СП
сг
л
о
го
А. А. Быков
ПО МАТЕМАТИКЕ
для поступающих в вузы
Часть 1

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ
Факультет довузовской подготовки
А. А. Быков
им
ПО МАТЕМАТИКЕ
для поступающих
в вузы
В двух частях
Часть 1
В
Издательский дом ГУ ВШЭ
Москва 2006
Содержание
Предисловие........................................... 5
Вариант 1-а11......................................... 6
Вариант 1-а12........................................ 10
Вариант 1-а13........................................ 15
Вариант 1-а14........................................ 20
Вариант 2-all........................................ 24
Вариант 2-а12........................................ 28
Вариант 2-а13........................................ 33
Вариант 2-а14........................................ 37
Вариант 2-а21........................................ 42
Вариант 2-а22........................................ 46
Вариант 2-а31........................................ 50
Вариант 2-а32........................................ 55
Вариант 2-аЗЗ........................................ 59
Вариант 2-а34........................................ 64
Вариант 3-а11........................................ 68
Вариант 3-а12........................................ 73
Вариант 3-а13........................................ 77
Вариант 3-а14........................................ 82
Вариант 3-а21........................................ 86
Вариант 3-а22........................................ 91
Вариант 3-а31........................................ 95
Вариант 3-а32........................................100
Вариант З-аЗЗ........................................105
Вариант 4-а11........................................109
Вариант 4-а12........................................114
Вариант 4-а13........................................119
Вариант 4-а14........................................123
Вариант 4-а21........................................128
Вариант 4-а22....................................... 133
Вариант 4-а23........................................138
3
Содержание
Вариант 4-а24.......................................143
Вариант 5-а11.......................................147
Вариант 5-а12.......................................152
Вариант 5-а13.......................................156
Вариант 5-а14.......................................161
Вариант 5-а21.......................................165
Вариант 5-а22.......................................170
Вариант 5-а23.......................................174
Вариант 5-а24.......................................179
Вариант 6-а11.......................................183
Вариант 6-а12.......................................188
Вариант 6-а13.......................................193
Вариант 6-а14.......................................198
Вариант 1-Ы1........................................203
Вариант 1-Ы2........................................208
Вариант 1-ЫЗ........................................212
Вариант 1-Ы4........................................216
Вариант 2-Ы1........................................221
Вариант 2-Ы2........................................226
Вариант 2-ЫЗ........................................231
Вариант 2-Ы4........................................236
Вариант 3-Ы1........................................240
Вариант 3-Ь12.......................................245
Вариант 3-Ь13.......................................250
Вариант 3-Ы4........................................256
Вариант 4-Ы1........................................260
Вариант 4-Ы2........................................265
Вариант 4-Ь13.......................................270
Вариант 4-Ы4........................................275
Вариант 5-Ы1........................................280
Вариант 5-Ы2........................................285
Вариант 5-Ь 13......................................289
Вариант 5-Ы4........................................294
Ответы..............................................300
Предисловие
Сборник содержит варианты вступительных испытаний по математи-
ке, предлагавшиеся в Государственном университете — Высшей школе
экономики в 2001—2006 гг. Каждый вариант включает 30 задач по всем
разделам школьной программы, кроме стереометрии, и рассчитан на
90 минут. Использование калькулятора ие предполагается.
Варианты первого уровня сложности (простые) помечены буквой а,
второго уровня (средней сложности) — буквой Ь, третьего уровня
(сложные) — буквой с. В первой части представлены варианты первого
и второго уровней сложности. Для каждой задачи предлагается 5 вари-
антов ответа, один из которых — верный. В конце сборника приведены
правильные ответы.
Книга будет полезна всем школьникам и абитуриентам, готовящимся
к ЕГЭ по математике.
Варианты вступительных экзаменов
Вариант 1-а11
1. Если цена повысилась на 20%, а затем понизилась на 10%,
то в результате двукратного изменения цена
|1~| повысилась иа 8% |~2~| повысилась на 4% |~3~| понизилась на 2%
|~4~| понизилась на 10% [К] повысилась иа 10%
-1 0 1 2 3 4 5
Угловой коэффициент прямой,
изображенной на рисунке, ра-
вен
3.	Числовое значение выражения .	=-равно
V 4 — 2т/3 + 3
Щ1-^/здУз-л [з]1 + ^Щ2^_1Щ2-^
4.	Больший корень уравнения 7л2 — 17л + 10 = 0 равен
0^0-1010^0"
5.	Все значения параметра а, при которых графики функций
у — х2 + Зл 4- 2а и у = х -t- 1 не имеют общих точек, образуют мио-
S(l; +ОО) [2] (-оо; 1) ®(2; +оо) 0 (-оо; 2) Щ(-1; 1)
6
Вариант 1-all
6.	Укажите уравнение параболы, симметричной параболе
у = х2 4- 8а? + 3 относительно начала координат.
[Т] у = -т2 - 8т - 3 [2] у = —т2 + 8х - 3 [3~| у = —т2 — 8т 4- 3
|~4] у = т2 4- 8т — 3 @ у = т2 4- 8т 4- 3
7.	Найдите сумму всех целых чисел п, для которых дробь
п - 2
------ является целым числом.
п-3
Щ 1@ —4 S3 0-206
8. Если sins = 0,6 и хе
sin 2т равно
, то значение выражения
[1] -0,48 @0,48 @-0,96 @0,96 @“0,24
9. Наименьший положительный период функции
у — cos 9т 4- cos 6т равен
На рисунке изображен
график функции
—т2 — 4т 4- 3
@ у = — т2 — 2т 4- 3 @ у = —т2 4- 4т 4- 3
7
Варианты вступительных экзаменов
12.	Если длина стороны треугольника на 40% больше радиуса
описанной около треугольника окружности, то синус противоле-
жащего угла треугольника равен
00,5 00,6 00,7 00,8 00,9
13.	Длина общей части отрезков, определенных неравенствами
|а? — 3|	3 и — 5|	4 , равна
01 02 03 04 05
14.	Произведение всех различных корней уравнения
х4 — х2 — 12 = 0 равно
0-4 04 03 0144 0-12
15.	Все корни уравнения 1 — cos 2х = 6  cos2 х образуют множе-
ство (т Е Z)
[Т| х = ~ + тгт [2] х —	+ тгт [з~| х =	+ тгт
16.	Выражение -----— равно
х — 1
Щ 0 *	_ 1 Щ * + 1 Щ -2*+\.
L“*	У® + *— л/г - 1 U-Ix/S — 1	1—1 х ч- у/х + 1
01 + 7Ц
|—1	у/х 4-1
17.	Для уравнения х2 — ба? 4-2 = 0 с корнями xi и Х2 выраже-
1 1
ние---1---равно
3?1 Х2
0-2 02 03 0-3 06
18.	Сколько целых чисел являются решениями неравенства
log2(4 — х) <1?
[Г| два или меньше двух |~2~| три |~3~| четыре [Z] пять
(б] шесть или больше шести
8
Вариант 1-all
19.	Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
4	Я 7Г 12 Я
1 4- cos — 4- cos — 4- cos — 4-... равна
6	6	6
0^ 0^0^ 0^ 02
1_I i7 l_I 15 LJ 25 1—J 7 1_1
4т 4- 5v	х 4- 41/
20.	Если ----— = 3, то дробь -— равна
х 4- Зу	Зт - 8у
01 @203 0405
21.	Если пара чисел я и у — решение системы уравнений
{5т 4- Зу = 11,
_	_	, то значение выражения х 4- У равно
Зт 4- 5у = 13,
0102030405
22.	Если в прямоугольном треугольнике сумма длин катетов
равна 9, а площадь равна 8, то длина гипотенузы равна
0708090605
23.	Площадь фигуры, состоящей из всех точек, координаты ко-
торых удовлетворяют неравенству 0 у 3 — |т|, равна
0 4,5 0 9 0 9?г 0 18 0 4,5?г
24.	Множество всех решений уравнения а2х 4- 2 = 4т — а сов-
падает с множеством (—оо; 4-оо)
|~1~| только при а = — 4 |~2~| только при а = 4 [з] только при а = — 2
[Z] только при а = 2 (б] при а — ±2
25.	Первый насос наполняет бассейн за 4 ч, второй насос — за
6 ч. Сколько времени (в часах) потребуется иа наполнение бас-
сейна, если одновременно первый насос будет наливать, а второй
насос — откачивать воду из бассейна?
010,5 010,25 036 024 012
9
Варианты вступительных экзаменов
26.	Пятая цифра после запятой в представлении числа - в
OcSoU
виде бесконечной десятичной дроби равна
0600070305
27.	Значение выражения
з
log2 cos
равно
0-0,5 0-1 00 01 00,5
28.	Все решения неравенства xog2* < 16 образуют промежу-
ток, длина которого равна
01,5 03,75 02,5 0102,25
29.	Сколько целых чисел содержится в области определения
функции у = log7((х + 2)(6 — я)) + \/{х — 2)(х — 6) ?
[Г| ни одного или одно |~2~| два |~3~| три [4] четыре
[б] пять или больше пяти
30.	Все значения параметра а, при которых наибольшее значе-
ние функции у == а — 4х — х2 превосходит число 9, образуют мно-
жество
Щ а > 1 [г] а > 2 [з] а > 3 Щ а > 4 [б] а > 5
Вариант 1-а12
1. Если цена повысилась на 30%, а затем понизилась на 20%,
то в результате двукратного изменения цена
[Т] повысилась на 8% |~2~| повысилась на 4% |~3~| понизилась на 2%
[Z] повысилась иа 10% [К] повысилась иа 12%
10
Вариант 1-а12
и | E-f 0-|
Угловой коэффициент
прямой, изображенной иа
рисунке, равен
3, Числовое значение выражения —,  -г равно
х/9-4^+2
0^-2075-10 -J= 0^0^
уэ z	z
4. Больший корень уравнения 10а?2 4- 17а? 4-7 = 0 равен
5.	Все значения параметра а, при которых графики функций
у = х2 4- За? 4- 5а и у — 1 — За? не имеют общих точек, образуют
множество
И (-оо; -1) Е (-1; +оо) 0 (-2; 2) 0 (-оо; 2) 0 (2; +оо)
6.	Укажите уравнение параболы, симметричной параболе
у = —х2 — 8а? 4- 3 относительно начала координат.
|~1~| у = а?2 — 8а? 4- 3 [2] у = —а?2 4- 8а? — 3 |~3~| у — а?2 — 8з? — 3
[Т| у = а?2 4- 8а? — 3 [К] у = —а?2 4- 8а? 4- 3
7,	Найдите сумму всех целых чисел п, для которых дробь
п - 4
-----является целым числом.
п — 1
040-4020-20-1
11
Варианты вступительных экзаменов
8. Если cos# — —0, 8 их е
sin 2# равно
то значение выражения
0 -0,96 00,96 0-0,48 00,48 00,24
9. Наименьший положительный период функции
у = cos 12# + cos 18# равен
log6 16
10. Выражение	——- равно
На рисунке изображен
график функции
[1]	т/ = #2 — 2# — 3 |~2~| у = #2 4- 2# — 3 [з~| у = —#2 — 4# — 3
[Z[ у == —#2 4-4# — 3 |~5~| у — #2 - 3# - 3
12.	Если длина стороны треугольника на 20% больше радиуса
описанной около треугольника окружности, то синус противоле-
жащего угла треугольника равен
00,5 00,6 00,7 00,8 00,9
13.	Длина общей части отрезков, определенных неравенствами
|# — 2|	5 и |# 4- 2|	3 , равна
0102030405
12
Вариант 1-al 2
14.	Произведение всех различных корней уравнения
х4 — За?2 — 10 = 0 равно
[Т] ю ®100 S “5 S -i° 05
15.	Все корни уравнения 1 + cos 2а? = 6  sin2 х образуют множе-
ство (т G Z)
Г11 х = ±— 4- пт Ы а? = — + 7гт Гз] х ~	4- пт
I 1	g	--Г	g	I 	4
[4~[ х — 4- 7гт |~5~| х = ±-^ + пт
16.	Выражение —у=-равно
Ху/х — 8
х
о!_____Ух. [з
4 + 2у/х 4- х L—
1
1
4

17.	Для уравнения х2 — 4а? — 4 — 0 с корнями a?i и а?2 выраже-
1 1
ние	1--равно
a?i а?2
01 0-20-40-1
18.	Сколько целых чисел являются решениями неравенства
log2(5 - х) 1?
[Г| ни одного |~2~| одно j~3~| два [4~| три
|~5~[ четыре или больше четырех
19.	Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
4 Я 8 Я* 12 Я*
1 — cos — -I- cos — — cos — 4-  • • равна
3	3	3
За? 4- у л	За? — у
20.	Если--= 4, то дробь --— равна
х 4- у	2а? 4- 4у г
0102030405
13
Варианты вступительных экзаменов
21.	Если пара чисел х и у — решение системы уравнений
f Зт + 8у = 9,
< Л „ ’то значение выражения х + у равно
[ 8т 4- Зу = 13,
01 @2 @3 04 05
22.	Если в прямоугольном треугольнике сумма длин катетов
равна 11, а площадь равна 10, то длина гипотенузы равна
07 0809010011
23.	Площадь фигуры, состоящей из всех точек, координаты ко-
торых удовлетворяют неравенству 0 С у 2 — |т), равна
04 08 02*016 04*
24.	Множество всех решений уравнения о2т + 3 = 9т — а сов-
падает с множеством (—со; 4~оо)
[Т] только при а = 0 |~2~| только при а = 9 [з~| при а — ±3
[4~[ только при а ~ 3 [К] только при а = — 3
25.	Первый насос наполняет бассейн за 3 ч, второй насос — за
4 ч. Сколько времени (в часах) потребуется на наполнение бас-
сейна, если одновременно первый насос будет наливать, а второй
насос — откачивать воду из бассейна?
0 7 0 12 0 16 0 64 0 18
139
26.	Седьмая цифра после запятой в представлении числа
в ваде бесконечной десятичной дроби равна
0601070904
27.	Значение выражения
1	[- (	(
log2 sm I arccos I —— I — a
равно
00,5 0100 0-1 0-0,5
14
Вариант 1-а13
28.	Все решения неравенства t1qs4!C < 4 образуют промежуток,
длина которого равна
[Т] 1,5 [2] 1 02,5 03,75 02,25
29.	Сколько целых чисел содержится в области определения
функции у = log2 ((т + 2)(3 - г)) + У(т + 1)(т - 5) ?
[Г| ни одного или одно |~2~| два [~з] три [4~| четыре
[К] пять или больше пяти
30.	Все значения параметра о, при которых наибольшее зна-
чение функции у — а + 8т — х2 превосходит число 20, образуют
множество
Ща>1@а>20а>3[4]а>4[5]а>5
Вариант 1-а13
1. Если цена повысилась на 40%, а затем понизилась на 30%,
то в результате двукратного изменения цена
1 повысилась на 8% 2 повысилась на 4% 3 понизилась на 2%
3.	Числовое значение выражения —.	-равно
Уб + гЛ-з
Ш У5 + 1 И У5 + 2 0 У5 - ! 0 1 0 Ц±1
V □	*
15
Варианты вступительных экзаменов
4.	Больший корень уравнения 10а?2 — 17а? + 7 = 0 равен
5.	Все значения параметра о, при которых графики функций
у = а?2 ~ За? — За и у = а? — 1 не имеют общих точек, образуют мно-
□ (-оо; -2) ® (-2; +оо) (Ц (-2; 2) 0 (-оо; -1)
® (~i; +°°)
6.	Укажите уравнение параболы, симметричной параболе
у = х2 — 8а? — 3 относительно начала координат.
[Т| у = —а?2 + 8а? — 3 |~2~| у = —a?2 -J- 8а? + 3 j~3~| р = а?2 4- 8а? — 3
[Т| у = а?2 + 8а? + 3 |~5~| у = -а?2 — 8а? 4~ 3
7.	Найдите сумму всех целых чисел п, для которых дробь
п — 2
—-j-j является целым числом.
Щ 4 ® —4 0 2 0 —2 ® —1
(7Г \
—; irj , то значение выражения
sin 2а? равно
Щ 0,48 [2] —0,48 [3] 0,96 Щ —0,96 [б] 0,24
9. Наименьший положительный период функции
у = cos 8а? + cos 12а? равен
logc 25
10. Выражение j---——-
равно
16
Вариант 1-а13
11.
На рисунке изображен
график функции
[1] у = х2 + 2х 4- 3 [У| у ~ —х2 — 21 + 3 [з~[ у — -х2 + 2х + 3
[4~[ у = —х2 — 4х + 3 |~5~| у — —х2 + 4х + 3
12.	Если длина стороны остроугольного треугольника на 60%
больше радиуса описанной около треугольника окружности, то ко-
синус противолежащего угла треугольника равен
00,9 00,8 00,7 00,6 00,5
13.	Длина общей части отрезков, определенных неравенствами
х — 1|	3 и — 3|	1, равна
01 02 03 04 05
14.	Произведение всех различных корней уравнения
х4 - 2х2 — 8 — 0 равно
0 4 0 -8 0 8 0 -4 0 64
15.	Все корни уравнения 3 + 3 cos 2х = 2 • sin2 х образуют мио-
жество (т G Z)
[1]	+ лт Ы + 2тгт |~3~| ±— + 2 тгт Щ — + кт
L—1 6	’— 3	— 6	— 6
[б]	+ тгт
17
Варианты вступительных экзаменов
16. Выражение —7=----равно
Ху/Х — 1
17.	Для уравнения х2 — 6а? 4- 3 = 0 с корнями a?i и а?2 выраже-
1 1
ние---1----равно
а?2
0-2 02 03 0-3
18.	Сколько целых чисел являются решениями неравенства
log2 (5 - а?)	2?
[э7| ни одного |~2~| одно [з~| два [4~[ три
|~5~| четыре или больше четырех
19.	Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
,	4 Я 8 Я 12 я
1 - cos — 4- cos — — cos	равна
6	6	6
„ х 4- 4у n „ 2а? — Зу
20.	Если-----— = 2, то дробь-------равна
За? — 8у	х 4- у
01 02 03 04 05
21.	Если пара чисел х и у — решение системы уравнений
Г За? 4-4у = 13,
< ,	„ ч- то значение выражения а? 4- у равно
(4а? + Зу = 15,
01 02 03 04 05
22,	Если в прямоугольном треугольнике сумма длин катетов
равна 12, а площадь равна 11, то длина гипотенузы равна
011 08 09 07 010
18
Вариант 1-а13
23.	Площадь фигуры, состоящей из всех точек, координаты ко-
торых удовлетворяют неравенству 0 у 4 — |т|, равна
0 8 @ 16тг @ 16 @ 8тг [б] 32
24.	Множество всех решений уравнения а2х 4-1 — х — а совпа-
дает с множеством (—оо; +оо)
@ только при а = — 1 @ только при а = 1 @ при а = ±1
@ только при а = 2 [К] только при а = 0,5
25.	Первый насос наполняет бассейн за 4 ч, второй насос — за
5 ч. Сколько времени (в часах) потребуется на наполнение бас-
сейна, если одновременно первый насос будет наливать, а второй
иасос — откачивать воду из бассейна?
09 @21 @20 @25,25 @25
241
26.	Пятая цифра после запятой в представлении числа в
виде бесконечной десятичной дроби равна
и 6 а з а 2 н 10 7
27.	Значение выражения
. Г , /	/ х/3\
Iog3 2 • sin I arccos I —— | -
равно
00,5 01,5 02,5 0-0,5 00
28.	Все решения неравенства Tlog5® < 5 образуют промежуток,
длина которого равна
05,2 05 02,5 03,75 04,8
29.	Сколько целых чисел содержится в области определения
функции у — log3 ((т + 3)(5 - т)) + У(т + 1)(т - 7) ?
[1] ни одного или одно @ два @ три @ четыре
[51 пять или больше пяти
19
Варианты вступительных экзаменов
30.	Все значения параметра о, при которых наибольшее значе-
ние функции у = а — 2х — х2 превосходит число 3, образуют мно-
жество
[Т|а>1[2]а>2[з]а>3[Т[а>4[5]а>5
Вариант 1-а14
1.	Если цена повысилась на 50%, а затем понизилась на 40%,
то в результате двукратного изменения цена
[~1~| повысилась на 8% |~2~| повысилась на 10%
|~3~| понизилась на 2% [4~| понизилась на 10%
[К] понизилась на 20%

Угловой коэффициент примой,
изображенной на рисунке, ра-
вен
3
5
3.	Числовое значение выражения —_======:--равно
х/11 + 6>/2-2
и 272 а а 72+1 н 72 -1 ®
Л	А
4.	Больший корень уравнения 7т2 + 17г 4-10 = 0 равен
5.	Все значения параметра о, при которых графики функций
у — х2 + 2х — 5а и у = 1 — 2х не имеют общих точек, образуют
множество
S (-оо; -2) |2] (-2; +оо) ® (-оо; -1) И (-1; +оо)
0 (-2; 2)
20
Вариант 1-а14
6.	Укажите уравнение параболы, симметричной параболе
у = г2 — 8а? + 3 относительно начала координат.
0 у = — х2 — 8а? - 3 0 у — —а?2 4- 8а? — 3 0 у = —а?2 — 8а? + 3
0 у = а?2 + 8а? - 3 0 у — а?2 4- 8а? 4- 3
7.	Найдите сумму всех целых чисел п, для которых дробь
2п 4- 3
------является целым числом.
п 4-1
040-4 @2 0-2 0-1
8. Если cos а? — —0,8 и а? €
sin 2а? равно
, то значение выражения
0-0,96 0 0,96 0-0,48 00,48 00,24
9. Наименьший положительный период функции
у = cos 4а? 4- cos 6а? равен
0 у = а?2 — 2а? — 3 0 у = а?2 4- 2а? — 3 0 У — — а?2 — 4а? — 3
й у = —а?2 4- 4а? - 3 0 у — а?2 — За? — 3
21
Варианты вступительных экзаменов
12.	Если длина стороны остроугольного треугольника на 20%
больше радиуса описанной около треугольника окружности, то ко-
синус противолежащего угла треугольника равен
[Т|0,4 00,5 00,6 00,7 00,8
13.	Длина общей части отрезков, определенных неравенствами
|т — 4|	2 и х - 1|	4, равна
0102 03 04 05
14.	Произведение всех различных корней уравнения
х4 ~~ 2х2 — 15 — 0 равно
0 5 0 -5 0 15 0 225 0 -15
15.	Все корни уравнения 1 — cos 2х == 2 • cos2 х образуют множе-
ство (щ G Z)
|Т| х = ±-~ 4- тгт |~2] х = —- 4- тгт |~3~| х — 4- тгт
[Z] х =	4- тгт Гб] х —	4- тгт
—	4	—	6
16. Выражение-----т=- равно
17.	Для уравнения х2 — 5т + 5 — 0 с корнями и Х2 выраже-
ние 	1--равно
Xi Х2
010-1 02,5 0-5 05
18.	Сколько целых чисел являются решениями неравенства
log3(4 - х) < 1?
[Г] ни одного [2] одно [з] два [Т| три
|~5~| четыре или больше четырех
22
Вариант 1-а14
19.	Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
1	4	8 7Г	io Л
1 + cos — 4- cos —cos —Ь .. - равна
4	4	4
02 Eg
5x — Зу	Зх + у
20.	Если ----= 2, то дробь-- равна
4х + Зу	х + у
01 02 03 04 05
21.	Если пара чисел х и у — решение системы уравнений
Г 2х + 5у = 18,
1 5ш 4- 2у — 17 Т° значение выражения х + у равно
0102030405
22.	Если в прямоугольном треугольнике сумма длин катетов
равна 10, а площадь равна 9, то длина гипотенузы равна
070809010011
23.	Площадь фигуры, состоящей из всех точек, координаты ко-
торых удовлетворяют неравенству О С У С 5 — |яг|, равна
0 12, 5 0 50 0 25л 0 25 0 12,5л
24.	Множество всех решений уравнения а2т4-3 = 9я:4-й сов-
падает с множеством (—оо; 4-оо)
0 только при а ~ 1 [Т| только при а — — 9 |~3] при а — ±3
0 только при а = 3 0 только при а = — 3
25.	Первый насос наполняет бассейн за 2 ч, второй насос — за
3 ч. Сколько времени (в часах) потребуется на наполнение бас-
сейна, если одновременно первый насос будет наливать, а второй
насос — откачивать воду из бассейна?
060507,(3)0809
23
Варианты вступительных экзаменов
26.	Шестая цифра после запятой в представлении числа
в виде бесконечной десятичной дроби равна
05 0100 08 03
271
3330
27. Значение выражения
log2
+ arctg
равно
0-1 ® —0,5 @0 00,5 01
28.	Все решения неравенства я1083® < 3 образуют промежуток,
длина которого равна
03 01,(3) 02,(6) 03,(3) 02,(3)
29.	Сколько целых чисел содержится в области определения
функции у =	+ 2)(5 - х) + log4((id - 1)(т - 5)) ?
[Г] ни одного или одно |2~| два |~3~| три [Z] четыре
[К] пять или больше пяти
30.	Все значения параметра а, при которых наибольшее зна-
чение функции у = а + 6х — х2 превосходит число 10, образуют
множество
0а>10а>2 0а>3 0а>4 0а>5
Вариант 2-а11
1.	Если Билл беднее Джека иа 20%, то Джек богаче Билла на
0 20% 0 22,5% 0 16, (6)% 0 25% 0 10%
2.	Если трехзначное число в десятичной записи 8x7 делится
без остатка на 9, то цифра х равна
09 02 01 05 03
3.	Если х2^ — яГ2/3 = 3, то значение выражения х^3 + х~4^3
равно
09 01107 05 013
24
Вариант 2-all
4.	Укажите первую цифру после запятой в десятичном пред-
ставлении значения параметра а, при котором прямая у — ах + 5
касается графика функции у =-.
х
03 05010204
5.	Укажите все значения параметра р, при которых система
(2т + 3у = 6, л
< о	п имеет бесконечное множество решений.
|~1~| р ~ 2 [Т| р = 4,5 |~3~| р = 3 0 р = — 2 [К] таких значений нет
6.	Сумма 5 всех различных корней уравнения
sin(2ir) 4- 2 cos я: = 0, расположенных на промежутке х € (0; 2тг),
удовлетворяет условию
0О<5<7г07г<5<1,57г01,57г<5^2тг
Щ 2тг < S < 2,5тг 0 2,5л < 5 < 999
7.	Приведенное квадратное уравнение, корни которого в
два раза больше корней уравнения х2 — 5т + 2 — 0, имеет вид
х2 — Ьх 4- с — 0, причем значение величины b 4- с равно
[1] 12 [2] 14 0 16 0 18 0 20
8.	Если второй член геометрической прогрессии равен 2, а ше-
стой член равен 32, то пятый член равен
0 8 @ ±8 @ -16 0 ±4 @ ±16
{у = Ы,
х2 4- (у — I)2 — 1 ?
|~Г] одно [2] два 0 три 0 четыре |~5~| решений нет
10.	В начале первого года в банк был внесен вклад величиной в
200 у. е., процентная ставка составляет 10% в год, доход по вкладу
начисляется в конце каждого года и прибавляется к вкладу. На
сколько у. е. возрастет величина вклада за второй год хранения,
если годовая процентная ставка за этот период не менялась?
[1] 22 0 20 0 40 0 21 0 44
25
Варианты вступительных экзаменов
11.	Сумма всех различных значений координаты в кото-
рых касательная к графику функции у = 9х2 — 8а? горизонтальна,
равна
12.	Пятнадцатый член арифметической прогрессии равен 11,
а сумма первых пятнадцати членов этой прогрессии равна 105.
Первый член этой прогрессии равен
0207030504
13.	Наибольшее значение функции у = \/—х2 4- 10® — 21 равно
02 @2,5 03 03,5 04
14.	Если площадь прямоугольного треугольника равна 8, а дли-
на одного из катетов равна 5, то меньший острый угол прямоуголь-
ного треугольника равен
|Т| arctgfO, 32) [2] arctg(0,64) |~3~] arctg(0,48) [4] arctgfO, 56)
0 arctgfO, 72)
15.	Сумма всех различных значений параметра Ъ, при которых
уравнение х2 4- (5 + 3)т + 2,25 • b + 5 — 0 имеет единственный ко-
рень, равна
0102030405
16. Укажите значение параметра к, при котором уравнение
||® — 4| — 2| = кх имеет ровно три различных корня.
17.	Значение выражения  log2 3 равно
S J 0^	8
V15 + 2х - а?
18.	Сумма всех целых чисел ж, для которых---< О,
2 — х
равна
08 011 09 @7 0-2
26
Вариант 2-а И
19.	Сколько целых чисел являются решениями неравенства
logo,5 х > “2?
[Г| одно [2] два [з] трн [I] четыре или больше четырех
[К] ни одного
20.	Скорость течения реки составляет 3 км/ч. Пароход прохо-
дит расстояние 36 км вниз по течению на 1 ч быстрее, чем то же
расстояние вверх против течения. Скорость парохода в стоячей
воде, выраженная в км/ч, равна
012 010 015 018 09
21.	Сколько различных корней имеет уравнение
|ш2 - 6|z| + 5] = 1 ?
[Г| три }~2~| четыре |~3~| корней нет [Z] шесть |~б] восемь
22.	Все значения параметра а, при которых все числа
х € [—3; 1] являются решениями неравенства х 4- а > 4, образуют
множество
[1] а € (-оо; 7] [][] а 6 (—оо; 3] [з] а € [3; +оо) [Z] а € [7; +оо)
0а£[3; 7]
23.	В треугольнике биссектриса угла, образованного сторонами
АВ = 16 и АС = 20, рассекает сторону ВС на отрезки, меньший из
которых имеет длину 12. Длина большего из этих отрезков равна
014 018 020 016 015
7Г
— образуют промежу-
О
24. Все решения неравенства arccosx
ток, длина которого равна
25.	Если прямая касается параболы у = х2 + 9 в точке с абсцис-
сой х — 6, то эта прямая пересекает ось абсцисс в точке, абсцисса
которой х удовлетворяет условию
[Т] -999 < х < 1 [2] 1 < х < 2,25 [з] 2,25 < х 2,5
[Z] 2,5 < х < 2,75 [б] 2,75 < х < 999
27
Варианты вступительных экзаменов
26.	Площадь конечной фигуры, ограниченной линиями
у =	— 2| и у — 6 — |ш|, является целым числом. Укажите
остаток от деления этого числа на 5.
01 02 03 0400
27.	Все корни уравнения 2 cos2 х + 3V^sin х = 5 образуют мно-
жество (т Е Z)
S + тгт [2|	+ 2тгт
0 (-1)™" + тгт; (—1)т+1^ 4- тгт [Z] (—1)т^- + тгт
0 ±* + 2тгт
6
28.	Производительность труда возросла иа 25%, поэтому рабо-
та была выполнена на 24 дня быстрее. Если после этого произво-
дительность увеличится еще иа 20%, то работа будет выполнена
быстрее еще на
|Т| 18 дней 0 20 дией |~3] 15 дней [Z] 16 дней |~5~| 12 дней
29.	Если А — число, равное произведению всех различных кор-
ней уравнения (log3 я)2 — 21og3 х — 5 = 0, то |А| является нату-
ральным числом, остаток от деления которого на 5 равен
01 02030400
30.	В результате опроса 44 жителей Москвы выяснилось, что
26 опрошенных посещают кинотеатры, 19 посещают стадионы,
18 посещают и кинотеатры, и стадионы. Сколько человек из числа
опрошенных не посещают ни кинотеатры, ни стадионы? Укажите
остаток от деления этого числа на 5.
01 02 03 0400
Вариант 2-а12
1.	Если Билл богаче Джека на 33-%, то Джек беднее Билла
на
0 Зз|% 0 25% 0 40% 0 30% 0 20%
О
28
Вариант 2-а12
2.	Если трехзначное число в десятичной записи 5я?5 делится
без остатка иа 9, то цифра х равна
03 02 01 08 09
3,	Если х2/3 4- аС2/3 = 5, то значение выражения х4^3 4- я-4/3
равно
S 25 @ 27 S 17 0 24 0 23
4.	Укажите первую цифру после запятой в десятичном пред-
ставлении значения параметра а, при котором прямая у — ах 4- 9
3
касается графика функции у = — —.
04 05 03 02 01
5.	Укажите все значения параметра р, при которых система
{2д^ । St/ ~~
_ у ’ имеет бесконечное множество решений.
Зш 4- ру = 6
[Т]р = 2 0р = 4,5 |~3] таких значений нет 0 р = 3 |~5~|р = 1,(3)
6.	Сумма S всех различных корней уравнения
sin(2ir) = 2 cos я:, расположенных на промежутке х € (0; 2тг), удо-
влетворяет условию
0 2тг < 5 < 999
7.	Приведенное квадратное уравнение, корни которого в
два раза больше корней уравнения х2 — 6ж 4- 1 = 0, имеет внд
х2 — Ьх 4- с = 0, причем значение величины Ъ + с равно
0 12 0 14 0 16 0 18 0 20
8.	Если первый член геометрической прогрессии равен —4,
а пятый член равен—64, то третий член равен
0 16 0 ±8 0 -8 0 -16 0 ±16
29
Варианты вступительных экзаменов
у = И,
х2 + (у - 2)2 = 1 ?
9.	Сколько решений имеет система
[Т| одно [2] два [з~| три [Z] четыре [К] решений нет
10.	В начале первого года в банк был внесен вклад величиной
в 100 у. е., процентная ставка составляет 20% в год, доход по вкла-
ду начисляется в конце каждого года и прибавляется к вкладу. На
сколько у. е. возрастет величина вклада за второй год хранения,
если годовая процентная ставка за этот период не менялась?
0 20 0 24 0 40 0 22 0 44
11.	Сумма всех различных значений координаты я, в кото-
рых касательная к графику функции у — Зя2 — 2т3 горизонтальна,
равна
12.	Тринадцатый член арифметической прогрессии равен 12,
а сумма первых тринадцати членов этой прогрессии равна 104.
Первый член этой прогрессии равен
02 @7 06 09 04
13.	Наибольшее значение функции у = у/--х2~+ 2х + 15 равно
0102030405
14.	Если площадь прямоугольного треугольника равна 10,
а длина одного из катетов равна б, то больший острый угол пря-
моугольного треугольника равен
|Т| arctg(l,6) [2] arctg(l, 64) |~3~| arctg(l, 8) [Z] arctgfl, 44)
[К] arctg(l, 72)
15.	Сумма всех различных значений параметра 6, при кото-
рых уравнение т2 4- (Ь + 1)г + 6 + 3 = 0 имеет единственный ко-
рень, равна
0102 03 0405
30
Вариант 2-al2
16. Укажите значение параметра fc, при котором уравнение
||х - 4| — 1| ~ кх имеет ровно три различных корня.
17.	Значение выражения ।-— • log2 3 равно
°g5
х/12 4- ш — ж2
18.	Сумма всех целых чисел ж, для которых-----> О,
равна
0 4 0 5 0 6 0 9 0 7
19.	Сколько целых чисел являются решениями неравенства
logons® > -1?
[Т| одно р2~] два |~3~| три [Z] четыре или больше четырех
[К] ни одного
20.	Скорость течения реки составляет 2 км/ч. Пароход прохо-
дит расстояние 24 км вниз по течению иа 3 ч быстрее, чем то же
расстояние вверх против течения. Скорость парохода в стоячей
воде, выраженная в км/ч, равна
06080100509
21.	Сколько различных корней имеет уравнение
|ж2 -7|®| + Ю| = 10?
|Т| три [У| четыре [з] корней нет [4~| шесть [К] восемь
22.	Все значения параметра а, при которых все числа
х € [—1; 3] являются решениями неравенства х + а 4, образуют
множество
|Т| а € (—00; 1] [2] а 6 (—оо; 5] |~3] a G [5; 4-оо) [Z] а € [1; +оо)
0аб[1;5]
31
Варианты вступительных экзаменов
23.	В треугольнике биссектриса угла, образованного сторонами
АВ = 16 и АС — 24, рассекает сторону ВС на отрезки, меньший из
которых имеет длину 12. Длина большего из этих отрезков равна
018 @14 [3] 24 Щ16 @20
7Г
24.	Все решения неравенства arccos х > — образуют промежу-
6
ток, длина которого равна
25.	Если прямая касается параболы у = л2 4-10 в точке с абс-
циссой х — 5, то эта прямая пересекает ось абсцисс в точке, абс-
цисса х которой удовлетворяет условию
|Т] -999 < х 1 [2] 1 < х 1,25 [з] 1,25 < х 1,5
0 1,5 < х 1,75 0 1,75 < х < 999
26.	Площадь конечной фигуры, границы которой лежат на ли-
ниях у — |т — 3| и у = 7 — |т|, является целым числом. Укажите
остаток от деления этого числа иа 5.
@1 @2 [3]304@О
27.	Все корни уравнения 2 cos2 я — 3cosr — 2 = 0 образуют
множество (т G Z)
[Т] ~ + 2тгтп [2~|	4- 2тгт |~з| 4- 2тг7П |~4~| ±~ 4- 2тгт
— з — 3	3	3
0 ~ + 7гт
।—। 2
28.	Производительность труда возросла на 60%, поэтому рабо-
та была выполнена на 27 дней быстрее. Если после этого произво-
дительность увеличится еще на 25%, то работа будет выполнена
быстрее еще на
|Т| 9 дней [2] 14 дней |~з] 10 дней |~4~| 8 дней 0 12 дней
32
Вариант 2~а13
29.	Если А — число, равное произведению всех различных кор-
ней уравнения (log6 я)2 — 21og6 х — 8 = 0, то |А| является нату-
ральным числом, остаток от деления которого на 5 равен
01 @2 03 04 00
30.	В результате опроса 51 жителей Москвы выяснилось, что
30 опрошенных посещают кинотеатры, 21 посещают стадионы,
14 посещают и кинотеатры, и стадионы. Сколько человек из числа
опрошенных не посещают ни кинотеатры, ни стадионы? Укажите
остаток от деления этого числа на 5.
0102030400
Вариант 2-а13
1.	Если Билл беднее Джека на 50%, то Джек богаче Билла на
0 50% 0 22,5% 0 66, (6)% 0 75% 0 100%
2.	Если трехзначное число в десятичной записи 7x6 делится
без остатка на 9, то цифра х равна
0305010209
3.	Если х1^3 4- т~1/3 = 3, то значение выражения х2^3 4- х~2^3
равно
070110905013
4.	Укажите первую цифру после запятой в десятичном пред-
ставлении значения параметра а, при котором прямая у = ах 4- 6
4
касается графика функции у = —.
х
0205030401
5.	Укажите все значения параметра р, при которых система
[ р х + 2 • у = 3pt й	„
< „ л „ имеет бесконечное множество решений.
(2х + 3у = 6
|Т| р = 2 [2~| р = 3 |~з| р = 4,5 Щ р = 1, (3) [К] таких значений нет
33
Варианты вступительных экзаменов
6.	Сумма 5 всех различных корней уравнения
.	/тг 11тг\
sin 2г + 2 cos х = 0, расположенных на промежутке х С —; —т— ,
\ б 6 /
удовлетворяет условию
Щ 0 < S < 2тг [I] 2тг < S < 2. 5тг [з] 2,5тг < S Зтг
ЩЗтг < 5 3, бтг Щз,5тг < S 999
7.	Приведенное квадратное уравнение, корни которого в
два раза больше корней уравнения х2 — Зх + 1 = 0, имеет вид
х2 — Ьх 4- с = 0, причем значение величины b + с равно
08 010 0 12 016 020
8.	Если третий член геометрической прогрессии равен —2,
а седьмой член равен —32, то пятый член равен
0-8 0±8 08 0±4 0±16
( у = IЛ?!,
9.	Сколько решений имеет система $ 9
(аг + (у + 1) - 1?
|Т| одно [~2~| два |~3] три |~4~| четыре [б] решений нет
10.	В начале первого года в банк был внесен вклад величиной
в 100 у. е., процентная ставка составляет 60% в год, доход по вкла-
ду начисляется в конце каждого года и прибавляется к вкладу. На
сколько у. е. возрастет величина вклада за второй год хранения,
если годовая процентная ставка за этот период не менялась?
[1] 60 @ 120 [5] 100 Щ 144 [б] 96
11.	Сумма всех различных значений координаты т, в которых
касательная к графику функции у — 6х2 ~ х3 горизонтальна, рав-
на
02 05 0| 04 03
£
12.	Седьмой член арифметической прогрессии равен 21, а сум-
ма первых семи членов этой прогрессии равна 105. Первый член
этой прогрессии равен
02 09 07 011 08
34
Вариант 2-а13
13.	Наибольшее значение функции у ~ у—х2 4- 4® 4- 21 равно
01 @2 @3 04 05
14.	Если площадь прямоугольного треугольника равна 12,
а длина одного из катетов равна 6, то больший острый угол пря-
моугольного треугольника равен
Щ arctg(l,8) [2] arctg(l,64) [з] arctg(l,6) Щ arctg(l,5)
[б] arctg(l, 72)
15.	Сумма всех различных значений параметра 5, при которых
уравнение х2 + (Ъ + 2)т 4- 1,25 - b 4- 4 = 0 имеет единственный ко-
рень, равна
01 0203 04 05
16.	Укажите значение параметра fc, при котором уравнение
||® — 5| — 2| = кх имеет ровно три различных корня.
__ 5 __ 1 __ 2 ___ 3 __
Иг 0 таких значений не существует
О □	□
logc 16
17.	Значение выражения log49 • --— равно
log5 27 18 19 20
18. Сумма всех целых чисел ®, для которых
равна
060-5030501
^/12 — х — х2
х+1 >0'
19. Сколько целых чисел являются решениями неравенства
log0i2(10®) > -2?
pl] одно р2~| два [з] три [~4~| четыре или больше четырех
[б] ни одного
20. Скорость течения реки составляет 3 км/ч. Пароход прохо-
дит расстояние 72 км вниз по течению на 2 ч быстрее, чем то же
35
Варианты вступительных экзаменов
расстояние вверх против течения. Скорость парохода в стоячей
воде, выраженная в км/ч, равна
Щ 18 [2] 12 [з] 9 Щ 15 [б] 6
21.	Сколько различных корней имеет уравнение
]я2 - 8|ж] + 15] =4?
|Т| три р2~| четыре |~3~] корней нет |~4~| шесть [б] восемь
22.	Все значения параметра а, при которых все числа
х ё [—3; 1] являются решениями неравенства х + а 4, образуют
множество
[Т] а ё (-оо; 7] р2~| а ё (—оо; 3] [з] а ё [3; +оо) Щ а ё [7; +оо)
0аб[3;7]
23.	В треугольнике биссектриса угла, образованного сторонами
АВ = 24 и АС = 18, рассекает сторону ВС на отрезки, больший из
которых имеет длину 16. Длина меньшего из этих отрезков равна
0 14 @ 10 ® 9 И 12 0 8
5тг
24.	Все решения неравенства arccos х	—- образуют промежу-
6
ток, длина которого равна
S1 + v ® I ® £ S1 - v ® решений нет
Z £ О	л
25.	Если прямая касается параболы у = х2 4-14 в точке с абс-
циссой х — 7, то эта прямая пересекает ось абсцисс в точке, абс-
цисса х которой удовлетворяет условию
Щ -999 < х < 2 [2] 2 < х ^2,25 [з] 2,25 < х 2,5
Щ 2,5 < X 2,75 [б] 2,75 < х <999
26.	Площадь конечной фигуры, ограниченной линиями
у = |т — 1| и у = 3 — |т|, является целым числом. Укажите
остаток от деления этого числа на 5.
01 @2 @3 04 00
36
Вариант 2-а14
27.___Все корни уравнения 2 cos2 х 4- 3cos х — 2 = 0 образуют
множество (тп ё Z)
______ 5—	____ -	  -	  2тг
Щ — + 2тгт	|2| ±- +	2тгтп	ПЯ -	+ 2тгт	Щ ±—	+ 2тгт
— з	— з	— з	— 3
@у + ™
28.	Производительность труда возросла на 75%, поэтому рабо-
та была выполнена на 42 дня быстрее. Если после этого произво-
дительность увеличится еще на 40%, то работа будет выполнена
быстрее еще на
[Т] 18 дней |~2~] 12 дней |~з| 24 дня |~4~| 15 дней [К] 16 дней
29.	Если А — число, равное произведению всех различных кор-
ней уравнения (log3a;)2 — 31og3r — 11 = 0, то |А| является нату-
ральным числом, остаток от деления которого на 5 равен
01 @2 03 04 00
30.	В результате опроса 48 жителей Москвы выяснилось, что
27 опрошенных посещают кинотеатры, 17 посещают стадионы,
12 посещают и кинотеатры, и стадионы. Сколько человек из числа
опрошенных не посещают ни кинотеатры, ни стадионы? Укажите
остаток от деления этого числа на 5.
0102 03 04 00
Вариант 2-а14
1. Если Билл богаче Джека на 100%, то Джек беднее Билла
на
0100% 0 40% 0 50% 0 25% 0 0%
2. Если трехзначное число в десятичной записи 4^2 делится
без остатка на 9, то цифра х равна
0302010509
3. Если х2/<3 — х~2/3 = 4, то значение выражения х4'3 + х~4^3
равно
Щ 20 [2] 19 [3] 18 Щ 21 [К] 16
37
Варианты вступительных экзаменов
4.	Укажите первую цифру после запятой в десятичном пред-
ставлении значения параметра а, при котором прямая у ~ ах + 10
,	,	3
касается графика функции у ~	,
х
01 @2 @3 04 05
5.	Укажите все значения параметра р, при которых система
f Зт + 2у = 6, g,
<	п имеет бесконечное множество решений.
[ 2т 4- ру - Зр
[Т]р ~ 1,(3) @ р = 3 [з]р=4,5 [Т[р = 2 [б]таких значений нет
6.	Сумма S всех различных корней уравнения
(7Г 7тг
—; ~4~ ’
удовлетворяет условию
0О<5^7г07г<5^27г02тг<5^у0у<5^37г
0 Зя- < S < 999
7.	Приведенное квадратное уравнение, корни которого в
два раза больше корней уравнения т2 — 5т 4-1 = 0, имеет вид
х2 — Ьх + с — 0, причем значение величины Ь с равно
[1] 18 [2] 12 [з] 16 Щ 20 [б] 14
8* Если первый член геометрической прогрессии равен 4, а пя-
тый член равен 64, то третий член равен
[1]	-16 [2] 8 [з] 16 Щ ±8 Щ ±16
9.	Сколько решений имеет система	„,9
+ (р- I)2 = 4?
[Т] одно |~2~| два [з| три [~4~| четыре [б] решений нет
10.	В начале первого года в банк был внесен вклад величиной
в 100 у. е., процентная ставка составляет 40% в год, доход по вкла-
ду начисляется в конце каждого года и прибавляется к вкладу. На
38
Вариант 2-а14
сколько у. е. возрастет величина вклада за второй год хранения,
если годовая процентная ставка за этот период не менялась?
Щ 40 Щ 80 [з] 48 Щ 56 Щ 72
11.	Сумма всех различных значений координаты т, в которых
касательная к графику функции у ~ х2 — 2т3 горизонтальна, рав-
на
12.	Десятый член арифметической прогрессии равен 51, а сум-
ма первых десяти членов этой прогрессии равна 285. Первый член
этой прогрессии равен
06 @7 @5 09 08
13.	Наибольшее значение функции у = \/—х2 + 7х — 6 равно
02 02,5 03 03,5 04
14.	Если площадь прямоугольного треугольника равна 4, а дли-
на одного из катетов равна 5, то меньший острый угол прямоуголь-
ного треугольника равен
|Т| arctg(0,32) [2] arctg(0,54) |~з| arctgfO, 16) |~4~| arctg(0,48)
|~5~| arctg(0,64)
15.	Сумма всех различных значений параметра 5, при которых
уравнение х2 + (5 4- 2)х + 2,25 - b 4- 6 = О имеет единственный ко-
рень, равна
0102030405
16.	Укажите значение параметра fc, при котором уравнение
||з — 4| — 3| = кх имеет ровно три различных корня.
log727
log7 32
• log3 2 равно
17. Значение выражения
39
Варианты вступительных экзаменов
18.	Сумма всех целых чисел л, для которых---~-------> О,
2 — х
равна
0-1 [а]-б 0-5 00 0-2
19.	Сколько целых чисел являются решениями неравенства
log0,5s > “1?
|Т| одно [~2~| два [з| три |Т| четыре или больше четырех
[ 51 ни одного
20.	Скорость течения реки составляет 2 км/ч. Пароход прохо-
дит расстояние 8 км вниз по течению на 1 ч быстрее, чем то же
расстояние вверх против течения. Скорость парохода в стоячей
воде, выраженная в км/ч, равна
[Т]9 03 05 04 06
21.	Сколько различных корней имеет уравнение
\х2 - б(т( + 5| = 4 ?
|Т| три [~2~| четыре |~з] корней нет |~4~| шесть [б] восемь
22.	Все значения параметра а, при которых все числа
х ё [—1; 3] являются решениями неравенства х + а С 4, образуют
множество
[Т| а ё (-сю; 1] [2~| a G (—оо; 5] [з] а С [5; +оо) |~4~| a G [1; +оо)
0 а € [1; 5]
23.	В треугольнике биссектриса угла, образованного сторонами
АВ = 18 и АС = 24, рассекает сторону ВС на отрезки, меныпий из
которых имеет длину 12. Длина большего из этих отрезков равна
[Т] 18 [2] 20 [3] 16 Щ 24 Щ 14
2тг
24.	Все решения неравенства агссоз х — образуют промежу-
ток, длина которого равна
+	решений нет
х Z О
40
Вариант 2-а14
25.	Если прямая касается параболы у = х2 + 6 в точке с абсцис-
сой х = 4, то эта прямая пересекает ось абсцисс в точке, абсцисса
которой х удовлетворяет условию
Щ -999 < X 1 |2| 1 < X 1, 25 [3J 1, 25 < х 1, 5
Щ 1,5 < х 1,75 Щ 1,75 < х < 999
26.	Площадь конечной фигуры, ограниченной
у = |ге — 3| и у = 5 — |х|, является целым числом,
остаток от деления этого числа на 5.
0102 03 04 00
27.	Все корни уравнения 2 cos2 х 4- Зсовя — 2 ~ 0
множество (т ё Z)
[Т] ~~ 4- 2тгт [2]	4- 2тгт [з] ~ 4- 2тгт Щ 4- тгт
О	и	и	О
линиями
Укажите
образуют
[К] ± — 4- 2тгтп
28.	Производительность труда возросла на 12,5%, поэтому ра-
бота была выполнена на 15 дней быстрее. Если после этого произ-
водительность увеличится еще на 20%, то работа будет выполнена
быстрее еще на
|Т| 24 дня [У| 30 дней |~з| 20 дней |~4~| 22 дня [б] 18 дней
29.	Если А — число, равное произведению всех различных кор-
ней уравнения (log7 я)2 — 21og7a; — 12 ~ 0, то |А| является нату-
ральным числом, остаток от деления которого на 5 равен
01 02 @3 04 00
30.	В результате опроса 45 жителей Москвы выяснилось, что
28 опрошенных посещают кинотеатры, 24 посещают стадионы,
17 посещают и кинотеатры, и стадионы. Сколько человек из числа
опрошенных не посещают ни кинотеатры, ни стадионы? Укажите
остаток от деления этого числа на 5.
0102 03 04 00
41
Варианты вступительных экзаменов
Вариант 2-а21
1.	Найдите остаток от деления числа 8156 на 4.
01 @2@3 04 @0
J3
4
7
2.	Если капуста дороже картофеля на 20%, а морковь дешевле
капусты на 20%, то
цена моркови равна цене картофеля
морковь дешевле картофеля на 4%
морковь дешевле картофеля на 40%
морковь дороже картофеля на 4%
морковь дороже картофеля на 41%
3.	Сумма всех значений параметра а, при которых парабола
у = х2 + ах имеет единственную общую точку с прямой у = 2х — а,
равна
4.	Наименьшее расстояние на числовой оси между двумя раз-
личными корнями уравнения 1 + sin х = cos х + sin х cos х равно
2 о — о о 4
5. Приведенное квадратное уравнение, корни которого
на 2 больше корней уравнения х2 — 5х + 1 = 0, имеет вид
х2 — Ьх + с = 0, причем значение величины Ь равно
07 03 @10 09 011
6. Если четвертый член арифметической прогрессии равен 14,
четырнадцатый член равен 4, то сумма всех членов начиная с чет-
вертого и до четырнадцатого равна
[1] 104,5 @81 @198 @90 @99
7. Сколько корней имеет уравнение |я| = х2 — 1?
@ один @ два @ три @ ни одного @ бесконечно много
8. На фирме А 30% сотрудников — менеджеры, на фирме В
менеджеров 80%. После слияния образовалась фирма С, 40% со-
трудников которой — менеджеры (специализация сотрудников не
42
Вариант 2-а21
уекялась и никто не был уволен). Найдите долю бывших сотруд-
д^ков фирмы А среди всех сотрудников фирмы С.
Q 20% 0 40% 0 50% 0 60% 0 80%
fl. Укажите первую цифру после запятой в десятичном пред-
ставлении абсциссы х точки, в которой функция у = х3 — х4 до-
стигает своего наибольшего значения на промежутке х € [0; +оо).
0605070408
10.	Наименьшее значение функции у ~ х — 10\/ж + 29 равно
Щ102030405
11.	Укажите все значения параметра &, при которых система
Г12 • яг — 2 - у = 2Ь,
1 б х + Ъ у — 1 имеет еДинствеыное решение.
06 ё(-оо; - 1)|J(-1; +оо) 06 = 1
0 6 € (-оо; 1) || (1; 4-оо) 06 = ±1 0 таких значений нет
12.	Укажите радиус окружности, вписанной в ромб со стороной
5, одна из диагоналей которого равна 8.
01,202,40^0^02
13.	Найдите значение выражения
(V® + у'у) • (т + у - у/ху) + (\/х - у/у) - (я + у + y/ху) при
Ж = 9, у — 4.
Й16 0\/8 054 0^/27 027
14.	Наименьший положительный корень уравнения
2 cos2 х + 3 х/З cos х + 3 = 0 принадлежит промежутку
0«е(о;	0x6 (£ £] 0x6 (^; я] 0x6 (и;
®»6 (—, 2тг]
43
Варианты вступительных экзаменов
15.	Найдите произведение всех различных значений парамет-
12
ра 6, при которых графики функций у = — и у — Ъ — х имеют
х
единственную общую точку.
Щ -24 [2] -32 0 12 @ 24 0 -48
16-	Все значения параметра к, при которых уравнение
|т — 3) + 1 ~ кх имеет ровно два различных корня, образуют про-
межуток, длина которого равна
н J [и I з 2 а I е 1
17.	Найдите сумму указанных членов геометрической прогрес-
сии 1 — 2 + 4 — 8 + • • • + 1024 и укажите остаток от деления полу-
ченного значения на 5.
01 02 03 34 00
18.	Найдите наибольшее значение параметра Ь, при котором все
решения неравенства |т 4- 4| Ъ являются также решениями нера-
венства |z| С 6.
02050133010
19.	Сколько целых чисел содержится во множестве всех реше-
ний неравенства Зу/х-< у/b ?
у/Х
[Г| ни одного или одно [~2~| два 0 три [Z] четыре
0 пять или больше пяти
20.	Сколько целых чисел являются решениями неравенства
log3 х 4? Укажите остаток от деления этого числа на 5.
0102030400
21.	После четвертого года хранения величина вклада была рав-
на 24 у. е., после шестого года равна 32 у. е. Какова была величина
вклада после второго года хранения, если доход по вкладу начис-
ляется в конце каждого года и прибавляется к вкладу, а годовая
44
Вариант 2-а21
процентная ставка за этот период не менялась? Укажите остаток
от деления целой части этого числа на 5.
0102030400
22.	Произведение корней уравнения |2х — 7| = х + 1 равно
0 16 0 6 0 10 0 12 0 18
23.	Укажите числовое значение выражения log3 ^24 Iog481) .
012@6 016[4]8 0|
О
24.	Из точки А проведена касательная АВ к окружности
с центром О, точка В лежит на окружности, АВ — 12. Через
точку А проведена также прямая, проходящая через точку О,
пересекающая окружность в точках С и D, точка С лежит меж-
ду А и D, АС — 4. Диаметр окружности — целое число, остаток от
деления которого на 5 равен
0102030400
25.	Наименьший положительный корень уравнения
УЗ cos х — Уsin х расположен на числовой оси ближе всего к
числу
а у
26.	Площадь S треугольника, ограниченного отрезками
осей абсцисс и ординат и отрезком касательной к параболе
у — х2 — 2х + 12, проведенной через точку этой параболы с
абсциссой х = 0, равна натуральному числу. Укажите остаток от
деления числа 5 на 5.
0102030400
27.	Площадь фигуры на плоскости, состоящей из всех
точек, координаты которых (х} у) удовлетворяют условиям
0 у [|х| ~ 2| — 4, равна натуральному числу. Укажите остаток
от деления этого числа на 5.
0102030400
45
Варианты вступительных экзаменов
28.	За 30 дней совместной работы Билл и Джек строят 11 до-
мов. Если Билл повысит свою производительность на 20%, то за
60 дней совместной работы они построят 24 дома. Сколько домов
построит один Билл за 48 дней работы с плановой производитель-
ностью?
08090 10 0607
29.	Множество всех решений неравенства 3® + 32~®	10 явля-
ется отрезком, длина которого равна
01 @2 03 04 05
30.	Опрос прохожих на улицах Петербурга показал, что 52% из
них учатся, 66% работают, 15% не учатся и не работают. Сколько
прохожих одновременно учатся и работают?
[Т] 34% [2] 27% [з] 48% Щ 37% Щ 33%
Вариант 2-а22
1. Найдите остаток от деления числа 7873 на 4.
0102030400
2. Если капуста дороже картофеля на 40%, а морковь дешевле
капусты на 40%, то
1 цена моркови равна цене картофеля
2 морковь дороже картофеля на 16%
3 морковь дороже картофеля на 81%
4 морковь дешевле картофеля на 16%
5 морковь дешевле картофеля на 8%
3.	Сумма всех значений параметра а, при которых парабола
у = х2 + ах имеет единственную общую точку с прямой у — х — За,
равна
010 014 012 08 06
4.	Наименьшее расстояние на числовой оси между двумя раз-
личными корнями уравнения sin х + cos х 4- sin х cos х — — 1 равно
46
Вариант 2-а22
5.	Приведенное квадратное уравнение, корни которого
на 1 больше корней уравнения х2 — 4х + 1 = 0, имеет вид
х2 — Ьх -Ь с = 0, причем значение величины Ь равно
08 @6 01 05 03
6.	Если седьмой член арифметической прогрессии равен 14,
четырнадцатый член равен 7, то сумма всех членов начиная с седь-
мого и до четырнадцатого равна
[1] 84 @73>5 ® 168 Н63 @88
7.	Сколько корней имеет уравнение |х — 1| = я2?
[Г| три [2] один [з] ни одного |~4~| два [К] бесконечно много
8.	На фирме А 30% сотрудников — менеджеры, на фирме В
менеджеров 70%. После слияния образовалась фирма С, 60% со-
трудников которой — менеджеры (специализация сотрудников не
менялась и никто не был уволен). Найдите долю бывших сотруд-
ников фирмы А среди всех сотрудников фирмы С.
0 75% 0 25% 0 50% 0 40% 0 60%
9.	Укажите первую цифру после запятой в десятичном пред-
ставлении абсциссы х точки, в которой функция у ~ х4 — х5 до-
стигает своего наибольшего значения на промежутке х G [0; -Ьоо).
0600070208
10.	Наименьшее значение функции у ~ х — 6\/г + 10 равно
0102030405
11.	Укажите все значения параметра Ь, при которых система
f 18 • х + Ь • у — b + 6,
<	имеет единственное решение.
[о • я? — 1 • у = 1
[Т| таких значений нет [2] b = 3 [з] b G (—оо; —3)	(-3; +оо)
@ b = ±3 [б] b е (-сю; 3) (J (3; +оо)
47
Варианты вступительных экзаменов
12.	Укажите радиус окружности, вписанной в ромб со стороной
13, одна из диагоналей которого равна 10.
05	@4,(3) а 4 03,(6)
13.	Найдите значение выражения
(у^ + У?) • (х + у - у/ху) - (>/х - у/у)  (х + у + у/ху) при
х = 7, у == 1.
07V7 @ V7 @4 [4] V14 02
14.	Наименьший положительный корень уравнения
2 sin2 T + 5sinx + 2 = 0 принадлежит промежутку
0*6 (О;	к] 0хб(г, £] 0x6 (£; |]
0*6 (^;2я]
15.	Найдите произведение всех различных значений парамет-
7
pa &, при которых графики функций у — — и у = b — х имеют един-
ая
ственную общую точку.
[1] 7 0 -28 й -32 Щ 14 0 -42
16.	Все значения параметра к, при которых уравнение
|т — 3| + 2 = кх имеет ровно два различных корня, образуют про-
межуток, длина которого равна
@1(31102 01
17.	Найдите сумму указанных членов геометрической прогрес-
сии 2 — 4 + 8 —16 + ♦ • • + 512 и укажите остаток от деления полу-
ченного значения на 5.
@102030400
18.	Найдите наибольшее значение параметра Ь, при котором все
решения неравенства + 3| С Ъ являются также решениями нера-
венства ]т|	9.
@12 01,5 04,5 @5 06
48
Вариант 2-а22
19.	Сколько целых чисел содержится во множестве всех реше-
г- 9 г
ний неравенства 4 Уж--= < v 3 ?
у/Х
[Г| ни одного или одно [2] два [з] три [4] четыре
[К] пять или больше пяти
20.	Сколько целых чисел являются решениями неравенства
log6 г < 2? Укажите остаток от деления этого числа на 5.
0102 0304 00
21.	После четвертого года хранения величина вклада была рав-
на 24 у. е., после шестого года равна 36 у. е. Какова была величина
вклада после второго года хранения, если доход по вкладу начис-
ляется в конце каждого года и прибавляется к вкладу, а годовая
процентная ставка за этот период не менялась? Укажите остаток
от деления целой части этого числа на 5.
0102 03 04 00
22.	Произведение корней уравнения |2т + 5| = 1 — х равно
04080-4060-6
23.	Укажите числовое значение выражения log4 ^581°825б4) .
016 024 0^018 012
О
24.	Из точки А проведена касательная АВ к окружности
с центром О, точка В лежит на окружности, АВ = 18. Через
точку А проведена также прямая, проходящая через точку О,
пересекающая окружность в точках С и D, точка D лежит меж-
ду А и С, АС = 54. Диаметр окружности равен натуральному чис-
лу, остаток от деления которого на 5 равен
0102 03 04 00
25.	Наименьший положительный корень уравнения
—Уз cos я — У~ sin х расположен на числовой осн ближе всего
к числу
0^
49
Варианты вступительных экзаменов
26.	Площадь 5 треугольника, ограниченного отрезками
осей абсцисс и ординат и отрезком касательной к параболе
у = х2 — х -Ь 12, проведенной через точку этой параболы с абс-
циссой х — 0, равна натуральному числу. Укажите остаток от
деления числа 5 на 5.
0102 03 04 00
27.	Площадь фигуры на плоскости, состоящей из всех
точек, координаты которых (ж, у) удовлетворяют условиям
0 у Цях| — 3| — 4, равна натуральному числу. Укажите остаток
от деления этого числа на 5.
0102 03 04 00
28.	За 30 дней совместной работы Билл и Джек строят 61 дом.
Если Билл повысит свою производительность на 20%, то за 15 дней
совместной работы онн построят 33 дома. Сколько домов построит
один Билл за 60 дней работы с плановой производительностью?
0 48 0 46 0 54 0 60 0 50
29.	Множество всех решений неравенства 3* + З3”®	12 явля-
ется отрезком, длина которого равна
0102 03 04 05
30.	Опрос прохожих на улицах Петербурга показал, что 62% из
них учатся, 67% работают, 9% не учатся и не работают. Сколько
прохожих одновременно учатся и работают?
0 38% 0 47% 0 33% 0 39% 0 46%
Вариант 2-а31
1.	Если 7уЗх — наибольшее четырехзначное число в десятич-
ной записи, которое делится без остатка на 4, то цифра х равна
0800060402
2.	Сумма всех различных корней уравнения х2 — Ют 4-21 = 0
равна натуральному числу. Найдите остаток от деления этого чис-
ла на 5.
01 0203 0400
50
Вариант 2-а31
3.	Если чай дешевле кофе на 80%, то кофе дороже чая на
@80% @20% @400% @ 250% @160%
4.	Наименьший положительный корень уравнения
sin 2х + УЗ sin х = 0 принадлежит промежутку
0/Л	7Г1 г~1 /7г 2тг1 г~п /2тг 1	г—।	/	4тг 1	I-1 /4тг 1
(0;	ч ® (з; т ® (т; d	S	r;	т	® (т12d
кп	я	f |®| + Ivl =
5.	Сколько решений имеет система < 1 1	о
[у = [х- 1/ ?
@ одно @ два @ три @ четыре @ решений нет
6.	На фирме А сотрудники с высшим образованием составля-
ли 30%, на фирме В этот показатель был равен 60%. После слия-
ния образовалась фирма С, на которой тот же показатель стал
равен 50%. Найдите отношение количества сотрудников фирмы А
к количеству сотрудников В до слияния.
@2:1 @1:3 @1:2 @2: 3 @ 3 : 1
7.	Если парабола у = х2 имеет единственную общую точку с
прямой у = Ют — а, то значение параметра а равно натуральному
числу. Укажите остаток от деления этого числа на 5.
01 @2 03 04 00
о _ х - 2у	5у + 8я?
8.	Если --= 3, то значение выражения ----- равно
у — 2х	5у — 4х
01,5 05 03 00,5 02,5
9.	Укажите количество точек с целочисленными коорди-
натами, которые принадлежат области определения функции
у = У~-х2 — 5 т + 24 + Ут2 + 2т — 35.
@ одна или ни одной @ две @ три @ четыре
@ пять или больше пяти
51
Варианты вступительных экзаменов
10.	Числовое значение выражения tg2 х 4- ctg2 х при условии
tg х — ctg х = 7 равно
0 47 0 Т4Г49 0	[4] 49 ® 51
11.	Если Xi и Х2 — два различных корня уравнения
х2 - 5х — 3 = 0, то значение выражения х2 + Х1Х2 4- х2 равно на-
туральному числу. Найдите остаток от деления этого числа на 5.
01 @2 03 [04 ®0
12.	Произведение первого и шестого членов возрастающей
арифметической прогрессии равно 14, сумма этих же членов равна
9. Число d, равное разности прогрессии, принадлежит промежутку
0d6(O; 1] 0d€(l; 2] 0de(2; 3] 0d6(3; 4]
0 d € (4; 999)
13.	Если в треугольнике ABC известно, что АВ = ВС, АС = 6,
длина высоты, опущенной на основание АС, равна 2, то угол при
основании равен
И arctg [2] arctg | [I] arctg - Щ arctg - Щ arctg -
14.	Система уравнений < Т +	~	„ имеет бесконечное
[ (а + 1)х 4- 2у = -1
множество решений при
0аб{-2; 1} 0 а = 1 0 а 6 (—оо; —2) (J (-2; 1) |J (1; +оо)
0 а = —2 |5] таких значений не существует
10ge 8
15.	Значение выражения log325 -—— равно натуральному
log3 2
числу. Найдите остаток от деления этого числа на 5.
0102030400
16.	Прямая, которая касается параболы у = х2 в точке с абс-
циссой х = 3, пересекает ось ординат в точке, ордината которой
52
Вариант 2-а31
у — целое отрицательное число. Укажите остаток от деления по-
ложительного числа |у| на 5.
01 0 2 0 3 0 4 0 О
17.	Сколько различных корней имеет уравнение
^/х2 4- 2х 4-1 = кх при условии к =	?
|Т| четыре |2~| три [3~| корней нет [4~] один [Б] два
18.	Площадь фигуры, образованной всеми точками, координа-
ты которых удовлетворяют одновременно условиям 0 у 6 — |ж|
н у х, равна
027 033 024 016 018
19.	Произведение всех различных корней уравнения
х4 — Ют2 4- 24 = 0 равно натуральному числу, остаток от деления
которого на 5 равен
01 0 2 0 3 0 4 0 О
20.	Холодильник, стоивший 10 тыс. руб., подорожал на 6%. Че-
рез месяц он подешевел также на 6%. После этого его цена, выра-
женная в рублях, равна натуральному числу, остаток от деления
которого на 5 равен
И 1 0 2 0 3 0 4 0 0
21.	Прямая у = х4-4 касается окружности х24-у2 — 8х4-р4-И
при значении параметра р, равном
01 @2 @3(04 @5
22.	Найдите наименьшее целочисленное решение неравенства
1	3
log3x - и укажите остаток от деления этого числа на 5.
01 020304 00
23.	Известно, что уравнение х = 3|т — 6| имеет два различных
корня, расстояние между которыми на числовой оси равно 6. Най-
дите значение параметра Ь.
08012040206
53
Варианты вступительных экзаменов
24.	Решите уравнение \/2 — 4 cos ж = 1 — 2 cos х
(в ответах m € Z).
Щ х =	4- 2тгтп [2] х = + 2тгтп [з~| х = ±^- 4- 2тгт
0 х =	4- 7Г7П Гб~] х =	+ тгт
3	3
ЛЕ IZ	Е	+ X2 О
25.	Квадрат большего корня уравнения —----= 3 — х равен
3 4-х
натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
S1 02 @3 04 00
з
26.	Среди всех школьников - их общего числа изучают англий-
2	7
ский язык, - изучают французский язык, — изучают оба упомя-
нутых языка. Какова доля школьников, не изучающих ни один из
упомянутых языков?
27.	Сумма вклада в банке после первого года хранения равня-
лась 48 у. е., а после третьего года хранения — 108 у е. На сколько
у. е. увеличился вклад за второй год хранения, если процентная
ставка не менялась, доход начисляется в конце каждого года и
прибавляется к сумме вклада?
[Г] 30 0 28 0 27 0 20 0 24
28.	Функция у = ж2 (24 — х) достигает своего наибольшего зна-
чения на промежутке х € [0; 4-оо) в точке, абсцисса которой х рав-
на натуральному числу. Укажите остаток от деления этого числа
на 5.
@102030400
29.	Если для бесконечно убывающей геометрической прогрес-
(.	х 2	/	\	з	л
arcsin х \	(arcsin х X	3
------ ) 4- I-) + • = -, то
л	/	\	7Г	/	4
54
Вариант 2-а32
30.	Наименьшее значение функции у ~ 4Ж — 2х+3 + 18 принад-
лежит промежутку
[*11/min € (—999; 1] [2~| J/min € (1; 2] [~3~| ymjn € (2; 3] @ J/min € (3; 4]
0Утт€ (4; 999]
Вариант 2-а32
1.	Если 2у4т — наибольшее четырехзначное число в десятич-
ной записи, которое делится без остатка на 4, то цифра х равна
0008060204
2.	Сумма всех различных корней уравнения х2 — 9х + 20 — 0
равна натуральному числу. Найдите остаток от деления этого чис-
ла иа 5.
0 1 0 2 0 3 0 4 0 0
3.	Если гречка дешевле риса на 84%, то рис дороже гречки на
074% 016% 0625% 084% 0525%
4.	Наименьший положительный корень уравнения
sin2x + sinar = 0 принадлежит промежутку
ВДаЙ 0(т’]
5.	Сколько решений имеет система J
[ ?/ = а? — 1 ?
[Т| одно [2~| два [3~| три @ четыре |~5~| решений нет
6.	На фирме А сотрудники с высшим образованием составля-
ли 30%, на фирме В этот показатель был равен 80%. После слия-
ния образовалась фирма С, иа которой тот же показатель стал
равен 50%. Найдите отношение количества сотрудников фирмы А
к количеству сотрудников В до слияния.
Щ2:3 @2:1 01:2 @3:1 [5]3:2
55
Варианты вступительных экзаменов
7.	Если парабола у = х2 имеет единственную общую точку с
прямой у = 14х — 7а, то значение параметра а равно натуральному
числу. Укажите остаток от деления этого числа на 5.
01 [2]2 [з]з 04 Йо
„ Зу — х	7х + 5у
8.	Если ---= 2, то значение выражения ------- равно
Зх - у	7х — у
01,5 02 00,5 04 02,5
9.	Укажите количество точек с целочисленными коорди-
натами, которые принадлежат области определения функции
у = \/—х2 4- Зх 4-10 4- х/х2 — х — 6.
[Г| одна или ни одной |~2] две [з] три [Z] четыре
[К] пять или больше пяти
10.	Числовое значение выражения tg2x4-ctg2x при условии
tg х 4- ctg х = 5 равно
0 23 0 х^Г27 0 27 0 ™ 025
11.	Если Xi и х2 — два различных корня уравнения
х2 - 2х — 1 = 0, то значение выражения х2 4- xix2 4- х| равно на-
туральному числу. Найдите остаток от деления этого числа на 5.
0102030400
12.	Произведение первого и пятого членов возрастающей ариф-
метической прогрессии равно 33, сумма этих же членов равна 14.
Число d, равное разности прогрессии, принадлежит промежутку
0d 6 (0; 1] 0de(l; 2] 0d ё (2; 3] 0de(3; 4]
[5]	d € (4; 999)
13.	Если в треугольнике АВС известно, что АВ = ВС, АС = 8,
длина высоты, опущенной иа основание АС, равна 6, то угол при
основании равен
И arctg - [2] arctg - [з] arctg - [Z] arctg - Щ arctg -
56
Вариант 2-а32
14.	Система уравнений	+ 4у — 1 имеет бесконечное
множество решений при
0“ = 2 0ag(—оо; -4) (J (-4; 2) [J (2; +оо) 0 а ё {-4; 2}
[4~] таких значений не существует [Б] а = — 4
_	log2 27
15.	Значение выражения log5 8 • --— равно натуральному
logs
числу. Найдите остаток от деления этого числа на 5.
01 @2 @3 04 00
16.	Прямая, которая касается параболы у = х2 в точке с абс-
циссой х — 7, пересекает ось ординат в точке, ордината которой
у — целое отрицательное число. Укажите остаток от деления по-
ложительного числа |у| на 5.
0402030400
17.	Сколько различных корней имеет уравнение
у/х2 + 4х + 4 = кх при условии к = у/2 7
|"Г] четыре |~2~| три |~3~| два [4~] один [~5~| корней нет
18.	Площадь фигуры, образованной всеми точками, координа-
ты которых удовлетворяют одновременно условиям 0 у 6 — |х|
и х у, равна
018 033 024 016 027
19.	Произведение всех различных корней уравнения
х4 — 6х2 + 8 = 0 равно натуральному числу, остаток от деления
которого на 5 равен
01 02 03 04 00
20.	Холодильник, стоивший 10 тыс. руб., подорожал на 7%. Че-
рез месяц он подешевел также на 7%. После этого его цена, выра-
женная в рублях, равна натуральному числу, остаток от деления
которого на 5 равен
0102030400
57
Варианты вступительных экзаменов
21.	Прямая у = х + 1 касается окружности х2 4- у2 = 2х 4-р при
значении параметра р, равном
0100 01,5 02,5 00,5
22.	Найдите наименьшее целочисленное решение неравенства
log5 х - и укажите остаток от деления этого числа на о.
0102 03 0400
23.	Известно, что уравнение х —
3
2 ‘
|х — 6| имеет два различ-
ных корня, расстояние между которыми на числовой оси равно
12. Найдите значение параметра Ъ.
01204050201
24.	Решите уравнение \/8 cos2 х 4- 4 cos х = 2cosx + 1
(в ответах т € Z).
[1~| X =	+ 7Г7П [2~| X —	4- Зтгтп [з] X = — +
О	D	О
[J] х —	+ Зтгтп [~5~| х —	+ 2тгт
О	о
25.	Сумма квадратов всех различных корней уравнения
4 + х'
4 4-х
= 4 — х равна натуральному числу, остаток от деления
которого на 5 равен
0102030400
26.	Среди всех школьников - их общего числа изучают англий-
и
3	7
ский язык, - изучают французский язык, — изучают оба упомя-
нутых языка. Какова доля школьников, не изучающих ни один из
упомянутых языков?
н |	0|
27.	Сумма вклада в банке после первого года хранения равня-
лась 36 у. е., а после третьего года хранения — 81 у. е. На сколько
58
Вариант 2-аЗЗ
у. е. увеличился вклад за первый год хранения, если процентная
ставка не менялась, доход начисляется в конце каждого года и
прибавляется к сумме вклада?
010 015 09012013,5
28.	Функция у = х2(12 — ж) достигает своего наибольшего зна-
чения на промежутке х £ [0; 4-оо) в точке, абсцисса которой х рав-
на натуральному числу. Укажите остаток от деления этого числа
на 5.
0102030400
29.	Если для бесконечно убывающей геометрической прогрес-
(\ 2	/	\ з
arcsm х \	/ arcsin х \	1
----- I 4- [----। +•.. = _ то
7Г /	\ 7Г У	5
0s = 10a: = -i0r = ^0r = i 0х = -^
30.	Наименьшее значение функции у = 4® — 3 • 2®+2 + 41 при-
надлежит промежутку
ГП Ып £ (—999; 1] |~2~| J/min Е (1; 2] 131 j/min £ (2; 3] 14 j j/min £ (3; 4]
® Утт € (4; 999]
Вариант 2-аЗЗ
1.	Если 4ylrr — наибольшее четырехзначное число в десятич-
ной записи, которое делится без остатка на 4, то цифра х равна
0600080402
2.	Сумма всех различных корней уравнения х2 — 6х + 5 = 0
равна натуральному числу. Найдите остаток от деления этого чис-
ла на 5.
0102030400
3.	Если гречка дешевле риса на 75%, то рис дороже гречки на
0400% 025% 075% 0300% 0150%
59
Варианты вступительных экзаменов
4.	Наименьший положительный корень уравнения
sin 2# = 2 sin а? принадлежит промежутку
0 (0;	® G; у] S (у; ’] S у] ® (у; 2-]
Е Г1	X	f И + |у| = 1>
5.	Сколько решений имеет система | х2 ?
|Tj решений нет [5] четыре |~з] одно [4~| два [К] три
6.	На фирме А сотрудники с высшим образованием составля-
ли 20%, на фирме В этот показатель был равен 60%. После слия-
ния образовалась фирма С, на которой тот же показатель стал
равен 50%. Найдите отношение количества сотрудников фирмы А
к количеству сотрудников В до слияния.
03:1 01:3 02:1 03:2 01:2
7.	Если парабола у = х2 имеет единственную общую точку с
прямой у = 8х — 2а, то значение параметра а равно натуральному
числу. Укажите остаток от деления этого числа на 5.
0102 03 04 00
а я" 31/	5у + Зх
8.	Если -— = 2, то значение выражения ----- равно
у — Зх	5у — 2х
02 01,5 02,5 00,5 04
9.	Укажите количество точек с целочисленными коорди-
натами, которые принадлежат области определения функции
у = \/-х2 + 7х - 6 + \/х2- 8х + 12.
[Г] одна или ни одной |~2~| две |~3~| три [4~] четыре
[К] пять или больше пяти
10.	Значение выражения ctg2 х 4- tg2 х при условии
tg х — ctg х = 3 равно
07 0у 09 011 0У16Л2
О
60
Вариант 2-аЗЗ
11.	Если #1 и Х2 ~ два различных корня уравнения
х2 —	+ 3 = О, то значение выражения	равно на-
туральному числу. Найдите остаток от деления этого числа на 5.
01 02 03 04 @0
12.	Произведение первого и третьего членов возрастающей
арифметической прогрессии равно 24, сумма этих же членов равна
14. Число d, равное разности прогрессии, принадлежит промежут-
ку
0de(O; 1] 0de (1; 2] 0d6(2; 3] 0d6(3; 4]
[К] d e (4; 999)
13.	Если в треугольнике ABC известно, что АВ = ВС, АС = 8,
длина высоты, опущенной на основание АС, равна 3, то угол при
основании равен
И arctg | [2] arctg [I] arctg | Щ arctg у Щ arctg |
о	о	2	4	t>
14.	Система уравнений < Т +	имеет бесконеч-
на + 1)х + 2у = —1,5
иое множество решений при значении параметра а, равном
|"1~| только 1 |~2] только 2 [3~| только —2 [4] только —1
[б]	при двух значениях параметра
1о££ 16
15.	Значение выражения log? 9 - --— равно натуральному
log?2
числу. Найдите остаток от деления этого числа на 5.
0102030400
16.	Прямая, которая касается параболы у = х2 в точке с абс-
циссой х = 4, пересекает ось ординат в точке, ордината которой
у — целое отрицательное число. Укажите остаток от деления по-
ложительного числа у| иа 5.
0102030400
61
Варианты вступительных экзаменов
17.	Сколько различных корней имеет уравнение
/--------- %	г~
\/х2 — 4х + 4 = у- при условии к = v 3 ?
к
Т] один |~2] два Гз] три [Т| четыре [К] корней
нет
18.	Площадь фигуры, образованной всеми точками, координа-
ты которых удовлетворяют одновременно условиям 0 у 4 — |т|
и у -х, равна
014 06 08 012 016
19.	Произведение всех различных корней уравнения
х4 — 7х2 -4-12 = 0 равно натуральному числу, остаток от деления
которого на 5 равен
01 02 03 04 00
20.	Холодильник, стоивший 10 тыс. руб., подорожал на 4%. Че-
рез месяц он подешевел также на 4%. После этого его цена, выра-
женная в рублях, равна натуральному числу, остаток от деления
которого на 5 равен
0102030400
21.	Прямая у — х + 3 касается окружности х2 4- у2 = 6т +р + 7
при значении параметра р, равном
0102030405
22.	Найдите наименьшее целочисленное решение неравенства
log2 х > - и укажите остаток от деления этого числа на 5.
0102030400
23.
Известно, что уравнение х =
х — Ь} имеет два различ-
ных корня, расстояние между которыми на числовой оси равно
20. Найдите значение параметра Ь.
01 06 012 021 028
62
Вариант 2-аЗЗ
24. Решите уравнение у 5cos2х — 2cosх = 1 — cost
(в ответах т € Z).
II х — ~ + 7гтп Ы х =	+ 2тгт Гз] х =	+ тгт
з — з —	3
3
2тг
х = ±— + 2лтп
и
\/б + т2
25. Квадрат большего корня уравнения —----------= б — х равен
6 4- х
натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0 1 0 2 0 3 0 4 0 О
26.	Среди всех школьников - их общего числа изучают англий-
3	д.	1
ский язык, - изучают французский язык, - изучают оба упомя-
4	6
нутых языка. Какова доля школьников, не изучающих ни один из
упомянутых языков?
27.	Сумма вклада в банке после первого года хранения равня-
лась 12 у. е., а после третьего года хранения — 27 у. е. На сколько
у. е. увеличился вклад за третий год хранения, если процентная
ставка не менялась, доход начисляется в конце каждого года и
прибавляется к сумме вклада?
07,5 08 09 012 013,5
28.	Функция у = г2(18 — х) достигает своего наибольшего зна-
чения на промежутке х € [0; +оо) в точке, абсцисса которой х рав-
на натуральному числу. Укажите остаток от деления этого числа
иа 5.
01 02 03 04 00
29.	Если для бесконечно убывающей геометрической прогрес-
arccos х / arccos х \ 2	/ arccos х \3	6
сии 1 -I-1- I-) -I- I-) + ••• = -, то
тг Хтг/Хтг/	5
63
Варианты вступительных экзаменов
30.	Наименьшее значение функции у = 36ж — 6ж+1 + 10 принад-
лежит промежутку
[ 11 J/min (—999; 1] [2] 3/min в (1; 2] |~3~j j/niin £ (2; 3] |~4~| t/min € (3; 4]
0 ymia ё (4; 999]
Вариант 2~a34
1.	Если 5 у 2 т — наибольшее четырехзначное число в десятич-
ной записи, которое делится без остатка на 4, то цифра х равна
00 02 04 06 08
2.	Сумма всех различных корней уравнения х2 — 8т + 15 — 0
равна натуральному числу. Найдите остаток от деления этого чис-
ла на 5.
010203 0400
3.	Если чай дешевле кофе на 90%, то кофе дороже чая на
0 900% 0 10% 0 90% 0 190% 0 200%
4.	Наименьший положительный корень уравнения
sin 2т = \/3sin;r принадлежит промежутку
0 (0; i] ® (у у] а (у; d 0 у] ® (у; Ч
- п	„	f |т| + Ы = 1,
5.	Сколько решений имеет система <	<> ' о
( у =	+ 1 ?
|Т| одно р2~| два Sтри (Л четыре [б"| решений нет
б.	На фирме А сотрудники с высшим образованием составля-
ли 40%, иа фирме В этот показатель был равен 70%. После слия-
ния образовалась фирма С, на которой тот же показатель стал
равен 50%. Найдите отношение количества сотрудников фирмы А
к количеству сотрудников В до слияния.
[1]2:1[Л2-3®5:3Н3:2Е1:2
64
Вариант 2-а34
7.	Если парабола у = х2 имеет единственную общую точку с
прямой у = 6т — а, то значение параметра а равно натуральному
числу Укажите остаток от деления этого числа на 5.
в j а 2 ® з н 4 а о
х — Зу .	13т + 2у
8.	Если -— = 4, то значение выражения ---—- равно
у — Зт	13т — 4у
01,5 02,5 03 00,5
9.	Укажите количество точек с целочисленными коорди-
натами, которые принадлежат области определения функции
у — \/—т2 + 6т — 5 + \/ т2 — 5т + 6.
[Т] одна или ни одной |~2] две [з"| три [4~| четыре
[К] пять или больше пяти
10.	Числовое значение выражения ctg2 т + tg2 т при условии
tg т — ctg т — 5 равно
023 0V2T27 027 0	025
11.	Если Ti н Т2 — два различных корня уравнения
т2 — 4т — 1 = 0, то значение выражения т2 + Т1Т2 + Т2 равно на-
туральному числу. Найдите остаток от деления этого числа иа 5.
0102030400
12.	Произведение первого и третьего членов возрастающей
арифметической прогрессии равно 20, сумма этих же членов равна
12. Число d, равное разности прогрессии, принадлежит промежут-
ку
0de(O; 1] 0de(l; 2] 0 d е (2; 3] 0dg(3; 4]
0 d € (4; 999)
13.	Если в треугольнике АВС известно, что АВ — ВС, АС = 6,
длина высоты, опущенной на основание АС, равна 4, то угол при
основании равен
[1] arctg | (2] arctg | [з] arctg | Щ arctg ~ [К] arctg -
О	о	Z	4	□
65
Варианты вступительных экзаменов
1 л г-	„ J 2х + ау = 3,
14.	Система уравнений < ,	. п имеет бесконечное
J	((а + 2)т + 4у = -3
множество решений при значении параметра а, равном
[1~] только —2 |2] только —4 |~3~| только 2 [4~| только 4
[К] при двух значениях параметра
logs 16
15.	Значение выражения log7 125 • -:-— равно натуральному
log72
числу. Найдите остаток от деления этого числа на 5.
01 02 @3 04 00
16.	Прямая, которая касается параболы у = х2 в точке с абс-
циссой х = 5, пересекает ось ординат в точке, ордината которой
у — целое отрицательное число. Укажите остаток от деления по-
ложительного числа у| на 5.
01 02 03 04 00
17.	Сколько различных корней имеет уравнение
\/х2 — 2х + 1 ~ kx при условии k —	?
|Т| два р2~| корней нет [з] четыре Щ один |~5] три
18.	Площадь фигуры, образованной всеми точками, координа-
ты которых удовлетворяют одновременно условиям 0 у 4 — |т|
и х + у > 0, равна
08 012 016 014 06
19.	Произведение всех различных корней уравнения
х4 — 7х2 + 10 = 0 равно натуральному числу, остаток от деления
которого иа 5 равен
0102030400
20.	Холодильник, стоивший 10 тыс. руб., подорожал на 9%. Че-
рез месяц он подешевел также на 9%. После этого его цена, выра-
женная в рублях, равна натуральному числу, остаток от деления
которого на 5 равен
0102030400
66
Вариант 2-а34
21.	Прямая у = х + 2 касается окружности х2 + у2 = 4х + р при
значении параметра р, равном
0102030405
22.	Найдите наименьшее целочисленное решение неравенства
3
log4 х - и укажите остаток от деления этого числа на 5.
0102 03 04 00
23.	Известно, что уравнение х — 4|т — 6| имеет два различных
корня, расстояние между которыми на числовой оси равно 8. Най-
дите значение параметра Ь.
012 015 08 06 018
24.	Решите уравнение v 5 cos2х + 2cosх = 1 + cosх
(в ответах т € Z).
|Т| х ~ ± — + 2тгтп [2] х = ± — + тгт [з"| х = ~ + тгтп
О	о	о
ГТ] х — ±“ + 2тгпг [$] х = — + 2тгт
I-1	3	1--1	д
у/ТТх?
7 + х
25.
Квадрат большего корня уравнения
~ 7 — х равен
натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102030400
2
26.	Среди всех школьников — их общего числа изучают англий-
5
2	4
ский язык, - изучают французский язык, — изучают оба упомя-
нутых языка. Какова доля школьников, не изучающих ни один из
упомянутых языков?
27.	Сумма вклада в банке после первого года хранения равня-
лась 24 у. е., а после третьего года хранения — 54 у. е. На сколько
у. е. увеличился вклад за первый год хранения, если процентная
67
Варианты вступительных экзаменов
ставка не менялась, доход начисляется в конце каждого года и
прибавляется к сумме вклада?
0 15 0 8 0 12 0 9 0 10
28.	Функция у = я2(21 — х) достигает своего наибольшего зна-
чения на промежутке х 6 [0; +оо) в точке, абсцисса которой х рав-
на натуральному числу. Укажите остаток от деления этого числа
на 5.
01 02 03 04 00
29.	Если для бесконечно убывающей геометрической прогрес-
arccosa?	/ arccos х \2	/arccos х \3	1
Сии---------1_ ( -- ) + ( ------ ]	---~ - то
7Г	х 7Г /	\ 7Г /	2
0я=|0а: = -|0а: = -10а: = ^ 0I = --Y
30.	Наименьшее значение функции у = 9х — 4 • Зя+1 + 39 при-
надлежит промежутку
0 J/min € (—999; 1] 0 3/min € (1; 2] [з~| j/min € (2; 3] 0 ymin G (3; 4]
® yznin G (4; 999j
Вариант 3-all
1.	Квартира, стоившая 1 млн. руб., стала дороже на 6,7%. Че-
рез год она стала дороже еще на 8, 7%. Теперь ее цена, выраженная
в рублях, является натуральным числом, остаток от деления ко-
торого на 5 равен
0102 03 04 00
2.	Вычислите значение выражения а2 + 62, если одновременно
а + b = >/17 и ab = —3.
Щ 19 0 11 0 23 0 17 0 26
3.	Сколько корней имеет уравнение |г + 1| — |а?| ?
0 один 0 два 0 три 0 ни одного |~5~| бесконечно много
68
Вариант 3-all
4.	Укажите наименьший положительный корень уравнения
firxx	1
cos — =
\ 12 }	2
06 @7 @8 04^5
5.	Сумма первых 14 членов арифметической прогрессии рав-
на 84, четвертый член равен 5. Найдите величину одиннадцатого
члена.
07 @2 03 09
6.	Укажите наибольшее значение функции
у ~ —х2 + 16т — 59.
01 @2 ®3 04
7.	Средняя линия трапеции с основаниями 4 и 3 делит пло-
щадь трапеции в отношении
[1]15:13 04:3 05:406:5 [б] 13: 11
8.	Произведение корней уравнения 5т2 — 7х — 3 = 0 равно
9.	Укажите значение выражения tg ( arccos - ) .
\	5/
10.	Найдите все значения параметра Ь, при которых расстояние
между наибольшим и наименьшим корнями уравнения |т — 5| = Ъ
на числовой оси равно 6.
06 = 3 06 = 2,5 [з] Ь (= {2,5; 3} 06 = 5 06 €{2,5; 7,5}
11.	Пройдя - пути из пункта А в пункт Б, Билл и Джек разо-
5
шлись: Билл направился в сторону А, а Джек — в сторону Б, ско-
рости Билла и Джека равны 9 км/ч. Дойдя до А, Билл немедленно
69
Варианты вступительных экзаменов
сел в автобус, направляющийся из А в Б, и прибыл в Б одновре-
менно с Джеком. Величина скорости автобуса равна натуральному
числу, остаток от деления которого на 5 равен
£
I
f
4
5
12.	При каких значениях параметра р система уравнений
(р- 3)т + 3у =р+ 1,	9
z ' х	имеет бесконечное множество решений г
я + {Р - 5)у = р - 5
при одном значении параметра р, причем р G (~3; 3)
при одном значении параметра р, причем р € (—оо; —3]
при одном значении параметра р, причем р 6 [3; +оо)
при двух значениях параметра р
таких значений параметра р не существует
/ 1 V 1
13.	Решите неравенство —	< —.
\ 32 /	16
14.	Пусть числа Ti и Х2 являются корнями квадратного урав-
2	#1 х%
нения х + 12т + 4 = 0. Выражение — + — равно
Х2 Xi
15.	Если число Ъ равно наименьшему положительному корню
7Г
уравнения sin(172 х) = sin(183 т), то значение выражения — равно
натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
16.	Сумма всех различных значений параметра а, при которых
х
гипербола у —----- имеет единственную общую точку с прямой
яс 3
у = а — 2т, равна
70
Вариант 3-all
17.	В начале первого года в банк был внесен вклад величиной
в 10 тыс. руб., процентная ставка составляет 3% в год, доход по
вкладу начисляется в конце каждого года и прибавляется к вкла-
ду. На сколько рублей возрастет величина вклада за второй год
хранения, если годовая процентная ставка за этот период не ме-
нялась?
0 600 0 309 [з] 300 0 304 0 606
18.	Сумма всех различных значений параметра р, при которых
уравнение (р — 4)т2 + рх + 6 = 0 имеет единственный корень, яв-
ляется натуральным числом. Укажите остаток от деления этого
числа на 5.
Е1 @2 0304
19.	Сколько целочисленных решений имеет неравенство
2х + 32- 2~х 18?
0 одно или ни одного 0| два |~з] три 0 четыре
0 пять или больше пяти
20.	Билл и Джек, работая совместно с плановой производитель-
ностью, строят один дом за 13 дней. Если Билл повысит свою
производительность труда на 40%, а Джек понизит свою произво-
дительность труда иа 40%, то они вместе построят дом за 10 дней.
Работая в одиночку, Билл построит дом быстрее Джека (оба ра-
ботают с плановой производительностью)
0 в 7 раз 0 в 4 раза 0 в 2 раза 0 в 5 раз 0 в 3 раза
21.	Площадь фигуры, состоящей из всех точек плоскости,
координаты которых удовлетворяют одновременно условиям
|т| + |у|	4 и |т|	3, равна
0 32 0 30 0 28 0 15 0 24
22.	Опрос показал, что 83% жителей города работают, 56%
учатся. Найдите минимально возможную при этих условиях до-
лю жителей, которые одновременно учатся и работают.
|Т|44% [2] 27% @ 39% [4] 17% [К] 0%
71
Варианты вступительных экзаменов
23.	Сумма всех различных корней уравнения
у/х2 — 15® + 4 = 16 — ®2 + 15® является натуральным числом,
остаток от деления которого на 5 равен
01 02 03 04 00
24,	Укажите числовое значение выражения log3 (2log32S1j .
25. Решите неравенство arccos х > —.
26.	Найдите площадь треугольника, ограниченного отрезком
оси абсцисс и отрезками двух касательных, проведенных к пара-
боле у — х2 — 2® — 15 в точках с абсциссами ®i = —3 и ®2 =* 5.
[Г|б4 0 144 0 72 Щ 128 ® 32
27.	Если в описанной около круга равнобедренной трапеции ра-
диус этого круга составляет 80% расстояния от центра этого круга
до ближней вершины, то косинус острого угла трапеции равен
Щ 0,62 0 0,28 [3] 0,24 00,375 00,48
28.	Сумма всех целочисленных решений неравенства
х2 — х — б) С 3 — х равна
06 0-6 09 0-3 0-9
20. Множество значений функции у ~ sin2 ® — sin х — 1 пред-
ставляет собой промежуток, длина которого равна
30. Все решения неравенства ®1о8У2х	4 образуют промежу-
ток, длина которого равна
[1]	1,5 01 @2,5 03,75 02,25
72
Вариант 3-al2
Вариант 3-al 2
1.	Квартира, стоившая 1 млн. руб., стала дороже на 9,6%. Че-
рез год она стала дороже еще на 6,2%, Теперь ее цена, выраженная
в рублях, является натуральным числом, остаток от деления ко-
торого на 5 равен
0102 03 04 00
2.	Вычислите значение выражения а2 4- Ь2, если одновременно
а + b = а/15 и ab — —2.
019 011 05 S3 S49
3.	Сколько корней имеет уравнение )ж — 1| = |®| - 1?
0 ТРИ 0 ни одного |~3~| два Щ бесконечно много [К] один
4.	Укажите наименьший положительный корень уравнения
0708 09 04 05
5.	Сумма первых 15 членов арифметической прогрессии равна
60, шестой член равен 2. Найдите величину десятого члена.
0702030605
6.	Укажите наибольшее значение функции
у — — х2 + Юж — 23.
0102 03 04 05
7.	Средняя линия трапеции с основаниями 7 и 3 делит пло-
щадь трапеции в отношении
07:3 06:5 03:2 05:4 04:3 8
8. Сумма корней уравнения 5ж2 — 7х — 3 ~ 0 равна
73
Варианты вступительных экзаменов
Л	/	3\
9.	Укажите значение выражения tg I arccos - I .

10.	Найдите все значения параметра Ь, при которых расстояние
между наибольшим и наименьшим корнями уравнения |т — 5| “ Ъ
на числовой оси равно 4.
Щб = 2,5 0be {2,5; 4} [з]Ь = 4 Щб = 2 [ЦЪ е {2; 4}
11.	Пройдя - пути из пункта А в пункт Б, Билл и Джек разо-
6
шлись: Билл направился в сторону А, а Джек — в сторону Б, ско-
рости Билла и Джека равны 8 км/ч. Дойдя до А, Билл немедленно
сел в автобус, направляющийся из А в Б, и прибыл в Б одновре-
менно с Джеком. Величина скорости автобуса равна натуральному
числу, остаток от деления которого на 5 равен
И1 @2 @3 04 00
12.	При каких значениях параметра р система уравнений
(р - 3)х 4- Зр = р 4- 9,	,	ж9
„	/	, имеет бесконечное множество решений г
2т4-(р4-2)у = р 4-1	г
1
i
1
при двух значениях параметра р
таких значений параметра р не существует
при одном значении параметра р, причем р 6 [2; 4~оо)
при одном значении параметра р, причем р € (—2; 2)
при одном значении параметра р, причем р 6 (—оо; —2]
_LV 1
25J < 125'
13.
Решите неравенство
|Т| т € (-оо; |) [2] х G (1,5; 4-оо) [з] х € (-оо; 1,5)
2
€ (-; +оо) € (0; 2)
О
74
Вариант 3-а12
14.	Пусть числа rci и х% являются корнями квадратного урав-
нения х2 4- 12т 4-2 = 0. Выражение — 4- ~ равно
Х2 Xi
0 74 0 136 0 70 0 14 0 144
15.	Если число b равно наименьшему положительному корню
7Г
уравнения sin(123 х) = sin(195 ж)т то значение выражения — равно
b
натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 [2] 2® 3 04® 0
16.	Сумма всех различных значений параметра а, при которых
2т
гипербола у =----- имеет единственную общую точку с прямой
т — 1
у = а — 4т, равна
0 16 0 10 0 14 0 12 0 22
17.	В начале первого года в банк был внесен вклад величиной
в 10 тыс. руб., процентная ставка составляет 4% в год, доход по
вкладу начисляется в конце каждого года и прибавляется к вкла-
ду. На сколько рублей возрастет величина вклада за второй год
хранения, если годовая процентная ставка за этот период не ме-
нялась?
0400 0808 0416 0832 0408
18.	Сумма всех различных значений параметра р, при которых
уравнение (р — 4)т2 4- рх 4- 7 = 0 имеет единственный корень, яв-
ляется натуральным числом. Укажите остаток от деления этого
числа на 5.
0102 @3 04 ®0
19.	Сколько целочисленных решений имеет неравенство
3х + 81 • 3~х < 30?
0 одно или ни одного 0 два 0 три 0 четыре
0 пять или больше пяти
75
Вари анты вступительных экзаменов
20.	Билл и Джек, работая совместно с плановой производитель-
ностью, строят один дом за 13 дней. Если Билл повысит свою
производительность труда на 50%, а Джек понизит свою произво-
дительность труда на 70%, то они вместе построят дом за 10 дней.
Работая в одиночку, Билл построит дом быстрее Джека (оба ра-
ботают с плановой производительностью)
|Т| в 7 раз [3] в 4 раза [з] в 6 раз Щ в 3 раза [б] в 5 раз
21.	Площадь фигуры, состоящей из всех точек плоскости,
координаты которых удовлетворяют одновременно условиям
т| + |у| < 4 и |у| < 2, равна
Т] 24 [2] 16 Щ 18 Щ 32 [б] 12
22.	Опрос показал, что 69% жителей города работают, 45%
учатся. Найдите минимально возможную при этих условиях до-
лю жителей, которые одновременно учатся и работают.
Щ 14% [5] 24% 0 31% 0 0% 0 45%
23.	Сумма всех различных корней уравнения
у/х2 — 22т 4- 3 = т2 — 22т — 9 является натуральным числом,
остаток от деления которого на 5 равен
01 @2 03 (04 00
24. Укажите числовое значение выражения log3 ^2log32* 24 25 * 27) .
@|
Л	. 7Г
25. Решите неравенство arccos т .
0 ® 6 [| ; 1] 0 а: 6	1] 0 х 6 [-1; |] 0 х € [^; 1]
0»е[-1;^]
76
Вариант 3-а13
26.	Найдите площадь треугольника, ограниченного отрезком
оси абсцисс и отрезками двух касательных, проведенных к пара-
боле у — х2 — 4х — 12 в точках с абсциссами жг — — 2 и Х2 = 6.
Щ 128 [а] 64 S 144 S 72 ® 96
27.	Если в описанной около круга равнобедренной трапеции ра-
диус этого круга составляет 75% расстояния от центра этого круга
до ближней вершины, то косинус острого угла трапеции равен
00,805 [2] 0,445 ® 0, !25 Щ 0,375 [К]0,925
28.	Сумма всех целочисленных решений неравенства
|ж2 — х — б| ж 4- 2 равна
012 07 011 0-8 09
29.	Множество значений функции у — sin2 х 4- sin х 4-1 пред-
ставляет собой промежуток, длина которого равна
30.	Все решения неравенства х108	9 образуют промежу-
ток, длина которого равна
03 01,(3) @2,(6) @3,(3) @2,(3)
Вариант 3-а13
1.	Квартира, стоившая 1 млн. руб., стала дороже на 9,5%. Че-
рез год она стала дороже еще на 7,3%. Теперь ее цена, выраженная
в рублях, является натуральным числом, остаток от деления ко-
торого на 5 равен
0102030400
2.	Вычислите значение выражения а2 4- 62, если одновременно
а 4- Ъ = -/17 и ab = — 3.
019 ®11 ®23 S17 S26
3.	Сколько корней имеет уравнение |® — 1( ~ [ж 4-1| ?
[1~| три [2] бесконечно много [з] один [4~| ни одного |~5~| два
77
Варианты вступительных экзаменов
4.	Укажите наименьший положительный корень уравнения
. 1
811ЧТ/ “ ”2‘
07 08 @9 04 05
5.	Сумма первых 18 членов арифметической прогрессии равна
90, второй член равен 4. Найдите величину семнадцатого члена.
0702030906
6.	Укажите наибольшее значение функции
у — —х2 + 12т — 35.
0102030405
7.	Средняя линия трапеции с основаниями 9 и 7 делит пло-
щадь трапеции в отношении
0 9  7 @ 17 : 15 @ 16 : 13 @ 16 : 15 @ 17 : 13
8.	Сумма корней уравнения 5а;2 — 7а: — 3 = О равна
а? @4 0-f 0 j
AV	/	2\
9.	Укажите значение выражения tg ( arccos - ) .
0£^0^02^0^0^£
10.	Найдите все значения параметра 6, при которых расстояние
между наибольшим и наименьшим корнями уравнения |® — 5| = Ь
на числовой оси равно 8.
06 = 5 @6 е {2,5; 4} @6 = 4 @ б€ {4; 5} @6 = 2,5
11.	Пройдя - пути из пункта А в пункт Б, Билл и Джек разо-
шлись: Билл направился в сторону А, а Джек — в сторону Б, ско-
рости Билла и Джека равны 8 км/ч. Дойдя до А, Билл немедленно
78
Вариант 3-а13
сел в автобус, направляющийся из А в Б, и прибыл в Б одновре-
менно с Джеком. Величина скорости автобуса равна натуральному
числу, остаток от деления которого иа 5 равен
01 0 2® 30 4 0 О
имеет бесконечное множество решений?
1
12.	При каких значениях параметра р система уравнений
(р + 2)ж + у = р + 3,
2ж + (р + 3)у ~р + 5
при одном значении
2 при одном значении
3 при одном значении
параметра р, причем р G [3; +оо)
параметра р, причем р G (—3; 3)
параметра р, причем р G (—оо; — 3]
при двух значениях параметра р
таких значений параметра р не существует
/1V 1
13.	Решите неравенство [ - J < —.
4
2
0 х € (0; 2) 0 х е (-оо; -)
О
14.	Пусть числа Ж1 и #2 являются корнями квадратного урав-
2	х2
нения х 4- Юж + 2 — 0. Выражение----1--равно
Ж2 Ж1
15.	Если число Ь равно наименьшему положительному корню
7Г
уравнения sin(158s) — sin(161 ж), то значение выражения — равно
b
натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 @203 04®О
16.	Сумма всех различных значений параметра а, при которых
3/
гипербола у =-- имеет единственную общую точку с прямой
ж — 3
у — а — Зж, равна
0 20 0 24 014 0 16 0 22
79
Варианты вступительных экзаменов
17.	В начале первого года в банк был внесен вклад величиной
в 10 тыс. руб., процентная ставка составляет 2% в год, доход по
вкладу начисляется в конце каждого года и прибавляется к вкла-
ду. На сколько рублей возрастет величина вклада за второй год
хранения, если годовая процентная ставка за этот период не ме-
нялась?
[Т| 204 [г] 200 Щ 102 Щ 402 [б] 202
18.	Сумма всех различных значений параметра р, при которых
уравнение (р — 3)ж2 4- рх + 7 — 0 имеет единственный корень, яв-
ляется натуральным числом. Укажите остаток от деления этого
числа на 5-
01 @2® 30 4® О
19.	Сколько целочисленных решений имеет неравенство
2х + 64  2~х 20?
[Т] одно или ни одного [э] два |з] три [4] четыре
[5~| пять или больше пяти
20.	Билл и Джек, работая совместно с плановой производитель-
ностью, строят один дом за 15 дней. Если Билл повысит свою
производительность труда на 80%, а Джек понизит свою произво-
дительность труда на 70%, то они вместе построят дом за 10 дней.
Работая в одиночку, Билл построит дом быстрее Джека (оба ра-
ботают с плановой производительностью)
[1~| в 3 раза [3] в 8 раз [з] в 9 раз [4~| в 4 раза |~5~| в 7 раз
21.	Площадь фигуры, состоящей из всех точек плоскости,
координаты которых удовлетворяют одновременно условиям
|®| + |з/| С 4 и |у| < 1, равна
016 024 014Щ18Щ12
22.	Опрос показал, что 65% жителей города работают, 47%
учатся. Найдите минимально возможную при этих условиях до-
лю жителей, которые одновременно учатся и работают.
0 18% ® 0% 0 35% 0 19% ® 12%
80
Вариант 3-а13
23.	Сумма всех различных корней уравнения
\/х2 — 24ж 4- 7 = х2 — 24ж — 13 является натуральным числом,
остаток от деления которого на 5 равен
01 02 @3 04 00
24.	Укажите числовое значение выражения log3 ^2Ioga84 .
a J ® |
7Г	'
25.	Решите неравенство arccosrr .
и
Ebe 1] @xe[-i; 1]	[-1; 1] 0»е [-1; ^1
L Z J	L jj-J	L £ J	L	a J
0*е [1; 1]
26.	Найдите площадь треугольника, ограниченного отрезком
оси абсцисс и отрезками двух касательных, проведенных к пара-
боле у = х2 + 2х — 8 в точках с абсциссами rri = — 4 и Х2 — 2.
[Т| 64 [2] 72 Щ 144 [4] 96 [К] 54
2	7. Если в описанной около круга равнобедренной трапеции ра-
диус этого круга составляет 85% расстояния от центра этого круга
до ближней вершины, то косинус острого угла трапеции равен
[Г| 0,125 [2] 0,375 [з] 0,805 Щ 0,445 [К] 0,925
28.	Сумма всех целочисленных решений неравенства
|ж2 4- х — б| < 2 — х равна
0-9 011 0-7 0-8 0-11
29.	Множество значений функции у — sin2 х 4- sin х представ-
ляет собой промежуток, длина которого равна
0|030?020|
30.	Все решения неравенства ж108256 «	^2 образуют промежу-
ток, длина которого равна
01,5 01 02,5 03,75 02,25
81
Варианты вступительных экзаменов
Вариант 3-а14
1.	Квартира, стоившая 1 млн. руб., стала дороже иа 4,2%. Че-
рез год она стала дороже еще на 8,4%. Теперь ее цена, выраженная
в рублях, является натуральным числом, остаток от деления ко-
торого на 5 равен
01 @2 03 04 0О
2.	Вычислите значение выражения а2 + 62, если одновременно
а +Ь — \/8 и ab = —1,5.
019 011 05 Щз 049
3.	Сколько корней имеет уравнение |т — 1| — 1 = |т — 2| ?
[Т] один 0 два 0 три 0 ни одного 0 бесконечно много
4.	Укажите наименьший положительный корень уравнения
/7ГТ\	1
СО8("б / = ~2'
0708090405
5.	Сумма первых 13 членов арифметической прогрессии равна
65, пятый член равен 7. Найдите величину девятого члена.
0702030905
6.	Укажите наибольшее значение функции
у = —т2 + 14т — 45.
0102030405
7.	Средняя линия трапеции с основаниями 9 и 5 делит пло-
щадь трапеции в отношении
07:509:505:405:304:3
8.	Произведение корней уравнения Зт2 — 5т — 7 = О равно
@4 а 10-|
82
Вариант 3-а14
9.	Укажите значение выражения tg ( arccos -
10.	Найдите все значения параметра &, при которых расстояние
между наибольшим и наименьшим корнями уравнения |х — 3| = Ъ
на числовой оси равно 2.
0 b = 1,5 0 b 6 {1; 1,5} 0 Ъ = 3 й Ь 6 {2; 3} 0 b = 1
2
11.	Пройдя - пути из пункта А в пункт Б, Билл и Джек разо-
шлись: Билл направился в сторону А, а Джек — в сторону Б, ско-
рости Билла и Джека равны 10 км/ч. Дойдя до А, Билл немед-
ленно сел в автобус, направляющийся из А в Б, и прибыл в Б
одновременно с Джеком. Величина скорости автобуса равна нату-
ральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0 1 0 2 0 3 Щ 4 0 0
12.	При каких значениях параметра р система уравнений
(р4- l)z 4-у =р-Ь 3,	л
„	,	. имеет бесконечное множество решений?
1х 4- (р - 5)у = Зр - 1
1
3
4
5
при двух значениях параметра р
при одном значении параметра р, причем р € [3; 4-оо)
при одном значении параметра р, причем р € (—3; 3)
при одном значении параметра р, причем р € (—оо; —3]
таких значений параметра р не существует
13.
1
9
Решите неравенство
2
[1]	х е (1,5; 4-оо) [2] х £ (-оо; 1,5) [з] х £ (-; 4-оо)
О
__	2
0х€(О; 2) [б]®€(—оо; -)
83
Варианты вступительных экзаменов
14.	Пусть числа xi и х% являются корнями квадратного урав-
9	тч	^2
нения х + 8з; + 2 = 0. Выражение----1--равно
Х2 xi
Щ 30 [2] 56 [5] 10 Щ 32 [б] 34
15.	Если число Ъ равно наименьшему положительному корню
л-
уравнения sin(172 т) = sin(184 т), то значение выражения ~ равно
натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 @2 03 04 00
16.	Сумма всех различных значений параметра а, при которых
-	Зх
гипербола у =----- имеет единственную общую точку с прямой
х — 2
у ~ а — 4х, равна
Щ 16 0 24 0 14 Щ 12 0 22
17.	В начале первого года в банк был внесен вклад величиной
в 10 тыс. руб., процентная ставка составляет 6% в год, доход по
вкладу начисляется в конце каждого года и прибавляется к вкла-
ду. На сколько рублей возрастет величина вклада за второй год
хранения, если годовая процентная ставка за этот период не ме-
нялась?
Щ 600 [2] 1200 [з] 616 Щ 1216 [б] 636
18.	Сумма всех различных значений параметра р, при которых
уравнение (р — 3)х2 + рх 4- 4 — 0 имеет единственный корень, яв-
ляется натуральным числом. Укажите остаток от деления этого
числа на 5.
0102030400
19.	Сколько целочисленных решений имеет неравенство
5® - 25  5“х < 24?
[Т] одно или ни одного [2] два [з] три [4~| четыре
б пять или больше пяти
84
Вариант 3-а14
20.	Билл и Джек, работая совместно с плановой производитель-
ностью, строят один дом за 13 дней. Если Билл повысит свою
производительность труда на 40%, а Джек понизит свою произво-
дительность труда иа 40%, то они вместе построят дом за 10 дней.
Работая в одиночку, Билл построит дом быстрее Джека (оба ра-
ботают с плановой производительностью)
[Т| в 7 раз [7| в 4 раза [з] в 2 раза [4] в 5 раз [б] в 3 раза
21.	Площадь фигуры, состоящей из всех точек плоскости,
координаты которых удовлетворяют одновременно условиям
|т| + lid 5 и |®| С 2, равна
Щ 24 [2] 48 [з] 36 [4] 32 [б] 50
22.	Опрос показал, что 78% жителей города работают, 51%
учатся. Найдите минимально возможную при этих условиях до-
лю жителей, которые одновременно учатся и работают.
0 27% [г} 29% 0 49% 0 22% 0 0%
23.	Сумма всех различных корней уравнения
\/т2 — 16яг 4-1 = х2 — 16т — 5 является натуральным числом,
остаток от деления которого на 5 равен
0 1 0 2 0 3 0 4 0 0
24.	Укажите числовое значение выражения log2 (3 О6з?128).
25. Решите неравенство arccosx -.
85
Варианты вступительных экзаменов
26.	Найдите площадь треугольника, ограниченного отрезком
оси абсцисс и отрезками двух касательных, проведенных к пара-
боле у = х2 3 — 4х — 5 в точках с абсциссами = — 1 и Х2 = 5.
Щ 64 [][) 128 0 54 Щ 144 [б] 72
27.	Если в описанной около круга равнобедренной трапеции ра-
диус этого круга составляет 90% расстояния от центра этого круга
до ближней вершины, то косинус острого угла трапеции равен
ЩО, 62 [2] 0, 72 [5] 0,81 Щ 0,975 [б] 0,64
28.	Сумма всех целочисленных решений неравенства
х2 - Зз: — 4| С х 4-1 равна
и 12 @80110-8 [б] 13
29.	Множество значений функции у = cos2 х — cos х — 1 пред-
ставляет собой промежуток, длина которого равна
01,75 0|0з[4]|В2
30.	Все решения неравенства х^^Х С 25 образуют промежу-
ток, длина которого равна
[1] 5,2 [2] 5 [з] 2,5 Щ 3,75 [б] 4,8
Вариант 3~а21
1. Абрикосы подешевели на 40%. Сколько килограммов абри-
косов можно купить теперь на деньги, на которые прежде прода-
вали 48 кг?
[1] 72 кг [2] 80 кг [3] 64 кг Щ 67,2 кг [б] 96 кг
2. Множество значений функции у = Зз: — 4 на отрезке
х € [4; 9] представляет собой отрезок, длина которого равна на-
туральному числу. Укажите остаток от деления этого числа на 5.
0 1 @ 2 03 04 ЙО
3. Укажите значение выражения
Унр +	.
0-19 0-5 05 01 В не существует
86
Вариант 3-а21
4.	Сколько корней имеет уравнение ji2 — 4[ = |i| ?
|~1~| один или ни одного [2] два |~3~| три [Т| четыре
[~5~| пять или больше пяти
5.	Укажите наименьший положительный корень уравнения
(тгзА	. /11тг\
Т /	)'
07 @8 09 010 0 И
б.	Если пятый член арифметической прогрессии равен 13,
тринадцатый член равен 5, то сумма всех членов начиная с пя-
того и до тринадцатого равна
Щ 63 [2] 85,5 [3] 81 Щ72 [5] 162
7.	Укажите все положительные значения параметра р, при
которых наибольшее значение функции бра? — х2 меньше 144.
07»€ (3; 4) 0рб(4; +оо) 0рб(О; 3) 0рё(3; +оо)
0р€(О; 4)
8.	В угол а = 60° вписана окружность радиуса г = 6, А и В —
точки ее касания со сторонами угла, тогда длина отрезка АВ равна
0 12 0 475 0 275 0 бТз 0 зТз
9.	Число, равное произведению всех корней уравнения
х2 — 2|л| — 3 = 0, принадлежит промежутку
0(-оо; -4) 0[-4; -2) 0 [-2; 2) 0 [2; 4) 0 [4; +оо)
10.	Вычислите значение выражения tg (arccos	и укажи-
те остаток от деления этого числа на 5.
0102030400
87
Варианты вступительных экзаменов
, п	ж f т 4- 2у = 3,
11.	Система уравнений <	имеет единственное реше-
ние при
[Т| а = 1, (3) @ а = 1, 25 [з] а - 1,125 @ а = 1,1(3)
Ща== 1,375
12.	Если Билл передаст Джеку 50% имеющихся у него марок,
а затем Джек передаст Биллу 50% всех марок, имеющихся у него
после обмена, то количество марок Билла будет составлять 150%
количества марок Джека. Первоначально количество марок Билла
относилось к количеству марок Джека как
[1]3:2[2]2:1[3]1:2Щ5:2[5]2:3
{?7ix “I- 2у — 2
n if > не имеет решений при
3znz 4- ту = т 4- 6
1
2
д
4
5
одном значении т, расположенном на промежутке (—оо; —4]
одном значении zn, расположенном на промежутке (—4; 4)
одном значении zn, расположенном на промежутке [4; 4-оо)
ровно двух значениях параметра т
таких значений параметра т не существует
25 J < 125’
14.
Решите неравенство
2
[1]	х 6 (—оо; -) |~2] х € (1,5; +оо) [з~| х € (—оо; 1,5)
2
И X е (-; 4-оо) [б] X € (0; 2)
О
15.	Пусть числа xi и %2 являются корнями квадратного урав-
2	Х2
нения 4т + 18т 4-3 — 0. Выражение-----1---равно натуральному
з?2 zi
числу, остаток от деления которого на 5 равен
S1 @2 |з]3 Й4 00
88
Вариант 3-а21
16.	Если число р равно наименьшему положительному корню
уравнения cos (2341) = cos (264 х), то значение выражения — рав-
но натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 02030400
17.	Произведение всех различных ненулевых значений пара-
р * X
метра р, при которых гипербола у —-- имеет единственную
х — 1
общую точку с прямой у — х — 5, равно
060 16 0 24 [0408
18.	При условии ежегодного начисления дохода сумма вклада
за пятый год увеличилась на 189 руб., а за седьмой год на 336 руб.
На сколько рублей увеличится вклад за восьмой год?
0412 0448 0430 0416 0432
19.	Сумма всех различных значений параметра р, при которых
уравнение (р — 2)зг 4- 4х 4- р 4- 1 — 0 имеет единственный корень,
равна
0102030405
20.	Сколько целых чисел являются решениями неравенства
Зх“1 4- 35“* < 82?
|~1~| одно или ни одного |~2~] два [з] три |~4~| четыре
Гб] пять или больше пяти
21.	Если Билл проработает 8 дней, а Джек 7 дней, то они по-
строят дом. Тот же дом будет построен, если Билл проработает
9 дней, а Джек 4 дня. Производительность труда Билла относится
к производительности труда Джека как
[1]3:2[2]4:3[3]3:1[7]5:2[5]2:1
22.	Площадь фигуры, состоящей из всех точек, координаты ко-
торых удовлетворяют одновременно условиям 4 х2 4- у2 9 и
у х, равна
05.0^02.0^02,5.
м	О
89
Варианты вступительных экзаменов
23.	Сколько различных решений имеет система уравнений
Г У = Ik-5| -1| - 2,
[2х + 5у = О?
Щ одно [2] два [з] три Щ четыре или больше четырех
[б] ни одного
24.	Сумма всех различных корней уравнения
10 v^2 — 9з: — 5 = х2 — 9х 4- 20 равна натуральному числу, остаток
от деления которого на 5 равен
0102030400
25.	Значение выражения log3 (log2 64 — 3) равно
0102030405
2тг „
— образу-
О
26. Все решения неравенства 2arccos х + arcsin х
ют промежуток, длина которого равна
27.	Найдите площадь треугольника, ограниченного отрезком
оси абсцисс и отрезками двух касательных, проведенных к пара-
боле у — х2 — 4х — 5 в точках с абсциссами Xi = — 1 и х% = 5.
Щ 64 [2] 128 [3] 54 [4] 144 [б] 72
28.	В треугольнике АВС длины сторон АВ = 6, ВС — 9,
АС = 5, проведены биссектриса ВМ и медиана BN, причем
М € АС и Ne АС. Найдите длину отрезка MN и укажите верное
утверждение.
0 |MN| 6 (0; 0,25] 0 |MN| € (0,25; 0,5] 0 |MN| € (0,5; 0,75]
0 |MN| € (0,75; 1,25] 0 |MN| 6 (1,25; 999)
29.	Найдите наименьшее значение функции
у = 4 4- 2 cos х — 3 sin2 х.
90
Вариант 3-а22
30.	Все решения неравенства	4а; образуют проме-
жуток, длина которого равна
Щ 1 [i] 2,5 [з] 3,75 Щ 1,5 В 2,25
Вариант 3-а22
1.	Абрикосы подешевели на 37,5%. Сколько килограммов аб-
рикосов можно купить теперь на деньги, на которые прежде про-
давали 42 кг?
[1] 70 кг 064 кг 068 кг 067,2кг 072 кг
2.	Множество значений функции у = 8з: — 5 на отрезке
х € [2; 4] представляет собой отрезок, длина которого равна на-
туральному числу. Укажите остаток от деления этого числа на 5.
01 ®2 ®ЗЙ4[5]О
3.	Укажите значение выражения
vW+
[3~| 1 [0 2 [0 —3 |~4~| —4 f~5~| не существует
4.	Сколько корней имеет уравнение |з:2 — 1| = |а;| — 1?
[Г] один или ни одного |0 два 0 три |0 четыре
0 пять или больше пяти
5.	Укажите наименьший положительный корень уравнения
(7ГТ\	/7тг\
— = cos —- .
6 )	\ 6 у
S 1 @8 [з]9 04 05
6.	Если третий член арифметической прогрессии равен 11,
одиннадцатый член равен 3, то сумма всех членов начиная с тре-
тьего и до одиннадцатого равна
0 56 0 126 0 49 0 63 0 67,5
91
Варианты вступительных экзаменов
7.	Укажите все положительные значения параметра р, при
которых наибольшее значение функции 4рх — х2 меньше 36.
Ире (0; 6) Ире (6; +оо) 0рё (0; 3) 0р£ (3; +оо)
Ире (3; 6)
8.	В угол а — 120° вписана окружность радиуса г = 4v3, А и
В — точки ее касания со сторонами угла, тогда длина отрезка АВ
равна
02^@4v^0^ 08 0^
О	о
9.	Число, равное произведению всех корней уравнения
х2 — 4]ат] + 3 = 0, принадлежит промежутку
S (-оо; -4) 0 [-4; -2) 0 [-2; 2) 0 [2; 4) 0 [4; +оо)
/ 1 \
10.	Вычислите значение выражения tg ^arccos	и Укажите
остаток от деления этого числа на 5.
01 @2 03 04 00
(х + ^=4,
11.	Система уравнений < а ’ имеет единственное реше-
[ ху — 6
нне при
[1] а = 1,(6) 0 а = 1,25 0 а = 1,125 0 а = 1,5 0 а = 1,375
12.	Если Билл передаст Джеку 40% имеющихся у него марок,
а затем Джек передаст Биллу 25% всех марок, имеющихся у него
после обмена, то количество марок Джека будет составлять 75%
количества марок Билла. Первоначально количество марок Билла
относилось к количеству марок Джека как
[1]	6 : 5 0 2 : 1 0 2 : 3 Щ 5 : 2 0 7 : 3
{тх + 2у == 3,
„	не имеет решений при
Зтл + ту — т
1	одном значении т, расположенном иа промежутке (—оо; —4]
2	одном значении т, расположенном на промежутке (—4; 4)
92
Вариант 3-а22
3	одном значении т, расположенном на промежутке [4; +оо)
4	ровно двух значениях параметра т
[б]	таких значений параметра т не существует
/IV 1
14.	Решите неравенство ( - 1 < —.
п
] т Е (1, 5; +оо) [2] X е (-оо; 1,5) [з] х 6 (-
Л	V
15.	Пусть числа rci и являются корнями квадратного урав-
2	Х1 %2
нения Зх + 21я + 7 = 0. Выражение — н-равно натуральному
Х2 Xi
числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102030400
16.	Если число р равно наименьшему положительному корню
2тг
уравнения cos (246 х) = cos (264 я), то значение выражения — рав-
но натуральному числу, остаток от деления которого иа 5 равен
0 1 0 2 0 3 0 4 0 0
17.	Произведение всех различных ненулевых значений пара-
р • х
метра р, при которых гипербола у —-- имеет единственную
х — 3
общую точку с прямой у = х — 5, равно
01020804016
18.	При условии ежегодного начисления дохода сумма вклада
за пятый год увеличилась на 576 руб., а за седьмой год на 900 руб.
На сколько рублей увеличится вклад за восьмой год?
[Г| 1032 [2] 975 [з] 1000 Щ 1125 [б] 1225
19.	Сумма всех различных значений параметра р, при которых
уравнение (р — 3)х2 + 4х+р + 1 = 0 имеет единственный корень,
равна
01 02030405
93
Варианты вступительных экзаменов
20.	Сколько целых чисел являются решениями неравенства
gz-2 + 64-z < 37?
[Т] одно или ни одного [2~] два |~3~| три [4] четыре
[б] пять или больше пяти
21.	Если Билл проработает 5 дней, а Джек 9 дней, то они по-
строят дом. Тот же дом будет построен, если Билл проработает
6 дней, а Джек 7 дней. Производительность труда Билла относит-
ся к производительности труда Джека как
[1] 3 : 2 [2] 2 : 1 [з] 5 : 3 Щ 5 : 2 [б] 3 : 1
22.	Площадь фигуры, состоящей из всех точек, координаты ко-
торых удовлетворяют одновременно условиям 1 < х2 + у2 < 9 и
у х, равна
02,5.0^04.0^02.
и	О
23.	Сколько различных решений имеет система уравнений
J у = ||а: — 6| — 1| — 4,
[ 2х + Зу = 0 ?
рГ| четыре или больше четырех [2~] три |~3~| одно [4] ни одного
[б] Два
24.	Сумма всех различных корней уравнения
8\/а:2 — 8а: — 7 — ат2 8ат Ч~ 9 равна натуральному числу, остаток
от деления которого на 5 равен
0102 03 04 00
25.	Значение выражения log2 (20 + 3 • log3 81) равно
01 @2 03 04 05
2тг .
у обра-
26. Все решения неравенства 2 arccos х + 3 arcsin х
зуют промежуток, длина которого равна
94
Вариант 3-а31
27.	Найдите площадь треугольника, ограниченного отрезком
оси абсцисс н отрезками двух касательных, проведенных к пара-
боле у = х2 — 4х — 12 в точках с абсциссами xi = — 2 и х% — 6.
[1] 128 @ 64 @ 144 @ 72 [б] 96
28.	В треугольнике PQR длины сторон PQ ~ 5, QR = 3,
PR = 6, проведены биссектриса QM и медиана QN, причем
М 6 PR и N Е PR. Найдите длину отрезка MN н укажите верное
утверждение.
Ц] |MN| 6 (0; 0,25] [0 |MN| е (0,25; 0,5] [з] |MN| е (0,5; 0,75]
[4] |MN| 6 (0,75; 1,25] [б] |MN| 6 (1,25; 999)
29.	Найдите наименьшее значение функции
у = 4 4- 4 cos х — 3sin2 х.
30.	Все решения неравенства	9х2 образуют проме-
жуток, длина которого равна
03 @2,(6) @1,(3) @3,(3) @2,(3)
Вариант 3-а31
1.	Расход фирмы на заработную плату для менеджеров воз-
рос на 86%, количество менеджеров возросло на 55%. Заработок
каждого менеджера возрос на
@20% 031% ®25% S 15% 0131%
2.	Если х4-у = 8их3-)-у3 = 200, то значение выражения х  у
равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
S 1 0 2 [3] 3 [4] 4 ® 0
3.	Сколько решений имеет система уравнений
Г X2 + у2 = 4,
[ у = х2 — 4|х| + 4 ?
0 одно @ два @ три @ четыре [б] ни одного
95
Варианты вступительных экзаменов
4.	Укажите наименьший положительный корень уравнения
(ъх\ , /7тг\
СОЛТ/ =sin\4/'
0 7 0 8 0 3 0 4 0 5
5.	Если шестой член арифметической прогрессии равен 12,
двенадцатый член равен 6, то сумма всех членов начиная с ше-
стого и до двенадцатого равна
[1]	54 [2] 63 [з] 45 Щ 66,5 [б] 126
6.	Наименьшее значение функции у = \/х2 — 18® + 90 равно
01 02 03 04 05
7.	Найдите длину высоты, опущенной на основание, в рав-
нобедренном треугольнике, длина основания которого равна 12,
а длина боковой стороны равна 10.
04030120805
8.	Укажите приведенное квадратное уравнение, один из кор-
ней которого равен сумме, а второй — произведению корней урав-
нения ®2 + 10® -3 = 0.
[1]	х2 + 13® + 30 = 0 @ ®2 + 7® ~ 30 = 0 [3] х2 + 7® + 3 = 0
Щ х2 - 10® - 3 = 0 [б] ®2 ~ 10® - 30 = 0
n п	42	. / тг\
9.	Значение выражения — arcsm I cos —) равно натуральному
тг \	7 /
числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102030400
10.	Если множество всех решений неравенства [4® — 4а + 4| а
представляет собой промежуток, длина которого равна 9, то зна-
чение параметра а равно
0 9 0 18 0 16 0 0,(8) 0 36
11.	Пароход и плот отплыли одновременно вниз по течению ре-
ки из пункта А в пункт Б, пароход в Б повернул обратно и на
пути из Б в А встретил плот, который к этому моменту проплыл
96
Вариант 3-а31
4
~ расстояния АБ. Отношение скоростей парохода в стоячей воде
и течения реки равно
юп \ Зх + ру = 2,
12,	Система < „	.	„ имеет больше одного решения
( 6z + 4у = р + 2
пци
1
2
д
одном значении параметра р 6 (—оо; 2]
одном значении параметра р € (2; 6]
одном значении параметра р 6 (6; +оо)
двух различных значениях параметра р
таких значений параметра р не существует
13.	Решите неравенство 81 ®
€ (-0,8; +оо) @ х 6 (1, 25; +оо) [з] х 6 (-оо; 0,8)
|4~| ж Е (-00; 1,25) [б] х € (-оо; -0,8)
14.	Если числа хг и х2 являются корнями квадратного уравне-
2	х? + xl
ния х — 4х — 1 = 0, то выражение —---- равно
+х2
04,5 @4 0-3,5 07 [б]9,5
15.	Если число р равно наименьшему положительному корню
2тг
уравнении cos(272 х} == cos(234 я), то значение выражения — рав-
но натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 0 2 0 3 0 4 0 0
16.	Произведение всех различных значений параметра 6, при
х
которых гипербола у = ---- имеет единственную общую точку
2 — х
с прямой у ~ 2х — Ъ, равно натуральному числу, остаток от деле-
ния которого на 5 равен
0102030400
97
Варианты вступительных экзаменов 
17.	При условии ежегодного начисления дохода сумма вклада
в банке за второй год хранения увеличилась на 24 руб., а за чет-
вертый год — на 54 руб. На сколько рублей увеличился вклад за
первый год?
[1] 18 [2] 10 [з] 15 Щ 16 [б] 12
18.	Укажите значение параметра р, при котором уравнение
я2 — 2(р — 4)х + р2 + 6р + 8 = 0 имеет единственный корень.
19.	Множество всех решений неравенства
(log2 я)2 — 8 log2 х + 15 С 0 представляет собой промежуток, дли-
на которого равна натуральному числу, остаток от деления кото-
рого на 5 равен
01 @2 03 04 00
20.	После того как Джек повысил свою производительность
труда на 20%, время совместного выполнения работы Биллом и
Джеком сократилось с 9 до 8 дней (производительность Билла
не изменилась). Первоначально производительность Билла была
меньше, чем у Джека, иа
0 20% 0 40% 0 60% 0 80% 0 50%
21.	Площадь фигуры S, определяемой системой неравенств
|т| + |у| С 4, х 3, у 1, лежит в пределах
[T|O<S<17[2]17<S<2O[3]2O<S<23 023<S<26
[б] 26 < S < 999
22.	Опрос показал, что 37% жителей Н-ска занимаются спор-
том, 73% посещают библиотеку. Найдите максимально возможную
при этих условиях долю жителей Н-ска, которые посещают биб-
лиотеку, но не занимаются спортом.
0 27% 0 48% 0 64% 0 63% 0 36%
98
Вариант 3~а31
23.	Если число А равно произведению всех различных корней
уравнения \/х2 - 14а; + 28 = у/ х2 — 14я + 7 + 3, то
0АО 0Ле(1; 2] 0 А € (2; 3] 0 А 6 (3; 4] 0Л>4
24.	Укажите числовое значение выражения log2	.
06090240408
25.	Множество всех решений неравенства
9(arcsina:)2 —Этгагсвша:—4тг2 С 0 представляет собой промежуток,
длина которого L удовлетворяет условиям
0Ze[O; 0,3) 0£е[О,3; 0,6) 0L € [0,6; 1,3)
0Л е [1,3; 1,7) 0Ье [1,7; 999]
26.	Если S ~ площадь треугольника, ограниченного отрезками
осей абсцисс и ординат и отрезком касательной к графику функ-
ции у = 4а:2, проведенной через точку этого графика с абсциссой
х ~ 4, то
[1]O<S<3O[2]3OC5<35[3]35<S<45 045<S<6O
[б] 60 < S < 9999
27.	В треугольнике АВС длины сторон АВ = 7, ВС ~ 2,
АС = 6, проведены биссектриса ВМ и медиана BN, причем
М 6 АС и Nc АС. Найдите длину отрезка MN и укажите верное
утверждение.
0 |MN| е (0; 0,5] 0 |MN| 6 (0,5; 1] 0 |MN| ё (1; 1,5]
0 |MN| е (1,5; 2] 0 |MN| € (2; 999)
28.	Найдите сумму квадратов всех целочисленных решений
неравенства |а:2 — х — б| О + 2и укажите остаток от деления по-
лученного числа на 5.
0102 03 04 00
99
Варианты вступительных экзаменов
29.	Множество значений функции у = 3 cos2 х — 4 cos х 4- 2
представляет собой промежуток, длина которого равна
0408 07^07 08?
30.	Решите уравнение a?og<x = 16lofE*8.
Вариант 3-а32
1.	Расход фирмы на заработную плату для менеджеров воз-
рос на 90%, количество менеджеров возросло на 52%. Заработок
каждого менеджера возрос на
Щ 38% [2] 25% [f] 40% Щ 142% [б] 15%
2.	Если х 4- у = 10 и х3 4- у3 = 340, то значение выражения
х  у равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5
равен
Щ102 03 04 00
3.	Сколько решений имеет система уравнений
Г х2 4- У2 — 4,
[у = х? — 2ja:| 4-1 ?
|Т| одно [2~] два |~3~1 три Щ четыре [К] ни одного
4.	Укажите наименьший положительный корень уравнения
/7ГХ\	, /7тГ\
COS^yj =Sin^yJ.
0708030405
5.	Если пятый член арифметической прогрессии равен 13,
тринадцатый член равен 5, то сумма всех членов начиная с пя-
того и до тринадцатого равна
[1] 63 [2] 85,5 0 81 Щ 72 [б] 162
6.	Наименьшее значение функции у = у/х2 — 16а: 4- 80 равно
01 02030405
100
Вариант 3-а32
7.	Найдите длину высоты, опущенной на основание, в рав-
нобедренном треугольнике, длина основания которого равна 16,
а длина боковой стороны равна 10.
0 V89 0 9 0 5 0 8 0 6
8.	Укажите приведенное квадратное уравнение, один нз кор-
ней которого равен сумме, а второй — произведению корней урав-
нения х2 — х — 30 = 0.
Щ х2 - 31х + 30 = 0 [2] х2 - 29гг - 30 = 0 [з] х2 - ЗОж + 1 = 0
Щ х2 4- 31г + 30 = 0 [б] х2 + 29т - 30 = 0
9.
о	34	. / Зтг\
Значение выражения — arcsin cos —
тг \	17/
равно натурально-
му числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102 03 04 00
10.	Если множество всех решений неравенства
|ба: - 2006(а — 1)| < а представляет собой промежуток, длина ко-
торого равна 3, то значение параметра а равно
04,5 06 05 09 018
11.	Пароход и плот отплыли одновременно вниз по течению ре-
ки из пункта А в пункт Б, пароход в Б повернул обратно и на
пути из Б в А встретил плот, который к этому моменту проплыл
3
- расстояния АБ. Отношение скоростей парохода в стоячей воде
Э
и течения реки равно
12.	Система )	имеет больше одного решения при
I 4д? -|“ 4у — о
1
2
I
одном значении параметра р С (—оо; 2]
одном значении параметра р € (2; 6]
одном значении параметра р 6 (6; 4-оо)
101
Варианты вступительных экзаменов
[Т двух различных значениях параметра р
[]Г таких значений параметра р не существует
13.	Решите неравенство 243 х > —.
Щ х Е (-0,8; +оо) [э] х 6 (-1,25; +оо) [з] х € (-оо; 0,8)
[5] х 6 (—оо; —1,25) [б] х € (~оо; —0,8)
14.	Если числа Zi и х% являются корнями квадратного уравне-
2	Xi 4*
ния х + 4х — 3 = 0, то выражение равно
15.	Если число р равно наименьшему положительному корню
2тг
уравнения cos(226 т) = cos(281 ж), то значение выражения — рав-
но натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102030400
16.	Произведение всех различных значений параметра 6, при
X
которых гипербола у = --имеет единственную общую точку с
8 — х
прямой у = 2х — 6, равно натуральному числу, остаток от деления
которого на 5 равен
0102030400
17.	При условии ежегодного начисления дохода сумма вклада
в банке за второй год хранения увеличилась на 36 руб., а за чет-
вертый год — на 81 руб. На сколько рублей увеличился вклад за
первый год?
Щ 28 [2] 20 Щ 32 g] 18 [б] 24
18.	Укажите значение параметра р, при котором уравнение
х2 — 2(р — 3)х 4* р2 4* 5р + 6 ~ 0 имеет единственный корень.
102
Вариант 3-а32
19.	Множество всех решений неравенства
(log2 х)2 — 101og2 х + 24	0 представляет собой промежуток, дли-
на которого равна натуральному числу, остаток от деления кото-
рого на 5 равен
0102030400
20.	После того как Джек повысил свою производительность
труда на 40%, время совместного выполнения работы Биллом н
Джеком сократилось с 10 до 8 дней (производительность Билла
не изменилась). Первоначально производительность Билла была
меньше, чем у Джека, на
0 80% 0 60% 0 20% 0 40% 0 50%
21.	Площадь фигуры S, определяемой системой неравенств
|х| + Ы 3, х 1, у 1, лежит в пределах
0O<S<15 015<S<16 016<S<17 017<S$18
018 < S < 999
22.	Опрос показал, что 67% жителей Н-ска занимаются спор-
том, 78% посещают библиотеку. Найдите максимально возможную
при этих условиях долю жителей Н-ска, которые посещают биб-
лиотеку, но не занимаются спортом.
0 17% 0 11% 0 33% 0 22% 0 18%
23.	Если число А равно произведению всех различных корней
уравнения i/^2 “ 4а: 4-17 —	— 4ж 4- 2 + 3, то
0 А $ 1 0 А € (1; 2] 0 А е (2; 3] 0 А ё (3; 4] 0 А > 4
24.	Укажите числовое значение выражения log, (24 log<27 J .
08012060160|
103
Варианты вступительных экзаменов
25.	Множество всех решений неравенства
9(arcsin ж)2—9тг-arcsin х-Ь2тг2	0 представляет собой промежуток,
длина которого L удовлетворяет условиям
[Т|ь е [0; 0,3) [з]ь е [0,3; 0,6) 01 6 [0,6; 1,3)
0Le [1,3; 1,9) 0L е [1,9; 999]
26.	Если S — площадь треугольника, ограниченного отрезками
осей абсцисс и ординат и отрезком касательной к графику функ-
ции у = бх2, проведенной через точку этого графика с абсциссой
х = 3, то
[1]0<5<30[2]30^5<35[3]35^5<45[4]45^5<60
[б] 60 S < 9999
27.	В треугольнике PQR длины сторон PQ = 15, QR = 9,
PR = 12, проведены биссектриса QM и медиана QN, причем
М € PR и N 6 PR. Найдите длину отрезка MN и укажите верное
утверждение.
0 |MN| е (0; 0,25] 0 |MN| е (0,25; 0,5] 0 |MN| е (0,5; 0,75]
0 |MN| е (0,75; 1,25] 0 |MN| е (1,25; 999)
28.	Найдите сумму квадратов всех целочисленных решений
неравенства |х2 — Зх — 4| < х + 1 и укажите остаток от деления
полученного числа на 5.
0102030400
29.	Множество значений функции у = 5 sin2 х — 4 sin х + 3
представляет собой промежуток, длина которого равна
09 09^ 08 09| 010
30.	Решите уравнение ж10810® = 64logi4.
Щх-2^2 [2]ж = 2^о[з];г = 2^5[4]а; = 2^[5]а: = 2^
104
Вариант З-аЗЗ
Вариант З-аЗЗ
1.	Расход фирмы на заработную плату для менеджеров воз-
рос на 96%, количество менеджеров возросло на 12%. Заработок
каждого менеджера возрос на
0 84% 0 80% 0 90% 0 64% 0 75%
2.	Если х + у — 8и£3+у3 = 176, то значение выражения х • у
равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
[1] 1 @2 03 04 00
3.	Сколько решений имеет система уравнений
( х2 + у2 = 4,
[у = х2 — 2|х| + 2 ?
[1~| одно |~2~| два [з] три [4] четыре [~5~| ни одного
4.	Укажите наименьший положительный корень уравнения
 /ях\	/2тг\
sin — ) — cos — .
\ 6 /	\ 3 /
0708030405
5.	Если третий член арифметической прогрессии равен 11,
одиннадцатый член равен 3, то сумма всех членов начиная с тре-
тьего н до одиннадцатого равна
Щ 56 [2] 126 [з] 49 [4] 63 [5] 67, 5
6.	Наименьшее значение функции у = \/х2 — 22х + 170 — 2
равно
0102030405
7.	Найдите длину высоты, опущенной на основание, в рав-
нобедренном треугольнике, длина основания которого равна 10,
а длина боковой стороны равна 13.
(Г) У186 [2] 10 [з] 12 Щ 8 [б] 12,25
105
Варианты вступительных экзаменов
8.	Укажите приведенное квадратное уравнение, один из кор-
ней которого равен сумме, а второй — произведению корней урав-
нения х2 — 10х + 3 = 0.
[1]	х2 + 13х + 30 = 0 [|] х2 + 7х - 30 = 0 0 х2 - 13х + 30 = 0
Щ х2 + 7х + 3 = 0 [б] х2 - Юаг - 3 = 0
9.
о	34	/	5тг\
Значение выражения — arcsin I cos —
7Г у 17 /
равно натурально-
му числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 0203 0400
10.	Если множество всех решений неравенства |3х — За + 3| < а
представляет собой промежуток, длина которого равна 8, то зна-
чение параметра а равно
0 24 0 2 0 16 0 6 [б] 12
11.	Пароход и плот отплыли одновременно вниз по течению ре-
ки из пункта А в пункт Б, пароход в Б повернул обратно и на
пути из Б в А встретил плот, который к этому моменту проплыл
2
- расстояния АБ. Отношение скоростей парохода в стоячей воде
о
н течения реки равно
t о « J 6х + 4j/ = р + 8, й
12.	Система <	„г имеет больше одного решения
1 ох + ру — 5
при
1
2
I
£
5
значении
значении
значении
двух различных значениях параметра р
одном
одном
одном
таких значений
параметра р € (6; +оо)
параметра р € (2; 6]
параметра р € (—оо; 2]
параметра р не существует
13.	Решите неравенство 16“г <
] х € (-оо; -0,8) [2] х + (1, 25; +оо) [з] х € (-оо; 0,8)
[Z] х 6 (0, 8; +оо) [б] х € (-оо; 1,25)
106
Вариант З-аЗЗ
14.	Если числа Zi н х2 являются корнями квадратного уравне-
ния х2 4- 2х — 3 = 0, то выражение -у—равно
+ х%
@0,6 @0,3 0-0,1 @-0,3 @-0,6
15.	Если число р равно наименьшему положительному корню
2тг
уравнения cos (243 х) = cos (226 х), то значение выражения — рав-
но натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 02 03 04@О
16.	Произведение всех различных значений параметра 5, при
Зх
которых гипербола у = -—- имеет единственную общую точку с
прямой у — 6х — Ь, равно натуральному числу, остаток от деления
которого на 5 равен
0102030400
17.	При условии ежегодного начисления дохода сумма вклада в
банке за первый год хранения увеличилась на 24 руб., а за третий
год — на 54 руб. На сколько рублей увеличится вклад за четвертый
год?
@ 72 @ 96 0 81 Щ 69 Щ 88
18.	Укажите значение параметра р, при котором уравнение
х2 — 2(р — 5)ж + р2 + 4р 4 13 = 0 имеет единственный корень.
19.	Множество всех решений неравенства
(log3 х)2 — 6 log3 х + 8	0 представляет собой промежуток, длина
которого равна натуральному числу, остаток от деления которого
на 5 равен
0102030400
20.	После того как Джек повысил свою производительность
труда на 40%, время совместного выполнения работы Биллом и
107
Варианты вступительных экзаменов
Джеком сократилось с 9 до 7 дней (производительность Билла
не изменилась). Первоначально производительность Билла была
меньше, чем у Джека, на
[Т] 50% 0 20% Щ 80% Щ 40% 0 60%
21.	Площадь фигуры S, определяемой системой неравенств
Н + |;/| С 3, х С 2, у С 1, лежит в пределах
0O<5^15 015<S^16 016<S^17 017<S<18
0 18 < S 999
22.	Опрос показал, что 47% жителей Н-ска занимаются спор-
том, 63% посещают библиотеку. Найдите максимально возможную
при этих условиях долю жителей Н-ска, которые посещают биб-
лиотеку, но не занимаются спортом.
[Т] 37% Э 53% ® 47% Щ 16% [б] 42%
23.	Если число А равно произведению всех различных корней
уравнения -\/х2 — 12а: 4- 21 = у/х2 — 12а: -Ь 14 + 1, то
0 А 1 0 А € (1; 2] 0 А € (2; 3] Щ А € (3; 4] 0 А > 4
24.	Укажите числовое значение выражения log2 ^361og98) .
0 18 0 9 0 24 0 4 0 12
25.	Множество всех решений неравенства
36(arcsinх)2 — 24тг • arcsinr — 5тг2 0 представляет собой проме-
жуток, длина которого L удовлетворяет условиям
0Le [о; о.з) [о, з; о, 6) [з]ье [о,б; 1,з)
0 Ь е [1,3; 1,7) 0Le[l,7; 999]
26.	Если S — площадь треугольника, ограниченного отрезками
осей абсцисс и ординат н отрезком касательной к графику функ-
ции у — а:2, проведенной через точку этого графика с абсциссой
X = 6, то
0O<S<3O03O^S<35 035<S<45 045<S<6O
0 60 S < 9999
108
Вариант 4-all
27.	В треугольнике АВС длины сторон АВ = 3, ВС = 4,
АС = 2, проведены биссектриса ВМ и медиана BN, причем
М € АС и N € АС. Найдите длину отрезка MN и укажите верное
утверждение.
[Т] |MN| е (0; 0,25] 0 |MN| е (0,25; 0,5] 0 |MN| е (0,5; 0,75]
0 |MN| е (0,75; 1,25] 0 |MN| е (1,25; 999)
28.	Найдите сумму квадратов всех целочисленных решений
неравенства |х2 — 7я: + б| х — 1 и укажите остаток от деления
полученного числа на 5.
0102030400
29.	Множество значений функции у — 5 cos2 х + 4 cos х + 3
представляет собой промежуток, длина которого равна
09? 08 09^ 010 09^
30.	Решите уравнение xlogs3:r = 810g®16.
[1]х = 2^ [2] я = [з]х = 2^2 Щ х = 2^ |][|х = 2^
Вариант 4-а11
4	<—
1.	Выражение -—+ v20 равно
[Т] 3 [2] 4 + ч/б Щ 3 + Зл/5 Щ 4 + Зл/5 [б] 3 + ч/б
2.	Прямая у — kx — 4 параллельна прямой Зу — 2х == 1 при
значении параметра fc, равном
3.	Множеством всех решений неравенства |2ж — 3|	5 являет-
ся промежуток
0[-1;4] 0 [—4; 1] 0(-оо;4] 0[-1;+оо) 0[1,5;4]
109
Варианты вступительных экзаменов
4.	Если сумма восьмого и восемнадцатого членов арифметиче-
ской прогрессии равна 12, то число, равное квадрату тринадцатого
члена, принадлежит промежутку
0 [0; 10) 0 [10; 30) 0 [30; 50) 0 [50; 100) 0 [100; 999]
5.	Фирма выполняет 100 заказов в день. Если 30% сотрудни-
ков увеличат производительность на 30%, а остальные — на 40%,
то после этого количество заказов в день будет равно натурально-
му числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 @2 03 04 00
6.	Сколько корней имеет уравнение |л — 6|-ЬЗ — л?
|~1~| один |~2~| два @три 0 ни одного [б] бесконечно много
7.	функция у = 144л2 — 12л3 достигает своего максимального
значения на промежутке (0; 4-оо) в точке, абсцисса которой равна
06 02 03 04 08
8.	Сумма двух наименьших положительных корней уравнения
1
cost — — - равна
0^0^0^02-03.
О	и	и
9.	В трапеции АВ CD с основаниями AD = 7 и ВС = 4 площадь
треугольника ABD равна 28. Площадь треугольника АВС равна
натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102 03 04 00
10.	Наименьшее значение функции у — у х2 — 4л + 13 равно
0102 03 04 05
11.	Укажите квадратное уравнение, корни которого на 1 боль-
ше корней квадратного уравнения л2 — Зл — 1 — 0.
Щх2-6л + 5 = 0[2]х2-4х + 2 = о[з]л2-7х + 5 = 0
Щ х2 - 6т + 4 = 0 [б] л2 - 5л + 3 = 0
110
Вариант 4-all
12.	Сколько целых чисел являются решениями неравенства
х -	+ 20 < 0 ?
[Т| шесть нли меньше шести |~2~| семь |~3~| восемь |~4{ девять
[~5~| десять или больше десяти
13.	Расстояние между наибольшим и наименьшим корнями
уравнения Зж+2 4- 31~х — 28 удовлетворяет условию
[I] Х2 —	€ (0; 1,5] [2] Х2 — Xi € (1, 5; 2,5]
|~3~| Х2 — £1 € (2,5; 3,5] [4] Х2 —	€ (3, 5; 4,5]
0X2 е (4,5; 999999)
14.	Укажите числовое значение выражения
log8 (ll1Og121^T16^) .
в! в? 0|
15.	В регионе А было 120 тыс. избирателей, из которых 65%
поддерживали кандидата К. В регионе Б кандидата К поддержи-
вали 90% избирателей. После слияния двух регионов К поддержа-
ли 80% избирателей. В регионе Б избирателей было
j~l~| 80 тыс. |~2~| 240 тыс. |~3~| 90 тыс. |~4~| 180 тыс. [б] 60 тыс.
16.	Разность между наибольшим и наименьшим значениями
параметра р, при которых все числа х 6 [—4; 4] являются решени-
ями неравенства — р{ 9, равна натуральному числу. Укажите
остаток от деления этого числа на 5.
Е 1 0 2 Щ 3 0 4 0 0
17.	Все значения х, для которых выполняется условие
2 4- cos х < 6 • cos2 —, образуют множество (т € Z)
А
а/2тг„	2лл\г—]/7Гл	7Г „	\
+ 2тгт; + 27гт1 |21 (-- + 2тгт; - + 27гт]
111
Варианты вступительных экзаменов
1~-| /7Г Л О7Г	\
Щ I- + 2тгт; + 2тгт]
\ и	О	'
® (т+27rm; т+27rm)
2тг 4тг „
— +2тгт; — + 2тгт
и	«5
1Q /П	*	(У = 2004 ' Mt
18.	Сколько решении имеет система ।^2 _ ?
[1] одно [^] два [з~| три |~4| четыре или больше четырех
[б] решений нет
19. Система уравнений < .	&	’ ’ п имеет бесконечное
17 F	Ца + 1)л 4- 2у = 3
множество решений при значении параметра а, равном
[1] только —2 [2] только 2 [з~| только 1 [4~j только —1
[б]	при двух значениях параметра
20.	Укажите множество значений функции у = 0,53c3+4ai+2i
0 (0; 0,25] 0 (0; 4] 0 (-оо; +оо) 0 [4; +оо) ® (-оо; 4]
21.	Банк начисляет по вкладу 40% в конце каждого года. Ока-
залось, что прирост вклада за второй год больше прироста за пер-
вый год на 144 у. е. Какова была величина вклада в начале первого
года?
|1] 1800 0 2400 0 900 Щ 720 [б] 2880
22.	Отрезок прямой, которая касается параболы
у = х2 + 4х — 24 в точке с абсциссой х — 0, пересекает ось абсцисс
в точке, абсцисса которой равна натуральному числу. Укажите
остаток от деления этого числа на 5.
0102030400
23.	Если число р равно наименьшему положительному корню
уравнения cos(2004t) 4- cos(1378 х) — 0, то значение выражения
112
Вариант 4-all
2тг
— равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5
Р
равен
0102030400
24.	Сколько существует целочисленных значений параметра а,
при которых графики функций у = х2 + ах и у = 5лт — 0,25 не име-
ют общих точек?
|Т] ии одного или одно j~2~| два [з] три [~4| четыре
5 пять или больше пяти
25.	Произведение всех различных корней уравнения
\Лг2 — 15а: + 4 = 16 — х2 + 15а: равно
[Т] 144 [а] 15 [з] -60 0 60 [К] -12
26.
Если А = log3
/
36 • sin2 ( arccos
— arcsin - I
2 J
TO
046(-oo; 1,5] 046(1,5; 2,5] 046(2,5; 3,5]
04 6(3,5; 4,5] 04 6(4,5; +oo)
27.	3a 12 дней совместной работы Билл и Джек строят 7 до-
мов. Если Билл повысит свою производительность иа 100%, то за
18 дней совместной работы они построят 15 домов. Сколько домов
построит один Джек за 42 дня работы с плановой производитель-
ностью?
0 18 0 12 0 15 0 14 0 16
28.	Найдите сумму двух наименьших целочисленных значений
параметра р, при которых окружность х + у = - и парабола
у — х2 — 8 имеют ровно две общих точки, и укажите остаток от
деления этого числа на 5.
0102030400
ИЗ
Варианты вступительных экзаменов
29.	Сколько натуральных чисел являются решениями нера-
14 К10^®)3] /--гт s 10взр) >---rr?v й
веиства х • х	 у/х — 1, о С х • у/х — 1,5 г Укажи-
те остаток от деления этого числа на 5.
0102030400
30.	В равнобедренном треугольнике MNK, MN = NK, прове-
дена биссектриса МА угла NMK, точка А лежит на NK, длины
отрезков МК — 5 и NA — 16. Величина периметра треугольника
MNK равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5
равен
01 @2 03 04 00
Вариант 4-а12
5	г—
1.	Выражение -—+ v44 равно
[1]	5 + у/П [2] 4 + у/П [3] 4 Щ 4+ЗЛ1 [б] 5 + Зд/И
2.	Прямая у = кх + 3 параллельна прямой 2у + х = 1 при зна-
чении параметра fc, равном
020-2 0-1 0 1
3.	Множеством всех решений неравенства |2л —1| <5 являет-
ся промежуток
0[-О,5;3] 0(-оо;3] 0 [-3; 2] 0(-оо;-2] 0 [-2; 3]
4.	Если сумма девятого и девятнадцатого членов арифмети-
ческой прогрессии равна 14, то число, равное квадрату четырна-
дцатого члена, принадлежит промежутку
0 [0; 10) 0 [10; 20) 0 [30; 40) 0 [40; 50) 0 [50; 999]
5.	Фирма выполняет 100 заказов в день. Если 30% сотрудни-
ков увеличат производительность на 20%, а остальные — иа 40%,
114
Вариант 4-а12
то после этого количество заказов в день будет равно натурально-
му числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 @2 03 04 @0
6.	Сколько корней имеет уравнение |т + 2| + 1 = х ?
|~Г] один 0 два [з] три 0 ни одного 0 бесконечно много
7.	Функция у = 36т2 — 4т 3 достигает своего максимального
значении иа промежутке (0; +оо) в точке, абсцисса которой равна
0602030408
8.	Сумма двух наименьших положительных корней уравнения
\/3
cos X = т равна
0,02,03,0^0^
О и
9.	В трапеции A BCD с основаниями AD = 7 и ВС = 5 площадь
треугольника ABD равна 28. Площадь треугольника АВС равна
натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102030400
10.	Наименьшее значение функции у = \Лг2 — 6т + 13 равно
0102030405
11.	Укажите квадратное уравнение, корни которого на 1 боль-
ше корней квадратного уравнения т2 — 5т — 1 = 0.
0 х2 - 6т + 5 = 00 х2 - 7т 4-5 = 00 т2 - 6т + 4 = 0
0 т2- 5т + 3 = 0 0 т2- 4т + 2 = 0
12.	Сколько целых чисел являются решениями неравенства
т — 11\/т + 30 < 0 ?
0 шесть или меньше шести 0 семь 0 восемь 0 девять
0 десять или больше десяти
115
Варианты вступительных экзаменов
13.	Расстояние между наибольшим и наименьшим корнями
уравнения 2х"1 + 25”® = 17 удовлетворяет условию
И х2 - Х1 G (0; 1,5] 0Х2-Ж! G (1,5; 2,5]
[з) х2 - Ti G (2, 5; 3,5] [Z] х2 - G (3,5; 4,5]
0X2-®! € (4,5; 999999)
14.	Укажите числовое значение выражения logu
15.	В регионе А было 120 тыс. избирателей, из которых 45%
поддерживали кандидата К, В регионе Б кандидата К поддержи-
вали 70% избирателей. После слияния двух регионов К поддержа-
ли 55% избирателей. В регионе Б избирателей было
|Т] 240 тыс. [2] 90 тыс. [з~| 80 тыс. [~4| 360 тыс. [К] 180 тыс.
16.	Разность между наибольшим и наименьшим значениями
параметра р, при которых все числа х 6 [—3; 2] являются решени-
ями неравенства |т — р| < 8, равна натуральному числу. Укажите
остаток от деления этого числа на 5.
01 @2 03 04 00
17.	Все значения т, для которых выполняется условие
2 4- cos х > 6  cos2 образуют множество (т G Z)
л
-	- + 2л т;
л	f
—	+ 2лтп; -
О
5л п
—	4- 2лт;
о
1л	4л	\
— + 2лт; — 4- 2лт I
О	□	/
2л	2л	_	\
— + 2лт; — 4- 2лт 1
о	о	/
7л	\
— + 2лт)
6	/
116
Вариант 4-al 2
Ю г-	X	f У = 2004 • |т| + 1,
18, Сколько решений имеет система <	2 — 1 ?
[1] одно [2] два [3] три [Т| четыре или больше четырех
[б| решений нет
{2т + ау = 3,
,	п имеет бесконечное
(а + 2)т + 4у = -3
множество решений при значении параметра at равном
|Т| только —2 [2Г] только 4 [3~| при двух значениях параметра
[Z] только 2 [б| только —4
20.	Укажите множество значений функции у = 0,5®2 2х 1.
0 (0; 4] 0 [0,25; 4] 0 (0; 0,25] 0 [4; +оо) 0 (-оо; 4]
21.	Банк начисляет по вкладу 30% в конце каждого года. Ока-
залось, что прирост вклада за второй год больше прироста за пер-
вый год на 144 у. е. Какова была величина вклада в начале первого
года?
|Т) 2000 [2] 1600 [з] 1200 Щ 720 |б] 2400
22.	Отрезок прямой, которая касается параболы
у _ т2 + 4т — 36 в точке с абсциссой х — 0, пересекает ось абсцисс
в точке, абсцисса которой равна натуральному числу. Укажите
остаток от деления этого числа иа 5.
01 @2 03 04 00
23.	Если число р равно наименьшему положительному корню
уравнения cos(2004t) + cos(1494 т) = 0, то значение выражения
2тг
— равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5
Р
равен
0102 03 04 00
117
Варианты вступительных экзаменов
24.	Сколько существует целочисленных значений параметра а,
при которых графики функций у = х2 + ах и у = 5т — 4 не имеют
общих точек?
|Т] ни одного или одно [|Tj два [з~| три |~4] четыре
[~5~| пять или больше пяти
25.	Произведение всех различных корней уравнения
у/х2 — 24т + 7 — т2 — 24т — 13 равно
[Г| 324 0 24 0 -91 0 -18 0 -13
1
26. Если А = log2

64 • sin2
— arccos(O)
ТО
Иа6(-оо; 1,5] 0 А е (1,5; 2,5] 0 А е (2,5; 3,5]
[I]	А е (3,5; 4,5] 0 А ё (4, 5; +оо)
27.	За 30 дней совместной работы Билл и Джек строят 61 дом.
Если Билл повысит свою производительность на 20%, то за 15 дней
совместной работы они построят 33 дома. Сколько домов построит
один Джек за 40 дней работы с плановой производительностью?
Щ 48 ® 46 Щ 54 0 60 [К] 50
28.	Найдите сумму двух наименьших целочисленных значений
2	2 Р
параметра р, при которых окружность т + у = - и парабола
4
у = х2 — 6 имеют ровно две общих точки, и укажите остаток от
деления этого числа на 5.
0102030400
29.	Сколько натуральных чисел являются решениями иера-
5	[0°6з®)2]	/---— log3(xe) -------
венства х-х	• у/х — 1,5 < т • у х — 1,5 ? Укажи-
те остаток от деления этого числа иа 5.
0102 03 0400
118
Вариант 4-а13
30.	В равнобедренном треугольнике MNK, MN = NK, прове-
дена биссектриса МА угла NMK, точка А лежит на NK, длины
отрезков МК — 4 и NA = 9. Величина периметра треугольни-
ка MNK равна натуральному числу, остаток от деления которого
на 5 равен
S 1 0 2 [3| 3 Щ 4 0 0
Вариант 4-а13
9
1.	Выражение----7= + v28 равно
4 4" у7
[1]4 + '/7 [2]9 + 3'/7 04 Щ 9 + л/7 [К] 4 + 3V?
2.	Прямая у = кх 4- 5 параллельна прямой Зу + 2х = 1 при
значении параметра к, равном
3.	Множеством всех решений неравенства |2х 4- 3| < 5 являет-
ся промежуток
g][-l;4] 0[-4;1] [з] (-оо; 4] Щ [-1; +оо) ®[-1,5;1]
4.	Если сумма второго и четырнадцатого членов арифмети-
ческой прогрессии равна 14, то число, равное квадрату восьмого
члена, принадлежит промежутку
Щ [0; Ю) И [10; 20) [з] [20; 30) Щ [30; 40) 0 [40; 99]
5.	Фирма выполняет 100 заказов в день. Если 30% сотрудни-
ков увеличат производительность на 40%, а остальные — на 30%,
то после этого количество заказов в день будет равно натурально-
му числу, остаток от деления которого иа 5 равен
[1]1 @2 Щз @4 @0
6.	Сколько корней имеет уравнение |лг — 3| 4~ 6 = я ?
[Т] один [2] два [з] три Щ ни одного [б| бесконечно много
119
Варианты вступительных экзаменов
7.	Функция у = 72а;2 — 12а;3 достигает своего максимального
значения на промежутке (0; +оо) в точке, абсцисса которой равна
06 02 03 04 08
8.	Сумма двух наименьших положительных корней уравнения
УЗ
suit — — равна
0.0^02.0^03.
О	о
9.	В трапеции ABCD с основаниями AD = 12 и ВС — 8 пло-
щадь треугольника ABD равна 72. Площадь треугольника АВС
равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 ра-
вен
0102 03 04 00
10.	Наименьшее значение функции у = у х2 + 4а; + 29 равно
0102 03 04 05
11.	Укажите квадратное уравнение, корни которого на 1 боль-
ше корней квадратного уравнения х2 — Зт — 1 = 0.
Щ х2 - 7х + 5 = 0 @ х2 - 6х + 4 = 0 0 х2 - 5т + 3 == 0
0 т2 — 4ж + 2 = 0 0 т2 — бт + 5 = 0
12.	Сколько целых чисел являются решениями неравенства
х — 5\/т + 6 < 0 ?
[Т] три или меньше трех 0 четыре [з~[ пять |~4| шесть
0 семь или больше семи
13.	Расстояние между наибольшим и наименьшим корнями
уравнения 2х + 27-ж = 66 удовлетворяет условию
0 х2 ~ ац е (0; 1,5] 0 х2 - Х1 6 (1,5; 2,5]
[З]т2-Я1 6 (2,5; 3,5] 0 х2 - a?i 6 (3,5; 4,5]
0т2-Ц 6(4,5; 999999)
120
Вариант 4-а13
14.	Укажите числовое значение выражения log4 ^7	.
15.	В регионе А было 120 тыс. избирателей, из которых 60%
поддерживали кандидата К. В регионе Б кандидата К поддержи-
вали 80% избирателей. После слияния двух регионов К поддержа-
ли 75% избирателей. В регионе Б избирателей было
|Т] 360 тыс. [2] 40 тыс. [з] 240 тыс. [~4| 60 тыс. [~5~] 180 тыс.
16.	Разность между наибольшим и наименьшим значениями
параметра р, при которых все числа х 6 [—1; 4] являются решени-
ями неравенства |х — р| < 7, равна натуральному числу. Укажите
остаток от деления этого числа иа 5.
0102030400
17.	Все значения х, для которых выполняется условие
2 х
2 + cos х < 6 • cos образуют множество (т е. Z)
&
Ц] + 2тгт;
я	5тг	_	\
— + 2тгт; — 4- 2тгт I
о	о	/
„	4?Г	„	\	Г71	/	2?Г	2л	„	\
+ 2тгт; — + 2тгт)	|4[ 1~~у + 2тгт; — + 2irmj
п 7л \
+ 2тгт; — + 2тгт )
6	/
1Q п	Л	(у ~ 2004 • I1! “ 2,
18.	Сколько решений имеет система <	^2 _ । ?
|Т] одно [2] два [з] три [~4| четыре или больше четырех
[б] решений нет
19.	Система уравнений <	_ имеет бескоиеч-
}(а+ 1> +2у = -1,5
ное множество решений при значении параметра а, равном
|Т] только —2 [2~| только 1 [з] только 2 [~4| только —1
р5~] при двух значениях параметра
121
Варианты вступительных экзаменов
20.	Укажите множество значений функции у = 0,5® 2х.
0 (-оо; 2] 0 (0; 0,5] 0 (0; 2] 0 [2; +оо) 0 [0,5; +оо)
21.	Банк начисляет по вкладу 20% в конце каждого года. Ока-
залось, что прирост вклада за второй год больше прироста за пер-
вый год на 100 у. е. Какова была величина вклада в начале первого
года?
Щ 2500 [2] 2000 [з] 5000 Щ 500 ® 4000
22.	Отрезок прямой, которая касается параболы
у = т2 + Зт — 18 в точке с абсциссой х — 0, пересекает ось абсцисс
в точке, абсцисса которой равна натуральному числу. Укажите
остаток от деления этого числа на 5.
01 02 03 04 00
23.	Если число р равно наименьшему положительному корню
уравнения cos(2004 ж) + соз(1730т) = 0, то значение выражения
2тг
— равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5
Р
равен
0102 03 04 00
24.	Сколько существует целочисленных значений параметра а,
9
при которых графики функций у = х2 + ах и у = 7т — не име-
16
ют общих точек?
[Т] ни одного или одно [2~| два |~з] три Щ четыре
[б] пять или больше пити
25.	Произведение всех различных корней уравнения
\/т2 — 16т + 1 — х2 — 16т — 5 равно
0 -8 0 32 0 -5 0 16 0 64
122
Вариант 4-а14
26.	Если A = log3 108 • sin2 [ arccos
\	\ z
. V 3
— arcsm —
t то
04 6 (3,5; 4,5] 0Л 6 (4,5; +oo)
27.	За 12 дней совместной работы Билл и Джек строят 14 до-
мов. Если Билл повысит свою производительность на 100%, то за
6 дней совместной работы они построят 10 домов. Сколько домов
построит один Джек за 36 дней работы с плановой производитель-
ностью?
0 28 @ 32 @ 30 S 36 0 24
28.	Найдите сумму двух наименьших целочисленных значений
параметра р, при которых окружность я2 + у2 = - и парабола
у = х2 — 9 имеют ровно две общих точки, и укажите остаток от
деления этого числа на 5.
0 1 @ 2 0 3 0 4 0 0
29.	Сколько натуральных чисел являются решениями нера-
4	[(108з*)3]	/-—	1оКз(^)	--—
венства х • х	• \/х — 1,5 х • \/х — 1,5г Укажи-
те остаток от деления этого числа на 5.
01 @2 03 04 00
30.	В равнобедренном треугольнике MNK, MN = NK, прове-
дена биссектриса МА угла NMK, точка А лежит на NK, длины
отрезков МК — 15hNA = 4. Величина периметра треугольника
MNK равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5
равен
0102030400
Вариант 4-а14
1.	Выражение	+ х/44 равно
0 5 + З'/Н 04 + 3	0 4 0 5 + 'Л1 0 4 + 'Л1
123
Варианты вступительных экзаменов
2.	Прямая у = кх + 2 параллельна прямой 2у + Зх — 1 при
значении параметра к, равном
® I
3.	Множеством всех решений неравенства |2т + 1|	5 являет-
ся промежуток
И(-оо;2] 0 [—2;3] 0 [-3; 2] 0(-оо;-4] 0 [-0,5; 2]
4.	Если сумма третьего и семнадцатого членов арифметиче-
ской прогрессии равна 6, то число, равное квадрату десятого чле-
на, принадлежит промежутку
0 [0; 10) 0 [10; 20) 0 [20; 30) 0 [30; 50) 0 [50; 99]
5.	Фирма выполняет 100 заказов в день. Если 40% сотрудни-
ков увеличат производительность на 30%, а остальные — на 20%,
то после этого количество заказов в день будет равно натурально-
му числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102030400
6.	Сколько корней имеет уравнение |т — 3| + 3 — х?
|Т| один |~2~| два |~3] три Щ ни одного [б] бесконечно много
7.	Функция у — 24х2 — 8х3 достигает своего максимального
значения на промежутке (0; +оо) в точке, абсцисса которой равна
0602030408
8.	Сумма двух наименьших положительных корней уравнения
sins — — - равна
0.02.03.0^0^
9.	В трапеции АВ CD с основаниями AD = 9 и ВС = 6 площадь
треугольника ABD равна 63. Площадь треугольника АВС равна
натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 02 03 04 00
124
Вариант 4-al 4
10.	Наименьшее значение функции у = у/х2 ~2х + 17 равно
и 1 (и 2 а з а 4 @ 5
11.	Укажите квадратное уравнение, корни которого на 1 боль-
ше корней квадратного уравнения х2 — Зх — 1 = 0.
[Т] г2 — 6т + 5 = 0 z2 — 7z + 5 = 0 [з] г2 — 6г + 4 = 0
Щ х2 - 5х + 3 = 0 |У| х2 - 4х + 2 = 0
12.	Сколько целых чисел являются решениями неравенства
х -	+ 12 < 0 ?
|~1~| три или меньше трех [2~[ четыре [з"| пять j~4~| шесть
[б] семь или больше семи
13.	Расстояние между наибольшим и наименьшим корнями
уравнения 5х”1 + 125 • 5“х = 26 удовлетворяет условию
Щ € (0; 1,5] [2]x2-3DiE(l,5; 2,5]
@ Х2 - £1 6 (2,5; 3,5] Щ х2 - «1 е (3,5; 4,5]
U] 12-^1 € (4,5; 999999)
14.	Укажите числовое значение выражения log5 ^7log7V/7125j .
15.	В регионе А было 120 тыс. избирателей, из которых 70%
поддерживали кандидата К. В регионе Б кандидата К поддержи-
вали 40% избирателей. После слияния двух регионов К поддержа-
ли 65% избирателей. В регионе В избирателей было
[Т] 60 тыс. [2~| 24 тыс. [3~] 480 тыс. Щ 600 тыс. [К] 30 тыс.
16.	Разность между наибольшим и наименьшим значениями
параметра р, при которых все числа х 6 [—2; 3] являются решени-
ями неравенства ]т — р| 6, равна натуральному числу. Укажите
остаток от деления этого числа на 5.
125
Варианты вступительных экзаменов
17.	Все значения х, для которых выполняется условие
2 + cos х > 6 • cos2 —, образуют множество (тп 6 Z)
2
|У1/_^ + 2тгт; ~ + 2тгт) [2] (-+ 2тгт; + 2тгт)
— \ 3	3	/	\ 3	3	/
I—1 / 2тг	2тг	\ [—1 /5тг	7тг \
[з]	+ 2тгт; “ + 2irmj [ 41	+ 2тгт; — + 2irmJ
Е/ 2тг	4тг \
( ~ + 2тгт; — + 2тгт )
X 3	’ 3	/
.о	(у = 2004*1x1 - 1,
18.	Сколько решений имеет система | д.2	^2 „ j ?
[1~| одно [2~[ два [з| три [Т| четыре или больше четырех
|~5] решений нет
19.	Система уравнений < ,	* Л имеет бесконечное
[ (а + 2)х + 4у =-3
множество решений при значении параметра а, равном
|Т| только —2 [2~[ только —4 |~з] только 2 j~4~| только 4
[б] при двух значениях параметра
20.	Укажите множество значений функции у — 0,5ff2”2l+3.
[1] (—00; 0,25] 0(0; 4] 0 [4; +оо) 0 (0; 0,25] 010,25; +оо)
21.	Банк начисляет по вкладу 25% в конце каждого года. Ока-
залось, что прирост вклада за второй год больше прироста за пер-
вый год на 100 у. е. Какова была величина вклада в начале первого
года?
Щ 2000 (з] 2500 Щ 2400 Щ 3600 [в] 1600
22.	Отрезок прямой, которая касается параболы
у — х2 + Зх — 24 в точке с абсциссой х = 0, пересекает ось абсцисс
в точке, абсцисса которой равна натуральному числу. Укажите
остаток от делении этого числа на 5.
0102 03 04 00
126
Вариант 4-а14
23.	Если число р равно наименьшему положительному корню
уравнения cos(2004x) + cos(1671 х) = 0, то значение выражения
2тг
— равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5
Р
равен
01 02 03 04 00
24.	Сколько существует целочисленных значений параметра а,
при которых графики функций у = х2 + ах и у = 5а: — 1 не имеют
общих точек?
[Т] ни одного или одно [2] два [з] три [4] четыре
5 пять или больше пяти
25.	Произведение всех различных корней уравнения
а:2 — 18т + 5 = 7 + 18а: — а:2 равно
0 18 0 -35 0 -4 0 36 016
v3
arccos — + arctg v 3
26.	Если А — log2 4 ' sin2
04 6 (-00; 1,5] 0 А 6 (1,5; 2,5] 04 6 (2,5; 3,5]
04 6(3,5; 4,5] 04 6 (4,5; +оо)
, то
27.	За 30 дней совместной работы Билл и Джек строят 11 до-
мов. Если Билл повысит свою производительность на 25%, то за
24 дня совместной работы они построят 10 домов. Сколько домов
построит один Джек за 150 дней работы с плановой производи-
тельностью?
В22 @24 @25 S28 026
28.	Найдите сумму двух наименьших целочисленных значений
2	2 Р	е?
параметра р, при которых окружность х + у ~ - и парабола
127
Варианты вступительных экзаменов
у = х2 — 7 имеют ровно две общих точки, и укажите остаток от
деления этого числа иа 5-
0102030400
29.	Сколько натуральных чисел являются решениями нера-
9П [(1о8ч®) ] J---------- l°g4 (я9) J-----
венства я20 - х L	 у/х — 1,5 х • у/х — 1,5 ? Укажи-
те остаток от деления этого числа на 5.
01 0 2 03 04 0] 0
30.	В равнобедренном треугольнике MNK, MN = NK, прове-
дена биссектриса МА угла NMK, точка А лежит на NK, длины
отрезков МК = 21 и NA = 16. Величина периметра треугольника
MNK равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5
равен
01 02 03 04 00
Вариант 4-а21
1.	Раньше на некоторую сумму денег можно было купить 50 кг
конфет, а теперь можно купить за те же деньги 40 кг конфет. На
сколько процентов изменилась цена килограмма конфет?
0 40% 0 20% 0 25% 0 10% 0 15%
2.	Решите уравнение ctg х • sin а: 4-1 = — cos х.
И (“^Г? + тгт [2]	+ 2тгт [з] (-1)т^ + ™ 0	+ 27гт
3	— о	о —	3
Гб] ± — + 2тгт, т 6 Z
3
3.	Наименьшее значение функции у = х — Sy/x + 12 равно
0-4 00 0-1 012 04
4.	Разность наибольшего и наименьшего корней уравнения
х —1| +	+ 1| =2 равна
0102 03 04 05
128
_____________________________________________ Вариант 4-а21
_	Г у — 2004 • |ж| - 2,
5.	Сколько решений имеет система < 9	9	' '
( х2 + у2 = 1 ?
[Т] одно |~2~| два [3~| три Щ четыре или больше четырех
[б] решений нет
в. Сумма всех различных корней уравнения
х2 — 81а: + 18 = 0 равна натуральному числу. Укажите остаток
от деления этого числа на 5.
01 @2 @3 04 00
7.	Все решения неравенства \/х < 1 образуют множество
0 [0; 1) ®(-оо; 1) ® (-1; 1) 0(1; +оо)
0 (-0°; 0] U (1; +оо)
8.	Решите уравнение log2£ = 3.
[Т] а; = 23 [2] а: == З2 [з] а: = log3 2 [4] х = log2 3 g] х = Уз
9.	В первом году число жителей города М было равно 42, во
втором году к ним присоединились еще 34, каждый следующий
год число присоединившихся уменьшалось на 8. Наибольшее ко-
личество жителей города равно натуральному числу, остаток от
деления которого на 5 равен
01 02 03 04 00
ТГ	91о«^4	с1о&753
10.	Если число х равно корню уравнения х • 3	=5	,
016(0; 1) 0® 6 [1; 2) 0 а: 6 [2; 4) 0а:б[4; 8)
UI ж е [8; 999)
11.	Произведение всех различных корней уравнения
х2 + |ж| — 12 = 0 равно
[Т] -16 [2] 16 [з] -12 Щ -9 13 9
129
Варианты вступительных экзаменов
12.	Если число р равно наименьшему положительному кор-
ню уравнения sin (102 х) + sin (34 х) =0, то значение выражения
7Г
— равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5
Р
равен
01 В2 @3 Щ4 00
13.	При каких значениях параметра т система уравнений
{Зх + ту 4, имеет бесконечно много решений?
тх + 27у = —12
|Т| таких значений параметра не существует
[~2~| т 6 (—оо; —9)	(—9; 9)	(9; +оо) [з"| т = 9 [Т| m = —9
[б]	т е {-9; 9}
14.	Площадь фигуры, которую определяет система неравенств
f х2 + у2 < 4х,
<	> гм равна
В 0 2тг [З] Зтг Щ 4тг [б] ~
Л
15,	Первый член геометрической прогрессии с положительны-
ми членами равен 2 л/З + 4, а третий член равен 1. Первая цифра
после запятой в представлении второго члена этой прогрессии в
виде десятичной дроби равна
0001 @3 05 07
16.	Площадь S треугольника, ограниченного отрезками
осей абсцисс и ординат и отрезком касательной к параболе
у — х2 — х + 6, проведенной через точку этой параболы с абс-
циссой х = 0, равна натуральному числу. Укажите остаток от
деления числа S' на 5.
0102 03 04 00
17.	Просрочив платеж, квартиросъемщик был вынужден за-
платить еще и штраф в размере 40% суммы платежа. Если вместе
130
Вариант 4-а21
эти расходы составили 378 руб., то сумма платежа составила (в
рублях)
[1] 226,8 [2] 258 [з] 270 Щ 312 ЩзОО
18.	Укажите множество значений функции у = logfxa+4) 16.
0(0; 0,5] 0(0; 1] 0(0; 2] 0 (-оо; 0) (J [0,5; +оо)
0 Р; +оо)
1	7
19.	Корень уравнения arctg -4- arctg - = arctg х равен нату-
ральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
02 03 Щ4 00
20.	Площадь треугольника АВС равна 100. На стороне АВ взя-
та точка М, причем AM : АВ = 3:10. На стороне ВС взята точ-
ка N, причем BN : ВС — 6 : 10. На стороне С А взята точка К, при-
чем СК: СА = 7:10. Площадь треугольника MNK равна нату-
ральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102030400
21.	Множество всех значений параметра fc, при которых урав-
18-|з:-31
нение ----— — кх не имеет корней, представляет собой отре-
3
зок, длина которого — натуральное число. Укажите остаток от
деления этого числа на 5.
0102030400
22.	В равнобедренную трапецию с основаниями 7 и 28 вписан
круг. Его радиус равен натуральному числу, остаток от деления
которого на 5 равен
0102030400
23.	Сумма всех различных значений параметра р, при кото-
рых уравнение (р2 — 2р)х2 4- 8а: 4- 4 4— = 0 имеет единственный
Р
корень, равна
0102030405
131
Варианты вступительных экзаменов
24.	Число 5, равное сумме всех различных значений парамет-
Л ( X2 + у2 = 4х + 4у,
ра р, при которых система уравнений <	__	имеет
\	3/ нР
единственное решение, удовлетворяет условиям
0 S е (0; 1) 0 S е [1; 2) 0 S е [2; 4) 0 S е [4; 6)
[в] S 6 [6; 999)
25.	Наименьший положительный корень уравнения
2 cos2 х 4- 5 cos х + 2 = 0 принадлежит промежутку
S44] 0*е & у] ® *6 (т ’] и*е у]
0 х е (у; 27Г]
26.	Все решения неравенства (log8 z)log3 10881 < 3 образуют про-
межуток, длина которого равна натуральному числу. Остаток от
деления этого числа на 5 равен
0102 03 04 00
27.	Сумма вклада в банке после первого года хранения равня-
лась 24 у. е., а после третьего года хранения — 54 у. е. На сколько
у е. увеличился вклад за первый год хранения, если процентная
ставка не менялась, доход начисляется в конце каждого года и
прибавляется к сумме вклада?
0 15 0 8 0 12 0 9 0 10
28.	Наибольшее значение параметра р, при котором все реше-
ния неравенства — р| < 9 являются также решениями неравен-
ства |т — Зр| < 27, равно натуральному числу. Укажите остаток от
деления этого числа на 5.
0102 03 04 00
29.	Функция у — 75 - 5х — 125х достигает своего наибольшего
значения в точке, абсцисса которой равна
0102 03 04 00
132
Вариант 4-а22
30.	Если Билл выкопает 7 м траншеи, а после этого Джек вы-
копает еще 9 м траншеи, то на все это протребуется 31 мин. Если
Билл выкопает 15 м траншеи, а после этого Джек выкопает еще
13 м траншеи, то на все это протребуется 63 мин. Если Билл выко-
пает 11м траншеи, а после этого Джек выкопает еще 11м траншеи,
то иа все это протребуется промежуток времени, продолжитель-
ность которого (в минутах) равна натуральному числу, остаток от
деления которого на 5 равен
01 0 2 ® 30 4® 0
Вариант 4-а22
1.	Раньше на некоторую сумму денег можно было купить 80 кг
конфет, а теперь можно купить за те же деньги 90 кг конфет. На
сколько процентов изменилась цена килограмма конфет?
® 12,5% ® 125% 0 12% ® 10% 0 П,(1)%
2.	Решите уравнение tg х • (cos х + ctg х) + sinx = 0.
[Т] (-1)*”^ 4- 7rm [2]	4- 2тгт |~з] (—1)т^ 4- тгтп [4]	4- 2тгтп
®(-l)m+1^ + 7rm, meZ
3.	Наименьшее значение функции у = х — 2\/х 4- 5 равно
[1]3®2®-4®4®0
4.	Разность наибольшего и наименьшего корней уравнения
|т — 1,5| 4- |х 4-1,5] =3 равна
Щ1®2 03 04 05
с „	.	(у = 2004 • |i| + 1,
5.	Сколько решений имеет система | ^,2 _|_ ^2 _ ?
fT] одно [2~] два [з] три [4] четыре или больше четырех
[К] решений иет
133
Варианты вступительных экзаменов
6.	Сумма всех различных корней уравнения
х2 — 62$ + 26 = 0 равна натуральному числу. Укажите остаток
от деления этого числа на 5.
01 В2 030400
7.	Все решения неравенства у/х < 3 образуют множество
0 [0; Л) 0 (—оо; 9) 0 [0; 9) Щ (V5; +оо)
0 (-оо; 0] (J (у/З; +оо)
8.	Решите уравнение log4 х = 5.
|Т] х =- 54 [2~| х = log5 4 j~3~j х — ^5 [5] х = log4 5 [~5~] а; = 45
9.	В первом году число жителей города М было равно 19, во
втором году к ним присоединились еще 13, каждый следующий
год число присоединившихся уменьшалось на 6. Наибольшее ко-
личество жителей города равно натуральному числу, остаток от
деления которого на 5 равен
01 02 [3]3 04 00
10.	Если число х равно корню уравнения
_1OV?4 losvu»
х  7	=11	, то
0x6(0; 1) 0х 6 [1; 2) 0хб[2; 4) 0 х 6 [4; 5)
0 х 6 [5; 999)
11.	Произведение всех различных корней уравнения
я2 — 2|z| — 15 = 0 равно
0-9 025 0-15 09 0-25
12,	Если число р равно наименьшему положительному корню
уравнения sin(69 х) + sin(23 х) = 0, то значение выражения — рав-
но натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102030400
134
Вариант 4-а22
13.	При каких значениях параметра т система уравнений
{4х — ту = -2,	.	_
. имеет бесконечно много решений?
тх — у = 1
0 m 6 {-2; 2} 0 m 6 (-оо; -2) J (-2; 2) [J (2; +оо)
[з] таких значений параметра не существует [4] т = 2
|~5] m — —2
14.	Площадь фигуры, которую определяет система неравенств
Гх2 + у2 < 2xt
<	. .	-< равна
15.	Первый член геометрической прогрессии с положительны-
ми членами равен 4 — 2\/3, а третий член равен 1. Первая цифра
после запятой в представлении второго члена этой прогрессии в
виде десятичной дроби равна
0107030500
16.	Площадь S треугольника, ограниченного отрезками
осей абсцисс и ординат и отрезком касательной к параболе
у = х2 — 2х + 14, проведенной через точку этой параболы с
абсциссой х ~ 0, равна натуральному числу. Укажите остаток от
деления числа S на 5.
102030400
17.	Просрочив платеж, квартиросъемщик был вынужден за-
платить еще и штраф в размере 25% суммы платежа. Если вместе
эти расходы составили 350 руб., то сумма платежа составила (в
рублях)
|Т] 258 [2] 262,5 [з] 270 Щ 280 [б] 300
18.	Укажите множество значений функции у — log(x2+2) 8-
0 (-00; 0) U [3; +оо) 0 [3; +оо) 0 (0; 0, (3)] 0 (0; 2]
0 № 3]
135
Варианты вступительных экзаменов
2	10
19.	Корень уравнения arctg - + arctg = arctg х равен нату-
□	I
ральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 @2 03 04 00
20.	Площадь треугольника АВС равна 100. На стороне АВ взя-
та точка М, причем AM : АВ = 3 : 10. На стороне ВС взята точ-
ка N, причем BN : ВС = 4 : 10. На стороне СА взята точка К, при-
чем СК : С А = 5 : 10. Площадь треугольника MNK равна нату-
ральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 @2 03 04 00
21.	Множество всех значений параметра /с, при которых урав-
24-|аг-3|	*	_
некие -------1 = кх не имеет корней, представляет собой отре-
х — 3
зок, длина которого — натуральное число. Укажите остаток от
деления этого числа на 5.
01 02 03 04 00
22.	В равнобедренную трапецию с основаниями 3 и 48 вписан
круг. Его радиус равен натуральному числу, остаток от деления
которого на 5 равен
0102 03 04 00
23.	Сумма всех различных значений параметра р, при кото-
g
рых уравнение (р2 — 3p)z2 + 8х + 4 + - = 0 имеет единственный
Р
корень, равна
0102030405
24.	Число 5, равное сумме всех различных значений парамет-
{х2 -Ь- у2 — 4х,
х _|_ у _ р имеет един-
ственное решение, удовлетворяет условиям
0 S е (0; 1) 0 S е [1; 2) 0 S е [2; 4) 0 S е [4; 6)
0 S е [6; 999)
136
Вариант 4-а22
25.	Наименьший положительный корень уравнения
2 sin2 х + >/27 sin х + 3 = 0 принадлежит промежутку
0*е (о;	0г6	0x6 (,; £] 0,е (£;
0 ® € (у; 2ir]
26.	Все решения неравенства (log81 д)1083 logai х 16 образуют
промежуток, длина которого равна натуральному числу. Остаток
от деления этого числа на 5 равен
Щ 1 0 2 0 3 0 4 0 О
27.	Сумма вклада в банке после первого года хранения равня-
лась 36 у. е., а после третьего года хранения — 81 у. е. На сколько
у. е. увеличился вклад за первый год хранения, если процентная
ставка не менялась, доход начисляется в конце каждого года и
прибавляется к сумме вклада?
010 015 09 012 013,5
28.	Наибольшее значение параметра р, при котором все реше-
ния неравенства [ж — р| 14 являются также решениями неравен-
ства |z — Зр| 36, равно натуральному числу. Укажите остаток от
деления этого числа на 5.
0102030400
29.	Функция у = 12 • 2х — достигает своего наибольшего зна-
чения в точке, абсцисса которой равна
01 02 03 04 00
30.	Если Билл выкопает 11 м траншеи, а после этого Джек
выкопает еще 9 м траншеи, то на все это протребуется 27 мин.
Если Билл выкопает 15 м траншеи, а после этого Джек выкопает
еще 17 м траншеи, то на все это протребуется 43 мин. Если Билл
выкопает 13 м траншеи, а после этого Джек выкопает еще 13 м
137
Варианты вступительных экзаменов
траншеи, то на все это протребуется промежуток времени, про-
должительность которого (в минутах) равна натуральному числу,
остаток от деления которого на 5 равен
0102 03 04 00
Вариант 4-а23
1.	Раньше на некоторую сумму денег можно было купить 40 кг
конфет, а теперь можно купить за те же деньги 50 кг конфет. На
сколько процентов изменилась цена килограмма конфет?
0 20% 0 25% 0 10% 0 125% 0 90%
2.	Решите уравнение tgх • cosх + 1 = — sins.
|Т] (-1)™“ 4- тгт [2]	+ 2тгт [з] (-l)rn+1— + тгт
[J] ±~ 4- 2лт [б]	4- тгт, т Е Z
3.	Наименьшее значение функции у = х — бу/z 4-11 равно
030110-40502
4.	Разность наибольшего и наименьшего корней уравнения
х — 2| 4- 4- 2| = 4 равна
0102 03 04 05
, _	.	(у = 2004  |z| - 1,
5.	Сколько решений имеет система <	_|_ ^2 __ j ?
|Т] одно |~2] два [з! три j~4~j четыре или больше четырех
[К] решений нет
6.	Сумма всех различных корней уравнения
я? — 74т 4-47 — 0 равна натуральному числу. Укажите остаток
от деления этого числа на 5.
0102 03 04 00
138
Вариант 4-а23
7.	Все решения неравенства у/х < 4 образуют множество
0 [0; 2) @ (-оо; 16) @ (2; +оо) 0 [0; 16)
0(-оо; 0) |J (2; +оо)
8.	Решите уравнение log3£ — 2.
|Т] х = 23 [2] х = З2 [з] X = log3 2 Щ 23 = log2 3 [5] X =
9.	В первом году число жителей города М было равно 29, во
втором году к ним присоединились еще 22, каждый следующий
год число присоединившихся уменьшалось на 7. Наибольшее ко-
личество жителей города равно натуральному числу, остаток от
деления которого на 5 равен
01 @2 @3 04 @0
in I?	J°£v-34	*^7
10.	Если число х равно корню уравнения х • 3	=5	,
е (0; 1) @®б(1; 2) @о:ё[2; 3) Щ х € [3; 4)
Щ X е [4; 999)
11.	Произведение всех различных корней уравнения
х2 4- 2[т| — 15 = 0 равно
И -9 @25 @-15 0 9® -25
12.	Если число р равно наименьшему положительному корню
уравнения sin(93 ж) + sin(31 т) = 0, то значение выражения — рав-
Р
но натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01@20304@О
13.	При каких значениях параметра т система уравнений
{2х + ту 3, имеет беСконечно много решений?
тх + 8у = 6	к
|~1~| т = 4 [2] т = -4 [з]т е {4; -4}
j~4~j таких значений параметра не существует
ЦО т е (-оо; -4) (J (-4; 4) (J (4; +оо)
139
Варианты вступительных экзаменов
14.	Площадь фигуры, которую определяет система неравенств
х2 + у2 2т,
. равна
х-1,

15.	Первый член геометрической прогрессии с положительны-
ми членами равен 1, а третий член равен 2л/2 4- 3. Первая цифра
после запятой в представлении второго члена этой прогрессии в
виде десятичной дроби равна
03 00 04 06 07
16.	Площадь S треугольника, ограниченного отрезками
осей абсцисс и ординат и отрезком касательной к параболе
у = х2 — 2х + 8, проведенной через точку этой параболы с абс-
циссой х = 0, равна натуральному числу. Укажите остаток от
деления числа S' на 5.
0102 03 04 00
17.	Просрочив платеж, квартиросъемщик был вынужден за-
платить еще и штраф в размере 20% суммы платежа. Если вместе
эти расходы составили 336 руб., то сумма платежа составила (в
рублях)
[1] 250 [2] 258 [J] 270 Щ 268,8 0 280
18.	Укажите множество значений функции у — log(x2+9j 3.
S (0; 0,5] 0 (0; 1] [з] (0; 2] Щ (-оо; 0) J [2; +оо)
|У| [0,5; +оо)
2	4
19.	Корень уравнения arctg - + arctg ~ = arctg х равен нату-
ральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102 03 04 00
140
Вариант 4-а23
20* Площадь треугольника АВС равна 100. На стороне АВ взя-
та точка М, причем AM : АВ = 2 : 10. На стороне ВС взята точ-
ка N, причем BN : ВС = 4 : 10. На стороне СА взята точка К, при-
чем СК : С А = 6 : 10. Площадь треугольника MNK равна нату-
ральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 02 03 04 00
21.	Множество всех значений параметра к, при которых урав-
36 • |z - 41
нение-------~ кх не имеет корней, представляет собой огре-
х — 4
зок, длина которого — натуральное число. Укажите остаток от
деления этого числа на 5.
01 02 03 04 00
22.	В равнобедренную трапецию с основаниями 8 и 18 вписан
круг. Его радиус равен натуральному числу, остаток от деления
которого на 5 равен
0102030400
23.	Сумма всех различных значений параметра р, при кото-
12
рых уравнение (р2 — 4p)z2 + 8т + 4 -I-=0 имеет единственный
Р
корень, равна
0102030405
24.	Число S, равное сумме всех различных значений парамет-
f X2 + у2 = 2ас,
ра р, при которых система уравнений <	__ имеет еднн-
с х I у — р
ственное решение, удовлетворяет условиям
036 (0; 2) 0 S & [2; 3) 0 S б [3; 4) 0 3 6 [4; 6)
03 6 [6; 999)
25.	Наименьший положительный корень уравнения
2 sin2 х + -\/18 sin х + 2 = 0 принадлежит промежутку
0Z6 (о;	0x6	£) 0X6 [^; я) 0x6 [х;
® х е [у; 2тг]
141
Варианты вступительных экзаменов
26.	Все решения неравенства (log16 £)tog2 logie х 16 образуют
промежуток, длина которого равна натуральному числу, остаток
от деления которого на 5 равен
01 02 03 @4 00
27.	Сумма вклада в банке после первого года хранения равня-
лась 48 у. е., а после третьего года хранения — 108 у. е. На сколько
у. е. увеличился вклад за второй год хранения, если процентная
ставка не менялась, доход начисляется в конце каждого года и
прибавляется к сумме вклада?
030 028 027 020 024
28.	Наибольшее значение параметра р, при котором все реше-
ния неравенства |х — р| ^9 являются также решениями неравен-
ства — Зр| 27, равно натуральному числу. Укажите остаток от
деления этого числа на 5.
0102 03 04 00
, 8х
29.	Функция у == 256 -2 —— достигает своего наибольшего
значения в точке, абсцисса которой равна
0102 03 04 00
30.	Если Билл выкопает 13 м траншеи, а после этого Джек вы-
копает еще 11 м траншеи, то на все это протребуется 31 мин. Если
Билл выкопает 7 м траншеи, а после этого Джек выкопает еще 9 м
траншей, то иа все это протребуется 24 мин. Если Вилл выкопа-
ет 8 м траншеи, а после этого Джек выкопает еще 8 м траншеи,
то на все это протребуется промежуток времени, продолжитель-
ность которого (в минутах) равна натуральному числу, остаток от
деления которого на 5 равен
0102 03 04 00
142
Вариант 4-а24
Вариант 4-а24
1.	Раньше на некоторую сумму денег можно было купить 50 кг
конфет, а теперь можно купить за те же деньги 30 кг конфет. На
сколько процентов изменилась цена килограмма конфет?
Щ20% 022,5% [З] 40% 066,(6)% 080%
2.	Решите уравнение ctg х • sinx 4- 1 — — cosx.
[I] (-l)m~ 4- тгт [2] ± J + 2тгт [з]	0 ± V + 2тгт
о	0	Ou
[f]±l + 27rm, mez
и
3.	Наименьшее значение функции у — х — 10\/х + 25 равно
04 00 0-4 025 015
4.	Разность наибольшего и наименьшего корней уравнения
|х - 3| + |х 4- 3| ~ 6 равна
060802018012
- р	Л	(у — 2004 • |х| + 2,
5.	Сколько решений имеет система < ?	9	' *
[ х£ 4- у1 = 1 ?
ГГ] одно f~2~| два [з"[ три [4~| четыре или больше четырех
[~5~| решений нет
6.	Сумма всех различных корней уравнения
х2 — 65т 4-56 — 0 равна натуральному числу. Укажите остаток
от деления этого числа на 5.
0102030400
7.	Все решения неравенства \[х < 1 образуют множество
0 [0; 1) 0 (-оо; 1) 0 (-1; 1) 0 (1; +оо)
0 (-оо; 0] U (1; +оо)
8.	Решите уравнение log3x = 5.
0x = log53 0x = log35 0х = 35 0х = 53 0х = ^
143
Варианты вступительных экзаменов
9.	В первом году число жителей города М было равно 21, во
втором году к ним присоединились еще 16, каждый следующий
год число присоединившихся уменьшалось на 5. Наибольшее ко-
личество жителей города равно натуральному числу, остаток от
деления которого на 5 равен
01	030400
iog/уЗ
10.	Если число х равно корню уравнения х • 7	=3	,
то
03:6(0; 1) 0*6(1; 2) 0 х 6 [2; 3) 0 х 6 [3; 4)
0® 6 [4; 999)
11.	Произведение всех различных корней уравнения
т2 - |х| — 12 = 0 равно
0-9090-160160-12
12.	Если число р равно наименьшему положительному корню
уравнения sin (81 х) + sin (27 т) — 0, то значение выражения — рав-
но натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 02 03 04 00
13.	При каких значениях параметра т система уравнений
(х + ту~-2,	„
<	. „	' имеет бесконечно много решении г
[rnz + 16у = 8
[Т| т — 4 |~2~| т — -4 [У| т 6 {4; —4}
|~Т| таких значений параметра не существует
£ (-оо; -4) |J (-4; 4) |J (4; +оо)
14.	Площадь фигуры, которую определяет система неравенств
{х2 Ч- у2 4т,
_ . П1 равна
У>|я-2|,
0Л- 02?г 03л 04л 0^
&
144
Вариант 4-а24
15.	Первый член геометрической прогрессии с положительны-
ми членами равен 3 — 2\/2, а третий член равен 1. Первая цифра
после запятой в представлении второго члена этой прогрессии в
виде десятичной дроби равна
□ 10 6® 304® 7
16.	Площадь S треугольника, ограниченного отрезками
осей абсцисс и ординат и отрезком касательной к параболе
у = х2 — х + 6, проведенной через точку этой параболы с абс-
циссой х = 0, равна натуральному числу. Укажите остаток от
деления числа S на 5.
01 @203 04 ®0
17.	Просрочив платеж, квартиросъемщик был вынужден за-
платить еще н штраф в размере 40% суммы платежа. Если вместе
эти расходы составили 336 руб., то сумма платежа составила (в
рублях)
0235 0258 0201,6 0240 0270
18.	Укажите множество значений функции у = log(x3+8j 2.
0 (0; 0,(3)] 0(0; 3] ® [3; +оо) 0(-оо; 0) |J [0,5; +оо)
® [0,(3); +оо)
19. Корень уравнения
1	7
arctg - + arctg - = arctg х равен нату-
4	«
ральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102030400
20.	Площадь треугольника АВС равна 100. На стороне АВ взя-
та точка М, причем AM : АВ == 2 : 10. На стороне ВС взята точ-
ка N, причем BN : ВС = 3 : 10. На стороне С А взята точка К, при-
чем СК : СА = 4 : 10. Площадь треугольника MNK равна нату-
ральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102030400
145
Варианты вступительных экзаменов
21.	Множество всех значений параметра k, при которых урав-
56 • ж - 8|
нение--------1 = кх не имеет корней, представляет собой отре-
х — 8
зок, длина которого — натуральное число. Укажите остаток от
деления этого числа на 5.
01 02 03 Щ4 00
22.	В равнобедренную трапецию с основаниями 12 и 27 вписан
круг. Его радиус равен натуральному числу, остаток от деления
которого на 5 равен
0102030400
23.	Сумма всех различных значений параметра р, при которых
уравнение (р — 2)т2 + 8рт + 4р3 = 0 имеет единственный корень,
равна
01 02 03 04 05
24.	Число 5, равное сумме всех различных значений парамет-
( х2 + у2 - 2х 4- 2у,
ра р, при которых система уравнений < х +	имеет
единственное решение, удовлетворяет условиям
0 S е (0; 2) 0 S е [2; 4) 0 S 6 [4; 6) 0 S 6 [6; 8)
0 S е [8; 999)
25.	Наименьший положительный корень уравнения
2 cos2 х + 5 cos х + 2 = 0 принадлежит промежутку
0х6(О; £]0*е(^;	0-4^ т]
0 х е 2,г]
26.	Все решения неравенства (log32 т)1о851°8за х 5 образуют
промежуток, длина которого равна натуральному числу. Остаток
от деления этого числа на 5 равен
0102030400
146
Вариант 5-all
27.	Сумма вклада в банке после первого года хранения равня-
лась 24 у. е., а после третьего года хранения — 54 у. е. На сколько
у. е. увеличился вклад за первый год хранения, если процентная
ставка ие менялась, доход начисляется в конце каждого года и
прибавляется к сумме вклада?
015 08 012 09 010
28.	Наибольшее значение параметра р, при котором все реше-
ния неравенства |х — р| 11 являются также решениями неравен-
ства |х — 4р|	35, равно натуральному числу. Укажите остаток от
деления этого числа на 5.
@102030400
29.	Функция у ~ 48 • 2х — 8х достигает своего наибольшего зна-
чения в точке, абсцисса которой равна
0102030400
30.	Если Билл выкопает 8 м траншеи, а после этого Джек вы-
копает еще Им траншеи, то на все это протребуется 38 мнн. Если
Билл выкопает 13 м траншеи, а после этого Джек выкопает еще
10 м траншеи, то на все это протребуется 39 мин. Если Билл выко-
пает 3 м траншеи, а после этого Джек выкопает еще 3 м траншеи,
то на все это протребуется промежуток времени, продолжитель-
ность которого (в минутах) равна натуральному числу, остаток от
деления которого на 5 равен
0102030400
Вариант 5-а11
1.	Если (л/48-7)а: = 1, то значение х равно
[1]-7+ 1/48 @ 7 - V48 @ -7 - 1/48 @ 7 + 1/48 @ 41
2.	В этом году число студентов на одном из факультетов бу-
дет больше на 12 человек, что эквивалентно увеличению на 30%.
Сколько студентов учились на этом факультете в прошлом году?
@120 @30 @250 @40 @500
147
Варианты вступительных экзаменов
3.	Сколько корней имеет уравнение |r| = (х — I)2 ?
[Т] одни [~2~| два [з~[ три 0 четыре или больше четырех
корней нет
4.	Найдите сумму всех различных значений параметра р, при
которых прямая у ~ (р2 — 4р — 5)т + Зр — р2 проходит через нача-
ло координат на плоскости (т; у).
0 1 0 2 @ 3 @ 4 [Ц 5
5.	Корень уравнения 6* = 18 принадлежит промежутку
0 (-99; 1] 0 (1; 2] 0 (2; 3] @ (3; 4] 0 (4; 99)
6.	Наименьшее значение функции у = ж — 8ут + 12 на проме-
жутке х 6 [1; 36] равно
0-4 00 0-1 @12 @4
7.	Сумма всех различных корней уравнения
\/х{х2 — 6ж + 5)
---1---------- — 0 равна
8.	Сумма всех корней уравнения sin 2т + cos х = 0, принадле-
жащих промежутку 0 х 2тг, равна
S 27Г @ у * @ 5тг @ у тг [б] Зтг
9.	Укажите все значения, которые может принимать величина
у при одновременном выполнении условий х + 2у = 5 и |г — 3| < 4.
0 [0,5; 4,5] 0 [0,5; 4] 0 [1; 5] @ [2; 6] 0 [-1; 3]
10.	Касательная к графику функции у — 4 — х — 2т2, проведен-
ная через точку этого графика с абсциссой х = 0, пересекает ось
абсцисс в точке х ~ а, причем
[1]ае(-999; 1,5) 0 a € [1,5; 2,5) [з]а 6 [2,5; 3,5)
0а G [3,5; 4,5) ®аб[4,5; 999)
148
Вариант 5-all
11.	Сумма всех различных корней уравнения х4 + 35а:2 = 12т3
является целым числом. Укажите остаток от деления этого числа
на 5.
01 02 03 04 00
12.	При каких значениях параметра р система уравнений
{2х + ру = 1,	_
, D .не имеет решений?
рх 4- 8у = 4
0р = 4 [2]р = -4 @р е {4; -4}
[?] таких значений параметра не существует
оо; -4)|J(-4; 4) |J (4; +оо)
13.	Если число S равно сумме всех различных корней уравне-
ния |х — 7| + |15 — т| = 10, то
Щ S' € (-999; 10) [t| S € [10; 15) [з] S е [15; 20) Щ S 6 [20; 25)
05 6 [25; 999)
18
14.	Множество значений функции у ~	“— представляет
собой промежуток, длина которого равна
0 12 0 3 0 9 0 18 0 16
15.	В арифметической прогрессии сумма членов с номерами
6; 19; 10; 15 равна 16. Если число S равно сумме членов с но-
мерами от 4 до 21, то
0 S 6 (-999; 50) 0 S 6 [50; 60) 0 5 б [60; 70) 0 5 6 [70; 80)
05 6 [80; 999)
16.	Наименьший положительный корень уравнения
cos 2х = cos Зт принадлежит промежутку
0(0; 0,25] 0(0,25; 0,5] 0(0,5; 0,75] 0(0,75; 1] 0(1; 99]
/	2\
17.	Значение выражения tg 1 arccos - I равно
\	/
149
Варианты вступительных экзаменов
18.	Найдите сумму указанных членов геометрической прогрес-
сии — 1 + 2 — 4-f-8 — 16 + • •  + 512 и укажите остаток от деления
полученного значения иа 5.
01 02 03 @4 00
19.	Если Билл увеличит свою производительность труда на
400%, а Джек увеличит на 200%, то работа будет выполнена сов-
местно в 3, 7 раза быстрее, чем по плану. По плану Билл делает
п% работы, где
0 п е (0; 26) 0 п е [26; 30) 0 п е [30; 36) 0 п е [36; 39)
0 п 6 [39; 100)
20.	Все решения неравенства vx^ — 4^х + 3	0 образуют
промежуток, длина которого равна натуральному числу. Укажите
остаток от деления этого числа на 5.
0102030400
„	lo8vJ 3 + 2 logs 3
21.	Если X — --;----------, ТО
log2581
0 х £ (-999; 1,5) 0 х 6 [1,5; 2,5) 0т 6 [2,5; 3,5)
0тб[3,5; 4,5) 0т6[4,5; 999)
22.	Знаменатель бесконечно убывающей геометрической про-
грессии с положительными членами равен q = 0,4. Если увеличить
знаменатель иа 90%, то сумма прогрессии увеличится на
0 900% 0 87,5% 0 400% 0 275% 0 150%
23.	Укажите наибольшее значение параметра р, при котором
р2 + 8р + 3
прямая у — 2р — 6 — х и гипербола у —------- имеют един-
ая
ствениую общую точку.
150
Вариант 5-а12
24.	Сколько целых чисел являются решениями неравенства
log4 (т2 - Ют + 16) < 2 ?
[Т] ни одного или одно |~2] два |~3~| три Щ четыре
|~5~| пять или больше пяти
{Зх + у = 2,
х2 у
У х2
EI-8 ®-4 [3]-2 а 1 Е-1
26.	Длины оснований трапеции равны 20 и 30. Через точку
пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основа-
нию. Длина отрезка этой прямой между точками ее пересечения с
боковыми сторонами равна натуральному числу, остаток от деле-
ния которого на 5 равен
0 1 02 03 04 @0
27.	Наибольшее значение функции у = х3(20 — Зх2) на проме-
жутке х Е [0; +оо) равно натуральному числу. Укажите остаток
от деления этого числа на 5.
0102030400
28.	Найдите наибольшее значение параметра а, при котором
„ Г х2 + у2 = 10|х|,
система уравнении 1 |х|	|у| — а имеет ровно 4 решения, и
укажите в ответе остаток от деления ближайшего натурального
числа на 5.
01 02030400
29.	Площадь фигуры на плоскости, состоящей из всех точек,
координаты которых (х; у) удовлетворяют системе неравенств
||г| — 2| — 4 < у < 0, равна натуральному числу, остаток от деле-
ния которого на 5 равен
0102030400
151
Варианты вступительных экзаменов
30.	Сумма всех различных корней уравнения
log6(ar2 — 16г + 5) = 21og6(a;2 — 16г + 14) — 2 равна натуральному
числу, остаток от деления которого на 5 равен
0 1 0 2 0 3 0 4 0 О
Вариант 5-а12
1.	Если (\/24 — 5) х = 1, то значение х равно
0 -5 + v^4 0 -5 - v^4 0 19 0 5 + v^4 0 5 - v^4
2.	В этом году число студентов на одном из факультетов бу-
дет больше на 30 человек, что эквивалентно увеличению на 12%.
Сколько студентов учились на этом факультете в прошлом году?
Щ 40 [2] 120 [з] 250 Щ 30 Щ 500
3.	Сколько корней имеет уравнение |г| 4-1 = х2 ?
[Т| один [2~| два [з] три [4~| четыре или больше четырех
[К] корней нет
4.	Найдите сумму всех различных значений параметра р, при
которых прямая у = р2 — 4р — (р2 — Зр + 2)г проходит через нача-
ло координат на плоскости (г; у).
0102 03 04 05
5.	Корень уравнения 3х = 2 принадлежит промежутку
0 (-99; 1] 0 (1; 2] 0 (2; 3] 0 (3; 4] 0 (4; 99)
6.	Наименьшее значение функции у = х — 2\/х + 5 на проме-
жутке х 6 [0; 25] равно
03020—40400
7.	Сумма всех различных корней уравнения
х2(х2 - 5г + 6)
----------- — 0 равна
д*_2
0702030405
152
Вариант 5-а12
8.	Сумма всех корней уравнения sin 2х + v3cos х = 0, принад-
лежащих промежутку 0 х 2тг, равна
И?- @3.® ^05.0^
9.	Укажите все значения, которые может принимать величина
х при одновременном выполнении условий 2х + у — 5 и \у + 3| ^4.
0 [0,5; 4,5] 0 [0,5; 4] 0 [1; 5] 0 [2; 6] 0 [-1; 3]
10.	Касательная к графику функции у = Зя + 2х2 — 6, прове-
денная через точку этого графика с абсциссой х — 0, пересекает
ось абсцисс в точке х = а, причем
Ща € (-999; 1,5) @а€[1,5; 2,5) [з]а € [2,5; 3,5)
Ща € [3,5; 4,5) Щ а € [4,5; 999)
11.	Сумма всех различных корней уравнения х4 + 40а?2 = 13я?3
является целым числом. Укажите остаток от деления этого числа
на 5.
01 @2 03 04 00
12.	При каких значениях параметра р система уравнений
Г 2х + ру = 2,
< Л не имеет решений?
[рт + ау = р
0р = 4	-4	{4; -4}
Н Р е (~со; -4) U (-4; 4) IJ (4; +оо)
[К] таких значений параметра не существует
13.	Если число S равно сумме всех различных корней уравне-
ния |ж — 3| + |9 — ж| = 8, то
0 S е (—999; 5) 0 S € [5; 7) 0 S 6 [7; 9) 0 S € [9; 11)
0 S € [11; 999)
153
Варианты вступительных экзаменов
14.	Множество значений функции у — ------- представляет
sin х — 2
собой промежуток, длина которого равна
0 4 0 6 0 3 0 2 0 1
15.	В арифметической прогрессии сумма членов с номерами
9; 22; 11; 20 равна 18. Если число S равно сумме членов с но-
мерами от 6 до 25, то
0 S е (-999; 50) 0 5 е [50; 60) 0 S 6 [60; 70) 0 5 е [70; 80)
0 S 6 [80; 999)
16.	Наименьший положительный корень уравнения
cos 5х = cos 7х принадлежит промежутку
0(0; 0,1] 0(0,1; 0,25] 0(0,25; 0,5] 0(0,5; 0,75]
0(0,75; 99]
/	2\
17.	Значение выражения ctg I arccos - I равно
\ /
18.	Найдите сумму указанных членов геометрической прогрес-
сии 4 — 8 + •  • + 1024 и укажите остаток от деления полученного
значения на 5.
0102 03 04 00
19.	Если Билл увеличит свою производительность труда на
200%, а Джек увеличит на 600%, то работа будет выполнена сов-
местно в 6 раз быстрее, чем по плану. По плану Билл делает п%
работы, где
|Т) п е (0; 26) [г] n 6 [26; 30) [з] n G [30; 36) Щ п е [36; 39)
[б] п € [39; 100)
154
Вариант 5-al2
20.	Все решения неравенства Vx* — \fx — 2^0 образуют про-
межуток, длина которого равна натуральному числу. Укажите
остаток от деления этого числа на 5.
01 [2] 2 03 04 [5] 0
21.	Если х = 41°g7 9 + 2 ‘°^49 81, то
bg^(3?3)
0г 6 (-999; 1,5) 0 же [1,5; 2,5) 0г 6 [2,5; 3,5)
0 т 6 [3,5; 4,5) 0 т е [4,5; 999)
22.	Знаменатель бесконечно убывающей геометрической про-
грессии с положительными членами равен q = 0,2. Если увеличить
знаменатель на 80%, то сумма прогрессии увеличится на
Щ 25% [2] 10% [з] 62,5% Щ 15% [К] 50%
23.	Укажите наибольшее значение параметра р, при котором
р2 + 6р + 8
прямая у — 2р — 8 — х и гипербола у —--------- имеют един-
ят
ственную общую точку.
а? 0^
24.	Сколько положительных целых чисел являются решениями
неравенства log5 (я:2 — 2х — 3)	1 ?
|Т| ни одного или одно [2~] два [з] три |~4~] четыре
[б] пять или больше пяти
у - 8х = -6,
___2 у
___Ь — = 2.
у 2ят2
У
25.	Укажите наибольшее значение —, если 2я?2
х
030206010-6
26.	Длины оснований трапеции равны 110 и 90. Через точку
пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основа-
нию. Длина отрезка этой прямой между точками ее пересечения с
155
Варианты вступительных экзаменов
боковыми сторонами равна натуральному числу, остаток от деле-
ния которого на 5 равен
01 @2 03 04 00
27.	Наибольшее значение функции у — т3(80 — Зя2) на проме-
жутке х € [0; +оо) равно натуральному числу. Укажите остаток
от деления этого числа на 5.
01 02 03 04 00
28.	Найдите наибольшее значение параметра а, при котором
„ f х2 + у2 = 40|т|,
система уравнений < |^|	_ & имеет ровно 4 решения, и
укажите в ответе остаток от деления ближайшего натурального
числа на 5.
0102 03 04 00
29.	Площадь фигуры на плоскости, состоящей из всех точек,
координаты которых (х; у) удовлетворяют системе неравенств
||®| — 1| — 4 у 0, равна натуральному числу, остаток от деле-
ния которого на 5 равен
0102030400
30.	Сумма всех различных корней уравнения
log8(T2 — 8т — 7) = 21og8(T2 — 8т + 9) — 2 равна натуральному
числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 02 03 04 00
Вариант 5-а13
1.	Если (s/80 — 9)т = 1, то значение т равно
[1]	— 9 + \/80 @ 9 —	[з] 71 @ 9 + \/8б [б] — 9 —
2.	В этом году число студентов на одном из факультетов бу-
дет больше на 15 человек, что эквивалентно увеличению на 30%.
Сколько студентов учились на этом факультете в прошлом году?
@ 200 @50 [з] 125 @30 @500
156
Вариант 5-а13
3.	Сколько корней имеет уравнение |а?| = (х + I)2 ?
[Т| один [а~] два [з~| три |~4~] четыре или больше четырех
[К] корней нет
4.	Найдите сумму всех различных значений параметра р, при
которых прямая у = р2 — 2р — (р2 — Зр — 4)х проходит через нача-
ло координат на плоскости (х; у).
[Т] 1 @2 03 04 05
5.	Корень уравнения 3х = 33 принадлежит промежутку
0 (-99; 1] 0 (1; 2] 0 (2; 3] 0 (3; 4] 0 (4; 99)
6.	Наименьшее значение функции у — х — 10\/з7 + 25 на про-
межутке х е [4; 36] равно
04 00 0-4 025 015
7.	Сумма всех различных корней уравнения
х(х2 - 6х + 8) _
— U pcLoilcl
0602080400
8.	Сумма всех корней уравнения sin 2а: = 2 cos х, принадлежа-
щих промежутку 0 х 2тг, равна
02.0^.0^.03.05.
9.	Укажите все значения, которые может принимать вели-
чина х при одновременном выполнении условий 4х + 2у — 10 и
Ь-4|^3.
0 [-1; 2] 0 [-1; 3] 0 [1; 3] 0 [-1; 6] 0 [2; 6]
10.	Касательная к графику функции у — х + 2х2 — 6, проведен-
ная через точку этого графика с абсциссой х = 0, пересекает ось
абсцисс в точке х = а, причем
(-999; 1,5) [г) а € [1,5; 2,5) @аб [2,5; 3,5)
Щ а € [3, 5; 4,5) [б] a G [4,5; 999)
157
Варианты вступительных экзаменов
11.	Сумма всех различных корней уравнения х4 -I- 48т2 = 14т3
является целым числом, Укажите остаток от деления этого числа
на 5.
01 02 03 04 00
12.	При каких значениях параметра р система уравнений
{2т + ру = 5.
, п ,п не имеет решений?
рх + 8у = 10
Sp= —4 [2]р = 4 [З]р G {4; -4}
[Т| таких значений параметра не существует
[б]р € (-оо; -4) [J (-4; 4) (J (4; +оо)
13.	Если число S равно сумме всех различных корней уравне-
ния |т — 7| + [11 — т| = 6, то
Щ S € (-999; 5) [a] S € [5; 15) 0 S € [15; 25) Щ S € [25; 35)
[5] S € [35; 999)
14.	Множество значений функции у = ---
2suit - 3
собой промежуток, длина которого равна
Щ15@703[4]12[5]5
представляет
15.	В арифметической прогрессии сумма членов с номерами
8; 15; 10; 13 равна 12. Если число S равно сумме членов с но-
мерами от 5 до 18, то
0 S е (—999; 50) 0 S 6 [50; 60) 0 S е [60; 70) 0 5 е [70; 80)
0 S е [80; 999)
16.	Наименьший положительный корень уравнения
sin3T = sin 5т принадлежит промежутку
0(0; 0,25] 0(0,25; 0,5] 0(0,5; 0,75] 0(0,75; 1) 0(1; 99]
158
Вариант 5-а13
(	2
Значение выражения tg I arcsin -
\	о
равно
17.
[б~| не существует
18.	Найдите сумму указанных членов геометрической прогрес-
сии —1 + 2 — 4 + 8 — 16 + • •  + 2048 и укажите остаток от деления
полученного значения на 5.
02 03 04 @0
19.	Если Билл увеличит свою производительность труда на
400%, а Джек увеличит на 600%, то работа будет выполнена сов-
местно в 6,25 раза быстрее, чем по плану. По плану Билл делает
п% работы, где
Щ п € (0; 26) [а] п € [26; 30) [з] п е [30; 36) Щ п € [36; 39)
[б] n G (39; 100)
20.	Все решения неравенства ’У? — 2 Ух — 3 С 0 образуют
промежуток, длина которого равна натуральному числу. Укажите
остаток от деления этого числа на 5.
0102 03 04 00
41og76 — 21og73
21.	Если х ==--:----—-----, то
1ом12
0 х е (-999; 1,5) 0г ё [1,5; 2,5) 0г ё [2,5; 3,5)
0 г ё [3,5; 4,5) 0 г ё [4,5; 999)
22.	Знаменатель бесконечно убывающей геометрической про-
грессии с положительными членами равен q — 0,4. Если увеличить
знаменатель на 70%, то сумма прогрессии увеличится на
0 62,5% 0 72,5% 0 12,5% 0 87,5% 0 72%
159
Варианты вступительных экзаменов
23.	Укажите наибольшее значение параметра р, при котором
n 1 п	*	р2 + 4р + 13
прямая у — 2р — 10 — х и гипербола у = -------имеют един-
х
ственную общую точку.
24.	Сколько положительных целых чисел являются решениями
неравенства log2 (х2 - 8т + 7) < 4 ?
[Т| ни одного или одно [а~] два [з~| три 0 четыре
[К] пять или больше пяти
25.	Укажите наименьшее значение величины ху, если
( Зт + у - -2,
J 2
Xх У
I —+ Л = 2.
I У х2
И “4 0 -8 0 -2 0 -1 0 i
26.	Длины оснований трапеции равны 10 и 90. Через точку
пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основа-
нию. Длина отрезка этой прямой между точками ее пересечения с
боковыми сторонами равна натуральному числу, остаток от деле-
ния которого на 5 равен
И 1 0203 04 @0
27.	Наибольшее значение функции у — 7з?4(5 — 4а?) на проме-
жутке х € [0; +оо) равно натуральному числу. Укажите остаток
от деления этого числа на 5.
Щ10203 04 00
28.	Найдите значение параметра Я, при котором система урав-
х ( х2 -I- у2 = 2Я|я?|,
нений < . . ;	' имеет ровно б решений, и укажите в от-
( |ж| -I- |у| = 62
вете остаток от деления ближайшего натурального числа на 5.
0102 03 04 00
160
Вариант 5-а14
29.	Площадь фигуры на плоскости, состоящей из всех точек,
координаты которых (я; у) удовлетворяют системе неравенств
||т|-3|-5^у^0, равна натуральному числу, остаток от деле-
ния которого на 5 равен
01 @2 @304® О
30.	Сумма всех различных корней уравнения
log4(z2 — 12ж + 5) = 21og4(z2 — 12я + 9) - 2 равна натуральному
числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 02 03 Щ4 00
Вариант 5-а14
1.	Если (д/35 — 6)ж = 1, то значение х равно
0 -6 -	@ 6 +	0 -6 +	0 6 -	@ 29
2.	В этом году число студентов на одном из факультетов бу-
дет больше на 36 человек, что эквивалентно увеличению на 15%,
Сколько студентов учились на этом факультете в прошлом году?
041,(6) @ 360 0120 0300 @240
3.	Сколько корней имеет уравнение |т| = х2 ?
0 один [2~] два 0 три 0 четыре или больше четырех
0 корней нет
4.	Найдите сумму всех различных значений параметра р, при
которых прямая у = (р2 — 4р + 3)т + р — р2 проходит через начало
координат на плоскости (т; у).
0102030405
5.	Корень уравнения 2х — 22 принадлежит промежутку
Щ (—99; 1] 0 (1; 2] 0 (2; 3] 0 (3; 4] 0 (4; 99)
6.	Наименьшее значение функции у = х — 4у/х + 7 на проме-
жутке х G {1; 25] равно
0001030-407
161
Варианты вступительных экзаменов
7.	Сумма всех различных корней уравнения
а:3(а:2 - 7х 4-10)
—------------- — 0 равна
[1)7 02 010 04 05
8.	Сумма всех корней уравнения sin 2а: — >/3cosa:, принадле-
жащих промежутку ОО 2тг, равна
Е у71' S 37Г S уS 27Г Е у*
9.	Укажите все значения, которые может принимать вели-
чина х при одновременном выполнении условий 2а: 4- Зу = 17 и
|у-3| <4.
0 [-0,5; 4,5] 0 [2; 10] 0 [-2; 10] 0 [2; 7] 0 [-1; 3]
10.	Прямая, касающаяся графика функции у = 4 4- х 4- х2
в точке этого графика с абсциссой х = 0, пересекает ось абсцисс в
точке х ~ а, причем
[Т] а € (—999; 0,5) 0 а е [0,5; 1) [з] а 6 [1; 1,5) 0 а 6 [1,5; 2)
0 а € [2; 999)
11.	Сумма всех различных корней уравнения а:4 4- 16а:2 = Юж3
является целым числом. Укажите остаток от деления этого числа
на 5.
0102 03 04 00
12.	При каких значениях параметра р система уравнений
{рт + 27у== 21 Ж ИМееТ РешеНИЙ?
0р = 9 0р = -9 0рЕ{9; -9}
0 таких значений параметра не существует
0ре(-оо; -9) [J (—9; 9) |J (9; 4-00)
162
Вариант 5-al4
13.	Если число S равно сумме всех различных корней уравне-
ния |х — 3| + 111 —	= 10, то
0 S 6 (-999; 5) 0 S 6 [5; 11) 0 S 6 [11; 15) 0 S 6 [15; 20)
0 S 6 [20; 999)
15
14.	Множество значений функции у = ----- представляет
4 — sin х
собой промежуток, длина которого равна
g 15 0 7 0 2 й 5 0 3
15.	В арифметической прогрессии сумма членов с номерами
9; 23; 12; 20 равна 14. Если число S равно сумме членов с но-
мерами от 7 до 25, то
|Т] S 6 (—999; 50) g S е [50; 60) [з| S 6 [60; 70) [Z] S 6 [70; 80)
[б] S 6 [80; 999)
16.	Наименьший положительный корень уравнения
sin Зге — sin 7х принадлежит промежутку
0(0; 0,5] 0(0,5; 0,75] 0(0,75; 1] 0(1; 1,25] 0(1,25; 99]
17.	Значение выражения tg (arcsin^ ] равно
сУЩествует
V& Л V ®
18.	Найдите сумму указанных членов геометрической прогрес-
сии -14-2 — 4 + 8 — 16 -I-+ 512 и укажите остаток от деления
полученного значения на 5.
0102030400
19.	Если Билл увеличит свою производительность труда на
300%, а Джек увеличит на 800%, то работа будет выполнена сов-
местно в 6,8 раза быстрее, чем по плану. По плану Билл делает
п% работы, где
Щп 6 (0; 26) [2] п 6 [26; 30) Щ п е [30; 36) @n 6 [36; 39)
[б] п Е [39; 100)
163
Варианты вступительных экзаменов
20.	Все решении неравенства "Ут^ — 5vG + 6 0 образуют
промежуток, длина которого равна натуральному числу. Укажите
остаток от деления этого числа на 5.
01 02 03 04 00
21.	Если х = 6 log, 48 — 3 log, 9, то
log^e
0т е (-999; 1,5) е [1,5; 2,5) [з] х 6 [2,5; 3,5)
6 [3,5; 4,5) [б] г 6 [4,5; 999)
22.	Знаменатель бесконечно убывающей геометрической про-
грессии с положительными членами равен q = 0,6. Если увеличить
знаменатель на 60%, то сумма прогрессии увеличится на
[1] 800% [2] 1200% 0 900% Щ 875% [б] 525%
23.	Укажите наибольшее значение параметра р, при котором
о Z.	гг	Р2 + 5р + 6
прямая у = 2р — 6 — х и гипербола у =--------- имеют еднн-
х
ственную общую точку.
24.	Сколько положительных целых чисел являются решениями
неравенства log3 (т2 — 6т) < 3 ?
|Т| ни одного или одно [У| два |~3] три [4] четыре
[б]	пять или больше пяти
{2т — Зу — 7,
£ _|_ У _ __2
У ®
0 (1,4; -1,4) 0 (-0,7; 0,7) 0 (-1,4; 1,4) 0 (-1; 1)
®(1; -1)
26.	Длины оснований трапеции равны 30 н 70. Через точку
пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основа-
нию. Длина отрезка этой прямой между точками ее пересечения с
164
Вариант 5-а21
боковыми сторонами равна натуральному числу, остаток от деле-
ния которого на 5 равен
И1 0 2 0 3 0 4 0 О
27.	Наибольшее значение функции у = За;2(5 — 2а:3) иа проме-
жутке х £ [0; 4-оо) равно натуральному числу. Укажите остаток
от деления этого числа на 5.
01 @2 03 04 00
28.	Найдите наименьшее значение параметра R, при котором
( х2 + у2 ~ 2Я|®|,
система уравнений <	__ имеет ровно 4 решения, и
укажите в ответе остаток от деления ближайшего натурального
числа на 5.
01 02 03 04 00
29.	Площадь фигуры на плоскости, состоящей из всех точек,
координаты которых (я?; у) удовлетворяют системе неравенств
||а:| — 2) — 5 С у С 0, равна натуральному числу, остаток от деле-
ния которого на 5 равен
0102030400
30.	Сумма всех различных корней уравнения
log10(a:2 — 9а: — 5) = 2log10(a:2 — 9а: + 20) — 2 равна натуральному
числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102030400
Вариант 5-а21
1	. Вычислите значение выражения 9а:2 — 12а: 4- 3, если
2	+ ^/3
х 3	'
010203040Ц^
О
2.	Раньше рис был на 21% дороже гречки, затем рис подоро-
жал на 50%, а гречка подорожала на 65%, и теперь рис дороже
гречки на
0 10% 0 5% 0 7% 0 4% 0 6%
165
Варианты вступительных экзаменов
3.	На первом месте после залитой в десятичном представлении
наибольшего корня уравнения х2 — 6х + 8,84 = 0 стоит цифра
040105 02 06
4.	Если число S равно сумме всех различных корней уравне-
ния 3|х| = х 4-12, то
0S ё (-999; 2,1) 0 S ё [2,1; 3,2) 0 $ Е [3,2; 4,3)
U S ё [4,3; 5,4) 0 S е [5,4; 999)
5.	Сколько корней имеет уравнение х* — 2005 — х?
0 один 0 два 0три0 четыре или больше четырех
[б] корней нет
6.	Наибольшее значение функции у — 6 — 4sin(x 4- 3) равно
02 04 013 06 010
7.	Если 11 и 12 ~ различные корни уравнения
х — 10-\/Ё 4- 21 — 0 н S ~ \/xi 4-го
0S 6 (-999; 10,1) [2] SG [10,1; 11,2) [з] S 6 [11,2; 12,3)
Щ S 6 [12,3; 13,4) [б] S 6 [13,4; 999)
5т — 2
8.	Множество значений функции у =----- на промежутке
х 4- 2
— 1 х 1 представляет собой промежуток, длина которого равна
06 07,5 08 010 012
9.	Найдите все кории уравнения sinх — 1 = \/2 — 2sms, при-
надлежащие промежутку х 6 (0; 2тг).
0[~1 7Г ЗтГ Г—I 5тг 7тГ 7Г “1 7Г Г—। 7Г ЗтГ
- И 21 У0Т; у; 2 02®2;
10.	Если З1 = 27, то
Щтё (-999; 2,5) [J] х 6 [2,5; 3,5) Щ х 6 [3,5; 4,5)
[Л X 6 [4,5; 5,5) [б] яг 6 [5,5; 999)
166
Вариант 5-а21
11.	Угловой коэффициент касательной к графику функции
у — т7 в точке х == 2 равен натуральному числу, остаток от де-
ления которого на 5 равен
Е 1 Э 2 [3] 3 0 4 Щ О
12.	Найдите множество значений функции 2®-1 4- 3.
[1] (3; +оо) 0 (-1; +оо) Щ (-оо; -Ьоо) [0 (2; +оо) [б] (-оо; 3)
13.	Число, равное сумме квадратов всех корней уравнения
х2 + 4х — 2 — 0, принадлежит промежутку
□ [0; 16) 0 [16; 18) 0 [18; 20) Щ [20; 22) @ [22; 999)
14.	Билл н Джек, работая совместно, выполняют работу
за 18 ч. Билл за 3 ч делает столько же, сколько Джек за 7 ч.
За сколько часов выполнит всю работу Джек?
054? 027^ 060 064 ®48
15.	Еслих = Т7, , = 7з, z=^ + ^±.^-iniT0
xL — у1
Щ z 6 (-999; 17) 0 z 6 [17; 24) 0 z 6 [24; 37) 0 z 6 [37; 42)
0 z 6 [42; 999)
4	„	(log5(x3) + log8(yp) — p + 1,	,
16.	Система < ,	\ i\ „ , . имеет больше одно-
[ log5 (®12) + logs \У ) = 7p + 1
го решения при
£
£
4
T
единственном значении параметра p 6 (—оо;
единственном значении р £ (2; 6]
единственном р 6 (6; +оо)
ровно двух различных значениях р
таких р не существует
2]
17.	Прямая, касающаяся графика функции у = 23 — х3 в точке
этого графика с ординатой у = 0, пересекает ось ординат в точке
С ординатой у, равной
[Т] 24 0 32 0 16 Щ 48 0 96
167
Варианты вступительных экзаменов
18.	Наименьшее значение функции
у = х2 + 5а: - Юх/гг2 4- 5а: + 26 равно
0102 03 04 05
(%2 4- (у 4- 1)2 — 1
19.	Сколько решений имеет система <	, , „	’
1у = И?
|Т| одно |~2~| два [з] три [Т| четыре или больше четырех
[К] решений нет
20.	Числовое значение выражения log3 [4^log4 3+log89) j равно
н з| 0 з| @ 21 и 2| в 4
21.	Если Xi и Х2 — корни уравнения
(log3 а:)2 — log3 (а:5) 4- 3 — 0, то значение величины a:i • Х2 равно на-
туральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 02 03 04 00
22.	Если 11 и а:г - наименьшее и наибольшее решения нера-
венства log(a.3_8x+21j 6 > 1 и d = а:2 - a?i, то
0 d е (0; 0,5) 0</е[О,5; 1,5) 0 d 6 [1,5; 2,5)
0 de [2,5; 3,5) 0d6 [3,5; 999)
23.	В понедельник Билл съел 74 пряника, каждый последую-
щий день он съедал на 36 пряников больше, чем за предыдущий
день. Пусть N — количество пряников, съеденных им за все семь
дней недели. Укажите остаток от деления N на 5.
0102 03 04 00
24.	Функция у = Зя2 — 24а: 4- а;3 достигает своего наименьшего
значения на промежутке х 6 (0; 4-оо) в точке, абсцисса которой
равна t. Укажите верное утверждение.
0t 6 (0; 2,5) 0t 6 [2,5; 3,5) 0 t е [3,5; 4,5) 0te[4,5; 5,5)
[б] t G (5,5; 999)
168
Вариант 5-а21
25.	Найдите площадь фигуры на плоскости, состоящей из всех
точек, координаты которых (я; у) удовлетворяют системе нера-
f |®| + |у1 < 2,
венств {л 2	.
[ xz -Ь у2 > 4х.
[Г] 271- — 2 [2] 7г [3] 271- [4] 4тг — 8 [К] 8 — 7г
26.	Сумма всех различных корней уравнения
(я? — 15)[(я2 — За; — 1)(а?2 — Зя — 7) + 9] = 0 равна натуральному
числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102 03 04 00
27.	Банк начисляет проценты в конце года н прибавляет их ко
вкладу. Доход по вкладу за четвертый год хранения оказался боль-
ше дохода за первый год на 38 руб. Доход за второй год хранения
оказался больше дохода за первый год на 8 руб. В начале перво-
го года сумма вклада (в рублях) была равна натуральному числу,
остаток от деления которого на 5 равен
01 @2 03 04 00
28.	Укажите положительное значение параметра р, при кото-
ром уравнение logn х + log^. 11Р +5₽+6 — 2(р — 3) имеет единствен-
ный корень.
29.	Пусть число X равно наименьшему положительному корню
уравнения sinfz) • cos(4a?) • cosfSz) = —-?—г. Найдите значение
16 cos(г)
7Г	.
выражения — и укажите в ответе остаток от деления ближайшего
натурального числа иа 5.
0102030400
30.	В описанной около круга равнобедренной трапеции рассто-
яние от центра этого круга до дальней вершины относится к ра-
диусу круга как 4 : 1, длина меньшего основания равна 3. Найдите
169
Варианты вступительных экзаменов
большее основание трапеции и укажите остаток от деления бли-
жайшего натурального числа на 5.
Ё1 @2 ®3 04 00
Вариант 5-а22
1.	Вычислите значение выражения 9а:2 — 12а? 4-1, если
2.	Раньше рис был на 24% дороже гречки, затем рис подоро-
жал на 50%, а гречка подорожала на 20%, и теперь рис дороже
гречки на
0 54% 0 55% 0 56% U 58% 0 60%
3.	На первом месте после запятой в десятичном представлении
наибольшего корня уравнения х2 — 6а? 4- 8,19 = 0 стоит цифра
0701 05 09 03
4.	Если число S равно сумме всех различных корней уравне-
ния 2|а?| = х 4-12, то
|Т] S 6 (-999; 4,1) [a] S 6 [4,1; 5,2) [з] S 6 [5,2; 6,3)
Щ S 6 [6,3; 7,4) [б] S 6 [7,4; 999)
5.	Сколько корней имеет уравнение а:3 = 2005 4- а:?
[1] один |~2~| два [3~| три [Т| четыре или больше четырех
[б]	корней нет
6.	Наибольшее значение функции у — 1 4- 3sin(2a? — 4) равно
0 1 0 8 0 3 0 4 0 13
7.	Если a?i н х% — различные корни уравнения
х — 11\/х 4- 24 — 0 и S = y/xi 4- \/^2, то
[Т| S е (-999; 10,1) [2] S Е [10,1; 11,2) [з] S’ е [11,2; 12,3)
Щ S 6 [12,3; 13,4) [б] S е [13,4; 999)
170
Вариант 5-а22
8.	Множество значений функции у = —>—— иа промежутке
— 1 х 1 представляет собой промежуток, длина которого равна
Ию 08 06 015 012
9.	Найдите все корни уравнения cos х + 1 — V2 + 2 cos х, при-
надлежащие промежутку х € (0; 2тг).
10.	Если 2х — 16, то
[Т]я? е (—999; 2,5) [2] X е [2,5; 3,5) [з] х 6 [3,5; 4,5)
Щ х е [4,5; 5,5) [К] ж е [5,5; 999)
11.	Угловой коэффициент касательной к графику функции
у = х4 в точке х ~ 4 равен натуральному числу, остаток от де-
ления которого на 5 равен
И1 02 03 04 00
12.	Найдите множество значений функции 3 — 2х-1.
И (3; +оо) [г] (-оо; 3) Щ (-оо; 1) Щ (-оо; +оо) [б] (4; +оо)
13.	Число, равное сумме квадратов всех корней уравнения
х2 + 5т + 2 = 0, принадлежит промежутку
[1|[0; 15) 0 [15; 17) 0 [17; 19) 0 [19; 21) 0 [21; 999)
14.	Билл и Джек, работая совместно, выполняют работу
за 18 ч. Билл за 6 ч делает столько же, сколько Джек за 7 ч.
За сколько часов выполнит всю работу Джек?
041 039 028? 033? 036
15.	Если г = А у = 1, ^(l + y^Zy2~y)3. ">
0Z 6 (-999; 2) 0Z 6 [2; 7) 0Z £ [7; 12) 0 z 6 [12; 19)
[б] z 6 [19; 999)
171
Варианты вступительных экзаменов
16.	Системам. 62) 4< . 63rD< F ’ имеет больше одного
[log2 (ж4) 4- log3 (ур) ~р — 2
решения при
Т] единственном значении параметра р 6 (6; 4-оо)
2] единственном значении р 6 (~оо; 2]
Ц единственном р 6 (2; 6]
4] ровно двух различных значениях р
11]	таких р не существует
17.	Прямая, касающаяся графика функции у = 1 — х3 в точке
этого графика с ординатой у = 0, пересекает ось ординат в точке
с ординатой у, равной
02,403020403,6
18.	Наименьшее значение функции
у = х2 + 7х — 4\/х2 + 7х 4- 8 равно
Щ1 02 03 0405
1Q п	#	J(z - I)2 4-У2 = 1,
19.	Сколько решений имеет система $	. .
[у = |от|4-2?
|Т] одно |~2~j два [з] три [4~| четыре или больше четырех
|~5~] решений нет
20.	Числовое значение выражения log2 [о(log27 2+logfl 8)j равно
021 02? 0з| 03|01|
21.	Если xi и Х2 — корни уравнения
(log2 х)2 — log2 (ж9) 4- 7 = 0, то значение величины • гс2 равно на-
туральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102030400
172
Вариант 5-а22
22.	Если ху и Х2 — наименьшее и наибольшее решения нера-
венства	7	1 и d = а?2 — ^1, то
0<16 (0; 0,5) Щ d € (0,5; 1,5) 0 de [1,5; 2,5)
[4]dе [2,5; 3,5) 0 <16 [3,5; 999)
23.	В понедельник Билл съел 68 пряников, каждый последую-
щий день он съедал на 42 пряника больше, чем за предыдущий
день. Пусть W — количество пряников, съеденных им за все семь
дней недели. Укажите остаток от деления ЛГ на 5.
01 Ц]2 03 0400
24.	Функция у — х3 — Зя:2 — 24я: достигает своего наименьшего
значения на промежутке х G (0; 4-оо) в точке, абсцисса которой
равна t. Укажите верное утверждение.
016(0; 2,5) 016(2,5; 3,5) 01 6 [3,5; 4,5) 01 6 [4,5; 5,5)
016(5,5; 999)
25.	Найдите площадь фигуры на плоскости, состоящей из всех
точек, координаты которых (я; у) удовлетворяют системе нера-
J |ат| 4- |у| < 4,
венств < о '2' _
[яг 4- у 8т.
Щ 16 - 2тг @ 4тг ® 8тг - 8 Щ 32 - 4тг [б] 4тг 4- 8
26.	Сумма всех различных корней уравнения
(т - 40) [(я:2 — х — 2) (я:2 — х — 10) + 16] =0 равна натуральному
числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102030400
27.	Банк начисляет проценты в конце года и прибавляет их
ко вкладу. Доход по вкладу за четвертый год хранения оказался
больше дохода за первый год на 114 руб. Доход за второй год хра-
нения оказался больше дохода за первый год на 24 руб. В начале
первого года сумма вклада (в рублях) была равна натуральному
числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102030400
173
Варианты вступительных экзаменов
28.	Укажите положительное значение параметра р, при ко-
тором уравнение log3 х + logj, 3Р +6р+8 — 2(р — 4) имеет единствен-
ный корень.
29.	Пусть число X равно наименьшему положительному корню
уравнения sin(rc)-cos(4a;)-cos(8a:)-cos(16a:) ——г-----г — 0. Найдите
Ол COS[ XI
7Г
значение выражения ~ и укажите в ответе остаток от деления
ближайшего натурального числа на 5.
01 @2 @3 04 00
30.	В описанной около круга равнобедренной трапеции рассто-
яние от центра этого круга до дальней вершины относится к ради-
усу круга как у^5 : 1, длина меньшего основания равна 4. Найдите
большее основание трапеции и укажите остаток от деления бли-
жайшего натурального числа на 5.
0102030400
Вариант 5-а23
1.	Вычислите значение выражения 4гс2 — 4х — 3, если
14-Уб
Х "	2	’
0102 03 04
2.	Раньше рис был на 16% дороже гречки, затем рис подоро-
жал на 35%, а гречка подорожала на 8%, и теперь рис дороже
гречки на
0 43% 0 44% 0 45% 0 46% 0 48%
3.	На первом месте после запятой в десятичном представлении
наибольшего корня уравнения х2 — 4х 4- 3,84 = 0 стоит цифра
05 08 04 02 06
174
Вариант 5-а23
4.	Если число S равно сумме всех различных корней уравне-
ния 4|®| — гс + 15, то
|Т|5 6 (-999; 2,1) 0 S 6 [2,1; 3,2) 05б [3,2; 4,3)
Щ S 6 [4,3; 5,4) 0 S е [5,4; 999)
_	-з 2005
5.	Сколько корней имеет уравнение х —---?
х
[1]	один [2] два [з] три [4~| четыре или больше четырех
[б~[ корней нет
6.	Наибольшее значение функции у = 4sm(2rc — 3) — 1 равно
0 1 0 8 0 3 0 4 0 5
7.	Если Xi и Х2 — различные корни уравнения
х — 9\/х + 14 = 0 и S = у/х} + то
[1] S 6 (—999; 7,1) [2] S € [7,1; 8,2) [з] 5 6 [8,2; 9,3)
Щ S 6 [9,3; 11,4) [б] S 6 [11,4; 999)
__ 1
8.	Множество значений функции у =---- на промежутке
х 4- 3
—1 С х 1 представляет собой промежуток, длина которого равна
03 @4 0 6 05 02,5
9.	Найдите все корни уравнения 1 — cosх = \/1 — cost, при-
надлежащие промежутку х £ (0; 2л).
я; [з и ®;;
1—1 *—1 2	2 1—‘2 — 2 1—*22
10.	Если 3я = 243, то
[Т] ж е (“999; 2,5) [г] х е [2,5; 3,5) [з] х 6 [3,5; 4,5)
[Z] X 6 [4,5; 5,5) [б] х е [5,5; 999)
11.	Угловой коэффициент касательной к графику функции
у = гс6 в точке х = 3 равен натуральному числу, остаток от де-
ления которого на 5 равен
0102 03 04 00
175
Варианты вступительных экзаменов
12.	Найдите множество значений функции 4 — 7Ж“3
0 (4; +оо) [г] (-оо; +оо) [5] (-3; +оо) 0 (-оо; 4)
0 (-0°; -з)
13.	Число, равное сумме квадратов всех корней уравнения
яг2 + 7а; + 4 = 0, принадлежит промежутку
0 [0; 40) 0 [40; 43) 0 [43; 47) Щ [47; 51) 0 [51; 999)
14.	Билл и Джек, работая совместно, выполняют работу
за 15 ч. Билл за 5 ч делает столько же, сколько Джек за 6 ч.
За сколько часов выполнит всю работу Джек?
[1] 30 [2] 27~ [з] 41 0 33 [б] 36
_	/-	(х + у)3 — (х — у)3
15.	Если х = v7, у = 3, z = -------------z-----, то
9а:4 - у4
02 €(-999; 1,1) 0 z € (1,1; 2,2) [з] z е [2,2; 3,3)
02 € [3,3; 4,4) 02 € [4,4; 999)
16.
Система
flog3(a:2) 4- log8(yp) = р + 1,
[log3(a:6) -blog8(y9) =4р
имеет больше одного
решения при
£
£
Д
0
ровно двух различных значениях параметра р
таких значений р не существует
единственном р € (2; 6]
единственном р € (—оо; 2]
единственном р € (6; +оо)
17.	Прямая, касающаяся графика функции у = З3 — а:3 в точке
этого графика с ординатой у = 0, пересекает ось ординат в точке
с ординатой у, равной
0 144 0 72 0 81 0 54 0 108
176
Вариант 5-а23
18.	Наименьшее значение функции
у — х2 + 2х — 12>/ х2 + 2х + 41 равно
0 1 0 2 0 3 0 4 0 5
Г"	Л	Г + (У + I)2 = 1,
19.	Сколько решений имеет система <	. ,	, '
[У = |ж| - 1 ?
[Т] одно [2] два [з] три Щ четыре или больше четырех
|~5~] решений нет
20.	Числовое значение выражения log3 ^16^log8 3+log4 3)j равно
02^ 02? 01?
21.	Если X} и Х2 — корни уравнения
(log3 х) — log3 (х6) + 4 = 0, то значение величины xi  X2 равно на-
туральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102030400
22.	Если я?! и Х2 — наименьшее и наибольшее решения нера-
венства log(a.2_8a;+23) И > 1 и d = х2 - хь то
[1] d 6 (0; 0,5) [2] de [0,5; 1,5) [I] d е [1,5; 2,5)
Щ d е [2, 5; 3,5) [б] d е [3,5; 999)
23.	В понедельник Билл съел 97 пряников, каждый последую-
щий день он съедал на 33 пряника больше, чем за предыдущий
день. Пусть ДО — количество пряников, съеденных им за все семь
дней недели. Укажите остаток от деления ДО на 5.
0102030400
24.	Функция у = 2х3 — 9х2 — 60х достигает своего наименьшего
значения на промежутке х 6 (0; 4-оо) в точке, абсцисса которой
равна t. Укажите верное утверждение.
И t е (0; 2,5) [2ре [2,5; 3,5) е [3,5; 4,5)	[4,5; 5,5)
G [5,5; 999)
177
Варианты вступительных экзаменов
25.	Найдите площадь фигуры на плоскости, состоящей из всех
точек, координаты которых (ат; у) удовлетворяют системе нера-
И + |у| <4>
х2 + у2 < 8ат.
венств
[Т] 2тг Н- 4 [2] 4тг [з] 4тг Ч- 2 [Т| 2тг Ч- 2 [б] 4тг — 2
26.	Сумма всех различных корней уравнения
(ж — 10) [(т2 — 4от + 5)(от2 — 4гс + 1) + 4] — 0 равна натуральному
числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 @2 @3 04 go
27.	Банк начисляет проценты в конце года и прибавляет их ко
вкладу. Доход по вкладу за четвертый год хранения оказался боль-
ше дохода за первый год на 37 руб. Доход за второй год хранения
оказался больше дохода за первый год на 9 руб. В начале перво-
го года сумма вклада (в рублях) была равна натуральному числу,
остаток от деления которого на 5 равен
01 02 03 04 go
28.	Укажите положительное значение параметра р, при кото-
.	, .	_Р2+4р+13	.	.
ром уравнение log7 х + logs 7	= 2(р — 5) имеет единствен-
ный корень.
29.	Пусть число X равно наименьшему положительному корню
уравнения sin(rc)-соз(4я:)-со8(8т)-со8(16я:)‘СО8(32т) — -—* . . = 0.
64 cos(rc)
7Г
Найдите значение выражения — и укажите в ответе остаток от
/С
деления ближайшего натурального числа на 5.
0102g304go
30.	В описанной около круга равнобедренной трапеции рассто-
яние от центра этого круга до дальней вершины относится к ра-
диусу круга как 3:1, длина меньшего основания равна 6. Найдите
178
Вариант 5-а24
большее основание трапеции и укажите остаток от деления бли-
жайшего натурального числа на 5.
0102 03 04 00
Вариант 5-а24
1.	Вычислите значение выражения 16т2 — 8т 4-1, если
1-^/5
х_ _ .
02030405
2.	Год назад Билл был на 20% тяжелее Джека, с тех пор Билл
стал тяжелее на 55%, а Джек стал тяжелее на 50%, и теперь Билл
тяжелее Джека на
0 20% 0 24% 0 25% 0 27% 0 21%
3.	На первом месте после занятой в десятичном представлении
наибольшего корня уравнения х2 — 8т 4- 15,51 = 0 стоит цифра
09 0105 03 07
4.	Если число S равно сумме всех различных корней уравне-
ния 5|х| = х + 60, то
[Т] S е (-999; 2,1) 05 6 [2,1; 3,2) [з] S 6 [3,2; 4,3)
05 6(4,3; 5,4) ® S 6 (5,4; 999)
5.	Сколько корней имеет уравнение х3 — 2005т?
|Т| один |~2~| два 0 три Щ четыре или больше четырех
[б] корней нет
6.	Наибольшее значение функции у = 5sin(3rc + 2) — 3 равно
08020701205
7.	Если xi и Х2 — различные корни уравнения
х — 13\/т 4- 36 = 0 и S — y/xi 4- то
Щ S е (-999; 10,1) 0 5 G [10,1; 11,2) 0 S е [И, 2; 12,3)
0 S 6 [12,3; 13,4) 0 5 G [13,4; 999)
179
Варианты вступительных экзаменов
8.	Множество значений функции у =--- на промежутке
х + 3
— 1 С х 1 представляет собой промежуток, длина которого равна
@2,5 @3 @1,5 02 @4
9.	Найдите все корни уравнения cos re + 1 = %/3 + 3cosz, при-
надлежащие промежутку х 6 (0; 2тг).
В5тг 7тг г—1 тг г--] |—1 Зтг г~] 5тг
ГУ 02 0’0тЕг»
10.	Если 2х = 32, то
0 х е (-999; 2,5) 0 i е [2,5; 3,5) @ х ё [3,5; 4,5)
0x6 [4,5; 5,5) @гс 6 [5,5; 999)
11.	Угловой коэффициент касательной к графику функции
у — х3 в точке х — 3 равен натуральному числу, остаток от де-
ления которого на 5 равен
0102 03 @4 00
12.	Найдите множество значений функции Зх+1 + 2.
|Т| (—оо; 5) [2] (-оо; +оо) [з] (2; +оо) Щ (-оо; 2) [б] (5; 4-оо)
13.	Число, равное сумме квадратов всех корней уравнения
х2 + Зге + 1 = 0, принадлежит промежутку
0 [0; 4) @ [4; 6) @ [6; 8) 0 [8; 10) @ [10; 999)
14.	Вилл и Джек, работая совместно, выполняют работу
за 12 ч. Билл за 4 ч делает столько же, сколько Джек за 3 ч.
За сколько часов выполнит всю работу Джек?
0 21 0 28 @ 32 0 18 @ 26
15.	Если х = Л, 9 = 1, г=^ + У)3 + (» -1/)3 0
хл — ху£
[1] z G (-999; 2) 0 z е [2; 7) [I] z € [7; 12) Щ z 6 [12; 19)
[б]	Z е [19; 999)
180
Вариант 5-а24
16.
Система
log7(z3) 4-log2(y4)
log7(z6) + log2(^)
~P~ 3,
= p4-2
имеет больше одного
решения при
2
Z
4
т
ровно двух различных значениях параметра р
единственном значении р 6 (—оо; 2]
единственном р 6 (2; 6]
единственном р £ (6; +оо)
таких р не существует
17.	Прямая, касающаяся графика функции у — 8 — х3 в точке
этого графика с ординатой у — 0, пересекает ось ординат в точке
с ординатой у, равной
032 048 016 024 096
18.	Наименьшее значение функции
у = х2 + 5т — 6 л/ х2 + 5т 4- 11 равно
01 @2 03 04 05
„	f X2 4- (у - I)2 = 1,
19.	Сколько решений имеет система <
[у = W?
[Т] одно й два [з] три Щ четыре или больше четырех
[~б] решений нет
20.	Числовое значение выражения log2 p/Iog27 4+log9 2 j равно
0з| @21 02? 01| 0з|
21.	Если гсх и х2 ~ корни уравнения
(log2 z}2 — log2 (ж7) 4- 2 = 0, то значение величины rci • Х2 равно на-
туральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102030400
181
Варианты вступительных экзаменов
22.	Если £1 и Х2 — наименьшее и наибольшее решения нера-
венства log^a„7ж+14) 4 > 1 и d = аг2 — то
Щс/е (0; 0,5)	[0,5; 1,5) [з] d е [1, 5; 2,5)
@ d е [2,5; 3,5) [б] d 6 [3,5; 999)
23.	В понедельник Билл съел 79 пряников, каждый последую-
щий день он съедал на 23 пряника больше, чем за предыдущий
день. Пусть N — количество пряников, съеденных им за все семь
дней недели. Укажите остаток от деления N на 5.
Щ1 @2 [з]3 04 00
24.	Функция у = 2я3 — 72дг — Заг2 достигает своего наименьшего
значения на промежутке х € (0; +оо) в точке, абсцисса которой
равна t. Укажите верное утверждение.
0 t е (0; 2,5) 0 t е [2,5; 3,5) 01 е [3,5; 4,5) 01 е [4,5; 5,5)
0 t е [5, 5; 999)
25.	Найдите площадь фигуры на плоскости, состоящей из всех
точек, координаты которых (аг; у) удовлетворяют системе нера-
f |r| 4- |t/| < 4,
венств < 9 о'	„
(а: 4- у 4аг.
[1] 2тг + 4 [2] 4тг [з] 4тг 4- 2 [Т] 2тг 4- 2 [б] 4тг — 2
26.	Сумма всех различных корней уравнения
(аг — 35) [(а:2 — 5аг 4- 1)(аг2 — 5ж 4- 7) 4- 9] — 0 равна натуральному
числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102 03 04 00
27.	Банк начисляет проценты в конце года и прибавляет их
ко вкладу. Доход по вкладу за четвертый год храиеиия оказался
больше дохода за первый год на 196 руб. Доход за второй год хра-
нения оказался больше дохода за первый год на 36 руб. В начале
первого года сумма вклада (в рублях) была равна натуральному
числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 02 03 0400
182
Вариант 6-al 1
38. Укажите положительное значение параметра р, при ко-
тором уравнение log2 х -Ь logj. 2Р + р+ = 2(р — 3) имеет единствен-
ный корень.
29. Пусть число Д' равно второму по величине положительному
корню уравнения
cost#)  cos(4#)  cos(8t) • cos(16a;) • cos(32r) — „л-г- . ,. Найдите
64sin(#)
тг
значение выражения — и укажите в ответе остаток от деления
ближайшего натурального числа на 5.
30. В описанной около круга равнобедренной трапеции рассто-
яние от центра этого круга до дальней вершины относится к ра-
диусу круга как 5 : 1, длина меньшего основания равна 3. Найдите
большее основание трапеции и укажите остаток от деления бли-
жайшего натурального числа на 5.
И 1 0 2 0 3 й 4 0 0
Вариант 6-а11
1. Найдите остаток от деления числа 5866 на 4.
И102 @3 04 00
2. Производная функции бдт6 — 4дт8 в точке х = 1 равна нату-
ральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
И1 0 2 0 3 [I] 4 0 0
3. Если число q равно большему корню уравнения
(г - 2)2 3 = Зт — 6, то
Щдё (-999; 1,1) 0q 6 [1,1; 2,2) 0q е [2,2; 3,3)
® q е [3,3; 4,4) 0 q ё [4,4; 999)
183
Варианты вступительных экзаменов
4.	Значение выражения log2(64-27log8116) равно натуральному
числу, остаток от деления которого на 5 равен
@2@3 @4 00
К	Л	/ у ~ 2005 </[т[,
5.	Сколько решений имеет система <	. . о
11/ = И?
[Т] одно [2] два [з~| три [4] четыре или больше четырех
|~5~| решений иет
г- 5
6.	Сумма всех различных корней уравнения \Jx А—?= — 6
равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102 03 04 00
7.	Если число х равно корню уравнения 492z+31 — 710 * 12®-10, то
[1] х G (-999; 5,6) [I] х G [5,6; 6,5) [5] х G [6,5; 7,4)
@ х G [7,4; 8,3) Щ х е [8,3; 999)
8.	Сколько различных решений имеет уравнение
\/т2 + 2т 4- 1 — kx при — 1 < к < —0,5 ?
[Т] решений нет [~2~] одно [з~| два [Т] три [К] четыре
9.	Укажите наибольшее значение функции 14 tg х — tg2 х — 45.
0102030405
10. Две бригады, работая вместе, выполняют работу за 11 дней.
Эту же работу можно выполнить, если первая бригада будет рабо-
тать 10 дней, а вторая бригада 13 дней. На сколько процентов про-
изводительность первой бригады выше производительности вто-
рой бригады?
[1] на 100% [I] на 75% [з] иа 25% Щ на 32% [б] на 23%
184
Вариант 6-all
11.	Функция у ~ 243# — аг3 достигает своего наибольшего зна-
чения на промежутке (0; +оо) в точке, абсцисса которой равна на-
туральному числу. Укажите остаток от деления этого числа на 5.
01 @2 @3 04 00
12.	Производная функции sin(9ar) + cos(4t) + sin(8a;) в точке
х = 0 равна натуральному числу, остаток от деления которого
на 5 равен
0102030400
13.	Укажите все значения параметра а, при которых все
х € [1; 2] являются решениями неравенства ах > а2.
0 а е (-оо; 0) U (1; +оо) 0 а £ (0; 1) 0 а £ (0; 2)
0 а £ (-оо; 1)	(2; +оо) 0 а £ (-оо; 0) (J (2; +оо)
14.	Наименьший положительный корень уравнения
sin (дтгя +
0(0; 0,1) 0[О,1; 0,2) 0[О,2; 0,3) 0 [0,3; 0,4) 0 [0,4; 999)
15.	Один из корней уравнения у/х 4-46 —	4- 1 = 5 лежит на
промежутке
0 г £ (-1; 0,5) 0 х £ [0,5; 1,5) 0 х £ [1,5; 2,5)
0*6 [2,5; 3,5) 0х£[3,5; 5)
16.	Если х — х~1 — 3, то значение выражения
391	—1	~9	—Ч
аг+ х - х +х — х равно натуральному числу, в кото-
ром на крайнем правом месте стоит цифра
06 00 02 03 08
17.	Сумма всех различных значений параметра р, при которых
р — 3
графики функций у = 2 — т и у —-имеют ровно одну общую
тг\	1
--1 = — - принадлежит промежутку
о /	Z
185
Варианты вступительных экзаменов
точку, равно натуральному числу, остаток от деления которого
на 5 равен
И 1 й 2 0 3 й 4 Щ О
/ж + 4
18.	Все решения неравенства О-- С 2 образуют множество
И (-оо; -4] U [4; +оо) й (-оо; 2) J [4; +оо) й (2; 4]
ЙН; 4] й (-4; 2) (J [4;+оо)
19.	Наименьшее расстояние на числовой оси между двумя раз-
личными корнями уравнения sin я; + cos я + sin х cos х = — 1 равно
й^й^й^й^
20.	Сумма всех различных значений параметра р, при которых
х2 — 10г + 21
уравнение -----77----г = 0 имеет ровно один корень, равна на-
(ж — 4)(я — р)
туральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
й 1 й 2 И 3 й 4 й 0
21.	Доход по вкладу в банке в размере 20% начисляется в конце
года и прибавляется к сумме вклада. На сколько процентов сумма
вклада в конце пятого года больше суммы в конце второго года?
Укажите ближайшее к точному ответу значение (в процентах),
й 44 й 40 й 60 Н 73 й 64
_	7Г .	. 7Т
22.	Один из корней уравнения cos х  cos — + sin х  sin — = —1
5	5
принадлежит промежутку
И [0; ?) й [?; -) й к; ?) S [?= у) 01т= М
186
Вариант 6-all
23.	При каких значениях параметра р система уравнений
[ баг + 4Р • у = р + 3,
пО п	имеет бесконечно много решений;
[Г] одно значение р € (—оо; —2] [~2] одно значение р G (—2; 2)
[3]	одно значение р € [2; +оо) [4] таких значений не меньше двух
[б] таких значений параметра не существует
24.	При каких значениях параметра а уравнение
||я| — 2| — 1 = а имеет ровно два различных корня?
|Т] а — — 1 или a G (1; +оо) [~2] таких значений а не существует
[5]	а - 1 [Т| а 6 (-1; 1) [б] а 6 (-00; -1)
25.	Если число М равно наибольшему значению функции
-  221 - i • 27*, то
4	64
ЩМ е (-999; 1]	(1; 2] [з] Л/ е (2; 3] @ М е (3; 4]
[б]	М G (4; 999)
26.	Все решения неравенства 2ж~14-25-х<17 образуют проме-
жуток длина которого равна
01@2 03|4]4[5]5
27.	Если х — длина меньшего из всех шести отрезков, на кото-
рые делят точки касания вписанного круга стороны треугольника
(длины сторон 6, 9, 11), то
Щте (0; 2,3)	[2,3; 2,8) [з] я? в [2,8; 3,3)
[Цате [3,3; 3,8) [б] х е [3,8; 999)
187
1
Варианты вступительных экзаменов
28.	Все значения параметра а, при которых система уравнений
И + |у| = а,
Т2 + у2 = 1
имеет ровно четыре различных решения, образуют
множество
Еае(^; 1) й«€{0,5; 1}	^2} 0аё(1; \/2)
0а€(О,5; 1)
29.	Все значения х, для которых выполняется условие
2 + cos х < 6  cos2 —, образуют множество (тп 6 Z)
2
7Г
— + 2ятп;
О
+ 2ятп;
7Г	5тт	Л \
- + 2лтп; — + 2тгт I
6	о	/
г 2тт	2тг	л х
—-- + 2тгт; —- 4- 2?rm I
<	3	3	/
Л 7тг „	\
+ 2кт; + 2тгтп I
6	/
log3 X + 8 logz 3 < б
х > 1
30.	Множество всех решений системы неравенств
’ представляет собой промежуток, длина ко-
торого равна натуральному числу, остаток от деления которого
на 5 равен
01 @2 03 04 00
Вариант 6-а12
1. Найдите остаток от деления числа 6351 на 4.
0102030400
2. Производная функции За:3 + 4ж4 в точке х = 1 равна нату-
ральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102030400
188
Вариант 6-а12
3.	Если число q равно большему корню уравнения
{х 4- 2)2 = баг 4- 12, то
0«е(-999; 1,1) @ge[i,i; 2,2) @д е [2,2; 3,3)
0«е[3,3; 4,4) 0q 6 [4,4; 999)
4.	Значение выражения log /,(27-2|о*«81) равно натуральному
числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 0 2 @30 4 0 О
КГ	*	f У = 2005-УЫ,
5.	Сколько решений имеет система < % Q v 1 '
[ х2 + у2 = 1 ?
0 одно 0 два |~3~| три [Т] четыре или больше четырех
[б] решений нет
g
6.	Сумма всех различных корней уравнения у/х 4—7= = 5
у/Х
равна натуральному числу, остаток от деления которого иа 5 равен
0102030400
7.	Если число х равно корню уравнения 43х+17 = 210а:+14) то
0 г G (-999; 5,6) 0 х € [5,6; 6,5) [з] х G [6,5; 7,4)
0 х G [7,4; 8,3) Щ х G [8,3; 999)
8.	Сколько различных решений имеет уравнение
у/х2 — 4дг 4- 4 = кх при 0,5 < к < 1 ?
0 одно 0 два 0 три |~4~| четыре [~5~| решений нет
9.	Укажите наибольшее значение функции 12 tg х — tg2 х — 35.
В1@2@3@4@5
189
Варианты вступительных экзаменов
10.	Две бригады, работая вместе, выполняют работу за 10 дней.
Эту же работу можно выполнить, если первая бригада будет рабо-
тать 8 дней, а вторая бригада 11 дней. На сколько процентов про-
изводительность первой бригады ниже производительности вто-
рой бригады?
[1] на 100% [2] на 75% [з] на 50% Щ на 25% Щ на 33, (3)%
11.	Функция у — 432г — гг3 достигает своего наибольшего зна-
чения на промежутке (0; Ч-оо) в точке, абсцисса которой равна на-
туральному числу. Укажите остаток от деления этого числа иа 5.
0102030400
12.	Производная функции sin(7ar) + cos(8t) + sin(6®) в точке
х — 0 равна натуральному числу, остаток от деления которого
на 5 равен
И1®2® 30 4 0 0
13.	Укажите все значения параметра а, при которых все дей-
ствительные числа из промежутка х 6 [1; 2] являются решениями
неравенства ах < а .
0«е(-оо; 0) (J (1; +оо) 0 а е (0; 1) 0ае(О; 2)
[4] а 6 (—оо; 1)	(2; +оо) 0 а е (—оо; 0)	(2; +00)
14.	Наименьший положительный корень уравнения
. /	5тг\	\/3
sin I их + — 1 — ——- принадлежит промежутку
\ /	£
0(0; 0,1) 0(0,1; 0,2) 0 [0,2; 0,3) 0(0,3; 0,4) 0(0,4; 999)
15.	Один из корней уравнения \Ле Ч- 60 — Ч- 45 = 1 лежит на
промежутке
[Т] X G (—45; 0,5) Щ х G [0,5; 1,5) [з] х G [1,5; 2,5)
Щ х G [2,5; 3,5) Щ х G [3,5; 5)
190
Вариант 6-а12
16.	Если х + аг-1 = 4, то значение выражения
х~3 4- х~2 4- аг-1 4- х° 4- х1 4- х2 4- х3 равно натуральному числу, в
котором на крайнем правом месте стоит цифра
05 @3 @9 0 1 07
17.	Сумма всех различных значений параметра р, при которых
графики функций у = 6 ~ х и у — --имеют ровно одну общую
х
точку, равно натуральному числу, остаток от деления которого
на 5 равен
Щ1 02 @3@4 00
/г 4- 3 г-
18.	Все решения неравенства \	у2 образуют множе-
сгво	V*-1
0(-оо; 1) (J[5;+oo) @ (-оо; -3] (J [5; +оо) @ (1; 5]
0[-3; 5] 0[-3; 1) |J [5; +оо)
19.	Наименьшее расстояние на числовой оси между двумя раз-
личными корнями уравнения sin х 4- cos х = sin х cos х 4-1 равно
20.	Сумма всех различных значений параметра р, при которых
х2 — бгг 4- 8
уравнение ----77----- = 0 имеет ровно один корень, равна на-
(т —3)(яг—р)
туральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01@2@3@40О
21.	Доход по вкладу в байке в размере 30% начисляется в конце
года и прибавляется к сумме вклада. На сколько процентов сум-
ма вклада в конце четвертого года больше суммы в конце первого
года? Укажите ближайшее к точному ответу значение (в процен-
тах).
И 90 [I] 120 [З] 60 Щ 66 Щ 69
191
Варианты вступительных экзаменов
_	2тг .	. 2тг
22.	Один из корней уравнения cos х - cos + sin х • sin —- = — 1
5	5
принадлежит промежутку
S [°;	0 [у; -) ® h у) Е [у; у) Е [у;
23.	При каких значениях параметра р система уравнений
(4х + 2Р • у = р + 2,
< nD Л „ имеет бесконечно много решений г
(3P’:r + 9j/=p + 7	к
0 одно значение р € (—оо; 3] |~2~| одно значение р € (3; 5)
|~3~j одно значение р € [5; +оо) |~4~| таких значений не меньше двух
0 таких значений параметра не существует
24.	При каких значениях параметра а уравнение
||х| — 2| — 1 = а не имеет корней?
0 а = — 1 или а € (1; +оо) 0 таких значений а не существует
0 а - 1 0 а € (-1; 1) 0 а € (—оо; —1)
25.	Если число М равно наибольшему значению функции
2з»_1.2^,то
0 М € (-999; 1J 0 Л/ € (1; 2]	€ (2; 3] ЩМ € (3; 4]
(4; 999)
26.	Все решения неравенства 2® + 27-1 < 66 образуют проме-
жуток, длина которого равна
01 @2[3]3 04 05
27.	Если х — длина меньшего из всех шести отрезков, на кото-
рые делят точки касания вписанного крута стороны треугольника
(длины сторон 5, 8, 9), то
0 х G (0; 1,3) 0 х G [1,3; 1,8) 0 х G [1,8; 2,3)
Щ х € [2,3; 2,8) 0 х G [2,8; 999)
192
Вариант 6-а13
28.	Все значения параметра а, при которых система уравнений
И + Ы = 1,
\/:г2 + у2 == а
имеет ровно восемь различных решений, образу-
ют множество
Е“ё{1; -4) 0«
V *
0 а 6 (0,5; 1)
6 {1; V2} 0 а е (1; V^) 0 о ё (4=; 1)
V2
29.	Все значения ху для которых выполняется условие
3 cos4 х — 10 cos2 х sin2 х + 3 sin4 х < 0, образуют множество
(т е Z)
ГТ!	* X гтп М 2тг \
Щ	+ тгт; - + 7rmj |2|	+ тгт; — + 7rmj
f—i (к	5тг \ пл 71711 тгт\
Щ (- + 2тгт; — + 2тгт) Щ (- + —; - + —)
\ о	О	/	\ 4	2 J 2 г
ят тг тгт \
30.	Множество всех решений системы неравенств
J log2 х + 24logx 2	10,
<	1	представляет собой промежуток, длина
которого равна натуральному числу, остаток от деления которого
на 5 равен
01 ®2	04 00
Вариант 6-а13
1.	Найдите остаток от деления числа 9283 на 4.
01 02 03 04 00
2.	Производная функции 7х7 — бт6 в точке х ~ 1 равна нату-
ральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 02 03 04 00
193
Варианты вступительных экзаменов
3.	Если число q равно большему корню уравнения
(х + I)2 = 2т + 2, то
0J 6 (-999; 1,1) 0 g 6 [1,1; 2,2) ®9ё[2,2; 3,3)
0 g & [3,3; 4,4) 0 q ё [4,4; 999)
4.	Значение выражения log2 (32 - 3* * 9 1о®зт 512) равно натуральному
числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 @2 03 04 00
~	Г у = 2005 лДт]",
5.	Сколько решений имеет система s
( У = Я ?
[Т] одно |~2~] два [5] три [4] четыре или больше четырех
[б]	решений нет
Г- 21
6.	Сумма всех различных корней уравнения у/х Ч—-= = 10
у/х
равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102030400
7.	Если число х равно корню уравнения 165z+29 = 418®+2, то
Щ X G (-999; 5,6) 0 х G [5,6; 6,5) [з] х G [6,5; 7,4)
[3 X G [7,4; 8,3) ® х G [8,3; 999)
8.	Сколько различных решений имеет уравнение
•\/ж2 + 4т + 4 — кх при 1,5 < к < 2,5 ?
[Т] четыре |~2] три |~3~| два [4] одно [б] решений нет
9. Укажите наибольшее значение функции 8 tg яг — tg2 х — 13.
0102 03 04 05
194
Вариант 6-а13
10.	Две бригады, работая вместе, выполняют работу за И дней.
Эту же работу можно выполнить, если первая бригада будет рабо-
тать 10 дней, а вторая бригада 13 дней. На сколько процентов про-
изводительность первой бригады выше производительности вто-
рой бригады?
[J] на 100% [2] на 75% [з] на 25% Щ на 32% [б] на 23%
11.	Функция у = 108х — х3 достигает своего наибольшего зна-
чения на промежутке (0; +оо) в точке, абсцисса которой равна на-
туральному числу. Укажите остаток от деления этого числа на 5.
0102030400
12.	Производная функции sin(4x) + cos(7x) + sin(6x) в точке
х = 0 равна натуральному числу, остаток от деления которого
иа 5 равен
131 02 03 04 00
13.	Укажите все значения параметра а, при которых все дей-
ствительные числа из промежутка х € [1; 2] являются решениями
2	3
неравенства а х < а .
0а €(—оо; 0)|J (0; 1) 0 а 6 (1; +оо) 0 а € (-оо; 0)|J (0; 2)
@ а € (2; +оо) 0 а € (-оо; 0) |J (1; 2)
14.	Наименьший положительный корень уравнения
1
2
. I	8тг
Sin ( 7ГТ -----
\	5
принадлежит промежутку
0(0; 0.2) 0 [0.2; 0,3) 0 [0,3; 0.4) 0 [0,4; 0.5) 0 [0.5; 999)
15.	Один из корней уравнения л/т + 8 — у/х — 2 лежит на про-
межутке
й х G (0; 0,5) [2] х G [0,5; 1,5) [з] х G [1,5; 2,5) Щ х‘ G [2,5; 3,5)
0* е [3,5; 5)
195
Варианты вступительных экзаменов
16.	Если х — х-1 = 4, то значение выражения
ч о 1	„1	_2 —Я
т + т + т — х 4- х — х равно натуральному числу, в кото-
ром на крайнем правом месте стоит цифра
06 @002 03 08
17.	Сумма всех различных значений параметра р, при которых
р — 2
графики функций у — 4 — х и у =-----имеют ровно одну общую
х
точку, равно натуральному числу, остаток от деления которого
на 5 равен
01 @2 03 04 00
/	— 2
18.	Все решения неравенства	3 образуют множе-
V ж — 3
ство
0 (-оо; 0,5] U (3; +оо) 0 (3; 5] 0 [0,5; 5]
0 (-оо; 0,5] [J [5; -f-oo) 0 (-сю; 0,5] |J (3; 5]
19.	Наименьшее расстояние на числовой оси между двумя раз-
личными корнями уравнения 1 + sin яг = cost + sin я: cos я: равно
20.	Сумма всех различных значений параметра р, при которых
х2 -7x4-12
уравнение ------------- = 0 имеет ровно один корень, равна на-
{х - 1)(я? - р)
туральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 @2030400
21,	Доход по вкладу в банке в размере 40% начисляется в конце
года и прибавляется к сумме вклада. На сколько процентов сум-
ма вклада в конце четвертого года больше суммы в конце второго
года? Укажите ближайшее к точному ответу значение (в процен-
тах).
Щ 180 [2] 174 @ 96 [4] 80 [5] 100
196
Вариант 6-а13
22.	Один из корней уравнения cos х • cos — — sina? • sin у = 1
принадлежит промежутку
0 [о; у) 0 [у; -) ® к у) В [у; у) 0 [у; 2-)
23.	При каких значениях параметра р система уравнений
f 2х 4- Зр  у =р 4-1,	„
<	/ имеет бесконечно много решений?
|бр-т + 9у=р + 5	н
[Г] одно значение р € (—оо; —2] [2~| одно значение р G (—2; 2)
[з~| одно значение р € [2; 4-оо) Щ таких значений ие меньше двух
[К] таких значений параметра не существует
24.	При каких значениях параметра а уравнение
||а:| - 2| — 1 = а имеет ровно четыре различных корня?
|Т| а = —I или а € (1; 4-оо) [2] таких значений а не существует
0а = 1 0а ё (-1;1) 0аё(-оо; -1)
25.	Если число М равно наибольшему значению функции
Е	1
_ . 24х - -  251 то
16	8	’
0JH е (-999; 1] 0 М е (1; 2] 0ЛГ ё (2; 3] 0М ё (3; 4]
0 М ё (4; 999)
26.	Все решения неравенства 5® 4- 3 • S'"4” < 4 образуют проме-
жуток, длина которого равна
0102030405
27.	Если х — длина меньшего из всех шести отрезков, на кото-
рые делят точки касания вписанного круга стороны треугольника
(длины сторон 9, 13, 14), то
йтб(0; 2) @ х G [2; 3) 0 х G [3; 4) 0sG[4; 5)
0 х G [5; 999)
197
Варианты вступительных экзаменов
28.	Все значения параметра а, при которых система уравнений
Г |я| + |у| = 1,
< ^2 у2 _ а имеет ровно четыре различных решения, образуют
множество
0ае(-Ь 1) @аё{1; -^} |з]аб{1; V2} 006(0,5; 1)
®аё{0,5; 1}
5тг
— 4- тгт
6
-----F 7Г771
3
29.	Все значения т, для которых выполняется условие
1 4- cos 2х < 6  sin2 ху образуют множество (т 6 Z)
0	+
0	-Ьтгтп;
0 (_i+7rm;
7Г
- +7Г7П;
и
- 4- тгт
о
7Г
- 4" 7ГТП
30.	Множество всех решений системы неравенств
Г logo х 4-15 log- 2 < 8,	- ж
<	представляет собой промежуток, длина
[ х > 1
которого равна натуральному числу, остаток от деления которого
на 5 равен
Вариант 6-а14
1.	Найдите остаток от деления числа 2653 на 4.
[][|2 03 04 00
2.	Производная функции 8т8 — 7т7 в точке х ~ 1 равна нату-
ральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 @2 03 В4 0°
3.	Если число q равно большему корню уравнения
(х 4- З)2 = 5а: 4- 15, то
Ц] q 6 (-999; 1,1) 0 q 6 [1,1; 2,2) 0 q ё [2,2; 3,3)
0? е [3,3; 4,4) [5]д е [4,4; 999)
198
Вариант 6-а14
4.	Значение выражения log3 (81  4log8 27) равно натуральному
числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 [2] 2 [З] 3 0 4 [5] О
_ п	„	(у - 2005
5.	Сколько решений имеет система <	«
= У 
Щ одно [2] два [з] три [4~| четыре или больше четырех
[К] решений нет
Г- 12
6.	Сумма всех различных корней уравнения у/х Ч—— ~ 8
у/х
равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
Щ 1 0 2 ® 3 Щ 4 ® 0
7.	Если число х равно корню уравнения 256af+49 — s22®^1^ то
[1] х G (-999; 5,6) [2] х 6 [5,6; 6,5) [I] х G [6,5; 7,4)
g] отв [7,4; 8,3) [б] х С [8,3; 999)
8.	Сколько различных решений имеет уравнение
— 2х + 1 = kx при —0, 5 < k < 0 ?
(Tj одно |~2] два [з] три j~4] четыре [~5~] решений нет
9.	Укажите наибольшее значение функции 16 tg я: — tg2 х — 59.
01 @2 03 04 05
10.	Две бригады, работая вместе, выполняют работу за 10 дней.
Эту же работу можно выполнить, если первая бригада будет рабо-
тать 8 дней, а вторая бригада 11 дней. На сколько процентов про-
изводительность первой бригады ниже производительности вто-
рой бригады?
И на 100% [2] на 75% [з] на 50% g] на 25% [б] на 33, (3)%
199
Варианты вступительных экзаменов
11.	Функция у ~ 363т — а:3 достигает своего наибольшего зна-
чения на промежутке (0; +оо) в точке, абсцисса которой равна на-
туральному числу. Укажите остаток от деления этого числа на 5.
01 02 @3 04 00
12.	Производная функции sin(7x) 4- cos(8a?) 4- sin(9ai) в точке
х = 0 равна натуральному числу, остаток от деления которого
на 5 равен
01 02 03 04 Що
13.	Укажите все значения параметра а, при которых все дей-
ствительные числа из промежутка х G [1; 2] являются решениями
2	3
неравенства а х > а .
0 а е (-оо; 0) U (0; 1) 0 а ё (-оо; 0) |J (0; 2)
0 а ё (-оо; 0)	(1; 2) 0 а € (1; +оо) 0 а € (2; +оо)
14.	Наименьший положительный корень уравнения
. Л,	Зл\ х/3
sin 2тгт 4-) = — принадлежит промежутку
\	4/2
0(0; 0,4) 0 [0,4; 0,5) 0 [0,5; 0,6) 0 [0,6; 0,7) 0 [0,7; 999)
15.	Один из корней уравнения л/т 4- 34 — \/х 4- 2 = 4 лежит на
промежутке
Щ X G (—2; 0,5) 0X6 [0,5; 1,5) [з] х G [1,5; 2,5)
[3 X G [2,5; 3,5) Щ х G [3,5; 5)
16.	Если х 4- т”1 = 5, то значение выражения
4-	х~2 4- х~1 4- х° 4- г1 4- х2 4- т3 равно натуральному числу, в
котором на крайнем правом месте стоит цифра
0907010308
17.	Сумма всех различных значений параметра р, при которых
р-2
графики функций у — 12 — х и у —-имеют ровно одну общую
200
Вариант б-al4
точку, равно натуральному числу, остаток от деления которого
на 5 равен
0 1 @2 03 04 00
„	„	/т — 3 Г-
18.	Все решения неравенства \/----v2
V х 4-1
ство
0(-оо; -5] (J (-1; +оо) 0 [-5; -1) 0 (-оо;
образуют множе-
~5] U [3; +оо)
0(-1; 3] Е [-5; -1) (J [3;-f-oo)
19.	Наименьшее расстояние на числовой оси между двумя раз-
личными корнями уравнения cos х — sin х cos х — 1 — sin х равно
20.	Сумма всех различных значений параметра р, при которых
х2 — 4т 4- 3
уравнение --—------- = 0 имеет ровно один корень, равна на-
{х - 2)(т - р)
туральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 @2 030400
21.	Доход по вкладу в банке в размере 50% начисляется в конце
года и прибавляется к сумме вклада. На сколько процентов сум-
ма вклада в конце четвертого года больше суммы в конце второго
года? Укажите ближайшее к точному ответу значение (в процен-
тах).
0 125 0 150 0 225 Щ 375 [б] 237
22.	Одни из корней уравнения cos х • cos — +sma?  sin — 1
5	5
принадлежит промежутку
01»; у) 0 [у;") ®	® у) ® М
201
Варианты вступительных экзаменов
23.	При каких значениях параметра р система уравнений
Г Зх + Зр • у = р + 3,	?
< Jtl , n „ имеет бесконечно много решений j
(4Р  х + 18у = р + 8	н
0 одно значение р € (—оо; 3] 0 одно значение р 6 (3; 5)
|~3~| одно значение р е [5; 4-оо) 0 таких значений не меньше двух
[К] таких значений параметра не существует
24.	При каких значениях параметра а уравнение
||х| — 2| — 1 = а имеет ровно три различных корня?
0 а = — 1 или a е (1; +оо) 0 таких значений а не существует
0 а = 1 0 a G (-1; 1) 0 a е (-00; -1)
25.	Если число М равно наибольшему значению функции
Z . 23х - — • 20 то
8	128
0 М е (-999; 1] 0 М € (1; 2] 0 М € (2; 3] Щ М € (3; 4]
[5] М е (4; 999)
26.	Все решения неравенства 3®+2 + 31-а: < 28 образуют проме-
жуток, длина которого равна
В 1 й 2 0 3 0 4 0 5
27.	Если х ~~ длина меньшего из всех шести отрезков, на кото-
рые делят точки касания вписанного круга стороны треугольника
(длины сторон 8, 11, 13), то
0 х е (0; 1,3) 0х € [1,3; 1,8) 0хе[1,8; 2,3)
Щ х е [2,3; 2,8) 0 хе [2,8; 999)
202
Вариант 1-bll
28.	Все значения параметра а, при которых система уравнений
[|®| + |у| ~ 1,
1 Г~2~—2 — имеет ровно четыре различных решения, образу-
I у х 4“ у — а
jot множество
0«е(-4; 1) -U ®“6	(1,-
V 2	V 2
0а G (0,5; 1)
29.	Все значения х, для которых выполняется условие
„ э х	/
2 4- cos х > 6 • cos -, образуют множество (m 6 Z)
А
0 (”i+2я7П: f 4*2?rzn
।—। / 2тг	2тг
0(~у+ 2’"”; у + 2к
Л 5тг Л \
4- 2тгт; + 2тгт I
б /
5тг	7тг	Л \
— 4- 2тгт;	4- 2тгт)
о	б /
„ 4тг Л х
4- 2тгтп; — 4- 2тгт^
(log3 х + 12 logx 3^7
1 х > 1
30.	Множество всех решений системы неравенств
’ представляет собой промежуток, длина
которого равна натуральному числу, остаток от деления которого
на 5 равен
01 02 @3 04 Що
Вариант 1-Ы1
1.	Площадь треугольника, образованного отрезком прямой
2а? 4- Зу = 12 и отрезками координатных осей, равна
0 8 @ 24 ® 18 Щ 12 [б] 16
2.	Если затраты на покупку помидоров возросли на 82%, а це-
на килограмма помидоров увеличилась на 30%, то вес купленных
номидоров возрос на
0 48% 0 40% 0 52% 0 36% 0 32%
203
Варианты вступительных экзаменов
3.	Расстояние между нулями функции у = х2 + V33x + 2 рав-
но
01 [а]2 Ц] з 04 05
4, Значение выражения (\/б — ^4) • (\/зб + ^24 4- \/16) равно
Щ-Уб-^4 010 02 024 052
5.
Л; 0-А S
х 2 1—я? 4- 3 —
На рисунке изображен гра-
фик функции у =
2х г—I 2х
х — 3 '—' х - 2
6.	Если сумма седьмого и одиннадцатого членов арифметиче-
ской прогрессии равна 15, то сумма всех членов начиная с пятого
до тринадцатого включительно равна
й 60 @67,5 @75 @135 @120
7.	Все значения параметра а, при которых парабола у — х2
целиком расположена выше прямой у = 2а — 2ах, образуют мно-
жество
@-1<а<0@0<а<1@0<а<2@-2<а<0
@ -1 < а < 2
8.	Все решения неравенства ----- <------ образуют множе-
X 1 х 4- 3
ство
В (-5; -3)|J(1; +оо) 0 (-00; -5) |J (-3; +00)
0(-оо; -3) □(!; +оо) 0 (-5; 1) 0 (-оо; -5) J (-3; 1)
204
Вариант l-bll
9.	Если при смешивании первого раствора с концентрацией
70% и второго раствора с концентрацией 80% получился раствор
с концентрацией 74%, то количество первого раствора относится
к количеству второго раствора как
|Т]3:4 @4:3 03:2 Щ5:3 [5]2:3
/ тг А . /	\	. / Зтг
10.	Выражение cos I — — х 1 4- sm I х — тг 1 4- sm I — 4- х
тождественно равно
|Т| — cos х [2] cos х |~3~| —3 sin х |~4] sin а? [К] — sin х
11.	Укажите квадратное уравнение, корни которого в 2 раза
больше корней уравнения х2 — 4а? 4- 2 = 0.
[Г| х2 - 2 а? + 1 = 0 @ х2 - 8а? 8 = 0 [з] 2х2 - 4х + 1 = 0
[J] я;2 + 4а? 4-2 = 0 [К] а?2 — 8а? 4-4 = 0
12.	Множество всех корней уравнения а? • cos а 4- sin а — —х сов-
падает с множеством (—оо; 4-оо) при
Зтг
[Т] а = 2тгт @ а = — 4- 2тгт |~3~| а = тг 4- 2тгт |~4] а = —- 4- 2тгт
Гб] а — — 4- лт, т G Z
4
13.	Все решения неравенства log2(sina?) < log2(cosa?), принад-
лежащие промежутку 0 а? 2тг, образуют множество
0(ЧЖ (j э 0 (-4) 0 (г ?)
н(Ч)и(?; ?)
14.	Если первый член геометрической прогрессии равен 2,
а четвертый член равен —16, то третий член этой прогрессии равен
0 ~8 ® 8 ® 4^2 0 -4 [б] 4
15.	Выражение 6 1083 8 равно
йб [2] 1,5 [з]7 09 @2.5
205
Варианты вступительных экзаменов
16.	Сколько различных корней имеет уравнение
| \/х? + бзс + 9 — 1| — кх при к € (0; 1)?
|Т] один [2~| два |~3~| три |~4] четыре [К] корней нет
17.	В равнобедренном треугольнике с боковой стороной а и уг-
лом при вершине а — arccos(0,9) расстояние между основаниями
медианы и высоты, опущенных на боковую сторону из одной и той
же вершины основания, равно
|Т|0,1-а [2]0,2-а Щ0,3-а Щ0,4-а Щ0,5-а
18.	Все решения неравенства \/3 — х > 1 — х образуют проме-
жуток, длина которого равна
[Т|б[|]5[з]4{4]3Е2
19.	Наибольшее значение функции у = \/2 • sin х — \/7 • cos х
равно
Щ 3 [a] У2 + V7 0 7 Щ V7 - а/2 [в] л/14
20.	Укажите все значения параметра Ь, при которых система
f 8х + by = Ъ - 4,
уравнений <	— & имеет бесконечно много решений.
Щ b = 12 0 b £ (-оо; -12) |J (-12; +оо)
®ье(-оо; 12) и (12; 4-оо)
|~4] таких значений параметра не существует |~5~| 6 — — 12
21.	Все решения неравенства log i (4ж + 8)>—1 образуют
34-х2
множество
S (“2; -1) U (5; +оо) [й] (-2; 4-оо) [¥] (-оо; -2) J (-1; 5)
0 (-оо; -1) |J(5; +оо) [б] (-1; 5)
У + 7/и	1
22.	Выражение - •—тг—	—1-1—— при у ~ 0,5 равно
vW + VW	V#
04 08 00,25 00,5 02
206
Вариант 1-bll
23.	Пароход проходит 24 км против течения реки на 2 ч дольше,
чем тот же путь по течению. Сколько времени займет путешествие
в оба конца, если скорость течения реки 1 км/ч?
(Т] 17 ч [2] 12 ч [3] 15 ч Щ 10 ч [б] 13 ч
24.	Множество значений функции у = (х — 1)  |яг — 3| на про-
межутке х Е [0; 3] совпадает с множеством
0 [-3; о] Ё [-3; 1] 0 [-3; -1] 0 [-1; 1] 0 [-3; 3]
25.	Если в описанной около круга равнобедренной трапеции ра-
диус этого круга составляет 60% расстояния от центра круга до
дальней вершины, то синус острого угла трапеции равен
0 0,96 [2] л/3 0 | 00,92 00,98
О
26.	Площадь фигуры, состоящей из всех точек плоскости,
координаты которых удовлетворяют одновременно условиям
|ж| + |у|	4 и |у|	1, равна
|Т| 16 [2] 24 [з] 14 Щ 18 [б] 12
27.	Числовое значение выражения — arccos (sin(0, 2тг)) равно
0702030806
28.	Укажите множество всех значений параметра Ь, при кото-
f у = х2 4- 6,
рых система уравнений С _ |ж| имеет ровно четыре различ-
ных решения.
S (-оо;	0 (0; 1) 0 (|; +оо) 0 (0; 1) 0 (0; |)
29.	Значение выражения log3
равно
01 01 —log32 0108,2-1 0-log,2 0log,2
30.	Произведение всех корней уравнения	— 81 равно
0 9 [2] 27 ® 8! Н 243 [б] 729
11111
— -4- —	— 4" — 4~ —
2	4	8	1632
207
Варианты вступительных экзаменов
Вариант 1-Ы2
1.	Площадь треугольника, образованного отрезком прямой
Зя? + 4у = б и отрезками координатных осей, равна
Щ1 01,5 03 04 02
2.	Если затраты на покупку огурцов возросли на 92%, а цена
килограмма огурцов увеличилась на 60%, то вес купленных огур-
цов возрос на
Щ 18% [а] 24% 0 20% 0 36% 0 32%
3.	Расстояние между нулями функции у = х2 + 2v6x + 5 рав-
НО
Щ102030405
4.	Значение выражения (’У? — V0  (v/49 + 1У14 + ^4) равно
0v/7-v/2014 053 0905
0—J^0 2^
1—1 х — 2 — я? + 2 1— я? + 3
На рисунке изображен гра-
фик функции у=
0_^_
я? - 3 1—1 я? - 2
6.	Если сумма пятого и девятого членов арифметической про-
грессии равна 7, то сумма всех членов начиная со второго до две-
надцатого включительно равна
Щ 38,5 [2] 42 [з] 70 Щ 35 [б] 77
208
Вариант 1-Ь12
7.	Все значения параметра а, при которых парабола у — х2
целиком расположена выше прямой у == 2ах ~ 2а, образуют мно-
жество
Щ-1 < а <0 00 < а < 1 00 < а <2 Щ -2 <а <0
@-1<а<2
г.	1	2
8.	Все решения неравенства	—— <------ образуют множе-
0 (-2; 2) (J (6; +оо) 0 (-оо; -2) J (2; 6)
[з] (—оо; -6) (J (-2; 2) Щ (-6; -2) |J (2; +оо) 0 (-2; 6)
9.	Если при смешивании первого раствора с концентрацией
60% и второго раствора с концентрацией 68% получился раствор
с концентрацией 66%, то количество первого раствора относится
к количеству второго раствора как
03:202:301:403:101:3
10. Выражение cos
тождественно равно
+ sin
0 — sins 0 sin х 0 cos х 0—cost 0 —3 sin х
11. Укажите квадратное уравнение, корни которого в 2 раза
больше корней уравнения х2 — 5а? + 1 = 0.
0 х2 - 6т 4- 6 = 0 0 х2 ~ 20т + 8 = 0 0 х2 - Юж + 4 = 0
@ т2 - 5т + 2 = 0 0 4т2 - Ют + 1 = 0
12. Множество всех корней уравнения х • cos а + sin а ~ 1 сов-
падает с множеством (—оо; +оо) при
1*| а = 2тгт |2| а — - -
= 7 + тгт, т е Z
4
Зтг о
а = —- + 2тгт
2
209
Варианты вступительных экзаменов
13. Все решения неравенства log4(— sinrr) > log4(—cos а?), при-
надлежащие промежутку 0 х С 2тг, образуют множество
J \/т2 +	4- 9 - 1
?)
14.	Если первый член геометрической прогрессии равен 3,
а четвертый член равен —81, то второй член этой прогрессии равен
0-27 09^3 027 09 0-9
]Qg3 15	1
15.	Выражение 5 log35 равно
0 25 0 14 0 3 0 15 0 2
16.	Сколько различных корней имеет уравнение
— кх при к € (—2; —1)?
|Т| один ® Два ® три |~4] четыре [К] корней нет
17.	В равнобедренном треугольнике с боковой стороной а и уг-
лом при вершине а = arccos(0, 7) расстояние между основаниями
медианы и высоты, опущенных на боковую сторону из одной и той
же вершины основания, равно
(Т|0» 1 • а 00,2-а [з]о,3-а Що,4-а 00,5-а
18.	Все решения неравенства i/z-l-S > х + 1 образуют проме-
жуток, длина которого равна
01 02 03 04 05
19.	Наибольшее значение функции у — 2 • sin х — >/21 • cos х
0 \/21 + 2 0 ^21 0 \/21 - 2 0 2\/21 05
210
Вариант 1-Ь12
20.	Укажите все значения параметра 6, при которых система
f 2 а? by — b,
уравнении <	_ имеет бесконечно много решений.
I оtlr Уи — О О
0ь = -б 3‘=60 таких значений параметра не существует
0 Ь € (-оо; -6) |J (-6; +оо) 0 b е (-оо; 6) |J (6; +оо)
21.	Все решения неравенства log х (12а? — 24) > —1 образу-
11+х3
ют множество
Й(-оо; 2) U (5; 7) [2] (-оо; 5) |J (7; +оо) 0(2; 5) J (7; +оо)
0 (2;+оо) 0(5; 7)
22.	Выражение 1-+ 1 при х = 0,04 равно
х(у/х + 1) X
05 00,5 0 0,2 0-5 025
23.	Пароход проходит 112 км против течения реки на 1 ч доль-
ше, чем тот же путь по течению. Сколько времени займет путеше-
ствие в оба конца, если скорость течения реки 1 км/ч?
0 15 ч 0 17 ч 0 12 ч 0 18 ч 0 13 ч
24.	Множество значений функции у == (а? — 1) • |аг — 3| на про-
межутке a? G [1; 4] совпадает с множеством
0 [-1; 4] 0 [1; 3] 0 [-3; 3] 0 [0; 3] 0 [-1; 3]
25.	Если в описанной около круга равнобедренной трапеции
расстояние от центра этого круга до дальней вершины в 5 раз
больше радиуса круга, то косинус острого угла трапеции равен
00,96 00,875 00,92 0 0, 25 00,75
26.	Площадь фигуры, состоящей из всех точек плоскости,
координаты которых удовлетворяют одновременно условиям
|&| + |у|	4 и |а?|	3, равна
S 32 0 30 0 28 0 15 0 24
211
Варианты вступительных экзаменов
27.	Числовое Значение выражения — arccos (sin(0, 7тг)) равно
тг
07 01 03 Щ4 02
28.	Укажите множество всех значений параметра Ь, при кото-
( у - х2 + 6,
рых система уравнений <	имеет ровно четыре различ-
ных решения.
0 (0; 2) 0 (0; 4) 0 (2; 4) 0 (2; +оо) 0 (-оо; 4)
29.	Значение выражения
10g41-3+9-27 + 81“ 243 +-JPaBH0
0 1 — log3 2 0 log32 — 2 01og32 —1 01 —21og32
021og32- 1
30.	Произведение всех корней уравнения	= 256 равно
0 256 0 1024 0 1 0 2 0 4
Вариант 1-ЫЗ
1.	Площадь треугольника, образованного отрезком прямой
2х 4- Зу = 6 и отрезками координатных осей, равна
0301060401,5
2.	Если затраты на покупку апельсинов возросли на 76%, а це-
на килограмма апельсинов увеличилась на 10%, то вес купленных
апельсинов возрос на
0 68% 0 66% 0 64% 0 60% 0 72%
3.	Расстояние между нулями функции у = х2 + л/21т + 3 рав-
НО
0102030405
4.	Значение выражения (Уб + У4) • (У36 - У24 + У16) равно
0 Уб-VI 010 02 024 052
212
Вариант 1-ЫЗ
2т г—-1 2х
х - 3 ।— х - 2
На рисунке изображен гра-
фик функции у =
6.	Если сумма пятого н одиннадцатого членов арифметиче-
ской прогрессии равна 15, то сумма всех членов начиная с третьего
до тринадцатого включительно равна
@75 @165 @90 @82,5 @150
7.	Все значения параметра а, при которых парабола у — х2
целиком расположена выше прямой у — а — 2ах, образуют множе-
ство
1<а<0[з|0<а<2Й- 2<а<0
[f] -1 < а < 2
Л	2	1,
8.	Все решения неравенства -- >-- образуют множе-
3? “k a 3J а
СТВО
@ (-2; 2) U (6; +оо) @ (-оо; -2) (J (2; 6)
@ (-оо; -6) (J (-2; 2) @ (-6; -2) (J (2; +оо) @ (-2; 6)
9.	Если при смешивании первого раствора с концентрацией
50% и второго раствора с концентрацией 60% получился раствор
с концентрацией 58%, то количество первого раствора относится
к количеству второго раствора как
Е1:4@1:5@5:1@4:1@3:2
213
Варианты вступительных экзаменов
10. Выражение cos
тождественно равно
4- sin
[1~| —3 sin х [2] cos х [3] — cos х [~4~| sin x |~5~| — sin x
11. Укажите квадратное уравнение, корни которого в 2 раза
больше корней уравнения х2 — 5т 4- 2 = 0.
[Т] х2 - Юж + 2 = 0 [2] х2 - 2,5т + 0,5 = 0 [5] х2 - 20ж 4- 32 = 0
Щ х2 - Юж 4- 8 = 0 [б] х2 - 5ж 4- 4 = 0
12. Множество всех корней уравнения х  cos а 4- sin а = х сов-
падает с множеством (—сю; 4“сю) при
[1]	а = 2тгт [2] а —	4- 2тгтп |3~j а — тг 4- 2тгт [4] а =	4- 2тгтп
Гб] а = ~ 4- тгт, т G Z
4
13. Все решения неравенства log3(—sins) < log3(—cos ж), при-
надлежащие промежутку 0 < х < 2тг, образуют множество
14. Если первый член геометрической прогрессии равен 2,
а четвертый член равен —16, то второй член этой прогрессии равен
0-4 @4 04v^ 0-8 08
15.	Выражение 51й*в5 равно
0 4 0 15 0 8 0 125 0 3
16.	Сколько различных корней имеет уравнение
| \/х2 + 6т 4- 9 — 2| — кх при к € (—0,5; 0)?
[l~j один @ два 0 три 0 четыре |~5~| корней нет
17.	В равнобедренном треугольнике с боковой стороной а и уг-
лом при вершине а = arccos(0,2) расстояние между основаниями
214
Вариант 1-ЫЗ
медианы и высоты, опущенных на боковую сторону из одной и той
же вершины основания, равно
ЩО,1-а@О,2-а0О,3-аЩо,4-а[5]о,5-а
18.	Сколько положительных целых чисел являются решениями
неравенства Vx + 1 > х — 1 ?
Щ меньше двух |~2~| два |~3~] три |~4| четыре [б] больше четырех
19.	Наибольшее значение функции у =	 sin аг — 3 • cos х
равно
0 3 + Л 0 Л 0 3 - V7 0 4 0 3/7
20.	Укажите все значения параметра 6, при которых система
я - бу = 6 + 2,
имеет бесконечно много решений.
Заг - 9у = 26 + 9	.
[Т] 6 — — 3 [2] 6 = 3 [3~| таких значений параметра не существует
Щ Ъ С (-оо; -3) (J (-3; +оо) [б] 6 6 (-оо; 3) (J (3; +оо)
21.	Все решения неравенства log 1 (8т — 8) > —1 образуют
множество
0(3; 5) 0 (—оо; 1)|J(3; 5) 0 (-оо; 3) |J (5; +оо)
0(1; з) (J (5; +оо) 0(1;+оо)
1 — ау/а	у—
22.	Выражение —7=7--т=г — 1 — у а при а = 25 равно
уа(1 — -/а)
0-0,2 05 00,2 00,04 0-2,2
23.	Пароход проходит 84 км против течения реки на 1 ч дольше,
чем тот же путь по течению. Сколько времени займет путешествие
в оба конца, если скорость течения реки 1 км/ч?
[1]17ч[2|12ч[з|8чЩ15ч[5]13ч
24,	Множество значений функции у = (х — 3) - |т — 1| на про-
межутке х 6 [1; 4] совпадает с множеством
(3 [0; 3] 0 [0; 4] 0 [-1; 3] 0 [-1; 4] 0 [-3; 3]
215
Варианты вступительных экзаменов
25.	Если в описанной около круга равнобедренной трапеции
расстояние от центра этого круга до дальней вершины в 4 раза
больше радиуса круга, то косинус острого угла трапеции равен
[Г] 0,96 @0,875 @0,92 @0,25 @0,75
26.	Площадь фигуры, состоящей из всех точек плоскости,
координаты которых удовлетворяют одновременно условиям
|т + |у|	4 и |у|	2, равна
0 24 0 16 0 18 0 32 0 12
27.	Числовое значение выражения — arccos (sin(0,1тг)) равно
тг
01 @9 07 04 06
28.	Укажите множество всех значений параметра Ъ, при кото-
Г у = х2 + Ь,
рых система уравнений | _ g|x| имеет ровно четыре различ-
ных решения.
0 (0; 3) 0 (0; 3v0 0 (3^2; +оо) 0 (-оо; 3v0 0 (0; 9)
29.	Значение выражения
10g2 (? - 3 + 9 “ 27 + 81 ~ 243 + ' J РаВН°
0 2 — log2 3 0 log2 3 — 2 01-log23 01og23-l 01og23
30.	Произведение всех корней уравнения е^0*8®)-2 = 27 равно
09 027 081 0243 0729
Вариант 1-Ь14
1.	Площадь треугольника, образованного отрезком прямой
2т 4- Зу = 18 и отрезками координатных осей, равна
016 024 027 018 012
216
Вариант 1-Ы4
2.	Если затраты на покупку бананов возросли на 56%, а цена
килограмма бананов увеличилась на 20%, то вес купленных бана-
нов возрос на
Щ 30% ® 36% [з] 24% 0 48% Щ 32%
3.	Расстояние между нулями функции у ~ х2 4- 2ч/бт 4- 2 рав-
НО
01 @2 @3 04 0 5
4.	Значение выражения (\/4 — s/Й) • (^16 4- -У12 + \/9) равно
01@7 0^+-У3 012 025
На рисунке изображен гра-
фик функции у ~

2х г—I 2ж
х — 3 ।। х - 2
6.	Если сумма третьего и тринадцатого членов арифметиче-
ской прогрессии равна 13, то сумма всех членов начиная с четвер-
того до двенадцатого включительно равна
7.	Все значения параметра а, при которых парабола у = х2
Целиком расположена выше прямой у — 4а — 2а х, образуют мно-
жество
[1]-2<а<2[2]0<а<4[з]0<а<2[4]- 2<а<0
[$] — 4 < а < 0
217
Варианты вступительных экзаменов
8.	Все решения неравенства -- >------ образуют множе-
х + 2 х — 2
ство
0 (-2; 2) U (6; +оо) 0 (-оо; -2) |J (2; 6)
Щ (-оо; -6) U (-2; 2) Щ (-6; -2) (J (2; +оо) [К] (-2; 6)
9.	Если при смешивании первого раствора с концентрацией
30% и второго раствора с концентрацией 40% получился раствор
с концентрацией 36%, то количество первого раствора относится
к количеству второго раствора как
[1]	3 : 2 [Т[ 2 : 3 [з] 3 : 4 Щ 4 : 3 [К] 3 : 5
(7г\	/	\	/	3?г\
х — — I — cos I тг — XI — sin I т —~ J
тождественно равно
fl"j 3sin® [2] cos® |~3~| — cos® Г?] sin® [К] — sin®
11.	Укажите квадратное уравнение, корни которого в 2 раза
больше корней уравнения ®2 — 3® 4-1 = 0.
Щ®2- 6® 4-4 = 0 [2] ®2 - 3® 4-2 = 0 [з] ®2 — 6® 4-2 = 0
[7] ®2 - 1,5® 4- 0,25 = 0 [б] ®2 - 6® 4-1 = 0
12.	Множество всех корней уравнения ® • sin а 4- cos а = 1 сов-
падает с множеством (—сю; 4-сю) при
[1] а = j 4- тгт а =	4* 2тгт [3~| а = тг + 2тгт
Чк	А
[~4~| а = —- 4- 2тгт |~5~| а = 2тгт, т € Z
13.	Все решения неравенства log3(— sin®) > log3(cos®), при-
надлежащие промежутку 0 < ® < 2тг, образуют множество
?)
218
Вариант 1-Ы4
14.	Если первый член геометрической прогрессии равен —2,
а четвертый член равен —16, то второй член этой прогрессии равен
Щ -8 @ 8 [3] -4 Щ 4 [б] 4v^
log6 12	1
15.	Выражение 2 1ов52 равно
03 @12 @8 011 @6
16.	Сколько различных корней имеет уравнение
|у"т2 — 6т 4- 9 — 2| = kx при k = | ?
1] один [2] два |~з] три 0 четыре [б] корней нет
17.	В равнобедренном треугольнике с боковой стороной а и уг-
лом при вершине а = arccos(0,1) расстояние между основаниями
медианы и высоты, опущенных на боковую сторону из одной и той
же вершины основания, равно
0 0,1  а 0 0, 2 . а 0 0, 25 • а Щ 0,3 • а 0 0,4 • а
18.	Сколько положительных целых чисел являются решениями
неравенства Ут + 1 < 5 — т ?
0 два или меньше двух |~2] три |~3~| четыре 0 пять
5 шесть или больше шести
19.	Наибольшее значение функции у = У13 • sini ~ УЗ • cos т
равно
0 У13 + Уз 0 4 0 13 0 У1з - Уз ® Узэ
20.	Укажите все значения параметра £>, при которых система
. У ’ имеет бесконечно много решений.
от + Sy = 2о
0 Ъ € (-оо; -4) [J (-4; +оо) 0 b G (-оо; 4) |J (4; +00)
0 таких значений параметра не существует Щ & = — 4 |~5~| b = 4
219
Варианты вступительных экзаменов
21.	Все решения неравенства log i (9а? — 9) > —1 образуют
5+х2
множество
И (-оо; 2) J (7; +оо) [г] (1; 2) (J (7; +оо) |з] (2; 7)
0 (—°°; 1) J (2; 7) 0 (1; +оо)
22.	Выражение	_ j---L. ПрИ х — 0,04 разно
яцуЁ — 1) у/х
@5 @25 @0,5 @0,008 @ 125
23.	Пароход проходит 35 км против течения реки на 2 ч дольше,
чем тот же путь по течению. Сколько времени займет путешествие
в оба конца, если скорость течения реки 1 км/ч?
0 17 ч 0 10 ч 0 12 ч 0 15 ч 0 13 ч
24.	Множество значений функции у = (а? — 1) - |а? — 3| на про-
межутке х € [2; 4] совпадает с множеством
S [0; 1] 0 [1; з] 0 [-1; 3] 0 [-3; 1] 0 [0; 3]
25.	Если в описанной около круга равнобедренной трапеции
расстояние от центра этого круга до дальней вершины в 10 раз
больше радиуса круга, то косинус острого угла трапеции равен
@ 0,96 @0,99 @0,92 @0,98 @0,84
26.	Площадь фигуры, состоящей из всех точек плоскости,
координаты которых удовлетворяют одновременно условиям
я: + |у|	5 и |у|	3, равна
Т| 32 @ 36 @50 @48 @42
27.	Числовое значение выражения — arccos (sin(0,4л)) равно
7Г
0102 03 04 06
28.	Укажите множество всех значений параметра 6, при кото-
( У = X2 4- 5,
рых система уравнений |	8|я;| имеет ровно четыре различ-
ных решения.
0 (0; 4) 0 (0; 8) 0 (0; 16) 0 (8; +оо) 0 (-оо; 8)
220
Вариант 2-bll
29.	Значение выражения
i°fc(1 + 5 + 5 + ^ + ^ + 2J3+ - ) равно
0 1°б2 3 ~ 1 |~2] log2 3 — 2 |з] 2 — log2 3 [~4~| 1 — log2 3 [К] log2 3
30.	Произведение всех корней уравнения я/1082 х)~4 = 32 равно
04 08 й 16 032 064
Вариант 2-Ы1
1.	Вчера цена моркови и картофеля была одинакова, сегодня
морковь стала дороже на 110%, а картофель стал дороже на 50%,
На сколько процентов теперь морковь дороже картофеля?
0 60% 0 30% 0 50% 0 20% [б] 40%
„ „	16	„„
2.	Сумма всех различных корней уравнения х-= 22 равна
х
натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 @2 ®304®О
3.	Найдите наибольшую длину отрезка числовой оси, коор-
динаты всех точек которого удовлетворяют системе неравенств
Г |т - 2| > 4,
[ — 4| < 6.
0102030405
4.	Если ап — арифметическая прогрессия, ai + ag + as = 30,
то значение выражения аз 4- aq равно натуральному числу, остаток
от деления которого на 5 равен
0102030400
5.	Если х — 16 и у = 9, то число, равное значению выражения
х + \/ху + у х-у/ху + у
'—г=—	--------------, в десятичном представлении содер-
- Уу/У Ху/х + у^у
исит на первом месте после запятой цифру
080102 0903
221
Варианты вступительных экзаменов
6. Наименьший положительный корень уравнения
cos 2х = 3 cos х — 3 sin х расположен на промежутке
23
7.	Если число —- преобразовать в бесконечную периоднче-
мм
скую десятичную дробь, то сумма первой и второй цифры после
запятой будет равна
Щ 12 [2] 6 [в] 15 Щ 17 [б] 9
8.	При каком значении параметра t три точки М, N, К на
плоскости (я; у) с координатами (0; 0), (1; 2), (5; 3t — 2) лежат
на одной прямой?
[l]t = l[2]t = 2[3]i = 3[4]t = 4[5]t = 5
9.	Наибольшая возможная длина отрезка числовой осн, все
точки которого являются решениями неравенства
1
10.	Найдите все значения параметра т, при которых система
f Зх 4- (т - 1)г/ - т 4- 2,
уравнений < .	'	'	имеет бесконечно много ре-
[ (m + 1)т 4- Ьу = 10
шений. Укажите верное утверждение.
1	существует ровно два таких значения т
2	таких значений т не существует
3	существует ровно одно такое значение т, причем т > 0
таких значений т бесконечно много
существует ровно одно такое значение т, причем т < О
4
т
222
Вариант 2-bll
11.	Все значения параметра а, при которых система уравнений
( X2 + у2 = 10,
< _ о _ имеет ровно два различных решения, образуют
множество
0 а 6 (-’/20; ’/20)	(-5; 5) 0 а е (-’/5; ’/Ё.)
0 а € (-10; 10) {б] а € (—\/10; \/10)
12.	Если гипербола у = b 0, и прямая у = 18 — 27г имеют
4х
единственную общую точку, то Ъ — натуральное число, остаток от
деления которого на 5 равен
0102030400
13.	Разность наибольшего и наименьшего значений функции
у = sin2 х — 2\/сой2 х равна
0104020305
14.	Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке О. Осно-
вания AD и ВС равны соответственно 15 и 5, диагональ BD рав-
на 12. Найдите длину отрезка ВО.
03 04 03,37 02,25 05
15.	Укажите первую цифру после запятой в десятичном числе,
равном сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии
. 1 1 1
+ 6 + 62 + 63 +   
050703 08 02
16.	Сколько целых чисел не являются решениями неравенства
bg2(x2 - 8х + 13) > 0?
Q ни одного или одно [2] два [з] три [4~| четыре
[в] пять или больше пяти
223
Варианты вступительных экзаменов
17.
х2
Касательная к параболе у = —,
проведенная через точку
этой параболы с координатой х = 5, пересекает ось абсцисс в точ-
ке, координата х которой принадлежит промежутку
Щх е (-999; 0,5] [Т| х ё (0, 5; 1] [з] х ё (1; 1,5] g] х ё (1,5; 2]
[б]	х ё (2; 999)
18.	Значение выражения (log2 27) • (log349) • (log764) равно
натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102030400
19.	Площадь фигуры |х — 1| 4- |х 4-1| С У С Ю равна
Щ 50 @ 64 [з] 52 Щ 45 [б] 48
20.	Наименьшее значение функции
у = (log5 х) • (log5(625x)) 4- 17 равно натуральному числу, остаток
от деления которого на 5 равен
0102 03 04 00
21.	В треугольнике АВС известны длины сторон АС — 5,
АВ — 3 и угол ZA = arccos(—0,6). Значение величины ВС2 равно
натуральному числу, остаток от деления которого на. 5 равен
0102 03 04 00
22.	Произведение всех различных корней уравнения
log4x — 71ogx 16 = 3 равно натуральному числу, остаток от деле-
ния которого на 5 равен
0102 03 04 00
23,	Если П —- произведение всех различных корней уравнения
х2 — 4х 4- 8 = 5 у^х2 — 4х 4- 2, то П — натуральное число и остаток
от деления числа П на 5 равен
0102030400
224
Вариант 2-Ы1
24.	Если значение параметра к таково, что уравнение
х — кх3 4- 5 имеет ровно два различных корня, то больший нз кор-
ней равен
07.5 @5 05,5 08 012,5
25.	За 12 дней совместной работы Билл и Джек строят 7 домов.
Если Билл повысит свою производительность на 100%, то за 6 дней
совместной работы они построят 5 домов. Сколько домов построят
они за 12 дней совместной работы, если Билл еще раз повысит
свою производительность на 100%?
018 020 016 014 015
26.	Найдите значение параметра 6, при котором парабола
у — 4х2 и линия у = 2 • Vb • |х| — 3 имеют ровно две общих точки,
и укажите остаток от деления целой части значения Ь на 5.
0102030400
27.	Три положительных числа являются последовательными
членами возрастающей геометрической прогрессии. Если среднее
из ннх увеличить в 2 раза, то они станут последовательными чле-
нами арифметической прогрессии. Число q, равное знаменателю
исходной геометрической прогресиии, принадлежит промежутку
0,е(1; 4) 0де[4; 5) 0де[5; 6) 0де[6; 7)
0q е [7; 999)
28.	Множество всех решений неравенства
5 •	< х3 + a;,og2x представляет собой промежуток, длина
которого равна
0102040806
29.	Сколько различных корней имеет уравнение
I® • (5 - |х|)| - 4?
fl] три [2] четыре [3~j корней нет [4~| шесть |~5~| два
225
Варианты вступительных экзаменов
30.	Множество всех решений неравенства
arcsm(arcsm х) 4- — > 0 является промежутком, длина которого
6
равна
0 sin(l) - sin(0,5) 0 1 + sin(0,5) 0 1,5 0 1 - sin(0,5)
[б]	sin(l) + sin(0,5)
Вариант 2-Ы2
1.	Вчера цена моркови и картофеля была одинакова, сегодня
морковь стала Дороже на 80%, а картофель стал дороже на 50%.
На сколько процентов теперь морковь дороже картофеля?
0 15% 0 20% [з] 25% 0 30% 0 40%
17
2.	Сумма всех различных корней уравнения х-— 19 равна
х
натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 ®2 @3 04 00
3.	Найдите наибольшую длину отрезка числовой оси, коор-
динаты всех точек которого удовлетворяют системе неравенств
Г |х - 2| >5,
l.k-4|C7.
03 05 04 @2 01
4.	Если ап -• арифметическая прогрессия, аз + а7 4-	= 21,
то значение выражения 4- а$ равно натуральному числу, остаток
от деления которого на 5 равен
0102 03 04 00
5.	Если х =: 9 и у = 4, то число, равное значению выражения
х 4- Jxy 4-у	^-х/Щ/4-у
—-------------—, в десятичном представлении содер-
Х\/Х-Уу/У	Ху/х + Уу/у
жнт на первом месте после запятой цифру
02 05 08 0103
226
Вариант 2-Ы2
6. Наименьший положительный корень уравнения
cos 2а; = 4 cos я н- 4 sin я расположен на промежутке
19
7.	Если число — преобразовать в бесконечную периодиче-
скую десятичную дробь, то сумма первой и второй цифры после
запятой будет равна
Щ 6 012 015 017 @9
8.	При каком значении параметра t три точки М, N, К на
плоскости (ж; у) с координатами (0; 0), (1; 4), (3; 5t + 7) лежат
на одной прямой?
[Т] t = 1 [2] t = 2 [З] t = 3 [4] t = 4 [К] t = 5
9.	Наибольшая возможная длина отрезка числовой осн, все
точки которого являются решениями неравенства
10.	Найдите все значения параметра ту при которых система
_	„ f 2х -Ь (1 — т)у = 2
Уравнении < /ч ' ч
[ (1 4- т)х + 4у = т -Ь 1
имеет бесконечно много
ре-
шеннй. Укажите верное утверждение.
а
0
0
Q
Q
существует ровно одно такое значение т, причем т
существует ровно одно такое значение т, причем т
таких значений т бесконечно много
существует ровно два таких значения т
таких значений т не существует
< О
>0
227
Варианты вступительных экзаменов
11.	Все значения параметра а, при которых система уравнений
Г х2 + у2 = 16,	й
< л	имеет ровно два различных решения, образуют
[ у = 0, 75т — а
множество
0 а 6 (-720; 720) @а€ (-5; 5) 0 а 6 (—\/5; 75)
0 а 6 (-10; 10) 0 а 6 (-710; 710)
12.	Если гипербола у — b / 0, н прямая у — 12 — 8х имеют
4х
единственную общую точку, то Ь — натуральное число, остаток от
деления которого на 5 равен
01 02 03 04 00
13.	Разность наибольшего и наименьшего значений функции
у = cos2 х — 3 у/sin2 х равна
0301040205
14.	Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке О. Осно-
вания AD и ВС равны соответственно 36 и 6, диагональ BD рав-
на 21. Найдите длину отрезка ВО.
05 04 03,37 02,25 03
15.	Укажите первую цифру после запятой в десятичном числе,
равном сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии
, 11 1
1 + 5 + 52 + 53 + '''
020501 0703
16.	Сколько целых чисел не являются решениями неравенства
log05(z2 - 9х 4-19) < 0?
[Т| ни одного или одно [2] два [3~j три |~4~| четыре
5 пять или больше пяти
228
Вариант 2-Ы2
х2
17.	Касательная к параболе у —
проведенная через точку
этой параболы с координатой х = 4, пересекает ось абсцисс в точ-
ке, координата х которой принадлежит промежутку
0х € (-999; 0,5] 0 х € (0,5; 1] 0 х е (1; 1,5] 0х € (1,5; 2]
6 (2; 999)
18.	Значение выражения (log, 81)  (log3 49) * (log, 125) равно
натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 02 03 04 00
19.	Площадь фигуры — 1| + |г 4- 1| у < 6 равна
016014017012018
20.	Наименьшее значение функции
у = (log2 я) • (log2(16х)) 4-14 равно натуральному числу, остаток
от деления которого на 5 равен
0102030400
21.	В треугольнике АВС известны длины сторон АС — 5,
АВ = 2 и угол ZA = arccos(—0,6). Значение величины ВС2 равно
натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102030400
22.	Произведение всех различных корней уравнения
log3 $ — б loga, 9 = 3 равно натуральному числу, остаток от деления
которого на 5 равен
01 02 03 04 00
23.	Если П — произведение всех различных корней уравнения
я2 — 4х 4-1 = 4\Лс2 — 4а: — 2, то П — натуральное число и остаток
от деления числа П на 5 равен
0102030400
229
Варианты вступительных экзаменов
24.	Если значение параметра к таково, что уравнение
х = кх1 4-12 имеет ровно два различных корня, то больший из
корней равен
0 12 @12,5 0 18 @ 14 0 15
25.	За 30 дней совместной работы Билл н Джек строят 61 дом.
Если Билл повысит свою производительность на 20%, то за 30 дней
совместной работы они построят 66 домов. Сколько домов постро-
ят они за 30 дней совместной работы, если Билл еще раз повысит
свою производительность на 20%?
И68 070 @76 S73 Е72
26.	Найдите значение параметра д, прн котором парабола
у = Зх2 и линия у — 2 • л/б • |я| — 5 имеют ровно две общих точки,
и укажите остаток от деления целой части значения Ь на 5.
01 @2 @3 04 00
27.	Три положительных числа являются последовательными
членами возрастающей геометрической прогрессии. Если среднее
из них увеличить в 3 раза, то они станут последовательными чле-
нами арифметической прогрессии. Число д, равное знаменателю
исходной геометрической прогресиии, принадлежит промежутку
0 q 6 (1; 5) @ q 6 [5; 6) 0 q 6 [6; 7) 0 д е [7; 8)
0 д 6 [8; 999)
28.	Множество всех решений неравенства
9.-—h zlog2Z представляет собой промежуток, длина
8
которого равна
0102 04 08 06
29.	Сколько различных корней имеет уравнение
I*  (4 - Н)| = 4?
[Г| три [2] четыре [3~j корней нет [4~| шесть [К] два
230
Вариант 2-ЫЗ
30.	Множество всех решений неравенства arcsin(arcsinz) —
6
является промежутком, длина которого равна
0sin(l) - sin(0,5) 01 —sin(0,5) 0 sin(l) + sin(0,5)
0 1 4-sin(0,5) 0 1,5
Вариант 2-ЫЗ
1.	Вчера цена моркови и картофеля была одинакова, сегодня
морковь стала дороже на 75%, а картофель стал дороже на 25%.
На сколько процентов теперь морковь дороже картофеля?
Щ 20% 0 30% [з] 40% 0 50% 0 60%
9
2.	Сумма всех различных корней уравнения х-— 8 равна
х
натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 02 03 04 00
3.	Найдите наибольшую длину отрезка числовой оси, коор-
динаты всех точек которого удовлетворяют системе неравенств
Па: - 3| > 4,
[|ж — 4|С5.
0102030405
4.	Если ап арифметическая прогрессия, 02 + 05 + а11 = 24,
то значение выражения 07 + 05 равно натуральному числу, остаток
от деления которого на 5 равен
0102030400
5.	Если х — 9 и у = 4, то число, равное значению выражения
х + \/ху + у х-у/ху + у
—.---------1--—?------, в десятичном представлении содер-
- Уу/y ху/х -Ь уу/у
жит на первом месте после запятой цифру
03 02 05 08 01
231
Варианты вступительных экзаменов
6. Наименьший положительный корень уравнения
cos 2х + 3 cos х -Ь 3 sin х = 0 расположен на промежутке
17
7.	Если число преобразовать в бесконечную периодиче-
скую десятичную дробь, то сумма первой и второй цифры после
запятой будет равна
06 @12 @15 Щ 17 @9
8.	При каком значении параметра t три точки М, N, К на
плоскости (ж; у) с координатами (0; 0), (1; 3), (5; 2t 4- 5) лежат
на одной прямой?
@i = l@t = 2@t = 3@t = 4@t = 5
9.	Наибольшая возможная длина отрезка числовой оси, все
точки которого являются решениями неравенства
—С tga; С л/З, равна
10.	Найдите все значения параметра т, при которых система
( Зх + (т -I- 1)у = 3,
уравнений < ,	'	'	, имеет бесконечно много ре-
J	((т - 1)я -I- 5у = т -1	F
шений. Укажите верное утверждение.
а
а
s
а
существует ровно одно такое значение т, причем т
существует ровно одно такое значение т, причем т
таких значений т бесконечно много
существует ровно два таких значения т
таких значений т не существует
<0
> 0
232
Вариант 2-ЫЗ
11.	Все значения параметра ау при которых система уравнений
( х2 + у2 = 2,5,
/ _ ,,	имеет ровно два различных решения, образуют
I	1 OL
множество
0 а е (-'/W; у'го) 0 а 6 (-10; 10) 0 а € (->/5; >/5)
0аб(-У1О; v'lO) й«€(-5; 5)
12.	Если гипербола у ~	, Ъ / 0, и прямая у ~ 6 — 4х имеют
4х
единственную общую точку, то Ъ — натуральное число, остаток от
деления которого на 5 равен
0102030400
13.	Разность наибольшего и наименьшего значений функции
л 2	Г'• 9
у — 2 cos х — v sm х равна
05 @3 04 01 02
14.	Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке О. Ос-
нования AD и ВС равны соответственно 15 и 7,5, диагональ BD
равна 12. Найдите длину отрезка ВО.
0503,502,250403
15.	Укажите первую цифру после запятой в десятичном числе,
равном сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии
1 . 1 . 1 1
+ 3 + З2 + З3 +   
0205040703
16.	Сколько целых чисел не являются решениями неравенства
bg3(z2 - 8я + 16) > 0?
U1 ни одного или одно [2] два |~3~| три [4] четыре
® пять или больше пяти
233
Варианты вступительных экзаменов
17, Касательная к параболе у = —
проведенная через точку
этой параболы с координатой х = 2, пересекает ось абсцисс в точ-
ке, координата х которой принадлежит промежутку
[1] хе (-999; 0,5] @ х е (0,5; 1] |з] х е (1; 1,5] Щ х е (1,5; 2]
[б]	х 6 (2; 999)
18.	Значение выражения (log2 27) • (log3 125) - (log5 4) равно
натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 02 @3 04 00
19.	Площадь фигуры ]ж — 2| + [я? + 2) у 8 равна
Щ 32 @ 28 [З] 20 Щ 24 [б] 30
20.	Наименьшее значение функции
у = (log3 я?) • (log3(81a;)) 4- И равно натуральному числу, остаток
от деления которого на 5 равен
0102 03 04 00
21.	В треугольнике АВС известны длины сторон АС = 5,
АВ = 4 и угол Z.A — arccos(—0,7). Значение величины ВС2 равно
натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102 03 04 00
22.	Произведение всех различных корней уравнения
log2 х — Slogj. 32 = 3 равно натуральному числу, остаток от деле-
ния которого на 5 равен
0102 03 04 00
23.	Если П — произведение всех различных корней уравнения
х2 — 8z + 11 = 6\/х2 — 8я? + 3, то П — натуральное число и остаток
от деления числа П на 5 равен
01 02 03 04 00
234
Вариант 2-ЫЗ
24.	Если значение параметра к таково, что уравнение
х — кх1 + 9 имеет ровно два различных корня, то больший из кор-
ней равен
012 @14,5 @13,5 @16 @10,5
25.	За 60 дней совместной работы Билл и Джек строят 22 дома.
Если Билл повысит свою производительность на 20%, то за 60 дней
совместной работы они построят 24 дома. Сколько домов построят
они за 25 дней совместной работы, если Билл еще раз повысит
свою производительность на 20%?
011 @12 @14 @10 @15
26.	Найдите значение параметра 6, при котором парабола
у = 7х2 и линия у ~ 2 - Vb - |ж| — 3 имеют ровно две общих точки,
и укажите остаток от деления целой части значения Ь на 5.
@1@2@3@4@0
27.	Три положительных числа являются последовательными
членами возрастающей геометрической прогрессии. Если среднее
из иих увеличить в 6 раз, то они станут последовательными чле-
нами арифметической прогрессии. Число q, равное знаменателю
исходной геометрической прогресиии, принадлежит промежутку
е (1; 3) @qe[3; 6) @ д € [6; 8) @ д € [8; 10)
@9 6 [10; 999)
28.	Множество всех решений неравенства
10 - з(1о8зХ) х3 4- представляет собой промежуток, длина
Которого равна
01@2@4@6@8
29.	Сколько различных корней имеет уравнение
I® ‘ (2 - М)| = 1?
Щ четыре |~2] три [3~| корней нет [Z] шесть |~5] два
235
Варианты вступительных экзаменов
30.	Множество всех решений неравенства arcsin(arcsin х) —
о
является промежутком, длина которого равна
Щ sin(l) 4- sin(0,5) [2] 1 4- sin(0,5) [3~| sin(l) - sin(0,5)
0 1 - sin(0,5) 01,5
Вариант 2-Ы4
1.	Вчера цена моркови и картофеля была одинакова, сегодня
морковь стала дороже на 80%, а картофель стал дороже на 20%.
На сколько процентов теперь морковь дороже картофеля?
Щ 20% [2] 30% 0 40% Щ 50% [5] 60%
2.	Сумма всех различных корней уравнения х —~ = 15 равна
х
натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
Н 1 0 2 0 3 0 4 0 0
3.	Найдите наибольшую длину отрезка числовой осн, коор-
динаты всех точек которого удовлетворяют системе неравенств
ffx - 1| >5,
(|х - 4| ^8.
0102 03 04 06
4.	Если ап — арифметическая прогрессия, ах 4- сц 4- аю = 12,
то значение выражения аз 4- а? равно натуральному числу, остаток
от деления которого на 5 равен
0102 03 04 00
5.	Если х = 25 и у — 16, то число, равное значению выраже-
x + y/ху + у Х-у/ху + У
ния —------- 4------------ в десятичном представлении со-
Ху/х-уу/у Ху/х-Ьуу/у
держит на первом месте после запятой цифру
02 05 08 01 03
236
Вариант 2-Ы4
6. Наименьший положительный корень уравнения
cos 2я + 7 cos х — 7 sin х = 0 расположен на промежутке
29
7.	Если число — преобразовать в бесконечную периодиче-
<5 и
скую десятичную дробь, то сумма первой и второй цифры после
запятой будет равна
Щ12 09 0 17 06 015
8.	При каком значении параметра t три точки М, N, К на
плоскости (х; у) с координатами (0; 0), (1; 2), (7; 4t + 2) лежат
на одной прямой?
0t=l @t = 2 0t = 3 0t = 4 0t = 5
9.	Наибольшая возможная длина отрезка числовой оси, все
точки которого являются решениями неравенства
1 tg ж л/З, равна
10.	Найдите все значения параметра тп, при которых система
f__________________ 1 \у — §
.	’ имеет бесконечно много ренте-
(тп 4- 1)я + 4у = 2т
ний. Укажите верное утверждение.
[Т] одно значение т < 0 [э] одно значение т > 0
(3| значений т бесконечно много [Т] два таких значения m
значений т не существует
11.	Все значения параметра а, при которых система уравнений
( X2 + у2 = 4
—0 7бж а имеет Ровно два различных решения, образуют
множество
Щае(-У2о; х/20) [2] а е (->/б; Vb) [з] а е (—2,5; 2,5)
(—5; 5) [5]а е (-У1б; Ло)
237
Варианты вступительных экзаменов
12.	Если гипербола у = —, Ъ 0, и прямая у = 8 — 4х имеют
единственную общую точку, то Ъ — натуральное число, остаток от
деления которого на 5 равен
S1 @2 03 S4 0°
13.	Разность наибольшего и наименьшего значений функции
у — 3 sin2 х — 2 У cos2 х равна
0102 03 04 05
14.	Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке О. Осно-
вания AD и ВС равны соответственно 24 и б, диагональ BD рав-
на 20. Найдите длину отрезка ВО.
0 5 0 4 0 3,37 0 2, 25 0 3
15.	Укажите первую цифру после запятой в десятичном числе,
равном сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии
1 £ £
1 4 + 42	43 + ' ’'
02 @5 @7 08 03
16.	Сколько целых чисел не являются решениями неравенства
log2(z2 - 10® + 17) > 0?
[Т] ни одного или одно [2] два [3~| три [4] четыре
|~5~| пять или больше пяти
х2
17.	Касательная к параболе у = —, проведенная через точку
£
этой параболы с координатой х = 6, пересекает ось абсцисс в точ-
ке, координата х которой принадлежит промежутку
0x6 (-999; 1] [0® £ (1; 2] 0 х 6 (2; 2,5] 0хе(2,5; 3]
0 х £ (3; 999)
18. Значение выражения (log2 81)  (log3 25) • (log5 16) равно
натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102 03 04 00
238
Вариант 2-Ы4
19.	Площадь фигуры ж — 2| + |ж + 2|^у^6 равна
0 16 @ 18 ® 10 Щ 12 [б] 14
20.	Наименьшее значение функции
У = (log^/з z)  (log^(81z)) + 27 равно натуральному числу, оста-
ток от деления которого на 5 равен
01 @2 [з]з 04 00
21.	В треугольнике АВС известны длины сторон АС = 5,
АВ = 4 и угол ZA = arccos(—0,6). Значение величины ВС2 равно
натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01@2[3]3 04@О
22.	Произведение всех различных корней уравнения
logg х — 7 logx 36 — 4 равно натуральному числу, остаток от деле-
ния которого на 5 равен
@2 03 04 00
23.	Если П — произведение всех различных корней уравнения
ж2 — 2х + 1 = 3\/ж2 — 2ж — 1, то П — натуральное число и остаток
от деления числа П на 5 равен
0102030400
24.	Если значение параметра к таково, что уравнение
х = кхъ + 8 имеет ровно два различных корня, то больший из кор-
ней равен
012,50100801207,5
25.	За 30 дней совместной работы Билл и Джек строят 11 до-
мов. Если Билл повысит свою производительность на 25%, то за
12 дней совместной работы они построят 5 домов. Сколько домов
построят они за 48 дней совместной работы, если Билл еще раз
повысит свою производительность на 25 %?
022 023 024 025 021
239
Варианты вступительных экзаменов
26.	Найдите значение параметра 6, при котором парабола
у = 2х2 и линия у = 2  у/b • |ж| — 4 имеют ровно две общих точки,
и укажите остаток от деления целой части значения Ъ на 5.
01 @2 03 @4 00
27,	Три положительных числа являются последовательными
членами возрастающей геометрической прогрессии. Если среднее
из них увеличить в 5 раз, то они станут последовательными чле-
нами арифметической прогрессии. Число qt равное знаменателю
исходной геометрической прогресиии, принадлежит промежутку
0«е(1; 3) е [3; 6) @де[6; 8) 0де[8; 10)
[б] q G [10; 999)
28.	Множество всех решений неравенства
9  2(10g2х) х4 + а?082® представляет собой промежуток, длина
которого равна
01 @2 04 08 06
29.	Сколько различных корней имеет уравнение
|ж - (3 — |ж|)| = 1?
[Т] три [э]четыре |~3~| шесть [Т] два [б|корней нет
30.	Множество всех решений неравенства arcsin(arcsin х) > — —
6
является промежутком, длина которого равна
|Т] 1 — sin(0,5) [2] sin(l) + sin(0,5) |~3~| 1 -Ь sin(0,5) [~4] 1,5
[~5] sin(l) - sin(0,5)
Вариант 3-bll
1.	Величина площади треугольника, образованного отрезком
прямой х 4- ру = 30 и отрезками координатных осей, равна 90 при
положительном значении параметра р, равном
0102 03 04 05
240
Вариант 3-bll
2.	Расход на аренду помещения составляет 70% общих расхо-
дов фирмы* Если стоимость аренды (в рублях) уменьшить в 6 раз
при неизменных прочих расходах (в рублях), то после этого расход
на аренду помещения составит от общих расходов фирмы
011, (6) % 0 28% 0 12% 0 36% 0 64%
3.	Найдите сумму двух наименьших положительных корней
(7ГХ \	(13тг ।
— J + cos ( —— J — 0.
012 024 015 09 018
4.	Укажите все положительные значения параметра р, при
которых наибольшее значение функции 2рх — х2 меньше 4.
0Р € (0; 2) 0р е (2; +оо) 0р е (0; 4) 0р е (4; +оо)
0Р е (2; 4)
1	з А
5.	Если х Ч— = 7, то значение выражения х Ч—= принадле-
жи	хл
жиг промежутку
0(0; 180] 0(180; 270] 0(270; 320] 0(320; 343]
0 (343; 999)
6.	Если Билл повысит свою производительность труда в 7 раз,
а Джек понизит свою производительность труда в 2 раза против
плана, то время совместного выполнения работы уменьшится в
3 раза. Плановая производительность труда Билла относится к
плановой производительности Джека как
Щв: 12 06:11 05:8 07:12 08:13
7.	Если А - , 10g7f„  log27 49, то
*°581 32
|l]>kl @ле(1; 2]	е(2; 3] 0Ае(3; 4] ® Л>4
& Сумма первого и пятого членов арифметической прогрес-
2
сии равна -,
5
произведение третьего и четвертого членов равно
4
25
241
Варианты вступительных экзаменов
Найдите первую цифру после запятой в десятичной записи разно-
сти прогрессии.
02 @4	06 @8
9. Пусть и ~~ различные корни уравнения
х2 — 23а? 4-1 = 0. Укажите остаток от деления на 5 натурального
х2
числа, равного значению выражения-1-.
Х2 Xi
01 @2 03 0400
10. Сколько целых чисел х G [0; 6] являются решениями нера-
81п(тпг/3)
венства —---------
sin(7ra;/6)
3 ?
[~Г] два или меньше двух [2~| шесть или больше шести |~з] три
[<] четыре [К] пять
__— 2^? —3
п	* имеет больше одного решения
2х — ру — р + 1
при
£
I
1
одном значении р G (—оо; —1]
одном значении р Е (—1; 1)
одном значении р G [1; 4-оо)
ровно двух значениях параметра р
таких значений параметра р не существует
12.	Сколько имеется целых положительных значений парамет-
ж2 +у2 “ 16,
рар, при которых система уравнений < $+У _ имеет ровно
Р
два различных решения?
[Т| меньше трех [2~| три |~з] четыре [4~| пять [К] больше пяти
13.	Если сумма квадратов всех членов бесконечно убывающей
геометрической прогрессии с положительными членами равна 240,
242
Вариант 3-bll
а сумма всех членов этой прогрессии с четными номерами равна 4,
го значение знаменателя q удовлетворяет условию
е (0; 0,3) [2]9 6 (0,3; 0,4) [з]96 (0,4; 0,5]
g)«e (0,5; 0,7) [¥]<? е (0,7; 1)
14.	Если число А равно произведению всех различных корней
уравнения убг2 — 77т 4- 145 = х/т2 — 77т + 82 + 3, то
@Ле(1; 2] [з|ле(2; 3] 0Ае(3; 4] @Л>4
15.	Множество всех значений параметра р, при которых урав-
21x1 - 14
иение j-----= р имеет не оолее одного корня, представляет со-
|т| — 2
бой промежуток числовой оси, длина которого равна
01®2[1]3[4]4[Б]5
16.	Билл совершил путешествие из пункта А в пункт Б со ско-
ростью 5 км/ч, Джек все это время курсировал по маршруту АБА
на мотоцикле с постоянной скоростью 40 км/ч (стартовали они
одновременно в пункте А, расстояние АБ — 189 км). Если т —
наименьшее расстояние между точками встречи (при движении
Джека в любом направлении), то
|Т| х е (1; 3] [2] х е (3; 5] [з| х е (5; 7] [I] х е (7; 9]
£ (9; 99)
17.	Все решения неравенства log9 х + log3 (\/т — б) < 3 образу-
ют интервал а < х < 5, длина которого b — а равна
0 80 |2] 72 [з] 45 Щ 81 [К] 36
18.	Если S — площадь треугольника, ограниченного отрезками
осей абсцисс и ординат н отрезком касательной к графику функ-
ции у — 30т5, проведенной через точку этого графика с абсциссой
я = 1, то
0O<5^3O[2]3O<5^35[3]35<S'^4O[4]4O<S'^5O
@ 50 < S < 9999
243
Варианты вступительных экзаменов
19.	Если число X равно наименьшему положительному корню
уравнения sin(2rr) — sin(9:r) + sin(16a?) = 0, то значение выражения
7Г • Л*-1 равно натуральному числу, остаток от деления которого
на 5 равен
0102030400
20.	В треугольнике АВС длина стороны АВ — 19, углы
5	2
ZA = arctg-, ZB = arctg-. Площадь треугольника АВС равна
натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
Щ1 02 03 04 00
21.	Произведение всех различных значений параметра р, при
которых уравнение ж2 — 2(р — 3)а? + 4р — 7 = 0 имеет единствен-
ный корень, равна натуральному числу, остаток от деления ко-
торого на 5 равен
0102030400
22.	Множество значений функции у = 9 sin2 х 4- 2 sin х пред-
ставляет собой промежуток, длина которого равна
01Z 0и| 01Z 011^ 011|
23.	В начале года Петя положил 1 млн. руб. в банк А, который
начисляет 0,2% каждые 4 месяца, а Вася положил 1 млн. руб.
в банк Б, который начисляет 0,3% каждые 6 месяцев. Процен-
ты прибавляются к вкладу и участвуют в последующем приросте.
В конце года разница их вкладов в рублях составит (укажите бли-
жайшее к точному значению целое число рублей)
0 1 0 9 0 6 0 3 0 12
24.	Сколько имеется различных целочисленных значений па-
(х \ (х — р)2
arcsin — =---------------------------------------------
64/	4
имеет единственный корень?
[Т| 32 или меньше [2~| 33 |~з] 34 [4~| 35 [~5~| 36 или больше
244
Вариант 3-Ы2
25.	Функция у = х2 — х3 достигает своего наибольшего значе-
ния на промежутке х 6 [0; 4-оо) в точке
[1]®=|[2]® = |[з|а: = |[4]®=т[5]а:=:0
О	Z	□	*£
26.	В равнобедренном треугольнике MNK боковые стороны
MN = NK, проведена биссектриса ME, причем МК = 36, NE = 25.
Найдите длину отрезка ЕК = х, н укажите верное утверждение.
Щ х б (0; 15] [г] х б (15; 16] [з] х е (16; 17] [5] х б (17; 18]
[К] х б (18; 999)
27.	Площадь фигуры на плоскости, состоящей из всех точек,
координаты которых (ж; у) удовлетворяют системе неравенств
8т х2 4- у2 С Ют, равна
[Г] 2тг 0 36 я [з] 12тг Щ 9тг [б] 24тг
по	. /1	5\	/3
28.	Уравнение sm -arccos — I = \ — имеет корень, прннадле-
\2	х)	V х
жащий промежутку
[Г]X б [5; 7) [2]X б [7; 9) [з| х б [9; 12) [5] х б [12; 19)
[б] х б [19; 999)
29.	Множество всех решений системы неравенств
7 х С 28-15 Iogi 2 представляет собой промежуток, длина которо-
го равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5
равен
Е1@2[3|3[4]4[5]О
30.	Наименьшее значение функции у = 7 tg2 х + 2 ctg2 х равно
0 л/72 [2] 753 [з] 796 Щ у4б [б] '/60
Вариант 3-Ы2
1.	Величина площади треугольника, образованного отрезком
прямой тх + у = 18 и отрезками координатных осей, равна 81 при
Положительном значении параметра тп, равном
01®2[3]3[4]4[Б]5
245
Варианты вступительных экзаменов
2.	Расход на аренду помещения составляет 90% общих расхо-
дов фирмы. Если стоимость аренды (в рублях) уменьшить в 6 раз
при неизменных прочих расходах (в рублях), то после этого расход
на аренду помещения составит от общих расходов фирмы
[Т] 15% 0 84% [з] 24% Щ 60% Щ 64%
3.	Найдите сумму двух наименьших положительных корней
(ях \	. / 13л \
— I + sinl -— 1 = 0.
018 [2] 6® 12 ЩЭ [5] 15
4.	Укажите все положительные значения параметра р, при
которых наибольшее значение функции 2рх — х2 больше 4.
Ир 6 (0; 2) Нрё(2; +оо) 0ре(О; 4) [1]ре(4; +оо)
0ре(2; 4)
2	о Л
5.	Если х 4— = 5. то значение выражения х 4—7 принадле-
х	хл
ж ит промежутку
[Т] (0; 96] 0(96; 100] 0 (100; 110] 0(110; 125] 0(125; 999)
6.	Если Билл повысит свою производительность труда в 6 раз,
а Джек понизит свою производительность труда в 3 раза против
плана, то время совместного выполнения работы уменьшится в
2 раза. Плановая производительность труда Билла относится к
плановой производительности Джека как
07: 13 05: 12 07:508: 13 09: 14
logfi 125
7.	Если А — ----------— - log7 36, то
10g49 5
И а 1 И А е (1; 2] 0 А Е (2; 3] И А 6 (3; 4] [б] А > 4
8.	Сумма первого и пятого членов арифметической прогрес-
26
сии равна -
произведение третьего и четвертого членов равно
246
Вариант 3-Ы2
65
—. Найдите первую цифру после запятой в десятичной записи
3
разности прогрессии.
§6 02 @5 03 07
9.	Пусть Xi и Z2 — различные корни уравнения
хI 2 — 67г + 1 = 0. Укажите остаток от деления на 5 натурального
ГЕ1 х2
числа, равного значению выражения-1-.
0102030400
10.	Сколько целых чисел х 6 [0; 6] являются решениями нера-
81п(тгж/3)
венства —;-----1 (
sm(%a?/6)
[Т| одно нли ни одного |~2~] два |~з] три |~4] четыре
|~б] пить или больше пяти
{2х-ру~6,	.
„ имеет больше одного решения прн
а
□
в
□
в
одном значении р € (—оо; —1]
одном значении р € (—1; 1)
одном значении р G [1; +оо)
таких значений параметра р не существует
ровно двух значениях параметра р
12.	Сколько имеется целых положительных значений парамет-
( х2 + У2 — 25,
ра р, при которых система уравнений <	+ у _ имеет ровно
I Р
Два различных решения?
U] меньше четырех [2~| четыре |~з] пять [4~| шесть
[б] больше шести
13. Если сумма квадратов всех членов бесконечно убывающей
геометрической прогрессии с положительными членами равна 48,
247
Варианты вступительных экзаменов
а сумма всех членов этой прогрессии с четными номерами равна 4,
то значение знаменателя q удовлетворяет условию
0«е(О; 0,3] 0 q £ (0,3; 0,4] 0 q £ (0,4; 0,5]
И q £ (0,5; 0,7] 096(0,7; 1)
14.	Если число А равно произведению всех различных корней
уравнения \/х2 — 172а? + 173 = \Лг2 - 172ж -Ь 125 4- 2, то
[Т] А 1 0 А £ (1; 2] 0 А е (2; 3] 0 А е (3; 4] 0 А > 4
15.	Множество всех значений параметра pt при которых урав-
4|я7| - 15
ненне ——----= р имеет не более одного корня, представляет co-
la?! — 3
бой промежуток числовой осн, длина которого равна
Щ102 03 04 05
16.	Билл совершил путешествие из пункта А в пункт Б со ско-
ростью 6 км/ч, Джек все это время курсировал по маршруту АБА
на мотоцикле с постоянной скоростью 24 км/ч (стартовали они
одновременно в пункте А, расстояние АБ = 75 км). Если х —
наименьшее расстояние между точками встречи (при движении
Джека в любом направлении), то
0 х £ (1; 3] 0 х £ (3; 5] 0 х € (5; 7] 0 х е (7; 9]
Щ х € (9; 99)
17.	Все решения неравенства log4 х + log2(\/ic — б) < 4 образу-
ют интервал а < х < Ь, длина которого Ь — а равна
[1] 28 @ 64 [3] 68 0 60 [5] 36
18.	Если S — площадь треугольника, ограниченного отрезками
осей абсцисс и ординат и отрезком касательной к графику функ-
ции у = х3, проведенной через точку этого графика с абсциссой
х — 3, то
[1]O<S'^3O[2]3O<S'^35[3]35<S'^4O04O<S'^5O
0 50 < S < 9999
248
Вариант 3-Ы2
19.	Если число X равно наименьшему положительному корню
уравнения sin(2ar) — sin(13z) 4- sin(24:r) — 0, то значение выраже-
ния я  Х~1 равно натуральному числу, остаток от деления кото-
рого на 5 равен
0102030400
20.	В треугольнике АВС длина стороны АВ = 8, углы
2	2
ZA = arctg ZB = arctg -. Площадь треугольника АВС равна
5	3
натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102030400
21.	Произведение всех различных значений параметра р} при
которых уравнение х2 ~ 2(р — 2)х + 6р — 8 = 0 имеет единствен-
ный корень, равна натуральному числу, остаток от деления ко-
торого на 5 равен
01 @2 @3 04 00
22.	Множество значений функции у = 5 sin2 х 4- 6 sin х пред-
ставляет собой промежуток, длина которого равна
0 12| 0 Ц 0 12| 0 12^ 0 13
5	□	5 э
23.	В начале года Петя положил 1 млн. руб. в банк А, который
начисляет 0,4% каждые 4 месяца, а Вася положил 1 млн. руб.
в банк Б, который начисляет 0,6% каждые 6 месяцев. Процен-
ты прибавляются к вкладу и участвуют в последующем приросте.
В конце года разница их вкладов в рублях составит (укажите бли-
жайшее к точному значению целое число рублей)
0240906018012
24.	Сколько имеется различных целочисленных значений пара-
метра р, при которых уравнение 196 • sin^arcsin
имеет единственный корень?
[1] 54 или меньше |~2~| 55 [з] 56 |~4~] 57 [~5~| 58 или больше
249
Варианты вступительных экзаменов
25.	Функция у = г3 — х4 достигает своего наибольшего значе-
ния на промежутке х € [0; 4-оо) в точке
01=| @*= j [з|а:=0 01 = 1 Е* = 5
26.	В равнобедренном треугольнике MNK боковые стороны
MN = NK, проведена биссектриса ML, причем МК = 28, NL = 9.
Найдите длину отрезка LK = х, и укажите верное утверждение.
Щ х € (0; 6] 0 х е (6; 8] [з] х € (8; 10] Щ х € (10; 12]
@т G (12; 999)
27.	Площадь фигуры на плоскости, состоящей из всех точек,
координаты которых (ж; у) удовлетворяют системе неравенств
2х х2 + у2 8т, равна
[Т] 15тг |2] 60тг [з] бтг Щ Збтг Щ 12тг
w f1 /э"
28.	Уравнение sin -arccos - I ~	— имеет корень, принадле-
\2	х J	V т
жащий промежутку
[Т] X G (2; 7) 13 X е [7; 13) [з] х € [13; 16) Щ х G [16; 19)
Щ х Е [19; 999)
29.	Множество всех решений системы неравенств
5 х 210 *241°Кх 2 представляет собой промежуток, длина кото-
рого равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5
равен
01 @2 @3 04 @0
30.	Наименьшее значение функции у — 4tg2 х + 6 ctg2 х равно
0V520V960V840V560V72
Вариант З-ЫЗ
1.	Величина площади треугольника, образованного отрезком
прямой х + ру — 12 и отрезками координатных осей, равна 24 при
положительном значении параметра р, равном
01 @2 ®3 04 05
250
Вариант 3-bl3
2.	Расход на аренду помещения составляет 25% общих расхо-
дов фирмы. Если стоимость аренды (в рублях) уменьшить в 8 раз
при неизменных прочих расходах (в рублях), то после этого расход
на аренду помещения составит от общих расходов фирмы
0 5% 0 3,125% 0 12% 0 5% 0 4%
3.	Найдите сумму двух наименьших положительных корней
(тгаЛ	/7тг\
—- I + cos I —~ I = 0.
6 /	\ 3 7
0601809012015
4.	Укажите все положительные значения параметра р, прн
которых наибольшее значение функции врх — х2 меньше 144.
Щр е (3; 4) 0р 6 (4; +оо) 0р е (0; 3) 0р 6 (3; +оо)
0Р 6(0; 4)
Т-1	J	О	Д
5.	Если х -|— = 4, то значение выражения т -|—=• принадле-
х	хл
жиг промежутку
Щ (0; 50] 0 (50; 54] [з] (54; 60] Щ (60; 63] Щ (64; 999)
6.	Если Билл повысит свою производительность труда в 8 раз,
а Джек понизит свою производительность труда в 5 раз против
плана, то время совместного выполнения работы уменьшится в
2 раза. Плановая производительность труда Билла относится к
плановой производительности Джека как
02:5^7: 16 05:803: 10 @4: 11
logo 3
7.	Если А = ------ log5 4. то
logi25 9	5
0А^1 0 А е (1; 2] 0Ле(2; 3] 0 А £ (3; 4] 0А>4
8.	Сумма первого и пятого членов арифметической прогрес-
6
сии раина
5
произведение третьего и четвертого членов равно
21
25’
251
Варианты вступительных экзаменов
Найдите первую цифру после запятой в десятичной записи разно-
сти прогрессии.
06 02 08 07 04
9.	Пусть Xi и Х2 — различные корни уравнения
х2 — 89т + 1 — 0. Укажите остаток от деления на 5 натурального
Х1 Х2
числа, равного значению выражения--1--.
Х2 Х1
01 02 03 04 00
10.	Сколько целых чисел х € [0; 6] являются решениями нера-
8ш(тгт/3)	?
зт(тгт/6)
венства
|Т| одно или ни одного [2~| два [3~| три [Т| четыре
[К] пять или больше пяти
{4т + ру = 2,	.
, имеет больше одного решения при
рх + у = р + 1
¥
][
А
одном значении р 6 (—оо; —1]
одном значении р 6 (—1; 1)
одном значении р 6 [1; +оо)
ровно двух значениях параметра р
таких значений параметра р не существует
12.	Сколько имеется целых положительных значений парамет-
х2 + у2 = 18,
ра р, при которых система уравнений < д: + р _ имеет ровно
. Р
два различных решения?
[Т] меньше пяти [2~| пять [з~| шесть [4~[ семь [б~| больше семи
13.	Если сумма квадратов всех членов бесконечно убывающей
геометрической прогрессии с положительными членами равна 45,
252
Вариант З-ЫЗ
а сумма всех членов этой прогрессии с четными номерами равна 6,
то значение знаменателя q удовлетворяет условию
@9 £ (0, 0,3] @«€(0,3; 0,4] @«6(0,4; 0,5]
09€ (0,5; 0,7] @«€(0,7; 1)
14.	Если число А равно произведению всех различных корней
уравнения \/х2 — 83т + 124 = у/х2 — 83т + 52 + 4, то
0 А < 1 @ А 6 (1; 2] @ А е (2; 3] @ А € (3; 4] @ А > 4
15.	Множество всех значений параметра р, при которых урав-
4|т| - 24
пение —[—:—— ~ р имеет не более одного корня, представляет со
]Т| — 4
бой промежуток числовой оси, длина которого равна
01 @2 @3 @4 @5
16.	Билл совершил путешествие из пункта А в пункт Б со ско-
ростью 4 км/ч, Джек все это время курсировал по маршруту АБА
на мотоцикле с постоянной скоростью 48 км/ч (стартовали они
одновременно в пункте А, расстояние АБ = 143 км). Если х —
наименьшее расстояние между точками встречи (при движении
Джека в любом направлении), то
0X6(1; 3] @хе(3; 5] @ х 6 (5; 7] @ х 6 (7; 9]
0x6(9; 99)
17.	Все решения неравенства log4 х -f- log2(v^ — 4) < 5 образу-
ют интервал а < х < Ь, длина которого Ь — а равна
0 16 0] 48 0 64 Щ 80 0 36
18.	Если S — площадь треугольника, ограниченного отрезками
осей абсцисс и ординат и отрезком касательной к графику функ-
ции у = 24т4, проведенной через точку этого графика с абсциссой
® 1, то
0 о < s 30 0 30 < S 35 0 35 < S 40 0 40 < S 50
® 50 < S < 9999
253
Варианты вступительных экзаменов
19.	Если число X равно наименьшему положительному корню
уравнения sin(3rr) — sin(llrr) + shi(19t) = 0, то значение выраже-
ния тг • Л1”1 равно натуральному числу, остаток от деления кото-
рого на 5 равен
0102 03 04 00
20.	В треугольнике АВС длина стороны АВ = 22, углы
3	1
ZA — arctg ZB — arctg-. Площадь треугольника АВС равна
а	о
натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 02 03 04 00
21.	Произведение всех различных значений параметра р. при
которых уравнение х2 — 2(р — 5)х + 3р — 4 = 0 имеет единствен-
ный корень, равна натуральному числу, остаток от деления ко-
торого на 5 равен
0102 03 04 00
22.	Множество значений функции у = 9 sin2 х 4- 4 sin х пред-
ставляет собой промежуток, длина которого равна
0 13 j 0 1з| 0 1з| 0 1з| 0 1з|
23.	В начале года Петя положил 1 млн. руб. в банк А, кото-
рый начисляет 0,3% каждые 6 месяцев, а Вася положил 1 млн.
руб. в банк Б, который начисляет 0,2% каждые 4 месяца. Процен-
ты прибавляются к вкладу и участвуют в последующем приросте.
В конце года разница их вкладов в рублях составит (укажите бли-
жайшее к точному значению целое число рублей)
0 3 0 6 0 9 0 12 0 18
24.	Сколько имеется различных целочисленных значений пара-
метра р, при которых уравнение 144 • sin^arcsin	~
имеет единственный корень?
|Т| 46 или меньше |~2~| 47 [з~| 48 [Т| 49 [~5~| 50 или больше
254
Вариант З-ЫЗ
25.	Функция у = х2 — х4 достигает своего наибольшего значе-
ния на промежутке х € [0; +оо) в точке
[l]i = x/2[2]a: = ^[3]a: = 0[4]x=-^[5]i=i
*	у 3	у 2
26.	В равнобедренном треугольнике PQR боковые стороны
PQ = QR, проведена биссектриса PS, причем PR — 21, QS = 16.
Найдите длину отрезка SR = х, и укажите верное утверждение.
Щ х 6 (0; 10] [2] х е (10; 12] 0 х е (12; 14] Щ х е (14; 16]
[б] х 6 (16; 999)
27.	Площадь фигуры на плоскости, состоящей из всех точек,
координаты которых (т; у) удовлетворяют системе неравенств
6я я2 + у2 С 8х, равна
0 2тг [2] 8тг [з] 7тг Щ 28л [б] 60л
28. Уравнение sin
жащий промежутку
имеет корень, принадле-
0 х е [3; 8) [2] х е [8; 11) [з] х е [11; 13) Щ х е [13; 17)
е [17; 999)
29. Множество всех решений системы неравенств
13 х С з7~12 1°йз: 3 представляет собой промежуток, длина кото-
рого равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5
равен
01[2]2[3]3[4]4[5]О
30. Наименьшее значение функции у = 3 tg2 х -f- 7 ctg2 х равно
0 \/84 [2] \/50 [3] V96 Щ v4o [В] У72
255
Варианты вступительных экзаменов
Вариант 3-Ы4
1.	Величина площади треугольника, образованного отрезком
прямой тх + у = 12 и отрезками координатных осей, равна 18 при
положительном значении параметра т, равном
Ё 1 @ 2 @3 134 05
2,	Расход на аренду помещения составляет 80% общих расхо-
дов фирмы. Если стоимость аренды (в рублях) уменьшить в 12 раз
при неизменных прочих расходах (в рублях), то после этого расход
на аренду помещения составит от общих расходов фирмы
И 6, (6)% [3 6% [3 25% (3 36% [3 68%
3.	Найдите сумму двух наименьших положительных корней
(тгх \	, /7тг\
—- 1 + sin I —- ] = 0.
6 /	\ 3 /
|Т] 15 [I] 6 0 18 Щ 9 ® 12
4.	Укажите все положительные значения параметра р, при
которых наибольшее значение функции 4рх — х2 больше 36,
0 Р ё (3; 6) [3 р 6 (6; +оо) [3 р е (0; 6) Щ р е (3; +оо)
[Зре(0; 3)
1	о 1
5.	Если х -|— — 3, то значение выражения х Н—z принадле-
жи	хл
жит промежутку
0 (0; 18] [3 (18; 21] (3 (21; 24] 0 (24; 27] @ (27; 999)
6.	Если Билл повысит свою производительность труда в 9 раз,
а Джек понизит свою производительность труда в 3 раза против
плана, то время совместного выполнения работы уменьшится в
4 раза. Плановая производительность труда Билла относится к
плановой производительности Джека как
Щ 10 : 13 [1] 7 : 10 [з] 5 : 8 Щ 8 : И [б] 11 : 15
7.	Если А = }°^15	• logu 225, то
logi2i 64
Щ А 1 [2] А € (1; 2] [з] А е (2; 3] Щ A G (3; 4] [б] А > 4
256
Вариант 3-Ы4
8.	Сумма первого и пятого членов арифметической прогрес-
4	16
сии равна произведение третьего и четвертого членов равно
5	25
Найдите первую цифру после запятой в десятичной записи разно-
сти прогрессии.
06 04 05 08 02
9.	Пусть и Х2 — различные корни уравнения
scI 2 — 21а; + 1 = 0. Укажите остаток от деления на 5 натурального
ГГ1 Х2
числа, равного значению выражения-1-,
Х2
0102 03 04 00
10.	Сколько целых чисел х € [0; 6] являются решениями нера-
sin(7ra;/3)	/-
венства —-—+ уЗ 0 ?
|Т] одно или ни одного [2~| два [з] три [4] четыре
[К] пять или больше пяти
11.	Система $	.	’ имеет больше одного решения
( рт —	= р + 1
при
][
][
А
¥
одном значении р € (—оо; — 1]
одном значении р 6 (—1; 1)
одном значении р € [1; 4-оо)
таких значений параметра р не существует
ровно двух значениях параметра р
12.	Сколько имеется целых положительных значений парамет-
( х2 + у2 ~ 9,
ра р, при которых система уравнений < s + у _ имеет ровно
I Р
два различных решения?
|Т] меньше трех [2~| три [3~| четыре [4~| пять |~Б~| больше пяти
13. Если сумма квадратов всех членов бесконечно убывающей
геометрической прогрессии с положительными членами равна 72,
257
Варианты вступительных экзаменов
а сумма всех членов этой прогрессии с четными номерами равна 3,
то значение знаменателя q удовлетворяет условию
0g е (0; 0,3] 0g £ (0,3; 0,4] 0? 6 (0,4; 0,5]
0g е (0,5; 0,7] 0g Е (0,7; 1)
14.	Если число А равно произведению всех различных корней
уравнения у/х2 — 191т-HL49 = у/х2 — 191т + 69 + 4, то
0 А $ 1 0 А 6 (1; 2] 0 А 6 (2; 3] 0 А е. (3; 4] 0 А > 4
15.	Множество всех значений параметра р, при которых урав-
3|т| —30
нение —:-----= р имеет не более одного корня, представляет со-
|т| - 5
бой промежуток числовой оси, длина которого равна
0102 03 04 05
16.	Билл совершил путешествие из пункта А в пункт Б со ско-
ростью 4 км/ч, Джек все это время курсировал по маршруту АБА
на мотоцикле с постоянной скоростью 40 км/ч (стартовали они
одновременно в пункте А, расстояние АБ = 198 км). Если х -
наименьшее расстояние между точками встречи (при движении
Джека в любом направлении), то
0 х е. (1; 3] 0 х 6 (3; 5] 0 х е (5; 7] 0 х 6 (7; 9]
0 х 6 (9; 99)
17.	Все решения неравенства log25 х + log5 (у/х — 20) < 3 обра-
зуют интервал а < х < bt длина которого Ь — а равна.
Щ 625 @ 80 [з] 600 Щ 225 [б] 375
18.	Если S площадь треугольника, ограниченного отрезками
осей абсцисс и ординат и отрезком касательной к графику функ-
ции у — Зт3, проведенной через точку этого графика с абсциссой
х = 2, то
|1]0<5<30[2]30<5^35[з]з5<5^40[4]40<5<50
[б] 50 < S < 9999
258
Вариант 3-Ы4
19.	Если число X равно наименьшему положительному корню
уравнения sin(3rr) - sin(18rr) 4-sin(33or) = 0, то значение выраже-
ния тг • Л1-1 равно натуральному числу, остаток от деления кото-
рого на 5 равен
0102 03 04 00
20.	В треугольнике АВС длина стороны АВ = 14, углы
ZA = arctg-, ZB = arctg -. Площадь треугольника АВС равна
*	о
натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102 03 04 00
21.	Произведение всех различных значений параметра р, при
которых уравнение х2 — 2(р — 4)а? -F 2р — 7 = 0 имеет единствен-
ный корень, равна натуральному числу, остаток от деления ко-
торого на 5 равен
0102030400
22.	Множество значений функции у = 5 sin2 а; — 8 sin а; пред-
ставляет собой промежуток, длина которого равна
0 16| 0 16| 0 161 0 «4 0 17
23.	В начале года Петя положил 1 млн. руб. в банк А, кото-
рый начисляет 0,6% каждые 6 месяцев, а Вася положил 1 млн.
руб. в банк Б, который начисляет 0,4% каждые 4 месяца. Процен-
ты прибавляются к вкладу и участвуют в последующем приросте.
В конце года разница их вкладов в рублях составит (укажите бли-
жайшее к точному значению целое число рублей)
Щ 24 [2] 12 [з] 6 Щ 9 [б] 18
24.	Сколько имеется различных целочисленных значений па-
(х \ (х — р)2
arcsin — ) ==-------------------------------------------
36/	4
Имеет единственный корень?
[Г] 24 или меньше [2~| 25 [з~| 26 [4~[ 27 |~5~[ 28 или больше
259
Варианты вступительных экзаменов
25.	Функция у = а?5 — х6 достигает своего наибольшего значе-
ния на промежутке а; € [0; +оо) в точке
ЦЬ= ? [2] X = 4 [з] X = 0 Щ X = | [К] X = |
26,	В равнобедренном треугольнике EFG боковые стороны
EF = FG, проведена биссектриса ЕМ, причем EG — 24, FM = 25.
Найдите длину отрезка MG = х, и укажите верное утверждение.
Щ х G (0; 12] [2] х е (12; 14] [з] х € (14; 16] Щ х € (16; 18]
[б] я 6 (18; 999)
27.	Площадь фигуры на плоскости, состоящей из всех точек,
координаты которых (sc; у) удовлетворяют системе неравенств
4т х2 + у2 16т, равна
|1] 12тг [2] 607Г [з] 240?г Щ 16тг [б] 18к
/1	6\	/4
28.	Уравнение sin I -arccos — ) — \/ “ имеет корень, принадле-
\/ у
жащий промежутку
Щ х е [6; 8) [2] х € [8; 11) [з] х € [11; 13) Щ х € [13; 17)
@т € [17; 999)
29.	Множество всех решений системы неравенств
6 С х з6-81о8г з ПредСтавляет собой промежуток, длина которого
равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 @2 [3]3 04 @0
30.	Наименьшее значение функции у = 3 tg2 т + 5ctg2х равно
[Т|	[з]>/84 [з] V60 Щ vie [б] V34
Вариант 4-Ы1
1. Полвека назад валовой внутренний продукт (ВВП) Феопии
был на 20% больше, чем у Мурундии. С тех пор Феопия увеличила
260
Вариант 4-bll
ВВП на 55%, а Мурундия увеличила на 50%, Теперь ВВП Феопии
больше ВВП Мурундии на
Щ 20% [2] 24% @ 25% Щ 27% [б] 21%
2* Произведение всех корней уравнения tgrr = — \/3, принад-
лежащих промежутку 0 < х < 2тг, равно
3.	Корень уравнения 3х = 5 равен
01og35 051/3 01oft3 И 31/5 [5] |
О
4,	Сумма первого и пятого членов арифметической прогрес-
сии равна 14, произведение третьего и четвертого членов равно 56.
Число, равное первому члену прогрессии, принадлежит промежут-
ку
0 (-99; 1,5] 0 (1,5; 2,5] 0(2,5; 3,5] 0(3,5; 4,5]
0(4,5; 99)
5.	Касательная к параболе у — х2 + Зт — 54, проведенная че-
рез точку этой параболы с абсциссой х — 0, пересекает ось абсцисс
в точке, абсцисса которой равна натуральному числу. Укажите
остаток от деления этого числа на 5.
0102 03 04 00
6.	Произведение всех различных корней уравнения
х2 — Ют + 24 = 0 равно натуральному числу. Укажите остаток
от деления этого числа на 5.
01 @2 @3 Щ4 [б]0
- „	„	(у = |®| + 2,
7.	Сколько решений имеет система < 9 'к
( г + ^ = 4 ?
[Г] одно [2~| два [з] три [Z] четыре или больше четырех
i [б~| решений нет
261
Варианты вступительных экзаменов
8.	Все положительные решения неравенства
х2 + 21л	10V? образуют промежуток, длина которого равна на-
туральному числу- Укажите остаток от деления этого числа на 5.
01 @2 03@4 00
9.	Если L = Ъ — а — наибольшая возможная длина интервала
(а; &), на котором функция у = 2х3 — 27х2 + 108т убывает, то
0 L е (0; 1]	€ (1; 2] 0 L е (2; 3] 0 L <= (3; 4]
0 L е (4; 999)
10.	Если q -наименьшее возможное значение знаменателя бес-
конечно убывающей геометрической прогрессии с положительны-
ми членами, квадрат второго члена которой относится к сумме
квадратов всех членов этой прогрессии как 20 : 81, то
0«е(О; 0,4) @в 6 [0,4; 0,5) 0 q 6 [0,5; 0,6)
13 g е [0,6; 0,7) 0« 6 [0,7; 999)
11.	Если П - произведение всех значений параметра р, при
которых прямые у — (р2 — 6р + 7)х + р + 9 и у = (4р + 2)х + 3 — 2р
параллельны, то
0 П 6 (-999; 1,5) 0 П £ (1,5; 2,5] 0 П 6 (2,5; 3,5]
0П6 (3,5; 4,5] 0П 6 (4,5; 999)
12.	Билл положил 200 у. е. в банк 1 января 2000 года. Доход
по вкладу в балке начисляется один раз в год, 31 декабря, и при-
бавляется к вкладу- Раз в два года, начиная с 2002 года, 1 января
Билл снимает со счета 138 у. е. для оплаты аренды. Какова наи-
меньшая годовая процентная ставка, при которой остаток средств
на вкладе не будет уменьшаться?
0 68% 0 69% 0 10% 0 20% 0 30%
13.	Если корня уравнения х2 — рх 4- q = 0 в 19 раз больше кор-
ней уравнения ? — 328х + 53 = 0, то q — натуральное число, оста-
ток от деления которого на 5 равен
0102 0304 00
262
Вариант 4-Ы1
14.	Наибольшая длина отрезка числовой оси, все точки кото-
рого являются решениями неравенства
4	• 4	V^3
cos х — sm х < — • cos 2т, равна
15.	Разность квадрата большего корня и квадрата меньшего
корня уравнения х2 — (\/8 + 1/10) я + V80 = 0 равна
01@20304®5
16.	Числовое значение выражения log 4/^ 216 равно
0360^ 0160120|
{6т 4- ру — р - 2,	,
„	. _	_ имеет больше одного решения
ОТ -|- 4J/ — р □
при
□
о
в
□
в
одном значении параметра р ё (—оо; 2]
одном значении параметра р € (2; 6]
одном значении параметра р 6 (6; +оо)
двух различных значениях параметра р
таких значений параметра р не существует
18. Произведение всех различных корней уравнения
х4 = 2х2 + 8 равно
04 0-8 08 0—4 064
,	19. Наименьшее значение функции у == 144х — 12х+1 + 100 рав-
J ио натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
[0102030400
Г
20.	Сколько различных целых чисел принадлежат области
определения функции у = log3 (2 — log2(^ - 2)2) ?
[Г| одно или ни одного [~2] два j~3~| три [4~] четыре
|5 пять или больше пяти
263
Варианты вступительных экзаменов
21.	Все значения параметра р, при которых хотя бы одно чис-
ло я € [3; 11] является решением неравенства — р( 9, образу-
ют промежуток, длина которого — натуральное число. Укажите
остаток от деления этого числа на 5.
01 @2 03 04 00
22.	Укажите множество всех значений параметра 5, при кото-
f т2 + у2 = 2,
рых система уравнений <	имеет ровно четыре различ-
ных решения.
0 (1; 2) 0 (1; J2) 0 (л/2; +оо) 0 (-оо; v^) 0 (\/2; 2)
23.	Если значение параметра k таково, что уравнение
х — kx$ + 7 имеет ровно два различных корня, то больший нз кор-
ней равен
[Т] 3,75 [2] 6,25 [з] 6,75 Н 8,75 [б] 9,25
24.	Найдите площадь фигуры, образованной всеми точка-
ми плоскости (х\ у), для которых х2 4- у2 4х и одновременно
у |т — 2| — 2.
[Т] 2тг - 4 [7| 2тг + 4 [3] 7г [Z] 4 [б] тг + 2
25.	Если после выполнения 30% работы Билл повысит свою
производительность труда на некоторое число процентов, то на
выполнение всей работы понадобится 80 дней. Если указанное по-
вышение производительности произойдет после выполнения 40%
работы, то на выполнение всей работы понадобится 81 день. За
сколько дней выполнит Вилл работу с повышенной производитель-
ностью? Укажите остаток от деления этого натурального числа
на 5.
01 02 03 04 00
26.	Наибольшее значение параметра р, при котором гипербола
У =------ имеет единственную общую точку с прямой у = р — 4xf
х — 3
равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
010 2 0 3 0 4 0 0
264
Вариант 4-bl2
27.	В треугольнике АВС проведены биссектриса ВМ и высота
BN, причем М ё АС и N € АС, длины отрезков AM = 8, MN = 1,
NC = 3. При этих условиях квадрат высоты BN равен натураль-
ному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102030400
28.	Сумма всех различных положительных целочис-
ленных значений параметра р, при которых уравнение
(р — 4) • log6 х + logx 6 = 12 имеет единственный корень, рав-
на натуральному числу, остаток от деления которого на 5
равен
0102030400
29.	Если число Л' равно наименьшему положительному корню
уравнения sin(473x) + sin(227x) + sin(700rc) = 0, то значение выра-
7Г
жения — равно натуральному числу, остаток от деления которого
на 5 равен
0102030400
30.	Сколько имеется различных целочисленных значений пара-
метра р, при которых уравнение 196sm(arcsinx) — (х — р)2 имеет
единственный корень?
[Tj 26 или меньше [2] 27 [з] 28 [4~| 29 [5~] 30 или больше
Вариант 4-Ы2
1.	Полвека назад валовой внутренний продукт (ВВП) Феопии
был на 25% больше, чем у Мурундии. С тех пор Феопия увеличила
ВВП на 32%, а Мурундия увеличила на 10%. Теперь ВВП Феопии
больше ВВП Мурундии на
048% 047% 049% 050% 045%
1
2.	Произведение всех корней уравнения tgz = -^=, принадле-
жащих промежутку 0 < х < 2тг, равно
Г~| IK2 г-1 557Г2 г—I 47Г2 г—i Юл2 г—। 5л2
0^0-^070^0 йг
265
Варианты вступительных экзаменов
3.	Корень уравнения 5х ~ 3 равен
051/3 01og53 g]| 031/5 [5] log, 5
О
4.	Сумма первого и пятого членов арифметической прогрес-
сии равна 14, произведение третьего и четвертого членов равно 63.
Число, равное первому члену прогрессии, принадлежит промежут-
ку
0 (-99; 1,5] [2] (1,5; 2,5] 0 (2,5; 3,5] 0(3,5; 4,5]
0(4,5; 99)
5.	Касательная к параболе у = х2 + 6х — 48, проведенная че-
рез точку этой параболы с абсциссой х = 0, пересекает ось абсцисс
в точке, абсцисса которой равна натуральному числу. Укажите
остаток от деления этого числа на 5.
0102030400
6.	Произведение всех различных корней уравнения
х2 — 11х + 30 = 0 равно натуральному числу. Укажите остаток
от деления этого числа на 5.
И! а 2 ® зИ4 0о
{у — 1x1 — 6
^2 у2 — 25 ?
0 одно 0 два 0 три 0 четыре или больше четырех
0 решений нет
8.	Все положительные решения неравенства
х2 + 15т	образуют промежуток, длина которого равна на-
туральному числу. Укажите остаток от деления этого числа на 5.
01 020304 00
9.	Если L — b — а — наибольшая возможная длина интервала
(а; 5), на котором функция у = 2т3 — 27т2 + 84т убывает, то
0 L 6 (0; 1J 0Le(l; 2] 0Le(2; 3] 0 L е (3; 4]
0Le(4; 999)
266
Вариант 4-Ы2
10.	Если q — наименьшее возможное значение знаменателя бес-
конечно убывающей геометрической прогрессии с положительны-
ми членами, квадрат второго члена которой относится к сумме
квадратов всех членов этой прогрессии как 2 : 9, то
09 е (0; 0,2] 0де(О,2; 0,3] 0дб(О,3; 0,4]
0? 6 (0,4; 0,5] 09 6 (0,5; 1)
11.	Если П — произведение всех значений параметра р, при ко-
торых прямые у = (р2 — 7р 4- б)х 4- 2р — 1 и у = (4 — 4р)х — 3 + 7р
параллельны, то
0П е (-999; 1,5) @Пб (1,5; 2,5] [з]П € (2,5; 3,5]
ЩП€ (3,5; 4,5] [Б] П 6 (4,5; 999)
12.	Билл положил 300 у. е. в банк 1 января 2000 года. Доход
по вкладу в банке начисляется один раз в год, 31 декабря, и при-
бавляется к вкладу. Раз в два года, начиная с 2002 года, 1 января
Вилл снимает со счета 375 у. е. для оплаты аренды. Какова наи-
меньшая годовая процентная ставка, при которой остаток средств
на вкладе не будет уменьшаться?
0 125% [2] 62,5% [з] 30% Щ 40% Щ 50%
13.	Если корни уравнения х2 — рх + q == 0 в 17 раз больше кор-
ней уравнения х2 — 892х 4- 61 = 0, то q — натуральное число, оста-
ток от деления которого на 5 равен
0102030400
14.	Наибольшая длина отрезка числовой оси, все точки кото-
рого являются решениями неравенства
4	• 4
cos х — sm х	• cos 2х, равна
0=®i®^0i0?
15.	Разность квадрата большего корня и квадрата меньшего
корня уравнения х2 — (V7 4- VTl)x 4" V77 = 0 равна
0102030405
267
Варианты вступительных экзаменов
16.	Числовое значение выражения log 4/3 243 равно
024	@16	@20
и	Ч
ч	I 6х + ру — 2р + 3,
17.	Система < . п Л _ имеет больше одного решения
[4т - Зу — р 4- 0, 5
при
3=
I
4
5
одном значении параметра р € (—оо; 2]
одном значении параметра р G (2; 6]
одном значении параметра р G (6; +оо)
двух различных значениях параметра р
таких значений параметра р не существует
18.	Произведение всех различных корней уравнения
х4 — 5х2 + 14 равно
0 7 0 -14 0 196 0 14 @ -7
19.	Наименьшее значение функции у — 256z — 16х+1 + 82 равно
натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102 @3 04 00
20.	Сколько различных целых чисел принадлежат области
определения функции у = log2 (2 — log3(z — З)2) ?
[Т| одно или ни одного [2] два j~3~| три [4~| четыре
[5~] пять или больше пяти
21.	Все значения параметра р, при которых хотя бы одно чис-
ло х € [4; 15] является решением неравенства |х — р| б, образу-
ют промежуток, длина которого — натуральное число. Укажите
остаток от деления этого числа на 5.
0102030400
268
Вариант 4-Ы2
22.	Укажите множество всех значений параметра Ь, при кото-
"I- у2 —- Q
У _	’ имеет ровно четыре различ-
ных решения.
0(3; Зу/2) 0(±;
V “
3_
/2’
23.	Если значение параметра к таково, что уравнение
х — кх5 + 3 имеет ровно два различных корня, то больший из кор-
ней равен
0 3,75 [04,5 [06,25 Щ 5,25 [02,25
24.	Найдите площадь фигуры, образованной всеми точка-
ми плоскости (х; у), для которых х2 + у2 4х и одновременно
у > |я - 2| - 2.
0 2л - 402я + 40я040тг + 2
25.	Если после выполнения 40% работы Билл повысит свою
производительность труда на некоторое число процентов, то на
выполнение всей работы понадобится 91 день. Если указанное по-
вышение производительности произойдет после выполнения 60%
работы, то на выполнение всей работы понадобится 94 дня. За
сколько дией выполнит Вилл работу с повышенной производитель-
ностью? Укажите остаток от деления этого натурального числа
иа 5.
0102030400
26.	Наибольшее значение параметра р, при котором гипербола
у =	-- имеет единственную общую точку с прямой у — р — 9х,
равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102 03 04 00
27.	В треугольнике АВС проведены биссектриса ВМ и высота
BN, причем М ё АС и N £ АС, длины отрезков AM = 8, MN — 3,
269
Варианты вступительных экзаменов
NC = 1. При этих условиях квадрат высоты BN равен натураль-
ному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 02 03 04 00
28.	Сумма всех различных положительных целочис-
ленных значений параметра р, при которых уравнение
(р — 11) • log7 х + logj. 7 = 16 имеет единственный корень, рав-
на натуральному числу, остаток от деления которого на 5
равен
0102030400
29.	Если число Л' равно наименьшему положительному корню
уравнения sin(647;c) + sin(153a?) -I- sin(800x) — 0, то значение выра-
Л
жения — равно натуральному числу, остаток от деления которого
на 5 равен
0102030400
30.	Сколько имеется различных целочисленных значений пара-
метра р, при которых уравнение 36 sin (arcsin х) = (х ~р)2 имеет
единственный корень?
|~Г] 12 или меньше [2] 13 [~3~| 14 [4~| 15 [5~] 16 или больше
Вариант 4-ЫЗ
1.	Полвека назад валовой внутренний продукт (ВВП) Феопии
был на 20% больше, чем у Мурундии. С тех пор Феопия увеличила
ВВП на 50%, а Мурундия увеличила на 25%. Теперь ВВП Феопии
больше ВВП Мурундии на
[Т] 48% [2] 45% Щ 50% Щ 42% [Б] 44%
2.	Произведение всех корней уравнения tgz = — принад-
лежащих промежутку 0 < х < 2л, равно
г—i 7л-2 г—I 4л2 г—-| 55л2 г—। Юл2 г-l 5л2
270
Вариант 4-ЫЗ
3.	Корень уравнения 5х = З'1 равен
0 5-1/3 0 - I 0 »-1/6 0 -Н53 0 -log,5
□
4.	Сумма первого и пятого членов арифметической прогрес-
сии равна 16, произведение третьего и четвертого членов равно 88.
Число, равное первому члену прогрессии, принадлежит промежут-
ку
И (-99; 1,5] 0 (1,5; 2,5] 0(2,5; 3,5] 0(3,5; 4,5]
0(4,5; 99)
5.	Касательная к параболе у = х2 + Зх — 48, проведенная че-
рез точку этой параболы с абсциссой х = 0, пересекает ось абсцисс
в точке, абсцисса которой равна натуральному числу. Укажите
остаток от деления этого числа на 5.
01 02 03 04 00
6.	Произведение всех различных корней уравнения
х2 — 13х + 42 = 0 равно натуральному числу. Укажите остаток
от деления этого числа на 5.
0102030400
{у — 1x1 4- 2,
J.2 у2 _ 2 ?
[Tj одно [~2] два [з] три [4~] четыре или больше четырех
[б] решений нет
8.	Все положительные решения неравенства
х2 + 45х	образуют промежуток, длина которого равна на-
туральному числу. Укажите остаток от деления этого числа на 5.
0102030400
9.	Если L — b — а — наибольшая возможная длина интервала
(а; 6), на котором функция у = х3 — 12х2 + 45х убывает, то
;0Ь6(О; 1] 0Ь6(1; 2] 0Le(2; 3] 0L6(3; 4]
|0Le(4; 999)
271
Варианты вступительных экзаменов
10.	Если q --- наименьшее возможное значение знаменателя бес-
конечно убывающей геометрической прогрессии с положительны-
ми членами, квадрат второго члена которой относится к сумме
квадратов всех членов этой прогрессии как 3 : 16, то
0 q 6 (0; 0,2] 0 q е (0,2; 0,3] |з] q € (0,3; 0,4]
0 g £ (0,4; 0,5] 0 g € (0,5; 1)
11» Если Л — произведение всех значений парамет-
ра р, при которых прямые у = (р2 — 14р + 6)я: 4-р — 3,3 и
у ~ (3 — Зр)х — 2 + 4р параллельны, то
0П 6 (-999; 1,5) 0П € (1,5; 2,5] [з]П € (2,5; 3,5]
Щ П £ (3,5; 4,5] 0 П € (4,5; 999)
12.	Билл положил 150 у. е. в банк 1 января 2000 года. Доход
по вкладу в банке начисляется один раз в год, 31 декабря, и при-
бавляется к вкладу. Раз в два года, начиная с 2002 года, 1 января
Билл снимает со счета 66 у. е. для оплаты аренды. Какова наи-
меньшая годовая процентная ставка, при которой остаток средств
на вкладе не будет уменьшаться?
0 22% 0 44% 0 10% 0 20% 0 30%
13.	Если корни уравнения х2 — рх 4- q = 0 в 16 раз больше кор-
ней уравнения ж2 — 678х + 97 — 0, то <? — натуральное число, оста-
ток от деления которого на 5 равен
0 1 02 03 04 @0
14.	Наибольшая длина отрезка числовой оси, все точки кото-
рого являются решениями неравенства
4	• 4
cos х — sm х
- • cos 2т, равна

15. Разность квадрата большего корня и квадрата меньшего
кория уравнения х2 ~ (У7 4- >/10) ж 4" >/70 = 0 равна
0102 03 Щ4 05
272
Вариант 4-ЫЗ
16. Числовое значение выражения log 5/^ 81 равно
а 20 0^15 ai® 9
{бзт -р РЗ/ — Зр
4^ Зу — д ! имеет больше одного решения при
J.
2
Д
1
К
одном значении параметра р £ (—оо; 2]
одном значении параметра р £ (2; 6]
одном значении параметра р £ (6; +оо)
двух различных значениях параметра р
таких значений параметра р не существует
18.	Произведение всех различных корней уравнения
дг4 — 2х2 4-15 равно
0 5 а-5 @15 0 225 ®-15
19.	Наименьшее значение функции у = 64® — 8®’1'2 + 2004 равно
натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102 ®3 @4 ®0
20.	Сколько различных целых чисел принадлежат области
определения функции у — log3 (2 — log2(a: — 4)2) ?
[Т] ии одного [2~| одно |~з] два |4~] три
[~5~| четыре или больше четырех
21.	Все значения параметра р, при которых хотя бы одно чис-
ло х € [8; 13] является решением неравенства |т~р|	7, образу-
ют промежуток, длина которого — натуральное число. Укажите
остаток от деления этого числа на 5.
®1®2@3®4®0
22.	Укажите множество всех значений параметра 6, при кото-
Г д;2 -|- у2 — 4
рых система уравнений 4	’
имеет ровно четыре различ-
ных решения.
® (72; 2) ® (0; 2>/2) ® (2; 2>/2) @ (2^2; +оо) ® (-оо; 2)
273
Варианты вступительных экзаменов
23.	Если значение параметра к таково, что уравнение
х = кхд +12 имеет ровно два различных корня, то больший из
корней равен
0 12,25 015,25 012,75 09,25 0 13,5
24.	Найдите площадь фигуры, образованной всеми точка-
ми плоскости (ат; у), для которых аг2 4~у2 С бят и одновременно
у < 3 - |ят - 3|.
Щ 2,25тг 02,25л 4-4,5 04,5л +9 04,5тг-9 04,5л
25.	Если после выполнения 40% работы Билл повысит свою
производительность труда на некоторое число процентов, то на
выполнение всей работы понадобится 77 дней. Если указанное по-
вышение производительности произойдет после выполнения 50%
работы, то на выполнение всей работы понадобится 79 дней. За
сколько дней выполнит Билл работу с повышенной производитель-
ностью? Укажите остаток от деления этого натурального числа
на 5.
0102 03 04 00
26.	Наибольшее значение параметра р, при котором гипербола
у =	-- имеет единственную общую точку с прямой у — р — 36а:,
зт 3
равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0 102 03 04 00
27.	В треугольнике АВС проведены биссектриса ВМ и высота
BN, причем М € АС и N £ АС, длины отрезков AM = 12, MN = 3,
NC — 1. При этих условиях квадрат высоты BN равен натураль-
ному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102 03 04 00
28.	Сумма всех различных положительных целочис-
ленных значений параметра р, при которых уравнение
(р — 7) • log5 х 4- logj, 5 = 6 имеет единственный корень, равна
натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102 03 0400
274
Вариант 4-bl4
29.	Если число X равно наименьшему положительному корню
уравнения 5ш(362т) 4- sin(238ir) 4- sm(600x) = 0, то значение выра-
7Г
жения — равно натуральному числу, остаток от деления которого
X
на 5 равен
0 1 0 2 0 3 Щ 4 0 О
30.	Сколько имеется различных целочисленных значений пара-
метра р, при которых уравнение 144sin(arcsmir) = (х — р)2 имеет
единственный корень?
|~Г] 22 или меньше [~2~| 23 [з] 24 [4~| 25 [~5~| 26 или больше
Вариант 4-Ы4
1. Полвека назад валовой внутренний продукт (ВВП) Феопии
был на 21% больше, чем у Мурундии. С тех пор Феопия увеличила
ВВП на 50%, а Мурундия увеличила на 10%. Теперь ВВП Феопии
больше ВВП Мурундии на
Щ 61% Щ 62% [J] 65% Щ 63% Щ 64%
2. Произведение всех корней уравнения tga; == —1, принадле-
жащих промежутку 0 < х < 2тг, равно
-1 105тг2
256
35тг2
16
21тг2
16
3. Корень уравнения 3 ® = 5 равен
ПО 53 4 [2]35 0-logs3 0	0-108,5
и
4. Сумма первого и пятого членов арифметической прогрес-
сии равна 12, произведение третьего и четвертого членов равно 60.
Число, равное первому члену прогрессии, принадлежит промежут-
ку
В (-99; 1,5] 0(1,5; 2,5] 0(2,5; 3,5] 0(3,5; 4,5]
0(4,5; 99)
275
Варианты вступительных экзаменов
5.	Касательная к параболе у = х2 4- 5т — 70, проведенная че-
рез точку этой параболы с абсциссой х = 0, пересекает ось абсцисс
в точке, абсцисса которой равна натуральному числу. Укажите
остаток от деления этого числа на 5.
01 @2 @3 04 00
6.	Произведение всех различных корней уравнения
т2 — 11т4-28 = 0 равно натуральному числу. Укажите остаток
от деления этого числа на 5.
0102 03 04 00
{у = |т| — 3, .
^.2	2 _ р ?
|~Г] одно |~2~| два [з! три [4~| четыре или больше четырех
[б] решений нет
8.	Все положительные решения неравенства
х2 4- 28т С 11 Vx$ образуют промежуток, длина которого равна на-
туральному числу. Укажите остаток от деления этого числа на 5.
0102030400
9.	Если L = b — а — наибольшая возможная длина интервала
(а; Ь), на котором функция у ~ 2т3 — 21т2 4- 72т убывает, то
0Ls(O; 1] 0Л е (1; 2] 00е(2; 3] 0 L 6 (3; 4]
0 L е (4; 999)
10.	Если q — наименьшее возможное значение знаменателя бес-
конечно убывающей геометрической прогрессии с положительны-
ми членами, квадрат второго члена которой относится к сумме
квадратов всех членов этой прогрессии как 8 : 81, то
0 ? 6 (0; 0,3] 0 q 6 (0, 3; 0,4] 0?ё(О,4; 0,5]
0 g е (0,5; 0,75] 09е (0,75; 1)
276
Вариант 4-bl4
11.	Если П — произведение всех значений параметра р, при ко-
торых прямые у = (р2 - 8р 4- 5)х 4- р 4- 1,5 и у — (р -Ь 1)т 4- Зр - 5
параллельны, то
0П € (-999; 1,5) 0П 6 (1,5; 2,5] [з]П € (2,5; 3,5]
0П€ (3,5; 4,5] 0 П 6 (4,5; 999)
12.	Билл положил 150 у. е. в банк 1 января 2000 года. Доход
по вкладу в банке начисляется одни раз в год, 31 декабря, и при-
бавляется к вкладу. Раз в два года, начиная с 2002 года, 1 января
Билл снимает со счета 144 у. е. для оплаты аренды. Какова наи-
меньшая годовая процентная ставка, при которой остаток средств
на вкладе не будет уменьшаться?
Щ 48% @ 96% [з] 40% Щ 30% Щ 20%
13.	Если корни уравнения х2 — рх 4- q = 0 в 13 раз больше кор-
ней уравнения х2 — 964т 4- 79 = 0, то q ~ натуральное число, оста-
ток от деления которого на 5 равен
а 1 а 2 ® з в 4 0 о
14.	Наибольшая длина отрезка числовой оси, все точки кото-
рого являются решениями неравенства
cos4 х — sin4 х > Уз • cos 2т, равна
15.	Разность квадрата большего корня и квадрата меньшего
корня уравнения х2 — (Уб 4- у/11)х 4- Убб — 0 равна
0102030405
16.	Числовое значение выражения logs^ 16 равно
01012 08 0106
О	тс
, _	f 2х 4- ру = р,
17.	Система <	,	. имеет больше одного решения
( х - 4у = р + 4
при
1 двух различных значениях параметра р
2 таких значений параметра р не существует
277
Варианты вступительных экзаменов
U одном значении параметра р ё (6; +оо)
0 одном значении параметра р ё (2; 6]
[5~ одном значении параметра р € (—оо; 2]
18.	Произведение всех различных корней уравнения
х4 = х2 + 12 равно
И -4 0 4 0 3 0 144 0 -12
19.	Наименьшее значение функции у ~ 36х — 6х+2 4- 400 равно
натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 @2 03 04 00
20.	Сколько различных целых чисел принадлежат области
определения функции у = log7 (2 — logs(T — 4)2) ?
|Т| нн одного 0 одно 0 два 0 три
0 четыре или больше четырех
21.	Все значения параметра р, при которых хотя бы одно чис-
ло х ё [3; 7] является решением неравенства |z — р| С 9, образуют
промежуток, длина которого — натуральное число. Укажите оста-
ток от деления этого числа на 5.
0402030400
22.	Укажите множество всех значений параметра 5, при кото-
f х2 4- у2 = 8,
рых система уравнений < _	|^| имеет ровно четыре различ-
ных решения.
0 (2; 4) 0 (2; 2л/2) 0 (2\/2; +оо) 0 (2л/2; 4) 0 (-оо; 2^2)
23.	Если значение параметра k таково, что уравнение
т = kx15 4- 7 имеет ровно два различных корня, то больший из
корней равен
06,75 02,25 07,5 05,25 06,25
278
Вариант 5-bl4
24.	Найдите площадь фигуры, образованной всеми точка-
ми плоскости (я; у), для которых х2 4- у2 8х и одновременно
у^2-|т-2|.
[Г| 67Г - 4 [2] 8тг 4-16 [з] 8л - 16 Щ бтг + 12 Щ бтг + 4
25.	Если после выполнения 30% работы Билл повысит свою
производительность труда на некоторое число процентов, то на
выполнение всей работы понадобится 64 дня. Если указанное по-
вышение производительности произойдет после выполнения 50%
работы, то на выполнение всей работы понадобится 66 дней. За
сколько дней выполнит Билл работу с повышенной производитель-
ностью? Укажите остаток от деления этого натурального числа
на 5.
02 @3 04 00
26.	Наибольшее значение параметра р, при котором гипербола
у =	- имеет единственную общую точку с прямой у — р — 64х,
равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0 10 2 0 3 0 4 0 0
27.	В треугольнике АВС проведены биссектриса ВМ и высота
BN, причем М 6 АС и N € АС, длины отрезков AM = 16, MN — 3,
NC = 1. При этих условиях квадрат высоты BN равен натураль-
ному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102030400
28.	Сумма всех различных положительных целочис-
ленных значений параметра р, при которых уравнение
(р — 3) • logj х 4- logj. 3 = 8 имеет единственный корень, равна
натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102030400
29.	Если число /V равно наименьшему положительному корню
уравнения sin(281 х) + sin(219a:) + sin(500ir) = 0, то значение выра-
7Г
жения — равно натуральному числу, остаток от деления которого
е %
иа о равен
010203 0400
279
Варианты вступительных экзаменов
30.	Сколько имеется различных целочисленных значений пара-
метра р, при которых уравнение 64sin(arcsinx) — (х — р)2 имеет
единственный корень?
|~Г] 16 или меньше [~2] 17 [з] 18 [J] 19 [К] 20 или больше
Вариант 5-Ы1
1.	Раньше накладные расходы составляли 30% общих расхо-
дов. Накладные расходы (в рублях) возросли на 110%, а прочие
расходы (в рублях) возросли на 60%, и теперь накладные расходы
составляют от общих расходов
Щ 56,25% [2] 84% [з] 36% Щ 80% Щ 44%
2.	Решите уравнение log36(16x) = log368.
В j 0 1 = j 0 корней нет Щ х = | [б] х = |
21
3.	Если Xi и Х2 — корни уравнения х 4—- — 10, то значение
величины Xi -Ь #2 равно
021 031 0 -Ю 0-21 010
4.	Сколько корней имеет уравнение log2 х = 2005 4- х ?
[1]	один [2] два [з] три Щ четыре или больше четырех
[~5~| корней нет
5.	Если число S равно сумме всех различных корней уравне-
ния х — 5у/х + 3 — 0, то
Щ 5 е (-999; 16,1) [2] S е [16,1; 18,2) [з] S € [18,2; 20,3)
Щ S € [20,3; 22,4) Щ S € [22,4; 999)
6.	Если х — у = 8 и ху — 48, то значение выражения л2 4- у2 —
целое число, в котором крайняя правая цифра равна
02 00 @4 06 03
280
Вариант 5-Ы1
7.	Найдите наименьшее значение функции у = хл — 6т2 + 12.
0102030405
8.	Сколько корней имеет уравнение х(х 2 4- 1)(#2 4-4) = 0 ?
|~Г] один [~2~| два |~3~| три [4~| четыре или больше четырех
[б] корней нет
9.	Наименьший корень уравнения	равен
10.	Если х = log, Г 9 310827 32 ), то
0тё(-999; 2,1) 0 х ё [2,1; 4,2) 0тё[4,2; 6,3)
0Т 6 [6,3; 8,4) 0 х ё [8,4; 999)
11.	Если числа ai, аг, аз,... образуют арифметическую про-
грессию, аз 4- а4 + a,i = 7, ai 4- а.2 4- as + ад = 4, и d — разность
прогрессии, то
0d 6 (-999; 1,1) 0d6 [1,1; 2,2) 0d6 [2,2; 3,3)
0d€ [3,3; 4,4) 0d6[4,4; 999)
12.	Пусть число к равно угловому коэффициенту касательной
к графику функции у ~ 0,5 shi(8t) в точке с абсциссой х = 0. Ука-
жите верное утверждение.
0 к е (-999; 1,1) 016(1,1; 2,2) 0*6 [2,2; 3,3)
0 k 6 [3,3; 4,4) 0 k 6 [4,4; 999)
13.	Укажите множество значений функции
У = 1оёо,5 ((°> 5)“^) -
[1]	(0; 4~оо) [2] (-1; +оо) [з] (-оо; 4-оо) [4] (-00; -1)
0 (-оо; о)
281
Варианты вступительных экзаменов
{Ух2 -Ь Зх + 2 — |у + 2| = О,
______________ _____________ то
у/у2 + 4у + 4 + тглЛг2 — х — 2 = О,
Щ е (-999; 1,1) 0 | 6 [1,1; 2,2) [з| 6 [2,2; 3,3)
Е £ [3,3; 4,4) 0 е [4,4; 999)
X	X
15.	За 12 дней совместной работы Билл и Джек строят 14 до-
мов. Если Билл повысит свою производительность на 100%, то за
б дней совместной работы они построят 10 домов. Сколько домов
построит одни Билл за 60 дней работы с плановой производитель-
ностью?
S28 @32 @30 S36 ®24
16.	Сколько различных целых чисел являются решениями
неравенства log^ х 2 ?
|Т| ни одного или одно [2~[ два |~3~[ три [Z] четыре
[К] пять или больше пяти
17.	Сумма квадратов всех различных корней уравнения
| |т| — 2| ~ 1 равна
[I] 32 0 20 [з] 18 Щ 33 [б] 21
18.	Наименьшее значение функции у — 8log3iC + 22-31og3® равно
[Tj 8 [г] 2л/2 ® 2Уз Щ 4\/2 [К] 4
19.	Найдите наименьшую длину L — т — п отрезка числовой
оси [n; т] с целочисленными концами, который содержит все ре-
шения неравенства log2 (я? + 2) + log2(x — 5)	3, и укажите верное
утверждение,
[1] L е [0; 1,5] [2]L 6 (1,5; 2,5] Щ L € (2,5; 3,5]
@ L 6 (3,5; 4,5] 0 L € (4,5; 999)
282
Вариант 5-Ы1
20.	Площадь фигуры, состоящей из всех точек, координаты ко-
торых удовлетворяют неравенству 0 у 14 — ||ж| — 7|, равна на-
туральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102 03 04 00
21.	Найдите все значения параметра р, при которых система
(3	— 1 _ Р + 2
т у ху ’
имеет бесконечно много реше-
р + 1 + 5	10
X у	ху
ний, и укажите верное утверждение,
[Г| существует два таких р [2~| таких р не существует
|з] существует одно р, причем р > О
[Т| таких р бесконечно много
[К] существует одно р, причем р < 0
22.	Сумма всех различных корней уравнения
/ х \ я
I — |	= х4 равна натуральному числу. Укажите остаток от де-
\ 5 /
леиия этого числа на 5.
0 1 02 03 04 00
23.	Вычислите значение выражения
(4	5 \
arcsin - 4- arcsin — I и укажите остаток от деления бли-
3	хо /
жайшего натурального числа на 5.
0102 03 04 00
24.	Числа 1; 6; с являются последовательными членами воз-
растающей арифметической прогрессии. Если большее из них уве-
личить иа 6,666666 ... %, то они станут последовательными чле-
нами геометрической прогрессии. Укажите верное утверждение.
S ь € (1; 1,2) [2] Ъ € [1,2; 1,4) [з]д е [1,4; 1,6) @b Е [1,6; 1,8)
® Ъ е [1,8; 999)
283
Варианты вступительных экзаменов
25.	Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно впи-
сать окружность, равна 20, острый угол при основании равен 30°.
Боковая сторона трапеции равна
х
26.	Функция — + cos х достигает своего наибольшего значения
на промежутке [0; тг] в точке
27.	Сумма всех различных целочисленных значений парамет-
{bgu(a:(l4-a?)) < 1,
к имеет
logsfti-pXe-s + p)) sei
единственное решение, равна натуральному числу. Укажите оста-
ток от деления этого натурального числа на 5.
01 @2 @3 04 00
28.	Если число X равно наименьшему положительному кор-
ню уравнения х/З(sin(19a:) + sin(33x)) = 2зт(52т) cos(7t), то зна-
чение выражения тг • X’"1 равно натуральному числу, остаток от
деления которого на 5 равен
0102 03 04 00
29.	Все значения параметра а, для которых система уравне-
{у = \/4 — т2,
.	, имеет ровно два различных решения, образу-
у = J® - а|
ют множество
0 а £ (-2; 2) 0 а ё (-\/2; Л) 0 а € (-2; -vty (J (^2; 2)
0 а е (-2V2; 2</2) 0 а ё (-4; -2V2) |J (2%/2; 4)
30.	Произведение всех различных значений параметра р, при
-10
которых гипербола у —---- и прямая
3?
у = (р2 — Зр — 4)х 4- 2(3р — 1) имеют единственную общую точку,
равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102030400
284
Вариант 5-Ы2
Вариант 5-Ы2
1.	Раньше накладные расходы составляли 30% общих расхо-
дов. Накладные расходы (в рублях) возросли на 40%, а прочие
расходы (в рублях) возросли на 90%, и теперь накладные расходы
составляют от общих расходов
[1] 16% [2] 24% @ 32% Щ 20% [б] 40%
2.	Решите уравнение log^27*) = log625 81.
S х ” 7 @ х =	@ х = | Щ X = | [б] корней иет
g
3.	Если a?i и Х2 —- корни уравнения х 4— = 6, то значение
X
величины - Х2 равно
0 6 0 8 0 -6 0 -8 0 12
4.	Сколько корней имеет уравнение log2 х = 2005(х — 1) ?
[Г| один [2~| два [б] три [4] четыре или больше четырех
[б] корней нет
5.	Если число S равно сумме всех различных корней уравне-
ния х — б^/х 4- б — 0, то
[1]	S € (-999; 18,1) [2] S € [18,1; 20,2) Щ S € [20, 2; 22,3)
Щ S 6 [22,3; 24,4) [б] 5 € [24,4; 999)
6.	Если х — у — 4 и ту = 60, то значение выражения х2 4- у2 —
целое число, в котором крайняя правая цифра равна
02 00 @6 Щ4 [5]3
7.	Найдите наименьшее значение функции
у ~ т4 — 12т2 + 41.
0102030405
8.	Сколько корней имеет уравнение х(х2 — 1)(т2 4- 4) = 0 ?
[Г| один [2~| два |~3~| три [Т| четыре или больше четырех
[б] корней нет
285
Варианты вступительных экзаменов
9.	Наименьший корень уравнения —?== = ,	—
равен
S7% r~—। 4тг г—] 5тг г—1 Ня г—। 13%
т 0тStStHt
6	3	3 о о
1Л I?	1 (q 41°Bie49\
10.	Если х = log7( 8 I, то
0х е (-999; 3,1) 0г 6 [3,1; 4,2) 0 х е [4,2; 5,3)
0 х е [5,3; 6,4) 0 х ё [6,4; 999)
11.	Если числа «1, аз> аз, • • • образуют арифметическую про-
грессию, аг + «5 + а8 = 6, аз + «4 4- а7 + ад = 11, и d — разность
прогрессии, то
0 d е (-999; 1,1) 0d е [1,1; 2,2) 0 d ё [2,2; 3,3)
[4] а € [3,3; 4,4) 0d6 [4,4; 999)
12.	Пусть число к равно угловому коэффициенту касательной
к графику функции у — 3 sin - в точке с абсциссой х = 0. Укажите
верное утверждение.
0fc е (-999; 1,1) 0fc ё [1,1; 2,2) 0fc ё [2,2; 3,3)
01: ё [3,3; 4,4) 0fc ё [4,4; 999)
logs(®)
13.	Укажите множество значений функции у — — 5
[1](~оо; 4-оо) [J] (-оо; -1) [з] (0; +оо) Щ (-оо; 0)
® (“1; +оо)
| \/я2 + я — 6 — |3у 4- 2| ~ 0,
14.	Если < ,_____________ t	то
1 >/9у2 + 12у 4- 4 4- 1у/х2 — Зт 4- 2 = 0,
0 — ё (—999; 1,1) 0 - € [1,1; 2,2) 0 - ё [2,2; 3,3)
у	у	у
0 - € [3,3; 4,4) 0 — 6 [4,4; 999)
У	У
286
Вариант 5-Ы2
15.	За 12 дней совместной работы Вилл и Джек строят 7 до-
мов, Если Билл повысит свою производительность на 100%, то за
18 дней совместной работы они построят 15 домов. Сколько домов
построит один Билл за 60 дней работы с плановой производитель-
ностью?
S18 @12 @15 Н14 ®16
16.	Сколько различных целых чисел являются решениями
неравенства log4 х < 2 ?
|Т| ни одного или одно [2~| два |~3~| три [Т| четыре
[К] пять или больше пяти
17.	Сумма квадратов всех различных корней уравнения
|т| — 2| = 3 равна
U 51 0 18 0 32 Щ 33 [б] 50
18.	Наименьшее значение функции у — 9log2X ц* з3~21о8»« равно
[1] 27 [2]4\/з [з]б\/2 Щб\/3 [б] 18
19.	Найдите наименьшую длину L = т — п отрезка числовой
оси [п; т] с целочисленными концами, который содержит все ре-
шения неравенства log2(a; + 5) + log2(s — 9)	5, и укажите верное
утверждение.
ЩL е [0; 1,5] е (1,5; 2,5] [з]L е (2,5; 3,5]
Щ L ё (3,5; 4,5] [в] L е (4,5; 999)
20.	Площадь фигуры, состоящей из всех точек, координаты ко-
торых удовлетворяют неравенству |у|	12 — ||т| — 6|, равна нату-
ральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0 1 а 2 [з| 3 0 4 [5] 0
287
Варианты вступительных экзаменов
21. Найдите все значения параметра р, при которых система
' 1	1 -р
х
уравнений <
1 + р
х
2У
4
Ч—
У
ху ’
имеет бесконечно много решений,
- р+1
%У
и укажите верное утверждение,
|~1] существует одно такое р, причем р < 0
[2]	существует одно р, причем р > 0
[з]	таких р бесконечно много [4] существует ровно два таких р
[б]	таких р не существует
22.	Сумма всех различных корней уравнения
\ 9 )	~ 729 Равна натуральному числу. Укажите остаток от
деления этого числа на 5.
23.	Вычислите значение выражения
(	12	3\
130  sin( arcsin — — arcsin - 1 и укажите остаток от деления бли-
жайшего натурального числа на 5.
24.	Числа 1; Ь; с являются последовательными членами воз-
растающей арифметической прогрессии. Если большее из них уве-
личить на 33, 33333... %, то они станут последовательными чле-
нами геометрической прогрессии. Укажите верное утверждение.
Ц]»е (1; 1,2) @4e[l,2; 1,4)	[1,4; 1,6) Щ i е [1,6; 1,8)
[б] b е [1,8; 999)
25.	Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно впи-
сать окружность, равна 30, острый угол при основании равен 45°.
Боковая сторона трапеции равна
[1] >/60 [2] >/1800 [3] У'ЗО Щ 30 [б] >/1200
288
Вариант 5-bl3
X
26.	Функция — — sin х достигает своего наибольшего
£
значения
на промежутке [0; 2я] в точке
27.	Сумма всех различных целочисленных значений парамет-
f logi2(^(13 — ж)) 1,
ра р, при которых система <	имеет
[ bgeG* “Р)(7 “ * + p)) 1
единственное решение, равна натуральному числу. Укажите оста-
ток от деления этого натурального числа на 5.
Н 1 0 2 0 3 0 4 0 О
28.	Если число X равно наименьшему положительному кор-
ню уравнения x/3(sin(41x) + sin(35a:)) ~ 2sin(76a:) cos(3t), то зна-
чение выражения тг • X”1 равно натуральному числу, остаток от
деления которого на 5 равен
0102 03 04 00
29.	Все значения параметра а, для которых система уравие-
„ Г У = ’/l ~ л2,
ний <	имеет ровно два различных решения, образу-
[У - F - а|
ют множество
0 а 6 (-2; 2) 0 а е (-V5; V5) 0 а ё (-2; -V2) [J (а/2; 2)
0 а Ё (-2^2; 2у/2) 0 а ё (-1; 1)
30.	Произведение всех различных значений параметра р, при
-5
которых гипербола у = — и прямая
х
у = (р2 — 5р-Ьб)х + 2(2р — 1) имеют единственную общую точку,
равно натуральному числу, остаток отделения которого на 5 равен
0102030400
Вариант 5-Ь13
1.	Раньше накладные расходы составляли 60% общих расхо-
дов. Накладные расходы (в рублях) возросли на 70%, а прочие
289
Варианты вступительных экзаменов
расходы (в рублях) возросли на 20%, и теперь накладные расходы
составляют от общих расходов
Щ 74% [2] 99% [3| 110% 3 84% [3 68%
2.	Решите уравнение 10581(8®) ~ log81 16.
3 ж ~ 2 [3 х ~ 7 13 z ~ | [3 х — 7 13 корней нет
б „
3.	Если a?i и Х2 " корни уравнения х Ч— = 5, то значение
х
величины а?1 + Х2 равно
(З5 3 З-5 S6 @и
4.	Сколько корней имеет уравнение log2 х = 2005т ?
[Г] один |~2~| два |~3~| три 3 четыре или больше четырех
3 корней нет
5.	Если число S равно сумме всех различных корней уравне-
ния х — 8у/х + 5 — 0, то
0 S 6 (-999; 26,1) [3 S € [26,1; 28, 2) [0 S € [28,2; 30,3)
3 S е [30,3; 32,4) [3 8 € [32,4; 999)
6.	Если х — у ~ 5 и ху ~ 24, то значение выражения х2 4- у2 —
целое число, в котором крайняя правая цифра равна
03 07 @4 00 06
7.	Найдите наименьшее значение функции у — х4 — 4т2 + 8.
0102 03 04 05
8.	Сколько корней имеет уравнение х(х — 1)(х2 + 1) — 0 ?
[Г] один [3 Д®а [3 ТРИ [3 четыре или больше четырех
|3 корней нет
290
Вариант 5-ЫЗ
9.	Наименьший корень уравнения . = —	-—~
у/х ~ к у/х — я • v 3
равен
Е7тг г—I 4тг г—1 5л г—I 11л ।—I 13л
о 3	3 о о
.	х	(к ® 1^8125 121 \
10.	Если х = logn (5	J, то
0 х G (-999; 3,1) 0 х € [3,1; 5,2) 0 х € [5, 2; 7,3)
0 х € [7,3; 9,4) 0 г <= [9,4; 999)
11.	Если числа at, аг, аз,... образуют арифметическую про-
грессию, аг + а5 + аб — 7, ах + аз 4- ау + ag = 16, и d — разность
прогрессии, то
0d ё (-999; 1,1) 0</е [1,1; 2,2) [з]d е [2,2; 3,3)
Щ^ё [3,3; 4,4) [в] d е [4,4; 999)
12.	Пусть число к равно угловому коэффициенту касательной
к графику функции у = 0,5 соз(8г) в точке с абсциссой х — 0, Ука-
жите верное утверждение.
0 к G (-999; 1,1) 0 к е [1,1; 2,2) 0 к € [2,2; 3,3)
0*€ [3,3; 4,4) 0 к G [4,4; 999)
13.	Укажите множество значений функции у = log2^2-®y
0 (-оо; +оо) 0 (0; +оо) 0 (~оо; 0) 0 (—1; +оо)
0 (-оо; -1)
14.
Если <
у/х2 -Ь 2г — 3 — |6у — 1| = 0,
л у/Збу2 — 12уЧ-П1 4- у/ х2 — 4х + 3 — 0,
то
[Ц - ё (-999; 1,1) Ц] - ё [1,1; 2,2) Щ - ё [2,2; 3,3)
У	У	У
S - ё [3,3; 4,4) [в] - ё [4,4; 999)
291
Варианты вступительных экзаменов
15.	За 30 дней совместной работы Билл н Джек строят 11 до-
мов. Если Билл повысит свою производительность на 25%, то за
24 дня совместной работы они построят 10 домов. Сколько домов
построит один Билл за 60 дней работы с плановой производитель-
ностью?
[Т] 11 S 12 [з] 12,5 Щ 14 [б] 13
16.	Сколько различных целых чисел являются решениями
неравенства log^# ^2?
[Т] ни одного или одно j~2~| два j~3~[ три [<] четыре
[б] пять или больше пяти
17.	Сумма квадратов всех различных корней уравнения
| |х| — 1| = 1 равна
[T]2[2|12[i]8[4]9[5]3
18.	Наименьшее значение функции у = 41083® + 23-2og3® равно
Щ 4\/2 Щ 4 [в] 2^2 Щ 8 [б] ЗУ5
19.	Найдите наименьшую длину L = т — п отрезка числовой
оси [п; т] с целочисленными концами, который содержит все ре-
шения неравенства log3(z + 2) + log3(z — 4)	3, и укажите верное
утверждение.
[TJ L е [0; 1,5] 0L 6 (1,5; 2,5] [з] L е (2,5; 3,5]
[I] L е (3,5; 4,5] [б] L £ (4,5; 999)
20.	Площадь фигуры, состоящей из всех точек, координаты ко-
торых удовлетворяют неравенству 0 у 8 — ||z| — 4|, равна на-
туральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
010203 04 @0
292
Вариант 5-ЫЗ
21.	Найдите все значения параметра р, при которых система
Г1 |р+1= 1
I х Зу ху'
уравнений <	имеет бесконечно много решений,
Р~^	£ ___ Р~^
х	у ху
и укажите верное утверждение.
[Т] существует одно такое р, причем р < О
|~2~| существует одно р, причем р > О
[3~| таких р бесконечно много J~4~| существует ровно два таких р
[б] таких р не существует
22.	Сумма всех различных корней уравнения
/ х \ Me х
{ — |	~ х2 равна натуральному числу. Укажите остаток от де-
\6 /
ления этого числа на 5.
01 02 03 04 00
23.	Вычислите значение выражения
(3	5 \
arcsin - — arcsin —- I и укажите остаток от деления бли-
О	/
жайшего натурального числа на 5.
0102 03 04 00
24.	Числа 1; Ь; с являются последовательными членами воз-
растающей арифметической прогрессии. Если большее из них уве-
личить на 12,5%, то они станут последовательными членами гео-
метрической прогрессии. Укажите верное утверждение.
06ё (1; 1,2) 06ё [1,2; 1,4) 0 fe е [1,4; 1,6) 06ё [1,6; 1,8)
06 6 [1,8; 999)
25.	Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно впи-
сать окружность, равна 10, острый угол при основании равен 45°.
Боковая сторона трапеции равна
[Т]^40 @ ^800 @ у'ЗО Щ v^00 [б] УбО
293
Варианты вступительных экзаменов
х
26.	Функция — — cos х достигает своего наибольшего
значения
на промежутке [0; 2тг] в точке
27.	Сумма всех различных целочисленных значений парамет-
( log12(x(13 - ®))	1,
ра р, при которых система <	имеет
[ log3((z-p)(4-z+p))	1
единственное решение, равна натуральному числу. Укажите оста-
ток от деления этого натурального числа на 5.
0102 03 04 00
28.	Если число X равно наименьшему положительному кор-
ню уравнения V3(sin(27x) + sin(37z)) = 2sin(64z)cos (5т), то зна-
чение выражения л - X-1 равно натуральному числу, остаток от
деления которого на 5 равен
0102 03 04 00
29.	Все значения параметра а, для которых система уравне-
„ Г у - V2 - х2,	Л
ннй <	.	. имеет ровно два различных решения, ооразу-
(. у =	— а|
ют множество
[Т] a G (-2; 2) @ a € (-V2; у/2) [з] a G (-2; — х/2) |J (у/2; 2)
0 a G (~2у/2; 2у/2)	(-1; 1)
30. Произведение всех различных значений параметра р} при
с -ю
которых гипербола у =--и прямая
X
у = (р2 — 6р + 8)z + 2(3р — 1) имеют единственную общую точку,
равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102 03 04 00
Вариант 5-Ы4
1.	Раньше накладные расходы составляли 40% общих расхо-
дов, Накладные расходы (в рублях) возросли на 80%, а прочие
294
Вариант 5-Ы4
расходы (в рублях) возросли на 30%, н теперь накладные расходы
составляют от общих расходов
0 48% 0 92% 0 72% 0 64% 0 90%
2.	Решите уравнение log2005 (625I) -log20fl5 125.
0 х = ~ |~2~| х ~ ~ 0 корней нет 0 х =	[б~| х —
г,	12
3.	Если it и 12 ~ корни уравнения х Ч-=8, то значение
величины Я} + Х2 равно
0 12 0 -12 0 8 0 -24 0 20
4.	Сколько корней имеет уравнение log2 х = 2005 — х ?
0 один 0 два 0 три 0 четыре или больше четырех
0 корней нет
5.	Если число S равно сумме всех различных корней уравне-
ния х — 7у/х Ч" 3 = 0, то
05 €(-999; 42,1) 05 € [42,1; 44,2) 05 € [44,2; 46,3)
0 5 € [46,3; 48,4) 0 5 € [48,4; 999)
6.	Если х — у ~ 6 н ху = 72, то значение выражения х2 + у2 —
целое число, в котором крайняя правая цифра равна
02 03 04 06 00
7.	Найдите наименьшее значение функции
у = X4 - 10х2 + 26.
0102 03 04 05
8.	Сколько корней имеет уравнение х(х — 1)(т2 — 4) — 0?
0 один 0 два 0 три 0 четыре или больше четырех
0 корней нет
295
Варианты вступительных экзаменов
9. Наименьший корень уравнения
/	21og12I 125\
10.	Если х = log5( 11	), ТО
Щ хе (-999; 3,1) 0х€[3,1; 5,2) [з] х € [5,2; 7,3)
€ [7,3; 9,4) Щ х € [9,4; 999)
11.	Если числа ai, аг, аз,  • • образуют арифметическую про-
грессию, й2 -Ь йз 4~ ау = 6, ai + а4 -J- Де 4- ад ~ 20, и d — разность
прогрессии, то
[Tjde (-999; 1,1) @</е[1,1; 2,2) [з] d 6 [2,2; 3,3)
[4] d 6 [3,3; 4,4) [5] d £ [4,4; 999)
12.	Пусть число к равно угловому коэффициенту касательной к
графику функции у = 3 cos(2x) в точке с абсциссой х = 0. Укажите
верное утверждение.
[T|fc6 (-999; 3,1) [2]fc € [3,1; 5,2) 0 к € [5,2; 7,3)
g]fc€ [7,3; 9,4)	€ [9,4; 999)
13.	Укажите множество значений функции у = log3 ^З1^.
0(0; +оо) @(-оо; 0) 0 (-оо; ^1) Щ (-1; 4-оо)
0 (—оо; 4-оо)
( х/х2 - х - 2- |2у - 1| = 0,
14.	Если <	___________ _____________ то
I тг^/4у2 — 4у 4-14- i/z2 —	+ 6 = 0,
[Т] - е (-999; 1,1) [2]-е [1,1; 2,2) @-е[2,2; 3,3)
У	У	У
0 - € [3,3; 4,4) [б] - € [4,4; 999)
У	У
296
Вариант 5-Ы4
15.	Если после совместного выполнения 30% работы Билл по-
высит свою производительность труда на 20%, а Джек повысит
на 70%, то на выполнение всей работы понадобится 20 дней. Если
указанное повышение производительности произойдет после сов-
местного выполнения 40% работы, то на выполнение всей работы
понадобится 21 день. За сколько дней они вместе выполнят работу
с повышенной производительностью? Укажите остаток от деления
этого натурального числа на 5.
0102030400
16.	Сколько различных целых чисел являются решениями
неравенства log^ х < 2 ?
|Т| ни одного или одно |~2~| два |~з] три Щ четыре
[б] пять или больше пяти
17.	Сумма квадратов всех различных корней уравнения
| |z| — 1 =2 равна
Е8 09 032 В18 S19
18.	Наименьшее значение функции у = 41+1og3® 21~21о8з®
равно
Щ Зх/2 Е 4 [з] 4л/2 В 8 В 2\/2
19.	Найдите наименьшую длину L = т — п отрезка числовой
осн [n; ш] с целочисленными концами, который содержит все ре-
шения неравенства log2(z + 5) + log2(:c — 7)	6, и укажите верное
утверждение.
0Ze[O; 1,5] 0ье(1,5; 2,5] 0Ьё(2,5; 3,5]
0L6 (3,5; 4,5] 0Z ё (4,5; 999)
20.	Площадь фигуры, состоящей из всех точек, координаты ко-
торых удовлетворяют неравенству |у|	6 — ||z| — 3|, равна нату-
ральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102 03 04 00
297
Варианты вступительных экзаменов
21.	Найдите все значения параметра р, при которых система
' 4 2р - 2
—I- -
х
уравнений
р Ч- 1
х
6
У ХУ ’
имеет бесконечно много решений,
4 __ 2р
У ХУ
и укажите верное утверждение.
[Т] существует одно такое р, причем р < О
|~2~] существует одно р, причем р > О
j~3~[ таких р бесконечно много [4~| существует ровно два таких р
|~б~| таких р не существует
22.	Сумма всех различных корней уравнения
loge (1/2)
= — равна натуральному числу. Укажите остаток
4
от деления этого числа на 5.
01 02 03 04 00
23.	Вычислите значение выражения
/4	5 \
65 • sin { arcsin-arcsin — ] и укажите остаток от деления бли-
\	5	13/
жайшего натурального числа на 5.
0102 03 04 00
24.	Числа 1; 6; с являются последовательными членами воз-
растающей арифметической прогрессии. Если большее из них уве-
личить на 12,5%, то они станут последовательными членами гео-
метрической прогрессии. Укажите верное утверждение.
0се(1; 1,2) 0 с 6 [1,2; 1,4) 0с £[1,4; 1,6) 0с ё [1,6; 1,8)
0с £ [1,8; 999)
25.	Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно впи-
сать окружность, равна 40, тупой угол равен 150°. Боковая сторо-
на трапеции равна
[Т] \^40 @ У1800 [з] х/80 Щ </1200 Щ /60
298
Вариант 5-Ы4
26.	Функция 2sin(x) +х достигает своего наибольшего значе-
ния на промежутке [0; тг] в точке
27.	Сумма всех различных целочисленных значений парамет-
( log23 (ж(24 - я))	1,
ра р, при которых система <	имеет
( log8 ((х ~р)(9 - х +р))	1
единственное решение, равна натуральному числу. Укажите оста-
ток от деления этого натурального числа на 5.
0102 03 04 00
28.	Если число X равно наименьшему положительному кор-
ню уравнения \/3(8т(35я) + зт(43т)) = 2sin(78x) cos(4x), то зна-
чение выражения тг  X-1 равно натуральному числу, остаток от
деления которого на 5 равен
0102030400
29.	Все значения параметра а, для которых система уравнений
(у ~ \/2 — я2,
< _ ।	’ имеет единственное решение, образуют множество
0 а = ±Л 0 а = ±2 0 а 6 (-Л; Л)
0а Ё (-оо; -2) (J (2; +оо) 0 а 6 (-2^2; 2^2)
30. Произведение всех различных значений параметра р, при
„	-26
которых гипербола у =----и прямая
х
У ~ (р2 — 8р + 12) я + 2(5р — 1) имеют единственную общую точку,
равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102030400
299
Ответы
Вариант
1.0 2.
9. 3 10.
17. [3
25. Гб
18.
26.
-all
2	3.
4 11.
1 19.
4 27.
Вариант 1-а12
1.0 2.0 з
9. 4
17. 4
10.(5
18.(3
11
19
25. 2 26. 3 27
Вариант 1-а13
1.
9.
17.
25.
Д
Т
Д
¥
2.
10.
18.
26.
Д
I
д
к
з.
11.
19.
27.
Вариант 1-а14
1.: 4] 2.01 3
9. 5
17. 1
25. 1
10.(3
18.0
11
19
26. 2 27
Вариант 2-а11
1.0 2.0 3.
9.
17.
25.
Д
2
10.
18.
26.
1
А
Т
11.
19.
27.
U 4- и
0 * 12. 0
0 20.(2]
0 28.0
5.0
13.0
21. ГЗ
29. 4
в- а
14. [1]
22.0
30.(5]
7. 0 8. 0
15.(2] 16.0
23.0 24. 0
Д
1
2
Д
Д
Т
А
д
К
К
А
Т
4. 1
12.
20.
28.
2
Д
4
4.0
12.0
20.0
28. а
4. 2
12.
20.
28.
4.
12.
20.
28.
5
А
А
д
_3
5. 5
13.(4
21.(2
29. 1
5.
13.
21.
29.
А
д
д
2
5.0
13.0
21.0
29.0
5. 2
13. 1
21.(5
29. 0
6. а
14.0
22. 0
30-0
7.(1
15.0
23. (Т
8.0
16. [2
24. [5]
6.
14.
22.
30.
Д
А
д
~2
7. 2
15.
23.
Д
3
р-~
8.0
16.0
24.0
6.0
14. [2
22.0
30.0
6.
14.
22.
30.
А
А
А
2
7.0 8.0
15.0 16.0
23.0 24.0
7.
15.
23.
А
5
8.0
i6. Т
24.0
300
Ответы
Вариант 2-al 2
1.0 2.0 3.
9. 5 10. 2 11.
17.(4
25. Гз
18.(2
26.0
19.
27.
£
2
£
4
4. 2
12. |5
20. ГГ
28. 1
5.0
13. 0
21. 0
29.0
6. 4
14. 3
22. [3
30.0
7.(3
15. 0
23. ГГ
8.0
16.0
24.0
Вариант 2-а13
1.0 2.0 3.
9. Т 10.0 11.
17.0 18.0 19.
25.0 26.0 27.
£
4
2
2
4. 1
12. 2
20.(4
28.0
Вариант 2-а14
1.0 2.0 3
9. 2
17. 1
25. 2
10.
18.
26.
4
д
з
11
19
27
£
4
Г
2
4. 3
12. 1
20.0
28.0
Вариант 2-а21
9
17.
25.
£
£
£
Г
2.
10.
18.
26.
£
4
£
Г
3
11
19
27
Вариант 2-а22
1.0 2.0 3.
9.0 Ю.0 11.
17.0 18.0 19.
25.0 26.0 27.
5.
13.
4
5
21. 2
29. 2
5. 1
13. 2
21.(4
29.0
6.
14.
22.
30.
6.
14.
22
30
1
4
2
Г
2
1
£
5
7.
15.
23.
2
г
4
8.0
16.0
24.0
7. 0 8. 0
15.0 16.0
23.0 24.0
£
Г
4
К
2
з
2
Г
Вариант 2-а31
3,	_	,
9.0 10.0 11.0
17.0 18.0 19. 0
25.0 26.0 27.0
1.
2.
0 3
3
4. 1
12. 2
20.0
28. ГТ
4.0
12.0
20. Ё
28.0
4.
12.
20.
28.
3
т
0
Т
5. 4
13. 3
21.0
29.0
6.0
14.
22.
30.
£
1
5
7.(2
15.0
23.0
8.0
16.0
24.0
5.
13.
21.
29.
5.
13.
21.
29.
2
£
Г
г
2
2
£
К
6.
14.
22.
30.
6.
14.
22.
30.
£
£
2
Г
£
4
г
2
7.
15.
4
2
23. 5
7.
15.
23.
5
Г
Г
8.(2
16.0
24.0
8.
16.
24.
2
4
301
Ответы
Вариант 2-а32
1.
9.
17.
25.
2
£
£
4
2.
10.
18.
26.
4
5
I
3.
11.
19.
27.
Вариант 2-аЗЗ
1.
9.
17.
25.
1
У
У
У
2
10
18
26
д
д
д
У
3.
11.
19.
27.
Вариант 2-а34
1.[У	—
9.(5] 10,
17. [Т] 18.
25. 0
2
26.
Д
У
у
У
3.
11.
19.
27.
Вариант 3-а11
1.
9.
17.
25.
£
у
~2
2
2
10
18
26
д
I
У
4
з.
11.
19.
27.
Вариант 3-а12
1
9
17
25
Д
Д
д
4
2
10
18
26
£
1
У
I
3.
11.
19.
27.
А
У
У
4
4
д
У
У
1
У
д
у
Д
у
£
У
4
У
У
У
Вариант 3-а13
1
9	,
17. |Т| 18. Ц] 19. [У
25
5
4
5
2.0 3
ю. [У] 11
26. [У] 27.
3
I
4
4.
12.
20.
28.
4.
12.
20.
28.
4.
12.
20.
28.
4
12
20
28.
4.
12.
20.
28.
2
2
1
У
£
к
4
2
£
4
£
Д
Т
£
4
Д
У
У
У
12. |4|
20. [7
28. [У
5
13
21
29
5.
13.
21.
29.
5.
13.
21.
29.
5.
13.
21.
29.
5.
13.
21.
29.
5.
21.
29.
£
£
£
4
4
4
~2
2
1
Т
4
Т
1
У
У
2
4
У
1
У
5
3
У
6.
14.
22.
30.
6
14
22
30
5
У
У
5
2
3
6.[1
14. [2
6
14
22
30.
6
14
22
30.
о.
14.
22.
30.
7.
15.
23.
7.
15.
23.
7.
15.
23.
2
4
У
д
У
4
4
У
2
8. |5
16.(7
24. ГТ
8.L1
16. [Т
24. ГУ
8. [У
16. [У
24.0
д
1
У
Т
2
У
Т
У
д
У
д
4
7.
15.
23.
7.
15.
23.
£
д
У
jj
У
2
23. Щ
8. |4
16-U
24. ГУ
8. |_5
!6. [4
24. ГУ
8. |5
16. [Т
24. ГУ
302
Ответы
24
16.®
24. [4
8.
16
2
5
1
8. |2
16. [б
24.7
Вариант 3-а31
1. [Т| 2. Гз] 3.
а
9. 5 10. 2 11.
s
17. [4
25. 7
18. |2
26.17
19. |4
27.(7
4.Щ
12.®
20.®
28.®
5.
13.
21.
29.
2^
4
7
7
Вариант 3-а32
1.	2^	2.		3.	2^	4.	4	5.	3	6.	4	7.	А	8.
9.	т	10.	4	11.	т	12.	А	13.	7	14.	А	15.	А	16.
17.	7	18.	7	19.	7	20.	7	21.	7	22.	7	23.	Т	24.
25.	7	26.	7	27.	7	28.	Т	29.	7	30.	А			
L
7
1
2
А
7
3
Вариант З-аЗЗ
1.	А	2.	7	3.	7	4.	а	5.	7	6.
9.	7	10.	А	11.	А	12.	а	13.	А	14.
17.	А	18.	7	19.	7	20.	а	21.	Т	22.
25.		26.	7	27.	Т	28.	а	29.	7	30.
7.
15.
23.
д
к
8.
16.
24.
3
I
2
303
Ответы
Вариант 4-all
1
9
17
3
I
I
2.
10.
18.
2
3
2
3.
11.
19.
1
2
з
4.
12.
20.
28.
з
Т
5.
13.
21.
29.
2
J
J
T
6.
14.
22.
30.
2
2
I
5
7.
15.
23.
2
4
4
8. |4
i6. [5
24. |T
Вариант 4~al2
1 "
9
17
25,
4
2
J
T
2.
10.
18.
26.
2
i
I
К
3.
11.
19.
27.
Вариант 4-al3
I.”
9.
17.
25.
£
I
Т
2.
10.
18.
26.
1
2
i
T
3.
11.
19.
27.
Вариант 4-al4
1.
9.
17.
25.
А
Т
К
2.
10.
18.
26.
_4
T
2
2
3
11
1»
27
Вариант 4-a21
1.
9.
17.
25.
У
Т
2.
10.
18.
26.
2
T
2
T
з
ii
19
27.
Вариант 4-a22
1."
9.
17.
25.
5
1
4
4
2.
10.
18.
26.
5^
К
1
¥
3.
11.
1».
27.
2
1
2
T
2
3
1
к
2
2
T
3
1
£
1
Т
2
К
T
T
4.
12.
20.
28.
A
2
T
з
5.
13.
21.
29.
2
2
2
T
6.
14.
22.
4
J
4
7.
15.
23.
2
I
I
8. [2
16. |T
24. Г5
4.|2
12. [2
20. [J
28. Г5
5.
13.
21.
29.
2
2
T
4
6.
14.
22.
30.
2
4
i
К
7
15
23
4
1
¥
8.[T
16. [T
24. [Г
4.
12.
20.
28.
12.
20.
28.
4
12
20
28
4
т
Т
3
4
2
T
i
I
5.
13.
21.
29.
5.
13.
21.
29.
5
13
21
29
4
Т
К
Т
1
4
I
I
1
2
3
I
22. Ц
зо.Ц
23. [?
8.[3
16. u
24. ГЗ
6.
14.
22.
30.
6.
14.
22.
30.
1
3
2
2
2
2
I
5>
7.
15.
23.
7.
15.
23.
1
I
3
д
2
4
8. J.
16. [3
24. Г5
8.|_5
16. [T
24. [4
304
Ответы
Вариант 4-а23
I.-
9.
17.
25.
£
£
£
I
2.
10.
18.
26.
£
Д
I
4
3.
11.
19.
27.
Вариант 4-а24
9
17
25
Д
£
А
А
2.
10.
18.
26.
А
А
5
3.
11.
19.
27.
5
£
А
5
2
А
I
2
Вариант 5-а11
1.[£	“
9-0	_
17. [1] 18. [Т] 19. [£
25. [К] 26. Щ 27. U
Вариант 5-а12
2.
10.
3 и
2
2
12.0
20.
4
5.
13.
21.
29.
£
1
£
7
6.
14.
22.
30.
д
£
т
2
7.
15.
23.
А
А
А
8.
16.
24.
2
I
2
4.
12.
20.
£
£
I
5.
13.
21.
29.
£
А
£
А
6
14
22
30
£
Д
4
7.[Т
15.0
23. Щ .24. [£
16. [У
1.
9.
17.
25.
2
А
А
3
2.
10.
18.
26.
£
2
д
4
3.
11.
19.
27.
Вариант 5-а13
!.[£
9. [Т
17. [3
25. ["2
2
10
18
26
2
£
£
А
3.
11.
19.
27.
Вариант 5-al4
9
17
25
£
А
£
I
2.
10.
18.
26.
£
д
д
2
3
11
19
27
2
£
£
¥
2
д
А
А
£
£
5
4
4.0
12.
20.
28.
з
I
А
5.
13.
21.
29.
2
£
£
3
6.
14.
22.
30.
д
£
К
7.
15
23.
А
А
Т
8.
16.
24.
£
А
4
4.
12.
20.
28.
4.
12.
20.
28.
4.
12.
20.
28.
Д
А
А
А
2
т
А
Д
А
1>
5
13
21
29
5
13
21
29.
5.
13.
21.
29.
£
А
£
А
А
£
1
I
£
£
4
т
6.
14.
22.
30.
6
14
22
30
4
£
д
А
£
д
£
2
S
s
6.
14. _
22. Щ
30.
4
7.
15.
23.
7.
15.
23.
15.
23.
8. 4
£
А
4
£
¥
з
4
24. [Ц
16.
24.
8.
16.
24.
2
2
1
£
А
305
Ответы
Вариант 5-а21
1 "
9
17.
25.
2
4
1
У
2
10
18
26.
д
1
У
з.
11.
19.
27.
Вариант 5-а22
1
9
17
25
4
У
1
4
2.
10.
18.
2
У
4
3.
11.
27
Вариант 5-а23
Т
у
з
У
1.
9.
17.
25.
10.
18.
26.
4
У
"4
11.
19.
27.
Вариант 5~а24
£
У
1
т
9.
17.
25.
2.
10.
18.
26.
2
4
У
У
3.
11.
19.
27.
Вариант 6-а11
1
9
17.
25.
1
У
1
2
4
Г
1
Д
У
У
I
£
У
У
У
2. Щ з. [У
2 ю. Ц] 11- 22
~ 18. [Т] 19. [У
26. Щ 27. [Г
Вариант 6-а12
3.[4
11.0
2
2
У
4
1.
9.
17.
25.
2.
10.
з
I ,	,
1] 18. [У] 19. [У
2~
А
У
26.
5
27. [У
4.
12.
20.
28.
4.
1
1
У
4
5
12. У
28.0
4.
12.
20.
28.
4
12
20
28
_4
Т
У
4
У
У
Т
12.0
20. [У
28.0
12.
20.
28.
3
4
5.Щ 6.
13. Щ 14.
21. [У] 22.
29. |Т
5.
13.
21.
29.
5.
13.
21.
29.
5
13
21
29.
5.
13.
21.
29.
5
13
21
29.
30.
д
У
У
У
15.0
8.
16.
24.
3
i
Т
1
У
У
з
2
У
4
У
з
У
У
4
Д
У
_4
У
Д
У
У
У
6
14
22
4
У
У
7.|_2
15. ГУ
8. |5
16. Гз
6.
14.
22.
30.
6.
14.
22.
30.
6
14
22
30,
6.
14.
22.
30.
Д
У
У
У
2
1
4
У
1
У
У
У
3
4
У
7
15
23.
7.
15.
7.
15.
23.
7.
15.
23.
3
1
У
Д
У
Д
У
У
1
У
т
8
16
24
8.
16.
24.
2
У
4
Д
4
У
8. [У]
16.0
24.0
8
16
24
2
4
У
306
Ответы
Вариант 6-а13
1.0 2. [3
9.0 10.
1
17.0 18. [J
25.0 26.0
3.
11.
19.
27.
1
Т
Т
4
4.
12.
20.
28.
3
I
2
5
5.
13.
21.
29.
2
7
К
Т
Вариант 6-а14
"	" 3. [2
11. [Т
19.0
27. ГТ
1.
9.
17.
25.
Д
J
К
4
2
10
18
26
А
з
з
з
4.0
12. 0
20.0
28.0
5. 3
13. 1
21.0
29. Гб
6.0
14.0
22.0
30.0
7. |4
15.0
23. [Г
8. |5
16. и
24.0
Вариант 1-Ы1
1. ГТ| 2.0] 3.
9. 3
17. 4
10.0
18. 0
25. 1 26. 3 27.
Вариант 1-Ы2
1.0 2. 0 3.0
9. 5
10. 2
17. 0 18. 0 19.0
25."	"	"
3
26.
2
Вариант 1-ЫЗ
1. ” —
9.
17.
25.
1.
т
з
2
2.0 3.
10.
18.
26.
1
2
т
и.
19.
27.
2
4
4
т
Вариант 1-Ы4
2- И 3-S
9. 2
17. [5
25. ГТ
10. Щ 11. [Т]
18. [Т] 19.[2]
26. [К] 27. [Т]
11.
19.
А
2
т
к
4.0	5.	т	6.
12.0	13.	т	14.
20. ГТ L,,.,	21.	т	22.
28.0	29.	А	30.
7- S 8- [1
15.0 16. [К
23. Щ 24.0
и.0
27.0
L,,.,
7-0 8.0
15.0 16. 0
23.0 24.0
5. 5
6. 4
4. 2
12. ГТ
20. |2
28. ГТ
4.0
12. [Т
20. [Т
28.0
13. 3
14. 1
21. [4
29. ГТ
22. [3
зо. ГТ
7. [2
!5.[2
23. ГК
8-0
16.0
24-0
5. 2
13. 2
21. [2
29. IT
6. ГТ]
14. ГЗ
22. [2
зо. Гз
7. [5
15. [К
23. ГЗ
24.[Т]
307
Ответы
Вариант 2-Ы1
1.0 2-® 3.0
4.
5
9. 3
10. 3
i7.[5
25. [3
18. |1
26. [Т
11.0 12.0
19. Гб] 20. Гз
27. 0 28. |~2
5.0
13.0
21.0
29.0
6.
14.
22.
30.
2
I
4
К
7.
15.
23.
2
1
Г
8.
16.
24.
4
т
Вариант 2-Ы2
1.
9.
17.
25.
4.
4
5
2.
10.
18.
26.
4
1
А
К
3.
11.
19.
27.
I
2
4. 4
5. 3
12. 3
20. | 5
28.0
13. [3
21. 0
29. |~2
6.0
14.0
22. 0
зо. ГГ
7. |2
15.0
23.0
8. |1
16. 0
24. 0
Вариант 2-ЫЗ
1.0 2.0 3.
9. 0 10.0 11.
17. 0 18. 0 19.
25.0 26. [Т] 27.
1
А
К
12.
20.
28.
4. 1
4
£
4
Вариант 2-Ы4
.1 "
Т
А
2
9
17
25.
2.
10.
18.
26.
А
I
i
з
з
11
19
27
А
¥
4
4.
12.
20.
28.
I
Г
5.0
13.
21.
29.
А
А
з
6
14
22
30
1
А
2
7.
15.
23.
А
1
К
8.
16.
24.
3
А
2
Вариант 3-Ь11
А
4
5
5) 2.
0 Ю.
0 18.
25. [Г] 26.
Вариант 3-Ы2
1.
9.
17.
25.
9.
17.
11.
19.
27.
3
I
4
4.
12.
20.
28.
1
4
А
3
5
13
21
29
1
1
I
4
6.
14.
22.
30.
3
Т
т
1
7.
15.
23.
А
А
1
8
16
24
4
2
2
I
1
2
2.
10.
18.
26.
4
А
А
4
3
11
19
27
1.
А
3
I
4.
12.
20.
28.
2
А
А
К
5.Щ
13.
21.
29.
3
з
6.
14.
22.
30.
2
4
А
2
7.
15.
23.
А
1
5
16.0
308
Ответы
Вариант З-ЫЗ
2.
10.
18.
26.
£
2
£
2
3. 4
11. |1
19. 0
27. Гз"
4.
12.
20.
28.
£
2
£
I
5.
13.
21.
29.
2
7
7
7
6.0
14. 5
22.0
30. [Г
7.0
15. 0
23. 0
8.
16.
24.
£
I
7
Вариант 3-Ы4
1. "
9.
17.
25.
4
7
7
7
2
10
18
26
з
Т
У
У
3.
11.
19.
27.
Вариант 4-Ы1
1.01 2. [71 з.
£
7
£
2
12. [У
20. [4
28. |Т
5
13
21
29
1
2
£
2
6.
14.
22.
30.
5
I
т
з
15. |3
23. [2
8.
16.
24.
£
2
2
_ ___
9.Щ 10.0 11.0
£
7
17.0 18.0
25.0 26.0
Вариант 4-Ы2
1
9
17
25
1
К
I
к
2.
10.
18.
26.
X
А
А
2
19.
27.
3.
11.
19.
27.
£
7
4.
12.
20.
28.
£
К
7
7
5.
13.
21.
29.
£
£
Т
Т
6.
14.
22.
30.
£
7
£
7
7.
15.
23.
1
У
4
8.
16.
24.
£
7
I
12. [7
20. [Г
28. [Г
5-S
£
][
2"
13.
21.
29.
6.
14.
22.
30.
1
т
Т
2
15.
23.
4
т
8.
16.
24.
1
5
2
Вариант 4-ЫЗ
1. "
9.
17.
25.
£
У
2
4
2.
10.
18.
26.
£
7
7
5
з.
11.
19.
27.
Вариант 4-Ь14
1 "
9
17
25
£
£
£
т
2.
10.
18.
26.
£
2_
т
7
£
£
£
2
4,
12.
20.
28
£
7
т
т
5.
13.
29.
£
2

6.
14.
22.
30.
2
£
т
7
7.
15.
23.
£
£
К
8.
16.
24.
£
Т
У
3.0
£
£
з"
11
19
27.
12.
20.
28.
д
к
2
5.
13.
21.
29.
£
т
2
Т
6.
14.
22.
30.
3^
т
7
2
7.
15.
23.
д
к
т
8.
16.
24.
£
Т
5
309
Ответы
Вариант 5-Ы1
1.	£	2.	А	3.
9.	У	10.	У	11.
17.	У	18.	У	19.
25.	У	26.	У	27.
£
2
У
з
4.	У	5.	Е	6.	3
12.	У	13.	Е	14.	3
20.	У	21.	Е	22.	S
28.	У	29.	Е	30.	3
7. [У
15. [У
23. Ц
Вариант 5-Ы2
1.[У| 2. [У] 3.
i°’E п*
17. [У] 18. [У] 19.
2
I
2
4.	У	5.	У	6.	3
12.	У	13.	У	14.	и
20.	4	21.	У	22.	
28.	У	29.	У	30.	3
7. [У| 8. [У
15. [У] 16. [У
23.|У] 24. [У
25. [У] 26. [У| 27. [I
Вариант 5-ЫЗ						4.	У	5.	У	6.	У
1.	У	2.	У	3.	У						
9.	У	10.	у	11.	У	12.	У	13.	У	14.	У
17.	У	18.	У	19.	У	20.	У	21.	У	22.	У
25.	У	26.	У	27.	У	28.	У	29.	У	30.	У —-J
Вариант 5-Ы4
г — 	"П	.I
з.щ
11.
19.
27.
1.
9.
17.
25.
£
У
4
У
2.
10.
18.
26.
£
1
У
У
з
7
У
4.
12.
20.
28.
1
1
1
4
5. [У| 6. [У
13. ГУ] 14. ГУ
21. [2] 22. [I
29. [У] 30. [2
8.[1
16. [2
24. ]У
7.|_1
15. [2
23. [У
8.0
16.0
24.0
Быков, А. А. Сборник задач по математике для поступающих в вузы
Б95 [Текст] : в 2 ч. / А. А. Быков ; Гос, ун-т — Высшая школа экономики. —
М.: Изд. дом ГУ ВШЭ, 2006. — 3000 экз. — ISBN 5-7598-0394-8 (в пер,).
Ч. 1. - 310, [2] с. - ISBN 5-7598-0396-4.
Сборник содержит варианты вступительных испытаний по математике,
предлагавшиеся в Государственном университете — Высшей школе эконо-
мики в 2001—2006 гг. Каждый вариант включает 30 задач по всем разделам
школьной программы, кроме стереометрии, и рассчитан на 90 минут, В части 1
представлены варианты первого (а) и второго (Ь) уровня сложности. Для каж-
дой задачи пред лагается пять вариантов ответа. В конце сборника приведены
правильные ответы.
Для школьников и абитуриентов, готовящихся к ЕГЭ по математике.
УДК 51(076.3)
ББК22.1
Учебное издание
Быков Алексей Александрович
Сборник задач по математике
для поступающих в вузы
В двух частях
Часть 1
Зав. редакцией О.А. Шестопалова
Редактор Е.Н. Ростиславская
Художественный редактор А.М. Павлов
Корректор Е.Е, Андреева
Компьютерная верстка и графика: А.А. Быков
ЛР № 020832 от 15 октября 1993 г.
Подписано в печать 31.07.2006. Формат 60x88'/^.
Усл. печ. л. 18,31. Уч.-изд. л. 13,1. Тираж 3000 экз. Заказ № 554. Изд. № 579
ГУ ВШЭ. 125319, Москва, Кочновский проезд, д. 3
Тел./факс: (495) 772—95—71
Издательство ООО «МАКС Пресс».
105066, г. Москва, Елоховский пр., д. 3. стр. 2.
Тел. 939-38-90, 939-38-91. Тел./факс 939-38-91.