V.SMIRNIV
COURS DE
MATHEMATIQUES
SUPERIEURES
—ia

ÉDITIONS
MIR

B. H. CM0PUOB
KypC BMCIDEH MATEMATHKH
TOM
H3flATfiJll>CTBO «HAyKA»
MOCKUA

V. SMIRNOV
COURS
de
MATHÉMATIQUES
SUPÉRIEURES
tome I
EDITIONS MIR . MOSCOU ♦ 1969

Table des matières
INTRODUCTION 9
CHAPITRE PltEMIElt. DEPENDANCE FONCTIONNELLE ET TH#OIWE DBS
UMITUS
1-1. Grandeurs variables H
M-l. La grandeur et sa mesure {11). 1-1-2. Le nombre (12),
1-1-3. Les grandeurs «instantes et variables (14). 1-1-4, Inler-
vallc (15), 1-1-5. Notion de fonction (16). 1-1-6, Procédé
analytique pour exprimer une dépendance fonctionnelle (18). 1-1-7.
Fonctions implicites (20), 1-1-8. Tables des fonctions (20), 1-1-9.
Procédé graphique de représentation des nombres (21). 1-1-10.
Les coordonnées (23). 1-1-11. Graphique cl équation d'une
courbe. (25). 1-1-12. Fonction linéaire (27). 1-1-13, Accroissement.
Propriété fondamentale de la fonction linéaire (28). 1-1-14.
Graphique du mouvement uniforme (HO). T-l-15. Formule»
empirique» (32). 1-1-16, Parabole du second degré (33). 1-1-17.
Parabole du troisième degré (36). 1-1-18. Loi do proportionna-
lité inverse (37). 1-1-10. Fonction g *- ax" (39). 1-1-20.
Fonctions inverses (41). 1-1-21. Fonctions niullîvoques (42).
1-1-22. Fonctions exponentielle et, logarithmique (45). 1-1-23.
Fonctions trigonométi'iques (ou circulaires) (48), 1-1-24. Fonctions
trigonométTÎques (ou circulaires) inverses (52).
1-2. Théorie des limites. Fonctions continues f>S
T-2-1. Variable ordonnée (53). 1-2-2. Infiniment petits (S6).
1-2-3. Limite d'une grandeur variable (61), 1-2-4. Théorèmes
fondamentaux (60). T-2-5. Infiniment grands (68). 1-2-6, Variables
monotones (69). (-2-7. Critère de Cauchy d'existence d'une
limite (71). 1-2-8. Variation simultanée de deux grandeurs
variables liées par une relation fonctionnelle (75), l-2-9<
Exemples (79). 1-2-10. Continuité des fonctions (80). 1-2-11, Proprié-
Lés des fonctions continues (83), 1-2-12. Comparaison des
infiniment petits et des infiniment grands (87). 1-2-13. Exemples
(88). 1-2-14, Lo nombre s (90). 1-2-15. Propositions nen
démontrées (94). 1-2-10. Les noBilires réels (95). 1-2-17. Opérations
sur les nombres réels (98). 1-2-18. Bornes d'un ensemble de
nombres. Existence de bornes (100). 1-2-19. Propriétés des
fonctions continues (102). 1-2-20. Continuité des fonctions
élémentaires (105).
CHAPITRE II, NOTION DR DÉK1VÉE. APPLICATIONS
11-1. Dérivée et différentielle du premier ordre. 10(1
H-1-1. Notion do dérivéo (109), [1-1-2, Signification
géométrique de la dérivée J1H). 11-1-3- Dérivées (les fonctions simples
(114). H-1-4. Déri vces des fonctions de fonction et des fonctions
inverses (117). II-1-5. Table des dérivées des fonctions et
exemples (122). n-1-0. Notion do différentielle (124). 11-1-7.
Quelques équations différentielles (127). 11-1-8. Estimation des or-
iwirs (123).

TAULE DBS MATIÈRES
U-2. Dérivées et différentielles d'ordre supérieur 131
11-2-1. Dérivées d'ordre supérieur (131). 11-2-2. Interprétation
mécanique de la dérivée seconde (133). II-2-3. Différentielles
d'ordre supérieur (135). II-2-4. Différences des fonctions (136).
II-3. Application do la notion de dérivée à l'étude d'une fonction 138
II-3-1. Critères de croîssanoe et de décroissanco d'une fonction
(138). II-3-2. Maxima et minima des fonctions (142). II-3-3.
Construction de graphiques (147). II-3-4. Plus grande et plus
petite valeur d'uno fonction (150). II-3-5. Théorème de Fermât
(157). 11-3-6. Théorème de Rolle (158). II-3-7. Formule do La-
grange (159). II-3-8. Formule de Cauchy (162). H-3-9. Calcul des
expressions indéterminées (163). IT-3-10. Diverses formes
d'indétermination (165).
11-4. Fonctions do deux variables 168
11-4-1. Notions fondamentales (168). 11-4-2. Dérivées
partielles et différentielle totale d'une fonction de deux variables
indépendantes (170). II-4-3. Dérivées des fonctions composéos
et des fonctions implicites (173).
II-5. Applications géométriques de la notion de dérivée 175
11-5-1. Différentielle à un arc (175). II-5-2. Convexité, concavité,
courbure (177). II-5-3. Asymptotes (180). II-5-4. Construction
do courbes (183). 11-5-5. Définition paramétrique d'une courbe
(185). II-5-6. Equation de Van der Waals (189). H-5-7. Points
singuliers des courbes (191). II-5-8. Eléments d'une courbe (195).
11-5-9. La chaînelto (197). II-5-10. La cycloïdo (198). II-5-H.
Epicycloïdes ot hypocycloïdes (200). 11-5-12. Développante du
cerclo (203). II-5-13. Courbes en coordonnées polaires (204).
II-5-14. Spirales (206). 11-5-15. Cissoïdes ot cardioïde (207).
I.I-5-16. Ovale do Cassini et lemnisente (209).
CHAPITJfiB 111. NOTION D'INTÉGRALE ET APPLICATIONS
1II-1. Problèmes fondamentaux du calcul intégral et intégrale indéfinie 211
MI-1-1. Notion d'intégrale indéfinie (211). III-1-2. L'intégrale
définie commo limite d'uno sommo (215). II1-1-3. Relation entre
les intégrales définie et indéfinieJ22l). III-1-4. Propriétés de
l'intégrale indéfinie (226). II1-1-5. Table des intégrales les plus
simples (227). IIt-1-6. Règle d'intégration par parties (228).
III-1-7. Intégration par changement de varialilos. Exemples
(229). 1II-1-8. Exemples d'équations différentielles du premier
ordre (234).
UI-2. Propriétés des intégrales définies 230
ri 1-2-1. Propriétés fondamentales dos intégrales définies (236).
IU-2-2. Théorème de In moyenne (240). III-2-3. Existence de la
fonction primitive (243). III-2-4. Cas des fonctions discontinues
sous le signe d'Intégrale (245). II1-2-5. Limites d'intégration
Infinies. (249). II1-2-6. Changement de variable pour une
intégrale définie (250). III-2-7. Intégration par partioe (252).
111-3. Compléments sur la notion d'intégrale définie 254
III-3-1. Calcul des surfaces (254). II1-3-2. Aire d'un secteur (257).
IIf-3-3. Longueur d'un arc (259). III-3-4. Calcul deî volumes des
corps à partir de leur section transversale (267). III-3-5. Volume
d'un corps de révolution (269). III-3-6. Aire d'un corps de
révolution (270). " III-3-7. Détermination des centres de gravité.
Théorèmes de Guldin (274). III-3-8. Calcul approché dos
intégrales définies; formules des rectangles et des trapèzes (278).

TADLE DBS MATI&RES
7
1II-3-9. Formule dos tangentes et formule de Poncolol (280).
III-3-10. Formule de Simpson (281). III-3-11. Calcul d'une
intégrale définio avec une borne supérieure variable (280). III-3-12.
Méthodes graphiques (286). III-3-13. Aires des courbes S
oscillations rapides (290).
II1-4. Données complémentaires sur les intégrales définies 291
IH-4-1. Notions preliminaires (201). III-4-2. Découpage d'un
intervalle et formation de diverses sommes (293). IIM-3, Fonctions
iiilégrablos (296). UI-4-4. Propriétés des fonctions inlégra-
bks (300).
CHAPITRE 3V. UBS SÈMES, APPLICATIONS AUX CALCULS APPROCHÉS
IV-1. Notions sur la théorie des séries infinies 305
iV-1-1. Notion de série infinie (305). IV-1-2. Propriétés des séries
infinies (son). IV-1-3. Séries à termes positifs. Critères de
convergence (309). IV-i-4. Critères de Gauchy et de d'Alcmbert
(311). IV-1-5. Critère intégral de convergence do Cauchy (314).
IV-l-fi. Séries alternées (316). IV-1-7. Séries absolument conve)£cn-
tes (318). IV-1-8. Critère général de convergence (321).
1V-2. Formule de Taylor et applications 322
1V-2-1. Formule de ïaylor (322). IV-2-2. Différentes formes de
la formule de Taylor (326). IV-2-3. Séries de Taylor et de Mac-
laurin (327). IV-2-4. Développement de ex. (328). 1V-2-5.
Développement de sin x et de cos x (330). IV-2-Û. Binôme de
Newton (331). IV-2-7. Développement de In (1 + x) (337). IV-2-8.
Développement de arc tg x (341), IV-2-9, Formules approcliéus
(343). lv-2-10. Maxinia, minima et points d'inflexion (345).
IV-2-11. Calcu! des expressions Indéterminées (346).
1V-3. Compléments à ia théorie des séries 348
IV-3-1. Propriétés des séries absolument convergentes (348).
IV-3-2. Produit do séries absolument convergentes (350).
IV-3-3. Critère de Kummer (351). IV-3-4. Critère de Gauss (353).
IV-3-5. La série liypergéométrique (355). 1V-3-C. Séries
doubles (357). 1V-3-7. Séries à-termes variables. Séries uniformément
convergentes (362), 1V-3-8. Suites uniformément convergentes
des fonctions (365). IV-3-9. Propriétés des suites uniformément
convergentes (367). IV-3-10. Propriétés des séries uniformément
convergentes (371). IV-3-11. Critères de convergence uniforme
(372). 1V-3-12. Séries entières. Rayon de convergence (374).
IV-3-13. Deuxième théorème d'Abel (375). IV-3-14. Différcntia-
tion et intégration d'une série entière (370).
CHAPITRE V, PONCTIONS DE .PLUSIEURS VAIllABLffiS
V-l. Dérivées et différentielles do fonctions 380
V-l-1. Notions fondamentales (380). V-l-2. Le passago à la
limite (381). V-1-3. Dérivées pnrtielles et différentielle totale du
premier ordre (384). V-l-4. Fonctions homogènes (386). V-l-5.
Les dérivées partielles d'ordre supérieur (387). V-l-6. Les
différentielles d'ordre supérieur (380). V-1-7. Fonetions implicites
(392). V-l-8. Exemple (394). V-l-9. Existenco des fonctions
implicites (390). V-l-10. Courbes dans l'espace et surfaces (398).

8
TABLB DES MATIERES
V-2. Formule de Taylof, maxima ot minima d'une Jonction de
plusieurs variables 402
V-2-1, Généralisation de la formule du Taylor «u cas d'une
fonction do plusieurs variables indépendante: (402), V-2-2. Conditions
nécessaires d'existence Uesmaxima elminima d'une fonction (404).
V-2-3. Etude du maximum et du minimum d'une fonction do
doux variables indépendantes (405). V-2-4, Exemples (4U()).
Y-2-5. Remarques supplémentaires sur la recherche nVa
maxima ot des minima d'une fonction (410). V-2-fi. Lu plus grande
ot la plus petite valeur d'une fonction (412). V-2-7. Minima et
mexima relatifs (413). V-2-8. Remarques complémentaires (4101.
V-2-!). Exemples (418).
CHAPITRE Vi. NOMBUES COMPLEXES, l'ONUIÎMEOTS DE L'AI-OfCBRE
SUPÉUIEtHIE ET INTÉGKA.TION DES FO.VCTCONS
VI-l. Los nombres complexes 422
VI-1-1. Les nombres complexes (422). VI-1-2. Addition ut
soustraction de nombres complexes (425). Vl-l-3. Multiplication de
nombres complexes (427). VI-1-4- Division des «ombres complexes.
(420). V7-1-5. Puissance d'un nombre complexe (430). Vl-1-fi.
Extraction du racine d'un nombre complexe (433). Vl-1-7.
Fonction exponentielle (435), VH-8, Fonctions Irigononiétriquos
ot hyperboliques (437). VI-i-9. La chaînette (442). VM-10.
Logarithme d'un «ombré complexe (446), VI-1-11, Grandeurs
sinusoïdales ot diagrammes vectoriels (447). Vf-1-12. Exemples (450)-
Vf-l-i3. Courbes (infinies sous forme complexe (453). Vl-1-14-
Roprésentatïon d'une oscillation harmonique sous forme
complexe (455).
Vl-2. Propriétés fondamentales des polynômes entiers et calcul de
lours racines 45G
VI-2-1, Equation algébrique (45«). VI-2-2. Décomposition d'un
polynômi) ou produit de facteurs (458). Vl-2-3. Kacities multiple?
(4G0). VI-2-4. Kègle de Honier (4(>2). Vl-2-5. Le plus grand
commun diviseur (464). VI-2-0. Polynômes réels (4(55). Vl-2-7.
Relations entre racines et coefficients d'une équation (466). VI-2-8
Equation du troisième degré (467). Vi-2-9. Solution sous forme
trigonomélrique d'une équation du troisième degré (470).
Vl-2-10. Méthode itérative (473). VI-2-1 i. Procédé de Newton
(478). VI-2-12. Méthode (l'interpolation simple (479).
Vl-3, Intégration des fonctions ''81
VI-3-1. Déonmpositiim d'une fraction rationnello ou éléments
simples (481). VI-3-2. Intégration d'une fraction rationnelle
(484). VI-3-3. Intégrale d'expressions conU'nnnt des radicaux (486).
VI-3-4. Intégrales du type C R (x, "yW2 -h )« + c) dx (487).
VI-3-5. Intégrales du type V B (sin x, ces x) tlx (491). VI-3-(î.
Intégrales du type \ e"x [p (^) 00s bx + Q {*) sin bx] dx (492).
INDEX . . 11)5

INTRODUCTION
Dans le tome I du Cours de mathématiques supérieures en cinq
volumes que nous avons entièrement révisé sont exposées les base-s
de l'analyse mathématique. Nous avons jugé utile, vu quo dans les
tomes suivants nous rencontrerons souvent des questions
d'analyse moderne suffisamment complexes, d'insérer à la fin du § 2
(chapitre ),), «près la théorie des limites, l'exposé de la théorie des
nombres irrationnels et son application à la démonstration do»
critères d'existence de la limite et des propriétés des fonctions
continues. Nous y donnons aussi la définition rigoureuse et l'élude
des fonctions élémentaires. Au chapitre V, consacré aux fonctions
de plusieurs variahles, nous donnons la démonstration de l'existence
dos fonction? implicites.
L'exposé est conduit de telle manière que la partie on gros
caractères peut êtro lue indépendamment. Nous avons rapporté eu
petits caractères les exemples, certaines questions complémentaires,
tout le développement théorique que nous avons mentionné plus
haut, ainsi que les derniers paragraphes du chapitre IV dont le
contenu est d'un niveau théorique nettement supérieur.
Ce manuel est destiné aux élèves des Facultés de physique et
de mathématiques, ainsi qu'à ceux des écoles techniques supérieures.
V. Smirnoo

Chapitre premier
DÉPENDANCE FONCTIONNELLE
ET THÉORIE DES LIMITES
1-1. Grandeurs variables
I-f-1. La grandeur et sa mesure. L'analyse mathématique trouve
sa signification fondamentale dans plusieurs sciences et,
notamment, dans les sciences naturelles et la technique. A rencontre des
autres sciences qui s'intéressont chacune à un aspect déterminé du
monde qui nous entoure, les mathématiques touchent aux
propriétés les plus générales qui se rapportent à tous les phénomènes
accessibles à la recherche scientifique.
L'une des notions fondamentales est la notion de grandeur et de
mesure. Le trait caractéristique de la grandeur réside dans le fait
qu'elle peut être mesurée, c'est-à-dire par un moyen ou un autre
comparée à une grandeur déterminée du même ordre, prise comme
unité de mesure. Le processus de comparaison dépend des
caractéristiques de la grandeur recherchée et s'appelle la mesure. On obtient
un nombre, qui exprimo le rapport de la grandeur étudiée à celle
prise comme unité de mesure.
Toute loi de la nature nous donne un rapport entre des
grandeurs, ou, plus exactement, entre les chiffres exprimant ces grandeurs.
Les chiffres et les différents rapports qui existent entre eux font
justement l'objet de la recherche mathématique, indépendamment
du caractèce concret des grandeurs ou des lois qui nous ont amenés
à ces nombres et rapports.
Ainsi, à toute grandeur correspond le nombre qui la mesure. Mais
ce nombre dépend essentiellement de l'unité, prise pour la mesure,
ou échelle. Lorsque cette unité augmente, le nombre qui mesure la
grandeur considérée diminue ot, inversement, ce nombre va grandir
lorsque l'unité diminuera.
Le choix de l'échelle est conditionné par le caractère do la
grandeur recherchée et par les circonstances dans lesquelles a lieu la
mesure. La grandeur do l'échelle pour la mesure d'une soûle et môme
grandeur peut varier dans les plus larges limites: par exemple,
pour la mesure de la longueur dans les recherches optiques de
précision, on prend comme unité de longueur l'angstrôm (un
dix-millionième de millimètre, 10"' rom); en astronomie on utilise une

\Z CH. t. DEPENDANCE FONCTIOXWBH.E I3T THÉORIE DES WMIÏKS
uni lé de mesure appelée année-lumière, c'est-à-dire la distance
parcourue par la lumière pendant un ai» (en uriff seconde la lumière-
parcourt environ 300 000 km).
1-1-2. Le nombre. Le nombre que l'on obtient comme résultat
de la mesure pont être entier {si l'unité est contenue un nombre
entier de fuis dans la grandeur considérée), fractionnaire ou rationnel
(s'il existe une autre unité de mesure qui soit contenue un nombre
entier de fois aussi bien dans la grandeur mesurée que dans l'unité
choisie auparavant, en un mot, lorsque la grandeur mesurée est
commensurable avec l'unité de mesure) et enfin, le nombre peut être
irrationnel, (lorsqu'il n'existe pas de mesure commune, c'est-à-dire-
lorsque la grandeur donnée est incommensurable avec l'unité
démesure).
Ainsi, par exemple, on démontre en géométrie élémentaire que
la diagonale du carré est incommensurable avec son côté, do sorte
que, si l'on veut mesurer la diagonale du carré en ayant pris comme
«nilé de mesure son côté, le nombre Y2 obtenu en faisant la mesure,
sera irrationnel. Le nombre it qui mesure la circonférence quand on
prend lo diamètre comme unité de mesure, est aussi irrationnel.
Pour éclaircir la notion de nombre irrationnel, il est commode*
d'utiliser les fractions décimales. Tout nombre rationnel, comme
ou le sait de l'arithmétique, peut être rcprésenlô ou bien sous forme
de fraction décimale finie ou bien sous forme do fraction décimale/
infinie, et dans ce dernier cas ia fraction infinie sera périodique.
Ainsi, par exemple, en divisant le numéroteur par le dénominateur
suivant la loi de la division des fractions décimales, on obtient:
-^- = 0,151515 ... = 0, (15), -^- = 0,2777 ... = 0,2 (7).
Réciproquement, on montre en arithmétique que toute fraction
décimale périodique représente un nombre rationnel.
Quand on mesure une grandeur incommensurable avec l'unité
choisie,, ou peut d'abord établir combien de fois l'unité orttière
est contenue dans la grandeur mesurée, puis combien de fois un.
dixième d'unilé est contenu dans le reste obtenu de la grandeur,
ensuite combien do fois un centième d'unité est contenu dans le
nouveau reste et ainsi de suite. Grâce à cette méthode, quand on
mesurera une grandeur incommensurable avec l'unité choisie, on
obtiendra une cerlairio fraction décimale infinie «on périodique.
A chaque nombre irrationnel correspond une fraction infinie et,
inversement, à chaque fraction décimale infinie non périodique
enrrespond un certain nombre irrationnel. Si on no laisse à cette
fraction décimale infinie que les premières décimales, on obtient,

1-1. GRANDEURS YAK1ABLES
une valeur approximative par défaut du nombre irrationnel que
représente cette fraction. Ainsi, par exemple, si l'on extrait la
racine carrée suivant la règle habituelle jusqu'à la troisième
décimale; on obtiendra :
1^2 = 1,414 ...
Les nombres 1,414 et 1,415 seront les valeurs approchées par défaut
cl par excès de \^2 avec «ne précision d'un millième.
Eu utilisant les décimales on peut comparer les nombres
irrationnels les ujrs aux autres et aux nombres rationnels.
Dans beaucoup do cas on doit considérer des grandeurs do signes
différents : positifs et négatifs (température supérieure et inférieure
à 0°, etc.) Ces grandeurs sont exprimées respectivement par des
nombres positifs ot négatifs. Si a et b sont des nombres positifs et
si a > b, on aura — a < —b. Tout nombre positif, y compris zéro,
est plus grand que tout nombre négatif.
Tons les nombres rationnels et irrationnels se répartissent
suivant un ordre déterminé d'après leur grandeur. Tous ces nombres
forment l'ensemble des nombres rêe.ls.
Notons un cas lié à la représentation dos nombres réels par les
fractions décimales. A. la place d'uno fraction décimale finie quel-
touque on peut écrire une fraction décimale infinie de période neuf.
Ainsi, par exemple: 3,10 = 3,1599... Si on n'utilise pas de fraction
décimale finie, on obtient une correspondance biunivoqiio exacte
entre les nombres réels et les fractions décimales infinies, c'est-
à-diro qu'à tout nombre réel correspond une fraction décimale
infinie déterminée (ou un nombre entier), et à toute fraction décimale
infinie correspond un nomhro réel déterminé. Aux nombres négatifs
correspondent dos fractions décimales infinies (ou dos nombres
entiers) avec un signe moins devant.
Dans le domaine des nombres réels ou peut effectuer les quatre
principales opérations, sauf la division par zéro. La racine de degré
impair d'un nombre réel quelconque possède toujours une valeur
déterminée. La racine de degré pair d'un nombre positif a
doux.valeurs qui ne diffèrent que par leur signe. La racine de degré pair
d'un nombre réel négatif n'a pas de sons dans le domaine des
nombres réels. La racine d'un quelconque degré de zéro n'a qu'une seule
valeur: zéro. Nous exposerons au paragraphe II-2-16I une théorie
rigoureuse des nombres réels et des opérations effectuées sur oux.
On appelle valeur arithmétique ou absolue du nombre a, le nombre
a lui-m6mo, si a est un nombre positif ou égal à zéro, et le nombre
—-a, si a est un nombre négatif. La valeur absolue du nombre a est
désignée par le symbole | a |. de sorte que | a \ = a, si a>0, et,
] a | = — a, si a <C0, Ainsi, par exemple, | 5 | '= 5 et | — 5 | -=
= 5 et do façon générale | a | = | — a |. On voit aisément que la valeur

l'i CH-. T. DEPENDANCE FONCTIONNELLE ET THÉORIE JOBS LIMITES
absolue de la somme | a + 6 | ne sera égale à la somme des valeurs
absolues des termes, c'est-à-dire à | a ] 4- 1*1, que dans le cas
où les termes sont de même signe; quand les signes des termes
sont différents, | a + 6 | < I a I + I M> de sorte que darjrs tous
les cas
|a + 6|<|o| + |6|.
Ainsi, par exemple, pour a = —3 et b = —7 nous avons le
signe d'égalité, et pour a — 3 ot b = —7 nous avons | 3 + (—7) | =
= 4 et | 3 | + | —7 | =10, c'est-à-dire le signe d'inégalité.
Il est facile de constater exactement de la même façon que
|a-6|>|«[-|6|,
si l'on considère que | a j ^> \ b |. Pour \ a \ < \ b \ l'inégalité
est aussi valable parce que à gauche il y a une valeur positive et
à droite, une valeur négative.
La valeur absolue du produit d'un nombre quelconque de
facteurs est égale au produit des valeurs absolues de ces facteurs et
la valeur absolue du quotient (le diviseur est non nul) est égale au
quotient des valeurs absolues du dividende et du diviseur, c'est-à-
dire
|abc|-|a|.|*|.|e| et [-2-|=-[f]-.
1-1-3. Les grandeurs constantes et variables, Les grandeurs
étudiées en mathématiques se divisent en deux classes : les grandeurs
constantes et les grandeurs variables.
On appelle grandeur constante une grandeur qui, dans une étude
donnée, conserve une seule et même valeur inchangée. Ainsi, un
nombre déterminé lui correspond pour une unité de mesure donnée.
On appolle grandeur variable celle qui. pour une raison ou une
autre, peut prendre différentes valeurs au cours de l'étude donnée.
Apres ces précisions il est clair que la notion de grandeur cons;-
tante et variable est conditionnée dans une grande mesure et dépend
des circonstances dans lesquels est étudie un phénomène donné.
Une seule et même grandeur, qui, dans certaines conditions, aurait
pu être1 considérée comme constante, dans d'autres conditions peut
être variable et inversement.
Ainsi, par exemple, lors de l'évaluation du poids d'un corps,
il est important de savoir si la pesée s'effectue dans no seul et même
lieu de la surface de la Terre ou dans différents lieux : si l'évaluation
a lieu dans un seul et même lieu, l'accélération de la force de
pesanteur, dont dépend le poids, restera constante et la différence de
poids e.ntre différents corps dépendra seulement de leur masse;

1-1. GRAKDEURS "VABIABUKS
15
si l'évaluation s'effectue en différents lieux do la surface de la Terre,
l'accélération de la force de pesanteur ne peut être considérée comme
constante, étant donné qu'elle dépend de la force centrifuge de la
rotation de la Terre; c'est pour cela qu'un seul et même corps pèse
moins à l'équateur qu'au pôle, ce qu'on peut constater si la pesée
a lieu à l'aide do balances à ressorts, et non à levier.
De même on peut considérer que lors des calculs techniques
approximatifs, la longueur des poutres employées dans la construction
est une grandeur constante ; par contre, quand pour des calculs plus
précis, on prend en considération l'action de la température, la
longueur des barres est variable, ce qui, évidemment,! complique
de façon considérable tous les calculs.
1-1-4. Intervalle. Le caractère de la variation d'une grandeur
variable peut être des plus divers. Une grandeur variable peut
prendre ou bien toutes les valeurs réelles possibles sans aucune restriction
(par exemple le temps î rapporté à un moment initial déterminé,
peut prendre toutes les valeurs possibles, aussi bien positives que
négatives), ou bien ses valeurs sont limitées par certaines inégalités
(par exemple la température absolue 2™ qui doit être' supérieure
à —273 °C) ; enfin une grandeur variable ne peut prendre que
certaines valeurs, et non pas toutes les valeurs possibles (valeurs
seulement entières — le nombre d'habitants d'une ville donnée, le
nombre de molécules dans un volume donné d'un ga2 — ou
seulement commensurables avec une unité donnée, etc.).
Montrons comment varient certaines grandeurs variables parmi
les plus répandues dans les recherches théoriques et dans la pratique.
Si une grandeur variable x peut prendre toutes les valeurs
réelles satisfaisant à la condition a ^ x -^ 6, où a et b sont des
nombres réels donnés, on dit que x varie dans l'intervalle (a, b). Un tel
intervalle, bornes comprises, est appelé intervalle fermé. Si x peut
prendre toutes les valeurs de l'intervalle (a, b) excepté ses bornes,
c'est-à-dire si a < x < b, alors on dit que x varie à V'intérieur de
V intervalle (a, 6). Un tel intervalle avec ses bornes cxçlties est un
intervalle ouvert. Le domaine de variation de x peut être également un
intervalle, fermé d'un côté et ouvert de l'autre: a -<; x < b on
a <ix-^ b.
Si le domaine de variation do x est déterminé pan l'inégalité
a <1 ;r, on dit que x varie dans l'intervalle (œ, -i-oo) qui est fermé à
gaucho et ouvert à droite. Exactement de la môme façon, l'inégalité
x <; b définit d'inlervallc (—oo, b) ouvert à gauche et fermé .î
droite. Si x peut prendre n'importe quelles valeurs réelles, on dit
que x varie dans l'intervalle (—oo, +oo) ouvert des deux côtés.
Dans ce qui suit, nous désignerons toujours par (a, b) un
intervalle fermé. Souvent, on le désigne par 1«, b]. L'exclusion d'un

10 C]I. I. DÉPENDANCE l»CWCTIO:r«.'BI,L,li ET 1AÊOSIXE DES LIMITES
extrémité d'un intervalle, ou des deux, ne sera effectuée que sous
réserve spéciale.
1-1-5. Notion de fonction. Le plus souvent dans les applications ou
a affaire non pas à une grandeur variable mais à plusieurs à la fois.
Prenons par exemple 1 kg d'air. Les grandeurs variables déterminant
son état seront : la pression p (kg/m*) à laquelle il est soumis, lo
volume v (m3) qu'il occupe, sa température t fC). Supposons un instant
(jue 1« température de l'air reste égale à 0 "G; le nombre t est dans
ce cas une constante égale à zéro. Seuls p et v restent variables. Si
on modifie la pression p. le volume v sera également modifié, par
exemple si l'on comprime l'air, le volume va diminuer. Ou pout
modifier la pression p à volonté (tout au moins dans les limites
accessibles à la technique), c'est pourquoi ou peut appeler p une
variable indépendante. Selon la pression, le gaz doit, évidemment,
occuper un volume entièrement déterminé; par conséquent, il doit
exister une loi qui permette de trouver, pour chaque valeur de p,
la valeur correspondante de v. Cette loi est bien connue — c'est
la loi de Boyle-Afariotte, qui dit que le volume occupé par un gaz à
température constante est inversement proportionnel à la pression.
ILn appliquant cotte loi à notre kilogramme d'air, on peut trouver
une relation entre t> et p sous forme do l'équation:
^273.29,27
P
La grandeur variable v sera dans ce cas une fonction de la variable
indépendante p.
En faisaut abstraction do cet exemple particulier, on peut dire
que du point de vue théorique ce qui est caractéristique pour une
variable indépendante c'est l'ensemble des valeurs qu'elle peut prendre,
et on peut lui donner arbitrairement n'importe quelle valeur de cet
ensemble de valeurs possibles. Ainsi, par exemple, un intervalle
quelconque (a, 6) ou une partie de cet intervalle peut servir
d'ensemble de valeurs de la variable indépendante x, c'est-à-dire qu'une
variable indépendante x peut, par exemple, prendre n'importe
quelles valeurs satisfaisant à l'inégalité a.^x^b ou à l'inégalité-
a < x < b. Il peut arriver que x prenne n'importe quelles valeurs
entières, etc. Dans l'exemple étudié plus haut, p jouait le rôle d'une
variable indépendante, et le volume v était fonction de p. Donnons
maintenant une définition de la fonction.
D é f i n i L i o il. Une grandeur y est dite Jonction, de la variable iii-
dépendante de x. si à n' Importe quelle valeur déterminée de x (prise dans
Vensemble de ses valeurs possibles) correspond une valeur déterminée de y.
Si,, par exemple, y est une fonction de x, définie dans l'intervalle
(a, b), cela signifie qu'à n'importe quelle valeur de x do cet
intervalle correspond une valeur déterminée de y.

I-t. ORANDUURS VARIABLES
17
La question de savoir laquelle des deux, grandeurs, a; on y, doit
être considérée comme variable indépendante, est souvent une
question de commodité. Dans notre exemple nous aurions pi», en
changeant à notre gré le volume v et en déterminant chaque fois la
pression p, considérer que v est la variable indépendante, et la-.pression p
iule fonction de v En résolvant par rapport à p l'équation écrite
plus haut, nous obtiendrons la formule qui exprime p en fonction de
la variable indépendante:
273-29,27
p z—•
Co qui a été dit pour deux variables s'étend sans peine au cas d'un
nombre quelconque» de variables, et nous pouvons ici également
distinguer les variables indépendantes des variables dépendantes ou
fonctions.
Revenons à notre exemple: supposons que la température t
n'est plus 0 °C, mais peut varier, La loi de Boyle-Mariotte doit
être dans ce cas remplacée par colle plus complexe, do Clapeyron:
pv = 29,27 (273 + t),
qui montre que dans l'étude de l'état d'un gaz, on ne peut changer
librement que deux dos grandeurs p, v et t, et que la troisième sera
entièrement déterminée, si on donne les valeurs des deux premières.
On peut prendre comme variables indépendantes, par exemple, p
et t. v en sera alors fonction :
29,27(273 + !)
'-= -P •
ou encore, on peut considérer comme variables indépendantes v
et t, et p sera fonction de ces deux variables.
Prenons un autre exemple. La surface S d'un triangle s'exprime
en fonction de la longueur de ses côtés a, b, c par la formule :
S = Vp(p-a)(p-b)(p~c%
où p est le demi-périmètre du triangle:
a + b-\-c
P" ï •
On peut changer librement les côtés a, b, c, à la condition toutefois
que chaque côté soit plus petit que la somme, des deux autres.
Ainsi les variables a, b, c seront des variables Indépendantes limitées
par des Inégalités, S sera fonction de ces variables.
On peut de la même façon prendre arbitrairement deux côtés,
par exemple a et b, et la surface S du triangle ; et utilisant la
formule :
S = -jT-a&sinC,
2—281

18 CH. I. DEPENDANCES FONCTIONNELLE ET THEORIE DES WMITBS
où C est l'angle compris entre les côtes a, b, on peut calculer C.
Ici les grandeurs a, à, S seront les variables indépendantes, C sera
fonction do ces variables. Les variables a, b, S doivent être limitées
par l'inégalité:
sinC=^<l.
Il faut noter que dans cet exemple, nous obtenons pour C deux
valeurs suivant que nous prenons pour C l'angle aigu ou obtus
ayant le même sinus:
Nous arrivons ici à la notion de fonction multiforme dont nous
parlerons plus en détail par la suite.
1-1-6. Procédé analytique pour exprimer une dépendance
fonctionnelle. Toute loi de la nature alliant des phénomènes établit
une relation fonctionnelle entre des grandeurs.
1,1 existe de nombreux moyens pour exprimer les relations
fonctionnelles, mais trois procédés sont d'une très grande importance :
1) le, procédé analytique, 2} le procédé des tables, 3) le procédé
graphique \>u géométrique.
On dit qu'une relation fonctionnelle existe entre les grandeurs ou,
plus simplement, qu'wze fonction est exprimée analytiquemenl, si
ces grandeurs sont liées entre elles par des équations dans lesquelles
elles figurent, en subissant différentes opérations mathématiques :
addition, soustraction, division, calcul logarithmique, etc. On
arrive toujours à une représentation analytique lorsqu'on étudie la
question sous l'angle théorique, c'est-à-dire qu'ayant,posé les
hypothèses principales, nous passons à l'analyse mathématique et
obtenons le résultat à l'aide d'une formule mathématique.
S) l'on a l'expression concrète d'une fonction (c'est-à-dire d'une
vario'ble dépendante) à l'aide d'opérations mathématiques sur d'autres
variajbles,[ indépendantes, on dit alors que la fonction est donnée
analytiqucment d'une façon explicite. On peut prendre comme
exemple dp fonction explicite l'expression du volume d'un gaz v à
température constante en fonction de )a pression (fonction explicite
d'une variable indépendante) :
' 273-29,27
y = .—
P
on la [formule de la surface S d'un triangle en fonction de ses côtés:
S=Vp{P-a){p-b)(p-e)
(fonction explicite de trois variables indépendantes). Relevons
encore un exemple de forme explicite de fonction d'une variable

I-I. GRANDEURS VARIABLES
19
indépendante x:
y = 2x»—-ix-\-7. (1)
Il est souvent difficile ou même impossible de donnes la formule
qui exprime une fonction au moyen de variables indépendantes,
c'est pourquoi on écrit simplement:
¥-?(*)•
Cette notation signifie que y est une fonction do la yariable
indépendante x et que / est la représentation symbolique de la
dépendance de y par rapport à x. A la place do /, on peut évidemment
employer d'autres lettres. Si on étudie différentes fonctions de x,
on doit employer différentes lettres pour la notation symbolique
de 3a dépendance de x: •
f{x), F{x), <p(a;), etc.
On utilise cette notation symbolique non seulement dans le
cas où la fonction est exprimée analytiqucment, mais aussi dans
le cas général d'une dépendance fonctionnelle, que nous avons
définie on [1-1-51.
On utilise également ceito notation abrégée pour les fonctions
de plusieurs variables indépendantes:
v=>F(x, y, s),
où v est fonction des variables x, y, z.
Nous obtiendrons une valeur particulière d'une fonction, en
attribuant aux variables indépendantes dos valeurs particulières
et en effectuant les opérations, indiquées par les signes {, F, . . .
Ainsi, par exemple, la valeur particulière de la fonction (1) pour
x = y, sera :
^2-(T-r-3-T+7=6-
En généra], ou exprime la valeur particulière d'une fonction
/ (x), pour x = x0, Par / (½). Il en est do même pour les fonctions
de plusieurs variables.
Il ne faut pas confondre la notion générale de fonction qui a été
donnée en [1-1-51 avec la notion d'expression analytique de y par x.
Dans la définition générale d'une fonction, on parle d'une certaine
loi, selon laquelle à n'importe quelle valeur de la variable x, prise
parmi les valeurs possibles, correspond une valeur déterminée de y.
C'est pourquoi on ne propose aucune expression analytique
(formule) de y au, moyen de x.
Remarquons encore que Ton peut définir une fonction par dif--
férentes expressions analytiques dans différents intervalles de va-
2*

20 CH. I. DÉPENDANCE SONGTIOHNELLE ET THÉORIE DBS LIMITES
riation de la variable indépendante x. Ainsi, par exemple, nous
pouvons définir la fonction y dans l'intervalle (0, 3) de la façon
suivante : y = x + 5 pour 0 ■< x <; 2 et y = 11 — 2x pour 2 < x •<
<J 3. A toute valeur do a de l'intervalle (0, 3) correspond une valeur
déterminée de y, ce qui est conforme à la définition de la fonction.
1-1-7. Fonctions implicites. Une fonction est dite implicite si
l'on a non pas une expression analytique directe de cette fonction
au moyen de variables indépendantes, mais une équation qui relie
sa valeur aux valeurs des variables indépendantes. Ainsi, par
exemple, si la grandeur variable y est liée à une grandeur variable x par
l'équation:
yt—x^^O,
*
y est Une fonction implicite de la variable indépendante x; d'un
autre côté, on peut considérer x également comme fonction
implicite de la variable indépendante y.
La fonction implicite v de plusieurs variables indépendantes
x, y, z , . . est définie de façon générale par l'équation ;
.F(a:, y, z, ..., v)=>0.
On pourra calculer les valeurs de cette fonction seulement
lorsque l'on aura résolu l'équation par rapport à v et, par cela même,
représenté v sous forme d'une fonction explicite de x, y, z... :
t> = q>(a:, y, z, ...).
Dans l'exemple cité plus haut, y est exprimée en fonction de x
suivant la formule:
Cependant, pour obtenir les différentes propriétés de la fonction
v il n'est pas nécessaire de résoudre l'équation et il arrive souvent
qu'on étudie la fonction implicite d'après l'équation par laquelle
elle est définie, sans la résoudre.
Par exemple, le volume d'un gaz v est une fonction implicite
de la pression p et de la température t, définie par l'équation :
pv=-R(273-H).
L'angle C compris entre les côtés a et b du triangle de surface 5
est une fonction implicite de œ, b et S, définie par l'équation:
kbsmC = 2S.
1-1-8. Tables des fonctions. On utilise le procédé analytique
pour représenter les fonctions en majeure partie dans les rochcrches
théoriques, lorsqu'on a affaire à des lois générales. Dans la pratique,

1-1, GRANDEURS VARIABLES
21
lorsqu'il faut, on fait, calculer les nombreuses valeurs particulières
de différentes fonctions, le procédé analytique de représentation
s'avère souvent peu commodo, car 11 nécessite dans chaque cas
que l'on fasse tous les calculs.
Pour éviter cela, on calcule les valeurs particulières des
fonctions les pins courantes pour un grand nombre de valeurs
particulières des variables indépendantes, et on établit des tables.
Telles sont, par exemple, les tables de valeurs des fonctions
1 y— 1
y^=3?, —, y x, tue, -j-jta;3, lgI0a:, lgI0sinx, etc.,
que l'on utilise constamment dans la pratique. 11 existe d'autres
tables de fonctions plus complexes, qui sont également d'une grande
utilité : les tables des fonctions de Bessel, des fonctions elliptiques,
etc. Il existe aussi des tables pour les fonctions de plusieurs
variables, dont la table de multiplication nous offre l'exemple Je plus
simple, c'est-à-dire une table des valeurs de la fonction z = xy pour
différentes valeurs entières de x et de y.
On a parfois à calculer les valeurs des fonctions pour des valeurs
particulières des variables indépendantes qui no figurent pas dans
les tables, et dont on ne trouve que des valeurs voisines; pour qu'il
soit poasible d'utiliser les tables dans ce cas, il existe diverses régla?
d'interpolation; l'une de ces règles est utilisée dans l'enseignement
secondaire: cello que l'on emploie pour les tables de logarithmes
(parties proportionnelles).
Les tables ont une grande valeur, puisqu'elles permettent
d'exprimer des fonctions dont l'expression analytique ne nous est pas
connue ; c'est ce qui arrive quand on effectue une expérience. Toute
recherche expérimentale a pour but de nous dévoiler les relations
fonctionnelles qui nous sont inconnues, et le résultat de toute
expérience s'exprime sons forme à'une table, reliant entre elles les
valeurs correspondantes des grandeurs cherchées dans cette
expérience.
1-1-9. Procédé graphique de représentation des nombres. En
passant à l'étude du moyen graphique de représenter une relation
fonctionnelle, on commencera par le cas de la représentation graphique
d'une variable.
Tout nombre x peut être représenté par un certain segment.
Pour cela il suffit, lorsqu'on s'est entendu une fois pour toutes sur
le choix de l'unité de longueur, de construire le segment dont la
longueur est précisément égale au nombre donné x. Ainsi, toute
grandeur peut être non seulement exprimée par un nombre, mais
aussi représentée géométriquement par im segment.
Pour pouvoir représenter de la même façon les nombres négatifs,
on convient de reportei' lés segments sur une seule et même ligne

22 CH. 1. BEPENDANCE JONCTIONNEIiLB ET THEORIE DES MMITES
droite, en indiquant en outre le sens de celle-ci. (fig. 1). On
conviendra plus loin de désigner chaque segment par le signe AB, où
l'on appellera le point A l'origine, et B l'extrémité du segment.
Si le sens de A à B coïncide avec celui de la droite, le segment
représente un nombre positif; si le sens de A à B est opposé à celui
de la droite, le segment représentera un nombre négatif (AtBi sur
B, _ A, A + B , 0 AU}
Fig. 1 Fig. 2
la fig.. i). La valeur absolue du nombre étudié s'exprime par la
longueur du segment qui le représente, indépendamment du sens.
On désignera la longueur du segment ÂB par | AB | ; si le
segment AB représente un nombre x, on écrira simplement
x^AB, \x\ = \I5\.
On peut convenir une fois pour toutes de situer l'origine de tous
les segments en un point O de la droite, choisi au préalable. Alors,
tout segment ÔÂ~ et, bien entendu, le nombre x qu'il représente,
sera entièrement défini par le point A, extrémité du segment (fig. 2).
Réciproquement, étant donné le nombre x, on peut définir la valeur
et le sens du segment OA et, bien entendu, son extrémité A ;
x = 0 correspond au point O (origine).
Ainsi, si l'on donne un sens à la droite X'X (axé) et si l'on
désigne sur celte droite un point fixe 0 {origine), à chaque nombre réel
x correspondra un point déterminé A de cette droite, tel que le segment OA
est mesuré par le nombre x. Réciproquement, à chaque point A de
l'axe correspondra un nombre réel x bien déterminé, mesurant le
segment VA. Ce nombre x s'appelle l'abscisse du point A ; s'il faut
indiquer que le point A possède une abscisse x, on écrit A (x).
Si je nombre x varie, le point A qui le représente se déplace lo
long do l'axe. La notion d'intervalle, établie ci-dessus, devient tout
à fait évidente dans le cas d'une telle représentation graphique du-
nombre x, à savoir : si x varie dans l'intervalle a ^ x ■<; b, le point
correspondant sur l'axe X'X se trouvera sur le segment dont les
extrémités ont pour abscisses a et b.
Si on se limitait aux seuls nombres rationnels, aucune abscisse
ne correspondrait au point A si le segment VA était
incommensurable avec l'unité employée, autrement dit, les nombres rationnels

1-i. GRANDEURS VARIABLES
23
seuls n'occupent pas tous les points de la droite. Pour y remédier,
il faut faire appel aux nombres irrationnels. Dans la représentation
graphique d'une variable on se base sur la condition que nous venons
de poser: à tout point de l'axe X'X correspond un nombre réel
déterminé et, réciproquement, à tout «ombre réel correspond un point
déterminé do l'axe X'X.
Prenons sur l'axe X'X 2 points:_le point A, d'abscisse xt et le
point Aï d'abscisse .1¾. Au segment OAt correspondra le nombre «,,
et au segment UIZ< le nombre x2. Il n'est pas difficile de montrer, en
B £-•
t
frt
l_ "*"
w~î
: SE-—
±-.-£-
:_:z_d
: " jz
i
t:.^
___
r
W
-<?—-
u
I
s
3
Fig. 3
examinant les positions possibles des points Ai et Az qu'au
segment Â^Âî correspondra le nombre (½ — xt) et quo la longueur de
eu segincut sera égale à la valeur absolue de la différence (x^ — xi) :
| Â~ÏÂ~i\ = |«2—*tl-
Si par exemple, xi = —3 et a;2 = 7, le point Ai se trouve à
gauche de 0, à une distance égale à 3, et le point At se trouve à droite
de 0 à une distance égale à 7. Le segment AiA2 aura pour longueur 10,
et sera dirigé comme l'axe X'X, c'est-à-dire qu'il lui correspondra
le nombre 10 = 7 — (—3) = 3¾ — xt. Nous proposons au lecteur
d'analyser les antres positions possibles dos points Ai et Az.
1-1-10. Les coordonnées. On a vu ci-dessus que la position d'un
point sur l'axe X'X peut être .définie par un nombre réel x. Montrons
maintenant un procédé analogue pour définir la position d'un point
dans un plan. r
Menons sur le plan deux axes perpendiculaires X'X et Y Y et
prenons comme origine sur chacun d'eux leur point d'intersection 0
(fig. 3). Les directions positives sont indiquées sur les axes par des
flèches. Aux points de l'axe X'X correspondent des nombres réels
que l'on note par la lettre s. Aux points de l'axe Y'Y correspondent

24 CB. I. DBPENDANCE FONCTIONNELLE ET THBORIB DES LIMITES
do même des nombres réels que l'on notera par la lettre y. Soient des
valeurs déterminées x et y, on a des points déterminés A et B sur les
axes X'X et Y'Y; connaissant les points A et B, on peut construire
le point M, intersection do droites parallèles aux axes et menées
par les points A et B.
A chaque couple de valeurs de grandeurs x, y correspond une
position entièrement déterminée du point M sur le plan.
Réciproquement, à chaque point M du plan correspond un couple
de valeurs entièrement déterminé des grandeurs x, y, correspondant
aux points d'intersection A, B des droites menées par le point M
parallèlement aux axes, avec les axes X'X et Y'Y.
Etant données les directions des axes X'X et Y'Y indignées sur
la fig. 'à, ii faut considérer x positif si le point A se trouve à droite,
et négatif s'il se trouve à gauche du point 0; y sera positif si le
point B se trouve au-dessus de 0, négatif s'il se trouve an-dessous.
Les grandeurs x, y, déterminant la position du point M sur le
plan et déterminées à leur tour par la position du point M, sont
appelées coordonnées du point M, On appelle les axes X'X et Y'Y axes des
coordonnées-, le plan du dessin, plan des coordonnées XOY ; le point
0, origine des coordonnées,
La grandeur x s'appelle l'abscisse, et y l'ordonnée du point M.
Pour indiquer un point M par ses coordonnées, on écrit :
M(x, y).
Le procédé de représentation est dit procédé des coordonnées
orthogonales.
On peut représenter les signes des coordonnées du point M
suivant ses différentes positions, dans les différents quadrants
définis par les axos de coordonnées (I-IV) {fig. 3) au moyen lie la
table suivante:
M
x
y
i
+
+
il
-
+
m
-
-
IV
+
—
11 est évident que les coordonnées x, y du point M sont égales à
la distance du point M aux axes des coordonnées, avec les signes
correspondants-
Notons que les points de l'axe X'X ont les coordonnées {x, 0),
et les points de l'axe Y'Y, les coordonnées (0, y). L'origine des
coordonnées 0 a les coordonnées (0, 0).

I-i. GBANDBURS VARIABLES
25
1-1-11. Graphique et équation d'une courte. Revenons aux
grandeurs a; et y que représente le point M. Admettons que x et y sont
liés par une dépendance fonctionnelle; cela signifie que, en faisant
varier à notre gré x (ou y), nous obtiendrons chaque fois une valeur
correspondante de y (ou x). A chaque couple de valeurs de x ou y
correspond une position déterminée du point M sur le plan XOY ;
si ces valeurs varient, le point M se déplacera sur le plan et décrira
par son mouvement une certaine courbe (fig. 4) qui s'appelle re-
,1
-*•*&&
-^"--^
t- ~i
°~ JT-tt*
sp
► Jr
Fig. 4
présenlalion graphique (ou, plus simplement, graphique ou diagramme)
de la dépendance fonctionnelle considérée.
Si la relation est posée analyliquement par une équation do la
forme explicite :
ou de la forme implicite:
l'équation s'appelle équation de la courbe, ot la courbe, graphique de
l'équation ou graphique de la jonction. La courbe ot son équation
sont les différents moyens d'exprimer une seule et même relation
fonctionnelle, c'est-à-dire que tous les points dont les coordonnées
vérifient l'équation de la courbe se trouvent sur cette courbe, et,
réciproquement, les coordonnées de tous les points se trouvant sur la courbe,
satisfont à son équation.
Si l'on donne l'équation de la courbe, on peut, on utilisant uno
fouille de papier quadrillé, construire de façon plus ou moins
précise la courbe elle-même (on peut, plus exactement, construire
le nombre que l'on veut de points se trouvant sur cotte courbe) ; plus
on construira de points, plus précise eu sera la forme de courbe; un
tel procédé s'appelle construction par points de la courbe.
Le choix de Véchelle a une importance primordiale dans la
construction des courbes; pour cela on peut choisir différentes échelles
quand on construit x et y. Quand on a dos échelles, identiques pour

26 CfJ. I. DEPENDANCE ÏONCTIONKELr,!î ET THBOIUE DES LIMITES
x et y, le plan est assimilé à la feuille de papier quadrillé en carrés;
quand on a différentes échelles, le plan est quadrillé en rectangles.
Dans la suite on supposera que les échelles pour x et y sont
Identiques sauf réserve spéciale.
Ou recommande ici au lecteur de construire à l'aide de points
quelques graphiques de fonctions très simples, en changeant les
échelles pour x et y.
Les notions, exposées pins haut, de coordonnées du point M,
d'équation de la courbe et de graphique de l'équation établissent
un lien étroit entre l'algèbre et la géométrie. D'un côté, nous avons
Ja possibilité de représenter et d'étudier des relations analytiques
par un moyen géométrique direct, de l'autro, il s'avère possible
de ramener la résolution de questions géométriques à des opérations
purement algébriques, co qui est le but de la géométrie analytique.
Etant donné leur importance, nous formulerons une fois encore
les principes de base de la géométrie analytique. Si l'on trace dans
le plan deux axos de coordonnées, à chaque point du plan correspondra
un couple de nombres réels, abscisse et ordonnée de ce point ; et
réciproquement, à chaque couple de nombres correspondra un point déterminé
du plan, ayant le premier nombre pour abscisse, le deuxième pour
ordonnée. A la courbe du plan correspond une relation fonctionnelle
entre x et y ou, ce qui revient du même, une équation contenant les
variables x et y, qui est vérifiée si et seulement si à la place de x et y on
met les coordonnées a" un quelconque des poi7its de la courbe.
Réciproquement, à l'équation contenant les deux variables x et y correspond
une courbe, composée par les points du plan, dont les coordonnées,
substituées à x et y dans l'équation, vérifient l'équation.
Nous considérerons par la suite les principaux exemples des
graphiques de fonctions, et maintenant nous exposerons certaines
considérations d'ordre général. Soit donnée une équation explicite :
y = / (x), où / (x) est une fonction univoque (ou uniforme) définie,
par exemple, sur l'intervalle (a, b), c'est-à-dire une fonction telle
qu'à chaque x de (a, b) correspond une valeur bien déterminée de
/ (x) ; le graphique de la dépendance fonctionnelle donnée so compose
dos points (x, y) obtenus de la manière indiquée. La
perpendiculaire à l'axe OX menée par un point arbitraire do cet axe, dont l'abscisse
-appartient à {a, b), rencontrera le graphiquo en un seul point
(f (x) est univoquo). Dans le cas de l'équation F {x, y) ~ 0 sous
forme implicite tout so complique. Il peut arriver qu'aucun point
ne correspond h l'équation. Gela a lieu par exemple pour l'équation
d* + y8 + 3 = 0, car pour toutes valeurs réelles de x et y le premier
membre est positif. Il est évident qu'à l'équation (x — 3)3 -j-
+ (y — 5)2 = 0 correspond un seul point (3, 5).
La construction de la courbe s'effectue automatiquement dans Ios
instruments enregistreurs; la variable x représente en général le temps, et y la grandeur

M. GRANDEURS VARIABLES
27
dont la variation au cours du temps nous intéresse, par oxomplo ia pression baro*
métrique (barographe), la température (thermojrraphe). L'indicateur nui
enregistre la relation entro le volume et la pression du gaz, contenu dans Je cylindre
d'un moteur à vapeur ou d'un moteur à gaz, a une grande importance.
1-1-12. Fonction linéaire. La plus simple des fonctions, qui
possède en même temps des applications très importantes, est le binôme
du premier degré.
y^ax+b, (2)
où a et b sont dos nombres donnés. Elle s'appelle fonction linéaire.
Nous verrons que la courbe do cette fonction est une droite. Etudions
d'abord le cas où le nombre b est égal à zéro. Dans ce cas, la
fonction (2) aura la forme:
y = ax. (3)
Elle exprime le fait que la variable y est directement proportionnelle
à la variable x; le nombre a s'appelle coefficient do proportionnalité.
Les valeurs
a; = 0, j/ = 0
satisfont à l'équation (3), c'est-à-dire que la courbe correspondant
à cette équation passe par l'origine des coordonnées 0.
Si nous regardons le plan (fig. 5) nous voyons que l'équation (3)
exprime la propriété géométrique suivante de la courho considérée;
quel que soit le point M que nous avons choisi sur la courbe, le
rapport de l'ordonnée y — NM de ce point et de sou abscisse x — ON
est une grandeur constante a. Etant donné que, d'autre part, ce
rapport est égal à la tangente de l'angle a formé par le segment OM
et l'axe OX, il est évident que le lieu géométrique des points AT ost
une droite- qui passe par L'origine des coordonnées 0 en faisant un
angle a (ou n -j- a) avec l'axo OX. On mesure a à partir de l'axe
OX, jusqu'à la droite, dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
En même temps on découvre une signification géométrique
importante du coefficient a dans l'équation (3) : a est la tangente de
l'angle a que forme la droite, correspondant à cette équation, avec l'axe
OX, c'est pourquoi a s'appelle coefficient angulaire de la droite.
Remarquons que si a est un nombre négatif, l'angle a sera oblus et
la droite correspondante sera située comme l'indique la fig. 6.
Venons-en maintenant au cas général d'une fonction linéaire,
et plus spécialement à l'équation (2). Les ordonnées y de la courbe
de cette équation se distinguent des ordonnées correspondantes
de la courbe de l'équation (3) par le terme constant b. Ainsi, on
obtient la courbe de l'équation (2) si on déplace la courbe de
l'équation (3), représentée sur la fig. 5 (lorsque a > 0) parallèlement à
l'axe OY du segment b: vers le haut, si b est oositit, et vers le bas,

28 GH. I. DEPENDANCE FONCTIONNELLE ET THEOÏUE DES LIMITES
si b est négatif. Ainsi on obtient une droite parallèle à la droite
initiale et découpant sur l'axe OY lo segment OMa = b (fig. 7).
Ainsi, la courbe représentative de la fonction (2) est une ligne droite
dont le coefficient a est égal à la tangente de l'angle formé par cette
*.M
-*-.*
Fig. 5
y
Fig. 6
-»~*
droite et l'axe OX, et le terme libre b est égal au segment découpé par
cette droite sur l'axe OY, à partir de 0.
On appelle parfois le coefficient a simplement pente de la droite,
et 6 ordonnée à l'origine de cette droite. Réciproquement, si l'on a
«ne droite quelconque L, non parallèle à l'axe OY, il n'est pas
difficile d'écrire l'équation de la forme (2) correspondant à cette
droite. D'après ce qui précède, il suffît de prendre le coefficient a
Égal à la tangente de l'angle de cette
droite avec l'axe OX, et b égal au
segment découpé par cotte drrtito sur
l'axe OY.
Notons un cas particulier qui
présente une certaine originalité. Si a — 0,
l'équation (2) nous donne, quel que
soit £'.
V = b, (2,)
c'est-à-dire qu'on ohtient une «
fonction » de x telle que, pout toutes les
valeurs de x, elle conserve une seule et même valeur de 6. Il
n'est pas difficile de constater que la courbe de l'équation (2i) sera
une droite parallèle à l'axe OX et se trouvant à rine distance | b |
de cet axe (vers le haut si b > 0 et vers le bas si h <; 0). Pour ne
pas faire de réserves spéciales, nous dirons que l'équation (2j) définit
également une fonction de x.
1-1-13. Accroissement. Propriété fondamentale de la fonction
linéaire. Etablissons une nouvelle notion importante que l'on
rencontre souvent dans l'étude d'une relation fonctionnelle.
M0
S o
v
/v*-
b
b x
X
l
i/
ax
1 ,
Kg- 7

1-1. eaANDBURS VARIABLES
29
On appelle accroissement d'une grandeur variable Indépendante x,
lorsqu'on passe de la valeur initiale xt à la valeur finale x%, la différence
entre les valeurs finale et initiale: x2 —xt. On appelle accroissement
coirespondant de la fonction y = f (x) la différence entre les valeurs
finale et initiale de la fonction :
^-^1 = /(^2)-/(3¾).
On note souvent ces accroissements ainsi :
Ax = zi—xi, Ay = y2—yl.
Remarquons que l'accroissement peut être une grandeur aussi
bien positive que négative, si bien que la grandeur ayant reçu un
« accroissement » no doit pas obligatoirement augmenter.
Fig. 8
Notons qu'il faut considérer la notation Ax comme une entité
indissoluble pour définir l'accroissement do x.
Examinons le cas de la fonction linéaire:
i/2 = a#2-)-& et yt = axy + b.
En retranchant ternie à terme, on obtient:
^-1/1 = 11(3-2-3:4) (4)
ou
Ay = aAx.
Cette égalité montre que la fonction linéaire y — ax + b est
telle que l'accroissement de la fonction (y2 — yt) est proportionnel à
l'accroissement de la variable indépendante (4¾ — xt), et que le
coefficient de proportionnalité est égal à a, c'est-à-dire au coefficient
angulaire., ou à la pente de la courbe représentative de la fonction.
Si nous examinons la courbe elle-même (fig. 8), à l'accroissement
de la variable indépendante correspond le sogment MtP — Ax =
— X2. — ai et à l'accroissement de la fonction correspond le segment
PM-s, = Ay = ys — yt, et la formule (4) résulte directement do
l'examen du triangle MiPM2.

30 GH. 1. DÉPENDANCE FONCTIONNELLE ET THEORIE DES LIMITES
Supposons maintenant qu'une fonction possède la propriété
que nous avons indiquée ci-dessus, d'avoir un accroissement de la
fonction proportionnel à l'accroissement do la variable
indépendante, propriété exprimée par la formule (4). De cette formule il
résulte que
ou
yi~ax% + {yi~axi).
Nous considérons que les valeurs initiales des variables %i et yt.
sont définies et nous noterons la différence (t/i — azi) par la lettrejè :
y^axz + b.
Etant donné que nous pouvons prendre n'importe quelles valeurs
finales des variables x2 et y2, nous pouvons à la place des lettres x2
ol yz é-crire simplement les lettres x et y, et l'égalité précédente
so transforme en :
y = ax+b,
c'est-à-dire que toute fonction dont l'accroissement est proportionnel
à celui de la variable est une fonction linéaire y = ax -j- 6, où a est
le coefficient de proportionnalité.
Ainsi, la fonction linéaire et sa courbe, la ligne droite, peuvent
représenter toute loi de la nature dans laquelle U y a
proportionnalité entre les accroissements des grandeurs examinées, ce qui arrive
très souvent,
1-1-14. Graphique du mouvement uniforme. L'application la plus
important*, qui donne une interprétation mécanique de l'équation de la dreilo et de
ses coefficients, est le graphique du mouvement uniforme. Si un point P se déplace
suivant une certaine trajectoire, sa position est définie par la distance, évaluée
sur la trajectoire d'un côté ou de l'autre, d'un point donné A de cette trajectoire
jusqu'au point P. Cette distance, c'est-à-dire l'arc AP, est le chemin çarcouru
ctt on le note par ia lettre s, s pouvant être positif ou négatif-, on considère ios
valeurs de s positives d'un côte du point origine A, et négatives do l'autre côté.
Le chemin parcouru s est une fonction du temps i ; en prenant l comme
variable indépendante, on peut construire la courbe du mouvement, c'est-à-dire que la
courbe de ia relation fonctionnelle (fig. 9)
*=■/(<)
ne doit pas être confondue avec ia trajectoire elle-même.
Le mouvement est uniforme si l'espace, parcouru par ie point dans uu
intervalle de tompa quelconque, est proportionnel à cet intervalle, autrement dit,
si le rapport
s%—sl As
t2~tt AT
do l'espace parcouru dans l'intervalle de temps de <, à (2, à cet intervalle d
temps, est une grandeur constante que l'on appelle vitesse et que l'on note v

1-1. GHAND75URS VARIABLES
31
D'après ce qui a été dit plus haut, l'équation du mouvement uniforme est
du type ;
s — vt-\-s0;
le diagramme lui-même est une droite dont h coefficient angulaire est égal à la
vitesse du mouvement ', l'ordonnée initiale s0 est ta valeur de s pour t = 0.
Fig. 9 Fig. 10
Sut la fig. 10 on a représenté io diagramme du mouvement du poiut P, qui
s'est déplacé avec une vitesse constante i>i dans la direction positivo à partir du
momont 0 jusqu'au moment t, (l'angle avec l'axe t est aigu), ensuite à «ne
vitesse toujours constante mais plus grande, v2, dans la même direction (l'angle est
Fig. 11
aigu mais plus ouvert) jusqu'au moment t2, et ensuite à une vitesse vs constanto
mais négative (dans la direction opposée, l'angle étant obtus) jusqu'à sa
position initiale. Lorsqu'on a de nombreux points qui se déplacent le long (l'une
seule et même trajectoire (par exemple quand en établit 1 horaire des trains ou

32 011. T. DflPBNDANCE FONCTIONNELLE BT THÉORIE DES LIMITES
dos tramways) un procédé graphique de ce genre est pratique pour définir les
rencontres des points en mouvement, et en général, pour représenter tout
mouvement (Kg. 11).
1-1-15. Formules empiriques. La simplicité de construction de la droite H
do la loi qui l'exprime, loi de proportionnalité de l'accroissement de la fonction
et do la variable indépendante, fait du graphique un procédé tout à fait commode
peur trouver les formates empiriques, cVst-à-dire les formules qui découlent
directement dos données de l'expérience, sans étude théorique spéciale. _
On représente graphiquement les données obtenues à partir des expériences,
sur une fouille de papier millimétré; on trouvera une série do points et si l'on
1,1
1,3
4,2
V
< Ift
3,8
V
3j<—i—i—i—i—i—i—i—t—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—j
0 OS 1,0 IJ5 2,0
Piff. 12
■désire obtenir une formule empirique approximative pour la relation
fonctionnelle étudiée, sous forme de fonction linéaire, il reste à mener la droite qui, si
elle ne passe pas par tous les points construits (ce qui n'est, bien sûr. presque
jamais possible), passe du moins entre ces points do telle sorte qu'un
nombre identique de points se trouve de chaque côté de la droite et qu'Us se trouvent
tous assez proches d'elle. Dans les calculs d'erreurs et dans les opérations de
contrôle, on étudie dos moyens plus précis pour construire la droite Indiquée et pour
évaluer l'erreur commise en faisant une représentation approximative. Mais dans
les recherches moins précises auxquelles on a affaire dans la technique, la
construction d'une droite empirique se fait tout simplement à l'aide de la « ficelle
tendue 9, dout le nom indique bien en quoi cela consiste. Ayant construit la
droite à l'aide d'une mesure directe, définissons son équation:
y^=ax '\-b,
qui donno la formule empirique cherchée. Quand on a obtonu cotte formule, il
ne faut pas perdre de vue quo les écbollos sont très souvent différentes pour les
grandeurs x et y, c'est-à-dire qu'une seule et mime longueur, reportée sur les axes
OX et OY, représente des nombres différents. Dans ce cas, lo coefficient angulaire
a ne sora pas égal à la tangente de l'anglo formé par la droite et l'axe OX, mais
s'en différenciera par un facteur, égal à; la valeur numérlquo du rapport entre
ïes unités do longueur, prisos pour représenter les grandeurs x et y.
o

I-i. ORANHISURS VARIABLES
33
Exemple (fig. 12).
X
V
0,212
3,721
0,451
3,779
0,330
3,870
0,708
3,910
0,901
4,009
1,120
4,089
1,341
4,150
1,520
4,201
1,738
4,269
1,871
4,350
llépon se:
jr*î0.375si:-f3.65
(Ici et par la suite, nous représenterons par le signe =& une égalité
approximative.)
1-1-16. Parabole du second degré. La fonction linéaire
y — ax+b
est un cas particulier de fonction entière du ne degré ou de polynôme
du ne degré:
y = aaxn + ajs"-1 + ...+an.ix+a„,
dont le cas le plus simple, après la fonction linéaire, est le trinôme
du second degré (n = 2) :
y = ax* + bx + c ;
la courbe de cette fonction est la parabole du second degré ou plus
simplement la parabole.
Pour l'instant, on étudiera le cas le plus simple de parabolo:
y = ax*. (5)
Celte courbe peut êlre construite sans peine point par point. Sur
la fig. 13 sont représentées les courbes y = a? (» = 1) et y = —s2
(a — —1). La courbe correspondant à l'équation (5) est située
entièrement au-dessus de l'axe OX, lorsque a > 0 et au-dessous de celui-
ci lorsque a < 0. L'ordonnée de cette courbe croît en valeur absolue,
lorsque x croît en valeur absolue, et cela d'autant plus rapidement
qu'est plus grande la valeur absolue a. Sur la fig. 14 est représentée
une série de courbes de la fonction (5) pour différentes valeurs de a,
qiii sont indiquées sur les paraboles correspondantes.
L'équation (5) contient seulement œ3, et c'est pourquoi elle no
varie pas lorsque» devient {-—x), c'est-à-dire que si un point (x, y)
est situé sur la parabole (5), le point (—x, y) est aussi situé sur cette
même parabole. Il apparaît que les deux points, (x, y) et (—x, y),
sont symétriques par rapport à l'axe OY. Ainsi, si l'on fait tourner
la partie droite du plan de 180° autour de l'axe OY et si on la fait
3—-281

I
34 CM. I. DEPENDANCE FONCTIONNELLE ET THEOlUE DES LIMITBS
coïncider avec la partie gauche, la portion de parabole située
adroite de l'axe OY coïncidera avec la portion de parabole située à gaucho
Fig. 13 Fig. 14
de cet axe. Autrement dit. l'axe OY est l'axe de symétrie de la.
parabole (5).
L'origine des coordonnées se trouve êlro le point le plus bas de
la courbe pour a > 0, et le plus élevé pour a < 0, et s'appelle
sommet de la parabole.
Le coefHciont a est entièrement déliai si l'on donne un point Mq fa, y9)
de la parabole, distinct de son semmot, étant donné qu'on a:
XD
à la suite de quoi l'équation do la parabelo (5) aura la forme:
Il existe un procédé graphique très simple pour construira un nombre
quelconque n do points do la parabole à partir du sommet, do l'axe do symétrie
et d'un quelconque do ses pointa M0> distinct du sommet. Divisons l'abscisse
el l'ordonnoo d un point donné Af0 (xo, Uo) en » parties égales (Eig. 15) et
monons des rayons par l'origine des coordonnées vers les points qui partagent

1-1. GRANDEURS VARIABLES
35
rordonncc. L'intoraeclion de cos rayons avec les droites, laonéos p«r les
points qui partagent l'abscisse parallèlement à l'axe OY, donne les points
do lu parabole.
En effet, pnr construolion, on a (fig. 15):
re—1 , »—1
*. = *o — * V =Vo —-.
Vf
-*-—ss—»• C—5ï—J -«nvJ
c'est-Mire on venu de (G), le point jtfi (¾. m) «si situé également sur la
parabole La démonstration est identique pour les autres points.
0 1 2 3 15 6 1
-z
/
■
1
3»
4i
-t
Éff1
*J
3
2
•V
0
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\y
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>
f/
^c^
/
s*
t
j
1
f
i
f
■y
—_
/
2
Flg. 16
Fig. 15
Si l'on a deux fonctions :
y=/t(«) et y=/2(2)
isl. les courbes correspondantes, les coordonnées des points
d'intersection de ces courbes vérifient. les deux équations, c'est-à-dire que
les abscisses de ces points d'intersection sont racines de l'équation^
Il est facile d'utiliser celle démonstration pour résoudre de façon
approcheo une équation du second degré. Si l'on construit sur une
feuille de papier millimétré, le pins soigneusement possible, la
parabole
y-*». (6,).
ou peut considérer les racines de l'équation du second degré:
x* = px -j- q, (7)
comme les abscisses des pointe d'intersection do la parabole (6i)
et de la droite y — px + q, si bien que l'on a la solution de
l'équation (7) on trouvant ces points d'intersection. Sur la fig. 16, on a
3*

36 CH, I. DÉPENDANCE FONCTIONNELLE ET THÉORIE DES LIMITES
-m-t/s-ifi-iM-i-2 h
représenté 3 cas: lorsqu'on a 2 points, lorsqu'il y en a un seul (la
droite est tangente à la parabole) et lorsqu'il n'y on a aucun.
1-1-17. Parabole du troisième degré. Le graphique du polynôme
du troisième degré
y = ax? -|- bx? + ex + d
est appelé parabole du troisième degré. On considérera cette courbe
dans Je cas le plus simple
y = ax3. (8)
Pour a positif, les signes de x et y sont identiques et pour a
négatif, ils sont opposés. Dans le premier cas, la courbe est située dans
les 1er et 3° quadrants et dans lo
second cas dans les 2e et 4e
quadrants. Sur la fig. 17 on a représenté
L'allure de cette courbe pour
différentes valeurs de a.
Si l'on change simultanément x
et y eu (—x) et (~y), les deux
membres de l'équation (8) changent
de signe, et l'équation ne change
pas de sens, c'est-à-dire que si le
point (x, y) se trouve sur la
courbe (8), le point (—.r, — y) se trouve
aussi sur cette courbe. Il apparaît
que les points {x, y) et (—a;, —y)
sont symétriques par rapport à
l'origine O, c'est-à-dire que le
segment qui les relie est divisé en
doux par l'origine O. Il s'ensuit que
toute corde de la courbe (8), passant
par l'origine des coordonnées O, est
coupée en deux parties égales par
l'origine. On dit encore que
l'origine des coordonnées O est h centre de la courbe (8).
Remarquons encore un cas particulier de la parabole du 3e degré :
*-X
Fig. 17
y = ax3 -|- ex.
(9)
Le second membre de cette équation est la somme de deux termes,
et par suite, pour construire cotte courbe, il suffit de mener la droite
y*=cx (10)
et de prendre sur le graphique la somme des ordonnées
correspondantes des courbes (8) et (10). Les différents aspects que peut prendre

1-1. GRANDEUIIS VARIABLES
37
la courbe (9) (lorsque a <== 1, et que c a différentes valeurs) sont
représentés sur la fig. 18.
Si 1 ' on construit la courbe :
on obtiendra un procédé graphique commode pour obtenir (avec une faible
précision) Us racines de l'équation du 3S degré
3?=pX"\-qt
étant donné que les racines de cette équation ne sont rien d'autre que les
abscisses des pointe d'intersection de la courbe
avec In droite
y = px+q.
La fig. 19 montre qu'il peut y avoir un, deux ou trois points d'intersection,
mais un au moins de laçon certaine, c'est-à-dire que l'équation dp 3° degré a,
au moins, une racine réelle. On démontrera cela rigoureusement j>ar la suite.
Fig. 18 Fig. 19
l-i-18. Loi de proportionnalité inverse. La relation
fonctionnelle
»Hr (il)
exprime la loi de proportionnalité inverse entre les variables x et y.
Lorsque x croît un certain nombre de fois, y diminue un nombre
égal de fois. Lorsque m >• 0, les variables x et y ont un môme signe,
c'est-à-dire que la courbe est située dans lo premier et le troisième

38 CH. I. DÉPENDANCE SONCTIONNEIjLE ET THÉORIE DBS LIMITES
quadrant, el lorsque m< 0, elle est dans le deuxième et le
quatrième quadrant. Lorsque x est près de zéro, la fraction — est grande
en valeur absolue. Réciproquement, pour les grandes valeurs
de x, la fraction — est petite en valeur absolue.
La construction directe de cette courbe point par point nous
conduit à la fig. 20, sur laquelle sont représentées les courbes (11)
pour les différentes valeurs de m; les courbes correspondant au cas
où m > 0, sont tracées on ligne coiitiinio; dans le cas où m < 0,
Fig. 20 Fig. 21
elles sont tracées en pointillé, ot pour chaque courbe on indique la
valeur correspondante de m. On voit que chacune des courbes
construites, qui s'appellent hyperboles équilatères, possède des brandies
infimes qui tendent vers les axes do coordonnées OX et OY loisque
l'abscisse x ou l'ordonnée y du point sur la branche considérée croît
indéfiniment. Ces droites sont les asymptotes do l'hyperbole.
Le coefficient m dans l'équation (11) eat défini, si l'on donne un point
quelconque M0 (x0, ya) de la courbe étudiée, vu que
et l'équation (11) peut être mise sous la forme:
xy = x0i/0, (12)
De là le procédé graphique pour construire un nombre quelconque de points
d'une hyperbole équilatère, si l'on donne ses asymptotes et un quelcpnquo de ses
points Afo (i», ijo). Prenons le» asymptotes comme axes de coordonnées, menons

I-i. GRANDEURS VARIAMES 39
par l'origine dos coordonnées des rayons quelconques OPt, OPi, . . . et
marquons les points d'intersection de ces rayons avec les droites y = y0 et x = 3¾.
Menons par los points (un point sur deux) situés sur un mêm« rayon d«s
droites parallèles aux axos des coordonnées; nous obtiendrons ù l'intersection de
ces droites des points de l'hyperbole (tjg. 21). Cela résulte do la similitude dos
triangles OIÎQ, et OSPt:
W, ÔÏÏ Vi __ yo
OS ~ SQ, °U X" *l '
c'est-à-dire que le point Mt {x,, y,) se trouve sur la courbe (12).
1-1-19. Fonction y — axn. Les fonctions y = ax, y = ax-,
y = ai? et y = —, que nous avons étudiées ci-dessus, sont des cas
particuliers do la fonction de la forme:
V = axn, (13)
où a el n sont des constantes quelconques. La fonction (13) est
généralement appelée fonction puissance. Pour construire la courbe,
ky fans 2 & i
on se limitera aux valeurs positives de x et au cas où a■ = 1. Sur les
lift. 22 et 23 on a représenté les courbes correspondant »«x différentes
valeurs de n. Pour toutes les valeurs de n, l'équation y — xn donne
y = 1 pour x— 1, c'est-à-dire que toutes les courbes passent par
le point (1,1). Pour les valeurs positives de n, quand x">l, les
courbes croissent d'autant plus que la valeur de 71 est plus grande
(fig. 22). Pour les valeurs négatives de n (fig. 23) la fonction y =
= a^1 équivaut à une fraction. Par exemple, à la place de y = ar2,

40 OH. I. DEPENDANCE FONCTIONNELLE ET THEORIE DES LIMITÉS
on peut écrire i/ = — ■ Dans ces cas, lorsque x croît, les valeurs de y
décroissent.
Bernarquons que lorsque n est fractionnaire et possède mi
dénominateur pair on considère la valeur du radical comme positive;
par exemple pour t. > 0, on considère x2 = Y~â: comme positif.
Les deux constantes a et n qui figurent dans l'équation (13), sont définies
si l'on donne doux pointa do la courbe Mt {xlt y,) et Mz (x2, y2) de sorte que
L'on a
yj=aîj, y^asfy;
(14)
on divisant une équation par l'autre, on élimine a:
Ht .,.( *i \"
v2 v ** ; '
ensuite, un prenant 1« logarithme, on trouve »
jnji — Injte .
lu ^1—In 3¾
ayant oulenu », on obtiendra a de n'importe laquelle des équatioas f14i.
Le procédé graphique pour construire un nombre quelconque de points
de in courbe (13) à partir do ses points M, (*t. y,) et Mz fa, Vi) est représenté
FijJ. 24
sur la fig. 24. Menons par le point 0 deux rayons quelconques faisant des
angles a et j$ avec l'axe OX et avec l'axe OY\ par des poim.s donnés Mt et jtfj,
menons les perpendiculaires aux axes de coordonnées jusqu'à leur intorseo-
tion avec les rayons aux peints St, S2; Tt, T% fit avec lus axes aux points Qit
Qi\ Jis< Ri- ^ar le point #j, menons HtT, parallèlement à JhT2 ot par le point
Si menons S«Q3 parallèlement à SjQ2. En menant enfin par Ts et Q3 les
droites parallèle? respectivement aux axes OX et OY, on obtiendra à leur
intersection le point Ms (»3, us) de la courbo. Vu la similitude des triangles, on obtient

1-1. GRANDEURS VARIABLES
4-1
en oîîot:
c'est-à-dire
V3 =—^-, ou bien —2-=—^.
d'où
et on peut de même démontrer que:
On tire de l'équation (14):
(0.¾2 / ^ r »
ï3 -S- = °(-H = Ba:3'
c'esl^à-dire q-ue le point (z8, y3) esl bien sit-ué sur la courbe (13), ce qu'il [allait
démontrer.
I-i-20. Fonctions inverses. Introduisons, pour étudier les
fonctions élémentaires que nous examinerons, une nouvelle notion :
la notion de fonction inverse. Comme nous l'avons déjà rappelé
[I-i-5], pour étudier la dépendance fonctionnolle entre les variables
x et y. nous avons la possibilité de choisir la variable indépendante,
et nous le faisons selon dos considérations d'ordre purement
pratique. Soit une fonction y — f (x), où x joue le rôle d'une variable
indépendante.
La fonction définie par la même relation fonctionnelle y — f (x),
quand on considère y comme variable indépendante et x comme variable
dépendante £=q> (y), est appelée fonction inverse de la fonction donnée
f (x), alors que cette dernière est souvent appelée fonction directe.
Comme les notations pour les variables ne jouent pas de rôle
important, en représentant dans les deux cas la variable
indépendante par la lettre x, on peut dire que <p (x) sera la fonction inverse de
la fonction / (x). Ainsi, par exemple, si l'on a les fonctions
y — ax + b, y — xn,
les fonctions inverses seront
2/=—^-. y=/x.
Le calcul de la fonction inverse à partir de l'équation de la fonction
initiale s'appelle inversion.

42 CH. I. DEPENDANCE FONCTIONNELLE ET THÉORIE DES LIMITES
Soit la courbe représentative de la fonction y = f (x) où i
est arbitraire. Il est facile do constater que cette courbe peut servir
également de représentation à la fonction inverse x = <p (y).
Effectivement, les deux équations y = / (x), et x — <p (y) donnent une seule et
même relation fonctionnelle entre x et y. En reportant sur l'axe OX,
à partir de l'origine 0, le segment correspondant an nombre x, et en
menant de l'extrémité de ce segment la perpendiculaire à l'axe OX
jusqu'à l'intersection avec la courbe représentative, on obtient, en
prenant la longueur de cette perpendiculaire avec le signe
correspondant, la valeur de y, correspondant à la valeur choisie pour x. Pour la
fonction inverse, x = q> (y), on doit seulement reporter la valeur
donnée de y sur l'axe OY, à partir de l'origine 0, et mener par
l'extrémité de ce segment la perpendiculaire à l'axe OY jusqu'à
l'intersection avec la courbe représentative. La longueur de celte
perpendiculaire nous donne, avec le signe correspondant, la valeur
de x, qui correspond à îa valeur choisie pour y.
Ici apparaît un inconvénient: dans le premier cas, la variable
indépendante x est reportée sur un seul axe, l'axe OX, et dans le
second cas, la variable indépendante y est reportée sur l'autre axe.
sur l'axe OY. Autrement dit, lorsqu'on passe de la fonction y —
~ f (a-) à la fonction inverse x = <p {y), on peut garder la même
courbe représentative, mais on se rappellera que lois de ce passage,
l'axe des valeurs de la variable indépendante devient l'axe des
valeurs de la fonction, et réciproquement.
Pour éluder cette difficulté, on doit faire tourner le plan en bloc,
de façon que les axes OX et OY changent de place. Poux cela il
suffit évidemment de faire tourner le plan de la figure en même
temps que la courbe représentative, de 180° autour de la bissectrice du
premier quadrant de coordonnées. Lorsqu'on fait tourner le plan,
les axes changent de place, et il faut alors écrire la fonction
inverse x = <p (y) sous la forme habituelle y = <f (x). Ainsi, si une
fonction y = f (x) est donnée graphiquement, il suffit pour obtenir
la courbe représentative de la fonction inverse y = q> (x) de faire
tourner le plan de 180° autour de la bissectrice du premier quadrant.
Sur la fig. 25, la courbe représentative de la fonction est tracée
on trait plein, et la courbe de la fonction inverse est tracée en
pointillé. On a tracé également en pointillé la bissectrice du premier
quadrant, bissectrice autour de laquelle il faut faire tourner tout
le plan de la figure, pour obtenir une courbe en pointillé à partir
do la courbe en trait plein.
1-1-21. Fonctions multivoques. Dans tous les graphiques des
fonctions élémentaires que nous avons vus ci-dessus, les droites
perpendiculaires à l'axe OX ne coupaient pas la courbe eu plus d'un
point, et, dans la plupart des cas, elles la coupaient effectivement

1-1, GRANDEURS VARIABLES 43
en un point. Cela signifie que pour une fonction définie par cette
courbe, à une valeur donnée de x correspond une seule valeur bien
déterminée de y. On dit encore de cette fonction qu'elle est univoque
(ou uniforme).
Si les droites, perpendiculaires à. l'axe OX, coupent la courbe en
plusieurs points, cela signifie qu'à une valeur donnée de x correspon-
y*
—
•
s
\
—
s'
^.
s
\
y
\
\
y
r
0/
\ -
\
s,
1
+*0l*
y
,/
'#/
7
y
r/f
/
■ "J
y
f
1
Ffg. 25 Fig. 26
dent plusieurs valeurs de y. De telles fonctions sont appelées mul-
tivoques (ou mullijarmes). On a déjà mentionné les fonctions mul-
tïvoques plus haut [1-1-51.
Si la fonction y — f (x) est univoque, la fonction inverse y —
— <p [x) peut être multivoque. On le voit par exemple sur la fig. 25.
Analysons plus en détail un cas élémentaire. Sur la fig. 13, la
courbe de la fonction y — a? est représentée en ligne continue.
Si l'on fait tourner la figure de 180° autour de la bissectrice du
premier quadrant, on obtient la courbe de la fonction inverse y = Vx
(fig. 26).
Etudions-la de plus près. Pour les valeurs négatives de x (à gauche
de l'axe OY)t les droites perpendiculaires à l'axe OX ne coupent
pas du tout la courbe, c'est-à-dire que la fonction y = Y x n'est pas
définie pour a; < 0. Cola correspond au fait quo la racine carrée
d'un nombre négatif ne possède pas de valeurs réelles.
Réciproquement, pour n'importe quelle valeur positive de x, la droite
perpendiculaire à l'axe OX coupe la courbe en deux points, c'est-à-dire
que pour une valeur positive donnée de x, ou a deux ordonnées de la
courbo : MN et M~Ni. La première ordonnée donno pour y une certaine
valeur positive, et la deuxième donne une valeur négative ayant
même valeur absolue. Cela correspond au fait que la racine carrée

/A CH. 1. DÉPENDANCE FONCTIONNELLE ET THEORIE DES LIMITES
d'un nombre positif possède deux valeurs, égales en valeur absolue
et do signe contraire. On voit également d'après la figure que pour
x = 0, on a une seule valeur y = 0. Ainsi, la fonction y ■= ]/".r est
définie pour x ^. 0, possède deux valeurs pour ,r > 0 et une pour
x ^-0.
Hemarqnons que nous pouvons rendre notre fonction y *-r ]/~^
nnivoque, en prenant seulement une partie de la courbe de la fig. 2G.
Prenons, par exemple, seulement la partie-de la courbe qui se trouve
dans le premier quadrant (fig. 27). Cola revient à ne considérer que
*~X
*-x
Fig. 27
Fig. 28
les valeurs positives d'une racine carrée. Notons également que la
partie do la courbe représentative de la fonction y = Yx ropi'ésentée
sur la fig. 27, vient de la partie do la courbe de la fonction y = x%
(v. fig. 13), qui est située à droite do l'axe OY. On a déjà représenté
sur la fig. 22 la partie de la courbe de la fonction qui se trouve dans
le premier quadrant :
i
y = Vâ
ou y — x '
Occupons-nous maintenant du cas où l'inverse d'une fonction
uiûvoque est une fonction qui est aussi univoque. Pour cela, nous
allons introduire une nouvelle notion.
La fonction y — f (x) est croissante, si l'accroissement de la variable
indépendante x entraîne un accroissement correspondant de y, c'est-à-dire
si de V inégalité x2 > xt il résulte que f fe) > / (xi),
Etant donné la disposition des axes OX et OY, à l'accroissement
do x correspond un déplacement à droite Le long de l'axe OX, et
à l'accroissement de y correspond un déplacement vers le baut le
long de l'axe OY, Le trait caractéristique de la courbe d'une fonction
croissante réside dans le fait que, suivant le mouvement le long de
la courbe du côté des valeurs croissantes do x (à droite), on se déplaco
également du côté des valeurs croissantes de ;/ (vers le haut).

1-1, Q-K.AKDEURS VARIABLES
45
Considérons la couche représentative d'une fonction croissante
univoque quelconque, définie dans l'intervalle a <; x ^. b (fig. 28).
Soit / (a) = c et / (b) = d; il est évident que c<zd, puisque la
fonction est croissante, Si Ton prend une valeur quelconque de
y dans l'intervalle c < y ■< d et que l'on mène à partir du point
correspondant la perpendiculaire à l'axe OY, cette perpendiculaire
rencontrera notre courbe en un point, c'est-à-dire qu'à chaque valeur
de y de l'intervalle c ^ y <J <î correspond une valeur bien
déterminée de x. Autrement dit, une fonction, inverse d'une fonction
croissante, sera univoque.
Il est facile de constater sur la courbe que cette fonction inverse
sera également croissante.
D'une façon analogue, la fonction y = / (x) est dite décroissante,
si lors de l'accroissement de la variable indépendante x, les valeurs
correspondantes de y décroissent, c'est-à-dire s'il résulte de l'inégalité
.r2 ;> xi que f fa) > / (¾). On peut affirmer, comme plus haut, que
la fonction, inverse de la fonction décroissante, sera une fonction
univoque décroissante. Notons encore un cas important. Dans tous
les raisonnements nous supposons toujours que la courbe représentative
de la fonction est une courbe continue. Ce fait est équivalent à une
propriété analytique de la fonction / (z), la continuité de cette
fonction. Une définition mathématique rigoureuse do la continuité d'une
fonction et une étude des fonctions continues seront données au
paragraphe 2. Le but du présent paragraphe est de faire connaissance
de notions fondamentales, dont l'étude systématique sera faite dans
les chapitres suivants.
En co qui concerne la terminologie, remarquons que lorsqu'on
parle d'une fonction sans se référer à ses valeurs multiples, c'est que
l'on suppose toujours qu'il s'agit d'une fonction univoque.
1-1-22. Fonctions exponentielle et logarithmique. Revenons
maintenant à l'étude de fonctions élémentaires. Une fonction
exponentielle est définie par l'égalité;
y = ax, (15)
où l'on considère que a est un nombre positif donné (différent de
l'unité). Pour une valeur positive entière de œ la valeur de a* est
évidente. Pour une valeur positive fractionnaire de x, l'expression a"
est définie comme la racine a i = y/Hp ; dans le cas où q est pair, on
convient de prendre une valeur positive du radical. Sans entrer pour
le moment dans une étude plus approfondie dos valeurs de aK lorsque
x est irrationnel, notons seulement que nous obtiendrons des valeurs
approximatives de ax, lorsque x est irrationnel, de plus en plus
précises, si l'on remplace la valeur irrationnelle de x par ses valeurs

iti CU. I. DÉPENDANCE FONCTIONNELLE ET THÉORIE DBS WJÏÏTES
approchées comme il a été indiqué plus haut [I-1-2J. Par exemple,
al = a, «''««"Vô", ffi''«I = 1<,vrârH, ...
seront des valeurs approximatives de a ^, où comme on le sait:
j/2 = 1,414213 ...
Le calcul de a* lorsque x est négatif se ramène au calcul de ax lorsque
x est positif puisque: a~x = ^ qui détermine le degré de l'expo-
comnie
saut négatif
toujours
yWfitfiWiHiVPtf y-a* y<f y-?
On a convenu
Fig. 29
ci-dessus do considérer
positifs les radicaux dans l'expression <z« = v'av',
il s'ensuit que la fonction a*, pour
n'importe quelles valeurs réelles de x,
est toujours positive. En outre, on
peut démontrer — ce sur quoi nous ne
nous attarderons pas — que pour
a > 1, la fonction ax est croissante,
et que pour 0 < a <C 1 elle est
décroissante. On fera une étude plus
approfondie de cotte fonction plus loin
[1-2-20],
Sur la fig. 29 on a donné les
courbes représentatives de la fonction
(15) pour différentes valeurs de a.
Notons certaines particularités de ces
courbes sur la fig. 29.
Avant tout, on a, pour une valeur quelconque de a =£ 0, a0 = 1,
d'où il résulte que, pour une valeur quelconque de a, la courbe de la
fonction (15) passe par le point y = 1 sur l'axe OY, c'est-à-dire par
le point dont les coordonnées sont x =0, y = 1. Sia > i, la courbe
va de gaucho à droite (du coté dos valeurs croissantes de x) eu s'éle-
vant indéfiniment; et dans son mouvement vers la gauche la courbe
se rapproche indéfiniment de l'axe OX, sans le toucher. Lorsque
a ■< 1, la disposition de la courbe par rapport aux axes sera
différente. Dans son mouvement vers la droite, la courbe se rapproche
indéfhumoiit de l'axe OX, et dans son mouvement vers la gauche,
elle croît indéfiniment. Etant donné que ax est toujours positif, la
courbe, bien entendu, est toujours située au-dessus de l'axe OX.
.Remarquons encore, que l'on peut obtenir la courbe de la fonction
y = [—] à partir de la courbe do Ja fonction y — à", en faisant
tourner la figure de 180° autour de l'axe OY. Cela résulte directement
de ce que, par cette rotation, x devient (~x) et ar* = ( —) .

t-î. GRANDEURS VAIHABLES
47
Remarqiions encore que, si a = 1, y — ix, el. pour chaque valeur
de x on a y = 1 (1-1-12].
J7ne fonction logarithmique est définie par l'équation
y = lg0a:. (16)
Par définition dos logarithmes, la fonction (16) sera inverse do la
fonction (15). On peut, de cotte façon, obtenir la courbe de la
fonction logarithmique (fig. 30) à partir de la courbe exponentielle en.
Fig. 30 Fig. 31
faisant tourner les courbes do la fig. 29 de 180° autour de la
bissectrice du premier quadrant. Vu l'accroissement do la fonction (15)
lorsque a >■1, la fonction inverse (16) sera également une fonction
de x croissante uniforme et, par là, la fonction (16) ne sera
déterminée, comme on le voit sur la fig. 29, que pour x > 0 (les nombres
négatifs n'ayant pas de logarithmes). Toutes les courbes de la fig. 30,
correspondant à de différentes valours de a, coupent l'axe OX au
point x — 1. Cela correspond au. fait que le logarithme de l'unité
est égal à zéro pour n'importe quel radical. Sur la fig. 31, on a
représenté pour plus de clarté une seule courbe de la fonction (16) pour
a> 1.
A la notion de la fonction logarithmique sont étroitement liées les notions
d'ëdielle logarithmique ot la théories de la règle à calcul.
On appelle échelle logarithmique une échelle, portée sur une droite donnée,
telle quo la longueur des divisions ne correspond pas au nomliro indiqué sur
la division, mais à sen logarithme, de hase 10 généralement (lig. 32). De sorte
que, sj_sur une division de l'échelle se trouve un nomhro s, la longueur du
segment lx est égale non pas à x, mais à lg;0 x. La longueur d'un segment entre
deux points de l'échelle, repérés par x et y, sera égale à (fig. 32):
ï^—ïï=:|g10!/ —Ig10j5 = lglo-L ;

48 OU. I, DÉPENDANCE FONCTIONNELLE ET THÉORIE DES LIMITES
pour obtenir le logarithme du produit xy, il suflit d'ajouter au .segment isc
le segment Hï/, Étant donné que le segment obtenu de cette façon sera égal à:
lgio z-MgiOÏ = lgio (*#)•
Ainsi, avec une échelle logarithmique, on peut ramener la multiplication et
la division do» nombres à l'addition ot la soustraction de segments sur l'éch<;lle,
i 'l'i'iil'i'l'i'Pfi
Ii|i|i|'I'IH'|i|i|i|'v|'
6 7
"W'I'I
rrr.
S I
,j. f.i.i.cn
xy
Fig, 32
ce qui so réalise dans la pratique à l'aide de deux échelles identiques, dont
l'une peut glisser contre l'autre (fig. 32 et 33). C'est sur ce principe qu'est
constituée récliellc logarithmique.
l'I'l'l'i'l'l'r'i'l'l
/ 2
+4+W4+
lihlililif'
b+
ff, l 8.
S 7 .S 9 1
1.4X1
ytx
Fig, 33
Pour les calculs, on umploie souvent du papier logarithmique qui so
présente sous la forme d'une feuille réglée, où les points de division sur les axes OX
ot OY correspondent non pas à l'écholle usuelfe, mais à l'écheilo logarithmique.
1-1-23. Fonctions trigonométriqués (ou circulaires). Nous nous
arrêterons seulement à quatre fonctions trigonométi'iques ionda-
men taies :
i/=sina;, y — cosx,
y^tgx, y = cotgx,
où nous exprimerons la variable indépendante en radians, c'est-à-dire
que nous prendrons comme unité" d'angle, l'angle au centre te] qu'il
corresponde à un arc do cercle, égal en longueur à un rayon.
Fig. 34
La courbe de la fonction y — sin x est représentée sur la fig. 34.
Grâce à la formule:
cosa; = sin (x -|--|-)

1-1. QRANOEURS VARIABLES
49
il e3t évident qu'on peut obtenir la courbe représentative de la
fonction y — cos x (fig. 35) à partir de la courbe de la fonction
y ~ sin x simplement en déplaçant la courbe sur la gaucho le long
de l'axe OX d'un segment -~.
Fig. 35
Sur la fig. 36, on a représenté la courbe de la fonction y — tg x.
La. courbe est composée d'une suite de branches infinies semblables.
Chaque branche est située dans une bande de largeur ji, et se présente
sous la forme d'une fonction croissante de x. Enfin, sur la fig. 37,
est représentée la courbe de la fonction y = cotg x, qui est constituée
également de branches infinies.
Les courbes dos fonctions y — sin x et y — cos x, par translation
d'un segment 2it le long de l'axe OX vers la droite ou vers la gauche,
coïncident, ce qui correspond au fait que les fonctions sin x et cos x
ont une période 2rc, c'est-à-dire que :
sin (x £ 2it) = sin x et cos {x ± 2ji) = cos x
pour tout x. Les courbes des fonctions y — tg x et y = cotg x
coïncident exactement de la même façon, quand elles se déplacent d'un
sogment ji le long de l'axe OX.
Les courbes représentatives des fonctions:
y = A$\nax, y = Aaa&ax (4>0, a>0) (17)
sont semblables aux courbes des fonctions y = sin x, et y = cos x.
Pour obtenir, par exemple, la courbe représentative do la première
fonction (17) à partir de la courbe y — sin x, il faut multiplier les
longueurs de toutes les ordonnées de cette dernière courbe par A,
c(j changer l'échelle de l'axe OX, de façon que le point d'abscisse
x coïncide avec le point d'abscisse —. Les fonctions (17) sont égale-
ment périodiques, mais de période —.
4-281

50 CH, 1. DÉPENDANCE FONCTIONNELLE ET THÉORIE DES LIMITES
Les courbes représentatives des fonctions plus compliquées:
y = A sin (ax+b), y = Acos{ax+b), (18)
que l'on appelle courbes harmoniques simples se déduisent des courbes
des fonctions (17) par une translation à gauche le long de l'axe OX,
Fig. 36
Fig, 37
d'un segmont — (on suppose b positif). Les fonctions (18) sont égale-
ment de période — .
Les courbes des fonctions de la forme :
y = Ai sin atx + 2?t cos a^ + A^ sin azx + B2 cos a2x,
qui sont une somme de plusieurs termes du type (17), peuvent être
construites, par exemple, si l'on additionne les ordonnées des courbes

1-1. GRANDEURS VARIABLES 61
de chacun des termes. Les courbes ainsi obtenues sont généralement
appelées courbes harmoniques composées. La fig. 38 représente la
construction de la courbe de la fonction :
y = 1 sin x + cos 2.x.
Remarquons ici que la fonction :
y^AisinaiX + BiCOsaiX (19)
peut être mise sous la forme (18) et représente une oscillation
harmonique simple.
Fig. 38
En effet, posons:
Vai+Bî Vaî+bi lT '
Nous avons évidemment :
Ai = mA, Bt = nA (20)
et en outre,
ma + re»s=l, |m|<l, [n|<l,
et, comme on le sait en trigonométrie, on peut toujours trouver un
angle bit tel qiie
cos bt = m, sin 64 = n. (21)
En remplaçant dans la fonction (19) les expressions de At et
Bi données par (20) et en utilisant les égalités (21), nous obtenons i
y — A (cos bi ■ sin atx -f- sin bt • cos atx),
c'est-à-dire
y = A sin (aiX + bt).
4*

52 CE. I. DEPENDANCE FONCTIONNELLE ET THEORIR DUS LIMITES
1-1-24. Fonctions trigonométriques (ou circulaires) inverses.
On obtient ces fonctions en inversant les fonctions
trigonométriques:
y^sinx, oosx, tga:, cotga;
et on les désigne respectivement par les symboles:
y = arc sin a;, arc cosa:, arc tgœ, are cotga;,
ce qui n'est autre chose qu'une abréviation pour désigner les
expressions ; l'angle (ou l'arc) dont le sinus, le cosinus, la tangente ou la
cotangente est respectivement égal à x.
Considérons la fonction
y = are sin a;. (22)
La courbe représentative de cette fonction, (fig. 39) se déduit
de la courbe représentative de la fonction y = sin x, selon la règle
indiquée [1-1-20]. Cette courbe est entièrement située dans une bande
verticale de largeur 2, s'appuyant sur le segment —1 <^ a:-^ -|- 1
Fig. 39 Fig. 40 Fig. 41
de l'axe OX, c'est-à-diro que la fonction (22) n'est détermince que
dans l'intervalle —i ^. x .^ + 1. De plus, elle est équivalente à la
fonction sin y = x et, comme on le montre en trigonométrie, pour
une valeur donnée de a;, on obtient un ensemble infini de valeurs
pour l'angle y. Sur la courbe, nous voyons en effet que les droites

1-2. THÉORIE DES LIMITES. JONCTIONS CONTINUES 53
perpendiculaires à l'axe OX en des points de l'intervalle —>\ -< £-<;
< + 1 ont avec la courbe une infinité de points communs, c'est-à-dire
que la fonction (22) est une fonction inultivoque.
On voit sur la fig. 39 que la fonction (22) deviendra univoque, si
au lieu de prendre toute la courbe, on se limite à la partie de celle-ci,
figurée en trait gras, partie qui correspond aux valeurs do l'angle
y toiles que sin y = x, qui se trouvent dans l'intervalle; —5-,-S-*
Les fig. 40 et 41 donnent les courbes représentatives des fonctions
y = arc cos x et y = arc tg x ; on y a fait figurer en trait gras les
parties de la courbe qu'il faut considérer pour que la fonction soit
univoque (on laisse au lecteur le soin de tracer la courbe
représentative de arc cotg x). Remarquons ici que les fonctions y — arc tg x et
y — arc cotg x sont définies pour toutes les valeurs réelles de x.
En notant sur la figure l'intervalle de variation de y qui
correspond à la partie en trait gras de la courbe, nous obtenons une table
d'intervalles dans lesquels les fonctions deviennent univoques:
y
Inégalités pour y
arc sinx
—2<y<T
aro cos x
0<y<«
arc tgx
—t<»<t
arc cotgœ
0<ï<n
11 est facile de montrer que les fonctions ainsi définies, qui
s'appellent valeurs principales des fonctions circulaires, vérifient les
relations :
arc sin x + arc cos x = -^-, arc tg[a:+are cotg x=~ . (23)
1-2. Théorie des limites.
Fonctions continues
1-2-1. Variable ordonnée. Lorsque nous parlions d'une variable
indépendante x, ce qui nous importait c'était l'ensemble des valeurs
que pouvait prendre x. Par exemple, ce pouvait être l'ensemble des
valeurs satisfaisant à l'inégalité 0 ^ x <; 1. Maintenant, nous
allons examiner une grandeur variable x prenant successivement un
ensemble infini de valeurs, c'est-à-dire que ce qui nous importe
maintenant, ce n'est pas seulement l'ensemble des valeurs de a;,
mais aussi l'ordre dans lequel elle prend ces valeurs. D'une façon
plus précise, faisons les hypothèses suivantes: 1) si x' et x" sont
deux valeurs de la variable x, il est possible d'eu distinguer une
première et une seconde, de façon que, si a;' précède x" et x" précède x",

54 aa. i. dBpendance fonctionnelle et théorie des limites
alors af précède x" ; 2) aucune des valeurs de x n'est la dernière,
c'est-à-dire que, quelle que soit la valeur de x considérée, il existe
une infinité de valeurs qui la suivent. Une telle variable est appelée
variable ordonnée. Par la suite, pour abréger, nous l'appellerons
simplemont grandeur variable. Comme d'habitude, sans tenir compte
de la signification concrète de la grandeur (longueur, poids, etc.)
nous désignerons par le terme « grandeur variable ordonnée » ou
simplement « grandeur variable », toute suite infinie de ses valeurs.
Un cas particulier important de variable ordonnée est celui où
il est possible d'indexer la suite tout entière de ses valeurs (la
première, la seconde, la troisième, etc.) :
%1\ *^3i #31 ■ • • î *E»i • • • i
de sorte que des deux valeurs xp et xq la valeur conséquente est
celle qui possède l'indice le plus élevé. En qualité d'exemple
supposons que le terme général de la suite x„ est déterminé par la formule
x„ = ^ (n = 1, 2, 3, . . .), de sorte que la suite est de la forme
J_ ± ± A- M)
Soit ensuite xn = 0,11 ... 1, autrement dit, 2„ est une fraction
décimale dont la partie entière est égale à zéro, et qui comporte
n unités après la virgule; nous obtenons la suite
»
0,1 ; 0,11 ; 0,111, .... 0,11 ... 1, ... (2)
Insérant entre deux nombres de la suite (1) le nombre zéro, nous
obtenons une nouvelle suite
-g". 0, -g-, 0, -g-, 0, -jg-, ..., (3)
poui laquelle xt =■ -r-, x2 = 0, x3 = -r, xk — 0, x$ = -g-, etc, Parmi
les valeurs de cette variable on rencontre des valeurs égales,
précisément Xj, = 0 quand p est pair. Notons que la variable (1) est
décroissante, c'est-à-dire que chacune de ses valeurs est inférieure
à toutes les valeurs antécédentes et que la variable (2) est croissante,
c'est-à-dire que chacune de ses valeurs est supérieure à toutes les
valeurs antécédentes. La variable (3) n'est ni croissante, ni
décroissante.
Indiquons maintenant des exemples de variable ordonnée dont
on ne pont indexer les valeurs. Supposons que la variable x prend
toutes los différentes valeurs vérifiant l'inégalité a — & -< x < a,

1-2, THEORIB DBS I/TMITKS. FONCTIONS CONTINUES 55
où a et k sont dos nombres quelconques et k > 0. On estime alors que
de deux valeurs x' et x" la valeur conséquente est la plus grande.
Autrement dit, la variable x croît en prenant toutes les valeurs de
l'intervalle a — k -^ x < a, fermé à gauche et ouvert à droite. Elle
prend n'importe quelle valeur plus petite que a de cet intervalle,
mais ne prend pas la valeur a. La première valeur de cette variable
est la valeur x = a. — A, mais l'tndexation des autres valeurs de
la variable n'est plus possible. Si nous posons que la variable
croissante satisfait non pas à l'inégalité a — k ^ x ■< a, mais à
l'inégalité a — k <L x < a, il n'y aura alors plus de première valeur do la
variable x. Exactement de la même façon, on peut considérer une
variable décroissante x sur l'intervalle a<Z.x*Ca + k ou sur
l'intervalle a < x < a -j- k.
Indiquons maintenant un exemple analogue aux précédents,
mais pour lequel la variable n'est ni croissante, ni décroissante.
La variable x prend toutes les diverses valeurs vérifiant l'inégalité
a — k ^ x jÇ a + k, sauf la valeur x — a. Si x" et x" sont deux
valeurs distinctes de x pour lesquelles les valeurs absolues des
différences \x' — a | et | x" — a \ sont différentes, on adopte pour valeur
conséquente celle pour laquelle cette valeur ahsolue est plus petite
(celle qui est plus proche de a sur l'axe OX), et si x' — a et x" — a
ne diffèrent que par leur signe (x' et *" sont à égale distance de a,
mais se trouvent sur l'axe OX de différents côtés de a), on estime que
la valeur conséquente est colle pour laquelle la différence mentionnée
est négative (celle qui sur l'axe OX est située à gauche de a). Dans
cet exemple, la variable x s'approche do a sur l'intervalle a — k <
^.x-^a + k des deux côtés, prenant toutes les valeurs sauta;
la première valeur de la variable est x — a + k, la seconde x = a —
— ft, et l'indexation ne peut être conduite plus loin. Si au lieu de
l'intervalle a — k < x ^ a + k on prend l'intervalle a — k <
<C x < a + k en conservant la définition précédente de l'ordre de
variation de x, il devient alors impossihle d'indiquer la première
valeur de x.
Dans ce qui suit nous rencontrerons fréquemment des grandeurs
variables, liées par une dépendance fonctionnelle. Supposons que
la variable x soit une fonction de la variable i. Introduisons alors la
notation x (t). Soit t une certaine variable ordonnée. Gela crée un
ordonnancement des valeurs de x (t) ; précisément, si t' et t"
appartiennent à la suite des valeurs de t et si t' est antécédent à t", alors
nous estimons que parmi les valeurs de x (t) la valent x (?) précède
x (t°). Dans co qui suit nous rencontrerons principalement les cas où.
parmi les valeurs de la variable ordonnée t il n'y a pas de valeurs
égales. Toutefois, x (t) peut prendre des valeurs égales pour
différents t. Il est naturel de dire que la variable ordonnée t ordonne
la variable * (t) ou que t est une variable ordonnant la variable

56 CH. I. DÉPENDANCE FONCTIONNELLE ET THEORIE DBS LIMITES
x (t). Notons quo pour la variable indexée xt, x%, xs, ■ . . le rôle
de t est dévolu à l'indice 1,2,3,.... autrement dit, t prend
successivement les valeurs 1, 2, 3, . . . et par cela mBine numérote les
valeurs de la variable x.
La question se pose des opérations effectuées sur les variables
ordonnées. Si, par exemple, x et y sont des variables ordonnées,
alors on ne saurait dire sans accord préliminaire ce que signifie la
somme x + y ou le produit xy, car x, comme y, est susceptible de
prendre une quantité infinie de valeurs, et il reste à savoir quelles
valeurs de x et de y on doit ajouter ou multiplier, pour obtenir la
nouvelle variable x + y ou xy. Si x et ysont des variables indexées
et «i, x2, ... et t/i, y2, . . . les valeurs successives de x et y, la
somme x -f- y est déterminée comme la variable ordonnée prenant ]a
suite de valeurs
a;, + ?i, xz + yz, x3-{-y3,...
Dans le cas général, pour la définition de l'opération effectuée sur
les variables ordonnées, il faut qu'elles possèdent une même variable,
les ordonnant. Supposons que les variables x et y soient des fonctions
x (t) et y (t) d'une même variable ordonnée t qui ordonne x (t) et
y (t). La somme de x et y est alors définie en tant que variable
ordonnée x (t) + y (t) qui est ordonnée par la même variable t.
Pour les phénomènes se déroulant dans le temps, la succession
de valeurs de la grandeur variable peut être naturellement établie
par leur ordonnancement dans le temps, et l'on utilise fréquemment
le schéma du temps en se servant des expressions « avant » et
« après » au lieu des valeurs « antécédente » et « conséquente ».
Le présent paragraphe est principalement consacré à la théorie
dos limites qui constitue la base de l'analyse mathématique moderne.
On considère dans cette théorie certains cas essentiels de variation
des grandeurs.
1-2-2. .Infiniment petits. A chaque valeur de la grandeur variable
x correspond un point K sur l'axe numérique OX, d'ahscisse x, et la
variation do x se traduira par le déplacement du point K sur l'axe
OX. Supposons que toutes les diverses positions du point K lors de
la variation de x restent à l'intérieur d'un certain intervalle fini
de l'axe OX. 11 est équivalent de supposer que la louguour du
segment Ô~K où 0 est l'origine des coordonnées sur l'axe OX reste
inférieure à un nombre positif donné M. Dans ce cas, la grandeur
£ est dite bornée; compte tenu de ce que la longueur du segment
OK est | m |, nous pouvons donner la définition suivante.
Définition. Une variable x est dite bornée s'il existe un
nombre positif M tel que, pour toute valeur de la variable x, on ait
\x\<M.

1-2. THEORIE DES LIMITES. FONCTIONS CONTINUES 57
Gomme exemple de grandeur bornée, on peut donner sin i où (
est une variable ordonnée quelconque. Dans ce cas M est un nombre
arbitraire supérieur à l'unité.
Considérons maintenant le cas où le point K, dans ses mouvements
successifs, se rapproche indéfiniment de Porigine des coordonnées.
Plus précisément, supposons que le point K, au cours de sa variation
successive, pénètre à l'intérieur d'un segment S'S de l'axe OX et
dont le milieu est 0, segment aussi petit que l'on veut, donné
à l'avance, et que le point K reste, au cours de ses déplacements
ultérieurs, à l'intérieur de ce segment. Dans ce cas, on dit que la
grandeur x tend vers zéro ou que c'est un infiniment petit.
Désignons par 2e la longueur du segment S'S où e est un nombre
positif quelconque donné. Si le point K se trouve à l'intérieur de
57¾. la longueur de OK <. e, et réciproquement, si la longueur de
OK < e, le point K se trouve à l'intérieur de S'S. Nous pouvons
donc donner la définition suivante.
Définition. Une variable m tend vers zéro ou est un
infiniment petit, si pour tout nombre positif donné e il existe une valeur
de x telle que toutes les valeurs suivantes satisfont il l'inégalité
1 x |< 8.
Compte tenu de l'importance de la notion d'infiniment petit,
nous donnerons une autre formulation de la même définition.
Définition. On dit qu'une grandeur x tend vers zéro ou est
infiniment petite si \ x | lors des variations successives de x devient et
reste inférieur a tout nombre e petit positif donné à l'avance.
Par « grandeur infiniment petite » nous entendons le caractère
décrit plus haut do la variation d'une grandeur variable, et il ne
faut pas confondre la notion de grandeur infiniment petite avec la
notion souvent utilisée dans la pratique de grandeur très petite.
Supposons que pour mesurer la longueur d'une parcelle
quelconque, nous ayons trouvé mille mètres, avec un certain reste que nous
considérons comme très petit par rapport à la dimension totale et
que nous négligeons. La longueur de ce reste est définie par un nombre
positif déterminé et l'expression « infiniment petit » ne peut ê(:re,
évidemment, utilisée ici. Si nous avions trouvé la même longueur,
dans une mesure beaucoup plus précise, nous ne l'aurions pas
considérée comme très petite et nous en aurions tenu compte. Nous voyons
donc que la notion de grandeur petite est une notion relative, liée
aux conditions pratiques de la mesure.
Supposons qu'une grandeur variable x prenne successivement les
valeurs :
Xj, X^t £3, ..., xni .. •
et soit e un nombre positif quelconque donné. Pour nous assurer que
x est un infiniment petit, nous devons démontrer que \x„ | est infé-

58 CH. I. DEPENDANCE! FONCTIONNELLE ET THEORIE DES LIMITES
rieur à s, à partir d'une certaine valeur de l'indice », autrement
dil nous devons démontrer l'existence d'un nombre entier N tel que
|xn |<8 pour n>N,
Ce nombre N dépend de e.
Considérons comme exemple d'infiniment petit la grandeur qui
prend successivement les valeurs
g, q\ q\ ...,qn, ...(0<ff<l). (4)
Nous devons vérifier l'inégalité
<?n<e ou rclg,0g<lgioS (0<e<l).
Compte tenu de ce que lgi0 q est négatif, nous pouvons mettre
l'inégalité précédente sous la forme:
puisque lorsqu'on divise par un nombre négatif, il faut changer le
sens de l'inégalité ; par conséquent, nous pouvons prendre pour
N le plus grand nombre entier contenu dans la fraction tgI0 s :
Igio #• Ainsi, la grandeur considérée ou, comme on dit généralement,
la suite (4) tend vers zéro.
Si dans la suite (4) nous remplaçons q par (—g), la seule
différence sera que dans les termes d'exposant impair apparaîtra le signe
moins, et les valeurs absolues des termes de cette suite resteront les
mêmes; c'est pourquoi nous aurons encore une grandeur infiniment
petite.
Si la grandeur x est un infiniment petit (x tend vers 0), on écrit
généralement comme suit: lim x = 0, ou, pour la variable indexée:
lim xa = 0. Dans les démonstrations ultérieures, à part lo premier
théorème, nous conduirons la démonstration pour les variables
indexées. Dans le premier théorème la démonstration sera conduite
non seulement pour les variables indexées, mais aussi dans le cas
général.
DonDons deux propriétés des infinim'ut petits.
1. La somme de plusieurs (d'un nom i donne) infiniment petits
est aussi un infiniment petit.
Considérons, par exemple, la somme w = x + y + 2 de trois
infiniment petits, et supposons que les variables sont indexées.
Soient
xt, H> xît ... l y„ j?2t 2/3, ... ; z4, z2, zs, ...
les valeurs successives de x, y et z. Pour w nous obtenons les
valeurs successives :
Wi^x, + j/i-f-«ii u>i = xi + yî + z2, ^3=^ + ^3 + ^1---

1-2. THEORIE DBS LIMITES. FONCTIONS CONTINUES 59
Soit s un nombre quelconque positif donné. Compte, tenu do ce
gue x, y et z sont infiniment petits, nous pouvons affirmer qu'il
existe un nombre Nit tel que \xn I < -g- pour n > Nt ; un nom lire
iVî, tel que | yn | < -|- pour n > N2 ; un nombre Ns, tel que | ï„ | <
<-£■ pour rc > W3. Si nous désignons par N le plus grand des trois
nombres Nt, N2, N3, nous aurons :
IXX-g-' \yn\<~, |zn|<-|- pour n>N,
et, par conséquent,
\wn\<\xn\ + \yn[ + \zrll<:-Y+-Y + -j pour n>N,
c'est-à-dire [wn | < e pour n > TV, d'où il résulte que u> est un
infiniment petit.
Considérons maintenant le cas général quand x, y, 7, sont des
fonctions x ((), y (t), z (t) d'une même variable ordonnante* et w(t) —
•= x (t) + y (£) + z (t). Prenant en considération le fait que x, y, s
sont des infiniment petits, nous pouvons affirmer: il existe une
valeur t = t' telle que \ x (t) I < 4- pour toutes les valeurs
conséquentes de t ; il existe une telle valeur t = t" que | y {¢) I < 4- pour toutes
les valeurs conséquentes de t; il existe une valeur t" telle que
| z {t) I < -5- pont toutes les valeurs conséquentes de t. Désignant
par t(, celle des valeurs t', t", t" de la variable * telle que les doux
autres lui soient antécédentes ou coïncident avec elle, nous pouvons
affirmer que
|*(0l<-§-' l»(*)l<T- lzWI<T
pour toutes les valeurs do t conséquentes à £0, c'est pourquoi
|u>(f)l<|a*(0l + IM*)l + K(<)i<-!-+T + T=E;
| w (t) | < e pour toutes les valeurs de t conséquentes à i0, autrement
dit, w est un infiniment petit.
2. Le produit d'une grandeur bornée par un infiniment petit est
un infiniment petit.
Considérons le produit de deux variables indexées xy: où x est
une grandeur bornée, et y un infiniment petit. Par définition,

fiO CH, I, DEPENDANCE FONCTIONNELLE ET THfiORIE DES LIMITES
il existe un nombre positif M tel que | xn | < M quel que soit n;
il existe un N tel que | yn | <jj pour n > N, Nous voyons donc
que:
c'est-à-dire I a:„j/n | < e pour n >• N, d'où il résulte que le produit
xy est un infiniment petit.
On remarquera que cette dernière propriété est à plus forte raison
valabio, si x = C est une grandeur constante. Le rôle du nombre
M peut alors être rempli par n'importe quel nombre plus grand que
| C |, autrement dit, le produit d'une grandeur constante par un
infiniment petit est un infiniment petit. En particulier, si x est
un infiniment petit, alors (—x) est aussi un infiniment petit.
Vu l'importance fondamentale de la notion d'infiniment petit
pour la suite de notre exposé, nous nous arrêterons encore sur cette
notion et présenterons certaines remarques complémentaires.
Estimant que 0 < g < 1, insérons entre deux termes de la suite
(4) le nombre zéro. Nous obtenons la suite
q, 0, q\ 0, q\ 0...
On voit aisément que cette variable aussi tend vers zéro, tout
en prônant ia valeur zéro un nombre infini de fois. Cela ne contredit
pas la définition d'une grandeur tendant vers zéro. Supposons que
toutes les valeurs conséquentes de la « variable » sont égaies à zéro.
Pour la variable numérotée cela signifie que xn — 0 pour tout n,
et dans lo cas de x (t), où t est une variable ordonnée, cela signifie
que x (t) = 0 pour toutes les valeurs de t. Une telle « variable » est en
fait une grandeur constante, mais elle satisfait formellement à la
définition d'un infiniment petit. Par exemple, pour la variaMe
numérotée (x„ = 0 pour tout n) | xn | < e pour tout e positif donné,
quel que soit n. Si x„ = C pour tous les n et C est un nombre
différent de zéro, une toile suite n'est rien d'autre qu'un infiniment petit.
Reprenons les trois exemples de la variable ordonnée de [î-2-1]
dans lesquels on ne peut indexer la variable et posons dans ces
exemples a = 0. La première est une variable croissante prenant
toutes les valeurs do l'intervalle —k <J x < 0. Pour un e > 0 donné
pour toutes les valeurs de cette variable conséquentes à la valeur
x = —. c, si s -^ k, nous avons | x | < s. Si s > &, alors | x \ <L e
pour toutes les valeurs de x. Ainsi, x tend vers zéro (à partir des
valeurs plus petites que zéro). Exactement de la même façon x tend
vers zéro dans les deux autres cas : quand x est une variable
décroissante prenant toutes les valeurs de l'intervalle 0 <, x <^ k, et quand
x prend toutes les valeurs (distinctes) de l'intervalle —k ^ x < + k
excepté x = 0 pour le cas de l'ordonnancement des valeurs défini
en [1-2-1]. Pour une variable x tendant vers zéro de la manière indi-

I-ï. THEORIE DES LIMITES. PONCTIONS CONTINUES 61
quée plus haut, introduisons des notations spéciales: dans le premier
cas, nous écrirons: x->- — 0 (x tend vers zéro à partir des valeurs
plus petites que zéro); dans le second cas, x -*■ -+- 0 (x tend vers zéro
a partir des valeurs plus grandes que zéro) ; dans le troisième cas,
x -*• ± 0 {x tend vers zéro des deux côtés).
Il existe, bien entendu, une infinité de manières suivant
lesquelles la variable x indexée ou non indexée est susceptible de
tendre vers zéro. Dans tous ces cas nous écrirons x—y 0. Dans les
trois cas que nous avons précisés le zéro est affecté de signes. La
particularité caractéristique du premier de ces trois cas réside dans
le fait que x, en croissant, prend toutes les valeurs inférieures à zéro
et suffisamment proches de zéro. Dans le second cas le même
caractère de variation de x est lié à la décroissance de x. Dans le troisième
cas x prend toutes les valeurs suffisamment proches de zéro, aussi
bien plus grandes que plus petites, excepté la valeupr zéro. De deux
valeurs x' et x" non également distantes de zéro (autrement dit
\xr | ^ | x" |), on estime que la valeur conséquente est celle qui est
plus proche de zéro, et de deux valeurs également distantes de zéro
\x" = — af) on estime que la valeur conséquente est la valeur
négative.
Formulons encore une remarque. Il découle de la définition d'un
infiniment petit que lors de la démonstration du fait que la variable
x est un infiniment petit, il suffit de considérer uniquement les valeurs
de x conséquentes à une certaine valeur déterminée x = Xq, cette valeur
Xo pouvant être choisie arbitrairement.
Ceci étant, il est utile d'ajouter, dans la théorie des limites, un
complément à la définition d'une grandeur bornée: il est inutile
d'exiger que l'inégalité | y | < M soit satisfaite pour toutes les
valeurs de y ; il suffît de donner la définition plus générale suivante :
Définition. Une grandeur y est dite bornée, s'il existe un
nombre positif M et une valeur de ya tels que toutes les valeurs suivantes
satisfont à l'inégalité \ y | < M.
Avec cette définition d'une grandeur bornée, la démonstration
de la seconde propriété des infiniment petits reste inchangée. Pour
une variable indexée, la seconde définition d'une grandeur bornée
entraine la première, de sorte que cette seconde définition n'est
pas plus générale. En effet, si | xn \ <. M pour n > TV, en désignant
par M' le plus grand des nombres:
\xt\, \xi\, ... \xtf\ et Af,
nous pouvons affirmer que | xn | < M' + 1 pour tout n.
1-2-3. Limite d'une grandeur variable. Nous avons dit qu'une
grandeur variable est infiniment petite, si le point K qui lui
correspond et qui se déplace le long de l'axe OX, possède la propriété sui-

02 CH. I. DEPENDANCE FONCTIONNELLE ET THEORIE DES LIMITES
vante: la longueur du segment OK lors de la variation de K devient
et reste inférieure à tout nombre positif donné e. Supposons
maintenant que cotte propriété est valable non pour le segment OK, mais
pour le segment AK, où A est un point déterminé de l'axe OX,
d'abscisse a (fig. 42). Dans ce cas, l'intervalle S'S de longueur 2s
aura son milieu non à l'origine des coordonnées, mais au point A
d'abscisse x — a, et le point K au cours de son déplacement devra
pénétrer à l'intérieur de cet intervalle et y rester durant son
mouvement ultérieur. Dans ce cas, on dit qne le nombre constant a est
la limite de la variable x, ou que la variable x tend vers a.
S' A K S
o ^—jj-^-j, ^x
o-fV " 1 a+£
Fig. 42
Considérant que la longueur du segment AK est | x — a \
[1-1-9], on peut donner la définition suivante:
Définition. On appelle limite d'une variable x un
nombre a tel que la différence x — a est une grandeur infiniment
petite.
Notons que a — x est aussi un infiniment petit.
En tenant compte de la définition d'une grandeur infiniment
petite, on peut donner la définition de la limite a de la façon
suivante:
Définition. On appelle limite d'une variable x un nombre
a qui a la propriété suivante: pour n'importe quel nombre e
positif donné il existe une valeur de la variable x telle que l'inégalité
| x — a | < e {ou, ce qui revient au même, \ a — x | < e) est vraie
pour toutes les valeurs suivantes de x.
Dans le cas d'un ensemble indexé xt, 3>z, x3, ... pour tout
nombre e donné positif il faut établir l'existence d'un «ombre
entier positif N tel que | 2,, — a | < e (ou \ a — xa I < e) pour
n>N.
Si a est la limite de x (x tend vers a), on écrit:
Iim:r = a, ou x—> a.
Dans le cas d'une variable indexée: «j, x2, x3, ... on dit
également que a est la limite de la suite indiquée (la suite tend
vers a) et on écrit:
lim xn = a, ou x^ —*■ a.

1-2. THEORIE DBS LIMITES. FONCTIONS CONTINUES 63
Attirons l'attention sur certaines. circonstances qui découlent
de la définition de la limite et que nous n'allons pas démontrer ici.
1. Une grandeur variable ne peut tendre vers deux limites
différentes, autrement dit, ou bien elle ne possède pas de limite, ou bien elle
possède une limite déterminée.
2. Une grandeur variable dont la limite est égale à zéro est un
infiniment petit et inversement, tout infiniment petit a une limite égale
à zéro.
3. Si deux variables xn et yn {n = 1, 2, 3, . . .) ou x (t) et y (l)
ont pour limites a et b et vérifient au cours de leur variation successive
les inégalités xn ^ yn (n = 1, 2, 3, . . .) ou x (0=¾y (t), alors a <J b.
Notons que si les variables vérifient l'inégalité xn < ya, on peut
obtenir l'égalité de leuv limite, autrement dit a^b.
4. Si les trois variables Xj,, y„, zn vérifient l'inégalité xn ^ yn ^
-éj z„,, et si xn et zn tendent vers une même limite a, la variable yn tend
également vers cette limite a.
L'existence de la limite a pour la variable x est équivalente à co
que la différence x — a = a soit un infiniment petit, et cola de
sorte que l'ordonnancement de a est déterminé par l'ordonnancement
de x. Pour une variable indexée: xn — a — a„. Il en découle que!
5. L'existence de la limite a de la variable x est équivalente à ce
que x peut être représenté sous forme de la somme du, nombre a et d'un
infiniment petit, c'est-à-dire que x = a + a ou xn = a + a„, oà
a ou (¾ sont des Infiniment petits.
6. Lors de la détermination de la limite a de la variable x il suffit
de considérer uniquement les valeurs de x conséquentes à une certaine
valeur déterminée x = x0 ', cette dernière valeur peut être choisie
arbitrairement, autrement dit, on peut ne pas accorder d'attention aux
valeurs de x antécédentes h x0.
7. Si la suite xit xZt x3, . . . tend vers a, alors n'importe quelle
sous-suite infinie partielle xni, a^,», xna, . . . extraite de la suite initiale
tend également vers a. Dans la sous-suite partielle les indices
nu «2, n3, ... forment mie suite croissante d'entiers positifs,
Pour une variable x non indexée tendant vers a, une propriété
analogue a lieu sous une certaine réserve. Supposons que nous avons
éliminé de la suite des valeurs de x certaines de ses valeurs (on
quantité finie ou infinie), mais cela de telle façon que pour toute valeur
fixée x = Xo la suite restante des valeurs de x contient les valeurs
pour lesquelles x — xa est une valeur antécédente. Alors la suite
restante de valeurs est, si l'on conserve l'ordonnancement primitif
des valeurs, une variable ordonnée tendant vers a.
Prenons comme exemple la variable indexée
a:, = 0,1, a^ = 0,ll œ„ = 0,ll ... \ ...

64 CH. I. DEPENDANCE FONCTIONNELLE ET THEORIE DES LIMITES
et démontrons que sa limite est égale à -jp. Ecrivons la différence:
111 1 1
- — Xi ânn ■>•••' "5 xn"
9 ' ~ 90 ' 9 a 900 ' ' - * ' 9 "™ ~~ 9-101 » ■ ■ ■
L'inégalité ôtît™ < c est équivalente à l'inégalité suivante:
9.10">4- ou »>lg,0-|—lg»9,
et on peut prendre pour N le nombre entier le plus grand, contenu
1 1
dans la différence lgî0 — — lgi0 9 (on considère e < ~).
Etudions maintenant la somme des n premiers termes d'une
progression géométrique décroissant indéfiniment:
Sn-b+bg + bf+... + bf+ (0<|S|<1).
Comme on le sait,
et en donnant à n les valeurs 1, 2, 3, . . ., on obtiendra la suite
"Ji U2, «3> • ■ ■
A partir de l'expression Sn, on a
_± c * «
!_<, *n— 1_j 3 •
Le second membre est le produit du facteur constant j— par le
(acteur infiniment petit g" [1-2-2]. Compte tenu de la deuxième
propriété des infiniment petits [1-2-2], la différence j— Sn est une
grandeur, infiniment petite et, par conséquent, le nomhre j—-•
est la limite de la suite Sit S2, ...
Bevenons à la variable non indexée x du paragraphe 11-2-1],
définie par les inégalités a — k <1 a: <a ou a < x -< a ■+• k, ou
a — fc -^ x ^ a + k, sauf pour x = a, avec la suite des valeurs
de x indiquée en [1-2-1], Cette variable x possède, comme on le voit,
une limite dans les trois cas, égale à a, et on indiquera les trois cas
de variation de la variahle x, de la façon suivante: x-^-a — 0;
x-*-a+0; œ-»-œ±0 [cf. 1-2-2]. Notons que cette désignation
n'est pas liée à la grandeur du nomhre positif k, car, comme on
a indiqué ci-dessus, en définissant une limito, on peut ne pas tenir
compte des valeurs qui précèdent une valeur quelconque de x.
Faisons encore quelques remarques et citons des exemples.
La « variable » ordonnée x dont toutes les valeurs sont égales
au nombre a, satisfait à la définition d'une grandeur tendant vers a.

1-2, THEORIE DES LIMITES, PONCTIONS CONTINUES 65
Par exemple, pour la variable indexée (xn = a pour tout n)
| xu — a | = 0 est plus petit que tout nombre positif e fixé à
l'avance pour tout n [cf. 1-2-2], Cette façon de considérer une grandeur
constante comme un cas particulier de grandeur variable nous sera
commode par la suite.
Notons encore que si la variable x possède une limite, par exemple
a, alors | x—a | < 8 pour un e>0 donné, à partir d'une certaine
valeur de x, et par conséquent nous aurons | x \ < | a | + e,
autrement dit, x est une grandeur bornée (remarque [1-2-2]).
Une grandeur variable peut, comme nous l'avons noté, ne pas
avoir de limite. Prenons par exemple lavariablo indexée %i — 0,1,
x2 = 0,11, x3 — 0,111, . . ., dont la limite est -g-, et la variable
y, = -£-, j/a = -gj, y3 = -p, . . ., dont la limite est le nombre zéro.
1 1
La variable indexée z( = 0,1, zB = -^, z3 = 0,11. z4 = -^,
z6 — 0,111, Ze = ~23, • • • n'a pas de limite. La suite de ses valeurs
successives z,, z3, z5, ... a pour limite -g- et la suite de ses valeurs
z2) ^4. zB ,. . . a pour limite 0.
1 1
Prenons la suite indiquée plus haut j/i = y, «/2 = -55, \)3 —
A
= -jj, . . ., dont la limite est zéro et insérons entre chaque couple
de ses termes les nombres 1, -5-.-p. • • •> qui sont deux fois plus
grands que les précédents. Celle dernière suite tend aussi vers zéro.
Nous obtenons une suite tendant vers zéro :
J_ i i 1 1 1
2 ' ' 22 ' 2 ' 2» ' 22 ' " '
Les termes de cette suite, tout en s'approchant indéfiniment de zéro
à partir des valeurs positives, ne décroissent pas toujours : le second
est plus grand que le premier, le quatrième est plus grand que le
troisième, etc.
Considérons la variable non indexée qui, dcïcroissaiit sur
l'intervalle (1 •< x -sj 5), tend vers l'unité, autrement dit x-> 1+0.
Si nous excluons les valeurs de x vérifiant la condition 3 < x .< 4,
l'ensemble restant des valeurs de x pour un même ordonnancement
(décroissance) tendra aussi vers l'unité. Si nous excluons les valeurs
de x vérifiant la condition 1 < x .< 2, alors on conservant l'ordre
initial (décroissance) l'ensemble restant sera ordonné mais tendra
non pas vers l'unité mais vers deux. Si nons excluons les valeurs
de x vérifiant la condition 1 < x < 2, l'ensemble restant des valeurs
de x pour l'ordonnancement initial (décroissance) ne sera pas ordonne
5—281

06 CB. I. DEPENDANCE FONCTIONNELLE ET THÉORIE DES LIMITES
car il aura pour dernière valeur x — 2. Cet exemple se rapporte
à la remarque que nous avons faite plus haut sur l'élimination des
valeurs d'une variable ordonnée non indexée.
1-2-4. Théorèmes fondamentaux. Les théorèmes que nous citerons
par la suite concerneront les variables indexées. Dans le cas général,
la démonstration est tout à fait analogue [cf. 1-2-21.
1. Si les termes de la somme algébrique d'un nombre fini de varia'
blés possèdent des limites, leur somme possède également une limite, et
celle limite est égale à la somme des limites de ces termes.
Etudions la somme algébrique x — y + z, et supposons que les
variables indexées x„, yn et zn (rc = 1, 2, 3, . . .) tendent
respectivement vers les limites a, b et c. On a donc :
3Cn = a-\rOn, 7/n = &+pB, zn=c + yn,
où an, p„ et yn sont des infiniment petits. Pour les valeurs successives
de la somme x — y + z on aura
xn — yn+Zn = (a + an)—(b-\-pn)-\r{c-\-ytt) =
= (a-l> + c) + (an-fln + yn).
La première parenthèse du second membre de cette égalité est
une grandeur constante, et la deuxième un infiniment petit 11-2-2],
D'où [1-2-3] :
En — Vn + zrt -*■ a — b -f c,
c'est-à-dire
lim (x — y + z) = a — b + c = lim a: — lim y + lim z.
2. Si les facteurs du produit de plusieurs variables int des limites,
alors le produit aura une limite et cette limite sera égale au produit des
limites des facteurs.
Considérons le produit de deux facteurs xy et supposons que les
variables indexées xn, yn (n = 1, 2, 3, . . .) ont les limites
a et b. En vertu de cela nous avons
Xn = a + On, yn = b + pn.,
où an et p„ sont des infiniment petits. Pour les valeurs successives
du produit xnyn nous avons
XnVn, = (a + «„) (b + &) = ab -j- (œp„ + ba„, + c „p„).
La somme entre parenthèses dans le second membre est une somme
d'infiniment petits. En effet, les deux premiers termes sont les
produits des constantes a et b par dos infiniment petits, ot dans le
troisième terme le premier facteur a„ —>~ 0 est de ce fait une grandeur
hornée, et le second facteur P„ est un infiniment petit. Ainsi dans
le second membre le premier terme ab est une constante et

1-2. THEORIE DES LIMITES. FONCTIONS CONTINUES 67
le second (onIre parenthèses) est un infiniment petit II-2-2J. Par
conséquent, xnyn -*■ ab, autrement dit,
lim (xy) = ab=° lim x ■ lim y.
'à. Si le dividende et le diviseur sont des variables possédant uiu
limite et que la limite du diviseur soit différente de zéro, le quotient
possède également une limite, et cette limite est égale au quotient des
limites du dividende et du diviseur.
Etudions le rapport — et supposons que les grandeurs xn et yn
(« = 1, 2, 3, . . .) tendent respectivement vers les limites a et b,
et que 6^0. Démontrons que la différence — -*■ ~. Pour cela,
Un °
il suffit de démontrer que la différence —- -=- est un infiniment
Vn o
petit. On a. par hypothèse:
*n = « + a»i« !/n = *+P\i,
où an el fS„ sont des grandeurs infiniment petites. D'où :
Lo dénominateur do la fraction de la partie droite se compose de deux
facteurs et en vertu des deux précédents théorèmes tend vers 6".
Par conséquent, à partir d'une certaine valeur de n, le dénorni-
6a 1
nateur sera supérieur à -=- (6 =^= 0), et la fraction ., ■ . sera
cornas % ' o \y~rpn)
o
prise, à partir de la valeur spécifiée de n, entre zéro et -5-3-, c'est-à-dire
sera une grandeur bornée. La grandeur (Sa„—aprt) est un infiniment
petit. Ainsi, la différence — — y est un infiniment petit. Par
conséquent, — -+- 4-, autrement dit,
Vn. b
lim— = -r = -rr— (limu^O).
Notons certains corollaires des théorèmes démontrés. Si x tend
vers la limite a, la variable bxh, où b est une constante et h un entier
positif, tendra, en vert» du théorème 2, vers la limite bak.
Gonsidérons le polynôme
/ (x) = a&m + atx™-1 +...+ ahxm-R +...+ am.ix + am,
où les coefficients œft sont constants. Appliquant le théorème 1 et,
utilisant la remarque que nous venons de faire, on peut affirmer que
quand x->~ a, ce polynôme tendra vers la limite :
11m /(*) = / (a) = a0œm + œii™"1 + ■ ■ ■ + ^™"* + ... + <W-t<* + am.
5»

(58 CH, I. DEPENDANCE FONCTIONNJSIXJS .ET THEORIE DBS LIMITES
On peut, do la même façon, affirmer que lorsque x varie de la
façon que nous venons d'indiquer, la fraction rationnelle
<t> fVi <= ai>gm+ et*"-' + ■ ■ ■ + am-i"-!r %
^ w boXp+iia:ii-i .(..,. + &„_,*+ fv
tendra vers la limite:
si
M* + V"1 + ■ • ■ + Via -t- 6P :jfc 0.
Toutes ces propositions sont vraies, quelle que soit la manière
dont x tend vers la limite a.
Au lien de polynômes, ordonnés suivant les puissances d'une
seule variable, nons aurions pu, bien entendu, étudier dos polynômes,
ordonnés suivant les puissances de plusieurs variables tendant vers
une limite.
Ainsi, par exemple, pour des variablos indexées, si lim xn — a et lim tln —
= b, on a :
li m (*l + x„yn + yl) = a"+ai + 2>».
1-2-5. Infiniment grands. Si une grandeur variable x tend vers
une limite, elle est bornée, comme nous l'avons vu.
Nous allons étudier quelques cas do variation de grandeurs
bornées.
Gomme précédemment, nous étudierons simultanément la
grandeur x et le point K correspondant, qui se déplace sur l'axe OX.
Supposons que le point K se déplace de telle façon que, aussi grande
que soit la longueur du segment T'T dont le milieu est à l'origine
des coordonnées, le point K au cours de son déplacement se trouvera
en dohors de ce segment et y restera lors de son mouvement ultérieur.
Dans co cas, on dit quo x est une grandeur infiniment grande, ou
bien une grandeur qui tend vers l'infini. Soit 2M la longueur du
segment T'T. En tenant compte de ce que la longueur du segment
OK, est | x |, on peut donner la définition suivante:
On dit qu'une grandeur te est infiniment grande, ou tend vers
l'infini, si \ x \, lorsque x varie, devient et reste supérieure à un nombre
positif donné M. Autrement dit: une grandeur x est infiniment
grande, si elle remplit la condition suivanle : pour tout nombre
positif donné M il existe une valeur de la variable x, telle que l'inégalité
\ x \~> M est observée pour toutes les valeurs suivantes de x.
En particulier, si une grandeur infiniment grande x reste
constamment positive à partir d'une certaine valeur déterminée (le point.
K est à droite du point 0), on dit qno x tend vers plus l'infini
(+oo). De même, si une grandeur x reste négative (le point K est
à gauche du point 0), on dit que x tend vers moins l'infini (—«=).

1-2. THÉOHIÏi DBS UMITES. JONCTIONS CONTINUES 69
Pour désigner une grandeur infiniment grande, on utilise les
symboles suivants ; lim x = oo, lim x = + oo, lim x — — oo.
An lien de lima; = oo, on peut, évidemment, écrire lim [ x | =
= + oo.
Le terme « infiniment grand » n'est employé que pour formulei
la propriété indiquée ci-dessus de variation d'une grandeur variable
x, et ii faut distinguer ici, comme pour les grandeurs infiniment
petites, la notion de grandeur infiniment grande de la notion de
grandeur très grande.
Si, par exemple, la grandeur x prend successivement les valeurs
1, 2, 3, . . ., on a évidemment lim x = -j- oo. Si ses valeurs
successives sont: —1, —2, —3, . . ., on a : lim x = — oo,- et enfin, si
ces valeurs sont: —1, 2, —3, 4, . . . nous pouvons écrire
lim x = oo.
Etudions encore, comme exemple, la grandeur prenant
successivement- les valeurs:
q, g", ..., g", ... (ff>i), (5)
et soit M > 1 un nombre quelconque donné- L'inégalité qa >■ M
est équivalente à:
et, par conséquent, si JV* est le nombre entier le plus grand contenu
dans la fraction Igt0 M : lg10 g, on aura:
5>">ii/ pour n>N,
c'est-à-dire que la variable considérée tend vers + °°.
Si dans la suite (5), on remplace g par (—g), seuls changent les
signes des puissances impaires de q. Les valeurs absolues des termes
de la suite restent les mômes, de sorte que pour les valeurs négatives
de g supérieures à l'unité en valeur absolue la suite (5) tend vers
l'infini.
Ear la suite, lorsque nous dirons qu'une grandeur variable tend
vers 11116 limite, nous sous-entendrons que cette limite est finie.
On dit parfois qu'une grandeur variable tend vers une « limite
infinie », en parlant d'une grandeur infiniment grande.
Des définitions précédentes, il résulte que: si une variable x tend
vers zéro, la variable—, où m est une constante donnée différente
de zéro, tend vers l'infini, et si x tend vers l'infini, —tend vers zéro,
1-2-6. Variables monotones. En étudiant une grandeur variabfe,
nous sommes souvent dans l'impossibilité de trouver sa limite, mais
ce qui nous importe, c'est de savoir si cette limite existe, autremeni

70 CH, 1. DEPENDANCE FONCTIONNELLE ET THEORIE ÛES LIMITES
dit, si la variable tend vers une limite. Donnons un critère important
d'existence de la limite.
Supposons qu'une variable x croît constamment (plus
précisément, qu'elle ne décroît jamais), ou .bien qu'elle décroît constamment
(plus précisément, qu'elle ne croît jamais). Dans le premier cas,
chaque valeur de cette variable n'est pas inférieuro à toutes les
valeurs précédentes, ni supérieure à toutes les valeurs suivantes.
Dans le second cas, elle n'est pas supérieure aux valeurs précédentes,
ni jamais inférieure aux valeurs suivantes. Dans ces cas, on dit que
la grandeur varie de façon monotone.
Le point correspondant K sur l'axe OX se déplacera alors dans
une seule direction, positive si la variable croît, et négative si elle
Fig. 43
décroît. Il est certain que seules deux possibilités peuvent se
présenter: ou bien le point K s'éloigne indéfiniment sur la droite («->
-*• + oo ou — oo) ou bien le point K se rapproche indéfiniment
d'un point déterminé A (fig. 43), c'est-à-dire que la variables tend
vers une limite. Si l'on sait que la grandeur x varie do façon
monotone, et que, de plus, elle est bornée, il est évident que K ne peut pas
s'éloigner iudéfinimont, et on peut affirmer que x tend vers une
limite.
Cette considération intuitive n'est pas mie démonstration.
On donnera une démonstration rigoureuse par la suite.
On formule habituellement le critère d'existence d'une limite
de la façon suivante: si une grandeur variable est bornée et varie de
façon monotone, elle tend vers une limite.
Eludions comme exemple la suite:
«i = -j-> M2 = -2T' a3=3T' ■■■• "n=:Tf ••• > (6)
où x est un nombre positif donné.
On a:
«n = «n-i ~ ■ (7)
Pour n > x, la fraction— sera inférieure à l'unité el il, < zi„_{,
que la variable «n,àparth- d'une certaine valeur, diminuera
continûment lorsque n croîtra, en restant supérieure à zéro. D'après ie
* Le symbole n! est l'abréviation de la notation du produit 1-2-3...-n
et s'appelle «factorielle n».

1-2. THÉORIE DBS LIMITES. FONCTIONS CONTINUES 71
critère d'existence d'une limito, cette variable tendra vers une
limite déterminée u. Nous allons dans l'égalité (7) faire croître
indéfiniment le nombre entier n. Nous obtiendrons comme limite:
m = m-0, ou w = 0,
c'est-à-dire
lim -^-= 0. (8)
Si, dans la suite (6), nous remplaçons x par (—x), seulB changent
de signe les termes d'exposant n impair, et cette suite tendra vers
zéro comme auparavant, c'est-à-dire que l'égalité (8) est vérifiée
pour n'importe quelle valeur donnée de x aussi bien positive que
négative.
Nous avons, dans cet exemple, calculé u, nous étant assurés
auparavant que cette'limite existe. Si nous ne l'avions pas fait, la
méthode que nous avons appliquée aurait pu nous conduire à un
résultat erroné. Examinons par exemple la suite :
Ui — q, u2 = q\ ,.., u„ = <?n, ... (g>l).
On a, de toute évidence :
Nous ne nous occuperons pas de l'existence de la limite un; nous
U désignerons par la lettre u. Passant à la limite, il vient:
u<=uq, c'est-à-dire u(i — ç) = 0,
et, par suite, u = 0. Mais cela n'est pas vrai, car pour q >■ 1, comme
on le sait, lim qn = + oo [1-2-5].
1-2-7. Critère de Cauchy d'existence d'une limite. Le critère
d'existence d'une limite énoncé en [1-2-61 est une condition
suffisante mais non nécessaire d'existence d'une limite, étant donné
qu'une variable [1-2-3] peut tendre vers une limite, même si elle ne
varie pas de façon monotone.
Le mathématicien français Cauchy a donné la condition nécessaire
ot suffisante d'existence d'une limite que nous allons énoncer
maintenant. Si une limite est connue, elle a la propriété caractéristique
suivante : à partir d'une certaine valeur de la variable, la valeur
absolue de la différence entre la limite et la variable est inférieure
à un b quelconque positif donné. D'après le critère de Cauchy, pour
que la limite existe, il faut et 11 suffit que, à partir d'une certaine
Valeur de la variable, la différence entre deux valeurs successives
quelconques de la variable soit inférieure àiii e positif quelconque
donné. Donnons une formulation précise de ce critère.
Critère de Cauchy. Pour qu' une variable x ait une
limite, il faut et il suffit que pour tout nombre e positif donné il existe une

72 CH. I. DÉPENDANCE FONCTIONNELLE ET THEORIE DBS LIMITES
valeur de x telle que pour n'importe quelles valeurs successives x' el z',
Vinégalité | x — /|<e soit vérifiée.
Supposons que nous ayons une variable indexée
Xf, xZl ..., xn, ,.,
D'après le critère de Cauchy, la condition nécessaire et suffisante
d'existence d'une limite, pour cetto suite, est la suivante: pour
Fig. 44
un e positif quelconque donné il existe un N (qui dépend de e) tel
que
|xm — xn|<;8, si m et »>#. (9)
Le fait qiie cette condition est nécessaire se justifie aisément.
Si notre suite possède une limite a, on écrira xm — xn = (xm — a) +
-\- (a — xn), d'où il résulte:
\xm — xn\<\xm — a\Jr \a — xn\.
Mais d'apvès la définition d'une limite, il existe un N, tel que
| xm — a | < y et | a — xn J < -g-, si m et n > N, et par suite,
I «m — 3» I < e> si m et n > N. Bref, si les valeurs de x deviennent
aussi voisines que possible de a, elles deviennent aussi voisines
que possihle entre elles-m&mes.
Sans donner pour le moment une démonstration rigoureuse pour
prouver que le critère de Cauchy donne une condition suffisante,
nous allons l'illustror (fig. 44).
Soit Ms un point de l'axe des coordonnées, correspondant au
nombi'o x,. Supposons remplie la condition (9). D'après cette
condition, il existe «ne valeur N — Ni, telle que
| xs — xNi | < 1, lorsquo s>Nit
c'est-à-dire que tous les points M, se trouvent, pour s>JV|,
à l'intérieur du segment AiAu dont ia longueur est égale à deux
et dont le milieu se trouve au point d'abscisse arjvf
De môme, il existe une valeur JV = iV2 telle que
\x4~ œjv2|<y, pour s>i\rs.,

i-2. THEORIE DBS LIMITES. FONCTIONS CONTINUESj 73-,
et l'on pout estimer que N2 ~^-Ni. II découle de ce qui vient d'être
dit que tous les points x, pour s >■ N^ sont contenus dans le segment
/, dont la longueur est égale à l'unité et dont lo milieu est lo point
d'abscisse 3¾. D'autre part, tous ces points doivent se trouver
à l'intérieur du segment A\Au d'où il ressort que les segments / et
ZjÂi doivent posséder une partie commune. Soit A^Az cette partie
commune. En vertu do ce que nous avons dit plus haut pour s > Nz
les points M, doivent se trouver â l'intérieur du segment A'2A2.
De même il existe une valeur JV" — N3^- iV2 telle que-
|a;, — xk3 I <-s- pour s>> Nt. Comme précédemment, coiistmisons-
le segment A'SA3 dont la longueur n'est pas supérieure à y et qui
appartient au segment A'^AZ', tous les points M, pour s>N3 se
trouveront à l'intérieur de ce segment. En supposant que e = -y-,.
-F-, ...,—,.. ., nous obtiendrons une série de segments A'nAn,
dont chacun est contenu dans le précédent, et dont la longueur tond'
vers zéro. Il est évident que les extrémités de ces segments tendront
vers un seul et même point A, et que le nombre a, correspondant
à ce point, sera la limite de la quantité variable x, étant donné qu'il
résulte de la construction indiquée ci-dessus, que pour une valeur
suffisamment grande de s, tous les points M, seront aussi proches
que possible du point A,
Comme exemple d'application du critère de Cauchy, étudions l'équation-
de Kepler, qui sert à décrire le mouvement d'une planète sur son orbite. Cette
équation est de la tonne:
*=gsïn*-t-a,
où « et 5 sont des nombres donnés, dont le second est compris entre zéro cl
l'unité, et où a: est l'ïnoennue.
Prenons un nombre quelconque 3¾ et construisons la suite de nombres:
xl = qsinïe+fli xz=qs'mxi-\~a, ...,
*n=3sin»n_i-Ha, Xx+i^qsiitXn+a, ...
Kn retranchant membre à membre la première égalité de la scoondo noua-
obtiendrons:
xz-~2j = g(siD «i—sin s0)=a2gsin ■ ■» - cos g .
En considérant que ] sina | < |a | et | cos a | < 1, nous obtiendrons:
1 xz-xt\ <2g Lgt-'T" Ug | Xi-X„ |. (io>
On peut obtenir également de la môme façon l'inégalité suivante:
1*3— SîKî-l*!!—*lli
ou bien, en" utilisant l'inégalité (10),
[xa— %|<!"|«r *0|.

-fa CH. I. DÉPENDANCE FONCTIONNELLE ET THËOArE DES LIMITES
En continuant los mêmes calculs, nous obtiendrons peur chaque R l'Inégalité:
l'.ti-JSikî4!"!-*»!. («)
Etudions maintenant la différence xm — xn, en considérant peur préoiser
•que m> n:
*m—Xn — xm — xm-l + *:m-i~xm~i! + :':m-2—:':m-3 f-• ■. + *n+i — zn-
En utilisant l'inégalité (11) et la formule donnant la somme des ternies
•d'une progression géométrique, nous aurons:
lx,n—xn K| xm —3m-il + | «M-i—ïm-ïl-r-
+ \*m-2—*m-3\-\ h\xn+l — *n\<
l'ouï' un accroissement Illimité de n, le facteur g" tond vers zéro [1-2-2} ;
le facteur | x{ — xq | est constant: la fraction—r^ est toujours comprise
-entre zéro et ,_ , c'est-à-dire qu'elle est bornée, car pour n > n, qm'n est
•compris entre zéro et l'uuité. Ainsi, pour un accroissement illimité de n. et
pour m > n quolconque, la différence xm — xn tend vers zéro, et la condition
(9) est satisfaite. On peut, d'après la condition de Cauchy, affirmer qu'il oxiste
aine limite:
Uin*n = £.
Dans légalité
nous donnerons à n un accroissement illimité. En utilisant le fait que lire sin x„=
= sin | pour lim x^ = |, ce que nous démontrerons dans [l-2-10|, nous obUen-
•drons comme limite:
|=Ss£n|+«, (12)
■c'est-à-dire quo la limite | de la variable xn est une racine dû l'équation de
Kepler.
Pour construire la suite xn nous partons d'un n'ombre quelconque x0. Nous
montrerons cependant que l'équation de Kepler ne peut avoir deux racines
différentes, c'est-à-dire que lim x„ ue dépend pas du choix de x0 et est égulo à l'unique
racine de l'équation de Kepler.
Supposons qu'en plus de la racine 1 quo nous avons trouvée, elle possède
une autre racine gj, et démontrons que 1< = £. Nous avons alors par hypothèse
•outre (12):
gt = <rsin£j+a.
En retranchant membre à membre l'équation (12) de cette équation, nous
-obtiendrons :
li-|=? (sin 5,-sin |)=2? sinii=i cos iiii-,
d'où, came précédemment:
|51-||<2jjsin-^^|.
Mais | sin a | ■< |a | peur tout anglo a, ot cbUo dernière inégalité donne :
IIj-IKîIIi-II.
q étant compris entre zéro et 1, l'inégalité précédente n'est vérifiée que pour
1 it — I I — 0, c'est-à-dire £i = £ et, par conséquent, l'équation de Kepler
m'a qu une seule racine.

1-2. THEORIE DES LIMITES. FONCTIONS CONTINUES 75
1-2-8. Variation simultanée de deux grandeurs variables liées par
une relation fonctionnelle. Soit une fonction y — j (x) définie sur
un certain ensemble de valeurs de x, par exemple dans un certain
intervalle. Utilisant les valeurs de x de l'ensemble mentionné, nous
pouvons construire divers ensembles ordonnés de valeurs de la
variable x, et nous obtiendrons alors les ensembles ordonnés
correspondants des valeurs do la variable y — f (x) [1-2-11. La variable
ordonnée x sert à ordonner / (x). Nous considérerons dans ce
paragraphe un cas particulier important de ce processus.
Soit une fonction / (x) définie sur un certain segment contenant
Le point x = c. Choisissant un nombre positif k suffisamment petit,
nous pouvons estimer que par cela même la fonction / (x) est définie
sur l'intervalle c — /c<a: <; c -\- k. Considérons trois cas
d'ordonnancement des valeurs do * : x ->• c — 0, x -*• c + 0, x ->• c ± 0
et la variable ordonnée/ (a;) correspondant à ces cas. Supposons que
dans le premier cas la variable ait uno limite. Désignons-la par la
lettre A t. Dans ce cas on écrit:
lim f(x)=Ai. (13)
X-*£— 0
Exactement de la même façon dans le second cas en présence d'une
limite (désignons-la par la lettre An), on écrit :
lim f(x)=Az. (14)
3C-*C+0
On désigne souvent les limites (13) et (14) par les symboles f (c — 0)
et / (c +0), de sorte que
lim f(x) = f(c~0), lim f(x) = f(c + 0).
Notons que ce senties limites do / (x) quand x tend vers c de la
gauche et de la droite. Dans le troisième cas, x tend vers c des deux
côtés et l'existence de la limite
lim f{x) = B (15)
x-m:±0
est évidemment équivalente à ceci; les limites (13) et (14) existent
et sont égales {Ai = Az). Dans ce cas, B = Ai — A2,
Il ne faut pas confondre les symboles f (c — 0) et / (c + 0) avec
/ (c), autrement dit, avec la valeur de / (x) pour x = c. Dans ce qui
précède nous ne nous sommes aucunement servis de cotte valeur
et au cours de notre exposé précédent / (x) peut ne pas être
déterminée pour x = c. Si la fonction est déterminée pour x = c et
/ (c — 0) = f (c + 0) = / (c), autrement dit,
lim f(x) = f(c),
x-n:±0
on dit alors que la fonction est continue pour x = c (au point c).
Utilisant la définition de la limite pour x et f (x), on peut aisément

76 OH. 1, DEPENDANCE FONCTIONNELLE ET THEORIE DBS LIMITES
indiquer les conditions équivalentes à l'existence des limites (13), (14)
et (15). L'existence de ta limite (13) est évidemment équivalente au
fait'que / (x) devient arbitrairement proche de AL quand x s'approche
suffisamment du point c, tout en restant inférieur à c. Plus
exactement, (13) est équivalent à ceci: pour tout nombre positif
donné e 11 existe un nombre positif r\ tel quo
\f(x)~ ^i|<e, si 0<c-a;<ifi. (13,)
t] dépend alors du choix do e. Exactement do la même façon, (14)
est équivalent à ceci : pour tout nombre positif donné s il existe un
nombre positif n tel que
\f(x)-A2\<e, si 0<x~c<i], (14t)
et (15) est équivalent à co qui suit: pour tout nombre positif donné
e il existe un nombre positif % tel que:
\f(x)— B|<s, si \x-c\<r\. (15t)
Notons encore ce fait évident : si la limite (15) existe, alors f (x) a la
limite B quelle que soit la loi de la tendance de la variable ordonnée
x vers c. Une remarque analogue est valable également pour les
limites (13) et (14) quand x tend vers c de la gauche et de la droite.
Par la suite nous considérerons en détail la notion de continuité
et les propriétés des fonctions continues. Nous nous arrêterons aux
cas où x ou / (x) tendent vers l'infini [1-2-5], On peut aisément
étendre les définitions précédentes à ces cas également. II n'est pas
difficile, par exemple, de voir que
X-4C-Q x °
liai tg 2:=+00, liai tgi=—00.
Supposons que / (x) est déterminée pour tous les x suffisamment
grands et que la variable ordonnée x tend d'une manière arbitraire
vers +00 [1-2-5]. Alors / (x) est aussi une variable ordonnée et peut
avoir une limite finie:
' lim /(z) = ,l. (16)
Cela est équivalent à ce qui suit: pour tout nombre positif s donné
il existe un nombre M, tel que:
[/(2:)—^|<e, si x>M. (16,)
En particulier, l'ordonnancement de x peut consister en ce que x
augmente indéfiniment, en prenant des valeurs réelles de plus en
plus grandes. On peut considérer do mémo le cas où x -*■ — 00,

1-2. THEORIE DBS LIMITES. S^N'CTIONS CONTINUES 77
Si / (x) est déterminée poux tous les x, suffisamment grands en
valeur absolue, et que la variable ordonnée x tend vers oo [1-2-5],
il se peut qu'existe la limite finie, pareillement au cas précédent:
lim f (x) = A.
Cela est équivalent à ce qui suit: pour tout nombre positif donné b
il existe un nombre positif M, tel que:
\f(x)-A]<l&, si \x\>M.
En particulier, x peut tendre vers l'infini, en prenant des valeurs
toutes dislînctos suifisamment grandes en valeur absolue. On peut
les ordonner de même que nous l'avons fait en [1-2-1] pour la variable
non indexée x, vérifiant la condition a — k ^ x ■< a + k
(excepté x = a), Notons que pour la variable indexée «t, x2, x3, . . .,
possédant la limite a, on écrit souvent au lieu de lim x„ =a
lim xn — a. Dans co cas, n -y oo signifie que n augmente, on pre-
n*y oo
riant toutes les valeurs entières positives.
On peut parier également de limites infinies de / (a:). En
particulier,
lim f(x)= — oo
signifie que pour tout nombre négatif donné ML il existe un nombre
M, tel que / (x) < Mu si x ~> M. D'une manière analogue, on peut
définir d'autres cas de limite infinie.
Il n'est pas difficile de démontrer les égalités suivantes:
lim a:3= + oo, lim a:3= — oo,
lim— = 0, ]ima^=+oo,
2-±-
,. 3x+5 .. x ~ a;2 „
hm*njrr = iim i—,0-
Etudions encore un exemple pbysique. Supposons que nous
faisons chauffer un corps solide, et soit /0 sa température initiale.
Sous l'effet de la chaleur, la température du corps va s'élever jusqu'à
ce qu'elle atteigne le point de fusion. Si l'on continue de chauffer,

78 CH. I. DEPENDANCE FONCTIONNELLE ET THEORIE DES LIMITES
la température restera invariable jusqu'à ce que le corps passe
entièrement à l'état liquide, et que recommence à s'élever la température
du liquide formé. Une situation analogue se présente lors dn passage
de l'état liquide à l'état gazeux. Nous considérerons que la quantité
Q de chaleur communiquée à ce corps est une fonction de la tempéra-
cr
o\ '7 t,
Fig. 45 Fig. 46
ture. Sur la fig. 45 on a représenté la courbe de cette fonction, la
température est portée sur l'axe horizontal, et la quantité de chaleur
absorbée sur l'axe vertical. Soit t\ la température à laquelle le corps
commence à passer à l'état liquide, et ts la température à laquelle
le liquide passo à l'état gazeux. Il est évident que:
lim Ç = ord. ÂB et lim <? = ord. M.
t-»ll-0 l-^l-H
La grandeur du segment BC donne la chaleur latente de fusion,
et la grandeur du segment ËF donne la chaleur latente de
vaporisation.
SI les limites / (c — 0) et f (c -\- 0} existent et sont différentes, la
différence f (c + 0) — / (c — 0) est le saut de la fonction f (x) pour
x = c (au point x = c),
La fonction y = arc tg—=—a, pour x = c, un saut égal à n.
La fonction Q (t) qoo nous venons d'étudier a, au point de fusion
t — t\, un saut égal à la chaleur latente de fusion.
En déterminant la limite / (x) pour x tendant vers c, nous avons
considéré que x tend vers c sans jamais se confondre avec lui. Cette
réserve est essentielle, car la valeur de / (x) pour x = c n'existe pas
toujours, ou bien n'a rien de commun avec les valeurs de / (x) pour
les valeurs de x voisines de c. Ainsi, par exemple, la fonction Q(t)
n'est pas déterminée pour t = t,.
(:
~t-t

1-2. THÉORIE DES LIMITES. FONCTIONS CONTINUES 7g>
Etudions encore un exemple pour éclaircir ceci. Supposons que,,
dans l'intervalle (—1, +1). la fonction est définie de la façon,
suivante:
y^x+1 pour —l<ar-<0;
y = x—{ pour 0<a;<l;
y = 0 pour œ = 0.
On a reproduit sur la fig. 46 la courbe représentative de cette
fonction, qui se compose de deux segmeiits de droites, à l'exclusion
desextrémités (pour x — 0), et d'un point particulier, l'origine des
coordonnées. Dans ce cas nous aurons :
lim/(a;) = l, lim / (a;) = - î, /(0)=0.
x-*—0 *-*-j-0
1-2-9. Exemples. 1. On sait que pour tout x est vérifiée l'inég-ali-
té | sin x | -^ | x | et que le signe d'égalité n'a lieu qno pour x = 0.
Rappelons quo la variable x est alors exprimée en radians. Il découle
de ce que nous venons de dire que pour tout nombre positif donné
8 nous avons | sin x \ < e, si | x \ < 6, autrement dit,
lim sina;=0.
K-l-jfcft
2. Nous avons encore :
autrement dit, 0<1 — cos xt£~, d'où il découle que [1-2-31
lim cosa: = l.
3. Considérons le rapport
sin x
Cette fonction est déterminée pour tous les x sauf x = 0, car
pour x = 0 le numérateur et le dénominateur s'annulent
et la fraction n'a plus de sens. Etudions la variation de y quand
x->~ ± 0. Quand le signe de x varie, la grandeur y ne varie pas, de
sorte qu'il suffit de supposer que x -*• + 0. Montrons que y ->• 1
quand a;-»- + 0. Nous obtiendrons la même limite quand x-*- — 0.
Notons que nous ne pouvons utiliser le théorème sur la limite du
rapport car le numérateur et le dénominateur tendent vers zéro
quand a;-*- + 0.

SO Cn. I- DEPENDANCE FONCTIONNEI/DE ET THEORIE DES LIMITES
Nous considérerons x comme l'angle au centre d'un cercle de rayon
unité (fig. 47). Prenant en considération le fait que surf. &AOB <
< surf, secteur AOB < surf. /\AOC, nous obtenons:
1 . 1 1
(°<*<f).
•d'où en divisant par -g-s'11*! nous obtenons :
*<:
- i ,
"~cos a
OU
1 > >>cosa;.
(17)
Mais cosa:—»1 quand x~> + 0, d'oui
,. 3111 .r ,
lim =1
et, en vertu de ce que nous avons dit plus haut,
Pig. 47
,. sin x .
lim =1.
Déterminons pour ce cas le nombre t|, qui entre dans la
condition (15,). .Retranchant de un' les trois parties de l'inégalité (17),
nous obtenons
0<1_ËE£<1.
■d'où il découle que
(0<*<i),
1 <8,
si 1 — cos x < e. Mais, comme nous l'avons déjà vu plus haut,
1 — cos x <-5-, et il suffit de choisir -5-<e, c'est-à-dire j x \ <
<\T2z. Ainsi, dans le cas présent, |/2e peut jouer le rôle du
nombre T|.
1-2-10. Continuité des fonctions. Donnons encore une fois la
définition de ta continuité d'une fonction au point x = c, lorsque
cette fonction est déterminée en ce point et dans son voisinage
à gauche et à droite.
Définition. La fonction f (x) définie pour x = c et pour
toutes les valeurs de x, suffisamment proches de c, est dite continue pour
x = c (au point c), si la limite de f (x) existe pour x -*• c ± 0 et si
cette limite est égale à f (c):
lim /(*)=/(«).
x-*c±Q
(18)

1-2. THÉORIE DES LIMITES. FONCTIONS CONTINUES Si
Rappelons qu'il revient au mémo de dire que : les limites f (c—0)
et f (c -\- 0) à gauche et à droite existent, et ces limites sont égales entre
elles et égales à f (c), autrement dit, f (c — 0) = / {c + 0) = / (c).
Il découle de [1-2-81 que cette définition équivaut également
à ce qui suit : pour un nombre quelconque positif donné e, il existe
un nombre positif x\, tel que
|/(z)—/(c)|<e pour \x—c|<u. (19)
Nul besoin de spécifier que x ^ c, car / [x) — / (c) = 0 pour x = c.
Nous pouvons le formuler autrement ainsi : f (x) — / (c) —»- 0 pour
x — c -*■ ± 0. La différence x — c est l'accroissement de la variable
indépendante, et la différence / (x) — / (c) l'accroissement
correspondant de la fonction, c'est pourquoi la définition donnée de la
continuité d'une fonction est souvent ainsi formulée :
Une fonction est dite continue en un point x = c, si à un
accroissement infiniment petit de la variable indépendante (à partir d'une
valeur initiale x = c) correspond un accroissement infiniment petit
de la fonction.
Remarquons que la propriété de continuité, exprimée par
l'équation (18), permet de trouver la limite d'une fonction, en remplaçant
la variable indépendante par sa limite.
Nous voyons, d'après les formules citées [1-2-41, qu'un polynôme
entier en x et le quotient de tels polynômes, c'est-à-dire une fonction
rationnelle de x, sont des fonctions continues pour n'importe quelle
valeur de x-, sauf les -valeurs pour lesquelles le dénominateur de la
fonction rationnelle s'annule.
La fonction y — b sera, de toute évidence, continue, cette
fonction gardant la même valeur pour toutes les valeurs de x [1-1-121.
Toutes les fonctions élémentaires que nous avons étudiées dans
le premier chapitro (fonctions puissance, exponentielle, Jogarithmi-
que, trigonométriques et circulaires inverses) sont continues pour
tontes les valeurs do x pour lesquelles elles existent, sauf les valeurs
pour lesquelles elles tendent vers l'infini.
Ainsi, par exemple, lgio x est une fonction continua de x pour
toutes les valeurs positives de xy tg x est une fonction continue
de x pour toutes les valeurs de x, sauf les valeurs
* = (2fc+ 1)-5-,
où k est un entier quelconque.
Notons encore la fonction uv où u et v sont des fonctions
continues de x, où l'on suppose que u ne prend pas de valeurs
négatives. Dans les ouvrages mathématiques russes elle est appelée
fonction puissance-exponentielle, (N.R.). Elle a aussi la propriété de
continuité, excepté pour les valeurs de x pour lesquelles u et v
sont simultanément égaux à zéro, ou bien pour u — 0 et u < 0.
0—281

82 OH. I. DEPENDANCE FONCTIONNELLE ET THfiOME DBS LIMITES
11 faudrait démontrer de façon rigoureuse l'affirmation que nous
avons faite sur la continuité des fonctions élémentaires, niais noua
l'adopterons sans démonstration. Par la suite nous considérerons
cette question plus en détail. Démontrons uniquement la
continuité de la fonction sin x pour tout x — c, en utilisant la
définition (19). Nous avons [cf. 1-2-7]:
siit x— sin c = 2 sin —=— cos
2 *"" 2 '
d'où il découle :
I - -loi' x — C M X-\-C | ^„1 , £ —C |
jsina;—sinc| = 2 sin—s— cos—«— <2 sm—=— ■
Mais jsina|<|a| pour tout angle a et, par conséquent,
( sin a;—sinc|<|a;—c|.
Pour avoir | sin x — sin c | < e, où e est un nombre positif donné,
il suffit d'estimer que | x — c \ <£ e, autrement dit, le nombre s
peut jouer le r&ie de i\ dans la définition (19).
Il n'est pas difficile de démontrer que la somme ou le produit
d'un nombre entier fini quelconque de fonctions continues est également
une fonction continue ; cela est valable également pour le quotient de
deux fonctions continues, sauf pour les valeurs de la variable
indépendante pour lesquelles le dénominateur tend vers zéro.
Etudions un cas particulier seulement. Supposons que les
fonctions cp (x) et t|3 (x) sont continues pour x = a et que t|> (a) =^ 0.
Formons Ja fonction :
/(z)-^M.
En utilisant le théorème de la limite d'un quotient, on obtiendra :
iim<p(a}
ce qui prouve ia continuité du quotient / (x) pour x = a.
Voici un exemple très simple. Etant donné que y = sin x est
une fonction continue de a;, y = b sin x, où b est une constante,
sera également une fonction continue, puisqu'elle est le produit
des fonctions continues y = b (voir plus haut) et y — sin x.
Revenons maintenant à la fonction y = . Pour x = 0,
cette fonction n'est pas définie, mais nous savons que lim y = 1.
«-►±0
C'est pourquoi, si nous supposons que y = 1 pour x = 0, y sera
une fonction continue au point x = 0.

1-2. THÉORIE DES UMITES. FONCTIONS CONTINUES 83
Cette façon de trouver la limite d'une fonction, lorsque x tend
vers un point 0¾ elle n'est pas définie, s'appelle calcul d'expressions
indéterminées et la H mile elle-même, si elle existe, s'appelle parfois
la vraie valeur de la fonction au point où elle n'est pas définie. Nous
aurons par la suite beaucoup d'exemples où nous aurons à lever
l'indétermination.
1-2-11. Propriétés des fonctions continues. Nous avons défini
pins haut la continuité d'une fonction pour une valeur donnée de .r.
Supposons maintenant (rue la fonction est définie sur un intervalle
borné a < x <1 b. Si elle est continue pour n'importe quelle valeur de
x de cet intervalle, on dit qu'elle est continue dans l'intervalle {a, b).
Remarquons ici que la continuité de la fonction aux bornes de
l'intervalle x ~ a et x = b s'exprime:
lim /(*) = f(o), lim f(x) = f(b).
K-to-fO SC-tb— 0
Toutes les fonctions continues possèdent les propriétés suivantes :
1. Si une fonction } (x) est continue dans l'intervalle (a-, b), il
existe dans cet intervalle au moins une valeur de x pour laquelle f (x)
prend sa plus grande valeur, et au moins une valeur de x pour laquelle
la fonction prend sa plus petite valeur.
2. Si la fonction f (x) est continue dans l'intervalle (a, b), tandis
que f (a) — m et f (b) — n, et si k est un nombre quelconque compris
entre m et n. il existe dans l'intervalle (a, b) au moins une valeur de x
pour laquelle f (œ) est égale à k; en particulier, si f {a) et f (b) sont
de signes différents, il existe à l'intérieur de l'intervalle (a, b) au inoins
une valeur de x pour laquelle f (x) s'annule.
Ces deux propriétés deviennent tout à fait évidentes, si l'on
considère que, lorsqu'une fonction est continue, sa courbe
représentative se présentera sous forme d'une courbe continue. Cette
considération ne peut, bien entendu, servir de démonstration. La
notion de courbe continue, évidente à première vue, s'avère
extrêmement, complexe si l'on fait une étude plus poussée. La
démonstration rigoureuse des deux propriétés énoncées, ainsi que de la
suivante, est basée sur la théorie des nombres irrationnels. Nous
admettrons ces propriétés sans démonstration.
Dans les derniers alinéas du présent paragraphe, nous dégagerons
les bases de la théorie des nombres irrationnels et le lien entre cette
théorie et la théorie des limites, et les propriétés des fonctions
continues. Notons que l'on peut formuler la deuxième propriété
des fonctions continues de la façon suivante : lorsque x varie do
façon continue de a à b, la fonction continue / (x) passe an moins
une fois par tons les nombres qui se trouvent entre / (a) et / (b).
6»

84 CH. I. DÉPENDANCE FONCTIONNELLE ET THÉORIE DES LIMITES
Sur les fig. 48 et 49 cm a tracé la courbe représentative d'une
fonction, continue dans l'intervalle (a, b), où / (a) < 0 et / (6) > 0.
Sur la fig. 48, la courbe coupe une seule fois Taxe OX. et pour la
valeur correspondante do x, la fonction / (x) s'annule. Dans le cas
de la fig. 49, il n'y aura pas une mais trois valeurs de ce genre.
+-X
Fie. 48
Nous1 allons passer maintenant à la troisième propriété des
fonctions continues, qui apparaît moins évidente crue les deux
précédentes.
3. Si une fonction / (x) est continue dans l'intervalle (a, b) et
si x ~ xa est une valeur déterminée de x dans cet intervalle, d'après
la convention (19) en II-2-10J {en remplaçant c par xq), pour
n'importe quel 8 positif donné, il existe un T], dépendant évidemment
de c, tel que
\t{x) — /(zo)|<8, si \x — a;0|<n,
où nous considérerons x, bien entendu, comme appartenant à
l'intervalle (œ, 6). (Si, par exemple, xq = a, x sera obligatoirement
supérieur à o, el si x0 = b. x < b.) Mais le nombre r\ peut ne pas dépendre
seulement de e, mais aussi de la valeur de x = x0 de l'intervalle
(a, b) que nous examinons. La troisième propriété des fonctions
continues réside dans le fait que pour un c quelconque donné, il
existe vti seul et même t\ pour toutes les valeurs xo ^e l'intervalle
(a, b). Autrement dit, si f (x) est continue dans l'intervalle (o, 6),
pour e positif quelconque donné il existe un nombre T| positif, tel que
\f(x")-f(x') |< 8 (20)
pour n'importe quelle valeur x' et x" de l'intervalle (a, b) vérifiant

1-2. THEORIE DES LIMITES. FONCTIONS CONTINUES 85.
l'inégalité
\x"-x'\<ii\. (21)
Ou appelle cotte propriété la continuité uniforme. Ainsi, si une
fonction etst continue dans l'intervalle (a, b), elle est uniformément
continue dans cet intervalle.
Remarquons encore une fois que nous avons supposé la fonction
/ (x) continue non seulement pour toutes les valeurs do x se trouvant
dans l'intervalle (a, b) mais aussi pour les valeurs x — a et x = b.
Nous allons préciser les propriétés de continuité uniforme par
un exemple. D'abord, écrivons les inégalités précédentes sous une
autre forme, en remplaçant ia lettre x" par x, et x" par (x + h). Ici
x" — x' = h représente l'accroissement do la variable indépendante
et / (a: + fe) — / (a;) représente l'accroissement correspondant de la
fonction. On écrit la propriété de continuité uniforme de la façou
suivante :
|/(a:-4-fe)-/(ar)|<8, si \h\<Lr\,
où x et (x + h) sont deux points quelconques de l'intervalle (a, b).
Etudions comme exemple la fonction
Dans ce cas nous avons ;
i{x+h)—f (s) = (:t + h)s—ï2 = 2xft+fe2.
Pour touto valeur donnée do x, l'expression {2xh + A1), exprimant
l'accroissement do notre fonction, tend évidemment vers iséro si l'accroissement de
la variable, indépendante tend vers zéro. Cela confirme une nouvelle fois (1-2-10]
quo la fonction choisie est continua pour toute valeur de x. Par là même elle
sera continue, par exemple, dans lMUtcrvallo —!<«-<: 2. Démontrons
qu'elle sera uniformément continue dans cet intervalle, U nous faut vérifier
l'inégalité
\2xh+ht\<e (22)
par mi choix correspondant du uombre u. dans l'inégalité | h | <i|, en outre,
x ot (x -f- h) doivent appartenir à l'intervalle (—1, 2). On a
1 2seft+ A2 1 < 121¾ |+fc*=2 | * | ( h | + h*.
Mais la plus grande valeur do | x | dans l'intervalle^—1, 2) est égale à
doux, ot c'est pourquoi ou peut remplacer l'inégalité précédente par une
autre, plus forto :
On considérera, en tout cas. que | h | <C 1. Dans ce cas, ft3 < | h |, et on peut
transcrire l'inégalité précédente sous la forme:
|2a*+ft*|<d|ft| + |fc|
ou
|2zfc+fc=|<5|H

86 Cit. ]. DÉPENDANCE ÏOKCTIONNELIJÎ ET THÉORIE DES LIMITES
Il est certain que l'inégalité (22) sera satisfaite, si nous exigeons que | h \
vérifie la condition 5 | A | <; e. Ainsi, h doit satisfaire aux deux Inégalités:
|fe|<l et |fe|<|-.
On peut prendre à la place du nombre n le plus petit des deux nombres i et -p-.
Pour les petites valeurs de e (précisément quand e < 5), on doit prendre r\ = -=- ,
et il ust évident en tout cas que n sera, pour ? donné, le même pour toutes
les valeurs do x de l'intervalle (—1, 2).
Les propriétés indiquées ne sont plus valables dans le cas de fonctions
discontinues ou de (onctions continues seulement à V Intérieur d'un intervalle.
Etudions la fonction représentée sur la fig. 46. Elle est définie dans
l'intervalle (—1, -f-1) et présente une discontinuité pour z=0. Parmi ses valeurs, il y en
a qui sont aussi voisines que possible de l'unité, mais elle ne prend pas de valeur
éxalc à l'unité, ni de valeurs supérieures à l'unité. Ainsi, parmi les valeurs de
cette fonction, iln'ya pas de plu3 grande valeur. Dotnème, iln'yapas, parmi ces
valeurs, de plus petite valeur. La fonction élémentaire y = x ne prend pas
dans l'intervalle (0, 1) ni do plus grande valeur ni de plus petite valow.
Si l'on considère cette fonction dans l'intervalle fermé (0, i), elle atteindra sa
plus petite valeur pour x — 0 et sa plus grande valeur pour œ=l. Etudions
encore la fonction /(2) = sin—, continue dans l'intervalle 0<x <^1, ouvert
x
1 i
à gauclie. Lorsque * tond vers zéro, l'aTgumciit — croît indéfiniment, et sin —
oscille outre (—1) et (+1) et n'a pas de limite pour œ-i- -\-0. Montrons que
la fonction étudiée n'est pas uniformément continue dans l'intervalle
1 2
0<i <1. Examinons deux valeurs: x'=—- et x" <=-r,—t-t?— , où n est
nn (in-f-l) n
ua nombre entier positif. Elles appartiennent toutes deux à i'intervallc
mentionné quel quo soit n. Nous avons;
/(«')=sinnn=0, f{x")^sm f 2nn -\-~\ — 1.
Ainsi :
2 1
/(ï")-/(s') = 1 et «*—»'=T7
(■•î«+l)n nn
P» , - . -
(21), il résulte que | / (x") — f (x) | <; 1 ; cela résulte du choix de a — i dans
la formule (20).
\
Prenons la fonctien / (x) — x sin—. Pour «-»—{-0, le premier facteur x
1
tond vers zéro, et ie second sin — ne dépasse pas l'unité en valeur absolue, et
c'est pourquoi [1-2-81 / (x) -*■ 0 pour x -+ _|-0. Pour x — 0, lo second facteur
n'a pas do son$. mais si nous complétons la définition de notre fonction, ou
posant / (0) = 0, c'est-à-dire si nous considérons que / (x) = x sia — pour 0 <
<; x •< 1 et1 (0) = 0, nous obtiendrons alors une fonction continue dans Via-

1-2. THEORIE DBS LIMITES. FONCTIONS CONTINUES 87
1 1
tervalUs terme (0, 1). Los fonctions sin — et x sin — sonl, comme on le voit,
x x
continues pour n'Importe quelle valeur de x différente de zéro.
1-2-12. Comparaison des infiniment petits et des infiniment
grands. Dans co qui suit nous désignerons par les lettres a et p des
variables ordonnées, possédant une même variable
d'ordonnancement (l'indice n ou la variable t), de sorte que nous pouvons
effectuer des opérations élémentaires sur ces variables.
Si a et B sont deux variables tendant vers zéro, le théorème de
o
la limite d'un quotient n'est pas applicable à leur quotient £• et
sans recherches supplémentaires nous ne saurons rien dire à propos
de T existence d'nne limite de ce quotient.
Nons estimerons que les variables a et fi, qui tendent vers zéro,
ne prennent pas la valeur zéro au cours de leur variation. Si lo
rapport — tend vers une limite finie œ, différente de zéro, le rapport-g-
tend aussi vers nne limite finie —, différente do zéro. On dit dans
ce cas que a et 6 sont des Infiniment petits du même ordre.
Si la limite du rapport— est égale à zéro, on dit que 6 est un
infiniment petit d'ordre supérieur par rapport à a, et que a est un
infiniment petit d'ordre inférieur par rapport à 6. Si le rapport-^-
tend vers l'infini, -2- tend vers zéro, c'est-à-dire que p1 est d'ordre
inférieur par rapport à a, et que a est d'ordre supérieur par rapport
à p\ Il est facile de montrer que si. « et p sont des infiniment petits
du même ordre et y un infiniment petit d'un ordre supérieur par
rapport à et, y sera également un infiniment petit d'ordre supérieur par
rapport à (3. Par hypothèse— ->• 0 et le rapport -g- a une limite fi-
Die non nulle. De l'égalité -2-=X. -2-, d'après le théorème sur la limite
du produit, il résulte que X->-0 et notre affirmation est démontrée.
Un cas particulier important est celui des infiniment petits
du. même ordre. Si -^- -»-1 (et. dans ce cas —tond aussi vers 1), les
infiniment petits a et p sont équivalents. De l'égalité ^-^- — -f- —1
il résulte que l'équivalence de a et p entraîne que la différence P — a
est un infiniment petit d'ordre supérieur par rapport à a. De l'égalité
■ a" — 1 — Tj- il résulte de même que l'équivalence entraîne que
(J — a est un infiniment petit d'ordre supérieur par rapport à p.

88 CH- I- ttÊPENDAÎs'CE FONCTIONNELLE ET THSORIH DES LIMITES
a
Si le rapport -^j-, où Je est un nombre positif constant, tend vers
une limite finie, non nulle, on dit que p est un infiniment petit d'ordre
k par rapport à a. Si -^- -> c, où c est un nombre no» nul, alors
-jjjj;—»- 1, c'est-à-dire que p et ca* sont dos infiniment petits
équivalents, et par suite la différence v *= P — cafe est un infiniment
petit d'ordre supérieur par rapport à p (ou par rapport à a*). Si
l'on, prend a pour infiniment petit principal, l'égalité p = cah + y,
où y est un infiniment petit d'ordre supérieur par rapport à «',
représente la différence entre l'infiniment petit p et l'infiniment
petit cnk (d'ordre inférieur pai' rapport à a) de sorte que le reste y
est «m infiniment petit d'ordre supérieur par rapport à p (ou par
rapport à ak).
On compare deux infiniment grands u et v de façon analogue.
Si — teDd vers une limite finie, non mille, on dit que u et v sont
dos infiniinent grands du même ordre. Si — -*- 0, alors— ->oo.Dans
u v
ce cas, on dit que v est un infiniment grand d'ordre inférieur par
rapport à «, et que u est un infiniment grand d'ordre supérieur
par rapport à v. Si 77-»-4« otL dit que les infiniment grands sont
équivalents. Si —j-, où /c est un nombre positif constant, a une limite
finie, non nulle, on dit que v est un infiniment grand d'ordre k
par rapport.à u. Tout ce qui a été dit plus haut des infiniment petits
reste valable pour les infiniment grands.
Remarquons encore que, si le rapport — ou — no possède pas
de limite, on dit que les infiniment petits ou les infiniment grands
ne sont pas comparables.
I-2-i3. Exemples. 1. Nous avons vu plus haut quo
lim 5*^=1,
*->0 *
c'est-à-dire que Sin x et x sent des infiniment petits équivalents, et par suite,
la différence sin x —■ x est un infiniment petit d'ordre supérieur par rapport
à x. Nous verrons plus loin quo cotte différence est équivalente à —-g- x3, c'est-
à-dire qu'elle est un infiniment petit du troisième ordre par rapport à x.
2. Montrons quo la différence 1 — cos x est un infiniment petit du second;
ordre par rapport à x. En effet, à l'aide d'une formule trigonométriquo bie»

1-2. THÉORIE DBS LIMITES. FONCTIONS CONTINUES &>
connue et des transformations élémentaires, il vient:
, 2sin*|- , / sîn|-
1 — oos a: 2 1/ 2
a* 2
Si œ->-0, alors a = — tend aussi vers zéro, et, comme nous l'avons montre t
sin-rr
.. 2 .. sui a ,
lim = i]m = 1.
2
et par suite,
.. 1—C03Z 1
c'est-à-dire quo, on effet, 1 — cos x est un infiniment petit du second ordrer
par rapport à x.
3. De la formule
■\/i+x—i*= .,—L—
il résulte:
1/ï+i—1
» Vl + x+1
d'où
„_ Vï+^-i . 1
lim ■■ = 7t >
C'est-à-dire que VI -(-a — 1 et a; sont des infiniment petits du même ordre, et
~]/t + a; — 1 est équivalent à -gx.
4. Démontrons qu'un polynôme de degré m est un infiniment grandi
d'ordre m par rapport à x. En effet:
aBx"> + gia"-t-i- ■. ■ + am-tx+ «m
lim ——5=
■iîïï (-+-5-+-+5^+^)-
o0.
Il n'est pas difficile de voir quo deux polynSmes de mémo degré sont, pour*-*- <»,,
des infiniment grands du mémo ordre. Leur rapport n pour limite le rapport
des coefficients des termes de degré le plus élevé. Pai exemple:
S+A-J-
J^ 7-^-+2,+4 = ^ TTT-r-T •

•30 CH. T. DEPENDANCE FO NCTIONWELLB ET THÉORIE DES LIMITES
SI les degrés de deux polynômes sont différants, pour x -*- oo, celui d'entre
•eux dont le degré est plus élevé, sera un infiniment grand d'ordre supérieur
par rapport à l'autre.
1*2-14. Le nombre e. Etudions un exemple do variable important
pour la suite, soit lu variable qui prend les -valeurs :
(*+•!)■.
■où n croît en prenant des valeurs entières positives, et tend ainsi
■vers +00. En appliquant la formule du binômo de Newton, on
«obtiendra:
. , »(»-!) ("--2)... (n—fc-H) 1 . .
+ •••+ Fi ^+---+
■ n(n—l)(n—2) ..-2-1 1
"■" b! n" ~
-i + i+f(i-4-)+À(i-i)(i-l) + - +
+*(*-4)M)-(*-^) + - +
Cette somme contient (n + 1) termes positifs. Lorsque le nombre
«entier n croît, d'uno paît le nombre de termes croît, et, d'autre
part, chacun des termes croît également, car dans l'expression
-du terme général *
M ne varie pas, mais les différences qui se trouvent entre
parenthèses croissent avec n. Nous voyons ainsi qno la variable étudiée
•croît avec re, et pour s'assurer do l'existence d'une limite de cette
variable, il suffit de démontrer qu'elle est bornée.
* Le produit (1 1 11 1 ... Il ) est obtenu à partir do la
fraction "^ ' ' ""* - , si on divise par n chacun des k facteurs
-du numérateur, en tenant compte de ce que le nombre des facteurs n du
dénominateur est aussi égal à k.

1-2. THÉORIE DES LIMITES. PONCTIONS CONTINUES 91
Remplaçons dans l'expression du terme général chacune des
différences notées par l'unité et tous les facteurs entrant dans Al,
à partir de 3, par 2. Le ternie général augmente, et nous aurons,
en appliquant la formule de la somme des termes d'une progression
géométrique :
(1+7^1 + 1+^+.-+^+...+^-
= 1 + —r-=3—2^r<3>
c'est-à-dire que la variable (1-)—J est bornée. Nous noterons
la limite de cette variable par la lettre e:
lim [1-1—) =e (n est un entier positif). (23)
II est évident mie cette limite ne peut être supérieure à 3. Dans ta
formule (23) l'entier n peut, évidemment, tendre vers +oo de
n'importe quelle façon.
Nous allons démontrer maintenant que l'expression (1 -) 1
tendra vers la même limite e, si x tend vers -foo, en prenant
n'importe quelles valeurs.
Soit n l'entier le plus grand contenu dans x, c'est-à-dire que
»<«<» + l.
Le nombre n tend vers -|-oo en même temps que x. Prenant en
considération que si la .base positive supérieure à l'unité augmente,
ainsi que l'exposant de la puissance, la puissance elle-môme
augmente. On peut écrire :
(i+^r<(^r<(^r- <«>
Mais en tenant compte de (23) :
\2Zn±t) e
= T = fi
et
hm (M -r = lim —. ^—'—
„.,+«, \ ■ b+i; „_*+,„ /1H i_\
ja.c+4r-j5.[(*+èr(«+i)]-'-
Ainsi, les termes extrêmes de l'inégalité (24) tendent vers une
limite e et c'est pourquoi le ternie intermédiaire doit aussi tendre

92 CH. I. DÉPENDANCE FONCTIONNELLE ET -THÉORIE DBS LIMITES
vers cette limite, autrement dit:
lim (l + ±Y=e. (25)
Etudions maintenant le cas où x tend vers —oo. Introduisons à la
place de x une nouvelle variable y, posant
On voit d'après la dornièrc égalité que lorsque x tend vers —oo,
y tend vers +00.
En faisant dans l'expression (i -\ j le changement de
variables, et en tenant compte de l'égalité (25), nous obtiendrons:
lim (l-|-i)*= lim (_=L)-*-»= lim (i±l)l+^
-^[(^Tr^+f)]-1--
Si x tend vers 00, quel que soit son signe, c'est-à-dire | x | -*•
—v- -\- 00, il résulte de ce qui précède que dans ce cas aussi
Mm (1+ 1)*-*. (26)
Nous indiquerons par la suite un moyen commode pour calculer
le nombre e avec la précision que l'on désire. Ce nombre est
irrationnel et en allant jusqu'à la septième décimale on a
e==2,7182818 ...
11 n'est pas difficile de trouver maintenant la limite de
l'expression [ 1 -) J, où h est un nombre donné. En xitilisant la
continuité de la fonction puissance, nous obtiendrons :
s(i^r-si[(«+|)!]*=is[(i+7)"]"-'".
où l'on a désigné par la lettre y le quotient -j-, qui tend vers l'infini
en même temps que x.
On rencontre des expressions <le type [l -|—- J dans la théorie
des intérêts composés.
Supposons qu'il y a chaque année capitalisation des intérêts.
Si on prête un capital a pour un intérêt annuel p, au bout de la
première année on a :
«(! + &),

1-2. THEORIE DES LIMITES. FONCTIONS CONTINUES 93
OU
k=swô;
au bout de la deuxième année il sera de
a(l + A)«,
et au bout de m années il sera :
a (1 + k)m.
Supposons maintenant qu'il y ait capitalisation des intérêts au
bout de — partie de l'année. Dans ce cas, le nombre ft est divisé
n
par n car le pourcentage p est calculé sur un an, et le «ombre
d'intervalles de temps est multiplié par n, et au bout de in années le
capital deviendra;
«(*+£)'
n-*oo \ '* ' 7WOO «- * ' -*
Admettons, enfin, que n croisse indéfiniment, c'est-à-dire qu'il
■y a capitalisation au bout d'intervalles de temps de plus en plus
brefs et, à la limite, la capitalisation se fera continûment. Au bout
de m années, le capital sera:
."'., '"ï"T —*km-
n->oo <- V. n / J
Prenons le nombre e comme base de logarithmes. On les appelle
logarithmes naturels et habituellement on les désigne simplement
par le signe In sans indiquer la base.
Lorsque la variable x tend vers zéro dans l'expression —K "£■■«■ ,
le numérateur et le dénominateur tendent vers 2éro. Pour lever
l'indétermination, introduisons la variable y, en posant
1 1
x=—, c'est-à-dire tf=—.
V x
Pour x tondant vers 0, y tend vers l'infini. En introduisant cette
nouvelle variable et on utilisant la continuité do la fonction In x
pour x > 0 et la formule (26), nous obtiendrons:
lim'i&tS-.limïlnfl + i) =liin In (l+-Mw = lne= 1.
On voit ici la Taison qui a fait choisir e comme base des
logarithmes. De même que lors de la mesure en radians des angles, la vraie
valeur de l'expression ^-^- pour x = 0 ost égale à l'unité, dans
le cas des logarithmes naturels, la vraie valeur de l'expression n * ~^x'
pour x = 0 est aussi égale à l'unité.

94 CH. I. DÉPENDANCE FONCTIONNELLE ET THEORIE DES LIMITES
De la définition des logarithmes, il résulte la relation suivante r
En prenant le logarithme de cette expression:
lnN^lgaN-ljxa, ou lga /V = .ln N-^ .
Ce rapport exprime le logarithme du nombre TV pour n'importe
quelle base a en fonction de son logarithme naturel. Le facteur
M = s— est le module du système de logarithmes de base a, et
pour a — 10 il est, en allant jusqu'à la septième décimale:
M = 0,4342945...
1-2-15. Propositions non démontrées. Dans l'exposé delà théorie'
des limites nous n'avons pas démontré plusieurs propositions, à savoir
l'existence d'une limite pour une variable monotone bornée [I-2-6J,.
la condition nécessaire et suffisante d'existence d'une limite
(critère de Caùchy [T-2-7] et les trois propriétés dos fonctions continues
sur un intervalle fermé [1-2-11J. La démonstration de ces
propositions est basée sur la théorie des nombres réels et de leurs
opérations. Les paragraphes suivants seront consacrés à l'exposé de cette-
théorie et à la démonstration des propositions indiquées ci-dessus.
Introduisons une nouvelle notion et formulons mie nouvelle-
proposition qui sera démontrée plus bas. Si nous avons un ensemble
composé d'un nombre fini de nombres réels (par exemple, nous
avons mille nombres réels), parmi eux il y on aura un qui sera le
plus grand et un qui sera le plus petit. Si nous avons un ensemble'
infini de nombres réels et même s'ils sont tels qu'ils appartiennent
à un intervalle défini, il n'y aura toutefois pas toujours parmi ces-
nombres, un nombre qui soit le plus petit et un qui soit le plus
grand. Si. par exemple, nous étudions l'ensemble de tous les
nombres réels compris entre 0 et 1, à l'exclusion des nombres 0 et 1
eux-mêmes, il n'y aura pas dans cet ensemble de nombre qui soit
le plus petit ni de nombre qui soit lo plus grand. Quel que soit Je-
nomJbre, voisin do l'unité, mais inférieur à elle, que nous ayons-
pris, il y aura un autre nombre entre le nombre choisi et l'unité.
Dans l'exemple donné, les nombres 0 et 1 qui n'appartiennent pas
à l'ensemble choisi, possèdent par rapport à cet ensemble In
propriété suivante: il n'y a pas dans l'ensemble de nombre plus grand'
que l'unité, mais pour tout nombre positif donné e il y a des nombres
supérieurs à (1 — e). De même, il n'y a pas dans l'ensemble
dénombre inférieur à zéro, mais pour n'importe quel nombre positif
donné c il y a des nombres inférieurs à (0 ■+■ c). On appelle ces
nombres 0 et 1 les bornes supérieure et inférieure de l'ensemble-
des nombres réels considéré.

1-2. THEORIE DES UMITES. PONCTIONS CONTINUES 95.
Passons maintenant au cas général.
Soit un certain ensemble E de nombres réels. On dit qu'il est
borné supérieurement s'H existe un nombre M tel que tous les
nombres appartenant à E ne sont pas supérieurs à M. De même, on dit
qu'un ensemble est borné infêrieurement s'il existe un nombre m.
tel quo tous les nombres appartenant à l'ensemble E ne sont pas
inférieurs à m. Si l'ensemble est borné supérieurement et
infêrieurement, on dit simplement qu'il est borné.
Définition. On appelle borne supérieure d'un ensemble E
le nombre |ï (s'il existe) tel gue, parmi les nombres appartenant à E,
il n'y en a. pas qui soient supérieurs à (3, mais pour tout nombre positif
donné e il y a des nombres supérieurs à (P — s). On appelle borne
inférieure de l'ensemble E le. nombre a (s'il existe) tel gue, parmi les
nombres appartenant « E, il n'y a pas de nombre inférieur à a, mais
pour tout nombre positif donné e, il y a des nombres inférieurs à (a + e).
Si l'ensemble E n'est pas borné supérieurement, c'est-à-dire s'il
existe des nombres dans E qui soient supérieurs à n'importe quel'
nombre donné, alors l'ensemble ne peut avoir de borne supérieure.
De même, si l'ensemble E n'est pas borné infêrieurement, il ne
peut avoir do borne inférieure. Si parmi les nombres de l'ensemble,
il y en a un qui est le plus grand, il est, de toute évidence, la borne,
supérieure de l'ensemble. De même, si, parmi les nombres de
l'ensemble, il y en a un qui est le plus petit, c'est lui qui est la borne-
inférieure de l'ensemble E. Or, comme nous l'avons vu, parmi
les nombres d'un ensemble infini il no s'en trouve pas toujours un
qui soit le plus polit ou le plus grand. On peut démontrer toutefois
que dans un ensemble borné supérieurement, il y a toujours une borne
supérieure, et dans un ensemble borné infêrieurement, il y a toujours
une borne inférieure. Remarquons encore qu'il résulte de la
définition que les bornes supérieure et inférieure sont uniques.
Nous utiliserons souvent par la suite les propositions exposées
dans le présent paragraphe. Au cours d'une première lecture, on
peut laisser sans les lire les paragraphes suivants, imprimés en
petits caractères.
1-2-16. Les nombres réels. Nous commencerons par L'exposé do la théorie
des nombres réels. Considérons l'ensemble de tous les nombres rationnels, entiers
et fractionnaires, positifs ot négatifs. On peut se représenter ces nombres
rationnels disposés suivant un ordre croissant. Si a et b sent deux nombres
rationnels quelconques distincts, on peut placer entre eux autant de nombres
rationnels qu'on veut. Soit a <; 5, introduisons un nombre rationnel positif r = —— ,
où n est un entier positif quelconque Les nombres rationnols a +■ r, a + 2r, . . .
. . ., a + (n— 1) r se trouvent entro a et b, et vu l'arbitraire dans le choix
du nombre entier positif n, on voit quo la proposition est démontrée.
Nous appellerons coupure dans le domaine des nombres rationnels toute
division de ces nombres en deux classes telles que n'importe quel nombre d'une
classe (de la première) soit plus petit que n importe quel nombre de l'autre

96 CH. J. DÉPENDANCE FONCTIONNELLE ET THJË0R1B DES LIMITES
dusse {de la deuxième). Il est alors évident que, si un nombre so trouve dans la
première classo, tout nombro qui lui est inférieur se trouve aussi dans k
première classe, et si un nombro se trouve dans la seconde classe, tout nombre qui
lui est supérieur se trouve aussi dans la douzième classo.
Supposons qu'il y ait parmi les nombres do la première classe, un nombre
qui soit le plus grand. Geai et tint, on peut, vu la propriété de l'ensemble des
nombres ivtionnels que nous avons mentionnée, affirmer que parmi les nombres
de la seconde classe, il n'y a pas do nombre le plus petit. De même, si parm
les nombres de la seconde classe, il y «n a un qui soit le plus petit, il n'y en a
pas parmi les nombres de la première classe qui soit le plus grand. On parlera
de coupure de première espèce, si parmi les nombres de la première classe il y
«n a un qui soit le plus grand, ou si parmi les nombres de la seconde classe il
y en a un qui soit le plus petit. Il ost facile de construire de telles coupures.
Prônons un nombre rationnel quelconque b et rangeons dans la première classe
tous les nombres rationnels inférieurs à b, dons la seconde classe, tous les nombres
rationnels supérieurs à b ; quant au nombre 6 lui-même, mottons-le soit dans
la première classe (il sera alors le plus grand), soit dans la seconde (il sera alors
le plus petit). En prenant peur 6 tous les nombres rationnels possibles, nous
obtiendrons toutes les coupures possibles de première espèce. Nous dirons qu'une
telle coupure de première espèce définit le nombre rationnel b qui est le plus
grand dans la première classe ou le plus petit dans la seconde.
Mais il existe aussi des coupures de seconde- espèce, pour lesquelles il n'y
a pas dans la première classe do nombre lu plus grand, et dans la seconde, de
nombre lo plus petit. Donnons un exemple. Rangeons dans la première classo
tous les nombres rationnels négatifs, zéro et tous les nombres rationnels positifs
■dont lo carré est inférieur à deux, et dans la seconde classe rangoons tous les
nombres rationnels positifs dont le carré est supérieur à deux. Commo il n'existe
pas de nombre rationnel dont le carré soit égal à deux, tous les nombres ration-
nuls se trouvent classés, ot nous aurons une coupure. Montrons que dans la
première classe, il n'y a pas de nombre le plus grand. Pour cela il suffit de montrer
que si le nombro a appartient à la première classe, il y a des nombres supérieurs
à a. qui appartiennent aussi à la première classe. Si a est négatif ou nul, cela
•est évident; supposons que a > 0. Etant donné la composition de la première
•classe, a2 < 2. Introduisons un nombre rationnel positif r ™ 2 — a' ot
démontrons qu'on peut définir un nombro rationnel positif s, assez petit pour qne
{a ■(- a) appartienne aussi à la première classe, c'est-à-diro toi que l'on ait
l'inégalité;
2 —(a + a:)2>0, ou r —2ax~ 22>0,
■c'est-à-dire qu'il s'agit de trouvor un nombre rationnel positif qui vérifie
l'inégalité x' + 2ax < r. Supposant x < 1, nous avons ai* <. x, et, par conséquent,
a1 -*- 2ax < x + 2a» = (2a + 1) x, c'est-à-dire qu'il nous suffira de satisfaire
à l'inégalité (2a + 1) x ■< r\ de cette façon, œost défini par les deux inégalités:
x<i 8t *<5^FÏ-
■On peut, évidemment, trouver autant do nombres rationnels positifs x que l'on
veut, qui vérifient ces deux inégalités. On peut, de même, démontrer que dans
la seconde classe de la coupure construite il n'y a pas de nombre le plus petit.
Nous avons donc donné vin exemple de coupure "de seconde espèce. Le point
fondamental de la théorie est la convention suivante: en considère que toute
coupure de seconde espèce définit un nouvel objet — le nombre irrationnel. Les
différentes coupures de seconde espèce définissent différents nombres irrationnels,
ïl n'est pas difficile do supposer que l'exemple do coupure do seconde espèce donné
plus baut, définit le nombre Irrationnel que l'on note habituellement T/ÎT

1-2. THfiORIE DES LIMITES. FONCTIONS CONTINUES 97
On peut disposer tous les nombres irrationnels introduits avec des nombres
rationnels rangés par ordre croissant qui sera représenté intuitivement pour nous
par les pointa de Taxe orienté OX. Si a est un nombre irrationnel, nous noterons
par 1 (a) et II (a) la première et la seconde classe de la coupure qui définit lo
nombre irrationnel a. Nous considérons lo nombro a plus grand que n'importe
quel nombre de I (a) et_plus petit que n'importe quel nombre de II (a). Ainsi
n'importe quel nombro irrationnel peut Être comparé à n'importe quel nombre
rationnel. Il reste à définir les notions de plus grand ot plus petit pour deux
nombres irrationnels quelconques différents a et p. Comme « et p sont différents, les
classes I (a) et I (p) ne coïncident pas et l'une des classes est contenu» dans
l'autre. Supposons que I (a) est compris dans I (p), c'est-à-dire que chaque
nombre de I (as) appartient à I (P), mais qu'il y a des nombres de I (ji) qui
appartiennent à II (a). Ici nous considérerons, par définition, a <. p. Ainsi,
l'ensemble de tous les nombres rationnels et irrationnels, c'est-à-dire l'ensemble de
tous les nombres réels est ordonné. Il est iacile alors, on utilisant les définitions
données plus haut, de démontrer que, si a, b et c sont des nombres réols, a <r 6
et b <. e, donc a <z c.
Notons avant tout une conséquence dos définitions données. Soit a. un
nombre Irrationnel. Comme il n'y a pas dans la classe I (a) de nombro le plus
grand, et dans In classe II (a), de nombre le plus petit, il n'en est que plus
évident que l'on peut placer entro a et n'imnorte quel nombre rationnel a, autant
de nombres rationnels que l'on veut. Soit, maintenant, a < p doux nombres
irrationnels distincts. Une partie des nombres rationnels de I (P) entre dans
II (a), d'où il résulte immédiatement que l'on peut également placer entre a et
P autant de nombres rationnels que l'on veut, c'est-à-dire que, de façon générale,
on peut placer entre deux nombres réels distincts autant de nombres rationnels
que Von veut.
Nous niions passer maintenant à la démonstration du théorème
fondamental de la théorie des nombres irrationnols. Etudions l'ensemble de tons les
nombres réels et faisons dans cet ensemble une coupure quelconque, c'est-à-dire
rfipartissons tous les nombres réels (non seulement rationnels, mais aussi
irrationnels) on deux classes I et II de façon que n'importe quel nombre de I sont
inférieur à n'importe quel nombre de II. Montrons que dans ce cas, il y aura
obligatoirement soit un nombre le plus grand dans la classe I, soit un nombre
le plus petit dans la classa II (l'un exclut l'autre, comme plus haut pour la
coupure dans la domaine des nombres rationnels). Pour cela, nous noterons par
I' 1 ensemble des nombres rationnels de I, et par II' l'ensemble des nombres
rationnels de II. Les classes (I',ID déterminent une certaine coupure dans lo
domaine des nombres rationnels, ot cette coupure définit un nombre réel a
(rationnel ou irrationnel). Admettons pour plus de clarté, que ce nombre a
appartient à la classe I suivant la disposition en deux classes des nombres réels,
mentionnée plus haut. Montrons que a doit être le nombre le plus grand de la
classe I. En fait, s'il n'en était pas ainsi, il existerait dans la classe T un
nombre réol p plus grand que a. Prenons un nombre rationnel r situé entre a
et p, c'est-à-dire que a < r < p. Il doit appartenir à la classe I, et par
suite, à la classe I*.
Ainsi, dans la première classe de coupure (!', II') définissant les nombres
a, û se trouve un nombre r plus grand que a. C'est impossible et, par conséquent,
il est faux de dire que a n'est pas le nombre le plus grand de la classa I. On
peut montrer, de la même façon, quo si a se trouve dans la classe II, il doit
être le plus petit nombre.
Ainsi, nous avons démontré le théorème suivant :
Théorème fondamental. Lorsqu'il y a une coupure dans le
domaine des nombres réels, il faut obligatoirement soit que la première classe
renferme le nombre le plus grand, soit que la seconde classe renferme le nombre
le plus petit.
7^281

98 CH. I. DÉPENDANCE FONCTIONNELLE ET THÉORIE DES LIMITES
Il est facile de donner à tous les raisonnements de ce paragraphe un sens
géométrique simple. Nous considérons d'abord sur l'axe OX les points d'abscisse
rationnelle seulement. A une coupure dans le domaine des nombres rationnels,
correspond la séparation de la droite OX en deux demi-droitos. Si la coupure a
lieu en un point d'abscisse rationnelle, ou a affaire à une coupure de première
espèce auquel cas l'abscisse du point où a lieu la coupure, se rattache elle-
môme soit à la première soit à la soconde classe. Si la coupure s'effectue on un
point auquel ne correspond pas une abscisse rationnelle, on a une coupure du
type II définissant un nombre irrationnel qui est pris pour abscisse du point
où se produit la coupure. Lorsque ces points ont des abscisses irrationnelles,
toute section de la droite se produit alors en un point d'abscisse réelle. Ceci n'est
qu'une illustration géométrique, mais no démontre non. Il n'est pas difficile,
en utilisant la définition du nombre irrationnel a, do former une fraction décimale
infinie correspondant à ce nombre (1-1-2]. Tout segment fini de cette fraction
doit appartenir à I(a), mais si nous augmentons d une unité le dernier chiffre
de co segment, le nombre rationnel correspondant deit se trouver dans II (a).
1-2-17. Opérations sur les nombres réels. La théorie des nombres
irrationnels, outre les définitions déjà données et le théorème fondamental, comprend
la définition dos opérations effectuées sur les nombres irrationnels et l'étude
des propriétés de ces opérations. Dans la définition des opérations, nous serons
guidés par les coupures dans le domaine des nombres rationnels, et, dans la
mesure où ces coupures définissent non soulement les nombres irrationnels,
mais aussi les nombres rationnels (coupures do première espèce), la définition des
opérations pourra de façon générale servir à tous les nombres réels, mais dans
le cas des nombres rationnels les définitions seront équivalentes aux
définitions habituelles. Dans ce paragraphe nous nous limiterons a des indications
générales.
Faisons une remarque préalablement. Soit a un nombre réol. Prônons un
nombre r (petit) rationnel positif quelconque, puis un nombre rationnel a do
\{a) et formons la progression arithmétique:
a, a-f-r, a-f-2r, ..., a-\-nr, ...
Pour n grand, les nombres (o + ur) entrent dans II (a) et par suite, il
existera un nombre entier positif k tel que [a + (¾ — 1) r] appartient à 1 (a) ut
(a + kr) appartient à II (a), c'est-à-dire:
Remarque. Dans une coupure quelconque de nombres rationnels ii
existe dans les différentes classes des nombres qui diffèrent d'un nombre rationnel
positif donné r, aussi petit soit-il.
Passons maintenant a la définition de l'addition. Soient a et S deux
nombres réels. Seït a un nombre quelconque de I (a), a' de II (a), b de
I (p) et 6' de II (P). Etablissons toutes les sommes possibles (a 4- 6) et (a' + b').
Dans tous les cas, on a: a + b <L a' + b'. Etablissons une nouvelle coupure do
nombres rationnols, en reportant dans la seconde classe tous les nombres
rationnels supérieurs à tous les (a + b), et en reportant dans la première classe tous
les autres nombres rationnels. Dans co cas, tout nombre do la première classe
est inférieur à tout ncmbro du la seconde classe, tous les nombres (a + b) sent
dans la première classe et tous les nombres (a' -\- h') dans la seconde classe.
La nouvelle coupure établie définit un coTtaîn nombre réel que nous appellerons
la somme (a + fi). Ce nombre est évidemment plus grand ou égal a tous les
(o + b) et plus potit ou égal à tous les (a' + b'). Eu considérant que, eu
conformité avoc la remarque que nous avons faite ci-dessus, les nombres a ot a',
ainsi que b. ot b', peuvent se différencier l'un de l'autre par un nombre
rationnel queicenque positif petit, il n'est pas difficile de montrer qu'il ne peut exis-

1-2. THÉORIE DBS LIMITES. PONCTIONS CONTINUES 99
ter qu'un seul nombre qui "vérifie les inégalités notées ci-dessus. On vérifie
directement que l'addition satisfait aux lois habituelles dos nombres
rationnels:
a+P=P + a, (« + P)-r-7=<*+(B-f-7>. a+0=a.
Par exemple, pour obtenir (p + a), il nous faut composer à la place des
sommes (a + b) et (a' + b'), lê3 sommes (fc + a) et {b' + a'), mais ces sommes
coïncident avec les précédentes, étant donné la commutativité dé l'addition
des nombres rationnels.
Soit a un nombro réel. Déterminons le nombre (—a) par la coupm-e suivante :
reportons dans la première classe tous les nombres rationnels de la ciasso
Il (a) en changeant les signes, et dans la seconde classe, tous les nombres de
I (a) en changeant les signes. On obtient ainsi, en {ait, une coupure dans le
domaine des nombres rationnels, et pour le nombre (—a), ce qui est facile
à vérifier, nous avons:
—(— a) = a, a + (—a) = 0.
II n'est pas difficile de voir que, si a >■ 0, (—et.) <C 0, et réciproquement. Nous
appellerons valenr absolue du nombre a, différent de zéro, celui des deux
nombres a et (—a) qui est supérieur à zéro. Nous désignerons comme auparavant, la
valeur absolue du nombre a par le symbole | a [.
Passons maintenant à la multiplication. Soit a et p deux nombres réels
positifs, c'est-à-diro que a > 0 et P > 0. Soit o un nombre positif quelconque
dû I (a), soit b un nombre positif quelconque de I (P), soit a' et b' des nombres
quelconques de II (a) et II (p) (ils sont déjà nécessairement positifs).
Etablissons uno nouvelle coupure, en mettant dans la seconde classe tous les nombres
rationnels supérieurs à tous les produits ai, et dans la première classe, tous les
autres nombres rationnels. Tous les ab tombent dans la première classe et tous
les a'b' dans la seconde classe. La nouvelle coupure définit un certain nombre
réel, que nous appellerons le produit a#. Ce nombro est supérieur ou égal à
tous les ao et ne dépasse pas tous les a'b', et seul ce nombre réel satisfait a ces
inégalités.
Si un seul des nombres a, p ou les deux à la fois sont négatifs, nous
ramènerons la multiplication au cas précédent, en introduisant dans la définition
de la multiplication la règle habitueilo des signes, c'est-à-dire que nous
supposons que ap = ± | a 1 | B |, où nous prenons le signe (+) si les nombres a
et p sont tous les deux inférieurs à zéro, et le signe (—) si l'un des nombres est
supérieur à zéro et l'autre inférieur à zéro.
Pour la multiplication par zéro, nous prônons la définition : a -0 = 0 -a = 0.
les lois fondamentales do la multiplication se vérifient immédiatement ;
«0=fta, (op)Y = o(Pï). a(P+-y)=ccp+aY,
et le produit de plusieurs facteurs peut être égal à zéro si, et seulement si, l'un
des facteurs au moins est nul.
La soustraction est définie comme étant l'opération inverse de l'addition,
c'est-à-dire que a — p = x est équivalent à x + p = a. En ajoutant (—p) aux
deux membres de cette égalité, nous obtiendrons, en tenant compte des
propriétés de l'addition que nous venons de mentionner: x = a ■+- (—p), c^st-
û-dire que la différence doit obligatoirement être déterminée par cette formule,
et la soustraction se ramène à I addition. Il reste à vérifier que l'expression
obtenue pour x satisfait bien à la condition x + p ■= a, mais cela résulte
directement des propriétés de l'addition. Notons que l'inégalité o > p est
équivalente à a — p > 0. Avant do passer à la division, nous définirons le
nombre inverse d'un nombre donné, Si a est un nombre rationnel non nul, le,
7»

100 CM. I. DEPENDANCE FONCTIONNELLE ET THSORIB DES LIMITES
nombre — est son inverse. Soit a un nombre réel non nul. Soit d'abord a >-0
et soit o' un nombre quelconque de II («) (ce nombre est rationnol et positif).
Déterminons le nombre inverse do o, par la coupure suivante: mettons dans la
première classe tous les nombres négatifs, zéro et les nombres-y, ol dans la
seconde classe, tous les autres nombres. Soit un nombre quelconque positif ci
qui appartient à la première classe de la nouvelle coupure. Cela signifie que
c-i = —r, où ai est de la classe II (a). Prônons un nombre quelconque rationnel
positif c2 <;«i. On peut le mettre sous la forme c2 = —,, où ai. est rationnel
et oi > a[, c'est-à-dire que ai appartient aussi à II (a). Autrement dit, si un
nombre positif quelconque appartient à la première classe de la nouvelle
coupure, tout nombre rationnel positif qui lui est inférieur appartient aussi à cette
première classe. Tous les nombres négatifs et zéro on font partie également par
définition. On voit quo noua avons donné la coupure déterminant le nombre
Inverso de a en observant la condition suivante: un nombre quelconque do la
deuxième classe est plus grand que tout nombre de la première classe Nous
\
noterons ce nombre inverse do a, par le symbole —
1 1
Si n<.0. nous définirons le nombre Inverse par la formule: — = — .—: .
a \a\
En utilisant la définition de la multiplication, nous avons: a— = i-
a
Passons maintenant à la division. C'est l'opération iaverse do la
multiplication, c'est-à-dire que a : B = x ost égal à xf> = a, et, comme pour la
soustraction, il n'est pas difficile de montrer quo si fi ^ 0, on a un quotient
unique: s =■ a- -*■ et, ainsi, la division se ramène à une multiplication. La
division par zéro est impossible.
L'élévation à une puissance ontiere positive so ramène à une multiplication.
L'extraction de racine est définio comme étant l'opération Inverse de
l'élévation à uno puissance. Soit a un nombre réel pesitif et n un nombre entier
quelconque supérieur à l'unité. Faisons la coupure suivante des nombres rationnels:
mettons dans la première classe tous les nombres négatifs, zéro et tous les
nombres positifs, dont la puissance n est inférieure à a, et dans la seconde classa,
tous les autres nombres. En utilisant la définition de la multiplicatiou, il
n'est pus difficile de montrer que le nombre positif B, défini par cette coupure,
vérlfio la condition B" = a, c'est-à-dire que B est la valeur arithmétique de
la racine yra. Si »est pair, (—fi) sera la seconde valeur. La racine d'une
puissance impaire d'un nombre réel négatif se définit de façon analogue (une seule
réponse). On parlera plus loin, plus en détail, de la fonction exponentielle.
Notons eucore un résultat important: une fois vérifiées les lois
fondamentales des opérations, toutes les règles et identités de l'algèbre seront vérifiées si
Von désigne des nombres réels par les lettres.
1.2-18. Bornes d'un ensemble de nombres. Existence de bornes.
Démontrons maintenant le théorème des bornes d'un ensemble de nombres réels,
que nous avons formulé au paragraphe [1-2-15],
Théorème. Si an ensemble E de nombres réels est borné
supérieurement, il a une borne supérieure, et si E est. borné inférieuremeni, il a une
borne inférieure.

1-2. THfiORIB DES UMITBS. ÏONCTIONS CONTINUES 101
Lfmitons-nous à la démonstration de la première partie du théorème.
Par hypothèse, tous les nombres de E sont inférieurs à un certain nombre M.
Faisons la coupure suivante des nombres réels: mettons dans la seconde classo
tous les nombres supérieurs à tous les nombres de E, et dans la première tous
les autres nombres réels. Bans la seconde classe entreront, par exemple, tous
les nombres (M + p), où p !> 0, et dans la première classe entreront, par
exemple, tous les nombres de E. Soit P un nombre réel, déterminé par la coupure
ainsi obtenus. D'après lo théorème fondamental du [1-2-1(5], il sera le plus
grand dans la première classe et le plus petit dans la seconde. Montrons que
i» est précisément la borne supérieure de E. [1 n'y a pas de nombres plus grands
que p dans E, étant donné que tous les nombres de E sont dans la première
classe. Ensuite, il existe sûrement des nombres de E plus grands que (p — e)
pour tout e positif, car s'il n'y avait pas do tels nombres, le nombre ({$—s-j
serait supérieur à tous les nombres de E et devrait être dans la deuxième
classo, or en réalité, il est inférieur a p et se trouve dans ia première classe. Lo
théorèmo est ainsi vérifié. Il ost évident que si p appartient à E, il sera plus
grand de tous les nombres do E.
Démontrons maintenant l'existence d'une limite pour une variable
bornée monotone JI-2-6J. Supposons quo la variable s croît indéfiniment ou, en
tout cas, no décroît jamais, c'est-a-dire qu'aucune de ses valeurs n'est
inférieure à une valeur précédente. Supposons en outro que x est borné, c'est-à-dire
qu'il existe un nombre M tel quo toutes les valisurs de x sont inférieures à M.
Etudions i'ensomble de toutes les valeurs de x. D'après le théorème énoncé
il existe une horne supérieure p pour cet ensemble. Démontrons que B est
bien une limite de x. Soit e un nombre positif quelconque. D'après la
définition da la borne supérieure, on trouvera une valeur de x plus grande que (P — e).
Commo x est monotone, toutes los valeurs suivantes do x seront aussi
supérieures à (p — s), mais, d'un autre côté, elles ne peuvent Otre supérioures a P, et
comme s est arbitraire nous voyons que p=slim x. On peut de la même façon
étudier le oas d'une variable décroissante.
Avant de passer à la démonstration du critère de Cauchy LI-2-7]
démontrons un théorème que nous allons utiliser.
Théorème. Soit une suite d'intervalles finis;
(ai, &i), (o2, hh •••> («m àn), ...
où chaque intervalle est compris dans le précèdent, c'est-à-dire que ûn+i >- an
et in+^ < bn, les longueurs de ces intervalles tendent vers zéro, c'esl-à-dir*
que (b\ — 0^) -*■ 0. Les bornes des intervalles an et 6^ tendent vers une limite
commune lorsque n croît.
D'après I hypothèse du théorème, nous avons: si •< «s •< ... et, en outre,
"n ■< *i P0UT tnu* »■ Ainsi, la suito af, a2, sera monotone et bornée, et
c'est pourquoi elle aura une limite: an -f a. De l'hypothèse (S,-%)->0
il résulte que (¼ = (¾ + e„, ou e„ -*■ 0 et, par conséquent, (¾ a une limito,
elle aussi égale à a.
Passons maintenant à la démonstration du critère de Cauchy. Nous nous
limiterons au cas d'une variable dont on peut indexer les valeurs:
*i, *2> - • •, «n, • • • (27)
Il faut montrer que la condition nécessaire et suffisante d'existence d'une limite
de la suite (27) est que pour tout e positif donné, il oxiste un indice If, tel que :
\xm—%|<e pour mein^-If. (28)
Montrons que cotte condition est suffisante, c'est-à-dire que, lorsque cette
condition est remplie, la suito (27) possède une limite. Il résulte de nos
raisonnements précédents [1-2-7], que si la condition est remplie, ou paut

102 CH. I. DEPENDANCE FONCTIONNELLE ET THEORIE DES LIMITES
construire la suitB d'intervalles:
(°1, &t), (¾. 62), ••-, («fi, bh), ...
avec les propriétés suivantes: chaque terme est compris dans lo précédent,
les longueurs .(¾ — %) tendent vers zéro, et à tout intervalle (¾. 6¾) correspond
tm nombre entier positif K/, toi que tous les ss poux s > iV* appartiennent
à ("a. &*)• Ces intervalles (ah, JA) sont les segments A'hAj, du paragraphe
[1-2-7]. D'après le théorème énoncé plus haut, on a la limito comme:
lim <%= lim 6ft = o. (20)
Montrons quo a est bien la limite de la suite (27). Soit un nombre 6
positif donné. D'après l'équation (29), il existe un nombre entier positif l, toi que
(ai, 6() et tous les intervalles suivants se trouvent! l'intérieur de l'intervalle
(a — s, a + a).
Il en résulte que tous les nombres xe, eux aussi, pour s > Ni,
appartiennent à cet intervalle, c'ost-à-dire que | a — xt\ < e pour s > Ni. Etant donné
le caractère arbitraire de e, nous voyons quo a est la limite do la suite (27),
et l'on a' prouvé que la condition (28) ost suffisante. Nous avions déjà prouve
que ia condition est nécessaire H-2-7]. La démonstration vaut aussi pour une
variable non indexée.
1-2-19. Propriétés des fonctions continues. En passant à la
démonstration des propriétés des fonctions continues que nous avons exposées ci-dessus
[1-2-11], nous commencerons par la démonstration d'un théorème auxiliaire.
Théorème I. Si f (x) est continue dans VIntervalle (a, b), et si l'on
donne un nombre positif quelconque e, on peut diviser cet intervalle en un
nombre fini de nouveaux intervalles de telle façon que \ f (¾) — / (x\) | < e, si
Xi et z2 appartiennent h un seul et même nouvel intervalle.
Nous allons faire la démonstration en raisonnant par l'absurde.
Supposons quo le théorème est faux. Admettons qu'il soit impossible de diviser
(a, 6) en différentes parties de la façon que nous avons indiquée. Divisons
notre intervalle en deux parties par un point situé au milieu de l'intervalle :
la, ■ ~X- ) et f 7" , b ). Si le théorème était vrai pour chacun de cea deux
intervalles, il serait valable pour l'intervalle (a, 5) tout entier. Ainsi, nous
devons considérer que l'un au moins des deux intervalles obtenus ne peut pas
être divisé de la façon indiquée dans le théorème. Prenons la partie de
l'intervalle pour laquelle le théorème n'est pas vérifié, et divisena-lo à nouveau cd
deux parties égales. Comme plus haut, pour au moins une des deux nouvelles
moitiés, lo théorème n'est pas valable. Prenons cette moitié, divisons-la à
uouvoau en deux, etc. Nous obtenons ainsi uno suite d'intervalles :
(a, b), (o,, 61). (°2> h) («n. &n). •••,
dent chaque terme est la moitié du précèdent, de sorte quo la longueur (6^ — o„),
égale à -=jj- , tend vers zéro lorsque n croît. En outre, pour tout
intervalle (a„, bp), lo théorème n'est pas valable, c'est-à-dire qu'il est
impossible de diviser aucun (a„, bn) en de nouveaux intervalles de façon que
I / fe) — / (ai) 1 < e, si ii et 3¾ appartiennent à un soûl et mémo intervalle
nouvoau. Montrons que 0 est absurde.
Suivant le théorème du paragraphe [1-2-18], an ot fy, possèdent une
limito commune:
liinan — Hiki D„ = a, (30)

1-2. THEORIE DBS LIMITES. IfONCTIONS CONTINUES 103
Cette limite, comme tous les nombres n„ et bn, appartient à l'intervalle (a, b).
Supposons d'abord quo a. ost à l'intérieur de (o, 6). Par hypothèse, / (a:) ost
continue pour x — a., et par conséquent 11-2-10], pour uu nombre g donné
0 existe un nombre n tel que pour tous les x de l'intervalle (a — t\, a + T|)
•on a l'inégalité:
1/<<*)-/<*>l< y- (31)
Si Xi et Xi sont deux valeurs quelconques de l'intervalle (a — r\, a -f- *n>, nous
avons :
/ (¾) - / (*i) = / (*a)- / («) T / (*)- / (*i),
d'oO :
l/W-iWI«l/(*!)-|(«)l+l/(a)-/WI,
et d'après l'inégalité (31) :
l/(*2)-/(*i)|<y+y.
e'est-à-dire
l/(^)-/(*i)l<e (32)
pour tout Xi et «a de l'intervalle (a — i), a -S- T|). Mais d'après (30), 11 existera
uu intorvallo (ai, bt) appartenant à l'intervalle (a —t\, a -r T|ï. C'est
pourquoi l'inégalité (S2) sera vérifiée à plus forte raison pour tout xt et s2 de
1 intervalle (a;, bi), c'est-à-dire quo pour l'intervalle (aj, fc;), le théorème est
valable même si 1 intervalle n'est pas divisa on parties. Cela est en
contradiction, comme nous l'avons vu ci-dessus, avec le fait que pour tout intervalle
("m bn) le théorème n'est pas valable. On a ainsi démontré le théorème, si
o est intérieur à l'intervalle (o, b). Si o coïncide, par exemple, avec la borne
gauche de l'intervalle, c'est-a-dtre si a = a, la démonstration sera la même,
mais à. la place de l'intervalle (a — i\, a + il), il faudra prendre
l'intervalle (a, a + r\).
Passons maintenant à la démonstration de la troisième propriété du
paragraphe [1-2-11].
Théorème II. Si f {x) est continue dans l'intervalle (a, 6), elle est
uniformément continue dans cet intervalle, c'est-à-dire que pour tout 6 positif
donné, il existe un nombre positif r\ tel que | / (x") — f (s') | -C, e pour toutes
valeurs de x' et x" de (a, b) vérifiant l'inégalité | x° — x' | < tj.
D'après le théorème I, nous pouvons diviser (a, b) en un nombre fini de
nouveaux intervalles de façon que | / (¾) — / (x,) | <c y, si xi et a2
appartiennent à un même intervalle nouveau. Soit n la longueur du plus court de ces
nouveaux intervalles. Montrons que notre théorème est valable précisément pour
ce nombre t\. En effet, si s' et x" sont deux valeurs de (a, b) vérifiant 1
inégalité | s" — x' | < »i ou bien x' et x" appartiennent à un seul et mémo
intervalle nouveau, ou bien ils se trouvent dans deux nouveaux intervalles oonti-
gus. Dans le premier cas, quand nous construisons de nouveaux intervalles,
nous avons | / {x")— f (x') |<y, et o fortiori | / (x") — / (x') (< s. En
passant au deuxième cas, nous désignerons par y le point commun des deux
Intervalles contigns auxquels appartiennent »' et x". Dans le cas considéré, nous
pouvons écrire:
/(*">-/(*') = /(*")-/(?> + / (?>-/(*'),

104 OH. î. DEPENDANCE FONCTIONNELLE ET THEORIE DES LIMITES
c'est-à-dire
IIM-/('')kllM-/{y) -/(*')!. m
Mais
l/^HIVlK-j et l/(v)-/(*')l<|-, (3'«)
comme les points x" et 7, ainsi que y et a', se trouvent dans un même
intervalle nouveau. Les (33) et (34) nous donnent | / (x"} — j (x1) | < s, et le
théorème est démontré.
Le théorèmo I nous conduit également au corollaire suivant:
Corollaire. Une jonction continue dans l'intervalle (a, b) est
bornée supérieurement et intérieurement, c'est-à-dire qu'elle est simplement
bornés dans cet intervalle. Autrement dit, il existe un nombre M tel que pour
Ulules les valeurs do » de (o, b), on a l'inégalité | /(x)|<M. En effet,
prenons e0 .> 0, ot soit no le nombre des intervalles nouveaux qui doivent
diviser (a, 6) pour vérifier le théorème I pour la valeur choisie e = e0. Pour
n'importe quel coup!» de points appartenant tous deux à un même
intervalle nouveau, nous avons | / (xA — f (x,) J < r0- D'où il résulte
directement que pour un x quelconque de l'intervalle (a, 6), nous avons
l/W-/WI< »oEo. c'est-à-dire que tontes les valeurs de / (x) sont
comprises entro f (a) — n0sB et / (a)-\-no8B.
Dana la mesure où l'ensemble des valeurs do / (2) dans l'intervalle (a, b)
est borné supérieurement et intérieurement, il possède une borne supérieure
«t une borne inférieure [1-2-18]. Désignons la première par 6, et la seconde
par a. Démontrons à présent la première propriété du paragraphe [i-2-li j.
Théorùmo III. Une fonction continue dans l'intervalle (a, b)
atteint dans cet intervalle sa plus grande et sa plus petite valeur.
Nous allons démontrer que dans l'intorvallo (a, b) il existe une valeur
de x pour laquelle f (x) est égale à p\ et- une valeur y pour laquelle / (x) est
égale à ce. Mous nous bornerons a la démonstration do la première affirmation
et nous raisonnerons i>ar l'absurde. Supposons que / (¢) n'est égale à p pour
aucun x de (o, b) (car conséquent, elle est toujours inférieure à fi). Formons
une nouvelle fonction:
Comme le <lénommateurJ ne s'annule pas, la nouvelle fonction sera
égaloment continue dans l'intorvaile («, 6) (1-2-10]. D'autre part, il résulte
de la définition de In borne supérieure que pour e > 0 arbitraire, il
existe pour a < x ^ b des valeurs de / (x) situées entre (P — e) et p. Dans
ce cas: 0<p — /(»)< e et tp (*)>— . Etant donné que l'on peut prendre
s aussi petit que l'on veut, on voit que la fonction ep (x), continue dans
l'intervalle (a, 6), est bornée supérieurement, ce qui contredit le corollaire cité plus
haut du théorème I.
Démontrons enfin la deuxième propriété du paragraphe [1-2-11].
Supposons que / {x) est oontinue dans l'intervalle (a, 6) et soit h un nombre
quelconque situé entre / (a) et / (6). Pour fixer las idées, supposons que
/ (») < fc <. f (&)• Formons uno nouvelle fonction
F (■*)=((*)-*,
continue dans i'intetvalle (o, 6). Ses valeurs aux bornes do l'intervalle seront
js» = /(o)-ft<0; *■(&)=/(&)-* >0,

1-2. THEORIE DBS LIMITES. PONCTIONS CONTINUES 1Q5
c'csl-à-dire que les valeurs de F (x) aux bornes de l'intervalle sont de signes
contraires. Si nous démontrons qu'à l'intérieur de (a, b) ii y a une valeur x0
pour laquelle F (x0) — 0, dans co cas / (xa) — fc = 0, c'est-à-diro quo
/ (in) = fc, et la second© propriété sera démontrée. Il suffit donc de démontrer
le théorème suivant :
Théorème IV. Si } (x) est continue dans l'intervalle (a, b) et si f (a)
et f (b) sont de signes différents, il existe h l'intérieur de l'intervalle au moms
une valeur de xq pour laquelle f (x0) = 0.
Raisonnons par l'absurde, comme pour lo théorème III. Admettons que
/ (x) ne s'annule nulle part dans l'intervalle (a, 6). Dans ce cas, la nouvell»
fonction
sera également continue dans l'intervalle (o, 6) (1-2-10). Soit un nombre-
quelconque e > 0. En vertu du théorèmo I, nous pouvons placer à l'intérieur
do l'Intervalle (o, 6) un nombre fini de points, de sorto que, on ajoutant à ces
points les extrémités de l'intervalle, la différence des valeurs de / (x), pour doux
quelconques do ces points situés côte à côte, est inférieure on valeur absolue
à 8. En considérant que / (o) et / (b) sont de signes différents, nous pouvons
affirmer qu'il existe deux points voisins Si et g2 pour lesquels les velours de
/ (s) sont de signes différents. D'une part / (|() et / (§s) sont de signes
différents et, d'autro part, | / (g2) — / (|i) | < e. Mais si la valeur absolue de la
différence de doux nombres réels de signes contraires est inférieure à e, chacun-
de ces nombres est inférieur à e en valeur absolue, c'ost-à-dire, par exemple,
I / (6i) I <. 8- Mais alors, d'après (35), |cp (|,) | > —, et étant donné que l'on
peut prendre e aussi petit quo l'on veut, la fonction f (x) continue dans
l'intervalle (a, b) n'est pas bornéo dans cot intervalle, ce qui est absurde. L&
théorème est ainsi démontré.
T-2-20. Continuité des fonctions élémentaires. Nous avons déjà montré-
la continuité du polynôme et de la fonction rationnelle [1-2-101. Etudions
maintenant la fonction puissance
y=a* (a>0), <36)
oit nous considérerons, pour fixer les idées, que a > 1. Cette fonction est
définie pour toutes les voleurs rationnelles positivos do x. Pour les valeurs
négatives de x, ello est définie par la formule:
•*«~B. (37)
et, en outre, o° = 1. Ainsi, elle est définie pour toutes les valeurs
rationnelles do x. On connaît également par l'algèbre les règles d'addition et de
soustraction des indices lors de la multiplication et do la division.
Si x est un nombre positif rationnel —, nous aurons:
où lejradical est considéré comme arithmétique. Il est évident que ai>:>l,
et il résulte de la définition de In racine que ax ;> 1 pour x > 0 (définitions
du paragraphe [1-2-171). Do (37) il résulte quo 0 < a* < 1 pour x < 0.
Montrons maintenant que 0¾ > b*i, si x2 > zj, c'est-à-dire que a" est une fane-

106 CH. I. DÉPENDANCE TONCTIONNELLE ET THEORIE DBS LIMITES
lion croissante. En effet,
s»»_a*i=a« („*a-*i_ 1),
où % — xt ~> 0 et, par conséquent, les deux facteurs du second membre sont
positifs. Montrons encore que a^-t- 1, si x-r 0, en prenant des valeurs
rationnelles. Supposons d'abord que x ->- 0, par toutes les valeurs rationnelles, en
décroissant (à droite). Dans ce cas ax décroît, mais reste supérieur à l'unité
et, par conséquent, possède une limite, que nous désignerons par l. Lorsque
x varie d'une façon qu'on a déjà notée, la variable 2x tond aussi à droite vers
zéro suivant toutes les valeurs rationnelles. Nous avons donc:
a2*=(0*)ît
■et en passant à la limite, nous obtiendrons :
2 = 2', ou l (£-1)=0,
c'esl-à-dire que 2 = 1 ou 2=0. Mais le deuxième cas est impossible étant
donné que a* p> 1. Ainsi ax -»- i, si a; -*■ 0 à droite. Il résulte de (37) que ce
■sera la même limite également lorsque ï^-0 à gauche. Ainsi, de façon
générale ax —■ 1, si x -*■ 0, en prenant des valeurs rationnelles. D'où il résulte que,
si x, prenant des valeurs rationnelles, tond vers une limite rationnelle à, alors
«"-►A En effet:
La différence (x — b) tend vers zéro et (ax~b — 1), comme on l'a démontré,
'tend aussi vors zéro.
Définissons maintenant la fonction (36) pour les valeurs irrationnelles
•de x. Soit a un nombre irrationnel, I (ce) et II (ce) la première et la seconde
classe de la coupure dans le domaine des nombres rationnels définissant a.
Supposons que z^-«, en croissant ot passant par tous les nombres rationnels
de 1 (a). La variable «* croît mais reste bornée, et elle est précisément
inférieure à as°, où x" est un nombre quelconque de II (a). Ainsi, lorsque x varie de cette
façon, la variable ax possède une limite que nous noterons, pour le moment,
par L. De même si x ->■ a en décroissant et passant par tous les nombres
rationnels de 11 (ce), a" possède également une limite. Montrons que cette
limite est aussi égale à L. Soit x' de I (ce) et *" de II (ce). Nous avons:
a*"-.a»!'=a11' (o«"-*'-l) < L (a*"-*'-l),
c'est-à-dire :
0< b*"—a*" < L (a*'-*'—1).
l'our x' ot x", voisins de a, la différence {x" — x') est aussi voisine que
l'on veut de zéro, et d'après cette inégalité, on peut dire la même chose de la
différence (a*" — a*'), d'où la coïncidence dos limites. Nous prenons par
définition «a égal à la limite L, c'est-à-dire que aa est la limite vers laquelle
tend ax lorsque z-r-a suivant des valeurs rationnelles. Maintenant la fonction
(36) est définie pour toutes les valeurs réelles de x. D'après ce qui a été dit
plus haut, il est facile de démontrer que ce sera une fonction croissante,
c'est-à-dire que a*a 5> axi , si x, et Zz sont des nombres réels quelconques
vérifiant l'inégalité xz > xt. Au cours de la démonstration, il faut considérer
séparément le cas où Xi et xz sont tous les doux irrationnels de celui où un
■des deux seulement est rationne!. Il reste encore à démontrer que la fonction
sera continue pour chaque valeur réelle de x. Il faut d'abord démontrer quo
a* -*-1 lorsque x -+ 0, cas où toutes los valeurs réelles de x sont permises.
•On peut démontrer cela exactement de la même manière que pour les valeurs

1-2. THEORIE DBS LIMITES. FONCTIONS CONTINUES 107
rationnelles do x. Ensuite, comme ci-dessus, en utilisant la formule:
aK—a«=o° (o*-°-l),
nous pouvons démontrer que ax -+- aa lorsque x-i-a, ce qui montre quO ax
est continu pour toute valeur réelle de *.
Il n'est pas difficile de vérifier quo toutes les propriétés fondamentales
d'uno .fonction puissance sont vraies pour tous les exposants réels. Soit par
exemple a et p deux nombres irrationnels, et soit x -»• a et y -*■ (5, où » et y
sont des variables, qui, lorsqu'elles varient prennent simultanément des
valeurs rationnelles. Pour les exposants rationnels, nous avons:
En passant à la limite et en utilisant la continuité démontrée de la
fonction puissance, nous obtiendrons la même propriété pour les indices
irrationnels:
Démontrons encore la loi de multiplication des exposants lois do l'élévation
de puissance
(0^=0=8.
Si B = n est un nombre entier positif, la formule que nous avons écrite
résulte directement de la règle d'addition des exposants lors de la multiplication.
Si ft = —est un nombre rationnel positif, nons aurons:
(^=1/(^=1^ = 0 «.
Four ies nombres rationnels négatifs, cette loi résulte directement de la
formule (37), Supposons maintenant que p est irrationnel, et admettons que
ies nombres rationnels r tendent vois (j. Nous avons, suivant ce qui a été
démontré ci-dsssus :
(a«)r=a«r.
En passant à la limite et en utilisant la continuité de la fonction
puissance, où nous prenons à gauche aa pour base, nous obtiendrons (a°)& = a0*.
Avant de passer à la fonction logarithmique, faisons quelques remarques
sur les fonctions inverses, dont nous avons déjà parlé brièvement dans
l'introduction [1-1-20]. Si y = f {se) est une fonction croissante continue dans
l'intervalle (a, 6), où f (a) = A et f (b) «= B, d'après la seconde propriété des
fonctions continues, lorsque x croît do a vers b en passant par toutes les
valeurs réelles, / (x) croîtra de A vers B, en passant par toutes ies valeurs
intermédiaires. Ainsi à chaque valeur de y de l'intervalle (A, B) correspondra
un x déterminé de (a, b), et la fonction inverse x = q> {y) sera uniformo ot
croissante. Si x = xq se trouve à l'intérieur de (a, b), y» = } (x0) et que s
parcoure le petit intervalle (x0 — s, x„ + s), alors, y parcourra un intervalle
(i/o — T|i, y0 + T]a). En désignant par 8 le plus petit des deux nombres
positifs T|i et r\2, nous pouvons affirmer que ai y appartient à l'intervalle
Wo — 8. 'Jo + ôj représentant une partie seulement de l'intervalle (yn -— %,
Uo + %)> ha valeurs correspondantes de x appartiennent a fortiori à
l'intervalle (œ0 - e, i, + e), c'est-à-dire que | <P {y) — <p (va) 1 <. s, à condition
que \y — y0 | < S. Etant donne que s est arbitraire, cela montre la continuité
de la fonction s = <p (y) au point y => pq- Si œ0 coïncide par exemple avec
la borne a, ii faut prendre, dans les raisonnements précédonts, au lieu de
(xp— s, x„ + s) l'intervalle (x0t a:0 4- e). De façon analogue, on peut
examiner le cas d'une fonction continue décroissante / (x).

108 CH. I. DEPENDANCB FONCTIONNELLE ET THÉORIE DES LIMITES
Revenons à la fonction (36). Du moment que a > 1, on a a = 1 4- fr,
où b > 0, et la formule du hinflmo de Newton nous donne pour « entier
positif >i:
on=(l + 5)'>>l-(-ni,
d'où l'on voit que ax croît indéfiniment en mime temps que x. De plus, il
résuite do (87) que o*-^-0 lorsque x -i oo. En tenant compte de ce qui a
déjà été dit au sujet des fonctions inverses, nous pouvons affirmer que la
fonction
*=lg0y, '38>
qui est la fonction inverse de (36), sera une fonction univoque croissant
continûment lorsque y > 0. On obtient ies mêmes résultats dans le cas où 0 < a <; 1 ;
mais les fonctions (36) et (38) seront décroissantes.
Introduisons maintenant une nouvelle notion, calle de jonction de
fonction. Soit y = / (x) une fonction continue dans l'intervalle a <e •< 6; ses
valeurs appartiennent à l'Intervalle (c, d). Supposons, do plus, que z = i' (y)
est une fonction continue dans l'intervalle e < y < d. En désignant par y
la fonction de s, mentionnée plus haut, nous obtenons une fonction de
fonction de x:
dans cet intervalle. En effet, à un accroissement infiniment petit do x oorrea
pond un accroissement infiniment petit de y, du fait de la continuité de / (z):
mais à un accroissement infiniment petit de y correspond un accroissement
infiniment petit de z, du fait de la continuité de F (y).
Examinons maintenant la fonction puissance
z=x» (39)
avec nn exposant & réel quelconque, et nous considérerons la variable x comme
positive. Des raisonnements concernant la fonction puissance, il résulte que
la fonction (38) a uno valeur déterminée pour tout x positif. En utilisant la
définition des logarithmes et en prenant par exemple le logarithme népérien
nous pouvons écriro au lieu de (39):
z = eb,n*.
Posant y = 6 in x et z = e", nous pouvons considérer cette fonction
comme une fonction do fonction de x, et la continuité des fonctions exponentielle
et logarithmique nous assure la continuité de 1» fonction (39) pour tout x > 0.
Nous avons démontré [1-2-101 ia continuité de la fonction sin x pour toutes
les valeurs de x. On démontre de même la continuité de la fonction cos x pour
tout x. Des formules
sin x cos x
cos z H s»n x
résuite [I-2-10| la continuité do tg x et cotg x pour tont x n'annnlant pas
les dénominateurs.
La fonction y = sin z est une fonction continue croissante dans
l'intervalle ( —"ô"' T ) ' ^n ntî''sont ce qni a été dit des fonctions inverses, nous
pouvons affirmer que la détermination principale de la fonction x— are sin y sera
une fonction continue croissante dans l'intervalle —1 < y ^ 1. On démontre
de façon analogue la continuité des antres fonctions circulaires inverses.

Chapitre II
NOTION DE DÉRIVÉE. APPLICATIONS
H-l. Dérivée et différentielle du premier ordre
II-i-1. Notion de dérivée. Soit un point se déplaçant sur une
droite orientée. L'espace s parcouru par lui, évalué à partir d'un
point donné de la droite, choisi comme origine, est évidemment
une fonction du temps t
» = /(*).
telle qu'à chaque valeur du temps t correspond une valeur
déterminée de s. Donnons à i un accroissement Ai; au nouveau temps
t -\- Ai correspondra le trajet * + As. Si le mouvement du. point
est uniforme, l'accroissement de trajet est proportionnel a l'accrois-
As
sèment de temps et dans ce cas le rapport .— représente la vitesse
constante du mouvement. Dans le cas général, ce rapport dépend
aussi bien du temps t, que de l'accroissement Ai, et exprime la
vitesse moyenne du mouvement au cours de l'intervalle de temps
compris entre t et i + Ai. Cette vitesse moyenne est la vitesse
d'un point imaginaire qui, animé d'un mouvement uniforme,
parcourt le trajet As pendant le temps Ai. Nous aurons, par exemple,
dans le cas d'un mouvement uniformément accéléré
S=*jgt2 + V0t
et
-47= ïi gî + Vo+^gAt.
L'approximation qui consiste à assimiler le mouvement du
point considéré pendant la temps Ai à un mouvement uniforme
sera d'autant meilleure que l'intervalle Ai sera plus petit, et la
limite du rapport—tt-j quand Ai tendra vers zéro, définira la vitesse
v à l'instant donné t :
,. As
i>= lrm ~r~ .

110
CH. II. NOTION DE DËMVËE. APPLICATIONS
Ainsi, dans le cas d'un mouvement uniformément accéléré
v= lim -ff = lim (gt+»o + -?gAt) =gt + v0.
La vitesse v, comme l'espace parcouru s, est une fonction du-
temps t; cette fonction s'appelle la dérivée par rapport au temps
de la fonction / (t) ; la vitesse apparaît donc comme la dérivée de
l'espace parcouru par rapport au temps.
Supposons qu'un certain produit participe à une réaction
chimique. La quantité x de ce produit, entrée en réaction à l'instant t,
est une fonction du temps. A un accroissement At du temps
correspondra un accroissement Ax de la quantité de produit réagis-
santé x et le rapport -r- exprimera la vitesse moyenne de la réaction
chimique au cours de l'intervalle de temps Ai; la limite de ce rapport,
lorsque Ai tendra vers zéro, exprimera la vitesse de la réaction
chimique à V instant donné t.
.Faisons maintenant abstraction des exemples et doutions une
définition générale de la dérivée. Supposons que la fonction y =
— / (x) est définie pour une certaine valeur fixée de x et pour toutes
les valeurs qui lui sont suffisamment proches, c'est-à-dire pour
toutes les valeurs de la forme x + h, où h est un nombre arbitraire-
positif ou négatif suffisamment petit en valeur absolue. On appelle
habituellement la valeur h l'accroissement de la variable
indépendante x. Au lieu de ¾ on écrit souvent Ax. L'accroissement
correspondant do la fonction sera :
Ay=*f(x + h)-f(x).
Formons le rapport de ces accroissements ;
by f(x+k)-f(x) ..
te ~ h " ^'
Ce rapport est déterminé pour toutes les valeurs de h, suffisamment
petites en valeur absolue, c'est-à-dire dans un intervalle —ft^fe^
■.< -I- k excepté h = 0. Comme x est fixé, le rapport (1) ne dépend
que de h.
Définition, Si le rapport (1) a une limite (finie) quand h
tend vers zéro (h ->- ±0), cette limite est appelée la dérivée de la
jonction f (x) pour un x donné.
En d'autres termes, on appelle dérivée de la fonction donnée
/ (x) pour une valeur donnée de x la limite du rapport ^ de
l'accroissement Ay de la fonction à l'accroissement Ax de la variahle
indépendante, quand ce dernier tend vers zéro (Aa;->- ± 0), si la limite

II-l. DÉRIVÉE ET DIFFERENTIELLE DU PREMIER ORDRE H{
susmentionnée existe. La dérivée est notée y' ou /' (x) :
y' = f (x) = hm -r^- = lu» ---1- '■■ -
L'opératioD du calcul de la dérivée est appelée la dérivation dt la
fonction.
La fraction (1) peut no pas avoir de limite quand h-*-±ù
et alors la dérivée n'existe pas pour cette valeur donnée de x.
L'existence de la limite f (x) est équivalente à ce qui suit [1-2-8] : pour
tout nombre donné e > 0, il existe un nombre rj >• 0 tel que
| fç+hj-fi*) _f (a!)|<e| si |fc|<T) rt&^o.
En supposant que la dérivée existe, nous pouvons écrire
/f+^-/w„fw+p,
où p -»- 0 quand 7î -*• ± 0. Nous avons ensuite :
f(x + h)-f(x) = [f(x) + P]h,
d'où il découle que / (a; + h) — f (x) ->• 0 quand fe -»- ± 0,
autrement dit, si pour une certaine valeur de x la dérivée f (x) existe, alors-
la fonction f (x) est continue pour cette valeur de x. La réciproque
n'est pas vraie, autrement dit, de la continuité do la fonction pour
un x donne il ne découle pas l'existence de la dérivée.
Attirons l'attention sur le fait que lors de la recherche de Ja
dérivée d'une fonction continue, nous avons une fraction (1) dont
le numérateur et le dénominateur tendent veis zéro, mais le
dénominateur h ne prend pas la valeur zéro. Notons un cas particulier.
Si y = ex, le numérateur de la fraction est c (x + h) — ex = ch
et toute la fraction est égale à c, autrement dit, ne dépend pas de h.
Sa limite pour h -»- ± 0 est aussi égale à c.
Pour une valeur fixée de x, les valeurs de / (x) et /' (x) sont des
nombres. Si la fonction et sa dérivée existent pour tous les a; à
l'intérieur d'un certain intervalle, /' (x) est une fonction de a; à
l'intérieur de cet intervalle. Dans le cas considéré plus haut / (x) = ex-
la dérivée /' (x) est égale au nombre c pour tous les x.
II-1-2. Signification géométrique de la dérivée. Pour établir la
signification géométrique de la dérivée, on se reporte à la
représentation graphique de la fonction y — f (x). Soit M un point de la
courbe représentative de coordonnées (x, y). Soit N un point voisin
de la courbe représentative de coordonnées (x + àx, y + ày).

112
CH. II. NOTION BE DÉRIVÉE. APPLICATIONS
Si on figure les ordonnées MtM et NiN de ces deux points, et si
on mène par M une droite parallèle à J'axe OX, on a évidemment
ici. fig. 50) :
MP=MJfi = Ax, MÏM=y, Î^N = y + Ay, PN=Ay. (2)
ï.e rapport — représente la valeur de la tangente do l'angle <xt,
que fait la sécante MN avec la direction positive de l'axe OX.
Lorsque Ax tend vers zéro, le point N, se déplaçant sur la courbe,
Fig. 50 Fig. 51
tendra vers le point M; la position limite de la sécante MN sera
la tangente MT à la courbe au point M et par conséquent la. dérivée
/' (a;) sera égale à la tangente de l'angle a, formé par la tangente à la
courbe au point M {x, y) et la direction positive de l'axe OX, c'est-
à-dire égale au coefficient angulaire de cette tangente.
Lorsqu'on évalue les intervalles d'après les formules (2), il
y a lieu de tenir compte des signes et de remarquer que les
accroissements Ax et Ay peuvent être aussi bien positifs que négatifs.
Le point N de la courbe peut tendra vers M de n'importe quel
côté. Sur la fig. 50 nous avons donné à la tangente un sens
déterminé. Si nous lui avions conféré le sens contraire, cela aurait modifié
l'angle a d'une valeur n et n'aurait pas influé sur la valeur do la
tangente de cet angle. Nous reviendrons encore par la suite à cette
question de l'orientation de la tangente, mais maintenant elle est
sans importance pour nous.
Nous voyons ainsi que l'existence de la dérivée est liée à
l'existence de la tangente à la courbe correspondant à l'équation y = / (x),
et le coefficient angulaire de la tangente tg a = /' (x) doit être
fini. En d'autres termes, la tangente ne doit pas être parallèle à l'axe
OY. Dans ce dernier cas, a = -s- ou a = -g-, et la tangente de cet
angle est infinie.
Une courbe continue peut en certains points ne pas avoir de
tangente du tout, ou avoir une tangente parallèle à l'axo OY (fig. 51),

11-1. DÉRIVÉE ET DIMTEHENTIELLE DU PREMIER ORDRE H3
et pour les valeurs correspondantes de x la fonction / (x) n'a pas
de dérivée. Il peut y avoir un nombre arbitrairement grand de
points exceptionnels de ce genre sur la courbe. On démontre
également qu'il existe des fonctions continues qui n'ont pas de dérivée
pour aucune valeur de x. La courbe correspondant à cette fonction
n'est pas concevable pour nos représentations géométriques.
Arrêtons-nous un peu plus en détail aux cag représentés sur
la fig. 51.
Introduisons tout d'abord la notion de dérivée à droite ot à gauche.
Supposons que h tend vers zéro non d'une manière arbitraire, mais,
par valeurs négatives, ou par valeurs positives, autrement dit,
h -*- — 0 ou h -»• 4- 0. Si le rapport (1) a dans ce cas une limite
(finie), on la désigne usuellement par le symbole f (x — 0) ou,
respectivement,/' (x + 0) et ou l'appelle dérivée à gauche ou,
respectivement, dérivée à droite. L'existence delà dérivée/' (a:) est
équivalente à l'existence et l'égalité des dérivées /' (x — 0) et /' (x + 0).
Alors f (*) = f (x - 0) = f (x 4- 0).
Si les dérivées f (x — 0) et /' (a; + 0) existent et sont
différentes, cela correspond au cas où au point correspondant x existent
à droite et à gauche dos tangentes non parallèles à l'axe OY
(positions limites de la sécante), mais ces tangentes sont différentes,
autrement dit, elles ne forment pas une droite passant par le point
d'abscisse x. Ce cas est représenté par le point Mj sur la fig. 51.
Aux points M2 et Mz le rapport (1) tend vers l'infini qnand & -+• — 0
on h -*• 4- 0. Attirons l'attention sur lo signe de cet infini.
Pour les points N situés sur la courbe à gauche du point Af2,
la grandeur h < 0 et / (x + h) — f (x) < 0 pour les h
suffisamment proches do zéro, car l'ordonnée à gauche est inférieure à
l'ordonnée du point Mi. Ainsi, dans ce cas, le rapport (1) est positif et
quand h -*• — 0, il tend vers (+°°) (la tangente à gauche est
parallèle à l'axe OY). A droite de M2 la grandeur h > 0 et. comme
auparavant, / (x 4- h) — / (x) <. 0, autrement dit, le rapport (1) est
négatif et tend vers (—oo) quand h~>- + 0. Passons au point. M3.
Ici à gauche h < 0 et / (x + h) — / (x) < 0, et à droite h > 0
et / (x 4- h) — f (x) > 0, autrement dit, à droite et à gauche- le
rapport (1) est positif et tend vers (+oo) quand h ->■ — 0 ot quand
fe-s- + 0. autrement dit. dans ce cas, le rapport (1) tend vers (4-oo)
quand h -*■ ± 0.
Notons que lors de la définition de la dérivée nous avons exigé
que le rapport (1) tende vers une limite finie quand h-*- ± 0. Si
cette limite est égale à (+°°) ou (—oo) quand h—>-± 0, nous ne
disons pas toutefois que pour la valeur correspondante de x existe
une dérivée égale à (4-oo) ou (—oo).
II peut également, exister sur la courbe y — f (x) des points où
les dérivées /' (x — 0) et /' (a; 4- 0) n'existent pas. Une courbe de
8-ïBl

UA
CH. II. NOTION DIS DÉK.IVSE. APPLICATIONS
ce genre est représentée sur ia fig. 52. Elle no possède pas les
dérivées mentionnées au point x = c.
Si une fonction continue est donnée uniquement sur l'intervalle
(a, 6), nous no pouvons former pour x — a que la dérivée à droite
/' (a + 0) et pour x = b que la
dérivée à gauche /' (b — 0). Quand
on dit que / (») possède sur V intervalle
fermé (a. 6) une dérivée f {x), cette
dérivée doit être comprise dans le sens
usuel en tout point intérieur de cet
"""" intervalle, msiis aux extrémités de cet
intervalle uniquement dans le sons
indiqué.
Si / (x) est déterminée dans un
intervalle (A, B) plus large que {a, b),
autrement dit, A < a et B > b et
possède à l'intérieur de (A, B) une
dérivée usuelle /' (x), elle sera à plus
tlC)
-*~X
Fig. 52
forte raison une dérivée dans le sens indiqué sur l'intervalle (a. b).
ÏI-i-3. Dérivées des fonctions simples. A partir de la définition
on voit que, pour déterminer la dérivée il faut former l'accroissement
de la fonction, le diviser par l'accroissement correspondant de la variable
indépendante et chercher la limite de ce rapport quand l'accroissement
de la variable indépendante tend vers zéro.
Appliquons cette règle à quelques fonctions simples.
I. y = b (constante) (T-l-12].
k-t 0 'l Fl-f 0
c'est-à-dire que la dérivée d'une constante est nulle.
II. y — xu (n — «ombre entier positif).
, . ,.„ „ xn-|- «/M»-» :- " Cft~iJ ftV-2 |.... + fc»—*»
y => hm - '-. = Lm -, =
= lim fn*»-* -t-a("~4W-~2+ . . . +/^-^=/1^-1.
En particulier, pour y ■— x, y' = 1,. On généralisera ci-dessous
cette règle do dérivation des fonctions puissance aux valeurs
quelconques de l'exposant n.

ll-t. DÊRtVÉF. IÏT DIFFfiRUXTiËLLE £>U PRBHHÎJI ORDRE JJ5
III. y = Silfl X.
. , , .> . 2cos (s+-^-) sin-^-
, ,. sin(a: !~h)— suiz ,. \ ' 2 ) l
» =]im 1 r = lim — ■ r =■
a-mi h h-e *
. h
SHl-y
= 1ÏD1 COS ( X-\~-7T-) r — OOSX,
fc-Xi V 2 I ±
2
. fe
h smT
puisque pour -y tendant vers zéro, —r— tend vers 1 [1-2-9].
"2"
IV. y = co$x.
h
= Jim — ff = Dm r
. h
I h \ Sln~2~
--lit* («+T)_5-_-8Jn*.
2
V. y=lri3;(x>0).
z ,. In (x -A) —In* ,. \. if ^
X
puisque pour h -*■ 0, la variable a = — tend également vers zéro,
et Jïii±2i-h i (1-2-14].
VI. y = eu («), où c est une constante et u (x) une fonction de .«.
y = lim i-f —' = c hm ^ ' — — eu (x),
fi-i-0 " ft-»0 "
c'est-à-dire que la- dérivée du produit d'une constante par une variable
est égale au. produit de cette constante par la dérivée du /acteur variable
ou, en d'autres termes, on peut extraire un facteur constant du signe
de dérivation.
S*

«6
CH. II. NOTION DE DJËRtVfiE. APPLICATIONS
VU. jr-lg,,».
Comme ou l
la règle VI, il vient :
*
Comme ou le sait, lgax=)na:'^ [1-2-14). Eu appliquant
J i_
X ' il! «
VIII. Pour l'étude de la dérivée de la somme de plusieurs
fonctions, on se limitera a trois termes:
y = u (x) -j- v (x) + w (x),
y' = lim 1»(g+ft)+" («+»)-! «»(J-ffc)]~t» (»)+■> W+wWI =
/i->0 h
_]im ['C+tl-'W I »(»+*)—«>(*) . »(if fe)-|-m(j)-| _
1,-+0 L A "*" h "r A J
= u' (ic) + »' (a;) -j- w' (x),
c'est-à-dire que la dérivée d'une somme de fonctions est égale à la
somme des dérivées de ces fonctions.
IX. Examinons maintenant la dérivée du produit de deux
fonctions :
y = u{x)-v{x),
/ _ jjm a (x + h) v (x + h)~u (x) i> (x)
fc-»0 h
En ajoutant et en retranchant au numérateur la grandeur
u (x + h) v (x), il vient
v' = lim " (g4-fc) » (g+ft)—u (s+ft) g (s)-l-u (a+A) » («)—u (a) » (g)
V h->o h =
,. . , .. vtx-^-h)—» (x) , ,. . , ii(.i-t-ft) — u(x)
= lim m (a + h) K ,' — + l>m v (x) ^ ' i-J- =
= it {«) t>' (x)-\-v(x) u' (x),
autrement dit, dans le cas de deux facteurs, on a montré que la
dérivée du produit est égale à la somme des produits des dérivées de
chacun des facteurs par les autres.
Montrons maintenant que cette règle s'applique au cas de trois
facteurs, faisant deux groupes de facteurs, comportant
respectivement un et deux facteurs de un, et un appliquant cette règle au cas
de deux facteurs:
y = u (x) v (x) w (x),
y' = {[u (x) v (x)) w (x)}' = [u (x) v (x)] w' (x) + w (x) [b (x) v («.))' =
= u (x) v (x) w' (x) + u (x) v' (x) le (x) -\-u' (x) v (x) w (s).

11-«. DBRIVBEET DIFFERENTIELLE DU PREMIER ORDRE H7
En utilisant ia méthode bien connue de l'induction
mathématique, il n'est pas difficile d'étendre cette règle au cas d'au nombre
fini quelconque de facteurs.
X. Maintenant, soit y un quotient:
v v (x) '
u (x 4- II) M (s)
/ = iim v<*+\ "(z) -
_ .. i ulx-\-h) olx)—v (x-\-h)u(x)
a™ »(*)»(*+/»> ''
En ajoutant et en retranchant au numérateur de la deuxième
fraction le produit u (x) v (x), on a, en tenant compte do la
continuité de la fonction v (x) :
/ _ jim 1 K(xi-h) v (x) — u(x) v (x)-\-u (x)v (x)—v(x-'-h)u(x) _
_ u' (x) r; (i) — b' (x) u (x)
l» (*)]*
c'est-à-dire que Za dérivée d'une fraction (quotient) est égale au
produit de la dérivée du numérateur par le dénominateur moins le produit
de la dérivée du dénominateur par le numérateur, le tout divisé par
le carré du dénominateur.
XL y=tgx.
, _ /slttse\' (sin x)' cos x—(eos x)' sin x __ oos'a-t-Sm'rc 1
^ ~ \ cosï j — cosS i — cosa 2 eus* s '
XII. y = cotgs.
, /coss S'
?/ — UiniJ —
(cos x)' sin z—(sin x)' cos g — siîfi x—cos2 œ
sin2 a; sin2 x '
Lorsqu'on a établi les règles VI, VIII, JX et X, on a supposé
que les fonctions u {x), v {x) et w (x) avaient des dérivées, et on
a démontré l'existence de la dérivée de la fonction y.
II-f-4. Dérivées des fonctions de fonction et des fonctions
inverses. Rappelons d'abord la définition d'une fonction de fonction
[1-2-20]. Soit y — f (x) une fonction continue dans un intervalle
quelconque a -sj x -sg b et telle que les valeurs de la fonction
appartiennent à 1*Intervalle c-<. y ■< d. Soit z = F (y) une fonction
continue dans l'intervalle c ^ y -^. d. Considérant y comme la fonction

118
CH. II. NOTION DE DERIVEE. APPLICATIONS
susmentionnée de x, nous obtiendrons une fonction de fonction do x:
* = F(y)-F(f(x)).
On dit que celte fonction dépend de x par l'intermédiaire de y.
Il n'est pas difficile de voir que cette fonction sera continue dans
l'intervalle o<a'<i. En effet, à un accroissement infiniment
petit de x correspond un accroissement infiniment petit de y, puisque
la fonction / (x) est continue, et à l'accroissement infiniment petit
de y correspond un accroissement infiniment petit de z, la fonction
F {y) étant continue.
Il y a lieu de faire une remarque avant de passer à
rétablissement de la règle de dérivation d'une fonction de fonction. Cette
remarque est la suivante. Si z = F (y) a une dérivée pour y <= ya,
nous pouvons écrire d'après [II-l-l):
Az = F{y0+Ay)-F(Vo) = \F'(y0) + a.]Ay, (3)
où In variable a est la fonction de Ay, déterminée pour tout Ay
suffisamment proche, mais différent de zéro, et a->-0 si Ay -*■ 0, sans
jamais devenir nul. L'égalité (3) reste valable pour Aj/ = 0 avec
n'importe quel a, parce que pour Ay = 0 et Az = 0. D'après ce qui
précède, il est naturel de poser a = 0 pour Ay = 0. D'après cette
proposition on peut supposer que dans la formule (3), a -*- 0 si
Ai/—>-0 de n'importe quelle façon, même si Ay preud la valeur
fcéro. Donnons maintenant le théorème de la dérivation d'une
fonction de fonction.
Théorème. Si y = f (x) a une dérivée f [xs) au point, x =■- x0
et si z = F (y) a une dérivée F' (y0) au point y0 = / (x0), la fonction
de fonction F {/ (x)) a au point x — x0 une dérivée égale au produit
Soit Ax l'accroissement non nul que l'on donne à la valeur x0
de la variable indépendantes, et Ay = / (xa -f Ax) — f (xa),
l'accroissement correspondant de la variable y (qui peut être nui). Soit
maintenant Az = F (y0 -\- Az/) —F (yB). La dérivée par rapport à x
de la fonction de fonction z = F (f (x)) pour tout x ~ x0 est
évidemment égale à la limite, si elle existe, du rapport — pour Aa;->-0.
Divisons les doux membres de l'égalité (3) par Az:
&-!*• <»> + «]■£■■
Lorsque Ax -*■ 0, Ay -+■ 0 par suite de la continuité de la fonction
y=zf(z) au point x = £<,, et, comme nous l'avons indiqué plus
haut, a->-0. Le rapport ■— tend vers la dérivée /' (xt). Si, dans

11-1. DfiJtiVEE ET DIÏ'PÊRENTIEI.LE DU PREMIER ORDRE H9
l'égalité inscrite plus haut, on passe à la limite, il vient:
AX-.C *X
ce qui prouve le théorème que nous avons énoncé. Remarquons que
la continuité de / (or) pour x — Xq découle de l'hypothèse de
l'existence de la dérivée f (xa) lll-l-l].
Le théorème qui vient d'ôtre démontré peut être onoDcé sous
la forme suivante de règle de dérivation des fonctions do fonction :
la dérivée d'une fonction de fonction est égale au produit de la dérivée
par rapport à la variable intermédiaire par la dérivée de la variable
intermédiaire par rapport à la variable indépendante :
*i = *'(»)/'(*)■
Passons à la règle de dérivation des fonctions Inverses. Si y — f (x)
est continue et croissnnte dans l'intervalle (a, b) (c'est-à-dire qu'aux
plus grandes valeurs de x correspondent les valeurs plus grandes
de y) avec A — f (a) et B = / (b), comme nous le savons déjà
d'après ï 1-1-211 et 11-2-201, il existe une fonction inverse x — ç {y)
univequo continue et croissante dans l'intervalle (A. B). Eu raison
de cette croissance, si Ax ^=- 0, Ay =/± 0 et inversement ; en raison
de cotte continuité, si Aar^-0, Ay —>-0 et inversement. (Le cas des
fonctions décroissantes se traite exactement de la môme façon.)
T h é o r è m e. Si / (x) a une dérivée f (xa) différente de zéro
au peint x$, la fonction inverse q> (y) a au point y<, ■— f (a:0) une dérivée
Si l'on désigne pat Aar et Ay les accroissements correspondants
de x et de y, c'ost-à-dire :
Ax = y(y0 + Ay) — (p(tf0),
Ay = f (^.,, +Ax)~f(x0),
et si l'on tient compte du fait qu'ils sont tous les deux différents
do zéro, on peut écrire:
Ax _ 1
Ay ~ Ay
Ai
Comme on a vu plus haut, Ax et Ay tendent vers zéro
simultanément, et l'expression précédente admet (4) comme limite. Le
théorème qui vient d'être démontré peut être énoncé sous la forme
suivante de règle de dérivation des fonctions inverses: la dérivée
de la fonction inverse d'une fonction est égale à F unité divisée par la
dérivée de la fonction initiale au point considéré.

120 CH. II. NOTION DE DBlUVfiE. APPLICATIONS
L'interprétation géométrique do cette règle de dérivation est
simple U-1-21J. Les fonctions x = <p (y) et y — f (x) ont la même
courbe représentative dans le plan XOY. à ceci près que pour la
l'onction x ■-— qi (y) l'axe sur lequel est portée
la variable indépendante est l'axe OY, et non
{ y plus l'axe OX (fig. 53). Si l'on mène la tangen-
U^k te MT Ci revenaiit à la signification gôomé-
.AfY trique de la dérivée, il vieut
TX
r(x) = tg(OX,MT) = tgcc,
<-ç'(y) = ig(OY,MT) = tg$,
Fig. 53 les angles « et p étant comptés positivement
sur la fig. 53. Mais il est évidont que
P = ~— œ et, par conséquent,
tgf} = -^, c'est-à-dire <p'W = -i_.
Si x — (p (y) est la fonction inverse do y — f (x), on peut
évidemment considérer, réciproquement, la fonction y =*- / (x) comme
l'inverse de x — <p (y).
Appliquons In règle de dérivation des fonctions inverses à
l'exemple suivant:
Xlir. y - ax (a > 0).
La fonction inverse est dans ce cas:
ar=cp(y) = nj„y,
et d'après VII,
d'où nous tirons en appliquant la règle de dérivation des fonctions
inverses:
y'=—r-rr= V In a on tax)' = <l*lna.
Dans le cas particulier où a = e, il vient:
La formule obtenue jointe à la règle de dérivation des fonctions
do fonction nous permettra de calculer les dérivées de ia fonction
puissance.
XIV. y = £n (»>0; n nombre quelconque réel).
Pour tout x > 0, cette fonction est définie et a une valeur
positive [1-1-19}.

n-1. DERIVEE ET DIFFERENTIELLE DU PREMIER ORDRE J2I
En utilisant la définition des logarithmes, on peut représenter
cette fonction sous la forme d'une fonction de fonction :
y~xn = e'llnx.
En dérivant selon la règle de dérivation des fonctions de
fonction, il vient:
y' -^ enlaxJL—xn JL — n^-l,
Ce résultat peut être étendu simplement au cas des valeurs
négatives de x, si seulement pour ces valeurs la fonction existe, par-
exemple dans le cas de y = a;*-'3 = Y~x.
Appliquons maintenant la règle de dérivation des fonctions
inverses à la détermination des dérivées des fonctions circulaires
inverses.
XV. y = arc sin ^.
Nous considérons 1 a détermination principale U-l-24] de cette
fonction, c'est-à-dire l'arc compris dans l'intervalle (—y , +-V) .
Cotte fonction peut être considérée conuno la fonction inverse de-
la fonction x = sin y, et d'après la règle de dérivation des fonctions-
inverses, il vient :
*„ «'s 2/ VI—sin2 y >'l-*2
en choisissant la racine positive, puisque cos y est positif dans
l'intervalle (—"J' t)" ^n ^exxi ^enït de 1& même façon:
(arecoso^-y^bf ,
où l'on prend en compte la détermination principale de la fonction
arc cos a, c'est-à-dire l'arc compris dans l'intervalle (0, n).
XVI. y = arc tg x.
La détermination principale d'arc tg x correspond à l'intervalle
( — T' ■?") ' efc ^1^ fonction peut être considérée comme-
l'inverse de la fonction x = tg y ; par conséquent :
,_ 1 1 2 _ 1 1
y"~ x'y -_l_-cos V-\+itfy -1 + ^ ■
eu»2;/
On obtiendra de la même façon :
(arc cotg x)' =-^-^ .

122 cu. «1. NOTION DE DÉRIVÉE. APPLICATIONS
XVII. Examinons encore la dérivation des fonctions du type
y — u', où u ot v sont des fonctions do x. Nous pouvons écrire
y — evlau,
et. en appliquant la règle de dérivation des fonctions de fonction,
il vient:
y' = é°^^.(v\uu)'.
Si nous appliquons maintenant la règle de dérivation d'un produit
de fondions et dérivons In u comme une fonction, de fonction de x.
nous obtiendrons finalement:
ou
if =*eviaa(v' lnu+-^u'\
y' — u" w/ In u+—u'\ .
II-1-5. Table dos dérivées des fonctions et exemples. Rappelions
dans nno table toutes les règles de dérivation que nous avons
établies.
1. (c)'-0.
2. (eu)' — eu .
3. («j-j-«2+ ... T»«)' = »l + «i+... -|-i4.
4. (zitW2. . .Un.)' = M,jU2»3...Un+U1U^Uj.. .«„+. . .+UtU2Us. . .U'n.
5/ ri \ ' u'i>—L>'u
G. (£")' =■ n*n_l et (*)' -=* 1.
8. (ex)'=-«*et(ax)' = axlii«.
9. (sinx)' = cosa:.
10. (cos#)' =—sîna;.
12. (cotg*)'--^.
13. (arc sin #)' = ■
14. (nrc cosa;)' = —
1
yu^

11-1. DÉRIVÉE ET DlFFfiRJSNTlSLLi! DO PHJÎMJBR ORDftlî
15. (arc tgx)'=^-i.
36. (arccotgx)'= — j-ç^ ,
17. (u'>Y = vu<'-iu' + uvljiUD'.
18. y'x=yi-u.'x (y dépend de x par l'intermédiaire de u).
19. x'„=A- .
Appliquons maintonanl ces règles à quelques exemples:
1. y = afl—Sx'+7x—i.<i.
L'application des règles 3, 6 et 2 conduit à :
y'^3ïa — 6s+7.
*''°F3
--x
■2/2
y X'
L'application de la règle 6 conduit ù :
5
.2,-5.
A 3*f- as*
3. j=£in2:r.
On pose u ■=- siii x, el l'app lieu lion des règles 18, 6 el 9 donno;
y' — 2u - u' = 2 si n s cos a:—sin 2s.
4. i/ = sin(i2).
On pose u = je8, et l'application des mêmes règles conduit a;
^'--cosiiai'=2icos (x2).
5. ï = iii(*-i-y«ï + l).
En posant d'abord «=-*-)- l/"»" -|^ 1, puis u = s2 -)- 1 et en appli
ensuite deux fois la règle 18, ainsi que los réglas 7, 3 et 6:
y' ='—h— («+ V^TÏ)' =^rr^== U + (V^Tï)' I -
= 7 [h .1 (¾2 -1-1)-1 =
s+y«ï+iL 2 y ««-m J
^a-i-y^+ï'i1"1" y^Tï)~
x
r-j/gg-l 1 1
ï-fl/l' |-1 "J/j:2 + l V«2 + l
«•"-(stî)"'

124 CH, II. NOTION DE DÊR1VËE. .APPLICATIONS
Posons u—-x—r-; et appliquons les règles 18, (S et 5:
JjT'-f- 1
,__ / x \n-l f x \' I x \n-l 2X-<-\ — 2x
" ~n \Sx+\) Ue-M/ nVix+l) CZx4-lp ~ (2,
*-M)"+1 "
7. i/ = z».
Par application de la règle 17, il vient:
y' = **-!- s + a* tn * — z* (1 + la i).
8. La fonction y est donnée par l'équation :
comme fonction implicite do as. Calculer ia dérivée y.
Si l'on résolvait l'équation donnée par rapport à y, on obtiendrait y = / {s).
tion donnée par rapport à ¢, en considérant que y est une fonction de a-,
donnée par cotte équation, on doit trouver zéro:
-S- + -5Ï-Ï-0. d ou ir---^.
Dans ce cas, comme on peut lo voir, y' ne s'ox prime pas seulement en
fonction do x imita aussi en fonction de ». Cependant, il n'a pas fallu, pour
calculer ia dérivée, chercher à résoudre léquntion (5) par rapport à y, c'est-à-dire
trouver nno expression explicite do la fonction.
Comme un lt: sait d'après la géométrie analytique, l'expression 15) est
l'équation do l'ellipse et l'expression tronvée pour y' représente lo coefficient
anginoiro de la tangente à cette ellipse au point uo coordonnées (x, y),
II-1-6, Notion do différentielle. Soit àx l'accroissement
arbitraire de la variable indépendante que nous considérerons maintenant
comme indépendante de x. Nous l'appellerons différentielle de
Invariable Indépendante et nous récrirons àx ou dx. Cette expression
n'indique nullement un produit de d par x, mais est lo symbole
pour désigner une quantité arbitraire ne dépendant pas de x.
On appelle différentielle d'une fonction le produit de sa dérivée
par la différentielle de la variable indépendante.
La différentielle d'une fonction y = f(x) ost désignée par le
symbole dy ou df (x) :
di=df(x) = f{x)âx. (fi)
A partir de cette formule on peut exprimer la dérivée sous forme
du rapport de deux différentielles:

II-1. D8R1V8E BT DIÏSfiRENTlKtl.E BU PREMIER ORDRE 125
Kg. 54
Soulignons que la différentielle dx d'une variable indépendante,
faisant partie de la définition do la différentielle d'une fonction
et de la formule (6), peut prendre des valeurs tout à fait arbitraires.
En fixant une valeur quelconque de dx, nous obtenons, d'après la
formule (0), la valeur correspondante de ây, pour "un x -donné. Si
nous considérons dx comme un
accroissement de la variable indépendante x, il
faut que non seulement x, mais aussi x-\- dx
appartiennent à l'intervalle sur lequel la
fonction a été définie. Cependant, même
alors, la différentielle de la fonction dy
ne coïncide pas, sauf cas exceptionnels,
avec l'accroissement de la fonction
correspondant à l'accroissement dx de la variable
indépendante.
Pour saisir la différence qui existe entre
ces deux grandeurs nous allons examiner
la courbe représentative de la fonction.
Soit, sur cette courbe, un point M (x, y) et un autre point N.
Traçons une tangente MT, les ordonnées correspondant aux points
M' et TV et la droite MP parallèle à OX (cf. fig. 54). Nous aurons
alors :
MP = M\Ni-àx (ou dx),
PN = Ay (accroissement de y),
/\
tgPAf <? = /'(*),
d'où
/\ _
dy = f (x)dx = MP tg PMQ = PQ.
La différentielle de la fonction est représentée par le segment
PQ. qui n'est pas identique au segment PN qui correspond à
l'accroissement de la fonction. Le segment PQ représente l'accroissement
que nous aurions obtenu si, dans l'intervalle (x, x + dx) nous avions
remplacé l'arc de courbe MN par le segment MQ de la tangente,
c'est-à-dire si nous avions estimé que dans cet intervalle,
l'accroissement de la fonction est proportionnel à l'accroissement de la
variable indépendante, et que le coefficient de proportionnalité
■est égal au coefficient angulaire de la tangente MT ou, ce qui revient
au même, à la dérivée f (x).
La différence entre la différentielle et l'accroissement est
représentée par le segment NQ. Montrons que si Ax tend vers zéro, cette
différence est un infiniment petit d'ordre supérieur par rapport
à Ax [1-2-12].

120 CH. II. NOTION DE Dfi RIVÉE. APPLICATIONS
La limite du rapport -^ est la dérivée, c'est pourquoi [1-2-3] :
£-/•<*> + •.
où s est un infini mont petit simultanément avec Ax. Celte égalité
nous donne:
Ay = /' («) Aœ-f-sA*
ou
ce qui montre que la différence entre dy et Ay est égale à ( — e-Ax).
Le rapport entre (—vAx) et Ax, égal à (—e), tend vers 0 en moitié
temps que Ai, c'est-à-dire que la différence entre dy et Ai/ est un
infiniment petit d'ordre supérieur par rapport à àx. Remarquons
que le signe de cette différence peut être quelconque. Sur notre
figure, aussi bien Ax que cette différence sont positifs.
La formule (6) donne la règle du calcul do la différentielle d'une
fonction. Appliquons-la à quelques cas particuliers.
I. Soit c une constante, alors
dc = {c)' dx = 0.dx = 0,
c'est-à-dire que la différentielle d'une constante est nulle.
II. d\cu(x)] — {cu(z)]' dx = cu' (x) dx = cdu(x),
c'est-à-dire qu'uw facteur constant peut être sorti du symbole de diffé*
reniiation.
III. d\u(x) + v(x) + w(x)] = lufr) + v{x) + u>(x)]'dx=
— !'<' {x) + °' {x) + w' (*)] dx = u' (x) dx + v' (x) dx + w' (x) dx =
= du (x) •+■ di> {te) + dw (a ),
c'est-à-dire que la différentielle d'une somme est égale à la somme
des différentielles de chacun des termes.
IV. d \u (x) v (x) w (x)] = u (x) v (x) w (x)J ' dx —
= v {x) w (x) u' (x) dx ■ |- u (x) w (x) i/ (x) dx-j-u (x) v (x) w' (x) dx =
= v{x) w (x) du (x) -f u (x) w (x) dv (;r) -f- u (x) v (x) dw(z),
c'est-à-dire que la différentielle d'un produit est égale à la. somme, de
produits de la différentielle de chacun des facteurs par tous les
autres facteurs.
Ou n'a mentionné ici que le cas de trois facteurs. Mais la même
déduction est également valable pour n'importe quel nombre fini

1)-1. DÉRIVÉE ET DIl']?EltKNT]EI,IJK BU PREMIER ORDRE )27
de facteurs.
_ v (a) <fo (a:) —fi (x) dv (x)
["{Al2
c'est-à-dire que la différentielle W un rapport (d'une fraction) est égale
à la différence entre le produit de la différentielle du numérateur par
le dénominateur et le produit de la différentielle du dénominateur par
le numérateur, le tout divisé par le carré du dénominateur.
VI. Etudions le cas d'une fonction de fonction y = /(it), où
u est fonction de x. Déterminons dy, en supposant que y dépend de x :
[dy = y'xdx = f (u)• u'xdx = /' (u) du,
c'est-à-dire que la différentielle d'une fonction de fonction se présente
sous la même forme que si la fonction intermédiaire était la variable
indépendante.
Elndions un cas particulier afin de comparer l'accroissement de la fonction
à sa différentielle. Soit la fonction:
j, = / (a) = *3+2aï-|-&H-10
et étudions son accroissement
/(2,01)-/ (2) = 2,013+2-2,0^-1-4.2,01 + 10—(23-1-2-22+4-2-i 10).
Les calculs donnent la valeur Suivante de l'accroissement :
hy = f (2,01)- /(2)=0,240801.
II est incomparablement plus simple d'évaluer la différentielle do la
fonction. Dans lo cas présent, dx = 2,01 — 2 = 0,01 ot la différentielle do la
fonction sera:
dy = (3s2+4r+4)d3;=:(3.23+4-2-1 4)-0,01 = 0,21.
En faisant la comparaison, nous voyons qu'il y a coïncidence entre dy
ot Arj au millième près.
11.1-7. Quelques équations différentielles. Mous avons montré qu'on
remplaçant l'accroissement de la fonction dans l'intervalle (x, x -I- dx) pur
sa différentielle, nous appliquons la loi de proportionnalité directe entre les
accroissements de la fonction ot ceux de la variable indépendante avec un
coefficient de proportionnalité correspondant, et que cette substitution engendre
une erreur qui est un infiniment petit d'ordre supérieur à d*. C'est sur ce fait
qu'est basé remploi de l'analyse des infiniment petits pour i'étude des
phénomènes naturels.
En observant un certain processus, on s'efforce do lo diviser en éléments
petits et on applique à chacun d'eux lit règle do proportionnalité directe. A la
limite on obtient ainsi une équation représentant une relation entra une
variable indépendante, une fonction ot lours différentielles (ou dérivées). On appelle
cette équation équation différentielle, correspondant an processus considéré.
Obtenir la fonction à partir do l'équation différentielle c'est intégrer
l'équation différentielle.

128 CH. II. NOTION DE DÉRIVÉE. APPLICATIONS
Ainsi, en utilisant l'analyse des infiniment petits pour étudier une loi
de la nature, il faut formor l'équation différentielle de la loi considérée et
l'intégrer. Ce dernier problème est en général beaucoup plus difficile quo le
premier et noua en parlerons dans la suite. Dans les exemples suivants nous
allons rechercher les équations différentielles correspondant à certains
phénomènes simples de la nature,
3. Formule barométrique, La pression atmosphérique p, calculée pour une
unité de la surface, est évidemment une fonction de l'altitude h. Examinons une
colonne cylindrique varticale d'air de section égale à l'unité. Considérons doux
sections A et At du cylindre, respectivement définies par les bautours A et h -j-
-j- dh. Lorsque l'on passe de la section A à la section Àiy la pression p diminue
(si dit > 0) d'une grandeur égale au poids d'air contenu dans la partie du
cylindre entre A etAt. Si dh ust petit, on peut considérer de façon approchée que la
densité d'air p dans cette partie du cylindre est une constante. La surface de
la section do la colonne A Ai est égale à l'unité et sa hauteur est dh, son
volume est donc dh et son poids p dh. Ainsi la diminution de p (lorsque dh > 0) est
égale ù p dh:
dp=~pdh.
D'après la loi de Boyle-Mariotto la densité p est proportionnelle à la pression p t
p=ep (où c ost une constante),
«t nous avons l'équation différentielle suivante:
dp= —cpdh ou -j~-——cp.
S. Réactions chimiques du premier ordre. Soit uno substance de masse a qui
ontre dans une réaction chimique. Soit s. la masse qui est déjà entrée en réaction
à l'instant, t. Il est évident que x est une fonction de t. Pour certaines réactions
on peut considérer de façon approchée, que la quantité do matière dx qui enln>
eu réaction entre les instants t et t -j- dt, pour dt petit, est proportionnelle a
di et à la quantité de matière qui n a pas encore réagi à l'instant t:
dx
dx~c(a—x)dt ou ~-—c(a—x).
Transformons cette équation différentielle, on introduisant au lieu de x la
fonction y — a — x, oïl y représente la masse qui n'a pas encore réagi à l'instant t.
En tenant compte de co que a ust une constante, nous avons:
dy _ dx
~âi dt •
<!t l'équation différentielle d'uno réaction chimique du premier ordre peut être
mise sous la forme :
dy
S. Loi du refroidissement. Supposons qu'un corps chauffé à une température
élevée est plongé dans un milieu ayant «ne température constante de 0". Lors du
refroidissement, la températuro 0 du corps sera une fonction du temps t mesuré
à partir do l'instant où le corps est plongé dans le milieu. La quantité de chaleur
dQ porduo par lo corps pendant l'Intervalle de temps dt sera considérée, de façon
approchée, comme proportionnelle à la durée dt et à la différence entre la
température du corps et du milieu ambiant à l'instant t (loi du refroidissement de

Il-t. DËBIVBE ET DIFM!RBrJTIEM.S: DU PREJHER ORDRE 129
Newton). On peut alors écrire:
dQ=c$ dt (où ct est une constante).
Si ft est la chaleur spécifique du corps,
dQ=>—kdQ,
où nous avons mis le signe <—) car dB dans le cas considéré est négatif (la
température baisse). En comparant ces deux expressions de dQ, nous obtenons:
c est une constante, si nous considérons k comme une constante. Los équations
différentielles obtenues ont une forme identique. Elles montrent toutes que la
dérivée est proportionnelle à la fonction même avec un coefficient de
proportionnalité négatif (—c).
Nous avons montré [1-2-14] qu'un capital a placé pendant un temps t
à un taux k et dont l'intérêt est capitalisé devient:
y=aeM. (7)
En calculant la dérivée, nous obtenons :
y'^ah^'^ku, (8)
c'est-à-diro que dans ce cas, nous obtenons encore que la dérivée est
proportionnelle â la fonction, grâce à quoi on appelle cette propriété loi des iniérUs
composés, Dans la Suite nous montrerons que la fonction (7) donne toutes les
solutions de l'équation différentielle (8) pour une valeur arbitraire de la constante a,
à la place de laquelle nous écrirons C.
De la sorte les solutions de nos équations peuvent être mises sous la forme
(on remplaçant k par —c) :
p(A)=Ce-^, u(t)=Ce-«, Ô(0 = Ce-«, (9)
où C est une constante. Déterminons maintenant la signification physique de C
dans chacune des formules précédentes. En faisant dans la premièrefonuule A=0,
il vient:
où po est la pression atmosphérique pour h =• 0, c'est-à-diro à la surface do la
terre. Dans le deuxième cas pour t — 0 on a
c'est-à-dire que C est la masso qui n'est pas entrée en réaction à l'instant
initial, ot nous l'avons notée d'abord avec la lettre a. Enfin, on faisant t <=* 0
dans La troisième» des formules (0), on voit que C est la température initiale S0
du corps au moment où on Io plonge dans le milieu. Et de la sorte il vient :
P(fc>=Po«-c\ y(t) = o»-e', 6{t)=90e-t!'. (tO)
II-1-8. Estimation des erreurs. Lorsque l'on détermine pratiquement Ou
que l'on calcule de façon approchée une grandeur x, on fait une erreur àx qui
est l'erreur absolue de l'observation ou du calcul. Elle ne caractérise pas la
précision de l'observation. Par exemple, une erreur de 1 cm environ lors de
la mesnro des dimensions d'une chambre est pratiquement tolérablè, tandis
que la même erreur sur la distance de deux objets voisins (par exemple, la dis-
9—281

130
CB, II. K0T10N DE DÉRIVÉE. APPLICATIONS
tance entre la chandelle et l'écran du photomètre) représente une grande erreur.
C'est pourquoi on introduit en outro la notion d'erreur relative, qui est égale
IAx I
— do l'erreur absolue à la valeur de la grandeur
mesuréo.
Supposons maintenant qu'une gTandeur y est définie par l'équaLion y ■=
■= / [s). L'errear âx entraînera une errour ày Pour des valeurs petites de àx
on pout remplacer ày approximativement par la différentielle dy. de aorte que
l'erreur relative sur u s oxprime par:
ÈL\
Exemples. 1. L'intensité du courant, i est définie, comme on sait,
a l'aide d'une boussole dos tangentes d'après la formule:
i = etg<p.
Soit dtç l'erreur sur la mesure de l'angle q> :
,. c , di c . 2 .
ii — —s—diù, —-——5 dm = . dm,
cos*(p T t cos3 ijp-c tg ijp sin 2(p T
d'où on voit quo l'erreur relative \~ sera d'autant plus petite lors de la inesuro
de t, quo ip sera plus voisin do 6Sf.
2. Examinons le produit un:
,, . , . , d (utf) du dv
d(ui;)^v du+itdv, —i—-= f ,
4 ' ut/ U ' V
d'où :
I à(uv) I | du_\ I dv I
| «w | I » | | i> I '
c'est-â-dire quo l'erreur relative sur un produit n'est pas plus grande que In
somme des erreurs relatives sur les différents facteurs.
On a la même règle pour un quotient car:
dv
3. Examinons la formule de la surface d'un cercle:
Q = nr*, dQ^Znrdr, —£- = ô—=2 ,
v Q .tra r
c'est-à-dire que l'erreur relative commise lors de la détermination de la
surface d'un cercle, d'après la formule ci-dessus, est égale ou double de l'erreur
relative sur le rayon.
V
u
V
V
du iv
" u v '
du—u
!>2
V
u
V
dv
<
du
u

II-2. EflRIVaJÏS ET Dfï'FÊRENTIEI.I.ES D'ORDRE SUPÉRIEUR (3-J
A. Supposons qu'un angle «p est défini par le k>garilhm« de son sinus ot
de sa tangente. D'après les règles de diffcrentiation, on a:
, ,■ » cos q> d<v , ., , . dtp
d (lg10 s»i ç) =lri i0,siri ^ • à (lgi0 tg f)= imo.tg.p.oos^ '
d'où
dy= .ln^° f. d(lgiosinq>), dq>=laH)-sina.cosç<l(lg10tgq>). (U)
Supposons que lors de la détermination de ]gltl sin ç et do lgio Ig q> on ait
fait la même erreur (cette erreur dépond du nomme de décimales de la table
de logarithmes utilisêo). La première des formules (11) donne pour d<\> uno valeur
plus grande es valeur absolue quo la secondo (14), car si dans la première
formule, on divise la iO.sin ip par cos ip, dans la seconde on le multiplie par cos qs,
et | cos (pi < i. De sorte que pour calculer l'angle, il est plus avantageux
d'utiliser los tables de lg,o Ig q>.
13-2. Dérivées et différentielles d'ordre supérieur
IÏ-2-1. Dérivées d'ordre supérieur. Nous savons que la dérivée
/' (x) de la fonction y = / (x) ost aussi une fonctiou de x. En la
dérivant, nous obtenons une nouvelle fonction ç[ui est la dérivée seconde
ou celle du second ordre de la fonction initiale / (x), et que nous
désignons par:
y", ou f{x).
En dérivant la dérivée seconde, nous obtenons la dérivée du
troisième ordre :
y", ou /"(*)-
Ainsi, par dérivation, on peut obtenir une dérivée de n'importe
quel, n" ordre, yn ou bien f (x).
Examinons quelques exemples.
1. y = eax, 2/' = ae"*, y" = a'efx, ..., y«n' = aVx.
2. y = (ax+bf, y,=*ak(aa; + b)h-1,
y"=a>Jù (A-1) (ax + &)*-», ...,
^ = 0^(^-1)(4-2) ... (k—n + ï){az + bf-n.
3. Nous savons que:
(sinœ)' = cosa; = sin (#+-£-) t (cos*)' = — sin#=cos ^--).-5-^ ,
c'est-à-dire que dériver sin x et cos x revient à ajouter -^- à
l'argument, d'où:
(sin*)-=[8iii(*+T)I",sil,(* + 2T),(*+T)'=^(^+2¾ '
9*

132 CH. II. NOTION DE DEBrVEE. APPLICATIONS
et en général :
(sin»),m = sin (a+w-sM et (cosa;)(n,=cos (s+^-f-) •
5. Considérons la somme de fonctions:
y = u -f " + u>.
En appliquant la règle de dérivation des sommes et en
considérant que les dérivées correspondantes de u,, v, w existent, on obtient :
y' = u' + v' + w', y"=u"+v"+u/, ..., y(n) = um + v'r,)+w<n>,
c'est-à-dire que la dérivée de n'importe quel ordre d'une somme est
égale à la somme des dérivées du même ordre. Ainsi:
y^xt—^+lx+lO; y' = 'ix2—8x + 7, y" = 6x—8; if=6,
yt*> = 0 et, plus généralement, j/<n, = 0 si «>3.
De la même façon on peut montrer que la dérivée n" d'un
polynôme de degré m est nulle pourvu que n> m.
Examinons maintenant le produit de deux fonctions y = uv.
En utilisant les règles de dérivation des produits et des sommes,
on obtient :
y' = u'v-\-uv',
y" = u"d + u'v' + u'v' + uv' = u"v + 2u'v'.+ Uv",
y" = u"v + u"v' +2u'v' + 2u'v" + u'v" + uv" =
= u'v + Zu'v' + 3u'v" -f uv".
On notera la loi suivante de composition des dérivées: pour
obtenir la dérivée n' du produit uv il faut développer {u + v)a suivant
la formule du binôme de Newton et dans le développement obtenu,
remplacer les exposants de u et v par des indices de dérivation, et il
foui remplacer les termes avec des exposants nuls (u° — v" = 1) faisant
partie des membres du développement extrêmes par les fonctions elles-
mêmes.
Cette règle est la règle de Leibniz, et on l'écrit sous forme
symbolique :
ym> = {u + v)m.
Démontrons la validité de cette règle, en faisant une
démonstration par récurrence. Supposons que cette règle est vraie pour la

n-2. msri'vBes et dipudrentieliiES d'ordre supérieur 133
dérivée d'ordre n, c'est-à-dire que:
y<"> = (a + u)(n> = u<n>v+ ~ uin-»v' + "■(n~— zi<fl-3V + ...
.. . + n(n~l)..^n-k+i)^w ,„,*> + . ., + „„(«.. (!}
Pour obtenir î/(n+1>t il faut dériver cette somme par rapport à x.
Le produit itcn*li>u(ft' deviendra, dans le membre général de la
somme, d'après la règle de dérivation du produit, la somme um~k*° i/*' +
_|_ um-tov{h+i>_ Mais sous forme symbolique cette somme peut
s'écrire:
«""V (« + »).
En effet, en ouvrant les parenthèses et en changeant les exposants
en indices de dérivation, on obtient la somme:
Nous voyons ainsi que pour obtenir j/(n+1> il faut multiplier
symboliquement tous les termes de la somme (1), et par conséquent la
somme elle-même, par (u + v), et par suite :
ym+i> ^ (M + vyv .(^ + 1,)=,(^ + £,)<»+!>.
Nous avons montré que si la règle de Leibniz est vérifiée pour
un n quelconque, olle est valable également pour (ra + 1). Mais
nous avons déjà vu qu'elle est valable pour »=1, 2, 3, et par
suite pour toutes les valeurs de n.
Examinons comme exempte :
ï=e*(3sa—1)
et cherchons y<wo> :
ion ^nn.oft
j,U00) = (e*)(100> (3^-1)+^ (^)(09) (3*2_l)' + i^^ (e*)lS6) (3,.3^).+
+ 10t'-29398 (eX)""' P*2-1)" + • ■ ■ + ex(3^-1)<100).
Toutes les dérivées d'un polynôme du 2° degré sont identiquement
nulles à partir de la troisième et par aiHonrs, (e*)w = ex, d'où:
y(W)^e* (3ar2_l) + lO0e*.6œ+4 95De*.6=e* (3r>+G00a:+29 699).
II-2-2. Interprétation mécanique de la dérivée seconde.
Examinons le mouvement rectiligne d'un point:
où t est le temps et s la distance calculée à partir d'un point de la
droite. En dérivant une fois par rapport au temps, on obtient la

134
CH. II. NOTION DE DERIVEE. APPLICATIONS
vitesse du mouvement :
Formons la dérivée seconde, qui représente la limite du rapport
~s lorsque Ai tend vers zéro. Le rapport ~ caractérise la rapidité
avec laquelle varie la vitesse pendant un intervalle de temps &t,
et donne 1*accroissement moyen dans cet intervalle de temps. Et la
limite de ce rapport lorsque At tend vers zéro doane l'accélération w
à l'instant t du mouvement considéré :
Supposons que f (t) est un polynôme du second degré:
s = oiî-(-û{-(-c, VT=2at-\-b, io = 2a,
c'est-à-dire que l'accélération w est une constante et le coefficient
a = y w. En faisant t — 0 il vient b — v0, c'est-à-dire que le
coefficient b est égal à la vitesse initiale, et c = s$. c'est-à-dire que c
csL égal à la distance à l'instant t = 0 du point à l'origine des
coordonnées sur la droite. En remplaçant a, b et c par leurs valeurs
dans s on obtient la formule pour le mouvement uniformément
accéléré {w >■ 0) ou uniformément ralenti (w < C) :
s =-^-wtz-TV<,t-\- s0.
En général, en connaissant la loi de variation de .?, on peut,
en dérivant deux fois par rapport à t, déterminer l'accélération w
et par suite la force / produisant le mouvement car d'après la
deuxième loi de Newton / — mw, où m est la masse du point on mouvement
rectiligne. On démontre en mécanique, dans le cas d'un mouvement
curviligne, que /" (f) n'est que la projection du vecteur accélération
sur la tangente à la trajectoire.
Examinons le cas du mouvement oscillatoire harmonique d'un
point M lorsque la distance s de ce point à un point fixe 0 sur la
droite où se déplace M est définie par ;
s = asin ( —£-f-»j ,
où l'amplitude a. la période des oscillations t et la phase <o sont
des constantes. Déterminons par différenciation la vitesse v et la
force / :
B„i2LcoB(-|i£ + H»), /-«w =
in^m . /23t.. \ kv?m
= ^-asm ^—i + a)J= ^-s.

11.2. DÉRIVÉES ET "niFFÊRENTIELLES D'OIUJRE SUPÉRIEUR {35
c'est-à-dire que l'inLonsité de la force est proportionnelle à la
longueur OM et dirigée en sons inverse. En. d'autres termes, la force
est toujours dirigée de M vers 0, et elle est proportionnelle à la
distance séparant ces deux points.
11-2-3. Différentielles d'ordre supérieur. Introduisons maintenant
la notion de différentielles d'ordre supérieur d'une fonction y — f (x).
Sa différentielle
dy = /' (x) dx
est évidemment une fonction de x, mais il ne faut pas oublier que
la différentielle de la variable indépendante dx est déjà indépendante
de x 111-1-61, et doit être extraite lors des difîérentiations
successives et considérée comme un facteur constant. Considérant dy
comme fonction de x, on peut former la différentielle de cette
fonction que Ton appellera différentielle du deuxième ordre de la
fonction initiale / (x) et que l'on désignera par les symboles dzy ou
d*f (x) :
d*y =^d(dy) = [f (x)dx]' dx=f (x)dx*.
En différentiant la fonction de x ainsi obtenue, on a la
différentielle du troisième ordre:
d3y = d (d*y) = If (x) dx2]' dx - f(x) dx3
■et en prenant les différentielles successives on arrive à la notion
de différentielle d'ordre n de la fonction / (s),Jet on obtient:
dnf(x), on d"y = fw (x) dxn. (2)
Cette formule permet de représenter] lajdérivée du] n" ordre
sous forme de rapport:
/<n'(*)=-f£. (3)
Examinons maintenant le cas d'une fonction de fonction y = f (u),
■où u est une fonction d'une certaine variable indépendante. Nous
savons UI-f-6] que la différentielle dn premier ordre de cette
fonction est de la même forme que si u était une variable indépendante :
dy = /' (u) du.
En. calculant les différentielles d'ordre supérieur nous obtenons
des formules différant de (2) car nous ne pouvons plus considérer
du, comme une grandeur constante, u n'étant pas une variable
indépendante. Ainsi, par exemple, pour les différentielles du deuxième
■ordre nous aurons :
d«y = d [f (u) du]=dud [f (u.)] -f /' (u.) d (du) = f(u)dui + f (u) d^,

136 CH. II. NOTION DE DâMvfiE. APPLICATIONS
qui Contient le terme supplémentaire /' (u) d?u en plus par rapport
à (2).
Si u est une variable indépendante, du est une constante et
d*u = 0. Supposons maintenant que u est une fonction linéaire
de la variable indépendante t:
u = at-±b.
Alors du = a dt, c'est-à-dire que du est de nouveau constant, c'est
pourquoi les différentielles d'ordre supérieur d'une fonction de
fonction seront d'après (2) :
dnf{u) = f^(u)dun,
c'est-à-dire que l'expression (2) pour les différentielles d'ordre supë~
rieur est valable lorsque x est une variable indépendante ou une fonc~
tion linéaire d'une variable indépendante.
II-2-4. Différences des fonctions. Soit A l'accroissement de la
variable indépendante. L'accroissement correspondant de la
fonction y = f (x) sera :
&V~f(x + h)-f(x). (4)
On l'appelle différence du premier ordre de la fonction / (x). Cette
différence est elle-même une fonction de x, et on peut trouver la
différence de cette nouvelle fonction en calculant ses valeurs pour
x + A et pour x et en retranchant la deuxième valeur de la
première. Cette différence s'appelle différence du second ordre de la
fonction initiale / (x) et on la désigne par le symbole A2y. Il est
facile d'exprimer A2jy au moyen des valeurs de / (x) :
Aaî/ = A (Ay) = [/ (* + 2A) -/ (x + A)] - [f (.r + h) _/ (*)] =
-/(* +24)-2/(*+*) +/(s). (5)
Cette différence du deuxième ordre est également une fonction
de x et en cherchant la différence de cette fonotion on obtient une
différence du troisième ordre &.3y de la fonction initiale / (x). En
remplaçant dans le second membre de (5) x par x + A et en retranchant
du résultat obtenu le second membre de (5), on aura pour à3y:
A»y = [/(ar-t-3ft)-2/(»-(.2ft)-r./(»+A)] —
-r/(* + 2A)-2/(* + A)+/(*)]-=
= f{x + 3A) -3/ (x + 2k) + 3/(^ + A) —/ (x).
De sorte qu'on peut déterminer succesivement les différences
de n'importe quel ordre, et la différence du n" ordre A<n>#, étant

II-2. DERIVEES ET D1SPERENTIBLI.B9 D'ORDRE SUPERIEUR 137
exprimée par les valeurs de la fonction f(x), sera de la forme:
try = t(x+*h)~*-f{x + Z=ïh.)+ 'l"~ii f(x + Z=2h)- ...
... + (-l)hn(n-ih-j;}n~k+i)f(x + J^kh)+ ... +(-177 (s).
(6>
Nous avons déjà vu que cette formule est vraie pour n = 1, 2
et 3. Pour le démontrer dans toute sa généralité, il faut montrer,
comme on le fait d'habitude, que si elle est vraie pour n elle est
encore vraie pour n + 1. Notons que pour calculer àny, il
faut connaître (n + 1) valeurs de / (x) pour les valeurs x, x + hY
x + 2h, . . ., x + nk de la variable. Ces valeurs de la variable for-
mont une progression arithmétique avec la différence h, ou, comme
on dit, sont des valeurs équidistantes.
Pour les valeurs petites de h = dx, la différence Ay diffère peu
de la différentielle dy. De même, les différences d'ordre supérieur
donneront des valeurs approchées des différentielles de l'ordre
correspondant, et réciproquement. Si, par exemple, la fonction est
donnée par une table pour des valeurs équidistantes de la variable,
nous ne pouvons pas calculer la valeur exacte des différentes
dérivées de la fonction, car nous ne connaissons pas sa forme analytique,
mais au lieu de la formule exacte (3) nous pouvons obtenir une
valeur approchée des dérivées, en calculant le rapport -~ . Formons
par exemple la table des différences et des différentielles de la
fonction y — a? dans l'intervalle (2, 3) en prenant
&x = h = 0,l.
X
2
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
3,6
2,7
2,8
2,9
3
y
8,000
9,261
10,648
12,167
13,824
15,625
17,576
19,683
21,952
24,389
27.000
&V
1,261
1,387
1,519
1,657
1,801
1,951
2,107
2,269
2,437
2,611
b?y
0,126
0,132
0.138
0,U4
0,150
0,156
0,162
0,168
0,174
&3V
0,006
0,006
0,006
0,006
0,006
0,006
0,006
0,006
A*y
0
0
0
0
0
0
0
dy =
= 3x2dx
1,200
1,323
1,452
1,587
1,728
1,875
2,028
2,187
2,352
2,523
d*y =
= fa #ts
0,120
0,126
0,132
0,138
0,144
0,150
0,156
0,162
0,168
â3y=
=6dx«
0,006
0,006
0,006
0,006
0,006
0,008
0,006
0,006
dty = 0
0
0
0
0
0
0
0

138
CH, II. NOTION DE DÊRIVJ5B. APPLICATIONS
Pour former cette taMe, on a calculé les valeurs successives
<le y = a?. En effectuant les soustractions d'après (4), on en a obtenu
les valeurs de Ai/, à partir desquelles, par soustractions également,
on a obtenu les valeurs de A2i/, etc. Un tel calcul successif des
différences est évidemment plus simple que l'utilisation de la
formule (6). Les différentielles s'obtiennent grâce aux formules connues
indiquées en haut de la table et il faut poser
dx = h = 01l.
Comparons la valeur exacte et la valeur approchée do la dérivée
seconde y" pour x = 2. Dans l'exemple étudié y" = 6a; ot y" = 12
pour x <= 2. De façon approchée cetto dérivée s'exprime au moyen
du l'apport —:J- et pour z = 2 nous avons :
0,126 ,„ R
W = 12.6.
Si f(x) est un polynôme en x\
y = f(x)^a0xm + a^"'"1 + a^* + ... -f-Om-tx+am,
on calculant' Ai/ au moyen de la formule (4) nous obtenons pour
Ay un. polynôme entier de degré m — 1, dont le terme de degré le
plus élevé sera marine"1*1* ce que l'on pourra vérifier aisément.
De sorte que dans le cas y = s?, Ai/ sera'un polynôme du deuxième
■degré en x, Asy un polynôme du premier degré, A3y sera une
constante et A4i/ sera nul (voir table). A titre d'exercice le lecteur pourra
démontrer que les valeurs de <Py retarderont d'un degré par rapport
à à2y ce que l'on peut voir sur la table.
II-3. Application de la notion de dérivée
à l'étude d'une fonction
Ii-1-3. Critères de croissance et de décroissance d'une fonction.
IL» connaissance de la dérivée permet d'étudier les différentes
propriétés d'une fonction. Nous commencerons par la question la plus
simple, mais la plus fondamentale, à savoir le problème de la
croissance et de la décroissance d'une fonction.
La fonction f (x) est dite croissante dans un intervalle si aux plus
grandes valeurs de la variable indépendante corresponde-nt les plus
grandes valeurs de la fonction, c'ost-à-dire si :
f{x + h) — f(x)>0 pour &>0.
Par contre, si nous avons
f{x + h) — f{x)<0 pour A>0,
la fonction sera dite décroissante.

II-3. APPLICATION DE LA NOTION DE DERIVEE 139
Fig. 55
Si nous examinons la courbe représentative de la fonction, les
intervalles de croissance correspondront aux parties de la courbe
pour lesquelles aux plus grandes abscisses correspondent les plus
grandes ordonnées. Si nous orientons
comme sur la fig. 55 l'axe OX vers
la droite et l'axe OY vers le haut,
aux intervalles de croissance de la
fonction correspondront les partie*
de la courbe telles que lorsqu'on
se déplace le long de la courbe vers
la droite dans le sens des abscisses
croissantes, ou monte. Au contraire,
les intervalles de décroissance
correspondent à des parties de la courbe
dirigées vers le bas lorsqu'on se
déplace le long de la courbe vers
la droite. Sur la fig. 55 la partie
AB de la courbe correspond à
l'intervalle de croissance et la partieBC à l'intervalle de décroissance. Il
est clair, sur le graphique, que sur la première partie la tangente forme
avec la direction de l'axe OX un angle «, compté à partir de l'axe
OX jusqu'à la tangente à la courbe, et qui a une tangente positive.
Mais la tangente de cet angle est justement égale à la dérivée
première f (x). Par contre, sur la partie BC la direction de la tangente
forme avec la direction OX va angle a' au quatrième quadrant dont
la tangente est négative, c'est-à-dire que dans le cas présent, /' (a;)
sera négative. En comparant les résultats obtenus, nous aboutissons
à la règle suivante : les intervalles où f (x) Z> 0 sont des intervalles
de croissance de la fonction, tandis que les intervalles où f (r) < 0
sont des intervalles de décroissance de la fonction.
Nous avons trouvé cette règle en utilisant les courbes
représentatives ; dans la suite nous eu donnerons une démonstration
analytique rigoureuse. Pour l'instant, nous appliquerons cette règle
à quelques exemples.
1. Démontrons l'inégalité
5»n * > x ■ „ pour x > 0.
Pour cela, formons la différence:
f(x) = smx— ^x—5p) .
Calculons la dérivée /' (x) ;
f (œ) = eoS:r — 1-)—5_=~2—'(i—oos^) =
-4-»--f-»[(f)'-(*T)']-

140 CH. II. NOTION DE DËRIVSE. APPLICATIONS
En tenant compte de ce que la valeur absolue de l'arc est plus grande
que le sinus, on peut affirmer que f'(x)>0 dans l'intervalle (0, 4-°°)»
e'est-è-dire que dans cet intervalle f(x) croît, mais /(0) est égale à zéro,
c'est pourquoi:
f(x)=3sinx—(x—~\ >0 pour »>0,
c'est-à-dire que:
x3
sin x > x—jr- pour x > 0.
2. Ds mSme on peut démontrer que :
a:>ln(l + a;) pour œ>0.
Formons la différence
f(x) = x-]n(i + x)
d'où
Il résulte de cette expression que pour s>0, /'(;t)>0, c'est-à-dire)
que f(x) croît dans l'intervalle (0, -f-co) mais f (0) = 0, par conséquent:
f{x) = x—ln(l + ï)>0 pour i>0,
c'est-à-dire que:
i>ln(i+œ) pour s>0.
3. Examinons l'équation de Kepler dont nous avons déjà parlé II-2-7):
x=qsinx+a (0<5<1).
Nous pouvons la mettre sous la forme
f(x) — z~g sin x—o=0.
En calcula nt la dérivée /' (x), il vient :
f (x) = l~qcosx.
En tenant compte de ce que le produit q cos x est en valeur absolue
inférieur à l'unité puisque par hypothèse q est compris entre zéro et un, on peut
affirmer que /' [x) > 0 pour toutes valeurs de x, c'est pourquoi / (x) croît dans
l'intervalle (—oo, +oo) et par suite no peut pas être nul plus d'une fois,
c'est-à-dire que l'équation do Kepler n'a pas plus d'une racine réelle.
Si la constante a est un multiple de n, c'est-a-dire que a = ksi où k est
un entior, eu faisant x =» ksi, nous aurons / (ftn) = 0 et x = ksi sera l'unique-
racine do l'équation de Kepler. Si a n'est pas un multiple de n, on peut trouver
un entier k tel que:
An<a<(i + 1) Jt.
En faisant z = ftjt et (A-j-l)n, on obtient:
y(te)=.An—«<0,
/ (k+îsi) = (k+i) »—o > 0.

JI-3. APPLICATION DE LA NOTION BB DBWVBB 141
Mais si / (fat) et f (h + In) sont de signes contraires, / (s) doit s'annuler
dans l'intervalle (fat, k + In) [1-2-111, c'est-à-diro quo dans cet intervalle
doit se trouver la racine unique de L'équation de Koplor.
4. Examinons l'équation:
/ (1)=338-25iS4.60s+15=0.
Formons la dérivée /' (*) et égalons-la à zéro :
f'{x) = l5x* —75s* -)-60= 15 (si—532+4)=0.
En résolvant cette équation bicarrée nous obtenons que /' [x) ost nulle pour:
k=—2, —1, +1 et +2
de sorte qu'on peut diviser l'intervalle (— oo, +00) en cinq parties;
(-00, -2), (-2, -1), (-1, 1), (1, 2), (2, +00),
dans lesquelles /' (s) garde un signe constant, c'est pourquoi / (x) varie de
façon monotone, c'est-a-dire qu'eue croît ou décroît et ne peut pas, par
conséquent, avoir plus d'une racine dans chacun de ces intervalles. Si aux
extrémités de l'un de ces intorvallcs / (x) a des signes contraires, l'équation / (x) = 0
ji une racine dans cet intervalle, et si les signes sont les mêmes, il n'y a pas
de racines dans cet intervalle. De sorto quo, pour déterminer lo nombre de
racines de l'équation, il reste à déterminer le signe de / (z) aux extrémités
-de chacun des cinq intervalles.
Pour déterminer le signe de / (x) pour x = ± 00, mettons / (x) sous la
forme:
... . („ 25 60 . 15 \
Lorsque x tend vers (—00), / (x) tend vers (—00) car x1 tond vers (—00) et
l'expression entre parenthèses tend vers 3. De la même façon, on voit que si
j: tend vers (+00), / (¢) tond vers (+00). En remplaçant x successivement
par —2, —1, 1 et 2, on obtient la tabla suivante:
X
/(*)
—00
—
—2
—
—1
-
1
+
2
+
+œ
+
Il s'avère que / (x) n'a des signes différents qu'aux extrémités do
l'intervalle (—1, +1) et par suite l'équation considérée n'a qu'une racine réelle
comprise dans cet intervalle.
Nous avons défini ci-dessus la croissance et la décroissance
•d'une fonction dans un intervalle. On dit parfois qu'une fonction
■croît ou décroît au point x = x0. Cela signifie que la fonction croît
■en x — x0 si / (x) < / (½) lorsque x < a;0 et /(»)>/ (xa) lorsque
œ >- œo ; ce faisant on considère que x est voisin de a;0. On définit
-de façon analogue la décroissance d'une fonction en un point. De la
notion de dérivée résulte la condition suffisante pour qu'une îonc-
-tion. croisse ou décroisse au point «„, à savoir si f (½) ~> 0, la
Jonction croît au point #<,, et si/' (½) -< 0, la fonction décroît en ce

142
CH. II. NOTION DE DBRIVEE. APPLICATIONS
point. En effet, si, par exemple, /' (x0) > 0, la relation
J(go+ft)-/fo)
h
qui a pour limite /' (a;0), sera positive pour tout h suffisamment
petit en valeur absolue, c'est-à-dire que le numérateur et le
dénominateur seront de même signe. Autrement dit: / (x0 + h) —
— f (¾) > 0 pour h > 0 et / (#o -f A) — / (xB) < 0 pour h < 0,.
cc qui montre la croissance au point xQ.
II-3-2. Maxima et minjma des fonctions. Revenons à l'examen,
do la courbe représentative d'une certaine fonction / (x) (fig. 56).
Sur cette courbe nous avons une succession d'intervalles do
croissance et do décroissance de la fonction. L'arc AM\ correspond à un
intervalle de croissance. L'arc suivant.
M\MZ correspond à un intervalle de-
décroissance. Le suivant, MzMs,
correspond à nouveau a un intervalle de
croissance, etc. Les points de la courbe qui
séparent les intervalles de croissance et
de décroissance sont des sommets do la
courbe. Considérons par exemple le-
sommet Mi. L'ordonnée de ce sommet
est plus grande que toutes les ordonnées
de la courbe suffisamment voisines
décolle qu'on considère et situées soit à.
gauclie soit à droite de celle-ci. On dit.
qu'à un tel sommet correspond un maximum de la fonction / (x).
Ceci nous conduit à la définition analytique générale suivante :
la fonction f (x) admet un maximum au- point x — x\ si sa valeur
f (xy) en ce point est plus grande que toutes ses valeurs aux points
voisins, c'est-à-dire si l'accroissement de la fonction
f(xi±h) — f(xi) est négatif
pour tout h positif ou négatif, suffisamment petit en valeur absolue..
Examinons maintenant le sommet M2. L'ordonnée de cesommet
est, au contraire, plus petite que les ordonnées voisines, situées
aussi bien à gauclie qu'à droite, et on dit qu'à ce sommet
correspond un minimum de la fonction ; la définition analytique sera :
la fonction f (x) admet un minimum au point x — xz si pour tout h
positif ou négatif dont la valeur absolut eM suffisamment petite, ta.
condition
/(**+*)-/(*i)>0
est vérifiée.
Fig. 5G

11-3. APPLICATION DE LA NOTION DE DERIVEE J43
m
/^ f'(x)>a
Il résulte du graphique qu'aussi bien aux sommets correspondant
aux. maxima de la fonction qu'à ceux correspondant aux minhna,
la tangente est parallèle à l'axe OX, c'est-à-dire que son coefficient
aDgulaire /' (x) est nul. On suppose, certainement, que la tangente-
et, donc, la dérivée existent. Mais il se peut que la tangente soit
parallèle à l'axe OX sans qu'on soit à vu» sommet. Ainsi par exemple
sur la fig. 57 dous avons un point M de la courbe qui n'est pas un
sommet ot où la tangente est tout de même parallèle à i'axo OX.
Supposons que /' (x) s'annule pour x — xa, c'est-à-dire qu'au
point correspoadant de la courbe la tangente est parallèle à l'axe-
OX. Examinons le signe do /' (x) pour des
valeurs de x voisines de xa. Considérons les y. ff^g
trois cas suivants :
ï. Pour les valeurs de x plus petites que x<,
et suffisamment proches de xa, f (x) est
positive, taudis que pour les valeurs de x plus
grandes mais suffisamment proches de x0, f (x) est
négative, c'est-à-dire que lorsque x passe p. _„
par .-Ko, /' (x) s'annule en devenant négative, g'
après avoir été positive.
Dans ce cas à gauche de x = x0 nous avons un intervalle où la
fonction est croissante, et à droite un intervalle où elle est
décroissante, c'est-à-dire que pour la valeur x — x0 on a un sommet de la
courbe correspondant à un maximum de la fonction / (x) (fig. 56).
II. Pour des valeurs de x plus petites que x0, f (x) est négative,
et pour les valeurs de x plus grandes que x0, f {x) est positive,
c'est-à-dire que lorsque /' (x) passe par 0, elle progresse des valeurs
négatives aux positives.
Dans ce cas à gauche do x = xB on a un intervalle de
décroissance tandis qu'à droite, un intervalle de croissance, c'est-à-dire
que pour la valeur x = xq on a un sommet de la courbo
correspondant à un minimum de la fonction (v. fig. 56).
III. Pour des valeurs de x aussi bien plus petites que plus
grandes que x0, f (x) garde un signe constant. Supposons par exemple-
que /' (x) est positive. Dans ce cas le point correspondant de la
courbe se trouve sur une partie croissante de la courhe et n'est pas
un sommet (fig. 57).
Ce qui vient d'être dit nous conduit, à la règle suivante: pour
trouver les valeurs de x pour lesquelles / (x) passe par un maximum
ou un minimum :
1) il faut calculer f {x) ;
2) il faut trouver les valeurs de x pour lesquelles f (x) s'annule,,
c'est-à-dire résoudre Véquation f (x) = 0;
3} il faut étudier les changements de signe de f (x) lorsqu'elle
passe par ces valeurs d'après le schéma suivant :

144 CH. II. NOTION nE nBHlVBB, APPLICATIONS
S
/'(*)
x0—h.
+
—
+
~~
*o
0
0
0
0
xa+h
+
+
~~
/w
maximum
minimum
croît
décroît
Les notations xa —h et xa + h dans la table montrent qu'il
faut déterminer le signe de /' (x) pour des valeurs de x plus petites
et plus grandes que xo, mais assez proches, de sorte qu'il faut
considérer h comme un nombre positif assez petit.
On suppose que /' (x0) = 0, cependant pour tout x suffisamment
proche de Xq, mais différent de Xç, f (x) n'est pas nulle.
Revenons au cas de la fig. 57. La tangente au point M d'abscisse
»o se trouve de part et d'autre de la courbe au voisinage de ce point,
Dans ce cas, /' (.3¾) = 0 et f (x) ~> 0 pour tout x proche mais
différent de x0, et toute la portion de courbe contenant le point xo est
croissante, bien que f (Xo) = 0.
Parfois au lieu d'utiliser le procédé exposé pour déterminer les
maxima, on en utilise un autre : la fonction f (x) admet un
maximum au point x = xt, si la valeur de f (xt) en ce point n'est pas
inférieure à ses valeurs aux points voisins, c'est-à-dire si l'accroissement
de la fonction f (a;t -f- A) — / (x\) ^ 0 pour tout h, aussi bien positif
que négatif, suffisamment petit en valeur absolue. De façon analogue
le minimum au point x2 peut être défini par l'inégalité f (a;2 -\- h) —
— / (¾) ^- 0. Si, en outre, la fonction a une dérivée au point du
maximum ou du minimum, cette dérivée doit s'annuler, comme
au cas ci-dessus.
Exemple. Soit à cherche; les maxima et les minima de la fonction
/(ï) = (ï—1)3 (z— 2)3.
Calculons la dérivée première:
f'(x)=-2(x-i)(x—2P+3 (s —1)»(»—2)» =
={s-l)(s—2)»(5ï—7) = 5(*-l)(œ-2)* (<=~g-) •
7
Il est évident alors quo f (x) devient nulle pour les valeurs xi = 1, Œs=-ë- ,
i3 =■ 2 de la variable indépendante.
Examinons ces différentes valeurs. Pour x =t i, le facteur {x — 2)2 ost
positif, tandis qae (x =•) est négatif. Pour toutos les valeurs de x aussi bien

11-3. APPLICATION ttn LA KOTJON DE DJSIUVÉE 145
plus petites que plus grandes que 1, mais suffisamment proches de cette valeur,
les signes de ces facteurs ne changeront pas, et le produit de ces deux facteurs
sera sûrement négatif pour toutes les valeurs de x suffisamment proches de 1.
Examinons finalement le dernier facteur (a — 1) qui s'annulo justement pom
x = 1. Si x <; 1, il est négatif, tandis que si x ~> 1, il est positif. De sorte que
le produit entier, c'eat-à-dire f (x), est positif pour x < 1 et négatif pour x ~> 1,
d'où il résulte qu'à la valeurs = 1 correspond un maximum de la fonction / (r).
En faisant x = 1 dans / (x), nous obtenons la valeur du maximum, c'est-à-dire
l'ordonnée qui ccu-respoud au sommet de la courbe
/(1) = 02.(-1)3=0.
En raisonnant d'une manière analogue pour les autros valeurs x7 — y
et x3 = 2, nous obtenons la table suivante:
£
/'(*>
/:w
i—h
+
croît
1
0
0
max.
1-ffc
-
ï->
—
décroît
7
T
0
108
3125
min.
i+*
+
2—h
+
2
0
2-1-/1
+
croît
Par la méthode d'étude dos maxima et des miulmà que tious
venons d'exposer, il est assea difficile de déterminer le signe de
/' {x) poui- les valeurs de x plus petites et plus grandes que la valeur
considérée. Cela est vrai surtout pour des exemples compliquas.
Dans de nombreux cas on pont éluder cotte difficulté en introduisant
la dérivée seconde f {x). Supposons que nous voulons étudier ce
qui se passe pour x = xo, où /' \x0) = 0. Portons cette valeur x = x„
dans l'expression de /" {x), et supposons que nous ayons obtenu
une valeur positive, c'est-à-dire /" (x0) > 0. Si on prend /' (x) pour
fonction initiale, /" (x) sera sa dérivée et le fait que cette dérivée
soit positive au point x — x0 montre que /' (x) est croissante au
point correspondant, c'est-à-dire quo /' (x) qui est nullo pour x = 0¾
doit passer des valeurs négatives aux valeurs positives. De sorte,
que si f" (xq) est positive au point x — Xf,, la fonction f (x) admettra
un minimum. De même on peut montrer que si f" (xe) est négative
au point x = x-t,, la fonction f (x) admet un maximum. Si, enfin,
on faisant x = x<, dans/" (x), on obtient zéro, c'est-à-dire/" (œ0) = 0,
la dérivée seconde ne permet pas d'étudier la fonction an point
x — x-o et il faut passer à l'étude directe du signe de /' (x), Nous
obtenons ainsi le schéma représenté sur la table suivante :
10-281

lili CH. II. NOTION DE KÊIUVSE. APPLICATIONS
X
»0
/'(*)
0
r<4
+
0
/(*)
maximum
minimum
«as douteux
Des raisonnements que nous avons exposés il résulte que, lorsque
la dérivée seconde existe, la condition nécessaire pour qu'il y ait
mi maximum est l'inégalité /" (x) -^ 0, tandis que la condition
nécessaire pour qu'il y ait un minimum est l'inégalité f" (z)>0.
Nous pouvons alors définir le maximum par la condition / fa + h) —
— / fa) ^ 0, et le minimum est défini par la condition / (xz -)- h) —
— / fa) ~*2- 0> ce que nous avons déjà noté.
E x e m p 1 e. On cherche les maxima et les minima de la fonction
/(ï) = sinŒ+coss.
Cotte fonction a une périodo de 2n, c'est-à-dire qu'elle ne change pas de valeur
si on remplace x par x+ 2n, II suffit donc d'étudier x dans l'intervalle (0, 2n).
Formons les dérivées premières et secondes :
/' (ï)=cos x—sïn», /" (ï)= —sin«—coss.
En annulant la dérivéo première nous obtenons l'équation:
coax— sinz=0, soit tg»=l.
Les raclnoe de cette équation dans l'intervalle (0, 2n) sont:
Jt 5ji
*i = X et *a=—•
Examinons ces valours d'après le signe de /* {x):
f { JL} = _sin -|—cos -2- = -"1/2< 0 ; maximum / (-^-) = ~\/ï;
r^j = -sin-|L-cos-~=V2>0; minimum /(-f") = -V2.
Pour finir, examinons un fait qui se produit parfois, lorsqu'on
cherche les maxima et les minima d'une fonction. Il peut arriver
que la courbe représentative de la fonction comporte des points
pour lesquels la tangente ou bien n'existe pas, ou bien est parallèle
à l'axe OY (îig. 58). Aux points du premier type, la dérivée /' fa
n'existe pas, tandis qu'aux points du second type, elle sera infinie,

11-3. APPLICATIONS IJE LA NOTION DE DERIVEE 147
y*.
car le coefficient angulaire d'une droite parallèle à OY est infini.
Mais on voit sur le graphique qu'en de tels points on peut avoir
des maxima ou dos minima de la fonction. De sorte que nous devons
compléter la règle de recherche des maxima et des minima de la
manière suivante : te maximum et le minimum de la jonction f (x)
peut se 'rencontrer non seulement aux points pour lesquels /' (x)
est nulle, mais aussi aux points oà
f (x) n'existe pas ou bien où elle est
infinie. L'examen, de ces derniers
points doit s'effectuer suivant le
premier schéma exposé ci-dessus : il faut
déterminer le signe de f (x) pour des
valeurs de x plus petites et plus grandes
que la valeur considérée.
Jusqu'ici nous n'avons étudié que
le cas le plus simple d'une fonction
continue / (x) avec une dérivée
continué possédant un nombre fini de zéros dans l'intervalle
considéré. Dans la dernière remarque l'absence de la dérivée est admise
aussi dans un nombre fini de points. En général, le but du présent
paragraphe et dos deux suivants est de servir d'introduction
représentative à l'étude des propriétés des fonctions. Par la suite, nous
reviendrons à un exposé analytique rigoureux.
E xemp le. On cherche les maxima ot les minima de la fonction:
/ (¢) = (3:-1) f3>.
La dérivée première est :
-*~X
Fig. 58
)>{*)-■
V ' Zfx 3
2
Elle est nulle pour x—-~ ot devient infinie pour œ=0. Examinons cette
dernière valeur : le numérateur est négatif pour x = 0 ot quel que soit x au
voisinage de x = 0. Le dénominateur est négatif pour x <; 0 et positif pour x > 0.
Donc, la fraction sera positive pour les valeurs négatives de œet au voisinage de
x => 0 ot négative pour les valeurs positives de x, c'est-à-dire que pour x = 0
nous avons le maximum /(0)=0. Au point « = -r nous aurons le minimum:
/(4)=-4fï=-l^-
II-3-3. Construction de graphiques. La recherche des maxima
et des minima de la fonction/ (x) facilite considérablement la
construction de la courbe représentative de la fonction. Montrons
à l'aide de quelques exemples comment construire le graphique
d'une fonction.
10*

■ma
CH. ri. NOTION DE DERIVEE. APPLICATIONS
1. Soit à construire la courbe représentative de la fonction •
y = (2-1)2(:,:-2)3,
Que nous avons examinée au paragraphe précédent. Nous avons deux sommets
do cotte courbo : un maximum (1, 0) et un minimum (■=-)— ôtôe 1 • Notons ces
points sur le graphique. Il est commode de repérer aussi les intersections de la
courbe avec les axes. Pour x = 0 nous avons
y j/ = —8. C'est-à-dire que la courbe coupe OY au
point y == — 8.
* ■ En faisant y nul, il vient:
(¢-1)2 (£—2)3 = 0,
qui nous donne les intersections de la courbe avec
1 axe OX. Pour x = i, nous avons déjà vu quo
nous avons un sommet, tandis que pour x = 2,
comme nous l'avons déjà va au paragraphe
précédent, on n'a pas un sommet mais dans un point
correspondant du graphique la tangente est
parallèle à l'axe OX. La courbe cherchée est
représentée sur la îig. 59.
2. Traçons la courbe
-a*
*-/f
2/=e
Sa dérivéo première est :
y' = — 2xe~**.
Fig. 59
En annulant y', on obtient x = 0 qui, on
le voit aisément, correspond à un Sommet
(maximum) dont l'ordonnée est y = i. Ce point est aussi
l'intersection do la courbe avec l'axe OY. lîn annulant y, on obtient l'équation
c"*2 = 0, qui n'a pas de racines, c'ost-à-dïie que la courbe no coupe pas
J'axe OX. Notons de plus que lorsque x tond vers f+oo) ou vers (—oo),
Fig. 60
t,5 ST*
l'exposant de e-*1 tend vers (—oo) et l'expression tend vers zéro, c'est-à-dire
que lorsqu'on s'éloigne indéfiniment à droite ou à gauche, la courbe tend
indéfiniment vers OX. ta courbe qui correspond à toutes ces données ost
représentée sur la fig. 60.
3. Construisons la courbe
y = «-«=sin6a; (a>0),

II-3. APPLICATION DE LA NOTION DE DÉRIVÉE 1¾¾
qui représente une oscillation amortie. Le facteur sin bx n'est pas ; supérieur
à 1 en valeur absolue, et la courbe sora comprise entre les deux courbes
v=e-ux et ,j—_e-axA
Lorsque x tend vers (4. 00,) le facteur e~ax tend vers ïéro, donc, le produit
e-ax gfn jyX ton(j aussi vers zéro, c'estrà-dire que, losqu'on s'éloigrio
indéfiniment à droite, Ja courbe so rapproche a l'infini de l'axe OX. Les intersections
do la courbe avec l'axe OX s'obtiennent en résolvant l'équation
sin 02:=0,
c'«s,t-à-dîre qu'elles seront ; ,.,
x = -j-(k entier).
Calculons la dérivée première:
y' = —ae~axsin bx-\-be~ax cos bx= e~ax [b co.sbx—a sin bx).
Mais l'expression entre parenthèses peut être, comme on sait, mise sous la forme :
oeos bx— a sin bx^K sin(fix+qpo),
ou K et q>o sont des constantes. En annulant la dérivée première, on obtient
l'équation:
sin (bx + ¢0) = 0,
qui donne:
iz-|-(po = A;:ii, c'est-à-dire x =—^22 (fc entier). (1)
Quand x passe par ces valeurs, sin (bx -)- qp0) ebangera ebaquo fois do signe.
Il en est évidemment de même pour la dérivée y' car:
j/' = K's-'»Sin(6a;-l-tpl)),
et le facteur e-«* ne change pas de signe. Donc, à ces racines correspondent
à tour de rôle des maxlma et des mîuima de la fonction. Si on n'a pas le
facteur exponentiel e~ax, on ae trouve on présence de la sinusoïde
y=sinox,
et les abscisses de ses sommets s'obtiennent à partir de l'équation:
cos 6i=0,
c'est-à-dire
x=(2k~l)n {h ent.er) {U)
Nous voyons ainsi que le facteur exponentiel non seulement diminue
l'amplitude des oscillations mais déplace aussi les abscisses des sommets de la
courbe. En comparant (1) et (li), il est facile do voir que ce déplacement est
constant, et qu'il a pour valeur { —çî^Tr]- Sur la fig. 61 on a représenté une
oscillation amortio pour a = 1 el 6 = 2jt. Les sommets ne se trouvent pas sur
les courbes en pointillé, représentant-Mes équations ^ = ± e~ax, ce qui est
dû au déplacemfent dos sommets dont nous avons déjà parlé.

150 CH. II. NOTION DE DÉRIVÉE. APPLICATIONS
4. Construisons la courbe:
y=-
x3~Sx
6
Calculons les doux premières dérivées :
ï'=-
x*—l
i y"=*x
En annulant la dérivée première, on obtient les racines œi= 1 ot x% = — 1.
En portant ces valeurs dans la dérivée seconde, on voit qu'à la première racine
y,ex&o2œ
*-X
Fig. 61
Fig. 02
correspond un minimum tandis qu'à la seconde correspond un maximum. En
portant ces valeurs dans l'expression pour y, on trouve les sommois
correspondants du la conrbo:
(-'■« ■ 0--4)
En faisant x = 0, on a y = 0, c'est-à-dirc que la courbe passe par l'origine
des coordonnées. Enfin, en faisant y = 0, on trouve en plus de x = 0 encore
deux racines: x = ± ~\/'i, c'ost-à-diro qu'en définitive, la courbe coupera
les axes de coordonnées aux points (0, 0), {YW, °)> (—V3» 0). Ajoutons que
si l'on remplace simultanément x par {—x) et y par (—y), les deux mombres
de l'équation do la courue changent seulement de sigue, c'est-à-dire que l'origine
des coordonnées est un centre do symétrie pour la courbe (fig. G2).
II-3-4. Plus grande et plus petite valeur d'une fonction.
Examinons les valeurs de la fonction / (s) quand la variable indépendante

11-3. APPLICATION DB LA NOTION DE BEIUVBE 151
x prend ses valeurs dans l'intervalle (¢, 6), c'est-à-dire que a ^ œ-gj 6,
et cherchons la plus grande et la plus petite valeur de cette
fonction. Sous celte condition, la fonction / (x) passera par mie plus
grande et plus petite valeur [T-2-11!, c'est-à-dire quele graphique
do cette fonction aura dans l'intervalle considéré une ordonnée
la plus grande et une ordonnée la plus petite. D'après les règles
déjà énoncées, lions pourrons trouver les maxima et les minima
de la fonction se trouvant à l'intérieur de l'intei'vallo (o, 6). Si la
fonction f (x) a son ordonnée la plus grande dans cet intervalle,
cette ordonnée coïncidera évidemment avec le maximum le plus
ta plus grande valeur
Fig. 63
Fig. G4
grand de la fonction dans l'intervalle (¢, b). Mais il peut arriver
que l'ordonnée la plus grande ne se trouve pas dans rinlei'valle,
mais à l'une de ses extrémités x = a ou x = b. C'est pourquoi,
pour trouver, par exemple, la valeur la plus grande de la Ionction,
il ne suffit pas de comparer tous ses maxima dans l'intervalle et
d'en choisir le plus grand, mais il faut tenir compte, en plus, des
valeurs de la fonction aux extrémités de l'intervalle. De môme,
pour déterminer la plus petite valeur de la fonction, il faut prendre
tous ses minima situés dans l'intervalle, et les valeurs extrêmes
de la fonction pour x = a et x = b. Notcns que les maxima et les
minima peuvent ne pas exister, tandis qu'il existera toujours pour
une fonction continue la plus grande et la plus petite valeur dans
un intervalle fini (a, b).
VoyoDS quelques cas particuliers où la recherche de la plus
gi'ande et la plus petite valeur s'effectue le plus simplement. Si,
par exemple, la fonction, f (x) croît dans l'intervallo (¢, b), alors
pour x = a elle prendra la plus petite valeur et pour x — b la plus
grande valeur. Ce sera l'inverse dans le cas d'une fonction
décroissante.
Si la fonction passe par un maximum dans l'intervalle et n'a
pas de minimum, ce maximum unique donne la plus grande valeur
do la fonction (fig. 63), ce qui fait que dans ce cas il n'est pas
nécessaire de chercher les valeurs de la fonction aux extrémités del'inter-
valle. De même, si la fonction a un minimum dans l'intervalle et

152
CH. II. NOTION DE DËRIVIÎE. APPLICATIONS
.aucun maximum, alors co minimum unique correspond à la plus
petite valeur de la fonotioD. Les propriétés qui viennent d'être
indiquées auront lieu dans les premiers des quatre problèmes ci-
dessous.
1. On se donne un segment de longueur l. On demande de le diviser en deux
parties telles que la surlace du rectangle construit à partir de ces longueurs soit la
plus grande.
Soit x la longueur d'une des parties ; l'autre sera (I — x). En tenant compte
de ce que la surface du rectangle est égale au produit des côtés voisins, on voit
que io problème se ramène à trouver les valeurs de x pour lesquelles la fonction:
atteint sa plus grande valeur dans l'intervalle (0, i) de variation de x.
Calculons les deux premières dérivées:
/'(*)=t(I — x)~ x=l— 2x, f(x)=> — 2<0.
iSn annulant la dérivée première on trouve l'unique valeur x = y qui
correspond â un maximum, car /" (x) est constamment négative. Ainsi, la surface sera
la plus grande dans le cas d'un carré de côté -j.
2. On retranche d'un cercle de rayon H un secteur, et avec la partie restante
on forme un cône. Déterminer l'angle au centre du secteur retranché pour que
le volume du cône soit le plus grand possible.
Prenons pour variable indépendante x, non l'angle au centro du secteur
découpé, mais son complément à 2n, c'est-à-dire l'angle au centre du secteur
restait. Pour des valeurs do x proehos de 0 et de Za, le volume du cône sera
voisin do 0, ot il est évident que dans l'intervalle (0, 2x) on aura une valeur
de x pour laquelle ce volume sera maximum.
En formant- le cône avec le secteur restant (fig. 64) on obtiendra un cône
dont la génératrice est égale à Ji, la circonférence de la base sera égale il Rx,
Ht
lu rayon r — —— ot la hauteur:
■/--B^vi^.
k=y »-
Le volnmo du cône sera :
v ' 3 W An 24ji2 *
i'our chercher la plus grande valeur de cette fonction nous pouvons ne pas
ras w
tenir compte du facteur constant ^y—^. Le produit restant *" '\/4m,* — x1 est
positif ot, per conséquent, passera par sa valeur la plus grande pour les mêmes
valeurs de x que son carré. Ainsi nous pouvons examiner la fonction.-
dans l'intervalle (0, 2.i).

IX-3. APPLICATION DE LA NOTION DE DÉRIVÉE
15»
Calculons la dérivée première:
Elle existe pour toute valeur de x. En l'annulant on obtient trois racines:
ai = 0, *2=-2;r]/ -|, *,=2bJ/ -|.
Les deux premières valeurs ne sont pas dans l'intervalle (0, 2jt). Il ne reste que
la valeur x3 = 2re l/ ^. qui se trouve dans l'Intervalle, mais nous avons vu que
la plus grande valeur dens cet Intervalle existe, et, par conséquent, sans
étudier cette valeni de x3, on peut affirmer qu'elle correspond à la valeur
maximum du volume du cône.
3. La droite L partage le vlan en deux parties (milieux) i et II, Un point
se déplace dans le milieu. I avec la vitesse Vi et dans le milieu II avec la vitesse v%.
Quelle trajectoire doit prendre ce point pour
passer le plus vite possible du point A du
milieu t au point B du 'milieu Ht
SoitvlAj et BBi les perpendiculaires a la
droite i issues des points A et/3. Introduisons
les notations suivantes :
AA,
BB.
Afii = e,
Fig. 65
et sur L on mesurera les abscissesj dans le
sens A~ÏBi (fig. 65).
H est évident que dans le milieu I aussi
bien que dans le milieu //, la trajectoire du
point doit ôtro rcctilignc, mais le trajet AB ne sera pas on général le pli!»
court. Aiusi le « trajet le plus court » sera formé do deux segments de
droite AM et MIS, et le point M doit se trouver sur L. Prenons pour variable
indépendante a: l'abscisse du point M : x = AiM. Le temps t nécessaire pour
parcourir le chemin le plus court sera:
= /00 =
AM
, MB _
v2
~Va* + x*
"1
+
y 62
"2
-*)«
dans l'intervalle (—oo, -j-oo),
Calculons les deux premières dérivées:
f 00 =
^Vo'-r»' «2y6»+(o—z)2 *
/*(*) = •
b*
»!(«»+*«)"/» »j[ia+(e- z)3]3/i
Los deux dérivées oxistent pour tontes les valeurs de x, et /• (x) est toujours
positive. Par suite, /' (z) croît dans l'intervalle (—oo, +oo) et ne s'annule
pas plus d'une fois.

-154 CH. II. NOTION DE DERIVEE. APPLICATIONS
Mais
/'(0) _£__<o
-et
■d'où l'équation /' (s) = 0 a une Taeine unique zo entre 0 et c, qui correspond
à l'unique minimum de / (z) car /° (e) > 0. Les abscisses 0 et c correspondent
aux points At et B,, ut le point M cherché doit donc se trouver entre A i et Bt
•ce quo l'on aurait pu obtenir à partir de considérations géométriques
élémentaires.
Explicitons la signification géométrique de la solution obtenue. Désignons
par œ et p les angles formés par les segments A M et BM avec la perpendiculaire
à i au point M. L'abscisse a: du point M cherché doit être telle que /' (x) = 0,
c'est-à-diro qu'elle doit vérifier l'équation:
c—x
■qui peut être mise sous la forme:
At M MB,
•soit '■
sin œ
viAM v2BM
sinB ,„ . , ,. sin a
■= — , o'cst-i-dirii „,„ „■ —
o2 sin p
Le « trajet le plus court » sera celui pour lequol lo rapport des sinus des angles
■a et P sera égal au rapport des vitesses dans les milieux / et //. Ce. résultat nous
donne la loi connue do la réfraction de la lumière et, par conséquent, la réfraction
de la lumière s'effectue comme si le rayon lumineux choisissait le. « trajet le
plus court » pour passer d'un milieu dans un autre.
4. Supposons qu'on étudie expérimentalement une grondeur x et que n
mesures, faites avec le même sein, donnent les n valeurs:
ai, a2, ..., aft,
qui sont différentes étant donné l'imprécision des instruments. La « valeur
la plus probable » de x sera colle pour laquelle la somme des carres des erreurs
sera la plus faible. De sorte que la recherche de cette valeur revient à
rechercher la valeur do x qui minimise la fonction:
fW^ix-ti)* H*-*2)2 !-... + (*-%)*
«dans l'intervalle (—oo, -)-oo).
Calculons les deux premières dérivas :
/' (s) = 2(«-a,)-f-2(*-a2) [ r-2(z-a„)-
./" M=2-r-2-| +2^2n>0.

II-3. APPLICATION DE LA NOTION DE DBR1VBE 155
En annulaul la dérivée première, nous obtenons la valeur unique
°l + "2+ ■ • ■ + an
à laquelle correspond lo minimum, étant donné que la dérivée seconde est
positive. Do sorte que la « valeur la plus probable» de x est la moyenne
arithmétique des valeurs obtenues expérimentalement.
5. Trouver la plus courte distance d'un point M à un cercle.
Fig. 66
Fig. 67
Prenions pour origine des coordonnées le contre 0 du cercle et pour axe OX
la droite OM. Soit OM — a et soit R le rayon du cercle. L'équation du cercle
sera
et la distance du point M de coordonnées (a, 0) à un point quelconque du
cercle sera
•\/[x-a)*+yK
Cherchons la valeur minimum du carré do cette distance, En remplaçant ji2
par sa valeur R2 — x2, nous obtiendrons, à partir de l'équation du cercle,
une fonction
f (x) = (x~a)3 + (R^-X^) = -2ax+a^+RK
où la variable indépendante x varie dans l'intervallo (— R •< x •< R). Comme
la dérivée première
/'(i)=-2o
est négative pour tout x, la fonction / (x) décroît et donc passe par sa valeur
la plus potito pour x = R a rcxtrémité droite de l'intervalle. La distance la
pi u« courte sera donc 'PM (fig. 66).
6. Inscrire dans un cône circulaire donne un cylindre tel que sa surjace
totale soit la plue grande possible.
Soit R et H le rayon de la basu et la hauteur du cône,ot r et k, le raymi
delà base et la hauteur du cylindre. La fonction dont on cherche la plus grande
valotir sera dans ce- cas
S = Znr*-*-2nrh.
Les grandeurs variables r et * sont liées entre elles car lo cylindre doit être
inscrit dans ic cône donné. Il résulte de la similitude des triangles AlfO
et AMN (fig. 67):
MN J)D . h H
~ÂN ~IB soa ~r=7-7î'

136
RIT. il. NOTION DE DERIVEE. APPLICATIONS
d'où
t, B
n
En remplaçant h pat sa valour dans S:
5 = 2n[r2+rff(l-^-)].
Do sorte que iî est une fonction do la aoulo variable indépendanto r qui
peut varier dans l'intervalle 0 ■</■•< if. Calculons les deux premières dérivées
dS * in , z, 2r „\ (PS , I. H\
En annulant -4—, on obtient pour r l'unique valeur
BR
(Z>
2(K—R) "
Pour que cette voleur soit dans l'intervalle (0, R), il faut que
!°<TV^IÇ el T<ïï^<n- <3>
La première inégalité est équivalente à: H doit être plus grand que ïi.
En multipliant les deus termes do la deuxième inégalité par la grandeur
positive 2(11—/?), il vient
*<-f-.
Si cette condition est vérifiée, -j-j- est négatif et à la valeur (2) correspond
le maximum unique de la fonction iî qui est la valeur la plus grande de la
surface du cylindre. Cette valeur peut être obtenuo facilement en portant
la valeur (2) de r dans S.
Supposons maintenant que la valeur (2) n'est pas dans l'intervalle
(0, H), c'est-à-dire que l'une des inégalités (3) n'est pas vérifiée. Deux cas
sont alors possibles ; o u bien H •< fi ou bien H > ïi, mais fi ;> — . Ces deux
cas sont caractérisés par la condition
ff<.2fi. (4>
Transformons l'expression de -3—:
dS
dr
= 2jt {ir+JI —|- ff) -J^{{2R-Il) r+H (fl-r)].
A Ç
On voit que si (4) est vérifié, -y->0 pour 0<r<.R, c'est^à-diro la
fonction iî croît dans l'intervallo (0, fi) «t atteint sa valeur la plus grande
pour r*=R. Pour cette valeur de r il est évident quo k=0, et la solution
peut être considérée comme un cylindre écrasé dont la base coïncide avec
celle du cfine et dont la surface est 2x1?*.

11-3. APPLICATION DE LA NOTION DE DÉRIVÉE 157
11-3-5. Théorème de Fermât. Nous avons déjà exposé, on partant
de considérations do géométrie élémentaire, des méthodes pour
étudier la croissance et la décroissance des fonctions, trouver leurs
maxima et minima, ainsi que leurs plus grandes et plus petites
valeurs. Nous allons maintenant passer à l'exposé analytique
rigoureux de certains théorèmes et formules qui nous donneront une
démonstration analytique de la validité des règles déjà données,
et qui permettront une étude plus détaillée des fonctions. Dans cet
exposé nous examinerons toutes les conditions qui doivent être
satisfaites pour que tels ou tels théorèmes et formules soient
applicables.
Théorème de Fermât. Si la fonction f (ai) est continue
dans l'intervalle (a, b), a une dérivée en tout point de cet intervalle
et si en un point x = c de cet intervalle elle a sa valeur la plus grande
{ou la plus petite), la dérivée première est nulle en ce point, c'est-à-dire
que f (c) = 0.
Ainsi, supposons pour fixer les idées que / (c) soit la plus grande
valeur de la fonction. Pour la plus petite valeur la démonstration
est analogue. Par hypothèse, x = c est dans l'intervalle et la
différence [f (c + h) — f (c)] sera Dégative, ou eu tout cas elle ne sera
pas positive pour tout h positif ou négatif :
/(e + ft)-/(c)<0.
Formons le rapport
f(c + h)~f[cï
h
Le numérateur est négatif ou nul, d'où:
f(c + h)-f<c)<0 pour A>()t
f (.+»)-/w>0 pour h<0
Lepoint x = c est situé dans l'intervalle où, par hypothèse, la
dérivée existe, c'est-à-dire que la fraction écrite tend vers une limite
déterminée, f (c), lorsque h tend vers 0 de n'importe quelle manière.
Supposons d'abord que h tende vers fcéro par valeur positive. Alors
«n passant à la limite, la première des inégalités (5) donne
f<e)<0.
De même, en passant à la limite, h tendant vers zéro, la deuxième
■des inégalités (5) donne
f(c)>0.
En comparant ces inégalités, il vient
r (9)-o.
(5)

158
CH. II. NOTION DE DÉRIVÉE. APPLICATIONS
11-3-6. Théorème de Rolle. Si une jonction f (x), continue dans
l'intervalle (a, b), a une dérivée en tout point de l'intervalle et si les
valeurs de la fonction aux extrémités de l'intervalle sont égales, c'est-
à-dire 'si f (a) = / (6), alors il existe dans cet intervalle au moins un point
x = c pour lequel la dérivée s'annule, c'est-à-dire tel que f (c) = 0.
Une fonction continue / (x) doit passer dans cet intervalle par
sa valeur la plus petite m et sa valeur la plus grande M. Si ces.
valeurs sont égales, c'est-à-dire si m = M, il en résulte qae la.
fonction est constante dans tout l'intervalle et a la valeur m (ou M).
Mais on sait que la dérivée d'une constante est nulle et dans ce cas;
simple la dérivée serait nulle en tout point de l'intervalle. Revenant
au cas général, nous pouvons donc
mM considérer que m < M. Comme les-
valeurs de la fonction aux extrémités-
;B de l'intervalle sont égales par liypo-
J i | thèse, c'est-à-dire que f(a)=f(b),
\a \c \t l'un au moins des nombres m et M
*" est différent de la valeur de la fonction
aux extrémités. Supposons par exemple-
g' que ce soit M, c'est-à-dire que la
fonction n'a pas sa valeur la plus--
grande aux extrémités, mais en un point de l'intervalle. Soit x — c-
ce point. D'après le théorème de Fermât, nous aurons en ce point
/' (x) = 0, ce qui démontre le théorème de Rolle.
Dans_ le cas particulier où f (à) = f (b) = 0, on peut formuler
le théorème de Rolle brièvement de la manière suivante: entre'
deux racines de la fonction il y a au moins une racine de la dérivée-
première.
Le théorème do Rolle a une signification géométrique simple.
Par hypothèse f (a) = f (b), c'ost-à-dire que les ordonnées de 1¾
courbe y = / (x), correspondant aux extrémités de l'intervalle,
sont égales et dans cet intervalle la dérivée existe, c'est-à-dire que-
la courbe admet une tangente. Le théorème de Rolle dit que dans,
cet intervalle il y aura alors au moins un point où la dérivée sera
nulle, c'est-à-dire où la tangente sera parallèle à l'axe OX (Kg. 68).
R e m a r q u e. Si la condition du théorème de Rolle concernant,
l'existence d'une dérivée f (x) n'est pas vérifiée en tous les points-
de l'intervalle, le théorème peut être faux.
Ainsi, par exemple, la fonction
f{x) = i~yTxz
est continue dans l'intervalle (-—1, -\-i) et / (—1) = / (1) = 0,»
mais la dérivée
fto — -ïk

II-3. APPLICATION DE LA NOTION DE DÉRIVÉE " 1 159»
ne s'annule pas dans l'intervalle. Ceci a lieu parce que/' (x) n'existe-
pas (devient infinie) pour x = 0 (fig. 69). Un autre exemple est
donné par la courbe représentée sur la fig. 70. Dans ce cas nous
avons une courbe y — f (x), pour laquelle / (¢) = / (6) = 0.
Toutefois, on voit d'après la représentation graphique de la courbe que
la tangente ne peut pas être pai-allèle à l'axe OX dans l'intervalle-
(¢, 6), c'est-à-dire que /' (x) ne s'annule pas. Ceci a lieu parce que
la courbe a au point x — a deux tangentes différentes, à gauche-
—X
wr
Fig. 69
Fig. 70
et à droite do ce point, donc en ce point il n'y a pas de dérivée
définie, et la condition du théorème de Rolle imposant l'existence-
d'une dérivée en tout point de l'intervalle n'est pas remplie.
II-3-7. Formule de Lagrange. Supposons que la fonction / (x}
est continue dans l'intervalle (¢, b) et admet une dérivée en tout
point intérieur de cet intervalle mais que la condition f (a) = f (b)<
du théorème de Rolle peut ne pas être vérifiée.
Formons la fonction
F(x) = f(x)+kc,
où % est une constante que nous déterminerons de façon que la
fonction F (x) vérifie la condition susmentionnée du théorème de Rolle,.
c'est-à-dire que
F{a) = F{b)
soit
f{a) + \a = f(b) + %b,
d'où
Hb)-1(a)
*.= ■
6 —a
Appliquons maintenant à F (x) le théorème de Rolle. Nous
pouvons affirmer qu'entre a et b il existe un point x = c pour leqiiel
F'(c) = f'(c) + X = Q (a<c<b),

^OQ Cil. II. NOTIOïî ME DÉRIVÉE. APPLICATIONS
ti'où en remplaçant % par sa valeur :
CeHo dernière égalité peut être mise sous la forme :
f(b)-f(a) = (b~a)f'(c).
Cette égalité s'appelle formule de Lagrange. La valeur de c est
«omprise entre a et b, c'est pourquoi le rapport t^- = 0 est compris
entre 0 et 1, et on peut poser
c = a + B(b—a) (O<0<1),
«t la formule de Lagrange; peut être mise sous la forme :
f(b)-f(a) = (b-a)f'la + 0(b-a)] (O<0<1).
En posant b = a + h, on obtient:
f(a+h)—f (a) = hf (a + 0¾).
La formule de Lagrange donne l'expression exacte de
l'accroissement f (b) — / (a) de la fonction / (x), c'est pourquoi on l'appelle
formule de? accroissements finis.
Nous savons que la dérivée d'une constante est nulle. On peut
déduire de la formule de Lagrange la propriété inverse : si la dérivée
f (x) est nulle en tout point de l'intervalle (a, b), la fonction f (x).
est constante dans cet intervalle.
Prenons une valeur quelconque de x dans l'intervalle (a, b) et
appliquons la formule de Lagrange à l'intervalle (a, x). On obtient:
f{x)-f{a) = (x-a)f{l) {a<l<x);
mais par hypothèso /'(g) = 0, et par conséquent:
/(»)—/ (¢) = 0, c'est-à-dire f(x)=f{a) = Cl\
i
Nous savons seulement de la valeur c qui entre dans la formule
de Lagrange qu'elle est comprise entre a et b, c'est pourquoi la
formule de Lagrange ne permet pas un calcul exact de
l'accroissement de la fonction au moyen de la dérivée, mais elle permet
d'évaluer l'erreur que nous faisons en remplaçant l'accroissement de la
fonction par sa différentielle.
Exemple. Soit
La dérivée sera
/'(*) =—r4în = — (M = 0,43420...),
' ' ' x In 10 a:

II-3. APPLICATION Wï \s,\ KOTIOX DE ÏÏÉIUYÊB ICI
ot la foranilo do Lagrange nous donne
Igio("+A)-Igi0a=A a^h (0<0<1)
soit
M
Ieio(a+fe) = lgio«-|-A^rQ^-
Eu remplaçant l'accroissement par la différentielle, nous obtenons In
formule approchée
Igio(a+fc)-IgiOa = A—. Igio (<H-A) = lgio«-rfc-2--
En comparant cette égalité approchée avec l'équation exacte obtenue
par In formule de Lagrange, »ons voyons quo l'erreur aéra
M M QhW
h—— h-
8 A o(a+6ft) •
En faisant a — 100 et ft — 1, on obtient l'égalité approchée
M
Ig10101 = lg,0 100 -1-^ = 2.00434 ...
avec mie erreur de
BAf
100 (100-f-8)
(o<e<«.
En remplaçant dans le numérateur 6 par 1 et dans le dénominateur par
zéro, on augmente la valeur de la fraction et on peut dire que l'erreur sur la
valeur calculée de lgiU 101 est inffaiou.ro à
^ï-0,00004...
Mettons la formule de Lagrange sous la forme:
w-zm=r{c) {a<c<b).
En examinant la courbe y = / (x) (fig. 71), on voit que la
relation
/<*)-/(«) =^= £2b
b-a. AC «
donne le coefficient angulaire do la corde AB, ot que /' (c) donne
celui de la tangente en un certain point M de l'arc AB de la courl)e.
Do porte que la formule de Lagrange est équivalente à l'affirmation
suivante: sur Varc de courbe il existe un point où te tangente est
parallèle à la corde. Un cas particulier de cette propriété est celui où la
corde est parallèle à l'axe OX, c'est-à-dire que f (a) =f(b): on
a alors le théorème do Rolle.
Remarque. Les critères de croissance et de décroissance
d'une courbe que nous avons établis à partir de la représentation
H—2SI

162 CH. II. NOTION DE DERIVEE. APPLICATIONS
graphique, résultent directement de la formule de Lagrange. En
effet, supposons que dans un certain intervalle la dérivée première
/' (x) est positive et soit x et x -\- h deux points de cet intervalle.
On voit à partir de la formule de Lagrange
f(x + h)-f(x)=hf(x+Qh) (0<G<1)
que pour h positif la différence qui figure au premier membre est
positive car les deux facteurs du produit situé à droite sont dans
ce cas positifs. De sorte qu'en supposant
que la dérivée est positive dans un
certain intervalle, nous avons :
/(* + *)-/<*) >0,
c'est-à-dire que la fonction croît dans cet
intervalle. D'une façon analogue, lecritère
de décroissance résulte de la formule citée.
Notons ici que les raisonnements faits
Fig> 71 ' lors de la démonstration du théorème de
Fermât restent valables dans le cas où
la fonction n'atteint pas forcément sa plus grande et sa plus petite
valeur au point considéré mais admet simplement un maximum
ou un minimum. Ces raisonnements nous montrent que pour de
tels points la dérivée première, si elle existe, doit être nulle.
JI-3-8. Formule de Caucby. Supposons que / (x) et cp (x) sont
des fonctions continues dans l'intervalle (¢, 6), possédant une
dérivée en chaque point de cet intervalle et que, de plus, cp' (x) ne
s'annule pas dans cet intervalle. En appliquant la formule de
Lagrange à la fonction cp (x), il vient:
<p{6)—«p(a) = (ô—a)<p'(ci) (a<d<l));
mais par hypothèse cp'(¢0=^0, donc
cp(6) —cp (¢)^0.
Formons la fonction
F (x) -/(ï)+Vp(*),
où ?. est une constante que nous prendrons telle que l'on ait :
F(a) = F(b),
c'est-à-dire
/ (fl) + Vp <a) «/(*) +top (t),
d'où
%=.
<p(61 — <p(a)

II-3. APPLICATION DE LA KOTCOM DE DERIVEE 163
Pour un tel choix de % le théorème de Rolle s'applique à F (x)
et il existe une valeur x = c telle que
F(c) = /'(c) + acp'(c) = 0 (a<c<&).
Cette équation nous donne
-£§-=-* (ç'(«)^o).
d'où, en remplaçant % par sa valeur,
/<»)-/(«) /'t«-H>tf—)i f0<:e<:« fe>
aoit
ou:
/fa + ft)-/fg) ^ /'(a + Wi)
(p (o-)-/j) — Ç (O) (f/ (O + 0fe) '
qui est la formule de Cauchy. En faisant dans cette formule
cp (x) — x, nous aurons <p/ (x) = 1 et la formule sera:
f(b)-f(a)~(b-a)f'{c),
c'ost-à-dire que nous avons obtenu la formule de Lagrange, comme,
cas particulier do la formule de Cauchy.
II-3-9. Calcul des expressions indéterminées. Supposons que-
les fonctions cp (x) et i\> (x) sont continues pour a < x <! a + fc, où
le. est un nombre positif, qu'elles possèdent des dérivées continues et
que oj)' (x) n'est pas nulle pour les valeurs choisies pour x. Supposons
de plus que lim <p (x) = 0 et lim i|> (x) — 0 pour x -*■ a -\- 0 [1-2-2].
En supposant que cp (o) = t|> (¢) = 0, nous aurons des fonctions
continues jusqu'à x = a, c'est-à-dire pour a ^ x ^ a + k. On ne
peut pas appliquer le théorème de la limite d'un rapport à <p (x)/ty (x)
pour x ->- o + 0 car pour x = a il représente une détermination de
type -h- • Indiquons un moyeu pour lever l'indétermination, c'est-
à-dire un moyen de trouver la limite de (p (j;)/ip (x) pour x -»- a -\- 0.
Démontrons d'abord le théorème auxiliaire suivant: si avec les
hypothèses faites ci-dessus, le rapport cp' (x)/i\>' (x) tend vers une limite
b lorsque x tend vers a + 0, le rapport cp {x)lip (x) des fonctions tend
vers la même limite.
En tenant compte de ce que
cp (a) = ty (à) = 0,
et en utilisant la formule de Cauchy [II-3-8], il vient:
(p(i)_ <p(g)-(p(a) _¥(î) ,* comuri<? enfre „ „t -v ,7>
1))(2)- (1)(^-1)3(0) ~ ^7¾ ^ compris entre a et s). (7).
(1«

1(54 OH. II. NOTION DE DDRIVBE. APPLICATIONS
Remarquons qu'avec les hypothèses faites sur cp (x) et %ï> (x), nous
avons le droit d'appliquer la formule de Cauehy.
Si x tend vers a -f- 0, % compris entre a et a; et dépendant de x
tendra vers a. Alors, par hypothèse, le deuxième membre de (7)
tendra vers la limite h et le rapport t4-t tendra vers la même limite.
Il est à noter que cette limite peut être infinie. De sorte que nous
avons la règle:
Lorsque Von cherche la limite du rapport î-fe dans le cas d'une
indétermination du type -rr, on peut remplacer le rapport des fonctions
par celui de leurs dérivées et chercher la limite de ce nouveau rapport.
Cette règle a été trouvée par le mathématicien français L'Hospital
et porte généralement son nom.
Si le rapport des dérivées %,,{ conduit aussi à une indétermi-
nation du type -^-, et si les fonctions q>' (x) et ty' (x) vérifient les
conditions que nous avons formulées ci-dessus pour q> (œ) et i\> (x), on
peut appliquer la règle de L'Hospital également au rapport £77¾ ,
etc.
Nous avons considéré le cas où a < x << a -+- k. On peut examiner
do mémo le cas a — k ^ x < ¢, c'est-à-dire x -*■ a —• 0. Dans les
exemples suivants la limite ne dépend pas de ce que x tend vors a
à gauche ou à droite, et nous écrivons x-*- a.
Nous avons examiné le cas où x tend vers une limite finie a.
Cette règle est aussi valable pour le cas où x tend vers 00. Nous ne
nous arrêterons pas sur la démonstration de ce fait.
Appliquons la règle de L'Hospital à quelques exemples.
1. hm v—■—- "=hm -5—-r--— — n ;
a-*0 x sc-*o 1
„ ,. x—sin a; ,. 1—cosx ,. sin x cosz 1"
2. lin» = =l»a - „ -—=lim-F—=lim—^- = -^-,
x-o *3 xm.0 3*s x-,o dx x-*o 6 6
c'est-à-dire que x — sin x est un infiniment petit du troisième ordre en x.
. ,. x—œcosa: ,. 1 — crtsï + zsln x
3. lun : -=lim- -. ■ =
X-,0 X—S11LX ^..p 1— COStt
sins—«in sf+œcos œ .. 2 cosïtCosi—xsin œ „
=lim : ! = hm —— — 6.
x-,0 sm x x-,.0 cos x
Le résultai de cet exemple fournit uno méthode très pratique pour
rectifier un arc de cercle.

11-3. APPLICATION DE LA NOTION DE DERIVEE
165
Examinons un corclo do rayon unltû. Pouiuxo OX prenons un des diamètres
de ce cercle, et pour axe OY, la tangente au cercle à l'extrémité de ce diamètre
(Kg. 72). Prônons un are OM, et soit ON un segment de l'axe OY dont la
longueur est égale à l'arc OM. Traçons la droite NM. Soit P son point
d'intersection avoc l'axo OX. Soit u la longueur de l'arc OM (le rayon étant pris pour
unité). L'Équation do la droite NM par segments est:
-5-... £-1,
OP ' u.
Pour calculer la longueur du segment OP notons quo le point M de
coordonnée:;
z=OÇ = t — cosu, y=*QM=sinu..
ss trouve sur NM.
Ces coordonnes doïvont vérifior l'équation
1 —cos« . sïn»
d'où
OP
OP^-
L'oxeinplc 3 montre que pour OP ->■'& on a u ■
P de OX tendra vers le point D dont la
distance à L'origine des coordonnées sera cigale à
3 lois le rayon du cercle. D'où une méthode
simple pour rectifier de façon approchée un
arc do cercle. Pour rectifier l'arc OM il tant
Îiortor à partir do 0 le segment OD dont la
ongueur ost égale à trois fois le rayon du cercle
et tracer la droite DM. Le segment ON, formé
par cette droite sur OY donne une valeur
approchée de la longueur de l'arc OM. Cotte méthode
donne de très bons résultats, un particulier
pour les arcs petits. Mais môme pour un arc
(igalà-7j- l'erreur relative est d'environ 5 %.
- 0, c'est-à-dire quo lo point
Fig. 72
II-3-10. Diverses formes d'indétermination. Le théorème- démontré
an paragraphe [II-3-9] reste valable dans le cas d'indétermination
du type —. Ci-dessous, sans distinguer si x tend vers a à gauche ou
à droite, nous écrirons brièvement s-va. Soit deux fonctions
continues q> (x) et i|) {x) tendant vers (-j-oo) ou (—oo). Soit
1 Im <p (x) = li m \p (») = + oo (8)
et
^«"iw
(9)
Montrons que le rapport |-S tend vers la môme^limite 6 ; ce
faisant nous supposerons quo ^' (x) n'est pas nullG~ponr les valeurs
de x proches de a.

106
CH. II. NOTION DE DERIVEE. APPLICATIONS
Examinons deux valeurs de la variable indépendante x et a;0,
proches de a et toiles que x soit compris entre xB et a. D'après la
formule de Cauchy nous aurons
Mais par ailleurs,
Notons que d'après (8) q> (x) et i]> (a;) ne sont pas nulles pour des
valeurs de x proches de ¢, En comparant ces deux expressions, on
obtient
(p (X) (f (a) (p' (|)
soit
<P<*)_y'(S) W») /40^
cp(s)
où | est compris entre a; et 3¾ et, par conséquent, entre a et x^.
Prenons 0¾ suffisamment proche de a. Alors, d'après (9), nous pouvons
considérer que le premier facteur du second membre de (10) différera
infiniment peu de b pour tout x compris entre xa et a. Fixant ainsi
la valeur 3¾. faisons tendre x vers a. Alors, d'après (8), le second
facteur du second membre de (10) tendra vers l'unité, c'est pourquoi
on peut dire que le rapport q> (x^i^x) du premier membre de (10)
pour x voisin de a sera aussi peu différent que l'on veut de b, c'est-
à-dire
Km IIS = 6.
Il résulte du théorème qu'on vient de démontrer que la règle de
L'Hospital s'applique également pour lever des indéterminations
du type 2 .
Voyons encore quelques types d'indétermination. Examinons
le produit <p (x) i]> (x), et soit
Hm<j>(a:)=0
et
limita:) = oo.

II-3. APPLICATION DE LA NOTION DE DERIVEE 167
On aura une indétermination- du type 0- oo. On peut la mettre
facilement sous la forme q- ou — :
Examinons enfin l'expjession q> (»)*(*>, où
lim if (x) es 1 et lim ty (œ) = oo.
On a une indétermination du type 1". Examinons le logarithme
de la fonction considérée:
lu l«P (*)*"*! = *(*)l«q>(*),
qui se ramène à une indétermination du type 0-oo. En levant cette
indétermination, c'est-à-dire en trouvant la limite du logarithme
de l'expression donnée, nous connaîtrons la limite de l'expression
elle-même. De la même façon on lève les indéterminations du type
oo° ot 0°,
Examinons les exemples suivants:
1. lim = Km —r-= h00-
X-f+w X K-t+oo *
Ê G fi
lim —s-= lim ~x— = Hm -n-=+oo.
x-»~H» % «-»-+00 *>x *-*-+«i **
De même on peut voir que lo rapport e^/xn tond vors l'infini pour x -*■
-»■ + oo, si n est positif, c'est-à-dire que la fonction, exponentielle e* croit
plan vite que toute putssance positive de x, lorsque x tend vers rtnjlnl,
J_
2.7, lim J"= lim ■—*;- lim ^=0 (n>0),
c'est-à-dire que In x croît moins vite que toute puissance positive de x.
i_
3. lim î"1iiï= lim -^-= lim x =*~ lim — -0 (n>0).
i-H-0 x-^+0 _1_ *->+0 _Z^L *-»+0 n
a» œn+i
4. Cherchons la limite do x* lorsque a; tend vors 0 par valeur positive.
En prenant le logarithme, On a une indétermination du type O.oo.Cetto
indétermination, comme on l'a vu dans l'exemple 3, donne zéro à la limite et
Uni s«=l.

168
CH, ]I. NOTION DK DERIVEE. APPLICATIONS
5. Cherchons la limite du rapport:
x-\-sinx
lim ■
Le numérateur et le dénominateur de ce rapport tendent vers l'infini.
En remplaçant (règle do L'HoapItal) lo rapport des fonctions par celui de leurs
dérivées, il vient
lim ■—
X-K*
1
Mais 1 -(- ces z no tend pas vers une limite lorsque x croît indéfiniment
car cos z oscille sans cesse entre (+1) et (—1), cependant il est facile de voir
que le rapport luï-rnGmo tendra vers Ja limite
iIm^±^Si^llm(d+!i£f)=1.
Ainsi dans c<s cas on peut lever Vindétermination mais la règle de L'Hos-
pital no dorme rion. Ce résultat ne contredit pas le théorème qu'on vient de
démontrer car il affirmait seulement que si lo rapport des dérivées tend vers
ut») limite, le rapport des fonctions tend vers cette mfimo limite, mais la
réciproque n'est pas vraie.
6. Examinons encoro dos indéterminations du type (oo ± oo). Elles s«
ramènent généralement au type -jr- . Par exemple,
lim [—.—. ;—r,\ =tim
x-,o \amx x + x*J j^.0
x-\-z2—sin x
(x -f- xi) sin * '
Cette dornière expression présente uno indétermination du type -jp . JSn
lovant cotte indétermination par le moyen déjà indiqué, on obtient :
HmfJ m-1.
II-4. Fonctions do deux variables
II-4-1. Notions fondamentales. Jusqu'ici nous avons considéré
les fonctions d'une variable indépendante. Examinons maintenant
une fonction de deux variables indépendantes u = / (x, y).
Pour déterminer les valeurs particulières d'une telle fonction on
doit se donner les valeurs des variables indépendantes x = x0,
y = Vo- A chaque couple de valeurs de x et y correspond un point
Mo (%, ya) situé sur le plan de coordonnées et au lieu de parier
de la valeur de la fonction pour x = x0, y — y0, on peut parler de
la valeur de la fonction au point AT0 (£o> ya) du plan. La fonction
peut être définie dans tout le plan ou seulement dans une de ses
parties, dans un domaine» Si / {x, y) est un polynôme entier en

11-4. FONCTIONS DE DEUX VARIABLES
169
x el y, par exemple
u = f{x, 3/) = ^+^ + ^-2^+3^ + 7,
on peut considérer que cette formule définit une fonction sur tout
le plan. La formule
u=|/l-(^ + ya)
définit une fonction à l'intérieur du cercle a? + y2 = 1 dont le
centre est à l'origine des coordonnées et dont le rayon est égal à
l'unité, aussi bien que s»ir la circonférence elle-même où u = 0.
L'analogue de l'intervalle dans le plan est le domaine défini par
les inégalités Oi<»-^it, a^-^y 4^.b2. C'est un rectangle dont
les côtés sont parallèles aux axes et dont la frontière fait partie
du domaine. Les inégalités ot <c x <c b\ et a2 <. î/ < b2 définissent
seulement les points situés à l'intérieur dn rectangle. Si la frontière
du domaine fait partie du domaine, on dit qu'il est fermé. Si elle
n'en fait pas partie, on dit qu'il est ouvert (cf. 11-1-41). Définissons
la notion do limite d'une fonction / (x, y) de deux variables
(cf. fl-2-8)). Supposons que la fonction est définie en tout point
M (x, y) suffisamment proche de Mo (a. b).
Définition. On dû que le nombre A est la limite de f (.r, y)
lorsque M (x, y) tend vors Mo (a, b), et on écrit
Vimf(x,y)=A, ou lim f{x,y)—A,
si pour tout e positif donné il existe un r\ positif tel que
M—/(». y)|<e. ** \x — a\<m et \y — b\<r\.
On suppose que le couple de valeurs x = o, y = b est exclu
{M ne coïncide pas avec Mo). Si le point Mo est sur la frontière
du domaine où / (x, y) est définie, M tendant vers Mo doit
appartenir à ce domaine. Soit une suite indexée de points Mn (xn, yti)
tendant vers Mo (fli b), c'est-à-dire une suite telle que los xn aient
pour limite a et les yn aient pour limite b. On peut démontrer que si
la suite do nombres un = f (xn, yn) pour toute suite de points MT, (¢,,,
yn) a «ne seule limite A, alors A est la limite de / (x, y) lorsque
M (x, y) tend vers M0 (a, b) au sens de la définition donnée ci-
dessus.
Supposons que / (x, y) est définie aux points Mo (a, b) et dans
tous les points voisins de Mo (a, b) (cf. 11-2-8]).
Définition. La fonction f (x, y) est dite continue au point
M0 (a, b) si
]\mf(x,y) = f(a,b), ou lim f(x, y) = f(a, b).
x-*a M-+Ma

170
CH. II. NOTION DE DERIVEE. APPLICATIONS
Une fonction est dite continué dans un domaine si elle est continue en
tout point de ce domaine.
Ainsi la fonction u — ]fl — x* — y3 est continue dans le cercle
où elle est définie. On peut aussi en dire qu'elle reste continue si
on joint au cercle sa frontière, c'est-à-dire la circonférence sur
laquelle u = 0,
Soit B un domaine fermé et fini dans un plan et / (x, y), une
fonction continue dans B (continue à l'intérieur de B et jusqu'à
la frontière de B). Une telle fonction a des propriétés analogues
aux propriétés des fonctions d'une variable indépendante continues
sur un intervalle fermé et fini [1-2-11]. Le procédé pour démontrer
ces propriétés est dans l'essentiel le même que dans f 1-2-19]. Nous
nous bornerons à en formuler les résultats.
1. La fonction f (x, y) est uniformément continue dans B, c'est-
à-dire que pour tout nombre positif s donné, il existe un nombre
positif ï| tel que
|/(*î,ys!)-7(Si, yi)l<e.
si (x±, y,) et (xz, yz) appartiennent à B et si
\x2~xl\<i), \yz—yt\<t\-
2. La fonction f (x, y) est bornée dans B, c'est-à-dire qu'il
existe un nombre positif M tel que \ f (x, y) \ <; M pour tout
(x, y) appartenant à B.
3. La fonction f (x, y) passe par sa valeur la plus grande et la
plus petite dans B.
Indiquons un corollaire de la définition de la continuité de la
fonction. Si / {x, y) est continue au point (o, b) et si y = è, la
fonction / (x, b) d'une variable indépendante x est continue pour
x = o, De même, / (o, y) est continue pour y = 6.
II-4-2. Dérivées partielles et différentielle totale d'une fonction
de deux variables indépendantes. Supposons que la fonction u =
= / (x, y) est telle que y reste constant et seul x varie, c'est-à-dire
que u devient une fonction de x seulement, et on peut calculer son
accroissement et sa dérivée, Soit àxu l'accroissement de u, lorsque y
reste constant et que x croît de Ax :
àxu = f(x + àx, y) — f(x, y).
La dérivée s'obtient en cherchant la limite
Jim *£Œ ito fO^rti-ftoiO
AI-++0 "S At-»*0 ax

11-4. PONCTIONS DU DEUX VARUBLBS
171
La dérivée ainsi obtenue en supposant que y reste constant est
la dérivée partielle de la fonction u, par rapport à x, et on utilise la
notation :
du
ou /i(ar, y), ou -r-
dx
du
Notons que j- n'est pas une fraction mais un symbole désignant
une^dérivée partielle. Si / (x, y) a une dérivée partielle par rapport
à x, elle est une fonction continue de x pour un y constant donné.
De même on peut définir l'accroissement A„u et la dérivée partielle
de u par rapport à y calculée en supposant que x reste constant:
Si par exemple, u = x2-r-y\ alors
dv ,,„ du 0
Sx ' dy *
Examinons l'équation de Clapeyron
p»=RT.
A l'aido de cette équation on peut définir l'une des grandeurs p, v et T
en fonction des deux autres qui doivent alors être considérées comme des
variables indépendantes. Nous obtenons la table suivante:
Variables
indépendantes
Fonctions
Dérivées
partielles
T, p
_ RT
"~ P
dv R
ST = p '
dv RT
dp- p*
r, v
RT
dp R
dT *~ v '
Op _ RT
dv »2
p, v
R
dT v
3p~ R '
dT p
dv ~~ R
D'où la relation
du dT dp .
dT dp dv ~
Si dans lo premier membre on effectue la simplification, on aurait (+1),
ot non (—1). Mais dans cette égalité les dérivées partielles sont calculées avec

■172 OH. II. NOTION DE DERIVEE. -APPLICATIONS
dus hypothèses différentes:
pour •==■ on suppose p constant;
37' . ,
pour -g— on suppose » constant ;
pour -~- on suppose T constant.
C'est pourquoi on ne peut pas faire cette simplification.
Désignons par Au l'accroissement total de la fonction obtenu
lorsque x et y varient simultanément :
Aa=f(x + Ax, y + Ay) — I (x, y).
En ajoutant et en retranchant 1(x,y + Ay), il vient
Au = lf(x + Ax, y+Ay)-f(x, y + Ay)]+[f(x,y + Ay)-f(x,y)}.
Le premier terme représente l'accroissement de u pour la valeur
constante (y |- Ay) de la variable y, tandis que le second représente
l1 accroissement de u pour la valeur constante x.
Supposons que / (x, y) est définie dans un certain domaine B,
que le point (x, y) se trouve à l'intérieur de B et que Ax et Ay ont
été choisis tellement petits par leur valeur absolue qu'un rectangle
au centre (a;, y) et à la longueur des côtés égale à 2 I Ax j et 2 | Ay \
est situé également à l'intérieur dei?. Supposons en outre crue/ (x, y)
a des dérivées partielles à l'intérieur de B. En appliquant la formule
de Lagrange à chacun de ces accroissements faisant partie de Au,
ce qu'on peut faire parce que dans chaque cas, une seule variable
indépendante varie, il vient : '
Au = f'x(x + $Ax, y + Ay) Ax + f'v(x, y + Q^y) Ay,
où 0 et 0t sont compris entre zéro et un. En supposant continues
les dérivées partielles y et y, nous pouvons dire que lorsque àx
et Ay tendent vers zéro, le coefficient do Aa; tendra vers f'x (x, y)
tandis que le coefl'icient de Ay tendra vers f'u (x. y), c'est pourquoi
Au = \fx(x, y) + e| Ax + [f'y (x, y) + e,) Ay
ou
Ai4=/i(ar, y)Ax+f'!l(x, y) Ay + eAx + e^y, (1)
où b et e, sont infiniment petits en ruGme temps que Ax- et Ay.
Celte formule est analogue à:
Ay = y'Ax + e,Ax,
que nous avons démontré dans le cas d'une fonction de variable
indépendante [11-1-6L Les produits sAx et SiAj/ seront des
infiniment petits d'oi'dre supérieur par rapport à Ax et Ay.

EI-4, FONCTIONS EB DEUX VAIUABL15S
173
Rappelons que dans les raisonnements précédents nous avons
supposé non seulement l'existence mais aussi la continuité des
dérivées partielles '■£- et -^ dans un certain domaine contenant le point
(*> y)-
Remplaçons dans la somme des deux premiers termes du second
membre de (1), Ax et A^ par des nombres arbitraires dx et dy
(différentielles des variables indépendantes). Ainsi on obtient:
du = fx(x, y)dx + f'y {x, y) dy,
ou
du^^dx + ^dy, (2)
qui porte le nom de différentielle totale de la fonction u [11-1-6].
Etant donné les propriétés déjà indiquées de e.àx et de e.[ky,
on peut dire que pour lespetites valeurs de | dx \ et | dy \ la dlffêrenlielle
totale du. est une valeur approchée de Vac-crovssemenl total Au qui
correspond aux accrolisemenls dx et dy des variables indépendantes
[ÏM-61.
Par ailleurs, il est évident que les produits -^ dx et ~ dy
donnent une valeur approchée des accroissements Axu et Ayu et, donc,
pour des accroissements petits des variables indépendantes,
l'accroissement total de la fonction est approximativement égal à la somme de ses
accroissements partiels
Au du-— àxU-j- AyU.
L'égalité (2) exprime une propriété importante d'une fonction
de plusieurs variables indépendantes que l'on peut appeler la
propriété de « superposition des petites actions ». Les effets conjugués
de plusieurs actions petites Ax et Ay peuvent être remplacés avec
une précision suffisante par la somme des effets de chacun d'eux.
IÏ-4-3. Dérivées des fonctions composées et des fonctions
implicites. Supposons maintenant que la fonction u — f (x, y)
dépende par l'intermédiaire de x et de y d'une variable
indépendante t, c'est-à-dire supposons que x et y ne soient pas des variables
indépendantes mais des fonctions de la variable indépendante
t et calculons la dérivée -£ de u par rapport à t.
Si la variable indépendante t subit un accroissement Ai, les
fonctions x et y subiront un accroissement Ax et Ay et u, un
accroissement Au :
Au — f(x + Ax, y + Ay)—f{x, y).

174 CH. Iï. NOTION DE DBRIVfiB. APPLICATIONS
Nous avons vu 111-4-2) que l'accroissement peut être mis sous
la forme
Azi = f'x(x + QAx, y + Ay) &x + fv (x, y + 0jAy) Ay.
Divisons les deux membres de cette égalité ,par At:
■g— /i (x + QAx, y + Ay) ±L + /' (x, y + etA,j) ^ •
Nous avons supposé que x et y admettent une dérivée par
rapport à t et donc seront, à plus forte raison, des fonctions continues
de t. C'est pourquoi lorsque At tend vers zéro, Ax et Ay tendent
également vers zéro vu la continuité supposée de j- et de y ,
l'équation écrite deviendra en passant à la limite
Cotte égalité exprime la règle de différeniiation d'une fonction
composée de plusieurs variables.
Supposons, en particulier, que la variable x joue le rôle de la
variable indépendante t, c'est-à-dire que la fonction u^=f(x, y)
dépeud d'une variable indépendante x directement et par
l'intermédiaire de la variable y qui est une fonction de x. Etant donné
Ht
que j^ = 1, nous obtenons en tenant compte de (3);
£-£(*.»)+A <*,¥)|p (4)
La dérivée -r~ est appelée te dérivée totale de u par rapport à x
par opposition à la dérivée partielle fx {x, y).
La règle de différentiation des fonctions de fonction s'applique
pour trouver te dérivée d'une fonction implicite. Supposons que
l'équation
F(x,y) = 0 (5)
définisse y comme fonction implicite de x ayant la dérivée
y' = <p'(x).
En faisant y — cp (x) dans (5), nous devrions obtenir l'identité
0 = 0 car y — <p (x) est une solution de l'équation (5). Nous
voyons de la sorte que la constante nulle doit être considérée comme
une fonction de fonction de x qui dépend de x directement et par
l'intermédiaire de y = cp (x).

II-5. APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES BE DËRIVfiE 175
La dérivée par rapport à x do cette constante doit être nulle ;
en appliquant la règle (4) nous obtenons:
F's(x, y)+F-y(x, y)y'^0,
d'où
P'xfa v)
y ~~ P'v(*, y)-
L'expression, ainsi obtenue, pour y' peut receler aussi bien x
que y, et si on veut obtenir l'expression de y' uniquement en fonction
de la variable indépendante x, il faudra résoudre l'équation (5)
par rapport à y.
11-5. Applications géométriques de la notion
de dérivée
II-5-1. Différentielle d'un arc. On montrera en calcul
intégral comment trouver la longueur d'un arc de courbe, on obtiendra
l'expression de la différentielle de la
longueur d'un arc et l'on démontrera que le
rapport d'une corde à son arc tend vers
l'unité, lorsque les deux extrémités de
l'arc so rapprochent indéfiniment pour
former un point.
Soit une courbe y = f (x) donnée et
nous allons chercher la longueur d'un arc
de la courbe mesuré dans un certain sens
à partir d'un point A donné de la courbe
(fig. 73). Soit s la longueur de l'arc AM
joignant le point A au point variable M. La grandeur s de
même que l'ordonnée y est fonction de l'abscisse x du point M.
Si le sens AM coïncide avec l'orientation choisie sur la courbe,
on a {> 0, et dans le cas contraire s <. 0. Soit M (x, y) et N (x +
+ Aa;, y -h &.y) deux points de la courbe et soit As la différence de
longueur des arcs AN et AM, c'est-à-dire l'accroissement delà
longueur de l'arc lorsqu'on passe de M en N. La valeur absolue de
As est la longueur de l'arc MN prise avec lo signe (+). On voit sur
le triangle rectangle
*■*
Fig. 73
d'où
ou bien
{MNf = Aa? + Ay*,
{MN)* , /Ay\3
As» ~ a "r { Ax )
(-54'(fc)'-^ (£-)'■

176
CH. Il- NOTION Tili IJÉRVVÉE. APPUCATIOKS
La tangente MT, si elle existe, est la position limite de la sécante
MN lorsque N tend vers M le long de la courbe, c'ost-à-dire lorsque
Az->- ± 0.
En passant à la limite dans l'égalité précédente (on suppose
l'axistence de la tangente) et en tenant compte de ce que, d'après ce
qui a déjà été dit, \-t— ) -*■ 1, nous avons:
soit
£-±VT+?*. (i)
Nous devons prendre le signe (-|-) si s croît avec x et le signe (—)
si s décroît lorsque x croît. Pour préciser supposons que nous sommes
dans le premier cas (représenté sur la fig. 73). Il résulte de (1) que
ds=V l + y'*d» ou, comme j/' = ^t,
ds=Vdx* + dy», c'est-à-dire d&^dstP + dy*. (2)
Si le radical est considéré comme positif, on obtient la valeur
arithmétique de ds. La formule (2) est, au fond, une autre expression
de (1). Comme nous verrons par la suite, elle est très pratique. On
étudiera plus en détail la longueur de l'arc au paragraphe [1II-3-31.
Le paramètre naturel pour déterminer les positions du point M
sur la courbe est la longueur s de l'arc A M. On peut prendre cette
grandeur s pour variable indépendante et les coordonnées (x, y) de
M seront des fonctions de s:
z-'P(s). »=*(*)■
Nous parlerons plus en détail des courbes données sous forme
paramétrique au paragraphe 111-5-51. Nous allons expliciter la
signification géométrique des dérivées de x et de y par rapport à s.
Supposons que le point N est disposé de telle façon que le sens
de l'arc MN coïncide avec le sens pris sur la courbe, c'est-à-dire
que As > 0. Lorsque N tend vers M, la direction de la sécante MN
donne à la limite la direction déterminée do la tangente au point M.
Cette direction de la tangente sera dite sens positif de la tangente.
Elle dépend du sens positif de la courbe.
Soit at l'angle formé par MN avec le sens positif de l'axe OX.
L'accroissement Ai de l'abscisse x est la projection du segment MN
sur l'axe OX, par suite:

U-5. APPLICATIONS <H50MSTIUQO.ES DE IjEfUVEB
177
et dans cette égalité MN est considéré comme positif. En divisant
les deux membros de cette égalité par la longueur de l'arc MN
soit As, nous avons
A* As »
Par hypothèse. As > 0, c'est pourquoi lorsque N tend vers M,
le rapport l^Aa;2 -f ày^/às tend vers (-M) et l'angle qt tond vers
l'angle a formé par le sens positif de la tangente MT avec le sons
positif de l'axe OX. A la limite l'équation devient
cos es =
ds
(3)
(4)
De même, en projetant MN sur l'axe W, il vient
81IKX-.&..
os
11-5-2. Convexité, concavité, courbure. On a représenté sur
les fig. 74 et 75 des cas de convexité et de concavité de courbes
tournées du côté des ordonnées positives.
Une même courbe y = / (x) peut, bien sûr, être formée de parties
convexes comme de parties concaves (fig. 76). Les points, qui sépa-
+ X
-*-x
Fig. 74
Fig. 75
rent tes parties convexes d'une courbe des parties concaves, sont des
points d'inflexion.
Si l'on se déplace sur une courbe dans le sens des x croissant et
si l'on considère les variations de l'angle a formé par Ja tangente et
le sens positif de l'axe OX, on voit (fig. 76) que sur les parties
convexes cet angle décroît tandis que sur les parties concaves il croît, tg a,
c'est-à-dire /' (x), présentera la même variation car lorsque a
croît (décroît), tg a lui aussi croît (décroît). Mais les intervalles
où /' (a) décroît sont ceux où la dérivée de cette fonction est négative,
c'est-à-dire où /" (x) < 0 et les intervalles où /' (x) croît sont ceux
où f" (x) > 0. Nous avons ainsi le théorème :
La courbe présente une convexité vers les ordonnées positives dans
les intervalles où, f" (x) < 0 et une concavité dans les intervalles où
f" (x) >• 0. Les points d'inflexion sont ceux où, f (x) change de signe,
12-2SI

178 0H' H. NOTION DE DÉRIVÉE. APPLICATIONS
A partir de ce théorème, en raisonnant comme nous l'avons
déjà fait [II-3-2J, nous obtenons la règle pour trouver les points
d'inflexion. Pour trouver les points d'inflexion d'une courbe, il faut
trouver les valeurs de x pour lesquelles f (x) s'annule ou n'existe pas
et étudier le-i changements de signe de f (x) lorsque x passe par ces
valeurs, en utilisant la table suivante :
/"(*)
point d'inflexion
+ -
concave convexo
a.
Convexe concave
pas de point
d'inflexion
- -
convexe
+ +
concave
La représentation la plus naturelle de la déformation d'une
courbe s'obtient en examinant les variations do l'angle a compris
entre la tangente et l'axe OX lorsqu'on se déplace le long de la
y,i
r^j
Convexe
7là
Concave
Infttgttw
Figf. 76
Fig. 77
courbe. De deux arcs de courbe de même longueur As la plus
incurvée sera celle dont la tangente tournera le plus, c'est-à-dire
celle pour laquelle l'accroissement Aot sera le plus grand. Ces
considérations nous conduisent à la notion de courbure moyenne de As
et de courbure en un point donné : la courbure moyenne de l'arc As
est la valeur absolue du rapport de l'angle A<x compris entre les tangentes
aux extrémités de l'arc à la longueur as de l'arc. La limite de ce rapport
lorsque As tend vers zéro est la courbure de la courbe au point considéré
(fit 77)-
De sorte que la courbure C s'écrit:
C =
âa.
Mais tgcc est la dérivée première y', donc
a = arctgî/',

U-6. APPL1CAT10KS GEOMETRIQUES DES DÊRIVBE |7g
d'où en diîférentiant par rapport à a; la fonction de fonction arc tg y' i
Mais nous venons de démontrer que
ds=±:yi + jj'idx.
En divisant dot. par ds, on obtient l'expression définitive de la
courbure :
Sur les parties convexes il faut prendre le signe (—) tandis que
sur les parties concaves il faut prendre le signe (+) ; ainsi C sera
toujours positif.
Aux poiDts de la courbe où soit i/ soit y" n'existent pas, il n'y
a pas non plus de courbure. Au voisinage des points où y" s'annule
la courbure devient nulle et la courbe tend vers une droite. Ceci se
produira par exemple au voisinage des points d'inflexion.
Supposons que les coordonnées x, y des points de la courbe
s'expriment au moyen de la longueur de l'arc s. Dans ce cas, nous avons
vu que :
dx . àjl
cosa = T~, sin a = -r~.
as ds
L'angle a sera aussi une fonction de s, et en dérivant par
rapport à s les égalités écrites, nous avons :
. dot d3x da. dhj
— sin a ~v—= -j-s-> cosa—7— = -3-5-.
ds as* ' ds ds*
En élevant au carré et en additionnant ces deux égalités, il
vient:
\ ds) \ds* ) ~T~\dsZ ) '
d'où
L'inverse delà courbure de C : -g s'appelle le rayon de courbure.
D'où pour le rayon de courbure R on aura, en vertu de (5), l'expres-
12»

180 CH. ÏI. NOTION DE DERIVEE. APPLICATIONS
si on suivante i
soit
a-ljLLj:^, (6)
ff= *
9t on prend la valeur positive de la racine.
Dans le cas d'une droite y est un polynôme du premier degré
en x et, par conséquent, y" est Identiquement mille, c'est-à-dire
v *
Fig. 78 Fig. 79
que tout le long de la. droite la courbure est nulle et le rayon de
courbure est infini.
Dans le cas d'un cercle do rayon r il est évident que (fig. 78) :
As = rAa et R=lim-r^ = r,
c'est-à-dire que le rayon de courbure est constant tout le long du
cercle. Par la suite nous verrons que seul le cercle présente cette
propriété.
Notons que les variations du rayon de courbure no sont pas aussi sensibles
que celles delà tangente. Examinons une ligne formée d'un segment de droite A fi
et d'un arc de cercle BC tangent au segment au point B (fig. 79). SmAB le rayon
do courbure est infini, sur BC il est égal au rayon r du cercle, et au puinl ti il
présente une discontinuité, alors que la direction de la tangente varie de façon
continue. On explique ainsi les secousses des wagons dans les virages.
Supposons que la vitesse v des wagons reste constante. On soit do la
mécanique que la force sera dirigée suivant la normale à la trajectoire et
que son intensité sera m —, où m eat la niasse du corps en mouvement et R le
rayon de courbure de la trajectoire. On voit alors qu'aux points où 11 y a
discontinuité du rayon de courbure il y aura discontinuité de la force, d'où apparition
de secousses.
II-5-3. Asymptotes. Passons maintenant à l'étude des branches
injinies des courbes où l'une des coordonnées x on y ou les deux
ensemble croissent indéfiniment. L'hyperbole et la parabole nous
donnent des exemples de courbes à branches infinies.

11-6. APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES BB DaRrVBB J81
L'asymptote d'une courbe à branche infinie est une droite telle que
la distance des points de la courbe a la droite tend vers zéro lorsqu'on
s'éloigne indéfiniment sur la branche infinie.
Montrons d'abord comment trouver les asymptotes d'une courbe
qui sont parallèles à l'axe OY. L'équation d'une telle asymptote
doit être de la forme
x = c,
où c est une constante; dans ce cas en se déplaçant sur la branche
infinie x doit tendre vers c, ot y vers l'infini (fîg. 80). Nous ob
tenons ainsi la règle suivante :
Toutes les asymptotes de la courbe
parallèles à l'axe OY peuvent être obtenues en trouvant les valeurs x =
= c telles que lorsqu'on s'en approche, f (x) tende vers l'infini.
Pour déterminer comment la courbe est disposée par rapport à
l'asymptote il faut déterminer le signe de f(x)
lorsque x tend vers c à droite et à gauche.
Passons maintenant à la recherche
d'asymptotes non parallèles à l'axe OY.
Dans ce cas l'équation de l'asymptote doit
être de la forme
il = «l + 6,
Umffâ"'*'! ilimftx)=+m
ri«oo\ lur.
Umtlz)-o°\ lU/7ifii)'-i
Fjg. 80
où \ et t[ sont les coordonnées de
l'asymptote tandis que x, y sont celles du. point
courant de la courbe.
Soit w l'angle compris entre
l'asymptote et le sens positif de l'axe OX. Soit
MK la distance du point de la courbe à l'asymptote et MKt la
différence des ordonnées de la courbe et de l'asymptote pour une
même valeur de l'abscisse x (fig. 81). On voit sur le triangle
rectangle que
i**iHJ§r(-**).
donc, la condition
\imMK=Q
peut être remplacée par
HmAf ^, = 0.
(7)
Dans le cas où l'asymptote n'est pas parallèle à l'axe OY, en se
déplaçant sur la branche infinie correspondante, x tend vers l'infini,

182
CH. II. NOTION DE DERIVEE. APPLICATIONS
En tenant compte de ce que MKt est la différence des ordonnées de
la courbe et de l'asymptote pour une même abscisse, on peut mettre
la condition (V) sous la forme:
lim\f(x) — ax—b] = 0,
(8)
d'où les valeurs de a et de b.
*~X
Fig. 81
Fig. 82
La condition (8) peut être mise sons la forme:
mn^riM-a-i-uo.
Mais le premier facteur x tend vers l'infini, c'est pourquoi 1'
expression entre crochets doit tendre vers zéro :
hm i-i-i— o — — — lim -Li-i- — « = 0,
c'est-à-dire
a = iim
/<*)
Ayant trouvé ¢, on peut obtenir 6 à partir de la condition
principale (8) qui peut être mise sous la forme :
b = \im\f(x)— ax\.
X-*ao
Ainsi, pour que la courbe
ait une asymptote non parallèle à l'axe OY, il faut et il suffit que
lorsque l'on se déplace sur la branche infinie x croisse indéfiniment et
qu'existent les limites:
fl = limiIïL. b=lim[f(x)-ax),
et alors Vêqualion de l'asymptote sera:
tl = o| + /;.

11.». APPLICATIONS GBOMfiTRIQUES DE DBR1TEË 183
Pour étudier la position de la courbe par rapport à l'asymptote,
il faut étudier séparément le cas où x tend vers (+°°), et celui
où il tend vers (—oo), et dans chaque cas il faut déterminer le
signe de la différence
/(*)_(«r + 6).
Si clic est positive, la courbe est au-dessus de l'asymptote; si
ello est négative, la courbe est au-dessous de l'asymptote. Si cette
différence ne garde pas un signe constant lorsque x croît
indéfiniment, la courbe oscille autour de l'asymptote (fig. 82).
II-5-4. Construction de eourbes. Indiquons maintenant la
manière de procéder pour construire la courbe représentative de la
fonction
de façon plus complète que l'exposé que nous avons déjà fait III-3-3).
Il faut :
a) déterminer l'intervalle de variation de la variable
indépendante x ;
b) déterminer les points où la courbe coupe les axes de
coordonnées;
c) déterminer les sommets de la courbe;
d) déterminer la convexité, la concavité et les points
d'inflexion de la courbe ;
e) déterminer les asymptotes à la courbe;
f) déterminer éventuellement la symétrie de la courbe par
rapport aux axes de coordonnées.
Pour obtenir un tracé plus précis de la courbe, il est utile, en
plus, de calculer les coordonnées d'un certain nombre de points
de la courbe, ce qui est facile à réaliser à partir de l'équation.
1. Traçons la courbe représentative de
(«-3)»
y=-
{x-i) ■
a) x varie dans l'intervalle (— oo, -f oo).
9
b) Si x =■ 0, on a y = — -r-; si y = 0, on a x — 'i, c'est-à-dire que la
courbe coupe les axea de coordonnées aux points I 0, — -r I et (3, 0).
c) Calculons les deux premières dérivées
' W4(i-l)a ' ' ( ' (i-1)» •
En appliquant la règle habituelle, nous aurons les sommets: ud minimum
(3, 0) et un maximum (—1, —2),

18<i CH. II, .NOTION DE DBRIVÉB. APPLICATIONS
d) 0« volt à partir de l'expression île la dérivée seconde qu'elle est positive
pour x > 1 et négative pour x <_ i. c'est-à-diro que dans l'intervalle (1, oo)
la courbe est concave ot dans l'intervalle (—00, 1) convexe. II n'y a pas de
point d'inflexion car /" {x) no change do sigue que pour x = i et cotte valeur
correspond à une asymptote parallèle à l'axe OY, ainsi que nous allons le voir.
0) Pour x — i h devient infini et la courbe e pour asymptote
*=t.
Cherchons maintenant les asymptotes qui ne sont pas parallèles
à l'axe OY:
_ 3 ^
M)' ,
«^ iim ~ Yi—= lim
9
, .. r(*-3)« x~\ ,, -5s + 9 .. ^ x 5
*-»L4(* —1) 4j ^»„ 4(x—1) se-.ooWjL^M «
c'esl-iwliro que l'asymptote sera:
1 5
Nous laisserons au lecteur ie soin de chercher la disposition de ta courbe
par rapport à l'asymptote.
f) Il n'y a pas do symétrie.
Eu reportant tous les résultats obtonus ou aura la courbe (fig. 83).
2. Etudions les courbes:
j, = o(sS—x*){5a?-x*), 2^=0(03-s3)3, (c<0),
qui donnent ta forme d'une poutre pesante déformée sous l'action de son poids
La promièro équation correspond au cas où les extrémités peuvent tourner
librement, tandis que la seconde correspond au cas où elles sont fixées. La
longueur de la poutre est 2a, l'origine clés coordonnées est au milieu et t'axe
OY est la verticale dirigée vers le haut.
a) II est évident que seul l'intervalle do variation de x (—a, +a) nous
intéresse.
b) En supposant x = 0, on a y = 5 ca* et j/i = ca*. c'est-à-dire que dans
le premier cas la flèche de la poutre est 5 fois plus grande que dans ie second.
Pour x = ± a, y — y, — 0, ce qui correspond aux extrémités.
c) Calculons les dérivées
y'=— Acx(3a* — x*), y"=* — i2<i(a* — x3),
y;= —Acx (a2—z2), vl= —ic (¢3-33,-2).
Dans les deux cas dans l'intervalle (—<z, +a) il y aura un minimum pour
x — 0 qui correspond au fléchissement du milieu de la poutre que nous avons
mentionné plus haut.
d) Dans le promier cas, y" > 0 dans l'intervalle (—e, +a), c'est-à-dire
que la poutre présente une concavité orientée vers le haut. Dans le deuxième

II-6. APPLICATIONS OEOMETR1QUES DE nERlVEE 185
cas ul s'annule pour x — ±a/"l/3 et change de signe, c'est-à-dire que les points
correspondants sont 1ns points d'inflexion de la poutre.
e) Il n'y a paa de branches infinie».
f) Dana les deux cas l'équation ne change pas si on remplace x par (—x),
c'est-à-dire qm dans les deux cas la courbe est symétrique par rapport à i'axo 0 Y.
Sur la fig. 84 on a représenté les deux courbes. Pour simplifier nous avons
pris a — 1, c — — i; en fait, la longueur de la poutre est uetablemcnt plus
-/
«
\ °
-1
-2
\'3
V
-S
0
-
-
<
1.
Fig. 83
Flg. 84
grande que sa flèche, c'est-à-dire que a est beaucoup plus grand que c et I»
forme de la courbe sera quelque peu différente (laquelle?).
Nous proposons au lecteur de chercher les points d'inflexion de la courbe-
et de comparer avec la fig. 60 où on a représenté le graphique de cette fonc
tion.
II-5-5. Définition paramétrique d'une courbe. En recherchant
l'équation du lieu géométrique des points ayant une propriété
donnée, il n'est pas toujours commode, ou même possible,
d'exprimer cette propriété directement, sous forme d'une relation liant
les coordonnées x, y du point courant. Dana de tels cas, il est
pratique d'introduire une troisième variable, auxiliaire, au moyen
de laquelle on peut exprimer séparément l'abscisse x et l'ordonnée'
y de tout point du lieu géométrique.
L'ensemble des deux équations ainsi obtenue
» = «P(*). 1/ = ^(0
<9>
peut servir pour construire et étudier la courbe, car pour chaque-
valeur de t il définit la position du point correspondant de la courbe.
Un tel moyen de se donner une courbe est dit paramétrique,.
et la variable auxiliaire t le paramètre. Pour obtenir L'équation

486 CH. II. NOTION DE DfilUV.BE. APPLICATIONS
de la courbe sous la forme habituelle (implicite ou explicite) d'une
relation entre x et y, il faut éliminer te paramètre t des équations
(9), ce que l'on peut faire, par exemple, en résolvant Tune des
équations par rapport à t et en portant la valeur ainsi obtenue dans
l'autre.
On rencontre souvent les courbes données en. coordonnées
paramétriques en mécanique, lorsqu'on étudie la trajectoire d'un point
•en mouvement et dont la position dépend du temps t, de sorte que
les coordonnées sont des fonctions de t. En déterminant ces
fonctions, nous avons la trajectoire sous forme paramétrique.
Ainsi, par exemple, l'équation paramétrique d'un cercle de
rayon r, dont le centre est en (r-a, yo), sera
x=xa+rcost, y = y0 + rs'mt, (10)
■que l'on peut mettre sous la forme :
x—z0=rco&t, y~y0 = rs'wt.
En élevant au carré et en additionnant les deux équations membre
à membre, nous éliminons le paramètre t et obtenons l'équation
(habituelle du cercle:
(x-x0)* + (y-y0)*=rK
De même, il est évident que
z = acost, y = bsiut (tl)
■est l'équatiou paramétrique de l'ellipse
0ï T bî —
Supposons que y, en tant que fonction de x, est définie par les
"formules paramétriques (9).
L'accroissement At du paramètre entraîne les accroissements
■correspondants &.x et &.y et, en divisant le numérateur et le
dénominateur de la fraction -r^ par At, on obtient l'expression suivante pour
ûa dérivée de y par rapport à x:
M
•soit
iy it' (t) ,„.
& 7f ■ l"J

11-5. APPLICATIONS aeoMflTRIQUES DE DaRIVÉE |87
formons la dérivée seconde de y par rapport à x :
m
En appliquant les règles de différentiation d'un rapport
UI-1-6], il vient:
... _ âtydx—Pxdy ,,o>
y -"" (ite)3 ' [™>
Mais d'après (9) :
dx = tp'(t)dt, d*x = <p"(t)dt',
dy = V(t)dt, d*y = ty"(t)dt*.
En portant ces valeurs dans (13) après simplification par dt3,
il vient
..»_ y (0^(0-^(0^(0 M/v
y ww ■ ( '
Remarquons que l'expression (13) de y" diffère de celle donnée
par (3) 1H-2-3J (pour n = 2):
car cette dernière est obtenue en supposant que x est une variable
indépendante, tandis que dans le cas do la représentation
paramétrique (9) c'est t /rui est la variable indépendante. Si x est une
variable indépendante, dx est considéré comme constant [II-1-6], c'est-
à-dire ne dépendant pas do x, et d*x = d (dx) = 0 est la
différentielle d'une constante. Alors la formule (13) se transforme en (15).
Pouvant déterminer y' et y", nous pouvons trouver la direction
de la tangente à la courbe, la convexité ou la concavité, etc.
Comme exempta prenons la courbe représentative de l'équation
*3+ï3—Saxy^O (a>0), <16)
qui est appelée « iollum de Descartes».
Introduisons le paramètre variable t te) que
V=tx, (17)
ot examinons les points d'intersection de la droite (17) dont le coefficient
angulaire t est variable avec la courbe (16). En remplaçant y par te dans (1G), après
simplification par œ2, il vient:
3at
i+t* '
et (17) nous donne alors ;

[88 CH. II. NOTION DK DERIVEE. APPLICATIONS
On a ainsi l'équation paramétrique du fotium de Descaries. Calculons
les dérivées de i cl j par rapport ù t:
Ga
x\ =3a
y', =3o
(1 + *3) —StH
(1-M3)2
d + «3)2
(!+«»)* '
(18>
Pour étudier les variations de x et de y divisons l'intervalle (— oo, -)- oo)
dans lequel t varie on parties telles que xi et yt gardent un signe constant dans
chaque partie et no deviennent pas infinis. Pour cela il faut considérer les
valeurs:
f=-l, 0,-|=- et f%
pour lesquelles ces dérivées s'annulent ou deviennent infinies. Les signes de
x't et yt dans ces intervalles s'obtiennent facilement à l'aide des formules (18);
en calculant les valeurs de x et y aux bornes des intervalles nous obtenons la
tabie ci-dessous:
Intervalle t
(-co, -1)
(-1, 0)
('■w)
Wt- >'t)
(v-T, +co)
x'i
+
+
_L-
-
-
v\
-
-
+
+
-
x
croît de 0 à +co
croît de —co à 0
croît de 0 à \rAa.
décroît de yrîâ
à \r2a
décroît de \rïn à 0
if
décroît de 0 à —oo
décroît de +oa à 0
croît de Û à yr2â
croit du y la a y «a
décroît de >'4a à 0
mule :
D'ofi la conrbt; représentée sur la Kg. 85.
Pour calculer If coefficient angulaire de la tangente nous avons la tor-
Vj_ t, [2-t3)
(19>

II-S. APPLICATIONS OEOMÉTRlQOES DE DUKIVJiE
(89
Notons que x et y 3'aunulcnt pour ; «= 0 et t = oo et, comme on voit
d'après la représentation, la courbe se coupe elle-même à l'origine des
coordonnées.
La formule (19) nous donne
. = 0
pour
t = 0,
,. i(2 — t3) ..
= lim—£: i-=.lim
(-H» ol.ï _|«1 '
«H
2 (t-'3) "'^(è-O
=oo pour *=co,
^ 0
2
*-*
c'est-à-dire quo les doux branches qui se
coupent mutuellement à l'origine sont
tangentes l'uno à l'axe OX, l'autre à OY. pjg> 55
Lorsque t tend vers (—1), x et y tendent
vers l'infini et la courbe a une branche Infinie.
Déterminons l'asymptote: le coefficient angulaire de l'asymptote ost égal h
.. y .. 3«i'(l+t3) ,
lim •-= Iim „-,'.'..■ = —1,
*_*«. * t._i 3at (1 + 2S)
b= lim (jr4-a;)= hm —, .'., = 11m
,_>_iw i-_t 1-MS ;—1
6a2_f3a=_
3i* "'
c'est-à-dire quo l'équation de l'asymptote sera :
y=—x—a oh z-|-îr-.|-a = 0.
II-5-6. Equation de Van dor Waals. Si on considère qu'un gaz vérifie
exactement les lois de Boylc-Mariolte ot de Gay-Lussac, on obtient la relation suivante
entre la pression du gaz p, son volume v et sa température absolue T:
pv^-IÎT,
où Jî est une constante^ égale pour tous les gaz si on étudie une « moléctile-
gratnmo » du gaz, c'est-à-dire un poids do gaz égal à son poids moléculaire.
Les gaz réels n'obéissent pas exactement à cette relation, et Van dor Waals
a donné une autre formule qui décrit do façon plus précise lo phénomène. Cette
formule est de la forme :
(p+pr)o>-*>=w,
où a et 6 sont des constantes positives qui dépendent de la nature du gaz. En
résolvant l'équation par rapport à p, il vient:
_ HT a_
P v — b t-«
(20)
Etudions la relation entre p et t; en considérant que T est constant, c'est-
à-dire le cas des variations isothermiques du gaz. Calculons la dérivée première
de p par rapport à v.
àp_ HT Zb t r2a(o-b)* „1
de (p_6)a"l" a» (H_6)2 L v3 J
(21)

■190
CH. FI. NOTION DE DÉRIVËE. .APPLICATIC»
Nous n'oiaminerons que les valeurs de v supérieures ù 4. En ce qui concerne
le sons physique de cette condition et les courbes que nous obtiendrons, le
le&lftur devra se reporter à un cours de physique. En annulant cette dérivée,
il vient
frC-»)' -JT-Q. (22)
Etudions les variations du premier membre de cette équation lorsque v
varie de 6 à (-J-oo), pour cela calculons sa dérivée par rapport à y, en tenant
compte de ce que, par hypothèse, RT est constant:
r 2a (g—jpg y „ 2(y^b)v*~Zv*(v—6)» 2a (v~6) (v—36)
L JS J -*" 55 Jï '
d'où on voit que cette dérivée est positive si b < v< 34 et négative pour
v > 36, c'est-A-dîro que le premier membre de (22) croît dans l'intervalle (6, 36)
et décroît lorsque v continue à croître, c'est pourquoi, pour o — 36, il admet
un maximum égal à
Par substitution directe on voit que pour «=6etu=-|-oolo premier
membre de (22) deviont (—HT) et, par conséquent, il est négatif. Si le maximum
est aussi négatif, c'est-à-dire si
le premier membre de (22) est toujours négatif, et dans ce cas on voit sur (21)
•p est toujours i
Par contre, si
que -p est toujours négatif, c'est-à-dire que p décroît lorsque v croît.
le premier membre de (22) admet un maximum positif pour v = 36, et
l'équation (22) a une racine tu dans l'intervalle (6, 36), et l'autre racine 1¾ dans
l'intervalle (36, -(-00). Lorsque v passe par la valeur vlt le premier membre de (22),
et par suite —•-, passe dos valeurs négatives aux valours positives, c'est-h-dire
qu'à cette valeur do v correspond un minimum de p. On voit de même qu'à la
valeur de y =■ y2 correspond un maximum de p.
Si enfin
«•-&. (*)
le maximum do premier membre do l'équation (22) est nul et les valeurs de
v = »i et de v = v2 coïncident et ont pour valeur commune v = 36. Lorsqu'on
passe par cotte valeur, le premier membre de (22) et -~ restent négatifs, c'est-
à-dire que » décroît continûment avec la croissance de v, et au point v = 36
correspond le point d'inflexion C de la courbe. Au point d'inflexion de coordon-

[1-6. APPLICATIONS GEOMETRIQUES DE DERIVEE
191)
nées v = i>c et p—pc Correspond la température rc déterminée à partir de-
la condition (23). Ces valeurs sont ditos critiques (respectivement: volume-
critique, pression critique et température critique); sur la fig. 86 on a représenté-
la forme des courbes correspondant aux
trois cas considérés.
II-5-7. Points singuliers des courbes.
Considérons l'équation d'une courbe,
donnée sous forme implicite :
P(x, 1/)^0. (24)
Le coefficient angulaire de la tan-
?;ente à cetto courbe ost défini par la
ormiile [II-4-3J :
Jjfc. S)
(25)
où (»■, y) sent les coordonnées du point
de tangence,
examinons le cas particulier où
F (x, y) est un polynôme entier en «-. et
y. Danscecas la courbe (24) ost dite
algébrique. Las dérivées partielles Fx {x, y) ot
Fy (x, y) auront dea valeurs définies, si
on remplace x et y par les coordonnées
d'un point quelconque Ht do la
courbe (24), et l'équation (25) nous définit
le coefficient angulaire de la tangente
dans tous les cas sauf lorsque les dérivées
partielles F'x (z, y) et F'y {x, y)
s'annulent au point de coordonnées (x, y). Un
tel point M est appelé point singulier
de la courbe (24).
Un point singulier de la courbe algébrique (24) est un point qui
l'équation (24) et les équations
Fig. 86
Pour l'ellipse
*■;(*, y) = 0, F'v{x, y) = 0.
X* y*
vérifie-
(26):
la condition (26) donne x = y = 0 mais le point (0, 0) n'est pas sur l'ellipse,
c'est pourquoi on dira quo l'ellipso n'a pas de point singulier. Il on est dt
c'est pourquoi on dira quo l'ellipso
même de l'hyperbole et de la parabole.
Bans le cas du folium do Descartes:
de-
les conditions (26) deviennent:
3x2—3aï = 0 et 3y3~ 3az = 8,
et on voit quo le point (0, 0) est un point singulier de la courbe. En étudiant
le fnlium de Descartes nous avons montré que In courbe se coupe elle-même à-
l'origine des coordonnées et que les deux branches de la courbe qui se coupent

102
CH, II. NOTION DE DERIVEE. APPLICATIONS
en ce point y ont des tangentes distinctes: pour l'une des branches la tangent*
■est OX tandis que pour l'autre c'est OY.
On appelle point nodal d'une courbe un point singulier où les différentes
branches de la courbe qui se coupent ont des tangentes distinctes.
De la sorte l'origine des coordonnera est un point nodal pour le folium de
Ocscartes.
Montrons sur des exemples quelques typos de points singuliers des courbes
algébriques.
1. Examinons la courbe
y*—a*3 = 0 (o>0),
<jul porte le nom de parabole semi-cubique,
II est facile do voir que les coordonnées (0, 0) annulent le premier membre
de cotte relation et ses dérivées partielles par rapport à s et y. Il en résulta
que l'origine des coordonnées est un point singulier pour cette courbe. Pour
«tudior la forme de la courbe au voisinage de ce point singulier construisons
•celte courbe. Son équation sous formo explicite sera:
f/ = =b Vax*.
Pour construire la courbe il suffit d'étudier la partie qui correspond au
eigne (+) car la partie correspondant au signe {—) sera symétrique à la premiure
partie par rapport a l'axe OX. 11 résulte de l'équation que x nu peut être négatif
■et que lorsque x croît de 0 à (-(- oo), y croît aussi do 0 à {+ oa).
Déterminons les doux premières dérivées:
Pour x = 0 on a aussi y' ■= 0 ; si on tient compte aussi do ce que x ne peut
tendre vers zéro que par valeurs positives, on peut dire quo l'axe Oa sera tangout
à la courbe à droite à l'origine do coordonnées. De plus ou voit que pour la
partie étudiée de la courbe y" garde un signe constant (+) dans l'intervalle
{0, +oo), c'est-à-dire que la concavité de la partie de la courbe étudiée est
tournée vers les ordonnées positives.
Sur la fig. 87 on a représenté la courbe étudiée (pour a = 1). A l'origine on
a deux branches de courbe; elles ont une même tangente au point de tangence
■et sont situées de part et d'autre de leur tangente commune au voisinage du poini
singulier (dans le cas examiné, partout). Un tel point singulier s'appelle point
de rehaussement de première espèce.
2. examinons la courbe:
{y —x2)Z — ¢5 = 0.
11 est facile de vérifier que l'origine des coordonnées est un point singulier
■do la courbo. L'équation de la courbe sous forme explicite sera:
y — x* ± T/P.
On voit que x peut varier do 0 à (-)- oo). Calculons les deux premières dérivées:
if' = 2*±|-VP, tf"=2±^Vî,
et étudions séparément les doux branches correspondant respectivement aux
signes (-I-) et (—).

11-6. APPLICATIONS QEOMKTBIQDE8 DE DERIVgE
193
Notons tout d'abord q«e dans les doux cas pour x = 0 et y' = 0, comme
dans l'exemple précédent, l'axe OX sera tangent aux deux branches de Ja courbe
à droite.
En étudiant los deux branches de la courbe de la manière habituelle, on
obtient les résultats suivants : sur la première branche » croît de 0 à (-f- oo)
lorsque x croît de 0 à (+oo) et la courbe est concave; la deuxième brancha
a un soramot (maximum) pour x =» — , un point d'inflexion pour x = ^
et la courbe cnupo l'axe OX pour x = i.
Ceci étant, on pout tracer la courbe représentée sur la fig. 88.
225
*-X
Fig. 87
Fig. 88
A Vorigine des coordonnées se rencontrent sans se continuer deux branches
de la courbe, elles ont en ce point «ne tangente commune et sont situées du même
côté de la tangente au voisinage du point singulier. On appelle un tel point un
point de rebrouuement de deuxième espèce.
3. Etudions la courbe
y*—x* ;-3:6=0.
L'origine est un point singulier de la courbe. Sous forme explicite l'équation
de la courbe sera:
y = ±x3 Vl — z\
L'équation sous formo implicite ne contient que des puissances paires de x
cl y, c'est pourquoi les axes de coordonnées seront des axes de symétrie de la
courbe et il suffit d'étudier la partie de la courbe correspondant aux valeurs
positives de x et de y. Tl résulte do l'équation de la courbe sous forme explicite
que x peut varier do (—1) à (+1). Bornons-nous à calculer la dérivée première:
(/' =
g (2 — 3i°)
Pour x = 0 on a y = y' —■ 0, c'est-à-dire qu'à l'origine la tangente coïncide
avec l'axe OX, et pour x = 1 on s y = 0 et y' = oo, c'est-à-dire qu'au point
(1, 0) la tangonte est parallèle à l'axe OY. Avec .les méthodes habituell s on
trouvera que la courbe a. \m sommet pour -x •= l/ -5-. En tenant compte de ce
13-281

194
CH. II. NOTION DE DÉRIVÉE, APPLICATIONS
qui a déjà été dit et en particulier de la symétrie de la courbe, on aura la courbe
représentée sur la fig. 89. A l'origine les deux branches de la courbe correspondant
*~X
aux signes (+) et (—) devant le radical sont tangentes l'une à l'autre. Un tel
point singulier s'appelle point de tangence.
4. Examinons la courbe
y* — ^(Z —1) = 0.
L'origine est un point singulier. L'équation explicite de la courbe sera
y=± 1/^(3-1).
En remarquant que le terme sous le radical no peut pas êtrenégatif, on en déduit
que soit x — 0, Boit x > !■ Pour x = 0 on a y — 0. Examinons la branclie de
S
1
3
2
t
0
-1
-2
-3
-*
>
■ f/
■ A/
*~*i 2 3 if '
Fig. 91
la courbe qui. correspond au signe (+). Loisque x croît de 1 à (+<») y croît
de 0 à (-)-°°). On voit d'après l'expression de la dérivée première
3x—2
<[ue pour x = 1, y' devient infini, c'est-à-dire qu'au point (1,0) la tangente
est parallèle à l'axe OY. Ln douxiêmo branclw de la courbe correspondant au
signo (—) sera symétrique de la brandie étudiée par rapport à l'axe OX. On
obtient ainsi la courbe représentée sur la flg. 90. Dans lo cas considéré les coordon-

II-5. APPLICATIONS &60MÉTRIQOES nB DÉRIVÉE (95
nées (lo l'origine 0 (0, Û) vérifient l'équation de la courbe, mais dans son iol-
sinage, il n'a a pas d'autres points de la courbe. Vans ce cas le point singulier
est un point isolé.
Avec les typos de points singuliers quo nous venons d'examiner nous avoua
épuisé tous les cas possibles de points singuliers do courbes algébriques, mais
il peut arriver qu'en un certain point d'une courbe algébrique coïncident
plusieurs types de points singuliers, do mémo type ou de types différents.
Les courbes non algébriques sont dites transcendantes.
Nous proposons au lecteur do montrer qu'à l'équation
y — x\nx
correspond la courbe représentée sur la tig. 91. L'origine des coordonnées est
un point d'arrêt de la courio.
II-5-8. Eléments d'une courbe. Donnons les principales formules
liées à la notion de tangente et de courbure d'une courbe, et
introduisons quelques notions nouvelles.
Si l'équation de la courbe est de la forme
»-/(*). (27)
le coefficient angulaire de la tangente est la dérivée /' (x) de y par
rapport à a: et l'équation de la tangente peut être mise sous la forme:
Y-y = y'(X-x) (/ = /'(*)), (28)
où (a;, y) sont les coordonnées du point de tangence, tandis quo
{X, Y) sont les coordonnées da point courant de la tangente. La.
normale à la courbe au point {x, y) de la courbe est une droite passant
par ce point et perpendiculaire à la tangente en ce point. On montre
en géométrie analytique que les coefficients angulaires de droites
perpendiculaires sont inverses en valeur et do signes opposés, c'est-
à-dire que le coefficient angulaire de la normale seca ( r ) , et
l'équation de la normale peut s'écriro
on
(X-x) + y'(Y-y) = 0. (29)
Soit M un point quelconque de la courbe, T et N les points
d'intersection de la tangente et de la normale à la courbe au point
M avec l'axe OX. Soit Q le pied de la perpendiculaire menée du
point M sur l'axe OX (fig. 92), Les segments QT et QN portés par
l'axe OX sont appelés la sous-tangente et la sous-normale à la courbe
au point M. Les nombres déterminés qui correspondent à ces
segments sont positifs ou négatifs suivant l'orientation des segments
13*

198
CH. II. NOTION nE DÉRTVEE. APPLICATIONS
aiir l'axe OX. Les longueurs des segments MT et MN s'appellent
la longueur de latangente et la longueur de la normale à la courbe
au point M. On les considérera ici
toujours comme positives, L'abscisse du
point Q de l'axe OX est égale,
évidemment, à l'abscisse x de M. Les points
T et N sont les points d'intersection de
la tangente ot do la normale avec l'axe
OX et pour déterminer les abscisses de
ces points il faut faire Y = 0 dans les
équations de la tangente et de la normale
et résoudre les équations ainsi obtenues
par rapport à X. Nous obtiendrons ainsi
pour l'abscisse de T: (x—M et pour celle A& N: (x + yy')- Il est
maintenant facile de déterminer la sous-tangente et la sous-normale :
QT = Of~ÔQ^x ^-x= ^-, 1
_ _ y y \ (30)
QN=-ON-OQ = xj-yy' — x=rjy'. )
Maintenant, on peut obtenir la longueur de la tangente et de la
normale à partir des triangles rectangles MOT et MON :
\MT
1M N | = Y M Qi + QN* <= Vy* + yY* = ± y V^ + '/'■
(31)
et il faut choisir les signes (=)=) de façon à ce que les expressions du
second membre soient positives.
Rappelons encore la formule du layon de courbure d'une courbe
[11-5-21:
fl-±!
(32)
Désignant par n la longueur de la normale, nous obtenons à
partir de la deuxième formule (31):
et en portant cette valeur de ]/l +y'2 dans (32), nous aurons
l'expression suivante du rayon de courbure :
* = =*£-< _ (3¾)
Si la courbe est donnée sous forme paramétrique
z = <P(*)> ? = ■*(*).

II-5. APPLICATIONS GEOMETRIQUES DE WÎRrVEE
197
les deux premières dérivées y' et y" de xj par rapport à x s'écrivent
[II-5-5] :
■ ^ dy ^ >[>'(*),
dx q)'(i) '
2/
„ dïu dx—d*x du _ ip" (<) <p' (<)—V II) ty (i)
" — dx* ' ftp' (0|*
(33)
En particulier, en portant ces valeurs dans la formule (32), nous
obtenons l'expression du rayon de courbure pour le cas considéré:
(34)
0--,..(^-1½^ _, {l<P'WP-Hf ft)l2la" . , ds
^ d*rjdx—d2xdy "^ ty" (t) <f'U)—y" (t)y'{t) — da '
où. a est l'angle formé par la tangente avec l'axe OX.
Si la courbe est donnée sons forme
implicite,
F (x, j/) = 0,
d'après (25), on aura pour la tangente
l'équation
F'x(x, y)(X-x)+F-v(x, y)(Y-y) = 0.
(35)
II.5-0. La chaînette. On appelle chaînette
la courbe qui pour un choix convenable des
axes de coordonnées peut se mettre sona la
forme:
■f=y(«M *") (o>0).
Cette courbe représente la position d'équilibre d'un fil homogène pesant
suspendu à ses deux extrémités. On peut construire facilemont cette courbe en utilisant
les règles indiquées [11-5—4{ et on l'a représentée sur la fig. 93,
Calculons les deux premières dérivées de y.
d'où
j,-^(ea_ff-a), |f--è-(^ + r-)-^
(/-g") j.f-j"—2-j-t " (e°+g «f
i + »'B-l + - 4 " 4 - "= 4 --«*•
En portant cette expression de (1 + y'1) dans la deuxième formule (31), on
obtient la longueur de la normale à la courbe:

198
Cil. II. NOTION DE DfiRÏVËK. APPLICATIONS
et on portant l'expression de n et y" dans (32r), il vient :
yias _VZ „
c'ost-à-dire que fe rajon ife courbure d'une chatnelu est égal à la longueur de
la normale MN. Pour * = 0 l'ordonnée y prend sa plus petite valeur y ™= a
et ]o point X correspondant est fe sommet.
Sur la fig. 93 on a représenté on plus quelques lignes auxiliaires dont nous
aurons besoin par la auito. Si on remplace s par (—%), l'équation de la chaînette
n'est pas modifiée, c'est-à-diro que l'axe OY est un axo de symétrie de la
chaînette
icr sur une
mouvement par un
II-S-10. La cyeloïde. Soit un cercle de rayon a. qui roulo saris glisai
droite immobile. Le lieu géométrique décrit lors d'un toi mouvemei
])i>int M fixé sur le cercle s'appelle une cyeloïde.
Prenons pour axe OX la droite sur laquelle roulo le cerole ; pour origine
des coordonnées prenons la position initiale du point M, lorsqu'il est le point
Fig. 94
do tungence du cercle avec l'axe OX ot soit t l'angle dont a tourné le cercle.
Soit do plus C !o centre du cercle, N le point de tangenco du cercle avec l'axe
OX dans une certaine position, Q Le pied de la perpendiculaire abaissée du
Point M sur l'axe OX et II le pied de la perpendiculaire abaissée du point M sur
le diamotro NNt du cercla (fig. 94).
Etant donné l'absence de glissement, on a
et on peut exprimer les coordonnées du point M qui décrit la cyeloïde au moyen
du paramètre l = NCM :
a;=GÇ = CW —QN = at — a sin t=*a (<—sin ().
tj=QM^WC—RC = a. — aco3t = a{i^cos'l),
Ce qui donne la représentation paramétrique do la ejeloïdo.
Notons tout d'abord qu'il suffit d'étudier les variations de t dans
l'intervalle (0, 2n) qui correspond à une rotation complète du cercle, Après une
rotation complète le point M coïncide à nouvoau avec le point de contact 0' du
cercle avec l'axe OX mais avec une translation ÔS7 =• 2jta, La partie de courbe
obtenue au-delà sera identique à l'arc 00' avec translation de cet arc de 2na

ii-5. applications GB0M8TBKÎUBS de rjEiirvEE 199
à droite, etc. Calculons les deux premières dérivées de s et y par rapport & t:
-.a(\— cos*), -—=iJ>'(0=<2Sin«, 1
= osinf, -t-|- = i1)*(0 = ocos«. J
-, T }■ (36)
Le coefficient angulaire de la tangente en vertu do la première des
formulas (33) :
. ^ 2sinTrcosT7
, a s»n t 2 2 . t
Cette formule donne un moyen simple de construire la tangente à la cycloïde.
Joigaons le point Nt au point JW" de la courbe. L'angle MNiN est un angle
inscrit correspondant à l'arc NM= t et il est égal à -^-, On obtient à partir
du triangle rectangle RMlfi (fig. 94):
BMN 1=^-^, tg J?M^1=tg(i—i]=cotg^-.
En comparant cette oxnrossion aveo celle de y', on voit que la droite MNi est
la tangente à la cycloïde, o'est-à-dire que:
Pour construire la tangente à la cycloïde au point M de celle-ci, il suffit
de joindre ce point à l'extrémité Ni du diamètre du cercle roulant dont Vautre
extrémité est h point de tangenec du cercle avec l'axe OX.
La droite MN joignant lo point M à l'autre extrémité du diamètre cité
oi-dessus est perpendiculaire à la droite MNt car l'angle NiMN, interceptant
un demi-cercle est un angle droit et on peut affirmer quo MN est la normale
à la cycloïde. La longueur de la normale n = MN s'obtient directement à partir
du triangle rectangle A\MN:
n=2asin-jj- ,
Le rayon de courbure de la cycloïde s'obtient à l'aide de la formule (34)
et des expressions (30) ;
^ [a*(l—cosq'H-g^alnat]"/'» a (2—2 cos f)3/s _
= a cos t-a (1 — cos t) — asiu iosin t~ cos*— i
= a-23/Hl—cost)I/a=4asin-g. .
Dans cotte dernière expression nous n'avons laissé que le signe (-)-), car
pour la première branche de la cycloïde test dans l'intervalle (0, 2re) et sin ~g ne
peut pas être négatif.
En comparant cette expression avec celle de la normale n, nous avons li—
= 2n, c'est-a-dire que le rayon de courbure de la cycloïde est égal au double de
la normale (AiC^ sur la fig. 94).

200 CH. II. NOTION DE DEKlVEE. APPLICATIONS
Si le point M qui décrivait la oyoloïde n'était pas sur le cercla mais à
l'intérieur ou à l'extérieur du cerclo, alors au cours do la rotation il décrirait une
cycloide raccourcie ou allongée (parfois on donne à ces deux courtes le nom de
trockotde).
Soit A la distance CM du point AT au centre du cercle roulant, les autres
notations restant inchangées. Examinons d'abord lo cas. où h < a, c'est-à-dire
Fig. 96 Fig. 97
le cas où le point M est à l'intérieur du cercle (fig. 95). On voit sur la figure que
x = 0(5== OW— QJY"= at—h sin t,
y = QM=NC-~ flC = a—fteosi.
Dans le cas où h > s les équations seront les mêmes mais la oouibe aura
a forme indiquée sur ^la fig. 96.
U-541. Epicycioïdes et hypocycloïdes. Si le cercle sur la circonférence
duquel est fiïô le point M roule non sur la droite OX, mais sur un cercle
immobile, on obtient deux classes do courbes importantes: les êpicycloides si le cercle
roulant est extérieur et les hypocycloïdes s'il est intérieur à l'immobile.
Donnons l'équation de Vépicycloïde. Plaçons l'origine des coordonnées 0
au contre du cercle Immobile. L'aite OX sera dirigé suivant la droite joignant 0
au point X qui est la position initiale du point M, lorsque les doux cercles sont
tangents en ce point. Soit] a le rayon du cercle mobile et b celui du cercle
immobile, et prenons pour paramètre t l'angle formé par l'axe OX avec le rayon ON
du carole fixe mené au point de tangence des cercles, lorsque le cercle mobile
a tourné de l'angle <j>. = NCM (tig. 97).
Etant donné quo le roulement du cercle se produit sans glissement, on
peut écrire
arc KN = &rc NM,
c'est-à-dire:
bt
bt = a<f, Ç = — •

11-5. APPLICATIONS GfiOMBTRlQtlES DE DERIVEE
On voit m»r la figure que
20t
œ=OQ = Oi+£<? = OC cos KOi
fob—
CM cos SMC^
= (a -(- b) cos i — o cos (H- <p) => (a+ 6) cos i — a cos
a-{- 6
U = QM = LC—XC=OCsin KOC-CMsin SMC =
= (o+6)sin < — (isin(i-|-(p) = (o + 6)âini—asln^t- t.
(37>
La oourbe.est formée d'une série d'arcs Identiques qui correspondent à une-
rotation complète du cerclo tnobilo, c'est-à-dire a uno augmentation de l'angle (p
de 2n et de l'angle t de —j—. Donc, les extrémités de ces arcs correspondent .aux
valeurs :
2a rt ian
/Ρ' ~t"' ~ '
2pan
'~T~'
Pour que nons puissions revenir au point initial de la courbe K, il faut et
il suffit qu'une extrémité d'un des arcs coïncide avec K, c'est-à-dire qu'il existe
tiers p
2pan
des nombres entiers p et g qui vérifient la
condition:
_ -=2r?«,
c'est-à-dire qu'au point R correspond un
certain nombre de rotations complètes autour
du point O. La condition précédente peut
encore s'écrire:
-£. .£.
b" p -
De tels nombres pat q existeront si, et seulement si, a et b sont des segments-
commensurables, sinon )o rapport -r- est un nombre irrationnel qui ne peut
pas êtro égal au rapport do deux entiers.
Il en résulte que l'epicycloïde est une courbe fermée si, et seulement sir
les rayons des cercles mobile et, fixe sont des multiples d'une même longueur,
sinon la courbe n'est' pas fermée et, partant du point K, elle ne peut jamais
y revenir.
Cette remarque s'applique également & l'hypocycloïàe (fig. 98) dont
l'équation peut être obtenue a partir do celle de l'epicycloïde en remplaçant a par
(-a):
a = (6—a) eost
y = (6—o)sin*
, b — a ■>
4-o cos 1, I
. b — a (
— nsin t. I
a >
(38>
Indiquons quelques cas particulière. Supposons que dans le cas de
l'epicycloïde 6 = o, c «st-à-dire que les rayons des cercles mobile et fixe sont égaux-

202 CH. II. NOTION DE DEKrVÉE. APPLICATIONS
Nous obtiendrons dans ce cas une courbe formée d'une seule branche (fig. 99)
«t en faisant 6 = « datts les équations (37), noua obtenons les équations de cette
courbe :
œ=2a cos l—a cos 2/,
y=2asin i — asinil.
Cotte courbe s'appolla une cardioïde.
Déterminons la distance r des points M (x, y) do cette courbe au point K do
coordonnées (o, 0), et pour cola mettons sous une forme plus commode Jos
expressions do (x — a) et (le y :
x—a=2o cos t—a (cos* t-— sin2 t)—a=2a cost—2a cos* i=2acos(l — cosr),
j/=2o sin f—2a sin «cosi = 2osin t (1—cosr).
d'où
r=|KF| = V{ï-tt)2 f »»=
= ~\/Aa.i cos2 t (1 — cos t)2+4aZ sin2 « (1—cos t)3 = 2a (1 — cos t).
Los grandeurs (« — a) et y sont las projections du segment KM sur les
xos OX ot oy mais on voit dans les expressions écrites quo (x — a) et y sont
Fig. 99
«gulos au produit de la longueur du segment KM respectivement par cos t et
sin t, c'est pourquoi nous voyous que KM forme un angle l avec la direction
positive de l'axe OX, c'est-à-dire qu'il est parallèle un rayon ON. Ce résultat
sera utilisé pour déduire la règle de construction do la tangente à Ja cardioïde.
Introduisons l'angle 9 = a ■— t formé par le segment KM avec la
direction négative de l'axe OX. Pour r nous obtenons alors;
/•■=2a(l !-eosfl).
C'est l'équation en coordonnées polaires de la cardioïde et nous Étudierons
cotte courbe plus ei> détail lorsque nous parlerons des coordonnées polaires.

ïl-5. APPLICATIONS GEOMETRIQUES DE DERIVEE 203
Indiquons maîateuant quelques hypocycloïdes particulières. En faisant 6 ■=
= ïa dans (38), il vient
ï = 2ocosi = 6cos«, ï=0,
■c'est-à-dire que si le rayon du cercle fixe est double de celui du cercle mobilo,
le point M se déplace sur un diamètre du oerclo fixe.
Fîg. 100 Fig. 101
Supposons maintenant que b=4a. Dans ce cas l'iiypoeycloïdo sera formée
de quatre branches (fig. 100) et on appelle cette courbe une astroïde. Pour b = 4a
les équations (38) deviennent
a: ^. 3a cos (+ac,os 3/ = 3a cos t fa (4 cos8*—3 cos t)—4a cos3 / = 6cos3 (,
y=3asini—asin3t = 3a sini — a(3sin J—4sii\3 0 = 4asins «~6sin8i.
Elevant les deux équations à la puissance 2/3 et on les additionnant membro
à membre on climinc le paramètre fet obtient l'équation implicite de l'osiroïde
II-5-12. Développante du cercle. On appelle développante d'un cercle
la courbe décrite par l'extrémité M d'un fil souple qui so déroule
progressivement à partir d'un cercle fixe de rayou a, de sorte qu'au point K, où le fil quitte
le cercle, Il reste toujours tangent au cercle (fig. 101).
En prenant pour paramètre l'angle ( formé par la direction positive de
l'axe OX avec le rayon passant par lo point K et en tenant compte do ce que
KM = AK = al, on obtient l'équation de la développante d'un cercle sous
forme paramétrique :
2 = ProJox OM =» ProJox Ôïï-f ProJoA' RM=a cos < Raisin ¢,
y — 'StoioY Ô3ï=ProJoy ÔK + Proj'oy Ô7=a sin l — al cos i,
En utilisant la première des formules (33), on obtient le coefficient
angulaire de la tangente
, acoBt—aco3t-\-atsïnt ,
— asinf-)-osin« (-ateosi *»

204 CH. El. NOTION DE DERIVEE. APPLICATIONS
Lo coefficient angulaire de la normale à la développante du cercle sera
donc égal à
-cotg(=tg(t---i.) ,
d'où il résulte que la droite MK sera la normale à la développante du cercle.
On "verra par la suite que cette propriété est vraio pour les développantes
do toutes les courbes.
II-5-13. Courbes en coordonnées polaires. La position d'un
point M du plan (fig. 102) peut être définie au moyen des
coordonnées polaires' 1) la distance r de ce point à un certain point O (pôle)
et 2) l'angle 9 formé par la direction du segment OM avec une
n
M
o/ke
V 's/
-*- tll g x ' '(Ll
Fig. 102 Fig. 103
direction donnée (L) {axe polaire). On appelle souvent r le rayon
vecteur et G l'angle polaire. Si on prend l'axe polaire pour OX le
polo pour l'origine des coordonnées, il est évident crue (fig. 103) :
£ = rcos0, i/ = rsin0. (39)
A iino position donnée du point M correspond une valeur
positive do r et un ensemble infini de valeurs de 9 qui diffèrent d'un
multiple entier de 2n. Si M coïncide avec O, r = 0 et 9 est indéfini.
Toute relation fonctionnelle de forme r = / (9) (explicite) ou
F (r, 9) = 0 (implicite) définit une courbe dans le système de-
coordonnées polaires. Dans le cas le plus fréquent on a des équations
explicites:
r-/(6). (40>.
Dans la suite, nous aurons des valeurs do r non seulement
positives, mais aussi négatives. Si à une valeur de 9 correspond un r
négatif, on conviendra de porter cette valeur r dans la direction
opposée à celle définie par la valeur de 8.
Eu considérant que pour une courbe donnée r est fonction de 6,
nous voyons que les équations (39) donnent une représentation
paramétrique de cette courbe, et que x et y dépendent du paramètre 6
directement et par l'intermédiaire de r ; c'est pourquoi nous pouvons
utiliser les formules (33) et (34) [II-5-8], En désignant par a l'angle

11-5. AVPLICAT10XS GEOMETRIQUES DE DÉRIVÉE
205
formé par la tangente avec l'axe OX, on aura en utilisant la première
des formules (33) :
tga = j/' = ^|±^H|,
s " r cosB—r smfl
ou r' désigne la dérivée do r par rapport à 0.
Introduisons l'angle |x compris entre les directions positives
du rayon vecteur et la tangente à
la courbe (fig. 104). Nous avons :
d'où.
u-=a — 0,
cos ji = cos a cos 6 -|- sin a sin 0,
sin^^sinacosÔ — cos a sin 8.
En dérivant les équations (39) par
rapport à s et en tenant compte
de ce que -i- et -r sont respectivement égaux à cos a et sin a, il
vient :
Fig. 104
n dr , n dQ - • û dr
cos a ~ cos 6 -j r sin 6 4- , sin a = sin o -g--
-rcos6#-.
En portant ces valeurs de cos a et de sin a dans les expressions
écrites pour cos (i et sin fi, on obtient :
d'où
dr . rdd
r<M=, r = r
dd
(41)
(41,)
Il résulte de (39) que
dx «= cos 0 dr — r sin 9 dô,
dy = sin 0 dr + r cos 9 i8,
d'où
ds = l/(ifa5) + (^)2 = V(drf + rs (de)s,
(42)
et l'ég-alîté a = |i+8 donue en divisant numérateur et
dénominateur par dô;
„■ ds. Udrp + tajdW]1'* _. (rt + r")1'*
1+"S¥

208
CH. II. NOTION DE BfilïrVÉB. APPLICATIONS
De la formule (41t) il résulte quo
du
li-arclg^, ^ =
l +
(*)'
-|-r'i
où. r' et r" sont les deux premières dérivées do r par rapport à 0.
En portant les expressions obtenues des dérivées dans la formule
précédente, on obtient pour le rayon de courbure".
n (r'+i-'»)3/»
(43)
+ ï
11-5-11¾. Spirales. Nous examinerons trois types de spirales:
la Spirale d'Arcltimôde : r = a0,
la spirale hyperbolique: r9=a, (o>0, 6>0),
la spirale logarithmique : r = bé^.
La spirale à"A rckimide est représentée sur la fig. 105. La courbe en pointillé
correspond à la partit) de ia courbe pour laquelle 0 < 0. Les valeurs négatives
Fig. 106
de 0 donnent de* valeurs négatives pour r, et il faut les porter dans une- direction
opposée à celle définie par la valeur do 0.
Tout rayon vecteur rencontre la courbe un nombre infini de fois, et la
distance entro deux points d'intersection successifs est une constante égale
à 2art. Ceci résulte de ce quo la direction d'un rayon vecteur correspondant
à une certaine valeur donnée de 8 ne cliangv pas, si 8 augmente de 2ît, 4n, ....
tandis que la longueur du r qui est détonninéo par l'équation r = »0,
augmentera do 2<ot, 4<nt, . . .
La spirale hyperbolique est représentée sur la fig. 106. En supposant 8 > 0,
examinons co que devient la courbe lorsque © tend vois zéro. L'équation
a
r=TT
montro que r tend alors vers l'infini. Soit M un point de la courbe correspondant
h une valeur suffisamment petite de 8 ; abaissons la perpendiculaire MQ à l'axe
polaire X. On volt sur le triangle rectangle MOQ (fig. 100) quo
QM = rsln 6=—j:— ,

11-6. APPLICATIONS GEOMETRIQUES DE DÉR1VÊK 207
ot lorsque 0 tend vers zéro :
limQjlif = lim a _ =a.
e->c e-*o o
Ainsi, la distance du point M à l'axe polaire tend vers a lorsque 0 tend vers
zéro, ot la courbe aura uue asymptote LK parallèle à l'axe polaire et distante
de a de cet axe.
On voit que r n'est nul pour aucuns valeur finie de 0, seulement il tend
vers zéro lorsque 6 tond vers l'infini. Gontrairomont au cas de la spirale
d'Archimède, la courbe tondra indéfiniment vers le pèle 0, s'enroulant autour
de ce peint, sans jamais passer par lui. Un toi point est appelé généralement
point asymptote de la courbe.
La spirale logarithmique est représentée sur la fig. 107.
Pour 0 = 0, r = b et lorsquo 0 tend vers (+ oo), r tond aussi vers (-}- oo),
ot lorsque fl tend vers (— oo), r tend vers zéro sans jamais devenir nul. Dans le
cas considéré
r'^abe"9 et tgli=^r=—,
°r r' a
c'est-à-dire que le rayon vecteur forme aveu la tangente à la spirale
logarithmique un angle constant p,.
JT-5-15. Cissoïdes et eardioïde. Construisons un cercle de diamètre OA —2s
(tig. 108) ; du point O do la circonférence menons des rayons vecteurs et sur
chacun d'eux portons une longueur constante h = DM depuis le point
d'intersection I> de cette droite avec Ta circonférence. Le lieu géomélriquo dos points M
est ap])olé généralement cissoïde.
En remarquant que
Ô0=2acosO et ÔM = r,
on a l'équation de la cissoïde:
r=2acos 8 )-h.
Si h > 2a, cetto équation ne donne pour r que dos valeurs positives, et
on a la courbe (tig. 109). Si h <z 2a, r peut prendra dos valeurs uégatives et
¾osltives, et on a la courbe (fig. 110). Au point O la courbe se coupe olle-même.
nfiii pour h = 2a l'équation de la cissoïde devient
r = 2a(l + cos8),
c'est-à-dire quo l'on a une eardioïde [H-5-11] qui n'est pas disposée de la même
façon qu'au paragraphe [II-5-11] (fig. 111). Pour 0 — n on a r = 0, c'est-
à-dire que la courbe passe par le point O.
Déterminons les deux premières dérivées de r par Tapport à 6:
r' — — 2asin0, r"=— 2a cos 0.
Calculons tgp,:
r 2s(14-cos8) .8 , / n , 0 \
tgE-TT- -2.«ln0—-"^y-MT+Tj '
c'est-à-dire quo:

W-ff
-*- o
M^mM
Fig. 107
Fig. 108
Fig. Ill

II-5, APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DE DERIVEE 209
On a déjà montré [II-5-11) que Ja cardioïde peut être considérée comme
uue courbe décrite par un peint fixé sur un cercle roulant sur lo cercle
susmentionné de diamètre OA = 2a, lo diamètre du cercle mobile étant égal à celui
du cercle fixe. Soit C lo centre du cercle fixe, M un point de la cardioïde, A' le
point de taiigence du cercle mobile avec le corcle fixe ot /V/Vj le diamètre du
cercle, mobile (fig. 111). Nous avons déjà vu [11-5-11] que les droites OM ot CNi
/\
sont parallèles*, c'est-à-dire que ACN — B, et, par conséquent.
L'angle.W/V,Ar qui est inscrit sur l'are NM est égal à-3-—^-, ol enfin l'anglo
formé par les directions OM ot NtM est égal a :
donc jV,jl-f est la tangente à la cardioïdo au point M. D'où la régie:
Pour construire la tangents à la cardioïde au point M, il suffit de /oindre
ce point à l'extrêm-lté Ni du diamètre du cercle mobile dont Vautre extrémité
se trouve au point de tangence du cercle mobile avec le cercle fixe ; 'la normale sera
portée par la droite MN.
La règle obtenue ci-dessus pour construire une tangente à une cardioïde
s'obtient simplement nu moyen (le considérations cinématiqnes. On sait que
tout mouvement dans un plan d'un système indéformable peut se ramener
;'i chaque instant donné à uno rotation autour d'un point fixe (contre instantané
de rotation) et, généralement, co point vailo aw cours du temps. Dans le cas
de la rotation indiquée sur In l'ig. 111, lo centre, instantané de rotation est le
point de contant A: du cercle mobile avec, lo cercle fixe, ot, par conséquont,
la vitesse du point mobile M, qui est, orientée suivant la tangente h lu cardioïde,
(Mit perpendiculaire an rayon NM qui est une normale à la cardioïde. et la droite
A'tM perpendiculaire au rayon NM est une tangente à la cardioïdo. De ces
considérations il résulte que la règle citée de construction d'une tangente reste
valablo nour toute courbe obtenue en faisant rouler sans glissement un cercle
sur une courbe fixe.
11-5-16. Ovale de Cassini et lemnlBtato. L'ovale de Cassini est le lieu géo-
métriqne des points M dont lo produit des distances à doux points fixes Fv ot
k\ est constant:
Fi.M-FzM = bK
Soit 2« = FiF-2', orientons l'axo polaire suivant /¾ et plaçons lo pfilo 0
au milieu du segment FiF2. On voit sur les triangles OMt\ ot OMF2 (fig. 112)
que:
/•'jjlfa.-^-r a*-r-'iar cos 0, F^M'--=^^+a*—2arcon 0.
En portant ces valeurs dans l'équation des ovales, en en l'élovant au carré,
il vient après simplification:
r<—&iV» cos 20 f- o* — 6« = 0,
don
r* = aa cos 20 ± Vo-' eus» 20— {a" — fr4).
Les cas correspondant à «2 < bz et o2 :> i3 sont représentés sur la fig. 112.
Si a-i ~j> 62, la courbe est formée de deux courbes fermées. Nous examinerons
*' Eu [11-5-11] cesdcuxdroitesétaientdésigiiécspar KMel OA', (v. fig. 99).
14-281

210
CH. II. NOTION DE DBBIVJÉE. APPLICATIONS
plus en détail le cas important où a3 ■= b8. La courbe correspondante est la
lemnUcate dont l'équation sora
ra = 2a2cos2e.
Cette équation ne donne pour r des valeurs réelles que si cos 28 >• 0, c'est-
à-dire lorsque 0 est dans l'un des intervalles:
et r est nul pour
M) ■(").(¥.*)•
» 3« 5ji 7ji
T' 4 ' 4 ' T
11 est facile alors de construire la courbe (fig-. 113).
Au point 0 la courbe se coupe elle-même et les droites pointillées sont les
tangentes aux deux branches do la courbo se coupant au point 0. En dérivant
Fig. 112
Fig. 113
les deux membres do l'équation, de la lemniscalo par rapport à 6, il vient:
2a*sin 20
2rr'=—4o2sln26, soit r' = —-
d'où
IgU-TT--
2o2 si
2aB cos 20 , „„ . / n , na \
u=£ 1-20.
Passant des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes, oit a (39):
j«=îM j1, cos0 = ~, siïiO——.
1 " r r
L'équation de la lemniscale j«ut s'écrira ainsi :
rs=2a2(cos=e—sin2â),
en y portant les expressions précédentes, on aura l'équation de la lem-
niscalu on coordonnées orthogonales :
xi |-!/a = 2aa (^a~^) , soit (*= f ^ = 2^(^-^),
d'où 11 résulte que la lenmiscate est une courbe algébrique de quatrième
degré.

Chapitre in
NOTION D'INTÉGRALE
ET APPLICATIONS
1II-1. Problèmes fondamentaux du calcul intégral
et intégrale indéfinie
JII-1-i. Notion, d'intégral* indéfinie. Un des problèmes
fondamentaux du calcul différentiel est celui de la recherche de In
dérivée on de la différentielle d'une fonction donnée.
Le premier problème fondamental du calcul intégral est. le
problème inverse: la recherche d'une fonction connaissant sa dérivée
ou sa différentielle.
Soit doilnée la dérivée
' ¥'-=/(*)
ou la différentielle
dy — f{x)dx
d'une fonction inconnue y.
Une fonction F (x) gui a pour dérivée la fonction donnée f (x)
ou pour différentielle l'expression f (x) dx est appelée fonction
primitive de la fonction donnée f (x).
Si, par exemple,
alors une .fonction primitive sera, par exemple, F (œ) = -^-a;3. En
effet,
Admettons que nous avons trouvé une primitive quelconque
F (x) d'une fonction donnée / (x), qui possède / (a;) conime dérivée;
c'est-à-dire satisfait à la relation
]!■»=/f».
Gomme la dérivée d'une constante arbitraire C est nulle, nous
avons aussi :
ifW + CY-F-M-ffr),

212 CB. III. NOTION D'INTfiaBALE ET APPLICATIONS
c'est-à-diro qu'avec- F (x) toute fonction F (x) + C est aussi une
primitive do / (x).
De là il résulte qne si Je problème de la recherche d'une
fonction primitive possède au moins une solution, alors il possède
une infinité d'autres solutions, différant de celle-ci d'une constante
additive arbitraire. On peut, cependant, montrer que do cotte façon
toutes les solutions du problème sont englobées, à savoir:
Si F (x) est une fonction primitive quelconque de- la fonction donnée
/ (a), alors n'importe quelle fonction primitive se présente sous la forme :
F(x) + C,
où C est une constante arbitraire.
En effet, soit F, (x) une fonction arbitraire qui a pour dérivée
/(a?). Nous avons:
F'l(x)=f(x).
D'autre part, considérons la fonction étudiée F (x) qui possède
f(x) comme dérivée, c'ost-à-dire :
F'{x) = f(x).
Un retranchant cette égalité de la précédento, il vient:
Fi (*) - F (x) - [F, (x) - F (x))' = 0,
d'où, on vertu du théorème connu fII-3-71,
Ft(„)-F(x) = C,
où C est une constante: ce qu'il fallait démontrer.
Le résultat obtenu précédemment pont encore être formulé ainsi:
si les dérivées (ou différentielles) de deux fonctions sont identiques, alors
ces fonctions ne différent que d'une constante additive.
L'expression la plus générale de la fonction primitive est aussi
appelée intégrale indéfinie d'une fonction donnée f (x) ou, d'une
différentielle donnée / (x) dx ; elle est désignée, par le symbole :
tandis que la fonction f (x) s'appelle fonction à intégrer, et f (x) dx
expression à intégrer.
Ayant trouvé une fonction primitive quelconque F (x), en vertu,
do ce qui a été démontré plus haut, nous pouvons écrire:
^f(x)dx = Ffr)+C,
où C est iine constante arbitraire.

1I1-I. PROBLÈMES FONDAMENTAUX DU CALCUL INTÉGRAL 213
Donnons une interprétation mécanique et géométrique de
L'intégrale indéfinie. Supposons connue Ja loi de la dépendance analytique
de la vitesse en fonction du temps:
» = /(*)
et que l'on doit trouver l'expression du chemin s en fonction du
temps. Gomme la vitesse du mouvement d'un point sur une trajec-
ds
tu ire donnée est la dérivée -jr du chemin par rapport au temps,
le problème se ramène à la recherche d'une primitive do la fonction
donnée / (t), c'est-à-dire:
s= ? f(t)dt.
Nous obtenons une infinité de solutions, différant d'une constante
additive. Cette incertitude de la réponse est due au fait que nous
n'avons pas fixé l'origine à partir de laquelle nous calculons le
chemin s. Si, par exemple, v = gt + va (mouvement uniformément
accéléré), nous ohtenons pour s l'expression :
s = ^gti-\-vat + C (1)
Eu effet, il n'est pas difficile de vérifier que la dérivée de
l'expression (1) par rapport à t coïncide avec î'expression précitée v =
= gt + "o- Si nous convenons de compter s à partir d'un certain
point, qui correspond à la valeur t = 0, c'est-à-dire si nous
convenons de compter s — 0 pour t — 0, alors nous devrons avoir dans
la formule (1) la constante C = 0, 'Dans les raisonnements précédents
nous avons désigné la variable in dépend ante non par x, mais par t,
ce qui, à vrai dire, n'a pas une grande importance.
Passons maintenant à une interprétation géométrique du
problème de ]a recherche d'une fonction primitive. La relation y' — f (x)
montre que le graphique de ia fonction primitive cherchée ou,
comme on dit, la courbe intégrale
est une courbe, dont la tangente pour n'importe quelle valeur de
x possède nue direction donnée, de coefficient angulaire égal à:
»' = /(*)• (2)
En d'autres termes, pour uno valeur quelconque de la variable
indépendante x la relation (2) donne la direction de la tangente à la
courbe, et on demande de trouver cette courbe. Une courho intégrale
étant ainsi tracée, toutes les courbes que nous obtenons on
la déplaçant d'un segment quelconque parallèlement à l'axe OY,

214 OHi III. NOTION D'INTEGRALE ET APPLICATIONS
posséderont poiir une même valeur do x des tangentes parallèles
de mèino coefficient angulaire \f — f (x) (fig. 114) que la courbe
de départ. La translation mentionnée équivaut à ajouter aux
ordonnées de la courbe la constante additive C, et l'équation générale
des courbes, répondant an problème, sera :
y-F{x)+C. (3)
C'est pourquoi pour déterminer complètement la position de
la courbe intégrale cherchée, c'est-à-dire l'expression de la fonction
primitive cherchée, il faut se donner encore un point quelconque.
Fig. 114 Fig. 115
par lequel devra passer la courbe intégrale, mettons le point
d'intersection de cette courbe avec une droite quelconque
parallèle à l'axe OY. Cetlo manière de donner la courbe équivaut
a fixor la valeur initiale y0 de la fonction cherchée y = F (x), qu'elle
doit prendre pour la valeur donnée x = xa. Reportant ces valeurs
initiales dans l'équation (3) nous obtenons une équation pour
déterminer In constante arbitraire C:
y0 = F(x<>)+C,
et enfin la fonction primitive, satisfaisant à la condition initiale
imposée, se présenter» sous la forme :
tj = F{z) + [ya-F(x0)\.
Avant d'éclaircir les propriétés de l'intégrale indéfinie et les
procédés de recherches de la fonction primitive, nous exposerons
îo deuxième problème fondamental du calcul intégral, et
montrerons ses liens avec la formulation de notre premier problème, celui.
de la recherche de la fonction primitive.

II-l. PROBLÈMES BONDAMBNTAUX DU CALCUL INTEGRAI, 215
Pour la suite de notre exposé une nouvelle notion sera
essentielle, la notion d'intégrale définie. Pour parvenir naturellement
à cette nouvelle notion, nous partirons de la représentation
intuitive d'aire. Elle nous servira également pour élucider la liaison
entre les notions d'intégrale définie et de fonction primitive. Ainsi
les raisonnements des deux paragraphes suivants basés sur la
représentation intuitive d'aire ne constituent pas une démonstration
rigoureuse de faits nouveaux. Le schéma rigoureux de la construction
logique de l'édifice du calcul intégral est indiqué à la fin de [III-1-31.
11 est entièrement exposé à la lin du présent chapitre.
I1I-1-2. L'intégrale définie comme limite d'une somme. Traçons
sur le plan XOY la courbe représentative de la fonction / (x), en
admettant qu'elle se présente comme une courbe continue,
entièrement située au-dessus de l'axe OX, c'est-à-dire que Mutes les
ordonnées de cette courbe sont positives. Examinons l'aire Sab,
limitéo par l'axe OX, par la courbe et les deux ordonnées a>= a
et x — b (fig. 115), et essayons de trouver la grandeur do cette aire.
Découpons l'intervalle (a, b) en n parties définies par les points:
a=xn<xl<«z< .,. <a;ft_1<iKft< .. . <.xn-i<xn = b.
L'aire S0& apparaît décomposée en n bandes verticales, dont
la &**»>e a une base de longueur (xh — xh-t). Désignons
respectivement par mh et Mk la plus petite et la plus grande valeur de la
fonction / (œ) dans l'intervalle {xh-i, xh), c'est-à-dire la plus petite
et la plus grande ordonnée de notre courbe dans cet intervalle.
L'aire de la bande est comprise entre les aires des deux rectangles
de môme base (*v-i, Xh) (Qg- 116) et de hauteur mk et Mh. Ces deux
rectangles sont des rectangles intérieurs et extérieurs pour la ktëme
bande.
De cette façon la grandeur de l'aire de la &iême bande est comprise
entre l'aire des deux rectangles cités, c'est-à-dive entre les deux
nombres :
mj,(a*—*k-i) et Mh(xh—xk.i),
c'est pourquoi l'aire Sat tout entière est comprise entre les sommes
des aires de tels rectangles intérieurs et extérieurs, c'est-à-dire
que l'aire iS„s est comprise entre les sommes:
sn — ml(xi—x0)-\-m!,(xî~xl)+... +m.ft(^ — xk-i)+ ... +
+ rtln-i {Xn-i — œ„-s) + m„ (zn — ;«„_, ), (4)
Sn**Mt («i —*o)-MMara—*i)+ • • • + Mn («h — «*-i)+ • • • +
+ Mn-i (*„-, — :ç,_a) + Mn (xn—*„_,).

216
CH. III. NOTION D'JNTËMîStE ET APPLICATIONet
iï?h>E
De cette façon, nous avons l'inégalité:
(5)
Construisons maintenant, au lieu des rectangles intérieurs et
extérieure pour chacniio des bandes, tni rectangle moyen quelconque,
en conservant, coinme précédemment, pour base (xh — Xj,-t} et
on prenant comme hauteur nue ordonnée quelconque / &/,) de notre
r
-*-x
Fig. 116
courbe, correspondant à un point quelconque £ft du segment
(a;,,-!, xh) (fig. 117). Considérons la somme des aires de ces
rectangles moyens:
Sn = / (Ei) («i -*.) + / (¾) (½ - *i) -I-
+ ...+/(!„_,) (.^-,
■.+/Œ*)foi-*»-i) +
-*«-2)+/(£»)(*»-*»-i)- (6)
Elle est, de môme que l'aire Sa^ comprise entre les sommes des
aires des rectangles intérieurs et extérieurs, c'est-à-dire que nous
aurons l'inégalité
î„<5;<5„. (7)
Augmentons maintenant indéfiniment le nombre n de divisions
du segment (¢, b) de façon que simultanément la plus grande des
différences {xk — .r;,._t) tende vers zéro.
Comme par hypothèse / (x) est une fonction continue, la
différence (Mh — m.f) entre ses plus grande ot plus petite valeurs sur
le segment (a;ft_i, xh) tendra vers zéro par réduction continue de la
longueur de co segment, indépendamment do sa situation sur le
segment de baso (¢, b) (continuité do la fonction [1-2-11]). De la
même façon, si nous désignons par ea la plus grande des
différences :
(Mi—nii), (Afa—m2) (Mk—mh), ..., (Af„_i —mn-i),(Mn—m„),
d'après le raisonnement précédent, au cours du passage à la limite
précité, le nombre en tendra vers zéro. Déterminons maintenant

IIM. PROBLEMES FONDAMENTAUX DU CALCUL INTÉGRAL 217
la différence entre la somme des aires des rectangles extéreurs-
et la somme des aires des rectangles intérieurs:
Sn~-sK = (Ml—mi)(xi--x0) + {M2~mz)(x!l—x1)-\-...+
+ (Mh—mk) (rk—£ft_,) .|- ... 4-(Mn—mn) (xn—xn-,)>
d'où, remplaçant toutes les différences (Afft — m.k) par le plus grand
e„, et se rappelant que toutes les différences (xh — Xk-i) sont
positives, on a :
Sn — Sn.<en(.*i — Xo) + &n fe — *i) + ■ • ■'+««(** —^*-i)+ ■ ■■ +
-£■ en (^li — #n-i) ^
c'est-à-dire :
«S»—Sn<enl(.Zi~x0) + (^2 — ^1)+ .. .+ (*fc~**-,)+...+
+ (%-tfn-i)] = 8„(.*„ — z„) = c„ (& —¢).
Nous pouvons écrire de cette façon :
0<Sn—sn<eu(b—a),
c'est-à-dire
lin»(5„~*B)=0. (8)
D'autre part, pour tout n, nous avions:
Sn<Sab<Sn (9)
et la grandeur de l'aire Sab est un nombre déterminé. Des formules
(8) et (9) il résulte immédiatement que la grandeur de l'aire Sab-
apparaît comme la limite commune de sn et Sn, c'est-à-dire des aires
des rectangles extérieurs et intérieurs :
lim sn = lim 5» = £„&.
Puisque, d'autre part, la somme des rectangles moyens S„, comme-
nous ravions vu, est comprise entre sa et Sn, elle doit aussi tendra
vers l'airo Sai>, autrement dit:
lim Sn = Soft-
Cette somme S'n apparaît plus générale que les sommes sn et Snr
car ponr la calculer nous pouvons choisir arbitrairement |ft dan»
le segment (afc-i, :¾). et, on particulier, nous pouvons prendra
/ (§ft) égal à la plus petite ordonnée mh ou à la plus grande ordonnée-
Mh. Lors d'un tel choix la somme S'n se transformo en sommes s„,
et S„.

218 OH. III. NOTION D'INTEGRALE ET APPLICATIONS
Les raisonnements précédents nous conduisent à la proposition :
Si une fonction f (x) est continue sur un segment (a, b) et si, ayant
découpé ce segment en n parties selon les points:
tt=a^o<«i<«2< •■■ <tfft-i<:K/,<...<xn-i<z«.= b,
et ayant désigné par x = 1¾ une valeur quelconque du, segment
(»>_i, œft), nous calculons la valeur correspondante f (|j,) de la
fonction et composons la somme *
S /(¾) (**-*-i), (10)
alors lorsque le nombre de divisions du segment n croît indéfiniment,
la plus grande des différences (:¾—£a_i). tendant vers zéro, cette
somme tend vers une limite finie. Cette limite est égale à l'aire,
limitée par l'axe OX, la courbe représentative de la fonction f (x)
■et les deux ordonnées x =• o, x — b.
La Hmile précitée est appelée intégrale définie de la fonction
/ (a), prise pour les valeurs de a; comprises entre la borne inférieure
x = a et h borne supérieure x = b ; on la désigne par le symbole
suivant :
Remarquons que l'existen56, de la limite I de la somme (10)
lorsque la phis grande des différences (xh — £ft_i) tend vers zéro,
■revient a l'affirmation suivante: pour tout nombre positif donné
e il existe un nombre positif t|, tel que
\I- 2 /(l*)(a*-**-i)l<«.
fc=wl
<mcl que soit la modo de découpage et de choix des points £4 dans
le segment (a;ft_i, xk), si seulement la plus grande des différences
(positives) xh — xh-i < n. Cette limite / est une intégrale définie.
Notons que l'ensemble des valeurs des sommes (10) pour tous
les découpages de l'intervalle (¢, b) et pour tout choix de %h, no
peut être ordonné de sorte que s'élabore une variable ordonnée.
La limite de la sommo ne doit êlre comprise que dans le sens indiqué
plus haut (à l'aide des nombres s et t]).
Plus haut nous avons supposé que la courbe représentative de
la fonction / (x), se trouve entièrement au-dessus de l'axe OX,
* Le symbole 2 / fi») (xk—xh-i) est la notation abrégfio (1b la somino (G).

III-l. PllOBLEMES FONDAMENTAUX DU CALCUL INTEGRAL 219
c'est-à-dire que toutes les ordonnées de cette courbe sont positives.
Considérons maintenant le cas plus général, où certaines parties
de la courbe se trouvent au-dessus do l'axe OX, et d'autres au-dessous
(fig. 118).
Si dans ce cas nous composons la somme (6), alors les termes
/ (§*) (xh — Zh-i)> correspondant aux parties de la courbe se
trouvant sous l'axe OX, seront négatifs, puisque la différence (xh — Xk-t)
est positive et l'ordonnée / (|ft) négative.
Après passage à la limite on obtient une intégrale définie, qui
introduira ies aires, se trouvant au-dessus de l'axo OX avec le signe
(+) et celles situées sous l'axo OX avec le signe (—), c'est-à-dire
que dans le cas général V intégrale définie
donnera la somme algébrique des aires, comprises entre l'axe OX, -^
la courbe de la fonction f (x) et les ordonnées x = a et x = b.
Les aires situées au-dessus de l'axe OX seront alors affectées du
signe positif, et celles situées au-dessous de Vaxe OX du signe négatif.
Commo nous le verrons par la suite, nous sommes conduit à la
recherche de la limite d'une somme de la forme (6) non seulement
dans In question du calcul do l'aire, mais aussi dans de nombreux
autres problèmes des sciences naturelles des plus divers. Citons
seulement un exemple. Soit un point M quelconque se déplaçant
sur l'axe OX de l'abscisse x = aà. l'abscisse x = b suc loqnel s'exerce
une force quelconque T, dirigée aussi suivant l'axe OX. Si la force
Test constante, alors le travail qu'elle accomplit dans le déplacement
du point de la position x — a à la position x = b, se représente par
le produit II = T (b — a), c'est-à-dire par le produit de la grandeur
de la force par le chemin parcouru par le point. Si la force T est
variable, la formule écrite n'est plus valable. Supposons que la
grandeur de la force déponde de la position du point sur l'axe OX,
c'est-à-dire soit une fonction de l'abscisse du point T = / {x).
Pour calculer le travail de la force dans ce cas, découpons tout
le chemin par des points successifs, en parties:
a=xa<.Xi_<Zxz<i .. .<.Xh~j<.xh-< . ■ ■ <xa-i<.xn = b

220 CH. 1U- HOTION D'INTEGRALE ET APPLICATIONS
et considérons une de ces parties (a^-i, xk). Avec une erreur minime
d'autant plus petite qu'est petite la longueur (¾ — Xh-\) nous
pouvons admettre que la force, qui agissait sur le point dans son
déplacement do xh-i à xk, est constante et coïncide avec la valeur de celle
force / (|ft) en un certain point |ft de l'intervalle (.T/i-i, 3¾). De
sorte que pour le travail sur l'élément (xh-U xh) nous obtenons
l'expression approchée
et pour le travail global doiis aurons l'expression approchée de
la forme :
£~ 2 /(&0(*n-*»-i).
Avec l'accroissement infini du nombre do divisions n et la
diminution infinie do la plus grande des différences {xk — xk-i)
nous obtenons à la limite une intégrale définie, donnant la
grandeur exacte du travail cherché :
R=Vf(x)âx.
Laissant de côté les interprétations géométriques ou mécaniques,
nous pouvons maintenant élahlir le concept d'intégrale définie de
la fonction / (x) sur le segment a <; x -<! b comme la limite d'une
somme de la forme (6). Le deuxième problème fondamental du
calcul intégral est l'étude des propriétés de l'intégrale définie, et avant
tout son évaluation. Si / {x) est une fonction donnée, et x = a et
x = b deux nombres donnés, alors l'intégrale définie
\ / (x) cte
est un certain nombre déterminé. "Le symbole \ se présente comme
la lettre stylisée S et doit rappeler la somme qui, lors du passage
à la limite, donnait la grandeur de l'intégrale définie. L'oxprossion
sous le signe intégral / (x) dx doit rappeler l'aspect des termes de
cetto somme, et plus précisément /(1^)(¾ — xk-i). La lettre x,
figurant sous le signe de l'intégrale définie, s'appelle habituellement
variable d'intégration. Remarquons à propos de cette lettre une
circonstance importante. La valeur do l'intégrale, comme nous l'avons
déjà mentionné, est un nombre déterminé ne dépendant pas, bien
entendu, de la désignation de la variable d'intégration x, et nous
pouvons, dans l'intégrale définie, désigner la variable d'intégration
par n'importe quelle lettre. Cola n'aura, évidemment, aucune
influence sur la valeur de l'Intégrale, qui dépend seulement des or-

111-i. PROBLÈMES FONDAMENTAUX DU CA1XCTL INTÉGRAL 221
données de la courbe / (x) et des bornes d'intégration a et b. Ainsi la
désignation de la variable indépendante ne joue aucun rôle, c'est-
à-diro, par exemple :
Le deuxième problème du calcul intégral qui ost le calcul de
F intégrale définie se présente à première vue comme le problème
assez complexe de l'établissement d'une somme de la forme (t>)
puis du passage à la limite. Remarquons que dans le passage à la
limite, le iiombro de termes dans la somme mentionnée croîtra
indéfiniment, et que chacun d'entre eux tendra vers zéro. En outre,
à première vue, ce deuxième problème du calcul intégral n'a rien
de commun avec lo premier problème de la recherche de la fonction
primitive d'une fonction donnée / (x). Dans lo paragraphe .suivant
nous montrerons que les deux problèmes sont étroitement liés l'un
à l'autre et que le calcul de l'intégrale définie \ / (x) dx s'accomplit
très simplement, si la fonction primitive de / (x) est connue.
111-1-3. Relation entre les intégrales définie et indéfinie.
Considérons de nouveau Faire Sab, limitée par l'axe OX, la courbe
représentative de la fonction / (x) et las ordonnées x — a et x = b.
Fig. 11!)
Considérons simultanément une portion de cette aire, limitée par
['ordonnée de gauche x = a et une ordonnée mobile arbitraire
correspondant à une valeur variable de x (fig. 119). La grandeur de
cette aire Sax dépendra évidemment de l'endroit où nous placerons
l'ordonnée de droite, c'est-à-dire sera fonction de #. Cette grandeur
sera représentée par une intégrale définie de la fonction /(ff), prise
do la borne inférieure a- à la borne supérieure ». Puisque la lettre x
est utilisée pour la désignation de la borne supérieure, nous pouvons,
pour éviter tonte confusion, désigner la variable d'intégration par
une autre lettre, notamment, par la lettre t. De cette façon, nous
pouvons écrire:
Sax=lXJ(l)dl. (11)

222 CH. IÏ1. NOTION D'1NTB(JKA1,E ET APPLICATIONS
Ici nous avons une intégrale définie avec une borne supérieur»
variable œ, dont la valeur est, évidemment, fonction de cette
bomo. Montrons que cette fonction est l'une des fonctions primitives
de / (x). Pour calculer la dérivée de cette fonction, considérons,
d'abord un accroissement de celle-ci àSaxt correspondant à un
accroissement A» de la variable
indépendante x. Evidemment,,
nous avons (fig. 120) :
A5as = aire PfiQQi..
Désignons par m et M,
respectivement, La plus petite et la
plus grande des ordonnées de laf
courbe / (x) dans l'intervalle
(x, x + A«). La figure
curviligne PiPQQi tracée à grande
échelle sur la fig. 420 est située
entièrement à l'intérieur du rectangle de hauteur M et de base Az,
et contiendra le rectangle de hauteur m cl de même base, de sorte
que:
m ùsx < àSax < M A*,
ou, en divisant par Aœ :
A^
Ax
-<M.
Quand Ax tend vers zéro, les deux grandeurs m et M, en verttt
de la continuité de la fonction / (œ), tendent vers la même limite,,
l'ordonnée p\p = / (x) de la courbe au point x, par suite
lim
Aï
■-/(*),
ce que nous voulions montrer. Ce résultat étant acquis, nous pouvons
formulor la règle suivante: une intégrale définie avec une borne
supérieure variable
l'jwa
est une fonction de cette borne supérieure, et dont la dérivée est égale
à la valeur de fonction à intégrer f (x) pour cette borne supérieure.
Autrement dit, l'intégrale définie avec une borne supérieure variable
est une fonction primitive de la fonction à intégrer.
Ayant établi le lien entre les concepts d'intégrales définie et
indéfinie, montrons maintenant, de quelle façon on peut calculer

Ill-i. PROBLEMES FONDAMENTAUX DU CALCUL INTEGRAL 22$
la grandeur de l'intégrale définie
si on connaît une fonction primitive quelconque F (x) pour / (x):
Comme nous l'avons montré, l'intégrale définie avec une borne-
supérieure variable est aussi une fonction primitive pour / (x)h
et en vertu de [III-l-l] nous pouvons écrire:
Yj(t)dt = F(x) + C, (12>
où C est une constante arbitraire. Pour la détermination do ccllo-
constante nous remarquons que si dans la surfaco Sax l'ordonnée-
de droite coïncide avec celle de gauche, c'est-à-dire si x =a, alors,
l'aire devient, évidemment, nulle, le premier membre de la
formule (12) est donc nul pour x = a. Par conséquent, l'identité pour
x = a donne :
0 = F(a)-\-C, c'est-à-dire C^—F.(a).
Reportant la valeur trouvée de C dans (12), nous obtenons:
{*Bi(t)àt = F{x)-F(a).
.Enfin, supposant ici x=b, nous aurons:
^"j{t)dt*=F(b)-F{a) ou ^J(x)(h;=F(b)-F(a). (13)
Dans ce qui suit nous désignerons la différence du type [/"(è) —
— F (a)] par le symbole F(z)$.
Nous parvenons, de cette façon, à la règle suivante exprimant
la valeur de l'intégrale définie par celle do la fonction primitive:
l'intégrale définie est égale à la différence des valeurs de la fonction
primitive de la fonction à intégrer pour les bornes supérieure et
inférieure d'intégration.
La règle ainsi formulée montre que la recherche de la fonction
primitive, c'est-à-dire la solution du premier problème du calcul
intégral, nous conduit au deuxième problème, celui du calcul de
l'intégrale définie, ot nous délivre, de cette façon, pour le calcul de-
l'intégrale définie, des opérations complexes de formation do la
somme (6) et de passage à la lîmile.
A titra (î'oxomplc cherchons l'intégrale définie:
Ç'^Ar.

224
H. III. NOTION D'INTÉGRALE ET APPLICATIONS
1
Lu fonction -^z3 1HI-1-11 est une fonction primitive de ss,
Utilisant la règle démontrée, nous antons :
l
i 1 |t 1 l l
0 6 0 3 3 3
Si, saus îitilisor la fonction primitive, nous avions calculé directement
l'intégrale définie, immédiatement a partir de sa définition comme limite d'une
sommo, alors nous aurions été conduit à un calcul bien plus complexe, crut nous
reproduisons succinctement. Découpons lo sogmont (0, 1) en n parties égales
par les points:
0< — < i-< .,.< ÎL^i<; i.
b b ^ n ^
Dans co cas nous avons les n segments suivants:
(--4-).(4-.4).(4--2-) fiM-
la longueur de chacun d'eux étant égale à —. Pour former la somme
{(i) adoptons l'extrémité gauche do l'intervalle en qualité cle |&, o'ost-à-diro:
- „ . 1 t 2 „ B-l
51 = 0. 52 = -. ê»=-7p ■■■> «« 5~-
'foutus les différences x/,—*a„i= —, et remarquant que los valeurs de la
fonction à intégrer / (x) = x* pour les extrémités gauches seront:
/ (Si) =-0, / = (&> = -*,/<i3)—^r. •••, /(Sa) =^-^,
nous pouvons écrire :
fi ., ..„ rn i . 1 1 . 22 1 , (n-l)2 1 -]
,. 12 + 2S-| ,..+(«—I)3 ....
— lmt — ! ^>-± - . (14)
Pour lo calcul de la somme, placée dans le numérateur, écrivons los égalités
évidentes suivantes :
(1-1-1)3 =-H 3-1-I-3-12 |-13
(t f-2)3^ 1 + 8-2-1 3-2*+23
(l-î-3)3 = l + 3.3+3.32-, 33
l-l + (n —l)ls=-l-|-S(n — l)|-3(n — l)a-)-(n —1)3

XH-l. PROBLÈMES FONDAMENTAUX. DU CALCUL INTËGRAL 225
Pat regroupement, nous obtenons :
23-|-33+...+ns = (rc-l) + 3|lH-2+...+(n-l)] +
+ 3 [^+22+... + (n-l)>]+lH23+.-+(n—l)3-
Effeciuant les réductions qui s'imposent et uti lisant la formule de la
somme d'une progression arithmétique, nous pouvons écrire:
re»-(n-l) + a "C-1» .1-3118+2^+3^ + ...+(B-l^l+t,
d'où
1,+2,+3=+ ... + („_1)a=^_ÎL^^MîL=lLfczA2.
Reportant l'expression obtenue dans (14), nous obtenons :
PI ,, .. n (n —I) (2>i—1) 1 .. /, 1 \ /„ 1 \ 2 1
Jt) n->co 6»1 6 n-K» V » / V. « I <> 3
Ayant expliqué les problèmes fondamentaux du calcul intégral
et le lien entre eux, nous consacrerons le paragraphe suivant à
l'examen plus approfondi du premier problème du calcul intégral, à
savoir celui de l'étude des propriétés de l'intégrale indéfinie et de
son calcul.
Nos raisonnements précédents sur l'intégrale définie étaient basés
sur des considérations purement géométriques, à savoir l'examen
des aires Sab et Sax. En particulier, la démonstration d'un fait
fondamental, celni que la somme (6) possède une limite, découlait
de l'hypothèse que pour chaque courbe continue il existe un .nombre
mesurant l'aire Sab. Malgré l'évidence d'une telle hypothèse, elle
n'est pas rigoureusement fondée et la seule méthode rigoureuse du
point de vue mathématique serait la voie inverse: ne s'appuyant
pas sur l'interprétation géométrique, démontrer directement par
une voie analytique l'existence de la limite de la somme S:
n
et prendre ensuite celle-ci comme définition de l'aire Sab. Cette
démonstration nous la donnerons à la fin du présent chapitre avec
des hypothèses relatives à la fonction / (»), plus générales que sa
continuité.
Remarquons encore que l'interprétation géométrique paraissait
être également un point essentiel de la démonstration de cette pro-
position fondamentale, que sous réserve de la continuité de la
Jonction à intégrer, la dérivée de l'intégrale définie par rapport à la
borne supérieure est égale à la valeur de la fonction sous le signe
d'intégration pour la borne supérieure. Dans le paragraphe suivant
du présent chapitre nous donnerons la démonstration analytique
15—281

220 CH. 111. NOTION D'INTEOBALE ET APPLICATIONS
rigoureuse de cette proposition. Associée à la démonstration de
l'existence de l'intégrale définie d'une fonction continue, elle
permet d'affirmé! que chaque fonction continué possède une fonction
primitive, c'est-à-dire une intégrale indéfinie. Plus loin nous
mettrons en évidence les propriétés fondamentales de l'intégrale
indéfinie, et nous considérerons que nous avons affaire seulement aux
fonctions continues.
Pour l'exposé des propriétés de l'intégrale définie nous
démontrerons rigoureusement la formule fondamentale (13). De celte façon,
le fait de l'existence de la limite d'une somme (10) pour une
fonction / [x) continue demeurera le seul fait non prouvé. Cette
démonstration, comme nous l'avons déjà dit, sera faite à la fin du chapitre.
I1I-1-4. Propriétés de l'intégrale indéfinie. Dans [III-l-lJ nous
avons vu que deux fonction!? primitives pour une seule et même
fonction ne diffèrent que d'une constante additive. Cela nous
conduit à la première propriété de l'intégrale indéfinie:
I. Si deux fonctions ou deux différentielles sont identiques, alors
leurs intégrales indéfinies peuvent différer seulement d'une constante
additive.
Kéciproquement, pour prouver que deux fonctions diffèrent d'une
constante additive, il suffit de démontrer que leurs dérivées (ou leurs
différentielles) sont identiques.
Les propriétés suivantes II ot III découlent immédiatement
de la notion d'intégrale indéfinie en tant que fonction primitive,
c'est-à-dire que l'intégrale indéfinie
\f{x)dx
est une fonction telle que sa dérivée par rapport h x est égale à la
fonction à intégrer f (x), ou que sa différentielle est égale a
l'expression f (x)dx sous le signe d'intégration.
II. La dérivée de V intégrale indéfinie est égale à la fonction à
intégrer, et la différentielle est égale à l'expression sous le signe
d'intégration :
(î/(»)dr)^ = /(«), d\if(x)df = f(x)dx. (15)
III. Simultanément avec (15) nous avons:
J F'{x)dx^F(x)+C,
et nous pouvons encore écrire cette formule comme [II-1-6I :
ldF(x)-F(x) + C, (16)

TII-1. PROBLEMES FONDAMENTAUX DU CALCUL INTKORAL 227
qui, compte tenu de II, donne la propriété: placés côte à côte les
signes d et \ , s'ils se suivent dans un ordre quelconque, se détruisent
réciproquement, à condition de convenir de négliger la constante-
arbitraire dans l'égalité parmi les intégrales indéfinies.
IV. On peut sortir un facteur constant de sous le signe
d'intégration :
X Af(x)dx = A { j(x)âx + C*. (17)
V. L'intégrale d'une somme algébrique est égale à la somme
algébrique des intégrales de chacun des termes :
\ (u + v—w) dx = \ uch-+ \ v dx — X wdx + C. (18)
Il n'est pas difficile de contrôler l'exactitude des formules (17)
et (18), en dérivant les deux membres et en s'assurant de l'identité
des dérivées obtenues. Par exemple pour l'égalité (17) :
(\Af(x)dx)' = Af(x).
(A \ f(x)dx + Cy = A (^ f(x)dx}' = Af(x).
III-1-5. Table des intégrales les plus simples. Pour dresser cette
table, il suffit de lire dans l'ordre inverse la tatale [JI-1-5J des
dérivées les plus usuelles, de laquelle nous tirons:
S
jj dx=x + C,
2-7TI+1
s
*£—la]x\ + C,
Ja*dc—,^ + C, ^exdx = ex-{-C,
\ sina;da;= —coss + C, \ cos^dar = sina; +C,
Sâx C dx
* Parfois on n'écrit pas la constante auditive arbitraire après l'intégrale
Indéfinie, sous-entendant que l'intégrale indéfinie comprend déjà un tel torme.
L'égalité (17) dans ce cas sera:
Ç Af (x) dx— A X 1 (x) dx.
15*

228 CH. III. NOTION D'INTEGRALE ET APPLICATIONS
Pour vérifier ce tableau il suffit d'établir que la dérivée du
second membre de l'égalité est identique à la fonction à intégrer du
premier membre. En général, sachant que telle fonction a pour
dérivée une fonction donnée / (x), nous connaissons par là même
son intégrale indéfinie. Mais généralement, même dans les cas
lés plus simples, les fonctions données ne se trouvent pas dans la table
des dérivées, ce qui rend le problème du calcul intégral beaucoup
plus difficile que le problème du calcul différentiel. Tout consiste
à ramener l'intégTale donnée à d'autres, qui soient contenues dans
la table des intégrales immédiates, ainsi que des propriétés IV, V de
[III-1-4J.
CetLe transformation exige de l'habitude et de la pratique cL
s'allège par l'emploi des règles fondamentales du calcul intégral
exposées ci-dessous.
111-1-6. Règle d'intégration par parties. Nous savons que si u,
v sont deux fonctions arbitraires de x avec des dérivées continues,
alors d'après [11-1-6] :
d (uv) =a u dv -\- v du ou udv = d(uv)— vdu.
En vertu des propriétés I, V ot III, nous déduisons que:
\ u dv = \ [d (uv) — v du] + C = \ d (uv) — \ v du + C —
*=uv — \ vdu-{-C,
d'où l'on tire la formule d'intégration par parties:
\ udv=iuv—\ vdu. (19)
Elle remplace le calcul de l'intégrale \ u dv par le calcul de
l'intégrale \ v du, cette dernière pouvant se trouver être plus simple.
Exomp 1 es.
1. \ In xdx.
l'osant :
nous avons :
, dx
du = , v = x,
X
ot d'après (19) :
\ \nxdx=xlnx— \ x—-\-C — xlnx~x-\-C.

JIM. PROBLÈMES FONDAMENTAUX DU CALCUL, INTEGRAL 229
En pratique il n'y a pas lien d'inscrire ces transformations particulières ;
to)ites ces opérations s'effectuent, si possible, mentalement:
2. ? c*x<>dx= Ç aVd*=? X sfide'^x^é'— { e*dx*=3?é*—Z Ç e*xdx,
\ Bxxdx—\ xdét&= xe^ — \ exdx~ exx—ffx,
qui donne enfin :
Ç e*i? (/« = «*(»"—2x+2)f C.
3. V sinï-î3^K= \ %3slnxdx=* \ x$d(—cosa:) =
= — z'cos x— \ (—cos s) <fa3 = —29 cos se 4-3 \ z2cosz dx =
= — z3cosa;-|-3 \ x1dsinx= — x3cosï+3xasin «—
—3 \ sinsda;2= — n? cos a; + 3a;2 sin s— 6 \ xsinœ<iï=
= —s'cosz-fSi2 sjnz—6 \ xd(—eosx) =
= — z3cosz + 3x2 sinœ-)-6xcoss — 6 \ cosa;ds =
= — x3 cos ï-{-3x3 sin i-5--6k cos x—6sini + C
La méthode, développée dans ces exemples, est employée
surtout pour le calcul des intégrales du type :
\ «Va, î smbxxmdx, Ç coabxxmdx,
où m est un nombre entier positif quelconque : il faut, seulement
veiller à ce qu'au cours des opérations successives, le degt'é de x
s'abaisse, jusqu'à ce qu'il devienne nul.
ÏII-1-7. Intégration par changement de variables. Exemples.
On peut souvent simplifier l'intégrale \ / (¢) dx, en introduisant
au lieu de x une nouvelle variable t, en posant
* = q>(*). (20)
La règle du changement de variable dans l'intégrale indéfinie
d'après la formule (20) revient tout simplement à remplacer dans cette
intégrale l'expression sous le signe somme en fonction de la nouvelle
variable t :
^ f(x)dx*=^ f[<p(t)]y'(t)dt + C. (21)

230 CH. III. NOTION D'INTEGRALE ET APPLICATIONS
Pour la démonstration, en vertu de la propriété I IIII-1-4I
il nous faut établir que les différentielles des membres de gauche
et de droite do la formule (21) coïncident, Prenant les
différentielles, nous avons :
d(^ /(z)<te) *=f(x)dx=f[<p(t)]<f>'(t)dt,
d([ /t<P(«)!>'(0<«)==/[cp(i)]<P'(*)<**.
Souvent on emploie au lieu do (20) la substitution inverse:
* = T|)(a:)
et
ty' (z) dx = dt.
Exemples.
1. \ (ax+b)™ dx (pour m=£ — 1).
Pour simplifier l'intégrale, posons :
as-|-6 = i, adx=dt, dx — ,
a
et opérant cette substitution dans l'intégrale donnée, nous trouvons :
Ç (.»+trfe-JL t,- at~± -gJi+ c^-L (-+>>"■" +c.
J a J o m-f-1 a m-fl
2. f -i*—L g -g-^-Ljni+C^ ln <» + »> +C.
J as-f-b a J i « o
P *f —ï
{substitution «= — J
= arotg—-+c
4. \ -^r\ — a=arrt«ifl [-(7.
J yaî_aa**\ "
Four le calcul de celte intégrale nous emploierons la substitution d'Euler,
t il sera parlé plus bas de " ' "'" '"' » - - ■- ■■ i-t-t. . —
présente ici d'après la formule
dont il sera parlé plus bas de façon plus détaillée. La nouvolle variable ( se
- ■ • ■ â'i ' ' ■

Hl-i. PROBLEMES FONDAMENTAUX DU CALCOI, INTÉGRAL 231
Pour la détermination de x et dx, éîovons au carré :
Reportant l'ensemble dans l'intégrale donnée, nous avons:
P dx _ p 2t i_ (*■-[■ a _
J V^+Z~ù t*+a" 2 fi- dt~
= ? ■y-^lnt + C^lnfa + VâîTôif C-
6. L'intégrale
p dx
i x*-aï
se calcule à l'aide d'un procédé particulier, que nous étudierons par la suilc,
à savoir, à l'aide du développement de la jonction à intégrer en fraâtions simples.
Développant le dénominateur do la fonction à intégrer en facteurs:
¢2-112 = (3:-0) (s-J-a),
nous la présentons sous L'aspect d'une sommo de tractions plus simples:
1 A . B
x^—«" x—o x-\-a
Pour la détermination des constantes A et B, réduisons au même déuo
minatour, ce qui donne l'identité:
1 = /4 (x+a)+J)[x —a)=(A+B)x-\-a(A— B),
qui doit avoir Heu pour toutes les valeurs de x. Cette identité sera vérifiée,
ai nous définissons A et B a partir des conditions
a(A—B)=*l, A+B = 0, A=~Bs=-^-.
De cette façon, nous avons :
1 _ 1 r li 11
k2 — o2 2a \_x~a x-\-a J '
p dx 1 |"P dx P dx ~\ _
J 2*»—a2 ""2â"Lj a—a ~ à *+« J —
7. Les intégrales d'aspect plus général
mx-^-n
x%-{-px-{-q
P mx -*- n ,
S • ■ -■ ■ dx

232 CH. III. NOTION D'INTEGRALE ET APPLICATIONS
se réduisent à celles qui ont déjà été étudiées plus tôt, lorsque le
dénominateur de la fonction à intégrer est] décomposé en carrés parfaits. Nous
avons:
Posons alors :
! + ,» + „_ (, + i)8 + «-f.
z+JL=*t, x=t—£-, dx — dt,
2 2 '
ce qui donne :
mx + n—m [f—^-j + n^At-j-B,
où nous avons posé A^m et i?=n——$-• Posant, enfin,
où on doit prendre le signe (+) ou (—) selon lo premier membre de^cetto
égalité, avec a considéré comme positii ; noua pouvons transcrire l'intégrale
jponnée sous Ja forme:
P mx+n .,_. p Al+B ,. ,, p tdt , „ p d<
La premièro de ces intégrales se calcule facilement, si l'on pose:
(2±a« = z, 2idl=-dt,
ce qui donne:
P tdt 1 P dz 1 , , 1 . ,,„ „.
I ir^—z l -r=Tln:,=T.ln(^±^).
La dcuxièino intégrale possède l'aspect, examiné dans les exemples
3(-f) et 6(-).
8. Les intégrales du la forme
~\/z%-\-px-\-q
dx
exomple
se réduisent à celles qui ont été étudiées plus haut avec le mémo procédé de
* its. Utilis ' • ' ' "
igrale <
mx-{-n . P Ai-\-B
«I IDHUlWUb <» »-c,|Vfl L[UJ U**V DW Otuuicvd U1IU UttU, ttï«i M3 WOUIO Jfll
la décomposition en carrés parfaits. Utilisant les symboles de 1
(7), nous pouvons transcrire l'intégrale donnée sous la forme :
.—, — dx=* \ —- ■ - dt-
Vxz-i-px+q ù yt*+b
La premièro de ces intégrales se calcule à l'aido de la substitution :
t» + 6=î», 2tdt = 2zdz,
laquelle donne:

111-t. PROBLÈMES FONDAMENTAUX DU CALCUL INTÉGEAL 233
La deuxième intégrale a été déjà étudiée dans Voxemplo 5 et est égale a
ln(( + Y? + b).
U. Avec le procédé analogue do la décomposition eu carres parfaits, on peut
transformer l'intégrale
mx \-n
dx
'Vq+px—mfl
sous l'aspect :
A' l yl*-t*+Bt l yJL* '
et nous avons :
a l'aide de la substitution oa—i3 = aa. La deuxième intégrale a été étudiée
dans l'exemple 4.
10.
I
-s- (x —-sin x eos x) f- C.
1
^aln*xd*=l!-ïp*ïdx= ±-(x-±a\n2x)+C=
=-*- (i-sim
? cm*zdx=*[ i+c°s2x dx=-^(x+-Lsin2x\+C
il. L'întégralo
Ç yïâ~+ârfz
so présente sous une forme déjà étudiée à l'aida de l'intégration par parties :
^ yx*+âdx=xyxZ+a—Ç x-dYx*+â =
Ajoutant et soustrayant a dans le numérateur do la fonction à intégrer
do la dernière intégrale, nous trauscrivons l'égalité précédente sous la forme :
? l/i!+«iii=jypfj_t Yx^+âdx + a \ JZs-r ,
d'où enfin :
î y^S+ï <& = -|- [a: VÏ2+« + a In (x +1/^2+^)) + (7.

234 CH. III. NOTIOK D'INTÉORALBIET APPLICATIONS
111-1-8. Exemples d'équations différentielles du premier ordre. Au
paragraphe [11-1-7 J nous avons examiné les équations différentielles les plus
simples. L'équation différentielle la plus générale du premier ordre a l'aspect
suivant:
*(*,U, y')=o-
C'est une relation, liant la variable indépendante x, la fonctien inconnue y
et sa dérivéo première y'. On peut généralemenl résoudre cette équation par
rapport à y' et l'écrire sous la forme:
«'=/(*. y),
où / (x, y) est une fonction connue de x et y.
Ne considérant pas cette équation dans lo cas général, ce qui sera fait dans
le deuxième tome, nous nous arrêterons seulement à quelques exemples les plus
simples.
Equation aux variables séparées,— cas où la fonction / (x, y) se présente sous
la forme d'un rapport do deux fonctions, dont l'une dépend seulement de x
et l'autre seulement de y:
ir'-iîS-. (22)
y fin) *
Se rappelant que y' — -¥■ , nous pouvons écrire'cette équation sous la forme :
iff{y)dy = <f{x)dx, >j
de sorte qu'au premier membre de l'équation n'apparaisse cjue la lettre x et
au deuxième membre seulement la lettre y; cette transformation s'appelle
séparation des variables. Comme
frt> te) *=- <î W (ff) dV< <P (*) àx=d V <p (x) dx,
en vertu de la propriété 1 [HI-1-4J nous obtenons:
\ *te)*=jt <$(x)dx+C, (23)
d'où on peut, on prenant les intégrales, déterminer la fonction cherchée y.
Exemples. 1. Réactions chimiques du leT ordre. Désignant par a la
Quantité do matière, existant au départ d'une réaction, et par x la quantité
e matière, outrée on réaction au moment t, nous avons [11-1-7J l'équation:
-§ = *(<:-*), (24)
où c est la constante de réaction. De plus nous avons la condition:
* 1,=0 = 0. [(25)
Séparant les variables, nous trouvons :
dx ,.
— cdl,
a—x
ou, en intégrant:
$-—-=$ odt+Cti -In (a—x) = ct + Clt
où Ct est une constante arbitraire. D'où nous extrayons:
a—» = e-ïf-Cl = Ce-'",

Ill-i. PROBLEMES FONDAMENTAUX DU CALCUL INTEGRAL 235
où C—e~Cl est aussi une constante arbitraire. On peut la déterminer ?i partir de
la condition (25), on vertu de laquelle l'égalité précédente pour t = 0 denno a =
= C, soit finalement :
i = a(l — e~c').
2. Réactions chimiques du 2" ordre. Soit deux substances se trouvant dans
une solution, dont les quantités au début de la réaction ont pour expression
en molécules-grammes a et b. Admettons qu'au moment t entrent en réaction
des quantités égales de chaque substanco, que nous désignerons par x, do sorto
que les quantités de substances qui restent sont a — x et 6 —- x.
D'après la loi fondamentale des réactions chimiques du deuxième ordre
la vitesse de la réaction ost proportionnelle aux produits de ces quantités
restantes, c'est-à-dire:
_f.=fc(o_ x)(b—x).
Il faut intégrer cotte équation avec la condition initiale
-"|/=o
Séparant les variables, nous avons :
dx
=0.
(«—x) (b—as)
ou, en intégrant
P dx
(a—x) (b—x)
■=kdt,
— kt + Ci, (2R)
où Cj est une constante arbitraire.
Pour le calcul do l'intégrale du premier memhre, nous appliquerons la
méthode de la décomposition en fractions simples (exemple B) IH1-1-7] :
(a—x) (b — x) a — x r 6 — x '
i=A (b—x)±£(a — x) = — (A±B)x + {Ab + Ba),
qu i donne :
~{A + B) = 0; Ab+Ba = t,
d'où
'A Û=~l—,
6— a
de sorte que :
P dx 1 r P dx P dx *1 1 b — x
J (b—x) {b—x) ~ b—a Ld «—x ù b—x J —" 6—a a — x
Substituant dans (26) nous avons :
ln.6~* =(b~a)lct + (b—a)C1,
b-x. = Ce<f>-")M,
a—x
où C =5 e"1-a)°i. La fonction cherchée x s'en déduit sans aucune difficulté.

23G
CH. 111. NOTION D'INTÉGRALE ET APPLICATIONS
A'ohs proposons au lcctour d'analyser le cas particulier où a — b, quand
les formules précédentes perdent leur sens.
3. Trouver toutes les courbes, coupant sous un angle constant donné les
rayons vecteurs, issus de Vorlgtne des coordonnées * (fig. 121). Soit M (r, y)
un point de la courbo cherchée. D'après la
ligure nous avons :
co = «—f),
v'-Z-
tga—tg0 " x
ig. = tg(«-e,- i+tgatg¥=7-^7T •
*-x
Désignant pour la commodité du calcul
tg o^-L
et, en supprimant les dénominateurs, écrivons
l'équation différentielle obtenue sous la tonne:
x-\-yy' = tt,(y'x—y)
ou, multipliant les deux membres par dx:
x dx-\-y dy = a(x dy—y dx). (27)
Cotte équation s'intègre très simplement, en passant dos coordonnées
rectangulaires x, y aux polaires r, 8 on prenant l'axe OX comme gxo polaire et
l'origine des coordonnées 0 comme pôle. Nous avons lU-5-18):
Fig. 121
ce qui donne:
x'dx-i-y dy=r dr, dd =
^-fya=rr2, 8 = arc_tg-^-,
1
_y xdy—ydx
y* a x ~ x* -f-i/3
1+-3F
L'équation (27) s'écrit par suite sous la forme:
rdr = arsdd ou — adO-
r
En intégrant, nous eu déduisons:
lnr—oO+Cj, c.-h-d. r = CeaB, OÙ C=eCl.
Les courbes obtenues s'appellent spiral03 logarithmiques.
HI-2. Propriétés des intégrales définies
III-2-1. Propriétés fondamentales des intégrales définies. Nous
avons vu que l'intégrale définie
(1)
I=^f(x)dj;, «<£,
* D'uno façon générale, par anglti entre deux conrbos on désigne l'angle
entre leurs tangentes, issues au point d'intersection dos courbes.

III-2. PROPRIETES DBS INTEGRALES DfiFINlES 237
où (a, b) est un intervalle fini et / (x), fonction continue dans cet
intervalle, est la limite des sommes du type [111-1-21:
n
J*/(ar)de-Iim2 /(&»)(3fc-*»_,). (2)
Cette limite doit être comprise de la manière suivante: pour tout
8 positif fixé à l'avance il existe un nombre positif t\ tel que:
n
pour tout choix des points gj dans les intervalles (jt%-i, 3¾) et pour
tout découpage, si la pliis grande des différences (positives)
«h — *fe_, < *)■
En un mot, l'intégrale (1) est la limite des sommes (2) pour
tout choix de 1s et toute manière suivant laquelle la plus grande des
différences x^ — zft_, tend vers jéro.
Notons qu'alors le nombre des termes dans la somme (2) augmente
indéfiniment. Rigoureusement parlant, la définition de la limite
mentionnée (2) doit être comprise comme nous l'avons déjà indiqué
plus haut (avec l'aide de e et r\).
A la fin du chapitre nous démontrerons l'existence de la limite
susmentionnée des sommes (2) pour les fonctions continues et
certaines classes de fonctions discontinues. Par la suite, sauf indication
spéciale, nous estimerons que la fonction à intégrer est continue
sur l'intervalle d'intégration.
Nous avons supposé que la borne Inférieure a de l'intégrale est
plus petite que la borne supérieure 6. Si a = b, alors il résulte de
l'interprétation de l'intégrale en tant que surface qu'il est naturel
d'estimer que
J/(*)«te«0. (3)
Cette égalité est la définition de l'intégrale pour le cas où la borne
supérieure est égale à la borne inférieure.
Pour a > b on adopte la définition suivante:
$*/(*)&=-$[/(*) «fa. (4)
Dans l'intégrale figurant au second membre la borne inférieure 6
est plus petite que la borne supérieure a et l'intégrale peut être
comprise de la manière usuelle, comme indiqué plus haut. Si nous
avions construit pour l'intégrale du premier membre la somme (2),
nous aurions obtenu pour elle (a. > 6) :
a = œ0>a:1>ar2> ... >»*_,>»*> ... >z„_, >»„ = &,

238 CH. III. NOTION D'INTÉGRALE ET APPLICATIONS
et toutes les différences (¾ — œft_i) sont négatives. Si nous passons
à l'intégrale figurant au second membre de l'égalité (4), autrement
dit, si nous estimons que a est la borne supérieure et b la borne
inférieure, il faudra compter les points intermédiaires ^¾ dans
l'ordre inverse et toutes les différences dans la somme (2) changeront
de signe. Ces considérations plaident naturellement en faveur de
la définition (4) dans le cas où a > 6.
Notons l'égalité évidente
r<fe=£ldr = i-«. (5)
En effet, comme la fonction a intégrer est égale à l'unité pour tout x,
alors
^Ac=lim[(arJ — «)-| (x2—xt) + (x3—*a)-|- .., -f
+ (^7,-1-¾^) + (b—Xn.i)\.
Mais la somme figurant entre crochets est égale à la constante
(6 - a).
Passons maintenant à l'énoncé et à la démonstration des
propriétés de l'intégrale définie. Les deux premières sont les
définitions exprimées par les égalités (3) et (4).
I. L'intégrale définie avec des bornes inférieure et supérieure
identiques a une valeur nulle.
II. Par permutation des bornes supérieure ei inférieure
l'intégrale définie conserve, sa valeur absolue et change seulement de signe '.
J/(«) <**=-.£/(*)«&:.
III. La grandeur de Vintégrale définie ne dépend pas de la
désignation de la variable d'intégration:
Ceci avait été déjà mis en évidence dans [III-1-2],
IV. Soit la série de nombres
a> b, c, , k, l,
disposés dans un ordre quelconque, alors
^/(j$to-£/(*)«fc+J*/(*)d* + ... +J[/(*)<te. (6)
Il suffit d'établir cette formule pour le cas do trois nombres
a, b, c, après quoi il n'est pas difficile d'étendre la démonstration
à un nombre quelconque de termes.

JII-2. MOPRlETfiS DES INTÉGRALES DEFINIES 23!)
Montrons-le d'abord, pour a<6<c. Do la définition il
résulte que
n
J*/(*)«Zj: = limS /(Ei)(Ki-ï|-i).
et que cette limite est unique quelle que soit la façon dont on
découpe en intervalles le segment (¢, c), sous réserve que la plus
grande des différences (s,- — xt.i) tende vers zéro. Nous pouvons
convenir do découper le segment (a, c) de façon que le point 6, se
trouvant entre a et c, apparaisse à chaque fois comme un des poinLs
du découpage. Alors la somme
S /(El)(*I-*!-l)
se décompose en deux sommes du même type, avec la seule
différence, que pour établir l'une nous découperons en intervalles le
segment (a, h) et pour établir l'autre — le segment (6, c), et que,
dans les deux cas, la plus grande des différences (#; — xt-i) tende
vers zéro. Ces deux sommes tendent respectivement vers:
et nous obtenons enfin en choisissant un ordre fixé quelconque du
découpage et des pointa fixés |j
n
ce qu'il fallait démontrer.
Supposons maintenant que b se trouve en dehors du segment
(a, c), par exemple a<c<ô. D'après la démonstration nous
pouvons écrire maintenant :
$*/(ï)<fc«$'/(ir)<te+J/(*)**,
d'où
^ /X*) dx^fj (x) dx- J* / (x) dx.
Et en vertu de la propriété II, nous avons :
-£/(*) *»-£/(*) «fa,
c'est-à-dire de nouveau :
J* f(x)dx=lbJ(x)dx+ Il f (x) dx.

240 CH. III. NOTION D'INTÉGRALE ET APPLICATIONS
De façon analogue, on peut examiner tous les autres cas possibles
de disposition des points.
V. On peut extraire un facteur multiplicatif constant de sous le
signe d'intégrale définie, c'est-à-dire
\b Af(x)dx = AV'f(x)dx,
en effet,
n
J'il/(*)<fa = lImS 4/(g,)(*»-*_,)-
n
= A lim 2 / (&) te - *»-i) = A II f (x) dx.
(=1
VI. L'intégrale définie d'une somme algébrique est égale à la
somme algébrique des intégrales définies' de chacun de ses termes, en
effet, par exemple
n
Il [/ (*) - <ï> («)1 à* - lim 2 1/ (&) - <P (601X
n n
X (s, -«!.,)= lim 2 /(ij)(*'î-*i-i)-lim2 * (£0 (** - «i-O =
1=1 i=l
= \ f(x)dx— \ (p(z)diir.
III-2-2. Théorème de la moyenne. VII. SI sur le segment
(a, b) les fonctions f (x) et cp (x) satisfont à la condition ;
/(*)<<p(a), a<z<è, (7)
alors
J*/(ï)«te<J*<p{aO«far (6>o), (8)
on, plus brièvement, o» p«id intégrer les inégalités.
Etablissons la différence:
J* cp (x) dx-fj (x) dx = ^ [cp (x) - f (x)] dx =
-lim 2 fo(Èi)-/(£i)](*i-*i-i).
Bu vertu de l'inégalité (7), les termes sous le signe somme
sont positifs ou, du moins, non négatifs. Par conséquent, on peut

111-2. PïiOI'Jflrê'I'ËS DES INTÉGRALES DSMNIES
241
en dire autant de la somme et de sa limite, ce qui conduit a
l'inégalité (8).
Donnons encore une explication géométrique de ce qui a él.é
dit. Admettons d'abord que les doux courbes
se trouvenl au-dessus de l'axe OX (fig. 122). Alors la figure, limitée
par la courbe y = / (x), l'axe OX et les ordonnées x = a et x — b,
se trouve entièrement à l'intérieur de la figure analogue, limitée
Fis. 122
à la courbe y — <p (#), c'est pourquoi l'aire de Ja première figure ne
dépasse pas l'aire de la deuxième, c'est-à-dire
? f(x)dx<i \ <p(x)dx.
Le cas général d'un arrangement de courbes données placées
de Façon quelconque par rapport à l'axe OX et vérifiant la condition
(7) se ramène au cas précédent, par une translation verticale
suffisante du graphique pour que les deux courbes se trouvent au-dessus
de l'axe OX ; cette translation ajoute à ebacuno des fonctions / (x)
et <p (x) une seule et même grandeur constante c.
11 est facile de démontrer que si dans (7) il y a lo signe <, alors
dans (8) il y a le signe <. Rappelons que les fonctions / (x) et <p (*)
sont considérées comme étant continues.
Corollaire. SI sur le segment (a, b)
|/(t)K»(t)<Jf, (9)
alors
If/(z)dz|<f <p(z)<te<Jtf(ô-«), l»a, {10)
En effet, les conditions (9) sont équivalentes aux suivantes:
- M < - q> f» </ (») < Ç (x) < +M.
lin intégrant ces inégalités entre les bornes a h b (propriété Vil)
et en appliquant (T>) nous obtenons:
— M (b—a) < — ^9 (*> •**< Ht (*) **<• ^9 0) â*< M (6—a),
qui est équivalent aux inégalités (10).
10-28)

242 CH, III. NOTION D'INTBGBALE ET APPLICATIONS
Posant q> (x) = | / (z) |, nous tirons de (10) l'inégalité
importante:
|J'/(ï)dï|<J'|/(*)|dï, (10,)
qui se présente comme la généralisation au cas de l'intégrale de la
propriété connue pour une somme: la valeur absolue d'une somme
de termes est plus petite ou égale à la somme des valeurs absolues
des termes. Dans la formule inscrite, lo sigue d'égalité a lieu,
comme il n'est pas difficile de le voir, seulement dans le cas où
/ (x) ne change pas de signe sur le segment (¢, b).
De la propriété VII découle un théorème très important :
Théorème de la moyenne. 5/ une fonction (p (x)
conserve un signe constant sur le segment (a, b), alors
$'/(*)q>(*)àe = /(Ê)$*q>(*)«te, (11)
où î; est une valeur quelconque, appartenant au segment {a, b).
Pour préciser nous considérerons <p (x) ^> 0 sur le segment (a, b)
et désignerons par m et M respectivement la plus petite et la plus
grande des valeurs de / (x) sur le segment (a, b). De sorte que
w</(z)<M
(les deux signes d'égalité peuvent avoir lieu en même temps,
seulement quand / (x) est une constante) et <p (x) >■ 0, alors
my (x) < / (x) cp (x) < Mq> (x),
et en vertu de la propriété VII, considérant que b > ¢,
m\ cp(a;)cte<\ f(x) cp(z) (te<Af \ tp(x)dx.
Il en résulte qu'il existe un certain nombre P, vérifiant
l'inégalité m < P < M, tel que
§*/(x) <p [x) âx^P^y (x) àx, (12)
Gomme la fonction / (x) est continue, elle possède sur le segment
(a, b) toutes les valeurs, comprises entre la plus petite m et la plus
grande M, et parmi elles la valeur P [1-2-11]. Par conséquent,
il existe une telle valeur £ à l'intérieur du segment (¢, b), pour
laquelle
f(É)=*P,
ce qui démontre la formule (11).
Si cp (x) <; 0 sur le segment (¢, b) alors — <p (x) >- 0 sur le
segment (a, b). En appliquant le théorème qui a été démontré, nous

111-2. PROPRIÉTÉS DES INTÉGRALES nfiUNlES 243
obtenons:
$*/(*)[-9(*)!**-/(9 $*[-¥<*)] «tes
sortant le signe (—) de sous le signe d'intégration et multipliant
les deux membres par (—1) nous retrouverons la formule (11).
De même, pour b < a, la formule :
J/(*)ç(») <te = /(E)$°q>(*)cfe.
résulte de ce qui précède.
Permutant dans les deux membres les bornes d'intégration ot
onillipliant par (—1) nous retrouvons la formule (11), qui a été
démontrée, de cette façon, dans toute sa généralité,
Flg, 123
En particulier, en posant q> (x) — 1, nous obtenons l'Important
cas particulier du théorime de la moyenne:
lbgf(x)dx = fa)lbadx = f(t)(b-a). (13)
La valeur de l'intégrale définie est égale au produit de la longueur
du segment d'intégration par la valeur de la fonction à intégrer pour
une certaine valeur de la variable indépendante prise sur te segment.
Si a> b, il faut prendre cette longueur avec le signe (—).
La proposition géométrique équivalente est que, si on considère
l'aire limitée par une courbe quelconque, l'axe OX et les deux
ordonnées x — a, x = b, on peut toujours trouver un rectangle
ayant la même surface, de môme base (b — ¢) et dont la hauteur
est égale à V une des ordonnées de la courbe sur le segment (a, b) (fig. 123).
Il n'est pas difficile de montrer que le nombre g, entrant dans
la formule (11) ou (13), peut toujours être considéré comme se
trouvant à l'intérieur du segment (¢, b).
III-2-3. Existence de la fonction primitive. VIII. Si la borne
supérieure de l'intégrale définie est une grandeur variable, alors la
dérivée de l'intégrale par rapport à la borne supérieure est égale à la
valeur de la fonction à intégrer pour cette borne supérieure.
16»

244 CH. III. NOTION D'INTfiGRALE ET APPLICATIONS
Remarquons que la grandeur de l'intégrale
pour une fonction à intégrer donnée dépend des homes
d'intégration a et b. Considérons l'intégrale
llWdt
ayant une limite inférieure constante a et une borne supérieure
variable x, avec une variable d'intégration que nous désignons par
la lettre t pour la distinguer de la borne supérieure x. La valeur
de cette intégrale sera une fonction de la home supérieure x:
F(x) = ^J(t)dt, (14)
et il faut montrer que
Pour la démonstration, nous calculerons la dérivée de la
fonction F {x) à partir de la définition de la dérivée lll-l-ll:
dF(z) = lim J>(x+k)-F{x)
Nous avons :
F(x+h) = lx+hf(t)dt~lxJ(t)dt + lx+l'f(t)dt
(en vertu de la propriété IV), d'où
F(x+k)=F(x) + H+hf(l)dt,
et
F (o) = ^/(i)d< = 0.
Utilisant (13), nous avons:
F(* + A)-*(s)-$^/(t)d* = /(6)fc,
où h peut être aussi bien positif que négatif, si o< x < b; ft> 0
pour x = a et h < 0 pour œ = b. Le nombre | appartient à l1
intervalle dont les extrémités sont x et x -j- h de sorte que si h tend vers
zéro, alors | tendra vers a: et / (1) vers / (a;) en vertu de la continuité
de cette fonction. 11 découle immédiatement de cotte dernière
formule que F (z) est une fonction continue pour a <1 x ■< f),- autrement

111-2. PROPRIÉTÉS DES INTEGRALES DEFINIES 245
dit, l'intégrale définie considérée comme une fonction de sa borne
supérieure est une fonction continue dans l'intervalle {a, b). Divisant
les deux parties de cotte dernière formule par h:
P {x+k)—P (*)_;(t)
et faisant tendre h vers zéro (h -»- + 0 pour x = a ot h —r — 0 pour
x = b), nous obtenons:
F'(s) =-^ = lira/(£) = /(*).
Nous avons déjà parlé de la définition de la dérivée aux extrémités
d'un intervalle fermé an paragraphe ITI-1-21-
Des raisonnements précédents, il résulte aussi que:
IX. Toute fonction continue f (x) possède une fonction primitive
ou une intégrale indéfinie.
La fonction (14) est la fonction primitive de / (x), qui s'annule
pour x == a.
Si Ft (x) est une des expressions de la fonction primitive, comme
nous avons vu dans [I1I-Î-3I :
lbJ(x)dx = F1(b)~Fl(a). (15)
in-2-4. Cas des fonctions discontinues sous le signe d'intégrale.
Dans tous les raisotiuements qui ont précédé, il a été supposé que la
fonction à intégrer / (x) était continue sur tout l'intervalle
d'intégration (a, b).
Introduisons maintenant le concept d'intégrale pour des
fonctions discontinues quelconques.
Si dans l'intervalle (a, b) se trouve un point c, pour lequel la
fonction à intégrer f (x) possède une discontinuité, mais tes intégrales
^~e / (x) dx, ^+b„ / (*) dx (a < 6)
tendent vers des limites déterminées, quand les nombres positifs e' et «*
tendent vers zéro, ces limites s'appellent intégrales définies de la
fonction f (x), prises respectivement entre les bornes (a, c) et (c, b), c'est-à-
diro:
Vf(x)dx= lim \c *'f(x)dx,
\ /te)cfe= lim \ f(x)dx,
si ces limites existent.
Nous obtenons dans ce cas :
^baf(x)dx = ^J{x)dx+^'ff{x)Ae.

246 CH. ni. NOTION D'INTJÎGRAJUE ET APPLICATIONS
La fonction F (x) définie par la formule (14) possède, comme
il n'est pas difficile de le voir, les propriétés suivantes:
F'(x) = / {x) pour tous les points (a, b), excepté x— c, et F (x)
est continue dans tout l'intervalle (a, b), y compris x = c.
Si le point c coïncido avec l'une des extrémités de l'intervalle
(a, 6) il faut considérer au lieu des deux, seulement une dos limites :
Jim \ f(x)dx Ou lim \ ~ef(x)dz.
Enfin, s'il n'y a pas un mais plusieurs points de discontinuité
dans l'intervalle (a, b), il faut découper l'intervalle en parties, dans
chacune desquelles il n'y a qu'un point de discontinuité.
Compte tenu de la convention ci-dessus sur le sens du symbole,
la propriété IX et la formule (15)
^J(x)iz = Fi(b)-Fi(a)
auront probablement lieu, si F\ (x) =/ (x) pour tous les points (a, b),
hormis x = c, et Ft (x) est continué dans tout l'intervalle (a, b)
y compris x = c.
Il suffit de le démontrer dans le cas d'un point de discontinuité c
à l'intérieur de l'intervalle (a, b) ; car le cas de plusieurs points
de discontinuité ainsi que le cas ou c = a ou 6, sont étudiés de façon
analogue.
Comme dans les intervalles (a, c — e'), (c + e", b) la fonction
f {x) est continue, la formule (15) est donc valable ici, et nous avons:
^e~1' f(x)dx=> F, (c- b')—^ (a),
H+tJ(x)dx = Ft(b)-Ft(c+ <>")■
En vertu de la discontinuité de Fv (x) nous pouvons écrire :
V:f(x)dx= lim IF, (c - e')-F,(a)]= ^,((:)-.^,((1),
\ V (x) dx -. lim \Ft (b) - F, (c + e")] = F, (&) - Ft (c),
c'est-à-dire
= [Ft (c) - F, (a)} + [Ft (b) - F, (c)] « F, (6) - 2?, (a),
ce qu'il fallait démontrer.

1.11-2. PROPRIETES DES INTEGRALES DBMME8
347
Bu. point de vue géométrique, ce cas se rencontro quand la courbo j/ = / (z)
possède une discontinuité en un point c, mais de façon que la surface de la
courbe existe tout do même. Considérons, par exemple, le graphique de la
fonction, définie de la façon suivante :
1
/(*) =
/(*) = *
-+-.
pour 0<z<2,
pour 2<i<3
(fig. 124). L'airo délimitée par cette courbe, l'axe OX, l'ordonnée x = 0 et
l'ordonnée variable x^xi, est une fonction continue dex, bien quo la fonction
/ (x) présente une discontinuité pour i = 2.
D'autre part, il n'est pas difficile de trouver
une fonction primitive pour / (x), qui soit
continue sur tout le segment (0, 3). Cela
sera, par exempta, la fonction Fl (r),
présentant la forme suivante:
"& * „
pour 0<r<42,
'iW—T+ 2
x%
pour 2<ï<3.
EFfcctivoinont, on différentiant, on se
convainc que
sur le segment (0, 2) et F\ (x) ~ x sur le pjg. J24
segment (2, 3). Los deux expressions de Fi (x)
écrites ci-dessus donnent pour x = 2 une
seule et même valeur 2, qui assure la continuité de Fs(x). L'aire, délimitée
par notre courbe, l'axe OX et les ordonnées x «= 0, x — 3, est représentée
par la formule:
^/ [x) dx= £*/(») dz+^fix) dx=Fi (3)-F, (0) =
ce dont il n'est pas difficile de se convaincre en considérant la figure.
Considérons encore la fonction y = x~*'3 (fig. 125). Elle présente une
branche infinie pour x = 0, mais sa fonction primitive Zx1!* reste continue pour
cette valeur de x, c'est pourquoi nous pouvons écrire :
J^^fe-faM^-e;
en d'autres termes, quoique la courbe considérée pour x voisine de zéro s'éloigne
à l'infini, elle possède néanmoins une aire véritablement définie entre les
ordonnées x = — 1 et x — 1.
1 / 1 \
Pour la fonction -5 la fonction primitive I j devient infinie pour
x =■ 0, la formule (15) est inapplicable pour cette fonction dans le cas,
où le point 0 se trouve a l'intérieur du segment (a, 6) ; la courbe -5 dans cet
intervalle ne possède pas d'aire finie.

248 CH. -III. NOTION D'INTEGBALE ET APPLICATIONS
Notons que dans certains cas les intégrales des fonctions
discontinues dans un intervalle fini (¢, 6) ont aussi un sens découlant
immédiatement de la notion de limite des sommes indiquées au
début de (III-2-1I. Cela sera le cas par exemple quand / (x) aura
un nombre fini de points de discontinuité sur l'intervalle (a, b)
et est bornée sur cet intervalle, autrement dit, il existe un nombre
positif M te) que | / (x) \ < M pour tous les x de (a, b). Les valeurs
aux points de discontinuité n'influent pas sur la valeur de
l'intégrale. Nous en parlerons dans IIII-4-31. Si par contre la fonction
/ (œ) n'est pas bornée, c'esl-à-dire si | / (x) | prend des valeurs
arbitrairement grandes, il n'est plus possible de définir directement
l'intégrale en tant que limite d'une somme. Cela a.lieu pour
l'exemple correspondant à la fig. 125. Il est ici nécessaire de définir
l'intégrale comme une intégrale sur un intervalle raccourci en
passant ensuite à la limite
2 2 i
\ x 3dx— lim \
d — i e'-+-0 v—i
x 3 dx-\- lim \
C-++0 "8"
x 3 dx.
De telles intégrales sont usuellement appelées intégrales impropres.
A
Pour la fonction -= il n'existe pas de limite finie
lim \ —=-&:= -\-<x>.
De toiles intégrales sont dites divergentes. L'intégrale mentionnée
plus haut de a;-3'» est dite convergente car les limites indiquées plus
baul existent quand &'-*■ — 0 et e" -*■ + 0.

I1I-2. PEOPRIffiTBS DES IN'Ï'BÛHALES DEFINIES 249
Dans le paragraphe suivant nous allons considérer les intégrales
impropres sur un intervalle infini. Dans ce dernier cas il n'est pas
possible de définir directement l'intégrale en tant que limite de
somme et l'intégrale est foncièrement impropre.
III-2-5. Limites d'intégration infinies. On peut étendre ies-
raisonnements précédents au cas du segment infini, et poser
Ç+c°/te)&s= lim C/(ï)dr, (16)
do b->.+oo oa
T f(x)dx= lim Vffâdx; (17V
si ces limites existent.
Cette condition est effectivement remplie, si la fonction
primitive Ft (x) tend vers des limites finies, quand x tend vers (+00) ou
(—00). Désignant simplement ces limites par Ft {+00,) et Ft (—00),
nous aurons:
s:
1
/(*)<&= lim [Fl(b)-Fl(a)] = Fi(+oo)~Fl{a), (18>
b Ux)dx=lim [F^^-F^a)]^F, (b)~F,(~00), (19)
^f(x)dx=^a_atf(x)ax+^f(x)dx = Fl( + oo)-Fl(-<x>), (20)
ce qui apparaît commo une généralisalion de la formule (15) au cas
d'un segment infini.
Souvent on écrit la relation (16) sous la forme
J-/(*)«fc-limj*/(*)&,
Du point de vue géométrique, quand la condition précédente
est remplie, nous pouvons dire que la branche infinie de la courbe
y = f (x) qui correspond à x -*■ ± 00 a une .surface.
Si les limites (16) et (17) existent alors on dit que Ios intégrales
correspondantes convergent ou que ce sont des intégrales
convergentes. Dans le cas contraire on dit que les intégrales divergent.
Exemple. La courbe U = tt\—â> s'éloignant à 1* infini pour x — ± 00,.
limite cependant avec l'axe OX une aire finie (fig. 12(i), Celle que
)_~arctg*|_ = T- (--g-J-n.

:250 CH. m. NOTION D'INTÉGRALE ET APPLICATIONS
Pour le calcul de cotte Intégrale 11 convient de se rappeler que pour la
fonction arc tg x il ne faut pas prendre n'importe quelle détermination de cette
fonction a plusieurs déterminations, mais précisément celle définie dans [M-24],
Fig. 126
ipour laquelle on avait retenu une détermination unique, c'est-à-dire entre
(—5-) et I 4--5-1 •, dans le cas contrairo la formule qui précède perd son sens.
III-2-6. Changement de variable pour une intégrale définie. Soit
/ (x) une fonction continue dans l'intervalle (a, 0), ou même dans
l'intervalle plus large (A, B), dont il sera question ci-dessous.
Soit aussi la fonction q> (t) univoque, continue qui possède une
dérivée continue <p'(/) dans l'intervalle (a, P), de sorte que:
<f(a) = a et <p(P) = &. (21)
Posons encore que les valeurs <p {t) pour les variations de t dans
l'inlorvalle (a, p) ne sortent pas de l'intervalle (a, b) ou du plus
grand intervalle (A, B), dans lequel / [x) est continue, La fonction
■composée / [<p (t)] est alors une fonction continue de t dans l'intor-
valle (a, 6).
Avec les hypothèses choisies, si on introduit au lieu de x la
■nouvelle variable d'intégration /:
*-<?(*). (22)
•l'intégrale définie so présente sous la formule:
5*/<*)d*-2/fo(*)]q.'(*)«B. (23)
Introduisons au lieu des intégrales envisagées, les intégrales
avec bornes variables :
F (*) = J" / (y) dy, V (*) = £ / [<p («)] <p' (z) dz

III-2. PROPRIÉTÉS DES INTÉGRALES DEFINIES 251
En vertu de (22) F (x) est une fonction composée de t :
F(x) = F[<(!(t)]^lli<)f(y)dy.
Calculant sa dérivéo d'après la règle de différenl.iation dos
fonctions composées, nous avons :
dF (r) _ âF (x) dx
àt dx di '
el en vertu do la propriété VITI [I1I-2-3),
et de la formule (22), il résulte que :
d'où
T^-/(*)«P'(*)-/[«P(*)]«P'(«)-
Calculons maintenant la dérivée de la fonction *¥({)• En vertu
de la propriété VIII et dos hypothèses que nous avons énoncées,
nous avons:
T^-/l<P (01 ¥'(*)-
Les fonctions ¥ (t) et F (x), considérées comme fonctions de ï,
possèdent, de cette façon, des dérivées égales dans l'intervalle (a, p),
et d'après [III-1-4J elles ne peuvent différer que d'une constante
additionnelle, mais pour t = a nous avons :
z = tp(a) = a, ^{2:)1(=8 = ^(0) = 0, V{a)«0,
parce que ces deux fonctions sont égales pour t = oc ; elles le sont
par suite pour toutes les valeurs de t dans l'intervalle (a, B). En
particulier, pour t = B nous avons:
ce qu'il fallait démontrer.
Bien souvent à la place de la substitution (22):
a: = tp (t)
on emploie la substitution inverso
t = y(x). (24)
Alors les bornes a ol B se définissent d'emblée d'après les
formules :
a = ij>(œ), B = i],(6),

252 CH. III. NOTION D'INTÉGRALE KT APPLICATIONS
mais il faut ici garder à l'esprit que V expression: (22), que nous obtenons
pour x, si nous résolvons Véquation (24) relativement à x, doit satisfaire,
à toutes les conditions indiquées plus haut, en particulier, la fonction
<p (t) doit êtrt! une fonction vjnivoque de t. Si <p (t) ne remplit pas
cette condition, la formule (23) peut se trouver en défaut.
Introduisant dans l'intégrale
à la place do x la nouvelle variable indépendante t d'après la formule
dans la partie droite de lu forjllule (23), nous obtenons l'intégrale avec les bornes
uniques -}-l, -4-1, égale, par conséquent, à %6ro, co qui n'est pas possible. La
faute se produit par ce que l'expression x donnée par t:
est une fonction multivoque.
E x o m p 1 0. La fonction / (œ) s'appelle fonction paire de x, si / (—s) =
>= / (x), ot fonction impaire, si / (—x) = — / (x). Par exemple, cos x est une
fonction paire ot sln # une fonction impaire.
Montrons que
^!(x)dx^2<\jJ(x)dx,
si f (x) est paire, et
\ /(*)d*=0,
e)—a
si 1 (x) est impaire.
Décomposons l'intégrale en doux [TI1-2-1, IV] ;
^ / (x) dx= ^ f (x) dx |- Yg f (*) dx.
Daais la première intégrale, effectuons le changement de variable x=
= — t et appliquons les propriétés II et III [111-2-1] :
d'ofj, en reportant dans la formule précédente :
Si / (x) est une fonction paire, alors la somme (/ f—a) -[- / (2)] est égale
à 2/ (x), et si / (x) ost impaire, alors cette somme est égale à zéro, co qui piouve
notre affirmation.
IIÏ-2-7. Intégration par parties. La formule d'intégration par
parties [1II-1-6J pour des intégrales définies peut être écrite sous la
forme :
\ u(x)de(x) = u(x)v(x)\ —\ v(x)du(x). (25)

III-2, PKOPHIÉTÉS «ES INTÉGBALEB DÉFINIES 263
Effectivement, en intégrant terme à terme l'identité [I1I-1-6]
u(x) dv (x) = d {U.(x) v (x)\ — v (x) du (x),
nous oïjtenons
\ u (x) dv (v) — \ d [«.(«) v (x)\ — \ v (x) du- (x)
et en vertu do la propriété IX [III-2-3] :
ce qui donne la îormulo (25). On considère, bien sûr, que u(x) ot
v(x) possèdent des dérivées continues dans l'intervalle (a, b).
Exemple. Calculons les Intégrales
prt/2 pu/2
\ sln" x dx, \ cos" x dx.
l'osons
/tt= \ sin" x ds.
lCn intégrant par parties, nous avons :
pn/2 pn/2
/,i=\ siun-1»sinKAt= — \ sinn-iarf cosa--
|it/2 pu/2
= —«in1*-1 x cos x\ 4-\ <n—1)sîiin_2ïO0SS'COS j;rfs=
prc/2 pJT/2
— {n—1) \ sînn-aicosîïdx = (n—1) \ sln1'-»! (1 —sin2K>dJ; —
pjr/2 P^t/2
= (n—i)\ sin«-îœrfar—(n— 1) \ sin» *d*=(n —1) /„_2—(n-l)/re,
c'est-à-dïro
/„=--(n-l)/„_2-(»-1)/n,
d'où, en résolvant par rapport à J„ :
/n=^/n-2- (2C)
Cette formule s'appello formule de récurrence, car cîlo conduit lo calcul
do l'intégrale In à une intégrale semblable, mais avec un indice plus faible
(n ~- 2).
Distinguons maintenant deux cas, selon que a est un nombre pair ou impair.
1. n = 2fc (pair). Nous avons en vertu do (26) :
_2fe—1 r (afe-1)(2ft-3) T _ _(2fc-l)(2A-3)...31r
'2h--2JT'2h-2~ 2A-(2*-2) ih-1 2fc(2fc-2)...4-2 '••

gM CM, III. NOTION D'JM'ËGHALE ET APPLICATIONS
et puisque
finalement
_ (24 —i)(2k — 3) ... 3-1 n
24 2*(2fc-2) ...4.2 2 ■
2. n=2ft+l (impair). Nous obtenons do la même façon que
précédemment :
2k <2k~ 2)...4.2 ,
^+1=(24 + 1)(2^-1) ..75.3711
et donc
L'intégrale
fii/Z . , iir/2 .
/i=\ s\Tixdx=— Gosa!!,, =1,
, 2/:(2k-2] ...4.2
(2ft«l 1)(24-1)... 5-3'
d'où, ayant posé
fn'2
\ cos"^
) voie, m
e, ayant i
\ cos"jrds=\ Sin" \-r,—x\ dx.
peut se calculor par la mémo voie, mais aussi plus simplement, en la
réduisant à la forme précédente, ayant remarqué on effet que.
et par application do la formule (23) et de la propriété II [IIT-2-1] nous
avons ; '
C09n x dx — — \ gin" t dt =m \ sin." t dt.
0 tJn/2 «)0
Regroupant les résultats obtenus, nous pouvons écrire:
III-3. Compléments sur la notion d'intégrale définie
ni-3-1. Calcul des surfaces. Nous passons à l'application de
la notion d'intégrale définie au calcul des surfaces, des volumes et
des longueurs des arcs. Nous utiliserons alors pour beaucoup
les considérations concvètes. Nous donnerons une définition exacte
dos surfaces et des volumes de divers points de vue, dans les tomes
suivants.
Dans JIIJ-1-2] nous avons vu que la surface, limitée à une
courbo donnée y = / (x), l'axe OX et deux ordonnées x = o et

II1-3. COMPLEMENTS SUR LA NOTION D'INTEGRALE DEFINIE 25&
x = b, se représentait par l'intégrale définie
Hf(x)dx (a<zb).
Cette intégrale, comme nous l'avons vu, donne la somme
algébrique des surfaces dans laquelle chaque surface située sous l'axe OX
porte le signe (—).
Fig. 127 Flg. 128
Pour obtenir la somme de ces aires au sens habituel il faut
calculer
[l\fi*)\dx.
Ainsi la somme des aires hachurées sur la fig, 127 est égale àr
fyWdx-gfWdx+fywdx-llttoâx+^tWdx.
L'aire, comprise entre les deux courbes :
V=f{x), y = <?(x) (1)
et les deux ordonnées :
x = a, x = b,
dans le cas, où, l'une des courbes est au-dessus de l'autre, c'est'à-dtre-
quand
/(s)><p(a:)
dans l'intervalle (a, b), s'exprime par l'intégrale définie
lllf(x)-<f(x))dx. (2)
Admettons d'abord que les deux courbes sont au-dessus de
l'axe OX. On voit immédiatement sur la fig, 128 que l'aire
cherchée S esl égale à la différence des aires, limitées par les courbes
données et l'axe OX :
S = Ta / ^ ^ ~ II(p ^ dT = IIf/ (œ) - ^(a:)1 dx'
ce qu'il fallait démontrer.

256 CH. III. NOTION D'INTËGlULlS ET APPLICATIONS
Le cas général de n'importe quelle disposition des courbes par
•rapport à l'axe OX se ramène au cas précédent en translatant l'axe OX
vers le bas, d'une certaine grandeur do façon que les deux courbes
apparaissent au-dossus de l'axe OX ; cette translation est
équivalente à l'addition aux deux fonctions/ (x) et tp (x) d'une seule et même
constante, tandis que la différence f(x) — <p (x) reste sans changement.
Nous proposons à titre d'oxercice de montrer, que si deux courbes
données se coupent de façon qu'une courbe soit une partie en dessous,
et une partie au-dessus de l'autre, alors la somme des aires comprises
entre chacune d'elles et les ordonnées
x — a, x — b, est égale à
fjf(x)-<p(x)\dx. (3)
On appelle souvent le calcul de
l'intégrale définie une quadrature. Cela
tient à ce que les aires, comme il a été
montré ci-dessus, sont obtenues par le
calcul d'une intégrale définie.
Exemples. 1. L'aire, limitée par
la parabole du second degré est égale ù
g = axi-\- bx "|-o,
l'axe OX ot deux ordonnées, la distance entre
lesquelles est égale à h, est oyais à
j(3i + Vz-\-'>yo). (4)
«ù Vt et jf2 représentent les deux ordonnées extrêmes de la courbe, et s/0
l'ordonnée, correspondant a l'abscisse équidistante dos deux extrémités.
Pour cela, on suppose que la courbe est au-dessus de l'axe OX.
Pour la démonstration de la formule (4) nous pouvons, sans restreindra
la généralité, <liro que l'ordonnée extrême de gauche est confondue avec l'axe
OY (fiff. 129), vu qu'une translation de louto la figure parallèlement à l'axe OX
ne mooifio ni la grandeur de l'aire considérée ni la disposition réciproque des
ordonnées extrêmes et moyenne, ni les grandeurs de ces ordonnées. Avec ces
hypothèses, admettant que l'équation do la parabole se présenta sous la forme:
y=ax^+bx+c,
nous exprimons l'aire cherchés S sous l'aspect de l'intégrale définie:
S = ^(ax^ + bx-\-c)dx^a-^-^b~ + cx\^
Avec nos notations nous avons:
1 1
ya => ai2 -f- bx |- ù | ft = -p-ofta-(- —6A-!-c,
IH^ax* \-bx-\-c\x=a—o,
yi=axî-i-bx-i-c]x—it^=ahz-{-bk-'l c.
Fig. 129

III-3. COMl'LÉMEKTS SUR I,A NOTION D'INTEGRALE DÉKtNIE 257
d'où il résulte;
»l + !/z+^0=2oA2-|-3&fc fOe,
ce qui prouve notre affirmation.
2. Aire de ]'eI]ipso. L'ellipse, dont l'équation est
.214- »1-1
est symétrique par rapport aux axes de coordonnées, par conséquenl son aire
cherchéû £ est égale h quatre fois l'aire de la partie de I'ollipso, qui se trouve
dans le premier quadrant, c'est-à-dire
A =4^ «te
(fig. 130). Au lieu do déterminer y a partir do
l'équation de l'ellipse et do porter l'oxpresslon
obtenue dans la Fonction à intégrer, nous
utiliserons la représentation paramétrique do
l'ellipse:
£ = acost, y = 6sin/, (5)
et introduirons au lieu de x la nouvelle "'
variable t; y s'exprime alors directement
à partir de la deuxième dos égalités (5). Quand x varie de 0 à a, « varie do -g-
0, et comme toutes les conditions de la règle du changement de variables
àHI-2-fil dans ce cas sont remplies, alors
po po pjr/2
J=4\ bsin.td(aeost)=—4ab\ sinaidi=4a& \ sinztrf*.
êit/2 Jk/2 eu
D'après la formule (27) [111-2-7] pour k = 1, nous avons:
P*/2 . » ^ . Ire n
J0 2 2 4'
d'ofi nous trouvons enfin :
S = nab. (8)
Pour « = b, quand l'ellipse se iTansformo on un cercle do rayon a, nous
obtenons l'expression connue ara2 pour l'aire du cercle.
i(. Calculer l'aire, comprise entre les deux courbes
Les courbes données (fig. 131) se coupent en doux points (0, 0), (I, 1), les
coordonnées quo nous obtenons satisfaisant ensemble les équations de ces
courbes. Commo dans l'intervalle {0, 1) nous avons:
alors l'aire cherchée S en vertu do (2) s'exprime par la formule :
III-3-2. Aire d'un secteur. L'aire d'un secteur, lim iUe à la courb
dont l'équation en coordonnées polaires est:
^ = /(0), (7)
17—281

258 CH. III. NOTION D'INTÊCRALE 1ST APPLICATIONS
et à doux rayons vecteurs
0 = a, 0 = p, (8)
issus de l'origine et d'angles a et p par rapport à l'axe polaire,
s'exprime par la formule:
Pour obtenir la formule (9) décomposons l'aire envisagée
(fig. 132) en petits éléments, en partageant l'anglo compris outre les
deux rayons vecteurs (8) en n parlios. Considérons l'aire d'un de ces
Fig. 131 Fig. 132
petits soctexirs, limitée par les rayons 0 et 0 -+- A 9. Ayant désigné
par AS son aire, par m et M la plus petite et la plus grande valeur
de la fonction r — / (G) dans l'intervalle (fl, 0 -+- A G), nous voyons
quo AS est comprise entre les aires des deux secteurs circulaires
de même ouverture AG, mais de rayons m et M, c'est-à-dire
^■m*AQ<AS^±M*àQ,
et par conséquent, ayant désigné par P un nombre quelconque,
intermédiaire entre m et M, nous pouvons écrire:
AS^-ji^AG.
Comme la fonction / (8) continue dans l'intervalle (0, 6 + A0),
prend toutes les valeurs comprises entre m et M, d&os cet intervalle
il se trouve sûrement une certaine valeur 0', pour laquelle

I1I-S. COMPLÉMENTS SUH LA NOT1 ON D'INTÉGRALE DEFINIE 259
et alors
AS=,±\f(B')fAQ. (10)
Si maintenant nous augmentons le nombre de secteurs
élémentaires AiÇ de sorte que la plus grande des valeurs AO tende vers zéro,
et si nous nous rappelions de ce qui a été dit on [TJI-1-21, nous
obtenons à la limite :
ce qu'il fallait démontrer.
Nous remarquons que l'idée fondamentale de la démonstration
citée do la formule (9) réside en transformation de l'aire du secteur
A6' en l'aire d'iui secteur circulaire dont l'ouverture est A6 et le
rayon / (6'). Ayant pris à la place de l'expression rigoureuse (10)
celle approximative :
A5 = yraA0,
où r ^ f (0") et 6" est une valeur quelconque de l'intervalle
(0, 0 -f- A6), pour l'aire de ce secteur, nous obtenons à la limite
le même résultat :
i;«n24[/(0")pA6=24-r"de. (11)
Pour cette raison l'expression à intégrer dans la formule (11)
reçoit l'interprétation géométrique simple : y r3 dO est l'expression
approximative de l'aire du secteur élémentaire d'ouverture dQ et
par conséquent s'appelle simplement aire élémentaire en coordonnées
polaires.
15 x o m p 1 e. Trouver l'airo limitée par la courbo fwméo
r=cos3B («>0).
Cette courbe, dont la construction par pointe ne présente aucune difficulté,
usl représentée sur la fig. 133 et s'appelle rosace à trois branches. L'aire complote
qu'elle limito est égale au sextuple do l'aire do la partie hachurée, correspondant
aux variations de 0 et 0 à 4p (le sorte que d'après la formule (9) nous avons:
J- 6 J*''6 1 «■ cos* 30 dO -«» g/B oos* 39 d (8» - «« $** cos* i*-^.
IU-3-3. Longueur d'un arc. Soit l'arc Ali d'une courbe
quelconque. Inscrivons à l'intérieur une ligne brisée (fig. 134) et
augmentons le nombre do côtés, de façon que la plus grande des longueurs
17»

2B0 CH. III. NOTION JD'INTIÎGKA&E ET APPLICATIONS
des côtés tende vers zéro. Si avec cela le périmètre de la ligne brisée
tend vers une limite finie, ne dépendant pas de la façon dont
Fig. 133
les segments ont été inscrits, alors l'arc est recUfiable, et la
limite mentionnée s'appelle longueur de cet arc. La môme définition
de la longueur d'un arc est valable
également pour une courbe fermée.
Soit une courbe donnée par
l'équation explicite y = / (x), et avec
elle les valeurs x— a et x^= b (fl<b)
qui correspondent aux points A et B,
et supposons que / (x) possède une
dérivée continue dans l'intervalle
<i■< x<g 6, auquel correspond VvtaAB.
Nous allons montrer que dans ces
conditions l'arc AB est rectifiable et que
sa longueur s'exprime par une
intégrale définie.
. . . JWn_i B la ligne brisée inscrite, aux som-
eorrespondent les valeras
y,
Û
M,
Mit,
t'9
«g. 134
Soient AMtMi
mets de laquelle
œ = œ0<.r(<js< ... <;xn^i<Xn^=l>,
et désignons y,- = / («,-). Se remémorant la formule donnant la
longueur d'un segment en géométrie analytique, nous obtenons

H1-3. COMPLEMENTS SUB LA NOTION D'INTÉGlULEiMMME 2fil
pour le périmètre de la ligne brisée la formule suivante :
Utilisant la formule des accroissements finis
/ (*0- / (*«-i) = /' (El) (*l -*l-i) {*i-i < S." < *i).
nous obtenons pour la longueur individuelle du côté de La Ligne
brisée l'expression
dans laquelle nous voyons que, pour que Je plus grand des côtés
tende vers zéro, il faut et il suffit que la plus grande des
différences {xt — x-,-i) tende vers zéro. Pour le périmètre de la ligne
brisée nous obtenons l'expression
n
p=2 yi+/'a{Ei>(*i-*«-i).
qui effectivement possède une limite, égale à l'intégrale
JVH.f(ï)fc
Do celle façon, la longueur l de l'arc AB s'exprime par la formule
I=$'/l + /'*0)«fa. (12)
Soit af < x" deux valeurs quelconques de l'intervalle (a, 6), et
M' et ilf" les points correspondants sur l'arc AB. Appliquant le
tliéorènie de la moyenne, nous obtenons pour la longueur l' de
l'arc M'M":
i'=l^yi-rr^)dx^y±-\-r2(iù (**-*') (*'<:£,<*")■
Pour la longueur do la corde M'M", utilisant la formule des
accroissements finis, nous obtenons la formule :
M'M"=VV'- *T + [/ (»*) -1 (3')ls =
=Vi + f*&3(*"-*') (*'<E2<*').
D'où il vient :
MW_ TA+/'»(&
'' Vl-?-/'2(li) "

262 CH. III. NOTION D'INTEGRALE ET APPLICATIONS
Si les points M' et M" tendent vers le point M d'abscisse x, alors
x' et x" -*- x, donc |t et |z —>- x, et de la dernière formule nous
obtenons:
M'M" ,
-P **■
C'est ce que nous avons utilisé en [II-5-1].
Supposons maintenant la courbe donnée sous forme
paramétrique
x = y(t), y = *(*),
avec les points A et B auxquels correspondent les valeurs t = a
ot t = p (a < ($), Nous supposerons qu'aux valeurs t de
l'intervalle a <^ <J p correspondent les points de la courbe AB.
de sorte qu'à des valeurs distinctes de t correspondent des points
distincts de la courbe, qu'elle-même ne so coupe pas en faisant une
boucle (fig. 134). Entin nous supposerons que dans l'intervalle
a-s^-Cft existent les dérivées continues q>'(Z) et i]>'(<)-
Soit, comme pins haut, AMtM,. . . ■ Mn-tB la ligne biïséo
inscrite et t0 — a < <4 < l2 < . . . < tn-t -< tn — p les valeurs
correspondantes du paramètre t. Pour le périmôU'e de la ligne brisée
nous obtenons l'expression :
j»=£ Kï«p (*/>—q> (*•-!)]"+i* (*i)—+(«*-i)l»
ou, on appliquant la formule des accroissements finis,
n
p = 2 W2(Ti)+i|>'2(t;)(*i-*!-i) <*i-i<:ti ens<d). (ri)
On peut montrer que pour que le plus grand des côtés de la ligne
brisée tende vers zéro il fant et il suffit à ce que la plus grande
des différences (lt — tt-i) tende vers xéro. Cela peut être démontré
sans supposer l'existence des dérivées ip'(f) et p'(t).
L'expression (13) se distingue de la somme, donnant à la limite
l'intégrale
faV<f>'*{t)+V2(t)dl, (14)
car les arguments tt et x'i sont différents. Faisons apparaître la somme
qui à la limite donne l'intégrale (14). Afin de pouvoir démontrer
que la somme (13) tend aussi vers une limite (14), il faut montrer

1II-3. COMPLÉMENTS SUR LA NOTION D'INTEGRALE MÎTlNrE 263
que la différence
p-î=S [y <p'2 (¾)+i>'a (tî> - y <p'* (ti>+^ (¾)] (t, - «i-,)
tend vers zéro.
En multipliant et. divisant par la grandenr conjuguée du
facteur contenant les radicaux, nous obtenons:
p-i=2
1>' (•»)+<!>' Ci)
XM>'(TO-ip'(T(-)](fi-it-i).
Comme
[il»' (t,) +1))' (t,-)1 < yip'M^ + f'Mtî) t y T'" (ti> + *'2(ti>.
alors
n
|j>-«|<S If'WJ-fWICi-'M)-
Les nombres xj et xî appartiennent à l'intervalle (ti-i, tt) et en
vertu de la continuité uniforme de il)'(2) dans l'intervalle a <; t <J p,
on peut affirmer qne la plus grande des grandeurs 1 t[î' (t'4) — i|5' (x;) j,
que nous désignerons par Ô, tend vers zéro, si la plus grande des
différences (f; — <j_i) tend vers zéro. Mais de la formule précédente il
résulte que
|p-«r|<S fi(*i-tj-i)-6S (*i-*t.i>-6(P-*>.
t=l i=l
d'où, évidemment, p—q-t-O. De cette façon la somme (13),
exprimant le périmètre de la ligne brisée inscrite, tend vers
l'intégrale (14), c'est-à-dire:
l = V^Vi('* (t)+ty*(t)dt. (15)
Cette formule pour la longueur l s'établit de façon identique pour
le cas d'une courbe avec boucle. Pour le montrer, il suffit, par
exemple, de décomposer la boucle de la courbe en deux parties sans
boucle, pour chacune d'elles d'appliquer la formule (16) et d'ajouter
les valeurs l obtenues. De même si une courbe quelconque L est
composée d'un nombre fini de courbes Lh, chacune d'entre elles
possédant une représentation paramétrique satisfaisant aux
conditions mentionnées plus haut, en calculant par la formule (15) la
longueur de chacune des courbes L\ et composant ces longueurs
nous obtenons la longueur de la courbe L.

264 CH. III. NOTION D'INTÉGRALE ET APPLICATIOXS
Considérons la valeur variable t de l'intervalle (a, p), à laquelle
correspond le point variable M de l'arc AB. La longueur de l'arc AM
sera une fonction de t et sera représentée par la formule:
s(t)=^aV^{t) + ^(t)dt. (16)
Utilisant la règle de différentîalion de l'intégrale par rapport à la
borne supérieure, nous obtenons
-£ = /*"»(*> + *'•(*>. (17)
c'est-à-dire
ds = yrp'a(*) + i|!'s(f) dt,
d'où, en se rappelant que
nous obtenons la formule pour la différentielle de l'arc [11-5-11:
et la formule (15) peut ôtre, sans que la variable d'intégration
soit précisée, écrite sous l'aspect :
-E*-Kww.
Los bornes (.4) et (B) désignent les points initial et final de la
ligne.
Si tp'2 {t) + ij),i! (t) > 0 pour tout t pris dans l'intervalle (a, P),
alors, conformément à (17), nous obtenons la dérivée du paramètre t
par rapport à s:
dt __ 1
ds -|/V*(t)+i|)'S(o '
La présence des dérivées continues qp'(îJ) ot ip'(t) ave* la eondî-
Uon <p'2 (t) + i}i' 3(f) >• 0 nous garantit une tangente se modifiant
de façon continue le long de AB.
Si la courhe est donnée en coordonnées polaires par l'équation
r = /(9),
alors, en introduisant les coordonnées rectangulaires x et y, liées
aux coordonnées polaires r et 6 par les relations:
a;=rcos0, j = rsin6 (18)
[II-5-13], nous pouvons considérer ces équations comme la donnée
paramétrique de la courbe avec le paramètre 6.

Hl-3. COMPLEMENTS SUR LA. NOTION D'INTÉGRALE DeECNIG
26S
Nous avons donc:
dx = cos 0 dr — r sin 0 dB,
dy — sin G dr -{- r cos 0 dQ,
dx* -j- dy* = (dtf + r* (dB)2,
d'où
ds= V(dxf + (dy)" = V(dr)* + r"- (dd)*, (19),
et si aux points A et B correspondent" les valeurs a et 6 de l'ongle-
polaire 8 (Kg. 135), alors la formule
(15) nous donne:
-ti/^W* <20>
*-L
cm
L'expression pour ds (19), qui
s'appelle différentielle de Varc en
coordonnées polaires, peut s'obtenir
directement à partir de la figure, en
remplaçant l'arc infiniment petit MM'
par sa corde et on calculant cette Fi8-13S
dernière comme l'hypoténuse d'un
triangle rectangle MNM', dont les côtés MN et NM' sont
approximativement égaux respectivement à r d& et dr.
Exemples. 1. La longueur do l'aro s de la parabole y ■= »a, mesurée-
à partir du sommet (0, 0) au point variable d'abscisse x, s'exprime d'après
la formule (12) par l'Intégrale:
<s=jî*yi + y'a*e=Ç*Vl+4>cte=-M**yïT^<'*
(nous avons posé t = 2x).
En vertu, de l'exemple ld [111-1-7], nous avons:
? yti^dt^—U yï+tï+\a(t+yî+^)\+c.
Reportant ce résultat dans (21), nous obtenons sans difficulté:
s=-^te VïT^-l-li) (2s+VÏ+4^)].
2. La longueur do l'ellipse
a* ^ b* *■•
on raison de sa symétrie par rapport aux axes do coordonnées, est égale à quatre-
fois la longueur de la partie qui so trouvo dans le premier quadrant. Eu
représentant l'ellipse au moyen dos équations paramétriques
x=«cos<, p = 6sint

2lit> CH, III. MOTION D'INTESKALE ET APPLICATIONS
et on remarquant qu'aux points A et B correspondent les valeurs du paramètre 0
«t -jj-, nous obtonons pour la longueur l cherchée l'expression suivante
résultant de la formule (15) :
Z = 4 V"* -\/aZsWt+bVGo&tdi. (22)
La fonction primairo no pouvant pas être exprimée à l'aide de fonctions
■élémentaires, punr l'intégrale définie inscrite on ne peut donner qu'un moyen
du calcul approximatif, qui sera produit plus bas.
3- La longueur de l'arc de la spirale logarithmique
r=Ceal>
|I 1-5-14 J, comprise entre les rayons -vecteurs 6 = a, 0 = p. on vertu de (20)
s'eipriino par l'intégrale :
i. Dans 111-5-9J nous avons considéré la chaînette; soit M (x, y) un point
quelconque de celte courbe. Calculons la longueur de l'arc A M (fig. 93).
So rappelant l'expression do (1 -}- y'2), nous obtenons, îi partir de [11-5-8]:
AM-= C* VÏTF5 A*= T-~dx=Y T («"t «"> <** = Y Ie" -«"") = "S''
d'où
oï-|-(are^W)ï=e2 ]-e.*y'* = à* (1-"-?'*) = »*,
c'est-à-dire que la longueur de l'arc A M est égale au cSté du triangle
rectangle, dont l'hypoténuse est égale à l'ordonnée du point M, et dont l'autre côté
«st égal à a. Nous obtonons, de cette façon, lu règle suivante pour établir
la longueur do l'arc AM :
Du sommet A d'ans chaînette, comme centre, il faut décrire une
circonférence avec un rayon, égal a l'ordonnée du. point M ; le segment OQ sur l'as-e OX
de l'origine des coordonnées 0 au point d'intersection 0 de l'axe OX avec la
circonférence mentionnée sera la rectification de Tare AM (fig. 93).
Dans les formules précédentes, pour le choix des signes, nous nous sommes
laissé guider pur lo (ait que pour les points, se trouvant dans la partie droite
do la uliafnotUi, y' possédait le signe (-)-),
5. lJoiir la oycloïdo, considérée en (11-5-101, nous définissons la longueur
do l'arc l da labranche OC (fig, !)4) et l'aire iS', limitée par cette brandie et
l'axe OX;
l = §2" V[«P' (*)Ia4-hf Wla«f(= V* Vaa(l—cos/^-t-^siiia*dl•**
^ a V* 1/ii-2cos« dt = a ^ |/ 4sin8 -j dt =
^2o\ sin.-Tdt = 2a — 2cos— ^8<i,

3IÏ-3. COMPLEMENTS StfB LA NOTIOK D'INTÉGRALE DEPI'NIE 267
c'est-à-dira que la langueur de l'arc d'une branche de cyclolde est égale à quatre
fois le diamètre de la roulante;
£*=V i/d:t=\ i|>(l)<p'(*)*=a' \ (i-cost)2tf< =
= «2 V* (i—2 cos i+cos2 «) di = 2nes—2a* [sin /1^-1-
2. t _|_ J. sin 2i = 2ji«2+ko* = ans*,
c'ost-à-diro que l'aire, limitée à un arc de cycloïde et sa base rectlligae, sur laquelle
se déplace la roulante, est égale à trois fois l'atre de la roulante.
Lors du calcul do l, pour l'extraction de la racinol/ 4 sin* -y , nous devons
prondro la valeur arithmétique de la racine, ce que nous avons fait parco que
dans la variation de t do 0 à 2n la fonction sin -g. est positive.
6. La cardioïdo, considérée dans [11-5-15], est symétrique par rapport à
l'axe polaire (fig. 111), c'est pourquoi pour le calcul de sa longueur l if suffit
do calculer la longueur de l'arc pour los variations do 0 dans l'intorvallo (0, x),
et do doubler lo r&ultat obtenu:
2 = 2 Ç^yrï+r'» <i0 = 2 ^^02(1 + 003 9)24-4^8^949 =
=8a^"cos■jdQ^Sa ("2sin-7fT= 16a,
c'est-à-dire que la langueur de tare de cardioïde est huit fols plus grande que
U diamètre de la roulante {ou de la basé),
Ï1I-3-4. Calcul des volumes des corps à partir de leur section
transversale. Le calcul du volume (l'un corps donné se ramène aussi
an calcul d'une intégrale déîinie, si nous avons la possibilité de
Fig. 130
définir Taire des sections transversales du corps, perpendiculaires
à une direction donnée.
Nous désignerons par V le volume d'un corps donné (fig. 136)
et supposerons que les aires de toutes les sections transversales du
corps par les plans perpendiculaires à une direction donnée, que

2G8 CH. III. NOTION D'INTËGE.4LE 13T APPLICATIONS
nous prendrons pour l'axe OX, nous sont connues- Chaque section
transversale se définit par l'abscisse x de son point d'intersection
avec l'axe OX, c'est pourquoi l'aire de cette section transversale
sera une fonction de x, que nous désignerons par S (x) ot que nous
considérerons comme connue.
Soit encoro a et b les abscisses des sections extrêmes du corps.
Pour calculer le volume V nous le décomposerons eu éléments r»ngés
par sections transversales, commençant en x = a et se terminant
en x = b ; considérons un de ces éléments AV, fourni par les sections
d'abscisses x ot x + Ax. Remplaçons le volume AV par le volume
Pife». 137 Fig. 13S
d'un cylindre droit, dont la hauteur est égale à Ax, et dont la base
. coïncide avec la section transversale de notre corps, correspondant
à l'abscisse w (fig, 137). Le volume d'un tel oylindro s'exprimera
par le produit <S' (x) Ax, et de cotte façon, nous obtiendrons
l'expression approchée suivante pour notre volume V;
y\S{x)Ax,
où la sommation est étendue à tous les éléments dont est formé
notre corps à partir des sections transversales. À la limite, quand
le nombre d'éléments croît indéfiniment et que le plus grand d'entre
les Ax tend vers zéro, la somme ci-dessus se transforme en une
intégrale définie, laquelle donne la valeur exacte du volume V, ce qui
conduit à la proposition suivante:
Si pour un corps donné on connaît toutes ses sections transversales
par des plans, perpendiculaires à une direction quelconque donnée,
choisie comme axe OX, le volume du corps V s'exprime par la formule:
V = ^ttS(x)dx, (28)
où S (?) coïncide avec l'aire de la section transversale d'abscisse x,
a et b étant les abscisses des sections extrêmes du corps.

UI-3. COMPLEMENTS SUR LA NOTION D'INTËSBALE nEFItflE 2l>9
13 x 0 m () 1 o. Volume d'un 1 secteur de cylindre », isolé d'un demi-cylinilro
circulaire droit parjin plan, passant par un diamètre do sn baso (fig, 138).
Prenant k> diamètre AB comme axe OX, et te point A comme origino des
coordonnées, nous désignerons le rayon do la baso du cylindre par r, l'angle, formé par
la section supérieuro de ce secteur avec sa base, par a,,
La section transversale, perpendiculaire au diamètre AB, présente l'aspect
d'un triangle rectangle PQR, et son aire s'exprime par la formule:
S (*)=^ PQ-QR =-j'g aJQ2.
Puis, d'après la propriétô connue do la circonférence, lo segment PQ est
la moyenne géométrique des segmentsXP, ~PB de diamètre TA, c'est pourquoi :
ot finalement,
i
Appliquaut la formule (23) pour lo volume V cherché, nous obtenons:
8 .9W^=|tg« $o .0r-*)i,-Ttg« (r«»-T) |0 =
si l'on introduit la «hauteur» du secteur fc = r tga.
1II-3-5. Volume d'an corps de révolution. Dans le cas où lo corps
considéré s'obtient par révolution d'une courbe donnée y — f (x)
Fig. 1ÎS9 Fig. MO
«utour d'un axe OX, ses sections transversales seront des cercles
<do rayon y (fig. 139), c'est pourquoi:
$(*) = «»»,

270
CH, 111. NOÏION IVINTËGHALE ET APPLICATIONS
c'esl-à-dire que le volume d'un corps, engendré par la l'évolution
autour d'un axe OX d'une partie de la courbe
¥ = /<*),
comprise entre les ordonnées x = a, x — b, s'exprime par la formule :
7= 5*«^ de. (24)
Ex oui pie. Volume d'un ellipsoïde do révolution. l'ar la révolution
de l'ellipse
autour du grand axe on engendre un corps, appelé ellipsoïde allongé de révolu lion
(fig. 140). Les bornos de la valeur do l'abscisse x dans le cas considéré seront
(—a) et (.fa) ot la formule (2d) donne donc:
(23)
Exactement de la mémo manière, nous pourrons calculer le volume do
l'ellipsoïde aplati de révolution, qui s'obtient par révolution do noire ellipse
autour du petit nxo. 11 faut seulement échanger une à une les lettres x, y, a al b,
ce (lui donne :
faplati
H^H^1-*)*-?*"-
(2fi>
Duns le cas où a = b, les deux ellipsoïdes se transforment eu une sphère
de rayon a, dont le volume est égal à-s-n«3.
III-3-G. Aire d'un corps de révolution. L'aire d'un corps engendré
par la révolution d'une courbe donnée d'un plan XOY autour d'un
axe OX est la limite vers laquelle tend
la surface d'un corps, obtenu par la
révolution autour du même axe d'une
ligne brisée inscrite dans la courbe
donnée, quand le nombre de côtés de cette
ligne croît indéfiniment et que la plus
grande des longueurs des côtés iend
vers zéro (fig. 141). SI cette révolution
concerne la partie de la courbe, comprise
entre les points A et B, alors l'aire F
du corps de révolution s'exprime par la
formule :
*~x
Fig. Ml
F =
IZ^yds,
(27)
oh ds est la différentielle de l'arc de la courbe donnée, c'est-à-dire

■111-3. COMPLEMENTS SUR LA NOTION D'INTEGRALE DEFINIE 271
Dans cette formule la courbe peut être donnée comme on veut,
soit sous forme explicite, soit sous forme paramétrique; les
symboles (A) et (B) montrent qu'il faut intégrer entre ces bornes pour la
variable indépendante, qui correspondent aux points donnés de la
courbe A et B.
Nous supposerons que l'équation de la courbe est donnée sous
forme paramétrique, et que le rôle du paramètre est joué par la
longueur s de la courbe, comptée à partir du point A, et nous
désignerons par l la longueur do toute la courbe AB, Cette courbe,
évidemment, est supposée reclïfiable. Nous avons x = q> (s), 1/ = 1)) (s).
Décomposons, comme toujours, l'intervalle (0, l) en faisant varier
s sur les tronçons d'intervalle
0 = s0< Si < s2< ... < Sn-i< s„ = l.
Supposons qu'à la valeur s = si correspond le point Mt de la
courbe, et bien sûr que Ma coïncide avec A et Mn avec B. Nous
désignerons pnv q, la longueur du segment Mi-tMi, par As( la
longueur du chemin Mt^Mi et nous poserons j/j = i|) (st). Utilisant
la formule pour l'aire d'un cône tronqué, nous trouvons la formule
suivante pour la surface, engendrée par la révolution de la ligne
brisée AMiM2 . . . Mn.iB:
f=i
ou
n n
Soit Ô la plus grande des valeurs absolues (yi — yt-i). En vertu de
la continuité uniforme de la fonction 1)) (s) dans l'intervalle 0 <; s <; l
la grandeur ô tend vers zéro, si la plus grande des différences
(sj — si-i) tend vers zéro. Mais nous avons :
|S (yi-ïi-i)«fi<ôS Qt<àl,
<-=i f=i
d'où il résulte que le deuxième terme dans l'expression Q tend vers
zéro. Nous examinerons le premier terme, que nous pouvons écrire
sous la forme:
n n n
2n 2 yi~iqt — 2n 2 Vt-i^i — 2n 2 V1-1 (As* — Si)-
i=( i=f j=l
Nous allons montrer que le terme à soustraire dans cette expression
tend vers zéro. Pour cela, remarquons que- la fonction y = rj> (s),

272 CH. m. NOTION D'INTEGRALE ET APPLICATIONS
■continue dans l'intervalle (0, Z), est bornée et, par conséquent,
-qu'il existe un nombre positif m, tel que | #;_, | <; m pour tout i.
J3onc :
n tï n
12 ïi-i(à*i—«f)l«S m(Asi—qf) = m(l— S ¢.)-
Si la plus grande des différences (s; — Sj.J tend vers zéro, alors
la plus grande des longueurs des cordes çj tend vers zéro, et le
périmètre de la ligne brisée Inscrite tend vers la longueur de l'arc:
n
2 qi~*l,
d'où
n
2*2 JK-i(às;—3i)-»0.
De cotte façon, dans l'expression Q il ne reste à examiner que Je
terme
n n
2n2 y<-jAsi = 2jtS itifsi-jjfs,— sj-,).
La limite de cette somme nous conduit à l'intégrale (27). C'est ainsi
que nous obtenons cette formule. Si la. courbe est donnée sous
forme paramétrique en fonction d'un paramètre quelconque t, nous
■avons alors 1111-8-3] ;
/7 = î" 2« i|> (t) yy*(*)+*'*(*) dt • (28i)
cJcc
■et dans le cas de l'équation explicite y = / (x) de la ligne AB:
J-S*2tf(*)Vl+ f«(*)<fe. (2¾)
Exemple. Surface d'un ellipsoïde de révolution, allongé et apluti.
Onsidôrons d'abord la surface d'un ollipsoïde allongé. Appliquant la
terminologie de l'exemple [IJT-3-5], d'après la formule (28), nous nvens :
^llo,«« = 2l[ l"_a <J T/î+F5 <?*=2n ^ VWTÛfP? «?*■
Do réquation do l'ellipse nous tirons:
d'où

ÏII-3. COMPLEMENTS SUR LA NOTION D'INTEGRALE DÉFINIE 273
Introduisant ici l'expression de l'excentricité de l'ellipse
„ a2 —&2
8-^= s »
a2
nous avons (voir exemple 1111-2-8]) :
En intégrant pur parties, noua avons (voir exemple 11 [111-1-7]):
d'où
et finalement
§ Vl-s3<fr= y|*1/l-ia-(-arcslnt],
'«1.«* =2*«> [VH=P+ -^5.] • (29)
Cette formule convient à la limite également pour e = 0, c'est-à-dire quand
6 = o, et que l'ellipsoïde se transforme en une sphère do rayon a. Dans co cas
l'expression qui se trouve entre parenthèses est indéterminée; en calculant
celle-ci J1I-3-9], nous avons
1
Poursuivons maintenant pour l'eilipsoïde aplati de révolution.
Transposant les lettres x et y, a et S, nous trouvons:
^aplati =2" \ _b TA8 +■(«*')» dy,
où x est considéré cojnmo uno fonction de y- Do l'équation do l'ellipse nous
tirons r
d'où
18-281

274 Cïï. III, NOTION D'INTEGRALE ET APPLICATIONS
gg 08
= —LtK P + ln(T+]/p)J =
6 6
et finalement
r.puH-aw.+^intfî+Si. (30)
IH-3-7. Détermination des centres de gravité. Théorèmes de Guldin.
Soit un système donné de ra points matériels:
M\{zi> Vi). Mz(x2, yù, ..., Mn(xn, yn),
dont les masses sont égales respectivement à :
mu mz, .,., nin,
alors le point, dont les coordonnées xG, yB satisfont aux conditions:
n n
et où Af représente la masse totale du système
n
s'appelle centre de gravité du système G.
Pour déterminer le centre de gravité on peut, de la façon que
l'on veut, grouper les points du système, en les divisant en systèmes
particuliers, de sorte que, pour calculer les coordonnées du centre
de gravité Q de tout le système, on remplace tout le groupe de points,
composait un tel système particulier, par un seul point, plus
précisément son centre de gravité, affecté d'une masse, égale à la somme
des masses des points le composant.
Nous ne nous arrêterons pas à la démonstration de ce principe
général, laquelle ne présente pas de difficulté et peut facilement
être effectuée sur des exemples de systèmes particuliers les plus
simples, avec trois, quatre, etc., points.
Plus loin, nous aurons affaire non à des systèmes de points,
mais au cas où la masse occupe entièrement une figure plane
quelconque (domaine) ou une longueur.

UI-3. COMPLEMENTS SUR LA NOTION D'INTËGHALE DfiMKIB 275
Pour simplifier nous nous limiterons à la seule considération
de corps homogènes, dont nous prendrons la densité égale à l'unité,
de sorte que la masse d'une telle figure soit égale à sa longueur,
s'il s'agit d'une ligne, et à sa surface, s'il s'agit d'un domaine plan.
Soit d'ahord à définir le centre de gravité d'un arc de courbe AB
(fig. 142), dont la longueur est s. Selon le principe général
précédent, divisons l'arc AB en n petits éléments As. Le centre do gravité
de tout ce système peut se calculer, en remplaçant chacun do ces
Fig. 142 Fig. M3
éléments par un seul point, le centre de gravité de l'élément
considéré, ayant concentré en lui toute la masse de l'élément Arn = As *.
Considérons un de tels éléments As et désignons les coordonnées
de ses extrémités par (x, y), (x -f- Ax, y + Ay) ; désignons ensuite
les coordonnées de son centre de gravité par (x, y). Avec une
réduction suffisante de l'élément As, nous pouvons considérer que le
point {œ, y) est aussi peu éloigné que l'on veut du point \x, y).
D'après les formules (31), nous avons, comme dans'[II1-3-4]:
Ma:G = s£(} = 2 x^m=^i ^As = lim2 s As= \ zds, (32)
Mya = s¥a=^yAm = ^yàs = ht(LYiyAs*=^yds, (33)
d'où, ayant calculé s par la formule:
nous définissons les coordonnées du centre de gravité G.
Des formules (32) et (33) découle le théorème important:
Théorème I de Guldin. L'aire d'une surface, engendrée
par la révolution d'un arc d'une courbe, plane donnée autour d'un.
axe quelconque, se trouvant dans son plan et ne la traversant pas, est
* Le contre de gravité do chaque élément, généralement parlant no so
situe pas sur la courbe, quoiqu'il soit d'autant plus près d'ullo qup l'élément
est petit, ce qui est montré schémaliquemont sur la fig. 142.
18*

276 CH. III. NOTION D'INTJÊGRALE ET APPLICATIONS
égale au produit de la longueur de l'arc générateur par la longueur
du chemin, décrit dans cette révolution par le centre de gravité de l'arc.
En effet, ayant pris l'axe de révolution comme axe OX, pour la
surface F du corps, décrit par la révolution de l'arc AB, nous
avons (27) [III-3-6] :
F = 2n\ yds = 2nj/a-s
[en vertu de (33)], ce qu'il fallait démontrer.
Considérons maintenant un domaine plan quelconque 5 (dont
nous désignerons aussi l'aire par 5). Admettons pour simplifier
que ce domaine (fig. 143) est limité par deux courbes, dont nous
désignerons les ordonnées par
ï/i = /i<a:), #2=/2(a:).
Suivant le principe général, rappelé au début de ce paragraphe,
décomposons la figure en n tranches verticales AS par des droites
parallèles à l'axe OY. Pour calculer les coordonnées dti centre de
gravité G de la figure, nous pouvons remplacer chacune do ces
tranches par son contre de gravité, ayant concentré en lui la masse des
tranches Ara = AS. Considérons une de ces tranches; désignons
par x et. x + Ax les ahscisses des droites MiMz et M'^M'^ la limitant,
par x, y les coordonnées du centre de gravité.
En diminuant suffisamment la tranche, c'est-à-dire en diminuant
sa largeur Ax, le point (x, y) se tiendra aussi peu éloigné que l'on
voudra du milieu P du segment de droite MyM2, en conséquence
de quoi nous pouvons écrire les égalités approchées:
Ensuite, la masse Am de la tranche, égale à son aire AS, peut
être assimilée à l'aire d'un rectangle de base Ax et de hauteur,
différant aussi peu que l'on voudra de la longueur du segment MÎM~Z =
= \!ï — Dii c'est-à-dire
Am-~(yg—y^Ax.
Appliquant la formule (31), nous pouvons écrire:
Afa;c =t&rc = 2 * A'rc=lim2 iz(& —ï/i)l Aa: = §nx(2/2—jrt) ifo,
(34)
M2,c = S2,c=22,ATO = lim2 (M+JLl} (yt-Vi) Ax =
= Hm 2 [4-foï-ri>] A*=SI-J M-fi)**- (35)
De la formule (35) découle :

aiI-S. COMPLEMENTS SUR LA NOTION D'INTEGRALE DEFINIE 277
Théorème JI do G u I d î n. Le volume d'un corps,
engendré par la révolution d'une figure plane autour d'un axe quelconque,
situé dans son plan et ne la traversant pas, est égal au produit de l'aire
de la figure génératrice par la longueur du, chemin, décrit par son centre
de gravité dans la révolution.
En effet, prenant l'axe de révolution pour axe OX, il n'est pas
difficile de remarquer que le volume d'un corps quelconque do
révolution V est égal à la différence des volumes des corps, engendrés
par la révolution de la .courbe 3¾ cl. de la courbe y±, et c'est pourquoi,
en rapprochant (24) 1III-3-5] :
V — n^ayldx-~n^ayldx^si^a{yl—yl)dx — 2mja'S,
en vertu de (35), ce qu'il fallait démontrer.
Les deux théorèmes de Guldin obtenus sont fort utiles pour
déterminer l'aire et le volume des figures de révolution, lorsqu'on
connaît la disposition du centre de gravité de la figure en rotation,
et vice versa, lors de la détermination du centre de gravité d'une
figure lorsqu'on connaît lo volume ou l'aire de la figure de
révolution engendrée par elle.
Exemplos. 1. Trouver le volume V d'un anneau (tore), engendré par
la rûvolulion d'un cercle de rayon r (fig, 144) autour d'un axo, se trouvant dans
Fig. 144
son plan à une distance a. de aon centre (avec r < a, c'est-à-dire que l'axe de
révolution ne coupe pas la circonférence),
Lo centre de gravité du cercle en rotation se trouve, bien sûr, en son centre,
ot par conséquent la longueur du chemin, décrit par lo centre de gravité dans
la rotation, est égale à 2jia, L'aire de la figura en rotation est égale à nr\ et
pur conséquent d après le théorème II de Guldin nous avons:
f'=iira-2na=2ii2orî. (36)
2. Trouver la superficie F du tore, examine dans l'exemple 1.
La longueur de la circonférence en rotation est égale à 2nr; le centro de
gravité comme précédemment coïncide avec le centre de la circonférence, c'est
pourquoi on vertu du théorème I do Guldin nous avons:
.F=2ra-.2jta=4ji2ar. (37)

278 CH. III, NOTION D'INTEGRALE ET APPLICATIONS
3. Trouver le contre de gravité G d'un demi-cercle do rayon a. Prenons la
base du domi-corclo comme axe OX et dirigeons l'axo OY perpendioulairement
a OX, àpartir do contre (fig. 145) ; on vertu de la symétrie delà figure par rapport
à l'axe OY, il est clair que le centre de gravité G se trouve sur l'axe OY. 11 reste
soulomeEti à trouver yG, Dans co but, appliquons le théorème II de Guldin.
Le corps, engendré par la révolution du demi-cSTclc autour de l'axo OX, est
uno sphère de rayon a, et son volume est égal à -n-nœ3. L'aire S do la figure en
o
rotation est égalo à -%- a*, c'est pourquoi :
4 , ji , „ 4 «
4. Trouver le centre de gravité G' d'une
demi-circonférence do rayon a.
Choisissant les axes de coordonnées, comme
dans l'oxemple précédent, nous voyons de
*,. ,,r nouveau que le centre cherché G' se trouve
i îg. i«j sur ]>ax0 QYt de sorto qu'il reste à trouver y0..
Appliquant le théorème I de Guldin et ayant
remarqué que l'aire F du corps de révolution dans ce cas est égale à 4 na1,
que la longuour s — na, noua obtenons:
4 Jio2 = nu .2ît#c-, tfG. = 2 — .
Comme il fallait s'y attendre, le contre de gravité de la demi-circonférence
se trouve plus près d'elle que le centre do gravité du domi-corcle qu'ello
délimite-
HI-3-8. Calcul approché des intégrales définies; formules des
rectangles et des trapèzes. Lecaloul des intégrales définlospar la formule fondnnientalo
(15) [111-2^3] àl'aido delnfonotion primitive n'est pas toujours possible, dosorto
quo,_mêm«i si la fonction primitive existe, quand la fonction à intégrer est
continue, (jlle no peut cependant être en fait, et de loin, toujours trouvée, et
même alorq, quand on pout la trouver, elle possèdo presque toujours un aspect
comploxo et peu pratique pour le calcul. C'est pourquoi les méthodes do caloul
approché des intégrales définies ont une grande importance.
La plus grande partie d'entre elles repose sur l'interprétation de l'intégrale
définie comme aire et comme limite d'une somme:
n
Dans tputo la suite nous conviendrons une fois pour toutes do diviser l'in-
tervallo (a, b) en n parties égala; nous désignerons la longueur de chaque partie
par h, de sorte quo:
/i = —"Z.—, »f = a-|-j'fc (-r0=-a; xn^a+tih-=b).
Nous désignerons plus loin par m la valour do la fonction à intégrer y =»
■=/{*) pour x = Xi (i=0, 1, ..., n):

III-3. COMPLEMENTS SUE I,A NOTION D'INTEGRALE DffiPJNIB
279
Noua considérerons ces grandours comme connuos; elles peuvent être
obtenues par un calcul direct si la îonction / (s) est donnée sous tormd analytique,
ou s'ostimer directement à partir do la figure, si elle est représentée
graphiquement.
Posant dans la somme du second membre {38) |; = Sj_j ou i(, nous
obtiendrons les deux formules approchées des rectangles:
b — a
1 n
j(x) issu- ~ ■ [yi+tf2+...+ !?«]•
(40)
(41)
où le signe (=») signifie égalité approchée.
Plus grand sera le nombre n, c est-à-dire plus petit le nombre h, plus ces
formules seront exactes et à la limite, pour n ~>- oo et h -*■ 0, elles donneront
la grandeur exacte de l'intégrale définie.
De cotte façon, tes erreurs des formules (40) et (41) tendent vers zéro lorsque
le nombre des ordonnées croît. Pour une valeur donnée, donc, du nombre des
ordonnées, la limite supérieure do l'erreur se détermine le plus simplement dans
»i»j 1 i l i i
4yyM ^ ii i ii
_j i i_
oe^o a> a> 3j av 2s &t xt *
Fig. 146
le cas où la fonction donnée / {x) est monotone dans l'intervalle (a, b) (fig, 146).
Dans ce cas il apparaît immédiatement à partir do la figure, que l'erreur do
chacune des formules (40) et (41) ne dépasse pas la sommB des aires dos
rectangles hachurés, c'est-à-dire ne dépasse pas Paire du rectangle de hase ~—=fe et
n
<lo hauteur, égale à la somme dos hauteurs yn — g0 des rectangles hachurés,
c'est-à-dire la grandeur
-~{Vn—Vo)- (42)
Les formules de3 rectangles introduisent au lieu do l'expression exacte
de l'aire de la courbe y =• f [x) son expression approchée, l'aire de la ligne
brisée en paliers, construite a partir dos segments horizontaux ot verticauxi
délimitant les rectangles.
Nous obtiendrons les autres expressions approchées, si au lieu d'une ligne
brisée en paliers nous prenons d'autres lignes, qui diffèrent suffisamment pou de
la courbe donnée ; plus la ligne auxiliaire sera proche do la couibe y = f {x),
plus petite sera l'erreur que nous commettons, en prenant comme grandeur de
l'aire celle limitée à cette ligno auxiliaire.
Ainsi, par exemple, si nous remplaçons une courbe donnée par uno ligne
brisée Inscrite dans elle, dont les ordonnées pour x — zj coïncidont avec les
ordonnées de la courbe donnée (fig. 147), en d'autres tennos, si noys remplaçons

280
ch. m. notion d'Integkau: kt applications
l'airo considérée par la somme des aires des trapèzes inscrits on elle, alors nous
Obtiendrons la formule approchée des trapèzes:
$><..**[■**&■+■
>Jl+!/2
b~a
2a
r*o + 2ïi-l-2»2+.
■■4
yu-l + Vn
a
]-
-»»]•
(43)
IIT-3-0. Formule des tungentes ot formule de Poncclel. Doublons
maintenant lo nombre de divisions, en partageant chaoune dos divisions par moitié.
Nous obtenons ainsi 2n divisions (fig. 148).
*0i xi/i*=a+y .
*M-i/a=a+(i+y)A' •••>
auxquelles correspondront los ordonnées :
tfoi 0i/2. Si, •.., ffj, ?£+!/,, -••, Un
(nous appellerons les ordonnées j/„, jj, . . ., yn ordonnées entières, et les
ordonnées y,/2, y3/2, .... u„-i/2 /factionnaires).
A l'extrémité de chaque ordonnée fractionnaire menons la tangente jusqu'à
Son interseclion avec les deux ordonnées ontiÈrss voisines et remplaçons l'airo
donnée par la somme des aires des
trapèzes construits do cette fuçon.
La formule approchée, obtenue par
cette voie, s'appelle formule des
tangentes;
* /(ï)4i»= -=-?- i!Ji/s-r-
.¾ 1¾¾
+yVt+ — +yn-vt\=«i- (/l/j)
Fig. 148
Considérons simultanément avec
les trapèzes, circonscrits précédemment,
les trapèzes insertis, que nous obtenons, en reliant avec les cordes les_
extrémités dos ordonnéos impaires voisines; ajoutons-Iour encoro les doux trapèzes
limitrophes, formés avec les cordes, roliant les extrémités des ordonnées jr0 et tfi/2'
Vn-~1/2 Bt Wi- Nous désignons la somme d«s aires dos trapèzes obtenus par
b — a I* yp+ffn Vi/s+'Jn-i/2
2n L 2 2
r-2!/u,+ %Ja/,+
'»/,-
•+2»«-i/,]-
Si la courbe y = / (a) dantf l'intervalle (a, b) ne possède pas du points
d'inflexion, c'est-à-dire si elle est seulement convexe ou seulement concave, alors
l'aire S de la courbe est comprise ontre les aires Oi et Ci, et il est naturel de pren-
dro comme expression approchée pour S la moyenne arithmétique -J-g—? t C0

111-3. COMPLÉMENTS SUR LA KOTION D'INTEGRALE DEFINIE 281
qui donne la formule de Poncelet :
Il n'est pas difficile de voir que l'erreur de cotte formule avec l'hypothèse-
faite sur l'allure de la courbe ne dépasse pas la valeur absolue
01 — <?Z j gi/s+ffn-i/a Uo+yn \ b—a ,
et l'expression, se trouvant entre parenthèses, est égale, comme il n'est pas-
difficile de le montrer à partir de la propriété do la base moyenne des
trapèzes, au segment do l'ordonnée moyenne, isolé par les cordes reliant ontro-
elles les oxtrémités des ordonnées limites entières et des ordonnées limites-
fractionnaires.
IIf-3-10. Formule de Simpson. Conservant la subdivision précédons en
nombre pair de parties, remplaçons la courbe donnée par une succession d'arcs
de paraboles du deuxième degré, passant par les extrémités de chacune des trois-
ordonnées :
«ï. ïi/2i Vi '> ut, ïa/j. us. ; ■ • ■ ; yn-v Vn-i/? vn-
Calculant l'aire de chacune dos figures curvilignes obtenues de cette
manière par la formulo (4) [HI-3-1], nous obtenons la formule approchée de
Simpson:
^ f (x) dx«s-gj— [ya+i'A^+Zyi -|-hjih \-2y2 | f
+2yn_,+4y„_i/2+-yn]. (-47)
Nous ne nous arrêterons pas ici sur l'erreur de cotte formulo, et égalomont
sur l'erreur de la formule des trapèzes. Remorquons, on général, que l'expression
de l'erreur sous la forme d'une formule définie a plutôt uao valqur théorique
que pratique parce que babiluolloment ollo donne uno limite par trop grossière.
A propos do la construction précédente, remarquons qu'avec le choix
correspondant à a, b ùt û dans la parabole y = ai2 -f- bx + c, on peut toujours
l'obliger à passer par trois points donnés d'abscisses différentes d'un plan.
tin pratique pour la précision du résultat, la connaissance de l'allure de la
courbe est sssontielle, et au voisinage des points, où la courbe change d'aspect
plus ou moins rapidement il faut faire le calcul avec une plus «rende
précision, ot pour cela il est nécessaire d'Introduire do plus petites subdivisions
de l'intervalle. Do toute façon il est utile avant le calcul do su faire une idée
mémo approximative do l'allure do la courbe.
Dans le cas du Calcul approché le schéma de la succession des opérations
est toujours essentiel. Afin d'en donner uno présentation ot aussi de comparer
la précision obtenue avec les diverses formules approchées mises eu évidence-
plus haut nous traitorons les exemples suivants:
P3I/2
1. ^=^ sinxdx^i,
r=10, ^^=0,157 079 63, ^=^=0,078539 81, i^?=0,02617994

282 pH. in. NOTION D'INTEGRALE ET APPLICATIONS
Vi
Vi
Va
Ifi
n
i/o
Vl
ÏS
Vf)
2,
Sin 9°
sin 18°
sin 27°
sin 36°
sin 45°
sin 54°
sin 03°
sin 72°
sin 81°
0,1564345
0,3090170
0,453 9905
0,587 7853
0,707106¾
0,8090170
0,8910065
0,951 oses
0,987 6883
5,8531024
Si
Vi/a
Vs/2
yVa
«V,
»»/«
V»h
ÏJ3/a
»15/,
»»/*
Vie/Z
S* -
atn 4°,5
sin 13°,5
sin 22°,5
sin 31=,5
sin 40°,5
sin 49°,5
sin 58°, 5
sin 07°,5
sin 76°,5
sin 85°,5
0,0784591
0,2334454
0,382 6834
0,522 4986
0,6494180
0,7604060
0,8526/.02
0,923 8795
0,972 3699
0,9969173
6,3727474
Vo
sin 0°
sin 90°
0,000.0000
i,ooo;oooo
Formule des rectangles par défaut
5,8531024,
0,0000000
in g
n
0,767 3861
1,1961198
2 5,8531024 In S
£=0,9194080
1,903 5059
Formule des rectangles par excès
Si
5,853 1024
1,000 0000
In S
, 6 — a
In
n
0,8358873
1,1961198
2 6,8531024 In J
JT^ 1,076 5828
0,032 0071

III-3. COMPLEMENTS SUR LA NOTION D'INTEGRALE DEFINIE
283
Formule des tangentes
Formule des trapèzes
lu 2*
n
0,8043267
ï, 1961198
^2,
11,706 2048
1,000 0000
In 2
. 6— a
,Q~2r
1,1040158
2,8950899
la S 0,0004465
^¾ 1,001 0290
S
2 12,7062048 ln-S Ï.9991057
^.¾0,997 9480
Formule de Poncelet
2¾
— (ya+yio)
-T <»'/»+"W
12,7454948
0,2500000
-0,208 8441
* S
, 6-'a
1«-r—
2»
1,104 7H1
2,8950898
12,726 6507 In S
Jsk 0,999 5487
1,9998039
Formule de Simpson
*2i
«2»
00 + IrtO
11,7062048
25,490 989«
1,0000000
.«"2
. b—a
ln-y—
Ca
1,582 0314
2,417 9685
38,1971944 \aS
S** 1,000 0000
1,999 9099
2. ^=^^^4^-^=4-^2=0.^21982613.
Jo 1-M* 8
n = 10,
6—g 1 &—a 1
2n =i0' 6n ~60'
* Celte formule scia établie dans lo deuxième tome.

2*4
Cil. III. NOTION D'INTÉGRALE ET APPLICATIONS
Vf
n
U3
ï*
Va
'Je
V7
y»
?9
2«
0,0943665
0,1753092
0,240 7012
0,200 0623
0,3243721
0,345 590»
0,3561203
0,3584005
0,354 6154
2,539 5503
y*H
ïs/«
tfs/s
»v»
V*H
Vn/3
Vl3/,
i'is/s
ï»/2
>Jlt/t
s,
0,0486685
0,136 6865
0,2100175
0,267 3538
0,308 9926
0,3364722
0,352 0389
0,3581540
0,357 1470
0,3510273
2,7265583
Uia
0,0000000
0,346 5736
Formule de Poncelgt
Formule de Simpson
2¾
-çk/o+yto) .
1 , \
5,4531160
0,086 0434
—0,0993239
2¾
<2*
yo+Vn
5,0791006
10,906 2332
0,346 5736
5,439 8361
16,331 9074
^ÎS*0'2'19918
£=4^1^0.272198 46-
uO *-J
3. J=Ç'-^- = ln 2=0,693147 18.
n=20,
6—a_ 1 6 — o_ 1
*2» 40' ~6n~~120'

III-3. COMPLÉMENTS SUR LA NOTION D'INTÉGRALE DEFINIE
285
Ul
n
n
>ji
Vu
•Je
Ift
Vs
Ï6
via
Vu
Vi2
013
VU
VU
y%%
Vil
'Jta
Ï1B
S.
0,0523810
0,900 0909
0,8695653
0,833 3333
0,800 0000
0,769 2307
0,740 7407
0,7142857
0,089 6552
0,666 6667
0,6451613
0,625 0000
0,606 0606
0,588 2353
0,5714287
0,555 5556
0,340 5405
0,526 3146
0,512 8205
13,110 6606
»i/»
»Vs
»V»
'Jv*
V>/z
»»/«
ïl3/2
"15/î
»"/»
"">/!
»31/3
!fz3/2
fcs/j
"»/«
02B/2
y3i/3
»3.1/2
Ï3S/2
^'/2
^89/4
s*
0,975 6097
0,9302326
0,888 8889
0,8510038
0,816 3200
0,7843135
0,754 7169
0,727 2727
0,7017543
0,677 9661
0,0557377
Û,6349i07
0,6153846
0,597 0149
0,597 7101
0,5033804
0,547 9451
0,533 3333
0,519 4808
0,5063291
13,8013816
Formule des trapeziis
Vu
Ï20
1,000 0000
0,500 0000
*2«
soi- (/20
2
26,2321332
1,5000000
27,732 1332
0,093 303 33

286
CH. III. NOTION D'INTËGHAXB ET APPÏJCATIONS
Formule de Poncelet
2 27,727 2785
J=~2«*0,693 181 96
Formule de Simpson
22,
■^U/O + Vi!))
-|(»v.+W
27,722 7632
0,375 0000
-0,3704847
*s«
4¾
»0+ feo
26,2321832
55,445 5264
0,5000000
2 83,177 6596
IIT-3-11. Calcul d'une intégrale définie avec une borne Supérieure-
variable. Dans beaucoup de problèmes on est amené à calculer les valeurs des
intégrales définies:
'<*»-£/M
dx
ayant une borne supérieure variablo.
Ayant établi la formule des trapèzes (43), on peut montrer le moyen
suivant pour obtenir des valeurs approchées do cette intégralo, en fait, non pour
toutes les valeurs de x, mais seulement pour celles, qui ont servi à subdiviser
l'intervalle (a, b) en parties, c'est-à-dire:
F (a). F{Xi), Fte) F{xh) F {*„.& F {b).
D'après la formule (43) nous avons:
F{xk)^hhfix)c,^H[J^+...+
2
]■
'«^W + Y^fe f-Ws+i).
(48>
<49>
Cette formule donne la possibilité, ayant calculé la valeur de F (¾). de-
poursuivra jusqu'à la valeur suivante F (xn.t) — F {xk + h).
Il est possible do disposer ce calcul selon le schéma, présenté p. 289.
111-3-12. Méthodes graphiques. Ces calculs peuvent être faits
graphiquement, si la représentation de la courbe y = f (x) est donnée; nous obtiendrons-
ainsi la construction du graphique de la courbe intégrale :
y=^XJ{x)dx=F(x)
à partir de la représentation de la courbe
(50)

>
>
fc
s
a
-
A»
11
e —
" Il
i
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II
24
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Il II II II II II
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Jî W P5 *P »0 ¢0
■h + + + + -h ;
ej ej <a ej « «
O *■' C"4 W> KJl IT5 CS

288 CIT. III. NOTION D'INTÉGRALE ET APPLICATIONS
Avant tout, si nous avons nn nombre suffisant de divisions, nous pouvons
prendre approximativement
T" 2 =Ï»-Va' <51>
c'est-à-diro si la représentation do la courbe (50) est tracée, alors les grandeurs
Fig. 149
-~ sont obtenues immédiatement à partir de la fig. 149, eu tant qu'ordonnées de
la courte pour
, 2A-1 ,
**-!/,=*+—2—*-
Notons sur l'axe OY les points :
^tfoi/,), Ai<!fs/J' A3(Va/.). ■■■> Ah (ïn-ï/s).
Sur l'axe OX ù gauche d» point 0 construisons le segment OP égal à
l'unité. Portons les rayons:
PA„ PAZ, PAS, ..., PAh,
et par les points Me, JW4, M^, . . . leurs parallèles, do sorte que
MtM±\\PA„ M^zHPAz, M.JH3\\PA3, ...
Los points jW0, M,, jlfs, . . . seront dos points de la courbe intégrale
approchée do la chercliéc, ainsi qu'il n'est pas difficile de s'en assurer J partir
de la figure
et cela, «n vertu de l'égalité approchée (51) et do la formule (48), s'écrit:
, yi<.~i + 'jh
xkMh~htel/3+,jt/ti-... -r-ïA_Vî)= h (-^i-
)-*-(**)•
La construction qui vient d'être montrée est pratiquée dans les cas, où
l'échelle pour la fonction F{x) coïncide av«c l'échelle pour / (s).

III-3. COMPLÉMENTS SUR LA NOTION D'INT£GHALT3 DÉFINIE
289
Si l'échelle sort de l'épure, la construction subsiste quand même avec la
seule différence, que le segment OP possède non uno longueur unité mais l, qui est
égale a" rapport de l'échelle pour F (x)
et de l'Échelle pour / {x).
La construction graphique
approchée do l'intégrale répétée
CD (*)=^*(^/(*)<**)
est établie par la formulo des
rectangles j(40) [Il£-3-8].
Posons, comme précédemment, que
F(x)^J(x)dx.
Considérant seulement lea valeurs
xq. 2j, x2, . . ., x„, . . . do la variable
indépondanle x, nous avons d'après la
formule (40) l'égalité approohée:
F (x,) s= Ky6, F[xz)fah(ya+yi)
F(¾) s= A {'j0 + n-t- ■ • ■ T-ÏA-l).
Xj, X, Xa Xj
Tig. 150
Appliquant la même formule pour la fonction <D (¢), nous avons:
« ta,) = h [F (x0) + F (Xi) + ... + F (**_,)] s=
^^lvo-i-(yo-\-Vii+...+(yo+yi-\----+yh-ù]- (52)
D'où découla la_ construction suivante do l'ordonnée <t>(xk) <flg, 150):
ayant construit le point P, comme précédemment, nous reportons sur l'axe OY
les segments:
~-Vu
BzJi3=yz, .... #*-itffc=!ft-i, .-
Traçant les rayons :
PSU PBZ, PB3, .... PJBk,
construisons les points :
en menant
Mç, My, M2, .,,, Mk. ... ,
M^M^PBi, MtMzWPBz,
M^MS || PS3. ...
Ces points seront les points de la courbe approchée cherchée, tracée, loulo-
fois, à l'échelle constante (1 : h), car de cette construction il est clair que:
xiM^hy,,, x2iW2=ftyo+ft(yo+ïi), -• • »
xkMk=ky0-f-h (y0+'ji)-r ... + h(yo+ïi-i- l-»A-i)«=
<D(2fc)
en vertu de (52). SI la longueur OP n'est pas égale h l'unité, mais à 7, la courbe
construite donne l'ordonnée de la courbe Q> (x), modifiée dans lo rapport (1: Ih).
la—28j

290 CH. HI. NOTION D'INTÉGRALE ET APPLICATIONS
Il conviant do noter que malgré la commodité des constructions étudiées, leur
précision n'est pas grande, et on no peut les employer que pour la
comparaison do calculs assez grossiers.
III-3-13. Aires des oourbos à oscillations rapides. Plus haut [III-3-10]
il a été montré quo pour le choix heureux des diverses formules approchée?,
pour lo calcul de l'intégrais définie, il convient do partager la courbe, dont
l'airo est à définir, on parties, dans chacune desquelles olle est monotone.
Cette exigence est toujours difficile pour les courbes, so conduisant irrégu-
lierumont, possédant beaucoup d'oscillations vers le haut et le bas, Pour
Fig. 151
la définition des aires de ces courbes d'après les règles précédentes il convient
d'introduire beaucoup de subdivisions, ce qui compliquerait considérablement
les calculs.
Dans de tels cas il est utile d'appliquer uns autre méthode, notamment
on partageant l'aire en bandelettes, parallèles non pas à l'axe OY mais
à l'axe OX; ppur la détermination approchée de l'aire de la courbe, représentée
sur la fig. 151, portons sur l'axe Or la plus petite et la plus grande des
ordonnées a et P do la courbe et partageons l'Intervalle (œ, P) en n parties selon les
points:
Ho—<*-. vî y,-t< yi, •••. «n-i, ifn=$-
Portant par les joints de division les droites parallèles ù l'axe OX, nous
partageons toute l'aire on bandelettes, composées de parties séparées ; pour
l'expression approximative de l'aire do la ie bandeletto. nous pouvons prendre
le produit de sa baso (yi — m.i) par la somme des longueurs Jj des segments
d'une droite quelconque
ï = 1i (yi-i<1j<!rt),
compris ji l'intérieur do l'aire examinée; cette somme peut être rapidement
déterminée d'après la figure. Ayant désigné cette somme par îj nous obtenons
pour l'aire cherchée 6' l'oxpression approchée do la forme :
Vo{!>~-«) +(Vl—Vo)li-Ki/a—M 'z A b(yn—!fn-i) In,

II1-4. DONNEES COMPLÉMENTAIRES SUE LES INTEGRALES DEFINIES 201
laquelle sera d'autant plus précise que le nombre de divisions sera plus grand
et quo les fluctuations de la courbe seront plus brusques.
Le développement dans les règles do l'idée fondamentale do cette méthode
conduit au concept d'intégrale do Lebosgue, qui est considérablement plus
générât quo le concept d'intégrale de Riomann exposé [I1I-2-1, III-4-3J.
HI-4. Données complémentaires sur les intégrales définies
HI-4-1. Notions préliminaires. Les derniers paragraphes du
présent chapitre seront consacrés à. une sérieuse étude analytique
du concept d'intégrale, et dans le paragraphe suivant nous
montrerons l'existence de la limite définie pour la somme de la forme:
n
et non seulement dans le cas d'une fonction continue. Pour cela* il
nous faut introduire quelques nouveaux concepts, liés à l'étude dès
fonctions discontinues.
Soit la fonction / (x) définie dans un certain intervalle fini
(a, 6). Nous examinerons seulement les fonctions bornées,
c'est-à-dire les fonctions, dont les valeurs dans l'intervalle
mentionné restent en valeur absolue plus petites qu'un nombre défini positif,
c'est-à-dire que la fonction, f {x) est bornée dans l'intervalle (a, b),
s'il existe un nombre positif B, tel que pour tout x de l'intervalle:
mentionné nous ayons:
l/WI<«-
Si la fonction / {x) est continue, alors, comme nous l'avons déjà
mentionné [1-2-11], elle atteint dans cet intervalle la plus grande et la
plus petite valeur et, par suite, bien sûr, est bornée. Au contraire,
les fonctions discontinues peuvent être aussi bien bornées que non
bornées. Plus loin, nous examinerons seulement les fonctions discontinues
bornées. Supposons, par exemple, que la fonction / (x) ait .une
représentation graphique, reproduite sur la fig. 152. An point x = c
nous avons une rupture dans la continuité de la fonction, et la valeur
de la fonction en ce môme point x = c, c'est-à-dire / (c), doit être
déterminée au moyen d'une hypothèse supplémentaire. Aux autres
points de l'intervalle, y compris les extrémités a et b, la fonction
est continue. En outre, en ce qui concerne la manière dont la
variable x tend vers la valeur x = c à partir des valeurs
inférieures, c'est-à-dire à gauche, l'ordonnée / (x) tend vers une limite
définie, représentée géométriquement par le segment NMi-
De même, en ce qui concerne la manière dont x tend vers c
à partir des valeurs supérieures, c'est-à-dire à droite, / {x) tend aussi-
19fc

292 CH. III. NOTION D'INTEGHALE ET APPLICATIONS
vers une limite définie, représentée par ]e segment NM%, mais cette
dernière limite diffère de la limite à gauche mentionnée plus haut.
On désigne habituellement la limite mentionnée à gauche par le
symbole / (c — 0), et la limite à droite par le symbole / (c + 0)
[1-2-8], Cette rupture la plus simple de la continuité de la fonction
pour laquelle existent des limites extrêmes définies soit à gauche, soit
à droite, s'appelle discontinuité du premier ordre. La valeur de la
fonction en ce même point x — c, c'est-à-dire / (c), différera,
généralement, aussi bien de / (c — 0) que de / (c -j- 0) et devra être
l
NJ
m
-»-*
Fig. 152
Fig. 153
déterminée par une information complémentaire. Si la fonction est
continue dans l'intervalle (a, b) y compris les extrémités, à l'excop-
tion'd'un nombre fini de points, pour lesquels elle possède des
discontinuités du premier ordre, le graphique d'une fonction se
compose d'un nombre fini de courbes, continues jusqu'à leurs
extrémités, et de points isolés aux endroits de ruptuce de continuité
(fig. 153). Une telle fonction, malgré sa discontinuité, sera,
évidemment, bornée dans tout l'intervalle. Bien entendu, des fonctions
avec des discontinuités plus complexes pourront être bornées.
Plus loin, nous examinerons fréquemment les ensembles de
toutes les valeurs, que n'importe quelle fonction / (z) prend dans
un intervalle donné de variation de la variable indépendante. Si la
fonction prise est bornée dans l'intervalle examiné, alors l'ensemble
de ses valeurs dans cet intervalle est limité vers le haut et vors le
bas, c'est pourquoi cet ensemble possède toujours des bornes,
supérieure et inférieure [1-2-15]. Si, par exemple, / (x) ost continue
dans l'intervalle considéré (fermé), alors, comme on le sait [1-2-11],
elle atteint dans cet intervalle la plus grande et la plus petite
valeur. Dans le cas présent, ces valeurs de la fonction seroat les
bornes supérieure et inférieure des valeurs de la fonction / (.*)
dans l'intervalle examiné.
Considérons un autre exemple : si la fonction / (x) est une
fonction croissante, alors elle possède la plus grande valeur à
l'extrémité droite de l'intervalle et la plus petite valeur à l'extrémité

MI-4. DONNEES COMPLEMENTAIRES SUR LES INTEGRALES DfiWNIES 293
gauche. Ces valeurs, de même que dans le cas précédent, seront
les bornes supérieure et inférieure des valeurs de / (x). Dans les
deux exemples examinés les bornes de la fonction apparaissaient
elles-mêmes comme des valeurs particulières de la fonction,
c'est-à-dire qu'elles appartenaient elles-mêmes à l'ensemble examiné
des valeurs de la fonction. Dans les cas plus complexes d'une
fonction discontinue les bornes de la fonction peuvent ne pas
apparaître elles-mêmes comme des valeurs de la fonction, c'est-à-dire
peuvent ne pas appartenir à l'ensemble des valeurs de la
fonction.
Soit m la borne inférieure de l'ensemble des valeurs de la
fonction bornée / (x) dans un intervalle fini quelconque (a, b) et M leur
borne supérieure, Prenons un nouvel intervalle (a', V), qui
apparaisse comme une partie du précédent intervalle (a, b).
Soient m! et M' les bornes inférieure et supérieure do
l'ensemble des valeurs de f (x) dans le nouvel intervalle (a',b').
Gomme l'ensemble des valeurs de / (x) dans l'intervalle (a', b') se
trouve parmi les valeurs de / (x) de l'intervalle plus large (a, b), on
peut affirmer que m' ^ m et M' ^ M, c'est-à-dire que :
L e m m e 1. Si on substitue à un intervalle quelconque une partie
de cet intervalle, alors la borne supérieure des valeurs de la fonction
f (x) ne peut augmenter, ni la borne inférieure diminuer.
I1I-4-2. Découpage d'un intervalle et formation de diverses
sommes. Soit un intervalle fini (a, b) découpé en un nombre fini de
parties par les valeurs intermédiaires de x :
a = i0<*)<«2< ... <Xh-i<Zk<i ■■ • <zre-i <•£« = &• (1)
Nous désignerons ce découpage par une seule lettre Ô; les
valeurs x^ sont appelées les points de division de 6. Pour divers
découpages le nombre d'intervalles partiels et les points de divisions
sont, eu général, différents. Désignons la longueur des intervalles
partiels pour le découpage (1) par: 6¾ = x^ —œj-j {A = 1, 2, ...
. . ., n). Soit / (x) une fonction bornée donnée sur l'intervalle (a, b).
Ecrivons la somme correspondant au découpage 6 (1) dont la limite,
si elle existe, donne l'intégrale définie de f (x) sur
l'intervalle {a, b):
0(6,60-2 /(&)«*• <2)
ftn=i
Elle dépend de ô et du choix des points |ft. Considérons l'ensemble
des valeurs de / (x) dans l'intervalle (xh-i, xh). Comtno / (œ) est
bornée, cet ensemble est aussi borné. Désignons par mh la borno
inférieure et par M\ la borno supérieure des valeurs de / (x) dans

294 CH. III. NOTION D'INTÉGRALE ET APPLICATIONS
l'intervalle (xt,~i, xh) (k = 1, 2, , . ., n) et remplaçons dans les
termes de la somme (2) / (|ft) par m;, et par Mft. Nous obtenons
deux sommes ne dépendant que du découpage 6 de l'intervalle (a, b) :
s (0) = S m„Ôfc; 5(6) = 2 MA. (3)
11 découle immédiatement de la définition de m^ et M^ que
Wfc</(S*)<MS,
d'où, comme 6¾ est positif, nous tirons
s(ô)<a(Ô,£ft)«S(ô). (4)
Soit encore, comme plus haut, m et M les bornes inférieure et
supérieure de / (x) sur tout l'intervalle (a, b). Utilisant le lemme 1,
on voit aisément que les inégalités
m<roft<Mft<JW, ft=l, 2 n, (5)
sont vérifiées et qu'en outre, évidemment,
2 6/1=2 (Xh—xk-i) — b — a.
Multipliant les inégalités (5) par les nombres positifs 6¾ et sommant
sur k de k = 1 jusqu'à k = n, nous obtenons
m (6 —œ)<s (6)<M (6 —a),
m (b—œ)<5 (ô)<M (6—a),
autrement du, l'ensemble des valeurs s (ô) et 5 (ô) pour tous les
découpages possibles ô est borné inférieurement et supérieurement.
Désignons par la lettre i la borne supérieure de l'ensemble des
valeurs de s (ô) et par la lettre I la borne inférieure des valeurs
S (ô) pour tous les découpages possibles ô :
sfi<£, S6>I. (6)
Notons que la différence non négative M — m est d'habitude appelée
Voscillation de la fonction f (x) sur l'intervalle (a, b). La différence
Mk — mk est l'oscillation de la fonction / (x) sur l'intervalle
(xh-i, xk).
Introduisons maintenant certaines notions nouvelles. Nous
appellerons le découpage ô' de l'intervallo («, b) prolongement du
découpage 6, si chaque point de division de 6 est un point de
division de ô'', aulrement dit, ô' est obtenu à partir de ô en ajoutant
de nouveaux points de division (si ô' n'est pas identique à ô). Si ôj
et Ô2 sont deux découpages, nous désignerons comme leur produit

BJI-4. DONNEES COMPLÉMENTAIRES SUR LES 1KTÊ01ULES DÉ UNIES 295
le découpage de {a, b) dont les points de division s'obtiennent en
réunissant les points de division de ôj et de ô2. Nous désignerons
le produit des découpages par Ôiô2. Cotte notion peut être
appliquée également au cas de plusieurs facteurs. Le découpage ôiôî
est évidemment un prolongement du découpage ô( comme du
découpage ô2.
L e m in e 2. Si le découpage ô' est le prolongement du
découpage ô, alors s (ô) < s (6') et S (ô) > S (6').
Quand nous passons de Ô à ô', chacun dos intervalles (*»_i, xh)
de la subdivision ô peut être scindé en plusieurs parties. Posons
par exemple que cet intervalle se scinde en trois parties (a^-i,ak),
(«a. Pfc) et (P»7 £*) de longueurs respectives 8JJ1 = ak — xh-u
ôj," = P*-a* 6Jf> = a:A-§ft> et soit MJ?>, Mp, M',? les
bornes supérieures de l'ensemble des valeurs de f (x) dans
les intervalles précités. En vertu du lemme 1: Mft\ Mff et
Mf> < Mh, et la somme ÔT + 6J? + 6?> = 6„ = afc - aA_j.
Le terme Mftôj, de la somme 5 (ô) lors du passage à ô' est remplacé
par la somme de trois termes:
et, en vertu de ce qui a été dit plus haut,
M W + Wfijf + M W « Mh (Ôp + Ôjf» + ôj?') = MA,
autrement dit, quand on passe de ô à 6', chaque terme Mjfin de la
somme est soit remplacé par une somme finie, qui est inférieuro
ou'égale à Mtfik> soit reste inchangé. Il en découle précisément
que' S (S) ;> S (6'). Exactement de la même façon on démontre
que s (ô) <£j s (ô') et le lemme est démontré.
Prenant en considération que mh <J Mk et ôft sont positifs
on voit aisément que pour un même ô nous avons s (ô) <gj S (S).
Montrons que cette même inégalité a lieu également pour n'importe
quels découpages.
L e m m e 3. Si ôj et ô2 sont deux découpages, alors s (ôj) <J S (ô2).
Considérons le produit Siô2 des découpages ôt et ô2. Comme ôjôs
est le prolongement de ôt et 62. il découle du lemme 2 que s (ôiôz) Jt-
> s (ôj) et S (ôiô2) < S (ô2) et, utilisant l'inégalité s (ô,62) <
<£ S (é|ô2), nous obtenons s (ôi) -^ S (ô2). Le lemme est démontré.
11 découle immédiatement de ce lemme que la borne supérieure i
de l'ensemble des valeurs s (ô) pour tous les découpages possibles ô
et la borne inférieure I de S (ô) vérifient les inégalités
sXÔ)<i</<5|(6). J(7)
Occupons-nous maintenant^,des sommes 0"{ô, g„) qui vérifient
lesjnégalités (4). Pour un découpage fixé ô en vertu de la
définition de mh et M), on peut pour tout k choisir £& de sorte que / (|4)

290 CFT. III. NOTION D'INTEGHALE ET APPLICATIONS
soit aussi près que l'on veut de Mk ou même (en certains cas)
coïncide avec Mh, autrement dit, on peut choisir |A de sorte que la
somme a (6, |A) soit arbitrairement proche de S (ô) et même en
certains cas que a (ô, %&) coïncide avec S (ô). D'autre part en vertu
de (4), <J {6, |ft) ,^: S (ô). Il en découle que S (ô) est la borne
supérîeuro des valeurs de a (ô, |ft) pour tous les choix possibles
de 5¾. On démontre d'une manière analogue que s (ô) est la borne
inférieure des valeurs de <j {6, £;,), autrement dit, a lieu:
L e m m e 4. Pour un découpage fixé ô la grandeur s (ô) est la
borne inférieure des valeurs de <j(ô, |ft) pour tous les choix possibles
de gft, et S (6) est la borne supérieure de l'ensemble des valeurs de
O" (Ô, %h) pour les mêmes conditions.
IU-4I-3. Fonctions intégrables. Indiquons maintenant la
condition nécessaire et suffisante do l'existence de l'intégrale d'une
fonction bornée / (x) ou, comme il est admis de dire, la condition
nécessaire et suffisante d'intégrahilifcé de f (x). Nous désignerons
par la snite par u, (ô) la plus grande des longueurs des intervalles
partiels entrant dans la subdivision ô.
Théorème. Une condition nécessaire et suffisante d'intégrabi-
lité de- la fonction bornée f {x) sur un intervalle fini (a, b) est que
la différence
S (Ô)-s (6) = 2 (Jlfk-m»)ôfc (S)
tende vers zéro quand u, (Ô) tend vers zéro.
En d'auti'es termes, cette condition, que nous appellerons la
condition A, consiste en ce qui suit: pour tout nombre positif
donné e, il existe un nombre positif n tel que la différence:
6'(ô)-s(6)<:8, si u.(ô)<*i,
soit non négative.
La condition est suffisante. Supposons que la
condition A du théorème soifc vérifiée, autrement dit, S (ô) —
— s (ô) -+- 0 quand u, (ô) -*-0. Alors il découle de (7) que /. = I et
que s (ô) et S (6) tendent vers / quand u, (S) -»- 0.
Il en découle, compte tenu de (4), quo la somme <r (ô, 1^) tend
vers / pour- u, (ô) -»- 0 et pour tout choix de |ft. Plus exactement,
| / — a (6, §*) | < e quand p, (ô) <-n, et n >0 est déterminé par
la valeur donnée de e > 0. Ainsi nous avons démoutré que / (x)
est intêgrable et que lo nombre / est la valeur de l'intégrale. La
condition À est donc suffisante.
La condition est nécessaire. Supposons que / (x)
soit iittégrable. Démontrons quo la condition A est remplie.
Désignons par /0 la valeur de l'intégrale de / (x). Par définition nous

tII-4. DONNEES COMPLEIWENTAIItES SUR MSS IXTfiGRALES DÊMNIES 2Q7
aurons alors: pour tout e >-0 il existe un nombre n >0 tel que
|o(6,Ê„)-/0|<-f-, si |»(fi)<T) (9)
pour n'importe quel choix de |ft. En vertu du lemme 4, pour tout ô
fixé il est possible d'effectuer le choix de §& = sft et is = iL
de sorte que
la{6,K)-»(fi)|<|
et
|a(ô,rft)-S(6)l<T- (10>
Nous pouvons écrire
5(8)-»(6) = [J(«)-o(6,Ëk)] + [a(Ô,S)-/0] +
+ I/i-a(ô,K)]+Iff(6,6y-»(%
d'où, en vertu de (9) et (10), nous obtenons pour |x(ô)<t]
|5(ô)-S(ô)|<|5(Ô)-cr(ô,|s)H-|a(Ô,iJ)-/„| +
+ !/.-«»(«, Ei)| + |o(«,5i)-«(6)l<-ï-+T + |- + -T=e.
autrement dit, | S (ô) — s (ô)| < e quand jj, (ô) < n, ce en quoi
consiste la condition A. La condition est donc nécessaire,
Remarque 1, Il découle de la démonstration du fait que
la condition A est suffisante que i = I quand la condition A est
remplie, et que dans ce cas la valeur de l'intégrale est égale à /.
C est pourquoi il découle du fait que la condition A est nécessaire
que l'égalité i = / est une condition nécessaire do l'intégrabilité.
Remarque 2. On peut montrer que pour toute fonction
bornée / (x) nous aurons : s (ô) ->■ i et S (ô) ->■ / quand u. (ô) -*■ 0.
11 en découle que sii = /, alors (S (ô) — s (ô)) -»- 0 quand \x (ô) -»- 0,
et par conséquent l'égalité i = I est non seulement nécessaire,
mais aussi suffisante do l'intégrabilité de j (x).
I. Si / (x) est continue sur l'intervalle fermé (a, &), elle est
uniformément continue sur cet intervalle. En outre, sur chacun
des intervalles (£4-1, Xh) elle atteint sa plus petite valeur mj et sa
plus grande valeur Mk. En vertu de la continuité uniforme de / (x)
pour tout e >.0 donné, il existe un n >0, tel que O <; Mk — mh <
< ^ , si p (Ô) < n. Alors
n n n
0<2 (Afk-«*)6»<2 rbô*-î=ïS 6"=^(ô-œ)=«.
ft^l fe»l ft=i

298 CH. IJI. NOTION D'INTËGRALE ET APPLICATIONS
autrement dit, 5 (ô) — s (ô)< e, si u.(ô)<t]. Ainsi, la
condition A est remplie et, par conséquent, toute fonction continue est
intêgrable.
II. Supposons maintenant que la fonction bornée f(x) possède un
nombre fini de points de discontinuité. Pour fixer les idées nous
supposerons que / (x) possède un point de discontinuité x = c situé
à l'intérieur de (a, b). Notons avant tout que les différences Mt — m*
sur chaque intervalle partiel ne dépassent pas l'oscillation M — m
de la fonction sur l'intervalle (a, b) tout entier:
Mh—mk<M—m, ft='l, 2, ..., ». (11)
Soit un nombre positif donné e. Isolons le point c du segment (a, b)
à l'aide d'un petit intervalle fixé (ait bi) (fig. 154) tel que a < œt <
< c < b; < 6 et 6i — œt < e. Sur les intervalles fermés (a, «i)
O O O u — O
a a, c ù, d
Fig. 154
et (6, l)±) la fonction / (x) est continue et par conséquent uniforme-
mont continue. C'est pourquoi pour chacun de ces deux intervalles
il existe un nombre n tel que \f (x") —f (x') | < e, si x' et x"
appartiennent à (a, «i) ou (fej, b) et | x" — x | < n. Les nombres n peuvent
s'avérer différents pour (a, at) et (bu b), mais si nous choisissons
le plus petit de ces deux nombres n, il sera valable pour les deux
intervalles. Soit ô" un découpage arbitraire de (a, b) tel que le u. (6)
qui lui correspond est plus petit que les nombres n et e:
h(ô)<t| et u.(ô)<e, (12)
autrement dit, est plus petit que le plus petit de ces deux nombres n
et .
Evaluons la somme (8), correspondant à un tel ô et constituée
de termes non négatifs. Divisons les intervalles (xk~i, xh)
appartenant à ô en deux classes. Nous rapporterons à la première classe
ceux qui.font intégralement partie de (<z, <zj) ou (6lt b) et à la
deuxième classe les autres intervalles partiels de ô. Ce seront les
intervalles (Xfc-i, xh) qui soit appartiennent à (%, fcj), soit ont avec
cet intervalle une partie commune. La somme des longueurs blt
des intervalles de la première classe est évidemment inférieure
à (6 — a), et cette somme pour les intervalles de la seconde classe
est inférieure à 3e. Cela découle de l'inégalité b> — at < e, de la
deuxième inégalité (12) et du fait que le nombre des intervalles
de ô recouvrant partiellement (ait bt) est au plus égal à deux.

111-4. DONNÉES COMPLÉMENTAIRES SUR I.ES INtflGRALKS DÉFINIES 299
Ensuite pour les intervalles de la première classe en vertu de la
continuité de / (x) sur (a, ai) et (6j, b) de la première inégalité (12)
et de la définition du nombre t] nous avons Mj — mu < e. Pour
les intervalles de la seconde classe nous utiliserons l'inégalité (11).
Ainsi, nous avons pour la somme sur les intervalle» de la
première classe :
S(Mft—m.ft)ôfc<eSôk<e(6-.a)
î i
et pour les intervalles de la seconde classe:
2 (Mk — mh) ôft < (M - m) S ô* < (M—m) 3e.
En définitive,
^={Mk-mk)6h<B[(b-a,) + 3{M-m)], (13)
si (i (ô) vérifie les inégalités (12). Les crochets du second membre
de (13) est un nombre déterminé et en prenant en considération
la possibilité de choisir arbitrairement le nombre positif b nous
pouvons affirmer que la condition A est remplie, autrement dit
que toute fonction bornée f (x) possédant un nombre fini de points
de discontinuité est intégràble.
III. Considérons le cas où / (x) est une fonction monotone bornée
sur le segment fini (a, b). Pour îixer les idées nous supposerons que
f (x) n'est pas décroissante, c'est-à-dire crue /(ci) •< / (cz), si c, < c2.
Alors sur chaque intervalle (xk-i, xk) nous avons mj, = f (^a-i)
et Mh = f (xk). Il en découle que
S(ô)-s(Ô)=2] (Af»-m»)«»-2 [/(**)-/(**-«)] h-
Mais ôft<u.(ô) et les différences f(xk)—f(zh-i) ne sont pas
négatives ; par conséquent,
S (fi)-»(«)<|» (8) S [/(*»)-/(**-!)]■
Considérant que
| l/(*k)-/(«*-,)l»I/(a!i)-/(a)] +
+ [/(*ï)-««i)]+--.+[/(6)-/(«^)l«/(*)-/(a).
nous obtenons
S(ô)-s<Ô)<[/<6)-/(«)]n(Ô),

300 «T. m. NOTION D'INTEGRALE ET APPLICATIONS
d'où il découle que
6'(Ô)-S(ô)<e> Si HW< ;(»)!/(a) PO« /<&)>/(a).
Si /(/>) —/(°)i alors /(¾) est constante.
Donc, toute fonction bornée et monotone est une fonction inté-
grable.
Remarquons que la fonction monotone peut avoir une quantité
innombrable de points de discontinuité, de sorte que le cas (III)
n'était pas entièroment compris dans le cas (II). Comme exemple,
nous pouvons prendre la fonction, égale à zéro pour 0 -s^ x < — ,
égale à -g- pour y < a: <-*-> égale à -*-pour j^ï<t, etc-. et enfin
égale à 1 pour .¾ = 1. Avec cette fonction non décroissante, nous
aurons pour les points de discontinuité dans l'intervalle (0,1) les
valeurs
_ i _2_ _1 4
T~ 2 ' 3 ' 4 * "5"' •••
Nous nous rappelons à ce sujet qu'une fonction monotone et
bornée doit posséder en chaque point de discontinuité x =■ c. les
limites / (c — 0) et f (c + 0). Cela découle immédiatement de
l'existence de la limite d'une suite monotone et bornée de nombres
II-2-61.
Pour obtenir les conditions d'intégrabilité nous avons toujours
supposé / (s) bornée. On peut démontrer que cette condition
apparaît ne pas ôtre une condition nécessaire d'intégrabilité, autrement
dit d'existence d'une limite définie de la somme (2). Si cette
condition de limitation n'est pas remplie, on peut dans certains cas.
définir l'intégrale de / (x) dans l'intervalle (a, b), mais non connno
une limite do somme (2). Dans ce cas l'intégrale est dito impropre.
Les bases de l'étude do l'intégrale impropre ont été exposées [III-2-4J.
Cela sera étudié en détail dans lo deuxième tome.
Si l'intervalle d'intégration (a, b) n'est pas fermé à l'une ou
aux deux extrémités, alors le concept d'intégrale définie dans un
tel intervalle ne conduit pas immédiatement à la limite d'une
somme de type (2). Dans ce cas, nous avons aussi une intégrale
impropre (cf. [IIÎ-2-5] et le deuxième tome).
III-4-4. Propriétés des fonctions intégrables. Utilisant la
condition nécessaire et suffisante énoncée plus haut, il n'est pas
difficile de faire apparaître les propriétés fondamentales des fonctions
intégrables.
I. Si f (x) est intégrable dans V intervalle (a, b) et si nous remplaçons
arbitrairement les valeurs f (x) d'un nombre fini de points de (a, b).

1II-4. DONNEES COMPLÉMENTAIRES SUH 1053 INTÉGRALES DÉ1HN1ES 301
alors la nouvelle fonction sera aussi intégrable dans (a, b) et la
grandeur de l'intégrale qui en résulte ne sera pas modifiée.
Limitons-nous à la considération de l'exemple particulier, où
nous avons changé la valeur de / te) en un seul point, par exemple
au point as = a. La nouvelle fonction cp te) coïncidera partout
.avec / (x), sauf pour x = a, avec <p (a) de valeur arbitraire. Soit m
et M les bornes inférieure et supérieure de / (x) dans; (a, b). La
borne inférieure de cp (x) sera, évidemment, plus grande ou égale
à m, si <p (a) >■ m, et sera cp (a) si y (a) < m. De même, la borne
supérieure de <p (x) sera plus petite ou égale à M, si cp (a) <J M
et sera cp (a) si cp (a) > M. Comparant la somme (12) pour / (x)
et cp (x), nous remarquons que la différence peut être. seulement
dans le premier terme (pour h = 1). Mais ce premier terme,
évidemment, pour / (x) et cp (x) tend vers zéro, puisque ôj -*■ 0 et que
(Mi — mi) est borné. La somme des termes restants, sauf le
premier, naturellement, tend aussi vers 2éro, parce que / te) ost
intégrable et que toute la somme (8) pour / (x) doit tendre vers zéro.
L'intégrabûité de cp (x) est démontrée. La coïncidence des valeurs
de l'intégrale pour / (x) et <p (x) est évidente, car pour
l'établissement des sommes (2) nous pouvons toujours considérer g, différent
de a, et les valeurs / (x) et cp (x) en tous ces points, excepté pour
x — a, coïncident.
II. Si f te) est intégrable dans l'intervalle (a, b), alors elle est
intégrable dans n'importe quel intervalle (c, d), constituant une partie
de (a, b).
Cela découle aisément du fait que la somme (8) composée de
termes non négatifs n'est pas supérieure pour l'intervalle (c, d)
à cette somme pour (a, b) à condition que dans cette dernière somme
x = c et x — d sont des points de division.
Comme / (x) est intégrable sur (a, b), la somme (8) pour (a, b)
tond vers zéro lorsque (.i (ô) -> 0 pour tous les points de division.
C'est pourquoi, à plus forte raison, la somme pour (c, d) tend vers
zéro, si (i (ô) -*- 0 pour les intervalles partiels de (c, d), autrement
dit, / (x) est intégrable sur (c, d). Remarçuons que c peujt coïncider
avec a et d peut coïncider avec b. On démontre exactement comme
dans [III-2-1Î l'égalité:
llf(x)dx = leJ (x) dx + £ / te) dx (a < c < b),
III. Si f (x) est intégrable dans (a, b) alors cf (x), pour n'importe
quelle constante c, est aussi intégrable dans (a, b).
Considérant, par exemple, c >0, on peut affirmer1 que pour
la fonction cf (x) il fant remplacer les anciens mk et Mh par cm^
et cMk- La somme (8) acquiert seulement le facteur c et tendra

302 CH. III. NOTION D'INTEGRALE ET APPLICATIONS
comme précédemment vers zéro. La propriété V de [ItI-2-1],
naturellement, se conserve et se démontre comme d'habitude.
IV. Si fi (x) et /2 (x) sont des fonctions intégrables dans (a, b),
leur somme
est aussi tntégrable sur (a, b).
Soient m.k, M'k, ml, M\ les bornes' inférieures et
supérieures de /i (x) et /2 (x) dans l'intervalle (xh-u xk)- De cette façon,
toutes les valeurs de /i (x) dans l'intervalle (x),-i, x^) sont
supérieures ou égales à mi, et toutes les valeurs de /, (x) sont de même
supérieures ou égales à m"k. D'où cp (x) >- m'k -f- m^ dans
l'intervalle (xk-u xh).
De la même façon, on démontre que <p (x) ^ M h 4- Mu dans
l'intervalle (Xh-i, arA). Désignant par mj et Mh les bornes inférieure
et supérieure de cp (x) dans l'intervalle (xh-i, Xk)t nous avons
donc '.
Wft >m'k + m"k et Mh <M'k + M"k,
d'où il résulte l'inégalité :
Mh— mh^(Mh + M"h)~ (m'k + mi),
c'est-à-dire
Mh—mn<(M'k—m'k) + {M'k-mrk).
Etablissant la somme (8) pour cp (x), nous obtenons :
0<'^{Mh-mll)àh<'Z_ (MÂ-TOfc)ôft+^ {Ml-mD&k.
Les deux sommes du second membre tendent vers zéro pour
u (6) -»- 0 car les fonctions /( (x) et fi (x) sont supposées intégrables.
Par conséquent, la somme (8) pour <p (x), c'est-à-dire la somme
| ^Mk-rn^ô,,,
tend à plus forte raison vers zévo, c'est-à-dire quo <p (x) est aussi
intégrable, La démonstration s'étend facilement au cas de la somme
algébrique d'un nombre fini de termes. La propriété VI de (111-2-1(
se démontre comme précédemment.
Par analogie avec ce qui précède, on démontre les propriétés
suivantes :
V. Le produit ft (x) /a (x) de deux fonctions Intégrables dans
(a, b) sera aussi une fonction intégrable sur (a, b).
VI. Si f {x) est intégrable dans (a, b) et si les bornes inférieure
et supérieure m et M de la fonction f (x) sur (a, b) sont d'un
seul et même signe, alors —-. est une fonction intégrable sur (<z, b).

11I-S. DONNÉES COMPLEMENTAIRES SDR LES INTEGRALES DÉFINIES 303
VII. Si f (x) est intégrable sur (a, b), alors sa valeur absolue
| / (x) | est aussi une fonction intégrable dans (a, b).
L'inégalité (10) de [III-2-2] peut être démontrée, comme plus
haut. La propriété VII de [1II-2-2] apparaît également juste, si
/ (*) et <p (x) sont dos fonctions intégrables. Le théorème de la
moyenne s'énonce ainsi:
Si f (x) et q> (x) sont intégrables dans l'intervalle (a, b) et si (p (x)
conserve le mime signe dans cet intervalle, alors
^/(a;)<p(a;)cte = n^(f>(a;),
où (i est un certain nombre, satisfaisant à l'inégalité m <J [i <J M, m
et M étant les bornes inférieure et supérieure de f (x) dans {a,b).
En particulier,
\ f(x)dx — ^,(b — a).
La démonstration sera semblable à celle faite plus haut EIII-2-21.
Utilisant cette formule, il n'est pas difficile d'établir que
F(x) = \*f{t)dt
est une fonction continue de x, et F' (x) = / (x) pour toutes les
\aleurs de x, où f (x) est continue. Etablissons enfin la formule
fondamentale du calcul intégral pour les fonctions intégrables. Soit
Ft (x) une fonction continue dans l'intervalle (a, b) telle que pour
mie valeur quelconque de x » l'intérieur de l'intervalle (a, b) il
existe une dérivée F[ (x) = / (x) où / (x) est une fonction intégrable
dans (a, b).
Dans ces conditions, on a la formule essentielle
l"j(x)dx^.F1(b)-Fi{a).
Découpant l'intervalle en parties et prenant dans chaque partie
(£),_!, Xfr) la formule des accroissements finis [II-3-7], nous pouvons
écrire •.
*ite)-*i(*M)-*;(»)«»-/(&0«A (*k-i<&i<afc). (14)
Ensuite, sommant sur A et gardant à l'esprit que (III de [111-4^31) :
|^ ^ [Ft (xk) - Ft (*^)] = F1(b)~Fl (a),
nous obtenons :
*i(fc)-*i(a)=2 /(!»)«*•
ft=.i

304 CH. III. NOTION D'INTÉGRALE ET APPLICATIONS
Cette égalité est vraie pour n'importe quel découpage de
l'intervalle (a, b) en parties vu le choix particulier des points g/„ défini
par la formule des accroissements finis (14). Passant à la limite, nous
obtenons à la place de la somme l'intégrale :
^, (6)-.¾ («)-£/(*)<fe,
ce qu'il fallait démontrer. Remarquons que pour la détermination
de l'intégrale les valeurs de f (a;) aux extrémités de l'intervalle
(a, b) ne jouent aucun tôle, en vertu de la propriété I du présent
paragraphe.

Chapitre IV
LES SÉRIES, APPLICATIONS
AUX CALCULS APPROCHÉS
IV-l. Notions sur la théorie des séries infinies
IV-1-1. Notion de série infinie. Soituno suite infinie de nombres:
Mj, U2, U3, . . . , M», . . . (1)
En écrivant la sommo des n premiers termes do la suite
s« = !i1 + w2+ .... + !%, (2)
nous obtenons une nouvelle suite infinie de nombres :
Sj> S21 ■ - « t £711 ■ - »
Si cette suite tend vers une limite (finie)
s=lims„,
n-+oo
on dit que la série infinie
«! + u2+... + «„ + ... (3)
converge et a une somme s telle que :
5=^ + 1^+...+^,+ .., (4)
Si s„ ne tend pas vers une limite, on dit que la série infinie (3)
diverge.
Autrement dit, la série infinie (3) est convergente si la somme de
ses n premiers termes tend vers une limite lorsque n croît indéfiniment
par tous ses nombres entiers etpositifs, et cette limite s'appelle la somme
de la série considérée.
On. peut parler de somme d'une série que dans le cas où la série
converge, et alors la somme des n premiers termes de la série s„
est une expression approchée do la somme s. L'erreur r„ commise
en faisant cette approximation est donnée par la différence
rn t= s— snt
qui s'appelle reste de la série.
Il est évidont que la reste rn est à son tour la somme d'une série
infinie qui ost obtenue à partir de la série (1) en supprimant les n
20-281

30() CH. IV. LES SERIES, APPLICATIONS AUX CALCULS APPROCHES
premiers termes
^1=1^+1 + ^+2+ • • • +«71+/.+ • •.
La valeur exacte de cette erreur reste inconnue dans la plupart
des cas et c'est pourquoi son estimation approchée est très importante.
Le cas le plus simple de série infinie est donné par la progression
géométrique:
a+aq + aqi+ . .. + aqn~1+. .. (a^O). (5)
Examinons plus particulièrement les cas où :
I«I<1. Iel>i. ? = *> ?=-i-
Nous savons [1-2-3] que pour | q [ < 1 la progression
géométrique a une somme finale s= -—- et c'est pourquoi on a une série
convergente, en effet:
sn = a + aq+...+aqn'l=a~^1 ,
a. a— aqn ai/'
1—q 1—g 1—8
et s — sn -s- 0 lorsque n -*■ oo, car q" -y 0 lorsque | q | < 1 11-2-2],
Pour | ? | ;>1 il résulte de l'expression de sn que sn -> oo lorsque
n -»- oo, car q" -*■ oo pour [ q | >-l [1-2-5]. Pour q = 1 nous avons
s„ = an et il est évident que sa -*- oo également. Ainsi pour j g | :> 1
et g = 1 la progression géométrique diverge. Pour q = — 1 nous
avons la série :
a—a-\-a — a+ ...
La somme s„ des n premiers termes est nulle si n est pair, mais
elle est égale à a si « est impair, autrement dit la série ne tend pas
vers une limite, elle diverge; toutefois, contrairement aux cas
précédents, pour toute valeur de n cette somme reste finie, car elle
ne prend que les valeurs 0 et a.
Si la valeur absolue de la grandeur sn, somme des n premiers termes
de la série (3) tend, vers l'infini lorsque n croît indéfiniment, on dit
que la série (1) est strlctemeut divergente. Par la suite, en parlant
de la série strictement divergente, nous mettrons pour simplifier,
série divergente.
rV-i-2. Propriétés des séries infinies. Les séries infinies
convergentes jouissent de certaines propriétés qui permettent de les
traiter ccrtnme s'il s'agissait de sommes finies.
I. Si la série
"i + «ï+---+!'n+ ■••
a une somme s, la série
aut+auii+ ...+au„+ ..., (6)

1V-1. NOTIONS SUR LA THÉORIE DES SËIUES INÏIN'IES 307
obtenue à partir de la série précédente en multipliant tous les termes
par un même nombre a, a une somme as, car la somme art des n
premiers termes de la série (6) est
cr„ = au, + auz -+-... + aun = asn,
et c'est pourquoi
iinfi 0"„ = Mm asn = a liin s„ = as.
II. Les séries convergentes peuvent être additionnées ou soustraites
terme à terme, c'est-à-dire que si Von a
W1 + W2+ ■■■+«»+ ■■.=*,
vt+vz+...+vn+...=o,
alors la série
fa ±vt) + (us ±v*)+ ... +{un ±vn)+ ■■• (7)
converge également et sa som,me est égale à s ± <j, car la somme des n
premiers termes est ;
("L ± V|) + ("2 ± f2) + • • - + ("n ± »n) =¾ ± <Jn-
Les autres propriétés de la somme toiles que la commutativité,
les règles de multiplication de deux sommes l'une par l'autre, etc.,
appliquées aux séries infinies, seront étudiées un peu plus tard,
au paragraphe [IV-3Î. Notons pour l'instant qu'elles ne sont pas
valables pour toutes les séries. Il est évident que la
commutativité est valable pour toute série convergente, c'est-à-dire
que Ton peut regrouper n'importe quels termes voisins. Ceci revient
à ne prendre que des ensembles s„fc an lieu de tous les sn (n = i,
2, 3, . . .), ce qui ne change pas la limite « [1-2-31.
III. La propriété de converger ou de diverger d'une série ne sera
pas perturbée si Von retranche ou si Von ajoute quelques termes au
début de la série.
En effet, examinons deux séries:
"1 + »2-f »*+»»+ ■ ■ ■>
«3+ "4-1-% +"■()+■ ■•
La deuxième série est obtenue e,n retranchant deux termes à la
première. Si l'on désigna par sn la somme dos n premiers termes de
la première série et si l'on désigne par a„ la somme des n premiers
termes de la seconde série, il est évident que nous avons:
0„-2 = sa— (u, + u2), s,t = an-2 -~ (u, + u2),
et si 11-+00, on a également (n — 2) -*■ <». D'où il résulto que
si sn a une limite, a„-a a également une limite et réciproquement-
20*

308 CH. IV. LES SB1U.ES. APPLICATIONS AOX CALCULS APPROCHÉS
Ces limites s et a, c'est-à-dire les sommes des deux séries considérées,
seront de toute évidence différentes, en effet on aura:
a = s—(ui + "2).
IV. Le terme général un d'une série convergente tend vers zéro
lorsque n croît indéfiniment:
lim«re = 0, (8)
car 51 est évident que
nn = $n — Sn-j,
et si la série converge et a pour somme s, on a
]ims„_l=Iimsn = s,
d'où
lim un = lim s„ — lim .«„_, = s— s •-= 0.
De sorte que la condition (8) est une condition nécessaire de
convergence d'une série mais ce n'est pas une condition
suffisante : en effet, le terme général d'une série peut tendre vers zéro et
celle-ci peut diverger malgré tout.
Exemple. Soit la série harmonique
n=t
Nous avons :
1
un — — —>■ 0 lorsque n —> co.
II est toutefois facile de montrer quo la somme des » premiers termes do la série
(9) croît indéfiniment. Pour cola regroupons les différents termes en ensembles de
1, 2, 4, 8, ... termes on partant du second
* + (T)+(T+T)^(T+-+4-)+(T+-+i) + --
de sorte que dans le ft**mo groupe on aura 2^-1 termes. Si dans chaque groupe on
remplace tous les termes par le dernier qui ost le plu? petit d« groupe,? on
obtiendra la série
i4-4-+4-2+T-*+i-8+-=l+-s-+4-+-- (i0>
dont la somme des n premiers termes est égale à [1 -f- -x- (re — 1)1 et tend
évidemment vers (-{-oo), En prenant un nombre suffisamment élevé de termes dans
la série (9) nous pouvons obtenir un nombre quelconque de groupes n et la somme
de ces termes sera encore plus grande quo [1
quo pour la série (9) on a bien sn -+- -f-oo.
1
de ces termes sera encore plus grande quo [1 -f- -ç- (n — 1)], ce qui montre bien

rV-1. NOTIONS SUR LA THÉORIE DBS SÉRIES INFINIES 30S>
IV-1-3. Séries à termes positifs. Critères de convergence. Les
séries dont les termes sont des nombres positifs (non négatifs)
uif u2, %,..-, un, .,. > 0
présentent un intérêt particulier. Nous allons établir pour ces séries
des critères de convergence et de divergence.
1. Une série dont les termes sont positifs ne peut être que
convergente ou strictement divergente', pour une série de ce type nous devons
avoir:
soit sn —■» s soit ,¾.—> -f- oo
Pour qu'une série à termes posttifs soit convergente il faut et il
suffit que la somme sn de ses premiers termes reste inférieure à une
certaine valeur constante A ne dépendant pas de n et ceci quel que
soit n.
En effet, pour une telle série la somme s„ ne décroît pas lorsque
n croît, car alors de nouveaux termes positifs (non négatifs) s'ajoutent
à la somme et tout co que nous avons montré repose sur les
propriétés que nous avons déjà examinées des variables croissantes [1-2-63.
Pour déterminer si une série à termes positifs est convergente
ou divergente il est souvent utile do les comparer avec d'autres
séries, plus simples, et tout particulièrement avec la progession
géométrique.
Pour cola nous allons établir le critère:
2. Si chacun des termes d'une série à termes positifs,
ut + uz + u3+ ... + u„+..., (11)
est à partir d'un certain terme plus petit que le terme correspondant
d'une série convergente
Vi+vz + vB+ ,..+vn+..., (12)
alors la série (11) converge également.
Si par contre chacun des termes de la série (11), à partir d'une
certaine valeur de n, est plus grand que le terme correspondant
d'une série divergente (12) dont les termes sont positifs, alors la série
(11) diverge elle aussi.
Supposons tout d'abord que notis avons:
itn<vn, (13)
et que la série (12) converge. Sans limiter la généralité nous pouvons
considérer que cette inégalité est vérifiée pour toutes les valeurs
de n en excluant, si besoin est, ceux des premiers ternies pour
lesquels cette inégalité n'est pas vérifiée (propriété 1TI jlV-1-21).
Désignons par s„ la somme des n premiers termes de la série (11),
et par o^ la somme analogue pour la série (12), nous avons en tenant
compte de (13) ;
Sti^Un-

310 CH, IV. LES SERIES, APPLICATIONS AUX CALCULS APPROCHES
Mais la série (12) est convergente par hypothèse et en désignant
par o" ïa somme de la série (12), nous avons:
et c'est pourquoi nous uvons :
s„.<0,
d'où, en tenant compte de 1, on déduit la convergence de la séria (11).
Supposons vérifiée l'inégalité
un>vn. (14)
Il est évident que nous avons
*n>o-„; (15)
mais la série (12) diverge maintenant et la somme de ses n premiers
termes un peut être rendue plus grande que tout nombre
arbitrairement grand donné d'avance ; étant donné l'inégalité (15), la
grandeur sn a la même propriété, c'est-à-dire que lasérie(ll) va également
diverger.
Remarque. 11 résulte de la convergence (ou de la
divergence) de la série (12) que la série :
toi -\-kv2+ to3 + ... + kvn + ...,
(où A- est un nombre positif constant quelconque) est également
convergente (divergente).
En effet, il résulte de la convergence de la série 2i>„ que la série
2to„ ost aussi convergente (cf. I IlV-1-2]).. Inversement, si 2un
diverge, la série Hkvn doit également être divergente, car si elle
était convergente, en multipliant ses termes par -j-, on trouverait
que la série 2,vn converge à cause de I IIV-1-21. De ce qui a été dit
il résulte que:
La série (11) converge si
u»«Ckvn, (16)
si la série 2t>„ est convergente et si k est un nombre positif quelconque;
la série (11) diverge si
iire>/w», (17)
et si la série 2i>„ est divergente.
En comparant la série donnée avec la progression géométrique
nous obtiendrons deux des principaux critères do convergence des
séries à termes positifs.

•IV-I. NOTIONS SUR LA THÉOBIE DES SÉRIES INJPINïËS 3] |
IV-1-4. Critères de Cauchy et de d'Alciubcrt. 3. Critère
de C a u c h y. Si le terme général d'une série positive i(ll):
ul + u2 + u3+. ..+un+ ...,
vérifie « partir d'un certain n l'inégalité
Vû~n<q<l, (18)
où q ne dépend pas de n, alors la série converge.
Si, par contre, à partir d'une certaine valeur nous avons
K>1, (19)
la série (11) diverge.
Sans nuire à la généralité de notre démonstration, nous pouvons
admettre que les inégalités (18) et (19) sont vérifiées pour toutes
les valeurs de n (cf. propriété III IIV-1-2]). Si l'inégalité (18) est
vérifiée, alors
c'est-à-diro que le terme général de la série donnée n'est pas plus
grand que le terme correspondant d'une progression géométrique
infinie décroissante, c'est pourquoi en tenant compte do 2 on voit
que la série sera convergente. Dans le cas (19) nous aurons:
«*>1.
et la .série (11) dont le terme général ne tend pas vers zéro (il est
plus grand que l'unité) ne saurait être convergente (propriété IV
JIV-1-2]).
4. Critère de d* Al e m b e r t. Si le rapport du terme d'une
série avec le terme gui le précède —2- vérifie à partir d'une certaine
valeur de n l'inégalité
<2<1, (20)
«71-i
où q ne dépend pas de n, la série (11) converge.
Si, par contre, à partir d'une certaine valeur de n nous avons
->1, (21)
alors la série considérée diverge.
Supposons comme ci-dessus que les inégalités (20) ou (21) soient
vérifiées pour toutes les valeurs de n, dans le cas de (20) nous avons
«n<"n-J<7. «»-l<tfti-2?> ^11-2 < un-3q, ..., «2<Ujg,
d'où, eu multipliant ces inégalités terme à terme et en simplifiant

312 CI3. IV. LES SËBIES, .APPLICATIONS AUX. CALCULS APPROCHÉS
c'est-à-dire que les termes de la série sont plus petits que ceux de
la progression géométrique décroissante
u,+ulq-\-uiq2+ |-»1?n-i+... (0<ff<l),
et en vertu de 2 la série (11) converge. Dans le cas (21) :
ïij < % < «s < ... < Un-i <«„<...,
c'est-à-dire que les termes do la série ne décroissent pas au fur ot
à mesure que l'on s'éloigne du début, par suite u„ ne tend pas vers
zéro lorsque n. —y oo et la série ne peut en aucun cas converger (cf.
propriété IV [IV-1-2]).
Corollaire. Si, lorsque n croît indéfiniment:
soit Vw^. soit -^2_ (22)
tend vers une limite finie r, la série
î*l + «2 + «3-] + un+ ...
converge si r < 1 et diverge dans le cas où on a r > 1.
Examinons d'abord le cas où r ■< 1, Prenons un nombre 8
suffisamment petit pour que l'on ait encore
r + e<l.
Pour les grandes valeurs de n la grandeur TA*» ou -^5- ne dif-
«n-t
férera de sa limite r que d'une quantité qui ne sera pas plus grande
que e, c'est-à-dire qu'à partir d'une certaine valeur assez grande
de n nous aurons
r — e<Vi^,<r-f-e<:i (23,)
soit
r-s<-^-<r-t-s<l. (2¾)
Utilisant les critères do Caucliy et de d'Alembert dans le cas
où g = r + s <; 1 d'après (23)) ou (23a), nous pouvons conclure
immédiatement que la série considérée converge.
De façon analogue on peut démontrer la divergence do la série
lorsque r > 1 ou si l'une au moins des expressions (22) tend
vers (+oo).
exemples. 1. Considérons la série :
1±£(.£l.^ £ 1-.. = ^ — (24)
'' ihl-2' 1-2.3... n1 2j n\- {dt)
n=0

IV-J. NOTIONS SUIl LA THÉORIE DES SEMES_INt-1NIES 313
En utilisant le critère do d'Alemhert on trouve :
xn xn~l
««+i=^J. «» = („_!)) -
Jiïï+l^i-^O lorsque n —±œ,
un n
c'est pourquoi la série converge pour toutes les valours finies da x (à condition
qu'elles soient positives).
2. Considérons la série
Dans ce cas nous avons :
2 £• <*
œn a.«-t u^ n — i
n J n — i u„_i n
et c'est pourquoi d'après le critei'e do d'Alomberl, lft série converge lorsque
0 <. x < 1 et diverge si x > 1.
3. Considérons la série
2 r"sin»Ba (r>0). (2B>
mal
En utilisant le critère de Cauchy, il vient:
un = r™ sill2 na, >'1% = r y sin2 na < r,
et c'est pourquoi la série considérée converge certainement si r <T J.
Lo critei'e de d'Alembort ne donne rion dans ce cas. car la relation :
un r sin na V
«„_i~rLsi«»(»—1)»J
ne tend vers aucune limite ot ne reste même pas toujours soit plus petite que
l'unité, soit plus grande ou égale ft l'unité.
Kn fait on peut montrer que lo critère de Ciiucliy «st plus puissant quu
eolul do d'Alembort, c'est-a-diro qu'il peut être employé dans tous les cas où lo
critère de d'Alembort est applicable, mais aussi dans certains sulres cas où
celui-oi n'est pas utilisable. Par contre, l'utilisation du critère db Ctiuchy est
plus difficile, ce que l'on voit aisément sur les exemples d'utilisation qui ont
été exposés ci-dessus.
Notons de plus qu'il y a des cas où le critère do Cauchy de mOme quo celui
do d'Alembort no pouvont être employés, C'est on particulier lo cas lorsque nous
avons
ï<^ et -ïa „1,
c'ost-à-diro lorsque r = 1, Nous avons alors affaire au cas douteux et il
faut résoudre d'une autre façon le problème do la convergence ou de la divergence
do la sério.
Ainsi, par exemple dans le cas de la série harmonique
2 n

314 CH. IV. LES SfiMBS, APPLICATIONS AUX CALCULS APPROCHES
qui comme nous l'avons vu dans [IV-1-2] est divergente, nous avons
—=— M. yT£_J, -— -*L\
et du celte façon on voit que le problème do la convergence ou do la divergence
de la série harmonique ne peut pas être tranché à l'aide des critères de Cauchy
ou do d'Alembert.
Per ailleurs, nous montrerons dans la euitc quo la séria
S ±-*+i+\+ù+~
n=l
ost une série convergente.
Mais dans ce cas nous avons aussi :
c'est-à-diro qu'on essayant d'utiliser les critères de Cauchy ou de d'Alembert,
nous avons également un cas douteux.
1V-1-5. Critère intégral de convergence de Cauchy. Supposons
que les termes de la série donnée :
ui + !t2 + u3+. ..+«„+... (27)
soient positifs et non croissants, c'est-à-dire que nous ayons
«i>«S> ■••>"n>"n+l>- .. >0. (28)
Représentons graphiquement les termes de la série en. reportant
sur l'axe des abscisses la variable indépendante n qui pour l'instant
ne prend que des valeurs entières et
sur l'axe des ordonnées les valeurs
correspondantes de 1½ (cf. fig. 155). Il
est toujours possible de trouver une
[onction continue y — f (x) qui pour
les valeurs entières de x = n prenne
SillIPIPlî justement les valeurs zt„ ; pour cela
/""/" jr "^ssis 's x *1 suffit de faire passer une courbe
continue par tous les points obtenus ;
Plg-155 ce faisant nous considérerons que la
fonction y = / (x) n'est pas croissante.
Avec une telle représentation graphique la somme des n
premiers termes de la série considérée
__________ sa = ui + u2-\-ui+ . ..+1½
*_11 est essentiel de noter dans les calculs précédents que si l'on pose
1 11
x~— • °n a x—*Q et — In— = x In x—>0 JIl-3-10|. D'où en prenant le loga-
n/T
rithine de l'expression "l/ — on Voit qu'elle tend vers l'unité

1V-1. NOTIONS SUR LA THEORIE DES SERIES INMNIES 315
est la somme des surfaces des rectangles « extérieurs » qui comprend
la surface limitée par la courbe y= f (a:), l'axe OX et les ordonnées
« = 1 et * = n + 1, c'est pourquoi nous pouvons écrire
S„>jJ"+1/»<**• (29)
Par ailleurs, cette surface contient tous les rectangles «
intérieurs i> dont la somme des surfaces est égale à
"2+"3+"4+ ... +Wn+j = s«+< — «i. (30)
et c'est pourquoi nous avons
Sn+I — "i<§" f{x)dx. (31)
Ces inégalités conduisent au critèro suivant.
5. Critère intégral de C a u c h y. La série (27)
«i + «ï + u3-r ... +un+ ..-, «« = /(«).
dont les termes sont positifs et ne croissent pas avec n, converge ou diverge,
suivant que l'intégrale
/=^/(«)dz (32)
possède une valeur finie ou égale à l'infini.
Rappelons ici que / (a;) doit décroître lorsque x croît.
Supposons d'abord que l'intégrale I possède une valeur finie,
c'est-à-dire que la courbe y —f (x) ait une surface finie [III-2-5],
Comme / (x) est positif,
?"+i /(,v) dx<\°° f(x) dx,
et c'est pourquoi, d'après la formule (31) :
s» <C sn+, <; u, -f- 7,
c'est-à-dire que la somme sn reste bornée pour toutes les valeurs
de n, et la série (27), d'après le critère I (IV-1-31, convergera.
Soit maintenant I = oo, c'est-à-dire que l'intégrale
$"+1 j{x)âx,
lorsque n croît, peut être rendue plus grande que tout nombre N
donné d'avance. Alors, d'après la formule (29), la somme sn peut
aussi être rendue supérieure à N, c'est-à-dire que la série (27)
divergera.
On peut démontrer de façon analogue que le reste de la série (27)
n'est pas plus grand que l'intégrale

316 GH. IV. LES SERIES, APPLICATIONS AUX CALCULS APPROCHES
Remarque. En appliquant le critère de Cauchy h l'intégrale
(32), on peut remplacer la borne inférieure, égale à l'unité, par un
nombre quelconque a, plus grand que l'unité, étant donné que les
intégrales à la borne inférieure égale à l'unité et àa convergent ou divergent
sim-ultanément [Jll-2-5).
Exemples. 1. Soit la série harmonique
S 4-
Nous avons:
n
et c'est pourquoi on peut poser que :
alors
m =4 ;
, P1» dx , °»
/= \ =ln r.\
Ci * 1
et i'inlégralo liivorge, étant donné que In x -*■ -f oo lorsquo x -*■ -f-oo; celte
série, comme nous le savons déjà, est divergente.
2. Soit la série plus générale
S w' (33)
où p est un nombre quelconque, supérieur à. zéro (pour p < 0, la série est
évidemment, divergente). Nous avons ioi :
/M =-^-- f<*)'
(1 |eo
1-p |l C^
lna: , Ri p = l.
D'où il est clair que l'intégrale diverge si p •< 1, et qu'elle convergo et est égale
à ——; , si p > 1. En effet, dans le dernier cas, l'exposant 1 — p < 0, x1"'' —
1
= -rpj -»- 0 pour x ->- -j- oo, et, par conséquent ;
1 *i-*r - 1 d
i—p ii i—p p—i
Pur conséqtmt, d'après le critère do Caucby, la série (33) convergera, si
p > 1, et divergera si p <L1,
IV-1-6. Séries alternées. En passant aux séries ayant dos termes
quelconques, nous éludicrons d'abord les séries alternées, dont les

IV-1. NOTIONS SUH LA THEORIE DBS SERIES INMNIES 317
termes sont alternativement positifs et négatifs. Il est préférable
d'écrire ces séries non pas comme précédemment, mais sous la forme :
"i —"2 + "3—"4 - - ■ ± "nTUn+i ■•-. (34)
où les nombres
Uj, Kj, U3, . . . , Uni ... ;
sojit considérés comme positifs *.
On peut démontrer, pour les séries alternées, la proposition
suivante :
Pour qu'une série alternée converge, il suffit que les valeurs
absolues de ses termes décroissent et tendent vers zéro lorsque n croît. Le
reste d'une telle série ne dépasse pas, en valeur absolue, la valeur
absolue du premier des termes rejelés.
Etudions d'abord les sommes d'un nombre pair do ternies d'une
série :
Sfr — Ui — U2+U3—U4+ - • • +"2»-l—"za-
Etant donné que par hypothèse les valeurs absolues des termes
de la série décroissent (il vaut mieux dire qu'elles ne croissent pas)
lorsque n croît, de façon généralo:
»&>"&+! et Uin+i — Ufcv^X),
c'est, pourquoi
s2n+2 = sza + (^a+i — ^211+2) > Sîn,
c'est-à-dire que la variable s2n n'est pas décroissante. D'autre part,
nous avons :
s2n = »i — (u2— u3)— (w4 — u5)— .. . — (u2„_a— u2n_i) — Uj;,,< ult
car toutes les différences entre parenthèses ne sont pas négatives,
c'est-à-dire que la variable s2n reste bornée pour toutes les valeurs
de n. D'où il résulte que lorsque n croît indéfiniment, s2n tend
vers une limite finie [1-2-61 que nous noterons par s:
lim s^ = s.
Ensuite, nous avons :
S2n+i=S27t-t-U3»i+i—>*j lorsque n—*-oo,
étant donné que par hypothèse «2„+i -*- 0.
Nous voyons de cette façon que, comme la somme d'un nombre
pair, la somme d'un nombro impair de termes de la série (34) tend
vers une seule et même limite s, c'est-à-dire que la série (34) est
convergente et a pour somme s.
* Nous considérons que le premier tormo do la sério est positif; s'il csl
négatif, la séri» s'écrit sous la fonno: —«i + "a — «3-(-"4—•■•

318 CH. IV. LES SERIES, APPLICATIONS AUX CALCULS APPROCHES
11 reste encore à évaluer le reste r„ de la série. Nous avons:
fil— ± "n+1 T "re+2 ± M/i+a T "«+4 ± • • •
Il faut prendre simultanément les signes supérieurs ou inférieurs.
Autrement dit:
fn = àz ("n+l — M)i+ï + Wn+3 — un+i + • ■ • )i
d'où, en raisonnant comme précédemment, nous avons:
1^1^(^/.+1-^+2)+(^/1+3-^+4)+ •• ■ =
= ^+1—(^+2—un+s) — ("ft+4—W«+s)— - ■ • <^+ii
ce qu'il fallait démontrer.
11 résulte de la formule :
rn=± [("/i+i — «n+a) + («ft+3 — »»■«) +-..],
dans les crochets de laquelle se trouvent, des grandeurs qui ne sont
pas négatives, que le signe rn est le même que celui qu'il faut prendre
devant les crochets, c'est-à-dire qu'il coïncide avec le signe ±wK+i-
Ainsi, dans les conditions énoncées dans le théorème, le reste d'une série
alternée a le même signe que celui du premier terme rejeté.
liitraple, La série
est une série alternée, dont la valour absolue des termes décroît indéfiniment
lorsque n -*■ 00, et c'est pourquoi 0U0 converge. Nous verrons plus loin que
sa somme est égale à lu 2. Cependant, pour calculer effectivement In 2,
cette série ne convient pas, étant donné quo pour quo ie reste soit infôrleur à
0,0001, il faut prendre 10 000 de ses termes:
|rnl<T^"^O,0001; n>10000
Ainsi cotte série, bien que convergente, converge tris lentement: pour
utiliser de telles séries dans la pratique il faut d'abord les transformer de façon à
les faire converger plus vile.
IV-1-7. Séries absolument convergentes. Du nombre d'autres
séries à termes quelconques nous ne considérerons ici que les séries
absolument convergenl.es.
La série
"l + «2+"3+ •• • + «11 + •• • (35)
converge, si la série, formée des valeurs absolues des termes de la série
considérée, converge, c'est-à-dire si la série
|«il + KI + |«»|+.-.+l»»l + ... (36>
converge.

IV-i. NOTIONS SUH LA THEORIE DES SBRlBS INFINÏES 319
On appelle de telles séries séries absolument convergentes.
Supposons donc que la série (36) converge, et que:
^ = -2-(1^1 + Un), Wn = -%(\un\ — U„).
Les deux nombres vn et wn sont certainement non négatifs,
étant donné que, de toute évidence:
_(Un, si u„»0, fO, si h„>0,
^"10 si un<0, ^"tliinl, si h»<0.
D'autre part, aussi bien y„ que u>n ne sont pas plus grands que
| un |, c'est-à-dire que le terme général de la série convergeute (3(5),
et c'est pourquoi, d'après le critère 2 de convergence des séries à
termes positifs [IV-1-3], les deux séries:
n=I n=l
convergeront.
Etant donné que nous avons :
la série
OO CO DO PO
(K> 00
obtenue en soustrayant terme à terme la série 2! ">» àe la série 2 "n
[IV-1-2], convergera également.
Les séries convergentes, ayant des termes positifs, représentent
lin cas particulier de séries absolument convergentes, dont les
critères de convergence sont obtenus directement à partir des critères
de convergence des séries à termes positifs.
Les critères de convergence 1 à 5, déduits aux paragraphes [IV-1-3],
IIV-1-41, [IV-1-5] pour les séries à termes positifs, s'appliquent aussi
aux séries ayant des termes quelconques, à condition toutefois de.
remplacer partout u„ par | un |. A cette condition, les critères de divergence 3
et 4 et leur corollaire restent valables [IV-1-4].
En particulier, il faut, dans les énoncés des critères de Cauohy
et de d'Alembert, remplacer:
VuZ et JÈL. par Vû^î et J-^l.
Ainsi» par exemple, *i -^- <ff<l, c'est-à-dire si J"n*,<
< q < 1, d'apns le critère de d'Alcmbert [IV-1-4], la série ayant

320 CH. IV. LES SERIES, APPLICATIONS AUX CALCULS ÀPPBOCHES
des termes positils (3fi) converge et, par conséquent, la série (35) est
absolument convergente. Si -^-h> 1, c'est-à-dire \un [>| un-i\,
alors, lorsque n croît, les termes «„ ne décroissent pas en valeur
absolue, c'ost pourquoi ils ne peuvent pas tendre vers zéro, et la
série (35) diverge. D'où i] résulte, comme dans le corollaire de
[1V-1-4I, que si
gente ; si -^-
I "n-i
-^- —*-r<l, la série (35) est absolument conver-
r>1, la série (35) diverge.
Il o jn a r q ù e. Notons que si les termes d'une série (35) ne
sont pas, en valeur absolue, plus grands que certains nombres
positifs | Un | <J aa, et que la série at~\-az-\-.. .0^-^-... formée de ces
nombres converge, alors la. série (36) converge a fortiori (ÎV-I-SJ,
^est-à-dire que la série (35) est absolument convergente.
Exemples. 1. La séria (exemple [IV-1-4])
■^-1 x71
Zs "ïïl
*st absolument convergente pour toutos les valeurs finies de x, aussi bien
positives que négatives, étant donné que:
I "tm-i I _ Ix 1 ?0
I "n I n
ipour toutes les valeurs finies do x.
2. La série
w
SX71
Wl
•est absolument convergente pour | x | < l et diverge pour | x | >• 1, car:
I "« I. "—1 1 1 1 1
I "n-l | n
3. La série
2 r*sfqn«
n=I
•est absolument coiivorgonto pour | r | < 1, étant donné que pour elloi
^K7T=ï/|r« H si.ina| <^|TF=I r| < 1.
Il faut remarquer que toute série convergente n'est pas, et de loin,
absolument convorgente, c'est-à-dire qu'elle reste convergente, si on remplace chaque
.terme de la série par sa valeur absolue. Ainsi, par exemple, la série alternée
lit
^T+T-T^-'

JV-i. NOTIONS SUR LA THÉORIE DBS SBKIIÎS INFINIES 321
comme nous l'avons vu, est convergente ; si on romplace chacun do ses tannes
par sa valeur absolue, on obtiendra la série divergente Imrmonicrue '.
111
1+â+T+T+-
Les séries absolument convergentes ont de remarquables
propriétés, qui sont exposées au paragraphe IV-3. Ainsi, elles seules
possèdent la propriété des sommes finies: l'indépendance de la
valeur de la somme de l'ordre des termes la composant.
IV-1-8. Critère général de convergence. Pour conclure le
présent paragraphe rappelons la condition nécessaire et suffisante pour
que la série
Ui+K2 + U3-j- ...+«„+...
converge.. Cette convergence est, par hypotlièse, équivalente à
l'existence) d'une limite de la série
Sj, S%, S3, ..■!$«...,
où s„ est la somme de n premiers termes de la série. Mais pour que
cette limite existe, il faut que soit satisfaite la condition nécessaire
et suffisante de Cauchy [1-2-7] :
pour" un e positif quelconque donné, il existe un N tel que:
}sn — S„|<8
pour tous m et n plus grands que JV. Supposons, pour préciser, que
m > n, et soit m = n + p, où p est un entier positif quelconque.
En remarquant alors que :
sm — s„ = »re+p—Sn = (U! + U2+ . ..+un + un+i+... +un+p) —
— («l+«2+-..+«n) = «»+l + «n+3+ . ■•+"«+?!
on peut énoncer le critère général de convergence d'une série.
'Pour qu'une série infinie
"l + «Z + «3+..-+M>iH
converge, il faut et il suffit que pour un e positif quelconque donné
d'avance, il existe un nombre N tel que pour tout ra > N et pour tout p
positif, on ait l'inégalité',
lun-n-rUn+zl -i-un+p]<e,
c'est-à-dire que la somme d'un nombre quelconque de termes successifs
d'une série, commençant par m„+1, reste en valeur absolue inférieure
à e, si n > N.
Il faut remarquer que, malgré l'importance théorique
incontestable de ce critère général de convergence d'une série, son
utilisation pratique est souvent difficile.
21-281

322 CH. IV. LES SÊUIES, APPLICATIONS AUX CALCULS APPROCHES
IV-2. Formnle de Taylor et applications
IV-2-1. Formnle de Taylor. Etudions le polynôme de degré n:
/ (x) = «o-f- atx-+ a^ + ... + anxn ;
donnons à a; un accroissement h et calculons la valeur
correspondante de la fonction / {x + h). On peut évidemment développer
cette valeur suivant les puissances de h, en développant les
différentes puissances de {x + h) d'après la formule du binôme de
Newton. Les coefficients des différentes puissances de h seront des
polynômes dépendant de x:
f(.v + h) = A0(x) + hAi(x) + h?Az(x)+...-\-
+ h*Ah(x)+...+hnAll(z), (1)
et il reste seulement à déterminer les polynômes:
A0(x), At{x), ...,An(x).
Pour cela, nous allons changer les notations et écrire dans
l'identité (1) a, au lieu de x, et au lieu de x + h, simplement x. On a alors
h=x—* a,
et à la place de (1), nous aurons:
f(x)^A0(a) + (x — a)Al(a)+(x — afAi(a)+...+
+ (x-a)k An(a)-\-... +(x-a)nAn(a). (2)
Pour déterminer A0 (a), supposons que dans la présente
identité on a x — a, d'où :
Pour détorminer A± (a), nous allons dériver l'identité (2)
par rapport à a; et nous supposerons ensuite que x = a:
f(x)^l-A1(a) + 2(x-a)A2(a.)+...+k(x~a,)k-1Ah(a) +
+ ...-\-n(x-a)^A7i(a),
/'(a)«l.A,(«).
En dérivant encore une fois par rapport à x et en
supposant ensuite que x = a, nous obtiendrons Az (a) :
f (x) = 2■ 1A2 (a) +... + k (k-1) (x -af^Ah (a) +
+ . .. + n{n — i)(x — a)*-*An(a),
f (a) = 2-iAz(a).

IV-2. FORMULE DE TAYLOB ET APPLICATIONS
323
En dérivant k fois et en supposant ensuite que x=a, nous
obtiendrons :
/<*>(») = *(*—1)... 2-îAk(a)+...+n(n—l)...
...(n-k + Wx-a^Ania),
f*>(a)-k\ Ak(a).
Ainsi, nous avons :
;M«)=/(«Mi(«0=4x-' At(a)-Jffi
A\W=^-Tf\— i • • •^An\fl)=-
»1 *
après quoi, la formule (2) sera de la forme:
+ ...+^(,-.^...+^-(.-.)-. (3)
Cette formule n'est vraie que dans le cas où f {x) est un
polynôme dont le degré n'est pas supérieur à n, ot elle donne le
développement d'un tel polynôme suivant les puissances de la
différence (x — a).
Soit / (x) n'est pas un polynôme, mais une fonction quelconque
déterminée à l'intérieur d'un certain intervalle / et possédant des
dérivées continues jusqu'à l'ordre (» + 1) inclus. Supposons que
la valeur de x — a se trouve à l'intérieur de/. Par la suite, nous
considérerons x comme appartenant à /.
Nous noterons par Rn (x) la différence entre / (x) et le second
membre de la formule (3), autrement dit, nous supposerons que:
+ J^L(x_a)n+Rn{s)% (4)
En dérivant successivement cette identité, nous obtiendrons :
/'(*)-f(a) +
il
(«_a)+;..+
+ 7^^-^+^^)-
1" (n-2)
f«> («) = /(«) (a) + /?(»> (x).
+1¾ (*-<-*+*«(*).
(4.)
2i»

324 CH. IV. LES S BRIES, APPLICATIONS AUX CALCULS APPROCHAS
En faisant x = a dans (4) et dans les dernières équations, nous
trouvons :
Rn (a) = 0, R'n (a) = 0, ..., R™ (œ) = 0. (5)
En dérivant la dernière des égalités (4j) encore une fois,
nous trouverons :
flS^f*)-/1**-1^*). (6)
A partir des relations (5) et (6), nous obtiendrons sans peine
l'expression de Rn (x), étant donné que d'après la formule fonda- .
mentale du calcul intégral:
Rn(a>)—Rn{a)=l*aRn(t)dt,
d'où, en considérant (5) et en intégrant par parties, nous^tirons;
Rn {x) = J* R'n {t) dt = - J" R'n (t) d(x -t) =
^-R'n(t)(x-t)^+^*aR^(t)(x-t)dt =
Pour préciser les transformations que nous avons effectuées,
notons ce qui suit. La variable d'intégration étant désignée par
la lettre t, x sous le signe intégral doit être considérée comme une
constante, et la différentielle de x comme nulle, c'est pourquoi
on a, par exemple:
et de façon générale :
ftl ftl v ' (ft—1) i
De même, l'expression

ttV-Z. FORMULE DE TAYLOB ET APPLICATIONS 325
s'annule, car lorsque t ■= x, le facteur (x — t)h est égal à
zéro, et d'après (5) avec la substitution t = a, R^ (a) est nul.
Ainsi, nous obtenons une formule très importante:
Formule de Taylor. Toute fonction f {x) ayant à
l'Intérieur d'un intervalle, contenant le point x = a, des dérivées continues
jusqu'à l'ordre (n + ï) inclus, peut être, pour toutes les valeurs de x
comprises à l'intérieur de cet intervalle, développée en série des
puissances de (x — a) :
+ (x-arf^M + Rn(x), (7)
où le reste flrt (x) est de la forme ;
Rn(x)^lXJ^Ht)(x-trdt. (8)
Très souvent dans les applications, on rencontre une autre forme
du reste, que l'on obtient directement à partir de l'équation (8),
à l'aide du théorème de la moyenne [III-2-21. Sous le signe somme,
dans le second membre de la formule (8), la fonction (x — t)n
conserve son signe, et c'est pourquoi, d'après le théorème de la moyenne,
nous avons:
*»(*)~^D*-^^[-(-^II] ■
En substituant les bornes supérieure et inférieure, nous
obtiendrons :
(s—t)tH-l 1« (g—a)«+l
n + 1 lo^ »+1 '
car pour t = x, l'expression que nous avons écrite s'annule.
En mettant cela dans la formule précédente, nous aurons:
où % est une valeur moyenne située entre a et x. Cette forme du
reste s'appelle forme de Lagrange. Et la formule de Taylor avec
le terme sous la forme de Lagrange devient:
fto-J(a) + (*-a)i$l- + <*-a)« ^-+...+
+ (,-.,-^ + (,-.^^ <7«>
(£ est entre a et x).

326 CH. IV. LES SÊHIES, APPLICATIONS AUX CALCULS APPROCHÉS
IV-2-2. Différentes formes de la formule de Taylor. Pour
n =s 0, nous obtenons, à partir de (7,), la formule des accroissements
finis de Lagrange déjà démontrée [II-3-7] :
/(*)-/(*)-=(*-«)f (6);
la formule de Taylor est ainsi une généralisation directe de la
formule des accroissements finis.
Passons aux notations précédentes et écrivons a; à la place de a,
et x + & à la place de x ; la formule de Taylor est alors sous la forme :
/(.+»,-/W-J^+JSÎ^+...+BÇfa+jt(,),- (10)
étant donné qu'avec les nouvelles notations, il faut remplacer
(x — a) par h. La valeur (g), située avec les notations précédentes
entre a ot x, sera située entre x et (x + h), et on peut la désigner
■ par (x + 9&), où. 0 < 6 < 1. D'après (9), le reste dans la formule
(10) peut ainsi être écrit sous la forme:
fl.W-.yi '7^ (Q<9<1). (11)
Le premier membre de la formule (10) est l'accroissement Ay
de la fonction y = f (x), correspondant à l'accroissement ou, ce
qui revient au même, à la différentielle h de la variable
indépendante. Nous rappelant les expressions pour les différentielles dos ordres
supérieurs [II-2-3], nous avons:
dy = y'dx = f'(x)h, â?y~y"(dx)* = r(x)h\ ...,
â*y = ;/(»> (dx)n = /(") (x) hn,
d'où
A„ a« , d*y ,_ , ^"y , d*+hj i ...
A^-Tr+TT+" -+TT+ (S+ÏÏT|ï+e<.' ( '
et, dans ce cas, le symbole
ri"*1? [
(n-|-i)l |x+8ft
exprime le résultat do la substitution dans l'expression j .?-,
de la somme x -\- &h à la place do x.
Sous celte forme, la formule de Taylor est particulièrement
intéressante lorsque l'accroissement h do la variable indépendante
est une grandeur infiniment petite. La formule (12) donne alors
la possibilité d'extraire de l'accroissement de la fonction Ay les
termes infiniment petits des différents ordres on h.

IV-2. FORMULE DE TAYLOR ET APPLICATIONS 327
Dans le cas particulier où la valeur initiale a de la variable
indépendante est zéro, la formule de ïaylor (7) prend la forme:
/(,)=/(0) + ^+^+...+^+^)-(13)
où
et g, situé entre zéro et x, peut être exprimé par 9*, où 9 est un
nombre vérifiant l'inégalité 0 < 6 <C î. La formule (13) s'appelle
formule de Maclaiirin.
IV-2-3. Séries de Taylor et de Maclaurin. Si / (x) a des dérivées
de tout ordre pour x = a et des x proches à a, on peut écrire la
formule de Taylor pour n'importe quelle valour de n. Mettons la
formule de Taylor sous la forme:
/<œ)-S„+l (*) = £„(*),
où
c'est-à-dire que Sn+i (x) est la somme des {n + 1) premiers termes
de la série infinie:
/W + («-«)^+...+(*-.)^+...
Si, pour une certaine valeur de x et lors de l'accroissement
illimité de n:
lira Rn (*) = 0, (15)
d'après ce qui a été dit au paragraphe [IV-1-1], la série infinie
converge pour la valeur mentionnée de x, et sa somme est égale à / (;t).
On obtient ainsi le développement de la fonction f (x) en série de
puissances infinie de Taylor:
/(*) = /(a) + (z_a)i^+...+(*-œ)«q^>+... (1(5)
en série de puissances de (x — a).
Par la suite nous rencontrerons toujours le cas où la condition
(15) est remplie non pas pour certaines valeurs de x, mais pour
tous les x d'un certain intervalle.
De même la formule de Maclaurin nous donne, si la condition
(15) est remplie, la décomposition de f (x) en série de Maclaurin
/C)-/(0)+»^p-+...+^qp+... (17)

328 CH- IV. LES SÉRIES, APPLICATIONS AUX CALCULS APPROCHÉS
L'évaluation de JR„(x) a une grande importance pour le calcul
approché des valeurs de la fonction / (z) à l'aide de sa décomposition
en série, de puissances.
Appliquons les considérations précédentes au développement et
au calcul approché de fonctions très simples.
IV-2-4. Développement de e"1. Nous avon3 a Vaut tout
/(*) = «*, f (*)-«* /W (*)»«»
c'est pourqnoi
/(0)=/' (0) =...=/<*> (0) = 1,
et la formule de Maclaurin avec le reste (14) donne:
Noua avons vu (exemple du paragraphe [IV-1-4]) que la série
oo
2j n!
est absolument convergente pour toutes les valonrs finies de a,
et c'est pourquoi, pour tout x, nous avons :
is+Tp--*°p<"« »-*•«>.
étant donné que cette expression est le terme général d'une suite
convergente*. D'antre part, le facteur e°* dans l'expression du
terme restant ne dépasse pas ex pour x > 0 ni l'unité pour x < 0,
et c'est pourquoi le reste tend vers zéro pour toutes les valeurs
de £, et nous obtiendrons:
** = l+fr+£+...+-£+-.. (18)
qui est vrai pour toutes les valeurs de x.
En particulier, pour x = 1, nous obtenons pour e une
expression commode pour calculer e à n'importe quel degré de précision :
e=i+Tr+4r+--- + ^+---
Bn utilisant cette formule, nous calculerons le nombre e avec si* décimales.
Si noua prenons approximativement :
,^2+-^+...+^,
Cf. également l'exemple 11-2-10].

IV-2. KOHMULE DE TAYLOR ET APPLICATIONS
32«.
l'erreur sera alors :
1
il 1 r i i "i
^l+(n+2)! + (»+1)1 L1+»+2 + (n+2)(n+3) +•■•}'
< (n-l-1)! \}'*"Z+ï + i«+i)*+"'\
(n+l)l
1
n !n
n+1
où l'on a mis le signe «) parce que dans le dénominateur les facteurs (n + 2),
(n + 3), (n -f- 4), ... sont remplacés par un nombre plus petit (n, 4- 1) et toutes
les fractions ont ainsi augmente.
On peut ainsi trouver les limites suivantes, entre lesquelles est compris le
nombre e :
2+Tr+-+Tr<«<2+^+...+^+-^.
Si nous désirons obtenir une valeur approchée pour e, qui no s'éloigne pas
de plus de 0,000 001 de la véritable valeur, supposons que n = 10 ; nous aurons
alors :
e~2+Tr+irr+-"-hsT'
i
et l'erreur n'excédera pas
10110
< 3-10-s. Dans celto formule, on calcule les
deux premiers termes do façon précise; les huit autres doivent être
calculés avec sept décimales, car ainsi l'erreur sur chaque terme n'est pas-
supérieure à 0,5 unité de la soptième décimale, c'est-à-dire 0,5-10-', et l'erreur
tout entière n'excède pas :
10-7-0,5-8=4-10-',
c'est-à-dire quatre unités de la septième décimale, et c'est pourquoi l'erreur
totale no dépassera pas on valeur absolue 4,310-'. Nous avons:
2=2,000000
•^-=1=0,500000
Tr=2T3=0'1C6666
Tr=3Ï4=0'041666
-51- = 415=^008333
Ti-5Tê=0'001388
^■=677=0,000168
157=^=0,000 024
■9T=8T§=°'000002
W=9TÏ<r0'000000
0 (exact)
0 (exact)
7 {par excès)
7 (par excès)
3 (pajr défaut)
9 {par excès)
4 (par défaut)
8 (par défaut)
8 (par excès)
3 (par excès)
e K=Z,718»818
La valeur de e avec 12 décimales est 2,718 281.828 459.

330 Cit. IV. LES SEHIES, APPLICATIONS AUX CALCULS APPROCHBS
IV-2-5. Développement de sin x et de cos x. Nous avons JII-2-1] :
f{x) = siax, /'(*) = sin [x + %■) , ...,/W (*) = sin {« + *-£■) '
d'où :
/(0)=o, /'(o)=i, r(0)=o, r (0)=-1
/(2»»)(0) = 0, /««H-1»(0) = (-1)'",
après quoi la formule (13) donne:
, ^+3 • fa , (2n+3) jcT
Dans le reste, le facteur =—r-âVi t comme nous l'avons vu ci-
dessus, tend vers zéro pour n -v oo, mais la valeur absolue du sinus
n'est pas plus grande que l'unité et, par conséquent, le reste tend
vers zéro pour toutes valeurs finies de x, c'est-à-dire que le
développement
sins =ï_w + __...+L_i___+... (19)
est valable pour toutes les valeurs de x.
On peut prouver de façon analogue que le développement
cosg = 1-TT+4T~---^ (2»)i +••■ (2°)
est valable />owr toutes /es valeurs de x.
Les séries (19) et (20) sont commodes pour le calcul des valeurs
des fonctions de sin x et cos x pour des valeurs petites de l'angle x.
Pour toutes les valeurs de x, aussi bien positives que négatives,
ce sont des séries à termes alternés, de sorte que, si nous avions
pris un nombre de termes toi que les suivants décroissent, l'erreur
no dépasserait pas en valeur absolue le premier des termes rejetës
[1V-4-6J.
Pour les grandes valeurs de x, les séries (19) et (20) convergent
également, mais lentement, et ne sont pas commodes pour le calcul.
Sur la fig. 156 on a représenté la disposition de la courbe réelle
de sin x et des approximations dos trois premiers ordres:

IV-2. FORMULE DE TAYLOR ET APPLICATIONS
331
Plus on aura de termes dans la formule approchée, et plus
grand sera l'intervalle où la courbe approchée sera proche de la
P 0 t5 #?^5 40 * X5'
Kig. 150
courbe exacte. Remarquons qne dans toutes les formules écrites,
l'angle x est exprimé en unité d'arc, c'est-à-dire en radians (1-2-9).
Exemple. Calculer sin 10° à 10-B près. En premier lieu, convertissons
en radians la mesure en degrés
arclo°=W-10=T^0'17-
En nous arrêtant à La formule approchée:
,31 3t 1 / it \3
slnT8-^!F" llg-j '
nous faisons une orrour n'excédant pas
ïJ5.(0^).<4.io-.(^.<o,a).
Dans le second membre de la formule précédente —rg- il fautcalculorcha-
que lormo avec six décimales, parce qu'alors l'erreur globale no sore pas
supérieure à
2-0,5- 10-°+4-lÛ-»=5.10-3.
Avec cette précision nous avons:
^- = 0,174 533, -i {—} 3 = 0,000 886, sin -^- = 0,173 647,
dont les quatre premières décimales sont exactes.
IV-2-6. Binôme de Newton. Nous avons ici en considérant
x > — 1, c'est-à-dire 1 + x > 0:
/ (x) = (H- x)m, f(x) = m(i+ x)m-\ ....
/W(a) = m(m--1)... (m— k+i)(i+x)m-h,
7(0) = 1, f {0) = m, .. .,fW{0)=m(m—i)... (m-h + i).

332 CIî. IV, LES SBRIES, APPLICATIONS AUX CALCULS APPBOCHES
où m. est un nombre réel quelcopque, dé sorte que la formule (13)
nous donne:
(1+^-.= 1+.^ + -^=11^+...+
+ m(m-i).^(m-n + i) x» + Rn{x)) (21)
où le membre restant peut être défini d'après la formule (8), pour
a = 0;
En considérant que dans le cas présent :
/<n+D (t) = m (m -1)... (m - n) (1 + t)m-n~\
nons pouvons écrire :
Rn{x) = "fr"-^-•("-") J*{x_t)n(1 + ^—idf. (22)
En appliquant à cette intégrale le théorème de la moyenne (13)
du paragraphe [III-2-2], et en désignant par Qx, où 0<G<1,
la valeur de / située entre 0 et a; et faisant parti du théorème de la
moyenne que nous venons de mentionner, nous obtiendrons:
i?n (s) = m{m-i). (m-n) ^ _ ^.., j + g^-n-j P* M =
2*n (ïrêH1 H-fer1^- (23)
(«t—l)(m — 2)... (w-n)„n /_ir±ïn/
= ni
Si Rn —y 0, la série
l+«.J+»U|plt«i+...+ ^-1)-^0--.+1) g»+... (24)
doit être convergente [IV-1-1J. Nous avons:
u„j.j I I râ—1 + 1 I i r
^s±i.|=| _ii-*|->|a!| pour a-^oo,
c'est pourquoi la série est absolument convergente pour | a | < 1
et diverge pour | x [ >• 1 [IV-1-7]. Bien que la série (24) converge
pour | x | <C 1, il n'est pas certain que dans ce cas sa somme soit
égale à (1 + x)m, et il faut encore démontrer que Rn (x) ->• 0 pour
\x | < 1. Le facteur
(to-1) (m-2)...(m—n) n
dans l'expression (23) pour i?„ (x) sera le terme général de la série
convergente (24), dans laquelle m est remplacé par (m — 1), et c'est
pourquoi [IV-1-1], il tendra vers zéro pour n -»■ oo.

IV-2. FORMULE DE TAYLOR ET APPLICATIONS 333
Le facteur f ~B V n'est pas supérieur à l'unité pour toutes
les valeurs de n. En effet, dans le cas étudié, — 1 < x < + i,
c'est pourquoi on aura aussi bien pour les valeurs positives que
pour les valeurs négatives de x: 0 < 1 — 9 < 1 + 6a;, d'où
°<-Sf<* - »<(-sr<^
Le dernier facteur mx (1 + to)m-ï est également borné, étant
donné que le nombre (1 + 6») est situé entre 1 et 1 + a ot que
mx (1 + Sa:)™-1 est situé entre les limites mx et mx (1 + x)m-*
qui ne dépendent pas de n.
D'après ce qui a été dit, il est clair que i?„ (x), grâce â la
formule (23), est un produit de trois facteurs dont l'un tend vers zéro,
et les deux autres restent bornés lorsque n croît indéfiniment, c'est
pourquoi
Rn(x)—9-0 pour n—>oo.
Ainsi, le développement
(1+3:)- = 1+-^ + ^^=11^+...+
+ Bt(m-l).^.(m-n + l)a;»+ _ (2g)
«sfc valable pour toutes les valeurs de x vérifiant la condition
\x\<i.
Lorsque l'indice m est un nombre entier et positif, la série (25)
se termine par le terme B = met devient la formule élémentaire
du binôme de Newton. De façon générale, le développement (25)
donne une généralisation du binéme de Newton pour un indice
quelconque m.
On a quelques cas particuliers du binôme:
T±- = i+x+x*+x*+...+x« + ..., (26)
)0+ï = l+±x-^x*+^x'-l±±x>+..., (27)
' 1 'h ilSx* ^3-5^ I ^3,5,7^ (281
,-1 2 ^2.4 2.4-631 +2.4-6-8^ ■■' ^a>
Notons que la fonction (1 + x)m a des valeurs positives pour
lont x >■ — 1 [II-1-19), [1-2-20], c'est-à-dire que la somme de la
série (24) est positive pour — 1 < x < + 1. En particulier, la
série (27) donne, par exemple, dans cet intervalle la valeur
positive de j/i + x.
Exemples. 1. Extraction de racines. La formule (25) est particulière-
racmt pratique pour extraire desracines avec n'importe quel degré de précision.
Soit à extraire la racine de degré m d'un nombre entier A. On peut toujours

334 CH. IV, LES SERIES, APPLICATIONS AUX CALCULS APPROCHES
trouver un nombre entier a tel que la puissance m de a soit aussi proche quo l'on
veut de A, do sorte qu'en mettant A — a™-f-6, où | 6 | < am, nous ayons:
Etant donné quol-^j < 1, on remplaçant -^ par x, nous pouvons cal-
m/ F
culer 1/ 1-)—— suivant la formule dulrinômede Newton, et la série sera
d'autant plus convergente que la valeur absolue du rapport considéré sera plus petite.
Calculons par exemple p 1000 à 10"5 près. Nous avons :
$/1035=^1024-24 = 4 (l-.-|g),/s =
L 5 128 5 10U28J 5 10 15 \ 1M) y
Arrêtons-nous sur ces termes et évaluons l'erreur, en mettant dans la
formule (23):
Le facteur I , ■ a 1 , comme nous l'avons déjà vu, est compris entre
zéro et un. Lo facteur (l+Oa:)™-1 sera:
(»-»Ar<('~A)^-(sr<(tr-(fî)4<(4)#'
étant donné que
y 5^5^-3'
.Finalement à partir de la formule (23), nous obtiendrons :
/,|^'l<ï^'4"'4-T'T(ïlâ)4<2'0'2'0'8-0'G,2,8"(0,03)4<5,10"7-
Il faut faire le calcul dos termes restants avec six décimales, étant donné
(jue l'erreur globalo no dépassera pas alors:
4-3-0,5-10-e+5.10-7=G,5-10-«< 10-6.
On peut ordonner lo calcul de la façon suivante :
1=0,2
iTîH'08
vwlr»m
X ^ = 0,023 4375X0,2=0,004 687
X (ï28)2=°-000549X0,08=0,000044
X (î|g)3 = 0.000013X0,048=0,000001
0,004 732
1-0,004 732=0,995268
X4

IV-2. FORMULE DE l'AYLOR ET APPLICATIONS 335
2. Calcul approché de la longueur d'une ellipse. Au paragraphe [111-3-3],
on a obtenu l'expression suivante pour la longueur l d'une ellipse dont les doux
demi-axes sont a et 6:
i = 4^" Vo2sin»«+4ïcos*«(J« = 4o C" y sia2«+^cos2 t dt
[formule (22)]. En introduisant dans l'étude l'excentricité e de l'ellipse:
nous obtonons :
a2_ft2 fcï
e2_ — -»=1— e2,
pxr/2 j
2 = 4o \ l/i—e^co^tàt. (29)
Jo
il est impossible de calculer exactement cette intégrale mais on peut lu
calculer avec lo degré do précision que l'on voudra, en mettant la foncliun
à intégrer sous ferme de série de puissances do e *
l/i—e?co&l=l— 4- kzces» l+ 2 \m .. 's« ces4 i—
i (4-1) (4-2)
-1.2-8 ^^+..-
1 1 1
1 — -^ B2 COS4 * — -=■ 8« COS« t— Tjje6 COS« < + -ff;
3t
où l'erreur i?3l si on l'évalue d'après la formulo (23) pourn=3, vérifie
l'inégalité:
i. L A 1.
2' 2'2'2 „ - / 1—0
„ 2 2 2 2. - / 1 — 0 \8 ,
étant donné que :
X(l-ee*cos>oK|^S, <3°>
et
(i_9 \3
l_0e2cOS3|,j <1
i-i -i
(1—Oe4cosa«)2 <(1— E3cos2i) s.
* Ce développement est évidemment possible, puisquo pour l'ellipso
b < 1, c'ost pourquoi lo terme —e* cos4 * qui jouo ici le rôle de x dans la
formulo du binôme do Newton, est inférieur ù l'uislté en valeur absolue.

336 CH. IV. LES SBRIEE, applications aux calculs approches
En portant cette expression dans (29) pour l, en intégrant et en se rappelant
1a formule (27) de [111-2-7], nous trouvons:
^lTaosStdt+î7s*dth2na b-h'-r^-à^ ■ <31>
où, d'après la formule (lOj) (1II-2-2J et d'après l'inégalité (30),
I 2 pJi/2 „.1^5 B8 2 (W2 . .
| H t)a | 32 T/ïZTp ai Jo
175 e8 0,05k8
La formula (31) est commodo pour calculer la longueur de l'ullipse surtout
pour les petites valeurs do l'excentricité. En se basant sur cette formule, on
peut trouver une construction géométrique simple de la longueur approchée do
l'ellipse ou on a seulement des circonférences.
Nous désignerons par l, et h respectivement les moyennes arithmétique
«t géométrique des domi-axes de l'ellipse:
(i=^±, z2=ysî
ot nous comparerons la longueur l de L'ollipso avec les longueurs 2nli, 2nîj
■des deux cercles de rayons ^ ot h.
En remarquant que:
h=ayî=&, ï+*=|.[i+y(-rp], y^=0{,-rrp,
«t en développant en séries au moyen de la formule du binôme do Newton, nous
obtiendrons sans peine les expressions suivantes:
2n;1=2nB[l-i82-lsi-ie8+p1], (32)
2^2=2JW [l—ie8-|B4-îlB»+p2] , (33)
où les erreurs Pi et Pz évaluées d'après la formule (23) vérifient les inégalités:
,„i^5 e» . . ^ 77 E8
IPll<32VÎr?, !P2l<5Ï2(1_eî)8/<'
D'où il est clair que pourune excentricité petito, lorsqu'on peut négliger les
■degrés élevés de e devant e2, on peut prendre pour la longueur de l'ellipse, la.
longueur de n'importe laquelle des deux circonférences dont les rayons sont égaux
aux moyennes arithmétique ou géométrique des deux demi-axes. Si on désire une
plus grande précision, on établira l'expression:
œ-2nïi + p.2n^ (34)
en choisissant les facteurs et ot 8 de façon qu'un plus grand nombre de termes
coïncident dans les expressions (31) et (34). Etant donné que les deux premiers
termes de chacune des expressions (31), (32), (33) coïncident, on doit avoir
avant tout;
a+p=l.

n-2. FORMULE DE TAYLOR ET APPUCATIONS
387
En égalant les coefficients de a1 dans les expressions (3f) et (34), nous
obtenons:
â+H-â ou 4«+6^3-
En résolvant les doux équations obtenues par rapport à a et p\ nous aurons :
3 „ 1
En portant ces valeurs dans (34), nous avons:
a-2nlt + (i-2xl2=2a. fi-Z,—l-i8j =
= 2™ ^-^^-35^+1^-4-¾) * (35)
c'est-à-dire une les ternies coïncident non souioment avec e», mais aussi avec
e", ot la différence entre (31) et (35) n'apparaît qu'avec les termes en eB. En
considérant les évaluations trouvées ci-dessus pour p, p,, (>t, et en tenant compte
do ce que :
1 1 ^ 1 iZi.l 3 IL Ls-nL
yïrriâ e ^-^/^ i-e»' 2>2 +33' a"*1 512' 2 <"*'
nous pouvons finalement dire; avecune erreur ne dépassant pas, J_ a, on pew*
prendre pour longueur âe Veîlipse de demi-axes a et h et d'excentricité e fo eir-
conférence de rayon r tel que ;
l.V-2-7. Développement de In (1 + as) *. On peut obtenir ce
développement à partir de la théorie générale, mois lions
utiliserons un autre moyen qui est très commode dans de nombreux cas.
Nous exprimerons In (1 + x) sous forme d'une intégrale définie.
Nous avons, do tonte évidence, pour x > — 1 :
$^ = ln(i + *)f=In(l + *)-lnl = ln(l + *>.
c'est-à-dire que :
Mais on. a l'identité:
* La fonction In x ne peut être développée eu série de puissances de -x,
car pour x = 0, elle et ses dérivées présentent «ne discontinuité ol tendent
vers l'infini.

338 CH. IV. LES SfiEIES, APPLICATIONS AUX CALCULS APPROCHÉS
que Ton obtient directement en divisant l'unité par 1-f-f et en
s'arrôtant lorsque te reste est ( —l)™*". De sorte que:
in<i+*>-S"îîï=S;[i-*+*,-*,+---+(-1)^^+
+-4tï-J d' = a:-y+T-T+ ■ ■ - + -^—+fl-(*>«
^) = (-1)^¾½. (36)
La série
pour laquelle
= -^-1^1-^1^1 pour n—>oo,
est cei'lainomonfc divergente pour | x [ > 1 (corollaire de [IV-1-4])
et c'est pourquoi if faut étudier seulement le cas : | x | < 1, * = ± i.
Le cas de a; = — 1 doit être également rejeté, car, pour x = — 4,
la fonction In (1 + x) tend vers l'infini.
Ainsi, il ne resto que les cas où : 1) | x | < l, et 2) z = 1. Dans
le cas 1), en appliquant à l'expression (36) pour R„ (x} la théorème
do la moyenne {III-2-2J, et en considérant que C ne change pas
de signe lorsque t varie de 0 à a;, nous avons :
*»m~^K«"*=tS8ÏKt (°<e<1>' (37>
d'où, étant donné la condition 1«|<1, on obtient):
I *»(*>!<-sir rps-
Le facteur ■.-, „ dans le second membre de l'inégalité
précédente reste borné pour toutes les valeurs de n, car il est compris
entre les limites 1 et v-r—, qui ne dépendent pas do ra, et c'est pour-
1 + 2:
quoi pour les valeurs étudiées de x
Rn (x) —> 0 pour n —> oo.
Nous obtiendrons le même résultat dans le cas 2), lorsque x = 1.
La même formule (37) pour x = 1 donne :
l*.(*>l--4r-nhr<TiT

I-V-2, FORMULE DE TAYLOR ET APPLICATIONS 339
c'est-à-dire que de nouveau:
i?n(l)—»■ 0 pour n —s-00.
Ainsi, le développement :
111(1+*)«*--îr+^- •••+( , +-■■ (38)
a lieu pour toutes les valeurs de x qui satisfont aux inégalités:
—1<*<+1. (39)
En particulier pour x = i, nous avons l'égalité:
. ,,2-1-4.+4.-...+^+...,
que nous avons déjà citée (1V-1*61. La formule (38) ne convient
pas directement pour calculer les logarithmes, car on suppose que x
vériîie les inégalités (39) et, de plus, la série dans le second membre
ne 'converge pas assez vite. On peut la mettre sous une forme
plus commode pour le calcul. Pour cela, mettons dans l'égalité :
3& X3
ln(l+*) = a—2" + -g—-■•
(—s) à la place de x, ce qui donne:
In (1 -x)- -*—Ç. —Ç- ... (| x|< 1),
et, nous soustrayons membre à membre. Nous obtiendrons :
in4Ér=2(*+4r+4+...)<i*]<i).
En supposant que :
l+* _!+.£._.•+£., x = ^-, (40)
'a n 2a 4-z v '
1—a: ' o a ' 2a-\-z '
bous avons
,„ a + s J ■ , 1 z3 , '1 s" "1
lnT~ = il7a-^ + T' {2a + ï)S +T,"(2a + i)6 + " ' " J •
OU
ln(a + Z) = lna + 2[.24i+4-12^+...]. (41)
Cette formule convient pour toutes les valeurs positives de a
et de z, car *= —%— est alors compris entre zéro et un. Elle convient
d'autant plus au calcul que la fraction „ * est plus petite, ou
que (ce qui revient au même) z est plus petit par rapport à a.
22»

340 CH. IV, LUS SÈMES, APPLICATIONS AUX 0AW1U1S APPHOCK8S
La formule (41J est très utile pour caicnler les logarithmes. Bien qu'en
réalité la table deslogarilhmcsn'aîtpas été calculée à l'aldo do séries qui, ù l'époqno
daNoper et delîriggs, n'étaiontpasoncoroconnucs, la formule (41), cependant,
peut être utilisée pour la vérification et lo calcul rapide de la tahlo do
logarithmes. Supposons que dans (41), z =■ 1, et prenons successivement; a — 15, 24,
80; nous obtiendrons:
inl^in^f^f^-t-...]^,
In25-In M«2 [^+-^+. ..] = M.
tn81-lnao = 2[îâI+ff4j+...]-iM,
où les séries t', Q, Il convergent très vite. Ces égalités nous donnent les équations '-
41n2—ln3—]ii5 = 2/\
— 3 ln2—lu3 f 21ii5=2Ç,
—Un.2-MIn3-ln5 = 2»
pour définir les valeurs de In 2, lu 3, In 5. En résolvant eus équations, nous
trouverons sans peine :
ln2 = 14.P-M0ÇI- 67?,
ln3=-22P-|-luQ+10fi,
ln5 = 32/'+2<i(?-|-«rt.
Les lugaritlimos ainsi obtenus seront les logarithmtfs naturels; giâco à eux:,
nelus trouverons lo module M dos logarithmes de base, 10 ;
.W=-j~jô-=.<Vi342fl<H819 ...,
ce que sachant nous pouvons passor des logarithmes naturels aux logarithmes
décimaux suivant la formule;
Igjoœ^Mhia;.
De façon analogue, utilisant les développements en facteurs:
«= 241» -100.23.3, a + * = 2401 = 74.
«= 9800 = 100.2-7», » |-*= 0801=^. 11»,
rt = 123 200 = 100-2^.7-11, a f s=-123 201 ^3"-132,
«== 2600^100-2-13, a + i--= 2601 = 3=-173,
«*=■■ 28899 = 82-13*.19, a \-s= 28900 = 100-173,
nous calculerons :
In 7, laU, In 13, ...
Lorsque nous aurons déterminé les logarithmes de nombres simples, nous
déterminerons sans l'aide des séries, mais soulemont à l'aide d'additions et do
nuiltiplicatiwïS de facteurs entiers, les logarithmes des nombres composés que
1 on peut toujours développer en factours simples.

IV-2. FORMULE DE TAYLOIl ET APPLICATIONS 34J
1V-2-8. Développement de arc tg x. Nous procéderons ici coiiimo
pour le développement de 1« (1 -|- x). Nous avons:
d arc tg t=j^.
Nous obtenons en intégrant :
V T+W~ uc tg t\l= arc tg x~ aic tg ° — ai'c le x'
où arc tga\ comme dans l'exemple du paragraplie [1)1-2-51, a une
très grande importance. Nous avons donc :
-^--1-+-^---+( L-1 +*»<*>■
^(*)=(-irî:5S- <42)
La série
pour laquelle la relation
: a:2 —> #2 pour n —*■ oc
| «n_i I 2b —1
diverge certaiiiemenl pour a;2 > 1 ; c'est pourquoi il suffit que
nous noua limitions au cas a-2 <J 1, c'est-à-dire:
-1<*<+1. (43)
En considérant d'abord 0<a.'<;i, nous obtiendrons à partie
de la formule (42), d'après VJI IIIÏ-2-2! :
car il csL âvitJent quo
I /2"
Si a: < 0, en introduisant à la place de t une nouvelle variable,
t = — x, nous obtiendrons

342 CH. IV. LES SÊHIES, APPLICATIONS .AUX CALCULS APPROCHES
Ici, la borne supérieure [—x) est positive, c'est pourquoi
l'évaluation donnée plus haut pour | Rn {x) | est encore valable, c'est-à-
dire que le développement:
are tg»=»—%- + ■%-- ••■+' 4»-î +"■ (**>
est justifié pour toutes les valeurs de x gui ne dépassent pas l'unité
en valeur absolue.
En particulier, pour x — i, nous obtenons:
. . « j 1 , 1
arctgl=T = l—3-+-5----.
Cette suite, en raison de sa lente convergence, ne convient pas pourcalculcr
Jt. La suito (44) convorge d'autant plus vile que x est petit. Supposons, par
exemple, que
x—-r- st <p=arc tg-=-.
Nous avons :
. 0 5 5
25
C ' 120
»**-—»;--ïïT'
1 144
Etant donné que tg4<j> diffère peu de l'unité, l'angle 4qi diffère peu do
-7-. Introduisons cette petite différence
i|>=4<p— -7-, -7-=4^)-11).
De là, nous concluons que
tg4«p-tg^-
tgH>=tg ^4q>-^-)=- r
113 1
+ tg4«p-tg-^-
ce qui donne :
, . 120 239 *
1+w
-^- = 4ip - ¢=4 arc tg -g—arc tg -^-
L5 S 5» + 5 5« 7 5? ^""J L239 '"J

1V-2. FOBMULB DE TAYLOR ET APPLICATIONS
343
Les deux suites entre crochots sont à termes alternésfIV-1-6], c'est pourquoi,
on nous limitant dans chacune d'elles aux„ termes écrits, nous ferons uûo
erreur qui ne dépassera pas:
W+W<°'5-,°"'
Si nous voulons obtenir ai avec une précision de l'ordre do 10-*, nous
calculerons les termes avec sept décimales, car alors l'erreur dans ta définition do
— ne dépassera pas:
4-4-0,5-10-7+0,5-10-' + 0,5-10-0<2-10-8,
mais l'erreur sur rt no dépassera pas 8-iO-8.
Nous ferons le calcul suivant le schéma suivant:
g=0,2000000
^4-=0,000064 0
5-55
+0,200 0640
5^3 = 0,002666 7
»•5*
^— = 0,0000018
—0,002 668 5
^ 0,197395 5
* 4
_ 0,789 5820
"239"~ -0,0041841
„0,785397 9
x 4
lias, 141 591 6
La valeur du nombre n avec huit décimales est 3,141 591 05. On peut
obtenir pour | x | ■< 1 lo développement :
arcsina;=-;—I— -
1 2
1 x* , 1-3 z&
1-3-5 ... (2n—1) *2»+>
"+ 2-4 5 + •" + 2-4-6 ... 2n
"2rë+ï
-f... (45)
IV-2-9. Formules approchées. La série de Maclaurin, lorsqu'elle
converge, permet de calculer de façon approchée la fonction / (x),
en la remplaçant par un nombre îini de termes du développement:
/(0) +
»/'(0) , *T(0)
1!
21
+ -.
Plus x est petit, moins il faut prendre de termes dans ce
développement pour le calcul de / (os) avec une précision voulue. Si x
est très petit, on peut so limiter aux deux promiers termes on
rejetant tous I.es autres. Ainsi on obtient une formule approchée tris simple
pour f (x), qui, pour les valeurs petites de x, peut souvent remplacer
une expression exacte très complexe de / (x).

3/,4 CH. IV. LES SÉRIES, APPLICATIONS AUX CALCVLS APPROCHÉS
Donnons les formules approchées pour les fonctions les plus
importantes :
\fA+xœ 1-r— , sinisii,
———-ail—— , cosœRsl — 4r .
(1-|- a:)"»; l-j-/w, tg#p»a:,
«* «; 1 + x In ff, lii(l-f-a;)«a;.
. En utilisant ces formules pour les valeurs do x voisines de zéro
(positives et négatives) on peut simplifier considérablement des
expressions complexes.
Exemples.
/ y , m \n I. , '» V
A I m I tt ^ * I
n »
2- ,n>/rTf=~"ï"ln<i_*)_4-ill(14-*»'*'—É-*—5— *'
a. Déterminer l'accroissement du volume d'un corps que l'on chauffe
(dilatation en volume), lorsqu'on connaît lo coefficient de dilatation lincairo a.
Si uno des jnesuros linéaires du corps est 1$ pour C, lorsqu'on chauffe jusqu'à !■",
elle soin
I = î(,(l+at).
oc. coefficient de (Ululation, est pour la plupart des corps une grandeur très
petito (■< 10^E). Etant donné que les voluinus so comportent curtuno des cubes
dos dimensions liiiéairos, nous pouvons écrire :
» = (i + at)» , {i +e/)^„û(1.H
"» 1
c'est-à-diro quo lo nombre 3a nous domio le coefficient do dilatation en volume.
3'pur la densité p, qui est inversement proportionnelle au volume, nc>us
trouverons une relation analogue
Toutes ces formules approchées coiiviciment, naturellement, pour des
valeurs de x suffisamment petites, et comme dans te cas contraire olles duvionnent
imprécises, il faut prendre les termes suivants du développement.

IT-2. FORMULE DIS TAYLOR ET APPLICATIONS 345
IV-2-10. Maxima, miniraa et pointa d'inflexion. La for-
mule de Taylor permet de compléter la règle au moyen de laquelle
on trouve le maximum et le minimum d'une fonction, règlo donnée
au paragraphe III-3-2]. Dans la suite, nous considérerons que / (*)
a des dérivées continues jusqu'à l'ordre n au point x = x0 el nu
voisinage de ce point.
Si pour :« = ,¾ les (« — 1) premières dérivées de la fonction f (#)
s'annulent:
fW=fW=...=/,n-"W=o,
où, la dérivée n,ime de /(") (xa) est différente de zéro, la valeur x0
correspond au sommet de la courbe, si n, c'est-à-dire si l'ordre de la
première dérivée ne s'annulant pas, est un nombre pair :
si /(nJ (¾) < 0, on a un maximum,
si /(n) (3¾) > 0, on a un minimum ;
et si n est un nombre impair, la valeur xa correspond non pas à un
sommet, mais à un point d'inflexion.
Pour cette démonstration, il faut étudier les différences;
f(x0 + h)—/(s0) et /(zo—&)—/Oo),
où h est vu nombre positif suffisamment petit. D'après In
définition du maximum et du. minimum [I'L-3-2], il y aura un maximum
au point xK si ces deux différences sont inférieures à zéro, et il
y aura un minimum si elles sont toutes deux supérieures à mvo.
Si ces deux différences sont de signe différent pour des h positifs
aussi petits que l'on veut, il u'y aura pas pour .-Ko ni do maximum ni
do minimum. On peut calculer ces différences par la formule do
Taylor, si on met x0 au lieu do a et ±& au lieu do h * :
/(*d+A)"=/(*o)+-î5-/'(^)+...+^^-^^(^.) +
+ -^/("WGA),
/(^)-/(^--^-/-(3.)+...+ '-g^r f,n"i)^ '-
+ {zzirj^fW{Xg_Qih) (0<e<l et 0<0,<1).
Par hypothèse:
/' (¾) = f (*„) = ... = /0-» fo) = 0, /<"> (¾) ^ 0 ;
* Nous prenons le reste du type de Lngrange ; lo nombre 6 se trouvant
ciiire zûro ot unité n'ust pas lo même pour (+¾.) ot (—'0, c'est pourquoi nous
avons écrit 9, dans la seconde formule.

346 CH. IV. LES SÉRIES, APPLICATIONS AUX CALCULS APPROCHÉS
c'ost-à-dire :
/ <*,+*)-/ W = -^-/"" (** + »),
Comme nous avons supposé que /<,l) (a;) est continue, pour h
positif suffisamment petit les facteurs
/(fl)(so-f-Gft) et /(B)(xe-GiA)
sont de même signe; leur signe est notamment celui du nombre
/"" fao) qui est différent de zéro.
Nous avons vu que le point xa ne peut être sommet que lorsque
les deux différences / (½ ± h) — f (xK) sont de même signe, et
d'après ce que nous venons do dire, cela ne peut se produire que si n
est pair, car alors les deux expressions / (x0 ^ h) — / (xe) seroat
do même signe ; dans le cas contraire, oà n est impair, les facteurs hn
et (—l)nhn seront de signes différents, ot les différences que nous
éludions seront également de signes différents.
Supposons maintenant que n est pair; le signe commun des
différences / (x0 ± &) — / (x„) est- le même que le signe de /(n> (xe).
Si /""(^o) <. 0, alors / (x0±h) — / (x0) < 0, et nous avons un
maximum ; et si fm(xa) > 0, / (x0 ± h) — / (x0) > 0, et nous
avons un minimum.
Si n est un nombre impair, dans tous les cas ra^>3; pour la
dérivée seconde f («) nous obtenons à partir de la formule de Taylor
l'expression:
^(^ + ^^^^ + ^
f <*«>-*) -■t~sr2jr,/w (*o-flaft),
d'où, en raisonnant comme précédemment, on voit qu'étant donné
que {n — 2) est impair, la fonction f (jp), en s'annulant pour
x — Xq, change de signe, c'est-à-dire que la valeur x0 correspond
à un point d'inflexion [1I-5-2L ce qu'il fallait démontrer.
IV-2-11. Calcul des expressions indéterminées. Soit le rapport
de fonctions:
<p (g)
<jui s'annulent toutes les deux pour x—a. Pour lever
l'indétermination do l'expression
,.<P(s) 1

IV-2. FOBMULE DE TAYLOR ET APPLICATIONS 3«
pour <p (a) — ty (a) — 0, nous développons lo numératour et le
dénominateur en série de Taylor:
, . / > ,, , , (x—o)2q>°(a) . . {x —t]»«i»i(j}
(a-c)«»i<p"'*i>(S1)
"^ (« + !)!
■ / \ / \ n/ \ i (a —a)*it*<a) , , (s—a)" 1|>»" (fl) ,
(n+l)l
ot, après avoir divisé le numérateur ot lo dénominateur par une
certaine puissance de (a; — a), on iait x — a.
Exemples.
. ,. i—cos2a: ,. r 2 ^ 24 ^ ;
1. Iiin^=—;—s—= lim —
«• «•*-!-»» -0 (^+^+^+...)^.^,:
2-1**1-... 4
= lim -jj ç= -g- .
*-0jL.|"l+... 9
2 r-ç-^-r---
La même méthode peut être utile pour lover des indéterminations
d'autres types. Examinons un exemple.
2. lim(fi*—5iï+l-a;).
.Nous avons ici une indétermination de type (oo — oo). Nous avons:
"{['-(4:à)]'"-}-
Pour dos s suffisamment grands on valeur absolue, la différence (- ^ j
tend vors zéro, ot nous pouvons appliquor la formule du binôme do Nowton (25),
1 / 5 1 \
pour m=Tr, eu remplaçant x par— I 5) :
L1 lr-^jj -i-T\^-^)+—si—U_^J + '"

348 CH, IV. LES saniES, APPLICATIONS AUX CALCULS APPROCHÉS
lin reportant cotto valeur dans l'expression ontro accolades el en retranchant
un, nous «Mtondrons ■.
^( —ru3^) '<-■■••
où tous les termes qui n'ont pus été écrits contieiinont uniquement des
puissances négatives do x, c'est-à-dire qu'à la limite pour .r -> oo, elles sont nulles,
eL par suite :
lim (f ¢3-5^^1-^)=—|.
La possibilité de passer à la limite dans lus séries infinies, que nous avons
utilisées dans co paragraphe, peut, facilement être justifiée, et nous n'insisterons
pas Ift-dessus.
IV-3. Compléments à la théorie des séries
IY-3-1. Propriétés des séries absolument convergentes. La notion de série
absolument convergente, a été exposée au paragraphe [1V-1-7J. Maintenant nous
allons nous an'êter à des propriétés plus importantes.
La somme d'une série absolument convergente ne dépend pas de Vordre de ses
termes.
Démontrons cotte affirmation d'abord pour les séries à tonnes non négatifs
qui, comme nou« le savons [IV-1-3J, peuvent ou être convergentes (donc, on
particulier, absolument convergentes) ou bien divergentes.
Ainsi, soit une série convergente à termes positifs («on négatifs);
Wj >-Ui + u3—... 1-Kn-l-..- (1)
Soit .¾ la somme de ses n premiers termes, et s sa somme. Nous avons
évidemment :
sn < s.
En plaçant les termes de la sério (1) de la manière qu'on voudra, on
obtiendra une autre distribution des termes ,'t laquelle correspondra la série
vt |- a2 -\-1¾ -r ■ ■ ■ -I - "n -I-. • •, (2)
composée dos mîmes termes quo (1), mais dans un autre ordre, (te,sorte que
chaque tonno de la sério (1) possède, un numéro déterminé dans la série (2) et
réciproquement. Soit a„ la somme do n promiocs termes de la sério (2). Pour toute
valeur de n, on peut trouver un nombre m aussi grand quo possible tel que tous
les tennis entrant dans la somme c„ entrent dans sm, o'ost pourquoi
°n ^¾ sm <^ St
Ou a ainsi démontré l'existence du nombre constant s, ne dépondant pus
de n, tel que pour toutes les valeurs do », nous avons ;
d'oïl [IV-t-ijj lu convergence de la série (2). Soit O sa somma, il est
évident quo:
a-- lim <Tn<s.

1Y-3. COMPLÉMENTS j\ X,A THEORIE DES SEMES 349
En transposant dans les raisonnements précédents les séries (i) ot (2) nous
démontrerons do la mémo façon que :
«<o-,
et des inégalités a-sjs, s¢¢.0, il résulte que:
Voyons maintenant dos séries ayant des termes quolconques. lilaiit donné
qui? par hypothèse la série (1) est absolument convergente, la sério à termes
positifs
l«il-l-l«âH- —+KI+ S l»»l <3>
converse et, d'après ce qui a été démontré, sa somme s' ne dépond pas de l'nrilrc
des termes. D'autre part, les deux séries
2 {(Kl-»»)- S 7(1^1-^
<c£. [1V--1-7]) ont également des termes positifs et convergent également, car lo
terme général do chaouno d'ollcs ne dépasse pas | u„ |, c'est-à-diro le terme
général de la série convergonto (S).
D'après ce qui a été démontre, chacune d'elles no dépend pas de l'ordre des
tonnes; leur différence qui coïncide avec la sommo do la sério (1), ne dépondra
pas non plus de l'ordre des termes, et c'ost ce qu'il fallait démontrer.
Corollaire. Dans une série absolument convergente, on peut
grouper les membres de n'importe quelle manière, et tes ranger ensuite par
groupes, car si un tel groupement change l'ordre des membres, la somme de la
série n'est pas modifiée.
Remarque. SI l'on extrait d'une sério absolument convergente une
suite quelconque de termes, la série obtenue par ce moyen sera aussi absolument
convergente, etautdonné qu'on extrait une sitito do termes do la sério (3) qui a des
termes positifs, ce qui no change pas, de toute évidence, la convergence do cotlo
série. En particulier, les séries composées séparément do termes positifs ot
négatifs d'uno sério convergente seront convergentes. Nous noterons par s' la sommo
<io la sério composée dos termes positifs, et par (—.s") la sommo do la sério
composée des termes négatifs. Lorsque a croît indéfiniment, la somme % des « premiers
termes do toute la série contiendra autant de termes que possiblo des deux séries,
et nous obtiendrons évidemment à la limite;
s = lim sfi = s'~s".
il n'est pas difficile do démontrer que lorsqu'une série n'est pas absolument
convergente, les séries composées do ses termes positifs ot négatifs sont
divergentes. Ainsi, par exemple, pour la série qui n'est pas absolument convergente
11V-1-7]
les séries
et
__1 i i î
2 4 6 8'"

350 GH. ÏV. LE8 SERIES, APPLICATIONS AUX CALCULS APPBOCHÉS
divergent. La somme des n premiers membres de la première sério tend vers
(-f-oo) ot cello de la seconde série vers (—00) pour a croissant indéfiniment.
[Sn utilisant la propriété déjà indiquée .Riemann a démontré qu'en changeant d'une
façou requise l'ordre des termes d'une série non absolument convergente, on
lient rondro sa somme égalo à n'importe quel nombre. Ainsi, la notion do série
absolument convergente est équivalente a la notion de sério dont la sommo ne
dépend pas de l'ordre des termes.
Remarquons encore que si, dans une sério convergente quelconque (qui
n'est pas obligatoirement absolument convergento), nous changeons de place
un nombre fini do termes, les sommes des n premiers termes % resteront les
mêmes pour toutes les valeurs de n suffisamment grandes, c'est-à-dire que la
convergence do la série est conservée, ot la somme de la série restera ce qu'elfe
était avant. Le raisonnement et les résultats précédents demeurent aussi dans lo
cas 01I on déplace un nombre infini de termes.
IV-3-2. Produits de séries absolument convergentes. Pour multiplier deux
séries infinies absolument convergentes, on peut appliquer la règle de
multiplication des sommes finies: le produit est égal à la somme de la série que nous
obtenons, si chaque terme d'une série est multiplié par chaque terme de la seconde,
et que l'on additionne les produits obtenus. L'ordre des membres est Indiffèrent,
car la série ainsi obtenue sera également absolument convergente.
Soient les séries absolument convergentes ;
s-=u,4-k2-| |-a»-| ,\
a=ff,+tf2| \-v„-\ /
Etudions d'abord lo cas particulier où elles ont toutes doux des termes
positifs, et lorsque la multiplication s'effectue dans l'ordre suivant:
-+ulvn+u1!vn_l+...-\-unvl-i (5)
Démontrons avant tout que la série (S), dont tous les termes sont également
positifs, converge, ot ensuite que sa somme S est égale a sa.
Nous désignerons par Sa la somme do n premiers termes do la série (5). On
pout toujours choisir un nombre m aussi grand quo l'on veut pour que tous los
termes,'entrant dans 6' , ontrent aussi duns lo produit des sommes:
Sm = «i + K2+ ..--I-Bjbi Oui =^1+1¾+--.+ltei
c'est-a-dire pour que l'on ait Sn <smam, c'est-à-dire:
Sn<™, (8)
car sm < s, tfm -< a, d'où la convergence de l.t série (5) (IV-1-3).
Soit .y la somme do la sério (5), nous avons, à partir de l'Inégalité (6)t
.?= 11m ■?»<«».
Etudions à préscntle produit s„<V po«r n donné, on peut évidemment trou-
vor un nombre m aussi grand quo l'on veut pour que tous los termes onlrant
dans les sommes sn ot on figurent dans la sommo Sm ; nous obtiendrons alors :
c'est pourquoi, a la limite, pour n—>co
iWn—>»<£. (7)
Cette inégalité, en tenant compte do (G), donne ,9 -= sff, ce qu'il fallait
démontrer.

IV-S. COMPLEMENTS A LA THEORIE DES SÉRIES 351
Soient maintenant des séries (4) absolument convergentes, mais ayant des
termes quelconques. Les séries à termes positifs convergent donc:
et l«il + l«2l + ---+l«nl+---
l»lH-|»2l + -.- + KI+---.
c'est pourquoi, d'après ce qui vient d'êtro démontré, la série
!«il|vi| + |«all"il-r-|will»8l h I «211 »2 l-h -• - 4- , ,,\
+ l"lll"nH l-l«»ll«i|-|----
convergo également.
On voit que la sério (5), composée d'après la règlo précédente, sera
absolument convergente dans ce cas. Soit maintenant:
oj, aâ, ..., a'n, ... ; «;, «s, ..., a"n
b[, &â 6^, ... ; 6J, 65, ..., 6^,.,.
respectivement les termes positifs des séries (4) et les valeurs absolues des termes
négatifs. Nous savons (remarque de [1V-3-11), que les séries composées par ces
termes convergent ; supposons que :
»'-2 «;.«'-2 *;-s"=2 <.°*«2 »;■ m
n=l «=1 n=i nt»l
Comme on le sait ([1V-3-1]), nous avons:
s — s'~ s", 0=0'—a".
On a démontré qu'on peut multiplier ontro elles. Corme à terme, los séries
(8) ayant des larmes positifs; la somme dos produits des séries
s'a', s"ts", —s'a", —s"a'
contient justement los termes qui figurèrent dans la sério (5), et seulement oux,
c'est pourquoi nous avons:
S = i'a' + s',a"—s'o''--,;»a'=(s'—s") (o-'—a")=sa,
ce qu'il fallait démontrer.
Exemple. La série
I + 5+5Ï + .,. _}_gn-i+ .,. =_i_
est absolument convergente pour | g | < i, c'est pourquoi:
.-^3.= (1+5+...+51--1 + ...)(1 + 5 + ...+5^1+..0,=
= 1 + 25+85*+... + «5*-!+...
IV-3-3. Critère de Kummcr, Les critères de Cauchy et de d'Alembert do
convergonce et de divergence des séries [IV-1-4) sont, malgré lour importance
pratique, des critères très particuliers, et on ne peut pas les appliquer dans de
nombreux cas relativement simples. Le critère ononcé ci-dessous a un intérêt
beaucoup plus général.
Critère do Ruminer. Une série à termes positifs
U| + «2 + .---f"n + .., (9)
converge s'il existe une suite de nombres positifs et,, a2, ...,0^,,...1 tels que, à
partir d'une certaine valeur de n, on ait toujours
h^2—o„+1>a>0, (10)

3,¾ Cil. IV. LES 8ï5H!ESt APPLICATIONS ATJX CALCULS APPROGHÉS
vît ce t;jii un certain nombre positif ne dépendant pas de n; la série (9) divérgûi
si /iouf las mêmes valeurs de n on a:
a»-^2-- an+1<0, (11)
El
■ diverge.
O-n
Sans limiter In généralité de l'exposé, nous pouvons considérer que les
conditions du thfjoroiuo sont satisfaites, déjà à partir do n — 1. Supposons d'abord
(|uo soit vérifiée la condition (10). Nous «n conclurons, en supposant que » =
= 1, 2, a,
cCjU] — a2«2>au2, 0^2-33¾ >aa3 ctn-i"n-i—«n«n > »«n.
<l*i>îi. on additionnant tonitv ù lonue et en réduisant les termes semblables, nous
Mm venins :
et («ïH ;• k„) < aiUi—antin < diiii.
Nous voyons par là ([uo la série (8) qui a des termes positifs dont la nomme
clos n premiers Lorrues, à l'exception de «,, reste inférieure au nombre constant
—Jïi-, qui ne dépond pas in n, converge jlV-1-3].
Supposons maintenant que la condition (11) est vérifiée. Elle nous donne:
1
Un
terinos de la série divergente;
c'rst-à-iliro que lo rapport -5±1 n'est pas inférioiir au rapport correspondant des
La divergence do la série (9) résultera du lomiue des séries à termes
positifs:
Complément au critèro cl 0 d'A 1 e m b c r t. Si à partir
d'une certaine valeur de n, le rapport nti ne dépasse pas le rapport eorrespon-
un
dtmt de tlJfi des termes d'une série convergente
>}n
2 >'„, (12)
In série
co
21 «n (13)
n=l
convergera aussi. SI le rapport -n+l reste non inférieur au rapport corres-
un
pondant des termes de la série divergente (12), la série (13) divergera aussi.

IY-3. COMPLEMENTS À LA THEORIE DBS SERIES 353
En effet, soit d'abord:
«n »n '
où la série (12) converge. Nous avons successivement:
«n-t "n-l ' "n-z -b-2 ' ' " ' «i l>i *
d'où, en multipliant, nous trouvons: '
-2-^-2-, OU Kn<—i-fn-
Uj 1/f 1/j
0o l'inégalité précédente et de La remarque du paragraphe (1V-1-3] [pour
& — —\ il résulte la convergenco de la série (13). On peut démontrer de façon
analogue la dtvorgonca'de cette série dans lo cas où ^2£* >-2±i et où la série (12)
diverge.
IV-3-4. Critère de Gauss. Le critère deGauss a des applications
très importantes *, Si dans une série à termes positifs (9) :
H + uz-\-...+un+...,
le rapport —-0- peut être mis sous la forme :
Jf2--1-I_.il LÏ_rt
%i"+ « rn»'
où p>l et [d»|<„, (14)
e( si A ne dépend pas de n, c'est'à-dire que la grandeur <oa reste bornée, alors la
série (<J) converge, si u. > 1, et diverge, si u. <Ç 1.
Démarquons que dans tous tes cas où ce critère est applicable, on no peut
pas utiliser le critère de d'Alembert [IV-1-4], On obtlont la formule (14) en
développant le rapport —— suivant les puissances de —, c'est-à-dire en déga-
Mn+i n
goant les termes de différents ordres do petitesse par rapport à — ,
certainement si c'est possible.
Passons à la démonstration et étudions séparément les cas suivants:
1) u- =jfc 1 et 2) p. = 1. Dans lo cas 1) nous supposons dans le critère de Kuminer
a-^ = n, et nous remarquerons que o„ > 0, et que la série T) — diverge
(IIV-1-21). Nous avons, évidemment, dans ce cas:
SI fi>l, nous aurons à partir d'une certaine valeur de n:
"n1— £-!.+(>a >0,
un+l
* Il s'agit en fait d'une généralisation du crltèro qui a été effectivement
établi par Gauss.

354 C1I> IV. l/ES SÉRIES, APPIJ.CATIONS AUX CALCULS APPROCHES
où et est un nombro positif quelconque, infoiieur à u. — 1, et la série (9) sera
convergente Si |.i < 1, nous aurons à partir d'une certaine valeur do n:
<*n :72 ct>i+i<0,
c'est-à-dire que la série (0) sera divergente [IV-3-3]. Dan»le cas 2), nous avons:
"n _4 , i. = ^n
un+i r n "r «P '
Supposons que dans le crltèro de Kummor ot„ => n In n et formons la
série :
S~=Si^' ™
où l'on peut commencer la sommation à partir d'un nombre entier positif
quelconque n, puisque les premiers termes n'influent pas sur la convergence [lV-1-1 ].
Démontrons la divergence de cette série, en utilisant le critère intégral de Cauchy
[IV-1-5]. Nous devons démontrer que l'intégrale diverge:
S
- dx ,
Mais nous avona :
Jailns ,)a lnx dîna*
et la fonction In (In x) croît Indéfiniment en même temps que x, c'est-à-dire
que l'intégrale écrite ci-dessus diveTge réellement, et c'est pourquoi la
série (15) diverge aussi. Formons maintenant la différence 0¾ — ctn+n
en utilisant (14) :
<*»^-<*»+l=n 0+^+^) ln»-(«f 1)1u(b [-1)=
= (»+1) In n f ^'"r-C+D la (»+l) =
= ^+(,,+^(-1-^).
(16J
Lo factour «„ i-esto lorno paT hypothèse, et le rapport v_1 tend vers zéro
lorsque n -»• oo, puisque, par hypothèse, f — 1 > 0, et lu n croît plus leu-
temont que n'importe quelle puissance positive do n (exemple 2 du paragraphe-
[11-3-101). SI l'on poso , .=» — x< alors s-»- 0 et lo deuxième terme du second
membre sera;
c'osl-à-diro qu'il tondra vors (—1) [1-2-141. Nous voyons ainsi q-uu dans lo
cas considéré, la série V, — dlvergo et que [ou,—2—«n+tl -»-—1 P»uf
^-1 <*n \ "«4-1 /

IY-3. COMPLEMENTS A LA THÉORIE DES SERIES 355
n -•- oo, et c'est pourquoi pour des valeurs suffisamment grandes do n, on aura':
an-^2—«n+1<0,
c'est-a-dîre que la série (9) sera dîvorgento [1V-3-3], ce qu'il fallait démontrer.
Les critères de convergence énoncés plus haut peuvent être appliqués
à des séiies ayant des termes quelconques, si l'on remplace 1¾ par [ 1¾ ]. Mais
dans ce cas, ils permettent seulement de dire si la série donnée est absolument
convergente on pas. On pourra généralement obtenir à partir d'eux la condition
de convergence absolue, mais pas de divergence, puisque nous savons qu'une série
peut ne pas être absolument convergente et cependant ne pas Stre divergente
[IV't-îl. Nous obtenons ainsi :
Complément au critère do G a u s s . la série
Kj + u2H h«n + -" (")
ayant des termes çjueloonques, pour laquelle
1^-1-1 + -^+¾. <«>
I«b+i 1 ' n n"
où p > 1 et [ (¾ | < A, sera absolument convergente pour |i >■ 1.
Il n'est pas difficile de montrer qu'elle divergera pour n < 0. Nous avons,
en effet, dans ce cas, en considérant que <b„ est borné :
■$=î^0> 4+^ — 1 P«« - — «.
c'est pourquoi, à partir d'une certaine valeur de n, d'après la'condition p, < 0:
<1,
et
I Jfn_
I «n+iI
c'csi-ù-dire qu'à partir de cette valeur do n, les termes de la série croissent an
valeur absolue, et le terme général do ta série 1¾ ne peut tendre vers zéro pour
n -*- 00, c'ost-à-diro que la séïio (17) sera divergente.
IV-3-5. La série hypergéométrique. Appliquons les considérations
générales précédentes à ce qu on appelle la série hypergéométrique ou série âe Gauss:
ri:: C y 1) Il °P il a(»+DP»+l) ., ,
i (a, p, v, *)-1 + 57^*-\ 2Tv(v+l) x +■*• +
a(a+l)...(a + it-l)p(pj-l) ... (p-M-l)
"!?(v ~i)-..(v-t-»—i; ■'''•' c^
Certaines fonctions, que l'on rencontro dans les applications, conduisent
à cas séries. Il est facile, en substituant directement Ss nombres et, p, et y,
do vérifier, par exemple, les égalités suivantes:
F(\, p, fï; *) = t.|_*.!-i2..1-...+3:1+...=-_!_
1 — 3!
P{-m, p, p; a)-(l-,-*)'
^(g,P,P;-x)-l
|B=0-1" (1 ■'•«). (20)
23*

356 cm. îv. les afiniES, applications aux calculs approches
Pour étudier la convergence de la série (19), formons le rapport du terme
précédent avec le suivant
c'est-à-dire que suivant JIV-1-4], la série (19) converge pour | x | < 1 et
diverge pour | x | > 1. Seuls restent los cas où : 1) x = 1 et 2) x = —1.
Remarquons encore que pour les valeurs suffisamment grandes de n, les facteurs
(q -|- n), (p -f- n) et (y -f. n) seront positifs, de sorte que pour x—1 tous
les termes de la série ont un même signe pour les valeurs de n
suffisamment grandes, et pour x ~ — 1 on obtient une série à termes alternés pour
les grandes valeurs de n.
Dans le premier cas, nous avons, en développant suivant une formule de
progression (en considérant n suffisamment grand)eten multipliant terme à
terme les séries absolument convergentes obtenues [1V-3-2] ;
«n+i
(«+b)(P + ») /1+_«\ (l+JL)
-(*+*) (*+*)(A+S-S+---)*
^-1+5-5+-)-1+^=^-
«2
où la grandeur 0¾ reste bornée. Ensuite, dans le cas considéré, après avoir rejeté
on nombre suffisamment grand des premiers termes dans la série :
*■(«, P,y. 1)=1+-^-1-...+
q(q+l)...(q+B—l)p(p+l)...(p+n-l)
"" »IV{Y+1)-■■(?+»-!)
nous obtiendrons une série ayant dos termes de même signe ; on appliquant
le critère de Gauss, nous trouvons qne pour :
y— a—p + i>l, c'est-à-dire y—q—P>0,
la série est afcoEu/nsttf convergente et que pour
?—a—p + l<l, c'ost-à-diro y—a—p<0,
elle est divergente.
Dans le second cas, pour œ= — 1, nous obtenons une série à termes
alternés à partir d'un certain terme:
»P q(q+l)P(p+l)
i'V"1" 21y(?+l) --t
, B q(q+l)...(q+n-l)P(p+l)...(P+n-l)
1 ' »I?(V+l)...(r + n-D "t""*
Nous avons ici, comme avant :
I »t [._, , y—a—g + 1 <%

IV-». COMPLÉMENTS À LA. THÉORIE DES SERIES 357
c'est pourquoi, en appliquant le complément du critère de Gauss, nous obtenons
que pour!
7—a—p+i>t, c'est-à-dire 7—et—p>0,
il y a convergence et que pour
7—a—P + 1<0, c'est-à-dire 7—et —p< — 1,
la série diverge.
Au cas où:
Y-a~P=-l,
on peut démontrer que le terme général do la série tend vers une limite
différente de zéro, c'ost-à-dlre que la série sera divergente [IV-1-2]. Enfin dans lo cas
où:
-l<V-«-P<0,
on peut démontrer que les valonrs absolues dos termes do la série tendent vers
?.éro pour n ->- oo, en décroissant, c'est-à-dire [IV-1-6] que la série sera
convergente, mais pas absolument convergente. Nous n'insisterons pas sur la
démonstration de ces deux dernières affirmations.
En appliquant cela au développement du binôme ;
(1 + K)m=! +ZL *+2L£|pi) a2+... +»fe=*^j£L=»±i) »»+...,
que l'on obtient à partir de (19) (p = y arbitraire) en remplaçant a par (—m)
et x par (—s), et qui, commo nous le savons, converge pour | x | < 1 et diverge
pour | x | ~> i, nous obtiendrons comme série:
une série absolument convergente pour n&>0, si x=—1,
une série divergente pour m<0, si £*=-— 1,
une série absolument convergente pour m >-0, si 2=1,
une série pas absolument convergente pour —l<m<0, si i = l,
une série divergente pour nt< — 1, si *=1,
une série devenant polynôme pour m—un nombre entier !>0.
Nous démontrerons plus loin |IV-3-13] que si la série d'un binôme converge
pour x= ± i, sa somme sera égale à (1 ± i)m, c'est-à-dire respectivement
a 2m ou 0.
Notons que dans ce qui précède, nous avons considéré et, p et y différents
de zéro et d'un nombre positif entier. C'est important pour 7 puisque dans le
cas contraîro, les termes de la série perdent leur sens (lo dénominateur
s'annule), ot si a ou p sont nuls ou sont un nombre entier négatif, la série est
interrompue et devient une somme finie.
IV-3-6, Séries doubles. Etudions un tableau rectangulaire des nombres,
limité en haut ot à gauche, mais allant vers l'Infini à droite et en bas:
12 3 ... n
i
2
H
m
"11
«21
"31
«m|
"ia
«22
«32
*na
«13 ■••
«23 ••■
"33 ■•■
uft(3 . .
«in -■■
»2n
«în ...
■ ltrnn

358 CH. IV. LES SERIES, APPLICATIONS AUX CALCULS APPROCHÉS
Il contient une infinité do lignes, dont les numéros sont indiqués par le
jîfomior indice, et de colonnes dont les nombres sont donnés par le second indice
do la lettre n. Ainsi, utk signifie un nombie situé à l'intersection do la ligne
£ avec la colonne k du tableau.
Supposons d'abord Que tous les nombres u|„ sont positifs.
Pour définir la notion de somme de tous les nombres du tableau (22),
indiquons dans lo plan de la figure des points de coordonnées entières positives
M ({, k) et menons une série do courbes :
w, C-2» •• m £n» ■ -■,
qui coupent les axes ds coordonnées dans le premier quadrant des
coordonnées, et qui no sont astreintes qu'à la condition suivante : chaque point M doit
tomber, pour n suffisamment grand, à l'intérieur de la surface (O limitée par
la courbe Cn et les axes de coordonnées (fig. 157), ol la surface (C„) doit se
o o o o o o
Fis. 187
Fig. 158
trouver à l'intérieur do (Cni.t). Formons la somme iS» de tous les nombres u^,
correspondant aux points qui se trouvent à l'intérieur do la surface (C„). Lorsque
n croît, cette somme croîtra de toute évidence, c'est pourquoi doux cas seulement
Îisuvont se présenter : ou bien 1) la somme Sn reste bornée pour toutes les va-
eurs de n, et il existe alors une limite finie :
llm.?re =
s.
ou bien 2) la somme Sa croîtra indéfiniment lorsque n croît.
Dans le cas 1), on dit que la série double
(23)
(, A=l
converge et possède une somme S. Dans le cas 2), la série double (23) est dite
divergente.
La somme de la série convergente (23), qui a des termes positifs, ne dépend
pas du procédé de sommation, c^est-à-dire du choix des courbes C„, et peut être
obtenue également par la sommation de la série en lignes ou en colonnes:
■*-2 <2"«»)-2 (S »»).
m
c'est-à-dire par le calcul de lu somme de tous les termes do chaque ligne (ou de
chaque colonne) du tabloftu, et ensuite par l'addition des sommes obtenues.
Ea effet, construisons un autre système quelconque de courbes Ci, Ci, ....

IV-3. COMPLÉMENTS X LA THEORIE DES SËRIBS 359
. . ., Cn, , . ., ayant la même propriété que Cj, Cj, . . -, Cn, . . . Nous
noierons par Sn la somme de tous les nombres du tableau correspondant aux
points tombant à l'intérieur de la surface (Cn)- Pour n donné, on peut toujours
choisi)- m aussi grand que l'on veut pour que la surface (Cn)soit à l'Intérieur
de (Cm), et alors:
c'est-à-diro que, d'après ce qui précède, il existe uno limite finie:
5Î-+0O
En intervertissant les rôles dos courbes C„ et Cn, nous démontrerons do
mémo que:
ce qui n'est possible qu'à la condition que
Od peut obtenir la somme de la série double (23), môino on prenant pour Cn
des lignes brisées constituées par des segments de courbes (flg. 158):
i = const, ft=const.
Nous obtiendrons ainsi une sommation on « carrés» :
S="lI-H"i2 + K22+K2tH----+("in-|-K2H +"»»+Krt, n-l-r-- ---|-Krti)4-- •-
En effectuant la sommation en « diagonales», nous obtiendrons:
■f = K|t h(«i2 + "2l) + ("i3+u22 + «3l) + 1" ("» + «2. B-H +unl) + ■ ■ ■
(25)
Pour démontrer les formules (24), notons avant tout que la somme d'un
nombro quelconque de termes du tableau (22) est inférieure à S, c'est pourquoi
la sommo des termes se trouvant dans n'importe quelle ligne ou n'importe
quelle colonne est toujours inférieure à S également, d'où la convergence de
chacune des séries:
OO CXI
De plus nous avons pour toutes valeurs finies des nombres m eb n:
*i-Ni-i-.---r«m=2j (S »*)<*•
(26)
En effet, nous étudierons seulement les m premières lignes du tableau (22).
En prenant les éléments da p premières colonnes, nous avons, do toute évidence,
p m
1.,¾ "*)<'■
D'après la règle d'addltloii des séries I1V-1-2I, nous avons:
oo m -p m
7=1 ILi p-m» &=i i=.l
puisque l'expression dont on prend la limite, n'est pas supérieure à S.

300 CK- IV. I.ES SÉIUI3S, APPLICATIONS AUX CALCULS APPROCHÉS
On démontre de la même façon la deuxième inégalité (26). Les inégalités
(26) montrent que tes deux séries :
S (S »«*)-£ «-*'< S (S-'O-S/*-"'
1=1 ft=l 1=1 fc=*l i=( ft*»l
convorgent et ont des sommes no dépassant pas S, c'est-à-dire:
or'<J et <r"<i?.
D'autro part, il est clair que si l'on choisit arbitrairement le système de
courbes Cr, tous les ternes entrant dans la composition de la somme Sr
outreront dans la composition, dus deux sommes :
5i + sâ+'"-Mm. sï + sSH +«m, <
pour m suffisamment grand, c'est-à-dlro que
Sr<'i-\---.+*m<°'. J,<«5-1-... f«"„<o',
c'est pourquoi aussi dans la limite
S= limii"r<a' et S^a".
r-*oc
Etant donné que a' < S et a" < S, cela n'est possible qu'à condition quo
l'on ait:
o'=a"=S,
co qu'il fallait démontrer.
Dans les séries doubles ayant des termes quelconques, nous ne nous
arrêterons que sur les séries absolument convergentes, c'est-à-dire sur les séries pour
lesquelles la série double, composée de valeurs absolues
S I m I.
converge.
En appliquant dos raisonnements somblables à ceux do [IV-1-7]. on peut
démontrer qu'il existe pour ces séries aussi une somme:
»-» Hi *=1 TîUi fet
qui ne dépend pas non plus du moyen de sommation, et qui peut, en partionlior,
être obtenue en sommant par lignes et par colonnes,
R omarque. Beaucoup de propriétés des séries simples absolument
convergentes s'étendent aux séries doubles absolument convergentes; en particulier
la remarque de (IV-1-7) : si chaque terme'd'une série double ne dépasse pas en
valeur absolue le terme d'une série double convergente ayant des termes positifs,
la série donnée est absolument convergente.
Où même on peut étendre la propriété 2) du paragraphe [IV-1-3J.
Exemple.
1. La série
2. .t4t <*>
i, fc-=i

IV-3. COMPLÉMENTS A LA TII1ÎORIB D1ÎS SÉRIES Stf
converge pour ct>l, P> 1, car en sommant en carrés, nous avons:
où A et B désignent la somme des séries :
OQ PO
convergentes pour <x>l, P>1 [1V-1-5].
2. La série
2 TTiV (20)
converge pour a > 2 et diverge pour a < 2, puisque, en effectuant la sommation
ou diagonales, nous avons;
^=-^+^1-.+(-1)-^=^0-4-)+...+-^(1-¾.
(i \ i
1 1 d'aboTd-=•, c'est-à-dire le plus petit
nombre, puis 1, c'est-à-dire le plus grand nombre, nous trouvons:
T [iCT + • ' ■ -""^r] < *»< i^î+ ' ■ ' +^T •
—-—r pour a > 2 ot sa divergence
n=i
pour a •< 2 démontrent ce que nous avons dît.
3. Si a et c sont positifs et Jr— ae <C 0, /a série
oo
~ " (30)
i, ftt=l
converge pour f >le( diverge pour p < 1.
Soit d'abord 6 >• 0. Etant donné que, de toute évidence :
en désignant par At le plus petit dos nombres a et c, par Az le plus grand des
nombres a, i et e, nous avons:
2/MA < ai* -| 26s fc -j- ck* < /12 (i + ft)2,
d'dfi, en nous limitant nu cas qui nous intéresse /> > 0, nous obtenons :
1 1 1 1 1
Âg (i + fc)a» (oi2+26ift-(-cfta)» ^ (24,)'' j/>fcP '
ce qui, d'après les exemples 1 et 2 et la remarque faite ci-dessus, montra
qu'il y a convergence pour p > 1 et divergence pour p<i, ot dans
1 1
ce cas, il faut remarquer que les facteurs — et „. ne dépendent pas de i
et de fc.

382 CM. IV. LES SERIES, APPLICATIONS AUX CALCULS APP-ROCHtiS
Soit maintenant 6<0. En désignant par Aa le plus grand desjiombres a,
■c, | i |, d'après l'inégalité évidente: {T/Ô7)2 + ("V/c&)a>2 Yacik:
2(b+l/Tc)lk^,aii+2bik+^<Aa{i+k)K
•où i + ~|/oe > °- puisque par hypothèse | i | < "]/a~c. La démonstration so
'Continue comme dans le cas où 5 > 0.
IV-B-7. Séries à termes variables. Séries uniformément convergentes.
-Les formules de Taylor et de Maclaurin donnent des exemples do séries dont'les
termes dépendent d'une variable *. Dans la suite de ce cours, nous
rencontrerons les séries trlgonamélrlques do la forme suivante :
oa
2 (¾ cos nx+ bn sln nx),
n=i
dont les termes dépendent non seulement de n, mais de la variable x, et qui sont
très importantes.
Nous nous intéresserons pour l'instant, de façon générale, aux séries dont
3es tenues sont variables et qui dépendent d'une variable indépendante x.
Supposons que nous ayons une suite infinie de fonctions:
«i (*h «2(4. M*). •■■> «n («), ■••, (31)
■définies dans l'intervalle (o, b), Composons-on une série:
«4 (z) + «2(*)+U3(*) + ...-}-«„(*)+... (32)
Elle pout converger pour certaines valeurs de x sur (a, 4) et diverger pour
d'autres. La somme de n premiors termes sur la série (32) s„ (#) est, évidemment,
fonction de x. En ce qui concerne les valeurs de * pour lesquelles la série (32)
-converge, nous pouvons parler de sa somme s(x) et do son reste rn{x) — s(x) —
— $n (x). Alors
5(4=11015,,(1). (33)
n-t-oo
St la, série (32) converge peur tout x de (o, b), c'esl-à-dire pour a -sj x .< 6,
•ort dit qu'elle converge sur l'intervalle (a, i),
Slla série (32) converge sur l'intervalle (o, 6) et a pour somme s (.t), cela vout
-dire que pour chaque valeur donnée do x sur (a, b), en se donnant arbitrairement
le nombre positif e, on pout trouver un nombre N tel que pour toutes les valeurs
» > .V, nous ayons | rn (x) | < e pour n > AT, eu IV dépendra du choix do e.
Il fauteopendant remarquer que N dépendra, en général, aussi de la valeur choisie
pour x, c'est-à-dire qu'il pout avoir différentes valeurs pour un s donné mais
pour (les valeurs différentes de x sur l'intervalle (o, b), et nous le noterons par
tf [x). Si pour un e positif quelconque donné, on peut trouver un nombre N ne
dépendant pas de x, tel que pour toute valeur de x sur l'intervalle (a, 6), soit
vérifiée l'inégalité
|rn(i)|<« (34)
pour tout n > N, on dit que la série (32) est uniformément convergente sur
l'Intervalle (a, 6),
Eludions, par exemple, la série:
i t 1 i
ï-H (*+*)(*+2) (1+2)(2 + 3) '•' {x+n-ï) (x+n)
(35)
■dans laquelle x varie dans l'intervalle (0, a), où a est un nombre
quelconque positif donné.

IV-3. COMUL£MKN*L'S A LA THÉORIE DES SÉRIES 383
11 est facile de voir que l'on peut écrire la série sous la forme:
_! ( _J i_\ _ M L.\ _ _ ( 1 U\ _.
x + 1 \x + l x+Z) \x+Z x+3) "' \x+n — i x+n) "'
de sorte que dans le cas donné
1
sn (*) ^r-T—, » ■« (*) li»1 sn {x) = 0,
et si nous voulons que
il suffit de prendre
ar-f-rc
n> — — z=N&). (37)
Si maintenant nous voulons que l'inégalité (38) soit vérifiée pour toutes les
valcui's de x dans l'intervalle (0, o), à condition que n > N no dépende pas de la
valeur prise pour x, il suffit do poser N ——^ N {x), car alors l'inégalité (37),
ol avec elle l'inégalité (36), seront certainement vérifiées pour toutes les valeurs
de a; de l'intorvalle (0, a) à condition que n > N. La série (35) sera ainsi
uniformément convergente dans l'intervalle (0, o).
Toute série n'est pas uniformément convergente, puisqu'on no peut cas
trouver pour toute série un nombre N indépendant de x, qui ne soit pas inférieur
à tous les N (x) sur l'intervalle (a, 6),
Eludions, par exemple, dans l'intervalle 0<a: ■< 1, la série:
x+x {x—1) 4 x" {x—1) +... + i"-i (i—1)+ ... (38)
La somme des n premiers termes sera:
sn {x) = x-\- (i2— x) -f (is— x") -4 f (in — ar"-1),
c'est-à-dire :
Sji(aO = s"i
et, suivant p-2-2]
s{x)= llms„ (z) = 0 pour 0<œ<l
n-x»
Ct
7¾ (*)=s(ar) — sn(z)=— xn pour 0-<a<L
Pour * = 1, nous avons, en faisant x — 1 dans (38), la série
1-1-0+0-1
c'twl-à-dir» que:
s„(a:) = l, s(s) = lim s„(s:) = l, rn {x) = s (ï) — sn {x) = 0
Tï-K»
pour « = 1 et pour n quelconque. La série (38) converge dans tout l'intorvalle
0 -< x ^ l,mais dans cet intervalle la convergence n'est pas uniforme. En
otfot, puisque rn (x) = — xn pour 0 < x ■< 1, si nous voulons que l'inég"'"-*

364 CH. IV, LES SIÎRIES, APPLICATIONS AUX CALCULS APPROCHES
(34) | rn (x) | < e soit vérifiée, nous devons avoir ss* < e, c'est-à-dire n In x <
< lu e ou bien, en divisant par un nombre négatif In x, nous obtenons:
.In s
•^ Inœ
Ainsi, dans cet exemple N {x) = -.— et ne peut pas être remplacé par un
nombre plus petit.
Lorsque x tend vers i, In x tend vers aéro, la fonction N {x) croît
indéfiniment, et il n'est pas possible de trouver une valeur do N telle que
l'inégalité {34) soit vérifiée pour n > JV dans tout l'intervalle (0,1). Ainsi, bien que la
série (38) converge dens tout l'intervalle (0,1), ot on particulier pour a; = f,
elle converge de pins en plus lentement quand x tend vers 1 ; pour calculer avec
une précision suffisante la somme de la sério, il faudra prendre d'autant plus de
termes que z est plus proche de l'unité. Remarquons cependant que pour x =• i,
la sério ne comporte qu'un terme.
Donnons maintenant une définition équivalente de la convergence uniforme.
Nous avons donné [1V-1-8I la condition nécossairo et suffisante pour qu'une
sério converge. Dans le cas considéré, ello est formulée comme suit : pour que
la sério (32) soit convergente dans l'intervalle (a, b), pour e positif quelconque
donné ot x quelconque de (a, b), il faut et il suffit qu'il existe mi nombre jV
tel qite:
I «n+i (*) + "»+2 (x)-\ h "ni- p (s) !< e (39)
pour n > N et p entier positif quelconque. Ce N pour e donné pont dépendre
encore du choix dax. Si pour s positif quelconque donné, Il existe un seul et même
nombre N pour tous les x de (a, 6) tel que pour n >■ N et pour p quelconque
entier positif, la condition (39) soit vérifiée, on dit que la série (32) converge
Uniformément dans P Intervalle (a, 6).
H tant montrer que cotte nonvello définition de la convergence uniforme
est équivalente à la définition précédente, c'est-à-dire quo si une série converge
uniformément avec la définition précédente, elle converge uniformément avec
cotto iionvolle définition, et réciproquement. Supposons d'abord qu'une série
converge uniformément avec la définition précédente, c'est-à-dire que
I Tn [x) | <, e pour n > /f, où a;est une valeur quelconque de l'intervalle (a, b),
Ot où N ne dépend pas dex. Nous avons évidemment:
«n+l ix)+«n+2 (x) + l-«n+x> (^) = ¾ (») — r„+p (x) (-10)
et, par conséquent,
I «n+i (*) +•«»+* (x) + ■.. H-w„+p (x) |< | rn {x) | +1 rn+p (*) |,
co qui, pour n > N et, par suite, pour n + p > N, donne :
l"n-t-i (»)+"n+2(*)-l |-«n+Jp (*) l< 2s. (41)
Etant donné l'arbitraire sur le choix de e, nous voyons qne la série converge
uniformément au sens do la nouvelle définition. Supposons à présent que
la série converge uniformément au sens do la nouvelle définition, c'est-à-diro
que l'inégalité (30) est vérifiée pour » > JV no dépendant pas do x, pour p
entier positif quelconquo ot pour a; quolconque sur l'Intervalle (o, 6). La série
converge donc, et nous pouvons écrire:
r» (x) = K),+t (i)-f «n+2 (x) + ... = lim [k„+1 {x) + an+2 (i)-) +aB+x) (x)\,
ou tenant compte de l'inégalité (39), pour p ->- oo, nous obtenons à la limite
| r„ {x)\ < 8 ponr n'j> N, c ost-à-diro que de la nouvelle définition de la
convergence uniforme, étant donné l'arbitraire du choix de e, résulte la précédente, vX
l'équivalence dos deux définitions est démontrée.

rV-3. COMPLEMENTS À LA THÉORIE DES SÉRIES 365
Remarquons que dans la première définition de la convergence uniforme (34),
nous utilisons rn {x), et nous supposons par là quo la sérié converge. La seconde
définition do la convergence uniforme (39) inclut la mémo propriété de la
convergence d'une série.
1V-3-8. Suites uniformément convergentes des (onctions. La suite de
fonctions :
si{x), S2<s), ..., sn{x), ..., (42)
que nous avons étudiée ci-dessus, était définie à J'aide do la série (32) ; sn (x)
désignait la somme des n premiers termes de la série. Mais on peut étudier la
suite (42) en olle-mÊme, en considérant qu'olle est donnée, et on peut construire
à partir d'elle une série dont la somme des n première termes est le niiov> termo
de la suito sn (x). Les termes de cotte série sont définis d'après les formules:
"l(*) = »i(*)i ^2(^)=^^)-^(^). ■•■! un(x)-=sn{x)—%,_!(!), ... (43)
La suite (42) est très souvent beaucoup plus simple que ia suite (43),
comme c'était le cas dans les exemples étudies.
Nous en arrivons ainsi aux notions do suite convergente et uniformément
convergente des fonctions.
Si l'on donne la suite de fonctions (42) :
siO5). *i(*)i •••, Snfz). •••,
définies dans l'Intervalle (a, b), et si, pour chaque valeur de x dans cet intervalle,
il existe une limite:
s(x) = lim sn(x), (44)
on dit que la suite (42) est convergente dans l'intervalle (a, 6), et la fonction s{x)
s'appelle fonction limite de la suite (42).
Si, de plus, pour un s posilif quelconque donné à l'avance, il existe un
nombre N ne dépendant pas de x, tel que l'inégalité
I »(*)-«»(*)!< « (45)
soit vérifiée pour toutes les valeurs n > N dans tout l'intervalle (a, 6), on dit
alors que la suite (42) est uniformément convergente dans l'intervalle (a,4).
On peut remplacer la condition (45) par une condition équivalente :
l%(«)--%WK« (46)
pour m et n >■ N.
La condition de convergence uniforme de la suite (42) est équivalente à la
condition de convergence uniforme de In série:
^(x)-\-ui(x)+... + un{x) + ..., (47)
où (43):
tl(x) = s1(x), u2(x)==s2(a;)— sy{x) Un{x)-sn{x) — «„_,(»), ...
On peut démontrer l'équivalence dos conditions (45) et (40) on étudi ant la
convergence^ uniforme des suites, exactement de la même façon quo plus haut,
lorsqu'on a établi l'équivalenco dos conditions (35) et (30) pour les séries infinies.
Remarquons encore que, de la convergence uniforme de $, {x) dans l'intervallo
(a, b), résulte directement la convergence uniforme dans n'importe quelle
partie do (a, 6).
La notion do convergence uniforme des suites peut aussi être interprétée
géométriquement. Si nous représentons graphiquement les fonctions s {x) et

OU. IV. LES SÉRIES, APPLICATIONS AUX CALCULS APPROCHÉS
fn (x) pour différentes valeurs do », pour une suite uniformément convergente*
le plus grand Intervalle de l'ordonnéo contenue entre les courbes sn (x) et s (x)
Fig. 159
Fig. 180
doit tondre vers zéro, lorsque n-><» pour tous les x de (n, b) ; jour une suite
convergeant non uniformément, cotte condition ne sera pas vérifiée.
0.S 1,0 1,5
Fig. 161
Ce cas est représenté sur loa fig- 159 et 160, tracées pour los exemples
étudiés plus haut *:
% tà =ïT^ ' "n (*'=in
Dans le cas do la Kg. 160, la fonction limite s [x) est représentée grap h i-
quomont par lo segment (0,1) do l'axoCJf.à l'exception du point 1, et par le point
isolé de coordonnées (1,1).
II est vrai que dans le dernier exemple, la fonction limite * (x) n'est pas
discontinue. Mais il est faollo de donner un exemple de suite convorgente, dont la
fonction limitoestcontimio mais qui copondant converge non uniformément. I.o
suite (fig. 161), par exemple, a cette propriété:
s„ (x) -.
'l + n2*2
(0<*<o).
(48)
* Pour plus do netteté, ïes fig. 159 et KSO sont construites avec des
échelles différentes pour x et y.

IV-.1. COMPLÉMENTS À LA THEORIE DBS SERIES 367"
Nous avons, de toute évidence, pour x sjfc 0 :
1 + ** ni
n* ^
1 1
et pourra -*- oo, le premier lacteur de dt'oite-—*■ 0, et le second tend vers— ,
c'est-à-dire quo sn (x) -»• 0 pour x :#0. Pour .-5=0 il est êvidont quo sn (0) — O'
pour tout re, et, par suite, pour tous les x de (0, a), où a- est un nombre positif:.
s(*)= lim sn(x) = 0.
Copondantla différence maxlmaloontre les ordonnées des courbes s„ (x)oi« (x)<
qui, danslecas6tud£é,seréduitàrordonnéedelacourbesn (m), puisque s (x)~ 0,
sera -=-1 et correspondra à la valeur x= — J . Puisqu'elle ne tond pas vers zéro-
pour n -> oo, la suito (48) no sera pas uniformément convergente dans l'tntcrvallo-
(0, a) ; en effet, si nous voulons avoir:
en résolvant par rapport à n l'inégalité du second degré:
0<i—~ n+as*»8
et en considérant que e est suffisamment petit, nous obtiendrons:
^^[l + VÏ1^!"-^)-
Cotte fonction croît indéfiniment pour x -»- 0, ce qui Conditionne la fait,
que la suito ne convorgo pas uniformément.
Remarquons enfin quo. les fig. 160 et 161 montrent que la suito x71 converge
uniformément dans l'Intervalle (0, g) où ij est un nombre positif quelconque,
Inférieur à l'unité, et que la suite t 5-5 convorgo uniformément dans l'intervalle-
(q, a) où 0 <Z g <Z a, ce qu'il est facile do montrer par un calcul direct.
IV-3-9. Propriétés des suites uniformément convergentes. 1. La jonction
limite d'une suite de jonctions continues convergeant uniformément dans
Vintervalle {a, b) est également continue.
Soit:
s, {x), .¾ (x), ,.., *„(*), ...
une suite de fonctions continues dans l'Intervalle (a, b), et soit:
s(i)= lim sn {x)
îl-+a>
sa foncliou limito. Il nous faut démontrer que, quel quo soit e positif, aussi petit
que l'on veut, donné à l'avance, on peut trouver un nombre 6 toi quo l'on ait
Ii-a-11}:
]s(*f h) — s[x)\<t., si |M<Ô, (4ft

3G8 CH. Iv. LES SERIES, APPLICATIONS AUX CALCULS APPROCHES
à condition que les nombres x et x -f- h soient situés dans l'intervalle (a, b).
Nous pouvons écrire pour n quelconque :
■\s(x {-11)-3(2)1 =
= | [s (œ+*)-«■„ (*4 A)i + [sn {x+h)-sn (*)]-H% {*)—si»J | <
<]s(i+fe)-s„ (z+A) | + |s (*)-»„ («) |+| sn(x+h)-sn(x) |.
D'après la définition de la convergence uniforme, nous pouvons choisir
« assez grand pour que Von ait, dans tout l'intervalle (a, À), et en particulier pout
lus valeurs x et * -j- ft :
\*(x+h)-Sn(s+K>\<±, \s(x)-Sn(z)]<j.
Ayant ainsi choisi n, étant donna la continuité de la fonction s„ {x) jr-2-11),
nous pouvons trouver un nombre 6 tel que l'on ail :
K(*--"-*)-M*)l<|-, si |A|<ô.
32n comparant toutes ces inégalités, on obtient l'inégalité (49).
kSi une suite de fonctions converge non uniformément, la fonction limite
peut ne pas être continue; la suite s" Sans l'intervalle (0,1) peut servir d'exum-
pk\
On ne peut cependant affirmer le contraire, et, pour une suite convergeant
non uniformément, la fonction limite peut être continue, par exemplo, pour la
-suito :
1-|-««*«.■
■1. Si
»lW. Mz), ■■■ %(z), ••■
«si une suite de fonctions continues dans l'tntervalle {a, b), convergeant
uniformément, et (a, p) un intervalle quelconque inclus dans (a, b) :
ou bien :
?P % (x) dx -> Ç P s (x) dx (50)
lim \ s„ {x) (?œ= \ lim sK [x) dx. (51)
5/ fes limites d'Intégration sont variables, par exemple jî=s, la suite de
fondions ;
?*%(*)<" («=1,2,3,...) (52)
ôa
converge également uniformément dans l'intervalle (a, !>)■ Ce procédé s'appelle
passage à lu limite sous le signe somme.
Remarquons, avant tout, que d'après la propriété i) la fonction limite
•s U'i est. également continue. Etudions maintenant la différence :
f * s (x) dx- ^*s„ (?) <fc- ^ (S (*)-»„ <*)] <fc.

IV-3. COMPLEMENTS À LA THÉORIE DES SÉRIES
309
En se donnant 6, nous pouvons, vu les propriétés do la convergence uniforme,
trouver un nombro If tel que pour toutes les valeurs de n > N, dans tout
l'Intervalle (a, b), nous ayons:
I s (*) — sn {x) 1 < e,
c'est pourquoi [JH-2-2], (10j) :
I ?S [s (*)-»„(!)] dx I < ^ | s (¢)-½ (x) | dz< ?" s<?*=,g (P—oc) <8 (<>-a).
Ainsi, nous avons, pour tout intervalle (a, p) compris dans (a, o) ;
I PS PB I
\ s{x)dx—\ sn(x)âx <e{6—o)
pour n> N. Le deuxième membre de l'inégalité ne dépond pas de a ot 0 et tond
vere zéro, si e -*• 0. Etant donné lo choix arbitraire de e, nous pouvons cjnoncer
Fig. 162
le résultat de la façon suivante: pour e4 quelconque positif donné, il existe un N
ne dépendant pas de a et fj, tel que :
Se pp I
s(*)dx—\ sn{x)dx <e|
<x dct |
pour n >'W, De là résulte directement la formule (50). En supposaut que f) = x
et en considérant que N ne dépend pas de (5, nous verrons que la suite (52) con-
vorg* uniformément pour tout x do (a, b).
Pour des suites convergeant non uniformément, ce théorème peut ne pas
être vrai. Soit par exemple;
Sn <S) = BM-'*X3 (0<!T<1)
(fig. 162). Il est facile de démontrer, en traitant séparément les cas où x > 0
ot x — 0, que pour tout x de l'intervalle (0, l) :
%(*)—*0 pour n—»-oo,
24-28(

370 CH IV. LES SÉRIES, APPLICATIONS AUX CALCDLS APPHOCHËS
de sorts qu'ici s {x) •=• 0. Cette suite no peut cependant pas être
uniformément convergente, puisque l'ordonnés la plus grande do la courbe y «- % (x)
ou, ce qui revient au mômo, la valeur la plus grande de la différence sn {x) —
— i (x), que l'on obtient pour x -= . .^ , cr«îl indéfiniment pour n -+ ao.
y'Jin
D'autre part, nous avons:
$;„W*-B$;,.—dï=-|^|;=|.(i_e-n)^i,
alors que :
Ç s(ï)d* = 0.
3. Si les jonctions de la mite '.
ont des dérivées continues '.
dans l'intervalle {a, b), et que la suite Sn (x) converge unijormément vers une
fonction limite a(x), tandis que la suite sn (x) converge vers ans jonction limite
s(x), alors % (x) aussi converge unijormément et
ou bien
d lim s,t (s)
Co procédé s'appelle passage à la limite sous le signe de dérivation.
Soit ce une constante quelconque, x une valeur variable dans l'intervalle
(a, b). D'après la propriété 2), nous avons:
1
Mais:
im \ $'n {x) âx= \ a (x) dx*
i:
»ô (1) <**=sn (*)—*» (a) ~* s (*)—* (O)t
et c'est pourquoi, la formule précédente donne ;
s(*)—s(ct) = \ o{x)dx.
En différenllant cette égalité et en utilisant les propriétés connues de
l'intégrale (propriété VU) [IIJ-2-2J, nous avons:
ce qu'il fallait démontrer. Tl reste à démontrer la convergence uniforme do la
suite % (x). Nous avons:

IY-3. COMi'LËMBNTS À LA THEORIE uf'.S SERIES 371
La snile sn (a) converge et ne contient pas x. La suite V «â (x) dx converge
uniformément d'après la propriété 2). Do là résulte ta convergence uniforme de
s„ (s), puisqu'il résulte directement do la définition du la convergence uniforme
que la somme de doux suiles uniformément convergentes est aussi une suile
uniformément convergente. 00 plus, toute suite convergente dont les tonnes
jie contiennent pas x, comme par oxomple sn (a), répond à la définition d'une
suite uniformément eonvorgcnle.
Remarquons encore que nous avons démontré que sn {x) dans tout
l'intervalle (a. b) converge uniformément en utilisant seulement la convergence uniforme
de s'„ (x) et la convergence de s„ (et), ot par suite, lorsqu'on énonce la dernière
propriété, il suffit d'exiger la convergence de % (x) au point x -=» et. Il en
résulte, comme nous l'avons <Sôjà dit, la convergence uniforme de s„ (x) dans tout
l'intervalle (a, b).
1V-S-10. Propriétés des Béries uniformément convergentes. Si, dans les
raisonnements précédents, nous considérons % {x) comme la somme de n premiers
termes d'nne série donnée:
«i {x)-f k2 (z)-f ..,-f ure(*)-| ,
et s (x) lu somme de la série tout entière, nous obtiendrons des propriétés
analogues pour lus séries à termes variables,
i. Si les termes de la série
«i (x) f w» (*)+•■ ■ -Mn (*)■+ ■,. <S5)
sont des fonctions continues dans l'Intervalle («» 6) et la sérié converge
uniformément, alors sa somme s {x) est une fonction continue dans l'intervalle {a, b).
2. Si les termes de la série (55) sont des jonctions continues dans l'inlerial-
le (a. 6) et la série converge uniformément, on peut Vintégrer terme à terme entre
les homes que l'on veut et, p situées dans l'intervalle (a, b), c'est-à-dire
oa eâ
la S "» (*> dx ~ S II "» <*> iz- ,5B)
Si les bornes d'intégration sont variables, par exemple P — i, la série obtenue
en intégrant chaque terme
X ul{x)âx-\ f* i<a(«)*ï«4--.-H-^*«n(*)A:+---i (57)
a Jet Ja
converge unifonnément elle aussi dans Vtntervalle {a, 6).
3. Si la série (55) converge dans Vintervalle (a, 6) ei ses termes ont des
dérivées continues u[ {x), * . . , u'n (*)j - . ., dans Vlntervalle (û, b)t alors que la
série fermée des dérivées
"i (*)+*«(*)+-■ ■+«;(*)+-",
converge uniformément dans Vlntervatle (a, 6), alors la série donnée converge
uniformément elle aussi et en peut la dériver terme à terme, c'est-à-dire
24*

372 CH. IV. LES SEMES. APPLICATIONS AUX CALCULS APPR0WIIÏ8
Lorsqu'on a obtenu ces propositions à partir des théorèmes (IV-3-8I, il
faut considérer que Us propriétés indiquées dans les propositions sont valables,
comme nous Jo savons déjà, dans le cas d'un nombre fini de termes. Ainsi, par
exemple, si les termes de la série u^ (x) sont des fonctions continues, les jonctions:
*»(*) = «1 (*) -î "2 W -!-•■■ + "n (*)
sont ausst continues quel que soit n (I-2-J0J.
IV-3-1 i. Critères de convergence uniforme. Enonçons uuolquos eond itions
suffisantes de convergence uniforme.
La série de fondions définies dans ïintervalle (a, b) :
«j(*)+«2(*H-■■-+«/.(*H ••■>
converge uniformément dans r intervalle (a, b), si tune ries conditions suironles
est vérifiée:
(À) On peut trouver une suite de constantes pos/tiiv*
Mt, M2, . .., Mny ...
telles que.
I «n ix) K Mi dans l'tnterl-nlln (a, b) (59)
el que la vérle
Mi + M2+.,.-\-Mn-\-.. (60)
converge (c r i t è r e de Weierstrass).
(B) Les fonctions un (*) peuvent Ure mises ions In forme :
«»(*) = «n"»(*)i (PI)
oà ai, sa, ... «n, ■•• sont des constantes tclU^s que In eZrle
a1+a2+...4-an+... («2)
converge; et Us fonctions »i(x), ..., vn(z), ... étant toutes non négatives,
restent inférieures à un nombre AI constant positif el pour toute valeur de r
dans l'intervalle {a, b) ;
i?l {x) > ï>a (i) > ... > vn (x) > ..., 0 < vn (x) < M (68)
(critère d'Aboi).
Démonstrntîon (A). Puisque lu -Orif (00) coitvorgc, on peut, pour
un e donnû, trouver »m nombre N tel que pour tout n > A' i;l. pour lous les p.
nous ayons IlV-f-8] :
Mn+ihMn+2-\---- 'r^nt-p<-^--
d'après les inégalités (59) et
l»»tiM H |-«n+J)(*)l<itffn.i I- ■■• tMh-/,0\
d'où [IV-3-7J il découle que la série (55) converge iinlfontif-meiit.
Démonstration (J3). Supposons ([iio:
0p = «n+iT«B-«-| +«b+7> (P = l, 2, - • •),
d'où
«n+j^ai ei an+ft=.a,';— a^„, (h > i).

IV-3. COMPLEMENTS A LA THEORIE DES SERIES 373
Evaluons l'expression:
"n+l (*) + Kn+2 (1) -|- h«n+p (*) =
= «n+l"n+j (1) + "!x+2"b+2 (z) + h »B+p»n+j> (z).
En remplaçant ici les n„+s par leurs expressions a'k et en réunissant les
termes ayant dos 0¾ identiques, nous obtiendrons:
ffB+iî're+i M + «n+2ure+Z (*) + h un+p»n+p («) =
=0>»+i («J + Cs—oi) fn+2 (*) + h(°~p-°~p_i) "n+p (*) =
= «î K+l (*) — "«+2 (*)!+■■■ H-°~p_| ["rc+p-l (*) —»»+)> (2)] + V»+* (*>■
En considérant quo on+p {x) et toutes les différences ifo-f-ft-s (x) — vn+!t (x)
sont non négatives par hypothèse, nous pouvons écrire:
l»IH4<*H +Bn+Jl(*)l<
< I °1 I f»n+l (1) — "n+a (*)1 -I- ■ ■ ■ f I "p-i | I^n+jJ-i (») — «»+p (s)] + | 0p I "n+p (*),
ou, en désignant par o* la plus grande des valeurs absolues I <*î |, | oj |, . . ,
.... |o>l
«ra-H (*)-)-••■ +«n+p (*) | <
<<f' M%+i (*)—"u+aWl'l-- ■ • + ["b+p-i (a) —un+p(«)] + "n+j) (œ)}
nous obtenons en simplifiait :
l «n+i (*)+••> +»n+p («) I <o'»n+i (*}. (64)
De la définition de 0¾ compte tenu do la convergence de la série (02) il
résulte que pour tout s positif donné, il existe nn N tel que pour n > JV et pour
tout k, nous avons:
|0fc|<:"F'etdone a'<'W-
Un considérant encore que, par hypothèse, 0 < vn+p (x) < M, nous
obtenons d'après (G4) ;
I "n+tte) H l-"n+jp (*) 1< e
pour n > JV et p quelconque). Puisque N ne dépond pas de *, il en résulte que
la série (55) converge uniformément dans l'Intervalle (a, b).
Exemples. 1. Les séries
n=i n=J
convergent uniformément dans tout l'intorvalle puisque pour tout », noU3 avons,
I cos nx 1 1 I sin nx I 1
| nP | ** n» ' | n» | ^ n* '
-5 est convergente pour p > 1 J1V-1-5J (critèro de Welerstrass),
ce
2. Si la série 2 an converge, la série
11=1
S * <66<
»1=1

374 CH. IV. LE8 SERIES, APPLICATIONS AUX CALCULS APPROCHES
converge uniformément dans l'intervalle {0 j£ x </) pour tout l puisque, eu
supposant ici que:
nous satisfaisons à toutes les conditions du critère d'Aboi.
IV-3-12. Séries untières. Hayon de convergence. Les séries entières
sont tin exemple très important d'application de la théorie des séries à termi»
varialites, exposée ci-dessus; 11 s'agit des séries de la forme;
«0+01*+«!**+ ... +anx*+ ... , (67)
3ue nous avons déjà rencontrées dans l'élude de la formule de Maclaurin. L'étu-
e détaillée des propriétés de ces séries concerne lu théorie des fonctions d'une
variable complexe, c'est pourquoi nous no démontrerons ici que les propriétés
fondamentales.
Premier théorème d'A bel. Si la série entière (67J converge
pour la valeur x —• g, elle est absolument convergente pour toutes les valeurs
de x pour lesquelles
UKIsl- f68)
Réciproquement, rf elle diverge pour x =• |, elle diverge pour toutes les
valeurs de x pour lesquelles
l*|>IS| = r. (69)
Soit la série ;
«o + ail+ogiH--.- + 0^+-.. .
qui converge; sachant que le terme général d'une série convergente tend
vers zéro, c'est-à-dire que
Ong" —* 0 pour n —> co,
on peut trouver une constante M telle que pour toutes les valeurs de n,
nous ayons :
Donnons maintenant à x une valeur quelconque vérifiant lu condition (68)
et supposons que :
,-|f|<i.
Nous avons de toute évidence :
I °n*H I -| a*!" p- I «nr 11 j |" « Mqn.
c'est-à-dire que le terme général do la série (67), pour la valeur de x considérée,
ne dépasse pas en valeur absolue la tétine général d'une progression géométrique
décroissant indéfiniment, c'est pourquoi la série (67) est absolument conyergon-
te [IV-1-71.
La seconde partie du théorème est évidente, car, si la série (67) convergeait
pour une valour de x vérifiant la condition (69), ello devrait, d'après ce qui vient
d'être démontré, converger pour tout \ pour lequel | g J < | x [, ce qui est
contraire aux hypothèses,

IV-3. COMPLEMENTS A LA THEORIE DES SERIES 375
Conséquence. Il existe un nombre R entièrement défini, que Von
appelle rayon de convergence de la série (67) et qui possède les propriétés suivantes :
la série (67) est absolument convergente pour | x|< R,
la série (07) diverge pour | x | > R.
En particulier, on peut avoir R = 0, alors la série (67) diverge pour
toutes les valeurs de x différentes de zéro, ou bien R = oo, et alors la série (67)
convorgo pour toutes lus valeurs de x.
Laissant de côté Jo preiaior cas, nous étudierons une valeur positivu do
x => g telle que la série (67) converge. Cotte valeur existe certainement s'il
existe des valeurs x =£ 0 pour lesquelles la série (G7) converge. Si l'on donne
un accroissement au nombre g, deux cas seuloment peuvent se présenter: ou
bien la série (67) restera toujours convergente pour i = g, même lorsque g
croît indéfiniment; nous avons alors, de toute évidence, R — oo; ou bien il
y aura un nombre constant A toi (rao pour toutes les valours de g <; A, In série
(f!7) converge, mais pour g> A, la série devient divergente.
L'existence do ce nombre A est tout a fait évidente, puisque d'après le
premier théorème d'Abel, si la série devient divergente pour une valeur
quelconque de g, elle divergera pour toutes les valoure supérieures. On peut démontrer
Oo façon rigoureuse l'oxistenco du nombre A en utilisant la théorie des nombres
irrationnels. Il est évident que ce nombre A sera le rayon de convergence R
de la série (67).
Démontrons l'existence de R. Divisons les nombres réels en deux classes
de la façon suivunlo: motions dans la première classe tous lus nombres négatifs,
zéro et les nombres positifs g tels que la série (67) converge pour |i |™ g,
et dans la deuxième classe tous les autres nombres réels. D'après le théorème
■mi « élu démontré, tout nombre de la première classe est inférieur à tout nombre
do la seconde classe, c'est-à-dire que nous avons effectué une coupure dans
le domaine des nombres réels, c'est pourquoi il y a ou bien dans la première
r1 lasso un nombre le plus grand, ou bien dans la seconde un nombre le plus petit
11-2-18], Il n'est pas diflicllo de voir que c'est ce nombre qui sera le rayon de
convergence R du la série. Si tous les nombres entrent dans la première classe,
il faut considérer que R = oo.
IV-3-13. Deuxième théorème d'Abel. Si R est le rayon de convergence de
lu série (67}, la série converge non seulement absolument, mais aussi uniformément
dans n'importe quel intervalle («., b) situé entièrement à l'intérieur d'un inter'
mile (—R, +.H), c'est-à-dire pour lequel
— i?<a<fe<.H.
SI la série converge également pour x = R ou x = — R, elle sera également
uniformément convergente dans un intervalle (a, R) ou (—R, b).
Remarquons avant tout que nous pouvons, sans restreindre la généralité,
considérer que R — 1, en introduisant à la place do x une nouvelle variable
indépendante t définie par la formule
x=Rt,
après quoi la sério (b'7) devient une série entière par rapport à (, et
l'intervalle (—i?, -fi?) devient (—1, i).
Si R =• 1, la série (67), d'après la définition du rayon de convergence,
sera absolument convergente pour toute valeur x = g, pour laquelle / g | < 1.
Etudions maintenant an intervalle quelconque (a, b) situé a l'intérieur de
(— R, -j. R), de sorto que
-!<0<i<l.

37(5 CH. IV. LBS SERIES, APPLICATIONS AUX CALCULS APPROCHÉS
Prenons pour S ud nombre quelconque situé a l'intérieur de (-1, 1), mais
supéS en vaW absolue l | • | et | b |. Pour tout x do l'intervalle «., 6),
nous avons1.
laax*[<\inç.nU
et puisque la sdrio
cuuvurgo absolument ot que ses tormes no aSponÇjmt uns do ?' J*,^1^(¾.
a'aprù? le critôri) do Woioratratra, coiwergu unUoiinuinont dans 1 inWJrvoue
A'dmottonit mnsnlonant qua la s^rïo (67) converge aussi pour x «=■ 1, c'eat-à-
tUro quu lu série
<Hi+o1-|-ai!+... + fln+ ...
converge. En supposant que
i*(z) = *\
noua pouvons appliquer à la série (67) le critère d'Abel, qui démontrera que
cette série converge uniformément dans tout l'intervalle (a, 1), où a est un
nombre quelconque supérîour à —1.
Le cas, où la série (67) converge pour x = — i, revient au cas précédent,
si l'on remplace a par (— x).
.Noua noterons la somme de la série (67) par / (x). Elle n'existe, bien
entendu, que pour les valeursde x pour lesquelles in série converge. Soit R le rayon
do convergence de ia série. En tenant compte de la convergence uniforme de la
série dans tout l'intervalle (a, 6) pour lequel
—M<a<b<X, (70)
et do la propriété i) de [1V-3-10), on peut affirmer que la somme de la série f (x)
est uns fonction continue dans chacun des intervalles (a, h) indiqués. On dit encore
quo / (x) est continue dans Vintercalle (—H, +H). Nous verrons plus loin
que cette fonction possède autant do dérivées que l'on veut à l'intérieur do
l'Intervalle (—R, -\-R). Si la sério (67) converge aussi pour as = R, puisqu'elle
convorge uniformément dans tout l'intorvalie (a, R), ou a>—R, f (x) sera une
fonction continue dans cet intervalle, et, en particulier, / {/?) sera la limite
do / (¢) lorsque x tond vers li à gaucho [1-2-11]:
/(*)= Ira /(«). (71)
x-tR—O
De môme pour la convergence de la série pour x —■ — R.
Nous avons vu ci-dessus que io développement du biufimo de Newton
[IV-a-fi].
(1+^,1+.^.,+ ^-^ , ...
possède un rayon do convergence R = 1, et duns certains cas il convorge pour
jc = ± I. D'après ce qiil vient d'être démontré, on peut affirmer que si, par
exemple, la série converge pour x = 1, sa somme est aiors égale à:
lira (l-j-s)"'^'".
IV-3-14. DfNérenllaUûn et] intégration d'une série entière. Soit R
lu rayon de convergence de la série
a„ ■■r-ajs+fljœï |-... ï-e„z'H-. -. (72)

IV-3. COMPLEMENTS À fcA THBORIB DBS SfiBIES 377
Bn l'intégrant termo à tonne de 0 à x oten la différontfani, nousobtiendrons-
deux autres séries entières:
^+^^-+^^+- <»>
al + Zais+Za^-\-...-i.nanxn-i ■{-.., (74)
Démontrons qu'elles ont le mémo rayon de convergence /?. Pour citla, il
faut démontrer qu'elles convergent si | x | < H, ot divergent si | x | > R.
D'après ce qui a été démontré, la série (72) coiiverge uniformément dans
tout l'intervaUo (—R„ +Rt), ou 0 <c Rt <-fl, ot d'après la propriété 2) dtt
jlV-3-10], ou peut l'intégrer terme à termo dans cot intervalle de 0 a *. c'est-à-
dire qu'on peut affirmer quo la série (73) converge pour tout x pour lequel | x | <
< H et qu alors la somme de la sério (73) est égala à :
$*/(*)**,
où / (x) est la somme de lu série (72). Montrons maintenant que ia série (74)
converge également si | x \ < il. Prenons le même x, choisissons un nombre 9
situé entra \x | ot R, c'est-à-dire qno
l*Ks<4 (75)
et .supposons que
s
Nous obtenons pour les termes de la série (74) l'évaluation
l«anS"-i| = Uanê»-f^r4l'
I € b I
et d'après ce qni précède :
\narf>*-l]<Znq*-l y|a»S»|.
En appliquant» la série 2 k?""1 1« critère do d'Alembcrt, il est facile do
démontrer qu'elle converge pour 0 < j <; 1, et par conséquent |iV-l-2|:
nqn~l—>Ç> pour n—><x>, (76).
c'est pourquoi, pour tontes les valours suffisamment grandes de n :
|»o»*n-M<l«»ïBl-
Mais d'après (73), la sério 5¾ 5" converge absolument, c'est pourquoi la
série (74) converge ahsolumont die aussi pour la valeur do * que l'on a choisie.
Ainsi les donx séries (73) et (74) convergent si | x ) < H, c'est-à-dire quo
lorsqu'on intègre terme à tonne et que l'on différent!» une série entière, son
rayon do convergence ne pent diminuer. Mais il en résulte directement qu'il
ne peut pas non plus augmenter. En uEfet, si par exemplo le rayon do convergence
dola série (73) était R', et R' > R, on differontianl i« série (73), nous
obtiendrions la série (72), et son rayon do conveigenco ne serait pas inférieur a R',
mais, par hypothèse, il est égal à /?, et alors R < R'. Ainsi les séries (73) ot (74)
ont la même rayon de convergence que la série (72). En différt-'iiliant ta
série (74) encore une fois, nous obtiendrons, d'après ce qui a été démontré, la.
série entière ;
2aa-/-3.2fl3* f4-3o4a:8-f ... -h" (»—1) an3""ï |

378 GH. IV, LES SERIES, APPLICATIONS AUX CALCULS APPROCHES
avec le mémo rayon de convergence It, etc. Nous aurons le même résultat en
intégrant encore une fois terme à ternie 1h série (73) do 0 à x. Toutes lus séries
obtenues par différentiation et intégration terme à lorme de 0 à x convergent
uniformément dans tout l'intervalle (a, b), pour lequel l'inégalité (70) est
vérifiai!. Ayant on mémoire les propriétés 2) ot 3) de [1V-3-101, nous pouvons
finalement énoncer le résultat suivant:
La somme de la série entière
a0~\-uiX + a^+... ■|-<tBa»+ .... (77)
■dont le rayon de convergence est égal à R, est une fonction continue à
l'intérieur de Vintermlle (—R, -j-R), c'esl-à-dire pour — R < x < 4. R,
possédant à l'Intérieur de cet intervalle des dérivie-i de tous ordres. Ces
dérivées peuvent être obtenues par différentialion terme à terme de lu série (77).
On peut également procéder à l'intégration successive terme a terme de 0 à x pour
— /î < x < 4- R par intégration terme à terme de la série (77). La diffêren-
ttation et l'intégration terme à terme d'une série entière ne changent pas
son rayon de convergence.
Notons que l'intervalle (—R, -\-h) peut aussi aire un intervalle ouvert
(— oo, 4- oo), autrement dit, tout ce que nous venons d'énoncer est valable
pour le cas ou le rayon de convergence de la série (77) est égal à ».
En supposant que:
/ (x) = aa-\- ayx f Ojj;2 4-..,-7- anxn [■■..., (78)
/' (x) = oj-f Za^x ■] + nanxn~l+ ...,
/»(ar)=2a2 |-6a3*4-.. . + n (n-1) «„**-»+ .. •.
-nous obtenons :
/<«> (a.) = n [ an + tn + i) „ ... 3.2an+Iï |-...,
d'où il résulte que pour ¢=0 ;
.../m. ai=m, fl2=4f «.-^p.-
En mettant ces expressions pour a0, "u "a. • • •. <r„ dans (78), nous
obtiendrons;
l(x^f{0)+^r^ÇM+...+^l&+...{-R<x<+R),
c'est-à-dire quu la série entière coïncide avec le développement de sa propre
somme suivant la formule de Maelaurin.
La théorie exposée des séries entières s'étend sans peine aux .séries
entières do la forme:
ao+fli (x—a) -(-¾ (ï-n)a •)-...+"« (*—B)n + ■ • - <79J
Partout la différence (x — a) jouera le rôlo do x. Le rayon de convergence R
de la série (79) s'obtient en imposant que la série converge pour | x — a \< R
et diverge pour | x — a \ > /î, Si l'on note par / (x) la somme de la sério (79)
dans l'intervalle
-R<x—a<R, (80)
on obtient pour les coefficients an l'expression:
0(, = /(0), <H = -pj-, ..., an=

IV-3. COMPLEMENTS À LA THEORIE DES SERIES 379
c'est-à-dire que la série (79) coïncide dam l'intervalle (80) avec, le développement
de sa somme en série de Taylor.
Nous reviendrons à la théorie dos séries entières dans Ee troisième tome
lors de l'exposé de la théorie des fonctions d'une variable complexe.
Comme exemple, il est proposé de déduira de la théorie des séries entières
les développements des fonctions In (i-\-x), arc (g x, arc sin x, un notant
que:
w-i:&<
dx
arc tg x =
)ol + ss'
?x dx
arcsiD.x=\ . ,
cl d'étudier le champ d'application des développements obtenus.

Chapitre V
FONCTIONS DE PLUSIEURS
VABIAJ3LES
V-l. Dérivées et différentielles <le fonctions
V-J-i. Notions fondamentales. Dans le paragraphe [11-41 consacré
aux fonctions de deux variables, nous avons commencé l'exposé
des notions fondamentales concernant ces fonctions. Maintenant
nous allons nous occuper des fonctions de plusieurs variables et
plus particulièrement de la notion de limite.
Nous considérons qu'une fonction / (x, y) est définie dans tout
le plan ou dans un certain domaine. De telle sorte qu'à chaque
point (x, y) de ce domaine correspond une valeur définie / (x, y).
Si on n'examine que les points situés à l'intérieur du domaine,
ou dira qu'il est ouvert. Si l'on tient compte également des frontières,
on dira que le domaine est fermé.
De façoji analogue, si on introduit dans l'espace un système
do coordonnées roctiligne et orthogonal OX, OY, OZ, on pourra
parler du point M de l'espace de coordonnées («, y, z) au lieu des
trois nombres (x, y, z). Admettons que la fonction. / {x, y, z) esi
définie dans tout l'espace ou dans un domaine de l'espace qui peut
être ouvert ou fermé. Dans les cas les plus simples les limites du
domaine (il peut y en avoir plusieurs) seront des surfaces. Ainsi
par exemple les inégalités
définissent un parallélépipède rectangle fermé dont les arête»
sont parallèles aux axes de coordonnées. Les inégalités:
a,<*<:aa, W<.y<.bv Ci<z<c2
définissent un parallélépipède ouvert. L'inégalité:
(*-«)H të-6)2 + (z-c)*<ra
définit une sphère fermée de centrera, b, c) et de rayon r. Si on
supprime le signe égal et qu'on ne laisse que le signe «C. on obtient
une sphère ouverte. La notion de limite et do continuité, pour une
fonction de trois variables, est définie exactement de la même
façon que colle utilisée 111-4-11 pour une fonction do deux variables

V-l. DERIVEES ET DlïI'BWKNTJlîLLES Du* FONCTIONS 3gf
Pour les fonctions f (xt, .ra, . . ., xn) de plusieurs variables,
si. n > 3, on perd l'aspect géométrique de l'espace, cependant même
dans ce cas, on conserve souvent la terminologie géométrique. La
suite des n nombres entiers (xit x-À, . , ., xn) s'appelle un point.
L'ensemble de tous ces points forme un espace à n dimensions. Les
domaines d'un loi espaco sont définis par des inégalités. Ainsi, par
exemple, les inégalités
c1<œ1<cZ,, c3<a;a<rf!., ..., c„ <#„<<2„,
définissent un parallélépipède à n dimensions, L'inégalité
définit une sphère à n dimensions. On appelle voisinage du. point
(</,, «2, . . ., a^} l'ensemble des points définis par l'inégalité
ci-dessus pour une valeur donnée de r ou par les inégalités | xh — a h |<
<! p (k — 1, 2, . . ., n), où p est un certain nombre positif.
Si la fonction /(¾. xz, . . ., xn) est définie au voisinage du
point («i, «a, . . ., a„), on dit que / (xt, xz, . . ., xn) tend vers
une limite A lorsque le point M fa, xz, . . ., x„) tend vers le point
Ma (at, «2, . , ., an) et on note
lim /(¾ x2, ..., xn) = A, ou encore lim f(xt,xz, .,,, x„) = A,
si pour tout nombre positif donné e il existe un nombre positif t|
sel que^ | A — / fa, xz, . . ., xn) \ < e, si | ak — xh | < t) pour
k = 1, 2, . . ., n, et on considère que le point M fa, xz, . . ., zn)
ne coïncide pas avec le point Af„ (ai, a%, . . ., an). Si / fa, a;», . . .
. . ., a:J est définie au point M0 (alt a2, ■ ■ ., a„), la conlitmité
en ce point est définie par l'égalité [cf. 11-4-1):
limf(x!!xz *») = /(«!, a» a„).
*k->"k
Les propriétés des fonctions continues dans un domaine fermé
qui ont été indiquées tII-4-1] restent valables.
Gomme dans le cas des fonctions d'une variable [1-2-101, les
affirmations sur la continuité de la somme du produit ot du quotient
des fonctions continues restent valables. En ce qui concerne le
quotient, elles restent valables lorsque le dénominateur n'est pas
nul au point (th, az, . . ., a^).
V'l-2. Le passage à la limite. Arrêtons-nous plus longuement h la notion
de limite en sd bornant au cas d'uno fonction de deux variables. S'il existe un«
Limite :
l\mf(x, </)*=A, (1)
*—a

882 «J. V. PONCTIONS DE PLUSIEURS VAHIADLBS
nous dirons (ju'il existe une limite par rapport aux deux variables. Nous savons
que cela signifie JII-4-1] que/ (x, y) tend vers la limite A, quelle que soit la
façon dont lo point M (x, y) tend vers M„ (a, b). En particulier:
lim /(«, fc)=j4 et liui /(«,») = A. Ci)
Dans lo premier cas M (x, y) tend vers M<, (a, i) suivant une droite parallèle
à l'axe OX, et dans le second cas suivant une droite parallèle à l'axe OY. Notons
que l'existence dos limites (2) et do leur égalité n'entraînent pas
obligatoirement l'existence de la limite (1). A titre d'exemple examinons la fonction
et posons a —0 et b^*Q. Nous avons:
lim /(*, 0) = lim-^prs- = liraO = 0 et lim/(0. y> = 0,
tandis que ia limite (i) n'existe pas dans ce cas. Eu effet, posant-— ■= tgee, nous
pouvons écrire notre fonction sous la forme:
><»■ ^=-^TF=TT^"=,3ina00Sœ- (3)
Si le point M (x, y) tend vers le point M (0, 0) suivant une droite passant par
l'origino et faisant rai angle a0 avec l'axe OX, la fonction l (x, y) exprimée
par la formule (3) reste constante et sa valeur dépend du choix de a„, d'où i)
résulte que la limite (1) n'existe pas dans le cas considéré. Notons que la
formule (3) no définit pas la fonction au point même M (0, 0).
En plus du passage à la limite (i) on peut encore examiner des limites
multiples correspondant au passage à la limite d'abord par rapport à x, y restant
constant et différent de 6, puis en faisant varier y, soit inversement:
lim [lim/(x, y)] ou lim [lim /(s, y)]. (4)
x-*a y->b y^b x-*a
Il peut arriver que les deux limites multiples existent mais sont différentes.
Ainsi, par exemple, pour la fonction
on vérifiera facilement que:
lim (lim f (x, Ji)l = 1, tirn [lim f (x, y)] = —1.
Mais on a le théorème -,
Théorème. Si on a une limite par rapport aux deux variables (1) et
si pour tout x, suffisamment proche, mais différent de a, on a lit limite :
lim f{x, y) = ç(*), (5)
on a une limite multiple (4) égale à A, e'est-à-dire :
lim <p (£) = .4. (6)

V-l. DBBrVBES ET DIIfKËHENTlELLES DB FONCTIONS 383
Il résulte do l'existence do la limite (1) f11—4-11 que pour tout » positif
donné il existo i] positif tel que
\A~f(x, U)\<z lorsque \x—a\<r\ ot \y—b\<r\, (7)
de plus, (x, y) est différent de (a, b). Donnons-nous x différent do a toi que l'on
ait | x — a | <-n. Bu tenant complu de (S) et on passant dans l'inégalité' (7) à la
limite par rapport à y, nous obtenons:
\A—ç (ar)K« lorsque | a;—o ] < T] et x^fea,
d'où, étant donna l'arbitraire sur e, un obtient l'égalité (6).
H e m a r q u e. De la même façon, si nous supposons qu'il existe Ja iimilo
(1) ot quu pour tout y suffisamment proche do b el différent do b, il existe une
limite:
lim/(ar, p) = i|>(ff),
alors il existe une deuxième limite multiple (4) égale à A, c'est-à-dire:
liimj>(y)=.d.
Si la limite (I) existe et si elie est égale à / (a, b), c'ost-n-diro si A <= f (a, b),
la fonction / (x, y) est continue au point (o, b), ou, comme un dit. elle est
continue par rapport aux deux variables au point (a, b). Et d'après (2) :
limi(x, 6) = /(o, b), lim/(fl, ff) = /(a, 6),
x-+a y~>b
c'est-à-dire que la fonction est continue par rapport à chaque variable prise
isolément au point (o, 6) comme nous l'avons déjamontré [11-4-ij. Par contre,
la continuité par rapport à chacune des variables n'ontraîno pas la continuité
par rapport aux deux variables. En effet, définissons la fonction par la
formule (3) on dehors de l'origino des coordonnées et posons que /(0,0)=0. Comme nous
l'avons déjà dit, nous avons
lien /(y, 0)=0 ot lim /(0, y)=0,
ar-j-0 y-*0
c'est-à-dire que la fonction est continue par rapport à chacune des variables
au point (0, 0). Mais elle n'est pas continue par rapport aux deux variables,
car, comme nous l'avons déjà vu, il n'existe pas de limite définie do / (œ, y)
lorsque M (x, y) tend vers .W0 (0, 0).
Si / (x, y) a dans un certain domaine contonont le point (x, y) des dérivées
partielles, on a comme on l'a déjà montré [11-4-2]
1(x+&.x, H-Atf)-/(*. y) = /;(* + 8Aa!, y + &v)Lx+fv{x, j + 9,Ay)Àff
(0<0 et 8^1).
Supposons que les dérivées partielles soient bornées dansIedomaineConsidérê,
c'est-à-dire que leur valeur absoluo ne soit pas plus grande qu'un certa innombre M.
La formule devient alors:
|/(*-r-Ai, y-\-ày)-f(x, y) |< AT (| A»| + | Aff I),
et le second membre de cette inégalité tend vers zéro lorsque Ax -*■ 0 et Au -»- 0,
d'où:
lim /(z-f-Aa, ff + AjO = /(z, y),
Ax-*Q
Al/-»0

384 CH. V. PONCTIONS DE PLUSIEURS VAIUABLES
c'est-à-dire si / (x, y) a des dérivées partielles bornées dans un certain domaine,
elle est continue à l intérieur de ce domaine.
La fonction (3) avec la condition supplémentaire / (0, 0) = 0 est nulle
sur tout l'axe OX et sur tout l'axe OY, ainsi qu'au point Mo (0, 0) elle a,
évidemment, des dérivées partielles nulles. Aux autres points elle posséda aussi
des dérivées partielles:
c'est-à-diro qu'elle a des dérivées partiolles dans tout le plan. Cependant nous
avons déjà vu qu'elle n'est pas continuo au point (0, 0). Ceci s'expliqua par la
fait que les dérivées partielles peuvent prendre des valeurs aussi grandes qujon
veut an valeur absolue lorsque le point (x, y) tend vers l'origine des coordonnées,
V-l-3. Dérivées partielles et différentielle totale du premier
ordre. En [11-4-21 nous avons introduit la notion de dérivées
partielles et de différentielle totale d'une fonction de deux variables.
Ces notions peuvent être généralisées au cas de fonctions d'un nombre
quelconque de variables, Par exemple, examinons la fonction de
quatre variables
w=f(x,y,z, l).
La dérivée partielle do cette fonction par rapport à x sera la limite
lim /fc 1-¾. tr, ». *>-/(*. V, s. <)
h-*±0 ll
si ello existe et pour désigner cette dérivée partielle on utilise les
symboles :
f*(x,y,t,t) soit M '£ soit -^-.
De façon analogue on définit les dérivées partielles par rapport aux
antres variables.
On appelle différentielle totale do In fonction la somme de ses
différentielles partielles :
dw =*2Ldx\-£-dy+£-d* f 4£àt,
àx ' dy J ' ilz ' àt
où dx, dy, dz, dt sont les différentielles des variables indépendantes
(grandeurs arbitraires île dépendant pas de x, y, z, l).
La différentielle est la partie principale de l'accroissement
de la fonction :
hw=/(«+dx, y + dy, z-\-dz, t i-dt)-~f(x, y, z, t),
à savoir (cf. II-4-2) :
Ait" = dw + e, dx j- ea dy -{- e3 dz -!- b4 dt,
où e,, sa. 8a, et tendent vers zéro en même temps que dx, dy, dz, dt,
et e« supposant que la fonction w a des dérivées partielles continues
dans un certain domaine contenant le point (x, y, z, t).

V-l. DERIVEES ET DIFFÉBRNTIB1.UÎS DE FONCTIONS 385
De la même façon on peut généraliser la règle de diîférentiation
des fonctions de fonction. Supposons par exemple que x, y et z ne
soient pas des variables indépendantes, mais des fonctions de la
variable indépendante t. La fonction w dépendra dans ce cas de t
aussi bien directement que pai l'intermédiaire de x, y, z et la
dérivée totale de w par rapport à t s'écrira :
dw dw_ . dw_ dx_ , 3w dy_ , jto_dz_ .„
dt ** dt ~*~ dx dt + Bu d-t ~T~ Ûz di ' ( '
Nous ne nous arrêterons pas à la démonstration de cette règle,
car c'est la répétition pure et simple de ce qui a déjà été exposé
111-4-3], Si les variables x, y, z dépendent en plus de t d'autres
variables indopendantes, il faut remplacer --jf-, -j? , ■£ dans le second
membre de l'équation (8) par les dérivées partielles -^,-1,^. Dans
ce cas la fonction w, elle aussi, dépendra en plus de t des autres
variables indépendantes et dans le premier membre de (8) il faudra
également remplacer -rr- par -_y - Mais cette dérivée partielle est
différente de la dérivée partielle -gr- qui est dans le second membre
de (8) et est calculée seulement dans le cas on w dépend directement
de t. Pour la distinguer des autres, on représente parfois cette
dérivée partielle entre parenthèses. De sorte que dans le cas considéré
l'équation (8) devient:
HT ~ { et )+ Sx ot + dg at + as at " w
Dans le cas d'une fonction d'une seule variable nous avons vu
que l'expression de sa différentielle du premier ordre ne dépend pas
du choix de la variable indépendante [II-1-6I. Montrons que cette
propriété reste vraie dans le cas d'une fonction de plusieurs variables.
Examinons, pour fixer les idées, le cas d'une fonction de deux
variables
z = ç(x, y).
Supposons que x et y sont des fonctions des variables indépendantes
u et v. D'après la règle de différentiation des fonctions de fonction,
noxis avons
$z fc_dz_ i dz_]>y_ 2l 3z dx . dz dy_
du. ~ dx du' dy du ' do ~ Sx Ov ' dy àb '
La différentielle totale de la fonction est par définition:

386 CIt- V. PONCTIONS DE PLUSIEURS VAHIABLKS
En reportant les expressions des dérivées partielles, il vient :
Mais les expressions placées entre''parentlièses sont les différentielles
totales de x et y, et nous pouvons écrire:
dz—-j- ffe -j- -3- dy,
c'est-à-dire que la différentielle d'une fonction de fonction s écrit
de la même façon que dans le cas oà les variables son.t ivdépendantes.
Cette propriété permet de généraliser la règle d'obtention de la
différentielle d'une somme ou d'un produit au cas de fonctions
do plusieurs variables:
d(u-\- v)~du-\-dv, d(iw)~vdu + udv, d — = " ■—£■—,
où u et v sont des fonctions de plusieurs variables indépendantes.
En effet, en utilisant la propriété que nous venons de démontrer
nous pouvons écrire par exemple :
dW-ZJUpdu+îMto-vdu + ud».
V-l-4. Fonctions homogènes. Donnons la définition d'une
fonction homogène de plusieurs variables: une fonction de plusieurs
variables est appelée fonction homogène de ces variables de degré m,
si en multipliant ces variables par une grandeur arbitraire t la fonction
se trouve multipliée par tm, autrement dit, si l'identité
f (tx, ty) = tmf (x, y) ou / (tx, ty, tz) = f'f (x, y, z) (10)
est vérifiée pour toutes les valeurs admissibles des variables x, y, z, t.
Le nombre m, peut être tout nombre réel fixé. Si, par exemple,
m = y, alors im = V~t et t doit être positif. Supposons que la
fonction f {x, y) exprime un volume quelconque., que x et y soient
les longueurs de lignes quelconques et que dans l'expression de la
fonction en plus de ces longueurs, figurent des nombres abstraits.
La multiplication do x et y par t (nombre positif) revient à réduiry
l'échelle de t fois (pour t >■ 1 ou bien à l'augmenter pour t < 1)
et il est évident que dans ces conditions la fonction / {x, y)
exprimant le volume doit ôtre multipliée par ia, c'est-à-dire que, dans
le cas considéré, la fonction / (x, y) est une fonction homogène du
troisième degré. Ainsi, par exemple, ]o volume d'un côno s'exprime
au moyen du rayon de sa base x et de sa hauteur y par la
A
formule v — -^nzPy. Cette fonction sera homogène du troisième

V-l. DSRIvSES ET DIFFERENTIELLES DE FONCTIONS 387
degré pour tous les x, y et t réels, de même que tout polynôme
homogène du troisième degré enxety, c'est-à-dire un polynôme dontchaque
terme estjtel que la somme des exposants de x et y soit égale à trois:
/ {x, y) = axs + bxay + cxy2 -f dy*.
Les fractions
x*+yZ ' aa + ï2 ¢2+^2
sont des fonctions homogènes de degré respectivement égal à 1, 0
et (—1). Notons que f {x, y) = Va? + #a, où le radical est supposé
arithmétique, sera une fonction homogène du premier degré pour
tous x et y réels et pour tout t > 0. En effet
V{txf+(tyf= t i/Pqpp;
et les deux radicaux sont supposés positifs.
En différentiant l'identité (10) par rapport à t et en appliquant
la règle de différentiation des fonctions composées, on obtient
xf'u (u, v) + yfv (u, v) = mtm~lf (x, y),
où u = tx ot v = ly. En posant i = l, on obtient :
xt's(x,y) + yf'y(x,y) = mf(xty), (11)
ce qui exprime le théorème d'E u 1 e r sur les fonctions
homogènes •.
La somme des produits des dérivées partielles d'une fonction homogène
par les variables correspondantes est égale au produit de la fonction
elle-même par son degré d'homogénéité.
Au cours de la démonstration, nous supposons, évidemment,
que la fonction / {x, y) possède des dérivées continues partielles
pour les valeurs correspondantes des variables que nous avons
utilisées dans cette opération.
Si m = 0, en posant dans l'identité <10) t = —, nous obtenons:
X
/(*.¥)-/(*.-£) °u /(*,»,*) = /(!, 4,-i),
c'est-à-diro qu'une fond'ion homogène de degré zéro est une fonction des
rapports de toutes les variables, sauf l'une, d'entre elles, envers cèpe
dernière variable. Souvent, on nomme la fonction homogène de degré
zéro tout simplement fonction homogène.
V-l-5. Les dérivées partielles d'ordre supérieur. Les dérivées
partielles d'une fonction de plusieurs variables sont à leur tour des
fonctions des mêmes variables dont nous pouvons calculer les
dérivées partielles. De la sorte nous obtenons des dérivées partielles du
25*

388 CH. V. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES
second ordre de la fonction initiale qui seront elles-mêmes des
fonctions des mêmes variables et dont la dérivation nous permettra
d'obtenir les dérivées partielles du troisième ordre de la fonction
initiale, etc. Ainsi, par exemple, dans le cas d'une fonction de deux
variables u = f {x, y), en dérivant chacune des dérivées
partielles jr^-Ê- encore une fois par rapport à x et à y, nous obtenons
quatre dérivées secondes que l'on notei
fxt (*, y), il* (x, y), fVx (x, y), & (x, y),
soit :
3*t(x, y) S*f{x, u) a8/(», v) a8/fr, y)
3z« ' dxdy ' dyBx ' dg* '
soit enfin :
g*u g'a a'u a'u
3*3 ' dxdy ' dy$x ' dy* '
Les dérivées /iu (a, y) et fyx {x, y) ne diffèrent que par l'ordre
des dérivations. Dans le premier cas la dérivation s'effectuera
d'abord par rapport à x puis par rapport à y, tandis que cet ordre
est inversé dans le second cas. Montrons que ces deux dérivées
sont identiques, c'est-à-dire que le résultat d'une dérivation ne dépend
pas de l'ordre de dérivation.
Composons l'expression :
a=f(x+h, y + k)—f(x + h, y) — f {x, y + k)+f(x,y).
En posant:
<p(œ. y)=f(?+h, y)—f(z, y),
on peut mettre <a sous la forme :
tù^lf(x+h, y + k)-j(z, y + k)]-\f(x + h, y)-f(x, j)] =
= q>(», S+ft) — (f(x, y).
En appliquant deux fois la formule de Lagrange [II-3-7I, nous
obtenons :
co = ftq>; (», y + 84fc) = k [f'v {x + h, y + fyfc) — f'v (x, y + BJt)] *»
Les symboles 6, quel que soit leur indice, désignent des nombres
compris entre 0 et 1. On désigne par f'v (x + h, y + fyfc) la dérivée
partielle de / (x, y) par rapport à y, lorsque x devient x + h et y
devient y + 6i&- Des notations identiques sont utilisées pour les
autres dérivées partielles.
De la même façon, en posant:
t> (*, y) = f (*. V + *)—/ (*. y).

V-l. DÊKTVEES ET DIFFÉRENTIELLES DE PONCTIONS 389
on peut écrire :
co=[/(* + ft, y + k)-f{x+k,y)] —'[/(*, y + k)—f(x, y)] =
= q(x+h, y) — q(x, y) = hy'x(x + Q3h, y) =
-=ft[/i(*+9A &+*)—/i(*+esft, »)i=ft%(*4-Ô3fc. »-f-e«*).
En comparant les deux expressions obtenues pour w, nous avons :
hkf"vx (x + B2fc, y + 9jft) = &&/^ (*+B3A, j + 84ft),
soit:
fvx (x+b2a, 9+e4ft) = £w (»+a3h, y+e4&).
En supposant la continuité des dérivées secondes et en faisant tendre
A et & vers zéro, on obtient:
/«*(*. 9)=£»(*. y)-
C<! raisonnement nous conduit au théorème suivant:
T 11 é o t è m e. Si f {xt y) a dans un domaine quelconque des
dérivées continues flx (x, y) et f"xtt {x, y), en tous les points de ce domaine
ces dérivées sont égales.
Examinons maintenant deux dérivées du troisième ordre:
fx'v(z,y) ^ /l£ («>»)>
qui ne diffèrent que par l'ordre de dérivation. En tenant compte
de ce que, comme nous venons de le démontrer, le résultat de
deux dérivations successives ne dépend pas de l'ordre des dérivations,
on peut écrire:
c'ost-à-dire que dans ce cas aussi le résultat d'une dérivation
ne dépend pas de l'ordre des dérivations. On peut étendre sans
aucune difficulté cotte propriété aux dérivées de n'importe quel
ordre et à des fonctions quoi que soit le nombre de variables et nous
pouvons énoncer le théorème général: le résultat de la dérivation
ne dépend pas de l'ordre dans lequel on effectue les opérations.
Notons que pour démontrer ce théorème nous avons utilisé en
plus de V existence des dérivées leur continuité dans un certain domaine.
Dans la suite nous supposerons toujours la continuité des
dérivées dont nous aurons à parler, et en vertu du théorème démontré
pour les dérivées d'ordre supérieur, il suffit seulement d'indiquer
l'ordre n de la dérivée, les variables par rapport auxquelles on dérive
et le nombre de dérivations par rapport à chacune des variables.
Ainsi, par exemple, dans le cas d'une fonction w = / {x, y, z, t)

SSO Cil. V. TOfcCTIONS DE PLUSIEURS VARIA6LBS
on utilise les notations:
anf{x, y, z, 1> 3¾ •
qui montrent que la dérivée considérée est du rc1*"»6 ordre et qtto
l'on, dérive œ fois par rapport à x, B fois par rapport à y, y fois par
rapport à s, et 6 fois par rapport à t.
V-l-6. lies différentielles d'ordre supérieur. La différentielle
totale du. d'une fonction de plusieurs variables est â-son tour une
fonction des mêmes variables et nous pouvons définir la
différentielle totale de cette dernière fonction. De la sorte nous obtiendrons
la différentielle du deuxième ordre d*u de la fonction initial'o u qiii
sera ello-mëmo fonction des mémos variables, et sa différentielie
totale sera la différentielle du troisième ordre d3u de la fonction
initiale «,, eto.
Examinons plus en détail le eas de la foaction u — f (x, y)
do deux variables x et y et supposons que les variables x et y sont
dos variables indépendantes.. Par définition:
^ = ^^+^¼. (12)
En calculant d^u nous tiendrons compte de ce que los
différentielles dx et dy des variables indépendantes doivent être considérées
comme des constantes, et paE conséguerit on peut les sortir de sous
le signe de différenciation :
dx ' " dy
En calculant exactement do la.même façon d3a, il viont:
Ces expressions de d?u et cPu, nous conduisent à la formtile
symbolique suivante pour une différentielle de n'importe quel ordre:

V-l. Dem\ÉES ET DIFFERENTIELLES DE PONCTIONS 391
Cette formule s'explique de la façon suivante: il faiit élever à la
puissance n l'expression entre parenthèse» en utilisant la formule
du binôme de Newton, après quoi il faut considérer les exposants
de ^- et ^~ comme indicateurs do l'ordre de dérivations par rapport
àiot'àï de la fonction /.
Nous avons vérifié la formule (13) pour n égal à 1, 2 et 3. Pour
la démontrer complètement, il faut utiliser la méthode habituelle
de passage de n à (n + 1)- Supposons que la formule.(13) soit valable
pour une certaine valeur do n. Calculons la différentielle d'ordre
(i. + 1) :
^.^-^^+^^-(^+-^)^
où par le symbole
nous désignons généralement :
^.ta^ — dy.
En tenant compte de ce que pour dnu nous avons supposé que
la formule (13) est vérifiée, nous pouvons écrire:
c'est-à-dire que la formule est démontrée aussi pour d'nlu.
La formule (13) peut ôtre facilement généralisée au cas d'une
fonction d'un nombro quelconque de variables indépendantes. Nous
savons [V-l-3] que la formule (13) n'est pas valable uniquement
dans le cas où x et y sont des variables indépendantes. Mais pour
obtenir l'expression de deu il est indispensable de considérer que dx
et dy sont des constantes et la formule (13) n'est valable que dans
les cas où. l'on peut considérer dx et dy comme dos constantes.
Cela sera vrai ai x et y sont des variables indépendantes.
Supposons maintenant quezet ^soient des fonctions linéaires 'de variables
indépendantes ! et {:
x = <tz -\- bt + c, y = oiz +£,£ -|-c,,
où les coefficients et les termes indépendants sont des constantes.
Nous avons alors pour dx et dy les expressions:
dx = a dz -(- b dt, dy = a,dz-{- J!>, dt.

392 CH. V. FONCTIONS DE PLUSIEUBS VARIABLES
Mais dz et dt qui sont des différentielles de variables indépendantes
sont constantes, par suite on peut considérer quedx dt dy sont
constants, c'est pourquoi on peut affirmer que la formule symbolique (13)
est vraie aussi bien lorsque x et y sont des variables indépendantes que
lorsqu'ils sont des fonctions linéaires {polynômes entiers de 1er degré)
de variables indépendantes.
Si dx et dy ne peuvent pas être considérés comme constants, la
formule (13) ne sera plus vraie. Examinons l'expression de d*u dans
ce cas général aussi. En calculant:
*(*%**) « '(^*)
nous ne pouvons plus extraire dx et dy de la différentielle comme
nous l'avons fait ci-dessus, mais nous devons appliquer la formule
de difféfentiation d'un produit [V-l-3].
Nous obtenons de cette façon:
tfu^dxd^^ + dydV^ + V^d'x+ïl^dty.
La somme des deux premiers termes du second membre de cette
égalité nous donne l'expression que nous avons obtenue ci-dessus
ponr d^u et finalement nous obtenons:
+ >J!%Jù*x+W%]ù*v, (i4)
c'est-à-dire que dans le cas général considéré l'expression de deu
contient des termes complémentaires dépendant de d2x et de d*y.
V-l-7;. Fonctions implicites. Donnons maintenant les règles
de dérivation des fonctions implicites. Nous supposerons que les
équations écrites définissent effectivement une certaine fonction
ayant dès dérivées correspondantes. Nous le démontrerons sous
certaines' conditions IV-1-9]. Si y est une fonction implicite de x:
F(x,y) = 0, (15)
la dérivée première y' de cette équation, comme on sait, est définie
par réqiiation II 1-4-3] :
Fk(x,y) + F'Az,y)y' = 0. (16)
L'équation (16) a été obtenue en supposant dans l'égalité (15)
que y est une fonction de x et en dérivant les deux parties de cette
équation ; par rapport & x. En faisant de môme avec (16) nous
obtiendrons, une équation définissant la dérivée seconde y" :
F"x, (*, y) + Wly (*. y) y' + F"v* (x, y)y'*+ Fy (x, y) y" = 0. (17)

•V-i. DÉRIVÉES ET DIFFERENTIELLES DE FONCTIONS 393
Ea dérivant encore une fois par rapport à x on obtient une
équation définissant la dérivée troisième y", etc.
Notons que daas les équations ainsi obtenues le coefficient des
dérivées cherchées de la fonction implicite sera toujours le même,
à savoir F'y {x, y), c'est pourquoi si pour certaines valeurs de x et
de y vérifiant l'équation (15) ce coefficient n'est pas nul, le précédé
indiqué ci-dessus donnera des valeurs définies des dérivées de
n'importe quel ordre de la fonction implicite. Ce faisant on suppose
évidemment l'existence de dérivées partielles du premier membre
de l'équation (15).
Examinons maintenant une équation de trois variables:
Œ(». V> z)—0.
Une telle équation définit z comme fonction implicite des variables
indépendantes x et y et si on remplace z justement par cette fonction
de t. et y dans le premier membre de cette équation, celui-ci deviendra
identiquement nul. De sorte qu'en dérivant le premier membre de
celte équation par rapport aux variables indépendantes x et y,
en supposant que z est fonction de x et y, nous devons obtenir 0 :
<b'x(x, y, z) + Q>'1(x, y, z)zi = 0,
®'v(,x, y, z) + 0't(x, y, z)zv=Q.
On peut obtenir à partir de ces équations les dérivées partielles
du premier ordre z'x et z^. En dérivant la première des relations
écrites encore une fois par rapport à x, nous obtiendrons une équation
définissant la dérivée partielle zâs, etc. Dans toutes les équations
obtonues le coefficient de la dérivée cherchée sera <t>i (x, y, z).
Examinons maintenant lo système d'équations:
q>(x, y, z)*=0, i|)(», y, z) = 0. (17,)
Nous considérerons que ce système définit;/ et z comme des fonctions
implicites de x. En dérivant les deux équations du système par
rapport à x, en supposant que y et z sont des fonctions de x, nous
obtenons un système d'équations du premier degré pour définir
les dérivées y' et z' de y et z par rapport à x :
<pi(z, y-, z) + tp'v(x, y, z)-y'+y'i(x, y, z).z' = 0,
Vx(x, y,z) + yv(x, y, z)-y'+ty't(x, y,z}-z' = 0.
En dérivant encore une fois ces relations par rapport à x, nous
obtenons un système d'équations qui définit les dérivées secondes
y" et z". En dérivant encore une fois par rapport à x, nous obtenons
un système d'équations définissant y" et a", etc.

394 Cit. V. FONCTIONS DE PLUSIEURS X'AIUABLES
Les dérivées du nlime ordre y"" et zln' seront obtenues à partir
d'un système du type:
cpy{ar, y, z) • y^ + & (x, y, z)-zln>+A = 0,
^»(*> U> z)-y™+Vz (*. y, z)-z<n>+£=0,
où A et B sont des expressions qui ne contiennent que des dérivées
d'ordre inférieur à n. Un tel système ne donnera une solution définie
unique, comme il est bien connu en algèbre élémentaire, que si
In condition
iïj(x, y, z).i>'z{x, y, z) — <pz(x, y, z)-i)>û(*, y, z)=i£0
est vérifiée.
Pour toutes Jcs valeurs de x, y et z vérifiant le système (17,)
et qui vérifient aussi cette condition, le procédé exposé ci-dessus
donnera des valeurs bien définies des dérivées.
Si on a un système de m équations avec (m + n) variables, il
définit en généra] m variables comme fonctions implicites des n
variables restantes, et les dérivées de Ges fonctions'implicites peuvent
ôtre obtenues grâce au procédo exposé ci-dessus: dérivation successive
des équations par rapport aux variables indépendantes.
V-l-8. tvxomplo. Examinons à litre d'exemple l'équation:
oa^-r-6j/»feï* = i, (18)
<[ul définit z en tant que Jonction (Je x et de y. En dérivant par rapport à
r et y, nous obtonons ;
¢¢4-0^=0,- (19)
et
by f-«-^ = 0, (19|)
(l'on
.•__ _5f_ Z' = —^-
* cz ' y a
En dérivant la relation (19) par rapport à x et g et celle (19|) par
rapport à y, on obtient :
d'où:
**2 =
-a£ 1-1-14,.=0, oz^ ha*
bf-crf+czz^Q,
, 0.W
■ ,n a-«-c
cz cz
'■*>/ 2 c2za '
z" =0,
XII '
«c22+a2ia
c=z»
bi~e*ÏÏ bct*+b*y*

V-t. DUKIvEES ET DiFFÏSniINTÏELïiES DE PONCTIONS 395
Montrons maintenant un autro moyen de calculer les dérivera partielles
en utilisant la différentielle totalo d'une fonction. Démontrons avant tout
un théorème auxiliaire. Supposons quo nous ayons pu obtenir, d'uno façon ou
d'une, autre, l'expression de la différentielle totalo dz d'une fonction de deux
variables indépendantes x et y sous la formo:
dz — pdx-\-qây,
13'autrc part nous savons que :
dz = z'xdx t-z'ydy.
■En comparant ces deux formules, i] vient :
pdx f-vdy — z^dx+z^dy.
Mais dz ut dy, qui sont des différentielles de variables indépendantes, sont,
des grandeurs arbitraires. En supposant que dx = 1 et dy = 0, ou bien que
dr. = 0 et dy — 1, on obtiont:
p=*z'x et 9=¾¾.
D'nù st la différentielle totale d'une fonction z des deux variables
indépendantes x et y peut être mise sous la forme:
dz — pdx-j-q dy,
on a p => zx et q = zy,
Co théorème est valable pour une fonction d'un nombre quelconque de
variables indépendantes. On peut montrer exactement de la même, façon qua
si la différentielle du deuxième ordre peut Stre mise sous la forme;
d*z=r dx*+2s dxdy+t dy*,
alors r = zxz, » = "si/, ' = zif- ,
Bovonons maintenant à l'exemple considéré. Au lieu de définir les dérivées
du premier membre de la relation (18) par rapport à x et y, calculons sa diffé-
rentieUe on tonant compte de ce que 1 expression de la première différentielle
no dépend pas du choix dos variables indépendantes [V-i-3] :
axdx+bydy \-czdz^Q., (20)
d'où:
, ax , by
<&„ — dx- 2- dy,
cz cz
et donc en. vertu du théorème que nous avons démontré:
• — ax (it ' — %
x cz u~~ cz
Calculons maintenant la différentielle du premier membre de la relation
(20) an tenant compte de ce que dx et dy doivent être considérés comme des
constantes :
a dx* + 6 dy* + c dz2 j~cz d2z = 0,
suit :
*»*= —2-dx*--*-dff"-4-*' = —h à&-~dy*-
02 CZ Z OZ CZ
-±(J^dx+*LdyY~
z V cz ^ cz ' )
~-aC* tf ^-2^1 d* »-£*±gg. dg*.
(1¾3 c3z" C2Za

396 Cil. V. FONCTIONS DB PLUSIEURS VARIABMÎS
et par suite:
, _ acz*-\-gixl „ abxy „ h;*' + &V
De la sorte, en calculant la différentïolle d'un ordre quelconque, nous
obtenons toutes les dérivées partielles de l'ordre correspondant.
V-l-9. Existence des fonctions implicites. Nos raisonnements avaient un
caractère formel. Nous avons supposé dans tous los cas qu'une équation ou un
système d'équations définissent de façon implicite une certaine fonction ayant
une dérivée. Maintenant démontrons le théorème fondamental d'existence des
fonctions implicites.
Examinons l'équation
F(x, y) = 0 (21)
et indiquons les conditions pour lesquelles elle définit de façon unique y en
tant que fonction continue de x ayant une dérivée.
Théorème. Sott x = x0 et y = y„ une solution de (2(), c'est-à-dire que :
F(x0, Vo) = 0; (22)
supposons que F (x, y) et ses dérivées partielles du premier ordre par rapport
àx et y sont des fonctions continues pour toutes les valeurs de x et de y suffisamment
proches de x„ et y0 et supposons enfin que la dérivée partielle Fy (x,y) nesoitpas
nulle pour x <= »<, et y «= y0. Dans ces conditions il existe une fonction définie
y (x), pour tout x suffisamment proche de xq, qui vérifie l'équation (21), qui mit
continue, possède une dérivée et vérifie la condition y (x0) = yc-
Supposons pour fixer les idées que F'v (x, y) > 0 pour x «=» xq, y — y„.
Comme nous avons supposé que cette dérivée est continue, elle sera positive pour
toutes valeurs x et y suffisamment voisines de xa et do y0, c'est-à-dire qu'il
existe un nombre positif l tel que F (x, y) et ses dérivées partielles sont
continues et que
F'v(x, y) >0 (23)
pour tout x et y satisfaisant aux conditions:
|s~*0|<J, |B-tt,|«l. (24)
De plus, la fonction F (x0, y) d'une variable y devient nullo pour y — y<,
(22), et c'est une fonction croissante de y dans l'intervalle (yt> — l, Vo + ')
en. vertu de (23) et de (24). De sorte que les nombres F (a0. ffo—') et p (*<>. Un + *>
seront de signe différent, le premier sera négatif tandis que le second sera
positif. En tenant compte de la continuité de F (x, y) nous pouvons affirmer [11-4-11
quo F (x, y0 — l) sera négatif et F [x, y0 + l) sora positif pour tout x
suffisamment proche de x0> c'est-à-dire qu'il existe un nombre positif h tel que:
F(*. Uo—lXO et F (x, y0-\-l) >0 (25)
pour | x — xa | < l,. Désignons par m le plus petit des deus nombres : l et l,.
En tenant compte de (24) ot de (25), nous pouvons affirmer que les inégalités
(23) et (25) sont vérifiées si x ot y vérifient les inégalités:
la—»0|<m, |y-tf6|<». @6)
SI nous prenons un x quelconque situé dans l'intervalle Ixa — m, i, 4. m),
c]ost-à-d£re vérifiant la première des inéquations (26), F (x, y) en tant que
fonction de y sora, en vertu de (23), une fonction croissante dans l'intervalle (i/t, — l,
Vo -t- 9 et, en vertu de (25), sera de signe contraire aux extrémités de cet
intervalle. Par suite, ellodeviondra nullo pour une valeur déterminée unique de y

V-l.DÔRIVlîBS ET DIFFÉRENTIELLES DE FONCTIONS 397
dans cet intervalle. En particulier, si x = z0, d'après (22) cette valeur y sera
y — y0. Nous avons démontré de la sorte l'existence sur l'intervalle (20 — "»,
xa -|_ m) d'une fonction définie y (x) qui est solution de l'équation (21) et
satisfait la condition y (20) *™ ïo. Autrement dit, il résulta des considérations
ci-deasua que pour tout * donné dans l'intervalle (20 — m, xa + m), l'équation
(21) a une seule racine dans l'intervalle (j0 — '. Va + <*)■
Montrons maintenant que la fonction obtenue y (x) sera continue pour * =*
■» ïj. En effet, pour tout e donné petit et positif F {x0, y0 — e) et F (x0, y0 -f-
-f. s) seront de signe contraire [cf. (25)1 et par conséquent il existera un n
positif tel que F (x, y0 — e) et F (x, y„ + s) seront de signe contraire si | x — x,, | <
< t|, autrement dit, pour | 2 — 20 | < n la racine de (21), c'est-à-dire la valeur
de la fonction trouvée y (x), vérifie la condition \ y — y0 I < *, ce lui prouve
la continuité de y {x) pour x = x0.
Prouvons maintenant l'existence do la dérivée y (x) pour x = x„. Soit
Ai "- j — iD et soit Ap = ff — y0 l'accroissement correspondant de y. Il en
résulte que x «■ *„ -f- As et y = y0 4- Ay vérifient l'équation (21), c'est-à-dire
que f («„ -f As, yt 4. A») =0, et 6?après (22) on peut écrire:
F (id + Aï, ïo + Ay)—f (¾. yo) = 0-
Bn tenant compte do la continuité des dérivées partielles, on peut écrire
cette égalité ainsi |IE-4-2|:
lFi„ (*0> ÎTo) + eil A* + [^, (*6. »o) + «*1 A» = 0, (27)
où C) et «2-t-O si &x et A^-i-Oet où nous avons désigné par F^ (xt, y0) et F[ro (*o, ffo)
les valeurs des dérivées partielles pour x «=■ 2„ et ï = y„. De la continuité
que nous avons démontrée ci-dessus il résulte que A^ -►• 0, si Aa ->- 0.
L'équation (27) nous donne :
Ag *V*o- Vt>) + ei
Air p'vi,^< »o) + 82 '
en passant à la limite lorsque A* —*■ 0 nous obtenons:
,, . ^io fo» »o)
'i/o 1*0' Vol
Nous avons démontré la continuité et l'existence de la dérivée de la
fonction y (x) seulement pour x = x0. Si nous prenons une autre valeur quelconque
de a prise dans l'intervalle (z„ — m, »p + »*) ot 1» valeur correspondant* de y
dans l'intervalle (jm —2, y0 + l), valeur qui ost racine de l'équation (21),
toutes les conditions de notre théorème sont vérifiées pour ce couple de valeurs
x, y, et d'après ce qui a été démontré y (2) sera continue et aura une dérivée
nour la valeur choisio de x dans l'intervalle déjà mentionné.
De la même façon que ci-dessus on pout formuler et démontrer le théorème
d'existence de la fonction implicite z (2, y) définie par l'équation:
©(2, y, z)=0.
Examinons maintenant le système:
ip (*,.», r)=0, ip (2,0.2)=0, (28j
définissant y et z comme fonctions de x.
Dans ce cas on a le théorème :
Théorème. Soit x ■= 20. y = ?o, z ■= z„ une solution du système (28),
supposons que tp (x,y,2), ¢(2, y, z) et leurs dérivées partielles du premier ordre

398 CH. V. FONCTIONS DE. PI/USIEUBS VARIABLES.
sont des fonctions continues de (x, y, 2) pour toutes les valeurs de ces variables
suffisamment proches de (xq, y6, z0) et supposons que l'expression
f'u fo B, «) % (s. V, *) — <Pi (*• y, s) % (*. V, *i
ne sott pas nulle pour x ■=» x0, y •= y0, z =■ «0. vdfors pour toute valeur de x
suffisamment proche de xa II existe un système défini de deuc fonctions y (x) et z (x)
vérifiant les équations (28) continues, ayanl des dérivées du premier ordre et
satisfaisant à la condition y (x6) =■ y0, z (x0) = zc.
Nous ne nous arrêterons pas à la démonstration de ce théorème. Au Loine 111
nous étudiorons le cas général d'un nombre quelconque de fonctions à un nombre
quelconquo de variables.
V-l-iO. Courbes dans l'espace et surfaces. Commençons par
indiquer certains faits connus en géométrie analytique. Soit un
espace à trois dimensions rapporté à dos axes rectilignes
perpendiculaires OX, OY, OZ, de sorte quo chaque point est déterminé par
les coordonnées œ, y, z. Soit a, b, c un ensemble ordonné de nombres
dont l'un au moins est différent de zéro. Il lui correspond deux
directions opposées dans l'espace dont les cosinus directeurs (les
cosinus des angles formés par ces directions avec les axes OX, OY,
OZ) sont proportionnels aux nombres {a, b, c).
Les cosinus mentionnés s'expriment par les formules
cos<x= , cosB = -_—- ,
Le choix du signe du radical (supérieur ou inférieur) détermine
l'une des deux directions opposées.
Soient deux ensembles ordonnés de trois nombres (a, b, c) et
(a,, bi, c,). L'égalité
aflj + bbi -(- cc{ = 0
exprime la. condition d'orthogoitalité des directions qui leur
correspondent.
On sait en géométrie analytique qu'à toute équation de trois
variables :
F(x,y,*)-0. (29)
ou sous forme explicite:
« = /(*,»), (30)
correspond Su général une surface dans l'espace rapporté à des-axes
de coordonnées normaux OX, OY, OZ.
Une ligne dans l'espace peut être considérée comme l'intersection
do deux surfaces et par suite peut être définie par l'ensemble des

V-l. DÉRIVÉES ET DIFFERENTIELLES DK FONCTIONS 39g
deux équations:
Fl(x, y, «)=0, Ft(x, y, z)-0. (31)
Autrement on peut définir une courbe sous forme paramétrique nu
moyen des équations:
* = <p(*). y = i$(t), z = a>(t). (32)
La longueur de l'arc d'une courbe, de même que dans le cas d'u/ie
courbe plane, est définie comme la limite do la longueur dos
segments des lignes brisées inscrites dans cet arc lorsque chacun
de ces segments tend vers zéro. Des raisonnements que nous ne
reproduirons pas, car ils sont absolument analogues à ceux que nous
avons faits [H'I-3-3] dans le cas d'une courbe plane, montrent que
la longueur d'un tel arc s'exprime au moyen d'une intégrale définie
P(M»)
(»ii>
V{ds)* + ldyr+(d*r = $J W* (*) + ip (0 + <a'a (t) dt,
(33)
où fj et tz sont les valeurs du paramètre t qui correspondent aux
extrémités Mt et M2 de l'arc et la différentielle de l'arc s'écrit :
ds = V(dx)*+(dy)*+ (dz)\ (34)
Si c'est la longueur de l'arc s de la courbe qui jouo le rôle du
paramètre t, en prenant pour origine un point bien défini de la courbe,
on peut montrer, de la même façon que dans le cas de la courbe plane
III-5-1], que les dérivées ~, -r-, 4- sont égales aux cosinus directeurs
de la tangente à la courbe, c'est-à-dire qu'ils sont égaux aux cosinus
des angles formés par la direction positive de cette tangente avec
les axes de c-oordonnées. D'après (32) et'(33), nous obtenons pour
ces cosinus les formules:
q>' (t)
cos g: = —_ . -, T w ' =■
± Vf'2 (') + *'!(0 + B'il(()
cosp^- -■— -$'(<L- .. , i f3T,}
(ù'It)
cos v ■= ■ ■
drVcp'2(i)+i()'=(0+to'2(S)
en choisissant le signe du radical en conformité avec la direction
de la tangente.
Ci-dessus nous avons supposé que les fonctions (32) ont des
dérivées continues dont l'une nu moins n'est pas nulle.

400 CH. V. PONCTIONS DE PLUSIEUBS VARIABLES
De la sorte, les cosinus directeurs de la tangente à la courbe au
point {x, y, z) sont proportionnels à q>' (t), i]/ (t), a>' (t) ou à dx,
dy, dz, et l'équation de la tangente peut être mise sous la forme:
^L^ dy dz ' *5b"
soit :
X~x _ Y—y _ Z~z ,„p
f'm ~rm ~«'w * l *'
Introduisons maintenant une notion nouvelle: la notion de plan
tangent à une snrface:
F{x,y,z) = Q. (37)
Soit M0 (»0, #„, z„) un point quelconque de cette surface et L une
ligne (32) de la surface passant par le point M^, aussi bien que pour
un certain t — ta nous avons x0 = <p (/0), y„ — ty (ï0), z0 = m (<„).
Supposons que la fonction (37) possède au point M0 et à son
voisinage des dérivées partielles continues par rapport à x, y et z dont
l'une au moins est différente de zéro. Que les fonctions (32) aient
la propriété analogue pour t = {g au voisinage de cette valeur
également.
Comme L est sur la surface (37), en rapportant (32) dans le
premier membre de l'équation (37), nous obtiendrons l'égalité par
rapport à t. En dérivant cette égalité par rapport a t, nous aurons
Fx(x, y, z)<p'(t) + Fv(x, y, z)V(t)+Ft(x, y, z)a'(t) = 0,
où il faut substituer à x, y, z les fonctions (32), et au point M0
Fx {xo, y<* z0) <J>' (ta) +FV (s0, Va, «o> ty' M + F, (x0, y0, z0) <b' (f0) => 0.
(38)
Nous avons vu que cp' (£„), i}/ (f„), »' (te) sont proportionnels aux
cosinus directeurs de la tangente à la ligne L au point M0 et
l'égalité (38) montre que la tangente à toute ligne L située sur la surface
(37) et passant par le point M9 est perpendiculaire à une certaine
direction déterminée ne dépendant pas du choix de L, dont les
cosinus directeurs sont proportionnels aux nombres Fx (x0, ya, z0),
Fv (xa, y0, z0), Fz (xa, yB, z0). Nous voyons de la sorte que los
tangentes au point Ma à toutes les lignes situées sur la surface et
passant par le point M0 sont sur un seul et même plan. Cette
surface s'appelle plan tangent à la surface (37) au point M„.
Elle passe, évidemment, par le point Ma. Soit
A(X— xa) + B {Y ~-yB)+ 0^-2,,)=0 (39)
l'équation de ce plan. On sait de la géométrie analytique
que les coefficients A, B, C doivent être proportionnels aux cosinus
directeurs de la normale à cette surface, c'est-à-dire que dans le

"V-l. DERIVEES ET PIFFfiP.ENTIET.T,F,S DB FONCTIONS 401
cas présent, ils sont proportionnels à Fx (x0, y„, z0), Fy (x0, y0, z0),
Fi (^o. Vo> zo) ! P81 îa suite, au lieu du point MB (z„, y„, z0) nous
emploierons la notation générale du poiat M (x, y, z). Ainsi, A, B
et C doivent être proportionnels à F'x {x, y, z), F'v (#, y, z),
F'z (x, y, z) et, par conséquent, l'équation du plan tangent à la surface
peut être mise finalement sous la forme :
F'x(x, y, z)(X-x) + F'v(x, y, z)(Y-y) +
+Fi(x,y,z)(Z-z) = 0, (40)
où X, Y, Z sont les coordonnées du point courant du plan
tangent et x, y, z sont les coordonnées du point de contact M.
La normale au plan tangent passant par le point de contact
M s'appelle normale à la surface. Ses cosinus directeurs sont
proportionnels, comme nous venons de le voir, aux dérivées partielles
Fk {x, y, z), F'v (*, y, z), F'z (x, y, z) et, par conséquent, l'équation
de la normale sera ;
*-'.. — *"-» *=* (41)
Si la surface est donnée par une équation explicite: z=/ (œ, y),
l'équation (37) sera de la forme :
F{x, y, z)=f(x, y) — z = 0,
et, par conséquent,
F'x {z, y, z) = /i (*•, y), F'y {x, y, z) = f'„ (x, y), F'x {x, y, z) = — 1.
En désignant, comme d'habitude, les dérivées partielles f'x (x, y)
et f\, (#, y) par les symboles p et q, on obtient l'éqnation du plan
tangent
P(X-x) + q(Y~y)-(Z-z) = 0 (42)
et de la normale à la surface
£z±=Z=JL = 1zjL. (43)
Pour l'ellipsoïde
aa ~ 62 r o2 — *
l'équation du plan langent en un certain point do eolui-ci (x, y, z) sera:
soit:
a* yy *Z . . s» g» s»
«« + J! + c» ~ aa + i>2 + «a '"
2B-281

402 CH. "V. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES
Le second membro de cetto équation est égale à l'imité car les coordonnées
du point do contact (x, y, z) doivent vérifier l'équation do l'ellipsoïde et en
fin de compte l'équation an plan tangent sera:
V-2. Formule de Taylor, maxlma et minima d'une
fonction de plusieurs variables
V-2-1, Généralisation de la formule de Taylor au cas d'une fonction
de plusieurs variables indépendantes. Pour simplifier les notations
limitons-nous au cas d'une fonction / (x, y) de deux variables
indépendantes. La formule de Taylor donne le développement de
/ (a + h, b +fc) en série de puissances de h et k qui sont les
accroissements des variables indépendantes [IV-2-21. Introduisons une
nouvelle variable indépendante t en posant:
x=a + ht, y — b+kt. (i)
Nous obtenons de la sorto une fonction d'une variable
indépendante t:
cp (*)■=/(*, ») = /(o + ftt, b + kl),
avec ;
<p(0)=/(a, 6) et q>(i)=/(a + ft, 6+¾). (2)
En utilisant la formule dû Maclaurin avec le reste deLagran-
ge, on a [IV-2-2] :
¢(1)^(0) + ^+1^+...+^+
+ *$§■«><'<*• &
Exprimons maintenant les dérivées qp<p> (0) et (p*"1"1) (6) au moyen
de la fonction / (ar, y). Il résulte de (1) que x et y sont des fonctions
linéaires d'une variable indépendante t et
dx — h dt, dy^k dt.
Nous pouvons donc utiliser la formule symbolique pour définir
la différontielle de n'importe quel ordre de la fonction <p (t) [V-l-6]l
dM0= (^+^)^/(*, D-ih-k+k^Hx, y)dfl.
d'où

V-2. FORMULE DE TAYLOR. MAXIMA ET MINIHA D'UNE FONCTION 403
Pour t = 0 nous avons x = a et y = 6, pour t = 8 nous avons
a; = a + 9ft et y = b + Oft, d'où :
^,(0)=(^+/^)^/(., 8,-(^+^/(,, rt Ijg,
q^d(8)- (*£+*^.)<n+1)/(a+efe, i+eft).
En portant ces expressions dans la formule (3) et en tenant compte
de (2), on obtient finalement la formule de Taylor:
f(a + h, b + k)~f{a,b)+[h^-+k-^r)f(a,b) +
+-é-(*-£-+*^r/(«.*)+-+^(*À+*ir/(«.»»+
En remplaçant dans cette formule a par a; et & par y et en
désignant les accroissements h et k des variables
indépendantes par dtc et iff, et l'accroissement de la fonction, c'est-à-dire
/ {x + dx, y~\-dy)—f(x, y), par A/ (s, j/), on peut mettre la
formule sous la forme:
A/(«, ») = «»/(., ») + ^2i.+ ...+^g^ +
, r^'/(»,y)1
TL (»+l)l -U+etis"
Le second membre de cette formtile contient les différentielles des
différents ordres de la fonction / {x, y) et dans le reste on a in-
dicpié les valeurs des variables indépendantes qu'il faut introduire
dans les dérivées dû (71 + i)ieme ordre qui figurent dans ce terme.
Comme dans les cas dune fonction d'une variable indépendante,
la formule de Maclaurin qui donne le développement de la fonction
/ (x, y) en série de puissances do x, y s'obtient a partir de la formule
de Taylor (4) si on pose:
<t = 0, 6 = 0; h = x, k^y.
En obtenant la formule (4) nous avons supposé que la fonction
f (x, y) avait, des dérivées partielles continues jusqu'à l'ordre (rc+1)
dans un certain domaine ouvert contenant le segment de droite
26*

404
cir. v. fonctions de plusieurs variables
joignant les points {a, b) et (a + h, b + k). Lorsque t varie do 0
à 1, le point variable x — a •+- ht, y — b + kt décrit co segment.
Pour n = 0 on obtient la formule des accroissements finis :
f(a + h, b + k)—f(a, b) = hf„(a + Bh, b+Qk)+kfh{a + Qh, b + Qk).
Il en résulte comme en [II-3-7] que si dans un certain domaine, les
dérivées partielles du premier ordre sont partout nulles, la fonction
est constante à Vintérieur de ce domaine.
V-2-2. Conditions nécessaires d'existence des maxima et minima
d'une fonction. Supposons que lafonction / {x, y) est continue au point
(a, b) et dans son voisinage. Comme dans le cas d'une variable
indépendante nous dirons que la fonction f {x, y) de deux variables
indépendantes atteint un maximum au point {a, b), si la valeur de
f {a, b) n'est pas plus petite que les valeurs de la fonction aux points
voisins, c'ost-à-dire :
Af=f(a + n,b+k)—f(a,b)<0, (5)
pour tout h et k suffisamment petits en valeur absolue.
De la même façon nous dirons que la fonction f (x, y) atteint
un minimum pour x = a et y = b, si
Af^f{a + h,b+k)-f{a,b)>0 (5t)
pour toutes les valeurs h et It suffisamment petites en valeur absolue.
Ainsi, soit x = a, y = b les valeurs des variables indépendantes
pour lesquelles la fonction / (*, y) atteint le maximum ou le
minimum. Examinons la fonction f(x, b) de la variable indépendante x;
par définition, elle doit atteindre le maximum ou le minimum pour
x = a, c'est pourquoi sa dérivée par rapport à x pour ï = u doit
être nulle ou bien elle ne doit pas exister [II-3-2I. A l'aide d'un
raisonnement identique on vérifiera que la fonction dérivée / (a, y)
par rapport à y doit être nulle ou ne pas exister au point y = b.
Ainsi nous obtenons la condition nécessaire d'existence d'un
maximum ou d'un minimum: la fonction f (x, y) de deux variables
indépendantes peut passer par un maximum ou un minimum seulement
pour les valeurs de x et y pour lesquelles les dérivées partielles du premier
ordre ' '*' v' et ' *f ' y> sont nulles ou n'existent pas.
En faisant varier seulement x ou y on peut affirmer, selon [II-3-2],
que lorsqu'il existe des dérivées du second ordre, la condition
nécessaire pour qu'il existe un maximum est . „'■ ■ < 0 et 3 '^'y' .< 0,
et la condition nécessaire pour qu'il y ait un minimum est vt > 0
et o*n*,v) > 0

V-2. FOBMULE DE TAYLOB, MAXIMA ET MINJMA D'UNE PONCTION 405
Les raisonnements précédents restent valables dans le cas d'une
fonction d'un nombre quelconque de variables indépendantes.
Nous pouvons alors énoncer la règle:
Une fonction de plusieurs variables indépendantes passe par un
maximum, ou, un minimum seulement pour les valeurs des variables
indépendantes pour lesquelles les dérivées partielles du premier ordre
sont nulles ou n'existent pas. Dans la suite nous nous limiterons à
l'étude du cas où les dérivées indiquées existent.
La différentielle du premier ordre est égale à la somme des
produits des dérivées partielles par rapport aux variables indépendantes
par les différentielles des variables indépendantes correspondantes
[V-l-3], et nous pouvons dire que pour les valeurs des variables
indépendantes pour lesquelles la fonction a un maximum ou un minimum,
sa différentielle du premier ordre doit être nulle. Cette formulation
de la condition nécessaire est commode car l'expression de la
différentielle du premier ordre ne dépend pas du choix des variables
1V-1-3]. En annulant les dérivées partielles du premier ordre, nous
obtenons un système d'équations à partir duquel on détermine
les valeurs des variables indépendantes pour lesquelles la fonction
peut passer par un maximum ou un minimum. Pour résoudre
complètement cette question il faut encore examiner les valeurs obtenues
pour décider si la fonction passe effectivement, pour ces valeurs
des variables indépendantes, par un maximum ou un minimum,
et si oui, s'il s'agit d'un maximum ou d'un minimum. Au paragraphe
suivant nous montrerons comment on effectue cette recherche dans
le cas de deux variables indépendantes.
V-2-3. Etude du maximum et du minimum d'une fonction de
deux variables indépendantes. SoLt le système d'équations:
Df (», y) _ n & (*< y) .. n /fi\
ftrj u' % u' w
exprimant les conditions nécessaires pour maximum ou minimum,
nous donne les valeurs x = a et 5 = i> à étudier. Supposons
que / {x, y) a des dérivées partielles continues jusqu'au deuxième
ordre au point (a, b) et au voisinage de ce point.
D'après la formule de Taylor (4) pour n — 2 nous avons:
+ -2TL 8x* h +2 dxdy 'tAH %5—*_Ua+BA-
j/=6-f-8*

406 CH. V. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES
En tenant compte de ce que x — a et y — b sont solutions du
système (6), nous pouvons écrire cette égalité sous la forme:
A/ = /(a + A, b+k)-f(a, i) =
Posons ;
r—Yh?-\-k?, fe = rcos«, /c = rsina.
Pour des valeurs absolues petites de h et k, r sera petit et
réciproquement, et les conditions h et k->0 d'une part et r~>0 d'autre
part sont équivalentes.
La formule (7) peut alors s'écrire :
A/«4 [^^+2-¾¾^cos.sinaH-
+ ^-^1^-- W
En tenant compte de la continuité des dérivées du second ordre
et en considérant que h et k, ou, ce qui revient au même, r sont des
infiniment petits, nous pouvons affirmer que les dérivées dans le
second membre de la formule (8), calculées pour les valeurs de a-\- 6h,
b -f- 0¾ qui diffèrent d'un infiniment petit de a et b, diffèrent elles-
mêmes d'un infiniment petit des nombres
a"/(a, b) _ . e*Ha,b) R PU*,b) „
c'est pourquoi on peut remplacer dans le terme entre crochets de (8)
les coefficients des cos2 ce, cos a sin a et sins a respectivement par
A + s„ 2B + Ez, C-I-Bj,
où e(, ea, 83 deviennent des grandeurs infiniment petites en même
temps que h et k (ou que r).
On peut alors écrire la formule (8) sous la forme:
A/=^-[4cosaa-(-2Bsinacosa+Csinaa+eJ, (9)
où
e = 6! cosa a -f- 2e2 cos a. sin a+es sin* a
est un infiniment petit en même temps que h et k (ou que r).
De la définition du maximum et du minimum il résulte que si
le second membre de (9), pour toutes les valeurs suffisamment petites
de r, est négatif, les valeurs x — a et y — b définissent un maximum
de la fonction/ (ar, y) ; s'il est positif, on a un minimum de la fonction;

V-=. FOBMULE DE TAYLOB. MAX1MA ET MINIMA D'UNE PONCTION 407
si enfin pour les valeurs de r arbitrairement petites le second membre
de (9) peut être aussi bien négatif que positif, il n'y a ni maximum,
ni minimum correspondant au point .r = a, y = h.
Lorsqu'on examine le signe du second membre de l'égalité (9),
on peut rencontrer les quatre cas suivants:
I. Si le trinôme
^4cossa-|-25sinacosa+Csiiiaa (10)
11 "est jamais nul quelle que soit la valeur de a, en tant que fonction
continue de a il conserve un signe constant [II-2-31. Supposons qu'il
est positif. Dans l'intervalle (0, 2n) cette fonction continue passe
par sa valeur la plus petite (positive) m. Etant donné la périodicité
do cos a et de sin ce, cette valeur la plus petite de m aura lieu pour
toute valeur de ce. La grandeur | e j pour toutes les valeurs
suffisamment petites de r est plus petite que m, et alors le signe du second
membre derégalité(9)estdéfinipar le signe du trinôme(lO), c'est-à-
dire qu'il sera positif et dans ce cas nous aurons un minimum.
II. Supposons maintenant que le trinôme (10) ne soit jamais nul,
quelle que soit la valeur de aet qu'il soit toujours négatif. Supposons
que m est la plus petite valeur (négative) de ce trinôme dans
l'intervalle (0, 2jï) de variation de ce. La grandeur | s | pour des valeurs
suffisamment petites de r est plus petite que m, alors le second membre
de l'égalité (9) sera toujours négatif, c'est-à-dire que dans ce cas
nous aurons un maximum.
III. Supposons ensuite que le trinôme (10) change de signe, que
pour a =alt il soit positif et égal à +mt et que pour a = az il est
négatif et égal à —m2. Pour toutes les valeurs suffisamment petites
de r, | e | sera plus petit que mt et roa. Pour de telles valeurs de r
et pour a = «i on a2 le second membre de l'égalité (9) aura un signe
défini par le signe du trinôme (10), c'est-à-dire qu'il sera positif
pour a = a( et négatif pour a = a2. De la sorte que dans le cas
considéré le second membre de l'égalité (9) peut être aussi bien
positif que négatif "pour des. valeurs arbitrairement petites de r,
c'est-à-dire que dans ce cas nous n'aurons ni maximum, ni minimum.
IV. Supposons enfin que le trinôme (10) qui conserve un signe
constant puisse s'annuler pour certaines valeurs de ce. Dans ce cas,
sans examiner davantage le signe de e, nous ne pouvons tirer aucune
conclusion quant au signe du second membre de l'égalité (9), et ce
cas reste douteux dans notre étude.
Ainsi tout a été réduit à l'examen du signe du trinôme (10)
lorsque a varie et nous indiquerons des critères simples permettant de
vérifier auquel des quatre cas nous avons affaire.
a) Supposons tout d'abord que A g£= 0. Mettons le trinôme (10)
sous la forme:
(A cos g + B sin «)a4-MC—B') sin' et ,.,,

408 CH. V. FONCTIONS DE PLUSIEURS YABIABLES
Si AC — .02 est positif, le numérateur de la fraction écrite est
la somme de deux termes positifs qui ne peuvent pas s'annuler
simultanément. En effet, le second terme s'annule seulement si
sin a = 0, mais alors cos a — ± 1 et le premier terme devient A2 ^ 0.
De sorte que dans le cas considéré le signe de (11) est le môme que
celui de A et, par suite, pour A > 0 nous aurons le cas (I), c'est-à-
dire un minimum et pour A < 0 on a le cas (II), c'est-à-dire un
maximum.
b) Supposons encore que A ^= 0, mais que AC—B2 soit négatif.
Le numérateur de la fraction (11) sera positif si sin a. = 0 et négatif
pour cotga = — - , c'est pourquoi dans les conditions indiquées
nous aurons le cas (III), c'est-à-dire qu'on n'aura ni maximum ni
minimum.
c) Si pour A ^ 0 nous avons AC — J3a = 0, le numérateur
de la fraction (11) se réduit au premier terme et, étant toujours
positif, devient nul pour cotg a = — -j, c'est-à-dire que dans
ces conditions nous avons le cas douteux (IV).
d) Supposons maintenant que .4=0 mais que fi 9^ 0, le
trinôme (10) peut alors s'écrire: sin a (25 cos a+ Csin et). Pour les
valeurs de a proches de zéro, l'expression entre parenthèses garde
un signe constant identique à celui de B et le terme sin a a un signe
différent suivant que a est plus grand ou plus petit que zéro, c'est-
à-diro qu'on a le cas (III) où il n'y a ni maximum ni minimum.
e) Supposons enfin que A = B = 0. Alors le trinôme (10) se
réduit au seul terme C stna a et, par conséquent, peut s'annuler
sans changer de signe, c'est-à-dire qu'on a le cas douteux.
En tenant compte de ce que dans le cas d on a AC — J3* < 0
et dans le cas e nous avons AC — B2 = 0, on peut énoncer la règle
suivante: pour obtenir les maxima et les minima à Vintérieur d'un
domaine en supposant que la fonction/(x, y) y soit continue et possède
des dérives continues du second ordre, il faut écrire les dérivées partielles
f'x fa y) et f'v (x, y) et résoudre le système d'équations:
/i(*, </) = 0, fu(x, y) = 0.
Soit %=a, y = b une solution quelconque de ce système. En posant:
jfii («, b) A mi (a, V) _ „ a»/(a, b) _„
Sa* ' daOb ~Ji' iM* ~" '
on détermine la solution d'après le schéma suivant:
AC-IJî
A
+
+ 1
min. | max.
—
ni min.
ni uiax.
0
cas
douloux

"V-2. POBMULE DE TAYLOR, MAXIHA ET MtNIMA D'UNE PONCTION 409
V-3-4. Exemples. 1. Examinons uno surface z = / (x, y). L'équation du
plan tangent sera [V-l-10]:
p(X-x)+q(Y-,j)-(Z~z) = 0,
où p et y représentent les dérivées partielles /i (x, g) et }'v (x, y).
Si pour certaines valeurs x = a et y •= b la fonction z passe par un maximum
ou un minimum, la point correspondant est un sommet de là surface : en un tel
point le plan tangent doit être parallèle au plan XY, c'est-à-dire que les
dérivées partielles p et q doivent s'annuler et la surface doit être située d'un
côté du plan tangent, au voisinage du point de contact (fig. 103). Mais il
Fig. 163
peut arriver quo p et q s'annulent en un certain point, c'est-à-diro que lo plan
tangent soit parallèle au plan X Y mais la surface au voisinage de ce point est
située des deux côtés du plan tangent, et dans ce cas pour des valeurs
définies de x et do y la fonction z ne passera ni par un maximum ni par un
minimum.
Indiquons encore une éventualité qui peut avoir lieu dans le cas que nous
avons appelé douteux au paragraphe précédent. Supposons que pour x — a,
y=b lo plan tangent est parallèle au plan XY et la surface est situés d'un côté
du plan tangent mais a on commun avec lui une ligne passant par le point
de contact. Dans ce cas la différence:
/(a+ft, b+k)-f(a,b),
no changeant pas de signe pour dos valeurs absolues de h et k suffisamment
petites, pourra s'annuler, bien que h ou k ne soient pas nuls. Il est facile de
réaliser ce cas, en s'iuiaginant par exemplo un cylindre.dont l'axe est parallelo
au plan XY. Dans ce cas on dit aussi que la fonction / (x, y) a un maximum ou
un minimum pour x — a et y — b [V-2-2].
La surface
est un paraboloïde hyperbolique. En annulant les dérivéos partielles de z par
rapport à z et à y on obtient x = y =■ 0, et le plan tangent à la surface-
Fig. 164

410 CH. V. PONCTIONS DR PLUSIEURS VARIABLES
à l'origino dos coordonnées coïncidera avec le plan XY. Considérons les dérivées
partiellos du second ordre :
dH 1 3'z
Ô352 — ~aS~> fagy —U»
IPz i_
par conséquent, nous avons:
^-^=--S5r<0'
c'est-à-dire que pour x = y = 0 la fonction z n'a ni maximum ni minimum
et nu voisinage de l'origine des coordonnées la surface est disposée de part et
4'autre du plan tangent (fig. 164).
2. Sur uns surface on se donna n points Mt (a<, bt) U = 1, 2, . . ., n).
On cherche lo point M tel que la somme des produits des nombres positifs donnés
nu par le carte des distances du point M anx points Mi soit minimum. Soit (x, y)
los coordonnées dn point M cherché. La somme considérée sera :
n
Ëln annulant les dérivées partielles a'x et w'u, il vient:
j.-_ mlai+m2a2-\ -)~TOnan n>ifei + Bt?>2-r ■ ■ - + Mn^n ,j2\
On peut facilement vérifier que dans le cas considéré A ot AC — Jï8 seront
positifs ot quo, par conséquent, un minimum w correspondra effectivement aux
valeurs trouvées do x ot y. Ce minimum est la valeur la plus petito de v> dans
lo plan (x, y) car u> -*■ + <x> lorsqn'on éloigne indéfiniment lo point (z, y).
Si les points Mt sont des points matériels de masse mt, la formule (12)
■définit les coordonnées du centre de gravité pour U système des points M%.
V-2-5. Remarques supplémentaires sur la recherche des miniifla et des
niaxima d'une fonction. Les raisonnements précédents peuvent se généraliser
au cas d'un plus grand nombre de variables indépendantes. Soit une fonction
■do trois variables indépendantes / (x, y, z). Pour trouver les valeurs des
variables indépondantespour losquellescette fonction passe par un maximum ou un
minimum, nous dovons résoudre un système de trois équations avec trois
inconnues (V-2-2J:
/i(*, W. 2) = 0, fy(x, y,z)=Q, fz(x, y, z)=0. (13)
Soit x= a, y = fc, z — c une des solutions du système. Exposons brièvement
lo moyen d'étudier ces valeurs. La formule de Taylor nous donne
l'accroissement d'uno fonction sous forme d'une sommo de polynômes homogènes
développés suivant lus puissances dos accroissements des variables indépendantes;
Af=h & 1-* 55 +l ai +
+-i-(»i+*-i:+.i-)w/(..».*+-.f
+-FRÏÏ (^+^+^)^^+^ >+e*.«+eo (0<e<«.
(14)

V-2. FORMULE BB TAYLOR, MAXIMA ET MINIMA D'UNE FONCTION 411
Los valeurs a = a, j = ft, z= g vérifient les équations (13). Par suite:
h df(a, 6, c) , k 3/(a, b,c) 3/(a, ft, ¢) Q
Si l'ensemble des termes du second ordre par rapport à h, k, l
Mk-w+ki+l-i-r^^ (15)
s'unuulo seulement pour h — k — l = 0, lo signe du second membre do (14)
pour h, k, l suffisamment potits on valeur absolue est le même quo colui do (15),
ot si co signe est (-)-) , / (a, 6, e) est nn minimum de la fonction / (z, y, z), ai
c'est (—•),' nous avons un maximum. Si l'expression (15) peut avoir des signes
différents, / (a, b, c) n'est ni un maximum, ni un minimum de la fonction,
Si enfin l'expression (15), sans changer de signe, s'annnlo pour certaines valeurs
do h, k, l différentes de k — k = ( = 0, on a le cas douteux et il faut étudier
dans le. second membre de (14) des termes qui ont un degré supérieur à deux
en h, h et l.
Effectuons l'examen complet do co cas douteux dans l'exemple particulier
de deux variables indépendantes:
u=aa—2xy-\-y*-^-x3-\-y*.
Les valeurs x = y = 0 rendent nulles les dérivées partielles — et j- . De plus,
nous avons:
,,_ *» I -9 h a*« I 9 r &<* I ,
1/^=0 ipû &=0
c'ost-à-dire que nous sommes dans lo cas douteuxi Une particularité
caractéristique de ce cas ast quo i'euscmblo des termes dn second degré dans l'expression
de la fonction u ost un carra parfait et nous ponvons écrire
« = (*-tf)2+(*8+&'3).
Pour x = y — 0, u devient nul. Pour examiner le signe de u pour x ut y
voisins do zéro, introduisons les coordonnées polaires:
x=rcosa, p=rsina.
En remplaçant x et y par leurs valeurs, il vient :
u^r^ [(cosœ—sinœ)3+r(cos;'a-|-sin3 a)].
Pour touto valeur deadansl'intervallo(0,2jî), différente de -j- et de -j-:
cos« — sin et =£ 0,
ot pour toute valeur de « on peut choisir un r„ positif tel que pour r < r0 l'ox-
prossion entre crochets soit positive. Si a = -^, l'expression restera positive,
5ît
mais pour a=—r- elle devient négative et, par ooEséqaent, pour x — y = 0
la fonction u n'aura ni maximum ni minimum.
Examinons maintenant la fonction:
u=(y—x^—xt.

412 OH. V. FONCTIONS DE PLUSIEURS VATUABLES
Il est facllo de vérifier que pour x — y =■ 0 les dérivées partielles — et j-
s'annulent et que nous sommes dans le cas douteux. En prenant x arbitrairement
petit ot on posant « ■- x3 on voit que la fonction u devient (—a6) et son signe
dépendra de celui de x, c'est-à-dire que pour x — y = 0 la fonction ne passera
ni par un maximum ni par un minimum. Introduisant les coordonnées polaires
nous obtenons:
u=ri (sin* a—2r cosa a sin a+^ cos* a—r3 cos° a),
et on voit que pour tonto valeur de a y compris a "= 0 et n, on pent trouver nn ra
positif tel que u 2> 0 ponc r <C r0l c'est-à-dïro qne sur tonte demi-droite issue
*~X
Fig. 1G5
de l'origine, la fonction «soit positive au voisinage de l'origine. Cepondant cola
n'entraîne pas que l'origine soit unminimum où u.= 0 car on no pent pas trouver
un ra qui soit le même pour toutes les valenrs do a.
Nous avons tracé la conrbe (y — x2)- — i6 =0 |II-5-7J et nons avons vn
qn'elle a nn point de rebroussement du denxième ordre à l'origine ot que le
premier membre de cette éqnation est négatif au voisinage de l'origine pour
les points situés dans la région hachurée do la fig. 165 qui se tronve ontro les
doux branches de la courbo.
V-2-C. Lu plus grande et la plus petite valeur d'nne fonction. Supposons
que l'on vonf lie chercher la valenr la pins grande d'nne fonction / (s, y) donnée
dans un certain domaine. La méthode exposéo [V-2-3I nous permet de tronvar
tons les maxhna à V intérieur do ce domaine, c'est-à-dire les points dn domaine
où la fonction n'est pas moins grande qn'aux points voisins. Ponr tronver la plus
grande valour de la fonction il faut tenir compte des valonrs de la fonction aux
limites (contours) du domaine considéré et comparer ses maxima sitnés A
l'intérieur du domaine avec ses valenrs snr les contonrs. La plus grande de tontes
ces valours sera celle la plus grande de la fonction dans le domaine donné.
On obtient do façon analogno la plus petite valeur de la fonction dans 1b domaine.
Pour expliciter ces notions nous allons traiter nn exemple.
Dans le plan on se donne le triangle OAB (fig. 166) formé par les axes OX,
OY et la droite
x-\-y—1 = 0. (IG)
On eeiU trouver le point de ce triangle pour lequel la somme des earrês des
distances du point, aux sommets du triangle soit ta plus petite.
En tenant compte do ce qne les sommets A et B ont pour coordonnées (1, 0)
et (0, 1), nous pouvons écrire cette sonimo dos carrés dos distances du point
variable (x, y) aux sommets du triangle:
2.= 2^ + 2^ + (1-1)^-1-(0-1)2.

V-2. FORMULE DE TAYLOR, MAXIMA ET MINIMA D'UNE FONCTION 413
En annulant les dérivées partielles du premier ordre», jioiis obtenons x =
■=■ 'J = 1/s et '1 6st facile de montrée que la valeur correspondante de la fonction
z =* 4/a est le minimum. Examinons maintenant les valours de z sur lo contour
du triangle. Pour examiner la valeur de z sur lo côté OA il suffît do poser y = 0
dans l'expression de z:
z=2ïS-|-(œ—1)2+1,
et x varie dans l'intervalle (0, 1). En faisant comme on [II-3-4J, on voit quo la
plus petite valeur de z sur OA est 5/gau point C pour lequel x—1/}. De même,
sur OB z passera par la plus petite valeur '/s au point D pour lequel y — '/a-
Pour examiner les valeurs de z sur lo côté AB il suffit do poser y = 1 —x dans
l'expression (16) de z:
z = 3ï2 + 3(a:—l)s,
et x varie dans l'intervalle (0, 1). Dans ce cas la valeur minimum de z sera 3/2
et si) trouve au point E ^our lequel x — y = l/j. Nous obtonons ainsi la tabla
<îos valeurs les plus petites possibles de la fonction:
?. y
z
1 1
8' 3
4
3
!•»
5
3
«•S
5
3
1 1
2' 5
3
2
On voit sur cotte table que la plus petite valeur z = </3 sera atteinte
au point (Va; Va)- Le problème posé pout être également résolu pour tout
4riangle et lo point cherché est lo centre de gravité du triangle.
V-2-7. Minima et maxima relatifs. Jusqu'à présent nous
examinions les maxima et les minima d'une fonction en supposant que
Jes "variables dont dépendaitla fonction étaient indépendantes. Dans
de tels cas les maxima et les minima sont dits absolus. Passons
maintenant à l'examen du cas où les variablas dont dépend ]a fonction
sont liées par certaines relations. Dans de tels cas les maxima et les
minima sont dits relatifs.
Cherchons) les maxima et les minima do la fonction :
•de (m + n) variables xt qui sont liées par n relations:
<P*(»i. «Z, --.i*m» *m+li ■ .-,*»iw) = 0 (17)
(i = l, 2, ...,n).
Dans la suite pour abréger les notations nous n'écrirons pas les
■arguments des fonctions. En résolvant les n relations (17) relatives
à n variables, par exemple:
œ>n+l> œm+2, ••• i £rn+nt

414 CH. V. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES
nous los exprimerons au moyen dos m variables indépendantes
■Pi» "^Zy ' • • » ^m !
en portant ces expressions dans la fonction /, nous obtenons une
fonction de m variables indépendantes, c'est-à-dire qu'on est ramené
à chercher des maxima et des miniina absolus. Mais une telle solution
du système (17) est souvent difficile et parfois même impraticable,
et nous indiquerons un autre moyen: celui des multiplicateurs de
Lagrange.
Supposons qu'en un point M (x^ xz, . . ., iB+„) la fonction /
passe par un maximum ou un minimum relatif. En supposant
l'existence de dérivées au point M, on peut affirmer que la différentielle
totale de / doit s'annuler au point M [V-2-2] :
m-fn
s=l
D'autre part, en différentiant (17), on obtient au point M les n
égalités suivantes:
m-f-n
Multiplions ces équations par des coefficients qui sont pour
l'instant indéterminés:
et les additionnons terme à terme entre elles et avec la relation (18) :
m-fn
a (^+^-5-+^.-8-+---+^-6-)^=0- <19>
Définissons ces n multiplicateurs de façon à ce que les coefficients
des n différentielles
des variables dépendantes soient nuls, c'est-à-dire que nous allons
obtenir les \, Xit . . ., Xn à partir de n égalités:
-£■+»* S-+*. 4S-+- -+»--S-0 (20>
(s = TO-f 1, rn-\-2, ...,m-t-n),

"V-2, FOKMULE DE TAYI.OB, MAX1STA ET MINIMA D'UNE VONCTIOiV 415
Alors, dans le premier membre de la relation (19), il ne restera
que des termes contenant les différentielles des variables
indépendantes:
dxu âx2, ..., âxm,
c'est-à-dire :
2 (-fr+^-£-+^+---+*.-S-)*.-o. (2i>
Mais les différentielles dxit dx^, . . ., dxm des variables
indépendantes sont des grandeurs arbitraires. En égalant l'une d'elles
à 1 et les autres à 0, il résulte de l'égalité (21) que tous les
coefficients de cette égalité doivent être nuls [V-l-81, c'est-à-dire que:
^+^+^+-+^¾^0 (.-1.2.....-). (22)
Il faut tenir compte du fait que dans toutes les formules précédentes,
depuis (18), les variables xe sont remplacées par les coordonnées
du point M où, par hypothèse, / passe par un maximum ou un
minimum relatif. En particulier, cela concerne les équations (20) à
partir desquelles on doit déterminer a.4, a.2, . . ., a.„.
De sorte que les équations (22), (20) et (17) expriment la condition
nécessaire pour qu'au, point (xu xz, . . ., xn+n) on soit en un
maximum ou un minimum relatif.
Les équations (22), (20) et (17) nous fournissent (m -(- In) équations
pour déterminer (m + n) variables xt et n multiplicateurs a.*.
On voit, d'après le système (22) et (20), que pour obtenir les valeurs
des variables xa pour lesquelles la fonction f passe par un maximum
ou un minimum relatifs, il faut annuler les dérivées partielles par
rapport à tous les xs de la fonction O définie par la relation :
<D = /+A.i<Pi + A.aq>a+ \-K<fn,
en considérant que a,1? X2, . . ., Xn sont constants et leur adjoindre
les n équations de liaison (17).
Au paragraphe suivant, nous exposerons brièvement le problème
des conditions suffisantes.
Notons que lors de l'obtention de la règle indiquée, nous avons
supposé non seulement l'existence do dérivées des fonctions /et <ft,
mais aussi la possibilité de déterminor les multiplicateurs Xu X.2, . . .
...,¾^ à partir de l'équation (20), C'est pourquoi la règle indiquée
peut ne pas donner certaines valeurs de (a;,, z2, . . ., xm+n) pour
lesquelles on a un maximum ou un minimum relatif. Nous allons
expliquer maintenant plus en détail cette circonstance dans les
cas les plus simples el nous perfectionnerons la théorie.

416 CH, V. PONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES
V-2-8. Remarques complémentaires. Soit à chercher losmaxinia et rainînia
relatifs d'une fonction / (x, y) avec une condition supplémentaire:
q>(«, if) = 0, (23)
«t supposons, par exemple, que l'on passe par le maximum rolatîf au point
(x„, j/„) ot que ç («„> ffo) = °. Supposons que <f> (x, y) a des dérivées partielles
•continues du premier ordre au point (x„, yt) et à son voisinage et quo de plus:
5>io (¾. ffo) «h 0. (24)
Alors l'équaticn (23) définit do façon «nique au voisinage de x = xa la fonction
# => û) (*) continue, ainsi quo sa dérivée continue et telle que yt, = ûi (¾)
1V-1-7). En portant y ■= a> (a:) dans la fonction / (a, y), on peut affirmer que
■la fonction / [x, e> (x)\ d'une variable « doit passer par un maximum pour x =
— x„ et. par suite, que sa différentielle totale par rapport 5 x doit s'annuler
pour a- = x0, c'ost-à-dirû:
/i0(*0> ^,) + /^(3¾. !/o)0>'(«o)=0.
En portant ^=0)(¾) dans (23) et en différentlant par rapport h x on obtient
•au point (z0, y<,) [11-4-31:
En multipliant cotte équation par?, et en l'ajoutant terme à terme à la
précédente, il vient :
,En calculant \ 5 partirde la condition /S/o+Xfppo^Oi ce qui est possible, d'o-
jii-ôs (M), nous aurons /i„-)-^,,= 0, c'est-à-dire qu'on a los deux équations:
^. + ^,-0:^, + ^-0, (25)
•auxquelles il faut ajouter l'équation <j> (*o> ïo) =» 0, co qui justifie la raétliodo
des multiplicateurs. Si la condition (24) n'est pas satisfaite, c'est-à-dire ai
<pirç (xo, Jo) = P niais si çl0 (x0, y0) ^ 0, on pout répéter tous les raisonnements
précédents on intervertissant les rôles de x et de y. Si au point (%, So) nous avons :
¢^(¾. !/o) = 0 et <Py0(a0, ffo)=0, (26)
■nous ne pouvons pas prouver quo le point (x0, yo) peut ôtro obtenu au rnoyon
do la méthode des multlplicatoars.
Les égalités (26) montrent quo le point (¾. y„) est un point singulier de
la courba (23) [11-5-7]. Donnons maintenant un exemple d'un problème pour
lequel les conditions (20) sont vérifiées au minimum relatif.
Cherchons la distance minimum entre le point (—1, 0) et les points situés
sur la parabolesemi-enbique y* — x3 =» 0 (v. fig. 87) III-5-7]. Ainsi on cherche
le minimum do la fonction / = (x -f- l)a-(-i/a avec comme conditioni|> = y2 —
— j^ = 0. 11 est évident par la géométrie que le minimum est atteint au point
(0, û"> situé sur la parabole semi-cubique ot étant un point singulier. Lamétbode
dos multiplicateurs nous donne les deux équations:
2(3-1-1)-3^=0, 2y+2%y=0.
En faisant x — 0, y =• 0 la première équation donne une égalité absurde
2 = 0 et la deuxième est vérifiée pour tout X.. Dans co cas, la méthode des
multiplicateurs no nous donnera pas lo point (0, 0) où on a un minimum relatif.
De façon analogue, on peut montrer que si au point (x<t, y<» z<>) la fonction
jpasso par un maximum ou un minimum avec uno condition complémentaire

V-2. FORMULE DE TAYLOR, MAXIMA ET MINIMA D'UNE PONCTION 417
»p (a:, y, z) = 0 et si l'uno au moins des dérivées partielles du premier ordre de
la fonction ij> n'est pas nulle an point (*o. y0. z0), ce point peut ëtro ohlonu au
moyen dos multiplicateurs.
Dus raisonnements analogues s'appliquent aux cas plus généraux, «nais
il faut tenir compte du théorème, des fonctions implicitos pour les systèmes
d'équations dolil nous avons parié [V-I-7I. Supposons par exemple que la
fonction / (4!, j/, s) passe par uu maximum relatif au point (r0, y0, z£) avec deux
conditions oomplémeiitaites :
<P(œ> y, *)-Û, i|> (*.!/. 3)=0, (27)
avec les hypothèses habituelles d'existence et de continuité dite dérivées et
si nous avons:
<f>'vo(xo> Vo, ^0)^,,(^07 I/o, ^0)-^,,(¾. !/o> H)%0(*o> So, zo)=pO. (28)
Alors les équations (27) définissent de façon unique les fonctions: y = ùi, (z)
et z = û>2 (x) telles que i/o = e>i teo) et z0 = o)2 teO- En portant ces fonctions
dans la fonction /, ou obtient une fonction de * seulemont qui passe par un
maximum pour x — x0. d'où il résulte:
/io^O' »o. *o)+ ^,,(¾. y<)> *o) <"i (¾)+ /^(2¾. ?o> 20)^2(^0) = 0.
IÎ11 portant ces fonctions dans (27) et en dérivant par rapport à a; au point
(x0, y0, z0), on obtient:
"Pio + vio™1^ 1-^0^(^0) = 0, %0-\-Vvlp'i (^0)-(-^5(^0)=0.
Multiplions ces équations par \t et %2 et ajoutons-les à la précédento, il vient :
(£, + ^0+^)-1-(^.+^1¾. +^'J + (/i.+ ^i<p;„-)-?.^.) = 0. (29)
En tenant compte de (28), on poul affirmer qu'à partir des deux équations:
^0+^0 + ^0=0- /;„+^o+M>;o=0 (30)
nous pouvons obtenir À, et ?.s ot l'équation (29) nous amène alors à l'égalité:
/i„+^i„+^*i„=°. (31)
ce qui justifie l'application de la méthode des multiplicateurs dans le cas
considéré. Il faut ajoulor aux équations (30) ot (31) :
fixa, i/o, zo)=0 et ty(xei y0, 20) = 0.
Au lieu de la condition (28) on pourrait imposer une condition analogue
en dérivant par rapport à œ0 ot y„ ou x„ ot tu au lieu de y0 et z0- Mais si en
plus de l'expression qui figure dans ie premier membre de (28) les deux autres
expressions analogues obtenues en dérivant par rapport à *o et Ho ou à x„
ut z0 sont nulles, on ne peut plus justifier la méthode des multiplicateurs pour
le point (z0l y„, zo). On peut montrer que dans tous les cas qui seront examinés
au paragraphe suivant, 0« ne pourra pas se trouver dans une telle situation.
Ainsi dans l'exemple 1, on a une condition complémentaire (32) et dans le
premier membre de cette condition l'un au moine des nombres A, S, C n'est pas
nul, SiC ^ 0, par exemple, la dérivée du premier membro de (32) par repport
à z est égale à C et, par suite, olle est non nulle en tout point (z, y, z). Ceci
montre que dans le cas considéré, toute réponse doit être obtenue par la méthode des
multiplicateurs.
Donnons maintenant quelques indications sur les conditions suffisantes
concernant lesmaximaetles minima relatifs, ennous limitant au cas où nous avons
deux variables indépendantes. Nous cherchons les maxima ot les minima
relatifs do la fonction / (x, y, z) avec la condition complémentaire <p (z, y, z) =»
*= 0. Formons la fonction ¢ = /-)- k<p. Supposons qu'en annulant ses dérivées
27-281

418 CH. V. FONCTIOMS DE PLUSIEURS VARIABLES
premières par rapport à *, y et z et en tenant compte do la condition
supplémentaire, nous ayons obtenu x — *0, y = y0, s = H et à, = &.„. Nous devons
examiner los valeurs obtenuoa des variables, c'est-à-dire déterminer le signe
do la différence f (x, y, z) ^—f (x0, y0, z0) pour tout (a:, y, z) suffisamment
proche do (r0, y0, z0) ot vérifiant la condition <p (ar, y, s) = 0. Introduisons
Ja fonction:
*(*. V, *) = /0. y, *)+*dT'(*. ». *)■
De la condition <p («, y, z) = 0 11 résulte que l'on peut examiner la différence
ij> (a, y, 2) — ifi (i0, LTo. 2<i) au lieu de / (x, y, z) — f («<,, p0> *o). Les déri-
véos partielles du premier ordre de la fonction i|> (a, y, g) au point (at0, y0, z0)
sont nulles par hypothèses. En développant la dernière différence en série de
Taylor et en sa limitant aux tccmes ayant des dérivées secondes, on obtient uno
équation du type [V-2-5J:
if(*i V, *) —*(*0t W> «)"aiidï2-r-œj2dy2 |-i33ds5 f
-\-2atîdx dy -\~2uisdx dsJr2ai3dy dz 4- •..,
où on a désigné par a;& les valeurs correspondantes des dérivées partielles du
second ordre do la fonction 1|> (x, y, 2) au point {xe, ya, z0) et par dx, dy, ds
les accroissements des variables. Supposons que <pz0 (x0, ya, z0) 7* 0, de sorte
que la condition donne z = <ù (x, y) et z0 = ta (at0, j/0). Il résulte de la
condition que :
<P'X(X> »• *)rfœ-r-"P;,(s. tf. *)<*» +«Pi(*. y. z)dz=Q.
En faisant a — xa, y — y0, 2 — *o, on exprime dz en fonction de dx et de dy:
q£ô (*a. go, *o) y'^^o, m. =¾)
î_ %o<xo. i/o. *o) Z fz0(z0' Po. 5o) d"'
En remplaçant dz par sa valeur dans le développement et bd regroupant, il
vient :
\J)(x, y, z) — <J>(20, j/0, zd=iAdx*+2Bdxd-g + Cdy*+...
On pout maintenant utiliser los résultats de [V-2-3I. Ainsi, par exemple, si
A C — B1 > 0 et A > 0, au point (20, ïo< zo) 'a fonction / (a, j/, z) passe
par un minimum relatif. Il résulte dos raisonnements exposés au paragraphe
[V-2-3] que pour justifier la règle indiquée, il surfit do»supposor que les
fonctions f {x, y, z) ot <p (x, y, z) ont au point (x0, y0, z0) et dans son voisinage
des dérivées continues jusqu'au second ordre.
Nous ne nous étendrons pas davantage sur le problème des conditions
suffisantes du maximum et du minimum relatifs. Ce qui a été essentiel dans les
raisonnements précédents, c'est la substitution à / (x, y, z) — / (x0, y0, »„)
de la différence 1{> (a:, y, z) — ij> {xa. Va, ,zo) aont ',es dérivées premièrOs sont
nulles au point do, y0, z0),ainsi que le fait que la différentielle dz de la
variable liée est définie par une équation du premier degré ou dx, dy, différentielles
des variables indépendantes. On peut oxamîner de façon analogue les conditions
suffisantes pour un nombre quelconque de variables et de liaisons.
V-2-i). Exemples. 1,0b cherche la plus courte distance du point (a, b, c)
à la surface
Ax+&y + Cz+D=0. (32)
Le carré do la distanco du point donné (a, b. c) au point courant (x, y, z)
est:
r» = (*-«)« + (j,_6)S.| ■ (z-e)i. (33)

V-2. FORMULE DE TAYLOlî, MAXIMA ET MINIMA D'UNE FONCTION ^ip,
Dans lo eus présent les coordonnées (x, jr, z) doivent vérifier l'équnlîou (32)
(lo point doit se trouver sur la surface). Cherchons le minimum de l'expression
(33) avec la condition (32). On forme la fonctiun:
d) = (a:-a)2 4-(y-6)3 + (2-c)2-f->,l(/1i + i3lf f C* f D).
En annulant ses dérivées partielles par rapport à x, y, z, nous obtenons:
«=a-4-M. B = »-4-AiB, s = o —4-AiC (34)
£* it tt
En portant ces valeurs dans (32) on peut obtenir X, :
•ijAa+Bb+Co^D)
Nous avons obtenu l'unique solution, et- cunimo une valeur minimum doit
exister, les valeurs obtenues des variables doivent lui correspondre. En portant
les valeurs (34) dans (38), on obtient l'expression du carré de la distance du
point à la surface :
rJ=~M (A* + B* + C*),
où X, est défini par la formule (35).
2. Développer un nombre posîltf donné a suiiwrU trois cojnposantes
positives x, y, z, tellss*qiie l*expression:
2mff"zî> (36)
sait la plus grande possible (m, n, p sont des nombres positifs donnés).
Cherchons le maximum de (36) avec comme condition complémentaire:
x+y+s=.a. (37)
Au lieu du maximum de (36) on peut chercher le maximum df son logarithme:
mlnz-r-ttln ï-rplns.
Formons la fonction :
d)=«]a»4 nln y + p In z j-?,, (z-J y \-z~a).
En annulant ses dérivées partielles :
P
l, '
et la relation (37) nous donne :
%\ ' AJ Af
. m Ml p
* n
o'est-à-diro :
m+n-l-p ' m-\-n-\ p m-\-n-, p
£2 (38)
et les valeurs obtenues des variables sont des nombres positifs. On peut montrer
tiu'avec tes conditions imposées (36) on doit avoir un maximum, et l'unicité
de Ja solution montre, commo pour l'exomplo 1, quo les valeurs trouvées des
variables donnent la valeur maximum à 1 expression (3(i).
Les formules (38) montrent quo pour résouaro lo problemo, il faut diviser a
en trois parties proportionnelles aux exposants m, n et p.
Nous allons maintenant examiner dans les deux exemples suivants les
conditions suffisantes par la méthode exposée au paragraphe précédent.
27*

420 CH. "V. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES
3. On conducteur de longueur l0 se divise à l'une de ses extrémités en k
conducteurs de longueur ls (s = 1, 2, , . -, le) et l'intensité du courant dans les
dlffireniesparttesduconducleurest i0,itt • . .,
tf,. On se demande quelle section q0, <jj, . . .,
qh II fo-ut donner aux différentes parties du
conducteur afin qu'avec la différence de
potentiel E donné pour les circuits (J0) lt), (la,
h) ■ • '• Co. Wi o'J consomme la plus petite
quantité de matière première V pour
construire le circuit (f ig. 167).
Soit c la résistance du fil dont la longuour
et la section sont égales à l'unité (rosistivïté).
La fonction V desvariablns qo,qi,. • .,%
donton cherche la plus petite valeur sera:
v=h°o + k<H + - •■+'*%•
tin tenant compte de la différence de potentiel donné E, on peut écrire 4
relations
Fig. 167
Formons la fonction ;
V </o <ls !
(*=1, 2, ...,*)-
En annulant les dérivées partielles de <1> par rapport à ?oi îii •
obtient :
^-¾5^ I-** + •••-+*fc)-0, ï
(39)
• -,«*> on
'«■
Xsclsis
(s = l, 2, ....A)-
(40)
La condition (39) nous donne i
*i'i _ ?z'a _ _ _ hth _ R Iqjq ,
?i ïa ~ ' " ' îft e ?o
en désignant par o la valour commune de ces rappeits, on pout écrire -.
„ !^« t,
L'équation (40) nous donne :
-1,
V
2:
,ft),
0-=>
c
«0
(41)
IL'n portant Ces expressions das ?»6 dans la première des équations (40), il
vient :
îî-f(ft+ft!-.- + iS'*)
soit:
1o~-
Vk (^1 + ^2+---+¾¾)
E l0t0
c «0

V-2. FORMULE DK TAYLOB, MAX1MA ET MINIMA B'DXB PONCTION 421
d'cù finalement:
En portant cette valeur de ï0 dan» les rolations (41), nous obtenons pour
_çW"/._i foio \ , , „ ,.
^ \ y*oCî»i+*bH—+¾1¾) '
Do sorte- que les conditions nécessaires pour quo l'on ait un maximum et
un minimum <îo V nous donnent on sysLSme unique de valeurs positives pour
?oi ïn - - -i î»i mais pour des raisons physiques il est, évident que jpour un
choix donné des sections on doit avoir la plus petite quaiuilé de matière
première, ot ou peut allirmer quo les valeurs obtenues de ga, îi> ?z> • - -. % nous
donnent des .solutions du problème.

Chapitre VI
NOMBRES COMPLEXES, FONDEMENTS
DE L'ALGÈBRE SUPÉRIEURE
ET INTÉGRATION DES FONCTIONS
VI-l. Les nombres complexes
VI-1-1- Iajs nombres i^mplexes. Si oit SB limite aux soûls nombHSS
réels, on sait, qu'il n'est, pas toujours possible d'extraire la racine
3'un nombre; la racine de degré pair d'un nombre négatif n'existe
pas dans le domaine des nombres réels. C'est pourquoi Uno équation
du second degré a coefficients réels n'a pas toujours de racines réelles.
Ceci coitdttit, naturellement, à une généralisation do la notion de
nombre, à l'introduction de nouveaux nombres, d'une espèce pins
générale et dont les nombres réels présentent un cas particulier.
Il est important do définir ces nombres et les opérations qu'on petit
leur faire subir de sorte que toutes les règles principales connues
pour les nombres réels restent valables pour les nouveaux «ombres.
C'est une chose possible, comme nous le verrons par la suite.
En plus de. l'impossibilité d'oxtraire des racines, dos
considérations géométriques simples conduisent à une généralisation naturelle
do la notion de nombres. Nous utiliserons ces considérations
géométriques comme fil directeur pour généraliser la notion de nombre.
Nous savons que tout nombre réel peut être roprésenté
graphiquement sur tin axe donné OX, soit comme un segment sur cet axe,
soit comme un point de cet axe, si on convient de placer l'origine
de tous les segments à l'origine des coordonnées; iuversemeut, on
peut associer à tout segment ou à tout point de l'axe OX un nombre
réel défini.
Si maintenant, au lieu de ne considérer que l'axe OC, nous
examinerons le plan tout entier rapporté aux axes de coordonnées OX,
OY, généralisant la notion do nombre, nous pourrons associer à
chaque vecteur ou à chaque point du plan un certain nombre que
nous appollorons complexe.
Si on convient do no pas distinguer les vecteurs de même longueur
ot de direction identique, on peut associer nu nombre réel non
seulement à tout vecteur de l'axe OX mais, plus généralement, à tout
vecteur parallèle à OX. En particulier, au vecteur dont lo sens coïncide

"VI-1. LES NOMBBBS COMPLEXES 423
avec la direction, positive de l'axe OX et de longueur unité
correspond le nombre réel unité.
Àssocionslesymbolei appelé unité imaginaire au vecteurdelongucur
unité dont la direction coïncide avec la direction positive do l'axe OY.
—*■
Tout vecteur MN du plan peut être représenté comme somme de
—> —>
deux vecteurs MP et PN parallèles aux v
axes de coordonnées (fig. 168). On îait
correspondre au vecteur MP
parallèle à l'axe OX un nombre réel a. Et faisons
correspondre au vecteur PN parallèle à l'axo
OY le symbole bt, où 6 est un nombre réel
dont la valeur absolue est égale à la
longueur du vecteur PN ol qui sera positif si la
Fig. 168
direction de PN coïncide avec la direction positive do l'axe OY "et
négatif s'il est opposé à la direction positive de l'axe OY. De sorte
qu'il est logique d'associer au vecteur MN le nombre complexe
a + bt.
Notons que le signe (+) dans l'expression a -\- bi n'est pas uu signe
d'opération. Il faut considérer cette expression comme un symbole
unique servant à désigner le nombre complexe. Noua reviendrons
à l'examen do ce signe après avoir défini l'addition des nombres
complexes.
Los nombres réels a et b représentent évidemment les grandeurs
des projections du vecteur MN sur los axes de coordonnées.
Traçons à partir de l'origine des coordonnées le vecteur OA
(fig. 168) ayant môme longueur et même orientation que lo vecteur
MN. L'extrémité A de co vecteur aura pour coordonnées (o, b)
et on peut associer au point A le même nombre complexe a 4- bi
qu'aux vecteurs MN et OA.
Ainsi, à chaque vecteur du plan (à chaque point du plan) correspond
un nambre complexe a -\- bi. Les nombres réels a et b sont égaux aux
projections du. vecteur considéré sur les axes de coordonnées (aux
coordonnées du point considéré).
En donnant dans l'expression a -\- bt toutes les valeurs réelles
possibles aux symboles a et b, nous obtiendrons un ensemble de
nombres complexes; on dira que a est la partie réelle et que bi est
la partie imaginaire du nombre complexe.

424 CH. Vr. NOMBRES COMPLEXES, l'OÎN'DEM. DE L'ALGEBRE SUPERIEURE
Dans le cas particulier d'un vecteur parallèle à l'axe OX lé
nombre complexe coïncide avec sa partio réelle :
a + Oi^a. (1)
De sorto quo le nombre réel a est un cas particulier de nombre
complexe.
La notion d'égalité de deux nombres complexes découle de
l'interprétation géométrique. Deux vecteurs sont dits égaux s'ils ont
mêmes longueurs et même orientation, e'esl-à-dire s'ils ont des
projections identiques sur les axes de coordonnées, c'est pourquoi
on dira que deux nombres complexes sont égaux si, et seulement si,
leurs parties réelles sont égales ainsi que leurs parties imaginaires,
c'est-à-dire que la condition d'égalité de deux nombres complexes
a1-\-bli=^ai-\-bzi sera équivalente à ¢1=^2, &j = 62. (2)
En particulier,
a-)-bi = Q est équivalent à o = 0, 6 = 0.
Au lieu de définir le vecteur MN par ses projections a et b sur
les axes de coordonnées, on peut le définir par deux autres grandeurs,
à savoir, la longueur r et l'angle <p, que forme la direction de MN
avec la direction positive do l'axe OX{îig. 168). Si nous considérons qwe
le nombre complexe a + bi correspond au point de coordonnées
(a, b), alors r et <p seront les coordonnées polaires de ce point. On sait
qu'on a alors les relations
a = rcos(p, 6=rsincp, r = Va* + bt,
cos<p=y^' s'm(f=yïkw' <P=arcts4-j (4
Le nombre positif r est le module et <p l'argument du nombre
complexo a + bi. L'argumeut n'est défiui qu'à un multiple de
2it près, car tout vecteur MN coïncidera avec lui-même si on le fait
tourner un nombre quelconque do fois autour du point M dans un sens
ou dans l'autre. Dans le cas où r = 0 le nombre complexe est nul
et son argument est complètement indéterminé. La condition pour
que deux nombres complexes soient égaux est évidemment que leurs
modules soient égaux et que leurs arguments ne différent que d'un
multiple entier de 2re.
Un nombre entier a un argument égal à 2fcit, s'il est positif, et
égal à (2¾ + 1) m s'il est négatif, où k est un entier quelconque.
Si la partie réelle d'nn nombre complexe est nulle, il est de la forme. M
et on dit qu'il est imaginaire pur. Le vecteur qni correspond à un
tel nombre est un vecteur parallèle à l'axe OY ot l'argument d'un

VI-1. LUS NOMBRES COMPLEXES
425
nombre imaginaire pur bi est égal à (-g- + 2Jcn,\ , si 6 > 0 et à
(3it/2 + 2&jt), si b < 0.
Lo module d'un nombre réel est égal à sa valeur absolue. Pour
représenter le module du nombre a + bi on l'écrit entre doux traits
verticaux :
\a+bi\ = V^+¥.
Dans ce qui suit nous désignerons souvent un nombre complexe
au moyen d'une lettre. Si a. est un nombre complexe, on désignera
son module par | a, |. En tenant compte do l'expression (3) pour a
el b on peut écrire l'expression d'un, nombre complexe au moyen
de son module et de son argument sous la forme :
r(cosqH-fsinq>).
Dans ce cas on dit que le nombre complexe a été mis sous forme
trigonométrique.
VU-2. Addition et soustraction de nombres complexes. La somme
de vecteurs est égale an vecteur qui ferme le polygone formé
par les vecteurs composants. Si on tient compte de co quo la
projection du vecteur qui fermo le polygone est égale à la somme des
projections des vecteurs composants, on a la définition suivante de
l'addition des nombres complexes :
(tt( + M) + (<*2+ M H -I- («b -h M =
= (tt[-f-tt2+.., -t-an)-(-(&i-rA+...+&„)£. (4)
On voit sans difficulté que la somme de nombres complexes ne dépend
pas de l'ordre des composantes (commutativité) et que los coni posantes
peuvent être regroupées (associativité) car les sommes de nombres
réels ah et bk jouissent do ces propriétés.
Nous avons déjà vu que le nombre complexe a + 0£ est identique
au nombre réel a. De même le nombre 0 + bi peut se mettre
simplement sous la forme bi (nombre imaginaire pur). En utilisant la
définition de l'addition nous pouvons dire quo le nombre complexe
a + bi est la somme du nombre réel a. et du nombre imaginaire pur
bi, c'est-à-dire que a + bi = (a + ûi) + (0 + bi).
La soustraction se définit comme l'opération inverso de l'addition,
c'est-à-dire que la différence
x + y i=(a( + 6j l) — (¾ + b2i)
est_définie à partir de la condition :
(£ + 2/0 + (^ + ¾) = ai + hi,

426 CH. YI. NOMBRES COMPLEXES, FONDEM. DE L'ALGEBRE SUPERIEURE
soit en tenant compte de (4) et de (2) : x -\- a2 = at ; y + 62 = b\,
c'est-à-dire que x = av — az, y = bt — b2 et en îin de compte
on trouve la relation :
(¾ + bii)—(a2 + &2î") = («i — <h) + (!>i — h) t.
(5)
La soustraction d'un nombre complexe (a2 -f- b2i), ainsi que nous
l'avons vu, est équivalente à l'addition des sombres complexes
">'¥/' V"''"''''"'""'^
\a,w,.ii,)
Pig. 169
y\
0
«y
Sa,
Pig. 170
(«! + bii) et {— «2 — bit). Ceci correspond à ce qui suit : la soustrac*
lion de vecteurs se réduit à. l'addition d'un vecteur avec un vectevr de
longueur égale et opposé à celui que l'on veut retrancher.
Examinons le vecteur A{Ax dont l'origine est au point Ai auquel
correspond le nombre complexe a2 + bzi et dont l'extrémité est
nu point Ai auquel correspond le nombre complexe a.t -\- b^. Ce
vecteur représente évidemment la différence du vecteur OAi et OAe
{tïg. 169) et par suite on peut lui Taire correspondre lo nombre
complexe
(«■i — <h) + (l>i — h)<;
égal à la différence des nombres complexes correspondant à son
extrémité et fi son origine.
Etablissons maintenant les propriétés du module de la somme
et de la différence de deux nombres complexes. En tenant compte
de ce que le module d'un nombre complexe est égal à la longueur
du vecteur qui lui correspond et de ce qu'un côté du triangle est
plus petit que la somme de deux autres, nous obtenons (fig. 170}
I ai+«al«|ai| + |«2|.
cl, on n'aura l'égalité que lorsque les vecteurs correspondant aux.
nombres complexes ce» et os2 ont mOmo orientation, c'est-à-dire
lorsque les arguments de ces nombres sont égaux ou ne diffèront que d'un

VI-1. I.ES NOMBRES COMPLEXES 427
multiple entier de 2ït. La propriété que nous venons d'établir reste
vraie dans le cas d'un nombre quelconque de composantes:
I «1+«a + ... -f- <*n | < I «, | +1 a21 + ... +1 c% |,
•c'est-à-dire que le module d'une somme est plus petit ou- égal à la somme
des modules des termes, et Végalité n'a lieu que dans le cas oà les
arguments des termes sont égaux ou. ne diffèrent que d'un multiple entier
de 2it.
En tenant compte de ce que le côté du triangle est plus grand
que la différence des deux autres côtés, on a
Ioj + ObI^KI —|«a|.
c'est-à-dire que le module d'une somme de deux termes est plus grand
ou égal à la différence des modules de ces deux termes. On anra l'égalité
seulement lorsque les vecteurs associés seront d'orientation opposée.
La soustraction do vecteurs et do nombres complexes revient,
■comme nous l'avons déjà vu, à une addition, et nous aurons pour
le module de la différence de deux nombres complexes, comme
pour le module de la somme, les relations (fig. 170) :
|ai| — |«*l<l«i--œî|<lail + l«î|-
YI-i-3. Multiplication de nombres complexes. Nous définirons
le produit de deux nombres complexes de la m&mo façon que lo
produit de deux nombres réels : le produit est considéré comme un
nombre formé d'un multiplicande alors que le multiplicateur est
pris pour unité. Le vecteur correspondant au nombre complexe
de modiile r et d'argument <p peut être obtenu à partir du vecteur
unité dont la longueur est égale à l'unité et dont la direction
coïncide avec la direction positivedel'axe0.sr(«.l'allongeantderfois et
en le faisant tourner dans le sens positif de l'angle (p.
Lo produit d'un certain vecteur ai parle vecteur <t2 sera le vecteur
obtenu en appliquant au vecteur ai l'allongement indiqué ci-dessus
et la rotation à l'aide desquels le vecteur a2 peut être obtenu à partir
an vecteur unité; h ce dernier correspond alors, évidemment, une
unité réelle.
SI (ri, q>()et(r2, <p2) sont les modules et les arguments des nombres
complexes qiii correspondent aux vecteurs a1 et «2, au produit de
ces deux vecteurs correspondra un nombre complexe de module
7-^2 et d'argument (q)t + q>2). Nous obtenons ainsi la définition
suivante du produit de deux nombres complexes:
Le produit de deux nombres complexes est un nombre complexe
tel que son module soit égal au produit des modules des facteurs et son
argument à la somme de leurs arguments.

428 CU. VI. N0MU1U2S COMPLEXES, FONDEM. DE X.'ALGÈBBE SUPERIEURE
De sorte que si le nombre complexe est donne" sous forme tri-
goneméUique, on a
rt (cos (pi + i sin tfi() • r2 (cos <p2 + i sin q>2) =
= ?ya [cos (qi,-fcpa)-fi sin (<p, -f <p2)]. (6)
Donnons maintenant la règle de formation du produit dans le
cas où les nombres complexes ne sont pas donnés sous forme trigo-
iiométrique ;
(a,-|-6,i)(aa+V) = a: + ^J-
En se. servant de la notation utilisée ci-dessus pour les
modules cl les arguments des facteurs, on peut écrire :
«i = r4 cos q>j, i] = r4 sin q)i, a2 = r2 cos q>2, 62 = r2 sin <p2 ;
d'après la définition, du produit (6) :
x = nr%cos (qi! + q>2), y = r,?-2 sin (tp, + q>2),
d'où
r = r(r2 (cos <p( cos <p2—sin qpi sin (p2) =
— r( cos tfi • ;'acos <p2 — r( sin çp( • r2 sin q>2 = «i«2 — &!&2,
y = >y2 (sin (p( cos (p2 -(- cos q>, sin <p2) = r( sin q>i • rz cos q>2 -f
-)• r4 cos (Pjl • î-2 sin <p2 = b^ -f a162,
ot finalement nous obtenons :
(«i + &»0 (¾ + ''2O — (ai«2 — ^1¾) + (6l02 + ai ftz) ^ • (7)
Si &i = &2 — 0, les facteurs sont des nombres réols ai et a2 et
le produH se réduit au produit a^ de ces deux, nombres. Si ai = o2 =*
— 0 et si &| = 6S = i, l'égalité (7) nous donne
}.£ = î2= —1,
c'ftht-à-diro que le carré Je l'unité imaginaire est égal à (—1).
Ei> calculant successivement les puissances entières positives de i,
il vient:
ia=—1, !s=—», »*=1, i3=i, ie=—1,...
et en général pour tout k positif entier:
t4ll=1t e4*+1 = f, iih^=— i, i*-''+î>=—i.
La règle de multiplication définie par l'égalité (7) peut être
formulée di» la manière suivante: fcs nombres complexes peuvent être
multipliés comme des polynômes sous forme littérale en posant i2=—1.
Si a est le nombre complexe a -f ii, on appellera complexe
conjugué de c. le nombre a — bi et on le désignera par ET. D'après
In formule (3) on a :
|a|" = aa + 4*.

VI-1. LES NOMBRES COMPLEXES
/j2«
Mais il résulte de (7) que :
(«fui) {a — W) = a8+&2,
et, par conséquent,
| a p = (o +■ M) (a — ii) = aa,
c'est-à-diro que fe produit de deux nombres conjugués complexes est
égal au carré du module de chacun d'eux.
Donnons encore des formules évidentes:
a+a. = 2a, a — a = 2bi. (8)
Il résulte des formules (4) et (7) que l'addition et la multiplication
des nombres complexes sont commutatives, c'est-à-dire que l'ordre
des termes ou facteurs n'influe pas sur le résultat. 11 est également
facile de vérifier que les règles d'associativitd et de distributivité
sont valables, elles s'expriment par les formules:
(a1+as.)-fa3 = a, + (a2-fa3)) (0^2)113 = ^(1¾¾).
(ai-|-a2)P = alp-|-aap.
Nous laisserons au lecteur le soin de vérifier que ces formules sont
vraies.
Notons enfin que le produit de plusieurs facteurs aura un module
égal au produit des modules des facteurs et un argument égal à la somme
des arguments des facteurs. De sorte que le produit de- nombres complexes
sera nul si, et seulement si, l'un des facteurs au moins est nul.
VI-1-4. Division des nombres complexes. La division des nombres
complexes so définit comme l'opération inverse de la multiplication.
De sorte que si (rt. q>i> et (r2, q>2) sont les modules el les arguments
du dividende et du diviseur, il est facile do voir que la division
a un résultat défini, si le diviseur n'est pas nul, et que le module
du quotient sera rjrt et son argument sera (tp, — q>2). En écrivant
la division sous forme de fraction, on peut écrire:
•/ T ■ ■ ■ = — [C°S (<Pi — <Pa) H-1 sin (<p, — ¢,)1. /9)
r2(eos<p2-( fsuitp2) r2 " '
Ainsi, le module du quotient est égal au quotient des modules du
dividende et du diviseur, et l'argument du quotient est égal à la diffêr
rente des arguments du dividende et du diviseur. Si r2 =• 0, la
formule (9) n'a plus de sens.
Si lo dividende et le diviseur sont donnés non pas sous forme
trigonométrique, mais sous la forme ai + bti et a2 + £>2i, nous
obtiendrons, si nous exprimons les modules et les arguments par
<?!, a2, bi, bi dans la formule (9), l'expression suivante pour lo
quotient :
«i + ty — «5 + 43 t~ «8 + &î ''

/l30 CH, "VI NOMBRES COMPLEXES, PONDEM. DE L'ALGEBRE SUPËBIEUBE
que Ton peul obtenir directement, si l'on considère i comme un
terme irrationnel et si l'on multiplie le numérateur et le dénominateur
par le nombre complexe, conjugué du dénominateur, de façon à
éliminer i du dénominateur:
"i + Si* _ ("î + MCa—&s0 _ (^2 + 61^)+(^2-^2) *
««+**' «! + »ï 4+51 '
et finalement :
°i+ M __ a^+Ma . i»iaz—¢1¾ , Mnv
«2 +M «i+61 i_ fl§ + 61 '• llU'
Nous avons déjà indiqué [VT-1-31, que les lois de cominulalivilé,
d'associativité et de distributivité restent vraies pour l'addition
et la multiplication des nombres complexes, c'est pourquoi, dans
les expressions contenant des nombres complexes, toutes les
transformations qui découlent do ces lois et que l'on utilise pour
les nombres réels restent valables. Par exemple la mise en facteurs,
l'ouverture des parenthèses, la formule du binôme de Ncwlon dans
le cas d'un exposant positif entier, les formules des progressions, ele.
Notons encore une propriété importante des expressions contenant
des nombres complexes, liés par les signes des quatre opérations
élémentaires. Il résulte directement des formules (4), (5), (7) et (10)
que si dans une somme, une différence, un produit et un quotient, nous
remplaçons tous les nombres par leurs conjugués, les résultats des
opérations sont également remplacés par leurs conjugués.
Ainsi par exemple, si nous remplaçons dans la formule (7), 6, et
&2 par (—bt) et (—62) nous obtiendrons:
(rt, — bit) (ft2 — b2i) = (aia2— &A) — (M2 + ^1¾) i-
Cette propriété sera, bien entendu, valable, pour toute expression
contenant des nombres complexes liés par les signes des quatre opérations
élémentaires.
VI-1-5. Puissance d'un nombre complexe. Si nous appliquons
la formule (6) dans le cas de n facteurs égaux, nous obtenons la règle
permettant d'élever un nombre complexe à une puissance positive
entière:
[r (cos q> 4- i sin <p}]" = r" (cos wp 4- i sin mp), (11)
c'esl-à-dirc que pour élever un nombre complexe à une puissance entière
positive, il faut élever son module a cette puissance etmultiplier son
argument par l'exposant de la puissance.
En supposant que dans la formule (11) r = 1, nous obtenons
la formule de Moivre
(cos (p -|- i sin <p)B = cos nq> 4- i sin rcq>. (12/

■Vl-t. LES NOMBRES COMPLEXES
431
Exemples. 1. Si nous développons le premier membre de l'égalité
(12) d'après la formule du binBmode Nowlon, et si nous égalons los parties réelles
et imaginaicos d'après la condition (2), nous obtiendrons des expressions pour
cos n<j> ot sin n<p en fonction des puissances do cos <p et do sin <p * ;
cos«<p=cosn <p—(2 )cos,1_3(jisini(p-)-
+( î ) cos»-"(p sur»<y f 1-(— 1)" ( S,,, ) cos"-2" <p sin*" (f f
n
,,(-1)2 sin»<p (n est pair)
4. ...J-' n-l <W>
*(—1) 2 n cos<p sin"~]<p (n ost impair);
sln nif = ( " ) cos""1 çsïn(p—( " ) cos'1-' <p sin3 <p+ ( 5 ) cos'1-5 <p sln6 <p—
+ (-1)" (fk+i ) cos"-W'-iç sin^'+i <p -| ... -|
n-3
*(—1) a rseos ipsitt"-1 <p (n est pair)
*(—1) 2 sin"<p (r est impair).
En particulier, pour » = 3, la formule (12) aura, après ouverture des paren-
tliôses, In forme :
cos5<p +3icos2<psin<p—.Scosif sin2<p—îshis<j>=cos3(p-|'< sin 3q>,
d'où
cos 3<p = cos3 (p—3 cos <p sin2 <p, sin 3q>=3 cosa <p sin ç—sin3 <f>.
2. Faisons la somme des expressions :
^a=l-j-rco3<p-j-r2cos2<|i —.-. |-ru_1cos(rt—l) <p,
Z?„=r sin <j>4-r2 sin 2<H -fr"-' sin (rt— 1) q>.
Supposons que :
z=r(cos(p-| i sin (p)
et formons le nombro complexe :
^n+Bnt = 14 r (cos 9 fi sin <p) -f r' (cos 2qj-|-t sin 2<p)-f ' • • • f
-f ru~i|oos(«— 1) (f-f isin (n—l)<p].
Utilisons l'égalité (11) et la formule de in somme d'une progression
géométrique:
^+^1 "' ' " ■••*'* i — z l-rfcosç-f-tslnip)
_ (1 —r" cos nsp—1>" sin »9
"~ (1—rcostp)—Jrsin qi '
* Nous désignons par le symbole ( j le nombre de combinaisons de n
élémouts pris m à m, eVst-à-dire:
/n\_ »(» —1) ...(n —m |-i) _ "I
'"v 1-2... m )?i!(n—m) \

432 CH. VI. NOMBRES COMPLEXES, FONDEM. DE I/ALOEBRE SUPERIEURE
Si nous multiplions le numérateur et le dénominateur do la dornière fraction
par la grandeur (1 — r oos q>) -)- ir sin <p, conjuguée complexe do dénominateur,
nous obtiomirons :
. . „ [(1—r"cQ3rtq>)—trnsin nqp] |(1 — rcos tp)-|-fr sin <p]
^n + 'ni= (1 —rcosip)* + r*sill»ip =
(1 — r"cosrtip) (1—rcosq)) l-r"'1"1 sin (pain n<|) ,
~~ ra—2rcqsç+l
i (l~r"coSracp)j'sin y—(1 —rcosip) rn siiinqp ._
+ r^—2rnoS(p+l l~
r"*1 eosfn—1) <p—rncosnip—rcosip f-1 .
= r*~2r cosç-f-l "^
rn*i gin (ra— t) <p—rTC sin nip |- r sin (p
+ r^—2rcosç + l
Si nous égalisons los parties réolles et imaginaires d'aprôs la condition (2), nous
aurons :
Ai=i + rcos(p-j-j"2cos2<}i-j l-i^-'cosfn—1) <p =
_ r"** C(>s (g — 1) qp—rn cos n<p — r cos <p+1
— r«—2rcos<p-fl
B„ = r sin <p+r1 sln 2<p + |- r»-1 sïti (n—1) <p =
r^sin (n— 1) q>—r" sin/np-l-rsinip
— ra—2rcos<p-(-t
En considérant que ta vatour absolue «lu «ombee îéol r est inléiïooit) à 1,
ot en faisant croître n indéfiniment, nous obtiendrons à la limite de la somme
des séries infinios:
.. , t ... i — r oos <p n
l + rcosq) + ^cos^.|-...^r2_2reosq^1, ï
rsmip + rasm2(p h"- = -3—«, , , , ■
Dans los expressions do yln et do I3n faisons r =■ 1, nous obtiendrons alors:
os<p l-cos2ç-(-...+ cos(n— 1) ip =.-
2sin-~-sin (n——1 ç ■{-2 sin'-'-^-
, „ , , , ,. cos(b—1) n>—cosimb—cosip+1
l + cosip-|-oos2q) + ...+6os(ii-l}<p= 2(1-cos y) -LZ- =
<P
4sin2-|-
/ 1 \ . q> . rtif- (»—1) q?
sm Irt—y) <p-fsin-j- sin—g-cos g
lp m
2 sin -j" 3in 2
(150
Nous obtiendrons de mémo :
nç , (n—1) qp
sin —g- sin - 2
sinqH-sln2qH H-sin (n—1) ç= —. (1¾)
sinT

VI-1. LUS NOMBRES COMPLEXES /,33
Vi-1-6. Extraction do, racine d'un nombre complexe. On appelle
racine nam" d'un ntmbre complexe un nombre complexe dont la
puissance n est égale au nombre sous le signe du radical.
Ainsi, l'égalité
y r {cos <p -(- i sin <p) — p (cos i|> -f-i sîn ip)
est équivalente à l'égal!tu
pn (cos n.i|) + i sin nip) = r (cos <p -f- i sîn <p).
Mais les modules de nombres complexes égaux doivent ôtre égaux,
ol; les arguments ne peuvent différer que d'un multiple entier de 2,n,
c'est-à-dire que
pn = r, 7c\|) = «p-f 2Âni,
d'où :
P=/r, ¢ = -^—-,
où l/ rtsst la valeur arithmétique de la racino et k un nombre entier
quelconque. Nous obtenons ainsi:
Vr{CMV + tBlnV)-y7(«» g*2**. +isinilpi), (16)
c'est-à-dire que pour extraire la racine d'un nombre complexe, il faut
extraire la. racine de son module et diviser l'argument par l'exposant.
Dans la formule (16), le nombre k peut prendre toutes les valeurs
entières possibles; on peut cependant démontrer qu'il n'y aura que
n valeurs différentes de la racine, et qu'elles correspondront aux
valeurs:
ft = 0, 1,2 (« —1). (17)
Pour démontrer cela, remarquons que les seconds membres dans
la formule (16) seront différents pour les deux valeurs k = ki ot
k = fc2, alors que les arguments ïi—!^ et - — ne différeront
pas d'un multiple entier de 2ji, et ils seront identiques, si les
arguments en question diffèrent d'un multiple entier de 2ît.
Mais la différence Qtt — kz) de deux nombres de la série (17)
sera inférieure en valeur absolue à n, c'est pourquoi la différence
qp + 2/ttît q>-j-2fc2Ji _ ^-¾ ,
a n n
ne peut pas être un mulliple entier de 2n, c'est-à-dire qu'à n valeurs
A; de la série (17) correspondent n valeurs distinctes de la racine.
28—281

434 011. VI. NOMBRES COMPLEXES, l'ONDKM. DJB L'ALOEBltB SUPERIEURE
Soit maintenant &2 un nombre entier (positif ou négatif) qui
ne figure pas dans la somme (17). Nous pouvons le mettre sous la
forme :
où q est un nombre entier, et kt un des nombres de la série (17),
c'est pourquoi :
»P + 2^" 9+2M _
j - n -■+ **9<
c'est-à-dire qu'à la valeur &a correspond la même valeur de la racine
qu'à la valeur /C| figurant dans la série (17). Ainsi, la racine nltm"
d'un nombre complexe possède n valeurs différentes.
Un cas particulier fait exception à cette règle. C'est le cas où
le nombre sous le signe du radical est égal à zéro, c'est-à-dire où
r = 0. Dans ce cas, toutes les valeurs indiquées plus haut sont égales
à zéro.
Exemples, i. Déterminons toutes les valeurs de f^i. Le module de i
n
2
est égal 5 1, et son argument à 4r, c'est pourquoi :
Vi=T/ cos-ir+isin-w- =cos——g \-
4j--+-2/ot
+ £sin g (4 = 0,1,2).
Nous obtenons ies trois valeurs suivantes pour ^i:
n . . n yS . i 5ît . Su ~\/l , 1
cos-jp-risin-g-^—jf—r~2~i, cos —g-■+■ i sin-g- — ——g—""-s; '•
cos -5—r i S'U-jj- = —(■
2. Eludions toutes ios valeurs de y^T, c'est-à-dire toutes les solutions du
binôme :
î"=1.
Le moduio de 1 est égal à 1, et l'argument à zéro, o'est pourquoi:
tir— nr : 2fcît , 2fot
y 1 -s^-y cos0+i smO = cos— j-fsin •• (4 = 0, 1, 2, ...,«—!).
Désignons par la lettre e la valeur de cette racine que l'on obtient pour k =
- i:
2n . 2ît
e=»cos —£~~ri Bin-^~ ■
D'après la formule do Moivre:
2kx , , 2/fîl
e" = cos—-— -rfsiti—— ,

VI-1. LISS NOMBRES COMPLEXES 435
c'est-à-dire que toutes los racines do l'équation zn — 1 sont de la forma:
e* </c=0, 1, 2 n-1),
et on doit alors considérer que 8° = 1.
Etudions maintenant le binôme do la forme:
Introduisons à la place do z une nouvelle inconnue u, en supposant que
«.—
- t = » j/ a ,
où îTi est une valeur do la racine niimt do a. En substituant l'expression de i
dans l'équation donnée, nous obtiendrons pour u l'équation:
««=1.
D'où l'on voit que toutes les racines du l'équation) 2n = a peuvent être
mises sous la forme:
pTe* (fc=0, i, 2 n—1),
où y^a est une dos » valeurs de cotte racine, et où b'' prend toutes les valeurs do
la racîno nKm<! de i.
Vt-1-7. Fonction exponentielle. Nous avons étudié
précédemment la fonction exponentielle ex, dans le cas d'un exposant réel x.
Etendons maintenant la notion de fonction exponentielle au cas
d'un exposant complexe quelconque. La fonction ex, avec un
exposant réel, peut être présentée sous forme d'une série [IV-2-4] :
Définissons par une série analogue une fonction exponentielle
d'exposant purement imaginaire, c'est-à-dire supposons que :
e 1+ 11 + 2! + 31 ^'"
Si nous séparons les termes réels des termes imaginaires, nous aurons :
e \x 2i h4i 6i i ■•■; +
+ !ll! 3 ! h 51 7 1 ' ' • ' J '
d'où, nous rappelant les développements en série de cos y et de
sin y [1V-2-5I, nous avons:
¢^ = 008^+i;sinsf. (18)
Cette formule définit la fonction exponentielle d'un exposant
imaginaire pur. Si npus remplaçons y 'pai (—y) x
e"v'=;Cosff— tsiny ' "' (19)
28»

436 CH. "VI. NOMBRES COMPLEXES, TONDENT. DE L'ALQEBKE SUPERIEURE
et si nous résolvons (18) et (19) par: rapport à cos y et sin y, nous
obtiendrons les formules d'Etiler, qui expriment les fonctions tri-
gonométrîques au moyen de louclions exponentielles d'exposant
imaginaire pur:
etfi -l«-!à , evi—e-yi
cosy = X , smy = a . (20)
La formule (18) donne la nouvelle forme exponentielle d'un nombre
complexe ayant un. module r et un argument <p:
r (cos tp + i sin <p) = rev1.
Définissons une fonction exponentielle d'exposant complexe
quelconque x -\- yi par la formule :
e*+»* = ^.6^ = e*(eosy + isini/), (21)
c'est-5-dire que le module du nombre e*-M sera considéré comme égal
à ex, et l'argument égal à y.
Il est facile d'étendre au cas des exposants complexes la règle
d'addition des exposants de ta multiplication. Soit z = x -\- yi
et 2, = *i -\- y,i :
e:.e'i= e* (COs y -(-s ain y)-e*i (cos #t-f i sin y,),
ou, si nous appliquons la règle de multiplication des «ombres
complexes IV] -1-31,
e■ e*1 = e*+*> [cos (y -f- y, ) -|- s sin (y + y,)].
Mais l'expression qui se trouve dans le second inembre de cette
égalité est, par définition (21):
e<ï+xi)+(jH-vi)i, c'est-à-dire a»+*i.
La règle de soustraction des exposants lors de la division
_£_ = e*-»i
peut ÔU'o directement vérifiée, si l'on mull.jplio le quotient par le
diviseur.
Dans le cas où n est un entier positif, nous aurons.-
(<r)" = ey ...e* = onï.
n [OU
Si non» utilisons les formules d'Euler, nous pourrons exprimer
n'importe quelio puissance positive entière do sin ç ot do cos ip, ainsi
que le produit do ces puissances, sous la forme d'une somme do termes ne

"Vl-1, LES NOMBRES COMPLEXES /ffl
contenant que la première puissance du sinus on du cosinus dos arcs
multiples:
rin» 9= ' .im{m ' ■ cos^y^ ' ^ ' - (22)
Si nous développons les seconds membres de ces égalités d'après la
formule du binôme de Newton, en les multipliant et en ramenant les
fonctions exponentiel les dans les développements obtenus à des fonctions
trigonométriquos, selon les formules (18) et (19), nous obtenons l'expression
recherchée.
Exemples. 1.
(«•H+e-"»1)* ,««* , -Se2"* , 6 , /le-2*1 ,
-4<pi
1B 16 T 16 T 16 ^ 16 n 16 "
1 aW-j-t-W 1 e2<pi + e-i<ei £_
"8 2 +2 2 '" 8 ~
'ai 1
= -jj + J cos 2<(>+-g- cos 4<p.
2.
sin4 <pcos3<p=.- jg ^-.- ïg '- =
— 128 ~
_ (eW_3e2^ + 38-a<|.£_e-61pi)(e(pt_e-((,l)
— 128
_ eTl<_8S»l_3g8<HH.38*t + 3c-0i_ae-W-«-50« + t-7<l>«
~ 128 —
= "64 cos ç—gj-cos:^-— cos 5ç—^00.5 7^.
Ilemarquons ici que toute puissance ontièro do cos <p et tonte- puissance paire
de sin q> sont des fonctions paires de u>, c'est-à-dire qu'elles ne changent pas
fie valeur lorsqu'on remplace <[> par (—cp), et l'expression do ces fonctions pai-
i-os de cp ne contiendra que les cosinus dos arcs multiples. Si donc une /onction
est une fonction impairs do <r-, c'ost-à-dire si cette fonction change do signe
lorsqu'on remplace cp par (—<(•), commo cela se fora par exemple dans le cas d'une
puissance impaire de sin cp, le développement de cette fonction ne contiendra
que les sinus des arcs multîplos, et il n'y aura certainement pas de terme libre
dans ce développement. Mous étudierons cela pins en détail dans l'exposé (les
séries trigonométriquos.
VU-8. Fonctions trïgonométriquea et hyperboliques. Nous
n'avons jusqu'ici étudié les fonctions trigonométnques que dans
le cas d'un argument réel. Définissons les fonctions trigonométriqncs,
pour un argument complexe quelconque z, au moyen dos formules
d'Exiler:
«zl+e-zi . 8i<_«-zl
cos 2 = U , sinz=i ... - ,
2 2c ■

438 CH. VI. NOMBRES COMPLEXES, FONDEM. DE L'ALGÈBRE SUPERIEURE
les expressions des seconds membres ayant alors pour z complexe
quelconque un sens, que l'on a indiqué IVI-1-7].
Il est facile, en utilisant ces formules et los propriétés
fondamentales d'une fonction exponentielle, de vérifier l'exactitude dos
formules de trigonométrie dans le cas d'un argument complexe.
Nous préposons au lecteur, comme exercice, de démontrer, par
exemple, les relations:
Sin* Z + 005*2= 1,
sin (z 4-Zj) =sin z cos 2(-)- cos 2 sin zu
cos (z -f- 2j) = ces z cos 24 — sin z sin zt.
Les fonctions tg z et cotg z sont définies par les formules:
sin 2 1 e2i_fi-«* i ctei — i
tgz =
COSZ i ezi^_e-zi t e2zt_t_l '
COtg 2 = ^ = i ^l±Tl = i ifîi+1 .
sin z e2(__e-il £2zt_i
Introduisons maiLtenant tes fondions hyperboliques. Le sinus
et le cosinus hyperboliques se définissent selon les formules:
shz ——~t— — -—^ , cri2=cost2=—^ ,
t, shz e*—e~z e" —i
ti» z =
chz e2-t-e-2 e"-|-l *
Il est facile, on utilisant ces formules, de vérifier, par exemple,
les relations suivantes:
ch22 —sh2z=l,
sh (zs ± zz) = sh Zi ch z2 ± ch 2j sh z2,
ch (zj ± z2) = ch zt ch 22 -t sh z, sh zz,
sh 2z = 2 sh z ch z, ch 23 = 0^2 + 8^ 2,
tn <S2 = i . .-r-a—, Cth<SZ = .. .. .
1-j-th3* ' 2cthz
Nous avons donc introduit une trigonométrie hyperbolique avec
des formules analogues aux formules de la trigonométrie du cercle
habituelle. Si nous remplaçons dans les formules de la trigonométrie
ordinaire sin z par i sh z, et cos z par ch z, nous obtiendrons les
formules correspondantes de la trigonométrie hyperbolique. Ce fait
(23)

VU'. LES NOMBRES COMPLEXES
439
découle directement des formules qui définissent les fouctions
hyperboliques.
En utilisant cette, indication, il est facile d'obtenir les formules
suivantes de réduction d'une somme de fonctions hyperboliques
à la forme logarithmique:
sh2I-r-sh22 = 23h-îi±S-ch-a=^-, 1
sh Zl-sh zz = 2 sh-ïi~2-ch -^±£2. ,
ch z, + ch z2 = 2 ch il£5. oh -^p-,
ch Zl - ch 22 = 2 sh ii±£S. Bh ii^ÏL.
(24)
Etudions maintenant les fonctions hyperboliques pour des
valeurs réelles de l'argument:
shx = -
th£ =
2
ch» =
ctha: =
2
La courbe de la fonction # = cha est une chaînette [I1-5-9I,
dont nous ferons l'étude plus en détail lVl-1-9]. Les courbes des
fonctions ch a;, sh x, th ar, cth x sont représentées sur la fig. 171,
Si nous dérivons directement, nous obtiendrons pour les
dérivées les expressions suivantes :
dx
à tliœ
= ch»,
i
dx
= sha:1
1
dz Ch32! '
De là, nous obtenons la table d'intégrales:
\ shxdx = chx -j-C,
\ ckxdx — shx-\-C,
L'appellation elle-même de « fonctions hyperboliques » est la
conséquence de ce que les fonctions ch t et sh t jouent, dans la repré-

440 CIT. VI. XOMBHBS COMPLEXES, EONDEM. DE lAALGBBIU! SOPEniEUliB
Fig. 171
sentation paramétrique de
l'hyperbole équilatère
x" — i/8 = «*t
le même rôle que les fonctions cos t
et sini pour le cercle
^ + ^=02.
La représentation paramétrique du
cercle est :
.r = flCos<, y = asint,
et pour une hyperbole équilatère
x = acht, y = aslit,
comme il est facile de le constater à
l'aide de la relation :
ch2t— sh3i = l.
La valeur géométrique du paramètre t dans les deux cas, pour
le cercle et pour l'hyperbole, est identique. Si nous désignons par S
Fig. 172
Fig. 173
l'aire du secteur AOM (fig. 172) ot par S0 l'aire d« cercle tout entier
(S0 — na2), nous aurons:
Admettons maintenant que S désigne l'aire d'uo secteur analogue
de l'hyperbole équilatère (fig. 173). Nous avons:
S = surf. OMN— surî. AMN=^xy — [j<& =

Vl-i. LRS NOMBRES COMPLEXES /,/ll
Ba calculant l'intégrale d'après la formule de [I1I-1-7J, nous trou-
s:
S = yx V"&=&- j [x VW=tf-a* In (x + V-ï5^)]* =
vons:
■T-^Jf+ /5=^) ■
Aï [a„bi
1 »-,«•
Fig, 174
Si maintenant nous supposons, en désignant à nouveau par S0
l'aire du cercle, que:
nous trouverons; sans peine que:
d'où, en additionnant terme à terme et en multipliant par -|- ;
c'est-à-dire qtie nous trouvons biea la représentation paramétrique
d'une hyperbole équilatère.

/,42 CH. VI. NOMBRES COMPLEXES, FONDEM. DE L'ALGBBRB 8UPBIUEURE
VI-1-9. La chaînette. Examinons la courbe d'un fil pesant homogène,
suspendu par ses extrémités Ai et Aj. (fig. 174).
Dans le plan de cotte courbe, menons un axe OX horizontalement et un
axe OY verticalement vers le haut. Examinons les éléments MM, — ds au fil.
Sur chacun d'eux agissent los tensions T et Ts des autres jparties du fil et le
poids de l'élément. Les tonsions sont appliquées aux ©xtremités M et Mt de
l'élément et dirigées suivant des tangentes (T suivant la direction négative
de la tangente, ot r, suivant la direction positive). Nous pouvons prendre le
poids proportionnel à la longueur de l'élément :
dp = p ds,
où () est la donsité linéaire du fil (poids do l'unité de longueur courante).
Pour qu'il y ail équilibre, il faut ot il suffit que la somme des projections
des forces, exerçant une action sur l'élément, aussi bien horizontalement que
vertioalement, soit égale à zéro. Puisque la projection du poids de l'élément ds
-suivant la direction horizontale est nulle, les composantes horizontales des forces
T et T, doivent 8lre égales et de aignos contraires. Nous désignerons par Ta leur
composante) horizontale.
Ensuite, nous obtenons, à partir de la figure, pour les composantes
verticales des tonsions respectivement les expressions:
—T0tga=—TeV' et Tets(a.+da)^Ta(.y' + dy'),
où da est l'accroissement de l'angle a formé par la tangente avec l'axe OX,
lorsqu'on se déplace de M en Mlt ot dy' l'accroissement correspondant du
coefficient angulaire de la tangente, c'est-à-dire do la grandeur tg a.
En annulant la somme des projections T, Tl et du poids p ds sur l'axe OY,
nous obtiendrons:
ToUj' + dy'ï-Toy'-pds^G,
c'est-a-dire
T0dy' = pd$,
ce que l'on peut écrire aussi :
T<,dy' = Pyi + y'*dx. (25)
Les variables se séparent [III-1-8J:
dy' dx , , Ta
■■ , - ——— i ou fc =—-,
yi+y'2 * p
remarquons que k est uno constante directement proportionnelle à la composante
horizontale de la tension et inversement proportionnelle à la densité linéaire
du fil. Intégrons l'équation obtenue:
in(y+yï+F*)=^i,
d'où:
t * =ï'+yi+ï'î;
pour définir y', introduisons la grandeur Inverse :
_*+£}
k 1
y'+Vi + y'*
En retranchant membre àmombre cette égalité de la précédente, nous trouvons:
x+Ci x+Cx

•VI-1. LES NOMBRES COMPLEXES
443
Si nous intégrons encore une fols, nous obtiendrons l'équation de la courbe
du fil cherchée :.
-I-Cî—j(«
fç+C,
*+Ci
+ «
)•
(26)
tes constantes arbitraires Ct et C2 sont définies par la condition quo la courbe
passe par' les points At (a„ ty) at A 2 (a2, fc2). Cependant, ce n'est pas l'équation
<ie la courbe elle-même, qui présente le plus d'intérêt dans les applications
<c'estrft-dire los constantes Ci et Ci), mais le rapport ontra les distances
horizontale et verticale des points d'attache et la longueur de l'arc AiA^.
Si nous étudions la relation de ces trois grandeurs, nous pouvons, bien
entendu, effectuer une translation des axes de coordonnées. Si nous plaçons
l'origine au point (—C,j — <72), nous pouvons fairo dans l'équation (26) Ct =
** cî — 0, et remplacer cette expression par une autre plus simplo:
j, = |(8ft+e"ft, = ich|.,
(26,)
d'où il est évident que la courbe est une chaînette.
Supposons, avec les axes do coordonnées que l'on a choisis, quo le point
d'attache At ait pour coordonnées (at, &,), et Aï (a2, frj). Si nous désignons par (,
h. s les distances horizontale et verticale des points d'attaeho et la longueur
du fil, nous aurons :
l^az—alt k=b2~bl^k (ch -2p—ch --0 ,
H"y^dH°i/1+ahaTd*=
D'après los formules (24) nous trouvons:
h=2k SU J*±£L sh -?»=2fc sb ' * 3+p. ,
.^sh^Lch^l
,94,11 _Lpii JSifi.
^ftsh^-ch 2fc ,
d'où, en tenant compte de la première relation (23),
cequi nous donne la relation entre l, h et s, que nous chorehions. Nous pouvons
l'écrire sous cette autre forale:
sh~
J_
2fc
2k _ y&-h*
l
(27)
Si l'on donne les points d'attache et la lpngueur du fil, las grandeurs l, h et s
sont connues, et nous obtenons une équation définissant le paramètre k, ou,
si la densité linéaire du fil p est également connue, l'équation (27) peut également

MA CH. -VI, NOMBRES COMPLEXES, PONDEM. DE L'ALOÈBRE SUPERIHURE
servir à définir la composante horizontale de tension T„, Pour condenser les
notations, posons:
24 -ê' l =c-
L'équation (27) deviendra :
^-. m
Nous rappelant le développement d'une fonction exponentielle on une
série de puissance [rV-2-4], nous trouverons:
shg tS-e-S |2 64 jo_ ,
g 2| "*" 31 "*" 5! ^ 7! "r-"'
d'où nous voyons que lorsque £ croît de 0 S -f- oo, le rapport croît également
de 1 à + m. Par conséquent, pour toute valeur donnée c > i, l'équation
(27,) possède uno seule racine positive que l'on peut calculer en utilisant des
tables de fonctions hyperboliques. Los grandeurs données l, h H s doivont alors
vérifier la condition:
v^~h*.^l ou »■»>&»-H»,
{
qui est évidonto a partir de la représentation géométrique, puisque "l/W-h P
est unecorde de AtA*, et s un arc do la chaînette entre ces mêmes points.
Soit, par exempté;
s = 100 m, J = 50 m, ft=20 m, p = 20 kg/m,
nous obtiendrons :
e=0,02 V10 000 - 400 = 0,8. V F= 1,96
et nous trouverons dans les tables hyperboliques lu racine de l'équation (27f) :
^i=2'15'
d'où :
^ = ^ = -^ = 5^-20 = 232 kg.
Supposons que les points d'attache se trouvent à la même hauteur. Suivons In
floche du fii / (fig. 175):
i i I i_
Si nous développons la fonction exponentielle en série, nous obtiendrons:
f=^rwF+~iT~^w+--- (28)
Do même, nous aurons pouT s — AiA^ [formule (27) pour h = 0\:
i l_
s=2*siIir=fc(« -« )=J + -3r-2sTp-+-Gr^rïr+-- P»)

VJ-1. LES NOMBRES COMPLEXES
<M5
Nous limitant dans la série (28) à un seul terme, nous définirons de iaçon
upprochéc
Du développement de (29) déduisons le» doux premiers tennos, et portons-les
dans l'oppression nue nous avons trouvée pour k:
""'+ÏT-
*-x
*~x
Fig. 175
Fig- 1"6
Si nous dtfférenlîons ce rapport, nous obtiendrons la relation entre Fallongc-
nmiil du jil et l'accroissement de la fticlie:
. i6 m .. zi ,
&sKz— j—, ou df as -tôt-as.
Nous avons obtenu l'équation (25), un adrutottunt que lu pesauteor agit
sur chaque élément de fil, proportionnellement à la longueur de l'élément.
Dans certains cas. par exemple dans l'étude des cftblos de ponts, il faut
considérer quo lo poids est proportionnel ù la longueur non de l'élément lui-même,
mois de sa projection sur l'axe horizontiil. Cela arrive lorsque la charge du tablier
est si grande, devant Je poids du câble, quo l'on peut négliger ce dernier. Dans ce
-rus, nous aurons à lu place de l'équation (25):
■d'uù :
y' = -£-x |-C,
et
2î'o
X2 + Cixi-C2,
c'est-à-dire que la courbe sera une parabole.
Supposons que les extrémités du fil A t et A 2 se trouvent à la même hauteur,
et plaçons l'origine des coordonnées au sommet de la parabole (fig. 170), do
.sorte que son équation sera:
y = a*2
(-*)

446 CH. VI. NOMBRES COMPLEXES, JPONDEM. DE L'ALGEBRE SUPERIEURE
Déterminons, commo ci-dessus, la longueur de la portée 2 •= AtAs et de la flèche
f •=> OA. Nous obtiendrons à partir de l'équation de la parabole
/=a—, d'où a=-jf-
Calculons la longueur de l'aro AtA2 égale au double de l'arc 0>12:
i
D'après la formule du binôme de Newton, nous avons:
et, en intégrant, nous trouvons pour s le développement :
* = I+-g.aïP—ij-a*I«+...
Remplaçons a par l'expression que nous avons trouvée pins haut, il vient;
'-Hitf)^-*(flV..--i[M4 *-**+■■■].
où e= -j-. Si nous nous limitons dans ce développement aux deux premiers
termes, nous obtiendrons la formule approchée :
qui coïncide avec la formule de la chaînette.
VI-1-10. Logarithme d'un nombre complexe. On appelle
logarithme naturel d'un nombre complexe r (cos q> + i sin op) la puissance
à laquelle II faut élever e pour obtenir le logarithme du nombre. En
désignant par In le logarithme naturel, nous pouvons dire que
l'égalité
In [r (cos q> + i sin q>)J = x -\-yi
est équivalente à :
ex*yi <= r (cos q> + i sin q>).
On peut écrire ainsi cette dernière égalité :
e* (cos y -|- i sia y) = r (cos q> + i sin çp),
d'où, en comparant les modules et les arguments, nous obtiendrons;
e:c = r, y=tp + 2kn (ft = 0, ± 1, ±2, ...),
c'est-à-dire :
s = lnr et z-r-j/£ = lnr-|-((p-|-2£jt) i
et finalement :
lu [r (cos op ~|- i s-in (p)] = In r + (q> -|- 2&rt) î, (30}

VI-J. 3DES NOMBRES COMPLEXES 447
c'est-à-dire que le logarithme naturel d'un nombre complexe est égal
à un nombre complexe dont la partie réelle est le logarithme ordinaire
du module, et la partie imaginaire est le produit de i par une des valeurs:
de l'argument.
Nous voyons ainsi que le logarithme naturel d'un nombre
quelconque possède, une quantité infinie de valeurs. La seule exception
est zéro, qui n'a pas de logarithme. Si nous imposons à l'argument
de vérifier l'inégalité :
— Jt< q><|Jt,
nous obtiendrons ce que l'on appelle la valeur principale du
logarithme. Pour distinguer la valeur principale d'un logarithme de sa-
valeur générale, donnée par la formule (30), on emploie pour désigner-
la valeur principale lg au lieu de In, de sorte que:
lglr (cos<p-t-isin<p)l = lgr-j-<pi, (31).
où —Jt<;<p<Jt.
Déterminons à l'aide du logarithme la puissance complexe d'un
nombre complexe quelconque. Si « et v sont deux nombres
complexes, et que a^tO, nous supposerons que :
Notons que In w, et donc uv, ont, en général, une quantité infinie-
de valeurs.
Exemples. 1, Le module i est égal à t et l'argument à-5-, c'est pourquoi ;
lni=(JL+2kn)i (k=0, ± 1, ±2, ...)•
2. Déterminons i' :
lW«"-.-Œ+w") (ft=0,±i,±2,...).
VI-1-ii. Grandeurs sinusoïdales et diagrammes veetoriela. Signalons,
l'utilisation des grandeurs complexes pour l'étude dos oscillations harmoniques.
Etudions le courant variablo dont l'intensité /' a, A chaque instant, dans tout
le circuit, la même valeur qu'on peut définir par la formule ;
/ = 7mSîn(<i)» + q>), (32)
où t est le temps, et jm, a> ot <p sont dos constantes.
La constante /m qne nous considérerons comme positive, s'appelle
amplitude ; la constante <o s'appelle pulsation et est liée à la période T par la relation :
la constante tp est appelée phase du courant alternatif.
Le courant dont 1 Intensité est définie par la formule (32) est dit sinusoïdal..
Ce qui vient d'être dit est valable également pour la tension :
w=t>msin {û>i+9(), (33>

448 CH. Vt NOMBKES COMPLEXES, FONDBM. DE L'ALGSBRB SUPSBIEUBE
et nous étudierons plus loin l'intensité et la tension du courant qui varient selon
lu loi sinusoïdale définie par les formules (32) et (S3).
Il existe une représentation géométrique simple des grandeurs sinusoïdales
do môme fréquence. Menons par un point 0 du plan un rayon que Dous ferons
tournor à une vitesse angulaire <o dans le sens dos aiguilles d'une montre; nous
appellerons co rayon axe des temps.
Admettons que la position initiale do l'axe des temps pour t — 0 coïncide
jivoc l'use OX. Construisons un vecteur OA (fig. 177) de longueur/„, qui forme
Fig. 177
l'angle <p avec la position initiale de l'axe dos temps (rappelons que nous
considérons la direction inverse de celle des aiguilles d'une montre, comme direction
positive pour mesurer des angles).
A l'instant t, le vecteur OA formera un angle (<p -f- k>0 avec l'axe des
temps qui uura tourné d'un angle a>f, la projection du vecteur OA dans une
direction perpendiculaire à l'axe des temps et olitenuo par une rotation de
cette projection d'un angle -^ en sons inverse des aiguilles d'une montre, ou,
en un mot, In longueur, prise avec le signe ConvoûaWe, <le la perpendiculaire
menée, do l'extrémité du vecteur OA sur l'axe des tomps nous donne, comme
4iii le voit, la grandeur
;=;rasin((»t-l-(p).
Pour représenter une autre grandeur sinusoïdale de morne période :
51 faudra tracer un vecteur do longueur )m formant avec lo premier vecteur
l'angle:
¢=91-<p.
Ainsi, nous pouvons représenter, à l'aide dos vecteurs fixes du plan, dos
scandeurs sinusoïdales do mémo fréquence. La longueur do chaque vecteur
donne l'amplitude do la grandonr correspondante, et l'angle situé entre doux
vecteurs est la différence do phase des grandeurs correspondant à ces vecteurs.
Les vecteurs ainsi construits donnent ce qu'on appollc le diagramme vectoriel
du systèmo do grandeurs sinusoïdales do mémo périodo.
La somme géométrique do plusieurs vecteurs d'nu diagramme vectoriel
correspondra, d'après le tneorème sur la projection de la résultante, à une
grandeur siniKiui'dalo de mémo période égale à la samme des grandeurs sinusoïdales
qui correspondent aux vecteurs à additionner.

Vl-i, LES NOMBRES COMPLEXES 449
En utilisant la définition donnée do la multiplication [Vl-1-3], on peut
Conférer aux opérations sur les diagrammes vectoriels une forme analytique
pratique.
Par la 3uite, nous désignerons les vecteurs par les mêmes lettres, mais en
caractères gras.
Nous considérerons le produit d'un vecteur j par un nombre complexe re''4
comme égal au vecteur que Ion obtient à partir du vecteur j en multipliant sa
longueur par r et en le faisant tourner d'un angle <p, c'est-à-dire que nous
considérerons que le produit re^ j s'obtient d'aprèslarègledonnéodans [VI-l-3)de la
multiplication d'un nombre complexe, représentant le vecteur j, par un nombre
complexe r»**.
Si on écrit le nombre complexe re®* sous la forma (a + bi), on peut
représenter le produit sous la forme d'une somme de deux vecteurs:
(a-rbt)i=ai-\-bii,
le premior terme étant un vecteur parallèle au vecteur j, ot le second un vecteur
perpendiculaire au vecteur j.
Nous pouvons, on projetant un vecteur jt quelconque suivant deux
directions perpendiculaires, Ib représenter sous la ferme;
il =■ "j-h «J = (" + '»)}.
On a alors j a -f. bl | égal au rapport des longueurs des vecteurs de j et j4, et
l'argument du nombre (a 4. bi) est l'angle formd par la vecteur jj et lo vecteur j.
Cet angie donne la différence de phaso des grandeurs correspondantes aux
vecteurs ji et j.
Introduisons la notion de valeur quadratique moyenne d'une grandeur
sinusoïdale (32), que nous désignerons par le symbole M (;s). Elle est définie
par l'équation:
Si nous intégrons l'expression
/2=^5^(^-1-^) = -- />,_1 /^cos2((ût f <p)
entre les limites 0 et T ■= , nous obtiendrons:
tu
•in.
M [/*)=■- /■.- [-L fmsln2 (^+<r)]o& .=4 ,V
La racino carrée de la valeur quadratique moyonne est la valeur efficace
d'une grandeur:
Dans la pratique, quand on construit des diagrammes vectoriels, on prend
habituellement In longueur du vecteur égale non pas 5 l'amplitude, mais à la
valeur efficace de la grandeur, o'cst-à-dire que l'on diminue les longueurs des
vecteurs, par rapport à la construction exposée ci-dessus, dans le rapport i ; ~V'l,
Si nous différontions la formule (32), nous obtiendrons:
-X=û);„iCO3(0)< + (p)=û)?mSin [fût f q) f-^.\ ,

450 CH. VI. NOMBBBS COMPLEXES, FONDEM. DE L'ALGEBRE SUPERIEURE
c'est-à-dire quo la dérivée de •— ne diffère de j qu'en ce que l'amplitude est
multipliée par u> et que la phase augmente de -5-.
On écrira la relation entre ces grandeurs vectorielles ainsi:
-|f-=<û£i- (34)
Si nous intégrons la formule (32) et négligeons la constante arbitraire, co
ui est nécessaire si nous voulons obtenir également une grandeur sinusoîdnlo
e même période, nous avons:
Y f it = — — jm cos {<ùt+<p) =— /m sin \at -|- 9 —|-J ,
d'oi\ it résulte * :
VI-1-12. Exemples. 1. Etudions un circuit de courant alternatif, formé
successivement: d'une résistance B, d'une self-induction £ et d'une capacité C.
Si nous désignons par v la tension et par / l'intensité du courant, nous aurons
la relation, employée en physique :
l
—*i+*-$-+Trlt«.
Limitons-nous pour le moment aux phénomènes permanents, et en
particulier au cas où la tension et l'intensité du courant sont des grandeurs
sinusoïdales de même période. On peut écrire l'équation précédente sous une iorme
vectorielle, en introduisant à la place do v et / Us vecteurs tension et intensité
du courant v ot j.
y^ni+L§+^lia.t;
nous rappelant les formules (34) et (35), nous trouverons à partir de là:
v=Bi + *Lli-r-~i*=(Ii-\-ui)i*=Q, (36)
où:
u=<b£-^, t,=R-\-ui. (37)
La rotation obtenue ontro les vecteurs tension ot intensité a la forme de
l'habituelle loi d'Ohm, avec cottu différence qu'à la place de la résistance entre
ici un facteur complexe £ appelé résistance apparente du circuit ou impédance
et qui est composé de la somme de trois « résistances » : résistance ohmtque (./?),
impédance de la self-induction {(ùLi) et impédance de la capacité (t-tït) .
* Lo symbole —-désigne le vecteur correspondant à la grandeur sinusoïdale
~jj- , et le symbole \ j dt lo vecteur correspondant à \ /' dt.

VT-1. LES NOMBRES COMPLEXES
<151
La formula (36) donne en plus la décomposition du vecteur v on deux
composantes : JRI dans la direction de j, et uij dans la direction perpendiculaire à j.
Lu première s'appelle composante active, et la deuxième, la composante réactive
de la tension. Ces termes deviendront clairs si nous calculons la puissance moyemie
W du courant de notre circuit, qui est définie comme la moyenne arithmétique
sur toulo la période à partir de la puissance instantanée de vf:
"^T"!!*'"'^=—^-jj1sinM + <pi) »in(<ot |-<|>g)<K;
<fi désigne ici la pbase do tension, cp2 lu pbase do l'intensité, de sorte que:
» = !>msill<lflf + q>i), /=/'mSin(»J + (p8).
Nous trouverons sans peine:
lo
"mlrn
^=¾^ ^ [coBfoi-<Fg)-cos<;2<»»-f-%)]<» =
-cosfo—tp2) = "c.///e//cos((Pi—(fj). (38)
Ainsi, on obtient la plus grando puissance moyenne en valeur absolue
lorsque les phases de lu tension ot de l'intensité coïncident ou diffèrent do zi;
on obtient la plus petite puissance (nulle), lorsque ces phases diffèrent do ~ .
Lorsqu'on établit l'oxpression de W, la composante réactive rt(j du vecteur v
donne une puissance Moyonne égale à zéro, pulsquo le vecteur uij est
perpendiculaire au vecteur j, c'est-à-dire que pour lui eus (œl — ij>2) — 0, ot l'on
n'obtient la puissance moyenne, qui se transforme on chaleur suivant la loi de Joule,
qu'à partir d» la composante activo (« do travail »).
On pout écriro le rapport (3fi) sous la forme suivante:
1
3=Tv=nv, OU 11 =
eu :
J=ffV + ft2V.
On appelle lo facteur complexe t| la conductibilité apparente du, circuit;
il est égal à l'inverse de l'impédance. La formule précédente donne lo
développement du vecteur intensité du courant on composantes active et réactive (dans la
direction de v et perpendiculairement à lui),
2. Les règles fondamentales pour calculer la résistance d'ml circuit complexe
parcouru par un courant continu, dans loquel Us résistances sont en série ou
en parallèle, ont été tirées des lois d'Ohm ut de Kïrchhoff ; elles restent valables
pour les circuits parcourus par un courant sinusoïdal alternatif à l'état, de régime
permanent, si nous convenons seulement de remplacer les valeurs instantanées
de la tension et do l'intensité par les vecteurs correspondants, et les résistances
ohmiques par des impédances.
Ainsi, si les résistances apparentes sont incluses en série dans le circuit :
£l=#l f-*i'. £2=%+a#, ■■■■
les vecteurs tension ot intensité seront liés par les relalions:
v = Ç'J. "û £'=Çi-r-&+..., (39)
c'est-à-dire que lorsque les impédances sont en série, elles s'ajoutent.
Par contre, si les impédances sont en parallèle, no«s obtiendrons la relation:
y-t'U cù ■£.=-*.+£+.... m
29*

452 CH. VI. NOMBRES COMPLEXES, PONDEM. DE L'ALGEBRE SUPERIEURE
c'ost-â-diro que lorsque les conductibilités apparentes sont en parallèle, elles
s'additionnent.
La construction graphique de l'impédance, lorsque les impédances
£i> Sa, • • ■! sont eu série, se ramène à la construction géométrique de la somme
des vecteurs qui représentent ces nombres complexes.
Indiquons la construction dan9 lo cas où deux impédances Zi ot £2 sont
on parallèle. Nous avons, d'après la règle précédante :
£*=■
Çi+£a
"ËPR* '
En admettant que:
5*=p«01, ?i=Pi«8ji. Ç^Pz^-1, £i + &=Po«eoi,
nous aurons:
P^
P1P2
0 = 6,+62-8,,.
Cela nous amène à lu construction géométrique suivante (fig. 178) *. Trouvons
Fig. 178
Fig. 170
d'abord la somme Ç, +%z =* OC; construisons ensuite &A OD, qui est semblable
à ACOB, en faisant tourner £\COB jusqu'en C'OB', et menons la droite AD
parallèle %~CrB''.
De la similitude des triangles, nous obtenons:
OD-
--ÔÂ-^Er, c'est-à-dire p=-Hi£2.
OC Po
0=82-80 (e«=o).
co qu'il fallait démontrer,
3. Etudions les oscillations couplées de deux circuits liés par mutuelle
Induction (fig. 179). Admettons que nt et jt désignent la force électromotrioo
externe et 1 intensité du courant dans le circuit /, et que h désigne l'intensité du
courant dans le circuit /7 (sans force électromotrice externe); R)t Rit L}, £2,
Ci, Ci soront respectivement les résistances, les coefficients de self-induction
et les capacités de ces circuits, M les coefficients d'induction mutuelle des
circuits / ot //.
* Sur la figure, nous avoas, pour simplifior, dirigé l'axe OX suivant le
vecteur £j co qui nous amène à supposer que 8L = 0. Dans lo cas général, il
suffit de tourner l'axe OX d'un angle 0! danslo sens dos aiguilles d'une montre.

VI-1. LES NOMBRES COMPLEXES
/l53
Nous avons les rapports ;
*.=*./. + *.-&+*#+-£$/.*,
Si nous étudions le phénomène ù l'état de régime permanent, an cours
duquel la tension et l'intensité varient selon la (»1 sinusoïdale de fréquence
égale, no«s pouvons mettre cos équations sous forme vcctoriello:
où Ci et £2 sont les Impédances des circuits I et //. En résolvant par rapport
& ji et ja, nous obtiendrons sans peine:
i £2 ,, , _ <oM«
,1_ £»Ç2+fl*«itfa »' ,2 ÇiÇg-f-œW» v"
En mettant la première équation sous la forme ;
«Ain * '
Vl
nous pouvons diro <iuo la présence du circuit // modifie l'impédance £ du cir-
cuit / d un tonne : —5— .
£2
VI-i-13. Courbes définies sous forme complexe. Si l'on convient de
représenter les nombres réols par des pointa sur un axo OX, la variation do la
variable réello revient à uu déplacement do point correspondant sur l'axo OX. De
même pour une variable complexe, £ = % -(- yt, cola revient au déplacement
d'un point dans le plan XOY.
11 est surtout intéressant d'étudier le cas où la variable £ décrit, lors de sa
variation, une certaine courbe; ce cas se présente lorsquo les parties réelle et
imaginaire, c'est-à-dire les coordonnées x et y, sont fonctions d'un paramètro
u que nous considérerons comme réel:
* = 9i(»)i tf=9a(«). (4i)
Nous écrirons alors simplement :
£ = /(»), où /(k) = <Pi(u)-H<I>2(k)>
et nous appellerons cette équation équation de la courba considérée (41) sous
forme complexe.
Les équations (44) donnent une représentation paramétrique de la ccurbe
en coordonnées orthogonales. Nous passerons aux coordonnées polaires, si nous
écrivons la variable £ sons forme exponentielle :
£>=pe8£, p = «|>i(u), 0 = 11¾ (u),
Dans ectto expression, le facteur p n'est pas autre chose que 1 £ 1 et le
facteur « qui, dans le cas où £ est réel (8 = 0 ou n), coïncide aveo le « signe si
(±1), est un vecteur de longuour unité et se note à l'aide du symbole:

4S4 Cil. VI, NOMDRBS COMPLEXES, FOKDFM. DE L'ALOJSliBE SUPERIEURE
Les diagrammes vectoriels conduisent à l'étude des équations des courbes
sous forme complexe. Si nous considérons dans la relation:
le vecteur intensité j comme constant, mais que nous fassions varier l'une- des
constantes du circuit, l'impédance £ ut lu vecteur v varieront; l'extrémité de ce
vecteur y décrit une courbe appelée diagramme de la tension; quand on aura
couslrull celte courbe, on aura une représentation claire de la variation du
vecteur v. Le point £ décrit également une courbe (diagramme d'impédance),
qui ne se différenciera du diagramme de tension que par le choix de l'échelle
(on prendra le vecteur j pour unité).
Etudions maintenant les équations do quelques courbes simples.
1. L'équation d'une droite passant par un point donné £o — £o + Vof
et formant un anglo o: avec l'axe OX:
S = M-r-«*°4,
lo paramètre « désigne la distance de £„ à £.
2. L'équation d'une circonférence dont le contre est au point Çj cl do rayon r :
£=>&■!-ré*.
3. Une ellipse dont le cenlro ost à l'origine des coordonnées, et dont los
demi-axos sont o et b; le grand axe étant orienté suivant l'axe OX a, sous
ferme complexe, l'équation [VI-i-8]:
£=* (-t/i=acoS!i+4i siii «=—ï—«ui+- ~ •-«*
2^2 '
Si )» grand axe forme un anglo qi0 avoc l'axo OX, l'équation do l'ellipse sera
de la forme :
t=.,V[±£L,u+±^i.-.«].
Dans lo cas général, lorsque le centre de l'ellipse so trouve au point Ç0
et que logeand axe forme un angle avoc l'axe OX, l'ellipse aura pour équation :
SI b — a, cette équation devient l'équation du cercle do rayon a :
où- (<Po + «) es', comme u, un paramètre réel. Si b = 0, nous obtiendrons le
segment du droite :
C^Co 1-^^+^=¾^^. t-fc-r-».*',
formant un anglo <f0 avec l'axo OX, de longueur 'la, et dont le centre est au
point Ç0 car lo paramètre v = a cas u est réol, comme u, mais no peut prendre
que des valeurs comprises entre (—a) et (-{-a).
Si nous considérons les cas du corclo et du segment de droite comme des
cas limites do l'ellipse obtonus lorsque le demi-petit axe devient égal au grand
ou s'aitnulo, nous pouvons alors dire do façon générale que l'équation
£=&-i-/mu£+(!*-"*, m
où Ç0, u,!, u,2 sont des nombres complexes quelconques, représente toujours
Véquation d'une ellipse.

■VI-1. LES NOMBRES COMPLEXES
455
nous avons:
En effet, si nous supposons que:
m-»i«^, m»-^w. -5^=^ -S^-eo.
nous pouvons écrire l'équation (42) sous la forme :
£ = &4-M1«<u+8»'f+Jtfî*-<,'-<''l)1=&1+«,Po,[Afie'tt+8«'t+W4»-<"+flo»i|,
d'où l'on voit nue la courbe étudiée est bien une ellipse dont le contre est au
point £01 dont les demi-axes sont (Mt ± Mz), et dont le grand axe forme avec
l'axe OX l'angle 90, c'ost-â-dire qu'il a pour direction la Bissectrice do l'angle
formé par les vecteurs \i, ot u.s. P°ur J"a = 0, l'ellipse se transforme en ciiton-
férisrice, pour Mt =• Mlt en segment de droite.
4. Les courbes dont l'équation sous forme complexe a l'aspect suivant:
Ç=v«*», (43)
où v et y sont des constantes complexes arbitraires, s'emploient très souvent
pour l'étude des phénomènes du courant alternatif dans les circuits à
distribution continue clés résistances, des capacités et de la self-induction.
Posons v = ffie%*t y *=■ o + bi ot en passant aux coordonnées polaires,
c'est-à-dire :
p=iV>a«, 9=6«+%,
d'où
a
±4 "»e
p=JVeb (iV^Nye b ),
c'est-à-dire que la courbe étudiée est une spirale logarithmique (fig. 180,
correspondant au cas -g- > 0).
Nous pouvons obtenir des courbes plus compliquées du type:
£=V£<! ' +v2e z -f-...+vse ■ ,
si nous construisons les « composantes de la spirale » :
51=v,er* , fe^v^ K , ..., ga=v4«''
et si nous calculons pour chaque valeur de « la somme géométrique des valeurs
correspondantes de £4, £-, ...,?, (Kg- 181).
VI-1-14. Représentation d'une oscillation harmonique sous forme
complexe. L'oscillation harmonique amortie est exprimée à l'aide de la formule :
z=Ae~el sin ((ot-fcpo), (44)
où A et e sont des constantes positives. Introduisons la grandeur complexe:
I-J^-tÏ^»»»*. ^-1^^ *>\ (45)
et finalement :

458 CH. VI. NOMBRES COMPLEXES, PONDBM. DE L'ALGÈBRE SUPERIEURE
La partie réelle do cette grandeur complexe coïncide avec l'expression (44).
Nous pouvons, ainsi, représenter une oscillation harmonique amortie
quelconque, comme la partis réelle d'une expression complexe de la .forme :
où a et p sont des nombres complexes. Dans lo cas de la formule (45):
a=:Ae\ ° 2' et P=<o-|-et".
Dans le cas d'ime oscillation harmoniqne pure sans amortissement, ë=0, et p
Fig. 180 Fig. 181
sera nn nombre réel. L'expression (45) ponr Ç coïncide avec l'expression (43)
ponr:
v = /4e^ 2' , y=(û>-|-Ëi) i — —e-f-û>i et u = t.
On voit de là que lorsque t varie, lo point t, décrit une spirale
logarithmique, l'angle polaire 8 étant alors une fonction linéaire dn temps t :
0 = <ai+<po—^ '
c'est-à-dire que lo rayon vecteur tourne, del'origine des coordonnées an'point Ç,
antonr de l'origine avec nns vitesse angnlaiie a> constante._ La projectloa du
point Ç snr l'axe OX offeetne des oscillations amorties (44). Si s = 0, le point t,
tourne suivant un cercle p = A> et «a projection snr l'axe OX tourne suivant
la loi des oscillations harmoniques non amorties:
ZK=Aa\n(tat + <p!>).
VI-2. Propriétés fondameutales des polynômes entiers
et calcul de leurs racines
VI-2-1. Equation algébrique. Nous étudierons dans ce paragraphe
le polynôme entier:
/ (z)=aazn + a,zn-* -f-... + ahz*-h + ... + a„^z+On,

VI-2. PKOPRIÉTfiS FONDAMENTALES DES POLYNOMES ENTIERS 457
où a0, at, . . . , a-h, ■ ■ • i an sont des nombres complexes donnés
et z une variable complexe, le coefficient a. pouvant ôtre considéré
comme différent de zéro. On connaît (algèbre élémentaire) les
opérations fondamentales sur les polynômes. Nous ne rappellerons
que le cas do la division. Si / (z) ot tp (z) sont denx polynômes et
si le degré de <p (z) n'est pas supérieure au degré de/(z), nous
pouvons représenter / (z) sous la forme :
/(z) = <p(z).Ç<z)+i?(z),
où. Q (z) et R (z) sont également des polynômes, le degré de
R (z) étant infériotire au degré de q> (z). On dit que les
polynômes Q (z) et R (z) sont, respectivement, le quotient et le reste lors
de la division de / (z) par <p (z). Le quotient et le reste sont des
polynômes entièrement définis, de sorte que la représentation de / (z)
sous la forme indiquée ci-dessus en fonction do tp (z) est unique.
On appelle racines du polynôme les valeurs de z pour lesquelles
le polynôme est égal à zéro. Ainsi, les racines de f (z) sont les racines
de l'équation :
/(2)=aaoZB + «I3n-«+ ...+ahzn-"+ ...+a„.t« + «j, = 0. (1)
On dit que cette équation est une équation algébrique de degré n.
Si Pou. divise / (z) par le binôme (z — a), le quotient Q (z) sera
un polynôme de degré (n — 1) ayant a0 pour coefficient du terme
de plus haut degré, et le reste R ne contiendra pas z. D'après
la propriété fondamentale de la division, on a l'identité:
f(z) = (z-a)Q(z)+R.
Si nous mettons dans cette identité z = a, nous obtiendrons:
R-f(a),
c'est-à-dire que le resté obtenu par la division du polynôme f (z) par
(z — a) est égal à f (a) (théorème de Bézout).
En particulier, pour que le polynôme / (z) soit divisible par
(z — a) sans que l'on ait de reste, il faut et il suffit que :
f(a) = 0,
c'est-à-dire que pour que le polynôme soit divisible par le binôme
(z — a), sans qu'il y ait de reste, il faut et il suffit que z — a soit
une racine de ce polynôme.
Ainsi, si nous connaissons la racine z = a du polynôme / (z),
nous pouvons extraire de ce polynôme le facteur (z — a) :
/(*)-(«-a)/,(*),

458 CH. YI, NOMBRES COMPLEXES, L'ONDEM. DE L'ALGEBRE SUPERIEURE
où:
fi (Z) = V-1 + M"'2 + • • . + K-tf + Vl (¾ = Ûo)-
Chercher les autres racines revient à résoudre l'équation:
ioz1-1 + 6,zn-! + ■ • ■ + W H- &»-i = 0
do degi'é (« — 1).
Nous devons répondre pour la suite de cet exposé à la question
suivante : est-ce que toute équation algébrique possède des racines?
Dans le cas d'une équation non algébrique on peut répondre par la
négative. Ainsi, par exemple, l'équation:
e* = 0(z = af+ji)
ne possède aucune racine, puisque le module ex du premier membre
n'est égal à zéro pour aucune valeur de %. Mais dans le cas d'une
équation algébrique, on donnera à la question précédente une réponse
affirmative, qui s'exprime par le théorème
fondamental do l'a 1 g è b r e: toute équation algébrique possède, au niolns,
une racine.
Nous admettrons ici ce théorème sans démonstration. Nous on
ferons la démonstration dans lo tome III, dans l'exposé de la théorio
des fonctions d'une variable complexe.
Vl-2-2. Décomposition d'un polynôme en produit de facteurs.
Tout polynôme
/ (z) = a„zn + ai*"-1 + • • • + a»-iZ + «„ (2)
possède, d'après le théorème fondamental, une racine z = z,, et,
par conséquent, il est divisible par (z — zj), et nous pouvons
écrire 1VI-2-1J:
/(2) = (Z-Z,)(ao2»-'+...).
Le second facteur du produit dans le deuxième membre de cette
égalité possède, d'après le théorème fondamental précité, la racine
z = z2, et par conséquent est divisible par (z — z2), donc nous
pouvons écrire:
/ (2) = (z-z,) (z-zt) (w™+...).
Si nous continuons ainsi à extraire les facteurs du premier degré,
nous obtiendrons finalement la mise en facteurs suivante dans / (z) :
/ (z) = a„ (3 — z,) (z — za) ... (z — s„), (3)
c'est-à-dire que Von peut mettre tout polynôme de degré n sous forme
d'un produit de {n + 1) facteurs, dont l'un est égal au coefficient
de la plus grande puissance, les autres étant des binômes du premier
degré de la forme (z — a).

M-2. PnOl'BIfi'1'28 FONDAMENTALES DES POLYNOMES ENTIERS 459
Lorsqu'on fait z = zs (s = 1, 2, . . . , re), un an moins des
facteurs de (3) est égal à zéro, c'est-à-dire que les valeurs z = zs
sont les racines de f (z).
Tonte valeur de z, différente des z5, ne peut pas être une racine
de / (z), puisque pour cette valeur de z aucun des facteurs de (3)
ne deviendra égal à zéro.
Si tous les nombres z„ sont différents, / (z) a n racines distinctes.
S'il y a parmi les nombres zs des nombres identiques, le nombre des
racines distinctes de / (z) sera inférieur à n.
Nous pouvons ainsi énoncer le théorème: un polynôme de degré
n (ou une équation algébrique de degré n) ne peut avoir plus de
n racines distinctes.
Conséquence directe de ce théorème: si on sait qu'un polynôme,
dont le degré n'est pas supérieur à n, possède plus de n racines
distinctes, tous les coefficients de ce polynôme et le terme libre sont
égaux à zéro, c'est-à-dire que ce polynôme est identiquement nul.
Supposons que les valeurs de deux polynômes /( (z) et /2 (z),
dont le degré n'est pas supérieur à n, coïncident pour plus
de n valeurs distinctes de z. Leur différence /1 (z) — /2 (z) est un
polynôme de degré non supérieur à n, ayant plus de n racines
distiuctes, et par conséquent cette différence est identiquement
nulle, et fL (z) et /2 (z) ont des coefficients identiques. Si les valeurs
de deux polynômes de degré non supérieur à n coïncident pour plus
de n valeurs distinctes de z, tous les coefficients de ces polynômes
et les termes constants sont égaux, c'est-à-dire que ces polynômes sont
identiques.
Cette propriété des polynômes est à la base de la méthode dite
des coefficients indéterminés, qne nous utiliserons par la suite.
Le principe de cette méthode est qu'il résulte de l'identité de doux
polynômes que les coefficients des termes ayant le même degré z
sont égaux.
Nous avons obtenu la mise en facteurs (3) en plaçant les facteurs
du premior degré du polynôme/ (z) dans un ordre déterminé.
Démontrons maintenant que la forme définitive du développement en
produit de facteurs ne dépend pas de la façon dont nous les avons
extraits, c'est-à-dire que le polynôme ne peut être mis que sous une
forme de produits de facteurs du. type (S).
Supposons qu'eu plus de la mise en facteurs (3), on ait la mise
en facteurs :
/(z) = i„(z~zl)(z—zt) ... (z — z'„). (30
Si nous comparons ces deux produits de facteurs, nous pouvons
écrire identiquement:
ao(z — zi)(z~zz) ■■■ (z — z„) = b0(z—z;)(z~z'3) ... (z—z'n).

460 OH, VI. NOMBRES COMPLEXES, FONDES!. DE L'ALGEBRE SUPÉRIEURE
Le premier membre de cette identité s'annule pour z ■= zt;
par suite, il doit en être de môme pour le second membre, c'est-à-dire
qu'au moins un des facteurs en zi doit être égal à z(. On peut, par
exemple, considérer que z'x — zt. En divisant les deux membres de
l'identité écrite par (z—zj), nous obtiendrons l'égalité:
a0{z—z2)... {z~zn) = b0(z — z'a}... (z—z'n),
vérifiée pour toutes les valeurs de z, sauf, peut-être, z = z(. Mais,
d'après l'affirmation ci-dessus, cette égalité doit être également
uue identité. Nous démontrerons, en raisonnant comme ci-dessus,
que z'z = z2, etc., et, enfin, que ba = o0, c'est-à-diro que la mise
en facteurs (3() doit coïncider avec la mise eu facteurs {3).
VI-2-3. Racines multiples. 11 peut y avoir, comme nous l'avons
déjà dit, des nombres identiques parmi les zs entrant dans le produit
do facteurs (3). En groupant dans ce produit les facteurs identiques,
nous pouvons écrire le produit sous la forme:
/ (2) = n„ (z - z/1 (z - z2f*... (z - zmfm, (4)
où les nombres Zj, s2, ..., z„ sont distincts et
&i-|-ft2+ ...+km = n. (5)
Si l'on a dans ce produit un facteur (z — zs)\ ou appelle la
racine z = z, racine d'ordre ks et, de façon générale, on appelle la
racine z — a du polynôme f (z) racine d'ordre k, si / (z) est divisible
par (z — a)'1 et n'est pas divisible par (z — a)',+1.
Démontrons maintenant un autre critère permettant de
déterminer si une racine quelconque est une racine multiple. Utilisons la
formule de Taylor. Remarquons d'abord quo nous pouvons
déterminer les dérivées du polynôme / (z) à l'aide des formules que nous
avons employées dans le cas d une variable réelle:
/(?} = ((0z"+(i,z"-'+. • ■ + «*«"-* + ... -î-a^iz+a*;
/' (z) = raa0z"-' + (« -1) aizn-a +...-(. (n _ ft) a^"-*-1 + ... + a„-t ;
/"(z) = k(R- l)a0zn-îJ-(rt-l)(?i_2)o,z"-8+...
... +(n — /c)(n — k—1)ahz"-''~a-| +2-la*-2.
La formulo de Taylor
/w=/(«)f£fr/'W+iïir^r(«) + ---
...+^/<''>(«H-... + ^/<«>(") (6)

VI-2. J>nOPBIÉTÊS FONDAMENTALES DES POLYNOMES ENTIEng /t61
est une identité algébrique élémentaire, contenant les symboles a
et z, vérifce non seulement pour les valeurs réelles, mais aussi pour
les valeurs complexes do ces symboles.
Donnons maintenant la condition pour que z = a soit une racine
d'ordre k de / (z). Ecrivons (6) sous la forme :
Le polynôme qui se trouve dans le second crochet a u» degré
iiiïérieur au degré de (z — a)'1, et de là on voit [VI-2-11 que le
premier crochet est le quotient, et le second lo reste de la division
de / (2) par (z — a)h. Pour que / (z) soit divisible par (z — a)k, il
faut et il suffit que ce reste soit identiquement nul. Si nous le
considérons comme un polyuôme de la variable (z — a), nous obtenons la
condition suivante:
/ (tt) = /'<*) = ..,=/<*-!> («) = 0. (7)
Nous devons y ajouter la condition :
/W(o)=jfcO, (8)
car si f'1" (a) = 0, / (z) serait divisible non seulement par (z — a)k
mais aussi par (z — a)'m. Ainsi, les conditions (7) et (8) sont
nécessaires et suffisantes pour que z = a soit une racine d'ordre k du
polynôme f (z).
Supposons que i|)(z) = /' (z), par suite :
il>'(z) = f (z), i|>" (*) = /"'(2), .... i)><»-'-'(z) = /<<"(2).
Si z = a est une racine d'ordre k du polynôme / (z), d'après (7)
et (8) :
t|)(a) = i|)'(o)=...=i|)<''-2>(tt) = 0 et ip-"(tt)=5t0,
c'est-à-dire que z = a sera une racine d'ordre (k — 1) de 1)) (2) ou,
ce qui revient au même, de /' (z), c'est-à-dire que la racine d'ordre k
d'un polynôme est une racine d'ordre (A — 1) de la dérivée de ce
polynôme. Si nous appliquons successivement cette propriété, nous
verrous qu'elle sera racine d'ordre (k — 2) de la dérivée seconde, racine
d'ordre (k — 3) pour la dérivée troisième, etc., enfin racine d'ordre un,
ou comme on dit, racine simple pour la (k — 1)«">« dérivée.
Ainsi, si nous avons pour f(z) facteurs: le développement on
produit de
/ (z) = «„ [z - z,)"1 (z - «,)*»...(»- ïm)1*, (9)
nous aurons pour /' (z) :
/'{s) = (z-Zl)''1_i (z-zs)"»-1 ... (z-zm)"»'-'o)(z), (10)

402 CH. "VI. NOMBllGS COMPLEXES. lfONDEM. DE Ï/ALGEBRE SOPBRÏEURB
où to (z) est un polynôme n'ayant pas de" racines communes avec/ (z).
VI-2-4. Règle de Horner. Indiquons maintenant une rêglo commode dans
la pratique pour calculer les valeurs de / (2) et de ses dérivées, pour une valeur
donnée z = a.
Supposons quo l'on ait, en divisant / (z) par (z—a), un quotient /1 (z)
et un reste rj ; on divisant /1 (z) par (z—a), un quotient /2{z) et un reste rz,
etc. :
/(*) = («-») ^(ïj + r,, r, = /(«),
/,(2) = ^-0)/2(3) + ^, r2=/,(a),
/2 (z) = (*— *) /a (z) + r3, rs=/2 (o).
Ecrivons la formule (6) sous la forme:
/w-/w+fr-« [i^+^(,-fl)+... +<çp <*-«)-] .
Si nous comparons cette formule à la première égalité écrite ci-dessus,
nous obtiendrons :
^-^^^ + ... + ^^.1-/(^.
En faisant 1» même clioso avec /j(z), nous trouverons:
et, plus gûiiérulement :
r^J^p (*=!. 2....,«).
Supposons maintenant que:
/ (z) = nos™ + a,z»-i + ... + fl„_i*+a».
/,(«)=6oï"-l (-ti^-^H iL&B-2*+frn-l. ^1 = ^.
et montrons comment on calcule los coefficients du quotient bs et le leste fy,.
Si nous ouvrons les paroiitlièses et que nous groupons les tormos de même
puissance en z, nous obtiendrons l'identité:
Oozn + ai211"1 r"-+Œn-iz + a« =
= (*-«) (fcozn_1 + MM + • • - + K-& + fen-i) 4- i-n =
= 60î"+(*i— M) *™-1+(6î—M) *"~2H— +
— (fcn-l —*/i-2«) « + (*» —6n-i«)>
et si nous comparons les coefficients do degré identfquo de z:
a0 — 1>0, m — bi~btfi, «2 = 62—*1«. ■■■! a»-l = *n-J —6n-2°>
<i'où
''0'~ «U. *1 = *>0a t-«l. *2~frl" :-¾. •••> &n-i = &/l-!!'1 +an-i.

VI-2. PBOPBIÉTËS FONDAMENTALES DBS POLYNOMES BNTIEB5 463
Ces égalités donnent la possibilité de déterminer successivement les grandeurs b„.
Ce mûrnc, si nous désignons le quotient et le reste de la division /j (2) par
(1 - a) :
h («) = eflî''-*+ «!*«-»+ ... +Cn_3z4-c„_2 ; c„_i = r2>
nous aurons;
^71-1 = 1^1-20 |-6n-i—r2>
c'est-à-dire que l'on calcnlo successivement Je3 coefficients ct à l'aide de 6»,
comme bg à l'aide ds as.
Cotte méthode de calcul s'appelle rôglo ou algorithme de Horncr *. En
fM là)
appliquant cette règlo, nous obtiendrons les grandeurs - . f .
Donnons un schéma des calculs, qui «l'a pas besoin d'être expliqué:
ao> ali «2. a3t •
+ ï>oa. bla' V*i •
6n-20
an
ftn.
^0^ °0» &li
tfQÛ, fl^a,
6s,
0n-3a,
6n = ''l=/(a)
fo=tto>
c2l «3.
en-l=»-4 =
/'(a)
-]- ./no «2
mo — a0
«i0~
/"" (<■)
h -'•u-i
/<"-=» (g)
(ft-2) 1
^1=^ =
/çi-D (a)
(B-1) l
Exemple. Trouver les valeurs de la fonction :
/ (2) = zB -f 2z* - 2za - 25z +100
et de ses dérivéos pour z = —5.
* On appelle de façon généralo algorithme une règlo donnant l'ordre dans
lequel il faut effectuer des opérations mathématiques pour obtenir un
résultat cherché.

4½ CH. VI. NOMBRES COMPLEXES, PONDEM. DE L'ALOEBSB SUPÉRIEURE
«=~S
2, —0, —2, —25, 100
—5, 15, —75, 385, —1800
-3, 15, -77, 360
-5, 40, —275, 1760
-1700=/(-5)
—8,
-5,
55, —352
65, —600
2120=
/' (-5)
11
-13,
-5,
120
90
-18
— 953=
/"(-5)
21
210 =
/'"(-5)
3!
—23 =
/<lV>(-5)
4!
/<V)(-5)
51
V1.-2-5. Le plus grand commun diviseur. Eludions deux poly
nômes/i {z) et/2 (z). Chacun d'eux a une mise en facteurs déterminée
de la forme (3). On appelle le plus grand commun diviseur D (z) de
ces deux polynômes, 1b produit de tous los facteurs binômes de la
forme (z — a) entrant aussi bien dans la mise en facteurs de /t (z)
que dans celle do /2 (z), ces facteurs communs étant pris avec un
exposant égal au plus petit des exposants, avoc lequel ils entrent dans
los mises eu facteurs de /j (z) et de /2 (z). Les facteurs constants n"e
jouent aucun lôle dans l'établissement du plus grand commun
diviseur. Ainsi, le plus grand commun diviseur de deux polynômes est
un polynôme dont los racines sont communes à ces deux
polynômes, d'ordre égal au plus petit des doux ordres avec lesquels ils
entrent dans ces polynômes. Si des polynômes donnés n'ont pas de
racines communes, on dit qu'ils sont premiers entre eux. On peut,
comme précédemment, déterminer le plus grand commun diviseur
de quelques polynômes.
Pour établir le plus grand commun diviseur par la méthode indi-"
quée ci-dessus, il faut avoir une mise des polynômes donnés en
facteurs du premier degré. Mais on trouve la mise en facteurs (3) en
résolvant l'équation / (z) = 0, ce qui est un dos problèmes
fondamentaux de l'algèbre.
On peut cependant, comme cela se fait en arithmétique pour le
plus grand commun diviseur des nombres entiers, indiquer un autre

VT-2, PROPBIÉTES FONDAMENTALES DES POLYNOMES ENTIERS 465
procédé pour trouver le plus grand commun, diviseur qui ne nécessite
pas la mise en facteurs, le procédé de la division successive. Supposons
donc que le degré de /i (z) ne soit pas inférieur à celui de f2 (z).
Divisons le premier polynôme par le second, puis divisons le second
polynôme /2 (z) par le reste, obtenu lors de la première division,
divisons ce premier reste par le reste obtenu lors de la deuxième
division, etc., jusqu'à ce que nous arrivions à une division donnant
un reste nul. Le dernier reste, différent de zéro, est le plus grand commun
diviseur des deux polynômes donnés. Si ce reste ne contient pas z,
les polynômes seront premiers entre eux. Ainsi, on trouve le plus
grand commun diviseur en divisant des polynômes, ordonnés suivant
les degrés décroissants d'une variable. En divisant /4 (z) et /2 (z) par
D (z), nous obtiendrons des polynômes premiers entre eux, L'un
d'eux ou les deux peuvent ne pas contenir z.
En comparant les produits de facteurs (9) et (10), nous voyons
que le plus grand commun diviseur D (z) du polynôme / (z) et de
sa dérivée /' (z) sera :
D (z) = (z - z,)*1-1 (z- z,)ftï-â ... (z - zmf™~1,
où nous laissons de côté le facteur constant, ce qui est sans
importance.
En divisant / (z) par D (z), nous obtiendrons:
~UÎL = a0(z — z1){z—z2) ... {z — zm),
c'est-à-dire qu'en divisant le polynôme f (z) par le plus grand commun
diviseur de f (z) et de f (z), on obtient un polynôme ayant toutes ses
racines simples et coïncidant avec les différentes racines de f (z).
Si / (z) et /' (z) sont premiers entre eux, / (z) a toutes ses racines
simples, et réciproquement.
VI-2-6. Polynômes réels. Etudions maintenant un polynôme
ayant des coefficients réels:
/ (z) = a02n + ajz*-1 -|- ... + an-iZ + am
et supposons que ce polynôme ait une racine complexe multiple
z — a + bi (6 =£ 0) d'ordre k, c'est-à-dire:
/(o-f-W) = /'(«+W)=---=/(k"i'(« + *i) = 0,
f(a + bi) = A+Bi =5^=0.
Remplaçons maintenant dans l'exprossion / (a + bi) et dans les
dérivées toutes les grandeurs par les grandeurs conjuguées. Dans
cette transformation, les coefficients a3, en tant que nombres réels,
restent les mêmes, et seul (a + bi) devient (a — bi), c'est-à-dire
que lo polynôme / (z) reste le môme, mais on mettra à la place de
30-251

466 CH. VI. NOMBRES COMPLEXES, FONDBM. CE L'ALOEBBE SUPÉRIEURE
z = a -+- bi, z — a — 6t. Après qu'on a remplacé les nombres
complexes par leurs conjugués, comme on le sait d'après [VI-1-4], le
résultat général lui-même, c'est-à-dire les valeurs du polynôme,
devient le conjugué. Nous obtiendrons ainsi:
f{a-bi) = f'(a-bï)=...=f&-i)(a-bi) = 0,
/"(a—bi) = A-Bi=£0,
c'est-à-dire que si le polynôme à coefficients réels a une racine complexe
multiple z = a + bi (b =f= 0) d''ordre k, il doit avoir également une
racine conjuguée z = a — bi du même ordre-
Ainsi, les racines complexes du polynôme / (z) à coefficients
réels sont réparties par couples de racines conjuguées. Supposons
que la variable z ne prenne que des valeurs réelles, et désignons-la
par la lettre x. D'après la formule (3) :
/(»•) = ««(s—Zi){x — z2) ... {x — zn).
Si parmi les racines de z il y en a d'imaginaires, les facteurs
correspondants seront aussi imaginaires. En multipliant deux par
deux les facteurs correspondant à un couple de racines conjuguées
complexes, nous obtiendrons:
[x~(a+bi)]lx — (a — M)] = [{z—a) — bi][(x — a) + bi] =
= {x — af + b* = x*+px+q,
où:
p=—2a, q = a?-\-bi (fc=^0).
Ainsi, un couple de racines conjuguées complexes, donne un
facteur réel du second degré, et nous pouvons énoncer la proposition
suivante: un polynôme ayant des coefficients réels se décompose, en
facteurs réels du premier et du second degré.
Cette mise en facteurs est de la forme:
/ (x) = a„{x-s,)*1 (s-s/»... {x-xrfr (x* + Pix + 3l)!l X-"*
X (sa + p& + q2)'* ... (r4 + p,x + q,)\ (i 1)
où xt, x2, . . . , xr sont des racines réelles de / {x) d'ordre klt kît . . .
. . . , ftr et les facteurs du second degré viennent de couples de
racines conjuguées complexes d'ordre lu l2, . . . , lt.
VI-2-7. Relations entre racines et coefficients d'une équation.
Soit, comme ci-dessus, glt z2, . . - , zn les racines de l'équation:
o0z" + a1z"-, + - - • +an-ia + att=0.
D'après la formule (3), nous avons l'identité :
aitzn + alzn-1+ ... -|-an-iZ-l-a» = ao(z —zj)(z—Z2) ... (z—zn).

VI-2. PROPBIETfiS FONDAMBNTAI/ESIDES POLYNOMES ENTIEBS 467
Si nous appliquons au second membre la formule d'algèbre
élémentaire de multiplication des binômes ne différant que par leur second
terme, nous pouvons mettre l'identité précédente sous la forme:
a0zn-\-al2n-1+ ... +0,,2^+ ... +a„,=
= aa\zn-Slzn-1+ 5^"-*+ ... +{-l)ft5,lZn-* + ... +(_l)»S„],
où jSj, désigne la somme de tous les produits possibles des nombres z,
(s = 1, 2, ...,«) de k facteurs chacun. Si nous comparons les
coefficients de degré identique en z, nous obtiendrons:
*.--^A--^....A-<-tf-2- *.-<-!>"■£.
ou, si nous développons: *
«i-r-«2.+ ...-î-2i» =--^-,
ZiZî-\-Z2H + . . . +Z,,_1Ztt='--Ê-
«0
«0
(12)
ZlZ2 .. . Z» = ( —1)"
Ces formules sont la généralisation des propriétés connues des
racines d'une equatioa du second degré dans le cas d'une équation
de degré quelconque. Elles donnent, entre autres, la possibilité
d'établir l'équation lorsqu'on connaît ses racines.
VI-2-8. Equation au troisième degré. Nous n'étudierons pas en détail la
question du calcul effectif des racines d'équations algébriques. Ce point est
développé dans les manuels de calcul approximatif. Nous nous arrêterons
seulement sur le cas d'une équation du troisième degré et nous indiquerons
également quelques méthodes de calcul qui seront utiles par la suite.
Commençons par l'étude d'une équation du troisième degré:
»°+«i»' + «s» + «s=-0. (13)
Remplaçons y par une nouvelle inconnue œ, en supposant que:
y=œ-f-a.
En le substituant dans le premier membre de l'équation (13), nous obtiendrons
l'équation:
a:3 + (3cs-i-ai) sa + (3aa + 2flia+fl2) a+tcsa + aiaa + aj.es+a3) = 0.
Si nous supposons que a = — -J-, le terme contenant œa est éliminé et, par
conséquent, la substitution:
°i
»—T
ramène l'équation (13) à la forme:
/(4=z3 + ps+,=0, (14)
30*

468 CH. VI. NOMBRES COMPLEXES, FONDEM. DE 1,'ALGEBBE SUPBB1ETJBE
qui ne contient pas de terme en x1.
Si p et g sont réels, l'équation (14) peut avoir ses trois racines réelles, ou
bien une racine réelle et deux racines conjuguées complexes [VI-2-6J. Pour
savoir dans quel cas on se trouve, calculons la dérivée première du premier
membre de l'équation:
/'&;)= 3a*+p.
Si p > 0, f (x) > 0, et / (z) croît continûment et n'aura qu'une racine
réello car lorsque x passe de — oo à + », la fonction / (x) chango de signe
(do négative elle devient positive). Supposons maintenant que p <. (X La
fonction / (x), comme il est facile de le voir, passera par un maximum pour x =
= — T/ —-s- etparunmiiiimumpourŒ='j/ —£■. Bn remplaçant x par ses
valeurs dans l'expression de fonction / (a), nous obtiendrons respectivement
pour le maximum at le minimum do cette fonction:
Si ces doux valeurs sont de même signe, c'est-à-dire si :
ou :
f+£>°' (15.)
l'équation n'a qu'une racine réelle, comprise soit dans l'intervalle 1 — <»,
— y — ■§■) soit dans l'mtervallo i+y "■§■• + °°) ■
Si le maximum de / (a) que nous venons de voir est positif, et le minimum
négatif, c'est-à-dire si:
-T+#<°> (1¾
/(-«•), f^—y-^, /(+j/_£), /(+«) auront
respectivement les sïgnos (—), (+), (—), (-f-) et l'équation (14) aura trois racines
réelles. Remarquons, de plus, que pour p > 0, la condition (15i) est certaiuement
vérifiée. Nous proposons au lecteur de démontror que dans la cas:
l'équation (14) a une racine multiple ± y —-£- et la racine -S-, où nous
considérons que p =f= 0, et il résulte de (153) que p < 0. Pour p = 0 et q =£ 0
nous avens rinégallté (15i), et l'équation (14) prend la forme xa + q = 0,
c'est-à-dire quei-*^ —q, d'où il résulte que l'équation (14) aune seule racine
réelle IVI-1-6]. Pour p =» q = 0, l'équation (14) sera: x^—0, et aura la racioo
triple x = 0.
Nous avons rassemblé les résultats ohtenus dans la table suivante :

■VI-2. PROPBIfiTfiS FONDAMENTALES DES POt/STNÔMBS BSNTIBUS 469
x*-\-px -f-g=o
5i+P!>o
4 +27-^u
4 h27^
4 h27 u
Une racine réelle et deux racines conjuguées
complexes
Trois racinas réelles différentes
Trois racines réelles dont l'une est multiple
On a représente sur la fig. 182 la courbe de la fonction:
y = aP-i-pz + q
4"^27J ' Dans le CaS (15^' " racine
double correspond un point où la courbe est tangente à Vaxo OX.
Cherchons maintenant la formule qui exprime les racines do l'équation (14)
en fonotion de ses cuefficients. Cette formule n'est pas valable pour les calculs
pratiques, ut dans le paragraphe suivant
nous donnerons un procodé pratique commo"
de pour calculer les racines, en utilisant les
Jonctions trlgonométrîques.
Remplaçons les inconnues x par deux
nouvelles inconnues u et v, en supposant
que:
x — u+v. (16)
En portant ces valeurs dans l'équation
(14), il vient :
(u+v)* + p&+»)+q=ù,
US-f-B3 + («-f-B)(3Kl)-t-p)+g = 0. (17)
Nous imposerons aux inconnues « ot v
la condition suivante:
3w+p = 0,
l'équation (17) nous donne alors:
It8_j_y3= g.
Nous avons été ainsi amenés à résoudre
deux équations:
*~X
ub=—.£., u&-|-»3=— q.
(18)
Fig. 182
En élevant au cube les doux membres de la première équation, nous avons i
u3va— —=- , u3-j-va= — q,

470 CH. VI. NOMBRES COMPLEXES, FONDBM. DE L'ALGEBRE SUPERIEURE
et, par conséquent, u3 et u3 sont les racines de l'équation du second degré:
c'est-à-dire
«»+«*-.jf-0,
V T+F -^27 * |/ Y K ~+27
imont, d'après la formule (16), nous trouverons:
,3
(19)
Cette formule qui résout l'équation cubique (14) s'appelle formule de Cardan,
du nom d'un mathématicien italien du XVI8 siècle.
Désignons en abrégé par R, et /fa les expressions sous la signe de racine
cubique dans la formule (20):
Chaque racine_ cubique possède trois valeurs différentes IV1-1-6J, de sorte
que la formule précédente donnera, en général, neuf valeurs distinctes de x,
et trois d'entre elles seulement seront racines de l'équation (14). Nous avons
obtenu des valeurs parasites de x du fait que nous avions élevé la première
des eauations (18) au troisième degré. Seules peuvent nous convenir les valeurs
pour lesquelles u et u sont liées par la première relation de (18), c'est-à-dire
que nous devons prendre dans la formule (20) seulement les valeurs des racines
cubiques dont le produit est égal à (—£■) .
Désignons par la lettre e l'une dos valeurs do la racine cubique de 1:
2rt , . . 2rt l.T/3,
e=cos-g-+, sn. -g-= -^+-¾- '•
ea=cos-j-+i-sin-^-=—y y~ i,
et soit ff 11, et ^J?2 dos valeurs quelconques des racines vérifiant la condition
que nous avons vue plus haut. En les multipliant par e et sa, nous obtiendrons
les trois valeurs de la racine fVI-1-6].
Comme es => 1, nous obtiendrons l'expression suivante pour los Tacines
do l'équation (14), en considérant p et q comme des nombres complexes
quelconques :
Xl = f¥i+fHi, x2=efBT+s*-^, x3=&*fÏÏi+&fR2. (21)
VI-2-9. Solution sous terme trigonomé trique d'une équation du troisième
degré. Supposons que les coefficients p et g de 1 équation(14) soient des nombres
réels. La formule de Cardan, comme nous l'avons déjà dit, ne convient pas
pour calculer les racines, ot nous donnerons des formules plus pratiques.
Etudions séparément quatre cas.
■*■+*<»■
Il en résulte que p < 0. Les expressions Jï, et J?2 de la formule (20) seront ima-
ginair s mais, malgré cela, les trois raciaos de l'équation seront, comme on 1«

"VI-2. PBOPBIÉTÉS FONDAMENTALES DBS POLYNÔMES ENTIEBS 471
sait, réelles [VI-2-8]. Supposons que:
- |- ± y -f+ -^ = -|- ± i y —Ç—^j = t (cos <p ± / sin q>),
d'où [VI-1-2] :
r=]/-^-, cos *=--£. (22)
D'après la formule de Cardan, nous avons :
,v~ I <P+2ftît . , . <p-f-2fcïi\ .
i=fr (cosi^-g j-tsm-i—=—1 +
-Î-Vrlcos2—g »sin-°^—1 (k=0, 1, 2).
En prenant dans les deux termes des valeurs égales pour k, nous
obtiendrons comme produit de ces membres un nombre positif ; l^T5——£ . Nous aurons
finalement :
x= 1 fr cos t±2£L (ft=0, 1, 2), (23)
où r et <p sont définis par la formule (22), et il n'est pas difficile alors de démon*
trer que, si nous prenons différents <p vérifiant la seconde équation (22),-nous
obtiendrons un ensemble de racines, idontiquo à celui obtenu à partir de la
formule (23).
H. -4-+-2T>0 et >p<0-
L'équation (14) a une seule racine réelle et deux racines conjuguées complexes
(VI-2-8), et il en résulte que :
27*^ 4 '
Introduisons l'angle auxiliaire <o, en supposant que:
Cela nous donnera :
a
puisque d'après (24i) :
En introduisant enfin l'angle <p défini par la formule
2
tg<P = )Ag-f-. (24a)

472 CH. VI. NOMBRES COMPLEXES, FONDEM. DE L'ALGEBBB SUPgBIETJBE
nous obtiendrons l'expression suivante poui la racine réelle :
»,—y -f (tg»+6otg?)=—JJJ3-
£
sTnâT" • <25l>
Nous proposons au lecteur de démontrer, en utilisant la formule (21).
que les racines imaginaires seront do la forme :
sin2<p
3
± i y — pcotg 2ep. (252)
m- -4-+lr>0 et p>0'
Dans co cas, l'expression (14) aura, comme précédemment, nno seule racine
réelle et deux racines conjuguées complexes, l/ |^ peut alors être
indifféremment inférieur ot supérieur A -f-1 > et nous introduirons à la placo de la
formule (24,) l'ongle <» de façon suivants:
Cela donne :
V+Vtt-V'^i-YiVï-
[/ -t-> x+-2T=^ -^r^KjK 00t8 2-
Bu introduisant un nouvel angle <p selon la formule :
tg<P=]/lgf, (262)
nous aurons finalement:
*!=]/-|(tg(f—cotg<p) = -2j/|-cotg2<p. (27,)
Les racines imaginaires «çront :
L'équation (14) a nne racine multiple et, dans ce cas, comme dans le cas où
p = 0, la résolution de l'équation ne présente aucune difficulté.
Nous pouvons, en utilisant les formules trigonométriquss, calculer à l'aide
d'uno tablo de logarithmes les racines d'une équation cutique avec une très
grande précision.

Vl-2, PROPRIETES FONDAMENTALES DES POLYNÔMES ENTIERS 473
Exemple. 1.
as»-|-9a!»+23*~|-14=0.
En supposant que x = y — 3, motions l'équation sous la tonne:
y*-Ay-i=0,
ot cette équation possède trois racines réelles (VI-2-8|. Les formules (22)
donnent cos <p, ot en trouvant l'angle <p lui-même, nous déterminons los racines
selon les formules (23):
cosqp" ' 7. ; lg cos 9 = 1,51156
q)=Tl°2'5r»"
-f-SMO'39-; T'^'^MS'^O'SB'; -£±^21=263°40'59"
lg T7f =0,36350
lg!,, =0,32529; lg (-^) = 0,26970 ; lg {-u3) =1.40501
»1 = 2,1149; vi=—1,8608; y3=-0,2541
%=>-0,8851; œ2=—4,8608; a3= — 3,2541
Exemple 2.
3:3-32+5=0.
Définissons l'anglo <o à l'aide de la formulo (24() ot l'angle a a l'aide de la
formule (24a), ut calculons ensuite les racines [cf. (25i) et (25a) 1 :
lgsinû)=ï,(i0208; cû=23°S4'11''; -^-= 11^7'20"
igtgcp = 1,77318; ç=30°40'31"; 2q> = 61°21'02"
lg-^V-= 0,05672; .* =1,11305
lg V3Pcotg2cp = 1,97602; V^cotB2cp = 0,94628
zt=— 2,2790; xz, i3 = 1,1395±0,94628i
VI-2-10. Méthode itérative. Dans de nombreux ces, lorsqu'on a une valeur
approchée x„ d'une racine cherchés 5 avec une faible précision, il est commode
d'améliorer cette valeur approchée de la racine. Le procédé d'itëralicn ou
procède des approximations successives est un des moyens que l'on emploie pour

-474 CH. Vï. NOMBBES COMPLEXES. FONDHM. DE 1/ALGEBRE SUPEBIEtJRE
préciser la valeur approchée d'uno racine. Ce procédé, comme on le verra par
la suite, est valable non seulement pour les équations algébriques, mais aussi
pour les équations transcendantes.
Supposons que nous écrivions l'équation :
sous la forme :
/(*)-0
(28)
(39)
/t (x) étant telle que l'équation
/i(2)=m
possède pour tout m réel une seule racine réelle qu'il est facile do calculer avec
une très grande précision. Le calcul de la racine de l'équation (29) à l'aide d'ité-
■jr-SW
Xf J£j £ -.7^ ^2 "*n
Fig. 184
*~X
ration cousiste à substituer la valeur approchée xa de la racine cherchée dans
le deuxième membre de l'équation (29) pour déterminer une deuxième
approximation Xi de la racine cherchée de l'équation :
/1(2)=/2(¾).
En substituant s( dans le second membre de (29) pour l'approximation
suivante œ2. on résout l'équation /j (x) =■ /2 fa), etc. On détermine ainsi une
suite de valeurs:
«o» «1. 3¾. • •-.*». ..., (30)
/1(^1) = /2(¾).
/1(^2) = /2(^1). ■■-
/1(^) = /2(^-1), -
(31)
Il est facile de montrer la signification géométrique dos approximations
obtenues. La racine cherchée est l'abscisse du point d'intersection des courbes:
y = /i(»)
(32i)
et
V=/a(*). (3¾)
On a représenté sur les tig. 183 ot 184 ces deux courbes; dans le cas de la
fig. 183, les dérivées f\ (a) et f's (x) sont de même signe au point d'intersection,

YI-2. PROPRIÉTÉS FONDAMENTALES DBS POLYNÔMES ENTIERS 475
y°X't$
Fig. 185
et dans le cas de la fig. 184, elles sont do signes contraires, et dans les doux cas:
m ® i< i/i(i)i-
Aux égalités (31) correspond la construction suivanto: menons la droite
x =ï0 parallèle à Taxe OY, jusqu'à son intorsoetion au point (x0, t/o) avoc la
courbe (322); menons par ce point d'intersection la droite y — Va parallèle
à l'axe OX, jusqu'à son intersection au
point (*!, j/„) avec la courbe (32j) ; menons
alors par le point (Œj, y<,) la droite x = xv
parallelo à l'axe OY, jusqu'à son intersection
avec la courba (322) au point (œ„ y,); par
ce dernier point, menons la droito y — yt
jusqu'à son intersection avec la courbe (32()
au point (x», ffj), etc. Los abscisses des
points d'intersection nous donnent la suite
(30).
Si l'on prend la première
approximation suffisamment près de ç, cette suite,
comme on le voit sur la figura, tend vers
une limite §, et, dans le cas où /,' (S) et fi (§)
sont do mémo signe, on obtient une ligne
brisée on escalier, tendant vers g (fig. 183) ;
ot st fi (|) et /â (1) sont de signes diïféronts,
cette ligne brisée tond vers 5, en ayant la
forme d'uno spirale (fig. 184). Nous ne donne
rons pas de conditions ni de démonstration
rigoureuse do ce que la suite (30) tend vers uno limite g. On peut dans de
nombreux cas le constater directement à l'aido de la figure.
Le procédé indiqué est particulièrement commode pour les applications
dans Io cas où l'équation (29) a la forme:
x-=fz(x).
Soit | la racine de cette équation, dont la valeur approchée:
^=•5 + 6
nous est connue. La suite des approximations successives sera:
^1 = /2(3¾). xz—h(xij,..., :%=M*b_i), ...
Un peut démontrer qu'effectivement :¾ ->■ % pour n -*■ 00, si la fonction /j (x)
possède une dérivée fi (x) qui vérifie la condition :
1 «(*)!<«<!
dans l'intervalle
Exemple 1. Etudions l'équation :
2:6-1-0,2=0. (33)
Ses racines réellessont les abscisses des points d'Intersection des lignes (fig. 185) :
y=»s, (34i)
y=x+0,Z, (3½)
et commo on le voit sur la fig. 185, l'équation (33) possède une racino positive
et deux racines négatives.
Aux points d'intersection A et B correspondant à la racine positive et
à la racine négative plus grande en valeur absolue, le coefficient angulaire
de la droite {3¾) est inférieur en valeur absolue au aoefficient angulaire do la
tangonte à la courbe (34j), c'est-à-dire que lorsqu'on calcule ces racines par

476 CH. VI. NOMBRES COMPLEXES, PONDBM. DE L'ALGEBRE SUPERIEURE
itérations successives on doit représenter l'équation (33) sous la forme :
En prenant pour approximation du premier ordre dans le calcul de la racine
positive «o = 1, nous obtiendrons la table (I).
y^+0,2
s, = 1,037
^2=1,0434
»3=1,0445
z4=1,04472
Zn + 0,2
1,2
1,237
1,2434
1,2445
La valeur xi donne la racine cherchée u la cinqnièmo décimale près. Pour
calculer la racine négative, plus grande en valeur absolue, nous prendrons
comme approximation du premier ordre x„ = —1 et obtiendrons la table (11).
Vxn+Ù,ï
¢(=-0,956
z2= — 0,9456
a:3=— 0,9430
*4=-0,9423
xs 0,94214
ar0=— 0,94210
Zn+0,2
-0,8
-0,756
—0,7456
—0,7430
—0,7423
—0,74214
Au point C, auquel correspond la racine négative, la plus petite en valeur
absoluo, le coefficient angulaire do la tangente à la courbe (34,) est inférieure
à 1 en valeur absoluo, et, par conséquent, lorsqu'on effectua les itérations, il
faut présenter l'équation (33) sous la forme :
3f=3!"S— 0,2.
En prenant pour approximation du premier ordre xa = 0, nous avons :
4-o,2
*( = —0,2
s2=—0,20032
X5
—0
—0,00032
Dans les trois cas, l'approximation de la racine s'est faîte suivant une ligne
en oscalior, commo on la représenté sur la fig. 183, co qui n'est pas difficile
S démontrer d'après la fig. 185, ot dans les trois cas, les approximations ar„
tendent, lorsque n croît, vers la racine cherchée, en variant de façon monotone.

YI-2. PROPRIETES FONDAMENTALES DBS POLYNÔMES ENTIERS 477
Exemple 2.
jr=tg3. (35)
Les racines de cette équation sont les abscisses des points d'intersection
des" lignes (fig. 186)
? = *• ï = tgï,
iïL, comme on le voit d'après la fig. 186, l'équation possède une raclno dans
chaque intervalle :
[(2^-1)-^-, (2n + l)|-],
n = 0, ±1, ±2, ...
Pour les racines positives, on aura l'égalité approchée:
0,,^(21.+ 1)^-,
où nous désignerons par 0¾ la racine positive de degré n de l'équation (35).
*-X
Fig. 186
3ît
Calculons laracinedn voisine de -s- . Pour appliquer la tnéthodo i
écrivons l'équation (35) sous la forme:
œ=arc tgi
et prenons comme approximation du premier ordre ^0=-5-.
térative,

478 CH, VI, NOMBRES COMPLEXES, tfONDEH. DE L'ALGÈBRE SUPERIEURE
Lorsqu'on calcule la suite des approximations:
s„=arçtga;n_1,
il faut toujours prendre une valeur d'arc tg contenue dans le troisième quadrant.
En utilisant les tables de logarithmes et en exprimant les arcs en radians, nous
obtiendrons '.
20=4.7124,
¢2=4,4933,
xt=4,5033,
¢3=4,4935.
VI-2-ii. Procédé de Newton. La méthode itérative, indiquée sur les fîg. 183
et 184, consiste à approcher de la racine cherchée, suivant dos droites parallèles
Fig. 188
aux axes de coordonnées. Noos allons maintenant montrer d'autres procédés
d'itération dans lesquels on utilise également des droites obliques par rapport
aux axes de coordonnées. La procédé de Newton en est tu.
Soit x'0 et x0 deux vaiours approchées de la racine % de l'équation:
(36)
/<*)=0,
et supposons que cette équation no possède dans l'intervalle (ij, x0) qu'
seule racine 5. Sur les fig. 187 et 188, on a représenté graphiquement la cour
, uno
courbe :
&-=/(!)•
Les abscisses des points N et P sont les valeurs approchées ij et z„ de la
racine §, qui est l'abscisse du point A. Par le point P on mèno la tangente PC,
a ia courbe, et du point d'intersection Ç, de cette tangente avec l'axe des
abscisses, on a mené l'ordonnée Q$ de la courbe ; du point Q, on mène la tangente QRt
à la droite, et du point fl, est menée l'ordonnée IisR de la courbe, etc.
Les points Pit Qlt R{, . . ., comme on le voit sur la figuïo, tendent vers
le point A, de sorto que leurs abscisses x0, xi, «s, . . . sont des approximations
successives do la racine |. Donnons la formule gui exprime x„ en fonction de xn.t.
L'équation de la tangente PQ{ sera :
Y-f(zo) = f'(x0){X-ze)-

VÏ-3. MROPRIÊTSS FONDAMENTALES DES POLYNOMES ENTIERS 0&
En Faisant Y = 0, nous trouverons l'abscisse du point Qi :
n-JM. . (37>
et, plus généralement :
n = l, 2. 3
(38)
/ (*n-l)
/' (*»-j) '
Nous voyons que les xn sont effectivement des approximations de la racine S-
simplement en regardant la figure qui ost tracée dans lo cas où / (x) est monotone
ot reste convexe (ou concave) dans l'intervalle (x^, x<,), autrement dit, lorsque
Fig. 189
Fig. 100
/' (x) et /" (x) conservent leur sigho dans cet intervalle (II-3-1, 11-5-2]. Nous
no ferons pas de démonstration analytique rigoureuse do cela.
Remarquons que si nous avions appliqué le procédé de Newton non pas-
à l'extrémité x0, mais à l'extrémité x\, nous n'aurions pas obtenu
d'approximation de la racine, comme 1« montre la tangente tracée en pointillé. Dans le
cas de la fig. 188, la courbe est concave du côté des ordonnées positives,
c'ost-à-dtre que /" (x) > 0, et il faut appliquer lo procédé do Newton, comme
nous le voyons, à l'extrémité où {{x) > 0. Il résulte do la fig. 187 que pour
/" (2) < 0, il faut appliquer le procédé do Newton 0 l'extrémité où l'ordonné»
f {x) < O. Nous arrivons ainsi a la règle suivante: st ]' (x) et /* (x) ne sont
pas nulles dans tintervalle (xi, a0), et que les ordonnées f (xi) et f (x0) soient
de signes différents, nous obtiendrons, en appliquant le procédé de Newton à
Vextrêmitl de l'intervalle où les signes de f (x) et f" (x) sont les mêmes, des
approximations successives de la racine unique de l'équation (36) contenue dans
V intervalle (x'0, x0).
VI-2-12. Méthode d'interpolation simple. Exposons un autre procédé
de calcul approché d'uno racine. Menons une droite par les extrémités N et P
d'un arc de courbe. L'abscisse de l'intersection B do cette droite avec l'axe des
abscisses donnera une valeur approchée do la racine (fig. 189). Soit, comme
précédemment, x'0 et xt> les abscisses des extrémités de l'intervalle. L'équation de
la droite NP sera:
X
de
Y~f(x0)
-*o
En supposant que V = 0, nous trouverons l'abscisse du point B :
fl"o}—/rt) '

480 CH. VI. NOMBRES COMPLEXES, FONDEM. DE L'ALGÈBRE SUPfiRIEUBE
soit :
0 /(*»)-/«) ■ (39)
soit encore :
, (»o—»l'i)/(gQ>
0 /(*o)-/(»S) "
Remplacer un arc do courbe par un segment do la droite passant par
les extrémités de cet arc do courbe revient à remplacer la fonction / (x)
dans l'intervalle considéré par un polyaôme du premier degré ayant les mêmes
valeurs extrêmes que / (a:), ou, ce qui revient au même, c'est supposer que dans
l'intervalle considéra les variations do / (x) sont proportionnelles aux variations
de x. Ce procédé, que l'on appelle couramment interpolation, linéaire, est utilisé
par exomple, lorsqu'on se sort de tables logarithmiques. Lo procôdé de calcul
d'une racine quo nous avons cité s'appelle aussi parfois règle de la fausse
supposition.
Si on utilise simultanément la méthode d'interpolation linéaire et la
méthode de Newton, on peut rapprocher les deux limites x'0 et x0 do la racino |.
Supposons, par exemple, que les signes de / («) et de /" {x) coïncident à
l'extrémité de x0, de sorte qu'il faut appliquer la méthode do Newton justement
en ce point.
En appliquant les deux procédés, nous obtiendrons deux nouvelles valeurs
approchées (fig, 190) :
_,_xàf(x0) — xof(xj)
Xl^=XB
/(*o)-/W)
/(iq)
/' (*o) '
On peut à nouveau appliquer aux valeurs approchées de x[ et xt les mêmes
formules et en obtiendra les nouvelles valeurs:
/(si).
** t{*ù-ti*'ù
Nous obtiendrons ainsi deux séries de valeurs ;
*ôi x[, x',, ..., x'n ...
Ct
Xq, Su *2i ..., xn, ...,
approchant la racine g à gauche et à droite.
Si dans les valeurs x'n et xn les premières décimales coïncident, on aura la
mémo précision pour La racine g qui est contenue entre xn et xn.
Exemple. L'équation
/ (x) = x* — 2—0,2 = 0,
que nous avons étudiée dans l'exemple 1 du [VI-2-10], possède une racino
positive dans l'intervalle i < x < 1,1, et dans cet intervalle:
/'(s) = 5z*—1 et f{œ) = 20*a
ne changent pas de signo. Nous pouvons ainsi supposer quo :
xi = i; xo=i,i.

VI-8. INTEQRAÏ30N DES FONCTIONS 481
Calculons les valeurs de la fonction / (z) :
/(1) = -0,2, /(1,1)=0,31051,
d'où l'on voit qu'à l'extrémité de droite (x„ — 1,1), / (a) et /" (x) ont le même
signe (-)-) et, par conséquent, il faut utiliser la méthode de Newton en ce point.
Calculons d'abord la valeur de f (x) à l'extrémité de droite :
/'(1,1) =6,3205.
D'après les formules (37) et (39), nous aurons:
, , 0,1-0,2, , n„.
ai=1+u^ïÔM = 1'039'
^ = ^-6732Ô5=1'051-
Calculons pour l'approximation suivante :
/(1,039^=-0,0282, /(1,051) = 0,0313, /'(1,051) = 5,1005,
d'où
, tnon , 0,012-0,0282 _, A„en
za= 1,039-1 ^-55^- = 1,04469,
^=1'0S1-5S^1'04487'
ce qui donne la valuur de la racine avec une précision à deux unités près à
la quatrième décimale [VI-2-101:
1,04469 <|< 1,04487.
VI-3. Intégration des fonctions
VI-3-1. Décomposition d'une fraction rationnelle en éléments
simples. Nous avons donné une série de méthodes pour calculer
les intégrales indéfinies. Nous allons, dans ce paragraphe, compléter
ces indications et leur donner un caractère plus systématique.
La première question sera celle de l'intégration d une fraction ration-
nelle, c'est-à-dire du quotient de deux polynômes. Avant de résoudre
cette question, nous établirons la formule qui représente une fonction
rationnelle sous forme d'une somme de plusieurs fractions plus
simples. Cette représentation s'appelle décomposition d'une fraction
rationnelle en éléments simples.
Soit la fraction rationnelle
IM.
Si c'est une fraction irrégulière, c'est-à-dire si le degré de son
numérateur n'est pas inférieur à celui du dénominateur, nous pouvons,
en divisant, obtenir la partie entière; le polynôme Q (x) et
représenter la fraction sous la forme:
«A 3i— 281

482 CH. VI. NOMBBES COMPLEXES, FONDËM. DE VALGEBRE SUPERIEURE
où SS est une fraction régulière dont le degré du numérateur est
inférieur à celui du dénominateur. Nous considérerons, de plus, cette
fraction comme irréductible, c'est-à-dire que nous considérerons
que le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux
iVI-2-5].
Soit x = a la racine du dénominateur d'ordre k:
/(*)-(*-a)"/i(«) et A(a)^0.
Démontrons que l'on peut représenter la fraction par la somme:
q>(») „_ A | q>t(g) «j\
où A est une constante et le deuxième terme du second membre
est une fraction régulière. Formons la différence:
<p(g) A _ q>(a) —Afi(x)
(x—a)h ft {x) (x—a)'' (x — a)'' /( (x)
et déterminons la constante A de manière que le numérateur de la
fraction du second membre soit divisible par {x — a) [VI-2-1] :
(p(a) — Af1(a) = Q,
d'où
A = jfâ (/, «0*0).
On peut, avec une telle valeur de A, simplifier la fraction
précédente par {x — a), et on arrivera ainsi à l'identité (2). Bile montre
que nous pouvons, en éliminant le terme du type rj", que
l'on appelle fraction simple, abaisser le degré du facteur (x — a),
entrant dans le dénominateur, d'une unité au moins.
Supposons que le dénominateur puisse être développé en produit de
facteurs :
/ (x) = (x - a,)"1 (s - a2f* ...(*- am?m.
Nous n'écrivons pas le facteur constant puisqu'il peut être
reporté au numérateur. Nous obtiendrons, en appliquant
successivement la règle Indiquée ci-dessus, la décomposition de la fraction
rationnelle régulière en éléments simples:
41* 4?-, 4»
4TO) 4m> t 4"'
-) «a-—| ^r1- -, 4-... H — . (3)
/«._/._.\"»n ' tr~„^.\l>m-l ' x — a™ v '
(*-am)h« (^-a^1""-

Vr-3. INTÉGRATION DES FONCTIONS
<Î83
Indiquons maintenant des méthodes pour déterminer les
coefficients du deuxième membre de l'identité précédente. En chassant
le dénominateur, nous arriverons à l'identité de deux polynômes,
et en égalant leurs coefficients correspondants, nous obtiendrons
im système d'équations du premier degré pour déterminer les
coefficients cherchés. Cette méthode, comme nous l'avons déjà dit
IVI-2-2], s'appelle la méthode des coefficients indéterminés.
On peut s'y prendre différemment, en donnant par exemple dans
l'identité des polynômes précédente différentes valeurs particulières
à la variable x. On peut encore utiliser cette méthode de substitution,
si on différentie au préalable un nombre quelconque do fois
l'identité précédente.
On peut démontrer — mais nous ne nous y arrêterons pas —
que le développement (3) est unique, c'est-à-dire que ses coefficients
oat une valeur parfaitement définie qui ne dépend pas de la méthode
de décomposition. Nous donnerons plus loin des exemples
d'application de ces méthodes de détermination des coefficients inconnus
d'une décomposition.
Dana le oas de polynômes q> (x) et / (œ) réels, le deuxième membre
de l'identité (3) peut quand même contenir des termes imaginaires
provenant de racines imaginaires du dénominateur. Nous citerons une
autre décomposition d'une fraction rationnelle qui ne présente pas
cet inconvénient, mais nous nous limiterons au cas où le
dénominateur de la fraction n'a qne des racines simples, puisque ce cas est
le plus important dans les applications.
Il est facile de démontrer qu'au couple de racines conjuguées
complexes du dénominateur œ = a ± bi correspondra une somme
de fractions simples:
Aj\-Bl A—Bi
x — a—bt ' x—tt-f-ii"
En réduisant ce3 fractions au morne dénominateur, nous
obtiendrons une fraction simple de la forme:
Ainsi, dans le cas considéré, la fraction rationnelle réelle se
décompose en fractions réelles simples:
I (x) x — <"i * — a2 r ■ • • ~r x — flj_ T
M,x-\-Nt M&+Ns i_Ës£±£»_ //v
où l'on a, sur la première ligne, les fractions correspondant aux
racines réelles du dénominateur, et sur la seconde ligne, les
fractions correspondant aux couples de racines conjuguées complexes.
31*

484 CH. VI. NOMBRES COMPLEXES, FONDEM. DE I/ALGÊBHH SUPERIEURE
VI-3-2. Intégration d'une traction rationnelle. L'intégration
d'une fraction rationnelle se ramène, d'après la formule (1), à
l'intégration d'un polynôme, ce qui donnera un nouveau polynôme, et
à l'intégration d'une fraction rationnelle, ce que nous allons étudier
maintenant.
Si le dénominateur d'une fraction ne possède que des racines
simples, elle se ramène, d'après la formule (4), à des intégrales de
deux types:
U
A
■—ùc = A\ji{&—{t)-\~C
„. P -g±!L-dx.
A l'aide de ce qui a été dit [III-1-7J, nous obtiendrons une
solution du type:
Ainsi, l'intégrale est exprimée par des logarithmes et des arcs
tangentes.
Etudions maintenant le cas où le dénominateur d'une fraction
rationnelle régulière contient des racines multiples. Considérons
la décomposition (3). Les nombres imaginaires que l'on peut y
rencontrer, ne joueront qu'un rôle d'intermédiaire dans les calculs, et
disparaîtront dans le résultat final.
En intégrant des fractions simples dont le dénominateur est de
degré supérieur au premier, nous obtiendrons également une
fraction rationnelle:
La somme des fractions obtenues après intégration nous donnora
la. partie algébrique de l'intégrale qui, réduite au môme dénominateur,
sera évidemment une fraction régulière de la forme:
tù(x)
(z-o/l-1 {x-aà1*-1 ... {*-Bm)km-1 '
Le numérateur a (#) est un polynôme dont le degré est au moins
d'une unité inférieur à celui du dénominateur, et le dénominateur
est le plus grand commun diviseur D {x) du dénominateur de la
fraction à intégrer f {x) et de sa dérivée première f {x) [VI-2-5].
La somme des fractions à intégrer restantes:
An | A2> , ■ 4m)

Vl-3. INTÉGRATION DES FONCTIONS
fei
réduite au mémo dénominateur, sera une fraction régulière de la
forme:
t»i (»)
(s— fl|)(ï—az)... («-%)'
où Mi {x) est un polynôme de degré inférieur d'au moins une unité
à celui du dénominateur, lequel est le quotient Dt (x) de la division
de / (x) par D {x). De la sorte, nous obtenons la formule d'Ostro-
gradski-JJermite :
Los polynômes Z3 (a;) et Dt {x) peuvent être obtenus sans qu'on
connaisse les racines do / (x) [VÏ-2-5]. Indiquons maintenant
comment déterminer les coefficients des polynômes co {x) et tût (a;) quo
nous pouvons considérer d'un degré inférieur d'une unité à celui
do leurs dénominateurs raspectifs. En différentiant l'égalité (5),
on élimine le signe somme. En éliminant les dénominateurs, on
aura l'Identité de deux polynômes et en utilisant la méthode des
coefficients indéterminés, ou de la substitution, nous pourrons
obtenir les coefficients do a> (œ) et de a>i (x).
La formule d'Ostrogradski-Hermite nous permet donc d'obtenir
la partie algébrique de l'intégrale d'uno fraction rationnelle
régulière, même lorsque les racines du dénominateur ne sont pas connues.
Le dénominateur de la fraction situéo sous le signe intégrale dans le
second membre de l'égalité (5) ne contient que des racines simples
et, en décomposant cette fraction, nous pourrons calculer cette
intégrale qui, comme nous l'avons déjà vu, sera exprimée au moyen
de logarithmes oC d'arcs tangentes. Pour effectuer cette dernière
opération, nous avons besoin de connaître les racines de Dt (x).
Exemple. D'après la formule d'Oatrogradski-IiormHo,
p dz. gaff-t-frc-Hy i P 6ga+ea-)-T| ^
En différentiant par rapport à x :
1 _(2as-|-p) (¢3-)-1)-Zf(ax* + $x+y) ôx"+sx+r\
(*3 (-1)3 (¢3+1)= '" it3-fl
et, on éliminant les dénominatours, nous avons:
I = (2a2 + F5) (s' + l)—3ia (o^H-pi+v) + (8a*+sa-f-Ji) (z'+l).
En comparant les coefficients de x6, on obtient 6 = 0, puis en comparant ceux
de x1, ou obtient v = 0. En faisant f = ô = 0 dans l'identité et on comparant
les coefficients des autres degrés, nous aurons:
e— a = 0, n—2f}^0, 2a+e = 0, p-|-n = l,
d'où finalement :
32-281

486 OH. VI. NOMBRES COMPLEXES, FONDEM. DE L'ALGEBRE SUPERIEUR»
et par suite:
P dx x , 2 P dx
,) (i»+l)*- 3(2*4-1) 3 i z3+l '
On calcule cette dernière intégrale en décomposant la fraction en éléments
sîmplus :
1 _ A Ms + N
zs + i a+l+a;a—x-|-l '
En éliminant le dénominateur:
l = J4(2î_x + l)-(-(Afï+JV) (x -1-1).
■= —i, on
de r8 et les termes constants :
En supposant que x— —i, on obtient a=-ô-. el en comparant les coefficients
*=-T- *-T'
d'où
i» + i 3(1 + 1) 3(x*-a + l)'
Finalement, on obtient :
P g» _1_ P ds 1 P x — 2 _
^+1^3 Jïfi 3^aS-2+l "
■g-ln(*hl)-^.ln(*«-*+l) + -^arctg^=i+C,
d'«û
l jpx^i-Tn^fT)-+Tln<*+1)--5-1»««,-*+1) I-
VI-3-3. Intégrale d'expressions contenant des radieaux. Etudions
encore certains autres types d'intégrales qui se ramènent à dos
intégrales de fraction rationnelle.
1. L'intégrale:
où R est une fonction rationnelle do sos arguments, c'est-à-dire
le quotient de polynômes de ces arguments et X, ji, ... sont des
nombres rationnels. Soit m le dénominateur commun de ces
tractions. Introduisons une nouvello variable t:
ax*~b.-=tm
cx + d
dx
Il est évident que x, -y- et les oxpressions
/ ax+b \* / ax+b \P-
\ cx+d } ' \ ex + d j

VI-3. INTEGRATION DES FONCTIONS 487
seront des fonctions rationnelles de t et que l'intégrale (6) se
ramènera à l'intégrale de fraction rationnelle.
2. Différentielle de binôme. Les intégrales de différentielles de
binôme se ramènent dans certains cas à l'intégrale (6) :
[xm(a-\-bxn)T'dx, (7)
où m, n et p sont des nombres rationnels.
I
Posons x = t" :
Ç xm («+bxny dz^f^t* ~ (a+bty dt.
Si p ou^2-±- sont des nombres entiers, l'intégrale obtenue sera
une intégrale de la forme (6). De l'égalité évidente
il résulte que dans le cas où ^~— +p est un nombre entier, I'int&
grale (7) se ramène aussi à la forme (6).
Il existe un, théorème de Tchébychev d'après lequel les trois cas
cités épuisent tous les cas où l'intégrale de la différentielle d'un
binôme s'exprime sous forme de fonctions élémentaires.
VI-3-4. Intégrales du type K li, (oc, Vax^+bx + e) dx. Les
intégrales du type:
jj R {x, Vaz*+bz + c)dz, (8)
où R est une fonction rationnelle de ses arguments, se ramènent
aux intégrales de fraction rationnelle grâce à la substitution d'Eulur.
Dans le cas où a > 0, on peut utiliser la première substitution
d'Euler-.
■j/os8 + bx + c = t — V~âx-.
En élevant les deux membres de cette égalité au carré et en
résolvant par rapport à x, nous obtiendrons:
2iyâ+b '
d'où nons voyons que x, g- et Y ax' ■+■ bx + c seront des fonctions
rationnelles de t, et, par conséquent, l'intégrale (8) se ramènera
à nne intégrale de fraction rationnelle.
32*

488 CH. \r. NOMBRES COMPLEXES, FONDEM. DE L'ALCiÈBKE SUPERIEURE
Dans le cas où c >0, ou peut utiliser la deuxième substitution
d'Euler:
y «a;2 -|- bx-\-c = tx -\- Yc
Le lecteur pourra le vérifier.
Dans le cas où a < 0, le trinôme («za -f bx + c) doit avoir
des racines réelles x-, et x2 car dans le cas contraire il serait négatif
pour toute valeur réelle de x, ot "j/oa:2 ■+- bx + c serait imaginaire.
Dans le cas où il y aurait dos racines réelles du trinôme cité,
l'intégrale (8) se ramènerait à une intégrale de fraction rationnelle en
utilisant la troisième substitution d'Euler:
Ya(x — x,)(x — xi) = t(x — x2).
Le lecteur pourra le vérifier.
Les substitutions d'Euler conduisent la plupart du temps à des
calculs compliques, c'est pourquoi nous allons indiquer une autre
méthode de calcul do l'intégrale (8).
Désignons pour simplifier les notations:
y = Yax2-\- bx+c.
Toute puissance positive paire de y représente un polynôme
en x, et il n'est pas difficile de ramener la fonction à intégrer à la
forme :
Rlr „■>=, "iW-KWii
•"(*' »>= ,»3(*)+<M*) y'
où ws {x) est un polynôme de x. En éliminant l'irrationnel dans le
dénominateur ot en effectuant des transformations élémentaires,
nous pouvons mettre l'expression précédente sous la forme :
"»« (s) "s (*) V
Le premier terme est une fraction rationnelle que nous savons
déjà intégrer. En extrayant de la fraction SlMla partie entière
G>g (ar)
et en décomposant la fraction irréductible en fractions plus simples,
nous arriverons aux intégrales de la forme:
2^> ta (9)
(10)
et
dx
j {x—a)ri'\/axi-;bx-\-o
où fp (x) est un polynôme de x.
En outre nous supposons que le polynôme ws (x) n'a que des
racines réelles.

Vl-3. INTEGRATION DES FOrîCTtONS 489
Avant de passer à l'examen des intégrales (9) et (10) notons
deux cas particuliers simples de l'intégrale (9):
dx
l
P dx dx . x 2 , „ ...,.
\ —, ■■■ = \ .. =aicsm— i-C (12)
J y_,.+*,+,, j yf^^y
La formule (11) n'est pas difficile à obtenir si l'on utilise la
première substitution d'Exiler. L'intégrale (12) a déjà été étudiée
précédemment 1111-1-71.
Pour calculer l'intégrale (9) il est commode d'utiliser la formule:
l v-+%+. *-*M^+*H..+x l ysrfc- (13)
où ty (x) est un polynôme de degré infériour d'une unité à. celui
de i|) (x) et X est une constante. Nous ne nous arrêterons pas à la
démonstration de la formule (13). En différenciant la relation (13)
et en chassant le dénominateur, nous obtiendrons une identité de
deux polynômes, d'où nous pourrons déterminer les coefficients
des polynômes ij) (x) et la constante X.
L'intégrale (10) se ramène à wne inlégrale (9) grâce à la su1>h-
tilution:
1
x.— a = ~r •
Exomple.
dx P x—']/x2 — x fl .
» L- dx =
x \.-\/xi—x-\ 1 d x—î
— dx-
(x — i) y*» —*-|-l
, . P xi — x±-l
— x-w lalix—i) — \ . ■ (
r " ' J (x—l)-\/x* — x |-1
Or:
c'est pourquoi :
x* —x-\-i , i
x—i ' x—:

490 OH. VI. NOMBRES COMPLEXES, KONDEM. DE L'ALGEBRE SUPËRIfiUBE
D'après la formule (13) :
àx
~\/x*—x-\-l '
2i = a(2x—1)+2¾..
En dîfférentiant cette relation et en chassant le dénominateur, nous
obtloudron3 l'identité :
d'où:
-=-1. *-jj-.
«t, par conséquent, d'aproa la formule (11) :
iïn posant ;
t
nous obtiendrons :
+yg+rFT).rc—1« (^+4+/^+(-L-+i)+c=
= — in(ar+l fSVi'-i i-l)-|-In (x— 1)+C,
finalement :
Ç /*_ = *-lAs--2+l-lln(a~l+V**-*+l) +
+ In (* -f 1 + 2 }/&— x+i+C.
L'intégrale (8) ost un eus particulier de l'intégrale abàliennc, qui est de la
forme ;
S*
(x, y)dx, (14)
où R est une fonction rationnelle do sus arguments et y est une fonction
algébrique de x , c'est-à-dire une fonction de x, qui est définie par l'équation:
/ '*, 50=0, (15)
dont le premier membre ost un polytiSmo entier en x et y. Si
y^yPV),
où P {x) ost un polynôme du troisième ou du quatrième dogré en x, l'intégrale
filiâlienne (14) sera une Intégrais elliptique. Nous nous occuperons de ces
intégrales dans le troisième tomo. Cette dernière intégralo, sans parler de l'intégralo
abélienne générale, ne s'ezprirne pas au moyen de fonctions élémentaires. Si le
degré du polyn3mo P (x) ost plus élevé que 4, l'intégrale (14) s'appellera hyper-
elliptique.

VI-3. INTEGRATION DES FONCTIONS 491
Si la relation (15) qui exprime y comme une fonction algébrique de x possède
la propriété que x et y peuvent être exprimés sous forme de fonctions rationnelles
à l'aido du paramètre auxiliaire 1, il est évident que l'intégrale abélienne
(14) so ramène à l'intégrale de fraction rationnelle. Dans lo cas cité, la courbe
algébrique représentative de la relation (15) s'appelle courbe unicursale. En por-
ticulier, les substitutions d'Bulor servent à montrer que la courbe:
est unicursale.
VI-3-5. Intégrales du type \ It {sin se, cos *) rt*. L'intégrale
du type:
\ R (sin œ, cos x) dx, (16)
où R est. une fonction rationnelle de ses arguments, se ramène
a une intégrale de fraction rationnelle, si on introduit une nouvelle
variable :
* = tgf.
En effet, d'après les formules connues de la trigonométrie, nous
avons:
2i i — *2
sidj= j , .„ , cosœ = -
et par ailleurs :
x = L arc tg t, dx = . a ,
d'où il découle directement notre affirmation.
Indiquons maintenant quelques cas particuliers où les calculs
peuvent être simplifiés.
1. Supposons que R (sin», cos») ne varie pas si l'on remplace
sin a: et cos» respectivement par (— sin a:) et (—cos»), c'est-à-dire
supposons que JR (sin», cos») ait une période égale à n. Coninio
sin»=cos2tg»,
R (sin », cos ») apparaît comme une fonction rationnelle de cos x
et tg », ne variant pas lorsqu'on remplace cos» par (—cos a;),
c'est-à-dire ne contenant que des puissances paires de cos»:
iï(sin», cos») = Ri(cos!'x, tgx).
Dans ce cas, pour ramener l'intégrale (16) à une intégrale de
fraction rationnelle, il suffit de poser:
t = tgx.
En effet, nous aurons :
dx = . , ,, , COS2 X = -
l+*s' """ "~ l+Tir-

•492 CM. VJ. NOMBHIsS COMFLISXIÎS. FONDEM. DE L'ALGÈBBE SUPJÎIUETjnF,
Ainsi, si R (sir» *\ cos x) ne change pas quand on remplace sin x
et cos x respectivement par (—sin x) et (—cos x), l'intégrale (10)
se ramène à une intégrale de fraction rationnelle en posant t — 1,g œ.
2, Supposons maintenant que R (sin x, cos x) ne change que de
signe quand on remplace sin x par (—shi a:). La fonction
7Î fSLH a, cos x)
Bill X
restera dans ce cas constante, c'est-à-dire qu'elle ne contiendra que
des puissances paires de sin», et il s'ensuit que:
R(ns'mz, cosa;) = iïj (sinaj;, cos g)-sin£.
En faisant i = c.osar, nous obtiendrons:
§ R (sina:, cos x) àx= — [ Hl (1 —1\ t) dt,
c'est-à-dire que si H (sin x, cos x) ne change que de signe lorsque
«in» devient (—sin»), l'intégrale (16) se ramène à- une intégrale de
fraction rationnelle au moyen de la. substitution t = cos x.
3. De mejne il est facile de montrer que si R (sin a:, cos x),
quand on remplace cos x par (—cos x), ne. change que de signe,
l'intégrale (16) se ramène à une intégrale de fraction rationnelle à Vaide
de la substitution t — sin x.
Vl-3-fi. Intégrales du type Ç e"x [/» (x) cos hx + Q {x) sin &a] rlx.
L'intégrale du type:
^fiaj:ip(£)£to, (17)
où <p (x) est un polynôme de » de degré n, en intégrant par
parties, se ramène à:
§ e<"q> (r) d« = 4" e"*? (*) ~ y § «" V (x) <&•
De cette manière, sortant de l'intégrale le ternie formé du pro-
duil de eax par un polynôme de degré n, nous pouvons abaisser le
degré du polynôme à intégrer d'une imité. En continuant de la
même manière à intégrer par parties et en tenant compte de ce que:
l<fi*dx = 4-(^-1 C,
nous obtiendrons :
§ aOJCq> (x) dx --= e*xi|; (r) -(- C, (18)
oïl 1JJ (x) est un polynôme du même degré n que q> (x), c'est-à-dire
que l intégrale du produit de la fonction exponentielle e"* par le
polynôme de degré n a également la forme de ce produit.

Vl-3. INTÉGRATION DES PONCTIONS
493
En différentiant la relation (18) et en divisant les deux parties
de l'identité obtenue pai' eax, nous pouvons déterminer les
coefficients du polynôme i(! (x) an moyen do coofficienls indéterminés.
Eludions maintenant l'intégrale d'une forme pins générale:
? eox \P (,ï) cos bx + Q (x) sin fa| ilx, (19)
où. P (x) ot Q (x) .sont dus polynômes en x. Soit n lo degré le plus
élevé de ces deux polynômes. En introduisant, en tant que moyen
auxiliaire, les grandeurs complexes, nous pouvons ramener
l'intégrale (19) à l'intégrale (17), en remplaçant cos bx et sin hx par lenrs
valeurs obtenues d'après les formules d'Euler IVI-1-7] :
ebxlA.e-lixi _ f toi _ ,,-tai
cos hx = tj , sin bx = rn ,
nous obtiendrons :
Ç ea* | P {x) cos bx -f Q (x) sin bx] tlx =
_ f e(a+M)x q, (;,;) (Jj. j. f ela-bï)X [pf (œ) ^,
où <p (x) et tp( (:r) sont des polynômes de degré inférieur ou égal
à n. En appliquant la formule (18) :
? e« \P (x) cos bx -|- <? (*) sin bx] dx =
où i|) (x) o!; % (jp) sont des polynômes de degré inférieur' ou. égal
à n et en remplaçant:
t,±i«i _ cos fa _j_ ; s}„ bXi
nous avons en définitive:
? eBV (P (;e) cos bx\-Q (x) sin /uj rZ* =
=■ eax ( fl (z) cos te -H 5 (x) sin &r] |- 6', (20)
où i? (a:) et S {x) sont des polynômes de degré non supérieur à n.
De cette façon, nous voyons que l'intégrale (19) a. une expression de
la même forme que la fonction à intégrer, en outre les degrés des
polynômes dans l'intégrale doivent être ch-oisis égaux au plus grand des
degrés des polynômes se trouvant dans la fonction à intégrer.
En différentiant la relation (20), en simplifiant l'identité obtenue
par en* et en égalant les coefficients des termes semblables de
forme x' cos bx et x' sin bx (s = 0, 1, 2, . . . , n) se trouvant dans le
premier et le second membre, nous obtiendrons un système
d'équations du premier degré, servant à déterminer les coefficients des
polynômes R (x) et S (x). Remarquons par ailleurs qno si cos bx
ou sin bx no rentre pas sous le signe de l'intégrale, dans le second

494 CH. VT. NOMBRES COMPLEXES, PONDBM. DE L'ALGÈBRE SUPÉIUEUBE
membre de la formule on .doit obligatoirement écrire les deux
fonctions trigonométriques en tenant compte de la règle citée plus haut
de la détermination des degrés des polynômes R (x) et S (%).
Les intégrales de la forme:
\ e" <p (z) sin (a,x+ bt) sin (0^ + 62) ...
... cos (c{x + dj) cos (czx + d2) ... dx
se ramènent directement aux intégrales de la forme (19).
En effet, en utilisant les formules de trigonométrie bien connues
qui expriment la somme et la différence des sinus et dos cosinus sous
la forme d'un produit, on peut, inversement, exprimer le produit
do deux fonctions trigonométriques citées pins haut sous forme de
somme et de différence de sinus et de cosinus. En appliquant un
certain nombre de fois cette transformation, nous pouvons ramener
à un seul le nombre de facteurs trigonométriques sous le signe
d'intégration, et de cette façon nous obtiendrons une intégrale de
la forme (19).
Exemple. D'après la formule (20):
ea*sin bxdx=a<&(A cos fce+fisin bx) + C.
En différentSant et en simplifiant par e"*t
sin bx^(aA-\-bB) cos bx + (—bA-\-aB) sin bx,
d'où î
11/1 + 65=0, — bA-\-aB = it
c'osl-à-dîre i
A- b g- a
a*+b* ' «a.|-l>* ■
et finalement
e°* sin bx dx= ens ( „ f,- cos 6* 4- „ f , - sia bx\ +-C. (21)
V a*-\-bA a*4-b2 I

INDEX
Aboi, critère d' 372
—, théorèmes d' 374—375
Abscisse 23—24
Accroissement total 173
— d'une lojiction 30
— — d'une variable 29
— — de plusieurs variables 174
Aire d'un corps de révolution 270
D'Alombert, critère de 311, 352
Angle polaire 204
Arc rectifiablo 2C0
Argument du nombre complexe 424
AstrOÏde 203
Asymptote 38, 183
Axe 22
— polaire 204
Bézout, théorème de 457
Bornes des ensembles de nombres
(supérieure, inférieure) 100
Calcul approché de l'intégrale délinie
270—290
— —, égalité 33
— —, solution d'équations 473—481
Calcul des oppressions indéterminées
83, 166—168, 346
Cardioïde 207, 209, 267
Cauchy, critère d'existence d'une
limite (le 72
— , critères de convergence d'une série
de 311, 315, 321
—, formule 163
Centre d'une courbe 36
Centre de gravité d'un arc 275
— d'une figure plane 277
— d'un systèmo de points 410
Chaînette 198, 266, 442
Changement de variable 230, 250
Changement de variable trigonométri-
que 491
Cisaoïdo 207
Coefficient angulaire d'ntio droite 27
Concavité et convexité 177
Continuité uniforme d'une fonction
85, 170
Convergence uniforme d'une série
302
d'une suite 365
Coordonnées 23
— polaires 204
Cosinus 48, 115, 330
Cotnngente 48, 117
Coupure dons ie domaine des nombres
rationnels 96
Courbo algébrique 191
Courbes harmoniques 51
Courbe intégrale 213
Courbes polytropiques 39
Courbes transcendantes 195
Courbe unlcursale 491
Courbure 179
Critères de convergenco d'une série
309-321, 351-400
Critère intégral do convergence de
Cauchy 314—316
Cycloîde 198, 266, 2R7
Définition paramétrique d'une courbe
185
Dépendance (relation) fonctionnelle 18
Dérivation 113
—, intégrale par rapport à la berne
supérieure 243
Dérivation, règlos 122, 392—394
Dérivée 110, 115—117, 122—124 •
— à droite 113
— à gauche 113
— d'une fonction implicite 173, 392

496
INDEX
Dérivée d'ordre supérieur 131, 387
— partiollo 170, 384, 387
—, règles du calcul 114—124, 187
— totale 174, 385
Développant!) du cercle 203
Diagramme vectoriel 447
Différences des fonctions 136—137
Différontintion, règles 187
— — d'une série entière 376
— — uniformément convergente 371
Différentielle 124
—, application au calcul approché 130
— d'un »rc 175, 265, 399
—, interprétation géométrique 125
— d'ordre supérieur 135—136
— totale 173, 384, 890
Diviseur commun dos p«lynômes> (te
plus grand) 464 '
Domaine fermé (ouvert) île la
définition d'une fonction J70, 380
Droite tangente 112, 178, 195
E (nombre 90
—, calcul approché 329
Echelle logarithmique 47
Ellipse 257. 265, 335, 454
Ellipsoïde 270, 272, 273, 402
Ensemble de nombres borné
supérieurement, inférieiiroment 95
Tîpicycloïdo 200
Equation algébrique 450—458
— d'une courhe 25
— cuMquo 467, 470
— différentielle 127, 234
— polaire d'une courbe 204
— d'une surface 398
Errent1 absoluo 129
— relative 130
Eu 1er, formules d' 43C
—, substitution d' 487
—, théorèmo d' 387
Expressions indéterminées 103—168,
346
Expression a intégrer 212
Fermât, théorème de 157
Foliun» do Descartes 187, 191
Fonction 16
— algébrique 490
— bornée 170, 291
— composée 108, 109. 174
— continue 45, 76, 8i—8«, 102—108,
170
Fonction croissante 45, 139, 142
— déoroissanto 45, 139, 142
— discontinue sous le signe
d'intégration 245
— ontioie B3
— homogène 386
— hyperbolique 437—439
— impaire 252
— implicite 20, 174, 392, 396
— intégrablo 296—304
— a intégrer 212
— inverse 41, 108, 119
Fonctions circulaires inverses 52, 121
—, valeur principale 53
Fonction linéaire 27—29
— logarithmique 47, 107
— mutlivoque 18, 42
— primitive 211, 223
— puissance (,y=oa:',)_ 39, 40, 81
— puissance-exponentielle 81
Fonctions trigonomélriques 48—51
— décomposition 327
Fonction univoque 20, 43
Formule des accroissements Finis 460
Formules approchées 343
Formulo de Cardan 470
Formules empiriques 32
Formule! d'Ûstrogradski-Hermito 485
— dos rectangles 278
— de récurrence 253
— des tangentes 280
— do la valeur moyenne d'une
intégrale 242—243
Frnctiou rationnelle, décomposition en
éléments simples 481
Gauss, critère de 353, 355
Gauss, série de 355
Géométrio analytique 26
Grandeur coiistaiilo 14
Grandeurs sinusoïdales 447
Graphique do la fonction 25, 183—185
Guldin, théorèmes de 274, 277
Horncr, règle de 462
Hyperbole 38
Hypocycloïdes 200
Infiniment grands 68
— pisl.it» 56
—, comparaison 87

INDEX
407
Infiniment petits, équivalence 87
—, ordre 87—88
—, propriétés 58-59
Intégrale aboli un no 490
— définie 215, 221, 23B—254
— —, calcul approché 278
— — calculée à l'aide d'une fonction
primitive 223
— — propriétés 230
— —, par rapporta l'intégrale
indéfinie 221
théorème de la
moyenne 242—243
— elliptique 490
— hypereiliptique 490
— indéfinie 223, 226
intégration de différentielles de
binôme 487
— d'expressions irrationnelle 232—
233, 486—487
trigonomélriqucs ot
exponentielles 491—494
— îles tractions rationnelles 230—231,
484—486
— par parties 228, 252
—, règles 22«—227
— d'une série entière 376
— d'rmo série uniformément
convergente 371
Interpolation 479
Intervalle ouvert, fermé 15
Kepler, équation do 73—74, 141
Kummer, critère de convergence
d'une série de 35't
Lngraiigo, moyon des multiplicateurs
de 414
—, forme du reste de la sério de
Taylor 325
—, formule 160
Leibniz, règle do 133
Lemniscate 210
Limite d'une grandeur variable 61
— fonction 75
de plusiours variables 170
multiple 382
L'Hospital, règle de 1GG-170
Logarithme naturel 93—94
Longueur d'un arc 259—265, 399
— a'une normale 196
— — tangente 196
Maclauiin, série de 327
—, formule tle 327
Maximum et minimum absolu 413—
—414
relatif: 413—414
, régies d'obtention 144
d'une fonction 142—148, 345
— — de plusieurs variables
404—406
Méthode des coefficients indéterminés
483
— d'hiterpolulion simple 479
— itérative 473, 478
— do substitution 483
— des tangentes 478
Module d'un uombre comploxo 424
— du système do logarithmes 94
Moivre, formule do 430
Newton, procédé de 478
N'ombre complexe 422
— conjugué 429
entier 12
fractionnaire 12
irrationnel 12. 97
opérations 425—435
rationnel 12
, forme exponentielle 43C
, forme trigonométrïque 425
Nombres réels, opérations 13, 96
Normale à une courbe 195
— à une surface 401
Ordonnée 24
— à l'origine 28
Origine 22
— dos coordonnées 23
Oscillations amorties 149
Oscillation de la {onction 294
— harmonique 51
— sous forme complexe 455
Ovale de Cassini 209
Papier logarithmique 48
Parabole 34, 256, 265
— de troisième degré 35
— semi-cubique 192
Paraboloïde hyperbolique 409
Paramètre 185
Partie imaginaire, réelle 425
Plan des coordonnées 24

49»
INDEX
Plan tangent 400
Point d'arrêt de la courbe 195
— asymptote 207
— d'inflexion 177—178, 345
— isolé d'une courbe 195
— nodal d'une courbe 192
»-de rebronssemeot 193
Points singuliers d'une coorba 191
Point do tangence 194
Pâle 204
Polynôme 33, 456—468
Poncelet, formule de 281
Procédé analytique cour exprimer une
dépendance fonctionnelle 18
— des approximations successives 473
— graphique pour exprimer une
dépendance fonctionnelle 21
— obtenir los racines d'une
équation 37
Procédé du tables pour représontor
dos fonctions 20
Progression géométrique 306
Sériés harmoniques 308, 316
— hypergéométriques 355
— infinies 305
— de Maclaurin 327
— da Taylor 327
— trigonométriques uniformément
convergentes 362
Simpson, formule de 281
Sinus 48
Somme d'uno série 305
Sous-normale 195
Sous-tangonte 195
Spirales 206
Spirale d'Arohhnède 206
— hyperbolique 206
— logarithmique 207, 266, 455
Substitution d'Euler 487, 488
Suite 58
— de fonctions 365—371
— uniformément convergente 365
Surface 254—259
— d'un corps do révolution 270
Quadrature 256
Racines multiples d'un polynôme
460-461
Racine d'un polynôme 457
Rayon do courbure £80, 196, 197, 206
— de convergence 375
Rayon vocleur 204
Règle h calcul 48
— de la fausse supposition 480
Représentation graphique 25
P.este dans la formule de Taylor 325
— d'une série 305, 318
ftolle, théorème de 158
Rosace à trais branches 259
Rupture de lu continuité des fonctions
292
Saut de la fonction 78
Séries absolument convergentes 318»
343, 349
— alternées 316
— binomiales 331
— convergentes 305, 332
— divergentes 306
— doubles 357
— entières 374, 376—379
Tangente 48, 117
Taylor, formule de 325
—, série do 327, 402
Théorème fondamental do l'algèbre
458
Tore 277
Trinôme du second degré 33
Trocboïde 200
Un'té imaginaire 423
Valeur arithmétique ou absolue 13
— d'une fonction (la plus grande ot
la plus petite) 150, 152, 157, 170,
412
Variable 14
— bornée 56
— indépendante 16
— d'intégration 220
— monotone 70
— ordonnée 54
Voisinage 381
Volume d'nn corps 267—269
Vraie valeur de la fonction 83
Weierstrass, critère de 372

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