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Author: Berrondo M.
Tags: mathematiques problèmes mathématiques en français mathématiques d’eorêka résolution de problèmes en mathématiques
ISBN: 2-04-010434-8
Year: 1979
Text
253problèmes résolus Les jeux mathématiques d’Eorêka
Les jeux mathématiques €1 dunod
ISBN 2-04-010434-8 © BORDAS, Paris, 1979 " Toute représentation ou reproduction, intégrale ou partielle, faite sans le consentement de l'auteur, ou de ses ayants-droit, ou ayants- cause, est illicite (loi du 11 mars 1957, alinéa 1er de l'article 40). Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constituerait une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal La loi du 11 mars 1957 n'autorise, aux termes des alinéas 2 et 3 de l'article 41, que les copies ou repro- ductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non des- tinées à une utilisation collective d'une part, et, d'autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d'exemple et d'illus- tration "
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Itinéraire Démonstration par l’absurde en guise d’introduction 1. Où l’on se perd dans le calcul des probabilités 1 1 A la chasse — 2 Autant de garçons que de filles — 3 Autoroute — 4 Banc public — 5 Boules blanches, boules noires — 6 Bataille moyenâgeuse — 7 Chez le dentiste — 8 Au Café du Commerce — 9 La bande de jeunes — 10 Le circuit automobile — 11 Combien sommes- nous? — 12 Convoi — 13 Le clochard — 14 La dentellière — 15 L'émir et son pétrole — 16 En jouant aux cartes — 17 Enquête sociologique — 18 Espérance de vie — 19 Feu rouge, feu vert — 20 Les hôtesses de l'air — 21 Le gâteau du dimanche — 22 II nous faut des garçons — 23 Interro- gation écrite d'histoire — 24 Les jumeaux — 25 Jaws — 26 Météorologie — 27 Le paquebot — 28 Le parapluie — 29 Parcmètre — 30 Paul et Caroline — 31 La pluie et le beau temps — 32 A la recherche d'un emploi — 33 Le repas de famille — 34 Le retard quotidien — 35 Les quotidiens — 36 Réunion internationale — 37 « Sensible » ou « sensitive » — 38 Souvenirs de voyage — 39 La vaisselle — 40 Le vocabulaire anglais — 41 Vraies jumelles — 42 Les 24 heures du Mans Perplexe? Voir Probabilités perdues et retrouvées 12 2. En bonne logique 29 1 A propos des différents types de scrutin — 2 L'arroseuse municipale — 3 Au club — 4 Aux gros chasseurs d'ours faisant collection de timbres — 5 Blue jeans — 6 Chapeau noir, chapeau blanc — 7 A charming English
family — 8 Chez les cannibales — 9 Le concours de tir — 10 Condition féminine — 11 Le congrès médical — 12 Corps médical — 13 La course cycliste — 14 Les cousins germains — 15 Le dernier biberon — 16 Discussion électorale —17 En débarquant sur Mars — 18 Enquête — 19 Hold-up — 20 Les journalistes menteurs — 21 Médecine par soi-même — 22 Les menteurs — 23 Poissons d'avril — 24 Politique-fiction — 25 Un problème de Lewis Carrol — 26 Les Rois Mages — 27 Salaires mensuels — 28 Le saut en hauteur — 29 Tour Eiffel et chapeaux fleuris — 30 La vieille tante Ernestine — 31 Ville nouvelle — 32 La visite de Paris — 33 Xénon, Zéphir et Yénopha — 34 Les cinq femmes des prisonniers Hésitant? Voir Logiquement vôtre 42 3. Des mystérieuses relations entre vitesses, distances et temps 52 1 Autoroute en Pays Basque — 2 Au Texas — 3 Avant le Tour de France — 4 Bordeaux - Saint-Jean-de-Luz — 5 Clochards-story — 6 Cocktail — 7 Le cycliste amoureux — 8 L'émir et son chauffeur — 9 En voiture ou à vélo — 10 L'escalier roulant du Métro — 11 Expédition polaire — 12 Une femme précise — 13 La grosse caisse et le petit scout — 14 Janine et Monique — 15 Le métro de Mexico — 16 Navigation — 17 Paris - DeauviIle — 18 Le petit village — 19 Pique-nique — 20 Le plongeur — 21 Rue Sainte-Catherine — 22 La sortie du collège — 23 Ski de fonds — 24 Les deux baleines — 25 Subsonique et supersonique — 26 Tapis roulant Perdu? Voir Procédons par ordre 60 4. Où l’on retrouve la bonne géométrie d’autrefois 69 1 Bissectrice — 2 Catastrophe en Mer du Nord — 3 Un coin tranquille — 4 Construction — 5 Crayon, gomme, équerre et compas — 6 Dans le désert — 7 Découpage — 8 Dublin 1856 — 9 L'eau, l'huile et le mercure — 10 Émirat — 11 L'essuie-glace — 12 Figure — 13 La galette des Rois — 14 Géométrie révolutionnaire — 15 La grand-messe — 16 Héritage — 17 L'hexagone — 18 Intersections — 19 Italie 1678 — 20 Médianes — 21 Parallélogramme — 22 Le phare — 23 Polygones — 24 La promenade du chien — 25 Quadrilatère — 26 Les remparts — 27 Surfaces égales — 28 Tangence — 29 Triangle — 30 Triangle rectangle — 31 Si la terre était une orange — 32 La sieste — 33 Les statues — 34 Le village alsacien —
35 Vue d'avion — 36 Zone piétonnière — 37 Les deux cercles — 38 Les deux lunes — 39 Les deux ponts — 40 Les trois perpendiculaires — 41 Les quatre armures Incertain? Voir En avoir ou pas : l’esprit de géométrie 79 5. Au pays des merveilleux nombres entiers 104 1 Aboiement — 2 A la manif — 3 Année de naissance — 4 Arithmétique anglaise — 5 Arithmétique de l'histoire — 6 Arithmétique espagnole — 7 Au lycée — 8 Au restaurant — 9 L'autobus — 10 Un bel anniversaire — 11 Avec des 1 et des 2 — 12 Un bon arrière-grand-père — 13 Les caramels — 14 Carré — 15 Casse-tête — 16 Combien d'enfants étiez- vous? — 17 Compagnie aérienne — 18 La composition de latin — 19 Compter avec ses doigts — 20 Cot cot codet — 21 Course de chevaux — 22 Différence d'âge — 23 Division — 24 Échanges — 25 L'école — 26 Frère et sœur — 27 Familles nombreuses — 28 Une histoire de bal — 29 Léonie et les chats — 30 Les mathématiques nouvelles — 31 Multi- plication — 32 Les nombres chinois — 33 Le plus petit — 34 Pour les moins de seize ans — 35 Produit — 36 Quai San-Salvador — 37 Quel âge a Florence? — 38 Quel âge a l'aîné? — 39 Quel est mon âge? — 40 Une question d'âges — 41 Le remonte-pente — 42 Rencontre au sommet — 43 La rue Saint-Nicaise — 44 Le sac de billes — 45 Sainte-Marguerite — 46 Les soldats de ('Empereur — 47 Suez et Panama — 48 Suite de nombres — 49 Trouvez le « truc » — 50 Les vertus du chiffre 9 — 51 Les vœux de Mathusalem — 52 Les cinq nombres — 53 Les deux sœurs — 54 Le 14 juillet — 55 100 ans à eux trois — 56 1001 — 57 De 1968 à 1978 Dubitatif? Voir Les secrets des nombres révélés 118 6. Au royaume de l’astuce et du bon sens 137 1 A British Hospital — 2 Les aiguilles de ma montre — 3 A la cantine — 4 A la ferme — 5 Au Zoo — 6 Le café est servi — 7 Les chauve-souris, les ours et les éléphants chinois — 8 Le château de cartes — 9 Cigarettes — 10 La confession — 11 Les dactylos — 12 La belle dentelle — 13 Le dîner entre amis — 14 Dream dromaderies — 15 Élection présidentielle — 16 Grand-mère, version latine et petits chats — 17 Le jeu mathématique — 18 Lou-phoque — 19 Métro — 20 Nicolas joue aux soldats de plomb — 21 Parking — 22 Le nettoyage à fond — 23 Les Parisiens — 24 Partage — 25 Passages à niveaux — 26 Les pièces d'or — 27 Les pharmacies — 28 Le plein d'essence — 29 Les Pommes — 30 Pour vous rajeunir — 31 Pouvoir d'achat — 32 Psychologie enfantine — 33 Quelle heure est-il? 34 Le réservoir — 35 Réunion de famille — 36 Réunion de parents d'élèves — 37 Les sacs de farine — 38 Les sauvages — 39 Simone et ses complexes —
40 Terrain carré — 41 Le tournoi de tennis — 42 Le thermomètre — 43 Le tonneau — 44 Veaux, vaches, cochons, poulets — 45 Le vieil Ihsan — 46 Les 32 cartes Indécis? Voir Élémentaire, mon cher! 7. Et maintenant, à vous de jouer 149 167 1 La grenouille — 2 La marelle — 3 Cannibale, oui ou non — 4 Un diagnostic sérieux — 5 Grands-mères menteuses — 6 Un grand-père cosmopolite — 7 Pour une saine utilisation de votre paquet de cigarettes Embarrassé ? Voir Bien joué ! 174
1* Où l’on se perd dans le calcul des probabilités 1 A la chasse Trois chasseurs tirent simultanément sur un lièvre. Le premier réussit son coup 3 fois sur 5, le second 3 fois sur 10 et le troisième 1 fois sur 10 seulement. Quelle est la probabilité de voir le lièvre blessé par l'un au moins des chasseurs? 2 Autant de garçons que de filles Parmi les familles de deux enfants, la moitié se trouve être bien répartie, c’est-à-dire composée d'autant de garçons que de filles. En est-il de même parmi les familles de quatre enfants? (On suppose ici que chaque naissance donne avec équiprobabilité un garçon ou une fille.) 3 Autoroute Sachant que la probabilité d'avoir un accident sur 1 km d'autoroute est p, quelle est la probabilité d’en rencontrer un si l'on franchit 775 km? 4 Banc public Ils étaient cinq, trois garçons et deux filles. Ils n'avaient rien à faire. C'étaient le printemps. Ils s'assirent tout simplement sur un banc, au soleil, les uns à côté des autres, chacun occupant une place au hasard. Y a-t-il alors plus de chances de trouver les deux filles séparées ou bien assises l'une à côté de l'autre? 5 Boules blanches, boules noires Une urne contient cinq boules blanches et cinq boules noires. On y tire au hasard trois boules une par une, d'abord en les remettant chaque fois dans l'urne (méthode 1), puis sans les y remettre (méthode 2). De quelle façon a-t-on le plus de chances d'obtenir ainsi une boule blanche et deux boules noires?
6 Bataille moyenâgeuse Lors d'une terrible bataille moyenâgeuse, 85 % des combattants perdirent une oreille, 80 % un œil, 75 % un bras et 70 % une jambe. Quel est le pourcentage minimal de ceux qui perdirent à la fois une oreille, un œil, un bras et une jambe? 7 Chez le dentiste Deux femmes et dix hommes attendent leur tour chez le dentiste. Ils ont à leur disposition huit exemplaires du dernier magazine d'actualités et quatre du journal du jour. De combien de façons différentes ces revues peuvent-elles être distribuées sachant que les deux femmes lisent la même? 8 Au café du commerce Par une belle soirée de printemps, Dupont et Durand font une partie de dés à la terrasse du Café du Commerce. Ils lancent tour à tour deux dés. Quand la somme est 7, Durand marque un point; quand c'est 8, Dupont en marque un. Pour qui parieriez-vous? 9 La bande de jeunes Une bande de jeunes gens comporte trois garçons et trois filles. Chacun de ces jeunes gens est amoureux d'une des trois personnes du sexe opposé choisie au hasard. L'une des jeunes filles constate mélanco- liquement que, dans cette bande, personne n'est aimé de celui qu'il aime. Ce triste phénomène était-il si imprévisible? 2
10 Le circuit automobile C'était un circuit automobile effroyablement dangereux. On commençait par un petit pont très étroit d'où une voiture sur cinq tombait dans l'eau. Puis on passait un terrible virage en épingle à cheveux, d'où trois voitures sur dix tombaient dans le ravin. C'était alors un épouvantable tunnel, si sombre qu'une voiture sur 10 n'en ressortait pas. Et on finissait par une piste sablonneuse où deux voitures sur cinq s'ensablaient et ne pouvaient plus avancer. On demande le pourcentage total des voitures accidentées sur l'ensemble du circuit. 11 Combien sommes-nous? A vous de le trouver sachant que la probabilité pour que deux au moins d'entre nous aient leur anniversaire le même jour est inférieure à 1/2, mais que cela ne serait plus vrai si nous étions un de plus. 12 Convoi Dans un port américain, en 1943, il y a quatre escorteurs, sept cargos et trois porte-avions. On prépare un convoi de vivres et de munitions pour l'Europe comportant un escorteur en tête, suivi de trois cargos, puis d'un porte-avions, et terminé par un autre escorteur. De combien de façons différentes peut-on organiser un tel convoi? 13 Le clochard Dans une petite ville, la police recherche un clochard ivrogne. Il y a quatre chances sur cinq pour qu'il se trouve dans un des huit bars de 3
la ville, choisi alors au hasard. Deux agents de police vont dans sept bars sans le trouver. Ont-ils alors beaucoup de chances de le rencontrer dans le huitième bar? 14 La dentellière Par un bel après-midi d'été, François cherche Béatrice à Cabourg. Où est-elle? Peut-être à la plage (une chance sur deux), peut-être au tennis (une chance sur quatre), peut-être à la pâtisserie (une chance sur quatre également). Si Béatrice est à la plage, qui est grande et pleine de monde, François en y allant a une chance sur deux de la rater. Si elle est au tennis, il a encore une chance sur trois de ne pas la trouver. Si par contre elle est à la pâtisserie (toujours entrain de manger une glace), il est sûr de la voir. François décide donc d'aller dans les trois lieux de rencontre possibles, tandis que Béatrice restera au même endroit, du moins nous le supposons ici. Or, ils ne se sont pas rencontrés. Quelle est alors la probabilité pour que Béatrice ait été à la plage? 15 L’émir et son pétrole Mon émirat comporte un vaste désert, au milieu duquel j'ai construit mon palais, et une zone territorale en mer à laquelle je tiens beaucoup. Elle est en effet très étendue (autant que le tiers de mon désert), et recouvre une partie de ma nappe de pétrole. Sachant que j'ai trois fois plus de kilomètres carrés de désert à pétrole que de mer sans pétrole et que le septième de mon territoire sans pétrole se trouve en mer, sauriez-vous me dire précisément quelle est la proportion de ma nappe de pétrole qui se trouve sous la mer? 16 En jouant aux cartes « Prenez une carte au hasard dans mon jeu et remettez-la. Faites ceci 3 fois. Vous avez 19 chances sur 27 d'obtenir ainsi au moins une figure (roi, dame ou valet). Car, la proportion de figures dans mon jeu est de... ». Complétez, s'il vous plait la dernière de ces phrases. 17 Enquête sociologique Dans une certaine population, on constate que 42 % des individus n'ont jamais fait de ski, que 58 % n'ont jamais pris l'avion, mais que 29 % ont déjà fait du ski et pris l'avion. A-t-on alors plus de chances de rencontrer quelqu'un qui a déjà fait du ski parmi ceux qui n'ont jamais pris l'avion, ou quelqu'un qui a déjà pris l'avion parmi ceux qui ont déjà fait du ski? 4
18 Espérance de vie Dans une population primitive, un ethnologue constate que 25 % des gens meurent à 40 ans, que 50 % meurent à 50 ans et 25 % enfin à 60 ans. Puis il choisit deux individus au hasard, qu'il étudiera particulièrement en détail. Quelle est l'espérance de vie de celui des deux qui vivra le plus longtemps? 19 Feu rouge, feu vert Sur une large avenue en sens unique, sont situés deux feux de circulation successifs, chacun étant vert les deux tiers du temps. Un automobiliste remarque, étant donnée sa vitesse habituelle, que, lorsqu'il trouve le premier feu vert, il trouve le second vert aussi 3 fois sur 4. Quelle est alors la probabilité qu'il trouve le second feu rouge, sachant qu’il a déjà trouvé ainsi le premier et qu'il l'a brûlé? 20 Les hôtesses de l’air Pour accompagner un vol transatlantique, 20 hôtesses de l'air se présentent. Sept d'entre elles sont blondes, les autres sont brunes. Le sort en choisit trois au hasard. Quelle est la probabilité de trouver parmi elles au moins une brune et au moins une blonde? 21 Le gâteau du dimanche Comme chaque dimanche, en fin de matinée. Monsieur Dupont va faire un tour. Pendant ce temps, sa femme se demande s'il pensera ou non à acheter un gâteau, ce dont elle n'a vraiment aucune idée, et si en conséquence elle doit aller elle-même chez le pâtissier ou si ce n'est pas la peine. Elle demande alors à son fils : « Sais-tu si papa va penser au gâteau?» Mais l’enfant se trompe une fois sur trois. Et il est deux fois plus ennuyeux de se trouver sans dessert que d'en avoir deux. Que conseilleriez-vous alors à Mme Dupont : aller chercher un gâteau quoi que lui dise son fils, ou bien n'y aller que s'il lui a dit qu'on allait en manquer? 22 II nous faut des garçons Le roi d'un certain pays désirait, pour des motifs guerriers, avoir plus de garçons que de filles parmi ses sujets. Il décida donc autoritairement qu'aucune famille ne comporterait plus d'une fille. Chaque femme du pays eut ainsi un certain nombre d'enfants dont le dernier et le dernier seulement était une fille. A quelle proportion de garçons arriva-t-on ainsi? 5
23 Interrogation écrite d’histoire Lors d'une interrogation écrite d'histoire, deux mauvais élèves, Jean et Pierre, sont placés côte à côte. On leur demande les deux dates suivantes : bataille de Marignan et assassinat d'Henri IV. Jean sait qu'il s'agit de 1515 et de 1610, mais ne se souvient pas auquel de ces deux événements il faut associer chacune de ces dates. Il le demande alors tout bas à Pierre qui a trois chances sur quatre de le savoir. Mais il se peut que, par malice, il dise à Jean le contraire de ce qu'il pense (une fois sur quatre). Jean a-t-il alors intérêt à suivre les conseils de Pierre, ou bien à répondre au hasard? 24 Les jumeaux On sait que trois naissances sur 250 donnent des jumeaux et qu'une fois sur trois il s'agit alors de vrais jumeaux. En déduire la probabilité, a priori, pour qu'une femme enceinte attende des jumeaux garçon et fille. 25 Jaws Dans une station balnéaire située sur l'océan Pacifique, on met au point un système électronique de détection de requins, qui émet parfois un signal d'alarme (1 jour sur 30 en moyenne). Il y a dix fois plus de fausses alertes que de présences de requins non prévues. On sait d'autre part que, grâce à ce système, trois présences de requins sur quatre seulement sont détectées. Quel est alors le pourcentage de journées normales dans cette station balnéaire, c'est-à-dire de celles qui ne sont marquées ni par la présence de requins ni même par une fausse alerte? 26 Météorologie Il pleut ici un jour sur trois. Les météorologistes, d'un naturel pessimiste, se trompent dans leurs prévisions journalières une fois sur deux quand il faut annoncer du beau temps et une fois sur cinq seulement quand il faut annoncer de la pluie. Chaque matin, Francine part pour toute la journée. S'il pleut et qu'elle n'a pas pris son parapluie, elle sera deux fois plus gênée que s'il ne pleut pas et qu'elle doit le traîner sans raison. « Ai-je intérêt, se dit-elle, à écouter la radio chaque matin et à n'emporter mon parapluie que si la météo prévoit que j'en aurai besoin, ou bien à le prendre de façon systématique, ou bien au contraire à ne jamais le prendre? » Que conseilleriez-vous à Francine? 6
27 Le paquebot Au cours d'un long périple, on constate qu'a chaque escale le quart des passagers est renouvelé, que parmi les passagers qui descendent, un sur dix seulement était monté à l'escale précédente, et que le paquebot reste toujours plein. Quelle est alors à chaque instant, pendant que le paquebot navigue, la proportion des voyageurs qui ne sont montés à bord à aucune des deux escales précédentes? 28 Le parapluie Un samedi soir, deux frères, Jean et Pierre, échangent des propos sur leur voisine, Madame Martin. Ils s'accordent pour dire que tous les dimanches elle sort une fois, et une seule, que deux fois sur trois elle prend son parapluie, et que, même par beau temps, il lui arrive une fois sur deux d'en prendre un. Mais Jean soutient que, par mauvais temps, elle ne l'oublie jamais, tandis que Pierre affirme, au contraire, qu'il lui arrive alors de ne pas l'emporter. Sachant que dans la région où il se trouvent il fait mauvais temps un jour sur deux, auquel des deux frères donneriez-vous raison? 29 Parcmètre Je dois m'arrêter 10 minutes dans une boutique en plein centre: j'hésite à payer le parcmètre (2 F la demi-heure). L'agent de police fait sa ronde toutes les 2 heures et l'amende risquée est de 48 F. Je demande alors au cafetier du coin s'il a vu passer l'agent de police pendant l'heure précédente. Mais la réponse ainsi obtenue est inexacte une fois sur quatre, autant parce que le cafetier croit à tort l'avoir vu, que parce 7
qu'il ne l'a pas vu alors qu'en réalité, l'agent est passé. Que feriez-vous alors_è ma place (en faisant abstraction de toute règle de morale) : payer les 2 F du parcmètre d'office ou bien ne les payer que si le cafetier affirme que l'agent n'est pas passé pendant l'heure précédente? 30 Paul et Caroline Paul et Caroline ont rendez-vous sous l'Arc de Triomphe entre 11 heures et midi (sans précision). Chacun d'eux y arrivera à un instant quelconque, pendant cette heure; puis un quart d'heure plus tard, s'il ne voit pas l’autre il quittera les lieux. Quelle est la probabilité pour que Paul et Caroline se rencontrent effectivement? 31 La pluie et le beau temps Dans une certaine région, il pleut un jour sur quatre. On sait, d’autre part, que lorsqu'il a plu un jour il pleut deux fois sur trois le lendemain. Quelle est alors la probabilité qu'il ne pleuve pas pendant une journée, alors qu'il n’a pas plu la veille? 32 A la recherche d’un emploi Pour trouver un emploi à la fin de son service militaire, Maurice écrit à différentes entreprises où sa spécialité est utilisée. Après chaque demande, il a une chance sur cinq d'être accepté. Il s'arrêtera d'écrire dès qu'il aura au moins trois chances sur quatre de trouver un emploi. Sachant que les logarithmes décimaux de 3, 4 et 5 sont respective- ment 0,477, 0,602 et 0,699, combien de lettres Maurice aura-t-il dû écrire? 33 Le repas de famille Comme chaque dimanche, deux époux attendent leurs mères respectives pour le déjeuner. Malheureusement, les conjoints ont des relations assez tendues avec leurs belles-mères; et chacun sait qu'il a deux chances sur trois de se disputer avec la sienne et qu'alors l'autre conjoint prend parti au hasard : une fois sur deux il se chamaille ainsi avec sa propre mère, une fois sur deux, c'est la querelle de ménage. Sachant que les disputes de chaque époux avec sa propre belle-mère éclatent indépendamment les unes des autres, quelle est selon vous la proportion de dimanches où les époux ne se disputent pas? 34 Le retard quotidien Pour se rendre à son bureau, Maurice prend tantôt sa voiture (et il arrive alors une fois sur deux en retard), tantôt le métro (et il arrive alors 8
en retard une fois sur quatre seulement). Quand il est à l'heure, il décide toujours de conserver le même moyen de transport le jour suivant. Tandis que, chaque fois qu'il est en retard, il décide d'en changer. Étant donné cela, a-t-il beaucoup de chances d'arriver en retard la 467e fois qu'il se rend à son bureau? 35 Les quotidiens Dans un certain village de vacances, on constate que 28 % des adultes lisent Le Monde, 25 % Le Figaro et 20 % L'Aurore, que 11 % lisent à la fois Le Monde et Le Figaro, que 3 % lisent Le Monde et L'Aurore, que 2 % lisent Le Figaro et L'Aurore, que 42 % ne lisent aucun de ces trois journaux. Quel est alors le pourcentage des vacanciers adultes qui lisent à la fois Le Monde, Le Figaro et L'Aurore? 36 Réunion internationale Quatre Français, deux Ivoiriens, trois Russes et quatre Suédois sont réunis pour discuter de l'exploitation des forêts. Les congressistes d'un même pays restent assis les uns à côté des autres, tout d'abord, pour la séance d'introduction, sur un banc à 13 places, puis, pour les séances de travail, autour d'une table ronde à 13 places également. De combien de façons différentes peut-on installer ces congressistes les uns à côté des autres dans chacun des deux cas? 37 « Sensible » ou « sensitive » Lors d'une composition de thème anglais, je m'arrête devant la difficile traduction de la phrase suivante : « Nancy a du bon sens. » Dois-je utiliser l'adjectif « sensible » ou l'adjectif « sensitive »? Si je réponds au hasard, j'ai une chance sur deux de me tromper. Je pourrais à la rigueur copier sur mon voisin. Mais je sais par expérience qu'il se trompe une fois sur cinq dans ce genre de traduction. De plus, il y aurait une chance sur dix que le professeur me prenne en flagrant délit, et je serais alors dans une situation trois fois plus ennuyeuse que si j'avais seulement donné une réponse fausse. Que me conseilleriez-vous alors, en faisant abstraction de toute règle de morale : copier sur mon voisin, ou bien répondre au hasard « sensible » ou « sensitive » ? 38 Souvenirs de voyage Au cours de mon voyage, j'ai vu des églises romanes, des arcs de triomphe, des cascades et des châteaux médiévaux. J'ai pris une photo de la moitié de ces lieux touristiques. J'ai vu trois fois plus d'églises romanes que d'arcs de triomphe et autant de châteaux médiévaux que de cascades. 9
Le quart de mes photographies représentent des châteaux médiévaux. Je n'en ai pourtant photographié qu'un sur deux, tandis que j'ai pris systématiquement en photo tous les arcs de triomphe. Dîtes-moi, alors, s'il vous plaît, quelle est la proportion de photos d'arcs de triomphe parmi l'ensemble des photos rapportées de mon voyage. 39 La vaisselle Dix couples dînent ensemble. On tire au sort cinq personnes pour faire la vaisselle. Quelle probabilité y a-t-il de ne trouver parmi elles aucun couple réuni? 40 Le vocabulaire anglais Dans une classe de 30 élèves, miss Blackwick, professeur d’anglais, donne une page de vocabulaire à apprendre par cœur : à chaque cours, pour le cours suivant. Elle interroge chaque fois un élève sur trois, parmi lesquels un sur dix a déjà été interrogé au cours précédent. L'un des élèves, paresseux par nature, décide de n'apprendre sa leçon que si on ne vient pas de l’interroger. « Ai-je plus de chance, se demande-t-il alors, d'apprendre ma leçon pour rien, ou bien de me faire punir par miss Blackwick pour ignorance de ma page de vocabulaire? » Aidez-le à répondre. 41 Vraies jumelles Anne et Brigitte sont deux petites jumelles qui se ressemblent comme deux gouttes d'eau. Elles partagent le même banc à l'école; l'une étant 10
toujours à gauche, l'autre à droite. Elles affirment chacune être Brigitte. Leur maîtresse, ayant remarqué de façon générale, que la jumelle de droite ment une fois sur quatre et celle de gauche une fois sur cinq, se demande quelle est la probabilité pour qu'Anne soit assise à gauche. Aidez-la. 42 Les 24 heures du Mans Cette année-là, trois marques seulement prenaient part aux 24 Heures du Mans : Ford, Jaguar et Maserati. Si l'on donne la marque Ford perdante à 2 contre 2, la marque Jaguar perdante à 5 contre 1, à combien faut-il donner la marque Maserati perdante? Remarque :« perdante » signifie ici « non gagnante ». 11
Probabilités perdues et retrouvées 1 A la chasse Si le lièvre n'est pas blessé, c'est que le premier chasseur a raté son coup (2 fois sur 5), ainsi que le second (7 fois sur 10), et que le troisième (9 fois sur 10). Cela arrivera donc 126 fois sur 500 (2/5 x 7/10 x 9/10 = 126/500). Le lièvre sera donc blessé avec une probabilité de : 1 — 126/500 = 0,748. 2 Autant de garçons que de filles Appelons « répartition » toute série de quatre genres, représentant les quatre enfants d'une famille. Par exemple : « garçon, fille, garçon, garçon », que nous résumerons : « GFGG ». On peut ainsi trouver 16 types de répartitions équiprobables parmi les familles de quatre enfants : GGGG - GGGF - GGFG - GFGG - FGGG - GGFF - GFGF - GFFG - FGGF - FGFG - FFGG - GFFF - FGFF - FFGF - FFFG - FFFF. Parmi ces 16 types de répartitions, six donnent autant de garçons que de filles. Ce qui correspond à une proportion de : 6/16 = 3/8. Ce n'est donc pas 1/2, comme pour les familles de deux enfants. 3 Autoroute La probabilité de ne pas avoir d'accident sur 1 km est : 1 — p. Celle de ne pas en avoir sur 775 km est donc : (1 —p)775. Et celle d'avoir un accident sur une telle distance est donc : 1 — (1 —p)775. 4 Banc public Nombre de façons d'installer le groupe des deux filles sur un banc à cinq places : Cl = 3ÏÏÎ =10' Nombre de façons d'installer ce même groupe de deux filles si elles sont côte à côte : quatre (cela est évident). 12
Elles ont donc quatre chances sur dix de se trouver côte à côte et six chances sur dix de se trouver séparées; cette dernière éventualité est la plus probable. Remarque : CJ représente le quotient : ni pl (n—p)l 5 Boules blanches, boules noires Par la première méthode (tirage avec remise), nous avons : P1 = (nombre de façons d'avoir une boule blanche parmi les trois) x 1/23 = 3/8 = 9/24. Par la seconde méthode (tirage sans remise), nous avons : P2 - (nombre de façons de choisir une boule parmi cinq x nombre de façons de choisir, deux boules parmi cinq) : nombre de façons de choisir trois boules parmi dix = (CJ x ci) : Cîo = 5/12 = 10/24. Par la seconde méthode, le résultat se trouve donc être un peu plus probable que par la première. 6 Bataille moyenâgeuse Puisque 85% des combattants perdirent une oreille et 80% un œil (ce qui fait en tout 165%), c'est que 65% d'entre eux au moins perdirent à la fois une oreille et un œil. Puisque 65% des combattants au moins perdirent à la fois une oreille et un œil et que 75 % perdirent un bras (ce qui fait en tout 140 %), c'est que 40 % d'entre eux au moins perdirent à la fois oreille, œil et bras. Puisque 40 % des combattants au moins perdirent à la fois oreille, œil et bras et que 70% perdirent une jambe (ce qui fait en tout 110 %), c'est que 10 % d'entre eux au moins perdirent à la fois oreille, œil, bras et jambe. (Ceci est un problème de Lewis Carroll.) 7 Chez le dentiste Si les deux femmes lisent le journal du jour, le nombre de distributions correspondantes sera le nombre de façons de donner les deux autres journaux restants aux dix hommes, c'est-à-dire : cîo = fraï~45- Si les deux femmes lisent le magazine d'actualités, le nombre de distributions corres- pondantes sera le nombre de façons de donner les quatre journaux du jour aux dix hommes, c'est-à-dire : C* - 101 =210 C*° ’ 4Ï~6Î 210' Ce qui fera en tout 210 + 45, soit 255 distributions possibles. 13
8 Au café du commerce Quel que soit le résultat du premier dé lancé. Durand sait en lançant le second qu'il a une chance sur six de gagner (faire 1 après un 6, 2 après un 5, etc.). Tandis que si le résultat du premier dé est 1, Dupont n'a aucune chance de gagner. Il vaut donc mieux parier pour Durand. 9 La bande de jeunes Soit Fj, F2 et Fi les trois filles; soit Gt, G2 et G3 les trois garçons. Dénombrons les possibilités grâce à l'arbre suivant. Le nombre total de terminaisons correspondant au triste phénomène de non récipro- cité des amours est donc de 3* 52 = 156. Le nombre de possibilités était de : 3® = 729. La probabilité du phénomène est ainsi : 156/729 = 0,214 : il n'est donc pas si rarel (plus d'une chance sur 5). 10 Le circuit automobile Pour qu'une voiture ne soit pas accidentée à l'arrivée, il ne faut pas qu'elle ait eu d'accident, ni au petit pont (ce qui arrive 4 fois sur 5), ni au virage (7 fois sur 10), ni dans le tunnel (9 fois sur 10), ni enfin sur la piste sablonneuse (3 fois sur 5). Soit : notïA °'MZ accidentées sur l'ensemble du circuit est donc : Le pourcentage des voitures 100 — (100 x 0,302) « 70%. 11 Combien sommes-nous? Probabilité pour que deux personnes aient des jours d'anniversaire différents : 364/365. 14
Pour trois personnes : (364/365). (363/365), etc. Pour n personnes : (364/365). (363/365) . . . (365 — n + 1 )/365. Ce produit de quotients devient inférieur à 1/2 lorsque n passe de 22 à 23 : nous sommes ainsi 22 personnes présentes. 12 Convoi Nombre de façons de choisir le premier escorteur : 4. Nombre de façons de choisir les trois cargos : Nombre de façons de choisir le porte-avions : 3. Nombre de façons de choisir le dernier escorteur : 3 (car il n'en reste que trois disponibles). Ce qui fait en tout : 4 x 35 x 3 x 3 = 1 260. 13 Le clochard Il y a donc huit chances sur dix, a priori, pour que le clochard se trouve dans un des huit bars de la ville; et donc une chance sur dix (1/8 x 8/10 = 1/10), a priori, pour qu'il se trouve dans le huitième bar. Tandis que la probabilité qu'il ne se trouve dans aucun des sept premiers visités était a priori de : 1 —7/10 = 3/10. Il en résulte que la probabilité de rencontrer le clochard dans le huitième bar, sachant qu'il n'est dans aucun des sept premiers, est de : (1/10)/(3/10) = 1/3. Les deux agents de police ont donc une chance sur trois de trouver le clochard dans le huitième bar. 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 2/10 14 La dentellière Probabilité pour qu'il y ait rencontre : à la plage : (1/2). (1/2) = 1/4, au tennis : (1/4). (2/3) = 1/6, à la pâtisserie : (1/4). (1) = 1/4. 15
Ce qui fait en tout : 4/6 = 2/3. La probabilité pour qu'il n'y ait pas rencontre est donc : 1 — 2/3 = 1/3. Or la probabilité pour que François et Béatrice se manquent à la plage est de : (1/2). (1/2) = 1/4. La probabilité pour que Béatrice ait été à la plage sachant qu'ils se sont manqués, est donc : (1/4) : (1/3) = 3/4. 15 L’émir et son pétrole Soit S la surface totale de mon territoire. Surface de territoire en mer : S/4. Soit x la proportion de territoire en mer sans pétrole dans l'ensemble de mon territoire. Surface de mer à pétrole : (1/4 — x).S. Surface de mer sans pétrole : x.S. Surface de désert à pétrole : 3 x.S. Surface de désert sans pétrole : 6.x.S. Surface totale : S/4 — xS + xS + 3xS + 6xS = S. On en déduit aisément : x = 1/12. La proportion cherchée est donc : 16 En jouant aux cartes Soit p cette proportion inconnue. La probabilité de ne pas tirer de figure en un coup est de : 1 — p. La probabilité de ne pas tirer de figure en trois coups est de : (1 — p)3. Celle d'en tirer ainsi au moins une est de : 1 — (1 — p)3, ou 19/27. Il en résulte : (1 —p)3 = 8/27 ou 1 —p = 2/3. Ce qui donne : p = 1/3. La proportion de figures dans mon jeu est de 1/3. 17 Enquête sociologique Si 42 % n'ont jamais fait de ski, 58 % en ont déjà fait. Comme 29 % ont déjà fait du ski et pris l'avion, 29 % ont déjà fait du ski mais n'ont jamais pris l'avion. 16
Première probabilité recherchée : le rapport de ceux qui ont déjà fait du ski et n'ont pas pris l'avion sur ceux qui n'ont jamais pris l'avion est de 29/58, soit 1/2. Deuxième probabilité recherchée : le rapport de ceux qui ont pris l'avion et fait du ski à ceux qui ont déjà fait du ski est de 29/58, soit 1/2. Les deux probabilités sont donc identiques. 18 Espérance de vie Si celui des deux qui vit le plus longtemps meurt à 40 ans, cela signifie que tous deux vivent 40 ans. Probabilité correspondante : 25% x 25% = 1/16. S'il vit jusqu'à 50 ans, cela signifie que, ou bien le premier vivra jusqu'à 40 ans et le second jusqu'à 50, ou bien tous deux jusqu'à 50 ans, ou bien enfin le premier jusqu'à 50 et le second jusqu'à 40. Probabilité correspondante : (25% x 50%) + (50% x 50%) + (50% x 25 %) = 1/2. Si celui des deux qui vit le plus longtemps meurt à 60 ans, cela signifie qu'aucun des deux événements dont on vient de calculer la probabilité n'est réalisé. Probabilité correspondante : 1 —1/16 — 1/2 = 7/16. Espérance de vie : 1/16 x 40 + 1/2 x 50 + 7/16 x 60 = 53 ans et 9 mois. 19 Feu rouge, feu vert Considérons les deux feux successifs. Il y a quatre possibilités : « premier vert, second aussi », « premier vert, second rouge », « premier rouge, second vert », « les deux rouges ». Soit plt plt pt et pt, les quatre probabilités respectives correspondantes. Chacun des deux feux étant vert les deux tiers du temps, nous avons les équations : Pi + Pt = 2/3, Pt + Pi = 2/3. D'autre part, quand le premier feu est vert, le deuxième est vert les trois quarts du temps : p,/(p, + p2) = 3/4. Nous savons enfin bien évidemment que : p, + p2 + p3 + p* = 1. De ce système de quatre équations à quatre inconnues, il résulte : Pi - 1/2; p2 = Pi = pt = 1/6. 17
La probabilité d'avoir un feu rouge sachant que le précédent est rouge est donc : P*/(Pa + P*) = d/6) : (2/6) = 1/2. 20 Les hôtesses de l’air Si l'on peut trouver au moins une brune et au moins une blonde, c'est que les trois hôtesses choisies ne sont ni toutes trois brunes probabilité 13.12.11 20.19.18 ni toutes trois blondes probabilité 7.6.5 \ 20.19.18/ La probabilité demandée est donc : 13.12.11 7.6.5 20.19.18 20.19.18 21 Le gâteau du dimanche Appelons 7 l'inconvénient d'avoir deux gâteaux au lieu d'un. L'inconvénient qu'il y a à ne pas avoir de gâteau sera donc 2 /. En se rendant d'office chez le pâtissier. Madame Dupont risque / avec la probabilité 1/2 (car elle n'a aucune idée a priori sur l'oubli éventuel de son mari). Ce qui fait en moyenne i/2. En écoutant son fils, elle se trompera une fois sur trois : elle subira alors tantôt l'incon- vénient i (avec la probabilité : 1/3 x 1/2) et tantôt l'inconvénient 2 / (avec la même probabilité puisqu’il se trompe évidemment autant quand le père oublie que quand il n'oublie pas). Cela fait en moyenne : 1/6 (/ +2/) = z/2. Ainsi, le risque est exactement le même, que Madame Dupont agisse d'une façon ou d'une autre. Les deux façons d'agir sont donc équivalentes. 22 II nous faut des garçons Soit N le nombre de mères de famille de ce pays ayant fini de procréer. Combien ont-elles eu de filles? Une chacune ce qui fait N. Combien ont-elles eu de garçons? La moitié d'entre elles en ont eu zéro. Un quart d'entre elles en ont eu un. Un huitième en ont eu deux. Un seizième trois, etc. Ce qui fait en tout : v x 1 + x 2 + 4 8 -N F 1 4- 2 4- 3 4- 4- n 4- ” 4 [2® + 2* + 2* + " ' + 2"""1 + Or nous savons que : 1 + 2 x + 3 x2 + ... + nx“-‘ + . . 1 (1 — x)2‘ Comme série dérivée de:1 + x + x2 + ... + x" + .. Ce qui donne en remplaçant x par 1/2 : 1 + Â4.3.4. + _2_ = 1 2° 2* 22 2"-1 (1 —1/2)2 18
D'où il résulte que le nombre de garçons est de : x 4 = /v = nombre de filles. 4 La proportion de garçons à laquelle on arrive ainsi est de 1 /2. Elle n'est donc nullement augmentée par les décrets autoritaires du roi I 23 Interrogation écrite d’histoire Quatre cas peuvent se produire : 1. Pierre sait sa leçon et ne ment pas. Il dit alors la vérité, et cela arrive 9 fois sur 16 (3/4 x 3/4). 2. Pierre sait sa leçon et ment. Il ne dit pas alors la vérité. Et cela arrive 3 fois sur 16 (3/4 x 1/4). 3. Pierre ne sait pas sa leçon et ne ment pas. Il induit alors de nouveau en erreur et cela arrive 3 fois sur 16 (1/4 x 3/4). 4. Pierre ne sait pas sa leçon et ment. Il dit alors la vérité, et cela arrive 1 fois sur 16 (1/4 x 1/4). Pierre dira ainsi la vérité 10 fois sur 16, ce qui est supérieur à un demi (probabilité de se tromper en répondant au hasard). Jean a ainsi intérêt à suivre les conseils de Pierre. 24 Les jumeaux Une femme enceinte ne risque d'attendre des jumeaux garçon et fille que si elle attend des faux jumeaux. Ce qui arrivera 1 fois sur 125 : j_/i_n=j_. 250 \ 3/ 125 probabilité probabilité d'avoir probabilité d'avoir des des vrais jumeaux a priori d'avoir jumeaux sachant qu'on attend des faux jumeaux des jumeaux Sachant qu'elle attend des faux jumeaux, quatre éventualités sont équiprobables : • le premier est un garçon, le second est une fille; • le premier est un garçon, le second est un garçon; • le premier est une fille, le second est un garçon; • le premier est une fille, le second est une fille. Deux de ces quatre éventualités donnent donc des jumeaux garçon et fille. Il en résulte que la probabilité d'avoir des jumeaux garçon et fille est : 2 v 1 _ 1 4 X 125 250 ' 25 Jaws Soit x le pourcentage de présences de requins non prévues. Le pourcentage de fausses alertes est donc : 10 x. Or il y a une alerte un jour sur 30. Le pourcentage d'alertes justifiées est donc : 1/30 — 10 x. Le pourcentage de journées normales, c'est-à-dire celui des* journées sans fausses alertes, ni alertes justifiées, ni présences de requins non prévues, est donc : 1 — x—10 x — (1/30 — 10 x) = 29/30 — x. 19
Or, avec ce système de détection, le quart des présences de requins demeure imprévu. Il en résulte : 1/30 — 10 x = 3 x. Soit x = 1/390. Le pourcentage de journées normales (29/30 — x) est donc : 96,4 %. 26 Météorologie Des six premières lignes de l'énoncé, il résulte qu'il y a quatre catégories de jours : beau temps annoncé et réalisé (une fois sur trois), beau temps non annoncé (une fois sur trois), pluie prévue (quatre fois sur quinze), pluie non prévue (une fois sur quinze). Soit 7 l'inconvénient pour Francine de traîner son parapluie toute une journée par beau temps et 2 / l'inconvénient de ne pas l'avoir quand il pleut. Si elle prend son parapluie de façon systématique, elle risque i deux fois sur trois; d'où il résulte un inconvénient moyen 2 z/3. Si elle décide de ne jamais prendre son parapluie, elle risque 2 / une fois sur trois, soit encore un inconvénient moyen de 2 z/3. Si elle décide enfin de suivre les conseils de la météo et de ne prendre son parapluie que si la pluie est annoncée, elle risque i une fois sur trois et 2 i une fois sur quinze, ce qui correspond à un inconvénient moyen de 7 z/15, inférieur aux deux inconvénients moyens précédents. Nous conseillerons donc à Francine de suivre les conseils de la météo. 27 Le paquebot Supposons que le paquebot navigue entre la n-ième et la (n + 1)-ième escale. Nous savons que : • un quart des passagers est monté à la n-ième escale; • parmi eux, un dixième était monté à la (n — 1)-ième escale; • un quart des passagers est monté à bord à la (n — 1)-ième escale. 20
Donc, la proportion de passagers étant montés à bord à la n-ième ou bien à la (n — 1 )-ième escale est : 1/4 + 1/4 —1/(4.10) = 19/40. Il en résulte que la proportion de passagers n'étant montés à bord à aucune des deux escales précédentes est de : 1 — 19/40 = 21/40 - 52,5 % M„ = places occupées par des voyageurs montés à la n-ième escale. = places occupées par des voyageurs montés à la (n — 1 )-ième escale. 28 Le parapluie Puisque par beau temps Madame Martin prend un parapluie une fois sur deux, et qu'il fait beau un jour sur deux, l’événement « elle prend un parapluie par beau temps » se produira une fois sur quatre (1/2 x 1/2 = 1/4). Or on sait qu'elle prend deux fois sur trois son parapluie. L'événement « elle prend un parapluie par mauvais temps » se produira donc cinq fois sur douze (2/3 — 1/4 = 5/12). Mais puisqu'il fait mauvais un jour sur deux, il arrivera une fois sur douze (1/2 — 5/12 = 1/12) qu'elle n'emporte pas son parapluie alors que le temps est mauvais : Pierre à raison. 29 Parcmètre Supposons que je décide de ne pas payer le parcmètre lorsque le cafetier croit avoir vu l'agent pendant l'heure précédente. Le cafetier se trompe une fois sur quatre, l'agent risque alors de passer pendant les 10 minutes qui viennent avec une probabilité de 10/60 ou 1/6, puisqu'il va alors passer nécessairement pendant l'heure qui suit, n'étant pas passé pendant l'heure précédente. Risque monétaire correspondant pour moi : (1/4). (1/6) .48 F. = 2 F. = prix du parcmètre. Les 2 solutions envisagées sont donc strictement équivalentes du point de vue pécuniaire. 30 Paul et Caroline Considérons deux axes orthonormés. L'heure d'arrivée de Paul est indiquée par l'abscisse, celle de Caroline par l'ordonnée. L'origine correspond à 11 heures pour chaque axe. Chacun des points du carré (0 — 1 ) x (0 — 1 ) correspond à une éventualité équiprobable. 21
Sachant que Paul est arrivé à une heure donnée, il rencontrera Caroline à condition que cette dernière soit arrivée dans le quart d’heure précédent, ou bien qu'elle se dispose à arriver dans le quart d'heure suivant. La probabilité recherchée correspond donc à l'aire hachurée, c'est-à-dire à la surface d'un carré de côté 1 diminuée de celle d'un carré de côté 3/4, soit : 1 —9/16 = 7/16. Il y a 7 chances sur 16 pour Considérons les jours n — 1 et n. Il y a quatre cas possibles. Calculons-en les probabilités respectives : Probabilité qu'il pleuve chacun de ces deux jours : 1/4 x 2/3 - 1/6. Probabilité qu'il pleuve le jour n sans qu'il ait plu le jour n — 1 : 1/4— 1/6 = 1/12. Probabilité qu'il pleuve le jour n — 1 sans qu'il pleuve le jour n : 1/4 —1/6 = 1/12. Probabilité qu'il ne pleuve aucun de ces deux jours consécutifs : 1 _ 1/6—1/12 — 1/12 = 2/3. Pn = pluie le jour n Pn_l=pluie le jour n-1 22
Donc la probabilité qu'il ne pleuve pas le jour n sachant qu'il n'a pas plu le jour n — 1 est de : 2/3 : (1 — 1/4) = 8/9. 32 A la recherche d’un emploi La probabilité de rester sans emploi après n lettres est : (1 _ 1/5). = (4/5)". Donc la probabilité d'en trouver un est de : 1 — (4/5)". Maurice s'arrêtera donc d'écrire dès que n sera tel que cette dernière probabilité soit supérieure ou égale à 3/4, c'est-à-dire : (4/5)” s 1/4. Donc : n s log 4/(log 5 — log 4) ou : n a 0,602/0,097. Maurice aura donc dû écrire 7 lettres. 33 Le repas de famille Deux fois sur trois, le mari se dispute avec sa belle-mère et une fois sur trois (1/2 * 2/3) cela entraîne la querelle de ménage. Deux fois sur trois, la femme se dispute avec sa belle-mère et une fois sur trois cela entraîne la querelle de ménage. Proportion de dimanches où la querelle de ménage est doublement provoquée (puisqu'il y a indépendance entre ces disputes) : 1/3 x 1/3 = 1/9. La proportion de dimanches où il y a querelle de ménage, quelle que soit sa cause, est ainsi : 1/3 + 1/3 — 1/9 - 5/9. La proportion de dimanches où les époux ne se disputent pas est donc : 1 — 5/9 = 4/9. 34 Le retard quotidien Soit p„ la probabilité de prendre la voiture la n-ième fois que Maurice se rend à son bureau. Probabilité de prendre le métro cette n-ième fois : 1 — p„. Maurice prendra la voiture la n-ième fois s'il l'a déjà prise la (n— 1)-ième fois sans être arrivé en retard (une fois sur deux), ou qu'il a pris le métro cette (n — 1)-ième fois mais qu'il était en retard (une fois sur quatre). D'où la formule de récurrence suivante : p. = (1/2) p.., + (1/4) (1 - p._,) = 1/4 (p._ ! + 1 ). Les jeux mathématiques d'Eurêka. — 2 23
Exprimons alors p„ en fonction de p„_2, puis de p,_3, etc., jusqu'à pt : p„ = (1/4) (1 + 1/4 + 1/42 + 1/43 + . . . + 1/4""2) + px/4"-* (1/4) (1 — 1/4—2) (1 - 1/4) + p1/4"-1 = (1/3) (1-1/4"-*) +p,/4-‘. Si n devient très grand, p„ tendra donc vers 1 /3. Maurice a donc une chance sur trois d'arriver en retard la 467e fois qu'il se rend à son bureau. 35 Les quotidiens Soit x ce pourcentage inconnu. Appelons V l'ensemble de tous les vacanciers, M le sous-ensemble des lecteurs du Monde, F du Figaro et A de l'Aurore. Nous avons le diagramme de Venn suivant en écrivant les pourcentages de vacanciers pour chacune des parties représentées. L'ensemble V tout entier correspond bien entendu au pourcentage 100 %. D'où l'équation : 42 + (14 + x) + (12 + x) + (15 + x) + (11 —x) + (2 —x) + (3 — x) + x = 100, c'est-à-dire : x = 1 %. 1 % des vacanciers adultes de ce village lisent à la fois les trois quotidiens. 36 Réunion internationale Nombre de façons de ranger les Français entre eux : 41 Les Ivoiriens entre eux : 21 Les Russes 31 et les Suédois 41 D'où le nombre de façons de ranger ces 13 personnes sans déplacer les groupes : 41 21 3! 41 = 6912. Nombre de façons de placer les groupes les uns par rapport aux autres sur le banc : 41 Le nombre total de rangements possibles sur le banc est donc : 41.6912 = 165 888. 24
Nombre de façons possibles de placer les groupes les uns par rapport aux autres autour de la table ronde : 31 Le nombre total de rangements possibles autour de la table ronde est donc : 31.6 912 = 41 472. Remarque : soit F le groupe des Français, / celui des Ivoiriens, R celui des Russes et S celui des Suédois. Rangements possibles autour d'une table ronde : FIRS, FISR, FRIS, FRSi, FSIR, FSRI. Ce qui fait bien 6 ou 31 Sur un banc, nous avions 4 fois plus de rangements possibles car nous avions par exemple : R/FS * FSRI. Ce qui n'était pas vrai autour d'une table ronde. 37 « Sensible » ou « sensitive » Appelons i l'inconvénient d'avoir donné une réponse fausse. Sans copier, je risque i une fois sur deux, ce qui fait en moyenne z/2. En copiant, je risque 3 i une fois sur dix (lorsque je suis pris en flagrant délit). Mais je risque également / lorsque mon voisin se trompe et que je ne suis pas pris en train de copier, ce qui arrivera avec une probabilité : 1/5x9/10 = 9/50. Le risque moyen est donc alors : 3 z/10 + 9 z/50 = 24 z/50. Ce qui est légèrement inférieur au risque précédent (z/2 = 25 z/50). En considérant le risque moyen, j'ai donc avantage à copier. 38 Souvenirs de voyages Soit x le nombre de photos de châteaux, y le nombre de photos d'arcs de triomphe, z le nombre de photos de cascades et t le nombre des photos d'églises romanes. Parmi les célébrités non photographiées, on trouve : 0 arc de triomphe, (3 y — t) églises, x châteaux, (2 x — z) cascades. 25
Nous savons que le quart des photos représentent des châteaux : x = 1/4 (t + x + y + z). Et que la moitié des célébrités ont été photographiées : t + x + y + z= (1/2) (3 y + 2x+2x +y) = 2x + 2 y, (donc t + z = x + y). Nous tirons alors de la première équation : x = y. La proportion de photos d'arcs de triomphe est donc : y/(x + y + z + t) = 1/4. 39 La vaisselle Nombre de façons de prendre cinq personnes parmi 20 : Nombre de façons de les choisir sans réunir de couples : Probabilité demandée : Cîo 2» _ 6. 7. 8. 9.10 _ 168 Cs20 ~ 16.17.18.19.20 2 ” 323 ' 40 Le vocabulaire anglais Puisqu'un élève sur trois est interrogé chaque fois, et qu'un sur dix parmi ces derniers a été interrogé à la fois précédente, il en résulte que un sur 30 est interrogé deux fois consécutives. Le risque d'être puni par miss Blackwick est ainsi d'une fois sur 30. Un élève sera donc interrogé au moins une fois à l'un des deux cours avec une probabilité de 19/30 1 1 _ JL _ = 19 3 + 3 30 30 ’ Il arrivera qu'il ne soit interrogé à aucun des deux cours 11 fois sur 30 1 _ 19 = n 30 30 ‘ 26
C'est le risque d'apprendre sa leçon pour rien. Il est 11 fois supérieur à celui d'être puni. In =interrogé au cours n In-1 = interrogé au cours n-1 41 Vraies jumelles Si Anne est à gauche alors que chacune des deux prétend être Brigitte, cela signifie que la jumelle de gauche ment alors que celle de droite dit la vérité, ce qui correspond à la probabilité : 1/5 x 3/4 = 3/20. Mais le fait de prétendre toutes deux être Brigitte signifie que l'une des deux ment et pas l'autre, ce qui correspond à la probabilité : 1/5 x 3/4 + 4/5 x 1/4 = 7/20. La probabilité demandée est la probabilité conditionnelle de l'événement « Anne est à gauche » sachant que toutes deux affirment être Brigitte, ce sera donc : (3/20) : (7/20) = 3/7. 42 Les 24 heures du Mans Probabilité pour que la marque Ford perde : 2/(2 + 2) = 1/2. Donc, probabilité pour que Ford gagne : 1/2. Probabilité pour que Jaguar perde : 5/(5 + 1) = 5/6. Donc, probabilité pour que Jaguar gagne : 1 _ 5/6 = 1/6. Par conséquent, la probabilité pour que Ford ou Jaguar gagne est : 1/2 + 1/6 = 4/6 = 2/3. 27
Ce qui n'est autre que la probabilité pour que Maserati soit perdante. Il faut donc donner Maserati perdante à 2 contre 1. Ford gagne Jaguar gagne Maserati gagne 2/( 2 + 2) !/( 5 + 1 ) l/< 2 + 1 ) 28
• En bonne logique 1 A propos de différents types de scrutin Une circonscription électorale compte 100 000 votants. Trois candidats s’y présentent : Montauran, Ajuda-Pinto et le vidame d'Ussel. La population de cette circonscription comporte quatre différents types d'opinion : — pour un premier groupe de 33 000 votants, Montauran est le meilleur, suivi d'Ajuda-Pinto puis du vidame d'Ussel; — pour un deuxième groupe de 18 000 votants, Ajuda-Pinto est le meilleur, suivi de Montauran puis du vidame d'Ussel; — pour un troisième groupe de 12 000 votants, Ajuda-Pinto est le meilleur, suivi du vidame d'Ussel et de Montauran; — enfin, pour un quatrième groupe de 37 000 votants, le vidame d'Ussel est le meilleur, suivi d'Ajuda-Pinto et de Montauran. Question : qui sera l'élu? 1° Scrutin à un tour, chacun vote pour son préféré. 2° Scrutin à deux tours : on fait succéder au vote précédent un second tour entre les deux meilleurs candidats. 3° Scrutin à trois tours ; on confronte ici au premier tour Montauran à Ajuda-Pinto, au deuxième tour Ajuda-Pinto au vidame d'Ussel et au troisième tour enfin le vidame d'Ussel à Montauran. On en déduit l'opinion générale de la circonscription. Le meilleur des 3 sera l'élu. 2 L’arroseuse municipale Un conseil municipal se réunit un jour pour débattre du type d'arroseuse le plus souhaitable pour la ville. Deux modèles se trouvent ainsi en concurrence : le modèle A et le modèle B. Les conseillers municipaux dépendent chacun de l'une des quatre formations politiques suivantes : communistes, socialistes, UDR, indépendants; et les quatre groupes ainsi 29
formés sont égaux en nombre. Le maire fait alors les constatations suivantes : 1. Tous les communistes sont d'accord sans exception pour le même type d'arroseuse, tandis que, dans les autres groupes politiques, les opinions sont partagées. 2. Il y a autant de socialistes favorables au modèle/} que d'UDR favorables au modèle B. 3. Le tiers des conseillers municipaux préférant le modèle B est formé d'indépendants. Quel est alors le type d'arroseuse que le maire devra commander s'il suit l'avis de la majorité de son conseil municipal? 3 Au club Cinq amis se retrouvent dans un club de vacances. Amélie dit : « Je vis à Acapulco, Benoît aussi. Tandis que Pierre habite à Paris ». Benoît dit : « J'habite à Brest. Charles aussi. Tandis que Pierre habite à Paris ». Pierre dit : « Je n'habite pas en France. Amélie non plus. Quant à Mélanie, elle habite à Madrid ». Mélanie dit : « Mon père vit à Acapulco, ma mère à Paris et moi à Clermond-Ferrand ». Charles dit : « Amélie vient d'Acapulco, Benoît aussi. Tandis que moi, j'habite à Clermond-Ferrand ». En parlant ainsi, chacun des cinq amis a donné 2 informations exactes et une fausse. Dans quelle ville chacun habite-t-il? 4 Aux gros chasseurs d’ours faisant collection de timbres Dans un certain groupe de dix-sept personnes, on fait les constatations suivantes : 1. Tous ceux qui font collection de timbres et qui sont nés en Indochine aiment la chasse à l'ours. 2. Aucun de ceux qui pèsent plus de 100 kg ne fait collection de timbres. 3. Tous ceux qui sont nés en Indochine aiment la chasse à l'ours ou font collection de timbres. 4. Parmi ceux qui pèsent moins de 100 kg et qui ne font pas collection de timbres, aucun n'est né en Indochine. Pourriez-vous dire combien il y a de personnes, dans ce groupe, nées en Indochine mais n'aimant pas la chasse à l'ours? 30
5 Blue-Jeans Anne, Béatrice et Charlotte constatent un jour qu'elles portent toutes trois des blue-jeans identiques. Quelles sont les caractéristiques de ces vêtements sachant que dans leurs garde-robes respectives, Anne a un jean à poches, étroit et un jean délavé sans poches, que Béatrice a un jean sans poche et un jean délavé étroit avec poches, enfin que Charlotte a un jean à pattes d'éléphant, et un jean foncé, étroit, avec poches? 6 Chapeau noir, chapeau blanc « Venez ici, dit M. Pickwick à ses trois élèves. Regardez, j'ai cinq chapeaux : trois blancs et deux noirs. Je vais mettre à chacun un de ces chapeaux pendant que vous fermerez tous les yeux. Quand vous les ouvrirez à nouveau, chacun pourra voir les chapeaux des deux autres, mais ne verra ni le sien propre, ni bien sûr les chapeaux non utilisés. Le premier de vous trois qui devinera logiquement la couleur de son chapeau gagnera une pièce d'or. » Au bout d'un certain temps, sans avoir échangé une seule parole, ils s'écrièrent tous ensemble que leurs chapeaux étaient blancs. Comment raisonnèrent-ils? 7 A charming English family Après avoir brillamment étudié l'anglais pendant sept ans, je dois avouer que lorsque j'entends des Anglais qui parlent anglais, je suis plongé dans la plus profonde perplexité. Or, l'autre jour, animé par de bons sentiments, je pris en auto-stop un père, une mère et une fille qui, je le compris vite, étaient anglais et en conséquence ne parlaient qu'anglais. Pour chacune de leurs phrases, j'hésitais entre deux sens possibles. Voici ce qu'ils me dirent (le second sens possible est inscrit entre parenthèses) : Le père : « Nous allons jusqu'en Espagne (nous venons de Newcastle). » La mère : « Nous n'allons pas en Espagne et venons de Newcastle (nous nous sommes arrêtés à Paris et n'allons pas en Espagne). » La fille : « Nous ne venons pas de Newcastle (nous nous sommes arrêtés à Paris). » What about this charming English family? 8 Chez les cannibales Trois jeunes couples, las de passer des vacances passives dans les résidences secondaires de leurs parents respectifs, décidèrent d'aller, visiter des contrées sauvages de l'Afrique. Malheureusement, ils furent enlevés par des cannibales qui, avant de les manger, les pesèrent. Le poids total, des six touristes n'était pas un nombre entier tandis que 31
celui des épouses était exactement de 171 kg. Léon pesait autant que sa femme, Victor une fois et demie de plus et Maurice deux fois plus. Georgette pesait 10 kg de plus que Simone, qui pesait elle-même 5 kg de moins qu'Élisabeth. Mais les calculs de poids traînaient un peu et, par miracle, cinq des six jeunes gens purent alors s'échapper. Seul le mari d'Élisabeth fut mangé. Combien pesait-il? 9 Le concours de tir Trois amis se préparent à tirer sur une cible. — Je parie, dit le premier, que l'un de vous deux au moins ne fera pas mouche du premier coup. — Je parie, lui répond le deuxième, que si toi tu réussis ton premier coup, alors, tu gagneras ton pari. — Et moi, dit alors le troisième, je parie tout simplement que chacun de nous trois va faire mouche du premier coup. Ils tirent. Se peut-il que le deuxième et le troisième tireur aient simultanément gagné ou simultanément perdu leur pari? 10 Condition féminine « Toute mère de sept enfants sachant l'anglais porte un chignon même si elle a des lunettes. » « Toute femme portant des lunettes a sept enfants ou sait parler anglais. » « Aucune des femmes n'ayant pas sept enfants ne porte des lunettes sauf si elle a un chignon. » « Toute femme ayant sept enfants et des lunettes sait l'anglais. » « Aucune femme ayant un chignon n'a sept enfants. » Si ces cinq phrases représentaient des informations exactes, que pourriez-vous dire des femmes qui portent des lunettes? 32
11 Le congrès médical Un congrès international de dermatologie réunit des médecins britan- niques, allemands et français. Il y a deux fois plus de Français que d'Allemands, ces derniers étant eux-mêmes deux fois plus nombreux que les Britanniques. Deux techniques fort différentes y sont proposées pour soigner au mieux le pityriasis rosé de Gilbert, entre lesquelles chaque médecin présent est invité à choisir. La technique du professeur Smith remporte entre autres tous les suffrages britanniques. Et pour la technique du professeur Simon, il y a autant d'Allemands favorables que de Français hostiles. Quelle est alors celle de ces deux techniques qui remporte le plus de suffrages? 12 Corps médical Trois médecins se réunissent, ainsi que leurs épouses. L'un d'eux est généraliste, un autre est psychiatre, l'autre enfin, ophtalmologiste. Madame Dubois, qui est très grande, dépasse le généraliste d'autant que celui-ci dépasse sa propre femme. La femme dont le taille se rapproche le plus de celle du généraliste pèse autant que lui, tandis que Madame Deschamps pèse 10 kg de moins. Quand au Dr Duchemin, il pèse 20 kg de plus que l'ophtamologiste. Sauriez-vous déduire de ces quelques informations, le nom du psychiatre? 13 La course cycliste Une course cycliste réunit en nombre égal des coureurs italiens et suédois. Les premiers sont en général petits et bruns, les seconds grands et blonds* Mais il y a des exceptions. Par exemple, parmi les coureurs suédois, on trouve un cinquième de petits bruns. On sait, d'autre part, que dans l'ensemble de tous les coureurs il y a trois petits bruns pour deux grands blonds, et qu'il n'y a ni grand brun ni petit blond. A l'arrivée, deux amateurs sportifs A et B attendent impatiemment les coureurs. Soudain, on aperçoit au loin un grand blond. — Tiens, un Suédois, dit A. — Pas forcément, dit B. Si vous y étiez aussi, seriez-vous aussi affirmatif que A? Ou bien partageriez-vous au contraire le doute de B? 14 Les cousins germains Trois frères Pierre, Paul et Jacques réunissent leurs enfants pendant les vacances, dans une maison à la campagne. Chaque cousin prend tour à tour la parole et dit : Isabelle : — J'ai 3 ans de plus que Jean. 33
Thérèse : — Mon père s'appelle Jacques. Yves : — J'ai 2 ans de plus qu'lsabelle. Marie : — Je préfère jouer avec l'un de mes cousins plutôt qu'avec mon frère. Catherine : — Mon père s'appelle Pierre. Anne : — C'est avec les fils d'oncle Jacques que je m'entends le mieux. Jean : — Mon père et ses frères ont eu chacun moins de quatre enfants. François : — Et c'est mon père qui en a eu le moins. Sauriez-vous déduire de cette conversation le prénom du père de chacun des cousins germains? 15 Le dernier biberon Un samedi soir, un jeune couple décide d'aller au cinéma en laissant ses deux enfants, âgés respectivement de 3 ans et de 6 mois, à la garde d'une grand-mère. Celle-ci, bien intentionnée, se demande si le bébé a déjà pris son dernier biberon de la journée, ce dont elle n'a aucune idée a priori. Elle pourrait interroger l'aîné à ce sujet; mais il a une chance sur quatre de se tromper. Sachant qu'il est deux fois plus ennuyeux pour un bébé de 6 mois de manquer de biberon le soir que d’en boire deux, laquelle de ces deux conduites adopteriez-vous si vous étiez la grand-mère : I. Ne pas interroger l'aîné et donner un biberon d'office. II. Interroger l'aîné et ne donner un biberon que s'il affirme que le bébé ne l'a pas déjà eu. 16 Discussion électorale Avant une élection législative, trois frères discutent longuement et finissent par échanger les propos bien compliqués que voici : Pierre : — Si Jean vote pour Dubois, je voterai pour Dupont. Mais s'il vote pour Durand, je voterai pour Dubois. D'autre part, si Jacques vote pour Dupont, je voterai pour Durand. Jean : — Si Pierre vote pour Durand, je ne voterai pas pour Dupont. Mais si Jacques vote pour Dubois, alors, je voterai pour Dupont. Jacques : — Si Pierre vote pour Dupont, je ne voterai pas pour Durand. Le jour des élections arrive. Ils votent tous trois différemment. Pour qui? 17 En débarquant sur Mars Des observations fort complexes ont montré que la planète Mars est déserte, mis à part deux grandes villes Mars-Polis (dont les habitants ne mentent jamais) et Mars-City (dont les habitants mentent toujours). Les Martiens circulent librement d'une ville à l'autre. Certains habitants de Mars-Polis se trouvent ainsi à Mars-City et vice versa. Un beau jour, 34
deux cosmonautes américains se posent dans une de ces villes. Ils ne savent, hélas, pas dans laquelle. Un Martien s'approche alors de leur fusée. Dans une langue appropriée, le premier cosmonaute lui demande s'ils se trouvent à Mars-City. — Non, répond le Martien, qui mentait peut-être et ne pouvait d'autre part que répondre par oui ou par non. Le second cosmonaute lui pose alors une autre question fort astucieuse qui, à elle seule, permet de déterminer la ville où ils se sont posés. Quelle est cette question? 18 Enquête Un vol a été commis et trois suspects sont arrêtés. L'un d'eux (le voleur) ment systématiquement; un autre (le complice) déguise une partie de la vérité seulement; et le dernier (inculpé à tort) ne ment jamais. L'interrogatoire commence par des questions d'ordre professionnel : Bertrand : « Je suis peintre en bâtiment. Alfred est accordeur de pianos. Charles est décorateur. » Alfred : « Je suis médecin, Charles est agent d'assurances. Quant à Bertrand, si vous l'interrogez, il vous dira qu'il est peintre en bâtiment. » Charles : « Alfred accorde des pianos, Bertrand est décorateur, et moi, je suis agent d'assurances. » Le juge, chargé de l'interrogatoire, se demande alors quelle est la profession du complice. Aidez-le. 19 Hold-up Pour s'échapper après avoir commis un hold-up, un bandit doit traverser successivement trois rivières. Après chacun des ponts empruntés, se 35
trouve un embranchement, et on peut aller soit à droite, soit tout droit ou encore à gauche. La police arrive à attraper un complice et l'interroge pour savoir par où s'est échappé le bandit. Voici la réponse obtenue : « Au premier pont, il a tourné à droite; au deuxième, il n'a pas tourné à droite; au troisième, il n'a pas tourné à gauche. » Sachant, d'une part, que deux de ces trois renseignements sont faux et, d'autre part, que le bandit a emprunté dans sa fuite une fois et une seule chacune des trois directions, par où ce dernier s'est-il échappé? 20 Les journalistes menteurs Trois journalistes observent un personnage célèbre en train de déjeuner. Puis ils font les récits suivants : Jules : « Il a d'abord pris un whisky. Il a mangé ensuite du canard à l'orange et un dessert. Il a enfin bu du café. » Jack : « Il n' a pas pris d'apéritif. Il a mangé un châteaubriand et une poire belle Hélène. » Jim : « Il a d'abord pris un whisky. Il a mangé ensuite un châteaubriand et un sorbet aux fraises. Il a fini par un café. » Attention : l'un des journalistes ment dans toutes les informations qu'il donne; un autre dans l'une d'elles seulement; un autre enfin ne ment jamais. Sauriez-vous déduire de ces récits contradictoires le dessert choisi ce jour-là par ce personnage célèbre? 21 Médecine par soi-même J'ai constaté que l'aspirine soulage mes maux de tête et mes rhumatismes du genou, mais que par contre elle me fait mal au cœur et à l'estomac. L'homéopathie soulage justement mes maux de cœur et d'estomac mais elle me provoque de vives douleurs rhumatismales dans la hanche. Quant aux antibiotiques, ils ont heureusement un effet radical contre les migraines et le mal au cœur, mais ils me causent de pénibles douleurs dans l'estomac et le genou, accompagnées d'un violent torticolis. Certes la cortisone soulage mes torticolis et mes rhumatismes du genou, mais elle intensifie par contre ceux de la hanche. Quant aux compresses chaudes sur le cou, c'est pour moi une merveilleuse médication contre les maux d'estomac et les torticolis. Or ce matin, je me suis réveillé avec une terrible migraine qui m'empêche de réfléchir à la meilleure façon de me soigner. Conseillez-moi s'il vous plaît. 36
22 Les menteurs Jean et Pierre mentent de temps en temps. Jean dit à Pierre : « Quand je ne mens pas, tu ne mens pas. » Et, Pierre lui répond : « Et quand je mens, tu mens. » Se peut-il, qu'en parlant ainsi, l'un mente et pas l'autre? 23 Poissons d’avril Trois institutrices bavardaient tranquillement, installées sur un banc, pendant une récréation. Alors qu'elles n'y prenaient pas garde, des enfants s'amusèrent à leur attacher des poissons d'avril en papier dans le dos. Quand elles se levèrent toutes trois éclatèrent de rire. Chacune d'elles s'en donnait à cœur joie, bien persuadée que ses deux collègues riaient l'une de l'autre, elle-même ayant été épargnée. Brusquement, l'une d'elles s'arrêta de rire : elle venait de comprendre qu’elle aussi avait un poisson dans le dos. Comment était-elle arrivée à cette déduction? 24 Politique-fiction Le 25 décembre 1988, le 1er janvier 1989 et le 14 juillet suivant, le président de la République française est l'objet de trois attentats successifs auxquels il échappe par miracle. L'un d'eux est le fait des autonomistes corses, un autre est dû aux Bretons, un autre enfin aux Basques. Mais la police ne sait pas avec précision à quel mouvement attribuer chacun de ces trois attentats. Un agitateur international interrogé sur cette affaire fait la déclaration suivante : « L'attentat de Noël est le fait des Basques, mais pas celui du 1er janvier. Quant à celui du 14 juillet, il n'est pas dû aux Bretons. » Sachant qu'en parlant ainsi cet agitateur a donné un renseignement exact et deux faux, pourriez-vous aider la police à définir l'origine de chacun de ces trois attentats? 25 Un problème de Lewis Carroll L'auteur bien connu d'« Alice au pays des merveilles » aimait à poser le problème suivant en quatre phrases : « De deux choses l'une : ou bien le malfaiteur est venu en voiture, ou bien le témoin s'est trompé. Si le malfaiteur avait un complice, alors il est venu en voiture. Le malfaiteur n'avait pas de complice et n'avait pas la clé, ou bien le malfaiteur avait un complice et avait la clé. Le malfaiteur avait la clé. » Que faut-il conclure de tout cela? 26 Les rois mages Comme ils étaient un peu fatigués, Melchior, Gaspard et Balthazar s'arrêtèrent un moment avant d'aller voir l'Enfant Jésus. Ils discutèrent de l'ordre d'arrivée à la crèche. 37
' / I y Melchior : « Si je suis dernier, Gaspard ne sera pas le premier et si je suis premier, Gaspard ne sera pas dernier. » Balthazar : « Si je suis dernier, Melchior n'arrivera pas après Gaspard et si je suis premier, Melchior n'arrivera pas avant Gaspard. » Gaspard : « Si je ne suis ni premier, ni dernier, Melchior n'arrivera pas avant Balthazar. » Le Saint-Esprit les aida alors à trouver une façon d'entrer dans la crèche qui respecte à la fois les souhaits de chacun des trois rois mages. Comment cela? 27 Salaires mensuels Trois cadres supérieurs parlent de leurs salaires mensuels. Dupont : « Je gagne 6 000 F par mois, soit 2 000 F de moins que Durand et 1 000 F de plus que Martin. » Durand : « Ce n'est pas moi qui gagne le moins. La différence de salaires entre Martin et moi est de 3 000 F; ce dernier gagne 9 000 F par mois. » Martin : « Je gagne moins que Dupont. Ce dernier gagne en effet 7 000 F par mois. Quant à Durand, il gagne 3 000 F de plus que Dupont. » Sachant qu'en parlant ainsi chacun a donné deux renseignements vrais et un faux, quels sont les salaires mensuels respectifs de Dupont, Durand et Martin? 28 Le saut en hauteur Trois jeunes filles s'exercent à sauter en hauteur avant l'épreuve de gymnastique du baccalauréat. La barre vient d'être fixée à 1,20 m. — Je parie? dit la première jeune fille à la seconde, que je vais réussir mon saut si, et seulement si, tu rates le tien. Sachant que la deuxième jeune fille en dit autant à la troisième, qui en dit elle-même autant à la première, se peut-il qu'aucune des trois né perde son pari? 38
29 Tour Eiffel et chapeaux fleuris Si, quand elle visite la tour Eiffel, toute Américaine du Minnesota met un chapeau à fleurs, et si toute visiteuse de la tour Eiffel ayant un chapeau à fleurs est une Américaine du Minnesota, peut-on dire que toute Américaine du Minnesota ayant un chapeau à fleurs visite la tour Eiffel? 30 La vieille tante Ernestine Ce dimanche, tante Ernestine doit venir déjeuner chez nous. Ma femme est sortie avec la voiture. Est-ce seulement pour faire les courses ou bien va-t-elle aussi penser à aller chercher tante Ernestine qui ne peut pas venir toute seule? Je n'en ai aucune idée a priori. Bien sûr, je pourrais prendre la seconde voiture et aller chercher moi-même notre vieille tante qui habite à 10 km. Mais ce n'est peut-être pas la peine. Je pourrais essayer de lui téléphoner et ne partir que si elle me répond. Mais, comme elle est bien sourde, j'ai remarqué que deux fois sur cinq elle ne répond pas au téléphone alors qu'elle y est. Or, il est trois fois plus ennuyeux d'oublier tante Ernestine que d'aller la chercher pour rien... J'ai donc trois conduites possibles : Conduite 1 : ne pas aller chercher tante Ernestine. Conduite 2 : aller la chercher d'office. Conduite 3 : aller la chercher si et seulement si elle répond au téléphone. Que feriez-vous à ma place? 31 Ville nouvelle Une ville nouvelle comporte 12 pâtés de maisons rectangulaires bordés de rues, à chaque angle et à chaque carrefour desquels se trouve une 39
boîte aux lettres. Les pâtés communiquent tous les uns avec les autres soit par un angle,' soit par un côté tout entier. Sachant qu'il y a en tout 37 segments de rues, c'est-à-dire, 37 intervalles entre deux boîtes aux lettres, combien y-a-t-il précisément de boîtes aux lettres dans cette ville nouvelle? 32 La visite de Paris Tante Amélie fait visiter Paris à ses trois neveux. Puis chacun en fait tour à tour le récit suivant : Le 1er : «Nous sommes montés à la tour Eiffel mais pas à la tour Montparnasse; nous avons d'autre part visité l'Arc de Triomphe. » Le 2e : « Nous sommes montés à la tour Eiffel et à la tour Montparnasse. Mais nous n'avons visité ni l'Arc de Triomphe, ni le musée du Jeu de Paume. » Le 3e : « Nous ne sommes pas montés à la tour Eiffel, mais nous avons visité l'Arc de Triomphe. » Sachant que chaque enfant ment une fois, et une seule, qu'ont-ils réellement visité avec leur tante Amélie? 33 Xénon Zéphyr et Yénopha Deux amis font des prévisions en attendant les résultats d'une course de chevaux. L'un d'eux a misé sur Xénon et Yénopha, l'autre sur Zéphyr. — Je parie, dit ce dernier, que si mon cheval est dans les trois premiers, Xénon le sera aussi. — Et moi, je parie que si au moins l'un de mes chevaux est dans les trois premiers, alors tu perdras ton pari, lui répond l'autre. Sachant que ce dernier pari n'a pas été perdu, quel est parmi les trois chevaux Xénon, Zéphyr et Yénopha celui qui a effectivement le plus de chances de se trouver parmi les trois premiers? 34 Les cinq femmes des prisonniers Un château fort domine une vallée. L'une de ses façades, surplombant une haute falaise, présente cinq tours côte à côte. Dans chacune d'elles est enfermé un prisonnier. Parmi eux, il y a deux menteurs invétérés, tandis que deux autres ne mentent jamais, et que le dernier déguise une partie de la vérité seulement. Un beau jour, alors que tour à tour le gardien distribuait ses rations quotidiennes de pain et d'eau, chacun d'eux se mit à lui parler de sa dame avec mélancolie : 40
Le 1er : — Ma douce Anne est blonde; la dame du prisonnier voisin aussi. Le 2e : — Mon adorable Brunehaude est rousse; les deux dames des prisonniers voisins sont châtains. La 3e : — Ma charmante Clotilde a les cheveux roux. Les deux dames des prisonniers voisins aussi. Le 4e : — Ma tendre Gudrune est rousse. Les dames des prisonniers voisins ont les cheveux châtains. Le 5e : — Ma très belle Jehanne est brune. La dame du prisonnier voisin aussi. Quant à celle du prisonnier de la tour opposée à la mienne, elle n'est ni brune ni rousse. Le gardien se mit alors à songer aux cheveux d'Anne, de Brunehaude, de Clotilde, de Gudrune et de Jehanne. De quelle couleur sont-ils? 41
Logiquement vôtre 1 A propos de différents types de scutin 1. Si l'on choisit la procédure à un tour, Montauran obtient 33 000 voix, Ajuda-Pinto 30 000 et le vidame d'Ussel 37 000. Le vidame d'Ussel est donc élu. 2. Procédure à deux tours : on confronte les deux premiers du vote précédent, c'est-à- dire le vidame d’Ussel et Montauran. Ce dernier obtient 51 000 voix (33 000 + 18 000), le vidame d'Ussel obtient 49 000 voix (12 000 + 37 000). Montauran est donc élu. 3. Procédure à trois tours : « Duel » Montauran contre Ajuda-Pinto. Ce dernier l'emporte par 67 000 voix contre 33 000. « Duel » Ajuda-Pinto contre vidame d'Ussel : Ajuda-Pinto l'emporte par 63 000 voix contre 37 000. « Duel » vidame d'Ussel contre Montauran. Montauran l'emporte par 51 000 voix contre 40 000. Pour l'ensemble de la circonscription, Ajuda-Pinto est donc le meilleur, suivi de Montauran puis du vidame d'Ussel. Autrement dit, Ajuda-Pinto est élu. Ainsi, sans modification de l'opinion publique dans cette circonscription, le seul changement du mode de scrutin permet de faire élire au choix l'un des trois candidats. Nous faisons ici référence au cours de théorie des jeux du Pr Jean Bouzitat. Les noms sont pris dans la « Comédie contemporaine » de M. de Rastignac (Valeurs Actuelles). 2 L’arroseuse municipale Appelons x le nombre de conseillers municipaux de chaque formation politique; et y le nombre de socialistes favorables au modèle B (qui est aussi le nombre d'UDR pour le modèle A). 1re hypothèse. Tous les communistes sont pour le modèle B. Suffrages pour le modèle B : x communistes; y socialistes; x — y UDR; 1/2 (x + y + (x — y)) indépendants ou x indépendants. Mais cela implique que tous les indépendants ont la même opinion, ce qui est impossible. 42
2’ hypothèse. Tous les communistes sont pour le modèle A. Suffrages pour le modèle B : 0 communiste; y socialistes; x — y UDR; 1/2 (y + (x — y)) indépendants ou x/2 indépendants. Il en résulte : nombre de suffrages pour le modèle B : 3 x/2; nombre de suffrages pour le modèle A : 4 x — 3 x/2 = 5 x/2. Le maire commandera l'arroseuse modèle A. 3 Au club 1. Supposons que Pierre n'habite pas à Paris. Amélie et Benoît ne peuvent alors que dire la vérité par leurs deux autres affirmations. Donc Benoît habite à Acapulco et Brest à la fois, ce qui est impossible. La supposition est donc fausse : Pierre habite à Paris. Donc Pierre ment quand il dit qu'il n’habite pas en France. Ses deux autres affirmations sont vraies : Amélie ne vit pas en France et Mélanie vit à Madrid. 2. Supposons qu'Amélie ne vive pas à Acapulco. Elle ment ainsi en parlant d'elle. Donc Benoît vit à Acapulco puisqu'elle ne peut pas mentir en l'affirmant. Donc Benoît ment en disant qu'il vit à Brest. Donc Charles habite Brest. Ce dernier ment ainsi deux fois (1r0 et 3e affirmation). Ce qui est impossible. Notre supposition est donc fausse : Amélie vit à Acapulco. Or Amélie ment une fois, donc Benoît ne vit pas à Acapulco. Charles, qui ne peut mentir qu'une fois, habite ainsi à Clermont-Ferrand. Et Benoît, pour la même raison, habite à Brest. 4 Aux gros chasseurs d’ours faisant collection de timbres Considérons l'ensemble £ de ceux qui sont nés en Indochine et qui n'aiment pas la chasse à l'ours. Partageons-le en deux parties. A : sous-ensemble des collectionneurs de timbres. B : sous-ensemble des non-collectionneurs. La première proposition nous dit que tous ceux qui font collection de timbres et qui sont nés en Indochine aiment la chasse à l'ours. Il en résulte que A ne comporte aucun élément. 43
La troisième proposition nous dit que tous ceux qui sont nés en Indochine aiment la chasse à l'ours ou font collection de timbres : B ne comporte donc lui non plus aucun élément. L'ensemble E, composé de A et B, ne comporte ainsi aucun élément. La réponse demandée est : 0. 5 Blue-jeans Nous considérons ici trois sous-ensembles de blue-jeans : D celui des délavés, E celui des étroits, et P celui des blue-jeans à poches (nous conviendrons de noter D, E et P les trois sous-ensembles complémentaires). Il y aura donc 23 ou huit types de blue-jeans à considérer. Et pour chacun de ces huit types nous observerons s'il peut convenir à Anne (A), à Béatrice (B) ou à Charlotte (C). Nous obtenons ainsi le tableau suivant : DEP DEP DEP DEP DEP DEP DEP DEP A A A A B B B B B C C C C C Le seul type de blue-jean possible pour les trois jeunes filles est donc le quatrième; il s'agit d'un blue-jean délavé, à pattes d'éléphant et sans poches. 6 Chapeau noir, chapeau blanc Appelons Elr E1 et £3 les différents élèves de M. Pickwick. Le premier d'entre eux, £2, se tint le raisonnement suivant : — Mes deux camarades ont des chapeaux blancs. Le mien est soit noir, soit blanc. S il est noir, £2 devrait s'écrier : « £, a un chapeau noir, £3 a un chapeau blanc. J'en ai donc un blanc moi-même puisque, s'il était noir, £3 voyant les deux uniques chapeaux noirs sur les autres, s'écrierait tout de suite que le sien est blanc. Or il n'en fait rien : il hésite donc sur la couleur de son chapeau. Donc mon chapeau est blanc ». Mais £2 se tait cependant. C'est donc que mon propre chapeau ne peut être noir : il est blanc. Chacun des deux autres élèves put se tenir un raisonnement analogue, en se basant sur les grandes capacités logiques de chacun de ses deux camarades. 7 A charming English family Nous remarquons d'abord, d'après les propos de la mère (quel que soit leur sens), que cette famille anglaise ne se rend pas en Espagne. Il faut donc prendre le second sens possible dans les propos du père : ils viennent de Newcastle. Il faut donc choisir également le second sens possible dans les propos de la fille : ils se sont arrêtés à 44
Paris. En résumé : cette charmante famille anglaise vient de Newcastle, s'est arrêtée à Paris mais ne va pas jusqu'en Espagne. 8 Chez les cannibales Considérons d'abord les trois épouses (poids total = 171 kg). Soit s le poids de Simone. Elisabeth a pour poids s + 5 et Georgette s + 10. Nous avons donc l'équation : 3 s + 15 = 171. D'où il résulte : s = 52. Elisabeth pèse ainsi 57 kg et Georgette 62 kg. Notons qu'Elisabeth est la seule dont le poids s'exprime par un nombre impair. Considérons alors les trois époux. Le poids total des six jeunes gens n'est pas un nombre entier. Or nous savons qu'un des époux pèse le même poids que sa femme, un autre (Victor) une fois et demi plus, un autre enfin deux fois plus. Victor doit donc être l'époux d'une femme dont le poids exprimé en kilos est un nombre impair : c'est le mari d'Elisabeth. C'est lui qui sera mangé. Il pèse 85,5 kg. 9 Le concours de tir Soit C1 la proposition : le premier fait mouche du premier coup. Soit C2 la proposition : le deuxième fait mouche du premier coup. Soit C3 la proposition : le troisième fait mouche du premier coup. Le deuxième tireur dit que, si C1 est réalisé, il n'est pas possible que C2 et C3 le soient à la fois. Il perdra donc son pari si, et seulement si. Cl est vrai alors que C2 et C3 le sont aussi, c'est-à-dire si le troisième tireur gagne son pari. Il ne se peut donc pas que le deuxième et le troisième tireur aient simultanément gagné ou simultanément perdu leur pari. 10 Condition féminine D'après la cinquième phrase, nous savons que si une femme est mère de sept enfants, elle ne porte pas de chignon. La première phrase nous dit que toute mère de sept enfants sachant l'anglais porte un chignon : aucune mère de sept enfants ne parle donc l'anglais. Or la 4e phrase nous indique que toute mère de sept enfants ayant des lunettes parle anglais : il n'y a donc aucune mère de sept enfants parmi les femmes qui portent des lunettes. Nous pouvons alors déduire de la 2e phrase que toutes celles qui ont des lunettes savent l'anglais et, de la 3°, qu'elles portent aussi un chignon. En conclusion, si les cinq phrases étaient exactes, toutes les femmes qui ont dps lunettes savent l'anglais, portent un chignon mais aucune d'entre elles n'a sept enfants. 11 Le congrès médical Soit x le nombre de médecins britanniques, 2 x celui des allemands et 4 x celui des français. Soit y le nombre de médecins allemands favorables à la technique Simon. Nombre de suffrages pour Smith : (x) + (2x — y) + (y) = 3 x nombre nombre nombre d'Anglais d'Allemands de Français 45
Nombre de suffrages pour Simon : (y) + (4 x — y) = 4 x nombre nombre d'Allemands de Français La technique du professeur Simon remporte ainsi plus de suffrages que la technique du professeur Smith. 12 Corps médical Madame Dubois et la femme du généraliste ont des tailles équidistantes de celle du généraliste. Donc la femme dont la taille se rapproche le plus de ce dernier n'est ni Madame Dubois ni Madame Deschamps (10 kg de moins). C’est donc Madame Duchemin. La femme du généraliste ne peut ainsi être que Madame Deschamps, et le généraliste le Dr Deschamps. Le Dr Duchemin n'étant pas ophtalmologiste (20 kg de plus) c'est le psychiatre. 13 La course cycliste Puisque parmi les coureurs suédois on trouve un cinquième de petits bruns, on trouve quatre cinquièmes de grands blonds. Deux coureurs sur cinq sont ainsi à la fois grands, blonds et suédois. D'autre part, on sait que, sur la totalité des coureurs, il y a trois petits bruns pour deux grands blonds. Cela veut donc dire que tous les grands blonds sont suédois. L'amateur sportif A a ainsi raison. 14 Les cousins germains Il y a donc huit enfants réunis : cinq filles et trois garçons. D'après les deux dernières observations, deux des frères ont trois enfants et le dernier (père de François) en a deux. D'après les 2e et 6e observations, Jacques a une fille Thérèse et deux fils. François n'est donc pas le fils de Jacques. Ces deux fils sont donc Yves et Jean. D'après la 4° observation, Marie a un frère : c'est donc la sœur de François. Isabelle et Anne sont ainsi les sœurs de Catherine, toutes trois enfants de Pierre (5° observa- tion). François et Marie sont donc les enfants de Paul. 46
15 Le dernier biberon Appelons i l'inconvénient pour le bébé d'avoir deux biberons au lieu d'un. Avec la conduite II, elle a une chance sur quatre de se tromper autant par manque que par excès. Elle risque ainsi : • i avec une probabilité 1/8 (1/4 x 1/2); • 2 i avec une probabilité 1/8 également. Avec la conduite I, elle a une chance sur deux de se tromper, toujours par excès. Elle risque ainsi : i avec une probabilité 1/2. L'espérance des risques pour la conduite. Il est donc : 3 z/8. Celle des risques pour la conduite I est donc : r/2. La conduite II est ainsi la meilleure. 16 Discussion électorale Les frères votent tous trois différemment, cela fait six possibilités : PI : Pierre pour Dupont, Jacques pour Dubois, Jean pour Durand. P2 : Pierre pour Dupont, Jacques pour Durand, Jean pour Dubois. P3 : Pierre pour Durand, Jacques pour Dupont, Jean pour Dubois. P4 : Pierre pour Durand, Jacques pour Dubois, Jean pour Dupont. P5 : Pierre pour Dubois, Jacques pour Durand, Jean pour Dupont. P6 : Pierre pour Dubois, Jacques pour Dupont, Jean pour Durand. Or six conditions sont émises pendant la discussion. Il est clair que la première d'entre elles contredit la possibilité P3, la deuxième P1, la troisième PP>, la qua- trième P4, la cinquième P\ et la sixième P2. Il ne reste donc que la cinquième possibilité : Pierre a voté pour Dubois, Jacques pour Durand et Jean pour Dupont. 17 En débarquant sur mars Le second cosmonaute demande au Martien : « Etes-vous d ici? ». S ils se trouvent dans Mars-Polis, il est clair que le Martien répondra « oui », quelle que soit son origine. S'ils se trouvent dans Mars-City, il répondra bien évidemment « non ». Remarque : dès que les cosmonautes sauront dans quelle ville ils sont, leur première question leur permettra de déterminer aisément d'où vient le Martien qui leur parle : s'ils sont dans Mars-Polis, le Martien ne ment pas et habite donc sur place. S'ils sont dans Mars-City, le Martien ment et habite donc encore sur place. 18 Enquête Alfred dit « Quant à Bertrand, si vous l'interrogez, il vous dira qu'il est peintre en bâtiment ». Cela est vrai. Alfred n'est donc pas le voleur. S'il est le complice, les paroles de Bertrand et de Charles doivent être tout à fait opposées. Ce qui n'est pas le cas puisque tous deux admettent qu'Alfred est accordeur de pianos. Par conséquent, Alfred, qui n'est ni voleur ni complice, est innocent. Il ne dit donc que la vérité. Donc Charles est agent d'assurances. Ce qui est conforme à ce que dit Charles lui-même. Charles ne peut ainsi être que le complice : LE COMPLICE EST AGENT D'ASSURANCES. 47
19 Hold-up Puisque le bandit a emprunté une fois et une seule chacune des trois directions, cela fait six façons différentes de s'enfuir : 1. droite, gauche, tout droit; 2. droite, tout droit, gauche; 3. gauche, droite, tout droit; 4. gauche, tout droit, droite; 5. tout droit, droite, gauche; 6. tout droit, gauche, droite. Mais, selon la première possibilité, il y a trois renseignements vrais. Selon la deuxième, deux; selon la troisième, un; selon la quatrième, deux; selon la cinquième, aucun; selon la sixième, deux. Comme un seul de ces renseignements est vrai, la seule possibilité est la troisième : au premier pont, le bandit a tourné à gauche, au second à droite et au troisième il est allé tout droit. 20 Les journalistes menteurs Jules et Jim font chacun quatre affirmations, Jack en fait trois. Entre Jules et Jack, il n'y a aucune affirmation commune. Entre Jules et Jim il y a trois affirmations communes. Entre Jack et Jim. il y en a une. On en déduit de façon évidente que c'est Jack qui ment en permanence, Jules qui ne ment jamais et Jim qui ment une fois, lorsque sont affirmation est identique à celle de Jack, c'est-à-dire quand il parle du château-briand. Son affirmation sur le dessert est donc exacte : ce personnage célèbre a pris du sorbet aux fraises. 21 Médecine par soi-même Il suffit de prendre de l'aspirine, des antibiotiques et des compresses chaudes sur le cou. En effet, l'aspirine soulage la tête mais fait mal au cœur et à l'estomac. Les antibio- tiques soulagent alors le cœur mais rajoutent des douleurs dans le genou et donnent le torticolis. Le genou est déjà soigné par l'aspirine. Quant à l'estomac et au torticolis, les compresses chaudes sur le cou les guériront. 22 Les menteurs Appelons J la proposition « Jean ment ». Appelons P la proposition « Pierre ment ». Jean dit à Pierre : « Si J n'est pas vrai, alors P ne l'est pas non plus. » Pierre répond : « Si P est réalisé, alors J l'est aussi. » Chacune de ces deux paroles signifie bien que l'on ne peut pas avoir à la fois J faux et P vrai. Elles sont donc synonymes et leurs auteurs disent ou bien tous deux la vérité ou bien tous deux un mensonge. Il ne se peut donc pas que l'un des deux mente et pas l'autre. (On retrouve ici le propre de la démonstration par l'absurde.) 23 Poissons d’avril Soit A, B et C ces trois institutrices. A se dit à elle-même : « B voit que C rit. Or B ignore qu'elle a un poisson dans le dos. Donc, si je n'ai pas de poisson dans mon 48
propre dos, B devrait être surprise du rire de C. et en déduire qu'elle-même a un poisson dans le dos. Or, il n'en est rien : B continue à rire de bon cœur sans s'enlever ce qu'elle a dans le dos. Donc, il est impossible que je n'ai pas de poisson dans mon dos. » C'est ainsi' que brusquement, l'ayant compris, A s’arrêta de rire. 24 Politique-fiction Parmi les trois renseignements donnés, un seul est exact. Premier cas : ce renseignement exact est le premier : les Basques sont respon- sables de l'attentat de Noël. Ils ne sont donc pas les auteurs de celui du 1er janvier. Le 2e renseignement est donc exact lui aussi, ce qui est contraire à la donnée. Deuxième cas : le 2e renseignement est exact : les Basques ne sont pas respon- sables de l'attentat du 1er janvier. Or ils ne sont pas responsables non plus de l'attentat de Noël, puisque le 1er renseignement est faux. Donc ils sont les auteurs de l'attentat du 14 juillet. Mais alors le 3e renseignement est vrai, ce qui est contraire à la donnée. Troisième cas : le 3e renseignement est exact. Les deux premiers sont donc faux : les Basques sont responsables de l'attentat du 1er janvier. Comme l’attentat du 14 juillet n'est pas dû aux Bretons, ces derniers sont responsables de celui de Noël. Et l'attentat du 14 juillet ne peut ainsi être que le fait des Corses. Ce dernier cas est le seul compatible avec la donnée. 25 Un problème de Lewis Carroll Lewis Carroll nous donne une suite de quatre propositions que nous allons étudier l'une après l'autre à partir de la dernière. Le malfaiteur avait donc la clé (proposi- tion 4). Il avait par conséquent aussi un complice (proposition 3). Nous en conclurons qu'il est venu en voiture (proposition 2), puis que le témoin ne s'est pas trompé (proposition 1). 26 Les rois mages Il y a six ordre possibles d'entrée à la crèche : Pt : Balthazar, Gaspard et Melchior ou : BGM P2 : BMG P3 : G MB P* : GBM P5 : MBG P6 : MGB Les propos de Melchior interdisent P4 et P5. Les propos de Balthazar interdisent P2 et P3. Les propos de Gaspard interdisent P6. Il reste la première possibilité. Pi : Balthazar arrive en tête, suivi de Gaspard puis de Melchior. Tl Salaires mensuels Dupont ment dans sa première affirmation, Durand dans sa troisième et Martin dans sa troisième également. Il en résulte que Dupont gagne 7 000 F par mois. Durand 9 000 F et Martin 6 000 F. Remarque : il est aisé de constater que cette solution est unique. 49
28 Le saut en hauteur Supposons qu'aucune des trois ne perde son pari. Que cela signifie-t-il? Si la première jeune fille a réussi son saut, la seconde l'a raté (premier pari); ce qui entraîne (deuxième pari) que la troisième l'a réussi; mais alors (troisième pari), la première l'a raté. Cela est impossible. Donc la première jeune fille n'a pas pu réussir son saut. Elle l'a donc raté. La deuxième l'a donc réussi (premier pari). La troisième l'a raté (deuxième pari). Mais alors la première l'a réussi (troisième pari). Ce qui est encore impossible : les trois paris ne peuvent donc avoir été gagnés simultanément. 29 Tour Eiffel et chapeaux fleuris La réponse évidente est non : il se peut parfaitement qu'une Américaine du Minnesota porte un chapeau à fleurs sans pour autant visiter la tour Eiffel. 30 La vieille tante Emestine Soit 7 l'inconvénient d'aller la chercher pour rien. L'oublier présente l'inconvénient 3 7. Avec la conduite 1, je risque 3 7, une fois sur deux (puisque je ne sais absolument pas si ma femme va penser à notre tante, ou pas). Résultat : 3 z/2. Avec la conduite 2, je risque i, une fois sur deux : résultat i/2. Avec la conduite 3, je risque 3 7 si elle n'entend pas le téléphone et qu'elle y est, c'est-à- dire si ma femme n'est pas allée la chercher : résultat 3 7. (1/2). (2/5) = 3 i/5. La conduite 3 me donne donc un risque légèrement supérieur à la conduite 2, qui est donc la meilleure ; il faut aller chercher tante Emestine d'office. 31 Ville nouvelle Examinons deux configurations possibles quelconques : Face 13 Face 13 Dans chaque configuration, on voit que le nombre de boîtes aux lettres est de 26. Il ne dépend pas en effet du détail du plan de cette ville nouvelle. Euler a en effet démontré la formule suivante : « Si dans un graphe planaire connexe, il y a n sommets, m arrêtes et f faces, on a : n — m + f = 2. » Ici, n représente le nombre de boîtes aux lettres, m représente le nombre de segments de rue, f représente le nombre de pâtés de maison augmenté de 1 pour tenir compte de la face extérieure ou infinie. Et nous avons bien : 26 — 37 + 13 = 2. 50
32 La visite de Paris Soit £ la proposition : ils ont visité la tour Eiffel. Soit A la proposition : ils ont visité l'Arc de Triomphe. Soit M la proposition : ils ont visité la tour Montparnasse. Soit P la proposition : ils ont visité le musée du Jeu de Paume. Le premier dit : £ et A et non M. Le deuxième dit : £ et non A et M et non P. Le troisième dit : non £ et A. Si £ était faux, A serait vrai puisque le premier ne ment qu'une fois. Donc le deuxième mentirait deux fois; ce qui est impossible. Donc £ est vrai. Donc le troisième ment quand il dit non £. Donc A est vrai. Donc le premier ne peut mentir que quand il dit non M. Donc M est vrai. Le deuxième qui ment en disant non A dit la vérité en disant non P. Il en résulte que tante Amélie a fait monter ses neveux à la tour Eiffel, à la tour Montparnasse, leur a fait visiter l'Arc de Triomphe, mais pas le musée du Jeu de Paume. 33 Xénon Zéphir et Yénopha Soit X, Y et Z les propositions respectives : • Xénon est dans les trois premiers; • Yénopha est dans les trois premiers; • Zéphyr est dans les trois premiers. Que le deuxième pari ne soit pas perdu, cela signifie que, si l'une des propositions X ou Y est vérifiée, alors le premier pari est perdu. Or si le premier pari est perdu c'est que l'on a à la fois Z et le contraire de X. Nous savons donc que, si X ou Y sont vraies, Z et le contaire de X le sont aussi. Il en résulte que X ne peut être vérifiée. Nous savons donc que, si Y est vraie, Z l'est aussi : Zéphyr a donc plus de chances (ou au moins autant) que Yénopha de se trouver dans les trois premiers, alors que Xénon n'a aucune chance d'être parmi eux. Le meilleur cheval est donc Zéphyr. 34 Les cinq femmes des prisonniers • Première solution : le 2e et le 4e disent vrai. Le 3e et le 5e mentent alors en partie ce qui est impossible. • Deuxième solution : le 1 °r et le 4° disent vrai. Les autres mentent alors en partie, ce qui est impossible. • Troisième solution ; le 1er et le 5° disent vrai. Le 2° et le 4e sont les menteurs invétérés et le 3e ment partiellement. Résultat : Anne et Brunehaude sont blondes, Clotilde rousse, Gudrune et Jehanne sont brunes. 51
3» Des mystérieuses relations entre vitesses, distances et temps 1 Autoroute en Pays Basque L'autoroute Biarritz-Bilbao a pour longueur approximative 150 km. En Mercedes, je mets pour la franchir 25 minutes de moins que ma femme avec sa 104. Or, l'autre jour, nous partîmes en même temps, elle de Bilbao et moi de Biarritz. Quand nous nous sommes croisés, nous avons observé que la différence entre les distances encore à franchir, en kilo- mètres, était égale à la différence entre les nombres de minutes qu'il nous restait encore à rouler, si nous conservions nos vitesses habituelles respectives. A combien de kilomètres étions-nous alors de Bilbao? Et combien de temps avions-nous roulé avant de nous croiser? 2 Au Texas A l'instant même où un premier avion quitte Allelluiah City pour San Pedro, un second avion quitte San Pedro pour Allelluiah City. Ils volent à des altitudes différentes et à des vitesses constantes, le premier étant plus 52
rapide que le second. Ils se croisent une première fois à 437 kilomètres de San Pedro. Puis, l'un après l'autre, ils atterrissent, restent une demi- heure au sol afin de refaire le plein, débarquer leurs passagers respectifs et en reprendre d'autres. Puis, l'un après l'autre, chacun d'eux repart vers son point de départ, en reprenant la même vitesse qu'à l'aller. Ils se croisent alors à 237 kilomètres d'Allelluiah City. Quelle est la distance qui sépare ces deux petites villes? 3 Avant le tour de France Un groupe de coureurs s'entraînent avant le tour de France, sur une petite route. Ils roulent tous à 35 km/h. L'un d'eux quitte alors soudain le peloton à 45 km/h, parcourt 10 km, puis fait demi-tour à même allure et va retrouver les autres, qui ont continué pendant ce temps leur chemin sans changer de vitesse non plus. Combien de temps s'est-il écoulé entre le départ et le retour du coureur? 4 Bordeaux - Saint-Jean-de-Luz Pour se rendre de Bordeaux à Saint-Jean-de-Luz (distance approximative 195 kilomètres), deux cyclistes partent en même temps. L'un d'eux, dont la vitesse moyenne sur ce parcours est supérieure de 4 km/h à celle de l'autre, arrive 1 heure plus tôt. Quelle est sa vitesse? 5 Clochard-story A l'instant même ou Pierrot quittait le bar du Commerce pour se rendre au bar du Théâtre, Jeannot quittait le bar du Théâtre pour se rendre au bar du Commerce. Ils marchaient à vitesse constantes. Quand ils se rencontrèrent, Pierrot remarqua tout haut qu'il avait parcouru 200 m de plus que Jeannot. Ce dernier, l'esprit fortement embué par l'alcool, prit cette remarque comme une injure personnelle et se mit en conséquence à battre Pierrot qui lui rendit immédiatement ses coups. Quand la bagarre fut terminée, ils s'embrassèrent en pleurant puis chacun reprit son chemin initial, mais avec une vitesse diminuée de moitié car tous deux étaient légèrement blessés. Pierrot arriva ainsi au bar du Théâtre au bout de 8 minutes et Jeannot au bar du Commerce au bout de 18 minutes. Quelle distance y-a-t-il entre les deux bars? 6 Cocktail Pour célébrer l'obtention de la Légion d'honneur de son mari, une dame fort distinguée de la Région parisienne commande un assortiment de petits fours divers chez un excellent traiteur. — Le coktail, précise-t-elle au téléphone, commencera à 18 heures précises. Et je tiens à être livrée à ce moment-là très exactement. 53
— Madame, lui répond-on alors, toutes nos camionnettes de livraison partent à heures fixes, sitôt notre cuisine terminée. Si la circulation est fluide, nous espérons faire du 60 à l'heure de moyenne et arriver donc chez vous à 17 heures 45. Mais si nous rencontrons des embouteillages et que notre vitesse moyenne s'abaisse à 20 km/h, nous ne vous livrerons qu'à 18 heures 15. Sauriez-vous déduire de cette conversation la vitesse moyenne que devrait avoir la camionnette afin de répondre aux exigences précisesde cette maîtresse de maison? 7 Le cycliste amoureux Un jeune cycliste se rend chez sa fiancée pour lui offrir un bouquet de fleurs. Puis il revient à son point de départ. A l'aller, embarrassé par son bouquet, sa vitesse moyenne n'est que de 17 km/h, mais au retour elle s'élève à 23 km/h. Quelle a été la vitesse moyenne de ce cycliste sur l'ensemble du trajet? 8 L’émir et son chauffeur L'émir Ben Sidi Mohammed se rend de son palais à l'aéroport toujours à la même vitesse, sur une autoroute splendide construite au milieu du désert. Suivant que son chauffeur augmenterait ou diminuerait sa vitesse moyenne de 20 km/h, il gagnerait 2 minutes ou en perdrait 3. Quelle distance y a-t-il entre l'aéroport et le palais de l'émir Ben Sidi Mohammed? 9 En voiture ou à vélo Jean et Jules quittent simultanément la ville A pour se rendre en B. L'un est en voiture, l'autre à bicyclette. Au bout d'un certain temps, il apparaît que si Jean avait parcouru une distance trois fois plus grande, il lui resterait un trajet deux fois plus 54
court; et que si Jules avait parcouru une distance deux fois moindre, il lui resterait un trajet trois fois plus long. Quel est le prénom du cycliste? 10 L’escalier roulant du Métro J'ai l'habitude de grimper l'escalier roulant du Métro tandis qu'il fonctionne : je monte 20 marches de mon propre pas et je mets ainsi 60 secondes exactement; tandis que ma femme ne monte elle-même que 16 marches et met ainsi 72 secondes. Si demain, cet escalier roulant était en panne, combien cela me ferait-il de marches à monter? 11 Expédition polaire Un explorateur polaire disposait d'un traîneau tiré par cinq rennes. Au bout de 24 heures, deux d'entre eux périrent. La vitesse tomba alors aux 3/5 de la vitesse initiale. Et l'explorateur arriva à son but avec 48 heures de retard sur l'horaire qu'il s'était fixé. « Ah ! s'écria-t-il alors, si mes deux rennes avaient seulement péri 120 km plus loin, je n'aurais eu que 24 heures de retard. » Quelle distance l'explorateur a-t-il ainsi parcourue? 12 Une femme précise Tous les samedis, je joue au tennis avec mon ami Philippe, entre 15 et 16 heures. Ma femme vient me chercher ensuite en voiture, à 16 heures 10 précises. Or, l'autre jour, Philippe avait la grippe. Je n'en étais pas prévenu et me rendis donc au tennis comme d'habitude. A 15 heures 5, constatant son absence, je quittai le tennis et me mis à marcher en direction de la maison. Au bout d'un certain temps, je rencontrai ma femme qui venait me chercher. Je montai alors dans la voiture, nous rentrâmes à la maison et arrivâmes ainsi 10 minutes plus tôt que d'habitude. Sauriez-vous déduire de cette petite histoire banale quel rapport il y a entre ma vitesse à pied et celle de ma femme en voiture? 13 La grosse caisse et le petit scout En l’honneur de la fête du village, un défilé long de 250 m est organisé. Les scouts sont en tête, la fanfare en queue. Vite après le départ, le plus jeune des scouts, chargé de porter le drapeau, se souvient qu'il a confié à la grosse caisse (située dans la dernière rangée de la fanfare) son foulard d'uniforme. Il part alors en courant à 10 km/h pour le chercher et revient à sa place 3 mn 18 s plus tard. A quelle vitesse avance le défilé? Les jeux mathématiques d' Eurêka. — 3 55
14 Janine et Monique Janine et Monique plongent simultanément, du même endroit, dans une très petite rivière. Janine remonte le courant, Monique le descend. Mais cette dernière a oublié d'enlever un gros collier en bois qui se détache de son cou lorsqu'elle plonge et se trouve entraînée par le courant. Au bout d'un quart d'heure, nos deux nageuses font demi-tour. Monique aura-t-elle pu récupérer son collier avant de retrouver Janine, sachant que toutes deux nagent exactement à la même vitesse quand il n'y a pas de courant? 15 Le Métro de Mexico Un ouvrier marche le long des voies dans un des tunnels du Métro de Mexico, entre deux stations fort éloignées l'une de l'autre. Toutes les 5 minutes, une rame le croise. Toutes les 6 minutes, un rame le double. L'ouvrier va toujours à la même allure, et les rames se suivent à intervalles réguliers (les mêmes dans les deux sens), avec une vitesse constante (la même dans les deux sens). Puis l'ouvrier s'arrête pour procéder à une réparation. Un métro passe. Au bout de combien de temps passera la rame suivante dans le même sens? 16 Navigation Un bateau se déplace sur une rivière dont le courant a une vitesse de 3 km/h. Il va tantôt dans un sens, tantôt dans l'autre. Il revient ainsi à son point de départ 6 heures après être parti, en ayant effectué un périple de 36 km sur la carte. Quelle est sa vitesse, sachant qu'il ne perd pas de temps en changeant de sens? 17 Paris-Deauville Monsieur et Madame Dubois vont de Paris à Deauville où ils ont leur résidence secondaire. Chacun prend sa voiture. Ils partent ensemble et arrivent de même. Mais Monsieur Dubois s'est arrêté en route le tiers du temps pendant lequel sa femme roulait : tandis que celle-ci s'est arrêtée le quart du temps pendant lequel circulait son mari. Quel est le rapport entre les vitesses moyennes de chacun des deux époux? 18 Le petit village A l'instant où le boucher demande à son fils d'aller acheter du pain à la boulangerie, le boulanger demande au sien d'aller acheter de la viande à la boucherie. Les deux jeunes gens vont ainsi marcher l'un vers l'autre à vitesse constante. Quand ils se croisent, le fils du boucher a franchi 500 m de plus que celui du boulanger. 56
Pour arriver alors à leurs buts respectifs, il ne restera au premier que 10 minutes à marcher, tandis qu'il restera 22 minutes et demie au second. Quelle est la distance entre la boulangerie et la boucherie de ce petit village? 19 Pique-nique A 9 heures du matin, Paul part en bicyclette de A vers B (vitesse : 15 km/h). A 10 heures moins le quart, Pierre en fait autant de B vers A (vitesse : 20 km/h). Ils se rencontrent pour pique-niquer à mi-chemin. Quelle heure est-il alors? 20 Le plongeur Un plongeur plonge de 10 m, passe à la hauteur de 5 m à la vitesse v et arrive à l'eau à la vitesse 2 v. Qu'en pensez-vous? 21 Rue Sainte-Catherine Je faisais des courses avec ma belle-mère. Nous marchions doucement (3 km/h) dans la rue Sainte-Catherine à Bordeaux, qui, comme chacun sait, ou ne sait pas, est rectiligne. Soudain, je me souvins que je devais mettre une lettre à la boîte un peu plus loin, le plus rapidement possible. Je laissai donc ma belle-mère continuer tranquillement sa marche et partis moi-même, toujours dans la même direction, à la vitesse de 5 km/h. Je revins aussi vite et constatai alors que je n'avais ainsi quitté ma belle- mère que 3 minutes. A quelle distance étions-nous de la boîte aux lettres lorsque nous nous sommes séparés? 57
22 La sortie du collège Francine sort tous les matins de son collège à midi et son père vient alors la chercher en voiture. Un beau jour, la sortie a lieu plus tôt que d'habitude. Elle marche donc en direction de sa maison, puis rencontre son père au volant de sa voiture au bout d'un quart d'heure; ce dernier la fait monter et rebrousse son chemin. Ils arrivent ainsi à la maison avec 10 minutes d'avance. A quelle heure Francine est-elle sortie de son collège? 23 Ski de fond Un skieur de fond hésite entre deux parcours de même longueur. Le premier est intégralement plat, le second au contraire est moitié en montée, moitié en descente. Notre skieur sait qu'il est trois fois plus lent en montée qu'en plat, mais aussi trois fois plus rapide en descente qu'en plat. « Je mettrai donc, se dit-il, le même temps que je choississe un parcours ou l'autre.» A-t-il raison? 24 Les deux baleines Deux baleines nageaient tranquillement en ligne droite, à 6 km/h, en plein océan Antarctique. L'une d'elles eut soudain envie d'aller plus vite. Elle partit ainsi à 10 km/h, sans changer de direction. Puis elle fit demi- tour brusquement et revint auprès de son amie qui n'avait modifié pendant ce temps-là ni sa vitesse ni sa direction. Sachant que nos deux baleines se sont quittées à 9 heures et quart et se sont retrouvées à 10 heures, quelle heure était-il lorsque la plus rapide a fait son demi-tour? 58
25 Subsonique et supersonique Les pilotes Dupont et Durand quittent simultanément l'aéroport de Roissy-en-France, pour se rendre à Kennedy Airport. L'un d'eux pilote un avion supersonique, l'autre un subsonique. Au bout d'un certain temps, il apparait que, si l'avion piloté par Dupont avait parcouru une distance double, le trajet résiduel serait une fois et demie plus court et que, si l'avion piloté par Durand avait parcouru une distance une fois et demie moindre, il lui resterait à franchir un trajet deux fois plus long. Qui pilote le supersonique? 26 Tapis roulant Quand je le prends dans le bon sens, je mets 6 secondes pour le parcourir en marchant normalement. En sens contraire, il me faut 6 minutes, c'est-à-dire le temps qu'il me faut d'ordinaire pour franchir 500 m. Quelle est la longueur de ce tapis roulant? 59
Procédons par ordre 1 Autoroute en Pays Basque 1 ° Soit x la distance à Bilbao lors du croisement. Distance à Biarritz : 150 — x. Différence entre ces deux distances : 150 — 2 x ou 25 : car c'est la différence entre les temps de trajets. De l'équation « 150 — 2 x = 25 », il résulte : x = 62,5. 2° La Mercedes a donc déjà parcouru 87,5 km à la vitesse V (en km/mn). La 104 a parcouru 62,5 km à la vitesse v. D'où les équations : 62,5/v = 87,5/1/ et 150/v—150/1/= 25. D'où 1 = 1 ÊZ15 v V ' 62,5 150 / 87,5 _ 1 l/ ‘ \ 62,5 D'où le temps recherché, égal à R7 R —L. = 36,46 minutes ou 36 mn 28 s. On trouve encore 1/ = 2,4 km/mn ou 144 km/h. v = 1,72 km/mn ou 103 km/h, ce qui donne bien une différence de 25 minutes sur un parcours de 150 km. 2 Au Texas Soit d la distance séparant Allelluiah City de San Pedro. Lors de leur premier croisement, les deux avions ont parcouru à eux deux la distance d. Lors de leur second croisement, ils ont parcouru ensemble 3 d. S’étant tous deux arrêtés le même temps, chacun a parcouru, lors du second croisement trois fois plus que lors du premier. D'où l'équation, relative au premier avion : d — 437 = 1/3 (2d—237), donc 3d— 1 311 = 2d — 337 et d = 974. 974 km séparent Allelluiah City de San Pedro. 60
3 Avant le tour de France Soit x le temps écoulé entre le départ et le retour du coureur. Ce dernier a parcouru : 45.x km. Tandis que le peloton parcourait seulement : 35.x km. Or la somme de ces deux parcours est bien entendu égale à la distance aller du coureur solitaire, augmentée de la distance retour et de la distance parcourue alors par le peloton. Ce qui fait également deux fois la distance aller du coureur solitaire. D'où l'équation : 45x + 35x - 2.10 = 20. Il en résulte : x = 1/4. Il s'est écoulé un quart d'heure entre le départ et l'arrivée du cycliste. 4 Bordeaux-Saint-Jean-de-Luz Soit v la vitesse cherchée en kilomètres à l'heure. Soit t le temps en heures mis par le cycliste le plus rapide. Vitesse du cycliste le plus lent : v — 4. Temps correspondant : t + 1. Nous avons les équations : 195 = vt= (v — 4) (t + 1). D'où il résulte : t = 195/v et : v — 4 t — 4 = 0 ou : v — 4(195/v) — 4 = 0 ou : v2 — 4 v — 4 (195) = 0 A = 4 + 195 (4) = 4 x 196 = 282. Solution : v = 2 + 28 = 30. La vitesse recherchée est donc de 30 km. Le temps mis par le cycliste rapide était donc : 195/30 = 6 heures et demie. Temps mis par l'autre cycliste : 195/26 = 7 heures et demi, soit bien 1 heure de plus. 5 Clochards-story Prenons comme unités les mètres et les minutes. Soit x la distance cherchée, entre les deux bars. Soit d la distance parcourue par Pierrot au moment de la rencontre. Soit V la vitesse de Pierrot et v celle de Jeannot avant la bagarre. La somme des distances parcourues lors de la rencontre est x : d + (d — 200) = x ou x=2d — 200. Lors de la rencontre, chacun a marché le même temps : d/V = {d— 200)/v. Après la rencontre. Pierrot marche 8 minutes : (d— 200)/(V/2) = 8 ou V = (d — 200)/4. Et Jeannot 18 minutes : d/(v/2) = 18 ou v = d/9. (équation I) (équation II) (équation III) (équation IV) 61
Remplaçons V et v par leur valeur en fonction de d dans la deuxième équation, il vient : 4 d/(d — 200) = 9. (d — 200)/d ou 5 d1 — 3 600 d + 360000 = 0. Cette équation du deuxième degré en d se résout classiquement, à l'aide du discriminant A' = (1 800)2 — 5.360 000 = (1 200)1. D'où les solutions : d=1 800 ±.1 200 = 600 ou 120. 5 Ce qui donne pour x (ou 2 d— 200) les valeurs : 1 000 ou 40. Mais la distance d ne représente qu'une partie du trajet de longueur x. elle doit lui être inférieure. La deuxième solution de l’équation du second degré est donc à rejeter. La première solution est donc la seule acceptable : il y a exactement 1 km entre le bar du Théâtre et le bar du Commerce. 6 Cocktail Soit v cette vitesse inconnue, t le temps de livraison correspondant, et d la distance (en km) à parcourir. Nous avons les équations : t = d/v, t + 1/4 = d/20, . t— 1/4 = d/60. Il en résulte : 20 t + 5 = d, 60 t— 15 = d. Donc : 40 t — 20 = 0. Nous avons ainsi : t = 1/2; d=15 et v = 30. La camionnette doit ainsi avoir une vitesse moyenne de 30 km/h. 7 Le cycliste amoureux Soit d la distance à parcourir jusqu'au domicile de la fiancée du cycliste. Temps mis à l’aller : d/17. Temps mis au retour : d/23. Temps mis en tout : 0,102 d. La vitesse moyenne est donc : ..Ie* ... = 19,6 km/h. 0,102 d ' 8 L’émir et son chauffeur Soit / cette longueur inconnue (en km). Soit v la vitesse de la voiture de l'émir (en km/h). Soit t le temps pour aller du palais à l'aéroport (en h). Nous avons les trois 62
équations suivantes : v = i/t, v + 20 = //(t — 2/60), v — 20 = //(t + 3/60). Il en résulte par l'élimination de / : (v — 20). (t — 3/60) = vt, (v + 20). (t + 3/60) = vt, ou encore : — v/30 + 20 t — 2/3 = 0, v/20 — 20 t — 1 = 0, d'où il ressort que v=100ett=1/5 = 12 mn. Par conséquent : / = vt = 20. Il y a 20 km entre le palais de l'émir et l'aéroport. 9 En voiture ou à vélo Soit x le trajet parcouru par Jean, et x' celui qu'il lui reste à parcourir. Soit y le trajet parcouru par Jules et y' celui qu'il lui reste à parcourir. Nous avons : x + x' = 3 x + x'/2 et y + y' = y/2 + 3 y’. Donc : x = x'/4 et y = 4 y'. Jean a donc parcouru le quart de ce qu'il lui reste à faire, tandis que Jules a parcouru quatre fois le trajet restant. Ce dernier est donc en voiture : le prénom du cycliste est Jean. 10 L’escalier roulant du Métro Soit x ce nombre de marches inconnu. Quand j'utilise cet escalier, il parcourt x — 20 marches en 60 secondes. Quand c'est ma femme, il s'élève de la hauteur de x — 16 marches en 72 secondes. L'escalier a donc une vitesse propre de quatre marches en 12 secondes. Il parcourt donc l'équivalent de 20 marches en 60 secondes : sa hauteur totale est la somme de ces 20 marches et des 20 autres que j'ai franchies de mon propre pas, soit 40 marches. 11 Expédition polaire 120 km de plus avec les deux rennes correspondent à 24 heures de retard en moins. Donc, pour rattraper 48 heures, il aurait fallu faire 240 km en plus avec les deux rennes. Soit v la vitesse initiale. A partir du moment où les deux rennes sont mort, il a mis un temps égal à : 48 + 240/v ou bien 5/3 x 240/v. D'où l’équation : 48 + 240/v = 400/v. Ce qui donne : v = 10/3 km/h. 63
Avant que les rennes aient péri, l'explorateur avait ainsi parcouru (en 24 heures) : 24 x 10/3 = 80 km. La distance totale à parcourir était donc de : 80 + 240 = 320 km. 12 Une femme précise Ma femme a donc roulé 10 minutes de moins que d'habitude, soit 5 minutes de moins dans chaque sens. Je l’ai donc rencontrée à 16 heures 5 et non à 16 heures 10 comme d'habitude. J'avais alors marché pendant 60 minutes, parcourant une distance qu'elle fait d'ordinaire en 5 minutes. Ma vitesse à pied est donc égale au douzième de celle de ma femme en voiture. 13 La grosse caisse et le petit scout Soit x la vitesse du défilé. En allant chercher son foulard, tout se passe comme si le petit scout parcourait 250 m à la vitesse 10 + x. En retournant à sa place, tout se passe comme s'il parcourait 250 m à la vitesse 10 — x. Le temps total sera ainsi : 250 1 250 1 _ 3 18 1 000 ’ 10 + x + 1 000 ’ 10 — x ~ 60 + 3 600 (les unités sont les kilomètres, les heures et les kilomètres par heure). Développons notre équation : (10 —x) + (10 + x) = 4(10 + x) (10 —x)/ + W \ \ OU o bUU / ou 20 = 4 (100 — x2). ( -1-98 Y \ 3 600 ) D'où il résulte en isolant x2 : Le défilé avance à peu près à 3 km/h. 14 Janine et Monique Les deux nageuses se déplacent avec leur vitesse propre dans l'eau de la rivière, par rapport à laquelle le collier reste immobile. Les nageuses parcourent des distances égales et se retrouvent au bout d'une demi-heure au point marqué par le collier. Monique récupère ainsi son collier à l’instant même où elle retrouve Janine. 15 Le Métro de Mexico Soit x le temps séparant le passage de deux rames. Soit / la distance entre deux rames successives. Soit V la vitesse de chaque rame. Soit v celle de l'ouvrier. Toute rame qui le double a une vitesse relative : V — v. Toute rame qui le croise a une vitesse relative : V + v. 64
D'où les équations : 5 = //(IZ + v), 6 = l/(V — v), x = l/V. On en déduit aisément : x = 60/11 = 5 mn 27 s. 16 Navigation Soit x la vitesse du bateau en km/h. La vitesse effective sera de « x + 3 » sur la moitié du parcours où le courant lui est favorable, et de « x — 3 » sur l'autre moitié. Puisque la durée totale de ce parcours est de 6 heures, nous avons : 18/(x + 3) + 18/(x—3) = 6. Il en résulte : x2 — 6 x — 9 = 0, c'est-à-dire : (x — 3)2 — 18 = 0 ou : (x— 3 — 3 \/2) (x— 3 + 3 \/2) = 0. La vitesse du bateau est donc : x = 3 + 3 sj2 = 7,24 km/h. 17 Paris-Deauville Soit a et a' les temps d'arrêt respectifs de Madame et de Monsieur Dubois. Soit r et r' les temps respectifs pendant lesquels ont roulé Madame et Monsieur Dubois. Étant partis ensemble et arrivés de même, nous avions : a + r = a' + r'. Nous savons d'autre part que : a' = r/3 et a = r'/4. Il en résulte : i'+'4+'' ou lr=lr' et '=I'' La vitesse moyenne de Madame Dubois est donc les huit neuvièmes de celle de son mari. 18 Le petit village Prenons comme unité de distance les kilomètres, et comme unité de temps, les heures (vitesses en kilomètres-heure). Soit x la distance franchie par le fils du boulanger au moment du croisement, v2 sa vitesse, vt celle du fils du boucher. L'égalité des temps de parcours avant le croisement s'écrit : (x + 0,5)/vi = x/v2. La donnée des temps résiduels de marche de chacun des deux jeunes gens s'écrit : x = 10/60. Vj, x + 0,5 = 22,5/60. v2, c'est-à-dire : vt = 6 x, v2 = 8/3. (x + 0,5). Reprenons alors la première équation. 65
Nous avons : (x + 0,5)/6 x = x/((8,3). (x + 0,5)), c'est-à-dire : 10 x2 — 8 x — 2 = 0 ou (x — 1 ). (x + 1/5) = 0. La seule solution positive est donc : x = 1. Le fils du boulanger a marché 1 km avant de croiser le fils du boucher qui avait donc franchi 1,5 km. Il y a 2,5 km entre la boucherie et la boulangerie de ce petit village. 19 Pique-nique Soit x la demi-distance entre A et B. Temps mis par Paul : x/15. Temps mis par Pierre : x/20. Ce dernier partant avec trois quarts d'heure de retard, nous avons l'équation : x/15 = x/20 + 0,75. Donc : x = 45. Paul a donc mis 3 heures pour se rendre au rendez-vous : ils se rencontrent par conséquent à midi. 20 Le plongeur Cela est impossible. En effet, la variation d'énergie cinétique entre 5 et 10 m est la même qu'entre 0 et 5 m : vj - O2 = v20 - vf ou v20 = 2 v2 c'est-à-dire : v10 = V2.k3. La vitesse du plongeur arrivant à l'eau est 1,414 fois sa vitesse à mi-hauteur. Remarque : vs représente la vitesse après 5 m de chute, v10 représente la vitesse après 10 m de chute. 21 Rue Sainte-Catherine Prenons comme unités les mètres et les minutes. Vitesse personnelle : 5 000/60 = 250/3. Vitesse de ma belle-mère : 3 000/60 = 50. Soit S le lieu de la séparation, R celui où nous nous sommes retrouvés et B la boîte aux lettres. Distance parcourue par ma belle-mère en 3 minutes : SR - 50.3 = 150. Distance parcourue par moi-même : SB + BR = SR + 2 BR = (250/3). 3 = 250. Par conséquent, 2 BR = 100 et BR = 50. Donc SB = SR + RB = 200. Lorsque nous nous sommes séparés, nous étions à 200 m de la boîte aux lettres. 66
22 La sortie du collège Le père a donc fait 10 minutes de voiture de moins que d'habitude : 5 dans le sens maison-collège et 5 dans le sens collège-maison. Il a ainsi rencontré Francine 5 minutes plus tôt que d'habitude. Elle marchait alors depuis un quart d'heure. Elle était donc sortie avec 20 minutes d'avance, c'est-à-dire à midi moins 20. 23 Ski de fond Soit t le temps mis par notre skieur sur le parcours plat. Pour la partie en montée du second parcours, qui est deux fois plus courte que le parcours plat mais sur laquelle il va trois fois plus lentement, il mettra : 3 t/2. Cela est déjà supérieur à t. Devant ajouter de plus le temps nécessaire à la partie en descente, il lui faudra a fortiori plus de temps pour effectuer le second parcours que le premier. 24 Les deux baleines Soit ti le temps passé entre la séparation des deux baleines et le demi-tour de la plus rapide. Soitf2 le temps passé entre le demi-tour et l'instant où les baleines se retrouvent (fi + ti = 3/4, en adoptant l'heure comme unité de temps). Distance entre le lieu de séparation et celui où les baleines se retrouvent : 6 (t2 + t2) ~ 10 ti — 10 t2. Nous avons ainsi deux équations à deux inconnues t2 et f2 : 4 t, + 4 f2 = 3, 4 fj — 16/2 = 0, donc 20 f2 = 3 et t2 = 3/20 = 9 minutes. Le demi-tour a donc eu lieu à 9 h 51 mn ou 10 heures moins 9. 25 Subsonique et supersonique Soit x la distance parcourue par Dupont et x' celle qui lui reste à parcourir. Soit y la distance parcourue par Durand et y' celle qui lui reste à parcourir. La distance totale du trajet peut s'écrire de quatre façons différentes : x + x'; 2x+(x'/1,5); y + y'; (y/1,5) + 2 y'. De l'égalité entre les deux dernières expressions, il résulte : x = x'/3. De l'égalité entre les deux dernières expressions, il résulte : Y = 3 y’. Dupont a ainsi parcouru le quart de la distance à franchir et Durand les trois quarts. Par conséquent, c'est Durand qui pilote le supersonique. 26 Tapis roulant Soit v la vitesse du tapis roulant (en m/mn). Soit 1/ ma propre vitesse (en m/mn). Soit x la longueur du tapis roulant (en m). 67
Nous avons : x = Y) , et x = (U — v) x 6 10 ou 61x=12U avec U = 6 D'où x = liai. (500) = 16,39. 6 61 Le tapis roulant mesure 16,39 m de long. 68
4. Où l’on retrouve la bonne géométrie d’autrefois 1 Bissectrice Dans tout triangle, la bissectrice d'un angle est confondue avec celle de l'angle formé par la hauteur et le diamètre du cercle circonscrit issu du même sommet. Pourquoi cela? 2 Catastrophe en Mer du Nord Pour rechercher du pétrole, on plaça un derrick dans la Mer du Nord, sur un lourd socle en béton. La hauteur émergée, par mer calme, était de 40 m. A la suite d'une terrible tempête, il fut renversé autour de sa base. La catastrophe fut filmée d'une plate-forme voisine et l'on remarqua ainsi que l'extrémité du derrick disparut dans la mer à 84 m du point où 69
le derrick se dressait auparavant. Quelle est la profondeur de l'eau en ce lieu? Remarque : il ne faut pas tenir compte ici de la hauteur des vagues. 3 Un coin tranquille J'ai acquis récemment, pour un prix très avantageux, un charmant terrain à la campagne, dont le seul inconvénient est sans doute d'être un peu trop bruyant. Il est en effet limité par trois tronçons rectilignes de même longueur : le chemin de fer, la route nationale et l'autoroute. Aussi ai-je décidé de construire ma maison en prenant comme centre le point dont la somme des distances à ces trois segments rectilignes est la plus grande possible. Où est situé ce point? 4 Construction Par deux points fixes A et B, sauriez-vous construire deux droites parallèles distantes d'une longueur donnée / inférieure à la distance qui sépare A et B? 5 Crayon, gomme, équerre et compas Prenez les cinq objets suivants : une feuille de papier blanc, une gomme, une équerre, un compas, un crayon. Sauriez-vous alors déterminer précisément deux segments dont la somme des longueurs soit égale à celle du crayon, et la racine carrée du produit égale à celle de la gomme? 6 Dans le désert Deux hommes sont perdus dans une jeep au milieu du désert. Depuis plusieurs heures, ils remarquent, à l'aide d'un système fort complexe, que la somme des carrés de leurs distances aux oasis de Sidi-Ben et de Ben-Sidi est égale au double du carré de leur distance à l'oasis de Sidi-Sidi. « Nous sommes donc, dit le conducteur, sur une perpendiculaire à la piste qui joint Sidi-Sidi au milieu de la piste qui joint Sidi-Ben à Ben-Sidi. » Qu'en pensez-vous? 7 Découpage Tracez deux demi-cercles concentriques de rayons respectifs 2 cm et 4 cm. Découpez l'aire comprise entre ces deux demi-cercles et collez côte à côte les deux tronçons rectilignes. Quel est le volume du tronc de cône ainsi formé? 70
8 Dublin 1856 L'Irlandais Buriet démontra en 1856 que tout triangle rectangle a même surface que le rectangle ayant des côtés égaux aux segments découpés sur l'hypoténuse par le point de contact du cercle inscrit. Comment fit-il? 9 L’eau, l’huile et le mercure Dans un verre conique, on verse successivement du mercure (den- sité 13,59), de l'eau (densité 1) et de l'huile (densité 0,915). Les trois liquides remplissent le verre sans se mélanger en y formant trois couches d'égale épaisseur. Le verre contient-il alors une masse plus importante d'eau, d'huile ou de mercure? 10 Émirat Paresseusement étendu sur le sable du désert, un riche émir contemple son dernier bijou. C'est une petite plaque d'or en forme de triangle équilatéral, tout incrustée de diamants. Il la tourne et la retourne amou- reusement, puis constate soudain que l'ombre en est un triangle rectangle dont l'hypothénuse est égale à la véritable longueur de chaque côté du bijou. « Quel est, se demande-t-il alors, l'angle que forme le plan du bijou avec le sable horizontal du désert?» Mais il s'endort sous le soleil au zénith, avant d'avoir eu le temps de résoudre son problème. Sauriez-vous le résoudre à sa place en calculant par exemple le cosinus de cet angle? 71
11 L’essuie-glace Un pare-brise est balayé par deux essuie-glaces de longueur L articulés autour de cieux points distants de L. Chacun d'eux couvre ainsi un demi-cercle. Quelle est la surface totale balayée? 12 Figure On donne cinq points dans un plan tels que l'on ne puisse en trouver trois alignés. On joint ces points deux à deux et l'on obtient ainsi des droites. En supposant qu'aucune de ces droites ne soit parallèle à une autre, quel est le nombre de points d'intersection de ces droites autres que les cinq points donnés? 13 La galette des rois Le jour de l'Épiphanie, une mère de famille sert â ses enfants une galette des rois. Elle commence par la couper en deux suivant un diamètre, et s'arrête en sentant que son couteau heurte la fève. Elle fait alôrs une nouvelle incision rectiligne, formant un angle de 45 degrés avec la précédente. Mais elle s'y prend maladroitement et heurte encore la fève. Ses enfants, plus mathématiciens que gourmands, s'aperçoivent alors que la somme des carrés des segments déterminés sur la deuxième incision par la fève est égale au double du carré du rayon de la galette. S'agit-il, selon vous, d'une simple coïncidence? 14 Géométrie révolutionnaire Soit un triangle ABC rectangle en B. Soit M le point de l'hypothénuse équidistant des deux côtés du triangle. Sauriez-vous trouver la valeur de l'expression suivante : E = VÎ83Ô (AC — 'JA B2 + BC2) + 1789 — (VAB + MBC — \/2IBM). (1848)3 15 La grand-messe Le vitrail principal d'une église moderne est un cercle de 2 m de diamètre, traversé par une croix, formée par deux droites perpendiculaires qui se coupent en un point quelconque, situé à 50 cm du centre du vitrail. Pendant la grand-messe, l'un des paroissiens, quelque peu distrait, s'amuse à calculer la somme des carrés des longueurs des deux segments de cette croix. — Tiens, se dit-il, je trouve autant de mètres carrés qu'il y a de péchés capitaux. Pourquoi cela? 72
16 Héritage Un fermier possède un très grand champ en forme de parallélogramme, ABCD, à l'intérieur duquel se trouve un puits en un certain point quelconque O. Se sentant mourir, il donne à son fils Pierre les deux champs triangulaires AOB et OCD et tout le reste à son fils Jean, le puits lui-même restant leur copropriété. Sachant que la longueur de AB est supérieure à celle de BC, quel est, selon vous, celui des deux frères qui est le plus favorisé? 17 L’hexagone Considérez un hexagone et dites-moi combien il y a de diagonales, c'est-à-dire de droites joignant deux sommets non consécutifs. Si vous trouvez cela trop facile, prolongez les six côtés pour en faire des droites et dites-moi alors en combien de points distincts des six sommets de l'hexagone se coupent toutes ces droites (côtés et diagonales) ? 18 Intersections On considère un quadrilatère quelconque. Montrez que les deux segments qui joignent les milieux des côtés opposés, ainsi que celui qui joint le milieu des diagonales, se rencontrent en leurs milieux. 19 Italie 1678 Vous avez peut-être appris autrefois le théorème de Jean de Ceva, mathématicien italien du XVIIe siècle. Voici ce qu'il dit : soit P un point quelconque intérieur à un triangle ABC, les droites AP, BP et CP recoupant respectivement le triangle aux points X, Y et Z. Nous avons alors : BX . CY . AZ CX AY BZ K Sauriez-vous encore le démontrer? 20 Médianes Se peut-il que la somme des longueurs des trois médianes d'un triangle soit plus petite que les 3/4 de son périmètre? 21 Parallélogramme Un parallélogramme invariable ABCD se déplace dans un plan de façon que deux côtés adjacents AB et AD passent respectivement par deux points fixes M et N. Sauriez-vous démontrer qu'alors la diagonale AC passe elle aussi par un point fixe? 73
22 Le phare Du sommet d'un phare situé à 125,7 m au-dessus du niveau de la mer, on observe l'horizon .A quelle distance est-il approximativement, sachant que le tour du monde fait 40 000 km et que la Terre est ronde? 23 Polygones Partagez un cercle en n arcs égaux, puis, joignez les sommets ainsi obtenus, de p en p,. jusqu'à retrouver le sommet de départ. Combien y-a-t-il de côtés au polygone ainsi formé? Remarque : on pourra vérifier la formule générale ainsi trouvée pour n = 10, avec successivement p = 2, p = 3 et p = 4. 24 La promenade du chien Monsieur et Madame Dubois vont faire une promenade avec leur chien. Chacun d'eux voulant lui-même le tenir en laisse, ils finissent par accrocher à la pauvre bête deux chaînes différentes, mesurant chacune 1 m. Sachant que Monsieur et Madame Dubois marchent toujours à 1 m l'un de l'autre, quelle est à chaque instant la surface dans laquelle le chien peut évoluer librement? 25 Le quadrilatère Un quadrilatère inscrit dans un cercle présente la particularité suivante: une de ses diagonales est un diamètre. Que pensez-vous alors des projections sur l'autre diagonale des 4 côtés de ce quadrilatère? 74
26 Les remparts Une petite ville est entourée de remparts en forme de demi-cercle. Trois portes permettent d'en sortir : les deux premières, Pt et P3, sont situées aux extrémités du côté droit, la troisième, P3, sur un point quelconque du demi-cercle. De chacune de ces portes partent des routes tangentes au demi-cercle qui se rencontrent en deux points. Une autre longe la partie droite des remparts. Un cycliste contourne cette ville à vitesse constante, le long des routes que l'on vient de décrire. Il constate que s'il élève au carré le temps de parcours Pi P3, il. obtient le produit des temps de parcours P3 P3 et P3 Pi. Comment expliqueriez-vous ce phénomène? 27 Surfaces égales Considérez un triangle isocèle ABC, rectangle en A. Tracez-en le demi- cercle circonscrit, puis l'arc de cercle tangent en fi à AB et en C à AC, intérieur au triangle. L'aire comprise entre l'arc et le demi-cercle est égale à celle du triangle lui-même. Pourquoi cela? 28 Tangence Deux cercles sont tangents extérieurement. Par leur point de tangence, on mène deux droites, qui coupent les deux cercles en quatre autres points. Quelle est la nature du quadrilatère obtenu en joignant ces quatre points? 29 Triangle Sauriez-vous construire un triangle connaissant son périmètre, un angle et la hauteur abaissée du sommet de cet angle? 75
30 Triangle rectangle Dans tout triangle rectangle, la somme des côtés de l'angle droit est égale à la somme des diamètres des deux cercles inscrit et circonscrit. Pourquoi? 31 Si la terre était une orange Entourez une orange bien ronde avec une ficelle rouge. Puis allongez la ficelle de façon à entourer l'orange tout en restant à 1 m de sa surface. Entourez alors la Terre entière (supposée sphérique) avec une ficelle bleue. Et allongez cette ficelle de façon à entourer la Terre tout en restant à 1 m de sa surface. Quel est, selon vous, le plus grand des deux allongements, celui de la ficelle rouge autour de l'orange ou celui de la ficelle bleue autour de la Terre? 32 La sieste Albert somnole, paresseusement étendu sur une terrasse ensoleillée. Il s'amuse à observer sa main droite : « Mon index et mon majeur font un angle approximatif de 20°, se dit-il. Si je conserve ce même écartement, puis-je tourner ma main de telle sorte que les projections au sol de mes doigts soient perpendiculaires? » 1 minute plus tard, ayant trouvé la réponse, il se rendort profondément. Vous seriez-vous rendormi aussi vite à sa place? 33 Les statues Dans un très grand parc, une allée rectiligne passe successivement sur quatre petits ponts, séparés par des intervalles inégaux, au milieu desquels se trouvent 3 statues de personnages historiques.'On trouve ainsi successivement : Vercingétorix, Charlemagne et Henri IV. Tandis qu'au milieu de l'intervalle séparant le premier pont du quatrième se trouve Louis XIV. On décide alors de rajouter une statue de Napoléon. Où conseilleriez-vous de la placer : • à mi-chemin entre Vercingétorix et Henri IV? • à mi-chemin entre Charlemagne et Louis XIV? 34 Le village alsacien La rue principale coupe la rue du Général-De-Gaulle, perpendiculairement, sur la place de la Mairie. L'église catholique donne sur la rue principale, et l'église protestante sur la rue du Général-De-Gaulle. L'école est située sur la rue qui joint les deux églises, à égale distance à vol d'oiseau (500 m) de chacune des deux rues précédentes. Toutes les rues sont rectilignes. L'instituteur demande un jour à ses élèves de calculer la somme 76
des inverses des distances en mètres de la mairie à chacune des deux églises. Ils ne connaissent ni la trigonométrie ni la géométrie analytique. Que doivent-ils répondre à leur instituteur? 35 Vue d’avion Par le hublot de l'avion, je peux voir un morceau d'île, un morceau de nuage et un peu de mer. Sachant que le nuage occupe la moitié du hublot, qu'il cache ainsi un quart de l’île, qui semble alors occuper elle-même seulement un quart du hublot, quelle est, au travers de ce hublot, la proportion de mer cachée par le nuage? 36 Zone piétonnière Une zone piétonnière est formée par sept petites rues rectilignes. Se peut-il que chacune d'elles en croise exactement trois autres? 37 Les deux cercles Deux cercles sont tangents intérieurement en un point A. Soit B le point diamétralement opposé à A sur le plus grand des deux cercles. On y mène une corde BD, tangente en C au plus petit des deux cercles. AC est alors la bissectrice de l'angle B AD. Pourquoi? 38 Les deux lunes Considérons un triangle ABC, rectangle en A. Traçons-en le demi-cercle circonscrit, puis les deux demi-cercles de diamètres respectifs AB et AC, 77
extérieurs au triangle ABC. La somme des surfaces des deux lunes ainsi dessinées est égale à celle du traingle ABC. Pourquoi cela? 39 Les deux ponts Un grand canal rectiligne passe entre deux villages, plus près de l'un que de l'autre. On veut y construire deux ponts perpendiculaires aux rives. Le premier sera tel que les deux villages soient à distance égale de l'entrée correspondante du pont; le second tel que la route joignant les deux villages qui l'empruntent soit aussi courte que possible. Comment faut-il s'y prendre? 40 Les trois perpendiculaires Sauriez-vous démontrer que la somme des trois longueurs des perpen- diculaires abaissées d'un point intérieur à un triangle équilatéral sur chacun des côtés est indépendante de la position précise de ce point? 41 Les quatre armures Dans un musée, une petite pièce carrée (de 3,414 m de côté) présente une armure dans chacun de ses coins. Le conservateur pense qu'elles seraient mieux mises en valeur si chacune des quatre était placée dans une niche de section triangulaire (une dans chaque coin), de telle façon que la pièce ainsi déformée comporte 8 côtés égaux. Le menuisier chargé de ce travail se demande au préalable quelles doivent être les dimensions de ces niches. Aidez-le. 78
En avoir ou pas : l’esprit de géométrie 1 Bissectrice Soit/tfiC un triangle quelconque, O le centre du cercle circonscrit, A’ le point diamé- tralement opposé à A et H le pied de la hauteur issue de A. Nous avons HAC = r/2 — BCA et BAA' = tt/2 — BA'A. Mais : BCA = BA'A, comme interceptant le même arc. Donc : BAA' = HAC comme complémentaire de deux angles égaux. Et par conséquent, l'angle A’AH a même bissectrice que BAC. 2 Catastrophe en Mer du Nord Soit x cette profondeur inconnue. Soit O le pied du derrick. 79
Soit H son point d'émergence. Soit A le point où se trouvait le sommet du derrick avant le sinistre. Soit B le point où ce sommet s'est enfoncé dans la mer. Traçons le cercle de centre O et de rayon OA. Prolongeons BH jusqu'en B’ et AO jusqu'en A'. Nous avons alors : HA. HA' = HB.HB', c'est-à-dire : 40. (40 + 2 x) = 842. Nous en déduisons : 2 x = 842/40 — 40 ou : x = 68,2. La profondeur de la mer en ce lieu est de 68,2 m. 3 Un coin tranquille Mon terrain est un triangle équilatéral. Je peux centrer ma maison en n'importe quel point intérieur à ce triangle car, de chacun de ces points, la somme des distances aux trois côtés sera la même. En effet, soit ABC ce triangle et M un point quelconque intérieur à ABC. Surface ABC = surface AMB + surface BMC + surface CMA. Ce qui s'écrit : surface ABC = (1/2) x AB x distance de M à AB + (1/2) x BC x dis- tance de M à BC + (1/2) x CA x distance de M à CA. Donc : Somme des 3 distances = 2 x surface 4flC. côté du triangle Ce qui est, bien sùr, indépendant de la position du point M. 4 Construction Traçons un cercle de diamètre AB. De A, traçons alors un arc de cercle de rayon /. Soit C un des points d'intersection avec le cercle précédent. Joignons BC. Par A, menons la parallèle à BC. La longueur AC (/) est la distance entre les deux parallèles ainsi construites ( figure page suivante). 5 Crayon, gomme, équerre et compas Posons le crayon sur le papier. Avec la pointe du compas, marquons-en les extrémités A et B. Joignons-les avec l'équerre et le crayon. 80
(fig. du n° 4) Traçons alors la médiatrice de AB (construction classique), afin de définir le milieu de AB. Puis traçons un demi-cercle de diamètre AB. Avec l'équerre, traçons ensuite la demi-droite perpendiculaire en A à AB, du cfité du demi-cercle. Posons alors la gomme le long de cette perpendiculaire, à partir de A. Puis posons l'équerre contre la gomme afin de tracer la perpendiculaire à cette première perpen- diculaire tangentiellement à la gomme. Elle coupe le demi-cercle en deux points. Soit M l'un des deux points. Traçons alors la perpendiculaire à AB issue de M (avec l'équerre). Soit H le pied de cette perpendiculaire. Les segments AH et HB répondent à la question : en effet, on a «AH + HB = AB = lon- gueur du crayon », et, d'autre part, étant donné la similitude des triangles AMH et MHB : « AHfMH = MHfHB », ou « AH x HB = MH2 = longueur de la gomme au carré ». med'AB 6 Dans le désert Appelons : S l'oasis de Sidi-Ben; B l'oasis de Ben-Sidi; / l'oasis de Sidi-Sidi; M le milieu de la piste Sidi-Ben, Ben-Sidi; J l'emplacement de la jeep; H le pied de la perpendiculaire à IM issue de J. Nous avons : JB2 + JS2 = 2 J!2. 81
Or nous savons que la somme des carrés de deux côtés d'un triangle est égale à la somme du double du carré de la médiane aboutissant au troisième côté, et de la moitié du carré de ce même troisième côté (cela peut se retrouver aisément grâce au théorème de Pythagore). Appliquons alors le théorème de Pythagore dans les triangles JH! et JHM. On en déduira aisément : Ht _ IM1 + BS2/4. 2 IM H! a donc une longueur constante : la jeep se déplace ainsi perpendiculairement à IM. Le conducteur de la jeep avait raison. 7 Découpage Le tronc de cône est coupé par deux cercles de rayons respectifs 1 et 2 cm (moitié de 2 et de 4 cm). Or la distance entre deux points correspondants de ces cercles est de 2 cm (4 — 2 = 2). Le théorème de Pythagore nous indique alors que les plans de ces cercles sont distants de \J3 cm (car 22 — 1 =3). Le volume du tronc de cône est égal à la différence des volumes des cônes virtuels ayant pour bases respectives chacun des deux cercles et construits dans le prolongement du tronc de cône : V - (1/3) (n.22) (2 V3) - (1/3) (n. 12) (x/3), V=lnlyj3 = 12,697. Le tronc de cône a donc un volume de 12,697 cm3. Remarque : le volume d'un cône est égal au tiers du produit de la surface de base par la hauteur. 8 Dublin 1856 Soit ABC un triangle rectangle en A. Soit D, E et F les points de contact respectifs du cercle inscrit de centre O avec les trois segments BC, AC et AB. Soit r = AE = AF. 82
Soit m = CD = CE. Soit n = BD = BF. Surface ABC = (1/2). (AB.AC) = 1/2.(4£+ EC) (AF + FB) = 1/2. (r + m) (r + n) = 1/2.[r2 + r (m + n) + mn). Mais nous avons aussi : surface ABC = surface AEOF + surface FODB + surface DOEC = t1 + 2 (surface BOF) + 2 (surface ODC) = r1 + nr + mr = r2 + r (m + n). Remplaçons alors « r2 + r (m + n) » par « surface ABC » dans l'égalité précédente. Il vient : surface ABC = 1/2. (surface ABC + mn) ou : 2 (surface ABC) = surface ABC + mn ou : mn = surface ABC. C'est ce qu'il fallait démontrer. 9 L’eau, l’huile et le mercure Le volume d'un cône est égal au tiers du produit de la hauteur par la surface de base. Mais le rayon du cercle de base, pour un angle au sommet donné, est lui-même propor- 83
tionnel à la hauteur correspondante. Le volume est donc proportionnel au cube de cette hauteur. Soit l^i le volume de mercure, l/2 le volume de l'eau et V3 le volume d'huile. Soit / la hauteur de chaque couche et a un certain coefficient de proportionnalité. Considérons successivement les trois cônes de hauteur /, 2 / et 3 / : l/i = a/3, l/i + l/2 = a.(2/)3 = 8 l/i, l/i + l/2 + l/2 = a.(3/)3 = 27 I/,. Donc l/2 = 7 l/t et I/3 = 19 l/t. il en résulte : masse de mercure : 13,59. Vt, masse d'eau : 1. l/2 = 7 l/t, masse d'huile : 0,915. l/3 = 17,385 I/,. La masse d'huile est donc la plus grande des trois. 10 Émirat Soit BC le côté du triangle équilatéral qui a la même longueur que sa projection. Soit M son milieu. Soit A le troisième sommet du triangle équilatéral. Soit H la projection de A sur le plan horizontal passant par BC. L'angle des plans ABC et HBC n'est autre que l'angle AMH, dont le cosinus est : HMfAM. La longueur de AM est celle de la hauteur dans un triangle équilatéral : AM = (<3/2) x (longueur du côté). Quant à MH (puisque l'angle BHC est droit, et donc inscrit dans le demi-cercle de diamètre BC), il a pour longueur la moitié de BC. Il en résulte : Cosinus recherché = —^C/l— _ <3 BC x <3/2 3 11 L’essuie-glace Surface balayée : jt L2 — 2 S Aire du secteur OAO' : (1/6) n L2 Aire du triangle OAH : <3/2. L. L/2.1/2 = <3.Z?/8. Par conséquent : S = «6 — <3/8) .L2. La surface balayée est donc : (2 it/3 + <3/4) L2 ou 2,527 L2. 84
12 Figure Soit A, B, C, D et E les cinq points donnés. Considérons la droite AB. Elle est coupée par les trois côtés du triangle CDE. Cela fait trois points d'intersection. Il y en a autant pour chaque droite. Or il y a autant de droites que de façons de choisir deux points parmi cinq, c'est-à-dire : 10. Cela ferait 3 « 10 = 30 points, si chacun d'eux n'avait été ainsi compté deux fois. Cela n'en fait en réalité que 15. 13 La galette des Rois Soit O le centre de la galette. Soit F la fève. Soit AB la corde représentant la deuxième incision. Soit / son milieu. Considérons les triangles OAF et OBF. Nous avons : OA2 = Æ42 + OF2 + 2 FA.Fl, OB2 = FB2 + OF2 — 2 FB.FL Ajoutons membre à membre ces deux égalités. Nous obtenons : 2 OA2 = FA2 + FB1 + 2 OF2 — 4 F!2. Or, le triangle OF! étant rectangle isocèle, nous avons : OF = (Fl), y/ 2, c'est-à-dire : 2 OF2 — 4 FP = 0. Il en résulte : FA2 + FB2 = 2. OA2. Il ne s'agit donc pas d'une simple coïncidence. (vo/> figure page 86) 85
14 Géométrie révolutionnaire 1° Le théorème de Pythagore nous dit : AC2 = AB2 + BC2. Il en résulte : AC — y/AB2 + BC2 = 0. 2° Surface de ABC = surface de ABM + surface de BMC. C'est-à-dire : AB.BCI2 = AB.dj2 + flC.d/2 ou 1/d = 1/flC + 1/Afi. Or, BM = d.y/2. D’où il résulte : 1/Afl + 1/flC — \J2/BM = 0. 3° Appliquons les résultats de nos deux premières remarques dans l'expression E. Il vient : £= 1789. 15 La grand-messe Soit AB et CD les deux segments de cette croix. Soit M son milieu (intersection de AB et CD). Soit O le centre du vitrail et H sa projection sur AB. 86
Soit a l'angle OMH. Considérons le triangle rectangle OHB : HB2 = OB2 — OH2 = OB2 — OM2 sin2 a2. Or AB est le double de HB. Donc : AB2 = 4 OB2 — 4 OM2 sin2 a = (4 — sin2 a) m2. Pour calculer CD2, on procéderait de façon analogue, le nouvel angle jouant le rôle de a étant bien entendu égal à 90° — a. On trouve ainsi : CD2 = 4 OC2 — 4 OM2 sin2 (90° — a) = (4 — cos2 a) m2. Il en résulte : AB2 + CD2 = 7 m2. Notre paroissien distrait trouve 7. C’est le nombre de péchés capitaux. 16 Héritage Soit H le pied de la perpendiculaire abaissée de O sur AB et K celui de la perpendi- culaire abaissée de O sur CD. Surface laissée à Pierre : (1/2) (OH.AB) + (1/2) (OK.CD) =AB.HK/2. Surface totale du champ-parallélogramme ABCD : AB.HK. Pierre a donc la moitié de cette surface, Jean l'autre moitié : aucun des deux frères n'est favorisé par rapport à l'autre. Les jeux mathématiques d'Eurêka. — 4 87
17 L’hexagone 1 ° Avec six points différents, on peut construire autant de droites qu'il y a de façons de choisir deux éléments parmi six, c'est-à-dire : Cl - S* _ 15 6 ~ 2Ï4Ï Parmi ces 15 droites, six sont des côtés. Il reste alors neuf diagonales. 2° 15 droites ont en général autant de points d'intersection qu'il y a de façons diffé- rentes d'en choisir deux, soit : - 151 21131 = 105. Mais ici, chacun des six sommets de l’hexagone correspond à l'intersection de cinq droites différentes; c'est donc le rassemblement de dix sommets car : Cl = 51 = 10. 5 3121 Les six sommets en remplacent ainsi soixante. Il reste par conséquent : 105 — 60 = 45 points d'intersection distincts des sommets de l'hexagone. 88
18 Intersections Soit ABCD un quadrilatère, soit M, N, P, Q les milieux respectifs des côtés AB, BC, CD, DA. Dans le triangle ACB, MN, qui joint les milieux des côtés AB et BC, est parallèle à AC et égal à sa moitié. Il en est de même pour QP. Le quadrilatère MNPQ, qui a deux côtés égaux et parallèles, est un parallélogramme. Ses diagonales MP et QN se coupent donc en leurs milieux. Considérons alors les milieux de AC et BD (notés respectivement E et F). Dans le triangle ABD, on voit que FQ est égal à AB)2 et lui est parallèle. Il en est de même de NE dans le triangle ABC. NEQF est donc un parallélogramme. Ses diagonales FE et NQ se coupent en leurs milieux. MP, QN et FE concourent ainsi en leurs milieux : c'est ce qu'il fallait démontrer. 19 Italie 1678 Nous convenons d'abord de noter S (—, —, —) la surface du triangle défini par les trois lettres entre parenthèses. Nous avons alors : S (BPX) _ 1/2. SX. distance de P à BC _ BX S ( CPX) 1 /2. CX. distance de P à BC CX ' Pour les mêmes raisons, nous avons : Par conséquent : S (BAX) _ BX S (CAX) CX' S (BAX) — S (BPX) BX S (ABP) _ BX S (CAX) — S (CPX) CX S (ACP) CX' De façon analogue, on démontrerait : S (BPC) _CY S (APC) _ AZ S (BPA) AY S (BPC) ~ BZ' Le produit des rapports BX CY AZ CX ' AY' BZ est alors égal à S (BAP) S (BPC) S (APC) _ , S (ACP) ' S (BPA) ' S (BPC) 89
C'est ce qu'il nous fallait démontrer. 20 Médianes Soit ABC un triangle quelconque, et G le point d'intersection des trois médianes. Nous savons que G est situé aux 2/3 de chaque médiane à partir du sommet du triangle correspondant. Considérons alors le segment AB. La ligne droite étant le plus court chemin d'un point à un autre, nous avons : AB < AG + GB. Et nous établirions de même les inégalités : BC < BG + GC, CA<CG + AG. Additionnons membre à membre les termes de ces trois inégalités : périmètre < 2 (AG + BG + CG) ou : périmètre < 2 (2/3 médiane issue de A + 2/3 médiane issue de B + 2/3 médiane issue de C). Et nous avons ainsi : somme des longueurs des médianes > 3/4 (périmètre). La réponse à la question posée est donc : NON. 90
21 Parallélogramme L'angle DAB étant constant, le sommet A du parallélogramme demeure sur un certain cercle passant par M et N, lorsque le parallélogramme se déplace. Soit P le point d'intersection de ce cercle avec la diagonale AC. L'angle DAC ou NAP étant constant, le point P ne varie pas au cours du déplacement. C'est le point fixe recherché. Remarque : il s'agit là d'un théorème énoncé par Maurice d'Ocagne en 1880, alors qu'il était élève à Polytechnique. Il'correspond au théorème de statique suivant (Abel Transon, 1863) : « Lorsqu'on fait tourner deux forces concourantes d'une même quantité angulaire et dans le même sens autour de leurs points respectifs d'application, la résultante tourne d'une même quantité et passe par un point fixe. » 22 Le phare Soit S le sommet du phare. Soit A un point de l'horizon. Soit O le centre de la Terre. Le triangle OAS est rectangle, puisque la droite SA est tangente avec la Terre, que l'on considère comme sphérique. Nous avons donc : OS2 = OA2 + AS2. Or OA = 40 000 Q0g (en mètres) 2 n etOS = OA + 125,7 = + 40.n. 2 n Par conséquent : ___________________ AS = yj OS1 — OA2 ^2.40 ”-^0 000 000 et AS - 40 000. L'horizon est donc approximativement à 40 km du sommet du phare. 23 Polygones Si p est un diviseur de n, le nombre de côtés du polygone est : n/p. Si p n'est pas un diviseur de n, il faut multiplier le quotient n/p par le nombre x de tours de cercles cor- respondant : x = Inf (y tel que (yn/p) entier). C'est-à-dire : 91
Nombre de côtés = n.x[p = (n, p) P multiple de n et p. Lorsque n = 10 et p = 2 : 10/2 = 5. Lorsque n - 10 et p = 3 : 30/3 = 10. Lorsque n = 10 et p = 4 : 20/4 = 5. (Voir figure ci-contre.) avec PPCM (n, p) = plus petit commun 24 La promenade du chien Soit O et O' les emplacements respectifs de Monsieur et de Madame Oubois à un instant donné. Si le chien n'était attaché qu'à Monsieur Oubois, sa surface d'action serait n (surface du cercle de rayon 1 m2). Il en serait de même s'il n'était attaché qu'à Madame Oubois. Tandis qu'il ne peut se déplacer en réalité que dans l'intersection de deux cercles, de rayon 1 m, et dont les centres sont distants de 1 m. Soit A et B les points d'intersection de ces cercles (centres O et O', rayon 1 m). Surface du losange OAO'B : 2 (surface OAO’) = V3/2. Surface du secteur de centre O compris entre A et B : n/3. Surface du secteur de centre O' compris entre A et B : n/3. 92
Donc la surface de l'intersection des deux cercles est : it/3 + rr/3 — V3/2.2,094 — 0,866 = 1,228. 25 Le quadrilatère Soit ABCD ce quadrilatère, AC étant un diamètre. Soit H et K les projections res- pectives de A et de C sur BD. Soit E le point d'intersection de la droite CK avec le cercle. ___ Les angles ABD et ECD ayant leurs côtés perpendiculaires deux à deux sont égaux. Il en est donc de môme des arcs AB et ED. et par conséquent, des segments AB et ED. Les arcs AD et EB sont égaux aussi (on les obtient en diminuant chacun des arcs précédents du môme arc AE). Les angles ABD et BDE le sont donc également. Il en résulte l'égalité des triangles rectangles ABH et EKD. Par conséquent, les segments, BH et KD sont égaux. Il en est de même, bien sûr, des segments BK et DH. Les projections des côtés opposés de ce quadrilatère sur la diagonale, qui n'est pas un diamètre, sont donc égales. 26 Les remparts Appelons O le centre du demi-cercle et A et B les points de rencontre respectifs des tangentes en et P3 d'une part, en P2 et P3 d'autre part. Les angles P2 AP3 et P2 BP3 sont supplémentaires puisqu'ils engendrent deux arcs dont la somme est 180°. Leurs moitiés respectives (OAPi et 0BP2} sont donc complé- mentaires. Il en résulte que les triangles rectangles 0AP2 et 0BP2 sont semblables et par conséquent : AP^OPi = 0P2IBP2 ou APi x BP2 = OPi et (Pi A + <4P3) * (F3 B + BP2) = 4 x OPf = P, P2. C'est ce que nous voulions démontrer. 93
27 Surfaces égales Soit a la longueur de AB ou de AC. Surface du triangle ABC : a2/2. Longueur de l'hypoténuse BC : a \/2. Surface du demi-cercle de diamètre BC : 1 BC2 a2 — h---- = n — • 2 4 4 Soit O le centre du cercle tangent en S à AB et en C à AC. OBC est un triangle rectangle isocèle égal à ABC : surface OBC = a2/2. Surface du quart de cercle OBC : n a2/4. Surface comprise entre les deux arcs BC = surface du demi-cercle de diamètre 94
BC — (surface du quart de cercle OBC — surface du triangle OBC) ~ n a2/4 — (n a2/4 — a2/2) = a2/2 = surface ABC. La surface comprise entre les deux arcs BC est égale à celle de ABC. 28 Tangence Soit O et O' les centres respectifs de chacun des deux cercles. Soit P le point de tangence. La droite 00' y passe. Soit AA' et BB' les deux droites menées par P, A et B étant sur le cercle de centre O, A' et B’ sur celui de centre O'. Les angles APO et O'PA' sont égaux comme opposés par le sommet. Or les triangles AOP et A'O'P sont isocèles. Donc les angles AOP et A'O'P sont égaux. Or dans le cercle de centre O, l'angle ABP qui intercepte l'arc AP est égal à la moitié de l'angle au centre correspondant : AOP. De façon analogue, PB’A’ est égal à la moitié de PO’A’. Les angles PBA et PB’A’ sont donc égaux : les droites AB et A'B' sont ainsi parallèles : le quadrilatère ABA'B’ est un trapèze. 29 Triangle Construisons un angle égal à celui de la donnée. Soit A son sommet. Soit D et E les points situés sur ses côtés, à une distance de A égale au demi-périmètre de la donnée. Soit O le point d'intersection des perpendiculaires issues de D et de E. Tra- çons alors le cercle de centre O, de rayon OD ou OE. Puis traçons un autre cercle de centre A et tel que son rayon soit égal à la hauteur de la donnée. Menons une tangente commune aux deux cercles (intérieurement). Soit B et C ses points d'inter- section avec les côtés de l'angle A. On a : AB + BC + CA = AD + AE = périmètre. Et le triangle ABC représente le triangle cherché (voir figure p. 96). 30 Triangle rectangle Soit ABC un triangle rectangle (angle droit en A). Soit D, E, F les points de contact avec le cercle inscrit (D étant sur BC. E sur CA, F sur AB). 95
BF = BD. Donc CE + BF = CD + DB = CB = hypoténuse = 2 R (rayon du cercle circonscrit). Des deux remarques précédentes, il résulte que : AB + AC = AF + FB + AE + EC = 2r + 2 R, c'est ce qu'il fallait démontrer. 96
31 Si la Terre était une orange Soit r le rayon de l'orange et R celui de la Terre, exprimés en mètres. La ficelle rouge est passée d'une longueur de 2 n r à une longueur de 2 n (r + 1 ), soit une augmentation de 6,283 m. La ficelle bleue est passée d'une longueur de 2 n Rà2 n (R + 1) soit une augmentation de 6,283 m également. Les deux allongements sont identiques. 32 La sieste Albert a posé les extrémités de son majeur et de son index sur la terrasse (surface horizontale) tout en maintenant entre ses deux doigts un écartement constant (20°). Lorsque sa main tourne autour de ces deux points d'appui, l'angle que font les ombres de ses doigts évolue : c'est 20° lorsque sa main est à plat, 180° lorsqu'elle est dans le plan parallèle aux rayons du soleil. Comme ce changement d'angle est bien entendu continu, il arrivera un moment où les deux ombres feront précisément un angle de 90° (valeur comprise entre 20° et 180°). Cette position est donc facile à trouver : tout comme Albert, nous nous serions rendormis rapidement. 33 Les statues Soit Pt, P2, P3 et P4 les quatre ponts successifs. Distance de P2 à Vercingétorix : Pt P2I2. Distance de P2 à Henri IV : P2 P2 + P2 P3 + P3 P4/2. 97
Donc, distance de P3 au milieu de l'intervalle joignant ces deux statues : 1/2. (Pi P2I2 + Pi F2 + P2 P3 + P3 P^i2>- Distance de Pt à Charlemagne : Pt P2 + P2 P3n- Distance de à Louis XIV : Pi P2 + P2 P3 + P3 P4)/2. Donc : distance de P3 au milieu de l’intervalle joignant ces deux statues : 1/2. (P3 P2 + P2 P3/2 + Pi P212 + P312 + P3 ^4/2)' Les deux emplacements proposés pour placer la statue de Napoléon sont donc confondus. 34 Le village alsacien Soit E l'école, M la mairie, P l'église protestante et C l'église catholique. La surface du triangle MCP est égale à la somme des surfaces des triangles MCE et MPE. Ce qui s'écrit : 500./WC/2 + 500./WP/2 = MP. MC 12. Il en résulte : MC + MP = MP. MC/500. C’est-à-dire : 1//WC + Ï/MP = 1/500 = 0,002. 35 Vue d’avion Les trois quarts de l'ile occupent un quart du paysage. Donc : île = 1/3 (paysage). Donc mer = 2/3 (paysage). Mer non cachée par le nuage : 1/2 — 1/4 = 1/4 (paysage). Donc, proportion de mer cachée par le nuage : = 5/8 = 0,625. 98
HUBLOT 36 Zone piétonnière Considérons un tableau carré à sept lignes et sept colonnes (une par rue) la 4* rue par exemple correspondant à la 4e ligne et à la 4e colonne. Remplissons chaque case avec un 1 si les deux rues correspondantes se croisent, un 0 autrement (la diagonale sera remplie de 0). Première remarque : s'il y a un 1 à l'intersection de la 7-ième ligne et de la/-ième colonne, il y aura aussi un 1 à l'intersection de la /-ième ligne et de la 7-ième colonne. Le tableau est donc symétrique par rapport à la première diagonale, et comporte un nombre pair de « 1 ». Deuxième remarque : si chacune de ces sept rues en coupe exactement trois autres, on trouvera trois fois «t 1 » dans chaque ligne, et le nombre total de 1 sera : 7 * 3 = 21, ce qui est un nombre impair. D'où l'impossibilité d'un tel cas. 37 Les deux cercles Soit O le centre du plus petit cercle. Les droites CO et DA sont parallèles (toutes deux perpendiculaires à DB). Par conséquent, les angles DAB et COB sont égaux. 99
Or, dans le petit cercle, l'angle CAO intercepte une corde dont l'angle au centre correspondant est COB. Par conséquent : CAO = 1/2 COB = 1/2 DAB. Donc CAO = DAC : AC est ainsi la bissectrice de DAB. 38 Les deux lunes Surface ABC = surface du demi-cercle de diamètre BC — surface du segment de corde AB — surface du segment de corde AC = it BC2)8 — surfaces des deux segments de corde. Surface de la lune extérieure à AB = surface du demi-cercle de diamètre AB — surface du segment de corde AB = n AB2j8 — surface du segment de corde AB. Surface de la lune extérieure à AC = surface du demi-cercle de diamètre AC — surface du segment de corde AC = n AC2/8 — surface du segment de corde AC. Or d'après le théorème de Pythagore : BC1 = AB1 + AC2 et par conséquent : n BC2/8 = n 4B2/8 + n 4C2/8. Il en résulte : surface du demi-cercle de diamètre BC = surface du demi-cercle de diamètre AB + surface du demi-cercle de diamètre AC. Enlevons à chacun des membres de cette égalité la somme des surfaces des deux segments de corde. Nous en déduisons : la somme des surfaces des deux petites lunes est égale à celle du triangle ABC. 100
39 Les deux ponts Soit A et B les deux villages. Soit B' le point tel que BB' soit un segment égal et parallèle à chaque futur pont. B' étant plus proche du canal que B. Soit D la droite représentant la rive du canal la plus proche de A. L'intersection de la médiatrice de AB’ avec D donne le point de départ du premier pont, tandis que l'intersection de AB' lui-même avec D donne celui du deuxième pont (démonstrations triviales). 101
40 Les trois perpendiculaires Soit ABC un triangle équilatéral et P un point intérieur quelconque. Soit H, K et L les trois pieds des perpendiculaires abaissées respectivement sur AB, BC et CA. Soit h, k et / les longueurs respectives de PH, PK et PL. La somme des trois surfaces des triangles APB, BPC et CPA est égale à celle dé ABC. Ce qui donne la relation : h.ABfl + k.BCjl + /.C4/2 = surface ABC. Or AB = BC = CA. Il en résulte : h + k + / = (2/48) x Surface de ABC. La somme des trois longueurs est donc indépendante de la position précise du point P. 41 Les quatre armures Chaque niche aura pour section un triangle rectangle isocèle de côté x. L’hypoténuse mesurera donc : yj2 x. Cette hypoténuse est égale à l'un des huit côtés égaux. 102
Il faudra donc partager chacun des côtés du carré initial en trois : x pour la niche de gauche, >/2 x pour le côté de l'octogone, x pour la niche de droite. Donc : (2 + \/2) x = 3,414 m. Et par conséquent : x = 1 m. La section triangulaire de chaque niche a donc pour côtés : 1 m, 1 m et 1,414 m. 103
5» Au pays des merveilleux nombres entiers 1 Aboiement Un chien savant savait compter selon un système de numération en base 4. Il traduisait zéro par O, un par U, deux par H et trois par A. Combien cela signifiait-il alors quand il faisait « Ouahouah »? 2 A la manif Rangeons-nous par dix, il en manquera un. Rangeons-nous par neuf, il en manquera un aussi. Par huit aussi. Par sept aussi. Par six aussi. Par cinq aussi. Par quatre aussi. Par trois aussi. Par deux, enfin, aussi. Et pourtant, nous sommes assurément moins de cinq mille. Combien sommes-nous donc? 104
3 Année de naissance Enlevez à votre année de naissance la somme des quatre chiffres qui la composent. Vous obtenez ainsi un résultat divisible par 9. Pourquoi cela? 4 Arithmétique anglaise 20 + 20 + 20 + 10 + 10 = 80. En anglais, cela donne : T W E N T Y + T W E N T Y + T W E N T Y + T E N + T E N = E / G H T Y Quels sont les huit chiffres représentés par les huit lettres E, G, H, /, N, T, W, Y pour que cette addition soit exacte? 5 Arithmétique de l’histoire Un historien constata un jour que les dates du début de la Ve République et de l'entrée de Madagascar dans l'empire colonial français étaient formées des mêmes chiffres écrits dans un ordre différent, d'une part, et que d'autre part les restes de la division par 9 de chacune de ces deux dates étaient identiques. Il se mit alors à rechercher un autre couple de dates historiques possédant la première de ces deux propriétés, mais ne possédant pas pour autant la seconde. Ses recherches n'aboutirent pas. Aidez-le. 6 Arithmétique espagnole 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20. En espagnol, cela donne : C U A T R O + C U A T R O + C U A T R O -i- C U A T R O + C U A T R O = V E / N T E Comment les dix chiffres sont-ils représentés par les dix lettres A, C, E, /, N, O, R, T, U, V, pour que cette addition soit exacte? 105
7 Au lycée Le proviseur d'tin certain lycée s'amuse un jour à constater qu'il obtient le nombre total des élèves en multipliant la différence des carrés du nombre de professeurs de gymnastique et du nombre de professeurs de russe par le produit de ces deux derniers nombres. Étant donné cette information, croyez-vous qu'il soit possible de faire défiler tous les élèves de ce lycée, en rangs 3 par 3, à l'occasion de la Saint-Charlemagne? 8 Au restaurant Pour fêter leur anniversaire de mariage, Monsieur Dupont invite sa femme à déjeuner dans un bon restaurant. En sortant, il constate qu'il ne lui reste que le cinquième de son argent et que cela fait ainsi autant de centimes qu'il avait initialement de francs, tandis qu'il a cinq fois moins de francs qu'il n'avait de centimes au départ. A combien s'élevait la note du restaurant? 9 L’autobus Le nombre de passagers d'un autobus est resté constant du départ jusqu'à la 2e station. Ensuite, on a constaté à chaque station qu'il montait autant de personnes qu'il en était monté aux deux stations précédentes, tandis qu'il en descendait autant qu'il en était monté à la station précédente. La 10e station après le départ est le terminus. 55 passagers y descendent. Combien y en avait-il entre la 7e et la 8e station? 106
10 Un bel anniversaire « Vous souvenez-vous des 40 ans de Léontine? C'était le 28 décembre 19... Depuis Léontine a vieilli. J'ai remarqué que la moitié de son âge était égale au double de la somme des chiffres qui le composent ». Complétez, s'il vous plaît, le millésime manquant dans la première ligne. 11 Avec des 1 et des 2 Écrivez côte à côte un nombre pair de fois le chiffre 1. Enlevez au nombre ainsi formé le nombre obtenu en écrivant côte à côte une série de 2, deux fois plus courte que la série précédente. Par cette soustraction, vous obtenez toujours un carré parfait (par exemple 1111 — 22 = 1089 = 332). Sauriez-vous dire pourquoi? 12 Un bon arrière-grand-père « J'ai 91 ans, quatre enfants, onze petits-enfants et beaucoup d'arrière- petits-enfants. Si vous me demandez combien exactement, je vous répondrai seulement que le produit de leur nombre par celui de mes petits-enfants et par mon propre âge s'écrit par le nombre formé en écrivant côte à côte ce nombre inconnu, un zéro, et encore ce nombre inconnu. » Que pouvez-vous en déduire? 13 Les caramels Martine distribue 26 caramels entre ses quatre petits frères. Ils en mangent tous plusieurs, et, au bout de 1 heure, elle constate qu'il en reste exactement le même nombre à chacun. Sachant que l'aîné en a mangé autant que le troisième, que le deuxième en a mangé la moitié de sa part initiale, et que le quatrième en a mangé autant que les trois autres réunis, comment Martine a-t-elle fait sa distribution? 14 Carré Le carré d'un nombre entier peut-il se terminer par trois chiffres identiques différents de O? 15 Casse-tête Martin dit un jour à Martine : « Je suis trois fois plus âgé que vous ne l'étiez lorsque j'avais l'âge que vous avez aujourd'hui. » Et Martine lui répondit : « Quand j'aurai l'âge que vous avez aujourd'hui, le total de nos âges sera de 77 ans. » Quel est l'âge de Martin? Quel est l'âge de Martine? 107
16 Combien d’enfants étiez-vous? Si vous me posez une telle question, je vous répondrai seulement que ma mère avait rêvé d'avoir au moins 19 enfants, mais qu'elle n'a pas réalisé son rêve, que mes sœurs étaient cependant trois fois plus nom- breuses que mes cousines germaines, et que j'avais deux fois moins de frères que de sœurs. 17 Compagnie aérienne Une compagnie aérienne américaine dessert un certain nombre de grandes villes en établissant des vols directs entre chacune d'entre elles. L'an prochain, elle prévoit d'augmenter son réseau de 76 nouveaux vols, en desservant, toujours selon le même principe, plusieurs villes supplémentaires. Combien y a-t-il de villes desservies actuellement et combien y en aura-t-il l'an prochain? 18 La composition de latin La composition de latin est notée de 0 à 20 (en nombres entiers). Michel a eu plus de la moyenne, Claude moins. Quelles notes exactement ont-ils obtenues, sachant que si l'on soustrait à chacune des deux notes le tiers de la plus petite, le reste de la plus grande sera trois fois plus grand que le reste de la plus petite? 19 Compter avec ses doigts Si vous avez du mal à vous souvenir de la table de multiplication par 9, utilisez donc le système suivant : pour trouver la valeur de 9 x n (n étant un chiffre quelconque), mettez vos deux mains à plat sur une table. Puis soulevez le n-ième doigt à partir de la gauche. Le résultat a pour chiffre des dizaines le nombre de doigts restés à plat à gauche, et pour chiffre des unités le nombre de doigts restés à plat à droite. Essayez... Et maintenant que vous avez constaté la justesse de cette méthode, sauriez-vous l'expliquer? 20 Cot-cot-codet Une poule savait compter suivant un système de numération en base 5. Les cinq symboles qu'elle employait pour cela étaient les suivants : C, T, D, E, O. Quelle valeur numérique précise donnait-elle à chacune de ces cinq lettres sachant que, lorsqu'elle voulait dire « 41 346 460 », elle faisait « COTCOTCODET »? 108
21 Courses de chevaux Par un bel après-midi de printemps, je me rends à l'hippodrome de Longchamp. Je mise sur un premier cheval et la somme que j'avais sur moi est ainsi doublée. Encouragé par cet exemple, je mise sur un deuxième cheval la somme de 60 F, que je perds entièrement. Grâce à un troisième cheval, je double alors mon avoir. Mais le quatrième me fait encore perdre 60 F. Un cinquième essai me permet une nouvelle fois de doubler la somme qui me restait. Mais un sixième cheval sur lequel je mise encore la somme de 60 F m'est fatal : il ne me reste plus rien de la somme que j'avais au départ. Quelle était cette somme? 22 Différence d’âge Les sommes respectives des chiffres formant les années de naissance de Jean et de Jacques sont les mêmes. Sachant que leurs âges commencent tous deux par le même chiffre, pourriez-vous calculer leur différence d'âge? 23 Division On pose une division. Si l'on augmente le dividende de 65 et le diviseur de 5, on constate que le quotient et le reste ne changent pas. Quel est ce quotient? 24 Échanges Un nombre de trois chiffres augmente de 45 si l'on intervertit l'ordre des deux chiffres de droite, et il diminue de 270 si l'on intervertit l'ordre 109
des deux chiffres de gauche. Que devient-il si l'on intervertit l'ordre des deux chiffres extrêmes? 25 L’école Les différentes classes d'une école ont chacune le même nombre d'élèves. A la suite d'un incendie, six des classes furent rendues inutilisables. On dut alors ajouter cinq élèves par classe. Puis il fallut se rendre compte que les dégâts causés par les jets d’eau des pompiers étaient tels que dix autres classes devaient être également considérées comme sinistrées. D'où nécessité de remettre encore quinze élèves dans chacune des classes restée en bon état. Combien y a-t-il d'élèves dans cette école? 26 Frère et sœur « Ma sœur, tu as autant de frères que de sœurs. — Mon frère, tu as deux fois plus de sœurs que de frères. » Sauriez-vous déduire de cette conversation le nombre d'enfants qu'il y a dans cette famille? 27 Familles nombreuses La famille Martin comporte plus d'enfants que la famille Dupont. Sachant que la différence des carrés de ces deux nombres d'enfants est préci- sément 24, et que ni chez les uns ni chez les autres il n'y a d'enfant unique, combien y a-t-il d'enfants chez les Martin? 28 Une histoire de bal Quand je vis Eléonore, je la trouvai fort belle. Après une brève conversation banale, je lui dis mon âge et lui demandai le sien. Elle me répondit : « Quand vous aviez l'âge que j'ai aujourd'hui, vous étiez trois fois plus âgé que moi. Et quand j'aurai trois fois l'âge que j'ai aujourd'hui, nous aurons ensemble tout juste un siècle. » Je ne compris rien à ce langage et le lui dis. Cela ne lui plut pas; elle s'en fut. Quel était donc l'âge de cette impertinente? 29 Léonie et les chats Quand on demande à la vieille Léonie avec combien de chats elle vit, elle répond mélancoliquement : « Avec les quatre cinquièmes de mes chats plus quatre cinquièmes de chat. » Combien cela fait-il de chats? 110
30 Les mathématiques nouvelles Mon fils a appris à compter suivant une base non décimale, si bien qu'au lieu d'écrire 136, il écrit 253. Quelle est cette base? 31 Multiplication Sauriez-vous compléter la multiplication suivante : x .9 .7547 25886. 32 Les nombres chinois Pensez à un nombre compris entre 1 et 26. Puis observez les six tableaux carrés suivants, un par un. 1 4 7 10 13 16 19 22 25 2 5 8 11 14 17 20 23 26 3 4 5 12 13 14 21 22 23 6 7 8 15 16 17 24 25 26 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 111
Lorsque le nombre choisi appartient à l'un des tableaux, inscrivez le nombre situé en haut à gauche de ce tableau. Puis additionnez les nombres ainsi inscrits. Par exemple : 16 se trouve dans le premier tableau, dans le quatrième et dans le cinquième. Si l'on ajoute les trois premiers nombres de chacun de ces tableaux, on trouve : 1 + 6 + 9 = 16. On retrouve ainsi toujours le nombre choisi au début. Sauriez-vous expliquer ce phénomène? 33 Le plus petit Quel est le plus petit nombre qui, divisé par 2, 3, 4, 5 et 6, donne respectivement les restes 1, 2, 3, 4 et 5? 34 Pour les moins de seize ans Indiquez-moi dans quelles colonnes apparaît votre âge et je le devinerai ensuite en ajoutant les premiers chiffres de ces colonnes entre eux. Est-ce de la magie? 2 8 4 1 3 9 5 3 6 10 6 5 7 11 7 7 10 12 12 9 11 13 13 11 14 14 14 13 15 15 15 15 35 Produit Le produit de quatre nombres entiers consécutifs est 3 024. Quels sont ces nombres? 36 Quai San-Savador Voulez-vous venir dîner chez moi ce soir? Mais ne vous trompez pas : j'habite l'une des onze maisons du quai San-Salvador. Quand je suis chez moi, face à la mer, et que je multiplie le nombre de maisons de gauche par celui des maisons de droite, j'obtiens un nombre supérieur de 5 à celui qu'obtiendrait mon voisin de gauche en faisant de même... 37 Quel âge a Florence? A vous de le trouver sachant que la puissance cinquième de son âge diminuée de son âge lui-même est un multiple de 10. 112
38 Quel âge a l’aine? A vous de le trouver sachant que le carré de l'âge du cadet est égal au produit des âges de ses deux frères, que la somme de leurs trois âges est 35, tandis que la somme des logarithmes décimaux de leurs âges est 3 ? 39 Quel est mon âge ? A vous de le trouver sachant que l'âge d'Alfred s'obtient en inversant les deux chiffres de mon âge, que le quotient de mon âge par la somme de ces deux chiffres diffère du quotient de l'âge d'Alfred par la même somme d'un nombre égal à la différence des deux chiffres et qu'enfin le produit de ces deux quotients est précisément égal à mon âge? 40 Une question d’âges Par un beau dimanche de printemps, un père de famille se promène avec ses fils. — Avez-vous remarqué, leur dit-il que l'âge de l'aîné est égal à la somme des âges de ses deux frères? —• Oui. Et nous avons aussi remarqué, répondent-ils en chœur, que le produit de nos âges et du tien est égal à la somme de mille fois le cube du nombre de tes fils et de dix fois son carré. Sauriez-vous déduire de cette conversation l'âge qu'avait ce père de famille lors de la naissance de son fils cadet? 41 Le remonte-pente Trois sœurs attendent devant un remonte-pente, accompagnées de leur moniteur particulier. Ce dernier, trouvant le temps long, demande alors 113
à l'aînée quels sont leurs âges respectifs. « Sachez seulement, dit-elle, qu'en enlevant neuf fois l'âge de ma sœur benjamine au produit de mon âge par celui de ma sœur cadette, on trouve 89. » Le moniteur se souvient alors que la cadette étrenne justement les skis que ses parents viennent de lui offrir pour son dixième anniversaire. Il en déduit aisément les âges des deux autres sœurs. En feriez-vous autant? 42 Rencontre au sommet Deux délégations doivent se rencontrer au dernier étage d'une tour dont les ascenseurs ont neuf places. La première arrivée utilise successivement un certain nombre d'ascenseurs, en les remplissant tous sauf le dernier où cinq personnes pourraient encore monter. Puis la seconde délégation en fait autant en laissant seulement le tiers des places libres dans le dernier ascenseur. Au début de la réunion, chaque membre de chacune de ces deux délégations serre la main de chacun des membres de l'autre délégation, ce qui fait chaque fois l'objet d'une photo. Sachant que le photographe chargé de ce reportage utilise des pellicules spéciales de neuf poses, combien de photos pourra-t-il encore prendre avec sa dernière pellicule quand tous auront fini de se serrer la main? 43 La rue Saint-Nicaise Le 24 décembre 1800, le Premier Consul Bonaparte se rendit à l'Opéra par la rue Saint-Nicaise. Une machine infernale éclata sur son passage mais quelques secondes en retard. Il y eut de nombreux morts et blessés. Bonaparte attribua le complot aux républicains. Il en fit ainsi déporter 98 aux Seychelles ou en Guyane. Il en exécuta également quelques-uns. Sachant que le nombre de blessés est le double du nombre de morts (*) augmenté des quatre tiers de celui des exécutions, que la somme du nombre de morts ou de blessés et de celui des exécutions est légèrement inférieure à celui des déportations, et que si l'on soustrait 4 du nombre des morts, on obtient précisément le double du nombre des exécutions, pourriez-vous, sans consulter un livre d'histoire, dire combien de républicains,Bonarparte, fit exécuter à la suite de l'attentat de la rue Saint-Nicaise? 44 Le sac de billes Des enfants se partagent un sac de billes. Le 1er enfant en prend une et le 10e de celles qui restent, puis le 2e en prend 2 et le 10e du reste, (*) Par l'explosion de la machine infernale et non par exécution. 114
le 3e 3 et le 10e du reste, et ainsi de suite jusqu'au dernier, qui prend tout ce qui reste. Combien y avait-il d'enfants et combien chacun a-t-il pris de billes sachant que toutes les parts étaient égales? 45 Sainte-Marguerite A l'institution Sainte-Marguerite, les garçons ne sont admis qu'en classes terminales. Leur nombre est précisément égal à la somme des chiffres formant le nombre total des élèves. Pour la Sainte-Marguerite sont prévues de nombreuses cérémonies à la chapelle. Pourra-t-on y installer toutes les filles sur des bancs à neuf places? 46 Les soldats de l’empereur Le général Lasalle n'avait pas peur de la mort « Tout hussard qui dépasse 30 ans est un jean-foutre », aimait-il à dire. Avant une terrible bataille, il compta ses soldats : la somme des chiffres formant leur nombre était de 17. Après la bataille, il compta les morts et les blessés : la somme des chiffres formant leur nombre était également de 17. Les autres rentrèrent alors très dignement, par rangs de neuf. Comment expliquez-vous cela? 47 Suez et Panama Une réunion a lieu entre Égyptiens et Panaméens pour discuter de l'exploitation de leurs canaux respectifs. Ils sont douze en tout, les Égyptiens étant plus nombreux que les Panaméens. Les Égyptiens arrivent, se disent mutuellement bonjour, deux à deux, dans leur langue; puis les Panaméens font de même. Mais les Panaméens ne saluent pas les Égyptiens et inversement. Sachant qu'il y a eu en tout 31 bonjours échangés, combien y a-t-il d'Égyptiens et combien y a-t-il de Panaméens présents lors de cette réunions? 48 Suite de nombres Pour écrire la suite des nombres de 1 à n inclus, il faut 2 893 chiffres. Quel est alors ce nombre n? 49 Trouvez le « truc » Maurice faisait régulièrement la désolation de tous ses professeurs, et plus particulièrement de ceux de mathématiques. Cependant, lorsqu'il fallait dans un problème trouver à combien s'élève le carré de 35, ou de 75, ou encore de 85, il donnait en une seconde le résultat exact. 115
Il avait en effet un « truc » dont il était très fier : pour élever au carré un nombre de deux chiffres se terminant par un 5, il mutipliait d'abord le chiffre des dizaines par ce même chiffre augmenté de 1, et écrivait 25 à droite du produit ainsi calculé. Par exemple, pour 752 il répondait : (7 x 8) 25 ou 5 625. Expliquez, s'il vous plaît, le « truc » de Maurice. 50 Les vertus du chiffre 9 Par quel chiffre se termine le nombre N = 999999"9"9” 51 Les vœux de Mathusalem Chaque année, depuis l'an I de notre ère, Mathusalem qui vit encore envoie ses vœux à son meilleur ami. Si ce dernier change nécessairement au cours des siècles et des décennies, la formule de félicitations employée, au contraire, ne varie pas. Et c'est tout simplement : BONNE ANNÉE I, BONNE ANNÉE 2, BONNE ANNÉE 3, etc., BONNE ANNÉE 1978, BONNE ANNÉE 1979. Quel est le chiffre que Mathusalem a ainsi écrit le moins souvent? 52 Les cinq nombres Sauriez-vous trouver cinq nombres entiers consécutifs qui soient tous positifs et tels que la somme des carrés des deux plus grands soit égale à la somme des carrés des trois autres? 53 Les deux sœurs Deux sœurs ont 4 ans de différences. Si l'on enlève au cube de l'âge de la première le cube de l'âge de la seconde on trouve 988. Quels sont leurs âges? 54 Le 14 juillet Un général constate un jour que l'on obtient le nombre de soldats d'une caserne en ajoutant au nombre de ses bâtiments trois fois le carré de ce même nombre, puis deux fois son cube. Il décide alors de faire défiler tous les soldats de cette caserne par rangées de 6 lors du prochain 14 juillet. Que pensez-vous de cette décision? 55 100 ans à eux trois Patrick se promène avec son père et son grand-père. Ils envisagent l'époque où ils auront 100 ans à eux trois. Le père et le grand-père s'adressent successivement à Patrick. 116
Le père : « Je serai alors de 28 ans ton aîné, et tu auras six fois le cinquième de ton âge actuel. » Le grand-père : « Et mol j'aurai ainsi deux fois l'âge qu'aurait eu ton père à ta naissance si tu étais né 1 an et demi plus tard. » Patrick reste perplexe devant tous ces renseignements, et se demande dans combien de temps arrivera cette époque où ils auront 100 ans à eux trois. Aidez-le. 56 100! Par combien de 0 se termine le nombre « 1001 »? 57 De 1968 à 1978 Montrer que le nombre •71968»”» q687» N = -------------— v 1978-1968 est entier. 117
Les secrets des nombres révélés 1 Aboiement Ouahouah = (2 x 4°) + (3 « 41) + (1 x 42) + (0 x 4’) + (2 x 4*) + (3 x 45) + (1 x 46) + (0 x 47) = 2 + 12 + 16 + 0 + 512 + 3 072 +0 + 4 096 + 0 = 7 710. 2 A la manif Soit x le nombre de manifestants. « x + 1 » doit être multiple de 2, de 3, de 4, ... de 9. « x + 1 » est ainsi un multiple du plus petit commun multiple de ces nombres, soit un multiple de 2’ x x 5 x 7 = 2 520. Soit x + 1 = k x 2 520, k étant un nombre entier. Donc x = 2 520 k — 1. Comme il y a moins de cinq mille manifestants, k = 1. Il y a exactement 2 519 manifestants. 3 Année de naissance Soit m, c, d et u les quatre chiffres formant votre année de naissance (chiffres des milliers, des centaines, des dizaines et des unités). Votre année de naissance peut donc s'écrire : 1 000 m + 100c + 10 d + u. Si vous lui enlevez m + c + d + u, il reste : 999 m + 99 c + 9 d. Ce qui est divisible par 9. 118
4 Arithmétique anglaise Numérotons les colonnes : 6 5 4 3 2 1 T W £ N T Y + T W E N T Y + T W E N T Y + T E N +T E N = £ / G H T Y nous écrirons en abrégé colonne 7 : col. i. Nous convenons de noter r (x) la retenue de x, c'est-à-dire le chiffre des dizaines de l'entier x. Et nous noterons r (col. 7) le chiffre des dizaines de la colonne 7 (à rajouter à la colonne 7 + 7). Remarque I Col. 1 : 2N+3Y= Y + IO.r (col. 1) ou N + Y = 5, 10 ou 15. Donc r (col. 1) - 1, 2 ou 3. Remarque II Col. 2 : 3 T+ 2 £+-r (col. 1) = T + 10.r (col. 2) ou 2 7+ 2 E + r (col. 1) = 10.r (col. 2). Donc r (col. 1 ) est pair. Donc : r (col. 1 ) = 2, 7V+-r=10 et T + E = 5.r (col. 2) — 1 ou T + £ = 4,9 ou 14. Mais (col. 6), on a : 3 Z < 10 ou T « 3. Donc T + E = 4 ou 9. Remarque III Col. 6 : E = 3 T + r (3 IV). Mais T + E = 4 ou 9. Donc : 4 T + r (3 IV) = 4 ou 9. Mais r (3 IV) « 2. D'où les 2 possibilités restantes : 1° 4 7 +-r (3 IV) = 9. Donc r (3 IV) = 1 et T = 2. £ = 6 + 1 = 7; r (3 E) = 2. Donc (col. 5) : 3 IV+- 2 = 1 + 10, 3 IV - 1 +8. Donc / = 1 ,4 ou 7. Mais £ = 7. Donc 7 = 1 ou 4 et IV = 3 ou 4. Les jeux mathématiques d'Eurêka. — 5 119
Si W = 4, i = W : impossible. Si W = 3, ! = 1, T = 2, E = 7 et N ou Y = 4 ou 6. Si N = 4, H = 8, Y = 6, G = 2 : impossible. Si N = 6, H = 4, Y = 4 : impossible. Il est par conséquent impossible que 4 T + r (3 W) = 9. 2° 4 T + r (3 W) = 4. Donc : r (3 IV) = 0 et 7=1. E = 3; r (3 E) = 0; et r (col. 4) = 0 ou 1. 3 IV + (0 ou 1) = / + 10r (col. 5) = / + 10 (0 ou 1). Il faut donc : IV « 3. Or 1 et 3 sont des valeurs déjà prises. Et si IV = 0, / = 0 aussi, ce qui est impossible. Alors, la seule valeur possible pour IV est 2. Si N = 6, on voit (col. 3) que H = 1 : impossible. Si N = 4, H = 5, G = 0 et Y = 6. C'est possible. Vérification : 1 2 3 4 1 6 +1 2341 6 +123416 + 13 4 + 1 3 4 = 3 7 0 5 1 6 5 Arithmétique de l’histoire Soit N une date quelconque. N = 1 000 m (chiffre des milliers) + 100 c (des centaines) + 10 d (des dizaines) + u (des unités) N = (900 + 90 + 9 + 1 ) m + (90 + 9 + 1 ) c + (9 + 1 ) d + u. Si m change de place, N sera modifié de 999,990 ou 900 fois m. Ce qui est un multiple de 9. Il est aisé de constater qu’il en est de même pour c, d et u. Pour une permutation quelconque des quatre chiffres, la modification sera donc nécessairement un multiple de 9. Et le reste de la division par 9 sera le même. Ainsi, toute date historique possédant la première de ces deux propriétés possède aussi la seconde (par exemple la conférence de Munich et le scandale de Panama). Vous ne pouvez pas aider l'historien. 6 Arithmétique espagnole 1 ° Observons la première colonne : C = 1 puisque 5C<10etV>5. 2° Observons la dernière colonne : £ = 5 ou 0. Mais E apparaît également dans la deuxième colonne. Comme 5 U est un multiple de 5, il ne peut y avoir de retenue provenant de la colonne précédente : A = 0. Et comme U # 1 (puisque C = 1 ), alors E = 5, car si on avait « E = 0 », E serait égal à A. Donc t/ et « O » sont impairs. 3° Observons la troisième colonne. / « 4 et T > 3 puisque la retenue de 5 7 est / * (0 ou 1). Donc Z = 2, 3 ou 4. 120
Si U = 9, alors V - 5 + retenue de (5 x 9) = 9 = U : impossible. Donc U = 3 ou 7 et V = 6 ou 8 et « O » = 3, 7 ou 9. 4° Si / = 4, 7 = 9 (voir col. 3-4) donc 0 = 9 (voir col. 5-6) ce qui est impossible. 5° Si / = 3, 7 = 6 ou 7 (4e colonne) = mult. 5 + (1 ou 2). Donc (dernière colonne) « O » = 3 = / : impossible. Donc / = 2 et 7 = 4 et « O » = 9. Donc R pair : R = 6 ou 8. Si R = 8, N = 4 = T : impossible. Donc R = 6. Donc V ne peut valoir que 8 et U = 7. Vérification : 170 469 x 5 = 852 345. 7 Au lycée Soit a le nombre de professeurs de gymnastique, b le nombre de professeurs de russe et N le nombre total d'élèves dans le lycée. Nous avons : N = a .b .(a2 — b1) = a .b .(a + b) .(a — b). Si a ou b est divisible par 3, le proviseur pourra évidemment organiser le défilé 3 par 3. Si ni a ni b n'est divisible par 3, quatre cas peuvent se produire : • a = multiple de 3 + 1, b = multiple de 3 + 2, (a + b) est alors un multiple de 3. • a = multiple de 3 + 1, b = multiple de 3 + 1, (a — b) est alors multiple de 3. • a = multiple de 3 + 2, b = multiple de 3 + 1, (a + b) est alors multiple de 3. • a = multiple de 3 + 2, b = multiple de 3 + 2, (a — b) est alors multiple de 3. Il en résulte que dans tous les cas, N est un multiple de 3; et que les élèves peuvent donc défiler 3 par 3. 8 Au restaurant Soit F le nombre de francs initial. Soit C le nombre de centimes initial. Soit F' le nombre de francs restant après le déjeuner. Soit C' le nombre de centimes restant après le déjeuner. Puisqu'il reste cinq fois moins d'argent qu'au départ, nous avons l'équation : 100 F + C = 5 (100 F' + C'). D'autre part, nous savons que : C' = F et F' = C/5. De ce système de trois équations à quatre inconnues, nous tirons aisément : C = (95/99) F. Or le nombre de centimes est entier, et inférieur à 100. Le nombre F de francs initial ne peut donc être que : 99 F. 121
D'où il résulte : C = 95, F' = C/5 = 19, C' = F=99. Monsieur Dupont avait donc : 99,95 F. Il lui reste : 19,99 F. Le déjeuner a coûté : 79,96 F. 9 L’autobus Soit n le nombre de passagers au départ. Soit n’ le nombre de passagers qui montent à la 1r® station. Calculons pas à pas en fonction de n et n' le nombre de passagers à chaque instant : du départ à la 1r® station : n, de la 1r® à la 2® : (n) + (n') — (n’) = n, de la 2® à la 3* : (n) + (n + n') — (n’) = 2n, de la 3® à la 4® : (2 n) + (n + 2 n’) — (n + n') = 2n + n', de la 4* à la 5® : (2 n + n') + (2 n + 3 n') — (n + 2 n’) = 3 n + 2 n’, de la 5* à la 6* : (3 n + 2 n') + (3 n + 5 n') — (2 n + 3 n') = 4 n + 4 n', de la 6® à la 7® : (4 n + 4 n') + (5 n + 8 n') — (3 n + 5 n’) = 6 n + 7 n', de la 7® à la 8" : (6 n + 7 n') + (8 n + 13 n') — (5 n + 8 n') = 9 n + 12 n', de la 8® à la 9® : (9n + 12 n') + (13 n + 21 n') — (8 n + 13 n') = 14 n + 20 n', de la 9® à la 10® : (14 n + 28 n') + (21 n + 34/1') — (13 n + 21 n') = 22 n + 33 n'. D'où l'équation : 22 n + 33 n' = 55. Par conséquent : n = 1 et n' = 1. Entre la 7® et la 8® station, il y avait donc : 21 passagers (9 n + 12 n' = 21). 10 Un bel anniversaire L'âge de Léontine est donc égal à quatre fois la somme des chiffres qui le composent. Elle a donc moins de 100 ans (et au moins 10 ans). Soit d le chiffre des dizaines et u celui des unités de cet âge. Nous avons : 10d+r/ = 4(d + r/) ou : 2 d = u. Le chiffre des unités est donc égal au double de celui des dizaines, ce qui correspond 122
aux âges : 12, 24, 36, 48. Ayant plus de quarante ans, Léontine a donc exactement quarante-huit ans depuis le 28 décembre 1978. Ses quarante ans furent fêtés le 28 décembre 1970 (nous sommes en 1979). 11 Avec des 1 et des 2 Exemple : 11 — 2 = 9 = 32. 12 Un bon arrière-grand-père Soit n ce nombre inconnu. L'arrière-grand-père nous dit que : 11 x n x 91 =1 001 n = « nn ». Cela nous permet seulement de dire que n est un nombre à deux chiffres, c'est-à-dire qu'il est compris entre 10 et 99. L'arrière-grand-père est ainsi resté extrêmement peu précis sans en avoir l'air. 13 Les caramels Soix x le nombre de caramels qu'il reste à chacun. Soit y le nombre de caramels mangés par l'aîné (ou par le troisième). Nombre de caramels mangés par le second : x. Nombre de caramels mangés par le quatrième : y + x + y. Donc, nombre de caramels mangés en tout : y + x + y + (x + 2 y) = 3 x + 4 y. D'autre part nous savons que le nombre de caramels restants est : 4 x. Il en résulte : 4 x + (2 x + 4 y) = 26 ou 6 x + 4 y = 26. 123
Or x et y sont des nombres entiers positifs, différents de 1. Il est alors aisé de constater que la seule décomposition possible est : x = 3 et y = 2. L'aîné avait donc cinq caramels, le second six, le troisième cinq et le quatrième dix. 14 Carré Nous observons d'abord que le carré d'un nombre entier se termine obligatoirement par l'un des chiffres 0, 1, 4, 5, 6 ou 9. En outre, le carré d'un nombre entier est un multiple de 4 (si le nombre est pair) ou un multiple de 4 majoré de 1 (si le nombre est impair). Nous constatons alors que les nombres se terminant par 11, 55, 66 ou 99 ne sont ni des multiples de 4 ni des multiples de 4 majoré de 1. Il ne nous reste à examiner que le cas des nombres se terminant par 44, et donc par 444. Une exploration rapide montre que, si 444 n'est pas lui-même un carré, 1 444 en revanche est le carré de 38. Il existe donc des nombres dont le carré se termine par trois chiffres différents de 0. 15 Casse-tête Soit x l'âge de Martin, soit y celui de Martine. Ce que dit Martin à Martine peut se résumer par l'équation : x = 3 [y — (x — y)], soit 4x = 6ou2x = 3y. Ce que répond Martine à Martin peut se résumer par l'équation : x + [x + (x — y)] = 77, soit 3 x = y + 77. Remplaçons dans la première équation y par 3 x — 77 : 2 x + 3 (3 x — 77), c'est-à-dire 7 x = 3 x 77 d'où x = 33. y, qui vaut 3 x — 77, est donc égal à 22. Martin a 33 ans, Martine en a 22. 16 Combien d’enfants étiez-vous? Le nombre de mes sœurs est donc un multiple de 3 et aussi un multiple de 2. C'est donc un multiple de 6. Nombre total d'enfants : (multiple de 6) x (1 + 1/2) + 1. Ce nombre devant être strictement inférieur à 19, il en résulte que ce multiple de 6 est précisément 6. J'avais ainsi six sœurs et trois frères : nous étions donc dix enfants en tout. 17 Compagnie aérienne Soit n le nombre de villes actuellement desservies. Nombre de vols correspondants : ' n.(n— 1) puisque chaque ville est reliée aux n — 1 autres villes du réseau. 124
Nombre de vols prochains : (n + k). (n + k — 1 ), k étant le nombre de villes supplémentaires. Nous avons donc : (n + k).(n + k — 1) — n.(n — 1) = 76 = 4 x 19. Il en résulte : k (k + 2/7 — 1) = 4 x 19, c'est-à-dire : ou bien k = 2, ou bien k = 4. Mais si Âr = 2, k + 2 n — 1 = 38, donc 2 n — 1 = 36, ce qui est impossible puisque 2/7 — 1 doit être impair. Il en résulte que seule la seconde possibilité est envisa- geable (k = 4). On a alors k + 2 n — 1 =19. Dont n = 8. Huit villes sont actuellement desservies, douze le seront l'an prochain. 18 La composition de latin Soit g la plus grande des deux notes et p la plus petite. Nous avons : Il en résulte : g = 7 p/3. Si g = 7 et p = 3, Michel a moins de la moyenne, ce qui est contraire à l'hypothèse. La seule solution possible est donc : g = 14 et p = 6. C'est-à-dire : Michel a 14 et Claude 6. 19 Compter avec ses doigts Le nombre de doigts laissés à gauche est n — 1. Celui des doigts laissés à droite est 10 — n. Or nous avons la relation : 9/7 = 10 (n— 1) + (10 — n). n — 1 représente donc le chiffre des dizaines et 10 — n celui des unités. 20 Cot-cot-codet Commençons par calculer les 11 premières puissances de 5 : 1, 5, 25, 125, 625, 3125, 15 625, 78125, 390 625, 1 953125, 9 765 625. Cette dernière puissance de 5 se trouve quatre fois dans le nombre exprimé par la poule : C = 4. Dans ce qui reste alors, 5’ se trouve une fois : O = 1. Dans ce qui reste encore, 58 ne se trouve aucune fois : 7 = 0. Puis on retrouve avec les trois symboles suivants, les mêmes valeurs que précédemment. Et on continue terme à terme jusqu'à trouver ainsi : D = 3 et £ = 2. Remarque : 41 348 460 en base 10 s'écrit 41 041 041 320 en base 5. 125
21 Courses de chevaux Avoir après le sixième cheval : 0. Avoir après le cinquième cheval : 60 F de plus : 60. Avoir après le quatrième cheval : la moitié en moins : 30. Avoir après le troisième cheval : 60 F de plus : 90. Avoir après le deuxième cheval : la moitié en moins : 45. Avoir après le premier cheval : 60 F de plus : 105. Avoir avant le premier cheval : la moitié en moins : 52,50. J'avais 52 francs et cinquante centimes en arrivant l'hippodrome de Longchamp. 22 Différence d’âge Soit (m, c, d, u) la décomposition suivant les chiffres des milliers, des centaines, des dizaines et des unités de la date de naissance de Jean. Soit de même (m', c', d', u') la date de naissance de Jacques. Age de Jean : 1979 — (1 000 m + 100 c + 10 d + u). Age de Jacques : 1979 — (1 000 m' + 100 c' + 10 d’ + u’). Différence d'âge : 1 000 (m — m') + 100 (c — c') + 10 (d — d') + (u — u'). Or nous savons par hypothèse que : m + c + d + u = m' + c' + d' + u'. Donc : (m — m’) + (c — c’) + (d — d’) + (u — u') = 0. Enlevons cette quantité nulle de la différence d'âge, nous obtenons : 999 (m — m') + 99 (c — c') + 9 (d — d') ce qui est évidemment divisible par 9. Comme cette différence est nécessairement inférieure à 10 (les deux âges commençant par le même chiffre), elle ne peut être que 9. Jean et Jacques ont 9 ans de différence. 23 Division Soit D le dividende, d le diviseur, q le quotient et r le reste. Nos hypothèses se tra- duisent alors par les deux équations suivantes : D = q .d + r, D + 65 ~ q. (d + 5) + r. Ce qui donne par soustraction : 65 = 5 q. Il en résulte : q = 13. 126
24 Échanges Soit c, d et u les chiffres respectifs des centaines, des dizaines et des unités. Nous avons les équations suivantes : (100 c + 10 d + u) = (100 c + 10 u + d) — 45, (100 c + 10 d + u) = (100 d + 10 c + u) + 270. D'où il en résulte : 9d — 9 u + 45 = 0, 90 c — 90 d— 270 = 0. Et par conséquent :u = d+5, c = d + 3. En intervertissant les deux chiffres extrêmes, la différence sera : (100 u + 10 d + c) — (100 c + 10 d + u) = 99 (u — c) = 99 [(d + 5) — (d + 3)] = 198. Le nombre augmente ainsi de 198. 25 L’école Soit c le nombre d'élèves par classe avant l'incendie. Soit n le nombre des classes qu’il y avait alors. Nous avons les relations suivantes : ne = (n — 6) (c + 5), ne = (n — 16) (c + 20). Il en résulte : — 6 c + 5 n — 30 = 0, — 16 c + 20 n — 320 = 0, donc : c = 25, n = 36. Le nombre d'élèves de cette école est ainsi de : ne = 36 x 25 = 900. 26 Frère et sœur Soit x le nombre de garçons et y le nombre de filles. Ce que dit le frère à sa sœur se traduit par l'équation : x = y — 1. Ce que répond la sœur à son frère se traduit par l'équation : y = 2 (x — 1) ou y = 2 x — 2. Remplaçons alors x par y — 1. Il résulte : y = 4. Et par conséquent : x = 3. Il y a donc sept enfants dans cette famille : trois garçons et quatre filles. 127
Y! Familles nombreuses Soit m et d les nombres d'enfants respectifs des familles Martin et Dupont. Nous avons m2 — d2 = 24. C'est-à-dire : (m + d) (m — d) = 23 x 3. D'où les diverses possibilités suivantes : m + d m — d 2 m m d 24 1 25 : impossible — — 12 2 14 1 5 8 3 11 : impossible — • — 6 4 10 5 1 : impossible La seule décomposition admissible est donc obtenue pour : m = 7. Il y a sept enfants chez les Martin. Remarque : Les deux premières impossibilités proviennent du fait que «2m» doit être un nombre pair. La troisième provient de l’hypothèse : « Il n'y a pas d'enfant unique ». 28 Une histoire de bal Imaginons-nous le jour même de ce bal. Soit e l'âge d'Éléonore, et m le mien. Age d'Éléonore quand j'avais son âge actuel : e — (m — e) = 2 e — m. La première phrase qu'elle prononce donne l'équation : e = 3 (2 e — m) ou 3 m = 5 e. Age que j'aurai quand Éléonore sera trois fois plus âgée qu'aujourd'hui : m + (3 e — e) = m + 2 e. La deuxième phrase d'Éléonore donne donc l'équation : 3 e + (m + 2 e) = 100 ou 5 e + m = 100. Reprenant alors le résultat de sa première phrase, nous avons : 3 m + m = 100 ou m = 25. donc : e = 3 m/5 =15. Notre impertinente a 15 ans. 29 Léonie et les chats Soit n ce nombre de chats. Nous avons : n = 4/5. n + 4/5. 128
Il en résulte : n = 4. La vieille Léonie vit avec quatre chats. 30 Les mathématiques nouvelles Soit a cette base inconnue. Quand mon fils écrit à l'aide de cette base « 253 », il veut dire : 2 a2 + 5 a + 3, ce qui fait 136 en base 10. Nous avons donc l'équation : 2a2 + 5a + 3 = 136, ou 2 a2 + 5 a — 133 = 0, ou (a —7) (2 a + 19) = 0. a étant un entier positif, la seule solution possible est 7. La base inconnue est 7. 31 Multiplication 5 2 83 x 4 9 47 547 2 113 2 258867 32 Les nombres chinois Tout nombre n inférieur ou égal à 26 est bien sûr strictement inférieur à 33 (27). Il peut donc se décomposer (en base 3) de la façon suivante : n = (0 ou 1 ou 2). 3° + (0 ou 1 ou 2). 3* + (0 ou 1 ou 2). 32. C'est-à-dire : n = (0 ou 1 ou 2) + (0 ou 3 ou 6) + (0 ou 9 ou 18). Et on retrouve ainsi tous les nombres comportant un 1 dans leur décomposition dans le premier tableau, ceux qui comportent un 2 dans le deuxième, un 3 dans le troisième, un 6 dans le quatrième, un 9 dans le cinquième et un 18 dans le sixième. On retrouvera donc le nombre n en additionnant les nombres situés en haut à gauche des tableaux auxquels il appartient. 33 Le plus petit Soit n ce nombre inconnu. Puisque n divisé par 2 donne le reste 1, n + 1 est divisible par 2. Puisque n divisé par 3 donne le reste 2, n + 1 est divisible par 3, etc. De même n + 1 est divisible par 4, 5 et 6. Or le plus petit commun multiple de 2, 3, 4, 5 et 6 est 60. Nous avons donc : n + 1 = 60. Il en résulte : n = 59. 34 Pour les moins dé seize ans Il ne s'agit pas de magie, mais tout simplement des propriétés de la décomposition d'un nombre en base 2. Tout nombre entier inférieur à 16 peut en effet s'écrire : x0.2° + Xj.21 + x2.22 + x3.23 129
Chaque xt représentant un 0 ou un 1. Quand xt vaut 1, l'âge correspondant est inscrit dans la colonne commençant par 2‘. Quand xt vaut 0, il ne l’est pas. Exemple : si vous avez 13 ans, votre âge apparaîtra dans les trois dernières colonnes car : 13 = 1.23 + 1.22 + 0.21 + 1.2° = 8 + 4 + 0 + 1. 35 Produit 3 024 ne se termine ni par 5 ni par 0 : donc aucun de ces quatre nombres n'est divisible par 5 ni par 10. Or si les quatre étaient supérieurs à 10, le produit serait nécessairement supérieur à 10 000. Ce qui n'est pas le cas. Ces quatre nombres ne peuvent donc être que : 1-2-3-4 ou bien 6-7-8-9. Dans le premier cas, le produit correspondant est 24. Il ne peut s'agir que de 6-7-8-9. Cela est d'ailleurs facile à vérifier. 36 Quai San-Salvador Soit d le nombre de maisons à droite de la mienne et g le nombre de maisons à gauche, quand je regarde la mer. Nous avons le système d'équations suivant : d + g = 10, </<?-(<7+1).(ÿ-1) = 5, ou d + g = 10, d — g = 4. Il en résulte : 2 d = 14, soit d = 7 et par conséquent : g = 3. Ma maison est donc la 4e à partir de la gauche quand on est face à la mer, c'est-à-dire la 4e à partir de la droite quand on regarde le quai. 37 Quel âge a Florence? Soit a cet âge inconnu. Nous avons l'équation : a5 — a = 10 (k étant un nombre entier quelconque). C'est-à-dire : a (a2 — 1 ) (a2 + 1 ) = 10 k ou a (a + 1) (a —1) [(a —2) (a + 2) + 5] = 10 k. Or, quel que soit a, l'une des deux valeurs a ou a + 1 est un multiple de 2, tandis que l'une des cinq valeurs a, a + 1, a + 2, a — 1 ou a — 2 est un multiple de 5. Par consé- quent a5 — a est un multiple de 10 pour toute valeur de a : nous n’avons ainsi aucune information sur l'âge de Florence qui peut prendre n'importe quelle valeur de 0 à 110 ansl 130
38 Quel âge a l’aîné? Soit a l'âge de l'aîné, c celui du cadet et b celui du benjamin. Nous savons : c2 = ab a + b + c = 35, log a + log b + log c = 3. De la première équation il résulte : 2 log c = log a + log b. En considérant alors la troisième équation, on trouve : log c = 1. Donc c = 10 : le cadet a 10 ans. Nous avons donc : ab = 100 et a + b = 25. a et b sont donc les racines de l'équation : x2 — 25 x + 100 = 0. a étant plus grand que b, il en résulte : a = 20. L'aîné à 20 ans. 39 Quel est mon âge? Soit x mon âge inconnu, d étant le chiffre des dizaines et u celui des unités : x = 10 d + u. Age d'Alfred : 10 u + d. La première proposition de la donnée s'écrit : 110 d + u 10 u + d\ I , I | d + u d + u | | | Simplifions, il vient : 9 | d — u | = (d + u}. | d — u |, ou d = 9 — u. Écrivons alors la deuxième proposition de la donnée : lOdjjj 10uJLd=10£/ + (y d + u d + u ou 10 u + d = (d + u)2. Remplaçons d par 9 — u, il vient : 9 u + 9 = 81 donc u = 8 et d = 1. J'ai 18 ans, Alfred en a 81. 40 Une question d’âges Il y a trois fils. Le produit des quatre âges est : 27 090 = 43 x 7 x 5 x 32 x 2. L'aîné ayant pour âge la somme des âges de ses frères, la seule décomposition possible est : 43 — 14 — 9 — 5. Le père a 43 ans, le cadet en a 9. Le père avait donc 34 ans quand il est né. 131
41 Le remonte-pente L'aînée a donc plus de 10 ans, la cadette 10 ans exactement et la benjamine moins de 10 ans. Soit a l’âge de l'aînée et b celui de la benjamine. Nous avons : 10a — 9 b — 89 ou 10 (a — b) 4- b — 10 (8) 4- 9. Donc : a — b = 8 et b = 9. La benjamine a donc 9 ans, la cadette 10 ans et l'aînée 17 ans. 42 Rencontre au sommet Soit dt le nombre de personnes de la première délégation, et d2 celui de la seconde. di = multiple de 9 + 4. d2 = multiple de 9 4 6. Nombre de photos : dt x d2 = multiple de 9 + (4 x 6) = multiple de 9 4 (18 4- 6) = multiple de 9 + 6. Il y a donc six photos prises avec la dernière pellicule. Le photographe peut encore en prendre trois. 43 La rue Saint-Nicaise Soit x le nombre des exécutions. Nombre de morts (par explosion) : 2 x 4 4. Nombre de blessés : 2 (2 x 4 4) 4 4/3 x ou 5 x 4 x/3 + 8 (x est donc un multiple de 3). On connaît aussi l'inégalité : (2 x 4 4) 4 (5x 4 x/3 4 8) 4 (x) <98 ou x < 10. x étant légèrement inférieur ou égal à 10 d'une part, un multiple de 3 d'autre part, il en résulte que x = 9. Bonaparte fit exécuter neuf républicains après l'attentat de la rue Saint-Nicaise. 44 Le sac de billes Soit n le nombre d'enfants, x la part de chacun et N le nombre total de billes. Nous avons : N = nx. Part du premier enfant à se servir : 1 4 (N — 1 )/10 = x. Part du dernier : x. Part de l'avant-dernier : n — 1 4 x/9 = (/V/x) — 1 4 x/9 = x. 132
En considérant la part du premier enfant, il résulte : N = 10 x — 9. Reportons alors ce résultat dans l'équation provenant de la part de l'avant-dernier : (10 x — 9)/x — 1 + x/9 = x. Ce qui s'écrit encore : 8 x2 — 81 x + 81 =0 ou bien (x — 9) (8 x — 9) = 0. Le nombre de billes pris par chaque enfant étant entier, la seule solution acceptable est : x = 9. Donc N = 81 et n = 9. Il y avait neuf enfants. Chacun a eu neuf billes. 45 Sainte-Marguerite Supposons tout d'abord que le nombre total des élèves de cette institution soit inférieur à 10 000, ce qui n'est pas une hypothèse très restrictive. Ainsi, ce nombre s'écrit avec quatre chiffres : mcdu, m étant le chiffre des milliers, c celui des centaines, d celui des dizaines et u celui des unités. Total des élèves : 1 000 m + 100 c + 10 d + u. Nombre de garçons : m + c + d + u. Nombre de filles : 999 m + 99 c + 9 d + 0 (différence entre les deux nombres précédents). Ce dernier nombre est par conséquent un multiple de 9 : les filles pourront s'installer à la chapelle sur des bancs à neuf places en l'honneur de la Sainte-Marguerite. 46 Les soldats de l’empereur Supposons d'abord, ce qui n'est pas une hypothèse très restrictive, que le nombre N des soldats du général Lasalle est inférieur à 10 000. Soit « mcdu » ce nombre : N = 1 000 /n + 100c+10d+u. Nous avons : m + c + d + u= VL Nombre de morts et blessés : N' = « m'c'd'u' » = 1 000 m' + 100 c' + 10 d' + u’. Avec aussi : m' + c' + d' + u' = 17. Par conséquent : (m — m') + (c — c') + (d — d') + (u — u’) = 0. (I) Considérons le nombre de valides après la bataille : 1/ = 1 000 (m — m’) + 100 (c — c') + 10 (d — d') + (u — u') = 0. (Il) Enlevons alors l'expression nulle (I) du nombre de valides !/, il reste : V = 999 (m — m') + 99 (c — c') + 9 (d—d'). Cela est divisible par 9. Les valides ont donc pu rentrer par rangs de 9. 133
47 Suez et Panama Quand n personnes se rencontrent, le nombre de bonjours échangés est : n (n — 1 )/2. D'où le tableau : Nombre de Panaméens Nombre d'Égyptiens Nombre de bonjours : Total Panaméens Égyptiens 1 11 0 55 55 2 10 1 45 46 3 9 3 36 39 4 8 6 28 34 5 7 10 21 31 Pour arriver à un total de 31 bonjours, il faut donc avoir en présence sept Égyptiens et cinq Panaméens. 48 Suite de nombres Pour écrire les neuf premiers nombres à 1 chiffre, il faut : 9«1=9 chiffres. Pour écrire les 90 suivants à deux chiffres, il faut : 180 chiffres. Pour écrire les 900 suivants à trois chiffres, il faut : 2 700 chiffres. Ce qui fait en tout : 2 889 chiffres. Pour écrire tous les nombres jusqu'à n, il manque ainsi quatre chiffres. n est donc le premier nombre à quatre chiffres : 1 000. 49 Trouvez le « truc » Soit die chiffre des dizaines du nombre à élever au carré. Ce nombre peut ainsi s'écrire 10 d + 5. Si on l'élève au carré, on obtient : 100 d1 + 100 d + 25. Ce qui s'écrit encore : 100.d. (d + 1) + 25. Par exemple 852 = (8 x 9) 25 = 7 225. Telle est l'explication du « truc » de Maurice. 50 Les vertus du chiffre 9 q 999 Nous remarquons d'abord que 9999y" est un nombre impair. Nous pouvons donc l’écrire 2 k + 1, k étant un nombre entier. N s'écrit alors : 99999“+* ou 11111“+* x 9*‘+i Ou 11111“+* x 81* x g. Or 11111 “+ * se termine par un 1,81 * aussi, donc leur produit aussi. Et par conséquent, neuf fois leur produit se termine par 9. En résumé : N se termine par 9. 51 Les vœux de Mathusalem De 1 à 999, tous les chiffres ont été utilisés le même nombre de fois, sauf le 0 (111 fois de moins). Pour une raison analogue, de 1 000 à 1 999, tous les chiffres ont été cités le même nombre de fois, sauf le 1 (1 000 fois de plus). Mais nous ne 134
considérons ici que la série interrompue à 1979. Il reste alors : 1980,1981, 1982, etc., 1999. Dans cette nouvelle série, c'est le 9 qui apparaît le plus souvent (31 fois). Mais ce manque de 9 dans la série principale est beaucoup moins important que le manque de 0 observé dans les 1 000 premiers numéros. 0 est donc le chiffre écrit le moins souvent. 52 Les cinq nombres Soit n le nombre du milieu de la suite. Nous avons l'équation : (n + 1 )2 + (n + 2)2 = n1 + (n — 1 )2 + (n — 2)2. Développons et simplifions : n (n — 12) = 0. La seule solution acceptable est ainsi : n = 12. Les cinq nombres entiers consécutifs sont : 10-11-12-13-14. 53 Les deux sœurs Soit x l'âge de la sœur aînée. Soit y l'âge de la cadette. Nous avons les équations : x = y + 4, x3 — y3 = 988. Il en résulte : 12 y2 + 48 y + 64 = 988. Par.conséquent : y =7, x = 11. 54 Le 14 juillet Soit s le nombre de soldats et b celui des bâtiments. Nous avons : s = b + 3 b1 + 2 b3 = b (b + 1 ) (2 b + 1 ). Il est clair que b (b + 1 ) est divisible par 2 quel que soit b. D'autre part, si b est un multiple de 3, s l'est aussi. Si b est un multiple de 3 plus 1, 2 b + 1 est un multiple de 3. Si b est un multiple de 3 plus 2, b + 1 est un multiple de 3. s est donc un multiple de 3 et un multiple de 2, quel que soit b. C'est donc un multiple de 6 : la décision du général est ainsi réalisable. 55 100 ans à eux trois Soit e l'âge de l'enfant. Soit p l'âge du père. Soit g l'âge du grand-père. Soit x le temps à attendre avant qu'ils aient 100 ans à eux trois. 135
Nous avons'les équations suivantes : (g + x) + (p + x) + (e + x) = 100, (e + x) = | e, O (p + x) — (e + x) = 28, g + x = 2 (p — e + 1,5). Des deux dernières équations, nous déduisons : g + x = 59. Il en résulte d'après la première ; 59 + {p + x) + (e + x) — 100. g Or p + x = 28 + (e + x) et e + x = e- 5 Il en résulte : 59 + 28 + — e = 100. 5 Donc e = 5 ans et 5 mois et x = ® = 1 an et 1 mois. 5 Ils auront donc 100 ans à eux trois dans 13 mois. 56 100 ! Autant de fois un nombre est multiple de 10, autant de zéros il y a à la fin. Or 10 est le produit de 5 et de 2. Ce nombre de zéros sera donc égal au plus petit des deux nombres suivants : nombre de facteurs 2 et nombre de facteurs 5 dans la décomposi- tion en facteurs premiers correspondante. Ici, le nombre de facteurs 2 est bien entendu supérieur à celui des facteurs 5. Calculons ce dernier : 1001 comprend 20 nombres multiples de 5, parmi lesquels quatre sont même multiples de 25 : 25, 50, 75 et 100. Dans la décomposition en facteurs premiers de 1001 on trouvera donc 5 à la puissance 24 (20 + 4 = 24). Il y aura ainsi 24 zéros à la fin de 1001 57 De 1968 à 1978 Soit n un entier quelconque. Le dernier chiffre de 7" est l'un des nombres 7, 9, 3 ou 1. Si n est un multiple de 4, ce dernier chiffre est 1. En effet : 7« = (74)» = (492p = (2 401)*. Le dernier chiffre de 3” est l'un des nombres 3, 9, 7 ou 1. Si n est un multiple de 4* ce dernier chiffre est 1. En effet : 34‘ = (34)* = (81 )* Il est clair d'autre part que 1 968 et 68 sont des multiples de 4.1968197’ et 687B le sont donc également. Chacune des deux parties du numérateur se termine par conséquent par le chiffre 1. Leur différence se termine donc par 0. Le numérateur est ainsi un multiple de 10 : N EST UN NOMBRE ENTIER. 136
u. Au royaume de l’astuce et du bon sens 1 A British Hospital Dans un hôpital britannique, on peut lire le faire-part suivant : « The surgeon X and the nurse Y are pleased to announce their forthcoming wedding. » Sachant que, lorsque ('établissement fut ouvert, le fiancé avait l'âge actuel de la fiancée et que le produit des trois âges (celui des deux fiancés et celui de l'hôpital), diminué de celui du chirurgien, est 1 539, à quelle époque l'hôpital a-t-il été ouvert? 2 Les aiguilles de ma montre Il est plus de 3 h 20, mais moins de 3 h 25. J'observe l'emplacement précis des aiguilles de ma montre. Puis, je tourne les aiguilles, sans casser le mécanisme, et arrive exactement ainsi à mettre la grande aiguille sur l'ancien emplacement de la petite, tandis que celle-ci occupe l'ancienne place de la grande. Quelle heure est-il exactement? 3 A la cantine Le hors-d'œuvre est servi entre 7 heures et 8 heures, lorsque les deux aiguilles de l'horloge sont équidistantes du chiffre 6. Le dessert arrive lorsque la grande aiguille a rattrapé la petite. Combien de temps met-on, dans cette cantine, pour manger le hors- d'œuvre et le plat principal? 4 A la ferme Dans une grande ferme, vivaient en nombre égal des vaches, des cochons, des chevaux et des lapins. Survint une terrible maladie. On put alors entendre successivement les plaintes des différents habitants de cette ferme. 137
Le père : « Une vache sur cinq est morte. » La mère : « Il y a autant de chevaux morts que de cochons survivants. » Le fils : « Notre nouvelle proportion de lapins (parmi les survivants) est de 5/14. » La grand-mère : « La mort n'a épargné aucune espèce animale. » Mais la pauvre grand-mère était très âgée. Sauriez-vous démontrer qu'elle s'est trompée? 5 Au zoo Si, dans tous les zoos où il y a des hippopotames et des rhinocéros, il n'y a pas de girafes; si, dans tous les zoos où il y a des rhinocéros et où il n'y a pas de girafes, il y a des hippopotames; et si enfin, dans tous les zoos où il y a des hippopotames et des girafes, il y a des rhinocéros, peut-on trouver un zoo, où il y ait des hippopotames sans qu'il n'y ait ni girafes ni rhinocéros? 6 Le café est servi Le café est servi entre 1 heure et 2 heures, lorsque les deux aiguilles de ma montre forment un angle dont la bissectrice passe au milieu du 12. Quelle heure est-il alors précisément? 7 Les chauve-souris, les ours et les éléphants chinois Une observation attentive des phénomènes physiques a montré que 17 ours mangent autant que 170 chinois, 100 000 chauve-souris autant que 50 chinois et 10 ours autant que 4 éléphants. Combien faut-il alors de chauve-souris pour absorber autant de nourriture qu'une douzaine d'éléphants? 138
8 Le château de cartes Savez-vous faire un château de cartes? Pour arriver à 1 étage, c'est tout simple : Pour 2, ce n'est pas très compliqué non plus : Pour 3, voilà : Et ainsi de suite. Dites-moi alors combien de cartes il vous faut pour construire ainsi un château de 47 étages... 9 Cigarettes Quatre ménages amis dînaient ensemble. Après le dessert, Diane fuma trois cigarettes, Élisabeth deux, Nicole quatre et Maud une. Simon fuma autant que sa femme, Pierre deux fois plus que la sienne, Louis trois fois plus que la sienne et Christian quatre fois plus que la sienne. Sachant que 32 cigarettes furent fumées en tout, sauriez-vous trouver le prénom de la femme de Louis? 10 La confession Un confesseur a l'habitude de donner des pénitences bien précises suivant le péché commis. Ainsi, pour absoudre un péché d'orgueil, il demande de réciter un « Je vous salue » et deux « Notre père »; pour 139
une calomnie, c'est deux « Notre père » et sept « Je crois en Dieu »; pour un péché de paresse, c'est deux « Je vous salue »; pour l'adultère, c'est dix « Je vous salue », dix « Notre père » et dix « Je crois en Dieu »; pour un péché de gourmandise, c'est un « Je vous salue » seulement; pour un péché d'égoïsme, c'est trois « Notre père » et un « Je crois en Dieu »; pour un péché de jalousie, c'est trois « Notre père »; pour la médisance enfin, c'est sept « Notre père » et deux « Je crois en Dieu ». Sachant que, lors de ma dernière confession, je me suis accusé de douze péchés, pour lesquels il m'a fallu réciter neuf « Je vous salue », douze « Notre père » et dix « Je crois en Dieu », quels étaient mes péchés? 11 Les dactylos Deux dactylos doivent copier un texte. La première en frappe la moitié, puis la seconde fait le reste. Elles terminent ainsi leur travail en 25 heures. Sachant que, si elles avaient travaillé simultanément, il leur aurait fallu 12 heures pour le faire, combien d'heures aurait-il fallu à chacune pour l'effectuer seule? 12 La belle dentelle Deux dentellières doivent effectuer une pièce de dentelle. Si elle travaillait seule, la première mettrait 8 jours, et la seconde 13. Combien de temps leur faudra-t-il en travaillant ensemble? 13 Le dîner entre amis Dix couples d'amis se retrouvent pour dîner. Ils prennent d'abord l'apéritif au salon, puis passent tous les vingt, un par un, dans un ordre quelconque, à la salle à manger. Combien de personnes au moins doivent-elles y être entrées pour que l'on soit sûr d'y trouver : 1° Au moins un couple réuni. 2° Au moins deux personnes du même sexe. 14 Dream-dromaderies Il y a des dromadaires qui dorment, et des dromadaires qui ne dorment pas. De dromadaires qui dorment, il y en a les sept huitièmes des dromadaires qui ne dorment pas, plus sept huitièmes de dromadaire. Si la moitié des dromadaires qui dorment s'arrêtaient de dormir, le nombre de dromadaires qui ne dorment pas serait assurément compris entre 25 et 65. Et si tous les dromadaires qui dorment s'arrêtaient de dormir, le nombre de dromadaires qui ne dorment pas serait de ... Complétez, s'il vous plaît, la dernière de ces phrases. 140
15 Élection présidentielle Lors de l'élection présidentielle française, en 1981, un certain nombre de candidats sont en présence au premier tour. Chacun d'eux réunit exactement deux fois moins de voix que celui qui lui est immédiatement supérieur. Un deuxième tour sera-t-il nécessaire? 16 Grand-mère, version latine et petits chats Si vous écrivez deux fois côte à côte ma note en version latine, vous obtiendrez l'âge de ma grand-mère. Et si vous divisez cet âge par le nombre de mes petits chats, qu'obtiendrez-vous? Trois fois ma note en version latine, augmentée de quatorze tiers. Dites-moi alors, s'il vous plaît, quel est l'âge de ma grand-mère. 17 Le jeu mathématique Cette semaine-là, le jeu mathématique de « Valeurs actuelles » était spécialement difficile. Lorsque j'ai commencé, entre 9 heures et 10 heures, les deux aiguilles de ma montre étaient alignées. Et je n'ai terminé que lorsque les deux aiguilles ont coïncidé à nouveau. Combien de temps m'a-t-il donc fallu? 18 Lou-phoque J'ai été l'autre jour au musée de la mer. J'ai vu des phoques. Il n'y avait pas beaucoup de phoques. Seulement les sept huitièmes des phoques, plus encore sept huitièmes de phoque. Combien cela fait-il de phoques? 19 Le métro Sur une certaine ligne de métro, les rames partent régulièrement toutes les 10 minutes au cours de la journée, et mettent exactement 1 heure pour parcourir toute la ligne. Un voyageur monte dans un wagon à l'un des terminus, et veut se rendre à l'autre. Combien de rames circulant en sens inverse va-t-il croiser? 20 Nicolas joue aux soldats de plomb Nicolas possède en nombre égal des Indiens, des Arabes, des cow-boys et des Esquimaux. Après la visite de son cousin Sébastien, il constate furieux la disparition du tiers de ses soldats. Sachant qu'il y a autant d'Esquimaux restants que de cow-boys en moins, et qu'il lui reste deux Indiens sur trois, combien le cousin Sébastien a-t-il emporté d'Arabes? 21 Parking Dans un parking parisien situé sur les berges de la Seine, étaient stationnées un certain nombre de voitures : Renault, Peugeot et Citroën. 141
Il y avait deux fois plus de Renault que de Peugeot, ces dernières étant elles-mêmes deux fois plus nombreuses que les Citroën. A la suite de pluies diluviennes, la Seine déborda et emporta de nombreux véhicules. Il y eut ainsi autant de Citroën hors de l'eau que de Renault dans l'eau, trois fois plus de Renault hors de l'eau que de Peugeot dans l'eau et autant de Peugeot hors de l'eau que de Citroën hors de l'eau. Combien la Seine a-t-elle emporté de voitures Citroën? 22 Le nettoyage à fond Les bureaux d'une importante société sont répartis sur trois étages d'une tour parallélépipédique à la Défense : le 13e et le 14e, où sont situés les bureaux^ le 25e, où se trouve la présidence. Pour y faire le ménage, on fait appel à une équipe de balayeurs qui, pendant 4 heures, s'attaquent aux bureaux. Puis l'équipe se scinde en deux : une moitié va nettoyer le 25e étage pendant que l'autre continue les 13e et 14e. Au bout de 4 nouvelles heures, l'équipe s'arrête : les deux étages d'en bas sont propres, et il ne manque pour le 25e que 8 heures de travail à une personne seule. Sachant que le temps nécessaire au nettoyage est seulement proportionnel à la surface nettoyée, combien y a-t-il de personnes dans cette équipe de balayage? 23 Les Parisiens On compte à Paris 2 754 842 habitants. Chacun d'eux porte un numéro allant de 1 à 2 754 842. Combien faut-il de chiffres pour écrire tous ces numéros, quelle est la somme de tous ces numéros et quelle est la somme de tous les chiffres formant ces numéros? 142
24 Partage J'avais 100 F dans mon porte-monnaie, en pièces de 1 F, de 5 F et de 50 centimes. Mais maintenant, je n'ai plus rien car j'ai donné mes pièces de 1 F à Victor, celles de 5 F à Marguerite et celles de 50 centimes à Gustave. Qui est alors, selon vous, le moins avantagé dans ce partage, sachant qu'un des deux garçons a reçu neuf fois plus de pièces que l'autre? 25 Passages a niveau Deux petits villages des Landes, A et B, sont situés sur une même voie ferrée rectiligne, à 10 km l'un de l'autre. Malgré la platitude de la région, la route qui les relie zigzague. Un cycliste a ainsi pu remarquer que, quel que soit le point P où il se trouvait sur cette route, en appelant H la projection de P sur la voie ferrée, la relation suivante était vérifiée : « La somme de 20 fois la longueur BH, de 13 fois le cube de cette même longueur, et de 300 fois la longueur PH, était égale à la somme de la longueur BH à la puissance 4, et de 32 fois le carré de cette même longueur (le tout étant exprimé en kilomètres). » Combien de passages à niveau le cycliste rencontre-t-il entre les villages A.et B? 26 Les pièces d’or Comme chaque année, un roi attend que chacun de ses 30 vassaux lui verse 30 pièces d'or. Mais il sait que l'un d'eux a pris la triste habitude de lui donner des pièces de 9 g et non de 10 comme il les demande. Comment pourra-t-il en une seule pesée identifier le coupable, afin de lui couper la tête? 27 Les pharmacies Une ville nouvelle comporte 13 pâtés de maisons a, b, c, d, etc., / et m. On sait que a est voisin de b et de d; b, de a, c et. d; c de b; d de a, b, f et e; e de d, f, j et /; f de d, e, j, i et g; g de f, i et h; h de g ex i; i de j, f, g et h; j de k, e, f et i: k de / et j; / de k et e; tandis que m est isolé et n'a donc pas de pâté de maisons voisin. Chaque habitant de cette ville nouvelle doit pouvoir trouver une et une seule pharmacie en zone proche, c'est-à-dire dans son propre pâté de maisons ou dans un pâté de maisons voisin. Où faudra-t-il alors créer ces pharmacies? 28 Le plein d’essence Un individu possède deux voitures, une grosse et une petite. Leurs deux réservoirs ont une capacité totale de 70 I. Lorsqu'ils sont tous deux vides, il doit payer 45 couronnes pour l'un et 68 couronnes pour l'autre. 143
afin de les faire remplir complètement. Sachant qu'il prend de l'essence ordinaire pour la petite automobile et du super pour le gros véhicule, et que dans le pays où il se trouve il y a 20 centimes (centièmes de couronne) d'écart entre le prix au litre de l'essence ordinaire et de super, quelles sont les capacités respectives des deux voitures? 29 Les pommes Amélie ramasse des pommes, en mange un quart et distribue équita- blement les autres à ses petites sœurs Berthe, Charlotte et Dorothée. Puis Berthe mange également le quart de ses pommes et distribue le reste en trois parties égales à ses trois sœurs. Charlotte mange alors une pomme et distribue celles qui restent équitablement entre ses trois sœurs. Quant à la petite Dorothée, elle en mange quatre avant de partager le reste de façon égale entre ses trois sœurs. — Tiens, dit alors Berthe à Charlotte, j'ai deux fois plus de pommes que toi. Combien Amélie avait-elle ramassé de pommes? 30 Pour vous rajeunir Vous souvenez-vous, lorsque vous étiez au lycée, comment on s'amusait à démontrer que n était incommensurable? Il s'agissait d'oiseaux, de vaches et de chevaux... 31 Pouvoir d’achat Pendant que les prix augmentaient de 12 %, le salaire de Monsieur X augmentait de 22 %. De combien a augmenté son pouvoir d'achat? 32 Psychologie enfantine Un jeune enfant passe le plus clair de son temps à faire des peintures. Il représente tantôt un Indien, .tantôt un Esquimau, et accompagne toujours son personnage d'une habitation. On trouve ainsi en général des igloos près des Esquimaux et des wigwams près des Indiens. Mais parfois, c'est le contraire, et il n'est pas rare de trouver, par exemple, des Indiens accompagnés d'igloos. Une psychologue se penche alors très sérieusement sur ce cas et remarque qu'il y a deux fois plus d'indiens que d'Esquimaux, autant d'Esquimaux à wigwams que d'indiens à igloos, et qu'à côté des Esquimaux on trouve trois igloos pour un wigwam. Elle recherche alors la proportion d'indiens parmi les habitants des wigwams (afin d'en déduire, par une formule très complexe, le Ql de ce jeune enfant). Mais elle n'y arrive pas. Aidez-la. 144
33 Quelle heure est-il ? Pour le savoir, il suffit d’ajouter au temps à passer avant midi les deux cinquième du temps passé depuis minuit. 34 Le réservoir Un réservoir a la forme d'un paralléllépipède rectangle, dont la largeur est égale à la moitié de la longueur. Il est rempli aux trois huitièmes de sa hauteur. En rajoutant 76 hl, le niveau monte de 0,38 m. Il reste alors les deux septièmes du réservoir à remplir. Quelle est la hauteur de ce dernier? 35 Réunion de famille Neuf membres d'une même famille se retrouvent. Chacun arrive seul mais tous arrivent en même temps. Pour des raisons psychologiques très complexes que nous ne développerons pas, chacun embrasse cinq membres de sa famille et serre la main aux trois autres. Où est l'absurdité? 36 Réunion de parents d’élèves En fin d'année scolaire, les professeurs de la classe de 3e rencontrent un certain nombre de parents d'élèves, lors d'une réunion où l'on a pu constater que 31 personnes exactement étaient présentes en tout. Le professeur de latin a ainsi été questionné par 16 parents d'élèves, le professeur de français par 17, celui d'anglais par 18... et ainsi de suite jusqu'au professeur de mathématiques, à qui tous les parents d'élèves présents se sont adressés. Combien y en avait-il exactement? 37 Les sacs de farine Deux camions transportaient des sacs de farine identiques, de France en Espagne. Le premier en livrait 118, le second 40 seulement. Comme il leur manquait des pesetas pour payer les droits de douane, le premier camionneur eut l'idée de laisser aux douaniers 10 sacs de farine, grâce à quoi il ne lui restait plus que 800 pesetas à verser. Le second agit de façon analogue, mais il dut seulement se débarrasser de 4 sacs, tandis que le douanier lui rendait au contraire 800 pesetas. Sachant que les douaniers ont ainsi ramassé exactement l'équivalent des droits de douane, à combien évaluent-ils chaque sac de farine? 38 Les sauvages Une peuplade de sauvages compte que 1 an vaut 12 mois et 1 mois 30 jours. Tandis qu'une autre peuplade voisine compte que 1 an vaut treize lunes, une lune 4 semaines et une semaine 7 jours. 145
Très démocratiquement, tous ces sauvages décident d'élire un chef commun. Mais, alors que la première peuplade voudrait que cela soit pour une durée de 7 ans, 1 mois et 18 jours, la deuxième le voudrait pour 6 ans, 12 lunes, 1 semaine et 3 jours. Quelle est selon vous la plus longue de ces deux durées? 39 Simone et ses complexes Simone était bourrée de complexes. Elle alla donc voir un psychanalyste qui réussit, après un certain traitement, à lui en supprimer la moitié, plus la moitié d'un autre. Elle alla ensuite voir un autre psychanalyste qui réussit lui-aussi à supprimer la moitié des complexes qui lui restaient plus la moitié d'un autre. Un dernier psychanalyste fit de même. Il ne resta plus ainsi à Simone qu'un seul complexe, qu'elle garda d'ailleurs jusqu'à la fin de sa vie. Sachant que chaque psychanalyste demanda 197 F par complexe supprimé, quel fut le coût total du traitement? 40 Le terrain carré Mathieu possède un terrain carré. Une grande allée, de largeur constante, d'une superficie de 464 m2, le borde intérieurement. Lorsqu'il fait le tour de son terrain, il remarque une différence de 32 m entre le parcours effectué au bord intérieur de l'allée et celui correspondant au bord extérieur. Quelle est la superficie totale du terrain de Mathieu? 41 Le tournoi de tennis 199 personnes sont inscrites au tournoi de tennis. On tire au sort les partenaires deux à deux pour le premier tour, la 199e personne devant 146
participer directement au deuxième tour. Au deuxième tour, on tire également au sort les partenaires deux à deux, puis on fait de même au troisième tour, etc. (chaque fois que se présente un nombre impair de joueurs, l'un d'eux saute un tour). Sachant que pour chaque match il faut une nouvelle boite de balles, combien en faudra-t-il pour l'ensemble du tournoi? 42 Le thermomètre Un thermomètre défectueux indique +1° dans la glace fondante et + 105° dans la vapeur d'eau bouillante. Quelle est la température réelle lorsqu'il indique + 17°? 43 Le tonneau De combien de façons peut-on vider un tonneau de 10 I avec deux récipients de capacités respectives de 1 I et 2 I? 44 Veaux, vaches, cochons, poulets La dot d'une jeune paysanne se compose d'une vache, d'un veau, d'un cochon et d'un poulet. Son fiancé se souvient que cinq vaches, sept veaux, neuf cochons et un poulet coûtent ensemble 108 210 F; il sait aussi qu'une vache vaut 4 000 F de plus qu’un veau, que trois veaux valent autant que dix cochons et 3 000 poulets que cinq veaux. Il cherche alors à calculer le montant précis de la dot de sa bien-aimée. Mais en vain. Sauriez-vous l'aider? 45 Le vieil Ihsan Il est un petit village en Turquie où l'on vit très souvent très vieux. Le vieil Ihsan y habitait ainsi, entouré de ses enfants, petits-enfants. 147
arrière-petits-enfants et arrière-arrière-petits-enfants. Ils formaient ainsi, lui-même et sa descendance, un groupe de 2 801 personnes. Chacun d'eux ayant eu le même nombre d'enfants (sauf les arrière-arrière-petits- enfants qui n'ont pas encore procréé), et tous étant encore en vie, sauriez-vous dire combien le vieil Ihsan a eu d'enfants? 46 Les 32 cartes Alfred, Bruno, Christophe et Damien jouent avec un jeu de 32 cartes. Damien les distribue inégalement, puis il dit « Si vous voulez que nous ayons chacun le même nombre de cartes, faites ce que je vais vous dire. Toi, Alfred, partage la moitié de tes cartes entre Bruno et Christophe. Puis que Bruno en fasse autant entre Christophe et Alfred. Et enfin, que Christophe fasse de même entre Alfred et Bruno. » Comment Damien a-t-il fait sa distribution initiale? 148
Elémentaire, mon cher ! 1 A British Hospital Soit x l'âge du chirurgien (fiancé ou fiancée...). Soit y l’âge de l'infirmier ou de l'infirmière. Soit h l'âge de l'hôpital. Les informations de la donnée se traduisent par les deux équations suivantes : I x — y I = h, x.tyh — V) = 1 539 = 3*.19. On voit ainsi qu'il y a quatre solutions possibles pour x : 19, 27, 57, 81. Qui correspondent à quatre solutions pour (y/J— 1) : 81, 57, 27, 19 et à quatre solutions pour yô : 82, 58, 28 et 20. Or (solution I) 82 = 2 x 41. Ce qui donne y = 41 et h = 2. Et (solution II) 58 = 2 x 29. Ce qui donne : y ~ 29 et h = 2. Et (solution III) 28 = 22 x 7. Ce qui donne : y = 28 et h = 1. Et (solution IV) 20 = 22 x 5. Ce qui donne : y = 20 et h = 1. Nous avons obtenu ces quatre solutions en ne tenant compte que de la deuxième équation. Observons alors la première équation (| x— y | = h) : elle n'est vérifiée que pour une seule des quatre solutions possibles : la solution II, c'est-à-dire x = Tl, y = 29 et h = 2. Il s'agit donc du mariage d'un infirmier de 29 ans avec une femme-chirurgien de 27, travaillant dans un hôpital ouvert il y a 2 ans. 2 Les aiguilles de ma montre Si l'on appelle p et g les angles que font respectivement la petite et la grande aiguille avec l'origine, on a : h étant le nombre représentant l'heure; p0 et g0 étant les valeurs initiales, on a : g0 = 12 (p0 — ) (équation 1 ) 149
Pt et 91 étant les nouvelles valeurs lues sur la montre, on a : _ ___i o /a 2 rt \ ffi - 12 (Pi — — ) Par ailleurs, on sait que : Pi = 9o et 0i = 0o. D'où l'équation : 0o = 12/90- En reprenant l'équation (1), on obtient : 90 = 12 [12/90-^)-^! < L \ ** / J ou : 143 90 = 6 x 17 rt. Il s'agit de l'aiguille des minutes pour laquelle 2 n égale 60 minutes. Il était donc au départ : 3 h 21 mn 23 s 55 tierces. 3 A la cantine Soit 7 heures et x minutes l'heure à laquelle est servie le hors-d'œuvre. Angle de la petite aiguille avec le segment joignant le centre de l'horloge au chiffre 6 : 360 12 360 \ 12 / = 30 ( 1 + — \ 60 Angle de la grande aiguille avec ce même segment : 180 —180 —6 x. 60 Puisque ces deux angles sont égaux, il en résulte : 300 x = _= 23 mn 5 s. Le hors-d'œuvre est servi à 7 heures, 23 minutes et 5 secondes. Soit 7 heures et y minutes, l'heure à laquelle le dessert arrive. Angle de la petite aiguille avec le segment précédent : 30 /i + X- \ \ 60/ Angle de la grande aiguille avec ce même segment : 6 y—180. Puisque ces deux angles sont égaux, il résulte : y = — = 38 mn 11 s. 11 Le dessert est servi à 7 heures, 38 minutes et 11 secondes. 150
Dans cette cantine, on met donc 15 minutes et 6 secondes pour manger le hors-d'œuvre et le plat principal. 4 A la ferme Soit N le nombre total d'animaux avant l'épizootie. D'après l'information donnée par le père, le nombre de vaches restant vivantes est : (4/5). (/V/4) = /V/5. D'après l’information donnée par la mère, le nombre total de cochons et de chevaux restant vivants est : /V/4. Soit n le nombre de lapins morts. L'information donnée par le fils se traduira alors par l'équation : N/4 — n 5 /V/5 + /V/4 + (/V/4 — n) ~ 14' c'est-à-dire : 5 (/V — 4 n) (14 N — 20 n) = 5/14. Donc : n = 0. Aucun lapin n'est donc mort : la grand-mère s'est trompée. 5 Au zoo Oui. Explication : soit Z l'ensemble des zoos, H le sous-ensemble de ceux où il y a des hippopotames, R le sous-ensemble de ceux où il y a des rhinocéros et G le sous- Les jeux mathématiques d’Eurèka. — 6 151
ensemble de ceux où il y a des girafes. Représentation par diagramme de Venn : La première condition nous dit que la partie I est vide; la deuxième condition nous dit que la partie II est vide; la troisième condition nous dit que la partie III est vide; mais cela n'implique en aucune façon que la partie IV (avec hippopotames sans girafes ni rhinocéros) doive être vide. 6 Le café est servi Soit 1 heure et x minutes cette heure inconnue. Angle de la petite aiguille avec la bissectrice (en degrés) : (360/12) + (x/60). (360/12) = 30 + x/2. Angle de la grande aiguille avec la bissectrice : 360 — x. (360/60) = 360 — 6 x. D'où l'équation : 30 + x/2 = 360 — 6 x. C'est-à-dire : x = (2/13).330 = 50 mn 46 s. Le café est servi à 1 heure 50 minutes et 46 secondes. 7 Les chauve-souris, les ours et les éléphants chinois Soit y la quantité absorbée chaque jour par un éléphant, x par une chauve-souris, z par un chinois et t par un ours. Nous cherchons y en fonction de x et nous savons : 17t=170z, 100000x = 50z, 10t = 4y, ou : t=10z, z = 2 000 x, y = 5/2 t, donc : y = (5/2).10.2000 x = 50 000 x. Une douzaine d'éléphants représente donc l'équivalent de 600 000 chauve-souris. 8 Le château de cartes Remarquons en premier lieu que, dans tout château de cartes, tout étage comporte 3 cartes de plus que l'étage qui est immédiatement au-dessus de lui. Comptons alors le nombre de cartes nécessaires pour un château de 47 étages : 2 2 + 3 2 + 2.3 + ........... 2 + (n — 1).3 + .............. 2 + (47 —1).3 47.2+4647.3=3337 2 Il faut 3 337 cartes pour bâtir un château de 47 étages! 152
9 Cigarettes Si 32 cigarettes furent fumées en tout, les quatre hommes en prirent donc 22. Or 22 se décompose de la façon suivante : (3 * 1) + (4 x 2) + (3 * 1) + (2 * 4). Une telle décomposition est unique. Par conséquent, Louis, qui a fumé trois fois plus que sa femme, a pour épouse Maud, qui a fumé une cigarette. 10 La confession Première remarque : n'ayant récité que neuf « Je vous salue », je n’ai pu m'accuser d'adultère. Deuxième remarque : je me suis accusé d'une calomnie, car autrement, étant donné qu'il m'a fallu réciter dix « Je crois en Dieu », cela correspondrait à de nombreux péchés d'égoisme et de médisance, ce qui me vaudrait plus de douze « Notre Père ». Troisième remarque : après ma calomnie, il me reste à réciter trois « Je crois en Dieu ». Cela peut provenir de trois péchés d'égoïsme, ou bien d'un seul, assorti d'une médi- sance. Mais trois péchés d'égoïsme donnent neuf « Notre Père »; avec la calomnie précédente, cela en fait onze; devant en réciter douze, cela en laisse un inexpliqué, et inexplicable. Par conséquent mes trois « Je crois en Dieu » supplémentaires proviennent d'une médisance et d'un péché d'égoïsme. Quatrième remarque : il reste à déterminer neuf péchés, correspondant à neuf « Je vous salue » : ce sont donc neuf péchés de gourmandise. Je me suis donc accusé d'une calomnie, d'une médisance, d’un péché d’égoïsme et de neuf péchés de gourmandise. (Il est conseillé au lecteur de faire au préalable un tableau indiquant le nombre de prières de chaque type pour chacun des huit péchés considérés.) 11 Les dactylos Soit x le nombre d'heures qu'il aurait fallu à la première et y celui qu'il aurait fallu à la seconde pour effectuer le travail seules. Pour en effectuer la moitié, il faut donc à la première x/2 et à la seconde y/2 heures. D'où l’équation : (x + y)/2 = 25. D'autre part, quand elles travaillent simultanément, elles effectuent en 1 heure une proportion du travail égale à : 1/x + 1/y = (x + y)/xy. D'où l’équation : xy/(x + y) = 12. Donc xy = 12. (x + y) = 600. x et y dont nous connaissons la somme 50 et le produit 600 sont ainsi les solutions de l'équation : x2 — 50 x + 600 = 0, c'est-à-dire : x = 20 et y = 30. Il aurait fallu 20 heures à l'une et 30 heures à l'autre pour effectuer toutes seules ce travail. 153
12 La belle dentelle En un jour la première effectue un huitième du travail, et la seconde un treizième. Il leur faudra donc ensemble à peu près 5 jours : 1 : (1/8 + 1/13) = 4,95 jours. 13 Le dîner entre amis Dès que onze personnes seront passées, il y aura nécessairement parmi elles au moins un couple réuni. Dès que trois personnes seront passées, il y aura nécessairement parmi elles au moins deux personnes du même sexe. 14 Dream-dromaderies Soit d le nombre de dromadaires qui dorment, et r celui des réveillés. Nous avons : d = 7/8 r + 7/8 ou 8 d = 7 r + 7 d doit donc être un multiple de 7. D'autre part, ce nombre pouvant être partagé en deux nombres entiers égaux, d est même un multiple de 14. D'où les solutions possibles : d 14 28 42 56 etc. r 15 31 47 63 etc. r + d/2 22 45 68 91 etc. Si la moitié des dromadaires qui ne dorment pas s'arrêtaient de dormir, le nombre de dromadaires qui ne dorment pas serait représenté par la troisième ligne de ce tableau. Pour qu'il soit compris entre 25 et 65, il doit valoir 45. Donc d = 28 et r = 31. Le nombre total de dromadaires est 59, c'est ce que l'on cherchait. 15 Élection présidentielle Soit n le nombre de candidats au premier tour. Soit x le nombre de voix du meilleur des candidats. Le nombre de voix réuni par tous les autres est : „/1 . 1 . + 1 \-*/1 x ..1.-.....j-x Le meilleur des candidats a ainsi plus de voix que tous les autres réunis. Un deuxième tour ne sera donc pas nécessaire. 16 Grand-mère, version latine et petits chats Soit a l'âge de ma grand-mère, c le nombre de mes petits chats et / ma note en version latine. De la première phrase de l'énoncé nous déduisons que / est un nombre entier inférieur à 10 et que : a = 11 /. La deuxième phrase de l'énoncé peut s'écrire : a/c = 3 / + 14/3 ou a = 3 cl + 14 c/3. c est donc un multiple de 3, tel que 3 c soit inférieur à 11, c est donc égal à 3. 154
Nous avons alors : a = 11 /, a = 9/+ 14. Nous en déduisons aisément : / = 7 puis : a = 77. Ma grand-mère a 77 ans. 17 Le jeu mathématique En 12 heures, la grande aiguille tourne de 11 tours par rapport à la petite aiguille, soit encore de 22 demi-tours par rapport à cette dernière. Chaque demi-tour relatif de la grande aiguille par rapport à la petite prendra donc : 12 heures „ , . ----------=0 heure 32 minutes 44 secondes. 22 Ceci est le temps mis par la grande aiguille entre une position alignée et une position de coïncidence avec la petite aiguille. C'est donc le temps qu'il m'a fallu en particulier pour faire le jeu mathématique cette semaine-là. 18 Lou-phoque Soit n ce nombre de phoques. Nous avons l'équation : n = (7 n/8) + 7/8. D'où il résulte : n = 7. Il y avait sept phoques au musée de la mer. 19 Le métro Il croisera toutes les rames qui sont parties de l'autre terminus depuis moins de 1 heure, soit six en général. Il croisera aussi toutes les rames qui partiront dans l'heure qui suit, soit six également (en général). Il croisera donc en tout douze rames. 155
Cas particulier : si les départs sont exactement simultanés dans les deux terminus, notre voyageur ne croisera que onze rames, mais il en verra deux de plus, une à chacun des terminus. 20 Nicolas joue aux soldats de plomb Soit x le nombre de soldats de chaque sorte que possède Nicolas au départ. Soit y le nombre de cow-boys emportés, ou d'Esquimaux restants. Nombre d'esquimaux emportés : x — y. On sait d'autre part que le nombre d'indiens emportés est de x/3. Soit alors z le nombre d'Arabes emportés. Le nombre total de soldats emportés est 4 x/3 puisque c'est le tiers du nombre total de soldats. Mais c'est aussi : y + (x — y) + x/3 + z. D'où l'équation : 4 x/3 = 4 x/3 + z. Donc : z = 0. Le cousin Sébastien n'a emporté aucun Arabe. 21 Parking Soit x le nombre total de voitures Citroën. Soit y le nombre de voitures Renault emportées par la Seine. Nombre total de voitures Peugeot : 2 x. Nombre total de voitures Renault : 2 « 2 x = 4 x. Nombre de Renault hors de l’eau : 4 x — y. Nombre de Peugeot dans l'eau : 4 x — y. Nombre de Citroën hors de l’eau : y. Nombre de Peugeot hors de l'eau : y. Nombre total de voitures Peugeot : (1/3) (4x—y) + y = 2 x, donc : y = x. Par conséquent toutes les voitures Citroën sont restées hors de l’eau : la Seine n'en a donc emporté aucune. 156
Renault Peugeot Citroën 22 Le nettoyage à fond Soit n ce nombre inconnu. Nombre d'heures de ménage nécessaires à un balayeur pour nettoyer les deux étages de bureaux : 4 x (n + n/2). Nombre d'heures nécessaires pour le 25e : 4 x n/2 + 8. Or ce dernier nombre est la moitié du précédent puisque la surface correspondante en est la moitié. Nous avons donc : 4 (n + n/2) = 2 (4 r>/2 + 8). D’où il résulte que n = 8. 23 Les Parisiens 1° Nombre de chiffres : Nt. 9 nombres à 1 chiffre = 9. 90 nombres à 2 chiffres = 180. 900 nombres à 3 chiffres = 2 700. 9 000 nombres à 4 chiffres = 36 000. 90 000 nombres à 5 chiffres = 450 000. 900 000 nombres à 6 chiffres = 5 400 000. 1 754 843 nombres à 7 chiffres = 12 283 901. Nt = 18172 790. 2° Somme des numéros : N2. 1 + 2 754 842 = 2 754 843. 2 + 2 754 841 = 2 754 843. 3 + 2 754 840 = 2 754 843. 1 377 421 + 1 377 422 = 2 754 843 Total : N2 = 1 377 421 x 2 754 843’ 157
Ce qui fait approximativement : 3794579 millions. 3° Somme de tous les chiffres : N3. Pour cette question plus délicate, nous présentons une solution condensée. Poser :(/?-* /V) = Somme des chiffres des nombres compris entre net N inclus. A) Établir par récurrence sur n la formule : (1 10" — 1) = n.45.10"-1. B) En déduire par décomposition et sommation la formule : puis : (1->p10" — 1) = |.10"(9n + p — 1), (1 10") =|.1O" (9 n + p — 1) + p. C) Appliquer tout ceci à l'exemple : Tranche Application de la formule Sommation des chiffres constants 1 à 2 000 000 55 000 002 2 000 001 à 2 700 000 17 850 007 2 x 700 000 2 700 001 à 2 750 000 1 000 005 (2 + 7) x 50 000 2 750 001 à 2 754 000 60 004 (2 + 7 + 5) x 4 000 2 754 001 à 2 754 800 10 008 (2 + 7 + 5 + 4) x 800 2 754 801 à 2 754 840 244 (2 + 7 + 5 + 4 + 8) x 40 2 754 841 à 2 754 842 3 (2 + 7 + 5 + 4 + 8 + 4) x 2 Total : 75 841 773 = N3 Solution due aux lecteurs de Valeurs Actuelles. 24 Partage Soit x le nombre de pièces de 1 F et y celui de pièces de 5 F. Nombre de pièces de 50 centimes : x/9 (possibilité I), ou 9 x (possibilité II). • Étudions tout d'abord la possibilité I. La somme totale étant de 100 F nous avons : x + (x/9.1/2) + 5 y = 100, ou 19 x + 90 y = 1 800. 158
y est un nombre entier supérieur à 1 ; x est donc un multiple de 10, tel que, si x = 10 k, k est au plus égal à (1 800 — 180)/(19 » 10), donc au plus égal à 8. Nous avons alors l'équation : 19 k + 9 y = 180. Or pour aucune des huit valeurs possibles de k, y n'est une valeur entière. Nous arrivons à une absurdité. • étudions alors la possibilité II. La somme totale s’écrit : x + 9 x/2 + 5 y = 100, ou 11 x + 10 y = 200. On voit tout de suite que, pour respecter le caractère entier de x et de y, il n’y a qu'une solution : x = 10 et y = 9. Résultat : Marguerite et Gustave ont chacun 45 F, Victor 10 seulement. C'est lui le moins avantagé. 25 Passages à niveau Appelons x la longueur BH, et y la longueur PH. La relation s'écrit : 20 x + 13 x3 + 300 y = x* + 32 x2, ou 300 y = x* — 13 x3 + 32 x2 — 20 x = x(x—10) (x1 —3x + 2) = x (x —10) (x —1) (x —2). PH s'annule donc, en B, en A, à 1 km de S, et à 2 km de B. La route AB traverse ainsi deux fois la voie ferrée entre les deux villages, et les deux passages à niveau correspondants sont situés à 1 km et à 2 km de B. 26 Les pièces d’or Il suffit de peser un tas de pièces d'or formé par une pièce provenant du premier vassal, de deux provenant du deuxième, trois du troisième... et de 30 du trentième. Si tous les vassaux utilisaient des pièces de 10 g, le tas pèserait : 30 (30 + 1 ) 10 (1 + 2 + 3 . . . + 30) = 10----~2------- = 4 650 g. S’il manque 1 g, le coupable est le premier vassal. S'il en manque 2, c'est le deuxième etc... S'il en manque 30, c'est le trentième. 27 Les pharmacies Les pharmacies doivent être créées en b, i, / et m. Cela apparait clairement lorsqu'on fait un dessin, en représentant chaque pâté de maisons par un point et en les joignant lorsqu'il y a voisinage. 159
28 Le plein d’essence Soit x la capacité de la petite voiture. Soit X la capacité de la grosse voiture. Soit p le prix en couronnes du litre d'essence ordinaire. Nous avons : Système I x + X = 70, xp = 45, X (p + 0,2) = 68. Éliminons p. Il en résulte : Système II x + X = 70 45 X + 0,2 xX = 68 x éliminons X. Il en résulte : 2x2 + 990x — 31 500 = 0 ou bien : (x —30) (2 x + 1 050) = 0 La seule solution possible est donc : x = 30 litres. Il en résulte : X = 40 litres. Telles sont les capacités demandées. 29 Les pommes Soit a la part finale d'Amélie, c celle de Charlotte, 2 c celle de Berthe (0 celle de Dorothée). Par le tableau suivant, nous nous proposons de faire l'étude chronologique inverse de l'évolution des parts : 160
Amélie Berthe Charlotte Dorothée Fin a 2 c C 0 Avant action de Dorothée a — c C 0 4 + 3c Avant action de Charlotte a — 2c 0 1 + 3 c 4 + 2 c Avant action de Berthe ou après action d'Amélie 0 4 a — 8 c 1 + 5 c — a 4 + 4 c — a Ces trois dernières parts doivent être égales. D'où les équations : 4 a — 8 c = 1 + 5 c — a, 4a — 8 c = 4 + 4 c — a. D'où il résulte : c = 3, a = 8. Amélie a donc distribué huit pommes à chacune de ses sœurs : elle avait ramassé 32 pommes. 30 Pour vous rajeunir Un oiseau est une bête à ailes : O.I.S.E.A.U. = P 4. Une vache est une bête à pis : V.A.C.H.E. = Pn. Multiplions cette dernière expression par L, il vient : V.A.C.H.E.L. = P rr 4 ou C.H. E.V.A. L = P n L. Faisons alors le rapport d'un cheval sur un oiseau, nous avons : C.H.E.V.A.L _ O.I.S.E.A.U Or, comme il n'y a aucune commune mesure entre un cheval et un oiseau, n est bien incommensurable I 31 Pouvoir d’achat Considérons l'ancien salaire de M. X. Sans augmentation, son pouvoir d'achat aurait diminué dans la proportion : 1/(1 + 0,12). Avec augmentation, son pouvoir d'achat a été multiplié par : (1 + 0,22)/(1 + 0,12) = 1,22/1,12 = 1,089. Son pouvoir d'achat a donc augmenté de 8,9 %. 161
32 Psychologie enfantine Soit EW la proportion de peintures représentant Esquimaux et wigwam. Soit El la proportion de peintures représentant Esquimaux et igloo. Soit U la proportion de peintures représentant Indien et igloo. Soit IW la proportion de peintures représentant Indien et wigwam. Nous avons les relations suivantes : EW+ El + 11 + IW = 1, (IW + //) = 2 (EW + El). H = EW. El =3 EW. Nous pouvons écrire ce système d'équations en fonction uniquement de EW et de IW EW + 3 EW + IW + EW = (IW + EW) = 2 (EW + 3 EW). Ce qui donne : 5£W+/W= 1, 1 EW — !W= 0. D'où l'on déduira aisément : EW = 1/12, IW = 7/12. La proportion recherchée par la psychologue est donc : IWI(IW + EW) = (7/12) : (8/12) = 7/8. 33 Quelle heure est-il? Appelons h cette heure inconnue. C’est le temps passé depuis minuit puisque c'est l'heure qu'il est actuellement. Le temps qu'il reste à passer avant midi est donc : 12 — h. La donnée du problème se traduit ainsi par l'équation : h = (12 — h) + 2 /j/5. Il en résulte que : h = 60/8 d'heure. C'est-à-dire : il est 7 heures et demie. 34 Le réservoir Prenons comme unités les mètres, mètres carrés et mètres cubes. Soit x la hauteur cherchée, soit y la largeur. Longueur : 2 y. Surface de base : 2 y2. Volume rempli par 76 hl. : 0,38 « 2x2 = 76/10. Il en résulte que x2 = 10. 162
Or, en rajoutant ces 76 hl, le réservoir qui était rempli aux trois huitièmes, se trouve rempli aux cinq septièmes. Il en résulte : (5/7 — 3/8). 2 x1. y = 7,6. ou 7,6 y 2.10. (5/7 — 3/8) ' soit : y = 1,12 m. C'est la hauteur demandée. 35 Réunion de famille Le nombre total de poignées de mains échangées est égal à la demi-somme du nombre des mains serrées par chacun : (1/2).(9 x 3) = 27/2. On devrait trouver un nombre entier, ce qui n'est pas le cas. D'où l'absurdité. 36 Réunion de parents d’élèves Soit n le nombre de parents d'élèves présents à cette réunion. Soit m le nombre de professeurs. Le premier d'entre eux a parlé avec 15 + 1 parents, le deuxième avec 15 + 2, etc., le m-ième a parlé avec 15 + m. Or il s'agissait là du professeur de mathé- matiques, à qui tous les parents d'élèves se sont adressés. D'où l'équation : 15 + m = n. Mais 31 personnes en tout étaient présentes : n + m = 31. Enlevons alors membre à membre la première équation de la seconde : n _ 15 = 31 — n, c'est-à-dire : n = 23. 23 parents d'élèves étaient présents lors de cette réunion. 37 Les sacs de farine Soit x le prix d'un sac de farine. Soit y le droit de douane correspondant. Si le premier camionneur laisse 10 sacs à la douane, il ne devra payer des droits que pour 108 sacs. Et de même, le second ne devra payer que pour 36 sacs seulement. Il en résulte les deux équations suivantes : 10 x + 800 = 108 y, 4 x — 800 = 36 y. On peut alors multiplier la seconde équation par 3 et lui soustraire la première. Il en résulte : 2 x — 3 200 = 0. Donc x = 1 600. Chaque sac de farine est évalué à 1 600 pesetas. 163
38 Les sauvages Pour comparer ces deux durées, il suffit de les réduire en jours. Première durée : (7 x 12 x 30) + 30+ 10 = 2 568. Deuxième durée : (6 x 13 x 4 x 7) + (12 x 4 x 7) + 7 + 3 = 2 530. La première durée est donc la plus longue. 39 Simone et ses complexes Observons le tableau suivant : Époque du traitement Nombre de complexes A la fin Avant le 3® psychanaliste Avant le 2® psychanaliste Avant le 1®r psychanaliste 1 (1 + 0,5).2 = 3 (3+ 0,5).2= 7 (7 + 0,5).2 = 15 Simone avait donc 15 complexes au départ. Le coût total du traitement a donc été de : 14 x 197 F = 2758 F. 40 Le terrain carré Soit x la longueur du côté extérieur de l'allée. Soit y la longueur du côté intérieur de l'allée. Nous avons les deux équations suivantes : x2 — y1 = 464, 4 x — 4 y = 32. Il en résulte : x = y + 8. Donc : x = 33 et y = 25. La superficie totale du terrain de Mathieu est donc de 1 089 m2. 41 Le tournoi de tennis Chaque match correspond à i'élmination d'un joueur. Comme 199 personnes sont inscrites au tournoi, 198 sont à éliminer. Il faudra donc 198 boîtes de balles pour l'ensemble de ce tournoi. 42 Le thermomètre Température réelle : (105 —1)/100 = 15°38' 164
43 Le tonneau Soit un le nombre de façons de vider un tonneau de n litres avec deux récipients de capacités respectives de 1 I et 2 I. Un tonneau de n litres se videra ou bien en commençant par enlever 1 I (et il reste alors n — 1 I à vider), ou bien en commençant par enlever 2 I (et il reste alors n — 21 à vider). D'où la relation de récurrence : Un = Un-1 + Un-2. Ici, nous avons évidemment : u0 = 1, Ui = 1. Il en résulte : u2 = 2, u3 = 3, u4 = 5, u3 = 8, u6 =13, u, = 21, u8 = 34, u9 = 55, Ujo ” 89. Il y a donc 89 façons de vider un tonneau de 10 I avec deux tels récipients. 44 Veaux, vaches, cochons, poulets Soit c le prix d'un cochon. Prix d'un veau : 10/3.c. Prix d'une vache : 10/3. c + 4 000. Prix d'un poulet : 5/3 000.10/3. c. D'où l'équation : 50/3.c + 20 000 + 70/3.c + 9c + c/180 = 108 210. Donc : c = 1 800. Le montant de la dot est ainsi : 6 000 + 10 000 + 1 800 + 10 = 17 810 F. 45 Le vieil Ihsan Soit n ce nombre d'enfants. Nombre de petits-enfants : n2. Nombre d'arrière-petits-enfants : n3. Nombre d'arrière-arrière-petits-enfants : n*. Nombre total de personnes du groupe « descendance directe » : 1 + n + n2 + n3 + n* = 2 801, donc : n + n2 + n3 + n* = 2 800 = 2*. 52.7 et nous avons n = 2, 4, 5, 7 ou 8. Or 8* = 4 096 donc n < 8. Un essai avec n = 7 montre que c'est la solution : Le vieil Ihsan à 7 enfants. 165
46 Les 32 cartes Les quatre joueurs ont chacun, à la fin, huit cartes. Christophe venant alors de partager ses cartes avec Alfred et Bruno, il y avait précédemment : seize cartes pour Christophe et quatre pour Alfred ou Bruno. Mais Bruno venait alors de partager ses cartes avec Christophe et Alfred. Il y avait donc juste avant : huit cartes à Bruno, deux à Alfred et quatorze à Christophe. Et cela, juste après que Alfred eut partagé ses cartes avec Christophe et Bruno. Ils avaient donc initialement : Alfred : quatre cartes; Bruno : sept cartes; Christophe : treize cartes, et Damien (dont le jeu n'a pas été modifié depuis le début) : huit cartes. 166
/•Et maintenant, à vous de jouer 1 La grenouille Considérez une ligne de sept cases, sur laquelle vous disposerez, comme sur la figure, trois pions blancs et trois pions noirs. Vous pourrez déplacer les pions en respectant les règles suivantes : — les pions noirs ne peuvent se déplacer que vers la droite, les blancs vers la gauche; — dans chacun de ses mouvements, chaque pion ne peut venir occuper qu'une case vide, soit en avançant d'une case, soit en sautant (comme une grenouille) en dessus d'un pion de couleur opposée. Vous aurez gagné si, en respectant ces règles, vous arrivez à inverser la position des pions blancs et des pions noirs par rapport à leur position initiale. Et maintenant, à vous de jouer... Exemple de jeu perdu : Si l'on commence par faire jouer deux fois consécutivement les noirs, on peut seulement faire avancer le dernier pion noir et l'on arrive alors à une situation bloquée, ou perdue. 2 La marelle Historique : La marelle (ou mérelle) est un jeu extrêmement ancien, très répandu en Orient sous le nom de « jeu des trois routes ». La première mention certaine se trouve 167
dans les œuvres d'Ovide (Tristes et Art d'aimer). On y dit la chose suivante : « Ce jeu se joue sur une petite table spéciale au moyen de trois pièces pour chaque joueur; pour gagner, il faut amener ses trois pièces sur une môme ligne ». Prenez un morceau de carton et faites-y le dessin suivant : Prenez aussi trois pièces d'argent et trois pièces d'or (si vous êtes à la plage, faites le dessin directement dans le sable, et jouez avec trois cailloux blancs et trois cailloux noirs). Choisissez alors un partenaire aussi intelligent que vous-même et donnez à chacun une série de trois pièces. Celui qui commence placera une de ses pièces dans l'une des neuf cases rondes, au choix. Puis le second en placera une à son tour dans l'une des huit cases restantes. Le premier joueur placera alors sa seconde pièce, etc. Lorsque les pièces seront toutes placées, chaque joueur, lorsque ce sera son tour, déplacera au choix l'une de ses trois pièces sur l'un des seize trajets prévus, à condition que l'autre extrémité en soit libre. A gagné, celui qui place le premier ses trois pièces sur une même ligne. 1 ° Lorsque vous aurez fait un certain nombre de parties, vous constaterez sans doute que celui qui commence gagne, à condition d'adopter une tactique convenable. Quelle est-elle? 2° Introduisez alors la règle supplémentaire suivante : « Il est interdit au joueur qui commence de placer sa première pièce au centre ». Le deuxième joueur y placera alors généralement sa première pièce. Il y a alors six tactiques différentes pour le premier joueur : I. Placer ses deux premières pièces sur deux milieux opposés. IL Les placer sur deux milieux voisins. III. Sur un coin et un milieu opposé. IV. Sur coin et milieu voisins. V. Sur deux coins opposés. VI. Sur deux coins voisins. Quelle est, selon vous, la meilleure de ces tactiques? 168
3 Cannibale oui ou non ? L'ILC D€ OMIZIT7E, OCST BléM CONNU JTCST HABJTéé QUC PAS. D€O< %jJPLA06S b'ASP&CT œJTïQlte MAIS t£ TéMFtXAHéNrt» FORT bIFFëfâlTS L£S HABITANTS b£ TRIOOSSé QUI üsênt -îocüouies la veKnèéT GCJX Dé LAILÜÊ QUI MS SAÆNT GU€ HCKJTl^. J€ beSARQUC. TROIS HAgJWîS ARRIVeNTVtÊS MOI. J'iqKOfô. L'ORiqiKfe FfôSOSé. bé CHACUN]. OUAT/Z/TTC S'IL VOUS PLAIT MONSieUR COMBieM y-A-T-IL ÙÊTRIOOSSIfeMS PftRHI VOUS? . BAtAtXOl) BOUBOU BOUUOU QUÉLLfc INVITATION ACCfcPItR.CâZÊ Dé Z-'/NDléN A UÊIX PLUMÉS OU caxe ce L-'/Nbiew A ims plumés ?
4 Un diagnostic sérieux ATT6MT10W ! Z£.l>essiMA-nax, TRÈS MAUNARA- jouré ack p®r» TOUJOURS ewxs, Biw-sûr^dê nos TROIS MfebÊüMSt J)' AUTRES FW5ROS éXTOXéS PAR. ATnees bullés pouvWT Ênat VRAIS Oû FAUX. PROVléNNéNT D'ON excès D’ÉPINARDS R. U ANID IOTIF7O uuAi/not IL S'AGIT D'UNe MAUIMI Sê. COOR' oimatiom oe vision wrct vos beux \fcux OPHTALMOWie. NtWÇéN'ÊSTPAS LA FÆVR^JWNe MAIS VOUS HHeZ TRpF.' VOS XéUX SONT PAWTMTeMarr COORDONNéS. MAIS VarRéNOüR- RJTJRfc COURANTE- Né CONFORTE RAS Asset DlÉPlNARDO QÜ6 M6 CON$^ILl£L-VOÜS? MANÇeR C'-éPIVARDS, CONTINUER. À FUM6R., PORTéA CCS LUNéTTfeS OU soiquen. ma FlèVRÊ JAUNÊ?
5 Grands-mères menteuses J'AI J'AI CMIUE SEPT PETITS-ENFANTS. DŒK PETITS-ENFANTS MOINS QUE C^BRIELLE. J'AI PLUS QUE LEON l€ UN PETIT-eNFANT DE ÇABRIELLE ZE.ONIE A DIX PETITS EAlFANtTS. EKlTRE Le NOMBRE DE PETITS- ENFAMTS <DE LéONlE ET l£, NOMBRE SES MIENS. IL Y A CE N'EST TAS MOI QUI______" EN AIT LE MOINS. j’ai nions ne petits-enfants QU' EMILLE 6M/L6 EM A HUIT LCONI € qABRIELLE CM A TROIS LE PLUS QU’ EMILIE ATTENTION ! CHACUN £65 ÇRANLS-M^e DIT Z.A \fc^lTé W45 £eux œ ses affirmations er meMt ws la TROISIEME, COMBieM C-HACJDM6 D'ELLES A-'PELle V^ITABLEMêlU- D6 TfeTlTS-eKlfANTS ?
6 Un grand-père cosmopolite •A ZURICH. MAIS A *RIS 5A RCTRAITCCM zécAMoe. PRIS SA RsETRATC CH ZCLANLC IL A Véa> A ZANZIBAR N’A PAS PRIS CA PCTRAITC CH ZCMHDC HT IL CST MORT A ZURICH. COMMêHT A Vécu QRANC- PàRe ? jktiüAuaau
7 Pour une saine utilisation de votre paquet de cigarettes Nous présentons ici un jeu très ancien : le Jeu de Nimm. Prenez un paquet de cigarettes, si possible non entamé. Partagez-le en deux tas inégaux (par exemple sept et treize cigarettes). Choisissez un partenaire aussi intelligent que vous et jouez tour à tour en enlevant chaque fois un certain nombre de cigarettes choisi ou bien dans l'un des deux paquets seulement, ou bien équiréparti entre les deux paquets (par exemple, si vous commencez, vous pouvez enlever quatre cigarettes dans le 1er tas; ou bien encore cinq dans chacun des deux). A gagné celui qui enlève la dernière cigarette. 173
Bien joué ! 1 La grenouille Nous remarquons d'abord qu'à chaque phase du jeu, il ne peut y avoir au plus qu'une façon de jouer pour une couleur donnée. Toute marche de jeu peut ainsi être décrite par la succession ordonnée des couleurs employées. Voici donc la solution : Jouer Noir une fois, puis Blanc deux fois, puis Noir trois fois, puis Blanc trois fois, puis Noir trois fois, puis Blanc deux fois, et Noir une fois. Ce jeu admet une deuxième solution, symétrique de la précédente, et que l'on obtient en échangeant systématiquement les rôles des noirs et des blancs. Généralisation : Considérez une ligne de (2 n + 1 ) cases, avec n pions noirs à gauche et n pions blancs à droite. Échanger suivant les mêmes règles que précédemment, les pions noirs avec les blancs. Solution : Jouer Noir une fois. Blanc deux fois. Noir trois fois etc... Noir ou Blanc (n — 1 ) fois. Blanc ou Noir n fois. Noir ou Blanc n fois. Blanc ou Noir n fois. Noir ou Blanc (n — 1 ) fois, etc. Noir trois fois. Blanc deux fois et Noir une fois. 174
2 La marelle Numérotons les cases de la marelle : Soit C le joueur qui commence et F celui qui finit de placer ses pions. Placement initial Déplacements ordinaires des 3 pièces de 8 en 9, de 5 en 6 etc... Deuxième cas : F place sa première pièce sur un milieu. Déroulement : C 5 1 7 12 23 Victoire F 8 9 4 *— — Dans un cas comme dans l'autre, C a gagné. 2° Celui qui commence ne peut pas se mettre au centre Déroulement I : C 2 8 1 — — F 5 9 4 96 Victoire Déroulement II : C 2 6 3 — — F 5 7 9 58 Victoire Déroulement III : C 1 6 3 — — F 5 7 2 78 Victoire 175
Déroulement IV : le joueur qui commence C est alors la meilleure puisqu'elle conduit à un match nul : c'est la seule qui ne fait pas perdre C (si le deuxième joueur F joue parfaitement). 3 Cannibale oui ou non Si « 2-plumes » dit vrai, « 3-plumes » ment. « 1 -plume » a dit « il y a seulement un Trioussien parmi nous ». C'est faux s'il dit vrai et c'est vrai s'il ment. C'est donc impossible. Donc « 2-plumes » ment. Donc « 3-plumes » ne ment pas. Il faut accepter l'invitation de « 3-plumes » et refuser celle de « 2-plumes ». 4 Un diagnostic sérieux Une observation attentive des propos des trois médecins montre que la seule solution possible est la suivante : J'ai une mauvaise coordination de vision entre mes deux yeux. Je fume trop. Je ne mange pas assez de chocolat! et je n’ai pas la fièvre jaune. Les véritables propos de l'homéopathe étant dans la 2e bulle, ceux du généraliste et de l'ophtalmologiste dans la 1,e bulle. 5 Grands-mères menteuses Il y a trois hypothèses possibles : 1 ° Émilie a sept petits-enfants. Léonie ment alors dans sa 3° affirmation. Elle dit donc la vérité dans les deux autres. Les contradictions abondent alors dans les propos de Gabrielle. 2° Émilie n'a ni sept, ni huit petits-enfants. Émilie et Léonie mentent alors en disant qu'elle en a sept, ou bien huit. Leurs autres propos sont donc exacts. Mais les contradictions abondent. 3° Émilie a huit petits-enfants. 176
Elle ment donc en disant qu’elle en a sept. Elle dit donc la vérité dans ses deux autres affirmations. Léonie a sept petits-enfants, Gabrielle dix. Tout concorde. 6 Un grand-père cosmopolite Des propos du cousin III, on déduit que le grand-père n'a pas pris sa retraite en Zélande. Donc le cousin II dit la vérité dans la première bulle : le grand-père est né à Zagreb et il est mort à Zurich. Donc la première bulle du cousin I est fausse; la seconde est vraie, il n'a pas vécu au Zaïre. Observons à nouveau les propos du cousin III; la première bulle est fausse, donc la seconde est vraie : le grand-père a vécu à Zanzibar. En résumé : Il est né à Zagreb, à vécu à Zanzibar, n'a pas pris sa retraite en Zélande et est mort à Zurich. 7 Pour une saine utilisation de votre paquet de cigarettes Représentons toute situation du jeu par les nombres de cigarettes des deux tas correspondants. Nous obtenons le diagramme ci-dessous : En jouant, on se déplace ou bien suivant une parallèle à l'un des deux axes, ou bien suivant une parallèle à la 1re bissectrice. A gagné celui qui arrive à l'origine So. Donc, a perdu celui qui arrive à l'un des deux axes ou à la 1re bissectrice. Donc, a gagné celui qui arrive à la situation Si (1,2) ou SI (2,1) car, à partir de Sj ou de S(, on ne peut en effet qu'aboutir à l'une des 3 droites précédemment décrites. Donc, a perdu celui qui arrive à l'une des trois droites menant à chacun de ces deux points. Donc, à gagné celui qui arrive à la situation S2 (3,5) ou S'2 (5,3) .etc. On arrive de proche en proche à la série des points gagnants suivants (chaîne qu'il faudra essayer de rejoindre et de ne jamais quitter lors du jeu) : Sj|1 Sî|3 S3I4 S4I6 S5I8 Sg|9 etc. |2 |5 |7 |10 ]13 |l5 et leurs symétriques. 177
On remarque que la différence des deux coordonnées est égale à l'indice de la situation correspondante. On remarque même que, si l'on appelle a le fameux nombre d'or (racine de l'équation a2 = a + 1, valant J—, ou 1, 618). les coordonnées de la situation gagnante d'indice n sont les suivantes : partie entière de (n.a). partie entière de (n. a) + n. (Cet exemple est tiré du cours de théorie des jeux du Professeur Jean Bouzitat). Imprimerie GAUTHIER-VILLARS, 70, 'ue de Saint-Mandé, 93100 MONTREUIL 198219 — Dépôt légal. Imprimeur, 1981, n° 2453 Dépôt légal : janvier 1982 Imprimé en France