiculaire à BC. o 118. Dans le quadrilatère convexe ABCD les côtés AB et CD sont parallèles et les côtés AD et BC sont égaux. 0 1 mène les segments AE et BF perpendicu- laires à CD. 1o Comparer les triangles ADE et BCF. 2° Quelle est la nature du quadrilatère ABCD suivant que CF et DE sont de même sens ou de sens contraires? o 119. Soit un triangle ABC. 01 désigne par M le milieu de BC et par D et E les points qui divisent AB en trois segments égaux: AD, DE et EB. Le segment DC coupe AM en I. 1° Comparer EM et DC puis DI et EM. 2° Que représente le point I pour le segment AM et pour le segment DC? o 120. Soient ABC un triangle et DE le segment qui joint les milieux des côtés AB et AC. Montrer que la médiane AM du triangle ABC 'et le segment ED se coupent en leur. milieu.
o 121. Soient M et N les milieux des côtés-BC et AB d’un triangle ABC. On mène par C et M les perpendiculaires à la bissectrice intérieure de l’angle A. Ces perpen- diculaires coupent AB en D et P. 1° Montrer que ADC est isocèle et que AD = AC. 2° Montrer que AP = ê-B—ÈAQ et comparer NP et AC. o 122. Soient D] et D, deux parallèles coupées en A et B par une sécante. Soit O le milieu de AB. On mène les bissectrices de chacun des angles formés en A et B. 1° Montrer que ces bissectrices se coupent en M et N sur la parallèle à D1 et D2 équidistante de ces deux droites. 2° Montrer que O est le milieu de MN et que OM = ON = o 123. Dans un parallélogramme on mène les bissectrices intérieures (ou exté- rieures). 1° Montrer qu’elles forment un rectangle. 2° Utiliser les résultats de l’exercice précédent pour comparer la longueur et la direction de ses diagonales aux côtés du parallélogramme. 3° Dans quel cas obtient-on un carré? o 124. On joint les milieux des côtés consécutifs d’un quadrilatère ABCD. 1° Quelle est la nature du quadrilatère MNPQ obtenu? Comparer la longueur et la direction de ses côtés à celles des diagonales AC et BD. 2° A quelles conditions obtient—on un rectangle, un losange ou un carré? 3° Montrer que le segment RS qui joint les milieux de AC et BD a même milieu que les segments MP et NQ. o 125. Soit un trapèze ABCD. On désigne par M et N les milieux des côtés non parallèles, P et Q les milieux des bases et R et S les milieux des diagonales. 1° Montrer que RS est porté par la base moyenne MN, qu’il a même milieu qu’elle et que RS est égal à la demi-différence des bases. 2° On suppose le trapèze isocèle. Montrer que les deux quadrilatères MPNQ et PRQS sont des losanges. o 126. Soit un quadrilatère qui admet un axe de symétrie. 1° Montrer que si deux sommets consécutifs sont symétriques, ce quadrilatère est un trapèze isocèle convexe ou croisé. 2° Montrer que si deux sommets opposés sont symétriques, la diagonale qui joint ces deux sommets admet l’autre diagonale pour médiatrice. Étudier les formes possibles de ce quadrilatère convexe (cerf—volant) ou concave (fer de lance).
DOUZIÈME LEÇON | DROITES CONCOURANTES DANS UN TRIANGLE 110. Théorème. — Lorsque deux droites sont respectivement perpendiculaires à deux droites concourantes, elles sont elles- mêmes concourantes. Soient les droites x'x et y'y perpendiculaires aux côtés de l'angle BAC (fig. 103). Ces droites ne peuvent être parallèles sans que les trois points A, B et C soient sur une même droite perpendiculaire à leur direction commune. Comme ce n'est pas le cas, x’x et y’y sont concourantes. Fm. 103. Fm. 104. 111. Théorème. — Pour que deux demi-droites soient concou- rantes, il faut et il suffit qu’elles forment, avec la droite qui joint leurs origines, deux angles intérieurs d’un même côté ayant une somme inférieure à deux droits. Soient x'x et y'y deux droites coupées par la sécante âB (fig. 104). l0 Si Ax et By se coupent en C, nous avons : A1 + B1 < 2D (n0 65). 2° Si nous supposons : A1 + B1 2D, les deux droites x'x et y'y ne sont pas parallèles (n0 57) et sont par sulte concourantes. Comme la somme des angles intérieurs en A et B est égale à 4D, nous avons : A2 + B2 > 2D. Les demi-droites Ax' et By' ne peuvent se couper d'après le 1°. Ce sont donc Ax et By qui sont concourantes.
DROITES CONCOURANTES DANS UN TRIANGLE 179 112. Médiatrices. — Les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes en un point O équidistant des trois sommets du triangle. A Considérons dans le triangle ABC (fig. l05), les médiatrices des côtés A13 et AC. Ces médiatrices sont perpendi- culaires aux côtés de l'angle A et se coupent donc en un point (n0 HO). Ce point, étant sur la médiatrice de AB, est équidistant de A et B (n 016) et par suite 0A = OB. Étant sur la médiatrice de AC, il est équidistant de A et C et 0A = 0C. Il en résulte que QA = OB = OC. Le point O étant équidlstant de B et C est sur la médiatrice de BC qui passe donc par O. . FIG. 105. t I I I I ' ’ O p t) l Le point de concours O, équidistant des trois sommets, est le centre d'un cercle circonscrit au triangle ABC (cercle ABC). 113. Hauteurs. — Les trois hauteurs. d’un triangle sont concou- rantes en un point H appelé orthocentre du triangle. Menons par les trois sommets du triangle ABC, les arallèles aux côtés opposés 106). Nous obtenons un triangle DEF. Dans les parallélogrammes BCAF et BCEA nous avons BC = FA et BC = AE. Donc F A = AE. La hauteur AA' per— pendiculaire à BC est perpendi- culaire au segmenÂÂarallèle EF en son milieu: ' est donc médiatrice de EF. On démontrerait de même que FIG. 106. BB' et CC' sont les médiatrices de FD et de DE. Les hauteurs du triangle ABC sont médiatrices du triangle DEF. Elles sont donc concou- tantes en un point H, centre du cercle DEF (n° HZ). REMARQUE. — Notons que l'un äuelconque des quatre ints _A, B, C et H est l'orthocentre du triangle ont les sommets sont es trons autres. Ainsi A est l'orthocentre du triangle BHC.
l 80 GÉOMÉ TRIE 114. Médianes. — Les trois médianes d’un triangle sont concou- rantes en un point G situé au tiers de chacune d’elles à partir du côté correspondant et appelé centre de gravité du triangle. Considérons, dans le triangle ABC, les médianes ÀM et BN (fig. l07). Les points A et M étant de part et d'autre de BN, ces deux médianes se coupent en un point G situé entre A et M et par suite à l'intérieur du triangle. Le segment MN est parallèle à BA et égal à sa moitié (n0 l08). Le segment DE qui joint les milieux D et E de GA et GB est lui aussi parallèle à BA et égal à sa moitié. Les segments NM et DE sont donc égaux et parallèles et le quadrilatère MNDE est un parallélogramme de centre C (no 8l). Il en résulte que : MG = ci) = DA. A P B La 'médiane BN coupe donc AM au FIG“ 107' point C situé au tiers de AM à partir de _ M. Il en est de même de la médiane CP, qui passe donc aussi par G. Le segment NC est le tiers de NB et le seg- ment PC est le tiers de PC. 115. Bissectrices intérieures. — Les trois bissectrices intérieures d’un triangle sont concourantes en un point I équidistant des trois côtés du triangle. Considérons dans le triangle ABC, les bissectrices intérieures BB' et CC' (fig. 108). Les points B et B' étant de part et d'autre de CC', ces deux bissectrices se rencontrent en un point l situé, entre B et B', à l'inté- rieur du triangle. Le point l étant sur la bissectrice de l'angle B est équidistant de BC et BA, d’où ID= IF (n° 29). Étant sur la bissectrice de l'angle C, il est équidistant de CB et CA et ID = 1E. Il en résulte que ID = lE = IF. Le point l étant équidistant de AB et AC se trouve sur la bissectrice inté- FIG. 108. rieure de l'angle A. Nous verrons que le point l a! le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC (cercle DEF).
DROITES CONCOURANTES DANS UN TRIANGLE 18| 116. Bissectrices extérieures. — Les bissectrices extérieures de deux angles d’un triangle et la bissectrice intérieure du troisième angle sont concourantes. Considérons dans le triangle ABC (fig. 109), les bissectrices Bu et Cv des angles extérieurs xBC et yCB. Les angles 31 et C1 formés avec BC sont aigus, car ce sont des moitiés d'angles saillants. Leur somme est donc infé— rieure à 2D. Les demi-droites Bu et Cv se coupent par suite en un point J (n° lll) de la portion du plan xBCy intérieure à l'angle xAy. En raisonnant comme précédemment, nous voyons que ce point J est équidistant de la droite BC et des demi-droites Ax et Ay. Il se trouve sur la bissectrice intérieure de l'angle A (n° 29). FIG. 109. FIG. 110. Le point J est appelé centre du cercle ex-inscrit dans l’angle A du triangle ABC. Nous obtiendrons de même les points K et L sur les bissectrices intérieures des angles B et C. Il existe ainsi quatre points I, J, K et L équidistants des trois côtés du triangle (fig. HO). Remarquons l'un de ces quatre points est l'orthocentre (n° H3) du triangle ayant pour sommets les trois autres. Ainsi le point l est l'orthocentre du triangle JKL, car la bissectrice intérieure et la bissectrice extérieure issues d'un même sommet étant perpendiculaires, on voit que I] par exemple est la hauteur issue de J dansJe triangle JKL. 117. Application. — Construire la bissectrice de l'angle formé par Jeux droites que l'on ne peut prolonger jusqu'à leur point de remontre.
l 82 GÉOMÊ TRIE Soit à construire la bissectrice de l'angle formé par les ,deux droites x'x et y'y 1,1 l) que ion ne peut pro- longer Jusqu à leur pomt de rencontre A. Menons une sécante BC. puis les bissectrices des angles x'BC et y'CB. Ces bissectrices se coupent en I point de concours des bissectrices intérieures du triangle ABC. Le point I appar- ‘ tient à la bissectrice cherchée. ' Les bissectrices des angles xBC et yCB sont les bissectrices extérieures en B et C du triangle ABC. Elles se coupent en un point J de la bissectrice Fm. 111. cherchée qui est donc la droite I EXERCICES o 127. Dans un triangle ABC le cercle de diamètre BC recoupe les côtés AC et AB et E et F. 1° Évaluer les angles BEC et CFB. 2° BE et CF se coupent en H. Montrer que AH est perpendiculaire à BC. o 128. Soit un cercle de centre 0. On considère les milieux M, N et P des cordes BC, CA et AB. 1° Quel est l’orthocentre du triangle MNP? 2° Montrer que les deux triangles ABC et MNP ont même centre de gravité. o 129. Soit un parallélogramme ABCD et un point M extérieur. 1° Montrer que les triangles MAC et MBD sont en commun la médiane issue de M 2° .Que peut-on dire de leurs centres de gravité? o 130. Trois cercles égaux passent par un même point A et se recoupent en l; C et D. Soient M, N et P les points diamétralement opposés à A. 1° Montrer que B, C et D sont les milieux des côtés du triangle MNP. 2° Que représente le point A pour chacun des triangles MNP et BCD? 3° Comparer le cercle circonscrit à BCD aux trois cercles initiaux. o 131. Soit un triangle ABC dont les sommets sont sur un cercle de centre (). On appelle D le point diamétralement opposé au point A, H l’orthocentre de Alu: et G son centre de gravité. 1° Montrer que les segments BC et HD ont même milieu. 2° Montrer que les triangles ABC et AHD ont la médiane issue de A commune. En déduire que G est le centre de gravité de AHD. 3° Quelle est la position du point G par rapport à H et 0?
DROITES CONCOURANTES DANS UN TRIANGLE 183 o 132. Soit un trian e ABC dont l’orthocentre est H. On désigne par M, N et P les milieux des côtés C, CA et AB, par D, E et F les milieux de HA, HB et HC. .110 Montrer que les trois segments MD, NE et PF sont égaux et ont même m1 leu. 2° On trace le cercle de diamètre MD. Montrer qu’il passe par le pied A’ de la hauteur issue de A. 3° Compter les points remarquables situés sur le cercle précédent. (Cercle des neuf points du triangle.) o 133. Soit un quadrilatère convexe ABCD dans lequel Â\ = 6 = 1° et Ë > 1°. On construit les symétriques de AC par rapport à AB et BC qui se coupent en E. 1° Montrer que BD est la bissectrice intérieure de l’angle AEC. 2° AB et CD se coupent en F et AD et BC se coupent en G. Montrer que FG est perpendiculaire en E à BD. o 134. Soit D le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC. On prend les sEymétriques M et N de D par rapport à AB et AC. MN coupe AB en F et AC en . 1° Que représentent AB', AC et AD pour le triangle DEF? 2° Montrer que AD, BE et CF sont concourantes. Que représente le point de concours pour chacun de ces triangles ABC et DEF? o 135. On prolonge la médiane AM d’un triangle ABC d’une longueur MD égale au tiers de AM. Soit d’autre part G, le centre de gravité de ABC. 1° Comparer les côtés du triangle BGD aux médianes du triangle ABC. 2° Comparer les médianes du triangle BGD aux côtés du triangle ABC. o 136. Soit un quadrilatère convexe ABCD. On désigne par M et N les milieux de AB et de CD, par G le centre de gravité de ABC, et par E le milieu de DG. 1° Comparer EN à CG et à MG. 2° Quelle est la position du milieu I de MN par rapport à D et à G? 3° Y a-t-il d’autres segments analogues à MN ou DG passant par I? o 137. On prolonge la base BC du triangle ABC de deux longueurs BM == BA et CN = CA. Les bissectrices des angles ABM et ACN se coupent en J. 1° Montrer que les segments J M et J N sont les symétriques de JA par rapport à JB et JC. Nature du triangle JMN? 2° Démontrer l’égalité des angles BAJ et CAJ et retrouver ainsi le théorème relatif aux bissectrices extérieures d’un triangle (n° 116). o 138. On considère un triangle ABC et un point intérieur M tel que l’angle MAB = a soit supérieur à l’angle MAC = (3. On construit les symétriques P, Q, R du point M par rapport à BC, CA et AB. 1° Montrer que la médiatrice de QR passe par A, fait avec AB un angle BAJ: égal à [3 et avec AC un angle CAŒ = a. 2° Montrer que les médiatrices Ax, By et Cz de QR, RP et PQ sont concou— runtes en un point M' associé à M. 3° Construire M’ sans utiliser P, Q et R. Quel est l’associé de M’?
TREIZIÈME LEÇON LE CERCLE 118. Rappel. — Le cercle est une courbe plane formée par l’en- semble des points du plan situés à une même distance d’un point appelé centre. Si le point M appartient au cercle (R) (fig. l l2) il en est de même de son symétrique M' par rapport à un diamètre quelconque AB. Donc (n° 9): Tout diamètre d’un cercle est un axe de symétrie de ce cercle. Sur toute demi-droite 0x il existe un point A du cercle O (R) et un seul. Le cercle est donc une courbe fermée qui divise le plan en deux régions: l'une intérieure qui contient le centre 0, l'autre extérieure (fig. H3). On ne peut joindre un point_intérieur N à un point extérieur P sans couper le cercle. FIG. 112. FIG. 113. 119. Théorème. — Un point donné est intérieur ou extérieur à un cercle suivant que sa distance au centre est inférieure ou supé- rieure au rayon de ce cercle. l° Si le point N est intérieur (fig. l l3), il se trouve sur un rayon 0A entre O et A donc: ON < 0A = R. Inversement si par hypothèse : ON < R, le point N est sur un rayon 0A, donc à l'intérieur du cercle.
LE CERCLE 185 2° Si le point P est extérieur, il se trouve sur _le prolongement du rayon OB et on a: OP > 0B = R. Récrproquement 31 OP R, le pomt P se place sur le prolongement d'un rayon OB, donc à l’extérieur du cercle. 120. Positions relatives d’un cercle et d’un point. ——— En désignant par 0M = d la distance d'un point quelconque M au centre du cercle de centre Û et de rayon R, on peut donc dresser le tableau : d < R: Point intérieur au cercle. d = R: Point sur le cercle. d > R: Point extérieur au cercle. 121. Détermination d’un cercle. — Un cercle est déterminé lorsque l’on connaît outre son centre O, soit son rayon R : cercle 0(R), soit un point A de cercle : cercle O (0A). Il en est de même si on connaît un diamètre AB de ce cercle, car le centre O est le milieu de AB. 1° Il existe une infinité de cercles passant par deux points donnés . Le centre O d'un cercle passant par A et B, est un point arbitraire de la médiatrice de AB (no l6) etgson rayon R =ÇÈOA = OB (fig. ll4). C FIG. 11-4. FIG. 115. 20 Par trois points non alignés il passe un cercle et un seul. Pour qu’un point O soit le centre d'un cercle passant par trois points donnés A, B et C il faut que l'on ait 0A = OB = OC. Si les trois points ne sont pas alignés (fig. ll5), les médiatrices du triangle ABC sont concou— rantes (n0 llZ) en un oint unique et il existe un cercle et un seul passant par A, B et C. C'est e cercle circonscrit au triangle ABC (ou cercle ABC). 30 Par trois points alignés on ne peut faire passer aucun cercle. Si les points A, B, C sont alignés, les médiatrices de AB, BC, CA sont parallèles et il n'existe pas de point O équidistant de A, B et C.
I 86 GEOMÉ TRIE 122. Corollaires. — On déduit de l'étude précédente que: 1° Un cercle et une droite ont au plus deux points communs. Il n'existe pas de cercle passant par trois points alignés. 2° Deux ceçles distincts ont au plus deux points communs. S’il en avaient trois, les deux cercles seraient confondus. POSITIONS RELATIVES D’UNE DROITE ET D’UN CERCLE 123. Définitions. —- Une droite est dite sécante à un cercle lorsqu’elle le coupe en deux points, tangente au cercle si elle a un point commun unique avec ce cercle, extérieure si tous ses points sont extérieurs au cercle. La position d'une droite xy ar rapport au cercle donné de centre O_et de rayon R est déterminée .par a_ posmon du pied H de la perpendiculaire menée du pomt O à xy, c est dire par la distance OH = d. 124. Théorème. — Une droite est sécante, tangente ou extérieure à un cercle suivant que sa distance d au centre du cercle est infé- rieure, égale ou supérieure au rayon R de ce cercle. Ier CAS: d < R. Le pied H de Ia perpendiculaire menée de O à xy est / _ n .2: AWB y J: M H y x M H y FIG. 116. FIG. 117. FIG.‘118. intérieur au cercle I I6). Lorsqu'un point M parcourt la demi-droite Hx Ia longueur de I'oblique 0M augmente en partant de la valeur cl < R, jusqu'à une valeur aussi grande qu'on Ie désire. Il existe donc un point A de cette demi-droite et un seul, tel que 0A = R. Ce point est commun au cercle et à la droite xy. Il en existe un second B sur Hy tel que HA = HB (n° 42) et ne peut en exister d'autre (n° IZZ). La droite xy est une sécante au cercle. 2° CAS : d = Le point H de xy est sur le cercle (fig. II7). Tout autre pomt M de xy distinct de H est tel que 0M > OHL(n° 42), donc 0M > R.
LE CERCLE 187 Le point M est extérieur au cercle. La droite xy n'a donc que le seul point H commun avec le cercle. Elle est tangente au cercle. Le point H est appelé point de contact de la tangente xy. 3e CAS : d > R. Le point H est extérieur au cercle (fig. "8). Il en est de même de tout autre point M de xy car 0M > 0H donc 0M > R. La droite xy est extérieure au cercle. 125. Résumé. — Nous avons 'envisagé toutesÎles hypothèses possibles sur d et R et obtenu les résultats suivants : d < R: Droite sécante au cercle. d = R: Droite tangente au cercle. d > R: Droite extérieure au cercle. Chacune des relations entre d et R de ce tableau, caractérise la position relative correspondante de la drorte et du cercle. Ainsi, lorsqu'une droite est sécante à un cercle on a obligatoirement d < R. l._.a lecture du tableau montre en effet, que l'on ne peut ayonr. d = R ou d > smon la drorte serait tangente ou extérieure. En particulier : 126. Théorème. — Pour] qu’une droite soit tangente à un cercle il faut et il suffit qu’elle soit perpendiculaire à un rayon en son extrémité. C'est _la condition pour laquelle la distance OH = R H7), propriété caractéristique de la tangente. EXERCICES o 139. Soit un triangle ABC. Les perpendiculaires en B à AB et en C à AC se coupent en D. Montrer que le centre O du cercle ABC est le milieu de AD. o 140. Démontrer que les quatre sommets d’un quadrilatère convexe ou croisé ABCD tel que ABC = CDA = 1D déterminent un cercle unique. Préciser son centre O. o 141. Soit un parallélogramme ABCD. Démontrer que. les deux cercles ABC et CDA sont égaux et qu’il en est de même des cercles DAB et BCD. o 142. On désigne par H l’orthocentre du triangle ABC. On achève le parallélo— gramme BACD. 1° Démontrer que le cercle HBG passe par D. 2° Comparer les deux cercles ABG et HBC.
l 88 GÉOMÉ TRIE 143. Soient M, N, P les milieux des côtés BC, CA, AB du triangle ABC. 1° Comparer les cercles ANP, BPM et CMN. 2° Montrer que ces trois cercles passent par le centre 0 du cercle ABC. o 144. Construire un cercle de rayon R = 3 cm, tangent à une droite :ry en un point A de cette droite. o 145. Construire un cercle de centre donné, tangent à une droite donnée. o 146. Construire un cercle, tangent à une droite donnée en un point donné A, sachant que son centre est sur une droite donnée (ou sur un cercle donné). {a 147. Construire une tangente à un cercle, parallèle à une direction donnée. o 148. Soit un triangle ABC, rectangle en A; l’angle C vaut 60°; l’hypoténuse mesure 10 cm. 1° Quel doit être le rayon d'un cercle de centre C pour que ce cercle soit tangent à AB ou pour qu’il coupe AB? 2° Entre quelles valeurs doit être compris le rayon du cercle pour qu’il coupe les deux autres côtés du triangle? o 149. 1° Soit un triangle isocèle ABC, de base BC et de hauteur AH. Entre quelles valeurs doit être compris le rayon d’un cercle de centre A pour qu’il coupe le côté BC (et non ses prolongements)? 2° Même question lorsque le triangle ABC est un triangle quelconque dans lequel AB > AC et les deux angles B et C aigus. o 150. Soit un cercle et une droite extérieure D. Le diamètre perpendiculaire à D coupe le cercle en A et B et la droite D en H. Montrer que la distance d’un point quelconque M du cercle à la droite D est comprise entre AH et BH (mener MN perpendiculaire en N à AB). o 151. Sur les tangentes en A et B à un cercle de centre O, on porte deux lon- gueurs égales AA’ et BB’. 1° Comparer les triangles OAA’ et OBB’ puis les longueurs OA’ et OB’. 2° Les droites AA’ et BB’ se coupent en P. Comparer PA et PB. o 152. Les tangentes en A et B à un cercle de centre O se coupent en M. 1° Comparer les triangles OAM et OBM. Conséquences pour les longueurs MA et MB? Propriétés de la droite 0M? 2° Montrer que le cercle de diamètre OM passe par A et B. o 153. Sur la tangente en M à un cercle de centre O on porte deux longueurs égales MAPet MB. Les cercles de centres A et B passant par M recoupent le cercle O en N et . 1° Comparer les triangles OMA, OMB, ONA et OPB. Conséquences? 2° Démontrer que AN et BP se coupent en C sur 0M et que CN == CP. o 154. Soit un cercle de centre 0 et un diamètre AB. Une tangente en un point M quelconque coupe les tangentes en A et B, en deux points C et D. 1° Comparer les triangles AOC et MOC puis BOD et MOD. Conséquences? 2° Démontrer que CD = AC + BD puis que le triangle COD est rectangle.
QUATORZIÈME LEÇON | POSITIONS RELATIVES DE DEUX CERCLES 127. Distances d’un point donné aux différents points d’un cercle. Considérons un cercle de centre O et de rayon R. Soit d'autre part un point donné 0' teI que 00' = d, situé sur le diamètre AB soit au-deIà cIe A (fig. I I9) soit entre O et A (fig. IZO). Le segment Û'A est la différence entre 00' et 0A, donc O'A = I d — R I, tandis que O'B = O'O + OB = d + R. Montrons que : Lorsqu’un Æoint M parcourt de A à B, l’un des demi-cercles de diamètre B le segment O’M croît de la valeur .O’A = l d — R l à la valeur O’B = d + R et prend une fois et une seule toute valeur intermédiaire. FIG. 119. FIG. 120. Soient M et M' deux positions du point Me tel/Ie/sEœ ÂÎÜ < . Les deux triangles MOO' et M'OO' ont: MOO' < M'OO', 0M = OM' et 00' en commun. Donc (n0 45) on a: O'M < O'M'. Le segment O'M va donc en croissant depuis la valeur O'A jusqu'à Ia valeur O'B et ne peut reprendre deux fois Ia même valeur. Par suite: Ild—RI Ild—RI
I 90 GÉOMÊ TRIE 128. Figure formée par deux cercles. — La figure formée'par'deux cercles est déterminée par la distance des centres O et 0' et par leurs rayons R et R'. Nous poserons 00' = d et nous supposerons R > R'. Tout diamètre d'un cercle étant un axe de symétrie de ce cercle, on voit que: La figure formée par deux cercles admet pour axe de symétrie, la droite des centres 00’. Deux cercles_ distincts ont au plus deux points communs (no 122). Le nombre des pomts communs_à deux cercles ne peut donc être que deux, un ou zéro. tudions ces tr01s cas. 129. Cercles sécants. — Lorsque deux cercles distincts ont un point commun en dehors de la droite des centres, ils en ont un second symétrique du premier par rapport à cette droite. Les deux cercles sont dits sécants. Si les cercles O et 0' ont en com- mun le point A (fig. 12|), ils passent tous deux par le point B symétrique de A par rapport à la droite 00'. lls ne peuvent avoir d'autre point commun sans être confondus (n0 122). Le segment AB est appelé corde commune aux deux cercles. ll résulte des propriétés de la symétrie (n0 9) que la droite 00' est la médiatrice FIG- 121- du segment AB et la bissectrice des angles AOB et AO'B. Dans le triangle AÛO', de côtés 00' = d, 0A: R et O'A = R', on peut écrire, d'après le théorème n° 34: |R—R |R—R |R—R _ On peut d'autre part_conclure que si deux cercles ont un seul point commun Il est sntué sur la dr01te des centres. 130. Cercles tangents. — Lorsque deux cercles distincts on un point commun situé sur la droite des centres, ils ont même tan- gente en ce point et n’ont pas d’autre point commun. Les deux cercles sont dits tangents. ' Le point commun À peut être situé entre O et 0' (fig. 122) ou au-delà de 0' (fig. '23). La droite TT' perpendiculaire en A à 00’ est tangente à chacun des deux cercles et constitue leur tangente commune en
POSITIONS RELATIVES DE DEUX CERCLES l9l j Les deux cercles ne peuvent avoir un second point commun B en dehors de 00' sinon ils en auraient un troisième B' symétrique de B par rapport à 00' et seraient confondus. Ils ne peuvent avoir un autre point commun sur 00' car ils auraient même diamètre et seraient encore confondus. Le point commun unique A est le point de contact des deux cercles. l° Si 0 et 0' sont de part et d'autre de A (fig. 122), les deux cercles sont tangents extérieurement et l'on a : 00' = 0A + O'A, donc: ld=R+R’|. On peut voir (n° 127) que tout _point M autre que A, du cercle O est tel que O'M > d — R = R'. Il est Situé à l'extérieur du cercle 0' De même \ tout point M' du cercle 0' est situé a l’extérieur du cercle O, car: OM’>d—R’=R. FIG. 122. FIG. 123. 2° Si O et 0' sont d'un même côté de A, les deux cercles sont tangents intérieurement et l'on a: 00' = 0A ,— O’A, donc: J ld=R—R’ Qn peut voir cette fois que tout point M’ distinct de A, du cercle 0’ est à lmtérieur du cercle O car OM' < R' + d = R. 'f13l. Cercles extérieurs - Cercles intérieurs. — On ne peut joindre un point intérieur à un point extérieur d'un cercle sans le couper (n° 120). Il en résulte que si deux cercles n'ont pas de point commun, l'un d'eux est situé tout entier soit dans la région intérieure, soit dans la région extérieure à l'autre. 1° Deux cercles sont dits extérieurs si tous les points de chacun d’eux sont extérieurs à l’autre. 2° Deux cercles sont dits intérieurs si tous les points de l’un des cercles sont intérieurs à l’autre.
192 GÉOMÉ TRIE Dans le premier cas (fig. 124) on a: 00’ = 0A + AA' + A'O' soit: d= R+R'+AA’ donc Id> R+m. Dans le second cas (fig. l25) on a: 00' = OA— O'A' —AA' soit: d: R—R’—AA’ donc |d< R—R’ l. _ A FIG. 124. FIG. 5. En particulier si d = O, les cercles sont dits concentriques. 132. Conclusion. — Nous avons étudié toutes les positions relatives possibles de deux cercles donnés. Nous pouvons dresser le tableau : Cercles extérieurs : cl > R + R' Cercles tangents extérieurement : d = R + R' Cercles sécants : R — R' < d < R + R' Cercles tangents intérieurement : (l = R — R' Cercles intérieurs : d < R — R' 133. Réciproques. — Chacune des relations trouvées est carac- téristique de la position correspondante des cercles O et 0’. On peut le démontrer directement en utilisant le théorème du n° 127 (voir exercices no“ l7] et 172). Mais il est plus simple de raisonner par élimination. Si par exemple d = R + R', la lecture du tableau montre que les deux cercles ne peuvent être ni extérieurs, ni sécants, ni intérieurs ou tangents extérieurement. Ils sont donc tangents extérieurement. De même, on voit que: .Pour que deux cercles soient sécants il faut et il suffit que la distance de leurs centres soit comprise entre la somme et" la difi'é- rence de leurs rayons. Notons que deux cercles égaux distincts, R = R', ne peuvent être qu’ex— térieurs, tangents extérieurement ou sécants. Ces positions étant réalisées si R est inférieur, égal ou supérieur à ë.
POSITIONS RELATIVES DE DEUX CERCLES 193 EXERCICES Déterminer la position relative des cercles O et 0’ de rayons R et R’, tels que 00’ = d dans les cas suivants: o 155. d= 7 Cm Rm 6 cm R’ = 5 cm o 156. d =41 mm R =57 mm R’ = 16 mm o 157. d = 12 cm R =- 4,5 cm R’ = 3,7 cm .158. d=2cm R=9 cm R’==6 cm o 159. d = 25 mm R = 13 mm R’ = 12 mm o 160. =32 mm R =25 mm R’ =20 mm o 161. A quelle condition deux cercles de même rayon R = 5 cm sont—ils sécants? o 162. Construire un cercle de rayon donné, tangent à un cercle donné en un point donné. o 163. Construire un cercle tangent à un cercle donné en un point donné sachant que son centre est sur une droite donnée (ou sur un cercle donné). o 164. On connaît les points communs à deux cercles et leurs rayons. Construire ces cercles. o 165. Construire un cercle de rayon donné, passant par un point donné et tan- gent à un cercle donné. o 166. Deux cercles 0 et 0’ sont tangents en A; une droite passant par A coupe ces cercles en B et B’. Montrer que les rayons 0B et O’B’ sont parallèles (on exa- minera le cas des cercles tangents extérieurement et tangents intérieurement). o 167. Deux cercles sécants se coupent en A et B. Par A on mène la parallèle à la droite des centres 00’; soient C et D les intersections avec les cercles. 1° Montrer que B, O et C. sont alignés de même que B, 0’ et D. 2° Montrer que CD == 2 OO’. o 168. Construire un cercle tangent à un cercle O en un point donné A et passant‘ par un point donné B o 169. Soit un cercle O, de rayon 5 cm et une droite xy dont la distance à O est 7 cm. Construire un cercle de rayon 3 cm tangent à la droite xy et au cercle 0. o 170. Construire un cercle de 3 cm de rayon tangent à deux cercles donnés 0 et 0' de rayons R = 5 cm et R’ = 4 cm sachant que OO’ = 10 cm_ o 171. Deux cercles O et 0’ de rayons R et R’ sont tels que 00’ = d > R + R'. Démontrer que tout point M de chacun de ces cercles est extérieur à l’autre cercle. Conclusion? o 172. Soient deux cercles 0(R) et O’(R’) vérifiant la relation : 00’ = d < R— R’. 1o Montrer que tout point M du cercle O est extérieur au cercle 0’. 2° Montrer que tout point M’ du cercle O’ est intérieur au cercle O. o 173. On considère deux cercles O et 0’ de rayons R et R’ tels que 00’ = d ct soit a une longueur donnée. 1° A quelle condition le cercle de centre O et de rayon R + a et 1e cercle de centre O’ et de rayon R’ + a que l’on construit sont-ils sécants en I et J ?' 2° On trace les cercles de centres I et J et de rayon a. Quelle osition occu e t-° par rapport aux cercles initiaux 0(R) et O’(R’)? p p n Ils o 174. Reprendre l’exercice précédent en supposant que l’on construit soit 1 cercle O (R — a) avec le cercle O’ (R’ + a), soit les cercles 0 (R —-— a) et O’ (R' — a)? ALGÈBRE ET GÉOMÉTRIE —— QUATRIÈME LYCÉES COLLÈGES 7
QUINZIÈME LEÇON CORDES D’UN CERCLE 134. Théorème. — Le diamètre perpendiculaire à une corde passe par le milieu de cette corde et par les milieux des arcs qu’elle sous-tend. Soit MN le diamètre perpendiculaire en H à la corde ÀB d'un cercle de centre O (fig. 126). La droite OH est la hauteur du triangle isocèle OAB. Elle est donc la médiane relative à la base AB ainsi que la bissectrice de l'angle AOB (n0 l4). On en déduit que: HA=HB; m=ñcîæ Ixîcîx=1îoîa et par suite puisque des angles au centre égaux interceptent des arcs égaux : A ŒÂ=Œ et NX=NB. > I y: Œ O O4 FIG. 126. FIG. 127. Le point H est le milieu de la corde AB et les points M et N sont les milieux es deux arcs sous-tendus par AB. On v01t d'ailleurs que A et B se corres— . , A /—\ pondent dans la syrnârie d faxe MN. Il en est de même des arcs MA et MB ainsi que des arcs NA et NB.
CORDES D'UN CERCLE 195 135. Corollaire. — Sur un cercle donné deux sécantes parallèles interceptent entre elles des arcs égaux. Soient AB et CD deux cordes parallèles (fig. l27) et MN le diamètre perpen— diculaire à ces deux cordes. Les égalités Î/ÎA = Î/IÈ et Î/IE = fil?) donnent par différence : ME — m = K/l—B — MË, soit : Ces deux arcs se correspondent d'ailleurs dans la symétrie d'axe MN. REMARQUE. — Ce corollaire reste_vrai si l’une des cordes CD est remplacée par la tangente parallèle dont le pomt de contact est M ou N. On peut donc 1re que: Le point de contact d’une tangente parallèle à une corde est le milieu de l'arc compris entre cette tangente et cette corde. CORDES ET ARCS SOUS-TENDUS 136. Convention. — Une corde AB sous—tend deux arcs. Dans le théo- \ I I C . ’ C , . reme qu1 SUlt a1n31 que dans sa recnproque, nous nenv13agerons que des arcs inférieurs ou au plus égaux à un demi-cercle. 137. Théorème. — Dans un même cercle ou dans deux cercles égaux : 10 Deux arcs égaux sont sous-tendus par deux cordes égales. 20 Deux arcs inégaux sont sous-tendus par des cordes inégales et le plus grand arc est sous-tendu par la plus grande corde. l0. Soient Â—Ë et Âîî’ deux arcs égaux du cercle O (fig. l28). Les triangles isocèles OAB et OA'B' ont: XCÏB= ŒB', 0A: ÛÀ' et OB = OB'. lls sont égaux (2e cas) et AB = A'B'. Fm. 123. Fm. 129. 2° Soient ÂË et (Î) deux arcs du cercle O tels que ÂÈ < ÔB (fig. l29). Les triangles isocèles ÛAB et ÛCD ont: Â/Œ < Œî), 0A = 0C et OB == 0D. lls sont inégaux et (n0 45) : AB < CD.
l96 GËOMÊTRIE 138. Réciproque. — Dans un même cercle ou dans deux cercles égaux : 1° Deux cordes égales sous-tendent des arcs égaux. 2° Deux cordes inégales sous-tendent des arcs inégaux et la plus grande corde sous-tend le plus grand arc. l0 En effetz si les cordes AB et A'B’ sont égales, les arcs AB et A'B' ne peuvent être Inégaux car les cordes AB et A'B' seraient mégales. Donc les arcs AB et A'B' sont égaux. 2° Si la_corde CD_ est plus grande que la corde AB, l'arc CD ne peut être égal m être inférleur à l'arc AB, car on aurait d’après le théorème pré- cédent : CD = AB ou CD < AB. Donc : 615 > CORDES ET DISTANCES AU CENTRE 139. Théorème. — Dans un même cercle ou dans deux cercles égaux : 10- Deux cordes égales sont équidistantes du centre. 2° Deux cordes inégales sont inégalement distantes du centre et la plus grande est la plus proche du centre. l° Si les cordes AB et A'B' du cercle O, sont égales (fig. 130), les deux triangles isocèles ÛAB et OA'B' Ont leurs trois côtés respectivement égaux. Ils sont donc égaux (3e cas) et les hauteurs correspondantes OH et OH’ sont égales. FIG. 130. FIG. 131. 2° Si la corde CD est plus grande que la corde AB (fig. 13]), l'arc CD est plus grand que l'arc AB. Nous pouvons donc transporter l'arc AB en CE dOeraçmôI-que le point E soit sur l'arc CD. On a CE = AB et par suite
CORDES D'UN CERCLE l97 Ôr les points O et E sont de part et d'autre de CD et il en est de même des pomts O et M. La dr01te CD coupe donc le segment 0M en I. La perpen— diculaire 0K à CD étant lus courte que l'oblique Ol, elle-même inférieure à 0M, on obtient donc 5K < 0M, c'estnà-dire 0K < OH. 140. Réciproque. — Dans un même cercle ou dans deux cercles égaux : 1° Deux cordes équidistantes du centre sont égales. 2° Deux cordes inégalement distantes du centre sont inégales et la plus proche du centre est la plus grande. l° En effet si les cordes AB et_ A'B' (fig. I302 sont équidistantesdu centre, elles ne peuvent être inégales smon elles seraient inégalement distantes du centre. On a donc AB = 'B'. 2° Si 0K < OH (fig. 131) la corde CD ne peut être ni égale, ni inférieure à la corde AB sans quoi on aurait 0K = OH ou 0K _> OH. Donc CD > AB. EXERCICES o 1755 Soit un cercle O et un diamètre AB. On mène, par A et B, deux cordes parallèles AC et BD. 1° Comparer les longueurs des cordes AC et BD ainsi que AD et BC. 2° Montrer que C, O et D sont en ligne droite. o '176. Deux cordes AB et CD d’un même cercle sont parallèles. Comparer les cordes AC et BD, puis les cordes AD et BC. "x o 177. Soit une corde AB dans un cercle O. Comparer AB à la somme 0A + 0B. En déduire que toute corde est inférieure à un diamètre. o 178. 'Par un point A, intérieur à un' cercle O, on mène la corde BC perpendi- culaire au diamètre passant par A et une corde quelconque MN. 1° Comparer les distances de O à ces deux cordes. 2° Quelle est la plus petite corde passant par A? Quelle est la plus grande? 3° Montrer que les milieux de toutes les cordes passant par A sont sur un cercle de diamètre 0A. o 179. Une sécante coupe deux cercles concentriques, le premier en A et B, le second en A’ et B’. 1° Comparer les segments AA’ et BB’. 2° Étudier le cas où la sécante est tangente à l'un des cercles. o 180. On mène dans un cercle les diamètres AB et CD, puis les cordes AM paral- lèle à CD et CN parallèle à AB. Comparer les cordes BD, DM et BN d’une part et les cordes AM et CN d’autre part. o 181. Soit un cercle de centre O, de rayon 5 cm. On considère toutes les cordes (le ce cercle dont la longueur est 6 cm. 1° Montrer que les milieux de toutes ces cordes sont sur un cercle de centre O, dont on construira le rayon. 2° Montrer que toute corde ayant son milieu sur ce cercle a pour longueur 6 cm. 3° Par un point A, construire une sécante qui coupe le cercle donné en deux points B et C, tels que BC a: 6 cm.
193 GÉOMÊTRIE o 182. Soit un cercle 0 et une corde AB. Par deux points A' et B’ de cette corde, équidistants du milieu de AB, on construit les perpendiculaires à AB, qui coupent le cercle en C, D et en E, F. 1° Démontrer que les cordes CD et EF sont égales. 2° Quelle est la nature du quadrilatère ECDF? o 183. Deux cercles de centres O et 0’ se coupent en A et B; par A on construit une sécante qui coupe les cercles en C et D; soit M le milieu de AC, N le milieu de AD et I le milieu de MN 1° Montrer que la perpendiculaire en I à CD coupe 00’ en son milieu K. 2° Construire la sécante CD de façon que A en soit le milieu (montrer que le milieu de MN est alors en A). o 184. Soient A et B les points communs à deux cercles sécants 0 et 0'. Une droite passant par A coupe les cercles en C et D. 1° Soient M et N les pieds des perpendiculaires menées de O et 0’ à la droite CD. Démontrer que MN == Î (on envisagera le cas où A est entre C et D et le cas où A est extérieur à CD). 2° Construire la droite CD de façon que CD ait une longueur donnée 2 l. Mon- trer qu’en général il existe deux droites répondant à la question et qu’elles font .des angles égaux avec AB. o 185. Démontrer que si les arcs BC ct DA sont égaux et de même sens: 1° Le quadrilatère ABCD est un trapèze isocèle. Comparer AC et BD. 2° Démontrer que les angles BAC et BDC sont égaux. o 186. Soient I et J les milieux des deux arcs d’extrémités A et B d’un cercle et M un point de l’arc BJ. La parallèle à MI, menée par A, recoupe le cercle en C. 1° Natures des quadrilatères MIAC et MBIC? 2° Comparer l’angle MIC à chacun des angles IMA et IMB et démontrer que MI et MJ sont les bissectrices intérieure et extérieure de l’angle AMB. o 187. Dans un cercle de diamètre BC, on prolonge une corde BA d’une longueur AD telle que AD = BA, et on prolonge la corde BE, perpendiculaire à BA, d’une longueur EF telle que EF = BE. 1° Démontrer que le triangle BCD est isocèle, que le triangle BCF est aussi isocèle et calculer l’angle ACE. 2° Démontrer que les trois points D, C, F sont en ligne droite 3° Dans le cas où la corde BA fait un angle de 45° avec le diamètre BC, préciser la position de la droite DF. o 188. Dans un triangle ABC de hauteur AH, la droite qui joint les milieux M de AB et N de AC coupe en D et E le cercle de diamètre AB et en F et G le cercle diamètre AC. 1° Démontrer que BD et BE sont les bissectrices de l’angle B tandis que Cl" et CG sont les bissectrices de l’angle C du triangle ABC. 2° Montrer que les quatre points D, E, F, G sont les pieds des perpendiculaircu menées de A aux bissectrices des angles B et C du triangle ABC. '
SEIZIÈME LEÇON ANGLE INSCRIT 141. Définition. — On appelle angle inscrit dans un cercle, l’angle formé par deux cordes issues d’un même point de ce cercle. Ainsi l'angle BAC (fig. 132, 133 et .134) est inscrit dans le cercle O. L'arc BC compris entre les côtés de l'angle Inscrit est l'arc intercepté par cet angle. FIG. 132. FIG. 133. FIG. 134.’ L'angle au centre BOC qui intercepte le même arc est l’angle au centre correspondant à l'angle inscrit BAC. Cet angle au centre peut être saillant, plat ou rentrant suivant que l'arc intercepté est inférieur, égal ou supérieur à un demi—cercle. Le théorème suivant permet de déduire la valeur de l'angle inscrit de celle de l'angle au centre correspondant. 142. Théorème fondamental. — Tout angle inscrit dans un cercle est égal à la moitié de l’angle au centre correspondant. La démonstration exige plusieurs cas de figure: ler CAS. Un des côtés de l'angle inscrit est un diamètre. - Supposons (fig. 135) que le côté AC de l'angle inscrit soit un diamètre du cercle O. Le triangle OAB
200 GÉOMÉ TRIE est isocèle et  = L'angle au centre/B\0C est l'angle extérieur en O du triangle isocèle OAB. Donc (n0 64) : BOC = A + B = 2 A. Soit : = 2 2e CAS. Le centre du cercle est intérieur à l'angle inscrit. -— Le diamètre AD (fig. l36) partage l'angle inscrit BAC en deux angles inscrits BAD et DAC dont le côté AD est un diamètre. D'a rès le ler cas, on eut écrire: p p B/Oî) = 2 ÊAÈ et D/O\C = 2 Soit par addition: BOD+ÜO\C=2(ËÀÎ)+IÎAÎZ) donc: BÔE=2 W3. A A A 0 B C D 0 B C C D FIG. 135. FIG. 136. FIG. 137. 3e CAS. Le centre du cercle est extérieur à l’angle inscrit. -- Le diamètre AD (fig. 137) est extérieur à l'angle inscrit BAC. D après le let cas : ' 6&3: 2 ÜÆ et ÜO\C= 2 soit par différence: [ÎCÎES—ÙOC=2(IÎÏB—‘IÎAÎ) donczB/C)\C=2ÉŒ. Dans tous les cas on voit q_ue l'angle au centre BOC est le double de l’angle inscrit BAC. Donc l'angle lnSCI‘lt BAC est la m01t1é de l’angle au centre correspondant BOC. 143. Autre énoncé. —— L’angle inscrit a même mesure (en degrés ou en grades) que la moitié de l’arc qu’il intercepte. Ceci résulte du fait que l'angle au centre correspondant à même mesure ,que l'arc intercepté. Celle de langle lnSCI'lt en est donc la m01t1é. 144. Angle inscrit formé par une corde et une tangente. —-- L'angle formé par la corde AB et la demi-droite Ax tangente en A au cercle (') est un angle inscrit particulier (fig. l38). L'arc intercepté est ll'arc Alll situé à l'intérieur de cet angle et l’angle au centre correspondant est l'anglv. AOB qui intercepte le même arc.
ANGLE INSCRIT 20| 145. Théorème. — L’angle inscrit formé par une tangente et une corde issue du point de contact est égal à la moitié de l’angle au centre correspondant. Menons OI bissectrice de l’angle au centre AOB et hauteur du triangle isocèle OAB (fig. l38). La tangente Ax étant perpendicu- laire au rayon 0A, les angles aigus BAx et IOÀ ont leurs côtés respectivement perpen— diculaires. Ils sont égaux (n0 62) et l'angle BAx est égal à la moitié de l'angle saillant AOB De même l'angle obtus BAx' est égal à A l’angle JOA, c'est-à-dire à la moitié de l'angle rentrant AOB qui intercepte le même arc. .1: Autrement dit : FIG. 138. L'angle formé par une tangente et la corde issue du point de contact est égal a‘ l'angle inscrit qui intercepte le même arc. 146. Corollaires. —- 10 Lorsque deux angles inscrits dans le même cercle interceptent le même arc ou deux arcs égaux, ils sont égaux. Ainsi (fig. 139): A/M\B = m = = à 2° Lorsque deux angles égaux sont inscrits dans le même cercle, ils interceptent des arcs égaux. ASi =ŒÎ (fig. 140) les arcs et (If) ont même mesure et FIG. 140. FIG. 141. 3° Deux angles inscrits qui interceptent les deux arcs sous- tendus par une même corde sont supplémentaires. Les deux angles inscrits AMB et ANB (fig. 139) interceptent deux arcs dont la somme vaut 360°. Les mesures de ces deux angles ont pour somme 180°.
202 GÉOMÊ TRIE 147. Théorème. — Tout angle inscrit dans un demi-cercle est droit et réciproquement tout angle droit inscrit intercepte un demi-cercle. En effet pour que l'angle AMB soit droit, il faut et il suffit que l'angle AOB son un angle plat (fig. 14]), .donc que la corde AB sclt un diamètre. On retrouve la propriété déjà établie par une autre voie (n° 92). 148. Bissectrices d’un angle inscrit. — La bissectrice intérieure d’un angle inscrit passe par le milieu de l’arc intercepté, tandis que la bissectrice extérieure passe par le milieu de l’arc non intercepté. Soit un angle inscrit AMB (fig. 142). Menons le diamètre perpendiculaire à la corde AB. Il passe par les milieux I et J des deux arcs d'extrémités A et B (n° l34). Etïgalité/I/Â=/I—Ë entraîne (n° 146, 1°): IMA= IMB. La droite MI est donc la bissectrice intérieure de l'angle AMB. D'autre part, l'angle 1M], inscrit dans un demi-cercle, est droit. Donc M] est la i bissectrice extérieure de l'angle AMB FIG. 142. (n0 3). EXERCICES o 189. Sur un cercle on porte des arcs consécutifs AB, BC, CD, DE et EF mesurant respectivement 40°, 60°, 80°, 70° et 50°. Calculer les angles du polygone ABCDEl". o 190. 1° Démontrer que si les trois angles d’un triangle sont aigus le centre du cercle circonscrit est à l’intérieur du triangle. Réciproque? 2° Si le triangle a un angle obtus le centre est extérieur au triangle. Réciproque? o 191. Soit 0 le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Sachant que B = (54" et C = 48°, calculer l’angle A et les angles OBC, OAC et OAB. o 192. Deux cercles égaux se coupent en A et B. Une sécante passant par A coupe le premier en C le second en D. Comparer les segments BD et BC. o 193. Soient AB et CD deux diamètres rectangulaires du cercle O. La tangenln en un point M de l’arc AC coupe la droite CD en P. 1° Comparer les angles MPO, MOA et MBA. 2° Démontrer que l’angle MPO est la différence des angles MBD et MBC.
ANGLE INSCRIT 203 e 194. Deux cercles O et 0’ sont tangents en A à la droite æy. On mène par A deux sécantes qui coupent le premier cercle en B et C, le second en B’ et C’. 1° Comparer les angles CBA et C’B’A aux angles CAa: et CAy. 2° Montrer que BC et B’ C’ sont parallèles et qu’il en est de même des tangentes en B et en B’ aux deux cercles. e 195. Deux sécantes BB’ et CC’ à un cercle O se coupent en un point inté- rieur A. Démontrer que l’angle BAC est égal à la somme des angles inscrits qui interceptent les arcs BC et B’C’. (Joindre BC’). e 196. Deux sécantes BB’ et CC’ à un même cercle se coupent en un point exté- rîelglâé'Démontrer que l’angle BAC est égal a difiérence des angles inscrits BB’C e 0 q; 197. Sur un cercle de centre 0 on construit des arcs consécutifs AB, BC, CD mesurant respectivement 30°, 80° et 90°. ABI‘ËDCalculer les angles formés par les côtés et les diagonales du quadrilatère 2° En déduire les angles aigus formés par les droites AB et CD, AD et BC, AC et BD. e 198. On considère un triangle ABC dans lequel l’angle aigu B est supérieur à C. Soit 0 le centre du cercle circonscrit et AA la hauteur issue de A. 1° Évaluer à partir de B les angles AOC, OAC et BAA’ et montrer que la bissec— trice intérieure de l’angle BAC est aussi celle de l’angle OAA’. 2° Démontrer que l’angle A'AO est la différence des angles B et C. e 199. On donne un triangle équilatéral ABC. Soit M un point quelconque de l’arc BC du cercle ABC et P le point du segment MA tel que MP = MB. 1° Démontrer que le triangle MBP est équilatéral. Conséquences. 2° Comparer les deux triangles BPA et BMC, puis montrer que MA == MB + MC. o 200. Dans le triangle isocèle OAB de sommet 0 les cercles de diamètres 0A et 0B coupent respectivement 0B en C et 0A en D. Ils coupent d’autre part une droite passant par O en E et F. 1°l Comparer les angles EOA et DOF, puis les arcs EA et DF dans les deux 0ere es. 2° Montrer que AE — DF et que de même: BF = CE et BD :- AC. 3° Démontrer que les triangles ACE et DBF sont égaux.
DIX-SEPTIÈME LEÇON QUADRILATÈRE INSCRIPTIBLE 149. Poly ones înscriptibles. — Un polygone (P) est inscrit dans un cercle ( lorsque tous ses sommets appartiennent à ce cercle. Le cercle ( ) est circonscrit au polygone (P). Le polygone (P) peut être convexe (fig. ‘43), croisé (fig. 144) ou étoilé 145). Ainsi le cercle ABC est circonscrit au triangle ABC (n° HZ). FIG. 143. FIG. 144. FIG. 145. Pour qu'un polygone donné soit inscriptible dans un cercle, il faut que le cercle défini par trois quelconques de ses sommets contienne tous les autres sommets. Ainsi pour qu’un quadrilatère ABCD soit inscriptible il faut et il suffit que le cercle ABC contienne le point D. ce qui n'a pas lieu pour un quadrilatère quelconque. Nous avons déjà vu que le rectangle (n° 88). le carré et le trapèze isocèle (n° 104) sont inscriptibles, et comment on en détermine le centre du cercle circonscrit. QUADRILATÈRE CROISE 150. Théorème. — Dans un quadrilatère croisé inscriptible dans un cercle les angles opposés sont égaux. Si le quadrilatère croisé ABCD est inscrit dans un cercle Û (fig. 146) , les deux sommets A et C sontod'un même côté de la droite BD et appa‘r— tiennent au même arc d'extrémités B et D. Les deux angles inscrits BAD
QUADRILA T ÈRE INSCRIP T IBLE 205 et làCD interceptent le même arc. Ils sont donc égaux, soit: = ËCÏ) ouA=C et de même: B=D. FIG. 146. FIG. 147. 151. Réciproque. — Lorsqu’un quadrilatère croisé a deux angles opposés égaux, ce quadrilatère est inscriptible. Suppoæni que le quadrilatère croisé ABCD ait ses angles A et C égaux : BAD = BCD. Traçons le cercle ABC (fig. l47). Ce cercle coupe les demi— droites Ax et Cy contenant D d'un même côté de AC. Si'le cercle ABC ne passalt pas par D, les pomts d'mtersectlons E et F seraient distincts. Les A angles inscrits égaux BAD et BCD intercepteralent des arcs de même sens BE et /B\F diflérents. Ceci est impossible (nO 146) et le cercle ABC passe obliga— toirement par D. Le quadrilatère ABCD est inscriptible. QUADRILATÈRE CONVEXE 152. Théorème. — Dans un quadrilatère convexe inscriptible dans un cercle, les angles opposés sont supplémentaires. Si le quadrilatère convexe ABCD est ins— crit dans un cercle O (fig. l48), les deux sommets A et C sont de part et d'autre de la droite BD. L'angle inscrit BAD intercepte A l'arc BCD et l’angle inscrit BCD intercepte l’arc BAD. La somme des deux angles insu crlts a même mesure, en degrés, que la demla A A s/qr_n\me de: arcs BAD et BCD, comme: BAD + BCD ‘= 360°”on obtient : BÎD‘ + BCD = 180°. FIG. 14s. Les angles A et C du quadrilatère sont supplémentaires. Il en est de même des angles B et D.
206 GÉOMÉ TRIE 153. Réciproque. — Lorsqu’un quadrilatère convexe a deux angles opposés supplémentaires, ce quadrilatère est inscriptible. Su posons que le quadrilatère convexe ABCB ait ses angles A et C supplémentaires l49). Traçons le cercle BCD et soit C' un point quelconque de l'arc BD qui ne contient pas C. Le quadrilatère convexe BCDC’ est inscrit dans le cercle. On peut donc écrire (n° 152 ° ËAÎD+B/CI\D=ZD et Ëcî)+BEB=2D Donc: D'après le n° l5] on voit que le quadrila— tère croisé ABC'D qui a deux angles opposés égaux est inscriptible. Le int A appartient au cercle BC’D, c'est-à—dire au cercle BCD. Le quadri- lilîère ABCD est inscriptible. FIG. 149. APPLICATIONS 154. Théorème. -— Tout quadrilatère ABCD convexe ou croisé qui a deux angles opposés A et C égaux à un droit est inscriptible dans le cercle de diamètre BD. Cette propriété résulte du n° 92. On peut également dire que ce quadri- latère est Inscriptible d'après le n° l5] s’il est croisé (fig. 150), d'après le FIG. 150. FIG. 151. r1° l53 s'il est comïexe l5l). Dans les deux cas l'angle droit inscrit BAD Intercepte un demi-cercle et les pomts B et D sont dlamétralement opposés sur le cercle ABCD.
QUA DRILA TËRE INSCRIP TIBLE 207 155. Propriété caractéristique des points d’un arc de cercle. — Considérons deux points fixes A et B et un angle donné de mesure oc. Cons— truisons un triangle APB dans lequel l'angle APB soit égal à on (fig. 152). ll suth pour cela de mener dans e demi-plan (I) limité par la droite AB, d/elä demfidloites Ax et By telles que : BAx + ABy = 2D -— oc. Elles se coupent en P (no lll). 1° Construisons dans le demi-plan (I) un autre point quelconque M tel que l'angle AMB soit égal à 0L. Si pïexerælî < P/ÀË on a: MBA > PBA et on voit que les deux segments AM et BP se coupent. Le quadrilatère croisé PAMB ayant deux angles opposés égaux est inscrlptible FIG_ 152. (no l5l). Donc: Pigmt point M du demivplan (I) tel que KIWB = oc appartient à l'arc de cercle 2° .Si M' est un autre point quelconque de l'arc APB, les deux angles inscrits AM'B et APB sont égaux et par suite: Tout point M' de l'arc de cercle APB est tel que = oc. On en conclut que: Les points de l’arc APB ont our propriété caractéristique d’être les sommets des angles MB égaux à oc, situés dans le demi-plan (I). L'arc APB est appelé arc d'extrémités A et B capable de l'angle on. 156. Remarques. — lO Dans le demi-plan (Il) il y a un second arc AB capable de l'angle oc. ll est symétrique du précédent par rapport à la droite AB. En particulier l'arc ANB qui complète le cercle APB est, dans le demi-plan (Il), (capalb515)de l'angle 2D — ce, car les angles ANB et APB sont supplémentaires n° . 2° Le cercle de diamètre AB est formé des deux arcs d'extrémités A et B capables de l'angle oc = l droit (nO l53 ou n° 93).
208 GÊOMÊ TRIE EXERCICES o 201. Un quadrilatère convexe ABCD est inscrit dans un cercle O. L’angle B est triple de l’angle D et la corde BD est égale au rayon du cercle. Calculer les angles du quadrilatère. o 202. Un quadrilatère convexe ABCD est inscrit dans un cercle 0. La diago- nale DB est un diamètre et la diagonale AC est égale au rayon. Calculer les angles du quadrilatère. (o 203. Inscrire dans un cercle de centre O, un quadrilatère convexe ABCD dont la diagonale AC est médiatrice du rayon OB et l’angle AOD égal à 135°. Calculer les angles du quadrilatère ABCD, ainsi que les angles des quadrilatères croisés ABDC et ACBD. o 204. A quelle condition un trapèze, un parallélogramme ou un losange est—il inscriptible dans un cercle? (o 205. Soit un cercle de diamètre AD = 2R. On trace les ares de cercle de centres A et D et de rayon R coupant l’un des demi—cercles AD en B et C, l’autre et F et E. 1° Calculer les angles et les côtés de l’hexagone convexe ABCDEF. 2° Calculer les angles de l’hexagone croisé AEBDFC. o 206. Par le milieu M d’un arc AB on construit la tangente xy et deux cordes MD et ME qui coupent la corde AB en F et G. Démontrer que le quadrilatère DEGF est inscriptible. \o 207. Soit un triangle ABC; les deux hauteurs BB’ et CC' se coupent en H: on construit le symétrique H’ de H par rapport à BC. 1° Démontrer que le quadrilatère ABH’C est inscriptible. 2° Comparer le cercle circonscrit au triangle ABC (ou H'BC) à chacun des cercles BHC, CHA et AHB. o 208. Soit un triangle ABC, les trois hauteurs AD, BE, CF et H leur point commun. ' 1° Que peut-011 dire des quadrilatères HDBF, HDCE et BECF? 2° Comparer les angles HDF, EBF, ECF et HDE, puis les angles BDF et CDE. 3° Montrer que les hauteurs et les côtés du triangle ABC sont les bissectrices intérieures et extérieures du triangle DEF. o 209. Un triangle ABC est inscrit dans un cercle O. On mène le diamètre AD et la hauteur AH qui coupe le cercle en E. On suppose B > C. 1° Montrer que BC et DE sont parallèles. Comparer les angles CAD et BAE, puis montrer que les angles BAC et DAE ont mêmes bissectrices. 2° Comparer les angles ABC et ADC, puis en dédUire, en fonction de B, la valeur des angles CAD et BAE. o 210. On désigne par H l’orthocentre du triangle ABC, par M le milieu de BC, par D le point diamétralement opposé à A sur le cercle ABC et par E le point où la hauteur AH recoupe ce cercle. 1° Comparer les directions de BH et DC ainsi que les directions de CH et DB. Nature du quadrilatère BHCD? Quel est son centre? 2° Nature du triangle HDE? Quelle est la médiatrice de HE? En déduire que le cercle circonscrit à un triangle contient les symétriques de l’orthocentre de ce triangle par rapport à un côté ou par rapport au milieu de ce côté.
QUADRILA TËRE INSCRIPTIBLE 209 o 211. Dans le triangle ABC les hauteurs BB’ et CC’ recoupent le cercle cir— conscrit O en E et F. 1° Nature du quadrilatère BB’C’C? Comparer les directions de B'C’ et de EF. 2° Comparer la direction EF à celle de la tangente A23, et démontrer que B’C’ et EF sont perpendiculaires au rayon A0 du cercle ABC. 3° Démontrer que B’C’ = ä EF. o 212. Les hauteurs BH et CH du triangle ABC coupent le diamètre AD du cercle circonscrit en N et P. On mène la tangente An: à ce cercle et on suppose B > C. 1° Montrer que les angles aigus BAas, BCA, AHN et APH sont égaux. 2° Quelle est la tangente en H au cercle HPN? o 213. Deux cercles 0 et 0’ sont sécants en A et B et une sécante passant par B coupe l’un en M l’autre en M’. Les tangentes en M et M’ se coupent en N et les rayons 0M et O’M’ en P. 1° Montrer que le quadrilatère NMPM' est inscriptible et qu’il en est de même du quadrilatère NMAM’. Démontrer que l’angle PAN est droit. 2° Comparer les angles des deux triangles AOO’ et AMM’. Que peut.on dire du quadrilatère OAO’P? o 214. Soit F un point du segment AB et M un point du cercle de diamètre AB, La perpendiculaire en M à FM coupe en P et Q les tangentes Aa: et By au cercle, '10 Nature des quadrilatères APMF et BQMF. Conséquences angulaires? 2° Montrer que les angles APF et BQF sont complémentaires et qu’il en est de même des angles AFP et BFQ. 3° Quelle est la valeur de l’angle PFQ. o 215. ÊL considère un quadrilatère croisé AIBM dans lequel IA =- IB et AIB = AMB. 1° Montrer que les distances IH et IK du point I aux droites AM et BM sont égales en comparant les triangles IAH et IBK. Que représente MI pour l’angle AMB? 2° Les perpendiculaires en A à IA et en B à IB, se coupent en J. Montrer que MJ est bissectrice intérieure de l’angle AMB. 3° En déduire que les points A, B, M appartiennent tous trois au cercle de diamètre IJ.
DIX-HUITIÈME LEÇON CONSTRUCTIONS GÉOMÉTRIQUES 157. Définition. — On donne le nom de construction géométrique à toute construction effectuée à l'aide de la règle et du compas, à l'exclusion de tout autre instrument (équerre, rapporteur, double décimètre, calque, etc.). Dans une construction géométrique, on se sert du compas, pour‘ construire un segment égal à un segment donné. 158. Çonstruire la médiatrice d’un segment. Soit à construire la médiatrice du segment_AB 153). Il suffit de déterminer deux pomts M et N de cetteËmédiatnce, sort (no 16) deux points équidistants de A et de B. \ . l' 4 \\ Il \\\\ I/II IN )'\ Il \\ I,’ \\\ I, \ l, \ p \ o \ L ! L , \\ Il ’4\ \ I I \ \\ ’I 0’ l I /Ï\N F î .’ \ A 0 B FIG. 153. FIG. 154. CONSTRUCTION. — Tracer de A et B comme centres deux cercles de même rayon. Si ce rayon dépasse la moitié du segment AB (n0 133) les deux cercles se coupent en deux pomts M et N. La droite MN est la médiatrice du segment AB. 159. Remarques. -- l° Cette construction permet de construire géomé— triquement le milieu O d’un segment et de partager ce segment en deux parties égales.
CONSTRUCTIONS GÉOMÉ T RIQUES 2l l 2° Si la droite AB est trop près du bord de la feuille, on construit les pomts M et N d'un même côté de AB en prenant deux rayons dlflérents (fig. l54). 3° Qn peut. ainsi déterminer géométriquernent le centre du cercle cir- conscrit au triangle (n° HZ) ou au trapèze Isocèle (n° 104). 160. Mener par un point la perpendiculaire à une droite. 1° Soit à construire la rpendiculaire en O à la droite xy (fig. 155). Il nous suffit de construire eux points A et B de xy tels que 0A = OB. La médiatrice du segment ÀB sera la perpendiculaire cherchée. x l/ 0 ,}L\M u I \ ’ \ l \ l \ I \ \ / l [— if \\ j 1/ æ A\ o IIB y x A\\ H /,/B y \ / \‘—--———-’ \ 1 \ / / \\ ,’ \\ //' AKN ,‘kO ’// \\\ l/ \\\\ FIG. 155. FIG. 156. CONSTRUCïION. — Tracer un cercle de centre 0 qui coupe xy en A et B, puis construlre la médiatrice de AB (n° 158). 2° Soit à mener, par le (point extérieur O, la perpendiculaire 0H à la droite xy (fig. 156). Il suffit e construire sur xy, deux points A et B tels que H A = I—IB, donc (n° 42) tels que 0A = 0B. La médiatrice du segment AB sera la perpendiculaire cherchée. CONSTRUC't‘ION. —.Tracer un_ cercle de centre O qui coupe xy en A et B, puis construire ensuite la médiatrlce de AB (n° '58). Il suffit d’en déter- miner un second pomt 0' drstmct de O. 161. Remarques. —- I° Cette deuxième construction permet de cons- truire la projection H du point O sur Jçy sans utiliser l'équerre et de déterminer la dlstance du pomt O à la drorte xy. 2° Si on conserve le rayon 0A pour construire le point 0', le quadrilatère OAO'B est un losange et le pomt 0' est le Symétrique du point O par rapport à xy,
212 GÉOMÉTRIE 162. Construire la bissectrice d’un angle. —- Soit l'angle xOy (fig. 157). Si nous construisons un triangle isocèle OAB dont les côtés égaux 0A et 0B soient portés par les demi-droites 0x et Oy, la médiatrice de AB sera la bissectrice cherchée (no 14). CONSTRUCTION. -— Tracer un cercle de centre Û qui coupe les côtés de l'angle en A et B. Construire ensuite la médiatrice de AB (n0 158). Il suffit d'en déterminer un second point M distinct de O. La droite 0M est bissec— trice de l'angle AOB. 0 Fm. 157. FIG. 158. 163. Construire un angle égal à un angle donné. — Soit à cons- truire géométriquement un angle égal à xOy (fig. 158). Donnons-nous l'un des côtés de l'angle cherché, soit O'x'. Nous allons construire deux triangles isocèles égaux, dont l'un contienne l'angle O et l'autre l'angle 0' cherché. CONSTRUCTION. — Traçons deux cercles de centre 0 et 0' et de même rayon. Le premier coupe les côtés de l'angle xOy en A et B; le second coupe O'x' en A'. Avec A' comme centre, traçons un arc de cercle de rayon égalà AB coupant le cercle de centre 0' en B’. Les deux triangles OAB, O'A'B’ sont égaux d'après le 3° cas d'égalité des triangles. Donc les angles AOB et A’O'B' sont égaux. 164. Construire une parallèle. - Soit à mener par le point donné A 1 la parallèle à la droite xy (fig. 159). D De A comme centre, tracer un arc de \ cercle coupant xy en B. De B comme \ centre, avec le même rayon, tracer \ , l'arc AC. Puis avec CA comme rayon x I et de B comme centre. tracer un arc \ Il qui coupe le premier arc tracé en D. f\\_/ La droite AD est parallèle à xy, car, si nous menons AB, les angles ABC et BAD sont égaux d’après la cons- FIG. 159. truction étudiée au n° 163. - A/ II‘Ÿ\ l l 1 1 \l l\ I \\ l la ‘-\-\ \ \\ ce
CONSTRUCTIONS GÉOMÊTRIQUES 2l3 165. Construire le dernier sommet d’un parallélogramme. Soient A, B et C trois sommets consécutifs d'un parallélogramme (fig. l60). Le quatrième sommet D se trouve à \ l'intersection de deux arcs de cercle b ___,,»“\ intérieurs à l'angle ABC: le premier de A ,,, ” __\\ |[) centre A et de rayon BC, le second de A" Î\\ centre C et de rayon AB. Le quadrila— I Ï" tère convexe obtenu ayant ses côtés o, 1' z, opposés égaux est un parallélogramme 07/ (n° 77). 1’ à / REMARQUE. — Cette construction peut B c être utilisée pour mener par le point A ' la parallèle AD au segment BC. FIG. 160. 166. Construction d’un angle droit. - Soit une demi-droite A: (fig. l6l). Pour construire l'angle dr01t xAy, la construction suivante est préférable à celle du no 160 lorsqu'on ne peut pas prolonger A): au—delà de À. Du point" O comme centre, tracer le cercle passant par A et coupant Ax en B, puis mener le diamètre BC. L'angle BAC étant inscrit dans un demi- cercle (n° l47) est l'angle droit cherché. y ’ æ a - - \ \ x / l \ \ \ C/ L\ \\ / \\ \ I \ \ \ 'I \ \ \ 0 \l l 'K l l. \ \ l \ \ \ ' \ \\ R Il \ \ V A \ /B J: \ \ \ I I I FIG. 161. 167. Construction d'angles remarquables. -- l° Construisons avec un côté 0A quelconque un triangle équilatéral OAB (n° l5). L'angle AOB vaut 60° (n° 66) et sa bissectrice 0M le partage en deux angles AOM et MOB de 30°. Les suppléments de ces angles valent respectivement l20° et I500. \2° Pour obtenir un angle de 45°, il suffit de mener la bissectrice d'un angle droit ou de construire un triangle rectangle isocèle (n° 65). Le supplément d’un angle de 45° donne un angle de l35°. 3° On peut obtenir géométriquement tout angle multiple de 15°. Ainsi 75° = 45° + 30°; 105° = 60° + 45°, etc.
2l 4 GÊOMÉ TRIE EXERCICES o 216. Construire le centre du cercle circonscrit a un triangle ABC. On examinera les; 3 I:ztas suivants: 1° les 3 angles sont aigus; 2° l’angle A est droit; 3° l’angle A es o us. o 217. Construire un cercle passant par deux points donnés sachant que son centre appartient à une droite donnée (ou à un cercle donné). o 218. Est-il possible de construire un cercle passant par 4 point donnés? Construire tous les cercles contenant trois de ces points. o 219. Construire les hauteurs d’un triangle. Examiner les cas suivants: les 3 angles sont aigus, un angle est droit, un angle est obtus. o 220. Partager un segment en 2. 4, 8 parties égales. Prendre les 5/16 d’un segment. é. 221. Partager un angle en 4, 8 angles égaux. Diviser un cercle en 4, 8 arcs gaux. o 222. Partager un angle plat en 3, 6, 12 parties égales. Diviser un cercle en 3, 6, 12 ou 24 arcs égaux. o 223. Construire un angle (ou un arc) de 15°, de 75°, 105° et 165°. Diviser un cercle en arcs de 15°_:chacun. o 224. Soient D, E, F les symétriques d’un point M intérieur à un triangle ABC par rapport aux côtés BC, CA et AB. 1° Que représente A pour le cercle MEF? Propriété analogue des points B et C? En déduire une construction au compas à l’aide de trois cercles, des points D, E, F. 2° Les médiatrices du triangle DEF se coupent en P. Montrer que AP est la bissectrice de l’angle EAF. Sachant que = 16° et m = 45° trouver la valeur de l’angle CAP. La comparer à celle 'de l’angle BAM. o 225. Dans un triangle ABC les médiatrices des côtés AB et AC se coupent en un point O de BC. On désigne par M et N les milieux de AB et AC. 1° Montrer que O est le milieu de BC et que le cercle de diamètre BC passe par A. 2° Quelle est la nature destriangles ABC et MON, du quadrilatère OMAN? Construire le cercle circonscrit à OMAN. Quelle position occupe-t-il par rapport au cercle ABC? o 226. Les médiatrices des côtés AB et AC du triangle ABC se coupent en O à l’intérieur de l’angle BAC. Comparer la somme des angles B et C du triangle ABC à la somme des angles ABO et ACO puis à l’angle A du triangle suivant que le point O est: 1° intérieur au triangle; 2° sur le côté BC; 3° extérieur au triangle. a 227. Dans un quadrilatère ABCD les médiatrices des segments AB, AC et AD se coupent en un même point O. Construire un tel quadrilatère ABCD. 1° Montrer que les quatre points A, B, C, D, sont sur un même cercle de centre 0. 2° Montrer que les médiatrices du triangle BCD se coupent en O.
CONSTRUCTIONS GÉOMÉTRIQUES 215 o 228. On considère un quadrilatère convexe ABCD dans lequel la médiatrice de AB est également la médiatrice de CD. Soit O le point où cette médiatrice coupe la médiatrice de BC. 1° Construire un tel quadrilatère et quelle est sa nature? 2° Montrer que les 4 points A, B, C, D sont situés sur un même cercle de centre O. 3° Démontrer que les médiatrices de AD, AC et BD passent également par O. o 229. On se donne une figure F et deux points fixes I et J. Par chaque point M de 11a]I tigure F, construire les deux cercles de centres reSpectifs I et J qui se recoupent en . 1° Que représente M’ pour le point correspondant M? 2° Montrer que la figure F’, ensemble des points M’, est superposable à la figure F. o 230. On se donne un arc de cercle AA’ de centre O et une figure F. 1° Par chaque point M de la figure F, construire l’angle MOm égal à l’angle AOA’ et de même sens puis porter sur Om une longueur OM’ = OM. 2° Montrer que la figure F’, formée par l’ensemble des points M’, est directement égale à la figure F (cf. n° 8). o 231. 1° Construire trois cercles de même rayon passant par un même point D et se coupant deux à deux en A, B, C tels que D soit intérieur au triangle ABC. 2° Soient M, N et P les points diamétralement opposés à D sur les cercles BCD, CAD et ABD. Que représente le point D pour chacun des triangles MNP, ABC et A’B’C’? (On désigne par A’, B’, C’ les pieds des hauteurs du triangle ABC). o 232. Construire le cercle circonscrit à un trapèze isocèle ABCD de bases AB et CD. On désigne par I le point commun aux diagonales AC et BD et par J le point de rencontre des droites AD et BC. 1° Montrer que l’angle BAC est la moitié de chacun des angles BOC et BIC. Conséquence pour le quadrilatère OBlC. 2° Montrer que l’angle ABC est la moitié de l’angle AOC ainsi que du supplé- ment de l’angle AJC. Conséquence pour le quadrilatère OAJC? 3° Construire les cercles BOIC, AOID, AOJC et BOJD. o 233. On considère deux segments égaux AB et CD dont les prolongements se coupent en I et on construit les médiatrices de AC et de BD qui se coupent en O. 1° Comparer les triangles OAB et OCD. Conséquences pour les angles OAI et OCI ainsi que pour les angles OBI et ODI. 2° Nature des quadrilatères AOIC et BOID? 3° Un cercle quelconque passant par O et I recoupe la droite AB en M, la droite CD en P. Comparer les segments AM et CP, ainsi que les segments BM et DP.
DlX-NEUVIÈME LEÇON CONSTRUCTIONS DE TRIANGLES 168. On connaît un côté et les deux angles adjacents. — Les données sont BC = a et les angles B et C. Construisons (fig. I63) un segment BC = a puis, l'angle CBx égal à l'angle B donné (n° 163). Enfin du même côté de BC que 'angle CBx, construisons l'angle BCy égal à l'angle C donné. Si B + C est inférieur à 2D, les demi— clrmtes Bx et Cy se coupent en un point A (n° lll). +— — 4 +_---— w— FIG. 163. FIG. 164. Le triangle ABC ainsi obtenu est la solution cherchée. To'ut autre triangle réponclant à la question est égal au triangle ABC, d après le Ier cas d'égalité des triangles quelconques (n° 2|). 169. On connaît deux côtés et l’angle qu’ils forment. — Les données sont l'angle saillant A, les côtés AC = b et AB = c. Construisons (fig. 164) un angle xAy 'égal à l'angle A donné (n° 163). Portons sur Ax un segment AB = c et sur Ay un segment AC = b. Le triangle ABC ainsi obtenu est le triangle demandé. Tout autre triangle répondant à la question est égal au triangle ABC d’après le Ze cas d’égalité (n° 22).
CONSTRUCTIONS DE TRIANGLES 217 170. On connaît les trois côtés. — Les données sont: BC = a, CA = b et AB = c. Nous supposerons a > b > c. Construisons un segment BC = a (fig. 165). Le sommet A appartient alors au cercle de centre B et de rayon c ainsi qu'au cercle de centre C et de rayon b. Soit A un de leurs points d'intersection. Le triangle ABC est la solution cherchée. Tout autre triangle répondant à la question est égal au triangle ABC d’après le 3e cas d'égalité (n0 23). DISCUSSION. —- Pour que la construction soit possible il faut et il suffit que les cercles B et C scient sécants, ce qui nécessrte (no 133) b —- c < a < I) + c. Comme a est supérieur à b, donc à b —- c, il reste à vérifier: a < b + c Pour que trois segments puissent être les côtés d’un triangle il faut et il suffit que le plus grand d’entre eux soit inférieur à la somme des deux autres. FIG. 165. FIG. 166. . 171. Triangles rectangles. —— On peut toujours ramener la construc- tion (l'un triangle rectangle à celle de l'un des triangles isocèles dont Il est la m01t1é (n0 l7). Mais Il faut parfms opérer directement. 172. On connaît l’hypoténuse et un angle aigu. — Les données sont: A = ID, BC = a et l’angle aigu B. Construisons un angle xBy = B (fig. 166). Sur le côté By, portons BC = a et par C, menons la perpendiculaire CA à Bx. Le triangle ABC répond à la question et toute autre solution conduit à un triangle égal d'après le ler cas d'égalité des triangles rectangles (n0 24).
2| 8 GÉOMÉ TRIE 173. On connaît l’hypoténuse et un côté de l’angle droit. — Les données sont : A = ID, BC = a et AC = b. 1O Construisons un angle droit xAy (fig. 167). Sur Ay portons AC = b et de C_com_me centre, traçons u_n cercle de rayon a. Si a > b, ce cercle coupe la demi-drmte Ax en B. Le triangle ABC répond à la question. FIG. 167. FIG. 168. 2° Construisons le segment BC = a (fig. 168). Le sommet A appartient à un demi-cercle de diamètre BC (n° 147). Traçons un arc de cercle de centre C, de rayon b et qui coupe le demi-cercle en A. Le triangle ABC rectangle en A, répond à la question. Quelle que soit la manière d'opérer les triangles rectangles ABC obtenus sont égaux, d'après le 2e cas d'égallté des triangles rectangles (no 25). 174. Construction de parallélogrammes. — La construction d'un b parallélogramme ABCD de centre g —: O dont on connaît trois données a se ramène en général à la cons- ‘r _ H truction d'un triangle ABC (ou à OAB) et il suffit ensuite d'ache- ver le parallélogramme (n° l65). , x EXEMPLE: ——— Données : AB = a, ' BC = b et la hauteur AH = h. On construit d'abord le triangle rectangle ABH (fig. 169) dont on connaît l'h poténuse AB = a et z le côté Ali-l: h (n° 173). On l peut alors déterminer le sommet b 1C C et achever le parallélogramme FIG. 169. ABCD (n° 165).
CONSTRUCTIONS DE TRIANGLES 219 On peut ainsi construire un rectangle de dimensions connues a et b (fig. 170), un carré de côté a (fig. l7l), un losange dont on connaît le côté a et la diagonale AC = d. un .1 l> B b :c FIG. 170. F1G. 171. 175. Trapèze dont on connaît les quatre côtés. —- COnsidérons 172), un trapèze ABCD de bases AB et CD et terminons le parallélogramme BCDE. Nous obtenons : I BE = CD et ED = BC. Connaissant les longueurs B=a, CD=b, BC=c et DA = d, nous construirons le segment AB = a, sur lequel nous porterons BE = b. Le point D est à l'intersection des cercles de centre A, rayon d et de centre E, rayon c. Il suffit alors de terminer le 'parallélou gramme DEBC (n° l65). Puisque AE = a — br la construction est possible 31 : E: a B FIG. 172. lc—JI lc—JI lc—JI
220 CÉOMÉTRIË EXERCICES — Construire un triangle rectangle connaissant: o 234. Un côté de l’angle droit et un angle aigu. o 235. Un côté de l’angle droit et la hauteur relative à i’hypoténuse. o 236. L’hypoténuse et la hauteur relative à l’hypoténuse. o 237. La médiane et la hauteur relatives à l’hypoténuse. o 238. L’hypoténuse et la somme des côtés de l’angle droit (soient AB et AC les côtés de l’angle droit, prolonger CA d’une longueur AD = AB, construire le triangle BDC). o 239. L’hypoténuse et la différence des côtés de l’angle droit (soient AB et AC les côtés de l’angle droit, porter sur AC une longueur AD = AB, construire le triangle BDC). o 240. Un angle aigu et la somme des côtés de l’angle droit. o 241. Un angle aigu et la différence des côtés de l’angle droit. —— Construire un triangle isocèle connaissant: o 242. L’angle au sommet et la hauteur relative à la base. o 243. La longueur des côtés égaux et la hauteur relative à la base. o 244. L’angle à la base et la hauteur relative à la base. o 245. La base et la hauteur relative à la base. o 246. La base et le rayon du cercle circonscrit. — Construire un triangle connaissant: o 247. Deux côtés et la médiane relative à l’un d’eux. o 248. Deux côtés et la médiane relative au troisième (prolonger cette médiane d’une longueur égale à elle-même). o 249. Un côté et les médianes relatives aux deux autres. o 250. Un côté, la médiane relative à ce côté et une autre médiane. o 251. Les trois médianes (soit AM l’une d’elles, G leur point commun, prolonger GM d’une longueur égale à lui—même, étudier la figure obtenue). o 252. Deux côtés et l’angle opposé à l’un d’eux. o 253. Un côté, un angle adjacent à ce côté et la somme des deux autres côtés (ou leur différence). o 254. Un côté, l’angle opposé à ce côté et la somme des deux autres côtés (ou leur différence). On mettra en évidence la somme ou la différence donnée, on étu- diera la figure obtenue. o 255. Un côté, un angle adjacent à ce côté, et la hauteur issue du sommet de cet angle. '
CONSTRUCTIONS DE TRIANGLES 22| b 256. Deux côtés et la hauteur relative à l’un d’eux. o 257. Un côté, un angle adjacent à ce côté et la hauteur relatiVe à ce côté. o 258. Deux côtés et la hauteur relative au troisième. o 2159. Un angle, la hauteur et 1a bissectrice intérieure issues du sommet de cet ang e. o 260. Un côté, un angle adjacent à ce côté et le rayon du cercle circonscrit. o 261. Deux côtés et le rayon du cercle circonscrit. — Construire un parallélogramme connaissant: o 262. Un côté, et les deux diagonales. o 263. Un côté, un angle et une diagonale. o 264. La longueur des côtés et une hauteur. —— Construire un rectangle connaissant: o 265. Un côté et la diagonale. o 266-. Le plus grand côté et l’angle des diagonales. o 267. La diagonale et le périmètre (voir exercice n° 238). 268. OPn proäonge le côté BC = a du triangle ABC, de BD = BA = c et de O CE = C 1o Comparer les angles D et E du triangle ADE aux angles B et C du triangle BC 2° Construire le triangle ABC connaissant ses angles et son périmètre 2 p. o 269. Reprendre le problème précédent en portant CE dans le sens CB et cons- truire le triangle ABC connaissant 2 (p — b) ou 2 (p —— c). o 270. Dans un quadrilatère ABCD (convexe, concave ou croisé) on mène les segments AF et CE parallèles à BD, égaux à BD et de même sens que BD. Montrer que dans la figure ACEFD, on retrouve tout angle ou tout se ment du quadrila- tère ABCD et de ses diagonales (y compris l’angle de deux cotés opposés). — Construire (cf. ex. n° 2'70) un quadrilatère connaissant ses diagonales, leur angle et en outre: o 271. Deux côtés consécutifs ou deux côtés opposés. o 272. Un côté et l’angle formé avec une diagonale. o 273. Un côté et un- angle adjacent à ce côté. o 274. Un côté et un angle, non adjacent à ce côté, égal à 1 droit. o 275. Deux angles consécutifs ou deux angles opposés, égaux à 1 droit.
VINGTIÈME LEÇON TANGENTES ET CERCLES TANGENTS 176. Rappel. — Une droite est tangente à un cercle lorsqu’elle est perpendiculaire à “un rayon en son extrémité. Inversement le cercle est dit tangent à la droite. 177. ,Tangentes parallèles à une direction donnée. -— Pour que la tangente AT au cercle O soit parallèle à la droite donnée xy (fig. l73), 1l faut et 1l suffit que le rayon 0A SOlt perpend1cula1re à xy. CONSTRUCTION. -— Mener le diamètre AA' du cercle O perpendiculaire à.xy. Par A et A', mener les_ parallèles AT et A'T' à la drmte xy (ou les perpen- dlculaxres en A et A' au diamètre AA'). Le problème est toujours posmble : Il y a toujours Jeux tangentes à un cercle, parallèles à une droite donnée. FIG. 173. FIG. 174. 178. Tangentes issues d’un point donné. — Soit un cercle de 'centre O, de rayon R (fig. l74) et un point donné M tel que 0M = d. Toute droite MA tangente en A au cercle O est perpendiculaire en A à 0A et le point A appa —— tient au cercle de diamètre 0M (n0 92).
TANGENTES ET CERCLES TANGENTS 223 CONSTRUCTION. — Tracer le_ cercle de diamètre 0M: Si ce cercle coupe le.cercle O en A et B, les drortes MA et MB, respectivement perpendicu- laires en A à 0A et en B à OB sont tangentes au cercle 0. DISCUSSION. — ler CAS. d > R. Le point M est extérieur au cercle Û. Le cercle de diamètre 0M, qui passe par le point intérieur O et le point extérieur M, coupe donc le cercle O en deux points A et B symétriques par rap ort à la droite des centres 0M. On en déduit que: MA = B; ÔMA=CfilîBet Par un point extérieur on peut mener deux tangentes à un cercle. Ces tangentes sont égales et le diamètre passant par leur point commun est bissectrice de leur angle. _ 29_CAS. d = R. Le cercle O et le cercle de diamètre 0M sont tangents intérieurement en M. Le problème admet une seule solution : la tangente en M au cercle O. 3e CAS. d < R. Le cercle de diamètre 0M étant intérieur au cercle O, le problème n'admet pas de solution. 179. Tangentes communes extérieures. — Soient deux cercles O et 0' de rayons R et R' (R > R') (fig. l75). Il s'agit de construire une droite tangente en A au premier et en A' au second de façon que O et 0' soient d'un même côté de AA’. La droite AA' est une tangente commune extérieure aux deux cercles. Les rayons 0A et O'A’ sont perpendiculaires à AA’. Ache- vons le rectangle AA'O'C: ÛC= OA—CA= OA—O'A’= R—R'. Le cercle de centre O et de rayon R -— R' est tangent en C à O'C. CONSTRUCTION. — Mener la tan- gente Û'C au cercle de centre O et de rayon R — R', puis OC qui coupe le cercle O donné en A et achever le rectangle ACO'A'. La construction de O'C nécessite (n° l78) que : 00' > R — R', c'est-à- dire que les cercles 0 et 0' soient exté- rieurs, tangen ts extérieurement ou sécan ts. e problème admet alors deux solu- tions AA' et BB' symétriques par rapport à 00'. - ' Si 00' = R — R'. Les deux cercles FIG. 175- sont langents intérieurement : une seule solution, la tangente au point de contact (n° l30).
224 GÊOMÉ TRIE 180. Tangentes communes intérieures. — Soient deux cercles O et 0' (fig. l76). Il s'agit cette fois de construire une tangente ÀA' telle que O et 0' soient de part et d'autre de AA'. La droite AA' est une tangente commune intérieure. Construisons encore le rectangle AA'O'C: OC: OA-l-A'O’: R-l—R’. La droite O'C est tangente en C au cercle de centre O et de rayon R + R'. CONSTRUCTION. — Mener la tan- gente O'C au cercle de centre O et de rayon R + R', puis OC qui coupe le cercle O donné en A et achever le rectangle ACO'A'. Il FIG. 176. faut que l’on ait 00' > R + R', donc que les cercles O et 0' soient extérieurs : Deux solutions AA' et BB' symétriques par rapport à 00 Si 00' = R + R' les cercles sont tangents extérieurement : une solution, la tangente au point de contact (n0 l30). 181. Cercles tangents à deux droites. -- Pour qu'un point O soit le centre d'un cercle tangent à deux drortes x'x et y'y (fig. l77) il .faut et il FIG. 177. FIG. 178. suffit u'il soit équidistant de x'x et de y'y, c'est-à-dire qu'il appartienne à l'une es deux bissectrices des angles formés par les deux droites (n0 30).
TANGENTES ET CERCLES TANGENTS 225 Si _on se donne le point _A de contact sur y'y, leo problème aclmet deux solutions: 01 et 02 sont Situés sur la perpendiculaire en A à y y. 182. Cercles tangents à trois droites. -— Pour obtenir le centre d'un cercle tangent. aux trois droites AB, BC et ÇA (fig. l78) ll suffit de construire un pomt équidlstant des trois côtés du triangle ABC. Ce problème admet quatre solutions : les points de concours l, J, K, L des bissectrices intérieures et extérieures du triangle ABC (no H5). On obtient ainsi 4 cercles tangents aux trois côtés d'un triangle. _183. _Cerçle inscrit dans un triangle. — Le point, de concours I_des bissectrices intérieures du triangle ABC est le centre d un cercle intérieur au triangle et tangent aux trois côtés : c'est le cercle inscrit (fig. l79). Posons: BC=a CA=b, AB=c et a+b+c=2 p en désia— gnant par p, le demi-périmètre du triangle. On voit (fig. 179), _que. chacun des segments AE, BD, DC est contenu deux fors dans le périmètre du triangle. Donc : p=AE+BD+DC=AE+a. Soit: rAE=AF=p—al et de même: BD=BF=p-—b et CD=CE=p—c. 1 t I \ \\J( : ‘Q ' | I ' ' Q. V' g . l P ! BI, D a i0 AL p c JE’ FIG. 179. FIG. 180. 184. Cercles ex-inscrits dans le triangle. — Le point de concours J des bissectrices extérieures des angles B et C du triangle ABC (fig. ISO) est le centre d'un cercle tangent aux trois côtés, situé à l'extérieur du triangle, mais à l’intérieur de l'angle A: C'est le cercle ex-inscrit dans l'angle A du triangle ABC. Les égalités BD' = BF' et CD’ = CE' montrent (fig. 180) que le- péri- mètre du triangle est égal à (AB + BF’) + (AC + CE’) = AE’ + AF’ = 2 AE’.
226 GÊOMÉ TRIE Donc: | AE’ = AF’ = pJ et par suite: BD'=BF'=p-c et CD'=CE'=p—b. 185. Raccordements. — Raccorder par un arc de cercle, deux droites ou arcs de cercle donnés, revient à construire un cercle qui leur soit tangent. On ne garde de la figure qu'une ligne courbe, continue sans point anguleux. l° La figure l8l montre le raccordement de deux droites xx' et yg' par un arc de cercle de rayon R donné. Le centre 0 de cet _arc se trouve à l inter- section des parallèles aux deux drmtes menées à la distance R de chacune. FIG. 181. FIG. 182. 2° L'ovale de la figure l82 a été obtenue en raccordant deux cercles de rayon R tels que 00' = 2 R, par des arcs AA' et BB' de rayon 3ÀR. Les centres 01 et 02 de ces arcs, tangents intérieurement aux cercles donnés, sont situés sur les cercles de centres O et 0', de rayon 3 R — R = 2 R (n° l32). La cons- truction s'achève sans difficulté. EXERCICES — Construire un triangle connaissant : o 276. Le cercle inscrit ou un cercle ex-inscrit) et les points où il touche les 3 côtés du triangle. o 277. Le cercle inscrit (ou le cercle ex—inscrlt dans l’angle A), la position du sommet A, et la direction du côté BC. o 278. Le cercle inscrit (ou un cercle ex-inscrit) et la direction des trois côtés lou les 3 angles).
TANGENTES ET CERCLES TANGENTS 227 o 279. Deux angles et le rayon du cercle inscrit (ou d’un cercle ex-inscrit). i. 280. Un angle, la hauteur issue du sommet de cet angle et le rayon du cercle nscrit. o 281. Un côté, un angle adjacent à ce côté et le rayon du cercle inscrit. o 282. Un angle, le rayon du cercle inscrit, et le rayon du cercle ex-inscrit dans l’angle donné. — Construire un losange connaissant: o 283. Le côté et le rayon du cercle inscrit. o 284. Un angle et le rayon du cercle inscrit. o 285. Une diagonale et le rayon du cercle inscrit. o 286. Soit un triangle ABC; le cercle ex-inscrit dans l’angle A touche BC en A’, AB en C’ et AC en B'. 1° Comparer les segments AB’ et AC’. 2° Comparer les segments BA’ et BC’ puis les segments CA’ et CB'. 3° Montrer que AC’ + AB' est égal au périmètre du triangle ABC. o 287. Soient deux cercles O et 0’ tangents extérieurement en A et BB’ une tangente commune extérieure qui touche les cercles en B et B’; soit, enfin, I le point où la tangente commune en A aux deux cercles coupe BB’. Démontrer que I est le milieu de BB'. 2° Démontrer que le triangle BAB' est rectangle. 3° Démontrer que le triangle OIO’ est rectangle. 4° Démontrer que BB’ est tangent en I au cercle de diamètre 00'. y—a O o 288. Construire un cercle de rayon R donné passant par un point A donné : 1° Tangent à une droite xy donnée. 2° Tangent intérieurement ou extérieurement à un cercle donné. o 289. Construire un cercle de rayon R donné: 1° Tangent à deux droites données. 2° Tangent à une droite donnée et tangent soit intérieurement soit extérieu- rement à un cercle donné. o 290. Construire un cercle o) de rayon donné r tangent à deux cercles donnés O et 0’. (Huit solutions au maximum.) o 291. 1° Démontrer que si un cercle co est tangent en A au cercle donné 0, en B à la droite donnée xy, la droite AB recoupe le cercle O en l’une des extrémités du diamètre IJ perpendiculaire à xy. 2° Construire le cercle co connaissant A, puis connaissant B. o 292. On considère un cercle a) tangent en A au cercle donné 0, en B au cercle donné 0’. à 1° Démontrer que la droite AB recoupe le cercle 0’ sur le diamètre IJ parallèle 0A. 2° Construire le cercle o) connaissant le point de contact A. o 293. Raccorder deux cercles donnés par un cercle de rayon r donné dont le genre du contact est précisé (Ex. n° 290).
228 GÉOMÉ TRIE o 294. Raccorder une droite et un cercle donnés par un cercle de rayon r donné ou dont l’un des points de contact est donné (n° 291). o 295. Raccorder deux cercles par un cercle dont l’un des points de contact est donné (n° 292). o 296. Raccorder deux demi-droites parallèles et de sens contraires Aa: et By par deux arcs égaux, tangents en O milieu de AB et touchant A3: en A, By en B. o 297. Raccorder par deux arcs de cercle, deux demi-droites parallèles et de même sens Aœ et By distantes de 31'. En supposant BAa: aigu, le premier cercle âarlägent en A à Ax sera de rayon r et le second, tangent au premier, sera tangent y en B. o 298. Deux cercles 0 et 0’ de rayon R = 00’ se coupent en I et J. Raccorder ces deux cercles par deux arcs AA et BB’ de rayon 2R et de centres I et J. La courbe fermée ABB’A obtenue est :l’ovale à 4 centres- o 299. On considère deux droites x’x et y’ y qu’on ne peut prolonger jusqu’à leur point de rencontre A et une sécante BC 1o Construire deux cercles de centres I et J tangents à BC en D et D’, à x’æ en F et F’ et à y’y en E et E’. 2° OnposezBD =BF =-Tx;CD = CE = y;BD’ =BF’ = uetCD’ = CE’ == v. Démontrer que l’on a: x = v et y = u, BC = EE’ = FF’ et que BC et DD’ ont même milieu M. 3° Peut-on établir cette dernière propriété en considérant le quadrilatère BICJ inscriptible dans le cercle de diamètre IJ et de centre K? o 300. Une tangente à un cercle 0 en un point variable M coupe en A et B deux tangentes fixes Px et Qy à ce cercle. Soit M’ le point diamétralement opposé à 1° Démontrer que les angles AOB et PM' Q sont égaux à la moitié de l’angle POQ. En déduire que l’angle AOB reste constant lorsque M’ décrit l’un des arcs d’extrémités P et Q. 2° Démontrer que si un quadrilatère convexe ABCD est circonscrit à un cercle de centre 0, on peut écrire les égalités: Œ+<ïobœlï<Ë+1ÎŒ—2v; AB+CD—BC-+DA.
PROBLÈMES DE RÉVISION o 301. D’un point M de la base BC d’un triangle isocèle ABC, on mène les perpen- diculaires MD et ME aux côtés égaux AB et AC. Montrer que la somme des seg— ments MD et ME est égale à une hauteur du triangle ABC. Dans le cas où M est à l’extérieur de. BC, comment modifier l’énoncé? o 302. Soit un triangle ABC rectangle en A et sa hauteur AH; on mène les bissec- trices ADèlet AE des angles BAH et HAC. Montrer que les triangles ABE et ACD sont isoc es. o 303. Montrer que si, à partir de deux sommets opposés d’un carré, on porte sur les côtés de ce carré une même longueur, en joignant les points obtenus, on forme un rectangle dont le périmètre est constant, quelle que soit la longueur commune des segments portés sur les côtés du carré. o 304. Démontrer qu’en joignant les pieds des perpendiculaires menées du centre sur les côtés d’un losange, on forme un rectangle. o 305. Sur les côtés AB et BC d’un carré ABCD, on porte deux longueurs égales AM et BN. Montrer que les droites AN et DM sont perpendiculaires. o 306. Dans un triangle ABC, l’angle aigu B est double de l’angle C, on mène la hauteur AH et on prolonge AB d’une longueur BE = BH. On joint EH qui coupe AC en D. Montrer que les triangles DAH et DHC sont isocèles et que AB = HC — HB. o 307. Montrer que dans un triangle quelconque, l’angle formé par la bissec- trice de l’angle A et la hauteur issue de A est égal à la demi-difiérence des angles B et C. o 308. Établir que dans un triangle rectangle, la bissectrice de l’angle droit est aussi bissectrice de l’angle formé par la hauteur et la médiane relatives à l’hypo— ténuse. o 309. Soit un trapèze isocèle ABCD de base AD tel que AB = BC = CD. Montrer que les diagonales AC et DB sont bissectrices des angles A et D. Construire ce trapèze connaissant AD et l’angle A. o 310. On désigne par I le point de rencontre des bissectrices intérieures d’un triangle ABC. On mène par I les parallèles aux côtés AB et AC qui coupent BC en D et E. Comparer le périmètre du triangle IDE à la longueur BC et ses angles à ceux du triangle ABC. o 311. Établir que l’angle des bissectrices de deux angles opposés d’un quadri- latère convexe est égal à la demi-diflérence des deux autres angles du quadrilatère. o 312. Démontrer que les bissectrices des angles d’un parallélogramme forment un rectangle et que les diagonales de ce rectangle sont parallèles aux côtés du parallélogramme.
230 GÊOMÉTRIË o 313. Soit un triangle ABC et les deux bissectrices de l’angle A. Du point B on mène les perpendiculaires BD et BE à ces bissectrices. Que peut—on dire du quadri- latère ADBE? En déduire que DE et AC sont parallèles. On construit de même les perpendiculaires BD' et BE’ aux deux bissectrices de C. Que peut-on dire des quatre points D, E, D’, E'? o 314. Dans un triangle ABC on mène la médiane AM; on joint B au milieu 0 de AM, B0 coupe AC en E; enfin on prolonge B0 d’une longueur OF = B0. Prouver que les quadrilatères AFMB et AFCM sont des parallélogrammes. En déduire que E est au tiers de AC à partir de A. o 315. On donne un triangle ABC rectangle en A et sa hauteur AD. On construit le symétrique E de D par rapport à AB et le symétrique F de D par rapport à AC. Montrer que les points E, A, F sont en ligne droite. o 316. Soient deux‘ droites perpendiculaires m’a: et y’y et O leur point commun. Sur 0a: et Oy on porte 0A = OA’; sur Oæ’ et Oy’ on porte 0B = OB’, on cons- truit la hauteur OH du triangle OA’B et la médiane OM du triangle OAB’. Montrer que les trois points M, O et H sont en ligne droite. o 317. Soit un cercle de centre O et un diamètre AB de ce cerle. On mène par A et B deux cordes parallèles AA’ et BB’. Montrer que les trois points A', O et B’ sont en ligne droite. o 318. Un trapèze ABCD est. inscriptible dans un cercle de diamètre AB. Montrer que deux des angles du triangle ADC ont pour difiérence 90°. o 319. Soit un quadrilatère ABCD: les droites qui joignent les milieux des côtés opposés se coupent en I; soient E et F les milieux des diagonales AC et BD. Montrer que les trois points E, I et F sont en ligne droite. o 320. Soient deux droites perpendiculaires D et D’ un point A sur D et un point B sur D’, on joint un point C de D’ au point A; montrer que la perpendi- culaire menée de B à AC, la perpendiculaire menée de C à AB et la droite D sont concourantes. o 321. Construire, par un point A, une droite équidistante de deux points donnés llîletàc démontrera que cette droite coupe BC en son milieu, ou bien est paral- e à o 322. Construire un triangle connaissant un côté et deux hauteurs (deux cas). o 323. Construire un triangle connaissant les angles B et C et le périmètre du triangle (prolonger CB d’une longueur BD = BA, prolonger BC d’une longueur CE = CA, puis étudier le triangle ADE). o 324. Construire un triangle isocèle connaissant le rayon du cercle circonscrit et la hauteur relative à la base. o 325. Soit un angle xOy. Construire une droite parallèle à une direction donnée qui coupe les deux côtés de l’angle en, deux points A et B tels que AB ait une lon- gueur donnée (mener par O un segment OC parallèle à la direction donnée et tel que OC == AB, étudier la figure OCBA). o 326. Construire un parallélogramme connaissant ses diagonales et leur angle. o 327. Construire un trapèze isocèle connaissant le rayon du cercle circonscrit et la longueur des bases. o 328. Construire un triangle connaissant le rayon du cercle circonscrit, un côté et la hauteur relative à ce côté.
PROBLÈMES DE RÉVISION 23| o 329. Étant donné un angle :cOy et un point A intérieur à cet angle, mener paf A lânelâlëoite qui coupe les côtés de l’angle en B et C de façon que A soit le m1 leu e . o 330. Construire un trapèze rectangle connaissant les bases et le côté non perpen- diculaire aux bases. o 331. Étant donné un angle xOy et un point A construire un trian e is è dont la base passe par A et dont xOy soit l’angle au sommet. g] oc le o 332. Soit un triangle isocèle ABC, de base BC. 1° D’un oint M de BC on mène les er endiculaires MD égaux. Mon’ïrer que MD + ME a une valelur I(Jaonstante quelle que: 9.131? Ignäosîfi'ä: de M sur BC. 2° Dans les mêmes conditions, montrer que AD + AE a une valeur constante. 3° 'Le point M étant pris sur le prolongement de BC, montrer que MD — ME a une valeur constante. o 333. On se donne un angle æOy et on porte sur 0x et sur O deux 1 et ON dont la somme a une valeur donnée 2 l = 20 cm_ y ongueurs 0M 1° Soit M’ le point de Oy tel que OM’ =. 0M_ Montrer e le mm I reste fixe quand les points M et N se déplacent sur 0x (ä! Oy. eu I de NM 2° Construire le centre du cercle circonscrit au trian le MNM’. M ce point reste fixe lorsque M et N varient sur 0:1: et Ogy, Outre? que o 334. On considère un triangle isocèle ABC (AB -= AC); M est le milieu de BC Sur AB on construit le carré ABDE, sur AC le carré ACFG, on ‘oi t ' ° et G et E au point G. Démontrer: J n Maux pomts E 10 Que ME = MG et que la perpendiculaire MN menée de M à E (N est le pied de cette perpendiculaire sur EG). G passe par A 2° Que les triangles ABM, AEN sont égaux et que : EG - 2 AM et BG -= 2 AN. o 335. Soit un trian le isocèle ABC, de base B . - des angles B et C coäpent les côtés opposés en BC’ e%eâ’.bisseCtflœs intérieures 1° Démontrer que les segments BC’, B’C et B’C’ sont égaux. 2° Le résultat subsiste-t-il lorsqu’on remplace les bissectrices intérieures ar les bissectrices extérieures? p o 336. Soient sulràäne droitebzy trois segmelnts égaux et consécutitsAB = Bc = CD On construit sur comme ase un triang e isocèle BCE AE cou e l diculaire menée par D à la droite xy. ’ p en F la perpen 1° Comparer les segments AE et EF. 2° Que peut-on dire des deux segments BE et CF? o 337. On considère un demi-cercle de centre O, de diamètre AB. S diamètre, on décrit un demi—cercle de centre 0’, intérieur au premliärégrf 0111111132: par A une sécante qui coupe les deux demi-cercles en M et N. 1° 1‘(Ïîomparer les deux triangles AON et MON. En déduire que N est le milieu de A . 2° Que peut-on dire des deux tangentes en M et en N aux deux demi-cercles? o 338. Soit un triangle ABC rectangle en A' et sa hauteur AH° et C les tangentes BD et CE au cercle de centre A et de rayon,mène de B 1° Montrer que les points D, A et E sont en ligne droite et ue l s et CE sont parallèles. q e tangentes BD 20 Montrer que le cercle de diamètre BC est tangent en A à DE!
232 GÊOMÉ TRIE o 339. Dans un cercle de centre O on mène une corde CD et deux rayons OA et OB. Le rayon OA coupe CD en E et le rayon 0B coupe CD en F de manière que CE = EF = FD. 1° Comparer les triangles OEC et OFD? 2° Que peut-on dire du triangle OEF et des droites AB et CD? o 340. On considère un carré ABCD de côté a. De B vers C on porte sur BC un segment BM = b < a, et on prolonge CD à partir de D d’une longueur DN = BM. Soit O le milieu de MN. 1° Comparer les triangles ADN et ABM. 2° Montrer que le triangle MAN est. rectangle. 3° Montrer que le triangle AOC est isocèle. o 341. Soit un triangle ABC rectangle en A et la hauteur AH. On porte sur HC un segment HD = BH. On joint AD et on mène de C la perpendiculaire CE à AD. 1° Comparer les triangles ABH et ADH et les angles HCA et HCE. 2° Mglntrer que le quadrilatère AHEC est inscriptible et que le triangle AHE est isoc e. o 342. On considère un demi-cercle O de diamètre AB; on trace la corde AC faisant avec AB un angle de 30°. 1° Montrer que le triangle OBC est équilatéral. 2° Soit I le centre du cercle circonscrit au triangle AOC. Montrer que le quadri- latère AICO est un losange. En déduire une construction simple du point I et la valeur du rayon du cercle circonscrit au triangle AOC. o 343.. Soit un cercle O de diamètre AB et une corde AC; les tangentes en B et C se coupent en D. 1° Démontrer que OD est parallèle à AC. 2° Construire la figure sachant que AB -— 3 cm et que l’angle BAC — 45°. o 344. On considère un triangle ABC dans lequel: B — C = 90°. 1° Soit AA’ le diamètre passant par A du cercle circonscrit à ce triangle. Comparer les deux angles CBA’ et BA’A à l’angle C du triangle. 2° En déduire que les droites AA’ et BC sont parallèles. 3° Montrer que la tangente en A au cercle circonscrit est la hauteur AH du triangle et que l’on a CAH = ABH. o 345. On se donne un point A intérieur à un angle xOy: 11‘;I grouver un point M sur On: et un point N sur Oy tels que A soit le milieu de . 2° Construire un triangle isocèle de sommet O, dont la base PQ passe par le point A. 3° Dans quel cas les droites MN et PQ sont-elles confondues? o 346. Soit un rectan le ABCD tel ue AB = aet AD = b. n ’ longueur BF = a et ËD d’une lonqgueur DE = b. O prOlongeAB d une 1° Comparer les triangles FBC et CDE? 2° Que peut-on dire des trois points F, C et E? 3° Comment choisir a et b pour que AC soit perpendiculaire à FE? o. 347. On considère un cercle de diamètre AB; on mène une corde AC“ et on- la prolonge d’une longueur CD = AC. 1° Montrer que le triangle ABD est isocèle. 2° Soit AE la corde perpendiculaire à AC; on la prolonge de EF = AE. Démon.- trer que les points D, B, F sont en ligne droite.
PROBLÈMES DE RÉVISION 233 d 3° éMontrer que le cercle circonscrit au triangle DAF est tangent en A au cercle onn . 4° Quelle valeur faut-il donner à l’angle BAC pour que DF soit tangent en B au cercle donné? o 348. Soit un angle æOy et un point fixe A sur la bissectrice de cet angle. Un cercle passant par 0 et A coupe les côtés de l’angle en M et N. 1° Montrer que la médiatrice ‘de MN passe par A. 2° Un second cercle passant par O et A coupe les côtés de l’angle en M’ et N’. Comparer les triangles MAM’ et NAN’. En déduire que MM’ = NN’. o 349. Dans un triangle ABC on désigne par I le centre du cercle inscrit et par J le centre du cercle ex-inscrit dans l’angle A. 1° Montrer que -AI coupe le cercle ABC en un point M milieu de l’arc BC. 2° Évaluer les angles MBI et BIM par rapport aux angles du triangle ABC. En déduire que le triangle IBM est isocèle. 3° Comparer les angles MBJ et BJ I. En déduire que le point M est le centre d’un cercle passant par les quatre points B, I, C et J. o 350. Dans un triangle isocèle ABC un angle à la base est double de l’angle au sommet A. 1° Calculer en degrés les trois angles du triangle. 2° Soit BD la bissectrice de B. Comparer les segments AD, BD et BC. 3° On prolonge BD d’une longueur DE = BD. Que peut-on dire de l’angle BAE? o 35’1.O Dans un triangle ABC, l’angle C' vaut 40°, l’angle A vaut 60° et l’angle B vaut 8 °. 1° On mène la hauteur AD et on prolonge AB d’une longueur BE = BD. La droite ED coupe AC en F. Montrer que les triangles BDE, FDC et FDA sont isocèles et calculer leurs angles. 2° Montrer que FA -= FD — FC et que AB — DC — DB. o 352. On donne un angle :cOy et un point A de sa bissectrice. Par le point B milieu de 0A, on mène la perpendiculaire à OA qui coupe 0x en C et Oy en D. 1° Montrer que le quadrilatère ODAC est un losange. 2° Quelle valeur faut-il donner à :cOy pour que ce quadrilatère soit un carré? o 353. Soit un trapèze rectangle ABCD où BC est perpendiculaire aux bases AB et CD. 1° Montrer que la médiatrice de BC coupe AD en son milieu O. 2° Le point H étant le milieu de BC. démontrer l’égalité: AB + DC = 2 0H. o 354. Dans un triangle ABC la bissectrice intérieure de B coupe AC en D et on mène par D la‘ parallèle à BC qui coupe AB en E 1° Démontrer que le triangle BDE est isocèle. 2° Quelle relation doit exister entre les angles B et C du triangle donné pour qu’on ait DC = BD? Démontrer que DE est alors bissectrice de ADB. o 355. On donne un triangle ABC dans lequel on suppose AB < AC, on trace le cercle circonscrit; la bissectrice intérieure de l’angle A coupe ce cercle en M et BC en D; la tangente en A coupe BC en I. 1° Démontrer l’égalitéfi == Montrer que le triangle ADI est isocèle. 2° La bissectrice extérieure de A coupe BC en E. Montrer que I est le milieu de DE.
234 GÊOMÉTRIE 0 356. On considère un cercle O et une corde AB égale au côté du triangle équi— latéral inscrit à ce cercle. D’un point C de l’arc AB inférieur à un demi-cercle on décrit un cercle tangent à AB; les tangentes à ce cercle menées de A et B se coupent en M /\ /'\ 1° Calculer en degrés la valeur de la somme CAB + CBA. 2° Calculer la valeur de l’angle AMB. o 357. Soit un demi-cercle de diamètre AB; sur une corde AC on porte AD = CB; sur la tangente en A, on porte AE = 1° Comparer les triangles ADE et ABC. 2° Montrer que le cercle de diamètre AE passe par D. o 358. On donne un demi—cercle de diamètre AB; sur un rayon OC on porte 0D a CH, où on désigne par H la projection de C sur le diamètre AB et par OE le rayon perpendiculaire à AB. 1° Comparer les triangles OCH et ODE. 2° Montrer que le cercle de diamètre 0E passe par D. o 359. Soit un cercle O de diamètre MN; par un point A de ce diamètre, on mène la tangente AB au cercle, puis la bissectrice de l’angle BAO. La perpendiculaire menée de O à cette bissectrice la coupe en P et la tangente AB en C. 1° Montrer que le triangle OAC est isocèle. 2° é.Vlontrer que la hauteur issue de C dans ce triangle est égale au rayon du cercle donn . 3° En déduire la distance du point P au diamètre o 360. 1° Montrer que, dans un quadrilatère convexe ABCD, l’angle des bissec— trices de deux angles consécutifs est égal à la demi-somme des deux autres angles. 2° En déduire que les bissectrices des angles consécutifs d’un quadrilatère convexe sont les côtés successifs d’un quadrilatère inscriptible. o 361. Soit un quadrilatère ABCD inscriptible dans un cercle O; on désigne par E et F les milieux des côtés opposés AB et CD et par G et H les milieux des côtés BC et AD. 1° Montrer que EF et GH se coupent en leur milieu. 2° On mène EE’ perpendiculaire à DC et FF' perpendiculaire à AB. Ces deux perpendiculaires se coupent en P. Montrer que le quadrilatère OEPF est un parallélogramme. 3° On mène de même GG’ perpendiculaire à AD et HH' .perpendiculaire à BC. Montrer que ces deux perpendiculaires se coupent en P o 362. On considère un cercle 0 de rayon R. D’un point A on mène les deux tangentes AB et AC à ce cercle. 1° Montrer que le centre du cercle inscrit au triangle ABC est sur le cercle O. 2° Montrer que le centre du cercle circonscrit au même triangle est au milieu de OA; évaluer par rapport à R sa distance aux tangentes AB et AC. 3° Montrer que l’orthocentre H du triangle ABC est la symétrique de O par rapport à la corde BC. o 363. On construit dans un cercle O une corde AB médiatrice d’un rayon. On joint un point M de l’arc AB, supérieur à un demi-cercle, aux points A et B, puis on porte sur MA une longueur MC = MB. 1° Montrer que le triangle MBC est équilatéral. 2° Par M on mène la parallèle à BC qui coupe le cercle en P. Évaluer l’angle AMP. En déduire que P reste fixe si M décrit l’arc AB. 3° Montrer que le triangle PAR est équilatéral.
TRAVAUX PRATIQUES ET ASTRONOMIE
TRAVAUX PRATIQUES Révision et compléments. — Il sera utile de reprendre quelques exercices pratiques des classes antérieures de façon à rappeler et préciser, au besoin, les notions fondamentales indispensables en classe de quatrième. Signalons en particulier: Les opérations sur les nombres entiers et la notion de divisibilité. Les propriétés des nombres fractionnaires et les opérations sur ces nombres. La mesure des angles et des arcs et les opérations sur ces mesures. d Les mesures d’aires et de volumes et l'utilisation des formules correspon- antes. Arithmétique. 1. Construire la liste des nombres premiers de 1 à 200. 2. Reconnaître si un nombre donné est premier. Exemples : 83; 97; 157; 211; 331; 479; 571; 1033; 2819; 3617. 3. Décomposition d’un nombre en produit de facteurs premiers. Exemples : 828; 1722; 2490; 3659; 4096; 5670; 6000; 7530; 8436; 9999; 12450; 14175; 17280; 75300; 84360; 688800. 4. Décomposer 360 en produit de‘ facteurs premiers. Établir la liste des 24 diviseurs de 360. Vérifier que 24 s’obtient en augmentant d’une unité chacun des exposants des facteurs premiers de 360 et en faisant le produit des nombres obtenus. Énoncer la règle. La vérifier sur d’autres exemples. ' 5. Calculer le PGCD de deux ou plusieurs nombres. Vérifier que les quotients de deux nombres par leur PGCD sont premiers entre eux. Établir la liste des divi- seurs communs aux nombres donnés : 120 et 240; 504 et 396; 792 et 1512; 3600 et 4200; 68, 170 et 850; 38, 190 et 266; 253, 1512 et 12224. 6. Dresser la liste des nombres inférieurs à 100 et premiers avec 100. Reprendre le même exercice pour les nombres : 36; 60; 84; 96; 105; 120; 126; 135; 144 et 150. -
238 TRAVAUX PRATIQUES 7. Calculer le PPCM de deux nombres donnés. Vérifier qu’il est égal au quotient du produit de ces nombres par leur PGCD. Exemples: 36 et 60; 42 et 210; 192 et 240; 70 et 175. 8. Trouver les multiples communs inférieurs à 10 000 des nombres suivants: 36, 54 et 72; 84, 126 et 168; 60, 90 et 135. 9. Simplification de fractions. Exemples: gfl) , 192 _ 792 _ 4 096 _ 1 512_ 720 ’ 1 008 ’ 3 024 ’ 5 760 ’ 2 O24 10. Réduction de fractions au plus petit dénominateur commun. Exemples! 617. 111251. 222. 1912. 25 °t 45’ 20,10 °t 120’ 8'9et 18’ 75 °t 90 9451 4_5., _1_7_. .5. 21., Æ. 1:16.371. 68' 170 850’ 38' 190 266 ’ 253 1 512 Algèbre. 11. Opérations sur les nombres algébriques. 12. Calcul de valeurs numériques de monômes et polynômes. 13. Résolution d’équations du premier degré. 14. Vérification et utilisation de la formule de Chasles. 15. Notion de variable et de correspondance entre deux variables. On pourra à cet effet reprendre l’étude des graphiques portant sur des grandeurs correspon- dantes positives (p. 219 et 220 du Cours de 5°). 16. Établir géométriquement le développement de (a + b + c) (m + n). Pour cela (fig. 1) construire un rectangle de base a + b + c et de hauteur m + n. Ce rectangle se partage en six autres d’aires respectives am, an, bm, bn, cm et cn. 2 Q an 6/2 cn '° “b à l E am b/n cm G a? ab l a _ b k A c A a ; ‘ b FIG. 1. FIG. 2. 17. Construire un carré de côté (a + b) (fig. 2) et montrer que l’on eut, par des parallèles aux côtés, découper ce carré de iaçon à obtenir un carré e côté a, un carré de côté b et deux rectangles de dimensions a et b. En déduire l’identité : (a+b)'—a'+b'+2ab.
Ï TRAVAUX PRATIQUES 239 p 18. Découper dans une feuille de papier un carré de côté (a — b) et deux rec— tangles de dimensmns a et b. Montrer que l’on peut juxtaposer ces trois surfaces 3) de façon à obtenir deux carrés juxtaposés de côtés respectifs a et b. En u1re que : (a—b)'+2ab=a’+b' ou (a—b)3=a’+l)’—2ab. 7k . Q E’faM/(a-b) è la fil" - 06 G G , 6‘ te .3 a5 r b ‘ a-b ‘ b “ a—â x A ä FIG. FIG. 4. 19. Montrerïque dans un carré deTcôté a (fig. 4) on peut découper un carré .de côté b et deux trapèzes rectangles de bases a et b et de hauteur (a — b). En déduire l’identité : aa—b3=(a+ b)(a—b). Géométrie. 20. Construire la figure F' symétrique d’une figure donnée F par rapport à une droite donnée A ou par rapport à un point donné O. Vérifier l’égalité de deux angles ou de deux segments homologues. Constater que deux figures F et F', directement égales, se superposent lorsqu’un segment AB de la figure F coïncide avec son homologue A'B’, de la figure F’. En est—il de même lorsque les figures F et F’ sont inversement égales? 21. Vérifier la propriété caractéristique de tout point M de la médiatrice xy d’un segment AB, à savoir MA = MB, de tout point M de l’une des régions limi- tées par æy c’est-à—dire MA < MB dans le demi-plan contenant A et MB < MA dans le demi-plan contenant B. 22. Découper un triangle quelconque. Mesurer ses angles et ses côtés. Vérifier que tout côté est compris entre la somme et la différence des deux autres, que les angles sont dans le même ordre de grandeur que les côtés opposés. 23. Vérifier à l’aide du rapporteur les propriétés des angles formés par deux parallèles et une sécante, des angles à côtés parallèles ou perpendiculaires. Construire deux triangles ABC et A'B’C’, dont les côtés homologues BC et B’C', CA et C’A’, AB et A’B' sont respectivement parallèles. Constater que les angles homologues [sont toujours respectivement égaux. En est—il de même lorsque les côtés du premier triangle sont respectivement perpendiculaires à ceux du second?
240 TRAVAUX PRATIQUES ' ' ’ ' ' leur “3’724. Mesurer les an. es intérieurs d un triangle et vérifier la valeur de somme. Reprendre l’eälercice pour un quadrilatère ou un polygone convexe quel- conque. . ’ Mesurer de même la somme desangles extérieurs d’un triangle ou d un polygone convexe. ' ' be entre 25. Décou er un triangle ABC dont le pied de la hauteur AH tom I B et C (fig. 5)? Plier la figure en amenant successwement A, puis B et C en H. Conis- tater que les trois angles du triangle ABC s’additionnent en H pour former un ang e plat. FIG. 6. 26. Découper les angles extérieurs d’un polygone convexe (fig. 6). Assembler les différents angles de façon à obtenir leur somme et vérifier qu’elle est égale à 4 droits. 27. Vérifier les propriétés des quadrilatères usuels : parallélogramme, rectangle, losange, carré: on vérifiera les propriétés des angles, des côtés, des diagonales, les éléments de symétrie. 28. Partage d’un segment en plusieurs parties égales. S’entraîner à effectuer cette opération à l’aide des lignes d’un cahier. 29. Vérifier les propriétés des droites remarquables concourantes dans un triangle: médiatrices, hauteurs, médianes, bissectrices intérieures et extérieures. 30. Vérifier que dans un triangle ABC, le centre de gravité G est situé sur le segment OH joignant le point de concours des médiatrices à l’orthocentre, au tiers de ce segment à partir de O. 31. Vérifier les propriétés des angles au centre, des arcs, des cordes et de leurs distances au centre. Etablir le graphique de la longueur d’une corde en fonction de la mesure de l’arc sous—tendu, ou de la distance au centre de cette corde. 32. Vérifier les positions relatives. de cercles à l’aide de deux disques O et O' de rayons différents R et R’ en faisant décroître la distance OO’. Retrouver ainsi les conclusions énoncées dans le cours. 33. Vérifier à l’aide du rapporteur la propriété fondamentale de l’angle inscrit et la propriété des angles opposés d’un quadrilatère inscrit dans un cercle, convexe ou croisé. 34. Découper un angle æMy et déplacer cet angle dans le plan en faisant passer le côté Ma: par le point fixe A, le côté My par le point fixe B. Repérer chaque position de M et déterminer la ligne formée par l’ensemble des positions de M. (Arc de cercle d’extrémités A et B).
TRA VAUX PRATIQUES 24] Tracés géométriques. — Le cours de géométrie sera mieux compris s’il est accompagné de réalisations effectives de figures. Les élèves auront en particulier intérêt à exécuter les constructions rassemblées dans les leçons 18, 19 et 20 du cours de géométrie. 35. Constructions fondamentales (médiatrices, perpendiculaires, bissectrice). 36. Angle égal à un angle donné, parallèle, angle droit, angles remarquables. 37. Construction de triangles connaissant trois éléments (n° 168 à 173). 38. Construction de parallélogrammes, rectangle, losange, trapèze. 39. Droites concourantes dans un triangle. 40. Tangentes à un cercle parallèles à une direction donnée, issues d’un point donné, tangentes communes extérieures et intérieures à deux cercles. 41. Cercles circonscrits à un triangle, à un rectangle, à un carré, à un trapèze isocèle ou à un quadrilatère inscriptible. 42. Cercles tangents aux trois côtés d’un triangle. ,43. Raccordements à l’aide d’un cercle de rayon donné de deux droites, d’une droite et d’un cercle, de deux cercles. Ovale à quatre centres.
COMPLÉMENTS D’ASTRONOMIE COORDONNÉES ÉQUATORIALES l. Rappel. — Les étoiles dessinent dans le ciel des constellations de forme invariable comme si elles étaient fixées sur une sphère immense, la sphère céleste, dont la terre serait le centre. Pour un observateur terrestre qui assiste au mouvement diurne des étoiles, tout se passe comme si la sphère céleste tournait régulièrement autour d'un de ses diamètres PP' à raison d'un tour en 23 h 56 mn (jour sidéral). La droite PP' est l'axe du monde et le grand cercle de la sphère céleste qui a pour axe PP' est l’équateur céleste (fig. 7). Ce dernier partage la sphère céleste en deux parties: l'hémisphère boréal qui contient le pôle céleste Nord P et l'hémisphère austral qui contient le pôle céleste Sud P'. FIG. 7. FIG. 8. Les astres tels que le soleil, la lune, et les planètes se déplacent lentement parmi les étoiles. En particulier le soleil décrit, en un an, un grand cercle de la sphère céleste, l'écliptique, dont le plan est incliné de 23° 27' sur celui de l'équateur. On appelle point vernal ou point y, le point où le soleil traverse l'équateur céleste en passant de l'hémisphère austral à l'hémisphère boréal (équinoxe de printemps).
COORDONNÉES ËQUA TORIALES 243 2. Coordonnées équatoriales d’un astre. — Pour repérer la position d'un astre sur la sphère céleste, on utilise deux mesures angulaires analogues à la longitude et la latitude terrestres. A cet effet (fig. 8), on appelle cercle horaire d'un astre A le demi-grand cercle PAP', de diamètre PP' et pas- sant par l'astre A. Ce cercle coupe l'équateur céleste en A'. 10 L’ascension droite de l’astre A est la mesure a de l’arc y A' de l’équateur céleste compris entre le point vernal et le cercle horaire de l’astre. Cet arc se compte de 0 à 360°, de Y vers A', dans le sens direct autour de P'P, c'est-à-dire de la droite vers la gauche, pour un observateur placé le long de P'P, la tête vers le pôle boréal P. L'ascension droite se compte aussi fréquemment de 0 à 24 heures: 1 heure corres ondant à 15° et par suite une minute (mn) à 15' et une seconde (s) à 1 ”. Ainsi: 9 h 34 mn 42 s valent : 9° 34’ 42” >< 15 = 143o 40' 30'. 215o 49’ 45” valent: 215 h 49 mn 45 s : 15 = 14 h 23 mn 19 s. 2° La déclinaison de l’astre A est la mesure 8 de l’arc A'A de son cercle horaireîcompris entre l’équateur et cet astre. Cet arc se compte .en partant de l'équateur de 0 à 90°, positivement vers le pôle Nord P, négativement vers le pôle Sud P'. On utilise parfois son complément algébrique, appelé distance polaire, c'est-à-dire la mesure de l'arc PA — L'ascension droite et la déclinaison sont les coordonnées équatoriales de l'astre A. Elles permettent l'établissement. des cartes ou des globes célestes. Voici un tableau des coordonnées des principales étoiles: Étoiles oc 8 Étoiles a 8 Étoile Polaire. . 1 h 55 mn + 89° 4’ Régulus (Lion). 10 h 06 mn + 120 10' oc Grande Ourse 11 h 01 mn + 61° 58’ Épi (la Vierge). 13 h 23 mn — 10° 57' oc Cassiopée . . . O h 38 mn + 58° 55' Antarès (Scor- Capella (Cocher) 5 h 14 mn + 45° 57’ pion) . . . . . . . 16 h 27 mn — 260 20' Betelgeuse Véga (la Lyre). 18h35mn+ 38° 45' (Orion) . . . . . 5 h 53 mn + 7° 24' Altaîr (Aigle) . 19 h 49 mn + 8° 46' Slrius . . . . . . . . 6 h 43 mn —— 16° 40’ a: Pégase . . . . . 23 h 03 mn + 14° 59' 3. Mesure de la déclinaison. — A l'instant où un astre A traverse 1e plan méridien de l'observateur, son cercle horaire est confondu avec le cercle méridien et sa déclinaison 3 est l'angle QOA (fig. 9). Si désigne la latitude terrestre de l'observateur, c'est-à-dire la hauteur du ôle P, on voit que l'angle SOQ = 90° — (p. En mesurant l'angle 50A auteur de l'astre A /'\ ou son supplément si A est situé entre Z et P) . on obtient 8 _—_. SOA —
244 ASTRONOMIE 4. Mesure de l’ascension droite. — Du fait de la rotation diurne de la sphère céleste, l'arc “Y Q de l'équateur céleste, compris entre le point ver- nal Y et le plan du méridien augmente de 360° (ou de 24 heures) par jour sidéral (23 h 56 mn). On peut aisé—— ment régler une horloge de façon qu'elle indique 0 heure (ou 24 heures) à chaque passage du point vernal au méridien. L'heure indiquée par cette horloge (heure sidérale du lieu) n'est autre que la mesure en heures de l’arc YQ, c'est—à-dire l'ascension droite de tout astre A situé à cet instant dans le plan du méridien. L’ascension droite d’une étoile est l’heure sidérale à laquelle elle traverse le méridien. Ceci est également valable pour tout autre astre se déplaçant sur la sphère céleste, mais seulement à l'instant de son passage au méridien. REMARQUE. — Pour régler une horloge sidérale, on ne peut évidemment pas se servir du point Y qui n’est pas apparent dans le ciel. On utilise pour cela une étoile E de coordonnées connues en faisant marquer, à l’horloge sidérale, l’ascen- sion droite de cette étoile au moment de son passage au méridien. Ainsi une horloge sidérale bien réglée doit marquer 6 h 43 mn au moment. du passage de Sirius. TRAVAUX PRATIQUES 44. Détermination du plan méridien local et de la hauteur du pôle (livre de cinquième, p. 236 et 237). Matérialiser le plan du méridien à l’aide de deux fils à plomb. On peut ainsi repérer, à une minute près, l’instant où une étoile traverse le plan du méridien. 45. Mesurer la hauteur méridienne d’une étoile. En déduire, connaissant votre latitude (p, la déclinaison (ou la distance polaire) de cette étoile. Vérifier sur une carte céleste. 46. Régler une pendulette ou un réveil-matin de façon à en faire une pendule sidérale. On commencera par la faire avancer de 4 minutes par jour et on la règlera ensuite sur une étoile d’ascension droite connue, située de préférence au voisi— nage de l’équateur. 47. Utiliser la pendule sidérale obtenue comme ci-dessus pour déterminer l’ascension droite de différentes étoiles. Vérifier vos résultats sur une carte céleste. 48. Mesurer à intervalles réguliers les coordonnées équatoriales du soleil, de la lune ou d’une grosse planète (Vénus, Mars, Jupiter). Reporter les positions de cet astre saur une carte céleste et tracer sa trajectoire.
LE SYSTÈME SOLAIRE 5. Description sommaire. — Le système solaire est l'ensemble astro- nomique auquel appartient la terre. Il comprend le soleil, la lune et les pla— nètes, c'estnà-dire les astres qui semblent se déplacer sur la sphère céleste. es anciens connaissaient les cinq planètes visibles à l'œil nu: Mercure, Vénus, Mars, Jupiter et Saturne. Depuis on a découvert trois planètes impor— tantes :çUranus (l 78|), Neptune (1846) et Pluton (l 930), et plus de l 500 petites planètes amSI que les satellites des grosses planètes. Dans son mouvement apparent sur la sphère céleste, .le soleil décrit en un an un grand cercle, l'écliptique, dont le plan est incliné de 23° 27' sur celui de l'équateur. La lune décrit en 27 jours 8 heures un grand cercle incliné de 5° sur l'écliptique. Les planètes se déplacent égale— ment toutes au voisinage de l'écliptique dans la zone appelée zodiaque. Mais leurs trajectoires sont bien plus compliquées. Si leur pro- gression générale s'effectue comme celle du soleil et de la lune, dans le sens direct, leur mouvement devient rétrograde à certaines épou ques de l'année. On voit ainsi (fig. 10) la boucle dé- crite, sur la sphère céleste, par Vénus au cOurs de l'année I959. 11“ FIG. 10. 1e‘juil. L’explication du mouvement apparent des planètes, après avoir_ été long- temps recherchée par les Anc1ens, ne fut découverte que par Copermc (l 543).. et précisée ensuite par Képler (1609).
246 ASTRONOMIE 6. Mouvement réel des planètes. l° Les étoiles sont immobiles et_ c'est la rotation de la terre _sur elle-même, en un Jour sidéral, qui donne l'impression du mouvement diurne apparent. / Pôle céleste Nord 22sepL FIG. 11. ’J‘Inf l \. 2° Le soleil est fixe au‘; centre du système solaire. La terre (fig. Il) et les diflérentes planètes tournent autour du Soleil en décrivant des orbites presque circulaires (en réalité, ce sont des ellipses peu aplaties). Les plans de ces orbites sont voisins du plan de l'orbite terrestre ou plan de l'éclip- tique. Pour un observateur debout sur ce plan, la tête vers le pôle céleste Nord, le mouvement des planètes autour du soleil s'effectue dans le sens direct (sens inverse de celui des aiguilles d'une montre). 3° La lune tourne autour de la terre en l'accompagnant dans son mouve— ment autour du soleil : la lune est un satellite de la terre. — Les planètes tournent sur elles—mêmes dans le sens direct et plusieurs possèdent des satellites. Les quatre plus gros satellites de Jupiter et les anneaux de Saturne (formés d'innombrables petits satellites) sont visibles avec un faible d grossissement. Si on mesure la distance angulaire SÛP du soleil et de la planète P l Unité (fig. 12) au moment où l'angle OSP est Queue) Sœole”) drmt (quadrature), o_n peut construire le FIG. 12. tnangle OPS et obtenir la distance d = SP en prenant OS pour unité. Si d'autre part T désigne la durée de révolution de la planète P autour du soleil on obtient: p(planète) Mercure . . . . [d = 0,39 T = 88 jours Jupiter . . . . d = 5,2 T = 12 ans Nénus . . . . . . . 0,72 225 j. Saturne . . . , 9,55 29 ans La Terre . . . t1 1 an Uranus . . . . 19,2 84 ans [1,52 1,9 an Neptune . . . 30 165 ans 1,8 à 5 2 à 11 anl Pluton 40 249 ans
LE SYSTÈME SOLAIRE 247 Les valeurs de d sont des valeurs moyennes. Elles montrent que les orbites des dlfiérentesîplanètes ont la dlSpOSlthD de la figure l3. “i.” 'q- . . -. Pluton FIG. 13. 7. Parallaxe horizontale d’une planète. — C'est l'angle p sous lequel un observateur placé sur une planète P verrait le rayon terrestre 0A = R (fig. l4). Cet angle s'obtient en repérant, de deux observatoires terrestres assez éloignés, la position apparente de la planète sur la sphère céleste. Il permet de calculer la distance de cette planète. En effet si le petit angle p est exprimé en secondes, le segment 0A est assimilable à un arc de p” sur le cercle de centre P et de rayon OP = d. Donc: _ _ 27tpr -, _362> _362> OA—R—360X3600 sort. d————————2np . EXEMPLE. — La parallaxe moyenne du soleil est 8,8”. La formule précé— dente donne d = 23 450 R soit environ l50000 000 km. Planète FIG. 14. FIG. 15. 8. Diamètre apparent d’une planète. — C'est l'angle 2 oc sous lequel un observateur terrestre voit le diamètre de cette planète (fig. l5). Or le rayon r de cette planète est assimilable à un arc de oc” sur le cercle de rayon 0P = d. Comme le rayon terrestre R correspond à un arc de p” sur le même oc cercle, on obtient par une règle de trois : r = p EXEMPLE. — Le demi-diamètre apparent du soleil est oc — l6' = 960” et sa parallaxe 8,8". Le rayon du soleil est donc: r = 96808R = l09 R.
248 ASTRONOMIE 9. Comètes. — Les comètes sont des astres temporaires qui se présentent sous la forme d'un noyau brillant entouré d'une chevelure difuse souvent prolongée, du côté opposé au soleil, par une queue extrêmement ténue. Les orbites des comètes (dans la partie voisine du soleil où elles sont visibles) ressemblent à des arcs diellipses très allongées (paraboles) dont les plans diffèrent très nettement de celui de l'écliptique (fig. I6). Certaines comètes sont périodiques. La plus belle d'entreelles est la comète de Halley qui réapparaît tous les 75 ou 76 ans (sans doute délà en 466 av. J Elle est apparue en I759, 1835 et I910. Sa prochaine apparition est prévue pour l985. Le nombre des comètes circulant dans l'espace doit être considérable car on en observe de nouvelles chaque année. Mais les grandes comètes, visibles à l’œil nu, sont assez rares. Leur apparition ne manque jamais de frapper l'imagination p0pulaire qui leur attribue une influence sur les événements en cours. Ainsi la belle comète de 18H fut, d'après les vignerons, la cause Ëe la qualité exceptionnelle du vin récolté au courant de l'année (Vin de la omète . _,;.;'€;;ï"' Météorites 310. Météores. -- Les météores, vulgairement appelés étoiles filantes, sont dus au passage à proximité de la terre de corpuscules solides appelés météorites. Du fait de leur très grande vitesse, ils s'échauffent par frottement dans la haute atmosphère et brûlent d'un vif éclat avant de disparaître. Les débris qui retombent sur le sol sont appelés aérolithes. Leur poids varie de quelques grammes à plusieurs kilogrammes. Ils sont de nature pierreuse avec souvent une forte teneur en fer et en nickel. Les rencontres de la terre avec des essaims de météorites gravitant autour du soleil (fig. l7) provoquent périodiquement des averses abondantes de météores: 9-40 août et l3-l4 novembre en particulier. Il peut arriver qu'un_gros météorite atteigne la terre avant d'être complè— tement désmtégré. Celui qui explosa en_ I908 au-dessus de la Sibérie détruisit la forêt sur une zone de 50 km de diamètre.
LE SYSTÈME SOLAIRE 249 TRAVAUX PRATIQUES 49. Soit T la durée de révolution d’une planète exprimée en années et d sa dis— tance au soleil exprimée avec la distance Terre-Soleil pour unité. Comparertpour chaque planète les deux nombres T2 et da (3° loi de Képler). 50. La parallaxe de la lune est égale à 57' lorsque son diamètre apparent est égal à 31’. Déterminer son rayon et sa distance en fonction du rayonJerrestre R. 51. La parallaxe de la lune varie mensuellement entre 54' et 61' 30 ". En déduire les variations correspondantes de la distance de la lune à la terre. 52. Calculer les rayons de diverses planètes connaissant leur demi—diamètre apparent maximum au moment où elles sont le plus près de la terre: Mercure : 6,3’ Saturne : 10,3" Vénus : 33,4" Uranus : 2’ Mars : 13' Neptune : 1,1” Jupiter: 24,9" Pluton : 0,2”. 53. Compter, aux environs du 13 novembre ou du 9 août, le nombre de météores (étoiles filantes) qui vous apparaîtront dans le ciel pendant un temps déterminé (1/4 d’heure) un soir, puis le lendemain matin avant 1e jour. Constater que l’on en voit environ deux fois plus le matin que le soir.
ÉCLIPSES Il. Définitionst — Il î: a éclipse de soleil lorsque la lune vient s'inter— poser entre le Soleil et la erre. ll s'ensuit une baisse notable de la lumière solaire, qui peut être complète pendant quelques minutes. Il y a éclipse de lune lorsque la terre porte ombre sur la pleine lune, la ren- ant ainsi invisible aux observateurs terrestres. On explique la formation deséclipses par la considération des zones d'ombre qui accompagnent chaque planète. 12. Cône d’ombre et pénombre. — Représentons par deux cercles extérieurs S et P les contours d'un soleil et d'une planète (fig. l8). Les tan-— gentes communes extérieures à ces deux cercles se coupent en O et les tan— gentes communes intérieures en 0'. En faisant tourner la figure autour de la droite SP, ces tangentes engendrent deux cônes de sommets O etïO' qui, en arrière de la planète, limitent trois régions. FIG. 18. La région (I) est le cône d'ombre de la planète. En tout point de cette région le soleil est invisible (fig. l9). Les régions (Il) etË(III) sont dites de pénombre. Le soleil y est en partie visible, sous forme échancrée (fig. 20) dans la région (III), et sous forme annulaire (fig. 2]) dans la région (Il).
ÊCLIPSES 251 13. Eclipses de soleil. — Si la planète P est la lune, la longueur P0 de son cône d'ombre est environ 58 fois le rayon terrestre R. Comme la dis- tance de la lune à la terre varie annuellement entre 55 et 66 R, il arrive qu'un point donné M de la terre traverse l'une des régions ci—dessus. Il y a éclipse partielle en M (fig. 20) si ce point ne traverse que la région (Ill). L'éclipse devient totale (fig. l9) lorsque le point M pénètre dans la région (l), annu- laire (fig. 2l) s'il pénètre dans la région (Il). ,Couronne solaire FIG. 19. FIG. 20. FIG. 21. Une éclipse totale de soleil ne peut être observée que dans une zone de 250 km de large au plus et pendant moins de 8 minutes. Mais cette éclipse peut être vue partiellement dans une zone de 7 000 km de large durant une heure ou deux. 14. Eclipses de lune. — Le cône d'ombre de la terre a une longueur d'environ 2l7 R. La lune, dont la distance moyenne à la terre est de 60 R, peut donc pénétrer dans le cône en tra- versant une zone de pénombre (fig. 22). Il y a éclipse de lune par la pénombre si la lune pénètre seulement dans la zone de pénombre (l et 2). Cette éclipse est peu apparente car seul l'éclat de la lune est diminué. Il y a éclipse partielle, si la lune pénètre en partie dans la zone d'ombre (3) et éclipse totale si elle y pénètre en entier (4). Une éclipse de lune est visible de tout l'hémisphère terrestre qui fait face à la lune. Sa durée maximum est de 6 heures dont Z heures pour l'éclipse totale. l5. Périodicité et intérêt des éclipses. — Les écli ses se reproduisent fidèlement tous les l8 ans ll jours. Cette période ( aros des Chalde’ens) comportant 28 éclipses totales et l5 éclipses partielles de soleil. on peut déterminer à l'avance l'heure exacte et le lieu de visibilité des éclipses. Les astronomes ont ainsi la possibilité d'en effectuer l'examen dans les condi— tions les plus favorables (étude de la couronne solaire en particulier).
ÎÊË ASTRONOMIE Signalons que les éclipses des satellites de Jupiter ont pu être utilisées comme signaux horaires pour les déterminations de longitude et qu'elles ont permis la première mesure de la vitesse de la lumière en 1676. (Cf. exercrce 58). NOTA. —— Une éclipse de soleil sera observable en France le 15 février 1961. Elle sera‘totale aux environs de 7 h 35 mn dans une zone limitée au Nord par la ligne Sables-d’OIOnne-Modane, au Sud par la ligne Arcachon-Saint-Tropez. Elle sera visible partiellement dans le reste du pays du lever du soleil jusqu’à 8 h 45 mn env1ron. TRAVAUX PRATIQUES 54. Examen d’une éclipse de soleil prévue à l’almanach. Se munir à cet effet de verres teintés (ou fumés à la bougie) permettant de suivre les différentes phases de l’éclipse. (Exemple : 2 octobre 1959 de 11 h à 13 h.) 55. Examen d’une éclipse de lune totale ou partielle. 56. A l’aide d’un globe lumineux de 20 cm, d’une boule de 5 cm et d’une balle de ping—pong, reproduire le mécanisme des éclipses de soleil et de lune. 57. Une éclipse d’un satellite de Jupiter est vue en un lieu A à 11 h 24 mn 17 s (heure locale) et à 18 h 35 mn 43 s à Greenwich. Déterminer la longitude de A. FIG. 23. 58. Lorsque la terre passe de la position T1 à la position T, (fig. 23), on constate un retard de 16 mn 40 s sur l’heure prévue des éclipses du premier satellite de Jupiter, dû au temps mis par la lumière pour parcourir la distance Tng. Pouvez- vous en déduire la vitesse à la seconde de la lumière?
TABLE DES MATIÈRES ARITHMÉTIQUE ET ALGÈBRE ire leçon. -— Puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7 lle leçon. -— Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11 llle leçon. —— Plus grand commun diviseur — Plus petit commun multiple.. 16 lVe leçon. — Application aux fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 22 Ve leçon. — Nombres algébriques ou relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28 Vle leçon. — Addition des nombres algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33 Vlle leçon. — Soustraction des nombres algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37 Vllle leçon. — Produit de nombres algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 42 IXe leçon. — Division des nombres algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47 Xe leçon. — Relation de Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 53 Xle leçon. — Puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57 Xlle leçon. — Inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 62 Xllle leçon. — Expressions algébriques — Monômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 66 XlVe leçon. — Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 XVe leçon. — Multiplication des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 77 XVIe leçon. — Identités remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 82 XVIIe leçon. —— Division des monômes et des polynômes — Décomposition en facteurs — Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 87 XVllle leçon. — Equation du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 92 XIXe eçon. — Equations se ramenant au premier degré — Systèmes d’équa- tions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 98 XXe leçon. — Problèmes d’algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 105 — Exercices de révision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 110 GÉOMÉTRlE lre leçon. — Rappel de définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 117 Ile leçon. -— Triangle isocèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 125 llle leçon. — Cas d’égalité des triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 130 |V° leçon. — Inégalités dans le triangle......................... 137
254 TABLE DES MATIÈRES Vo leçon. — Perpendiculaire et obliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 142 Vle leçon. -— Droites parallèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 147 Vlle leçon. — Propriétés angulaires des parallèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 151 Ville leçon. — Somme des angles d’un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 156 IX° leçon. — Parallélogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 161 Xe leçon. — Rectangle — Losange — Carré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 XIe leçon. — Trapèze — Parallèles équidistantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 172 Xlie leçon. — Droites concourantes dans un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 178 Xllle leçon. — Le cercle — Droite et cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 184 XlVe leçon. — Positions relatives de deux cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 189 XVe leçon. — Cordes d’un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 194 XV|° leçon. — Angle inscrit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 199 XVile leçon. — Quadrilatère inscriptible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 204 XVl|l° leçon. —- Constructions géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 210 XIX° leçon. — Constructions de triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 216 XX° leçon. — Tangentes et cercles tangents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 222 -— Problèmes de révision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 TRAVAUX PRATIQUES ET ASTRONOMIE — Travaux pratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 — Coordonnées équatoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 -— Le système solaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 — Eclipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 250
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