253problèmes
résolus
Les jeux
mathématiques
d’Eorêka
Les jeux
mathématiques
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ISBN 2-04-010434-8
© BORDAS, Paris, 1979
" Toute représentation ou reproduction, intégrale ou partielle, faite
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et suivants du Code pénal La loi du 11 mars 1957 n'autorise, aux
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ductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non des-
tinées à une utilisation collective d'une part, et, d'autre part, que les
analyses et les courtes citations dans un but d'exemple et d'illus-
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Itinéraire
Démonstration par l’absurde
en guise d’introduction
1.	Où l’on se perd
dans le calcul des probabilités	1
1 A la chasse — 2 Autant de garçons que de filles — 3 Autoroute —
4 Banc public — 5 Boules blanches, boules noires — 6 Bataille
moyenâgeuse — 7 Chez le dentiste — 8 Au Café du Commerce — 9 La
bande de jeunes — 10 Le circuit automobile — 11 Combien sommes-
nous? — 12 Convoi — 13 Le clochard — 14 La dentellière — 15 L'émir
et son pétrole — 16 En jouant aux cartes — 17 Enquête sociologique —
18 Espérance de vie — 19 Feu rouge, feu vert — 20 Les hôtesses de l'air —
21 Le gâteau du dimanche — 22 II nous faut des garçons — 23 Interro-
gation écrite d'histoire — 24 Les jumeaux — 25 Jaws — 26 Météorologie —
27 Le paquebot — 28 Le parapluie — 29 Parcmètre — 30 Paul et Caroline —
31 La pluie et le beau temps — 32 A la recherche d'un emploi —
33 Le repas de famille — 34 Le retard quotidien — 35 Les quotidiens —
36 Réunion internationale — 37 « Sensible » ou « sensitive » —
38 Souvenirs de voyage — 39 La vaisselle — 40 Le vocabulaire anglais —
41 Vraies jumelles — 42 Les 24 heures du Mans
Perplexe? Voir Probabilités perdues et retrouvées	12
2.	En bonne logique	29
1 A propos des différents types de scrutin — 2 L'arroseuse municipale —
3 Au club — 4 Aux gros chasseurs d'ours faisant collection de timbres —
5 Blue jeans — 6 Chapeau noir, chapeau blanc — 7 A charming English
family — 8 Chez les cannibales — 9 Le concours de tir — 10 Condition
féminine — 11 Le congrès médical — 12 Corps médical — 13 La course
cycliste — 14 Les cousins germains — 15 Le dernier biberon —
16 Discussion électorale —17 En débarquant sur Mars — 18 Enquête —
19 Hold-up — 20 Les journalistes menteurs — 21 Médecine par soi-même —
22 Les menteurs — 23 Poissons d'avril — 24 Politique-fiction —
25 Un problème de Lewis Carrol — 26 Les Rois Mages — 27 Salaires
mensuels — 28 Le saut en hauteur — 29 Tour Eiffel et chapeaux fleuris —
30 La vieille tante Ernestine — 31 Ville nouvelle — 32 La visite de Paris —
33 Xénon, Zéphir et Yénopha — 34 Les cinq femmes des prisonniers
Hésitant? Voir Logiquement vôtre	42
3.	Des mystérieuses relations
entre vitesses, distances et temps	52
1 Autoroute en Pays Basque — 2 Au Texas — 3 Avant le Tour de France —
4 Bordeaux - Saint-Jean-de-Luz	—	5 Clochards-story — 6 Cocktail	—
7 Le cycliste amoureux — 8 L'émir	et son	chauffeur — 9 En voiture	ou
à vélo — 10 L'escalier roulant	du	Métro	— 11 Expédition polaire	—
12 Une femme précise — 13	La	grosse	caisse et le petit scout	—
14 Janine et Monique — 15 Le métro de Mexico — 16 Navigation —
17 Paris - DeauviIle — 18 Le petit village — 19 Pique-nique —
20 Le plongeur — 21 Rue Sainte-Catherine — 22 La sortie du collège —
23 Ski de fonds — 24 Les deux baleines — 25 Subsonique et
supersonique — 26 Tapis roulant
Perdu? Voir Procédons par ordre
60
4.	Où l’on retrouve
la bonne géométrie d’autrefois	69
1 Bissectrice — 2 Catastrophe en Mer du Nord — 3 Un coin tranquille —
4 Construction — 5 Crayon, gomme, équerre et compas — 6 Dans le désert —
7 Découpage — 8 Dublin 1856 — 9 L'eau, l'huile et le mercure —
10 Émirat — 11 L'essuie-glace — 12 Figure — 13 La galette des Rois —
14 Géométrie révolutionnaire — 15 La grand-messe — 16 Héritage —
17 L'hexagone — 18 Intersections — 19 Italie 1678 — 20 Médianes —
21 Parallélogramme — 22 Le phare — 23 Polygones — 24 La promenade
du chien — 25 Quadrilatère — 26 Les remparts — 27 Surfaces égales —
28 Tangence — 29 Triangle — 30 Triangle rectangle — 31 Si la terre était
une orange — 32 La sieste — 33 Les statues — 34 Le village alsacien —
35 Vue d'avion — 36 Zone piétonnière — 37 Les deux cercles —
38 Les deux lunes — 39 Les deux ponts — 40 Les trois perpendiculaires —
41 Les quatre armures
Incertain? Voir En avoir ou pas : l’esprit de géométrie 79
5.	Au pays des merveilleux
nombres entiers	104
1 Aboiement — 2 A la manif — 3 Année de naissance — 4 Arithmétique
anglaise — 5 Arithmétique de l'histoire — 6 Arithmétique espagnole —
7 Au lycée — 8 Au restaurant — 9 L'autobus — 10 Un bel anniversaire —
11 Avec des 1 et des 2 — 12 Un bon arrière-grand-père — 13 Les
caramels — 14 Carré — 15 Casse-tête — 16 Combien d'enfants étiez-
vous? — 17 Compagnie aérienne — 18 La composition de latin —
19 Compter avec ses doigts — 20 Cot cot codet — 21 Course de chevaux —
22 Différence d'âge — 23 Division — 24 Échanges — 25 L'école —
26 Frère et sœur — 27 Familles nombreuses — 28 Une histoire de bal —
29 Léonie et les chats — 30 Les mathématiques nouvelles — 31 Multi-
plication — 32 Les nombres chinois — 33 Le plus petit — 34 Pour les
moins de seize ans — 35 Produit — 36 Quai San-Salvador — 37 Quel âge
a Florence? — 38 Quel âge a l'aîné? — 39 Quel est mon âge? — 40 Une
question d'âges — 41 Le remonte-pente — 42 Rencontre au sommet —
43 La rue Saint-Nicaise — 44 Le sac de billes — 45 Sainte-Marguerite —
46 Les soldats de ('Empereur — 47 Suez et Panama — 48 Suite de nombres —
49 Trouvez le « truc » — 50 Les vertus du chiffre 9 — 51 Les vœux de
Mathusalem — 52 Les cinq nombres — 53 Les deux sœurs —
54 Le 14 juillet — 55 100 ans à eux trois — 56 1001 — 57 De 1968 à 1978
Dubitatif? Voir Les secrets des nombres révélés	118
6.	Au royaume de l’astuce et du bon sens 137
1 A British Hospital — 2 Les aiguilles de ma montre — 3 A la cantine —
4 A la ferme — 5 Au Zoo — 6 Le café est servi — 7 Les chauve-souris,
les ours et les éléphants chinois — 8 Le château de cartes — 9 Cigarettes —
10 La confession — 11 Les dactylos — 12 La belle dentelle — 13 Le dîner
entre amis — 14 Dream dromaderies — 15 Élection présidentielle —
16 Grand-mère, version latine et petits chats — 17 Le jeu mathématique —
18 Lou-phoque — 19 Métro — 20 Nicolas joue aux soldats de plomb —
21 Parking — 22 Le nettoyage à fond — 23 Les Parisiens — 24 Partage —
25 Passages à niveaux — 26 Les pièces d'or — 27 Les pharmacies —
28 Le plein d'essence — 29 Les Pommes — 30 Pour vous rajeunir —
31 Pouvoir d'achat — 32 Psychologie enfantine — 33 Quelle heure est-il?
34 Le réservoir — 35 Réunion de famille — 36 Réunion de parents d'élèves —
37 Les sacs de farine — 38 Les sauvages — 39 Simone et ses complexes —
40 Terrain carré — 41 Le tournoi de tennis — 42 Le thermomètre —
43 Le tonneau — 44 Veaux, vaches, cochons, poulets — 45 Le vieil Ihsan —
46 Les 32 cartes
Indécis? Voir Élémentaire, mon cher!
7.	Et maintenant, à vous de jouer
149
167
1 La grenouille — 2 La marelle — 3 Cannibale, oui ou non — 4 Un diagnostic
sérieux — 5 Grands-mères menteuses — 6 Un grand-père cosmopolite —
7 Pour une saine utilisation de votre paquet de cigarettes
Embarrassé ? Voir Bien joué !
174
1* Où l’on se perd
dans le calcul des probabilités
1	A la chasse
Trois chasseurs tirent simultanément sur un lièvre. Le premier réussit
son coup 3 fois sur 5, le second 3 fois sur 10 et le troisième 1 fois sur 10
seulement. Quelle est la probabilité de voir le lièvre blessé par l'un au
moins des chasseurs?
2	Autant de garçons que de filles
Parmi les familles de deux enfants, la moitié se trouve être bien répartie,
c’est-à-dire composée d'autant de garçons que de filles. En est-il de
même parmi les familles de quatre enfants? (On suppose ici que chaque
naissance donne avec équiprobabilité un garçon ou une fille.)
3	Autoroute
Sachant que la probabilité d'avoir un accident sur 1 km d'autoroute est p,
quelle est la probabilité d’en rencontrer un si l'on franchit 775 km?
4	Banc public
Ils étaient cinq, trois garçons et deux filles. Ils n'avaient rien à faire.
C'étaient le printemps. Ils s'assirent tout simplement sur un banc, au
soleil, les uns à côté des autres, chacun occupant une place au hasard.
Y a-t-il alors plus de chances de trouver les deux filles séparées ou bien
assises l'une à côté de l'autre?
5	Boules blanches, boules noires
Une urne contient cinq boules blanches et cinq boules noires. On y tire
au hasard trois boules une par une, d'abord en les remettant chaque fois
dans l'urne (méthode 1), puis sans les y remettre (méthode 2). De quelle
façon a-t-on le plus de chances d'obtenir ainsi une boule blanche et
deux boules noires?
6	Bataille moyenâgeuse
Lors d'une terrible bataille moyenâgeuse, 85 % des combattants perdirent
une oreille, 80 % un œil, 75 % un bras et 70 % une jambe.
Quel est le pourcentage minimal de ceux qui perdirent à la fois une
oreille, un œil, un bras et une jambe?
7	Chez le dentiste
Deux femmes et dix hommes attendent leur tour chez le dentiste. Ils
ont à leur disposition huit exemplaires du dernier magazine d'actualités
et quatre du journal du jour. De combien de façons différentes ces
revues peuvent-elles être distribuées sachant que les deux femmes lisent
la même?
8	Au café du commerce
Par une belle soirée de printemps, Dupont et Durand font une partie
de dés à la terrasse du Café du Commerce. Ils lancent tour à tour deux dés.
Quand la somme est 7, Durand marque un point; quand c'est 8, Dupont
en marque un. Pour qui parieriez-vous?
9	La bande de jeunes
Une bande de jeunes gens comporte trois garçons et trois filles. Chacun
de ces jeunes gens est amoureux d'une des trois personnes du sexe
opposé choisie au hasard. L'une des jeunes filles constate mélanco-
liquement que, dans cette bande, personne n'est aimé de celui qu'il
aime. Ce triste phénomène était-il si imprévisible?
2
10	Le circuit automobile
C'était un circuit automobile effroyablement dangereux. On commençait
par un petit pont très étroit d'où une voiture sur cinq tombait dans l'eau.
Puis on passait un terrible virage en épingle à cheveux, d'où trois voitures
sur dix tombaient dans le ravin. C'était alors un épouvantable tunnel,
si sombre qu'une voiture sur 10 n'en ressortait pas. Et on finissait par
une piste sablonneuse où deux voitures sur cinq s'ensablaient et ne
pouvaient plus avancer.
On demande le pourcentage total des voitures accidentées sur l'ensemble
du circuit.
11	Combien sommes-nous?
A vous de le trouver sachant que la probabilité pour que deux au moins
d'entre nous aient leur anniversaire le même jour est inférieure à 1/2,
mais que cela ne serait plus vrai si nous étions un de plus.
12	Convoi
Dans un port américain, en 1943, il y a quatre escorteurs, sept cargos et
trois porte-avions. On prépare un convoi de vivres et de munitions pour
l'Europe comportant un escorteur en tête, suivi de trois cargos, puis
d'un porte-avions, et terminé par un autre escorteur.
De combien de façons différentes peut-on organiser un tel convoi?
13	Le clochard
Dans une petite ville, la police recherche un clochard ivrogne. Il y a
quatre chances sur cinq pour qu'il se trouve dans un des huit bars de
3
la ville, choisi alors au hasard. Deux agents de police vont dans sept bars
sans le trouver. Ont-ils alors beaucoup de chances de le rencontrer dans
le huitième bar?
14	La dentellière
Par un bel après-midi d'été, François cherche Béatrice à Cabourg. Où
est-elle? Peut-être à la plage (une chance sur deux), peut-être au tennis
(une chance sur quatre), peut-être à la pâtisserie (une chance sur quatre
également). Si Béatrice est à la plage, qui est grande et pleine de monde,
François en y allant a une chance sur deux de la rater. Si elle est au
tennis, il a encore une chance sur trois de ne pas la trouver. Si par contre
elle est à la pâtisserie (toujours entrain de manger une glace), il est sûr
de la voir. François décide donc d'aller dans les trois lieux de rencontre
possibles, tandis que Béatrice restera au même endroit, du moins nous
le supposons ici.
Or, ils ne se sont pas rencontrés. Quelle est alors la probabilité pour que
Béatrice ait été à la plage?
15	L’émir et son pétrole
Mon émirat comporte un vaste désert, au milieu duquel j'ai construit
mon palais, et une zone territorale en mer à laquelle je tiens beaucoup.
Elle est en effet très étendue (autant que le tiers de mon désert), et
recouvre une partie de ma nappe de pétrole. Sachant que j'ai trois fois
plus de kilomètres carrés de désert à pétrole que de mer sans pétrole
et que le septième de mon territoire sans pétrole se trouve en mer,
sauriez-vous me dire précisément quelle est la proportion de ma nappe
de pétrole qui se trouve sous la mer?
16	En jouant aux cartes
« Prenez une carte au hasard dans mon jeu et remettez-la. Faites ceci
3 fois. Vous avez 19 chances sur 27 d'obtenir ainsi au moins une figure
(roi, dame ou valet). Car, la proportion de figures dans mon jeu est
de... ».
Complétez, s'il vous plait la dernière de ces phrases.
17 Enquête sociologique
Dans une certaine population, on constate que 42 % des individus n'ont
jamais fait de ski, que 58 % n'ont jamais pris l'avion, mais que 29 % ont
déjà fait du ski et pris l'avion. A-t-on alors plus de chances de rencontrer
quelqu'un qui a déjà fait du ski parmi ceux qui n'ont jamais pris l'avion,
ou quelqu'un qui a déjà pris l'avion parmi ceux qui ont déjà fait du ski?
4
18 Espérance de vie
Dans une population primitive, un ethnologue constate que 25 % des
gens meurent à 40 ans, que 50 % meurent à 50 ans et 25 % enfin à 60 ans.
Puis il choisit deux individus au hasard, qu'il étudiera particulièrement
en détail. Quelle est l'espérance de vie de celui des deux qui vivra le
plus longtemps?
19 Feu rouge, feu vert
Sur une large avenue en sens unique, sont situés deux feux de circulation
successifs, chacun étant vert les deux tiers du temps. Un automobiliste
remarque, étant donnée sa vitesse habituelle, que, lorsqu'il trouve le
premier feu vert, il trouve le second vert aussi 3 fois sur 4. Quelle est
alors la probabilité qu'il trouve le second feu rouge, sachant qu’il a déjà
trouvé ainsi le premier et qu'il l'a brûlé?
20 Les hôtesses de l’air
Pour accompagner un vol transatlantique, 20 hôtesses de l'air se
présentent. Sept d'entre elles sont blondes, les autres sont brunes. Le
sort en choisit trois au hasard. Quelle est la probabilité de trouver parmi
elles au moins une brune et au moins une blonde?
21 Le gâteau du dimanche
Comme chaque dimanche, en fin de matinée. Monsieur Dupont va faire
un tour. Pendant ce temps, sa femme se demande s'il pensera ou non
à acheter un gâteau, ce dont elle n'a vraiment aucune idée, et si en
conséquence elle doit aller elle-même chez le pâtissier ou si ce n'est
pas la peine. Elle demande alors à son fils :
« Sais-tu si papa va penser au gâteau?» Mais l’enfant se trompe une
fois sur trois. Et il est deux fois plus ennuyeux de se trouver sans dessert
que d'en avoir deux. Que conseilleriez-vous alors à Mme Dupont : aller
chercher un gâteau quoi que lui dise son fils, ou bien n'y aller que s'il
lui a dit qu'on allait en manquer?
22 II nous faut des garçons
Le roi d'un certain pays désirait, pour des motifs guerriers, avoir plus
de garçons que de filles parmi ses sujets. Il décida donc autoritairement
qu'aucune famille ne comporterait plus d'une fille. Chaque femme du
pays eut ainsi un certain nombre d'enfants dont le dernier et le dernier
seulement était une fille. A quelle proportion de garçons arriva-t-on ainsi?
5
23 Interrogation écrite d’histoire
Lors d'une interrogation écrite d'histoire, deux mauvais élèves, Jean et
Pierre, sont placés côte à côte. On leur demande les deux dates suivantes :
bataille de Marignan et assassinat d'Henri IV. Jean sait qu'il s'agit de 1515
et de 1610, mais ne se souvient pas auquel de ces deux événements il
faut associer chacune de ces dates. Il le demande alors tout bas à Pierre
qui a trois chances sur quatre de le savoir. Mais il se peut que, par malice,
il dise à Jean le contraire de ce qu'il pense (une fois sur quatre).
Jean a-t-il alors intérêt à suivre les conseils de Pierre, ou bien à répondre
au hasard?
24 Les jumeaux
On sait que trois naissances sur 250 donnent des jumeaux et qu'une fois
sur trois il s'agit alors de vrais jumeaux. En déduire la probabilité,
a priori, pour qu'une femme enceinte attende des jumeaux garçon
et fille.
25 Jaws
Dans une station balnéaire située sur l'océan Pacifique, on met au point
un système électronique de détection de requins, qui émet parfois un
signal d'alarme (1 jour sur 30 en moyenne). Il y a dix fois plus de fausses
alertes que de présences de requins non prévues. On sait d'autre part
que, grâce à ce système, trois présences de requins sur quatre seulement
sont détectées. Quel est alors le pourcentage de journées normales dans
cette station balnéaire, c'est-à-dire de celles qui ne sont marquées ni
par la présence de requins ni même par une fausse alerte?
26 Météorologie
Il pleut ici un jour sur trois. Les météorologistes, d'un naturel pessimiste,
se trompent dans leurs prévisions journalières une fois sur deux quand
il faut annoncer du beau temps et une fois sur cinq seulement quand
il faut annoncer de la pluie.
Chaque matin, Francine part pour toute la journée. S'il pleut et qu'elle
n'a pas pris son parapluie, elle sera deux fois plus gênée que s'il ne
pleut pas et qu'elle doit le traîner sans raison.
« Ai-je intérêt, se dit-elle, à écouter la radio chaque matin et à n'emporter
mon parapluie que si la météo prévoit que j'en aurai besoin, ou bien à
le prendre de façon systématique, ou bien au contraire à ne jamais le
prendre? »
Que conseilleriez-vous à Francine?
6
27 Le paquebot
Au cours d'un long périple, on constate qu'a chaque escale le quart des
passagers est renouvelé, que parmi les passagers qui descendent, un
sur dix seulement était monté à l'escale précédente, et que le paquebot
reste toujours plein. Quelle est alors à chaque instant, pendant que le
paquebot navigue, la proportion des voyageurs qui ne sont montés à
bord à aucune des deux escales précédentes?
28 Le parapluie
Un samedi soir, deux frères, Jean et Pierre, échangent des propos sur
leur voisine, Madame Martin. Ils s'accordent pour dire que tous les
dimanches elle sort une fois, et une seule, que deux fois sur trois elle
prend son parapluie, et que, même par beau temps, il lui arrive une fois
sur deux d'en prendre un. Mais Jean soutient que, par mauvais temps,
elle ne l'oublie jamais, tandis que Pierre affirme, au contraire, qu'il lui
arrive alors de ne pas l'emporter.
Sachant que dans la région où il se trouvent il fait mauvais temps un jour
sur deux, auquel des deux frères donneriez-vous raison?
29 Parcmètre
Je dois m'arrêter 10 minutes dans une boutique en plein centre: j'hésite
à payer le parcmètre (2 F la demi-heure). L'agent de police fait sa ronde
toutes les 2 heures et l'amende risquée est de 48 F. Je demande alors
au cafetier du coin s'il a vu passer l'agent de police pendant l'heure
précédente. Mais la réponse ainsi obtenue est inexacte une fois sur
quatre, autant parce que le cafetier croit à tort l'avoir vu, que parce
7
qu'il ne l'a pas vu alors qu'en réalité, l'agent est passé. Que feriez-vous
alors_è ma place (en faisant abstraction de toute règle de morale) :
payer les 2 F du parcmètre d'office ou bien ne les payer que si le cafetier
affirme que l'agent n'est pas passé pendant l'heure précédente?
30 Paul et Caroline
Paul et Caroline ont rendez-vous sous l'Arc de Triomphe entre 11 heures
et midi (sans précision). Chacun d'eux y arrivera à un instant quelconque,
pendant cette heure; puis un quart d'heure plus tard, s'il ne voit pas
l’autre il quittera les lieux.
Quelle est la probabilité pour que Paul et Caroline se rencontrent
effectivement?
31 La pluie et le beau temps
Dans une certaine région, il pleut un jour sur quatre. On sait, d’autre
part, que lorsqu'il a plu un jour il pleut deux fois sur trois le lendemain.
Quelle est alors la probabilité qu'il ne pleuve pas pendant une journée,
alors qu'il n’a pas plu la veille?
32 A la recherche d’un emploi
Pour trouver un emploi à la fin de son service militaire, Maurice écrit
à différentes entreprises où sa spécialité est utilisée. Après chaque
demande, il a une chance sur cinq d'être accepté. Il s'arrêtera d'écrire
dès qu'il aura au moins trois chances sur quatre de trouver un emploi.
Sachant que les logarithmes décimaux de 3, 4 et 5 sont respective-
ment 0,477, 0,602 et 0,699, combien de lettres Maurice aura-t-il dû
écrire?
33 Le repas de famille
Comme chaque dimanche, deux époux attendent leurs mères respectives
pour le déjeuner. Malheureusement, les conjoints ont des relations assez
tendues avec leurs belles-mères; et chacun sait qu'il a deux chances
sur trois de se disputer avec la sienne et qu'alors l'autre conjoint prend
parti au hasard : une fois sur deux il se chamaille ainsi avec sa propre
mère, une fois sur deux, c'est la querelle de ménage.
Sachant que les disputes de chaque époux avec sa propre belle-mère
éclatent indépendamment les unes des autres, quelle est selon vous la
proportion de dimanches où les époux ne se disputent pas?
34 Le retard quotidien
Pour se rendre à son bureau, Maurice prend tantôt sa voiture (et il
arrive alors une fois sur deux en retard), tantôt le métro (et il arrive alors
8
en retard une fois sur quatre seulement). Quand il est à l'heure, il décide
toujours de conserver le même moyen de transport le jour suivant. Tandis
que, chaque fois qu'il est en retard, il décide d'en changer. Étant donné
cela, a-t-il beaucoup de chances d'arriver en retard la 467e fois qu'il se
rend à son bureau?
35 Les quotidiens
Dans un certain village de vacances, on constate que 28 % des adultes
lisent Le Monde, 25 % Le Figaro et 20 % L'Aurore, que 11 % lisent à
la fois Le Monde et Le Figaro, que 3 % lisent Le Monde et L'Aurore,
que 2 % lisent Le Figaro et L'Aurore, que 42 % ne lisent aucun de ces
trois journaux. Quel est alors le pourcentage des vacanciers adultes qui
lisent à la fois Le Monde, Le Figaro et L'Aurore?
36 Réunion internationale
Quatre Français, deux Ivoiriens, trois Russes et quatre Suédois sont
réunis pour discuter de l'exploitation des forêts. Les congressistes d'un
même pays restent assis les uns à côté des autres, tout d'abord, pour
la séance d'introduction, sur un banc à 13 places, puis, pour les séances
de travail, autour d'une table ronde à 13 places également.
De combien de façons différentes peut-on installer ces congressistes les
uns à côté des autres dans chacun des deux cas?
37 « Sensible » ou « sensitive »
Lors d'une composition de thème anglais, je m'arrête devant la difficile
traduction de la phrase suivante : « Nancy a du bon sens. » Dois-je
utiliser l'adjectif « sensible » ou l'adjectif « sensitive »? Si je réponds au
hasard, j'ai une chance sur deux de me tromper. Je pourrais à la rigueur
copier sur mon voisin. Mais je sais par expérience qu'il se trompe une fois
sur cinq dans ce genre de traduction. De plus, il y aurait une chance
sur dix que le professeur me prenne en flagrant délit, et je serais alors
dans une situation trois fois plus ennuyeuse que si j'avais seulement
donné une réponse fausse.
Que me conseilleriez-vous alors, en faisant abstraction de toute règle de
morale : copier sur mon voisin, ou bien répondre au hasard « sensible »
ou « sensitive » ?
38 Souvenirs de voyage
Au cours de mon voyage, j'ai vu des églises romanes, des arcs de triomphe,
des cascades et des châteaux médiévaux. J'ai pris une photo de la moitié
de ces lieux touristiques. J'ai vu trois fois plus d'églises romanes que
d'arcs de triomphe et autant de châteaux médiévaux que de cascades.
9
Le quart de mes photographies représentent des châteaux médiévaux.
Je n'en ai pourtant photographié qu'un sur deux, tandis que j'ai pris
systématiquement en photo tous les arcs de triomphe.
Dîtes-moi, alors, s'il vous plaît, quelle est la proportion de photos d'arcs
de triomphe parmi l'ensemble des photos rapportées de mon voyage.
39 La vaisselle
Dix couples dînent ensemble. On tire au sort cinq personnes pour faire
la vaisselle. Quelle probabilité y a-t-il de ne trouver parmi elles aucun
couple réuni?
40 Le vocabulaire anglais
Dans une classe de 30 élèves, miss Blackwick, professeur d’anglais,
donne une page de vocabulaire à apprendre par cœur : à chaque cours,
pour le cours suivant. Elle interroge chaque fois un élève sur trois,
parmi lesquels un sur dix a déjà été interrogé au cours précédent. L'un
des élèves, paresseux par nature, décide de n'apprendre sa leçon que
si on ne vient pas de l’interroger.
« Ai-je plus de chance, se demande-t-il alors, d'apprendre ma leçon pour
rien, ou bien de me faire punir par miss Blackwick pour ignorance de
ma page de vocabulaire? »
Aidez-le à répondre.
41 Vraies jumelles
Anne et Brigitte sont deux petites jumelles qui se ressemblent comme
deux gouttes d'eau. Elles partagent le même banc à l'école; l'une étant
10
toujours à gauche, l'autre à droite. Elles affirment chacune être Brigitte.
Leur maîtresse, ayant remarqué de façon générale, que la jumelle de
droite ment une fois sur quatre et celle de gauche une fois sur cinq, se
demande quelle est la probabilité pour qu'Anne soit assise à gauche.
Aidez-la.
42 Les 24 heures du Mans
Cette année-là, trois marques seulement prenaient part aux 24 Heures
du Mans : Ford, Jaguar et Maserati. Si l'on donne la marque Ford
perdante à 2 contre 2, la marque Jaguar perdante à 5 contre 1, à combien
faut-il donner la marque Maserati perdante?
Remarque :« perdante » signifie ici « non gagnante ».
11
Probabilités perdues
et retrouvées
1	A la chasse
Si le lièvre n'est pas blessé, c'est que le premier chasseur a raté son coup (2 fois sur 5),
ainsi que le second (7 fois sur 10), et que le troisième (9 fois sur 10). Cela arrivera
donc 126 fois sur 500 (2/5 x 7/10 x 9/10 = 126/500). Le lièvre sera donc blessé
avec une probabilité de : 1 — 126/500 = 0,748.
2	Autant de garçons que de filles
Appelons « répartition » toute série de quatre genres, représentant les quatre enfants
d'une famille. Par exemple : « garçon, fille, garçon, garçon », que nous résumerons :
« GFGG ».
On peut ainsi trouver 16 types de répartitions équiprobables parmi les familles de
quatre enfants :
GGGG - GGGF - GGFG - GFGG - FGGG - GGFF - GFGF - GFFG - FGGF - FGFG -
FFGG - GFFF - FGFF - FFGF - FFFG - FFFF.
Parmi ces 16 types de répartitions, six donnent autant de garçons que de filles. Ce
qui correspond à une proportion de : 6/16 = 3/8.
Ce n'est donc pas 1/2, comme pour les familles de deux enfants.
3	Autoroute
La probabilité de ne pas avoir d'accident sur 1 km est : 1 — p. Celle de ne pas en
avoir sur 775 km est donc : (1 —p)775. Et celle d'avoir un accident sur une telle distance
est donc : 1 — (1 —p)775.
4	Banc public
Nombre de façons d'installer le groupe des deux filles sur un banc à cinq places :
Cl = 3ÏÏÎ =10'
Nombre de façons d'installer ce même groupe de deux filles si elles sont côte à côte :
quatre (cela est évident).
12
Elles ont donc quatre chances sur dix de se trouver côte à côte et six chances sur dix
de se trouver séparées; cette dernière éventualité est la plus probable.
Remarque :
CJ représente le quotient :
ni
pl (n—p)l
5	Boules blanches, boules noires
Par la première méthode (tirage avec remise), nous avons :
P1 = (nombre de façons d'avoir une boule blanche parmi les trois) x 1/23
= 3/8 = 9/24.
Par la seconde méthode (tirage sans remise), nous avons :
P2 - (nombre de façons de choisir une boule parmi cinq x nombre de façons de
choisir, deux boules parmi cinq) : nombre de façons de choisir trois boules parmi dix
= (CJ x ci) : Cîo = 5/12 = 10/24.
Par la seconde méthode, le résultat se trouve donc être un peu plus probable que
par la première.
6	Bataille moyenâgeuse
Puisque 85% des combattants perdirent une oreille et 80% un œil (ce qui fait en
tout 165%), c'est que 65% d'entre eux au moins perdirent à la fois une oreille et
un œil.
Puisque 65% des combattants au moins perdirent à la fois une oreille et un œil et
que 75 % perdirent un bras (ce qui fait en tout 140 %), c'est que 40 % d'entre eux au
moins perdirent à la fois oreille, œil et bras. Puisque 40 % des combattants au moins
perdirent à la fois oreille, œil et bras et que 70% perdirent une jambe (ce qui fait en
tout 110 %), c'est que 10 % d'entre eux au moins perdirent à la fois oreille, œil, bras
et jambe.
(Ceci est un problème de Lewis Carroll.)
7	Chez le dentiste
Si les deux femmes lisent le journal du jour, le nombre de distributions correspondantes
sera le nombre de façons de donner les deux autres journaux restants aux dix hommes,
c'est-à-dire :
cîo = fraï~45-
Si les deux femmes lisent le magazine d'actualités, le nombre de distributions corres-
pondantes sera le nombre de façons de donner les quatre journaux du jour aux
dix hommes, c'est-à-dire :
C* - 101 =210
C*° ’ 4Ï~6Î 210'
Ce qui fera en tout 210 + 45, soit 255 distributions possibles.
13
8	Au café du commerce
Quel que soit le résultat du premier dé lancé. Durand sait en lançant le second qu'il
a une chance sur six de gagner (faire 1 après un 6, 2 après un 5, etc.). Tandis que si
le résultat du premier dé est 1, Dupont n'a aucune chance de gagner. Il vaut donc
mieux parier pour Durand.
9	La bande de jeunes
Soit Fj, F2 et Fi les trois filles; soit Gt, G2 et G3 les trois garçons. Dénombrons les
possibilités grâce à l'arbre suivant.
Le nombre total de terminaisons correspondant au triste phénomène de non récipro-
cité des amours est donc de 3* 52 = 156. Le nombre de possibilités était de :
3® = 729. La probabilité du phénomène est ainsi : 156/729 = 0,214 : il n'est donc
pas si rarel (plus d'une chance sur 5).
10	Le circuit automobile
Pour qu'une voiture ne soit pas accidentée à l'arrivée, il ne faut pas qu'elle ait eu
d'accident, ni au petit pont (ce qui arrive 4 fois sur 5), ni au virage (7 fois sur 10),
ni dans le tunnel (9 fois sur 10), ni enfin sur la piste sablonneuse (3 fois sur 5). Soit :
notïA  °'MZ
accidentées sur l'ensemble du circuit est donc :
Le pourcentage des voitures
100 — (100 x 0,302) « 70%.
11	Combien sommes-nous?
Probabilité pour que deux personnes aient des jours d'anniversaire différents :
364/365.
14
Pour trois personnes : (364/365). (363/365), etc.
Pour n personnes : (364/365). (363/365) . . . (365 — n + 1 )/365.
Ce produit de quotients devient inférieur à 1/2 lorsque n passe de 22 à 23 : nous sommes
ainsi 22 personnes présentes.
12	Convoi
Nombre de façons de choisir le premier escorteur : 4.
Nombre de façons de choisir les trois cargos :
Nombre de façons de choisir le porte-avions : 3.
Nombre de façons de choisir le dernier escorteur : 3 (car il n'en reste que
trois disponibles).
Ce qui fait en tout : 4 x 35 x 3 x 3 = 1 260.
13	Le clochard
Il y a donc huit chances sur dix, a priori, pour que le clochard se trouve dans un des
huit bars de la ville; et donc une chance sur dix (1/8 x 8/10 = 1/10), a priori, pour
qu'il se trouve dans le huitième bar. Tandis que la probabilité qu'il ne se trouve dans
aucun des sept premiers visités était a priori de :
1 —7/10 = 3/10.
Il en résulte que la probabilité de rencontrer le clochard dans le huitième bar, sachant
qu'il n'est dans aucun des sept premiers, est de :
(1/10)/(3/10) = 1/3.
Les deux agents de police ont donc une chance sur trois de trouver le clochard dans
le huitième bar.
1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10	2/10
14	La dentellière
Probabilité pour qu'il y ait rencontre :
à la plage : (1/2). (1/2) = 1/4,
au tennis : (1/4). (2/3) = 1/6,
à la pâtisserie : (1/4). (1) = 1/4.
15
Ce qui fait en tout : 4/6 = 2/3.
La probabilité pour qu'il n'y ait pas rencontre est donc : 1 — 2/3 = 1/3.
Or la probabilité pour que François et Béatrice se manquent à la plage est de :
(1/2). (1/2) = 1/4.
La probabilité pour que Béatrice ait été à la plage sachant qu'ils se sont manqués,
est donc : (1/4) : (1/3) = 3/4.
15	L’émir et son pétrole
Soit S la surface totale de mon territoire. Surface de territoire en mer : S/4.
Soit x la proportion de territoire en mer sans pétrole dans l'ensemble de mon
territoire.
Surface de mer à pétrole : (1/4 — x).S.
Surface de mer sans pétrole : x.S.
Surface de désert à pétrole : 3 x.S.
Surface de désert sans pétrole : 6.x.S.
Surface totale : S/4 — xS + xS + 3xS + 6xS = S.
On en déduit aisément : x = 1/12.
La proportion cherchée est donc :
16	En jouant aux cartes
Soit p cette proportion inconnue.
La probabilité de ne pas tirer de figure en un coup est de : 1 — p. La probabilité de
ne pas tirer de figure en trois coups est de : (1 — p)3. Celle d'en tirer ainsi au moins
une est de : 1 — (1 — p)3, ou 19/27.
Il en résulte : (1 —p)3 = 8/27 ou 1 —p = 2/3.
Ce qui donne : p = 1/3.
La proportion de figures dans mon jeu est de 1/3.
17	Enquête sociologique
Si 42 % n'ont jamais fait de ski, 58 % en ont déjà fait. Comme 29 % ont déjà fait du
ski et pris l'avion, 29 % ont déjà fait du ski mais n'ont jamais pris l'avion.
16
Première probabilité recherchée : le rapport de ceux qui ont déjà fait du ski et n'ont
pas pris l'avion sur ceux qui n'ont jamais pris l'avion est de 29/58, soit 1/2.
Deuxième probabilité recherchée : le rapport de ceux qui ont pris l'avion et fait du
ski à ceux qui ont déjà fait du ski est de 29/58, soit 1/2.
Les deux probabilités sont donc identiques.
18	Espérance de vie
Si celui des deux qui vit le plus longtemps meurt à 40 ans, cela signifie que tous
deux vivent 40 ans. Probabilité correspondante :
25% x 25% = 1/16.
S'il vit jusqu'à 50 ans, cela signifie que, ou bien le premier vivra jusqu'à 40 ans et
le second jusqu'à 50, ou bien tous deux jusqu'à 50 ans, ou bien enfin le premier
jusqu'à 50 et le second jusqu'à 40.
Probabilité correspondante :
(25% x 50%) + (50% x 50%) + (50% x 25 %) = 1/2.
Si celui des deux qui vit le plus longtemps meurt à 60 ans, cela signifie qu'aucun des
deux événements dont on vient de calculer la probabilité n'est réalisé. Probabilité
correspondante :
1 —1/16 — 1/2 = 7/16.
Espérance de vie :
1/16 x 40 + 1/2 x 50 + 7/16 x 60 = 53 ans et 9 mois.
19 Feu rouge, feu vert
Considérons les deux feux successifs. Il y a quatre possibilités : « premier vert, second
aussi », « premier vert, second rouge », « premier rouge, second vert », « les deux rouges ».
Soit plt plt pt et pt, les quatre probabilités respectives correspondantes. Chacun
des deux feux étant vert les deux tiers du temps, nous avons les équations :
Pi + Pt = 2/3,
Pt + Pi = 2/3.
D'autre part, quand le premier feu est vert, le deuxième est vert les trois quarts du
temps : p,/(p, + p2) = 3/4.
Nous savons enfin bien évidemment que : p, + p2 + p3 + p* = 1.
De ce système de quatre équations à quatre inconnues, il résulte :
Pi - 1/2; p2 = Pi = pt = 1/6.
17
La probabilité d'avoir un feu rouge sachant que le précédent est rouge est donc :
P*/(Pa + P*) = d/6) : (2/6) = 1/2.
20 Les hôtesses de l’air
Si l'on peut trouver au moins une brune et au moins une blonde, c'est que les trois
hôtesses choisies ne sont ni toutes trois brunes
probabilité
13.12.11
20.19.18
ni toutes trois blondes
probabilité
7.6.5 \
20.19.18/
La probabilité demandée est donc :
13.12.11	7.6.5
20.19.18	20.19.18
21 Le gâteau du dimanche
Appelons 7 l'inconvénient d'avoir deux gâteaux au lieu d'un. L'inconvénient qu'il
y a à ne pas avoir de gâteau sera donc 2 /. En se rendant d'office chez le pâtissier.
Madame Dupont risque / avec la probabilité 1/2 (car elle n'a aucune idée a priori sur
l'oubli éventuel de son mari). Ce qui fait en moyenne i/2.
En écoutant son fils, elle se trompera une fois sur trois : elle subira alors tantôt l'incon-
vénient i (avec la probabilité : 1/3 x 1/2) et tantôt l'inconvénient 2 / (avec la même
probabilité puisqu’il se trompe évidemment autant quand le père oublie que quand
il n'oublie pas). Cela fait en moyenne : 1/6 (/ +2/) = z/2.
Ainsi, le risque est exactement le même, que Madame Dupont agisse d'une façon
ou d'une autre. Les deux façons d'agir sont donc équivalentes.
22 II nous faut des garçons
Soit N le nombre de mères de famille de ce pays ayant fini de procréer. Combien
ont-elles eu de filles? Une chacune ce qui fait N. Combien ont-elles eu de garçons?
La moitié d'entre elles en ont eu zéro. Un quart d'entre elles en ont eu un. Un huitième
en ont eu deux. Un seizième trois, etc. Ce qui fait en tout :
v x 1 + x 2 +
4	8

-N F 1 4- 2 4- 3 4-	4- n 4-
” 4 [2® + 2* + 2* + " ' + 2"""1 +
Or nous savons que :
1 + 2 x + 3 x2 + ... + nx“-‘ + . .
1
(1 — x)2‘
Comme série dérivée de:1 + x + x2 + ... + x" + ..
Ce qui donne en remplaçant x par 1/2 :
1 + Â4.3.4.	+ _2_ =	1
2°	2* 22	2"-1	(1 —1/2)2
18
D'où il résulte que le nombre de garçons est de :
x 4 = /v = nombre de filles.
4
La proportion de garçons à laquelle on arrive ainsi est de 1 /2. Elle n'est donc nullement
augmentée par les décrets autoritaires du roi I
23	Interrogation écrite d’histoire
Quatre cas peuvent se produire :
1.	Pierre sait sa leçon et ne ment pas. Il dit alors la vérité, et cela arrive 9 fois sur
16 (3/4 x 3/4).
2.	Pierre sait sa leçon et ment. Il ne dit pas alors la vérité. Et cela arrive 3 fois sur
16 (3/4 x 1/4).
3.	Pierre ne sait pas sa leçon et ne ment pas. Il induit alors de nouveau en erreur
et cela arrive 3 fois sur 16 (1/4 x 3/4).
4.	Pierre ne sait pas sa leçon et ment. Il dit alors la vérité, et cela arrive 1 fois sur
16 (1/4 x 1/4).
Pierre dira ainsi la vérité 10 fois sur 16, ce qui est supérieur à un demi (probabilité
de se tromper en répondant au hasard). Jean a ainsi intérêt à suivre les conseils de
Pierre.
24	Les jumeaux
Une femme enceinte ne risque d'attendre des jumeaux garçon et fille que si elle
attend des faux jumeaux. Ce qui arrivera 1 fois sur 125 :
j_/i_n=j_.
250 \	3/ 125
probabilité	probabilité d'avoir	probabilité
d'avoir des des vrais jumeaux	a priori d'avoir
jumeaux	sachant qu'on attend	des faux jumeaux
des jumeaux
Sachant qu'elle attend des faux jumeaux, quatre éventualités sont équiprobables :
• le premier est un garçon, le second est une fille;
•	le premier est un garçon, le second est un garçon;
•	le premier est une fille, le second est un garçon;
•	le premier est une fille, le second est une fille.
Deux de ces quatre éventualités donnent donc des jumeaux garçon et fille.
Il en résulte que la probabilité d'avoir des jumeaux garçon et fille est :
2 v 1 _ 1
4 X 125	250 '
25	Jaws
Soit x le pourcentage de présences de requins non prévues. Le pourcentage de fausses
alertes est donc : 10 x. Or il y a une alerte un jour sur 30. Le pourcentage d'alertes
justifiées est donc : 1/30 — 10 x. Le pourcentage de journées normales, c'est-à-dire
celui des* journées sans fausses alertes, ni alertes justifiées, ni présences de requins
non prévues, est donc : 1 — x—10 x — (1/30 — 10 x) = 29/30 — x.
19
Or, avec ce système de détection, le quart des présences de requins demeure imprévu.
Il en résulte : 1/30 — 10 x = 3 x. Soit x = 1/390.
Le pourcentage de journées normales (29/30 — x) est donc : 96,4 %.
26	Météorologie
Des six premières lignes de l'énoncé, il résulte qu'il y a quatre catégories de jours :
beau temps annoncé et réalisé (une fois sur trois), beau temps non annoncé (une fois
sur trois), pluie prévue (quatre fois sur quinze), pluie non prévue (une fois sur quinze).
Soit 7 l'inconvénient pour Francine de traîner son parapluie toute une journée par
beau temps et 2 / l'inconvénient de ne pas l'avoir quand il pleut.
Si elle prend son parapluie de façon systématique, elle risque i deux fois sur trois;
d'où il résulte un inconvénient moyen 2 z/3.
Si elle décide de ne jamais prendre son parapluie, elle risque 2 / une fois sur trois, soit
encore un inconvénient moyen de 2 z/3.
Si elle décide enfin de suivre les conseils de la météo et de ne prendre son parapluie
que si la pluie est annoncée, elle risque i une fois sur trois et 2 i une fois sur quinze,
ce qui correspond à un inconvénient moyen de 7 z/15, inférieur aux deux inconvénients
moyens précédents.
Nous conseillerons donc à Francine de suivre les conseils de la météo.
27	Le paquebot
Supposons que le paquebot navigue entre la n-ième et la (n + 1)-ième escale. Nous
savons que :
•	un quart des passagers est monté à la n-ième escale;
•	parmi eux, un dixième était monté à la (n — 1)-ième escale;
•	un quart des passagers est monté à bord à la (n — 1)-ième escale.
20
Donc, la proportion de passagers étant montés à bord à la n-ième ou bien à la
(n — 1 )-ième escale est :
1/4 + 1/4 —1/(4.10) = 19/40.
Il en résulte que la proportion de passagers n'étant montés à bord à aucune des deux
escales précédentes est de :
1 — 19/40 = 21/40 - 52,5 %
M„ = places occupées par des voyageurs montés à la n-ième escale.
= places occupées par des voyageurs montés à la (n — 1 )-ième escale.
28	Le parapluie
Puisque par beau temps Madame Martin prend un parapluie une fois sur deux, et
qu'il fait beau un jour sur deux, l’événement « elle prend un parapluie par beau temps »
se produira une fois sur quatre (1/2 x 1/2 = 1/4). Or on sait qu'elle prend deux fois
sur trois son parapluie. L'événement « elle prend un parapluie par mauvais temps »
se produira donc cinq fois sur douze (2/3 — 1/4 = 5/12). Mais puisqu'il fait mauvais
un jour sur deux, il arrivera une fois sur douze (1/2 — 5/12 = 1/12) qu'elle n'emporte
pas son parapluie alors que le temps est mauvais :
Pierre à raison.
29	Parcmètre
Supposons que je décide de ne pas payer le parcmètre lorsque le cafetier croit avoir
vu l'agent pendant l'heure précédente. Le cafetier se trompe une fois sur quatre,
l'agent risque alors de passer pendant les 10 minutes qui viennent avec une probabilité
de 10/60 ou 1/6, puisqu'il va alors passer nécessairement pendant l'heure qui suit,
n'étant pas passé pendant l'heure précédente. Risque monétaire correspondant
pour moi :
(1/4). (1/6) .48 F. = 2 F. = prix du parcmètre.
Les 2 solutions envisagées sont donc strictement équivalentes du point de vue
pécuniaire.
30	Paul et Caroline
Considérons deux axes orthonormés. L'heure d'arrivée de Paul est indiquée par
l'abscisse, celle de Caroline par l'ordonnée. L'origine correspond à 11 heures pour
chaque axe. Chacun des points du carré (0 — 1 ) x (0 — 1 ) correspond à une
éventualité équiprobable.
21
Sachant que Paul est arrivé à une heure donnée, il rencontrera Caroline à condition
que cette dernière soit arrivée dans le quart d’heure précédent, ou bien qu'elle se
dispose à arriver dans le quart d'heure suivant. La probabilité recherchée correspond
donc à l'aire hachurée, c'est-à-dire à la surface d'un carré de côté 1 diminuée de
celle d'un carré de côté 3/4, soit : 1 —9/16 = 7/16. Il y a 7 chances sur 16 pour
Considérons les jours n — 1 et n.
Il y a quatre cas possibles. Calculons-en les probabilités respectives :
Probabilité qu'il pleuve chacun de ces deux jours :
1/4 x 2/3 - 1/6.
Probabilité qu'il pleuve le jour n sans qu'il ait plu le jour n — 1 :
1/4— 1/6 = 1/12.
Probabilité qu'il pleuve le jour n — 1 sans qu'il pleuve le jour n :
1/4 —1/6 = 1/12.
Probabilité qu'il ne pleuve aucun de ces deux jours consécutifs :
1 _ 1/6—1/12 — 1/12 = 2/3.
Pn = pluie le jour n
Pn_l=pluie le jour n-1
22
Donc la probabilité qu'il ne pleuve pas le jour n sachant qu'il n'a pas plu le jour n — 1
est de :
2/3 : (1 — 1/4) = 8/9.
32 A la recherche d’un emploi
La probabilité de rester sans emploi après n lettres est :
(1 _ 1/5). = (4/5)".
Donc la probabilité d'en trouver un est de : 1 — (4/5)".
Maurice s'arrêtera donc d'écrire dès que n sera tel que cette dernière probabilité
soit supérieure ou égale à 3/4, c'est-à-dire :
(4/5)” s 1/4.
Donc :
n s log 4/(log 5 — log 4)
ou : n a 0,602/0,097.
Maurice aura donc dû écrire 7 lettres.
33 Le repas de famille
Deux fois sur trois, le mari se dispute avec sa belle-mère et une fois sur trois
(1/2 * 2/3) cela entraîne la querelle de ménage.
Deux fois sur trois, la femme se dispute avec sa belle-mère et une fois sur trois cela
entraîne la querelle de ménage.
Proportion de dimanches où la querelle de ménage est doublement provoquée
(puisqu'il y a indépendance entre ces disputes) :
1/3 x 1/3 = 1/9.
La proportion de dimanches où il y a querelle de ménage, quelle que soit sa cause,
est ainsi :
1/3 + 1/3 — 1/9 - 5/9.
La proportion de dimanches où les époux ne se disputent pas est donc :
1 — 5/9 = 4/9.
34 Le retard quotidien
Soit p„ la probabilité de prendre la voiture la n-ième fois que Maurice se rend à son
bureau.
Probabilité de prendre le métro cette n-ième fois : 1 — p„.
Maurice prendra la voiture la n-ième fois s'il l'a déjà prise la (n— 1)-ième fois sans
être arrivé en retard (une fois sur deux), ou qu'il a pris le métro cette (n — 1)-ième
fois mais qu'il était en retard (une fois sur quatre).
D'où la formule de récurrence suivante :
p. = (1/2) p.., + (1/4) (1 - p._,) = 1/4 (p._ ! + 1 ).
Les jeux mathématiques d'Eurêka. — 2
23
Exprimons alors p„ en fonction de p„_2, puis de p,_3, etc., jusqu'à pt :
p„ = (1/4) (1 + 1/4 + 1/42 + 1/43 + . . . + 1/4""2) + px/4"-*
(1/4) (1 — 1/4—2)
(1 - 1/4)
+ p1/4"-1
= (1/3) (1-1/4"-*) +p,/4-‘.
Si n devient très grand, p„ tendra donc vers 1 /3.
Maurice a donc une chance sur trois d'arriver en retard la 467e fois qu'il se rend à
son bureau.
35 Les quotidiens
Soit x ce pourcentage inconnu. Appelons V l'ensemble de tous les vacanciers, M le
sous-ensemble des lecteurs du Monde, F du Figaro et A de l'Aurore. Nous avons
le diagramme de Venn suivant en écrivant les pourcentages de vacanciers pour
chacune des parties représentées.
L'ensemble V tout entier correspond bien entendu au pourcentage 100 %.
D'où l'équation :
42 + (14 + x) + (12 + x) + (15 + x) + (11 —x)
+ (2 —x) + (3 — x) + x = 100,
c'est-à-dire : x = 1 %.
1 % des vacanciers adultes de ce village lisent à la fois les trois quotidiens.
36 Réunion internationale
Nombre de façons de ranger les Français entre eux : 41 Les Ivoiriens entre eux : 21
Les Russes 31 et les Suédois 41
D'où le nombre de façons de ranger ces 13 personnes sans déplacer les groupes :
41 21 3! 41 = 6912.
Nombre de façons de placer les groupes les uns par rapport aux autres sur le banc : 41
Le nombre total de rangements possibles sur le banc est donc :
41.6912 = 165 888.
24
Nombre de façons possibles de placer les groupes les uns par rapport aux autres
autour de la table ronde : 31
Le nombre total de rangements possibles autour de la table ronde est donc :
31.6 912 = 41 472.
Remarque : soit F le groupe des Français, / celui des Ivoiriens, R celui des Russes
et S celui des Suédois. Rangements possibles autour d'une table ronde : FIRS, FISR,
FRIS, FRSi, FSIR, FSRI.
Ce qui fait bien 6 ou 31 Sur un banc, nous avions 4 fois plus de rangements possibles
car nous avions par exemple : R/FS * FSRI.
Ce qui n'était pas vrai autour d'une table ronde.
37 « Sensible » ou « sensitive »
Appelons i l'inconvénient d'avoir donné une réponse fausse. Sans copier, je risque
i une fois sur deux, ce qui fait en moyenne z/2. En copiant, je risque 3 i une fois sur dix
(lorsque je suis pris en flagrant délit). Mais je risque également / lorsque mon voisin
se trompe et que je ne suis pas pris en train de copier, ce qui arrivera avec
une probabilité :
1/5x9/10 = 9/50.
Le risque moyen est donc alors :
3 z/10 + 9 z/50 = 24 z/50.
Ce qui est légèrement inférieur au risque précédent (z/2 = 25 z/50).
En considérant le risque moyen, j'ai donc avantage à copier.
38 Souvenirs de voyages
Soit x le nombre de photos de châteaux, y le nombre de photos d'arcs de triomphe,
z le nombre de photos de cascades et t le nombre des photos d'églises romanes.
Parmi les célébrités non photographiées, on trouve : 0 arc de triomphe,
(3 y — t) églises, x châteaux, (2 x — z) cascades.
25
Nous savons que le quart des photos représentent des châteaux :
x = 1/4 (t + x + y + z).
Et que la moitié des célébrités ont été photographiées :
t + x + y + z= (1/2) (3 y + 2x+2x +y) = 2x + 2 y,
(donc t + z = x + y).
Nous tirons alors de la première équation :
x = y.
La proportion de photos d'arcs de triomphe est donc :
y/(x + y + z + t) = 1/4.
39 La vaisselle
Nombre de façons de prendre cinq personnes parmi 20 :
Nombre de façons de les choisir sans réunir de couples :
Probabilité demandée :
Cîo  2» _ 6. 7. 8. 9.10	_ 168
Cs20 ~ 16.17.18.19.20 2 ” 323	'
40 Le vocabulaire anglais
Puisqu'un élève sur trois est interrogé chaque fois, et qu'un sur dix parmi ces derniers
a été interrogé à la fois précédente, il en résulte que un sur 30 est interrogé deux fois
consécutives. Le risque d'être puni par miss Blackwick est ainsi d'une fois sur 30.
Un élève sera donc interrogé au moins une fois à l'un des deux cours avec une
probabilité de 19/30
1 1 _ JL _ = 19
3 + 3	30	30 ’
Il arrivera qu'il ne soit interrogé à aucun des deux cours 11 fois sur 30
1 _ 19 = n
30 30 ‘
26
C'est le risque d'apprendre sa leçon pour rien. Il est 11 fois supérieur à celui d'être
puni.
In =interrogé au cours n
In-1 = interrogé au cours n-1
41 Vraies jumelles
Si Anne est à gauche alors que chacune des deux prétend être Brigitte, cela signifie
que la jumelle de gauche ment alors que celle de droite dit la vérité, ce qui correspond
à la probabilité :
1/5 x 3/4 = 3/20.
Mais le fait de prétendre toutes deux être Brigitte signifie que l'une des deux ment
et pas l'autre, ce qui correspond à la probabilité :
1/5 x 3/4 + 4/5 x 1/4 = 7/20.
La probabilité demandée est la probabilité conditionnelle de l'événement « Anne
est à gauche » sachant que toutes deux affirment être Brigitte, ce sera donc :
(3/20) : (7/20) = 3/7.
42 Les 24 heures du Mans
Probabilité pour que la marque Ford perde :
2/(2 + 2) = 1/2.
Donc, probabilité pour que Ford gagne : 1/2.
Probabilité pour que Jaguar perde :
5/(5 + 1) = 5/6.
Donc, probabilité pour que Jaguar gagne :
1 _ 5/6 = 1/6.
Par conséquent, la probabilité pour que Ford ou Jaguar gagne est :
1/2 + 1/6 = 4/6 = 2/3.
27
Ce qui n'est autre que la probabilité pour que Maserati soit perdante. Il faut donc donner
Maserati perdante à 2 contre 1.
Ford gagne Jaguar gagne Maserati gagne
2/( 2 + 2)	!/( 5 + 1 )	l/< 2 + 1 )
28
• En bonne logique
1 A propos de différents types de scrutin
Une circonscription électorale compte 100 000 votants. Trois candidats
s’y présentent : Montauran, Ajuda-Pinto et le vidame d'Ussel.
La population de cette circonscription comporte quatre différents types
d'opinion :
—	pour un premier groupe de 33 000 votants, Montauran est le meilleur,
suivi d'Ajuda-Pinto puis du vidame d'Ussel;
—	pour un deuxième groupe de 18 000 votants, Ajuda-Pinto est le
meilleur, suivi de Montauran puis du vidame d'Ussel;
— pour un troisième groupe de 12 000 votants, Ajuda-Pinto est le
meilleur, suivi du vidame d'Ussel et de Montauran;
— enfin, pour un quatrième groupe de 37 000 votants, le vidame d'Ussel
est le meilleur, suivi d'Ajuda-Pinto et de Montauran.
Question : qui sera l'élu?
1° Scrutin à un tour, chacun vote pour son préféré.
2° Scrutin à deux tours : on fait succéder au vote précédent un second
tour entre les deux meilleurs candidats.
3° Scrutin à trois tours ; on confronte ici au premier tour Montauran à
Ajuda-Pinto, au deuxième tour Ajuda-Pinto au vidame d'Ussel et au
troisième tour enfin le vidame d'Ussel à Montauran. On en déduit
l'opinion générale de la circonscription. Le meilleur des 3 sera l'élu.
2 L’arroseuse municipale
Un conseil municipal se réunit un jour pour débattre du type d'arroseuse
le plus souhaitable pour la ville. Deux modèles se trouvent ainsi en
concurrence : le modèle A et le modèle B. Les conseillers municipaux
dépendent chacun de l'une des quatre formations politiques suivantes :
communistes, socialistes, UDR, indépendants; et les quatre groupes ainsi
29
formés sont égaux en nombre. Le maire fait alors les constatations
suivantes :
1.	Tous les communistes sont d'accord sans exception pour le même
type d'arroseuse, tandis que, dans les autres groupes politiques, les
opinions sont partagées.
2.	Il y a autant de socialistes favorables au modèle/} que d'UDR favorables
au modèle B.
3.	Le tiers des conseillers municipaux préférant le modèle B est formé
d'indépendants.
Quel est alors le type d'arroseuse que le maire devra commander s'il
suit l'avis de la majorité de son conseil municipal?
3 Au club
Cinq amis se retrouvent dans un club de vacances.
Amélie dit : « Je vis à Acapulco, Benoît aussi. Tandis que Pierre habite
à Paris ».
Benoît dit : « J'habite à Brest. Charles aussi. Tandis que Pierre habite
à Paris ».
Pierre dit : « Je n'habite pas en France. Amélie non plus. Quant à Mélanie,
elle habite à Madrid ».
Mélanie dit : « Mon père vit à Acapulco, ma mère à Paris et moi à
Clermond-Ferrand ».
Charles dit : « Amélie vient d'Acapulco, Benoît aussi. Tandis que moi,
j'habite à Clermond-Ferrand ».
En parlant ainsi, chacun des cinq amis a donné 2 informations exactes
et une fausse. Dans quelle ville chacun habite-t-il?
4 Aux gros chasseurs d’ours faisant collection de timbres
Dans un certain groupe de dix-sept personnes, on fait les constatations
suivantes :
1.	Tous ceux qui font collection de timbres et qui sont nés en Indochine
aiment la chasse à l'ours.
2.	Aucun de ceux qui pèsent plus de 100 kg ne fait collection de timbres.
3.	Tous ceux qui sont nés en Indochine aiment la chasse à l'ours ou
font collection de timbres.
4.	Parmi ceux qui pèsent moins de 100 kg et qui ne font pas collection
de timbres, aucun n'est né en Indochine.
Pourriez-vous dire combien il y a de personnes, dans ce groupe, nées
en Indochine mais n'aimant pas la chasse à l'ours?
30
5	Blue-Jeans
Anne, Béatrice et Charlotte constatent un jour qu'elles portent toutes
trois des blue-jeans identiques. Quelles sont les caractéristiques de ces
vêtements sachant que dans leurs garde-robes respectives, Anne a un
jean à poches, étroit et un jean délavé sans poches, que Béatrice a
un jean sans poche et un jean délavé étroit avec poches, enfin que
Charlotte a un jean à pattes d'éléphant, et un jean foncé, étroit, avec
poches?
6	Chapeau noir, chapeau blanc
« Venez ici, dit M. Pickwick à ses trois élèves. Regardez, j'ai cinq chapeaux :
trois blancs et deux noirs. Je vais mettre à chacun un de ces chapeaux
pendant que vous fermerez tous les yeux. Quand vous les ouvrirez à
nouveau, chacun pourra voir les chapeaux des deux autres, mais ne verra
ni le sien propre, ni bien sûr les chapeaux non utilisés. Le premier de
vous trois qui devinera logiquement la couleur de son chapeau gagnera
une pièce d'or. » Au bout d'un certain temps, sans avoir échangé une
seule parole, ils s'écrièrent tous ensemble que leurs chapeaux étaient
blancs. Comment raisonnèrent-ils?
7	A charming English family
Après avoir brillamment étudié l'anglais pendant sept ans, je dois avouer
que lorsque j'entends des Anglais qui parlent anglais, je suis plongé dans
la plus profonde perplexité. Or, l'autre jour, animé par de bons sentiments,
je pris en auto-stop un père, une mère et une fille qui, je le compris vite,
étaient anglais et en conséquence ne parlaient qu'anglais. Pour chacune
de leurs phrases, j'hésitais entre deux sens possibles. Voici ce qu'ils me
dirent (le second sens possible est inscrit entre parenthèses) : Le père :
« Nous allons jusqu'en Espagne (nous venons de Newcastle). » La mère :
« Nous n'allons pas en Espagne et venons de Newcastle (nous nous
sommes arrêtés à Paris et n'allons pas en Espagne). »
La fille : « Nous ne venons pas de Newcastle (nous nous sommes arrêtés
à Paris). »
What about this charming English family?
8	Chez les cannibales
Trois jeunes couples, las de passer des vacances passives dans les
résidences secondaires de leurs parents respectifs, décidèrent d'aller,
visiter des contrées sauvages de l'Afrique. Malheureusement, ils furent
enlevés par des cannibales qui, avant de les manger, les pesèrent. Le
poids total, des six touristes n'était pas un nombre entier tandis que
31
celui des épouses était exactement de 171 kg. Léon pesait autant que
sa femme, Victor une fois et demie de plus et Maurice deux fois plus.
Georgette pesait 10 kg de plus que Simone, qui pesait elle-même 5 kg
de moins qu'Élisabeth. Mais les calculs de poids traînaient un peu et,
par miracle, cinq des six jeunes gens purent alors s'échapper. Seul le
mari d'Élisabeth fut mangé. Combien pesait-il?
9	Le concours de tir
Trois amis se préparent à tirer sur une cible.
— Je parie, dit le premier, que l'un de vous deux au moins ne fera pas
mouche du premier coup.
— Je parie, lui répond le deuxième, que si toi tu réussis ton premier coup,
alors, tu gagneras ton pari.
— Et moi, dit alors le troisième, je parie tout simplement que chacun de
nous trois va faire mouche du premier coup.
Ils tirent. Se peut-il que le deuxième et le troisième tireur aient
simultanément gagné ou simultanément perdu leur pari?
10	Condition féminine
« Toute mère de sept enfants sachant l'anglais porte un chignon même
si elle a des lunettes. » « Toute femme portant des lunettes a sept enfants
ou sait parler anglais. » « Aucune des femmes n'ayant pas sept enfants
ne porte des lunettes sauf si elle a un chignon. » « Toute femme ayant
sept enfants et des lunettes sait l'anglais. » « Aucune femme ayant un
chignon n'a sept enfants. » Si ces cinq phrases représentaient des
informations exactes, que pourriez-vous dire des femmes qui portent
des lunettes?
32
11	Le congrès médical
Un congrès international de dermatologie réunit des médecins britan-
niques, allemands et français. Il y a deux fois plus de Français que
d'Allemands, ces derniers étant eux-mêmes deux fois plus nombreux que
les Britanniques. Deux techniques fort différentes y sont proposées pour
soigner au mieux le pityriasis rosé de Gilbert, entre lesquelles chaque
médecin présent est invité à choisir. La technique du professeur Smith
remporte entre autres tous les suffrages britanniques. Et pour la technique
du professeur Simon, il y a autant d'Allemands favorables que de Français
hostiles.
Quelle est alors celle de ces deux techniques qui remporte le plus de
suffrages?
12	Corps médical
Trois médecins se réunissent, ainsi que leurs épouses. L'un d'eux est
généraliste, un autre est psychiatre, l'autre enfin, ophtalmologiste.
Madame Dubois, qui est très grande, dépasse le généraliste d'autant
que celui-ci dépasse sa propre femme. La femme dont le taille se
rapproche le plus de celle du généraliste pèse autant que lui, tandis
que Madame Deschamps pèse 10 kg de moins. Quand au Dr Duchemin,
il pèse 20 kg de plus que l'ophtamologiste.
Sauriez-vous déduire de ces quelques informations, le nom du psychiatre?
13	La course cycliste
Une course cycliste réunit en nombre égal des coureurs italiens et suédois.
Les premiers sont en général petits et bruns, les seconds grands et blonds*
Mais il y a des exceptions. Par exemple, parmi les coureurs suédois, on
trouve un cinquième de petits bruns. On sait, d'autre part, que dans
l'ensemble de tous les coureurs il y a trois petits bruns pour deux grands
blonds, et qu'il n'y a ni grand brun ni petit blond.
A l'arrivée, deux amateurs sportifs A et B attendent impatiemment les
coureurs. Soudain, on aperçoit au loin un grand blond.
— Tiens, un Suédois, dit A.
— Pas forcément, dit B.
Si vous y étiez aussi, seriez-vous aussi affirmatif que A? Ou bien
partageriez-vous au contraire le doute de B?
14	Les cousins germains
Trois frères Pierre, Paul et Jacques réunissent leurs enfants pendant les
vacances, dans une maison à la campagne. Chaque cousin prend tour
à tour la parole et dit :
Isabelle : — J'ai 3 ans de plus que Jean.
33
Thérèse : — Mon père s'appelle Jacques.
Yves : — J'ai 2 ans de plus qu'lsabelle.
Marie : — Je préfère jouer avec l'un de mes cousins plutôt qu'avec mon
frère.
Catherine : — Mon père s'appelle Pierre.
Anne : — C'est avec les fils d'oncle Jacques que je m'entends le mieux.
Jean : — Mon père et ses frères ont eu chacun moins de quatre enfants.
François : — Et c'est mon père qui en a eu le moins.
Sauriez-vous déduire de cette conversation le prénom du père de chacun
des cousins germains?
15	Le dernier biberon
Un samedi soir, un jeune couple décide d'aller au cinéma en laissant
ses deux enfants, âgés respectivement de 3 ans et de 6 mois, à la garde
d'une grand-mère. Celle-ci, bien intentionnée, se demande si le bébé a
déjà pris son dernier biberon de la journée, ce dont elle n'a aucune idée
a priori. Elle pourrait interroger l'aîné à ce sujet; mais il a une chance
sur quatre de se tromper.
Sachant qu'il est deux fois plus ennuyeux pour un bébé de 6 mois de
manquer de biberon le soir que d’en boire deux, laquelle de ces deux
conduites adopteriez-vous si vous étiez la grand-mère :
I. Ne pas interroger l'aîné et donner un biberon d'office.
II. Interroger l'aîné et ne donner un biberon que s'il affirme que le bébé
ne l'a pas déjà eu.
16	Discussion électorale
Avant une élection législative, trois frères discutent longuement et
finissent par échanger les propos bien compliqués que voici :
Pierre : — Si Jean vote pour Dubois, je voterai pour Dupont. Mais s'il
vote pour Durand, je voterai pour Dubois. D'autre part, si Jacques vote
pour Dupont, je voterai pour Durand.
Jean : — Si Pierre vote pour Durand, je ne voterai pas pour Dupont.
Mais si Jacques vote pour Dubois, alors, je voterai pour Dupont.
Jacques : — Si Pierre vote pour Dupont, je ne voterai pas pour Durand.
Le jour des élections arrive. Ils votent tous trois différemment. Pour qui?
17	En débarquant sur Mars
Des observations fort complexes ont montré que la planète Mars est
déserte, mis à part deux grandes villes Mars-Polis (dont les habitants
ne mentent jamais) et Mars-City (dont les habitants mentent toujours).
Les Martiens circulent librement d'une ville à l'autre. Certains habitants
de Mars-Polis se trouvent ainsi à Mars-City et vice versa. Un beau jour,
34
deux cosmonautes américains se posent dans une de ces villes. Ils ne
savent, hélas, pas dans laquelle. Un Martien s'approche alors de leur
fusée. Dans une langue appropriée, le premier cosmonaute lui demande
s'ils se trouvent à Mars-City.
— Non, répond le Martien, qui mentait peut-être et ne pouvait d'autre
part que répondre par oui ou par non.
Le second cosmonaute lui pose alors une autre question fort astucieuse
qui, à elle seule, permet de déterminer la ville où ils se sont posés.
Quelle est cette question?
18	Enquête
Un vol a été commis et trois suspects sont arrêtés. L'un d'eux (le voleur)
ment systématiquement; un autre (le complice) déguise une partie de la
vérité seulement; et le dernier (inculpé à tort) ne ment jamais.
L'interrogatoire commence par des questions d'ordre professionnel :
Bertrand : « Je suis peintre en bâtiment. Alfred est accordeur de pianos.
Charles est décorateur. »
Alfred : « Je suis médecin, Charles est agent d'assurances. Quant à
Bertrand, si vous l'interrogez, il vous dira qu'il est peintre en bâtiment. »
Charles : « Alfred accorde des pianos, Bertrand est décorateur, et moi,
je suis agent d'assurances. »
Le juge, chargé de l'interrogatoire, se demande alors quelle est la
profession du complice. Aidez-le.
19	Hold-up
Pour s'échapper après avoir commis un hold-up, un bandit doit traverser
successivement trois rivières. Après chacun des ponts empruntés, se
35
trouve un embranchement, et on peut aller soit à droite, soit tout droit
ou encore à gauche. La police arrive à attraper un complice et l'interroge
pour savoir par où s'est échappé le bandit. Voici la réponse obtenue :
« Au premier pont, il a tourné à droite; au deuxième, il n'a pas tourné
à droite; au troisième, il n'a pas tourné à gauche. »
Sachant, d'une part, que deux de ces trois renseignements sont faux et,
d'autre part, que le bandit a emprunté dans sa fuite une fois et une seule
chacune des trois directions, par où ce dernier s'est-il échappé?
20	Les journalistes menteurs
Trois journalistes observent un personnage célèbre en train de déjeuner.
Puis ils font les récits suivants :
Jules : « Il a d'abord pris un whisky. Il a mangé ensuite du canard à
l'orange et un dessert. Il a enfin bu du café. »
Jack : « Il n' a pas pris d'apéritif. Il a mangé un châteaubriand et une
poire belle Hélène. »
Jim : « Il a d'abord pris un whisky. Il a mangé ensuite un châteaubriand
et un sorbet aux fraises. Il a fini par un café. »
Attention : l'un des journalistes ment dans toutes les informations qu'il
donne; un autre dans l'une d'elles seulement; un autre enfin ne ment
jamais.
Sauriez-vous déduire de ces récits contradictoires le dessert choisi ce
jour-là par ce personnage célèbre?
21 Médecine par soi-même
J'ai constaté que l'aspirine soulage mes maux de tête et mes rhumatismes
du genou, mais que par contre elle me fait mal au cœur et à l'estomac.
L'homéopathie soulage justement mes maux de cœur et d'estomac mais
elle me provoque de vives douleurs rhumatismales dans la hanche. Quant
aux antibiotiques, ils ont heureusement un effet radical contre les
migraines et le mal au cœur, mais ils me causent de pénibles douleurs
dans l'estomac et le genou, accompagnées d'un violent torticolis. Certes
la cortisone soulage mes torticolis et mes rhumatismes du genou, mais
elle intensifie par contre ceux de la hanche. Quant aux compresses
chaudes sur le cou, c'est pour moi une merveilleuse médication contre
les maux d'estomac et les torticolis.
Or ce matin, je me suis réveillé avec une terrible migraine qui m'empêche
de réfléchir à la meilleure façon de me soigner. Conseillez-moi s'il
vous plaît.
36
22 Les menteurs
Jean et Pierre mentent de temps en temps.
Jean dit à Pierre : « Quand je ne mens pas, tu ne mens pas. » Et, Pierre
lui répond : « Et quand je mens, tu mens. »
Se peut-il, qu'en parlant ainsi, l'un mente et pas l'autre?
23 Poissons d’avril
Trois institutrices bavardaient tranquillement, installées sur un banc,
pendant une récréation. Alors qu'elles n'y prenaient pas garde, des enfants
s'amusèrent à leur attacher des poissons d'avril en papier dans le dos.
Quand elles se levèrent toutes trois éclatèrent de rire. Chacune d'elles
s'en donnait à cœur joie, bien persuadée que ses deux collègues riaient
l'une de l'autre, elle-même ayant été épargnée.
Brusquement, l'une d'elles s'arrêta de rire : elle venait de comprendre
qu’elle aussi avait un poisson dans le dos. Comment était-elle arrivée
à cette déduction?
24 Politique-fiction
Le 25 décembre 1988, le 1er janvier 1989 et le 14 juillet suivant, le
président de la République française est l'objet de trois attentats
successifs auxquels il échappe par miracle. L'un d'eux est le fait des
autonomistes corses, un autre est dû aux Bretons, un autre enfin aux
Basques. Mais la police ne sait pas avec précision à quel mouvement
attribuer chacun de ces trois attentats. Un agitateur international interrogé
sur cette affaire fait la déclaration suivante :
« L'attentat de Noël est le fait des Basques, mais pas celui du 1er janvier.
Quant à celui du 14 juillet, il n'est pas dû aux Bretons. » Sachant qu'en
parlant ainsi cet agitateur a donné un renseignement exact et deux faux,
pourriez-vous aider la police à définir l'origine de chacun de ces trois
attentats?
25 Un problème de Lewis Carroll
L'auteur bien connu d'« Alice au pays des merveilles » aimait à poser
le problème suivant en quatre phrases :
« De deux choses l'une : ou bien le malfaiteur est venu en voiture, ou
bien le témoin s'est trompé. Si le malfaiteur avait un complice, alors il
est venu en voiture. Le malfaiteur n'avait pas de complice et n'avait pas
la clé, ou bien le malfaiteur avait un complice et avait la clé. Le malfaiteur
avait la clé. » Que faut-il conclure de tout cela?
26 Les rois mages
Comme ils étaient un peu fatigués, Melchior, Gaspard et Balthazar
s'arrêtèrent un moment avant d'aller voir l'Enfant Jésus. Ils discutèrent
de l'ordre d'arrivée à la crèche.
37
' / I y
Melchior : « Si je suis dernier, Gaspard ne sera pas le premier et si je
suis premier, Gaspard ne sera pas dernier. »
Balthazar : « Si je suis dernier, Melchior n'arrivera pas après Gaspard
et si je suis premier, Melchior n'arrivera pas avant Gaspard. »
Gaspard : « Si je ne suis ni premier, ni dernier, Melchior n'arrivera pas avant
Balthazar. »
Le Saint-Esprit les aida alors à trouver une façon d'entrer dans la crèche
qui respecte à la fois les souhaits de chacun des trois rois mages.
Comment cela?
27 Salaires mensuels
Trois cadres supérieurs parlent de leurs salaires mensuels.
Dupont : « Je gagne 6 000 F par mois, soit 2 000 F de moins que
Durand et 1 000 F de plus que Martin. »
Durand : « Ce n'est pas moi qui gagne le moins. La différence de salaires
entre Martin et moi est de 3 000 F; ce dernier gagne 9 000 F par mois. »
Martin : « Je gagne moins que Dupont. Ce dernier gagne en effet
7 000 F par mois. Quant à Durand, il gagne 3 000 F de plus que Dupont. »
Sachant qu'en parlant ainsi chacun a donné deux renseignements vrais
et un faux, quels sont les salaires mensuels respectifs de Dupont,
Durand et Martin?
28 Le saut en hauteur
Trois jeunes filles s'exercent à sauter en hauteur avant l'épreuve de
gymnastique du baccalauréat. La barre vient d'être fixée à 1,20 m.
— Je parie? dit la première jeune fille à la seconde, que je vais réussir
mon saut si, et seulement si, tu rates le tien.
Sachant que la deuxième jeune fille en dit autant à la troisième, qui en
dit elle-même autant à la première, se peut-il qu'aucune des trois né
perde son pari?
38
29 Tour Eiffel et chapeaux fleuris
Si, quand elle visite la tour Eiffel, toute Américaine du Minnesota met
un chapeau à fleurs, et si toute visiteuse de la tour Eiffel ayant un
chapeau à fleurs est une Américaine du Minnesota, peut-on dire que
toute Américaine du Minnesota ayant un chapeau à fleurs visite la
tour Eiffel?
30 La vieille tante Ernestine
Ce dimanche, tante Ernestine doit venir déjeuner chez nous. Ma femme
est sortie avec la voiture. Est-ce seulement pour faire les courses ou
bien va-t-elle aussi penser à aller chercher tante Ernestine qui ne peut
pas venir toute seule? Je n'en ai aucune idée a priori. Bien sûr, je pourrais
prendre la seconde voiture et aller chercher moi-même notre vieille tante
qui habite à 10 km. Mais ce n'est peut-être pas la peine. Je pourrais
essayer de lui téléphoner et ne partir que si elle me répond. Mais, comme
elle est bien sourde, j'ai remarqué que deux fois sur cinq elle ne répond
pas au téléphone alors qu'elle y est. Or, il est trois fois plus ennuyeux
d'oublier tante Ernestine que d'aller la chercher pour rien... J'ai donc
trois conduites possibles :
Conduite 1 : ne pas aller chercher tante Ernestine.
Conduite 2 : aller la chercher d'office.
Conduite 3 : aller la chercher si et seulement si elle répond au téléphone.
Que feriez-vous à ma place?
31 Ville nouvelle
Une ville nouvelle comporte 12 pâtés de maisons rectangulaires bordés
de rues, à chaque angle et à chaque carrefour desquels se trouve une
39
boîte aux lettres. Les pâtés communiquent tous les uns avec les autres
soit par un angle,' soit par un côté tout entier. Sachant qu'il y a en tout
37 segments de rues, c'est-à-dire, 37 intervalles entre deux boîtes aux
lettres, combien y-a-t-il précisément de boîtes aux lettres dans cette
ville nouvelle?
32 La visite de Paris
Tante Amélie fait visiter Paris à ses trois neveux. Puis chacun en fait
tour à tour le récit suivant :
Le 1er : «Nous sommes montés à la tour Eiffel mais pas à la tour
Montparnasse; nous avons d'autre part visité l'Arc de Triomphe. »
Le 2e : « Nous sommes montés à la tour Eiffel et à la tour Montparnasse.
Mais nous n'avons visité ni l'Arc de Triomphe, ni le musée du Jeu
de Paume. »
Le 3e : « Nous ne sommes pas montés à la tour Eiffel, mais nous avons
visité l'Arc de Triomphe. »
Sachant que chaque enfant ment une fois, et une seule, qu'ont-ils
réellement visité avec leur tante Amélie?
33 Xénon Zéphyr et Yénopha
Deux amis font des prévisions en attendant les résultats d'une course
de chevaux. L'un d'eux a misé sur Xénon et Yénopha, l'autre sur Zéphyr.
— Je parie, dit ce dernier, que si mon cheval est dans les trois premiers,
Xénon le sera aussi.
— Et moi, je parie que si au moins l'un de mes chevaux est dans les
trois premiers, alors tu perdras ton pari, lui répond l'autre.
Sachant que ce dernier pari n'a pas été perdu, quel est parmi les trois
chevaux Xénon, Zéphyr et Yénopha celui qui a effectivement le plus de
chances de se trouver parmi les trois premiers?
34 Les cinq femmes des prisonniers
Un château fort domine une vallée. L'une de ses façades, surplombant
une haute falaise, présente cinq tours côte à côte. Dans chacune d'elles
est enfermé un prisonnier. Parmi eux, il y a deux menteurs invétérés,
tandis que deux autres ne mentent jamais, et que le dernier déguise
une partie de la vérité seulement.
Un beau jour, alors que tour à tour le gardien distribuait ses rations
quotidiennes de pain et d'eau, chacun d'eux se mit à lui parler de sa
dame avec mélancolie :
40
Le 1er : — Ma douce Anne est blonde; la dame du prisonnier voisin aussi.
Le 2e : — Mon adorable Brunehaude est rousse; les deux dames des
prisonniers voisins sont châtains.
La 3e : — Ma charmante Clotilde a les cheveux roux. Les deux dames
des prisonniers voisins aussi.
Le 4e : — Ma tendre Gudrune est rousse. Les dames des prisonniers
voisins ont les cheveux châtains.
Le 5e : — Ma très belle Jehanne est brune. La dame du prisonnier voisin
aussi. Quant à celle du prisonnier de la tour opposée à la mienne, elle
n'est ni brune ni rousse.
Le gardien se mit alors à songer aux cheveux d'Anne, de Brunehaude,
de Clotilde, de Gudrune et de Jehanne. De quelle couleur sont-ils?
41
Logiquement vôtre
1 A propos de différents types de scutin
1.	Si l'on choisit la procédure à un tour, Montauran obtient 33 000 voix,
Ajuda-Pinto 30 000 et le vidame d'Ussel 37 000. Le vidame d'Ussel est donc élu.
2.	Procédure à deux tours : on confronte les deux premiers du vote précédent, c'est-à-
dire le vidame d’Ussel et Montauran. Ce dernier obtient 51 000 voix (33 000 +
18 000), le vidame d'Ussel obtient 49 000 voix (12 000 + 37 000). Montauran
est donc élu.
3.	Procédure à trois tours :
« Duel » Montauran contre Ajuda-Pinto. Ce dernier l'emporte par 67 000 voix
contre 33 000.
« Duel » Ajuda-Pinto contre vidame d'Ussel : Ajuda-Pinto l'emporte par 63 000 voix
contre 37 000.
« Duel » vidame d'Ussel contre Montauran. Montauran l'emporte par 51 000 voix
contre 40 000.
Pour l'ensemble de la circonscription, Ajuda-Pinto est donc le meilleur, suivi de
Montauran puis du vidame d'Ussel. Autrement dit, Ajuda-Pinto est élu.
Ainsi, sans modification de l'opinion publique dans cette circonscription, le seul
changement du mode de scrutin permet de faire élire au choix l'un des trois candidats.
Nous faisons ici référence au cours de théorie des jeux du Pr Jean Bouzitat.
Les noms sont pris dans la « Comédie contemporaine » de M. de Rastignac (Valeurs
Actuelles).
2 L’arroseuse municipale
Appelons x le nombre de conseillers municipaux de chaque formation politique;
et y le nombre de socialistes favorables au modèle B (qui est aussi le nombre d'UDR
pour le modèle A).
1re hypothèse. Tous les communistes sont pour le modèle B.
Suffrages pour le modèle B : x communistes; y socialistes; x — y UDR;
1/2 (x + y + (x — y)) indépendants ou x indépendants.
Mais cela implique que tous les indépendants ont la même opinion, ce qui est
impossible.
42
2’ hypothèse. Tous les communistes sont pour le modèle A.
Suffrages pour le modèle B : 0 communiste; y socialistes; x — y UDR;
1/2 (y + (x — y)) indépendants ou x/2 indépendants.
Il en résulte : nombre de suffrages pour le modèle B : 3 x/2; nombre de suffrages
pour le modèle A :
4 x — 3 x/2 = 5 x/2.
Le maire commandera l'arroseuse modèle A.
3	Au club
1.	Supposons que Pierre n'habite pas à Paris. Amélie et Benoît ne peuvent alors que
dire la vérité par leurs deux autres affirmations. Donc Benoît habite à Acapulco et
Brest à la fois, ce qui est impossible. La supposition est donc fausse : Pierre habite
à Paris.
Donc Pierre ment quand il dit qu'il n’habite pas en France. Ses deux autres affirmations
sont vraies : Amélie ne vit pas en France et Mélanie vit à Madrid.
2.	Supposons qu'Amélie ne vive pas à Acapulco. Elle ment ainsi en parlant d'elle.
Donc Benoît vit à Acapulco puisqu'elle ne peut pas mentir en l'affirmant. Donc Benoît
ment en disant qu'il vit à Brest. Donc Charles habite Brest. Ce dernier ment ainsi
deux fois (1r0 et 3e affirmation). Ce qui est impossible. Notre supposition est donc
fausse : Amélie vit à Acapulco.
Or Amélie ment une fois, donc Benoît ne vit pas à Acapulco. Charles, qui ne peut
mentir qu'une fois, habite ainsi à Clermont-Ferrand. Et Benoît, pour la même raison,
habite à Brest.
4	Aux gros chasseurs d’ours faisant collection de timbres
Considérons l'ensemble £ de ceux qui sont nés en Indochine et qui n'aiment pas
la chasse à l'ours. Partageons-le en deux parties.
A : sous-ensemble des collectionneurs de timbres.
B : sous-ensemble des non-collectionneurs.
La première proposition nous dit que tous ceux qui font collection de timbres et
qui sont nés en Indochine aiment la chasse à l'ours. Il en résulte que A ne comporte
aucun élément.
43
La troisième proposition nous dit que tous ceux qui sont nés en Indochine aiment
la chasse à l'ours ou font collection de timbres : B ne comporte donc lui non plus
aucun élément.
L'ensemble E, composé de A et B, ne comporte ainsi aucun élément. La réponse
demandée est : 0.
5	Blue-jeans
Nous considérons ici trois sous-ensembles de blue-jeans :
D celui des délavés, E celui des étroits, et P celui des blue-jeans à poches (nous
conviendrons de noter D, E et P les trois sous-ensembles complémentaires).
Il y aura donc 23 ou huit types de blue-jeans à considérer. Et pour chacun de ces
huit types nous observerons s'il peut convenir à Anne (A), à Béatrice (B) ou à
Charlotte (C). Nous obtenons ainsi le tableau suivant :
DEP	DEP	DEP	DEP	DEP	DEP	DEP	DEP
A	A		A	A			
B	B		B		B		B
		C	C	C		C	C
Le seul type de blue-jean possible pour les trois jeunes filles est donc le quatrième;
il s'agit d'un blue-jean délavé, à pattes d'éléphant et sans poches.
6	Chapeau noir, chapeau blanc
Appelons Elr E1 et £3 les différents élèves de M. Pickwick.
Le premier d'entre eux, £2, se tint le raisonnement suivant :
— Mes deux camarades ont des chapeaux blancs. Le mien est soit noir, soit blanc.
S il est noir, £2 devrait s'écrier : « £, a un chapeau noir, £3 a un chapeau blanc. J'en ai
donc un blanc moi-même puisque, s'il était noir, £3 voyant les deux uniques chapeaux
noirs sur les autres, s'écrierait tout de suite que le sien est blanc. Or il n'en fait rien :
il hésite donc sur la couleur de son chapeau. Donc mon chapeau est blanc ». Mais £2
se tait cependant. C'est donc que mon propre chapeau ne peut être noir : il est blanc.
Chacun des deux autres élèves put se tenir un raisonnement analogue, en se basant
sur les grandes capacités logiques de chacun de ses deux camarades.
7	A charming English family
Nous remarquons d'abord, d'après les propos de la mère (quel que soit leur sens),
que cette famille anglaise ne se rend pas en Espagne. Il faut donc prendre le second
sens possible dans les propos du père : ils viennent de Newcastle. Il faut donc choisir
également le second sens possible dans les propos de la fille : ils se sont arrêtés à
44
Paris. En résumé : cette charmante famille anglaise vient de Newcastle, s'est arrêtée
à Paris mais ne va pas jusqu'en Espagne.
8	Chez les cannibales
Considérons d'abord les trois épouses (poids total = 171 kg). Soit s le poids de
Simone. Elisabeth a pour poids s + 5 et Georgette s + 10. Nous avons donc
l'équation :
3 s + 15 = 171.
D'où il résulte : s = 52. Elisabeth pèse ainsi 57 kg et Georgette 62 kg. Notons
qu'Elisabeth est la seule dont le poids s'exprime par un nombre impair.
Considérons alors les trois époux. Le poids total des six jeunes gens n'est pas un
nombre entier. Or nous savons qu'un des époux pèse le même poids que sa femme,
un autre (Victor) une fois et demi plus, un autre enfin deux fois plus. Victor doit donc
être l'époux d'une femme dont le poids exprimé en kilos est un nombre impair :
c'est le mari d'Elisabeth. C'est lui qui sera mangé. Il pèse 85,5 kg.
9	Le concours de tir
Soit C1 la proposition : le premier fait mouche du premier coup.
Soit C2 la proposition : le deuxième fait mouche du premier coup.
Soit C3 la proposition : le troisième fait mouche du premier coup.
Le deuxième tireur dit que, si C1 est réalisé, il n'est pas possible que C2 et C3 le soient
à la fois. Il perdra donc son pari si, et seulement si. Cl est vrai alors que C2 et C3
le sont aussi, c'est-à-dire si le troisième tireur gagne son pari.
Il ne se peut donc pas que le deuxième et le troisième tireur aient simultanément
gagné ou simultanément perdu leur pari.
10	Condition féminine
D'après la cinquième phrase, nous savons que si une femme est mère de sept enfants,
elle ne porte pas de chignon. La première phrase nous dit que toute mère de sept enfants
sachant l'anglais porte un chignon : aucune mère de sept enfants ne parle donc l'anglais.
Or la 4e phrase nous indique que toute mère de sept enfants ayant des lunettes parle
anglais : il n'y a donc aucune mère de sept enfants parmi les femmes qui portent des
lunettes. Nous pouvons alors déduire de la 2e phrase que toutes celles qui ont des
lunettes savent l'anglais et, de la 3°, qu'elles portent aussi un chignon.
En conclusion, si les cinq phrases étaient exactes, toutes les femmes qui ont dps
lunettes savent l'anglais, portent un chignon mais aucune d'entre elles n'a
sept enfants.
11	Le congrès médical
Soit x le nombre de médecins britanniques, 2 x celui des allemands et 4 x celui des
français.
Soit y le nombre de médecins allemands favorables à la technique Simon.
Nombre de suffrages pour Smith :
(x)	+ (2x — y) +	(y) = 3 x
nombre nombre nombre
d'Anglais d'Allemands de Français
45
Nombre de suffrages pour Simon :
(y)	+ (4 x — y) = 4 x
nombre nombre
d'Allemands de Français
La technique du professeur Simon remporte ainsi plus de suffrages que la technique
du professeur Smith.
12	Corps médical
Madame Dubois et la femme du généraliste ont des tailles équidistantes de celle
du généraliste. Donc la femme dont la taille se rapproche le plus de ce dernier n'est
ni Madame Dubois ni Madame Deschamps (10 kg de moins). C’est donc
Madame Duchemin. La femme du généraliste ne peut ainsi être que
Madame Deschamps, et le généraliste le Dr Deschamps. Le Dr Duchemin n'étant
pas ophtalmologiste (20 kg de plus) c'est le psychiatre.
13	La course cycliste
Puisque parmi les coureurs suédois on trouve un cinquième de petits bruns, on trouve
quatre cinquièmes de grands blonds. Deux coureurs sur cinq sont ainsi à la fois grands,
blonds et suédois.
D'autre part, on sait que, sur la totalité des coureurs, il y a trois petits bruns pour deux
grands blonds. Cela veut donc dire que tous les grands blonds sont suédois.
L'amateur sportif A a ainsi raison.
14	Les cousins germains
Il y a donc huit enfants réunis : cinq filles et trois garçons. D'après les deux dernières
observations, deux des frères ont trois enfants et le dernier (père de François) en
a deux. D'après les 2e et 6e observations, Jacques a une fille Thérèse et deux fils.
François n'est donc pas le fils de Jacques. Ces deux fils sont donc Yves et Jean.
D'après la 4° observation, Marie a un frère : c'est donc la sœur de François. Isabelle
et Anne sont ainsi les sœurs de Catherine, toutes trois enfants de Pierre (5° observa-
tion). François et Marie sont donc les enfants de Paul.
46
15	Le dernier biberon
Appelons i l'inconvénient pour le bébé d'avoir deux biberons au lieu d'un.
Avec la conduite II, elle a une chance sur quatre de se tromper autant par manque
que par excès. Elle risque ainsi :
•	i avec une probabilité 1/8 (1/4 x 1/2);
•	2 i avec une probabilité 1/8 également.
Avec la conduite I, elle a une chance sur deux de se tromper, toujours par excès.
Elle risque ainsi : i avec une probabilité 1/2.
L'espérance des risques pour la conduite. Il est donc : 3 z/8.
Celle des risques pour la conduite I est donc : r/2.
La conduite II est ainsi la meilleure.
16	Discussion électorale
Les frères votent tous trois différemment, cela fait six possibilités :
PI :	Pierre	pour	Dupont, Jacques pour Dubois,	Jean pour Durand.
P2 :	Pierre	pour	Dupont, Jacques pour Durand,	Jean pour Dubois.
P3 :	Pierre	pour	Durand, Jacques pour Dupont,	Jean pour Dubois.
P4 :	Pierre	pour	Durand, Jacques pour Dubois,	Jean pour Dupont.
P5 :	Pierre	pour	Dubois, Jacques pour Durand,	Jean pour Dupont.
P6 :	Pierre	pour	Dubois, Jacques pour Dupont,	Jean pour Durand.
Or six conditions sont émises pendant la discussion. Il est clair que la première
d'entre elles contredit la possibilité P3, la deuxième P1, la troisième PP>, la qua-
trième P4, la cinquième P\ et la sixième P2. Il ne reste donc que la cinquième
possibilité :
Pierre a voté pour Dubois, Jacques pour Durand et Jean pour Dupont.
17	En débarquant sur mars
Le second cosmonaute demande au Martien : « Etes-vous d ici? ». S ils se trouvent
dans Mars-Polis, il est clair que le Martien répondra « oui », quelle que soit son
origine.
S'ils se trouvent dans Mars-City, il répondra bien évidemment « non ».
Remarque : dès que les cosmonautes sauront dans quelle ville ils sont, leur première
question leur permettra de déterminer aisément d'où vient le Martien qui leur parle :
s'ils sont dans Mars-Polis, le Martien ne ment pas et habite donc sur place. S'ils
sont dans Mars-City, le Martien ment et habite donc encore sur place.
18	Enquête
Alfred dit « Quant à Bertrand, si vous l'interrogez, il vous dira qu'il est peintre en
bâtiment ». Cela est vrai. Alfred n'est donc pas le voleur. S'il est le complice, les paroles
de Bertrand et de Charles doivent être tout à fait opposées. Ce qui n'est pas le cas
puisque tous deux admettent qu'Alfred est accordeur de pianos. Par conséquent,
Alfred, qui n'est ni voleur ni complice, est innocent. Il ne dit donc que la vérité. Donc
Charles est agent d'assurances. Ce qui est conforme à ce que dit Charles lui-même.
Charles ne peut ainsi être que le complice : LE COMPLICE EST AGENT
D'ASSURANCES.
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19	Hold-up
Puisque le bandit a emprunté une fois et une seule chacune des trois directions,
cela fait six façons différentes de s'enfuir :
1.	droite, gauche, tout droit;
2.	droite, tout droit, gauche;
3.	gauche, droite, tout droit;
4.	gauche, tout droit, droite;
5.	tout droit, droite, gauche;
6.	tout droit, gauche, droite.
Mais, selon la première possibilité, il y a trois renseignements vrais. Selon la deuxième,
deux; selon la troisième, un; selon la quatrième, deux; selon la cinquième, aucun;
selon la sixième, deux.
Comme un seul de ces renseignements est vrai, la seule possibilité est la troisième :
au premier pont, le bandit a tourné à gauche, au second à droite et au troisième il
est allé tout droit.
20	Les journalistes menteurs
Jules et Jim font chacun quatre affirmations, Jack en fait trois. Entre Jules et Jack,
il n'y a aucune affirmation commune. Entre Jules et Jim il y a trois affirmations
communes. Entre Jack et Jim. il y en a une. On en déduit de façon évidente que
c'est Jack qui ment en permanence, Jules qui ne ment jamais et Jim qui ment une
fois, lorsque sont affirmation est identique à celle de Jack, c'est-à-dire quand il parle
du château-briand. Son affirmation sur le dessert est donc exacte : ce personnage
célèbre a pris du sorbet aux fraises.
21	Médecine par soi-même
Il suffit de prendre de l'aspirine, des antibiotiques et des compresses chaudes sur
le cou.
En effet, l'aspirine soulage la tête mais fait mal au cœur et à l'estomac. Les antibio-
tiques soulagent alors le cœur mais rajoutent des douleurs dans le genou et donnent
le torticolis. Le genou est déjà soigné par l'aspirine. Quant à l'estomac et au torticolis,
les compresses chaudes sur le cou les guériront.
22	Les menteurs
Appelons J la proposition « Jean ment ». Appelons P la proposition « Pierre ment ».
Jean dit à Pierre : « Si J n'est pas vrai, alors P ne l'est pas non plus. »
Pierre répond : « Si P est réalisé, alors J l'est aussi. »
Chacune de ces deux paroles signifie bien que l'on ne peut pas avoir à la fois J faux
et P vrai. Elles sont donc synonymes et leurs auteurs disent ou bien tous deux la
vérité ou bien tous deux un mensonge. Il ne se peut donc pas que l'un des deux mente
et pas l'autre.
(On retrouve ici le propre de la démonstration par l'absurde.)
23	Poissons d’avril
Soit A, B et C ces trois institutrices. A se dit à elle-même : « B voit que C rit. Or B
ignore qu'elle a un poisson dans le dos. Donc, si je n'ai pas de poisson dans mon
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propre dos, B devrait être surprise du rire de C. et en déduire qu'elle-même a un poisson
dans le dos. Or, il n'en est rien : B continue à rire de bon cœur sans s'enlever ce qu'elle
a dans le dos. Donc, il est impossible que je n'ai pas de poisson dans mon dos. »
C'est ainsi' que brusquement, l'ayant compris, A s’arrêta de rire.
24	Politique-fiction
Parmi les trois renseignements donnés, un seul est exact.
Premier cas : ce renseignement exact est le premier : les Basques sont respon-
sables de l'attentat de Noël. Ils ne sont donc pas les auteurs de celui du 1er janvier.
Le 2e renseignement est donc exact lui aussi, ce qui est contraire à la donnée.
Deuxième cas : le 2e renseignement est exact : les Basques ne sont pas respon-
sables de l'attentat du 1er janvier. Or ils ne sont pas responsables non plus de l'attentat
de Noël, puisque le 1er renseignement est faux. Donc ils sont les auteurs de l'attentat
du 14 juillet. Mais alors le 3e renseignement est vrai, ce qui est contraire à la donnée.
Troisième cas : le 3e renseignement est exact. Les deux premiers sont donc faux :
les Basques sont responsables de l'attentat du 1er janvier. Comme l’attentat du
14 juillet n'est pas dû aux Bretons, ces derniers sont responsables de celui de Noël.
Et l'attentat du 14 juillet ne peut ainsi être que le fait des Corses.
Ce dernier cas est le seul compatible avec la donnée.
25	Un problème de Lewis Carroll
Lewis Carroll nous donne une suite de quatre propositions que nous allons étudier
l'une après l'autre à partir de la dernière. Le malfaiteur avait donc la clé (proposi-
tion 4). Il avait par conséquent aussi un complice (proposition 3). Nous en conclurons
qu'il est venu en voiture (proposition 2), puis que le témoin ne s'est pas trompé
(proposition 1).
26	Les rois mages
Il y a six ordre possibles d'entrée à la crèche :
Pt : Balthazar, Gaspard et Melchior ou : BGM
P2 : BMG
P3 : G MB
P* : GBM
P5 : MBG
P6 : MGB
Les propos de Melchior interdisent P4 et P5.
Les propos de Balthazar interdisent P2 et P3.
Les propos de Gaspard interdisent P6.
Il reste la première possibilité. Pi : Balthazar arrive en tête, suivi de Gaspard puis de
Melchior.
Tl Salaires mensuels
Dupont ment dans sa première affirmation, Durand dans sa troisième et Martin dans
sa troisième également. Il en résulte que Dupont gagne 7 000 F par mois. Durand
9 000 F et Martin 6 000 F.
Remarque : il est aisé de constater que cette solution est unique.
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28	Le saut en hauteur
Supposons qu'aucune des trois ne perde son pari. Que cela signifie-t-il?
Si la première jeune fille a réussi son saut, la seconde l'a raté (premier pari);
ce qui entraîne (deuxième pari) que la troisième l'a réussi; mais alors (troisième pari),
la première l'a raté. Cela est impossible. Donc la première jeune fille n'a pas pu
réussir son saut. Elle l'a donc raté. La deuxième l'a donc réussi (premier pari).
La troisième l'a raté (deuxième pari). Mais alors la première l'a réussi (troisième pari).
Ce qui est encore impossible : les trois paris ne peuvent donc avoir été
gagnés simultanément.
29	Tour Eiffel et chapeaux fleuris
La réponse évidente est non : il se peut parfaitement qu'une Américaine du Minnesota
porte un chapeau à fleurs sans pour autant visiter la tour Eiffel.
30	La vieille tante Emestine
Soit 7 l'inconvénient d'aller la chercher pour rien. L'oublier présente l'inconvénient 3 7.
Avec la conduite 1, je risque 3 7, une fois sur deux (puisque je ne sais absolument
pas si ma femme va penser à notre tante, ou pas). Résultat : 3 z/2.
Avec la conduite 2, je risque i, une fois sur deux : résultat i/2.
Avec la conduite 3, je risque 3 7 si elle n'entend pas le téléphone et qu'elle y est, c'est-à-
dire si ma femme n'est pas allée la chercher : résultat 3 7. (1/2). (2/5) = 3 i/5.
La conduite 3 me donne donc un risque légèrement supérieur à la conduite 2, qui
est donc la meilleure ; il faut aller chercher tante Emestine d'office.
31 Ville nouvelle
Examinons deux configurations possibles quelconques :
Face 13
Face 13
Dans chaque configuration, on voit que le nombre de boîtes aux lettres est de 26.
Il ne dépend pas en effet du détail du plan de cette ville nouvelle. Euler a en effet
démontré la formule suivante :
« Si dans un graphe planaire connexe, il y a n sommets, m arrêtes et f faces, on a :
n — m + f = 2. »
Ici, n représente le nombre de boîtes aux lettres, m représente le nombre de segments
de rue, f représente le nombre de pâtés de maison augmenté de 1 pour tenir compte
de la face extérieure ou infinie. Et nous avons bien : 26 — 37 + 13 = 2.
50
32 La visite de Paris
Soit £ la proposition : ils ont visité la tour Eiffel.
Soit A la proposition : ils ont visité l'Arc de Triomphe.
Soit M la proposition : ils ont visité la tour Montparnasse.
Soit P la proposition : ils ont visité le musée du Jeu de Paume.
Le premier dit : £ et A et non M.
Le deuxième dit : £ et non A et M et non P.
Le troisième dit : non £ et A.
Si £ était faux, A serait vrai puisque le premier ne ment qu'une fois. Donc le deuxième
mentirait deux fois; ce qui est impossible. Donc £ est vrai. Donc le troisième ment
quand il dit non £. Donc A est vrai. Donc le premier ne peut mentir que quand il dit
non M. Donc M est vrai. Le deuxième qui ment en disant non A dit la vérité en disant
non P. Il en résulte que tante Amélie a fait monter ses neveux à la tour Eiffel, à la tour
Montparnasse, leur a fait visiter l'Arc de Triomphe, mais pas le musée du Jeu de
Paume.
33 Xénon Zéphir et Yénopha
Soit X, Y et Z les propositions respectives :
•	Xénon est dans les trois premiers;
•	Yénopha est dans les trois premiers;
•	Zéphyr est dans les trois premiers.
Que le deuxième pari ne soit pas perdu, cela signifie que, si l'une des propositions X
ou Y est vérifiée, alors le premier pari est perdu. Or si le premier pari est perdu c'est
que l'on a à la fois Z et le contraire de X. Nous savons donc que, si X ou Y sont vraies,
Z et le contaire de X le sont aussi. Il en résulte que X ne peut être vérifiée. Nous savons
donc que, si Y est vraie, Z l'est aussi : Zéphyr a donc plus de chances (ou au moins
autant) que Yénopha de se trouver dans les trois premiers, alors que Xénon n'a aucune
chance d'être parmi eux. Le meilleur cheval est donc Zéphyr.
34 Les cinq femmes des prisonniers
•	Première solution : le 2e et le 4e disent vrai. Le 3e et le 5e mentent alors en partie
ce qui est impossible.
•	Deuxième solution : le 1 °r et le 4° disent vrai. Les autres mentent alors en partie,
ce qui est impossible.
•	Troisième solution ; le 1er et le 5° disent vrai. Le 2° et le 4e sont les menteurs
invétérés et le 3e ment partiellement.
Résultat : Anne et Brunehaude sont blondes, Clotilde rousse, Gudrune et Jehanne
sont brunes.
51
3» Des mystérieuses relations
entre vitesses,
distances et temps
1	Autoroute en Pays Basque
L'autoroute Biarritz-Bilbao a pour longueur approximative 150 km. En
Mercedes, je mets pour la franchir 25 minutes de moins que ma femme
avec sa 104. Or, l'autre jour, nous partîmes en même temps, elle de
Bilbao et moi de Biarritz. Quand nous nous sommes croisés, nous avons
observé que la différence entre les distances encore à franchir, en kilo-
mètres, était égale à la différence entre les nombres de minutes qu'il
nous restait encore à rouler, si nous conservions nos vitesses habituelles
respectives. A combien de kilomètres étions-nous alors de Bilbao? Et
combien de temps avions-nous roulé avant de nous croiser?
2	Au Texas
A l'instant même où un premier avion quitte Allelluiah City pour San Pedro,
un second avion quitte San Pedro pour Allelluiah City. Ils volent à des
altitudes différentes et à des vitesses constantes, le premier étant plus
52
rapide que le second. Ils se croisent une première fois à 437 kilomètres
de San Pedro. Puis, l'un après l'autre, ils atterrissent, restent une demi-
heure au sol afin de refaire le plein, débarquer leurs passagers respectifs
et en reprendre d'autres. Puis, l'un après l'autre, chacun d'eux repart
vers son point de départ, en reprenant la même vitesse qu'à l'aller. Ils
se croisent alors à 237 kilomètres d'Allelluiah City. Quelle est la distance
qui sépare ces deux petites villes?
3	Avant le tour de France
Un groupe de coureurs s'entraînent avant le tour de France, sur une
petite route. Ils roulent tous à 35 km/h. L'un d'eux quitte alors soudain
le peloton à 45 km/h, parcourt 10 km, puis fait demi-tour à même allure
et va retrouver les autres, qui ont continué pendant ce temps leur
chemin sans changer de vitesse non plus.
Combien de temps s'est-il écoulé entre le départ et le retour du coureur?
4	Bordeaux - Saint-Jean-de-Luz
Pour se rendre de Bordeaux à Saint-Jean-de-Luz (distance approximative
195 kilomètres), deux cyclistes partent en même temps. L'un d'eux, dont
la vitesse moyenne sur ce parcours est supérieure de 4 km/h à celle de
l'autre, arrive 1 heure plus tôt. Quelle est sa vitesse?
5	Clochard-story
A l'instant même ou Pierrot quittait le bar du Commerce pour se rendre
au bar du Théâtre, Jeannot quittait le bar du Théâtre pour se rendre au
bar du Commerce. Ils marchaient à vitesse constantes. Quand ils se
rencontrèrent, Pierrot remarqua tout haut qu'il avait parcouru 200 m de
plus que Jeannot. Ce dernier, l'esprit fortement embué par l'alcool, prit
cette remarque comme une injure personnelle et se mit en conséquence
à battre Pierrot qui lui rendit immédiatement ses coups. Quand la bagarre
fut terminée, ils s'embrassèrent en pleurant puis chacun reprit son chemin
initial, mais avec une vitesse diminuée de moitié car tous deux étaient
légèrement blessés. Pierrot arriva ainsi au bar du Théâtre au bout de
8 minutes et Jeannot au bar du Commerce au bout de 18 minutes.
Quelle distance y-a-t-il entre les deux bars?
6	Cocktail
Pour célébrer l'obtention de la Légion d'honneur de son mari, une dame
fort distinguée de la Région parisienne commande un assortiment de
petits fours divers chez un excellent traiteur.
— Le coktail, précise-t-elle au téléphone, commencera à 18 heures
précises. Et je tiens à être livrée à ce moment-là très exactement.
53
— Madame, lui répond-on alors, toutes nos camionnettes de livraison
partent à heures fixes, sitôt notre cuisine terminée. Si la circulation est
fluide, nous espérons faire du 60 à l'heure de moyenne et arriver donc
chez vous à 17 heures 45. Mais si nous rencontrons des embouteillages
et que notre vitesse moyenne s'abaisse à 20 km/h, nous ne vous livrerons
qu'à 18 heures 15.
Sauriez-vous déduire de cette conversation la vitesse moyenne que
devrait avoir la camionnette afin de répondre aux exigences précisesde
cette maîtresse de maison?
7	Le cycliste amoureux
Un jeune cycliste se rend chez sa fiancée pour lui offrir un bouquet de
fleurs. Puis il revient à son point de départ. A l'aller, embarrassé par
son bouquet, sa vitesse moyenne n'est que de 17 km/h, mais au retour
elle s'élève à 23 km/h.
Quelle a été la vitesse moyenne de ce cycliste sur l'ensemble du trajet?
8	L’émir et son chauffeur
L'émir Ben Sidi Mohammed se rend de son palais à l'aéroport toujours
à la même vitesse, sur une autoroute splendide construite au milieu du
désert. Suivant que son chauffeur augmenterait ou diminuerait sa vitesse
moyenne de 20 km/h, il gagnerait 2 minutes ou en perdrait 3.
Quelle distance y a-t-il entre l'aéroport et le palais de l'émir Ben Sidi
Mohammed?
9	En voiture ou à vélo
Jean et Jules quittent simultanément la ville A pour se rendre en B.
L'un est en voiture, l'autre à bicyclette.
Au bout d'un certain temps, il apparaît que si Jean avait parcouru une
distance trois fois plus grande, il lui resterait un trajet deux fois plus
54
court; et que si Jules avait parcouru une distance deux fois moindre,
il lui resterait un trajet trois fois plus long.
Quel est le prénom du cycliste?
10	L’escalier roulant du Métro
J'ai l'habitude de grimper l'escalier roulant du Métro tandis qu'il
fonctionne : je monte 20 marches de mon propre pas et je mets ainsi
60 secondes exactement; tandis que ma femme ne monte elle-même
que 16 marches et met ainsi 72 secondes. Si demain, cet escalier roulant
était en panne, combien cela me ferait-il de marches à monter?
11	Expédition polaire
Un explorateur polaire disposait d'un traîneau tiré par cinq rennes. Au
bout de 24 heures, deux d'entre eux périrent. La vitesse tomba alors
aux 3/5 de la vitesse initiale. Et l'explorateur arriva à son but avec
48 heures de retard sur l'horaire qu'il s'était fixé. « Ah ! s'écria-t-il alors,
si mes deux rennes avaient seulement péri 120 km plus loin, je n'aurais
eu que 24 heures de retard. »
Quelle distance l'explorateur a-t-il ainsi parcourue?
12	Une femme précise
Tous les samedis, je joue au tennis avec mon ami Philippe, entre 15
et 16 heures. Ma femme vient me chercher ensuite en voiture, à
16 heures 10 précises. Or, l'autre jour, Philippe avait la grippe. Je n'en
étais pas prévenu et me rendis donc au tennis comme d'habitude.
A 15 heures 5, constatant son absence, je quittai le tennis et me mis à
marcher en direction de la maison. Au bout d'un certain temps, je
rencontrai ma femme qui venait me chercher. Je montai alors dans la
voiture, nous rentrâmes à la maison et arrivâmes ainsi 10 minutes plus
tôt que d'habitude.
Sauriez-vous déduire de cette petite histoire banale quel rapport il y a
entre ma vitesse à pied et celle de ma femme en voiture?
13	La grosse caisse et le petit scout
En l’honneur de la fête du village, un défilé long de 250 m est organisé.
Les scouts sont en tête, la fanfare en queue. Vite après le départ, le
plus jeune des scouts, chargé de porter le drapeau, se souvient qu'il a
confié à la grosse caisse (située dans la dernière rangée de la fanfare)
son foulard d'uniforme. Il part alors en courant à 10 km/h pour le chercher
et revient à sa place 3 mn 18 s plus tard.
A quelle vitesse avance le défilé?
Les jeux mathématiques d' Eurêka. — 3
55
14	Janine et Monique
Janine et Monique plongent simultanément, du même endroit, dans une
très petite rivière. Janine remonte le courant, Monique le descend. Mais
cette dernière a oublié d'enlever un gros collier en bois qui se détache
de son cou lorsqu'elle plonge et se trouve entraînée par le courant. Au
bout d'un quart d'heure, nos deux nageuses font demi-tour. Monique
aura-t-elle pu récupérer son collier avant de retrouver Janine, sachant
que toutes deux nagent exactement à la même vitesse quand il n'y a
pas de courant?
15	Le Métro de Mexico
Un ouvrier marche le long des voies dans un des tunnels du Métro
de Mexico, entre deux stations fort éloignées l'une de l'autre.
Toutes les 5 minutes, une rame le croise. Toutes les 6 minutes, un rame
le double. L'ouvrier va toujours à la même allure, et les rames se suivent
à intervalles réguliers (les mêmes dans les deux sens), avec une vitesse
constante (la même dans les deux sens).
Puis l'ouvrier s'arrête pour procéder à une réparation. Un métro passe.
Au bout de combien de temps passera la rame suivante dans le même sens?
16	Navigation
Un bateau se déplace sur une rivière dont le courant a une vitesse de
3 km/h. Il va tantôt dans un sens, tantôt dans l'autre. Il revient ainsi à son
point de départ 6 heures après être parti, en ayant effectué un périple
de 36 km sur la carte. Quelle est sa vitesse, sachant qu'il ne perd pas
de temps en changeant de sens?
17	Paris-Deauville
Monsieur et Madame Dubois vont de Paris à Deauville où ils ont leur
résidence secondaire. Chacun prend sa voiture. Ils partent ensemble et
arrivent de même. Mais Monsieur Dubois s'est arrêté en route le tiers
du temps pendant lequel sa femme roulait : tandis que celle-ci s'est
arrêtée le quart du temps pendant lequel circulait son mari.
Quel est le rapport entre les vitesses moyennes de chacun des deux époux?
18	Le petit village
A l'instant où le boucher demande à son fils d'aller acheter du pain à
la boulangerie, le boulanger demande au sien d'aller acheter de la viande
à la boucherie. Les deux jeunes gens vont ainsi marcher l'un vers l'autre
à vitesse constante. Quand ils se croisent, le fils du boucher a franchi
500 m de plus que celui du boulanger.
56
Pour arriver alors à leurs buts respectifs, il ne restera au premier que
10 minutes à marcher, tandis qu'il restera 22 minutes et demie au second.
Quelle est la distance entre la boulangerie et la boucherie de ce petit
village?
19	Pique-nique
A 9 heures du matin, Paul part en bicyclette de A vers B (vitesse : 15 km/h).
A 10 heures moins le quart, Pierre en fait autant de B vers A (vitesse :
20 km/h). Ils se rencontrent pour pique-niquer à mi-chemin. Quelle
heure est-il alors?
20	Le plongeur
Un plongeur plonge de 10 m, passe à la hauteur de 5 m à la vitesse v
et arrive à l'eau à la vitesse 2 v. Qu'en pensez-vous?
21	Rue Sainte-Catherine
Je faisais des courses avec ma belle-mère. Nous marchions doucement
(3 km/h) dans la rue Sainte-Catherine à Bordeaux, qui, comme chacun
sait, ou ne sait pas, est rectiligne. Soudain, je me souvins que je devais
mettre une lettre à la boîte un peu plus loin, le plus rapidement possible.
Je laissai donc ma belle-mère continuer tranquillement sa marche et
partis moi-même, toujours dans la même direction, à la vitesse de 5 km/h.
Je revins aussi vite et constatai alors que je n'avais ainsi quitté ma belle-
mère que 3 minutes. A quelle distance étions-nous de la boîte aux lettres
lorsque nous nous sommes séparés?
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22	La sortie du collège
Francine sort tous les matins de son collège à midi et son père vient
alors la chercher en voiture. Un beau jour, la sortie a lieu plus tôt que
d'habitude. Elle marche donc en direction de sa maison, puis rencontre
son père au volant de sa voiture au bout d'un quart d'heure; ce dernier
la fait monter et rebrousse son chemin. Ils arrivent ainsi à la maison
avec 10 minutes d'avance. A quelle heure Francine est-elle sortie de
son collège?
23	Ski de fond
Un skieur de fond hésite entre deux parcours de même longueur. Le
premier est intégralement plat, le second au contraire est moitié en
montée, moitié en descente. Notre skieur sait qu'il est trois fois plus
lent en montée qu'en plat, mais aussi trois fois plus rapide en descente
qu'en plat. « Je mettrai donc, se dit-il, le même temps que je choississe
un parcours ou l'autre.» A-t-il raison?
24	Les deux baleines
Deux baleines nageaient tranquillement en ligne droite, à 6 km/h, en
plein océan Antarctique. L'une d'elles eut soudain envie d'aller plus vite.
Elle partit ainsi à 10 km/h, sans changer de direction. Puis elle fit demi-
tour brusquement et revint auprès de son amie qui n'avait modifié pendant
ce temps-là ni sa vitesse ni sa direction. Sachant que nos deux baleines
se sont quittées à 9 heures et quart et se sont retrouvées à 10 heures,
quelle heure était-il lorsque la plus rapide a fait son demi-tour?
58
25	Subsonique et supersonique
Les pilotes Dupont et Durand quittent simultanément l'aéroport de
Roissy-en-France, pour se rendre à Kennedy Airport. L'un d'eux pilote
un avion supersonique, l'autre un subsonique. Au bout d'un certain
temps, il apparait que, si l'avion piloté par Dupont avait parcouru une
distance double, le trajet résiduel serait une fois et demie plus court et
que, si l'avion piloté par Durand avait parcouru une distance une fois
et demie moindre, il lui resterait à franchir un trajet deux fois plus
long.
Qui pilote le supersonique?
26	Tapis roulant
Quand je le prends dans le bon sens, je mets 6 secondes pour le parcourir
en marchant normalement. En sens contraire, il me faut 6 minutes,
c'est-à-dire le temps qu'il me faut d'ordinaire pour franchir 500 m.
Quelle est la longueur de ce tapis roulant?
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Procédons par ordre
1 Autoroute en Pays Basque
1	° Soit x la distance à Bilbao lors du croisement.
Distance à Biarritz : 150 — x.
Différence entre ces deux distances : 150 — 2 x ou 25 : car c'est la différence entre
les temps de trajets.
De l'équation « 150 — 2 x = 25 », il résulte : x = 62,5.
2° La Mercedes a donc déjà parcouru 87,5 km à la vitesse V (en km/mn). La 104
a parcouru 62,5 km à la vitesse v. D'où les équations :
62,5/v = 87,5/1/	et 150/v—150/1/= 25.
D'où
1 = 1 ÊZ15
v V ' 62,5
150 / 87,5 _ 1
l/ ‘ \ 62,5
D'où le temps recherché, égal à
R7 R
—L. = 36,46 minutes ou 36 mn 28 s.
On trouve encore 1/ = 2,4 km/mn ou 144 km/h. v = 1,72 km/mn ou 103 km/h, ce qui
donne bien une différence de 25 minutes sur un parcours de 150 km.
2	Au Texas
Soit d la distance séparant Allelluiah City de San Pedro. Lors de leur premier croisement,
les deux avions ont parcouru à eux deux la distance d. Lors de leur second croisement,
ils ont parcouru ensemble 3 d. S’étant tous deux arrêtés le même temps, chacun a
parcouru, lors du second croisement trois fois plus que lors du premier. D'où l'équation,
relative au premier avion :
d — 437 = 1/3 (2d—237),
donc
3d— 1 311 = 2d — 337 et d = 974.
974 km séparent Allelluiah City de San Pedro.
60
3	Avant le tour de France
Soit x le temps écoulé entre le départ et le retour du coureur. Ce dernier a parcouru :
45.x km. Tandis que le peloton parcourait seulement : 35.x km. Or la somme de
ces deux parcours est bien entendu égale à la distance aller du coureur solitaire,
augmentée de la distance retour et de la distance parcourue alors par le peloton.
Ce qui fait également deux fois la distance aller du coureur solitaire.
D'où l'équation :
45x + 35x - 2.10 = 20.
Il en résulte : x = 1/4.
Il s'est écoulé un quart d'heure entre le départ et l'arrivée du cycliste.
4	Bordeaux-Saint-Jean-de-Luz
Soit v la vitesse cherchée en kilomètres à l'heure. Soit t le temps en heures mis par
le cycliste le plus rapide.
Vitesse du cycliste le plus lent : v — 4.
Temps correspondant : t + 1.
Nous avons les équations :
195 = vt= (v — 4) (t + 1).
D'où il résulte : t = 195/v
et : v — 4 t — 4 = 0
ou : v — 4(195/v) — 4 = 0
ou : v2 — 4 v — 4 (195) = 0
A = 4 + 195 (4) = 4 x 196 = 282.
Solution : v = 2 + 28 = 30.
La vitesse recherchée est donc de 30 km.
Le temps mis par le cycliste rapide était donc : 195/30 = 6 heures et demie.
Temps mis par l'autre cycliste : 195/26 = 7 heures et demi, soit bien 1 heure de plus.
5 Clochards-story
Prenons comme unités les mètres et les minutes.
Soit x la distance cherchée, entre les deux bars.
Soit d la distance parcourue par Pierrot au moment de la rencontre.
Soit V la vitesse de Pierrot et v celle de Jeannot avant la bagarre.
La somme des distances parcourues lors de la rencontre est x :
d + (d — 200) = x ou x=2d — 200.
Lors de la rencontre, chacun a marché le même temps :
d/V = {d— 200)/v.
Après la rencontre. Pierrot marche 8 minutes :
(d— 200)/(V/2) = 8 ou V = (d — 200)/4.
Et Jeannot 18 minutes :
d/(v/2) = 18 ou v = d/9.
(équation I)
(équation II)
(équation III)
(équation IV)
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Remplaçons V et v par leur valeur en fonction de d dans la deuxième équation, il
vient :
4 d/(d — 200) = 9. (d — 200)/d ou 5 d1 — 3 600 d + 360000 = 0.
Cette équation du deuxième degré en d se résout classiquement, à l'aide du
discriminant
A' = (1 800)2 — 5.360 000 = (1 200)1.
D'où les solutions :
d=1 800 ±.1 200 = 600 ou 120.
5
Ce qui donne pour x (ou 2 d— 200) les valeurs : 1 000 ou 40.
Mais la distance d ne représente qu'une partie du trajet de longueur x. elle doit lui
être inférieure. La deuxième solution de l’équation du second degré est donc à rejeter.
La première solution est donc la seule acceptable : il y a exactement 1 km entre le
bar du Théâtre et le bar du Commerce.
6 Cocktail
Soit v cette vitesse inconnue, t le temps de livraison correspondant, et d la distance
(en km) à parcourir.
Nous avons les équations :
t = d/v,
t + 1/4 = d/20,
. t— 1/4 = d/60.
Il en résulte :
20 t + 5 = d,
60 t— 15 = d.
Donc :
40 t — 20 = 0.
Nous avons ainsi :
t = 1/2;	d=15 et v = 30.
La camionnette doit ainsi avoir une vitesse moyenne de 30 km/h.
7	Le cycliste amoureux
Soit d la distance à parcourir jusqu'au domicile de la fiancée du cycliste.
Temps mis à l’aller : d/17.
Temps mis au retour : d/23.
Temps mis en tout : 0,102 d.
La vitesse moyenne est donc :
..Ie* ... = 19,6 km/h.
0,102 d	'
8	L’émir et son chauffeur
Soit / cette longueur inconnue (en km). Soit v la vitesse de la voiture de l'émir (en
km/h). Soit t le temps pour aller du palais à l'aéroport (en h). Nous avons les trois
62
équations suivantes :
v = i/t,
v + 20 = //(t — 2/60),
v — 20 = //(t + 3/60).
Il en résulte par l'élimination de / :
(v — 20). (t — 3/60) = vt,
(v + 20). (t + 3/60) = vt,
ou encore :
— v/30 + 20 t — 2/3 = 0,
v/20 — 20 t — 1 = 0,
d'où il ressort que v=100ett=1/5 = 12 mn. Par conséquent : / = vt = 20.
Il y a 20 km entre le palais de l'émir et l'aéroport.
9	En voiture ou à vélo
Soit x le trajet parcouru par Jean, et x' celui qu'il lui reste à parcourir. Soit y le trajet
parcouru par Jules et y' celui qu'il lui reste à parcourir.
Nous avons :
x + x' = 3 x + x'/2 et y + y' = y/2 + 3 y’.
Donc :
x = x'/4 et y = 4 y'.
Jean a donc parcouru le quart de ce qu'il lui reste à faire, tandis que Jules a parcouru
quatre fois le trajet restant. Ce dernier est donc en voiture : le prénom du cycliste est
Jean.
10	L’escalier roulant du Métro
Soit x ce nombre de marches inconnu. Quand j'utilise cet escalier, il parcourt
x — 20 marches en 60 secondes. Quand c'est ma femme, il s'élève de la hauteur
de x — 16 marches en 72 secondes. L'escalier a donc une vitesse propre de quatre
marches en 12 secondes. Il parcourt donc l'équivalent de 20 marches en 60 secondes :
sa hauteur totale est la somme de ces 20 marches et des 20 autres que j'ai franchies
de mon propre pas, soit 40 marches.
11	Expédition polaire
120 km de plus avec les deux rennes correspondent à 24 heures de retard en moins.
Donc, pour rattraper 48 heures, il aurait fallu faire 240 km en plus avec les deux
rennes. Soit v la vitesse initiale. A partir du moment où les deux rennes sont mort,
il a mis un temps égal à :
48 + 240/v ou bien 5/3 x 240/v.
D'où l’équation :
48 + 240/v = 400/v.
Ce qui donne : v = 10/3 km/h.
63
Avant que les rennes aient péri, l'explorateur avait ainsi parcouru (en 24 heures) :
24 x 10/3 = 80 km.
La distance totale à parcourir était donc de :
80 + 240 = 320 km.
12 Une femme précise
Ma femme a donc roulé 10 minutes de moins que d'habitude, soit 5 minutes de moins
dans chaque sens. Je l’ai donc rencontrée à 16 heures 5 et non à 16 heures 10 comme
d'habitude. J'avais alors marché pendant 60 minutes, parcourant une distance qu'elle
fait d'ordinaire en 5 minutes. Ma vitesse à pied est donc égale au douzième de celle
de ma femme en voiture.
13 La grosse caisse et le petit scout
Soit x la vitesse du défilé. En allant chercher son foulard, tout se passe comme si
le petit scout parcourait 250 m à la vitesse 10 + x. En retournant à sa place, tout
se passe comme s'il parcourait 250 m à la vitesse 10 — x. Le temps total sera ainsi :
250	1	250	1	_ 3	18
1 000 ’ 10 + x + 1 000 ’ 10 — x ~ 60 + 3 600
(les unités sont les kilomètres, les heures et les kilomètres par heure).
Développons notre équation :
(10 —x) + (10 + x) = 4(10 + x) (10 —x)/	+ W \
\ OU o bUU /
ou 20 = 4 (100 — x2). ( -1-98 Y
\ 3 600 )
D'où il résulte en isolant x2 :
Le défilé avance à peu près à 3 km/h.
14 Janine et Monique
Les deux nageuses se déplacent avec leur vitesse propre dans l'eau de la rivière, par
rapport à laquelle le collier reste immobile. Les nageuses parcourent des distances
égales et se retrouvent au bout d'une demi-heure au point marqué par le collier.
Monique récupère ainsi son collier à l’instant même où elle retrouve Janine.
15 Le Métro de Mexico
Soit x le temps séparant le passage de deux rames. Soit / la distance entre deux rames
successives. Soit V la vitesse de chaque rame. Soit v celle de l'ouvrier.
Toute rame qui le double a une vitesse relative : V — v.
Toute rame qui le croise a une vitesse relative : V + v.
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D'où les équations :
5 = //(IZ + v),
6 = l/(V — v),
x = l/V.
On en déduit aisément : x = 60/11 = 5 mn 27 s.
16	Navigation
Soit x la vitesse du bateau en km/h.
La vitesse effective sera de « x + 3 » sur la moitié du parcours où le courant lui est
favorable, et de « x — 3 » sur l'autre moitié. Puisque la durée totale de ce parcours
est de 6 heures, nous avons :
18/(x + 3) + 18/(x—3) = 6.
Il en résulte : x2 — 6 x — 9 = 0,
c'est-à-dire : (x — 3)2 — 18 = 0
ou : (x— 3 — 3 \/2) (x— 3 + 3 \/2) = 0.
La vitesse du bateau est donc :
x = 3 + 3 sj2 = 7,24 km/h.
17	Paris-Deauville
Soit a et a' les temps d'arrêt respectifs de Madame et de Monsieur Dubois. Soit r
et r' les temps respectifs pendant lesquels ont roulé Madame et Monsieur Dubois.
Étant partis ensemble et arrivés de même, nous avions :
a + r = a' + r'.
Nous savons d'autre part que : a' = r/3 et a = r'/4.
Il en résulte :
i'+'4+'' ou lr=lr' et '=I''
La vitesse moyenne de Madame Dubois est donc les huit neuvièmes de celle de son
mari.
18	Le petit village
Prenons comme unité de distance les kilomètres, et comme unité de temps, les heures
(vitesses en kilomètres-heure).
Soit x la distance franchie par le fils du boulanger au moment du croisement, v2 sa
vitesse, vt celle du fils du boucher.
L'égalité des temps de parcours avant le croisement s'écrit : (x + 0,5)/vi = x/v2.
La donnée des temps résiduels de marche de chacun des deux jeunes gens s'écrit :
x = 10/60. Vj,
x + 0,5 = 22,5/60. v2,
c'est-à-dire : vt = 6 x, v2 = 8/3. (x + 0,5).
Reprenons alors la première équation.
65
Nous avons :
(x + 0,5)/6 x = x/((8,3). (x + 0,5)),
c'est-à-dire : 10 x2 — 8 x — 2 = 0 ou (x — 1 ). (x + 1/5) = 0.
La seule solution positive est donc : x = 1.
Le fils du boulanger a marché 1 km avant de croiser le fils du boucher qui avait donc
franchi 1,5 km.
Il y a 2,5 km entre la boucherie et la boulangerie de ce petit village.
19	Pique-nique
Soit x la demi-distance entre A et B.
Temps mis par Paul : x/15.
Temps mis par Pierre : x/20. Ce dernier partant avec trois quarts d'heure de retard,
nous avons l'équation :
x/15 = x/20 + 0,75.
Donc : x = 45.
Paul a donc mis 3 heures pour se rendre au rendez-vous : ils se rencontrent par
conséquent à midi.
20	Le plongeur
Cela est impossible. En effet, la variation d'énergie cinétique entre 5 et 10 m est la
même qu'entre 0 et 5 m :
vj - O2 = v20 - vf ou v20 = 2 v2
c'est-à-dire : v10 = V2.k3.
La vitesse du plongeur arrivant à l'eau est 1,414 fois sa vitesse à mi-hauteur.
Remarque : vs représente la vitesse après 5 m de chute, v10 représente la vitesse
après 10 m de chute.
21	Rue Sainte-Catherine
Prenons comme unités les mètres et les minutes.
Vitesse personnelle : 5 000/60 = 250/3.
Vitesse de ma belle-mère : 3 000/60 = 50.
Soit S le lieu de la séparation, R celui où nous nous sommes retrouvés et B la boîte
aux lettres.
Distance parcourue par ma belle-mère en 3 minutes :
SR - 50.3 = 150.
Distance parcourue par moi-même :
SB + BR = SR + 2 BR = (250/3). 3 = 250.
Par conséquent, 2 BR = 100 et BR = 50.
Donc SB = SR + RB = 200.
Lorsque nous nous sommes séparés, nous étions à 200 m de la boîte aux lettres.
66
22	La sortie du collège
Le père a donc fait 10 minutes de voiture de moins que d'habitude : 5 dans le sens
maison-collège et 5 dans le sens collège-maison. Il a ainsi rencontré Francine 5 minutes
plus tôt que d'habitude. Elle marchait alors depuis un quart d'heure. Elle était donc
sortie avec 20 minutes d'avance, c'est-à-dire à midi moins 20.
23	Ski de fond
Soit t le temps mis par notre skieur sur le parcours plat. Pour la partie en montée du
second parcours, qui est deux fois plus courte que le parcours plat mais sur laquelle
il va trois fois plus lentement, il mettra : 3 t/2. Cela est déjà supérieur à t. Devant
ajouter de plus le temps nécessaire à la partie en descente, il lui faudra a fortiori plus
de temps pour effectuer le second parcours que le premier.
24	Les deux baleines
Soit ti le temps passé entre la séparation des deux baleines et le demi-tour de la plus
rapide. Soitf2 le temps passé entre le demi-tour et l'instant où les baleines se retrouvent
(fi + ti = 3/4, en adoptant l'heure comme unité de temps).
Distance entre le lieu de séparation et celui où les baleines se retrouvent :
6 (t2 + t2) ~ 10 ti — 10 t2.
Nous avons ainsi deux équations à deux inconnues t2 et f2 :
4 t, + 4 f2 = 3,	4 fj — 16/2 = 0,
donc 20 f2 = 3 et t2 = 3/20 = 9 minutes.
Le demi-tour a donc eu lieu à 9 h 51 mn ou 10 heures moins 9.
25	Subsonique et supersonique
Soit x la distance parcourue par Dupont et x' celle qui lui reste à parcourir. Soit y la
distance parcourue par Durand et y' celle qui lui reste à parcourir.
La distance totale du trajet peut s'écrire de quatre façons différentes :
x + x';	2x+(x'/1,5); y + y';	(y/1,5) + 2 y'.
De l'égalité entre les deux dernières expressions, il résulte :
x = x'/3.
De l'égalité entre les deux dernières expressions, il résulte :
Y = 3 y’.
Dupont a ainsi parcouru le quart de la distance à franchir et Durand les trois quarts.
Par conséquent, c'est Durand qui pilote le supersonique.
26	Tapis roulant
Soit v la vitesse du tapis roulant (en m/mn).
Soit 1/ ma propre vitesse (en m/mn).
Soit x la longueur du tapis roulant (en m).
67
Nous avons : x = Y) , et x = (U — v) x 6
10
ou
61x=12U avec U =
6
D'où x = liai. (500) = 16,39.
6	61
Le tapis roulant mesure 16,39 m de long.
68
4. Où l’on retrouve
la bonne géométrie d’autrefois
1	Bissectrice
Dans tout triangle, la bissectrice d'un angle est confondue avec celle
de l'angle formé par la hauteur et le diamètre du cercle circonscrit issu
du même sommet. Pourquoi cela?
2	Catastrophe en Mer du Nord
Pour rechercher du pétrole, on plaça un derrick dans la Mer du Nord,
sur un lourd socle en béton. La hauteur émergée, par mer calme, était
de 40 m. A la suite d'une terrible tempête, il fut renversé autour de sa
base. La catastrophe fut filmée d'une plate-forme voisine et l'on remarqua
ainsi que l'extrémité du derrick disparut dans la mer à 84 m du point où
69
le derrick se dressait auparavant. Quelle est la profondeur de l'eau en
ce lieu?
Remarque : il ne faut pas tenir compte ici de la hauteur des vagues.
3	Un coin tranquille
J'ai acquis récemment, pour un prix très avantageux, un charmant
terrain à la campagne, dont le seul inconvénient est sans doute d'être
un peu trop bruyant. Il est en effet limité par trois tronçons rectilignes
de même longueur : le chemin de fer, la route nationale et l'autoroute.
Aussi ai-je décidé de construire ma maison en prenant comme centre
le point dont la somme des distances à ces trois segments rectilignes
est la plus grande possible. Où est situé ce point?
4	Construction
Par deux points fixes A et B, sauriez-vous construire deux droites
parallèles distantes d'une longueur donnée / inférieure à la distance
qui sépare A et B?
5	Crayon, gomme, équerre et compas
Prenez les cinq objets suivants : une feuille de papier blanc, une gomme,
une équerre, un compas, un crayon. Sauriez-vous alors déterminer
précisément deux segments dont la somme des longueurs soit égale
à celle du crayon, et la racine carrée du produit égale à celle de la gomme?
6	Dans le désert
Deux hommes sont perdus dans une jeep au milieu du désert. Depuis
plusieurs heures, ils remarquent, à l'aide d'un système fort complexe,
que la somme des carrés de leurs distances aux oasis de Sidi-Ben et
de Ben-Sidi est égale au double du carré de leur distance à l'oasis
de Sidi-Sidi.
« Nous sommes donc, dit le conducteur, sur une perpendiculaire à la
piste qui joint Sidi-Sidi au milieu de la piste qui joint Sidi-Ben à Ben-Sidi. »
Qu'en pensez-vous?
7	Découpage
Tracez deux demi-cercles concentriques de rayons respectifs 2 cm et 4 cm.
Découpez l'aire comprise entre ces deux demi-cercles et collez côte à
côte les deux tronçons rectilignes. Quel est le volume du tronc de cône
ainsi formé?
70
8	Dublin 1856
L'Irlandais Buriet démontra en 1856 que tout triangle rectangle a même
surface que le rectangle ayant des côtés égaux aux segments découpés
sur l'hypoténuse par le point de contact du cercle inscrit. Comment fit-il?
9	L’eau, l’huile et le mercure
Dans un verre conique, on verse successivement du mercure (den-
sité 13,59), de l'eau (densité 1) et de l'huile (densité 0,915). Les trois
liquides remplissent le verre sans se mélanger en y formant trois couches
d'égale épaisseur. Le verre contient-il alors une masse plus importante
d'eau, d'huile ou de mercure?
10	Émirat
Paresseusement étendu sur le sable du désert, un riche émir contemple
son dernier bijou. C'est une petite plaque d'or en forme de triangle
équilatéral, tout incrustée de diamants. Il la tourne et la retourne amou-
reusement, puis constate soudain que l'ombre en est un triangle rectangle
dont l'hypothénuse est égale à la véritable longueur de chaque côté
du bijou.
« Quel est, se demande-t-il alors, l'angle que forme le plan du bijou
avec le sable horizontal du désert?»
Mais il s'endort sous le soleil au zénith, avant d'avoir eu le temps de
résoudre son problème. Sauriez-vous le résoudre à sa place en calculant
par exemple le cosinus de cet angle?
71
11	L’essuie-glace
Un pare-brise est balayé par deux essuie-glaces de longueur L articulés
autour de cieux points distants de L. Chacun d'eux couvre ainsi un
demi-cercle. Quelle est la surface totale balayée?
12	Figure
On donne cinq points dans un plan tels que l'on ne puisse en trouver
trois alignés. On joint ces points deux à deux et l'on obtient ainsi des
droites. En supposant qu'aucune de ces droites ne soit parallèle à une
autre, quel est le nombre de points d'intersection de ces droites autres
que les cinq points donnés?
13	La galette des rois
Le jour de l'Épiphanie, une mère de famille sert â ses enfants une galette
des rois. Elle commence par la couper en deux suivant un diamètre, et
s'arrête en sentant que son couteau heurte la fève. Elle fait alôrs une
nouvelle incision rectiligne, formant un angle de 45 degrés avec la
précédente. Mais elle s'y prend maladroitement et heurte encore la fève.
Ses enfants, plus mathématiciens que gourmands, s'aperçoivent alors que
la somme des carrés des segments déterminés sur la deuxième incision
par la fève est égale au double du carré du rayon de la galette.
S'agit-il, selon vous, d'une simple coïncidence?
14	Géométrie révolutionnaire
Soit un triangle ABC rectangle en B. Soit M le point de l'hypothénuse
équidistant des deux côtés du triangle. Sauriez-vous trouver la valeur
de l'expression suivante :
E = VÎ83Ô (AC — 'JA B2 + BC2)
+ 1789 — (VAB + MBC — \/2IBM).
(1848)3
15	La grand-messe
Le vitrail principal d'une église moderne est un cercle de 2 m de diamètre,
traversé par une croix, formée par deux droites perpendiculaires qui se
coupent en un point quelconque, situé à 50 cm du centre du vitrail.
Pendant la grand-messe, l'un des paroissiens, quelque peu distrait,
s'amuse à calculer la somme des carrés des longueurs des deux segments
de cette croix.
— Tiens, se dit-il, je trouve autant de mètres carrés qu'il y a de péchés
capitaux.
Pourquoi cela?
72
16	Héritage
Un fermier possède un très grand champ en forme de parallélogramme,
ABCD, à l'intérieur duquel se trouve un puits en un certain point
quelconque O. Se sentant mourir, il donne à son fils Pierre les deux
champs triangulaires AOB et OCD et tout le reste à son fils Jean, le
puits lui-même restant leur copropriété. Sachant que la longueur de AB
est supérieure à celle de BC, quel est, selon vous, celui des deux frères
qui est le plus favorisé?
17	L’hexagone
Considérez un hexagone et dites-moi combien il y a de diagonales,
c'est-à-dire de droites joignant deux sommets non consécutifs.
Si vous trouvez cela trop facile, prolongez les six côtés pour en faire
des droites et dites-moi alors en combien de points distincts des six
sommets de l'hexagone se coupent toutes ces droites (côtés et
diagonales) ?
18	Intersections
On considère un quadrilatère quelconque. Montrez que les deux segments
qui joignent les milieux des côtés opposés, ainsi que celui qui joint le
milieu des diagonales, se rencontrent en leurs milieux.
19 Italie 1678
Vous avez peut-être appris autrefois le théorème de Jean de Ceva,
mathématicien italien du XVIIe siècle. Voici ce qu'il dit : soit P un point
quelconque intérieur à un triangle ABC, les droites AP, BP et CP
recoupant respectivement le triangle aux points X, Y et Z.
Nous avons alors :
BX . CY . AZ
CX AY BZ K
Sauriez-vous encore le démontrer?
20 Médianes
Se peut-il que la somme des longueurs des trois médianes d'un triangle
soit plus petite que les 3/4 de son périmètre?
21 Parallélogramme
Un parallélogramme invariable ABCD se déplace dans un plan de façon
que deux côtés adjacents AB et AD passent respectivement par deux
points fixes M et N. Sauriez-vous démontrer qu'alors la diagonale AC
passe elle aussi par un point fixe?
73
22 Le phare
Du sommet d'un phare situé à 125,7 m au-dessus du niveau de la mer,
on observe l'horizon .A quelle distance est-il approximativement, sachant
que le tour du monde fait 40 000 km et que la Terre est ronde?
23 Polygones
Partagez un cercle en n arcs égaux, puis, joignez les sommets ainsi
obtenus, de p en p,. jusqu'à retrouver le sommet de départ. Combien
y-a-t-il de côtés au polygone ainsi formé?
Remarque : on pourra vérifier la formule générale ainsi trouvée pour
n = 10, avec successivement p = 2, p = 3 et p = 4.
24 La promenade du chien
Monsieur et Madame Dubois vont faire une promenade avec leur chien.
Chacun d'eux voulant lui-même le tenir en laisse, ils finissent par
accrocher à la pauvre bête deux chaînes différentes, mesurant chacune 1 m.
Sachant que Monsieur et Madame Dubois marchent toujours à 1 m l'un
de l'autre, quelle est à chaque instant la surface dans laquelle le chien
peut évoluer librement?
25 Le quadrilatère
Un quadrilatère inscrit dans un cercle présente la particularité suivante:
une de ses diagonales est un diamètre. Que pensez-vous alors des
projections sur l'autre diagonale des 4 côtés de ce quadrilatère?
74
26 Les remparts
Une petite ville est entourée de remparts en forme de demi-cercle.
Trois portes permettent d'en sortir : les deux premières, Pt et P3, sont
situées aux extrémités du côté droit, la troisième, P3, sur un point
quelconque du demi-cercle. De chacune de ces portes partent des
routes tangentes au demi-cercle qui se rencontrent en deux points.
Une autre longe la partie droite des remparts.
Un cycliste contourne cette ville à vitesse constante, le long des routes
que l'on vient de décrire. Il constate que s'il élève au carré le temps de
parcours Pi P3, il. obtient le produit des temps de parcours P3 P3 et
P3 Pi. Comment expliqueriez-vous ce phénomène?
27 Surfaces égales
Considérez un triangle isocèle ABC, rectangle en A. Tracez-en le demi-
cercle circonscrit, puis l'arc de cercle tangent en fi à AB et en C à AC,
intérieur au triangle. L'aire comprise entre l'arc et le demi-cercle est
égale à celle du triangle lui-même. Pourquoi cela?
28 Tangence
Deux cercles sont tangents extérieurement. Par leur point de tangence,
on mène deux droites, qui coupent les deux cercles en quatre autres
points. Quelle est la nature du quadrilatère obtenu en joignant ces
quatre points?
29 Triangle
Sauriez-vous construire un triangle connaissant son périmètre, un angle
et la hauteur abaissée du sommet de cet angle?
75
30 Triangle rectangle
Dans tout triangle rectangle, la somme des côtés de l'angle droit est
égale à la somme des diamètres des deux cercles inscrit et circonscrit.
Pourquoi?
31 Si la terre était une orange
Entourez une orange bien ronde avec une ficelle rouge. Puis allongez
la ficelle de façon à entourer l'orange tout en restant à 1 m de sa surface.
Entourez alors la Terre entière (supposée sphérique) avec une ficelle
bleue. Et allongez cette ficelle de façon à entourer la Terre tout en restant
à 1 m de sa surface.
Quel est, selon vous, le plus grand des deux allongements, celui de la
ficelle rouge autour de l'orange ou celui de la ficelle bleue autour de
la Terre?
32 La sieste
Albert somnole, paresseusement étendu sur une terrasse ensoleillée. Il
s'amuse à observer sa main droite : « Mon index et mon majeur font un
angle approximatif de 20°, se dit-il. Si je conserve ce même écartement,
puis-je tourner ma main de telle sorte que les projections au sol de mes
doigts soient perpendiculaires? » 1 minute plus tard, ayant trouvé la
réponse, il se rendort profondément. Vous seriez-vous rendormi aussi
vite à sa place?
33 Les statues
Dans un très grand parc, une allée rectiligne passe successivement sur
quatre petits ponts, séparés par des intervalles inégaux, au milieu
desquels se trouvent 3 statues de personnages historiques.'On trouve
ainsi successivement : Vercingétorix, Charlemagne et Henri IV. Tandis
qu'au milieu de l'intervalle séparant le premier pont du quatrième se
trouve Louis XIV. On décide alors de rajouter une statue de Napoléon.
Où conseilleriez-vous de la placer :
•	à mi-chemin entre Vercingétorix et Henri IV?
•	à mi-chemin entre Charlemagne et Louis XIV?
34 Le village alsacien
La rue principale coupe la rue du Général-De-Gaulle, perpendiculairement,
sur la place de la Mairie. L'église catholique donne sur la rue principale,
et l'église protestante sur la rue du Général-De-Gaulle. L'école est située
sur la rue qui joint les deux églises, à égale distance à vol d'oiseau (500 m)
de chacune des deux rues précédentes. Toutes les rues sont rectilignes.
L'instituteur demande un jour à ses élèves de calculer la somme
76
des inverses des distances en mètres de la mairie à chacune des deux
églises. Ils ne connaissent ni la trigonométrie ni la géométrie analytique.
Que doivent-ils répondre à leur instituteur?
35 Vue d’avion
Par le hublot de l'avion, je peux voir un morceau d'île, un morceau de
nuage et un peu de mer. Sachant que le nuage occupe la moitié du
hublot, qu'il cache ainsi un quart de l’île, qui semble alors occuper
elle-même seulement un quart du hublot, quelle est, au travers de
ce hublot, la proportion de mer cachée par le nuage?
36 Zone piétonnière
Une zone piétonnière est formée par sept petites rues rectilignes. Se
peut-il que chacune d'elles en croise exactement trois autres?
37 Les deux cercles
Deux cercles sont tangents intérieurement en un point A. Soit B le point
diamétralement opposé à A sur le plus grand des deux cercles. On y
mène une corde BD, tangente en C au plus petit des deux cercles.
AC est alors la bissectrice de l'angle B AD. Pourquoi?
38 Les deux lunes
Considérons un triangle ABC, rectangle en A. Traçons-en le demi-cercle
circonscrit, puis les deux demi-cercles de diamètres respectifs AB et AC,
77
extérieurs au triangle ABC. La somme des surfaces des deux lunes
ainsi dessinées est égale à celle du traingle ABC. Pourquoi cela?
39 Les deux ponts
Un grand canal rectiligne passe entre deux villages, plus près de l'un
que de l'autre. On veut y construire deux ponts perpendiculaires aux
rives. Le premier sera tel que les deux villages soient à distance égale
de l'entrée correspondante du pont; le second tel que la route joignant
les deux villages qui l'empruntent soit aussi courte que possible. Comment
faut-il s'y prendre?
40 Les trois perpendiculaires
Sauriez-vous démontrer que la somme des trois longueurs des perpen-
diculaires abaissées d'un point intérieur à un triangle équilatéral sur
chacun des côtés est indépendante de la position précise de ce point?
41 Les quatre armures
Dans un musée, une petite pièce carrée (de 3,414 m de côté) présente
une armure dans chacun de ses coins. Le conservateur pense qu'elles
seraient mieux mises en valeur si chacune des quatre était placée dans
une niche de section triangulaire (une dans chaque coin), de telle façon
que la pièce ainsi déformée comporte 8 côtés égaux. Le menuisier
chargé de ce travail se demande au préalable quelles doivent être les
dimensions de ces niches. Aidez-le.
78
En avoir ou pas :
l’esprit de géométrie
1 Bissectrice
Soit/tfiC un triangle quelconque, O le centre du cercle circonscrit, A’ le point diamé-
tralement opposé à A et H le pied de la hauteur issue de A.
Nous avons
HAC = r/2 — BCA et BAA' = tt/2 — BA'A.
Mais : BCA = BA'A, comme interceptant le même arc.
Donc : BAA' = HAC comme complémentaire de deux angles égaux.
Et par conséquent, l'angle A’AH a même bissectrice que BAC.
2	Catastrophe en Mer du Nord
Soit x cette profondeur inconnue.
Soit O le pied du derrick.
79
Soit H son point d'émergence.
Soit A le point où se trouvait le sommet du derrick avant le sinistre.
Soit B le point où ce sommet s'est enfoncé dans la mer.
Traçons le cercle de centre O et de rayon OA. Prolongeons BH jusqu'en B’ et AO
jusqu'en A'. Nous avons alors :
HA. HA' = HB.HB',
c'est-à-dire : 40. (40 + 2 x) = 842.
Nous en déduisons : 2 x = 842/40 — 40 ou : x = 68,2.
La profondeur de la mer en ce lieu est de 68,2 m.
3	Un coin tranquille
Mon terrain est un triangle équilatéral. Je peux centrer ma maison en n'importe quel
point intérieur à ce triangle car, de chacun de ces points, la somme des distances
aux trois côtés sera la même. En effet, soit ABC ce triangle et M un point quelconque
intérieur à ABC.
Surface ABC = surface AMB + surface BMC + surface CMA.
Ce qui s'écrit : surface ABC = (1/2) x AB x distance de M à AB + (1/2) x BC x dis-
tance de M à BC + (1/2) x CA x distance de M à CA.
Donc :
Somme des 3 distances = 2 x surface 4flC.
côté du triangle
Ce qui est, bien sùr, indépendant de la position du point M.
4	Construction
Traçons un cercle de diamètre AB. De A, traçons alors un arc de cercle de rayon /.
Soit C un des points d'intersection avec le cercle précédent. Joignons BC. Par A,
menons la parallèle à BC. La longueur AC (/) est la distance entre les deux parallèles
ainsi construites ( figure page suivante).
5	Crayon, gomme, équerre et compas
Posons le crayon sur le papier. Avec la pointe du compas, marquons-en les extrémités
A et B. Joignons-les avec l'équerre et le crayon.
80
(fig. du n° 4)
Traçons alors la médiatrice de AB (construction classique), afin de définir le milieu
de AB. Puis traçons un demi-cercle de diamètre AB.
Avec l'équerre, traçons ensuite la demi-droite perpendiculaire en A à AB, du cfité
du demi-cercle.
Posons alors la gomme le long de cette perpendiculaire, à partir de A. Puis posons
l'équerre contre la gomme afin de tracer la perpendiculaire à cette première perpen-
diculaire tangentiellement à la gomme. Elle coupe le demi-cercle en deux points.
Soit M l'un des deux points.
Traçons alors la perpendiculaire à AB issue de M (avec l'équerre). Soit H le pied
de cette perpendiculaire.
Les segments AH et HB répondent à la question : en effet, on a «AH + HB = AB = lon-
gueur du crayon », et, d'autre part, étant donné la similitude des triangles AMH et
MHB : « AHfMH = MHfHB », ou « AH x HB = MH2 = longueur de la gomme au
carré ».
med'AB
6	Dans le désert
Appelons : S l'oasis de Sidi-Ben; B l'oasis de Ben-Sidi; / l'oasis de Sidi-Sidi; M le
milieu de la piste Sidi-Ben, Ben-Sidi; J l'emplacement de la jeep; H le pied de la
perpendiculaire à IM issue de J.
Nous avons : JB2 + JS2 = 2 J!2.
81
Or nous savons que la somme des carrés de deux côtés d'un triangle est égale à la
somme du double du carré de la médiane aboutissant au troisième côté, et de la
moitié du carré de ce même troisième côté (cela peut se retrouver aisément grâce
au théorème de Pythagore). Appliquons alors le théorème de Pythagore dans les
triangles JH! et JHM.
On en déduira aisément :
Ht _ IM1 + BS2/4.
2 IM
H! a donc une longueur constante : la jeep se déplace ainsi perpendiculairement à IM.
Le conducteur de la jeep avait raison.
7 Découpage
Le tronc de cône est coupé par deux cercles de rayons respectifs 1 et 2 cm (moitié
de 2 et de 4 cm). Or la distance entre deux points correspondants de ces cercles est
de 2 cm (4 — 2 = 2). Le théorème de Pythagore nous indique alors que les plans
de ces cercles sont distants de \J3 cm (car 22 — 1 =3).
Le volume du tronc de cône est égal à la différence des volumes des cônes virtuels
ayant pour bases respectives chacun des deux cercles et construits dans le
prolongement du tronc de cône :
V - (1/3) (n.22) (2 V3) - (1/3) (n. 12) (x/3),
V=lnlyj3 = 12,697.
Le tronc de cône a donc un volume de 12,697 cm3.
Remarque : le volume d'un cône est égal au tiers du produit de la surface de base
par la hauteur.
8 Dublin 1856
Soit ABC un triangle rectangle en A. Soit D, E et F les points de contact respectifs
du cercle inscrit de centre O avec les trois segments BC, AC et AB. Soit r = AE = AF.
82
Soit m = CD = CE. Soit n = BD = BF.
Surface ABC = (1/2). (AB.AC)
= 1/2.(4£+ EC) (AF + FB)
= 1/2. (r + m) (r + n)
= 1/2.[r2 + r (m + n) + mn).
Mais nous avons aussi : surface ABC = surface AEOF + surface FODB + surface
DOEC = t1 + 2 (surface BOF) + 2 (surface ODC) = r1 + nr + mr = r2 + r (m + n).
Remplaçons alors « r2 + r (m + n) » par « surface ABC » dans l'égalité précédente.
Il vient :
surface ABC = 1/2. (surface ABC + mn)
ou : 2 (surface ABC) = surface ABC + mn
ou : mn = surface ABC.
C'est ce qu'il fallait démontrer.
9 L’eau, l’huile et le mercure
Le volume d'un cône est égal au tiers du produit de la hauteur par la surface de base.
Mais le rayon du cercle de base, pour un angle au sommet donné, est lui-même propor-
83
tionnel à la hauteur correspondante. Le volume est donc proportionnel au cube de
cette hauteur.
Soit l^i le volume de mercure, l/2 le volume de l'eau et V3 le volume d'huile. Soit / la
hauteur de chaque couche et a un certain coefficient de proportionnalité.
Considérons successivement les trois cônes de hauteur /, 2 / et 3 / :
l/i = a/3,
l/i + l/2 = a.(2/)3 = 8 l/i,
l/i + l/2 + l/2 = a.(3/)3 = 27 I/,.
Donc l/2 = 7 l/t et I/3 = 19 l/t.
il en résulte :
masse de mercure : 13,59. Vt,
masse d'eau : 1. l/2 = 7 l/t,
masse d'huile : 0,915. l/3 = 17,385 I/,.
La masse d'huile est donc la plus grande des trois.
10	Émirat
Soit BC le côté du triangle équilatéral qui a la même longueur que sa projection.
Soit M son milieu. Soit A le troisième sommet du triangle équilatéral. Soit H la
projection de A sur le plan horizontal passant par BC.
L'angle des plans ABC et HBC n'est autre que l'angle AMH, dont le cosinus est :
HMfAM. La longueur de AM est celle de la hauteur dans un triangle équilatéral :
AM = (<3/2) x (longueur du côté).
Quant à MH (puisque l'angle BHC est droit, et donc inscrit dans le demi-cercle de
diamètre BC), il a pour longueur la moitié de BC.
Il en résulte :
Cosinus recherché = —^C/l— _ <3
BC x <3/2	3
11	L’essuie-glace
Surface balayée : jt L2 — 2 S
Aire du secteur OAO' : (1/6) n L2
Aire du triangle OAH :
<3/2. L. L/2.1/2 = <3.Z?/8.
Par conséquent : S = «6 — <3/8) .L2.
La surface balayée est donc :
(2 it/3 + <3/4) L2 ou 2,527 L2.
84
12	Figure
Soit A, B, C, D et E les cinq points donnés. Considérons la droite AB. Elle est coupée
par les trois côtés du triangle CDE. Cela fait trois points d'intersection. Il y en a autant
pour chaque droite. Or il y a autant de droites que de façons de choisir deux points
parmi cinq, c'est-à-dire : 10. Cela ferait 3 « 10 = 30 points, si chacun d'eux n'avait
été ainsi compté deux fois. Cela n'en fait en réalité que 15.
13	La galette des Rois
Soit O le centre de la galette. Soit F la fève. Soit AB la corde représentant la deuxième
incision. Soit / son milieu. Considérons les triangles OAF et OBF.
Nous avons :
OA2 = Æ42 + OF2 + 2 FA.Fl,
OB2 = FB2 + OF2 — 2 FB.FL
Ajoutons membre à membre ces deux égalités. Nous obtenons :
2 OA2 = FA2 + FB1 + 2 OF2 — 4 F!2.
Or, le triangle OF! étant rectangle isocèle, nous avons :
OF = (Fl), y/ 2,
c'est-à-dire : 2 OF2 — 4 FP = 0.
Il en résulte : FA2 + FB2 = 2. OA2.
Il ne s'agit donc pas d'une simple coïncidence.	(vo/> figure page 86)
85
14	Géométrie révolutionnaire
1° Le théorème de Pythagore nous dit : AC2 = AB2 + BC2.
Il en résulte : AC — y/AB2 + BC2 = 0.
2° Surface de ABC = surface de ABM + surface de BMC.
C'est-à-dire :
AB.BCI2 = AB.dj2 + flC.d/2 ou 1/d = 1/flC + 1/Afi.
Or, BM = d.y/2.
D’où il résulte :
1/Afl + 1/flC — \J2/BM = 0.
3° Appliquons les résultats de nos deux premières remarques dans l'expression E.
Il vient :
£= 1789.
15	La grand-messe
Soit AB et CD les deux segments de cette croix.
Soit M son milieu (intersection de AB et CD).
Soit O le centre du vitrail et H sa projection sur AB.
86
Soit a l'angle OMH.
Considérons le triangle rectangle OHB :
HB2 = OB2 — OH2 = OB2 — OM2 sin2 a2.
Or AB est le double de HB.
Donc : AB2 = 4 OB2 — 4 OM2 sin2 a = (4 — sin2 a) m2.
Pour calculer CD2, on procéderait de façon analogue, le nouvel angle jouant le rôle
de a étant bien entendu égal à 90° — a.
On trouve ainsi :
CD2 = 4 OC2 — 4 OM2 sin2 (90° — a) = (4 — cos2 a) m2.
Il en résulte : AB2 + CD2 = 7 m2.
Notre paroissien distrait trouve 7. C’est le nombre de péchés capitaux.
16	Héritage
Soit H le pied de la perpendiculaire abaissée de O sur AB et K celui de la perpendi-
culaire abaissée de O sur CD.
Surface laissée à Pierre :
(1/2) (OH.AB) + (1/2) (OK.CD) =AB.HK/2.
Surface totale du champ-parallélogramme ABCD : AB.HK.
Pierre a donc la moitié de cette surface, Jean l'autre moitié : aucun des deux frères
n'est favorisé par rapport à l'autre.
Les jeux mathématiques d'Eurêka. — 4
87
17	L’hexagone
1 ° Avec six points différents, on peut construire autant de droites qu'il y a de façons
de choisir deux éléments parmi six, c'est-à-dire :
Cl - S* _ 15
6 ~ 2Ï4Ï
Parmi ces 15 droites, six sont des côtés. Il reste alors neuf diagonales.
2° 15 droites ont en général autant de points d'intersection qu'il y a de façons diffé-
rentes d'en choisir deux, soit :
- 151
21131
= 105.
Mais ici, chacun des six sommets de l’hexagone correspond à l'intersection de cinq
droites différentes; c'est donc le rassemblement de dix sommets car :
Cl = 51 = 10.
5	3121
Les six sommets en remplacent ainsi soixante. Il reste par conséquent :
105 — 60 = 45 points d'intersection distincts des sommets de l'hexagone.
88
18 Intersections
Soit ABCD un quadrilatère, soit M, N, P, Q les milieux respectifs des côtés AB, BC,
CD, DA. Dans le triangle ACB, MN, qui joint les milieux des côtés AB et BC, est
parallèle à AC et égal à sa moitié. Il en est de même pour QP. Le quadrilatère MNPQ,
qui a deux côtés égaux et parallèles, est un parallélogramme. Ses diagonales MP
et QN se coupent donc en leurs milieux.
Considérons alors les milieux de AC et BD (notés respectivement E et F). Dans le
triangle ABD, on voit que FQ est égal à AB)2 et lui est parallèle. Il en est de même
de NE dans le triangle ABC. NEQF est donc un parallélogramme. Ses diagonales
FE et NQ se coupent en leurs milieux.
MP, QN et FE concourent ainsi en leurs milieux : c'est ce qu'il fallait démontrer.
19 Italie 1678
Nous convenons d'abord de noter S (—, —, —) la surface du triangle défini par les
trois lettres entre parenthèses. Nous avons alors :
S (BPX) _ 1/2. SX. distance de P à BC _ BX
S ( CPX) 1 /2. CX. distance de P à BC CX '
Pour les mêmes raisons, nous avons :
Par conséquent :
S (BAX) _ BX
S (CAX) CX'
S (BAX) — S (BPX) BX	S (ABP) _ BX
S (CAX) — S (CPX) CX	S (ACP) CX'
De façon analogue, on démontrerait :
S (BPC) _CY	S (APC) _ AZ
S (BPA) AY	S (BPC) ~ BZ'
Le produit des rapports
BX CY AZ
CX ' AY' BZ
est alors égal à
S (BAP) S (BPC) S (APC) _ ,
S (ACP) ' S (BPA) ' S (BPC)
89
C'est ce qu'il nous fallait démontrer.
20	Médianes
Soit ABC un triangle quelconque, et G le point d'intersection des trois médianes.
Nous savons que G est situé aux 2/3 de chaque médiane à partir du sommet du triangle
correspondant.
Considérons alors le segment AB. La ligne droite étant le plus court chemin d'un
point à un autre, nous avons :
AB < AG + GB.
Et nous établirions de même les inégalités :
BC < BG + GC, CA<CG + AG.
Additionnons membre à membre les termes de ces trois inégalités :
périmètre < 2 (AG + BG + CG)
ou : périmètre < 2 (2/3 médiane issue de A + 2/3 médiane issue de B + 2/3 médiane
issue de C).
Et nous avons ainsi :
somme des longueurs des médianes > 3/4 (périmètre).
La réponse à la question posée est donc : NON.
90
21	Parallélogramme
L'angle DAB étant constant, le sommet A du parallélogramme demeure sur un certain
cercle passant par M et N, lorsque le parallélogramme se déplace. Soit P le point
d'intersection de ce cercle avec la diagonale AC. L'angle DAC ou NAP étant constant,
le point P ne varie pas au cours du déplacement. C'est le point fixe recherché.
Remarque : il s'agit là d'un théorème énoncé par Maurice d'Ocagne en 1880, alors
qu'il était élève à Polytechnique. Il'correspond au théorème de statique suivant
(Abel Transon, 1863) : « Lorsqu'on fait tourner deux forces concourantes d'une même
quantité angulaire et dans le même sens autour de leurs points respectifs d'application,
la résultante tourne d'une même quantité et passe par un point fixe. »
22	Le phare
Soit S le sommet du phare. Soit A un point de l'horizon. Soit O le centre de la Terre.
Le triangle OAS est rectangle, puisque la droite SA est tangente avec la Terre,
que l'on considère comme sphérique. Nous avons donc : OS2 = OA2 + AS2.
Or OA = 40 000 Q0g (en mètres)
2 n
etOS = OA + 125,7 =	+ 40.n.
2 n
Par conséquent :	___________________
AS = yj OS1 — OA2	^2.40 ”-^0 000 000
et AS - 40 000.
L'horizon est donc approximativement à 40 km du sommet du phare.
23 Polygones
Si p est un diviseur de n, le nombre de côtés du polygone est : n/p. Si p n'est pas un
diviseur de n, il faut multiplier le quotient n/p par le nombre x de tours de cercles cor-
respondant : x = Inf (y tel que (yn/p) entier). C'est-à-dire :
91
Nombre de côtés = n.x[p =	(n, p)
P
multiple	de n et	p.
Lorsque	n =	10	et	p	=	2	:	10/2	=	5.
Lorsque	n -	10	et	p	=	3	:	30/3	=	10.
Lorsque	n =	10	et	p	=	4	:	20/4	=	5.
(Voir figure ci-contre.)
avec PPCM (n, p) = plus petit commun
24	La promenade du chien
Soit O et O' les emplacements respectifs de Monsieur et de Madame Oubois à un
instant donné.
Si le chien n'était attaché qu'à Monsieur Oubois, sa surface d'action serait n (surface
du cercle de rayon 1 m2).
Il en serait de même s'il n'était attaché qu'à Madame Oubois. Tandis qu'il ne peut
se déplacer en réalité que dans l'intersection de deux cercles, de rayon 1 m, et dont
les centres sont distants de 1 m. Soit A et B les points d'intersection de ces cercles
(centres O et O', rayon 1 m).
Surface du losange OAO'B : 2 (surface OAO’) = V3/2.
Surface du secteur de centre O compris entre A et B : n/3.
Surface du secteur de centre O' compris entre A et B : n/3.
92
Donc la surface de l'intersection des deux cercles est :
it/3 + rr/3 — V3/2.2,094 — 0,866 = 1,228.
25	Le quadrilatère
Soit ABCD ce quadrilatère, AC étant un diamètre. Soit H et K les projections res-
pectives de A et de C sur BD. Soit E le point d'intersection de la droite CK avec le
cercle.	___
Les angles ABD et ECD ayant leurs côtés perpendiculaires deux à deux sont égaux.
Il en est donc de môme des arcs AB et ED. et par conséquent, des segments AB et ED.
Les arcs AD et EB sont égaux aussi (on les obtient en diminuant chacun des arcs
précédents du môme arc AE). Les angles ABD et BDE le sont donc également. Il en
résulte l'égalité des triangles rectangles ABH et EKD. Par conséquent, les segments,
BH et KD sont égaux. Il en est de même, bien sûr, des segments BK et DH.
Les projections des côtés opposés de ce quadrilatère sur la diagonale, qui n'est pas
un diamètre, sont donc égales.
26	Les remparts
Appelons O le centre du demi-cercle et A et B les points de rencontre respectifs des
tangentes en et P3 d'une part, en P2 et P3 d'autre part.
Les angles P2 AP3 et P2 BP3 sont supplémentaires puisqu'ils engendrent deux arcs
dont la somme est 180°. Leurs moitiés respectives (OAPi et 0BP2} sont donc complé-
mentaires. Il en résulte que les triangles rectangles 0AP2 et 0BP2 sont semblables
et par conséquent :
AP^OPi = 0P2IBP2
ou APi x BP2 = OPi
et (Pi A + <4P3) * (F3 B + BP2) = 4 x OPf = P, P2.
C'est ce que nous voulions démontrer.
93
27	Surfaces égales
Soit a la longueur de AB ou de AC.
Surface du triangle ABC : a2/2.
Longueur de l'hypoténuse BC : a \/2.
Surface du demi-cercle de diamètre BC :
1 BC2 a2
— h---- = n — •
2	4	4
Soit O le centre du cercle tangent en S à AB et en C à AC. OBC est un triangle rectangle
isocèle égal à ABC : surface OBC = a2/2.
Surface du quart de cercle OBC : n a2/4.
Surface comprise entre les deux arcs BC = surface du demi-cercle de diamètre
94
BC — (surface du quart de cercle OBC — surface du triangle OBC) ~ n a2/4
— (n a2/4 — a2/2) = a2/2 = surface ABC.
La surface comprise entre les deux arcs BC est égale à celle de ABC.
28	Tangence
Soit O et O' les centres respectifs de chacun des deux cercles.
Soit P le point de tangence. La droite 00' y passe.
Soit AA' et BB' les deux droites menées par P, A et B étant sur le cercle de centre O,
A' et B’ sur celui de centre O'.
Les angles APO et O'PA' sont égaux comme opposés par le sommet. Or les triangles
AOP et A'O'P sont isocèles. Donc les angles AOP et A'O'P sont égaux. Or dans
le cercle de centre O, l'angle ABP qui intercepte l'arc AP est égal à la moitié de l'angle
au centre correspondant : AOP. De façon analogue, PB’A’ est égal à la moitié de
PO’A’. Les angles PBA et PB’A’ sont donc égaux : les droites AB et A'B' sont ainsi
parallèles : le quadrilatère ABA'B’ est un trapèze.
29	Triangle
Construisons un angle égal à celui de la donnée. Soit A son sommet. Soit D et E
les points situés sur ses côtés, à une distance de A égale au demi-périmètre de la
donnée. Soit O le point d'intersection des perpendiculaires issues de D et de E. Tra-
çons alors le cercle de centre O, de rayon OD ou OE. Puis traçons un autre cercle
de centre A et tel que son rayon soit égal à la hauteur de la donnée. Menons une
tangente commune aux deux cercles (intérieurement). Soit B et C ses points d'inter-
section avec les côtés de l'angle A. On a : AB + BC + CA = AD + AE = périmètre.
Et le triangle ABC représente le triangle cherché (voir figure p. 96).
30	Triangle rectangle
Soit ABC un triangle rectangle (angle droit en A).
Soit D, E, F les points de contact avec le cercle inscrit (D étant sur BC. E sur CA, F
sur AB).
95
BF = BD.
Donc CE + BF = CD + DB = CB = hypoténuse = 2 R (rayon du cercle circonscrit).
Des deux remarques précédentes, il résulte que : AB + AC = AF + FB + AE + EC
= 2r + 2 R, c'est ce qu'il fallait démontrer.
96
31 Si la Terre était une orange
Soit r le rayon de l'orange et R celui de la Terre, exprimés en mètres. La ficelle rouge
est passée d'une longueur de 2 n r à une longueur de 2 n (r + 1 ), soit une augmentation
de 6,283 m.
La ficelle bleue est passée d'une longueur de 2 n Rà2 n (R + 1) soit une augmentation
de 6,283 m également.
Les deux allongements sont identiques.
32 La sieste
Albert a posé les extrémités de son majeur et de son index sur la terrasse (surface
horizontale) tout en maintenant entre ses deux doigts un écartement constant (20°).
Lorsque sa main tourne autour de ces deux points d'appui, l'angle que font les ombres
de ses doigts évolue : c'est 20° lorsque sa main est à plat, 180° lorsqu'elle est dans
le plan parallèle aux rayons du soleil. Comme ce changement d'angle est bien entendu
continu, il arrivera un moment où les deux ombres feront précisément un angle de
90° (valeur comprise entre 20° et 180°). Cette position est donc facile à trouver :
tout comme Albert, nous nous serions rendormis rapidement.
33 Les statues
Soit Pt, P2, P3 et P4 les quatre ponts successifs.
Distance de P2 à Vercingétorix : Pt P2I2.
Distance de P2 à Henri IV : P2 P2 + P2 P3 + P3 P4/2.
97
Donc, distance de P3 au milieu de l'intervalle joignant ces deux statues :
1/2. (Pi P2I2 + Pi F2 + P2 P3 + P3 P^i2>-
Distance de Pt à Charlemagne : Pt P2 + P2 P3n-
Distance de à Louis XIV : Pi P2 + P2 P3 + P3 P4)/2.
Donc : distance de P3 au milieu de l’intervalle joignant ces deux statues :
1/2. (P3 P2 + P2 P3/2 + Pi P212 +	P312 + P3 ^4/2)'
Les deux emplacements proposés pour placer la statue de Napoléon sont donc
confondus.
34	Le village alsacien
Soit E l'école, M la mairie, P l'église protestante et C l'église catholique.
La surface du triangle MCP est égale à la somme des surfaces des triangles MCE
et MPE. Ce qui s'écrit :
500./WC/2 + 500./WP/2 = MP. MC 12.
Il en résulte : MC + MP = MP. MC/500.
C’est-à-dire : 1//WC + Ï/MP = 1/500 = 0,002.
35	Vue d’avion
Les trois quarts de l'ile occupent un quart du paysage. Donc : île = 1/3 (paysage).
Donc mer = 2/3 (paysage).
Mer non cachée par le nuage : 1/2 — 1/4 = 1/4 (paysage).
Donc, proportion de mer cachée par le nuage :	= 5/8 = 0,625.
98
HUBLOT
36	Zone piétonnière
Considérons un tableau carré à sept lignes et sept colonnes (une par rue) la 4* rue
par exemple correspondant à la 4e ligne et à la 4e colonne. Remplissons chaque case
avec un 1 si les deux rues correspondantes se croisent, un 0 autrement (la diagonale
sera remplie de 0).
Première remarque : s'il y a un 1 à l'intersection de la 7-ième ligne et de la/-ième colonne,
il y aura aussi un 1 à l'intersection de la /-ième ligne et de la 7-ième colonne. Le tableau
est donc symétrique par rapport à la première diagonale, et comporte un nombre pair
de « 1 ».
Deuxième remarque : si chacune de ces sept rues en coupe exactement trois autres,
on trouvera trois fois «t 1 » dans chaque ligne, et le nombre total de 1 sera : 7 * 3 = 21,
ce qui est un nombre impair.
D'où l'impossibilité d'un tel cas.
37 Les deux cercles
Soit O le centre du plus petit cercle. Les droites CO et DA sont parallèles (toutes
deux perpendiculaires à DB). Par conséquent, les angles DAB et COB sont égaux.
99
Or, dans le petit cercle, l'angle CAO intercepte une corde dont l'angle au centre
correspondant est COB.
Par conséquent : CAO = 1/2 COB = 1/2 DAB.
Donc CAO = DAC : AC est ainsi la bissectrice de DAB.
38	Les deux lunes
Surface ABC = surface du demi-cercle de diamètre BC — surface du segment de
corde AB — surface du segment de corde AC = it BC2)8 — surfaces des deux
segments de corde.
Surface de la lune extérieure à AB = surface du demi-cercle de diamètre AB — surface
du segment de corde AB = n AB2j8 — surface du segment de corde AB.
Surface de la lune extérieure à AC = surface du demi-cercle de diamètre AC — surface
du segment de corde AC = n AC2/8 — surface du segment de corde AC.
Or d'après le théorème de Pythagore :
BC1 = AB1 + AC2
et par conséquent :
n BC2/8 = n 4B2/8 + n 4C2/8.
Il en résulte : surface du demi-cercle de diamètre BC = surface du demi-cercle de
diamètre AB + surface du demi-cercle de diamètre AC.
Enlevons à chacun des membres de cette égalité la somme des surfaces des deux
segments de corde. Nous en déduisons : la somme des surfaces des deux petites
lunes est égale à celle du triangle ABC.
100
39	Les deux ponts
Soit A et B les deux villages. Soit B' le point tel que BB' soit un segment égal et parallèle
à chaque futur pont. B' étant plus proche du canal que B.
Soit D la droite représentant la rive du canal la plus proche de A.
L'intersection de la médiatrice de AB’ avec D donne le point de départ du premier
pont, tandis que l'intersection de AB' lui-même avec D donne celui du deuxième
pont (démonstrations triviales).
101
40	Les trois perpendiculaires
Soit ABC un triangle équilatéral et P un point intérieur quelconque. Soit H, K et L
les trois pieds des perpendiculaires abaissées respectivement sur AB, BC et CA.
Soit h, k et / les longueurs respectives de PH, PK et PL.
La somme des trois surfaces des triangles APB, BPC et CPA est égale à celle dé ABC.
Ce qui donne la relation :
h.ABfl + k.BCjl + /.C4/2 = surface ABC.
Or AB = BC = CA. Il en résulte :
h + k + / = (2/48) x Surface de ABC.
La somme des trois longueurs est donc indépendante de la position précise du point P.
41	Les quatre armures
Chaque niche aura pour section un triangle rectangle isocèle de côté x. L’hypoténuse
mesurera donc : yj2 x.
Cette hypoténuse est égale à l'un des huit côtés égaux.
102
Il faudra donc partager chacun des côtés du carré initial en trois :
x pour la niche de gauche,
>/2 x pour le côté de l'octogone,
x pour la niche de droite.
Donc : (2 + \/2) x = 3,414 m.
Et par conséquent : x = 1 m.
La section triangulaire de chaque niche a donc pour côtés : 1 m, 1 m et 1,414 m.
103
5» Au pays des merveilleux
nombres entiers
1	Aboiement
Un chien savant savait compter selon un système de numération en
base 4. Il traduisait zéro par O, un par U, deux par H et trois par A.
Combien cela signifiait-il alors quand il faisait « Ouahouah »?
2	A la manif
Rangeons-nous par dix, il en manquera un. Rangeons-nous par neuf,
il en manquera un aussi. Par huit aussi. Par sept aussi. Par six aussi.
Par cinq aussi. Par quatre aussi. Par trois aussi. Par deux, enfin, aussi.
Et pourtant, nous sommes assurément moins de cinq mille. Combien
sommes-nous donc?
104
3	Année de naissance
Enlevez à votre année de naissance la somme des quatre chiffres qui
la composent. Vous obtenez ainsi un résultat divisible par 9. Pourquoi
cela?
4	Arithmétique anglaise
20 + 20 + 20 + 10 + 10 = 80.
En anglais, cela donne :
T	W	E	N	T	Y
+	T	W	E	N	T	Y
+	T	W	E	N	T	Y
+	T	E	N
+	T	E	N
=	E	/	G	H	T	Y
Quels sont les huit chiffres représentés par les huit lettres E, G, H, /, N,
T, W, Y pour que cette addition soit exacte?
5	Arithmétique de l’histoire
Un historien constata un jour que les dates du début de la Ve République
et de l'entrée de Madagascar dans l'empire colonial français étaient
formées des mêmes chiffres écrits dans un ordre différent, d'une part,
et que d'autre part les restes de la division par 9 de chacune de ces
deux dates étaient identiques. Il se mit alors à rechercher un autre couple
de dates historiques possédant la première de ces deux propriétés, mais
ne possédant pas pour autant la seconde. Ses recherches n'aboutirent
pas. Aidez-le.
6	Arithmétique espagnole
4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20.
En espagnol, cela donne :
C U A T R O
+	C	U	A	T	R	O
+	C	U	A	T	R	O
-i-	C	U	A	T	R	O
+	C	U	A	T	R	O
=	V	E	/	N	T	E
Comment les dix chiffres sont-ils représentés par les dix lettres A, C, E,
/, N, O, R, T, U, V, pour que cette addition soit exacte?
105
7	Au lycée
Le proviseur d'tin certain lycée s'amuse un jour à constater qu'il obtient
le nombre total des élèves en multipliant la différence des carrés du
nombre de professeurs de gymnastique et du nombre de professeurs de
russe par le produit de ces deux derniers nombres.
Étant donné cette information, croyez-vous qu'il soit possible de faire
défiler tous les élèves de ce lycée, en rangs 3 par 3, à l'occasion de
la Saint-Charlemagne?
8	Au restaurant
Pour fêter leur anniversaire de mariage, Monsieur Dupont invite sa femme
à déjeuner dans un bon restaurant. En sortant, il constate qu'il ne lui
reste que le cinquième de son argent et que cela fait ainsi autant de
centimes qu'il avait initialement de francs, tandis qu'il a cinq fois moins
de francs qu'il n'avait de centimes au départ.
A combien s'élevait la note du restaurant?
9	L’autobus
Le nombre de passagers d'un autobus est resté constant du départ
jusqu'à la 2e station. Ensuite, on a constaté à chaque station qu'il
montait autant de personnes qu'il en était monté aux deux stations
précédentes, tandis qu'il en descendait autant qu'il en était monté à la
station précédente. La 10e station après le départ est le terminus.
55 passagers y descendent. Combien y en avait-il entre la 7e et la
8e station?
106
10	Un bel anniversaire
« Vous souvenez-vous des 40 ans de Léontine? C'était le 28 décembre 19...
Depuis Léontine a vieilli. J'ai remarqué que la moitié de son âge était
égale au double de la somme des chiffres qui le composent ». Complétez,
s'il vous plaît, le millésime manquant dans la première ligne.
11	Avec des 1 et des 2
Écrivez côte à côte un nombre pair de fois le chiffre 1. Enlevez au nombre
ainsi formé le nombre obtenu en écrivant côte à côte une série de 2,
deux fois plus courte que la série précédente. Par cette soustraction, vous
obtenez toujours un carré parfait (par exemple 1111 — 22 = 1089 = 332).
Sauriez-vous dire pourquoi?
12	Un bon arrière-grand-père
« J'ai 91 ans, quatre enfants, onze petits-enfants et beaucoup d'arrière-
petits-enfants. Si vous me demandez combien exactement, je vous
répondrai seulement que le produit de leur nombre par celui de mes
petits-enfants et par mon propre âge s'écrit par le nombre formé en
écrivant côte à côte ce nombre inconnu, un zéro, et encore ce nombre
inconnu. » Que pouvez-vous en déduire?
13	Les caramels
Martine distribue 26 caramels entre ses quatre petits frères. Ils en mangent
tous plusieurs, et, au bout de 1 heure, elle constate qu'il en reste
exactement le même nombre à chacun. Sachant que l'aîné en a mangé
autant que le troisième, que le deuxième en a mangé la moitié de sa
part initiale, et que le quatrième en a mangé autant que les trois autres
réunis, comment Martine a-t-elle fait sa distribution?
14	Carré
Le carré d'un nombre entier peut-il se terminer par trois chiffres identiques
différents de O?
15	Casse-tête
Martin dit un jour à Martine : « Je suis trois fois plus âgé que vous ne
l'étiez lorsque j'avais l'âge que vous avez aujourd'hui. » Et Martine lui
répondit : « Quand j'aurai l'âge que vous avez aujourd'hui, le total de
nos âges sera de 77 ans. » Quel est l'âge de Martin? Quel est l'âge de
Martine?
107
16	Combien d’enfants étiez-vous?
Si vous me posez une telle question, je vous répondrai seulement que
ma mère avait rêvé d'avoir au moins 19 enfants, mais qu'elle n'a pas
réalisé son rêve, que mes sœurs étaient cependant trois fois plus nom-
breuses que mes cousines germaines, et que j'avais deux fois moins
de frères que de sœurs.
17	Compagnie aérienne
Une compagnie aérienne américaine dessert un certain nombre de
grandes villes en établissant des vols directs entre chacune d'entre elles.
L'an prochain, elle prévoit d'augmenter son réseau de 76 nouveaux
vols, en desservant, toujours selon le même principe, plusieurs villes
supplémentaires.
Combien y a-t-il de villes desservies actuellement et combien y en aura-t-il
l'an prochain?
18	La composition de latin
La composition de latin est notée de 0 à 20 (en nombres entiers).
Michel a eu plus de la moyenne, Claude moins. Quelles notes exactement
ont-ils obtenues, sachant que si l'on soustrait à chacune des deux notes
le tiers de la plus petite, le reste de la plus grande sera trois fois plus
grand que le reste de la plus petite?
19 Compter avec ses doigts
Si vous avez du mal à vous souvenir de la table de multiplication par 9,
utilisez donc le système suivant : pour trouver la valeur de 9 x n (n étant
un chiffre quelconque), mettez vos deux mains à plat sur une table.
Puis soulevez le n-ième doigt à partir de la gauche. Le résultat a pour
chiffre des dizaines le nombre de doigts restés à plat à gauche, et pour
chiffre des unités le nombre de doigts restés à plat à droite. Essayez...
Et maintenant que vous avez constaté la justesse de cette méthode,
sauriez-vous l'expliquer?
20 Cot-cot-codet
Une poule savait compter suivant un système de numération en base 5.
Les cinq symboles qu'elle employait pour cela étaient les suivants :
C, T, D, E, O. Quelle valeur numérique précise donnait-elle à chacune
de ces cinq lettres sachant que, lorsqu'elle voulait dire « 41 346 460 »,
elle faisait « COTCOTCODET »?
108
21 Courses de chevaux
Par un bel après-midi de printemps, je me rends à l'hippodrome de
Longchamp. Je mise sur un premier cheval et la somme que j'avais sur
moi est ainsi doublée. Encouragé par cet exemple, je mise sur un deuxième
cheval la somme de 60 F, que je perds entièrement. Grâce à un troisième
cheval, je double alors mon avoir. Mais le quatrième me fait encore
perdre 60 F. Un cinquième essai me permet une nouvelle fois de doubler
la somme qui me restait. Mais un sixième cheval sur lequel je mise
encore la somme de 60 F m'est fatal : il ne me reste plus rien de la somme
que j'avais au départ. Quelle était cette somme?
22 Différence d’âge
Les sommes respectives des chiffres formant les années de naissance
de Jean et de Jacques sont les mêmes. Sachant que leurs âges
commencent tous deux par le même chiffre, pourriez-vous calculer leur
différence d'âge?
23 Division
On pose une division. Si l'on augmente le dividende de 65 et le diviseur
de 5, on constate que le quotient et le reste ne changent pas. Quel est
ce quotient?
24 Échanges
Un nombre de trois chiffres augmente de 45 si l'on intervertit l'ordre
des deux chiffres de droite, et il diminue de 270 si l'on intervertit l'ordre
109
des deux chiffres de gauche. Que devient-il si l'on intervertit l'ordre
des deux chiffres extrêmes?
25 L’école
Les différentes classes d'une école ont chacune le même nombre d'élèves.
A la suite d'un incendie, six des classes furent rendues inutilisables. On
dut alors ajouter cinq élèves par classe. Puis il fallut se rendre compte
que les dégâts causés par les jets d’eau des pompiers étaient tels que
dix autres classes devaient être également considérées comme sinistrées.
D'où nécessité de remettre encore quinze élèves dans chacune des
classes restée en bon état.
Combien y a-t-il d'élèves dans cette école?
26 Frère et sœur
« Ma sœur, tu as autant de frères que de sœurs. — Mon frère, tu as
deux fois plus de sœurs que de frères. »
Sauriez-vous déduire de cette conversation le nombre d'enfants qu'il y a
dans cette famille?
27 Familles nombreuses
La famille Martin comporte plus d'enfants que la famille Dupont. Sachant
que la différence des carrés de ces deux nombres d'enfants est préci-
sément 24, et que ni chez les uns ni chez les autres il n'y a d'enfant
unique, combien y a-t-il d'enfants chez les Martin?
28 Une histoire de bal
Quand je vis Eléonore, je la trouvai fort belle. Après une brève conversation
banale, je lui dis mon âge et lui demandai le sien. Elle me répondit :
« Quand vous aviez l'âge que j'ai aujourd'hui, vous étiez trois fois plus
âgé que moi. Et quand j'aurai trois fois l'âge que j'ai aujourd'hui, nous
aurons ensemble tout juste un siècle. » Je ne compris rien à ce langage
et le lui dis. Cela ne lui plut pas; elle s'en fut.
Quel était donc l'âge de cette impertinente?
29 Léonie et les chats
Quand on demande à la vieille Léonie avec combien de chats elle vit,
elle répond mélancoliquement : « Avec les quatre cinquièmes de mes
chats plus quatre cinquièmes de chat. »
Combien cela fait-il de chats?
110
30 Les mathématiques nouvelles
Mon fils a appris à compter suivant une base non décimale, si bien
qu'au lieu d'écrire 136, il écrit 253. Quelle est cette base?
31 Multiplication
Sauriez-vous compléter la multiplication suivante :
x .9
.7547
25886.
32 Les nombres chinois
Pensez à un nombre compris entre 1 et 26. Puis observez les six tableaux
carrés suivants, un par un.
1 4 7 10 13 16 19 22 25	2 5 8 11 14 17 20 23 26	3 4 5 12 13 14 21 22 23
6 7 8 15 16 17 24 25 26	9 10 11 12 13 14 15 16 17	18 19 20 21 22 23 24 25 26
111
Lorsque le nombre choisi appartient à l'un des tableaux, inscrivez le
nombre situé en haut à gauche de ce tableau. Puis additionnez les
nombres ainsi inscrits.
Par exemple : 16 se trouve dans le premier tableau, dans le quatrième
et dans le cinquième. Si l'on ajoute les trois premiers nombres de chacun
de ces tableaux, on trouve : 1 + 6 + 9 = 16.
On retrouve ainsi toujours le nombre choisi au début. Sauriez-vous
expliquer ce phénomène?
33 Le plus petit
Quel est le plus petit nombre qui, divisé par 2, 3, 4, 5 et 6, donne
respectivement les restes 1, 2, 3, 4 et 5?
34 Pour les moins de seize ans
Indiquez-moi dans quelles colonnes apparaît votre âge et je le devinerai
ensuite en ajoutant les premiers chiffres de ces colonnes entre eux.
Est-ce de la magie?
2	8	4	1
3	9	5	3
6	10	6	5
7	11	7	7
10	12	12	9
11	13	13	11
14	14	14	13
15	15	15	15
35 Produit
Le produit de quatre nombres entiers consécutifs est 3 024. Quels sont
ces nombres?
36 Quai San-Savador
Voulez-vous venir dîner chez moi ce soir? Mais ne vous trompez pas :
j'habite l'une des onze maisons du quai San-Salvador.
Quand je suis chez moi, face à la mer, et que je multiplie le nombre
de maisons de gauche par celui des maisons de droite, j'obtiens un
nombre supérieur de 5 à celui qu'obtiendrait mon voisin de gauche en
faisant de même...
37 Quel âge a Florence?
A vous de le trouver sachant que la puissance cinquième de son âge
diminuée de son âge lui-même est un multiple de 10.
112
38 Quel âge a l’aine?
A vous de le trouver sachant que le carré de l'âge du cadet est égal au
produit des âges de ses deux frères, que la somme de leurs trois âges
est 35, tandis que la somme des logarithmes décimaux de leurs âges est 3 ?
39 Quel est mon âge ?
A vous de le trouver sachant que l'âge d'Alfred s'obtient en inversant
les deux chiffres de mon âge, que le quotient de mon âge par la somme
de ces deux chiffres diffère du quotient de l'âge d'Alfred par la même
somme d'un nombre égal à la différence des deux chiffres et qu'enfin
le produit de ces deux quotients est précisément égal à mon âge?
40 Une question d’âges
Par un beau dimanche de printemps, un père de famille se promène
avec ses fils.
— Avez-vous remarqué, leur dit-il que l'âge de l'aîné est égal à la somme
des âges de ses deux frères?
—• Oui. Et nous avons aussi remarqué, répondent-ils en chœur, que le
produit de nos âges et du tien est égal à la somme de mille fois le
cube du nombre de tes fils et de dix fois son carré.
Sauriez-vous déduire de cette conversation l'âge qu'avait ce père de
famille lors de la naissance de son fils cadet?
41 Le remonte-pente
Trois sœurs attendent devant un remonte-pente, accompagnées de leur
moniteur particulier. Ce dernier, trouvant le temps long, demande alors
113
à l'aînée quels sont leurs âges respectifs. « Sachez seulement, dit-elle,
qu'en enlevant neuf fois l'âge de ma sœur benjamine au produit de
mon âge par celui de ma sœur cadette, on trouve 89. » Le moniteur se
souvient alors que la cadette étrenne justement les skis que ses parents
viennent de lui offrir pour son dixième anniversaire. Il en déduit aisément
les âges des deux autres sœurs.
En feriez-vous autant?
42 Rencontre au sommet
Deux délégations doivent se rencontrer au dernier étage d'une tour dont
les ascenseurs ont neuf places. La première arrivée utilise successivement
un certain nombre d'ascenseurs, en les remplissant tous sauf le dernier
où cinq personnes pourraient encore monter. Puis la seconde délégation
en fait autant en laissant seulement le tiers des places libres dans le
dernier ascenseur.
Au début de la réunion, chaque membre de chacune de ces deux
délégations serre la main de chacun des membres de l'autre délégation,
ce qui fait chaque fois l'objet d'une photo. Sachant que le photographe
chargé de ce reportage utilise des pellicules spéciales de neuf poses,
combien de photos pourra-t-il encore prendre avec sa dernière pellicule
quand tous auront fini de se serrer la main?
43 La rue Saint-Nicaise
Le 24 décembre 1800, le Premier Consul Bonaparte se rendit à l'Opéra
par la rue Saint-Nicaise. Une machine infernale éclata sur son passage
mais quelques secondes en retard. Il y eut de nombreux morts et blessés.
Bonaparte attribua le complot aux républicains. Il en fit ainsi déporter 98
aux Seychelles ou en Guyane. Il en exécuta également quelques-uns.
Sachant que le nombre de blessés est le double du nombre de morts (*)
augmenté des quatre tiers de celui des exécutions, que la somme du
nombre de morts ou de blessés et de celui des exécutions est légèrement
inférieure à celui des déportations, et que si l'on soustrait 4 du nombre
des morts, on obtient précisément le double du nombre des exécutions,
pourriez-vous, sans consulter un livre d'histoire, dire combien de
républicains,Bonarparte, fit exécuter à la suite de l'attentat de la
rue Saint-Nicaise?
44 Le sac de billes
Des enfants se partagent un sac de billes. Le 1er enfant en prend une
et le 10e de celles qui restent, puis le 2e en prend 2 et le 10e du reste,
(*) Par l'explosion de la machine infernale et non par exécution.
114
le 3e 3 et le 10e du reste, et ainsi de suite jusqu'au dernier, qui prend
tout ce qui reste.
Combien y avait-il d'enfants et combien chacun a-t-il pris de billes
sachant que toutes les parts étaient égales?
45 Sainte-Marguerite
A l'institution Sainte-Marguerite, les garçons ne sont admis qu'en classes
terminales. Leur nombre est précisément égal à la somme des chiffres
formant le nombre total des élèves.
Pour la Sainte-Marguerite sont prévues de nombreuses cérémonies à la
chapelle. Pourra-t-on y installer toutes les filles sur des bancs à
neuf places?
46 Les soldats de l’empereur
Le général Lasalle n'avait pas peur de la mort « Tout hussard qui dépasse
30 ans est un jean-foutre », aimait-il à dire. Avant une terrible bataille,
il compta ses soldats : la somme des chiffres formant leur nombre était
de 17. Après la bataille, il compta les morts et les blessés : la somme
des chiffres formant leur nombre était également de 17. Les autres
rentrèrent alors très dignement, par rangs de neuf.
Comment expliquez-vous cela?
47 Suez et Panama
Une réunion a lieu entre Égyptiens et Panaméens pour discuter de
l'exploitation de leurs canaux respectifs. Ils sont douze en tout, les
Égyptiens étant plus nombreux que les Panaméens. Les Égyptiens
arrivent, se disent mutuellement bonjour, deux à deux, dans leur langue;
puis les Panaméens font de même. Mais les Panaméens ne saluent
pas les Égyptiens et inversement.
Sachant qu'il y a eu en tout 31 bonjours échangés, combien y a-t-il
d'Égyptiens et combien y a-t-il de Panaméens présents lors de cette
réunions?
48 Suite de nombres
Pour écrire la suite des nombres de 1 à n inclus, il faut 2 893 chiffres.
Quel est alors ce nombre n?
49 Trouvez le « truc »
Maurice faisait régulièrement la désolation de tous ses professeurs, et
plus particulièrement de ceux de mathématiques. Cependant, lorsqu'il
fallait dans un problème trouver à combien s'élève le carré de 35, ou
de 75, ou encore de 85, il donnait en une seconde le résultat exact.
115
Il avait en effet un « truc » dont il était très fier : pour élever au carré
un nombre de deux chiffres se terminant par un 5, il mutipliait d'abord
le chiffre des dizaines par ce même chiffre augmenté de 1, et écrivait 25
à droite du produit ainsi calculé. Par exemple, pour 752 il répondait :
(7 x 8) 25 ou 5 625. Expliquez, s'il vous plaît, le « truc » de Maurice.
50 Les vertus du chiffre 9
Par quel chiffre se termine le nombre
N = 999999"9"9” 
51 Les vœux de Mathusalem
Chaque année, depuis l'an I de notre ère, Mathusalem qui vit encore
envoie ses vœux à son meilleur ami. Si ce dernier change nécessairement
au cours des siècles et des décennies, la formule de félicitations employée,
au contraire, ne varie pas. Et c'est tout simplement : BONNE ANNÉE I,
BONNE ANNÉE 2, BONNE ANNÉE 3, etc., BONNE ANNÉE 1978,
BONNE ANNÉE 1979.
Quel est le chiffre que Mathusalem a ainsi écrit le moins souvent?
52 Les cinq nombres
Sauriez-vous trouver cinq nombres entiers consécutifs qui soient tous
positifs et tels que la somme des carrés des deux plus grands soit égale
à la somme des carrés des trois autres?
53 Les deux sœurs
Deux sœurs ont 4 ans de différences. Si l'on enlève au cube de l'âge
de la première le cube de l'âge de la seconde on trouve 988. Quels
sont leurs âges?
54 Le 14 juillet
Un général constate un jour que l'on obtient le nombre de soldats d'une
caserne en ajoutant au nombre de ses bâtiments trois fois le carré de
ce même nombre, puis deux fois son cube. Il décide alors de faire défiler
tous les soldats de cette caserne par rangées de 6 lors du prochain
14 juillet. Que pensez-vous de cette décision?
55 100 ans à eux trois
Patrick se promène avec son père et son grand-père. Ils envisagent
l'époque où ils auront 100 ans à eux trois. Le père et le grand-père
s'adressent successivement à Patrick.
116
Le père : « Je serai alors de 28 ans ton aîné, et tu auras six fois le cinquième
de ton âge actuel. »
Le grand-père : « Et mol j'aurai ainsi deux fois l'âge qu'aurait eu ton
père à ta naissance si tu étais né 1 an et demi plus tard. »
Patrick reste perplexe devant tous ces renseignements, et se demande
dans combien de temps arrivera cette époque où ils auront 100 ans à
eux trois. Aidez-le.
56 100!
Par combien de 0 se termine le nombre « 1001 »?
57 De 1968 à 1978
Montrer que le nombre
•71968»”»	q687»
N = -------------—
v 1978-1968
est entier.
117
Les secrets
des nombres révélés
1	Aboiement
Ouahouah = (2 x 4°) + (3 « 41) + (1 x 42) + (0 x 4’) + (2 x 4*)
+ (3 x 45) + (1 x 46) + (0 x 47)
= 2 + 12 + 16 + 0 + 512 + 3 072 +0 + 4 096 + 0
= 7 710.
2	A la manif
Soit x le nombre de manifestants. « x + 1 » doit être multiple de 2, de 3, de 4, ... de 9.
« x + 1 » est ainsi un multiple du plus petit commun multiple de ces nombres, soit
un multiple de
2’ x x 5 x 7 = 2 520.
Soit x + 1 = k x 2 520, k étant un nombre entier. Donc x = 2 520 k — 1. Comme il
y a moins de cinq mille manifestants, k = 1. Il y a exactement 2 519 manifestants.
3	Année de naissance
Soit m, c, d et u les quatre chiffres formant votre année de naissance (chiffres des
milliers, des centaines, des dizaines et des unités).
Votre année de naissance peut donc s'écrire :
1 000 m + 100c + 10 d + u.
Si vous lui enlevez m + c + d + u, il reste :
999 m + 99 c + 9 d.
Ce qui est divisible par 9.
118
4 Arithmétique anglaise
Numérotons les colonnes :
6 5 4 3 2 1
T W £ N T Y
+ T W E N T Y
+ T W E N T Y
+	T E N
+T E N
= £ / G H T Y
nous écrirons en abrégé colonne 7 : col. i.
Nous convenons de noter r (x) la retenue de x, c'est-à-dire le chiffre des dizaines de
l'entier x. Et nous noterons r (col. 7) le chiffre des dizaines de la colonne 7 (à rajouter à
la colonne 7 + 7).
Remarque I
Col. 1 :
2N+3Y= Y + IO.r (col. 1)
ou
N + Y = 5, 10 ou 15.
Donc
r (col. 1) - 1, 2 ou 3.
Remarque II
Col. 2 :
3 T+ 2 £+-r (col. 1) = T + 10.r (col. 2)
ou
2 7+ 2 E + r (col. 1) = 10.r (col. 2).
Donc r (col. 1 ) est pair. Donc :
r (col. 1 ) = 2,	7V+-r=10 et T + E = 5.r (col. 2) — 1
ou
T + £ = 4,9 ou 14.
Mais (col. 6), on a : 3 Z < 10 ou T « 3.
Donc
T + E = 4 ou 9.
Remarque III
Col. 6 :
E = 3 T + r (3 IV).
Mais T + E = 4 ou 9.
Donc : 4 T + r (3 IV) = 4 ou 9.
Mais r (3 IV) « 2. D'où les 2 possibilités restantes :
1° 4 7 +-r (3 IV) = 9. Donc
r (3 IV) = 1 et T = 2.
£ = 6 + 1 = 7; r (3 E) = 2. Donc (col. 5) :
3 IV+- 2 = 1 + 10,	3 IV - 1 +8.
Donc / = 1 ,4 ou 7. Mais £ = 7. Donc 7 = 1 ou 4 et IV = 3 ou 4.
Les jeux mathématiques d'Eurêka. — 5
119
Si W = 4, i = W	: impossible.
Si W = 3, ! = 1,	T = 2, E = 7 et	N ou	Y	= 4 ou 6.
Si N = 4, H = 8,	Y = 6, G = 2 :	impossible.
Si N = 6, H = 4,	Y = 4 : impossible.
Il est par conséquent impossible que 4 T + r (3 W) = 9.
2° 4 T + r (3 W) = 4. Donc :
r (3 IV) = 0 et 7=1.
E = 3; r (3 E) = 0; et r (col. 4) = 0 ou 1.
3 IV + (0 ou 1) = / + 10r (col. 5) = / + 10 (0 ou 1).
Il faut donc : IV « 3. Or 1 et 3 sont des valeurs déjà prises. Et si IV = 0, / = 0 aussi,
ce qui est impossible. Alors, la seule valeur possible pour IV est 2.
Si N = 6, on voit (col. 3) que H = 1 : impossible.
Si N = 4, H = 5, G = 0 et Y = 6. C'est possible.
Vérification :
1	2	3	4 1	6
+1	2341	6
+123416
+	13	4
+	1 3	4
= 3	7	0	5 1	6
5 Arithmétique de l’histoire
Soit N une date quelconque.
N =	1 000	m	(chiffre des milliers)
+	100	c	(des	centaines)
+	10	d	(des	dizaines)
+	u	(des	unités)
N = (900 + 90 + 9 + 1 ) m + (90 + 9 + 1 ) c + (9 + 1 ) d + u.
Si m change de place, N sera modifié de 999,990 ou 900 fois m.
Ce qui est un multiple de 9.
Il est aisé de constater qu’il en est de même pour c, d et u.
Pour une permutation quelconque des quatre chiffres, la modification sera donc
nécessairement un multiple de 9. Et le reste de la division par 9 sera le même.
Ainsi, toute date historique possédant la première de ces deux propriétés possède
aussi la seconde (par exemple la conférence de Munich et le scandale de Panama).
Vous ne pouvez pas aider l'historien.
6 Arithmétique espagnole
1 ° Observons la première colonne : C = 1 puisque 5C<10etV>5.
2° Observons la dernière colonne : £ = 5 ou 0. Mais E apparaît également dans la
deuxième colonne. Comme 5 U est un multiple de 5, il ne peut y avoir de retenue
provenant de la colonne précédente : A = 0. Et comme U # 1 (puisque C = 1 ),
alors E = 5, car si on avait « E = 0 », E serait égal à A. Donc t/ et « O » sont impairs.
3° Observons la troisième colonne. / « 4 et T > 3 puisque la retenue de 5 7 est
/ * (0 ou 1). Donc Z = 2, 3 ou 4.
120
Si U = 9, alors V - 5 + retenue de (5 x 9) = 9 = U : impossible.
Donc U = 3 ou 7 et V = 6	ou 8 et «	O »	=	3, 7 ou 9.
4° Si / = 4, 7 = 9 (voir col. 3-4) donc 0	=	9 (voir col. 5-6) ce qui est impossible.
5° Si / = 3, 7 = 6 ou 7 (4e colonne) = mult. 5 + (1 ou 2). Donc (dernière colonne)
« O » = 3 = / : impossible.	Donc / =	2 et	7	= 4 et « O » = 9.
Donc R pair : R = 6 ou 8.	Si R = 8,	N =	4	= T : impossible.
Donc R = 6. Donc V ne peut valoir que 8 et U = 7.
Vérification : 170 469 x 5 = 852 345.
7	Au lycée
Soit a le nombre de professeurs de gymnastique, b le nombre de professeurs de russe
et N le nombre total d'élèves dans le lycée. Nous avons :
N = a .b .(a2 — b1) = a .b .(a + b) .(a — b).
Si a ou b est divisible par 3, le proviseur pourra évidemment organiser le défilé 3 par 3.
Si ni a ni b n'est divisible par 3, quatre cas peuvent se produire :
•	a = multiple de 3 + 1,
b = multiple de 3 + 2,
(a + b) est alors un multiple de 3.
•	a = multiple de 3 + 1,
b = multiple de 3 + 1,
(a — b) est alors multiple de 3.
•	a = multiple de 3 + 2,
b = multiple de 3 + 1,
(a + b) est alors multiple de 3.
•	a = multiple de 3 + 2,
b = multiple de 3 + 2,
(a — b) est alors multiple de 3.
Il en résulte que dans tous les cas, N est un multiple de 3; et que les élèves peuvent
donc défiler 3 par 3.
8	Au restaurant
Soit F le nombre de francs initial.
Soit C le nombre de centimes initial.
Soit F' le nombre de francs restant après le déjeuner.
Soit C' le nombre de centimes restant après le déjeuner.
Puisqu'il reste cinq fois moins d'argent qu'au départ, nous avons l'équation :
100 F + C = 5 (100 F' + C').
D'autre part, nous savons que :
C' = F et F' = C/5.
De ce système de trois équations à quatre inconnues, nous tirons aisément :
C = (95/99) F.
Or le nombre de centimes est entier, et inférieur à 100.
Le nombre F de francs initial ne peut donc être que : 99 F.
121
D'où il résulte :
C = 95, F' = C/5 = 19, C' = F=99.
Monsieur Dupont avait donc : 99,95 F.
Il lui reste : 19,99 F.
Le déjeuner a coûté : 79,96 F.
9	L’autobus
Soit n le nombre de passagers au départ. Soit n’ le nombre de passagers qui montent
à la 1r® station. Calculons pas à pas en fonction de n et n' le nombre de passagers
à chaque instant :
du départ à la 1r® station : n,
de la 1r® à la 2® :
(n) + (n') — (n’) = n,
de la 2® à la 3* :
(n) + (n + n') — (n’) = 2n,
de la 3® à la 4® :
(2 n) + (n + 2 n’) — (n + n') = 2n + n',
de la 4* à la 5® :
(2 n + n') + (2 n + 3 n') — (n + 2 n’) = 3 n + 2 n’,
de la 5* à la 6* :
(3 n + 2 n') + (3 n + 5 n') — (2 n + 3 n') = 4 n + 4 n',
de la 6® à la 7® :
(4 n + 4 n') + (5 n + 8 n') — (3 n + 5 n’) = 6 n + 7 n',
de la 7® à la 8" :
(6 n + 7 n') + (8 n + 13 n') — (5 n + 8 n') = 9 n + 12 n',
de la 8® à la 9® :
(9n + 12 n') + (13 n + 21 n') — (8 n + 13 n') = 14 n + 20 n',
de la 9® à la 10® :
(14 n + 28 n') + (21 n + 34/1') — (13 n + 21 n') = 22 n + 33 n'.
D'où l'équation :
22 n + 33 n' = 55.
Par conséquent : n = 1 et n' = 1.
Entre la 7® et la 8® station, il y avait donc : 21 passagers (9 n + 12 n' = 21).
10 Un bel anniversaire
L'âge de Léontine est donc égal à quatre fois la somme des chiffres qui le composent.
Elle a donc moins de 100 ans (et au moins 10 ans). Soit d le chiffre des dizaines et u
celui des unités de cet âge.
Nous avons :
10d+r/ = 4(d + r/)
ou : 2 d = u.
Le chiffre des unités est donc égal au double de celui des dizaines, ce qui correspond
122
aux âges : 12, 24, 36, 48. Ayant plus de quarante ans, Léontine a donc exactement
quarante-huit ans depuis le 28 décembre 1978. Ses quarante ans furent fêtés le
28 décembre 1970 (nous sommes en 1979).
11 Avec des 1 et des 2
Exemple : 11 — 2 = 9 = 32.
12 Un bon arrière-grand-père
Soit n ce nombre inconnu. L'arrière-grand-père nous dit que :
11 x n x 91 =1 001 n = « nn ».
Cela nous permet seulement de dire que n est un nombre à deux chiffres, c'est-à-dire
qu'il est compris entre 10 et 99.
L'arrière-grand-père est ainsi resté extrêmement peu précis sans en avoir l'air.
13 Les caramels
Soix x le nombre de caramels qu'il reste à chacun.
Soit y le nombre de caramels mangés par l'aîné (ou par le troisième).
Nombre de caramels mangés par le second : x.
Nombre de caramels mangés par le quatrième :
y + x + y.
Donc, nombre de caramels mangés en tout :
y + x + y + (x + 2 y) = 3 x + 4 y.
D'autre part nous savons que le nombre de caramels restants est : 4 x.
Il en résulte :
4 x + (2 x + 4 y) = 26
ou 6 x + 4 y = 26.
123
Or x et y sont des nombres entiers positifs, différents de 1. Il est alors aisé de constater
que la seule décomposition possible est :
x = 3 et y = 2.
L'aîné avait donc cinq caramels, le second six, le troisième cinq et le quatrième dix.
14	Carré
Nous observons d'abord que le carré d'un nombre entier se termine obligatoirement
par l'un des chiffres 0, 1, 4, 5, 6 ou 9. En outre, le carré d'un nombre entier est un
multiple de 4 (si le nombre est pair) ou un multiple de 4 majoré de 1 (si le nombre est
impair). Nous constatons alors que les nombres se terminant par 11, 55, 66 ou 99
ne sont ni des multiples de 4 ni des multiples de 4 majoré de 1. Il ne nous reste à
examiner que le cas des nombres se terminant par 44, et donc par 444. Une exploration
rapide montre que, si 444 n'est pas lui-même un carré, 1 444 en revanche est le carré
de 38.
Il existe donc des nombres dont le carré se termine par trois chiffres différents
de 0.
15	Casse-tête
Soit x l'âge de Martin, soit y celui de Martine. Ce que dit Martin à Martine peut se
résumer par l'équation :
x = 3 [y — (x — y)],
soit 4x = 6ou2x = 3y.
Ce que répond Martine à Martin peut se résumer par l'équation :
x + [x + (x — y)] = 77,
soit 3 x = y + 77.
Remplaçons dans la première équation y par 3 x — 77 :
2 x + 3 (3 x — 77),
c'est-à-dire 7 x = 3 x 77 d'où x = 33.
y, qui vaut 3 x — 77, est donc égal à 22.
Martin a 33 ans, Martine en a 22.
16	Combien d’enfants étiez-vous?
Le nombre de mes sœurs est donc un multiple de 3 et aussi un multiple de 2. C'est
donc un multiple de 6.
Nombre total d'enfants : (multiple de 6) x (1 + 1/2) + 1.
Ce nombre devant être strictement inférieur à 19, il en résulte que ce multiple de 6
est précisément 6.
J'avais ainsi six sœurs et trois frères : nous étions donc dix enfants en tout.
17	Compagnie aérienne
Soit n le nombre de villes actuellement desservies. Nombre de vols correspondants : '
n.(n— 1) puisque chaque ville est reliée aux n — 1 autres villes du réseau.
124
Nombre de vols prochains :
(n + k). (n + k — 1 ),
k étant le nombre de villes supplémentaires.
Nous avons donc :
(n + k).(n + k — 1) — n.(n — 1) = 76 = 4 x 19.
Il en résulte :
k (k + 2/7 — 1) = 4 x 19,
c'est-à-dire : ou bien k = 2, ou bien k = 4.
Mais si Âr = 2, k + 2 n — 1 = 38, donc 2 n — 1 = 36, ce qui est impossible puisque
2/7 — 1 doit être impair. Il en résulte que seule la seconde possibilité est envisa-
geable (k = 4). On a alors k + 2 n — 1 =19. Dont n = 8. Huit villes sont
actuellement desservies, douze le seront l'an prochain.
18	La composition de latin
Soit g la plus grande des deux notes et p la plus petite. Nous avons :
Il en résulte : g = 7 p/3.
Si g = 7 et p = 3, Michel a moins de la moyenne, ce qui est contraire à l'hypothèse.
La seule solution possible est donc :
g = 14 et p = 6.
C'est-à-dire : Michel a 14 et Claude 6.
19	Compter avec ses doigts
Le nombre de doigts laissés à gauche est n — 1. Celui des doigts laissés à droite est
10 — n. Or nous avons la relation :
9/7 = 10 (n— 1) + (10 — n).
n — 1 représente donc le chiffre des dizaines et 10 — n celui des unités.
20	Cot-cot-codet
Commençons par calculer les 11 premières puissances de 5 : 1, 5, 25, 125, 625,
3125, 15 625, 78125, 390 625, 1 953125, 9 765 625.
Cette dernière puissance de 5 se trouve quatre fois dans le nombre exprimé par la
poule : C = 4.
Dans ce qui reste alors, 5’ se trouve une fois : O = 1.
Dans ce qui reste encore, 58 ne se trouve aucune fois : 7 = 0.
Puis on retrouve avec les trois symboles suivants, les mêmes valeurs que précédemment.
Et on continue terme à terme jusqu'à trouver ainsi : D = 3 et £ = 2.
Remarque : 41 348 460 en base 10 s'écrit 41 041 041 320 en base 5.
125
21	Courses de chevaux
Avoir après le sixième cheval : 0. Avoir après le cinquième cheval : 60 F de plus : 60.
Avoir après le quatrième cheval : la moitié en moins : 30. Avoir après le troisième
cheval : 60 F de plus : 90. Avoir après le deuxième cheval : la moitié en moins : 45.
Avoir après le premier cheval : 60 F de plus : 105. Avoir avant le premier cheval : la
moitié en moins : 52,50.
J'avais 52 francs et cinquante centimes en arrivant l'hippodrome de Longchamp.
22	Différence d’âge
Soit (m, c, d, u) la décomposition suivant les chiffres des milliers, des centaines,
des dizaines et des unités de la date de naissance de Jean.
Soit de même (m', c', d', u') la date de naissance de Jacques.
Age de Jean :
1979 — (1 000 m + 100 c + 10 d + u).
Age de Jacques :
1979 — (1 000 m' + 100 c' + 10 d’ + u’).
Différence d'âge :
1 000 (m — m') + 100 (c — c') + 10 (d — d') + (u — u').
Or nous savons par hypothèse que :
m + c + d + u = m' + c' + d' + u'.
Donc :
(m — m’) + (c — c’) + (d — d’) + (u — u') = 0.
Enlevons cette quantité nulle de la différence d'âge, nous obtenons :
999 (m — m') + 99 (c — c') + 9 (d — d')
ce qui est évidemment divisible par 9.
Comme cette différence est nécessairement inférieure à 10 (les deux âges commençant
par le même chiffre), elle ne peut être que 9.
Jean et Jacques ont 9 ans de différence.
23 Division
Soit D le dividende, d le diviseur, q le quotient et r le reste. Nos hypothèses se tra-
duisent alors par les deux équations suivantes :
D = q .d + r,
D + 65 ~ q. (d + 5) + r.
Ce qui donne par soustraction :
65 = 5 q.
Il en résulte : q = 13.
126
24	Échanges
Soit c, d et u les chiffres respectifs des centaines, des dizaines et des unités. Nous
avons les équations suivantes :
(100 c + 10 d + u) = (100 c + 10 u + d) — 45,
(100 c + 10 d + u) = (100 d + 10 c + u) + 270.
D'où il en résulte :
9d — 9 u + 45 = 0,
90 c — 90 d— 270 = 0.
Et par conséquent :u = d+5, c = d + 3.
En intervertissant les deux chiffres extrêmes, la différence sera :
(100 u + 10 d + c) — (100 c + 10 d + u)
= 99 (u — c) = 99 [(d + 5) — (d + 3)] = 198.
Le nombre augmente ainsi de 198.
25	L’école
Soit c le nombre d'élèves par classe avant l'incendie.
Soit n le nombre des classes qu’il y avait alors.
Nous avons les relations suivantes :
ne = (n — 6) (c + 5),
ne = (n — 16) (c + 20).
Il en résulte :
— 6 c + 5 n — 30 = 0,
— 16 c + 20 n — 320 = 0,
donc : c = 25, n = 36.
Le nombre d'élèves de cette école est ainsi de :
ne = 36 x 25 = 900.
26	Frère et sœur
Soit x le nombre de garçons et y le nombre de filles. Ce que dit le frère à sa sœur se
traduit par l'équation :
x = y — 1.
Ce que répond la sœur à son frère se traduit par l'équation :
y = 2 (x — 1) ou y = 2 x — 2.
Remplaçons alors x par y — 1. Il résulte :
y = 4.
Et par conséquent :
x = 3.
Il y a donc sept enfants dans cette famille : trois garçons et quatre filles.
127
Y! Familles nombreuses
Soit m et d les nombres d'enfants respectifs des familles Martin et Dupont. Nous
avons m2 — d2 = 24.
C'est-à-dire : (m + d) (m — d) = 23 x 3.
D'où les diverses possibilités suivantes :
m + d	m — d	2 m	m	d
24	1	25 : impossible	—	—
12	2	14	1	5
8	3	11 : impossible	— •	—
6	4	10	5	1 : impossible
La seule décomposition admissible est donc obtenue pour : m = 7. Il y a sept enfants
chez les Martin.
Remarque : Les deux premières impossibilités proviennent du fait que «2m» doit être
un nombre pair. La troisième provient de l’hypothèse : « Il n'y a pas d'enfant unique ».
28	Une histoire de bal
Imaginons-nous le jour même de ce bal.
Soit e l'âge d'Éléonore, et m le mien.
Age d'Éléonore quand j'avais son âge actuel :
e — (m — e) = 2 e — m.
La première phrase qu'elle prononce donne l'équation :
e = 3 (2 e — m) ou 3 m = 5 e.
Age que j'aurai quand Éléonore sera trois fois plus âgée qu'aujourd'hui :
m + (3 e — e) = m + 2 e.
La deuxième phrase d'Éléonore donne donc l'équation :
3 e + (m + 2 e) = 100 ou 5 e + m = 100.
Reprenant alors le résultat de sa première phrase, nous avons :
3 m + m = 100 ou m = 25.
donc : e = 3 m/5 =15.
Notre impertinente a 15 ans.
29	Léonie et les chats
Soit n ce nombre de chats. Nous avons :
n = 4/5. n + 4/5.
128
Il en résulte : n = 4.
La vieille Léonie vit avec quatre chats.
30	Les mathématiques nouvelles
Soit a cette base inconnue. Quand mon fils écrit à l'aide de cette base « 253 », il veut
dire : 2 a2 + 5 a + 3, ce qui fait 136 en base 10. Nous avons donc l'équation :
2a2 + 5a + 3 = 136,
ou 2 a2 + 5 a — 133 = 0,
ou (a —7) (2 a + 19) = 0.
a étant un entier positif, la seule solution possible est 7. La base inconnue est 7.
31	Multiplication
5 2 83
x 4 9
47 547
2 113 2
258867
32	Les nombres chinois
Tout nombre n inférieur ou égal à 26 est bien sûr strictement inférieur à 33 (27). Il
peut donc se décomposer (en base 3) de la façon suivante :
n = (0 ou 1 ou 2). 3° + (0 ou 1 ou 2). 3* + (0 ou 1 ou 2). 32.
C'est-à-dire :
n = (0 ou 1 ou 2) + (0 ou 3 ou 6) + (0 ou 9 ou 18).
Et on retrouve ainsi tous les nombres comportant un 1 dans leur décomposition dans
le premier tableau, ceux qui comportent un 2 dans le deuxième, un 3 dans le troisième,
un 6 dans le quatrième, un 9 dans le cinquième et un 18 dans le sixième.
On retrouvera donc le nombre n en additionnant les nombres situés en haut à gauche
des tableaux auxquels il appartient.
33	Le plus petit
Soit n ce nombre inconnu. Puisque n divisé par 2 donne le reste 1, n + 1 est divisible
par 2. Puisque n divisé par 3 donne le reste 2, n + 1 est divisible par 3, etc. De même
n + 1 est divisible par 4, 5 et 6. Or le plus petit commun multiple de 2, 3, 4, 5 et 6
est 60. Nous avons donc : n + 1 = 60. Il en résulte : n = 59.
34	Pour les moins dé seize ans
Il ne s'agit pas de magie, mais tout simplement des propriétés de la décomposition
d'un nombre en base 2. Tout nombre entier inférieur à 16 peut en effet s'écrire :
x0.2° + Xj.21 + x2.22 + x3.23
129
Chaque xt représentant un 0 ou un 1.
Quand xt vaut 1, l'âge correspondant est inscrit dans la colonne commençant par 2‘.
Quand xt vaut 0, il ne l’est pas.
Exemple : si vous avez 13 ans, votre âge apparaîtra dans les trois dernières colonnes
car :
13 = 1.23 + 1.22 + 0.21 + 1.2° = 8 + 4 + 0 + 1.
35 Produit
3 024 ne se termine ni par 5 ni par 0 : donc aucun de ces quatre nombres n'est divisible
par 5 ni par 10. Or si les quatre étaient supérieurs à 10, le produit serait nécessairement
supérieur à 10 000. Ce qui n'est pas le cas. Ces quatre nombres ne peuvent donc
être que : 1-2-3-4 ou bien 6-7-8-9. Dans le premier cas, le produit correspondant
est 24. Il ne peut s'agir que de 6-7-8-9. Cela est d'ailleurs facile à vérifier.
36	Quai San-Salvador
Soit d le nombre de maisons à droite de la mienne et g le nombre de maisons à gauche,
quand je regarde la mer. Nous avons le système d'équations suivant :
d + g = 10,
</<?-(<7+1).(ÿ-1) = 5,
ou
d + g = 10,
d — g = 4.
Il en résulte : 2 d = 14, soit d = 7 et par conséquent : g = 3.
Ma maison est donc la 4e à partir de la gauche quand on est face à la mer, c'est-à-dire
la 4e à partir de la droite quand on regarde le quai.
37	Quel âge a Florence?
Soit a cet âge inconnu. Nous avons l'équation :
a5 — a = 10
(k étant un nombre entier quelconque).
C'est-à-dire :
a (a2 — 1 ) (a2 + 1 ) = 10 k
ou
a (a + 1) (a —1) [(a —2) (a + 2) + 5] = 10 k.
Or, quel que soit a, l'une des deux valeurs a ou a + 1 est un multiple de 2, tandis que
l'une des cinq valeurs a, a + 1, a + 2, a — 1 ou a — 2 est un multiple de 5. Par consé-
quent a5 — a est un multiple de 10 pour toute valeur de a : nous n’avons ainsi aucune
information sur l'âge de Florence qui peut prendre n'importe quelle valeur de 0 à
110 ansl
130
38	Quel âge a l’aîné?
Soit a l'âge de l'aîné, c celui du cadet et b celui du benjamin.
Nous savons :	c2 = ab
a + b + c = 35,
log a + log b + log c = 3.
De la première équation il résulte :
2 log c = log a + log b.
En considérant alors la troisième équation, on trouve :
log c = 1.
Donc c = 10 : le cadet a 10 ans.
Nous avons donc : ab = 100 et a + b = 25.
a et b sont donc les racines de l'équation :
x2 — 25 x + 100 = 0.
a étant plus grand que b, il en résulte : a = 20.
L'aîné à 20 ans.
39	Quel est mon âge?
Soit x mon âge inconnu, d étant le chiffre des dizaines et u celui des unités :
x = 10 d + u. Age d'Alfred : 10 u + d.
La première proposition de la donnée s'écrit :
110 d + u	10 u + d\ I , I
| d + u d + u | |	|
Simplifions, il vient :
9 | d — u | = (d + u}. | d — u |,
ou d = 9 — u.
Écrivons alors la deuxième proposition de la donnée :
lOdjjj 10uJLd=10£/ + (y
d + u d + u
ou 10 u + d = (d + u)2.
Remplaçons d par 9 — u, il vient :
9 u + 9 = 81 donc u = 8 et d = 1.
J'ai 18 ans, Alfred en a 81.
40	Une question d’âges
Il y a trois fils. Le produit des quatre âges est :
27 090 = 43 x 7 x 5 x 32 x 2.
L'aîné ayant pour âge la somme des âges de ses frères, la seule décomposition possible
est :
43 — 14 — 9 — 5.
Le père a 43 ans, le cadet en a 9. Le père avait donc 34 ans quand il est né.
131
41	Le remonte-pente
L'aînée a donc plus de 10 ans, la cadette 10 ans exactement et la benjamine moins
de 10 ans.
Soit a l’âge de l'aînée et b celui de la benjamine.
Nous avons :
10a — 9 b — 89 ou 10 (a — b) 4- b — 10 (8) 4- 9.
Donc :
a — b = 8 et b = 9.
La benjamine a donc 9 ans, la cadette 10 ans et l'aînée 17 ans.
42	Rencontre au sommet
Soit dt le nombre de personnes de la première délégation, et d2 celui de la seconde.
di = multiple de 9 + 4.
d2 = multiple de 9 4 6.
Nombre de photos :
dt x d2 = multiple de 9 + (4 x 6)
= multiple de 9 4 (18 4- 6)
= multiple de 9 + 6.
Il y a donc six photos prises avec la dernière pellicule. Le photographe peut encore
en prendre trois.
43	La rue Saint-Nicaise
Soit x le nombre des exécutions.
Nombre de morts (par explosion) : 2 x 4 4.
Nombre de blessés :
2 (2 x 4 4) 4 4/3 x ou 5 x 4 x/3 + 8
(x est donc un multiple de 3).
On connaît aussi l'inégalité :
(2 x 4 4) 4 (5x 4 x/3 4 8) 4 (x) <98 ou x < 10.
x étant légèrement inférieur ou égal à 10 d'une part, un multiple de 3 d'autre part, il
en résulte que x = 9.
Bonaparte fit exécuter neuf républicains après l'attentat de la rue Saint-Nicaise.
44 Le sac de billes
Soit n le nombre d'enfants, x la part de chacun et N le nombre total de billes. Nous
avons : N = nx.
Part du premier enfant à se servir :
1 4 (N — 1 )/10 = x.
Part du dernier : x.
Part de l'avant-dernier :
n — 1 4 x/9 = (/V/x) — 1 4 x/9 = x.
132
En considérant la part du premier enfant, il résulte :
N = 10 x — 9.
Reportons alors ce résultat dans l'équation provenant de la part de l'avant-dernier :
(10 x — 9)/x — 1 + x/9 = x.
Ce qui s'écrit encore :
8 x2 — 81 x + 81 =0
ou bien
(x — 9) (8 x — 9) = 0.
Le nombre de billes pris par chaque enfant étant entier, la seule solution acceptable
est : x = 9. Donc N = 81 et n = 9.
Il y avait neuf enfants. Chacun a eu neuf billes.
45 Sainte-Marguerite
Supposons tout d'abord que le nombre total des élèves de cette institution soit inférieur
à 10 000, ce qui n'est pas une hypothèse très restrictive. Ainsi, ce nombre s'écrit avec
quatre chiffres : mcdu, m étant le chiffre des milliers, c celui des centaines, d celui
des dizaines et u celui des unités.
Total des élèves :
1 000 m + 100 c + 10 d + u.
Nombre de garçons :
m + c + d + u.
Nombre de filles :
999 m + 99 c + 9 d + 0
(différence entre les deux nombres précédents).
Ce dernier nombre est par conséquent un multiple de 9 : les filles pourront s'installer
à la chapelle sur des bancs à neuf places en l'honneur de la Sainte-Marguerite.
46 Les soldats de l’empereur
Supposons d'abord, ce qui n'est pas une hypothèse très restrictive, que le nombre N
des soldats du général Lasalle est inférieur à 10 000. Soit « mcdu » ce nombre :
N = 1 000 /n + 100c+10d+u.
Nous avons : m + c + d + u= VL
Nombre de morts et blessés :
N' = « m'c'd'u' » = 1 000 m' + 100 c' + 10 d' + u’.
Avec aussi :
m' + c' + d' + u' = 17.
Par conséquent :
(m — m') + (c — c') + (d — d') + (u — u’) = 0.	(I)
Considérons le nombre de valides après la bataille :
1/ = 1 000 (m — m’) + 100 (c — c') + 10 (d — d') + (u — u') = 0. (Il)
Enlevons alors l'expression nulle (I) du nombre de valides !/, il reste :
V = 999 (m — m') + 99 (c — c') + 9 (d—d').
Cela est divisible par 9. Les valides ont donc pu rentrer par rangs de 9.
133
47 Suez et Panama
Quand n personnes se rencontrent, le nombre de bonjours échangés est : n (n — 1 )/2.
D'où le tableau :
Nombre de Panaméens	Nombre d'Égyptiens	Nombre de bonjours :		Total
		Panaméens	Égyptiens	
1	11	0	55	55
2	10	1	45	46
3	9	3	36	39
4	8	6	28	34
5	7	10	21	31
Pour arriver à un total de 31 bonjours, il faut donc avoir en présence sept Égyptiens
et cinq Panaméens.
48 Suite de nombres
Pour écrire les neuf premiers nombres à 1 chiffre, il faut :
9«1=9 chiffres.
Pour écrire les 90 suivants à deux chiffres, il faut : 180 chiffres.
Pour écrire les 900 suivants à trois chiffres, il faut : 2 700 chiffres.
Ce qui fait en tout : 2 889 chiffres.
Pour écrire tous les nombres jusqu'à n, il manque ainsi quatre chiffres.
n est donc le premier nombre à quatre chiffres : 1 000.
49 Trouvez le « truc »
Soit die chiffre des dizaines du nombre à élever au carré. Ce nombre peut ainsi s'écrire
10 d + 5. Si on l'élève au carré, on obtient : 100 d1 + 100 d + 25.
Ce qui s'écrit encore : 100.d. (d + 1) + 25.
Par exemple 852 = (8 x 9) 25 = 7 225.
Telle est l'explication du « truc » de Maurice.
50 Les vertus du chiffre 9
q 999
Nous remarquons d'abord que 9999y" est un nombre impair. Nous pouvons
donc l’écrire 2 k + 1, k étant un nombre entier. N s'écrit alors :
99999“+* ou 11111“+* x 9*‘+i Ou 11111“+* x 81* x g.
Or 11111 “+ * se termine par un 1,81 * aussi, donc leur produit aussi. Et par conséquent,
neuf fois leur produit se termine par 9. En résumé : N se termine par 9.
51 Les vœux de Mathusalem
De 1 à 999, tous les chiffres ont été utilisés le même nombre de fois, sauf le 0
(111 fois de moins). Pour une raison analogue, de 1 000 à 1 999, tous les chiffres
ont été cités le même nombre de fois, sauf le 1 (1 000 fois de plus). Mais nous ne
134
considérons ici que la série interrompue à 1979. Il reste alors : 1980,1981, 1982, etc.,
1999. Dans cette nouvelle série, c'est le 9 qui apparaît le plus souvent (31 fois). Mais
ce manque de 9 dans la série principale est beaucoup moins important que le manque
de 0 observé dans les 1 000 premiers numéros.
0 est donc le chiffre écrit le moins souvent.
52 Les cinq nombres
Soit n le nombre du milieu de la suite. Nous avons l'équation :
(n + 1 )2 + (n + 2)2 = n1 + (n — 1 )2 + (n — 2)2.
Développons et simplifions :
n (n — 12) = 0.
La seule solution acceptable est ainsi :
n = 12.
Les cinq nombres entiers consécutifs sont : 10-11-12-13-14.
53 Les deux sœurs
Soit x l'âge de la sœur aînée.
Soit y l'âge de la cadette.
Nous avons les équations :
x = y + 4,
x3 — y3 = 988.
Il en résulte : 12 y2 + 48 y + 64 = 988.
Par.conséquent :
y =7,
x = 11.
54 Le 14 juillet
Soit s le nombre de soldats et b celui des bâtiments. Nous avons :
s = b + 3 b1 + 2 b3 = b (b + 1 ) (2 b + 1 ).
Il est clair que b (b + 1 ) est divisible par 2 quel que soit b.
D'autre part, si b est un multiple de 3, s l'est aussi.
Si b est un multiple de 3 plus 1, 2 b + 1 est un multiple de 3.
Si b est un multiple de 3 plus 2, b + 1 est un multiple de 3.
s est donc un multiple de 3 et un multiple de 2, quel que soit b.
C'est donc un multiple de 6 : la décision du général est ainsi réalisable.
55 100 ans à eux trois
Soit e l'âge de l'enfant.
Soit p l'âge du père.
Soit g l'âge du grand-père.
Soit x le temps à attendre avant qu'ils aient 100 ans à eux trois.
135
Nous avons'les équations suivantes :
(g + x) + (p + x) + (e + x) = 100,
(e + x) = | e,
O
(p + x) — (e + x) = 28,
g + x = 2 (p — e + 1,5).
Des deux dernières équations, nous déduisons :
g + x = 59.
Il en résulte d'après la première ;
59 + {p + x) + (e + x) — 100.
g
Or p + x = 28 + (e + x) et e + x = e-
5
Il en résulte :
59 + 28 + — e = 100.
5
Donc e = 5 ans et 5 mois et x = ® = 1 an et 1 mois.
5
Ils auront donc 100 ans à eux trois dans 13 mois.
56 100 !
Autant de fois un nombre est multiple de 10, autant de zéros il y a à la fin. Or 10 est
le produit de 5 et de 2. Ce nombre de zéros sera donc égal au plus petit des deux
nombres suivants : nombre de facteurs 2 et nombre de facteurs 5 dans la décomposi-
tion en facteurs premiers correspondante. Ici, le nombre de facteurs 2 est bien entendu
supérieur à celui des facteurs 5. Calculons ce dernier : 1001 comprend 20 nombres
multiples de 5, parmi lesquels quatre sont même multiples de 25 : 25, 50, 75 et 100.
Dans la décomposition en facteurs premiers de 1001 on trouvera donc 5 à la puissance
24 (20 + 4 = 24).
Il y aura ainsi 24 zéros à la fin de 1001
57 De 1968 à 1978
Soit n un entier quelconque. Le dernier chiffre de 7" est l'un des nombres 7, 9, 3
ou 1. Si n est un multiple de 4, ce dernier chiffre est 1. En effet :
7« = (74)» = (492p = (2 401)*.
Le dernier chiffre de 3” est l'un des nombres 3, 9, 7 ou 1. Si n est un multiple de 4*
ce dernier chiffre est 1. En effet :
34‘ = (34)* = (81 )*
Il est clair d'autre part que 1 968 et 68 sont des multiples de 4.1968197’ et 687B
le sont donc également.
Chacune des deux parties du numérateur se termine par conséquent par le chiffre 1.
Leur différence se termine donc par 0. Le numérateur est ainsi un multiple de 10 :
N EST UN NOMBRE ENTIER.
136
u. Au royaume de l’astuce
et du bon sens
1	A British Hospital
Dans un hôpital britannique, on peut lire le faire-part suivant : « The
surgeon X and the nurse Y are pleased to announce their forthcoming
wedding. » Sachant que, lorsque ('établissement fut ouvert, le fiancé
avait l'âge actuel de la fiancée et que le produit des trois âges (celui
des deux fiancés et celui de l'hôpital), diminué de celui du chirurgien,
est 1 539, à quelle époque l'hôpital a-t-il été ouvert?
2	Les aiguilles de ma montre
Il est plus de 3 h 20, mais moins de 3 h 25. J'observe l'emplacement
précis des aiguilles de ma montre. Puis, je tourne les aiguilles, sans casser
le mécanisme, et arrive exactement ainsi à mettre la grande aiguille sur
l'ancien emplacement de la petite, tandis que celle-ci occupe l'ancienne
place de la grande.
Quelle heure est-il exactement?
3	A la cantine
Le hors-d'œuvre est servi entre 7 heures et 8 heures, lorsque les deux
aiguilles de l'horloge sont équidistantes du chiffre 6. Le dessert arrive
lorsque la grande aiguille a rattrapé la petite.
Combien de temps met-on, dans cette cantine, pour manger le hors-
d'œuvre et le plat principal?
4	A la ferme
Dans une grande ferme, vivaient en nombre égal des vaches, des cochons,
des chevaux et des lapins. Survint une terrible maladie. On put alors
entendre successivement les plaintes des différents habitants de cette
ferme.
137
Le père : « Une vache sur cinq est morte. »
La mère : « Il y a autant de chevaux morts que de cochons survivants. »
Le fils : « Notre nouvelle proportion de lapins (parmi les survivants) est
de 5/14. »
La grand-mère : « La mort n'a épargné aucune espèce animale. »
Mais la pauvre grand-mère était très âgée. Sauriez-vous démontrer qu'elle
s'est trompée?
5	Au zoo
Si, dans tous les zoos où il y a des hippopotames et des rhinocéros,
il n'y a pas de girafes; si, dans tous les zoos où il y a des rhinocéros
et où il n'y a pas de girafes, il y a des hippopotames; et si enfin, dans
tous les zoos où il y a des hippopotames et des girafes, il y a des
rhinocéros, peut-on trouver un zoo, où il y ait des hippopotames sans
qu'il n'y ait ni girafes ni rhinocéros?
6	Le café est servi
Le café est servi entre 1 heure et 2 heures, lorsque les deux aiguilles
de ma montre forment un angle dont la bissectrice passe au milieu du 12.
Quelle heure est-il alors précisément?
7	Les chauve-souris, les ours et les éléphants chinois
Une observation attentive des phénomènes physiques a montré que
17 ours mangent autant que 170 chinois, 100 000 chauve-souris autant
que 50 chinois et 10 ours autant que 4 éléphants. Combien faut-il alors
de chauve-souris pour absorber autant de nourriture qu'une douzaine
d'éléphants?
138
8	Le château de cartes
Savez-vous faire un château de cartes? Pour arriver à 1 étage, c'est
tout simple :
Pour 2, ce n'est pas très compliqué non plus :
Pour 3, voilà :
Et ainsi de suite. Dites-moi alors combien de cartes il vous faut pour
construire ainsi un château de 47 étages...
9	Cigarettes
Quatre ménages amis dînaient ensemble. Après le dessert, Diane fuma
trois cigarettes, Élisabeth deux, Nicole quatre et Maud une. Simon fuma
autant que sa femme, Pierre deux fois plus que la sienne, Louis trois
fois plus que la sienne et Christian quatre fois plus que la sienne. Sachant
que 32 cigarettes furent fumées en tout, sauriez-vous trouver le prénom
de la femme de Louis?
10	La confession
Un confesseur a l'habitude de donner des pénitences bien précises
suivant le péché commis. Ainsi, pour absoudre un péché d'orgueil, il
demande de réciter un « Je vous salue » et deux « Notre père »; pour
139
une calomnie, c'est deux « Notre père » et sept « Je crois en Dieu »;
pour un péché de paresse, c'est deux « Je vous salue »; pour l'adultère,
c'est dix « Je vous salue », dix « Notre père » et dix « Je crois en Dieu »;
pour un péché de gourmandise, c'est un « Je vous salue » seulement;
pour un péché d'égoïsme, c'est trois « Notre père » et un « Je crois en
Dieu »; pour un péché de jalousie, c'est trois « Notre père »; pour la
médisance enfin, c'est sept « Notre père » et deux « Je crois en Dieu ».
Sachant que, lors de ma dernière confession, je me suis accusé de
douze péchés, pour lesquels il m'a fallu réciter neuf « Je vous salue »,
douze « Notre père » et dix « Je crois en Dieu », quels étaient mes péchés?
11	Les dactylos
Deux dactylos doivent copier un texte. La première en frappe la moitié,
puis la seconde fait le reste. Elles terminent ainsi leur travail en 25 heures.
Sachant que, si elles avaient travaillé simultanément, il leur aurait fallu
12 heures pour le faire, combien d'heures aurait-il fallu à chacune pour
l'effectuer seule?
12	La belle dentelle
Deux dentellières doivent effectuer une pièce de dentelle. Si elle travaillait
seule, la première mettrait 8 jours, et la seconde 13. Combien de temps
leur faudra-t-il en travaillant ensemble?
13	Le dîner entre amis
Dix couples d'amis se retrouvent pour dîner. Ils prennent d'abord l'apéritif
au salon, puis passent tous les vingt, un par un, dans un ordre quelconque,
à la salle à manger. Combien de personnes au moins doivent-elles y
être entrées pour que l'on soit sûr d'y trouver :
1° Au moins un couple réuni.
2° Au moins deux personnes du même sexe.
14	Dream-dromaderies
Il y a des dromadaires qui dorment, et des dromadaires qui ne dorment
pas. De dromadaires qui dorment, il y en a les sept huitièmes des
dromadaires qui ne dorment pas, plus sept huitièmes de dromadaire.
Si la moitié des dromadaires qui dorment s'arrêtaient de dormir, le
nombre de dromadaires qui ne dorment pas serait assurément compris
entre 25 et 65. Et si tous les dromadaires qui dorment s'arrêtaient de
dormir, le nombre de dromadaires qui ne dorment pas serait de ...
Complétez, s'il vous plaît, la dernière de ces phrases.
140
15	Élection présidentielle
Lors de l'élection présidentielle française, en 1981, un certain nombre
de candidats sont en présence au premier tour. Chacun d'eux réunit
exactement deux fois moins de voix que celui qui lui est immédiatement
supérieur. Un deuxième tour sera-t-il nécessaire?
16	Grand-mère, version latine et petits chats
Si vous écrivez deux fois côte à côte ma note en version latine, vous
obtiendrez l'âge de ma grand-mère. Et si vous divisez cet âge par le
nombre de mes petits chats, qu'obtiendrez-vous? Trois fois ma note en
version latine, augmentée de quatorze tiers. Dites-moi alors, s'il vous
plaît, quel est l'âge de ma grand-mère.
17 Le jeu mathématique
Cette semaine-là, le jeu mathématique de « Valeurs actuelles » était
spécialement difficile. Lorsque j'ai commencé, entre 9 heures et 10 heures,
les deux aiguilles de ma montre étaient alignées. Et je n'ai terminé que
lorsque les deux aiguilles ont coïncidé à nouveau. Combien de temps
m'a-t-il donc fallu?
18 Lou-phoque
J'ai été l'autre jour au musée de la mer. J'ai vu des phoques. Il n'y avait
pas beaucoup de phoques. Seulement les sept huitièmes des phoques,
plus encore sept huitièmes de phoque. Combien cela fait-il de phoques?
19 Le métro
Sur une certaine ligne de métro, les rames partent régulièrement toutes
les 10 minutes au cours de la journée, et mettent exactement 1 heure
pour parcourir toute la ligne. Un voyageur monte dans un wagon à
l'un des terminus, et veut se rendre à l'autre. Combien de rames circulant
en sens inverse va-t-il croiser?
20 Nicolas joue aux soldats de plomb
Nicolas possède en nombre égal des Indiens, des Arabes, des cow-boys
et des Esquimaux. Après la visite de son cousin Sébastien, il constate
furieux la disparition du tiers de ses soldats. Sachant qu'il y a autant
d'Esquimaux restants que de cow-boys en moins, et qu'il lui reste deux
Indiens sur trois, combien le cousin Sébastien a-t-il emporté d'Arabes?
21 Parking
Dans un parking parisien situé sur les berges de la Seine, étaient
stationnées un certain nombre de voitures : Renault, Peugeot et Citroën.
141
Il y avait deux fois plus de Renault que de Peugeot, ces dernières étant
elles-mêmes deux fois plus nombreuses que les Citroën. A la suite de
pluies diluviennes, la Seine déborda et emporta de nombreux véhicules.
Il y eut ainsi autant de Citroën hors de l'eau que de Renault dans l'eau,
trois fois plus de Renault hors de l'eau que de Peugeot dans l'eau et
autant de Peugeot hors de l'eau que de Citroën hors de l'eau.
Combien la Seine a-t-elle emporté de voitures Citroën?
22 Le nettoyage à fond
Les bureaux d'une importante société sont répartis sur trois étages d'une
tour parallélépipédique à la Défense : le 13e et le 14e, où sont situés
les bureaux^ le 25e, où se trouve la présidence.
Pour y faire le ménage, on fait appel à une équipe de balayeurs qui,
pendant 4 heures, s'attaquent aux bureaux. Puis l'équipe se scinde en
deux : une moitié va nettoyer le 25e étage pendant que l'autre continue
les 13e et 14e. Au bout de 4 nouvelles heures, l'équipe s'arrête : les
deux étages d'en bas sont propres, et il ne manque pour le 25e que
8 heures de travail à une personne seule.
Sachant que le temps nécessaire au nettoyage est seulement proportionnel
à la surface nettoyée, combien y a-t-il de personnes dans cette équipe
de balayage?
23 Les Parisiens
On compte à Paris 2 754 842 habitants. Chacun d'eux porte un numéro
allant de 1 à 2 754 842. Combien faut-il de chiffres pour écrire tous
ces numéros, quelle est la somme de tous ces numéros et quelle est
la somme de tous les chiffres formant ces numéros?
142
24 Partage
J'avais 100 F dans mon porte-monnaie, en pièces de 1 F, de 5 F et
de 50 centimes. Mais maintenant, je n'ai plus rien car j'ai donné mes
pièces de 1 F à Victor, celles de 5 F à Marguerite et celles de 50 centimes
à Gustave. Qui est alors, selon vous, le moins avantagé dans ce partage,
sachant qu'un des deux garçons a reçu neuf fois plus de pièces que l'autre?
25 Passages a niveau
Deux petits villages des Landes, A et B, sont situés sur une même voie
ferrée rectiligne, à 10 km l'un de l'autre. Malgré la platitude de la région,
la route qui les relie zigzague. Un cycliste a ainsi pu remarquer que,
quel que soit le point P où il se trouvait sur cette route, en appelant H
la projection de P sur la voie ferrée, la relation suivante était vérifiée :
« La somme de 20 fois la longueur BH, de 13 fois le cube de cette
même longueur, et de 300 fois la longueur PH, était égale à la somme
de la longueur BH à la puissance 4, et de 32 fois le carré de cette même
longueur (le tout étant exprimé en kilomètres). »
Combien de passages à niveau le cycliste rencontre-t-il entre les
villages A.et B?
26 Les pièces d’or
Comme chaque année, un roi attend que chacun de ses 30 vassaux lui
verse 30 pièces d'or. Mais il sait que l'un d'eux a pris la triste habitude
de lui donner des pièces de 9 g et non de 10 comme il les demande.
Comment pourra-t-il en une seule pesée identifier le coupable, afin de
lui couper la tête?
27 Les pharmacies
Une ville nouvelle comporte 13 pâtés de maisons a, b, c, d, etc., / et m.
On sait que a est voisin de b et de d; b, de a, c et. d; c de b; d de a, b, f
et e; e de d, f, j et /; f de d, e, j, i et g; g de f, i et h; h de g ex i; i de j, f, g
et h; j de k, e, f et i: k de / et j; / de k et e; tandis que m est isolé et n'a
donc pas de pâté de maisons voisin.
Chaque habitant de cette ville nouvelle doit pouvoir trouver une et une
seule pharmacie en zone proche, c'est-à-dire dans son propre pâté de
maisons ou dans un pâté de maisons voisin. Où faudra-t-il alors créer
ces pharmacies?
28 Le plein d’essence
Un individu possède deux voitures, une grosse et une petite. Leurs deux
réservoirs ont une capacité totale de 70 I. Lorsqu'ils sont tous deux
vides, il doit payer 45 couronnes pour l'un et 68 couronnes pour l'autre.
143
afin de les faire remplir complètement. Sachant qu'il prend de l'essence
ordinaire pour la petite automobile et du super pour le gros véhicule,
et que dans le pays où il se trouve il y a 20 centimes (centièmes de
couronne) d'écart entre le prix au litre de l'essence ordinaire et de super,
quelles sont les capacités respectives des deux voitures?
29 Les pommes
Amélie ramasse des pommes, en mange un quart et distribue équita-
blement les autres à ses petites sœurs Berthe, Charlotte et Dorothée.
Puis Berthe mange également le quart de ses pommes et distribue le
reste en trois parties égales à ses trois sœurs. Charlotte mange alors
une pomme et distribue celles qui restent équitablement entre ses trois
sœurs. Quant à la petite Dorothée, elle en mange quatre avant de
partager le reste de façon égale entre ses trois sœurs.
— Tiens, dit alors Berthe à Charlotte, j'ai deux fois plus de pommes
que toi.
Combien Amélie avait-elle ramassé de pommes?
30 Pour vous rajeunir
Vous souvenez-vous, lorsque vous étiez au lycée, comment on s'amusait
à démontrer que n était incommensurable? Il s'agissait d'oiseaux, de
vaches et de chevaux...
31 Pouvoir d’achat
Pendant que les prix augmentaient de 12 %, le salaire de Monsieur X
augmentait de 22 %. De combien a augmenté son pouvoir d'achat?
32 Psychologie enfantine
Un jeune enfant passe le plus clair de son temps à faire des peintures.
Il représente tantôt un Indien, .tantôt un Esquimau, et accompagne
toujours son personnage d'une habitation. On trouve ainsi en général
des igloos près des Esquimaux et des wigwams près des Indiens. Mais
parfois, c'est le contraire, et il n'est pas rare de trouver, par exemple,
des Indiens accompagnés d'igloos. Une psychologue se penche alors
très sérieusement sur ce cas et remarque qu'il y a deux fois plus d'indiens
que d'Esquimaux, autant d'Esquimaux à wigwams que d'indiens à igloos,
et qu'à côté des Esquimaux on trouve trois igloos pour un wigwam. Elle
recherche alors la proportion d'indiens parmi les habitants des wigwams
(afin d'en déduire, par une formule très complexe, le Ql de ce jeune
enfant). Mais elle n'y arrive pas. Aidez-la.
144
33 Quelle heure est-il ?
Pour le savoir, il suffit d’ajouter au temps à passer avant midi les deux
cinquième du temps passé depuis minuit.
34 Le réservoir
Un réservoir a la forme d'un paralléllépipède rectangle, dont la largeur
est égale à la moitié de la longueur. Il est rempli aux trois huitièmes
de sa hauteur. En rajoutant 76 hl, le niveau monte de 0,38 m. Il reste
alors les deux septièmes du réservoir à remplir.
Quelle est la hauteur de ce dernier?
35 Réunion de famille
Neuf membres d'une même famille se retrouvent. Chacun arrive seul
mais tous arrivent en même temps. Pour des raisons psychologiques
très complexes que nous ne développerons pas, chacun embrasse cinq
membres de sa famille et serre la main aux trois autres. Où est l'absurdité?
36 Réunion de parents d’élèves
En fin d'année scolaire, les professeurs de la classe de 3e rencontrent
un certain nombre de parents d'élèves, lors d'une réunion où l'on a pu
constater que 31 personnes exactement étaient présentes en tout. Le
professeur de latin a ainsi été questionné par 16 parents d'élèves, le
professeur de français par 17, celui d'anglais par 18... et ainsi de suite
jusqu'au professeur de mathématiques, à qui tous les parents d'élèves
présents se sont adressés. Combien y en avait-il exactement?
37 Les sacs de farine
Deux camions transportaient des sacs de farine identiques, de France
en Espagne. Le premier en livrait 118, le second 40 seulement. Comme
il leur manquait des pesetas pour payer les droits de douane, le premier
camionneur eut l'idée de laisser aux douaniers 10 sacs de farine, grâce
à quoi il ne lui restait plus que 800 pesetas à verser. Le second agit
de façon analogue, mais il dut seulement se débarrasser de 4 sacs,
tandis que le douanier lui rendait au contraire 800 pesetas. Sachant que
les douaniers ont ainsi ramassé exactement l'équivalent des droits de
douane, à combien évaluent-ils chaque sac de farine?
38 Les sauvages
Une peuplade de sauvages compte que 1 an vaut 12 mois et 1 mois
30 jours. Tandis qu'une autre peuplade voisine compte que 1 an vaut
treize lunes, une lune 4 semaines et une semaine 7 jours.
145
Très démocratiquement, tous ces sauvages décident d'élire un chef
commun. Mais, alors que la première peuplade voudrait que cela soit
pour une durée de 7 ans, 1 mois et 18 jours, la deuxième le voudrait
pour 6 ans, 12 lunes, 1 semaine et 3 jours. Quelle est selon vous la
plus longue de ces deux durées?
39 Simone et ses complexes
Simone était bourrée de complexes. Elle alla donc voir un psychanalyste
qui réussit, après un certain traitement, à lui en supprimer la moitié,
plus la moitié d'un autre. Elle alla ensuite voir un autre psychanalyste
qui réussit lui-aussi à supprimer la moitié des complexes qui lui restaient
plus la moitié d'un autre. Un dernier psychanalyste fit de même. Il ne
resta plus ainsi à Simone qu'un seul complexe, qu'elle garda d'ailleurs
jusqu'à la fin de sa vie. Sachant que chaque psychanalyste demanda
197 F par complexe supprimé, quel fut le coût total du traitement?
40 Le terrain carré
Mathieu possède un terrain carré. Une grande allée, de largeur constante,
d'une superficie de 464 m2, le borde intérieurement. Lorsqu'il fait le tour
de son terrain, il remarque une différence de 32 m entre le parcours
effectué au bord intérieur de l'allée et celui correspondant au bord
extérieur.
Quelle est la superficie totale du terrain de Mathieu?
41 Le tournoi de tennis
199 personnes sont inscrites au tournoi de tennis. On tire au sort les
partenaires deux à deux pour le premier tour, la 199e personne devant
146
participer directement au deuxième tour. Au deuxième tour, on tire
également au sort les partenaires deux à deux, puis on fait de même
au troisième tour, etc. (chaque fois que se présente un nombre impair
de joueurs, l'un d'eux saute un tour).
Sachant que pour chaque match il faut une nouvelle boite de balles,
combien en faudra-t-il pour l'ensemble du tournoi?
42 Le thermomètre
Un thermomètre défectueux indique +1° dans la glace fondante et
+ 105° dans la vapeur d'eau bouillante. Quelle est la température réelle
lorsqu'il indique + 17°?
43 Le tonneau
De combien de façons peut-on vider un tonneau de 10 I avec deux
récipients de capacités respectives de 1 I et 2 I?
44 Veaux, vaches, cochons, poulets
La dot d'une jeune paysanne se compose d'une vache, d'un veau,
d'un cochon et d'un poulet. Son fiancé se souvient que cinq vaches,
sept veaux, neuf cochons et un poulet coûtent ensemble 108 210 F;
il sait aussi qu'une vache vaut 4 000 F de plus qu’un veau, que trois
veaux valent autant que dix cochons et 3 000 poulets que cinq veaux.
Il cherche alors à calculer le montant précis de la dot de sa bien-aimée.
Mais en vain. Sauriez-vous l'aider?
45 Le vieil Ihsan
Il est un petit village en Turquie où l'on vit très souvent très vieux. Le
vieil Ihsan y habitait ainsi, entouré de ses enfants, petits-enfants.
147
arrière-petits-enfants et arrière-arrière-petits-enfants. Ils formaient ainsi,
lui-même et sa descendance, un groupe de 2 801 personnes. Chacun
d'eux ayant eu le même nombre d'enfants (sauf les arrière-arrière-petits-
enfants qui n'ont pas encore procréé), et tous étant encore en vie,
sauriez-vous dire combien le vieil Ihsan a eu d'enfants?
46 Les 32 cartes
Alfred, Bruno, Christophe et Damien jouent avec un jeu de 32 cartes.
Damien les distribue inégalement, puis il dit « Si vous voulez que nous
ayons chacun le même nombre de cartes, faites ce que je vais vous dire.
Toi, Alfred, partage la moitié de tes cartes entre Bruno et Christophe.
Puis que Bruno en fasse autant entre Christophe et Alfred. Et enfin,
que Christophe fasse de même entre Alfred et Bruno. »
Comment Damien a-t-il fait sa distribution initiale?
148
Elémentaire, mon cher !
1	A British Hospital
Soit x l'âge du chirurgien (fiancé ou fiancée...).
Soit y l’âge de l'infirmier ou de l'infirmière.
Soit h l'âge de l'hôpital.
Les informations de la donnée se traduisent par les deux équations suivantes :
I x — y I = h,
x.tyh — V) = 1 539 = 3*.19.
On voit ainsi qu'il y a quatre solutions possibles pour x : 19, 27, 57, 81.
Qui correspondent à quatre solutions pour (y/J— 1) : 81, 57, 27, 19 et à quatre
solutions pour yô : 82, 58, 28 et 20.
Or (solution I) 82 = 2 x 41. Ce qui donne y = 41 et h = 2.
Et (solution II) 58 = 2 x 29. Ce qui donne : y ~ 29 et h = 2.
Et (solution III) 28 = 22 x 7. Ce qui donne : y = 28 et h = 1.
Et (solution IV) 20 = 22 x 5. Ce qui donne : y = 20 et h = 1.
Nous avons obtenu ces quatre solutions en ne tenant compte que de la deuxième
équation. Observons alors la première équation (| x— y | = h) : elle n'est vérifiée
que pour une seule des quatre solutions possibles : la solution II, c'est-à-dire
x = Tl, y = 29 et h = 2.
Il s'agit donc du mariage d'un infirmier de 29 ans avec une femme-chirurgien de 27,
travaillant dans un hôpital ouvert il y a 2 ans.
2	Les aiguilles de ma montre
Si l'on appelle p et g les angles que font respectivement la petite et la grande aiguille
avec l'origine, on a :
h étant le nombre représentant l'heure; p0 et g0 étant les valeurs initiales, on a :
g0 = 12 (p0 — )	(équation 1 )
149
Pt et 91 étant les nouvelles valeurs lues sur la montre, on a :
_ ___i o /a 2 rt \
ffi - 12 (Pi — — )
Par ailleurs, on sait que :
Pi = 9o et 0i = 0o.
D'où l'équation :
0o = 12/90-
En reprenant l'équation (1), on obtient :
90 = 12 [12/90-^)-^! <
L \	** / J
ou : 143 90 = 6 x 17 rt.
Il s'agit de l'aiguille des minutes pour laquelle 2 n égale 60 minutes.
Il était donc au départ : 3 h 21 mn 23 s 55 tierces.
3	A la cantine
Soit 7 heures et x minutes l'heure à laquelle est servie le hors-d'œuvre. Angle de
la petite aiguille avec le segment joignant le centre de l'horloge au chiffre 6 :
360
12
360 \
12 /
= 30 ( 1 + —
\	60
Angle de la grande aiguille avec ce même segment :
180 —180 —6 x.
60
Puisque ces deux angles sont égaux, il en résulte :
300
x = _= 23 mn 5 s.
Le hors-d'œuvre est servi à 7 heures, 23 minutes et 5 secondes.
Soit 7 heures et y minutes, l'heure à laquelle le dessert arrive. Angle de la petite aiguille
avec le segment précédent :
30 /i + X- \ 
\	60/
Angle de la grande aiguille avec ce même segment :
6 y—180.
Puisque ces deux angles sont égaux, il résulte :
y = — = 38 mn 11 s.
11
Le dessert est servi à 7 heures, 38 minutes et 11 secondes.
150
Dans cette cantine, on met donc 15 minutes et 6 secondes pour manger le hors-d'œuvre
et le plat principal.
4	A la ferme
Soit N le nombre total d'animaux avant l'épizootie.
D'après l'information donnée par le père, le nombre de vaches restant vivantes est :
(4/5). (/V/4) = /V/5.
D'après l’information donnée par la mère, le nombre total de cochons et de chevaux
restant vivants est : /V/4.
Soit n le nombre de lapins morts.
L'information donnée par le fils se traduira alors par l'équation :
N/4 — n	5
/V/5 + /V/4 + (/V/4 — n) ~ 14'
c'est-à-dire : 5 (/V — 4 n) (14 N — 20 n) = 5/14.
Donc : n = 0.
Aucun lapin n'est donc mort : la grand-mère s'est trompée.
5	Au zoo
Oui. Explication : soit Z l'ensemble des zoos, H le sous-ensemble de ceux où il y a
des hippopotames, R le sous-ensemble de ceux où il y a des rhinocéros et G le sous-
Les jeux mathématiques d’Eurèka. — 6
151
ensemble de ceux où il y a des girafes. Représentation par diagramme de Venn :
La première condition nous dit que la partie I est vide; la deuxième condition nous
dit que la partie II est vide; la troisième condition nous dit que la partie III est vide;
mais cela n'implique en aucune façon que la partie IV (avec hippopotames sans
girafes ni rhinocéros) doive être vide.
6	Le café est servi
Soit 1 heure et x minutes cette heure inconnue. Angle de la petite aiguille avec la
bissectrice (en degrés) :
(360/12) + (x/60). (360/12) = 30 + x/2.
Angle de la grande aiguille avec la bissectrice :
360 — x. (360/60) = 360 — 6 x.
D'où l'équation :
30 + x/2 = 360 — 6 x.
C'est-à-dire :
x = (2/13).330 = 50 mn 46 s.
Le café est servi à 1 heure 50 minutes et 46 secondes.
7	Les chauve-souris, les ours et les éléphants chinois
Soit y la quantité absorbée chaque jour par un éléphant, x par une chauve-souris,
z par un chinois et t par un ours.
Nous cherchons y en fonction de x et nous savons :
17t=170z,	100000x = 50z,	10t = 4y,
ou :
t=10z, z = 2 000 x, y = 5/2 t,
donc :
y = (5/2).10.2000 x = 50 000 x.
Une douzaine d'éléphants représente donc l'équivalent de 600 000 chauve-souris.
8	Le château de cartes
Remarquons en premier lieu que, dans tout château de cartes, tout étage comporte
3 cartes de plus que l'étage qui est immédiatement au-dessus de lui.
Comptons alors le nombre de cartes nécessaires pour un château de 47 étages :
2
2 + 3
2 + 2.3
+ ...........
2 + (n — 1).3
+ ..............
2 + (47 —1).3
47.2+4647.3=3337
2
Il faut 3 337 cartes pour bâtir un château de 47 étages!
152
9	Cigarettes
Si 32 cigarettes furent fumées en tout, les quatre hommes en prirent donc 22. Or 22
se décompose de la façon suivante :
(3 * 1) + (4 x 2) + (3 * 1) + (2 * 4).
Une telle décomposition est unique. Par conséquent, Louis, qui a fumé trois fois plus
que sa femme, a pour épouse Maud, qui a fumé une cigarette.
10	La confession
Première remarque : n'ayant récité que neuf « Je vous salue », je n’ai pu m'accuser
d'adultère.
Deuxième remarque : je me suis accusé d'une calomnie, car autrement, étant donné
qu'il m'a fallu réciter dix « Je crois en Dieu », cela correspondrait à de nombreux
péchés d'égoisme et de médisance, ce qui me vaudrait plus de douze « Notre Père ».
Troisième remarque : après ma calomnie, il me reste à réciter trois « Je crois en Dieu ».
Cela peut provenir de trois péchés d'égoïsme, ou bien d'un seul, assorti d'une médi-
sance. Mais trois péchés d'égoïsme donnent neuf « Notre Père »; avec la calomnie
précédente, cela en fait onze; devant en réciter douze, cela en laisse un inexpliqué, et
inexplicable. Par conséquent mes trois « Je crois en Dieu » supplémentaires proviennent
d'une médisance et d'un péché d'égoïsme.
Quatrième remarque : il reste à déterminer neuf péchés, correspondant à neuf « Je vous
salue » : ce sont donc neuf péchés de gourmandise.
Je me suis donc accusé d'une calomnie, d'une médisance, d’un péché d’égoïsme
et de neuf péchés de gourmandise.
(Il est conseillé au lecteur de faire au préalable un tableau indiquant le nombre de
prières de chaque type pour chacun des huit péchés considérés.)
11	Les dactylos
Soit x le nombre d'heures qu'il aurait fallu à la première et y celui qu'il aurait fallu à
la seconde pour effectuer le travail seules. Pour en effectuer la moitié, il faut donc à
la première x/2 et à la seconde y/2 heures. D'où l’équation :
(x + y)/2 = 25.
D'autre part, quand elles travaillent simultanément, elles effectuent en 1 heure une
proportion du travail égale à :
1/x + 1/y = (x + y)/xy.
D'où l’équation :
xy/(x + y) = 12.
Donc xy = 12. (x + y) = 600.
x et y dont nous connaissons la somme 50 et le produit 600 sont ainsi les solutions
de l'équation :
x2 — 50 x + 600 = 0,
c'est-à-dire : x = 20 et y = 30.
Il aurait fallu 20 heures à l'une et 30 heures à l'autre pour effectuer toutes seules
ce travail.
153
12	La belle dentelle
En un jour la première effectue un huitième du travail, et la seconde un treizième.
Il leur faudra donc ensemble à peu près 5 jours :
1 : (1/8 + 1/13) = 4,95 jours.
13	Le dîner entre amis
Dès que onze personnes seront passées, il y aura nécessairement parmi elles au
moins un couple réuni.
Dès que trois personnes seront passées, il y aura nécessairement parmi elles au moins
deux personnes du même sexe.
14	Dream-dromaderies
Soit d le nombre de dromadaires qui dorment, et r celui des réveillés. Nous avons :
d = 7/8 r + 7/8 ou 8 d = 7 r + 7
d doit donc être un multiple de 7.
D'autre part, ce nombre pouvant être partagé en deux nombres entiers égaux, d est
même un multiple de 14. D'où les solutions possibles :
d	14	28	42	56	etc.
r	15	31	47	63	etc.
r + d/2	22	45	68	91	etc.
Si la moitié des dromadaires qui ne dorment pas s'arrêtaient de dormir, le nombre
de dromadaires qui ne dorment pas serait représenté par la troisième ligne de ce
tableau. Pour qu'il soit compris entre 25 et 65, il doit valoir 45. Donc d = 28 et r = 31.
Le nombre total de dromadaires est 59, c'est ce que l'on cherchait.
15	Élection présidentielle
Soit n le nombre de candidats au premier tour.
Soit x le nombre de voix du meilleur des candidats.
Le nombre de voix réuni par tous les autres est :
„/1 . 1 .	+ 1 \-*/1	x
..1.-.....j-x
Le meilleur des candidats a ainsi plus de voix que tous les autres réunis. Un deuxième
tour ne sera donc pas nécessaire.
16 Grand-mère, version latine et petits chats
Soit a l'âge de ma grand-mère, c le nombre de mes petits chats et / ma note en version
latine. De la première phrase de l'énoncé nous déduisons que / est un nombre entier
inférieur à 10 et que : a = 11 /.
La deuxième phrase de l'énoncé peut s'écrire :
a/c = 3 / + 14/3 ou a = 3 cl + 14 c/3.
c est donc un multiple de 3, tel que 3 c soit inférieur à 11, c est donc égal à 3.
154
Nous avons alors :
a = 11 /,
a = 9/+ 14.
Nous en déduisons aisément : / = 7 puis : a = 77.
Ma grand-mère a 77 ans.
17 Le jeu mathématique
En 12 heures, la grande aiguille tourne de 11 tours par rapport à la petite aiguille, soit encore
de 22 demi-tours par rapport à cette dernière. Chaque demi-tour relatif de la grande aiguille
par rapport à la petite prendra donc :
12 heures „ ,	.
----------=0 heure 32 minutes 44 secondes.
22
Ceci est le temps mis par la grande aiguille entre une position alignée et une position de
coïncidence avec la petite aiguille. C'est donc le temps qu'il m'a fallu en particulier pour faire
le jeu mathématique cette semaine-là.
18	Lou-phoque
Soit n ce nombre de phoques. Nous avons l'équation :
n = (7 n/8) + 7/8.
D'où il résulte : n = 7.
Il y avait sept phoques au musée de la mer.
19	Le métro
Il croisera toutes les rames qui sont parties de l'autre terminus depuis moins de 1 heure,
soit six en général. Il croisera aussi toutes les rames qui partiront dans l'heure qui
suit, soit six également (en général).
Il croisera donc en tout douze rames.
155
Cas particulier : si les départs sont exactement simultanés dans les deux terminus,
notre voyageur ne croisera que onze rames, mais il en verra deux de plus, une à chacun
des terminus.
20	Nicolas joue aux soldats de plomb
Soit x le nombre de soldats de chaque sorte que possède Nicolas au départ. Soit y le
nombre de cow-boys emportés, ou d'Esquimaux restants.
Nombre d'esquimaux emportés : x — y.
On sait d'autre part que le nombre d'indiens emportés est de x/3. Soit alors z le nombre
d'Arabes emportés. Le nombre total de soldats emportés est 4 x/3 puisque c'est le
tiers du nombre total de soldats. Mais c'est aussi :
y + (x — y) + x/3 + z.
D'où l'équation :
4 x/3 = 4 x/3 + z.
Donc : z = 0.
Le cousin Sébastien n'a emporté aucun Arabe.
21 Parking
Soit x le nombre total de voitures Citroën.
Soit y le nombre de voitures Renault emportées par la Seine.
Nombre total de voitures Peugeot : 2 x.
Nombre total de voitures Renault : 2 « 2 x = 4 x.
Nombre de Renault hors de l’eau : 4 x — y.
Nombre de Peugeot dans l'eau : 4 x — y.
Nombre de Citroën hors de l’eau : y.
Nombre de Peugeot hors de l'eau : y.
Nombre total de voitures Peugeot :
(1/3) (4x—y) + y = 2 x,
donc : y = x.
Par conséquent toutes les voitures Citroën sont restées hors de l’eau : la Seine n'en
a donc emporté aucune.
156
Renault
Peugeot
Citroën
22 Le nettoyage à fond
Soit n ce nombre inconnu.
Nombre d'heures de ménage nécessaires à un balayeur pour nettoyer les deux étages
de bureaux :
4 x (n + n/2).
Nombre d'heures nécessaires pour le 25e :
4 x n/2 + 8.
Or ce dernier nombre est la moitié du précédent puisque la surface correspondante
en est la moitié. Nous avons donc :
4 (n + n/2) = 2 (4 r>/2 + 8).
D’où il résulte que n = 8.
23 Les Parisiens
1° Nombre de chiffres : Nt.
9 nombres à 1 chiffre = 9.
90 nombres à 2 chiffres = 180.
900 nombres à 3 chiffres = 2 700.
9 000 nombres à 4 chiffres = 36 000.
90 000 nombres à 5 chiffres = 450 000.
900 000 nombres à 6 chiffres = 5 400 000.
1 754 843 nombres à 7 chiffres = 12 283 901.
Nt = 18172 790.
2° Somme des numéros : N2.
1	+ 2 754 842 = 2 754 843.
2	+ 2 754 841 = 2 754 843.
3	+ 2 754 840 = 2 754 843.
1 377 421 + 1 377 422 = 2 754 843
Total : N2 = 1 377 421 x 2 754 843’
157
Ce qui fait approximativement : 3794579 millions.
3° Somme de tous les chiffres : N3.
Pour cette question plus délicate, nous présentons une solution condensée.
Poser :(/?-* /V) = Somme des chiffres des nombres compris entre net N inclus.
A)	Établir par récurrence sur n la formule :
(1	10" — 1) = n.45.10"-1.
B)	En déduire par décomposition et sommation la formule :
puis :
(1->p10" — 1) = |.10"(9n + p — 1),
(1	10") =|.1O" (9 n + p — 1) + p.
C) Appliquer tout ceci à l'exemple :
Tranche	Application de la formule	Sommation des chiffres constants
1 à 2 000 000	55 000 002	
2 000 001 à 2 700 000	17 850 007	2 x 700 000
2 700 001 à 2 750 000	1 000 005	(2 + 7) x 50 000
2 750 001 à 2 754 000	60 004	(2 + 7 + 5) x 4 000
2 754 001 à 2 754 800	10 008	(2 + 7 + 5 + 4) x 800
2 754 801 à 2 754 840	244	(2 + 7 + 5 + 4 + 8) x 40
2 754 841 à 2 754 842	3	(2 + 7 + 5 + 4 + 8 + 4) x 2
Total : 75 841 773 = N3
Solution due aux lecteurs de Valeurs Actuelles.
24 Partage
Soit x le nombre de pièces de 1 F et y celui de pièces de 5 F. Nombre de pièces de
50 centimes : x/9 (possibilité I), ou 9 x (possibilité II).
• Étudions tout d'abord la possibilité I. La somme totale étant de 100 F nous avons :
x + (x/9.1/2) + 5 y = 100,
ou 19 x + 90 y = 1 800.
158
y est un nombre entier supérieur à 1 ; x est donc un multiple de 10, tel que, si x = 10 k,
k est au plus égal à (1 800 — 180)/(19 » 10), donc au plus égal à 8. Nous avons alors
l'équation :
19 k + 9 y = 180.
Or pour aucune des huit valeurs possibles de k, y n'est une valeur entière. Nous arrivons
à une absurdité.
• étudions alors la possibilité II. La somme totale s’écrit :
x + 9 x/2 + 5 y = 100,
ou
11 x + 10 y = 200.
On voit tout de suite que, pour respecter le caractère entier de x et de y, il n’y a qu'une
solution : x = 10 et y = 9. Résultat : Marguerite et Gustave ont chacun 45 F, Victor
10 seulement. C'est lui le moins avantagé.
25 Passages à niveau
Appelons x la longueur BH, et y la longueur PH.
La relation s'écrit :
20 x + 13 x3 + 300 y = x* + 32 x2,
ou
300 y = x* — 13 x3 + 32 x2 — 20 x
= x(x—10) (x1 —3x + 2)
= x (x —10) (x —1) (x —2).
PH s'annule donc, en B, en A, à 1 km de S, et à 2 km de B.
La route AB traverse ainsi deux fois la voie ferrée entre les deux villages, et les deux
passages à niveau correspondants sont situés à 1 km et à 2 km de B.
26 Les pièces d’or
Il suffit de peser un tas de pièces d'or formé par une pièce provenant du premier
vassal, de deux provenant du deuxième, trois du troisième... et de 30 du trentième.
Si tous les vassaux utilisaient des pièces de 10 g, le tas pèserait :
30 (30 + 1 )
10 (1 + 2 + 3 . . . + 30) = 10----~2------- = 4 650 g.
S’il manque 1 g, le coupable est le premier vassal.
S'il en manque 2, c'est le deuxième etc...
S'il en manque 30, c'est le trentième.
27	Les pharmacies
Les pharmacies doivent être créées en b, i, / et m. Cela apparait clairement lorsqu'on
fait un dessin, en représentant chaque pâté de maisons par un point et en les joignant
lorsqu'il y a voisinage.
159
28	Le plein d’essence
Soit x la capacité de la petite voiture.
Soit X la capacité de la grosse voiture.
Soit p le prix en couronnes du litre d'essence ordinaire.
Nous avons :
Système I
x + X = 70,
xp = 45,
X (p + 0,2) = 68.
Éliminons p. Il en résulte :
Système II
x + X = 70
45 X + 0,2 xX = 68 x
éliminons X. Il en résulte :
2x2 + 990x — 31 500 = 0
ou bien :
(x —30) (2 x + 1 050) = 0
La seule solution possible est donc :
x = 30 litres.
Il en résulte :
X = 40 litres.
Telles sont les capacités demandées.
29	Les pommes
Soit a la part finale d'Amélie, c celle de Charlotte, 2 c celle de Berthe (0 celle de
Dorothée). Par le tableau suivant, nous nous proposons de faire l'étude chronologique
inverse de l'évolution des parts :
160
	Amélie	Berthe	Charlotte	Dorothée
Fin		a	2 c	C	0
Avant action de Dorothée		a — c	C	0	4 + 3c
Avant action de Charlotte		a — 2c	0	1 + 3 c	4 + 2 c
Avant action de Berthe ou après action d'Amélie		0	4 a — 8 c	1 + 5 c — a	4 + 4 c — a
Ces trois dernières parts doivent être égales. D'où les équations :
4 a — 8 c = 1 + 5 c — a,
4a — 8 c = 4 + 4 c — a.
D'où il résulte : c = 3, a = 8.
Amélie a donc distribué huit pommes à chacune de ses sœurs : elle avait ramassé
32 pommes.
30 Pour vous rajeunir
Un oiseau est une bête à ailes :
O.I.S.E.A.U. = P 4.
Une vache est une bête à pis :
V.A.C.H.E. = Pn.
Multiplions cette dernière expression par L, il vient :
V.A.C.H.E.L. = P rr 4 ou C.H. E.V.A. L = P n L.
Faisons alors le rapport d'un cheval sur un oiseau, nous avons :
C.H.E.V.A.L _
O.I.S.E.A.U
Or, comme il n'y a aucune commune mesure entre un cheval et un oiseau, n est bien
incommensurable I
31 Pouvoir d’achat
Considérons l'ancien salaire de M. X. Sans augmentation, son pouvoir d'achat aurait
diminué dans la proportion : 1/(1 + 0,12). Avec augmentation, son pouvoir d'achat
a été multiplié par :
(1 + 0,22)/(1 + 0,12) = 1,22/1,12 = 1,089.
Son pouvoir d'achat a donc augmenté de 8,9 %.
161
32 Psychologie enfantine
Soit EW la proportion de peintures représentant Esquimaux et wigwam.
Soit El la proportion de peintures représentant Esquimaux et igloo.
Soit U la proportion de peintures représentant Indien et igloo.
Soit IW la proportion de peintures représentant Indien et wigwam.
Nous avons les relations suivantes :
EW+ El + 11 + IW = 1,
(IW + //) = 2 (EW + El).
H = EW.
El =3 EW.
Nous pouvons écrire ce système d'équations en fonction uniquement de EW et de
IW 
EW + 3 EW + IW + EW =
(IW + EW) = 2 (EW + 3 EW).
Ce qui donne :
5£W+/W= 1,
1 EW — !W= 0.
D'où l'on déduira aisément :
EW = 1/12,
IW = 7/12.
La proportion recherchée par la psychologue est donc :
IWI(IW + EW) = (7/12) : (8/12) = 7/8.
33 Quelle heure est-il?
Appelons h cette heure inconnue. C’est le temps passé depuis minuit puisque c'est
l'heure qu'il est actuellement. Le temps qu'il reste à passer avant midi est donc :
12 — h. La donnée du problème se traduit ainsi par l'équation :
h = (12 — h) + 2 /j/5.
Il en résulte que : h = 60/8 d'heure.
C'est-à-dire : il est 7 heures et demie.
34 Le réservoir
Prenons comme unités les mètres, mètres carrés et mètres cubes.
Soit x la hauteur cherchée, soit y la largeur. Longueur : 2 y.
Surface de base : 2 y2. Volume rempli par 76 hl. : 0,38 « 2x2 = 76/10.
Il en résulte que x2 = 10.
162
Or, en rajoutant ces 76 hl, le réservoir qui était rempli aux trois huitièmes, se trouve
rempli aux cinq septièmes. Il en résulte :
(5/7 — 3/8). 2 x1. y = 7,6.
ou
7,6
y 2.10. (5/7 — 3/8) '
soit : y = 1,12 m.
C'est la hauteur demandée.
35 Réunion de famille
Le nombre total de poignées de mains échangées est égal à la demi-somme du nombre
des mains serrées par chacun :
(1/2).(9 x 3) = 27/2.
On devrait trouver un nombre entier, ce qui n'est pas le cas. D'où l'absurdité.
36 Réunion de parents d’élèves
Soit n le nombre de parents d'élèves présents à cette réunion. Soit m le nombre de
professeurs. Le premier d'entre eux a parlé avec 15 + 1 parents, le deuxième avec
15 + 2, etc., le m-ième a parlé avec 15 + m. Or il s'agissait là du professeur de mathé-
matiques, à qui tous les parents d'élèves se sont adressés. D'où l'équation :
15 + m = n.
Mais 31 personnes en tout étaient présentes :
n + m = 31.
Enlevons alors membre à membre la première équation de la seconde :
n _ 15 = 31 — n,
c'est-à-dire : n = 23.
23 parents d'élèves étaient présents lors de cette réunion.
37 Les sacs de farine
Soit x le prix d'un sac de farine. Soit y le droit de douane correspondant.
Si le premier camionneur laisse 10 sacs à la douane, il ne devra payer des droits que
pour 108 sacs. Et de même, le second ne devra payer que pour 36 sacs seulement.
Il en résulte les deux équations suivantes :
10 x + 800 = 108 y,
4 x — 800 = 36 y.
On peut alors multiplier la seconde équation par 3 et lui soustraire la première.
Il en résulte :
2 x — 3 200 = 0.
Donc x = 1 600.
Chaque sac de farine est évalué à 1 600 pesetas.
163
38	Les sauvages
Pour comparer ces deux durées, il suffit de les réduire en jours.
Première durée :
(7 x 12 x 30) + 30+ 10 = 2 568.
Deuxième durée :
(6 x 13 x 4 x 7) + (12 x 4 x 7) + 7 + 3 = 2 530.
La première durée est donc la plus longue.
39	Simone et ses complexes
Observons le tableau suivant :
Époque du traitement	Nombre de complexes
A la fin	 	 Avant le 3® psychanaliste	 Avant le 2® psychanaliste	 Avant le 1®r psychanaliste		1 (1 + 0,5).2 = 3 (3+ 0,5).2= 7 (7 + 0,5).2 = 15
Simone avait donc 15 complexes au départ. Le coût total du traitement a donc été de :
14 x 197 F = 2758 F.
40	Le terrain carré
Soit x la longueur du côté extérieur de l'allée.
Soit y la longueur du côté intérieur de l'allée.
Nous avons les deux équations suivantes :
x2 — y1 = 464,
4 x — 4 y = 32.
Il en résulte : x = y + 8.
Donc : x = 33 et y = 25.
La superficie totale du terrain de Mathieu est donc de 1 089 m2.
41	Le tournoi de tennis
Chaque match correspond à i'élmination d'un joueur. Comme 199 personnes sont
inscrites au tournoi, 198 sont à éliminer. Il faudra donc 198 boîtes de balles pour
l'ensemble de ce tournoi.
42	Le thermomètre
Température réelle :
(105 —1)/100 = 15°38'
164
43 Le tonneau
Soit un le nombre de façons de vider un tonneau de n litres avec deux récipients de
capacités respectives de 1 I et 2 I.
Un tonneau de n litres se videra ou bien en commençant par enlever 1 I (et il reste
alors n — 1 I à vider), ou bien en commençant par enlever 2 I (et il reste alors n — 21
à vider). D'où la relation de récurrence :
Un = Un-1 + Un-2.
Ici, nous avons évidemment : u0 = 1, Ui = 1.
Il en résulte :
u2 = 2,
u3 = 3,
u4 = 5,
u3 = 8,
u6 =13,
u, = 21,
u8 = 34,
u9 = 55,
Ujo ” 89.
Il y a donc 89 façons de vider un tonneau de 10 I avec deux tels récipients.
44 Veaux, vaches, cochons, poulets
Soit c le prix d'un cochon.
Prix d'un veau : 10/3.c.
Prix d'une vache : 10/3. c + 4 000.
Prix d'un poulet : 5/3 000.10/3. c.
D'où l'équation :
50/3.c + 20 000 + 70/3.c + 9c + c/180 = 108 210.
Donc : c = 1 800.
Le montant de la dot est ainsi :
6 000 + 10 000 + 1 800 + 10 = 17 810 F.
45 Le vieil Ihsan
Soit n ce nombre d'enfants.
Nombre de petits-enfants : n2.
Nombre d'arrière-petits-enfants : n3.
Nombre d'arrière-arrière-petits-enfants : n*.
Nombre total de personnes du groupe « descendance directe » :
1 + n + n2 + n3 + n* = 2 801,
donc : n + n2 + n3 + n* = 2 800 = 2*. 52.7
et nous avons n = 2, 4, 5, 7 ou 8.
Or 8* = 4 096 donc n < 8. Un essai avec n = 7 montre que c'est la solution :
Le vieil Ihsan à 7 enfants.
165
46 Les 32 cartes
Les quatre joueurs ont chacun, à la fin, huit cartes. Christophe venant alors de partager
ses cartes avec Alfred et Bruno, il y avait précédemment : seize cartes pour Christophe
et quatre pour Alfred ou Bruno. Mais Bruno venait alors de partager ses cartes avec
Christophe et Alfred. Il y avait donc juste avant : huit cartes à Bruno, deux à Alfred
et quatorze à Christophe. Et cela, juste après que Alfred eut partagé ses cartes avec
Christophe et Bruno. Ils avaient donc initialement :
Alfred : quatre cartes; Bruno : sept cartes; Christophe : treize cartes, et Damien (dont
le jeu n'a pas été modifié depuis le début) : huit cartes.
166
/•Et maintenant,
à vous de jouer
1 La grenouille
Considérez une ligne de sept cases, sur laquelle vous disposerez, comme
sur la figure, trois pions blancs et trois pions noirs. Vous pourrez déplacer
les pions en respectant les règles suivantes :
—	les pions noirs ne peuvent se déplacer que vers la droite, les blancs
vers la gauche;
—	dans chacun de ses mouvements, chaque pion ne peut venir occuper
qu'une case vide, soit en avançant d'une case, soit en sautant (comme
une grenouille) en dessus d'un pion de couleur opposée.
Vous aurez gagné si, en respectant ces règles, vous arrivez à inverser
la position des pions blancs et des pions noirs par rapport à leur position
initiale. Et maintenant, à vous de jouer...
Exemple de jeu perdu : Si l'on commence par faire jouer deux fois
consécutivement les noirs, on peut seulement faire avancer le dernier
pion noir et l'on arrive alors à une situation bloquée, ou perdue.
2 La marelle
Historique : La marelle (ou mérelle) est un jeu extrêmement ancien, très répandu en
Orient sous le nom de « jeu des trois routes ». La première mention certaine se trouve
167
dans les œuvres d'Ovide (Tristes et Art d'aimer). On y dit la chose suivante : « Ce jeu
se joue sur une petite table spéciale au moyen de trois pièces pour chaque joueur;
pour gagner, il faut amener ses trois pièces sur une môme ligne ».
Prenez un morceau de carton et faites-y le dessin suivant :
Prenez aussi trois pièces d'argent et trois pièces d'or (si vous êtes à la
plage, faites le dessin directement dans le sable, et jouez avec trois
cailloux blancs et trois cailloux noirs).
Choisissez alors un partenaire aussi intelligent que vous-même et donnez
à chacun une série de trois pièces. Celui qui commence placera une
de ses pièces dans l'une des neuf cases rondes, au choix. Puis le second
en placera une à son tour dans l'une des huit cases restantes. Le premier
joueur placera alors sa seconde pièce, etc. Lorsque les pièces seront
toutes placées, chaque joueur, lorsque ce sera son tour, déplacera au
choix l'une de ses trois pièces sur l'un des seize trajets prévus, à condition
que l'autre extrémité en soit libre.
A gagné, celui qui place le premier ses trois pièces sur une même ligne.
1 ° Lorsque vous aurez fait un certain nombre de parties, vous constaterez
sans doute que celui qui commence gagne, à condition d'adopter une
tactique convenable. Quelle est-elle?
2° Introduisez alors la règle supplémentaire suivante : « Il est interdit au
joueur qui commence de placer sa première pièce au centre ». Le
deuxième joueur y placera alors généralement sa première pièce.
Il y a alors six tactiques différentes pour le premier joueur :
I. Placer ses deux premières pièces sur deux milieux opposés.
IL Les placer sur deux milieux voisins.
III.	Sur un coin et un milieu opposé.
IV.	Sur coin et milieu voisins.
V.	Sur deux coins opposés.
VI.	Sur deux coins voisins.
Quelle est, selon vous, la meilleure de ces tactiques?
168
3 Cannibale oui ou non ?
L'ILC D€ OMIZIT7E, OCST BléM
CONNU JTCST HABJTéé QUC PAS. D€O<
%jJPLA06S b'ASP&CT œJTïQlte MAIS
t£ TéMFtXAHéNrt» FORT bIFFëfâlTS
L£S HABITANTS b£ TRIOOSSé QUI
üsênt -îocüouies la veKnèéT
GCJX Dé LAILÜÊ QUI MS SAÆNT
GU€ HCKJTl^. J€ beSARQUC.
TROIS HAgJWîS ARRIVeNTVtÊS
MOI. J'iqKOfô. L'ORiqiKfe FfôSOSé.
bé CHACUN].
OUAT/Z/TTC
S'IL VOUS PLAIT
MONSieUR
COMBieM y-A-T-IL
ÙÊTRIOOSSIfeMS
PftRHI VOUS? .
BAtAtXOl)
BOUBOU
BOUUOU
QUÉLLfc INVITATION ACCfcPItR.CâZÊ
Dé Z-'/NDléN A UÊIX PLUMÉS OU
caxe ce L-'/Nbiew A ims plumés ?
4 Un diagnostic sérieux
ATT6MT10W !
Z£.l>essiMA-nax,
TRÈS MAUNARA-
jouré ack p®r»
TOUJOURS ewxs,
Biw-sûr^dê nos
TROIS MfebÊüMSt
J)' AUTRES FW5ROS
éXTOXéS PAR.
ATnees bullés
pouvWT Ênat
VRAIS Oû FAUX.
PROVléNNéNT
D'ON excès
D’ÉPINARDS
R. U
ANID
IOTIF7O
uuAi/not
IL S'AGIT D'UNe
MAUIMI Sê. COOR'
oimatiom oe
vision wrct
vos beux \fcux
OPHTALMOWie.
NtWÇéN'ÊSTPAS
LA FÆVR^JWNe
MAIS VOUS HHeZ
TRpF.'
VOS XéUX SONT
PAWTMTeMarr
COORDONNéS.
MAIS VarRéNOüR-
RJTJRfc COURANTE-
Né CONFORTE RAS
Asset DlÉPlNARDO
QÜ6 M6 CON$^ILl£L-VOÜS?
MANÇeR
C'-éPIVARDS,
CONTINUER.
À FUM6R.,
PORTéA CCS
LUNéTTfeS OU
soiquen. ma
FlèVRÊ
JAUNÊ?
5 Grands-mères menteuses
J'AI
J'AI
CMIUE
SEPT PETITS-ENFANTS.
DŒK PETITS-ENFANTS
MOINS QUE C^BRIELLE.
J'AI
PLUS QUE LEON l€
UN PETIT-eNFANT DE
ÇABRIELLE
ZE.ONIE
A
DIX
PETITS
EAlFANtTS.
EKlTRE Le NOMBRE DE PETITS-
ENFAMTS <DE LéONlE ET l£,
NOMBRE SES MIENS. IL Y A
CE N'EST TAS MOI QUI______"
EN AIT LE MOINS.
j’ai nions ne petits-enfants
QU' EMILLE
6M/L6 EM A HUIT
LCONI €
qABRIELLE CM A TROIS LE PLUS
QU’ EMILIE
ATTENTION !
CHACUN £65 ÇRANLS-M^e DIT Z.A \fc^lTé W45
£eux œ ses affirmations er meMt ws la
TROISIEME, COMBieM C-HACJDM6 D'ELLES A-'PELle
V^ITABLEMêlU- D6 TfeTlTS-eKlfANTS ?

6 Un grand-père cosmopolite
•A ZURICH.
MAIS A *RIS 5A RCTRAITCCM
zécAMoe.
PRIS SA RsETRATC CH ZCLANLC
IL A Véa> A ZANZIBAR N’A PAS
PRIS CA PCTRAITC CH ZCMHDC HT
IL CST MORT A ZURICH.
COMMêHT
A Vécu
QRANC-
PàRe ?
jktiüAuaau
7 Pour une saine utilisation de votre paquet de cigarettes
Nous présentons ici un jeu très ancien : le Jeu de Nimm.
Prenez un paquet de cigarettes, si possible non entamé. Partagez-le en
deux tas inégaux (par exemple sept et treize cigarettes). Choisissez
un partenaire aussi intelligent que vous et jouez tour à tour en enlevant
chaque fois un certain nombre de cigarettes choisi ou bien dans l'un
des deux paquets seulement, ou bien équiréparti entre les deux paquets
(par exemple, si vous commencez, vous pouvez enlever quatre cigarettes
dans le 1er tas; ou bien encore cinq dans chacun des deux).
A gagné celui qui enlève la dernière cigarette.
173
Bien joué !
1	La grenouille
Nous remarquons d'abord qu'à chaque phase du jeu, il ne peut y avoir au plus qu'une
façon de jouer pour une couleur donnée. Toute marche de jeu peut ainsi être décrite
par la succession ordonnée des couleurs employées. Voici donc la solution :
Jouer Noir une fois,
puis Blanc deux fois,
puis Noir trois fois,
puis Blanc trois fois,
puis Noir trois fois,
puis Blanc deux fois,
et Noir une fois.
Ce jeu admet une deuxième solution, symétrique de la précédente, et que l'on obtient
en échangeant systématiquement les rôles des noirs et des blancs.
Généralisation :
Considérez une ligne de (2 n + 1 ) cases, avec n pions noirs à gauche et n pions blancs
à droite. Échanger suivant les mêmes règles que précédemment, les pions noirs avec
les blancs.
Solution :
Jouer Noir une fois.
Blanc deux fois.
Noir trois fois etc...
Noir ou Blanc (n — 1 ) fois.
Blanc ou Noir n fois.
Noir ou Blanc n fois.
Blanc ou Noir n fois.
Noir ou Blanc (n — 1 ) fois, etc.
Noir trois fois.
Blanc deux fois
et Noir une fois.
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2	La marelle
Numérotons les cases de la marelle :
Soit C le joueur qui commence et F celui qui finit de placer ses pions.
Placement initial Déplacements ordinaires
des 3 pièces de 8 en 9, de 5 en 6 etc...
Deuxième cas : F place sa première pièce sur un milieu. Déroulement :
C	5	1	7	12	23	Victoire
F	8	9	4	*—	—	
Dans un cas comme dans l'autre, C a gagné.
2° Celui qui commence ne peut pas se mettre au centre
Déroulement I :
C	2	8	1	—	—
F	5	9	4	96	Victoire
Déroulement II :
C	2	6	3	—	—
F	5	7	9	58	Victoire
Déroulement III :
C	1	6	3	—	—
F	5	7	2	78	Victoire
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Déroulement IV :
le joueur qui commence C est alors la meilleure puisqu'elle conduit à un match nul :
c'est la seule qui ne fait pas perdre C (si le deuxième joueur F joue parfaitement).
3	Cannibale oui ou non
Si « 2-plumes » dit vrai, « 3-plumes » ment.
« 1 -plume » a dit « il y a seulement un Trioussien parmi nous ». C'est faux s'il dit vrai
et c'est vrai s'il ment. C'est donc impossible.
Donc « 2-plumes » ment. Donc « 3-plumes » ne ment pas.
Il faut accepter l'invitation de « 3-plumes » et refuser celle de « 2-plumes ».
4 Un diagnostic sérieux
Une observation attentive des propos des trois médecins montre que la seule solution
possible est la suivante :
J'ai une mauvaise coordination de vision entre mes deux yeux. Je fume trop. Je ne
mange pas assez de chocolat! et je n’ai pas la fièvre jaune.
Les véritables propos de l'homéopathe étant dans la 2e bulle, ceux du généraliste
et de l'ophtalmologiste dans la 1,e bulle.
5 Grands-mères menteuses
Il y a trois hypothèses possibles :
1 ° Émilie a sept petits-enfants.
Léonie ment alors dans sa 3° affirmation. Elle dit donc la vérité dans les deux autres.
Les contradictions abondent alors dans les propos de Gabrielle.
2° Émilie n'a ni sept, ni huit petits-enfants.
Émilie et Léonie mentent alors en disant qu'elle en a sept, ou bien huit. Leurs autres
propos sont donc exacts. Mais les contradictions abondent.
3° Émilie a huit petits-enfants.
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Elle ment donc en disant qu’elle en a sept. Elle dit donc la vérité dans ses deux autres
affirmations. Léonie a sept petits-enfants, Gabrielle dix. Tout concorde.
6 Un grand-père cosmopolite
Des propos du cousin III, on déduit que le grand-père n'a pas pris sa retraite en
Zélande. Donc le cousin II dit la vérité dans la première bulle : le grand-père est né
à Zagreb et il est mort à Zurich. Donc la première bulle du cousin I est fausse; la seconde
est vraie, il n'a pas vécu au Zaïre. Observons à nouveau les propos du cousin III; la
première bulle est fausse, donc la seconde est vraie : le grand-père a vécu à Zanzibar.
En résumé : Il est né à Zagreb, à vécu à Zanzibar, n'a pas pris sa retraite en Zélande
et est mort à Zurich.
7 Pour une saine utilisation de votre paquet de cigarettes
Représentons toute situation du jeu par les nombres de cigarettes des deux tas
correspondants. Nous obtenons le diagramme ci-dessous :
En jouant, on se déplace ou bien suivant une parallèle à l'un des deux axes, ou bien
suivant une parallèle à la 1re bissectrice. A gagné celui qui arrive à l'origine So. Donc,
a perdu celui qui arrive à l'un des deux axes ou à la 1re bissectrice. Donc, a gagné celui
qui arrive à la situation Si (1,2) ou SI (2,1) car, à partir de Sj ou de S(, on ne peut
en effet qu'aboutir à l'une des 3 droites précédemment décrites. Donc, a perdu celui
qui arrive à l'une des trois droites menant à chacun de ces deux points. Donc, à gagné
celui qui arrive à la situation S2 (3,5) ou S'2 (5,3) .etc.
On arrive de proche en proche à la série des points gagnants suivants (chaîne qu'il
faudra essayer de rejoindre et de ne jamais quitter lors du jeu) :
Sj|1 Sî|3 S3I4 S4I6 S5I8 Sg|9 etc.
|2	|5	|7	|10	]13	|l5
et leurs symétriques.
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On remarque que la différence des deux coordonnées est égale à l'indice de la situation
correspondante. On remarque même que, si l'on appelle a le fameux nombre d'or
(racine de l'équation a2 = a + 1, valant J—, ou 1, 618). les coordonnées de la
situation gagnante d'indice n sont les suivantes :
partie entière de (n.a).
partie entière de (n. a) + n.
(Cet exemple est tiré du cours de théorie des jeux du Professeur Jean Bouzitat).
Imprimerie GAUTHIER-VILLARS, 70, 'ue de Saint-Mandé, 93100 MONTREUIL
198219 — Dépôt légal. Imprimeur, 1981, n° 2453
Dépôt légal : janvier 1982
Imprimé en France