ORAUX X-ENS, VOL. 5
Enseignement des mathématiques
1.	J.-Y. Ouvrard, Probabilités I
2.	J. Hubbard, B. West, Équations différentielles et systèmes dynamiques
3.	M. Cottrell, V. Genon-Catalot, Ch. Duhamel, Th. Meyre, Exercices de probabilités
4.	F. Rouvière, Petit guide de calcul différentiel à l'usage de la licence et de l'agrégation
5.	J.-Y. Ouvrard, Probabilités II
6.	G. Zémor, Cours de cryptographie
7.	A. Szpirglas, Exercices d’algèbre
8.	B. Perrin-Riou, Algèbre, arithmétique et Maple
9.	V. I. Arnold, Leçons sur les équations aux dérivées partielles
11.	S. Francinou, H. Gianella, S. Nicolas, Exercices des oraux X-ENS, Analyse 1
12.	S. Francinou, H. Gianella, S. Nicolas, Exercices des oraux X-ENS, Algèbre 2
13.	S. Francinou, H. Gianella, S. Nicolas, Exercices des oraux X-ENS, Analyse 2
14.	S. Francinou, H. Gianella, S. Nicolas, Exercices des oraux X-ENS, Algèbre 3
15.	H. Krivine, Exercices de mathématiques pour physiciens
16.	J. Jacod, Ph. Protter, L’essentiel en théorie des probabilités
17.	M. Willem, Analyse fonctionnelle élémentaire
18.	É. Amar, É. Matheron, Analyse complexe
19.	B. Randé, Problèmes corrigés. Concours 2002 et 2003 (MP)
20.	D. Perrin, Mathématiques d’école
21.	B. Randé, Problèmes corrigés. Concours 2004 (MP)	.
22.	P. Bourgade, Olympiades internationales de mathématiques 1976-2005
23.	V. Prasolov, Problèmes et théorèmes d’algèbre linéaire
24.	R. Sa Earp, E. Toubiana, Introduction à la géométrie hyperbolique et aux surfaces de Riemann
25.	L. Di Menza, Analyse numérique des équations aux dérivées partielles
26.	B. Candelpergher, Calcul intégral
29.	S. Francinou, H. Gianella, S. Nicolas, Exercices des oraux X-ENS, Analyse 3
30.	C. Zuily, Problèmes de distributions et d’équations aux dérivées partielles
31.	B. Makarov et al.. Problèmes d’analyse réelle
32.	S. Francinou, H. Gianella, S. Nicolas, Exercices des oraux X-ENS, Analyse 4
33.	E. Lehman, Mathématiques pour l'étudiant de première année, vol. 1, Algèbre et géométrie
34.	F. Berthelin, Équations différentielles
35.	S. Francinou, H. Gianella, S. Nicolas, Oraux X-ENS, nouvelle série, vol. 1
36.	Y. Martin, A. Kostrikin, Algèbre et géométrie linéaires
37.	S. Francinou, H. Gianella, S. Nicolas, Oraux X-ENS, nouvelle série, vol. 3
38.	S. Francinou, H. Gianella, S. Nicolas, Oraux X-ENS, nouvelle série, vol. 2
39.	N. Bacaër, Mathématiques et épidémies
40.	P. Bomsztein, Th. Budzinski, V. Jugé, Olympiades internationales de mathématiques 2006-2021
41.	S. Francinou, H. Gianella, S. Nicolas, Oraux X-ENS, nouvelle série, vol. 6
SERGE FRANCINOU
HERVÉ GIANELLA
SERGE NICOLAS
Oraux de F École polytechnique
et des Ecoles normales supérieures
Mathématiques
Volume 5
Université
Paris Cité
CASSINI
Serge Francinou, ancien élève de l’École normale supérieure et agrégé de Mathématiques
est actuellement professeur en classe préparatoire au lycée Louis le Grand.
Hervé Gianella, ancien élève de l’Ecole normale supérieure et agrégé de Mathématiques
est actuellement professeur en classe préparatoire au lycée Biaise Pascal d’Orsay.
Serge Nicolas, ancien élève de l’École normale supérieure et agrégé de Mathématiques
est actuellement professeur en classe préparatoire au lycée Henri IV.

ISBN 978-2-84225-245-8
© Cassini, Paris, 2023.
Introduction
Cet ouvrage est le cinquième des huit volumes d’un recueil d’exercices
de mathématiques issus des épreuves orales de l’Ecole polytechnique et des
Ecoles normales supérieures. Il est dédié à la préparation des oraux des
concours d’entrée de ces grandes écoles et à celui des concours de recrutement
de professeurs, notamment l’Agrégation. Sept volumes correspondent au
programme actuel des classes préparatoires (programme de la rentrée 2022)
et le dernier reprend des sujets hors des exigences actuelles mais toujours
d’actualité pour l’Agrégation.
La vocation première des Ecoles normales est de former des chercheurs
ou des enseignants-chercheurs. Le concours d’entrée vise donc à détecter les
qualités scientifiques du candidat, son aptitude à la recherche. A l’oral, on
jugera avant tout la capacité de prendre des initiatives, d’utiliser une indication,
de mener à bien une démarche. On ne sera pas surpris que les exercices posés
aient fin contenu mathématique riche, qu’ils soient très éloignés du simple
exercice technique, d’application du cours, qu’ils soient souvent difficiles. Ils
visent la plupart du temps à la démonstration d’un résultat mathématique
significatif. Ils pourraient apparaître excessivement difficiles, si on perdait
de vue le déroulement concret de l’épreuve. L’oral des ENS est un long
dialogue (l’épreuve dure environ cinquante minutes, comme d’ailleurs à l’École
polytechnique) entre le candidat et l’examinateur, qui tout au long de l’épreuve
fournit des indications, quand c’est nécessaire, pour relancer la réflexion du
candidat et tester ses réactions. Il est d’ailleurs impossible de rendre pleinement
compte dans un recueil d’exercices du caractère oral de l’épreuve.
L’École polytechnique, quant à elle, est plus généraliste. Les exercices posés
au concours sont de facture plus classique et, en règle générale, l’examinateur
intervient moins. C’est au candidat de montrer sa maîtrise du programme
dans la résolution d’un exercice dont la difficulté est cependant très variable.
Certains sont proches des exercices d’ENS. Les énoncés circulent d’ailleurs
d’un concours à l’autre.
Les énoncés que nous avons choisis couvrent une très large partie de
ce qui a pu tomber à l’oral depuis une vingtaine d’années. Ils sont extraits
pour l’essentiel des listes publiées chaque année par la RMS (Revue de
mathématiques spéciales et désormais Revue de la filière Mathématiques aux
éditions Épistemon) dont nous remercions les auteurs pour l’aide précieuse
qu’ils apportent ainsi aux élèves et aux professeurs des classes préparatoires. Il
s’agit de versions communiquées par les étudiants, reflétant la compréhension
que ceux-ci ont eue de l’exercice et le déroulement conjoncturel de leur oral,
comme le montrent les variations d’une année à l’autre pour un même exercice.
Nous n’avons pas hésité à les modifier, pour rectifier des erreurs, compléter un
5
6
INTRODUCTION
énoncé quand manifestement l’exercice s’est arrêté avant que le résultat que
l’examinateur avait en vue ne soit atteint, ou ajouter des indications.
Nous avons choisi de laisser quelques énoncés «bruts», ceux pour lesquels
nous estimons qu’une démarche naturelle (qui peut être longue et ardue) permet
de conduire à la solution. Pour d’autres exercices, nous avons pris la liberté de
rajouter des questions intermédiaires, qui auraient pu être celles posées par
l’examinateur. Quitte à perdre en concision, nous avons tenu à rédiger les
solutions les plus pédagogiques possible, essayant d’exposer clairement les
idées et démarches de raisonnement, sans escamoter les détails ou calculs qui
peuvent paraître évidents. On évite autant que possible l’introduction d’une
astuce ou d’un objet ad hoc permettant d’atteindre rapidement la solution. S’il
n’y a pas moyen d’expliquer l’origine de cette astuce, c’est que l’exercice est
peu intéressant et que l’étudiant en tirera peu de profit.
A l’intérieur de chaque chapitre, les exercices ont été regroupés thématique-
ment et à l’intérieur de chaque thème par ordre de difficulté croissante. Ainsi
regroupés, ils apparaîtront plus accessibles, car plongés dans leur contexte
mathématique, éclairés par d’autres exercices voisins. Les introductions his-
toriques qui ouvrent chaque chapitre, outre leur intérêt propre, visent au
même but. Enfin, nous avons agrémenté les énoncés de quelques remarques
préliminaires. Sans faire de rappels de cours systématiques, nous avons énoncé,
voire redémontré, certains résultats : lemmes classiques, intervenant dans la
résolution d’un grand nombre d’exercices, ou résultats au contraire à lalisière du
programme, mais utiles, pour lesquels des éclaircissements étaient nécessaires.
On trouvera aussi des remarques de synthèse ou des généralisations qui, nous
l’espérons, pourront amener le candidat curieux à approfondir ses connais-
sances. Les quelques indications bibliographiques ont le même objectif.
Une étoile indique un énoncé particulièrement difficile, le plus souvent issu
de l’oral spécifique de l’ENS Paris. Rappelons à ce sujet que si nous tenons à
rédiger des solutions complètes, il n’est pas nécessaire qu’un candidat achève
l’exercice pour obtenir une bonne note. C’est d’ailleurs rarement le cas pour cet
oral. Ce sont davantage l’autonomie face à un problème difficile, la capacité à
saisir l’intérêt des indications données qui, avec la maîtrise des concepts et des
techniques, vont être appréciées. Aussi, le lecteur qui légitimement peut être en
manque d’inspiration devant de tels exercices ne doit pas hésiter à s’aider du
corrigé pour avancer.
La présence d’une double étoile signale un exercice qui va très au-
delà du programme des classes préparatoires et qui est plutôt réservé à nos
lecteurs agrégatifs. Ces quelques énoncés ont tout de même pu être posés
assez récemment. Sur l’ensemble de l’ouvrage, les candidats au CAPES et à
l’Agrégation trouveront matière à réviser les principales notions du programme
en vue de l’écrit, ainsi que des exemples pour nourrir un développement pour
leur oral.
Le lecteur ne tirera profit de ce livre que s’il cherche des solutions person-
INTRODUCTION
7
nelles des exercices avant d’en étudier les corrigés? Une bonne connaissance du
cours est indispensable. En effet, les théorèmes du programme fournissent bon
nombre de schémas de démonstration. Rappelons aussi quelques démarches
générales qui peuvent faciliter l’appréhension des exercices difficiles :
>	l’étude de cas particuliers permet souvent d’entrevoir les idées qu’il faudra
mettre en œuvre dans la résolution du cas général. Ainsi, en algèbre linéaire, il
est souvent opportun de traiter les problèmes en petite dimension, 2 ou 3 ;
>	le renforcement des hypothèses peut aboutir à un problème plus simple
(supposer une matrice diagonalisable plutôt que quelconque, une fonction
dérivable plutôt que simplement continue...). Il s’agira ensuite de repasser au
cas général, par exemple avec des arguments de densité ou une décomposition ;
>	faire le bon choix de bases dans un problème linéaire en vue d’obtenir
l’expression la plus simple possible ;
>	faire apparaître des sous-espaces stables, des sous-matrices particulières,
des sous-groupes d’un groupe fini..., ce qui permet d’envisager un raisonnement
par récurrence ;
>	en algèbre linéaire, en topologie, en géométrie, ne pas hésiter à faire un
dessin sur lequel peut naître l’intuition ;
►	dans la phase exploratoire en vue de déterminer une limite ou un
équivalent, ne pas hésiter à faire des approximations qui peuvent sembler
grossières, à faire un calcul formel avec des interversions de sommes (ou
somme et intégrale). Dans un second temps, il s’agira bien sûr de justifier;
>	faire apparaître dans les questions de topologie des suites afin d’utiliser
la caractérisation séquentielle des parties fermées, des compacts, des parties
denses... ;
>	pour les questions asymptotiques, savoir repérer les termes prépondérants,
et s’il s’agit d’une intégrale, repérer l’endroit où la contribution de l’intégrande
est la plus importante et ne pas hésiter à le remplacer par une fonction
équivalente ;
>	en probabilités, introduire des systèmes complets d’événements qui
permettent le calcul effectif de probabilités ou d’espérance ;
>	enfin confronter les résultats obtenus ou conjecturés à une estimation
intuitive comme l’on peut en faire en probabilité.
Ce cinquième volume est consacré au coeur du programme d’analyse avec
les intégrales généralisées et les suites et séries de fonctions. Le lecteur trouvera
plus loin le plan des autres volumes.
Nous remercions l’équipe des éditions Cassini, ainsi que nos élèves, pour
leur relecture approfondie de l’ouvrage et leurs nombreuses suggestions, tant
sur le fond que sur la forme.
Enfin, si vous souhaitez nous contacter pour nous faire part de vos
remarques, vous pouvez envoyer un courriel à l’adresse fgn.cassini@free.fr.
Nous remercions tout ceux qui l’ont fait et qui ont contribué ainsi à améliorer
cette seconde édition.

Plan de la collection
Les sept premiers volumes s’inscrivent dans le cadre du programme actuel
des classes préparatoires. Le huitième et dernier volume porte sur des exercices
plus anciens et reste d’actualité pour les candidats au CAPES ou à l’Agrégation.
-	Volume 1 : structures algébriques.
-	Volume 2 : algèbre linéaire, réduction.
-	Volume 3 : suites, séries, fonctions de la variable réelle.
-	Volume 4 : intégrales sur un segment, topologie.
-	Volume 5 : intégrales généralisées, suites et séries de fonctions.
-	Volume 6 : combinatoire, familles sommables, probabilités.
-	Volume 7 : espaces euclidiens, équations différentielles linéaires, calcul
différentiel.
-	Volume 8 : formes quadratiques, espaces hermitiens, équations différentielles
non linéaires, géométrie, courbes.
9

Chapitre 1
Intégrales généralisées
La théorie de l’intégration sur un intervalle quelconque actuellement au
programme des classes préparatoires se rapproche de celle de Lebesgue mais en
se limitant au cadre restreint des fonctions continues par morceaux. Cela permet
toutefois de disposer, en l’admettant, du puissant théorème de convergence
dominée dont il est aisé de déduire les théorèmes indispensables à l‘étude des
intégrales à paramètre (continuité, dérivation sous le signe intégral).
Historiquement, Lebesgue est amené à proposer une nouvelle théorie de
l'intégrale pour dépasser les limites de celles de Riemann que l ’on peut résumer
ainsi : les difficultés dans la définition des intégrales dites « impropres (ou
« généralisées =- i.e définie sur un intervalle quelconque), les hypothèses trop
contraignantes des théorèmes de convergence (qui nécessitent une convergence
uniforme) et le champ trop restreint d’application de l’intégrale (qui est
inadaptée à des fonctions « trop discontinues » comme la fonction indicatrice
de Q O [0,1 ] ). En 1902 Lebesgue, dans sa thèse, délaisse l’idée de prendre une
subdivision du segment [a, b] pour plutôt considérer la mesure des images
réciproques des éléments d’une partition de l’ensemble des valeurs de f.
Cette nouvelle intégrale prolonge celle de Riemann, s’applique à une classe
plus vaste de fonctions 1 et permet de disposer d’un théorème de convergence
aux hypothèses nettement plus faibles que la convergence uniforme : une
convergence simple et la domination par une fonction intégrable permettent
d’écrire
lim f fn= f lim fn.
n-*°° Ji Jï n~>°°
C’est le théorème de convergence dominée. Le théorème de convergence
monotone et le théorème d’intégration terme à terme sont par ailleurs des
outils très efficaces pour échanger une intégrale et une somme infinie.
Parmi les applications théoriques importantes des intégrales à paramètre le
lecteur trouvera des exercices sur les transformées de Laplace et de Fourier. La
première de ces transformations intégrales a été introduite en 1774par Laplace
dans le cadre des probabilités et est très utilisée, en particulier en traitement
du signal. La transformée de Fourier, quant à elle, généralise à des fonctions
non périodiques la théorie des séries de Fourier.
Le premier thème de ce chapitre concerne des questions d’intégrabilité.
Dans l’étude d’une intégrale, la première chose à faire est évidemment de
regarder si elle est bien définie.
1. Mais il n’est pas question d’en profiter ici...
n
12
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
1.1. Question d’intégrabilité (1)
Soit f : R —> R continue et intégrable. On pose g(x) = f (x -
pour tout x £ 0. Montrer que g est intégrable sur ]-oo, 0[ et sur ] 0, +oo[ et
que
/•O	/»+«?	/»+»
f g(x)dx+ / g(x)dx= /	/(x)dx.
— OQ	•/()	V —OO
▻ Solution.
La fonction tp : x i—> x-| est de classeC" surR* etsadérivéex i—» 1+-V
*	X
est strictement positive. Elle induit donc un C°°-difféomorphisme strictement
croissant qii de R* sur q> (R* ) = R et un autre Cro-difféomorphisme strictement
croissant q>2 de RI sur cp(Rl) = R.
Ainsi, d’après le cours, g est intégrable sur R* (resp. RI) si, et seulement si,
la fonction y i—> f(y) (cpf1)' (y) (resp. y i—> f(y) (qÇl)' (y)) est intégrable
sur R. Or si y e R, x = et x' = cp^1 (y) sont les racines distinctes du
trinôme X2 - yX - 1. Ainsi, on a
y + >jy2+4	, y - V?2 + 4
x =------------>0 et x =------------------< 0.
2	2
Comme (cpf1) > 0 pour i = 1,2 et
è O”1’1 (?)+(P2’1 (y))=^=i’
on en déduit que pour tout y g R, 0 <	< 1 et finalement,
0 < l/(y)l (vr1)' (y) < l/(y)|.
Comme f est intégrable, le théorème de comparaison assure que la fonc-
tion y ।—> /(y) (cpf1 (y) est intégrable pour i = 1 et i = 2. On conclut donc
que g est intégrable sur R^ et sur RI.
Toujours d’après le théorème de changement de variable pour les fonctions
intégrables, on peut écrire
' [ g(x)dx+ f g(x)dx = f Z(y) (cpf1) (y)dy+ f f(y) (q^1) (y)dy
= J f(y) ((‘Pi’1) W + (y))dy
= f f(y)dy- <
JR
L'énoncé suivant reprend cette question et la complète.
1.2; QUESTION D’INTÉGRABILITÉ (2).
13
; 1.2. Question d’intégrabilité (2)
Soit h : R —> R continue à support compact.
1. On pose cp : x >—> h y 1 j. Montrer que <p est continue à support
compact. Montrer que / h = / cp.
J R
2. On considère maintenant, pour ai < bi < ai <   < bn-\ < an,
latonction» : < - S ('M<’"trer 1“=
▻ Solution.
1. Notons que cp se prolonge par continuité en 0 (avec cp(O) = O)puisqueb
2 _ i
est nulle au voisinage de +oo et -oo. Comme x tend vers +oo en +oo et
vers -oo en -oo, cp est nulle pour x au voisinage de +oo et au voisinage de -oo :
elle est donc à support compact. Le reste de la première question correspond à
l’objet de l’exercice précédent.
2. On a traité dans la question précédente le cas ai = -1, bi = 0 et 02 = 1.
On va étendre ce résultat. Posons tout d’abord bo = -00 et bn = +00. Pour les
mêmes raisons que précédemment, au voisinage de bi, la fonction <p est nulle
et / h a donc un sens. On va procéder au découpage suivant
JR
R
R JR
r-
Considérons la fraction rationnelle F =	0 Peut ®cr’Te
b(F(x))dx.
On va, dans chacune des intégrales / b(F(x))dx, faire le changement de
variable y = F(x). Pour x tendant vers +oo (ou -oo), on a F(x) ~ x et donc
limF = +oo et limF = -oo. Pour 1 i < n les limites de F en bt, et b~ sont
+00	—CO	11
infinies et opposées; car seul le facteur x - a, change de signe au numérateur.
La limite de F en bn - -H» étant +oo on en déduit que la limite de F est +oo en
bf et -oo en b*. De plus, la fraction F se décompose en éléments simples de la
manière suivante
a,
avec C, ai,..., a„_i e R. Compte-tenu des limites en b* et br, les a, sont
"-1 a-
strictement négatifs. Comme F' = 1 - y, ——*—y, il apparaît que la dérivée
î=i (X-b,)
14
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
de F reste strictement positive sur le domaine de définition. En particulier, F est
strictement monotone sur chaque intervalle ] t>i—i, b, [. L’application x i—> F(x)
est un C°°-difféomorphisme de ]t,_], b, [ sur R puisque F est de classe C°° sur
cet intervalle, strictement croissante et'sa dérivée ne s’annule pas. On note xi
l’antécédent de y dans cet intervalle. Les fonctions y i—> x(- sont C°° et on est
autorisé à employer la formule de changement de variable dans l’intégrale :
f " Cbi	" f+co dr- f / " dx\
/ (p = X / A(FW)tk = 5j / A(y)7±dy= /	dy-
'R éï Jb^	J-.» dy Jr dy J
Calculons y, Lorsque x est dans R\{bj,..., bn-i}, l’équation F(x) = y
équivaut à
(x - ai)... (x - a„) - y(x - &i)... (x - bn-i) = 0.
C’est une équation polynomiale en x de degré n et, compte tenu de ce qui
précède, elle possède exactement n racines (distinctes) qui sont xj,... ,x„. Or
la somme xi +  • • + xn n’est autre que l’opposé du coefficient de x"-1 dans
l’équation polynomiale :
xi + ’ • • + xn = üi + • • ’ + an + y.
n
Par dérivation on obtient
i=i
dx,
dy
1 et finalement / cp = / h(u)du. <
J R «R
Rappelons que l’intégrale généralisée d’une fonction f sur un intervalle I
peut être convergente sans être absolument convergente, c ’est-à-dire sans que
f soit intégrable sur I.
13. Question de convergence (1)
Soit f : R+ —> R une fonction continue et a e R. On suppose
/•+«	r+oo
que / f(t)e~aldt converge. Montrer que / f(t)e~x,dt converge,
Jo	Jo
pour toutx > a.
▻ Solution.
On a la majoration suivante : |/(r)e-xt | < |/(t)|e-aï, Pour tout t > 0 et
toutx > a, si bien que sit i—> f(f)e~at est intégrable sur R+, il en va de même
pour 11—> f(f)e~xt par le théorème de comparaison.
/’+oo
Démontrons que c’est encore le cas si / f(l)e~atdt converge sans
•/O
que 11—» f(t)e~at soit intégrable. Comme f est continue, l’application
f x
F : X e R+>—> / f(t)e~atdt
Jo
1.4- QUESTION DE CONVERGENCE (2)
15
est de classe C1. Soit X > 0 et x > a. On note u = x - a > 0. Pour X > 0, par
intégration par parties, on obtient
j"X f(t)e~x,dt = yXF'(i)e-“tdt= [F(t)e-“f]J + u F(f)e~utdt
= F(X)e-“x+M / F(t)e-U(dt.
Jo
Comme F admet une limite finie en +oo et est continue sur R+, elle est bornée
sur R+ et par théorème de comparaison t i—> F(t)e”“f est intégrable sur R+.
/•X
Ainsi, la limite quand X tend vers+oo de / f(t)e x‘dt existe et vaut
Jo
f+oo
f(t)e~xtdt = u F(t)e~“fdt. <
Jo
r+oo
LafonctionLf : x i—> / f (t)e~xt dt est la transformée de Laplace de f.
«/ 0
Il découle de l’exercice que, s’il n’est pas vide, le domaine de définition de Lf
est un intervalle non majoré de R. Sa borne inférieure (dans R) est alors appelée
abscisse de convergence de la transformée de Laplace. Le lecteur retiendra que
l’intégration par parties est une technique très efficace pour transformer des
intégrales semi-convergentes en des intégrales absolument convergentes.
1.4. Question de convergence (2)
Déterminer les fonctions continues f de R dans R telles que pour
tout x e R. l’intégrale /" ^x +	^x^ dt converge.
▻ Solution.
Notons que l’intégrale étudiée porte sur l’intervalle ]0,1] sur lequel la
fonction intégrée est continue. Il est clair que les fonctions constantes vérifient
la propriété voulue. Nous allons montrer que ce sont les seules.
Cela est facile si on suppose que f est dérivable. En effet dans ce cas, si f
n’est pas constante, il existe x e R tel que f (x) 0. Pour un tel x on a
/(x +1) - /(x)	/'(x)
t2 ~ t
lorsque t —> 0+ et, par comparaison, l’intégrale diverge au voisinage de 0.
Passons au cas général où f est seulement continue et supposons f non
constante. Il existe a et b dans R tels que a < b et /(a) + f(b). Quitte à
considérer -f, on peut supposer f(a) < f(b). On va chercher un point x tel
16
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
que ^'X +	> X > 0 lorsque t est au voisinage de 0+. Choisissons un
réel X tel que 0 < X <	_-^a^ et considérons l’ensemble
- A = {u g [a, b], f(u) - f(a) = X(n - a)}.
Cet ensemble n’est pas vide (car il contient a), est majoré par b, et est fermé
puisque f est continue. Il admet donc un plus grand élément x (qui peut être
égal à a). Par continuité, on a	> X pour u au voisinage de b donc
x < b. Si u e ]x, b], on a	- > X, car sinon, par le théorème des
valeurs intermédiaires, il existerait c g ]x, &[ tel que	- X.
fU>)
f(a)
Pour t g JO, b - x[, on a alors
/(x +1) - /(x) = /(x +1) - f(a) - X(x - a) > X(x + t - a) - X(x - a) = X?
» j /(x +1) - f(x) X r>	v . ' i f1 f(x + t) - /(x) ,
et donc —------2 '	> T' P°ur ce ree^ x’ 1 intégrale / —---------'2 dr
diverge. <1
1.5. Intégrale divergente (1)
Soit : R+ —> K continue telle que H(x) = f h(t) = O(x2).
JO	x—»+oo
f+°° 1
1. Montrer que l’intégrale /	— diverge.
Jo+ h *
2. Montrer que l’intégrale J e-H(x)	dr) dx diverge.
▻ Solution.
1.	H existe xo 0 et K > 0 tel que H(x) < Kx2 pour x > xq; Supposons
z*+oo	r+00 J
que /	- converge. Soit e > 0. Il existe xi > xq tel que /	- < e.
jo	h	J xi	h
Pourx > xi, on a, d’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz
(x-xi)2
< Kx2e.
1.6. INTÉGRALE DIVERGENTE (2)
17
En divisant par x2 et en faisant tendre x vers +00 on a donc 1 < Ke. C’est
impossible car K est fixé et e est un réel strictement positif quelconque. Donc
/•+» 1
l’intégrale /	— diverge.
Jo h
H(f )
2.	Considérons la fonction f définie sur R* par f (z) = —~r-----On a
/ eH(“) du
Jo
pourtoutx > 1,

du
= ln
1
où X = / eH > 0. Par hypothèse, il existe C > 0 tel que H(u) < Cm2 pour
Jo
tout u > 1. On a donc, pourx > 1,
f /(z) dt C In f du +	/* eCll~ du] < In [1 + f ec“2du]
Ji	Jo	Ji /	\ a Ji /
< In (1 + f uec“2 du] = In ( 1 + —(ec*2 - ec)] .
\	XJj	)	\ 2ÀCV J
On peut supposer C > On a alors J" f(t) dz Cx2 etg : x h /(x + 1)
vérifie les mêmes hypothèses que h car pourx > 1,
fX	/»JC+1
J f(t+V)dt = J f < C(x + l)2 C C(2x)2 = 4Cx2.
Donc l’intégrale J" f(x + 1)	= f [J eH(u') du] dz diverge
d’après la première question, ce qui entraîne le résultat voulu. <
1.6. Intégrale divergente (2)
Soit f : R+ —> R continue, strictement décroissante de limite nulle en
AÆ	/'+“ /(X) - /(X + 1) ,	..
+00. Montrer que / J y --------------dx diverge.
▻ Solution.
Notons que la fonction intégrée est continue et positive. La question consiste
donc à montrer que son intégrale sur R+ diverge. On va utiliser la monotonie
de f pour estimer l’intégrale sur un segment [a, b]. On a
/è/W-/(x + l) 1 fb(f( , f, .
18
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
et par un changement de variable et la relation de Chasles
t* o+i	r a+i
Toujours par décroissance de f, on a /	/ > /(a + 1) et / f < f(b).
J a	J b
On en déduit que
h/(x)-/(x+l) f(a + l)-f(b)
------------dx >--------------
f(x)	f(a)
Si l’intégrale était convergente, en faisant tendre b vers +oo, on obtien-
. •. r+” f(.x) - f(x +1) , f(a+ï) , ,	, „ t ,
drait J	yj-x)----- dx > J ' et cela pour tout a. Ce reste integra!
devrait tendre vers 0 lorsque a —» +oo, ce qui implique lim —^(+^ = 0.
a—»+oo J\a)
Mais alors, on aurait lim y^a+	= 1- L’intégrande tendrait vers 1 et
l’intégrale ne pourrait converger. <
Le lecteur trouvera une version discrète de ce résultat avec des séries dans
l’exercice 3.13 du volume 3.
Les exercices suivants s’intéressent au comportement en +oo d’une fonction
intégrable. Les théorème de comparaison n’ont bien entendu pas de réciproque :
par exemple si f est intégrable au voisinage de +oo on ne peut pas la comparer
asymptotiquement aux fonctions x i—» x-“. Avec une hypothèse de monotonie
supplémentaire on peut toutefois avoir un résultat comme le montre l’exercice
suivant.
1.7. Fonction intégrable monotone
1. Soit f : ]0,1] —> R+ continue par morceaux décroissante et
intégrable. Etudier lim x/(x).
x—>0
2. Soit f : R+ —> R+ continue par morceaux décroissante et
intégrable. Montrer que x/(x) tend vers 0 en +oo.
▻ Solution.
1. Soit x e ] 0,1 ]. Comme f est décroissante et intégrable sur ] 0, x] il suffit
d’observer que
/(x)dr = x/(x) > 0
puisque l’intégrale de gauche tend vers 0 lorsque x tend vers 0.
1.8. LIMITE EN 4-00 D’UNE FONCTION INTÉGRABLE (1)
19
2. La fonction f étant décroissante sur R+, elle admet une limite en +oo qui
est forcément nulle puisque f est intégrable. Pour tout x > 0, on peut minorer
ainsi la tranche entre et x :
Comme lim / /(t)dt = 0, on conclut par comparaison que x/(x) tend
X—»+oo lx
vers 0 quand x tend vers l’infini. <
Le lecteur trouvera la version discrète de la seconde question pour les séries
dans l’exercice 3.15 du volume 3.
Il est très important de noter une différence essentielle avec les séries : une
fonction intégrable sur R+ ne tend pas forcément vers 0 en +oo (un exemple
est donné dans la solution ci-après). Toutefois une hypothèse supplémentaire
sur la fonction (par exemple son uniforme continuité) va permettre d’obtenir ce
résultat.
1.8. Limite en +oo d’une fonction intégrable (1)
Soit f : R —> R de classe C1. On suppose f et f'2 intégrables. Étudier
les limites de f en +oo et -oo.
> Solution.
Rappelons avant toute chose que f peut être intégrable sans avoir de limite
en +oo ; f peut même ne pas être bornée au voisinage de +oo et être continue
et intégrable. Pour avoir un exemple il suffit de prendre une fonction continue
affine par morceaux dont le graphe est formé de pics dont les aires successives
forment une série convergente :
Sur l’exemple de la figure on a pris des triangles centrés en chaque entier n > 1
avec une hauteur égale à n et une base de largeur -y • L’aire est alors égale à ,
ce qui est le terme d’une série convergente.
20
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
Dans notre exercice l’intégrabilité de f'2 doit donc être utilisée. On va
voir qu’elle induit une certaine régularité de f: En effet, pour x < y, on a par
l’inégalité de Cauchy-Schwarz,
ix/
et donc |/(y) - /(x)| < K-^/ly ~ xl Pour tout (*>)') e R2> °ù K = j f'2.
On dit que f est hôldérienne de rapport Il est facile de montrer qu’une
fonction hôldérienne est uniformément continue : soit e > 0 et q = e2/K2.
Alors, si |y - x| C q, on a |/(x) - /(y)| <	= e. On conclut alors avec le
lemme suivant (et la version analogue en -oo) :
Lemme. Soit g : [0, +oo[—> R intégrable et uniformément continue sur R+.
Alors lim g(x) = 0.
X-»+oo A	*
Démonstration.
Soit e > 0 et T] > 0 un module d’uniforme continuité de g pour e. Prenons
x > Oety = x + q. Alors, six < t < y, |g(x) -g(t)| C e,et |g(f)| > |g(x)| - e.
Par conséquent,
flsl
> (y -x)(|g(x)| -e) = n(|g(x)| -e).
i r y	i r+co
D’où |g(x)| < £ + ^ / |g| C e + Yj I |g|. Comme g est intégrable, il
X	r+<x> X
existe A > 0 tel que pour x > A, /	|g| < Eq. Par conséquent, si x > A,
|g (x) | 2e. Cela prouve que lim g(x) = 0. □
X—>4-00
Conclusion. La fonction f tend vers 0 en +oo et en -oo. <
Dans l’exercice suivant, on utilise le lemme qui vient d’être démontré : une
fonction intégrable sur R+ et uniformément continue sur R+ admet une limite
nulle en +oo.
1.9. Limité en +oo d’une fonction intégrable (2)
Soit f : R+ —> R de classe C2 avec f et f"2 intégrables sur R+-
1. Montrer que f' tend vers 0 en +oo.
2. Montrer que f tend également vers 0 en +oo.
1-9- LIMITE EN +OO D’UNE FONCTION INTEGRABLE (2)
21
▻ Solution.
1. Comme f est de classe C2 on a pour x,y e. w'(x)-/'« =fy r
et par l’inégalité de Cauchy-Schwarz
l/'W-/'(y)l< f \f"\
<KV|y-x|,
où K = y f"2. La fonction f' est donc ^-hôlderienne et en particulier
uniformément continue sur R+.
Raisonnons par l’absurde et supposons que f' ne tende pas vers 0 en +oo.
Dans ces conditions on peut trouver un réel e > 0 tel que :
VA > 0, Bx > A, |/'(x)l > e.
Prenons q un module d’uniforme continuité de f' pour Soit A > q etx > A
telque|/'(x)| > e. Supposons pour commencer f'(x) > e.Sit e [x— q,x+q],
alors /'(t) > | > 0. Si f(x) > 0 alors, par inégalité des accroissements finis,
on a /(/) > /(x) +	2^E	2*^ Pour f e [x,x + q]. H s’ensuit que
Jx-T]
/•X+T]	fX+T\
W>L {>'L
= n2£
2	4
Si /(x) < 0, on a
/(t) < /(x) +	2*)e <
(t-x)e (t-x)e
2	*	2
pour tout t g [x - q,x], et en considérant l’intégrale de ]/| sur cet intervalle,
on arrive au même résultat. On obtient la même minoration si /'(x) < 0 (car
la fonction - f a les mêmes propriété que f). On a donc, pour tout A > q,
/• +oo	p x+T|
I \f\ > / l/l >
A-q	Jx-t]
q2e
~4~’
p+oo
ce qui est absurde car / \f | tend vers 0 quand A tend vers +oo. Donc f' tend
J A-q
vers 0 en +<».
2. Il existe A > 0 tel que pour x > A, \ f' (x) | < 1 et comme sur le segment
[0, A], la fonction f' est continue, elle y est en particulier bornée. Au total, f
est bornée sur R+ et f est donc lipschitzienne et en particulier uniformément
continue. Comme f est intégrable, on en déduit d’après le lemme de l’exercice
1.8 que / tend également vers 0 en+oo. <
22
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
1.10. Limite en +oo d’une fonction intégrable (3)
Soit f : R+ —> R de classe C1. On suppose f + f' de carré intégrable
sur R+.
1. Montrer que f est bornée.
2. Montrer que f tend vers 0 en +oo.
> Solution. ✓
1. On a 2ff = {f + f')2 - f2 - f'2 et en intégrant entre 0 et x, f étant de
classe C1, on a
/w2-/(o)2= [\f+f)2- fx f2 - r f2 < [x(f+f)2,
Jo " Jo jo Jo
d’où f (x)2	f (O)2 + f (f + f')2. Ainsi f2 est majorée et la fonction f est
Jo
bornée sur R+.
2. Soit e > 0. Pour y < x, on a
m2-/(y)2= [\f+n2- [xf2- Cr2< [\f+f')2
Jy	J y	J x	Jy
et /(x)2 C /(y)2 + [ (/ + f')2. Il existe A > 0 tel que pour tout y > A, on ait
Jy
/•+OO
/	(/ + f')2 < e. Par ailleurs, il existe yo > A tel que /(yo)2 < e- En effet,
Jy
dans le cas contraire, f2 ne serait pas intégrable et en considérant
/2(x)-y2(0) = [\f + f')2- [xf2- [xf'2< [\f+f')2- Cf2
Jo	Jo Jo Jo	Jo
le terme majorant diverge vers -oo ce qui est absurde. Ainsi pour tout x > yo,
on a
rx	/»+oo
f W2 < f(yo)2 + / (/ + D2 < f(yo)2 + /	(/ + n2 < 2e,
Jyt>	Jyo
et le fonction f tend bien vers 0 en l’infini. <1
1.11. Limite en +oo d’une fonction intégrable (4)
1.12. FONCTION INTÉGRABLE LOG-CONCAVE
23
> Solution.
rx+1 ?
Notons C un majorant de la fonction x 1—> / f et raisonnons par
l’absurde. Si f(x) ne tend pas vers 0 lorsque x —> +00, alors il existe e > 0 tel
que, pour tout A > 0, il existe x A tel que | f(x) | > e.
Soit x e R+ tel que |/(x) | > e. Pour tout te [x,x + 1], on a d’après
l’inégalité de Cauchy-Schwarz

l/'(w)|dM
du < VcVt -x.
Ainsi, si 0 < t — x < min^l,^=J = q, alors on a |/(t) - /(x)| < |
donc |/(t)| > |/(x)| - | > | et f(t) a le signe de f(x). On en déduit
que
/(t) dt
/"JC+1	ne
= JX
rx+Ti
Comme il existe de tels x aussi grand que l’on veut, / f(t) dt ne tend pas
X	f+co
vers 0 quand x tend vers +00, ce qui contredit la convergence de / f. <1
Jo
Les exercices suivants concernent encore des questions d’intégrabilité, ainsi
que les propriétés générales des intégrales, mais sont de nature un peu plus
théorique.
1.12.	Fonction intégrable log-concave
Soit f e C1 (R, I&+). On suppose f intégrable sur R et In f concave.
1.	Montrer qu’il existe xq e R tel que f soit croissante sur ]-o°,xo]
et décroissante sur [xq, +<»[.
2.	Montrer qu’il existe K et c dans R* tels que /(x) < Ke~c^ pour
tout réel x.
3.	Expliciter une fonction f vérifiant les conditions de l’énoncé.
▻ Solution.
1.	Comme / est de classe C1 on va étudier ses variations à l’aide de sa
dérivée. Supposons que f' ne s’annule pas sur R. Si /' > 0 (resp. f' < 0),
la fonction f est croissante (resp. décroissante) et strictement positive. En +00
(resp. en -00), f possède une limite { e ]0,+00]. On en déduit que / f
24
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
(resp. / /) diverge
JR-
ce qui contredit l’hypothèse. Il existe donc xq
eR
tel que /'(xq) = 0 et par suite (ln/)'(xo) =
f'(xp)
ZUo)
= 0. Comme (ln/)z
est décroissante puisque In f est concave, la fonction (In /)' est positive sur
] - oo,xq] et négative sur [xq,+oo[. Comme f > 0, on en déduit que f est
positive sur ]-oo,xo] et négative sur [xq,+oo[. Donc f croît sur ]-oo,xq] et
décroît sur |xq, +oo[.
2.	La fonction f n’est pas constante sur [xo,+o°[ sinon elle ne serait pas
intégrable sur R+ donc il existe xj > xq tel que /'(xi) + 0 et donc /'(xi) < 0.
On pose cj = -(ln/)'(xi) > 0. Comme In f est concave, on a
(ln/)(x) < (ln/)(xi)-ci(x-x])
pour tout x e R et en particulier pour x > 0. Cela donne /(x) < Kie-CI*,
avec K] = /(xi)eClJCl.
De même, il existe X2 < xo tel que f'(x2) > 0. On pose C2 = (ln/)'(x2).
Pourx < 0, on a (In/)(x) C (ln/)(x2) + C2(x -X2) et donc /(x) < K2eC2*,
avec K2 = f(x2)e~C2X2, c’est-à-dire /(x) < K2e-C2'*L
Si on pose K = max(Ki,K2) > 0 et c = min(ci, C2), on a /(x) < Ke-C'xl
pour tout réel x.
3.	La fonction x f-> e~*2 vérifie les conditions de l’énoncé. <
1.13. Croissance d’une fonction définie par une intégrale
Soit f :	—> R+ continue par morceaux, majorée par 1 et nulle en
dehors d’un segment. On pose
Ü/»+oo	\ 1/p
0	/
1.	Montrer que 1/ est constante lorsque f est l’indicatrice de [0, a]
pour un réel a > 0.
2.	On fixe p > 0. Justifier l’existence de a > 0 tel que Iy(p) = Ig(p)
pour g =JK[0,a].
3.	Montrerque / tp	/ tp 1g(t)dt pour tout x> 0.
4.	On fixe un réel q > p. Déduire de la question précédente que
/» +00	/»+oo
/	/	t’-’gWdt.
Jo	Jo
5.	Conclure que I f est croissante.
1.13. CROISSANCE d’une ponction définie par une intégrale
25
▻ Solution.
1.	Si f = alors Ip(/) = {J ptp~x dtj = a, pour tout p > 0.
2.	D’après la question précédente, il suffit de prendre a = If(p).
3.	Si x > a le second membre de l’inégalité est nul ; le résultat est évident.
Pour x < a, on a
J/>+oo	px
0	Jo
p+oo	px
/ tp-ig(t)dt- / tp-Yftf)dt.
'0	Jo
Comme f est majorée par 1 et x < a, on a
rtp-if(t)dt^ r tp-'dt
0	Jo
/ tp-lg(t)dt.
0
On obtient bien
p+oo	px	p+oo
tp-'f(t)dt > / r'-^Odr - / tp~xg(t)dt = / t^g^dt.
JO	JO	Jx
Z+oo	/•+»
zp-1/(t)dt (resp. G : x J tp 1g(t')dt)
est une primitive de t h->	(resp.t •>-> -g(t)tp-1). Elle est nulle pour x
assez grand. En intégrant par parties, on obtient
p +0O	p 4-00
/	f«-7(t)dt= / tq-ptp-xf{t)dt
Jo	Jo
,/»4-00
= H’-pF(r)]r + (q - P) /	F(r) dr
Jo
p+oo
= (q-p) tq~p~1F{t)dt
Jo
p+oo	p+co
etjdemême, / tq xg(r) dr = (q-p) / tq p-1G(t)dr. Commeç-p > 0
Jo	Jo
p+co	/*4-oo
et F > G, on en déduit que / tq V(r)dr> / tq ‘g^dt.
Jo	Jo
5. De la question précédente on déduit ïjfq) > ls(q) et comme, d’après
ce qui précède, Ig (q) = Ig(p) = I/(p)> on a 1/(g) > I/(p) : la fonction 1/ est
croissante. <1
L’exercice suivant présente la fonction maximale M de Littlewood dans le
cas d’une fonction positive bornée : la valeur de M en un point x est la borne
supérieure des valeurs moyennes de f sur les intervalles centrés en x.
CHAPtTRB I. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
26
*1.14. Fonction maximale de Littlewood
Soit f e C°(R, R+), bornée. Pour x e R et t > 0, on définit
1	fx+t
m(x, t) - — I f(u)du et M(x) = sup m(x,t').
Jx-t	t>o
1.	Vérifier que f(x) < M(x) < ||/||oo.
2.	Montrer çue M est continue.
3.	On suppose que f est intégrable sur R et que lim xf(x) = 0.
Montrer que
lim xM(x) = x [ /(«)dw.
2	JR
▻ Solution.
1.	On a, pour x 6 R et t > 0,
Jl/Hoodu = 11/11».
Cela entraîne que M(x)	||/||» pour tout réel x. Le réel x étant fixé et F étant
une primitive de /, on a, pour t > 0,
z F(x + r)-F(x -1)
=---------—--------
D’après la formule des accroissements finis, il existe c, e [x - t,x + t] tel
que m(x, t) = f(ct). La fonction f étant continue, on a
limm(x,r) = lim f(ct) = /(x).
r->0	z-»0
Sachant que pour tout t > 0, on a m(x, t) C M(x), on en déduit en faisant
tendre t vers 0 que /(x) < M(x).
2.	On suppose / non nulle, sinon il n’y a rien à démontrer. Soit xo e R. Pour
montrer la continuité de M en xq , on commence par maj orer | m (x, t) - m (xo, t) |.
Pour x g R et t > 0, on peut écrire,
| Z px+t	px^+t	\
m(x, r)	= — / /(w)du - / /(u)dwl
\Jx-t	JxQ-t	)
1	/ flX+t	PX~t	\
=	/ Z(M)dM “ / /(M)d“ •
\Jxg+t	Jxç-t ]
On en déduit que
, / z , ll/Hwl* - -*ol
|/n(x,r)-m(x0,r)| < -------------.•
1.14- FONCTION MAXIMALE DE LITTLEWOOD
27
Mais, d’autre part, il existe c( e ]x -1, x +1 [ et c® e]xo t, *0 +1 [ tels que
m(x, t) - m(xQ, t) = /(ct) -
On va majorer \m(x, r) - m(xo, t) |, uniformément en t en distinguant selon que t
est « petit » ou non. La fonction f est continue en xq. Soit e > 0. D existe q > 0
tel que |/(x) - /(xq)| < e si |x -xo| < q. Soitx tel que |x -xq|
Si |r| < 3-, alors on a |c( - c°| < |x - xo| + 2t q, d’où l’on déduit
|m(x,t) -m(x0,t)| = |/(cf)-/(c°)| « e.
Si t > j, alors on a
|m(x, t) - m(x0, t).|	e si |x - x0| C T7777—
t|	311/Hoo
Si |x - xo| min(q, ), alors on a |m(x, t) - m(xo,t)| < e, pour tout
t > 0. D’où l’on déduit, pour tout t > 0,
tn(x, t) < m(xo, t) + e < M(xo) + e,
puis
M(x) < M(xo) + e.
On obtient de même M(xo) < M(x) + e et finalement |M(x) - M(xq) | < e. La
fonction M est continue en xq pour tout xo e R.. Elle est donc continue sur R.
3.	Posons I = / f(u) du. Là encore, on peut supposer f non nulle et
donc I > 0. Soit e > 0 et x > 0. On a, par définition,
(2+e)x
f(u)du
EX
et donc
1 f (2+e)x
2xM(x) > ------ / f(u)du.
1 + E J_ex
Puisque
1	r (2+e)x	I
Î7ê -SS. L /(“)d“ = ïTï1 »( 1 -
il existe A > 0 tel que, pourx > A, on a 2xM(x) > (1 - 2e)I.
Il faut démontrer une inégalité de sens inverse. Pour majorer 2xM(x), il faut
majorer 2xm(x,t) de manière uniforme par rapport à t. On distingue encore
selon les « petites » et les « grandes » valeurs de t.
Si x > 0 et t > (1 - e)x, alors on a
2xm(x,t) < —-—I.
1 - e
M(x) > m(x,x(l +e)) > ——
28
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
Si on impose d’avoir de plus e C on a U + 2e) et donc
2xm(x,t) < (1 +2e)L
Nous savons que lim xf(x) = 0. Soit B tel que xf (x) < e2 si x > B.
x—>+oo
"R
Si x > 0 et Z < (1 - e)x, on a alors x - Z > ex. Si on prend x >	on obtient
„	. . 2x Cx+' e2	xe2 , x + t
2xm(x,t) < — /	—du	— In-------
2z Jx_t u t x — t
On sait que In ^44 4=4 - 1 < 7=7 < 77 • On en déduit que
2xm(x, t) 2e.
On peut supposer e < On obtient 2xm(x, t) < 2e I < (1 + 2e)I.
Finalement, pour x > on a, pour tout t > 0, 2xm(x,z) < (1 + 2e)I. On
en déduit que
2xM(x) C (1 +2e)I.
Q
On a donc enfin, pourx > max(A, ^),
(1 — 2e)I 2xM(x) < (1 +2e)I.
Ceci démontre que lim 2xM(x) = I et donc que
x—>00
lim xM(x) = x / /(u)du. <1
L’exercice qui suit est issu de la théorie des variables aléatoires à densité.
La fonction f est la densité de probabilités d’une variable aléatoire positive
X, la valeur de l’intégrale étudiée dans la question 1 est l’espérance de X et le
réel M de la question 2 est sa médiane.
1.15.	Médiane
fl +QO
Soit f e C°(R+, R+) décroissante telle que / f = 1. Pour x e
Jo
Z+oo
/(z)dz.
fl+oo	/•+«
1.	Montrer que / x/(x)dx = / g(x)dx dans R+ U {+oo}_
Jo	Jo
rM 1
2.	Montrer qu’il existe un unique réel M > 0 tel que / f = •
/•+<»
3.	Montrer que M < / x/(x)cbr.
Jo
1.15- MÉDIANE
29
▻ Solution.
1.	La fonction g est définie sur R+ car f est intégrable et de classe C1 avec
g' = - f. Pour X e R+, on obtient, en intégrant par parties,
/* g(x) dx (= Xg(X) + Ï xf(x) dx > /" x/(x) dx
Jo	Jo	Jo
car g est positive.
r+00
Si / x/(x)dx =+00, alors en faisant tendre X vers+00 dans l’inégalité
Jo
/*+do
précédente, on obtient / #(x)dx =• +00.
Jo
Si / xf(x)dx converge, alors pour tout X > 0, on a
Jo
p +00	p 4-00
0 < Xg(X) = X /	/(x) dx C /	x/(x) dx---------> 0.
Jx	t Jx	x->+°°
Par encadrement on a lim Xg(X) = 0 et en faisant tendre X vers +oo dans
X—>4-00
l’égalité (*) on obtient
/•4-DO	p+oo
/ g(x)dx = / x/(x)dx.
Jo	Jo
2.	La fonction F : x i—» / f(f) df a pour dérivée f > 0. Elle est donc
J o
croissante avec F(0) = 0 et limF = 1. Le théorème des valeurs intermédiaires
+oo
assure que F prend la valeur Montrons qu’il y a en fait un unique antécédent.
C’est évident si f ne s’annule pas car F est alors strictement croissante et réalise
une bijection de R+ sur [0,1 [. Supposons que f s’annule sur R+. L’ensemble
des zéros de f est non vide, fermé, minoré par 0 donc admet un plus petit
élément a. Comme f est décroissante et positive, f est nulle sur [a,+°o[ et
p+oo
comme / f = 1 la fonction f n’est pas identiquement nulle et a > 0. On a
Jo
ra	p+oo
ainsi f > 0 sur [0, a[ et F(a) = / f - f = L Ainsi, F est strictement
Jo Jo
croissante sur [0, a] puis constante égale à 1 sur [a, +oo[. À nouveau le réel g
admet un unique antécédent.
3.	On suppose que l’intégrale qui figure dans le second membre de
l’inégalité est finie, sinon il n’y a rien à démontrer, et on note I la valeur
p 4-oo
de cette intégrale. D’après la question 1 on a I = / g(x)dx et g est une
J 0
fonction de classe C1, décroissante et convexe puisque g' = - f est croissante.
De plus le réel M est défini par g(M) = ^' La figure suivante illustre cette
situation.
30
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
On va minorer l’intégrale de g par l’aire du triangle défini par la tangente
au graphe au point (M, ^)- Notons -X = -/(M) < 0 la pente de la tangente.
Son équation est alors Y = j - X(X - M). Le point d’intersection de la tangente
avec l’axe des abscisses est (M +	0) et le point d’intersection avec l’axe des
ordonnées est (0, + XM). On en déduit que l’aire du triangle est
A(X) =	+ Xm] (m+ -M - ^M2+
v 7 2 \2	)\	2X/ 2	2 8X
Le réel X est inconnu et on va regarder la valeur minimale que peut prendre
cette aire lorsque X varie dans RJ.. Une étude élémentaire de fonction montre
que la minimum est atteint pour Xq = et ainsi I > A(X) > A(Xo) = M. <1
Le problème d'extremum suivant est aussi issu de la théorie des probabilités.
1.16. Entropie maximale
Soit Ea l’ensemble des fonctions f : R —> RJ continues telles que
f f-1, f tf(t)dt - 0 et f t2f(t)dt = a. Déterminer inf / /ln/.
/B.	^3.	JS.	f eEŒ
Existe-t-il f e Ea réalisant ce minimum ?
Pour (X, ji, v) e R3/xé, on considérera l’expression
[/ln/ + X f f+\i f tf(t)dt + v f t2f(f)dt
vR
et on cherchera / E E„ qui minimalise l’intégrande.
▻ Solution.
Soit (X, |i, v) e R3. Comme le conseille l’énoncé, on considère, pour
1_»6. ENTROPIE MAXIMALE
31
L(/)= Ï flnf + k f f + p T tf(t)dt + v [ t2f(t)dt
•/R	«/R	wR.	vR
= f f(t)(lnf(t) + k + iit + vt2)dt.
JR
Puisque À, p, v sont fixés et f décrit Ea, les trois derniers termes de cette somme
sont constants. Déterminer inf / f In f revient donc à déterminer inf L(/).
f EEa JX	/eE„
Supposons qu’on ait déterminé f e Ea telle que l’on ait, pour tout t G R et
xrt/ G Ea
7(0 (In 7(0 + X + pt + vt2) < /(r)(In f (r) + X + pt + vt2) (*).
On a alors inf L(/) = L(/).
f éEq
On remarque que la condition (*) est réalisée en particulier si /(t) est, pour
gont réel t, la valeur où la fonction
tpt : x g R* 1—> x(lnx + X + pt + vt2) g R
atteint son minimum sur R^. Une rapide étude des variations de cpr montre qu’il
&nî prendre
f(t) = e-vE-nr-X-1
D reste à montrer qu’on peut choisir X, p, v pour que la fonction f ainsi
définie appartienne à Ea. La fonction f est clairement continue sur R. Pour
qg'eUe soit intégrable sur R, il faut prendre v > 0. On met le trinôme
—S.Ï2 — pt — X - 1 sous forme canonique ; on trouve
-v(r + —)2 + c, avec c =-X - 1 + —•
\	2v/	4v
 En utilisant le résultat classique / e f’dt = y/îi (cf. l’exercice 1.40), on
•bnent
•	On obtient de même
te v‘2dt = 0. La condition / t/(t)dt = 0 donne donc p = 0.
J R
32
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
•	Enfin, on calcule / z2/(r)dz = ec / t2e~v‘2 dz en intégrant par parties : la
J R	JR
fonction t ।—> te~v‘2 a pour primitive t i—»	~vt2. On obtient, sachant
que lim te~v‘2 = 0,
f t2f(t)dt f e~v‘2àt =
'r	2v
ec yjïc
2v -y/v
Les conditions J f = 1 et J t2f(t) = a donnent ec = et = a. On
obtient donc finalement p = 0, v = et ec =	, ce qui détermine X.
On conclut que la borne inférieure cherchée est atteinte pour la fonction
1 _<2
f : 11—> — -e K.
Ÿ2na
On calcule alors cette borne inférieure :
= ^Hln(27ia)_éRwdz
= ln(2zt«) f /(z)dz - À f t2f(t)dt = -1 ln(2zta) -
*/R	JR
On a donc
inf f /ln/ = -|ln(2na)-^- <i
/£E« Jr	2	2
Les coefficients k, p, v sont appelés des multiplicateurs de Lagrange. Ils sont
utilisés dans tout problème d’extremum sous contraintes (la variable, élément
d’un espace vectoriel est soumise à certaines conditions) dont le type le plus
simple est la recherche du maximum d’une fonction f : R" —+ R, la variable
x e Rn étant soumise à des contraintes de la forme g(x) = 0 ou g(x) C 0, où g
est une fonction de R" dans R. Ici la variable est une fonction f intégrable sur
R et positive et les contraintes sont / f = 1, / tf(t)dt = Ç)et / t2f(t)dt = a.
jr JR, , JR
Une fonction positive et intégrable sur R, d’intégrale égale à 1 est une densité
de probabilité. Si X est une variable aléatoire de densité f, les conditions
/ tf(t)dt = 0 et t2f(f)dt = a signifient que X est d’espérance nulle et de
JR	JR
variance a. L’entropie de X est égale par définition à - f In f. L'exercice
*/r
montre que parmi les variables X d’espérance nulle et de variance fixée, celle
qui est d’entropie maximale est celle qui suit une loi normale (cela reste vrai si
on impose que l’espérance soit égale à une constante quelconque).
uy. COMPOSITION PAR UNE FONCTION CONVEXE
33
1.17. Composition par une fonction convexe
On note Cpm(R,R) l’algèbre des fonctions continues par morceaux
de R dans R. Soit cp une fonction convexe de R+ vers R, strictement
positive sur R* * et telle que cp(O) = 0.
1. Montrer que cp est continue et croissante.
2. Soit Lqj l’ensemble des fonctions f e C°m(R, R) telles que
® ° l/l soit intégrable sur R. Montrer que Lq, est un sous-espace vectoriel
I de C°m(R, R) si, et seulement si, sup < +oo.
jc>0 '
s» Solution.
1. La fonction cp étant convexe sur R+, elle est continue sur R*. D’autre
p»L la fonction x h->	_ q	est croissante et minorée par 0, donc
de possède en 0 une limite finie. Ainsi cp est dérivable et donc continue en 0.
EtarO < a < b, on a, d’après le théorème des pentes croissantes,
0 < tp(q) - <p(Q) < <p(q)-<p(fr)
a - 0	a - b
qj(e) < cp(è). Cela reste vrai si a = 0 donc cp est croissante sur R^.
2. • Supposons tout d’abord que a = sup < +oo. Pour tout* e R+,
aç(2x) acp(x) et, par une récurrence immédiate, cp(2”x) < ancp(x) pour
Mit G N. Soit f et g dans Lq, etZ g R. On choisit un entier n tel que |X| < 2".
Ota a alors, par croissance de cp,
Vx e R, cp(|X/(x)|) < cp(2"|/(x)|) < a"cp(|/(x|)
i connue cp ° \ f | est intégrable sur R, il en est de même par comparaison
|À/|. Ainsi l.f est dans Lq,. Par croissance et convexité de cp, on a
•=ÜMgl < <p ° (l/l + |g|) < «<p °	< | (<p ° l/l + <p ° IgD •
Ome <p o |/| et cp o |g| sont intégrables sur R, il en est de même cp □ \ f + g|.
BMc j-t-g appartient à Lq,, qui est donc un sous-espace vectoriel de Cpln (R, R).
* Pour démontrer la réciproque, on suppose que sup = +oo et on
immc que Lq, n’ est pas un sous-espace vectoriel de C°,n (R, R) en construisant
M fonction f : R —> R+ continue telle que f e Lq, et 2/ £ Lq,. Par hypothèse,
|WDEt n G N* on peut choisir a„ S R£ tel que > n. On va construire
Me fonction f affine par morceaux dont le graphe fait apparaitre une succession
Aenpèzes de hauteurs an centrés en des points bn. Voici l’allure d’un trapèze :
34
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
La base inférieure du trapèze I„ = [bn - hn, bn + hn] est de longueur 2hn et
la base supérieure de longueur hn. On va choisir les réels hn un peu plus loin.
Ceux-ci étant déterminés, il est facile de choisir la suite (bn)n^i strictement
croissante de sorte que les segments In = [bn-hn,bn+ hn\ soient deux à deux
disjoints. De façon analytique, la fonction f est donc définie par
•	, hn , hn
si te bn - —,bn + —
f(bn -hn) = f (bn + hn) = 0,
hn
2
f(t) = an
f affine sur bn — hn, bn
et
bn + ^-,bn + h,
ce pour tout n e N* et f nulle sur tous les autres intervalles de R+. La fonction
f est continue sur R+ et positive. Soit n € N*. Sur l’intervalle In on a f(t') < an
et donc cp(/(r)) < <p(an)- On choisit alors hn =
1
w2<p(an)
de sorte que
( <p(/(0)d« < 4‘
U	«2
Comme <p o f est nulle en dehors des intervalles I„, la convergence de la
série de terme général montre que cp o f est intégrable sur R+ et donc
que f e Lq>. En revanche, pour t e |èn - 4^-, bn + on a f(t) = an, et
donc <p(2/(r)) = <p(2a„) > ncp(a„). On en déduit que
/	<p(2/(t))dt >-•
rbN+Q	N -
Pour N e N*, on a donc J cp(2/(t)) dt > y, = Hn —---------------->+oo. Ainsi
r+oo
l’intégrale / <p o (2/) diverge et 2/ £ Lç. <i
1.18. SUR u’iNTÉGRABlLlTÉ d’un PRODUIT
35
1.18. Sur l’intégrabilité d’un produit
On note C° l’espace des fonctions continues de R dans R et L1 le
sous-espace de C° formé des fonctions intégrables sur R. Soit u e C°.
1. On suppose u bornée. Montrer que si u e L1 alors uv e L1.
2. Réciproquement, on suppose que, pour toute fonction v g L1, la
fonction uv est intégrable sur R. Montrer que u est bornée.
/»+co
I 3. On suppose que l’intégrale / uv converge, pour toute fonction
I	J—oo
v G C° bornée. Montrer que u est intégrable sur R.
I
> Solution.	?
1.	C’est évident car |wd| < || h || □<> | d|. Comme d est intégrable sur R, ||m||oo|d|
puis uv le sont également par théorème de comparaison.
2.	En remplaçant éventuellement u par |w|, on peut supposer u positive.
Il faut démontrer que u est bornée sur R+ et sur R_. La démonstration est
similaire ; on traite le cas de R*. On raisonne par l’absurde et on suppose que u
ne soit pas bornée, c’est-à-dire pas majorée sur R+. On peut construire une
suite (an)neN*, strictement croissante, à valeurs dans R+ telle que w(an) > n
pour tout n g N*. En effet, u n’est pas majorée par 1, d’où l’existence de aj.
D’autre part, ai,..., an étant construits, la fonction a est majorée sur [0, an + l]
car elle est continue ; elle n’est donc pas majorée sur [an + 1, +oo [ et il existe
«€•1 a„ + 1 tel que a(a„+i) > n + 1. Pour tout n e N*, u étant continue, il
ŒÎste un segment I„ d’intérieur non vide, contenant an tel que, pour toutx g I„,
oh a h(x) > 2 ' On peut supposer les segments In disjoints.
On construit alors une fonction v G C°(R,R)tellequeu(x) = Osix g U In
neN*
et pour tout n g N*, J v = (il suffit de considérer sur chaque intervalle I„
e fonction continue, nulle aux extrémités de I„ et telle que J" v = 4j).
f	+0° 1
La fonction v est intégrable sur R et / v - V -4- • En revanche, on a, pour
Jr	„=1 n2
rtneN*,
r nn+i	"	1
a donc / au > 2 La fonction uv n’est pas intégrable sur R ce qui
dame la contradiction cherchée.
3.	On va prendre une fonction v telle que uv soit proche de | u |. Considérons
te fonction v : 11—> ----—r-r- C’est une fonction continue sur R et bornée
|«(r)| + e~l‘l
poisque pour tout réel t, |u(t)| <
< 1. Par hypothèse, l’intégrale
|ii(t) | +
36
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
/ uv converge. Comme la fonction uv t i—>• —-—est positive
J-co	|tt(t)| + e_| 1
elle est intégrable sur R. Considérons w = |u| - uv. On a pour tout réel t,
w(t) =	_|f| et donc 0 < ui(t) < La fonction t i—>	étant
|«(0| + €
intégrable sur R, w est également intégrable sur R. Donc |w| = w + uv est
intégrable sur R, c’est-à-dire que u est intégrable sur R. <i
Au lieu de la fonction t i—>	n'importe quelle fonction intégrable et
strictement positive conviendrait.
Dans l’énoncé suivant on doit encore construire un exemple avec une
fonction affine par morceaux.
1.19. Intégrales des puissances d’une fonction.
1. Déterminer une suite (an) de réels strictement positifs telle que,
pour a e R, la série y, converge si, et seulement si, a > 1.
/•+0O
2. Existe-t-il une fonction continue f : R+ —> R^ telle que 7 fa
Jo
converge si, et seulement si, a = 1 ?
▻ Solution.
1. On pose, pour n e N, an =	+3))2 ~ ^°rS a" est équivalent
à 1	> terme général d’une série de Bertrand qui converge si, et seulement
n“(lnn)z“
si, a > 1. On observe de plus que an e ]0,1 [ pour tout n e N, ce qui sera utile
pour la seconde question.
2. On va construire une fonction positive affine par morceaux telle que,
J^2n+1	/*2n+2
fa (resp. /	/“) soit à une constante près équivalent
2n	J2n+\
/•+00
à (resp. a„ “). Alors l’intégrale / fa converge si, et seulement si, les
J 0
deux séries et convergent, ce qui est réalisé si, et seulement si,
a>let2-a>l, c’est-à-dire a = 1.
Pour tout n e N, on choisit f affine sur ^2n, 2n + et ^2n + j, 2n + 1 j,
avec f(2ri) = f(2n +1) = 0 et f ^2n +	= an- Pour x E ^2n, 2n + j > on a
alors /(x) = 2an(x - 2n). Par symétrie, on a, pour a e R,
/»2n+l	/»2n+^	i
/	r=2/	/“ = 2(2a„)a / t“dt=——a“.
J2n	J2n	JO	a + 1
Pour le deuxième morceau, c’est plus compliqué. Remplacer an par a”1
ne suffit pas. Soit X > 1. On choisit f nullé sur [2n + 1 + a„,2n + 2],
1.19- INTÉGRALES DES PUISSANCES D’UNE FONCTION
37
affine sur les intervalles
a>-
2n + l,2n+l + ^-
et 2n + 1 + -y ,2n + 1 +
avec f ^2n + 1 + j = any (on a déjà f(2n + 1) = f(2n + 1 + a„) = 0). Voici
l’allure du graphe :
i .
Pourx e 2n + l,2n + l + -y , ona/(x) = 2a„ -1(x-2n-1). Onobtient
=2 /
J2n+1
a  ^a+l -a(X+l)
— Z Cl„
X(a+1)
na+l -a(x+l) an___________
"	2“+1 (a + 1)
= Ca~a+\
où C est une constante strictement positive. Il suffit de choisir X = 2 pour obtenir
le résultat voulu. <
Les prochains exercices sont consacrés à des calculs d'intégrales généralisées.
Comme pour les intégrales définies, on essaye de se ramener à des fractions
rationnelles par des changements de variables. En effet, lorsqu’on dispose de la
factorisation sur R du dénominateur d’une fraction rationnelle réelle, il est pos-
sible de calculer explicitement sa décomposition en éléments simples et ensuite
wieprimitive. Les éléments de première espèce en	(a 6 s’intégrent
ovin bc—al si n = 1 et-------—------zt si n > 2. Pour les éléments de deuxième
(n - l)(x - a)n 1
espèce, un changement de variable affine permet de se ramener à 2
s^fiî alors de poser t — arctanx pour réduire le problème à l'intégration d’un
polynôme trigonométrique. Bien sûr, lorsque n = 1, on retiendra directement
leformule
dx	1	x
--------- = — arctan — + Cte.
:2 + a2--a	a
Uexercice suivant regroupe divers calculs explicites d’intégrales de fonc-
ùoks rationnelles posés lors d’oraux à l’école polytechnique.
38
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
1.20. Calcul d’intégrales (1)
▻ Solution.
Avant de commencer, notons qu’une fraction rationnelle J7 est équivalente
en ±oo à cxn où c est une constante non nulle et n est le degré de F. En un pôle
réel o de F on a un équivalent de la forme -—où c est non nul et k > 1.
(x - a)fc
Il résulte du théorème de comparaison que si J est un intervalle non majoré ou
non minoré, F est intégrable sur J si et seulement si F n’a aucun pôle dans J et
deg F < -2. Cette condition est bien vérifiée pour les trois exemples proposés
ici ce qui justifie l’existerice des intégrales à calculer.
1.	Posons f : x i—> —? et I = / f. On a I = 2 / f, car f est
1 x + x	Jji	Jo
paire. Opérons le changement de variable y = y, ce qui est licite car x i—> 1
est de classe C1 et strictement monotone :
1 = _2 r ^u/y)2 LézI = 2 f" y2-1 dv = -i.
Jo 1 - (l/>)2 + (l/y)4 \ y2/ Jo y4-y2 + l
On conclut que
2.	Il.s’agit d’un élément simple de deuxième espèce et le changement de
variable classique à appliquer est t = arctanx qui est bien de classe C1 et
strictement monotone :
1 V, M (l+tan2t) Ci dt
Jo \ 1 + x2 / Jo ( 1 + tan21)2 Jo 1 + tan21
fi , , f i 1 + cos 2t ,
,	Jo Jo 2	4
3.	On a
1	1	b2-a2
X2 + a2 X2 + b2 " (X2 + a2)(X2 + b2) '
Par conséquent, si a + b, on peut écrire
f®. (x2 + a2) (x2 + b2) b2 - a2 fg\x2 + a2 x2 + b2
1.21. CALCUL D’INTÉGRALE (2)
39
ce qui donne
,	1 fl r x]+°°	1 r xi+”\ n
b2 - a2 \a L aJ-00 b L èJ-oo/ ab(a + b)
Si a = b, on peut poser y = qui est un changement de variable de classe C1
strictement monotone pour se ramener à l’intégrale calculée à la question
précédente :
Jf 1 = f dy = — r dy = —•
A (a2 + a2y2')2 a3 A (1 + y2)2	2a3
Il est également possible d’invoquer un passage à la limite. A b > 0 fixé, la
fonction g : (a,x) i—> —=-----,~v ,---5- est continue. Prenons a > 0. On a
(xz + az)(xz + èz)
alors pour a > a et tout x G R, 0 C g(a,x) < g(a,x) avec g(a,.) intégrable.
Cette domination nous assure que la fonction a 1—» / g(a,x)dx est continue
JR
sur ] a, +00 [ et finalement sur R* puisque la continuité est une propriété locale.
Ainsi
= m -------------J(a,a) = ~
ab{a + b) a->b	2a5
On peut conclure que pour tout (n, b) e (R£)2, on a
f	dx	7t
A (x2 + a2) (x2 + è2) ab(a + b')
L’exercice suivant est un classique où l’on obtient la valeur d’une intégrale
sans qu’il soit possible d’expliciter une primitive de la fonction intégrée.
1.21. Calcul d’intégrale (2)
Calculer 1= / ln(sint)dt.
Jo
▻ Solution.
La fonction f : t h-> In(sint) est continue sur ]0, jr[. Au voisinage de 0+
on a
/(t) = ln(t + o(t)) = Int + ln(l + o(l)) ~lnt = o(—
si bien que, par théorème de comparaison, f est intégrable sur jû, En
faisant le changement de variable affine u =	- t, il apparaît que la
fonction u 1—> ln(cos u) est intégrable sur |o, et que
p tc/2	p tc/2
1= / ln(sin£)df= / ln(cosu)dw.
Jo	Jo
40
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
On en déduit, en sommant les deux égalités, que
/tü/2	rit/2 Zj	\
21 = / ln(sintcost)dt = / In - sin(2t) dt
Jo	Jo \ 2	/
=-— ln2+ / In (sin(2t)) dt.
2 Jo
On opère le changement de variable affine v - 2t et on obtient
JC	1 fw
21 = -— ln2+- / ln(siniz)dw.
2	2 Jo
Le graphe de f étant symétrique par rapport à l’axe d’équation x = on a
JC x
ln(sin y) do = 21 et la relation conduit à la valeur de l’intégrale :
o
7t
I = --ln2. <
2
L’énoncé suivant, plus théorique, étudie l’intégrale de la différence de deux
translatées d’une même fonction.
1.22. Calcul d’intégrale (3)/;
Soit a < b dans R, f : R —> R continue. On suppose que f admet
P+OO
une limite finie € en -oo et que / f existe.
Jo
p+oo
Justifier l’existence et calculer /	(/(a + x) - f(b + x)) dx.
J —oo
▻ Solution.
rB
Soit (A, B) e R2. Notons Ia.b = / (/(a +x) - f(b +x)) dx. Par deux
J A
changements de variable affines, on obtient
Le premier terme tend vers 0 quand B tend vers l’infini puisque
/»B+a	p+oo	p+oo
Quant au second, il converge vers {(b - a) quand A tend vers -oo. En effet,
prenons e > 0. Comme lim/ = t, il existe M e R tel que pour x < M, on
— oo
a t - e < /(x) < t + e. Si A est suffisamment proche de -oo, le segment
1.23. CALCUL d’intégrale (4)
41
[A + a, A + b] est contenu dans ] — 00, M] et par intégration de l’inégalité, on
obtient
/» A+b .
{(b - a) - (è - a)e < / f C ({b - a) + (b - a)e,
J A+æ
Z+co
(J(a + x) - f(b + x)) dx
OO
converge et vaut t(b — a). <1
L’énoncé suivant contient encore des intégrales que l’on rencontre très
souvent dans les exercices.
1.23. Calcul d’intégrale (4)
1. Soit f : [0, +00 [—> C continue. On suppose f dérivable en 0
etx 1—> -jp- intégrable sur [l,+oo[. Soit (a, b) G R}2. Montrer que
/•+~/(&x)-/(ax)	a
/	------------dx = /(O) In -
'0	x	b
_ „ r+x arctan(Ttx) - arctanx ,
2. Calculer /	-------------------dx.
Jo	x
Jr1 xa - 1
' -------dx, pour a > -1.
0 Inx
> Solution.
1. Il y a une impropreté en 0 et en +00. En 0, l’impropreté est fausse, car
pour x > 0, on a
f(bx)—f(ax) ,/(frx)-/(0)	/(ox)-/(0)_______
-------------= b-------------a-------------------> (b - a)f (0)
x	bx	ax x—>o
et la fonction intégrée se prolonge donc par continuité en 0. Pour X > 1, on a
fx \JW\ rbx \f(y)\,	f+°° |/(y)|
I -------dx = /	------dy $ /	------dy < +00
j X y=bx Jb y Jb y
Donc x h» est intégrable sur [ 1, +00 [. Il en est de même pour x
et on peut conclure que x 1—>	f(ax) est intégrable sur R*.
d v n t r+°° f(bx) - /(ax) j „
Pour X > 0 on pose Ix = J	—— x —£dx. On a
T r+°°f(bx) r+cof^x)
Ix = /	------dx - /	----dx.
Jx x Jx x
42
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
En effectuant le changement de variable y = bx dans la première et y = ax dans
la seconde, on obtient
r	r~f(y)A rXf^v
Ix = /	---dy - /	------dy = /	----dy.
Jbx y Jax y Jbx y
Il faut montrer que |lx - /(O) In q+> 0. On a /(O) In j = J ^y^dy,
ce qui permet d’écrire
It nmi a\ ïaX /O'WWa f l/(y)-/(0)L
Ix-/(0)ln- = /	----------dy < /	------------dy
1	Jbx y	J[aX,bX] y
sup |/(y)-/(0)| f —
ye[aX,t>X]	J[aX,bX] J
« sup |/(y) - /(O)I lin £| ——» 0,
ye[aX,bX]	1	* * * * * * * * * X-*°
puisque f est continue en 0. On conclut que
fa
Jo	X	b
2. Il s’agit d’une application directe de la première question. En effet, si
on pose f(x) = arctan æ pour* > 0, il vient
arctan(rtx) - arctanx _ 2 ~ 3101:311 (ïïx) “ (l ~ arctan	 y^)
x	xx
en vertu de la relation arctanx + arctan^ = y valable pour tout x > 0. La
fonction f se prolonge par continuité en 0 en posant /(0) = y Dans ces
conditions, f est dérivable en 0 puisque
/W ~ /(0) _ 31-01311| ~ f _ arctanx _>
XXX	x—>0
f fx)
Il reste à vérifier que x i—>	est intégrable sur [ 1, +oo [. On a pour x tendant
vers +oo,
0 /W = 31013111 ~ £
X	XX2
et le théorème de comparaison permet de conclure. Toutes les hypothèses sont
donc vérifiées si bien que :
+" arctan(rtx) - arctan x	n ,
--------------dx = — In rt.
x	2
1.24. FORMULE DBS RÉSIDUS POUR LES FRACTIONS RATIONNELLES
43
3. Comme x i—> -Inx est un C^-difféomorphisme de ]0,1[ sur R* le
ri ra _ i
changement de variable y = -Inx est légitimé et /	]n% dx a meme nature
et en cas de convergence même valeur que
/•+« e-y _e-(a+l)y
/	-------(-e y)dy= /	------------dj.
o -y	Jo y
D’après la question 1, avec f : y 6 R+ i—> e y, a = a + 1 et b - 1, cette
intégrale converge et f
Jo
—-dx = ln(a + 1). <
La formule des résidus permet d’exprimer l’intégrale sur R de toute fraction
rationnelle sans pôle réel et de degré < —2 en fonction des coefficients des
fractions Y 2 dans la décomposition en éléments simples de la fraction.
1.24. Formule des résidus pour les fractions rationnelles
1. Soit P et Q dans C [X] -avec deg P < deg Q - 2. On suppose que Q
ne s’annule pas sur R, Montrer que
f ™ 72 e(a)p(a)
JR vW ae£i
où Q est l’ensemble des pôles de la fraction F = , e ( a) le signe de la partie
imaginaire de a et p( a) le coefficient de 2 g dans la décomposition en
éléments simples de F.
2. Application : calculer J" yy-^dt, puis J tmdt, avec m et n
dans N, pairs et vérifiant n < m - 2.
▻ Solution.
1.	La fraction F est continue sur R puisqu’elle n’a pas de pôle réel et
intégrable car de degré < -2 (on a F(x) = <9(x-2) en ±oo). Le théorème
de décomposition en éléments simple nous assure que F est une combinaison
linéaire de termes de la forme -——r avec fc > 1 et a e Q. Or si fc > 2, nous
(X - a)
disposons d’une primitive d’un tel élément simple et plus précisément :
1 1
k - 1 (r - a)Æ-1
+00
= 0.
Finalement, seuls les termes v vont donner une contribution à l’intégrale.
A Œ
H est à remarquer que t 1—>	n’est pas intégrable sur R. Cependant la
44
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
limite lim / ---------existe; en effet, si on écrit a = a + ib avec a, b réels et
x->+oo Jx t — a
b £ 0, il vient
r—
J-x t - a J-x (t - a)2 + b2
- fX f~a h fX dt
J_x (t - a)2 + b2 ' J-x (t - a)2 + b2
_1	(x-a)2 + à2	rx dt
2	(x + a)2 + b2	J_x (t - a)2 + b2
f dt	T du ibn
*-»+« 1 J^çt_a)2 + b2 1 J^u2 + \b\2	|Z>|
Comme / F(t)dt = lim / F(t)dt, on obtient, par linéarité de l’intégrale,
JR	x^>+œJ_x
la formule
[ ^vdt = ttt y, e(a)p(a).
«/R	œgQ
2.	La première question s’applique directement à P = X2 et Q = 1 + X4.
Les racines de Q sont les racines quatrièmes de -1, elles sont simples. Si a
désigne une racine de Q, on ji(a) =	N°tons “o = elîl^4.
Les autres racines sont iao, -ocq et -iao (les deux dernières étant à partie
imaginaire négative) si bien que
f yLdf = 2in	_”E(e^/4 _ iei^ = 2L
’r 1+t4	4	4	2 V	J y/2
On applique maintenant la première question avec P = X" et Q = 1 + Xm.
On pose m = 2p. Les racines de Q sont les racines 2p-ièmes de -1. Elles
<(2fc+l)rc
sont simples. Ce sont les complexes = e « pour k e [[-p,p - 1]]. On
a =	= ma1”-1 = -waî+1-De Plus e(“fc) = -1 si’ et seulement’
k	_
k < 0. On remarque que pour k e [[0, p - 1J, on a ajt = si bien que
tn
1 +tm
•k
On a
p-i
Jt=o
.]) \ 2fc+l
i.(n^l) e«»(n+l) _ 1
2p ---------------
tn(n+l)
 e p -1
7c(n + 1) ’
sin ——-
2p
= e
1.25- MAJORATION D’UNE INTÉGRALE
45
car = -1. On obtient finalement
f ~ r ' dr = —2x
+ msin^±l>'
L’exercice suivant repose sur une simple majoration par une intégrale de
fraction rationnelle.
1.25. Majoration d’une intégrale
Soit p > 1 un réel. Pour z G C \ R+, on note /(z) = J
et d(z, R+) = inf {|z - x|, x e R+}. Montrer qu’il existe une constante Cp
telle que /(z) <	i Pour tout z e C \ «+.
</(z,R+))p
▻ Solution.
Comme	est équivalent à quand x tend vers +oo, l’intégrale
r+oo	dx
converge. Soit z = a + i’P e C \ R+. On a /(z) = /	---------------f- La
Jo ((x-a)2 + p2)*
distance de z à R+ est toujours atteinte, mais en un point qui dépend du signe
de la partie réelle a,
Zi
Z2
0
On distingue donc deux cas.
• Si a < 0 la distance, est.atteinte pour x = 0 et d(z,R+) = |z|. On a
p	 E. 
alors ((x - a)2 + P2)7 > (x2 + |z|2)2 pour tout x > 0 et, en posant x = |z|t,
f+co dx r+°° |z|dr
•'O	(x2 + |z|2)?	(t2|z|2 + |z|2)2
1 f+°° df _	1	[+°° dt
|z|p-1 Jo (f2 + l)2	(</(z,R+))P“1 Jo (t2 + 1)
46
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
• Si a > 0 la distance de z à R+ est atteinte en x = a et d(z,R+) = |0| et 0
n’est pas nul. En posant x = 10|t,
f(}< r a* = i r dt = i r dt
Z -k (x2 + 02)* I0IP-1 (t2+ 1)£	(</(z,R+))P“1 JR (f2+ 1)7
Dans tous les cas, on a /(z) < Cp , avec Cp = [--------<
1.26. Une égalité pour des fonctions de carré intégrable
Soit f : R+ —♦ R. continue de carré intégrable. On considère la fonction
px	p+oo	f+Oû
g : x h-» f(x) - 2e~x / e* f(t)dt. Montrer que / g2 =	f2-
Jo	Jo Jo
▻ Solution.
Le second terme de g fait penser à la solution d’une équation différentielle
linéaire d’ordre 1. Posons h : x h-> -2e-* / e'/(t)dt. La fonction h est de
Jo
classe C1 et h' = -h- 2f. Onag = f + h donc
g2 = f2 + 2fh + h2 = f2 + h(h + 2/) = f2 - hh'.
Il reste à montrer que hh' a une intégrale nulle. Or,
fX h(t)h'(t)dt= lft(r)2
Jo	Lz
X h2{x)
o = ~
'o
Il suffit donc de montrer que h tend vers 0 en 4-co pour conclure. Si f tendait
vers 0 en +oo, on pourrait appliquer le théorème d’intégration des relations de
comparaison (en +oo, exf(x) = o(ex) et exp étant positive non intégrable en
rx
+oo, l’intégrale / ef/(t)dt serait uno(e*)), mais ce n’est pas forcément le cas.
J 0
On adapte la preuve de ce théorème d’intégration pour utiliser l’intégrabilité
de f2 avec l’inégalité de Cauchy-Schwarz. Soit e > 0. Il existe A > 0 tel
r+co
que /	/(t)2 dt < e2. Pour x A, on a
J A
±e~x Cmt^dt + e^ [X\f(t)\e‘dt.
Jo	J h
Par inégalité de Cauchy-Schwarz, on obtient
1.27. MAJORATION D’UNE INTÉGRALE
47
On a donc, pour z > A,
e~x [X
Jo
<ex AyW'dt + e.
Jo
Comme le premier terme tend vers 0 quand x tend vers +oo, on a
e~x [X JWdt
Jo
< 2e,
pour x assez grand. <
Les exercices qui suivent sont consacrés à des inégalités intégrales.
1.27. Majoration d’une intégrale
▻ Solution.
On remarque que la fonction 1i—> |	| est intégrable sur R+, car elle est
prolongeable par continuité en 0 et majorée par la fonction intégrable t i->
au voisinage de +oo. On note que pour p > 4, on a
Il suffit donc de montrer que la fonction F définie sur [4, +oo[ par
est majorée. On a pour t G ] 0,1],
111 t " t 2 1 (2n+l)!	6	120 §(2n + l)!
t2 t4 < t2 t2 _ 19r2 < t2
C “ ÏÏ + Ï20 C "ïï + Ï2Ô “ “ÜÔ 12
48
. CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
+°°
En effet, la série 2 (2n + 1)! est redevaWe du critère spécial des séries alternées
n=3
(la valeur absolue du terme général décroît vers 0) et sa somme est du signe
du premier terme, ici négatif. Par ailleurs, on a r4 < t2. Ainsi, on obtient la
majoration attendue :
avec le changement de variable u = y/fit. <
Dans l’exercice suivant, on établit l’inégalité de. Hardy que le lecteur
trouvera aussi dans le volume 4 pour les intégrales sur un segment.
1.28.	Inégalité de Hardy
Soit f : R+ —> R continue telle que f2 soit intégrable sur R+. On pose
pour toutx > 0, g(x) = x f fWdt •
1.	Montrer que g se prolonge par continuité en 0.
7	r+°° ->	r+°° >
2.	Montrer que g est intégrable sur R+ et que / g 4 / f.
JQ	JQ
3.	La constante 4 est-elle optimale ?
> Solution.
1.	Notons F la primitive de f s’annulant en 0. On a g(x) = —pour
tout x > 0 donc g est C1 sur R*. Comme g(x) - BW—ZO, g(xj tend vers
F'(0) = /(O) quand x tend vers 0. En posant g(0) = /(0), on prolonge g par
continuité sur R+.
2.	Prenons 0 < u < v. On a, en intégrant par parties,
U
“F(x)2
—z—dx =
F(x)2
u
" r 2F(x)/(x)
+ / ------------dx
« Ju x
_ F(m)2 F(t>)2
u
F(«)2
U
+ 2 f g(x)/(x)dx
Ju
+ 2 f g(x)/(x)dx,'
Ju
F(m)2
+ 2.
u
par l’inégalité de Cauchy-Schwarz. En faisant tendre u vers 0, on obtient
r F(“)2 n
car lim-------= 0.
w—»o u
1.28. INÉGALITÉ DE HARDY
49
Si f g2 > 0, on a après simplification, / g2 < 4 / f2, ce qui est aussi vrai
Jo	Jo Jo
si / g2 = 0. Ainsi, pour tout v > 0, on a / g2 < 4 /	f2, ce qui prouve
Jo	Jo	Jo
l’intégrabilité de la fonction positive g2 et l’inégalité
/•+«	/»+oo
f ? < 4 [ f2.
Jo Jo
3.	Le cas d’égalité dans l’inégalité de Cauchy-Schwarz correspondrait à f
et g colinéaires, ce qui donne une équation différentielle de la forme xF' = XF
(avec X constante) et on en arrive à f de la forme x i—> x“. Malheureusement,
f2 doit être intégrable sur R+ ce qui implique 2a < -1 (intégrabilité en +oo)
et 2a > -1 (intégrabilité en 0). Ces deux conditions sont incompatibles. Cela
nous invite toutefois à considérer la fonction x i—> -L mais en la modifiant
yx
aux bords pour assurer l’intégrabilité. Soit n > 1 et / définie par
Un calcul de l’intégrale de g2 entre 1 et n donne 41nn-7+^=-~ Soit C une
constante pour laquelle l’inégalité de la question 2 est vérifiée. En particulier,
/»n	/»+oo	/»+oo
/	/ g2<C /	/2 = 2C + Clnn.
J\ Jq	Jo
Comme J" g2 ~ 41nn lorsque n tend vers l’infini, on obtient 4 < C. Donc 4
est la meilleure constante possible. <1
L’exercice s’interprète comme un calcul de norme triple. Notons L2 l’espace
vectoriel des fonctions continues sur R+ et de carré intégrable et munissons le de
la norme de la convergence en moyenne quadratique. L'application T : f i—> g
est un endomorphisme de L2 d’après les deux premières questions et l’inégalité
de Hardy montre qu'il est continu avec |||T||| =. 2. On dispose plus généralement
d’inégalités de Hardy pour les espaces Lp (p > l). On obtient |||T||| —
L’énoncé suivant fait justement démontrer l’inégalité de Minkowski qui
montre que pour tout p > 1 l’application f i—> || f ||p = (J" |/|p^ est une
norme sur l’espace des fonctions continues sur l’intervalle I telles que |/|p soit
intégrable.
50
CHAPITRE I. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
1.29.	Inégalité de Hôlder^ inégalité de Minkowski
Soit p, q > 1 tel que i = 1.
1.	Soit a, b e R+ et p > 0. Montrer que ab <	
2.	Inégalité de Hôlder. Soit I un intervalle, f, g : I —> R+ continues
par morceaux telles que fp et gq sont intégrables. Montrer que fg est
intégrable et que l’on a
3.	Inégalité de Minkowski. Soit f, g : 1 —> R+ continues par
morceaux telles que fp et gp sont intégrables. Montrer que (/ + g)p
est intégrable et que l’on a
\1/P	/ p \UP / r \Vp
(/+g)p	+ \J18P)
▻ Solution.
1.	On peut écrire, par convexité de l’exponentielle,
ab = (ap) (fe/p) = exp - (p ln(ap)) + - {q ln(b/p))
<1
ÀeP'nfop) + Àe?ln(*/p) + (ÈZHU.
" p q	p q
2.	Posons a = fp j et p = [J gq j . Si a = 0, fp étant continue
par morceaux et positive, on en déduit que f est nulle sauf sur un ensemble
fini. L’inégalité est alors triviale. Il en va de même si p = 0. Supposons a > 0
et P > 0. Alors d’après la question 1 appliquée avec p=l,a=^etè = ^on
a
fs c ir+ i£i.
ap p ap q Pq
Le théorème de comparaison assure que fg est intégrable. Comme ap - fp
et p9 = / g9, en intégrant l’inégalité précédente, on obtient
iJS 1^ + 1E = 1 + 1 = 1.
ap p ap q P9 p q
1.30. FONCTIONS g TELLES QUE fg SOIT DE CARRÉ INTÉGRABLE
51
En multipliant par ap, on obtient l’inégalité demandée.
3.	Supposons que I soit un segment [a, b] (avec a < b). L’inégalité est
triviale si J (f + g)p = 0. Supposons donc J" (f + g)p > 0. Par l’inégalité
précédente, il vient
/ fU + gy-1
J a
b	\ V?
(/ + g)(P-^j
Or (p — l)q = p donc, en sommant les deux inégalités, on obtient
/ ,	\1/0
ce qui donne en divisant par / (/ + g)p I l’inégalité demandée.
/
Si I est un intervalle quelconque, pour a < b dans I, on a
pb	! fb	\ 1/P	/ s»b	\l/P	/ /•	\1/P	/ t*	\l/p
/ (j+g)p<[ r +\ sp] < fp] +[
Ja	\Ja	/	\Ja	/	\JI	/	\</I	/
Comme (f+g)p est positive, l’inégalité précédente prouve qu’elle est intégrable
sur I et l’on a
Il en découle de ce qui précède que l'ensemble Lp (I) des fonctions continues
par morceaux sur I à valeurs complexes telles que |/|p est intégrable est un
sous-espace vectoriel de l’espace des fonctions continues par morceaux de I
dans C et que || ||p : f 1—>	l/lp) définit une semi-norme surV’ÇI).
L’exercice suivant concerne la continuité d’une application linéaire sur un
sous-espace de l’espace des fonctions de carré intégrable.
1.30. Fonctions g telles que fg soit de carré intégrable
On note L2(R) l’espace vectoriel des fonctions g : R —> R continues
telles que / g2 converge et ||g|| =	/ g2 pour une telle fonction g.
JR	y JR
52
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
1.	Justifier que || || est bien une norme sur L2(R).
Soit / : R —> R continue.
2.	On note Dy = {g e C°(R, R),/g e L2(R)}. Montrer que Dy est
un sous-espace dense dans L2(R).
3.	On pose My : g e Dy n L2(R)	f g e L2(R). Montrer que f est
bornée si, et seulement si, l’application linéaire Mf est continue pour || ||.
t> Solution.'
1.	Il s’agit de la norme associée au produit scalaire (/, g) i—> / fg.
Jr
2.	Il est clair que Dy est un espace vectoriel et il contient l’espace Cc
des fonctions continues à support compact (si g e Cc, alors fg e Cc donc
fg e L2(R)). On va montrer que Cc est dense dans (L2(R), || ||) ce qui permet
de répondre à la question. Soit f e L2(R). On considère une fonction g définie
de la manière suivante : g est nulle en dehors d’un segment [-A, A], coïncide
avec f sur le segment [-A + q, A - q] pour un certain q > 0 et g est affine sur
les segments [-A, -A + q] et [A - q, A] et continue sur R. On va voir qu’en
choisissant convenablement A et q on peut avoir ||/ - g|| aussi petit qu’on veut.
Soit e > 0. On commence par choisir A de sorte que J f2 + £°72^2.
Soit M la borne supérieure de \f\ sur le segment [-A,AJ. On a a alors,
pour 0 < q < A,
o r~A o /“A+n o rA , f+°° o
\\f-g\\2= f2 +	(f-g)2+	(f-g)2+ f2
J-oo J-K	JA-n	JA
Or il est clair que g est majorée par M sur les intervalles [-A, —A + q]
et [A - q, A] si bien que (/ - g)2 < 4M2 sur ces intervalles et
||/-g||2 < e2 + 8M2q.
Il suffit donc de choisir q assez petit pour que \\f - g||2 C 2e2.
3.	Supposons / bornée. Pour g e L2(R) nDy on a (/g)2 < ||/||^,g2eten
intégrant il vient ||My(g)|| < H/H» ||g||. L’application linéaire My est ||/||oo-
lipschitzienne et donc continue sur L2(R) n Dy.
Réciproquement, supposons que / ne soit pas bornée. Soit n e N*. Il
existe an e R tel que \f(an)| > n et q > 0 tel que |/(x) - /(an)| < 1 et
donc |/(x)| > |/(an)| - 1 > n - 1 si |x - an\ < q. Soit hn : R —> R positive
telle que /i„(x) = 1 six e [an - ^,an + ^], hn(an - q) = h(an + q) = 0, h2
affine sur [an - q, an - et [an + an + q] et hn nulle en dehors du segment
[an-q,a„ + q].
1.31- INÉGALITÉ DE KOLMOGOROV
53
1
&n n &n Gn + H
Alors hn e L2(R) n Dy (Æ„ est à support compact) et ||/z„|| = Pour tout
x E [a„-+	ona|/(x)/i„(x)| > n-1 et ainsi ||My(/i„)|| > -^(n-l).
Comme le rapport —rf-n— tend vers 1 infini lorsque n tend vers 1 infini,
Il nn II
l’application linéaire My n’est pas continue. <1
On peut démontrer que Cc est dense dans Lp (R) pour tout p > 1. .
1.31.	Inégalité de Kolmogorov
Soit f : R —> R de classe C2 avec f et f" de carré intégrable.
1.	Montrer que f' est de carré intégrable.
2.	Montrer que (frf < (frf •
3.	Montrer que f est uniformément continue sur R et tend vers 0
en ±oo.
▻ Solution.
1.	Soit x > 0. On peut écrire par intégration par parties
/ /,2=/wrw-/(o)/'(o)-/ ff”.
Jo	Jo
Or, ff" est intégrable sur R+ puisque d’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz,
on a pour tout A > 0,
Dans ces conditions, f ff" admet une limite finie quand x —> +oo.
«/ 0
Raisonnons par l’absurde et supposons f'2 non intégrable sur R+. Alors
l’intégrale / //2(t) dr tend vers +oo lorsque x tend vers +°o. Étant donné
Jo
ce qui précède, f(x)f'(x) tend aussi vers +oo lorsque en +oo. Cela implique
classiquement que lim -f2(x) - +oo, ce qui contredit l’intégrabilité de f2.
54
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
Ainsi, /'2 est intégrable sur R+ et par un raisonnement analogue, on démontre
qu’elle l’est sur R_ : donc f est de carré intégrable sur R.
2.	L’intégration par parties faite à la question précédente assure que ff'
admet une limite finie en +oo et en -oo puisque f'2 et f f" sont intégrables. Ces
limites sont forcément nulles car sinon la fonction intégrable f2, de dérivée 2ff'
aurait une limite infinie en +oo ou en -oo ce qui est impossible. Ainsi, en prenant
y < x dans R pour écrire
r f'2 = /W/'to - fWf'Çy) - r ff'',
«7 y	, J y
et en faisant tendre x vers +oo et y Nets — oo, il vient / f2 = - / ff". Pour
«/R	JR
A > 0, l’inégalité de Cauchÿ-Schwarz permet d’écrire
£ l/ri
puis, par passage à la limite,
En élevant au carré, l’inégalité demandée est prouvée.
3.	Cette dernière question fait l’objet de l’exercice 1.8. Comme f'2 est
intégrable sur R la fonction f est ^-hôldérienne donc uniformément continue
sur R. Le lemme vu dans l’exercice 1.8 prouve qu’elle tend vers 0 en ±oo. <
1.32. Inégalité de Weyl
Soit f : R+ —> R de classe C1. On suppose que f et x i—» xf(x) sont
de carré intégrable sur R+. Montrer que
«/» 4-oo	| Z»+OO	I z»4-oo
' f2(t)dtc2d tif2(t)dtJ f'2(t)dt.
o	\Jo	X Jo
> Solution.
Soit x > 0. Par intégration par parties, on obtient
£ /(t)2dt = JJ l.f{t)2 dr = [t/(t)2]* - 2 JJ tf(t)f'(t) dt
= xf(x)2-2 [XtfÇt)f\t)dt.
Jo
I.33. UNE INÉGALITÉ INTÉGRALE
55
Comme t h—> tf(t) et t 1—» f'(t) sont de carré intégrable,, le cours assure
que t 1—> tf(t)f'(t) est intégrable (car 2|t/(f)/'(t)| < t2/(r)2 + /'(t)2). La
fonction f est de carré intégrable puisque elle est négligeable en +00 devant
xf(x). Les termes / /(t)2dr et / t/(r)/'(t)dt ont donc une limite finie en
+00 et par conséquent, il en va de même de xf(x)2. Notons C = lim x/(x)2.
x—»+«
Si C > 0, alors /(x)2 ~ y quand x tend vers +00. Cela contredit l’intégrabilité
de f2. Donc C = 0 et le passage à la limite donne
/*+oo	Z»+OO
/ f(t)2dt = -2 / tf(t)f'(t)dt.
Jo	Jo
La suite est une conséquence de l’inégalité de Cauchy-Schwarz :
/•+00	/»+oo	I /»+oo	I z»+oo
/ /(t)2dt^2/ ri/(t)iir(t)idt<2J/ t2mdtJl f'2(t)dt.
Jo	Jo	y Jo	y Jo
L’inégalité de Weyl est prouvée. <
LinégalitédeWeylmontrequesi /	f2(t)dt estfixé, alors / t1f\t)dt
Jo	Jo
et / f (J)dt ne peuvent être tous deux arbitrairement petits. C’estuneforme
Jo ,
mathématique du « principe d’incertitude » de Heisenberg.
1.33. Une inégalité intégrale
Soit a et b des réels vérifiant a b > 0, c = 1---------------------
(1 +a + by-
et fi l’ensemble des fonctions f de R+ dans R+ continûment dérivables,
décroissantes et telles que la fonction 11—> f(t)t2a soit intégrable sur R+.
Montrer que c est la meilleure des constantes k telles que, pour toute f e fi,
on a
/(r)ta+bdt) <k f fW)t2adt Ï f(t)t2bdt.
J J&+	</&+
> Solution.
Soit f e £ et J l’ensemble des réels strictement positifs a tels que la
fonction t 1—> f(t)ta soit intégrable sur R+. Pour a > 0, la fonction est
continue et positive sur R+. Il suffit donc de vérifier l’intégrabilité sur [1, +00 [.
On en déduit que si a e J et p C a, alors p € J, car pour t 1, on a
f(t)t$ < Par hypothèse, la appartient à J. On en déduit que 2b et a + b
sont dans J, car 0<2è<a + £>^ 2a.
56
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
Si a e J, transformons / /(r)t“ dt en intégrant par parties; c’est possible
car f est de classe C1. On obtient, pour x > 0,
r /(f)f“dt=- -L- r f(t)f“+]dr. (*)
Jo	a + 1	a + 1 Jo
La fonction f étant positive et f' négative, on en déduit pour tout x > 0
rf^ r^dt
« + 1 Jo	a + 1 Jo	Jo
< Ï f(t)tadt.
•/R+
On en déduit que la fonction t i—>	est intégrable sur R+. En
faisant tendre x vers +oo dans la relation (*), on en déduit que /(x)x“+1 a
une limite finie en +oo. On la note {. Si € £ 0 alors f (x)x“ ~	ce
x—*+oo	A
qui contredit le fait que a appartient à J, On a donc € = 0. On en déduit que
[ /(t)t“dt = --L- [ f'(t)t^dt = ~ [ irw|t“+1dr. (**)
'k+	a + 1 J-g^	a + 1 Jg^
Cela est vrai en particulier pour a = 2a, 2b et a + b. L’inégalité demandée va
[ \f'[t)\ta+b+idt.
résulter de l’application de l’inégalité de Cauchy-Schwarz à
Pour tout t > 0, on a
l/'(f)lf“+b+1 =	(<Wb+2) .
On en déduit que
\ l/'(î)|ra+b+1dr « f |/'(t)|t2a+Idt f \f{t)\t2b+1dt.
/	«/Rf.	«Rf
En utilisant (**), on obtient
. 2
(a + è + l)2| [ /(t)ta+bdt| < (2a + 1)(2& + 1) [ f(t)t2adt [ f(t)t2bdt
\ J ]R.+	/	_ _ J R-f.	J R+
[ f(t)ta+bdt} < (2?+1Î,(2l1-)- [	[ m2bdt.
\ Jr,	I (a + b + iy J^ Jb^
Mais on remarque que
_ (1+a + fe)2- (a-fe)2 _ (2a+l)(2fr + l)
(1+a + b)2	(1 + a + b)2
1.33- UNE INÉGALITÉ INTÉGRALE
57
On a donc démontré que, pour tout f e 6, on a
.	-2
| [ f(t)ta+bdt | < c f f(t)t2adt [ f(t)t2bdt.
Il reste à montrer que c est la meilleure constante possible. Pour cela,
nous allons considérer une fonction f proche d’une constante. Soit x > 0.
Considérons une fonction f appartenant à & telle f(t) = 1 pour tout t e [0, x]
et /(t) - 0 sur [x + 1, +oo[.
Pour construire une telle fonction f, il suffit de prendre sur [x, x+1 ] une fonction
quelconque de classe C1, décroissante et telle que
/(x) = 1, /(x + 1) = (x) = /'(x + 1) = 0.
On a alors
1	x2a+2b+2
(1+a + b)2
r	fx+1	1
/ /(t^dtç /	t2adt=—— (x + 1)2^1
ru	Jo	2a + 1
et de même en remplaçant a par Z». Oh en déduit que si k est une constante qui
réalise l’inégalité
/ \2
\À+x2a+2b+2
[ f(f)t2adt [ f^t2bdt" C (x + l)2o+2i,+2
R+ J?-
En faisant tendre x vers +oo on obtient k c et on conclut que c est la meilleure
constante possible. <1
Dans l’énoncé suivant l’inégalité est d’abord démontrée pour des fonctions
en escalier, le théorème de convergence dominée permettant ensuite de
prolonger le résultat au cas général.
58
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
1.34. Majoration du reste
Soit f : R+ —> R+ décroissante, continue par morceaux et a > 0. On
suppose que t i—> taf(f) est intégrable sur R+. Montrer que pour x > 0
on a,
On pourra commencer par le cas où f est la fonction indicatrice d’un
intervalle [0, A].
▻ Solution.
On suit l’indication. Soit A > 0 et f = JP[o,A]- Pour x A l’inégalité
demandée est triviale. Soit x e ]0, A[. On souhaite montrer que
I a A“+1
A-x< —-----------— --------•
\ ( 1 + a)x ) a + 1
Si on divise par A cela équivaut, en posant t = e ]0,1 [, à
On est donc ramené à majorer la fonction y (t) = ( 1 -1) ta sur l’intervalle ] 0,1 [.
Elle y est dérivable avec \|/'(t) =	- (a + l)t). Ainsi, est croissante
puis décroissante et atteint un maximum en —” y Or, on a précisément
a“
V\a+1/ “ (a+ l)a+1
Prenons maintenant pour f une fonction décroissante en escalier sur [0, A]
et nulle sur ]A, +oo[. Soient 0 = xq < xi < • • • < xp = A les points de
discontinuité de f et X] > > Xp > 0 les valeurs de f sur les intervalles
]xi-i,Xi[. Si on pose
f\ = ^l^[0,xp],f2 = (X2 - Xi>[0>Xp_,], . . . ,fp = (Xp - Xp_l>[0,xl],
la fonction f coïncide avec fi +  + fp sauf éventuellement aux points xt-.
Comme la valeur de l’intégrale ne dépend pas des valeurs de f en ces points,
on obtient l’inégalité souhaitée pour f par linéarité, puisque d’après le point
précédent elle est vérifiée pour les f.
Prenons enfin f décroissante et continue par morceaux quelconque. Comme
la fonction t 1—> taf(t) est intégrable, f tend vers 0 en +00 (sinon elle aurait
une limite € > Oett“/(t) ~ ne serait pas intégrable). Il est aisé de construire
1.35' FORMULE DE STIRLING
59
une suite (fn) de fonctions en escalier décroissantes vérifiant 0 < fn < f qui
converge simplement vers f sur R+. On a pour tout n,
/ fn(t)dt < L .	/ /n(u)wadw.
Jx	+ Jo
Le théorème de convergence dominée permet de passer à la limite et d’obtenir
le résultat pour f. <i
3
La preuve la plus élémentaire de l’équivalent de Stirling repose sur un
n
développement asymptotique de In n ! = y, In k en utilisant les théorème de
k=l
sommation des relations de comparaison pour les séries numériques. Dans ce
cas, la constante V2jt de l’équivalent est habituellement obtenue à l’aide des
intégrales de Wallis. Dans l’énoncé suivant on utilise l’expression intégrale
de n! comme F(n + 1) et le théorème de convergence dominée pour retrouver
l’équivalent. La constante V2Ït provient alors de l’intégrale de Gauss.
1.35.	Formule de Stirling
f+OO
1.	Montrer que / e~ftndt - ni.
J 0
2.	Montrer que 4= f	(1 + ^) e-îdt = -4= (f)" n!.
ynj-n. \ n)	yjn 'n'
1 r+0° / t \n _
3.	Montrer que lim —— /	11 + - ) e * dt = 0 et que
n~>+°°	Jn	\ n )
4.	Retrouver ainsi la formule de Stirling.
> Solution.
r+oo
1.	Pour tout n e N, posons I„ = / e~'t”dt. On a Iq = 1 et en intégrant
Jo
par parties, on obtient I„+i = (n+l)I„. On en déduit que In = n!, pour tout n e N.
Plus rapidement, on peut dire que I„ = T(n + 1) où T est la fonction d’Euler
(voir l’exercice 1.45 et les suivants).
2.	Pour tout n e N, posons Jn = -^=j
changement de variable h = n +1, on obtient
e 'dt. En faisant le
6o
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
3.	Pour tout n e N, posons K„ =	(^+«) e~
changement de variable u = on obtient
f* +oo	p 4-00
K„ = v/n J (1 + u)n e~nudu = yfn J ((1 + u)e~l')n dw.
La fonction cp : u i—> (1 + u)e~u est intégrable et décroissante sur R+- De plus,
n
on a cp (1) = ~ On en déduit, pour w > 1,
m""1
<p(w)'1	- cp(w).
\e/
On en déduit que, pour n e N’,
D’où l’on conclut que :
lim /	(14-—) e fdt = 0.
n^+oo Jn \ n )
Enfin, pour tout n e N, posons Ln = -1= [ (1 + n) e <dt- Le changement
yn J-n \ ri /
de variable u = donne L„ = y/n J (1 + u)n e~nudu. Pour éliminer le terme
dépendant de n devant l’intégrale, on fait le changement de variable v = uy/n et
on obtient
I v \n r
Ln =	114-—=] e~v^dv.
J-yfr \ ynj
Considérons, pour n e N*, la fonction fn définie par
La fonction fn est continue par morceaux, intégrable sur R et L„ = / fn. Pour v
JR
r ,	7 r / \	nln|l + -p=	J .	1
fixe et n > v , on a fn(v) = e v v« /	. Quand n tend vers +oo, on a
On en déduit que, pour tout v é R, on a lim /„(y) = e~^. La suite de
n—>+oo
fonction (/n)neN* converge simplement vers la fonction v i—> e 2 . On aimerait
1-35- FORMULE DE STIRLING
61
f _£
conclure que lim Ln = / e 2 du. H suffit pour cela de vérifier la condition
A
de domination. Un étude de fonction ou la formule de Taylor avec reste intégral
montre que, pour tout x > -1, on a
x2 x3
ln(l + x) <x- — + y
On en déduit que, pour tout v e R et n > v2, on a
(\	2	3
v X	v	v vD
---'r- I ~ t- + -----r- ’
y/n )	y/n	2n 3ny/n
et donc
C\	2	3	2	2	2
, V \	[— Vx V3 U V V
1 + — - vyn - + —— =5	+ — C ——,
y/n)	2 3i/«	23	6
_„2
car v < y/n. On en déduit que, pour tout v e Retn e N*, onaO < fn(v) < e t.
_„2
La fonction v 1—> e étant intégrable sur R, le théorème de convergence
dominée permet de conclure que
I" -<*
lim L„ = / e T du.
n->+0° Jr
Cette limite est égale à V2ÏÏ (voir l’exercice 1.40). On a donc
lim L„ = V2Ïr.
n—>+00
4. Des questions précédentes, on déduit
1 / e \	/—
lim —— l-| n! = lim I„ = lim Kn + lim L„ = ylit.
n-^>+<x> -y/yi xnJ	n—>+co	n—>+oo	n—>+oo
H en résulte la formule de Stirling : n! ~ V2rcn (§)" .
n—>+00	e
Le résultat de Vexercice peut se généraliser. On montre que, pour x > 0,
on a
T(x + 1) = £ e~‘tx dt = e~xxx p™ e~“ (1 + dt,
4	/»+0O	x	,
puisque lim J e~lt (1 + dt = La démonstration est identique
à celle de l'énoncé. On en déduit que T(x +1) ~ e~xxxy/2Ï/x.
x—>+oo
L’exercice suivant, plus théorique, repose encore sur le théorème de
convergence dominée.
Ô2
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
1.36.	Sur la convergence dans L1
Soit I un intervalle de R. On note L1 l’espace des fonctions continues
par morceaux intégrables sur L Soit (/„) une suite de L1 qui converge
simplement sur I vers une fonction f e L1.
1.	On suppose fn > 0 pour tout n e N. Montrer que
f \fn~f\ -------->0<=> f fn ---------> f f.
Jl	n—>+oo	n—>+oo Jj
2.	Donner un contre-exemple à 1 dans le cas où on ne suppose pas les
fonctions fn positives.
3.	Montrer que
[ \fn-f\--------->0^ f |/„|----------> f \f\.
J]	n—>+oo	n—>+oo
▻ Solution.
1.	Une implication est évidente. En effet on a pour tout n,

\fn~f\
donc si [ \fn - f\---------> 0 alors f fn------> f f.
J}	n—>+<x>	J[	n—>+oo J]
Réciproquement, si J fn —> J f et si la suite (/n). est à termes positifs, on
note que l’on a également/ > 0 et on pose g, t = \fn -/|+/-/„. Par hypothèse
la suite (gn) converge simplement vers 0. On note que gn = 2max(0, / - /„).
Comme /„ est positive pour tout n, on a 0 «S gn < 2/. D’après le
théorème de convergence dominée, on en déduit que / gn-----------------> 0. Or,
J}	n—>4-00
on a J gn = £ \fn~f\ + f f- f fn et f f~ f fn converge vers 0. On
en déduit que J \fn - g| —> 0.
2.	Prenons I = BU. On va construire une suite de fonctions (/„) intégrables
sur R+, convergeant simplement vers 0 et telle que / fn-----------> 0 et / |/„|
JR+	n—>+oo
ne tende pas vers 0.
Pour n eN*etx > n, on pose /n(x) = y On obtient
/	/„(x)dx = n(----arctann) = narctan - -----------> 1.
/„	\2	/	\n n->+oo
l.y]. INTERVERSION SÉRIE-INTÉGRALE
63
rn
Sur [0, n[ on prend fn affine et telle que / fn(x)àx = -1; pour cela il suffit
Jo
Q	r
de prendre /„(0) = -^ et lim/„ = 0. Pour tout n G N*, fn est continue par
n n~
n
morceaux sur R+, intégrable sur R+, car fn (x) ~ — Pour x g R+ et n > x,
X-»+M X2,
on a
2	2
fn(x) = -^X------
n1	n
On en déduit que (/„) converge simplement vers 0. Enfin, par construction, on
a [ fn-------» 0 et f \fn |---> 2.
3.	Supposant que / \fn - f\---> 0, on obtient
«/]	n—»+oo
l/nl - y l/l <	|l/„l - l/l| « \fn ~ f\ 0
et donc [ \fn\---f |/|.
Jl	n—>4-oo Ji
Réciproquement, si / |/n|------>./ |/|, on a, d’après la question 1,
Jl n->+c» Jl
puisque (|/„|) converge vers |/|,
On pose hn = |/„-/| -||/n| - l/l|- Par hypothèse la suite (7tn) converge vers 0.
On vérifie que, pour tout (x, y) e R2, on a
0 C|x - y| - ||x| - |y|| « (|x| + |y|) - (|x| - |y|) < 2|y|.
On a donc
0 < hn 2|/|.
Du théorème de convergence dominée on déduit que / hn---------> 0. Or
Jl	n—>4-oo
on ahn ~fy\fn~ f\~^|l/„|-|/||et0.
On en déduit que / \fn - f\----> 0. <
Jl	n—>+oo
Le petit exercice qui suit illustre le théorème d’intégration terme à terme
d’une série de fonctions.
1.37. Interversion série-intégrale
Étudier la convergence et calculer
64
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
▻ Solution.
La fonction f : t e ] 0,1 ] i—>
est continue et on a f(t) ~ Int.
1 +12	J r^o
D’après le théorème de comparaison f est intégrable sur ]0,1]. En développant
la fonction 11—>
1
1 + t2
en série entière sur [0,1 [, on a :
/»	/•	+00
!= / f=
"jo.ll *']0»l[ n=0
Admettons que l’on puisse intervertir intégration et sommation. Il vient :
+OO	/•
I =	(lnt)t2"dt.
n=0	']0,l[
Pour x e ] 0,1] on trouve, en intégrant par parties,
Jx	[ 2n +1 x Jx t 2n + l
i	+°° (_n«+i
ce qui tend vers --—ilorsque x —> 0. On a donc I = y, -r— Justi-
(2n + 1)	n=0 (2n + 1)
+00	/. 1
fions enfin l’interversion de la série et de l’intégrale : lasérie y / | (In t)t2n|dt
n=0^°
est la série de terme général	qui converge. D’après le théorème
d’intégration terme à terme la permutation est licite.
On peut conclure que I = - y —-—= -C où C = y	est la
F	4	^o(2"+1)2	£o(2«+1)2
constante de Catalan ; à 10-7 près elle vaut 0.9159655. <1
Nous abordons maintenant le thème très riche des intégrales à paramètre,
c’est-à dire de fonction de la forme F : x 1—> J" f(x, t)dt. Dans le cas où on
ne connaît pas de primitive de l’intégrande, le calcul de F(x) passe souvent
par l’utilisation du théorème de dérivation et l’établissement d’une équation
différentielle vérifiée par F. Les deux exercices suivants conduisent au calcul
de l’intégrale classique de Dirichlet en utilisant la transformation de Laplace.
1.38. Calcul de l’intégrale de Dirichlet (1)
/•+00	*
OnposeF(x)= J e~xt^Y^-dt.
1.	Montrer que F(0) existe et que F est de classe C1 sur R*.
2.	Quelle est la limite de F en +00 ? En déduire F sur R*.
1.38. ' CALCUL DE l’intégrale DE DJRICHLET (1)
65
3.	Montrer que F est continue en 0. En déduire la valeur de l’intégrale
/•4-0O
deDirichlet y ^dr.
▻ Solution.
1.	On note f : (x, t) e R+ x R* i—> g-^rsint. pOur tout x > 0 la
fonction f(x,.) est intégrable sur R+ puisqu’elle se prolonge par continuité
en 0 par f(x, 0) = 1 et que pour t tendant vers +oo, f(x, t) = O (-5 j • Montrons
que F est aussi définie en 0. On intègre par parties ; pour X > 1 on a
fx sint r-costix fx cost
/	—df-
Or, la fonction t 1—>	est intégrable sur [1, +00[ puisque c’est un O
en +00. L’intégrale entre 1 et X admet donc une limite quand X tend vers +00 :
sin t
----dt - cos 1 —
t
cost ,
En particulier F est définie en 0.
La fonction t 1—> sip_t. n-est pas intégrable sur R+. En effet, si tel était le cas,
comme sin2 < ,| lafonctiont 1—5UL_t serait intégrable sur [l,+oo[. Or ce n'est
pas le cas. En effet, pour X > 1, on à
xsin2t^ rx 1 - cos2t^ _ InX fXcoslt
t ‘jl 2t 2 h t
Or, / dt vaut ./ ^f^du par le changement de variable u = 2t. Par une
r+oo
intégration par parties, on montre que /	c0^ u du converge si bien que
Ita, f
X->+00 Jj
sin21
------dt = +00.
t
Ainsi / ^p-dt converge sans que t 1—> SÎILÉ. Soit intégrable.
Montrons que F est C1 sur R*. La fonction f est de classe C°° sur (R£)2
et on a ^(x, t) = -e~xt sint pour tout (x, t) 6 (R*)2- Soit a > 0. Pour tout
x > a on a :

Vt > 0,
= e sin t| e~at.
66
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GENERALISEES
Comme t i—> e at est intégrable sur R+, cette domination nous assure que F
est C1 sur ]a, +oo[ et finalement sur R*. De plus, on a
= Im
«'	e xt sin tdt = - Im I / e
0	\Jo
/ 1
1
। r2
2.	D’après la question précédente il existe C e R. tel que pour tout x > 0,
on ait F(x) = C - arctanx. Comme |F(x)| < / e~xtdt - 7-------> 0, on en
déduit C = Ainsi, pour tout x > 0,onaF(x) = j - arctanx.
3.	Pour montrer que F(0) = ^, il suffit donc de vérifier que F est continue
en 0. Comme la fonction t 1—» ^p-^ n’est pas intégrable, l’emploi direct du
théorème de convergence dominée est voué à l’échec. Nous allons au préalable
effectuer une intégration par parties. Comme il y a deux impropretés, nous
allons scinder le problème en posant
_ , . f1 sint ,	. .	r+0° _rfsint
Fi(x)= / e ’-------dt et F2(x) = / e *------dt.
Jo f	Ji 1
La fonction Fi est continue sur R+ car on a la domination |/(x, t)| < e xt < 1
et la fonction constante 1 est bien intégrable sur ]0,1] . Vérifions la continuité
/+OO	— (jç —
de F2 qui est la partie imaginaire de G(x) = /	-—j-----dt (il sera plus facile
de faire l’intégration par parties sur G) : pour X > 1, on a
1

Comme |-g ^2 * | < p-, la fonction 11—> —^2	est intégrable et
G(x) = -
e v
~P
dt.
-(x-i)r
y*+OO __0^
Or la fonction x 1—> J -——dt est continue car (x, t) 1—» e ’ est
continue sur R+ x [l,+oo[ et on dispose de la domination par une fonction
intégrable |—“2“““|	en déduit que G est continue sur R+, donc F2
et F le sont aussi. On peut conclure que F(0) = J ^p-Mt = y <3
Une autre solution pour la continuité de F en 0 consiste à intégrer par
parties en introduisant G : x 1—> J" ^jJ-dt. Comme G a une limite finie en +00
1-39- CALCUL DE L’INTÉGRALE DE DIRICHLET (2)
67
r+oo
on voit que pour toutx > 0 on a F(x) = x / e~xtG(t)dt. En quantifiant on
J 0
montre alors que F(x) tend vers lim G = F(0) lorsque x —» 0+.
+00
L’exercice suivant donne une autre méthode pour le calcul de cette même
intégrale, toujours à l’aide d’une transformée de Laplace.
1.39.	Calcul de l’intégrale de Dirichlet (2)
/•4-co —tX '
Soit cp(x) = J f+t2 °ù x > 0.
1.	Vérifier que cp est continue sur [0, +00 [ et C°° sur ] 0, +00 [. Calculer,
pour x > 0, cp(x) + cp"(x) puis lim cp(x).
X—>4-00
2.	Montrer que pour tout x > 0, cp(x) = J" s’n^ dt.
/*4-oo	- X	,
3.	En déduire que y 5y-ydt=^-
▻ Solution.
1. Posons pour (x, t) e R2,	. C’est une fonction C°°. Pour
toutx > 0, |/(x, t)| < i + t2’ Comme t 1—> —$ est intégrable sur R+, le
théorème de continuité des intégrales à paramètre permet de dire que cp est
définie et continue sur R+.
afc f	(_-\\kfkp-tx
On a pour tout (x, f) g et tout k > 0,	(x, t) = -—-----------
Fixons a > 0. Si x > a, on a
df
dx
e tat
1 +12 “ °
en +oo.
Cette domination par une fonction intégrable assure que cp est de classe C1 sur
]a, +°o[ pour tout a > 0, et donc sur ]0, +oo[, et que cp'(x) = - J" dt
pour tout x > 0. Comme on a pour tout k e N et tout x > a,
dkf
dxk
e~tatk
1+t2 ~°
en +oo,
on montre de même que cp est de classe C” sur ] 0, +oo [. On obtient, pour x > 0,

r+°°	i
/ e-'*dr = ~
o	x
Enfin comme
e tx dt = 7 pour tout x > 0 on a lim cp = 0.
A	4-oq
68
CHAPITRE 1. INTÉGRALES. GÉNÉRALISÉES
/* "ho© sin Cï_je}
2. Fixons x > 0 et montrons l’existence de \p'(x) = /	——-dt.
Soit X > x. On a
Cx sin(t - x} ,	/"x sint cosx, fx cost sinx,
/ —--------dt = / ---------------dt - / -----------dt
Jx t Jo t Jx t
fx sint ,	. fx cost ,
= cosx / -------dt-smx / ----------dt
Jx t	Jx t
Les deux intégrales ont une limite en +oo car J	y-dF converge. Pour le
prouver on intègre par parties. Pour X J* x, on a
i	:plX
On a |	1 C —-------» 0. Donc le crochet admet comme limite lorsque X
tend vers +oo. D’autre part, pour t > 0, |^y| < p- donc 11—> est intégrable
sur [x, +oo [ par le théorème de comparaison. La convergence est prouvée et on
a donc
sin(t-x)J	/’+00sint,	f+°° cost
	dt = cosx /		dt-sinx /	-dt
t--------------------------------------------Jx t-Jx t
ce qui montre que la fonction y est C“ sur R*, puisque 11—>	et 11—> ^y-^
le sont sur [x, +oo [. On a en particulier
.	sinx f+0° sint ,	. cosx f+°° cost ,
u/(x) = -cosx--------sinx /	-----dt + srnx-----cosx /	----dt
x Jx t	x Jx t
f+°° sint	f+°° cost ,
= -sinx /	---dt-cosx /	--dt,
Jx t	Jx t
,,, .	f*” sint, sin2x .	f+°° cost , cos2x
ip (x) = -cosx /	---dt+-------smx /	---dt +-----
Jx t x Jx f x
1
= - - vW-
x
Par conséquent y, tout comme <p, est une solution sur R* de l’équation
différentielle linéaire d’ordre 2 : .y" + y = y Les deux fonctions diffèrent
donc d’une solution de l’équation homogène associée et il existe donc A e R
et 0 e R tels que pour tout x > 0,
<p(x) = Acos(x - 0) + tp(x).
/•4-co	.	/*+oo
Comme / ^ydtet / Sy-^dt tendent vers 0 quand x tend vers +oo, il en
de même de ip(x) = cosx / ^ydt - sinx /	^y-^dt. Comme <p(x) tend
1.40. INTÉGRALE DE GAUSS
69
aussi vers 0 en +00, c’est également le cas de Acos(x - 9). Mais nous savons
que A cos(x - 9) n’a une limite lorsque x tend vers +00 que si A = 9. Ainsi A
est nul et pour tout x > 9,
<PW =
sin(t-x)
---------dt,
t
r
3. Nous avons cp(O) = /
Jo
continue sur R+ on a
7t
— = cp(9) = limcp = lim \p
p+oo
et il suffit de prouver que lim \p = J y^dt. D’après la question précédente,
on a pour x > 9,
^-2 = [arctant]g“ = y Comme cp est
sint	f+“ cost
----dt - smx /	---dt.
t	Jx t
r+oo .	p+oo
Le premier terme cos x /	^y-^- dt tend vers /	^y-^ dt quand x tend vers 9.
Montrons que
f- cost
smx /	-----dt----> 9.
A t *-0
On a, pourx e ]9,1],
cost ,
sinx /	----dt
Jx t
1
cos t
----dt + sinx
t
dt
cost ,
-----dt
t
C’est ce qu’on voulait. On peut conclure que J dz = ^- <1
Une autre intégrale célèbre, qui intervient très souvent, est l’intégrale
de Gauss / e~*2dx. Elle vaut y/tt. L’exercice suivant en offre une preuve
particulièrement courte.
1.40. Intégrale de Gauss
/•l _-X2(l+t2)
On pose / (x) = J+f2 dt.
1. Montrer que f est de classe C1 2 sur R..
rx	2	r 2
2. Relier f' à F : x 1—> J e-f dt et en déduire J e-f dt.
70
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
▻ Solution.
1. La fonction cp : (x,t) e Rx [0,1] i—> e- — est de classe C1.
La fonction <p(x,.) est intégrable sur [0,1] pour tout x et pour tout (x, t) g
R X [0,1], on a
ox
Or pour tout segment I de R, la fonction continue (x, t) i—>	est bornée sur
le compact 1X [0,1]. Les constantes étant intégrables sur [0,1 ], le théorème de
dérivation assure que f est de classe C1 sur I, et donc sur R, la dérivabilité et
la continuité étant des propriétés locales. De plus, on a pour tout x,
/'(x) = -2x f e-jc2(1+,2)dt = -2xe~x' /* e~x2,2dt = -2e~x2 f e~u2du,
Jo	Jo	Jo
grâce au changement de variable w = xt.
2. On a donc pour tout x g R, /'(x) = -2F'(x)F(x). Comme f et F sont
de classe C1, il vient
/(a) - /(0) = - T 2F'F = F(0)2 - F(x)2 = -F(x)2.
Jo
Comme F est positive, on a F(x) = y/f(0) - f(x). Or,
/(o)=r =arc,"<i)=î
2
et lim/ = 0 car 0 C /(x) < ex . On obtient donc lim F(x) =
+oo	x—»4-oo
autrement dit
1.41. Calcul d’une intégrale à paramètre (1)
Soit a et b dans R*. Calculer

▻ Solution.
La fonction / : t i—> e~a2t2-b2t 2 est contjnue sur r* et Se prolonge par
continuité en 0 en posant /(O) = 0. Comme 0 < /(t) < e_“2f2 = o le
théorème de comparaison nous assure de l’intégrabilité de / sur R*.
1.41. CALCUL D’UNE INTÉGRALE À PARAMÈTRE (1)
71
Le changement de variable x = at est donc licite et donne
e-c2f2-b2f’2dt =
-x2-a2b2x 2j
É a ° x
/*+°°	2i-2
Posons pour X > 0,I(X) = / e~x ~xx dx. La fonction I est continue sur R+
Jo
car F : (X,x) g R+ X R* i—> e~x ~Kx est continue et on a la domination
suivante :
VX > 0, Vx > 0, 0 < e~x2-Kx~2 < e~x2,
avec x i—> e x intégrable sur R^.
La méthode classique consiste alors à trouver une équation différentielle
vérifiée par L La fonction F est C1 sur l’ouvert R* x R* et
<9F„	,	e-x2-\x-2
=------
L’inégalité |(X,x)| < ne constituerait pas une domination intéressante
puisque la fonction qui majore n’est pas intégrable sur ]0,1]. Prenons Xq > 0.
Pour tout X > Xq, on a alors
Vx > 0,
f^(X.x)
p-X2-XqX 2
-----2— = q>W-
Cette fois-ci, cp est bien intégrable car elle se prolonge par continuité en 0 et en
+oo elle est négligeable devant X- Le théorème de dérivation nous assure donc
x
que I est dérivable sur [Xq, +oo[ et finalement sur tout R*, la dérivabilité étant
une propriété locale et
I'(X)
e-x2-Xx-2
Le dénominateur X fait penser au changement de variable y = 7 qui est un C1
x	x
difféomorphisme de R* (ce qui le rend licite) et qui transforme R* en lui-même :
en posant z = VXy. On en déduit l’existence d’une constante K telle que
pour tout X > 0, I(X) = Ke-2AX Par continuité, 1(0) = K et comme
y e-*2dx = (voir l’exercice 1.40), on obtient I(X) =	et
f+a° e-a2t2-b2,~2dt = ^e~2ab.<
'0	2a
72
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
1.42.	Calcul d’une intégrale à paramètre (2)
Pour 0 e ]-jt, 7t[ etx g R+, on pose f(x, 0) =	-------
J 1	F J v ' x2 + 2xcos0+ 1
/’+oo
1.	Calculer /	/(x, 0) dx.
2.	Montrer que f est de classe C2 et que, pour (x, 0) e R+ x ]-%, tt[,
0) = f(x’ 0) + 3x^-(x’ 0)	0)-
3.	Montrer que, pour a e ] -1,1[ l’intégrale / xaf(x, 0) dx est
bien définie, et la calculer.
▻ Solution.
1.	Pour© g ]—it, Jt[etx > 0,onax2+2xcos0+1 = (x+cos 0)2+sin2 0 > 0
car sin 0 ne s’annule que pour 0 = 0 et alors (x + cos 0)2 = (x + l)2 > 0. La
fonction f est donc définie et continue sur R+ x ]—z, k[. De plus, quand x
tend vers ±oo, on a /(x, 0) = O donc l’intégrale 1(0) = f(x, 0) dx
converge.	x	0
Il est clair que I est impaire. Pour 0 g ]0, jt[, on fait le changement de
variable x = t sin 0. On obtient
/» +oo	i	/» 4-00 i
1(0) = /	--------------=---dt = /	—-----dt = [arctantV™ R
Jû (* + COtan 9)2 + 1 Jcotan0 t2 + 1	0
K
— - arctan
2
0.
Par imparité cette formule est valable pour 0 g ]-k, k[.
2.	La fonction f est de classe C2 car'c’est un quotient de fonctions de
classe C2. Pour simplifier les calculs, on pose D = x2 + 2xcos 0 +1. On obtient,
pour tout (x, 0) e 0 e ]-x, tr[xR.+,
df , cos 0 2x sin2 0
à5fce) = -i5- + -i?-
d2f, sin0 6x sin 0 cos 0 8x2 sin3 0
S) =—+—55--+ —gs—
df	2sin0(x + cos0)
ô7(x’9) =--------
df2 ,	2sin0 8 sin 0(x + cos 0)2
e,Àfc9) = -5^ +------T?-----L
En écrivant (x + cos 0)2 = D - sin2 0, on obtient ^4- (x, 0) = 6si?0 - 8 sin?—
v '	d2x	D2 D3
1.42. CALCUL D.’UNE INTÉGRALE À PARAMÈTRE (2)
73
et la quantité f(x, 0) + 3x4^ (x, 0) + x2 (x, 0) vaut donc
OX	OX^
sin 0	6 sin 0 (x2 + x cos 0) 6x2 sin 0	8x2 sin3 0
~D	D2 + D2 D2
_ sin 0 6x sin 0 cos 0	8x2 sin3 0 d2f
--D	’ D2	D5 =-502(X’ }
On obtient l’équation aux dérivées partielles demandée.
3.	On suppose 0^0, l’intégrale étant clairement nulle sinon. Pour
tout a e ]—1,1[, la fonction x i—> xaf(x, 0) est continue sur R£; en 0, on
ax“/(x, 0) ~ avec -a < 1 et en +oo, xaf{x, 0) ~ avec 2 - a > 1.
x	x£
r+oo
Donc / xaf(x, 0)dx converge. Pour la calculer, on fixe a et on pose, pour
Jo
tout 0 6 ]-Jt, Jt[,
/•+OO
Fa(0)= /	x°/(x, 9)dx.
Jo
Montrons que Fa est de classe C2.
On pose fa{x, 0) = xaf(x, 0). Pour tout x > 0, la fonction 0 fa(x, 0)
est de classe C2. Pour 0 e ]-n, jt[, les fonction fa et sont intégrables sur
]0,+oo[. En effet ^(x,0) = x“^(x,0) =	E1]e est
intégrale sur R}, pour les mêmes raisons que fa. Enfin,
d2fa , a ô2fa Qx x° sin 9 6xa+1 sin 0 cos 0 8x2+a sin3 0
50^(X’9) =X 50^(*’0) = D“ +---------------------D2-------+-------D3------
ô2 f
La fonction est continue sur Cherchons une relation de domination.
Pour cela, fixons 0q g [0, k[. Pour 0 e ]- 0q, 0q[, on a cos0 > cos0 et
donc D > x2 + 2x cos 0q + 1 > 0. On en déduit
d2fg
dQ2
6xa+1
8x2+o
:2 + 2xcos0o + l (x2 + 2xcos0q +l)2 (x2+ 2xcos0q + l)3
On démontre facilement que cette fonction majorante est intégrable : les
arguments sont les mêmes que pour fa.
Le théorème de dérivation des intégrale à paramètre s’applique. La
fonction Fa est classe C2 sur ] - 0q, 0q[ pour tout 0q e [0, it[, donc de classe
C2 sur ] - te, ji [ et
V0E]-M[, F"(9)= jf+°°xa^(x,0)dx.
En utilisant la relation démontrée dans la question précédente, on obtient
f +°° /	r)2 f \
F"(9) = - / xaf(x,6) + 3xa+1/(x,0)+x2+û-4(x,0) dx.
74
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
o2 f
Les fonctions x i—> xa+1 f(x, 0) et x t-> x2+û (x, 0) ont pour limite 0 en 0 et
en +oo. On obtient donc, en intégrant par parties,
z»+co	n /•	/»+00
'o X"+1 dx^X,Q^ = [^+1/^0)]r-(a + i) Jo xaf(x,&)àx
=o
= -(a+l)Fa(0),
puis, de même,
p+oo a2r	p+oo or
/ x2+û-4(x,0)dx = -(a+2) /	xû+1^(x,0)dx = (a+2)(«4-l)Fa(0).
'o dx2,	Jo ^0
On obtient finalement
F"(0) = - (Ffl(0) - 3(a + 1)FO(0) 4- (a + 2)(a 4- l)Fa(0)) = -a2Fa(0).
La fonction Fa est solution de l’équation différentielle y" = -a2y. H existe
donc (A, B) e R2 tel que Fa(0) = A sin(a0) 4- B cos(a0).
On a Fa(0) = 0 donc B = 0. Reste à calculer A dont il faut noter qu’il
dépend de a. Pour cela, nous allons calculer la limite de Fa(0) quand 0 tend
vers n. Nous supposons pour commencer que a e [0,1 [. Soit 0 e ]0, jt[. On a,
par le changement de variable t = x + C°AS 0,
f+“ sin0xa , C+m sin2 0 (t sin 0 - cos 0)a
/	---------------— dx = /	-------------------—dt
'o (x 4-COS 0)2 4-sin2 0 JcotanB sin20(t24-l)
f+" (t sin 0 - cos 0)“ j
/	------?—i------dï-
cotan 0	t 4- 1
On considère la fonction définie sur R x ]0, it[ par
t (tsinfl -cos9)a
G(t, 0) = < t2 4-1
(o
si x > cotan 0
sinon.
Comme lim cotan 0 = -oo, on a lim G(t, 0) = —Ut pour tout t g R. D’autre
0—0—1 +t
part, on a, pour toutx e R, |F(x, 0)| ç	. La fonction 11->	est
intégrable sur R. Le théorème de convergence dominée permet de conclure que
lim Fa(0) = f i = 7t. On en déduit A sin(att) = tt et Ffl (0) =	•
Pour conclure dans le cas a < 0 il suffit de remarquer que F_a = Fa. En
effet, en faisant le changement de variable t = on a
f+°° sin0x~a _ _ r+°° sin0ta t2 /_dt\
Jo X2 4- 2x COS 0 4-1 Jo 1 4- 2t COS 0 4-12 \ t2 /
= F„(0).
1.43- calcul d’une intégrale à paramètre (3)
75
On a donc, pour (0, a) e ]-jü,	1[,
f sm0x“	nsin(a0)
/ —----------------dx =  ——
'0 x2 + 2x cos 0 + 1	sin (an)
L'exemple suivant est plus compliqué, car on ne peut pas appliquer
directement le théorème de dérivation.
1.43.	Calcul d’une intégrale à paramètre (3)
Montrer que pour tout réel x on a
cos(xt)
1 +t2
df = ne
▻ Solution.
Posons /(x) = y	dt La fonction f est bien définie sur R et
continue par le théorème de continuité d’une intégrale à paramètre (on a
domination par la fonction intégrable cp : r i—»	2 ) '
r+°° At
On a /(O) = / at 3 = n et f est paire. Il suffit donc de calculer /(x)
pour x > 0. On a envie de dériver f sous le signe intégral mais la dérivée
partielle? h»	n’est pas intégrable sur R donc le théorème ne s’applique
pas directement. On commence donc par intégrer par parties pour renforcer la
convergence. On a pour x > 0,
/w = - [
x Jn
fsin(xt)
Le théorème de dérivation s’applique bien à cette nouvelle intégrale car la
?2 costxfl
fonction dérivée partielle t	peut être dominée par la fonction
t2
toutx > 0,
qui est intégrable sur R. En dérivant x/(x) on a donc pour
f r2cos(x?) ,
L (1 + ?2)2
On en déduit que
r t2 -1
(,7ÏT^cosU"d'-
76
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
1 _ f2	t
On peut ici noter que t > —1—est la dérivée de t n-» —et en intégrant
(1 + t2)2	1 + r
par parties on trouve que
. f tsin(xt) ,
l’intégrale étant semi-convergente. Autrement dit, c’est comme si on avait pu
dériver l’expression originale sous le signe intégral !
Il ne semble pas évident de relier f' àf. Compte tenu du résultat attendu on
devrait avoir f'(x) = -f(x) pour toutx > 0. En fait, f n’est pas dérivable en 0
et sur Rt on doit avoir f’ = f et pas f' = - f. Si on avait une preuve de l’égalité
avec les intégrales le signe de x devrait intervenir quelque part. En revanche on
a la relation f" = f sur R* tout entier. On va donc calculer la dérivée seconde.
Ici à nouveau on ne peut pas appliquer le théorème directement et il faut
intégrer par parties l’expression de x/'(x). Si on le fait et qu’on revient en
arrière on trouve bien que
f(x)+xf (x)= / -——-jsm(xt)dr
Jr (1 + t )
et on en tire que
f 2t
xf"(x) = / ——— sin(xr)dt = x/(x).
Jr (1+t2)2
Pour x non nul cela donne bien que f" (x) = /(x). Sur l’intervalle R^ on a donc
deux constantes A et B telles que :
Vx > 0, f(x')=Aex+Be~x.
Mais f est clairement bornée sur R et on a donc A = 0. Compte tenu de la
continuité de f et de sa valeur en 0, on a B = it. La formule est prouvée. <
1.44.	Intégrale de Fresnel
1.	Montrer que /" -f—dx = f et calculer sa valeur,
lu r + 1 Jr x + 1
On pose pour t e R+, F(t) = /	-—,-------dx.
Jo x +1
2.	Montrer que F est continue. Étudier la limite de F en +oo.
3.	Montrer que F est de classe C1 sur R^. Calculer F' (t) pour t > 0.
r +oo . 2
4.	Montrer que / elt dr converge et calculer sa valeur.
Jo
1.44- INTÉGRALE DE FRESNEL
77
▻ Solution.
1.	Les deux intégrales existent : on a des fractions rationnelles sans pôle
réel de degré -2 et -4 qui sont donc des O (-y) lorsque x —» ±oo. Notons
/»+oo	.	r+oo .
I = / J"  On a par parité 1 = 2/	. • On est en droit d’effectuer
J—oo X +1	JO 1 + X
sur cette intégrale le changement de variable y = j car il est de classe C1 et
strictement monotone :
Toujours par parité, on obtient J f* ^dx = j" • Passons au calcul de
l’intégrale. On a d’après ce qui précède et par parité
I= [ 4^. f
+1 A; x2 3 + -y A; (x - l)2 + 2
L’application q> : x i—> x - | réalise un C'-difféormorphisme de	sur R. On
en déduit que
r Cp'(x) r dt 1 [	( t \1+" z
Jr;<P(x)2 + 2 ht2+ 2 V2 \V2/J_œ y/2
On obtient finalement
2. On pose f(t,x) - -—g—— pourx, t 6 R+. Cette fonction est continue
sur R2. De plus, pour t e R+, on a
e-(x2+0'2	1	_	1	/ 1 \
x2 + i |x2 + i| a/x4 + 1 °U2/’
Cette domination par une fonction intégrable nous assure de la continuité de F.
D’autre part, pour x > 0, on a lim f(t,x) - 0. Le théorème de convergence
r—>oo
dominée permet d’écrire
/• +PO
lim F(r) = /	0 = 0.
Jo
3. Lafonction/estdeclasseCDOsur(R^.)2.SoitO < a < è.Pourt e ]a,b[,
on a
= \-2te~(xW| = 2te-x2'2 < 2be~a2x\

7«
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
Cette domination par une fonction intégrable nous assure que la fonction F est
de classe C1 sur ]a, b[ et finalement sur R^ puisqu’il s’agit là d’une propriété
locale. De plus, on a
P +oo	P +00
F'(t) = -2r / e~(x2+i)t2dx = -2te~it2 / e^dx.
Jo	Jo
Comme y - xt est un changement de variable de classe C1, strictement
monotone, on peut l’appliquer dans la dernière intégrale pour se ramener à
celle de la gaussienne (voir exercice 1.40) :
F'(f) = -2te~it2 P” e~y2— = -^e~it2.
Jo f
p+oo
4. Comme F admet des limites finies en 0+ et +oo, / F' converge. Plus
Jo
précisément,
C+°° .	r+°° dx
/ F = limF - limF = - /	-----
Jo +“	0 Jo x +i
Jç+oo	1	1 P+OO
e““’dt = -U /	,	, ce qui donne
0	v’t Jo x* + i
y/n Jo x4 + 1	2V2
En passant au conjugué, il vient
Jo	2>/2v	1
Z+«>
COS AT dx
-oo
sinx2 dx.
Nous avons regroupé ici plusieurs exercices sur la célèbre fonction T
d’Euler. Rappelons qu’elle est définie sur ]0, +oo[ par F(x) = / e~ltx~l dt
et qu’elle vérifie l'équation fonctionnelle F(x+ 1) = xF(x) (conséquence d’une
intégration par parties). On a en particulier, T(n + 1) = n! pour tout n e N. La
régularité de la fonction T sera examinée dans l’exercice 1.46.
1.45. Formule de Gauss et formule de duplication
1.	Soit t > 0. Montrer que ft : s e ]z, +oo[i->	| j est croissante.
2.	Montrer que pour tout x > 0, T (x) = lim , -Jf w!,	•
n—»+oo X^X + Ij ... + n)
3.	Montrer que pour tout x > 0, F(2x) = -^22x-1r(x)r(x + jj.
1-45- FORMULE DE GAUSS et formule de duplication
79
> Solution.
1.	La fonction ft a même sens de variations que gt = In °ft. Pour s > t,
on a
(t \ t	fi
“ S"W = -^2<0-
La fonction g't décroît et a pour limite 0 en +oo. Elle est positive. La fonction gt
croît ainsi que ft.
2.	Soit x > 0. Pour n e N*, on pose In(x) = tx~} (1 - dt. On a
r+oo
donc In(x) = / fn(t) dr, où /n(t) =
Jo
1 (1 - rc) si r < n
0	si r > n.
La fonction fn est continue par morceaux et intégrable sur R+. Soit t e R+-
Pour n > t, on a fn(t) = tx~l (1 - £) , donc lim f„(r) = tx~1e~t. La
fonction t i-» tx~ie~t est intégrable sur R+ d’intégrale F(x). D’autre part,
d’après la question 1, si t > 0, la fonction s i-> t*-1 (1 - croît sur ]t, +oo[,
donc la suite (fn (t)) croît. Elle est donc majorée par sa limite, ce qui nous donne
une domination. Le théorème de convergence dominée permet de conclure
que lim I„(x) = T(x).
n—>+oo
Il ne reste plus qu’à démontrer que In(x) = i) .^(x + rîj* Pour
tout n e N*. Un changement de variable affine donne
In(x) = nx f (1 - u)nux ^u.
Jo
En intégrant par parties, on obtient
L.x = - [(1	^Uxdu =
X .	X Jo	X
=0
puis, en itérant
n(n - 1) • • • 1	ni
x(x + 1)    (x + n - 1) 0,JC+"	^(x + 1) ... (x + n)
Cela nous donne le résultat voulu.
8o
CHAPITRE'!. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES.
3.	D’après la question 2, on a F(x)F(x + |j = lim I„(jc)I„ (x + et
T , „ ( .	(n!)V+î
I„(x)In X + - I = -----------------;------r—,---;--------------T
\	2/ x(x + 1)  • • (x + ri) (x + (x +	•• • (x +	1 j
(«!)2n2x+ï22n+2
2x(2x + 2) • • • (2x + 2n)(2x + l)(2x + 3) • • • (2x + 2n + 1)
(n!)2n2x+5 22"+2
2x(2x + 1) • • • (2x + 2ri)(2x + 2n + 1)
Il semble naturel de comparer cette expression à
T <2 1=	(2n + l)2*(2n + 1)!
2n+1 X 2x(2x + 1) • • • (2x + 2n)(2x +2n + 1)
On a
T z.AT !.. , n (n!)222n+1 / n
In(jc)I»|x+	. /- I -	_
\	2/	(2n)!yn \2n + 2
D’après la formule de Stirling, on a
2jtn(g)2n22n+2
vwj^|2n
En faisant tendre n vers +00 dans (*), on obtient
2x+l
I2/1+1 (2x).
(n!)222n+2
rwr(x+1) = 4Vï^r(2x> =
ce qui est la relation voulue. <1
1.46. Convexité logarithmique de T
Soit x > 0. Montrer que pour y e ]0,1 [ on a ^p^^ < xy et 9ue
. .. r(x + y) . v
pour y > 1 on a -	
> Solution.
Si on prend le logarithme de la première inégalité à démontrer (c’est-à-dire
le cas où y g ] 0,1 [) celle-ci équivaut à
lnT(x + y) - InT(x)
--------------------- < Inx.
. y
I.46. CONVEXITÉ LOGARITHMIQUE DE T
81
et, grâce à l’équation fonctionnelle, on sait que Inx = lnT(x + 1) — InT(x).
Cette inégalité entre pentes sera vérifiée si l’on montre que la fonction In oF est
strictement convexe sur R* : c’est le théorème des pentes croissantes. On voit
alors de même que la seconde inégalité est aussi vérifiée.
Pour montrer la stricteconvexité de In °F on commence par vérifier que T
est de classe C°° sur RJ. On pose /(x, r) = tx~le~f pour (x, t) e (R*)2- Pour
tout 1 g N, on a
nfc f
-4(x,r) = (InO^-’e-'
gk f
Pour tout x G RJ, la fonction t 1-» y^-(x,f) est continue (par morceaux)
gk f
sur RJ ; pour tout t g RJ, la fonction x	—r- (x, t) est continue sur RJ. Soit a
dx
et A tels que 0 < a < A. Pour x G [a, A], on a
OfcW =
|lnt|fcta ‘
| In t |fcrA~1 e~ ‘
0>fc(r), où
si t < 1
si t > 1.
La fonction <I>& est continue par morceaux et intégrable sur R+*, car au voisinage
de 0, on a <!>*(r) = o (r?-1) et au voisinage de +00, <I>fc(r) = o (y)-
D’après le théorème de dérivation des intégrales à paramètre, la fonction T
est de classe C°° sur [a, A], pour tous a et A tels que 0 < a < A et donc de
classe C” sur RJ. On a, pour tout x g RJ et pour tout k G R*,
f+oo
Fw(x) = / (InOM-’e-'dr.
Jo
Comme T est strictement positive, la fonction T = In °F est aussi de classe C°°
sur R+*. On a, pour x > 0,
T' = — et ¥
r
r'T _ r,2
r2
Le signe de T" est celui de F'T - F'2. Pour toutx > 0 on a, d’après l’inégalité
de Cauchy-Schwarz,
c’est-à-dire T'(x)2 < F(x)F"(x). De plus, les fonctions 11—> (Int)2^-^-' et
t rx-1e-' n’étant pas proportionnelles, l’inégalité est stricte. La fonction T"
est donc strictement positive et est strictement convexe. <1
82
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
L’exercice suivant étudie une autre fonction introduite par Euler, la
fonction B. Celle-ci s'exprime à l’aide de la fonction T, la preuve de cette
identité (cf question 4 de l'exercice) ayant fait l’objet de nombreux sujets de
concours.
1.47. Fonction B d’Euler
On définit les fonctions T, de R* vers R et B, de R* x l* vers R, par
les égalités
/• +OO	f» 1
T(t) = / x'~Ae~xàx et B(t,s) = / xt-1(l-x)s-1dx.
Jo	Jo
1.	Justifier la définition de T et B.
2.	Comparer B(z, s) et B (s, t), puis exprimer B(z, s) en fonction
de B(z, s - 1). Déterminer B(t, s) si s et z sont dans N*.
3.	Montrer que lim nlB(t, n + 1) = F(z), pour tout t > 0.
n—>+oo
4.	Montrer que B(z, 5) =	•
x‘~Je~x
5.	Pour t > 0 et s > 0, on pose ft (x) =	—, et, pour t > 0, s > 0
etx > 0,
(ft * A)W = [ ft(y)fs(x - y) dy.
Jo
Exprimer ft * fs à l’aide de B(f, s). Retrouver ainsi le résultat de la
question précédente.
On admettra la possibilité d'intervertir l'ordre d'intégration d’une
fonction positive de deux variables définies RJ X R* conformément au
théorème de Fubini.
r 1 m _zy-i _ 1
6.	Exprimer / 1-------------dx pour s > 0 en fonction de T et de sa
Jo
dérivée. On pourra écrire B(j, z) — y sous forme intégrale.
▻ Solution.
1.	Soit t > 0. La fonction x i-> x!-Ie-x est continue sur RJ, équivalente à
xf-1 en 0+ et est négligeable devantx-2 en +00, donc le théorème de comparaison
assure que r(z) est bien défini.
De même pour (s,t) G (RJ)2, la fonction h : x 1—» x'-1(l - x)s-1 est
continue et positive sur ]0,1 [. En 0, on a h(x) ~x'~J avec t - 1 > -1, donc h
est intégrable en 0 et de même en 1, h(x) ~ (1 - x)s-1 qui est donc intégrable
en 1. Donc B est bien définie.
2.	La changement de variable y = 1 - x montre que B(z, s) = B (s, z).
1.47- FONCTION B d’euler
83
En intégrant par parties, on obtient pour s > 1,
/•1	l1 f1 ç _ 1
B(t,s) = xl-\l-x)s-ldx= -(l-x)s-] +/ -------------x*(l—x)s-2dx
Jo	L f Jo Jo 1
En remarquant que
/" x'(l-x)s 2dx= /" x* 1 (1 -(1 -x))(1 -x)s 2dx = B(t,s-1)-B(t,5),
Jo	Jo
on obtient la relation
b(m) = -4—^-bcm-i).
t + s - 1
On en déduit que pour s et t dans N*,
(j-1)!	(s-l)!(r-l)!
B(t, s) =----------------B(r, 1) = ---—------
V ’ (t + s-l)...(t + l) k ’ (s + t-Y)\
s +1	1
3.	On a, pour n e N*, n'B(t,n + 1) = ns xf ](1 -x)"dx. Avec le
Jo
changement de variable u = nx, on obtient
n(B(f, n + l) =	u‘~} (1 - —) du.
Pour tout n e N*, on considère la fonction fn définie sur R* par

/n(») = '
u
0
si u C n
si u > n.
Pour tout m > 0, on a lim /„(«) = lim u* 1 (1 - £)" = u‘ ]e La
n—>+oo	n—»+<x>	n '
fonctions 1-» est intégrable sur R*. D’autre part, pourw > Oetn e N,
ona/n(w) =£ uz-1e-“ (cela résulte de l’inégalité ln(l +x) <xpourx > -1).
D’après le théorème de convergence dominée, on a lim nfB(t, n + 1) = r(t).
n—>+00
4.	Soit5,etrdansRt.D’aprèslaquestion3,onaB(t,n+l) ~ ^-^-On
n—>+00 n
en déduit que B(t, s + n + 1) ~	—y2. En effet, la fonction 5 f-> B(t, s + n + l)
n-^4-00 n
est décroissante, donc B(t, s + n + 1) est compris entre B(r, m + n + 1) et
84
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
ref)
B(t, m + n + 2), où m = [s], et ces deux expressions sont équivalentes à
En appliquant la formule de récurrence de la question 2, on obtient
. (t + s + n)(t + s + n - 1) • • • (t + s) _ .
B(r, 5) =	----i----B(/, 5 + n + 1).
(s + n){s + n — 1) • • • j
Pour conclure, il suffit de montrer que
j. 1 (t + s + n)(t + 5 + n - 1) • • • (r + 5) _ r(s)
n^+00 nt (s + n)(s + n - 1) • • • r	F(s + r)
Mais toujours d’après la question précédente, = lim
et d’après la formule de récurrence de la question 2, on a, pour tout « e N*,
ni
B(j, n + 1) = ---—---------------,
(r + n)(s + n -!) s
ni
B (5 +1, n + 1) = ------—-----------—----------
(r +1 + n)(s +1 + n - 1) • • • (r +1)
, B(s, n + 1)	(5 +1 + n)(s +1 + n - 1) • •  (s +1)
et donc ——- --------—- =--------—---—-----------—---------
nfB(5 + t,n+l) nf (s + n)(s + n - 1) • •  5
C’est le résultat voulu et B(r, s) =	'
5.	Pour s, t et x dans R^, on a
“ *"w - Wtw
Avec le changement de variable y = zx, on trouve
(ft *A)(x) = rX7î /” dz = T^Wîe-xv+f_1-
r(r)r($) Jo	r(r)r(j)
On en déduit que £ (ft * fs)(x) = B(p^(^ 
Considérons la fonction F définie sur (R^)2 par F(x,y) = ft(y)fs(x - y)
si y < x et 0 sinon. Pour x > 0, on a
[ F(x,y)dy = f ft(y)fs(x - y)dy = s e~xxs+t~l
Jo	Jo	r(r)r(i)
et donc J F(x,y)dyj dx = B^p^p^ • Mais par ailleurs, on
y+00	j'+co
observe que / ft (x) dx = / fs (x) dx = 1. On a donc , pour tout y > 0,
Jo	Jo
/»+00	z»4-oo	/+00
/ F(x,y)dx= /	/t(y)/s(x-y)<k = ft(y) / /s(z)dx =/f(y),
JO	Jy	JO
1.48. CALCUL DE T' O)
85
puis
Z"+OO / Z-+OO	\
/	/ F(x,y)dx dy = 1.
Jo \Jo	/
Le théorème de Fubini nous donne	= 1, On retrouve le résultat
de la question précédente.
6.	Pour 5 et t strictement positif, on a
B(s,t)--= f1 * * * x^^-xy^dx- [lx,~idx=	1-1dx.
t Jo	Jo Jo x
d >	> r- rn 1 r r t (1 ~X)S 1 ~ 1	(1 “•*)* * _ 1 r» 1
Pour tout x e [0,1 [, on a lim x --—- = -------—-----De plus, on
r—>0*	*	x
a, pour tout t > 0 et x e ] 0,1 [, on a 0 < x1 ~X\——- < ———---- et
Cl _xw-i _ 1
la fonction x >-» -------est intégrable sur ]0,1 [. D’après le théorème
de convergence dominée, on a donc J"	---dx = lim ^B(t, s) - | j •
Mais d’après ce qui précède, on a, sachant que tF(t) = T(t + 1) et T(l) = 1,
f ) _ 1 =	_ 1 = ?r(r) r(5)-r(5 + t) = r(r + i)r(s)-r(s+r)
t r(s + r) t rr(s + r)	rr(s + t)
r(j) <r(r +1) -r(i)) - (r(j+r) -r(j))
rr(s + r)
1	,r(r+i)-r(i) r(s + t)-r(5)^
“nïTôr1’-------------,----------------,--)
H a été démontré dans l’exercice 1.46 que T est de classe C°°. Elle est en
particulier continue et dérivable. En faisant tendre t vers 0, on obtient donc
f1 (i-xr-'-î.	_,.n r'(s)
/ ---------dx = r<1)-'F7T
'0 x	r(s)
1.48.	Calcul de T (1)
1
1. On pose Hn = V -r  Montrer que la suite un = Hn - In n converge
t=i K
vers une limite y > 0.
r+°°	1
2. Pour t e Rt , soit T(t) = / e~xxt-1 dx. Montrer que T est
Jo
définie et de classe C1 sur R^. et que
J/"+oo	/ <.+00 -x
' ln(x)e~x dx = lim I /	---dx + lny
0	>->0\Jy x ,
86
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
3. En déduire que r'(l) = f e * ( j - _ g-x j dx =-y.
▻ Solution.
1. C’est une question très classique (voir l’exercice 3.31 du volume 3).
Le plus rapide consiste à observer que un - m„_i = O (-y j • Ainsi la série
2	_ «n-1) converge absolument et la suite (m„) converge donc par le lien
suite-série. En posant v„ = H„ - ln(n + 1) qui converge vers la même limite y
que (n„), on a vn - vn-i = i-ln(l + ^j > 0. Ainsi, (y„) est croissante et on
a donc y > ti] > 0.
r+oo _	.
2. On a démontré dans F exercice 1.46 que r'(x) = / ln(x)e Xx dx,
Jo
r+oo
pour tout x > 0. On a donc en particulier F'(l) = / ln(x)e“* dx. En
Jo
intégrant par parties, on obtient pour y > 0,
e x dx = [- ln(x)e
e
----dx
y
= (e-y -
e
----dx.
Comme (e y - 1) Iny ~ y Iny---> 0, on a
y—>0	y-»0
r'(l) = lim
y—*0
e \
---dx .
3. Pour y > 0 tendant vers 0, on a
f+°° -x
I r7F7dx=[ln(l-e-)];” = -ln(l-e-^
1 - e~y
= -Iny - In-------= -Iny + o(l).
y
On en déduit
1	\ f+co e~x
-------- dx = /	----dx + lny + o(l).
1 - e x )	J y	X
En faisant tendre y vers 0, on en déduit
dx.
1.48. CALCUL DE T'( 1 )
87
n /»+do	,	/»+oo —r — fn+l^x
Pourn g N*, on a H„ = V / e~kx dx = /	-—F e _x------dx.
jTj Jo	Jo 1 ~e
On pose g(x) = ^ - _^e-x pour x > 0 et on écrit
g-x _ e-(n+l)x
1 - e~x
= —e~xg(x) + e-(n+I)xg(x) + --------------
On en déduit
r+°° , ,,	r+°° e~x - e-("+1)*
H„ = -r'(l)+ / e (n+r>xg(x)dx + /	-----------------dx.
Jo	Jo x
La fonction g est continue sur ] 0, +00 [ et possède une limite finie en 0 et +00 ;
elle est donc bornée, par M. On a donc
e ("+1)*g(x)dx
r+°°	m
/ e-(n+I)xdx = — =o(l)
Jo	«
„ X — „-(n+l)x
--------------dx. On a, pour a > 0,
quand n tend vers +00. On calcule
(n+l)a -x
— dx =
X
dx + ln(n + 1).
—x _ 1	/•(n+l)a —x _ 1
Comme x i—> -—-—1 est intégrable sur ]0,1], /	-—-—1 dx tend vers 0
J a
/•4-00 ~x —(n+l)x
quand a tend vers 0, donc /	-—-------------dx = ln(n + 1) = ln(n) + o(l).
On a donc F'(l) = -Inn + H„ + o(l). En faisant tendre n vers +oo, on
obtient r'(l) = -y. <1
Voici un autre calcul classique de F'(l) qui utilise les idées présentes
dans les deux exercices précédents. On montre par convergence dominée
que r'(l) = lim J" Int (1 — dt. Mais l’intégrale peut se calculer en
posant t = nu pour se ramener à ] 0,1 ] et en intégrant par parties. On obtient
alors ” j (In n — Hn+i ), ce qui tend vers —y.
Commence maintenant une série d’exercices sur des intégrales à paramètre
diverses pour s’exercer à utiliser les théorèmes de continuité, de dérivabilité,
dans diverses situations. De plus ils contiennent souvent des questions de nature
asymptotique (limite ou équivalent au bord,...).
88
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
1.49. Intégrale à paramètre (1)
y+oo • X
1. Déterminer le domaine de définition réel de f : x i-> / elt dz
et étudier sa continuité.
2. Donner un équivalent de f(x) lorsque x —» +oo.
> Solution.
1.	Comme la fonction t elt* est de module 1 elle ne peut être intégrable
au voisinage de +oo.
Si x < 0, alors elt* tend vers une limite non nulle en +oo donc
l’intégrale / elt dz diverge. Pour x > 0, on fait le changement de
y+oo . x
variable u = tx. Alors / elt dz a même nature, et même valeur si elle
i r+°°	±_i
converge,que j / eluu* ‘du.
•	Supposons x > 1. On montre la convergence de l’intégrale en intégrant
par parties, afin de se ramener à des fonctions intégrables. Pour A > 1, on peut
écrire
La fonction g : u >-» eluu* 2 est intégrale sur [l,+oo[, car |g(u)| = —
x2~ *
et 2 -	> 1. D’autre part, a pour limite 0 en +oo car i - 1 < 0. On
y+oo	1	.	y+oo . x
en déduit que J eluu*~l dw converge. Ainsi J elt dt converge et
y+oo . x
•	Si x = 1, alors y elt dz diverge, car une primitive de î h> e‘f
est Z i—> -ielt qui n’a pas de limite finie en +oo (si en avait une, elle serait
constante, car elle est 27t-périodique).
•	Montrons que si x e ]0,1 [ alors l’intégrale diverge encore en raisonnant
y+oo . x
par l’absurde. Soit x e ]0,1[ tel que J elt dt converge, c’est-à-dire tel
que y	dz converge. On note H la primitive de t i-> eIfz*-1 qui
s’annule en 1. On a alors, pour A > 1,
1.49- INTÉGRALE À PARAMÈTRE (1)
89
La fonction H est continue et possède une limite finie en +oo donc elle est
bornée. Ainsi H(r)t“i dt converge car |H(t)t_i|	et | > 1 et
H(t)t“i+1 a pour limite 0 en +00 car -^ + 1 <0. On en déduit que
fA . Zi	\ r+co	j
lim / elt dt = I------1 / H(t)t » dt.
A-»+oo Ji	\x	) J}
p+oo	/
Ainsi / elt dt converge : c’est faux.
La fonction f est donc définie sur ] 1, +00 [. Montrons qu’elle est continue
sur cet intervalle. Puisque, pour x > 1, on a
il suffit de vérifier la continuité de la fonction x 1—» / e , d». L’application
H m2“*
{u,x} e [l,+oo[x]l,+oo[>—>	est continue et si on fixe xq > 1, on a, pour
w2 *
x > xo, la domination
Vu e [1, +o°[,
e‘“
2-1
W x
1
2-7-
u
Comme 2 -	> 1, la fonction u 1—>	est intégrable sur [1, +00[ et le
u *0
r+°°
cours assure alors que x i—> /	—j-dw est continue sur [xq,+°°[ et il en
11	w2-*
va de même pour f. La continuité étant une propriété locale, f est continue
sur ] 1, +oo[.
2.	Nous avons vu que, pourx > 1, on a
1 /	/1	\ r+°° . j \
/(x) = -|je'+(------1 / e'uu*~2du .
x \	\x	) Ji	)
Pour tout u > 1, on a lim elltux~2 = eluu~2. De plus, pour x > 2, on a la
domination	= u*"2 < avec u 1—» u~i intégrable sur [l,+oo[.
D’après le théorème de convergence dominée, on a
lim / e,ltux 2dw= / elllu 2 du
x~,+ü° Ji	Ji
et
(j \ p+m	p+oo giu	/• +oo ^iu
- -1 / eluux~2du = ie'-i /	— du = /	—du - I.
x ) Ji	Ji u2 Ji u
90
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
/•+DO
Montrons que I £ 0. Ori sait que / d« = > 1 (voiries exercices 1.38
et 1.39 pour une démonstration) et comme / ^^^dw < 1 car 0 < sin h < u
/»4-oo
pour u e [0,1], on en déduit que /	> 0 et que finalement, I est non
y	/*+oo lu
nul. On a donc f(x) ~ v, où I = / du. <i
x-»+co x	h u
1.50.	Intégrale à paramètre (2)
Pourx > 0, on pose s(x) = / dt.
Jr; e - - 1
1.	Montrer que s est continue sur R£.
2.	Donner un développement de s en série de fractions rationnelles.
3.	Montrer que s(x) ~ au voisinage de 0+.
> Solution.
1.	Considérons l’application cp : (x, t) e R^2 i—>	f E R. Pour
x > 0, on a lim Icp(x, t)| = | et
t—»o	A
On en déduit que la fonction t i—> <p(x, t) est intégrable sur R*, pour tout
x > 0 : 5 est définie sur R*. La fonction cp est continue sur R^2. De plus, pour
tout a > 0, on a, pour x > a,
I<pO.01 = —t—? < —t—? = <pGm)I,
ext — 1 eat - 1
la fonction 11—> | cp(a, t)| étant intégrable sur R^ (relation de domination). Le
théorème de continuité sous le signe J permet d’affirmer que s est continue
sur [a, +oo[. Cela étant vrai pour tout a > 0, s est donc continue sur R^.
2.	On utilise le développement en série entière de j 1 • Pour (x, t) g R^,
on a
qin t p~xt	+°°	+°°
<p(x, 0 = . _xt = sin t e~xt 2 e~nxt = sin t e~nxt.
1 e *	n=0	n=l
Soit x > 0 fixé. Pour tout n > 1, la fonction fn : 11—> sin t e~nxt est intégrable
sur R£ et on a :
= Im f e<-^+!>dt = Im------1 \ ,
Jm»	-nx +1	1 + n2xz
1.51. INTÉGRALE À PARAMÈTRE (3)
91
H faut maintenant justifier l’interversion de la sommation et de l’intégration.
Pour cela on applique le théorème d’intégration terme à terme. On a,
| sin t|
ext t- 1
dt < 4-oo
et la convergence de la série justifie l’emploi du théorème. On peut conclure
que
+00	1
,.22'
1 4- n2x2
3.	Pour déterminer un équivalent de 5 en 0+, on utilise le développement
de la question 2 et une comparaison série-intégrale. Soit x > 0. Pour n e N,
on a :
1	< f dt <	1
1 4- (n 4- l)2x2	1 4- t2x2 ''14- n2x2
En sommant les inégalité obtenues quand n décrit N, on obtient
dt . . r+o° dt
Z ÏTt^2 C C Jo ÏTt^2’
1
1	1 f+0° 1
—du C s(x) < - /	---ÿdu,
1 4- W2	X Jo 1 4- U2
1 /7t	\	. . Jt
-------arctan x C six) < —
x \2---/	2x
Cet encadrement permet de conclure que s(x) ~	•
1.51.	Intégrale à paramètre (3)
/•+«	j
On pose f(x) =	P°ur x > 0.
1. Montrer que f est de classe C1 sur ]0, -t-oo [.
2. Déterminer les limites en 0 et en 4-oo de f ,
3. Donner un équivalent en 0 de f.
▻ Solution.
1.	La fonction g : (x,t) G R*2 i—>	+ f est continue sur R*2.
Soit a > 0 et x > a. On a
1 4-1 4- tx+1 > 1 4-1 > 1 4- ta+1 si 0 < t C 1,
1 4-1 4- tx+I > 1 4- tx+1 > 1 4- ta+1 si t > 1.
92
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
1	1
On â donc, pour tout t > 0, 0 < g(x, t) < y—^ô+T’ ^a fonction t i—> *c+]
étant continue, intégrable sur R* et indépendante de x, le théorème de continuité
sous le signe intégrale s’applique : la fonction f est définie et continue sur
[a, +oo[. Cela étant vrai pour tout a > 0, la fonction f est définie et continue
sur R^. De même, la fonction g admet sur R^2 une dérivée partielle par rapport
à x. Pour (x, t) G R^2, on a :
a- (lnQ**+1
dx''*’ (l+t + t*+1)2
et cette fonction est continue. Soit encore a > 0, x > a et t > 0. On a alors :
çte, _ n fi f*+1	< llnfl < llnfl
dx^’ }	1 D 1 (1 + t + t^)2 " 1+r + fX+l " 1+ta+l'
La fonction cp : t i—>	est continue et positive sur R*. On
cp(t) ~ |lnz| et la fonction t i—> |lnï| est intégrable sur ]0,1], donc
t-»o
aussi par comparaison. De même, cp(?) ~	= o j et la fonction
est donc intégrable sur [1, +oo[. Ainsi cp est intégrable sur R* et indépendante
<P
<P
de x. Le théorème de dérivation sous le signe intégrale s’applique : la fonction f
est de classe C1 sur [a, +oo[ et
a
f+“ (lnt)fJ+1 df
'o (1 +1 + tx+} )2
Cela étant vrai pour tout a > 0, f est de classe C} sur R*.
2.	Calculons la limite de g(x, t) quand x tend vers +oo. On obtient -j-yy
pour 0 < t < 1, 5 lorsque t = 1 et 0 si t > 1. On a vu dans la question 1
1
1 +t2
que |g(x, t)|
pour tout x > 2. Le théorème de convergence dominée
permet donc de dire que
lim /(x) = / lim g(x, t)dt = / ----------------=ln2.
x->+0° Jo	Jo 1 +1
On a lim g (x, t) = mais la fonction 11—> 1 n’est Pas intégrable
sur R*. On soupçonne que lim /(x) = +oo et on va le démontrer. Pour t > 1 et
x~>0
x > 0, on a 1 +1 + tx+I C 3tx+1 et donc g (x, t) > ^%+T ’ en déduit que, pour
x > 0, on a
/» 4-co	/» 4-oo -1	i
»<«.»*>/ 5^d' = 3Ï'
1.52. ÉTUDE d’une TRANSFORMÉE DE LAPLACE
93
On obtient lim f(x') = +00.
x—>0+
3.	Cherchons un équivalent de f(x) en 0. On a, pour x > 0, d’une part,
0 < /" g(x, t)dt C f -^-=ln2,
Jo	Jo 1 +1
et d’autre part,
„	f+” dt r+x, r+x dt	r+°°dt ,
/i t+tz+} 7 8 x,t f h (i+t+tjc+i)(t+tx+i) "7 t2
Cela montre que la différence /(x) -
tend vers +00 en 0+, on en déduit que
—est bornée. Comme f(x)
t + tx+i
dt
t + tx+1
Calculons cette dernière intégrale. Le changement de variable u = Int donne,
pour x > 0
ln(l + e~“x) ]+°° _ ln2
X n X
On obtient donc l’équivalent /(x)	----<
Les prochains exercices concernent les transformations intégrales clas-
siques, en particulier la transformation de Laplace et celle de Fourier. Pour
une fonction f définie sur KL et continue par morceaux, la transformée de
/•+00
Laplace de f est la fonction Lf : x 1—> / e~xtf(t)dl. S’il est non vide
J 0
l’ensemble des réels x en lesquels l’intégrale converge absolument est toujours
un intervalle non majoré de R. Il en est de même pour l’ensemble des réels x
en lesquels l’intégrale converge (cf exercice 1.3). On commence par l’étude
d’une transformée de Laplace explicite où la fonction f n’est pas définie en 0
mais est intégrable au voisinage de 0.
1.52. Étude d’une transformée de Laplace
f* ~~tx
Onpose/(x)= / f dt.
vt2 + t
1. Etudier l’ensemble de définition, la continuité et la dérivabilité
de/.
2. Déterminer la limite et un équivalent de f en 0 et en +00.
94
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
▻ Solution.
—tx
1. Soit g la fonction définie sur RxR' par g(x, t) =	Elle est
vt2 +1
continue. Pour tout réel x, on a g(x, t) ~Q donc g(x, ) est intégrable sur
l’intervalle ]0,1]. Si x 0, alors, on a pour t > 0,
/ x e~tx 1	1
g(x, t) = ,	> —------ ~ -
Vr2 + r Vz2 + z ,-,+" z
donc g(x, ) n’est pas intégrable sur l’intervalle [l,+oo[. En revanche six > 0,
alors on a en +oo	et g(x, •) est intégrable sur [l,+oo[. En
résumé, la fonction f est définie sur RJ..
La fonction g est de classe C1 sur RJ x RJ et pour (x, r) e RJ x RJ, on a
dg( A
dx
te~xt
Vr2 + ;
y[te xt
yJt + \
Soit a > 0 fixé. Pour tout x > a et tout t > 0 on a la domination

-ta
e
La fonction t i—> e~at étant intégrable sur RJ, on déduit du théorème de
dérivation des intégrales dépendant d’un paramètre que f est de classe C1 sur
l’intervalle ]a, +oo[ et que, pourx > a,
Cela étant vrai pour tout a > 0, on conclut que f est de classe C1 sur RJ.
2. On commence par l’étude en +oo. Pour x > 0, le changement de variable
u = tx est légitime et donne
f e~u
fto = / / o dM~
•/r; nu2 + ux
On en déduit que, pour x > 0, on a
r e~u
0 C /(x) < / -=du =
yxu
e~ ,
——du,
(la fonction u i—>	est intégrable sur RJ). On en déduit que lim /(x) = 0.
yU	x—>+oo
Montrons qu’en fait, on a
/(•*) ~
•+OO
e~u ,
—— du.
1
I.52. ÉTUDE D’UNE TRANSFORMÉE DE LAPLACE
95
On a y/xf(x) - [ h(x, w)dw avec 7i(x, w) = —r.--.e “. Pour tout m > 0, on
vu2 + «x.
a lim /i(x, m) = et de plus la domination suivante : |/i(x, w)| < £-=- pour
x—>+»	yu	*	yu
tout x > 0. Le théorème de convergence dominée permet de conclure. Par le
changement de variable u = v2, on obtient
R
(voir l’exercice 1.40 pour le calcul de l’intégrale de Gauss). On conclut que
Quand x tend vers 0, ,e- tend vers  La fonction u i—>	est
intégrable sur [l,+oo[ mais pas sur ]0,1]. On pressent que /(x) tend vers
+oo en 0 et qu’un équivalent de /(x) sera obtenu en ne considérant que dés
intégrales sur ]0,1]. Précisons cela. Pour 0 < x C 2, on a
e
ux
'u» + î
car
> w2 + ux, donc
-v
r1
—dp
£ V
2
y	p — V
y La fonction v i—>
e~"
----du = +00. On en déduit que
v
-  Ces fonctions étant positives
v
grâce au changement de variable v = u +
/•1
n’étant pas intégrable sur ]0,1], on a lim /
x->0 Jx
e~v
lim f (x) = +oo. On peut dire plus car — ~
x—>0	V u—>0
et non intégrables sur ]0,1], on en déduit que
2
-In - ~ -Inx.
\2/ x—>0
En considérant la fonction f\ : x i—> e% f %~dv, on obtient donc
/(x)>/i(x) pour0<x<2 et /i(x) ~ -Inx.
96
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
Mais, d’autre part, on peut écrire, pourx > 0,
e
— -d» +
t2 + ux
du +
vu2 + ux
Vu2 + ux
e~u
---du = /2W-
u
On calcule facilement /	, 1	:
Jo yu2 + ux
On a donc / (x) < fz(x) pourx > 0 et /2W	-Inx. Comme f est encadrée
par deux fonctions équivalentes enflona/(x) ~ - Inx. <1
1.53. Zéros d’une transformée de Laplace
p+oo
Soit g : R+ —> R bornée, continue. On pose F(x) = / g(t)e~tx dt
Jo
pour tout x > 0. Montrer que si g change au plus N fois de signe, alors F a
au plus N zéros.
▻ Solution.
On affaiblit l’hypothèse et on démontre que la propriété est vraie pour les
fonctions g continues, pour lesquelles il existe un polynôme P g R[X] tel que
|g| < P. Pourx > 0 et t > 0, on a alors |g(t)e-fJC| < |P(t)|e-t;t =
t—>+DO
donc l’intégrale qui définit F(x) converge.
On démontre la propriété par récurrence sur N. Elle est vraie si N = 0. En
effet, si g est de signe constant, il en est de même de l’intégrande donc F(x)
garde un signe constant et F ne s’annule pas.
Supposons que la propriété soit vraie au rang N - 1 (avec N > 1) et
montrons-la au rang N. Supposons que g change au plus N fois de signe. Soit
a e R* un réel où g change de signe. Alors la fonction t 1—» (t - a)g(t)
change au plus N - 1 fois de signe et, par hypothèse de récurrence, la fonction
p+oo
G :xh / (t - a)g(t)e“'x dt s’annule au plus N - 1 fois. On notera que la
Jo
fonction t 1—» (t - a)g(t) n’est pas forcément bornée si g l’est mais qu’elle est
majorée par un polynôme si g l’est. C’est pour cette raison qu’on a affaibli les
hypothèses.
1-54- NORME TRIPLE DU CARRÉ DE LA TRANSFORMÉE DE LAPLACE
97
On observe que F-est dérivable sur R*. Posons h(x, t) = g(t')e tx. On
a, pour t > 0 et.x > 0, ^(x, t) = ~tg(f)e~tx- Soit a e R*. Pour tout
x > a, on a |^(x, t)j <	La fonction t h-> |tg(t)| est encore
majorée en valeur absolue par un polynôme donc la fonction t i-» t|g(t)|e_f“
est intégrable. On en déduit que F est dérivable sur [a, +oo[, de dérivée
F' : x i—> / (-tg(r))e_fx dt Comme cela est vrai pour tout a > 0, F
Jo
est dérivable sur R*. On remarque que G = -F' - aF. Il est classique d’écrire
G(x) = —e~ax(F(x)e°“). Si F s’annule k fois, alors il en est de même de
la fonction x i-> F(x)e“*. D’après le théorème de Rolle sa dérivée s’annule au
moins k - 1 fois, donc G s’annule au moins k - 1 fois. On a donc k - 1 < N - 1
et k < N. Ainsi F s’annulé au plus N fois ce qui termine la récurrence. <
Supposons f :intégrable sur R+. Dans ce cas la transformée de Laplace Lf
de f est définie sur R+, continue et bornée par ||/||i = /	|/(t)\dt. On peut
J 0
alors s'intéresser à la transformée de Laplace de Lf qui est bien définie pour
x > 0. En admettant le théorème de Fubini qui permet de changer l’ordre des
deux intégrations, on observe que pour x > 0,
/•4-OO	f*+QQ	f+OO
L(Lf)(x) = / e~xtL.f(f)dî - / e~xtj f(u)e~tududt
Jo	Jo . Jo
= rfM
Jo Jo	Jo X + u
L’énoncé s’intéresse à cette transformation de Laplace itérée deux fois mais
dans l 'espace des fonctions de carré intégrable et en fait calculer la norme
triple. On admettra, comme ci-dessus, la possibilité de changer l’ordre des
deux intégrations dans la question 2.
’1.54. Norme triple du carré de la transformée de Laplace
Soit f : R* —» R continue par morceaux et de carré intégrable sur R*.
f+oo f(y)
On pose, pour x > 0, Sy(x) = / F+y dy.
1.	Justifier l’existence et la continuité de S y.
2.	Montrer que S f est de carré intégrable et que
/»+oo	/»+oo
L f2-
• .<
3.	Montrer que la constante z2 est optimale.
Indication. Considérer fE : x y/ëx~^lFx>i.
98
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
> Solution.
1.	Soit x > 0. Pour tout y > 0 on a la majoration
l/(y)l
x + y
1
2
1
(x + y)1
et la fonction majorante est intégrable sur RJ puisque f est de carré intégrable.
L’intégrale qui définit S/ (x) converge donc absolument par comparaison. Pour
y e RJ fixé, la fonction x +-» JJrx; est continue sur RJ. Prenons a > 0. Pour
x t y
tout x > a et tout y > 0 on a la domination
. l/(y)l
< | (/2(y) + z * ,2) = <Pa(y)
2\ (a + y)2/
où la fonction cpa est intégrable sur RJ. Le théorème de continuité des intégrales
à paramètre assure alors que Sf est continue sur RJ.
2.	La première idée est d’appliquer l’inégalité de Cauchy-Schwarz. On a,
pourx > 0,
/» +oo	p 4-oo
S/(x)2 < /	/2(y)dy /
Jo	Jo
dy
(x + y)2
1 r+°°
= - f\y)Ay
x Jo
mais cette majoration ne permet pas de montrer l’intégrabilité de S^.. En fait,
on va bien appliquer l’inégalité de Cauchy-Schwarz mais en laissant une partie
du terme x + y avec f. On écrit donc
Sy(x)2 =
/•+“/(y)y1/4	1	. \2	/'+“Vÿ/2(y)J f+“ dy
/---------------------dy I < /	--------dy /------------
o ~Jx + y y*'4V* + y I Jo x + y Jo y/ÿ(* + y)
La dernière intégrale se calcule facilement en posant y = u2. Il vient
f“° dy f+°° 2du 2
0 y/ÿ(x + y) Jo x + M2 y/x
U
arctan —
yx
+oo
0
On peut alors majorer l’intégrale de Sy en admettant le théorème de Fubini qui
permet de changer l’ordre des deux intégrations :
r+°° v>/2(y)
Jo y/x(x + y)
/2(y) f	dxdy
Jo yx(x + y)
/•+00	J	Z.+OO
f\y) /	-----dy = m2/	/2(y)dy,
Jo yu(l + u) Jo
en ayant posé u = y • L’inégalité est donc démontrée.
1-54- NORME TRIPLE DU CARRÉ DE LA TRANSFORMÉE DE LAPLACE
99
3.	Pour réaliser l’égalité dans l’inégalité de Cauchy-Schwarz on devrait
prendre f colinéaire à la fonction y -±= mais celle-ci n’est pas de carré
intégrable. On utilise donc les fonctions fE données par l’énoncé. On note que
f+o° 9
H reste a montrer que pour e petit J
grâce au changement de variable t =
est proche de k2. On a, pour x > 0,
On obtient
-dt.
1 +t
et, pour a > 0
Comme l’intégrale en t ne dépend plus de x, on peut la sortir. On obtient
__ 1+c
Étudions la limite de l’intégrale quand e tend vers 0. On pose ge(t) = +2f •
Pour tout t > -j, on a lim ge(t) =
“	e—>0
et e e ]0, ^ [, la domination gE(t) <
—-• D’autre part, on a, pour t
Vr(l+t)
1
a
cp(t), où
«p(0 =
t 4
1 + t
1
,VF(i+t)
si t < 1
si t > 1.
La fonction <p est continue par morceaux et intégrale sur [i, +oo [. On en déduit
e
, 1+E
t 2 ,
--------dt
1
Vt(l+r)
= 2
1
1 + u2
du
1 \
- arctan —— I
yâ/
= 2 arctan y[a.
100
CHAPITRE 1. INTÉGRALES. GÉNÉRALISÉES
On a donc
2
a-e = (2 arctan Vô) •
Ceci tend vers 7t2 quand a tend vers +oo. Soit a > 0. On choisit a tel
que (2 arctan Va)2 > it2 - a. Pour e assez petit, on a
et donc
/ S/
4^>k2-2œ.
L ft
J R+
La constante TT2 est donc optimale. <
La borne supérieure de pour f : R+ —» R de carré intégrale est
donc it. C’est la norme de l’opérateur'f h-> Sy.
1.55. Transformée de Stieltjes
Soit f une fonction de R dans C continue et intégrable sur R.
1. Pour z e C \ i, montrer l’existence de F(z) = f dt. Montrer
</R 1 z
que F est continue sur C \ R.
2. Montrer que F détermine f.
> Solution.
1. Soit z G C \ R. La fonction gz : 11—> y-H; est définie et continue sur R.
Au voisinage de ±oo, on a |gz(t)| = o(|/(t)|) donc, par comparaison, gz est
intégrable sur R et F(z) est défini.
Pour tout t e R, la fonction z gz (t) est continue sur C \ R. Soit a > 0
et Ha = {z e C, |Imz| > a}. Si z e Ha, alors, pour tout réel t, on
a |t - z| > |Imz| > a et donc la relation de domination |gz(t)| < jl/WI.
où la fonction 11/| est intégrable sur R. On en déduit que F est continue sur
l’ouvert Ha. Comme C \ R est la réunion des ouverts Ha pour a g R*, F est
continue sur C \ R.
2. H s’agit de montrer que l’application f i—> F est injective et pour cela on
va d’exprimer f en fonction de F. Dans l’intégrale définissant F(z), la principale
contribution est obtenue pour t proche de z. Donc, si on veut récupérer f(x),
où x g R, il est naturel de considérer F(z) pour z non réel proche de x, par
1-55- TRANSFORMEE DE STIELTJES
101
exemple de la forme x + iy, avec y réel tendant vers 0. Alors est proche
de yl = W (f—P°ur éliminer t au numérateur, on symétrise
et on calcule plutôt
F(x + iy) - F(x - iy) = f f(t)-—-------- dt = 2iy f + dt,
A (t-x)2 + y2 Jr t2 + y2
avec y > 0. On a / 9 1 9 dt = ce qui incite à considérer
JR t2 + y2 y
G(y) =	+	~ F(X ~
2ztt
f /(x + t)
C t2 + y2 y'
On va montrer que lim^ G(y) = /(x). On écrit /(x) = J /^‘2- a
donc
|G(y)-/(x)| =
y f f(x +1) - /(x) dz * f l/(* + 0 ~/WI df
n Je. t2 + y2 "y J®.	t2+y2
Soit e > 0 et r) > 0 tel que |/(x +1) - /(x)| e si |t| q. On a alors
y rT’l/(x + Q-/(x)|J_ye P 1	f 1
7t J_n t2 + y2	Jt t2 + y2 Jt Jr t2 + y2
Il reste à majorer l’autre morceau d’intégrale. On a
yf |/(x + t)-y(x)| y r l/(x + r)|, y r |/(x)|
t2 + y2	n2 *J[t^t2 + y2
[ 1/(01 dt +	arctan-j.
WJR	jt \2	y)
Quand y tend vers 0 par valeurs supérieures, le membre de droite de l’inégalité
tend vers 0. Pour y assez petit, il est inférieur à e et |G(y) - /(x)|	2e. On a
donc démontré que pour tout x e R
y->0+	2lît
et ainsi la fonction F détermine f. <
La fonction F est appelée la transformée de Stieltjes de f. La formule
démontrée dans la seconde question est la formule d’inversion de Stieltjes-
Perron.
L’énoncé suivant concerne la très importante transformée de Fourier et fait
démontrer la formule d’inversion dans l’espace de Schwartz des fonctions de
classe C°° dont toutes les dérivées sont à décroissance rapide.
102
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
1.56.	Inversion de Fourier
Soit 5 l’ensemble des fonctions de R dans C de classe C°°, vérifiant,
pour tout (k, ri) G N2, lim xnf^ (x) = 0. Pour f G .S et y g R, on pose
|%H+co
f(y) = -L f /(x)Ê-‘^dx.
V27t JR
On dit que f est la transformée de Fourier de f.
1.	Montrer que f G <S.
2.	Soit f g <S telle que /(O) - 0 et g la fonction définie sur R par
g(x) = / /'(tx)dt. Montrer que g g S et en déduire que / /(y)dy = 0.
Jo	JR
—
3.	Soit fo : x ।—> e z_. Montrer fo = fo-
4.	Soit f g 3 et F = f. Montrer que F(0) = /(O) et en déduire que,
pour tout réel x, on a F(x) = /(-x).
> Solution.
1.	Remarquons, tout d’abord que <S est un C-espace vectoriel, et que si f
est dans 5 alors toutes les dérivées de f sont dans «S, ainsi que les fonctions de
la forme x i—> xnf!k> (x). Tout cela résulte aisément de la formule de Leibniz.
Soit f g S. La fonction cp : (x, y) G R2 i—> f(x)e~lxy G C est de classe C°°.
Pour (x,y) g R2 et k e N, on a —?-(x, y) = f(x)(-ix)k e~lxy et donc
dy
= |Z(x)||x|*.
dyK
La fonction x i—> f(x)xk est intégrable sur R, puisqu’au voisinage de l’infini,
on a /(x) = o (~j^2 )  On en déduit que f est C00 sur R et que, pour k g N
et y G R,
f^k\y) = -^f /(x)(-zx)fee-^dx.
y2n JR
Des remarques précédentes, il résulte que hk : x i—> f(x)(-ix)k appartient à
5 et que fW est égale à hk- Pour démontrer que f g 3 il suffit donc de vérifier
que f est à décroissance rapide Le. que pour tout n G N, on a
lim yn/(y) = 0.
|y|->+oo
En effet, en appliquant ce résultat à hk, on obtient que les dérivées successives
de f sont aussi à décroissance rapide. Pour tout y g R on a, en intégrant par
I.56. INVERSION DE FOURLER
103
parties,
yf(y) = 4= [ f(x)ye~lxyàx
V2jt Jr
= 4= ([/W0'e’IXy)|X- [ f'M(-ie-ixy)dy\
"V2jr \	JR	/
= -y=i [ f'Çx)e~ixydx = if'(y),
V2jü </b.
car \f(x)ie~lxy | = |/(x)| = o æ quand ]x| tend vers l’infini. En réitérant le
procédé, on obtient, pour n 6 N et y g R,
yn+lf(y) = -Li"+1 f f<-n+l\x)e-lxydx.
y2ït Jb.
On en déduit la majoration
\yn+} f(y)\	[ |/(n+1)(x)|dx puis ,
y2n jr
\ynf(y)\^—^l'\f{n+l\X)\dx.
|y|v2ît JR
On en déduit que lim |ynf(y) | = 0. Cela suffit pour conclure que f e S,
|y|->+co
pour tout feS, autrement dit que <S est stable par la transformation de Fourier.
2.	La fonction f' étant C°°, la fonction (t, x) e [0,1] x R 1—> f'(tx)
est également C”. On en déduit aisément que g est de classe C°° sur R. On
remarque que, pourx + 0, on a g(x) = [|y(rx)]	= car /(O) = 0. En
appliquant la formule de Leibniz, on démontre que, pour tout k e N, il existe
des constantes ao, ai,..., a* telles que, pour toutx 0,
j-0	x
et donc, pour n G N,
xng{k\x) = ^Àakfj\x)xn-k+J-\
7=0
Par hypothèse, pour (k,ri) e NxZ, on a lim xnf^k\x) = 0 (c’est vrai, pour
|x|->+M
tout n G N et donc a fortiori si n < 0). On en déduit que lim xng ^(x) = 0.
|x|-»+oo
Donc g appartient à <S.
104
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
D’après la question 1, on a, pour tout y 6 R,
FO) =	[ gW(-ix)e"x,dx.
V2ïï JR
On remarque que, pour tout réel x, xg(x) = f(x). On l’a déjà démontré pour
x 0 et pour x = 0 cela résulte de /(O) = 0. L’égalité précédente s’écrit donc,
pour tout réel y,
g'(y) = -L= f -if (x)e~lxydx =-if (y).
V2jr JR
On en déduit que
f f(y)ày = i [ g' (y)dy = 0,
JR	JR
car lim g = limg = 0, puisque g est dans S et donc g aussi.
—oo	4-oo
On peut donc conclure que si f e *S avec /(O) = 0, alors / f = 0.
«/R.
3.	On note que fo est de classe C" et que, pour tout k e N, il existe un
polynôme P& tel que, pour toutx e R, f^ (x) = P* (x)e~^. On en déduit alors
que lim xnf<k> (x) = 0, par croissance comparée. Donc fo appartient à <S.
|jc|—»co
On a, d’après la question 1, pour tout y 6 R,
^'(y) = -L= f e~ T (~ix)e~‘xydx.
y2n JR
En intégrant par parties, on obtient
fo (y) = -L= (
V2n \
e~^ie~ixy
f e~^i(-iy)e '^dyj = -yf0(y).
'r	/
Cette équation différentielle montre qu’il existe C € C tel que, pour tout y e R,
fo(y) = Ce-^.
Sachant que e *2 dx = y/2Ü (voir l’exercice 1.40), on en déduit fo(O) — 1, et
JR _
donc C = 1. On a bien fo = fo-
4.	Si /(O) = 0 le résultat découle de la question 2 puisque
F(0) = -L f F(x)dx = 0.
V2jt JR
Dans le cas général on se ramène à ce cas particulier en posant h = f- /(O)/o-
Alors h est dans <S puisque .S est un C-espace vectoriel. L’application f 1—> f
étant linéaire, on a H = h = F - /(O)/o et donc
H = F-/(O)/o.
1.57- INJECTIVITÉ DE LA TRANSFORMÉE DE FOURIER
105
Sachant que h(0) = 0, on peut affirmer que H(0) = 0. On en déduit que
F(0) = /(0)/o(0) = /(0).
Pour établir la formule d’inversion on va se ramener en 0 par une translation.
Pour x e R fixé, considérons l’application fx : t t—> /(x +1). Il est clair que
fx est dans 5 puisque fxk^ (t) = fW (x +1) pour tout k donc
= (-J-)" (t+ x)VWU + r)-------> 0.
\t+x/	t->±x
On obtient alors, pour tout y e R,
Â(y) = -L f +	— f fWe-^-^du = e'^F(y),
y2n JR	V2jü Jr
puis pour tout z e R,
£(z) = -L f ^F(y)e->zdy = F(z - x).
y2n JR
On a alors, d’après ce qui précède, pour tout x e R,
/(x)=A(0)=K(0)=F(-x).
Conclusion. Nous avons donc démontré que l’application f 1—» f est un
automorphisme de l’espace vectoriel «S. Sa bijection réciproque est f 1—> g,
où g est définie par g(x) = /(-x). <
L’exercice suivant démontre seulement l’injectivité de la transformée de
Fourier mais dans un cadre dijférent. On notera qu'il y a différentes manières
de normaliser la transformation et la constante -4= est ici omise.
v2it
1.57. Injectivité de la transformée de Fourier
On note G l’ensemble des fonctions f : R —» C continues telles que,
pour tout a > 0, la fonction 11—> e“'f|/(t) est intégrable sur R. Pour f e G
etx e R, on pose /(x) = f f(f)eixt dt.
JR
1.	Montrer que G n’est pas réduit à la fonction nulle.
2.	Soit f 6 G. Montrer que f est de classe C“ sur R.
3.	Soit f e G et a 6 R. Pour tout z e C, on pose
/»+oo
<Pa(z)=/ eIz(f-aW)dt.
106
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
Montrer que q>a est développable en série entière sur C et bornée sur le
demi-plan Im z > 0.
4.	Soit f e G telle que f = 0. Montrer que [ elz(t~a> f(t) dt = 0,
pour tous a e Retz c C. En déduire que <pa est bornée sur C pour tout a.
5.	Montrer que ï’application f h-» f est injective.
On admettra que si la somme d’une série entière de' rayon de
convergence infini est bornée sur C, alors cette somme est constante.
> Solution.
1.	La fonction 11-> e-'2 appartient à G car e~‘	= o j en ±00 par
croissance comparée.
2.	Soit f e G. Pour x e Rett > 0, on pose g(x, t) = f(t)elxt. Pour
ak f	,	fikf
tout k e N, on a y^(x, t) = {it)k f (t)eixt. La fonction x i-> t) est
gk f
continue sur R pour tout r 6 R. La fonction t h» —4 (x, t) est continue sur R
ox*
pour tout réel t. De plus
^4(x,z) = kifel/(0l = opr|i/(oi).
dxK	|t|->+00 \	/
Comme t h-» e^f(t') est intégrable sur R, il en est de même de la fonction
ftk f	f
t 1—> —4r(x, t). Enfin, l’égalité —-4(x, t)
dx	âxK
= |t|*|/(t) pour tous réels x et t
donne une relation de domination. Du théorème de dérivation des intégrales à
paramètres on déduit que f est de classe C" sur R, avec
Vit e N Vx e R f®(x) = f f(t)(it)keixt dt.
JR
3.	Soit z e C, x sa partie réelle et y sa partie imaginaire, et a e R. On a,
pour tout t e R,
|e‘z(f-ûW)| = e~y(t~a>|/(t)| < elyl|a|eb'l|f|\f(t)\.
Par hypothèse la fonction 11-» e^^z'|/(t)| est intégrable sur R donc sur [a,+oo[.
Il en est de même a fortiori de la fonction t eiz(t~a') f(t). Donc cpa(z) est
défini.
Supposons y = Imz >0. Pour tout t > a;on a a^f (t)| < |/(t)| donc
<Pa(z) <
/•+«
I 1/(01 dt.
a
La fonction cpa est bornée sur le demi-plan Im z > 0.
1-57- INJECTIVITÉ DE LA TRANSFORMÉE DE FOURJER
æ7
Pour démontrer que q>a est développable en série entière sur C, on utilise le
théorème d’intégration terme à terme. On a, pour tout t > a,
to «!
Pour tout n e N, la fonction un : 11—>	।	/(t) est continue sur [a, +00 [
et |i<nWI =	|/(f)| = °(e‘|/(f)|) en +°°- On en déduit que un est
intégrable sur [a, +00 [. On a, pour tout t > a,
+00
2 MOI = e|z,(f"a) 1/(01-
n=0
La fonction t 1—>	|/(f)| est intégrale sur [a,+oo[ donc, d’après le
théorème d’intégration terme à terme pour les fonctions positives,
+00	/»+oo	p+oo
Y1, / M0|dt = /	e|zl(f-a)|/(t)|dt <+00.
n=0 *'a
p+oo
La série y, /	|w„(f)| df converge. Le théorème d’intégration terme à terme
Ja
s’applique à y un et on obtient
+qo p+oo	+00 jrt-n p+oo
<Pa(z) = 2j/ w„(f)dr = y—j- / (t - a)nf(f) df.
n=0-'“	n=0 n' J a
Cela est vrai pour tout z e C, donc cpa est développable en série entière sur C.
4.	Pour justifier que la fonction i|/a : z h / eiz^-n)df est, pour
J — OO
tout fl e R, définie et développable en série entière, on peut remarquer que
p +00
Va(z) = /	e-I'z(t+a)/(-ï) df = cpla(-z),
J-a
où <pà est la fonction qui correspond à cpa quand on remplace f par f /(-f)
dont on montre facilement qu’elle vérifie les mêmes hypothèses. La fonction
Fa = (pa + Va : z / e,z(t~a>f(l) df est donc développable en série entière.
r
Pour z e R, on a
Fa(z) — e~iza [ eiz! f (t') dt = e~iza f (z) - 0,
JR
par hypothèse. De l’unicité du développement en série entière de Fa sur R, on
déduit que tous les coefficients de ce développement son nuis, puis on en déduit
que Fa est la fonction nulle sur C. On a donc, pour tout z g C,
<Pa(z) = -Va(z) = -<pla(—z).
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
108
D’après la question précédente, la fonction cpla est bornée sur le demi-
plan Imz > 0. On en déduit que z 1-» — cpla(—z) est bornée sur le demi-
plan Imz 0. Ainsi la fonction <pa est bornée et développable en série entière
sur C.
5.	L’application f f est clairement linéaire. Pour démontrer qu’elle est
injective, il suffit de démontrer que sont noyau est réduit à la fonction nulle. Soit
f e G tel que f - 0. Soit a e R. D’après la question précédente et le résultat
admis par l’énoncé, la fonction <pa est constante sur C, égale à Ka. Pour tout
x e Rj., on a
/•+OO
Ka = <f>a(ix)=
J a
On a, pour tout t > a, lim e~x^‘~a^ f(t) - 0. D’autre part, pour tout Z > a, on
x—>+00
a |e-Jc^-aV(f)l 1/(01 et l/l est intégrable sur [a, +oo[. Par le théorème de
convergence dominée, on obtient lim <pa(ix) = 0 et donc Ka = 0. On a, en
X—»+co
particulier, pour tout réel a,
/»+«
/ /(z)dZ = q>a(O) = Ka=O.
J a
. /»+oo
La fonction a	f(t) dz est dérivable sur R de dérivée -/. Comme est
J a
elle nulle, sa dérivée est nulle, donc f = 0. <
Pour une démonstration du résultat admis par l’énoncé (théorème de.
Liouville) voir page 324.
Le prochain exercice porte sur la convolution dans le cadre de fonctions à
support compact. La convolée f*g de deux fonctions f et g hérite généralement
de toutes les propriétés de régularité de f et g. On le constate dans la première
question ci-après et le lecteur en trouvera une autre illustration dans l’exercice
2.23 du chapitre suivant.
1.58.	Convolution dans l’espace des fonctions à support compact
Soit K (resp. Kc) l’espace des fonctions continues (resp. continues
par morceaux) à support compact de R dans R. Pour x 6 R, soit xx
l’endomorphisme de K défini par
V/ g K, Vz g R, t,(/)(z) = /(z-x).
1. Pour f g K et g G Kc, on pose
Vx G R, (/*g)(x)= f f(x-t)g(t)dt.
Jr
I.58. CONVOLUTION DANS L’ESPACE DES FONCTIONS À SUPPORT COMPACT
109
Montrer que f * g appartient à K.
2. Soit T un endomorphisme de K commutant avec xx pour tout x e R
et tel que
V/eK, ||T(/)|k < ll/lloo-
Montrer que
V(/,g)eKxKc, T(/*g)=T(/)*g.
> Solution.
1.	La fonction f est continue et à support compact donc elle est bornée.
On a :
•	la fonction x f(x - t)g(t) est continue sur R pour tout réel t ;
•	la fonction t i-> f(x - t)g(t) est continue par morceaux sur R pour tout
réel x ;
•	pour tout (x, t) e R2, |/(x- t)g(t)| C ||/||co|g(t)| et la fonction ||/||oo|g|
est intégrable sur R car continue par morceaux et à support compact.
D’après le théorème de continuité des intégrales à paramètre, f * g est
continue.
De plus, si f est nulle hors du segment [-a, a] et g nulle en dehors du
segment [-b,è] alors, pourx £ [-(a + b),a+è], on/(x-t)g(t) = 0 pour tout
réel t. En effet, soit t £.[-&, b] et g(t) = 0, soitx -1 £ [-a, a] et /(x -1) = 0.
Ainsi f * g est à support compact inclus dans [-(a + b), a + £>]. Elle est dans K.
2.	Soit f e K. Ori commence par démontrer la propriété dans le cas où g
est la fonction indicatrice d’un intervalle [a, b]. Soit F une primitive de f. Il
faut noter que F n’est pas nécessairement à support compact. Pour que / ait une
primitive à support compact, il faut que / f = 0. On a, pour tout réel x,
JR
b
f(x - t)dt
/(t)dt = F(x - a) - F(x - fe) = xa(F)(x) -Tfc(F)(x),
—b
etdonc/*g = xa(F)—t/,(F). On montre de même que T (/)*g = Ta(H)-Tfc(H)
où H est une primitive de T(/). On a donc
(T(/) * g)' = Ta(T(/)) - Tb(T(/)) - T(xa(/) - Tfc(/)) = T((/ * g)'),
car T et la dérivation commutent avec xa et tj,. On pose
(/*g)W = [ /(x - r)g(t) dt =
JR
o = /*g = Ta(F)-Tb(F).
110
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
On a O' -	~	suffit de montrer que (T(4>))' = T(®'), car alors
on aura (T(/ * g))' = (T(/) * g)' et les deux fonctions étant à support compact,
on en déduira que T(/ * g) = T(/) * g.
Posons cp = «K Nous avons
O(x + h) - <ï>(x)	-<H
<p(x) - lim---------------= hm---------------(x)
h-40 h	h—*o h
pour tout x e R. Montrons que la fonction	—— converge uniformément
vers <|> quand h tend vers 0. La fonction f étant continue à support compact,
elle est uniformément continue. Soit e > 0 et q > 0 tel que |x - y | < q implique
|/(x) - y(y)| < e. Supposons que \h| < q. On a alors, pour tout réel x,
\	«(x + zo-fcfx)
-----r------<P W =---------t--------f(x - b) + f(x - a)
\	“	/	h ..
_ (F(x-a + h)-F(x-a))-(F(x-b + h)-F(x-b))
—	h	\J\X **) J\* * * * x Vf)
i / px-a+h	px—b+h	\
= r /	(/(O - /(x - a))dr - /	(/(t) - /(x - h))dt .
« \Jx-a	Jx—b	I
Comme |/(r) -f(x-a)\ < epourx e [x-a,x-a + h] et |/(r)-/(x-&)| < e
pour t e [x - b,x - b + h], on en déduit
T_fe(0>) -<&	\
—ï.----------CP w
h	/
C2e
Cela est vrai pour tout x donc ||——— - <p||	< 2e. La fonction
~ converge uniformément vers cp. Comme T est continue pour
la norme uniforme, on en déduit que la fonction T	—— j converge
uniformément vers T(cp). Comme T est linéaire et commute avec xx pour tout
i • c r-h(T(cb)) — T(<I>)	t a * t/ x
x, cela signifie que —converge uniformément vers T(cp). On
en déduit que T(C>), c’est-à-dire T(/ * g) a pour dérivée T(cp) = T((/ * g)'),
ce qui permet de conclure que T(/ * g) = T(/) * g.
La convolution et T étant linéaires, on en déduit que T(/ * g) = T(/) * g
pour toute fonction en escalier. Mais nous savons que pour tout segment [a, b]
l’ensemble des fonctions en escalier est dense dans l’ensemble des fonctions
continues par morceaux sur [a, £>]. On en déduit que l’ensemble des fonctions
en escalier est dense dans Kc. Soit g e Kc et (gn)neH une suite de fonctions
en escalier qui converge uniformément vers g. Alors (/ * gn)neN converge
uniformément vers f * g (et, de même, (T(/) * gn)nGfi converge uniformément
vers T(/) * g). En effet, on a pour n E N et x 6 R,
\f *gn(x) -/*g(x)| = [
J 3.
f(x-t)(gn(t)-g(t))dt
C||g„-g||oo [ \f\
*/R
L59- équivalent d’une intégrale partielle
111
donc ||/ * gn - f * g H.» < ||gn - g||„ / 1/|. On a donc, par continuité de T,
«/R
T(/*g) = lim T(f*gn)= lim T(/) * gn = T(f) * g. <1
n—>+oo	n—>4-oo
La fin du chapitre est consacrée à des exercices de nature asymptotiques
souvent assez techniques. La première situation est celle où la variable se
trouve dans les bornes de l’intégrale ce qui permet d’utiliser les théorèmes
d’intégration des relations de comparaison.
1.59. Équivalent d’une intégrale partielle
Soit a et p G C avecRe(a) > 0. On pose Vp(x) = eaxx^. Montrer que
pourx tendant vers l’infini, / \|/p(r)dt ~ ^\|/p(x).
e> Solution.
Notons ai (resp. Pi) la partie réelle de a (resp. P). Par intégration par
parties, on obtient pour x > 1,
a y X yp(r)dr =	- P e^t^dt.
On serait tenté de démontrer que la deuxième intégrale est négligeable devant
la première, mais comme l’intégrande n’est pas à valeurs positives, on va
plutôt montrer que J ea,tP_1dt est négligeable devant |e“*xP| = e“|XxP'.
Remarquons que cette dernière quantité tend vers +oo en +oo par croissance
comparée puisque ai > 0, si bien que le terme constant du crochet <?“ est
négligeable devant elle. D’autre part, en la dérivant, on trouve
d^g'XxP1)- = aie“’xxp’ + Pie^^xP'-1 ~ aie“I%xP1 > 0.
dx	x—>+oo
Cette dérivée est positive au voisinage de +oo et n’est pas intégrable sur [ 1, +oo [.
Comme pour x tendant vers +oo, on a
e^xP’1 = o (eai*x0’ ) = o	,
on peut affirmer que pour x tendant vers l’infini,
Par conséquent,
a f \gp(t)dr = eaxxP + o fe^xP) ~ eaxx^ - yp(x). <
112
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
1.60. Équivalent d’une intégrale partielle et d’un reste
Soit f : R+ —> R* de classe C1. On suppose que XLSX) ------------> 0.
J W X—»+o°
1.	Montrer que pour tout a > 0, /(ux) ~ f(x) quand x —» +oo.
2.	Soit a > 0. Donner un équivalent de /	quand x tend
Jo
vers l’infini.
p+oo
3.	Soit a < 0. Donner un équivalent de /	quand x tend
vers l’infini.
▻ Solution.
1.	Fixons a > 0. Soit e > 0. Il existe A > 0 tel que	e, pour
tout x > A. On en déduit, en intégrant entre x et ax, que pour x > max (A,	,
f'
/ -dr = e|lna|.
J[x,ax] t
Ainsi |ln 'y e| In a\ pour x > A. Cela traduit le fait que la limite en +oo
de In vaut 0. Par continuité de l’exponentielle, le quotient converge
vers 1 en l’infini, autrement dit f(ax) ~ f(x).
2.	La fonction g : t i—»	est continue sur R* et comme il s’agit
d’un O(t“-1) pour t tendant vers 0, elle est intégrable sur ] 0,1]. Par ailleurs, le
quotient est négligeable devant | en l’infini. Donc, par intégration de la
relation o, sachant que x i—> | n’est pas intégrable sur [l,+oo[,
pour x tendant vers l’infini. Ainsi, InXy^Y s’écrit e(x)lnx avec lime — 0
et /(x) = f(l)xeW. On a /(x)xa-1 = /(l)xa-1+e^^ et pourx assez grand,
on a a - 1 + e(x) > -1 et donc /(x)xa-1 > /(l)x'1 = Par théorème de
comparaison, on en déduit que g n’est pas intégrable.
Soit x > 1. Par intégration par parties, on peut écrire
Or, par hypothèse, f (t)ta est négligeable devant 1 = g(f) en +oo. Donc
la deuxième intégrale est négligeable devant la première si bien que
Jo	Jo Ji a
1.61. DÉVELOPPEMENT ASYMPTOTIQUE d’uN RESTE
113
3.	Prenons b g ]a,0[. On a vu que l’on peut écrire f(x) =
avec lim e = 0. Pour x assez grand, on a a - 1 + e(x) < b - 1 et
+00
/(x)^-1 C f(X)xb-1 =
Comme 1 - b > 1,1a fonction g : 11—> f(t)ta~x est intégrable sur [1, +00[. La
fonction 11—>	est négligeable devant g, donc intégrable. De plus, pour
x assez grand, on a 0 < f(x)xa < f(l)xb et, par comparaison, f(x)xa tend
vers 0 quand x tend vers +00. On obtient donc, en intégrant par parties
Jx	Jx
La deuxième intégrale est négligeable devant la première, si bien que pour x
tendant vers l’infini, on obtient
Jx	a
L’exercice suivant concerne le développement asymptotique du reste de
l’intégrale de Gauss.
1.61.	Développement asymptotique d’un reste
r+oo 2
On pose f(x) = / e-f dt.
1.	Donner un équivalent de f en +00.
2.	Donner un développement asymptotique de / à un ordre arbitraire
2
dans l’échelle des fonctions xme~x ,m Ç.Ï.
n	,
3.	On écrit ce développement /(x) - y, Mfc(x) + o(u„(x)). Etudier
*=0
la convergence simple de la série de terme général un(x).
▻ Solution.
1.	Procédons par intégration par parties. Soit 0 < x X. On a
x
2t
2^“'
En faisant tendre X vers +00, il vient
e~*2
fM =
e~f2 .
—x-dt.
2t2
114
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
Comme en +oo, = o(e f2) avec t i—> e ‘2 intégrable et positive sur
[l,+oo[, le théorème d’intégration des relations de comparaison assure que,
lorsque x —» +oo,
e-?2
-^-dr = o(/(x)).
—x^
On conclut donc que pour x tendant vers +oo, f(x) ~
2.	L’idée est de poursuivre une succession d’intégrations par parties. Par
exemple, la suivante donne par les mêmes arguments
f+”e-'2j	(2r)e-'2 J e~xl f+oo3e-f2J e~x*
Jx 2t2 dt ~ /	4r3	" 4x3 Jx 4t4 d? ~ 4x3 ’
quand x tend vers +oo et on obtient donc
—x^	— x^ O /»+□□ —t?	—x^	— x^	/ — x^ \
e x e x 3 / e r , e e x I e x |
r
Il apparaît a chaque etape /
Jx
-t1
^2^-dt. Opérons une intégration par parties :
C+°° e"'2 _ r+°° (2?)e"? _ e~x2 2n + l f+“ e~'2
Jx t2ndJx 2t2"+i	2x2"+1	2 Jx
-t2	! -t2\	-t2
Comme pour t tendant vers +oo, ^n+ï = 0 I I avec ? 1—>	Positive et
intégrable sur [1, +oo[, le théorème d’intégration des relations de comparaison
donne
-t2	-X2
e 1 e x
~z—df =	« .
t2n 2x2,i+1
pour x tendant vers l’infini. On en déduit que
,	e~x2	e~x2 3e~x2
f W	2x	4x3 + 8x5
avec
2n+lx2n+l	v '
Rn+1 (x) =
(—l)n+I(2n + l).(2n - 1).    .3.1 /’+00 e~t2 _ / e~x2
2n+1	J t2n+2 Üt ~~ ° I x2n+J
pour x tendant vers +oo. On obtient donc le développement asymptotique
recherché
2	2	2
e~x	e~x	3e-x
^ = ^--TT + -TT-
2x	4x3	8x5
7	!	7
(-l)n(2n)!e-J	/	e~x
22n+i n !x2n+I + ° I x2n+1
1.Ô2. ÉTUDE D’UNE INTÉGRALE INDÉFINIE
3.	Nous avons pour x > 0 et n e N, un(x) =
la règle de D’Alembert :
(-l)"(2n)!e-Jc2 .	..
22n+in!x2n+i ' Appliquons
Un+l(X)
un(x)
(2n + 2)(2n + 1)
4(n + l)x2	n—>+oo
Cette limite prouve que la série y un (x) diverge pour tout x > 0. <
Dans l’énoncé suivant on s’intéresse à la régularité d’une intégrale
indéfinie.
1.62. Étude d’une intégrale indéfinie
▻ Solution.
Comme la fonction f : 11—> e'i* est continue sur ]0,x], de module constant
égal à 1, elle est intégrable sur ] 0, x] en vertu du théorème de comparaison.
Comme f est de classe C°° sur R*, on en déduit qu’il en va de même pour F.
On a F(0) = 0 et |F(x) | < |x| pour tout x + 0, donc F est continue en 0. On a
pour x non nul, F'(x) = e^x donc F ne peut être de classe C1 sur R. Etudions
cependant sa dérivabilité en 0. Si x > 0, on peut effectuer le changement de
variable y = y qui est de classe C1 et strictement monotone :
r+°° eiy/x
f(x) = x ~yrdy-
Le taux d’accroissement de F en 0 vaut donc
F(x) r+0° eiyix *
-----= /
x Ji y2
On va montrer qu’il tend vers 0 lorsque x —> 0. Pour cela on se ramène à un
segment. Soit e > 0 et A > max(l, e-1). On coupe l’intégrale en A en notant
que
< r°^_ = L
" Ja y2 A
piy/x
~rdy
y2
Pour l’intégrale sur [1, A] on effectue une intégration par parties :
iy/x
y2
A fA eiy^x
~2ix / -^-d>-
i Ji r
116
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
Il est clair que cette expression tend vers 0 lorsque x —» 0 (l’exponentielle est
bornée). Il existe donc q > 0 tel que si |x| < q on a < 2e. Ainsi, F est
dérivable en 0 avec F' (0) = 0. <
Pour obtenir la limite nulle à la fin on a démontré un cas particulier du
lemme de Riemann-Lebesgue avec une intégrale généralisée. L’énoncé suivant
fait démontrer le cas général.
1.63. Lemme de Riemann-Lebesgue généralisé
Soit T e R* et f : R —> C une fonction continue T-périodique.
1. Donner une condition nécessaire et suffisante sur f pour qu’elle
possède une primitive T-périodique.
2. Soit g : R —> C continue par morceaux et intégrable sur R.
Déterminer la limite de / /(Xx)g(x) dx quand X tend vers +oo.
JR
▻ Solution.
1. Si f possède une primitive T-périodique, alors toutes ses primitives sont
^x+T	px
T-périodiques. Cela est réalisé si, pour tout réel x, / f(t')dt = / f(f)dt,
Jo	Jo
p x+T
c’est-à-dire / f ( L) dt = 0. Mais, comme f est T-périodique, on sait-que
px+T
la valeur de /	/(t) dt ne dépend pas de x. La condition cherchée est
/•T X
donc / f(t) dt = 0 c’est-à-dire que f est de moyenne nulle.
Jo
2. Nous allons montrer que pour toute fonction g : R C continue par
morceaux et intégrable sur R
f f(kx)g(x)dx--------f f f g.
Jr	X->+oo 1 Jq jr
On note que l’intégrale est bien définie pour tout X puisque g est intégrable et
f est bornée sur R (car /(R) = /( [0, T]) est compact). Quitte à retrancher sa
i fT
valeur moyenne y / f à f, on peut supposer que f est de valeur moyenne
J 0
nulle. On va alors se ramener à un segment. En effet, supposons avoir montré
/•b
que / /(Xx)g(x) dx----------> 0 pour tout segment [a, b]. Soit e > 0. Comme g
Ja	X—>+oo
p+oo	p—a
est intégrable sur R on peut choisir a tel que /	|g(t) |dt + /	|g(t) |dt < e.
Ja	J—oo.
On a alors, pour tout X,
z»+oo
/ /(Xx)g(x)dx
J—oo
n/ik+ r/(xx)g(x)dx
J-a
1.64. CALCULS DE LIMITES
117
et le majorant est inférieur à e||/||oo + e pour X assez grand. Il reste donc à
prouver le résultat sur un segment [a, b] quelconque. C’est facile lorsque g est
de classe C1 car il suffit d’intégrer par parties. En notant F une primitive de f
on a
[ /(Xx)g(x)dx =
J a
«àl* -1 fF(WW<u
j a J a
et, comme F est bornée (puisque T-périodique et continue), il est clair que cette
expression tend vers 0 lorsque X —» +00. Lorsque g est seulement supposée
continue, on peut prolonger le résultat par un argument d’approximation. Le
théorème de Weierstrass assure que g est limite uniforme sur [a, fe] d’une suite
(Pn) de fonctions polynomiales. La suite de fonctions X 1—> / /(Xx)P„(x)dx
J a
/•b
converge alors uniformément sur 1R+ vers la fonction X 1—> / /(Xx)g(x)dx
J a
car, pour tout X e R+, on a
pb	pb
I /(Xx)P„(x)dx - / /(Xx)g(x)dx
a	Ja
< ll/ll-O’ - «)l|Pn -glloo
et le théorème d’interversion des limites permet de conclure. Enfin si g est
seulement continue par morceaux, il suffit de découper le segment [a, b]
selon une subdivision admissible pour g pour se ramener au cas de fonctions
continues. <1
Le lemme se généralise directement à une fonction g définie et intégrable
sur un intervalle I quelconque. On pourra l'utiliser dans l’exercice suivant qui
étudie des limites selon une variable qui se trouve à la fois dans les bornes et
dans l’intégrande.
1.64. Calculs de limites
f% COS V
Continuité, limites en 0 et +00 de f : x 1—> / -7	7 - dy.
JO y/x2-y2
t> Solution.
Montrons que f est bien définie pour x ï 0. Il s’agit de montrer que
la fonction gx : y g [0,x[i—> ,c?sy est intégrable. Elle est continue, et
yx2 - y2
lorsque y tend vers x, (y e [0,x[), on a
cos y
y/x2 — y2
|cosy|	|cosx|
Vl*-?ll* + y| VI* -ylV^M
118
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
Comme y e [0, x[i—>	, 1 est intégrable, d’après le théorème de
y\x-y\
comparaison gx est intégrable. Effectuons le changement de variable z = -y :
J0 yjx2 — y2 J0 y/x2 - (-z)2 J0 Vx2 - z2
=-/(-*).
La fonction f est définie sur R* et est impaire. On l’étudiera donc sur R£.
Soit x > 0. Effectuons dans f(x) le changement de variable u = pour se
débarrasser de la variable x dans les bornes d’intégration :
= r1	= r'
Jo y/x2 - x2u2 J o V1 - w2
Notons cp(x, m) = p0Ur % > 0 et w g [0,1 [. À u fixé, x i-» <p(x, u) est
VI — u2
continue sur R+- De plus, pour tout x > 0 et u g [0,1 [, on majore ainsi
, , 1 1
]<p(x, w)| <	<	---
V1 - U2 V1 - M
avec m i—> . 1 intégrable sur [0,1 [. Il en résulte que x i-> f cp(x, u)du est
V1 - u	Jo
continue sur R+. Il s’ensuit que f est continue sur et que
lim/(x)= / <p(0,w)dw= /	“ - = [arcsin(n)]* = ~
*->°+ Jo	Jo y/l-u2	2
On a donc /(0+) = 5 = -/(0-)- Donc f n’est pas continue en 0.
La limite en +oo est une conséquence du lemme de Riemann-Lebesgue
généralisé : la fonction u 1 2 est	sur IA H et fonction
cos est de valeur moyenne nulle donc f tend vers 0 en +00 (et aussi en -00
par imparité). Lors de l’oral on pourra bien entendu redémontrer le résultat
directement en faisant une intégration par parties. <1
Les énoncés suivants concernent des cas où la variable est un paramètre
de l’intégrale. On commence par trois études asymptotiques de transformées
de Laplace.
1.65. Étude asymptotique d’une transformée de Laplace (1)
+°° (_i)nni
1. Préciser le domaine de convergence de la série y, v -n+1 ’
n=0 x
2. Déterminer un développement asymptotique en +00 de la fonction
/• +00 —xt
définie par/(x) = J y^-dt.
1.Ô5- ÉTUDE ASYMPTOTIQUE d’uNE TRANSFORMÉE DE LAPLACE (1)
H9
▻ Solution.
1. Notons an le terme général de la série qui a un sens pour x e R*.
Si x 0, on a	qui tend vers l’infini. La règle de D’Alembert
lûnl PH
indique que y, an diverge et le domaine de convergence est donc vide.
p-Xt
2. Pour x > 0, la fonction 11—> yyy est continue sur R+ et intégrable en
vertu du théorème de comparaison puisque yyy = o (-y) quand t tend vers
l’infini. La fonction f est donc définie sur R*.
Pour x tendant vers l’infini, e~xt écrase l’intégrande si bien que l’on peut
imaginer que la contribution est concentrée vers 0. Or, sur [0,1 [, la fraction
i	+°°
yyj s’écrit y (-l)nt". Comme cela, n’est pas valable sur tout R+, on va se
n=0
ramener à une somme géométrique finie en écrivant
i i tN+l ,N+1 N	,N+1
— = —_________ + L__ = V (-D'Y1 + -____
1+t	1+t	1+t	’	1 + t
En injectant dans l’intégrale et en remarquant que chaque intégrale existe, on
obtient
N
n=0
tne~xtdt + /
Jo
+°° jN+lg-xl
—--------dt.
Le changement de variable u - xt
donne
de classe C1, strictement monotone nous
/ tne~xt
o
r+“ _uun du _ r(n + l) _ n!
Fq	rn x	Yn+^ rn+l
n+1
0
+oo ,N+1 p-xt
z i f, dt. Si
Ainsi, on a /(x) = y 1 /+1 + RnW avec
n=0 x
nous prouvons que R„(x) = o (tIh) Pour x tendant vers oo, nous aurons à
notre disposition un développement asymptotique de f dans l’échelle des
C’est le cas puisque
r>t^_(N+i)!
'o	xN+2 “
On conclut que pour x tendant vers l’infini
n=0 x
L’exercice suivant est plus général et concerne une fonction quelconque
développable en série entière en 0 et contrôlée par une exponentielle en +oo.
120
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
1.66. Étude asymptotique d’une transformée de Laplace (2)
1. Soit A, B et K trois réels strictement positifs et f e C°(R+,R+).
On suppose que /(f) < KeB< pour tout t > 0 et qu’il existe une suite
+oo
de réels (an) telle que f(t) = y attk, pour tout t G [0, A]. Donner un
fc=O
développement asymptotique à tout ordre, quand x tend vers +<», de la
f+00
fonction G : x i—> / e~txf(f) dt.
J 0
2. Soit a e R. Donner un développement asymptotique à tout ordre,
/•+°o _
quand x tend vers +oo, de la fonction g : x >-> / e~tta~l dt.
▻ Solution.
1.	Soit x g R. On a, pour tout t G R+, 0 C f{t)e~tx <	On
en déduit que la fonction t i-» f(t)e~tx est intégrale sur R+ pour x > B. La
fonction G est donc définie sur ]B, +oo[.
La série entière est de rayon de convergence R supérieur ou égal
à A. Quitte à diminuer A, on peut supposer 0 < A < R. La série y, aktk
est alors normalement convergente sur [0, A]. On cherche un développement
asymptotique quand x tend vers +oo. Pour cela on va couper l’intégrale en deux
et remplacer f par la série entière sur [0, A]. Soit n G N. On écrit, pour x > B,
/•A	p+oo
G(x) = / e~txf(t)dt + / e~txf(t)dt
Jo	J Al
A +oo	p+oo
^e~txakik dt+ / e~txf(t)dt
k=0	J&
n pA	pA +oo	p+co
= 2 / e~txaktkdt+ / e~txaktkdt+ /	e-?x/(r)dt.
fc=O "'O	'0 k=n+l
On a, pour tout k g [[0, nj,
4-oo	-j p 4-oo
e~ltuk du--T—r / e~uuk dw.
JxA
On a / e Uuk du = k ! et
Jo
p+oo	p+oo
0< / e~uukdu^e~^ / e^^M^dM
JxAl	JxAl
p 4-co
/ e~uukdu = 2k+1e~^kl.
1.66. ÉTUDE ASYMPTOTIQUE D’UNE TRANSFORMÉE DE LAPLACE (2)
121
Le dernier terme est négligeable devant toute puissance de — On a donc
On montre que les deux autres termes sont également négligeables par rapport
à On a, pour t e [0, A],
F, e txaktk
k=n+l
+□0	+oo
< 5] e~‘x\ak\tk ^ln+1e~tx £ laJA^"-1
fc=n+l	fc=n+l
On en déduit
e txaktkàt
fA	TIÆ ?xA
/ Mzn+1e“'*dz = —/ un+1e~udu
'o	Xn+2 Jo
M(n+ 1)!
rn+2
Enfin, on a
Ke~(*~B)A _ / 1 \
x - B ° \xn+1 / ’
Finalement, on obtient le développement asymptotique
2.	On effectue un changement de variable pour se ramener au cadre de la
première question : on pose u = j - 1. On obtient, pour x > 0,
z»+oo	/»+oo
g(x) = / g-xfu+O^ci + M))a-1 jcdw =xae~JC / e-JC“(l + m)“-1 du.
Jo	Jo
On cherche un développement asymptotique de l’intégrale. On montre qu’on
peut appliquer le résultat de la première question avec f : t (1 + z)“-1. On
a f(t) < (1 +r)la-1l = ela-1lln(1+z) sg pour tout z > 0. D’autre part,
pour z e [0,1 [, on a le développement en série entière
/(z) = (l + z)a-1
122
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
La fonction vérifie les conditions voulues avec A=;y,B = l,K=|a-l|
et ajç —
vers +oo,
pour tout k e N. On obtient, pour tout n e N, quand x tend
g(x) = xae x
fc=O
n(«-j)
yk 4"1
k
n(« - j)e~x
±j"x^-a
fc=O x
Dans l'énoncé suivant on s’intéresse à un équivalent en 0+ d’une trans-
formée de Laplace.
1.67.	Étude asymptotique d’une transformée de Laplace (3)
> a.
Soit a e Ret/ : R+ -» R+ de classe C1 telle que
1.	Pour m e R*, calculer la limite de quand x tend vers +oo.
Jr 4-oo
e~txf(x) dx converge.
o
3.	On suppose a > -1. Montrer qu’il existe C > 0 tel que
C
t
o
▻ Solution.
x f' (x)
1. Soit e > 0. Il existe A > 0 tel que yçy E [a - e, a + e], c’est-à-dire
a - e	/'(x)	a + e
x	" y(x) x
pour x > A. Supposons m 1. En intégrant les inégalités précédentes sur
[x, mx], on obtient,y pour x > A,
. x. , f(mx) .	.,
(a - e) Inm In — , x < (a + e) Inm.
/(x)
On a donc lim In -^2”^ = a In nz = In ma et donc
X—>4-00	f \X)
f(mx)
lim —— x = m .
/(X)
I.67. ÉTUDE ASYMPTOTIQUE D’UNE TRANSFORMÉE DE LAPLACE (3)
123
Si m < 1, les inégalités changent de sens mais le résultat est identique.
2.
La fonction x 1—>
xf'{x)
/W
est continue sur [1, +00 [ et possède une limite
finie en +00 donc elle est bornée. Soit K e R. un majorant. Pour x > 1, on a
ln/(x)-ln/(l) = f	[ ydr = Klnx
Ji JV) Ji t
et donc /(x) < /(l)xK. Pour t > 0, la fonction x i-> e~xt f(x) est continue
sur R+ et positive. On a e~xtf(x) < /(l)xKe-;t' pour x > 1 et la fonction
x 1—» /(l)xKe~xf est intégrable sur R+, donc la fonction x n-> e~xtf(x) est
également intégrable sur R^.
3. On suppose a > -1. Par le changement de variable u = xt, on obtient
Jo	t Jo j\t) tj \t)Jo yJH
f «
Pour r et w dans R*, on pose g(t,u) = e~u—Soit u > 0. D’après la
/(I)
question 1 (avec m = w), on a lim g(t, u) = e Uua.
La fonction h : u 1—> e~uua est intégrable sur car a > -1 (cela assure
l’intégrabilité sur ]0,1]). Pour appliquer le théorème de convergence dominée
/-+°O _ f [t] r+oo
et conclure que lim / e “ —m- du = e Uua dw = C > 0, il suffit de
r^o+Jo yl|j Jo
montrer une relation de domination.
Soit e e ]0,a + 1[. Il existe A > 0 tel que que e e, a + E],
pour t > A. On note M un majorant de f sur [0, A].
On suppose que t < ce qui ne restreint pas la généralité car on veut faire
tendre t vers 0. Soit u > 0.
•	Si y > A, on montre comme dans la question 1 que si u > 1, on a
et donc
r ii <1
(a - e) ln m In —
HD
(a + e) Inw
Si u < 1, les inégalités changent de sens. On a donc, pour u tk,
0 g(t,u) e “max(u“ e,m“+e).
124
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
•	Si “ A, on a f (“) M. D’autre part, comme | > A, on a toujours
par la même méthode (zA)“+E <	(zA)“-E. Si a - e > 0, de ZA < 1,
on déduit (zA) “ E < 1. Si a - e < 0, de zA > u on déduit (zA)“ 6 E. On
obtient donc, pour u ZA,
e““M
0^g(x,M)«—— (1+m“-e
J
Comme a + e > a-e > -1,1a fonction cp définie sur R* par
g «M
cp(u) = e~u max(u“~E, w“+E) +	(1 + w“-E
est continue et intégrable sur ] 0, +oo [ et majore g (z:, u) pour tout t <	, ce qui
donne la domination souhaitée et permet de conclure. <J
Dans l’énoncé suivant on utilise un développement en série entière pour
obtenir l'équivalent d’une intégrale à paramètre:
1.68. Équivalent d’une intégrale à paramètre (1)
1. Soit (a„)neN une suite réelle avec an = o j en l’infini. Montrer
que pour x tendant vers 1 “, on a
+oo
/W = 2a"x"=	-*))•
n=0
2. Soit u e 10,1 [. On pose 1„ = f . n „ • Donner un
J L E R Jo <(1 -f2)(l _p2f2)
équivalent de lorsque p tend vers 1_.
> Solution.
1. Il s’agit d’un résultat classique (voir l’exercice 3.38) : la relation de
négligeabilité sur la suite des coefficients va se transmettre en une relation
de négligeabilité sur les sommes des séries entières au bord de l’intervalle de
+oo n
convergence. On a en effet, 2	= -ln(l-x) pourx e ]—1,1 [.Redémontrons
n=l
ce résultat dans ce cas particulier. Notons que par comparaison, la série entière
définissant f est de rayon supérieur ou égal à 1. Soit e > 0. Il existe «o > 1 tel
1.68. ÉQUIVALENT D’UNE INTÉGRALE À PARAMÈTRE (1)
125
que pour n > hq> C — Ainsi, on a pour % e [0,1[
l/WI <
Hfl-1
X anxn
n=0
mq-1
Z anxn
n=0
+ e|ln(l — x)|.
no-1
Z anxn
n=0
Comme lim  ,,
|ln(l -x)|
= 0, pour x proche de 1 par valeurs inférieures, on a
|/(x) | < e| ln(l -x)| + e| ln(l -x)| = 2e|ln(l -x)|.
On conclut que pour x tendant vers 1 , f(x) = o(ln(l - x)).
2. Il convient de vérifier que IR est bien définie pour p e ]0,1[. La
fonction t i—> ,	„ 1	est continue sur f0,1F et, en 1, elle est
V(i-t2)(i-p2t2)
équivalente à -^===À=-j^=- Elle est donc intégrable en vertu du théorème
de comparaison. On va développer la première racine en série entière.
1 +co 1-1/2\
Pour toutx e [0,1 [, on a = Z I (-x)" et donc formellement,
V1 - X n=Q \ n )	
nous pouvons écrire
Laissons pour plus tard la justification de l’interversion série-intégrale et
r i
notons a„ = J ^==dt. En posant x = arcsinf (changement de variable
licite car de classe C1 et strictement monotone), on trouve a„ = / sin2" xdx.
Jo
On reconnaît là les classiques intégrales de Wallis d’indice pair. Une intégration
par parties montre que 2na„ = (2n - l)an~i et on obtient
«n
2n — 1	_ (2n — l)(2n - 3) • • • 1
2n n 1	(2n)(2n - 2) • • • 2
'^n^2 5 en fais31*! apparaître les facteurs pairs pour obtenir
ce qui donne a„ =
(2n) ! au numérateur. Par ailleurs, on a par la même opération
/-l/2\ =	+	= l-3---(2n-l) = (2n)l
\ n )	n\ 	2"n!	4"(n!)2
12Ô
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
Finalement, nous trouvons
2	9 +oo
71 7=0
^=2^
L n=0
série
En utilisant au choix la formule de Stirling (prouvée dans l’exercice 1.35) ou
/•îc/2
l’équivalent classique des intégrales de Wallis / sin" tdt -
Jo
volume 4 pour une preuve), on obtient an ~ et le coeffic
entière en p ci-dessus est donc équivalent à 
+□□ „2»l
D’après la première question, la différence entre IR et y,	est négligeable
n=l
+oo 2n 1	-	•
devantln(l - p). Or, y xi— =	ln( 1 - p2)-----j ln(l - p) lorsque p —> 1_.
On conclut donc que lorsque p tend vers l-, on a
IM ~ ln(l - p).
Il reste à justifier l’interversion série-intégrale pratiquée au début de la question.
Notons fn la fonction t i—>	^2_=- Elle est positive, intégrable
+oo
sur [0,1 [ et y fn converge simplement sur [0,1 [ vers une fonction continue.
n=0
Comme y f fn =	est une série convergente, le théorème
•/ o
d’intégration terme à terme nous assure de la validité de l’interversion. <i
Dans l’exercice suivant on utilise essentiellement un encadrement pour
obtenir l’équivalent.
1.69. Équivalent d’une intégrale à paramètre (2)
Soit s e ] 0,1 [ et u : R —> R de classe C2, intégrable sur R.
1. Justifier la convergence, pour tout réel x, de
f u(x + y) + u(x - y) - 2u(x)
----------dï'
2. On fixe x. Déterminer le comportement de I(x, s) quand j tend
vers 1.
l.ÔÇ- ÉQUIVALENT p’UNE INTÉGRALE À PARAMÈTRE (2)
127
▻ Solution.
1. On fixe x. Comme l’intégrande est paire, il suffit d’étudier la convergence
de
+0° u(x + y) + u(x — y) - 2u(x)
-------------
On pose fs(y) - u(x + y> + u\X+2sy'>—• Soit a > 0. Sur [a, +00[, on a
0
IÆ(y)l <
|w(x + y)| + |«(x-y)| 2|u(x)|
al+2s	yl+2s
La fonction y i->	—Zll + 2I“MI est intégrable sur [a, +00[
comme somme de deux fonction intégrables : pour la première cela résulte de
1 ’intégrabilité de w ; la seconde est une intégrale de Riemann avec 1 + 2s > 1.
Donc fs est intégrable sur [a, +00 [ et on peut dire que
fsMdy
2||w||i + |u(x)|a 2s
q1+2s	s
— MOjiS
y	/ Ci
Etudions maintenant / /s(y)dy. Quand y tend vers 0, la formule de Taylor-
«/o
Young donne m(x + y) + (x - y) - 2w(x) = w"(x)y2 + o(y2) et donc lorsque
y —» 0 on a fs(y) = O 2}-i j et J fs(y)&y converge car 2s - 1 > 1. Cela
montre la convergence de I(x, s).
2. On fixe x. Soit e > 0. Il existe a > 0 tel que
, u(x + y) + u(x — y) — 2w(x) r	.	,,, .
Vy e ]0,a], —------------v ”-----------— e [m"(x) - e,m"(x) + e].
r
On a alors
ra dv n2-2s
Comme J	on en déduit
o2-2l(«"(x) - e)	, o2-2’(«"(x) + e)
-----------------------------------------------------
et donc, en utilisant la parité et l’inégalité démontrée dans la première question
q2-2j	a2~2s
---	(u" (x) - e) - 2Ma , < I(x, s) < --(u" (x) + e) + 2Ma s
1 - s--------------------------------------1 - s
128
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
c’est-à-dire
a2"2s(«"(jc)-e)-2Ma.s(L-i) < (l-s)I(x,s) < az-Zi(w"(X)+e)+2Ma>s(l-s)
Quand s tend vers 1, a2-2s(w"(x) - e) - 2Mas(l - s) tend vers w"(x) - e
et a2~2s(u"(x) + e) +2MQiS(1 - s) tend vers w"(x) + e. Il existe donc q e ] 0,1[
tel que, pour s G [1 - q, 1 [, on ait
u"(x) — 2e < (1 — s)I(x, s) < u"(x) + 2e.
On a donc lim(l - s)I(x,s) = u"(x). En particulier si u"(x) # 0, on
J—>1
obtient I(x, s) ~ u-,	• <3
S->1	1	1
Le dernier thème de cette série d’exercices asymptotiques est la méthode
de Laplace. Elle concerne la recherche d’un équivalent lorsque t —» +°o
d’intégrales à paramètre de la forme
p+oo
/ g(x)ethMdx,
Jo
où la fonction h qui est dans l’exponentielle présente en un point, disons par
exemple en 0, un maximum assez net. L’idée fondamentale de Laplace est que
c’est ce qui se passe au voisinage de 0 qui apporte la contribution principale
à l’intégrale lorsque t —» +oo et qu’on peut remplacer g et h par leur parties
principales en 0. Le premier exemple illustre bien la démarche.
1.70. Méthode de Laplace (1)
f+0° i
On définit, sous réserve d’existence, I(X) = /	---- ,  dx.
Jo (l+x2)*-
Déterminer la limite puis un équivalent de 1(X) quand X tend vers +oo.
g-y Au voisinage de +oo, on a fx(x)------donc
On pose A(x) = 7^
▻ Solution.
1
X
I(Â) est défini pour X > A- Pour toutx > 0, on a lim A(x) = 0 et, pour X > 1
Z	X->+oo
et x > 0, on a 0 < f>.(x) < —La fonction x i-> —étant intégrable
1 +xz	1 + x
sur R+, le théorème de converge dominée s’applique et donne lim I(X) = 0.
X—>4-00
On écrit I(X) - [ e-XIn(1+x2l dx. La fonction x n-> - ln(l + x2) est
Jo
décroissante sur R+, donc maximale en 0 où elle est équivalente à -x2. Lorsque X
tend vers +oo ce sont les valeurs de x proches de 0 qui importent dans l’intégrale
L71: MÉTHODE DE LAPLACE (2)
129
/*+°o	. 2
et on peut s’attendre à ce que I(X) soit équivalent à J(X) = / e~Kx dx.
JO
Cette dernière intégrale se ramène à l’intégrale de Gauss en posant u = >/Xx ;
elle vaut Nous allons montrer que c’est bien l’équivalent cherché en
quantifiant. Soit e e ]0,1[ et a > 0 tel quex2(l - e) < ln(l + x2) < x2(l + e)
pour x e [0, a]. On a alors
fe'M^dx^ pAOOdx^ P e-^-^2 dx,
Jo	Jo	Jo
c’est-à-dire
i z-aŸMl+e)	fa	i	/-a-\/X(l-e)
	/ e~x dx < / A < ~F= / e~x dx
-^X(l + e) Jo-	Jo ^X(l - e) Jo
/•a-^Xfl+e) _ 2	/-aŸX(l-e) _ 2
Comme /	e x dx et	e x dx tendent vers l’intégrale de
r+°° _xz V5E	2	j
Gauss J e dx = on a pour X assez grand
1 v» r,,,,	1
1 + e 2ŸX Jo kX 1 - e 2VX
De plus, par décroissance de x 1—>	2 sur. [a,+00 [, pour X > 1, on
a-----U5-5- < ---—^7 si bien que
(1 +x2)x	(1 + a2)*1- 1 1 +x2
-f-ao	।	j» 4-00
A(x)dx <	/	-
(1 +a2)x 1 Jq	1
On peut conclure. Soit e' > 0. Comme y-L et tendent vers 1 lorsque
e —> 0+, on peut choisir e de sorte que 1 + y et > 1 - y - On a
alors, pour X suffisamment grand
rr p+oo	r~
AWdx<(l+e')-ï-
2"vX Jo	2vX
et l’équivalent annoncé est démontré. <
1.71. Méthode de Laplace (2)
/»+uo
Donner un équivalent quand n —> +00 de In = /	(1 + x)ne-njcdx.
Jo
130
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GENERALISEES
▻ Solution,
f+oo	.	. „	f +OO
Onal„ = /	((l+x)e	*) dx	= /	f(x)n dx, avec f : x 1—> (1 +x)e	x.
La fonction f est strictement décroissante sur R+- On applique la méthode de
Laplace qui consiste à démontrer que la principale contribution à l’intégrale In
est obtenue pour les valeurs proches de 0.
On a au voisinage de 0, /(x) = eln(1+JCL* =	Soit a e ]0,1[
[2	2	1
-^-(1 + a), _^r(l _ a) pourx e [0, q]. On
a alors
/• t] 2	/• n	(* n 2
/ e-nV(1+“)dx< / f(x)"dxC / e-"VU-“)dx,
0	Jo	Jo
et donc par changement de variable affine et multiplication par \[n
—	I n.(l+a)	>—	/n(l-a)
2	2	/”i	V2	2
——= / e x dx < -\fn / f(x)n dx <	 / e x dx.
V1 + a Jo	Jo	V1 - a Jo
f
Comme les deux intégrales tendent vers /
Jo
grand
-X2 J V7'
e dx = on a pour n assez
„ U+“)
dx <	----
Vt1 -“)
pourx > q et
V(l + a) V 71 Jo
Par ailleurs, on a, puisque f décroît, f(x)n <
n
n
Comme/(q) e ]0,1[, on en déduit lim -i/tf f /(x)"dx = 0. Ainsi, pour
n—>+oo V	Jt\
n assez grand, on a 0 < J /(x)"dx < a et
1 - a < 2n < 1 + a
V1 + a ’ 71 V1 - a
Soit e > 0. Comme les deux expressions qui encadrent tendent vers 1 quand a
tend vers 0, on peut choisir a tel qu’elles appartiennent à [1 - e, 1 + e]. Pour n
assez grand on a donc
1 - e <
On peut conclure que I„ ~ quand n tend vers +00. <
1.72. MÉTHODE DE LAPLACE (3)
131
L'exercice suivant applique la méthode de Laplace pour obtenir un
équivalent de la valeur en x des polynômes de Legendre. En effet, le n-ième
polynôme de Legendre est
La suite (Ln)„>o est Une base orthogonale de R[X] lorsqu'on munit cet espace
du produit scalaire intégral (P, Q) i—> J" PQ. La formule de Laplace montre
1	1
que, pourx 1, Ln(x) = ± J (x + yx2 — 1 cos 0)"d0.
1.72. Méthode de Laplace (3)
Soit x > 1 et pour tout n e N,
ln = / (x + Vx2 - 1 cos 0^ d0.
Déterminer un équivalent de In quand n tend vers +oo.
▻ Solution.
Le cas x = 1 étant trivial, on suppose x > 1. Pour simplifier les écritures on
pose x = ch u, avec u > 0 et donc Vx2 - 1 = sh u. On écrit
f ^nln(chw+shucos0)^Q
0
et on pose, pour tout 0 e [0,1], /(0) = ln(ch u + shu cos 0). La fonction f
est strictement décroissante sur [0,1], Il va en résulter que la contribution
principale à l’intégrale provient d’un voisinage de 0. Précisons cela en
commençant par chercher un développement limité de f en 0. On a
/(0) = ln - ^^02 + o(02)j = u + In	—q2 + o(02)j
shue~“ 2 /n2x
= u------— 0 + o(0 ).
Soit a e ] 0,1 [. Il existe 5 e] 0, n [ tel que, pour tout 0 e [0,5], on a :
shu	shu .n,.	.
u----—e 02(1 + a) < /(0) C u-------—e 02(1 - a).
En intégrant ces inégalités sur [0,5], on obtient :
(* nshwe-“(l+Œ)	f	nsh«e-“(l-a) n2
e / e-----------’^~LQ à.Q< enfmdd^enul e------------------2---0 d0 .
Jo	Jo	Jo
o
Un
132
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
Pour tout A > 0, on a
où 1 - f e “2dw = (voir l’exercice 1.40). On en déduit que
J R+
an .
~	, et vn	~	,
yi + a n->+0° V1 - a
s e"“VÆ
ou a„ = ,	=
V2nsh«e “
Soit e g]0,1[. On a lim 	- lim  — =. 1. On peut donc choisir
“-*0 V1 + a “-*° V1 - a
a g ]0,1 [ tel que , *  > 1 - e et — < 1 + e et le 5 correspondant. Par
VI + a	VI - a
définition d’un équivalent, on peut trouver N g N tel que, pour n > N, on ait
un > an(l - c) et vn < bn(l + e) et donc
r6
a„(l-e)< / e"/(0)d0 < an(l + e).
Jo
Nous allons démontrer que f en^0>d0 est négligeable devant an. La fonc-
J 5
tion f étant strictement décroissante sur [0, k] on a n/(0) < nf(5), pour
tous 0 6 [5,7t] et n G N, et donc
P En^d0«^5).
Jo	Jo
On a
„n/(5)
lim —jnj— = lim	= 0,
n—>+oo g	n—>+oo
Vn
car /(ô) < /(O) = u. On en déduit que [ en^Q>dQ est négligeable devant
J 6
an. D existe N' g N tel que, pour n > N', on a
0 < y* e"^(0^d0 < ane.
On a alors, pour n max(N, N'),
— e) C ûn(l + 2e).
On conclut que I„ ~ an.
n—»+oo
1.73- MÉTHODE DE LAPLACE (4) .
133
En remplaçant eu par sa valeur x + Vx2 - 1 et sh u par la sienne Vx2 - 1,
on obtient
nr(x+y/x^î)n^
&n ~	~ \l n l~~  —
y/2n sh w V yjy/x2 _ i
On conclut que I„ ~
H—*+oo
(x + Vx2 -1)"+^
(x2-l)ï
Le dernier exemple ci-après est particulièrement technique.
*1.73. Méthode de Laplace (4)
1. Soit a et b dans R*. Déterminer un équivalent quand x —» +oo de
p 4-oc
I(x) = / e~ttb~ïe~xl" dt.
Jo
2. Soit a e ]0,1 [ et b e R*. Trouver un équivalent quand x —> +oo de
p 4-oo
J(x)= /	e^t^e*1" dt.
Jo
> Solution.
1. Soit x > 0. L’intégrale qui définit I(x) est bien convergente car on
ae~ttb~le~x‘a ~ -3-^,avec 1 — b < 1 ete~ttb~ie~xt° =
t->o /	r-»+oo \tzJ
Le terme xta tend vers +oo quand x tend vers +oo. Pour se ramener à un
terme qui tend vers 0, on fait un changement de variable. On pose u = xta,
c’est-à-dire t = (. On obtient
I(x) = /	a e~u—-m»-1 du = —r- / e~^a	Au.
Jo	'x' axs	axâ Jo
Si on pose cp(x,t) = e~(x)ae~uu«~\ on a lim cp(x,t) = e~uu«~A pour
X—>+00
tout r > 0 et pour x>0ett>0, 0< cp(x, t) < e~uuâ~l. La fonction
u i—> e-“w°-1 est intégrale sur R+. Du théorème de convergence dominée, on
déduit lim [	e~(*^a	du = T (77) et donc
x-H-00 Jo	\ “ /
*34
CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
2. L’intégrale qui définit J (x) converge car l’intégrande est encore équivalente
à -J-r- en 0 et en +oo, on a -t + xta
A-b
~ —t donc pour t assez grand, on
ae ttb lext° < e ztb 1 = o La méthode employée dans la première
question ne donne rien car on n’a pas de relation de domination, car c’est e
qui assure la convergence de l’intégrale.
On va utiliser la méthode de Laplace. L’intégrande est tb-^e-t+xt . On fait
un changement de variable pour le mettre à une constante près sous la forme
ub-\ea{-u+ua)où a ne dépend pas de u. Pour cela, on pose t - uxT~^. On
obtient
,	f+°°	1	h_,	a
J(x)=xï^ /	du
Jo
= x& f+O°ub-jexT^(-u+ua)du.
Jo
On pose X = x	et on cherche un équivalent de K(X) = f ub~}ex^~u+u“^ du
JO
quand X tend vers +oo. On pose g(u) = et h(u) = -u + ua. La fonction h
possède un unique maximum strict en c = aAS et h" est strictement négative.
Onah(u) = h(c) +	9C^ h"{c) + o((m - c)2). Nous allons montrer qu’au
voisinage de c, on peut remplacer h(u) par son développement limité et g(w)
par g(c), et que le reste de l’intégrale est négligeable.
Soit e G ]0,1[. Puisque g(c) > 0 et h"(c) < 0, on a g(u) ~ g(c) et
h(u) - h(c) ~ 11 (u ~ c)2 quand u tend vers c et il existe a > 0 tel que,
pour t g [c - a, c + a], on ait
ft"(c)(l + e) O"(r) ^"(c)(l-e) et g(c)(l-E) Cg(t) ^(c)(l+e).
On en déduit
rc+a.	f-c+a
(1 - E)g(c)exft(c) / e-Xft"(c)(1+E)dw C / g(u)exh<u> du
Jc~et.	Jc-a
Ij(X)
/•c+a	,	-2
C (1 + o)g(c)exh!c) / rLxh"(c)0-E)dH.
Jc-a
I2(X)
Pour tout A > 0, on a, par changement de variable affine,
/• c+a	i /-on/ÂX
IA(X) = /	e-^-^2 du = -L= e-f2 dt.
Jc-a	VAX J-a^/AX
1.73- MÉTHODE DE LAPLACE (4)
135
Comme / e f2 dt - y/ïi, on en déduit Ia(X) ~
JR	X—>+oo
I1<'X)x^y-h''(c)X(l + e) et l2(X)xJ+oo^-/i"(c)X(l-e)'
a/Ott
On pose F(X) =---,	'	— Pour X assez grand, on a donc
y-X/î"(c)
1Z^F(X)< r+\(«)exft(“) dn -^:F(X).
y 1 + e Jc-a	Vl - e
Par ailleurs on a, pour u > c + a et X > 1,
Xft(w) = (X - l)/i(w) + ft(w) < (X - l)ft(c + a) + h{u)
et donc
/» +00	p +00
/	g(n)ex,’(“) du	/ g(w)e/l(“dw.
Jc+a	Jc+a
Comme h(c + a) < h(c), on a [ g(u)eXh<-u^ du = o(F(X)). Il en est de
Jc+a	X—>+co
même pour / g(u)exh<-u> dw. Ainsi pour X assez grand, on a
Jo
[^==-e]f(X)^ f+ g(M>x/lWdn	(—z== + F(X).
Les quantités - e et ^+2e +e tendant vers 1 lorsque e tend vers 0. Ainsi,
pour tout 5 > 0, en prenant un e > 0 suffisammment proche de 0 pour que ces
quantités soient dans [1 - 5,1 + 5], on a (1 - Ô)F(X) < K(X) < (1 + 5)F(X)
pour X assez grand. Cela traduit que K(X) ~ F(X)etJ(x) ~xT^F(X). Comme
1	a	-I
X = x>-“, h(c) = a ‘-o (1 — a),g(c) = a et h (c) = (a - 1)0^-°,
on obtient finalement
J(x)	(!-«).<
*^+°° Vl - a

Chapitre 2
Suites et séries de fonctions
Jusqu’au xixc siècle, la notion de convergence d’une suite de fonctions est
utilisée sans qu’on soulève les questions fondamentales qu’elle pose. Cauchy,
dans son Cours d’Analyse de l’École Polytechnique (1821 ), pense même pouvoir
démontrer la continuité de la somme d’une série de fonctions continues. Abel
relève l’erreur et donne l’exemple de la somme de la série X	gUj
n’est pas continue. Cauchy donnera un énoncé exact en 1853, en utilisant, mais
sans la nommer, une hypothèse de convergence uniforme. C’est Seidel et Stokes
qui donnent la notion générale de convergence uniforme vers 1848.
Rappelons qu’une suite de fonctions (/n)n>o définie sur un ensemble X à
valeurs réelles ou complexes converge uniformément vers f sur X si pour tout
e > 0 il existe un rang N à partir duquel l’écart |/(x) - /n(x)| est majoré
par e pour tout point x de X. La convergence uniforme fournit un critère
particulièrement simple pour obtenir la continuité de la limite f lorsque les
fonctions fn sont toutes supposées continues. Elle n’est toutefois pas nécessaire
comme on pourra s’en rendre compte en faisant l’exercice 2.11. Par ailleurs,
la convergence uniforme ne conserve pas la dérivabilité. Les suites et séries
de fonctions permettent ainsi de construire des fonctions continues partout et
dérivables nulle part. Le premier exemple d’une telle fonction a été proposé par
Bolzano en 1833 (voir l’exercice 2.19) mais les manuscrits sur l’étude de cette
fonction n'ont été redécouverts qu’en 1920. En 1861, Riemann a montré que
+o° .	2
la somme de la série trigonométrique f(x) = X Sln” ~ n’est dérivable qu’en
n=l n
les points de la forme avec p et q entiers impairs. Peu après, Weierstrass
publie en 1872 une famille de fonctions continues partout et dérivables nulle
part (voir l’exercice 2.18).
Les séries de fonctions permettent de définir de nouvelles fonctions très
importantes : citons les séries de Dirichlet (en particulier la fonction zêta de
Riemann) qui sont très utilisées en théorie analytique des nombres (voir les
exercices 2.6 et 2.14). Mentionnons aussi les séries entières (objet du chapitre
suivant) et les séries de Fourier. Ces dernières ne sont actuellement plus au
programme des classes préparatoires, mais le lecteur trouvera dans le dernier
chapitre quelques exercices sur les séries trigonométriques.
Dans l’étude d’une série de fonctions X /n la convergence uniforme
s’obtient souvent par la convergence normale, c ’est-à-dire la convergence de la
série à termes positifs X ll/n ||«>. On le constatera dans les premiers exercices
ci-après.
137
138
CHAPITRE 2. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
2.1.	Majoration sur une demi-droite
Soit («n)n>i une suite de nombres complexes. On suppose qu’il existe
des nombres réels p > 0 et M > 0 tels que pour tout n e N*, |^-| < M.
+oo
On pose /(z) = ÿj ane2timz.
n=l
1.	Montrer que f existe sur P = {z e C, Imz > 0}.
2.	Montrer que la série converge uniformément sur tout compact de P.
3.	Montrer l’existence de C > 0 tel que pour tout y > 0 et x g R
C
> Solution.
1.	Soit z G P. Posons y = Im z > 0. On a, pour tout n G N,
|a„e2‘™z| = \an\e~2nny C Mnpe~2nny = o (-U •
\n ./
La série y, ane2lT-nz converge donc absolument et f est définie sur P.
2.	La fonction z ।—> Imz est continue sur C. Sur un compact non
vide K de P, elle atteint son minimum y$ > 0. Pour z e K et n e N, on a
donc lane2innzl < Mnpe~2,cnyo. La série y Mnpe~2nny° étant convergente, la
série définissant f converge normalement donc uniformément sur K.
Il s'ensuit que f est continue sur le demi-plan P tout entier.
+oo
3.	D’après la question 1, on a la majoration |/(z)| < MJ npe~2imy pour
n=l
tout z G P où y - Im z > 0. Nous allons utiliser une comparaison avec une
intégrale pour majorer cette somme. Considérons la fonction <p : 11—> tpe~2*‘y.
Il est clair que cp est intégrable sur EL. Étudions ses variations. On a, pour t > 0,
<p'(r) = e-^CpfP-1 -2:ryrp) = e~2My(p - 2nyt).
Posons a = La fonction cp est croissante sur |o, aj et décroissante
sur [a, +oo|\ On va majorer la somme en distinguant plusieurs cas. En
rn
posant «o = L«k on a> Pour « > «o + 2, la majoration <p(n) < / cp(t) dt et
Jn~\
donc en sommant
4-oo	z»4-oo
X <p(«) < / cp(t)dt.
n=n<)4-2	«/no+1
2.1. MAJORATION SUR UNE DEMI-DROITE
139
Sur l’intervalle [a,«o + 1], la fonction (p est encore décroissante. On peut
écrire
/•hq+1
/ cp(r) dï > («o + 1 - a)cp(n0 + 1).
«/a
ce qui, additionné à l’inégalité précédente donne
+00	p+oo	p+oo
y, Cp(n) SÏ / <p(t)dt+(a-no)cp(no+l) < /	<p(0 dt+(a-no)cp(a),
n=n0+l	Ja	Ja
car le maximum de cp est atteint en a. Enfin, comme q> est croissante sur
l’intervalle [0, «o], on a
no
V, <P(«) < «0<P(0t)-
n=l
En additionnant, on obtient finalement
+oo	p 4-00	p 4-00
y cp(n) < acp(a) + /	<p(t) dt < aq>(a) + / cp(t) dt.
n=l	«/a	«/O
Le changement de variable u - 2xty dans l’intégrale donne
p+oo
<p(t)dt = / tpe~2r'ty dt
Jo
1	r+°°
——-—- / wpe Udu
(2jcy)P+I Jo
Par ailleurs, on a acp(a) =
pP+1e-P
(2^)p+1
• On obtient donc \f(z) | < avec
M I r+™	, \
C = , \	/ upe-“dw + pp+e-p .
(2k)p+1 Uo	/
On constate que C est bien indépendant de z e P. <
On notera que l’étude de la fonction f se ramène à celle d’une série
-t-oo
entière si on pose u = e2l7tz, puisqu’on a alors /(z) = y, anun. L'application
n=l
ip : z i—> e2lKZ envoie le demi-plan P sur le disque unité ouvert D privé de 0.
Le résultat de la question 2 s’éclaire : l’image d’un compact K de P par cp est
un compact K' inclus dans le disque D; comme la série entière y anwn a un
rayon de convergence > 1 (par l’hypothèse faite sur la suite (an) ) elle converge
normalement sur K'. Ainsi traduite, la troisième quéstion de l’exercice consiste
à majorer la série entière sur un rayon de D.
La technique de comparaison avec une intégrale utilisée dans la solution
ci-dessus est très générale.
140
CHAPITRE 2. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
2.2. Une décomposition en série de la valeur absolue
Soit f : R —> R la fonction 1-périodique définie par /(x) = x2 pour
tout |x| < y Montrer que pour toutx e R, on a
n=-oo	**
> Solution.
Posons pour tout x réel, cp(x) = ÿ, 2"/( yr)- On va commencer par
n=-oo '	'
prouver que cp est bien définie sur R et même que la série converge normalement
sur tout segment [-A, A] avec A > 0, ce qui permettra d’obtenir la continuité
de cp. Soit A > 0 et no un entier naturel tel que < y ?our x e [_A, A]
et n > no, on a
I \2"/l 2" 2n
Comme f est bornée par |, on a pour tout n < no, ^2nf	4 2~n '
+00	2	"o-1	1
Comme les séries 2 2^ et S 4.2~rt converSent> il Y a convergence normale
n=HQ	n=-oo
sur [—A, A] de la série définissant cp. Comme f est continue, il en va de même
de cp sur [-A, A], et finalement sur R, la continuité étant une propriété locale.
La fonction cp étant clairement paire, il suffit de montrer que cp(x) -x pour
toutx 0. Par un simple changement d’indices, on constate que
tp(2x) = g 2"/(j^)=2 g 2-'/(jij) = 2cp(x).
n——00	~	n=-oo	•"
Calculons la différence cp(x + 1) - cp(x) pourx dans [0,1]. On a
cp(x +1) - <p(x) =	2" (/	) - f (^))
2.3. FONCTIONS CONTINUES PRESQUE AUDITIVES
141
On a clairement cp(O) = 0. La relation prouvée à l’instant montre que cp(l) = 1.
Par l’identité çp(2x) = 2cp(x) on obtient cp( j) = puis cp(^) = Comme
cp(^) = <p(l + |) = <p(|) + 1 = j on a aussi <£(5) = I' Montrons plus
généralement par récurrence sur k > Oquecp(^) = pour tout p e [[0,2fcJ.
On vient de voir à l’instant que cela est vrai pour k = 0,1,2. Supposons le
résultat au rang k. Pour p e [[0,2Æ]] on a directement
en (—] = iœ f—1 = -?- = p
2™\2k) 2 2k 2k+i
Si maintenant p est tel que 2k < p < 2fc+1, alors p' = p-2k est dans [[1,2fc]] et
( p \	1 ( p \	1 Ip' ,\	1/ Ip' \ .\	1	(p’ . \	p
‘P\2*+1 /	2^\2fc/	2^ [2*	+ /	" 2 (<*>\2fcJ	+ /	2	\2fc	+ J	2k+1’
en utilisant l’hypothèse de récurrence.
Ainsi, cp coïncide avec l’identité sur l’ensemble des nombres dyadiques du
segment [0,1]. Cet ensemble étant dense dans [0,1] et la fonction cp .étant
continue, on a cp(x) = x pour tout x e [0,1]. La propriété <p(2x) = 2cp(x)
permet alors de montrer facilement que cp est l’identité sur R+ et donc égale à
la fonction valeur absolue sur R par parité. <
Les fonctions continues f de R dans R vérifiant f(x + y) = f(x) + f(y)
pour tout (x,y) e R2 sont les fonctions linéaires x 1—> ax. C’est un résultat
bien connu. Le résultat reste vrai si on remplace R par un ^-espace vectoriel E
de dimension finie (et la valeur absolue par une norme sur'E). Dans l’exercice
suivant, on montre, qu’une fonction continue f : E —> E pour laquelle la
fonction (x, y) 1—>• f (x + y) - /(x) - /(y) est bornée diffère d’une fonction
linéaire par une fonction bornée. C’est un grand classique des oraux.
23. Fonctions continues presque additives
Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie, muni d’une norme,
et f : E —> E continue. On suppose qu’il existe a > 0 tel que
V(x, y) 6 E2, ||/(x + y) - /(x) - /(y) || < a.
1. Montrer que, pour toutx e E, la suite {^fif(2nx)j une limite g(x).
2. Montrer que g est continue, linéaire et que f - g est bornée.
▻ Solution.
1. Considérons, pour n e N, la fonction gn définie par gn(x) = ^f(2nx).
H résulte de l’inégalité vérifiée par f, dans laquelle on remplace x et y par 2"~1x
142
CHAPITRE 2. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
que, pour n e N et x e R, on a
||g„(x) -g„-i(x)|| = l||/(2"x) -2/(2n-'x)||
Cela montre que la série de fonctions ^(gn - gn-1) converge normalement
et donc uniformément sur E. La suite de fonctions (gn)n>o converge donc
uniformément sur E. Appelons g sa limite.
2. La fonction g est continue sur E car les fonctions gn le sont et la
convergence est uniforme. D’autre part, on a pour n e N et x e E, d’après de
ce qui précède,
"	n a
HgnW -/Wll = llgn(-x) -goWII < y, llgfcW -gk-l(x)||
k=l	k=l 2
En faisant tendre n vers +oo on obtient ||g(x) - y(x)|| < a pour tout x e E,
puisque la norme est continue. Ainsi, la fonction g - f est bornée.
Toujours d’après l’inégalité vérifiée par f, on a, pour (x, y) e E2 et n e N,
llgn(* + T) ~gn(x) - g;i(y)|| = ^Hf(2nx + 2ny)-f(2nx)-f(2ny)ff < ~
En faisant tendre n vers l’infini, on obtient g(x + y) = g(x) + g(y) pour tout
couple (x, y) e E2. Comme nous l’avons dit en introduction, il est classique que
les morphismes continus du groupe (E, +) dans lui-même sont les applications
linéaires x i-» ax. Rappelons la preuve de ce résultat.
Un morphisme de groupe g de (E,+) dans (E, +) vérifie g(Xx) = Xg(x),
pour tout x e R et X e Q. En effet, si X € Z, cela résulte directement du
fait que g est un morphisme. Enfin si X = £, avec (p,q) e Z x N*, on
écrit tjg(Xx) = g(çXx) = g(px) = pg(x), d’où résulte g(Xx) — Xg(x). Si
X e R, on considère une suite de rationnels (Xn) qui converge vers X et on
utilise la continuité de g. On obtient
g(Xx) = lim g(X„x) = lim X„g(x) = Xg(x),
n—>+oo	n—>4-oo
car la fonction X i-> Xg(x) est continue, puisque linéaire entre espaces de
dimension finie. Cela achève de démontrer que g est linéaire. <
Notons que réciproquement toute fonction de la forme x g(x) + h(x),
où g est linéaire et h est continue et bornée vérifie la propriété de l’énoncé.
Il est plus délicat d’établir la convergence uniforme d’une série de fonctions
lorsqu’il n’y a pas convergence normale. Dans ce cas, on peut être amené à
utiliser le critère spécial des séries alternées ou à effectuer des transformations
d’Abel.
2.4- CONTRÔLE UNIFORME DE SÉRIES ALTERNÉES
143
2.4. Contrôle uniforme de séries alternées
On pose pour n e N* et x e R
un(x) = (_l)n sin(sin(... (sin(x))...)).
nfois
+00
Montrer que la série de fonction y, m„(x) converge simplement mais pas
n=l
normalement sur R. La convergence est-elle uniforme sur R ?
▻ Solution.
Posons pour tout n > 1 et tout x g R,
un(x) = sin(sin(... (sin(x))...)).
H fois
On a sin(R) = [-1,1] et sin([-l, 1]) c [-1,1], On en déduit que un(x) e
[-1,1] pour tout n > 1. Sur [-1,1], sinx est du signe de x, donc t>n(x) est du
signe de üj (x). La série de terme général w„(x) = (-l)"u„(x) est donc alternée.
Montrons que y, un(x) vérifie pour tout x e R le critère spécial des séries
alternées. Pourx réel, |sinx| < |x|, donc pour n g N*, |un(x)| < |m„_i(x)|.
La suite (|wn(x)|) est décroissante et minorée par 0. Elle converge donc vers
un réel t. Pour n > 2, |w„(x)| = | sinM,t-i(x)| et par passage à la limite,
sin étant continue, | sin£\ = |£|. En étudiant les fonctions x 1—> sinx - x et
x 1—> sinx + x, on constate que nécessairement t = 0. La suite de terme
général |w„(x)| converge vers 0 en décroissant et la série y w„(x) vérifie les
hypothèses du théorème spécial des séries alternées. La série y m„(x) converge
donc simplement.
Montrons qu’elle ne converge pas normalement sur R, c’est-à-dire que la
série y ||un||oo diverge. Sur [-1,1], la fonction sinus est strictement croissante
et i>i(R) = [-1,1], donc pour n > 2, un(R) = [u„_i(—1),i>„_j(1)]. On en
déduit que ||w,z|[oo = vn-1 (1). Posons pour n > 2, a„ = un~i(l). La suite
(fln)n>2 converge vers 0. Cherchons-en un équivalent par la méthode classique
suivante (que l’on trouvera détaillée dans l’exercice 2.44 du volume 3). Pour
a3
n > 2, on a an+i = sina„ = an —£ + o(a%). Pour a g R, on a donc
an+l an - an
2	\a
l-^+o(a2n)\ -1
144
CHAPITRE 2. SUITES EF SÉRIES DE FONCTIONS
On prend a = -2 pour que l’équivalent soit une constante et on obtient
alors - a„2 ~ X• Comme la série de terme général A (à termes positifs)
n+i	n—»co «J	j
diverge, on obtient un équivalent sur les sommes partielles :
n-2
-2	-2 V* -2	—2
an ~a2 =Zjan+l-an
k=2
n - 3 n
3	n—>oo 3
n	n	i j
d’où a„ ~ — car an tend vers +oo et an ~ -il—- On en déduit que
n->oo 3	n->oo y n
^\an diverge et par conséquent y, ||u,i||co aussi. La série ne converge pas
normalement sur R.
Elle converge cependant uniformément sur R. En effet, pour tout x e R
le théorème spécial des séries alternées permet de majorer le reste d’indice n
comme suit :
+oo
< an-------> 0. <
—*	n—>4-co
k=n
L’exercice suivant est assez délicat. On sera amené à utiliser une transfor-
mation d’Abel.
2.5.	Sommation au sens de Riemann
On suppose que la série complexe y an converge. On pose pour h =# 0,
rti.\	/sinn/i\2
/(/.)=»„+g	.
1.	Étudier l’existence et la continuité de f.
2.	La fonction f admet-elle une limite en 0 ?
> Solution.
1.	La série y, an étant convergente, il existe M >.0 majorant (|a„|). Dans
ces conditions, si a > 0, on peut écrire pour tout |7i| > a,
(sinn/z\2
j I
nh I
M M~
n2h2 n2a2
Cette majoration assure la convergence normale de la série définissant f sur
l’ouvert ]-oo,-a[ U ]a,+°o[ : la fonction f y est donc définie et continue.
Comme a a été choisi quelconque, f est définie et continue sur R* tout entier.
2.5- SOMMATION AU SENS DE RIEMANN
145
2.	Passons a 1 etude de la limite en 0. Comme hm------- = 1, il semble
x—»0 X
+oo
raisonnable d’espérer que la limite de f en 0 est y, an.
n=0
C’est le cas si la série de terme général an est absolument convergente : en
effet, la convergence de la série définissant f est alors normale sur R* (donc
uniforme) puisque pour tout h ± 0,
Le théorème d’interversion des limites justifie la limite attendue.
La situation est plus délicate lorsque la série y, an est seulement semi-
convergente. Nous allons effectuer une transformation d’Abel pour faire
apparaître f comme limite uniforme de fonctions continues. Plus précisément,
nous notons £q(/i) = 1, pour tout h e R, et pour n > 1,
[	1 si h = 0.
+oo
On note d’autre part, Rn = y ak pour tout n > 0 le reste d’ordre n - 1
k-n
+oo
de la série. Pour h 4- 0, on a /(/j) = y anen(/î). On prolonge /'en 0 en
n=0
+co
posant /(0) = Ro = y an. D s’agit donc de montrer la continuité de f en 0.
n=O
Donnons une nouvelle expression de f en effectuant une transformation
d’Abel : soit N > 1 et h réel,
N	N	N	N+l
2flnen(/l) = 2(R„ -R„+l)en(/z) =
n=0	n=0	n=0	n=l
N
= R0 + ^R„(e„(/î) -en-i(A)) -RN+ieN(/i).
n=l
Comme |cn(^)I < 1, la limite de Rn+iEnW est nulle lorsque N tend vers
l’infini. Il en résulte que la série y Rn(e„(/z) - e„_i (/î)) converge et que
+OQ
f(h) = Ro +	~ e»-l W).
n=l
Nous allons prouver la convergence uniforme sur R de cette série de fonctions
en majorant une tranche de Cauchy : prenons h non nul, N > 1 et p > 0. On
146
CHAPITRE 2. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
peut écrire
N+p
2>„(e„(h) - en-i(h))
n=N
N+p
< sup |R„| y |e„(/i) - en-i(/z)|
n>N n=N
N+p < sup|R„iy n>N	n=N	rtlh ji_ । /(n-l)h d« '	sin2 u \ u2 /	du
N+p nnh	j y <sup|R„iy/	— n?N	n=N •>(n-l)h &U		• 2 \ sm u । M2 /	du
r^p)h d /sin2u\			
«S sup |R„| /		, du	
n»N	./(N-	-l)fe dw \	IT /	
	d / sin2 u \		
< sup|R„| / n>N	./&+	du \ u2 /	du.	
La dernière inégalité est justifiée, car la fonction D : u i—>	( sin2 u j est
intégrable sur ]0,+oo[. En effet, d’une part, D se prolonge par continuité
en 0, puisque la fonction u i—>	prolongée convenablement en 0, est
de classe C°° sur R (elle est développable en série entière sur R). D’autre part,
au voisinage de +oo on a
. .	2 sin u(u cos u — sin u)
D(m) =
M3
Le théorème de comparaison assure l’intégrabilité de D.
On remarquera que F inégalité montrée ci-dessus pour h non nul reste encore
valable pour h = 0. En faisant tendre p vers l’infini, le reste de la série se majore
ainsi :
+oo
y Rn(e„(/î) -e„_i(A))
n=N
La convergence de cette série de fonctions continues étant uniforme sur R, la
+oo
fonction f est continue en 0 et on a bien lim f(h) = y\an. <
fc^°	n=0
Il existe de nombreux procédés permettant de sommer des séries divergentes.
Par exemple, on dit qu’une série réelle ou complexe y un converge au sens de
Cesàro lorsque la suite de ses sommes partielles converge en moyenne. Ainsi la
série y,(-1)" diverge au sens usuel, mais converge au sens de Cesàro avec une
somme égale à - Le théorème de Cesàro montre la cohérence du procédé : si
une série converge, alors elle converge au sens de Cesàro avec la même somme.
Un autre procédé classique est la sommation au sens d’Abel : on regarde si la
série entière y unxn a un rayon de convergence supérieur ou égal àlet ensuite
2.6. CONVERGENCE UNIFORME DES SÉRIES DE DIRICHLET
147
si sa somme possède une limite lorsque x tend vers 1 par valeurs inférieures.
Cette limite est alors appelée somme au sens d'Abel de la série. Par exemple
+°° 1
avec un = (-1)" on a	= Pour tout x e] - 1,1[ et la somme
n=0
tendvers j lorsquex —» l-. La série 2(~1)“ est donc aussi sommable au sens
d’Abel avec une somme qui vaut Le théorème d'Abel radial, que le lecteur
trouvera dans l'exercice 3.10, montre que ce procédé de sommation est aussi
cohérent. La sommation au sens de Riemann, objet de l’exercice précédent,
est de même nature. Elle intervient dans l’étude des séries trigonométriques.
L’exercice a fait démontrer la cohérence du procédé.
Les séries de Dirichlet de la forme ont une grande importance en
arithmétique. Si on prend par exemple la suite an constante égale à Ion obtient
la célèbre fonction zêta de Riemann dont les propriétés sont intimement liées
à la répartition des nombres premiers. L’énoncé ci-après démontre un résultat
sur la convergence uniforme des séries de Dirichlet qu’on peut voir comme
l’analogue du théorème d’Abel sur les séries entières (cf. exercice 3.10).
2.6.	Convergence uniforme des séries de Dirichlet
Soit (an)neN e CN et (X„)„eN une suite strictement croissante de
réels qui tend vers +oo. Soit zo e C. Montrer que si la série X a„e-InZo
converge, alors la série 2 converge uniformément sur l’ensemble
{z e C, | arg(z — zo) I < 9o} , où 9q est donné dans 0,	.
▻ Solution.
Notons qu’il suffit de démontrer la propriété dans le cas où zo = 0 : le
cas général s’y ramène en remplaçant la suite (a„) par la suite (a„e_À'lZ°).
+oo
Pour n e N, on note Rn = ak et on pose Dq0 = {z e C, | arg(z)| < 0o}-
Ce domaine est représenté sur la figure suivante :
148
CHAPITRE 2. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
On se donne z = peld un point de Doo avec |0| C 0o et p > 0. Si 0 < N C P,
pp	p-i	p
2 a„e“x"z = X(R„-i - Rn)e-À"z = £ R„e-x"+iz - j] R„g-X"z
n=N	n=N	n=N-l	n=N
P-l
= - y Rn(e“X,,z - e“x"+1Z) - RPe-XpZ +RN_ie-lNZ.
n=N
La suite (R„) est bornée par un réel A et on a
e-rzi _ gRe(-fz) _ g-rpcos9 ^-tpcosSo
La suite Rp e ~ Xpz converge vers 0 quand P tend vers l’infini .Vérifions maintenant
que la série de terme général Rn(e-X"z - e-X"+lZ) est absolument convergente.
On a
/*^n+l	-	f* ^n+1
<p/ |e-tz|dt = p / e-'Pcos9°dt.
Comme la fonction 11—> e~f p cos 00 est intégrable sur R+ et que (R„) est bornée,
la série y Rn(e-X"z - e-X'l+IZ), par comparaison, est absolument convergente.
Pour prouver la convergence uniforme, majorons uniformément en z e Dq0
la tranche de Cauchy puis le reste de cette série. Soit e > 0. Comme le reste de
la série des an tend vers 0, il existe Nq tel que si n > No, |Rn | < e. Si N > No,
on a
P	P-l
< 2 IRnlI^-e-^^l + IRplle-^l + IRN-dle-^l
n=N	1 n=N
En faisant tendre P vers l’infini, on obtient pour tout z. 6 C* avec | argz| < 0q
et tout N > Nq,
1
COS 00
ce qui prouve la convergence uniforme de la série y, ane ?1,1Z sur Doo. <
2-7* ÉTUDE DE LA CONVERGENCE ü’UNE SÉRIE DE FONCTIONS
149
2.7.	Étude de la convergence d’une série de fonctions
Soit (/n)n>o une suite de fonctions continues sur [0,1] à valeurs réelles.
On suppose que \fn(x)/m(x)| < 2_l”-nil pour tout couple (n, m) e N2 et
toutx g [0,1].
1.	Montrer que la série y, fn converge simplement sur [0,1].
2.	Montrer que sa somme est bornée.
3.	La convergence est-elle uniforme sur [0,1] ?
> Solution.
1.	Soit x G [0,1]. Si (/nW)n>o n’est pas la suite nulle, auquel cas la
série y /„(x) converge, on considère un entier m tel que fm(x) + 0. Pour tout
n > m,on a
y— |m-n| om
1/nWI < ^7-z-r < ïy^2-".
ITroWl	l/mWl
La série y |/n(x)| est majorée par une série géométrique convergente, donc
elle converge. La série £/„(x) est donc absolument convergente pour tout
x G [0,1] et la série y fn converge simplement sur [0,1].
2.	Montrons que la somme S est bornée. On a, pour tout x g [0,1],
|s(x)|<^|y„(x)|.
n=0
Soit x g [0,1] fixé. Il existe m g N tel que |/m(x)| = max\fn(x)|. En effet, la
n€N
suite (|/n (x) |),lîso est bornée (elle tend vers 0) et on peut poser M = sup |/„(x)|.
neN
Si M = 0, n’importe quel entier m convient, sinon il existe N G N tel que l’on
ait |/n(x)| < Mpour n > N. On alorsM = sup |/„(x)| = max |/„(x)|etil
0«nCN	0<n<N
existe bien m g [[0, N]] tel que \fm (x) | = M. On a alors, pour tout n g N,
|/„(x)|2 < |/n(x)| |/m(x)| <
et 1/nWI (V2)_lm-"L On en déduit que
]S(x)| < £(<2)-!
m	+00
k=0
y/ï,
m	+co
\m-n\ _ ^('\/2)-fn+n +	(y/2)m~n
n~Q	n=m+l
1 - (V2)-(,K+1)	(V2)-1
1 - (V2)-1 + 1 - (<2)-’
— = (Ÿ2 + 1)2.
Cela est valable pour tout x G [0,1] donc S est bornée sur [0,1].
>5°
CHAPITRE 2. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
3.	La méthode adoptée précédemment ne permet pas de conclure à la
convergence uniforme, car l’entier m dépend de x. Montrons que l’on n’a pas
nécessairement convergence uniforme. Pour tout n € N, considérons la fonction
continue fn : [0,1] —> R, nulle sur |û, ^2\+i ] et > 1]  Prenant la valeur 1
en ÿrr et affine sur [ÿk- ^Tî] et ^]- Voici P31 exemple les
graphes de fo et f\ sur la même figure :
±11 1
16 4	2
Pourra + n, on a fm fn = 0, caries intervalles ]	[ et ] ^L_,	[
sont disjoints. Et pour m = n on a /mW/nW = /n(x)2 < 1, pour tout
x e [0,1]. L’hypothèse de l’énoncé est donc vérifiée.
Cependant la série y, fn ne converge pas uniformément. En effet, en
notant Rn le reste d’ordre n de la série, on obtient, pour tout n e N,
donc (Rn) ne peut pas converger uniformément vers 0. <1
L’exercice suivant est l'illustration de l'utilisation de la comparaison série-
intégrale pour s’assurer d'une convergence uniforme.
2.8.	Comparaison série-intégrale
r+«
Soit f : R4. —» R de classe C2 telle que / f converge et que f" soit
J 0
intégrable sur R+.
1.	Montrer que f et f' ont une limite nulle en +00.
2.	Montrer que la série y /'(x + n) converge uniformément sur R+.
n>0
3.	Montrer que la série y /(x + ri) converge uniformément sur R+.
n>0
2.8. COMPARAISON SÉRIE-INTÉGRALE	151
▻ Solution.
1. Comme f” est intégrable sur R+, l’intégrale f f" = f'(x) - /'(O)
J 0
admet une limite quand x tend vers l’infini. On en déduit que f' admet une
limite a en +oo. Nécessairement a = 0 car sinon on aurait /(x) ~ ax en +oo et
l’intégrale de f ne serait pas convergente.
Il existe A > 0 tel que \f' | < 1 sur [A,+oo[ et comme f' est continue
sur [0,A], elle y est bornée si bien que f' est bornée sur R+. Ainsi, f est K-
lipschitzienne avec K = ||/'||oo. Montrons enfin que f tend vers 0 en +oo.
i rJC+E
Soit e > 0. En écrivant /(x) =	/	/(x) dt, on a
1 fx+E
|/(x)| « /(x) - - J
dt
i rx+E	i
<-/	|/(x)-/(t)|dt + -
e Jx	e
Ke dt +
.	rATo
Ainsi |/(x)| < (K + l)e pourx suffisamment grand puisque / /(tjdttend
vers 0. On en déduit que f admet une limite nulle en +oo.
Dans l'exercice 1.8, on trouve le résultat plus général qui affirme que si une fonction
f est uniformément continue sur K4., d’intégrale convergente, alors f est de limite nulle
en +00.
J/»+00
' f' converge et
0
rx+n+1
donc la série X /	f'(t) dt converge, pour tout x. On compare /'(x + n)
Jx+n
/•x+n+1
à / f' (t)dr pour montrer que la série f' (* + M) converge. Pour x > 0
J x+n
px+n+l
et n e N, posons wn(x) = f'(x + n) -	f'(t) dt. Par intégration par
Jx+n
parties, on obtient
ex+n+l
iin(x) =f'(x + n)-[(t-x-n -	+ / (t — x — n — l)/"(t)dt
J x+n
/•x+n+1
= / (t - n - l)/"(t) dt.
J x+n
rx+n+l
On a alors la majoration |w„(x)| < /	|/"| et le majorant est le terme
J x+n
général d’une série convergente puisque f" est intégrable. On en déduit que
y, m,i(x) est absolument convergente et donc que y, /'(x + n) converge. On va
152
CHAPITRE 2. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
maintenant montrer que le reste converge uniformément vers 0 :
+oo
^f'(x + n)
n=N
+oo	+oo px+n+1
Sik-.wi+ x / rwdf
n=N	?i=N Jx+n
/»+oo
( iri + i/(x+n)|.
x+N
f'^dt
Soit e > 0. 11 existe A > 0 tel que si x A, \f (x) |
Dans ces conditions, pour N > A et tout x > 0, on a
y, f (x + n) U 2e : la
n=N
série y f' (x + n) converge donc uniformément sur BU.
3. Notons F une primitive de la fonction continue f. Elle est de classe C3
et on peut appliquer la formule de Taylor avec reste intégral :
F(x + n+l) = F(x + w)+F'(x + n) + —+	+ f (x + n + s)^—^—ds.
, 2! Jo	2!
En revenant à f cela s’écrit
r”y=/(Jt+„)+z^t f
Jx+n	z JO	Z!
L’intégrale du second membre, que l’on noteraIn(x), est le terme général d’une
série convergente puisque
( 1 — s)
f" (x + n + ts ) -——— d j
x + n + s) | ds
।	/• x+n+1
2 Jx+n
\r\.
Comme l’intégrale de / converge et comme la série y f'(x+n) converge, ainsi
que y In(x), on en déduit que y /(x + n) converge. En sommant sur n > N,
on obtient
/•+OO
A+N
+oo
f = ^f(x + n)
n=N
1 +oo	+oo
~ ^f'(* + ”) +
Z n=N	n=N
I p+oo I z*+oo
Soit e > 0. Choisissons No tel que six No, /	f\+	|/"| ^ e ettel que
pour N > No,
+oo
s/'(•+«)
n=N
U e. Dans ces conditions, on a pour N > No et
OO
2.9- SUITE NE CONVERGEANT UNIFORMÉMENT SUR AUCUN OUVERT
153
toutx e R+,
1
2
i+J
2 Jx+iï
+□0	+00
2f'(^ + n) +2L
n=N'	n=N
/»x+n+l
Jx+n
\f"\
E 3e
2 “ T
La série 2 /(x + n) converge donc uniformément sur R+. <
Quand la convergence n’est pas uniforme, c’est souvent à cause de
problèmes en un point particulier ; dès qu’on se place sur un compact qui
évite ce point, la convergence devient uniforme. Cette situation est toutefois
loin d’être générale. L’exercice suivant donne ainsi un exemple d’une suite
de fonctions continues qui convergé simplement sur R, mais pour laquelle la
convergence n’est uniforme sur aucun intervalle ouvert.
2.9. Suite ne convergeant uniformément sur aucun ouvert
Ori considère fn : R —» R définie par fn = 1, fn(x) =0 pour
toutx eR_U [n>+oo|> et affine sur [o, „] et sur [n> n]- Soit m 1—* rm
une bijection de N* sur Q. On pose, pour t e R,
vi fn (f ~ rm)
SnW = 2j ------------
m=l Z
1. Établir la continuité de gn.
2. Étudier la convergence simple et uniforme de la suite (gn)n>i •
▻ Solution.
1. Pour n fixé dans N*, la fonction 11—>	est continue pour tout
m 1, car fn est continue. Comme \fn | C 1,1a majoration |^n^2Wir'n^-| C
valable pour tout t e R, garantit la convergence normale sur R de la série de
fonctions définissant gn, qui est donc une fonction continue.
2. La suite (/„) converge simplement vers 0. Soit rréel. Pourtoutm > l,on
a	-----> 0. Comme la série V	converge uniformément
2 "^+°° 2
par rapport à n, on a
lim gn(f) = V lim
1—»+oo	! n—»+o
-----— = 0.
2m
154
CHAPITRE 2. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
La suite (gn) converge simplement vers 0.
La convergence n’est pas uniforme sur R : en effet, pour tout t e R,

„ Il II	1
Donc ||gn||oo > sup-------------= -•
reR 2	4
On a même mieux : la convergence de la suite (g„) n’est uniforme sur aucun
intervalle de longueur non nulle de R. En effet, soit a < b. Par densité de Q,
on peut trouver un rationnel rm dans ]a,b[. Dans ces conditions, pour n assez
grand, rm + ± e ja, b[ et
sup gn(t)
te]a,b[
fn(t-rm)
> sup ------------
te]a,b[
1
2'n
La convergence de gn n’est donc pas uniforme sur ]a, b[.
Conclusion. La suite (gn) converge simplement vers la fonction nulle, sans
que la convergence soit uniforme sur aucun intervalle de R de longueur non
nulle. <1
Rappelons ce résultat fondamental du cours : une limite uniforme de
fonctions continues est continue. Comme la continuité est une propriété locale,
il suffit que la convergence soit uniforme au voisinage de tout point du domaine
de définition. Et si celui-ci est un intervalle I, il suffit qu’elle soit uniforme sur
tout segment contenu dans L
2.10.	Fonction discontinue en tout rationnel, continue en tout
irrationnel
Soit g la fonction indicatrice de R+* dans R et n i—> rn une bijection
de N sur Q. Pour x e R, on pose f(x) = y, ' Déterminer les
H=0
points de continuité de f.
▻ Solution.
Il y a convergence normale sur R de la série de fonctions puisque si n > 0
et x e R, on a
g(.x-rn) <
2"	" 2"
Pour tout n e N, la fonction x i—» ^^2"^"' est continue en tout a + rn-
Donc si a est irrationnel, nous avons une série de fonctions continues en a,
2.11. CONTINUITÉ ET CONVERGENCE DE FONCTIONS
155
uniformément convergente. La fonction f est donc continue en tout point
irrationnel.
Si a — rno, la fonction x 1—> y,	est continue en a pour les
mêmes raisons que précédemment. Comme x 1—>’	est discontinùe
en a, f l’est aussi : la fonction f est discontinue en tout point rationnel. <1
Au cours des exercices qui précèdent nous avons utilisé à plusieurs
reprises le fait qu'une limite uniforme de fonctions continues est continue.
L’exercice suivant montre toutefois que la convergence uniforme n'est pas une
condition nécessaire pour garantir la continuité d’une limite simple de fonctions
continues.
2.11.	Continuité et convergence de fonctions
Soit (/rt)neN une suite de fonctions de R dans R. On suppose que cette
suite converge simplement vers f sur R et que, de plus, pour tout e > 0 et
tout n e N,
3«1,.. ,,nr > n, Vx g R, Bk g [[1,rj, \fnk(x) - /(x)| < e.
1.	La suite (/„)„eh converge-t-elle uniformément sur R vers la
fonction /?
2.	On suppose que les fonctions fn sont toutes continues en xq g R.
Peut-on en déduire que f est continue en xq ?
▻ Solution.
1.	Montrons que ce n’est pas nécessairement le cas. Prenons f - 0 et la
suite (fn) définie de la manière suivante : pour n g N, on pose fintx) = 0
pour x < 0 et finÇx) = 2n>+ 1 Pour x > 0. Quant à fzn+i, on le définit
par fin+i(x) = fin(-x) pour tout réel x. La suite (fn) converge simplement
vers la fonction nulle, sans converger uniformément (on a /2n(2n + 1) = 1), et
comme pour tout x G R, on a fïn(x) - f(x) ou /2n+i W = f(x), la condition
de l’énoncé est bien vérifiée.
2.	Montrons la continuité de f en xo lorsqu’on suppose les fn continues en
ce point. Soite > O.IlexisteN > 0 tel que pour tout n > N, |/m(xq)-/’(xo)| < e.
Il existe ni,..., nr > N tels que pour tout x G R, il existe k G [[1, r]] avec
IA*W-/WI < e.
Chaque fonction fnk, pour k 6 [[1, rj, étant continue en xo.il existe q* > 0 tel
que si x G [x0 - q^.xo + q*], alors |/„fc(x) - fnk(xo)\ < e. Notons q le plus
156
CHAPITRE 2. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
petit de ces réels q*. Prenons x e [xq - q,xo + q] et considérons un entier k tel
que |/n|l (x) - /(x) |	e. Dans ces conditions, on a
l/W - /(xo)| C |/(X) -/„,(x)| + |/nt(x) -/„t(xo)| + l/njxo) -/(x0)|
C e + e + e = 3e,
car «t > N et |x - xo| < q*. La fonction f est donc continue en xq. <
Lorsqu’on se place sur un compact X la condition donnée dans l’énoncé
équivaut à la continuité de la limite. En effet, le lecteur pourra prouver que
si (fn) est une suite de fonctions continues qui converge simplement sur le
compact X vers f, alors f est continue si, et seulement si, pour tout e > 0 et
tout n e N,
3nb .. ,,nr >n,yxe X, 3fc e [[1,r], |/nt(x) - /(x)| < e.
Il s'agit toutefois d'une condition de continuité globale. En fait, la continuité
en un point est une notion locale et on peut donner une condition nécessaire et
suffisante générale pour avoir la continuité d’une limite simple en un point a.
Soit (fn) une suite de fonctions continues en a qui converge simplement vers
une fonction f disons sur R. Alors f est continue en a si, et seulement si, pour
tout e > Oil existe un rang N tel que pour n N, on ait |/(x) - fn (x) | < e sur
un voisinage de a (voisinage qui dépend de n).
On voit bien que cette condition est réalisée lorsque la convergence est
supposée uniforme, mais aussi lorsque la suite (fn) est équicontinue en a
(voir l’exercice 2.49 pour la définition de l’équicontinuité). Elle est toutefois
beaucoup moins commode à utiliser que la notion de convergence uniforme.
Nous allons déterminer dans l’exercice suivant les limites uniformes de
fonctions lipschitziennes.
2.12.	Limite uniforme de fonctions lipschitziennes
1.	Soit f : [a, b] K et K e R+. Montrer que la fonction f est
K-lipschitzienne si, et seulement si, elle est limite uniforme d’une suite de
fonctions affines par morceaux et K-lipschitziennes de [a, b] dans R.
2.	Déterminer les fonctions de R dans R qui sont limites uniformes de
fonctions lipschitziennes.
▻ Solution.
1. La limite simple d’une suite (fn) de fonctions K-lipschitziennes est
encore K-lipschitzienne : en effet, on a |/„(x) -	< K|x - y|, pour tous x
et y dans [a, b] et tout n, et il suffit de faire tendre n vers l’infini pour obtenir
2.12. LIMITE UNIFORME DE FONCTIONS LIPSCHITZIENNES
157
le résultat. A fortiori, une limite uniforme d’une suite de fonctions affines par
morceaux K-lipschitziennes est K-lipschitzienne.
Réciproquement si f est K-lipschitzienne, on considère, pour n 1, la
subdivision S„ = |xjt = a +	, £ e [[0, n]] | et la fonction continue affine
par morceaux fn qui coïncide avec f en chaque point et qui est affine sur
chaque intervalle	Comme f est K-lipschitzienne, les pentes des
fonctions affines sur les intervalles de la subdivision S„ sont bornées par K.
Si x et y sont dans [a, b], en intercalant dans la différence /„(x) - /„(y) les
réels f(xk) = fn(xk) pour les k tels que x* e [x, y] on obtient, par inégalité
triangulaire, |/n(x) - /„(y)| < K|x - y|. Les fonctions fn sont donc toutes
K-lipschitziennes.
Vérifions que f est limite uniforme de la suite (/„). Soit e > 0 et «o
tel que	< e. Soit n > no et x e [a, &]. Il existe k e [[l,n]] tel
que x e [x^-j, x*]. On a alors
l/W-/n(x)| < l/(x)-/(xfc)| + |/(xft)-/„(xfc)|+|/n(xfe)-/„(x)|
=0
b — a
2K|x - xt | < 2K------C 2e.
n
2. Une limite uniforme d’une suite de fonctions lipschitziennes n’est pas
forcément lipschitzienne. Considérons par exemple la fonction f : x 1—> VM-
_1	1
n	n
Elle n’est pas lipschitzienne car pour x > 0, on a £121 = _L_-----------> +00.
U yX x—>0+
Cependant si, pour n > 1, on prend fn(x) = f(x) pour x e R\[ - i, i]
et fn constante sur [ - i, ^], égale à /(l), il est aisé de constater que fn est
lipschitzienne et que la suite (/„) converge uniformément vers f sur R.
Une limite uniforme de fonctions lipschitziennes est nécessairement conti-
nue puisque les fonctions lipschitiziennes sont continues. Elle est même uni-
formément continue sur R. En effet, soit plus généralement (fn)neN une suite
de fonctions uniformément continues de R dans R qui converge uniformément
vers f sur R. Montrons que f est uniformément continue sur R. Soit e > 0.
Il existe no G N tel que ||/ - /noII» < e- Soit q > 0 un module d’uniforme
continuité de f^ pour e. Alors si x et y vérifient |x — y | < q, on a
l/(x) - f(y)\ < |/(x) - /„0(x)| + |/„0(x) - /„0(y)| + IA, (y) - /(y)|
<2||/n0-/||M + |/„0(x)-/„0(y)| <3e
i58
CHAPITRE 2. SUITES ET SERIES DE FONCTIONS
et q est donc un 3e-module de continuité uniforme pour/. Comme une fonction
lipsçhitzienne est en particulier uniformément continue, une limite uniforme de
fonctions lipschitziennes est uniformément continue.
Réciproquement, soit f : R —> R uniformément continue. Montrons
qu’elle est limite uniforme d’une suite de fonctions lipschitziennes. Soit e > 0
et q un module d’uniforme continuité de f pour e. Soit N e N* tel que < q.
On pose Xfc = pour k e Z. On considère la fonction g : R —> R, continue,
affine par morceaux, telle que g(xk) — f(%k) et que g soit affine sur chaque
intervalle	On a, pour k e Z
Igfe) -g(*fc-i)l < e =Ne|xft -xfc_]|.
Les pentes de g sur les intervalles [xk-i, xt] sont bornées par Ne et par inégalité
triangulaire, on obtient comme il a été expliqué à la première question que g
est Ne-lipschitzienne. Soit x e R. Alors il existe k e Z tel que x g [xjt—i , x^] et
|/(x) - g(x)| < |/(x) - /(Xfc)l + \f(xk) - g(xt)| + |g(xjt) - g(x)|
< e + 0 + Ne \xk - x| < 2e.
Ainsi, ||/ - g||oo < 2e. En prenant e = et gn la fonction associée, on obtient
une suite de fonctions lipschitziennes (g„) qui converge uniformément vers /.
Conclusion. Les limites uniformes de fonctions lipschitziennes de R dans R
sont les fonctions uniformément continues de R dans R. <1
Lorsqu’on étudie la conservation par passage à la limite d’une régularité
plus fine que la continuité les choses se compliquent. Ainsi la limite simple,
ou même uniforme, d’une suite (ou une série) de fonctions dérivables n’est pas
forcément dérivable, et lorsqu’elle l’est, sa dérivée n’est pas forcément la limite
de la suite des fonctions dérivées. L’énoncé suivant en donne une illustration.
2.13.	Série normalement convergente de somme non dérivable
+°° sin(2"x')
Montrer que la fonction / : x n—> V ——- n’est pas dérivable en 0.
n=l
▻ Solution.
On notera que la série qui définit / converge normalement sur R de
sorte que / est définie et continue sur R. Pour tout entier naturel non nul N,
posons xn = Pour n > N + 1 on a shi(2"xn) = 0, si bien que
* sin(2"xN) * 2 2"xn 2
/On) = 2j------™> Zj —= “N*n
2n 2" ”
2.14- PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION Ç
159
en vertu de l’inégalité de convexité, sinx > ^x valable pour x entre 0 et
Ainsi, lim xn = 0 et	-------> +00. Cela prouve que f
N—>+oo	*N	* N-.+CO
n’est pas dérivable en 0. <
Signalons que l’on peut démontrer en fait que cette fonction f n’est dérivable
nulle part. Le lecteur trouvera un exemple détaillé de fonction continue partout
et dérivable nulle part dans l’exercice 2.19.
L’hypothèse essentielle du théorème de dérivation d’une suite de fonctions
est la convergence uniforme de la suite des dérivées : on suppose que (fn)
est une suite de fonctions de I dans R, de classe C1, qui converge simplement
vers une fonction f et dont la suite des dérivées (/^) converge uniformémentJ
sur I vers une fonction g. Alors f est de classe C1 sur I et sa dérivée est g.
De plus la convergence de (fn) est uniforme sur tout segment de L Le résultat
s'adapte aux séries de fonctions et fournit un outil indispensable pour étudier les
fonctions sommes. L’énoncé suivant concerne l’étude classique de la fonction Ç
de Riemann.
2.14.	Propriétés de la fonction 'Ç
+qo 1	+00 / ixn-1
Soit Ç : x e ] 1, +oo[t-> £ -L et/ :xh j ^-4—
n=l	n=l
1.	Déterminer le domaine de définition Dy de f.
2.	Montrer que Ç (resp. /) est continue sur ] 1, +oo[ (resp. ]0, +oo[).
f txl
3.	Montrer que pour x e ] 1, +00 [ on a Ç(x) = 12^*
4.	Donner un équivalent de Ç au voisinage de 1+ et sa limite en +00.
5.	Montrer que Ç est de classe C°°, convexe et tracer son graphe.
6.	Donner un développement asymptotique de Ç(x) lorsque x —» +00.
▻ Solution.
1.	Pour x < 0, la série qui définit / est grossièrement divergente puisque
son terme général ne tend pas vers 0. Si x > 0, la série est redevable du
théorème spécial des séries alternées : la valeur absolue de son terme général
est décroissant et tend vers 0. Ainsi Dy = R*.
2.	Soit a > 1. Si x > a, on a 0 < C pour tout n > 1 et la série qui
définit Ç est normalement convergente sur [a, +00 [. Son terme général étant une
fonction continue, Ç est continue sur [a, +00 [ et finalement sur ] 1, +00 [ puisque
la continuité est une propriété locale.
1. Notons que comme la dérivabilité et la continuité sont des propriétés locales, il suffit que la
convergence de la suite des dérivées soit uniforme sur tout segment contenu dans I.
i6o
CHAPITRE 2. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
Passons à f. Soit a > 0. Par le théorème spécial des séries alternées, le reste
de la série se majore ainsi : 
Vx > a,
I 1
N* * N"’
La suite des restes converge uniformément vers 0 sur [a, +oo[. La fonction f
est donc continue sur [a, +oo [ et finalement sur
3.	Les séries étant absolument convergentes pour x > 1, on peut sommer
par paquet et regrouper les termes d’indices pairs et impairs. On a donc, pour
toutx > 1,
+oo	1	+oo i	4-oo	-f	4-oo -i
En faisant la différence des deux égalités il vient
+°°	1	1
^)-/W=2g—=
f fx)
ce qui conduit à la relation Ç(x) = J •
4.	La fonction f est continue en 1 et on a /(l) = In(2). En effet on sait
+00 f-lj"-1xn
queln(l+x) = 2 i—n-------Pour lxl < 1 et comme la série converge en x = 1,
n=l
la somme est continue en 1 d’après le théorème d’Abel radial (voir l’exercice
3.10). Par ailleurs, 1 - 21-x est équivalent à -(ln2)(l - x) en 1 ce qui donne
Ç(x) ~
x-»l X - 1
résultat qui peut s’établir également par une comparaison série-intégrale.
Par ailleurs, la série définissant Ç converge uniformément sur [2, +oo [ donc,
d’après le théorème de la double limite, Ç(x) tend vers l+O + -- - + O + -- - = l
quand x tend vers l’infini.
5.	Posons pour n 1 et x > 1, fn(x) =	; la fonction fn est de classe
C°° et pour tout p e N, fnP\x) =	Pour a < b dans ] l,+oo[ et
x e [a, b], on a
। Ap), v lnpn	/ 1 \
fn W < —— = o — ,
na	\n /
où c e ] 1, a [. La série des dérivées p-ième converge normalement sur [à, b] :
on en déduit que Ç est indéfiniment dérivable et que l’on peut dériver terme à
terme. En particulier, on a, pour tout x > 0,
,	Inn	„	ln2n
Ç W = -	— < 0 et Ç (x) = X —;- > 0,
nX «
donc la fonction Ç est décroissante et convexe. Voici l’allure de son graphe :
2.I5. ETUDE D’UNE SÉRIE DE FONCTIONS
161
6.	Soit p e N*. Lorsque x tend vers +00, on a = oj donc on
pressent que
r. . , 11.	1	/ n
2X 3X	px	\px)
Pour cela, il suffit de prouver que
Or cette série converge normalement sur [2, +00 [, puisque six>2etra>p + l,
on a 0 <	qui est le terme général d’une série convergente. Le
théorème de la double limite donne le résultat. <
En calculant on peut préciser le développement asymptotique de Ç
en 1 et montrer que Ç(x) = x 2. j + y + o(l) où y est la constante d'Euler.
Le théorème de dérivation d'une série de fonctions est encore utilisé dans
les exercices suivants.
2.15. Étude d’une série de fonctions
Soit (Xn)new une suite strictement croissante de réels strictement
positifs. On suppose qu’il existe C > 0 tel que |X„ - n2| < Cn pour
tout n > 1. On pose, pour x > 0, /(x) = 2 'n (1 +	'
1. Montrer que f est définie et continue sur R+.
2. Donner un équivalent de /(x) lorsque x tend vers l’infini.
e> Solution.
1. On a, pour n tendant vers l’infini, = n2 + O(n) ~ n2. Si A > 0, on a
pour tout x e [0, A],
„ , L x \ x A A
°<ln 1 + T~ < y < ï--------------2*
162
CHAPITRE 2. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
Il y a donc convergence normale de cette série de fonctions continues sur
[0, A]. On en déduit que f est définie, continue sur [0, A] et finalement qu’elle
est continue sur R+, puisque la continuité est une propriété locale.
2. Si on note /„ : x i—> ln ( 1 + ^- ), chaque /„ est de classe C1, et la série
dérivée y, f„ converge normalement sur R+ puisque pour tout x,
On en déduit que f est de classe C1 sur R+ et que pour x > 0
+0Q	1
rw = S
n=l + X
+o°	1
Posons pour x 0, A(x) = y — Nous pouvons obtenir facilement
n=l n +x
un équivalent de h par comparaison série-intégrale. En effet, comme la
fonction 11—>	— est décroissante sur R+, on a pour n > 1,
n+1 df < 1 < r àt
t2 + X n2 + X Jn-l t2 +x
ce qui donne en sommant de n = 1 à +oo :
r°° =r°°	< r°°
Ji t2 + x Jq t2 + x Jo t2 +x	Jo t2+x
L’intégrale se calcule :
et J	Ainsi, h(x) ~ lorsque x —> +oo.
Pour démontrer que l’on a aussi /'(x) ~ lorsque x —» +oo, il suffit de
vérifier que /'(x) - h(x) = o j • On a
§ (X„+x)(n2+x)	(X„+x)(n2+x)
et donc
-	"	(À.„+x)(n2+x) ''	2(X„+x)(n2+x)
+oo
S
n=l
c
2(X„+x)’
2.16. SÉRIE DE PRIMITIVES SUCCESSIVES
163
car ab C j(a2 + b2) pour tous réels a et b. On a 2(x<~'+%)	2X- ~ ^2>
pour tout réel x 0, donc y, 2(x +x) conver6e normalement et donc
uniformément. D’autre part, on a pour tout n > 1, lim	c—r = 0. Par
F	F	-	x->+-2(X„+x)
+“> r
le théorème de la double limite, on obtient donc lim V	—7 = 0 et a
x-»+ao^ 2(X„+x)
fortiori lim y/x\f'(x) - h(x)| = 0.
Ainsi, quand x —» +00, on a /'(x) - h(x) = o j et donc f'(x) ~
Comme la fonction positive x 1—>	n’est pas intégrable au voisinage de +00,
le théorème d’intégration des relations de comparaison permet de dire que
f(x) ~ n^/x lorsque x —> +00. <1
2.16.	Série de primitives successives
Soit fo : [a, 6] —> R une fonction continue avec a < b. On définit
une suite de fonctions fn : [a, b] —> R par fn+i(x) = fn pour « e N
J a
et x e [a, b]. Étudier et évaluer la fonction g : x e [a, b] 1—>
«=1
e> Solution.
Comme fo est continue, une récurrence immédiate sur n 1, démontre que
la fonction fn est de classe Cn et que = fn-\.
Si la série y, fn converge et si on peut dériver terme à terme, on obtient
+00	00
g'W = X fn = y fn = fo + g-
n=l	n=0
La fonction g vérifie une équation différentielle linéaire du premier ordre avec
second membre dont la résolution avec la méthode de variation de la constante
donne
g(x) = ex( [ /o(?)e"'dtï
\«/ Cl	/
pour tout x e [a, b], compte tenu de g (a) =0.
Il nous reste à justifier l’existence de g et la dérivation terme à terme.
Majorons /n(x) pour x e [a, b]etn '^ 0. Notons Mo = ll/olloo (/o est continue
sur le segment [a, b] donc bornée). On a pour tout x e [a, b],
l/i W| C / Modt = Mo(x-a) et I/2WI = J" M0(t-a)dt =	
164
.CHAPITRE 2. SUITES ET SERIES DE FONCTIONS
Établissons par récurrence sur ri 0 que |/n WI <	. Qn vjent le
vérifier pour n = 0, 1 et 2. Pour n > 3, en supposant l’inégalité au rang n - 1,
on a pour x e [a, b],
Ja	Ja	U*
Mq(x - a)n
n!
En particulier, ||/n||oo < Mo(^_£)_ et ja série £]/„ converge normalement
sur [a, b], ainsi que la série des dérivées. Le théorème de dérivation des séries
de fonctions justifie donc la dérivation terme à terme. <
2.17.	Non existence d’un plongement isométrique
Soit (a„) e Rn, (&„) g (R*)n et/ : x i-» \an+xbn\.
neN
1.	Donner une condition nécessaire et suffi santé pour que / soit définie
sur R.
2.	Montrer que f est continue mais pas.de classe C1. -
3.	En déduire qu’il n’existe pas de plongement isométrique linéaire
du plan euclidien (R2, || Ih) dans (€\ || ||i).
> Solution.
1.	Supposons / définie sur R. En prenant x = 0 et x = 1, il apparaît
que les suites (an) et (an + bn) sont sommables et c’est donc le cas aussi
de la suite (bn). Réciproquement si (an) et (bn) sont sommables alors, pour
toutx G R, on a \an +xb,J < \an| + |x|[bn| et /(x) est bien défini.
2.	Il y a manifestement convergence normale de la série sur tout segment
[-M,M] avec M > 0 puisque si |x| M, |an + xbn[ < |a„| + qui est
sommable et indépendant de x. Comme les fonctions x 1—> |art + xbn[ sont
toutes continues, / est continue sur [-M, M] et donc sur R tout entier.
Étudions la dérivabilité de /. Comme pour b £ 0 la fonction x h \a + bx\
n’est pas dérivable en - on s’attend à ce que / ne soit pas dérivable en les
points xn = - • Fixons un tel point y et posons I = {n G N, x„ = y}, ensemble
non vide mais qui peut contenir plusieurs entiers. On va montrer que / n’est
pas dérivable en y. Pour x g R, x t y, on pose
, z \ /W -f(y) ~ \n ,, Jjt-Xnl - |y-X„|
/i(x) =-------------- > ,	-----------------
x~y	x~y
Cette série converge normalerfi^nt sur R\ {y} puisque, par inégalité triangulaire,
on a, pour n G N et x £ y,
l*nl
k~xn| - |y-x„|
x-y
|(x-x„) -(y-x„)| _
'ni	|.	— \°n 1-
2.18. RÉGULARITÉ DES FONCTIONS DE WEIERSTRASS	165
Regardons la limite lorsque x tend vers y de chaque terme —Xn^. _ —— 
a y
Si y > xtl; alors ce quotient est constant égal à 1 au voisinage de y et la limite
est 1. De même il est constant égal à -1 au voisinage de y lorsque y < xn. En
revanche, si y — xn c’est-à-dire si n e I, on a une limite à droite égale à 1 et une
limite à gauche égale à -1. Par le théorème de la double limite, on a donc
/«(?) = lim	2 1^1 + X \bnI et
s 2-y- x - y
xn>y
/(y) = lin, fW- fM = _ 2 |1.„| + S IK|.
x y z' „eN neN
Xn<y	xnïy
Ainsi f admet en y une dérivée à gauche et une dérivée à droite, mais ces deux
dérivées ne sont pas égales, car f'd(y) - fg(y) = 2^ |i>„| > 0, donc f n’est
nel
pas dérivable en y.
3.	Remarquons que ce qui précède reste vrai même si certains bn sont nuis
dès lors qu’il en existe au moins un qui soit non nul. Supposons qu’il existe une
application linéaire isométrique u de (R2, || ||z) dans (f1, || ||i). Soit («1,62)
la base canonique de R2, et (an)n>o - w(ei), (4’n)n>0 - «(^2)- Comme u est
injective, la suite (£>„) n’est pas nulle. Par hypothèse, on a pour tout x e R,
||ei + xe2||2 = ll«(ei + xe2)lli = X \an +xbn\ = f(x).
neN
Or, dans ce cas, f (x) = V1 +x2 et f est de classe C°° sur R, ce qui est contredit le
résultat montré précédemment. Il n’existe donc pas de plongement isométrique
du plan euclidien R2 dans l’espace éf. <1
L’exercice suivant propose une étude plus délicate de la régularité d’une
+00
série de fonctions : il s’agit des séries du type P" cos(2jta"x), appelée
n=0
fonction de Weierstrass.
2.18.	Régularité des fonctions de Weierstrass
Soit a > 2 un entier et p e ]l,+oo[.
+00
1.	Montrer que la fonction f : x i-> X P“" cos(27ta’’x) est bien
H=0
définie et continue sur R.
2.	Montrer que si a < P alors f est de classe C1. Montrer que si a > p
alors f n’est pas dérivable en 0.
3.	On note p le plus grand entier naturel tel que p <	• Montrer
que f est de classe Cp, mais pas de classe Cp+1.
166
CHAPITRE 2. SUITES ET SÉRIES DE, FONCTIONS
▻ Solution.
1.	Posons fn(x) = P-" cos(27ta"x) pour n g N etx réel. On a ||/,J|do <
P-". Comme p > 1, la série géométrique majorante converge donc la série de
fonctions continues y\ fn converge normalement sur R. Ainsi f est bien définie
et continue sur R.
2.	Les fonctions fn sont toutes de classe C”.
Supposons a < p. Pour tout réel x, on a /„(x) = -2jt
sin(27ta"x),
donc
ce qui prouve la convergence normale de la série
des dérivées sur R. Donc f est de classe C1 sur R et sa dérivée s’obtient par
dérivation terme à terme.
Supposons maintenant a > p et montrons que f n’est pas dérivable en 0.
Pour cela on étudie le taux d’accroissement. On a, pourx > 0 et N g N*,
/(O) -/(x)	1 -cos(2jta"x) Q sin2(7ta"x) > Q yi sin2(jtanx)
* p^ = à * à-
On relie maintenant x et N en prenant xn. =	j^+1 • Pour n < N, on
a 7ta"xN G [0, >y] (car a > 2) et on sait que sinw > si « G [0,
Ainsi,
/(O) ~ /Un)	> £	y (7tctnxN)2	_ 8	i f a2_
*n	" Jt2 P"*n aN+1 \ P / MN’
On a a2 > a > p donc, pour N tendant vers +oo,
Donc (wn) ne tend pas vers 0 (car a > P). Or f atteint manifestement un
maximum en 0 et si f était dérivable on aurait f' (0) = 0, ce qui mène à une
contradiction.
3.	L’entier p défini par l’énoncé est l’unique entier tel que ap < P < œp+1.
On va montrer que f est alors de classe Cp mais pas de classe Cp+1.
Commençons par le cas p = 1. La question précédente a montré que f est
de classe C1 lorsque a < p. Supposons de plus que P < a2 et montrons que f
n’est pas de classe C2. On a /'(O) = 0. Si f était de classe C2, la limite en 0+
de /I2)_/U) serait finie égale à -j/"(0). Or, on peut minorer le rapport
comme précédemment pour x > 0 et N > 0 par
/(O) ~ /U) >? y sin2(7ta,îx)
x2 " éo P”*2
2.19- COURBE DE BOLZANO
167
et, en faisant tendre x vers 0+, il vient
N fJln
N z„2\"
r(Q)
2
n=0
£0 P"
Comme la série X diverge on aboutit à une contradiction.
Passons au cas général et supposons ap < p < ap+1. Pour tout k < p et
tout x e R. on a \f^(x)| <	= (2n)k	, avec < 1 : il y a
convergence normale de X f^ pour tout k < p et on en déduit que f est de
4-0°	, V
classe Cp et f^ (x) = X /„ (x).
n=0
Posons P' = On a par hypothèse 1 < P' < a. Dans le cas où p est pair,
la dérivée p-ième est égale, à un facteur multiplicatif près, à la fonction
anp cos(2na”x) cos(2na"x)
= 2u--------ôïï------= 2j ——
n=0 P	n=0 P
et nous avons vu qu’une telle fonction n’est pas dérivable en 0. Dans le cas où
p est impair, la dérivée d’ordre p - 1 est égale, à un facteur multiplicatif près,
à la fonction
,	cos(2rca"x)
sW = 2j--------------------
n=0	P
cos(27ta"x)
n-°
R	~
avec cette fois-ci a <	< a . Cela correspond au cas p — 1 traité plus
haut : g n’est pas de classe C2. Donc f n’est en aucun cas de classe Cp+1. <1
Les séries de l’exercice précédent fournissent pour > 1 + 4^ un exemple
de fonction continue nulle part dérivable comme Weierstrass l’a démontré
en 1872. Dans ce qui suit, nous allons étudier le premier exemple d’une telle
fonction présenté par Bolzano en 1833 : elle se construit à l’aide d’une suite
de fonctions affines par morceaux.
2.19.	Courbe de Bolzano
On définit la suite de fonctions (/n)neN de [0,1] dans [0,1] par
/o(x) =' x pour tout x et fn+\ est affine sur chacun des intervalles
et vérifie
L3^+1’ ^n+i J
Jn+1 I I Jn I ! •> Jn+Ï I + ^n+l i I ^n+l I
168
CHAPITRE 2. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
/ k	_2_\ _	lk_, 1 'j
et fn+l I gn	jn+l ) —	I 3n	311+1 j
1.	Montrer que |/„(x) - /„(y)| 2n|x - y| pour tout (x, y) e [0, l]2.
2.	Montrer que pour tout x e [0,1], |/„+i W -/«(x)| <
3.	Montrer que la suite (/n)neN converge uniformément vers une
fonction continue f.
4.	Démontrer que pour p e [[0,3”]J, / (^) = fn •
5.	Montrer que f n’est dérivable en aucun point de la forme
où p e [[0,3"]].
6.	Montrer que f n’est dérivable en aucun point de [0,1]. On
considérera la fonction (h,k) 1—>	+	~
▻ Solution.
1.	Chaque fonction fn est affine par morceaux. Le dessin suivant montre
le processus utilisé pour passer de fn à fn+\ sur chaque intervalle de la
forme 4^1] :
et
Si a désigne la pente de fn sur l’intervalle	j, alors fn+\
admet comme pente 2a (resp. -a et 2a) sur les intervalles |^,	+ ^sy]
(resp. + ^y,	et + ^y, La fonction /0 est affine
de pente 1=2°. Par récurrence, on établit donc que les pentes de fn sur
les intervalles où elle est affine sont en valeur absolue comprises entre 1
et 2”. Si x < y sont dans [0,1], il existe une subdivision du segment [x, y]
(x = ûq < aj <   • < ap = y) pour laquelle fn est affine sur chaque ]a(-, a(+i [.
2.1Ç. COURBE DE BOLZANO
169
Dans ces conditions,
p-i	p-i
IAW - AO) I < 2	2" S - at-'।
i=0	i=0
<2"(y-x)=2"|x-y|
et fn est donc 2n-lipschitzienne.
2.	Si on reprend le dessin, on constate que sur l’intervalle	1 j la
différence | fn+ï (x) - fn (x) | est maximale en xq =	et x2 =	,
ce que confirmerait une petite étude analytique laissée au lecteur. D’autre part,
sur les intervalles	et |%2> fn+x ~ fn est affine de pente a, où a
est la pente de fa sur , *3^-] • Comme fa et fa+\ coïncident en et
et |a|	2”, on obtient
|/n+l 01) -/nUl)l - l/n+lfe) -/n(x2)| < 2"
k
X] - —
1 gn
2n
3^
Ainsi, pour tout x e [0,1], |/n+i W - fa(x)\ <
n
3.	Pour tout n e N, on a fn = /o +	- Â-i)- La série de
fc=i
fonctions ^ff„ - fa-f) converge normalement donc uniformément sur [0,1]
puisque ||/n+l - /nlk | (3) • On en déduit que la suite (/„)neN converge
uniformément. En particulier, la limite f de la suite (/n)n eN est continue pui sque
les fn sont toutes continues.
4.	Montrons par récurrence sur k n, que fa = fa (-pr)- C’est
évident pour k = n et par construction pour k - n + 1. Si la propriété est vrai
au rang k > n + 1, alors
fk+x (^) = fk+i
par hypothèse de récurrence.
En faisant tendre k vers l’infini, il vient f (3^ = fa
5.	On considère a = avec p e [[0,3n - IJ. En reprenant la remarque
du départ sur les pentes, la pente de fa à droite de a est un réel a avec |a| > 1.
p3*-n
Pour k > n, lorsqu’on passe de fa en fa+\, la pente à droite de a =	— est
multipliée par 2. Autrement dit, on a
/(a) -/(a + À)
\ 3K )
fa(a)-fa
( 1 \
a H----
\	3*/
= 2fc-n|a|-~
1 3k
170
CHAPITRE 2. SUITES ET SERIES DE FONCTIONS
tend vers +00 quand k
Dans ces conditions, la quantité 3k |/(a) - f\a 
tend vers +00, et f n’est donc pas dérivable en a.
Pour a - 1, on raisonne de même en considérant f (1 - j.
6.	Il reste à vérifier que/n’est pas dérivable en un point a de [0,1] quin’est
pas de la forme ^<avec p et n entiers naturels. Soit n 0 et p e [[0,3" -1J tel
[. La pente de fn sur>|^, PyJ sera notée a, avec | a | > 1.
On pose a0 = ÿï, ai = a2 = et a3 = Alors, pour 1 < j, le
quotient	vaU[ 2a, ±a ou On peut choisir a,-, et a;2 dans
[ao, a[, puis aJI, üj2 dans ]a, a2] de telle manière que les pentes
que a e
fn+l(aji) fn+l(.aii) fn+\(.aji) fn+lifliî)
----------------------et-----------------------
ah ~ ah
ah ah
soient différentes. On a donc
/(a7ï) ~	~ f(ah)
aji ~ ah	aji ~ aiz
a| 1
T " 2’
puisque f et fn+\ coïncident en les points atI, a(-2, ajt et ay2.
Si la fonction# : (h, k) 1—>	+ h\ + —— admettait une limite quand
(h, k) tend vers (0,0) dans R* X R*, sur un voisinage de ce point, les valeurs
de # seraient proche de la limite à moins de | et sur ce même voisinage,
les valeurs de <I> seraient proches entre elles à moins de La minoration
précédente, valable pour tout n > 0, prouve que ce n’est pas le cas, donc # est
sans limite en (0,0).
Raisonnons par l’absurde et supposons que f est dérivable en a. Soit e > 0.
Il existe q > 0 tel que pour |h| < q,
|/(a + /z)-/(a)-V'(a)l < e|ft|.
Si {h, k) e ]0, q[2, on a
k) -f (a) | =------------------——-----------------------
h + k
\f(a+h)-f(a) -hf'(a)\ + |/(a)-f(a-k) -kf'(a)\
h + k
h + k
------- = e.
h + k
Par conséquent, $ admet f'(a) comme limite : c’est contradictoire. Donc f
n’est pas dérivable en a.
Conclusion. La fonction f est un exemple de fonction continue, nulle part
dérivable sur [0,1]. <1
2.20. L’ESCALIER DU DIABLE
171
Nptons que Van der Waerden est aussi à l’origine en 1930 d’un exemple
fameux de fonction continue nulle part dérivable.
Dans l’exercice suivant, on garde la même idée d’une suite de fonctions
affines par morceaux, pour cette fois-ci construire une fonction croissante non
constante qui n’est strictement croissante sur aucun sous-intervalle d'intérieur
non vide.
*2.20. L’escalier du diable
Construire une fonction continue et croissante de [0,1] dans R. telle
que /(O) < /(l) et qu’il n’existe aucun sous-intervalle de [0,1] non réduit
à un point sur lequel f soit strictement croissante.
On pourra faire intervenir l’ensemble triadique de Canton
▻ Solution.
Comme proposé, considérons l’ensemble triadique de Cantor dont on
rappelle la construction. On part du segment Ko = [0,1] et on lui ôte le
tiers du milieu pour obtenir Ki = |o, | j U , 1 ]. On fait de même pour chaque
segment de Kj afin de définir K2 = [0, 5] u [ç> j] u [5, 5] u [|> 1] :
0	1
Ko	;----------------------------;
K’	:--------- ------------------
K2 ------- ----- ------------ -----
On itère ce processus. L’ensemble Kn est donc la réunion de 2" segments de
longueur et la suite (Kn)„>o est une suite décroissante de parties compactes.
On pose K = Kn : K est appelé ensemble triadique de Cantor. Cet ensemble
est compact (en tant intersection des K„ qui sont compacts) et,il est d’intérieur
vide puisque si un intervalle est contenu dans K, il est contenu pour tout n
dans K„ et sa longueur est inférieure ou égale à : il est vide ou réduit à un
singleton. Le complémentaire de K dans [0,1] est donc dense dans [0, l].y
L’ensemble K contient toutes les extrémités des segments des Kn mais 'pas
seulement : on peut montrer que K est indénombrable et qu’il contient en fait tous
+00	•
les réels de la forme	avec (an)n^i E {0,2}N .
n=l 3
172
CHAPITRE 2. SUITES ET SERIES DE FONCTIONS
On pose pour n > 1 et x e
[0,1], fn(x) = 'pf0 ^K„(0dï- La fonction fn
est croissante et continue. Voici les premières fonctions :
/oW =x
fiW
La fonction fn est constante sur chaque intervalle ouvert qui est une
composante connexe par arcs de l’ouvert U„ = [0,1] \ K„ et sur chaque
□ n
segment qui définit K„ elle est affine avec une pente de  Le domaine K„ sur
lequel fn est strictement croissante est de plus en plus petit au fur et à mesure
que n augmente et on va montrer que la suite de fonctions (/n) converge
uniformément sur [0,1] vers une fonction f qui va répondre à la question
posée. Pour cela on va majorer |/n+i (x) - /n(x)|. On a
|/n+l(l) -/n(x)| =
3
2^k„+1W-^k„W dt
Si t n’est pas dans Kn alors il n’est pas non plus dans Kn+i et la fonction
intégrée est nulle en ce point. Grâce à la relation de Chasles on peut donc
couper l’intégrale en ne gardant que les segments de K„ qui coupent [0,x],
Soit [a, b] un tel segment qu’on suppose entièrement inclus dans [0,x]. Ce
segment est coupé en 3 pour définir K„+i et le tiers central n’est pas dans Kn+i.
Voici alors le graphe de la fonction g : 11—>	(t) ~	(t) sur ce segment
[a, b] :
1
2
a
b
Il s’agit d’une fonction en escalier dont l’intégrale est clairement nulle. Ainsi,
la seule contribution à l’intégrale de g est apportée par l’unique segment de Kn
qui contient le réel x. L’intersection de ce segment avec [0,x] est un segment
de longueur inférieure à et comme la fonction g est bornée par 1 on en
2.21. INTERVERSION SÉRIE-INTÉGRALE
173
déduit 1/n+iW -/n(x)| < 57t4f = Onadonc ||/n+i - A II00 < et cela
prouve que la série 2 ( fn+i -‘fn) converge normalement, et donc uniformément,
sur [0,1]. Ainsi, (/„) converge uniformément vers une fonction que l’on note f.
Celle-ci est continue et croissante sur [0,1]. On a /(O) = 0 et /(l) = 1
car /„(0) = 0 et /n(l) = 1 pour tout n.
Montrons que f répond à Ja question posée, c’est-à-dire qu’elle n’est
strictement croissante sur aucun intervalle de [0,1] non réduit à un singleton.
Soit I un tel intervalle que l’on peut supposer ouvert. Comme K est d’intérieur
vide on peut trouver xq e I qui n’ est pas dans K. Il existe alors N tel que xq i Kn
(et donc* £ Knpourn > N). On choisit q > Otelque [xq - H,*0 +t]] c IOÜn.
Sur l’intervalle [xoq, xo + q ] la fonction /n est constante, de même que toutes
les fonctions fn pour n N. On en déduit que f est aussi constante sur cet
intervalle et par suite, elle n’est pas strictement croissante sur L <1
Voici maintenant, deux-exercices qui concernent l’intégration d’une série
de fonctions. Rappelons que la convergence uniforme sur un segment offre une
situation simple où il est légitime de passer à la limite sous le signe intégral
pour les suites de fonctions et d’intervertir intégration et sommation pour les
séries.
2.21.	Interversion série-intégrale
Soit T > 0 et f : [0, T] ;—> C, continue.
1.	Pour n g N et r g [0, T], on pose
+o° /	/»T
fc=0 K  Jo
Etudier la limite simple de la suite (gn)n>o-
2.	On suppose que la suite ( / f(t)er“ drl est bornée. Que peut-
\ J0	'n>0
on en déduire ?
▻ Solution.
1.	Avant de calculer la limite de gn(f), on va transformer l’expression
de gn (0 en échangeant intégration et sommation. Ayant fixé n 6 N et t g [0, T],
considérons la suite de fonctions définie, pour u G [0, T] et k G N, par
VkW =	(-e~n{t~u))k 
La série y, vn(u) converge et
Y, »k(u) = /(«) exp	.
k=0	'	7
174
CHAPITRE 2. SUITES ET SERIES DE FONCTIONS
D’autre part, on a pour tout u 6 [0, T], |i>£(u)| C  ^.}°°	donc y Vk
converge normalement donc uniformément sur [0, T]. On en déduit qu’on peut
échanger intégration et sommation et écrire
/•T	.	.	/»T 4-00	4-00	/»T
/ /(u)exp(-e-,l(t““)) du = / X t>fe(u) du =	/ vk(u) du = gn(t).
0	'	7 Jo k=o	k=0 Jo ~l
Posons, pour tout n e N et u e [0,T], hn(u) = /(u)exp	Il est
immédiat de voir que la suite (hn) converge simplement vers la fonction h
définie par :
h(u). = f(u)	si	u e [0, t[
' ^(M) -	si	u	= t
h(u) = 0	si	u	€ ]t,T].
La fonction h est continue par morceaux donc intégrable sur [0, T]. D ’ autre part,
on a,pour» e N et u e [0,T], |h„(u)| < ||/||». Du théorème de convergence
dominée, on peut déduire que, pour tout t e [0, T],
lim gn(t) = / h(u)du= / /(u)du.
Jo	Jo
2.	Montrons que si la suite I /	dt I est bornée, la fonction f
\ 0	In'^0
est nulle. Pour cela, on utilise la première question.
. On a, pour tout (fc, n) e N2
n>0
ent dt
On note M un majorant de
et tout t e [0, T],
r f^e-^du
k'. Jo
f7 f(u)eknu du
o
e~knt
kl
- k\
< M
On en déduit que
/(u)e-fcn('-M) du
4-oo p-knt
^ME~rr < M(exp(e-"f) - D.
fc=l K-
Pour t > 0, on a lim (exp(e "') — 1) = 0 et donc
n—>oo
lim 2	/ /(u)e-fc'^-“) du = 0.
k- Jo
On en déduit que, pour t e ] 0, T], on a
lim gn(t) = f /(u)du
Jo
2.22. SUR LE THÉORÈME d’iNTÉGRATION d’une SÉRIE DE FONCTIONS
175
(c’est le terme qui correspond à k = 0; il est indépendant de n). On a donc,
d’après la première question, pour tout t e ]0, T],
/" f(u)du~ [ /(n)du.
'0	Jo
La fonction u 1—> f f(u) du est constante sur ] 0, T]. Sa dérivée f est nulle
Jo
sur ]0, T] et, par continuité, f est nulle sur [0, T]. <
L’exercice suivant étudie ce que l'onpeut dire de la convergence d’une série
de fonctions y, |/n(0l sous l'hypothèse que la série des intégrales y, j~ |/n|
converge.	a
2.22.	Sur le théorème d’intégration d’une série de fonctions
Soit (/„) une suite de fonctions continues positives définies sur un
segment [a, b]. On suppose que la série y / fn converge.
J a
1.	Peut-on dire que pour tout x e [a, b], la série y fn (x) converge ?
2.	Montrer que l’ensemble des x e [a, b] tels que la série y fn(x)
converge est dense dans [a, è].
3.	Construire une suite (/n)neN vérifiant les hypothèses de l’énoncé
telle que {x e [a, b], y fn(x) diverge} est également dense dans [a, ô].
▻ Solution.
1.	Une fonction peut avoir une intégrale petite sans être uniformément
petite sur tout l’intervalle. Prenons par exemple l’intervalle [0,1] et posons
pour n > 0, fn(x) = x(n+1^2-1. On a alors f fn = -—L—et ja série y f fn
J 0	\.n 1/	**0
converge. Mais y fn(l) diverge puisque /n(l) = 1 pour tout n. La réponse est
donc négative.
2.	Raisonnons par l’absurde et supposons qu’il existe a < 0<Hans [a, b] tels
que pour tout x dans [a, 0], la série y fn (x) diverge. Soit £ > 0. Introduisons
pour n e N
Q„ = {xe[a,0], X/fc(x)>4-
1	k=0	’
On a c Q„+i> car > 0 pour tout k. De plus, les fk étant continues, Qn est
un ouvert de [a, 0] (en tant qu’imagé réciproque d’un ouvert par une fonction
' N
continue). Enfin, on a [a, 0] = IJ £2„, puisque lim V} fn(x) = +°°, pour
uæn	N^+o° n=0
toutx 6 [a,0].
i-]6
CHAPITRE 2. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
Montrons qu’il existe No e N tel que [a, p] .= Qn0 en raisonnant par
pabsurde. Supposons que, pour tout n e N; il existe xn e [a,.p] \ Qn. De
la suite bornée (xn) on peut extraire une sous-suite convergente (xç(n)) de
limite x & [a, P]. Il existe N tel que x 6 Qn et comme Qn est ouvert
dans [œ, p], pour «assez grand, on a x<p(n) € Qn-C’est impossible car, sin > N,
alors <p(n) N donc Qn c Qq,(n), doncx<p(n) Qn> carxq,(rt) Qq>(n)*
Il existe donc No e N tel que [a, p] = Qn0- Pour toutx e [a, p], on a donc
No
n=0
On a alors

^=0 «/<2	n=0	n=0*'a	*^a n=0
rb
Cette inégalité est valable pour tout t > 0, ce qui est impossible, car y, / fn
J a
éoitverge. Ainsi {x e [a, b],^fn(x) converge} est dense dans [a, b].
Si on admet la propriété de Borel-Lebesgue, de l’égalité [a, P] = £in nn peut
neN
déduire directement, puisque [a, h] est compact et que les £in sont ouverts dans [a, b],
que [a, i] peut s’écrire comme réunion d'un nombre fini de Qn et donc est égal à un
des £ln puisque ceux-ci sont emboîtés.
3.	On va se placer par exemple sur l’intervalle [0,1]. On va construire
des fonctions affines par morceaux qui présentent de plus en plus de pics.
Pour n > 0, on définit ainsi fn : pour tout k e [[1,1n - 1]], la fonction fn est
affine sur - gL ^r] et sur	avec
= 0 et fn - =2».
En dehors de ces intervalles	+ -gn j, fn est nulle. Voici par exemple
le graphe de fi :
2.23. APPROXIMATION POLYNOMIALE PAR CONVOLUTION
177
Pour n G N, on a 0 J fn = (2" - 1) x x2n «S ^r- Par conséquent,
la série Tj f fn converge d’après le théorème de comparaison des séries à
termes positifs.
Pour tout réel dyadique x = appartenant à [0,1], la série ^fn(x)
diverge, puisque fn (x) = 2" pour n no. La série diverge donc sur un ensemble
dense de [0,1], <1
Après avoir étudié les propriétés des limites de suites de fonctions, nous
allons d’une certaine manière inverser notre point de vue et nous intéresser à
l’approximation de fonctions. Le problème est le suivant. On dispose d’un
ensemble F de fonctions à valeurs réelles (ou complexes) définies sur un
ensemble X. Peut-on décrire les fonctions de X dans R (ou C) qui sont limites
uniformes d'une suite de fonctions de P? La plupart du temps on travaille avec
des fonctions bornées. Si on munit l’espace vectoriel des fonctions bornées
sur X de la norme de la convergence uniforme || H,», le problème précédent,
formulé topologiquement, consiste à trouver l’adhérence de l’ensemble F.
Un exemple important de cette situation, étudié en cours, est le théorème
de Weierstrass qui affirme que l’espace des fonctions polynomiales est dense
dans l’espace des fonctions continues de I dans R lorsque I est un segment.
Une démonstration avec l’exemple explicite des polynômes de Bernstein est
présenté dans le chapitre Variables aléatoires discrètes du volume 6 (exercice
4.36). L’exercice suivant donne de ce résultat important une autre preuve qui
utilise la convolution.
2.23.	Approximation polynomiale par convolution
Soit TC l’espace des fonctions continues à support compact de R dans R.
1.	Pour f g TC et g g cK, on pose	( L
p +00
VxeR, (f*g)(x) = f (x — t) g(t)dt.
J—00
Montrer que f * g appartient à TC. Comparer f * g et g * f. >
r 1
2.	Soit f G TC. Pour n g N et x g R, on pose ctl = J (1 - t2)ndt et
(l-x2)"
Kn(x) = -------
Cn
Montrer que (f * K„)„>i converge uniformément vers f sur R.
3.	On suppose que f g TC est nulle hors de ^5,	• Montrer que la
restriction de f * K„ à est polynomiale. En déduire le théorème
de Weierstrass.
178
CHAPITRE 2. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
▻ Solution.
1.	Posons pour (x,f) G R2, h(x, t) = f(x - t)g(t). La fonction g est
intégrable car continue à support compact. De plus, f est bornée pour les
mêmes raisons. A t fixé, x i—> h(x, t) est continue et comme pour (x, t) G R2,
c H/UIgWI,
le théorème de continuité des intégrales à paramètre assure que f*g est continue
sur R. Par ailleurs, il existe M > 0 tel que si |t| > M, f(t) = g(t) = 0. Si
|x| > 2M, alors pour tout t g R on a |t| > M ou |x -1| > M et donc h(x, f) = 0.
On en déduit que f * g est à support compact inclus dans [-2M, 2M], C’est
donc un élément de tK.
Le changement de variables u = x - t donne (/ * g)(x) = (g * /)(x) pour
tout x G R. Le produit de convolution sur TC est commutatif.
2.	On remarque que la fonction K„ est bien dans TC et donc fn = f * K„
aussi. Soit e > 0 et x g R. La fonction K„ est positive, d’intégrale égale à 1,
donc on a, pour n g N,
p +oo
(X) = |/(x) - (/ * K„) (x) | = /	(/(X) - /(x - t))K„ (t) dt
p+OQ
I l/(x)-/(x-t)|K„(r)dt.
— OQ
La fonction f qui est continue à support compact sur R est uniformément
continue. En effet, par le théorème de Heine, elle est uniformément continue
sur [-(M+ 1),M + 1], On prend q g]0, 1] un module d’uniforme continuité de
la restriction à [-(M+ 1),M+ 1] pour e. Pour (x, y) g R2 tels que |x — y | < q,
soit x et y sont dans [-(M + 1),M + 1] et |/(x) - f(y)\ < e, soitx ou y est en
dehors de [-(M+ 1),M +1], alors x et y sont tous deux en dehors de [-M,M]
et /(x) = f(y) = 0. Dans tous les cas, on a |/(x) - f(y)| < e.
En prenant q g ]0,1], un module d’uniforme continuité de f pour e, on a
A„(x) < f eK„(t)dr+ f	|/(x) - /(x - t)|Kn(t) dt
J - q	J ]-oo,-q]u[q,+oo[
«e f K„(t)dt + 2||y||„ f ° K„(t)dt
J — 1	J ]— oo,-q]U[q,+oo[
(1 — q2)"
E+ 4||/||oo--
Cn
car f	K„(t)dt = 2 f K„(t)dt C 2K„(q)(l - q) C 2K„(q).
</]-oo>-t|]u[t]j-+-oo[	*/q
Il reste à minorer cn. On a
c„ = 2 ‘ (1 -12)” dt > 2 /%i_t2)"dt = -A_(i_;2)n+1]J = _L
Jo	Jo	n+1	JU n+1
2.24. autour du théorème de WEIERSTRASS (1)
179
et donc J- < n + 1. Par croissance comparée, il existe no e N tel que, pour
(1 - n1 2)"
tout n > no, on ait 411/11»-— 1 ’ C e. Pour tout n > «o et tout x e R, on
t* n
a donc |An(x)| C 2e. Cela prouve la convergence uniforme de f * K„ vers f
sur R.
3.	Soitx e [-j,	• On a
(/*K„)(x) = (K„*/)(x) = f K„(x - z)/(z)dz.
Orpour|z| < e [-1,1], donc K„(x-z) s’écrit comme un polynôme des
deux variables x et /. Après intégration par rapport à la variable t, on obtient
une fonction polynomiale en x sur j] •
Soit F une fonction continue sur	à valeurs réelles. On peut la
prolonger sur R en une fonction continue f nulle en dehors de j] ’ Nous
venons alors de démontrer que sur | - , j j, la fonction f est limite uniforme de
fonctions polynomiales. Donc F est limite uniforme de fonctions polynomiales
sur |-|,	• Par changement de variables affine, cela reste valable pour toute
fonction continue sur un segment quelconque de R. <
Le lecteur trouvera la version pour les polynômes trigonométriques dans
le chapitre sur les polynômes et séries trigonométriques (cf. exercices 4.9 et
4.11).
Lorsqu’on se place sur un intervalle ouvert borné ]a,b[, une fonction f
limite uniforme de fonctions polynomiales est continue sur]a,b[ et d’après le
théorème de la double limite, f se prolonge par continuité en a et b : elle est
donc la restriction d’une fonction continue sur [a, b]. Bien entendu, une telle
restriction sur ]a,b[ est limite uniforme de fonctions polynomiales en vertu du
théorème de Weierstrass.
L’exercice suivant va entre autres déterminer les limites uniformes de
fonctions polynomiales sur R.
2.24.	Autour du théorème de Weierstrass (1)
1. Déterminer les fonctions de R dans R qui sont limites uniformes
sur R d’une suite de polynômes réels.
2. Trouver les fonctions f de R dans R pour lesquelles il existe
une suite de polynômes (P„) qui converge uniformément vers f sur tout
segment de R.
CHAPITRE 2. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
180
▻ Solution.
1.	Si (Pn)neN est une suite de polynômes réels qui converge uniformément
vers f sur R, la différence Pn+i - P„ converge uniformément vers 0. En
particulier, il existe un rang no tel que si n > no, on ait ||Pn+i - Pn||oo < 1.
Comme Pn+i -Pn est un polynôme borné sur R, c’est une constante. Ainsi,pour
n no, P„ s’écrit Pn = P„o + cn avec cn g R, et comme cn = Pn(0) - Pno(0),
la suite (cn) converge. Si on note c sa limite, P„ converge donc vers Pno + c qui
est une fonction polynomiale : les limites uniformes sur R de polynômes sont
les fonctions polynomiales.
En particulier, si une série entière converge uniformément sur R, ses coefficients sont
nuis à partir d’un certain rang et il s'agit d’une fonction polynomiale. L’argumentation
précédente reste valide sur n'importe quel intervalle non borné de R. S;
2.	Une fonction f : R —> R qui est limite uniforme de fonctions
polynomiales sur tout segment est en particulier continue sur tout segment
et donc continue sur R. On va montrer que toutes les fonctions continues
conviennent. L’idée est de prendre des polynômes de plus en plus proche de f
sur des segments de plus en plus grands. Soit f : R —> R continue sur R. Par
le théorème de Weierstrass, pour tout entier n > 1 il existe P„ e R[X] tel que
11/-Pnlloo,
Alors, si a < b, pour n assez grand, on a [a, b] c [-n, n] et
11/ — Pnlloo,[a,b]
si bien que la suite (P„) converge uniformément vers / sur [a, b]. <
Les exercices suivants étudient d’autres variations autour du théorème de
Weierstrass.
2.25.	Autour du théorème de Weierstrass (2)
1.	Soit f : [0,1] —» R continue. Montrer que / est limite uniforme
d’une suite de fonctions polynomiales associées à des polynômes pairs.
2.	Donner une condition nécessaire et suffisante sur f pour qu’elle
soit limite uniforme d’une suite de fonctions polynomiales associées a des
polynômes impairs.
▻ Solution.
1.	Onnote|| ||oo la norme de la convergence uniforme sur [0,1]. Soite > 0.
La fonction g : t 1—>	est continue sur [0,1]. D’après le théorème de
2.26. AUTOUR DU THÉORÈME DE WEIERSTRASS (3)
181
Weierstrass, il existe P e R[X] tel que ||g - P||«> C e. Posons Q = P(X2) ; c’est
un polynôme pair. Pour tout x e [0,. 1], on a
|/(x) - Q(x)| = |g(x2) - P(x2)| <e.
Ainsi, ona||y-Q||oo < e. En prenant pour tout n 6 N, e = et Q„ le polynôme
associé, on construit une suite de polynômes pairs qui converge uniformément
vers / sur [0,1].
2.	La convergence uniforme implique la convergence simple. Il est donc
nécessaire que /(O) = 0 puisqu’un polynôme impair s’annule en 0.
Supposons réciproquement que /(O) = 0. Si f est dérivable en 0, on
f(x)
pose h(x) = :Lyj- pourx g]0, 1] et on prolonge h par continuité en 0 en posant
ft(0) =	(0). Soit e > 0. D’après la première question, il existe un polynôme
pair Q tel que ||h - Q||„ < e. Alors R = XQ(X) est un polynôme impair et on
a, pour tout x e [0,1],
|/(x)-R(x)| = |x||ft(x)-Q(x)| < ll^-QHoo Ce.
Si f n’est pas dérivable en 0, on peut trouver en Vertu du théorème de
Weierstrass un polynôme P g R[X] tel que ||/ - PH» C En particulier, on
a |P(0) | C | puisque/(0) = 0. Si on pose Pi = P-P(0), on a II/" — Pi l|oo C y--
Alors Pi est dérivable et Pi (0) = 0. Il existe donc R 6 R[X] polynôme impair
tel que ||Pi - R||oo C | et, par inégalité triangulaire, on a ||/ - R||oo C e. En
prenant e = on construit comme précédemment une suite de polynômes
impairs qui convergent uniformément vers f sur [0,1 ].
La condition nécessaire et suffisante cherchée est donc /(0) = 0. <
2.26.	Autour du théorème de Weierstrass (3)
Quelles sont les fonctions continues de [a, b] dans R qui sont limite
uniforme sur [a, b] d’une suite de polynômes strictement croissants ?
> Solution. , .	S
Il est clair que la limite simple d’une suite de polynômes strictement
croissants est une fonction croissante. Montrons réciproquement que toute
fonction continue croissante sur [a, b] , est limite uniforme d’une suite de
polynômes strictement croissants. Il suffit bien entendu de le faire pour le
segment [0,1] et dans la suite la norme infinie fait référence à ce segment.
Nous proposons deux solutions.
• La première solution repose sur la preuve classique du théorème de
Weierstrass donnée par Bernstein (que le lecteur pourra trouver dans l’exercice
182
CHAPITRE 2. SUITES ET SERIES DE FONCTIONS
4.36 du volume 6) : si f est continue sur [0,4], la suite (Bn(/))„^i des
polynômes de Bernstein définis par
=§(;)/(>(*-*)"-*
converge uniformément vers f sur [0,1].
Considérons une fonction f continue et croissante sur [0,1] et montrons
qu’alors le polynôme B„(/) est, pour tout n e N*, croissant sur [0,1]. On a,
pour tout x e [0,1],
M/m - Ê (:)/GR'o -	- g (;) /(> -	- *
- n
rfc(] _xyi-k-\
Après un décalage d’indice dans la première somme, on obtient
b„w« . »£ r	- x)--.
_Q y n, j x x ri i \ n / f
Comme f est croissante, on a B'n(f)(x) > 0 pour tout x e [0,1] :
la fonction B„(/) est donc croissante sur [0,1]. Mais on n’est pas sûr
qu’elle soit strictement croissante. On pose Pn(x) = ^ + Bn(/)(jc). On
a alors P,'/*) .= | + B„(/)(x) > 0, pour tout x e [0,1]. La fonction
polynomiale P„ est donc strictement croissante sur [0,1] et comme on a
l’inégalité ||/ - P„||ro < ||/ - B„(/)||«, + 1, la suite (P„)neN* converge encore
uniformément vers / sur [0,1].
• Voici une seconde solution, plus susceptible d’être découverte à l’oral par
un candidat qui n’est pas supposé connaître les polynômes de Bernstein. On se
donne toujours / continue et croissante sur [0,1]. Supposons d’abord que la
fonction / soit de classe C1. On a donc /' > 0. Soit e > 0. On commence par
choisir un polynôme Q strictement positif sur [0,1] tel que ||/' - QHoo < £.
Cela est possible grâce au théorème de Weierstrass : on choisit un polynôme
£ £
R tel que \\f' - R||co < - et on pose Q - R + -• Soit alors P le polynôme
défini, pour tout x e [0,1], par P(x) = /(0) + f Q(t)dt. Le polynôme P est
strictement croissant sur [0,1] puisque P' = Q et pour tout x e [0,1] on a
|P(x)-/(x)|=
Jo
|Q(t) -/'(r)| dt < e
et donc ||P - /!!«, < e. On peut donc trouver, pour tout e > 0, un polynôme
strictement croissant qui approche uniformément / sur [0,1] à e près ce qui
prouve le résultat.
2.27- UN THÉORÈME DE WALSH
183
Pour passer au cas général, il suffit de prouver qu’une fonction continue
croissante peut être approchée uniformément par des fonctions croissantes de
classe C1. On utilise un procédé de régularisation classique. On prolonge f
sur [1,2] par la valeur /(l) et on pose, pour n > 1 etx G [0,1],
/(r)dr.
Alors fn est de classe C1 et croissante car fn(x) = n\f(x +	- f(x)j > 0.
Montrons que la suite (/„) converge uniformément vers f sur [0,1], Soit
e > 0 et q un module d’uniforme continuité de f associé à e (le théorème de
Heine garantit que f est uniformément continue sur le segment [0,2]). On a,
pourn > — et x g [0,1],
n
l/«W -/Wl =
-/W)dt
|/(r)-/(x)|dr^e.
Donc pour n assez grand ||/„ - /II» < e et cela prouve le résultat annoncé. <
Avec les mêmes idées le lecteur pourra prouver qu'une fonction continue
et convexe sur [a, à] est limite uniforme d’une suite de fonctions polynomiales
convexes.
L’exercice suivant concerne l’étude simultanée de l’interpolation et de
l’approximation uniforme.
2.27.	Un théorème de Walsh
Soit X],... ,x„ des points deux à deux distincts d’un segment [a, b]
et f : [a, b] —> R continue. Montrer qu’il existe une suite de polynômes,
coïncidant avec f en chaque point xjt, qui converge uniformément vers f
sur [a, &].
▻ Solution.
Notons Li,..., L„ les polynômes interpolateurs de Lagrange pour le
n(x-x()
système de points (xi,... ,xn). Rappelons que Lfc(X) = _x.y est de
i*k
degré n - 1 et vérifie L* (x() = 5,^. On note M = max IILt ||œ. Pour prouver le
résultat il suffit de montrer que pour tout e > 0 on peut trouver un polynôme Q
tel que Q(x*) = /(x^) pour tout k et vérifiant ||/ - Q||oo C e.
184
CHAPITRE 2. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
Soit e > 0. On commence par choisir un polynôme P uniformément proche
de f à e près. L’existence d’un tel polynôme découle du théorème de Weierstrass.
Soit L l’interpolateur de Lagrange de la fonction f - P en les Xk :
L(X) = 2(/(xJfc)-P(xifc))Lt(X).
fc=i
On observe que ||L||x «Me. Posons alors Q = P+L. On a bien Q(xjt) = f(xf)
pour tout k et de plus
11/ - Qlloo < 11/ - Plloo + IILIloo < (1 + nM)e.
Le coefficient 1 + nM est une constante et le résultat est donc prouvé. <i
On obtient de nouveaux problèmes très intéressants si on remplace
les polynômes à coefficients réels par les polynômes à coefficients entiers.
L’exercice suivant montre ainsi que si I est un segment inclus dans ] 0,1 [,
l’ensemble Z[X] reste dense dans l’espace des fonctions continues sur I.
2.28.	Théorème de Chudnovsky
Soit I un segment contenu dans ]0,1 [.
1.	Soit cp l’application x i—» 2x(l - x). Étudier la convergence sur I
de la suite de fonctions (cpn) où cpn = cp o • • • □ cp,
2.	Soit f : I —> R une fonction continue. Montrer qu’ il existe une suite
de fonctions polynômes à coefficients dans Z convergeant uniformément
vers f sur I.
> Solution.
1. Une étude rapide de la fonction cp montre que <p (] 0,1 [) = .]0,	, que
cp est croissante sur [0, et que, pour tout x e ]0, j] , on a cp(x) > x. Enfin
les points fixes de cp sont 0 et y Voici le graphe<de cp :
2.28. THÉORÈME DE CHUDNOVSKY
185
Soit x e ]0,1[. Ce qui précède montre que la suite (<p„(x))neN« prend
ses valeurs dans l’intervalle ] 0, J>] et est croissante. Elle converge donc par le
théorème des limites monotones et sa limite est nécessairement le point fixe •
On a donc convergence simple sur ]0,1 [ de la suite (<pn)neN vers la fonction
constante x 1—> ’
Montrons que la convergence est uniforme sur I, où I est un segment contenu
dans ]0,1[. L’image <p(I) est un segment inclus dans ]0, ^]. Soit a la borne
inférieure de ce segment. Sachant que <p est croissante sur [0, ^], on a, pour
toutx e I et n e N*, <p„_i(a) < q>„(x) < puisque <p(x) e [a,^J. Comme la
suite (<p„(a)) converge, vers j, cela montre que (<pn) converge uniformément
sur I.
2. Notons C l’algèbre des fonctions continues sur I, munie de la norme de
la convergence uniforme. Dans la suite on identifie tout polynôme de R[X] avec
la fonction de C qui lui est canoniquement associée. Avec cette identification, la
question posée consiste à trouver l’adhérence de Z[X] dans C. Comme est
dans Z[X] pour tout n, la première question montre que la fonction constante
est dans cette adhérence.
Notons que cette adhérence est stable pour la somme et pour le produit.
En effet, si (P„) et (Qn) sont des suites de Z[X] qui convergent uniformément
vers f et g sur I, alors (Pn + Q„) converge uniformément vers f + g car on
a||C/n+gn) - (/ + g)||oo < ||/„ -/U + ||g„ -g||oo. De même en écrivant
Wfngn ~ /glloe < Wfn ||oo ||gn ~ g||oo + ||g||oo||/n — /||co,
on voit que (PnQn) converge uniformément vers fg car la suite ||/„ est
bornée (puisqu’elle converge vers ||/||«>).
Il en résulte que la fonction constante est dans Z[X] pour tout m e N.
Comme Z [X] contient aussi les fonction constantes à valeurs dans Z, il contient
toutes les fonctions constantes x 1—» -Jpn avec p e Z et m e N. Comme
l’ensemble D = |^f,(p,m)eZxN| des rationnels dyadiques est dense
dans R, on conclut que Z[X] contient toutes les fonctions constantes. H en
résulte que R[X] c Z[X] et donc que R[X] c Z[X]. Or, par le théorème de
Weierstrass R[X] = C. On a donc démontré que Z[X] est dense dans C. <
Si on se place sur un segment I qui contient des entiers, les fonctions
dans l’adhérence de Z[X] doivent bien entendu prendre des valeurs entières
en chaque point entier de L Mais cela ne suffit pas. Par exemple si I = [a, b],
avecb—a > 4, on peut montrer que Z[X] estfermé dans C° (I, R). La description
générale de cette adhérence est assez délicate et dépend de la longueur de I.
Le lecteur pourra chercher le joli problème de 6h posé à l’ENS Paris en 2008
186
CHAPITRE 2. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
et qui porte sur cette question de l’approximation uniforme par des polynômes
à coefficients entiers.
Le théorème de Weierstrass est utilisé dans l'exercice suivant pour détermine,
l’adhérence d’un espace de fonctions.
*2.29. Adhérence d’un sous-espace
Soit S un segment de longueur non nulle et f une fonction de classe C°°
de R dans R. On munit l’espace C°(S) des fonctions continues de S dans R
de la norme uniforme. On note Vy le sous-espace de C°(S) engendré par
les fonctions fa<b : x i-> f(ax + b) avec a dans R+t et b dans R. Décrire
l’adhérence de Vy dans C°(S).
▻ Solution.
Commençons par regarder quelques exemples. Si f est polynomiale de
degré n, alors Vy est contenu dans Pn, le sous-espace de C°(S) formé des
fonctions polynomiales de degré < n. En particulier Vy est de dimension
finie, donc fermé et égal à son adhérence. Si pour tout g e Vy, on note T (g)
l’application x i—» g(x) - g(x - 1), alors T est un endomorphisme de Vy
qui abaisse le degré de 1 si bien que la famille (/, T(/),..., T"(/)) est libre
car formée de polynômes de degrés distincts. Donc dim Vy > n et on a donc
l’égalité Vy = Vy = P„.
Passons au cas où f n’est pas polynomiale et prenons l’exemple de la
fonction exponentielle. On a Vexp = Vect(x j—> eaJC)aeR. Soit g e C°(S) que
l’on écrit g = h o exp où h = g o ln est définie et continue sur le segment
exp(S). Le théorème de Weierstrass permet de trouver une suite de polynômes
(Pt) qui converge uniformément vers h sur exp(S). La suite des fonctions
Pfc (exp) e Vexp converge donc uniformément vers g sur S et cela montre que
Vexp est dense dans C°(S) : on a Vy = C°(S).
Montrons que cela reste le cas pour f quelconque non polynomiale. Notons
pour k e N, Xk la fonction polynomiale x i—► xk. Nous allons démontrer par
récurrence sur k que Xk est dans l’adhérence de Vy pour toute fonction f de
classe C°° et non polynomiale. On aura alors P c Vy où P désigne l’espace des
fonctions polynomiales sur S. Or le théorème de Weierstrass assure que P est
dense dans C°(S) et on pourra donc conclure que C°(S) = P c Vy c C°(S),
donc que Vy est dense.
Montrons pour commencer que l’adhérence de Vy contient X° = 1. Pour
cela, prenons b g R tel que f(b) + 0 (qui existe car f est non nulle puisque non
polynomiale). Soit e > 0.11 existe q > 0 tel que si |x| < q, \f(x+b')-f(b)\ < e
par continuité de f en b. Soit M > 0 tel que S c [-M,M], Prenons n ~
2.3O. ITÉRATION p’UN OPÉRATEUR INTÉGRAL
187
Pourx G S, on a |ï| < q et |/i>b(x) - /(b)| = |/(| + b) - /(fe)| < e. On a
donc ll/i b - /(fc)Hoo.s < e. Ainsi la constante f(b) est dans l’adhérence de
Vy et donc X° aussi.
Soit fc > 1. Supposons que X*-1 g Vy pour toute fonction f non
polynomiale. Soit f une telle fonction. Sa fonction dérivée f' n’est pas
polynomiale non plus. Soit e > 0. Par hypothèse de récurrence, il existe donc
g g Vf tel que ||g - X*-1||o°,s < e. Remarquons qu’il existe une fonction
G G Vf tel que G' = g (car (fa,b)' — af’a b)- Ainsi, par inégalité des
accroissements finis, on a pour z g S c [-M, M],
xk
G(x) - — - G(0)
k
< llg-X^X.sN <Me.
La constante G(0) étant dans l’adhérence de Vf, il existe H g Vf tel
que ||H - 0(0)1100,8 < e et ainsi
(G + H)(x)-^-
k
CMe + |H(x)-G(0)| < (M+1)e.
On a donc ||G + H - ^Xfc||oo,s C (M + l)e. Comme G + H G Vf, cela prouve
que ^Xfc g Vf et on a donc Xk g Vf ce qui termine la récurrence. <
2.30. Itération d’un opérateur intégral
Soit E l’espace des fonctions continues de [0,1] dans R. Pour f g E,
soit T(/) la fonction définie sur [0,1] par
Vx g]0, 1], T(/)(x) = - T f et T(/)(0) = /(O).
X Jo
1. Montrer que T est un endomorphisme de E.
2. Soit f G E. Etudier la convergence uniforme de (T”(/))neH-
> Solution.
1. La fonction T(/) est de classe C1 sur ]0,1] et en particulier continue.
De plus, T(/) (x) apparaît comme le taux d’accroissement d’une primitive de f
entre 0 et x. Ce taux tend vers la dérivée de la primitive en 0, à savoir /(O),
donc T(/) est continue sur [0,1]. La linéarité de l’intégrale assure que T est
bien un endomorphisme de E.
2. Notons Xfe : x 1—> xk pour k G N. On a alors T(Xfc) = et
donc, pour n G N, T”(Xfc) = 7T“rw On en déduit que T"(Xfc) converge
(A + -U
188
CHAPITRE 2. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
uniformément vers 0 si k > 1 et T"(l) = 1 converge uniformément vers 1. Par
linéarité, si P g R[X], la suite (T"(P)) converge uniformément sur [0,1] vers
la constante P(0).
Montrons que (T" (/)) converge uniformément vers la constante / (O) pour
toute fonction f e E. On remarque tout d’abord que |T(/)(x)| < H/IU pour
toutx G [0,1] et donc ||T(/)||OO C ||/||do. Soit e > 0. En vertu du théorème de
Weierstrass, il existe P g R[X] tel que \\f — P||m < e . On a donc
l|T"(/) - /(0)|| C ||T"(/-P)||TC + ||T"(P) -P(0)||„ + ||P(0)-7(0)||„
< 2e + ||T"(P) -P(0)U
et donc pour n assez grand, ||T"(/)-/(0)||oo C 3e, ce qu’il fallait démontrer. <
L'énoncé suivant montre que pour un processus d’approximation basé sur
des opérateurs positifs, il suffit de vérifier la convergence uniforme sur un
nombre fini de fonctions pour l’obtenir globalement.
2.31.	Théorème de Korovkin (1953)
Soit E = C°([0,1],JR.), muni de la norme ||.||oo- Pour u e -C(E), on dit
que u est un opérateur positif (ce qu’on note w > 0) si, pour tout f g E,
f > 0^ «(/) > 0.
1.	Soit u G _£(E). On suppose w > 0. Montrer que u est continu.
2.	Soit f g E. On fixe e > 0. Établir l’existence de ç > 0 tel que, pour
tout (x, y) g [0, l]2,
l/W -/(y)l < e + c(y-x)2.
3.	Théorème de Korovkin. Pour k G N, on note e^ l’élément de E
défini par et(x) = xk. Soit (M„)neN e -£(E)n une suite d’opérateurs
positifs. On suppose que pour k = 0,1,2 la suite (Mn(ejt))neN converge
vers et dans (E, ||.||«,). Montrer que, pour tout f G E, la suite (wn(/))neN
converge uniformément vers f sur [0,1].
> Solution.
1.	Notons que si m g _£(E) est positif, alors u est une application croissante :
si / et g sont dans E et f < g, alors on a u(g - f) > 0 et donc «(/) < w(g).
De -|/| < f < |/|, on déduit -w(|/|) C w(/) < w(|/|), soit |u(/)| < w(|/|).
Or on a | f | C ||/||«,eo où cq : x i—> 1 est la fonction constante égale à 1, donc
l«(/)l < «(l/l) < llZll~M(eo)
2.31. THÉORÈME DE KOROVKIN (1953)
189
et, en passant à la borne supérieure,
ll«(/)ll» < ll/||oo||w(^o)l|oo-
Cela montre la continuité de u (l’application linéaire u est lipschitzienne de
rapport ||w(e0)||OT).
2.	Puisque f est continue sur le compact [0,1], elle y est uniformément
continue. Soit'q un module d’uniforme continuité de f pour e.
•	Si |y — x] «S q, alors |/(y) - /(x)| « e.
f-y _
•	Si |y - x| > q, alors 7	> 1 et on a
q
\fM - f&\ < 2||/||oo <	-x)2.
q2
On a donc, pour tout (x, y) e [0, l]2,
I/O) - f O)I < e + (y - x)2,
11 ?
ce qui est l’inégalité voulue avec c = 2^°° 
3.	Soit / e E. La suite (/wn(eo)) converge uniformément vers f puisque
H/UnOo) - /II» < ll/lloo l|«n (<?0) - e01|„ ---> 0.
n—»+oo
Il suffit donc de démontrer que un (/) - fun (eo) converge uniformément vers 0.
Soit e > 0. On choisit c comme dans la question précédente. On fixe x e [0,1 ].
On a pour tout y G [0,1]
>
I/O) - /O)I < e + c(y2 - 2xy +x2),
ce qui équivaut à l’inégalité entre fonctions :
1/ - /(x)e0| < ee0 + c(e2 - 2xe} +x2e0).
En appliquant un à cette inégalité, on obtient, compte tenu de la croissance
de un,
!«„(/) ~ /O)w„(e0)| < enn(e0) +c (wn(e2) -2xu,l(e1) +x2M„(e0)j 
On applique l’inégalité précédente en x ce qui permet de majorer
l«h(/)0)-/(x)M„(eo)0)l
par
ewn(e0)(x) + c(wre(e2) O) - 2xwn(ei) (x) + x2u„(e0) (x)),
CHAPITRE 2. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
IÇO
ce qui peut s’écrire
EH„(e0)(x) +€ ((w„(e2)(x) -x2) - 2x(un(ei)(x) -x) + x2(Mn(e())(x) - l)j.
Cela est vrai pour tout x e [0,1 ]. En passant à la borne supérieure, on obtient
ll«n(7) - /m«(^o)I|ix> < e||u,l(e0)||œ + c(||M„(e2) - e2||M
+ 2||un(ei) — e\ ||oo + ||uH(eo) — eolloo)-
Par hypothèse, le second membre de l’inégalité converge uniformément vers e
lorsque n tend vers l’infini. Il existe N e N tel que ||wn(/) - /«n(eo)l|oo < 2e,
pour tout w > N. La suite (w„(/) - /u„(eo)) converge uniformément vers 0
donc la suite («„(/))„£« converge uniformément vers f sur [0,1]. Le résultat
de cette question constitue le théorème de Korovkin. <
On retrouve en particulier la preuve de Bernstein (exercice 4.36 du
volume 6) du théorème de Weierstrass en prenant pour Bn les opérateurs
définis par
n ln\ ! k\
b„(/)(x) = £	/ - x*(i-xr-*.
£oW \nl
Ils sont clairement positifs et il est facile de vérifier que Bn(efc) converge
uniformément vers e* pour k = 0,1,2.
L'exercice suivant étudie ce qui se passe lorsqu'on itère l’opérateur de
Bernstein.
2.32. Itération de l’opérateur de Bernstein
Pour f e C°([0,1], R) et n e N*, on note
B„(/) :xe [0,1]
£Mx*(1-x)"-7
k=0 \KI
On fixe n e N*. On pose T = Bn et Tfc = Bn o • •  o B„ la composée k fois
avec lui-même de l’opérateur Bn. Soit f e C°([0,1],R).
Montrer que | |TÆ (f) - B1 (/)|| converge vers 0 lorsque k tend vers l’infini.
▻ Solution.
Pour f e C°([0,1],R) on observe que Bi(/) : x f-> /(0)(l - x) + /(l)x
est la fonction affine qui interpole f en 0 et en 1. Pour k 1, Tfc (f) est une
fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à n et, comme T(/)(0) = /(O)
etT(/)(l) = /(l), on aB,(T(/)) = B,(/). Comme T*(/) =	U
2.32. ITÉRATION DE L’OPÉRATEUR DE BERNSTEIN
191
suffit de montrer que ]|Tfc(P) - Bi (P) ||„ tend vers 0 quand k tend vers l’infini,
pour tout P g R„ [X], (on prendra P = T(/) pour obtenir le résultat pour f).
On identifie dans la suite un polynôme formel avec la fonction polynomiale
sur [0,1] qu’il induit. On peut remarquer que T(l) = 1 et que T(X) = X car
t(x) = y -Mxfc(i - x)n~k =xy (l Z !)x*~l(i - xy1-1-^-0=x.
fc=on W	fc=i V
SoitP g Rn [X]. On écrit P = Bi(P)+R, le polynôme R s’annulant en 0 et 1. On
a Tfc(P) = T*(B] (P)) + Tfc(R) = Bj (P) + Tfc(R). H nous faut donc démontrer
que T*(R) tend uniformément vers 0 sur [0,1]. Comme R s’annule en 0 et 1,
on-peut écrire R = X(1 - X)Q(X) avec Q G R„_2[X]. Regardons la forme
de T(R) :
T(R) = V - (1 - (")xfc(l -X)"-fc.
£5 n \ n] \nj \k]
Comme k(n -	= n(n ~ 1)^ Pour 1 C & < n - 1, on obtient
T(R) = — § (" " i)Q (-1 X*(l - X)"-fc
n	Xnl
= (1 - x(i - x) y 7 f x*(i - xyi~2~k
\ n) \ k I \ « /
Ainsi T(R) = T(X(1 - X)Q) s’écrit T(R) = X(1 - X)Q avec, pourx G [0,1],
_ l 1 \	n~2 In — 2\	/	1 \
IQWI< 1-- IIQIlooS , p(i-x)"-2-*= 1-- IIQIloo.
X n) k^o\ k I	X nl
Il s’ensuit que, pour tout k g N, on peut écrire Tfc(R) = X(1 - X)Qfc(X) avec
degQjt < n - 2 et ||Q*+i ||œ < (1 - j IIQfc lloo. Par une récurrence immédiate,
on obtient que
1 /	1
HTfc(R)||„ C |]X(1 - X) ||„|]Qfc||„ « - 1 - - HQIU 0.
4 \ n /	k-»°o
On conclut donc que Tfc(P) = B] (P) + T*(R) converge vers Bi(P) pour la
norme de la convergence uniforme sur [0,1]. <1
Terminons cette série d’exercices sur le théorème de Weierstrass en
constatant qu'il ne se généralise pas tel quel à des fonctions de la variable
complexe.
192
CHAPITRE 2. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
2.33.	Non-extension du théorème de Weiertrass à la variable
complexe
Est-ce que toute fonction continue sur le disque unité fermé de C à va-
leurs complexes est limite uniforme d’une suite de polynômes complexes ?
▻ Solution.
La réponse est non et la conjugaison z 1—» z constitue un contre-exemple.
Raisonnons par l’absurde et supposons que (P„) soit une suite de C[X] qui
converge uniformément sur le disque unité fermé de C vers f : z 1—> Z. A
fortiori, il y a convergence uniforme de P„ vers f sur le cercle unité. Ainsi la
suite de fonctions 0 1—» P„(e10)e'0 converge uniformément sur [0, 2k] vers la
fonction 0 1—» /(e,0)e'0 = e_,0e!0 = 1 puisque
|P„(e,0)e'e - /(e‘e)?e| = |P„(?0) - /(?e)| < ||P„ - /||«,	0.
Dans ces conditions, on devrait avoir
/•2jc	/»2jt
/	P„(?0)?0d0--------/ /(e'V9d0 = 2k.
Jo	"->0° Jo
Or, pour tout n, f P„(e,0)e,0d0 = Ocar [ e'(fc+l,ed0 = Opourtout fc 6 N :
Jo	Jo
on obtient donc la contradiction recherchée. <1
L’énoncé suivant concerne encore des questions d’approximation uniforme
mais cette fois sur l’intervalle R+ qui n 'est pas compact. Le fait qu 'un polynôme
non constant ne soit pas borné sur R+ complique grandement les choses.
2.34.	Approximation de Laguerre
Soit X > 1 et e > 0. Montrer qu’il existe un polynôme P e R[X] tel
que |e~x,c - e-JCP(x)| < e pour tout x e R+. On pourra commencer par le
cas 1 < X < 2.
▻ Solution.
Comme le préconise l’énoncé, supposons d’abord 1 < X 2 et même
1 < X 2, car le problème est trivial pour X = 1. Si on met e~x en facteur, on
est conduit à chercher un polynôme P qui approche bien la fonction
On va prendre son polynôme de Taylor en 0. L’inégalité de Taylor-Lagrange
en 0 à l’ordre n, nous permet d’affirmer que pour tout x > 0,
e~^-±
k=0
(-1)*(X-1)* k
X! X
(X - l)n+1xn+1
(n + 1)!
^n+1
(n+D!
2-34- APPROXIMATION DE LAGUERRB
193
car 0 < X -1 < L Si on note Q„ (x) le polynôme de Taylor d’ordre n ci-dessus,
on a donc pour tout x > 0,

e xQ»(x)| <
e~xxn+]
(n+1)!’
Une étude de fonction très simple, montre que la fonction majorante atteint son
maximum en n + 1. On a donc
IKXjc
e xQn(x)||oo <
+ 1)"+1
(« + !)!
1
V2Ïrn
d’après l’équivalent de Stirling, ce qui tend vers 0 et donne le résultat demandé.
On voit que cette solution ne convient pas pour tout X car lorsque X > 2, le
terme (X - 1 )',+1 rend le majorant divergent.
On va alors montrer par récurrence sur l’entier"p > 1, que le résultat
reste vrai pour X e ]p,p + !]• Le point précédent concerne le cas p = 1.
Supposons le résultat prouvé pour X e ]p - l,p]. Soit X e ]p,p + 1]. Par
hypothèse de récurrence, on dispose d’une suite de polynômes (R„) telle
que Rn(x)e~x converge uniformément sur R+ vers e-^-1)x, ce qu’on écrit
plutôt	= Rn(x)e-X + e„(x), où (e„) est une suite de fonctions qui
converge uniformément vers 0 sur R+. On multiplie cette égalité par la fonction
e~x qui est bornée sur R+ : on obtient
= R„(x)e“2x + e-xe„(x)	(1)
et le reste tend encore uniformément vers 0. Par le point précédent (appliqué
avec X = 2), il existe une suite de polynômes (Qn) telle que e-xQn(x) converge
uniformément vers e-2x. Ici aussi, on écrit
e 2x = e xQ„(x) + e„(x)
(2)
avec (ên) qui tend uniformément vers 0.
Une première idée est de remplacer e~2x donné par (2) dans l’égalité (1).
Il vient
= e“xQ„(x)Rn(x) +R„(x)ê„(x) + e-xe„(x).
Mais on ne peut pas conclure car, R„ n’étant pas borné sur R+, rien ne permet
de dire que le terme R„ën converge uniformément vers 0.
On va procéder autrement pour fabriquer e~Kx. L’idée est d’écrire (2) en
et (1) en pour remplacer le terme e’^.Ona donc
et le reste tend uniformément vers 0. Maintenant on remplace le terme e~^
par Rn(^)e-X +	Il vient
194
CHAPITRE 2. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
Le terme	est un polynôme. Le terme e„(^r) converge uni-
formément vers 0 sur R+. Il reste à regarder le terme Q„ ( y ) e ~ i En ( ) • On voit
la différence par rapport à la première tentative : il reste ici une exponentielle et
la fonction Qn(y est bornée. Si on note M„ sa borne supérieure, il suffit
de faire en sorte que la suite ||£„ || tende vers 0. Mais, (Q„) étant donnée,
rien n’interdit de choisir la suite (Rn) pour que cela soit vérifié. <3
On peut en déduire, à l'aide du théorème de Weierstrass et d’un changement
de variable, que le sous-espace des fonctions x i—> P(x)e-JC est dense pour la
norme uniforme dans l’espace-des fonctions continues sur R+ tendant vers 0
en +oo.
L’exercice suivant donne une suite explicite de fonctions polynômes qui
converge vers la fonction exponentielle uniformément sur tout compact de C et
qui n’est pas la suite des sommes partielles de la série entière.
2.35.	Convergence d’une suite de polynômes vers l’exponentielle
1. Soit n e N* et k e [[1, «J. Montrer que
n(n - 1)... (n - k + 1) y) j
1	nk	n
n	j=o n
2. En déduire que la suite de fonctions	définie pour z g C
par /„(z) = (1 + „)”> converge uniformément sur tout compact de C.
▻ Solution.
1. L’inégalité à démontrer peut s’écrire
Montrons plus généralement que, pour tout (xq, ... ,xp) e [0, l]p+1, on a
p	p
< ju*1’
i=0	i=0
en raisonnant par récurrence sur p. La propriété est évidente pour p = 0 et si on
la suppose vérifiée au rang p e N, alors on a, pour (xo,...,xp, Xp+1) G [0, 1]*+1
1 - n =-*p+i) h - nu +xp+i
i=0	\	i=0	/
2.35- CONVERGENCE D’UNE SUITE DE POLYNOMES VERS L’EXPONENTIELLE
195
(P	\	P+l
2*1 +XP+1 <	’
i=0 /	t=0
ce qui termine la démonstration par récurrence.
2. H est bien connu que, pour tout réel x, on a
lim (l + -f = e\
n—>+00 \	n)
Montrons que la suite de fonctions (yn)neNvfconverge vers la fonction
exponentielle, uniformément sur tout compact de C. Pour z e C et n e N*,
on a
On en déduit que
puis que
i/n(z)-^zi<è
k=l
n(n — 1) ... (n — fc + 1) _	|z|*
„k	1 k’	k<
n	k~n+l K-
D’après la question 1, on a, pour k e [[1, n],
n(n - 1)... (n - k + 1)	n(n - 1)... (n - k + 1) <y1J
nk	nk	n
k(k-l)
2n
Soit K un compact de C et a e R* tel que, pour tout z g K, on ait ]z| < a.
Alors, pour n e N* et z g K,
l/„U)-ezl
J_ " fc(fc-l) k K
*' kU^-
1 n. k +°° „k i	+00 k
k=2	k=n+l K'	k=n+\ K'
1	+°° k
Sachant que lim J-a2e“ + V = 0, on en déduit que la suite (/ïï)neN*
„^+00 zn	fc=n+i k.
converge uniformément sur K vers la fonction exponentielle. <
IÇÔ
CHAPITRE 2. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
On pouvait montrer directement la question 2 de la manière suivante :
prenons a 0 et z eC tel que |z| < a. A partir de-
k=l
n(n - 1)... (n - k + 1)
Izl*
k\
k=n+l
Izl*
on peut écrire
k=l
n(n - l)...(n-k+l)) [z^
~kT
nk
k=n+l
Izl*
k'. ’
n(n - 1))    (n - k + 1) , . .. .	,
car — ---——< 1. Ainsi, on a la majoration :
nK
z, vfi n(n — V)... (n - k + l)\ ak
IAW -«'I « g |l---------------------,----------)
ak
et |/«(z) - ez\ < ea - (1 + -) ------> 0,
\ n/ n—*qo
ce qui prouve la convergence uniforme sur tout compact de C. La démarche
s’adapte telle quelle avec des matrices : pour A e A1p (C) la suite	j
converge aussi uniformément vers exp(A) sur tout compact de Mp (C).
Dans l’exercice suivant on obtient le développement eulérien de la fonction
cotangente par une méthode très élémentaire due à Gustav Herglotz et qui a
notamment fait l'objet de la première partie du sujet A posé au concours X-ENS
en 2022.
2.36.	Développement eulérien de la cotangente
" 1
On pose pour x réel, f(x) = lim	— •
1.	Montrer que f est définie sur R\Z.
2.	Vérifier les égalités ci-dessous :
(i)	pour x G R\Z, /(-x) = -f(x) ;
(zï) pour x e R\Z, f(x + 1) = f(x) ;
(jii) pourx e R\|z, /(2x) = j (/(x) + f(x +
3.	Montrer que la fonction x /(x) - z cotan(zx) admet un
prolongement continu à R tout entier.
4.	Montrer que pour tout x G R\Z, /(x) = zt cotan kx.
2.36- DÉVELOPPEMENT EULÉRIEN DE LA COTANGENTE
197
▻ Solution.
1.	Posons pour x dans R\Z et n > 1, Un(x) = y, On peut écrire
k——n
en regroupant les termes d’indices k et -k,
1 n 1 n 1	1 n ?
A £_________________1 A 1 /v ______________________j A rv A __________________________________j •'» A
1	"
- -2x32uk(x)
x	k=t
avec Wjt(x) =	—2 Pour e N* etx e R\Z. Fixons x dans R\Z. Au voisinage
de+00, uk{x) ~ Le théorème de comparaison des séries à termes positifs
fc->oo g1
garantit alors la convergence de la série 2 W et par conséquent l’existence
de la limite de Un(x). On a donc
1	4-00
/(x) = - -2x^
X	k=l
1
k2 —X2
2.	L’expression que l’on vient d’établir prouve que f est impaire et le point
(i) est démontré. Montrons (ü). Soit n > 1 etx e R\Z. On a
U„(x + 1) =
" 1
£x+1+k
- U„_i (x) -i---1----

Donc /(x + 1) = /(x) et la fonction f est 1-périodique. Montrons enfin (iii).
Pour n > 1 et x e R\^Z on a, en séparant les indice pairs et impairs,
2n ।	n 1	n-1	।
U2„(2x) ^À^2x + k Ÿ^2x + 2j- + Sn2x + 2j + l
ce qui donne, en faisant tendre n vers +00,
/(2x) = (/(x) + / (x + j .
3.	Notons g la fonction définie sur R\Z par x 1—> /(x) - n cotan(Ttx).
Montrons que g est continue sur R\Z. En tant que différence de deux
fonctions 1-périodiques, elle est 1-périodique. H suffit de prouver que g est
continue sur ] 0,1 [. Comme cotan est continue sur ] 0, [, cela revient à montrer
198
CHAPITRE 2. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
la continuité de f sur ]0,1 [. Vu l’expression de f trouvée à la question 1, nous
+00
avons à prouver la continuité sur ] 0,1 [ de la fonction	S
k=l
1
k2-x2
Cette série de fonctions continues converge normalement sur [—a, a] pour
a e ] 0,1 [, car pour tout x e [-a, a],
1
S
1
k2 - x2 k2 - a2
-5-^—5 est une série convergente. Il s’ensuit que h est continue sur [-a, a]
pour tout a < 1, et donc sur ] -1,1 [. Ainsi /, et donc g, est continue sur ]0,1 [,
^-et par 1-périodicité, sur R\Z.
Par périodicité de g il suffit de la prolonger par continuité en 0 pour prouver
qu’elle se prolonge en une fonction continue sur R. Pour cela, il s’agit donc de
prouver que g admet une limite finie en 0. Pour x voisin de 0, on a
cos nx l+o(x)
7t cotan nx = n—---= tc------——
sinrrx nx + o(xz)
= -(1 +o(x)) = - +o(l).
X	X
Pour x voisin de 0, on a donc
f(x) — ncotanrtx =-----2x/z(x)-----F o(l) = -2xh(x) + o(l)-----> 0
X	X	x->0
puisque h est continue en 0. Donc g se prolonge par continuité en 0, et donc en
tout point de Z par 1-périodicité.
4. Posons f : x e R\Z 1—> 7t cotan nx. Montrons que
Vx e R\^z,
/(2x) = | (/(x) + f (x + j 
Soitx e R\jZ. On a
x cos 2tcx cos ttx - sin nx it / cos itx
f(2x) = ir—r——— = x-—--------------= - —---------
sinZKX 2 sin ttx cos 7tx 2 (sinitx
K f	. n !	/
= — (cotan jtx - tan nx) = — ^cotan nx + cotan ^itx + —
sin nx
cos nx
K V
2
La fonction g qui vaut g(x) = f(x) — f(x) pour x e R'^Zet prolongée à
R par continuité, vérifie donc trivialement la même relation pour x 6 R\|z :
g(2x) = | (g(x)+g ^x +.	(*)
Comme g est continue cette relation est vraie sur R. On va l’appliquer en un point
où |g| atteint son maximum. Comme |g| est continue sur le compact [0,1], elle
I.’yj. CARACTÉRISATION DARTIN DE LA FONCTION F (1931)	J 99
est bornée et atteint ses bornes : il existe c e [0,1 ] tel que |g (c) | = max |g(x)|.
xe[0,l]
Mais alors d’après (*), on a l’inégalité
1,(.m =	< ig(§)i ig(c)i
IfftUI	2	2	"22
etdonc, |g(c)| < |g(|)| < max |g| = |g(c)|. On adonc |g(|)| = |g(c)| et, en
itérant, pour tout n e N,
=	— ^o) = °
puisque g est continue en 0. Par conséquent, max |g(x) | = 0 et donc g = 0,
xe[0.1]
puisque g est 1-périodique. On en déduit que, pourx e R\Z,
n 1
/(x) = lim X — — = z colan zx. <
n^+Xk^nX + k
L'exercice suivant concerne la célèbre fonction T d'Euler. Elle y est
introduite comme la limite d'une suite de fonctions (formule de Gauss).
On démontre ensuite une caractérisation d'Artin : c’est la seule fonction f
logarithmiquement convexe sur R* telle que /(l) = 1 et f(x + 1) = xf(x) pour
tout x. La définition intégrale classique est retrouvée dans la dernière question.
2.37. Caractérisation d’Artin de la fonction T (1931)
On définit une suite (fn)n^ de fonctions de R+* dans R par
;	n' n*
l	VreeN*, Vx e R+*. fn(x) = —--------------
‘	n(x+fc)
;
;	1. Montrer que (fn)nzi converge simplement sur R+’. On note T sa
! limite.
I 2. Montrer que T > 0, que T(l) = 1, que T(x + 1) = xf(x) pour
j tout x e R+* et enfin que x ln T(x) est convexe sur R+*.
3. Soit f : R+* —» R vérifiant les propriétés de la question précédente.
Montrer que f - T.
r+uo
4. Conclure que pourtoutx > 0, T(x) = / eltx~ldt.
Jo
▻ Solution.
1.	Soit x > 0. La forme produit invite à passer au logarithme. Montrons
que la série de terme général un = ln fn(x) - ln 1 (x) (qui est bien défini) est
200
CHAPITRE 2. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
convergente. On a pour n > 0
fji (x)
un - In „ ”— = In n + x In n - x ln(n - 1) - In(n + x)
fn-iW
ce qui garantit la sommabilité de (m„). On en déduit que (ln/„(x)) converge
dans R et donc que (fn(x)) converge vers un réel r(x) > 0.
2.	On a déjà vu que T > 0. Comme fn(l) = ,	= t-tt-, on a
F( 1) = 1. Par ailleurs, pourx > 0, on a
(n+l)!(n + l)*	n!(n+l)*+1	nlnx+1
xfn+J(x) = —---------------= ---------------nZoo -------------= /n(x+l)
n(x + fc)	n(x + i + fc)	n(x + i + fc)
fc=l	k=0	k=0
ce qui donne en passant à la limite xF(x) = T(x + 1).
Par passage à la limite dans l’inégalité de convexité, une limite simple de
fonctions convexes est encore convexe. Il suffit donc de vérifier que chaque In f„
est convexe pour que In T le soit. Pour tout x > 0 on a
n	n
ln/n(x) = In k +xlnn - ln(x + k),
k=l	k=0
Comme les fonctions x i—> — ln(x + k) sont convexes (car de dérivée seconde
positive), In fn en tant somme de telles fonctions et de fonctions affines est aussi
convexe. Ainsi In T est convexe.
3.	L’équation fonctionnelle vérifiée par f avec /(l) = 1, donne par une
récurrence immédiate /(n) - (n - 1 ) !. Par ailleurs, si x, y > 0 et X g [0,1 ], on
a ln/((l - X)x + Xj) < (1 - X) ln/(x) + Xln/(y) ce qui donne
/((l-Xjx + XyjC/Cx)1-1/^/.
Prenons x = p + X avec p e N et X e]0,1 [. Par la relation fonctionnelle, on a
=	+ = f(x + 2) = ... = /(x + n + 1)
x x(x+l) x(x + 1) • • • (x + ri)
Orx + n+1 = (1- X)(p + n + 1) + X(p + n + 2), si bien que l’inégalité de
convexité donne
/(x + n + 1) < f(p + n + l)1 x/(p + n + 2)x = (p + ri) !(p + n + 1)À
= n\(n + 1)  •  (n + p)(n + p + l)x ~ n\nx.
n—>oo
Ainsi on obtient la majoration
ft ï (p + «)!(p + «+1)X	.
f(x) <	---- ~ /n(x)----------------> T(x).
x(x + 1) • • • (X +.n) n-»+oo	n—>oo
Inversement, X(n +x) + (1 - X)(n +x + 1) = n +x + 1 - X = n + p + 1. Par
2.38. PRODUITS INFINIS
201
l’inégalité de convexité et l’équation fonctionelle, on a
/(n+p + 1) < /(x+n)À'/(x+n + l)1-X = /(x)x(x+l) • • • (x+n-l)(x + n)I-\
Ainsi, on peut minorer f(x) :
f, x > (n + p)\(x + n)K ~ ntfnk _	__
' x(x + 1) • • • + (x + n) n—>» x(x + 1) • • • (x + n) "	«-»»
On conclut que f = T.
4. La fonction T est traditionnellement définie sur R* par l’intégrale à
r+oo
paramètre f : x 1—> / tx~1e~t dt. Cette intégrale vaut 1 pour x = 1 et une
J 0
intégration par parties montre l’équation fonctionnelle f(x +1) = xf(x). Enfin
le lecteur trouvera la preuve de la convexité logarithmique dans l’exercice 1.46.
La question précédente permet de conclure. On a donc obtenu la formule de
Gauss,
r(x) = / tx~je~‘dt = lim	~—	•
Jo	n->+°° x(x + 1)... (x + n)
Le lecteur en trouvera une autre preuve dans l’exercice 1.45. <
Notons que cette expression de la fonction T permet de la prolonger
naturellement à C privé des entiers relatifs non nuis.
Les trois exercices qui suivent concernent les produits infinis. Etant donnée
une suite (an) e CN, on dira que le produit infini an converge lorsque la suite
des produits partiels P„ = J-[ ajt converge. On note alors F| a^ = lim P„.
k=0	k=0
Notons que lorsqu'on développe la théorie des produits infinis, on impose en
plus à cette limite d'être non nulle. Avec cette condition supplémentaire, on voit
facilement que pour qu'un produit infini converge il est nécessaire que le terme
général an tende vers 1. Nous n'aurons toutefois pas besoin de cette convention
dans les exercices qui suivent.
2.38. Produits infinis
+00	+oo
On pose, pour z e C, telque|z| < l,f(z) - nu+z^nc1-*2*"1)-
fc=l	k=t
Justifier que f est définie, puis la calculer.
▻ Solution.
Posons, pour tout n e N’,
«nU) = fl(l+?) et Mz) = fl(l-z2*-1).
k=l	k=l
202
CHAPITRE 2. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
Pour que z appartienne à l’ensemble de définition de f, il faut et suffit que
les deux produits infinis convergent. H est intéressant d’avoir un critère simple
pour justifier qu’un produit infini de la forme y[(l + un) converge. Pour avoir
des idées, imaginons que (m„) soit une suite réelle positive qui converge vers 0.
n	n
On a ln fj(1 + Mfc) = y, ln(l + wt) donc si la série y ln(l + wt) converge, le
. y1 . k=i
produit infini converge. La réciproque est vraie si le produit infini converge vers
une valeur non nulle (c’est pour ce genre de choses qu’il est commode de dire
qu’un produit infini de limite nulle diverge). De plus comme ln(l + u„) ~ un,
la convergence de la série y In( 1 + w„) équivaut à celle de la série y w„ (on a
pris un positif). Dans le cas complexe, c’est un peu plus difficile car on ne peut
pas prendre le logarithme. On a tout de même le lemme suivant, fort utile en
pratique, et qui va suffire pour l’exercice :
Lemme. Soit (un) e CN. Si la série y un converge absolument, alors le
produit ]“[(1 +un) converge. Si, de plus, on a un + -1 pour tout n e N,
+OO
alors HO + uk) n’est pas nul.
k=0
n
Démonstration. Posons, pour tout n 6 N, P„ = ]”j[(l +«*). Notons pour
il=0
commencer que pour tout n,
n	n	y lui l
|P„| < f](l + \ukI) < n e1^ < e^ C es,
k=0	k=0
où S est la somme de la série y \un\ (cela résulte de l’inégalité 1 + x < ex,
valable pour tout réel x). Ainsi la suite (P„) est bornée. Nous savons que la
suite (Pn) converge si, et seulement si, la série de terme général y (Pn - Pn-i)
converge. Or celle-ci est absolument convergente car, pour tout n > 1, on a
|Pn — P„-i| = |P„_i 1|m„] < es|wn|
et la série y |wn| converge par hypothèse. On peut conclure que la suite (Pn)
converge.
Supposons maintenant 1 + un non nul pour tout n et montrons que la limite
" 1
de (P„) n’est pas nulle. Posons Qn = H 777—, ce qui est possible car les uk
k=o k
sont différents de -1. On peut alors écrire
n /	.	\ n
Qn = n p-yyy =n(1 + ^)
k=Q \ J + Uk /	k=0
avec vk = -1 pour tout k. Comme la suite (un)neN converge vers 0, on
a I u.n | ~ |un|. Le théorème de comparaison des séries à termes positifs nous
assure de la convergence de y |o„|. D’après ce qui précède il s’ensuit que Q„
2.39- identité de jacobi
203
converge dans C. Par définition on a Pn Qn = 1 pour tout n. En passant à la limite
on a lim Pn lim Qn = 1 et la limite de la suite (P„)„>o ne Peut être nulle. □
n—»+oo	n—>4-00
Il résulte de ce lemme que /(z) est bien défini si |z| < 1 ; en effet, les deux
séries X zk et y, -z2fc-1 convergent absolument. De plus on a, pour |z| < 1,
n
nu-z2*)
an(z)=rid+zfc)=--------------------------------
*=i nu-zfc)
k=l
On en déduit que	2n
nu-z*)
an(z)bn(z) =	-------
nd-zfc)
fc=i
Quand n tend vers +°o le numérateur et le dénominateur de cette expression
4-OQ
tendent tous les deux vers J“[ (1 - zÆ). Le produit a„(z)/>„(z) tend donc vers 1.
*=i
En conclusion on a /(z) = 1 pour tout z tel que |z| < 1. <
+©o	1
Dans l’égalité J-[ (1 + zk) =	------- on peut développer les deux
*=’ .	na-z2*-1)
'	k=\
4-DO	4-00
membres en série entière et montrer que f~[(l + zfc) = y, pi(n)zn où pi(n)
fc=l	n=0
est le nombre de partitions de l’entier n en parts deux à deux distinctes et
que i---------- = y P2(«)-Zn où pz(n) est le nombre de partitions de
m-?-1) n=0
k=l
l’entier n en parts impaires. L’unicité du développement en série entière donne
l’égalité py (n) = P2(n) pour tout n, résultat déjà obtenu par Euler. Le lecteur
pourra se reporter à l’exercice 5.7 du volume 6 qui étudie la série génératrice
de la suite p(ri), où p(n) est le nombre total de partitions de l’entier n.
L’énoncé suivant est un bon moyen de s’exercer au calcul algébrique !
2.39. Identité de Jacobi
Soit n e N*, q et z deux complexes tels que 0<|^|<letz#:0.
On pose
Jt=l
204
CHAPITRE Z. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
1.	Montrer que P(Z) se met sous la forme
P(z) = CO + Cl(z + z-1) + • • • + c„(z" + Z-'* 1).
2.	Calculer les c, en fonction de n, i et q.
3.	Étudier les c, et P lorsque n tend vers l’infini.
> Solution.
1. Il est clair que P est une fraction rationnelle de degré n dont le
seul pôle est 0, pôle d’ordre n. Il existe donc des nombres complexes
n
, cn_i, cn tels que P(z) = y1, c[Z‘. C’est tout simplement la
i=-n
décomposition en éléments simples de P. On remarque alors que P(z) = P(z-1),
d’où par unicité de la décomposition en éléments simples les relations c-i = ci
pour tout i e [[!,«]]. Cela donne le résultat voulu.
2. Pour calculer les coefficients c(-, on remarque qu’il y a une relation
simple entre P(Z) et P(q2z). En effet, on obtient
P(<72z) = Bd + <?2*+1z)(1 +q2k~3z~1)
k=i
\+a2n+]z l+o-1z-1 l+a2n+1z
1 ’ 1 + qz l+q^-'z-1	( qz + q2n
De cette égalité qui s’écrit
(4Z+42")(co+Xc^2'z'+<7-2,Z_')) = (l+^2n+1z)(co+2c'(z‘+z”'))’
on déduit, en comparant les coefficients de z,+1 dans les deux termes que,
pour 0 < i «J n - 1, on a
_2û’+l) _2n . J2i„ _ -	. „2n+l
ci+lQ ' Q	Q — Ci+l+q ci>
et donc
l-ç2(”+,+1)	cJ+i(l-?2<n+,+1))
Ci ~ CM q2M _ q2n+l ~ q2M (J _ ?2(n-i)) ’
On calcule directement
cn = qq2 . ..q2n~l =.ç1+3+'"+(2n-1) = ç"2.
On en déduit que, pour 0 i < n, on a
2n
en n a-?2*)
fc=n+i+l
Ci =-----------------------------------
9(2i+l)+(2ï+3)+-+(2n-l) (j _ q2k}
fc=l
2.39- IDENTITÉ DE JACOBI.
205
La somme (2i + 1) + (2i + 3) h-1- (2n — 1) étant égale à (n - i)(n + i) (c’est
la somme de n - i fermes consécutifs d’une suite arithmétique), on obtient
finalement, en remplaçant cn par sa valeur,
- 2n
q1 n
A=n+i+l
Cj = --—-------------
nu-?2*)
ji=i
3. On fait maintenant varier n. Modifions légèrement les notations, en
posant, pour tout n e N,
Pn = n(l+?2't“1z)(l+92S:“1Z“1)
A=1
- 2n
n n-?2*)
Cj(n) = —kü-il+ï------ pour 0 < i n.
HO -q2k)
k=l
Les différentes suites qui apparaissent ici font intervenir des produits. Du lemme
prouvé dans l’exercice précédent, on déduit immédiatement que la suite (P„)
converge. En effet, on peut écrire, pour tout n e N,
Pn = fl(l + ?2fc-1z) fld +
fc=l	*=1
Les séries X |?2Æ-1z| et y, |?2i-1z_1| convergent puisque |<?| < 1, donc les
produits sont convergents. Geci montre que (P„) converge vers
+00	4-00
p = nci+92fc-1z) nu+
k=1	k=1	-v
Pour i e Net n > i, on peut écrire
9 2n	3 2n
/ n (i-?2fc) qlm-q2k)
f x.	k—n+i+1	k=l
Ci(n) =-----:----------= —;-----------:--------
n-i	n+i	n-t
m-q2k) m-q2k)m-q2k)
k=1	k=l	k=l
Le produit nd _ q2k) converge, puisque X |ç2fc| converge (car |?| < 1). De
plus, sa limite n’est pas nulle car, pour tout k e N, on a q2k t- 1. On en déduit
que la suite (ci(n))n>i converge et que sa limite est égale à
/nu-?2*)
- k=i - q
1 ~	\2 “ +°°
hd-H n(1-*2fc)
\k=l	I
206
CHAPITRE 2. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
La suite (P„) vérifie, pour tout n e N,
n
Pn = Co(n) + ^Ci(n)(z‘ +z~l).
i=l
D est tentant de penser que
+oo
P = €o + £;<-(z1’+z-1').
1=1
On a, pour tout i e N, t- =	= <?2l+1 et donc lim = 0. Le rayon de
qi	i->+œ t,
convergence de la série entière y1, fiz1 est donc infini, ce qui montre l’existence
4-00
de Q = Z’o + y, €,(z‘ + z-1). On écrit, pour tout n e N,
i=l
4-co
Pn = co(n) + ^Ci(n)(zl +z“‘),
i=l
avec c„(z) = 0, pour i > n. Pour démontrer que (P„) converge vers P, il
faut intervertir sommation et passage à la limite. Pour cela, il suffit que la
série définissant Pn converge uniformément par rapport à n. Montrons qu’on
peut majorer |cI(n)(zI + z-,)l» indépendamment de n, par le terme d’une série
convergente. Pour 0 < i < n, on écrit
9 2n
Ci(n) = —:------—------:--------
n+i	n-i
n(i-?2k)n(i-?2fc)
k=Y	k=Y
n
La suite de terme général un = p] (1 - q2k) convergeant vers une limite non
k=0
nulle, il existe des réels a et b, strictement positifs, tels que a |u„| < b, pour
tout n e N. On en déduit que |c!(n)| < ba~2ql et il existe une constante C > 0
telle que |c,(n)	C|£ |. Cela reste vrai si zz > z et donc, pour z > 1 et n e N,
on a |ci(n)(z‘ + z-,)| < C|ft-1([z[* + |z|— '). Comme on l’a déjà vu, le rayon de
convergence de la série entière y £[Zl est infini. Ainsi C|€(|(|z|‘ + |z|“‘) est le
terme général d’une série convergente. On peut donc conclure que lim Pn = Q,
n—>+oo
c’est à dire que
4-oo	+oo	4-00
no+s2*-1*)	v+z-').
Jt=l	k=i	i=l
et donc, en remplaçant par sa valeur
4-oo	4-oo	4-oo	4-oo
nd+^î) nn+‘72fc-iz’1) nn =1
fc=l	Æ=1	fc=l	1=1
2.40- DÉVELOPPEMENT EULÉRIEN DU SINUS SUR C
207
ce qui peut encore s’écrire
+°° _
P[(1 +42*-1z)(1 + Q2fc-1z-1)(l - q2k) = y z1'. <
fc=l	ieZ
Le résultat obtenu s’appelle l’identité de Jacobi.
2.40. Développement eulérien du sinus sur C
1. Soit z e C. Montrer que
+c° /	2
2. Montrer que pour tout z e C, sin z = z H 1-----
p=i \ P 31
t> Solution.
1. Considérons le polynôme P = (1 + zX)2p - (1 - iX)2p. Le coefficient
de X2p est nul et celui de X2p-1 égal à4p(-l)p_) z. Donc P est de degré 2p -1.
Cherchons ses racines. Comme -i n’est pas racine de P, on a, pour z e C,
P(z) = 0
1 + iz
<=> 3k G HO, 2p - IJ, ----------= (ùk, ou œj. = e^* ,
1 - iz
3k e [[0,2p-lJ, Cùfc^-letz = i^^
1 +
Ir/jr
<^3ke [[0,2p - lj\{p}, z = tan^
2p
après simplification de z-—Pt
û
en tan On obtient ainsi 2p - 1 racines dis-
tinctes. À un scalaire multiplicatif près, Pestdonc égal àX ]“[ (x-tan
l<k<2p-1'
Pour k décrivant [[ 1, p - 1J,	k*p
kn\
2p]-
tan
(2p - k)n
2p
et2p-k décrit [[p+1,2p -1J. En associant les facteurs d’indices k et 2p - k, on
en déduit qu’à un scalaire près, P est égal à X f] (x2 - tan2 En divisant
208
CHAPITRE 2. SUITES BT SÉRIES DE FONCTIONS
chaque facteur par - tan2
d’un scalaire X e C* tel que
qui est bien distinct de 0, on en déduit l’existence
p-1 /
P = IX [] 1 -
k=l I
X2
tan2
2p
On obtient la valeur de X en regardant le coefficient de X dans P. On
trouve X = 4ip. Ainsi,
 p-i
P = 4ipX
fc=i
1 -
X2 \
tan2 /
2p J
et en évaluant P en v-, on arrive à la relation voulue
• \
1-^
2p/
/	,2
=2iZ n k—-i-
k=i \	4p2 tan2 &
2. Soit z e C. L’idée est bien entendu de faire tendre p vers l’infini dans
l’égalité ci-dessus. Comme lim +	= elz et lim (1 -	= e~lz
(voir l’exercice 2.35), le terme de gauche de cette égalité tend vers 2i sinz. Il
reste à regarder le comportement du produit.
2
Posons Mjt(p) = —„ z --r- pour 1 =5 k < p, Uk(p) - 0pour k > p et
4/?2 tan2
+ 00	_P”1 /
F(p)=n<i-^(p))=n b-
fc=l	Æ=1 \
Z2 j
4/72 tan2 w2 /
7	2/? /
Si k est fixé, le terme «*(/>) tend vers u* = lorsque p tend vers l’infini. Il
+00
est assez naturel d’imaginer que F(p) va tendre vers (1 -Uk) etc’estceque
. k=l
nous allons prouver. Il s’agit d’un problème d’interversion de limites.
On va utiliser la forme trigonométrique de 1 -«*(/?) pour se ramener aux
théorèmes sur les séries de fonctions. Comme tanx > x pour x e ]0, ^ [, on a
Izl2
lMfc(p)l < Pour tous k et p dans N*. Il existe donc un rang N > 1 tel que
pour tout k > N et tout p, | u k (p ) | < j • À partir de ce rang, on peut choisir un
argument cpfc(p) de 1 Mfc(p) compris entre et :
2-40. DÉVELOPPEMENT EULÉR1EN DU SINUS SUR C
209
On peut alors écrire pour £ > N,
ît	TT
1 - Wfc(p) = exp(ln|l - wÆ(p)| +icpfc(p)) avec - - < cpfc(p) < -•
On va maintenant montrer que la série y (In 11 - Uk (p) I +1cp* (p)) converge
uniformément par rapport à p ce qui permettra de passer à la limite.
•	On va d’abord majorer le terme | In |1 - Uk(p)11 indépendamment de p.
Pour | u | < 1 on a, par croissance du logarithme,
ln(l - |w|) In |1 - m| < ln(l + |u|).
|ln(l - |m|) I . |ln(l + |w|) I .	,	.	, ,	, , .	, n
Comme |M| et |	|M|	tcndcnt	vers 1 lorsque |m| tend vers 0, on
en déduit l’existence d’un réel a > 0 tel que | In 11 — m|| =? 2|m| pour |w| < a.
Izl2
Quitte a changer N, on peut supposer que ^22 a Pour tout > N. On a
alors pour tout p > 1,
| In |1 — M*(p)|]	2|«fc(p)|.
•	Occupons nous maintenant du terme cpfc(p). On a
Imwfc(p)
smcpfcCp) = ---------—
|1 — wfc(p)|
etdoncsin|<pfc(p)| = |sin<pfc(p)] <2|Imwjt(p)| < 2|w*(p)|car|l-wfc(p)| >
j - Par concavité on a sinx > ^x pour 0 x < p et donc
|q>fc(p)| K|wfe(p)|.
Ainsi, en posant C = 2 + k, on a pour tout p,
Clzl2
|ln|l -wfc(p)| +z<pfc(p)| < C|M*(p)| < -t-j,
+oo
ce qui garantit la convergence de y (In |1 - u*(p)| + zcpfc(p)), uniforme par
fc=N
rapport à p.
210
CHAPITRE 2. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
La fonction argument z e C \ R_ i—» arg z e ] -jt, it [ est continue. En effet,
on peut montrer que, pour z e C \ R_, on a argz = 2 arctan	en
déduit que la limite deln |1 - w*(/?)| + fq)* (p) lorsque p tend vers l’infini n’est
autre que In 11 - uk\ + iarg(l — iq). Comme la série converge uniformément
par rapport à p, on a, d’après le théorème de la double limite,
+co	+00
lim V (ln|l -Mfc(p)|+zcpfc(p)) = VIn|1 -uk\ + iarg(l -uk).
^+”^N	fc=N
(+00	\
y, ln |1 - uk(p)\ + i<pjt(p) I
fc=N	/
/ ’1’co	1
tend vers exp y ln |1 - Wjt| + i arg(l - ujt) et, toujours par continuité de
\fc=N	/
l’exponentielle,
(+00	\	+oo
-M*| + iarg(l -uf) = f~[(l -ukf
fc=N	/ *=N
On en déduit donc que la limite de F(p) lorsque p tend vers l’infini
+00
est nu - uk). Nous venons de prouver que
k=l	v
/	72	+oo /	2 \
lim Fi l---------------ï~ = fl 11 - I •
^1=1 4p2tan2^l Li \ k2*2!
En passant à la limite dans la relation établie à la question précédente, on obtient
la factorisation en produit infini de sin z :
+oo /	„2 \
On s’intéresse maintenant aux conditions suffisantes qui permettent d’as-
surer la convergence uniforme d’une suite de fonctions. Beaucoup de résultats
sont le fruit de recherches des écoles allemande et italienne à la fin du xixe
siècle. Dini est à l’origine des résultats suivants qui sont très souvent posés aux
oraux des concours.
2.41. Théorèmes de Dini
Soit a < b dans R, (/„) une suite de fonctions continues de [a, b]
dans R qui converge simplement vers une fonction continue f.
1.	Théorème de Dini. On suppose que la suite (/,,),1ên est croissante,
Le. que fn < fn+y pour tout n. Démontrer que la convergence est uniforme.
2.41- THÉORÈMES DE DINI
211
2.	Second, théorème de Dini. On suppose que chaque fonction fn est
croissante sur [a, b\. Montrer que la convergence est uniforme.
3.	On considère la suite de fonctions (pn)n>o dé [0,1] dans R définie
par po = 0 etpn+i (x) = pn (x) + - (x-p„ (x)) pour tout n et toutx. Montrer
que la suite (pn)n>o converge uniformément sur [0,1].
▻ Solution.
1. La démonstration repose sur le fait que l’intersection d’une suite
décroissante de compacts non vides n’est pas vide : posons gn = f - fn > 0,
pour tout n 0. Alors (g„) est une suite décroissante de fonctions continues
qui converge simplement vers la fonction nulle. Notons an = ||gn||°o. H s’agit
de prouver que cette suite converge vers 0. Comme a„ = sup gn(x), la
xs[a,b]
suite (a„) est décroissante et positive. Elle converge donc vers un réel a > 0.
Raisonnons par l’absurde et supposons a > 0. Considérons pour tout n > 0
l’ensemble
= |x'g [a,&],g„(x) >	.
Chaque ensemble K„ est non vide, borné car contenu dans [a, b] et, en tant
qu’imagé réciproque du fermé [^, +°° [ par la fonction continue gn, est fermé
dans [a, b] donc dans R. Comme gn+i gn, on a Kn+i c K„. Il s’ensuit, par
le théorème des compacts emboîtés, que K„ est non vide. Il existe donc c
n>0
appartenant à tout K„ et par conséquent tel que g„(c) > pour tout n, ce qui
contredit la convergence, simple vers 0.
Pour ceux qui connaissent la propriété de Borel-Lebesgue, on peut proposer une
autre solution. Soit e > 0. Les ensembles
D-n = {x e [a,è],gn(x) < e}
constituent une suite croissante d’ouverts de [a, b] : en effet, S2n est l’image réciproque
de l'ouvert ]-oo, e[ par lafonction continue gn : c’est donc un ouvert. Comme gn+\ < gn,
on a £in c Q„+j. Comme la suite (gn) converge simplement vers 0, la réunion des £in
est [a, b] tout entier.. Comme [a, b] est compact, en vertu de la propriété de Borel-
Lebesgue, il existe no e N tel que J2no = [a, b]. Dans ces conditions, si n no
et x e [a, h], on a 0 < gn(x) < e et donc ||gn||oo e. La convergence est donc
uniforme sur [a, b].
Ce résultat fondamental constitue le théorème de Dini. Le résultat de la question
suivante est souvent qualifié de second théorème de Dini.
2. Sur un ensemble fini, la convergence simple équivaut à la convergence
uniforme. On va donc se ramener à une subdivision (finie) de [a, b] et contrôler
l’écart entre f et f„ sur le reste du segment grâce àl’hypothèse de monotonie.
Soit e > 0. La fonction f est continue sur le compact [a, b]. D’après le
théorème de Heine, elle est uniformément continue. Considérons q > 0 un
212
CHAPITRE 2. SUITES ET SERIES DE FONCTIONS
module d’uniforme continuité de f pour e et une subdivision de [a, b] de pas
inférieur à q : S = (a - ao < ai < ••• < an~i < an = b) . Il existe no G N
tel que pour tout entier n no et tout i g [[0, nj, |/(a() -	| < e.
Soit n no et x 6 [a, b]. Supposons a, < ,ï < at+i avec 0 < i < n - 1. On a
|/(x) - f{ai)\ < e et on peut alors écrire
I/O)-/nCOI < |/(x) - /(a;)l + IZ(«z) - fn(at)\ + \fn(at) - /„(x)|
« e + e + (y„(x)-y„(af))
<	2e + fn(ai+i) - fn(ai) (car fn est croissante)
<	2e + |/n(a/+i) - /(a(-+i)| + \f(ai+i) - /(a,)| + |/(fli) - /nOOl
<	5e.
La convergence est donc uniforme.
3. Cette question offre une application du (premier) théorème de Dini.
Soit x fixé dans [0,1] . La suite (p„(x)) est la suite récurrente associée à la
fonction gx : t h» t + -(x -t1 2 3 4) avec la condition initiale po(x) - 0. Les points
fixes de gx sont —\[x et six. Il est facile de voir que l’intervalle [0, -\Æ] est
stable par gx et que gx (t) > t pour tout t 6 [0, s/x]. On en déduit que la suite
(p„(x))n>o est croissante et converge vers s/x. La fonction racine carrée étant
continue sur [0,1] on peut applique le résultat de la question 1 et dire que la
convergence de la suite (pn) est uniforme. <i
On notera que dans les deux résultats de Dini, l’hypothèse de continuité de f
est fondamentale. Le lecteur trouvera sans mal des exemples où la convergence
n’est pas uniforme si on ôte cette hypothèse.
Dans l’exercice suivant, on utilise le théorème de Dini pour s’assurer de la
continuité d’une limite simple.
2.42.	Un théorème de point fixe
Soit H : [0, l]2 —> R+ continue telle que H(x,x) = 0, pour
toutx 6 [0,1]. Pour toute application cp : [0,1] —> R bornée, on pose
Vt g [0,1], (T<p)(t) = inf (<p(s) + H(Ls)).
Së[0,l]
1. Montrer que T<p est continue. On définit ainsi une application T
de C°([0,1],R) dans lui-même qui à <p associe T(p.
2. Caractériser les points fixes de T.
3. Montrer que T est continue de C° ( [0,1 ], R) dans lui-même pour la
norme infinie.
4. Soit cp g C°([0,1],R). Montrer que la suite (T"<p)n>0 converge
uniformément vers un point fixe de T.
2.42. UN THÉORÈME DE POINT FIXE
213
> Solution.
1.	Munissons R2 de la norme infinie, définie par ||(x,y)|| = max(|x|, |y|).
D’après le théorème de Heine, la fonction H est uniformément continue sur le
compact [0, l]2. Pour tout e > 0, il existe donc t] > 0 tel que
||(s,t)-(/y)ll	|H(z,s)-H(z',s')Ke.
Si t et t' sont deux éléments de [0,1] tels que |z - t'\ C q et s e [0,1], on a
alors ||(s, t) - (s, t')|| < q et donc |H(Z,s) - H(z', s)| < e. On en déduit que,
pour tout j e [0,1], on a
T(p(t) < <p(s) + H(z, s) < cp(s) + H(z', s) + e.
Cela étant vrai pour tout j e [0,1], ona
<T<p(t') + e.
En échangeant les rôles de t et t', on obtient de même Tq,(z') < Tcp (z) + e et
finalement
|T<p(0 -T(p(f)| < e.
Ceci démontre la continuité de T<p.
2.	On cherche les fonctions cp de C°([0,1],R) telles que T<p(z) = cp(z)
pour tout t e [0,1]. Notons déjà que
T<p(t) < cp(z) + H(Z,Z) = cp(z).
Pour avoir l’inégalité inverse, il faut cp(z) cp(s) + H(z, s) pour tout s e [0,1],
Finalement, cp est un point fixe de T si, pour tout (s, t) g [0, l]2, on a
cp(z) < cp(s) + H(z, s).
3.	Soit <p et qr dans C°([0,1],R). On a, pour tout (s, z) 6 [0, l]2,
T<p(z) C cp(s) + H(z, s) < <p(s) - qz(s) + q/(s) +H(Z, s)
< Il <P - Vil», +	+ H(z, s)
En passant à la borne inférieure dans le second membre, on en déduit
T<p(z) «Tv(z) + ||cp-qr||oo-
Comme cp et qz jouent le même rôle, on a de même Tv (z) < T<p (z) + ||cp-qz|| OO
et donc
|T<p(z) — TV(Z)| < ||cp - vlloo-
Cela étant vrai pour tout z g [0,1], on a
||T(p Tv < ||cp q/||oo
214
CHAPITRE 2. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
L’application T est continue pour la norme infinie, puisque lipschitzienne de
rapport 1.
4.	Nous avons démontré dans la question 2 que, pour cp g C°([0,1],R)
et r g [0,1], on a Tq>(t) < cp(t). On en déduit que T^+1(t) < T£(t), pour
tout n g N. La suite (T"(t))„eN est donc décroissante, pour tout t G [0,1],
Montrons qu’elle est bornée.
L’image de la fonction nulle par T étant la fonction nulle, il résulte de la
question 3 que l’on a, pour cp g C°([0,1],R), 1^11^ C ||cpHoo- On en déduit
que la suite	décroît. En particulier, ||T"	< || cp||„ pour tout n G N
et donc pour tout t 6 [0,1], |T" (ï)| < |[<p||oo- Pour tout t G [0,1], la suite
(T"(r))neN est bornée; elle est donc convergente puisqu’elle est décroissante.
La suite (T“) converge donc simplement sur l’intervalle [0,1]. Notons f sa
limite.
Montrons que f est continue sur [0,1], Soit e > 0. Dans la première
question, on a prouvé l’existence de q > 0 tel que pour tous t et t'
dans [0,1] avec |t - t'| C q et toute application q/ bornée sur [0,1], on
ait |TV(t) - Tv(r')l < e. En particulier, si |t - t'| < q, pour tout n 1, on
a|T^(t)-T"(r')| < e. En faisant tendre «vers l’infini, il vient |/(t)-/(t')| e-
La fonction f est bien dans C°([0,1], R).
Montrons que f est un point fixe de T. Pour (r, t) 6 [0, l]2, on a, par
définition de T,
T"(<p)(t) = t(T"-1 (cp))(0 < T"-1 (cp) (0 + H(t, s).
En faisant tendre n vers +oo, on obtient, pour tout (j, r) e [0, l]2,
f(t) </(f)+H(r,s).
Or nous avons vu dans la question 2 que c’est la condition pour que f soit un
point fixe de T. L’application f est donc un point fixe de T.
Il reste à démontrer que la convergence est uniforme. Cela résulte du
théorème de Dini appliqué à la suite (-Tn(cp)) sur le segment [0,1]. <
2.43.	Etude d’une suite récurrente
Soit fo : [0, a] —> R+ une fonction continue et (/„) la suite de fonctions
définie pour n 6 N et x g [0, a] par fn+i (x) — 2 / y/fn(t) dt. Étudier la
*/ 0
convergence de la suite de fonctions (/„).
▻ Solution.
Notons T l’opérateur qui à une fonction f continue sur [0, a] associe la
fonction T(/) définie sur [0,a] par T(/)(x) = 2 f -Jf. Si la suite (/„)
3-43- ÉTUDE D’UNE SUITE RÉCURRENTE
215
converge uniformément vers une fonction f alors on a T(/) = /.ce qui nous
invite à chercher les points fixes de T. Or si T(/) = f alors f est de classe
C1 et en dérivant, on montre qu’elle vérifie l’équation différentielle y' = 2-fy.
La fonction x 1—> x2 est solution, mais ce n’est pas la seule, on trouve aussi
la fonction nulle, ou encore les fonctions milles sur [0, a] et égale à (x - a)2
sur [a,a].
Pour voir ce qui se passe, on peut commencer par chercher le comportement
de la suite lorsque fo : x i-> c est une fonction constante avec c > 0. Les itérées
de fo par T sont alors des fonctions du type x 1—> cnxa'1 avec a„ > 0 et cn > 0
(ao = 0 et cq = c). Un calcul immédiat donne les relations de récurrence :
a„ , „
Wn+1 - 9 + 1 et cn+1 - a •
t + i
La suite des puissances (a„) est une suite arithmético-géométrique et le point
fixe de x 1—> 5 + 1 étant 2, on a
an = —- (ao - 2) + 2 = 2-----r-
n 2”v ’	2”_ 1
Pour étudier la suite (c„), on passe au logarithme et on obtient
!	1	h 1 fl 1 1
ln c„+i = - In cn - In — + - = - In cn - In 1-------7 •
2	\ 4	2/ 2	\	2"+1 /
Ainsi, en posant un - 2n In cn, on obtient w„+i = un +1 + o(l). Par le théorème
de sommation des relations de comparaison (ou simplement ici le théorème de
Cesàro) on en déduit que un ~ n et donc que c„ = exp(w„2“") converge vers
1. Lorsque fo est constante, on a donc convergence simple de la suite (/„) vers
la fonction x 1—> x2.
Revenons au cas général. La fonction fo étant continue sur le segment
[0,a], elle y est bornée et atteint ses bornes. On pose X = min/o > 0
et p = max/o- L’opérateur T est croissant, si bien que comme X fo < p, on
aT'l(X) fn < T”(p) pour tout n.
Lorsque X > 0 le cas constant étudié ci-dessus et le théorème d’encadrement
montrent que la suite (/„) converge simplement vers x 1—> x2.
Si X = p = 0, fo = 0 et la suite (/„) est constante égale à la fonction nulle.
Il nous reste à traiter le cas X = 0 et p > 0 où l’encadrement ci-dessus ne
suffit plus. Puisque les fonctions fn sont toutes positives, elles sont croissantes
à partir du rang n. = 1. Quitte à remplacer fo par f\, on va supposer que fn est
croissante pour tout n g N et poser oq = inf{x e [0, a], fo(x) > 0}. Par une
récurrence immédiate, les fonctions fn sont toutes nulles sur [0, ao], strictement
positives sur ] ao, a] et pour x e [ao, a], on a
fn+l(x) = 2 f y/fn(t) dt.
216
CHAPITRE 2. SUITES ET SERIES DE FONCTIONS
Si on considère l’opérateur T défini par T(/) : x e [oto, a] i—* 2 Ï y/f(t) dt,
Jao __
on a fn < Trt(p) et, en adaptant ce qui précède, on montre que T"(p)(x)
converge vers (x - oq)2 pourx e [cto,a].
On va maintenant minorer fn. Soit a e]ao,a]. On pose go(x) = /o(“)
pour x e [ a, o] et on définit pour n > 0 et x toujours dans [a, a]
gn+l W = 2 y y/gn(t) dt.
Toujours en adaptant ce qui précède, on montre que la suite (gn), qui est définie
à partir d’une fonction go constante non nulle, converge vers x h-» (x - a)2 sur
[a, a], Par ailleurs, on a pour x € [a, a],
g„(x) </„(x) < T"(p)(x)
Soit x e ] ao, «] et e > 0. On choisit a e ] «o, x[ assez proche de ao pour que
|(x - a)2 - (x - a0)2| « e.
Pour n assez grand, on a
(x - a)2 - e gn(x) fn(x) < Tn(p)(x) < (x - a0)2 + e
et donc
(x - a0)2 - 2e < fn(x) (x - ao)2 + e.
On en déduit que fn(x) converge vers (x - ao)2 quand x e ]ao, fl] et est
stationnaire à 0 sur [0, ao]. On a donc prouvé la convergence simple sur [0, a].
Comme les fonctions fn sont des fonctions croissantes pour n > 1, le
second théorème de Dini permet de conclure que la convergence est uniforme
(voir exercice 2.41). <i
Comme dans les deux exercices précédents, on va s’intéresser au point fixe
d’un opérateur et l’approcher par itérations successives.
2.44.	Équation fonctionnelle
Soit f : R —> R continue vérifiant f(x + 1) = /(x) + 2 pour tout x.
Montrer qu’il existe une unique fonction continue h : R —» R telle
que h(x + 1) = h(x) + 1 et h(f(x)) = 2h(x) pour tout réel x.
> Solution.
Soit f continue vérifiant f(x + 1) = /(x) +2. Une telle fonction est connue
dès qu’on la connait sur le segment [0,1], En fait, si on pose g(x) = f(x) - 2x
2.44- ÉQUATION FONCTIONNELLE
217
on observe que g est 1-périodique. De même, si ft vérifie h(x + 1) •= /i(x) + 1
alors k : x 1—> h(x) - x est 1-périodique.
Une bonne démarche à l’oral est de commencer par l’exemple simple
où /(x) = 2x (et donc g = 0). L’équation vérifiée par h est alors ft(2x) = 2/i(x)
et la fonction identité est solution. On va voir que c’est la seule. En effet,
soit h une solution que l’on écrit fi(x) = x + k(x) avec k 1-périodique. Par
linéarité on a aussi k(2x) = 2k(x) pour tout x et en itérant k(2nx) = 2nk(x)
pour tout x et tout n e N. Cela impose que k est nulle car elle est continue et
1-périodique, donc bornée sur R. Ainsi l’identité est la seule solution dans le
cas où / : x h-» 2x.
Cet exemple invite à plutôt se donner g continue et 1-périodique et à
chercher k continue et 1-périodique telle que la relation fi(/(x)) = 2fi(x) soit
vérifiée pour toutx. En remplaçant, on obtient /(x) + k(f(x)) = 2(x + k(x)) et
donc g(x) + k(2x + g(x)) = 2k(x). Cela semble plus compliqué mais l’intérêt
est qu’on est maintenant dans un seul espace vectoriel E, celui des fonctions
continues et 1-périodiques sur R. On peut alors voir l’inconnue k comme le
point fixe d’une application T de E dans E définie par
T(k) :.ïm |(g(x) + k(2x + g(x))).
On a alors l’idée d’aller chercher ce point fixe comme limite d’une suite
récurrente. Considérons donc la suite de fonction (kn) définie par ko = 0
et kn+i = T(kn). On a pour tout x e R, k„+i(x) = j(g(x) + k„(x + g(x))).
On va montrer que cette suite (kn) converge. On munit E de la norme de la
convergence uniforme (les fonctions périodiques continues sont bornées). On
a, pour tout x e R,
|kn+i(x) - k„(x)| = ^|k„(x+g(x)) - k„-i(x + g(x))|
et donc ||kn+i — kn||oo < ^llkn - kn-i||oo. En itérant, on obtient par une
récurrence immédiate ||k„+i -	lLÈl^oll£o jj en jgcouje qUe ja série
de fonctions ^(kn+i - kn) converge normalement sur R, donc uniformément
et que, par conséquent, la suite (k„) converge uniformément sur R vers une
fonction k qui est continue et 1-périodique. En passant à la limite dans la
relation de récurrence, on voit que k est solution de notre problème. Il est facile
de voir que k est unique : si k et k conviennent on a T(k) - k et T(k) = k et
on en déduit comme avant que ||k - k||oo <	- £|l<» donc que k = k. <1
Dans les deux exercices suivants, nous revenons sur des conditions
suffisantes de convergence uniforme.
218
CHAPITRE 2. SUITES ET SERIES DE FONCTIONS
2.45.	Critère de convergence uniforme
Soit fn : [0,1] —> R une suite de fonctions telle, que pour toute suite
convergente (xn)neN de [0,4]; la suite (/n(xn))neN converge.
1.	Montrer que la suite (/„) converge simplement sur [0,1] vers une
fonction f.
2.	Prouver la continuité de f.
3.	En déduire que la convergence de (/„) vers f est uniforme.
▻ Solution.
1.	Soit x e [0,1]. En appliquant l’hypothèse à la suite constante égale
à x, on peut affirmer que la suite (/n(x)) converge. On note /(x) sa limite. La
suite (/„) converge donc simplement vers f. Notons alors que pour toute suite
(x„) qui converge vers x, la suite (/n(xn)) converge vers /(x). En effet, pour
le montrer il suffit d’appliquer l’hypothèse à la suite (y„) définie par y^p = xip
et y-ip+i = x :
lim /„(yn) = lim /2p(y2p) = lim /2p(x2p) = lim /„(x„)
n—>4-oo	p—>4-00	r	p—>4-00	n—>4-00
et
lim /„(y„)= lim /2p+i(y2p+i) = lim /2p+i(x) = /(x).
n—>+co	p—»+oo	p—>+oo
L’unicité de la limite permet de conclure.
2.	Raisonnons par l’absurde et supposons qu’il existe a e [0,1] tel que f
ne soit pas continue en a. Il existe alors e > 0 et une suite (xn) qui converge
vers a telle que |/(x„) - /(a)| > e pour tout n. Pour tout n, on a, d’après la
question 1,
lim A(x„)=/(x„).
fc-»+oo
On peut donc choisir cp(O) g Ntelque |/q>(o)(xo)_/(xo)| < On peut choisir
ensuite cp(l) > cp(O) tel que |/(p(i)(xi) —/(xi)| < On construit ainsi par
récurrence une fonction q> : N —> N strictement croissante en choisissant
cp(p) > cp(p - 1) tel que
g
l/q>(P) (*P) — f(.xp)\	2'
g
Il en résulte que, pour tout p g N, on a |/(p(p) (xp) - f(a)\ > - Posons pour
tout n g N, X„ = xp si n s'éprit n = <p(p) avec p g N et Xn = a sinon. On
vérifie aisément que (X„) converge vers a. D’autre part, on a pour tout p G N,
g
l/<p(P) (^<p(p)) — f (a)l = l/<p(P) kxp) ~ f(a)\	2’
2.46. SUITE DE FONCTIONS LIPSCHITZIENNES SUR UN COMPACT
219
si bien que la suite (/<p(p) (Xq>(p) ))pcï-i ne converge pas vers /(a). Comme c’est
une suite extraite de la suite (fp(Xp))peti, cette dernière ne peut converger
vers /(a), ce qui est contraire à l’hypothèse.
On conclut donc que la fonction f est continue.
3.	Raisonnons par l’absurde et supposons que la convergence ne soit pas
uniforme. La suite (||/-/n||oo)neNneconvergeantpas versO, il existe donce > 0
et cp : N —> N strictement croissante tels que, pour tout n e N,
sup |/(x) -/<p(„)(x)| = 11/" - Z<p(„)H~ > e-
xe[0,l]
Par définition de la borne supérieure, il existe xn e [0,1] tel que
g
l/(xn) —/<p(n)(x„)| —•
Comme [0,1] est compact, on peut extraire de (xn)neN une sous-suite
(xv(n))n>o (avec tp : N —» N strictement croissante) convergente. Notons x
sa limite. Pour tout n G N, on a
x
g
I/(Xiy(n)) — /<poi|/(n) (X\|/(n))|	— •
Soit (yn) une suite telle que = .xv(n) et yn = x si n i cp o y (N). La
suite (y„) converge également vers x et pour tout « e N,
g
l/(Xi|/(h)) — /cpo\|/(n) (y<p°y(n))l
La suite (/<poV(n)(y<poV(n))), suite extraite de (/n(yn)), converge vers f(x).
Comme f est continue, on obtient |/(x) - /(x)| > | en faisant tendre n vers
l’infini, ce qui est absurde. On conclut que la convergence est uniforme. <1
2.46. Suite de fonctions lipschitziennes sur un compact
1. Soit [a, /?] un segment de R, c > 0 et (/n)n>o une suite de fonctions
c-lipschitziennes de [a, b] dans R qui converge simplement vers une
fonction /. Montrer que la convergence est uniforme sur [a, b\.
2. Plus généralement soit K un compact d’un espace vectoriel normé E
et (/n)«>o une suite de fonctions c-lipschitziennes de K dans R qui converge
simplement vers f : K —> R. Montrer que la convergence est uniforme
sur K.
> Solution.
1.	L’idée est de se ramener à un ensemble fini de points, car le caractère
c-lipschitzien de toutes les fonctions fn va permettre de contrôler ce qui se
passe ailleurs.
220
CHAPITRE 2. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
Soit e > 0 fixé et S = (xo = fl < xi < • • * < xp = b) une subdivision
g
du segment [a, b] de pas inférieur à — • Puisque la suite (/n)n>o converge
3c
simplement vers f, on peut trouver un rang N tel que pour tout n > N et
g
tout k e [[0,p], on ait - /(xfc)| < -• Soit x e [a, b] un point
quelconque et i tel que x g [x(-, xj+i] . Pour tout n > N on a
1/nW - f(.X)\ < 1/nW - fn(.Xi)\ + !/„(%/) - /(x,-)| +	- /(x)|
i	i 6 i	.888
< C\X - Xi + - + C X; — X < - + - + -= 8,
1	1 3	3 3 3
car la fonction f est clairement aussi c-lipschitzienne. On a donc, pour
tout n > N, la majoration ||/n — /||oo < e, ce qui prouve le résultat.
2.	Soit e > 0. L’idée est exactement la même : K étant compact, on peut
trouver un nombre fini xq,...,xp de points de K tels que les boules ouvertes
B (xt-, j recouvrent K. Montrons-le en raisonnant par l’absurde. On construit
une suite (x„) en choisissant xo quelconque dans K, puis, pour tout n g N,
xq, ... ,xn étant choisis, en prenant x„+i dans K \ Q B [x{, ce qui est
possible car les boules B (x,, pour 0 < z < n, ne recouvrent pas K. Si p
et q sont deux entiers distincts, on a ||xp -xq || > , si bien qu’ aucune sous-suite
de (xn) ne peut converger, ce qui est contradictoire car K est compact.
g
On choisit alors N tel que \fn (xjt) - /(x^) | < - pour tout n > N et tout
k 6 [[0, pj], et la fin de la preuve est identique à celle de la question 1. <
Le résultat de l’exercice précédent est utilisé dans la solution des deux
exercices suivants.
2.	47. Convergence uniforme de suites de fonctions convexes
Soit (/n),ieN une suite de fonctions convexes sur le segment [a, b] qui
converge simplement vers f. Montrer que la convergence est uniforme sur
tout compact de ]a, b [.
▻ Solution.
L’idée est d’utiliser la convexité pour contrôler les variations de f entre
deux points, afin de passer de la convergence en un nombre fini de points à une
convergence uniforme sur tout un segment [a, p] c]a, h[. Plus précisément,
nous allons écrire l’inégalité des pentes croissantes : pour une fonction g convexe
sur [a, b] et tout x < y < z dans [a, b], on a
g(x)-g(y) < g(x) - g(z) < g(y)-g(z)
x-y
x - z
y-z
2.48. CONDITION SUFFISANTE DE CONVERGENCE UNIFORME
221
Fixons a < 0 dans ]a, b [. Pour n e N et x < y dans [a, p], on a
a-a	x-y	Z? - p
Les quantités	et	r—nK^ convergent vers —^a- et
respectivement. Elles sont en particulier bornées. Il existe donc M
réel strictement positif tel que, pour tout n e N,
_M /n(a) -/n(a)	/n(x) ~/n(y)	AW ~/n(P)	M
a-a	x - y	b - p
Par conséquent, toutes les fonctions fn sont M-lipschitziennes sur [a, p]. On se
reportera alors à l’exercice précédent pour en déduire la convergence uniforme
de (/„) vers f sur [a, p], <1
2.	48. Condition suffisante de convergence uniforme
1. Pour g : [0,1] —> R de classe C°° et h e ]0,1], on définit la
fonction A/, (g) par
A / w x g(x + h) -g(x)
A/,(g)(x) =---------------
h
Soit k g N*. Montrer que pour x e [0,1 [ et h > 0 tels que x + hk < 1,
il existe 0 g ]0,&[ tel que A^(g)(x) = g^(x + Qh), où A^ est la
composée k fois de A/, . En déduire, pour x g [0,1 [, la limite de A^ (g) (x)
lorsque h —» 0+.
2. Soit (/n)n>o une suite de fonctions de classe C°° de [0,1] dans
R et f une fonction de classe C°° de [0,1] dans R. On suppose que la
suite (/n)n>o converge simplement vers f et qu’il existe k g N* et un
segment [a, è] de R tel que (x) 6 [a, b] pour tout x G [0,1] et tout n.
Montrer que/(*\x) g [a, è], pour tout x g [0,1], et que (/„) converge
uniformément vers f sur [0,1].
222
CHAPITRE 2. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
▻ Solution.
1. L’expression de A* (g) (x) fait intervenir g (x + jh) pour 0 < j < k. Elle
est donc bien définie pour x > 0, h > 0 et x + kh < 1. Le résultat se montre
par récurrence sur k. Pour k = 1, il s’agit de la formule des accroissements
finis. Supposons k > 2. Toujours par la formule des accroissements finis,
si x + kh < 1, alors il existe 0' G ]0,1 [ tel que
A^(g)(x) = A^(A^-1(g))(x) = [A*-1(g)]\x + 0'A).
Comme \h(g)' = \h(g'), on a [A*-1 (g)]' = A^’(g'). Sachant que
(x + Q'h) + (k- l)h x + kh 1,
on peut appliquer l’hypothèse de récurrence à la fonction g' en x + Q'h. On
obtient l’existence de 0" e ]0, k - 1 [ tel que
A*(g)(x) = [A^Cg'mx + O'ft) - (g'^k-1\(x + 9'h) + Q"h)=g^(.x + Qh),
avec 0 - 0' + 0" e ]0, £[.
Pour x e [0,1 [ fixé, l’égalité précédente est valable pour h e ]0,[• Il
en résulte clairement, puisque est continue, que
Jim ^(g)(x)=gw(x).
n—>U
2. Soit x e [0,1[. Pour n e N et h e ]0, il existe 0„ g]0, tel
que A^(/n)(x) = f„k\x + Qnh). On en déduit que A^(/„)(x) g [a, b]. Pour
x et h fixés, on a lim A?(/„)(x) = A^(/)(x), puisque la suite (/„) converge
simplement vers f. On en déduit, par passage à la limite que A^ (/) (x) 6 [a, b].
En faisant tendre h vers 0+, on en déduit que /^\x) G [a, b] pour tout
x g [0,1 [. Par continuité de	, cela est également vrai pour x = 1.
Dans le cas où k — 1, l’hypothèse implique que toutes les fonctions fn sont
K-lipschitziennes avec K = max(|a|, |b|). Cela suffit pour avoir la convergence
uniforme sur le segment [0,1] (voir exercice 2.46). On va se ramener à cette
situation dans le cas général en montrant qu’on peut trouver K > 0 tel que pour
tout n, ||/nl|co K. Comme on a une hypothèse sur la dérivée fc-ième, on va
utiliser la formule de Taylor avec reste intégral. Pour x 6 [0,1] on a
fc-2
(*)
i=0	1 
où RJ, (x) est le reste intégral que l’on peut majorer :
IP'roi -	-fc-1 - maxd«l’I^D
|R"(X)I (T^Î)!X < (ik-’ïj! ’
2-49- théorème d’ascoli
223
Il faut encore contrôler les k -1 suites (0) pour 1 < i < k -1 pour parvenir à
majorer /„ (x). Pour cela choisissons k points distincts ao, • • •. ®fc-i dans [0,1]
et écrivons la formule de Taylor avec reste intégral pour entre 0 et aj :
i=0 l-
On a |Rn(aj)| <	. D’autre part, les suites (/n(aj)) étant conver-
gentes, il existe un réel M > 0 tel que |/,1(aJ)| < M, pour tout j e Q0, k - lj]
et tout n 6 N. Comme la matrice A = |^4-|	est inversible (son
déterminant se ramène à un déterminant de Vandermonde), le vecteur colonne
v„ = (/„(0),z;(0),.../„(fc’1)(0))T
est égal à A-]Wn, oùW„ est le vecteur de composantes (/n(a7)-Rn(a7-))o^<fc-i
Or, d’après ce qui précède, la suite (Wn) est bornée. Il s’ensuit que la suite
(Vn) l’est aussi. Il en résulte par (*) que la suite (\\f^][oo) est bornée par une
constante K. Les fonctions fn sont alors toutes K-lipschitziennes et la conver-
gence est uniforme sur [0,1]. <
Les trois exercices suivants sont difficiles et nécessitent la mise en œuvre du
procédé d’extraction diagonale dû à Cantor.
*2.49. Théorème d’Ascoli
Soit (fn) une suite de fonctions continues de R dans R.
1.	On suppose que,
Vx e R, g R, Vn g N, |/„(x)| < Mx.
Soit A une partie de R au plus dénombrable. Montrer qu’il existe une suite
extraite de (/„) qui converge simplement sur A.
2,	On ajoute l’hypothèse suivante : pour tout e > 0, et tout x g R, il
existe q > Ô tel que
Vn G N, Vy G R, |x - y| < q => |/„(x) - fn(y)\ < e,
(on parle d’équicontinuité de la suite (/„)).
Montrer qu’il existe une suite extraite de (ff) qui converge simplement
sur R et que la convergence est uniforme sur tout compact.
3.	Réciproquement, si la suite (/n) converge uniformément sur tout
compact, montrer qu’elle est uniformément bornée sur tout compact et
équicontinue.
224
CHAPITRE 2. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
> Solution.
. 1. Supposons A fini, A = {aj, a2,...,ap}. La suite (/«(ai)) est bornée
par hypothèse. D’après le théorème de Bolzano-Weierstrass, on peut en extraire
une sous-suite convergente. Soit donc cpi une extractrice telle que la sous-suite
(f<fi („) (fli)) soit convergente, vers un réel (y. La suite (f(fl („) (a2)) est bornée
et on peut choisir une extractrice <p2 de telle manière que la suite (yvP1 OCp2(«) (a2))
converge, vers un réel €2. On réitère ce procédé pour construire par récurrence
des extractrices <pf telles que
lim /*(p1o...oq)£(n) (ffi’) = R-
n—>+oo T1	'
On pose y (n) = <pi o   • o <pp (n). Pour 1 < i < p, la suite (/v(n) (a:-)) est une
suite extraite de	qui converge donc vers La suite (/v(n))
converge simplement sur A.
Lorsque A = {ap, p > 1} est infini dénombrable, on définit comme
précédemment les extractrices <pt et on pose xp(«) = <pi o •  • o <pn(n).
Alors, pour tout p > 1, la suite (/M/(/I)(ap))n>p est une suite extraite de
(/<p1o...o<pp(n)(ap))n>p,quiconvergevers£p.Eneffet,n-l < n < cp„(n),donc
<Pp+l ° • • • ° <Pn-i(ra - 1) < <Pp+i ° • • • ° tpn-i o cp„(n)
et /V(„) (ap) = /<p1o -o<pp((pp+1o -a(p„(,1)) (ap) converge vers tp. La suite (/v(„))
converge simplement sur A.
Cette construction d'une sous-suite convergente, extraite d’une famille dénombrable
de suites, porte le nom de procédé diagonal de Canton
2.	Prenons A = Q. D’après la question précédente, il existe une extrac-
trice tp telle que la suite (/v(,i)) converge simplement sur Q. Pour n > 0,
notons gn = La suite (g„) est encore équicontinue et converge simple-
ment sur Q.
Soitx e R. Comme la suite (gn(x)) est une suite réelle bornée, il suffit de
montrer qu’elle possède une unique valeur d’adhérence pour conclure qu’elle
converge. Soit t et t’ deux valeurs d’adhérence et e > 0. H existe q > 0 tel
que si |y - x| «S q, alors |gn(x) - gn(y)| < e pour tout n e N. Si on considère
un rationnel q proche de x à moins de q, la suite (g,T (<?)) converge vers une
limite X et on a donc K - X| < e et \t' - X| < e, si bien que \t -C'| 2e. Comme
cela est valable pour tout e > 0, on a f = t'. La suite (g„(x)) converge donc et
la suite (gn)neN converge simplement sur R vers une fonction g : R —> R.
Soit K un compact de R. Montrons que la convergence est uniforme
sur K, en raisonnant par l’absurde. On suppose que ||g„ - g||oo,K ne tend
pas vers 0. Il existe donc e > 0 et une extractrice / : N —> N telle que l’on
ait ll&xO) “ gIloo.K > e pour tout n e N. Comme K est compact, il existe
x„ e K tel que |gx(n) (x„) - g(x„) | = ||gx(n) - gH^k > e. De la suite (x„) du
compact K, on peut extraire une suite (xT(n)) qui converge vers x. Pour tout
2.49- théorème d’ascoli
225
71 ê N, on a donc. \-hn (jc^Çn) ) » &C^T(n)) I  e, ou hn — &%oT(n) • La suite (/în) >
extraite de (g„), est encore équicontinue. Soit q > 0 tel que
g
Vn e N, Vy e R, |x - y| < q => \hn(x) - hn(y)\ < -•
En passant à la limite dans la dernière inégalité, on a aussi |g(x) - g(y)| < |
pour |x — y | < q. Soit tîq tel que |xT(„) - x| < q pour n > no. On a alors, par
inégalité triangulaire, pour n > no,
IM*) -#(*)! =	- M*t(n)) + M*r(n)) “ g(*T(n)) + g(*?(n)) “ g Wl
> |/în(*T(n)) -g(*T(n))l - IM*) ~ M*t(«))I “ |g(*T(n)) “ g (*)I
e e e
>e~3~3 = 3’
ce qui contredit la convergence de (hn (x)) vers g (x).
3.	Supposons que (/)„a converge uniformément sur tout compact vers/.
La fonction / est alors continue. Soit K un compact. Par hypothèse, la suite
(Wfn -/I|oo,k) converge vers 0, elleest donc bornée par M. Six e Ketn e N,
on a
IM*)I < l/(x)| + |/„(x) -/(x)| « II/Uk + M.
Donc la suite (ff)neü est uniformément bornée sur K.
Soitx e Rete > O.Ilexisteq > 0 tel que pour |x-y|	q, |/(x)-/(y)| e.
Pour tout n e N, il existe q„ > 0 tel que
Vy e R, |x-y| < qn.=> |/„(x) -/„(y)| < e.
Il y a convergence uniforme de la suite (/M sur [x - q,x + q]. Prenons
no. e N tel que pour tout n > no,
Vy e [x-q,x + q], |/„(y) — /(y)] < e.
Si on pose q' = min(q, qo,..., qno-i), on a pour tout y réel tel que |x - y | < q'
et tout n no,
\f	n(x) - fn(y)\ < |/„(x) - /(x)| + |/(x) - /(y) | + |/„(y) - /(y)| < 3e.
Si n < no, on a pour y réel tel que |x - y| < q', |/„(x) - fn(y)| < e < 3e. La
suite (/n)nSN est donc équicontinue. <
Ce théorème permet de caractériser les parties compactes dans l’espace
des fonctions continues muni de la norme de la convergence uniforme 2 : pour
qu’une partie "H de C°([a, è],R) muni de la norme || Hœ, soit compacte, il faut
et suffit qu’elle soit fermée, bornée et équicontinue.
L’exercice suivant traite d’un cas particulier du théorème d’Ascoli. En
effet, une suite de fonctions M-lipschitz.iennes, constitue clairement une famille
équicontinue.
2. Voir par exemple Schwartz (l.), Analyse hilbertienne, Hermann, 1979, p. 129.
226
CHAPITRE 2. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
*2.50. Un cas particulier du théorème d’Ascoli
Soit M > 0 et (/n)n>o une suite de fonctions à valeurs réelles
de classe C1 sur [0,1] vérifiant |y„(x)| + |/n(x)| M pour tout x
dans [0,1]. Montrer qu’il existe une suite extraite de (/n)n>o qui converge
uniformément.
▻ Solution.
On va dans un premier temps construire une sous-suite de (/n)neN qui
converge simplement sur les rationnels de [0,1]. Pour cela, on applique le
procédé diagonal de Cantor : notons (rp)pe^ les éléments de Q n [0,1]. Par
hypothèse la suite (/n(ro))n>o est bornée. On peut donc en extraire une sous-
suite convergente (/<po(n)(ro))n>o- De la suite bornée (/<p0(n) (ri)),l>0 on peut
également extraire une sous-suite convergente (/pooqn («) (r i ))?oo • Bien entendu
la suite (/[poo^ (n) (ro))n>o converge toujours. On itère ce procédé. On construit
donc une suite (<pp)p>o de fonctions strictement croissantes de N dans N telle
que pour tout entier p, et tout k e [[0, p]], la suite
/<po°cpio --<pp(n)
converge. Si on pose g„ =	on a une suite extraite de (/n)neN
telle que pour tout k, la suite (#«(/>)) converge (on pourra se reporter à la
première question de l’exercice précédent pour plus de détails).
Nous allons prouver que la suite (gn)neN répond au problème. Tout d’abord,
en montrant qu’elle converge simplement sur [0,1], puis de manière uniforme.
Les fonctions gn sont de classe C1 et en particulier, elles sont M-lipschitziennes.
Prenons x e [0,1]. Comme par hypothèse la suite (gn(x)) est bornée par M,
il suffit de montrer qu’elle ne possède qu’une seule valeur d’adhérence. Soit t
et C deux valeurs d’adhérence de cette suite. Soit e > 0 et q un rationnel proche
de x à moins de e. On a par l’inégalité des accroissements finis
|g«W - gn(ç)| < M|x - q\ < Me.
En notant X la limite de (£„(<?)), il vient \t - X| «S Me. De même pour l' et
donc il vient \f -1' | < 2Me. Cela étant valable pour tout e, on a t = t' et la
suite (gn(x)) converge. Ainsi, la suite (gn)„eN converge simplement sur [0,1]
vers une fonction que nous noterons g.
Le fait que la convergence est uniforme est classique et découle de ce
que les fonctions gn sont toutes M-lipschitziennes. Le lecteur en trouvera la
démonstration dans la question 1 de l’exercice 2.46 qui avait été posée comme
première question lors de l’oral. <
Voici une autre situation où apparaît le procédé diagonal de Cantor.
2.51. THÉORÈME DE SÉLECTION DE KELLY
227
*2.51. Théorème de sélection de Helly
1. Soit E c R dénombrable et (/„) une suite de fonctions de E dans
R telle que pour tout n et tout x de E, | fn (x) | < 1. Montrer qu’ il existe une
sous-suite de (/„) qui converge simplement vers une fonction f : E —> R.
2. Soit (fn) une suite de fonctions croissantes de R dans [—1,1],
Montrer qu’il existe une sous-suite de (fn) qui converge simplement vers
une fonction f : R —> [-1,1].
ï> Solution.
1. On applique le procédé diagonal de Cantor comme dans l’exercice
précédent avec la suite (rp)p£^ des éléments de E pour construire une sous-
suite de (fn) simplement convergente.
2. Utilisons le résultat de la question précédente en prenant pour E = Q.
On peut supposer que notre suite (fn) converge simplement sur Q vers une
fonction / : Q —> R. Cette fonction est croissante sur Q.
Soit x un nombre réel. Supposons que f admette la même limite t à
gauche et à droite en x. Soit e > 0. Il existe donc q > 0 tel que pour tout
î e [x - q,x + q] 0 Q, on ait \f(t) - €| < e. On choisit deux rationnels
a et P tels que a e [x - q,x] et p e [x,x + q]. On a pour tout entier
n, fn(a) < fn(x) < /«(P). Pour n assez grand, /„(P) < /(P) + e et
fn(a) > y (a) - e. Il en résulte que pour n assez grand, on a
£ - 2e < f(a) - e < fn(x) < /(P) + e t + 2e.
Ainsi, la suite (fn(x))n>ü converge vers t.
L’ensemble D des points x tels que lim f < lim f est au plus dénombrable :
X	X*
en effet, pour chaque x e D, on peut choisir un rationnel qx compris entre lim f
etlim/.L’applicationx e D 1—> qx est clairement injective puisque/est crois-
sante. Il s’ensuit donc que D est dénombrable. On peut donc, par une nouvelle
application de la question 1, extraire de la suite (/„) une sous-suite qui converge
simplement sur D. Bien entendu cette sous-suite converge encore sur R \ D. <
Dans l’exercice suivant on montre que pour une suite de fonctions prises
dans un sous-espace de dimension finie de C° ( [0,1], R) la convergence simple
implique automatiquement la convergence uniforme.
2.52. Suite de fonctions d’un sous-espace de dimension finie
1.	Soit d e N* et (Pn)n>o une suite de R^ [X]. Montrer que (P„)n>o
converge uniformément sur [0,1] si, et seulement si, (P„)n>o converge
simplement sur [0,1].
228
CHAPITRE 2. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
X , 
2.	Soit V un sous-espace de dimension finie de C°([0,1],R) et
(/„)n>o une suite de V qui converge simplement sur [0,1] : Montrer que la
convergence est uniforme sur [0,1],
> Solution.
1. On sait qu’un polynôme de [X] est déterminé de manière unique par
ses valeurs en d + 1 points. Soitxo.xi, ... ,xj des éléments distincts de [0,1].
En notant, pour 0 < i < d, L, le z-ième polynôme interpolateur en ces points,
défini par
n(x-xj
L'<x, = îfcS’
kïi
d
on a Pn(X) - y, P„ (xi)Lj (X). Supposons que (Pn)n>o converge simplement
1=0
vers une fonction f. Pour tout x e [0,1], on a
d	d
f(x)= lim P„(x) = 2 lim Pn(*z)L,(x) = '^f(xiyLi(x).
Ainsi f est un polynôme et, pour toutx e [0,1],
d	d
|P„(x) - Z(x)[ < 2 IPnfe) - /(*)l IL/WI < S lpnfe) - /(^)l IIM»
1=0	1=0
et donc
llPn - Zlloo < É	llLill~-
1=0
Ainsi (||P„ - f ||«,) converge vers 0 et la suite (Pn)n>o converge uniformément
vers f. La réciproque est évidemment triviale.
2. On s’inspire de la question précédente et on montre qu’un élément de V
est déterminé par ses valeurs en un nombre fini de points. Notons p la dimension
de V et (gi, g2,..., gp) une base de V. C’est un résultat classique qu’il existe
une suite (xi,X2,... ,xp) de points de [0,1] telle que det(g((x7))i<ij7<d + 0
(le lecteur en trouvera une preuve dans l’exercice 2.32 du volume 2).
Exprimons chaque fonction fn dans la base (gi,#2, •- - ,£/>)• Pour tout
p
n e N, il existe (an,b a«,2> • • •, o-n,d) tel que fn — y an,iSt- En écrivant cette
1=1
égalité aux points xj, on obtient
Vz e [[1,pj, /„(x7) = ^.anjgl(xj'),
i=l
2-53- CONDITION SUFFISANTE DE CONVERGENCE UNIFORME
229
que l’on considère comme un système linéaire de p équations dont les inconnues
sont an>i,^n,2, • • • ,an,p- Le déterminant det(gj(x7))i<J>7<p du système n’est
pas nul, donc ce système possède une solution unique, donnée par les formules
de Cramer. En notant Ci,... ,CP les colonnes de la matrice (gi(x7))i<i,7xp
(fn(xi)\
et X„ le vecteur-colonne :	, on obtient, pour tout 1 < i < p,
\fn(xp)/
_ det(Ci,..., Cj-i, Xn, Cj+i,..., Cp)
fl"’!	dettgitxjïhçijçp
À i fixé, la suite (anfi) apparaît comme une combinaison linéaire des suites
(/„(x7)) (1 < j p). Chacune de ces suites est convergente, car (/„) converge
simplement, donc la suite (an,t) converge. On note a, sa limite. De l’égalité,
d
Vx e [0,1], /„(x) = antigi(x),
i=l
on tire par passage à la limite,
d
Vx e [0,1], /(x) = X afgi(x).
1=1
On en déduit, pour tout x e [0,1],
d	d
1/nW	- f(x)\ y1; |an,i - flilkiWI « y \an,i -di\ llgillœ
1=1	i=l
et donc
d
ll/n ~ /ll°o < y, — ai\ llgilloo-
i=l
Cela montre que (||/ra - /||M) tend vers 0 et donc que la suite (/„) converge
uniformément vers f sur [0,1]. <1
On a montré de plus que la limite f appartient à Ra [X] dans le premier cas
etàN dans le second. Ce n 'est pas étonnant puisqu ’un sous-espace de dimension
finie d’un espace vectoriel normé, ici (C°([0,1], R), || ||oo), est fermé.
L’exercice suivant est sur le même thème.
2.53.	Condition suffisante de convergence uniforme
23°
CHAPITRE 2. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
Soit A une partie finie de [0,1] et F un sous-espace vectoriel
•de C°([0,1], R). Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que,
dans F, la convergence simple sur A soit équivalente à la convergence
uniforme sur [0,1].
> Solution.
Posons A = {ai,..., ap}, les a,- étant deux à deux distincts dans [0,1]. Il
est tentant de poser N(/) - sup Pour f e F. En effet, la suite (/n)neN
de F converge simplement vers 0 sur A si, et seulement si, la suite (N(/n))
converge vers 0. Si N est une norme sur F et si F est de dimension finie,
alors le théorème d’équivalence des normes en dimension finie assure que
N(/„) —> 0 si, et seulement si, ||/rt||oo —» 0. Mais N est une norme sur F si, et
seulement si, N(/) = 0 implique f = 0. Cette propriété équivaut à l’injectivité
de l’application linéaire® qui à/ g Fassocie laliste(/(ai),... ,/(ap)) 6 Rp.
Alors F est de dimension finie inférieure ou égale à p.
Résumons : supposons que la seule fonction de F qui s’annule en les ai
soit la fonction nulle. Alors F est de dimension finie' inférieure à p et N est
une norme sur F qui est équivalente à la norme de la convergence uniforme.
Si (/„) converge simplement sur A, alors la limite simple est la restriction d’une
unique fonction f dans F : en effet, (®(/n)) est une suite convergente de Im®
qui est un sous-espace (fermé) de Rp. Sa limite est encore dans Im® et peut
donc s’écrire ®(/) avec f G F. On aN(/„ - f) --------> 0 et (/„) converge
n—>oo
uniformément vers f par équivalence des normes.
Réciproquement, si on suppose que F contient une fonction f non identique-
ment nulle, mais nulle en tous les a,-, alors la suite constante fn= f converge
simplement vers la fonction nulle sur A mais la convergence n’est pas uniforme
sur [0,1] puisque la norme ||/n||est constante et non nulle. <1
2.54.	Translatés et convolées d’une fonction
On note E l’espace vectoriel des fonctions continues à support compact
de R dans C. On le munit de la norme || ||oo. On fixe f g E. Pour
x g R, on note fx : t 6 R i-> /(x - t). C’est un élément de E. On
pose T = Vect-f/t, x g R}. On note C l’ensemble des fonctions de la
forme x i—» / /(t) h(x - t) dt où h : R —» C est nulle en dehors de K et
</k,
en escalier sur K, pour un certain segment K.
Montrer que C est un sous-espace vectoriel de E et que C et T ont
même adhérence dans E.
2.54- TRANSLATÉS BT CONVOLÉES D’UNE FONCTION
231
▻ Solution.
Supposons f nulle en dehors de	(M > 0). Soit h : R —» C nulle
en dehors de [-A, A] (A > 0) et en escalier sur [-A, A]. Pour tout réel x, la
fonction t 1—> f(t)h(x - t) est alors intégrable car continue par morceaux et
à support compact. De plus la fonction (/ * h) : x 1-» / f(t) h(x - t) dt
JR
est continue et à support compact. En effet, en faisant le changement de
variables u = x - t, il vient (/ * fi)(x) = / f(x - u)h(u)du. Or pour
«/R,
tout u, la fonction x 1—> f(x - u)g(u) est continue et on a la domination
\f(x - u)h(u)\ ll/ll M | h(u) | avec h intégrable. Le théorème de continuité des
intégrales à paramètre s’applique donc. Enfin, si |x| > M + A, alors pour tout t
réel, f\t)h(x-t) = 0 si bien que f* h est nulle en dehors de [-(M+A),M+A],
On vient donc de prouver que f * h e E. Ainsi on a C c E. C’ est un sous-espace
de E, car f * 0 — 0 e E et si h\, sont en escalier à support compact, h\ +
aussi (X réel) et f * /ij + Xf *	- f * (fii + ^2) 6 E.
Montrons que T c C c’est-à-dire que toute translatée de f est limite
uniforme d’une suite de C. Soit y e R. On va utiliser une suite de Dirac de
fonctions en escalier qui concentrent la masse en y. Pour tout n > 1, considérons
la fonction hn, constante égale à n sur [y, y + et nulle en dehors de cet
intervalle.
n
hn
y
Alors f * hn e C. Montrons que la suite (/ * hn) converge uniformément
vers fy. On a, pour tout réel x,
r	ry+l/n	fl/n
f*hn(x)= / f(x-u)hn(u) du = n / f(x-u)àu = n / f(x-y-v)dv
«/R.	vy	«/O
en ayant posé v = u - y. La fonction f qui est continue à support compact est
uniformément continue sur R. En effet, pour e > 0, si on prend q g ] 0,1] un e-
module d’uniforme continuité de f sur [-(M+1), M +1] (/ est uniformément
continue sur ce segment en vertu du théorème de Heine), alors pour x et
y réels proches à moins.de q, soit les deux réels sont hors de [-M,M]
et l/W _ /(y)| = 0 < e, soit l’un d’eux est dans [-M,M] et les deux
sont dans [-(M + 1),M + 1] et |/(x) - /(y)| < e. Ainsi q est un e-module
pour f sur R tout entier.
232
CHAPITRE 2. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
Soit no tel que i q. Pour ri > no, on a donc

z-l/n	pl/n
n f(x-y -v)dv-n f(x-y)dv
Jo	Jo
rl,n	e
< n / \f(x - y - v) - f(x - y)\dv n- = e.
Jo	n
Ainsi, (/ * h,j) converge vers fy pour la norme || ||oo et on a T c C. En passant
à l’adhérence, on a 7“ c C = C.
Montrons maintenant que C c T c’est-à-dire que toute fonction de C est
limite uniforme d’une suite de translatées de f. Par linéarité de l’intégrale, il
suffit de le montrer pour f * h où h est la fonction en escalier qui vaut 1 sur
[a, b] et qui est nulle en dehors de [a, b]. Autrement dit, montrons-le pour la
fonction
H = /*ù:xi—> f f(x-u)du.
J a
On va utiliser les sommes de Riemann et considérer pour n > 1,
b-a " I b — a\
S„(x) =--------->_,/ x-fc---------- ,
ri \ n
ce qui définit une fonction de T. D’après le cours, on sait que (S„) converge
simplement vers H. Montrons que la convergence est uniforme. Pour x g R
etn > 1, on a
|H(x) -S„(x)| =
n	/	/	- b ~ a\\
5^ /	I/(x - u) - f (x - k---11 du
i=l	\	\	ri ))
a+k^-
k=l Ja+(k-l)^
f(x - u) - f (x - k-—-
\ n
du.
Soit e > 0 et q un module d’uniforme continuité de f pour e. Pour n assez
grand, ~ a < q et alors, pour tout x g R,
n f-a+k^
|H(x) - Sn(x)| < 57 / edw = (b - a)e.
k=l Ja+(k-l)^
Ainsi, pour n assez grand, ||H - Sn||oo < {b - a)e et cela montre.que C c T.
En passant à l’adhérence, on obtient C c T = T.On conclut que T = C. <1
On termine ce chapitre par la construction de familles de fonctions, appelées
bases de Schauder, qui jouent pour la convergence uniforme un rôle analogue
à celui des bases hilbertiennes d’un espace préhilbertien (famille totale et
orthonormée pour le produit scalaire dont dérive la norme hilbertienne).
2.55- BASE de type s
233
2.55.	Base de type S
On note E l’espace vectoriel C°([0,1],R) muni de la norme de la
convergence uniforme. Une suite (gn)neii d’éléments de E est appelée base
de type S lorsque pour tout f g E il existe une unique suite (cn)neN e RN
+00
telle que / = 2 cn§n, où la convergence de la série est uniforme.
77=0
1.	Montrer qu’il existe mie suite (xn)reeN d’éléments deux à deux
distincts de [0,1] telle que xq = 0, xj = 1, et que {xn, n e N} soit dense
dans [0,1].
2.	Soit (gn)ngN une base de type S. Montrer que ( n^-rr I est une
base de type S.
3.	Soit f e E. Pour tout n g N*, on note Fn la fonction de [0,1]
dans R qui est continue, affine sur chaque intervalle ouvert inclus dans
[0,1] \{xq, ... ,x„}, et coïncide avec f en xq, ... ,xn. Montrer que (F„)n>i
converge uniformément vers f sur [0,1].
4.	En déduire l’existence d’une base de type S.
> Solution.
1.	On posexo = 0, xi = 1. Comme Qn ]0,1[ est dénombrable, on peut
trouver un bijectionn h-> x„ deN\{0,1} sur l’ensemble des rationnels de] 0,1[.
La suite (xn)n>o répond à la question puisque Q est dense dans R.
2.	Les fonctions gn sont non nulles sinon la suite des coefficients ne
+00	4-00
serait pas unique (si g„0 = 0, alors on a 0 = X 0.g„ = X 5nnogn)- Les
n=0'	n=0
o	+°°
fonctions hn = ..5K., sont donc bien définies. Si f G E, on écrit f = y, cngn
IlSnll	n=0
4-00
(avec convergence uniforme) et alors f = y cn||g„||7i„. Par unicité des cn,
n=0
les coefficients cn||g„|| sont uniques dans l’écriture précédente. H y abien sûr
convergence uniforme de cette série car les sommes partielles sont les mêmes
que pour y cngn. Donc (7in)neN est une base de type S.
3.	Montrons que (Fn) converge uniformément vers f, en raisonnant par
l’absurde. Supposons le contraire : ||F„ - f\\ ne converge pas vers 0 et il existe
donc e > 0 et cp une extractrice telle que ||Fq,(„> - /|| > e pour tout n. Il existe
donc une suite (y„) de [0,1] tel que |F<p (n)(yn) — /(>«)! > e et comme le
segment [0,1] est compact, quitte à extraire une sous-suite de (yn), on peut la
supposer convergente vers un réel a G [0,1].
Supposons a g ]0,1[. On prend q un module de continuité de f en a
pour 2’ Il existe «1,^2 e N tel que x„, G [a - q, a[ et x„2 G]a, a + q]. Pour
n > max(ni,«2)> la fonction F„ est continue et affine par morceaux et sur
l’intervalle [xni,x„2] ses valeurs sont comprises, comme celles de f, entre
234
CHAPITRE 2. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
/(a) - | et /(a) + Ainsi, pour x e [xni,xn2] et n max(ni,W2), on a
|Fn(x) - ZWI < e. Or pour n assez grand, yn est dans [xni,xn2], mais on
a |F<p(n) (yn)_ f(yn) I > e d’où une contradiction. Si cz = 0, on prend seulement
xn2 dans ]0, q] et on se place sur le voisinage [0, xll2] de 0 dans [0,1] et on
arrive à la même contradiction. C’est analogue pour a = 1.
La preuve de la convergence uniforme peut s’établir avec la propriété de Borel-
Lebesgue. En effet, pour tout e > 0, et tout a e [0,1], on a un ouvert voisinage de a
dans [0,1] et na e N tel que si n > na, ||Fn - /||co,ua e- Les Uo recouvrant [0,1]
qui est compact, on peut en extraire un sous-recouvrement fini, Uai,... ,Uap. Si on
note no = max na,, on apourn nq, ||Fn - /|| < e.
l«cSp
4.	On considère fo : x h-> 1 - x la fonction affine qui vaut 1 en 0 et 0 en 1
et fi : x i—» x celle qui vaut 0 en 0 et 1 en 1. Pour n = 2 soit fa la fonction
continue et affine par morceaux qui est nulle en 0 et en 1 et vaut 1 en *2- Plus
généralement, pour définir fn, pour n > 2, on considère les entiers ni < n
et «2 < n tels que
xni = maxjxj;, Xk < xnetk < n} et xn2 = min{x^, x^ > xn et k < n}.
Autrement dit, xni est le plus grands des réels inférieurs àxn parmi xq, • • • ,xn-i
et x„2 est le plus petit parmi ceux qui sont supérieurs à x„ (ils existent
car xo < xn < xfa. On définit la fonction fn, continue affine par morceaux,
qui vaut 0 sur [0,xni] et [x„2,1], est affine sur [xni,x„] et [x„,x„2], avec
fn(xn) = 1-	1 v
0 *2	1	o xnix,l2 1
On a clairement Fi = cqfq + cifa avec cq = f (0) et ci = /(l). Regardons
la fonction F2 - Fi : elle est affine sur [0,X2] et [X2,1] et vaut 0 en 0 et 1.
Elle est donc proportionnelle à fa : il existe C2 e R tel que F2 - Fi = c^fa. La
situation est analoque pour n > 3 quelconque : F„ - F„-i est nulle sur [0,xni]
et [x„2,1] car sur chaque sous-intervalle, elle est affine et vaut 0 en les X), ; de
plus, elle est affine sur [xni,xn] et [xn,xn2] nulle en xni et x„2 : elle est donc
proportionnelle à fn et s’écrit cnfn. Ainsi, on a
Fn = Cqfq + Ci fa +  + Cnfn
et par la question précédente la série y, cnfn converge uniformément vers f.
Montrons l’unicité des cn. Fixons N dans N. On a pour n > N, fn(x^) = 0
si bien que
/(xN) = co/o(jcn) + Cl fl (xN) + • •  + cN/N(xN)
ce qui donne par récurrence sur 1Q l’unicité de cn, puisque /n(xn) = 1. <1
Chapitre 3
Séries entières
La série géométrique est connue en substance depuis l’Antiquité. Au xvïie
siècle, on doit à Gregory le développement de taux et arctanx et à Mercator
celui de ln(l +x). Vers 1665, Newton en même temps qu’il découvre le calcul
infinitésimal, détermine de nombreux développements en séries entières, entre
autres celui de (1 - x2)z, par des méthodes indirectes, partant de problèmes
d’intégration. A la suite de Newton, les mathématiciens ne cherchèrent plus à
éviter les sommes infinies, comme avaient pu le faire les Grecs. Au xvme siècle,
après qu’a été énoncée la formule de Taylor, la plupart des mathématiciens
en viennent à ne plus considérer que des fonctions analytiques, c’est-à-dire
sommes au voisinage de chaque point d’une série entière. Mais cette approche
est essentiellement formelle et ignore très souvent les problèmes de convergence.
Dans Introductio in analysin infinitorum (1748), Euler développe cette « analyse
algébrique » qui étend aux domaines des séries et des produits infinis les règles
usuelles de manipulations algébriques. Les séries entières apparaissent alors
comme des polynômes à une infinité de termes.
Les fondements de la théorie des fonctions entières sont posés par Cauchy
dans son Cours d’Analyse(JS2J ). H fait une étude très précise de la convergence
d’une série entière, met en évidence le rayon de convergence. En 1831, il
établit la formule connue sous le nom de formule intégrale de Cauchy, donne
une expression intégrale des coefficients du développement, d’où il déduit les
inégalités qui portent son nom. Riemann et Weierstrass développeront cette
théorie en s'appuyant sur la vision géométrique, prenant comme champ d'étude
les fonctions de la variable complexe dérivables ( contrairement aux fonctions de
la variable réelle, les fonctions C-dérivables sont automatiquement analytiques,
autrement dit développables en série de Taylor au voisinage de tout point).
Les premiers exercices concernent le calcul du rayon de convergence
de séries entières. Soit a = (an)n>o une suite complexe et R le rayon de
convergence de la série entière ^)anzn associée^ Notons Ei l’ensemble des
réels positifs r tels que la suite (anrn) soit bornée, E2 l’ensemble des réels
positifs r tels que la suite (anrn) tende vers 0 et enfin E3 l’ensemble des r tels
que la série anrn converge. On vérifie alors que
[0, R[ c E3 c E2 c Ei c [0,R].
Autrement dit, Ei,E2,E3 sont des intervalles qui ont tous R pour borne
supérieure. Dans les cas non triviaux c 'est en calculant la borne supérieure de
l’un de ces ensembles, au choix, que l’on déterminera le rayon de convergence.
235
236
CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIÈRES
3.1.	Calcul de rayon de convergence (1)
Déterminer le rayon de convergence R de la série entière
7
y, 11 + v n' I z". Etudier la convergence lorsque |z| = R.
> Solution.
/	(_n«\nZ
Posons an = 11 + v nJ I . Soit r > 0. On va étudier, par un développement
asymptotique, à quelle condition la suite (anrn) est bornée. On a,
1 +  ---1 = (—l)”n-----i-O
n I	2
et donc
.nrn = exp I (-l)"n + nlnr - - + O (-
\	2	\ n
Si Inr < -1 le terme dans l’exponentielle tend ver s-00 et anrn tend vers 0. En
revanche, si Inr > -1, la suite extraite des termes pairs diverge vers +00. Il en
résulte que R = |-
Lorsque |z| = R = | la série diverge, car le terme général ne tend pas
vers 0. En effet, le développement que l’on vient de faire montre que dans ce
cas | ain z2n | = exp ( - X + O ( 4 11-> -7= • Il y a donc divergence de la série
\ z \“ / / n—>+co Ve
entière en tout point du cercle de rayon | • <
3.2.	Calcul de rayon de convergence (2)
Déterminer le rayon de convergence R de la série entière y e"®"?".
> Solution.
Pour tout réel r > 0, on a la majoration
0 < ensinnrn ü enrn = (er)n
Donc si r < la série de terme général ensmnrn converge par comparaison à
la série géométrique, ce qui montre déjà que R > | •
Prenons maintenant un réel r > Puisque 1 est valeur d’adhérence de la
suite (sin n)n^o (on pourra se reporter à l’exercice 1.23 du volume 3), il existe
3-3- CALCUL DE RAYON DE CONVERGENCE (3)
237
une suite strictement croissante (&n)neN d’entiers tendant vers l’infini telle que
la limite de sin kn soit égale à, L Il s’ensuit que
ln(efc'lSinfc,,rÆ") = kn(.siakn + Inr) ~ fcn(l + Inr)--------> +00.
n—>00	n—i'+oo
La limite de ensinnrn ne peut donc être nulle et R < On a donc R =	<
3.3.	Calcul de rayon de convergence (3)
Déterminer le rayon de convergence R de V ——j=-
sin(mrv3)
> Solution.
On observe pour commencer que sin(nttV3) #= 0 pour tout entier n, car v/3
est irrationnel. L’inverse du sinus est donc bien défini.
Pour z - lia série diverge car | sin(ntt'\/3)| C 1 pour tout n. Donc R 1.
Pour obtenir une minoration de R on va majorer | sin(natV3)|-1 c’est-à-
dire minorer | sin(nîtV3)|. On introduit l’entier le plus proche de nV3 pour
se ramener au sinus d’un réel de f]- Soit pn e N l’unique entier tel
que pn -	+ j et e„ = nV3 - pn e |-|, j. On a
r	1
|sin(7î7tv3)| = | sin(7ten)| > -J7ce„| = 2|e„|,
K
car | sin x | > |x | si x. e	j. En passant à 1 ’ inverse cela donne,
1	1	1	_ nV3 + pn < ny/ï + pn
|sin(njtV3)| 2|e„|	2|nV3- p„l 2|3n2 — p„l 2
Ce dernier terme est un O(n). Il en résulte que, pour tout nombre complexe z
-n
vérifiant |z| < 1, la série V-----—=- converge. On conclut que R = 1. <
sin(mtv3)
Les trois exercices suivants sont encore consacrés au rayon de convergence,
mais avec des séries non explicites.
3.4.	Relations entre rayons de convergence (1)
Soit (a„)„ÿo une suite de nombres complexes et R le rayon de conver-
gence de la série entière u„z". Déterminer le rayon de convergence de
la série entière
238
CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIÈRES
▻ Solution.
Si la suite (an)n^o ne s’annule jamais et si la limite du rapport existe,
la règle de d’Alembert stipule que cette limite est égale à R. Dans ces conditions,
la limite de
a-n
«2„+1
= l-^-l2
|an+l|
existe aussi et vaut R2 qui est .alors le rayon de
convergence de y, a2zn. Bien entendu la réciproque de la règle de D’Alembert
est fausse et le suite ne converge pas forcément (elle n’est même pas
forcément définie). Il est toutefois raisonnable de penser que dans le cas général
le rayon de convergence est toujours égal à R2. C’est ce que nous allons montrer.
Prenons r < R2 un réel positif. Alors y/r < R et ainsi la suite de terme
général
|a2r"| = [|«hI (Vr) ]
est bornée. Par conséquent, le rayon de convergence R' de y a2z" est supérieur
ou égal à r. Comme cela vaut pour tout r < R2, on en déduit que R' > R2 (et
on a R' = +00 si R = +00). Prenons maintenant rm réel r > R2. La suite de
terme général an (^/r)n n’est pas bornée et il en va donc de même de la suite de
terme général [an (V?)"]2 = a2r". Ainsi on a r > R'. Comme cela vaut pour
tout r > R2, on a R' R2 et on conclut que R' = R2. <1
On montre de même que, pour tout entier p 2, la série y a„Zn a pour
rayon de convergence Rp.
3.5.	Relations entre rayons de convergence (2)
Soit (an)n>o une suite complexe et (n/Jjtxi une suite strictement
croissante d’entiers naturels. On note R, Ri et R2 les rayons de convergence
respectifs de y a^xk, y ankxnk et y akXnk.
1.	Comparer R et Ri.
2.	Comparer R et Rj.
> Solution.
1.	Soit r > 0. Si la suite (a^r*) est bornée, alors il en est de même de la
suite extraite (ankrnk) et il en découle donc que Ri > R. On ne peut pas dire
mieux en général : par exemple si on a azk = 0 et «2^+1 = 1 pour tout entier k
et si nk = 2k alors R = 1 et Ri = +00 puisque la suite extraite (ank) est nulle.
2.	Soit 0 < r < R. Comme la suite (n^) est strictement croissante on
a nk > k pour tout k. Ainsi, si R < 1 on a r < 1 et lakfrnk < lakfrk
pour tout k. Cette comparaison prouve que R2 > R. Mais cette inégalité est
fausse en général si R > 1. Par exemple, en prenant n* = 2k pour tout k on a
3.6. RELATIONS ENTRE RAYONS DE CONVERGENCE (3)
239
R2 = VR < R. Le même raisonnement montre que si R2 > 1 et si on choisit r
dans [1, R2[ alors on a |a*]r* < pour tout k de sorte que R > R2 > 1.
On peut donc conclure que si R < 1 alors R < R2 < 1, si R = 1 alors
R2 = R = 1 et si R > 1 alors 1 R2 R (on a R2 > 1 car la suite est
bornée). <
3.6.	Relations entre rayons de convergence (3)
Soit (art) 6 Rn et A„ = y pour tout n. Montrer que les séries
Jt=o
entières X et y, ont le même rayon de convergence.
> Solution.
Notons R (resp. R') le rayon de convergence de la série avec la suite (an)
(resp. avec la suite (An)). On va procéder par double inégalité.
•	Soit r un réel strictement positif avec r < R (en supposant que R n’est
(a rn\
pas nul). La suite I- ”, ) est bornée, disons par M. On a alors pour tout n la
majoration
|A„|r”	rn "	Mr” ” kl
«!	«! éo	n[ k=or
La série de terme est grossièrement divergente. On trouve un équivalent de sa
somme partielle avec le théorème de sommation des relations de comparaison.
En effet, v est négligeable devant si bien que v k_^--------------• Le
théorème que l’on vient de citer assure donc que
" kl ni
yk ytT
k=0 r r
/IA \rn \
et cela prouve que la suite I—— I est bornée. On a donc R' > r et comme
cela vaut pour tout r < R on en déduit que R' > R.
•	Soit maintenant r < R' (en supposant R' strictement positif). La suite de
IA |r”
terme 1 ” est bornée par une constante M' > 0. Cette fois, pour m > 1, on
écrit an - A.n - A„_i et donc
_ lAn-A^lr” |A„|r” । lA^Jr” । M'r । r)
ni	ni	ni ni	n
La suite j est donc également bornée. Cela prouve que R > R' et on a
bien l’égalité souhaitée. <1
240
CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIÈRES
3.7.	Rayon de convergence infini
Soit (a,,) une suite à valeurs réelles non milles. Pour tout entier non
N
nul N, on pose Pn - X a„X” et on suppose que chacun des polynômes Pn
n=û
est scindé à racines simples dans R. On cherche à montrer que le rayon de
convergence de la série entière y anxn est infini.
1.	Montrer qu’il existe un réel M > 0 tel que M = y A, pour
tout N > 2. On utilisera la dérivée logarithmique de Pn-
2.	Établir l’existence de C > 0 tel que, pour tout N > 2,
2 C 2
flN ^(«N-l -^a^an-2)-
3.	Montrer le résultat annoncé.
▻ Solution.
1.	On utilise la dérivée logarithmique. On a Pn(x) = an H (x - A.),
XeP^ao)
pour tout réel x, et donc, si Pn(x) t5 0,
PnU) _ y 1 P"(x)PN(x) - (P^fx))2 _ _	„	1
PnW \eP^{O})X-À e (Pn(x))2 .	" Àep^{0}) (x-X)2
En évaluant en 0 on en déduit que pour tout N > 2,
J_ = (P^(0))2-P"(0)Pn(0) = a2-2aoa2
xep-]({0})	(Pn(0))2	a2
2.	Par ailleurs, en faisant intervenir les fonctions symétriques élémentaires
des racines de Pn, on a
,2	2 n aN-l\ 2on-2
/ j À - Oj -1- 2g2 =	~	----------------
XeP->({0}).	• \	' flN'
«N-l - 2gnÆN-2
L’inégalité de Cauchy-Schwarz donne donc
2
N-I
— 2aN<2N-2
75
M
a
(	X 2
S 1 -N*.
XeP^({0}) /
ce qui est l’inégalité voulue avec M = C.
3-8. ÉTUDE D’UNE SÉRIE ENTIÈRE SUR LE CERCLE DE CONVERGENCE
241
3.	Pourra > 2,ona(ra2-C)a2 < Cfa^_j+a2_2) car-2«„a„_2 < a2+a2_2.
Pour n > max(2, Ÿ2C) = A, on en déduit a2 «S ^r(an-i + a„_2), car
2
ra2 - C > Soit r > 0 quelconque. Montrons que la suite de terme général
un = anrn est bornée. Pour n > A,onaw2 < 2Ç(r2w2_j+r4ra2_2). SoitN > A
et K > 0 tel que w^-2 < K et < K. On a alors u^ <	et
donc u^ < K si on prend de plus N > y/2C(r2 + r4). Alors, par une récurrence
immédiate, on aura ra2 < K pour tout ra > N. La suite (anrn) est bornée pour
tout r > 0 donc le rayon de convergence de y, anxn est infini. <1
Si une série entière a pour rayon de convergence R, l’ensemble des
points du cercle d’incertitude {z G C, |z| = R} où la série converge peut
aller de l’ensemble vide au cercle entier en passant par des cas nettement
plus complexes. Considérons par exemple la série y ra“z”, dont le rayon de
convergence est 1 pour tout a. Si a < -1, la série converge normalement
sur D = {z e C, |z| < 1}. Si a > 0, la série ne converge en aucun point du
cercle de convergence, puisque son terme général ne tend pas vers 0. Enfin, si
a G [—1,0[, la série diverge pour z = L mais on peut montrer, grâce à une
transformation d’Abel, qu’elle converge pour z = e10 si 0 e ]0, 2jü[.
Les deux exercices suivants, qui étudient la convergence d’une série entière
en certains points du cercle de convergence, sont nettement plus difficiles que
les énoncés précédents.
*3.8. Etude d’une série entière sur le cercle de convergence
On considère la série entière y.c„x" où, pour ra > 1, cn = ^,Pn
étant le nombre d’entiers k 1 tels que k\ divise n.
1. Donner le rayon de convergence de cette série.
2. Étudier la convergence de la série yc„xn lorsque x = e2™,
avec r g Q, puis lorsque x = e2lKe. On pourra montrer que
▻ Solution.
1	Yn
1. On a, pour n > 1, 1 < p„ < ra, donc < 1. Les séries y, jp
et ayant pour rayon de convergence 1, on en déduit que le rayon de
convergence de y cnxn vaut 1.
242
CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIÈRES
H
2. Pour n e N*, on pose S„ = ScjX1. On peut écrire pi - y, 1, pour
i=l	Jt!|i
tout i e N*. On en déduit que
«:	r/Ç!4-
où = y, ^7— • Dans chaque cas, on commence par calculer, pour k fixé,
;=1
la limite de quand n tend vers +00.
• On suppose que r est rationnel : r = avec q e N* et x = e2inr.
On ax*! - e2"1^. Dès que k > q, on axk! = 1. L’ensemble des entiers k
tels que xk' ± 1 est donc un ensemble fini L Si k £ I, alors xk' = 1 et
n
H |
^k,n = X 7 --------> +°°,
car k est fixé et la série harmonique diverge. Cela fait pressentir que y cnxn
diverge. Nous le justifierons en montrant que |S„| tend vers +00 quand n tend
vers +00. Si k 11, alors Gk,n > 0, donc, pour n > ?!, on a
1 1 _____________________
/ 1 , , Gk,n . ®q,n * +00.
fcgl
Pour montrer que |S„| tend vers +oo, il suffit de montrer que y est
fcel
borné (indépendamment de n).
Pour k e I, posons u = xk'. On a donc u + 1. Pour tout p e N*, il s’agit
p f
de majorer Ap = y On utilise une transformation d’Abel. Pour p e N, on
e=\ *
pose = y u{ = 1 ï • On a |BP| <	®cr*1 a^ors
JJ
€+1/
Bp „
4-----Bq.
P
De la majoration de Bp, on déduit que^
|AP|<
2
|w- 1|
4
|m- 1|
3-8. ÉTUDE D’UNE SÉRIE ENTIÈRE SUR LE CERCLE DE CONVERGENCE
243
et en particulier lofc.nl 4
4—-• Chaque terme	pour k
dans I, est majoré indépendamment de n. L'ensemble! étant fini, on en
déduit que y,	est borné, quand n varie. Ceci permet de conclure
kel
que lim |S„| = +<».
n—>+co
• On suppose que x = e2l1te. On reprend les notations utilisées dans le
premier cas. On a, pour tout k G N*, xk' 1, car e i jQ. On en déduit, toujours
en posant u = xk', que	, 4 * pour tout n > 1.
|W i|
Cette fois-ci, pour tout k 1, la suite	converge. En effet, la série
C	s
de terme général y- est convergente. En reprenant les notations précédentes,
on a, pour p > 0,
> — z= V1	+ ——
t	+ 1)
Comme la suite (Bp) est bornée, y converge. Il en de même de la
suite (Ap). Ainsi, pour tout k G N*, on a
+°° xk\e
lim <5k,n = 5?	= ®k-
n^+00	£
Nous allons démontrer que y cnxn converge vers y Il s’agit d’intervertir
une limite et une sommation. Nous savons que j <
P°ur tout n-
Nous allons majorer pat le terme d’une série convergente. La formule
de Taylor-Lagrange à l’ordre k appliquée à la fonction exponentielle entre 0 et 1
montre qu’il existe c G ]0,1 [ tel que
1 e
(*+1)
On note l’entier fc! y 4f et on pose = k\e - n*. On a rjt G K * p
j=oJ'	L	J
etx*! = e21”6*1 = e2i^nk+rk) = e2i*rk. On en déduit
4	-	4	_	2
|w - 1| |e2iîcrfc _ i| | sinjtrfc|
La suite (/>) tend vers 0 carO < r/. <	Pour	assez	grand (k >	ko),
on a rk < De la minoration sinx > |.ï	si.t g	|o,	on déduit	que,
pour fc > ko, on a, 4	A: + l et donc	pour tout n	> 1.
244
CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIÈRES
Il résulte de ce qui précède, en faisant tendre n vers +00, qu’on a
pour k > ko. On en déduit que la série jy convergé.
k + 1
k\
Soit e > 0 et Âq > tel que y, < e- On a, pour n k\,
k=ki+l
+00	k\ j	n	1	+00	।
~	77	7rlgfc ~ pfc.nl 77 I I +	771 °k I
/c=l K-	k=l K-	k=k,+l	k=kt+l K‘
kl 1
j 77—	2e.
fc=l k-
Pour n assez grand, cela sera inférieur à 3e. On en déduit que la suite (S„)
converge autrement dit que la série y, cnxn converge. On a, de plus,
*3.9. Divergence en tout point du cercle
Soit (an) une suite décroissante de réels positifs telle que la série de
terme général diverge.
1. Déterminer le rayon de convergence la série entière y anzn.
2. On souhaite démontrer qu’il existe une suite (e„) à valeurs
dans {-1,1} telle que y enaneint diverge pour tout réel t.
a. Justifier que l’on peut supposer que (an) converge vers 0, ce que l’on
fait par la suite. Démontrer qu’il existe une suite strictement croissante
&n+l
d’entiers naturels (kn)n^i telle que 1 < y aj < 2, pour tout n e N*.
J=fcn+1
Montrer que la série y	diverge. Pour tout n > 1, on pose
1 n ।
0n = 7 y, 7--------7- et An = {elt, t 6 [0„, 0n+1 [}.
5 j=l 7/+1 Kj
Montrer que, pour tout r e R, elt appartient à une infinité d’ensemble A„.
b. Montrer que l’on peut choisir la suite (ert) afin que tout n e N*, on ait
Montrer que si z e A„, alors
c. Conclure.
S a;e;zn
1
4‘
3-9- DIVERGENCE EN TOUT POINT DU CERCLE
245
t> Solution.
1. Soit R le rayon de convergence de X anzn. On a |a„zn| < ao|z|", pour
tout z g C, donc R > 1. Si (a,J converge vers 0, alors = o(a„) donc y, an
diverge. Cela reste vrai si (a„) ne converge pas vers 0. donc R = 1.
â. Si (an) ne tend pas vers 0, on peut prendre une suite (en) quelconque.
Désormais on suppose que (are) converge vers 0.
On prend pour k\ le premier des entiers m tels que am < 1. Cet entier existe
car (a„) tend vers 0. L’entier kn étant choisi, on prend pour kn+\ le plus petit des
m
entiers m > kn tel que y aj > 1. Un tel entier existe car y an diverge. On
7=^+1
kn+l	&n+l ~ 1	^n+1
aalors y aj > 1 et y aj < 1,donc y aj l + afc„+! < 1 +a^ < 2,
J=fc„+1	j=kn+l	" J=kn+l
car (an) décroît. Toujours par décroissance de (afl), on a
kn+i
2 aj akn+i (kn+1 ~ kn),
f=k„+l
et donc -r—> Aajt . • Mais on a, d’autre part
K’n+l Kn
j=kn+i+l
kn+1
akn+i 2 aj 2a&n+[
j=kn+l + i
1	1	^-n+2	~
donc -r—1—j— >4	y a . En sommant on obtient
kn+l -	1
N 1
§ kn+l - kn
ka+i
2 4-
;=fc2+i N'
et la série	diverge.
Soit t G R et no e N*. On considère un entier N tel que t + 2jtN > 0„o.
On note n le plus petit entier tel que n > no et t + 2itN < 0„. Un tel entier
existe car, d’après ce qui précède, la suite (0re) tend vers +00. On a n > no et
0n_i < t + 2kN < 0„. On a donc elt = el(!+2%N) avec t + 2kN G [0„_i, 0„[
donc ea g A„_[. Comme n - 1 > no où no est un entier naturel quelconque,
elt appartient à une infinité de A„.
h II s’agit de démontrer que si (zi,.... zn) e Ç", alors il existe (ei,..., en) g
{-1,1}" tel que
y eÆzfc
k=ï
1
4 yjzÆ |-En effet, cela permettra pour tout n g N*
z *=f
de déterminer e7 pour j g [[£„ + 1, kn+i J et donc de déterminer la suite (e„)
(pour j < ki, on prend e7- quelconque).
246
CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIÈRES
Montrons ce résultat. Si on note e* et e'k des éléments de {-1,1} tels
que e*; Re(zjt) > 0 et e'k Im(zfc) > 0, on a
n
2/^
fc=l
= Y, Re(e*z*) = X, | Re(zjt) |
k=l	k=l
et de même
en déduit
S £kZk
fc=i
n
> y, |Im(zfc)|. Comme |zfc| < | Re(z*)| + | Im(z*)|, on
È=1
n
' efcZ/:
Jt=i
n
TiËkzk
k=l
> y iziti-
k=l
1
Ainsi, l’une des deux sommes est supérieure ou égale à y, [z* |.
2 fc=i
Dans le volume 3, exercice 1.29, est démontrée l’inégalité plus forte (et optimale)
(d,
max
,,e„)e{-l, 1}"
n
^ekzk
k=l
o n
> -Êizd-
Kk=i
On suppose donc la suite (en) ainsi choisie. Soit z e An que l’on écrit
^n+1	, v
z - elt avec t e [0„, 0„+i[. Posons Pn(t) = y aj£jet'J~kn)t. On sait que
J=kn+l
y On va majorer |P„(t) - Pn(0n)|. On a
kn+1 . .„
Ê «j-eye1-'0'
|p„(0„)I =
|Pn(t)-P„(e„)| =
fcn+1

kn+1
_ ei(j-*„)9„|
et, pour tout j € [[£n + 1, &,l+iU,
|gi(j-k„)t _ ei(J-kn)8,
f gU-kn'lui^
Gn
\ 1 du
e„
= (j - kn)(t ~ 9n) < (^n+1 “ &n)(9n+l “ 9«) =
O
Je
On en déduit |Pn(t) - P«(0„)| =5 | y, a7- < | et donc |P„(r)| > par
k/1+1
inégalité triangulaire, c’est-à-dire y1,
j=kn+l
1
4
3-10. DEUX THÉORÈMES d’aBEL
247
c. Pour tout réel z, l’inégalité
&n+l	. .
S ajEj-e1^
j=k„+l
> | est réalisée pour une
infinité de n, car elt appartient à une infinité de A„. Comme la suite (A,j tend
vers +00, la série y ajEjelJt diverge. <
Le résultat de cet exercice s ’étend de manière évidente à une suite complexé
(an) tel que (\an|) décroît et y |a„ |2 diverge. Il a été démontré par Dvoretzky
et Erdôs en 1956. 1
Le lecteur sait que la convergence d’une série entière est uniforme sur tout
compact inclus dans le disque de convergence. L’exercice qui suit démontre
deux résultats dûs à Abel. Le premier, appelé théorème radial, montre que
si la série entière converge en x = R alors il y a convergence uniforme sur
tout le segment [0, R]. En particulier, la somme est continue sur le segment
[0, R]. Ce dernier résultat est au programme des classes préparatoires. Le
second caractérise les cas où la série converge uniformément sur tout le disque
fermé de convergence. La résolution de ce type de questions repose sur des
transformations d’Abel.
3.10. Deux théorèmes d’Abel
1. Soit y anxn une série entière de rayon de convergence R > 0. On
suppose que la série y araR” converge. Montrer que la convergence de la
série y anxn est uniforme sur le segment [0, R]. En déduire que
+00	+00
^anRn = lim ^anxn.
n=0	x >R n=0
2. Soit y anzf une série entière de rayon de convergence égal à 1.
On pose D = {z e C, |z| < 1} et U = {z e C, |z| = 1}. Montrer que les
assertions suivantes sont équivalentes :
(t) la série converge uniformément sur D ;
(ü) la série converge uniformément sur U.
î> Solution.
+00
1. Soit e > 0. On note pn = y anR.n pour tout N > 0. Nous allons
n=N
majorer le reste de la série entière à l’aide d’une transformation d’Abel : pour
tout a e [0, R[, on a
1. La démonstration est essentiellement celle de Dvoretzky et Erdos. Nous nous sommes inspiré
de la présentation qui en est faite par Denis Choimet et Hervé Queffélec dans Analyse mathématique
Grands théorèmes du vingtième siècle, Calvage et Mounet, 2009.
248	CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIÈRES
±“	+28 /r\n ±28	tx\n
Yi anx” = Y; anRn (-) = y (p„ - p„+l) (-)
n=N	«=N K n=N '	XK-
(cès séries convergent car (p„) est bornée)
Il existe un rang no tel que si n > «o, I Pn I < e. On obtient alors pour N > no la
majoration

Cette majoration, qui est encore vraie pour x = R, traduit la convergence
uniforme de la série entière sur [0, R].
+00
Il en résulte que la fonction x 1—> X anxn est continue sur [0, R] en tant
n=û
que limite uniforme de fonctions continues. On obtient alors la limite demandée.
2. • L’implication (z) => (ü) est triviale car U est contenu dans D.
+00
• Montrons (zz) => (z). Pour 0 G R et N g N, soit Pn(0) = X anein®, le
n=N
reste de la série, dont on sait qu’il converge uniformément vers 0 sur U.
Soit e > 0. Pour z g D, écrivons z = relQ avec 0 < r < 1 et 0 g R.
Majorons le reste à l’aide d’une transformation d’Abel. Pour N > 0, on obtient,
4-co	+00	+00
y a„zn = y aneMrn = y (p„(0) - p„+1(0))r”
n=N	n=N	n=N
4-00	4-00
= ypn(0)rn- y Pn(0)r"_1
n=N	n=N4-l
4-oo
= y Pn(0)(r" - r"-1) + PN(0)rN?
n=N+l
On obtient, grâce à l’inégalité triangulaire,
4-00	4-00
ya„z" < y |p„(0)|(r"-1-r") + |pN(0)|
n=N	n=N+l
<sup|p„(0)| y (r'1 1-rn)+|pN(0)| <2sup|p„(0)|.
n>N	n=N+l	n>N
=rN<l
3-11. CALCULS DE SOMMES DE SÉRIES ALTERNÉES
249
Cette inégalité reste vraie si z = e10 e U.
Par hypothèse, il existe no tel que si n > no, alors |p„(0)|
_ +°°
tout 0 e R. Pour N > no et pour tout z e D, on a y anzn < 2e.
n=N
e, pour
La convergence est donc uniforme sur D. <1
En utilisant le critère de Cauchy (pas au programme des CPGE), on peut
montrer que si la série entière converge uniformément sur le disque ouvert D,
alors elle converge uniformément sur le disque fermé D.
Le théorème d’Abel radial peut être utilisé pour calculer des sommes de
séries. Par exemple, on sait que pour x e ]-l , 1[ on a ln(l+x) — y, -——xn.
71=1
Comme la série entière converge en x = I sa somme est continue en 1 et on a
+o° / ixn—1
donc y -—-------- = ln2. Notons que sur cet exemple il n’est pas très difficile
71=1
de voir que la convergence est uniforme sur [0,1] en utilisant la majoration du
reste donnée par le théorème des séries alternées. L’exercice suivant va donner
deux autres exemples analogues. On notera que la réciproque du théorème
+00
d’Abel est fausse : la fonction f : x h* y anxn peut avoir une limite finie en
71=0
x = 1 (on suppose que le rayon de convergence vaut 1) sans que la série y a,,
converge : il suffit de prendre la suite an = (-1)". Le lecteur trouvera une étude
très fine de cette réciproque dans l’exercice 3.43.
3.11. Calculs de sommes de séries alternées
+°°
1.	Calculer la somme de la série y 2n + l'
n=0
2.	Étudier la convergence et calculer la somme de la série de terme
général
\*=o	/
t> Solution.
1. On sait que la fonction arctan est développable en série entière et que
pour tout x e ]—1, 1[,
+°° r_iy»
arctan x = Y*----x2n+1
ào2/1+1.
Le rayon de convergence est égal à 1 et la série entière converge en x = 1 d’après
le critère spécial des séries alternées. Le théorème d’Abel radial permet de dire
250
CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIÈRES
que
(-1)”	k
> , ---- = lim arctanx = —
^2« + l	4
(-1)"
Voici une justification un peu différente. On observe que =
pour tout n. On a alors envie d’écrire que
+oo / i\n +00 /»	p +00
S ferr = E / t-*2)"^ = /
,7=o 2/1+1 iTSj-Wi	-/[o.it^o
/ dx r nI it.
=	;----7 = [aretanxjg = -
J[0,l[l+x2	4
Le seul point de ce calcul qui mérite justification est l’interversion de la sommation et
de l’intégration. Elle est légitimée par le théorème de convergence dominée, puisque
N
pour tout El, la fonction y(-x2)
n=0
est majorée par 1 sur [0,1 [.
i-r- Le théorème de Cesàro
1	1
2» Posons, pour tout n e N, un = X
k=0
assure que (u„) converge vers 0 et comme la suite ^2w+ 1) esl décroissante, il
en est de même de la suite (u„). La série y (-l)nu„ converge donc d’après le
critère spécial des séries alternées. Pour calculer la somme S de cette série, on
+00
procède comme dans la première question et on pose g(x) = y (-1)"m„x". Le
n=0
rayon de convergence de la série définissant g est supérieur ou égal à 1 car la
série converge en x = 1 et g est continue en 1 d’après le théorème d’Abel radial.
Déterminons maintenant la valeur de g(x). L’expression (—x)n y 2^ + j fait
k=Q
penser à un produit de Cauchy. Effectivement, on a, pour x e ] -1,1 [,
(~x)n
éo2«+1
n=0
+°o / n -i \	+00
S Z 57TÏ ("*)" =	+ !)««(-*)"•
n=0 \jt=O Z/C + 1 )	n=0
Compte tenu de la première question, on obtient pourx 6 ]-1,1 [,
vv ,	/ m arctan(Vx)
2j(” +	= -PT:---r-
So	yx(l+x)
En intégrant, il vient, pour tout x e ]-l, 1 [,
, ,	n+i rx arctan(\7)
xg(x) =	x" = / ——--------^dt.
^0	Jo Vt(l+t)
La continuité de g en 1 conduit à
s=s(1) r-ara^,,
3-12. SÉRIES GÉNÉRATRICES DE DEUX SUITES RÉCURRENTES
251
Le changement de variable u = y[t donne
/’12arctanMJ r. ,21i - in\2
On conclut que
+00
s
n=0
/(-l)n A
\w + 1 éo
1
2k + 1
16 ’
<
Les prochains exercices concernent le calcul de la somme de quelques
séries entières. Dans le premier il s’agit de séries génératrices associées à des
suites définies par une relation de récurrence linéaire. Le lecteur pourra se
reporter au volume 6 de la collection pour de nombreux exercices sur les séries
génératrices.
3.12. Séries génératrices de.deux suites récurrentes
Soit (un)neN et (f„)neN deux suites de C vérifiant Mn+i — un - vn
et u,i+i = un - 2vn pour tout n e N. Donner le rayon de convergence et la
somme des séries entières1 y unzn et y vnzn.
> Solution.
Il est possible d’exprimer un et vn en fonction de n en introduisant Xn = ( " I
\ /
et A =	. On a la relation X„+i = AX„ et donc Xn = AnXo- Comme la
matrice A est diagonalisable, sa diagonalisation donne l’expression de A", puis
de Xn. Les suites («n)neN et (u«)neN s’exprimant comme combinaison linéaire
de deux suites géométriques (A possède deux valeurs propres distinctes), on
peut calculer la somme des séries entières correspondantes. Cependant, il
'	+00	+00
s’avère plus rapide d’exprimer le système linéaire dont y unzn et y vnzn
n=0	n=0
doivent être solutions.
+00	+00
Posons /(z) = y unzn et g(z) = y vnzn et notons Ry et Rg les rayons de
n=0	n=0
convergence respectifs de ces deux séries entières. Supposons que ces rayons
sont strictement positifs. On a alors, lorsque |z| < min(Ry, Rg),
+00	4-oo
/(z) = Mo +	“n+iz"+1 = M0 +	- «n)z"+1 = «0 + z(/(z) - g(z)),
n=0	n=0
c’est-à-dire
(1 - z)/(z) + zg(z) = u0.
(1)
252
CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIÈRES
On a de même
'	4-00	4-00
g(z) = vo + y, Vn+1zn+l = v0 + y (un -2vn)zn+1 =VO + z(f(z) - 2g(z))
n=Q	n=0
et donc
-z/(z) + (1 + 2z)g(z) = v0.	(2)
Les équations (1) et (2) constituent un système linéaire de déterminant
(1 -z)(l + 2z) + z2 = 1 +2z - z - 2z2 + z2 = 1 + z -z2.
Le polynôme X2-X-l a deux racines réelles, —+2^ et	Par conséquent,
si |z| < '^2- ’ Ie système est de Cramer et
Z(z) =
1
1 + z - z2
«0
«0
z
l + 2z
z(2up - Uq) +Uq
1 + z - z2
g(z) = 7—^------2
1 + z - Z2
1 - Z Mo
-z v0
z(mq - ^0) + «0
1 + z - z2
Considérons maintenant les fonctions
z(2mq - Vp) + Up
1 + z - Z2
et g :
z(uq - V0) + üq
1 + z - z2
Ce sont des fractions rationnelles définies lorsque |z| <	- et qui vérifient
les équations (1) et (2). Puisque 0 n’est un pôle ni de f, ni de g, f et g
sont développables en série entière autour de zéro, avec un rayon égal au plus
petit module de leurs pôles (au moins	Si on écrit f(z) = X unzn
n=0
00
et g(z) = y, vnzn, les équations (1) et (2) entraînent m„+i = un - vn et
n=0
d„+i = un — 2vn, pour tout n e N. On retrouve les suites du départ.
Les séries entières y, unzn et y vnzn ont un rayon de convergence au moins
égal à 1 et leurs sommes s’expriment ainsi :
z(2m0 - u0) + «o „ , , z(«o - no) + «0
ÎW = —rr-----------2— et g(-z) = “TT---------2—
1 + z - z2	1 + z - z ,
En ce qui concerne leur rayon de convergence respectif Ry et Rg, on a
•	Ry = Rg = +00 si mq = i>o = 0;
•	R y =	1 si 2mq - vq + 0 et	1 (le facteur z - 1 se
-'Z	ZUq — Vq Z	Z
simplifie au numérateur et au dénominateur) ; dans ce cas, le facteur z - 1 ~2^
se simplifie aussi au numérateur et au dénominateur dans l’expression de g(z)
etRg = Ry ;
• dans les autres cas, Ry = Rg = ^2~ -• <1
3-13'- CALCUL-DE LA SOMME D*UNE SÉRIE-ENTIÈRE
253
On peut facilement en déduire les expressions de un et vn en fonction de n,
uq et Dq. Il suffit pour cela d’écrire le développement en série entière des
fractions 2
et -—-—7
1 + z - z2
3.13. Calcul de la somme d’une série entière
Calculer y,	, où 0 et x sont des nombres réels et |x| < 1.
> Solution.	;
Les coefficients de la série proposée sont des fonctions impaires et 2k-
périodiques de 0. On peut donc supposer que 0 6 [0, k] . Lorsque 0 vaut 0 ou k,
la série est nulle. Dans la suite de la solution, on supposera donc 0 e]0, k[.
La série y	a clairement un rayon de convergence supérieur ou
égal à 1. Pour x réel tel que |x| < 1, posons
sin(n0)x"
Ge(x) = 2j-----------
n
Le n du dénominateur est gênant. Pour s’en débarrasser, on dérive Ge. On
obtient
+00	/'4-co
G'0(x) = X sin(n0)x"-1 = Im I e^x"’1
n—\	\n=l
Comme Ge est de classe C1 et nulle en 0, on a
G0(x) =
On va simplement calculer cette intégrale. Il vient
G0(x) =
f\ I 1 k fx sin0
/ Im ——--------- . _ dr = / ------------------—
0	\ côs 0 -1 - i sin 0 ) Jo (cos 0 - r)2 + sin2 0
arctan
t - cos 0
sin0
x lx - cos 01
= arctan —j + arctan(cotan 0).
Or, cotan 0 = tan — 0j et comme 0 est dans l’intervalle ]0, %[,	- 0 est
dans -j, et arctan (cotan 0) = ^-0. On a donc, pour 0 e]0,ji[,et|x| < 1,
x	IX - COS 01 „ K
Ge(x) = arctan —:—-— - 0 + —•
\ sin 0 /	2
254
CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIÈRES
Les symétries exposées au début de la solution permettent alors d’écrire G0 (x)
pour tout réel 0 et tout x de ] - 1,1 [.
Reste à étudier les cas x = ±1. Une transformation d’Abel montre que la
série y, SÎELZlQ (obtenue pourx = 1) converge. En effet, si on pose, pour n e N,
. (n+l)0
"	A	_ 1	sin-—y^-
U„(0) = 2 Sin^0) = Im S e	= Im ÎA !	= Im---------- fl
*=0	^0	e'9-1	sin®
on obtient |Un(0)|	1 .1 fl| pour tout n.
|sin 2|
Pour N > 1, on a
N sin(nO) = * U„(0)-Un_i(e) = UN(0) .y.1 Un(9)
ri n	èt n N à
Comme (U„(0)) est bornée, le premier terme tend vers 0 quand N —» +00
et y ^+4) converge. Donc y converge. Le théorème d’Abel radial
montre alors que Ge(x) tend vers G0(l) lorsque x tend vers 1. On en déduit
donc que, pour 0 < 0 < k,
sinn0	„	/l-cos0\ „ x
-----= Ge(l) = arctan ——— - 0 + - =
n----\ sin 0 /	2
n - 0
2
car 1 gS 9 = tan ^PourtrouverG0(-l),iln’yapasdecalculs supplémentaires.
Il suffit de noter que G0(-l) = G,t+0(1). En particulier, pour 0 e ]0, x[, on
obtient G0(-l) = G0_Z(1) = -Gx_0(l) =	<
L’étude des séries de fonctions de l’exercice suivant se ramène au calcul de
la somme d’une série entière.
3.14. Somme de deux séries de fonctions
Déterminer le domaine de définition et calculer
+o° 1 /	1 —r \n\	+°° 1
▻ Solution.
Le calcul de /(x) et g(x) se ramène à celui de la somme de la série
n	+°° n
entière y , dont Ie rayon de convergence est 1. On pose <p(x) = y >
n	n=l n
3-14- SOMME DE DBUX SÉRIES DE FONCTIONS
255
pour tout x e [-1,1]. Cette fonction est continue sur [-1,1] et dérivable sur
] - 1,1[. On a, pourx e ]-l, 1[ etx £ 0,
Sx"'1	In(l-x)
<p (*) = — =-------------
£1 n	x
et de plus cp'(O) = 1.
• Recherchons le domaine de définition de f. Posons, pourx =£ 1 et n > 1,
Si n est pair, on a
1 /	1 x ln\
|M„W| = - |X|"+ --------- .
n2 \	11 — x I /
Pour qu’il y ait convergence de la série définissant f, il est donc nécessaire
que |x|	1 et que < 1- C’est le cas si et seulement si -1 x < |-
Réciproquement, lorsque -1 < x < on a |f~| < 1 et |u„(x)| est majoré
1 /	I lrt\
par -L [ |x|" + ï-3— ) qui est le terme général d’une série convergente. La
\	I 1 * I /
fonction f est donc définie sur f - 1, 5 j •
Pourx e [ - 1, 2], on peut écrire /(x) = <p(x) + <p • La fonction f
est donc dérivable sur j -1, [ et sa dérivée vaut
,,, . = ln(l-x) _	-1 ln(1 + T^x) = In(l-x)
x (1-x)2	(1-x)’
après simplifications. Comme /(O) = 0, il vient
/(x) = ln2(l -x).
Cette formule reste valable en -1 et par continuité de cp et donc de f.
• Pour que g(x) soit défini il apparaît nécessaire, en regardant les termes
d’indices pair, que |x| $ 1 et |1 - x| < 1, autrement dit que x 6 [0,1]. Il est
alors clair que le segment [0,1] est l’ensemble de définition de g.
Pourx e [0, l],onag(x) = <p(x)+cp( 1-x). La fonction g est donc continue
sur [0,1] et dérivable sur ]0,1 [, avec pour x € ]0,1 [,
... ln(l-x)	ln(l-(l-x))	In(l-x) ln(x)
g (x) = -7-------+-------:-------=------------+ ------
Ç x	1-x	x	1-x
zg6
CHAPITRE 3.
SERIES ENTIERES
et donc g(x) = - ln(jc) ln(l - x) + C, où C est une constante. Puisque, pour x
tendant vers 0, on a
ln(x) ln(l - x)----x Inx-----> 0,
x->o
t* 1	2
on en déduit, par continuité de g, que C = g(0) = y,	On obtient
n=l "
i	2
g(x) = ~r ~lnW ln(l ~x) Pour* £ ]0,1[ et g(0) =g(l) = ^- • <1
o	b
L’exercice suivant s’intéresse à la fonction obtenue à partir d’une série
entiers en ne gardant que les termes dont l’indice décrit une suite arithmétique.
3.15. Somme d’une série entière extraite
Soit	une série entière de rayon de convergence R > 0.
Pour |z| < R, on pose f(z) - y, anzn. Soit p e N* et k e [{0, p - 1]].
n=0
1. Montrer que le rayon de convergence de 2 ctnp±kZnp+k est
supérieur ou égal à R.
+«>
2. Pour |z | < R, exprimer y anp+kznpi'k à l’aide de f.
«=o

> Solution.
1. Pour tout |z| < R, la suite (a„z")n>o est bornée. Soit K > 0 tel
que |anz"| < K pour tout n £ N. On a, en particulier, \a„p+kznp+k\ < K.
Donc le rayon de convergence de' y anp+kZnp+k est supérieur ou égal à R.
2. Commençons par regarder le cas p = 2. On a clairement
+00	+00
/(z) + /(-z) = 2 2 «2,Z2" et /(z) - /(-z) = 2	a2n+1z2n+l.
n=0	n=0
Cela donne le résultat pour p = 2. H s’agit de le généraliser.
Puisque —1 et 1 sont les racines carrées de 1, on songe à calculer dans le
cas général /(œz), où œp = 1. Posons œ = e p et fixons z € C, |z| < 1. On a
+00
/(z) + /(toz) + • • • + /(©p-1z) = J>„(1 + 03” + • • • + (œp-1)")z".
n=0
Or, si-n e N, nous savons que
i + ©" + ••• +	= i + + (©n)2 + • •  + (cyy-1
1 - (<û")p _ 1 - (®p)"
1 - (ùn ~	1 - <b"
= 0 si œ” 1
p si œ" = 1
3-16. zéros d’une série entière
257
*	0 si n $ pN
—
1 si n e pN.
+00
Ainsi, on obtient /(z) + /(œz) + • • • + f(ap~Az) = p ^apnzpn et la formule
n=0
v pn_f(z) + f(a>z) + --- + f^p~lz)
2_iapnZ -
n=0	P
Pour k quelconque dans [[0, p - 1J, on calcule
+00	,p-i	,
/(z)+®-fc/(ü>z)+. ..	^~ek+neK
n=0	V=0	'
n=0	£=0
P”1,	Ip si p\(n - k). i.e. n € pN + k , .
Sachant que V (<ü” ky = <	on obtient
10 sinon,
pn+k /(z) + ©-V(œz) + --- + œ-fc^-17(œp-1^)
2 , aPn+kZp =-------------------------------------------<
n=0	P
Dans les deux énoncés suivants on s’intéresse aux zéros de certaines séries
entières. Le thème des zéros isolés sera abordé un peu plus loin.
3.16.	Zéros d’une série entière
Soit/1 € ]l,+oo[, (a„)neN la suite définie par a0 = 1 eta„+1 = n±*n_ ,
U	1
+00
pour tout n € N. On pose f (x) = y, anxn. Montrer que f est définie sur R.
n=0
Déterminer les nombres réels x tels que /(x) = 0.
▻ Solution.
Comme £ > 1, la suite (a„) est bien définie, strictement positive et
lim = 0. Par la règle de d’Alembert, le rayon de convergence de y anxn
est infini et f est définie sur R.
La relation vérifiée par (à„) peut s’écrire an+l(n+1 - an+l = £an. On en
déduit que pour tout x S R,
+00	+00
J] (an^ - anU)x^ =
n=0	n=0
CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIÈRES
û58
c’est-à-dire f{2x} — f(x) =	SO1^ encore ffâc) = (1 4- xtyf(x). On en
déduit que /(-l) = 0 et que, si/(x) = 0, alors f(fx) = 0 et de plus= 0
si i £ -1. Ainsi, la fonction f s’annule aux points ~£k pour tout k e N.
Montrons que ce sont les seuls. Supposons qu’il existe x tel que /(x) - 0 et
que x ne sont pas de la forme -£k. Alors, d’après ce qui précède, pour tout
k C. N, on a f(xf = 0. Par continuité de f, on en déduit f{G) = 0, en faisant
tendre k vers +«>. C’est faux car /(O) = ao = 1.
3.17.	Zéros d’un ensemble de séries entières
Déterminer la borne inférieure de l’ensemble des modules des zéros
4-ÔO
des fonctions de la forme z i-> 1 + y, a„z” avec an e {0, -1,1} pour
n=l
tout n.
p- Solution.
Il est clair que si (an) est une suite à valeurs dans {0, -1,1} le rayon de
convergence de la série entière y, anzn est > 1 et il est même égal à 1 si la
+co
suite n’est pas stationnaire à 0. Soit f : z i-> 1 + y anzrt la somme d’une telle
n=l
fonction sur le disque ouvert de rayon 1 et soit z un zéro de f. On a
1 =
+OO	+00	II
< i>n| Izl" < E lzl"= iFT
1 -1^1
et on en déduit donc que |z| > - Il n’est pas possible de faire mieux puisque
la fonction z i-> 1 - y, zra = j admet 5 pour zéro. La borne inférieure
n=l
recherchée est donc égale à <
Dans les deux exercices suivants, on s’intéresse à l’injectivité d’une fonction
somme de série entière.
3.18.	Condition suffisante d’injectivité d’une série entière
Soit D = {z e C, |z| < 1} et (an)neN une suite complexe. On suppose
la série y nan absolument convergente.
+00
1. Vérifier que le rayon de convergence de y a„z" est supérieur ou
n=0
+00
égal à 1. Pour z e D, on pose f(z) = y anzn.
ra=0
3.18. CONDITION SUFFISANTE d’iNIECTIVITÉ D’UNE SÉRIE ENTIÈRE
259
+00
2. On suppose ai + 0 et y, n|ara|	|<a 11. Montrer que f est injective.
n=2
▻ Solution. r
1. Comme la série y nan est absolument convergente, on a en particulier
lim nan = 0. Donc, pour n assez grand, n\an\ < 1 Le. \an\ < ~ Comme
n->+oo	"
la série entière de coefficient est de rayon de convergence égal à 1, celui
+00
de y anzn est supérieùr ou égal à 1.
n=0
2. La fonction f est bien définie d’après la question précédente. Montrons
que f est injective en raisonnant par l’absurde. Supposons qu’il existe z et z!
distincts dans D tel que /(z) = On a
+CO
0 = /(z')-/(z)=Z«»(z,"-zn).
n=0
En isolant le terme d’indice n = 1 (celui correspondant à n - 0 est nul), on
obtient
+00	4-Qo	n-1
«1 (z - z') = Z anÇz,n - zn) = (z' - z) Z ^Z^-
n=2	n=2	k=0
et donc, comme z z', en passant au module,
l«ll =
+00 n—1
2jan z z
n=2 k=Q
On peut supposer qu’un des an pour n > 2 est non nul car sinon la
fonction f : z ।—* «iz est injective, puisque ai 0. Pour n > 2 et an + 0, on a
n-1	n-1	n-1
«n Z < l««l Z IzTlzl"’1’" < l«»l Z 1 = n\a^
k=0	k=0	k-0
+oo
car|«„| > 0 et z et z'sontdansD.il vient donc |ai| < y n|an|, ce qui contredit
n=2
l’hypothèse. La fonction f est donc injective. <i
L’exercice suivant étudie un peu le problème inverse : si une fonction
développable en série entière sur le disque D est injective, que peut-on dire de
la taille de ses coefficients ?
z6o
CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIÈRES
3.19. Théorème de Bîeberbach dans le-cas réel -
+00
Soit /(z) = z + V, anzn la somme d’une série entière de rayon de
n=2
convergence ? L On suppose que tous les an sont réels et que f est
injective surD = {5 e C, |z| < 1}.
1,	Soit z s D, Montrer que /(z) € R si et seulement si g € R, En
déduire que si Imz 0 alors Im/(z) 0.'
2.	Calculer, pour 0 < r < 1 et n e N*, f }mf(reie) sin/»9d9. En
Jo
déduire que \an\ < n pour tout n > 1.
3.	Montrer que la majoration obtenue est optimale.
▻ Solution.
1. Soit z e D. Bien entendu, si z est réel, alors /(z) l’est aussi car les an
sont tous réels. Supposons inversement que /(z) e R. On a donc /(z) = f(z)-
Or, /(z) = /(z). L’injectivité de f permet de conclure que z = z, c’est-à-dire
que z e R.
Notons alors D+ l’ensemble des éléments z de D tels que Im z > 0. La
fonction z Im/(z) est continue et ne s’annule pas sur D+ d’après ce qu’on
vient de voir. Comme D+ est un ensemble connexe, cette fonction garde donc
un signe constant. Il ne reste plus qu’à déterminer ce signé ..Pour, cela, on prend
des valeurs proches de 0. Lorsque r > 0 tend vers 0, /(zt) -est équivalent à
it et on a donc Im/(zZ) > 0 pour t assez petit. Par conséquent Im/(z) > 0
pour tout z de D+. Cela montre bien que pour tout z de D tel que Imz > 0 on
a Im/'(z) > 0.
4-00
2. Soit r dans ]0,1[ et n 6 N*. On alm/(re(0) - y, a*rfc sinfcO, où l’on
>		k=\
pose ai = 1. Cette série converge uniformément pour 0 g [0, tt]. L’interversion
de l’intégration et de la sommation qui suit est donc légitime :
fît	+00	yjt
/ Im/(re10) sinn0 d0 = 2 afcffc / sin kQ sin nQ d0 = —anrn
Jo	Jo	2
car toutes les intégrales sont milles sauf celle qui correspond à k = n.
On utilise cette expression intégrale de an pour le majorer. Comme la partie
imaginaire est toujours positive d’après la question précédente, on a
jr	fît
— |an|r” < / Im/(reI0)| sin«0| d0.
2 Jo
On va maintenant majorer le terme j sin n0|. Une majoration brutale par 1
n’est pas suffisante. De même la majoration | sinn0| < nQ ne convient pas.
3-20. DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE ENTIÈRE (1)
261
En fait, on a l’inégalité | sinn0| < n\ sin 0| pour tout n et tout réel 0. Elle se
démontre facilement par récurrence sur n : c’est clair au rang n = 1, et il suffit
d’utiliser la formule d’addition sin(n + 1)0 = cos 0 sin n0 + cos n0 sin 0, pour
passer au rang n + 1 . On obtient alors
^|an|r"<n f Imy(re10) sin0d0 = n^air.
2 Jo	2
Comme ai = 1, on a après simplification |u„|rn 1 < n. Cela vaut pour tout
réel r de ]0,1 [. En faisant tendre r vers 1 on obtient le résultat.
+00
3. Considérons la série entière y, nzn. Son rayon de convergence est égal
n=l
à 1 et pour |z| < 1 sa somme vaut /(z) =
(1-z)2
Pour voir que la majoration
précédente est optimale, il suffit de vérifier que f est injective sur D. Soient z
et z' deux points de D tels que /(z) = /(?'). On a z(l - z')2 - z'(l ~ z)2 ce
qui équivaut à (z' - z)(zz' - 1) = 0. Comme |zz'| < lona forcément z = z' et
f est donc bien injective. <
En fait Bieberbach avait conjecturé en 1916 que pour toute série entière
+oo
complexe y anzn de rayon de convergence 1 dont la somme est injective
«=1
sur D, on a |a„| < w|ai | pour tout n > 1. Ce résultat n’a été prouvé qu’en 1984
dans le cas général. L’étude du cas réel de l’exercice est due à Dieudonné.
Le problème inverse du calcul de la somme d’une série est le développement
en série entière d’une fonction donnée. Dans les premiers exemples l’existence
de ces développements ne pose pas de problème : les fonctions considérées
sont définies à partir de fonctions usuelles et d’opérations de somme, produit,
dérivation, primitivation... Toutefois, lorsqu’il y a un produit de Cauchy à
effectuer, les coefficients sont souvent malaisés à obtenir et on préfère chercher
le développement en série entière via une équation différentielle.
3.20. Développement en série entière (1)
Déterminer le développement en série entière en 0 de la fonction
F : je i—e~x^12 f e^!2dt..
Jo
t> Solution.
Pour tout réel jc, on a
e-x2/2 = £>
Z7=0
(-l)nJt2n
2”n!
et
CHAPITRE 3. SERIES ENTIERES
262
ce qui garantit que les fonctions x 1—> e~x et x 1—> ex sont développables
en série entière sur R tout entier. Il en va de même de leurs primitives et donc,
comme le produit de deux fonctions développables en série entière sur R est
encore développable en série entière sur R, F vérifie également cette propriété.
Écrivons pour i g R, F(x) = y, a„x". En dérivant F, on constate que F
n=0
vérifie l’équation différentielle y' + xy = 1, ce qui donne pour tout réel x
+00	+00
2(ra + l)aM+ix” + y, an-ixn = 1
n=0	n=l
et, par unicité du développement en série entière, an+i = et a\ = 1.
Comme ao - F(0) = 0, tous les termes d’indice pair sont nuis (c’était prévisible
puisque F est impaire) et pour les autres,
q2n-i =	= (~l)wfli = (-l)'*(2n)(2n-2)...2
2n + l (2n + l)(2n - 1) • • • 3	(2n+l)!
soit finalement, «2n+i =
(-l)”2"n!
(2n+l)!
• On conclut donc que, pour tout x e R,
+oo
F(x) - £
n=0
(-l)”2nw! 2n+1
(2n + 1)!

3.21. Développement en série entière (2)
Développer en série entière la fonction x i—> arcsinx, puis les fonctions
—> ^csin* etx i—» (arcsinx)2.
▻ Solution.
•	Soit f : x i—> arcsinx. La fonction f est de classe C" sur ] - 1,1 [ et sa
dérivée x i—> 1 2 est développable en série entière avec un rayon égal à 1.
Il en va donc de même de f. Le cours donne, pour x e ] -1,1 [,
1_	l-3...(2n-l) =	„J2n)!_x„
"+x	> 2-4... (2n) à 22«(n!)2
(—1)"/2n\ „
=â~U
et donc
1
V1 -x2
3.21. DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE ENTIÈRE (2)
263
On obtient alors le développement de arcsin en intégrant celui de sa dérivée
terme à terme et, compte tenu de arcsin 0 = 0,
+co 1
arcsin x = y —-----—— I |x2n+1.
(2n + 1)4" \ n )
•	Comme x i—> arcsin x et x i—>	1 2 sont développables en série
entière avec un rayon égal à 1, leur produit l’est aussi avec un rayon supérieur
, x	,	arcsinx
ou égal a 1. En fait, ce rayon est exactement 1 puisque lim	= +oo.
Vi _x2
On constate que l’expression du coefficient de x2n+1 obtenue par la formule
du produit de Cauchy ne se simplifie pas facilement. On va plutôt chercher une
équation différentielle vérifiée par la fonction g : x e ] -1,1 [i—> arcsinx.
vl -x2
Pourx e ]—1, 1[, on a
1 x arcsinx
donc g vérifie l’équation différentielle linéaire y'(l - x2) - xy = 1. On,
+00
note y, anxn le développement en série entière de g. La relation vérifiée par g
n=0
s’écrit
+oo	+oo
1 = (1 - x2) y, nanxn~l - y anxn+1
n=l	n=0
+oo	+oo
= y na,txn~l - y(n + l)a„xn+1 - ao,
n=l	n=l
et donc
+00
-ao - 1 + «i + 2a2x + y [(« + 2)a„+2 - (n + l)a,t] x"+1 = 0.
rt=l
Comme g est impaire, tous les an pour n pair sont nuis. Par unicité du
développement en série entière, on obtient
„ , ,	n+1
0 = —ao - 1 + a\ = ai - 1 et an+2 =-------an si n > 1.
n + 2
D’où on tire ai = 1 et pour n > 0,
2n	(2n) • (2w - 2).. .4 • 2 „	(2"n!)2
°2n+1 “ 2n+ia2n~l “ (2n+1) • (2n- 1).. .5 • 3°’ " (2n + l)î'
On a finalement, pour tout x g ] -1,1 [,
arcsinx =	4"(n!)2 2n+l
^(2n + l)!
264
CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIÈRES
• Comme d(arc^nx) - = 2a(cs'n%, on obtient le développement en série
dx	vl — x2 * *
entière de x 1—> (arcsinx)2 en intégrant terme à terme celui de 2g. Puisque
(arcsinO)2 = 0, on obtient, pour |x| < 1,
+00
(arcsinx)2 = 2 y,
n=0
4"(n!)2 x2"+2
(2n + 1)! 2n + 2
^^((n-l)!)2 2„
à (2n)! X
soit finalement
| +co
(arcsinx)2 = - X
2 n=l
.	2	TW	J
En prenant x = y, il vient yg = 2 —Am”
n=i n2l |
Voici un autre calcul du développement en série entière de arcsin2 qui utilise
les intégrales de Wallis.
3.22. Développement en série entière (3)
1.	Calculer I„ = / (cosx)"dx pour tout n € N.
Jo
/•jc/2 j
2.	Calculer /	pour |t| < 1.
3.	En déduire le développement en série entière de (arcsin t)2.
▻ Solution.
1. On reconnaît dans In une intégrale de Wallis. On utilise la relation de
récurrence nln = (n — l)In-2 qui découle d’une simple intégration par parties.
On a aisément Iq = § et Ii = 1. On en déduit que
2p-lT	(2p - l)(2p - 3) • • • 1T (2p)l n
2p 2p l2(p-1)	(2p)(2p-2)---2 Io 22?(p!)2 2
2p T	(2p)(2p - 2) • • • 2 T	22p(/>!)2
2p+1 2p + l2p-1	(2p + l)(2p - 1) • •-3 1	(2p + l)!
2. Nous calculons l’intégrale considérée, que nous notons J(t), en faisant
le changement de variable h = tan $• On a cosx = 1 ~ % et 2dw - (1 + w2)dx,
2	1 + W
3.22. DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE ENTIÈRE (3)
265
d’où
On peut simplifier cette expression. En notant 0 = arccos t e ] 0, jt[, on obtient
cos21	0
= arctan , ---— = arctan cotan —
sin21	2
K	0	/	TC	0	1	TC TC
=-------- car-----------g —, —
2	2	\	2	2	J	2 2
. te arccos t tc arcsinr
”2	2	= 4 +	2
On a finalement
dx arcsin t tc
1-rcosx Vi _r2 2V1 - t2
3. Fixons t g ] — 1,1[. Pour tout x e R, on a |tcosx| ]r|, si bien que
1	+0°
la série , _	= V tn cos" x est normalement convergente sur R. Cela
À l COS X
n=Q
légitime l’interversion intégrale-série qui suit
'0 1-rcosx Jo
+00
y?" cos"
n=0
t" cos" xdx = y Intn.
n=0
Notons pour/ g ]1,1[, /(t) = (arcsin t)2. On a
/'(r) -
2 arcsin t „ 4^	„ tc
. — = 2 V I„r - -	
V1 - t2 éo V1 - t2
Or, le développement en série entière de 1 2 est connu. Il vaut
?, (4)H>h2)2
2
2p2 1})H2)P
P'-
2
ce qui donne, après simplification et en faisant apparaître des factorielles comme
dans la première question,
1
VT^t2
y (2p)! r2p=2-l2?p,
ào22/,(p!)2 n^o P
a66
CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIÈRES
Ainsi, il reste/'(?) = 2 y, l2p+i?2p+1. Comme/(O) - O, il vient par intégration
p=0
+ÔO T ,	+00
(aKsinO3=2S^r^2=2S
p=0 LP + -L	p=o
22p(p!)2.2D+2_y 22p-1((p -1)!)2 2p
(2p + 2)!	(2p)!
ou encore
+00 <yip—\
(arcsin?)2 = £<
-O
3.23.	Développement en série d’une transformée de Laplace
bilatérale
Soit / : R —> R+ continue non nulle. On suppose qu’il existe a > 0 tel
que la fonction ? 1—> f(f)ext soit intégrable sur R, pour tout x g ]-a, a[,
et on pose L(x) - / f(t)extAt.
JR
1.	Montrer que L est développable en série entière en 0 sur ] - a, a[.
2.	Montrer que In L est convexe.
▻ Solution.
?»	+00 n,fn
1.	Soit x G ] -a, a[. On obtient L(x) = / /(?) y ^-T-d?, en développant
JR.	n=0 n-
en série e*. En supposant licite l’interversion de l’intégration et de la sommation,
il vient
+°O rH /•
L« = S -7 / /(Oï"d?
^0 n' J*
ce qui constitue le développement en série entière souhaité. Il reste à justifier
l’interversion. Pour cela on utilise le théorème de convergence dominée
pour la suite des sommes partielles de la série. Le réel x étant fixé, on
n xktkf(t\
pose S„(?) = y, —.,v 7 • La suite (S„) converge simplement sur R vers
fc=O
la fonction 11—> f{t)ext et on a, pour tout n et tout ? G R,
|s„(?)|	< 7(0	< /(O {e~xt + ext}.
k=Q K‘
Par hypothèse cette fonction est intégrable sur R et le calcul précédent est donc
justifié.
2.	Comme / est continué positive et non nulle on a L > 0 et In L est bien-
définie. Pour prouver la convexité de ln L nous allons naturellement étudier le
3-24- SIGNE DES DÉRIVÉES SUCCESSIVES D’UNE FONCTION
267
signe de sa dérivée seconde. Comme L est développable en série entière, elle
est en particulier C00 et ses dérivées successives s’obtiennent en dérivant la
série entière terme à terme. On a donc pour x e ] -a, a [,
+«• xn~^ r
L'W’S(7TÏ)îp«'”‘‘'
ce qui donne, si on peut échanger les sommations,
/• +oo n^n+l	/»
L'0)= / F,-----—/(t)dt= / textf(f)dt.
Jn ^=0 n\
Pour justifier le calcul on procède comme dans la première question et il
suffit pour cela de justifier que la fonction t 1—» text f(t) est intégrable sur
R. Pour cela on choisit P tel que |x| < p < a. Au voisinage de +00 on a
textf(t) = o(ePfy(t)) et au voisinage de -00 on a textf(t) = o(e~V‘f(j)) ce
qui permet de conclure.
On aurait également pu appliquer directement le théorème de dérivation sous la
signe intégral. .
On montre de même que si x e ] -a, a[, L" (x) = / t2ext f(t)dt. Un calcul
«/R.
tt // t /2
immédiat donne (InL)" =	^2	' Or si x e ]-a, a[, on obtient, en vertu
de l’inégalité de Cauchy-Schwarz

=& ( /* t2extf(t)dt} ( /* exf/(r)dtj = L"(x)L(x),
\t/R	/ \Jr	/
ce qui dorme (In L)" > 0 : la fonction In L est bien convexe. <1
Dans l’énoncé suivant on utilise le développement en série entière pour
trouver le signe des dérivées successives de la fonction.
3.24.	Signe des dérivées successives d’une fonction
Soit a > 0. On pose, pour x G ]-a,a[, f(x) - ln(a - x) ln(x + a).
Déterminer, selon les valeurs de a et pour m assez grand, le signe de f<m^.
On pourra utiliser le développement de f en série entière.
268
CHAPITRE 3. SERIES ENTIÈRES
t> Solution.
Remarquons que f est paire. Si x e ] -a, a[, on obtient
f(x') - (Incz)2 + Inaln (1 + - j + Inaln (1-J +ln (1 + -
= (ln«)2 + Ina ln [1-r)+ln(l + —)ln(l 1
\ a2 )	\ a! \ a!
+00 i 2n / +00 / i xji+1 n \ / +00 » vi
= (ina)2-inflyvk±L_i_ vH
n an \£jna
car |^| < 1 et la fonction y 1—> ln(l 4- y) est développable en 0 avec un rayon
égal à 1. Le dernier terme est un produit de séries entières de rayon a. Ce produit
est alors développable en série entière (de rayon au moins a) et s’exprime à
l’aide du produit de Cauchy des séries :
La fonction f est donc développable en série entière en 0 avec un rayon de
convergence égal à a et, f étant paire, les coefficients des puissances impaires
sont nuis :
+°° 1 r
/(x) = (Ina)2 -Ina^L --
2n
2n
+00 /2n—1
n=l \ k=l
(-1)* j x2ra
k(2n — k~) I a2n
2n-l
Arrangeons y,
k=l
(_n*
W=7)’°n ob^nt
2Ç,1 (-l)fc = 2ç-t (~l)fc H +	1 \ _ J_ fe1 (j)fc (-l)2»~fc\
k(2n - k) 2n 2n - k /	k 2n — k j
. 1 fe1 (-i)feV
n\èt k )'
+00 (-lAfc+l
C’est un résultat classique que y -——
preuve). On a donc
= ln(2) (voir page 249 pour une
2n-l
(-D*
k
+co
= -ln2-2
k=2n
(-1)*
k
3.25. RÉDUCTION DES COEFFICIENTS MODULO m
269.
Exprimons alors /(x) pourx e ]-a,a[ :
+00 1 /	4-00
/(x) = (Ina)2 + y, -1 - In a - In 2 -
n=l n \	k=2n
(-l)fc\x2rç
k / a2n
•b 00	v2n
= (lna)2 + jTc„—,
n=l a
1 / +°° 1-1)* \
où C„ = - ( - In la - y, I- Si m > 1, la dérivée d’ordre m de f s’écrit
k=2n '
+°°	. y2n~m
fM (x) = 2 C„2n(2n - 1)... (2n - m + 1)
n=|m/2J+l	a n
Si a #= j, Cn = 1(- In 2a + o(l))-----au voisinage de l’infini et il existe
donc mo > 0 tel que pour n > mo, Cn > 0 (resp. C„ < 0) si a < (resp.
a > ^). Si a = 5, C„ = -^ I y ) < 0- En effet, d’après le théorème
\fc=2n /
+00 (-1)^
spécial des séries alternées, le reste V - ,7 est du signe du premier terme
k=2n
de la série. Posons dans ce cas mg = 1.
On en tire le signe de ff2m> (x) et f(2m+l ) (x) pour mïmo:
X	-a	0.	a	
f(2m)M 		— —
y(2m+!)(x)		+ 0 -
Cas a < -
2
X	-a	0	a
f(2m>(x)	+ +
/(2m+l)(x)	- 0 +
Cela termine l’exercice. <
L’exercice suivant est de nature arithmétique. On y étudie les résidus des
coefficients d'une série entière modula un entier m fixé.
3.25.	Réduction des coefficients modulo m
On fixe un entier m > 1. Pour deux suites d’entiers a et b telles que
+00	. ’	1-00 T
les séries entières A(z) = y et B(z) = y —r-z" aient un rayon
n=0	n=0
de convergence strictement positif, on écrit A = B [m] pour signifier
que an = bn [m] pour tout n.
1.	On pose A : z i-> (ez - l)3 et B : z 1-» 2(shz - z). Montrer
que A = B [4].
270
CHAPITRE 3. SERIES ENTIERES
2.	On suppose m non premier et strictement supérieur à 4 et on
pose A : z>~> (e2 - l)”1-1. Montrer que A = 0 [m].
3.	Etudier le cas où m est premier.
i> Solution.
1.	On va expliciter les développements en séries entières de A et B. Pour
tout z e C, on a
+°° T,k _ 7 Q* 4. u
A(z) = e3z - 3e2z + 3ez - 1 = £	+ ? - 1.
*=o k-
On a donc ag = 0 et an = 3” - 3.2” + 3 si n > 1. Pour B on a pour tout z,
+00 o
B(z) = 2(shz - z) = g (2fc + i)!z2fc+1'
On a donc bn = 0 si n est pair ou n = 1 et bn = 2 si n est impair et supérieur ou
égal à 3. H ne reste plus qu’à regarder le résidu de an modulo 4. On a ai = 0 = b]
et pour n > 2, a„ = 3” + 3 s (-1)” + 3 [4] ce qui vaut bien 0 lorsque n est pair
et 2 lorsque n est impair. Le résultat est prouvé.
2.	Ici encore, on commence par expliciter le développement en série
entière. On a, pour z £ C,
de sorte que
Au voisinage de 0, on a (ex - l)m-1 = x"1-1 + o(x"î-1) si bien que
ao = ai = • • • = am_2 = 0 et am_] = (m - 1)!. Comme m n’est pas premier,
soit il peut se factoriser sous la forme m = ab avec l<a<b^m-let
dans ce cas m divise (m - 1)!, soit il est de la forme m = p2 avec p premier.
Mais comme m > 4, on a alors p > 3 et p < 2p p2 - 1 = m - 1. Ainsi, m
divise encore (m - 1)! = am-\. Il reste à le montrer pour les entiers n > m.
Considérons pour cela le polynôme
P(X) = X(X - 1)... (X - m + 1) = Xm - p^-iX"1’1-PlX - po,
où les p^sont dans Z. Pour tout k e Z on a P(fc) = 0 [m] (puisqu’on a un
produit de m entiers consécutifs) et donc km = pm-\km~l + • • -+p\k + po [m].
On en déduit que
m-\ im - n
am = 2 k	= Pm-iam-i + ---+piat+poao =0[m],
k=o \ K /
3.26. DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE ENTIÈRE DES FRACTIONS RATIONNELLES
271
Une récurrence permet alors de montrer de même que an = 0 [m] pour
tout n m puisqu’on a plus généralement
O-n+m = Pm— l^n+m—1 + • • • + P\an+\ +
Cela prouve que A e 0 [m].
3.	Supposons m premier impair. Comme précédemment on a toujours
ao = <21 - •  • = am-2 = 0 eta,n-i = (m - 1)! mais (m - 1)! n’est plus divisible
par m. On a en fait (m - 1)! = -1 [m] : c’est le théorème de Wilson que le
lecteur trouvera dans l’exercice 3.19 du volume 1. Pour n > 1, on a toujours
m-i _ i\
an = z n.
fc=l \ k '
Or, le petit théorème de Fermât donne km~l 2 = 1 [m] pour tout k e [[1, m - IJ.
Il en découle que la suite (<2„)„>i prise modulo m est {m — l)-périodique et on
peut écrire que A s B [m], où
+00 Æ(m-l)
=	----7777'
(k(m - 1))!
+oo k
Sim = 2 cela reste vrai puisque A(z) = ez - 1 = V fa et 1 = -1 [2]. <1
Jt=l
Les trois exercices suivants concernent les fractions rationnelles. Comme
on le démontre dans l’énoncé suivant, toute fraction rationnelle f dont 0 n’est
pas un pôle est développable en série entière au voisinage de 0, avec un rayon de
convergence égal au plus petit module des pôles de f. La suite des coefficients
de ce développement n’est pas quelconque : elle vérifie forcément une relation
de récurrence linéaire à coefficients constants.
3.26. Développement en série entière des fractions rationnelles
1. Soit P et Q deux polynômes de C[X] avec Q(0) + 0. Pour z e C tel
Plz)
que Q(z) + 0, on pose /(z) = Montrer que f est développable en
série entière au voisinage de 0 et que les coefficients de ce développement
vérifient une relation de récurrence linéaire à coefficients constants.
Préciser le rayon de convergence.
2. Réciproquement, si la suite de nombres complexes (wn) vérifie
une relation de récurrence linéaire à coefficients constants, montrer que la
série entière m„z'1 a un rayon de convergence R > 0 et qu’il existe deux
polynômes P et Q de C[X] avec Q(0) 0 tels que y, unzn = zjM'
272
CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIERES
> Solution.
1. Si Q est constant, f est un polynôme. Elle est donc développable en une
série entière avec un rayon infini. Supposons Q non constant. En décomposant f
en éléments simples sur C, on montre que f est somme d’un polynôme
correspondant à sa partie entière et de fonctions de la forme z t—>
où a. e C, zo / 0 (car 0 n’est pas un pôle de f) et p e N*. On sait que la
fonction z i—> est développable en série entière au voisinage de 0, car
xj <>o
pour tout |z| < |zq|, on a
111
z - Zo zo 1 - jz
On en déduit que pour tout p > 1 la fonction z i—- z0')p est développable
en série entière au voisinage de 0, comme produit de telles fonctions et qu’il en
est de même de z i—>	-“o)p ’ f est développable en série entière
4-oo
au voisinage de 0, comme somme de telles fonctions. Notons y, unzn ce
n=0
développement en série entière, R son rayon de convergence et p le plus petit
module des pôles de f. Ce qui précède montre que R > p. En fait on peut
noter qu’il y a forcément égalité. En effet, supposons R > p et considérons un
4-do
pôle zo de f de module p. Pour |z| < p on peut écrire /(z) = y unzn. On
n=0
prend z = tz-o avec te [0,1[ et on fait tendre t vers 1. La quantité \f (tzo) |
tend vers +oo car zo est un pôle, alors que la série admet une limite finie en zo
puisque zo est dans son disque ouvert de convergence, car R > p. L’hypothèse
R > p est absurde et on a bien R = p.
4-co
Pour |z| < R on peut donc écrire f(z) = y unzn. Notons p et q les degrés
n=0
p .	q
respectifs de P et Q et posons P = ak~Kk et Q = y bfcX*. On a, pour
k=0	k=0
tout |z| < R,
g	4-oo
P(z) = Q(zV(z)=Ê&tziS“«zn.
k=0	7j=o
Le développement en série de Q/ est donné par un produit de Cauchy. Par
unicité du développement en série entière, les termes d’indice > p sont nuis.
</
Si q > p, les termes d’indice > q sont nuis. On a alors y b^Un-^ = 0, pour
k=0
tout n > q, ce qui peut s’écrire, puisque bo ~ Q(0) 0,
pi
Un ~	/ j r ^n—k-
fc=l ^0
3.26. DÉVELOPPEMENT BN SÉRIE ENTIÈRE DES FRACTIONS RATIONNELLES
273
La suite (w„) vérifie donc une relation de récurrence linéaire à coefficients
constants d’ordre q. Dans le cas où q < p, il suffit, pour se ramener au cas
p+1 t
précédent, d’écrire Q. = y, Ù&X avec bq+i =   = bp+i - 0 .
/c=0
2. Supposons, réciproquement, que la suite («„) vérifie une relation
linéaire à coefficients constants. Il existe donc q 6 N* et (ai, «2,..., a9) e Cq,
q
tels que, pour n q, on ait un — y a.kun-k.
k=l
On va montrer que y unzn a un rayon de convergence non nul. Ce résultat
est immédiat si on connaît la forme générale d’une suite récurrente linéaire
(c’est une combinaison linéaire de suites de la forme nfcp") mais nous allons
en donner une preuve n’utilisant pas ce fait. On va majorer \un \ par une suite
(q	1
£|aj,l etM = max lu J. On va montrer
fc=l	/
par récurrence sur «que, pour tout n e N, \un\ < K"M. C’est vrai pour n < q-1,
car K" > 1, par définition. Si la propriété est vraie jusqu’au rang n - 1,
avec n > g, alors
q	«	q
\un\ < 2 locjtl< £ |afc|MK”"fc < MK"-1 £ |afc| MK”.
k=\	k=l	k=l
On en déduit que le rayon de convergence de y u„z" vérifie R >	> 0.
+00
On pose, pour |z| < R, f(z) = y unzn, On écrit alors la relation de
n=0
q
récurrence sous la forme -un + y, akUn-k = 0- Le calcul de la première
k=l
q
question nous conduit à poser Q = y a^X* - 1 et à considérer la fonction Q/.
fc=i
Elle est développable en série entière de rayon de convergence > R et son
+00
développement y anzn est donné par un produit de Cauchy. On obtient,
w=0
q
pour n > q, an = -un + y UkUn-k - 0. On en déduit que, pour |z| < R,
Jt=i
5-1
on a Q(z)/(z) = y anzn et là fonction Q/ est donc un polynôme P. On
n=0
a Q(0) = 1 ¥= 0, donc dans un voisinage de 0, Q(z) est non nul et on peut
+M	p(-7\
écrire y wnz” =
L'exercice suivant, assez calculatoire, donne un exemple explicite de calcul
du développement en série entière d’une fraction rationnelle, dans différents
cas - pôles réels ou non.
374
CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIERES
3.27. Signe des coefficients d’un développement en série entière
Donner une condition nécessaire et suffisante sur le réel a pour que
les coefficients du développement en série entière en 0 de la fraction
rationnelle F(x) =---:—-—3 =• soient tous positifs.
1 - ax + ax - x
t> Solution.
Puisque 0 n’est pas pôle de la fraction rationnelle F, celle-ci est développable
en série entière autour de zéro. On a F(0) = 1 et F'(0) = a. Il est nécessaire,
pour que les coefficients soient tous positifs, que a é 0, condition qu’on suppose
réalisée par la suite. On a
Ftx) —--------------------------
(1 -x)(l - (a - l)x+x2)
Cherchons les pôles de F. Le trinôme 1 - (a - l)x + x2 a pour discriminant
A = (1 - a)2 - 4 = a2 - 2a - 3 = (a + l)(a - 3).
• Etudions le cas où a e [0,3[. Le trinôme admet alors deux racines
complexes conjuguées dont le produit vaut 1 : elles sont de module 1.
Posons 0 = arccos a 2 ' e ]®, 3^]- Ainsi,
1 - (a - l)x +x2 = 1 - 2cos 0x +x2 = (x - e'9)(x - e-10)
= (1-xe‘9)(l-xe-10).
Il existe alors (A, B, C) e C3 avec A réel et B = C tel que
, A B C
X — 1 - x + 1 - xe‘e + 1 — xe-'6
On multiplie par 1 - x et l’on évalue en x = 1 pour obtenir
A_ 1 1
(1 -*-*0)(l -e*6) . 4sin2|
On multiplie par 1 - xe‘e et l’on évalue en x = e-10 pour obtenir
(1 e I0)(l - e 2l6) 2i sin X 2i sin 0 4sin0sin®
Pour |x |	<	1, on peut écrire
+00 c	+00	+co	+00
F(x)	=	A	y xn	+ B y,	énQxn + C y e~in6xn = y (A + 2 Re(Bein9) ) xn.
n=0	n=0	n=0	n=0 sz
SIGNE DBS COEFFICIENTS D’UN DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE ENTIÈRE
275
Pour tout n e N, on a donc
। 2cOS^(H+j|)l
4 sin2 8	4 sin 0 sin ®
2 sin ^cos - cos ((n + |
4 sin2 sin 0
1	/ e^einQ
an = rir + 2 Re I — ;	—
4 sin	\ 4 sin 0 sin
sin0 - 2sin cos ((n + 2)6)
4 sin2 sin 0
sin(^H<^)
n
sin Ç sin 0
On passe de ÉLL11® à	en faisant un saut de ® e ]0, y]. On aura
an < 0 dès lors que ces deux réels sont de part et d’autre strictement d’un
multiple de k (le sinus changeant de signe en tout point de zZ).
Supposons que £ N. Si on pose N = j >3, on a
2k	Kr , „ N0	(N+1)0	„
— <N+letO< — < % < -—------ < 2z
0	2	2
N
et donc
0.
«N-l =
û
sin £ sin 0
Supposons j 6 Net écrivons 0 avec N 3. Les produits des sinus
de deux termes consécutifs de la suite j =	son* *: t°ujours
positifs ou nuis (car les deux termes consécutifs sont dans un intervalle de la
forme |Yjt, (i + 1)k] avec l e N). Dans ce cas là, les an sont tous positifs.
• Étudions le cas a = 3. Pour |x| < 1, on a
1	(» + 2)(n + l) „
W (1-a)3 S 2
(développement obtenu en dérivant deux fois celui de x 1—> il*)- Dans ce
cas là, les coefficients sont tous positifs (strictement).
• Traitons enfin le cas a > 3. Le trinôme 1 - (a - l)x+x2 admet alors deux
racines réelles distinctes dont le produit fait 1 et la somme a - 1 > 0 : ces deux
racines sont donc de la forme K et avec X > 1. Il existe (A, B, C) e R3 tel
QUe	____________1_____________ A B C
(1 -x)(l - Xx)(l - l-x + l-Xx + l-^
On trouve en multipliant successivement par ( 1 - x), ( 1 - Xx) et ( 1 - et en
substituant respectivement à x la valeur 1, et X :
A	„	1
(1-X)2’	“(X-1)2(X+1)	“(X-1)2(X+1)
276
CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIÈRES
Les réels A, B et Ç sont tous non nuis et pour |% | < £, on a
+» /	1 \
fw = E a+bx" + c- p.
n=o \	Æ /
Ainsi, on obtient
1+00
Étudions la fonction h : t 0 i—» X3+f +1 Elle est de classe C°° et pour
tout z > 0, on a A'(t) = In X (X3+r - X-t) > 0 car X > 1. Donc h est croissante.
Ainsi pour tout n e N,
-X(X + 1) + Xn+3 + X-,î > -X(X + 1) + h(0) = X3 - X2 - X + 1
= (X- 1)(X2- 1) > 0.
Donc tous les coefficients de la série entière sont positifs (strictement).
Conclusion. Pour que les coefficients de la série entière de F soient tous
positifs (ou nuis), il faut et il suffit que a soit de la forme 1 + 2cos
avec N > 3 ou que a 3. <1
L’exercice suivant offre une caractérisation à l’aide de déterminants des
suites qui sont les coefficients du développement en série entière d’une fraction
rationnelle c’est-à-dire, d’après l’exercice 3.26, des suites qui suivent une
relation de récurrence linéaire.
3.28.	Déterminants de Hankel
+00
Soit ,(an)rt>o e CN. Montrer que la série entière f : z y, anzn
n=0
représente une fraction rationnelle dans un voisinage de l’origine si, et
seulement si, le déterminant de la matrice (a(+y-2)i<z,jxn est nul à partir
d’un certain rang.
> Solution.
+co
Supposons tout d’abord que f : z y anzn soit une fraction rationnelle
n=0
sur un. voisinage de l’origine. D’après l’exercice 3.26 la suite (an) vérifie une
relation de récurrence linéaire. Il existe donc q 6 N* et (oq, «2,  • •, a9) G C9,
3-28. DÉTERMINANTS-DE HANKEL
277
q
tels que, pour n > q, on ait an = y, akan-k- Pour tout n, on pose
fc=l
	ao ’	ai	«2	
	«i	02		
	02			^n+1
	a«-i	On	^n+1	•	«2n-2
Supposons n-1 > q. La relation de récurrence montre que la ligne d’indice q+1
qui contient les coefficients (aq,aq+i,... ,aq+n-i) est combinaison linéaire
des q lignes supérieures de la matrice. Celle-ci n’est donc pas inversible
et An = 0 pour n > q + 1.
Réciproquement supposons que les An soient nuis à partir d’un certain
rang. On peut supposer que la suite (a„) n’est pas nulle (sans quoi f = 0 est
bien une fraction rationnelle) et il existe alors n tel que A„ t 0 (si est le
premier élément non nul de la suite (a„) alors A*+i = ±a£+1 + 0). Cela permet
d’introduire l’entier q tel que A? + 0 et A„ = 0 pour n > q.
Les lignes Li,.. . ,Lç+i de la matrice M?+i qui définit Ag+i sont liées
puisque A9+i = 0 mais la famille (Li,..., L?) est libre car Aç £ 0. Il existe
donc des coefficients (ai, 0C2,..., ctç) eC’ tels que L?+i = oqL^ + • • • + a?Li.
Cela signifie que an = oqa„_i +----1 aqan-q pour q < n < 2q. On va montrer
que la relation de récurrence est vérifiée pour tous les entiers n q. Regardons
déjà le déterminant A7+2- Il s’écrit
«o ai 02	ai 02	aï	aq+i aq+2 aq+2
aq	aq+i		a^j+i
Og+i	aq-i2	   a2q+i	a2q+2
On effectue des opérations sur les lignes pour exploiter les relations déjà
obtenues. On fait d’abord L?+2 «— L?+2 - «iL?+i - ... - ot?L2 et ensuite
L^-j-i- < L^-f-i oqL^  • otgLi. En posant cn — oqan— j *	txqafi—q
pour tout n q (l’objectif étant de montrer que la suite (c„) est nulle), on
obtient
	ao	ai	. aq-i	(7^	aq+i
Aq+2 =	aq-l	aq	 a2q-2	aZq-ï	a2q
	0	...	0	0	C-lq+l
	0		0	C2q+1	C2q+2
En développant ce déterminanant selon l’avant dernière ligne, puis la dernière
on obtient Ag+2 = ~^-qc\q+i- Comme A<j + 0 on a c2q+i = 0 et la relation de

CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIÈRES
récurrence est encore vérifiée à l’indice 2q +1. On procède alors par récurrence
de la même manière. Supposons que les sont nuis pour q<Qk^2q + n- \.
On va montrer que c^+n = 0 et pour cela on part du déterminant A9+n+i.
Celui-ci s’écrit
	ao	 a^-i	aq	• aq+n
Aç+n+l —	aq-l aq	a2a~2 a2g-l	a2q-1 a2q	a2q+n-l • a2q+n
	<Xq+n	• a2q+n-ï	a2q+n	• a2q+2n
On effectue les opérations sur les lignes Ljt <— Lt-aiLjt-i---a^L/t-g pour
k = q + n+l,q + n,..., <7 + 1 et on obtient, grâce à l’hypothèse de récurrence,
	ao	a^-i		&q+n
A	—	a9-i	aia-2	«2q-l	-	•	^2<7+7i-l
^g+n+l —	0	0	0	C2q+n
	0 , ..	0	c2g+n	c2q+2n
En développant on a donc Ag+n+i - ±c’£^+rfsq et on en déduit que C2g+I1 = 0.
Cela montre que la suite (cn)„>g est nulle, donc que la suite (an) vérifie une
relation de récurrence linéaire et que f est une fraction rationnelle. <1
Le lecteur pourra se reporter à l’exercice 2.40 du volume 2 pour une étude
plus fine des déterminants de Hankel.
Les quatre exercices suivants concernent la composition des séries entières.
Le programme de CPGE ne contient aucun résultat sur ce sujet et dans les deux
premiers exercices on donne des solutions élémentaires. En revanche, dans le
troisième on démontrera plus généralement que la composée de deux fonctions
développables en série entière est développable en série entière.
3.29.	Développement en série entière de Indet(IdE +tu)
Soit u un endomorphisme d’un R-espace vectoriel E de dimension
finie. Montrer que la fonction f : t h* In det(IdE +tu) est développable en
série entière au voisinage de 0.
3.30. COMPOSITION DE DEUX SÉRIES ENTIÈRES
279
> Solution.
La fonction t h-> detfldp +tu) est polynomiale en t et vaut 1 en t = 0. On
peut donc l’écrire sous la forme 1 + P(r) avec P e R[X] tel que P(0) = 0. Sur
un voisinage V de 0 on a |P(r) | < 1 et le logarithme est bien défini. Pour t e V
on a même
+c° ziyi-1
ao = S —pw”
^1 n
mais cela ne constitue pas le développement en série entière de f. Il serait bien
possible de développer les P(r)" et de regrouper les puissances de t identiques
pour obtenir ce développement, mais nous allons ici procéder plus simplement.
En effet, une simple dérivation permet d’éliminer le logarithme. On a, pour
tout t 6 V,
et f est une fraction rationnelle dont 0 n’est pas pôle. Une telle fraction se
développe en série entière en 0. Cela se voit en passant par la décomposition
en éléments simples sur C (le lecteur se reportera à l’exercice 3.26 pour une
preuve détaillée). Par primitivation, f est bien développable en série entière. <
3.30.	Composition de deux séries entières
k \
y, 72 
k=l K /
1.	Démontrer que g est développable en série entière avec un rayon
de convergence R > 1. On note gn les coefficients du développement de g.
2.	Montrer que gn - o I ).
▻ Solution.
n
1. Le rayon de convergence de la série entière y est égal à 1. La
+00 n
fonction f : x 1-—> y est définie et continue sur [-1,1]. Elle est de
n=l n
+00 n_j +00 n
classe C" sur]-1, l[avec/'(x) = y = y La fonction g = expo/
n=l	n=Q ’
est donc aussi C°° sur ] - 1,1 [ mais on ne dispose pas du résultat permettant
de dire directement qu’elle est développable en série entière sur cet intervalle.
Pour le montrer on va utiliser une équation différentielle. En effet, g est l’unique
solution sur ] - 1,1 [ du problème de Cauchy y' = f'y et y(0) = 1. On va donc
chercher une solution G à ce problème de Cauchy qui est somme d’une série
entière. Par unicité on aura g = G ce qui répondra à la question.
z8o
CHAPITRE J. SERIES ENTIERES
+00
Cherchons G sous la forme G(x) = y gnxn et supposons que cette série a
n=0
un rayon de convergence R strictement positif. On a, pour |x| < R,
+00	+00
G'(x) -	+ l)gn+i*n.
n=l	n=0
La fonction /G est développable en série entière avec un rayon de convergence
R' qui vérifie R' > min(R, 1), le développement s’obtenant par un produit de
Cauchy. L’égalité G' = f'G est vérifiée si on a, pour tout n e N,
(n + l)g„+i = y —TIT
Le coefficient go valant 1, cette relation de récurrence définit une suite unique.
On montre facilement que, pour tout n eN, onaO C < 1. En effet go = 1
et si on suppose la propriété vraie jusqu’au rang n alors
0 < gn+1 < —^-j- y ----^—7 < —S gk < L
n + lfcToU-K + l n + 1
On en déduit que le rayon de convergence de la série y, g„xn est supérieur ou
égal à 1. L’équation différentielle possède une solution G telle que G(0) = 1,
développable en série entière sur ] - 1,1[ et cette fonction est égale à g. On
peut conclure que la fonction g est développable en série entière sur ] - 1,1 [.
2. On a, pour tout n	e N,	0	gn	<	L On en déduit	que, pour tout n e N*,
1	1	_ 1	"	1	Ihn
0	gn	z	j	j	~	z 1	t ~
n	Jt=o	n ~	k n	k	n^oo	n
et donc que gn = O On injecte cette information plus précise dans la
relation de récurrence pour renforcer le résultat. Soit A tel que gn < A^ pour
tout n > 2. On obtient alors, pour n > 2,
o<« <1 y < 1 /g0 । gl , y1 Ablfc
n n n — k ny n n — 1	~ k) }
<	Aln» y 1
/1\ Alnn'Y/1 1 1
<	O I — I + ——	? +---ï
yn2/	n1 \k n - k]
(Il 2A ln n Jt, 1	 (ln n)2
<	oh +—E; ~ 2A^--
\nz j n K n—*oo
Cela montre que gn.= O ) et donc que gn =	<
\ nz /	n—>+00 \ n /
3-31- DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE ENTIÈRE d’üNE SÉRIE DE FONCTIONS
281
En fait les résultats d’analyse complexe permettent d’obtenir sans calcul le
fait que la fonction exp of est développable en série'entière sur le disque unité
ouvert de C : c’est la composée de deux fonctions holomorphes. On trouvera la
preuve d’un résultat général sur la composition dans la solution de l’exercice
suivant.
*3.31. Développement en série entière d’une série de fonctions
-j-QH	/	\
Pour x e R, on pose f(x) = V (-1)" In 11 +------1.
n=l	\	n(l+x2))
1.	Montrer que f est définie et continue sur R. Étudier la limite en +00.
2.	Montrer que f est développable en série entière en 0.
3.	Calculer /(O) et /"(O).
> Solution.
1.	On pose un(x) = (-1)" In 11 + —-—-—y- pour x réel et n > 1. À x
\ n(l +xz) )
fixé, la suite (|w,t(x)|) est décroissante et converge vers 0 si bien que la série
définissant / (x) est redevable du critère spécial des séries alternées.
Par ailleurs, notons qu’il y a convergence uniforme sur R puisque, par ce
même résultat, on a
n=N
l“NWl 11 f1 +	) « wTU) « S-
avec le majorant indépendant de x et qui tend vers 0. Les fonctions1 un étant
continues sur R pour tout n, f l’est aussi. Par ailleurs, le théorème de la double
limite assure que
+00
lim /(x) = V lim u„(x) = 0.
X—>4-co	‘ * x—>+oo
n=l
2.	Pour n > 1 et x réel,
/	1	\ , /,	1\ n+l+wx2 (	x2
In 1 4—--z- —In 1 H— = In —------— = In 1------———
\	n(l+x2)/	\ n) (n+l)(l+x2)-	\ (n + l)(l+x2)
On a donc, pour x réel,
avec g{t) = y,(-1)" In 11 - j pour t G [-1,1], On a envie de développer
n=2	'	’
en série entière le logarithme et intervertir les sommations pour prouver que g
282
CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIÈRES
est développable en série entière. La clef d’une telle démarche est le théorème
de sommation par paquets mais face à une série qui n’est pas absolument
convergente, on voit bien qu’il ne pourra s’appliquer directement. Considérons
plutôt h(t) - y (-1)" (ln (1 - ^) + ^) et montrons que cette fonction h est
développable en série entière. Cela sera suffisant pour démontrer que g est
développable en série entière en 0 puisque g et h diffèrent d’une fonction
linéaire. Faisons un calcul formel pour commencer :
tP
MO - Zf-D-’1 Z -f -
n?2	p>2 Pn
(~l)’,+1tP
pnp
V tP lyr (-1)"+1\
p \~ri np I
Ce calcul sera validé par le théorème de sommation par paquets si la famille
est sommable. Pour cela, il suffit de trouver un procédé de
sommation convergent pour la famille des valeurs absolues :
cette dernière famille étant sommable puisque
n >
T2
Puisque g est développable en série entière en 0 et que x 1—>	2 l’est
2	+o°
aussi, car----2 = y (~l)n-1*2n pour |x| < 1, le fait que f soit également
1+x	n=l
développable en série entière en 0 résulte du lemme suivant :
' +00	+co
Lemme. Soitf(x) = y, akXk (/(O) = 0), g (y) = y bnyn deux séries entières
k=\	n=O
de rayon de convergence strictement positif. Alors g o f est développable en
série entière en 0.
Démonstration. Notons Ry et Rg les rayons de convergence respectifs de f
+00	+00
et g et considérons les séries entières F(x) = y la/clxk et G(y) = y
k=l	n=l
de même rayon de convergence que f et g respectivement. D’après la règle du
produit de Câuchy, f(x)n (resp. F(x)") est développable en série entière avec
un rayon au moins Ry. Notons
+00	+00
f(x)n = ak,nXk et F(x)n = y, Ak,nxk.
k=n	k=n
3-31- DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE ENTIÈRE D’UNE SÉRIE DE FONCTIONS
283
Faisons un calcul formel sur g o f(x) :
+00	+00
g 0/W = bo + y, bnf(x)n = b0 + 2 bn y, ak,nxk = b0 + y bnak,nxk
n=l	n=l	k^n	fc.neN*
fc>n
(k	\
j bnO’k'H |
n=l	/
Ce calcul est validé par le théorème de sommation par paquets si la famille
(bnak,nxkjk>n est sommable. Il s’agit donc pour établir que g o f est
développable en série entière en 0 de prouver qu’il existe r > 0 tel que si
|x| < r, alors la famille (bnak^nxk)k>n est sommable. On a ak>i - ak et
A)t,i = \ak | pour tout k, et par la règle du produit de Cauchy

1 Æp’iflqi
P+q=k
< y ApjAqJ = Afcj2,.
p+q=k
Si on suppose que |afc,n-i | < Ak,n-1, il vient
On a donc établi par récurrence sur n que pour tout (k, n), on a {aktlll < Ak,n-
Par ailleurs, F(0) = 0 et F est continue en 0, il existe donc r e ]0, Ry[
tel que F(r) < Rg. Montrons la sommabilité de (Zrn«fc,«**)*>« pour |x| < r.
On a pour k > n, \bnak,nxk\ < \bn\A.k,nrk et il suffit donc de prouver que la
famille (\bn\A.k<nrk)k^n est sommable. Pour cela, le théorème de sommation
par paquets dans le cas des familles positives permet de conclure dès lors que
l’on dispose d’un procédé de sommation convergent. C’est le cas :
y l&n|Afc,nr* = y \bn\ y &k,nrk = y \bn|F(r)fc < +00,
R.reeN*	nÿl k'^n	nïl
puisque 0 F(r) < Rg.n
Il résulte de la démonstration que si Rg = +00, alors le rayon de convergence du
développement en série entière de g o f est Ry. En particulier si R/ = Rg = +“,
alors g ° f est développable en série entière sur C,
3.	• On a f (0) = y, ( -1 )n In f 1 + 1 j. La somme de cette série est la limite
n=l	'	'
2N	/	n
de Sn = y (-1)" ln 11 + I quand N tend vers +co. En séparant les termes
n=l	'
pairs et impairs, il vient
SN - y (ln(2n+l)-ln(2n))-y(ln(2n)-ln(2n-l)) = y ln p2n+	—12
n=l	n=l	n=l \
284
CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIÈRES
On a donc
c ( (2N + 1)(2N - l)2 • • • l2 \	( V2N+ 1(2N)!^
N I, (2N)2(2N - 2)2   • 22	4N(N!)2 j
En utilisant la formule de Stirling, il vient que lorsque N tend vers l’infini
V2N+ 1(2N)! V2NV4itN(^)2N Ï2
4N(N!)2	2jtN4N( —)2N	’ K
On obtient /(O) = lim Sn = ln =•
N—»+oo	n
• Comme f est paire de classe C°° au voisinage de 0, on a /'(O) - 0 si
bien que /"(O) = lim /(O)). £n utilisant la fonction g de la deuxième
A->0	X
question, on a f(x) - f (0) = -g | * -, ) et comme g(0) = 0 et x -, ~ x2 en
\ 1 + x /	1 +x-
0, on en déduit /"(O) = -2g'(0). Comme h'(0) = 0, il reste que g'(0) est la
+°° (-i)'1,
dérivée en 0 de la fonction t 1—> - y, — qui est une fonction affine. On a
n=2
donc g'(0) = y -—— = ln2 - 1 et finalement, /"(0) = 2(1 - ln(2)). <
n=2
L’exercice suivant étudie la question de l’inversion d’une série entière pour
la composition.
*3.32. Développement en série entière de l’inverse
Soit R > 0 et (an)n>i une suite complexe avec «1 + 0. On suppose que
+00
le rayon de convergence de la série entière /(z) = y anzn est supérieur
n=l
+00
ou égal à R. On cherche à construire (bn)«>i telle que g(z) = y bnz" ait
H=1
un rayon de convergence strictement positif et vérifiant f o g(z) = z au
voisinage de 0.
1. Montrer qu’il existe une unique suite (bn)n>i telle que
In	\
2>nzn =z + o(zN)
n=l	/
2. Soit (A,,) une suite réelle positive avec Ai = |ai|etAn > |a„|pour
tout n. On suppose le rayon de convergence de y A.nzn strictement positif
3-32. DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE ENTIÈRE DE L’INVERSE
285
+o°
et on pose F(z) = Ajz - y, Anz". On considère la suite telle que
n=2
(N	\
2>nz” = z + o(zN)
n=l	/
Montrer que B„ > |èn| pour tout n.
3. Soit r 6 ]0,R[ et M = y |an|r". On pose Ai = |ai| et A„ =
n=l
pour n > 2. Montrer que les rayons de convergence de y B„z" et y bnzn
sont strictement positifs.
4. Conclure.
▻ Solution.
N
1.	Soit (bn)n>i une suite complexe. On pose Gn = y bkX.k pour
k=l
tout N e N*. Le développement limité de f o Gn à l’ordre N en 0 ne dépend
que de la partie polynomiale de degré < N de f. Ecrivons ce que l’on souhaite
avoir pour N = 1,2,3,... Pour N = 1 on a
/(Gi(z)) = aiZ?iz + o(z).
Pour N = 2 on a
Z(G2(z)) = a\b\z + (<Z1Z>2 + «2^)z2 + o(z2)
et pour N = 3,
/(G3(z)) = a\b\z + (aiZ>2 + a2b\)z2 + (a 1 b 3 + 2a2b\b2 + a3b3)z3 + o(z3).
Chaque développement est un prolongement du précédent et on souhaite donc
avoir les relations a\b[ = 1, a\b2 + «2^2 = 0, a\b3 + 2a2b\b2 + a3b3 = 0,...
Comme ai est non nul ce système admet une unique solution. En effet, le
N
coefficient devant zN est de la forme a\ b^ + y a^Q^NC^i,   , i’N-i) où Qh,n
k=2
est un polynôme à coefficients dans N (on a seulement des sommes de produits
des b, avec i < N).
2.	La suite (Bn)n?i est définie avec la même relation de récurrence. On a
donc B1 = ^- et pour tout N > 2,
1 N
Bn = 7- Vj AjtQjt n(Bj, ... ,Bn~i)
A1 Jt=2
286
CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIÈRES
(car les pour k > 2 sont affectés d’un signe - dans la définition de F). On
peut alors montrer par une récurrence forte que |bn| B„ pour tout n. C’est
vrai pour n - 1 (avec égalité). Si le résultat est vrai jusqu’au rang N - 1 on a
|bN| =
1 N
y^QÆ.N^i
k=2
 -, ^N-l)
1 N
< 7-Z>dlQ*.NU’i,
A1 k=2
,^n-1 ) I
et, comme les polynômes Q^.n sont à coefficients positifs, on peut ma-
jorer |Q*,n1, - • •,^N-1 )I par Qa:,n(Bi, ..., Bn-i) grâce à l’hypothèse de
récurrence. Comme < A*, on en déduit que |&nI < Bn ce qui termine la
récurrence.
3.	La suite (An)n^i vérifie bien l’hypothèse de la question précédente,
car pour n > 2, on a fanirn < M. Il suffit donc de prouver que le rayon de
convergence de la série y B„z" est strictement positif puisque par comparaison
celui de la série y, bnzn sera plus grand. L’idée est que la somme F associée à
la suite (An) comme ci-dessus se calcule et qu’on va pouvoir expliciter G telle
que F o G = Id. En effet, pour |z| < r, on pose w = |, et on obtient, à l’aide de
la somme géométrique,
+°° 7«	+°°
F(z) =	— = luiku -	= |ai|rw +------
n=2 rn	^2	u - 1
a(0w2 - u)
u - 1
(\a 1 |r + M)m2 - \a 1 \ru
u - 1
où a - |ai|r et 0 = 1	— Prenons maintenant z dans un voisinage de 0
et cherchons G(z) tel que F(G(z)) = z . Le nombre complexe est donc
solution de l’équation a^u“_ j = z d’inconnue u. Il s’agit d’une équation du
second degré qui s’écrit encore 0w2 - (! + „) M+a = 0 et dont le discriminant
vaut A = 1 + -^2 -	(20 -1). Si z est réel et assez petit on a A > Oet l’équation
admet deux solutions. Comme on souhaite que la fonction G soit nulle en 0 on
a donc envie de prendre
G(z) =
Cette expression a du sens pour z réel assez petit mais on aimerait avoir pour G
une fonction développable en série entière sur un voisinage de 0 dans C. Le
lecteur sait que la fonction x 1—> V1 +x est développable en série entière
+°o
sur ] - 1,1 [ et on écrit ce développement V1 + x = y, anxn. Définissons alors
n=0
4-00
la fonction <p : z i-> y a„z" pour |z| < 1. Cette fonction vérifie cp(z)2 = 1 + z
n=0
3-33- FONCTION À VALEURS DANS SL2 (C) DÉVELOPPABLE À SÉRIE ENTIERE
287
pour tout z : en effet, il suffit de calculer le carré en faisant le produit de Cauchy
de la série avec elle-même. A partir de là, en admettant que la composée de
deux fonctions développables en série entière l’est encore (voir le lemme de
l’exercice 3.31), on peut affirmer que la fonction
g(z)=^(i+--<p(4--(4p-i))1
20 \ a \az a	/)
est développable en série entière sur un voisinage de 0 et vérifie F(G(z)) = z
pour z au voisinage de 0. Ainsi, si on note les coefficients du développement
/ n	\
en série entière de G on a F y, B'nzn = z+o(zN) pour tout N et par unicité cela
\n=l	/
impose que	- B„ pour tout n. On peut conclure que le rayon de convergence
de la série y Bnz" est strictement positif.
+oo
4.	Posons alors g(z) - y bnzn pour z au voisinage de 0. La fonction f o g
n=l
est aussi développable en série entière au voisinage de 0, comme composée, et
pour tout N on a le développement limité en 0
/(g(z)) = /l2jè«z" + o^N)| = f |2j b»z" | +°(zN) = z + o(zN)-
\n=l	/ \n=l /
Par unicité du développement en série entière, on peut conclure que /(g(z)) = z
au voisinage de 0. <
Outre la composition de deux séries entières, l’exercice suivant utilise un
théorème de relèvement et la formule de Cauchy (voir page 320).
*3.33. Fonction à valeurs dans SL2(C) développable à série entière
Soit A : C —> SL2(C) dont tous les coefficients sont développables en
série entière sur C. On suppose que A(z) e SOz(R) pour tout z e R.
1. Montrer qu’il existe une fonction (p développable en série entière
sur C telle que pour tout z e C, A(z) -
2. On suppose qu’il existe c > 0 tel que l’on ait | cos <p(z)| < ec^
et | sin q>(z)| < ec'7-' pour tout z. Montrer que cp est affine.
coscp(z) -sincp(z)
sintp(z) cos<p(z)
> Solution.
, , ,	; pour tout z e C, où a, b, c, d sont des
b(z) d(z)j r
fonctions développables en série entière sur C. Lorsque la variable est réelle
nous la noterons x. Par hypothèse, pour x e R on a A (x) e SO2(R) et
288
CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIÈRES
donc c(x) = -b(x), d(x) - a(x) et a(x)2 + £>(x)2 = 1. On sait qu’il existe
un réel <p(x) tel que a(x) = costp(x) et Z>(x) = sin<p(x). La question est de
montrer qu’on peut choisir une détermination de l’angle de la rotation qui est
aussi somme d’une série entière. Il s’agit d’un problème de relèvement.
Posons f(x) = a(x) + ib(x) pour tout réel x. On a |/(x)| = 1 pour tout x.
Si tp est une fonction dérivable (à valeurs réelles) telle que /(x) = e1®**1 pour
f Ak)
toutx, on a alors nécessairement Zcp'(x) =	' P°sons donc
z ,	1
cp(x) = a + -
dr
où a est un argument de f (0). On va vérifier que cp répond à notre problème.
•	Tout d’abord cp est à valeurs réelles. En effet, f est à valeurs dans le cercle
unité donc	= 1 pour tout t et en dérivant,	+ /(0/'(t) = 0
c’est-à-dire - -==-. Il en découle que <p(x) = <p(x) pour tout réel x.
•	La fonction f est développable en série entière sur R donc f également
et ÿ = f aussi. Par primitivation cp est donc développable en série entière sur R.
•	La fonction x 1—» f(x')e~"i’lx> est alors dérivable sur R et sa dérivée est
nulle. On en déduit qu’elle est constante et égale à sa valeur en 0 qui vaut 1. On
a donc pour tout x e R, a(x) = d(x) = cos cp(x) et b(x) = -c(x) = sin cp(x).
Il reste à prolonger ces égalités à C. En fait, on peut prolonger cp à C en
utilisant la série entière et par composition cos ocp et sin ocp sont alors des
fonctions développables en séries entières sur C. En effet il a été démontré dans
le lemme de l’exercice 3.31 que si f et g sont deux fonctions développables
en série entière sur C, avec /(O) = 0, alors g o f est développable en série
entière sur C. En fait, on peut s’affranchir de l’hypothèse /(O) = 0 car, d’après
le lemme de l’exercice 3.56, si g est développable en série entière en 0 sur C,
elle l’est aussi au voisinage de tout zo e C. Il suffit d’appliquer le lemme de
composition aux fonction z 1—> /(z) - /(O) et z 1—» g(/(0) + z).
Or, si deux sommes de séries entières coïncident sur R, alors elles ont
mêmes coefficients, donc elles sont égales sur C tout entier. Comme les
fonctions a, b, c, d sont également développables en série entière sur C, on
a donc «(z) = d(z) = cos cp(z) et Z>(z) = -c(z) = sin cp(z) pour tout z e C.
+00
2. Posons cp(z) = y, unzn pour tout z € C. On va montrer que u„ = 0
K=0
pour n > 2 et pour cela on va utiliser la formule de Cauchy. On a, pour r > 0
quelconque,
21t
e~inQdd.
—
xnr Jo
L’hypothèse nous donne une majoration de cos cp et de sin cp mais pas de cp.
Pour tout z e C on a
|e“P(z)| = |coscp(z)+zsincp(z)| < | cos<p(z)| + | sincp(z)| < 2ec|z|
3.34- CARACTÉRISATION DES FONCTIONS DSE EN 0	289
c’est-à-dire e_,m<P(z) 2ec|zl. En considérant e~‘v<-z> on obtient eIm<P<z) <
2ec|zl et finalement | Imcp(z)| ln2 + c|z|. Il n’est pas possible de majorer
/* 2jc
la partie réelle mais cela va suffire. Pour n > 2 on a /	(p(r^9)ein0d0 = 0
Jo
/•2tc----—- . _
et donc en conjuguant /	cp(re,0)e~"’ud0 = 0. En faisant la différence avec
J o
l’intégrale donnant un on a donc
; z»2jt
un ------ /	Im<p(re'0)e-'n9d0.
Jtrn Jo
On majore alors en module avec l’inégalité triangulaire :
. .	1 f2n.	/	2tt(ln2 + cr)
et le majorant tend vers 0 lorsque r —» +oo pour n > 2. On en déduit que un = 0
pour n > 2 et que <p : z uq + «iz est une fonction affine. <i
La première question a démontré le théorème de relèvement de classe C1 :
si I est un intervalle de R et f : I —» C est une application de classe C] telle
que |/(x) | = 1 pour tout x e I, alors il existe cp = I —» R de classe C1 telle
que f(x) - pour tout x 6 L
3.34.	Caractérisation des fonctions DSE en 0
1.	Soit g définie par g(0) - 0 et g(x) = e~^ pour x + 0. Montrer
que g est de classe C°° sur R mais n’est développable en série entière sur
aucun intervalle ouvert contenant 0.
2.	Soit f de classe C°° sur R. Montrer que f est développable en série
entière en 0 si, et seulement si, il existe a > 0, M>0, A>0 tels que
VneN, Vxe[-fl,a], |/(")(x)| MAnn!
3.	Établir l’existence de A > 0 tel que
VneN, Vx e R, |g(n)(x)| < A"(n!)3/2.
▻ Solution.
1.	La fonction g est clairement de classe C°° sur R* et une récurrence facile
montre que pour tout n et tout x 0 on a
2Ç0
CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIÈRES
où P„ est une fonction polynôme. On en déduit en particulier que (x) tend
vers 0 lorsque x tend vers 0. Le théorème de prolongement C1 appliqué de
manière itérée montre donc que g est de classe C00 sur R et que toutes ses
dérivées en 0 sont nulles. La série de Taylor de g en 0 a donc un rayon de
convergence infini mais sa somme, qui est nulle, ne coïncide avec g qu’en 0
puisque g est strictement positive sur R*. Ainsi, g n’est pas développable en
série entière en 0. On dit que g est une fonction plate en 0.
2.	Supposons tout d’abord qu’il existe a >0, M>0etA>0 tels
que |/("\x)| < MA" n! pour tout net toutx e [-a, a]. On note R„(x) le reste
de Taylor enx. D’après l’inégalité de Taylor-Lagrange on a pourx e [-a,a],
lxl"+1
|R»(x)| < sup |/(«+1)(r)|-U— ^M(A|x|)"+l.
re[-a,fl]	(« + !)!
On en déduit donc que R„ (x) tend vers 0 lorsque |x| < et f est somme de sa
série de Taylor en 0 sur l’intervalle ] - r,r[ avec r = min (a, ^).
Réciproquement, supposons que f soit somme de sa série de Taylor
en 0 sur un voisinage [-r,r] de 0 avec r > 0. Pour tout x 6 [-r, r],
+°°
on a donc /(x) = X J xn. Comme la série converge en x = r, la
n-0
suite J ~rn tend vers 0 donc est bornée par une constante C et on a
(0)| < Cn!pj pour tout n. C’est une inégalité de la forme souhaitée mais
uniquement en x = 0. On va la prolonger à un voisinage de 0 en augmentant
les constantes C et | • Soit n e N fixé. Par le théorème de dérivation des séries
entières on sait que pour x e [-r, r] on a
k=0 K’
En utilisant la majoration des dérivées en 0 on a donc, pour |x| < r,
On se limite à |x| <	= a. On peut alors calculer la somme majorante en
reconnaissant la dérivée n-ième de la série géométrique. Il vient, pour |x| < a,
C +°°	1 p„fon+l
l/(n) (x)|^ - £(* + 1)(* + 2)... (* + n)- =	-
r k=0	Z '
car pour |x| < 1
+°o	d" / 1	\
+ 1)... (k + n)xk = -— |----| = -----4—i"
^0	dx"\l-x/ (l-x)"+1
3-34- CARACTÉRISATION DES FONCTIONS DSE EN 0
291
On a donc bien obtenu le résultat souhaité sur l’intervalle [-a, a] avec les
constantes M = 2C et A = 2 •
3.	Les fonctions g^ sont clairement toutes bornées sur R d’après
l’expression obtenue dans la question 1. On peut obtenir une relation de
récurrence sur les polynômes P„ mais cela ne semble pas très exploitable pour
étudier les variations de g^ et en obtenir une majoration. Notons que comme
g est paire, la dérivée g<n> a la parité de n et on peut se contenter de la majorer
sur R* (elle est nulle en 0 comme on l’a vu en 1). Fixons donc x > 0. Le point
clé est que la fraction rationnelle r est développable en série entière en x
sur l’intervalle ]0,2x[. Par composition, puisque exp est développable en série
entière en tout point, avec un rayon de convergence infini, g est développable
en série entière en x sur ce même intervalle (voir le lemme de l’exercice 3.31).
Ainsi, pour tout t e ]0,2x[ on a
g(t) = e-^	^(z-x)".
»=o n-
Pour majorer g’”1 (x), nous aimerions utiliser la formule de Cauchy, mais pour
cela il faut que g soit développable en série entière dans C. En fait, g est définie
sur C, par la même formule que sur R et le développement reste valable dans C
sur le disque ouvert de centre x et de rayon x. On peut utiliser la formule de
Cauchy. Pour 0 < r < x on a
CF(n)/'r'i 1	/•2k	1	1
= — / g(x + re'0)e-"l0d0 = —— / e e>2 e’^dO
n! 2ztr" Jo	2jtr" Jo
Majorons maintenant l’intégrale. On a, puisque |ez| - eRez pour tout z € C,
|g(n)(x)|	1	f2*	( (x + r cos 0)2 - r2 sin2 0 \
—— *2^)0 “"l---------------------------------------r
On a (x + r cos 0)2 - r2 sin2 0 = x2 + r2 cos 20 + 2xr cos 0. On dispose de cette
inégalité pour tout réel r de ]0,x[ donc on peut choisir r = de sorte à avoir
la minoration suivante :
x2 + r2 cos 20 + 2xr cos 0 = r2(9 + cos 20 + 6cos0) > 2r2.
On majore le dénominateur par l’inégalité triangulaire : |x + re,e| < x + r = 4r.
On a alors,
1^)1 . _L C' exp (--U d0 = 1 exp (—U .
n! 2itrn JQ F 128r2 / r" H \ 128r2 /
Il reste à montrer que le majorant est majoré uniformément en r par A" Vrrï,
pour une constante A > 0 bien choisie. Pour le montrer, on étudie plutôt le
2Ç2
CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIÈRES
logarithme. Considérons la fonction q) : r h-> -nlnr -	2. Sa dérivée
est cp' : r	et on en déduit que cp est croissante puis décroissante
avec un maximum atteint en • On a alors
8yn
(1 \	1 , n ,,
— = -nlnn- - +(ln8)n.
8yn /	2	2
Or, par l’équivalent de Stirling on sait que
In VhÏ = - Inn! = -nlnn - - + - In n + - ln(2n) + o(l)
Il existe donc A > 0 tel que (p I —L= I < X In n! + n In A pour tout n 1 et on a
Ioyn I
alors |g(n) (x)| A" (n!)3^2 pour tout x e Rettoutn > 1. Quitte à augmenter A
pour avoir A > ||g||oo la majoration reste vraie pour n = 0. <
Sont regroupés maintenant un ensemble d’exercices où il s’agit de trouver
la limite ou un équivalent d’une fonction développable en série entière, en un
point du cercle de convergence.
3.35.	Étude au bord de l’intervalle de convergence
+00
On pose /(x) = y, Innx".
n=l
1.	Déterminer le rayon de convergence de cette série entière.
2.	Donner un équivalent de f en 1 “.
3.	Déterminer la limite de f en -1.
> Solution.
1.	Pour 0 < r < 1 la suite (rn lnn)n^i est bornée donc le rayon de
convergence est supérieur ou égal à 1 et comme la série entière diverge
grossièrement en x = 1 (et aussi en x - -1) le rayon vaut exactement 1.
2.	On ne dispose pas d’équivalent plus simple de Inn quand n —> +00. En
revanche, la dérivée discrète un = In n - ln(n -1 ) = - In ( 1 - 1 j est équivalente
à 1- Pour faire apparaitre cette suite, on fait le produit de f avec 1 - x. On a,
pour tout x e] - 1,1[,
+00
(1 ~x)f(x) = ^unxn =g(x).
n-2
3.36- RECHERCHE D’UN ÉQUIVALENT
293
On a l’encadrement suivant de un pour tout n > 2 :
1	f "
- «S un = Inn - ln(n - 1) = /
n	Jn-}
dt
t
1
n-1
et en sommant, il vient pour x e [0,1 [
On sait que y, = — ln( 1 - x) et les deux fonctions de part et d’autre de
l’encadrement ci-dessus sont équivalentes à - ln(l - x) lorsque x —» 1_. On a
donc g (x)---ln(l - x) lorsque x —> 1“ et
-ln(l -x)
/(x)------5------
3.	La série ^unxn converge en -1, d’après le théorème des séries
alternées, donc g est définie en -1. Calculons g(-l). Pour N e N*,
2N+1
L(-D"
n=2
ln
2N
2N- 1
2N \
2N + 1 /
2 2 4 4
î ’ 3 ’ 3 ’ 5
((2nN1)4	\
-—-—-y7—7 et l’équivalent de Stirling
(2N+1)(2N)!2/ H	6
montre que cette somme converge vers In D’après le théorème d’Abel radial,
appliqué à la fonction x —» g(-x), on en déduit que g(x) = (1 - x)/(x) tend
vers ln quand x —> -1, donc f tend vers ln 5 en -1. <
Une méthode importante, mise en œuvre dans l’exercice suivant, est la
comparaison série-intégrale.
3.36.	Recherche d’un équivalent
Trouver un équivalent quand x tend vers 1 de /(x) = 2 x2" 
▻ Solution.
Le rayon de convergence de la série entière y x2" est 1 ; la fonction f
est donc définie sur ] - 1,1 [. Pour déterminer un équivalent de f en 1, nous
utiliserons la méthode de comparaison série-intégrale.
294
CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIÈRES
Soit x e [0,1 [ ; la fonction t i—> x2' = evln x est positive et décroissante
sur R, car Inx 0. On a donc, pour tout k 6 N,
/•Æ+l
x2"'	x2'dt<x2\
Pour n e N, en additionnant les inégalités obtenues en faisant varier k de 0 à n,
on obtient
n+1	/•«+!	n
k=l JO	k=0
On en déduit la convergence de / x2 dt . En faisant tendre n vers +oo, on
obtient
/•+OO
/(x)-x^ / x2'dt SJ/(x),
Jo
c’est-à-dire
/» 4-00	/• 4-00
I x2 dr < /(x) < / x2'dr + x.	(*)
Jo	Jo
On va chercher un équivalent de l’intégrale. Pour ce faire on va, en utilisant
le changement de variable u = -(Inx)e'ln 2, placer la variable x dans les bornes.
On obtient
r+°°	r+°°	. ,	1	/•+00
f x2'dt= e^^dt=J_f L_dli.
Jo	Jo	“>2 J-\nx u
r+oa p~u
Il faut trouver un équivalent de /	u~^u- Quand * tend vers 1, - Inx tend
_w J-Inx
vers 0. La fonction u i—>	est intégrable sur [ 1, +oo [, mais pas sur ]0,1 ]. De
e~“	1
plus, on a--- ~ -. Ces fonctions étant de signe constant et pas intégrables
sur ]0,1], on en déduit que
f1 e~u f1 1	f1 e~u
/ ------du ~ / — du = -lnxet /	---du ~ -ln(-lnx).
Jx u x-*ojx u	J_]nx u x->\-
r+°° e-u
On obtient enfin /	------du ~ - ln(-Inx) et donc
J-\nx jc—>1
/+°° 2, In(-lnx)
/ x dt ~-----------———.
Jo	1"2
,	, „z . In(-lnx) „ , .
Les inégalités (*) montrent alors que j (x) ---—------En écrivant, pour
x-»l ln2
toutx e ]0,1],
In (- Inx) = ln^ *njc^ + jnQ _
3-37- ÉTUDE ASYMPTOTIQUE AU BORD DU DISQUE DE CONVERGENCE (1)
295
on en déduit que
/co -, -
JC—>1
ln( 1 - a)
ln2
• <1
3.37.	Étude asymptotique au bord du disque de convergence (1)
+00
Soit (wn)n>o une suite de C qui tend vers 0. On pose f(t) = y, untn.
n=0
Montrer que f est définie sur ] - 1,1 [ et que (1 - t)f(t) —» 0 quand
t -> r.
▻ Solution.
Comme la suite (un) est bornée le rayon de convergence de la série entière
est supérieur ou égal à 1 et f est définie sur l’intervalle ouvert ] - 1,1 [. Soit
e > 0. Par hypothèse il existe un rang N tel que \u„ | «£ e pour n > N. On
majore alors \f (/) | en coupant la somme en deux au rang N. On a, pour tout
t 6 [0,1[,
N	+00	N	_
1/(01	+ e S 2jlMjtl + TT7
k=0	Æ=N+1 fc=0	1	'
N
On a donc (1 - t) 1/(01	(1 - t) y |wjtl + e et il existe donc un réel q > 0
k=0
tel que pour tout t dans [1 - q, 1 [, (1 - 01/(01 < 2e. Cela prouve le résultat
demandé. <1
L’exercice suivantfournit une méthode générale pour obtenir des équivalents
de la somme d’une série entière. Ils affirment, sous certaines conditions, que
+OO	+00
si an ~ bn, alors y anxn ~ y bnxn, l’équivalence ayant lieu au bord
n=0	n=0
du domaine de convergence. Il regroupe des questions provenant de plusieurs
oraux.
3.38.	Étude asymptotique au bord du disque de convergence (2)
Soit (an) et (bn) deux suites de nombres complexes. On note R et R'
les rayons de convergence respectifs de y anxn et y bnxn et, sous réserve
+00	+00
de convergence, f(x) = y anxn et g(x) - y bnxn. On suppose que (bn)
n=0	n=0
est à valeurs dans R* et qu’il existe f e C tel que lim = f.
n—>+co bn
1. Montrer que R > R'.
2C)6
CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIÈRES
2.	On suppose que R' = 1 et que y, bn diverge. Montrer que
IrnÆ^.
g(x)
f 00
3.	On suppose que R' = +00. Montrer que lim —— = £.
g(x)
4.	Soit p e N. Déterminer la limite lorsque x tend vers 1 de
+00
(l-x)p+l^npxn.
n=0
▻ Solution.
1.	La suite converge donc elle est bornée. Soit M tel que l’on
ait < M, pour tout n e N. Pour tout x e C, on a \an||x|" < M|b„||x|".
Si x| < R', la série y, bnx" converge, donc y anxn converge aussi, ce qui
montre que R > R'.
2.	Les deux séries ont, d’après la première question, un rayon de conver-
gence > 1. On remarque, pour commencer, que lim g (x) = +00. En effet, pour
x—H"
«1
tout A > 0, il existe ni e N tel que y bn > 2A, puisque y bn diverge et est à
«=0
«I
termes positifs. On a donc lim y bnxn > 2A et il existe xo e ]0,1 [ tel que,
JC^1‘ n=0
«I
si x e [xo, 1 [, on a y bnxn > A et a fortiori g(x) > A (car bn > 0).
n=0
Soit e > 0. Par hypothèse, il existe no e N tel que l’on ait | y1 - < e, et
donc |a„ - £b„\ < ebn, pour tout n > no- On en déduit que, pourx e ]0,1 [, on
1+00	+00	.	00
y, anxn - y ènx" sJ e y bnxn eg(x),
n=«o	n=no	n=no
puis
HQ - 1	ftp - 1
l/(x) - £g(x)\ < y |a„ - £bn\xn + eg(x) «S ÿ |a„ - £bn\ + eg(x).
n=0	«=0
Enfin, on obtient
-----------+ e.
«W	g{x)
«0-1
S lan-£bnl
Comme lim n=0	------+ e = e, il existe xi e ]0,1 [ tel que, si x e [xi, 1 [,
alors	2e, ce qui est le résultat voulu.
3.38. ÉTUDE ASYMPTOTIQUE AU BORD DU DISQUE DE CONVERGENCE (2)
297
3.	D’après la question 1, les deux séries entières ont un rayon de
convergence infini. On choisit «o comme dans la question 2. La démonstration
est la même. On obtient, pour tout réel x > 1,
«o-l	/«0-1	\
S|ûn-^„|X”	E	X"»-1
	+ -----------+ E.
g(x)	g(x)-g(x)
x"0-1
On remarque que lim - , — = 0, car g(x) > bnnxn°. Le majorant tend donc
x-^+00 g(x)
vers e lorsque x —» +00, d’où l’on déduit l’existence de X] >0 tel que l’on
ait If^xJ “ < 2e’ Pourx > *1-
4.	On applique le résultat de la question 2. Le rayon de convergence de
+00
^npxn est 1. Si le calcul de g(x) = y, npxn n’est pas simple, on sait en
«=o
+00
revanche calculer y n(n - 1)... (n - p + l)xn-p, somme dans laquelle on
n=0
reconnaît la dérivée p-ième de la série géométrique. Pour p eNetx e ]-l,l[,
00	1
on obtient donc, en posant h(x) = y x" =	,
n=0
+00	n f
/(x) = 23	-!)...(«-p + !)x" =xp/t(/,)(x) =xp^-—^7?-
Si on pose an = n(n - 1)... (n - p + 1) et bn = np, la suite (/>„) est à
termes strictement positifs, lim r1 = 1 et Y\bn diverge. On en déduit
que Jim = 1, c’est-à-dire que /(x) *g(x) *	-*)P+1 '
Finalement
+00
lim (1 -x)p+1 23«Px" = P’- <
T->l	«=o
Avec les hypothèses de l'énoncé, il résulte en particulier de cet exercice que
si an ~ bn (resp. an = o(bn) en +00), on obtient en 1 ou en +00, f ~ g
n—»oo
(resp. f = o(gf).
Le résultat de la question 4 peut être obtenu également par une com-
paraison série-intégrale, en opérant comme dans l’exercice 3.36. On trouve
+00	/•
que 23 npxn ~	/ tpxldt. On montre facilement, par récurrence sur p,
n=o
I*	p]	pl
que I tpx'dt=--------------—- ~ ---------------, ce qui conduit au résultat.
H	(-lnx)p+1 x-1- (l-x)P+1	*
La première question de l'exercice suivant a été résolue d’une autre manière
dans l'exercice 1.26 du volume 6. La suite de l’exercice est une application du
résultat de l'exercice 3.38.
298
CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIÈRES
3.39. Un théorème de Gauss
On considère le plan R2 muni de sa norme euclidienne canonique || ||.
Pour X > 0, on pose
q(x) = Card{a e Z2, ||a||<x} et q+(x) = Card{a e N2, ||a||^x}.
1. Trouver un équivalent de q(x) et de <y+(x) lorsque x —> +00.
+oo
y, tnI . Relier g et q+
n=0 f
puis donner un équivalent de g en 1_.
2. On pose pour t 6 ]-l, 1 [, g(t) = -j-A
▻ Solution.
1. Pour tout x > Q, q(x) représente le nombre de points à coordonnées
entières dans le disque de centre 0 et de rayon x et q+(x) Ie nombre de points
à coordonnées entières > 0 dans ce même disque. De manière intuitive, il y
a environ 1 point à coordonnées entières par cm2 (si on prend le centimètre
comme unité de longueur) et il est donc assez raisonnable de penser que lorsque
x tend vers +00, q(x) va être équivalent à nx2 (l’aire du disque euclidien de
rayon x).
On commence par chercher un équivalent de q+(n) lorsque « e N tend vers
l’infini. L’idée est de compter le nombre de points de N2 dans le quart de disque
de rayon n en les comptant colonne par colonne.
Soit n un entier naturel. Pour (k,t) dans N2, l’inégalité ||(A:,T)|| < n, qui
s’écrit k2 +12 < n2, équivaut àO^fc^wetO^f^ V/12 - k2. En comptant
le nombre de couples (k, £) vérifiant cette inégalité pour k fixé, on obtient
On a donc l’encadrement
V«2 - k2	q + (n) =£ ^2 V«2 - k2 + n + 1,
k=0	k=0
ce qui donne en divisant par n2
<?+(n)
n2
1 A /.	k2 î 1
~ A V1 2 + “ + ~
n ’ n2 n n2
Nous reconnaissons alors une somme de Riemann relative à la subdivision
régulière du segment [0, 1] de pas 1 pour la fonction t 1—> V1 - r2. On en
3-39- UN théorème de gauss
299
déduit que
Cette intégrale représente, comme prévu, Faire d’un quart de disque de
rayon 1 et vaut donc . Par le calcul, cela se voit en posant r = sin 0 :
fl -------- fit/2 .------------	ajt/2
/ y \ - t2dt = V1 - sin2 0 cos 0d0 - / cos2 0d0
Jo	Jo	Jo
f*'2 l+cos(20)	Jt
Jo 2	4
En vertu de l’inégalité établie et du théorème d’encadrement, on en déduit que
lin.
n—>+00 n2
4
Il est facile de voir que cet équivalent reste vrai pour un réel positif x
quelconque : en effet, si x e R+ et n = [xJ, on a q+ (n) < q+(x) < q+ {n + 1 ) et
donc, en divisant par x2
q+(n) < q+(x) < q+(n+l)	. q+(iï) < q+(x) < q+(n+l)
x2 x2 x2 ’ P (n +1)2 x2 n2
Or, d’après ce qui précède, lim ^^”^2 = '‘m	= j- Toujours
d’après le théorème d’encadrement, on a lim = 3. On conclut que
n-»+oo x q
nx2
q+(x) ™ v
On exprime q(x) en fonction de q+(x) en faisant attention aux points
sur les axes qui sont comptés deux fois et au point (0,0) compté 4 fois. On
obtient q(x) = 4q+(x~) - 4|_xJ - 3 et
q(x) ~ Jtx2.
2. Comme la série est de rayon de convergence 1, g est définie
sur ] - 1,1 [. On va calculer g2 en effectuant le produit de Cauchy de la série
2
entière ^tn par elle-même. Nous savons alors que l’on obtient une sene
entière de rayon de convergence au moins 1. Plus précisément, si, pour n > 0,
onposea„= y, 1= y 1, alors, on a, pour t e ]—1,1 [,
K+L=n k2+(2=n
K,L carrés
+00	1	+00
= ^antn et g(t) = Y—^anin.
n=0	n=0
300
CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIERES
Si n > 0, a,, est alors le nombre de couples (k, t) e N2 tels que k2 + t2 - n.
Toujours d’après les règles du produit de Cauchy, on a, pour t e ] — 1,1 [,
I+OO \ / +00	\	+00	+00
Sz" 2Z =	+ ai +  • • + a„)r" = y, q+(jn)tn.
n-0 / \n=0	/	n-0	n=0
Pour obtenir un équivalent de g(t) en l-, on va remplacer q+(s/n) par son
équivalent trouvé en 1. Ceci est possible en vertu du lemme suivant :
Lemme. Soit (an)neN et (bn)n^ deux suites de R+ équivalentes. On suppose
+00
que r(t) = y, antn est de rayon 1 et que y an diverge.
H=0
+00
Alors bntn — s(t) ~ r(t).
n=0	t~,i~
Ce résultat classique fait l’objet de l’exercice 3.38. On obtient donc,
£0 4	4	4drb-J 4(1-r)2
On conclut que
s(,), Ci- ïôTTp • *
+00	2
On en déduit que ^tn ~ —X----------Notons que cela aurait aussi pu être
n=0	। 2v 1 — t
établi, comme dans l’exercice 3.36, à l’aide de la méthode de comparaison
+00	2	f+00	2
série-intégrale en reliant Y\tn et tu du. On trouve alors
n=o J®
+00
n=0
1
V- Inf
t->1
De cela on tire directement l’équivalent de g.
L’énoncé suivant concerne encore l ’étude asymptotique en 1 dans le cadre
d’une série lacunaire.
3.40.	Équivalent d’une série lacunaire
Soit (p„) une suite strictement croissante d’entiers naturels telle
+00
que n = o(pn). Montrer que l’on a (1 - x) y xp" —» 0, lorsque x —> 1“.
n=0
Étudier la réciproque. On pourra utiliser le théorème de Hardy-Littlewood
démontré dans l’exercice 3.44.
3.41- ÉTUDE ASYMPTOTIQUE EN +OO (1)
301
> Solution.
•	Soit e > 0. Par hypothèse on dispose d’un rang N tel que n < epn pour
n > N. Pour x e ]0,1 [ on a alors xPn < x . En coupant la somme en deux, on
a donc, pour tout x e]0,1 [,
+oo	N-1	+co N-1	£
^XP" <	=1>P"+ ----------N-
n=0	n=0 n=N n=0	1 — X e
On multiplie l’inégalité par 1 - x. Le majorant tend alors vers < e lorsque
x —> 1“. Il existe alors q > 0 tel que pourx e] 1 - q, 1 [,
+00
0 ( 1 - x) 22 xP" 2e
n=0
ce qui prouve le résultat.
•	La réciproque est difficile; elle est une conséquence du théorème
taubérien de Hardy-Littlewood (exercice 3.44) qui affirme que si (a„) une
+°°	i
suite réelle positive telle que y, anxn soit équivalent à lorsque x —» 1 ,
n=0
n
alors y ak ~ n lorsque n —> +oo.
k=o
+oo
Supposons que ( 1 - x) y xPn —» 0, lorsque x —» 1 “. Pour nous ramener
n=0
aux hypothèses du théorème, notons I = {pn, n e N} et J = N \ I. On a alors
(+oo	\
( i - x) 22 Jt” - ( i - y 22 j*7" 1= i _ o = i .
n=0	nel I
On considère la suite (a*) définie par ak - 1 si k e J et ak = 0 sinon. On a
donc
n	n
ce qui implique y ~ n. Or y a* = |J n [[0, n]] | - n + 1 - |I A [[0, «Bl,
k=0	n ’+o°	k=0
donc |I A [[0, n]]| = o(n). On remarque que n + 1 = |I A [[0, p„]]| = o(pn),
n—>+oo
ce qui implique n = o(pn) quand n tend vers +oo. <i
3.41.	Étude asymptotique en +oo (1)
302
CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIERES
> Solution.
+°° n
Posons /(x) = 2 pour tout x e R (la série entière a clairement un rayon
de convergence infini). On cherche à estimer asymptotiquement f au voisinage
de +00. On ne dispose pas d’un équivalent plus simple du coefficient nn, mais on
va plutôt chercher un coefficient du même ordre de grandeur tel que la somme
de la série entière associée se calcule. On pense alors à utiliser la formule de
Stirling qui affirme que ~	• Si on ne tient pas compte du terme V2ttn
au numérateur on a
+00 rn
gW = S ~ = e~‘
et g(x)* tend vers ei lorsque x —> +00. On peut espérer avoir la même limite
avec f et c’est ce que nous allons montrer.
nn
La suite -S—7 tend vers 0 donc elle est bornée par une constante C > 0. On
en!	r
a alors pour tout x > 0, g(x) - 1 < Cf(x). Pour avoir une majoration de f on
e«-l (n _ ni
décale l’indice : -------— est une suite qui tend vers 0 donc qui est bornée
par une constante C'. On a alors pour x > 0, /(x) C'xg(x) et on en déduit
l’encadrement
-T(SW “ 0* < /W" < C'-x-g(x)i.
Cv
Les deux termes de part et d’autre de l’inégalité tendent vers e> et on peut
conclure que lim /(x)* = eë. <1
x—>+00
3.42.	Étude asymptotique en +00 (2)
Existe-t-il g : R+ —» R+ telle que, pour toute fonction f : R —> R
somme d’une série entière sur R, on ait /(x) = o(g(x)) lorsque x —> +00 ?
▻ Solution.
La réponse est négative. Soit g une fonction quelconque de R+ dans R+. On
construit une fonction f somme d’une série entière sur R telle que f(k) > g(k)
+00
pour tout k e N*. On cherche f sous la forme /(x) = ao + y, a^x"*, où
k=l
la suite (ni,-) est une suite d’entiers naturels strictement croissante à choisir
de même que les réels que l’on choisira positifs. On a alors la minoration
f(k) > akknk pour tout k. Lorsque £ > 2, si le réel est choisi, on peut
prendre assez grand pour que afrknk > g(k). Le problème c’est que le
rayon de convergence de notre série entière doit être égal à +00. Pour cela, il
faut (et suffit) que akrnk tende vers 0 pour tout réel r > 0 et on est obligé de
3-43- théorèmes taubériens
303
lier ak ànk- Pour k > 2 on prend a* =	' La condition sur le rayon
de convergence est alors satisfaite, quelle que soit la suite (n*). La première
condition s’écrit alors j > g(k) et on peut bien trouver une suite
(nk)k>2 qui la vérifie pour tout k > 2. Si on veut on choisit alors ao et ai assez
grands pour que /(O) > g(0) et /(l) > g(l). <
Les théorèmes taubériens qui suivent énoncent des conditions sous les-
quelles une réciproque du théorème d’Abel radial (voir page 247) est valide.
En effet, celle-ci est fausse en général. Si on considère la suite de terme général
an = (-1)”, la série y anx” a pour rayon de convergence 1, sa somme,
égale à x 1, a pour limite quand x tend vers 1, sans que la série y an
converge. Nous avons regroupé ensemble plusieurs exercices posés à l’école
polytechnique, avec des hypothèses variées.
3.43.	Théorèmes taubériens
+00
Soit (an)neN une suite de C telle que f(x) = ^anxn existe pour
M=0
tout x e ] -1,1 [ et que lim /(x) = t e C. Démontrer que la série y an
X —>1“
converge et a pour somme t dans les différents cas suivants :
1.	an > 0 pour tout n G N ;
2.	an - o j lorsque n tend vers l’infini ;
3.	y, n|a„ |2 converge (dans ce cas le résultat est dû à Fejér) ;
aj + 2a2 + --- + na„
4.	lim ---------------------= 0.
n—»oo	n
▻ Solution.
1. Dans ce cas, la fonction f est croissante sur [0,1 [. Pour tout x G [0,1 [,
+00	N
on a donc, y anxn < { et, a fortiori, pour tout N g N, y anxn < t. En faisant
n=0	«=0
N
tendre x vers 1, on obtient y an < f. Ainsi y an converge et sa somme est t.
n=0
+00	+00
Mais, d’autre part, y an majore f sur [0,1], ce qui implique é < y an et
n=0	n=0
l’égalité voulue.
2. Soit e > 0. Il s’agit de prouver qu’on a ôn = If - y an| < e, pour N
1	n=0	1
assez grand. Pour ce faire, on effectue une découpe taubérienne ; on introduit
le terme /(x) et on choisit x convenablement, en fonction de N, pour contrôler
304
CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIÈRES
chaque terme. Soit donc x e [0,1 [ et
ôn = C - f(x) + /(x) - Y, an = { - /(x) + y anxn + y an(xn - 1)
n=N+l
D’après l’inégalité triangulaire, la série entière convergeant absolument sur [0,1 [,
on peut écrire
ÔN < K-/(x)|+ y |«„|x" + 2|a„|(l-x”)
+00	1 i	N
<K-/W|+ y -rpx" + (l -x)y |<2n|(l +X + • • •+Xn-1)
n=N+l W	n=0
1	t°°	N
< k-/(-ï)l + ^sup|nan| y x" + (l-x)yn|a„|
1X1 n>N	n=N+l	n=0
1	XN+1	N
< K-/WI + - sup \na„l----+ (1 - x) y n|a„|
N n>N	1 X	n_p
1	I 1 N \
< \t - /Wl + , _ , sup|na„| + (1 -X)N - y n|a„| .
Par hypothèse, sup n\an |-----> 0 et, en vertu du théorème de Cesàro,
n>N	N—>+oo
Il serait bon d’avoir (1 - x)N = 1. Rien ne nous en empêche : il suffit de
prendre x = 1 - jq • On a donc
1 N
+ sup |na„| + - y n\an\.
«S»N	M n=0
Comme lim /(x) = t, on a, pour N assez grand, 5n C e.
3.	Nous allons remettre en place la même idée, mais avec ces conditions,
la majoration est plus technique. Tout d’abord, pour utiliser l’hypothèse dans
nos majorations, nous allons naturellement introduire le reste de la série dont
+00
on sait qu’il tend vers 0 : pour N e N, on pose Rn = y, n\an|2. Un calcul
immédiat donne, pour n > 1,
Rn Rn+1
3-43- théorèmes taubériens
305
En reprenant les notations de la question précédente, on a toujours pour N e N
etx e [0,1 [,
+00	N
8n<|€-/(x)|+ y, |a„|xn + y |a„|(l
n=N+l	n=0
Occupons-nous du second terme. On écrit, à l’aide de l’inégalité de Cauchy-
Schwarz,
y Kl*"
\n=N+l
I+oo
y «knl
n=N+l
=Rn+i
On a clairement
+00 2n 1 +00	111
y ~ _L y u2)" = —J— =________________i-----<_____i____
x, n N £0	N(l-X2) N(l-x)(l+x) N(l-x)
On obtient donc
+00
Z \an\xn
n=N+l
Rn+i
N(1 -x)
Venons-en au troisième terme. On a, comme dans la question précédente,
N	N
y |a„|(l -x") < (1 -x) y n\an\.
n=0	n=l
On en déduit que
N	N
y |an|(l -x") (1 - x) y V«Rn - «Rn+I
n=0	n=l
/N	\1/2/N	\'/2
(1 -x) y<nR„ -nRn+i) Qj l2
\n=l	/ \n=l /
toujours d’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz. Un changement d’indice donne
N	N	N+l
y(/zR„ - ziRn+1 ) = y nR„ - y(n - 1)R„
n=l	n=l	n=2
N	N
= yR„-NRN+1 < yjR„.
n=l	n=l
306
CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIÈRES
Finalement, on obtient la majoration
N	/ N \1/2	/ 1 N \1/2
2>„|(l-x")<(l-x) £r„	Vn«(1-x)N -2Rn
n=0	\n=l j	n=l /
Là encore, tout nous pousse à prendre x - 1 - • Il vient alors
Ces trois termes tendent vers 0 lorsque N tend vers l’infini, le premier par
hypothèse et le troisième en vertu du théorème de Cesàro.
On a bien lim Ôn = 0.
N—>+00
1 n
4.	Cette fois-ci, il est naturel de poser pour n > 0, S„ = y, ka^ et So = 0,
Jt=i
ce qui conduit, pour n > 1, à
_ nSn - (n - l)S„_i e (n-l)c
~	^n-1-
n	n
On en déduit que, pour N g N et x e R,
N	N-l 1
Pour x - 1, on obtient 2 an = $n + X	Pour x dans [0,1 [, il vient,
n=l	n=l
en faisant tendre N vers l’infini, puisque lim Sn = 0,
N—>+co
+00 /	x
ftx) = a0+2 (i —rr) s«x"-
« + 1/
Pour simplifier, on pose, pour n e N, un = Il - I S„. Avec les mêmes
3 43- THÉORÈMES TAUBÉRIENS
307
notations que précédemment, on a, pour x e [0,1 [,
8n < IW(x)l +
N
Z(x) - y, an
n=0
<|f-f(x)| +
+00	N
ao + y Unxn - a0 - y an
n=l	n=l
+00	N	N
<i^-/(x)i+ y i«nix" + y unxn - y an
n=N+l	n=l	n=l
+00	/
Dans le second terme qui est égal à 2(1-
n=N+l '
par sup |S„| et on écrit
nÿN+1
\nxn, on majore |S„|
.n
X (1-x)x"+yri
m=N+1 \	«+ 1/
+00	i +00
y d-x)x” + i y x"+i
n=N+l	1X1 n=N+l
N+2	1
XN+1 +	j + __!___
N(l-x)	N(l-x)’
ce qui conduit à
1
y \un\xn < sup |S„| 1 + —	- ].
«SN+1	\	N(l-x)/
On exprime le troisième terme en fonction des Sn. On obtient
N	N	N	N-1
2 unXn — 2	= 2 unXn — Sn ~ 2 + ] Sn
n=l	n=l	n=l	n=l
N	NT	N 1
= 2 M«x"- n +1 $N ~ y
n=l	»i=l
M	N /	1	\	N ,
= -nttsn + Z k - dôs" *"+ y üttW - 0
n=l '	' n=l
m	N	N i
= -NTlSN + y ^-[(l-x)SMx« + y ^s„(x«-l) .
n=l	n=l
En remarquant, de nouveau, que |(x" - 1 )| < h( 1 - x), on en déduit que
N-1	N
y unxn -^an
n=l	n=l
N
< |SN| + 2(1 -x) y|S„|.
n=l
308
CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIÈRES
Finalement, on a
/	1	\	N
SN < K-/(X)| + sup |s„| l + ——---------- +|SN|+2(l-x)£|Snl-
n>N+l \	X) j	n=l
On est invité à prendre à nouveau N(1 - x) = 1, Le. x = 1 - et dans ces
conditions
1	/	1 \i	2 N
ôN<p-/ 1-- +2 sup |S„| + |SN| + - 2L |Sn|
1 V N'1 n>N+l	N „=l
1 N
En vertu du théorème de Cesàro, jq y, |Sn| tend vers 0 puisque Sn tend vers 0
n=l
et finalement Ôn ten<i vers 0. Ce qu’on voulait. <1
La question 2 est le résultat initial démontré par Alfred Tauber en 1897. En
1911, Littlewood démontra que la conclusion demeure avec l’hypothèse plus
faible an = û(h)-
On peut noter que les questions 2 et 3 ne sont que des cas particuliers
de la question 4. En effet, si an = o j la suite (nan) tend vers 0
et le théorème de Cesàro permet de dire que lim —--------------- = 0. La
n—»oo	n
convergence de y, n\a„ |2 implique également ce résultat. Pour le voir on utilise
l'inégalité de Cauchy-Schwarz. En écrivant ka^ = vfk'dka^, on a la majoration
n	I n I n
kak \ ïu k\l S
k=p+ï	5|k=p+l	\| k=p+i
On en déduit que pour p fixé et n p,
fat + '-' + nanl \a!+--- + pap\
------------------------------
n-----------------------------n
+00
où Rp = y est le reste d’une la série convergente. Pour e > 0
k=p+\
est donné, on choisit p de sorte que < e. Pour n assez grand on a
alors	+— +WQ”I 2e. Cela prouve bien que lim — ---------------- = 0.
n	n
L’énoncé suivant donne un autre résultat taubérien. Il montre, dans le cas de
coefficients positifs, que si la somme de la série entière est équivalente à । * x
en 1, alors la suite des coefficients tend vers 1 au sens de Cesàro. Hardy et
Littlewood se sont servis de ce résultat pour prouver le théorème des nombres
premiers. La démonstration donnée dans l’exercice est due à Karamata (1930).
3-44- THÉORÈME TAUBÉRIEN DE HARDY-L1TTLEWOOD (1Ç14)
309
3.44. Théorème taubérien de Hardy-Littlewood (1914)
1. Soit f : [0,1] —> R continue par morceaux et e > 0. Montrer qu’il
éxiste P et Q dans R[X] tels que P f < Q et f (Q - P) e.
J 0
+00
2. Soit (an) une suite réelle positive telle que y, anxn soit équivalent
n=0
à । lorsque x —» 1_. Montrer que pour f : [0,1] —> R continue par
morceaux on a
+00	a 1
lim (1 -x) ^a„xnf(xn) = / f
n=0	Jo
n
3.	Montrer que y, ~ n lorsque n —t +00.
*=0
On pourra considérer g : [0, 1 ] —> R nulle sur [0, | [ et telle que g (x) = |
sinon.
▻ Solution.
1.	Le résultat est facile pour une fonction continue puisque le théorème de
Weierstrass assure l’existence d’un polynôme R tel que \\f - R||oo $ e/2 et il
suffit de prendre P = R -1 et Q = R+1 pour avoir P^/^QetO<Q-P^e
donc a fortiori [ (Q - P) e. Mais si f n’est pas continue, on ne peut plus
•/ 0
l’approcher uniformément par un polynôme. Commençons par le cas d’une
fonction g en escalier. Il est facile de construire deux fonctions continues affines
par morceaux gi et g2 vérifiant gi < g g2 et / (g2 - Si) < e. La figure
J 0
suivante explique comment faire dans le cas d’un point de discontinuité pour g
et il suffit de reproduire la même démarche lorsqu’il y en a plusieurs.
Puis on choisit deux polynômes tels Q( et Q2 que Qi gj et g2 < Q2,
ainsi que / (g! - Qi) «S e et [ (Q2 - g2) < e. On a Qi < g Q2
Jo	Jo
et /’1(Q2 - Qi) 3e. Dans le cas général f peut s’écrire sous la forme
310
CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIÈRES
f = g + h avec g en escalier et h continue. On introduit gi et g2 comme avant
et on a g, + h < f =5 g2 + h et on fait de même.
2.	La question précédente invite à démontrer d’abord le résultat lorsque f
est un polynôme. Par linéarité de l’intégrale et de la limite, il suffit de le vérifier
lorsque f est un monôme de la forme x 1—> xp avec p e N. On a dans ce cas,
+00	+00	t
n=0	n=0	x 1
En multipliant par 1 - x on obtient une limite en 1 égale à = J" xpdx
Prenons maintenant f continue par morceaux. On fixe e > 0 et on choisit
deux polynômes P et Q comme dans la question précédente. Comme la suite
(an) est positive, on a pour tout x e [0,1 [,
+00	+00	+00
(1 -x)^anxnP(xn) < (1 -x)^anxnf(xn) < (1 - x) £ a,,xnQ(xn)
n=0	n=0	n=0
Le premier terme converge vers / P et le dernier vers / Q. De plus, on
Jo	Jo
a f	P < /*	f f	Q et f	(Q - P) C e donc f	Q < f	f + e et
Jo Jo Jo Jo	Jo Jo
/ P> / f - e. Pour x dans un voisinage de 1" on a donc
Jo Jo
p 1	+oo	p 1
/ /-2e < (1 -x)^anxnf(xn) < / / + 2e
0	„=0	Jo
ce qui prouve le résultat demandé.
3.	Appliquons le résultat de la question 2 à la fonction g suggérée par
l’énoncé. On a
[ g(x)dx = [ — = [Inx] 1 = 1.
Jo	J1 x e
e
Pour x e ]0,1[ le terme xkg(xk) est égal à 1 lorsque x* > | , c’est-à-
dire k < et est uul sinon. On évalue la fonction exactement au point
+oo	n
xn = e-1'n. On a alors X atxkg(xk) = X a^. Par composition des limites,
k=0	k=0	t
comme x„ —> 1, on a
(1 ~xn) 2 a* -------> 1
n~’+0°
Or 1 - xn = 1 - e-1/" ~ 1 lorsque n —> +oo ce qui démontre le résultat. <i
3-45- SÉRIE DE LAURENT À VALEURS ENTIÈRES
311
Les deux exercices suivants sont des applications du principe des zéros
isolés dont nous rappelons l'énoncé. Soit f la somme de la série entière y anzn,
définie sur son disque de convergence. S’il existe une suite (zp) de nombres
complexes non nuis tendant vers 0 tels que f(zp) = 0, pour tout p, alors an — 0,
pour tout entier n. En effet si (a„) n’est pas la suite nulle et an est le premier
coefficient non nul, alors f(z) ~ anzn au voisinage de 0 et pour p assez grand,
f(zP) * 0.
3.45. Série de Laurent à valeurs entières
Soit F(z) = bmzm + • •  + bxz + b0 + y b_[Z où	est
i>l
une suite de réels; on suppose qu’il existe A g R tel que F(z) existe
pour |z| > A.
1. On suppose que b\,.. ,,bm appartiennent à Q et qu’il existe N g N
tel que pour p entier, p > N implique F(p) e Z. Montrer que bo e Q et
que, pour tout i > 1, b-i =0.
2. Même question en ne supposant plus bi,..., bm rationnels.
▻ Solution,
m
1. Posons, pour z e C, P(z) = y biz‘ et G(z) = y b_jz‘, quand cette
1 = 1	!>1
série converge. Par hypothèse, G Q j existe pour |z| > A. On en déduit que le
rayon R de la série entière définissant G(z) est supérieur ou égal à (et R = +00
si A = 0). On a, pour tout |z| > A, l’égalité
F(z)=P(z) + />0 + Gp-V
\ z /
On se donne un dénominateur commun q à b[,..., bm. Pour p G N tel
que p > N, les réels qP(p) et <?F(p) = qP(p) + boq + qG ( J; j sont dans Z. On
en déduit que boq + qG j G Z. Mais nous savons que
lim boq + qG I — | = boq + <?G(0) = boq,
P—>+œ	\p j
car G, somme d’une série entière est continue sur	Une suite
convergente d’entiers est stationnaire. Il existe donc un entier N' > tel que l’on
ait G j - 0, pour p > N'. Ceci montre que boq g Z et donc que bo G Q. On
observe par ailleurs que la suite ( ) converge vers 0 et que, pour p > N',
\e / p^N'
312
CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIERES
onaG^j =0. D’après le principe des zéros isolés, la série entière qui
définit G a tous ses coefficients nuis : pour tout i > 1, b-, = 0. Ceci achève la
démonstration.
On a démontré qu’en fait, F est un polynôme. Celui-ci prend des valeurs entières
sur Z H [p,+oo[. Nous avons démontré dans le volume 1 (exercice 4.36) qu'un tel
polynôme est combinaison linéaire à coefficients entiers des polynômes de Hilbert.
2. Essayons d’aboutir à la même conclusion sans supposer que les b, sont
dans Q. Pour cela, nous montrerons que l’hypothèse F(p) e Z pour p > N
implique que bj e Q, pour tout (G [[1, mj, ce qui permettra de conclure grâce
à la question 1.
Posons, pour simplifier, ap - G pour p e N, p > A. Considérons le
polynôme Q = P+bo. Nous allons exprimer ses coefficients en fonction des ap.
Le polynôme Q est de degré inférieur ou égal à m et est donc déterminé,
pour p > N, par ses valeurs en p, p + 1,..., p + m. Il s’exprime en fonction
des polynômes Lp,Lp+i,... ,Lp+m, polynômes interpolateurs de base relatifs
au (m + l)-uplet (p, p + 1,..., p + m). Pour tout z e C, on obtient
n (x-»
p+m	p4j^p+m
Q(z) = Z Q(*)L*(z), où Lfc(X) = {ï •
k=p	11	J)
p^j^p+m
jtk
Pour commencer, intéressons-nous à bm, coefficient de Xm dans cette expres-
sion. On trouve
qw _ y_______________________ow_______________
k^p n (*“./) k^p (k - p)l(-V)P+m~k(p + m - k)\
p£j£p+m
Jtk
Q(p + y)(-i)m~y
On en déduit que
m	.lm\
m\bm = £Q(p+j)(-l)m-; .
j=0	w /
m	/m\	m	tm\
j=0	\J I	j=0	\J /
m	-lm\
Par hypothèse, up = X F(p + J)(-l)m JI . est dans Z pour p > N; la suite
j=0
(ap)p>N converge vers 0, donc (hp)p>n converge vers ml bm. C’est une suite
d’entiers ; elle est donc stationnaire. On obtient pour p > N', ml bm - up e Z.
Nous avons démontré que bm e Q, et plus précisément que m ! bm e Z.
3-46. CARACTÉRISATION DES FONCTIONS RÉELLES ANALYTIQUES
313
Nous sommes maintenant en mesure de démontrer que bi e Q pour
tout i g [[ 1,	, par récurrence sur m e N*.
Si m = 1, la démonstration qui précède montre que b] g Q; c’est terminé.
Supposons la propriété vérifiée au rang m - l,m > 2. Ce qui précède montre
que w! bm est dans Q. Posons, pour z > A,
m-1
F'(z) = m\F(z) - m\bmzm = X, bim\z' + V, bim\z‘.
1=0	i>1
On a, par hypothèse, F(p) g Z donc F'(p) G Z, pour tout p e H, p > N. La
fonction F' vérifie l’hypothèse de récurrence. On en déduit que bitnl G Q et
donc b, G Q, pour i G [[1, m - IJ. La récurrence est terminée.
On a donc, pour tout i G [[1, mj], b[ G Q et on peut conclure comme dans
la question 1. <1
Les trois exercices suivants concernent les fonctions analytiques réelles.
Rappelons qu 'une fonction f de classe C°° sur un intervalle I est dite analytique
si, pour tout xq g I, il existe un voisinage V de xq sur lequel f est égale à la
somme de sa série de Taylor en xq. Dans le lemme de l’exercice 3.56, il sera
démontré que la somme d'une série entière est analytique sur son disque ouvert
de convergence.
**3.46. Caractérisation des fonctions réelles analytiques
Soit I un intervalle ouvert et f : I —> R une fonction de classe C°°.
Montrer qu’il y a équivalence entre :
(i) f est analytique;
(ü) pour tout segment J c I, il existe des constantes C et r
strictement positives telles que
Vn g N, Vx G J, |/"(x)| Crnn\.
▻ Solution.
•	Montrons tout d’abord que (n) => (i). Soit xq g I et q > 0 tel
que J = [xo - r),xo + r|] cl. On fixe des constantes C et r telles que
Vn g N, Vx g J, |/"(x)| < Cr"n!.
On utilise la formule de Taylor avec reste intégral pour évaluer l’écart entre f (x)
et la somme partielle de la série de Taylor en xo, pour x proche de xq. On a,
pour x G J et n G N,
/(x) = È ^p^(x -x0)k + R„(x),
k=0
3U
CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIÈRES
avec
Ao «!
L’hypothèse permet de majorer le reste de la manière suivante : pour x > xq,
|R„(x)| < P* ~ f)nCrn+1 (n + 1) !dr - Crn+1 |x -xo|n+1.
Ao «!
On obtient la même majoration pour x < xo.
Ainsi, lorsque |x - xo| < min(p, q), Rn(x) tend vers 0. Par conséquent, f
est somme de sa série de Taylor en xo autour de xq. Cela vaut pour tout point xq
de I, donc f est analytique.
•	Montrons maintenant que (z) => (H). Cherchons d’abord à majorer
les dérivées successives de f au voisinage d’un point xq quelconque de I.
Par hypothèse il existe q > 0 tel que /(x) = y, -----p-^(x - xq)" lorsque
,1=0
f(n)(y X
|x - xo| q. En particulier, la suite -— } qfl tend vers 0 et on peut donc
trouver C > 0 tel que |/(n)(xo)| < Cn!rn pour tout n, où r = On va
en déduire une inégalité du même type valable sur tout un voisinage de xo en
augmentant les constantes C et r. Les dérivées de la fonction f sur ] xq - q, xq+q [
s’obtiennent en dérivant terme terme le développement en série de f. On a donc,
pour tous x e ]x0 - jfcxoAJlI et n e N,
fW A) =	- O  • • A - n + l)(x -xo)*-".
k=n K~
On en déduit que +oo
|/(n)(x)| < C k(k - 1)... (k - n + l)A|x - x0|*-"
k~n
+00
= Cr" 2 k(k - 1)... (k - n + 1)(r|x - x0|)fc-”.
k=n
Prenons alors |x - xo| <	- La somme de la série ci-dessus est majorée
+°o
par y, k(k-V).. ,(k-n + 1) kn. Or, cette somme se calcule facilement. Le
k=n	2
développement en série entière de -j-A~ sur ] -1,1 [ est y x*. Si on le dérive n
x	k=0
fois on obtient ( +oo
et il suffit d’évaluer cette expression en On obtient donc pour tout x tel
que |x - xo| < j et tout entier n,
|/(n)(x)| < Cr"n!2n+1 = 2C(2r)n«!.
3-47- étude d’analycité
315
On peut alors prouver la proposition (ii). Soit J un segment inclus dans I.
Ce qui précède montre que pour chaque point y de J on peut trouver des réels
strictement positifs qy, Cy etry tels que pour tout net tout x dans [v-îl_y,v+qv]
on ait |/(n)(x)| < Cy(ry)nn'.. Les intervalles	pour y variant
dans J forment un recouvrement ouvert de J. Comme J est compact, on peut en
extraire un sous-recouvrement fini par la propriété de Borel-Lebesgue. Si on
note y ।,... ,ys les centres des intervalles retenus, il suffit de poser C = max Cy,
et r = max ryi. On a alors, pour tout x de J et tout entier n, (x)| < Crnnl,
ce qui prouve (n). <1
L’exercice suivant étudie à quelle condition une fonction définie comme
somme d'une série de fonctions est analytique. Cela passe par une estimation,
assez délicate, des dérivées successives de la fonction.
3.47. Étude d’analycité
+00
Pour a > 0 etx G R on pose /(x) = y, sin(nx) exp(-n°).
n=l
1. Montrer que f est bien définie et de classe C°° sur R.
2. Pour quelles valeurs de a la fonction f est-elle développable en
série entière au voisinage de tout point ?
▻ Solution.
1.	On pose u„(x) = sin(nx) exp(-na) pour tout n > 1 et tout x e R. La
fonction u„ est de classe C00 et pour tout e N,
(k} , < k  I kn\ „
un W - n sin Inx + — 1 exp(-zz ).
On en déduit que, pour tout x e R, |u„fc\x)| < nk exp(-na). Pour tout
k e N, on a nk exp(-zza) -	) ^onc	f°ncti°ns y converge
normalement sur R. On en déduit que f est définie sur R et, en appliquant de
manière réitérée le théorème de dérivation des séries de fonctions, que f est de
+00
classe C°° avec pour tout k e N,	.
n=l
2.	Soit xq e D’après la première question on a, pour tout fc € N,
+00
IZ(*)(jc0)| < ^nk exp(-nû).
n=l
Le majorant est d’autant plus petit que a est grand. Pour avoir une idée de son
ordre de grandeur, commençons par regarder le cas particulier a = 1 à l’aide
316
CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIÈRES
d’une comparaison série-intégrale. On a
+00	+00 pn+l	p+oo
w* exp(-n) <	/	tke~^'~^ dz < e~} / tke~‘ dt
n=l	n=[ Jn	J
On a donc
fwM)
k\
sJ e 1 et on en déduit que la série 2 ~£T^(x _ xo)k
converge pour |x - xq| < 1- Montrons que sa somme est égale à f(x).
Pour |x - xq| < 1 et N e N, l’inégalité de Taylor-Lagrange donne
£=Q K.	IX,XOJ	^11 T LJ.
D’après ce qui précède, on a
max l/(N+1)||X/N*°L, < e-1|x-x0|N+1 -------------> 0.
[x,xo]	(N + l)!	N—>+00
On en déduit que
/W = 2j--------h----“ X°) •
k=0 K-
Comme xq était quelconque on en déduit que f est analytique sur R. Tout cela
reste a fortiori valable lorsque a > 1.
Supposons maintenant que a < 1. On va voir dans ce cas que la série de
Taylor de f en 0 a un rayon de convergence nul. On a pour tout k e N,
+00
n=l
De nouveau, on compare à une intégrale, mais cette fois en minorant. On obtient
+00 pn	/•+00
y(4Â:+1)(0) > £ / t*k+ie~^a dt>	('+!)“ dz.
n=l Jn-1	«A)
Essayons à nouveau de faire apparaître la fonction T d’Euler. Pour tout z > 0, il
existe c e ]z, t + 1 [ tel que (r + l)a - ta - aca~l. On a donc (z + 1)° - ta < a
si t > 1, car a - 1 <0. On a donc
/•+00	—a /•+00
/<4*+1)(0)> /	z4*+,e-'û-adz > — /	M^-'e-"d«
Ji	a Jx
p +00
> e~a /	u~° e~udu.
3-47- ÉTUDE d’analycité
317
avec le changement de variable u - ta. Comme l’intégrande est inférieure à 1
sur [0,1], on a
/4t+1)(0) > e~a P u-e-uàu-e~a > e~ar I—+ 1) - e~a.
Jo	\a I
On a
/<«"«», -/(M-1 -/(M
(4Æ+1)!	(4*4-1)! e (4Æ + 1)!
Déterminons le rayon de convergence de la série entière y UkXk. On sait que
pour tout entier n on a I’(n +1 ) = n ! et la formule de Stirling donne l’équivalent
T(n + 1) ~ nne~nsf2itn. En fait cet équivalent reste valide dans le cas continu
et on a (voir l’exercice 1.35 et la remarque qui suit)
r(x + i)

On en déduit, quand k tend vers +00,
------ ik-tA
(4* + D» J2jt* * 4* + 4	a e'^	,,,
+	a y a J e (4Æ+4) a a
(4k+5y.^[^	(4W^
4k
4 . I l\a	4	4	4 a
~ (4k)a 1 + — I (ae) a ~ a ° (4k) °
Comme £ - 4 > 0, on a donc lim = +00. Le rayon de convergence
de la série entière y, UkXk est donc nul. Il en est de même a fortiori de la
série entière y + ^xk et donc de y + ffx4k+1. Pour tout x e R,
la suite + ^x4,:+l j n’est pas bornée et a fortiori la suite k\^
f(*)(0) k
n’est pas bornée. Le rayon de convergence de y J x est nul. La série
de Taylor de f en 0 ne converge sur aucun voisinage de 0. Donc f n’est pas
développable en série entière au voisinage de 0.
Conclusion. La fonction f est développable en série entière au voisinage
de tout point si et seulement si a > 1. <J
Le résultat de l’exercice suivant est très classique. Il donne une condition
suffisante, due à Bernstein, pour qu’une fonction de classe C°° soit analytique.
318
CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIÈRES
3.48.	Un théorème de Bernstein
Soit I un intervalle non vide et f : I —» R une fonction de classe C°°.
On dit que f est absolument monotone sur I si f et toutes ses dérivées sont
positives sur I.
1.	Donner des exemples de fonctions absolument monotones.
2.	On prend I = ]a,b[ avec a < b. Montrer qu’une fonction
absolument monotone sur I est analytique c’est-à-dire développable en
série entière en tout point de L
3.	On suppose que I = ] -a, a [ et que f(2p^ > 0 pour tout p. Montrer
que f est développable en série entière en 0 sur ] - a, a [.
▻ Solution.
1.	La fonction exponentielle est positive et comme exp' = exp, toutes ses
dérivées aussi. Elle est donc absolument monotone sur n’importe quel intervalle
de R.
La fonction tangente est absolument monotone sur I = [0, ^ [. En effet, on
a tan' = 1 + tan2 > 0 et on montre alors facilement par récurrence que toutes
les dérivées de tan sont positives sur I. Il suffit pour cela de dériver n fois cette
égalité en utilisant la formule de Leibniz :
tan<"+1> = £ " tan<*> tan("-*).
k=0 W
2.	Soit f : ]a, b[—> R une fonction absolument monotone et xq € ]a, b[.
On va prouver que f est égale à la somme de sa série de Taylor en xo, sur un
voisinage de xo. Quitte à effectuer une translation de la variable (c’est-à-dire
remplacer f par /(x +xo)) on peut supposer xq = 0 et donc a < 0 et b > 0. On
pose alors, pour x g ]a, b[
k=0 K-
le reste d’ordre n. La formule de Taylor avec reste intégral donne l’expression
suivante de ce reste :
R„(x) = r^Zr^/("+1)«dr = ^ f\l-u)nf(n+l\xu)du.
Jo n'-	n\ Jo
Notons que ce reste est positif pour x > 0. Prenons q > 0 tel que
[-q, q] c ]a,b[ et x e [-q, q]. Comme f(n+r> est croissante (car f^n+2l
est positive), on peut majorer /^n+,^(xw) par /(”+1\qu) pour tout m g [0,1] et
comme ces termes sont positifs on a
f\l -w)"/(n+1)(xM)dM <	-w)n/("+1)(nM)dM.
Jo	Jo
3.48. UN THÉORÈME DE BERNSTEIN
319
Il en résulte donc que	. .n+i
ir,Wi < ÜL-R.tn).
qn+l
Il suffit maintenant de majorer R„(r|). Comme pour tout n, R„(t]) > 0,
les sommes partielles de la série à termes positifs y £T R sont toutes
majorées par f{q). Ainsi, cette série converge et a une somme /(n). Par
suite, on a R„(q) /(r) Pour tout n- L’inégalité
lR"«l <
montre alors que Rn(x) tend vers 0 pour tout x dans ] - q, q [. D’où le résultat.
3.	Posons g(x) = f(x) + /(-x) et h(x) = f(x) - f\-x) pour tout
x e ]-a, a[. À un facteur près, g est la partie paire et h la partie impaire de
f. Montrons que g et h sont développable en série entière sur ] - a, a[.
Les dérivées d’ordre pair de g sont positives sur ] - a,a[ et les dérivées
d’ordre impair sont des fonctions impaires, croissantes, donc positives sur [0, a [
(puisqu’elles sont nulles en 0). Ainsi g est absolument monotone sur [0, a[. Si
on effectue le même raisonnement que dans la question précédente, on peut
choisir q quelconque dans ]0, a [, ce qui montre que g est la somme de sa série
de Taylor en 0 sur tout l’intervalle [0, a [. Comme g est paire, ainsi que la somme
de la série de Taylor, on a pour tout x e ] -a, a [,
ygn(°)rH_n y/(2p)(0)r2P
à è (2P)!	’
Passons maintenant à h. On a /z("^(x) = /(,I^(x) + (-l)n+1/("\-x) pour
tout n et tout x. Ainsi,
|/t(2p)(x)|	f™(x)+f<2P\-x)=g<2P\x)
pour tout x. À l’aide de l’expression intégrale du reste de Taylor, on en déduit
que |R2p-1 (h, x) | < |R2p-1 (g, x) |. Cette expression tend vers 0 lorsque p tend
vers l’infini, puisque g est développable en série entière sur ] - a, a [. Cela suffit
pour conclure car R2P(/î,x) = R2P-1 (h, x), puisque h étant impaire. Ainsi,
+00
pour toutx g ]-a,a[, on a h(x) = 2 y,
p=0
/<2p+1)(0) ,.2n+i
(2p+l)!%	•
Finalement, on a, pour toutx g ]-a, a[,
1	±22 f(n)((T)
/W = z(g(x) + h(x)) = y -——-x‘
2	^0 n
et f est développable en série entière sur ] - a, a[. <1
320
CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIÈRES
Le résultat de la question 3 s’applique en particulier aux fonctions f
complètement monotones c’est-à-dire telles que (-1)*/^ > Qpour tout k. Ce
cas a également été proposé comme exercice d'oral.
L’exercice suivant démontre le principe des zéros isolés pour les fonctions
analytiques réelles.
3.49.	Principe des zéros isolés pour les fonctions analytiques réelles
Soit I un intervalle ouvert de R et f : I —» R une fonction analytique.
On suppose que la fonction f admet une infinité de zéros dans un segment
[c, d] de I. Montrer que f est identiquement nulle.
▻ Solution.
Par hypothèse, il existe une suite (Mn)n>o formée de zéros deux à deux
distincts de f appartenant à [c, d] et, quitte à la remplacer par une sous-suite,
on peut supposer que cette suite converge vers un point xq du segment [c, J].
Par continuité de f on a /(xq) = 0. Montrons que nécessairement toutes les
dérivées de f sont nulles en xq. En effet, si ce n’est pas le cas, en notant p le plus
petit entier tel que f^ (xo) + 0, on a /(x) =	(x _	~ xo)p
par un simple développement limité à l’ordre p. Ainsi,	tend vers une
limite non nulle en xq et le théorème de localisation permet de dire qu’il existe
un voisinage V de xq tel que /(x) £ 0 pour x e V \ {xo}. Cela est absurde
puisque les zéros un sont tous dans V pour n assez grand.
Posons alors E = {x e ]a, Z>[, Vn e N, f^(x) = 0}. On vient de voir que E
n’est pas vide. Comme f et toutes ses dérivées sont continues, il est clair que E
est un ensemble fermé (de ]a, b[). Enfin, si x e E, comme f est analytique, f
est identiquement nulle sur un voisinage de x et par conséquent E est aussi
ouvert. Supposons E ]a,b[ et considérons l’application f :]a,b[—> R
définie par /(x) = 1 si x e E et f(x) - 0 sinon. Alors f est continue car
E et ]a, è[\E sont ouverts. Mais ]a, b[ est connexe par arcs, donc son image
par f est aussi connexe par arcs donc est un intervalle, ce qui est contradictoire
avec /(]a, b[) = {0, !}• Donc E =]a, b[ et f est identiquement nulle. <1
Si ^anzn est une série entière de rayon de convergence R > Q et de
somme f alors, pour tout r e ]0,R[, la série ^Janrne,ne, dont la somme
est f(reld), converge uniformément par rapport à 0. Ceci permet de justifier
l’échange de l’intégration et de la sommation qui conduit à la formule de
Cauchy
1 r1*
anrn = — /	/(r?e)e-‘n0d0.
2k Jo
3.50. UTILISATION DE LA FORMULE DE CAUCHY
321
Ce résultat très important sera supposé connu dans tous les exercices qui
suivent. C’est un instrument puissant. Il permet de traduire une information
sur f en une information sur les coefficients an. Plus précisément, de la
connaissance de f sur le cercle de centre 0 et de rayon r, on en déduit les
coefficients an et donc la connaissance de la fonction f sur tout le disque de
convergence. On obtient en particulier les inégalités de Cauchy : si mr est le
maximum de |/(z)|, pour |z| = r, on a |an|r” < mr.
3.50.	Utilisation de la formule de Cauchy
+00
Soit (a„) e CN et g : z h y anzn. On suppose que le rayon de
n=0
convergence de g est au moins 1.
1.	On suppose que pour tout z e C, |z| < 1, on a Re(g(z)) > 0.
Montrer que pour tout n 6 N*, |a„| < 2 Re(ao)-
2.	On suppose que pour tout z e C, |z| < 1, on a |g(z)| < 1. Montrer
que, pour z e C avec |z| < A, on a y, |a„| |z|" < 1.
n=0
▻ Solution.
1.	Soit n e N*. Utilisons la formule de Cauchy : pour 0 < r < 1, on a
/»2jc
2xanrn = /	g(r?0)e“'n0d0.
Jo
Comme la série y aiirkelkde'ne = g(re'®)elnd converge normalement sur [0,2rc],
k=0
on a / g(re,0)e,n0d0 = 0. En sommant, on trouve donc
Jo
/•2ji
2nanrn = 2 / g(re'e) cos(n0)d0.
Jo
Si an est un réel positif, on obtient
itanrn = Re(nanrn) = / Re (g(re'9)) cos(n0)d0 < / Re (g(re'e)) d0,
Jo	Jo
puisque Re (g(re10)) > 0 pour tout 0. Toujours par la formule de Cauchy, on a
/•2k
I Re (g(re10)) d0 = 2jtRe(ao)
Jo
322
CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIÈRES
ce qui donne nanrn < 2tt Re(ao)- En faisant tendre en faisant tendre r vers 1,
on obtient 0 < an 2Re(ao)-
Dans le cas général, on écrit an = |an|e'“ et on pose g(z) = g(e~ttz). La
fonction g vérifie les mêmes hypothèses que g. De plus, le w-ième coefficient
de son développement en série entière est \a„ | et son coefficient constant est ao-
En appliquant ce qui précède à g, on obtient |a„| <2 Re(ao)-
2.	Soit 0 tel que ao = |aol^'0. On applique la question précédente à la
fonction h : z •-» 1 - e~'°g(z). L’hypothèse sur g entraine que Re(/i) > 0
+0°
sur le disque ouvert unité. Comme h(z) = 1 - |«ol - 5] e~lQanzn, la première
n=l
question donne |an| 2(1 - |aol) pour n 1, ce qui permet d’écrire, pour
|z| < 3,
2 IMzl" |aol + 2(1 - |a0|) È è = lflol + -* —a,°x- = 1. <
n=0	^ï3	3(1-3)
Outre la formule de Cauchy donnant les coefficients an sous forme intégrale,
l’exercice suivant utilise aussi le principe des zéros isolés.
3.51.	Nullité sur un arc du cercle de convergence
On pose D = {z eC, |z| < 1}.
1.	Soit f : D —> C continue sur D, développable en série entière sur D
et nulle sur le cercle unité S1. Montrer que f est nulle.
2.	Même question en supposant seulement f nulle sur un arc du cercle
unité de longueur a > 0.
▻ Solution.
+00
1. Posons f(z) = 7, anzn pour |z| < 1. On a pour tout n e N et 0 < r < 1,
n=0
1 r2,t
anrn = - / f(re‘e)e^in6dQ.
2n Jo
Dans cette relation on va faire tendre r vers 1. Comme f est continue sur
le disque fermé D on a f(re'6) —> f(e,e) = 0 lorsque r —> 1, pour tout
0 e [0,2TT J. On peut alors appliquer le théorème de convergence dominée en
prenant pour fonction de domination la fonction constante 0 1-» ||/||«,. On a
donc an = 0 pour tout n et il en résulte que f = 0.
2. L’idée est de construire à partir de f une fonction g vérifiant l’hypothèse
de la question 1 en faisant « tourner » l’arc de longueur a pour recouvrir tout
le cercle S1.
3-52. SÉRIE ENTIÈRE À COEFFICIENTS ENTIERS, BORNÉE
323
n
Posons g(z) = J*] f(e‘kaz), où n est choisi de sorte que na > 2jt. La
k=0	_
fonction g est continue sur D, développable en série entière sur D, car chaque
application fk : z 1—> f(e‘kaz) l’est, et s’annule sur S1 (car si m e S1, alors
il existe k tel que fk(u) = 0). D’après la question 1, la fonction g est nulle.
Pour tout p e N*, on a g = 0 ; il existe donc un entier k e [[0, n - IJ tel
que f e'j = 0 pour une infinité de valeurs de p. Le principe des zéros isolés
permet d’affirmer que la fonction z 1—> f(ze'ka) est nulle sur D, c’est-à-dire
que f est nulle sur D, puisque zelka décrit D quand z décrit D. Par continuité,
la fonction f est nulle sur D. <
3.52.	Série entière à coefficients entiers, bornée
Soit (a„) une suite de Z telle que la série '^Janzn ait un rayon de
+00
convergence R > l.On pose /(z) = y, anzn pour |z| < 1 et on suppose
n=0
que f est bornée sur le disque ouvert D = {z e C, |z| < 1}.
1.	Soit r e ] 0,1 [. Montrer que
+00	1	/• 2tu
^ap\2r2p = ^r |/We)i2d0.
p=o	2jt Jo
2.	Montrer que f est un polynôme.
▻ Solution.
------------------------------------------------- +00	--------
1.	On a, pour tout 9, \f(rei0)\2 = /(re,e)/(re/e) = y anrneinef(reiQ).
n=0
Comme la fonction f est bornée sur D la série converge normalement par
rapport à la variable 0 sur le segment [0, 2k] et on peut faire une intégration
terme à terme :
Onutiliseànouveaulasérieentièrepourécriree1M0/(re'e) = y aprpel^n p)0.
p=0
Il y a encore convergence normale en 0 et on peut intégrer terme à terme. Seul
le terme pour p = n donne une intégrale non nulle et on obtient
2n	+00	+00
|/(re'e)|2d0 = y anâ^r2n = X |an|2r2rt.
n=0	n=0
324
CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIÈRES
Il s’agit de la formule de Parseval pour la fonction 0 1—> /(re10).
2.	Soit M un majorant de \f | sur le disque ouvert unité. On a, pour
tout r e ]0,1[, la majoration y, |aP|2r2p M2 et donc, pour tout N e N,
p=0
N
la majoration y \ap\2r2p M2. En faisant tendre r vers 1, on en déduit
p=0
n
que y \ap|2 < M2, pour tout N e N. Ainsi la série y |an|2 converge et par
p=0
conséquent la suite (a„) converge vers 0. Les an étant des entiers, cela implique
que tous les an sont nuis à partir d’un certain rang. La fonction f est donc un
polynôme. <
Soit f une fonction entière (c’est-à-dire développable en série entière avec
un rayon de convergence infini) et bornée sur C. De la formule de Cauchy, on
déduit que, pour tout n e N et tout r > 0,
/ f(reiQ)dü
r Jo
< -4h/h
rn
En faisant tendre r vers l’infini, on obtient que a„ = 0 pour n > 0 et donc que f
est constante. On a démontré le théorème de Liouville : une fonction entière et
bornée sur C est constante.
L'exercice suivant montre que cela reste vrai si on suppose seulement la
partie réelle de f bornée.
3.53.	Fonctions entières de partie réelle bornée
+00
Soit f(z) = y anzn la somme d’une série entière de rayon de
convergence +00. On pose m f(r) = sup |/(z)| et a f(r) = sup | Re /(z)|
|z|=r	|z|=r
pour r > 0.
1.	Soit 0 < ri < r2. Montrer que
™/(n) < 2ri af(r2) + r2+r' |/(0)|.
ri - ri	r2-ri
On pourra se ramener au cas /(O) = 0.
2.	On suppose qu’il existe M tel que, pour tout z e C, |Re(/(z))| < M.
Montrer que f est constante.
3-53- FONCTIONS ENTIÈRES DE PARTIE RÉELLE BORNÉE
325
▻ Solution.
1. On va commencer par chercher une majoration des coefficients ap en
fonction de la quantité a/(r). Pour cela, on va utiliser une expression intégrale
de ap faisant intervenir la fonction Re f.
+00
Pour r > 0 et 0 e R, on a /(re10) = ctnrneinQ et donc
n=0
1 +00
Re/(rc10) = - £r"(a„e‘"e +â„e-'"e).
2 n=0
On en déduit que, pour tout p e N,
1	+00
e-'>0Re/(r?0) = - ^rn(anei(n-p^ +âne~i(n+p^).
2	n=0
La série y, |a„ |r" converge, donc la série qui définit e~tpS Re /(re'0) converge
uniformément par rapport à 0, ce qui justifie l’interversion de l’intégration et
de la sommation dans ce qui suit. Pour p e N*, on a
/•2k	i +oo /»2k
/ e-'p9Re/(re10)de =-Vr" / (anei('l-p)e + âne-'(n+p)e)d0
JO	2 n=0 Jo
= nrpap,
ifl
car / e"CBd0 = 0, pour tout k e Z* ; il y a donc un seul terme non nul dans
Jo
cette somme, celui qui correspond à n = p.
On en déduit, pour tout p e N*, la majoration suivante :
/•2n
7trp|ap| /	| Re/(re'e)|d0 27tay(r),
Jo
> . ' j- ।	। 2ûf(r)
c est-a-dire |ap| < ——
Supposons d’abord que /(O) = 0, c’est-à-dire que ao - 0. Soit 0 < ri < r2.
On applique les inégalités précédentes avec r - r2. La série géométrique de
terme général j converge, donc on peut écrire, si |z| = n,
+oo	+oo	7 \ n
l/(z)l <	<2fl/(r2)£	£ ,
n=l	n=l	v '
|/(z)| < 2af(r2)-^- = af(r2)_2n_.
r2
Cela étant vrai pour tout z de module r,, on conclut que
wy(ri) < fl/(r2) 2r‘ •
r2 — r 1
326
CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIÈRES
Dans le cas général, où on ne suppose plus /(O) = 0, on considère la fonction
g définie par g(z) = f(z) - /(O). Elle vérifie l’inégalité précédente. De plus,
on a, pour |z| = n, |/(z)| < |g(z)l +1/(0)| et donc mf(rf) « mg(r}) + |/(0)|.
On obtient de même, pour |z| = r2, Re(g(z)) = Re(y(z)) + Re(/(0)), d’où l’on
tire |ag(r2)|	|a/(r2)| + |Re(/(0))| < |a/(r2)| + |/(0)|. On obtient alors, à
partir de ces différentes inégalités
mf(rf) < mg(ri) + |/(0)| < ~^—ag(r2) + |/(0)|
r2 - rj
C 2r' ay(r2) + ^^•|/(0)|,
f2 - O	r2 - ri
ce qui est l’inégalité demandée.
2. On se ramène à une fonction nulle en 0, en considérant à nouveau
la fonction g définie par g(z) = /(z) - /(O). On a, pour tout z e C,
| Re(g(z))| < M', où M' = M + | Re(/(0))| et pour tout r > 0, ag(r) < M'. Si
0 < ri < r2, on a, d’après la question précédente,
/ x . 2ri
Wîg(ri) < ------M •
r2 - ri
En faisant tendre r2 vers +00, on obtient, pour tout ri > 0, mg(ri) < 0 et donc
mg(ri) = 0. La fonction g est nulle sur tous les cercles de la forme |z| = ri et
elle est nulle en 0. C’est la fonction nulle. La fonction f est donc constante. <1
+OO
Si f est une fonction entière, /(z) = V, anzn, un contrôle des coefficients
n=0
an permet un contrôle de \f (z) | lorsque |z| —» +00. Les formules de Cauchy
permettent, inversement, de contrôler les coefficients an si on dispose d’une
estimation de \f (z) |. L’énoncé suivant donne un exemple de cette équivalence.
3.54.	Domination par une exponentielle
Soit (an)neN une suite de nombres complexes. On note R le rayon de
convergence de la série entière y, fpZn et /(z) sa somme. Soit f un réel
strictement positif. Montrer l’équivalence entre :
(i)	pour tout t' > t, il existe «o 6 N* tel que t' pour n > no ;
(ü) R = +00 et pour tout C > f, il existe ro > 0 tel que ln
pour |z| > r0.
> Solution.
•	Supposons la propriété (1) vérifiée. La suite (->/|an|) est majorée par M.
On a, pour tout z 6 C et tout n g N*, |^yz”| < M-^y- donc ^yz" converge
absolument. Le rayon de convergence de la série est donc +00.
3.54- DOMINATION PAR UNE EXPONENTIELLE
327
Étant donné t' > t, choisissons f" e ]t, t'\. Soit «o tel Que I <
pour n > no. On a alors, pour tout z e C,
= P(|z|) + Z"|z|,
où P est un polynôme. On en déduit, que pour tout z e C, on a
ln|/(z)| < ln (P(|z|) + ef"|z|) < ln ( 1 + P(|z|)e~fJ,lzl)
|z|	"	|z|	"	+	|z|
ln (1 + P(x)e { )
Sachant que lim t +------------------------= t < t, il existe ro > 0 tel que
X->+00	X
l’on ait, pour |z| > ro,	£'.
1^1
•	Supposons maintenant que (») soit vérifiée. On exprime classiquement
les coefficients an sous forme intégrale. On a, pour r > 0 et n e N,
f 2it
W =	/ /(re'9)e-'n9d0
2jtrn Jo
<	\f(reie)\dQ.
2nr” Jo
Soit C > (. Considérons t" e ]f, t’\. Il existe ro > 0 tel que, si |z| > ro,
alors *n t" et donc |/(z) < ee De ce qui précède, on déduit que,
pour r > ro, on a, pour tout n e N,
n!
2itrn
/•2k
/ ee' rd0 < nlr~nee r
'0
Le minimum de la fonction r 1—> r net 'r est obtenu pour r = et vaut
(^t) . Pour n > rot", on a |a„| < ni (^j et donc < <n! (^re-
cherchons un équivalent du second membre. La formule de Stirling nous
donne ni ~ (-) V2Ïtn. On en déduit que tfnî ~ -(2itn)& ~ -,
n^oo \g/	n—>ao g	n—too g
puis que
En particulier, il existe un entier no tel que	C t' pour n > no- On en
déduit que < t' pour n > «o- <
Dans l’exercice 3.26 on a vu qu’une fraction rationnelle complexe dont 0
n’est pas pôle est développable en série entière en 0 avec un rayon de
328
CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIÈRES
convergence égal au plus petit module des pôles de f. Il est aisé d’en déduire
la première question de l’énoncé suivant, à savoir qu’une fraction rationnelle
f est analytique sur son ouvert de définition, c’est-à-dire développable en série
entière au voisinage de tout point qui n’est pas un pôle. La suite de l’exercice
démontre le principe du maximum pour une telle fonction.
3.55.	Principe du maximum (1)
Soit f une fonction rationnelle qui n’a pas de pôle dans le disque fermé
D(c, R) de centre c et de rayon R et zo € D(c, R).
1.	Montrer que f est développable en série entière au voisinage de zo ;
quel est son rayon de convergence ?
2.	Soit (an)n<=N les coefficients du développement en série entière.
Calculer en fonction des an, pour r assez petit,
1	f2’1
z- /	|/(zo + n?,0)|2de.
2k Jo
3.	Prouver que \f | atteint son maximum sur D(c, R) en un point de la
frontière.
▻ Solution.
1.	Comme zo e D(c, R), il n’est pas pôle de f. Considérons la fonction
g définie par g(z) = f(z + Zo)- C’est encore une fraction rationnelle et 0 n’en
est pas pôle. On sait alors que g est développable en série entière en 0 avec
un rayon de convergence égal au plus petit module de ses pôles. Cela revient
exactement à dire que f est développable en série entière en zo avec un rayon
de convergence R' égal à min |zo — a| où a parcourt les pôles de f.
+00
2.	On écrit, pour |z - z0| < R', f(z) = X an(z - zo)n. Si r e ]0,R'[,
n=0
4-°°
on obtient f(zo + re'0) = y, anrnetnG. La fonction 0 1—> f(zo + re‘G) est
n=0
continue et 2rc-périodique donc bornée. La série X f(zo + relG)â^rne~,nG est
donc normalement convergente de somme |/(zo + re'e)|2. On en déduit
/• 2k	4-00	p 2n
/ lf(zo + re'e)l2 = ^â^r" / f(zo + re‘°)e~'"e.
Jo	n=0	Jo
De nouveau, la série étant normalement convergente, on a, pour n e N,
z-2it	<-2it +00
/	f(zo + reiG)e~inGde= /	2r/’ape/(p-n)0d0
Jo	Jo	p=0
3.56. PRINCIPE DU MAXIMUM (2)	329
+00	/» 2rc
= y rPaP / e'<p’")ed0 = 2nanrn.
P=o	Jo
On a donc
2k	+00
|/(zo + relQ) |2 3d0 = y, \an\2r2n.
n=0
La résultat démontré dans cette question est la formule de Parseval déjà rencontrée
dans l’exercice 3.52.
3.	Le disque fermé D(c, R) étant compact, la fonction continue \f | y atteint
son maximum. Supposons que ce maximum soit atteint en un point du disque
ouvert D(c,R). On prend pour zo un tel point et on applique ce qui précède.
Pour r > 0 assez petit, on a donc,
2k	i />2k
l/(z0 + re'0)|2dO < — /	|/(Z0)|2d0 = |/(z0)|2 = |a0|2.
2ît Jo
On obtient donc
+oo
y r2"|a„|2 « |a0|2,
n=0
ce qui tinfinité de fois la valeur ao, est donc constante. Mais alors |/| atteint son
maximum en tout point et donc en particulier sur la frontière de D(c, R). <
Le lecteur notera que le même raisonnement s’appliquerait à toute fonction
f continue sur D et analytique sur D. Le maximum de \ f\ sur le bord de D est
égal au maximum de \ f\ sur D. Ce résultat est une des formulations possibles
du principe du maximum.
3.56. Principe du maximum (2)
Soit D = {z e C, |z| < 1} et f : D —> C continue et développable en
+oo
série entière sur D. Pour |z| < 1 on pose /(z) = X anzn-
n-0
1. Montrer que pour tout n, on a
i r2lt
an - z- / f(ei0)e~in6d&
Jo
2. Montrer que max |/(z)| = max |/(z)|.
zeD	|zl=l
3. Montrer qu’ il existe K > 0 indépendant de f tel que pour tout n > 2,
n
k=0
< KH/Hoolnw.
33°
CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIÈRES
▻ Solution.
1.	Soit n e N. Pour 0 < r < 1 on peut écrire la formule de Cauchy (voir
page 320)
1	f2’1
an =	/	/(re'e)e-‘"0d0.
27tr" Jo
Dans cette relation on va faire tendre r vers 1. Comme f est continue sur
le disque fermé D on a /(re'e) —» /(e10) lorsque r —> 1 et ce pour tout
0 e [0,2it |. On peut alors appliquer le théorème de convergence dominée en
prenant pour fonction de domination la fonction constante 0 >-> ||/||«,. On a
donc l’égalité souhaitée.
2.	Comme D est compact et z 1—> | f(z) I est continue, cette fonction atteint
son maximum en un point zo et on a |/(zo)| = max |/| > max |/| puisque
_	D	S1
S1 = {z g C, |z| = 1} est inclus dans D. Supposons que |zol < 1 sans quoi la
question est résolue. Alors f est développable en série entière en zo, comme le
montre le lemme suivant.
Lemme. Soit f une fonction somme d'une série entière de rayon de convergence
R > 0, éventuellement infini. Alors f est analytique sur D(0, R), c’est-à-dire
développable en série entière au voisinage de chacun de ses points.
+00
Démonstration. On suppose que /(z) = ya„z", pour |z| < R. Soit
n+0
zo g D(0,R) et h dans C tel que \h\ < R - |zol- On a |zo + h\ < R par
inégalité triangulaire. On peut donc écrire
+00	+00 n / jl\	+00 +00
/(zo + h) = y, fl„(zo + h)n = y an Z	= Z Z
n=0	n=0	Jt=O \nl	n=0 k=0
lk\ 1,
oùa„,t = a„l |zq hKsik neta^„ = 0 sinon. Montrons que (a^,,)^ ^^
est une famille sommable. Pour n fixé, on a
+°°	n	/JA
Z l<wl = Z Kl	Izol"-* 1*1* = KKIzol+1*1)”-
fc=0	k=0	\nl
Or|zol + |^l < R et le rayon de convergence de y Klz" est également R donc la
série de terme général \an | (|zo I +1 /i|)n converge. Ainsi la famille (ajfc.rJtn.itjeN2
est sommable. Par le théorème de Fubini on obtient
+00 +00	+00	/ +00	/»	\	\
/(zo + = y y anJt = y	z	U*.
k=0 n=0	k=0	\n=k	\nl	)
+°°	IjA	.
Si, pour tout k, on note bt = y a,J Zq * (cette série est absolument
n=k \nl
+00
convergente), on a /(zo + h) = y bkhk pour |A| < R - |zol- Ainsi / est
k=0
développable en série entière en zo avec un rayon de convergence > R - |zo|. □
3.56. PRINCIPE DU MAXIMUM (2)
331
En particulier si R = +oo, alors en tout point zo e C le développement en série
entière de f en zo est valable sur C tout entier.
Il existe donc une suite (£>n) de complexes telle que, pour tout h tel
que |/i| < 1 - |zoI on ait
+00
f(z0 + h) = ^bnhn.
n=0
Pour se ramener au cadre de la première question , on peut remarquer que la
fonction h h-» f(zo + (1 - |zo\)h) est continue sur D et développable en série
entière sur D. On a donc, pour tout n,
1 f 2lt
bn = ~ /(Zo + (l-|zo|)?0)e-i"ed0.
Jq
En particulier cela est vrai pour n - 0 et on a donc
i r2,t
max|/| = |/(zo)l < z- / l/(zo + (1 - kol)e'e)|d0 max\f\.t
D	JO	D
On a donc égalité de tous les termes et la fonction 0 i—> |/(zo + (1 - |zol)e'0)I
est donc constante égale à max |/|. Si on prend pour 0 un argument zo, on a
D
alors zo + (1 - |zol)e10 = e‘e. On dispose donc d’un point du cercle unité en
lequel |/| atteint son maximum sur D, ce qui démontre le résultat.
3.	Cette question est une autre application des relations démontrées dans
la question 1. En sommant ces relations, on obtient une expression intégrale
des sommes partielles :
« If’1
=	/(e'9)Sn(-0)d0
to	231J-*
n -pa 1 _ ,,i(n+l)8
où S„(0) = 2j e = 1—~—ïê— 0a dernière égalité lorsque 0 n’est pas nul
k=0	1 — e
modulo 2ir). En majorant le module de l’intégrale on obtient donc
I . (n +1)01	I . (n+l)0|
" |sin~^—ldQ = n/ik r |sin—r~ld0
n sin	71 Jo sin ®
n
k=0
la dernière égalité découlant de la parité de la fonction. On minore le sinus
du dénominateur par l’inégalité de convexité sinw > pour 0 < m et
ensuite on fait le changement de variable t =	. Qn obtient
t°k
k=0
(n+1 )k
< 211/Hoo f 2 * * * * * * ^d/
Jo t
332
CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIÈRES
L’intégrale est bien un O(ln n), puisqu’elle se majore par
f1 Isintl , r ^dt	, (n+l)tt
I -------dt + /	— - O( 1 ) + In 2—--= O(ln n)
Jo t Ji t	2
et il existe donc une constante K > 0, indépendante de la fonction f, telle
que a J < KII/Hk, In n pour tout n. <
k=0 1
L’exercice suivant, qui étudie diverses normes sur l’espace des fonctions
développables en série entière avec un rayon de convergence R, démontre le
principe du maximum dans le cas général par une méthode différente.
3.57. Principe du maximum (3)
Soit / (z) = y anz" une série entière de rayon de convergence R > 0.
77=0
+OO
Pourp e ]0,R[, on pose Ni,p(/) = y, |an|p”,
n=0
/ +°°	\ 1 /2
N2,p(/) = (2 i««l2P2” ) et Noo,p(/) = sup |/(z)|.
Vn=0	'	|z|=P
1. Montrer les inégalités suivantes :
No.pC/-) < N1,p(/), N2jP(/) < Noo.pCH,
etpourO < 8 < R- p, Ni,p(/) < N2,p+s(/)	P—5
<5(2p + ô)
2. Soitp e ]0,R[;onpose«n = (Ni,p(/n))1/netu„ = (N2,p(/"))1/n.
Déterminer les limites des suites (wn)n>i et (un)n>i- Montrer que N«,?p(/)
est une fonction croissante de p.
t> Solution.
1. La série définissant f converge normalement sur le cercle de centre 0 et
de rayon p, ce qui entraîne l’existence de N]iP(/) et a fortiori celle de N2,p(/);
puisque |a„|2p2" = o(|an|p"). L’existence de	résulte de la continuité
de f et de la compacité du cercle {z e C, |z| = p}.
+00
Pour tout z tel que |z| = p, on a |/(z)|	2 l“nIp" Ni,p(/)> ce qui
71=0
montre que NooiP(/) Ni>p(/).
3-57- principe du maximum (3)
333
La formule de Parseval (voir exercice 3.55, question 2) permet d’écrire
+00	I pin
(N2,p(/))2 = S |an|2p2" = — / l/(pe10)|2d0
^0	2n Jo
et donc
(N2,p(/))2	— /	(Noo,p(/))2d0 = (Nm.(1(/))2,
2k Jo
c’est-à-dire N2>p(/) < N«,,p(/).
+00	n
Enfin, pour 0 < 8 < R - p, on écrit NiiP(y) = y, |a„|(p + 8)'1 x y—Tgwr
n=0	1P '
et on applique l’inégalité de Cauchy-Schwarz. On obtient
, +00	1 +00 2n . 1
p + 5
^N2.p+5(/)—--------= •
Vô(ô + 2p)
2. Montrons que la suite (un) converge vers NooiP(/). On va utiliser les
inégalités de la question 1. On a d’une part N«,iP(/) = (N„iP(/")) " < un, et
d’autre part, pour 5 g ]0, R - p[,
c (N2,p+5(r))"(-^-p-+5 )" < (Noo,P+6(r))"(-7p+5 )"
'	’ VVÔ(2P + 5)' V	’ VVô(2p + 8)/
VV8(2p + ô)/
Montrons que la fonction p 1—> Noo>p(/) est continue sur ]0,R[. Fixons
ô0 g ] 0, R - p [. La fonction f est uniformément continue sur le disque fermé D
de centre 0 et de rayon p + 8q. Pour tout e > 0, il existe q g ] 0, ôo [, tel que, pour
tout (z, z') 6 D2, |z - z'| < q implique \f (z) - /(z')l < e- Si p' 6 ]0, p + ô0[
est tel que |p' — p| < q, alors, pour tout 0 G R, on a |/(p'e‘e) - f (pe'e)| < e
et donc
l/(pVe)|^|/(pe/e)|+e<N«,,p(n + e.
Ceci étant vrai pour tout 0, on en déduit que que Nco,P'(/) < NooiP(/) + e.
Pour des raisons de symétries, on a NcoiP(/) NoojP'(/) + e et donc
finalement |Noo,P' (/) - NM-P' (/) | «S e, ce qui démontre le résultat voulu.
On a donc lim NOT d+ô(/) = NM p(/). Soit e > 0. On choisit un réel
Ô—»0+
5 g ]0, R - p[ tel que Noo,p+6(/) < Noo,P(/’) + e, si bien que
(o \ n
p + .
V6(2p + 5)/
334
CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIÈRES
pour tout n e N. Le membre de droite de cette inégalité tend vers N0OjP(/) + e,
quand n tend vers +00. Il existe donc no e N tel que, pour n > no,
1
IR \ n
. P+-	<^(7)+ 2e.
V5(2p + ô)/
On a alors Noo,p(/) C un < Noo,p(/) + 2e si n > no- Ceci démontre que
lim h„ = NoonCf).
n—»+oo
Montrons que (e„) converge vers la même limite. La méthode est la même
que pour (un). Supposons 6 < p. En remplaçant p par p - 6 dans la dernière
inégalité de la question 1, on obtient
Noo,P_6(r) < N1>p_6(r) « n2,p(/”)	p_8),
Noo,p-6(/")-^-^—< N2,p(D Noo.pCT),
M l f\ I V5(2p “ 5)	XT l fX
Nco,p_6(/) I p I fn N„,p(/).
Soit e > Oet 5 e ]0, min(p,R-p)[ telqueNoo>p_5(/) > Noo>p(/)-e. Sachant
.. / V8(2p - 6).
que lim ----------- = 1, on aura
n—»+oo\	r /
Noo.p-sC/)^ p / Noo>P(7) 2e
et donc Ntx, p(/) - 2e =5 un < Naj>p(/), pour n assez grand, ce qui démontre
que la suite (y„) converge vers Noo?p(/).
D’après la question 1, on a, pour Ô e ]0,R - p[,
et donc	!
1	1 / o + 8	\ "
(n,.,(/"»« (N2,p.s(r»-	•
D’après ce qui vient d’être démontré, le membre de gauche de l’inégalité,
qui est égal à un, tend vers Nco p(/) quand n tend vers +00. L’expression
(N2,p+5(fn)) ", qui est la valeur de vn obtenue quand on remplace p par p + ô,
, +g ,±
tend vers NCOiP+g(/). Enfin, ( p-= ) " tend vers 1. On en déduit, en faisant
+ 2p) '
tendre n vers +00, que Noo,p(/) < Nco>p+g(/) : la fonction p 1—> Nœ ,p(/) est
croissante. <
3.58. EXTREMA D’UNE FONCTION ENTIÈRE
335
De la croissance de la fonction p 1—> NM,p(/), découle directement le
principe du maximum : pour p e ]0, R[,
max|/(z)| = max|/(z)|.
|z|<P	|z|=p
On retrouve notamment le résultat de l’exercice précédent.
Voici encore un exercice sur le même thème.
3.58.	Extrema d’une fonction entière
1.	Que peut-on dire d’un polynôme P e C[X] tel que |P| admette un
extremum local en un point de C ?
2.	En déduire le théorème de d’Alembert-Gauss.
3.	Soit f la somme d’une série entière de rayon de convergence infini.
Que peut-on dire si |/| admet un extremum local en un point de C ?
▻ Solution.
1.	Soit P e C[X]. Supposons que |P| possède un extremum local en zo-
Si P(z0) = 0, c’est-à-dire si zo est une racine de P, alors |P| possède un
minimum global en zq. On suppose désormais que P(zo) + 0 et on va montrer
qu’alors le polynôme P est constant. Quitte à remplacer P par P(X + zo) et à le
d
diviser par P(zo), on peut supposer zo = 0 et P(0) = 1. On écrit P = 2 aj^
J=o
avec ao - 1. Supposons que P ne soit pas un polynôme constant, c’est-à-dire
qu’il existe j > 1 tel que at + 0. On note k le plus petit indice supérieur
ou égal à 1 tel que ak / 0. Il existe alors R e C[X] tel que R(0) = 0
et P(X) - 1 + ûfcX* + X*R(X). On va évaluer P en des points z qui tendent
vers 0 en faisant en sorte que akZk soit réel. Notons 0 un argument de ak. On
prend z de la forme z - te~‘ t avec t > 0. On a alors, par inégalité triangulaire,
|P(z)| = |1 + \a*|rfc + tkË(t)| > 1 + z*(|«fc| - |e(r)|),
où e(t) tend vers 0 lorsque t tend vers 0. Pour t > 0 assez petit on a donc
|P(z)| > 1 et |P| n’a donc pas de maximum local en 0. Modifions maintenant
l’argument de z pour montrer qu’on n’a pas non plus de minimum local en 0.
On prend z = te et on a, pour t > 0 assez petit,
|P(z)| = |1 - \ak\tk +z*e(z)| Cl-|fltk*+tfc|e(t)|< 1.
La fonction |P| ne présente donc pas de minimum local en 0.
On obtient donc une contradiction et on conclut : si P possède un extremum
local en zo et si P(zo) 0, alors le polynôme P est constant.
336
CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIERES
2.	Le résultat qui précède fournit une démonstration du théorème de
d’Alembert-Gauss. Soit P un polynôme non constant. On pose m = inf |P|.
Comme lim |P(z)| = +00, il existe r > 0 tel que |z| > r implique
|z|—>+°°
|P(z)| > m+l.Onadoncm = inf |P(z)| et comme le disque fermé de centre 0
|z|<r
et de rayon r est compact, il existe zo tel que |P(zo) | = m. La fonction |P| possède
donc un minimum en zo et, comme P n’est pas constant, on a P(zo) = 0.
3.	Soit f la somme d’une série entière de rayon de convergence infini.
Supposons que |/| possède un extremum local en zo avec f(zo) + 0. On
s’attend, comme dans la première question, à ce que f soit constante. Supposons
le contraire. Nous avons démontré dans le lemme de l’exercice 3.56 que la
somme d’une série entière est développable en série entière en tout point zo
de son disque ouvert de convergence. Il existe donc une suite (bn) de nombres
+00
complexes et R > 0 telle que /(z) = y, bn(z - zo)” P°ur |z - zol < R- On
n=0
peut supposer £>o = /(zo) = 1 quitte à diviser par ce nombre. Comme f n’est
pas constante, il existe j > 1 tel que bj £ 0. On note k le plus petit indice
supérieur ou égal à 1 tel que b^ + 0. Il existe une fonction g, développable en
série entière au voisinage de zo, telle que g(zo) = 0 et vérifiant
/(z) = 1 + bk(z - zo)k + (z - zo)*g(z)-
+00
On a simplement g(z) = y bn(z - zo)n~k Comme g est continue, on peut
n=k+ï
reprendre exactement la même preuve que dans la question 1. <1
Les exercices suivants traitent de question de convergence dans des
ensembles de fonctions développables en série entière.
3.59.	Convergence d’une suite de fonctions développables en séries
entières
On fixe R > 1 et on note E l’espace vectoriel des fonctions
développables en série entière sur le disque ouvert Dr de centre 0 et
de rayon R.
+00
1.	Soit f e E. On écrit/(z) = y anzn pourz e Dr et pour r g ]0, R[
n=0
+00
on pose ||/||r = y |a„ |r". Montrer que f 1—> ||/||r est une norme sous-
n-0
multiplicative sur E.
2.	Montrer qu’il existe C > 0 tel que, pour tout r 6
tout 8 6 ]0,1] et toute f g E, on ait ||/'||re-6 < ^ll/llr-
3.59. CONVERGENCE D’UNE SUITE DE FONCTIONS DÉVELOPPABLES EN SÉRIES ENTIÈRES
337
3.	Soit f e E. Montrer que si f est assez proche de 0 en un sens à
préciser, la suite (/„) définie par fo = / et fn+\ = (f'f2 converge vers 0.
▻ Solution.
1.	La série qui définit ||/||r converge puisque r < R. Il est clair
que H/llr > 0 et que si ||/||r = 0 alors f = 0 car tous les coefficients de
la série entière sont nulles. L’homogénéité et l’inégalité triangulaire sont aussi
évidentes. Ainsi, || ||r est une norme sur E pour tout r e ]0, R[. Montrons
+00
qu’elle est sous-multiplicative. Soit f et g dans E que l’on écrit /(z) = y, anzn
n=0
+oo
et g(z) = y bnzn pour z e Dr. La fonction fg est aussi développable en série
n=0
+oo	n
entière sur Dr et on a fg(z} = y cnz" où cn = y a^bn-k pour tout n. On a
n=0	fc=o
donc
+oo	+oo n
ll/gllr = Z knk" < S S	|r" = ||/||r||g||r
n=0	n=0 k=0
par produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes.
2.	Soit f : z •-> y a„z" dans E, r e [i, r[ et Ô e]0,1], La série entière
n=0	1	1
dérivée est f' : z h» y nanzn~x et elle est encore dans E. On a
n-1
+oo	+00
||/'U-6 = ^n|an|r"-1e-<n-1>6 < 2e5 £ne~^\an\rn
n=l	n=l
puisque ± < 2. L’étude de la fonction x h-» xe~6x montre que celle-ci est
majorée par la valeur sur R+. On a donc
2e5	2
oe	o
et la constante C = 2 répond à la question.
3.	Notons que la suite (/n) est bien définie et formée d’éléments de E (la
fonction dérivée f„ étant comprise comme la somme de la série entière dérivée
puisque la C-dérivation n’est pas au programme en CPGE). Grâce à la sous-
multiplicativité des normes vue dans la question 1, on a pour tous n e N*, r
dans R[ et 6 dans ]0,1],
IL/nfiU-s « ll/X-6 < Tüii-^ii-
338
CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIÈRES
On va utiliser cette majoration à chaque rang n mais pour des valeurs de r
et ô variables. Pour n = 0 on prend r = 1 (ce qui est possible car R > 1)
et Si e ]0,1] et on a
4	-,
ll/.IU <
On va pouvoir réutiliser la majoration si r, = e-6' > j ce qui est réalisé si 5]
est assez petit. On a alors, pour 82 e]0,1],
4	-,	4 42
11/211^,-62	Tj ll/lll*-5l < t^II/IIÎ
O2	O2 ô]
Supposons ôi et 82 choisis de sorte que - e-ô|~82 > 1. On a alors de la
même manière
4 42 44	«
ll/3lle-6,-62-63 < -y-4-g HZIlt
°3 Ô2 °1
n
On itère cela : si ôi,..., sont des réels de ]0,1] tels que X ôf- ln 2 on a
1=1
n/niu- -^(^)2(A)4-(r)"K-
\on/	\O1/
On va maintenant choisir les 8*. Pour réaliser la condition e-5'	6n > | pour
+oo
tout n, il suffit de faire en sorte que la série des 6* converge avec y 6^ ln 2.
k=l
Pour évaluer facilement le produit qui apparait dans la majoration, prenons
une série géométrique. On pose donc 6^ = ak avec a = de sorte
4-oo
que y, ôfc = ln2. Il est clair que pour f dans E la fonction r n-> ||/||r est
k=l
croissante. On a donc, pour tout n,
ll/nl|i < ll/nlle-6,- < ( — ) (^rr) ”’(â)	
Prenons la logarithme du majorant. Il vaut
ln 2 £ 1k - ln a - k + 1)2* + 2n ln ||/||,
Jt=l	k=\
et donc, en mettant 2" en facteur,
/ n-i i "-1 t + 1	\
y hZSjf-ln-STr+taH/ll, •
k=0 Z	k=0 Z
Les deux séries convergent donc si on choisit ||/||i assez petit le terme entre
parenthèses a une limite strictement négative et le produit par 2" tend vers -oo.
Autrement dit, pour ||/|| j assez petit la suite (/„) converge vers 0 au sens de la
norme || ||,. <
339
3-6o. limite de la suite (f^ ) OÙ f EST analytique
3.60.	Limite de la suite (/<")) où f est analytique
Soit f et g deux fonctions de R dans C. On suppose que f est
développable en série entière au voisinage de tout point de R et que (/("))
converge simplement vers g. Que dire de g ?
▻ Solution.
+°°
On écrit f(x) = y, anxn avec an = -—sur un voisinage ] - r, r [ de 0.
Par hypothèse la suite (f^ (0)) converge vers g(0) de sorte que an = 01^1,
ce qui montre que le rayon de convergence de la série est +oo. Notons
+ 00
h : x e R i—> y anxn la somme sur R de la série de Taylor de f en 0. Les
n=0
fonctions f et h sont analytiques (pour h cela résulte du lemme de l’exercice 3.56
qui montre que la somme d’une série entière est analytique sur son disque
ouvert de convergence). De plus, elles coïncident sur ] - r, r [. Le principe des
zéros isolés pour les fonctions analytiques réelles (voir exercice 3.49) assure
que f = h, c’est-à-dire que/ est somme de sa série de Taylor en 0 sur R tout
entier. Les séries entières y anxn et y définissant f(x) et ex ont un rayon
de convergence infini et lim tt-î = lim /*"\0) = g(0). L’étude faite dans
n—>+oo l/rt’	n—*+oo
f(x)
l’exercice 3.38 montre que e Xf(x) =	—» g(0) lorsque x —> +oo.
Prenons maintenant un autre point y. La fonction / est développable en
+°°
série entière en y et on a /(y +x) - y -—ç^—x’' au voisinage de 0. Ici encore,
n=0
cette égalité valable a priori au voisinage de 0, est vraie sur R. Comme fln> (y)
converge vers g(y), on en déduit de la même façon que e~xf(x + y) —» g(y)
lorsque x —» +oo. Mais d’après ce qui précède e~x~y f (x + y) —» g(0) lorsque
x —> +oo. Par unicité de la limite, on a donc e~yg(y) = g(0) pour tout y e R
c’est-à-dire que g = g(0) exp.
Réciproquement, pour tout réel C, la fonction g = C exp est la limite simple
de la suite (/(n)), où / = g. <
3.61.	Limite simple de polynômes à coefficients positifs
Soit (Pn)n>o une suite de polynômes à coefficients dans R+ qui converge
simplement sur [0,1] vers une fonction f.
Montrer qu’il existe une suite (èM)„>o de réels positifs telle que
(Z) le rayon de convergence R de la série y bnxn est > 1 ;
+oo
(ji) Vx e [0,1 [, f(x) = ÿ bnxn.
n=0
340
CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIÈRES
> Solution.
+00
On pose, pour tout n e N, Pn(x) = X b„fkXk, où bn,k = 0 si k assez grand.
fc=O
Nous allons démontrer qu’il existe une application cp : N —> R strictement
croissante telle que, pour tout k e N, (b^^yk) converge. En appelant bk la
limite, on montrera qu’on obtient le résultat voulu.
Pour tout n e N, P„ est à coefficients positifs, donc pour tout £ e N, on
a 0 bn,k < Pn(l). La suite (P„(l)) est convergente donc majorée par M.
Ainsi, pour tout (n, k) e N2, on a 0 < bn*k «S M. Pour construire cp, on utilise le
procédé diagonal de Cantor. La suite (bn,o) est bornée donc, d’après le théorème
de Bolzano-Weierstrass, on peut en extraire une sous-suite convergente. Soit
donc cpo une extractrice telle que la sous-suite	soit convergente vers
un réel b$. La suite 1 ) est bornée et on peut choisir une extractrice cpi
telle que la suite (é>cpoo(p1(r1),i) converge vers un réel b\. On réitère ce procédé
pour construire par récurrence des extractrices cp* telles que (iWo Wpii».i)
converge vers bk - On pose <p(n) = cpo o  • • o cpn(n). Alors, pour tout k e N,
(\(n),t)n>t est une suite extraite de (&<P0o...o(p*(„),t)n>Jt, qui converge vers bk.
En effet, pour tout n > 1, on a n - 1 < n < cp„(n), donc
cp(n - 1) = cpo o • • • o cp„_t(n - 1) < cp0 o • • • o cpn_t o (p„(n) = cp(n)
et, de plus, /?<p(n),/c = ^<poo'"o<pn-((Pft+io'"o<pn)(n),À: pour n k donc (^<p(n),fc)
converge vers bk pour tout k e N.
Soit x e [0,1]. Pour tout n e N, on a 0 C Pn(x) < Pn(l) M et en
+°°	T
particulier 0 < P,p(„)(x) < M, c’est-à-dire y, b^n^kx < M. Soit N e N.
k=0
N
Pour tout n e N, on a y, Z^nj.fcX* < M. En faisant tendre n vers +00, on
k=0
N
obtient y bkxk < M. Les sommes partielles de la série à termes positifs
fc=0
y bkxk sont majorées, donc cette série converge. Le rayon de convergence de
+00
y bkXk est supérieur ou égal à 1. Posons g(x) = y bkxk. Il reste à montrer
k=0
queg(x) = /(x) pourtoutx e [0,1[.
Soit x e [0,1[ et N e N. On a pour tout (n, k) e N2, 0 < bq>(n),fc < M et
par passage à la limite 0 < bk M. On en déduit
+°O	+00	MrN
0 <	Z bvM.^	<	2 M**	<	TTZ’
fc=N	Jc=N	1 A
+00	_ . n
et de même 0 < y bkxk <	 On obtient ainsi
t=N	X
N-1	2Mxn
ip<p(„) w - gwi < y - bk\xk + ——
k=0	1 X
3.62. CRITÈRE DE CONVERGENCE SIMPLE D’UNE SUITE DE SERIES ENTIERES
341
En faisant tendre n vers +oo, on en déduit
, x „ 2MxN
|/(x) -g(x) < -------
1 -x
Quand N tend vers +oo, tend vers 0 donc f (x) = g(x). <
En revanche, on n ’a pas nécessairement /(l) = g(l). Prenons par exemple,
. n	«	pi+L
pour n e N, P„ =	£ X>C- On a pn(x) = (n+îj(l -x) p0Ur X G [°’ 1 [ et
donc f(x) = 0. Comme P„ ( 1) = 1 pour tout n e N, /( 1) = 1- Pour (k, n) e N2,
on a bn k =------, si n > k et donc = 0 pour tout k e N. La fonction g est
' n + 1
la fonction nulle et /(l) ± g( 1).
Les deux exercices suivants traitent de la convergence des suites de fonctions
développables en série entière sur le disque de centre 0 et de rayon 1. Le
premier montre que si les coefficients des différentes fonctions sont bornés
uniformément, la convergence simple d’une suite (fn) vers f équivaut à la
convergence, pour tout k, des suites {ak(fn))n<=.ï\ vers a/ff) où ak(f) désigne
le coefficient de zk dans le développement de f.
3.62.	Critère de convergence simple d’une suite de séries entières
Soit M > 0 et l’ensemble des fonctions g de la variable réelle à
valeurs dans C, développables en série entière sur ] - 1,1 [ et telles que
+00
si,	pour tout x e ]-l, 1[, g(x) = X a;t(g)x\ on ait |ajt(g)| < M pour
k=0
tout k e N.
On considère g e <Sm et une suite (gn)neH de fonctions appartenant
à Sm- Montrer que chaque suite (a^ (gn))neN (& G N) converge vers a^ (g)
si, et seulement si, la suite (gn)n<=N converge simplement vers g. Y a-t-il
alors convergence uniforme ?
▻ Solution.
• Supposons que, pour tout k e N, la suite (aJt(gn))neN converge vers
ajt(g). Soit* e ]-l, 1 [ et e > 0. Pour tout n e N, on a
+00
|g(x) - gn(x)| < y |a*(gn) - a*(g)||x|*
t=o
<£Mgn)-^(g)l+ Z 2MM*
k=0	fc>K+l
_ z z m . 2M|x|k+1
< > ; a*(gn) - «*(g) + n—FF’
1 - W
342
CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIÈRES
Fixons K e N* tel que , 1	, < e. Comme lim V |ait(gn) - a*(g) | = 0,
1 “	n^+o° k=o
K
il existe un entier «o tel que, pour tout n > no, on ait y, la* (g„) — a;t (g) | << e
k=0
et donc |g„(x) - g(x)| < 2e. Cela montre que la suite (gn)neN converge
simplement vers g.
On remarque, de plus, que la convergence est uniforme sur [-a,a], pour
tout a e [0,1 [. En effet, on a, pour tout x e [-a, a], la majoration
K	2MaN+1
IgnW - gWI < y, \ak(gn) - ûfc(g)l + —i---------,
k=0	1 -a
ce qui permet de trouver un «o indépendant de x.
En revanche, la convergence n’ est pas nécessairement uniforme sur] -1,1 [.
1	+o°
En effet si on prend g(x) = . _ = V xk et pour tout n e N,
x k=o
gn(x) = -77gW = y ~^7xk’
n+1 to^+l
alors, pour tout k e N, ak(gn) = —tt------> 1 = a*(g). Mais
M + 1 n—>+oo
et il n’y a donc pas convergence uniforme de (g„)neN vers g sur ] - 1,1 [.
• Supposons réciproquement que la suite (gn)neN converge simplement
vers g. Il n’est pas possible d’utiliser ici l’expression intégrale des coefficients
(formule de Cauchy) ük(gn) = —/ gn(fe‘Q)e~lkQ d0 et de passer à la
2itrK Jo
limite à l’aide du théorème de convergence dominée, car on sait seulement que
la suite (gn)neN converge simplement vers g sur l’intervalle ] - 1,1 [.
On va prouver que (a*(g„)) converge vers ajt(g) par récurrence sur k.
Pour k = 0 c’est facile, car ao(gn) = gn(O) converge vers g(0) = ao(g).
Pour passer au rang 1, on a envie de considérer la suite des fonctions
x i-> £iW£o(gn) cette sujte converge simplement vers EfiLsl mais a
priori seulement pour x t 0. On ne peut donc pas utiliser la valeur 0 comme
avant pour obtenir que (ai(gn)) converge vers ai (g). En fait, on montre que
dans le cas k = 0, la convergence simple sur l’intervalle ouvert ]0,1 [ suffit. En
effet, soit e > 0. On a, pour toutx e ]0,1 [,
I	+o°	I
|ao(gn) -ao(g)l = \gn(x) -g(x) + y (ait (g) -afc(gn))x*
1	*=1	1
, , ,	, X1 2Mx
< IgnW ~g(x)| + ---------
1 - X
3.63. ESPACE DES FONCTIONS CONTINUES SUR D, DÉVELOPPABLES EN SÉRIE ENTIÈRE SUR D 343
On choisit d’abord x e]0,1 [ tel que le second terme soit majoré par c. Pour
cette valeur de x, il existe un rang N tel que pour ra > N, |gn(x) - g(x)| e et
donc |ao(gn) - &o(g)I < 2e. Cela montre que (flo(gn)) converge vers ao(g)-
A partir de ce résultat la récurrence se déroule sans problème. Supposons
que (fl| (gn)) converge vers (g) pour tout i < k. On considère les fonctions
g„(x)-a0(gr>)-ai(g„)x----------ak(gn)xk
X	xk+}
Il est clair que cette suite de fonctions converge simplement sur ]0,1 [ vers la
fonction x >-»	-------at(g)x , et qU’enes SOnt toujours
x
dans 5m- La démonstration ci-dessus montre alors que (a,t+i(gn)) converge
vers ük+i (g) ce qui termine la récurrence. <
3.63. Espace des fonctions continues sur D, développables en série
entière sur D
Soit D = {z e C, |z| < 1} et E l’ensemble des fonctions continues
sur D et développables en série entière sur D. Pour f e E et z e D, on
+oo
écrit/(z) = 2 a„(/)z".
n=0
1.	Montrer que an(f) = J /(e'0)e-'nedO pour tout f e E et
tout n e N.
2.	Montrer que si une suite de E converge uniformément sur D, sa
limite est encore dans E.
3.	Montrer que le sous-espace des polynômes est dense dans E.
> Solution.
1.	Cette question a déjà été traitée dans l’exercice 3.56.
2.	Soit (fk)k»o une suite de E qui converge uniformément sur D vers une
fonction f. Les fk étant continues, f est continue sur D. Il reste à prouver
qu’elle est développable en série entière dans D. On pose naturellement
1 f2"
a„ = — / /(?e)e-"9d0
2tc Jo
+oo
et on montre que pour tout z g D, f(z) = X a„zn. Soit donc z un point fixé
+co
de D. On a |ot„ | < ||/||«, pour tout n, donc la série yj anz" converge. On a pour
„=o
344
CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIÈRES
tout entier k,
/(z) - S IZCz) “	+ S(a"(A) - a«)z" •
Or, d’après la question 1 on a, pour tout n, |aM(/*) — an| < ||/ - fk ||oo • Il vient
finalement, pour tout k,
+00
/(z) -^anzn
n=0
< 11/ -fk llJi + r-^l
\ 1 —|z|/
Il suffit de faire tendre k vers l’infini pour conclure.
La fonction f est développable en série entière sur D et continue sur D. Elle
est dans E.
3.	Soit f G E. Il s’agit d’exhiber une suite de polynômes qui converge
uniformément vers f sur D. Il n’est pas question de prendre les sommes
partielles du développement en série entière de f : la convergence est certes
uniforme sur tout compact inclus dans D, mais cela est loin d’être suffisant
(cette série peut même ne pas converger en un point du bord de D).
L’idée est d’introduire une autre fonction g, développable en série entière
avec un rayon > 1, et telle que |/(z) - g(z)| O en tout point z e D, puis
de prendre une somme partielle de la série entière de g pour approcher g
uniformément à e près sur D. Pour construire g, on utilise le fait que f est
uniformément continue sur le compact D. Soit e > 0 fixé et q > 0 un e-module
d’uniforme continuité de f sur D. Posons alors
gW=/(rh)
pour |z|	1 + q. Pour tout z de D on a |/(z) -g(z)| e car |z- -j-^l < q . De
plus, il est clair que g est développable en série entière sur le disque de centre 0
et de rayon 1 + q. Comme D est un compact inclus dans ce disque ouvert, la
série entière de g converge uniformément vers g sur D. En prenant une somme
partielle, on peut donc trouver un polynôme P tel que |P(z) - g(z)| < e pour
tout z e D. Par inégalité triangulaire, on a |/(z) - P(z)| < 2e pour tout z de D.
Cela implique la densité de l’espace des polynômes dans E. <1
Le lecteur pourra noter que l’espace des polynômes n’est pas dense dans
l’espace des fonctions continues sur D : par exemple la fonction z >—> Z n’est
pas limite uniforme sur D d'une suite de polynômes (raisonner par l’absurde
en supposant l'existence d’une telle suite (P„) et regarder les intégrales
/	Pn(e'°)e,o<ï0/ Il y a donc une différence sensible avec le théorème de
Jo
Weierstrass réel étudié en cours.
3.64. FONCTION ENTIÈRE TELLE QUE / (2”) = (-1)
345
L’exercice suivant recherche une fonction développable en série entière
sur C et prenant des valeurs données pour z — 2n (n e N). L’étude de l’unicité
est l’occasion de se poser la question de l’existence d’une fonction s'annulant
en des points donnés. Signalons que si (zn) est une suite de nombres complexes
non nuis telle que (|zn|) tende vers l’infini, il existe une fonction développable
en série entière sur C, s’annulant en zn pour tout n et n’ayant pas d’autres
zéros sur C.
*3.64. Fonction entière telle que/(2") = (-1)"
1. Démontrer qu’il existe une suite (an)neN de nombres réels telle
que, pour tout n e N,
X2nkak = (-iy.
k=n
2. Y a-t-il unicité de la suite (a„) ?
▻ Solution.
1. Il s’agit de déterminer une suite réelle (a„) telle que, si on pose
+00
/(z) = y akzk, on ait, pour tout n e N, f(2n) = (-!)”• Ceci implique entre
k=0
autres que la série y, akzk ait un rayon de convergence infini. On peut voir le
calcul des ak comme la résolution d’un système de taille infinie d’équations
linéaires :
ao + a ] + 6t2 4- • • • 4- an 4- •  •	~	1
Æo 4- 2üi 4- 2f a2 4- • • • 4- 2I1 an 4- • • •	—	—1
a0 + 2nai + 22na2 +    + 2"2an +		 	=	(-1)"
D’où l’idée de se ramener à un système fini, en cherchant d’abord, pour n e N*,
à résoudre le système de n 4-1 équations à n 4-1 inconnues ao,n, «i.n,  • , an,n :
flon 4- ain 4- a2fn + • • • 4- an,n	—	1
ao„ 4- 2a 4- 2 a2n 4-  •  4-2 an,n —	1
. «07,4-2^^4-2^2,n + ---4-2<„,„ = (-1)'1
On remarque que le déterminant de ce système est le déterminant de Vander-
monde V( 1,2,..., 2"). Les entiers 1,2,..., 2" étant distincts, on en déduit que
ce déterminant n’est pas nul. Le système possède donc une solution unique. Si
on remplace une des colonnes de ce déterminant par le deuxième membre de
346
CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIÈRES
l’équation, on obtient encore un déterminant de Vandermonde. En appliquant
les formules de Cramer, on trouve donc après simplification, pour 0 < k n,
n(27' + 1)
V(l,... ,2*-1,-1,2*+1,...,2") j*k
°k'n ~ V(l,..., 2*-1,2*, 2*+1,..., 2") “ n(27' -2*)
j*k
k-1	n
n(i+2') n (i+2y)
j=0	j=k+l
n‘(2>-2*) n (2> -2*)
j=0	J=k+l
En mettant 27 en facteur dans chaque terme au numérateur et au dénominateur,
on obtient
k—1	n	k—1	n
n(i+2->) n (1+2-7)	nd+2->) n u+2-0
7=0	j=k+\	j=0	j=k+\
ak,n ~ 7 J	=	7	7
k-1	n	k	n-k
n(i-2*-;) n(i-2M rw-w^)
j=0	j=k+\	j=l	1=1
f](l+2->)
____________j=o	
k	n~k
(i+2-*)na -2>) nu-2-n
;=i
On fait tendre n vers l’infini. Les suites de terme général un =	( 1 + 2 7)
j=o
n
et u„ = [~[ ( 1 - 2“-') convergent vers des limites non milles. En effet, pour n > 1,
1=1
n	n
on a lnw„ = y, ln( 1 + 2~J) et lnun = y ln(l -2-J) et les séries y ln(l +2“7)
J=o	j=i
+00	+OO
et y ln( 1 -2-7) convergent. On note |~|(1 + 2~J) et | |(1 -2~J) les limites de
i=o	j=i
+00
n(!+2->)
ces suites et on pose K = ^2---- On trouve alors que, pour tout & g N, la
n(i-2->)
i=i
TZ
suite (flt,n)neN* converge vers ak =--------------
(l+2-t)n(l-2>)
1=1
Il est tentant de penser que la suite (ak) répond au problème posé.
Remarquons, pour commencer, que pour tout k e N, on a
ak+l =	(1+2-*)	~ J____________
(1 + 2-fc-1)(2/:+1 — 1) k—>oo 2fc+1 k—>+oo
3.64. FONCTION ENTIÈRE TELLE QUE /(2”) = (-1)
347
On en déduit que la série entière y, akzk a un rayon de convergence infini. On
note f sa somme. Il faut démontrer que, pour tout p e N, on a /(2P) - (-l)p.
+00
On a, par construction, pour n > p, y ak,n2pk = (-l)p, en posant n = 0
k=o
si k > n. Il s’agit d’un problème d’interversion d’une limite et d’une somme.
On remarque que, k étant fixé, la suite (|ajk,n|)neN‘ croît car, pour n k, pour
1 +
passer d’un terme au suivant, on multiplie par
1 _ 2~(n-fc+>)
> 1. On a donc,
pour n e N*, \ak,n | < \ak L c’est-à-dire une majoration indépendante de n. Pour
tout p e N, la convergence de y akn2pk est uniforme par rapport à « et on a
donc, d’après le théorème de la double limite,
f(2p) = ^ak2pk = lim ^ak,n2pk = (-l)p.
feo n-"+“ kT0
+00
2. Si (b„) est une suite telle g(z) = y bnzn soit définie sur C, (bn) est
n-0
solution du problème posé si f et g prennent les mêmes valeurs en 2P, pour
tout p g N, c’est-à-dire si f - g s’annule pour toutes ces valeurs. On est donc
ramené à chercher s’il existe des fonctions développables en séries entières, non
nulles, s’annulant en 2P pour tout p. On pense assez naturellement à la fonction
+«i /	\
définie par h(z) = fl U -	visiblement s’annule où il convient. Il
faudrait démontrer que cette fonction est définie sur C et développable en série
entière de rayon de convergence infini. On peut remarquer que, pour tout z e C,
on a /i(z) = (1 - z) f"I (1 _ yt) = (1 - z)h et chercher une fonction
développable en série entière vérifiant cette propriété. On la cherche sous la
+oo
forme <p(z) - ^cnzn. On a alors, sous réserve de convergence, pour z g C,
n=0
. 7. +oo	+oo n +OO n+l
(P(z)-d -z)tp(-) =	+
n=0	n=0	n=0
+°° / 1 \ +ÛO r ,
n=l	Z	n=l Z
La condition cp(z) = (1 - z)tp(^) = 0 s’écrit : pour tout n e N*, cn =
'y
~1 - 2"c,l~1~ S* on se d°nne co + 0, cette relation définit cn pour n > 1.
Cn	2
On remarque qu’on a alors lim ------ = lim -—— = 0. Le rayon de
n—»+o° Cn_)	n—»+oo 1-2"
convergence de la série entière y cnzn est donc infini. La fonction cp est
définie sur C et par construction, vérifie cp(z) = (1 - z)cp j. Une récurrence
immédiate montre que, pour z g C et n g N, on a
- n (> - £)  <p (^) 
348
CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIÈRES
Quand n tend vers +00,
produit
<P (^r) tend vers <p(0)
= cq 0. On en déduit que le
converge vers On a donc, pour tout z e C,
°	+°° 1	7 \
<p(z) = co n l1 - ™ ) = co^(z)-
n=0 ' Z
Pour cq = 1, on obtient (p = h. La fonction h est donc développable en série
entière et vérifie h(2p) = 0 pour tout p e N. Elle n’est pas nulle (A(0) = 1).
Elle possède toutes les propriétés voulues. On peut conclure que la suite (on)
cherchée n’est pas unique. <1
On peut noter que toute fonction de la forme hxy, où y est développable en
série entière avec un rayon de convergence infini, a les mêmes propriétés que h.
Les fonctions définies par des séries entières sont dérivables par rapport
à la variable complexe sur leur disque de convergence D, c’est-à-dire que,
pour tout zo G D, le rapport	a une limite quand z G C tend
vers zo- On obtient f, comme dans R, en dérivant terme à terme la série
entière définissant f. Démontrons ce résultat.
+00
On pose f(z) = y, anzn, pour |z| < R, rayon de convergence de la
n=0
série. Le rayon de convergence de la série dérivée est encore égal à R. On
+00
note g(z) = y nanzn-1, pour jz| < R. Soit zo G D et r tel que |zol < r < R.
n=l
On a, pour |z| < r, z + Zo,
z z0 n=l k=0	'
De la majoration
H- 1
Zj x'0*’
fc=0
< nrn~1  on déduit que, pour N e N*,
/(z) /(Zo)	( \ < V-i | I yr k n-l-k _ i
g(Zo) / 1 l^nl 2-JZ0Z	^Z<
z " ZO	„=1	t=0
4-OQ
+ 2 \an\nrn-'.
n=N+l
On choisit N tel que que le deuxième terme soit C e (c’est possible car la
série converge) puis, le premier terme tendant vers 0 quand z tend vers zo, on
choisit q > 0 tel que j- g(zo)| C 2e pour |z - zol t|- C’est le
résultat voulu. Ce résultat sera supposé connu dans l’exercice suivant.
Notons que la condition de dérivabilité par rapport à la variable complexe
est très forte. On peut démontrer que si une fonction f est continûment dérivable
sur D = {z 6 C, |z| < R}, alors f est développable en série entière sur D.
La première question demande de démontrer les conditions de Cauchy qui
lient les dérivées partielles par rapport à Re(z) et à Im(z) de Re(/) et Im(/).
**3.65. UN THÉORÈME DE FEJÉR.
349
**3.65. Un théorème de Fejér.
Soit D = {z e C, |z| < 1} et f : D —> C continue. On suppose f
+00
développable en série entière sur D : si z e D, f (z) = y, anzn. On suppose
n=0
de plus f injective.
1.	On pose P - Re(/) et Q = Im(/). On identifie C à R2 et D à un
ouvert de R2. Montrer que les fonctions P et Q sont de classe C1 et vérifient
les conditions de Cauchy : pour tout (x, y) e D,
5P.	, 3QZ	x dP.	<9Q	,
=	et — x,y) = -—(x,y).
dx	dy	dy	dx
2.	On note, pour tout r 6 [0,1[, Dr = {z e C, |z|	r}, Ar Paire
de f (Dr) et A Faire de /(D). Montrer que, pour tout r e [0,1 [,
Ar = [f _ \f'(x + iy)\2dxdy.
JJ(xty')eDr
+oo
En déduire que y n|an|2 converge et que y n|a„|2
n=0	_
3.	Montrer que y anzn converge uniformément sur D.
r> Solution.
1. Nous allons montrer que P et Q sont de classe C1 et exprimer leurs
dérivées partielles en fonction de f. Soit (xo,yo) 6 R2, zo = xq + yo- On a,
pour x xq, en posant z = x + iyo,
f(z) - /(zo) _ P(x, y0) + zQ(x, y0) - P(x0, y0) - iQ(x0, y0)
z - ZO	X - Xo
P(x, yo) - P(xo, yo) , .Q(x, yo) - QUo, yo)
=-----------------------1-1-------------------
X - Xo	X - Xo
_ f(~ \
Sachant que 2 _ Zq a pour limite /'(zo) quand z tend vers zo, on en
déduit que	—p*0’ 'V-°- et —^x°’ ont des limites quand x
tend vers x0. Autrement (^(xq, yo) et ^(xo< yo) existent et vérifient, de plus
<9P/ x <9Qz , Z,Z X
-x-{x0,y0) +z—(x0,y0) =f (zo).
dx	dx
En écrivant de même, pour y + yo et z = xo + iy,
f(z) - /(zo) = P(x0, y) + <Q(x0, y) - P(x0, y0) - tQ(x0, y0)
z-zo	f(y-yo)
_ Q(xq, y) - Q(*o, yo) _ .P(xo,y) -P(xo,yo)
y - yo
y - yo
350
CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIÈRES
on prouve l’existence de dérivées partielles par rapport à y vérifiant
T-(xo.yo) - Oo.yo) = f (zo).
dy	dy
On en déduit les conditions de Cauchy
dP. . 5Q.	.	<9P.	.	5Q.
^-(xo,yo) = ^~(*o,yo) et — (xo,yo) =--7-(*o,yo).
dx	dy	dy	dx
On note de plus que, ces dérivées partielles sont continues, puisque f'
est continue (elle est développable en série entière en 0 avec un rayon de
convergence > 1 et donc en particulier continue sur D).
2. Pour tout r e [0,1[, on note Kr - et K = /(D). Les ensembles
K, et K sont compacts en tant qu’imagés de compacts par une fonction continue,
ce qui justifie l’existence de A et Ar. Nous allons calculer Ar = ff^u dw du
par changement de variables.
La fonction f est continue et injective sur D et établit donc une bijection
de D sur K. Cette bijection est même un homéomorphisme, puisque D est
compact (tout fermé F de D est compact, donc f (F) est compact et en particulier
fermé dans K : l’image réciproque d’un fermé par étant un fermé, /-1 est
continue). Elle est de classe C1 sur D et son jacobien en (x, y) est
Jac(/)(x, y) =
dP âP
dx dy
<9Q ÔQ
~3x dy
\dx ) \dx )
en vertu des conditions de Cauchy.
Le changement de variables (x, y) 1—> (u,u) = f(x,y) dans l’intégrale
double nous donne donc, pour r e [0,1 [,
Ar = lï _ \f'(x + iy)\2dxdy.
JJ (%,}’) €Ür
On va calculer cette intégrale en passant en coordonnées polaires et en
appliquant le théorème de Fubini. On obtient
2ju	\
|/'(se'6)|2d01 s ds.
L’intégrale sur 0 va s’exprimer en fonction des coefficients an à l’aide de la
formule de Parseval (voir page 328). Pour z e D, on a
A,. = ff |/'(se‘'e)|2sdsd0 =
/ / 0<j<r
+00	+00
/'(z) = x nanzn~l = 2(n + l)an+izn.
n=l	n=0
3.65. UN THÉORÈME DE FEIÉR.
351
La formule de Parseval donne donc, pour s e [0,1 [,
i /	+00	+00
7- /	\f Oe'e)|2d0 =	£(n+	l)2|a„+l|2?" =	S«2I«„|V-2.
2lt Jo	,1=0
On obtient donc
>0
Les fonctions sont positives donc, d’après le théorème d’intégration terme à
terme, on a
+00	/• r	+00	r2n	+00
Ar =2tt^\an\2n2 s2n~'ds = 2jt |a„|2n2— = jt y n\a„\2r2n.
n = l	JO	n=l	2/î	n=l
Comme D, c D, on a K, c K et donc A,- A. Ainsi pour tout r e [0,1 [,
+°°	a	N	A
\\n\an\2r2n < — et en particulier \\n[an[2r2n < —
Æ	^1	71
A
pour tout N e N*. En faisant tendre r vers 1, on obtient y, n\an|2 < La
n=l
série à termes positifs y n|a„ |2 converge donc et sa somme est majorée par .
En fait, on a l’égalité = y n|an|2. En effet, pour tout r e ]0,1[, on peut
n=l
+00	+00	a
écrire y n|an|2 y n|an|2r2" On remarque que
n=l	n=l
Ar=y (y /(s?9)d0p5—y (y /w^ep^A.
+00
En faisant tendre r vers 1, on obtient y n|an|2 > et donc l’égalité annoncée.
n=l
3. En vertu d’un théorème d’Abel dont on trouvera la démonstration dans
l’exercice 3.10, il suffit de prouver la convergence uniforme de la série entière
+00
sur U = {z e C, |z| = 1} Le. de prouver que la série y anein® converge
n=0
uniformément pour 0 g R. Fixons e > 0.
+00
Soit N g N, 0 g Ret r e [0,1 [. Posons Rn = y n|an|2.Ona
n=N+l
N
f(eie)-Zaneine
n=0
\f(ei6)-f(rei0)\ +
N	+00
ff^ane (1 - r ) + 2 1 anr e
n=0	n=N+l
352
CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIÈRES
On majore chaque terme.
• D’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on a
• Pour le second terme, on remarque que
fa„e",0(l-r")
n=0
N	N
< y, l«nl(l-r)(l+r+r2 + - • ••hr"-1)	(1-r) y n|a„|.
n=0	n=0
L’inégalité de Cauchy-Schwarz permet d’écrire
< K(N+ 1),
où K = Il en résulte
N
Sane'"e(l-rn)
n=0
C K(N+ 1)(1 -f).
•	La fonction f étant continue sur le compact D, y est uniformément
continue d’après le théorème de Heine. Soit donc e > 0 et q un module
d’uniforme continuité de f pour e. Si |1 - f| < q, on a |e'e - re,0| < q et
-f(re‘e)\ < e.
•	Posons fn = 1 -	+ p (et donc K(N + 1)(1 - fn) = e). Pour N assez
grand, fn e [0,1 [ et même à partir d’un certain rang no, 1 - q < fn < 1. On a
donc pour N > no et 0 dans R,
f(eie)-^aneinB
n=0
Rn
(N+1)(1-fn)
RnK
E
pour N assez grand puisque Rn-------> 0.
N—»+oo
La convergence est donc uniforme sur U et par conséquent sur D. <
La démonstration faite dans cette dernière question reprend exactement la
démarche utilisée dans la question 3 de l’exercice 3.43.
Chapitre 4
Polynômes et séries trigonométriques
Avant d’aborder l’étude des séries trigonométriques, ce chapitre commence
par une série d’exercices sur les polynômes trigonométriques. On note T
l’espace vectoriel des polynôme trigonométriques 2tt-périodiques c’est-à-dire
l’espace vectoriel engendré par les fonctions en : t h» e‘nt pourn e Z. On peut
munir l’espace T du produit scalaire hermitien défini par :
i yit_____
V(p,</)eT2,	(p,q) = — p(t)q(t)dt.
2ît
On note alors que la famille (en)ncz est orthonormée pour ce produit scalaire
puisque
<en,em) = f Z”1 e~inleim‘dt =
1 si n — m
0 si n + m.
Il en résulte en particulier que la famille (en)nez est une base de T. Un élément
n
p de T s’écrit donc de manière unique sous la forme p(t) - y Cke,kt où
k=-n
les Ck sont des coefficients complexes. Lorsque (c_n,cn) + (0,0), on dira
que p est de degré n. On peut remarquer qu’il existe alors P e Cn(X] tel
que p(t) — e~'ntP(elt) pour tout nombre réel t. Cette observation permet
de ramener l’étude du polynôme trigonométrique p à l’étude du polynôme
algébrique P sur le cercle unité du plan complexe.
Le premier exercice utilise simplement les relations d’orthogonalité rap-
pelées ci-dessus.
4.1.	Calcul d’intégrales
Soit (m, n) e N2. Justifier l’existence de l’intégrale
_	(2m + l)t . (2n + 1)/
i f11 sin	sin ~
= y- / -----—t------—t— dt
J-n sin 2 sin
et la calculer.
▻ Solution.
Pour tout entier naturel n la fonction D„ : t i—»
. (2n+l)t
sin 2
sin
prolongée
353
354
CHAPITRE 4. POLYNÔMES ET SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES
par Dn(0) = (2n+ 1) est continue sur	ce qui justifie l’existence de
1
l’intégrale Im,„ = 2^ J_
Transformons l’expression de Dn à l’aide des formules d’Euler. On obtient,
pour t 4- 0 dans [-tc, jr],
ei(n+j)« _ g->(n+|)ï	e-i(n+^)t ei(2n+l)r _ |
D„(t) =	—,	—,	=	
el2 — e '5	e '2 e" — 1
ln	n
= e-in'^eik' = ÿ eikt,
k=0	k=-n
résultat qui reste encore vrai si t = 0. En transformant de la même façon Dm,
on obtient
Im,n = Y, y- [ e,k‘e'e‘ dt.
Compte tenu des relations d’orthogonalité entre les fonctions t i—> eint, les
seuls termes non nuis sont obtenus pour k + £ = 0 et valent 1. Le choix de k
fixe la valeur de £ et on peut prendre pour k tous les entiers entre - min(n, m)
et min(n,m). D’où il résulte que Im„ = 2min(w,n) + 1. <
Le polynôme trigonométrique D„ est de degré n et est appelé noyau de
Dirichlet d’ordre n. Il intervient naturellement dans le théorème de convergence
de Dirichlet que le lecteur trouvera dans l’exercice 4.18.
Comme la famille (en)n£z est une base de T, un polynôme trigonométrique
n
P = s est à valeurs réelles si, et seulement si, C-k = Ck pour
k=-n
tout k. En fait, une autre base de T est donnée par les fonctions x i-» cos kx
(pour k e N) et x i-> sin kx (pour k e N*). En décomposant p sous la forme
n
p(f) = «o + V, ctk cos kt + bk sin kt, on voit alors que p est à valeur réelles si,
k=\
et seulement si, les coefficients ak et bk sont tous réels.
4.2.	Une équation fonctionnelle
Déterminer l’ensemble des couples (f,g) de polynômes trigo-
nométriques à valeurs réelles tels que /(x)2 + g(x)2 = 1 pour tout x e R.
▻ Solution.
Soit (f,g) un couple qui convient. Posons p(x) = f(x) + ig(x'). Alors p
est un polynôme trigonométrique complexe vérifiant |p(x)| = 1 pour tout
réel x. Il existe un entier m e Z et un polynôme P e C[X] vérifiant P(0) + 0
tels que p(x) = eim;fP(eIJt) pour tout x. Le polynôme P stabilise donc le
4-3- ORTHOGONALITÉ AUX POLYNÔMES TRIGONOMÉTRIQUES DE DEGRÉ < n
355
cercle unité du plan complexe. Notons n son degré. On a P(e‘*)P(e1JC) = 1 et
donc P(eIJC)P(e-IJC) = 1 pour tout x e R. Ainsi le polynôme P(X)X"P(1/X)
coïncide avec le polynôme X" sur le cercle unité de C. On a donc l’égalité
formelle P(X)X”P(1/X) = X". Ainsi P divise X" et comme il est de degré n
il existe X e C* tel que P = XX'1. Comme par hypothèse on a P(0) st 0, le
polynôme P est constant égal à X, avec X de module 1. En posant X = e'“ on
obtient f(x) = cos(/nx + a) et g(x) = sin(mx + a).
Réciproquement, ces couples de polynômes trigonométriques conviennent
pour tout m e Z et tout a e R. <i
Dans l’exercice suivant, on se ramène encore à des raisonnements sur les
polynômes.
4.3.	Orthogonalité aux polynômes trigonométriques de degré < n
Soit f : R —> R continue et 2tt-périodique et soit n e N*. On suppose
Jf2n	{•‘lit
/(x)cosXxdx = / /(x)sinXxdx = 0 pourtoutX e [[0,n-l]|.
o	Jo
Montrer que f admet au moins 2n zéros dans [0, 2k [.
> Solution.
Par hypothèse, pour tout k e Z tel que | k | < n on a
/•2n
/ f(x)eikxdx - 0.
Jo
Il faut en déduire que f s’annule au moins 2n fois sur [0,2k [. Cela rappelle un
exercice classique : si f : [0,1] —> R, continue, vérifie / f(t)tkàt - 0 pour
Jo
0 < k < n - 1, alors f s’annule au moins n fois sur [0,1]. La méthode consiste à
remarquer qu’on a / /(t)P(r)dr = 0, pour tout polynôme P de degré inférieur
ou égal à n - 1, et que, si f change moins de n fois de signe sur ] 0,1 [, on peut
trouver P e R„_i [X] tel que Pf garde un signe constant.
On va faire la même chose en remplaçant les polynômes par les polynômes
/2k
trigonométriques. Par linéarité, on a / f(x)g(x)dx - 0 pour toute fonction g
Jo
de la forme g(x) = y, di<e,kx, c’est-à-dire tout polynôme trigonométrique
| k | ^n-1
de degré < n - 1.
On raisonne par l’absurde et on suppose que f s’annule moins de 2n fois
sur [0, 2k [. On considère les r valeurs ai, ot2,..., ar de [0, 2k[ en lesquelles
f s’annule en changeant de signe. Nécessairement r est pair puisque, par
périodicité, le signe de /est le même sur]ar-2K, ai [ et sur]ar, ai+2K[ et entre
les deux, il y a r changements de signe. On pose r = 2s. On a donc r < 2n - 2
35&
CHAPITRE 4. POLYNÔMES ET SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES
et 5 < n - 1. Considérons le polynôme P(X) =C[](X- e‘“A ), où C est une
k=l
constante complexe à choisir, et g la fonction définie par g(x) = e~'sxP(e'x). La
fonction g est un polynôme trigonométrique de degré s et, d’après les remarques
/•2n
précédentes, on a / f(x)g(x)dx = 0.
Jo
Montrons que l’on peut choisir C pour que g soit à valeurs réelles. On a,
pour tout x e R,
iÜ) = eisxP(e~'x) = Ceisx " e~iai<)
k-]
= Ceisx	f](eix - eiak)
k=l	k=l
- Ce~isxe~‘^ak Ht?* - ?“*).
Æ=l
-----	— -i L %
On a g(x) = g(x) pour tout réel x si, et seulement si, C = Ce k=l . On peut
,	.	-5 Z ap-
prendre par exemple C - e .
La fonction g est alors à valeurs réelles. En dj,..., otr, elle s’annule, mais
pas sa dérivée car g'(afc) = ie'^s+,^atP'(e'a>:) + 0, les racines de P étant
simples. Elle change donc de signe en ces points. La fonction fg garde donc
un signe constant sur [0,2n], Comme elle est continue et non identiquement
/*2ti
nulle, on a / f(x)g(x)dx £ 0, ce qui nous donne la contradiction cherchée.
Jo
<
Dans l’exercice suivant on considère les polynômes trigonométriques réels
et l-périodiques. Il est évidemment facile de passer d’une période à une autre
par un simple changement de variable.
4.4.	Une inégalité
Pour tout n e N, on note 77, le R-espace vectoriel engendré par
les fonctions x 1—> cos(2fcjtx) et x 1—» sin(2fczx) de [0,1] dans R,
pour 0 < k C n, et Tn l’ensemble des éléments p de 77 qui vérifient
l’inégalité p(x) è x - p pour toutx e [0,1].
1.	Montrer que, pour tout p g Tn, on a
4-5- INÉGALITÉ DE HILBERT (1)
357
▻ Solution.
n
1. On peut écrire p sous la forme p(x) = y, cke‘2knx, où les ck sont des
k=-n
nombres complexes, en utilisant les formules d’Euler. Sachant que / e,2*’txdx
Jo
est égal à 0 si k n’est pas nul et à 1 sinon, on a, par linéarité, f ' p(x)dx = c0.
Jo
n /	,	\ n	t \
On calcule ensuite y p I —y-y I = y ce I y e'2eK^ï I.Pourf’ e [[—«, nj,
k=0	' t=-n U=0	/
on obtient
n + 1	si t - 0
- =0 si e + o.
. e' n+1 - 1
On a donc £ p [ -£y ) = (n + l)c0 = (n + 1) [ p(x)dx.
2. On applique la relation démontrée dans la première question. Il résulte
de la définition de '% que l’on a p (^77) > 777 - j, Pour 0 < Æ n.
Pour k = 0, on peut améliorer cette minoration. En effet, par 1-périodicité de p,
on obtient p(0) = p(l) > 1 - y > y -On a finalement
Jo +
1 /1 n(n +1)	1 \	1
> -------I —1------------n — | =---------
n + 1 \2 2(n + l) 2/	2(n + l)
C’est le résultat demandé. <1
Les deux exercices suivants sont consacrés à l’inégalité de Hilbert.
4.5. Inégalité de Hilbert (1)
Soit P = y akXk eR[X].
k=0
1.	Montrer que J P2(x)dx = -i J P2(e,e)e,9d0.
35»
CHAPITRE 4. POLYNÔMES ET SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES
2.	En déduire l’inégalité de Hilbert,
aka(
k + f 4- 1
2
k'
> Solution.
1. Démontrons, plus généralement, que J" Q(x)dx = -i J Q(e,0)el0d0
pour tout Q e R[X]. Par linéarité de l’intégrale, il suffit de le démontrer
pour Q = X". On a effectivement dans ce cas
-i P Q(e,e)e,0d0 = -i f*e,(n+1)ed0 = —((-l)',+l - 1)
Jo	Jo	i\n+l)
= —77(1 - (-1)”+1) = f Q(x)dx.
«4-1	J-]
2. Le premier membre de l’inégalité à démontrer est égal à
akat f xkx^dx = f I akafXkxe j dx = ( P2(x)dx.
o^k,e^n Jo	Jo [ouk.eun / Jo
De la question 1, on tire la majoration
P2(e'e)el0d0
Le polynôme P étant à coefficients réels, on a |P(eI0)|2 = P(e,0)P(e ,0). La
fonction qu’on intègre étant paire, on a donc
/•x	I/**1	1	n	/» tc
/ |P(eI0)|2d0 = - / |P(e'e)|2d0 - - £ aka{ e^k~^ d0
•'O	2 •'-x	2
1	n
= 2
z	k=0
ce qui donne l’inégalité voulue. <
On peut noter que l’inégalité est stricte si les coefficients ak ne sont pas
tous nuis puisque si P n’est pas nul / P2(x)<£x < / P2(x)<ix. Cette preuve
de l’inégalité de Hilbert est due à Fejér et Riesz.
L’énoncé suivant donne un résultat plus général.
4-6. INÉGALITÉ DE HILBERT (2)
359
4.6. Inégalité de Hilbert (2)
On note, pour n dans Z, en : t e R i—> e'nt g C.
n	n
1. Soit p= ^a^e-k et q = y, b^e-t où les a* et les bf sont
k=o	e=o
des nombres complexes. On considère la fonction h définie sur [0,2jc]
i r2,1
par À(t) = k - t. Calculer / p(t)ç(t)/z(t)e_i(t)dt.
2. Inégalité de Hilbert. Trouver une constante C (indépendante de p
et q) telle que
3. On pose, pour 0 s	n	a . ; k C n, cfc = y - + kJ+1- Montrer que j=oJ
s ic*i2 ** ib n2-
k=0	j=0
▻ Solution.
1.	On notera que pour tous entiers n et m, on a emen = em+„. Cela donne,
en développant
(n	i / n	\	__
V; QkC-k	e-i = Xj akbte_(k+e+\).
k=0	/ \£=0	/
On en déduit que
1 f2’1 . v akb( r2n
— /	pqhe_\ = >, —— /	e_(M+\)h.
2,1 Jo	o^k.fin Jo
Or, pour m e N’,
e-m(t)(tt-t)
im
2jü*
im
On obtient donc
s Z
1	ak^€
i * k. + Z + 1
f 0çk,t<n *	* 1
360
CHAPITRE 4. POLYNÔMES ET SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES
2.	D’après la question précédente, on 4 l’égalité
ak^f
' A -|_ P -L. 1
Or on a la majoration :
pqhe-x
|p||<7l|A||e-i
z»2k	/»2k
WhWoJ \p\\q\<* IpII^I-
Jo	Jo
D’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on en déduit que :
ak^€
O^k^^n + ^+ 1
1 / /•2k	1 / /*2k	\ / /»2k
s 4 [L * -4 (f, w2) (f.
On a
2k	___ /•2n	n
|p|2 = Y, akâ^ ek_( = 2n'^\ak\2
o<tk,e$n Jo	fc=0
et de même /	|^|2 = 2jü y |ô/>|2. On obtient finalement
Jo	r=o
akbt
O^k.e^n k + £+l
2
< *2ÿ|a*l2ÿl^l2,
k=o e=o
ce qui est l’inégalité demandée avec C - k2.
. fin	n
L’égalité J \p\2 = y, \ak |2 s’appelle la formule de Parseval. Dans le cadre
des polynômes trigonométriques elle découle simplement du caractère orthonormé de
la suite (en)nez-
n a .
3.	En posant ck = y, . + t, l’inégalité précédente s’écrit
>=o7
2
n	n	n
^bece Jt2j^M2 2}|Z>d2,
e=o	k=o	r=o
inégalité valable pour tout (bo,...,bn) de C"+1. Si on prend bf = cg
pour 0 < L C n, on obtient
)2	n	n
< tt2 y, lafci2 y, iqi2-
k=o e=o
4-7- MAJORATION DE LA NORME DE LA DÉRIVATION
361
Si SI C{\2 + 0, il reste en divisant :
f=0
j^|Q|2 < n2^lak[2,
(=0	k=o
inégalité triviale lorsque y |q|2 = 0. <1
t=0
La dernière question de l’exercice signifie que si A est la matrice de
Hilbert	et || Ib la norme triple de Mn(C) associée à la
\l + J + 1 lOUi.jin
norme hermitienne canonique de C", on a || A|b < tt.
L'espace 7n des polynômes trigonométriques de degré inférieur ou égal
à n est stable par dérivation. Comme il s'agit d'un espace de dimension
finie, l’opérateur linéaire de dérivation D : p 1—> p' est continu et on peut
s’intéresser au calcul de sa norme triple lorsque qu’on munit 7^ de la norme
de la convergence uniforme. Cela consiste donc à déterminer la plus petite
constante c > 0 telle que < e||p||oo pour tout p^T„.
Le premier énoncé ci-après montre, en utilisant le noyau de Fejér, que
la constante c = 2n convient . L’énoncé suivant démontrera l’inégalité de
Bernstein qui montre que c — n convient, cette constante étant optimale.
4.7. Majoration de la norme de la dérivation
n
Soit p(x) = y, ake‘kx un polynôme trigonométrique de degré
k=—n
inférieur ou égal à n, où les ak sont des nombres complexes. Trouver
une constante c ne dépendant que de n telle que ||p'||oo < c||p||«,.
On pourra poser K„(x) = y (1 -	je'** et considérer l’intégrale
LW=/ P(x-y)Kn(y)sm(ny)dy.
Jo
t> Solution.
Suivons les indications de l’énoncé et calculons I„(x). En écrivant
n	!..
p(x-y) = Sj atelCxe~lCy et sinny = — (e,ny - e~’ny),
t=-n	2z
362
CHAPITRE 4. POLYNÔMES ET SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES
l’intégrale In(x) vaut, par linéarité,
- V acé(x(\ - f2n e^^ydy- /’2\'(-^-n>>dyV
2t	v n ) Uo	Jo	I
Pour tout entier k, l’intégrale f e‘kxdx est nulle si k + 0 et vaut 2it sinon.
Jo
Dans la somme définissant In(x), les seuls termes non nuis correspondent donc
soit à t = k + n (avec -n < £ «S 0), soit = k - n (avec 0 < k < n). On en
déduit que
I„(x) = y ( f ak+n	(1 -	1^1)	e^x - £ ak_n	(1 -
2' \k^n	\	n I	k=0	\	n I J
n + kci(k+n)x y	k~n i(k-n)x\
1 \k~n n	k=Ô n	I
_ / n e	0 e \	_ n
= -\£ak-eikx+ E ak—eikx £ kakeikx.
t \ir\ n , n / in
\k=Q	k=-n	/ k=-n
En remarquant alors que p'(x) = 2	, on obtient finalement, pour
k=-n
tout réel x,
InW = —.\p'(x) = --/(*)•
ni i	n
A l’aide de cette égalité, on va majorer ||p'||co. On a, pour tout r e R,
n	n	C2k
|p (x)| = -|I„(x)| <	-	/ |p(x-y)K„(y)sinn>|dy
n	x	Jo
n	r2n
-IIpIIoo /	|K„(y)|d> etdonc,
X Jo
n r2x
llp'lloo -llplloo /	|K„(y)|dy.
Jt Jo
Pour avoir un majorant explicite, on va calculer cette dernière intégrale, et pour
cela calculer K„. Pour x e R et n e N, on a en regroupant l’indice -k avec
l’indice k,
n-l.	E.	t	[n-\	1
Kn(x) = -1 + V 1 - -](eikx + e~ikx) = -1 + - Re V(n - k)eikx
èov	n’	n	\k=o	)
Si e,x = 1, alors
K„(x) = -1 +	= -1 +	+	= n.
n\k=o /	2n
4.8. INÉGALITÉ DE BERNSTEIN (1ÇH2)
363
Si e‘x 4 1, alors
n-1
- k)eikx
k=0
n	e'x(l - e‘nx) ne '2
1 - eix (1 - e'-*)2	-2i sin
1 - e'nx
-4 sin2 2
On en déduit que
, 2 l n 1 - cos nx \ sin2
W - -1 + - - +	2	- —ryv-
n 4sin 2 j nsin
On a donc K„(y) > 0, pour tout y. En revenant à notre intégrale, cela permet
d’enlever la valeur absolue pour obtenir
Ja2k	z*2lt	ni |L|\ z»2it
' \Kn(y)\dy = K„(y)dy= H-— / eikydy^2n
0	JO	k^n \ n / Jo
et donc finalement ||p'||co < 2n||p||oo. <
Le polynôme trigonométrique K„ est appelé noyau de Fejér d’ordre n. On
, n-1	k
notera que K„ = V, D* où Dj. = y, ef est le noyau de Dirichlet d’ordre
k=0	e=-k
k rencontré dans l’exercice 4.1. Le caractère positif du noyau de Fejér (qui
intervient déjà fortement dans la solution ci-dessus) est la clé du théorème de
convergence uniforme de Fejér que le lecteur trouvera dans l’exercice 4.10.
/•2z
Notons qu’on peut montrer que /	K„(y)| sinny|dy = 4, ce qui permet
Jo
d’améliorer un peu la majoration précédente puisqu ’on obtient alors c = • En
fait, la meilleure constante, qui est donc la norme de l’opérateur de dérivation,
est c = n. Cela va découler de l’exercice suivant qui établit l’inégalité de
Bernstein (dans le cas réel). Cette dernière est démontrée d’une tout autre
manière dans le volume 1 (exercice 4.83). La méthode mise en œuvre ici
n’utilise que les théorèmes usuels de l’analyse réelle (théorème des valeurs
intermédiaires, théorème de Rolle,...).
4.8.	Inégalité de Bernstein (1912)
Soit n 6 N* et f un polynôme trigonométrique réel de degré
inférieur à n, c’est-à-dire une fonction pour laquelle il existe des réels
ao, ai,... ,a„, b\,..., bn tels que, pour toutx e R,
n
f(x) = ao + 2(a* cos kx + bk sin kx).
fc=i
364
CHAPITRE 4- POLYNÔMES ET SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES
1.	Montrer que si f admet au moins 2n + 1 racines distinctes
sur [0, 2tü[, alors f est nul.
2.	On suppose que /'(O) = ||/'H» > n||/||«>. Pour tout x e R, on
pose g(x) = iH/'||oo sin(nx) - /(x).
Montrer que g admet au moins 2n racines distinctes sur [0, 2jt[.
Montrer que g' admet au moins 2n + 1 racines distinctes sur [0,2x].
Montrer que g" admet au moins 2n + 1 racines distinctes sur [0,2%[.
Que peut-on en déduire ?
3.	Montrer que ||/'||<» < «ll/lloo- C’est l’inégalité de Bernstein.
▻ Solution.
1.	On obtient, à l’aide des deux formules d’Euler cos kx = ^(e‘kx + e~!kx)
et sin kx = (elkx - e~lkx),
1 "
/(x) = a0 + - 2 [(^ - ibk)eikx + (ak + ibk)e~ikx] = e~inxP(eix)
L k=\
oùP(X) = 1 ^(ak+ibk)Xn~k + aoXn + A ^(ak -ibk)Xn+k est un polynôme
2 fc=i	2 *=1
de degré inférieur à 2n. Par hypothèse P possède 2n + 1 racines distinctes à
savoir les images parx 1—> elx des racines distinctes dans [0,2ir[ de /. Il s’agit
donc du polynôme nul. On en déduit que les coefficients ak et bk sont tous nuis
et par suite que / est nul. On peut évidemment remplacer l’intervalle [0,2n[
par n’importe quel intervalle semi-ouvert de longueur 2x.
2.	L’idée est de regarder g aux points où le sinus est maximal ou minimal.
Posons, tk = pour k e [[0,2nf]. On a ntk = + kn et
(-l/ll/'lloo -nf(tk)
g(tk) =------------------------
n
Comme ||/'||oo > «||/||<x>, g(tk) est strictement positif pour k pair et stric-
tement négatif pour k impair. Le théorème des valeurs intermédiaires ga-
rantit donc l’existence d’un zéro xk de g dans chaque intervalle ouvert
]fjt, tk+i [, pour k e [[0,2n - IJ. Ces racines sont deux à deux distinctes.
Elles sont toutes dans [0, 2jc[ sauf éventuellement X2«-i qui appartient à
[t2n-i,t2n[=	- ^,27t +	• Mais dans le cas où X2«-i > 2it, il suffit
de la remplacer par %2n-i - 2rc qui est encore racine par 2jr-périodicité de g et
qui appartient à l’intervalle [0, to [. Donc g admet au moins 2n racines distinctes
dans [0, 2ït[.
On a déjà g'(0) = g'(2ir) = 0 et le théorème de Rolle appliqué entre
deux racines consécutives de g donne au moins 2n - 1 racines deux à deux
distinctes de g' dans ] 0,2rt [. Ainsi, g' admet au moins 2n + 1 racines distinctes
4-9- THÉORÈME DE WEIERSTRASS TRIGONOMÉTRIQUE
365
dans [0, 2k] . Toujours par le théorème de Rolle, g" admet au moins 2n racines
dans ]0, 2jü [. Mais comme f' présente un maximum en 0, /"(O) = 0 et par suite
g"(0) = 0. Donc g" admet au moins 2n + 1 racines dans [0,2tt [. La question
précédente permet d’affirmer que g" - 0. Donc g est affine, donc constante
(car bornée) et finalement nulle puisqu’elle s’annule.
Onaalors f(x) = lll/'IU sin(nx) pour toutx et cela contredit l’hypothèse
initiale car = n\\f'||œ. Si /'(0) = H/'lk, on a donc ||/'||oo < «ll/lloo.
3.	Il est clair qu’il existe xo e R tel que |/'(^o)l = ll/'llœ. Quitte à
remplacer f par - f on peut supposer /'(xq) > 0. On considère alors f défini
par /(x) = f(x +xq). C’est encore un polynôme trigonométrique de degré
inférieur à n auquel on peut appliquer la question 2. Comme || f ||00 = ||/||oo et
de même pour les dérivées, on a ||/'||oo < «ll/lloo- <
L’inégalité de Bernstein s’étend aux polynômes trigonométriques à coeffi-
cients complexes. En effet, soit p un tel polynôme, de degré n . Il existe un
réelxo telque |p'(xo)| = llp'llw carp' est continu et 2K-périodique donc atteint
ses bornes. Il existe alors un réel a tel que e'“p'(xo) = ||p'||<». Considérons
le polynôme trigonométrique réel q défini par q(x) - Re(e'“p(x)). Il est
de degré < n donc, d’après le résultat de l’exercice, ||<7'||oo	«Ikllœ-
On a |<?(x)| < |p(x)| pour tout réel x, donc ||^||oo < llplloo- Par ailleurs,
q'(xo) - e‘ap'(xo) = Hp'IU de sorte que \\q'||co > llp'lloo- H en résulte donc
que llp'Hoo < «llplloo •’ c’est l’inégalité de Bernstein pour p. Comme il y a
égalité pour le polynôme trigonométrique sin mx, on a finalement démontré
que la norme triple de l’opérateur de dérivation sur l’espace des polynômes
trigonométriques de degré < n est égale à n.
Les deux exercices suivants visent à démontrer que toute fonction continue
2K-périodique de R dans C est limite uniforme d’une suite de polynômes
trigonométriques (équivalent du théorème d'approximation de Weierstrass pour
les fonctions continues sur un segment). La méthode est la même dans les deux
cas : on considère la suite de terme général fn-f* un, obtenue en convolant
f avec une suite de polynômes trigonométriques un, positifs, dont l’intégrale
sur [0, 2jü] est égal à 1 et tels que, pour tout ô e ]0, Jt[, le maximum de un
sur [—rt, -ô] U [6, Jt] tende vers 0 quand n tend vers +00. On montre alors que
la suite (fn) converge uniformément vers f. On remarque enfin que fn est un
polynôme trigonométrique pour tout n.
4.9. Théorème de Weierstrass trigonométrique
Soit E l’espace vectoriel des fonctions de R dans C continues et 2k-
périodiques. Pour f et g dans E, on considère l’application f * g définie
/•2k
par (/ * g)(x) = / /(x - t)g(t)dt.
Jo
366
CHAPITRE 4- POLYNÔMES ET SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES
1. Montrer que f * g est élément de E. Que dire si f est de classe C°° ?
2. Pour tout n e N, on considère l’application un : R —> R définie
/•2it
par un(x) = cn(l + cosx)", où cn e R est choisi pour que / un = 1, et
Jo
on pose fn = f*u„. Que peut-on dire de la suite (/„) ?
▻ Solution.
1. La fonction cp : (x, /) i—> /(x - t)g(t) est définie et continue sur R2 et,
pour toutx e R, on a |cp(x, ,)|	||/||oo ||g||oo, fonction intégrable sur [0,2k],
On en déduit que f * g est définie et continue sur R. Il est clair qu’elle est aussi
2k-périodique et est donc élément de E. Si f est de classe C1, la fonction cp est
dérivable par rapport à x et la fonction (x, t) i—> f' (x - t)g(t) est continue
sur R2. De plus, pour tout réel x, on a |^(x, .)|| < II/'||°o ||g||oo, fonction
intégrable sur [0,2k]. Du théorème de dérivation d’une intégrale à paramètre,
i	r2*
on déduit que f* g est de classe C et que (/ * g)' (x) = /	/'(x - t)g(r)dt.
Jo
Une démonstration par récurrence immédiate montre que si f est de classe C°°
alors f * g est également de classe C°° et, pour tout n 6 N, (/*g)W=/«*g.
Notons que du changement de variable u = x -1, on tire
/•X
(/*g)W= / f(u)g(x-u)du = / /(w)g(x - w)d« = (g */)(x).
Jx-2r.	JO
On a donc f * g - g * f :1e produit de convolution est commutatif et donc si g
est de classe C°° il en est de même de f * g.
2. Montrons que la suite (fn) converge uniformément vers f. Par définition
on a / un(t)dt =
Jo
1, pour tout n e N, donc on peut écrire, pour tout x e R,
l/nW-
/(x-t)w„(t)dt-
u„(r)dt
/(x))M„(t)dt
- 0 - fW\u„(t)dt,
puisque un est positive.
Donnons-nous e > 0. Comme f est continue et 2jt-périodique, elle est
uniformément continue sur R. En effet, le théorème de Heine nous donne un
module de continuité uniforme q e]0, k[ pour f restreinte au segment [0, 2k]
et il est facile de vérifier que q est alors un e-module pour f sur R tout entier.
On a donc |/(s) - /(t)| < e pour |s - t| < q. On coupe l’intégrale en trois
4-9- THÉORÈME DE WEIERSTRASS TRIGONOMÉTRIQUE
367
morceaux, les intégrales sur [-k, — T|], sur [-q, q] et sur [q, jt]. On obtient
/•n	rn
' \f(* ~t) -/(x)|w„(t)dt < e / w„(t)dt < e / w„(t)dt = e,
-T]	J~V\	J-71
[ l/U-?)-/W|MnWdt<2||/||oo f Un
J q	Jr\
et de même
[ \f(x-l)~f(x)Mt)dt <2||/||„ [ n «„ = 211/Hoo r un
J-k	J-n	Jq
puisque un est paire. Il reste à majorer cette dernière intégrale par une quantité
tendant vers 0 quand n tend vers +00. Comme cos, la fonction un décroît
sur [q, tt]. On a donc
/ Mn(t)dt < ttw„(q) < trcn(l+cos q)".
Mais on a, par définition,
1	(• 2 jc	/* jc	/* k
— =	(1+cost)"dt = 2 / (1 + cost)"dt > 2 / (1 + cost)" sintdt
Cn	JO	Jo	Jo
_ ?r-(i+cos?)n+ir _ 2"+2
n + 1	0 n + 1
On obtient cn < ^^-,puis J" un(f)dt <	( 1 + cos q j et finalement
(1 .	\ n
I + cos n \
---2	'
Puisque 1 + ^os < 1, on a lim (n + 1)	+ ^os j - 0 On en déduit que
l’on a \fn (x) — /(x) | < 2e, pour tout réel x, si n est assez grand. Ceci démontre
que la suite (/„) converge uniformément vers f sur R.
D’autre part, comme il a été annoncé avant l’énoncé de l’exercice, on vérifie
que fn est un polynôme trigonométrique. En effet on a
/•2n
fn(x) = (un * /)(x) - cn /	( 1 + cosx cos t + sinx sin t))n f(f) dt.
Jo
Comme ( 1 + cos x cos t + sin x sin t))" est une combinaison linéaires de termes
de la forme (cosx cos t)*(sinx sin t)f, avec k +1 < n, on obtient en intégrant
que /„ (x) est une combinaison linéaire de termes de la forme cos* x sin^ x,
avec k + t C n. En appliquant les formules d’Euler, on montre que tout
terme de cette forme peut s’écrire comme combinaison linéaire de termes de la
forme cos(jx) ou sin (jx) avec j < «.Donc fn est un polynôme trigonométrique
de degré < n. <i
368
CHAPITRE 4- POLYNÔMES ET SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES
Toute fonction continue f : [0, 2k] —» C telle que /(O) = /(2k) peut être
prolongée en une fonction continue sur R et 2it-périodique, donc est limite
uniforme sur [0, 2k] d’une suite de polynômes trigonométriques.
L’exercice suivant donne une preuve analogue du théorème de Weierstrass
trigonométrique, dans le cadre des fonctions continues et i-périodiques, en
utilisant le noyau de Fejér. Celui-ci (déjà rencontré dans l’exercice 4.7) a la
propriété fondamentale d’être positif.
4.10.	Théorème de Fejér (1904)
Pour n g N* et x g R, on pose Kn(x) = | X X e2lxmx. On appelle
k=O m~-k
polynôme trigonométrique toute fonction de R dans C qui est combinaison
linéaire de fonctions de la forme x e2,Itmx où m e Z.
1.	Donner une expression simplifiée de K„ (x).
2.	Soit q e ]0, |[. Montrer que la suite (K„)n>i converge uni-
formément vers la fonction nulle sur [q, 1 - q].
3.	Soit / : R —> C continue et 1-périodique. Pour n g N* et x g R, on
pose pn(x) = / K„(x - y)f(y) dy. Montrer que (p(I)„ÿi est une suite de
J 0
polynômes trigonométriques qui converge uniformément vers f sur R.
> Solution.
1.	Si e21’" = 1, chaque terme vaut 1 et Kn(x) - £	+ 1) = n. On
fc=0
suppose désormais e2,Itx 1 c’est-à-dire x $ Z. On a alors
1 n-1
k„(x) = -
1
g2in(.2k+l)x _ i
-2i nkx *______________
_ j

„(e2ô« _ 1) ZJ
1	/ ^2inx ^£2ixnx _ ^-2ixxn _ ।
" „(e2ôtx _ j) e2ixx _ J
g2i kx
^-2inx __ j
= —-----------r(e2innx - l+e~2innx - 1)
M(g2utx _ ])2
2(cos(2kmx) - 1)	sin2(Knx)
M(2isinKJc)2	nsin2(Kx)
4-10. THÉORÈME DE FEJÊR (19O4)
369
2.	Soit i] e jo, Si x e [q, 1 - q], alors e2,,lx £ 1. On a donc
n „ v , , sin2(rrnx) 11
0 < K„(x) =-------z----- < -----x----	-----z------------» 0.
nsin (jcx) nsin (kx) «sin (rtq)
La suite (K„) converge uniformément vers 0 sur [q, 1 - q]. La figure suivante
donne l’allure du graphe de Kn sur [0,1].
3.	Pour n e N* et x e R, on a
= - fS E e2i*m(y-x)f(y)dy
n JO k=0 m=-k
= - E £ e-2'- ['e*™f(y)dy,
n k=0 m=-k JO
ce qui montre que pn est un polynôme trigonométrique.
Le changement de variable t = x~y dans l’intégrale qui définit pn conduit à
p„(x) = J" Kn(f)f(x -1) dt = j\„(t)f(x - t) dt,
car f et Kn sont 1-périodiques. D’autre part, si m e Z, l’intégrale / e2i’tmxdx
J 0
est nulle si m 0 et vaut 1 sinon, donc / K„ (x)dx = 1. On écrit alors
Jo
Pn(x)-f(x)= /"’K„(r)/(x - r)dt -/(x) f' K„(r)dt
Jo	Jo
= / Kn(r)(/(x-r)-/(x))dr.
Jo
Puisque Kn est positive, on en déduit que
IPn(x) - /(x)| < / K„(t)|/(X - t) - /(X)|dr.
Jo
370
CHAPITRE 4. POLYNÔMES ET SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES
La fonction f est uniformément continue sur R, puisque continue et 1-
périodique. Pour e > 0, soit q e jo, [ tel que |/(x) -/(y)l < £ si |x - y | s? q.
On a alors
[ K„(z)|/(x - t) - /(x)|dz C e [ Kn(z)dz < e /" K„(z)dz < e
Jo	Jo	Jo
et de même, puisque f est 1-périodique,
/’* K„(z)|/(x-z)-/(x)|dz = [' K„(z)|/(x + 1 -1) - /(x)|dz < e.
Jl-q	Jl-q
On majore ensuite l’autre morceau d’intégrale. On a
fi-q	fi-q
/	K„(z)|/(x-z)-/(x)|dr < 2||y||«, / K„(z)dz.
Jr\	J q
Cette dernière quantité tend vers 0 quand n tend vers +00, car Kn converge
uniformément vers 0 sur [q, 1 - q]. Elle est inférieure à e si n est supérieur à
un entier naturel mq. On a alors, si n > «o, |pn(x) _ f(x)I < 3e, pour tout réel
x. La suite (pn)new converge donc uniformément vers f sur R. <1
Le lecteur qui connaît la théorie des séries de Fourier (qui n 'est actuellement
plus au programme des classes préparatoires), pourra remarquer que si f est
une fonction 2it-périodique et continue, et S„(/) la somme partielle d’indice n
de sa série de Fourier, alors
f v S1(/) + --- + Sn(/)
f * Kn =--------------------
n
Le théorème de Fejér montre donc que la moyenne de Cesàro des sommes
partielles de la série de Fourier de f converge uniformément vers f. Le théorème
de Cesàro permet de conclure que si la suite (Sn(f)(x) converge, sa limite est
nécessairement f(x). Maison sait que (Sn(f)) ne converge pas nécessairement
vers f, si l’on suppose seulement f continue; Fejér a été l’un des premiers à
donner un contre-exemple.
Se pose alors le problème de la mesure de la qualité de l’approximation
d’une fonction 2tt-périodique continue par les polynômes trigonométriques.
De manière précise, si f : R —> C est 2it-périodique continue et si TjJ est
l’espace des polynômes trigonométriques de degré non cherche à étudier
à quelle vitesse la suite &n(f) = inf \\f - p||oo converge vers 0. Le théorème
de Jackson qui fait l’objet de l’exercice ci-après redémontre le théorème de
Weierstrass trigonométrique et fournit une première réponse à cette question.
4.11. THÉORÈME DE JACKSON (1911)
371
4.11.	Théorème de Jackson (1911)
/ . (n + l)z\4
/ sin 1I
On pose (z) = c„ ----------f— I , la constante cn étant choisie de telle
\ sin 2 /
f71
sorte que / Jn = 1 (Jn est appelé le noyau de Jackson d’indice n). On
J-K
note E l’ensemble des fonctions de R dans C continues et 2zt-périodiques.
Pour g e E et h > 0, on pose
<dh(g)= max |g(s)- g(z)| et Tng(x) = f J„(x - z)g(z)dz.
1.	Montrer qu’il existe a > 0 tel que / |z|Jn(z)dz < —pour n e
J — JC
N.
2.	Montrer qu’il existe b > 0 tel que, pour tout g e E et n e N* on ait
l|T„g -g||co < ^W2«(g).
n
3.	Conclure que la suite (Tng) converge uniformément vers g sur R.
▻ Solution.
/-.in
1. La fonction fn définie sur [-zt, zt] par fn(t) - -----------f—	si t + 0
\ Sln 2	/
et fnity - (n + l)4 est continue sur [-zt, zt] et paire. Par définition, on a
i r*	/”'
-=/ /„(z)dz = 2/
Oï J-n	JO

et donc
ït	z-it	/* Z/n(f)dZ
( |z|J„(z)dz = c„ / |z|/„(z)dz = ^_---------------
J-*	I /„(z)dz
Jo
Nous allons majorer le numérateur N„ et minorer le dénominateur D„ de ce
quotient, en partant de l’encadrement classique: ^Z < sinz < zpourz g jo, y j.
On obtient

/  («+ l)z \4
sin 1—2-J_ I
7
zt /
_ • 4 (n + 1)Z
* sin 1
-V-"-
o
372
CHAPITRE 4. POLYNÔMES ET SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES
et
/ . (n + l)r \4
* / sin 11
----------— dt.
0
2
Le changement de variable u - -—conduit à
2
N„ < TC4
sin4U	, /	ix2
—— du	ki(n + 1) ,
w*
où k[ =	/ sin,u du > 0. Le même changement de variable donne
q JO u3
/•(n+l)f	4
D„>2(n + 1)3 /	—— du > k2(n + l)3
Jo M
/* 2 '4
où k2 = 2 / sm, “ du > 0. On note que les fonctions qui interviennent dans
Jo u*
les intégrales précédentes sont toutes prolongeâmes par continuité en 0, ce
qui assure leur intégrabilité sur les intervalles bornés. De plus, la fonction
u i—> sinu est majorée par _L ce qUj assure son intégrabilité sur [1, +00 [.
u3	u3
r*	k-t
Finalement, on obtient, pour tout n e N, J |t|J„(t)dt < k2(n + iy ce qui
est le résultat voulu avec a = yd. •
*2
/•JC
2. Soit g un élément de E. Puisque / Jn(r)df = 1, on peut écrire, pour
J-k
/•it
tout réel x et tout n e N*, g(x) = / g(x)J„(t)dz. Le changement de variable
J-ïï
u = x - t et la périodicité de g et J„ permettent d’écrire
ZX+7T
J„(u)g(x - u)du = / J„(u)g(x - u)du.
-x	J-n
On obtient donc
Tng(x) - g(x) = f J„(t)(g(x-t)-g(x))dt
J-n
puis |T„g(x)-g(x)| < f J„(t)|g(x - t) - g(x)|dt.
J— JC
On cherche une majoration de |g(x -1) - g(x)| faisant intervenir ta2^ (g)- Pour
n
tout entier N e N*, on peut écrire
|g(x-t)-g(x)| < S|g(x-^)-g(x-G’-1)^)|-
4.11. THÉORÈME DE JACKSON (1911)
373
Si N vérifie |^|	^2, soit N > on obtient
n
On prend N =	+ 1, ce qui donne N |t| + 1 et donc
|g(x-r)-gWI < (^|t| + 1) ti)£(g).
On en déduit alors, en utilisant la majoration obtenue dans la question précédente
r n
et l’égalité / J„(t)dt = 1, que, pour tout réelx,
J-7t
|T„g(x)-g(x)| < œft(g)y ^|t| + ljj„(/)dr
< Û)2L(g) (— + 1) •
2,1	\ 2it /
Finalement, en posant b =	+ 1 > 0, on a
l|T„g -g||co < bttnffg).
n
On note que la constante b ne dépend ni de n, ni du choix de g g E.
3. Toute fonction g de E est continue et 2jt-périodique donc est uni-
formément continue sur R. On en déduit que lim a>h (g) = 0. En effet, soit e > 0
h—>0
et q un e-module d’uniforme continuité de f. Si h < q, alors pour |s - t| < h,
on a |s - t| =5 q et donc |g(s) - g(r)| C e. On en déduit que cùh(g) < e, ce
qui démontre le résultat voulu. On en déduit que la suite (ba^ig)') converge
n
vers 0 et la suite (Tng) converge donc uniformément vers g sur R. <1
Il est facile de vérifier que J„ est un polynôme trigonométrique de degré 2n.
En effet, on part de
sin(n+l)4 P(n+1)4 -j(n+l)l	z,i(n+l)r_1	, «
_______11 = -______—________- =	______i- = e-'"5 y eikt.
sin 2	e'5-e“‘ï	e" - 1	£3)
En élevant au carré, on obtient
/sin(n+l)i\2 . / «	\2	. 2n
-----~p"1	=e~"“	= e~ntt^n + l-\k-n\)e,kt
\ sin j /	\ k=o	j k=o
= X(n+l-\k\)e‘kt.
k=-n
374
CHAPITRE 4. POLYNÔMES BT SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES
En élevant de nouveau au carré, on obtient bien un polynôme trigonométrique
de degré 2n et ainsi J„ appartient à Tin-
Supposons que g soit une fonction 2it-périodique et a-hôldérienne, avec
a e ]0,1], c’est-à-dire qu’il existe K > 0 tel que |g(x) - g(y)| < K|x - y|a,
pour tous réels x et y. On a alors (1)2. (g) < K (^2 j . Reprenons les notations
données dans l’introduction de l’exercice en posant ) = inf ||g - p||oo-
P^T„
Comme T„g est un polynôme trigonométrique de degré < 2n, la question
2 de l’exercice ci-dessus montre que 82» (g) <	, autrement dit
que Ô2n(g) = O j • Comme la suite (8n(g)) est décroissante, on a aussi
8n(g) = O	’ C’est une mesure très précise de la qualité de l’approximation
de g. Un an après les résultats de Jackson, Bernstein établit une réciproque : si
8n(g) - O alors g est a-hôldérienne. C’est l'objet de l’exercice suivant.
Notons que c’est dans cette étude que Bernstein a prouvé l’inégalité qui porte
son nom et qui a été démontrée dans l’exercice 4.8.
*4.12. Un théorème de Bernstein (1912)
On note 77i l’espace des polynômes trigonométriques de degré inférieur
ou égal à n. Soit f une fonction continue et 2it-périodique de R dans C.
On pose 8„(/) = inf ||/ - p||œ. Soit a e ]0,1 [. On suppose qu’il existe
pe.Tn
un réel C > 0 tel que, pour tout n e N*, 8n(f) < Cn~a.
1.	Montrer que 8„(/) est atteint.
2.	Pour tout n e N, on considère un polynôme pn e 7^" tel
que I|p„ -/lloo = Ô2"(/).
Montrerqu’il existe A > Otelque ||p^||oo «S A2(1 pour tout « g N*.
On pourra utiliser l’inégalité de Bernstein : Vp 6 7^, ||p'||oo < n||p||oo.
3.	Montrer que f est a-hôldérienne, c’est-à-dire qu’il existe K > 0 tel
que, pour tous réels x et y, |/(x) - f(y)\ < K|x - y|“.
▻ Solution.
1.	Le résultat vient de ce que 7^ est de dimension finie. Pour justifier
que 8„ (/) est atteint, on montre qu’on peut se limiter à faire varier p dans un
compact de 7^, c’est-à-dire, puisque Ti, est de dimension finie, dans un fermé
borné.
Toute fonction continue et 2it-périodique est bornée sur R. Pour tout p e Tn,
on a ||/ - p||oo > llplloo - ||/||o<>. On en déduit que ||/ - p||oo > 8n(/)
si llplloo > ||/||a> + 8n(/). En notant B = {p G Tn, ||p||oo < II/II00 +8,,(/)}, on
*4.12- UN THÉORÈME DE BERNSTEIN (1Ç12)
375
obtient donc 5n(/) = inf ||/ - p||oo- L’ensemble B étant compact et non vide,
peB
cette borne inférieure est atteinte.
2.	L’existence de p„ résulte de la question L Suivant l’indication de
l’énoncé, on utilise l’inégalité de Bernstein. On a, pour n g N,
l|Pn+l - Pn llco llPn+l “ /lloo + ||p« - /||oo =£ ô2"+> (/) + ô2" (/)
< 202- (f) < C21-”“,
car ô2„+i (/)	82„ (/). On en déduit que
K+i - Pnll~ < 2n+1 • C2‘-”“ < 4C2n<‘-“’
puis que
n-1	n-1
iip;ii« < iipoIi~+Siip;+, -p'ji- < iiPoiioo+S4^1’01
k=0	k=0
< lin'11 4-dC^1	< lin'Il +
<HP0lloo + 4C 21-a_j llPolloo + 21-a _ J 2
Comme 2(l a,n tend vers +oo quand n tend vers +oo, la suite
majorée (par B) et on a, pour tout n g N,
4C
llp^lloo < A2(,-“>", où A = B + ^—r
3.	Il s’agit de trouver K > 0 tel que |/(x) - /(y)| < K|x - y|“ pour tout
couple (x,y) g R2. Il faut donc majorer	quand x £ y.
Pour les « grandes » valeurs de |x - y|, cela ne pose pas de problème. Si,
par exemple |x - yj > 1, on a
-(,X) ~X?}I < l/W -/(y)l < 211/llæ.
Supposons désormais 0 < |x — y | < 1. On utilise le résultat de la question
précédente, l’inégalité des accroissements finis pour majorer |p„(x) - pn(}’)h
et la proximité de f et pn. Pour tout n g N, on a
\fW - f(y)\ |/(x) - p„(x)| + \f(y) - p„(y)| + |p„(x) - p„(y)|
< 2||p„ -/||oo+ ||Pnll<x>|x-y|
262-(/) + A2(1-a)"|x - y| < C2|-'1“ + A2(1-a)n|x - y|.
On en déduit que
\fM-f(y)\
|x-y|“
/	1 \a
<2C —--------J +A(2"|x-y|)1-“.
\2"|x-y|/
376
CHAPITRE 4- POLYNÔMES ET SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES
Choisissons n 6 N tel que 2"|x - y| e 1 i.e. < |x - y| < C’est
possible car |x - y| e ]0,1 [. On a alors
Finalement, on obtient, pour tout (x, y) e R2,
|/(x)-/(y)|<K|x-y|“,
avec K = max(2||/||a, C21+a + A). Cela démontre que f est a-hôldérienne. <J
L'énoncé suivant démontre la version trigonométrique du théorème de
Korovkin que le lecteur aura rencontré dans l’exercice 2.31. Dans les deux
cas, le résultat démontre que si (un) est une suite d’endomorphismes positifs
sur un espace de fonctions continues et bornées, la convergence uniforme de
un(f) vers f pour toute fonction de l’espace est assurée dès lors qu’elle est
vérifiée pour un nombre fini de fonctions particulières.
4.13.	Théorème de Korovkin trigonométrique
Soit Cl’algèbre des fonctions continues et 2x-périodiques de R dans R,
munie de la norme de la convergence uniforme.
1.	Pour f dans C et ô > 0, justifier l’existence de
œ/(ô) = sup{|/(x) -f(y)\, (x,y)eR2 et |x - y| < ô}.
Quelle est la limite de cù/(8) lorsque ô tend vers 0?
Soit (Tn)n>o une suite d’applications linéaires de C dans C. On suppose
que pour f e C et n e N, si f > 0 alors T„(/) > 0, et que, de
plus, T„(/)------> f si f e {1, sin, cos}.
n—>+oo
2.	Soit 5 e ]0,|[, y eRetgy : x e R h 1- cos(x — y). Montrer
que, pour f g C et n e N, on a
|T„(/- /(y)l)| œ/(ô)T„(l) + 2|l/ll7sJn(gy)-
1	1	l-cos(o)
3.	En déduire que la suite (Tn(/)) converge uniformément vers f
pour toute fonction f e C.
> Solution.
1.	Comme une fonction f de C est continue sur [0, 2k] elle y est bornée et,
par périodicité, elle est bornée sur R. La quantité cû/(5) est donc bien définie
4-13- THÉORÈME DE KOROVKIN TRIGONOMÉTRIQUE
377
car c’est la borne supérieure d’une partie non vide majorée par 211/Hoo. Sa limite
en 0 est 0. En effet, f est continue et périodique donc elle est uniformément
continue sur R. Soit e > 0 et q un module d’uniforme continuité associé à e.
Pour ô q, on a <ü/(8) e ce qui donne la limite annoncée.
2.	Soit n e N. L’application T„ est croissante : si f et g sont dans C
et f < g, alors on a T„(g - /) > 0 et T„(/) < T„(g). De -|/| < f |/|,
on déduit -T„(|/|) < T„(/) < T„(|/|), c’est-à-dire |T„(/)| < T„(|/|). En
particulier |T„(/-f(y) 1) < T„(|/-/(y)l|). Or, pour tout (x,y) e R2, on a
l/(-t)-/(y)l <<0/(8) + 2||/||oo1gy(jc) •
1 - cos o
En effet, s’il existe x' g R congru à x modulo 2jt tel que |x' - < 6,
on a \f(x) - f(y)\ = \f(x') - /(y)| «S ffl/(ô); sinon, gy(x) > 1 - cos 8
et |/(x) ~f(y)\ < 2||/||oo 2||/||oo.	6 • On a donc, pour tout y E R,
L vUO vJ
Par croissante de T„ et linéarité, on obtient
|T„(/ - f(y)DI < œ/(8)Tn(l) + t
3.	La fonction /T„(l) e C converge uniformément vers / puisque
ll/T„( 1) - /lloo < ll/lloo ||T„(1) - 1 lloo -> 0.
n—»+oo
Il suffit donc de démontrer que T„(/) - /T„(l) converge uniformément vers
0. Soit e > 0. Pour n e N et y e R, on a
|T„(/ - f(y) 1)| <	(8)T„(1) + t
et donc
IT,.(/)(y) -/(y)T„(l)(y)| C œ/CSXMlXy) + , 2|l/l1” T„(gy)(y).
1 - cos(o)
On choisit ô > 0 pour que coy(ô) e et l’on passe à norme infinie :
l|T„(/) - /T„(l)||oo < elIT^nik + , 2|l/ll“ sup |T„(gy)(y)|.
1 -cos(ô) ysR
Or, on a
T„ (gy ) (y) = T„ ( 1 - cos y cos - sin y sin) (y)
= Tn(l)(y) -cosyT„(cos)(y) - sinyTn(sin)(y).
378
CHAPITRE 4. POLYNÔMES ET SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES
Comme 1 - cos2 y + sin2(y), on a
|1 - cosyT„(cos)(y) - sinyTn(sin)(y)|
= |-cosy (T„(cos)(y) - cos(y)) - siny (T„(sin)(y) - sin(y))|
< ||T„(cos) - cos ||oo + ||T„(sin) - sin ||».
On en déduit que
|T„(gy)(y)| < ||T„(1) - 1 H- + ||T„(cos) - cos Ile + ||T„(sin) - sin Hœ
et donc, puisque cela est vrai pour tout réel y, on a
sup |T„(gy)(y)| < ||T„(1) - lH» + ||T„(cos) - cos ||» + ||T„(sin) - sin ||»
ygR
Par hypothèse le majorant tend vers 0, donc sup |T„(gy)(y)| ----> 0. On en
yeR
déduit que e||T„( 1)||M +
211/IIoq
1 - cos(ô)
= e
sup |T„(gy)(y)| converge vers e|| 11|»
yeR
car Tn( 1) converge uniformément vers 1. On a donc, pour n assez grand.
l|T„(/) -/T„(l)||»	2e,
ce qui prouve la convergence uniforme de la suite (T„(/)) vers f. <
De même que le théorème de Korovkin de l’exercice 2.31 éclaire la
démonstration du théorème de Weierstrass donnée par Bernstein, la version
trigonométrique ci-dessus (traduite pour des fonctions ^-périodiques) éclaire
le théorème de Fejér vu dans l'exercice 4.10. En effet, le noyau de Fejér Kn étant
positif, l’application f i-> f * Kn est un endomorphisme positif de l’espace
C des fonctions continues, 1 -périodiques de R dans C. On a 1 * Kn = 1 car
/ K„ = 1 et, en notant e\ la fonction t 1—» e2'7", on a
JO
(ei*K„)(x)= f K„(t)e2l’l(jc-r)dr = e2inx f Kn(t)e~2iM dt
Jo	Jo
car / e2l*(m dt = 0 si m + 1. En notant c et s les fonctions 11—> cos(27tt)
Jo
ett 1—» sin(2%r), on obtient c*K.n = ” ~ c ets*Kn = ” ~ * .y, en considérant les
parties réelle et imaginaires. Les suites (1 *K„), (c*K„) et(s*Kn) convergent
4-14- suite (na - [naj), avec a irrationnel (1)
379
uniformément vers 1, c et s, respectivement. On en déduit que (f*K.„) converge
uniformément vers f pour tout f e C.
Les trois exercices suivants utilisent le théorème de Weierstrass trigo-
nométrique (démontré dans les exercices 4.9, 4.10 et 4.11) qui affirme que
toute fonction continue sur R et 1-périodique est limite uniforme de polynômes
trigonométriques 1 -périodiques.
4.14.	Suite (na - [naj), avec a irrationnel (1)
Soit a un réel irrationnel.
1.	Soit f : R —» C continue périodique de période 1. Montrer que
1 N	f1
Nlüp	/ f-
N_,+0O N n=i	Jo
On le prouvera pour f : x ।—» e2,nPx avec p e Z, puis pour f polynôme
trigonométrique et enfin dans le cas général.
2.	Montrer que l’ensemble des valeurs d’adhérence de la suite
(na - Lw«J)neN est le segment [0,1] tout entier.
3.	En déduire l’ensemble des valeurs d’adhérence des suites
(cos(2jtna))nGN et (sin(2jtna))n£N-
▻ Solution.
1. Pour f : x i—>	avec p e z, on a
1 N	i n	1 N / \n
N g /<"»> = n g = N g	'
Si p £ 0, alors pa £ Z, car « ï Q, donc e2lxpa	1 et
1 N	e2inpa(i _ e2inpna}
N(1 - e2i1tpa)
On a donc
i N
A S f(na)
n=l
?	1 N
< N|1_e2.ltpa| et ainsi N E /(««)
le résultat voulu car j" f =	e21nP*j = 0. Le résultat est également
vérifié pour p = 0, car alors f = 1, f f = 1 et pour tout N 6 N*,
Jo
K	= 1-
n=l
Un polynôme trigonométrique est une combinaison linéaire de fonctions
de la forme x t—> e2,npx, donc par linéarité de la limite et de l’intégrale, la
380
CHAPITRE 4. POLYNÔMES ET SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES
propriété reste vraie pour un polynôme trigonométrique. On étend le résultat
aux fonctions f : R —> C continue de période 1 en utilisant le théorème de
Weierstrass trigonométrique. Une telle fonction est limite uniforme d’une suite
de polynômes trigonométriques.
Soit e > 0 et p un polynôme trigonométrique tel que ||/- p||co < e. Posons
pour tout N e N*,
On a
1 N
ÔN N E (/(«“) ~ P(«“)) +
W n=l
1	N	1 N
Le dernier terme tend vers 0 quand N tend vers +00, donc, pour N assez grand,
1 N	f1
on a 6n 3e. Ainsi, lim A V f(na) - f.
N->+oo L"1 n=1	Jo
2	. On pose un = na - [naj. L’ensemble des valeurs d’adhérence de (w„)
est inclus dans [0,1]. Soit a e ]0,1[ et e > 0 tel que [a - e,a + e] c ]0,1[.
On considère la fonction f : [0,1] —» R telle que
/U) = -
1	si x e
0	si x e
a -
0, a - e] U [a + e, 1]
et f affine sur a - e, a - 11 et a + |, a + e
N
0
0
0
n=l
0
On prolonge f en une fonction de R dans R, 1-périodique ce qui est possible
f1 fa+l
puisque/(O) = /(l).Comme/estpositive,ona / /> /	/ = £.Comme
JO Ja-^
f est 1-périodique, on a, pour N e N*,
1 N	1 N
t—>/ f-
N ^1	N ^1	N^+“ Jo
4-15- suite (na - [naj ), avec a irrationnel (2)
381
1
Il existe donc Nq e N* tel que JL /(M«) > f Pour N > Nq. D’autre part,
n=l
comme f jqa_E.a+E], on a
1 N 1 N 1
N	|{n 6 [U’N]], «n 6 [a-£,a + e]}|.
Pour N > Nq, on a |{n e [[1,N]], m„ e [a - e,a + e]}| > Ainsi, l’en-
semble des entiers n tels que un e [a - e, a + e] est infini et on peut trouver
des entiers p aussi grands qu’on veut tels que up e [a - e, a + e]. Comme e
est arbitraire, cela montre que a est valeur d’adhérence de la suite (un). Pour
a = 0 ou a = 1 on peut adapter la preuve précédente ou simplement utiliser le
fait que l’ensemble des valeurs d’adhérence de la suite (u„) est fermé.
3. Montrons que l’ensemble de valeurs d’adhérence de la suite (cos(2itna))
est [-1,1]. Soit b e [-1,1]. Il existe a e [0,1] tel que b - cos(2tta). Comme
a est valeur d’adhérence de (u„), il existe <p : N —> N strictement croissante
telle lim ««(„) = a- On a alors, par continuité de la fonction cos,
b = cos(27ta) = lim cos(27tM<0(„)) = lim cos(2it(p(n)a).
Donc b est valeur d’adhérence de la suite (cos(2itna)). On montre de même
que l’ensemble de valeurs d’adhérence de la suite (sin(2ttna)) est [-1,1], <1
On montrerait de même que l’ensemble des valeurs d’adhérence de la suite
(e2,Kna)n»o es( ie cercie unitg du p[an complexe.
L’exercice suivant, très proche, donne une version bidimensionnelle en
utilisant les mêmes techniques.
4.15.	Suite (na - [naj), avec a irrationnel (2)
1.	Montrer que (1, V2, V3J constitue un système libre du Q-espace
vectoriel R.
Soit (a, P) e R2 tel que le système (1, a, p) est Q-libre.
2.	Soit f, g : R —> C continues périodiques de période 1. Montrer que
1 N	/•!/•!
«lim Ü	= f S-
N-»+oo N	Jo Jo
On le prouvera pour f : x e2,npx et g : x f-» e2'11'7* avec (p, q) G Z2,
puis pour f et g polynômes trigonométriques, puis dans le cas général.
3.	Montrer que l’ensemble {(na - [na] , np - [np]), n e N} est
dense dans [0, l]2.
382
CHAPITRE 4. POLYNÔMES ET SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES
▻ Solution.
1.	Si n e N et y/n e Q, alors y/n g N, donc V2, V3 et Vô ne sont pas dans Q.
Soit (a, b, c) G Q3 telquea+£»V2+cV3 = 0. On a alors a2 = 2b2+3c2+2bcV6.
Comme Vô g Q, on a nécessairement bc - 0. Si b = 0 alors a + cy/ï = 0 et
comme V3 t Q, on a c = 0 et donc a = 0. De même, si c = 0 alors a + b'JÏ. = 0
et comme V2 £ Q, on a b - 0 et donc a = 0.
2.	Soit f : x h-» e211'/’* et g : x 1—> e2'"9* avec (p, q) e Z2. On a
alors / f / g = 0 si (p, a) £ (0,0) et / f / g = 1 sinon. D’autre part,
Jo Jo	Jo Jo
on a
N	N	N .	.„
2 /(na) g(np) = £ e2^"(P“+<?P) = j? M.Xpa+uP))
n=l	n=l	n=l
Si (p,q) £ (0,0), alors pa + qft Z, car sinon on on obtiendrait une
combinaison linéaire nulle de (1, a, P), à coefficients dans Q non tous les
trois nuis. Ainsi e2' 1t(Pa+<70) 1 et on peut écrire
N	e2iir(pa+<70) le2iit(pa+9P)N
g/(«“)g(«P) =-----------
1 N
On en déduit £ f(na) g(«p)
—1---------------r et donc
N e2iz(pa+qP) _ J
Mlim é 2L/(«“)«<n0) = 0 = [ f [ s-
N—>+oo N	Jo Jo
Si p = q = 0, alors f = g - 1 et
1 N
= 1
JN	N—>+00
M=1
si bien que l’égalité est encore vérifiée.
Les applications (/, g) >-> lim A £ /(na)g(«P)et(/,g) f f [ g
n->+oq rs	j0 j0
étant bilinéaires, on en déduit que la propriété est vérifiée pour f et g polynômes
trigonométriques.
On étend le résultat aux fonctions f, g : R —> C continues périodiques
de période 1 en utilisant le théorème de Weierstrass trigonométrique. De telles
fonctions sont limite uniforme d’une suite de polynômes trigonométriques. Soit
e g ]0,1 [ et p, q des polynômes trigonométriques qui vérifient ||/ - p||oo < e
et ||g - <7||œ < e. Pour tout n G N*, on a
|/(na) g(«P) - p(na) q(np)| < |/(na)| |g(«P) - <?(nP)| + |ç(«P)l l/(«a) “ />(««)
< ll/llooe + (llglloo + e)e < Ke,
4.15. suite (na - [naj), avec a irrationnel (2)
383
Où K = ll/lk + ||g|| 00 + 1 • On cn déduit Que, pour tout zi g , on 3
À y /(na) g(«P) - y, p(na) q(n$)
n=l	1N n=l
On a, de même
On a donc
$ Ke.

D’après ce qui précède, le dernier terme tend vers 0 quand N tend vers +oo,
donc on a, pour N assez grand,
^y/(na)g(»P)- f ff g
N „=i	Jo Jo
< (2K+ l)e.
Comme 2K + 1 est une constante strictement positive, cela démontre que
Mlim 77 y /(w«)g(nP) = f f f g-
N—>+«> N	Jo Jo
3.	Posons un = na - [na] et vn = «p - LWPJ- On a (un,vn) e [0, l]2
pour tout n. Soit [a, b] et [c, d] deux segments non réduits à un point, inclus
dans ]0,1 [ et e > 0 tel que e < j min(h - a, d - c). On considère la fonction
/ : [0,1] —» R telle que
/W =
si x e
si x e
a + |, b -
0, a] U [b, 1]
et f affine sur [a, a + e] et [b - e, b]. On prolonge f en une fonction de R dans
R, 1-périodique. Cela est possible car /(O) = /(l). On définit de même g pour
le segment [c, d\.
fb-e
Comme f et g sont positives, on a / / > / f = b- a-2e>0
1	Jo Ja+e i
et, de même, j" g d - c - 2e >0, donc J" f f g > M > 0,
où M = (b - a - 2e)(c - a - 2e). Comme f et g sont 1-périodiques, on
a
i N	i n	r1 r1
N g fMM = n g /(»«>«(„» — / f f s
384
CHAPITRE 4. POLYNÔMES ET SERIES TRIGONOMETRIQUES
1	K/f
Il existe donc No G N* tel que X f(u„)g(v„) > f, pour N > No. D’autre
n=l
part, comme 0 < f < P[a,b] et 0 g ^[c.d], on a
j N	j N
=	|{n e [[1,N]], un e [a, b] etz?n e [c, <Z]}|.
Pour N > No, on a |{n e [[1,NJ, un e [a,b] etvn e [c,d]}| >	> 0 et
donc il existe n G [[1, NJ tel que (m„,u„) g [a, b] x [c,d], on en déduit
que {(na - [na] , n0 - [n0]), n e N} est dense dans ]0,1[2 et donc dans
[0,l]2.<
On aurait pu démontrer comme dans l'exercice précédent, que / 'ensemble
des valeurs d’adhérence de la suite (un, vn) est [0, l]2.
L’exercice suivant établit un critère d’équirépartition particulièrement
efficace démontré par Weyl en 1916.
4.16.	Suites équiréparties : critère de Weyl
Soit (un)n}>i une suite de [0,1]. Pour 0 =? a < b < 1, on pose
X„(a, b) = Card{fc e [[1, nj, uk e [a, A>|}.
Prouver l’équivalence des propriétés suivantes :
(i)	tend vers b - a pour tout couple (a, b) ;
(il)	pour toute fonction f : [0,1] —> R continue, on a
1 "	f1
!im - ^f(uk) = / f(t)dt ;
n^+°° nkTl	Jo
(iii)	pour tout p e N*, on a lim ± V e2,1tpUk = 0.
n—*+°° n
▻ Solution.
• Montrons que (i) => (n). Notons que la quantité -n^’ est égale
à n S	°ù ^[a,b] désigne la fonction caractéristique du segment
k=l
rb
[a, é>| et que / P[a,b] = b - a. La propriété (ii) est donc vérifiée pour
J a
les fonctions caractéristiques d’un segment. Toute fonction en escalier f
4.16. SUITES ÉQUIRÉPART1ES : CRITÈRE DE WEYL
385
sur [0,1] est combinaison linéaire de fonctions caractéristiques de segments
(éventuellement réduits à un point pour obtenir les valeurs de f aux points de
discontinuité). Par linéarité, la propriété (il) est donc vraie pour toute fonction en
escalier. Montrons maintenant que (fi) est vérifiée pour les fonctions continues.
Soit f : [0,1] —> R une fonction continue et e > 0. On sait qu’on peut trouver
une fonction en escalier g qui approche f uniformément à e près sur [0,1], Le.
telle que ||/ - g||M < e. Grâce à l’inégalité triangulaire, pour tout n h
1, on
peut majorer
ït^f^k)-f ' f Par
n k=l
l-tg^-fg+ ['f
n k=\ Jo Jo Jo
Le premier terme est majoré par e de même que le dernier. Comme g est en
escalier, le terme du milieu devient inférieur à e au-delà d’un certain rang N.
Bref, pour n > N, on a
1 "	f1
ji Y. f(uk) - f =5 3e ce qui prouve (fi).
r=i Jo
k=\
Bien entendu (fi) reste encore vraie pour une fonction continue par morceaux et
même une fonction réglée.
• Montrons réciproquement que (fi) => (i). Une fonction caractéristique
d’un segment I (distinct de [0,1]) présente au moins une discontinuité donc ne
peut pas être obtenue comme limite uniforme d’une suite de fonctions continues.
En fait, on n’a pas besoin d’une approximation uniforme : il suffit d’encadrer JKj
par deux suites de fonctions continues affines par morceaux qui convergent
vers JKi au sens de la norme intégrale. Prenons pour commencer I = [a, 0]
avec 0 < a < 0 < 1. On considère les de fonctions continues cp^ et tp* définies
pour k e N suffisamment grand par les figures suivantes :
Ainsi, qr* est nulle sur les segments [0, a] et [0,1], vaut 1 sur [a+p 0-^]
et est affine sur les deux segments qui restent.
On observe que pour tout p assez grand, t|/p < JK[ < cpp. Il en résulte que
386
CHAPITRE 4- POLYNÔMES ET SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES
1 n	X (a R) 1 n
pour tout n > 1, £ £ Wp(uk) < " „ 7 < X <Pp(uk)- Par hypothèse,
fc=i	*=1
1 "	f1	1
lim - Vv (Mjt)= / y =p_a__
n^+°° nk=\	Jo	P
1 "	f1	1
et lim -52(pp(wJt)= / q>p = p-a+—•
”^+” n	Jo	P
Soit e > 0. Choisissons p tel que J < e. Il exista N tel que pour n > N, on
ait	- P + a| < 2e. Ainsi, Xn^’ tend vers p — <xsiO<oc<p< 1.
Il est aisé d’adapter la démonstration lorsque a = 0 ou p = 1.
•	La propriété (iiï) résulte directement de (ü) puisque
1 n	1 n	1 n
lim - Y' e2,1cPui‘ = iim - V' cos(2îtpMjt) + i lim - Y' sin(2np«fc)
n	n-»+ot> n	n-»+o° n
/ cos(2jcpx)dx + i / sin(27tpx)dx = 0.
Jo	Jo
•	Montrons enfin que (zz'z) => (zz). Par linéarité, on a la propriété (ü) pour
tout polynôme trigonométrique du type
n	n
x 1—> üq + X1, «t cos(2&7cx) + 22 t>k sin(2£ztx).
fc=l	zt=l
D’après le théorème de Weierstrass trigonométrique, toute fonction continue
f : [0,1] —> R vérifiant /(O) = /(l) est limite uniforme d’une suite de
polynômes trigonométriques de ce type. Comme précédemment, on en déduit
que (») est vérifiée pour une telle fonction continue. Si f ne vérifie pas la
condition /(O) = /( 1) on peut, pour tout e > 0, trouver une fonction continue g
vérifiantg(O) = g(l)et / | f-g| < e. Comme dans l’implication (z'z) => (z),
Jo
cela suffit pour prouver que (z'z) est aussi vraie pour f.
Les propositions (z), (z'z) et (z'z'z) sont donc toutes équivalentes. <1
La proposition (1) définit l’équirépartition de la suite (un)n^]. Le critère
de Weyl correspond à l’équivalence des assertions (i) et (z'z'z).
On note ep la fonction t 1-» e2‘*pl, pour p e N. On a démontré dans
1 n	rl
l’exercice 4.14 que pour tout p e N on a ^lim y, ep(na) = J ep. Par
ï-périodicité de ep, on en déduit que
1 n	ri
lim - Y ep (rza - |naj) = / ep.
N-+o° nk7\ Jo
4-17- distribution du premier chiffre des puissances de 2
387
La suite (na - [zzaj) est à valeurs dans [0,1] et vérifie le critère de Weyl. Elle
est donc équirépartie. Ce résultat constitue le théorème de Bohl-Sierpinski-
Weyl (ils le démontrèrent séparément en 1909-1910, sans utiliser le critère de
Weyl). L’exercice suivant fournit une application de ce résultat.
4.17.	Distribution du premier chiffre des puissances de 2
Pour i e [[1,9]], et n e N*, on note N,(w) le nombre d’éléments de
l’ensemble {2,..., 2"} dont le premier chiffre de l’écriture décimale est i.
r 1 1 r
Calculer lim----------
n—>+00	n
▻ Solution.
Le but de l’exercice est de déterminer la fréquence d’apparition des chiffres
1,2,..., 9 en première position dans la suite des puissances de 2. A priori on ne
sait pas si tous les chiffres vont apparaître, et encore moins s’il vont apparaître
une infinité de fois. Fixons i entre 1 et 9, et commençons par traduire le fait
que i est le premier chiffre de 2P. L’entier 2P commence par i si, et seulement
s’il existe & e N tel que i. 10fc < 2P < (i + 1). 10* c’est-à-dire, en prenant le
logarithme, si et seulement s’il existe k tel que
Inz , ln2 , ln(z'+l)
----+ k < p-------< k + —-------
In 10 InlO In 10
ln2
En posant 0 = -——, cela équivaut à dire que pQ - [p0J est dans l’intervalle
In i ln(z + 1)
ÏÏTÎO’ InlO
. Ainsi, N, (m) est exactement le nombre d’entiers p e [[ 1, nj
tels que pQ - [p0J appartienne à
Inz ln(z + 1)
ÎÎÏW’ InlO
D’après la remarque qui précède l’exercice, comme 0 n’est pas ration-
nel, la suite (pQ - [p0])p>i est équirépartie. On a donc par définition de
l’équirépartition
Ni(zz) ln(z + l)-lnz
lim--------- ---------——-------
n->+oo n	In 10
En particulier le chiffre z apparaît d’autant plus fréquemment qu’il est petit.
Pour i = 1 on a une fréquence de 30%, alors que pour i - 9, on obtient 4,5%. <1
Notons log le logarithme de base 10 et {x} = x - [x] la partie fractionnaire
d’un réel x. On dit qu’une variable aléatoire X à valeurs positives suit la
loi de Benford forte si {log X] suit la loi uniforme sur [0,1 [. En notant E,-
388
CHAPITRE 4. POLYNÔMES ET SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES
/ 'événement « le premier chiffre de l'écriture décimale de X est i », on trouve
alors, en raisonnant comme dans l’exercice,
P(E,) = P(logz «S {logX} < log(z + 1)) = log(i + 1) - log/ =	lnt-
ln 1(J
La loi de Benford est en premier lieu une loi empirique. Il a été constaté par
Newcomb (1881) puis Benford (1938)--que la plupart des données empiriques
(physiques, économiques ou démographiques) vérifient approximativement
cette loi. Si bien que certains ont proposé d’utiliser la loi de Benford pour
la détection de fraudes financières dans le cadre de vérifications comptables.
Puis il a été démontré que sous certaines conditions de régularité, une variable
aléatoire X suit au moins approximativement la loi de Benford.
On dit que X suit la loi de Benfordfaible si P({log X} < log i) = log i pour
i e [[1,9]. L’exercice a montré que si Xn suit une loi uniforme sur {2,..., 2" },
alors la loi de Xn converge vers la loi de Benford faible quand n tend vers +00.
Par contre, si X suit la loi uniforme sur [ 1, u], la loi de X ne tend pas vers la
loi de Benford (forte) quand u tend vers +00. Si u = 10", on trouve avec les
notations précédentes P(E,) = |-
L’exercice suivant démontre le théorème de convergence de Dirichlet :
pour une fonction 2tt-périodique f de classe C1 par morceaux (mais pas
nécessairement continue) la série de Fourier de f converge simplement sur R
vers la fonction x 1—> (f(.x+) + f(x~))-
4.18.	Théorème de convergence simple de Dirichlet
1. Soit (a, b) e R2 tel que a < b et g une fonction continue par
morceaux de [a, b] dans C. Montrer que / g(t) sin(Xt)dr —> 0.
Ja	X—>+00
2. Soit f une fonction de classe C1 par morceaux et 27t-périodique
de R dans C. Pour k e Z, on pose ck =	[ f(f) e~lk‘dt. Montrer que,
pour tout x G R,
n	1
X Cke,kx---------> - (f(x+) + f(x-)).
n—»+oo 2
k--n
▻ Solution.
1. Il s’agit du lemme de Riemann-Lebesgue démontré dans le chapitre 1
du volume 4.
4.18. THÉORÈME DE CONVERGENCE SIMPLE DE DIRICHLET
389
2. Les coefficients Ck sont en fait les coefficients de Fourier de f et
« ..
S„(/)(x) = y, ckelKX est la somme partielle de la série de Fourier de f.
k=-n
Commençons par transformer ce polynôme trigonométrique :
1 n
Sn(f) = —'ZÂ / f(l')e,ktx~‘>dt = / f(t)Dn(x-t)dt,
k=-nJ-n	•>-*
1	'*
avec D„(«) = 2ÏÏ Z e‘kU P0Ur « e R. Le polynôme trigonométrique Dn est
k=-n
le noyau de Dirichlet d’indice n et S„ (/) apparaît comme la convolée de f et
de D„. Remarquons que par linéarité, D„ est d’intégrale de 1 sur une période.
Par ailleurs, par le changement de variable u = x - t on a
/• x-Jt	f n
Sn(/)(x) = -/ f(.x - u)D„(u)du = / f(x - u)Dn(u)du,
Jx+n	J~n
et donc
A„(x) = Sn(/)(x) -/(x) = f (f(x-u) -/(x))D„(«)dM.
J -n
Explicitons le noyau de Dirichlet pour u £ 0 dans [-it, 7t] :
|_e'(2'i+l)u	i(2n+l)u/2 sin —11“ sin
D (ui = e~‘nu-___-______- e~‘nu-_______________-____=________-_____
n	1 - etu	eiul2 sin	sin
Comme ce noyau n’est pas positif, nous n’allons pas appliquer l’inégalité
/• tc	rx
triangulaire sur / (/(x-u)-/(x))D„(w)dM car elle ferait apparaître / |Dn|
J-n	J-n
qui malheureusement diverge. Le noyau Dn prend de grandes valeurs lorsque
u est proche de 0 (Dn(0) = 2n + 1) du fait du sin j au dénominanteur. Si f est
dérivable en x, on peut écrire
f* f(x-u)-f(x) . (2n+l)«
A„(x) = / -------—r,------sin----------du----> 0,
sin	2	u->o
2
„ , 1	..	.	f(x - u) - f(x) ,
en vertu de la première question puisque u 1—» —-----~u- ~ se prolonge par
sin j
continuité en 0 en une fonction continue par morceaux sur [-jt, jt]. Le résultat
est donc démontré dans ce cas-là.
Passons au cas général où f est seulement C1 par morceaux. On note
désormais
f(x+)+f(x )
An(x) — Sn(f)(x)
/•O	/» K
=	(/(x-m)-/(x+))D„(M)dM+ / (/(x-w)-/(x~))D„(u)dw,
J-n	Jo
39°
CHAPITRE 4. POLYNÔMES ET SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES
yn	yO	.
la dernière égalité étant assurée car, par parité de D„, on a / D„ = / D„ = j'
Comme les fonctions
,__	f(,X+)	/(x - u) -/(x")
sin j	sin
se prolongent par continuité en 0 (en des fonctions continues par morceaux),
on conclut comme précédemment que ces intégrales convergent vers 0. Ainsi
r v Z(*+)+ /(*-)
lim > , cke =--------------------<1
n—>+oo	Z
k=-n
Une somme de deux fonctions périodiques n’est pas périodique lorsque
les deux périodes sont incommensurables. Par exemple il est facile de justifier
que la fonction x 1—> cos x + cos Vïx n 'est pas périodique (elle ne prend la
valeur 2 qu’en x = 0). Pour étudier des sommes quelconques de fonctions
périodiques Harald Bohr, le frère du physicien Niels Bohr, a introduit en 1924
les fonctions presque périodiques. Une manière facile de les introduire est de
prendre l’adhérence J71, dans l’espace S des fonctions continues bornées sur
R à valeurs complexes muni de la norme infinie, du sous-espace P engendré
par toutes les fonctions x i-> e,ü>x pour m G R (un élément de P est appelé un
polynôme trigonométrique généralisé). C’est ce que fait l’énoncé suivant, mais
en se limitant aux fonctions à valeurs réelles.
4.19.	Algèbre des fonctions presque périodiques
Soit P l’espace vectoriel réel engendré par les fonctions t 1—> sin (£>t
et t h-> cos (ùt lorsque œ décrit R, et l’ensemble des limites uniformes
des suites à valeurs dans P. Les éléments de Jl sont appelées fonctions
presque périodiques de R dans R.
1.	Montrer que Jl est une sous-algèbre de l’algèbre S des fonctions
continues bornées de R dans R.
2.	Soit f G C°(R, R) et g e Jl. Montrer que f o g e Jl.
3.	Pour cû g R et g e Jl, on note
1 /-T .
g(co) = hm — / e l<i,xg(x)àx.
T->+oo 2T J
Montrer que g(co) est bien défini, et qu’il est nul sauf pour un ensemble
dénombrable de valeurs de ai.
▻ Solution.
1.	On munit l’algèbre S des fonctions continues bornées de R dans R de
la norme de la convergence uniforme. L’ensemble P est par définition un sous-
espace vectoriel de S (tout élément de P est une fonction bornée sur R car les
4.19- algèbre des fonctions presque périodiques
391
fonctions t i—> sin mz et t i—> cos at le sont). C’est même une sous-algèbre.
Pour le montrer, il faut vérifier que le produit de deux éléments de P est dans P ;
par linéarité, il suffit de le vérifier pour les fonctions z i—> sinœzetz i—> cosœz,
où ûj est un réel quelconque. Cela résulte de formules de trigonométrie bien
connues : pour (cù, m', z) 6 R3, on a
cos cùz cos cù'z - l cos(co + cù')z + | cos(© - a')t
 sin coz cos cù'z - l sin(œ + a')t + 1 sin(cù - cd')z
sin cùZ sin cù'z = cos(cù - cù')z - cos(cù + cù')z.
Par définition, J71 est l’adhérence de P et il s’agit donc d’une sous-algèbre
de S. En effet, il suffit de vérifier que est stable par combinaison linéaire et
pour le produit. Soit f et g dans Jl, ainsi que (/n)neN et (g„)„SN deux suites
à valeurs dans P qui convergent uniformément vers f et g. Alors pour X et p
dans R, la suite (X/„ + p,g„) converge uniformément sur R vers Xf + \ig qui
est donc dans J71 et (fng,i) converge uniformément sur R vers fg. Pour voir ce
dernier point il suffit d’écrire
\\fngn~fg\\~ C IIAIIcolIgn-glIoo + llglIoollA-ZIloo
et de constater que le majorant tend vers 0 (la suite \\fn ||k> converge vers ||/"]|oo)-
2.	Soit g e et f une fonction continue sur R (pas forcément bornée). Si f
est un polynôme, il est clair que f o g e car J\. est une sous-algèbre de S. On
va passer au cas général en utilisant le théorème de Weierstrass. La fonction g
est bornée : posons M = ||g||oo- La restriction de f au segment [-M, M] est,
d’après le théorème de Weierstrass, limite uniforme sur ce segment d’une suite
de fonctions polynômes (Pn)n^o- Comme
l|P« °g -/°g||co < sup |P„(Z)-/(Z)|,
la suite (P„ o g)n>o de converge uniformément vers f o g sur R. Comme
est fermé, on a donc f o g e ,71.
3.	Soit cù e R. Montrons, pour commencer que g(ü>) est bien défini si g
est dans P. Etant données la linéarité de l’intégrale et de la limite, il suffit de le
démontrer pour les fonctions ca : t cos at et : t i—> sin at. On a
1	( 1 si a = a>
—; / e	= < Z(a-io)T _ -i(a-œ)T .
2T J_T	(Ê----.(a_*)2T--------si a + q.
On a donc
Jp f e iateiatdt C ry./ '—n
2T J_T	|T(a-co)|
si a + cù. On en déduit que
lim f e lMe,atdt = 0 si a £ cù et 1 si a = cù.
T-4+OO J-T
392
CHAPITRE 4. POLYNÔMES ET SERIES TRIGONOMÉTRIQUES
Sachant que ca(z) = -—----------- et sa(t) =  -----, on en déduit
l’existence de c^(©) et s^(«) :
0
Ca(tû) —
0 si |oc| * |w1
J> si |a| = |u| t 0
1 si a = © = 0
et 5a(ù)) =
J.
2;
-1
2i
0
si |a| t- |u|
si a - m ï 0
si a = —© 0
si a = © = 0.
Établissons maintenant l’existence de g(©) pour g dans et © dans R.
Soit (g„)„ gN une suite à valeurs dans *P convergeant uniformément vers g.
1 rT _
Notons cpn la fonction Th — / e l(axgn(x)dx pour tout n et cp la fonction
2T J-t
1 fT _•
T i-» — J e ,axg(x)dx. Ces fonctions sont définies sur R*. D’après ce
qui précède chaque fonction cp„ admet une limite lorsque T —» +00. Or, pour
tout T > 0, on a
1 1
|cPn(T) — cp(T)| < — /	|g„(x) -g(x)|dx < ||g„ -glloo.
ZI J-T
On en déduit que la suite (<pn)n>o converge uniformément vers cp sur R*. Le
théorème d’interversion des limites permet alors de dire que cp admet une limite
lorsque T tend vers +00. Cela prouve l’existence de g(oj) et on peut même noter
que g(w) = lim g^(©).
n—>+00
Il reste à démontrer que g(©) est nul sauf pour un nombre dénombrable
de valeurs de ©. Pour tout n de N, la fonction g„ est combinaison d’un
nombre fini de fonctions c0) et sa. Il existe donc un couple (k,() e. N2 et
(©i	ai,..., ar) e tel que g„ e Vect(cmi,..., , sa,,..., sae ).
Soit An la réunion des ensembles {©1,..., ©*} et {ai,..., a/>} et Cn la réunion
de A„ et de B„ = {-©, © 6 A„}. De l’étude qui a été faite de ôx(©) et s^(©),
on déduit que si © £ Cn, alors g^(©) = 0.
4-00
Soit C = Cn. En tant que réunion dénombrable d’ensembles finis, C est
n=0	___
dénombrable et si © £ C on a g^(©) = 0 pour tout n G N. On en déduit que
si © t C, alors g(©) = lim g^(©) = 0. Hors de l’ensemble dénombrable C,
n—>4-00
la fonction g est nulle. <
L’ensemble des valeurs de © tel que jfcv) soit non nul est appelé le spectre
de g. L’étude des fonctions presque périodiques a fait l’objet du sujet Ulm-
Cachan de 2002. Le lecteur y trouvera de nombreux résultats supplémentaires.
Notons que l’algèbre des fonctions presque périodiques est strictement
incluse dans l’algèbre des fonctions continues bornées (une fonction presque
périodique est uniformément continue sur R). Mais 54 contient toutes les
fonctions périodiques d’après le théorème de Weierstrass trigonométrique. En
4-20. UNICITÉ DES COEFFICIENTS DANS LE CAS DE LA CONVERGENCE NORMALE
393
fait, on peut démontrer qu’une fonction f : R —> R continue est presque
périodique si, et seulement si, pour tout e > 0, il existe { > 0 tel que tout
intervalle de longueur t contienne un réel T tel que sup \f(x + T) - f(x) | < e.
xeR
Un tel réel T est appelé une e-presque période.
La suite de ce chapitre est consacré à l'étude de séries trigonométriques,
c’est-à-dire de séries de la forme y cne'nx ou y an cos(nx) + bn sin(n:r). Les
trois premiers exercices sont assez, faciles et utilisent les résultats sur les séries
de fonctions dans ce contexte.
4.20.	Unicité des coefficients dans le cas de la convergence normale
Soit (cn)nez une suite sommable de nombres complexes. Montrer que
la fonction f : x hh. y cne,nx est bien définie sur R et que si elle est nulle
neZ
alors pour tout n e Z, cn - 0.
▻ Solution.
La sommabilité des c„ garantit la convergence normale de la série de
fonctions puisque la norme infinie de x i—» cne‘nx est précisément |cn| (il
s’agit d’une sommation sur des indices dans Z, mais il est possible de se
ramener à une vraie série de fonctions en prenant une bijection entre N et Z et la
notion de convergence normale s’adapte). La fonction f est donc bien définie et
continue sur R. Si f = 0, les coefficients sont tous nuis, c’est une conséquence
des formules dite d’orthogonalité puisque pour tout p e Z, on a
i p2’1	If2”
0=— / f(x)e~‘pxdx = — / ^ane‘nxe~lpxdx
2tt Jo	2k Jo
/•2x
= ^cn einxe~‘pxdx = ^cnê>np=cp,
iieZ •'O	neZ ‘
l’interversion série-intégrale étant justifiée car la série converge encore norma-
lement sur [0, 2k] . <i
L'exercice montre que si (cn)nez est une suite sommable de nombres
complexes et f la fonction x hh. y cne‘nx, alors f est continue sur R, 2k-
neZ
périodique, et on a cn =	/ f(x)e ,nx dx pour tout n e Z. Les coefficients
cn sont appelés les coefficients de Fourier exponentiels de f et peuvent être
définis pour toute fonction 2tt-périodique et continue par morceaux.
394
CHAPITRE 4. POLYNÔMES ET SERIES TRIGONOMÉTRIQUES
4.21.	Régularité d’une série trigonométrique
Soit (an)nez e Cz. On pose, pour* réel, u(x) = y, aneinx.
neZ
1.	On suppose que la famille (n2a2)„ez est sommable. Montrer
l’existence et la continuité de u sur R.
2.	Trouver une condition nécessaire et suffisante sur a pour que la
sommabilité de la famille (n“a2)„ez garantisse l’existence et la continuité
de m sur R.
3.	On suppose que la famille (n4a2)nez est sommable. Que peut-on
dire de plus de w ?
▻ Solution.
1.	D’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz on a pour tout N e N,
/	\V2
X |a„I = X |nan|À < X «2|<a„|2 X
lnl<N	lnl<N	PH	l I » I .< N	H
On en déduit en particulier que les séries y, aneinx et y a-ne~,nx convergent
normalement, donc uniformément sur R (puisque l’on a [ane‘nx[ = |an|, pour
tout réel x), ce qui montre que u est définie sur R. Comme les fonctions
un : x 1—> aneinx sont continues sur R, la fonction u est également continue
sur R.
2.	Pour a > 1, on peut écrire de même,
X lanl = X l«l“|ûnl^V
I '• I / J I I I I I I «
|n|<N	|„|<N	Inl5"
n*0	ntO
et la conclusion est la même.
Pour a = 1, la conclusion n’est plus assurée. Considérons par exemple
la suite (a„)nez définie par a„ = si n > 1 et an = 0 sinon. On a
9	1	1
alors na„ =	 Il est classique la série y 2 converge (c’est une
série de Bertrand ; plus généralement la série y n^n^a converge pour a > 1).
Mais la série y a„ diverge (c’est encore une série de Bertrand, avec cette fois-ci
4.22. ÉTUDE D’UNE SÉRIE TRIGONOMÉTRIQUE
395
a = 1). La fonction u n’est pas définie en 0. A fortiori, pour a < 1, on ne peut
pas conclure.
3.	Pour tout m e Z, la fonction un est de classe C1 sur R et, pour tout x, on
a m„(x) = inaneinx. Par hypothèse, la famille jre4a^jneZ est sommable, c’est-
à-dire que la famille (n2(zna„)2)neZ est sommable. Le résultat de la question 1
appliqué à y, inanelnx montre que les séries £u'n et y u'_n convergent
neZ
uniformément sur R. Le théorème de dérivation des séries de fonctions permet
de conclure que la fonction u est de classe C1 sur R et que, pour x € R,
m'(x) = Xj inanelnx. <1
L’exercice suivant étudie et calcule la somme d’une série trigonométrique.
4.22.	Étude d’une série trigonométrique
On pose, pour x e R, /(x) = y + 4 2 1—y- cos(nx)
.2	+°°
1.	Justifier l’existence et la continuité de f.
2.	Etudier les symétries de f.
y TC
3.	Calculer / cos(znx) cos(nx)dx pour (m, n) 6 N2.
J-K
+°° «	_4	rn o
4.	On admet que y	Calculer y f2.
5.	Calculer f x2f(x)dx.
J-n
6.	Montrer que, pour tout x e [-zt, jr], f (x) = x2.
▻ Solution.
2	(—1 ) n
1.	Posons fo - V et fn : x i—> 4^—d-cos(nx) pour n > 1. Les
J	m-
fonctions f„ sont toutes continues. Comme ||/n||oo = A pour n > 1, f est bien
n
définie et continue sur R puisque somme d’une série normalement convergente
de fonctions continues.
2.	La fonction f est paire et 2zt-périodique.
3.	L’intégrale de cos kx sur [-Jt, zt] vaut 2zt si k = 0, et est nulle si k 6 Z*.
Comme pour m et n dans N, on a
costal - 1 (cos((m ♦	+ «0S((m - »W).
y JC
l’intégrale / cos(wx) cos(rzx)dx vaut 0 si m + n, k si m = n > .1 et 2%
J— TC
si m = n = 0.
396
CHAPITRE 4. POLYNÔMES ET SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES
4.	La fonction f est bornée et donc /2 = y, ffn est normalement
n=0
convergente. On peut donc intervertir sommation et intégration :
f(x)fn(x)dx.
+00
Mais ffn=^ fmfn est encore une série normalement convergente si bien
m=0
que
/• k	+co +00	+00 /• n
/ f2 = Tj 2L / fm(x)fn(x)dx = Xi f2(ix'
J-K	n=0m=()J-it	n=0 -n
puisque pour m t n, on a /	= 0. Cela donne
J-JC
2 2k5	16% 2jt5 8%5	18%5	2k5
' =~9~ + ^i~nr = ~9~ + ~4^~ ~45~ ~ ~5~
5.	La série des fonctions x i—> x2fn (x) est normalement convergente et
on peut donc à nouveau intervertir sommation et intégration :
-Z	3 3	n2
Par une double intégration par parties, on obtient
2
/ x cos(nx)dx =
J-n
cos(nx)l”
2x----z—
4ic(-l)"
et on a donc
2%5
T
v-it	7 n=l
6.	Il suffit de montrer que f (/(x) - x2)2dx = 0 puisque l’intégrande est
J-k
positif et continu. C’est le cas :
/» je	/• ït	pit	/• n
f (/(*) -x2)2dx = / f2 + / x4dx-2 / x2/(x)dx = 0,
-Jt	j “TC	j “TC
puisque f x4dx = Q- tout comme [ f2 et f x2/(x)dx. <
J-7C	J-ÎC J-Tt
Lafonction 2x-pé riodique f définie par f(x) = x2 pour\x\ sJ x est continue
et de classe C1 par morceaux. Le théorème de Dirichlet montré dans l'exercice
4.18 assure que f est égale à la somme de sa série de Fourier. En calculant les
coefficients de Fourier de f on retrouve la série trigonométrique de l'exercice.
4.23. UN DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE TRIGONOMÉTRIQUE
397
Celui-ci fait faire les choses à l’envers évitant ainsi tout recours à l’analyse de
Fourier.
Dans l’énoncé suivant en revanche on cherche à décomposer une fonction
2it-périodique continue et paire en la somme d’une série trigonométrique en
cosinus. Pour ce faire on passera par un développement en série entière.
4.23. Un développement en série trigonométrique
En utilisant les séries entières, déterminer une suite (a„) telle que
Vx e R,
1+COSX
---ô--- = 2_ian cos nx.
4-2cosx
▻ Solution.
On exprime d’abord /(x) =	en fonction de e'x. On a pour
tout x e R,
1+cosx 1	3	_ 1	3
4-2cosx 2 4-2cosx 2 4 - eix - e~ix
_ 1	3>eix
2 - (e,JC)2 + 4eIJC - 1
On a obtenu une fraction rationnelle en elx. On décompose en éléments simples
la fraction rationnelle
—-------------On obtient
-X2 + 4X - 1
3X
-X2 + 4X - 1
__________3X_________
-(X - (2 - V3))(X - (2 +V3))
V3 / 2-V3________2 + V3 \
2 \X-(2-V3)	X-(2 + V3)/
et donc, pour tout réel x,
/(x) =	+
V3 /	2-V3
2 \eix-(2-^3)
2 + V3
eix - (2 + V3)
On peut écrire alors, pour tout réel x,
1	e~ix	.	/ r- • \«
—-------- =---------e r . = e~lx £ (2 - y/ï)e~lx\
-(2-V3)	1 - (2 - V3)e_,x	£0V	1
+00
= 2(2- V3)"e-'(n+1)x,
n=0
398
CHAPITRE 4. POLYNÔMES ET SERIES TRIGONOMÉTRIQUES
car |(2 - V3)<? '*| <
1. On a, de même, sachant que
1 __________________1___________
e‘*-(2 + V3)	(2 + V3)(l-(2-<3)^*]
+°o /	x n
=-(2-V3)22 (2-73)?*
n=0 '	'
On en déduit que, pour tout réel x,
1	V3 / +°°	+o°
/(x) = -Z + ~ S(2 - V3)"+1e-'("+0* + 23(2 - V3)V"*
2	2 \n=0	n=0
— 1 + V3	+0°
= —+ V3 2>2 - ^)" cos nx.
2	n=l
Cela répond à la question. <
On peut noter que la série converge normalement sur R et il en découle que
les coefficients a„ obtenus sont nécessairement les coefficients de Fourier de
la fonction f. On vient donc d’obtenir ainsi le développement de f en série de
Fourier.
L’exercice suivant donne une condition nécessaire et suffisante pour avoir
la convergence uniforme sur R d’une série trigonométrique en sinus dont les
coefficients tendent vers 0 en décroissant. La seconde question est difficile.
*4.24. Convergence d’une série trigonométrique
Soit (hn)n>] une suite réelle décroissante qui converge vers 0.
1.	Montrer que la série y, bn sin nt converge uniformément sur tout
segment [a, 2rt - a] (0 < a < rt).
2.	Montrer l’équivalence des deux conditions :
(z) bn = lorsque n tend vers l’infini ;
(n) la série y bn sin nt converge uniformément sur R.
▻ Solution.
n
1.	Posons, pour n entier naturel, U„(r) = y sin kt. Si t i 2kZ, U„(z) est
Jt=i
la partie imaginaire de
l-e'("+’)f
1 + e" + e2,t +  + eint =	.—
1 - e"
1 _ g'(n+l)z
2ze_‘s sin
4-24- CONVERGENCE D’UNE SÉRIE TRIGONOMÉTRIQUE
399
Ainsi, |U„(t)| C i—Pour montrer la convergence de Y\bn sin nt, on
|sini|
n+p
effectue une transformation d’Abel sur S„iP = y, bk sin kt. Il vient
k-n
n+p
k=n
n+p-1
“ bn+p^n+p (r)-MJ„_i(r)+ £ Uk(t)(bk-bk+l).
k-n
Comme la suite (bk)k>\ est décroissante, on a
n+p-l	i n+p-1	,
£ |Ut(f)(^-^+I)| < —— 2 (bk - bM) <
k-n	lSln2| k=n	|Sin^|
donc la série y è(U& (t) -U&_ i (t) ) converge absolument. Comme bn+p Vn+p (t)
tend vers 0 quand p tend vers +oo, on en déduit que y bk(Uk(t) ~ Ut-i(t))
converge. En faisant tendre p vers +oo, on obtient
+oo	4-oo
2b*sinZ:t = -b„U„_i(t)+ ^Uk(t)(bk - bk+t).
k=n	k-n
On a donc
4-00	4-00	L
^/^sinfct < bn|Un_](t)| +	|Ufc(t)|(/>* - bk+i) < , . n.
k=n	k=n	I Sin £
Si r G [a, 2it - a], alors sin sin et donc
+oo
^bk sin kt
k=n
2bn
sinf
La convergence est uniforme sur [a, 2it - a]. Évidemment la série converge
aussi en un point de 2itZ, sa somme étant nulle. Elle converge donc pour tout
réel t.
La conclusion serait la même si on remplaçait l’hypothèse « (bn) est décroissante
vers 0 » par l’hypothèse « y |bn+i - bn \ est convergente ».
2.	Supposons (il) vérifiée et montrons (/). On utilise la tranche de Cauchy
2n
un(f) - y bk sinkt. Par hypothèse, elle tend uniformément vers 0 sur R.
fc=n+l
Pour k e [[n + 1,2nJ on peut minorer chaque bk par b2n. Pour t =
4oo
CHAPITRE 4. POLYNÔMES ET SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES
et k e [[n + 1,2m] on a < kt < de sorte que sin kt ’ On peut donc
écrire
/ k \	^2, , 1	1 ,
"n (T" > 2j	> 0.
V6«7	k=n+t 2	2
Il en résulte que la suite 2m/?2„ tend vers 0. Or, comme Z?2n+i	(2m+1)/?2h+i
tend aussi vers 0. Il ën résulte que b„ = o j.
Réciproquement, supposons que la suite (nbn) tend vers 0. Pour m e N on
+00
note Rn(t) = bk sin kt le reste d’ordre n de la série. Il s’agit de montrer
k=n+ï
que Rn tend uniformément vers 0 sur R. Par 2k-périodicité, il suffit de le faire
sur [0,2k] et comme |R„(2k -w)| = |R„(t)| on peut même se limiter à [0, k].
La première question montre que si t e ]0, k] on a
|R„(r)l <
Sln2
Le problème est que cette majoration devient inutile au voisinage de 0. On va
donc l’améliorer en utilisant le fait que la suite kbk tend vers 0. Soit t e ]0, k],
m e N* et p e N*. On a :
n+p
Rn(f) = y, bk sin kt + Rn+p(j).
k=n+l
Dans la première somme on majore | sin kt\ par kt ce qui fait apparaître un
terme kbk et pour le second reste on utilise la majoration ci-dessus. Il vient
2bn+p I j 2itbn+p
|Rn(01 < t X kbk+ < tp sup Wd +-----------------------,
k=n+l lSin 2I	' f
puisque —< — Soit e > 0. On peut trouver un rang N tel que pour tout
sin j ‘
£ > N, 0 kbk e. Si m est un entier quelconque supérieur à N on a donc,
pour tout p 6 N* et tout t e]0,n],
m / m - / x 2tt(n + p)bn+p	2k
|Rn(01 < (p0e +------,	< (p0e + —e.
(n + p)t	pt
Comme cela est vrai pour tout p et tout t, la subtilité consiste à appliquer cette
inégalité avec un entier p judicieusement choisi comme fonction du réel t : on
prend p =	+ 1. On a alors lsJpt^r+l<K+lde sorte que
Vm > N, Vze]0,K], |R„(0l < (3k + 1)e.
Cette technique porte le nom de découpe taubérienne. Le lecteur trouvera d’autres
exemples d’utilisation de cette technique dans l’exercice 3.43.
Comme R„(0) = 0, l’inégalité demeure vraie pour f = 0 et cela signifie
exactement que Rn converge uniformément vers 0. <
4.25. PHÉNOMÈNE DE GIBBS
401
Le même problème pour une série trigonométrique en cosinus est plus facile.
On montre, comme dans la première question, que si (fln) est une suite réelle
décroissante de limite nulle, la série y an cos nt converge uniformément sur
tout segment [a, 2jc - a] avec 0 < a < 7t. Pour la convergence uniforme sur R
c 'est infiniment plus simple. En effet, si la série converge pour x = 0, la série
y an converge et dans ce cas la série y an cos nt converge normalement.
L’exercice suivant étudie de manière précise le comportement d’une série
trigonométrique au voisinage d’un point où la convergence n’est pas uniforme.
Le phénomène, expliqué par Gibbs en 1898, est assez général et avait été
observé par Michelson la même année sur un système mécanique permettant
de calculer la série de Fourier d'un signal donné en entrée.
4.25.	Phénomène de Gibbs
Pour n e N* et r e [0,7t] on pose S„(t) = y
Jt=i
1.	Déterminer les extremas locaux de S„ et préciser leur nature.
2.	Montrer que la fonction S„ est strictement positive sur ]0,7t[ et
que max S„ = S„ Quelle est la limite de cette quantité ?
3.	Montrer que (Sn) converge simplement vers t h-» sur ]0, %].
Cette convergence est-elle uniforme ?
> Solution.
1. On a
A	/ ,-,eint - 1\	| . («n, sin y
S„ (t) = y cos kt - Re le —r--------- = Re e 2 ------------—
\ e - 1 /	\ sin
(h + 1) t • nt
cos -—j-2- sm y
sin
avec S^(0) = n. On en déduit que la dérivée s’annule en changeant de signe en
chacun des points suivants :	pour 1 < k < et V+T71 Pour 0 < j-
Il est facile de vérifier que ces points sont entrelacés de la façon suivante :
7t 2it 3k 4it
n + 1 n n + 1 n
La fonction Sn a donc un maximum local en chaque point
minimum local en chaque point yy •
+,17t et un
402
CHAPITRE 4. POLYNÔMES ET SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES
2. On montre que Sn > 0 sur ]0, jt[ par récurrence sur n. Pour n = 1 on
a Si(r) = sinr et c’est évident. Supposons le résultat vrai au rang n - 1 avec
n > 2. En chaque minimum local de Sn, on a alors S„ = S„_] (^7^) > 0.
Lorsque n = 2p est pair, on ne regarde pas le dernier minimum local qui est n
en lequel Sn est nulle. Ci-après les graphes de S4 et S5 sur lesquels on voit ce
phénomène :
Pour montrer que le maximum de Sn est atteint en -y-y il suffit de montrer
que les valeurs des maxima locaux successifs forment une suite décroissante.
Posons Xk - it pour 0 < k < j • On étudie le signe de S„ (x*) - Sn(x* _1)
en utilisant une forme intégrale de cet écart :
r*k	rxk cos	sin
S„(xfc)-S„(xfc_1)= / S'(r)dr = /	----------------2-dr.
On va voir que cette intégrale est négative et pour cela il faut mettre la fonction
sous la bonne forme : le cosinus a un signe constant sur l’intervalle puisqu’on
a deux de ses zéros consécutifs, mais le sinus s’annule une fois en 2^2 et en
changeant de signe. On va le remplacer en écrivant nt - (n + 1)1 - t et en
utilisant la formule d’addition
. nt	(n+l)t t	.	t (n + l)t
sin —	= sin	—-— cos -	- sin	- cos —-—
2	2 2	2 2
et on obtient
rXk 11	t (n + Dr \
Sn(x*) - Sn(xfc-i) = J ^-sin(n+ 1)1 cotan - - cos2 —-—j dt.
Ainsi,
1 fXk	t
Sn(xk) - Sn(xk_\) - J sin(n + 1)1 cotan - dr
Posons u - (n + 1)1 _ pour se ramener à une intégrale sur [—7t, tc]. En
omettant le facteur n + 1 on est ramené au signe de l’intégrale
f* . Iu + 2kit\
I sin m cotan -------— au.
J-n	\ n+1 I
4-25- PHÉNOMÈNE de gibbs
403
La cotangente est positive, mais le sinus change de signe en 0. On coupe
l’intégrale en deux en 0 et on pose u - -u pour ramener l’intégrale sur [-tt, 0]
également sur [0, it]. On obtient alors
(/M + 2A:7t\	/ -u + 2kit\\
cotan -------- - cotan ----------- dw.
\ n +1 /	\ n+1 //
Cette intégrale est négative car la fonction cotangente est strictement décroissante
sur ]0, Jt[. On a donc
c ç / 31 i 1 V1 1
max S„ = S„ ------ =------ > , —— sin
\n + 1 / n + 1 ‘H k
n+1
On en déduit que
lim maxSn
n—»+oo
sin u ,
-----dw > 0,
u
d’après le résultat du cours sur les sommes de Riemann (la fonction se prolonge
par continuité en 0). D’autre part, la suite des maxima est croissante car
maxSn+l ~ f — j Sf -1 — Sn |	"1 — maxSn-
\n + 2> \n + 1 / \n + l!
3. Soit x e ]0, jt]. Pour la convergence, on utilise encore une expression
intégrale de Sn. On écrit cette fois que
(n+l)t . nt	1 / . (2n + l)t t
cos-------sin — = - sin-----------sin -
2	2	2 \	2	2
et donc
'0	2 sin X
(2n + l)t
x Sin 1—— r
- - \ -dt - ~
2 sin j 2
L’idée est de remplacer le terme ——r par son équivalent en 0, a savoir f - En
sin j
effet, avec cette nouvelle intégrale on a
(2n + l)t
rx sin 1
t
5 sin h ,
---------du —
u n
sinu , 7t
----du = —
Jo	t	Jo	u n-++oo JO u	2
Il reste à montrer que la différence tend vers 0. Or celle-ci vaut
fx . (2n+l)t .
/ cp(t) sin----------dt
Jo
où q>(t) = t— | • On a lim <p = 0 et lim <p' = donc q> se prolonge en
une fonction de classe C1 sur [0, z]. Le lemme de Riemann-Lebesgue permet
404
CHAPITRE 4. POLYNÔMES ET SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES
alors de justifier que la différence tend vers 0. Ainsi (S„) converge simplement
sur ]0, k] vers la fonction x 1—»
La convergence n’est uniforme sur aucun intervalle contenant 0 d’intérieur
non vide. En effet, on a lim —7-r = 0. Si la convergence était uniforme,
n—>+oo M + 1
on aurait lim S„| —7-r) = lim Sn(0) = 0. Mais pour a e ]0, jr[, la
n—»+oo	\z*+ * /	n—»+oo
convergence est uniforme sur [a, jr], En effet, pourx e [a, it], on a
S„(x)
7t - X
2
rx s;n (2n + l)r
I Sln 7	, 7t
f —“t—df - ?
'0 sin	2
sin h ,
-----au +
u
sin « , n 1 fx ... (2n + l)r ,
----dw - ô + ô / <P(0sin-------ô----dt
u 2 2 j0	2
(2M + l)?dr
En intégrant par parties, on obtient, d’une part
et donc
4	4
< /o 7 <> <	.. , et d autre part
(2n+l)x	(2n+l)a’	r
fx ,, . (2n+l)t	2	/[	. . (2n+l)tf
/ <P(0 sm----3---dt = —— -<p(t) cos-----------
Jo	2	2n+ 1	2	Jo
rx (2n+l)t
+ Jo <P (t) cos-----dt
et donc
fx . (2n+ l)t
h (p(t)sin-------------dt
——(2||<p||co + %||<p'||oo).
2n + 1
Pourx e [a, 7t|, on a donc
|s„(x) - ^—^1 < j + ^^(1||(p||co + K||(p'||oo)
I	2 I (2n + 1 )ot 2n + 1
-------> 0. <
n—»+oo
L'exercice suivant est à rapprocher des exercices 4.9 et 4.11. On convole f
avec le noyau de Poisson qui dépend d’un paramètre réel et plus d’un paramètre
discret comme les noyaux de Fejér ou de Jackson. Il ne s’agit plus non plus
d’un polynôme trigonométrique. On utilise essentiellement ce noyau de Poisson
pour relier l'analyse de Fourier à la théorie des fonctions analytiques.
4-2Ô. NOYAU DE POISSON
405
4.26.	Noyau de Poisson
Soit f : R —> C continue par morceaux et 2tt-périodique. Pour k e Z,
on pose Ck = J- / /(f) e~'ktdt.
J — K
+00
Pour r G [0,1[, on pose fr(t) = y, r^cne‘nl.
n=~oo
1.	Déterminer q>r telle que l’on ait
1 r2*
Vt e R,fr(t) = — / f(u)<pr(t-u)du.
2tt Jq
La fonction <pr est appelée noyau de Poisson.
2.	Montrer que <pr converge uniformément vers 0 lorsque r tend
vers 1 ~ sur tout segment inclus dans ]0,2n[.
3.	Montrer que, pour tout réel x,
^lim fr(x) = ^(/(x+) + /(-t-))
(où f (x+) (resp. f (x-)) désigne la limite à droite (resp. à gauche) en x).
4.	Montrer que si f est continue, fr converge uniformément vers f
lorsque r tend vers 1_.
▻ Solution.
1.	La fonction fr est bien définie sur R et continue car la série qui la définit
est normalement convergente. En effet, la fonction f est continue par morceaux
donc bornée sur [0,2n] et donc sur R, puisqu’elle est 2it-périodique. Pour t e R
et n G Z, on a donc lr^cne,ntl < r'"' ||/||oo. On a, pour tout t e R,
+00	1 p 2n
/r(0 = S	/ f(u)e~inudu
n=-oo	231 JO
1	+00 n 2tc
= — Y. / f(,u)rwein^-u}du.
23^ n=-oo Jo
Pour n g Z et (r,w) g R2, on a |/(w)rl,!'e'"^-u)| < ||/||oor'"'. Ainsi,
la série y	converge normalement donc uniformément par
rapport à n et sa somme est continue par morceaux. On peut donc intervertir
intégration et sommation. On obtient, pour tout r g R,
1 /*2jc	+00
= f(u) y e^‘-“^du.
Jo	n=-°0
406
CHAPITRE 4. POLYNÔMES ET SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES
En posant pour tout t e R, cpr(r) = y,	série qui converge
n=-oo
normalement car |r'n'e!n'| = on obtient, pour tout r e R,
1 f211
fr(t) = 7Z- f(u)<pr(j-u)du.
2k Jo
2.	Transformons l’expression de <pr. Pour tout t e R, on a
<pr(t) = g rneinr + g rne~nir - 1 = —L- + —- 1
£0	1 -re 1 “re
_	2 - 2r cos t - 1 - r2 + 2r cos t _	1 - r2
1 + r2 - 2r cos t	1 + r2 - 2r cos t
= ________1 ________ > 0.
(r - cos t)2 + sin r2
Soit [a, b] c]0, 2k[. La fonction cos atteint sa borne supérieure X < 1 sur le
segment [a, b]. On a donc, pour tout t e [a, Z>],
Ceci montre que <pr converge uniformément vers 0 sur [a, b].
3.	Pour tout x e R, en faisant le changement de variable t = x - u, on
obtient
AU) =	/(w)cp,-(x-w)dH = ^^f(x-t)<pr(t)dt
1 r2lt
car <pr et f sont 2K-périodiques. Soit e > 0. On a
lim f(x -1) = f(x) et lim f(x - t) = lim f(x - t) = f(x+)-
r->0+	r—r—>0_
On peut donc trouver a e ]0, a[ tel que
0 < t d a => |y(x-z)-/(x_)| < e
2k - a «S t < 2k => \f(x - t) - J(x+)| < e.
On note que / cpr(t)dt = ÿ / e‘ntdt = 2k, car la série converge
•*0	n=-oo *0
y2n-a
normalement. D’autre part on a lim / <pr(t) = 0 car <pr converge
r—>1- Ja
uniformément vers 0 sur [«,2k - a] quand r tend vers 1_. Enfin comme
<pr est paire et 2K-périodique, on a / q>r(f)dt = / cpr(t)dL On en déduit
que	Jo	J2*~a
/• Œ	/• 2jc
SJ.

2k-œ
4-26. NOYAU DE POISSON
407
On écrit alors
fr (x) -	= -!-(/" f(x - Z)<pr (t)dr - Jt/(x+) - Jt/(x_))
Z	Zjt \Jq	/
1 / /*a	/•2x
= TT- / (/(x -1) - /(x_))cpr(t)dr + /	(/(x -1) - /(x+))cpr(r)dr
xtt Wo	J2it-a
Ür Œ
' Wr(t)-n
0
*+)( f <Pr(Odf-Jt)
V2it-a	'
2n-a	\
On majore les différents termes. On obtient
/“(/(x-o-Ax-ncpxodz
Jo
rit
car <pr est positive et / <pr = Jt, et de même,
Jo
/• 2k
/	-/(x+))cpr(t)dt
«/2jc-a
en.
On en déduit que
/(x+)+/(x)
ll/ll.
2ji
a
q>r - Jt
D’après ce qui précède, le terme de droite de l’inégalité tend vers e lorsque r
tend vers 1_. Il existe donc rg e ]0,1 [ tel que, pour rg < r < 1 on a
/(x+)+/(x)
< 2e.
On a donc
r f ( \ /(x+)+/(x-)
hm fr(x) =
*—>1
2
4.	Supposons f continue et reprenons la démonstration faite dans la
question précédente. La fonction f étant continue sur R et 2jt-périodique,
elle est uniformément continue sur R. Soit e > 0 et a e ]0, Jt[ un module
d’uniforme continuité de f pour e. On a alors, pour tout réel x,
fO<t<a => |/(x-r) -/(x)| < e
|2jt - a r < 2tt => \f(x - t) - /(x)| = |/(x-r) - /(x-2jt)| < e.
On peut reprendre les inégalités précédentes avec f (x+) = /(x_) = /(x). Cette
fois, a est indépendant de x. On obtient, pour tout x e R,
l/r(x)-/(x)| « e +
ll/lle
2jt
a
(pr - Jt
(pr - Jt
408
CHAPITRE 4. POLYNÔMES ET SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES
On a donc, pour ro C r 1 et tout x e R,
|/r(x)-/(x)| <2e.
La fonction fr converge uniformément vers f lorsque r tend vers 1 . <1
Table des matières
[*]	: exercice très difficile, ne pas hésiter à consulter le corrigé.
[**	] : exercice utilisant des notions hors programme, plutôt destiné aux candidats à
l’agrégation.
Introduction	5
Plan de la collection	9
1.	Intégrales généralisées	11
1.1.	Question d’intégrabilité (1)............................................. 12
1.2.	Question d’intégrabilité (2)............................................. 13
1.3.	Question de convergence (1).............................................. 14
1.4.	Question de convergence (2).............................................. 15
1.5.	Intégrale divergente (1)................................................. 16
1.6.	Intégrale divergente (2)................................................. 17
1.7.	Fonction intégrable monotone............................................. 18
1.8.	Limite en+oo d’une fonction intégrable (1)............................... 19
1.9.	Limite en+oo d’une fonction intégrable (2)............................... 20
1.10.	Limite en+oo d’une fonction intégrable (3).............................. 22
1.11.	Limite en	+oo d’une fonction intégrable (4)............................. 22
1.12.	Fonction intégrable log-concave......................................... 23
1.13.	Croissance d’une fonction définie par une intégrale..................... 24
*1.14.	Fonction maximale de Littlewood......................................... 26
1.15.	Médiane ................................................................ 28
1.16.	Entropie maximale....................................................... 30
1.17.	Composition par une fonction convexe.................................... 33
1.18.	Sur l’intégrabilité d’un produit........................................ 35
1.19.	Intégrales des puissances d’une fonction................................ 36
1.20.	Calcul d’intégrales (1)................................................. 38
1.21.	Calcul d’intégrale (2) ................................................. 39
1.22.	Calcul d’intégrale (3).................................................. 40
1.23.	Calcul d’intégrale (4).................................................. 41
1.24.	Formule des résidus pour les fractions rationnelles..................... 43
1.25.	Majoration d’une intégrale.............................................. 45
1.26.	Une égalité pour des fonctions de carré intégrable...................... 46
1.27.	Majoration d’une intégrale.............................................. 47
1.28.	Inégalité de Hardy...................................................... 48
1.29.	Inégalité de Hôlder, inégalité de Minkowski............................. 50
1.30.	Fonctions g telles que fg soit de carré intégrable...................... 51
1.31.	Inégalité de Kolmogorov................................................. 53
1.32.	Inégalité de Weyl....................................................... 54
1.33.	Une inégalité intégrale................................................. 55
1.34.	Majoration du reste..................................................... 58
409
4io
TABLE DES MATIÈRES
1.35.	Formule de Stirling ................................................ 59
1.36.	Sur la convergence dans L1 ......................................... 62
1.37.	Interversion série-intégrale........................................ 63
1.38.	Calcul de l’intégrale de Dirichlet (1) ............................. 64
1.39.	Calcul de l’intégrale de Dirichlet (2)	67
1.40.	Intégrale de Gauss.................................................  69
1.41.	Calcul d’une intégrale à paramètre (1).............................. 70
1.42.	Calcul d’une intégrale à paramètre (2).............................. 72
1.43.	Calcul d’une intégrale à paramètre (3).............................. 75
1.44.	Intégrale de Fresnel ............................................... 76
1.45.	Formule de Gauss et formule de duplication ......................... 78
1.46.	Convexité logarithmique de T........................................ 80
1.47.	Fonction B d’Euler.................................................. 82
1.48.	Calcul de T'(1)..................................................... 85
1.49.	Intégrale à paramètre ( 1 )......................................... 88
1.50.	Intégrale à paramètre (2)........................................... 90
1.51.	Intégrale à paramètre (3)........................................... 91
1.52.	Etude d’une transformée de Laplace.................................. 93
1.53.	Zéros d’une transformée de Laplace.................................. 96
1.54.	Norme triple du carré de la transformée de Laplace.................. 97
1.55.	Transformée de Stieltjes............................................100
1.56.	Inversion de Fourier................................................102
1.57.	Injectivité de la transformée de Fourier............................105
1.58.	Convolution dans l’espace des fonctions à support compact...........108
1.59.	Equivalent d’une intégrale partielle................................111
1.60.	Equivalent d’une intégrale partielle et d’un reste .................112
1.61.	Développement asymptotique d’un reste...............................113
1.62.	Étude d’une intégrale indéfinie.....................................115
1.63.	Lemme de Riemann-Lebesgue généralisé................................116
1.64.	Calculs de limites..................................................117
1.65.	Étude asymptotique d’une transformée de Laplace	(1) ................118
1.66.	Étude asymptotique d’une transformée de Laplace	(2) ................120
1.67.	Étude asymptotique d’une transformée de Laplace	(3) ................122
1.68.	Équivalent d’une intégrale à paramètre (1)..........................124
1.69.	Équivalent d’une intégrale à paramètre (2)..........................126
1.70.	Méthode de Laplace (1)..............................................128
1.71.	Méthode de Laplace (2) .............................................129
1.72.	Méthode de Laplace (3) .............................................131
*1.73. Méthode de Laplace (4) ...............................................133
2.	Suites et séries de fonctions	137
2.1.	Majoration sur une demi-droite ......................................138
2.2.	Une décomposition en série de la valeur absolue......................140
2.3.	Fonctions continues presque additives................................141
2.4.	Contrôle uniforme de séries alternées................................143
2.5.	Sommation au sens de Riemann.........................................144
2.6.	Convergence uniforme des séries de Dirichlet ........................147
TABLE DES MATIÈRES
411
2.7.	Étude de la convergence d’une série de fonctions......................149
2.8.	Comparaison série-intégrale...........................................150
2.9.	Suite ne convergeant uniformément sur aucun ouvert....................153
2.10.	Fonction discontinue en tout rationnel, continue en	tout irrationnel . . . . 154
2.11.	Continuité et convergence de fonctions ..............................155
2.12.	Limite uniforme de fonctions lipschitziennes.........................156
2.13.	Série normalement convergente de somme non dérivable.................158
2.14.	Propriétés de la fonction Ç..........................................159
2.15.	Étude d’une série de fonctions.......................................161
2.16.	Série de primitives successives......................................163
2.17.	Non existence d’un plongement isométrique............................164
2.18.	Régularité des fonctions de Weierstrass..............................165
2.19.	Courbe de Bolzano ...................................................167
*2.20. L’escalier du diable.................................................171
2.21.	Interversion série-intégrale.........................................173
2.22.	Sur le théorème d’intégration d’une série de fonctions ..............175
2.23.	Approximation polynomiale par convolution ...........................177
2.24.	Autour du théorème de Weierstrass (1) ...............................179
2.25.	Autour du théorème de Weierstrass (2) ...............................180
2.26.	Autour du théorème de Weierstrass (3) ...............................181
2.27.	Un théorème de Walsh.................................................183
2.28.	Théorème de Chudnovsky...............................................184
*2.29. Adhérence d’un sous-espace...........................................186
2.30.	Itération d’un opérateur intégral....................................187
2.31.	Théorème de Korovkin (1953)......................................... 188
2.32.	Itération de l’opérateur de Bernstein................................190
2.33.	Non-extension du théorème de Weiertrass à la variable complexe......192
2.34.	Approximation de Laguerre............................................192
2.35.	Convergence d’une suite de polynômes vers l’exponentielle ...........194
2.36.	Développement eulérien de la cotangente..............................196
2.37.	Caractérisation d’Artin de la fonction T (1931)......................199
2.38.	Produits infinis.....................................................201
2.39.	Identité de Jacobi...................................................203
2.40.	Développement eulérien du sinus sur C................................207
2.41.	Théorèmes de Dini....................................................210
2.42.	Un théorème de point fixe............................................212
2.43.	Étude d’une suite récurrente.........................................214
2.44.	Équation fonctionnelle...............................................216
2.45.	Critère de convergence uniforme......................................218
2.46.	Suite de fonctions lipschitziennes sur un compact	...................219
2.47.	Convergence uniforme de suites de fonctions convexes.................220
2.48.	Condition suffisante de convergence uniforme ........................221
*	2.49. Théorème d’Ascoli..................................................223
*	2.50. Un cas particulier du théorème d’Ascoli............................226
*	2.51. Théorème de sélection de Kelly.....................................227
2.52.	Suite de fonctions d’un sous-espace de dimension finie...............227
2.53.	Condition suffisante de convergence uniforme.........................229
412
TABLE DES MATIÈRES
2.54.	Translatés et convolées d’une fonction............................230
2.55.	Base de type S ...................................................233
3.	Séries entières	235
3.1.	Calcul	de rayon de	convergence (1) ...............................236
3.2.	Calcul	de rayon de	convergence (2) ...............................236
3.3.	Calcul	de rayon de convergence (3) ...............................237
3.4.	Relations entre rayons de convergence	(1)..........................237
3.5.	Relations entre rayons de convergence	(2)..........................238
3.6.	Relations entre rayons de convergence	(3)..........................239
3.7.	Rayon de convergence infini........................................240
*3.8.	Étude	d’une série entière sur le cercle de convergence ............241
*3.9. Divergence en tout point du cercle...................................244
3.10.	Deux théorèmes d’Abel.............................................247
3.11.	Calculs de sommes de séries alternées ............................249
3.12.	Séries génératrices de deux suites récurrentes....................251
3.13.	Calcul de la somme d’une série entière ...........................253
3.14.	Somme de deux séries de fonctions.................................254
3.15.	Somme d’une série entière extraite ...............................256
3.16.	Zéros d’une série entière.........................................257
3.17.	Zéros d’un ensemble de séries entières ...........................258
3.18.	Condition suffisante d’injectivité d’une série entière ...........258
3.19.	Théorème de Bieberbach dans le cas réel...........................260
3.20.	Développement en série entière (1) ...............................261
3.21.	Développement en série entière (2) ...............................262
3.22.	Développement en série entière (3) ...............................264
3.23.	Développement en série d’une transformée de Laplace	bilatérale....266
3.24.	Signe des dérivées successives d’une fonction.....................267
3.25.	Réduction des coefficients modulo m ..............................269
3.26.	Développement en série entière des fractions rationnelles ........271
3.27.	Signe des coefficients d’un développement en série entière........274
3.28.	Déterminants de Hankel............................................276
3.29.	Développement en série entière de In det(Idg +tu) ................278
3.30.	Composition de deux séries entières...............................279
*	3.31. Développement en série entière d’une série de fonctions...........281
*	3.32. Développement en série entière de l’inverse.......................284
*	3.33. Fonction à valeurs dans SL2(C) développable à série entière.......287
3.34.	Caractérisation des fonctions DSE en 0............................289
3.35.	Étude au bord de l’intervalle de convergence......................292
3.36.	Recherche d’un équivalent.........................................293
3.37.	Étude asymptotique au bord du disque de convergence	(1).......295
3.38.	Étude asymptotique au bord du disque de convergence	(2).......295
3.39.	Un théorème de Gauss..............................................298
3.40.	Équivalent d’une série lacunaire..................................300
3.41.	Étude asymptotique en+oo (1)......................................301
3.42.	Étude asymptotique en +oo (2).....................................302
3.43.	Théorèmes taubériens..............................................303
TABLE DES MATIÈRES
413
3.44.	Théorème taubérien de Hardy-Littlewood (1914)..........................309
3.45.	Série de Laurent à valeurs entières...................................311
**3.46. Caractérisation des fonctions réelles analytiques ......................313
3.47.	Étude d’analycité......................................................315
3.48.	Un théorème de Bernstein...............................................318
3.49.	Principe des zéros isolés pour les fonctions analytiques réelles......320
3.50.	Utilisation de la formule de Cauchy...................................321
3.51.	Nullité sur un arc du cercle de convergence............................322
3.52.	Série entière à coefficients entiers, bornée...........................323
3.53.	Fonctions entières de partie réelle bornée.............................324
3.54.	Domination par une exponentielle.......................................326
3.55.	Principe du maximum (1)................................................328
3.56.	Principe du maximum (2) ...............................................329
3.57.	Principe du maximum (3) ...............................................332
3.58.	Extrema d’une fonction entière ........................................335
3.59.	Convergence d’une suite de fonctions développables en séries entières . 336
3.60.	Limite de la suite (/*”)) où f est analytique..........................339
3.61.	Limite simple de polynômes à coefficients positifs ....................339
3.62.	Critère de convergence simple d’une suite de séries entières...........341
3.63.	Espace des fonctions continues sur D, développables en série entière sur D 343
*3.64. Fonction entière telle que/(2") = (-1)"..................................345
**3.65. Un théorème de Fejér. ..................................................349
4. Polynômes et séries trigonométriques	353
4.1.	Calcul d’intégrales.....................................................353
4.2.	Une équation fonctionnelle..............................................354
4.3.	Orthogonalité aux polynômes trigonométriques de degré < n...............355
4.4.	Une inégalité...........................................................356
4.5.	Inégalité de Hilbert (1)................................................357
4.6.	Inégalité de Hilbert (2)................................................359
4.7.	Majoration de la norme de la dérivation.................................361
4.8.	Inégalité de Bernstein (1912) ..........................................363
4.9.	Théorème de Weierstrass trigonométrique ................................365
4.10.	Théorème de Fejér (1904)............................................. 368
4.11.	Théorème de Jackson (1911)........................................... 371
*4.12. Un théorème de Bernstein (1912)..........................................374
4.13.	Théorème de Korovkin trigonométrique .................................376
4.14.	Suite (na - |.naj), avec a irrationnel (1).............................379
4.15.	Suite (na - (naj), avec a irrationnel (2).............................381
4.16.	Suites équiréparties : critère de Weyl ...............................384
4.17.	Distribution du premier chiffre des puissances de 2...................387
4.18.	Théorème de convergence simple de Dirichlet ..........................388
4.19.	Algèbre des fonctions presque périodiques ............................390
4.20.	Unicité des coefficients dans le cas de la convergence normale.......393
4.21.	Régularité d’une série trigonométrique................................394
4.22.	Étude d’une série trigonométrique.....................................395
4.23.	Un développement en série trigonométrique ............................397
414	TABLE DES MATIERES
*4.24. Convergence d’une série trigonométrique...........................398
4.25.	Phénomène de Gibbs..............................................401
4.26.	Noyau de Poisson ...............................................405
Index
Abel
théorème d’— radial, 146, 160, 247,
249, 250, 254, 293, 303
transformation d’—, 143, 144, 241,
242, 247, 248, 254, 398
Alembert (règle de d’), 115, 119, 257
Alembert-Gauss (théorème de d’), 335
Ascoli (théorème d’), 223, 225
Benford (loi de), 387
Bernstein
inégalité de —, 361, 363, 374
opérateur de —, 190
polynômes de—, 177, 182, 188
théorème de —,317, 374
Bertrand (série de), 36
Bieberbach (théorème de), 259
Bohl-Sierpinski-Weyl (théorème de), 387
Bolzano (courbe de), 167
Bolzano-Weierstrass (théorème de), 224,340
Borel-Lebesgue (théorème de), 176, 211,
234,315
Cantor
ensemble triadique de —, 171
procédé diagonal de —, 223, 224,
226, 340
Cauchy
conditions de —, 348
formule de —, 287, 288, 291, 321,
322, 324, 330, 342
inégalités de —, 321
problème de —, 279
produit de —, 250, 261, 263, 268,
272, 273, 280, 282, 287, 299,
337
tranche de —, 146, 148, 398
Cauchy-Schwarz (inégalité de), 17, 19, 21,
23, 46, 48, 53, 55, 56, 82, 98,
240, 267, 305, 308, 333, 352,
360, 394
Cesàro (théorème de), 215, 250, 304, 306,
308, 370
Chudnovsky (théorème de), 184
Dini (théorème de), 210, 212, 214
Dirichlet
intégrale de —, 64, 67
noyau de —, 354, 363, 389
séries de —, 147
théorème de —, 361, 388, 397
Euler
constante d’ —, 161
fonction Beta d’ —, 82
fonction Gamma d’ —, 59, 78, 199,
316
formules d’ —, 354, 357, 364, 368
eulérien (développement), 196, 207
Fejér
noyau de —, 361, 363, 368,404
théorème de —, 303, 348, 368
Fermât (petit théorème de), 271
Fourier
coefficients de —, 388, 393, 398
série de —, 370, 388, 397
transformée de—, 101, 105
Fresnel (intégrale de), 76
Fubini (théorème de), 82, 85, 97, 331, 350
Gauss
formule de —, 78
intégrale de —,31, 59, 69, 78, 95,
104, 113, 129, 132
théorème de —, 297
Gibbs (phénomène de), 401
Hankel (déterminant de), 276
Hardy (inégalité de), 48
Hardy-Littlewood (théorème de), 301, 308
Heine (théorème de), 178, 183, 211, 213,
231,352, 366
Helly (théorème de sélection de), 226
Hilbert
inégalité de —, 357-361
matrice de —, 361
polynômes de —,312
Hôlder (inégalité de), 49
Jackson
noyau de —,371,404
théorème de —, 371
Jacobi (identité de), 203
415
416
INDEX
Kolmogorov (inégalité de), 53
Korovkin
théorème de —, 188
théorème de — trigonométrique, 376,
379
Lagrange (multiplicateurs de), 32
Laguerre (approximation de), 192
Laplace
formule de —, 131
méthode de —, 128-135
transformée de —, 15,64,67,93,96,
97, 118, 119, 122,266
Laurent (série de), 311
Legendre (polynômes de), 131
Leibniz (formule de), 318
Liouville (théorème de), 108,324
Littlewood (fonction maximale de), 25
Minkowski (inégalité de), 49
noyau
de Dirichlet, 354, 363, 389
de Fejér, 363, 368,404
de Jackson, 404
de Poisson, 404
Parseval (formule de), 324, 329, 332, 350,
357, 358, 360
Poisson (noyau de), 404
principe des zéros isolés, 311,312,320,322,
323
principe du maximum, 249, 328-336
Riemann
fonction zêta de —, 147, 159
intégrale de —, 127
processus de sommation de —, 144
somme de —, 232,298
Riemann-Lebesgue (lemme de), 116, 118,
388
Rolle (théorème de), 364
Schauder (base de), 232
Schwartz (classe de), 101
Stieltjes (transformée de), 100
Stirling (formule de), 59,80,126,193,284,
317, 327
Tauber (théorème de), 308
Taylor
formule de — avec reste intégral, 61,
152,222,313,318
série de —, 313, 316, 318, 339
Taylor-Lagrange
formule de, 243
inégalité de —, 192
Taylor-Young (formule de), 127
Vandermonde (déterminant de), 223
Wallis (intégrales de), 59, 126,264
Walsh (théorème de), 183
Weierstrass
fonction de —, 165
théorème de —, 177, 179-181, 185,
188, 190, 191, 194, 344, 365,
386, 391
théorème de — trigonométrique, 365
Weyl
critère de —, 384
inégalité de —, 54
Wilson (théorème de), 271
Achevé d’imprimer en mai 2023
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Dépôt légal : mai 2023 - N° d’impression : 305179
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