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Author: Mansuy R. Mneimné R.
Tags: mathematiques algèbre algèbre linéaire réduction d'endomorphisme manuel d'algèbre linéaire vuibert édition
ISBN: 978-2-311-00285-0
Year: 2012
Text
Algèbre linéaire Réduction des endomorphismes • Cours complet • Commentaires et développements • Plus de 120 exercices corrigés Vuibert A
Roger Mansuy Avec la participation de Rached Mneimné ï f* Réduction des endomorphismes Cours & exercices corrigés LICENCE MATHÉMATIQUES CLASSES PRÉPARATOIRES SCIENTIFIQUES Vuibert
Déjà parus dans la nouvelle collection de manuels universitaires scientifiques Éric Canon Analyse numérique. Cours et exercices corrigés - L2 & L3, 256 pages Jérôme Depauw Statistiques. Cours et exercices corrigés - Master, 176 pages Vincent Rivoirard & Gilles Stoltz, Statistique mathématique en action. Cours, problèmes d'application corrigés et mises en action concrètes - Master & Agrégation externe, 2e édition, 448 pages Marc Briane & Gilles Pages, Analyse. Théorie de l'intégration. Convolution et transformée de Fourier. Cours et exercices corrigés - L3 & Master 1, 5e édition, 368 pages Anne Cortella, Algèbre. Théorie des groupes. Cours et exercices corrigés - L3 & Master, 224 pages Bruno Aebischer, Introduction à l'analyse. Cours et exercices corrigés - L1, 288 pages Bruno Aebischer, Analyse. Fonctions de plusieurs variables & géométrie analytique. Cours et exercices corrigés - L2,448 pages Bruno Aebischer, Géométrie. Géométrie affine, géométrie euclidienne & introduction à la géométrie projective. Cours et exercices corrigés - L3, 288 pages Ariel Dufetel, Analyse. CAPES externe et Agrégation interne. Cours et exercices corrigés, 672 pages et des dizaines d'autres livres de référence, d'étude ou de culture en mathématiques, informatique et autres spécialités scientifiques www.vuibert.fr En couverture : Escalier en double spirale de Giuseppe Momo, Vatican. © Sylvain Sonnet/Corbis Maquette intérieure, composition et mise en page de l'auteur Couverture : Linda Skoropad/Prescricom ISBN 978-2-311-00285-0 Registre de l'éditeur : 610 La loi du 11 mars 1957 n'autorisant aux termes des alinéas 2 et 3 de l'article 41, d'une part, que les « copies ou reproductions strictement réservées à l'usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective » et, d'autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d'exemple et d'illustration, « toute représentation ou reproduction intégrale, ou partielle, faite sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite » (alinéa 1erde l'article 40). Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal. Des photocopies payantes peuvent être réalisées avec l'accord de l'éditeur. S'adresser au Centre français d'exploitation du droit de copie : 20 rue des Grands Augustins, F-75006 Paris. Tél. :01 44 07 47 70 © Vuibert - septembre 2012 - 5 allée de la 2e DB, 75015 Paris
Table des matières I. Polynômes d'endomorphismes 1. Un morphisme d'algèbre 1 2. Idéal des polynômes annulateurs 2 3. Polynôme minimal 4 4. Utilisation pratique d'un polynôme annulateur 5 5. Commentaires et développements 7 6. Exercices 9 II. Sous-espaces stables 1. Restriction d'un endomorphisme 13 2. Sous-espace stable 15 3. Endomorphisme induit sur un sous-espace stable 16 4. Exemples de sous-espaces stables 16 5. Sous-espaces cycliques 17 6. Commentaires et développements 18 7. Exercices 20 III. Commutation 1. Définitions 25 2. Calculs de commutants 27 3. Endomorphisme adf 28 4. Commentaires et développements 29 5. Exercices 30 IV. Lemme des noyaux 1. Étude de kerP(/) 37 2. Lemme des noyaux 38 3. Décomposition de l'espace en sous-espaces stables 40 4. Commentaires et développements 41 5. Exercices • . 43
iv Table des matières V. Éléments propres, caractéristiques 1. Définitions 45 2. Polynôme caractéristique 48 3. Commentaires et développements 50 4. Exercices 53 VI. Endomorphismes cycliques 1. Définitions 59 2. Caractérisation avec le polynôme minimal 60 3. Caractérisation avec le commutant 60 4. Matrice compagnon 62 5. Polynôme caractéristique 64 6. Commentaires et développements 65 7. Exercices 67 VII. Théorème de Cayley & Hamilton 1. Énoncé et conséquences 71 2. Preuve par les sous-espaces cycliques 72 3. Preuve par la formule de la comatrice 72 4. Sous-espaces caractéristiques 73 5. Multiplicités 73 6. Commentaires et développements 74 7. Exercices 75 VIII. Diagonalisation 1. Critères de diagonalisation 79 2. Critère de co-diagonalisation 84 3. Commentaires et développements 85 4. Exercices 86 IX. Trigonalisation 1. Critères de trigonalisation 93 2. Fonctions symétriques des valeurs propres 95 3. Commentaires et développements 99 4. Exercices 100 X. Réduction de Jordan 1. Décomposition de Jordan & Dunford 105 2. Réduction de Jordan : cas nilpotent 107 3. Interlude : lire un tableau de Young 113 4. Réduction de Jordan : cas général 114 5. Commentaires et développements 115 6. Exercices 117
Table des matières v XI. Réduction de Probenius 1. Réduction de Frobenius 125 2. Retour sur la réduction de Jordan 128 3. Commutants et bicommutants 131 4. Commentaires et développements 134 5. Exercices 135 XII. Topologie des classes de similitude 1. Rappels sur la relation de similitude 139 2. Classes de similitude dans M2O&) 140 3. Adhérence d'une classe de similitude 144 4. Connexité d'une classe de similitude 146 5. Commentaires et développements 147 6. Exercices 148 XIII. Localisation des valeurs propres 1. Théorème de Hadamard 153 2. Disques de Gerschgorin 154 3. Rayon spectral 156 4. Théorème de Perron 157 5. Théorème de Perron & Frobenius 159 6. Commentaires et développements 161 7. Exercices 163 XIV. Application aux chaînes de Markov finies 1. Chaînes de Markov 169 2. Matrice de transition 170 3. Probabilité invariante 173 4. Théorème ergodique 174 5. Commentaires et développements 176 6. Exercices 178 Notations 181 Index 182
Avant-propos Qu'est-ce que la réduction ? Dans tout cours d'algèbre linéaire, la réduction des matrices et des endo- morphismes occupe une place prépondérante. Toutefois, ce terme de réduction cache de nombreuses réalités et perspectives. > D'une part, réduire un endomorphisme / d'un espace de dimension finie, c'est trouver une base dans laquelle l'endomorphisme / est « bien compris » et « facilement manipulable ». En pratique, cela revient à pouvoir déterminer une matrice de l'endomorphisme avec une forme particulière : diagonale (dans le meilleur des cas), diagonale par blocs, triangulaire... Pour une matrice carrée M, l'équivalent de cette démarche consiste à chercher une matrice d'une forme particulière semblable à M : en effet, la formule de changement de bases pour la matrice d'un endomorphisme n'est autre que la traduction de la similitude de deux matrices. > D'autre part, réduire un endomorphisme (respectivement une matrice) c'est comprendre l'ensemble de toutes les matrices qui lui sont associées (respectivement sa classe de similitude) ; pour ce faire, on cherche une matrice réduite qui décrit simplement, qui caractérise cet ensemble. En avançant dans cette direction, on retrouve à la fois les invariants de similitude (pour la réduite de Frobenius) et les tableaux de Young (pour la réduite de Jordan). En théorie, un cours complet comporte les deux aspects imbriqués avec quelques applications endogènes de l'algèbre linéaire mais aussi exogènes en provenance de l'algèbre bilinéaire, de la topologie, des probabilités, des sciences physiques... Qu'est-ce que ce livre ? Il existe de nombreux livres pour les étudiants de premiers cycles qui traitent certains des aspects de la réduction mais aucun ne semble avoir
Vlll Avant-propos pris la mesure de la richesse du sujet dans les cours des premiers cycles (et dans les préparations aux concours de recrutement de l'Éducation Nationale). Nous avons donc cherché à fournir une introduction raisonnée à l'ensemble de la réduction. Le livre se découpe grossièrement en cinq parties. > Tout d'abord, les sept premiers chapitres présentent dans un ordre assez classique les outils de la suite du livre. L'algèbre des polynômes en un endomorphisme (respectivement une matrice carrée) joue évidemment un rôle essentiel. Nous avons pris le parti de privilégier l'aspect élémentaire donc de cacher, au moins en apparences, la structure de K[X]-module. En revanche, nous avons insisté sur l'étude des sous-espaces stables de la forme kerP(/) trop souvent limitée au lemme des noyaux et aux sous- espaces propres et caractéristiques. Par exemple, le lemme IV-3.3 établit l'existence d'un sous-espace cyclique maximal de dimension le degré du polynôme minimal : ce résultat simple est riche pour la suite. De même, nous avons choisi de mettre en exergue les endomorphismes cycliques (chapitre VI) à la fois pour fournir une démonstration simple du théorème de Cayley & Hamilton mais aussi pour le lemme VI-3.3 qui établit l'existence du supplémentaire stable d'un sous-espace cyclique maximal. L'idée est bien évidemment de préparer le terrain aux réductions de Jordan et Frobenius en se familiarisant avec l'argument des preuves par récurrence. > Une fois tous ces outils mis en place, deux petits chapitres décrivent les critères simples de diagonalisation, de trigonalisation, de réduction simultanée... Il s'agit simplement de combiner tout ce qui a été détaillé précédemment. Cela constitue un objectif de nombreux cours de premiers cycles mais ce n'est ici qu'un jalon dans notre parcours. > Les chapitres X et XI présentent les deux formes réduites normalisées : celle de Jordan et celle de Frobenius ; nous ne nous arrêtons bien évidemment pas à l'existence de ces réductions mais nous cherchons à en montrer l'utilité pratique avec de nombreux exercices sur les tableaux de Young ou les algorithmes pour passer d'une forme réduite à l'autre. Il apparaît que ces aspects sont souvent mal compris et qu'une lecture attentive de ces chapitres serait bienvenue pour de nombreux étudiants. > Le chapitre XII exploite les différentes caractérisations de la similitude obtenue jusqu'à présent pour donner dans le cadre réel ou complexe des descriptions géométriques et topologiques des classes de similitude. > La dernière séquence du livre répond à un problématique différente : il s'agit de chercher approximativement où se trouvent les valeurs propres pour une matrice complexe. Ce sujet est souvent une introduction à des problèmes d'algorithmique pour le calcul matriciel numérique ; nous avons
Avant-propos IX choisi d'en détailler une autre application classique avec les chaînes de Mar- kov homogènes finies. L'application du théorème de Perron & Frobenius est alors assez élémentaire et pourtant très parlante sur l'importance de ce résultat. Voilà pour le contenu du livre. Passons maintenant à la forme. Il reste plusieurs rédactions dans ce livre qui correspondent à différents usages. Le contenu des chapitres est présenté de manière didactique dans une démarche très conventionnelle parsemant de nombreux exemples (certains étant très élémentaires) l'enchaînement des propositions et leurs preuves détaillées. Certaines preuves sont délicates et il peut être astucieux de les sauter lors d'une première lecture afin de comprendre correctement les énoncés puis d'y revenir plus tard à tête reposée. Toutefois, à la fin de chaque chapitre, une section intitulée « Commentaires et développements » détonne : il s'agit de remarques moins détaillées mais néanmoins profondes, d'ouvertures pour permettre d'aller plus loin, il ne s'agit plus pour nous de faire cours mais de suggérer un travail personnel. La dernière partie de chaque chapitre est bien évidemment constituée d'exercices ; les corrections sont détaillées pour pouvoir être lues facilement même si nous préconisons plutôt de ne pas les lire trop vite. Certains exercices sont relativement classiques, d'autres plus originaux : nous avons choisi de ne pas indiquer la difficulté pour ne pas biaiser le lecteur dans son effort de recherche. Notations Précisons quelques notations ou conventions (l'ensemble des notations est détaillé dans l'index en fin d'ouvrage). Dans tout l'ouvrage, E un ]K-espace vectoriel de dimension finie où K est un corps quelconque (sauf précisions contraires). Nous pratiquons abusivement l'identification d'une matrice de A4n(K) à l'endomorphisme de Kn canoniquement associé ; cela nous amène par exemple quelquefois à dire qu'une matrice est injective ou qu'elle laisse stable un sous-espace. Lorsque que nous manipulerons des matrices par blocs, seuls les blocs non nuls seront représentés : les espaces « vides » sont à compléter avec des coefficients nuls.
X Avant-propos Remerciements Un grand remerciement va aux relecteurs (anciens élèves, collègues et amis) qui ont sacrifié une partie de leurs vacances estivales pour débusquer nos coquilles et autres imprécisions : Yixin SHEN, Pierre Bayle, Anne-Laure Biolley, Marc Yuma Chapuis, Mohammed Hawari, Ulysse Mizrahi.
Chapitre I Polynômes d ' endomor phismes Objectifs du chapitre - Comprendre l'importance de l'algèbre K[f] associée à l'endomorphisme /• - Calculer sur des exemples simples le polynôme minimal d'un endomorphisme. - Utiliser les polynômes annulateurs pour calculer puissances ou inverse (s'il existe). 1. Un morphisme d'algèbre 1.1. Définition. Soit / G C{E). Pour tout polynôme P G K[X] de la N forme P(X) = Yl akXk, l'endomorphisme P(f) est défini par k=0 N p(f) = J2a«fk- k=0 1.2. Exemple. Par exemple, pour le polynôme P = X3 + 2X — 1 et un endomorphisme /, l'endomorphisme P(f) vaut /3 + 2/1 — f° — /3 + 2/ —Id.
2 I. Polynômes d'endomorphismes 1.3. Remarque. Pour toute matrice A G Mn(K) et tout polynôme P G K[X], on définit de même la matrice P(A). Il est important de remarquer que si A est la matrice d'un endomorphisme / dans une base B, alors P(A) est la matrice de l'endomorphisme P(f) dans cette même base B. 1.4. Remarque. Attention aux erreurs de notation entre polynômes et polynômes en /. Par exemple, on veille bien à ne pas mélanger les écritures suivantes pour P, Q G K[X], f G C(E) et x G E : - P(f)(x), qui est un vecteur et P{f(x)) qui n'est pas défini; - (P • Q)(f) = P{f) ° Q(f), qui est un endomorphisme et (P o Q)(f) qui est un autre endomorphisme. 1.5. Proposition. Soit f G C(E). L'application qui à un polynôme P G K[X] associe l'endomorphisme P(f) G C{E) est un morphisme d'algebres. L'image de ce morphisme, notée K[f], est une sous-algèbre commutative deC(E). 1.6. Proposition. Soit f G C(E) et deux polynômes P et Q. Alors, les endomorphismes P(f) et Q(f) commutent. Démonstration. Par linéarité, il suffit de noter que, pour tous m et n G N, rm rn £m-\-n £n rm n 2. Idéal des polynômes annulâteurs 2.1. Définition. Soit / G C(E) et P G K[X]. Un polynôme P est annula- teur de / si l'endomorphisme P(f) est l'endomorphisme nul. 2.2. Remarque. Comme précédemment, cette notion est définie de manière analogue pour une matrice carrée. 2.3. Proposition. Tout endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie admet un polynôme annulateur non nul. Démonstration. Soit / un endomorphisme d'un K-espace vectoriel E de dimension n. Alors, la famille (fk)kelo,n2j comporte n2 + 1 vecteurs de l'espace £(E), lequel est de dimension n2 : elle est alors liée. Il existe donc
2. Idéal des polynômes annulateurs 3 2 il une famille de (<^/c)/ce[o,n2] £ ^n de scalaires non tous nuls telle que n2 fc=0 n2 Par conséquent, le polynôme Yl akXk est annulateur de /. □ k=0 2.4. Remarque. Nous verrons plus loin (théorème de Cayley & Hamilton) qu'en dimension n, on peut déterminer un polynôme annulateur de degré n (le polynôme caractéristique). 2.5. Exemple. Le seul endomorphisme qui admet aX+b comme polynôme annulateur avec a ^ 0 est l'homothétie de rapport — —. En dimension infinie, il existe des endomorphismes qui n'admettent pas de polynôme annulateur non nul. 2.6. Exemple. La dérivation usuelle D : P H> P' est un endomorphisme de K[X] qui n'admet pas de polynôme annulateur. En effet, raisonnons par l'absurde : si D admet un polynôme annulateur Q, alors, pour tout polynôme P G 1K[X], Q(D)(P) = 0. Or, avec P = ^degQ+i^ Q(D)(P) ^ 0 : contradiction. 2.7. Définition. Un endomorphisme est nilpotent s'il admet un monôme comme polynôme annulateur. 2.8. Proposition. L'ensemble Xf des polynômes annulateurs de l'endomorphisme f est un idéal de l'anneau K[X]. Démonstration. L'ensemble Xf est clairement un sous-groupe additif de K[X]. Si P G Xf et Q G K[X], alors QP G !/, car (QP)(f) = Q(f) ° P(f) = Q(f) ° 0c(E) = 0C(E). D 2.9. Remarque. Pour / G C(E) et x G E, on peut aussi définir l'ensemble If,x = {P£K[X], P(f)(x) = 0E}. C'est encore un idéal de K[X] et il vérifie Xf C Xf^x.
4 I. Polynômes d'endomorphismes 3. Polynôme minimal Comme l'anneau K[X] est euclidien, il est en particulier principal, donc chaque idéal de K[X] peut être engendré par un unique polynôme unitaire. Ceci justifie la définition suivante (conjointement avec l'hypothèse que l'espace E est de dimension finie donc que l'idéal des polynômes annulateurs est non réduit au seul polynôme nul). 3.1. Définition. Soit / G C{E). Le polynôme minimal de / est l'unique polynôme unitaire, noté /z/, qui engendre l'idéal des polynômes annulateurs de/. 3.2. Remarque. Il est facile de voir que, pour un endomorphisme /, la dimension de l'algèbre K[f] est le degré du polynôme minimal fif. La proposition 1-4.4 détaille cette remarque. Déterminons l'idéal des polynômes annulateurs de quelques endomorphismes remarquables. 3.3. Exemple. Si / est un endomorphisme nilpotent, il admet un polynôme annulateur de la forme Xp. Par conséquent, le polynôme minimal est donc un monôme Xk avec k < p. Cet entier k est appelé indice de nilpotence de /. Un polynôme est alors annulateur e / si 0 en est une racine d'ordre au moins k. 3.4. Exemple. Si h est une homothétie de J5, il existe À G K tel que h = Àldjç. Par conséquent, X — À est un polynôme annulateur de degré 1, donc minimal. Un polynôme annulateur de h est donc un multiple de X — À, c'est-à-dire un polynôme admettant À comme racine. 3.5. Exemple. Si p est un projecteur, alors un polynôme annulateur de p est, par définition, X2 — X. Ce polynôme est le polynôme minimal de p sauf si p est l'identité ou l'application nulle (en effet, s'il n'est pas minimal, alors p admet un polynôme annulateur de degré 1, donc est une homothétie). 3.6. Exemple. De même, le polynôme minimal d'une symétrie vectorielle qui n'est pas une homothétie (c'est-à-dire différente de ±Id#) est X2 — 1. 3.7. Définition. Soit / G C(E) et x G E. Le polynôme minimal local en x de / est l'unique polynôme unitaire, noté /x/,œ> qui engendre l'idéal XfiX des polynômes P G K[X] tels que x G kerP(J).
4. Utilisation pratique d'un polynôme annulateur 5 4. Utilisation pratique d'un polynôme annulateur Calcul de l'inverse 4.1. Proposition. Soit f G C(E) admettant un polynôme annulateur P tel que P(0) ^ 0. Alors, f est inversible. De plus, son inverse appartient à l'algèbre K[f]. N Démonstration. Écrivons P(X) = Yl akXk avec N > 0 et ao = -P(O) ^ 0. k=0 Posons k=i Comme P(f) = 0c{e)^ on obtient en isolant le terme en Id^;, f°g = ^o/ = o£(E). Ainsi, / est inversible et que f~x — g. □ 4.2. Exemple. Soit / un endomorphisme de E qui vérifie (/ - 2Id) o (/ - 3Id) = 0 sans être une homothétie. Cherchons les réels À tels que h\ = f — Àld soit non inversible (nous verrons plus loin que ces réels sont, par définition, les valeurs propres de /). Comme le polynôme (X — 2){X — 3) est annulateur de /, on en déduit que (X + X — 2)(X-\-X — 3) est annulateur de h\. Donc, si À ^ {2,3}, l'endomorphisme h\ est inversible, car son polynôme annulateur n'admet pas 0 pour racine. En revanche, ni /12, ni /13 ne sont inversibles, car sinon l'autre est nul (et donc / est une homothétie) puisque h^ o /13 = 0. La réciproque du résultat précédent est bien évidemment fausse avec un polynôme annulateur quelconque : si P est un polynôme annulateur de /, alors XP est aussi annulateur et admet 0 pour racine, que / soit inversible ou non. En revanche, la situation est plus claire avec le polynôme minimal. 4.3. Proposition. Un endomorphisme f G C(E) inversible si, et seulement si, 0 n'est pas racine de son polynôme minimal.
6 I. Polynômes d'endomorphismes Démonstration. Avec la proposition précédente, il suffit d'étudier le sens direct. Supposons que / est inversible et que 0 est racine du polynôme minimal fMf de /, c'est-à-dire /jif = XP. On en déduit foP(f) = $c(E) \ or? f inversible et par conséquent P(f) = Oc(e)> ce Qui contredit la minimalité de fif. Par conséquent, 0 n'est pas racine du polynôme minimal. □ Calculs de puissances 4.4. Proposition. Soit f G C(E) admettant un polynôme annulateur de degré N. Alors, pour tout entier m G N, fm G vect(/fe)fc€|0,jv-i]- Démonstration. Soit / G C(E) de polynôme annulateur P de degré N et m G N. D'après la division euclidienne dans K[X], il existe (Qm,i?m) £ K[X]2 tel que Xm = Qm(X)P(X)-hRm(X), avec degRm < degP = N. Alors, on trouve que /m = iïm(/), d'où le résultat. □ En fait, on peut aussi utiliser en pratique la démonstration de ce résultat pour obtenir l'expression explicite de fm pour tout entier m G N. Il suffit pour cela de savoir obtenir le reste dans une division de polynômes. Détaillons les calculs dans quelques cas particuliers. 4.5. Exemple. Soit (a, b) G C avec a ^ b et / un endomorphisme dont un polynôme annulateur est P(X) = (X-a)(X-b). Déterminons fm pour tout entier m G N. Le reste de la division euclidienne de Xm par P est un polynôme de degré au plus 1 que nous noterons amX-\- /3m. Reste à déterminer les valeurs des complexes am et /?m. Pour cela, spécifions la relation de division euclidienne en a et en b : ( am = a 'dm + Jim \ 6- = b-am + pm am _ yn b • am — a - b171 En conclusion, f171 = —/ H Id#. a — b b — a 4.6. Remarque. Plus généralement, la même méthode permet de traiter le cas où / annule un polynôme scindé à racines simples Ai,..., Àp. On a
5. Commentaires et développements 7 alors, pour tout m G N, /m = ]TA^Lfe(/), fc=0 où Li,..., Lp désignent les polynômes interpolâteurs de Lagrange associés aux Ai,..., Àp. Lorsque le polynôme annulateur est scindé mais avec des racines multiples, le problème est à peine plus compliqué et se ramène à un problème d'interpolation. 4.7. Exemple. Déterminons les puissances d'un endomorphisme / de polynôme annulateur (X — a)2. Soit m un entier. Le reste de la division euclidienne de Xm par (X — a)2 est un polynôme de degré au plus 1 que nous noterons amX + /3m. On a donc : Xm = Q(X)(X — a)2 + amX + fîm. Reste à déterminer les valeurs des complexes am et /3m. Pour cela, nous spécifions cette relation en a puis dérivons cette relation avant de spécifier en a (tous les termes où apparaît Q s'annulent, car a est racine double de (X — a)2). Nous obtenons : am = a • am + /3m m • am_1 = am. En conclusion, fm — m • am_1/ + (1 — ra) • amId£. 5. Commentaires et développements 5.1. La donnée d'une matrice A met en évidence le morphisme d'algèbre ^ f K[X] -> .Mn(K) $A\ P ^ P{A) Son noyau, l'idéal ker <£>a> est non nul, pour des raisons de dimension. Il est engendré par le polynôme minimal \xa \ l'image im §a — ^{A} est une sous- algèbre de .Mn(K), dont la dimension se déduit aisément de l'isomorphisme de K-algèbres ^:K[X}/(fiA)^K[A}. Ainsi, la dimension de l'algèbre ~K[Â\ est égale à celle de l'espace vectoriel quotient K[X]/(iia). C'est donc le degré dA du polynôme minimal jjla de la matrice A. En effet, les vecteurs 1, X, ..., XdA~1 forment une base de cet espace quotient. Le fait que ces vecteurs soient générateurs provient d'une
8 I. Polynômes d'endomorphismes simple division euclidienne par le polynôme jjla et le fait qu'ils soient libres provient du caractère minimal de /j,a- Cela se traduit au niveau de l'algèbre K[A] par le fait que les matrices In, A,..., AdA~1 forment une base de l'algèbre des polynômes en A. 5.2. La structure de l'algèbre K[A] est donc celle d'un quotient d'un anneau de polynômes en une seule variable. Elle dépend uniquement du polynôme minimal de A. La structure de ces quotients-là, comme celle des anneaux Z/nZ, est bien connue et son étude se trouve grandement simplifiée par le théorème des restes chinois, qui montre que cette algèbre est produit d'algèbres locales, c'est-à-dire d'algèbres ayant chacune un idéal maximal unique (et pour une telle algèbre le treillis de leurs idéaux est alors une liane...). 5.3. Précisons donc que si le polynôme minimal est une puissance d'un polynôme irréductible, soit ha = 7rm avec tt irréductible, l'algèbre quotient K[X]/(ij,a), tout comme l'algèbre K[A], est une algèbre locale et son idéal maximal est l'idéal m = (tt) engendré par la classe du polynôme tt. La démonstration est calquée sur celle de la mise en évidence des idéaux de l'anneau quotient Z/_pnZ, où p est premier. 5.4. Comme autre application, remarquons que l'algèbre K[A] est réduite (au sens qu'elle n'a d'autres nilpotents que 0n) si, et seulement si, le polynôme minimal de A est sans facteur carré. Quand K = C, cela revient à dire que l'algèbre K[A] est un produit de corps isomorphes à C. On verra une démonstration de ce fait ultérieurement (chapitre X) avec la décomposition de Jordan & Dunford. 5.5. Nous avons vu que l'algèbre K[A] contenait l'inverse de A si A est inversible. On verra plus tard que les composantes semi-simple et nilpotente dans la décomposition de Jordan & Dunford de A sont aussi dans K[A], tout d'ailleurs comme les opérateurs de projection sur les facteurs directs de la décomposition de E en somme d'espaces caractéristiques. Tout cela pour dire qu'au delà de sa structure elle-même, l'algèbre ~K[A] contient de part ses divers éléments des renseignements précieux. 5.6. L'idéal des polynômes annulateurs de A en le vecteur x est le noyau de l'application <&a,x : K[X] —> E, qui, à un polynôme P, associe le vecteur P(A)(x). Cette application est une simple application linéaire et, pourtant, son noyau est un idéal ! En fait, cette application est K-linéaire, mais elle est aussi K[X]-linéaire, au sens que $a,x(PQ) = P{A){§a,x{Q))> C'est en
6. Exercices 9 fait un morphisme de K[X]-modules et son noyau est donc un sous-K[X]- module de K[X], donc un idéal de K[X]. 5.7. Le groupe des inversibles de l'algèbre K[A] est l'ensemble des matrices Q(A) où Q est un polynôme premier avec /x^. 6. Exercices 6.1. Exercice. Soit A, B G Ain{K) deux matrices semblables et P G K[X]. Montrer que les matrices P(A) et P(B) sont semblables. D> Eléments de correction. Par définition de la similitude, il existe U G GLn(K) telle que A = UBU~l. Par une récurrence immédiate, pour tout k G N, Ak = UBkU~~l ; ainsi, par linéarité P{A) = UP{B)U~l. < 6.2. Exercice. Soit A G Mn(M.) une matrice semblable à une matrice diagonale diag(Ài,..., An). Montrons qu'il existe P G K[X] tel que A = P(A3). > Éléments de correction. Par définition, il existe U G GLn(K) telle que A = C/diag(Ai,..., An)?7_1 et donc A3 = Udmg(Xl...,X3n)U-1. Considérons le polynôme P d'interpolation de Lagrange qui vaut, pour tout k G [1, n], A/e en A| (ce qui est possible car Aj* — A| entraîne A& = Xj). Alors, diag(Ai,..., An) = P(diag(A?,..., A3)) et donc A = P(A3). < 6.3. Exercice. Soit f G C(E) ; définissons V endomorphisme de C(E) associé par composition à gauche Gf : g —>> / o g. Comparer jif et ficf ■ D> Éléments de correction. Remarquons tout d'abord que, pour tout P G K[X] et tout g G C(E), P(Gf)(g) = P(f) o g. Ainsi, /j,f est annulateur de G/. De plus, pour tout g G £(P), /xG/(/) o g = 0C(e) donc ^G/(/) = Oc(E) et /iG/ est annulateur de /. En conclusion, /i/ = ncf • <l 6.4. Exercice. Soit n ^ 2 et M e Mn(K) une matrice de rang 1. 7. Montrer que \iM = X2 - tr(M)X #. En déduire les puissances de M en fonction de M etln.
10 I. Polynômes d'endomorphismes D> Éléments de correction. On montre facilement qu'il existe des vecteurs colonnes non nuls X, Y G Mn,i(K) tels que M = iV. 1. La matrice M n'est pas une homothétie donc le polynôme minimal est au moins de degré 2. De plus, M2 = XYxY = (Vl)M, car YX est un scalaire. Or, YX = tr(YX) = tr(XY) = tr(M). Ainsi, X2-tr(M)X est annulateur de M. En conclusion, /iM = X2-tr(M)X. 2. Pour calculer la puissance Mfc, effectuons la division de Xk par /im- > Si tr(M) = 0, alors Mk = 0n dès que k ^ 2. > Sinon, il existe un polynôme Q G K[X] tel que Xfc = Q(X)Mm(X) + t^M)*"1*. En effet, le reste dans la division de Xk par \xm est un polynôme de degré au plus 1, qui est nul en 0 et qui vaut tr(M)fc en trM. Ainsi, Mk = tv{M)k-lM pour tout k ^ 1. Remarquons que ce résultat peut aussi être déduit par une simple récurrence. < 6.5. Exercice. Déterminer, en fonction de n = dimE ^ 2, le polynôme minimal de Vendomorphisme C(E) -+ C(E) f ^ f + tr(f)ldE D> Eléments de correction. L'endomorphisme $ n'est pas une homothétie, donc son polynôme minimal est de degré au moins 2. Par ailleurs, pour tout / G £{E), *2(/) = <*>(/)+tr($(/))IdE = / + tr(/)Ids + tr(/)IdB + ntr(/)Ids = /+(n + 2)tr(/)IdB = (n + 2)$(/)-(n + l)Id£(B)(/). En conclusion, /z$ = X2 - (n + 2)X + (n + 1). < 6.6. Exercice. 5oii / e C{E). Notons, pour tout x £ E, \ijyX le ■polynôme minimal de f local en x, c'est-à-dire l'unique polynôme unitaire engendrant l'idéal lftX = {PeK[x], P(f)(x) = oE}. Montrer que Vensemble {/i/^, x e E} est fini. .,{
6. Exercices 11 > Eléments de correction. Remarquons que, pour tout x G E1 fif{f)(x) = Oe donc /if G Xf^x et par conséquent fif^x divise fif. Comme fif admet un nombre fini de diviseurs unitaires (et l'on peut calculer ce nombre à partir de la décomposition en facteurs irréductibles de /x/), l'ensemble {fif,x, % G E} est fini. < 6.7. Exercice. Soit f G C(E) et P e K[X}. Montrer que P(f) est inversible si, et seulement si, P est premier avec fif. > Eléments de correction. Remarquons tout d'abord que si un endomor- phisme de la forme P(f) est inversible, alors son inverse est aussi dans l'algèbre K[/]. Soit P G K[X]. L'endomorphisme P(f) est inversible si, et seulement si, il existe Q G K[X] tel que P(f) o Q(f) = Id^;, c'est-à-dire si PQ — 1 est un multiple de fif. D'après le théorème de Bézout, cette dernière condition est équivalente à P et fif premiers entre eux. On peut noter que Valgorithme d'Euclide (étendu) nous fournit ici Vinverse. Cet exercice montre donc K[/] est un corps si, et seulement si, le polynôme minimal fif est irréductible sur K. < 6.8. Exercice. Soit f G C(E) et J = {P G K[X], P(f) est nilpotent}. Montrer que J est un idéal puis déterminer, en fonction de fif, un élément générateur. > Éléments de correction. > Soit P et Q e J. Les endomorphismes P(f) et Q(f) sont nilpotents et commutent donc l'endomorphisme (P — Q)(f) est nilpotent d'après la formule du binôme avec pour exposant la somme des indices de nilpotence : P — Q G J. > Soit P G J et R G K[X}. L'endomorphisme P{f) est nilpotent et R(f) et P(f) commutent donc {RP)(f) = R(f)n o P(f)n = 0C(e)- Ainsi, on obtient RP G J. En conclusion, J est un idéal. Enfin, notons que P appartient à J" si, et seulement si, fif divise Pn c'est- à-dire fif divise P où fïf est le produit des facteurs irréductibles distincts de fif. Un générateur est donc ce polynôme fif. < 6.9. Exercice. Soit A, B G A^n(K) et un polynôme P G K[X] non constant tel que P(0) ^ 0 et AB — P(A). Montrer que A est inversible puis que A et B commutent. > Éléments de correction. Notons P = P(0)JrXQ(X). La condition AB = P(A) se récrit A(B — Q(A)) = P(0)In : par conséquent, A est inversible
12 I. Polynômes d'endomorphismes d'inverse De plus, B = A~1P(A) commute avec A. <\ 6.10. Exercice. Soit f G C(E) tel que Vf = X[{X-\k)\ k=i où Ai,..., Xp sont des scalaires deux à deux distincts. 1. Montrer qu'il existe une base (#i,..., H2n) de K2n_i[X] telle que > pour tout k G [1, n], Hk{Xi) = ôk,i et H'k(Xi) = 0 ; > pour tout k G fn + 1, 2n\, Hk(Xi) = 0 et H'k(\i) = ôk,i- 2. En déduire en fonction des polynômes (iJi,..., i^2n); un expression des puissances de f'. t> Eléments de correction. 1. L'application / K2n_x[X] -> K2n \ P h> (P(A1),P'(A1),...,P(Àn),P'(An)) est linéaire et injective (si P est dans son noyau, alors il admet n racines doubles et est de degré au plus 2n — 1 donc est nul) : c'est donc une bijection ce qui établit la propriété désirée. 2. Effectuons la division euclidienne de Xm par fif : il existe Q G K[X] et R G K2n-i[X] tels que Xm = Q./i/ + R. On vérifie rapidement que pour tout k G [1,71], P(Afe) = A^ et R'(\k) = mX™"1. Ainsi, n n k=l k=l car la différence de ces deux membres définit un polynôme du noyau de l'application linéaire de la première question. En conclusion, n n r = j2wHk(f) + Y,mXT~lHn+k(f). fc=i fc=i <
Chapitre II Sous-espaces stables Objectifs du chapitre - Distinguer les restrictions des endomorphismes induits. - Calculer dans des cas simples les sous-espaces stables. - Utiliser les espaces cycliques associés à un endomorphismes. 1. Restriction d'un endomorphisme 1.1. Définition. Soit / G C{E,E') et F un sous-espace vectoriel de E. La restriction de / à F est l'application linéaire f\p : F —> E' définie par J\f{x) = f(x) pour tout x G F. 1.2. Exemple. La restriction de l'identité de E à un sous-espace F est appelée l'injection canonique de F dans E. 1.3. Proposition. Soit f G jC(E,Ef) et F un sous-espace vectoriel de E. Alors ker/|F = Fnker/, imf]F = f(F). Démonstration. Il suffit d'appliquer les définitions. ker/|F = {xeF, /|F(») = 0js} = {xeF, f(x) = 0E} = FDkerf, im/|F = {y G E, 3x e F, y = f\F(x)} = {yeE,3xeF,y = f(x)}^f(F).
14 IL Sous-espaces stables □ 1.4. Corollaire. Soit f un endomorphisme et un entier k G N. Alors, dim ker fkJrl = dim ker fk + dim im / D ker /. Démonstration. L'objectif est d'appliquer la formule du rang à la restriction g = /,ker r/c+i- Remarquons alors que ker g = ker fk H ker fk+1 = ker fk par croissance de la suite des noyaux itérés et img = imfk D fk(ker fk+1). Comme /fe(ker/fe+1) C ker/, im^C im/fcnker/. Montrons l'inclusion réciproque. Soit y G im fk Hker/'. Par définition, f(y) = 0^ et il existe x G E tel que y — fk(x) ; par conséquent, fk+1(x) = 0e et donc y G /^(ker fkJrl). En conclusion, img = im fk D ker /. La formule du rang donne alors directement dim ker fk+1 = dim ker fk + dim ker / D im fk. D 1.5. Remarque. Cette propriété en apparence anodine permet de retrouver assez facilement (en exploitant la décroissance de la suite des images itérées) que la suite des « sauts de dimension dans la suite des noyaux » décroît. En effet, on sait déjà que la suite des noyaux itérés (ker fk)k d'un endomorphisme / est croissante pour l'inclusion (en fait strictement croissante puis stationnaire). On remarque que, pour tout & G N, ker / n im fk+1 C ker / H im fk, ce qui entraîne, avec le corollaire précédent que la suite des sauts de dimension dans la suite des noyaux itérés (dimker/fc+1 - dim ker fk)k est décroissante. 1.6. Exemple. Remarquons que dim ker/2 = 2 dim ker/ si, et seulement si, ker/ C im/. En effet, d'après le corollaire précédent, la condition dim ker /2 = 2 dim ker / équivaut à dim ker / = dim ker / n im /, soit encore à ker / H im / = ker / et donc à ker / C im /.
2. Sous-espace stable 15 2. Sous-espace stable 2.1. Définition. Soit / un endomorphisme d'un espace vectoriel E. Un sous-espace vectoriel F de E est stable par / si f(F) C F. 2.2. Exemple. Pour tout endomorphisme /, im/ et ker f (et plus généralement kerP(/) pour tout P G K[X]) sont stables par /. Au chapitre suivant, on relie cette propriété avec la propriété de commutation. 2.3. Proposition. Soit F un sous-espace stable par deux endomorphismes f et g. Alors, F est stable par f + g et f o g. Démonstration. Pour tout x G F, f{x) G F et g(x) G F donc f(x)+g(x) G F et f(g(x)) G F. □ 2.4. Proposition. Soit f un endomorphisme, g un automorphisme d'un espace vectoriel E et soit F un sous-espace stable par f. Alors, g (F) est un sous-espace stable par g o / o g~l. Démonstration. Pour tout y G g (F), il existe x G F tel que y = g(x). Alors, f(x) G F et donc g o / o g-\y) = g(f(x)) G g(F). □ 2.5. Exemple. Soit p une rotation de M3 d'axe dirigé par le vecteur u et d'angle 0 et f une isométrie. Alors, la rotation f o p o f"1 a pour axe la droite dirigée par f(u). 2.6. Remarque. L'intérêt des sous-espaces stables est qu'ils permettent d'obtenir une première version plus simple d'un endomorphisme : si l'on dispose d'une décomposition de E en somme directe de sous-espaces stables par /, alors l'étude de / est équivalente à l'étude des endomorphismes induits par / sur chacun de ces sous-espaces. Dans une base associée à une décomposition en somme directe e = fx e f2 e • • • e fp de sous-espaces stables par /, la matrice de / est diagonale par blocs : mat(/Fl) mat(/FJ | V | mat(/Fp) 1 /
16 IL Sous-espaces stables 3. Endomorphisme induit sur un sous-espace stable 3.1. Définition. Si F est un sous-espace stable d'un espace vectoriel E par un endomorphisme /, alors l'endomorphisme induit par / sur F est l'endomorphisme fp ' F -> F défini par /f(x) = f(x) pour tout x G F. 3.2. Remarque. Soit / un endomorphisme et F un sous-espace stable par /. Il ne faut pas confondre la restriction f\F qui est à valeurs dans E et l'induit fp qui est à valeurs dans F. 3.3. Proposition. Soit f G C(E) et F un sous-espace stable par f. Alors, le polynôme minimal de Vinduit fp divise le polynôme minimal de f. Démonstration. Il suffit de remarquer que fif est annulateur de l'induit fpX2 3.4. Proposition. Soit f G C{E). Supposons que E = F.Ç&G avec F et G deux sous-espaces stables par f. Alors, le polynôme minimal de f est le PPCM des polynômes minimaux de fp et fc- Démonstration. > Comme les polynômes fj,fF et \ifG divisent ///, leur PPCM divise aussi /if. > Montrons désormais que fjifF V /i/G est annulateur de / (et donc un multiple de /j,f). Soit x G E, xp G F et xq G G tels que x — xp -f xq- Alors, M/f V M/g(/)W = M/f V M/g(/)(sf) + M/f V VfG(f)(xG) = M/f V///g(/f)(zf) + M/f vM/g(/g)(^g) = 0f, car //yF V fifG est annulateur de fp et /^ en tant que multiple de fj,fF et nfG. D 4. Exemples de sous-espaces stables Déterminons tous les sous-espaces stables dans quelques cas particuliers. 4.1. Exemple. Tous les sous-espaces sont stables par une homothétie. 4.2. Exemple. Soit p un projecteur (donc la projection sur imp = ker(p — Id) parallèlement à kerp). Montrons qu'un sous-espace est stable par un projecteur p si, et seulement si, il est la somme directe d'un sous-espace de imp et d'un sous-espace de kerp.
5. Sous-espaces cycliques 17 Soit F un sous-espace stable par p. L'endomorphisme pp induit par p sur F est un projecteur de F ; par conséquent, F est la somme directe du noyau de pf et de l'image de pf qui sont, respectivement, des sous-espaces de imp et de ker p. Réciproquement, la somme directe d'un sous-espace de imp et d'un sous- espace de kerp est bien un sous-espace stable, car p laisse invariant tous les éléments de imp. 4.3. Remarque. De même, les sous-espaces stables par une symétrie vectorielle s sont obtenus comme somme directe d'un sous-espace de ker(s —Id) et d'un sous-espace de ker (s + Id). 4.4. Exemple. Soit / un endomorphisme de E, nilpotent d'indice n = dimE (c'est-à-dire tel que fn = 0 et fn~~l ^ 0). Montrons que les sous- espaces stables sont les ker fk pour k G [l,n]. Il est immédiat que ces sous-espaces sont stables d'après la proposition précédente. Soit F un sous-espace stable par / ; l'endomorphisme fp induit par / sur F est nilpotent. Notons p son indice. On a alors F = ker fF C ker/p. Or dim ker fp — p (car les noyaux itérés de / forment une suite strictement croissante jusqu'au rang n) donc dim F ^ p. Mais comme fp est d'indice p, alors dim F ^ p (même résultat sur la suite des noyaux itérés). 5. Sous-espaces cycliques Soit / un endomorphisme d'un espace vectoriel E et x G E non nul. Si deux sous-espaces F\ et F2 sont stables par / et contiennent x, alors leur intersection est un sous-espace non réduit au vecteur nul (il contient x) et stable par /. 5.1. Définition. Soit / un endomorphisme d'un espace vectoriel E et x G E. Le sous-espace cyclique de / associé au vecteur x, est le plus petit (pour l'inclusion) sous-espace stable par / contenant x. On le note Ef^x (ou, plus simplement, Ex s'il n'y a aucune ambiguïté sur l'endomorphisme considéré). D'après les remarques précédents la définition, si un sous-espace F de E stable par / contient x, alors EfyX C F.
18 IL Sous-espaces stables 5.2. Proposition. Soit f un endomorphisme d'un espace vectoriel E et x G E. Le sous-espace cyclique de f associé à x est le sous-espace engendré par la famille (fk(x))ken- Démonstration. Comme vect(fk(x))ken est un sous-espace de E contenant x et stable par /, alors EfiX C vect(fk(x))keN. Réciproquement, pour tout k G N, fk(x) G EfyX (par récurrence, car x G Ef%x et EfiX est stable par /). D'où E^x = vect(fk(x))keN- D 5.3. Remarque. Il est facile de montrer que la dimension du sous-espace cyclique Ef^x est en fait le degré du polynôme minimal local de / en x, noté fifjX et que si cette dimension est notée n, alors la famille {x,f{x),...Jn~l(x)) est une base de EfjX. 6. Commentaires et développements 6.1. Soit F C E un sous-espace stable pour / G C(E) et fp l'endomorphisme induit par / sur F. Aux côtés de l'endomorphisme fp, il existe un autre endomorphisme induit apparaissant dans ce cadre : l'endomorphisme fp/F> induit par / sur le quotient de E par F f E/F -> E/F JE/F ' \El-: f(x) L'endomorphisme fp/F recèle, tout comme fp, de renseignements intéressants sur le couple (/, F). Par exemple, det / = det fp det Je/F- La matrice M de / dans une base (ei,..., ep, ep+i,..., ep+q) adaptée à une décomposition E — F 0 G est de la forme f ~ ) ; la matrice de fp/F dans la base (ep+i,..., ep+q) de E/F est la matrice C qui apparaît en bas à droite dans la matrice M. 6.2. La situation précédente se généralise comme suit. Un drapeau Q) de E est une suite croissante de sous-espaces vectoriels de F, soit ® : {0} C Fx C F2 C • • • C Fp C E. Un drapeau complet de E est un drapeau formé de dim E +1 sous-espaces Fi vérifiant dim Fi — i. Un drapeau est /-stable si tous ses sous-espaces sont stables par /.
6. Commentaires et développements 19 Un endomorphisme / est ainsi trigonalisable si, et seulement si, il laisse stable un drapeau complet ; une matrice est triangulaire en blocs si, et seulement si, elle laisse stable un drapeau ayant au moins un sous-espace non trivial. À un drapeau $) dans E, on associe un espace vectoriel Grad(^, E) (de même dimension que E), appelé le gradué associé, défini par Grad(^,£) = Fx 0 (F2/F1) 0 • • • 0 (Fp/Fp^) 0 (E/Fp). Si le drapeau Q) est /-stable, il s'induit naturellement sur le gradué associé un endomorphisme Grad(/) : Grad(^,£) -> Grad(^,£), qui est la « somme directe » des endomorphismes induits successivement dans les quotients, soit Grad(/) - fFl 0 (fF2)F2/Fl 0 • • • 0 fE/Fp- On a encore det/ = detGrad(/), trGrad(/) = tr/, et plus généralement l'égalité des polynômes caractéristiques respectifs. Matriciellement, l'endomorphisme Grad(/) se pense dans une base convenable comme la matrice diagonale en blocs sous-jacente à une matrice triangulaire en blocs. Il résume en lui à la fois l'induit sur un sous-espace et l'induit sur le quotient. On peut vérifier que si / est diagonalisable, alors Grad(/) l'est également. 6.3. On verra ultérieurement qu'un endomorphisme / cyclique (voir le chapitre VI pour la définition) admet un nombre fini de sous-espaces stables. Quand K = C, ces sous-espaces forment un drapeau complet si, et seulement si, l'algèbre C[/] est locale. L'endomorphisme gradué associé Grad(/) est dans ce cas une homothétie, puisque le drapeau s'identifie alors à la suite des noyaux itérés définis par l'unique valeur propre À : {0} C ker(/ - AIds) C ker(/ - Ald^)2 C ... C ker(/ - Àld^'-1 C E. Un endomorphisme n'a pour seuls sous-espaces stables que les deux sous- espaces triviaux si, et seulement si, son polynôme caractéristique est irréductible. 6.4. Un sous-espace stable n'admet par en général de supplémentaire stable (prendre par exemple le bloc de Jordan Jn). Les endomorphismes qui vérifient que leurs sous-espaces stables ont des supplémentaires stables s'appellent les endomorphismes semi-simples. Sur C, cela équivaut à dire
20 IL Sous-espaces stables que l'endomorphisme est diagonalisable. Les endomorphismes semi-simples réels sont les endomorphismes dont le complexiflé est diagonalisable. Une matrice antisymétrique réelle est semi-simple. Dans le cas général, un endomorphisme est semi-simple si, et seulement si, son polynôme minimal est sans facteur carré1. Cela revient à dire que l'algèbre K[f] est réduite (sans éléments nilpotents non nuls) ou encore si elle est produit de corps. Le gradué associé à un endomorphisme semi-simple relativement à un drapeau stable est à son tour semi-simple. 6.5. Si F C E est un sous-espace stable par /, l'orthogonal F^ de F dans l'espace dual E* est stable par l'endomorphisme tf : E* —> E* transposé de /. La recherche des hyperplans stables par / se ramène en particulier à la recherche des droites stables par tf. Une question naturelle vient maintenant à l'esprit, au vu du commentaire par lequel a débuté cette section : quel est l'endomorphisme %fE* /F± induit par tf dans le quotient E* /F1- ? On a tout simplement fE*/F± = fF, une fois que l'on a identifié E*/F± avec le dual F* de F, comme il résulte naturellement de l'écriture F1- <-» E* -^ F\ où pf est l'endomorphisme de restriction à F. 6.6. Un exercice amusant ici est le suivant, lequel est un cas particulier de ce qui précède : montrer que si le polynôme minimal de / est irréductible, alors tout sous-espace stable par / admet un supplémentaire stable. L'idée c'est de munir E d'une structure d'espace vectoriel E^ sur le corps F = K[u], de caractériser le sous-espaces stables par / comme étant les sous-espaces du F-espace vectoriel E^ et d'appliquer le fait élémentaire que tout sous- espace vectoriel d'un espace vectoriel admet un supplémentaire. 7. Exercices 7.1. Exercice. Soit f G C(E). Montrer que ker/ et im/ sont supplémentaires dans E si, et seulement si, ker / = ker f2. 1. La notion de semi-simplicité se comporte, de ce fait, bien par rapport aux extensions de corps, puisque le polynôme minimal ne dépend pas du corps de base.
7. Exercices 21 > Éléments de correction. D'après le corollaire II-1.4, la condition ker/ = ker f2 équivaut à ker /nim / = {0#}. D'après la formule du rang, cette dernière propriété (ker / et im / en somme directe) se récrit encore en ker / 0 im / = E. < 7.2. Exercice. Soit E un espace vectoriel de dimension n et f G C(E) nilpotent. 1. Montrer que l'indice de nilpotence de f est n si, et seulement si, dim-ker / = 1. 2. Montrer que, si Vindice de nilpotence de f est n — 1, alors dimker / H im/ = l. > Éléments de correction. 1. (=>) La suite (ker fk)k est strictement croissante pour k G [0,n] et dimker/77, — dimE = n. Par conséquent, pour tout k G [0, n], on a dim ker/^ = k. (<=) La suite (dimker//c+1 — dimker/^)^ est décroissante de premier terme 1. Ainsi, si un noyau itéré ker fk est de dimension n, alors k ^ n. Comme un indice de nilpotence est inférieur ou égal à n, l'indice de nilpotence de / est n. 2. > Remarquons tout d'abord que dimker / > 2 d'après la première question donc dim im / $J n — 2. > L'endomorphisme induit /im/ est nilpotent d'indice n — 2, car / est d'indice de nilpotence n — 1. Ainsi, dimim/ = n — 2 et d'après la question précédente, dim ker g = 1. Or, ker# = ker/ n im/ d'où dim ker / D im / = 1. La réciproque à cette deuxième question est fausse comme on peut le voir avec la matrice suivante d'indice de nilpotence 2 / 0 1 0 0 \ 0 0 0 0 0 0 0 0 \ 0 0 0 0 / < 7.3. Exercice. Déterminer les sous-espaces stables de rendomorphisme Mn(K) -+ Mn(K) M h-> *M D> Eléments de correction. L'endomorphisme considéré est l'une des deux symétries vectorielles associées à la décomposition M.n(K) = Sn(K) 0
22 IL Sous-espaces stables An(K) (l'autre étant M i-> —lM). Les sous-espaces stables sont donc les sommes d'un sous-espace de <Sn(K) et d'un sous-espace de An(K) (remarque II-4.3). < 7.4. Exercice. Soit A G A//n(K) non nulle. Déterminer les sous-espaces stables de Vendomorphisme Mn(K) -> Mn(K) M h-> tr(AM)In ï> Eléments de correction. > Remarquons tout d'abord que tous les sous- espaces de Mn(K) contenant In sont stables. > Soit F un sous-espace de Mn(K) ne contenant pas ïn. Le sous-espace F est stable par cet endomorphisme si, et seulement si, pour tout M G F, tr(AM) = 0, c'est-à-dire si F est inclus dans l'hyperplan H = {M G Mn(K), ti(AM) = 0}. En conclusion, les seuls sous-espaces stables sont ceux qui contiennent In ou qui sont inclus dans l'hyperplan H. L'endomorphisme considéré est de rang 1 (on peut même vérifier que sa trace est égale à trA). De manière générale, un sous-espace F est stable par un endomorphisme f de rang 1 si, et seulement si, im/cF ou (non exclusif) F C ker/. <\ 7.5. Exercice. Soit f un endomorphisme. Montrer que si ker/ admet un supplémentaire S stable par f, alors S = im/. t> Eléments de correction. Soit S un supplémentaire de ker / stable par /. Comme ker/ D S = {0^;}, / réalise un isomorphisme de S dans S. Ainsi, S = /(S)cim/. Par ailleurs, la formule du rang donne dim im / = dim E — dim ker / = dim 5. En conclusion, S = im /. < 7.6. Exercice. Déterminer les endomorphismes de Kn laissant stables chacun des axes de coordonnées et la droite engendrée par le vecteur (1,1,...,1). > Éléments de correction. Notons ei, e2, ..., en la base canonique de Kn et / un endomorphisme de Kn qui vérifie les conditions de l'énoncé. Par définition, il existe des scalaires Ai, ..., Àn, À G K tels que /(e&) = Àe^ pour tout k G [1, n] et f(e\ + ... + en) = A(ei -f ... + en). Par linéarité,
7. Exercices 23 on a Àiei + ... + Anen = A(ei + ... + en) et donc Ai = ... = Àn = À. En conclusion, / est une homothétie. Réciproquement, il est évident que les homothéties vérifient bien les conditions de l'énoncé. <\ 7.7. Exercice. Montrer qu'un endomorphisme f G C(E) est une homothétie si, et seulement si, pour tout x G E, dim Ef^x = 1. ' D> Eléments de correction. Remarquons que la condition dim EfiX = 1 équivaut à (x,f(x)) liée et l'on est ramené à un problème classique d'algèbre linéaire. Comme ce résultat sera utilisé à plusieurs reprises, détaillons-le. Pour tout x G E, il existe Xx G K tel que f(x) = Xxx. Soit x et y deux vecteurs de E. Alors, par linéarité de /, Xx.x + Xy.y = Xx+y.(x + y). - Si vect(x) = vect(y) =^ {0^;}, alors x et y sont colinéaires non nuls et XX = Xy. - Si vect(x) et vect(y) sont en somme directe, alors, par unicité de l'écriture, Ax = Ax-\-y — Ay. < 7.8. Exercice. Déterminer les endomorphismes pour lesquels tous les sous- espaces sont stables. D> Éléments de correction. Si tous les sous-espaces sont stables pour un endomorphisme /, alors toutes les droites sont stables et donc / est une homothétie (comme on l'a redémontré dans l'exercice précédent). Réciproquement, tous les sous-espaces sont stables par une homothétie. < 7.9. Exercice. Soit D une droite vectorielle de R3. Déterminer les endomorphismes de R laissant stables tous les plans de R contenant D. > Éléments de correction. Considérons e\ un vecteur directeur de D et complétons-le en une base (61,62,63). Soit / un endomorphisme laissant stable tous les plans de R3 contenant D. Dans un premier temps, / laisse stable les plans vect(ei, 62) et vect(ei, 63) donc laisse stable D qui est leur intersection. La matrice de / dans cette
24 IL Sous-espaces stables base est donc de la forme Ensuite, / laisse stable le plan vect(ei, e2) : la matrice est donc de la forme En procédant de même avec le plan vect(ei, 63), on obtient la forme Enfin, / laisse stable le plan vect(ei, e2 + 63) et, avec nos notations, f(e2 + 63) = (a + 7)ei + (3e2 + £e3, d'où (3 = ô. Réciproquement, si un endomorphisme / admet dans la base (ei, e2.es) une matrice de la forme À a 7 0/3 0 0 0/3 alors il laisse stable tous les plans contenant D car, pour tous a, b G M, f(ae2 + 6e3) = (aa + bj)ei + /3(ae2 + be3). Remarquons qu'avec la notion d'espace vectoriel quotient, on aurait simplement dit que Vendomorphisme de l'espace quotient R /D associé à f est une homothétie. < 7.10. Exercice. Soit f G £(]R3) nilpotent d'ordre 2. Montrer les sous- espaces de dimension 2 stables par f sont ceux qui contiennent im/. D> Éléments de correction. t> Si un sous-espace F contient im/, alors il contient f(F) : par conséquent, F est stable. > Soit F un plan de M3 stable par F. Remarquons que la condition f2 = Û£(R3) entraîne im/ C ker/ et donc, grâce à la formule du rang dimim/ = 1 et dimker/ = 2. - Si F = ker /, alors im / C ker / = F. - Sinon, il existe x G F tel que f(x) ^ 0K3. Comme im/ est une droite, im/ = vect/(x)c/(F)cF Dans les deux cas, F contient l'image de /. <
Chapitre III Commutation Objectifs du chapitre - Calculer le commutant de quelques endomorphismes simples. - Comprendre les sous-espaces stables fournis par une relation de commutation. - Savoir calculer avec l'endomorphisme adf associé à un endomorphisme. 1. Définitions 1.1. Définition. > Deux endomorphismes f et g d'un même espace vectoriel E commutent sifog = gof. > Soit / un endomorphisme d'un espace vectoriel E. Le commutant de / est l'ensemble, noté C(/), des endomorphismes de E qui commutent avec /. > Soit / un endomorphisme d'un espace vectoriel E. Le bicommutant de / est l'ensemble des endomorphismes qui commutent avec tous les éléments de C(f). 1.2. Remarque. Encore une fois, ces notions s'étendent pour définir le commutant et le bicommutant d'une matrice. 1.3. Proposition. Le commutant C(f) d'un endomorphisme f d'un espace vectoriel E est une sous-algèbre de C(E). Démonstration. Remarquons tout de suite que C(f) C C(E) et que Id G C(f). Pour tous g,he C(f) et tout AgKj + A/iG C(f) et g o h G C(f)
26 III. Commutation car (g + \h)of = gof + \hof = fog + \foh = fo(g + \h). (goh)of = go(hof)=gofoh = (g°f)°h = fogoh. D 1.4. Proposition. Soit f un endomorphisme de E et g un automorphisme de E. Alors, C(gofo (T1) = sCCOjT1 = {gohog-\ he C(f)}. Démonstration. Un endomorphisme h G C{E) appartient au commutant C(g o f o g~l) si, et seulement si, hogo f og-1 = go f og"1 oh, soit g-1 o h o g o f = f o g'1 o h o g, c'est-à-dire g"1 o ho g appartient au commutant de /. D Un des intérêts de la propriété de commutation est qu'elle permet de dégager des sous-espaces stables assez facilement. 1.5. Proposition. Soit f et g deux endomorphismes de E tels que f o g = g o f. Alors, le noyau et l'image de g sont des sous-espaces stables par f. Démonstration. > Si x G ker#, alors g(f(x)) — f(g(x)) = /(0#) = 0^, d'où f(x) G kerg. D> Si y G img, alors il existe x G E tel que y = g(x). Par conséquent, f (y) = f (g(x)) =g(f(x)) G im g. D On a déjà utilisé cette propriété pour g G K[/]. 1.6. Proposition. Les seuls endomorphismes qui commutent avec tous les automorphismes sont les homothéties. En théorie des groupes, on dit que le centre de GL(i?) est {Aid, A G K*}. Démonstration. Soit / un endomorphisme qui commute avec tous les automorphismes. Pour tout x G E, considérons F un supplémentaire de vect(x) dans E et s la symétrie vectorielle par rapport à vect(x) parallèlement à F.
2. Calculs de commutants 27 Comme / commute avec s donc avec s — Id, / laisse stable ker(s — Id) = vect(x). Ainsi, pour tout x G E, la famille (#, /(#)) est liée, donc / est une homothétie. □ 2. Calculs de commutants 2.1. Exemple. Déterminons l'ensemble des matrices qui commutent avec la matrice D = diag(l, 2,..., ri). t> Si M = {Triij)ij commute avec 12, alors en calculant les produits matriciels, on obtient que, pour tout (i, j), irriij = jrriij. Par conséquent, pour tout i ^ j, ra^j = 0 : la matrice M est diagonale. Réciproquement, les matrices diagonales commutent avec D. > On peut aborder différemment le problème en remarquant que si M commute avec D alors M laisse stable tous les sous-espaces ker(D — kln) avec k G [l,n] donc est diagonale. 2.2. Exemple. Déterminons l'ensemble des matrices qui commutent avec la matrice / 0 1 0 ... 0 \ Jn V o 0 1 0/ Considérons M = (mij)ij qui commute avec Jn et écrivons les coefficients des matrices MJn et JnM Ainsi, M = 0 si j = 1 rriij-i sinon. / mi,i mi,2 mi>3 0 V 0 [JnM]id = 0 si z = n rrii+ij sinon. miin \ '• mi>3 0 raM / Par conséquent, le commutant de Jn est l'algèbre K[Jn] des polynômes en Jn.
28 III. Commutation 2.3. Remarque. Ce dernier exemple, où le commutant ne contient que des polynômes en la matrice, est en fait assez générique et nous l'étudierons extensivement au chapitre VI. 3. Endomorphisme adf Introduisons ici un exemple d'endomorphisme qui nous servira tout au long de cet ouvrage. 3.1. Définition. Soit / G C(E). L'endomorphisme adf est défini par adf : C(E) -+ C(E) g »-> f°g-g°f 3.2. Remarques. > Cet endomorphisme nous sert essentiellement à mesurer le défaut de commutativité. La première remarque dans ce sens est que le commutant de / est C(f) = ker adf. > L'application ad.(L(E) -> £(£(£)) { f *-> adf s'appelle représentation adjointe de C{E). Elle vérifie, en plus de la propriété de linéarité, adf0g-g0f — adf o adg — adg o adf, pour tous /, g G C{E). Calculons les puissances de l'endomorphisme adf. 3.3. Proposition. Pour tout m G N et tous f, g G C{E), m / \ a^(5) = ^(7J(~1)fe/m~fe°50/fc- On peut bien entendu établir cette formule par récurrence sur m G N, mais il est plus raisonnable d'exploiter la structure d'anneau de C(E). Démonstration. Les endomorphismes G f : g i-> / o g et Df : g H> g o f commutent, on peut donc appliquer la formule du binôme de Newton pour calculer les puissances (pour la composition) de adf — Gf — Df et obtenir le résultat désiré. □
4. Commentaires et développements 29 3.4. Corollaire. Si f est un endomorphisme nilpotent d'indice p, alors adf est nilpotent d'indice 2p — 1. Démonstration. > Commençons par remarquer que la formule précédente avec m = 2p— 1 donne l'endomorphisme nul puisque le terme fm~kogo fk est nul pour k > p et pour m — k ^ p (c'est-à-dire k ^ p — 1). > Par ailleurs, pour tout g G £>{E), adf-2(g) = (-ir-1r-1ogofP-\ De plus, il existe x G E tel que fp~1(x) ■=£ 0^; et g un endomorphisme tel que g(fp~~1(x)) = x. Avec ces choix, adf~ (g)(x) ^ 0^, donc adf~ n'est pas l'endomorphisme nul. En conclusion, l'indice de nilpotence est 2p — 1. □ 4. Commentaires et développements 4.1. Le chapitre de la réduction des endomorphismes consiste comme rappelé dans l'introduction en l'étude de la relation de similitude. Ce chapitre est l'examen d'une relation d'équivalence définie par l'action du groupe linéaire GL(E) sur C(E) par conjugaison. Matriciellement, cela revient à examiner les classes de similitude de matrices, une telle classe étant « l'orbite » Ûm d'une matrice M sous « l'action » du groupe linéaire GLn(K) ÛM = {PMP-\ P G GLn(K))}. Or, on sait que, dans l'étude d'une action de groupe, il y a d'un côté les orbites, et de l'autre les stabilisateurs. Plus précisément, si l'on pose Stab(M) = {P G GLn(K), PMP'1 = M}, on a une bijection canonique entre les classes (à gauche) de GLn(K) modulo Stab(M) et l'orbite ÛM, GLn(K)/Stab(M) ^ 0(M). Les stabilisateurs sont des sous-groupes de GLn(K), et il est clair que les orbites de deux matrices conjuguées (entendre par là, semblables) sont conjugués, c'est-à-dire Stab(P0MP_!) = P0 Stab(M) P^1. Le sous-groupe Stab(M) de GLn(K) coïncide avec le groupe des éléments inversibles de l'algèbre ^(M) des matrices commutant avec M. Certains auteurs notent alors 3(M) l'algèbre ^(M) et Z(M) le groupe Stab(M) de ses éléments inversibles. Nous ne le ferons pas.
30 III. Commutation 4.2. L'algèbre associative ^(M) est plus difficile à étudier que l'algèbre K[M], ne serait-ce que parce que la première n'est pas commutative alors que la seconde l'est. Ces deux sous-algèbres coïncident pourtant générique- ment ; plus précisément, elles sont égales si, et seulement si, la matrice M est semblable à une matrice compagnon... Lorsque M est, par exemple, diagonale, il est facile de voir que ^(M) est un produit d'algèbres de matrices, en l'occurrence l'algèbre des matrices diagonales en blocs de tailles &i,..., fe/, avec fci H h ki = n (laquelle est de dimension k\-\ \-kf). On voit déjà ici deux faits, d'autant plus intéressants à relever qu'ils sont valables pour toute matrice M, diagonale, diagonalisable ou pas : le centre de l'algèbre ^(M) est réduit à K[M] et la codimension de ^(M) dans Mn(K) est paire ! 4.3. Si M G .A/fn(K), le sous-espace vectoriel ^(M) apparaît comme le noyau de l'endomorphisme adw De son côté, l'image de adj\4 a une signification géométrique inattendue : il donne dans le cas réel la direction de l'espace (affine) tangent en M à l'orbite Û(M), qui s'avère ainsi être une sous-variété de Mn(R) de dimension paire. L'application linéaire ad: Mn(K)-ï C(Mn(K)) s'appelle la représentation adjointe de Mn(K) ; elle vérifie ad[M,N) — adM o adjy — ad^ ° adj\4- Son noyau est réduit aux matrices scalaires ; quant à son image, on se contentera de dire qu'elle est formée de dérivations1 (de traces nulles) de l'algèbre Mn(K). 5. Exercices 5.1. Exercice. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour qu Jun projecteur p commute avec un endomorphisme f fixé. \> Eléments de correction. Soit p le projecteur sur F parallèlement à G. Montrons que p commute avec / si, et seulement si, les sous-espaces kerp et ker(p — Id) sont stables par /. > Si p commute avec /, alors F — kei(p — Id) et G = kerp sont stables par /. o Réciproquement, si F = ker(p — Id) = imp et G = kerp sont stables 1. Une dérivation de l'algèbre A^n(K) est, par définition, un endomorphisme 0 de Mn(K) vérifiant 6(XY) = 6{X)Y + X0(Y).
5. Exercices 31 par /, alors pour tout xF G F et tout xq G G, fop(xF + xg) = f(xF) p o f(XF + o^) = p{f{xF) -f /(xG)) = /(xF). donc / op = po /. < 5.2. Exercice. Montrer que si deux endomorphismes f et g vérifient f + g = f o g, alors ils commutent. > Eléments de correction. Remarquons que (/ — Id)o(g — Id) = Id, donc les endomorphismes / — Id et g — Id sont inverses. Ainsi, (g — Id) o (/ — Id) = Id et par conséquent, /O0=(/-Id)o(0-Id)+0 + /-Id = (0-Id)o(/-Id)+0 + /-Id = 9°f- < 5.3. Exercice. Déterminer la dimension du commutant d'une matrice diagonale. > Eléments de correction. Notons D la matrice diagonale et soit Ai, A2, ..., Ar les valeurs distinctes sur la diagonale et d\, d2, ..., dr le nombre de fois où chacune d'elles apparaît. On peut, quitte à utiliser la proposition III-1.4, supposer la matrice D = diag(AiI^1,..., ArI^r). Une matrice M qui commute avec D laisse stable les sous-espaces ker(D — \iln) donc est diagonale par blocs avec la même structure que D. Réciproquement, une telle matrice commute bien avec D (dont la restriction à chacun des sous-espaces est scalaire). En conclusion, la dimension du commutant de D est i=l 5.4. Exercice. Déterminer le commutant de la matrice diagonale par blocs \ ( 1 0 1 0 0 V 0 1 0 0 0 1 000
32 III. Commutation > Éléments de correction. Considérons une matrice M du commutant que l'on écrit en blocs Alors, la commutation équivaut aux conditions AJ2 — J2A DJ3 = J3D, CJ2 = J3C et BJ3 = J2B. Les deux premières conditions se résolvent avec l'exemple III-2.2. On exploite les deux autres « à la main » et l'on obtient qu'une matrice du commutant est de la forme a 0 e 0 ^ 0 b a ~T e 0 0 0 9 0 0 c 0 h 9 0 d c i h 9 avec a, 6, c, d, e, /, g, h et i G K. La dimension du commutant est donc 9. Il existe un résultat général exprimant la dimension du commutant d'une matrice nilpotente comme la somme des carrés des longueurs des colonnes de son tableau de Young : ici, 22 + 22-fl2 = 9. < 5.5. Exercice. Soit A G .M2Q&) une matrice non scalaire. Montrer que le commutant de A est K[Â\. > Eléments de correction. Comme A n'est pas scalaire, il existe un vecteur X G A42,i(IK) tel que la famille (X,AX) est libre donc une base deA42,i(K). Soit M une matrice qui commute avec A. Posons a, j5 G K tels que MX = aX + f3 AX = (aln + pA)X. Alors, MAX = AMX = A{aln + j3A)X - (aln + f3A)AX. Ainsi, les endomorphismes associés aux matrices M et {aln-\-j3A) coïncident sur une base donc les matrices sont égales : M = aln + fi A G K[A}. L'inclusion K[A] C C(A) est évidente, d'où l'égalité. Ce résultat indique seulement que les matrices de M.2^) non scalaires sont cycliques. On étudie cette notion au chapitre VI. < 5.6. Exercice. Déterminer l'ensemble des matrices qui commutent avec toutes les matrices triangulaires supérieures strictes. O Éléments de correction. Une matrice M = (rriij) commute avec toutes les matrices triangulaires supérieures strictes si, et seulement si, MEij =
5. Exercices 33 EijM pour tout i < j. En effectuant ce calcul matriciel, on trouve, pour tous i < j, rrik,i = 0 si k ^ i, ra^fc = 0 si /c / j, raJ;J- = ra^. La première condition entraîne que tous les coefficients hors diagonale des n — 1 dernières lignes sont nuls ; la deuxième que tous les coefficients hors diagonale des n — 1 premières colonnes sont nuls ; la dernière que tous les coefficients diagonaux sont égaux. En conclusion, M G vect(In, £i,n). La réciproque est une simple vérification. < 5.7. Exercice. 1. Existe-t-il une matrice A G Mn(ï / o i Az = telle que 0 ... 0 \ 0 \0 1 0/ 2. Déterminer les matrices A G Ms(R) telles que A2 t> Eléments de correction. 1. Proposons deux solutions pour cette question. > Soit A une matrice qui vérifie l'équation. Notons Jn la matrice du membre de droite. La matrice A commute avec A2 = Jn donc est un polynôme en Jn d'après l'exemple III-2.2. Ainsi, il existe P G ~K[X] tel que A = P(Jn)\ en reportant dans l'équation, on obtient (P2 — X)(Jn) = 0n. Comme jijn = Xn divise tout polynôme annulateur de Jnj on en déduit qu'il existe Q G K[X] tel que P2 = X + XnQ. Alors, 0 est racine d'ordre pair dans le membre de gauche et racine simple du membre de droite : contradiction. > Notons encore Jn la matrice du membre de droite et remarquons que cette matrice est nilpotente d'indice n. Une matrice A qui vérifie l'équation est nilpotente. Comme 2(n — 1) ^ n, .A2(n_1) = 0n et donc J™-1 = 0n ce qui contredit la valeur de l'indice de nilpotence de Jn. Dans cette seconde solution, on a exploité de Vindice de nilpotence d'une matrice de taille n était au plus n. Ce résultat est une simple conséquence de la croissance (plus précisément de la stricte croissance puis du caractère stationnaire) de la suite des noyaux itérés.
34 III. Commutation Soit A une matrice qui vérifie l'équation. Comme A commute avec A2, on en déduit que A est de la forme A 0 0 a 7 0 P ô A Une fois cette simplification obtenue, on peut reporter dans l'équation et trouver X = j = 0 et aô = 1. Réciproquement, pour tout a ^ 0 et tout /3, les matrices 0 0 0 a 0 0 P 1 a 0 vérifient l'équation. 5.8. Exercice. Soit A, B G Mn(R) telles que AB — BA soit de rang 1. Montrer que B laisse stable k.ei A ou imA \> Éléments de correction. Remarquons tout d'abord que la droite im(AB— BA) est incluse dans imA ou en somme directe avec imA > Si im(AB — BA) c imA, alors, pour tout vecteur X G Mnji(K), il existe Y G Mn,i(K) tel que ABX ~ BAX = AY^ donc BAX e [mA : l'image de A est stable par B. > Si im(AB — BA) fl im^ = {0n5i}, alors, pour tout vecteur X G kerA, ABX = ABX - BAX G im^ n im(AB ~ BA). Ainsi, ABX = 0n?i et BX G ker^4 : le noyau de A est stable par B. < 5.9. Exercice. Soit G un sous-groupe fini de GL(E) et F un sous-espace vectoriel de E stable par tous les éléments de G- Montrer qu'il existe un supplémentaire de F dans E stable par tous les éléments de G (théorème de Maschke). Indication : on pourra, pour un supplémentaire G de F, introduire le projecteur p sur F parallèlement à G puis le projecteur ]yi geG > Eléments de correction. Soit G un supplémentaire quelconque de F (qui existe car E est de dimension finie) et p le projecteur sur F parallèlement à G. Posons q comme dans l'indication.
5. Exercices 35 > Soit g G G- Remarquons que g (F) — F donc, pour tout x G F, il existe y G F tel que x = g (y). Alors, gop°g~l(x) = gop(y) = g(y) = x, car F = imp. Ainsi, tous les éléments de F sont fixes par g ° p ° g~l donc par g; par conséquent, F C im(g). Par ailleurs, pour tout x G F, il existe x' G F et x" G G tels que g-1(x) = x' + x", donc g o p o g~'1(x) = g o p[xf + x") — g(x/) G #(F) = F. En conclusion, imçcF, d'où imç = F. > De plus, q est un projecteur. En effet, pour tout x e E, q(x) e F et l'on a vu que les éléments de F sont fixes par q donc q2(x) = q{x). Ainsi, q2 = q. > Pour tout h G G-> hoq= -L- Y^ho9°P°g~1 '^' geQ = -—- 2_] k°P° k~X o h en posant k = h o g = q o h. Ainsi, q commute avec tous les éléments de G- En conclusion, le noyau de q est un supplémentaire de F = img (car q est un projecteur), stable par tous les éléments de G (d'après la propriété de commutation). < 5.10. Exercice. Soit X, Y et H G A^C) non nulles telles que HX-XH = 2X HY ~YH = -2Y XY-YX = H 1. Montrer que XetY sont nilpotentes (donc de rang 1). Indication : on pourra vérifier que trX = trX2 = 0. 2. Vérifier que si kerX = ker Y, alors il existe À G C tel que X = XY ; en déduire une contradiction. 3. Montrer qu'il existe une même matrice P G GL2(C) telle que
36 III. Commutation > Éléments de correction. 1. Comme 2X = HX - Xff, 2trX = tr(HX) - tr(XH) = 0 ; de plus, 4X2 = HX2-X2H et donc trX2 = 0. On a, de même, tr Xk = 0 pour tout k G N*. Reste à voir que cela entraîne que la matrice X est nilpotente ; ce résultat sera évident avec le théorème de Cayley & Hamilton mais nous en proposons ici une démonstration élémentaire. La première étape consiste à remarquer que X n'est pas inversible en remarquant que 2/j,x(0) = tr(iJ,x(X)) = 0. Ainsi, en considérant une base construite en complétant une base du noyau de X, la matrice X est semblable à une matrice de la forme (!;)■ La condition trX = 0 entraîne alors /3 = 0. La matrice X est donc semblable à une matrice triangulaire supérieure donc nilpotente. On montre de même que Y est nilpotente. 2. Supposons ker X = ker Y et considérons une base de A42,1 (C) construite à partir d'un vecteur directeur de ker X. Alors, il existe une matrice P G GL2(C) telle que .v=p(°;)p-, y=p(2i)p- La condition sur les traces nulles entraîne f3 = ô = 0. Ainsi, X et Y sont proportionnelles. Enfin, notons que si X et Y sont proportionnelles, XY — YX = O2 ce qui entraîne H = O2, cas explicitement exclu par l'énoncé. 3. Nous avons montré à la question précédente que les droites ker X et ker Y sont supplémentaires dans A^2,i(C). Considérons une base associée à cette décomposition telle qu'il existe une matrice P G GL2(C) vérifiant Il reste alors à vérifier les conditions de l'énoncé. > Avec H = XY — YX, on trouve > Avec 2X = HX-XH, on trouve a = 1. La condition 2Y = YH-HY est alors vérifiée et l'on a obtenu la forme désirée. <3
Chapitre IV Lemme des noyaux Objectifs du chapitre - Comprendre le résultat de finitude de l'ensemble des sous-espaces de la forme kerP(/). - Exploiter la décomposition en sous-espaces stables obtenue par le lemme des noyaux. - Comprendre l'existence d'un vecteur x tel que le polynôme minimal local en x soit le polynôme minimal (///)X = ///). 1. Étude de kerP(/) 1.1. Proposition. Soit deux polynômes P et Q de pgcd D et un endo- morphisme f G C(E). Alors, kerP(f) HkeiQ(f) = kerD(f). Démonstration. > Remarquons tout d'abord que D divise P et Q donc ker D(f) Ckei P(f) D ker Q{f). > Réciproquement, il existe d'après la relation de Bézout des polynômes U et V tels que UP + VQ = D. D'où si x G kerP(/) H ker Q(/), alors £>(/)(*) = U(f) o P(f)(x) + V(/) o Q(f)(x) = 0. Cela prouve kerP(/) D kerQ(/) C ker D(f) et le résultat annoncé par double-inclusion. D Cet exemple est complété par un résultat analogue pour la somme (voir Exercice IV-5.1).
38 IV. Lemme des noyaux 1.2. Corollaire. Soit f G C{E) et P G K[X]. Posons A = P A ///. Alors, kerP(/)=kerA(/). Démonstration. Il suffit d'appliquer la proposition avec Q = jif et de remarquer que kerfjbf(f) — E. □ 1.3. Remarque. Cette proposition permet de limiter l'étude des sous- espaces de la forme kerP(/) aux seuls cas où P divise \i$. 1.4. Exemple. Revisitons l'exercice 1-6.7. Pour un endomorphisme / G C(E) et un polynôme P G K[X], P(f) est inversible si, et seulement si, kerP(/) = {0E}, c'est-à-dire kerP A fif(f) = {0E}- Si F A /// ^ 1, alors kerPA/i/(/) contient les vecteurs non tous nuls Q(f)(x) pour xG^, OÙ /Z/ = Q • (P AfJLf). L'autre implication étant évidente, on obtient kerP A ///(/) = {0#} si, et seulement si, P A fif — 1. 1.5. Corollaire. Soit / G £(P) et P G K[X] un diviseur de fif. Le polynôme minimal de l'endomorphisme induit par f sur kerP(f) est P. Démonstration. Notons F = kerP(/) et \i$ = PQ. > Comme P(/f) = 0, on a que /i/F divise P. > Comme P(/) o Q(f) = M/(/) = 0, imQ(/) C kerP(/). Or, kerP(/) C kerfifF(f)1 donc imQ(f) C ker/i/F(/) et /i/FQ est annulateur de /. Par conséquent, \±j = PQ divise \ifFQ, soit P divise /i/F. En conclusion, /i/F = P. D 1.6. Remarque. Si l'on omet la condition P divise ///, le résultat est alors que le polynôme minimal de l'endomorphisme induit par / sur ker P(f) est P A /if. 2. Lemme des noyaux Le résultat suivant est essentiel pour la suite, car il permet de « décomposer » un espace vectoriel en une somme directe de sous-espaces vectoriels stables adaptés à la réduction de l'endomorphisme considéré.
2. Lemme des noyaux 39 2.1. Lemme des noyaux. Soit (Pk)ke{i,...,N} une famille de polynômes deux à deux premiers entre eux et un endomorphisme / G C(E). Alors, CN \ N npH^)=0kerw)- k=i j k=i / N \ De plus, le projecteur de ker l Yl Pk ) (/) sur l'un de ces sous-espaces pa- \fe=i / rallèlement à la somme des autres est un polynôme en /. Démonstration. Montrons ce résultat par récurrence sur le cardinal 7V ^ 2 de la famille de polynômes. > Si Pi et P2 sont deux polynômes premiers entre eux, le théorème de Bézout garantit l'existence de polynômes U\ et Ui tels que LriPi+£/2P2 = 1, et donc tels que U1(f)oP1(f) + U2(f)oP2(f)=IdE. D'où, pour tout x G ker(PiP2)(/), X = U^f) O P! (/)(*) + U2(f) O P2(/)(X), avec U^f) o Pi(/)(x) G kerP2(/) et U2(f) o P2(/)(x) G kerP^/) (en utilisant la commutation des polynômes en /). Par ailleurs, si x G kerPi(/) f|kerP2(/), alors x = Ux{f) o Pi(/)(x) + ^2(/) ° P2{f)(%) = ®e- On déduit de ces deux résultats que kerPi(/) et kerP2(/) sont supplémentaires dans ker(PiP2)(/). > Soit N > 2. Supposons que le théorème est établi pour toute famille de iV polynômes deux à deux premiers entre eux. Soit (Pfc)fce|[i,iv+i] une famille N de polynômes deux à deux premiers entre eux. Alors, Yl Pk e^ P/v+i sont fc=i premiers entre eux et l'on peut appliquer le théorème à cette famille de deux polynômes ; d'où (N+l \ N J] Pk (/) = ker J] Pfe(/) 0ker Pjv+i(/). fe=l / fe=l Il suffit désormais d'utiliser l'hypothèse de récurrence pour conclure à la décomposition. Passons à la démonstration de la propriété sur les projecteurs associés à cette décomposition. Revenons à une famille (Pfc)fce[i,jvj de polynômes deux N à deux premiers entre eux. Puisque Pj et Yl Pk soirt premiers entre eux, fe=i
40 IV. Lemme des noyaux il existe des polynômes Uj et Vj tels que N UjPj + V, l[Pk = l. fc=i N Posons pj = [ Vj Yl Pk ) (/) et vérifions que pj est bien le projecteur de l'espace fc=i k^j kev(f[Pk\(f) N sur kerPj(f) parallèlement à ® kerPk(f) — imPj(f). En effet, fe=i pour tout x G kerPj(/), a; = (UjPjXfXx) + {V3 n ft)(/)(*) = P;(*), pour tout y = Pj(f)(x) GTO Pj(/), Pj-(y) = Pj {Pj{x)) = Vj(f) o (J] Pfc)(/)(x) = 0B. 3\J )-> N k=i k^j N L'endomorphisme Pj est donc le projecteur recherché. D 2.2. Remarque. On retrouve ainsi la décomposition naturellement associée aux projecteurs ou aux symétries vectorielles qui admettent respectivement les polynômes annulateurs X(X — 1) et (X — 1)(X + 1). 3. Décomposition de l'espace en sous-espaces stables 3.1. Remarque. Ecrivons la décomposition en facteurs irréductibles de /// : où les Pk sont des polynômes irréductibles deux à deux distincts et les ak des entiers non nuls. Le lemme des noyaux entraîne alors que E = ker ///(/)
4. Commentaires et développements 41 est égal à £ = ®kerP«*(/). fe = l On a ainsi obtenu une décomposition de E comme somme de sous-espaces stables par / (et donc une écriture matricielle de / comme matrice diagonale par blocs) et l'on verra que cette décomposition a des propriétés utiles. Rappelons un résultat élémentaire pour la suite des noyaux itérés utile pour décrire les espaces apparus dans la décomposition. 3.2. Proposition. Soit un polynôme P G K[X]. La suite (keTPk(f))k est strictement croissante pour l'inclusion puis stationnaire. Si, de plus, P est irréductible, alors le polynôme minimal local de f en x G kerPfc(/)\kerP/c~1(/) est Pk. Donnons une application en terme de polynôme minimal local. 3.3. Proposition. Soit f G C(E). Il existe x E E tel que \i^x — ///. Démonstration. Reprenons les notations de la remarque ci-dessus et considérons, pour tout k G [l,p], Xk G kerP^fc \kerP^fc-1 (qui existe d'après la croissance de la suite des noyaux itérés) et x = X\ -\- X2 + • • • + xp G E. Alors p oE = vfAf)(x) = YlfJ,fAf)(xk)- fc=l Pour tout k G [l,p], Hf,x(f){%k) £ kerP^fc(/). Or, les sous-espaces ker Pj?k (f) sont en somme directe donc, pour tout k G [l,p], fif,x(f)(xk) = 0# et donc P£k divise fifjX (car P£k est le polynôme minimal de #&). On conclut avec le lemme d'Euclide que jif divise jj,fiX et donc \i^x — \if. D 4. Commentaires et développements 4.1. Ce chapitre est l'occasion d'une ouverture plus marquée de l'algèbre linéaire sur l'arithmétique. Les propriétés de divisibilité dans l'anneau principal R = K[X], pour IK corps commutatif, jouent ici un rôle crucial. Les deux propriétés fondamentales d'intersection et de somme de noyaux kerP(/)nkerQ(/) =ker(PAQ)(/), kerP(/) + kerQ(/) = ker(PVQ)(/) où l'identité de Bezout joue un rôle primordial sont à comparer avec les
42 IV. Lemme des noyaux relations concernant les idéaux de R (noter l'inversion des cas correspondants) aR + bR=(aA b)R, aR DbR=(aV b)R. 4.2. Les sous-espaces kerP(/) (mais aussi les sous-espaces imP(/)) sont des exemples prioritaires de sous-espace stables sous l'action de l'endomor- phisme /. Leur nombre est fini, comme on l'a vu dans la propriété de début du chapitre. Il existe en général d'autres sous-espaces stables par / que ceux-là. Toutefois, il est bon de noter que tout sous-espace stable sous l'action de / est de la forme kerP(/) si, et seulement si, l'endomorphisme / est cyclique, soit encore s'il n'existe qu'un nombre fini de sous-espace stables sous l'action de /. Voir le chapitre VI. Ainsi, lorsque / est cyclique, chacun des sous-espaces im P(f) est donc de la forme ker P(f). Ainsi, à titre d'exemple, pour le bloc de Jordan plein Jn, on a im Jn — ker Jn Attention, un sous-espace quelconque im P(f) peut être de la forme ker Q(f) sans que / ne soit cyclique. En fait, une condition nécessaire et suffisante pour que tous les im/fe, où / est endomorphisme nilpotent, soient des kerQ(f) pour un polynôme Q adéquat est que le tableau de Young de / soient rectangulaire. Voir page 121 du livre Réduction des endomorphismes, Rached Mneimné, Calvage & Mounet, 2006. 4.3. Il est intéressant de savoir quels sont les ker P(f) qui ont un supplémentaire stable, et aussi d'en calculer le nombre. Le lemme suivant est facile et important. 4.4. Lemme. Le sous-espace ker/ admet un supplémentaire stable si, et seulement si, ker/ = ker/2; auquel cas ce supplémentaire est im/. Nous savons déjà que le cardinal des idempotents dans l'algèbre K[f] est une puissance de 2. En effet, avec le lemme chinois, l'algèbre K[/] s'écrit comme produit d'algèbres quotients K[f]/(Pk), où P est un polynôme irréductible. Une algèbre K[f]/(Ph) est alors locale (au sens qu'elle a un seul idéal maximal, à savoir l'idéal engendré par la classe de P, ou encore que l'ensemble des éléments non inversibles est un idéal). Dans ce cas, il y a seulement deux idempotents, 0 et 1. Calculons maintenant le nombre de sous-espaces kerP(/). On sait que ce qui compte, ce sont les kerP(/) où P est un diviseur du polynôme minimal
5. Exercices 43 Un fois l'on a écrit l'espace comme somme directe des sous-espaces caractéristiques, ker P(f) se décompose bien et l'on est ramené à calculer le nombre de sous-espaces kerP(/) fl ker P^i(f). Mais, ce dernier sous-espace est de la forme kerPj■ (/), avec 0 ^ fa ^ o^ ; par stricte croissance des noyaux itérés, il existe exactement a^ + 1. En conclusion, le nombre de sous-espaces de la forme kerP(/) est égal au produit des c^ -f 1, autrement dit, il y a autant de sous-espaces kerP(/) que de diviseurs du polynôme minimal. En particulier, le nombre de sous-espaces kerP(/) est impair si, et seulement si, le polynôme minimal [if est un carré. 4.5. On comprend maintenant quelles sont les décompositions de l'espace de la forme ker P(f) 0ker Q(f). Il s'agit seulement des décompositions avec P • QQ = /x/ avec kerP(/) = kerP(/) et kerQ(/) = kerQ(/) : il y a en a donc 2S où s est le nombre de facteurs irréductibles de fif. Si ker P(/)®ker Q(f) = E, alors P et Q sont premiers entre eux et fif divise PQ. Si l'on suppose, sans perte de généralité avec la proposition IV-1.2, que P et Q sont des diviseurs de /i, le résultat est clair. 5- Exercices 5.1. Exercice. Soit deux polynômes P et Q de PGCD D et un endomor- phisme f G C(E). Montrer que kerP(/) +kerQ(/) = kerM(/), où M est le PPCM des deux polynômes P et Q. > Éléments de correction. > Comme P divise M, kerP(/) C kerM(/). De même, kerQ(/) C kerM(/) et par conséquent kerP(/) +kerQ(/) C kerM(/). > Notons Q = DQ et remarquons que P et Q sont premiers entre eux. D'après la propriété de Bézout, il existe U et V G K[X] tels que UP + VQ = 1. Alors, pour tout x G kerM(/), on a la décomposition x = U(f)o P(f)(x) + V(f)oQ(f)(x). Enfin, QU){U{f) « P(f)(x)) - [/(/) o D{f) o M(f)(x) = 0E, P(f)(V(f) o Q(f)(x)) = V(/) o M(/)(x) = 0£. Ainsi, x £ ker P(/) + ker Q(f). <
44 IV. Lemme des noyaux 5.2. Exercice. Soit f un endomorphisme d'un espace E. Montrer qu'il existe r G N* tel que E = ker fr ® im/r (décomposition de Fitting). Indication : on pourra utiliser le résultat, établi à l'exercice II-7.5, que le seul supplémentaire du noyau d'un endomorphisme g stable par g est l'image de g. t> Eléments de correction. Soit P un polynôme annulateur de / et r la multiplicité de 0 comme racine de P. Notons Q le polynôme tel que Q(0) ^ 0 et P(X) = XrQ(X). D'après le lemme des noyaux, £ = ker/rekerQ(/). Mais alors, ker<2(/) est un supplémentaire de ker/r stable par fr, qui est donc égal, d'après l'exercice II-7.5, à im/r. Le sous-espace ker fr qui intervient ici est le nilespace de f ; on verra plus loin qu'il s'agit simplement du sous-espace caractéristique de f associé à la valeur propre 0. Le sous-espace imfr est appelé cœur de f. < 5.3. Exercice. Soit f un endomorphisme d'un K-espace vectoriel E. 1. Soit F un plan de E stable par f. Montrer qu'il existe un polynôme P non nul de degré au plus 2 tel que F C kerP(/). 2. Soit P un polynôme non nul de degré au plus 2 tel que dimker P(f) ^ 2. Montrer qu'il existe un plan stable inclus dans kerP(f). t> Eléments de correction. 1. > S'il existe À G K tel que fp = Aid/?, alors F C ker(/ - Àld). t> Sinon, il existe x G F tel que la famille (x, f(x)) est libre donc est une base de F. Mais alors, f2(x) G F, car F est stable par / ; il existe donc a, b G K tels que f2(x) — af(x) + bx. On vérifie immédiatement que x et f(x) appartiennent à ker(/2 — af — bld) donc F C ker(/2 — af — Hd). 2. > S'il existe À G IK tel que /kerp(/) — ^Idker p(/)j alors deux vecteurs linéairement indépendants de ker JP(/) engendrent un plan stable. > Sinon, il existe x G kerP(/) tel que la famille (x,f(x)) est libre et définit un plan F de kerP(/). Par ailleurs, F est stable car P(f)(x) = 0e et donc f2(x) G vect(x, f(x)) = F. <3
Chapitre V Eléments propres, caractéristiques Objectifs du chapitre - Définir les éléments propres d'un endomorphisme. - Calculer le polynôme caractéristique et connaître le lien avec les valeurs propres. 1. Définitions 1.1. Définition. Soit / un endomorphisme de E. > Une valeur propre A de / est un scalaire tel que / — Aid n'est pas injective, c'est-à-dire tel qu'il existe x G E non nul qui satisfait f(x) — Xx. > Un vecteur propre de / associé à la valeur propre A est un vecteur x non nul tel que f(x) = Xx. > Le sous-espace propre de / associé à la valeur propre A est le sous- espace E\(f) — ker(/ — Aid). On le note E\ s'il n'y a pas ambiguïté sur l'endomorphisme considéré. La dimension de ce sous-espace propre est notée rrig(X) et appelée multiplicité géométrique de la valeur propre A. 1.2. Proposition. Des vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes forment une famille libre.
46 V. Éléments propres, caractéristiques 1.3. Exemple. Pour tout réel a, les fonctions x H> eax sont des vecteurs propres de la dérivation (qui est un endomorphisme de C°°(]R,IR)). Par conséquent, pour tout n-uplet de réels deux à deux distincts (ai,... , an), la famille (x t-> eaiX)ie^iyTq est libre. Démonstration. Procédons par récurrence sur le cardinal N de la famille de vecteurs propres considérée. > Si N = 1, alors la famille ne contient qu'un vecteur qui est non nul (car vecteur propre) donc la famille est libre. > Soit iV G N* ; supposons que toute famille de N vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes soit libre et considérons (xi,...,#jv+i) une famille de N + 1 vecteurs propres associées aux valeurs propres deux à deux distinctes Ai,..., Ayv+i- JV+1 Soit (ai,..., ûfjv+i) G K^4"1. Si ^ a^ = 0#, alors i=l /N+l \ / I ]P aiXi ) = °#' 7V+1 c'est-à-dire ]T K&i%i = ®e- En combinant ces deux relations, 2=1 N y^(A7v+i - XijOiXi = 0E. i=l D'après notre hypothèse de récurrence, pour tout i G |l,iV], ai — 0 (car Àjv+i 7^ K par hypothèse). On en déduit que «jv+i est aussi nul, car xn+i est non nul. Nous avons donc montré la liberté. □ 1.4. Corollaire. Soit E un espace vectoriel de dimension n. Tout endomorphisme de E admet au plus n valeurs propres distinctes. Démonstration. Une famille constituée de vecteurs propres associés à chacune des valeurs propres est libre (d'après la proposition précédente) et de cardinal le nombre de valeurs propres distinctes. Or, le cardinal d'une famille libre est inférieur ou égal à la dimension de l'espace, d'où le résultat.□ 1.5. Remarque. Le nombre de valeurs propres d'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension infinie n'est pas borné comme l'on peut le voir avec les exemples suivants. D> L'endomorphisme <p de K[X] défini par (f(P) = XP' admet tous les entiers naturels comme valeur propre puisque (p(Xn) = nXn1 pour tout entier n G N.
1. Définitions 47 > L'endomorphisme de dérivation sur C°°(R, R) admet tous les réels comme valeur propre ; en effet, pour tout a G M, t \—> eat est un vecteur propre associé à la valeur propre a. 1.6. Proposition. Des sous-espaces propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes sont en somme directe. Démonstration. Soit E\x,..., E\N des sous-espaces propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes Ai,..., Xn- Soit x un élément de la somme de ces sous-espaces propres ; supposons que x admette deux décompositions distinctes sur cette somme N N x = y ^ Xi = y ^ x^ k=l k=l N Alors J2 (xi ~~ x'ù ~ ®e ot chacun des termes de cette somme est soit nul, soit un vecteur propre. D'après le résultat précédent, xi — x\ — 0 pour tout iG[l, N} (sinon on aurait trouvé une combinaison linéaire nulle non triviale de vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes). On obtient l'unicité de la décomposition de x et, par conséquent, les espaces £\i,..., E\N sont en somme directe. □ 1.7. Exemple. Dans E = C°°(]R., R), le sous-espace vectoriel V des fonctions paires et le sous-espace vectoriel X des fonctions impaires sont en somme directe. En effet, ce sont les sous-espaces propres associés aux valeurs propres 1 et —1 de l'endomorphisme de E défini par / (-» / où f :x^ f(-x). 1.8. Remarques. Remarquons quelques liens entre sous-espaces propres et sous-espaces stables. > Un sous-espace propre est un sous-espace stable, et même plus généralement, tout sous-espace vectoriel d'un sous-espace propre est un sous-espace stable. t> La réciproque est évidemment fausse (il suffit de considérer tout l'espace, par exemple). En revanche, une droite vectorielle est stable si, et seulement si, elle est engendrée par un vecteur propre et donc est une droite incluse dans un sous-espace propre. 1.9. Proposition. Soit f un endomorphisme. Les valeurs propres de f appartiennent à Vensemble des racines de chaque polynôme annulateur de f.
48 V. Éléments propres, caractéristiques Démonstration. Soit / un endomorphisme de polynôme annulateur P, A une valeur propre de / et x un vecteur propre associé à A. On a pour tout fcGN, fk(x) = Xkx par une récurrence immédiate. Par conséquent, P(f)(x) = P(X)x. Comme P est annulateur de /, on trouve P{\)x = 0# puis P(X) = 0, car x est non nul (en tant que vecteur propre). D 1.10. Remarque. La réciproque est bien évidemment fausse. En effet, étant donné un polynôme annulateur, on peut trouver un polynôme annulateur admettant d'autres racines arbitrairement choisies en le multipliant par d'autres facteurs. 1.11. Proposition. Les valeurs propres d'un endomorphisme f sont exactement les racines du polynôme minimal de f. Démonstration. > D'après la proposition précédente, les valeurs propres appartiennent déjà à l'ensemble des racines de fif, le polynôme minimal de/. > Réciproquement, soit A une racine de fif et Q le polynôme tel que jif = (X — X).Q. Alors (/ — AId#) o Q(f) = 0. Si A n'est pas valeur propre de /, alors / — AId# est inversible et donc Q est annulateur : contradiction avec la minimalité de jif. D 1.12. Définition. La multiplicité minimale d'une valeur propre A d'un endomorphisme / est l'entier noté ram(A), multiplicité de A en tant que racine du polynôme minimal de /. 2. Polynôme caractéristique 2.1. Définition. Le polynôme caractéristique d'un endomorphisme / d'un espace de dimension n est le polynôme (unitaire) Xf défini par Xf(X) = (-l)nâet(f-XU). Le polynôme caractéristique de la matrice A G A4n(K) est le polynôme \A défini par XA(X) = (-l)ndet(A-~XIn). 2.2. Remarque. D'après les propriétés du déterminant d'un matrice à coefficients dans un anneau (ici, IK[X]), \A — Xp~1ap e^ par conséquent le polynôme caractéristique d'un endomorphisme / est le polynôme caractéristique de n'importe laquelle de ses matrices.
2. Polynôme caractéristique 49 2.3. Proposition. Soit f G C(E) et F un sous-espace stable par f. Alors, le polynôme caractéristique XfF de Vendomorphisme induit divise le polynôme caractéristique Xf de f. Démonstration. Ecrivons la matrice de / dans une base de E obtenue en complétant une base de F. La matrice est alors triangulaire par blocs et le premier bloc est une matrice de fp> Le résultat provient du calcul d'un déterminant par blocs. □ 2.4. Proposition. Soit f G C(E). Supposons que E = F ® G avec F, G des sous-espaces stables par f. Alors, le polynôme caractéristique de f vaut Xf X/fX/g ' Démonstration. On procède comme précédemment avec une base de E obtenue en concaténant une base de F et une base de G. □ 2.5. Remarque. On peut comparer ce résultat à l'analogue pour le polynôme minimal à la proposition II-3.4. Un des intérêts du polynôme caractéristique est la recherche des valeurs propres comme l'indique la proposition suivante. 2.6. Proposition. Soit f G C(E) un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension n. Les racines de Xf sont exactement les valeurs propres de f. Démonstration. Le scalaire À est une racine de Xf sh e^ seulement si det(/ — Àld) = 0, c'est-à-dire si, et seulement si, / — Àld n'est pas inversible, ce qui est la définition de A valeur propre. □ 2.7. Remarque. D'après le calcul du déterminant, les racines du polynôme caractéristique (c'est-à-dire les valeurs propres) d'une matrice triangulaire sont les coefficients diagonaux. 2.8. Corollaire. Un endomorphisme d'un C-espace vectoriel admet au moins une valeur propre. Démonstration. Le polynôme caractéristique est non constant donc admet une racine d'après le théorème de D'Alembert-Gauss et cette racine est une valeur propre d'après la proposition précédente. □ Ce résultat implique en particulier que le polynôme minimal et le polynôme caractéristique ont les mêmes racines. Il est donc important de comprendre la multiplicité de celles-ci pour mettre en évidence la différence entre ces deux polynômes dans l'étude de la réduction.
50 V. Éléments propres, caractéristiques 2.9. Définition. Soit / un endomorphisme et À une valeur propre de /. t> La multiplicité de la valeur propre À est sa multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique \f '•> on n°te ma(X) cette multiplicité et on l'appelle multiplicité algébrique. o Le sous-espace caractéristique de / associé à la valeur propre À est ker(/ — AId)m«W. 2.10. Remarque. On verra plus loin que la multiplicité ma(X) est exactement la dimension du sous-espace caractéristique. 2.11. Proposition. Soit f un endomorphisme et X une valeur propre de f. Le sous-espace caractéristique de f associé à la valeur propre X est stable par f. Démonstration. Ces sous-espaces sont stables par / car ce sont les noyaux de polynômes en / qui commutent donc avec /. □ Les relations entre coefficients et racines donnent pour les coefficients du polynôme caractéristique les résultats suivants. 2.12. Proposition. Soit f G C(E) de polynôme caractéristique scindé. Alors, la somme des valeurs propres (comptées avec leurs multiplicités) est la trace de f, leur produit est le déterminant de f. On généralisera cette proposition au chapitre IX. 3. Commentaires et développements 3.1. L'existence de n scalaires associés à une matrice carrée complexe A et qui sont invariants (à l'ordre près) par similitude est un fait particulièrement frappant. Ces scalaires sont les coefficients diagonaux communs à toutes les matrices triangulaires de la classe de similitude de A. On verra plus loin que de telles matrices existent dans la classe de similitude de A si, et seulement si, le polynôme minimal de A est scindé. Une manière rapide de les mettre en évidence est de constater que si A et B sont semblables alors ig(A — AIn) = rg(B — AIn) pour tout scalaire À. Et, les rangs en question sont toujours égaux à n, sauf pour un nombre fini de scalaires À en nombre inférieur ou égal à n. Ces scalaires sont les valeurs propres de A.
3. Commentaires et développements 51 3.2. Dans ce chapitre et les suivants, on met en évidence trois multiplicités relatives aux valeurs propres. Ces trois multiplicités jouent un rôle important dans l'étude de la similitude, mais ne sont pas suffisantes pour caractériser une classe de similitude. Elles sont toutefois suffisantes dans beaucoup de cas rencontrés en premier cycle. Il s'agit des multiplicités géométrique, algébrique et minimale. Ces multiplicités, on le verra dans la suite, vérifient différentes inégalités dont les cas extrêmes correspondent au cas de la cyclicité et de la diagonalisabilité d'un endomorphisme. 3.3. La réunion ensembliste dans tous les sous-espaces propres est la réunion de toutes les droites stables par notre endomorphisme. Cette réunion définit une configuration remarquable de sous-espaces en somme directe : les intersections de chacun de ces sous-espaces avec le sous-espace engendré par la réunion des autres sont réduites à {0}. 3.4. L'existence de valeurs propres sur un corps quelconque est liée à la « rupturabilité » sur le corps K du polynôme minimal ou du polynôme caractéristique, qui s'avèrent avoir les mêmes racines (aux multiplicités près). 3.5. Les endomorphismes nilpotents n'ont qu'une seule valeur propre, en l'occurrence la valeur propre 0 ; cela rend leur étude la même quel que soit le corps de base. Ces endomorphismes réunissent le gros des difficultés dans l'étude des cas de réduction délicats. En écrivant la suite des noyaux itérés {0} Ç ker/ C ker f C ... C ker fr = ker/r+1, les multiplicités de la valeur propre 0 sont mg(0) — dimker/, mm(0) = r et raa(0) = n. On verra plus tard que deux matrices nilpotentes sont semblables si, et seulement si, les dimensions des noyaux itérés sont les mêmes. On voit alors combien les trois multiplicités sont loin de caractériser une classe de similitude. 3.6. Les sous-espaces propres et caractéristiques associés à la valeur propre À sont donc des sous-espaces de la forme kerP(/) avec P une puissance de X — À. Sous-espace propres et sous-espaces caractéristiques sont donc des objets étudiés au chapitre précédent. 3.7. L'application A H> xa qui va de Mn(C) dans l'ensemble des polynômes unitaires de degré n est remarquable dans la mesure où ses fibres
52 V. Éléments propres, caractéristiques sont génériquement des classes de similitude et dans les cas singuliers sont des réunions finies de classes de similitude. 3.8. L'ensemble des polynômes complexes unitaires de degré n admet deux paramétrages. D'une part, il s'agit d'un sous-espace affine de dimension n, quand on écrit un tel polynôme comme Xn + an_iJn_1 + • • • H- a\X + clq ; d'autre part, c'est l'ensemble des orbites sous l'action du groupe symétrique &n opérant par permutation sur Cn, quand on écrit un tel polynôme comme (A" - AO • • • (X - An). Le passage entre les deux situations se faisant grâce aux relations entre fonctions symétriques élémentaires et sommes de Newton, que nous verrons plus loin. 3.9. Les valeurs propres de ad a sont un peu délicates à déterminer. On pourra se reporter à l'exercice 20-101 page 205 de Réduction des endomorphismes, Rached Mneimné, Calvage & Mounet, 2006. 3.10. L'ensemble des matrices ayant un même polynôme caractéristique P ~ \\{X — Xi)ai est réunion de classes de similitude, dont seulement une i contient des matrices diagonales. On peut calculer le nombre de ces classes en utilisant les invariants de similitude et en exprimer le nombre à l'aide des multiplicités c^. 3.11. Il existe une expression simple du polynôme caractéristique d'une matrice A = (clîj). Le coefficient devant Xk est égal à {_1)n-k Y^ det(aM)MG/, ieVn-kdhn]) c'est-à-dire que le coefficient devant Xk est, au signe près, la somme des mineurs principaux d'ordre n — k. Ce résultat est évident pour les matrices diagonales (il s'agit des relations coefficients racines) ; il suffit ensuite de montrer que cette quantité est conservée par conjugaison pour étendre le résultat aux matrices diagonalisables puis d'utiliser un argument de densité. Toutefois, on peut remarquer que, dans le cas général, le coefficient de Xn~1 est — ti A et le coefficient constant égal à (—l)ndet A Par exemple, pour une matrice de taille 3, le coefficient devant X est «1,1 «1,2 «2,1 «2,2 + «1,1 «1,3 «3,1 «3,3 + «2,2 «2,3 «3,2 «3,3
4. Exercices 53 4. Exercices 4.1. Exercice. Soit f G C(E) et des scalaires X, ji G K tels que im(/ - Aid) + im(/ - /Jd) ^ S. Montrer que À = /i. Indication : on pourra utiliser une forme linéaire non nulle, mais nulle sur im(/ — Aid) -f im(/ — /ild). > Eléments de correction. Soit (f E E* non nulle telle que, pour tout y G im(/—Ald)+im(/—/xld), <p(y) = 0 et x G .E tel que (p(x) ^ 0. Comme f(x) — Xx G im(/ —Aid), on a<p(/(x)) = A^(x). De même, f{x)—jjix G im(/—/ild), on a (p(f(x)) = /jnp(x). Par conséquent, (A — /x)<p(x) = 0 donc A = /x. < 4.2. Exercice. Soz£ / G £(E) de rang 2. Calculer Xf en fonction de tr f ettrf2. > Éléments de correction. Dans une base de E obtenue en complétant une base de ker/, la matrice de l'endomorphisme / est de la forme / 0 ... 0 • • \ : * * I : : a b \ \ 0 ... 0 c d J Alors Xf = Xn~2((X — a)(X — d) — 6c). En remarquant que tr / = a + d, tr f2 = a2 + d2 + 26c, on obtient X/ = X^2 (X2 - tr fX + | (tr /)2 - | tr /2) . < 4.3. Exercice. Soit A G GLn(K). Calculer x a-1 - > Eléments de correction. XA-^X) = {-l)nàet(A-l-Xln) = {-l)nàet{A-l){-X)nàet(-jçln + A) <
54 V. Éléments propres, caractéristiques In A 4.4. Exercice. Soit A G Mn(K). Calculer en fonction de \a le polynôme caractéristique de la matrice par blocs B = > Eléments de correction. Pour effectuer ce calcul, on va raisonner avec des opérations élémentaires par blocs. > Commençons avec le cas n = 1 avec des opérations élémentaires pour comprendre le cas général. Le calcul avec les opérations successives L\ <(— L\ + XL2, C2 <— C2 + XCi, L2 <-> Li, L\ < L\ donne que la matrice 0 1 W 1 X\(X -A\(\ X -1 0 j [ 0 1 J l -1 10 1 vaut 1 0 0 X2-a > Revenons au cas général. Le produit matriciel ln \ ( ln Xln \(Xln -A\f In Xln . "In A In A -1- Xln A !™ vaut ' In X2ln - A En passant au déterminant, on obtient xb(X) = xa(X2). < 4.5. Exercice. Soit A € M.n(C). Déterminer les valeurs propres de la comatrice ComA. Indication : on pourra discuter selon le rang de A. > Eléments de correction. > Si rg^L ^ n — 2, alors tous les mineurs de A sont nuls (grâce à la caractérisation du rang comme la taille du plus grand déterminant extrait non nul) donc Corn .A = 0n : la seule valeur propre est 0. d> Si rgA = n, alors A est inversible et ComA = (det A) A"1. Les valeurs propres de ComA sont donc les —^-— où À est une valeur propre (non A nulle car A est inversible) de A donc de tA. > Si rg A — n — 1, alors (Com A)lA = 0n. En particulier, imVl C kerCom A et donc dim ker Com A > rg lA = rg A = n — 1. À ce stade, nous avons établi que 0 est valeur propre de multiplicité au
4. Exercices 55 moins n — 1. La dernière valeur propre est alors tr Com A d'après la proposition V-2.12. Notons Ai, ..., Àn_i, Àn = 0 les valeurs propres de A. Pour t > 0 suffisamment petit, la matrice A + tln est inversible et l'on est ramené à l'étape précédente : r, , A t n v^ det(A + tIn) tr Com( A + tln) = ]T K n) Afc-ht fc=i n n fc=l J = i n—1 n—1 n—1 n—1 = E*IKAi+*) + IKAi+')^IIAi- fc=i j'^1 j=i j=i n-l Or, l'application 11-> trCom(A + tIn) est continue donc trCom A = f| À^. n-l En conclusion, les valeurs propres de Com A sont 0, 0, ..., 0, \\ Xj. 3 = 1 4.6. Exercice. La matrice de permutation associée à a G <5n est la matrice Pa = (ôii(T(j))ij G A4n(K). Montrer que deux permutations sont conjuguées dans &n si, et seulement si, les matrices de permutations associées sont semblables (ce résultat est issu d'une remarque de Brauer). > Eléments de correction. (=>) Soit des permutations <r, p G Gn conjuguées et r G <5n telle que a = r o p o r-1. Comme l'application &n -+ GLn(K) a ^ P* est un morphisme de groupes, on en déduit que PG — PrPpP~x donc que les matrices PG et Pr sont semblables. (<=) Soit des permutations a, p £ &n telles que les matrices Pa et PT sont semblables. Alors, le polynôme caractéristique commun à ces deux matrices est (en échangeant l'ordre des vecteurs de la base canonique de sorte à écrire Pa diagonale par blocs) Y[(xe - i)c*w = Y[(xl - îyw t £ où ct(a) (respectivement ct(p)) désigne le nombre de cycles de longueur £ dans la décomposition en cycles à supports disjoints de a (respectivement
56 V. Éléments propres, caractéristiques 2J7T de p). Alors, en étudiant la multiplicité de e £ comme racine de ce polynôme, on obtient que, pour tout l, £\d £\d Par récurrence, on déduit que, pour tout £, ce(cr) = ce(p) ce qui équivaut classiquement à la conjugaison de a et p. < 4.7. Exercice. Soit A, B e Mn(C). Montrer l'équivalence entre les propriétés suivantes : 1. les matrices A et B ont une valeur propre commune; 2. il existe une matrice M G Mn(C) non nulle telle que AM — MB ; S. la matrice Pa{B) n'est pas inversible. > Eléments de correction. (1 => 2) Soit À G C une valeur propre commune à A et B. C'est aussi une valeur propre de lB puisque xb = X*b- Considérons X et Y des vecteurs propres associés à À pour A et lB respectivement et posons M = iV. Alors, AM = AX'Y = AXV et MB = XVB = XXV. Par conséquent, la matrice M de rang 1 vérifie AM = MB. (2 => 3) Soit M non nulle telle que AM = MB. Remarquons que cette relation entraîne avec une récurrence facile que P(A)M = MP(B) pour tout P eC[X]. Alors, pour P = /i#, on obtient Mpa(B) = 0n et donc Pa{B) est non inversible, car la matrice M est non nulle. (3 => 1) Le polynôme pa £ C[XT] est scindé. Ecrivons donc p ^ = [T(X-Aî)ai. L'hypothèse 3 indique que la matrice n'est pas inversible. Ainsi, il existe un indice i tel que la matrice B — ÀJn est non inversible : À^ est donc une valeur propre commune à A et B. <3 4.8. Exercice. Soit A, B E Mn(C) et r G [l,n|. Montrer l'équivalence entre les propriétés suivantes :
4. Exercices 57 1. les matrices A et B ont au moins r valeurs propres communes comptées avec leurs multiplicités; 2. il existe une matrice M G A4n(C) de rang au moins r telle que AM = MB. Cet exercice est bien entendu une généralisation du précédent et Ton peut se poser la question de l'analogue de la troisième propriété. > Eléments de correction. (1 => 2) Soit Ai, ..., Ar des valeurs propres communes, (Xi,...,Xr) (respectivement (Yî,..., Yr)) une famille libre de vecteurs propres de A (respectivement de tB). Alors, la matrice r i=l est de rang r et vérifie AM = MB. (2 =»• 1) Réciproquement supposons qu'il existe M de rang r' ^ r telle que AM — MB et écrivons M = p( n Ir' 0r'>n-r' )q-\ Décrivons de la même manière les matrices A et B p-iap={aI t)- «-iB«=(t i Jr' ,n—r' La relation AM — MB équivaut alors à A3 = 0n_r/,r/, B2 = 0r et Ai = B\. Ainsi, les matrices P~XAP et Q~1BQ sont triangulaires par blocs avec un bloc de taille r' en commun : leurs polynômes caractéristiques ont donc un facteur commun de degré r', ce qui traduit l'existence d'au moins r' valeurs propres communes. < 4.9. Exercice. Montrer que le sous-espace F de Vespace vectoriel réel A/(n(C) engendré par les matrices M G A/(n(C) à polynôme caractéristique réel est Vhyperplan des matrices de trace réelle. t> Éléments de correction. > Remarquons tout d'abord que F n'est pas égal à l'espace tout entier, donc sa dimension est au plus 2n2 — 1. D> Ensuite, les matrices Ekj pour tout entier k et /, les matrices iEkti pour k y^ l et les matrices iEk,k ~ ^1,1 pour k > 1 forment une famille libre de 2n2 — 1 éléments de F. Par conséquent, dimF = 2n2 — 1. De plus, ces matrices appartiennent toutes à l'hyperplan des matrices de trace réelle (noyau de la forme linéaire non nulle définie par la partie imaginaire de la trace) donc F est égal à cet hyperplan comme annoncé. <\
Chapitre VI Endomorphismes cycliques Objectifs du chapitre - Définir les endomorphismes cycliques. - Caractériser les endomorphismes cycliques en termes de polynôme minimal, de commutant. - Manipuler les matrices compagnons. - Montrer qu'un espace cyclique maximal admet un supplémentaire stable. 1. Définitions 1.1. Rappel. Rappelons que le sous-espace cyclique E^x de l'endomor- phisme / G C(E) engendré par x G E est le plus petit sous-espace stable par / contenant x. Cet espace est engendré par la famille (p{x))je^ et, si dimEf:X = p, alors (x, /(x),..., fp~1{x)) est une base de E^x. 1.2. Définition. Un endomorphisme / G C(E) est cyclique s'il existe x G E tel que E = Ef:X. 1.3. Exemple. Un endomorphisme / d'un espace de dimension 2 est soit une homothétie, soit un endomorphisme cyclique. En effet, si / n'est pas une homothétie, alors il existe un vecteur x tel que dim EfiX > 2 donc Ef^x = E. 1.4. Exemple. Un endomorphisme d'un espace de dimension n qui admet n valeurs propres distinctes est cyclique.
60 VI. Endomorphismes cycliques En effet, en notant Xi, X2, • • • > %n des vecteurs propres associés à chacune des valeurs propres et x = x\ + X2 + • • • + xn, on vérifie immédiatement que (x, /(x),..., fn~1(x)) est une base de I? car le déterminant de la matrice de passage entre les familles (x, /(x),..., fn~1(x)) et (xi,X2,... , xn) est le déterminant de Vandermonde associé aux valeurs propres. 2. Caractérisât ion avec le polynôme minimal 2.1. Proposition. Si f est un endomorphisme cyclique d'un espace E de dimension n, alors le degré du polynôme minimal /j,f est n. Démonstration. Considérons x G E tel que E = E^x. > Supposons que \i$ soit de degré strictement inférieur à n. Alors, fif(f)(x) = 0e donc la famille (x, /(x),..., fn~1(x)) est liée : contradiction. Ainsi deg/jf ^ n. > Comme (x, /(x),..., /n~1(x)) est une base de E, il existe P G Kn_i[X] tel que fn(x) = P(/)(x). Montrons que Q = Xn — P est annulateur de /. Pour tout j G [0,n - 1], <?(/)(/'(*)) = P o <?(/)(*) - /'" (/n(x) - P(f)(x)) = f(0E) = 0E. Par conséquent, Q(f) s'annule sur une base donc Q est annulateur de / et deg fif ^ degQ = n. ï> En combinant les deux résultats, deg/i/ — n. D 2.2. Remarque. Si l'on sait que le degré du polynôme minimal est au plus n, alors on peut donner une preuve plus rapide : le polynôme fifiX est de degré dim Ef:X = n et divise le polynôme minimal fif donc deg/i/ = n. 2.3. Proposition. Si f est un endomorphisme d'un espace E de dimension n tel que le degré du polynôme minimal \i$ est n, alors f est cyclique. Démonstration. Considérons x G E tel que fif = jif,x (qui existe d'après la proposition IV-3.3). Alors, dim Ef^x = deg/i/^ = deg/i/ = n, c'est-à- dire Ef^x = E et / est cyclique. D 3. Caractérisât ion avec le commutant 3.1. Proposition. Si f est un endomorphisme cyclique, alors son commutant C(f) est l'algèbre K[f] des polynômes en f. Démonstration. > L'inclusion K[f] C C(f) est évidente.
3. Caractérisât ion avec le commutant 61 > Soit g G C(f) et x G E tel que E = Ef:X. Comme (x, /(x),..., /n-1(x)) est une base de E", il existe des scalaires ao, ai ..., an_i tels que n-l Mais alors, pour tout j G [0, n — 1], n—1 n—1 fc=0 /c=0 n-l Ainsi, les endomorphismes g et J^ ûfc/fc coïncident sur une base donc sont égaux : g G K[/]. > En combinant les deux résultats, C(f) = K[f]. D 3.2. Proposition. Si f est un endomorphisme tel que son commutant C(f) est Valgèbre K[f] des polynômes en f, alors f est cyclique. Commençons par un lemme technique fondamental indépendant de la notion d'endomorphisme cyclique. 3.3. Lemme. Soit f G C(E) et x G E tel que \ij = /x/}X. Alors, EfiX admet un supplémentaire stable par f. Démonstration. Notons p = dim E^x et considérons la base (ei = x,e2 = /(x),...,ep =/p_1(x)) de EfjX que l'on complète en une base (ei, e2, •.., en) de E. > Le sous-espace F = {y e E, \/j G N, e*(/J(y)) = 0} est stable par /. > Écrivons y G Ey^ H F sous la forme p-i fc=0 Pour tout je[0,p-l], ep(P(y)) — 0 donc <2j = 0 et donc y = 0^. Ainsi, les sous-espaces E/)X et F sont en somme directe. > Calculons enfin la dimension de F. On a rapidement F = {y € £, Vj G [0,p- 11, e;(/^'(y)) = 0}, car K[/]=vect(Id,/,..., F"1).
62 VI. Endomorphismes cycliques La famille de formes linéaires (e* o p):?e|0?p„1j est libre ; en effet, s'il existe des scalaires ao, ai,... ap_i tels que ;?'=0 p-1 alors ]P ajfj(x) G £^/jX H F = {0^}. Par conséquent, ao = ai — ... = i=o ap_i = 0 car la famille (x,/(x),... ,fv~l{x)) est libre. Le sous-espace F est ainsi l'intersection de p hyperplans indépendants donc de dimension n — p. En conclusion, F est un supplémentaire stable de EfiX. □ Revenons à la preuve de la proposition VI-3.2. Démonstration. Comme dans la section précédente, introduisons un vecteur x G E tel que fif = fj,fjX puis considérons F un supplémentaire stable de EfjX. Le projecteur n sur F parallèlement à E^x commute avec / (car les deux sous-espaces sont stables) donc est un polynôme en / : notons 7r — P(f). Alors, P(f)(x) = 7r(x) — 0# donc \i^x = \i divise P, qui est annulateur. Par conséquent, 7r = P(f) est l'endomorphisme nul. En conclusion, F = {0 e} etE = Ef,x. □ 4. Matrice compagnon 4.1. Définition. La matrice compagnon ou matrice de Frobenius d'un n-l polynôme unitaire P(X) = Xn — ^ akXk est la matrice k=0 /O 0 0 a0 \ 1 'ai cP= ° •• '• : ; . : "-. 0 : \ '• • "'• 0 an_2 I \0 0 1 an_i/
4. Matrice compagnon 63 4.2. Remarque. Un endomorphisme / est cyclique si, et seulement si, il existe une base dans laquelle sa matrice est une matrice de compagnon. En effet, s'il existe x G E tel que EfiX — E, on considère la base (xJ(x),...Jn-1(x)). Réciproquement, si dans la base (ei, e2,. •., en), la matrice de / est compagnon, alors EfjCl = E. 4.3. Proposition. Le commutant d'une matrice compagnon A est K[A], c'est-à-dire l'algèbre des polynômes en A. On peut bien entendu déduire ce résultat de la proposition VI-3.1 mais nous allons en proposer une démonstration alternative. Démonstration. > Remarquons dans un premier temps que l'application linéaire f C(A) -> Mn,i(K) \ (rriij) h> (m^i) est injective. Pour cela considérons M dans le noyau de cette application linéaire, ce qui se traduit par les conditions sur les colonnes n Cn(M4) = 5>fcCfe(M) fc=i et pour tout k < n, Ck(MA) = Ck+i(M). > Montrons par récurrence sur k G [1, n] que Cj(M) = 0n,i pour j G [1, k}. - L'initialisation vient de l'hypothèse sur M. - Soit k G [l,n - 1] tel que Cj(M) = 0n,i pour j G [l,fc]. Alors, pour tout j G [1, fe], ^(M) = ^^(M) = 0n,i mais alors Cfc+i(M) - Cfc(Mi) = Cfc(M) = 0n,i. La propriété au rang n indique que M = 0n. En conclusion, l'application linéaire considérée est injective. Par conséquent, dimC(A) ^ dim.Mnji(R) = n. Comme K[Â\ est inclus dans C(A) et de dimension n, on en déduit que C(A) = K[^4]. D 4.4. Remarque. L'idée de cette preuve est que si l'on connaît l'action de C G C{A) sur le premier vecteur de la base E\, alors on la connaît sur les autres vecteurs puisque CAkE1 =AkCE1.
64 VI. Endomorphismes cycliques 5. Polynôme caractéristique 5.1. Proposition. Le polynôme caractéristique de la matrice compagnon de P est le polynôme P. Donnons deux preuves de ce résultat. Démonstration. Notons A(oo,..., an-i)(X) le polynôme caractéristique d'une telle matrice et calculons-le en développant par rapport à la première ligne ou la première colonne A(a0,..., an_x)(X) = (-1)" (-X • A(au..., an^)(X) + (~l)n+1a0) = -a0 + X • A(ai,..., an-i)(X). D'où, par récurrence, A(ao,..., an_i)(X) = P. On a donc montré que le polynôme caractéristique de la matrice compagnon de P est P. □ Pour éviter la récurrence, on peut choisir de calculer le polynôme caractéristique autrement. Démonstration. En développant par rapport à la dernière colonne, on obtient que le polynôme caractéristique est (-!)" (i^(-l)fc+nafc-iAfc,n + (<*„_! - X)AnA . Par ailleurs, le mineur Afc,n est le déterminant d'une matrice diagonale par blocs triangulaires : l'un de taille k — 1 avec —X sur la diagonale, l'autre de taille n — k avec des 1 sur la diagonale. Ainsi, A^n = (—X)k~l d'où l'on déduit le résultat pour le polynôme caractéristique. □ En terme d'endomorphisme cyclique cette proposition se récrit comme suit. 5.2. Proposition. Soit f un endomorphisme cyclique, x G E tel que EfjX = E et ao,<2i, • •., CLn-i £ K tels que n-l Alors, le polynôme caractéristique de f est n-l Xf = xn-J2^xk. k=0 Démonstration. Il suffit de considérer la matrice (compagnon) de / dans la base (x, /(x),..., fn'1(x)) pour se ramener au calcul précédent. □
6. Commentaires et développements 65 Un corollaire direct de ce calcul est que tout polynôme unitaire de degré n est le polynôme caractéristique d'une matrice de taille n x n. On obtient également le résultat plus profond suivant qui est un cas particulier du théorème de Cayley & Hamilton. 5.3. Théorème de Cayley & Hamilton (cas cyclique). Soit / un endomorphisme cyclique. Alors, le polynôme caractéristique Xf es^ annulateur de/. Démonstration. Soit x G E tel que E = EfjX. Il suffit de vérifier que l'en- domorphisme Xf(f) es^ nul sur ^a base (x, /(x),..., fn~~l(x)) et même, comme Xf(f) commute avec /, d'avoir Xf(f)(x) = Os- Or, on a établi ci-dessus que si n-l n*) = X>/fc(*), alors le polynôme caractéristique de / est n-l fc=0 Donc, n-l k=0 D 6. Commentaires et développements 6.1. La décomposition de E en somme de sous-espaces caractéristiques met en évidence les endomorphismes induits par / sur ces sous-espaces, qui sont à leur tour cycliques! De plus, un sous-espace stable F par un endomorphisme cyclique se découpe bien sur la décomposition de E en sous-espaces caractéristiques, car les projecteurs sont des polynômes en / et donc laissent stable F. Pour déterminer les sous-espaces stables d'un endomorphisme cyclique, on est ramené à chercher les sous-espaces stables d'un endomorphisme cyclique ayant comme polynôme minimal la puissance d-ème d'un polynôme irréductible P. L'affirmation est alors que les sous-espaces stables sont les sous-espaces qui apparaissent dans la suite des noyaux itérés ker Pk(f) avec fce|o,dl.
66 VI. Endomorphismes cycliques Dans ce cas, les éléments de la preuve sont alors les suivants : - un endomorphisme induit par un endomorphisme cyclique est cyclique ; - si F est un sous-espace stable, et si le polynôme minimal de l'endomorphisme induit fp est Ps alors F Ç kerPs(/) et la dimension de F est celle du polynôme minimal donc dimkerPs(/). On détaille le premier point dans les commentaires suivants. 6.2. Un endomorphisme / cyclique sur E fait de E un R = K[X)-module engendré par un seul élément (on dira aussi cyclique) ; autrement dit, le P-module Ef s'identifie à un quotient R/I, où / est l'idéal annulateur d'un vecteur x tel que E — Ef:X. Le P-module R/I est engendré par la classe de 1, est donc bien cyclique. L'action de X dessus correspond à l'action de l'endomorphisme /. Il est alors immédiat qu'il existe une base (à savoir les classes des monômes 1, X, X2, ..., Xd~1) de E où la matrice de / est une matrice compagnon. Par ailleurs, les sous-espaces stables par / correspondent aux sous-modules de l'anneau R/I. 6.3. L'exercice VI-7.6 fournit une preuve élémentaire que l'endomorphisme induit par un endomorphisme cyclique sur un sous-espace stable est cyclique. Soit / un endomorphisme cyclique de E, x G E tel que EfjX = E et F un sous-espace stable par /. On considère l'idéal formé des polynômes P tels que P(f)(x) soit dans F. Si D est un générateur de cet idéal, alors D(f)(x) est un vecteur cyclique pour l'endomorphisme induit fp. C'est exactement la même démonstration qui permet d'obtenir que les idéaux de Z/nZ sont principaux (cycliques). Pour un tel idéal /, on considère l'ensemble 7r-1(7), où n : Z -> Z/nZ est la surjection canonique, des entiers m tels que m soit dans I. On conclut en disant que I = 7r(7r-1(/)), par surjectivité. De manière plus générale, si A est un anneau principal et / un idéal de A, les sous-modules du module cyclique A/I sont de la forme J/I où J est un idéal de A contenant I. Comme J est principal, le sous-module J/I est cyclique (engendré par la classe modulo / d'un générateur de J). 6.4. La manière savante d'étudier la finitude de l'ensemble des sous-espaces stables pour l'endomorphisme cyclique / G £(P), dans le cas où le polynôme minimal est une puissance Pm d'un polynôme irréductible P, est de dire que E est un IK[X]/(Pm)-module cyclique. L'anneau R = K[X]/{Prn) est local, notre P-module cyclique est donc isomorphe à un P-module de
7. Exercices 67 la forme R/I, où I est un idéal. Les sous-modules de E sont les idéaux de l'anneau P//, c'est-à-dire les J/I où J est un idéal de R contenant I. Or, les idéaux de R sont respectivement engendrés par Pm, Pm_1,..., P, 1. Il y a donc m + 1 sous-modules donc autant de sous-espaces stables par / et nous connaissons ces sous-espaces {0} C kerP(/) C • • • C kerP™-1^) C kerPm(/) - E. 7. Exercices 7.1. Exercice. Soit f G C(E), x, y G E tels que les polynômes /i/?x et fif^ soient premiers entre eux. Montrer que Ef,x+y = Ef,x ®Ef,y t> Éléments de correction. > Remarquons tout d'abord que si z G EfiX C\ Ef^y, alors fJ>fiX(f)(z) = fi>fiy(f)(z) = 0e- En écrivant la relation de Bézout entre \i^x et /i/)3/, on obtient que z — 0#. Les deux sous-espaces cycliques sont donc en somme directe. > Soit z G EftX+y ; il existe P G K[X] tel que z = P(f)(x + y) = P{f)(x) + P(f)(y) €EfiX®Efiy. Ainsi, Ef,x+y C EfjX ®Efjy. > Soit z G EfiX@Efiy ; il existe P,Qg K[X] tels que z = P(f)(x)+Q(f)(y). Comme /jifjX et /x/î2/ sont premiers entre eux, il existe un polynôme R G K[X] (construit à partir de l'identité de Bézout par exemple) tel que [x^x divise R — P et \i^y divise R — Q. Avec un tel polynôme P, P(f)(x) = R(f)(x) et Q(f)(y) = R(f)(y) et donc, z - R(f)(x + y) G £/>ÎB+î/. En conclusion, Ef,x+y = EfjX ®Efjy. < 7.2. Exercice. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour qu'un endomorphisme nilpotent soit cyclique. > Éléments de correction. Si / est un endomorphisme nilpotent d'un espace E de dimension n, alors jif = Xp où p est l'indice de nilpotence de /. Or, on a vu que / est cyclique si, et seulement si, deg fif = n. En conclusion, un endomorphisme nilpotent est cyclique si, et seulement si, son indice est la dimension de l'espace. <
68 VI. Endomorphismes cycliques 7.3. Exercice. Montrer que les endomorphismes suivants de Wn[X] sont cycliques : 1. P^P' 2. Pk?(I + 1)-P(I) > Éléments de correction. Ces deux endomorphismes sont nilpotents d'indice maximal n + 1 = dimMn[X] donc cycliques. < 7.4. Exercice. Montrer qu'une rotation de M3 d'angle 0 ^ ttZ est un endomorphisme cyclique. ï> Eléments de correction. Une telle rotation R n'est pas une homothétie donc son polynôme minimal est de degré au moins 2. Supposons que le polynôme minimal /jlr soit de degré 2. Alors, 1 est racine de /jlr (car 1 est valeur propre avec pour sous-espace propre l'axe de la rotation) et donc jir admet une autre valeur propre réelle. Cette dernière valeur propre ne peut être que 1 ou — 1 car R conserve la norme (endomorphisme orthogonal). Ce résultat est contradictoire avec la condition sur l'angle. En conclusion, le polynôme minimal de R est de degré 3 donc R est cyclique. < 7.5. Exercice. Montrer que deux matrices A, B G M.2Q&) de trace nulle et qui commutent sont proportionnelles. > Eléments de correction. > Si la matrice A est nulle, le résultat est évident car alors, B = OA t> Sinon, A est cyclique (car elle ne peut être scalaire à cause de la condition sur la trace) et la matrice B appartient à son commutant. D'après la caractérisation de la cyclicité par le commutant, B est un polynôme en A : il existe des scalaires a, /3 G M tels que B = a A -f /3i2. D'après la condition tr(jB) = 0, j3 = 0 et l'on obtient B = aA. < 7.6. Exercice. 1. Montrer que si f est un endomorphisme cyclique, x G E tel que E = EfjX et F un sous-espace stable par f, alors il existe un diviseur D de fif tel que F = EfiD(f)(x). Indication : on pourra considérer l'idéal {P G K[X], P(f)(x) G F}. 2. En déduire qu'un endomorphisme cyclique n'admet qu'un nombre fini de sous-espaces stables.
7. Exercices 69 3. Supposons le corps de base K infini. Montrer qu 'un endomorphisme qui n'admet qu'un nombre fini de sous-espaces stables est cyclique. Indication : on remarquera qu'une réunion finie de sous-espaces stricts ne peut être égale à l'espace tout entier. > Éléments de correction. 1. On vérifie rapidement que l'ensemble Xp — {P G K[X], P(f)(x) G F} est bien un idéal de K[X] car F est stable. Soit D un générateur de cet idéal. > Comme fif E Xp, D divise jif. > Comme D(f)(x) appartient à F (par définition de D) et F est stable par /, £f,D(/)0r) C F. > Soit y G F et P G K[X] tel que y = P(f)(x) (qui existe car E = EfiX). Effectuons la division euclidienne de P par D : P = QD + i? avec degi? < degD. Alors, R(f)(x) = P(/)(:r) - Q(/) o £>(/)(*) = y - Q(f) (D(/)(x)) G F. Par conséquent, i? G Xp et par minimalité de D, jR est le polynôme nul. En conclusion, y = Q(f) (D(f)(x)) G £?/,d(/)(x)- Par double inclusion, F = Ef^D(f)(xy 2. Soit / un endomorphisme cyclique. Comme il n'y a qu'un nombre fini de diviseurs de /i/, il y a un nombre fini de sous-espaces stables, d'après la description obtenue à la question précédente. 3. Supposons que l'endomorphisme / G C(E) n'admet qu'un nombre fini de sous-espaces stables et considérons l'ensemble A obtenu par réunion des sous-espaces stables différents de E. Comme le corps est infini, A ^ E. Le sous-espace EfiX pour x £ A est stable et n'est pas inclus dans A donc n'est pas un sous-espace strict de E : par conséquent, E = EfiX et / est cyclique. > À la question 1, on a en particulier démontré que l'endomorphisme induit par f sur F est cyclique (pour le vecteur D(f)(x)). t> Remarquons que si le corps K. est fini, tous les endomorphismes n'admettent qu'un nombre fini de sous-espaces stables, car il n'y a qu'un nombre fini de sous-espaces. La question 3 n'est donc pas pertinente dans ce cas.<\
Chapitre VII Théorème de Cayley & Hamilton Objectifs du chapitre - Démontrer le théorème de Cayley & Hamilton. - Comprendre les conséquences du théorème de Cayley & Hamilton sur les sous-espaces caractéristiques. - Explorer les liens entre les différentes multiplicités associées à une valeur propre. 1. Enoncé et conséquences Pour comprendre le rôle important des sous-espaces caractéristiques pour la réduction, expliquons que le polynôme caractéristique est annulateur. 1.1. Théorème de Cayley & Hamilton. Soit / G C(E). Le polynôme caractéristique de / est annulateur de /. Voici un énoncé équivalent. 1.2. Théorème de Cayley & Hamilton. Soit / G C(E). Le polynôme minimal jif divise le polynôme caractéristique Xf- En particulier, degfif < dimE.
72 VIL Théorème de Cayley & Hamilton 2. Preuve par les sous-espaces cycliques Commençons par une première preuve exploitant les notations de sous- espaces cycliques. Démonstration. Soit x G E, g l'endomorphisme induit par / sur le sous- espace cyclique E^x. On a déjà montré que Xg(d) — ®c(E) (proposition VI-5.3) donc Xg(f)(x) = °£- Or, Xg divise Xf donc Xf(f)(%) = ®e- Cette relation étant vraie pour tout x G E, on a bien Xf(f) = 0/:(£;)- ^ 3. Preuve par la formule de la comatrice Donnons une nouvelle preuve en apparence plus naturelle, mais qui illustre la difficulté à manipuler le morphisme d'algèbre qui à un polynôme P associe l'endomorphisme P(f). Commençons par rappeler la formule de la comatrice. 3.1. Proposition. Pour tout M G Mn(A) à coefficients dans un anneau intègre A, MtCom(M) = det(M)In. Démonstration. Pour démontrer le théorème de Cayley & Hamilton pour une matrice M G Mn(K), appliquons la formule de la comatrice à la matrice M — Xln G À4n(]K[X]) e^ adoptons les notations suivantes : n XM(l)^afeeK[l], k=0 n-1 tCom(M - Xln) = ]T MkXk G Mn(K[X]). k=0 Alors, le polynôme n (M - XIn)tCom(M - Xln) = Y.^MMk ~ Mk-i)X\ k=0 avec la convention M_i = Mn = 0n, coïncide avec XM(X)In. En identifiant les coefficients, on obtient, pour tout k G [0,n], M M* - Affc_i =akïn.
4. Sous-espaces caractéristiques 73 Mais alors, n XM(M) = Y^akMk k=0 n fc=0 = Mn+1Mn - M°M_i = 0n. n 4. Sous-espaces caractéristiques 4.1. Corollaire. Soit f un endomorphisme de E de polynôme caractéristique scindé. Alors, E est la somme directe des sous-espaces caractéristiques def. En particulier, la dimension d'un sous-espace caractéristique est égale à la multiplicité algébrique de la valeur propre. Démonstration. Le premier point est une application du théorème des noyaux (théorème IV-2.1) au polynôme Xf- Notons Ai,..., Xp les valeurs propres deux à deux distinctes de /, rai,..., mp les exposants associés, /i,..., fp les endomorphismes induits par / sur les sous-espaces caractéristiques. Alors, d'après le premier point, p 2=1 Or, la seule racine du polynôme scindé Xfi es^ K (car fi annule (X-- A^)mi). Ainsi degxfi est la multiplicité ra$. On conclut que degx/* est la dimension d'un sous-espace caractéristique associé à À*. □ 5. Multiplicités Il est temps de comparer les trois notions de multiplicité que nous avons introduites. 5.1. Rappel. Soit / un endomorphisme et A une valeur propre de /. > La multiplicité algébrique raa(A) de A est sa multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique %/• > La multiplicité minimale ram(A) de A est sa multiplicité en tant que racine du polynôme minimal fif.
74 VIL Théorème de Cayley & Hamilton t> La multiplicité géométrique mg(\) de À est la dimension du sous-espace propre associé E\(f). 5.2. Exemple. Le scalaire 1 est une valeur propre de la matrice 0 0 0 \ 10 0 0 11 0 0 1/ Les multiplicités associées sont mm(l) = 2 (car fiA = (X — l)2), raa(l) = 4 (car xa = (X — l)4) et m^(l) = 3 (le sous-espace propre est engendré par les trois premiers vecteurs de la base canonique). 5.3. Proposition. Soit f un endomorphisme et X une valeur propre de f. Alors 1 < rrig(X) ^ ma(X), 1 ^ ram(A) < ma(A). Démonstration. > Le scalaire A est une valeur propre de / donc son sous- espace propre associé est de dimension au moins 1. Ainsi, mg(X) ^ 1. > Le sous-espace propre associé à A est inclus dans le sous-espace caractéristique correspondant, soit en passant à la dimension, mg(X) < raa(A). t> Le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique (car celui-ci est annulateur d'après le théorème de Cayley & Hamilton) ; par conséquent, la multiplicité de A en tant que racine de fjbf est inférieure ou égale à la multiplicité de A comme racine de x/ : à savoir, ram(A) ^ ma(X). □ 6. Commentaires et développements 6.1. En dimension 2, le théorème de Cayley & Hamilton peut être mis en évidence dès le début d'un cours de calcul matriciel : il suffit de calculer directement A2 — (trA)A. 6.2. On peut consulter d'autres preuves du théorème de Cayley & Hamilton dans l'ouvrage Réduction des endomorphismes, Rached Mneimné, Calvage & Mounet, 2006 en page 19 et en pages 26-27. Cette dernière preuve repose sur l'argument pour la matrice générale X = (Xij) ayant pour coefficients les n2 indéterminées Xij qui est diagonalisable puis sur un argument de spécialisation. A = ( 1 0 0
7. Exercices 75 6.3. Le théorème de Cayley & Hamilton permet d'établir que la comatrice d'une matrice A appartient à l'algèbre K[A). 6.4. L'arrivée du polynôme caractéristique met en évidence un ouvert algébrique important, en l'occurrence l'ouvert des matrices à valeurs propres distinctes (c'est l'ensemble des matrices qui n'annule pas le discriminant du polynôme caractéristique). Cet ensemble est un ouvert (algébrique) connexe dense de .Mn(C). On établit souvent les choses pour ces matrices et l'on passe au cas général par densité. Par exemple, on peut établir l'égalité entre formes quadratiques tr((adm)2) = 2ntr(M2) — 2tr(M)2. Il suffit de la vérifier pour une matrice diagonale puis pour une matrice diagonalisable puis d'exploiter la densité. 6.5. Si l'on dispose d'une preuve du théorème de Cayley & Hamilton ne passant pas par les endomorphismes cycliques, le calcul du polynôme caractéristique d'une matrice compagnon Cp s'avère immédiat. On écrit en effet que le polynôme minimal de Cp en le dernier vecteur de base en divise le polynôme minimal lequel divise le polynôme caractéristique. Mais, il est immédiat de donner l'expression du polynôme minimal en en, lequel est P, et donc en particulier de degré n. C'est donc le polynôme caractéristique de Cp. 6.6. Récrivons les inégalités de la proposition VII-5.3 1 < rrig(X) < ma(X) 1 < mm(X) ^ ma(\). Alors, D> il y a égalité à droite dans la première ligne si, et seulement si, il y a égalité à gauche dans la seconde (voir l'exercice VII-7.6) ; si cela se produit pour toutes les valeurs propres d'une matrice complexe, alors elle est diagonalisable. > il y a égalité à gauche dans la première si, et seulement si, il y a égalité à droite dans la seconde ; si cela se produit pour toutes les valeurs propres d'une matrice complexe, alors elle est cyclique. 7. Exercices 7.1. Exercice. Soit A E .M2OK) de trace non nulle. Montrer qu'une matrice commute avec A si, et seulement si, elle commute avec A2. Le résultat est-il toujours vrai si Von ôte l'hypothèse sur la trace de A ?
76 VIL Théorème de Cayley & Hamilton > Eléments de correction. > Le sens direct est évident. Pour le sens retour, il suffit de remarquer que, d'après le théorème de Cayley & Hamilton, A G vect(A2,I2). > Le résultat n'est plus vrai comme on peut le voir avec la matrice -Ci)- Comme A2 = 02, il suffit de remarquer que toutes les matrices ne commutent pas avec A pour établir le contre-exemple. < 7.2. Exercice. Soit A, B G M2(K). Montrer que la matrice (AB - BA)2 est scalaire. > Éléments de correction. Remarquons tout d'abord que le théorème de Cayley & Hamilton donne l'identité suivante, pour toute matrice M G M2(K), M2 = (tiM)M - (detM)I2. Or, ti(AB-BA) = 0 donc (AB-BA)2 = -det(AB-BA)I2 est scalaire.^ 7.3. Exercice. Soit A, B G M2{K). 1. Montrer que AB + BA = (trB)A + (tr A)B + (tr AB - tr Atr B)l2. 2. En déduire que si tr A = tri? = 0, alors la matrice AB -h BA est scalaire. t> Éléments de correction. 1. Remarquons, comme dans l'exercice précédent, que le théorème de Cayley & Hamilton donne l'identité suivante, pour toute matrice M G M2(K), M2 = (trM)M-(detM)I2. Alors, AB + BA = (A + B)2 - A2 - B2 = (tr(A + B))(A + J3) - (tr A)A - (tr5)5 +(det A + det 5 - det(A + B))I2 = {tvB)A + (tr A)B + (det A + det 5 - det (A + 5))I2. Pour conclure, remarquons qu'en prenant la trace, l'identité déduite de
7. Exercices 77 Cayley & Hamilton donne, pour toute matrice M G A^QK), 2 det M = (trM)2 -trM2. Par conséquent, det A + det B - àet{A + B) = tr AB - tr Atr 5, et l'on obtient bien la formule de l'énoncé. 2. Il suffit d'appliquer la formule précédente. < 7.4. Exercice. Montrer qu'il n'existe pas de matrice M G M$(R) telle que [iM = (X2 + l)2. > Éléments de correction. Supposons qu'une telle matrice existe. Son polynôme caractéristique est de degré 5 donc admet une racine réelle, donc M admet une valeur propre réelle. Comme toutes les valeurs propres sont racines du \iMï il faudrait que \im admette une racine réelle ce qui n'est pas le cas. <\ 7.5. Exercice. Soit M G Mn(M). Montrer que hm et xm ont les mêmes facteurs irréductibles. \> Eléments de correction. > Remarquons tout d'abord que /xm divise xm donc les facteurs irréductibles de \im sont des facteurs irréductibles de xm- > Par ailleurs, remarquons que xm et \im ont les mêmes racines complexes (les valeurs propres de M). Si P est un facteur irréductible de xm-, ses racines complexes sont racines de /jlm donc P divise jim- Ce résultat immédiat ici sera le point de départ de l'étude des invariants de similitude au chapitre XL Nous n'avons utilisé le corps R ou C que dans le second point. B. Randé nous a rappelé le raisonnement élémentaire suivant qui permet d'échapper à cette contrainte sur le corps de base. D'après les règles de calcul dans un anneau (plus précisément, la factorisation de an — bn pour a et b deux éléments qui commutent), il existe un polynôme à coefficients matriciels Qm tel que I^M{x)ln = Vm{x)Iti ~ Mm (M) = (xln - M)QM(x). En passant au déterminant, fiM{%)n = Xm(#) det(QM(^)); donc les facteurs irréductibles de Xm divisent jjlm- <
78 VIL Théorème de Cayley & Hamilton 7.6. Exercice. Soit f G C(E) et A une valeur propre de f. Montrer que rap(A) = ma(\) si, et seulement si, ram(A) = 1. O Éléments de correction. Décomposons l'espace E = F\®G où F\ est le sous-espace caractéristique associé à A et G est la somme directe de tous les autres sous-espaces caractéristiques. Par construction, le polynôme minimal de fc n'admet pas A comme racine donc le polynôme minimal de fpx est Alors, mrn(X) — 1 si, et seulement si, fpx — AId^A, c'est-à-dire si, pour tout x G F\, f(x) = Xx : cette condition équivaut à l'égalité entre le sous- espace propre et le sous-espace caractéristique associé à A et donc étant donnée l'inclusion triviale entre ces deux espaces, à l'égalité des dimensions mg (A) = ma(X). <
Chapitre VIII Diagonalisation Objectifs du chapitre - Maîtriser les critères de diagonalisation. - Comprendre le lien entre co-diagonalisation et commutation. 1. Critères de diagonalisation Comme les vecteurs colonnes d'une matrice sont les images des vecteurs de la base, si la matrice M est diagonale, alors la base canonique est une base de vecteurs propres de M. 1.1. Définition. > Un endomorphisme est diagonalisable s'il existe une base dans laquelle sa matrice est diagonale, c'est-à-dire s'il existe une base de vecteurs propres pour cet endomorphisme ou encore si l'espace est la somme directe des sous-espaces propres. > Une matrice est diagonalisable si, et seulement si, elle est semblable à une matrice diagonale. 1.2. Remarque. Avec cette définition et celle de la relation de similitude, on vérifie immédiatement qu'une matrice est diagonalisable si, et seulement si, l'application linéaire qui lui est canoniquement associée est diagonalisable. Les valeurs propres de / sont alors les coefficients diagonaux de toute matrice diagonale à laquelle la matrice de / est semblable.
80 VIII. Diagonalisation 1.3. Exemple. Si une matrice M est diagonalisable et n'admet qu'une seule valeur propre, alors M est scalaire (car elle est semblable à la matrice scalaire). L'objectif de ce paragraphe est d'obtenir des conditions nécessaires et/ou suffisantes pour la diagonalisabilité d'un endomorphisme. Commençons par un résultat simple. 1.4. Proposition. Si un endomorphisme f d'un espace vectoriel E admet n — dim E valeurs propres deux à deux distinctes, alors f est diagonalisable. Démonstration. Si / admet n valeurs propres deux à deux distinctes, alors une famille de vecteurs propres associés à chacune de ces valeurs propres est libre et de cardinal n donc c'est une base. On a trouvé une base de vecteurs propres de / donc / est diagonalisable. □ 1.5. Exemple. Une matrice triangulaire avec des coefficients diagonaux deux à deux distincts est diagonalisable (car ses valeurs propres sont précisément ces coefficients diagonaux). 1.6. Corollaire. Soit f G C{E). Si son polynôme caractéristique Xf est scindé à racines simples, alors f est diagonalisable. Démonstration. Les racines de Xf sont les valeurs propres de /. L'hypothèse implique que / admet n valeurs propres distinctes, donc est diagonalisable d'après la proposition précédente. □ Passons désormais à des critères (c'est-à-dire des conditions nécessaires et suffisantes) de diagonalisabilité. 1.7. Théorème. Un endomorphisme f est diagonalisable si, et seulement si, f admet un polynôme annulateur scindé à racines simples. Démonstration. (=>) Si / est diagonalisable, il existe une base (ei,..., en) de vecteurs propres; notons (\k)ke\i,m\ les valeurs propres distinctes. Le m polynôme f| {X — A&) est annulateur de / : en effet, pour tout i G [l,n],
1. Critères de diagonalisation 81 en notant A/-, la valeur propre associée à e$, m P(f)(ei) = Y[(f-XkldB){ei) fc=l m = II (/ - AfeId£) ° (/ - Afc.Ide)(e0 = °£- fc = l m (<=) Soit P(X) = n (X — Àfc), avec À& 7^ Aj dès que k ^ j, un polynôme fc=i annulateur de / scindé à racines simples. Puisque les complexes {\k)ke[i,m} sont deux à deux distincts, les polynômes (X — \k)ke{i,ml sont deux à deux premiers entre eux. En appliquant le lemme des noyaux, on obtient la décomposition de m E = 0ker(/-Afclds) fc=i comme somme directe de sous-espaces propres de /. Par conséquent, / est diagonalisable. □ Ce résultat admet la réécriture immédiate suivante. 1.8. Théorème. Un endomorphisme f est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme minimal jif est scindé à racines simples. 1.9. Exemple. Les projecteurs et les symétries vectorielles sont diago- nalisables car ils admettent des polynômes annulateurs scindés à racines simples (respectivement X2 — X et X2 — 1). 1.10. Exemple. Le seul endomorphisme nilpotent et diagonalisable est Tendomorphisme nul. En effet, si / est un tel endomorphisme, alors / admet un polynôme annulateur scindé à racines simples P et un polynôme annulateur de la forme Xm. D'où, P divise Xm et par conséquent P = X. D'où / est l'endomorphisme nul. 1.11. Exemple. Soit A G M.n(M) un endomorphisme tel que A5 = In. > A est diagonalisable en tant que matrice complexe (donc avec une matrice diagonale et des matrices de passage à priori à coefficients complexes) puisqu'elle annule le polynôme scindé à racines simples X5 — 1. D> Si A est diagonalisable sur R, alors le polynôme minimal jjla divise X5 — 1 et est annulateur scindé à racines simples; en conclusion, /aa = X — 1, donc A = ln.
82 VIII. Diagonalisation 1.12. Exemple. Un endomorphisme de rang 1 est diagonalisable si, et seulement si, sa trace est non nulle. En effet, si / est un endomorphisme de rang 1, sa matrice dans une base quelconque est de la forme M = XV donc M2 = X?YX) Y = (tYX)XtY = tr(M)M car YX = tr(M) G K. Ainsi, si la trace est non nulle, alors M annule un polynôme scindé à racines simples donc est diagonalisable ; sinon M2 = 0n et d' après l'exemple précédent, la condition M diagonalisable entraîne M = 0n ce qui est contradictoire avec rg(M) = 1. On peut aussi voir, en notant la dimension de l'espace n, que le noyau est de dimension n — 1 donc la dimension de l'espace propre associé à la valeur propre 0 est n — 1 ; alors / est diagonalisable si, et seulement si, / admet une autre valeur propre (c'est-à-dire une valeur propre non nulle). 1.13. Exemple. Soit A G Mn(R) diagonalisable et G a l'endomorphisme de Mn(R) défini par Ga(M) = AM (multiplication à gauche par A). Montrons que G a est diagonalisable. Comme A est diagonalisable, il existe un polynôme P scindé à racines simples, annulâteur de A. Un rapide calcul donne que, pour tout M G Mn(R), P{GA){M) = P{A)M = 0n (c'est-à-dire Gp^A) — P(Ga)), donc P est aussi annulateur de G a qui est donc diagonalisable d'après la caractérisation précédente. 1.14. Exemple. Soit A G A4n(K) une matrice diagonalisable. Alors, la matrice est diagonalisable. d> En effet, A admet un polynôme annulateur scindé à racines simples P et P(A) 0, 0„ P(A) P(B)= ^^ p^ =02n. > Une autre méthode consiste à écrire A — QDQ 1 avec Q inversible et D diagonale et à remarquer que R = ( Q 0n\{ D °n\[Q °n ' ^ ' 0n Q M On D A °n Q Essayons de regarder une réciproque à l'affirmation de cet exemple.
1. Critères de diagonalisation 83 1.15. Exemple. Soit A, B et C E M.n(K) telles que la matrice est diagonalisable. Montrons que A et C sont diagonalisables. En effet, M admet un polynôme annulateur scindé à racines simples P et Par conséquent, P(A) = P{C) — 0n : A et C sont diagonalisables. 1.16. Proposition. La restriction d'un endomorphisme f diagonalisable à un sous-espace F stable pour f est un endomorphisme (mais de F cette fois) diagonalisable. Démonstration. Un polynôme annulateur scindé à racines simples qui annule / annule aussi fp, donc fp est diagonalisable. □ Après avoir détaillé un critère reposant essentiellement sur /xy, revenons au polynôme caractéristique. 1.17. Théorème. Un endomorphisme f est diagonalisable si, et seulement si, Xf es~k scindé et la dimension de chaque sous-espace propre est égale à la multiplicité algébrique de la valeur propre correspondante (c'est-à-dire la multiplicité de la valeur propre dans Xf)- Démonstration. D'après le lemme des noyaux et le théorème de Cayley & Hamilton, E est la somme directe des sous-espaces caractéristiques. Or chaque sous-espace caractéristique contient le sous-espace propre associé à la même valeur propre. Par conséquent, E est la somme directe des sous- espaces propres si, et seulement si, les sous-espaces propres et caractéristiques associés à une même valeur propre sont égaux (c'est-à-dire s'ils ont même dimension). On trouve le résultat annoncé en rappelant que la dimension d'un sous-espace caractéristique est égale à la multiplicité algébrique de la valeur propre associée (corollaire VII-4.1). □ 1.18. Corollaire. Un endomorphisme f d'un espace de dimension n est diagonalisable si, et seulement si, la somme des dimensions des sous-espaces propres est égale à n. Démonstration. La somme des dimensions des sous-espaces propres est inférieure à la somme des dimensions des sous-espaces caractéristiques. L'égalité n'est possible que si chaque espace propre a la même dimension que
84 VIII. Diagonalisation l'espace caractéristique associé. Le résultat provient alors de la proposition précédente. D 2. Critère de co-diagonalisation 2.1. Définition. Une famille finie d'endomorphismes (fk)keli,N] d'un espace vectoriel E est co-diagonalisable s'il existe une base de E dans laquelle chacun des endomorphismes fk pour k G [1,TV] admet une matrice diagonale. D'après les résultats sur les sous-espaces stables déjà montrés, on sait que les sous-espaces propres d'un endomorphisme sont stables pour tous les endomorphismes qui commutent avec lui. En fait, ce résultat s'inscrit dans un cadre plus général et la commutativité entre endomorphismes diagonali- sables est une condition nécessaire et suffisante pour la co-diagonalisabilité. 2.2. Proposition. Une famille finie (fk)ke\i,N] d'endomorphismes dia- gonalisables est co-diagonalisable si, et seulement si, pour couple (z, jr) G Jl,7V]2; les endomorphismes fi et fj commutent. Démonstration. > S'il existe une base dans laquelle chacun des endomorphismes fk pour k G [l,iV] admet une matrice diagonale, alors les endomorphismes commutent deux à deux (car deux matrices diagonales commutent). > Réciproquement, montrons par récurrence sur TV que si tous les endomorphismes d'une famille de N endomorphismes diagonalisables commutent deux à deux, alors la famille est co-diagonalisable. > Le résultat est évidemment vrai pour un endomorphisme diagonalisable. > Soit AT" G N*. Supposons que toute famille de N endomorphismes diagonalisables qui commutent deux à deux est co-diagonalisable et considérons une famille (/Oief^jv+ij de N + 1 endomorphismes qui satisfont ces conditions. Si tous les fi sont des homothéties alors le résultat est établi ; sinon, il existe au moins un endomorphisme (que nous supposerons être /jv+i quitte à réordonner la famille) qui admet au moins deux sous-espaces propres et donc E = En+i © F avec £W+i un sous-espace propre de /jv+i et F la somme des autres sous-espaces propres de /jv+i- Chacun de ces deux sous- espaces est stable par (fk)ke{i,Nj • les N endomorphismes induits sur E^+i (respectivement sur F) sont diagonalisables et commutent deux à deux donc
3. Commentaires et développements 85 sont co-diagonalisables d'après l'hypothèse de récurrence. En concaténant les bases ainsi déterminées de jE7/v+i et de F, on obtient une base de E où chacun des endomorphismes (/i)ie[:L,iv+i] admet une matrice diagonale. □ 2.3. Exemple. Soit A, B <E M.n(M) diagonalisables. Montrons que l'endo- morphisme ' Mnm -> MJR) 6 : \ M »-* AMB est diagonalisable. D'après l'exemple VIII-1.13, les endomorphismes G a ■ M >-> AM et Db : M i-> MB sont diagonalisables ; or, ces endomorphismes commutent, car pour toute matrice M G .Mn(]R), GA o DB(M) = DBo GA{M) = AMB. La proposition précédente assure l'existence d'une base commune de vecteurs propres ; dans cette base, la matrice de G = G a ° Db est diagonale donc 6 est diagonalisable. 3. Commentaires et développements 3.1. Il existe d'autres critères de diagonalisabilité comme le théorème spectral pour les matrices symétriques réelles ; toutefois ce résultat relève de l'algèbre bilinéaire même si sa conclusion semble le faire appartenir au domaine de l'algèbre linéaire. Remarquons que ce résultat n'est plus vrai pour les matrices symétriques complexes comme par exemple pour la matrice complexe suivante (avec pour seule valeur propre 0) 1 i i -1 3.2. On vérifie facilement que si A = PBP~X, alors ad a et adB sont semblables avec l'automorphisme 3>p : X H> PXP~1. Par conséquent, si A est diagonalisable, ad a l'est aussi puisque pour une matrice D diagonale, ado est diagonale. La réciproque est vraie comme on le verra plus tard avec la décomposition de Jordan & Dunford. Toutefois, un argument élémentaire (laissé au lecteur) peut être obtenu à partir de la remarque évidente suivante : si X est
86 VIII. Diagonalisation un vecteur propre de A et M un vecteur propre pour ad a, alors MX est soit nul, soit un vecteur propre de A. 3.3. Attention à ne pas confondre diagonalisation par similitude et diagonalisation par congruence ! Les matrices congruentes à une matrice diagonale sont les matrices symétriques. La matrice (il) est « diagonalisable au sens de la similitude » (car ses valeurs propres sont distinctes), mais pas « diagonalisable au sens de la congruence » (car elle n'est pas symétrique). 3.4. La somme ou la différence de deux matrices diagonalisables n'est pas en général diagonalisable. Remarquons par exemple l'égalité suivante (oîM-M;:)- On peut facilement montrer qu'il existe une base de A4n(M) ou de .Mn(C) faite de matrices diagonalisables (remarquer que les matrices à valeurs propres distinctes forment un ouvert). 4. Exercices 4.1. Exercice. Déterminer les matrices M G Mn(^) telles que M2 = M et tr(M) = 0. > Éléments de correction. Comme X2 — X est annulateur scindé à racines simples 0 et 1, M est diagonalisable et sa trace est la somme de ses valeurs propres (comptées avec leur multiplicité). En conclusion, M est diagonalisable avec 0 pour seule valeur propre : M est la matrice nulle. <\ 4.2. Exercice. Etudier la diagonalisabilité de la matrice M — (rriij) G M.2n{(£) définie par f 0 sii=j[2], ,J [ 1 sinon. > Eléments de correction. Un rapide calcul donne que M2 — nA avec A = (a>ij) G A42n(C) la matrice définie par a = f 0 siz^j[2], M | 1 sinon. puis que MA — nM. Par conséquent, M3 = n2M. Comme le polynôme
4. Exercices 87 annulateur X3 — n2X est scindé à racines simples, la matrice M est diago- nalisable. < 4.3. Exercice. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur les complexes u\,..., un, vi,..., vn pour la diagonalisabilité de la matrice / 0 ..." 0 U! \ M 0 ... 0 un \ Vi ... Vn 0 ) > Éléments de correction. Écrivons la matrice par blocs M = , tl On U V 0 avec [/et Vg A/fn,i(C) les vecteurs de coordonnées iti,..., un et vi, respectivement. Alors, le calcul des puissances successives donne n Ainsi, M admet pour polynôme annulateur X3 — ]P UkVkX. fe=i n > Si ^ itfcf fc ^ 0, ce polynôme est annulateur et scindé à racines simples fc=i donc M est diagonalisable. > Sinon, M est nilpotente donc est diagonalisable si, et seulement si, M = 0n+i- En conclusion, M est diagonalisable si, et seulement si, M est nulle ou n fc=i Une autre approche de l'exercice serait de considérer d'abord la condition plus faible M2 diagonalisable qui équivaut à la diagonalisabilité de la matrice de rang 1 UlV puis de discuter pour se ramener à M. <3 4.4. Exercice. Exhiber une base de Vhyperplan de Ais(C) des matrices de trace nulle qui soit constituée de matrices diagonalisables. D> Eléments de correction. Il suffit de montrer que les matrices E\^ — i?2,2, E\t2 + ^2,1 et les six matrices diagonalisables E\^ H- 22^,2 — 321^3 + Eij, avec i ^ j forment une famille libre. <
VIII. Diagonalisation 4.5. Exercice. Montrer que la matrice « sous-triangulaire » ( * *\ ai 0 M : V o 0 an_i • / elle admet n avec ai ... an_i ^ 0 est diagonalisable si, et seulement si, valeurs propres distinctes. t> Éléments de correction. Le sens retour est évident. Pour le sens direct, remarquons que, pour tout À G K, rg(M — ÀIn) ^ n — 1 (en considérant le mineur en position (n, n) qui est triangulaire à coefficients diagonaux non nuls) et donc que les sous-espaces propres sont de dimension 1. Pour que M soit diagonalisable, il faut donc qu'il y ait n valeurs propres distinctes. Remarquons que la matrice « sous-triangulaire » considérée ici est en fait un exemple de matrice cyclique et que le sous-espace cyclique de M engendré par le premier vecteur de la base canonique de Mn,i(J&) est Mn,i(K). Un cas particulier de cet exercice est le critère suivant : la matrice ( a 0 0 0 \ 1 0 0 0 dj est diagonalisable si, et seulement si, les scalaires a, b, c et d sont deux à deux distincts. < 4.6. Exercice. Soit (a, 6, c, d) G / a ab 1 b 0 1 \ 0 0 n'est pas diagonalisable. Montrer que la matrice 0 \ 0 cd d j D> Eléments de correction. On montre tout d'abord comme dans l'exercice précédent que les sous-espaces propres sont de dimension 1. Par ailleurs, le polynôme caractéristique est X — a —ab \ X — c —cd -1 X -b \'\ -1 X -d X2(X b)(X d).
4. Exercices 89 Par conséquent, la multiplicité de 0 est au moins 2 donc ne coïncide pas avec la dimension du sous-espace propre : la matrice n'est pas diagonalisable. <] 4.7. Exercice. Soit A G Mn(R) telle que A6 = In. Montrer que si A est diagonalisable sur M., alors A est une matrice de symétrie vectorielle. > Eléments de correction. Comme A est diagonalisable sur M, son polynôme minimal est scindé à racines simples sur R. Or il divise le polynôme annulateur X6 — 1. Ainsi, les seules possibilités sont jia = X — 1, /m = X + l ou \ia = X2 — l. Dans tous les cas, le polynôme X2 — 1 est annulateur donc A est une matrice de symétrie vectorielle. <3 4.8. Exercice. Montrer que, pour toute permutation a G @n, la matrice Pa = (#i,<7(j)) G A4n(C) est diagonalisable. > Eléments de correction. Remarquons tout d'abord que, pour toutes permutations (T, p G (Sn, PaPp — Paop- Soit a G &n et k son ordre ; alors Pk = Pak = In : le polynôme scindé à racines simples Xk — 1 est annulateur de la matrice Pa qui est donc diagonalisable. < 4.9. Exercice. Soit f un endomorphisme d'un C-espace vectoriel. Montrer que f est diagonalisable si, et seulement si, pour tout À G C, dimker(/ - Aid) = dimker(/ - Aid)2. > Éléments de correction. > Si / est diagonalisable, les sous-espaces propres et caractéristiques sont confondus donc, pour toute valeur propre A G C, dimker(/ - Aid) = dimker(/ - Aid)2. De plus, si A n'est pas valeur propre, les deux sous-espaces sont réduits à {0#} car / — Aid est injectif. > Si, pour tout A G C, dimker(/ - Aid) = dimker(/ - Aid)2 alors la suite des noyaux itérés (ker(/ — XLd)k)k^i est constante : en particulier les sous-espiaces propres et les sous-espaces caractéristiques coïncident : / est diagonalisable. <3 4.10. Exercice. Soit f un endomorphisme d'un C-espace vectoriel tel que f2 est diagonalisable. Montrer que f est diagonalisable si, et seulement si, ker / = ker f2.
90 VIII. Diagonalisation > Eléments de correction. L'endomorphisme f2 est diagonalisable donc il existe un polynôme jip scindé à racines simples annulateur de f2. (=>) Si ker / ^ ker /2, alors le sous-espace propre associé à la valeur 0 n'est pas égal au sous-espace caractéristique : / n'est pas diagonalisable. (4=) Supposons ker/ = ker/2. Le polynôme np{X2) annule de / et, sa seule racine multiple possible est 0. D'après le lemme des noyaux, E est somme de sous-espaces propres associés à des valeurs propres non nulles et de ker/2 = ker/, le sous-espace propre associé à 0 : ainsi, / est diagonalisable. < 4.11. Exercice. Déterminer les sous-espaces stables dans Kn de l'endomorphisme canoniquement associé à la matrice diag(l, 2,..., n). D> Éléments de correction. Soit / l'endomorphisme associé à cette matrice dans une base (ei, e2,..., en) et F un sous-espace stable par /. Remarquons tout d'abord que les sous-espaces propres de / sont exactement les droites engendrées par les vecteurs de la base considérée. L'endomorphisme induit fp est encore diagonalisable donc F est la somme (directe) des sous-espaces propres de fp. Comme ces sous-espaces sont inclus dans les sous-espaces propres de / et que ces derniers sont des droites, on en déduit que F est somme directe de sous-espaces propres de / : en conclusion, il existe une partie / c [l,n] telle que F = vect(ei)iG/. Réciproquement, ces sous-espaces conviennent. On remarque que tous ces sous-espaces stables sont cycliques car le sous- espace F = vect(ei)iç.i est le sous-espace cyclique associé au vecteur iei Si on considère une matrice diagonale avec des coefficients non distincts, on peut facilement montrer que le sous-espace associé à une valeur propre multiple est stable sans être cyclique. <\ 4.12. Exercice. Soit f G £(K4) qui admet une base (ei, e^ es, e^) formée de vecteurs propres et un plan stable P en somme directe avec chacun des six plans engendrés par des vecteurs de la base (ei, e2, ê3, e^). Montrer que f est une homothétie. > Eléments de correction. La restriction de / au plan P est diagonalisable ; il existe une base (x, y) de P formée de vecteurs propres de /. Remarquons que les vecteurs x et y admettent chacun au plus une coordonnée nulle dans
4. Exercices 91 la base (ei, e2, e3, e4), car sinon, ils appartiendraient à P et à un plan de coordonnées. > Si x admet quatre coordonnées non nulles #i, ..., x4, alors f(x) = xif(ei) + ... -f x4/(e4). On en déduit que les valeurs propres associées à chaque vecteur de la base (ei, e2, e3, e4) sont toutes égales à la valeur propre associée à x. On procède de même si y admet toutes ses coordonnées non nulles. > Si la coordonnée de x selon e\ est nulle, alors l'argument précédent donne que les valeurs propres associées à e2, 63 et e4 sont toutes égales. - Si la coordonnée de y selon e\ est non nulle, alors la valeur propre associée à ei est égale aux valeurs propres associées à deux autres vecteurs de la base (ei, e2, e3, e4) donc toutes sont égales : / est une homothétie. - Sinon, il existe une combinaison linéaire non nulle de x et y dans P et le plan de coordonnées vect(e3,e4) ce qui contredit l'hypothèse. < 4.13. Exercice. Déterminer les endomorphismes cycliques diagonalisables. > Eléments de correction. Soit / un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension n. Alors, / est cyclique si, et seulement si, jif = Xf- Or si / est diagonalisable, /j,f est scindé à racines simples. Par conséquent, les valeurs propres de / sont toutes distinctes. Réciproquement, cette condition caractérise ainsi les endomorphismes cycliques diagonalisables. < 4.14. Exercice. Soit A une matrice diagonalisable. Montrer que f Mn(R) -+ Mn(R) aaA'\ m h* AM-MA est diagonalisable. > Éléments de correction. Les endomorphismes G a ' M H> AM et Da ' M v-ï MA sont diagonalisables (car A l'est et qu'ils admettent les mêmes polynômes annulateurs que A) et commutent. Par conséquent, ils sont co- diagonalisables. Dans cette base de co-diagonalisation, l'endomorphisme ad a = G a ~~ Da admet une matrice diagonale. < 4.15. Exercice. Montrer que toutes les matrices d'un sous-groupe G fini abélien de GLn(C) sont co-diagonalisables.
92 VIII. Diagonalisation > Eléments de correction. Les éléments de G sont diagonalisables (si un élément de G est d'ordre k, alors il annule le polynôme scindé à racines simples Xk — 1) et commutent (car G est abélien) donc sont co-diagonalisables d'après le théorème de réduction simultanée. <l
Chapitre IX Trigonalisation Objectifs du chapitre - Maîtriser le critère de trigonalisation. - Savoir utiliser la trigonalisation pour retrouver les fonctions symétriques des racines. 1. Critères de trigonalisation 1.1. Définition. > Un endomorphisme est trigonalisable s'il existe une base dans laquelle sa matrice est triangulaire. > Une matrice est trigonalisable si elle est semblable à une matrice triangulaire. Commençons par rappeler le cas simple des endomorphismes nilpotents. 1.2. Proposition. Tout endomorphisme nilpotent admet dans une base adaptée une matrice triangulaire strictement supérieure. 1.3. Théorème. Un endomorphisme est trigonalisable si, et seulement si, il admet un polynôme annulateur scindé, soit encore si, et seulement si, son polynôme minimal est scindé. Démonstration. Si l'endomorphisme / est trigonalisable, il existe une base dans laquelle sa matrice est triangulaire. En calculant le polynôme caractéristique de / écrit dans cette base, on trouve que celui-ci est scindé : il est
94 IX. Trigonalisation égal au produit des termes (a^ — X) où les a^ sont les termes diagonaux de la matrice de / dans cette base. Réciproquement, supposons que / admet un polynôme annulateur scindé m D'après le lemme des noyaux, l'espace E est la somme directe des F\i = ker(/ — Xild)ai et il suffit donc de montrer que l'endomorphisme induit par / sur chacun de ces sous-espaces F\i est trigonalisable. Chacun de ces endomorphismes induits est la somme d'une homothétie À Jd et d'un endomorphisme nilpotent / — À^Id. Il existe donc une base de F\i telle que / — À^Id s'écrit sous la forme d'une matrice triangulaire supérieure (Proposition IX-1.2) : l'endomorphisme induit par / sur F\i est donc trigonalisable. En concaténant les bases obtenues pour chacun de ces sous-espaces, on obtient une base de E dans laquelle la matrice de / est triangulaire supérieure (et même diagonale par blocs triangulaires supérieurs). □ 1.4. Corollaire. Un endomorphisme sur un C-espace vectoriel (respectivement une matrice carrée à coefficients dans C) est trigonalisable. Démonstration. C'est une application directe du résultat ci-dessus en remarquant que C est algébriquement clos (théorème de D'Alembert-Gauss), donc que tous les polynômes non constants de C[X] sont scindés. □ 1.5. Corollaire. Si f est un endomorphisme trigonalisable et si F est un sous-espace stable par f, alors l'endomorphisme induit fp est trigonalisable. Démonstration. Il suffit de remarquer que /x/F divise le polynôme scindé /jif donc est scindé. □ 1.6. Remarque. En calculant le polynôme caractéristique dans une base de trigonalisation (quand elle existe), on retrouve que les coefficients diagonaux sont exactement les valeurs propres (avec la multiplicité). En particulier, la trace (respectivement le déterminant) d'une matrice trigonalisable est la somme (respectivement le produit) de ces valeurs propres comptées avec leurs multiplicités. On peut également montrer l'analogue de la proposition VIII-2.2 pour la trigonalisabilité.
2. Fonctions symétriques des valeurs propres 95 1.7. Proposition. Une famille finie (fk)ke{i,N] d'endomorphismes trigo- nalisables telle que, pour tout pour couple (i,j) G [l,iV]]2; les endomor- phismes fi et fj commutent, est co-trigonalisable. Prouvons-le pour deux matrices trigonalisables qui commutent. Démonstration. Raisonnons par récurrence sur la dimension n de l'espace. > Le résultat est évident pour les matrices de taille 1. > Soit n G N* tel que le résultat soit vrai au rang n, A et B G Mn+i (K) deux matrices trigonalisables qui commutent. Comme B est trigonalisable, B admet une valeur propre À. Le sous-espace propre ker(J3 — AIn+i) est stable par A et l'endomorphisme induit par A y admet un vecteur propre. En considérant une base construite en complétant ce vecteur propre commun à A et J3, on obtient que les matrices A et B sont simultanément semblables à / M * 0 A *\ / ( X 0 u B \ I Comme A et B commutent, les matrices A et B G Ain(K) commutent aussi. Par ailleurs, A et B sont aussi trigonalisables (corollaire IX-1.5). Par hypothèse de récurrence, il existe une matrice P G GLn(K) telle que PAP^1 et PBP"1 sont triangulaires. En considérant la matrice inversible GXn+i(K), on obtient que A et B sont simultanément trigonalisables. n 2. Fonctions symétriques des valeurs propres 2.1. Définition. Soit Ai, ... ,An G C. > Soit k G N*. La /c-ème somme de Newton de Ai, ,. ,An est le complexe
96 IX. Trigonalisation > Soit k G [l,n]. La k-ème fonction symétrique élémentaire de Ai, ..., A„ est le complexe Gk — 2i^ A^A^g • • • \ik. l^.ii<...<ik^n Rappelons les relations entre coefficients et racines pour un polynôme complexe. 2.2. Proposition. Soit Ai, ... ,An G C. Les coefficients du polynôme n n—1 P = l[(X - A,) = Xn + ]T a*** s'expriment à l'aide des fonctions symétriques élémentaires V/cG [l,n], an_fc = (-l)fc(7fc. 2.3. Remarque. Soit A G .Mn(C) et Ai, ... ,An G C ses valeurs propres (avec leur multiplicité). La matrice A est semblable à une matrice T triangulaire dont les coefficients diagonaux sont les Ai, ..., An. > Pour tout k G N*, la matrice Ak est semblable à une matrice Tk triangulaire dont les coefficients diagonaux sont les Af, ..., A^. Par conséquent, tr(Ak) — tr(Tk) est la k-ème somme de Newton de Ai, ..., An. > Les racines du polynôme caractéristique de A sont les Ai, ..., An. Par conséquent, les coefficients de xa sont (au signe près) les fonctions symétriques de Ai, ..., An du fait des relations entre coefficients et racines. Utilisons cette remarque pour établir les formules de Newton qui relient fonctions symétriques et somme de Newton. 2.4. Exemple. Soit Ai, ..., An G C, (sk)k la suite des sommes de Newton n n et P = Y\(X — \j) = Yl ajATJ- Pour toute matrice M de polynôme 3=1 3=0 caractéristique P, P(M) = 0n et donc tr P(M) = 0, ce qui nous donne l'égalité J2a3S3 =°i 3=0 car tr MJ = Sj. Cette première formule de Newton se généralise.
2. Fonctions symétriques des valeurs propres 97 2.5. Proposition. Soit Ai, ..., An G C, (sk)k l>a suite des sommes de n n Newton et P = H{X - Xj) = J2 ajxj- Alor$ n 3=0 Comme dans l'exemple précédent, ces formules résulteront d'un judicieux calcul de trace avec le théorème de Cayley & Hamilton. Démonstration. Le polynôme P est annulateur de la matrice compagnon * Cp (théorème de Cayley & Hamilton) donc tr(P(Cp)Cp~~n) — 0 c'est-à-dire J2a3tr(Ckp-^)=0. 3=0 En remarquant que les valeurs propres de Cp sont Ai, ..., An, on en déduit n / J Ûj^k-n+j — 0. 3=0 n 2.6. Proposition. Soit X\, ..., Xn G C, (sk)k M suite des sommes de Newton et P = fi (X - A,) = £ a^X?'. .4/ors, Vfc G [l,n], ^2,an-k+jSj = (n-k)an^k. j=o Ces identités peuvent sembler difficiles à appréhender ; il est bon de réécrire les premières d'entre elles ctnSi +an_i = 0, ans2 + an-isi + 2an_i = 0, ans3 + an_is2 + an-2S2 + 3an_i = 0. Démonstration. Afin de développer un argument de trace analogue à celui 1. Il n'est pas nécessaire de considérer une matrice compagnon ici (la matrice diag(Ai,... , An) suffirait); ce choix permet d'unifier les notations avec la preuve de la proposition suivante.
98 IX. Trigonalisation de la preuve précédente, introduisons les polynômes k Wk G [0,n], Qn-k = Y^an-k+jX3. 3=0 Ainsi, le premier membre de l'égalité recherchée pour l'entier k est tr(Qk(Cp)). Remarquons que Q0 = xcP, Qn = a<n et que Qn-k - ^Qn-fc+i = an-k pour tout k G [l,n]. Cette relation permet alors de déduire les égalités n-l P(x)In - Qn(CP)xnln + J^(Qk(CP) - CPQk+1(Cp))xkIn k=0 n—1 n—1 = YJQk+i{Cp)xk+1in - Y,Qk+y{Cp)cPxkin k=0 k=0 n-l = (xIn-CP)J2Qk+i(Cp)xkIn. k=0 Pour tout x £ {Ai,..., Àn}, n-l J2 ti(Qk+i(CP))xk = P(x) tr ((xln - Cp)-1) k=0 Or, n p(x) tr ((xi„ - cPyi) = p(X) y; -^— = *"(*)• *—' X — An j = l J Par continuité, l'égalité polynomiale n-l £>(Qfc+i(Cp))a;fc =/"(*) fc=0 est vérifiée sur tout C et l'on obtient le résultat désiré en identifiant les coefficients. □ 2.7. Proposition. Soit N G Mn(C). La matrice N est nilpotente si, et seulement si, pour toutke [l,nl, tr(Nk) = 0. Démonstration. (=>) Si N est nilpotente, sa seule valeur propre est 0 donc TV et les puissances Nk sont semblables à des matrices triangulaires supérieures strictes. Par conséquent, pour tout k G [l,n], tr(Nk) = 0. (4=) D'après les formules de Newton, toutes les fonctions symétriques des valeurs propres de TV sont nulles. Par conséquent, le polynôme caractéris-
3. Commentaires et développements 99 tique de N est Xn et le théorème de Cayley & Hamilton assure que N est nilpotente. D 2.8. Théorème de Kronecker. Soit P G C[X] unitaire à coefficients entiers dont les racines complexes sont de module inférieur ou égal à 1. Alors, les racines non nulles de P sont des racines de l'unité. Démonstration. > Remarquons tout d'abord qu'il n'y a qu'un nombre fini de polynômes unitaires de degré n, à coefficients entiers et racines dans le disque unité car les fonctions symétriques des racines (donc le rapport des coefficients par le coefficient dominant) sont des entiers majorés en valeur absolue par n!. Ainsi, l'ensemble 7Z des racines des polynômes de degré n, à coefficients entiers et racines dans le disque unité est fini. > Soit P un polynôme à coefficients entiers dont les racines complexes de P sont de module inférieur ou égal à 1 et soit z une racine de P. Rappelons que z est une valeur propre de Cp, car P = xcP et donc, pour tout /c G N*, zk est une valeur propre de CP c'est-à-dire une racine de Xck • Par ailleurs, Cp donc CP sont à coefficients entiers. Ainsi, zk G 1Z. Comme 1Z est fini et contient {zk, A: G N}, il existe fc>!çN tels que zh — z1 ; ainsi, z — 0 ou z est une racine de l'unité. D 3. Commentaires et développements 3.1. La théorie de la dimension fait peu de cas des propriétés propres du corps de base. Il en est de même des questions relatives à l'étude des systèmes linéaires. La réduction, quant à elle, dépend de la nature du corps, notamment à travers l'existence ou non dans K de valeurs propres. L'arithmétique du corps intervient essentiellement peu, et se limite à la nature des polynômes irréductibles. Quand on cherche à réduire une matrice, et plus précisément à la trigonaliser, la scindabilité ou non du polynôme caractéristique (ou ce qui revient au même du polynôme minimal) est la seule donnée essentielle dont il est importe d'en tenir compte. En revanche, dans la réduction des formes quadratiques, ou de manière équivalente, dans l'étude des classes de congruence des matrices symétriques, de nombreuses propriétés de nature arithmétique du corps sont essentielles et la théorie est souvent bien dure. Pour simplifier, on pourrait dire que le cas d'étude qui est « dénominateur commun » à tous les corps de la réduction est celui fondamental des matrices nilpotentes (cas où le polynôme caractéristique est scindé avec la racine 0 comme seule racine), et le dénominateur commun dans le cas des formes quadratiques est le cas des espaces quadratiques hyperboliques, cas où la forme quadratique admet une base de la
100 IX. Trigonalisation forme cas bien pauvre et que l'on évacue assez vite pour pouvoir s'occuper du reste. 3.2. Trigonaliser une matrice M, c'est trouver un drapeau complet de Kn stable par M. 3.3. La mise en phase du lemme des noyaux et de la trigonalisation montre que pour un endomorphisme de polynôme caractéristique scindé sur K, il existe une base de Kn où la matrice de l'endomorphisme s'écrit comme matrice diagonale en blocs, avec chaque bloc somme d'une matrice scalaire et d'une matrice triangulaire supérieure stricte. Ce résultat est ce que l'on peut faire de mieux à un niveau élémentaire, et montrer le chemin qui reste à parcourir pour boucler ce qui reste : rechercher les classes de similitude des matrices nilpotentes triangulaires supérieures. 3.4. L'ensemble des matrices trigonalisables réelles est un fermé. En fait, c'est l'adhérence de l'ensemble des matrices diagonalisables. Cela résulte intuitivement de ce que le polynôme caractéristique dépend continûment des coefficients de la matrice et que la limite d'une suite de polynômes scindés est scindée. Cela met en évidence malgré tout l'importance de travailler avec le polynôme caractéristique, et que l'usage du polynôme minimal n'est pas adaptée à cette situation puisqu'il ne définit pas une application continue. 4. Exercices 4.1. Exercice. Soit A G Mn(C) de valeurs propres Ai, A2, ..., Xn et P e C[X). Déterminer le polynôme caractéristique Xp(A)- > Eléments de correction. La matrice complexe A est semblable à une matrice triangulaire dont les coefficients diagonaux sont Ai, A2, . •., An. Par conséquent, la matrice P(A) est semblable à une matrice triangulaire dont les coefficients diagonaux sont P(Ai), P(A2), . •., -P(An). En conclusion, n Xp(A) = l[(X-P(Xk))- <
4. Exercices 101 4.2. Exercice. Soit A G Mn(M) qui admet le polynôme cumulateur X3 — X — 1. Montrer que A est de déterminant positif. > Éléments de correction. Les valeurs propres de A sont parmi les racines du polynôme annulateur X3 — X — 1 et une rapide étude des variations de la fonction x H> xs — x — 1 indique une racine réelle À strictement positive et deux racines complexes conjuguées \i et ~p. Notons a la multiplicité de la valeur propre À et /3 la multiplicité des deux valeurs propres /x et JL (la multiplicité est la même pour les deux valeurs propres puisque \A est à coefficients réels). Or, le déterminant est le produit des valeurs propres avec leur multiplicité donc detA = Aa/iV = Aa|/i|2/3 >0. < 4.3. Exercice. Montrer que Vensemble des matrices admettant n valeurs propres distinctes est dense dans Ain(C). Retrouver le théorème de Cayley & Hamilton. D> Eléments de correction. > Soit A G «Mn(C). Comme A est trigonalisable, il existe P G GLn(C) telle que PAP"1 est triangulaire. Par ailleurs, pour p suffisamment grand, la matrice PAP-1 + ^diag(l,2,...,n) est triangulaire avec des coefficients diagonaux deux à deux distincts donc admettant n valeurs propres distinctes. Par conséquent, la suite (A + P-1 £diag(l,2,... ,n)p)p est constituée, à partir d'un certain rang, de matrices à n valeurs propres distinctes et converge vers A. En conclusion, l'ensemble des matrices admettant n valeurs propres distinctes est dense dans Mn(C). > Le théorème de Cayley & Hamilton est évident pour les matrices admettant n valeurs propres distinctes et l'application A *-» Xa{A) est continue (car polynomiale en les coefficients de A). Ainsi, pour tout A G «Mn(C), XA(A) = Qn. < 4.4. Exercice. Soit A G Mn(£) telle quetr(A) = ti(A2) = ... = tr.^-1). Montrer que A est diagonalisable ou nilpotente.
102 IX. Trigonalisation D> Eléments de correction. D'après les formules des sommes de Newton et les relations coefficients-racines, le polynôme caractéristique est In + (-l)ndet(A). Si det(^4) = 0, le théorème de Cayley & Hamilton assure que A est nil- potente. Sinon, le polynôme caractéristique est scindé à racines simples donc A est diagonalisable (et d'ailleurs, toutes les valeurs propres ont le même module). < 4.5. Exercice. Soit A et B G Mn(C) telles que AB — 0n. 1. Montrer que A et B admettent un vecteur propre commun. 2. Montrer que A et B sont co-trigonalisables. > Éléments de correction. La solution proposée suit la preuve de la proposition IX-1.7. 1. D> Si B admet un vecteur propre X associé à une valeur propre À ^ 0, alors BX est à la fois un vecteur propre de B associé à A et de A associé àO. > Si la seule valeur propre de B est 0, alors B est nulle (auquel cas, il n'y a rien à montrer) ou B est nilpotente (d'après le théorème de Cayley & Hamilton). Si B est nilpotente d'indice p, il existe X tel que Bv~lX ^ 0n,i et BPX = 0n_i : le vecteur B^X est alors vecteur propre de A et de B associé à la valeur propre 0. 2. En considérant une base construite en complétant un vecteur propre commun à A et B, on obtient que les matrices A et B sont simultanément semblables à 0 \o \ A (> 0 Vo B \ J L'hypothèse AB = 0n entraîne AB — 0n_i. On conclut par récurrence. < 4.6. Exercice. Soit A, B G Mn(C). 1. Supposons qu'il existe a G C tel que AB — et B sont co-trigonalisables. 2. Supposons qu'il existe a, (3 G C tel que AB que A et B sont co-trigonalisables. BA = a A. Montrer que A - BA = aA + /3B. Montrer
4. Exercices 103 > Éléments de correction. 1. Si a = 0, c'est la proposition IX-1.7. Supposons a ^ 0. Une récurrence immédiate donne que, pour tout k G N, AkB — BAk = akAk. L'endomorphisme de Mn(C) défini par M i-> MB - BM admet un nombre fini de valeurs propres donc il existe k G N tel que Ak = 0n : la matrice A étant nilpotente, le noyau de A est un sous-espace non trivial et stable par B. L'endomorphisme induit par B sur le sous- espace ker A est trigonalisable donc admet un vecteur propre dans ker A. Il y a ainsi un vecteur propre commun à A et B. On conclut la preuve par récurrence sur la dimension comme dans la preuve de la proposition IX-1.7 ou dans l'exercice précédent. 2. Supposons a^O (sinon, on est dans le cas de la question précédente). Posons A = ctA + (3B. Alors, ÂB - BÂ = olÂ. D'après la question précédente, A et B sont co-trigonalisables ; on en déduit que A = — (Â — f5B) et B sont co-trigonalisables. 4.7. Exercice. Soit Ni, N2, ..., Nn G A4n(C) nilpotentes qui commutent deux à deux. Montrer que N\N2- • • Nn — 0n. > Éléments de correction. Comme les matrices iVi, N2) ..., A^n sont trigo- nalisables et commutent, elles sont co-trigonalisables. Il existe donc 7\, T2, ..., Tn triangulaires supérieures strictes et P inversible telles que VzG[l,nJ, Ni = PTip-1. Montrons par récurrence sur k G [l,n] que les coefficients en position (i, j) avec i ^ j — k + 1 de la matrice T1T2 • • • X^ sont nuls. > Pour fc = 1, il s'agit simplement de la définition d'une matrice triangulaire supérieure stricte. > Soit k G [1, n—lj telle que les coefficients en position (z, j) avec i > j—fc+1 de la matrice T\T2 • • • T& sont nuls. Soit (i, j) telle que i ^ j — k. Avec des notations évidentes, n [TiT2 • ' -T/e+iJ^j = 2JT1T2 • • •^fe]i,/[îfc + l]/,j Z=l = 2^[^i^2 • • •Tfc]i,i[Tfc+i]z)(7- = 0 car i ^ Z — fc + 1.
104 IX. Trigonalisation La récurrence est terminée et l'on en déduit en considérant le cas k = n que la matrice T\T^ ■ • • Tn est nulle. En conclusion, N±N2 • • • Nn = PT±T2 • • -TnP'1 = 0n. On pewÊ awssi obtenir une autre solution pour cet exercice en utilisant le résultat suivant : Si une matrice M G M.n{K) et une matrice nilpotente N G Mn(K) commutent, alors vg(MN) < rgM. < 4.8. Exercice. Montrer que tout hyperplan de A^C) contient au moins cinq matrices nilpotentes linéairement indépendantes. t> Eléments de correction. Soit H un hyperplan de A^C) et A G Ms(C) telle que H = {M G M3(C), tr(AM) = 0}. La matrice A est trigonalisable donc il existe P inversible et T triangulaire supérieure telle que A = PTP~l. Alors, H - {PMP-1 G M3(C), tr(TM) = 0}. Il suffit alors de montrer que H' = {M G MS(C), tr(TM) = 0}. contient au moins cinq matrices nilpotentes linéairement indépendantes. On remarque déjà que les trois matrices nilpotentes de Eij de la base canonique avec i < j appartiennent à H' ; en outre, la forme linéaire M H> tr(TM) de l'espace des matrices triangulaires inférieures strictes admet un noyau de dimension deux ce qui fournit deux matrices indépendantes des trois déjà choisies. Ce résultat est loin d'être optimal. Par exemple, Vhyperplan des matrices admettant un coefficient nul en position (1,3) admet sept matrices nilpotentes linéairement indépendantes : 000\/000\/000\/000\ 0 0 0,100,000,001, 100/\000/\0 10/\000/ 0 1 0 \ / 1 1 0 \ / 0 0 0\ 0 0 0,-1-10,0 1 1 . 0 0 0/ \ 0 0 0 / \ 0 -1 -1 / <
Chapitre X Réduction de Jordan Objectifs du chapitre - Comprendre la décomposition de Jordan & Dunford, en particulier le caractère polynomial de cette décomposition. - Savoir construire et exploiter les tableaux de Young d'un endomorphisme nilpotent. - Caractériser la similitude avec la réduction de Jordan. 1. Décomposition de Jordan & Dunford Dans les démonstrations précédentes, on s'est appuyé sur la décomposition de l'endomorphisme induit par / sur un sous-espace caractéristique comme somme d'une homothétie et d'un endomorphisme nilpotent. Si l'on considère l'endomorphisme dans sa globalité, on obtient la décomposition suivante. 1.1. Proposition. Décomposition de Jordan & Dunford. Soit / un endomorphisme annulant un polynôme scindé. Alors, il existe un unique couple d'endomorphismes (d, n) tel que t> f = n + d; \> n et d commutent ; > n est nilpotent ; t> d est diagonalisable. De plus, les endomorphismes d et n sont des polynômes en /.
106 X. Réduction de Jordan Démonstration. > Montrons dans un premier temps l'existence d'un tel couple. Sous ces hypothèses, m £ = 0ker(/-AfcId)afc; k=i de plus, l'endomorphisme induit par / sur ces sous-espaces est la somme d'une homothétie dk et d'un endomorphisme nilpotent n^. Notons, enfin, que la projection pi sur ker(/ — ÀJd)Q!i parallèlement à m 0ker(/-AfcId)a& fc=l m est un polynôme en /. Posons d = Y2 ^kPk et n = / — d et vérifions les k=i propriétés de la proposition. - Par construction, f = d + n. - L'endomorphisme d est un polynôme en / comme somme de polynômes en / donc commute avec / et par conséquent avec n = / — d. - L'endomorphisme n est nilpotent, car l'endomorphisme induit par n sur chacun des sous-espaces ker(/ — AJd)ai est nilpotent. - L'endomorphisme d est diagonalisable, car sa matrice est diagonale dans m une base adaptée à la décomposition E = 0 ker(/ — A/Jd)0^. > Montrons maintenant l'unicité de cette décomposition. Soit (d, n) le couple construit précédemment et (d, n) un couple satisfaisant aux conditions de la proposition. Chacun de ces quatre endomorphismes commute avec / donc laisse stable les sous-espaces ker(/ — Afcld)afc pour k ^ m. Notons (dk,rik) et (dk^nk) les endomorphismes induits par ces endomorphismes sur le sous-espace ker(/—Afcld)afe. Les endomorphismes n^ et hk commutent (le premier est un polynôme en / et le second commute avec / = n + d) et sont tous les deux nilpotent s, donc leur différence est nilpotente (d'indice inférieur au égal à la somme de leurs indices). Or, rik — fik — dk — Afcld est diagonalisable. Le seul endomorphisme diagonalisable et nilpotent est l'endomorphisme nul ; d'où dk — A/Jd et rik = n^ et par conséquent d = d et n = h. D 1.2. Remarque. Dans la preuve de cette décomposition, on a en particulier retrouvé que si un endomorphisme / est diagonalisable de valeurs m propres (A^G|1)mj, alors f = Yl ^Pi avec Pi ^e projecteur sur le sous- 2=1 espace propre associé à Xi parallèlement à la somme des autres.
2. Réduction de Jordan : cas nilpotent 107 1.3. Exemple. La décomposition de Jordan & Dunford de la matrice est I3 + N avec 1.4. Exemple. Déterminons la décomposition de Jordan & Dunford de la matrice (l 0 0 0\ 0 2 10 0 0 2 1 \0 0 0 2) Les valeurs propres de cette matrice sont 1 et 2 (avec multiplicité trois). La décomposition de Jordan & Dunford de la matrice est D -f N avec D — diag(l,2,2,2) et TV- /o 0 0 0 0 1 0 0 0 \0 0 0 °\ 0 1 0/ 1.5. Remarque. Attention, la décomposition de Jordan & Dunford d'une matrice n'est pas simplement l'extraction des coefficients diagonaux (même si elle est triangulaire). Par exemple, la matrice est diagonalisable, car elle admet trois valeurs propres distinctes (qui se lisent sur la diagonale de cette matrice triangulaire), donc est sa propre décomposition de Jordan & Dunford. 2. Réduction de Jordan : cas nilpotent 2.1. Définition. Le bloc de Jordan de taille m£f est la matrice Jm G A4m(K) dont tous les coefficients sont nuls sauf ceux en position (z, i + 1)
108 X. Réduction de Jordan pour i G [l,m — Ij qui valent 1, c'est-à-dire Jm — / 0 1 0 0 0 \ 0 0 10 0 o o '•. "-. o 0 0 0 0 1 \ 0 0 0 0 0/ 2.2. Remarque. On vérifie immédiatement que Jm est nilpotente d'ordre m et que J™~1 = -£a,m- Plus précisément, le calcul des puissances de Jm donne que le rang de J^ est m — k pour tout k G [0,777,] et 0 si k > m. Nous allons établir que toute matrice nilpotente admet une unique (à permutation près des blocs) écriture sous la forme d'une diagonale par blocs de Jordan. Commençons par l'unicité. 2.3. Proposition. Soit f un endomorphisme (nilpotent) tel qu'il existe des entiers d\ = deg jjln ^ <^2 ^ • • • ^ dr et une base dans laquelle la matrice de f est diagonale par blocs avec les blocs J^, ..., Jdr • Alors, pour tout k G N*? #{j e [l,r], dj = k} = 2dimker/fc - dim ker/*-1 - dimker/*+1. En d'autres termes, le nombre de blocs de Jordan de taille k de f est 2 dim ker fk — dim ker fk~x — dim ker fk+1. Démonstration. Calculons, pour tout k ^ d\ le rang de la puissance fc-ème de la matrice diagonale par blocs avec les blocs J^x, ..., Jdr '• il s'agit donc du rang de la matrice diagonale par blocs avec les blocs J| , ..., J\ qui est d'après la remarque précédente j=i (dj -fc)+.
2. Réduction de Jordan : cas nilpotent 109 Alors, la quantité A& = 2 dim ker fk — dim ker fkl— dim ker fk+l vaut Afe = rg(/fe+1)+rg(/fe-1)-2rg(/fc) r = ]T{{d3 -k-i)+ + (dj -k + i)+-2(dj -k)+) 3 = 1 r = J2 «dJ - k - !)+ + (dj -k+l)+- 2(d3 - k)+) 3 = 1 dj=k r 3 = 1 dj=k car, pour dj < k, les trois termes sont nuls et, pour dj > k, {dj-k-l)+ + (dj~k+l)+-2{dj-k)+ = dj-k-l+dj-k + l-2(dj-k) = 0 D Maintenant que nous avons vu l'unicité de l'écriture d'une matrice nilpo- tente sous la forme d'une diagonale par blocs de Jordan (le nombre de blocs de chaque taille est intrinsèque à la matrice car défini à partir des noyaux de ses puissances), passons à la propriété d'existence. 2.4. Proposition. Soit f un endomorphisme nilpotent. Il existe des entiers d\ = deg /ijv ^ <^2 ^ • • • ^ dr et une base dans laquelle la matrice de f est diagonale par blocs avec les blocs J^, ..., Jdr • Cette matrice est appelée réduite de Jordan de f. Démonstration. Démontrons ce résultat par récurrence. > Le résultat est évident pour les endomorphismes d'un espace de dimension 1 ou 2. > Soit n G N* tel que le résultat soit établi pour tous les endomorphismes nilpotents d'espaces vectoriels de dimension au plus n ; considérons alors un endomorphisme / d'un espace vectoriel E de dimension n + 1. Soit x G E tel que \i$^x = \ij (d'après la proposition IV-3.3) et F un supplémentaire stable de Ef^x (d'après le lemme VI-3.3). Appliquons l'hypothèse de récurrence à l'endomorphisme induit fp. Il existe d2 = deg /ifF ^ • • • ^ dr et une base de F dans laquelle la matrice de fp est diagonale par blocs avec les blocs Jd2, ..., Jdr •
110 X. Réduction de Jordan Complétons la base de EfiX définie par (/dl_1(x), • • • ,/(#),#) avec cette base de F : la matrice de F dans cette base est alors diagonale par blocs avec les blocs J^, ..., Jdr • Pour conclure, remarquons que d\ — dim EfjX = deg \if^x = degfif et que d>2 = deg fifF < deg///, car /i/F divise /x/, (puisque /ij annule fp) ainsi d\^ d^- □ Cette preuve est efficace, mais elle dissimule un aspect important : le lien avec la suite des noyaux itérés. Donnons une seconde démonstration plus explicite sur ce point. Rappelons que la suite (ker jk\ est strictement croissante puis stationnaire à partir d'un rang noté p (l'indice de nilpotence). Commençons la construction de la base avec le lemme suivant. 2.5. Lemme. Soit f un endomorphisme nilpotent d'indice r. Il existe des sous-espaces Fri..., F\ tels que - pour tout k G [l,r], Fk est un supplémentaire de ker fk~~1 dans ker fk ; - pour tout k G [2,r], f(Fk) C Fk-i. Démonstration. Construisons les sous-espaces Fr,... ,-Fr_fc par récurrence sur k. > Pour l'initialisation (k = 0), on construit Fr comme un supplémentaire de ker/r_1. > Soit k < r et supposons les sous-espaces Fr,... ,Fr^k construits. Alors, f(Fr-k) est un sous-espace de ker fr-k~1 en somme directe avec ker fr~k-2. Pour obtenir un sous-espace Fr-k-i, il suffit alors de compléter f(Fr-k) en un supplémentaire de ker/r_fc~2 dans ker/r~fe_1. □ Revenons à la preuve de la proposition X-2.4. Démonstration. Construisons la base récursivement à l'aide des sous-espaces Fr, ..., Fi associés à / par le lemme X-2.5. On commence par une base (ej>)je[i,mr] de Fr\ alors (ejir-i = f(zj,r))j£{i,mr} est une famille libre de jPr_i (car la restriction de f & Fk pour k ^ 2 est injective puisque Fk H ker/ = {O^}) que l'on complète en une base (ej,r-i)je{i,mr+mr-i] de i^V-i- De même, une fois construit une base (ej,k)jeii,mr+...+mk] de Fk, on considère son image par / que l'on complète ensuite en une base de F^-i- On dispose ainsi, au bout de r étapes d'une base (ej^)j,k de E que l'on ordonne selon l'ordre lexicographique des couples d'indices. Dans cette base, la matrice de / a la forme désirée. □
2. Réduction de Jordan : cas nilpotent 111 2.6. Remarque. Essayons de voir les différences entre ces deux preuves à l'aide d'une matrice semblable à la réduction de Jordan suivante Râl J3 h 1 > Dans la première preuve, on commence par construire un sous-espace cyclique maximal c'est-à-dire par déterminer les vecteurs de la base de réduction correspondant à l'un des plus « gros » blocs de taille 3 ; encadrons les colonnes correspondantes dans la matrice réduite. / \ 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 \ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0/ Ensuite, on passe au bloc suivant. > Dans la seconde preuve, on commence par construire un supplémentaire de ker f2 dans ker /3, c'est-à-dire les « derniers » vecteurs de chaque « gros » bloc de taille 3 ; encadrons les colonnes correspondantes dans la matrice réduite. ( ° l 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 \ 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 \ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0/ Ensuite, on ajoute les images des vecteurs déjà choisis et l'on complète en une base d'un supplémentaire de ker/ dans ker/2. / o 0 0 0 0 0 0 V o 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 \ /
112 X. Réduction de Jordan 2.7. Définition. > Le tableau de Young associé à la suite finie d'entiers strictement positifs Ai ^ A2 ^ • • • > Ar est un tableau à r lignes (alignées à gauche), la première comptant Ai cases, la deuxième A2 cases, ..., la dernière Ar cases. On le note TY(Ai, A2,..., Àr). > Le tableau de Young conjugué à TY(Ai, A2,..., Ar) est le tableau de Young TY(/xi,/i2,...,MP), où \i\ ^ ^2 ^ • * * ^ Mp sont les longueurs des colonnes de TY(Ai, A2,..., Ar). On le note TY(AX, A2,..., Ar)*. > Le tableau de Young d'un endomorphisme nilpotent / est le tableau TY(di, c?2> • • • 1 dr), où d\ ^ d,2 > ... ^ dr sont les entiers associés à / dans la proposition X-2.4 ou de manière équivalente le tableau TY(#i, £2,..., ôp)* où les entiers ôi > 62 > ... ^ ôp > 0 sont les valeurs distinctes non nulles de la suite décroissante (dimker/fc+1 — dimker fk)k- 2.8. Exemples. > Le tableau de Young à une seule colonne correspond à la classe de similitude de la matrice nulle (ici O9). > Le tableau de Young à une seule ligne correspond à la classe de similitude d'un bloc de Jordan (ici J9). 2.9. Exemple. Soit TV G M17ÇK) tel que dimker TV = 7, dimker TV2 = 12, dimker N3 = 14, dimker NA — 16 et dimker TV5 = 17. Son tableau de Young est alors Par transitivité de la relation de similitude et l'unicité de la réduction de Jordan, on obtient la caractérisation suivante des classes de similitude.
3. Interlude : lire un tableau de Young 113 2.10. Proposition. Deux endomorphismes nilpotents sont semblables si, et seulement si, ils admettent les mêmes tableaux de Young. 2.11. Remarque. On pourrait croire un peu rapidement que deux endomorphismes nilpotents qui commutent peuvent être réduits simultanément au sens de Jordan. Ceci est faux comme on peut le voir avec les matrices Jn et J^ qui commutent mais ne peuvent être simultanément des réduites de Jordan. 3. Interlude : lire un tableau de Young On peut lire énormément d'informations sur le tableau de Young d'un en- domorphisme nilpotent /. > Par construction, le nombre de lignes (c'est-à-dire le nombre de cases de la première colonne puisque la suite des colonnes est décroissante en taille) est la dimension du noyau de / : en effet, la première colonne correspond à la base du noyau dans la base correspondant à la réduction de Jordan. Autrement dit, le rang d'un endomorphisme nilpotent / est le nombre de cases du tableau privé de sa première colonne. Ainsi, deux endomorphismes nilpotents d'un même espace vectoriel qui ont des tableaux de Young avec le même nombre de lignes ont le même rang. > De même, le nombre de cases des j premières colonnes est la dimension du noyau de p. Ainsi, deux endomorphismes nilpotents d'un même espace vectoriel ont les mêmes tableaux de Young si, et seulement si, toutes leurs puissances ont les mêmes rangs. > On sait désormais obtenir la dimension des sous-espaces im p. On peut faire mieux en « localisant » ces sous-espaces sur le tableau de Young à l'aide de la preuve du théorème de réduction : pour obtenir im/fc, il suffit de rogner les k dernières cases de chaque ligne du tableau. De même, le tableau de Young de la restriction de / à im / est simplement le tableau de Young de / privé de sa première colonne. 3.1. Exemple. Par exemple, pour l'endomorphisme nilpotent de l'exemple
114 X. Réduction de Jordan précédent dont le tableau de Young est les sous-espaces im /, im f2 et im f3 sont indiqués ci-dessous (avec le symbole •) • # I • I [ • | I I • I I I • I I • I • I Le sous-espace im f2 H ker f2 est par ailleurs localisé • I • donc est de dimension 4. > Le nombre de colonnes est la taille du plus « gros » bloc de Jordan donc l'indice de nilpotence, soit encore le degré du polynôme minimal. 4. Réduction de Jordan : cas général Dans la partie précédente, on a réduit les endomorphismes nilpotents. Pour passer au cas d'un endomorphisme quelconque, il suffit de se ramener aux composantes nilpotentes sur chaque sous-espace caractéristique ; notons toutefois qu'une hypothèse additionnelle est alors nécessaire pour obtenir que l'espace est somme des sous-espaces caractéristiques. 4.1. Proposition. Soit ristique est scindé, Ài7 , un endomorphisme dont le polynôme caracté- ., Xm les valeurs propres de f. Il existe des
5. Commentaires et développements 115 suites dj^i ^ ... ^ dj^rj pour j G [l,m] telles que, dans une certaine base, la matrice de f soit diagonale par blocs avec les blocs Ce^e matrice est appelée réduite de Jordan de f. 4.2. Remarque. Étant donné que la matrice diagonale par blocs en conclusion de cette proposition admet un polynôme scindé, l'hypothèse sur le polynôme caractéristique est bien nécessaire. Cette proposition permet la caractérisation complète des classes de similitude sur un corps algébriquement clos (donc, en particulier, sur C) mais ne permet pas de conclure sur R. En adaptant la remarque sur la réduite de Jordan pour les nilpotents, on obtient le cas général. 4.3. Proposition. Deux endomorphismes f et g d'un même espace vectoriel qui admettent des polynômes caractéristiques scindés sont semblables si, et seulement si, ils admettent la même réduite de Jordan. 4.4. Théorème de Jordan & Weyr. Deux endomorphismes f et g d'un même espace vectoriel qui admettent des polynômes caractéristiques scindés sont semblables si, et seulement si, VA £ C, V/c e N, rg(/ - Aid)* - rg(<? - AId)fc. Démonstration. Les polynômes caractéristiques étant scindés, il suffit de vérifier que les réductions de Jordan sont les mêmes ce qui est le cas d'après la remarque X-3. □ 5. Commentaires et développements 5.1. L'ensemble des matrices nilpotentes est appelé cône nilpotent : la matrice nulle est son sommet et il est stable par homothétie : si N est nilpotente, XN l'est aussi. De surcroît, en dimension 2, cet ensemble se voit bien, car il est contenu dans l'hyperplan (de dimension 3) des matrices de trace nulle ; et là, c'est un véritable cône quadratique, c'est-à-dire c'est l'ensemble des zéros d'un polynôme homogène de degré 2 (indifféremment ici, le déterminant det(M) ou bien tr(M2). Cette description est détaillée dans le chapitre XII.
116 X. Réduction de Jordan 5.2. Un des résultats fondamentaux, qui irradie ensuite sur le reste, est que le cône nilpotent contient un nombre fini de classes de similitude, et plus précisément p{n) classes où p(n) est le nombre de partitions de l'entier n. Pour un polynôme caractéristique donné scindé, il y a n^(a0 classes de i similitude où les ai sont les multiplicités des racines du polynôme caractéristique. 5.3. Dans C, on peut paramétrer les classes de similitude : d'abord avec le polynôme caractéristique puis avec la succession des tableaux de Young associés à chaque valeur propre. 5.4. La décomposition de Jordan & Dunford est une façon compacte, incisive et élégante de résumer l'essentiel de ce que l'on peut tirer de la décomposition en sous-espaces caractéristiques. Elle présente en outre l'avantage qu'elle survit au cadre matriciel propre, puisqu'elle est encore valable pour les algèbres de Lie (comme l'espace des matrice triangulaires ou les matrices antisymétriques). Ainsi, si A est une matrice triangulaire (respectivement antisymétrique complexe) de décomposition de Jordan & Dunford A = D + N sa décomposition de Jordan-Dunford, alors D et N sont encore triangulaires (respectivement antisymétrique complexe). 5.5. La décomposition de Jordan & Dunford permet de montrer facilement que le rayon spectral de A est strictement inférieur à 1 si, et seulement si, la suite des puissances (Ap)p est de limite nulle. 5.6. La décomposition de Jordan & Dunford est effective au sens qu'il existe un algorithme permettant de l'obtenir (ce qui contraste avec la question difficile de la recherche des racines du polynôme caractéristique). Voici les grandes lignes de cet algorithme pour un endomorphisme / : - Calculons le polynôme P unitaire dont les racines complexes sont celles de Xf niais avec la multiplicité 1. On l'obtient algorithmiquement en divisant Xf Par Ie PGCD Xf A x'f- - On définit une suite de polynômes (Qk)k Par la premier terme Qo = X et, pour tout k, il existe U G C[X] tel que Xf divise Pr{Qk)U — 1 et P(Qk+i) = Qk-P(Qk)U. - La suite (Qk(f))k est stationnaire et sa limite est la partie d de la décomposition de Jordan & Dunford de /.
6. Exercices 117 La relation de récurrence est l'analogue dans K[X]/(xf) de la méthode de Newton pour la recherche de zéro d'une fonction réelle. 5.7. L'application qui à une matrice A associe sa partie nilpotente dans la décomposition de Jordan & Dunford n'est pas en général continue ! Elle n'est continue en M que si M admet au plus deux valeurs propres égales. En particulier, elle n'est continue en 0n que si n ^ 2. On pourra consulter l'exercice 11-18 page 257 de Éléments de géométrie, Rached Mneimné, Cassini, 1997 5.8. Pour exploiter au mieux les tableaux de Young, il peut être intéressant de les remplir avec des vecteurs correspondant à la base de réduction de Jordan. La « localisation » indiquée à la section 3 permet alors d'extraire de cette base de réduction des bases des différents sous-espaces ker fp P\imfq. 6. Exercices 6.1. Exercice. Déterminer la décomposition de Jordan & Dunford d'une matrice de M2((£) de trace nulle. > Éléments de correction. Le polynôme caractéristique d'une matrice A G .A/Ï2(C) de trace nulle est xa = X2 + det A. Deux cas se présentent : > si det A ^ 0, alors xa est annulateur scindé à racines simples donc A est diagonalisable ; > sinon, A2 = O2 donc A est nilpotente. Dans tous les cas, A est sa propre décomposition de Jordan & Dunford. <\ 6.2. Exercice. Déterminer la décomposition de Jordan & Dunford d'une matrice de A^C) antisymétrique. \> Éléments de correction. Une matrice A G M.%{C) antisymétrique est de trace nulle et de déterminant nul. Son polynôme caractéristique est donc de la forme xa = X3 + aX ; on conclut comme dans l'exercice précédent : si ce ^ 0, la matrice est diagonalisable ; sinon, elle est nilpotente. Dans tous les cas, A est sa propre décomposition de Jordan & Dunford. < 6.3. Exercice. Déterminer la décomposition de Jordan & Dunford de la matrice (a c d \ 0 a e , 0 0 6/
118 X. Réduction de Jordan où a ^b, c, d, e G C. > Eléments de correction. Notons A = D + N la décomposition de Jordan & Dunford. Comme D et N sont des polynômes en A, ces matrices sont triangulaires supérieures. Par ailleurs, la matrice N est nilpotente, donc est triangulaire strictement supérieure. À ce stade, nous avons montré que les matrices sont de la forme / a a p \ / 0 c-a d-fi \ D==\0a-y\, N=\0 0 e-7 1 . \ 0 0 6 / \ 0 0 0 / Comme D est diagonalisable, a = 0 (on peut le voir directement en considérant l'induit sur l'espace engendré par les deux premiers vecteurs). La relation ND = DN entraîne alors < 6.4. Exercice. Soit M antisymétrique complexe de décomposition de Jordan & Dunford M — D + N. Montrer que D et N sont antisymétriques. > Éléments de correction. La relation M = — lM se récrit D + N = —lD — t/V'. Comme — lD et —lN sont des matrices qui commutent, respectivement diagonalisable et nilpotente, on peut appliquer l'unicité de la décomposition de Jordan & Dunford, ce qui entraîne le résultat annoncé. < 6.5. Exercice. Soit M G A4n(C). Montrer que la seule matrice nilpotente de l'algèbre C[M] est la matrice nulle si, et seulement si, M est diagonalisable. > Éléments de correction. (=>) Il suffit d'écrire que les termes de la décomposition de Jordan & Dunford de M sont des polynômes en M. Par conséquent la partie nilpotente est nulle et M est donc diagonalisable. (<=) Si M est diagonalisable, alors M est semblable à une matrice diagonale diag(Ai,...,An). Pour tout polynôme P tel que P(M) est nilpotente, diag(P(Ài),..., P(Xn)) est nilpotente donc P(Ai) = ... = P(Xn) = 0. Par conséquent, P(M) = 0n. Ainsi, la seule matrice nilpotente de C[M] est la matrice nulle. < 6.6. Exercice. Soit M G Ain(C) de décomposition de Jordan & Dunford M — D H- N avec D diagonalisable et N nilpotente qui commutent. Montrer qu'il existe un polynôme Q G C[X] tel que Q(0) = 0 et N = Q(M).
6. Exercices 119 > Eléments de correction. On sait déjà d'après la décomposition de Jordan & Dunford qu'il existe un polynôme P G C[X] tel que N = P(M). > Si /iAf(O) 7^ 0, il suffit de poser P(0) Q(X)=P(X) ^m(I). > Sinon, Pn est annulateur de M donc est divisible par [Im- Ainsi, 0 est racine de jum donc de P et il n'y a rien à établir. Le résultat est également vrai pour D avec le polynôme X — Q(X). On peut alors facilement obtenir que, pour tout vecteur X G ker M2, NX G kerM. Ce résultat découle directement de la remarque simple suivante : N et M coïncident sur le sous-espace caractéristique de M associé à 0. < 6.7. Exercice. Soit f un endomorphisme d'un C-espace vectoriel E de décomposition de Jordan & Dunford f = n + d avec d diagonalisable et n nilpotent qui commutent. Supposons qu'il existe des sous-espaces vectoriels G C F tels que f(F) C G. Montrer que n(F) C G. Indication : on peut utiliser Vexercice précédent. > Éléments de correction. Comme n = Q(f) avec Q un polynôme à coefficient constant nul, n(F) C G. Là encore, le résultat est également vrai avec la partie diagonalisable d. < 6.8. Exercice. Soit f un endomorphisme d'un C-espace vectoriel E. 1. Montrer qu'il existe un endomorphisme g G C{E) tel que la partie nil- potente n de f dans la décomposition de Jordan & Dunford soit n = f°9-9°f' Indication : on pourra commencer par montrer qu'il existe une matrice M G Mn(C) telle que Jn = JnM - MJn. 2. Montrer le critère de diagonalisabilité de Klarès : f est diagonalisable si, et seulement si, ker adf = ker ad2*. D> Eléments de correction. 1. Commençons par montrer le résultat sur Jn. Il suffit de prendre M = diag(l, 2,... n) (ou toute autre matrice diagonale avec des coefficients diagonaux en progression arithmétique de raison 1) pour avoir JnM — MJn = Jn. Par conséquent, pour tout sous-espace caractéristique Fa associé à la valeur propre À, il existe g\ G C(F\), nFx = nFx ogx-gxo nFx = fFx ogx-gxo fFx car fFx — XldFx + nFx.
120 X. Réduction de Jordan Définissons alors, g comme l'unique endomorphisme de E coïncidant sur chaque sous-espace caractéristique F\ avec l'endomorphisme g\ correspondant. Alors, n — fog — go f. 2. (=>) La condition ker adf — ker ad2r est équivalente à ker adf Dim adf = {0e}- Or, la partie nilpotente n appartient à la fois à ker ad/ (en tant que polynôme en /, elle commute avec /) et à im adf (d'après la question précédente). Ainsi, n est l'endomorphisme nul et / est diagonali- sable. (4=) Si l'endomorphisme / est diagonalisable, alors adf est diagonali- sable : ainsi ker adf = ker ad2*. < 6.9. Exercice. Montrer que N G A4n(C) est nilpotente si, et seulement si, N et 2N sont semblables. > Eléments de correction. (=>) Il suffit de vérifier la propriété sur les blocs de Jordan d'après la réduction de Jordan et le calcul par blocs. Or, diag(l,2-1,...,2-m+1)Jmdiag(l,21,...,2m-1) = 2Jm. Ainsi, Jm et 2Jm sont semblables. (<=) Supposons N et 2Af semblables et considérons une valeur propre À G C de N. Ainsi 2À est une valeur propre de 2N donc de N par similitude. Une récurrence immédiate donne que la suite (2/cA)/c est une suite de valeurs propres de N. Pour que cette suite soit finie (ce qui est nécessaire car le nombre de valeurs propres de N est fini), il faut que À = 0. Mais alors, comme 0 est l'unique valeur propre de A", xn = Xn et donc N est nilpotente d'après le théorème de Cayley & Hamilton. < 6.10. Exercice. trice /0 1 0 0 0 0 \ 0 0 de Young correspondant à la ma- 2 3 \ 4 5 0 6' 0 0/ Déterminer le tableau
6. Exercices 121 > Eléments de correction. La matrice proposée est nilpotente d'indice maximal (ici 4) donc son tableau de Young est la ligne < 6.11. Exercice. Déterminer le tableau de Young correspondant à une matrice vérifiant ker A = imA. En déduire que toutes les matrices vérifiant cette condition sont semblables. ï> Eléments de correction. On trouve que A est nilpotente d'indice 2 et que dim ker A2 = dim ker A + dim ker A fi im A = 2 dim ker A (proposition II-1.4). Le tableau admet deux colonnes de même taille. Ainsi, toutes ces matrices ont le même tableau de Young donc sont semblables. < 6.12. Exercice. Déterminer le tableau de Young d'une matrice A G A^C) nilpotente telle que rg(A2) — 2. t> Éléments de correction. Ilya5 — 2 = 3 cases réparties sur les deux premières colonnes donc ces colonnes sont d'où l'on déduit que le tableau complet est Ainsi, toutes les matrices vérifiant ces conditions ont le même tableau de Young donc sont semblables. < 6.13. Exercice. Montrer qu'une matrice nilpotente M G M.n(C) est semblable à la matrice Jr+l ^n—r—1 si, et seulement si, rgM = r et rgM2 = r — 1. D> Eléments de correction. > Pour le sens direct, il suffit de faire le calcul et de remarquer que le rang est préservé sur une classe de similitude. > Soit M nilpotente telle que rgM = r et rgM2 = r — 1. La première colonne tableau de Young de la matrice M a n — r = dim ker M cases, les deux premières ont ensembles n — r + 1 = dim ker M2 cases. Par conséquent, la deuxième colonne (et donc toutes les suivantes) ne compte qu'une case.
122 X. Réduction de Jordan Ainsi, le tableau de Young est une « équerre ». Par exemple, pour n et r = 5, on obtient Le résultat découle de la caractérisation des classes de similitude par la réduction de Jordan. < 6.14. Exercice. Déterminer le tableau de Young correspondant à la matrice B = A2 où la matrice A est nilpotente de tableau de Young > Éléments de correction. Il suffit de remarquer que keri^ = ker A2k et Ton obtient donc le tableau de Young de B en regroupant les colonnes deux par deux, d'où 6.15. Exercice. Déterminer le tableau de Young correspondant à la matrice ( A A B-{0n A où la matrice A est nilpotente de tableau de Young > Éléments de correction. Il suffit de remarquer que ryk ( A K,A ^ f In KLn ^ I A Un 0n Ak ) \ 0„ In )\ 0n Ak donc rg(Bfe) = 2rg(J4fc), c'est-à-dire dimkerBfc = 2dimkerJ4fc. En conclu-
6. Exercices 123 sion, on obtient le tableau de Young de B en multipliant la longueur des colonnes par deux. Dans notre cas particulier, le tableau de Young de B est < 6.16. Exercice. Soit A, B G Mn(C) nilpotentes ayant le même polynôme minimal et le même rang. 1. Montrer que, si n $J 6, alors A et B sont semblables. 2. Donner un contre-exemple à cette affirmation pour n = 7. D> Eléments de correction. 1. Il suffit pour ces petites dimensions de dresser la liste des tableaux de Young puis de vérifier que si on fixe le degré du polynôme minimal (donc le nombre de colonnes) et le rang (donc le nombre de lignes car on fixe la dimension du noyau), on n'a qu'un seul tableau correspondant. > n = 2 > n = 3 t> n = 4 > n = 5
124 X. Réduction de Jordan > n ■ 2. Avec les tableaux de Young suivants à sept cases qui ont le même nombre de lignes et le même nombre de colonnes (donc même rang et même polynôme minimal pour des endomorphismes associés) on obtient le contre-exemple des deux matrices nilpotentes suivantes non semblables / 0 1 0 0 0 1 0 0 0 V 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 L°J/ o 6.17. Exercice. blables. Montrer que deux matrices de transvection sont sem- > Eléments de correction. Il suffit de remarquer que le tableau de Young associé à l'unique valeur propre 1 est TY(n — 1,1) pour toutes les trans- vections. <! 1. On peut voir directement que leurs carrés n'ont pas le même rang.
Chapitre XI Réduction de Frobenius Objectifs du chapitre - Comprendre la réduction de Frobenius et identifier une forme réduite d'une diagonale par blocs compagnons quelconque. - Savoir passer de la réduite de Jordan à la réduite de Frobenius et réciproquement. - Utiliser des calculs sur les matrices compagnons pour obtenir via la réduite de Frobenius un résultat pour toutes les matrices. 1. Réduction de Frobenius 1.1. Proposition. Soit f un endomorphisme. Alors, il existe une unique suite finie de polynômes unitaires Pi, P2, ..., Pr et une décomposition r 1=1 telles que > pour tout i G [l,r — 1], Pi+\ divise Pi ; > pour tout i G [1,t]; Vinduit /^ est cyclique de polynôme minimal Pi. 1.2. Remarque. Remarquons tout d'abord que cette réduction ne requiert pas l'hypothèse d'un polynôme annulateur scindé comme la réduction de Jordan. Démonstration. > Prouvons l'existence par récurrence sur la dimension de l'espace.
126 XL Réduction de Frobenius - Le résultat est évident pour les endomorphismes d'un espace de dimension 1 (qui sont tous cycliques). - Soit n G N*. Supposons le résultat établi pour les endomorphismes des espaces de dimension inférieure ou égale à n et considérons / un endo- morphisme d'un espace E de dimension n -h 1. Introduisons x G E tel que \i^x — fif (qui existe d'après la proposition IV-3.3) et F un supplémentaire de E\ = EfiX stable par / (qui existe d'après la proposition VI-3.3). Appliquons l'hypothèse de récurrence à l'endomorphisme induit fp par / sur F : il existe une suite finie de polynômes unitaires P2, ..., Pr et une décomposition 2 = 2 telles que, pour tout i G [2,r — 1], Pz+i divise Pi et l'induit /#. est cyclique de polynôme minimal Pz. On vérifie alors que /i/F = P2 divise fif (car fif annule fp). Ainsi, la suite P\ = /iy, P2, ..., Pr et la décomposition 2=1 vérifient les conditions de l'énoncé. > Montrons désormais l'unicité de la suite de polynômes de cette proposition en supposant qu'il existe deux telles suites distinctes de polynômes unitaires Pi, P2, ..., Pr et Qi, Q2, ..., Qs et notons £ = 0^ = 0* 2=1 2=1 des décompositions associées. Remarquons que par construction Pi = Qi — \ij. Comme r s Y^àegPi = ]Tdeg(2i, 2=1 2=1 il existe j G [2, min(r, s)} minimal tel que Pj ^ Qj. Étudions P3(f). - Pour i G [l,j — 1], fpi et Jq1 sont semblables car les deux sont cycliques de même polynôme minimal Pi — Qi donc Pj(fFi) et Pjifd) sont semblables. - Pour i > j, Pi divise Pj donc Pj(fpi) est l'endomorphisme nul. - Pour i ^ j +1, Qi = Pi divise Pj donc Pj(fci) est l'endomorphisme nul.
1. Réduction de Frobenius 127 Combinant ces résultats, on obtient que Pj{fQô) est F endomorphisme nul donc Qj = /i/G. divise Pj. Par symétrie, Pj divise Qj et donc Qj = Pj : contradiction. □ Reformulons cette proposition. 1.3. Proposition. Soit f un endomorphisme. Alors, il existe une unique suite finie de polynômes unitaires Pi, P2, ..., Pr tels que > pour tout i G [1, r — 1], P^+i divise Pi ; t> il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est diagonale par blocs et les blocs diagonaux sont les matrices compagnons des polynômes P\, P2, :. ., Pr : (\cPl Cp2 1 \ \ cPr \) Cette matrice est appelée réduite de Frobenius de f. 1.4. Définition. Les invariants de similitude d'un endomorphisme sont les polynômes qui lui sont associés par la proposition XI-1.1. 1.5. Remarque. Si les invariants de similitude de / sont les polynômes Pi, P2, • • • •> Pr (en gardant l'ordre correspondant à la divisibilité de la proposition XI-1.1), alors r M/ = Pi, Xf = \[Pi- La justification de l'appellation invariants de similitude provient du corollaire suivant (immédiat par transitivité de la relation de similitude). 1.6. Corollaire. Deux endomorphismes sont semblables si, et seulement si, ils ont les mêmes invariants de similitude. 1.7. Exemple. Déterminons la forme réduite de la matrice diagonale par blocs compagnons Cx^+i et Cx^ • / V 0 1 -1 0 0 0 1 0 \ /
128 XL Réduction de Frobenius Remarquons tout d'abord que cette forme n'est pas la réduite de Frobenius car les polynômes X2 et X2 + 1 ne sont pas multiples l'un de l'autre. Par ailleurs, le polynôme minimal de cette matrice est X2{X2 -f 1) (de degré 4) donc la matrice est cyclique et son seul invariant est X2(X2 + 1). 1.8. Exemple. Déterminons la forme réduite de la matrice diagonale par blocs compagnons C^a+i, Cx et Cx • / 0 -1 1 0 V 0 \ Loj / Le polynôme minimal de cette matrice est X(X2 + 1) et son polynôme caractéristique est X2(X2 + 1) donc les invariants sont X(X2 + 1) et X d'après la remarque XI-1.5. La matrice est donc semblable à / 0 0 0 1 0 -1 0 1 0 \ kl/ 2. Retour sur la réduction de Jordan On dispose de deux caractérisations de la similitude : la forme réduite de Jordan (si le polynôme minimal est scindé) ou la forme réduite de Frobenius. Etudions les passages entre ces deux formes réduites. Pour cela commençons par remarquer qu'il est facile d'obtenir la réduction de Jordan d'un nilpotent. 2.1. Exemple. Soit / un endomorphisme nilpotent. D'après la réduction de Frobenius, il existe des polynômes Pi, ..., Pr tels que P^+i divise Pi pour tout i et f admet une matrice de la forme /r^n V Cp2 \ [çK\) De plus, les Pi sont des diviseurs du polynôme caractéristique Xf ~ Xn donc sont des monômes. Alors, pour obtenir la réduction de Jordan, il suffit de remarquer que CXk = lJk et donc de renverser l'ordre des vecteurs pour obtenir exactement la forme voulue.
2. Retour sur la réduction de Jordan 129 Proposons une nouvelle preuve de la réduction de Jordan rappelée dans la proposition suivante. 2.2. Proposition. Soit f un endomorphisme dont le polynôme caractéristique est scindé, Xi, ..., Àm les valeurs propres de f. Il existe des suites dj^i ^ ... ^ dj^rj pour j G [l,ra] telles que, dans une certaine base, la matrice de f soit diagonale par blocs avec les blocs ^lldi,i+^di,iî • • • 5^lIdi,ri+Jdi,riî • • • >^mIdm,i+Jdn , ^rrJ-dm.rrr, + Jd„ Démonstration. Comme Xf es^ scindé, on peut, via le lemme des noyaux, se limiter à l'étude de l'endomorphisme induit par / sur chaque sous-espace caractéristique. Le résultat découle alors directement du calcul précédent sur les endomorphismes nilpotents. □ 2.3. Exemple. La réduite de Frobenius de la matrice (cyclique) ÀIn + Jn est C(x_A)n. 2.4. Exemple. Soit Ai, ..., Xp G C deux à deux distincts. La réduite de Frobenius de la matrice par blocs / 1 Aiin + jri V O V n(*-Ai)r* ^2Ïr2 + Jr2 1 1 ^P^p ' ^Tp \ ) Ces exemples laissent croire que le passage de la forme réduite de Jordan à la forme réduite de Frobenius est élémentaire ; attention toutefois à bien comprendre les distinctions : la réduction de Jordan se fait valeur propre par valeur propre alors que la réduction de Frobenius panache les valeurs propres. Détaillons les algorithmes pour passer d'une réduite à l'autre en utilisant l'exemple XI-2.4. 2.5. Algorithme. Considérons un endomorphisme qui admet un polynôme annulâteur scindé. Pour passer de la forme réduite de Frobenius à la forme réduite de Jordan, il suffit de remplacer chaque invariant de similitude (nécessairement scindé) par des blocs de Jordan associés à chacune de ses racines et dont la taille est la multiplicité de la racine.
130 XL Réduction de Frobenius On obtient ainsi une écriture matricielle de / diagonale par blocs de Jordan : c'est donc la forme réduite de Jordan d'après l'unicité démontrée au chapitre précédent. 2.6. Exemple. Par exemple, si les invariants sont Pi = X2{X — 2)3, P2 — X(X — 2) et Ps — X, les blocs de Jordan dans la forme réduite seront > J2 et 2I3 -f J3 pour l'invariant Pi, > J\ et 2Ii + J\ pour l'invariant P2, > J\ pour l'invariant P3. La forme réduite de Jordan est donc (en remettant les blocs dans un ordre plus habituel) 2 1 0 0 2 1 0 0 2 2 0 1 0 0 0 0 1 2.7. Algorithme. Considérons un endomorphisme qui admet un polynôme annulât eur scindé. Pour passer de la forme réduite de Jordan à la forme réduite de Frobenius, on procède par étapes > on écrit la liste des polynômes minimaux des blocs de Jordan, > on retire de la liste les polynômes de plus haut degré pour chacune des valeurs propres : le produit de ces termes donne un invariant de similitude, ï> on recommence tant qu'il y a des polynômes dans la liste. Notons que ceci correspond exactement à l'idée de l'exemple XI-2.4. On obtient ainsi une écriture matricielle de / diagonale par blocs compagnons avec des polynômes qui se divisent successivement (car les multiplicités des racines décroissent au fur et à mesure) : c'est donc la forme réduite de Frobenius d'après l'unicité démontrée. 2.8. Exemple. Considérons un endomorphisme dont les blocs dans la réduction de Jordan sont les suivants 2I3 + J3, 2I3 + J3 I3 + J3, Is + ^3, I1 + J1 ^2? J\
3. Commutants et bicommutants 131 Les polynômes correspondants sont (X - 2)3 (X-l)3 X2 Pi (X - 2)3 (X - l)3 X p2 X -1 p3 X -1 Pi Remarquons que la disposition a été choisie de sorte à simplifier l'étape suivante : une ligne contient tous les termes associés à une valeur propre par ordre de degré décroissant ; chaque invariant est alors le produit des facteurs sur une colonne. Ainsi, P1 = (X- 2)3(X - 1)3X2, P2 = {X - 2)3(X - 1)3X, P3 = P4 = X-1. On déduit immédiatement de ces algorithmes la propriété suivante. 2.9. Corollaire. Soit f un endomorphisme à polynôme minimal scindé tel que le nombre de blocs dans récriture réduite de Jordan soit égal au nombre d'invariants de similitude. Alors, f admet une unique valeur propre. 3. Commutants et bicommutants 3.1. Proposition. Soit f un endomorphisme d'un espace de dimension n et C(f) son commutant. Alors, dimC(/) ^ n. Démonstration. D'après la réduction de Frobenius, il existe une base B dans laquelle la matrice de / est de la forme \ f[Cp~^\ \ [Çr7\ [Cp7] Alors, pour toute matrice Ai commutant avec Cp^ l'endomorphisme dont la matrice dans la base B est /m 0D V \ fol/
132 XL Réduction de Frobenius commute avec /. Par conséquent, r r dimC(/) ^ ]T dimC(CPJ = ^degp* = n- i=l i=l D 3.2. Corollaire. 5oi£ / un endomorphisme d'un espace de dimension n et C(f) son commutant. Alors, dimC(/) = n si, et seulement si, f est cyclique. Démonstration. (<=) Montrons que si / admet deux invariants de similitude alors dimC(/) > n. Pour cela il suffit de montrer que pour P et Q deux polynômes de degré respectif p > 0 et q > 0, le commutant de la matrice e M2p+q(K) contient un élément qui n'est pas diagonal par blocs. Cherchons une telle matrice de la forme [CpQ cP | 1 A T] c'est-à-dire A G Mp+qiP(K) telle que ACpq = CpA. Pour cela considérons les endomorphismes / G C{KP) et g e £(Kp+q) canoniquement associés à Cp et Cpq. Par construction, la base canonique de Kp est de la forme (eu /(ei),..., /p-1(ei)) et celle de Kp+q de la forme (e2,^(e2),...,^^-1(e2)). Définissons <p G £(Kp+q,Kp) par l'image suivante de la base canonique de Kp+q VfcelO.p + 9-11, ip(gk{e2)) = fk(e2). Il est alors évident que (p o g(gj(e2)) — f o (p(gJ;(e2)) pour j e [0,p -f q — 2]. Calculons le terme analogue pour j = p -f q — 1. Pour cela, notons PQ = Xp+qf -f R avec P de degré au plus p -\- q— 1. = ¥>(PQG/)(e2))-¥>(i*(s)(e2)) = —(^(P(#)(e2)) car PQ est annulateur de # = —R{f)(e\) par définition de y? = /p+«(e1)-PQ(/)(e1) = /p+g(ei) car P est annulateur de /. Par ailleurs, /o<^+9-i(e2)) = /(/P+9-i(ei)) = /P+*(ei). En conclusion, les applications linéaires ip o g et f o (p coïncident sur une base donc sont
3. Commutants et bicommutants 133 égales. La matrice A de ip dans les bases canoniques vérifie ACpq = CpA donc fournit une solution de notre problème reformulé. Remarquons au passage que l'application <p est surjective donc A est de rang maximal p. (=>) Il s'agit d'utiliser les caractérisations des endomorphismes cycliques : d'une part C(f) = K[/] ; d'autre part, dimK[/] = deg/// = n. D L'introduction de la matrice A de rang maximal qui « entrelace » deux matrices compagnons associées à des polynômes en relation pour la divisibilité va être reprise dans la démonstration de la proposition suivante. 3.3. Proposition. Soit f un endomorphisme d'un espace de dimension n. Le bicommutant de f est Valgèbre K[f] des polynômes en f. Démonstration. > Il est évident que K[/] est inclus dans le bicommutant. > Soit g un élément du bicommutant de /. Considérons une décomposition telle que l'endomorphisme induit par / sur Ei correspondent au z-ème invariant de similitude P{. - Chaque projecteur sur un espace Ei parallèlement à la somme des autres espaces appartient à C(f) (car Ei est stable par /) donc commute avec g. Par conséquent, g laisse stable les sous-espaces Ei. - L'endomorphisme induit gEt commute avec l'endomorphisme cyclique /^ : il existe donc un polynôme Qi tel que gEt — Qi(fEi)- - Si / est cyclique, le résultat est établi car g — Qi(f) ; sinon, il reste à voir que les polynômes Qi peuvent être choisis égaux. Ecrivons l'argument pour r = 2 facteurs invariants (la récurrence est immédiate pour obtenir le cas général). Nous venons de montrer que, dans une base bien choisie, les matrices de / et g sont 1 Qi(cPl) Q2(cP2) | r^n Cp2 [ Considérons comme dans la preuve précédente A G Md2jd1 fâ) de rang d<i telle que ACpx = Cp2A (où d\ et ^2 sont les degrés de Pi et P2) ce qui est possible car P2 divise P\. Alors, la matrice A T] commute avec la matrice de / donc commute avec la matrice de g. Le calcul par blocs de ces produits amène l'égalité Q2 (Cp2 )A = AQi (Cp1 ) et, en utilisant la relation ACpx = Cp2A, Q2(Cp2)A = Qi{Cp2)A. Ainsi,
134 XL Réduction de Frobenius la matrice Q2(Cp2) — Qi(Cp2) G Md2Q&) contient le sous-espace imA de dimension d,2 dans son noyau donc est nulle. En conclusion, la matrice de g est 1 Qi(CPl) Qi(Cft) | et donc g = Qi(f). On a ainsi établi que tout élément du bicommutant de / appartient àK[/]. □ 4. Commentaires et développements 4.1. La réduction de Frobenius d'une matrice A est le résultat le plus fin sur la réduction, de part sa généralité et l'essentiel de l'information qu'elle cumule sur la réduction de la matrice A. La réduction de Frobenius traduit tout simplement le théorème fondamental sur la structure des modules de type fini sur un anneau principal, ici, l'anneau est K[X] et le module le K[X]-module défini par A. La traduction de ce même théorème dans le cas des groupes abéliens finis, nous dit qu'un tel groupe est produit (de manière unique) de groupes cycliques Z jd\ Z (g) • • • (g) Z /dk Z, avec d\ \d2 • • • \dk> Le cas crucial étant celui d'un p-groupe abélien fini, comme on s'en aperçoit en se ramenant aux différents p-Sylow de G. Pour ces groupes, l'examen de l'endomorphisme x i—)► px et de ses noyaux itérés ramène la classification de ces groupes à des tableaux de Young. De même que dans ce cas, on montrer que dans un groupe abélien fini, il y a un élément dont l'ordre est le PPCM des ordres de tous les éléments du groupe (l'exposant du groupe), de même grâce à la réduction de Frobenius, il est possible d'y voir l'existence d'un vecteur où est atteint le polynôme minimal. De même que dans le cas des groupes abéliens, on peut calculer vite l'anneau des endomorphismes d'un tel groupe, on peut ici déterminer le commutant de A grâce à la biadditivité du foncteur Hom et l'on est ramené à calculer les espaces d'entrelacement entre deux K[X]-modules cycliques, c'est-à-dire entre deux matrices compagnons dont le polynôme de l'une divise l'autre. 4.2. Les invariants de similitude d'un endomorphisme / de matrice M sont les facteurs invariants différents de 1 de la matrice M — XIn E A/ln(K[X]). On les obtient facilement en utilisant des opérations élémentaires (à coefficients dans K[X]) sur les lignes et les colonnes.
5. Exercices 135 5. Exercices 5.1. Exercice. À quelle condition sur P et Q G K[X] la matrice compagnon Cpq est-elle semblable à la matrice \Cp Cq\ > Éléments de correction. > Si ces deux matrices sont semblables, elles ont le même polynôme minimal : la première a pour polynôme minimal PQ car la matrice est cyclique ; la seconde le PPC M de P et Q. Par conséquent, pour obtenir l'égalité, il faut que P et Q soient premiers entre eux. > Réciproquement, si P et Q sont premiers entre eux, la matrice par blocs admet PQ comme polynôme minimal et est de taille degP + degQ = degPQ donc est cyclique. D'après la réduction de Frobenius, elle est semblable à Cpq. <\ 5.2. Exercice. Déterminer les invariants de similitude de Vhomothétie de rapport A. > Éléments de correction. La réduction de Jordan de cette homothétie est Ali + Ji,..., Ali + J\ (n fois). D'après l'algorithme XI-2.7, les invariants de similitudes sont P1 = ... = Pn = X — A. <\ 5.3. Exercice. Déterminer les invariants de similitude d'un projecteur de rang r. > Eléments de correction. t> Supposons r > n — r. Alors, les invariants de similitude sont au nombre de r et - {'S1. r>(Y\-l ^y^~X) si i^n-r, ^W-1 ^ X sinon. t> Supposons r ^ n — r. Alors, les invariants de similitude sont au nombre de n — r et n ) ] X sinon. 5.4. Exercice. Soit \i et \ £ Œ£[X]. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe une matrice A telle que \±a — \i et \A = X- > Eléments de correction. > Il est évident que x e^ M on^ ^es mêmes facteurs irréductibles et que la multiplicité de chaque facteur dans \ es^ supérieure ou égale à celle correspondante dans jjl.
136 XL Réduction de Frobenius > Réciproquement, écrivons la décomposition en facteurs irréductibles i=l et supposons \i — \\ R^ avec, pour tout % G [l,r], Pi G [l,o^]. 2=1 Posons p — max(a^ — fy + 1), P\ = fi et pour tout k G [2,p], ^ n ^ i = l Alors, pour tout k G [l,p — 1], Pjt+i divise P&. La matrice diagonale par blocs Cp1, ..., Cp admet les polynômes Pi, ..., Pp comme invariants p de similitude donc fi = P\ et % = f| P& comme polynômes minimal et fc=i caractéristique. 5.5. Exercice. 1. Soit P G K[X] unitaire. Déterminer le rang de la matrice compagnon Cp. 2. Soit A G Mn(K). Montrer que deg fiA ^ rgA + 1. 3. Déterminer les matrices A G .Mn(K) £e//es gne deg//,4 = rgA + 1. > Eléments de correction. 1. Rappelons que la matrice compagnon de P est de la forme /O 0 0 -P(0)\ Cp = 1 Vo •. o "•• o 0 1 / Par conséquent, si P(0) = 0, la première ligne est nulle et les n — 1 = deg P — 1 suivantes sont indépendantes, sinon les n colonnes sont échelonnées non nulles. Ainsi rg CP degP siP(0)^0, deg P — 1 sinon.
5. Exercices 137 2. Considérons la réduite de Frobenius de A ( 1 Cf. 1 V \Cp< 1 \cPr | avec, pour tout k G [l,r — 1], P/c+i qui divise P&. Rappelons que Pi = AU- Alors le rang de A est la somme des rangs des différents blocs compagnons et Ton déduit successivement rgA = J2*gCPk fe=i £degPfc-#{*£[!,r], Pfc(0)=0} fc=l ^ degPi + (r - 1) - #{& G [l,r], P,(0) = 0} ^ deg/iA ~ 1, en minorant degP/c par 1 et en majorant #{& G [l,r], Pfc(0) = 0} par r. 3. En reprenant les notations de la question précédente, on obtient que l'égalité équivaut à r ^degPfe = #{fce[l,r], Pfc(0)=0}-1. Or, le premier membre est minoré par r — 1 (cas où tous les invariants restants sont de degré 1) et le second membre est majoré par r — 1 (cas où tous les invariants admettent 0 pour racine). Par conséquent, les deux termes sont égaux à r — 1 et l'on en déduit que les invariants de similitude de 1 sont Pr — X, Pr—i = -X,..., P2 = Jv, P\ — XQ, avec Q un polynôme unitaire. Réciproquement, si une matrice a ces invariants de similitude, alors son rang est degQ et son polynôme minimal est XQ de degré degQ + 1. <
138 XL Réduction de Frobenius 5.6. Exercice. Soit n ^ 4 et A, B e MnQ&) de rang 2. Montrer que A et B sont semblables si, et seulement si, \ia — Vb- > Eléments de correction. Le sens direct est immédiat. Pour établir le sens direct, montrons que la suite des invariants de similitude d'une matrice A de rang 2 est uniquement déterminée par le polynôme minimal va • Notons P\ = Va, P2, ..., .Pr les invariants de similitude de A. Comme r t%a = ]CrgC,p* ^rgCfpi = deg^ -1, car 0 est racine de va, on obtient que degVA ^ 3. Discutons selon la valeur de degVA en utilisant le calcul du rang d'une matrice compagnon de l'exercice précédent. > Si degfiA = 1, alors \ia = X et A est diagonalisable de seule valeur propre 0 : A = 0n, contradiction. 0 Si degVA — 2, alors va = X(X — a). Le polynôme P2 divise va, est divisé par X et r k=2 Par conséquent, les autres invariants sont P2 = va (car rgCp2 = 1) et P3 = .. • = Pn_2 = X (car rgCPk = 0 pour k > 2). > Si deg/i^ = 3, alors /i^ = XQ(X) avec Q de degré 2 et donc rgCMA = 2. Les autres invariants sont P2 — • • • = Pns = X car les matrices compagnons associées sont de rang nul. Dans tous les cas, les invariants de similitude (donc la classe de similitude) d'une matrice de rang 2 sont uniquement déterminés par le polynôme minimal. <!
Chapitre XII Topologie des classes de similitude Objectifs du chapitre - Comprendre la géométrie des classes de similitude de A^M). - Savoir interpréter en termes topologiques de la classe de similitude la nilpotence ou la diagonalisabilité d'une matrice. - Dériver les propriétés de connexité des classes de similitude des propriétés correspondantes des groupes linéaires. 1. Rappels sur la relation de similitude 1.1. Rappel. > Deux matrices A, B G Mn(K) sont semblables s'il existe P G GLn(K) telle que B = P^AP. > La classe de similitude d'une matrice A G Mn(K) est l'ensemble des matrices semblables à A. 1.2. Remarques. > Deux matrices semblables sont en particulier équivalentes donc ont même rang (la réciproque est fausse). > La relation de similitude est une relation d'équivalence sur .Mn(K) et les classes d'équivalence sont, par définition, les classes de similitude. > D'après la formule de changement de bases, deux matrices sont semblables si, et seulement si, elles représentent le même endomorphisme dans des bases (a priori) différentes.
140 XII. Topologie des classes de similitude 1.3. Exemple. La classe de similitude de ÀIn est réduite à ÀIn car, pour tout P G GLn(K), P(AIn)P~1 - XPP-1 = Ain. On a obtenu deux caractérisât ions de la relation de similitude. Deux matrices sont semblables si, et seulement si, > elles ont la même réduite de Jordan, c'est-à-dire les mêmes tableaux de Young pour chaque valeur propre (chapitre X), > elles ont la même réduite de Frobenius, c'est-à-dire les mêmes invariants de similitude (chapitre XI). 2. Classes de similitude dans A^O^) Commençons dans cette section par une étude « géométrique » des classes de similitude dans A^W- Remarquons tout d'abord que les matrices scalaires ÀI2 avec À G M sont seules dans leur classe de similitude. Par conséquent, nous ne considérerons pas ce cas dans l'étude géométrique qui suit. Rappelons que deux matrices non scalaires (donc cycliques) de Ai 2 0^) sont semblables si, et seulement si, elles ont le même polynôme caractéristique. Pour rédiger simplement les résultats, introduisons la base suivante de .M2O&) adaptée à nos considérations 1 0 \ f ° 1\ ( 1 ° ^ ( ° l o 1 y ' v 1 0 y ' vo-iy' V -1 ° Écrivons toute matrice M sous la forme t + y x + z x — z t — y avec t, x, y et z G 3R les coordonnées de M dans cette base. 2.1. Proposition. Soit A G .M2 W une matrice non scalaire. La matrice non scalaire m = ( t+y x+z \&Mi x — z t — y est semblable à A si, et seulement si, ( 2t = tiA x2 + y2-z2 = ~Aj 4
2. Classes de similitude dans A^QK-) 141 où A a = (trA)2 — 4detA est le discriminant du polynôme caractéristique de A. Démonstration. Il suffit d'identifier les polynômes caractéristiques \A — X2 - (tiA)X + det A et Xm = X2 - 2tX + t2 - y2 + z2 - x2. D 2.2. Remarque. D'après ces équations, les classes de similitude des matrices non scalaires sont donc (essentiellement) des quadriques incluses dans un hyperplan affine défini par la trace. Pour tout A G ^2(^)5 la classe de similitude de A est l'image de la classe tr A de similitude de la matrice de trace nulle A —12 par la translation tr A de vecteur I2. Ainsi, il suffit d'étudier les classes de similitudes des matrices de trace nulle pour obtenir la géométrie de toutes les classes à translation près. Dorénavant, on suppose tr A = 0 et l'on discute selon le signe de A^ pour déterminer la classe de similitude de A. Tous les dessins sont réalisés dans l'hyperplan kertr de M2Q&) privé de son origine qui correspond à la matrice (scalaire) nulle. - Les trois axes représentent les coordonnées x, y et z correspondant respectivement aux vecteurs (° M (l ° ) ( ° M \i 0 y ' vo-iy' v-10/' Le plan « horizontal » d'équation z = 0 correspond aux matrices symétriques de cet hyperplan, l'axe d'équations x = y = 0 aux matrices antisymétriques. - La symétrie orthogonale par rapport au plan d'équation z = 0 est la transposition.
142 XII. Topologie des classes de similitude 2.3. Cas A^ = 0. Les matrices A telles que ti A = 0 et A^ = 0 sont exactement les matrices nilpotentes. D'après la proposition précédente, la classe de similitude d'une matrice nilpotente non nulle est donc le cône d'équation x2 + y2 — z2 — 0 privé de l'origine (qui est la classe de similitude de O2). On remarque que cette classe n'est ni bornée, ni fermée (à cause de l'origine), ni connexe. 2.4. Remarque. L'adhérence de la classe de similitude d'une matrice nilpotente non nulle est donc le cône complet (avec son sommet) des matrices nilpotentes. En particulier, la matrice nulle est adhérente à la classe de similitude d'une matrice nilpotente ; on verra à la section suivante que cette propriété est en fait une caractérisation des matrices nilpotentes. 2.5. Cas Aa < 0. Dans ce cas, la matrice n'admet pas de valeur propre réelle : elle n'est donc pas diagonalisable. Réciproquement, une matrice non diagonalisable de trace nulle admet deux valeurs propres imaginaires pures conjuguées donc vérifie bien A^ < 0.
2. Classes de similitude dans .M2Q&) 143 La classe de similitude d'une telle matrice est donc l'hyperboloïde à deux nappes d'équation x2 + y2 — z2 = a avec a < 0. Les deux composantes sont « intérieures » au cône nilpotent (représenté en grisé sur le dessin suivant). Cette fois-ci, la classe est fermée mais n'est pas connexe. Ces classes ne rencontrent pas le plan horizontal ce qui est cohérent avec le théorème spectral : toute matrice symétrique réelle est diagonalisable et les matrices de ces classes ne sont pas diagonalisables. On remarque qu'au sein d'une telle classe, une matrice et sa transposée n'appartiennent pas à la même composante connexe. 2.6. Cas A^ > 0. Dans ce cas, la matrice A admet deux valeurs propres réelles distinctes donc est diagonalisable. Réciproquement, si A est diagonalisable de trace nulle, alors elle admet deux valeurs propres réelles distinctes donc le discriminant est strictement positif. La classe de similitude d'une telle matrice est donc l'hyperboloïde à une nappe d'équation x2 + y2 — z2 = a avec a > 0. Cette fois-ci, la classe est à la fois fermée et connexe.
144 XII. Topologie des classes de similitude 3. Adhérence d'une classe de similitude 3.1. Proposition. L'adhérence d'une classe de similitude est une réunion de classes de similitude. Démonstration. Soit A G A4n(]K) et B dans l'adhérence de la classe de similitude de A. Par définition de l'adhérence, il existe une suite de matrices (Ap)p semblables à A qui converge vers B. Pour tout P G GLn(K), la matrice PBP~1 est la limite de la suite de matrices (PApP~1)p semblables à A (par continuité du produit matriciel) : toute matrice semblable à B est donc dans l'adhérence de la classe de similitude de A. En conclusion, l'adhérence de la classe de similitude de A est la réunion des classes de similitude de ses éléments. □ 3.2. Proposition. Une matrice de A4n(C) est nilpotente si, et seulement si, la matrice nulle est adhérente à sa classe de similitude.
3. Adhérence d'une classe de similitude 145 Démonstration. (=>) Soit A G A4n(C) nilpotente et T sa réduite de Jordan. Notons, pour tout t > 0, Dt = diag(l,t,£2,... , t71"-1) et Tt = D~xTDt = tT. Par conséquent, 0n = lim Tt est adhérente à la classe de similitude de A. £—►0 (<=) Si la matrice nulle est limite d'une suite de matrices (Ap)p semblables à A, alors le polynôme caractéristique xon est la limite de la suite constante de polynômes caractéristiques (xa )p \ Par conséquent, xa = Xon — Xn et A est nilpotente d'après le théorème de Cayley & Hamilton. □ 3.3. Remarque. Dans le sens direct de cette preuve, on n'a pas besoin de considérer la forme réduite de Jordan. Toute matrice triangulaire strictement supérieure semblable à A suffirait pour notre calcul. 3.4. Exemple. L'adhérence de la classe de similitude de Jn est l'ensemble M des matrices nilpotentes. > L'ensemble J\f est fermé comme image réciproque du singleton {0n} par l'application continue M 1—> Mn. Comme A/* contient la classe de similitude de Jn, il contient l'adhérence de cet ensemble. > Réciproquement, considérons une matrice N nilpotente et T une matrice triangulaire strictement supérieure semblable à N. Considérons la suite (Tp)p la suite de matrice où l'on a remplacé les coefficients nuls de T en position (i,i + 1) par le coefficient —. Chaque matrice Tp est semblable à Jn car nilpotente d'indice n (ou, de manière équivalente, de rang n — 1) et la suite (Tp)p converge vers T. Ainsi, T appartient à l'adhérence de la classe de similitude de Jn. En conclusion, A^ appartient à cette adhérence également. 3.5. Proposition. Une matrice de Ain(C) est diagonalisable si, et seulement si, sa classe de similitude est fermée. Démonstration. (=£-) Soit A diagonalisable et (Ak)k une suite de matrices semblables à A qui converge vers B G Mn(C). Comme A est diagonalisable, il existe un polynôme P annulateur scindé à racines simples ; ce polynôme est alors également annulateur de toutes les matrices Ak par la relation de similitude donc de B : la matrice B est diagonalisable. Par ailleurs, toutes les matrices Ak ont le même polynôme caractéristique que A donc, par continuité du déterminant, B aussi. Ainsi B a les mêmes valeurs propres que A avec les mêmes multiplicités. En conclusion, A et B sont semblables à la même matrice diagonale donc semblables entre elles.
146 XII. Topologie des classes de similitude (<=) Soit A G Ain(C) dont la classe de similitude est fermée. En utilisant la décomposition de Jordan & Dunford, il existe D diagonale et T triangulaire strictement supérieure telle que D + T soit semblable à A. En posant encore, pour tout t > 0, Dt = diag(l, t, t2,..., £n_1), on observe que D^1ADt est semblable à D^ADt = D-xDDt + D~lTDt = D + D~xTDt. Or, lim D^1TDt = 0n donc D appartient à l'adhérence de la classe de similitude de A qui est, par hypothèse de fermeture, la classe de similitude de A. Ainsi, A est semblable à la matrice diagonale D : A est diagonalisable. D En fait, nous avons établi un résultat un peu plus élaboré. 3.6. Proposition. Soit A G A/(n(C) de décomposition de Jordan & Dunford A = D-\- N avec D diagonalisable, N nilpotente et DN = ND. Alors, la matrice D appartient à Vadhérence de la classe de similitude de A. 4. Connexité d'une classe de similitude 4.1. Proposition. La classe de similitude d'un matrice M G Ain(C) est connexe. Rappelons un résultat classique. 4.2. Lemme. Le groupe GLn(C) est connexe. Démonstration. Montrons en fait que cet ensemble est connexe par arcs. Soit A, B G GLn(C). L'ensemble Z = {z G C, àet(zA + (1 - z)B) = 0} est fini en tant qu'ensemble des racines d'un polynôme non nul et ne contient ni 0, si 1. Par conséquent, C\Z est un ensemble connexe par arcs contenant 0 et 1 : l'image d'un chemin continu de C \Z joignant 0 et 1 par l'application z i-> zA + (1 — z)B fournit un chemin continu de GLn(C) joignant A et B. D Revenons à la preuve de la proposition. Démonstration. L'application GLn(C) -+ Mn(C) P h-> PMP-1
5. Commentaires et développements 147 est continue et GLn(C) est connexe. Par conséquent, l'image de cette application, c'est-à-dire la classe de similitude de M, est connexe. □ Passons maintenant au cas réel. 4.3. Proposition. La classe de similitude d'une matrice M G M.2n+\(R) est connexe. On admet ici que l'ensemble GL+(R) = {A G Mn(R), detA > 0} est connexe par arcs (on le démontre, par exemple, en utilisant la décomposition polaire). Démonstration. Remarquons que si A est semblable à M alors, il existe une matrice P G GL2n+i(R) telle que A = PMP-1 = (-P)M(-P)-1. Comme l'une des matrices P et — P appartient à GL^+^R) (les déterminants sont opposés car la dimension est impaire), on obtient que la classe de similitude de M est l'image de l'application continue f GL+n+1(R) -> M2n+1(R) \ P h-> PMP'1 donc est connexe par arcs. □ 4.4. Remarque. Le résultat de connexité n'est plus vrai en dimension paire. En effet, on a établi que les matrices semblables ( -1 0 j ( 1 0 ) appartiennent à deux composantes connexes distinctes de la même classe de similitude. 5. Commentaires et développements 5.1. La classe de similitude de la matrice M est fermée si, et seulement si, on l'a dit plus haut, la matrice M est semi-simple. En général, elle est seulement localement fermée dans .Mn(R), autrement dit elle est ouverte dans son adhérence. L'exemple du bloc de Jordan Jn est assez suggestif. Sa classe est exactement l'intersection du cône nilpotent (qui est manifestement un fermé, car caractérisé par la condition Mn = 0n) et de l'ouvert des matrices telles que Mn_1 ^ 0n.
148 XII. Topologie des classes de similitude Le cas général résulte tout simplement du théorème de Jordan & Weyr. En effet, une classe de similitude sur C est caractérisée parmi les classes de similitude des matrices ayant un même polynôme caractéristique par des conditions d'égalité sur le rang des puissances itérés de M — ÀJn et il est bien connu que les matrices ayant un rang donné est localement fermé. 5.2. L'ensemble des matrices inversibles tout comme celui des matrices à valeurs propres distinctes sont les complémentaires de l'ensemble des zéros de fonctions polynomiales non nulles des coefficients d'une matrice. Aussi sont-ils des ensembles ouverts denses et connexes par arcs dans Mn(C). Les classes de similitude de matrices complexes sont par conséquent des parties connexes par arcs, car orbites sous l'action de GLn(C). L'ensemble des matrices diagonalisables complexes est à son tour clairement connexe et dense. 5.3. Deux classes de similitude de matrices nilpotentes qui ont même adhérence sont égales, car, étant toutes deux ouvertes dans cette adhérence, elles ont donc une intersection non vide et sont dès lors égales. Il est possible de décrire, en termes de tableaux de Young, les matrices qui sont dans l'adhérence de la classe de similitude d'une autre. La question étant délicate, on se contentera de quelques exercices simples et montrerons en exercice que l'orbite du bloc de Jordan Jn est dense dans le cône nilpotent et que l'adhérence de la classe de similitude d'une matrice d'indice de nilpotence n — 1 est l'ensemble des matrices dont la puissance (n — l)-ème est nulle. 6. Exercices 6.1. Exercice. Soit A une matrice diagonalisable. Montrer qu'une matrice B est semblable à A si, et seulement si, elle a à la fois le même polynôme minimal et le même polynôme caractéristique que A. Le résultat reste-t-il vrai si Von enlève l'hypothèse A diagonalisable ? t> Eléments de correction. > Le sens retour est évident. Passons au sens direct. La matrice A est diagonalisable donc le polynôme minimal est scindé à racines simples. Comme /2b = I^Aj la matrice B est diagonalisable et ses valeurs propres sont celles de A (les racines de /i^). Par ailleurs, xb — Xa-> donc les valeurs propres ont la même multiplicité pour A et B. En conclusion, A et B sont semblables à la même matrice diagonale donc sont semblables par transitivité. > Avec les invariants de similitude, il est facile de réaliser un contre exemple. Considérons d'une part la matrice dont les invariants de similitude sont X2
6. Exercices 149 et X2 et celle dont les invariants de similitude sont X2, X et X. On peut, par exemple, considérer les matrices suivantes / 0 1 0 0 \ 0 0 0 0 0 0 0 1 \ 0 0 0 0 J ( 0 1 0 0 \ 0 0 0 0 0 0 0 0 \ 0 0 0 0 / Pour ces deux matrices non semblables, le polynôme minimal est X2 et le polynôme caractéristique est X4. <\ 6.2. Exercice. Montrer que les matrices o o > et 0 0 1 0 sont semblables mais que la matrice de passage est forcément de déterminant strictement négatif. > Eléments de correction. Ces deux matrices sont semblables car cycliques de polynôme minimal X2. En notant a, b1 c et d les coefficients d'une matrice de passage, on a 0 1 0 0 a b c d a b c d 0 0 1 0 En identifiant les coefficients, on obtient b = c et d = 0 : la matrice de passage est de déterminant — b2 < 0. <\ 6.3. Exercice. 1. Montrer que l'application j Mn(K) l A est continue. 2. Montrer que l'application j Mn(K) l A n'est pas continue. > Eléments de correction. -> K[X] •-» XA -> K[X] 1. Chaque coefficient du polynôme caractéristique de A est polynomial en les coefficients de A donc définit une fonction continue. Par suite, l'application A v-> \A est continue.
150 XII. Topologie des classes de similitude 2. Chaque matrice de la suite {2~pEi^)p admet X2 comme polynôme minimal. Or, la limite de cette suite est la matrice nulle dont le polynôme minimal est X. La suite des polynômes minimaux (constante) ne converge donc pas vers le polynôme minimal de la limite : l'application A i-> fj,A n'est pas continue. < 6.4. Exercice. Montrer que la classe de similitude d'une matrice A est bornée si, et seulement si, A est une matrice scalaire. > Eléments de correction. (<=) Si A est une matrice scalaire, alors la classe de similitude de A est {A} donc est bornée. (=>) Supposons que A n'est pas une matrice scalaire. Montrons que sa classe de similitude n'est pas bornée pour la norme définie comme la borne supérieure des modules/valeurs absolues des coefficients. Comme A n'est pas scalaire, il existe un vecteur X G Mn^i(K) tel que (X,AX) est libre. Pour tout t > 0, considérons une base obtenue en complétant la famille libre (tX, AX). Grâce à la formule de changement de bases, A est semblable à une matrice dont la première colonne est t 0 w On peut donc trouver, dans la classe de similitude de A, des matrices de norme supérieure ou égale à t : la classe n'est pas bornée. < 6.5. Exercice. Montrer qu'une classe de similitude est d'intérieur vide. D> Éléments de correction. La classe de similitude de M est incluse dans l'hyperplan affine M + kertr qui est d'intérieur vide. < 6.6. Exercice. Déterminer les ouverts de Mn(C) contenant les matrices diagonales et stables par similitude. > Eléments de correction. Considérons O un tel ouvert. D'après les hypothèses, O contient la réunion des classes de similitudes de matrices diagonales donc toutes les matrices diagonalisables. Soit M e Mn{C) de décomposition de Jordan & Dunford M = D + N avec D diagonalisable, N nilpotent et DN = ND. La matrice D appartient
6. Exercices 151 à O et est adhérente à la classe de similitude de M : il existe donc une matrice semblable à M dans O. Comme O est stable par similitude, M appartient à O. En conclusion, le seul ouvert qui convient est .Mn(C). <3 6.7. Exercice. Soit n ^ 4. Montrer qu'une matrice nilpotente de tableau de Young TY(n — 1,1) n'appartient pas à Vadhérence de la classe de similitude d'un matrice nilpotente de tableau de Young TY(n — 2, 2). Indication : on pourra montrer que l'ensemble des matrices de rang strictement inférieur à n — 3 est un fermé puis calculer le rang du carré de matrices nilpotentes de tableau de Young TY(n — 1,1) ou TY(n — 2, 2) . > Éléments de correction. t> Soit r G [l,n]. L'ensemble Ar = {M eMn(K), rgM <r} est un fermé comme intersection des images réciproques du fermé {0} par chacune des applications continues définies par un déterminant extrait de taille r. > Soit A une matrice nilpotente de tableau de Young TY(n — 2, 2). Alors, comme calculé au chapitre X, rg A2 — n — 4 et Â1 G An-z- Ainsi, toute matrice M semblable à A vérifie M2 G An~3- D'après le premier point, toute matrice M adhérente à la classe de similitude de A vérifie donc M2 G An-3. Or, toute matrice M nilpotente de tableau de Young TY(n — 1,1) vérifie rgM2 = n — 3 donc n'appartient pas à l'adhérence de la classe de similitude de A. <3 6.8. Exercice. Montrer que l'adhérence de la classe de similitude d'une matrice nilpotente de tableau de Young TY(n — 1,1) est constituée des matrices nilpotentes admettant au moins deux blocs de Jordan. > Éléments de correction. Notons A la classe de similitude d'une matrice nilpotente de tableau de Young TY(n — 1,1). > Remarquons tout d'abord que les matrices semblables à une matrice nilpotente de tableau de Young TY(n — 1,1) sont nilpotentes et donc que l'adhérence de A est constituée de matrices nilpotentes. En adaptant la question précédente, on vérifie que la matrice Jn n'est pas adhérente à A : une suite convergente de matrice de rang n — 2 ne peut avoir une limite de rang n — 1. Par conséquent, l'adhérence de A est composée de matrices nilpotentes admettant au moins deux blocs de Jordan.
152 XII. Topologie des classes de similitude D> Soit k ^ 2 tel que n — k > k. Montrons que l'adhérence de A contient une matrice nilpotente de tableau de Young TY(n — k, k). Pour cela, établissons que, pour tout p G N, la matrice + 2~pEn -fc+l,n- est nilpotente de tableau de Young TY(n —1,1) donc appartient à A. En effet, pour tout j ^ n — k, ( \ Jn~k Jk keiAJp vect(ei,... ,ej,en), et pour j G [n — k + 1, n], ker AJp = vect(ei,..., en_/e, e2n-k+i-j, où (ei,... ,en) désigne la base canonique de .Mn,i(]K). La suite des sauts de dimension indique donc que Ap admet le tableau de Young TY(n— 1,1). La suite de matrices (Ap)p converge vers la matrice > €-n) 5 ( 1 Jn—k \ Jk nilpotente de tableau de Young TY(n — k,k) qui est donc dans l'adhérence de A. Par conséquent, toute matrice nilpotente de tableau de Young TY(n— k, k) est aussi dans l'adhérence de A. Terminons l'exercice. Considérons un tableau de Young TY(Ài,..., Xp) avec p > 2. Comme l'adhérence de la classe de similitude de Jn-\p est l'ensemble des matrices nilpotentes de taille n — Àp, il existe une suite (Mi)i de matrices de Mn-\p(K) nilpotentes d'ordre n — Xp qui converge vers une matrice nilpotente de tableau de Young TY(Ài,..., Ap_i). La suite de matrices définies pour tout / G N par ([W \ J\p de l'adhérence de A (car de tableau de Young TY(n — XP,XP)) converge vers une matrice nilpotente de tableau de Young TY(Ài,..., Àp, k). En conclusion, toutes les matrices nilpotentes avec au moins deux blocs de Jordan sont dans l'adhérence de A. Remarquons que l'on peut décrire autrement cette adhérence comme Vensemble des matrices nilpotentes d'ordre au plus n ~ 1. <3
Chapitre XIII Localisation des valeurs propres Objectifs du chapitre - Déterminer des localisations des valeurs propres à partir des coefficients de la matrice. - Comprendre le disque spectral (centré en l'origine et de rayon le rayon spectral) pour localiser les matrices. - Démontrer les théorèmes de Perron et Perron & Frobenius sous différentes hypothèses de positivité et d'irréductibilité. 1. Théorème de Hadamard 1.1. Théorème de Hadamard. Soit A = (dij) G Mn(C) telle que, pour tout i G [l,n], n WiA >^2\aij\- 3 = 1 3*i Alors, A est inversible. Démonstration. Soit X = (xi) G A/(n,i(C) un vecteur du noyau de A et i G [l,n] tel que \xA = max \xn\. jelhn] n
154 XIII. Localisation des valeurs propres Alors, la i-ème ligne de l'égalité AX = 0n5i donne J2 aiJxj ~ 0 so^ 0*1,i%i — / j^i-ij 3 ' j = i En prenant le module et en utilisant l'inégalité triangulaire, on obtient n n 3 = 1 3=1 3^i j*i Si X est non nul, Xi ^ 0 et en simplifiant cette égalité, on obtient une contradiction avec l'hypothèse du théorème. Par conséquent, X = 0n,i et la matrice A est injective donc inversible. □ 2. Disques de Gerschgorin 2.1. Définition. Soit A = (aij) G A/ln(C) et i G [l,n]. Le i-ème disque de Gerschgorin de A est le disque (fermé) de centre a^ et de rayon n 3 = 1 3^i Le théorème de Hadamard se traduit alors en : si 0 n'appartient pas aux disques de Gerschgorin de .A, alors A est inversible. Une translation de ce résultat donne la variante suivante. 2.2. Théorème de Gerschgorin. Les valeurs propres complexes d'une matrice appartiennent à la réunion de ses disques de Gerschgorin. Démonstration. Soit À un complexe qui n'appartient à aucun des disques de Gerschgorin, c'est-à-dire tel que, pour tout i G [l,n], K* - A| > ^2\aij\. 3 = 1 3^i D'après le théorème d'Hadamard, A — ÀIn est alors inversible : À n'est pas valeur propre. □ 2.3. Remarque. Une matrice et sa transposée ayant les mêmes valeurs propres, on peut dire que les valeurs propres de A appartiennent également
2. Disques de Gerschgorin 155 à la réunion des disques de centre djj et de rayon Yl \ai,j\ pour j G [1, i = l i^3 Les valeurs propres réelles appartiennent à la fois à Taxe des abscisses et à tous ces disques donc à l'intersection des deux domaines. 2.4. Théorème. Soit A G A/(n(C) telle que r de ces disques de Gerschgorin ne rencontrent pas les n — r autres. Alors, la réunion de ces r disques contient exactement r valeurs propres (comptées avec leur multiplicité). L'argument proposé pour la preuve suivante consiste à exploiter la connexité par arcs de domaines du plan complexe. Démonstration. Soit A la réunion des r disques de Gerschgorin considérés et B la réunion des n — r autres. Comme ces deux ensembles sont fermés et disjoints, d(A,B) > 0. Notons A = (aij) et D la matrice diagonale de A, c'est-à-dire la matrice de coefficients diagonaux les a^. Considérons l'application r [o,i] -► Mn(c) \ t h* D + t(A-D) Les valeurs propres de J5(0) = D sont exactement les centres des disques de Gerschgorin de A : il y en a donc r dans A et n — r dans B. Rappelons, enfin, que les valeurs propres de B(t) définissent des fonctions continues de la variable t (résultat ici admis mais non trivial). Comme d(A, B) > 0, une de ces fonctions / telle que /(O) G A (respectivement /(O) G B) doit vérifier f(l)eA (respectivement /(l) G B). En conclusion, la matrice A = B(l) admet aussi r valeurs propres dans A et n — r dans B. D 2.5. Corollaire. Soit A G A4n(C) et D un de ces disques de Gerschgorin qui ne rencontre pas les autres. Alors, D contient une unique valeur propre et celle-ci est simple. 2.6. Exemple. En appliquant les résultats précédents à la matrice e-M3(C), on obtient trois disques de Gerschgorin en deux zones disjointes : d'une part la réunion de deux disques qui contient deux valeurs propres, de l'autre un disque isolé qui contient une valeur propre. 0 -1 0 1 0 i 1 1 3
156 XIII. Localisation des valeurs propres 3. Rayon spectral 3.1. Définition. Soit A G Mn(C). Le rayon spectral de A est le réel p(A) ^ 0 défini comme le plus grand module d'une valeur propre. 3.2. Remarque. Attention, le rayon spectral d'une matrice n'est pas forcément une valeur propre. En revanche, toutes les valeurs propres d'une matrice A appartiennent au disque fermé de centre 0 et de rayon p{A). Illustrons quelques situations très différentes. t> Le rayon spectral de la matrice de permutation associée à une permutation circulaire de 6n est 1 et toutes les valeurs propres sont des racines n-èmes de l'unité. Ainsi, toutes les valeurs propres appartiennent au cercle de centre 0 et de rayon 1. > Le rayon spectral de la matrice dont tous les coefficients sont égaux à 1 vaut n et aucune autre racine n'appartient au cercle de centre 0 et de rayon n. Mentionnons sans preuve quelques propriétés élémentaires du rayon spectral. 3.3. Proposition. Soit A e Mn(C) et || || une norme d'opérateur sur Mn(C). Alors, p{A) ^ \\A\\ et p{A)=\im \\Ak\\k. 3.4. Proposition. L'application Mn(C) -> R+ A k+ p{A) est continue.
4. Théorème de Perron 157 4. Théorème de Perron 4.1. Définition. Soit A G -Mn,p(C). La matrice A est positive (respectivement strictement positive) si tous ses coefficients sont des réels positifs (respectivement strictement positifs). 4.2. Exemple. La matrice I4 -f P(X 2 3 4) (où P(i 2 3 4) désigne la matrice de permutation associée au cycle (1 2 3 4)) est de puissance strictement positive sans être strictement positive car / 1 0 0 1 \ 110 0 0 110 \ 0 0 1 1 ) 6 / 1 1 3 3 \ 3 113 3 3 11 V 1 3 3 1 ) 4.3. Remarque. Si une matrice A G M.n(M) est strictement positive et X G A/fn,i(IR) un vecteur positif, alors AX = 0nji si X est nul et AX est strictement positif sinon. 4.4. Lemme. Soit A G Â4n(C) une matrice strictement positive, À une valeur propre de module p(A) et X — {pa) un vecteur propre associé. Alors, > le rayon spectral p(A) est une valeur propre de A, > le vecteur \X\ = (\xi\) est un vecteur propre associé à p(A), > il existe 0 G M tel que X = eie\X\. Démonstration. Par inégalité triangulaire, pour tout i G [l,n], p(A)\xi\ = \Xxi\ = ^ y^aj,k\xk\ k=l Ainsi, le vecteur E = A\X\ — p(A)\X\ est positif. Supposons E non nul et, par conséquent, AE strictement positif. Le vecteur Y = A\X\ est strictement positif et la condition AE strictement positif entraîne que le vecteur AY — p(A)Y est strictement positif. Il existe donc un réel p > p(A) tel que le vecteur AY — pY est positif. Par une récurrence immédiate, pour tout fcGf, AkY - pkY est positif et donc p^Yim\\Ak\ k k 00 P(A), (où II ||oo désigne la norme d'opérateur associée à la norme uniforme) d'où la contradiction. Ainsi, E est nul et \X\ est un vecteur propre associé à p(A).
158 XIII. Localisation des valeurs propres Pour conclure, il suffit de remarquer que nous avons prouvé l'égalité / v Q/i,k%k fc=l ce qui entraîne classiquement (cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire sur C) que tous les complexes Xk ont le même argument. □ 4.5. Théorème de Perron. Soit A G A4n(K) strictement positive. Alors, > p(A) est l'unique valeur propre de module maximal. > Le sous-espace propre Ep(A) es^ une droite dirigée par un vecteur strictement positif. Démonstration. > Soit À une valeur propre de module p(A) et X un vecteur propre associé. D'après le lemme précédent, il existe 9 G R tel que X = el6\X\ et \X\ est un vecteur propre associé à p(A). Ainsi, XX = AX=Ael6\X\ = eieA\X\ = ei9p(A)\X\ = p(A)X. En conclusion, À = p(A). > Soit X un vecteur propre associé à p(A). D'après le lemme, il existe 0 G M tel que X = eie\X\. Alors, p(A)X = ei0p(A)\X\ = eieA\X\. Or, X est positif et A strictement positif : ainsi, p(A) ^ 0 (ou de manière équivalente p(A) > 0) et X n'a pas de coordonnées nulles. Supposons dim Ep^) ^ 2 et considérons maintenant deux vecteurs propres indépendants X — {xi) et Y = (^) associés à la valeur propre p(A). Le vecteur propre x\Y — y\X admet au moins une coordonnée nulle ce qui contredit la remarque ci-dessus. □ 4.6. Corollaire. Soit A G Mn{K) positive. Alors, le rayon spectral p{A) est une valeur propre et le sous-espace propre associé Ep(A) contient un vecteur positif. Démonstration. Définissons, pour tout k G N, la matrice /i ... i Ak = A + 2-* : : : V i ... i Alors, la suite {Ak)k converge vers A et, pour tout k G N, Ak est strictement positive : d'après le théorème de Perron, il existe un vecteur propre Xk strictement positif, de norme 1, associé à la valeur propre p(Ak). Par continuité du rayon spectral (proposition XIII-3.4), limp(Ak) — p(A). k De plus, la suite (Xk)k est à valeurs dans la sphère unité qui est compacte
5. Théorème de Perron & Frobenius 159 donc il existe une sous-suite (X^^k qui converge vers un vecteur X de norme 1. Alors AX = lïmA^X^k) = limp(A¥,(fc))Xy)(fe) = p(A)X. k k Comme X est positif (comme limite de vecteurs strictement positifs), le résultat est établi. D 4.7. Remarque. Attention, dans le cas d'une matrice positive, il peut exister plusieurs valeurs propres de module maximal et le sous-espace propre associé au rayon spectral peut être de dimension strictement supérieure à 1 comme on peut le voir avec les exemples suivants de rayon spectral 1 0 1 \ / 1 0 i o J ' V o i 5. Théorème de Perron & Frobenius 5.1. Définition. Une matrice A = (a^) G Mn(C) est réductible s'il existe une partie J C [l,n] non triviale telle que Vi E /, Vj i J, aid = 0. Dans le cas contraire, la matrice est irréductible. On peut traduire différemment l'irréductibilité d'une matrice. 5.2. Proposition. Une matrice est irréductible si, et seulement si, il n'existe pas de sous-espace stable non trivial engendré par des vecteurs de la base canonique. Démonstration. Une matrice est réductible si, et seulement si, il existe une partie Je [1, n] non triviale telle que vi g j, vj i /, aitj = o, ce qui équivaut à la stabilité du sous-espace vect(J^)^/. D 5.3. Proposition. Toute matrice A telle qu'il existe p G N vérifiant que AP est strictement positive est irréductible. Démonstration. Supposons A réductible. Par définition de la réductibilité, il existe une partie J C [l,n] non triviale telle que vect(Ej)jej est stable par A. Ce sous-espace est par conséquent stable par Ap : mais alors AP
160 XIII. Localisation des valeurs propres admet des coefficients nuls en position (i, j) G J x J ce qui contredit l'hypothèse. □ 5.4. Remarque. Là réciproque est fausse : pour toute permutation circulaire a G <5n, la matrice Pa est irréductible mais aucune de ses puissances n'est strictement positive. 5.5. Exemple. Si une matrice admet une ligne ou une colonne nulle, alors elle est réductible. 5.6. Exemple. Une matrice ( , ) G A^QK) est irréductible si, et seulement si, b 7^ 0 et c 7^ 0. En effet, ces deux conditions équivalent respectivement à la non-stabilité des sous-espaces vectf^) et vect(^i). On obtient la caractérisation suivante de l'irréductibilité. 5.7. Proposition. Une matrice positive A G Mn(R) est irréductible si, et seulement si, la matrice (In + A)n~1 est strictement positive. Démonstration. > Si la matrice A est réductible, alors la matrice In + A l'est aussi (avec le même sous-espace stable). Par conséquent, la matrice (In + A)n~l a des coefficients nuls : par contraposition, le sens direct est établi. > Supposons A irréductible et utilisons le lemme suivant démontré à l'exercice XIII-7.6. 5.8. Lemme. Soit A positive, irréductible. Pour tout vecteur X positif le vecteur (In + A)X est soit strictement positif, soit positif avec strictement moins de coordonnées nulles que X. Il est alors évident que pour tout vecteur de la base canonique Ej, (In -f A)n"1Ej a tous ses coefficients strictement positifs; ainsi, tous les coefficients de (In + A)n~l sont strictement positifs (car chaque colonne l'est).□ 5.9. Théorème de Perron &; Probenius. Soit A G Mn{K) irréductible et positive. > p(A) est une valeur propre de module maximal. > Le sous-espace propre Ep^) es^ une droite dirigée par un vecteur strictement positif.
6. Commentaires et développements 161 Démonstration. Comme A est positive, le corollaire XIII-4.6 s'applique : ainsi, p(A) est une valeur propre de A. De plus, le sous-espace propre de A associé à p(A) est inclus dans le sous- espace propre de (In -f A)n~l associé à (1 + p(A))n~'1. Or, la matrice (In + A)n~~1 est strictement positive donc l'espace propre associé à p{{ln + A)n-1) = (l + p(A))n-i est de dimension 1 dirigé par un vecteur propre strictement positif. Par conséquent, le sous-espace propre de A associé à p(A) est cette même droite dirigée par un vecteur strictement positif. □ Dressons un petit bilan de tous ces théorèmes proches. p(A) est valeur propre dimEp{A) = 1 Il existe un vecteur propre positif Pour toute valeur propre À ^ p{A)1 \\\ < p(A) A strictement positive / / / / A positive / (iï) / A positive irréductible / / / (ïi) 6. Commentaires et développements 6.1. Si la théorie de la réduction des endomorphismes est parfaitement comprise, la mise en pratique de la réduction se heurte très tôt au problème de la détermination des valeurs propres, qui sont les racines du polynôme minimal ou caractéristique. S'il est aisé de déterminer les racines d'un polynôme de degré deux ou trois, on sait depuis Galois qu'il n'y a pas de méthode générale pour écrire les racines d'une équation générale de degré supérieure ou égale à 5 en termes de radicaux dépendant des coefficients de l'équation. Aussi, il importe en pratique d'obtenir des approximations de ces racines et de s'atteler en conséquence à obtenir des approximations des vecteurs propres et au delà des vecteurs figurant dans les différents noyaux itérés...
162 XIII. Localisation des valeurs propres 6.2. La dépendance des valeurs propres de la matrice M par rapport aux coefficients de M étant, on le sent bien, continue (idée difficile à mettre en vérité en forme de façon précise), il importe souvent d'avoir une idée des régions du plan complexe où vivent les valeurs propres d'une matrice donnée, le contrôle qui en résulte sur les valeurs propres peut être extrêmement utile pour des questions de convergence comme le montre en termes élémentaires le résultat suivant : La suite (Ap)p tend vers la matrice nulle si, et seulement si, p(A) < 1 si, et seulement si, la série ]T ^ est convergente. v Le chapitre présent s'est ainsi appliqué à donner quelques résultats des plus simples pour « localiser » les valeurs propres... Il existe des ouvrages entiers qui traitent de ces questions de localisation et d'approximation... on appelle cela l'analyse numérique matricielle... 6.3. Un résultat fondamental en localisation est le suivant et dont la démonstration instructive tient en trois lignes : 6.4. Lemme. Si N(A) < 1, pour une norme matricielle quelconque, alors p(A) ^ N(A), comme il résulte simplement du fait que si |A| > N(A), la série de terme général (A/X)p est alors normalement convergente dans l'espace complet Mn(C) donc convergente, et sa somme $^^°(^/A)p est (à peu de choses près) l'inverse de A — AIn, ce qui prouve que A ne peut être alors valeur propre. 6.5. Un autre aspect abordé dans ce chapitre est le théorème surprenant et remarquable de Perron, qui dit qu'une matrice à coefficients strictement positifs admet son rayon spectral comme valeur propre avec une multiplicité algébrique égale à 1. De surcroît, le rayon spectral est la seule valeur propre ayant son propre module et les composantes d'un même vecteur propre pour p sont tous non nuls et de même signe. Il est bon alors que si A vérifie les hypothèses du théorème de Perron, il en est de même de sa transposée î Il importe de saisir que l'information particulière liée à la positivité des coefficients n'est aucunement une propriété invariante par similitude. Pourtant elle donne des informations sur l'endomorphisme que définit notre matrice dans Kn. Cet endomorphisme a une nature contractante, puisque les vecteurs de base sont envoyés par les puissances itérées de A sur des vecteurs qui font ensemble des angles solides de plus en plus serrés dans la direction
7. Exercices 163 de la droite propre A associée à p(A). Les puissances itérées de l'opérateur A/p(A) convergent vers l'opérateur de projection sur A parallèlement à l'hyperplan orthogonal de la droite propre de lA associée à p(A). 7. Exercices 7.1. Exercice. Soit A G .Mn(C) et D la diagonale de A. Supposons que D est inversible et qu'il existe une norme d'algèbre N sur Ain(C) telle que N{D~lA - In) < 1. Montrer que A est inversible. > Éléments de correction. Notons B — D~XA — In. L'hypothèse sur la norme de B entraîne que la matrice In + B est inversible d'inverse oo k=0 Par conséquent, A = D(ln + B) est inversible. On remarque qu'en prenant la norme uniforme sur A1n,i(C), la norme d'algèbre associée pour une matrice A est \\A\\ =sup]T|ai>i|. i 0 Dans ce cas particulier, l'exercice donne une variante de la démonstration du théorème de Hadamard. < 7.2. Exercice. Soit A = (a^) G .Mn(C) telle que, pour tout i G [l,n], n Montrer que |detA|^ jj[ i=l «m - ^2 \a>i. 3 = 1 3*i > Éléments de correction. Notons, pour tout i G Jl,n] n 3*i et D = diag(|ai5i|—ri, |a2,21 — ^2, • • •, |ûn)n|—rn). La matrice D est inversible car tous ses coefficients diagonaux sont non nuls. D'après le théorème de Geschgorin, les valeurs propres de la matrice B = D-1 A appartiennent aux
164 XIII. Localisation des valeurs propres disques de centre n En et de rayon Q>i.i\ fi m. Par conséquent, toute valeur propre À de B vérifie \X\> \CLi, Ainsi, |det JB| ^ 1 et donc |det^4| ^ |detL>|. En conclusion, n |detA| > J||aM-r*|. 2=1 7.3. Exercice. Soit A ~ (a^) G M.n(C). Les ovales de Cassini de la matrice A sont les ensembles pour i ^ j définis par Oij = {z G C, \z- aiti\ • \z - ajj\ ^ riTj} n oùri= Yl Wi,k\- k = l k^i Montrer qu 'une valeur propre X de A appartient à au moins l'un des ovales de Cassini (théorème de Brauer). > Eléments de correction. Soit À une valeur propre de A et X = (xi) un vecteur propre associé. Considéro j 7^ i tel que \xj\ = max^ ^ \xk\ vecteur propre associé. Considérons i G [l,n] tel que \x{\ = max \xk\ et feG[l,n| kelhn]\{i} Remarquons que |A - aM| • \xi\ < ]P K^l ' \Xk\ ^ Ti\xj\ fc=i n lA - aJj\ ' \Xj\ < Yl l^l '\Xk\^ rj\Xi\ fc=i Ainsi, |A - aiyi\ • |A - a^jH^H^I ^ rirj\xi\\xj\. Comme \xi\ > 0, on peut simplifier par \xi\. Discutons sur le terme \xj\. > Si \xj\ = 0, alors |A — a^l-l^l = 0 donc A = a^i G Oij.
7. Exercices 165 > Si \xj\ > 0, alors on simplifie et l'on obtient |À — a^||À — cljj\ ^ r^j donc XeOitj. < 7.4. Exercice. Déterminer les permutations a G &n telles que la matrice de permutation Pa est irréductible. t> Éléments de correction. Si a admet au moins deux orbites, alors, pour I l'une de ses orbites, l'espace vect(e^e/ est stable par Pa : la matrice Pa est donc réductible. Si a est une permutation circulaire, alors le sous-espace cyclique engendré par le vecteur de la base canonique contient tous les vecteurs de cette base. Par conséquent, il n'existe pas de sous-espaces stables non triviaux engendré par des vecteurs de la base canonique. La matrice Pa est donc irréductible. < 7.5. Exercice. 1. Soit A une matrice irréductible. Montrer que les valeurs propres de A appartenant à la frontière de la réunion des disques de Gerschgorin appartient en fait à Vintersection de tous les disques de Gerschgorin (théorème de Taussky). 2. En déduire que la matrice tridiagonale / 2 1 0 0 \ 1 2 : 0 1 : : '-.10 : -.121 \ 0 0 12/ est inversible. > Éléments de correction. 1. Soit À une valeur propre de A appartenant à la frontière de la réunion des disques de Gerschgorin et X = {xi) un vecteur propre associé. Considérons la partie non vide / = {z G [l,n], \xi\ = max|^-|}. 3 > Pour tout % G /, on obtient en copiant la preuve des théorèmes de
166 XIII. Localisation des valeurs propres Hadamard et de Gerschgorin, |A -a^Wxi 3 = 1 < Y \a^ 3*i Ainsi, en utilisant l'hypothèse sur À, n |A — «i,i| = Y\aij\- 3 = 1 3*i Autrement dit, À appartient à la frontière des disques de Gerschgorin dont l'indice appartient à l'ensemble /. > Ainsi, pour tout i G J, n n Y K^'l W = lA ~ aiA\xi\ ^ Y KilN' 3 = 1 3 = 1 et donc X^KiKW - N) <o. Comme tous les termes de cette somme sont tous positifs, ils sont tous nuls. Pour tout j' ^ /, a^j; = 0. Comme la matrice est irréductible, il faut / = [l,n] ce qui, avec le résultat du premier point, entraîne que À appartient à la frontière de tous les disques de Gerschgorin. 2. La matrice proposée est bien irréductible car un calcul rapide montre que sa puissance (n — l)-ème est strictement positive. Elle admet deux disques de Gerschgorin centrés au point d'afflxe 2 et de rayon 1 et 2. Le complexe 0 appartient à la frontière de la réunion de ces disques mais n'appartient pas à la frontière de tous les disques donc n'est pas valeur propre d'après la question précédente. Remarquons que cette matrice ne vérifie pas l'hypothèse du théorème de Hadamard puisque |a2,21 = la2,i| + la2,3|-
7. Exercices 167 <3 7.6. Exercice. Soit A une matrice positive, irréductible. Pour tout vecteur X positif, le vecteur (In + A)X est soit strictement positif soit positif avec strictement moins de coordonnées nulles que X. D> Éléments de correction. Notons X — (xi). Alors, pour tout i G [l,n], n ((In + A)X)i — Xi + J2 ai,k%k ^ Xi. Par conséquent, toute coordonnée de fc=i (In -f A)X est positive et une coordonnée de (In + A)X ne peut être nulle que si la coordonnée correspondante de X est nulle. Raisonnons par l'absurde en supposant que X et (In + A)X ont le même nombre (strictement positif) de coordonnées nulles et notons I l'ensemble des indices de ces coordonnées nulles. Alors, pour tout i G J, ^CLi^Xk = 0. fc=l k&I Cette somme de termes positifs est nulle donc, pour tout k £ J, a^k = 0 : ceci contredit l'irréductibilité de la matrice. < 7.7. Exercice. Soit A = (a^) G A4n{^) et B = (hj) strictement positive telles que Montrer que les valeurs propres de A sont incluses dans la réunion des disques fermés de centre a^i et de rayon p(B) — 6^. Indication : on pourra introduire un vecteur propre X = (x^ strictement positif de B associé à p(B) et appliquer le résultat de Gerschgorin à la matrice A! = f -^r^ij ) • > Éléments de correction. > Soit X = (x^ un vecteur propre de B associé à p(B), strictement positif (ce qui est possible d'après le théorème de Perron & Frobenius). Alors, pour tout i G [l,n], n n ^ K/e|Xfc < ]P Kkxk = (P(B) ~~ bi,i)Xi' fc=i fc=i k^i k^i > Appliquons le théorème de Gerschgorin à la matrice A! = (-^rai,j) '•
168 XIII. Localisation des valeurs propres pour toute valeur propre À de A!, il existe i G [l,n] tel que n fc=i > Pour conclure, remarquons que la matrice A' = f -JrQ'ij ) est semblable à A avec la matrice de passage diag(#i, #2,..., xn) donc admet les mêmes valeurs propres que A. Ainsi, pour toute valeur propre À de A, il existe iG [l,n] tel que |A- dijl ^ p(B) -&»,*. Remarquons que le résultat peut être étendu au cas d'une matrice B seulement positive en approchant B par des matrices strictement positives et en utilisant la continuité du rayon spectral. < 7.8. Exercice. Soit A une matrice strictement positive et p(A) son rayon spectral. Montrer que la multiplicité (algébrique) de p(A) est 1. Indication : on pourra montrer que la suite (p(A)~pAp)p est bornée et raisonner par l'absurde en considérant un bloc de Jordan associé à p(A). D> Éléments de correction. > Notons X = (x^ un vecteur propre associé à p(A), strictement positif (qui existe d'après le théorème de Perron). Pour tout i G [l,n], [X]t = [p(A)-*APX]i = p{A)-*YyA\kxk > p{A)-vY}AkU^xr k=i k=i 3 Par conséquent, Wp^-PA?^ < —^ H^IU- La suite (p(A)-pAP)p est Il1111 Jb q 3 donc bornée. > Supposons que la valeur propre p(A) ne soit pas de multiplicité algébrique 1. Comme le sous-espace propre associé à p{A) est de dimension 1, A admet un bloc de Jordan de taille r > 1 associé à p{A). Alors, llp^-MPlU > \\p(A)-P(p(A)Ir + Jrr|U > pp{A)-\ Ceci contredit alors le point précédent. Ainsi, la multiplicité est 1. Remarquons que cet argument s'adapte pour les matrices positives dont une puissance est strictement positive. <\
Chapitre XIV Application aux chaînes de Markov finies Objectifs du chapitre - Comprendre le lien entre la propriété de Markov et le calcul des puissances d'une matrice. - Appliquer le théorème de Perron & Frobenius pour la convergence vers une loi de probabilité stationnaire. 1. Chaînes de Markov On suppose connu le formalisme usuel des probabilités, la notion de mesure de probabilité P, d'espérance E, les probabilités conditionnelles et la formule des probabilités totales. 1.1. Définition. Une chaîne de Markov est une suite de variables aléatoires (Xn)n à valeurs dans l'espace d'états E telle que, pour tout n G N, et tous 2/,2/o,---,2/n £ E, P(Xn+1 = y\X0 = 2/0, • • - , *n = 2/n) = P(*n+1 = y\Xn = 2/n). Elle est homogène si cette quantité ne dépend pas de n. Elle est finie si l'ensemble E est fini. 1.2. Exemple. Une suite (Xn)n de variables indépendantes est une chaîne de Markov (dont l'intérêt est limité) puisque P(Xn+1 = y\X0 = î/o, • • •, *n = 2/n) = P(*n+i = y) = P(*n+i = y\Xn = yn).
170 XIV. Application aux chaînes de Markov finies 1.3. Exemple. Soit (Yn)n une suite de variables indépendantes identiquement distribuées. La suite xn = ï> \ k=0 / n est une chaîne de Markov. En effet, P(Xn+i = y\X0 = y0,...,Xn = yn) = F(Xn + Yn+1 = y\X0 = y0,...,Xn = yn) = HVn + Yn+1 = y) = F(Xn + yn+1 = y\Xn = yn) = F(Xn+1=y\Xn = yn). 1.4. Exemple. Soit (Fn)n une suite de variables indépendantes identiquement distribuées à valeurs dans F, X0 une variable à valeur dans E indépendante de cette suite et / : E x F —» E. La suite (Xn)n définie par la relation Xn+i = f(Xn,Yn) est une chaîne de Markov. En effet, P(Xn+i = y\X0 = y0,...,Xn = yn) = P(/(2/n, ^n) = 2/|^0 = 2/0, • • • , Xn = yn) = p(/(2/n,yn) = 2/) = p(/(2/n,yn) = 2/|xn = 2/n) = F(Xn+1=y\Xn = yn). 1.5. Exemple. Considérons une famille (Yij)ij de variables aléatoires indépendantes, Xq G N, et pour tout n G N, Xn+i — y v y^i+i,fc- fc=i Alors, la suite (Xn)n est une chaîne de Markov homogène. En effet, Vn P(Xn+1 = y\X0 = 2/0, • • • ,-ïn = yn) = P ^ **+!,* = 2/ • vjfc=l 2. Matrice de transition 2.1. Définition. La matrice de transition d'une chaîne de Markov homogène finie (Xn)n d'espace d'états E — {ei,... , ejv} est la matrice d'ordre
2. Matrice de transition 171 N dont le coefficient en position (i,j) est F(X1=ej\X0 = ei). 2.2. Remarque. Si A est la matrice transition d'une chaîne de Markov homogène finie (Xn)n d'espace d'états E = {ei,..., e^}, alors [A]i>i=P(Xn+1=ei|Xn = ei) pour tout n E N. 2.3. Proposition. La matrice de transition d'une chaîne de Markov homogène finie est stochastique, c'est-à-dire positive et telle que la somme des coefficients sur l'une quelconque de ses lignes vaut 1. Démonstration. Il est évident que la matrice de transition est positive car ses coefficients sont définis comme des probabilités. Par ailleurs, la somme des coefficients sur la ligne i pour la matrice de transition de la chaîne de Markov homogène finie (Xn)n dont les états sont ei,..., e/v est n Y,HXi=eJ\X0 = ei) = l. □ 2.4. Définition. Une chaîne de Markov homogène finie est irréductible si sa matrice de transition est irréductible (au sens de la définition XIII-5.1). 2.5. Remarque. Traduisons la propriété d'irréductibilité sur la chaîne : il n'existe pas de famille non triviale d'états qui soit « stable » par la chaîne. Par conséquent, l'ensemble des états accessibles depuis un état x fixé ne peut être différent de E : tous les états sont accessibles depuis chaque état. C'est d'ailleurs souvent ainsi que l'on définit l'irréductibilité. 2.6. Remarque. Nous disposons donc de deux descriptions pour une chaîne de Markov homogène finie de loi initiale donnée : d'un côté, la matrice de transition et de l'autre, le graphe orienté dont les sommets sont les états et les arêtes (étiquetées par des probabilités) les transitions. 2.7. Exemple. Pour la chaîne décrite par la graphe suivant où chaque arc correspond à une transition de probabilité —
172 XIV. Application aux chaînes de Markov finies ei la matrice de transition est V o j_ 2 0 0 0 2 0 J_ 2 0 2 0 0 1 2 0 1 2 0 0 0 0 1 2 0 1 0 \ 0 0 0 1 2 0 i 2.8. Proposition. Soit (Xn)n une chaîne de Markov homogène finie d'espace d'états E = {ei,..., ejv}; de matrice de transition A. Notons, pour tout n G N, la loi de Xn avec la matrice ligne isn = (nXn = el) P(Xn = e2) ... F(Xn = eN)). Alors, pour tout n EN, vn+i = vnA. Démonstration. Il suffit d'appliquer la formule des probabilités totales N P(Xn+1 =y) = £>(Xn+1 - y\Xn = ek)F(Xn = ek). k=i n 2.9. Corollaire. Avec les mêmes notations, vn = i/qA" La propriété de Markov permet également d'obtenir d'autres résultats sur la loi marginale d'une variable Xn. 2.10. Proposition. Soit (Xn)n une chaîne de Markov homogène finie d'espace d'états E = {ei,...,e/v} de matrice de transition A, f : E —» R+.
3. Probabilité invariante 173 Alors, N E(/(Xn+1)|X0, . • •,Xn) = Y^AU^fiej). 3. Probabilité invariante 3.1. Proposition. Le rayon spectral d'une matrice stochastique est égal à 1. Démonstration. Soit A = (a^j) une matrice stochastique. > Remarquons tout d'abord que 1 est valeur propre de A car 1 / N \ N J2 aN,k > Soit À une valeur propre de .A, X = (a^) un vecteur propre associé et i G [l,iV] tel que \xi\ = max|xfe|. Alors, AT iV \^Xi\ ^ Ylai^Xk\ ^ ^^.fcl^l = \xi\' fc=l k=l Par conséquent, |À| ^ 1. n 3.2. Définition. Une probabilité invariante d'une matrice stochastique A est un vecteur 7r G .Mi>n(R) positif et de somme 1 tel que ixA = n. 3.3. Remarque. Une probabilité invariante d'une matrice stochastique A est donc, à transposition près, un vecteur propre de lA associé à la valeur propre 1 (ce qui est légitime car 1 est valeur propre de A donc de lA). La contrainte forte est que ce vecteur doit être positif non nul. Une récurrence immédiate donne la proposition suivante qui permet d'interpréter la probabilité invariante de la matrice de transition comme loi stationnaire de la chaîne. 3.4. Proposition. Soit (Xn)n une chaîne de Markov, de matrice de transition A. Notons, pour tout n G N, vn la loi de Xn. Si vq est une probabilité invariante de A, alors, pour tout n GN, vn = uq.
174 XIV. Application aux chaînes de Markov finies 3.5. Proposition. Toute matrice A stochastique et irréductible admet une unique probabilité invariante i\. De plus, cette probabilité invariante est strictement positive. Démonstration. Appliquons le théorème XIII-5.9 de Perron & Frobenius à la transposée lA. Alors, pi^A) = 1 est une valeur propre (ce que l'on sait déjà) et le sous-espace propre associé est une droite dirigée par un vecteur strictement positif. En normalisant ce vecteur directeur, on obtient le vecteur V recherché. □ 3.6. Remarque. La condition d'irréductibilité est essentielle pour Puni- cité. En effet, si A et Ar sont des matrices stochastiques irréductibles de probabilités invariantes n et tt', alors la matrice stochastique réductible pr A' | admet tous les vecteurs ( Att (1 - A)tt' ) avec À G [0,1] comme probabilités invariantes. 4. Théorème ergodique 4.1. Proposition. Soit A une matrice stochastique irréductible. Il y a équivalence entre > il existe p G N tel que Ap est strictement positive ; > il existe îq G [1,AT] tel que le PGCD de Vensemble {n G N, [An]i0ii0 > 0} vaut 1. Dans ce cas, la matrice est dite ergodique ou apériodique. Démonstration. > Supposons qu'il existe p G N tel que AP est strictement positive. Alors, Ap+1 est strictement positive (car A n'admet pas de colonne nulle). Par conséquent, pour tout i$ G [1, AT], les entiers p et p + 1 appartiennent à {n G N, |/4n]^ > 0} et le PGCD recherché est 1. > Supposons qu'il existe îq G [1, A"] tel que le PGCD de l'ensemble {n G N, [An]i0ii0 > 0} vaut 1.
4. Théorème ergodique 175 Une utilisation classique du théorème de Bézout (ici admise) permet de montrer qu'il existe po G N tel que, pour tout k ^ po, k e {n e N, [An]i0ïi0 > 0}. Comme la matrice est irréductible, il existe pour tout (i,j) des entiers ai et bj tels que [Aa%i0 > 0, [A%0tj > 0. Par conséquent, pour tout n ^ ai + po + bj, [Ank3 > [Aa%i0[An~ai-bi\io,io[Abi}i0j > 0. Posons p = max(aiJrpo-\-bj). Alors, la matrice Ap est strictement positive.□ 4.2. Théorème. Soit A une matrice ergodique de probabilité invariante n. Alors, pour tout (i,j), lim[An}^=7T3. Plus précisément, il existe r G]0,1[ tel que lim r~~n max | [An]ij ~ ttj \ = 0. Effectuons la preuve dans la cas d'une matrice strictement positive (l'adaptation des arguments au cas d'une matrice ergodique est relativement immédiate) . Démonstration. > Remarquons tout d'abord qu'en vertu du théorème de Perron (théorème XIII-4.5 et exercice XIII-7.8), la matrice A admet 1 comme unique valeur propre de module 1, que sa multiplicité algébrique est 1 et que toutes les autres valeurs propres sont de module strictement inférieur à 1. Par conséquent, il existe une matrice P inversible telle que A = P \T Bj où B est la matrice diagonale par blocs de Jordan associés aux valeurs propres de A de module strictement inférieur à 1. Ainsi, (Bp)p est de limite nulle et
176 XIV. Application aux chaînes de Markov finies fT" r'PBP | En utilisant que ApJrl = AAP = APA, on obtient que le vecteur C\(P) est constant et que L\(P~1) est proportionnelle à tt. Ainsi, Ci(P)Li(P-1) = Ai 1 avec À G R. Comme les matrices Ap et donc Ci(P)Li(P_1) sont stochastiques, À = 1 et le résultat du premier point suit immédiatement. > Avec les mêmes notations que précédemment, on remarque, pour tout r < 1 strictement supérieur aux modules des valeurs propres de A distinctes de p(A) = 1, r~p(Ap - C1(P)L1(P'1)) = P D 4.3. Remarque. Remarquons que la condition de matrice stochastique irréductible n'est pas suffisante pour cette conclusion. Par exemple, si Ton considère la matrice stochastique irréductible 0 1 1 0 alors, A2n = I2 et A2n+1 = A. Par conséquent, la suite (An)n ne converge pas (mais les deux suites extraites (A2n)n et {A2n+l)n convergent). On remarque que dans ce cas, PGCD{n G N, [An]iti > 0} = 2. 5. Commentaires et développements 5.1. La majeure partie de notre étude repose sur l'hypothèse d'irréductibilité de la chaîne de Markov. Il ne faut pas toutefois croire qu'une chaîne de Markov réductible soit tout à fait dénuée d'intérêts. Considérons, par exemple, la chaîne de Markov dont la transition est décrite par le graphe suivant (où chaque arc est étiqueté par l'inverse du nombre d'arcs issus de cet état) :
5. Commentaires et développements 177 Cette chaîne est issue du paradoxe de Penney : la probabilité de voir apparaître le motif FPP avant le motif PP-F dans une suite de lancers d'une pièce équilibrée est de 3/4. La chaîne n'est pas irréductible car son graphe n'est pas fortement connexe. Pire, les états e^ et e$ sont « absorbants » : une fois la chaîne dans l'un de ses états, elle y reste. Les questions ne peuvent donc être celle de la probabilité stationnaire (il suffit qu'elle charge uniquement l'un des états absorbants) mais plutôt celle de la probabilité d'être absorbée par e±, celle du temps avant l'absorbtion par l'un de ces états. Ces calculs, souvent appelés calcul à un pas, sont détaillés dans le joli petit livre suivant : Processus aléatoires pour les débutants, Arthur Engel, Cassini, 2011. 5.2. Nous avons défini une chaîne de Markov ergodique avec la propriété d'apériodicité. De manière générale, la période de l'état e\ de la chaîne de Markov finie homogène de matrice de transition A est le PGCD de l'ensemble {n e N, [An]iti > 0}. Si la chaîne de Markov est irréductible, il est facile de vérifier que tous les états ont la même période. Lorsque cette période d est différente de 1, la convergence de la suite ([-Ap]iî<7-)p est remplacée par la convergence de suites extraites avec des indices en progression arithmétique de raison d. 5.3. Une chaîne de Markov infinie homogène peut admettre une vecteur propre (de taille infinie) à gauche positif associé à 1 sans qu'il existe une probabilité stationnaire. Ceci amène à distinguer les chaînes dites récurrentes positives des chaînes dites récurrentes nulles. Un exemple simple qui peut faire réfléchir est la marche aléatoire symétrique simple sur Z. 5.4. Le moteur de recherche Google est initialement basé sur une chaîne de Markov. Internet est alors considéré comme un graphe dont les sommets sont les pages web et les transitions sont étiquetées, entre autres, par les
178 XIV. Application aux chaînes de Markov finies liens entre pages x. La probabilité stationnaire pour cette chaîne sert alors de repère pour les réponses du moteur de recherche. On trouvera tous les détails de cette jolie application dans l'article (qui se trouve également sur la page de l'auteur) : Comment fonctionne Google ?, Michel Eisermann, Quadrature, 68, avril 2008 6. Exercices 6.1. Exercice. La chaîne de l'exemple XIV-2.1 est-elle irréductible ? er- godique ? Déterminer sa probabilité invariante. > Eléments de correction. > La chaîne est irréductible (on voit facilement sur le graphe que tous les états communiquent) ; par ailleurs, elle est ergo- dique car les entiers 2 et 3 appartiennent à l'ensemble {n G N, [^4n]i,i > 0}. > L'ensemble des solutions de l'équation n — ttA est, après résolution par le pivot de Gauss, vect ((4 8 12 9 6 3)). La probabilité invariante est donc, en normalisant, 4r ( 4 8 12 9 6 3 ) . 42 v J < 6.2. Exercice. 1. Une probabilité réversible d'une matrice stochastique A — (dij) est un vecteur tc = (7^) G A/(i?n(M) positif et de somme 1 tel que, V(i,j), itidij =7^-0^. Montrer qu'une probabilité réversible est invariante. 2. SoitN G N*. Considérons le modèle d'Ehrenfest, c'est-à-dire une chaîne de Markov homogène finie (Xn)n de transition donnée, pour tout k G [0, N}, par P(Xn+1 = k + l\Xn = k) - 1 - P(Xn+1 =k-l\Xn = k) = ^r. Déterminer la probabilité invariante pour cette chaîne. D> Éléments de correction. 1. « Entre autres » car il faut modifier cette définition de sorte à assurer le caractère irréductible.
6. Exercices 179 1. Il suffit de calculer ttA. En effet, pour tout i G [l,n], n n n /] ^k^k,i = 2J 7TiCli,k = Kl 2_^ ai,k = Kl. fc=l fc=l fc=l 2. On peut vérifier rapidement que cette chaîne est bien irréductible (mais qu'elle n'est pas ergodique). Toutefois, ici nous allons exploiter la première question et chercher une probabilité réversible, c'est-à-dire un vecteur n positif de somme 1 tel que, pour tout k E [0, TV], N ('-*)■ avec la convention 7Ttv+i = 0. Un rapide calcul donne alors TTk 2~N{Nk) pourfceïO.iV]. <3 6.3. Exercice. Soit A une matrice stochastique irréductible et probabilité invariante n. Notons M la matrice dont toutes les lignes sont tt. 1. Montrer que la matrice In — A + M est inversible. 2. Vérifier que (In + A + ... + A^~l){ln - A + M) = In - A* + pM. 3. En déduire que la suite (Ap)p converge au sens de Cesaro vers M. > Éléments de correction. 1. Soit X e ker(In - A + M). Alors, 7r(In - A + M)X = 0 mais aussi 7r(In -A + M)X = (tt - nA + ttM)X = (7T - 7T + 7r)X = TïX. Ainsi, ttX = 0 et donc MX = 0n)i et AX = X. Comme le sous- espace propre de A est de dimension 1 (d'après le théorème de Perron & Frobenius pour la matrice A irréductible positive), le vecteur X est constant. Mais alors, la condition \iX = 0 entraîne que le vecteur X est nul. En conclusion, ker(In — A + M) = {0n>i} et la matrice In — A -f- M est inversible. 2. Remarquons tout d'abord que AM = M car la somme des coefficients sur une ligne de A vaut 1. Par conséquent, (In + A + ... + A*-1)^ - A + M) = In - Ap + (In + A + • . • + AP-^M -In-Ap+pM. 3. On vérifie que (In - A + M)M = M et donc, (In - A + M)-1 M = M.
180 XIV. Application aux chaînes de Markov finies D'après la question précédente, ±(ln + A + ... + A?-1) = l(ïn-A + M)-\ln - A?) + M. La suite (||ylp||)p étant bornée, le second membre tend vers M. <3 6.4. Exercice. Soit A une matrice stochastique, strictement positive. Notons d le plus petit coefficient de A et, pour tout vecteur X = (x^, S(X) = max(xi — Xj). 1. Montrer que, pour tout vecteur X positif, 8{AX) < (1 — 2d)ô(X). 2. En déduire que, pour tout vecteur X positif, la suite (ô(ApX))p converge vers 0. On retrouve ainsi une justification heuristique du premier point du théorème XIV-4-2 pour les matrices stochastiques strictement positives. > Eléments de correction. 1. Soit X — (x^ un vecteur positif, io et jo des indices tels que Xîç. —— max Xï, xjn ~=~ ni m Xï, i i de sorte que S(X) = Xi0 — Xj0. Alors, pour tous i ^ j, [AX]i - [AX]j = ^2aijkxk -^2,ajikXk /c=l k=l n n ^ / j ai,kxi0 + ai,joXJo ~ / v aj,kxj0 ~~ aj,i0 fc=l k=l k^j0 k^i0 ^ {*- aiJo)Xio < aiJoxjo (-L aj,io)xjo aj,ioXio ^ (1 — CLijQ — aj^0)Xi0 — (1 — OjyiQ — CLi,j0)Xj0 ^(l-2d)(xio-xjo) = (l-2d)6(X). 2. Par récurrence, on trouve, pour tout vecteur X positif et tout entier p, 0^S(ApX) ^{l-2d)pô(X). Comme la matrice A est supposée strictement positive, d > 0 et donc 1 — 2d < 1. Le théorème d'encadrement donne que la suite (Ô(ApX))p converge vers 0. <3
Notations adf endomorphisme de C(E) défini par g^fog — gof Xf polynôme caractéristique de l'endomorphisme / C(f) commutant de l'endomorphisme / Cp matrice compagnon du polynôme unitaire P EffX sous-espace cyclique de l'endomorphisme / associé au vecteur x ; aussi noté Ex s'il n'y a pas d'ambiguïté E\(f) sous-espace propre de l'endomorphisme / associé à À; aussi noté E\ s'il n'y a pas ambiguïté f\F restriction de l'application linéaire / au sous-espace F /f endomorphisme induit par l'endomorphisme / sur le sous-espace stable F GL(E) groupe linéaire sur l'espace E GLn (K) groupe linéaire d'ordre n sur le corps K Xf idéal des polynômes annulateurs de l'endomorphisme / XfiX idéal des polynômes annulateurs en x de l'endomorphisme / Jm bloc de Jordan de taille m K[X] algèbre des polynômes à coefficients dans K K[f] sous-algèbre de C(E) des polynômes en l'endomorphisme / G C(E) £(E, F) espace des applications linéaires entre E et F Mn(K) espace des matrices d'ordre n sur le corps K A4n,P(IK) espace des matrices d'ordre n x p sur le corps K Hf polynôme minimal de l'endomorphisme / fjLftX polynôme minimal local en x de l'endomorphisme / ma(À) multiplicité algébrique d'une valeur propre A, c'est-à- dire la multiplicité de A comme racine du polynôme caractéristique ou encore la dimension du sous-espace caractéristique associé mg(X) multiplicité géométrique d'une valeur propre A, c'est-à- dire la dimension du sous-espace propre associé mm(A) multiplicité d'une valeur propre A en tant que racine du polynôme minimal P A Q PGCD des polynômes P et Q P V Q ppcm des polynômes P et Q p(A) rayon spectral de la matrice A TY(a, 6, c, d) tableau de Young de lignes de longueur a ^ b ^ c ^ d
Index bloc de Jordan, 1 chaîne de Markov, 169 classe de similitude, 139 co-diagonalisabilité, 84 commutant, 25 critère de Klarès, 119 décomposition de Fitting, 43 de Jordan & Dunford, 105 diagonalisabilité, 79 CNS, 80 disques de Gerschgorin, 154 drapeau,18 endomorphisme cyclique, 59 induit, 16 fonction symétrique élémentaire, 95 formules de Newton, 96 indice de nilpotence, 4 interpolation de Hermite, 12 matrice ergodique, 174 irréductible, 159 positive, 157 strictement positive, 157 matrice compagnon, 62 matrice de transition, 171 multiplicité algébrique, 50 géométrique, 45 minimale, 48 nilespace, 44 polynôme annulâteur, 2 caractéristique, 48 en un endomorphisme, 1 minimal, 4 minimal local, 4 probabilité invariante, 173 réversible, 178 rayon spectral, 156 réduite deFrobenius, 125,127 de Jordan,109, 115,129 restriction, 13 sl2-tripletde.M2(C),35 somme de Newton, 95 sous-espace caractéristique, 50, 73 cyclique, 18 propre, 45 stable, 15 tableau de Young, 112 théorème de Brauer, 55,164 de Cayley & Hamilton, 65, 71 de Hadamard, 153 de Jordan &; Weyr, 115 de Kronecker, 98 de Maschke, 34 de Perron, 158,168 de Perron & Frobenius, 160 de Taussky, 165 trigonalisabilité, 93 valeur propre, 45 vecteur propre, 45 ovales de Cassini, 164 ® Certifié PEFC PEFC ° 10-31-2568 pefc-france.org Achevé d'imprimer par EMD SAS. (France) - N° éditeur : 2012/0590 - Dépôt légal : septembre 2012 - N° d'imprimeur : 2711>
Roger Mansuy & Rached Mneimné Algèbre linéaire Réduction des endomorphismes Rédigé à l'attention des étudiants en Licence de mathématiques et des classes préparatoires scientifiques, l'ouvrage est constitué d'un cours complet, de commentaires et développements et de 120 exercices corrigés. Afin d'aborder les différents aspects de la théorie de la réduction, les premiers chapitres détaillent avec soin les objets et concepts de l'algèbre linéaire. Les chapitres suivants présentent aussi bien les critères pratiques que leurs utilisations théoriques, à l'appui de nombreux exemples. Cette approche pédagogique offre également une base solide de révision pour tous les candidats qui se préparent aux concours de l'enseignement. Sommaire 1. Polynômes d'endomorphismes 2. Sous-espaces stables 3. Commutation 4. Lemme des noyaux 5. Éléments propres, caractéristiques 6. Endomorphismes cycliques 7. Théorème de Caley-Hamilton 8. Diagonalisation 9. Trigonalisation 10. Réduction de Jordan 11. Réduction de Frobenius 12. Topologie des classes de similitude 13. Localisation des valeurs propres 14. Application aux chaînes de Markov finies Notations Index Ancien élève de l'ENS Cachan, agrégé de mathématiques, Roger Mansuy est professeur de mathématiques en MPSI, et d'informatique en MP* au lycée Louis le Grand. Membre du jury de l'Agrégation externe, il est l'auteur de plusieurs ouvrages de référence dédiés à l'enseignement supérieur. Ancien élève de CENS Saint-Cloud, agrégé de mathématiques, Rached Mneimné est maître de conférences à l'université Paris-7 Denis Diderot. Plusieurs fois membre du jury de l'Agrégation externe, il est également l'auteur de nombreux ouvrages universitaires. ISBN 978-2-311-00285-0 WWW.VUI