01Е аКиЫОЬЕНКЕН ЭЕК МАТ Н ЕМАТ15 СН
СНАРТЕК Ш Е1 N2 Е Ь В А КЗТЕЬ Й
ВАЫЭ III
Р1ШКТ1ОЫЕМТНЕОК1Е
УОП
А. НиК^1Т2 ипй К.
ОК1ТТЕ АУРЬАОЕ
УЕКЬАО УОН ЛЦЬШЗ 5РК1ЫОЕК
19 2 9

Р. КУРАНТ
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
ПЕРЕВОД С ТРЕТЬЕГО
НЕМЕЦКОГО ИЗДАНИЯ
Ю. В. ИКОРНИКОВА
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
Н. Е. К О Ч И Н А
Допущено Наркомпросом в качестве
учебника для вузов на 1934/1935
учебный год
ОНТИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ЛЕНИНГРАД 1934 МОСКВА

ОТ РЕДАКТОРА
Предлагаемая вниманию читателя книга представляет
собой в немецком оригинале вторую половину третьего
тома немецкой серии ,&\е СшпсИеЬгеп с1ег Ма1Ьета1л5сЬеп
В виду того, что обе половины этого тома написаны
разными авторами и представляют каждая самостоятельное
целое, взаимно дополняющее друг друга, Технико-теорети-
Технико-теоретическое издательство решило издать переводы обеих частей
тома отдельными книгами, первая из которых уже вышла
в свет под заглавием: А. Гурвиц, Теория функций ком-
комплексной переменной и эллиптических функций.
Н. /Сочин.
2-я типография ОНТИ им. Евг. Соколовой. Ленинград, проспект Красных Командиров, 29.

ВВЕДЕНИЕ.
При развитии теории функций комплексной переменной
можно исходить из различных точек зрения. Прежде всего,
можно положить в основу простейшие явные выражения
относительно г, именно, полиномы со"С1 г Л-. . . -\- спг\
и затем, путем предельного перехода, увеличивая беспре-
беспредельно степень полинома, перейти к более общим функ-
функциям, представимым „степенными рядами". На этой основе
воздвиг здание теории аналитических функций Вейерштрасс,
и изложению этой теории посвящен курс Гурвица, содер-
содержащий общую теорию функций 1).
Однако, при развитии теории функций можно избрать
и другой путь, в некоторых отношениях более простой.
Именно, пытаются охарактеризовать аналитические функ-
функции такими свойствами, которые опираются на геометри-
геометрические представления и позволяют с большей легкостью,
чем степенные ряды, обозреть поведение функции в целом.
Построение теории функций с такой точки зрения примы-
примыкает в основном к работам Римана, проложившим новые
пути и основанным не только на геометрических, но и на
физических представлениях.
Целью настоящей книги и является: дать вводный об-
обзор этой „геометрической теории функций".
) А. Гурвии,. Теория аналитических и эллиптических функций, перев.
с 3 нем. изд., ГТТИ, 1933. В дальнейшем эту книгу будем цитировать
просто Гурвиц.

ГЛАВА ПЕРВАЯ.
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ.
§ 1. Комплексные числа.
Приведем здесь без доказательства некоторые элемен-
элементарные теоремы, относящиеся к основным понятиям тео-
теории функций. Эти теоремы должны быть знакомы чита-
читателю и в дальнейшем они будут предполагаться извест-
известными.
Комплексное число определяется как пара (а, Ь) „веще-
„вещественных" чисел а, Ь и обозначается также символом
г = а-\~ Ы. Комплексное число а -|-( — Ь) I называется со-
сопряженным с числом х = а-\^Ы и обозначается символом 2.
Геометрически комплексное число а -\- Ы обыкновенно
изображают в некоторой плоскости точкой с прямоуголь-
прямоугольными координатами а и Ь. Часто поэтому говорят, не при-
придавая этому существенного значения, о точке 2 = а~\~Ы
вместо того, чтобы говорить о числе х = а -\- Ы.
Под вещественным числом а мы будем понимать в
дальнейшем пару чисел (а, 0). Напротив, каждую пару чи-
чисел вида @, Ь) будем называть чисто мнимым числом и
для краткости обозначать символом Ы. В комплексном
числе г = а-\-Ы число а называют вещественной частью,
число Ъ—мн смой частью числа г и обозначают их соответ-
соответственно символами Шг и {$г.
Правила сложения и умножения комплексных чисел опре-
определяются равенствами:
(а -|- Ы) + (с-|- Л) — (а \- с)-\-(Ь + с/) /;
(а + Ы) • (с -[- Л) = {ас — Ъа1) + (аа1 \ Ьс) /.

Все обычные правила вычислений имеют место и при
этих новых определениях. В частности вычитание полу-
получается как действие, обратное сложению, и деление на
комплексное число, отличное от нуля,—как действие, обрат-
обратное умножению.
Далее получается
/2 1
Вместо прямоугольных координат а, Ъ точку г = а -{- Ы
можно определить ее полярными координатами г, ?, где
СО5 Ъ = — , 51П О = (ПрИ 27=0) ,
причем © определено лишь с точностью. до слагаемого,
кратного 2?г, и может быть выбираемо, например, в промежутке
0<^?<2тг. Из обратных формул
а=~~- Г СО8 <р, 6 = Г 51П ©.
будем иметь, что
X ~ /- (сО8 ^ р г 51П ср).
Число г—„радиус-вектор" точки 2, называется абсолют-
абсолютной величиной или модулем числа 2 и обозначается че-
через | г |. Число ? называется амплитудой или аргументом
числа г и обозначается через ъх%х. Величина \гх — г2 обо-
обозначает геометрически расстояние между точками 2\ и 22.
Для абсолютных величин комплексных чисел имеют
место формулы
*1 ±
\ -г
Если а какое-нибудь комплексное число, г положитель-
положительное вещественное число, то множество всех чисел 2, удо-
удовлетворяющих неравенству
г — а ] < г,
называется окрестностью а. Геометрически ей соответ-
соответствует внутренность круга радиуса г с центром в точке а.
Если М какое-нибудь множество комплексных чисел г
(геометрически точек плоскости), то точка С называется

точкой сгущения этого множества М, если в каждой
окрестности точки С лежит по крайней мере одна точка х
множества М, отличная от С. Но тогда, в каждой окрест-
окрестности точки С будет расположено бесконечно много точек
множества М. Точка С сама не обязательно должна принад-
принадлежать к М.
Последовательность комплексных чисел хи хъ. . .,г„,. . .
называется сходящейся, если существует такое комплекс-
комплексное число 2, что в каждой окрестности х расположены
все числа хп) за исключением конечного числа их, т. е.
каждому з > 0 должно соответствовать такое целое поло-
положительное число /V, чтобы при всяком п^> N имело бы
место неравенство
*п —*
Такое (однозначно определенное) числом называется пре-
пределом (или Нтез) последовательности и будет вместе с
тем единственной точкой сгущения этой последователь-
последовательности. В этом случае пишут
Нт х __ г в
п ->■ оо "
Бесконечный ряд
называется сходящимся, если последовательность ча-
частичных сумм $1, 52,. . .5,,,. . ., где
гп (п = 1> 2,...)
будет сходящейся. Число 5 = Нт $„ называется суммою ряда.
П -> оо
Обыкновенно пишут так:
оо
п—\
Пусть дано множество комплексных чисел М и пусть
каждому числу х этого множества соответствует каким-либо
образом последовательность чисел щ (х)% щ^),- .. ип(х)...
Такие последовательности 'называются равномерно сходя-
сходящимися на данном множестве М, если они не только схо-
сходятся для каждого отдельного значения х (принадлежа-
(принадлежащего к М) к определенным числам и = и (г), но если,
8

кроме того, каждому г > 0 соответствует такое, независя-
независящее от г натуральное число Л^, что при всяком п^№ бу-
будет иметь место неравенство | ип (г)— и (г) | < г, для всех
•яг, принадлежащих к М.
Аналогично, бесконечный ряд
Щг О) + • • '
«
«2
называется равномерно сходящимся на множестве М, если
последовательность частичных сумм 5Х (г), 52 (г),. . . 5п(г),- • •,
где
? () () + «2
ип (г) (п = 1, 2. . .
равномерно сходится на М. Например „геометрический
ряд"
ряд
оо
2
О
равномерно сходится в круге
1
к сумме — .
</?, где 0 </?<!,
Во многих случаях полезно другое геометрическое пред-
представление комплексных чисел — при помощи точек шаро-
шаровой поверхности, получающееся
стереографической проекцией из
представления при помощи точек
плоскости.
Выберем плоскость г за эква-
экваториальную плоскость шара ра-
радиуса 1, центр которого распо-
расположен в нулевой точке плоскости
будем проектировать каждую
И
точку плоскости г = х-\~гу из се-
северного полюса шара на его по-
поверхность (черт. 1) 1). Проведем Черт. 1.
в пространстве прямоугольные
координаты (;, т], С так, чтобы оси I, т] совпадали
соответственно с осями х и у плоскости и направим по-
положительную ось С к северному полюсу. Между коордийа-
*) Другой способ стереографической проекции, когда плоскость г ка-
касается шара в южном полюсе» тоже часто употребляется. Ср. об этом
5, часть I, гл. 1, § 3 (стр. 21).

тами хУ у точки г и пространственными координатами
;, V], С соответствующей точки сферы имеют место такие
соотношения:
г
2
г.
2
2 __
1
-1
1 —
A)
Единственной точкой сферы, которой не соответствует
при этом представлении никакая точка плоскости, будет
северный полюс. Но если точка 2 сферы приближается
к северному полюсу, то соответствующая точка г плоско-
плоскости будет удаляться как угодно далеко от нулевой точки
плоскости г. Точки плоскости поэтому часто дополняют
еще идеальной „бесконечно удаленной" точкой, рассматри-
рассматривая при этом северный полюс сферы как изображение
этой бесконечно удаленной точки и обозначая ее сим-
символом оо .
Расстояние & между точками 21=(Ь1> ~ци Сл) и 2Г2=:
0ъ Т1 >> ^2) шара, соответствующими комплексным чис-
чис\ \
лам хл ~- х
]
1у> и
гуъ, дается формулой
а — \ (?г
)
^2/
Подставляя значения A), после простых вычислений
получаем отсюда формулу
2
Такое измерение расстояния между двумя точками сферы
в пространстве имеет то преимущество, что оно дает ко-
конечное значение и тогда, когда одна из двух точек плос-
плоскости 2 будет бесконечно удаленной.
§ 2. Основные геометрические понятия 1).
Непрерывною кривой называется множество точек, коор-
координаты которых х и у заданы, как непрерывные функции
1) Вопросы типа, рассматриваемого в § 2, относятся к топологии или
к анализу положения {Апа1у818 зНиз). Развитие этой дисциплины пошло
10

вещественной переменной I в некотором промежутке
^^7^^2- Для целей геометрической теории функций ком-
комплексной переменной можно ограничиться в большинстве
случаев некоторым гораздо более специальным классом
кривых, что мы и будем делать. Мы будем рассматривать
прежде всего гладкие кривые, т. е. кривые, имеющие
в каждой точке (включая начальную и конечную точку)
определенную касательную, направление которой меняется
непрерывным образом, когда точка описывает кривую. Ко-
Конечное число таких гладких кривых, соединенных после-
последовательно друг с другом, составляют кусочно-гладкую
кривую С. Последняя может иметь в точках соединения
друг с другом двух гладких кусков угловые точки или
точки возврата.
Когда будет говориться о кривой, то всегда будет под-
подразумеваться кусочно-гладкая кривая, если не будет сде-
сделана специальная оговорка. Вместо термина „кривая"
мы будем иногда употреблять выражение путь. Кривая
С аналитически задается двумя уравнениями
х = *(*)>
где ?@ и 'Х(^)—непрерывные вещественные функции
параметра ( в промежутке ^ <11 <[ ^2, имеющие кусочно-
непрерывные 1) производные о' (I) и г/ (^), которые нигде
не обращаются одновременно в нуль. Возрастающим зна-
значениям параметра соответствует при этом определенное
в направлении все большего и большего вытеснения „ наивного нагляд-
наглядного представления". В нашем изложении, напротив, нет надобности
стремиться к полной общности и абстрактности указанной теории. Мы
не будем, поэтому, отказываться от наглядных вспомогательных средств.
Однако, в дальнейшем встретится, необходимость еще несколько обоб-
обобщить изложенные в этом параграфе топологические положения.
Полное изложение топологии находится в т. VIII немецкой серии:
1 СшпсИсЬгеп с!ег та^ЬетаИзспеп ^{ззепзсЬаДеп* В. V. Кегёк/аг1о,
^п иЬег Торо1о^1е I, ВегИп 1923.
Функция называется кусочно-непрерывной в замкнутом или откры-
открытом промежутке, если этот промежуток можно разложить на конечное
число частных промежутков так, чтобы внутри каждого частного про-
промежутка функция была бы задана и непрерывна и чтобы при прибли-
приближении извнутри рассматриваемого частного промежутка к точке деле-
деления функция стремилась к конечному пределу. Начальная и конеч-
конечная точки всего промежутка только тогда причисляются к этим „точ-
„точкам деления", если этот промежуток замкнутый. Задавать значения
функции в точках деления нет надобности.
И

направление обхода кривой. От только что рассмотренных
кривых, имеющих начальную и конечную точки, отличают
кривые, у которых эти точки или не причисляются к кри-
кривым или вообще не существуют. Такие кривые будем на-
называть открытыми кривыми. Аналитически такие кри-
кривые задаются опять двумя уравнениями
х = ?(*). з = Ш
где ?(/), ф(^) — непрерывные функции, имеющие кусочно-
непрерывные и нигде не обращающиеся одновременно
в нуль производные, но параметр I здесь меняется уже в
открытом промежутке г1 < I < 12. Примером такой кривой
является х — I, у = зш - , О < I < 2тс.
Кривая называется замкнутой, если ее начальная и ко-
конечная точки совпадают, т. е. если <р(^) = ?(^2) и ФО^) —
= ф (*2)» В этом случае, функции ?(/) и ф (^) можно, оче-
очевидно, рассматривать как непрерывные периодические
функции от г с одним и тем же периодом *2 — ^ (напри-
(например равным 1), так что для всех значений I будут иметь
место уравнения
Кривая называется простой или не имеющей двойных
точек, если она сама себя не пересекает и не касается,
т. е. если
- ? С*)Р + [Ф @ - Ф С*)]2 ^ О,
как только ^ — /* отлично от нуля и для замкнутой кривой
не равно периоду. Это определение не зависит от выбора
параметра I и (для замкнутых кривых) от выбора на-
начальной точки. Иногда требуется кусочно-гладкую кривую
„аппроксимировать" некоторой последовательностью кусоч-
ногладких кривых Си С2. .. Мы будем говорить,что последо-
последовательность кривых Сп аппроксимирует кривую С, если
для кривых Сп можно выбрать такие параметрические
представления
чтобы было
Ит ?„(') = ?(')■ Нтфп«) =
П -> оо П -> со
12

Уточним понятие аппроксимации, а именно, потребуем,
Чтобы кривые Сп, при п достаточно большом, имели на-
направление сколь угодно близкое к направлению кривой С
в соответствующих точках,* т. е. в тех точках, которые со-
соответствуют одному и тому же значению г (за исключением
точек кривой С, являющихся угловыми точками или точ-
точками возврата).. Аналитически это условие можно форму-
формулировать так: пусть 1 = ~19 / —т2,... будут те значения /,
для которых направление касательной к С перестает быть
непрерывным. Выделив такие значения I промежутками
и—~Я,1 <С е, где в—произвольно малое положительное число,
будем предполагать, что для всех остальных значений
в промежутке 1Х <; I < /2 не только функции <рп(г) и
равномерно приближаются к <р@ и Ф@ соответственно,
когда п неограниченно растет:
Нт ?« (Л = 9 (Л, Нт Фг
И. -> со Л ->- оо
но и производные <?П(Д ^п@тоже равномерно приближаются к
(О-
-> ОО
При этом последние равенства мы должны понимать та-
таким образом, что в угловых точках кривой Сп, вместо
®'пA) и $'п{г) можно подставить как правую, так и левую
производные (число угловых точек кривой Сп может быть
больше числа угловых точек кривой С и может даже не-
неограниченно возрастать при п -> оо).
При выполнении этих условий мы будем говорить, что
кривые Сп гладко аппроксимируют кривую С
В частности, каждую кусочно-гладкую кривую можно
гладко аппроксимировать ломаными линиями. Такие ап-
аппроксимирующие ломаные линии могут быть, например,
составлены из надлежащим образом выбранных отрезков
касательных или хорд заданной кривой 1). Если кривая
1) Отсюда следует что кривую С всегда можно гладко аппроксими-
аппроксимировать кривыми Сп, длина которых ограничена одним и тем же числом.
Но не следует думать, что, обратно, если кривые Сп гладко аппрокси-
аппроксимируют кривую С, то длины кривых Сп ограничены в своей совокуп-
совокупности. Так например, если С есть отрезок оси х: 0^х<1, а С
13

простая, то можно поставить еще дальнейшее условие,
чтобы она нигде не пересекала бы аппроксимирующую
ломаную линию.
После этих замечаний о кривых перейдем к более общим
множествам точек. Бесконечно удаленную точку будем пока
исключать из рассмотрения.
Два множества точек называются раздельными, если они
не имеют общих точек.
Множество точек называется замкнутым, если к нему
принадлежат все его точки сгущения, если таковые су-
существуют. Множество точек называется связным, если
каждые две его точки могут быть соединены такой не-
непрерывной кривой, все точки которой принадлежат этому
множеству.
Областью в плоскости называется множество точек, об-
обладающее следующими двумя свойствами' 1) если какая-
нибудь точка принадлежит данному множеству', то и
некоторая окрестность э.той точки принадлежит этому
множеству; 2) рассматриваемое множество точек должно
быть связным. Граничной точкой области называется
такая точка плоскости, каждая сколь угодно малая окрест-
окрестность которой содержит как точки, принадлежащие обла-
области, так и точки, не принадлежащие к ней. Множество
всех граничных точек называется контуром или границей
области. По определению области, данному нами выше,
граничные точки области не принадлежат последней; по-
поэтому говорят, что область есть открытое множество
точек или еще, что область есть множество, состоящее
только из внутренних точек. Если кривая С состоит только
из граничных точек некоторой области С, то говорят, что
эта область С ограничена кривой С. Причисляя к области
ее граничные точки, будем говорить о замкнутой области,
хотя применение здесь слова „область" в связи с нашим
определением последней представляет маленькую неточ-
неточность языка.
кривая, заданная уравнениями: у = 0 при 0 ^ V -—- и <" х
ппг. пк
1.1 1^.1 г
и ц = —81п при -^ х <. —, то кривые С,, гладко аппроксими-
руют кривую С и в то же время длина Сп превосходит 2{пп~ —1).
(Прим. ред.)
14

Если все точки некоторой области С" принадлежат от-
открытой или замкнутой области С, то С называется об-
областью внутренней к области С. Если же все точки не-
некоторой замкнутой области В принадлежат к открытой или
замкнутой области С, то В называется замкнутой обла-
областью, внутренней к области С.
Совокупность всех точек плоскости, не принадлежащих
к внутренним или граничным точкам области С, называется
множеством, внешним к области С. Область в плоскости
называется ограниченной^ если она вся целиком лежит
внутри некоторого круга. Мы будем сперва рассматривать
только ограниченные области.
Часто бывает полезно следующее замечание. Если С
будет кусочно-гладкая {не открытая) кривая, расположен-
расположенная вся внутри некоторой ограниченной области С, то
существует такое положительное число а1, что вся-
всякий круг радиуса а1 с центром в какой-либо точке этой
кривой будет весь расположен внутри С. То же самое
имеет место, если вместо кривой будем рассматривать
какую-нибудь замкнутую область, внутреннюю к С.
Действительно, в противном случае должна существо-
существовать такая последовательность точек Ри Р2,-- кривой С,
что радиус наибольшего круга с центром в точке Р„, все
внутренние точки которого принадлежат еще области С,
будет стремиться к нулю, когда п неограниченно возрас-
возрастает. Каждая точка сгущения этой последовательности бу-
будет, с одной стороны, точкой кривой С, а с другой сто-
стороны, она не может принадлежать области С, так как ни-
никакая окрестность этой точки не принадлежит С. Полу-
Получилось противоречие.
Граничные точки области могут образовать чрезвычайно
сложное множество, которое не подходит под понятие кри-
кривой, определенное нами выше, и с трудом поддается на-
наглядному представлению. Рассмотрим, например, две об-
области, изображенные на черт. 2 и 3. На черт. 2 внутри
прямоугольника АВСО проведены прямолинейные разрезы
попеременно от сторон АВ и Си, длина которых все уве-
увеличивается по мере приближения к стороне ВС и которые
сгущаются к этой стороне. Областью в этом случае будет
то множество точек, которое остается от прямоугольника,
если из него удалить все точки, лежащие на этих разре-
разрезах, а также все точки контура прямоугольника. На черт. 3
15

область закручивается асимптотически около предельной
кривой А.
Мы сперва не будем рассматривать области, огра-
ограниченные такими сложными контурами, а будем иметь
в виду только такие области, контур которых образован
конечным числом кусочно-гладких кривых. В частности,
особенно важную роль будут играть те области, контуром
Которых служит одна единственная простая замкнутая ку-
кусочно-гладкая кривая. Примером такой области может слу-
служить область, образованная всеми внутренними точками
круга. Далее, в случае кусочно-гладких кривых мы будем
считать наглядно очевидной теооему Жордана Цогаап).
С
В
Черт. 2.
Черт. 3.
Эта теорема состоит в следующем: каждая простая зам-
замкнутая кривая разлагает множество всех точек плоско-
плоскости, не лежащих на этой кривой, на две раздельных
области, на ограниченную „внутреннюю область"* и на
неограниченную „внешнюю область" !).
*■) Доказательство этого предложения см. например у В. V. Кегёк-
]6.Нб, 1. с. стр. 59. Наметим здесь вкратце доказательство теоремы Жор-
Жордана для многоугольников. Рассмотрим простую замкнутую ломаную
линию П и какое-нибудь направление г, не параллельное ни одной из
ее сторон. Через каждую точку Р плоскости, не лежащую на II, про-
проведем луч, параллельный г. Если этот луч пересекает ломаную II
в четном числе точек, то причислим точку Р к множеству точек М\9 в против-
противном случае к множеству точек М2 (если точка пересечения г с II совпадает с
вершинойП, то такую вершину мы причисляем к точкам пересечения толысо
тогда, если ломаная переходит в этой вершине с одной стороны
прямой г на другую). Очень легко видеть, что П разделяет оба множе-
множества точек друг от друга и что вместе с каждой точкой множества М\
последнему принадлежат и точки некоторой ее окрестности (тоже
для М2). Граничными точками Мх (тоже для М2) будут поэтому
только точки ломаной П, и притом все эти точки. До сих пор мы
не пользовались отсутствием двойных точек у П; следовательно, каж-
16

Мы не будем в дальнейшем пользоваться этой теоремой
во всей ее общности, а ограничимся применением только
того частного случая, который изложен в только что приве-
приведенном примечании.
Мы будем пользоваться далее в разнообразных случаях
тем обстоятельством, что многоугольную область, лежа-
лежащую внутри замкнутой ломаной линии, можно разложить
на конечное число треугольников !). Ограниченная область,
контур которой состоит из кусочно-гладких кривых, называ-
называется односвязной, если ее граничные точки образуют одно
единственное связное множество точек, например, простую
замкнутую кривую. Такая односвязная область С обладает
тем свойством, что многоугольная область, лежащая внутри
всякой простой замкнутой ломаной линии, расположенной
внутри С, также принадлежит целиком к области С. Дей-
Действительно, если простая замкнутая ломаная линия П вся
расположена внутри С, то контур области С будет распо-
расположен весь или внутри или вне П, так как он не пере-
пересекает П. В первом случае вся внешняя для II область бу-
будет принадлежать области С, а во втором случае вся вну-
внутренняя для П область. Первый случай должен быть исклю-
дая замкнутая ломаная линия ограничивает два открытых множества
)почек М\ и М2. Если М1 (или Л/2) состоит из нескольких областей, то
контур каждой из них будет очевидно состоять из частей отрезков,
образующих П, и будет тоже замкнутой ломаной линией. Если же П яв-
ляегся простой линией, то не существует, кроме II, другой замкнутой
ломаной линии, которая составляла бы часть П, и следовательно, каждое
из множеств М1 и М2 может состоять только из одной области. Полу-
Полученные результаты и составляют содержание теоремы Жордана для
случая замкнутой ломаной линии П.
*■) Возможность такого разложения доказывается так Для выпуклого
многоугольника разложимость на треугольники непосредственно оче-
очевидна, ибо стоит только какую нибудь внутреннюю его точку соединить
со всеми его вершинами, чтобы получилось такое разложение. Если П про-
произвольная замкнутая ломаная линия, то продолжим все ее стороны до
бесконечности в том и другом направлении. При этом вся плоскость
разделится на конечное число многоугольных полей Г, из которых одно
или несколько образуют внутреннюю для П область. Если § одна из
прямых, ограничивающих поле Г> и Н—та, ограниченная ^ полуплос-
полуплоскость, которой принадлежит Г, то поле V будет образовано множеством
всех точек, которые принадлежат всем только что определенным полу-
полуплоскостям//. Так как все^РИГполуплоскости являются выпуклыми обла-
областями, то общее им множество точек, т. е. Р, должно быть также вы-
выпуклым. Таким образом внутренняя для П область разложена на ко-
конечное число выпуклых многоугольных областей и следовательно тео-
теорема о разложении доказана 4МЯН№Зм случае.
2 Зак. 1985. Курант. 17

чен, так как область С ограничена. Таким образом, Много*
угольная область внутри ТТ принадлежит области С. Дока-
Доказанное только что свойство, что область внутри простой
замкнутой ломаной линии П, расположенной в области С,
также принадлежит С, является внутренним свойством са-
самой области С, не имеющим уже более отношения к кон-
контуру области. Это свойство будет единственным свойст-
свойством односвязных областей, которым мы будем пользоваться
в дальнейшем. Оно могло бы поэтому также служить определе-
лением односвязности области. Это новое определение
распространяется при этом и на такие области, кото-
которые не ограничены кусочно-гладкими кривыми.
Из этого свойства следует, что в плоской односвязной
области каждую замкну ту ю ломану ю линию можно стянуть
непрерывным изменением к любой
из ее точек, которая остается не-
неподвижной при этом изменении.
Прежде всего, каждую замкну-
замкнутую ломаную линию можно раз-
разложить на простые. В этом можно
убедиться, отделив простую замк-
замкнутую ломаную линию от не
Черт. 4- простой следующим образом. Если
будем обходить ломаную (черт. 4)
из вершины Р, то найдется последняя точка С? среди тех,
которые после их прохождения мы встретим еще только
один раз (для простого контура многоугольника такой точ-
точкой будет сама точка Р). Та часть первоначальной ломаной,
которая пробегается между этими двумя прохождениями
через точку С?, образует простой контур многоугольника,
пробегаемый один раз. Отделяя этот контур и применяя
тот же процесс в случае нужды несколько раз к остав-
оставшейся ломаной линии, придем в конце концов к простому
контуру многоугольника. Таким образом, предложение до-
достаточно доказать для простого контура многоугольника.
Если П простая замкнутая ломаная линия, расположенная
в С, то внутренняя для П область М тоже принадлежит С.
Покажем, что И можно свести в точку не выходя даже
из замкнутой области М. Если М треугольник, то это оче-
очевидно. Если область М образована из п треугольников, то
воспользуемся методом индукции. Пусть п > 1. Если от М
отнять один из граничных треугольников (т. е. имеющих
18

Одну или две стороны общих с П), то останется область
М', состоящая из (п — 1) треугольников. Ее контур ТГ
можно внутри области М непрерывно перевести в контур
области Л/, так как сторону треугольника можно непрерыв-
непрерывным образом деформировать в две другие стороны, оставаясь
внутри треугольника. Обратной деформацией можно пере-
перевести П в ГГ. Деформированная ломаная линия 1Г может
оказаться не простой *); но она ограничивает область, со-
состоящую меньше чем из п треугольников, и те простые
части, на которые она может быть разложена, в случае
когда сама не является простой, ограничивают области,
состоящие из еще меньшего числа треугольников. Поэтому
можно использовать основное предположение метода ин-
индукции (справедливость теоремы для областей, состоящих
из числа треугольников, меньшего п). Таким образом П',
а значит и П можно свести непрерывным изменением к
любой его точке.
Это свойство также можно принять за определение од-
односвязности. Такое определение годится не только для
плоских областей, но и для областей, расположенных
в пространстве или на „поверхности Римана" (ср. гл. V,
§3).
Если область односвязная и ограничена кусочно-глад-
кусочно-гладкими кривыми, то под положительным обходом области бу-
будем понимать обход контурных кривых в таком направлении,
что на всякой гладкой дуге кривой касательная, направлен-
направленная по направлению обхода, после поворота в положитель-
ном направлении &) на угол -^ переходит в нормаль, напра-
направленную внутрь области. В этом слу-
случае будем также для краткости гово-
говорить, что область при обходе остает-
остается влево.
Заметим, что в случае не простых
1) Например в случае, если за М взять пя-
пятиугольник ЛВСОЕ (черт. 4а), за выкидывае-
выкидываемый граничный треугольник АСЕ и следова-
тельно за М' совокупность треугольников ЛВС Нерт. 4а.
и СОЕ. Прим. ред.
2) Положительным направлением вращения будем называть такое
направление вращения, при котором положительная ось X переходит
кратчайшим путем в положительную ось У,
2* 19

контурных кривых также можно установить положительное
направление обхода области, как показывает например черт. 5.
Ограниченную область, контуром которой служат 2,3,..., п
замкнутых кривых, не имеющих попарно общих точек,
будем называть двусвязной, трехсвязной, п-связной и во-
вообще многосаязной областью или областью конечно-крат-
конечно-кратной связности. По-
Понятия односвязности
и многосвязности мы
будем применять, ко-
конечно, надлежащим
образом и к замкну-
замкнутым областям. Раз-
Разрезом или сечением
ч 5 произвольной обла-
области будем называть
простую кусочно-
гладкую кривую, начальная и конечная точка которой лежат
на контуре, а все остальные точки расположены внутри об-
области. Разрезать область вдоль какого-нибудь разреза
значит отнять от области точки, принадлежащие этому
разрезу, и рассматривать оставшееся множество точек.
Односвязная область разлагается каждым разрезом на от-
отдельные области. Проведя в п-связной области п — 1 над-
надлежащим образом выбранных разреза, мы можем превра-
превратить ее в односвязную область (черт. 6). Действи-
Действительно, для этого достаточно какую-нибудь связную часть
контура соединить разрезом с другой связной частью, эту
вторую часть с третьей, и наконец (п — 1)-ую часть со-
соединить с л-ой частью" 1). Новый л-ый разрез, проведен-
проведенный от п-ой граничной кривой к первой, разложит полу-
х) Эти разрезы можно построить, например, так: соединим прямоли-
прямолинейным отрезком какую-нибудь точку первой части контура с какой-
нибудь точкой другой части контура и найдем на этом отрезке по-
последнюю точку Р, которая принадлежит еще к первой части, а также
найдем первую следующую за ней точку B, которая принадлежит вто-
второй части контура. Отрезок Р(} и будет искомым разрезом от первой
части контура ко второй. Этот отрезок не разлагает область. Действи-
Действительно, один край эгого отрезка можно соединить с другим его краем кри-
кривой, расположенной внутри области и аппроксимирующей вторую часть
контура. Продолжая поступать также далее, проведем отрезок к тре-
третьей части контура, который опять не разлагает полученную нами после
проведения первого разреза (п — 1) связную область, и т. д.
20

ченную область на две односвязных области. Если перво-
первоначальная область была ограничена простыми кривыми,
то обе полученные односвязные области будут тоже огра-
ограничены простыми кривыми.
Каждой области, ограниченной конечным числом кусочно-
гладких простых кривых С, сопоставим определенное на-
направление обхода и притом будем считать это направле-
направление положительным, если направление касательной к каж-
каждой из граничных кривых (направленное в сторону движе-
движения) можно поворотом в положительном направлении на
тс
угол 7) перевести в направление внутренней для области
нормали.
Понятие области полезно несколько обобщить. В § 1
было сказано, что часто бывает удобно перейти, путем
стереографической проекции, от числовой плоскости к
числовой сфере и при этом центр проекций, т. е. „север-
„северный полюс" сферы обозначить как „бесконечно удален-
удаленную точку"; последней приводится в соответствие идеаль-
идеальный элемент числовой плоскости, также именуемый „бес-
„бесконечно удаленной точкой". Полезно поэтому также го-
говорить об окрестности бесконечно удаленной точки в
плоскости, подразумевая под этим совокупность тех точек
плоскости, которые путем стереографической проекции пе-
рехоДят в окрестность северного
полюса сферы. Поэтому допуская и
бесконечно удаленную точку, расши-
расширим понятие области, рассматривая
теперь и такие „области", которым
принадлежит бесконечно удаленная
точка, как, например, область, внеш-
внешняя для круга.
Понятие связности без труда мож-
можно перенести и на такие (уже не Черт. 6.
ограниченные) области. Надо однако
подчеркнуть, что, например, область, внешнюю для круга,
надо рассматривать как односвязную или двусвязную, смотря
по тому, причисляется ли к ней бесконечно удаленная точка
или нет. Действительно, в последнем случае бесконечно уда-
удаленная точка образует часть контура. Доказанное выше
предложение надо теперь обобщить, а именно: односвяз-
ная Область вместе с простой замкнутой ломаной линией
21

целиком содержит или "область, лежащую внутри этой ли-
линии, или область, лежащую вне ее.
При таких обозначениях можно например, отрицатель-
отрицательную вещественную ось назвать разрезом области, состо-
состоящей из всей плоскости, за исключением нулевой точки,
причем бесконечно удаленную точку тоже рассматривают
как граничную точку.
§ 3. Криволинейные интегралы.
Пусть кусочно-гладкая кривая С, расположенная в одно-
связной ограниченной области О, задана уравнениями
и пусть а (х, у) и Ь (х, у) будут две непрерывные веще
ственные функции от х и у в области О.
Под криволинейным интегралом
с
будем подразумевать такой определенный интеграл:
[а (9 (/),ф(*) ) <р'@
Легко видеть, что такое определение криволинейного
интеграла не зависит от выбора параметра \. Если контур
области С состоит из одной простой кривой и если функции
а и Ь непрерывны в замкнутой области С (т. е. в области
С вместе с ее контуром), то данное выше определение
годится и в случае, когда кривая интегрирования С совпа-
совпадает с контуром области С или с его частью.
Криволинейный интеграл меняет знак, если меняется
направление обхода кривой С, т. е. если параметр I изме-
изменяется от 4 Д° *1»
Если конечная точка кусочно-гладкой кривой Сг совпа-
совпадает с* начальной точкой кусочно-гладкой кривой С2, и если
из этих кривых С*! и С2 составить, при сохранении напра-
направления обхода, например кривую С, то будем иметь соотно-
соотношение
^ = [ {ас1х-\-Ъс1у)у

! д С»
22

если только интегралы, взятые по кривым Сх и С2, суще-
существуют. Такая же теорема очевидно имеет место при сло-
сложении какого угодно числа путей интегрирования.
Если область, лежащую внутри простой замкнутой ку-
кусочно-гладкой кривой С, разбить на части при помощи
кусочно-гладких криволинейных от-
отрезков, как показано на черт. 7, то
интеграл, взятый в положительном
направлении по кривой С, будет ра-
равен сумме интегралов, взятых в по-
положительном направлении по замкну-
замкнутым кривым С19 С2,. . . . С„, ограничи-
ограничивающим отдельные части, на кото-
которые разбита вся область. Действи- Черт. 7.
тельно, каждая из этих кривых Ск мо-
может быть разложена на конечное число частей О± , О2 , . . .,
каждая из которых будет полностью принадлежать или
кривой С или еще какой-нибудь одной из кривых Си С2,.. . . См,
кроме кривой Съ. Сумма интегралов, взятых по кривым
Ср С2, С„, будет равна сумме всех интегралов, взятых
по всем криволинейным отрезкам Ог . Те из отрезков /)| ,
которые принадлежат кривой С, образуют снова эту кривую,
проходимую в положительном направлении, и сумма соот-
соответствующих этим отрезкам интегралов даст интеграл,
взятый по всей кривой С. Всякий другой криволинейный
отрезок О1 будет проходиться два раза, в двух противо-
противоположных направлениях, и соответствующие интегралы при
сложении дадут нуль.
Вместо / { а с1х -\- ( — Ъ) Aу ) будем, для краткости, писать
/ {ас1х — Ъс1у)*
с
Криволинейный интеграл будет, вообще говоря, изменять
свое значение, если кривая С будет деформироваться, как
в случае, когда концы кривой остаются при ее деформации
неподвижными, так и в противном случае. Заметим еще,
что значение криволинейного интеграла будет изменяться
непрерывно, если кривая С деформируется непрерывно
Другими словами, имеет место следующая теорема.- Если
23

последовательность кусочно-гладких кривых Си С2, С1)}
которые лежат в области С и длины которых1 равно-
равномерно ограничены в их совокупности, гладко аппроксими-
аппроксимирует кусочно-гладкую кривую С, то интеграл
взятый по кривой Сп, б^'дет стремиться, при возраста-
возрастании п, к интегралу
взятому по кривой С.
Доказательство этой теоремы читатель без затруднения
проведет сам, воспользовавшись данным в § 2 определе-
определением гладкой аппроксимации и лежащим в основе этого
определения предположением о равномерной сходимости )
У Куранта теорема в тексте сформулирована без предположения
том, что длины аппроксимирующих кривых ограничены в своей сово-
совокупности, однако в такой формулировке теорема неверна, как показы-
показывает пример, где за кривые С и Сп взяты кривые, указанные в сноске
стр. 13, а за функции а (х, у) и Ъ (*, у) приняты а(х% у) = О, Ь (х, у) =
= х соз — . Действительно, в этом случае /= 0, в то время как
_ /* 1 , 1 ,
ПК
1_ Г СО52Ц _ 1_ Г 51П2 V . _1_ /'
„_1
1 . 2 ^ п-2,
В сноске Курант правильно указывает, что в данной нами выше
формулировке теоремы можно даже отбросить содержащееся в понятии
гладкой аппроксимации требование о том, чтобы, направления касатель-
касательных к аппроксимирующим кривым стремились совпасть с направле-
направлениями касательной к предельной кривой. Доказательство этого он предо-
предоставляет читателю. Это доказательство можно провести, например, так.
24

Особенный интерес представляет вопрос о том, при каких
условиях значение криволинейного интеграла не зависит
от пути инте1рдрования, если начальная и конечная точки
этого пути закреплены. Так как две кривые, имеющие
общими только начальную и конечную точки и больше нигде
не встречающие друг друга, образуют замкнутую кривую,
то наш вопрос приводится к вопросу о том, при каких
условиях криволинейный интеграл, взятый по замкнутой
По предположению функция а (х, у) будет непрерывна в некоторой
замкнутой области Н, целиком содержащей кривую С и следовательно
также и все кривые Сп, начиная с некоторого достаточно большого п.
Поэтому, задав произвольное положительное число е и обозначив через Ь
общую верхнюю границу для длин всех кривых Сп и С, мы сможем
найти такое число о, чтобы было \а (М) — а (М')\ <С ту" , как только
рясстояние ММ'<^Ь. Разделим кривую С промежуточными точками
М, М1 Мн на участки, длина каждого из которых не превосходит
— начальная, М$т — конечная точка кривой С). В соответствии
с этим и каждая кривая Сп разделится на соответствующие участки
точками М^1', М^ , .. ., Мдг I причем при всех достаточно больших п
и при всех к = 0,1,.... N расстояние МкМк' будет меньше -=- • Но
тогда ясно, что
С
П — 1
к=-0
хк)
41'
у «л-
С
к = 0
Обозначив максимум функции а (х} у) в области Н через М, вы-
выберем теперь п настолько большим, чтобы при всех к = ОД,.... А/ вы-
выполнялось неравенство | л:^ — хк \ < тШат * Тогда очевидно будет
V а
Следствием трех полученных неравенств является
I а<1х — I а<1х
п
25

кривой, равен нулю. Этот вопрос можно формулировать еще
следующим образом: при каких условиях криволинейный
интеграл, взятый от постоянной начальной точки Ро с коорди-
координатами х0> у0, будет представлять собою такую функцию
конечной точки Р(Е, г\), которая не зависит от пути, сое-
соединяющего точки Ро и Р, лишь бы этот путь лежал
в области С.
Предположим, что функции а и Ь имеют в области С
да дЪ , 1Ч
непрерывные частные производные -г- = ау и -т- = Ьх 1).
Докажем следующую теорему: Если функции а, Ь, ау} Ъх
непрерывны в односвязной ограниченной области С, то
интеграл
/=Ла</* + 6^}, A)
С
взятый по какой-нибудь кусочно-гладкой кривой С, распо-
расположенной в области С, тогда и только тогда не зависит
от пути интегрирования, если во всей области С имеет
место равенство
ау = Ьх. B)
При этом условии интеграл при постоянной начальной
точке пути интегрирования будет такой непрерывной
функцией Т7^, т]) от координат ?, ч\ конечной точки пути
интегрирования С, которая имеет непрерывные первые
частные производные, определяющиеся формулами
Точно также можно доказать, что при всех достаточно больших п
будет
/•
ЬAи-
с сп
Как видно, для доказательства достаточно предположить непрерыв-
непрерывность функций а и Ь, спрямляемость кривых Сп и С, равномерную огра-
#
ниченность д\ия этих кривых в их совокупности и равномерное аппрокси-
аппроксимирование КрИВЫМИ Сп КрИВОЙ С. гт
1) Здесь и в дальнейшем, где это удобно, мы будем частные произ-
производные обозначать путем прибавления индексов, например, а^ ау вместо
. да да
дх' ду*
26

Докажем сперва необходимость нашего условия. Итак,
предположим, что криволинейный интеграл не зависит от
пути и представляет собой некоторую функцию Р[Ь, у\)
только конечной точки пути. Из определения криволинейного
интеграла и непрерывности функций а (х, у), Ь (х,у), <р (/), ф (О
и кусочной непрерывности функций <р' (I), ^ (/) следует, что
функция Р(%, у\) будет непрерывной. Докажем, что эта
функция дифференцируема и что справедливы уравнения C).
Действительно, при достаточно малом | А | > 0 имеем
п ^
предполагая путь интегрирования, расположенный при \Н
достаточно малом внутри С/ и соединяющий точку (?, г\) с точ-
точкой ($-|-А, г\), прямолинейным. По теореме о среднем
значении, правая часть этого равенства будет равна
а(^-\-^куГ\), где 0<С&^1. Переходя к пределу, когда к
стремится к нулю, получаем искомое равенство ,/^ = а\ ана-
аналогично доказывается, что Р = 6. Дифференцируя еще раз,
получаем зависимости
По предположению а^ и Ь^ непрерывны: следовательно
/^ = /\д и поэтому а^ = Ь^ что и доказывает необходимость
условия B).
Для того, чтобы доказать достаточность условия B), до-
достаточно, как выше сказано, показать, что при этом условии
криволинейный интеграл / { а<1х-\- Ъ&у }, взятый по любой
с
замкнутой и целиком расположенной внутри С кривой С,
равен нулю. Рассмотрим сперва частный случай, когда
кривая С может быть заключена в такой прямоугольник со
сторонами, параллельными координатным осям, который
весь принадлежит области О. Рассмотрим например прямо-
прямоугольник а1 ^ х <; сс2 и рх <! у <С Рз (черт. 8). Достаточно
будет доказать существование в этом прямоугольнике такой
функции Р, которая удовлетворяла бы уравнениям C).
27

Действительно, тогда криволинейный интеграл A) примет
вид
] = у [/у/ со +• /у/ а)] л=у ^ л=р о, ч) - р (*0, уо),
в2
I
Черт. 8.
Ф
«1
где ^ и ^2 — значения параметра I,
соответствующие начальной лг0, у0 и
конечной И, г\ точкам пути интегри-
рования и, в самом деле, не будет
зависеть от пути интегрирования.
для ПОСТрОения этой функции Г
определим внутри и на контуре
нашего прямоугольника функцию
Ф(?, г\) при помощи равенства
F,
т. е. при помощи криволинейного интеграла, взятого по пути,
состоящему из двух прямолинейных отрезков, соответственно
параллельных координатным осям, и соединяющему нижнюю
левую вершину прямоугольника а19 $х с точкой 5, г\. Диффе-
Дифференцируя функцию Ф ($, у]), получим
F,
а F, ?,
Таким образом, функция /^(^ Г]) = Ф (?, Г]) и будет той
функцией, которая внутри и на контуре нашего прямо-
прямоугольника удовлетворяет уравнениям C). Если криволинейный
интеграл A) взят по пути, соединяющему начальную точку
*о> Уо и конечную точку Е, т) и нигде не выходящему из
замкнутого прямоугольника, то, по доказанному выше, он
не будет зависеть от пути интегрирования. Интеграл A),
взятый по какой-нибудь замкнутой кривой, принадлежащей
нашему прямоугольнику, будет поэтому равен нулю, что мы
и желали доказать.
Пусть теперь С будет произвольная замкнутая кривая,
расположенная в области С. Заменим кривую С такой
28

замкнутой ломаной линией, которая вся Лежит внутри С
и у которой вершинами будут точки этой кривой С, и пред-
предположим еще, что ни одна сторона или часть стороны этой
ломаной не пробегается дважды в том же или в противо-
противоположных направлениях. Звенья ломаной сделаем настолько
малыми, чтобы часть плоскости, ограниченную каким-либо
звеном ломаной и соответствующей дугой кривой С, можно
было бы заключить в прямоугольник со сторонами,
параллельными координатным осям, принадлежащий области
С (черт. 9). По доказанному выше, интегралы, взятые по
отдельным дугам кривой, можно тогда заменить интегралами,
взятыми по соответствующим звеньям нашей ломаной.
Теперь достаточно только доказать, что интеграл, взятый
по этой замкнутой ломаной линии, будет равен нулю. Как
было показано в § 2 (стр. 18), эту ломаную можно разло-
разложить на простые замкнутые ломаные линии. Таким образом,
достаточно будет доказать теорему для простой замкнутой
ломаной линии. Так как область С, по предположению,
односвязна, то область, лежащая внутри простой замкнутой
ломаной линии, расположенной в С, вся принадлежит области
С. Так как по § 2 область, лежащую внутри простой
замкнутой ломаной линии, можно разложить на треугольники,
то можно ограничиться доказательством теоремы для тре-
треугольника. Действительно, сумма интегралов, взятых по
контурам всех этих треугольников в положительном напра-
направлении, равна интегралу, взятому по первоначальной ломаной
линии (см. стр. 22—23). Но всякий треугольник можно
разложить на столь малые треу-
треугольники, чтобы каждый из них
мог бы быть заключен в пря-
прямоугольник, целиком принадлежа-
принадлежащий С Интеграл, взятый по кон-
контуру первоначального треугольни-
треугольника, будет равен сумме интегралов,
взятых по контурам этих малых
треугольников. По доказанному, Черт. 9.
интегралы, взятые по контурам
этих малых треугольников, равны нулю и следовательно
будет равен нулю интеграл, взятый по первоначальной ло-
ломаной линии, а следовательно и по кривой С.
При нашем доказательстве существенную роль играло
предположение об односвязности ограниченной области С
29

Если это предположение не имеет места, то можно утвер-
утверждать только, что равен нулю интеграл, взятый по любой
замкнутой ломаной линии, внутренняя область которой
целиком принадлежит С, или что равен нулю интеграл,
взятый по любой замкнутой кривой, которая ограничи-
ограничивает область, целиком принадле-
принадлежащую области С Доказательство
будет такое же, как и раньше.
В случае же многосвязных областей
существуют замкнутые ломаные ли-
линии, внутренняя область которых
не вся принадлежит области С, как
это, например, видно из черт. 10.
В этих случаях интеграл, взятый
Черт. 10. по замкнутой кривой, не всегда ра-
равен нулю. Рассмотрим, например,
в круговом кольце с центром - в начале координат такие
функции
у , , . а:
а
и Ь(х, у)
-2
и возьмем интеграл в положительном направлении по лежащей
в этом кольце окружности К радиуса г, с центром в начале
координат.
В результате получим
/ {ас1х | Ьс1у}= I [а (г соз ?, г вт ср) • ( — г &т <р)
к
о
-\-Ь (г СОЗ ?, Г 81П '?) • Г СОЗ о] */<р = / с/<р = 2^ .
о

ГЛАВА ВТОРАЯ.
ОСНОВЫ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.
В теории функций вещественной переменной х исходят
обыкновенно сперва из самого общего понятия функции.
Рассматривают некоторый промежуток / независимой пере-
переменной х и сопоставляют каждому значению х из этого
промежутка / по какому-нибудь закону однозначным образом
значение величины и. Тогда величина и=/(х) будет на-
называться функцией от л: в этом промежутке. Такое для
применений слишком общее понятие функции существенно
ограничивают потом, присоединяя добавочные условия и
прежде всего условие, чтобы функция /(х) была не-
непрерывна или чтоб_>1 она была дифференцируемой. Только
ограничиваясь такими, более узкими, классами функций,
можно построить анализ в области вещественной перемен-
переменной и в частности дифференциальное и интегральное
исчисления. В основе теории функций комплексной перемен-
переменной или, говоря точнее, теории аналитических функций
лежит задача о расширении понятия функции на область
комплексной переменной х — х-\-1у и о таком ограничении
этого понятия о функции комплексной переменной, чтобы
в новую область функций можно было бы перенести основные
операции дифференциального и интегрального исчислений.
Можно при этом исходить из следующего самого общего
понятия комплексной функции ^=/(г) от комплексной
переменной 2. Если С есть область в числовой плоскости
и если каждой точке г = х -\- гу этой области С сопоставлено
каким нибудь способом комплексное число С = м -}- IV, то
С =}(г) называется комплексной функцией от г в облгсти С.
Такое определение говорит только, что каждой паре веще-
вещественных чисел а:, у (такой, что точка х, у принадлежит
31

области О) соответствует пара йеществённых чисел и, V,
т. е. что и и V будут две определенные в С вещественные
функции от двух вещественных переменных х и у.
Но мы ограничим прежде всего наше понятие функции
требованием непрерывности, т. е. мы потребуем, чтобы
и (х> У) и ®(Х9 У) были непрерывными в области С функциями
от х и г/.
Мы потребуем далее, чтобы функция С=/(^) была
дифференцируема. Как увидим впоследствии, одного этого
условия достаточно для того, чтобы установить такой
замкнутый в себе класс функций, в котором выполнимы все
элементарные операции анализа и в частности возможно
дифференцирование и интегрирование. То обстоятельство,
что из условия дифференцируемости комплексной функции
вытекает ее интегрируемость — и обратно — является, как
мы увидим, одним из фундаментальных фактов теории.
Эквивалентность этих двух условий сообщает теории функций
комплексной переменной ту замкнутость и гармонию, ко-
которых часто недостает анализу в области вещественной
переменной *).
§ 1. Условие дифференцируемости.
Аналогично определению производной вещественной
функции установим здесь такое определение: функция
/ {г) = и -\- IV называется функцией от г, дифференци-
дифференцируемой в точке г, если для всякой, сходящейся к нулю
последовательности отличных от нуля комплексных чи-
чисел Н существует предел
Л->0
не зависящий от выбора этой последовательности, т. е.
не зависящий от способа, по которому точка г-\-п при-
Как оказывается, есть еще третье условие, которое равносильно
с условием дифференцируемости или интегрируемости и поэтому тоже
может служить для определения нашего класса функций, а именно условие
равномерной аппроксимации полиномами, т. е. простейшими выраже-
выражениями, образованными при помощи комплексной переменной х. В этом
состоит содержание теоремы, найденной Кип§е [Ас*а та*Ь. 6 A885),
стр. 229). Доказательство этой теоремы было бы для настоящей книги
слишком длинным и поэтому не приводится.
32

ближаетдя к точке %. Такой предел называется произ-
производной функции С=/(г) и обозначается через С={'(г).
В частности, в нашем определении заключается, что произ-
производная не должна зависеть от „направления дифференци-
дифференцирования", т. е. должно получаться одно и то же значение
производной, по какому бы пути (проходящему через
точку г) ни приближалась к г точка г -\- к.
Очевидно, что для дифференцируемости функции /(г)
в области С необходимо, но еще совсем недостаточно,
чтобы функции и и V были бы дифференцируемыми функ-
функциями от х и у в области С. Например, если /B) = х =
9^ то при вещественном к имеем, что
Ьт ——!—~ —— = пт -=- = 1.
Если к принимает только чисто мнимые значения, то
П > О
Таким образом, для того чтобы функция /(г) — и -у- го была
дифференцируема, функции и и V должны удовлетво-
удовлетворять еще некоторым условиям. Для установления этих
условий предположим, что приращение к принимает сперва
только вещественные значения, а потом только чисто мни-
мнимые значения. В первом случае
^/(«+*)-/(*)_*» , .ду
п->о к дх дхУ
во втором случае
/(г+А)-/(г) _ 1 /ди дь \
п->о к I \ду ' ду I
Для того, чтобы функция /(г) была дифференциру-
дифференцируема, должно иметь место равенство
ди ..ду _ 1 ( ди , . ду
дх ^ дх I \0у^> ду
и следовательно
ди ду ди ду
A)
дх ду' ду дх."
3 Зак. 1983. Курант. 33

Таким образом имеем следующий результат. Для диф*
ференцируемости функции С-/(г) = и -\- IV в некоторой
области С необходимо, чтобы функции и и V удовлетво-
удовлетворяли бы дифференциальным уравнениям (/). Если, кроме
того, производная $'(х) должна быть непрерывна, то функ-
функции их и ух тоже должны быть непрерывны.
Предположим теперь, наоборот, что функция /(г) непре-
непрерывна и что первые частные производные от функции и
и V по х и по у существуют и непрерывны *) в области С
и докажем, что условия A) достаточны для дифференци-
руемости функции /(г). Для этого дадим приращению А
значение А = г-\-гз, где г и з вещественны. На основании
известной теоремы дифференциального исчисления о среднем
значении получим, что
А
и(х-\-г, у-\-з) — и (х9у) + * [у (х~}-г,у-^ з) — у (х9у)]
Г~\- 13
__ гих (;, ) + (Е )
;
Г~\-13 Г-{-15
где 1-\-Щ и % -\-1г{ две точки прямолинейного отрезка, со
единяющего точки г и г-\- А.
В силу уравнений A) выводим, что
гих (Е, Т|) + 1зих {У, ц') , . гох (V,
Г-1Г13
О.
1) Удалось обнаружить, что предположение о непрерывности произ-
производных является излишним. Наиболее далеко идущий результат принад-
принадлежит Ьоотпап'у, который доказал (иЬег СаисЬу-ШетаппзсЬе 0^-
^егепИа^ЫсЬип^еп", Сби. ЫасЬг. 1922 г., стр. 97 - 108), что кроме не-
непрерывности функции /(г) достаточно предположить существовани • диф-
дифференциальных уравнений A), в то время как все остальные сделанные
здесь предположения могут быть отсюда выведены.
34

т
ак как
Г-{-13
не больше 1, то в силу непрерывности
Частных производных будем иметь, что
Нт B = их-{- Ьх = — ту -\- Vг^.
Этот предел не зависит от выбора последовательности
значений А, т. е. функция /(г) будет дифференцируемой.
Из последней формулы видно также, что производная /'(г)
тоже непрерывна. Основные для всей теории функций
комплексной переменной формулы A) называются диффе-
дифференциальны чи уравнениями Коти Римана (СаисЬу-Ие-
тапп) 1).
В основу всего дальнейшего построения теории функций
комплексной переменной положим следующее определение.
Функция ^=/(г) =и-\-IV называется аналитической,
точнее регулярной аналитической или голоморфной функ-
функцией от г = х -р гу в области С, если в этой области
функции и и V и их частные производные первого порядка
будут непрерывными функциями от х и у и если функ-
функции и и V будут в этой области удовлетворять диффе-
дифференциальным уравнениям Коши-Римана (/).
Такое определение совершенно равносильно по выше-
вышесказанному следующему: функция ^=/(г) называется
регулярной аналитической функцией от г в области С,
если в этой области С имеет непрерывную производную
по г.
Функция называется регулярной в некоторой точке
или на некоторой кривой, если она регулярна в не-
некоторой области, содержащей эту точку или эту кривую.
Здесь так же, как при дифференцировании вещественных
функций, получается, что сумма, разность, произведение и
частное функций, аналитических в области С, имеют
в каждой точке этой области (если только знаменатель
Эти формулы встречаются в сочинении А Ь. Саискуи, 5иг 1ез
Н с!е циапШёз а1§>ёЬг1циез ои ^ёотеМциез е1 зиг 1ез б
з с!е сез циапШёз", Ехегс1сев сГапа1узе е* с1е рЬуз1цие та-
1Ьёта*1цие, I. 4, стр. 345, Раг1з 1847 и служат исходной точкой в зна-
знаменитой диссертации Римана: В. Шетапп, ,Сгипс11а^еп Шг е1пе а11^ете1пе
ТЬеоНе йег Рипк*юпеп е!пег уегапйегНсЬеп котр1ехеп Сгоззе". СоШп-
деп 1851, 2. АЬйтск 1867, Сез. та1Ь. ^егке, 1 и. 2 АиН., стр. 3. Эти
формулы встречаются однако уже у Даламбера (сГА1етЪег*), Эйлера
(Еи1ег) и Лагранжа (Ьа^гап^е).
35

частного в этой точке йе обращается в нуль) непрерывные
Ероизводные, причем все известные правила дифферен-
дифференциального исчисления остаются также справедливыми.
То же относится и к аналитической функции /(?), у кото-
которой аргумент <р = <р (я) есть регулярная аналитическая функ-
функция от г в области С. При этом предполагается, что когда
точка г перемещается в области С, значения у (г) принад-
принадлежат некоторой области плоскости <р, в которой функ-
функция /(<?) регулярна. Таким образом сумма, разность, произ-
произведение и частное аналитических функций, а также
аналитическая функция от аналитической функции
будут аналитическими функциями в соответствующих
областях. Так как г и каждая постоянная будут, очевидно,
аналитическими функциями от г в любой области, то все
рациональные функции от г дают примеры аналитических
функций.
§ 2. Обратная функция.
В этом параграфе покажем, что установленное только
что понятие функции удовлетворяет еще дальнейшему усло-
условию. Понятие обратной функции имеет здесь смысл
так жеу как и для функций^вещественной переменной.
Для существования обратной функции во всяком случае
должно иметь место некоторое взаимно однозначное соот-
соответствие между точками некоторой окрестности *) точки
^о:= хо~\-гуоУс одной стороны, и точками некоторой окрест-
окрестности точки ?о—/(яо)> с другой стороны. Такое соответ-
соответствие можно назвать взаимно однозначным „отображе-
„отображением" обеих областей друг на друга. Для этого система
уравнений
должна допускать, в некоторой окрестности точки х0, у0
области С, однозначное решение относительно хну.
По известной теореме дифференциального исчисления
это имеет место тогда, когда первые частные производные
от и и V в точке х = хо, у==уо существуют и будут не-
непрерывными и когда определитель Якоби ^асоЫ) А =
= ихуу — иуюх, будет отличен от нуля в этой точке х = лг0,
Под окрестностью точки 2 понимается в данном параграфе одно-
связная область, содержащая точку г. Прим. ред.
36

УУ (а в силу непрерывности ив некоторой окрестности
этой точки). При выполнении этих условий функции х =
= х(и,у) и у=у(и,у) будут непрерывными и однознач-
однозначными функциями от и и «у в некоторой окрестности точки
м (*о, уо) — ио» *> (л'о> Уо) == ^о плоскости и, «у. Первые частные
производные этих функций будут также непрерывны и бу-
будут равны
V4и и юг ит
АИ Д » Л» Д » ^/м Д » Уъ Д •
Если функция и -\- IV аналитическая, то по формулам
Коши-Римана получим, что
{ \/ (г)
У ' У
Если /'(г) Ф 0, то все указанные выше условия будут
выполнены и, кроме того, в силу уравнений Коши-Римана
их = т^, иу = — х^, будем иметь, что
Х
и
У и'
Таким образом получаем следующий результат: Если
в точке 2 = г0 производная /'(г) отлична от нуля, то
некоторая достаточно малая окрестность точки 2о отоб-
отображается взаимно-однозначным образом на некоторую
окрестность точки Со = /Bо)> т. е. в этой окрестности
точки 2 — 2о уравнение С = /(г) имеет однозначное ре-
решение 2 = <р(С). Функция ср (С) в некоторой окрестности
точки Со будет непрерывна и будет иметь там непре-
непрерывные частные производные, удовлетворяющие уравне-
уравнениям Коши-Римана. Эта функция будет, поэтому, ана-
аналитической функцией от С. Функция <р(С) называется
обратной функцией для /(г). Ее производная будет равна
дх . , ду V» — Ьох 1 1
Л ' ч ; ди ! ди~~ А "" у, + юя /'B)'
То обстоятельство, что аналитическая функция /(г), при
условии, что /Ч^о) ^ 0 отображает некоторую достаточно
малую окрестность точки 20 на некоторую область плос-
плоскости С, будем называть теоремой об отображении обла-
областей. В главе IV, § 1 мы увидим, что условие /'(^о) Ф 0
является для теоремы об отображении областей излишним.
37

§ 3. Определенный интеграл аналитической функции
и его основные свойства.
Как было указано уже во введении к этой главе, для
теории функций комплексной переменной является фундамен-
фундаментальнейшим фактом то обстоятельство, что дифференци-
руемость функций влечет за собою возможность при-
применения интегрального исчисления к функциям, облада-
обладающим этим свойством. В теории вещественных функций
интеграл, с одной стороны, вводится как функция, опреде-
определяемая действием, обратным дифференцированию („неопре-
(„неопределенный интеграл"), а с другой стороны, как предел не-
некоторой суммы („определенный интеграл"), и потом дока-
доказывается, что оба эти определения совпадают. Аналогично
можно поступать для аналитических функциц комплексной
переменной. Для того чтобы в область комплексной пе-
переменной перенести понятие определенного интеграла, пред-
представим себе, что две точки г0 и 2Г области С соединены
некоторой кусочно-гладкой кривой С, которая вся распо-
расположена в С Пусть функция /(г) непрерывна во всей
области С или хотя бы только вдоль кривой С1). Разло-
Разложим кривую С при помощи точек г0, хъ .. . *п = 2Г, распо-
расположенных одна за другой вдоль кривой С, на п частей и
составим сумму
п
где 2^ — произвольная точка кривой, лежащая на отрезке
кривой между точками г^_х и гч (она доожет совпадать и
с одной из этих точек). Если число точек деления будем
неограниченно увеличивать и притом так, чтобы наиболь-
наибольшее из расстояний | х^ —2ч—1 | стремилось к нулю, то сумма
Зп будет стремиться к некоторому пределу, который не
зависит от выбора точек деления г{у г2,... .гп_7п от выбора
точек гх , г2 , ...гп_1. Это можно доказать, не пользуясь
вещественным интегралом, совершенно аналогично соответ-
соответствующей теореме в области вещественной переменной.
) Функция /(г) = и-\- IV называется непрерывной вдоль непрерыв-
непрерывной кривой С, если значения вещественных функций и и V на кривой С
являются непрерывными функциями от параметра кривой.
38

Это предложение можно также следующим способом свести
к вещественным криволинейным интегралам (см. главу I,
§ 3). Пусть
* *
тогда будем иметь
п п
= У ((г*) Аг =
тг
Так как при неограниченном возрастании гс суммы в пра-
правой части этого равенства стремятся соответственно к ве-
вещественным криволинейным интегралам / {ис1х — V <1у } и
с
I { V с1х-\- и&у }, то упомянутый выше предел существует.
с
Предел суммы 5п будем называть определенным интегра-
интегралом функции /(г) взятым вдоль кривой С, и обозначать
через
(С) 2
I 1(г)с1г или / /(г)с1г.
Таким образом имеем, что
@J
^с'г= ^{и<1>с—V^у}+^^9{V<^x + и<^д}. A)
С С
Если |/B)| на всем пути интегрирования не превосходит
некоторого постоянного числа М и если Ь обозначает
длину этого пути, то из определения интеграла получается
важная оценка
(СГJ
)
Ш. B)

Из определения определенного интеграла получаем сразу
следующие правила- Если конец кусочно-гладкой кривой Сх
совпадает с началом кусочно-гладкой кривой С2 и если С
будет кривая, состоящая из этих двух кривых, а функция /(г)
будет непрерывна вдоль кривой С, то
//(*)&+ //(*)</*= /"
Если функции /(г) и #(г) непрерывны вдоль кривой С, то
/(г) /
& с
Если функция /(г) непрерывна вдоль кривой С и если с
обозначает постоянную величину, то
с /7(*)</*= [ с{{г)Aг.
Если /(г) непрерывна вдоль кривой С и если С будет
та же кривая^ но проходимая в обратном направлении, то
/7 (*) <ь=-/7
С" *С
/
С" С
§ 4. Теорема Коши.
Понятие о неопределенном интеграле также легко пере-
переносится на область комплексной переменной. Если в неко-
некоторой области с данной аналитической функцией /(г) со-
сопоставлена другая аналитическая функция Г(г) так, что
Г* (г) =/(г), то эту функцию Р{г) назовем неопределенным
интегралом от функции /(г) и обозначим через
Понятие об интеграле от аналитической функции полу-
получает значение только потому, что определенный интеграл
не зависит от пути интегрирования и что его можно одновре-
одновременно рассматривать как неопределенный интеграл. В са.-
40

мом деле, существует следующая фундаментальная теорема,
которая называется теоремой Коши *):
Пусть С будет односвязной областью в плоскости г и
пусть /(г) будет некоторой регулярной аналитической
функцией в этой области. Пусть, далее г0 будет по-
постоянной точкой, а 2. переменной точкой в области С и
пусть С будет какая-нибудь кусочно-гладкая кривая, сое-
соединяющая г0 с 7, и расположенная в С. Тогда интеграл
(С)
взятый по этой кривой, не будет зависеть от выбора
пути интегрирования С и будет в области С такой ре-
.гулярной аналитической функцией Р(г), производная ко-
которой определяется равенством
Г (г) =/(*).
I
Обыкновенно теорему Коши формулируют так: Интеграл
/(г)Aг от регулярной аналитической функции /(г), взя-
взятый по какой-нибудь замкнутой кусочно-гладкой кривой С,
целиком расположенной в односвязной области С, в ко-
которой функция /(г) регулярна, равен нулю. Докажем тео-
теорему Коши, пользуясь вещественными криволинейными инте-
интегралами. В силу уравнений Коши-Римана и на основании
теоремы главы I, § 3 криволинейные интегралы в фор-
формуле A) предыдущего параграфа не зависят от пути инте-
интегрирования Си при постоянном г0 и переменном 2Г=ЛГ~)~/УГ
представляют собою такие непрерывные функции Ц (X, У) и
У(Х, V), производные которых по X и по У, равные
= и № У)> -0у = — ^(^ У)у
(X У) (X, У)^
) Саиску, А. Ь., Методе виг 1ез 1п^ё^га1ез <Шш1е5, рпзеа еп1:ге с!е5
НтНез 1та^та1ге5, Раг1з, 1825, вновь перепечатано в ОагЬ. Ви11. 7
A874), стр. 265 и 8 A875), стр. 43. Гаусс (Саизз) знал эту теорему
уже в 1811 году, см. письмо к Беселлю (Вез5е1) от 18 декабря 1811 г.;
Саизз, №егке, БД. 8, стр. 90—92.
41

очевидно непрерывны и удовлетворяют уравнениям Коши-
Римана. Функция Р{%) = 1]-\-гСбудет, поэтому, аналитиче-
ческой функцией от 2.. Ее производная равна
Таким образом, теорема Коши доказана.
Если область С ограничена простым контуром, то
теорема Коши остается в силе и в том случае, когда
кривая интегрирования С вся или частично совпадает
с контуром области С, а функция /(г), не будучи регу-
регулярной аналитической на этом контуре, является не-
непрерывной в замкнутой области С Теорема Коши имеет
место и тогда, когда область ограничена не простым
контуром, но может быть при помощи разрезов разло-
разложена на конечное число областей, ограниченных простыми
контурами, в каждой из которых выполняются сделанные
выше предположения. Для доказательства достаточно кри-
кривую интегрирования гладко аппроксимировать в смысле
главы I, § 2 при помощи других кусочно-гладких кривых,
которые целиком лежат внутри С и длины которых огра-
ограничены в их совокупности, например при помощи замкну-
замкнутых ломаных линий. Действительно, теорема Коши имеет
место для этих аппроксимирующих кривых, а последова-
последовательность соответствующих криволинейных интегралов
сходится к криволинейному интегралу по аппроксимируе-
аппроксимируемой кривой.
Кроме доказательства теоремы Коши, опирающегося на
теорию вещественных криволинейных интегралов, изло-
изложенную в главе I, § 3, приведем другое доказательство,
в котором прямо доказывается независимость интеграла от
пути. Пусть путь интегрирования задан комплексной функ-
функцией х — ^{г,а) двух вещественных переменных I и а *),
причем I изменяется в промежутке 1Х <^ I <1 и, а а в про-
промежутке 0 ^ а <С 1. Каждому заданному значению а соот-
соответствует определенный путь интегрирования, который бу-
будет описан переменной точкой, когда / будет изменяться
от гг до /2- Начальную и конечную точки всех полученных
1) Под комплексной функцией вещественных переменных мы
подразумеваем комплексную величину, зависящую от вещественных пе-
переменных.
42

таким образом путей будем считать постоянными, т. е.
предположим, что функции х(*1>а) и / (^, а) не зависят от а.
Далее предположим, что функция х(^>а) имеет везде, за
исключением некоторого конечного числа фиксированных
значений -/, непрерывную производную по I и такую же
вторую производную по I и по а и, кроме того, при всяком
заданном I имеет непрерывную производную по а. Предпо-
Предположим еще, что все пути, соответствующие различным
значениям а, лежат в области регулярности С функции /()
Дифференцируя интеграл
7^
(*
по а, получим:
с/а
Если первый интеграл в правой части проинтегрировать
по частям, то член /(х)х« обратится в нуль на пределах
интеграла и мы будем иметь, что
следовательно, / не зависит от а, т. е. интеграл не меня-
меняется при непрерывном изменении пути интегрирования
указанным образом.
То же самое имеет место, если замкнутый путь интегри-
интегрирования, для которого х(*1>а) = Х('2>а) деформируется ука-
указанным образом внутри С, так как и в этом случае при
интегрировании по частям разность значений выражения
/(х)ха> соответствующих пределам интеграла, обращается
в нуль. Для доказательства теоремы Коши в ее обычной
вышеуказанной формулировке надо показать, что интеграл,
взятый по произвольной замкнутой кусочно-гладкой кривой,
расположенной в С, равен нулю. Такую кривую можно
гладко аппроксимировать вписанными в кривую замкну-
замкнутыми ломаными линиями, лежащими в С. Интегралы, взя-
цо этим мноугольным контурам, будут (как это непо-
43

средственно видно из самого определения интеграла) стре-
стремиться к интегралу, взятому по предельной кривой. Тео-
Теорему достаточно, следовательно, дока-
доказать только для многоугольных контуров.
Как и при доказательстве основной тео-
теоремы о криволинейных интегралах в гла-
главе I, § 3, можно убедиться, что теорему
достаточно доказать только для треу-
треугольников. Для треугольника же с вер-
Черт. И.
X (и «) =
шинами ги 2\2,
ру р
(черт. 11) легко соста-
составить, в явном виде, такую функцию
X (*> °0> которая переводит сторону гг гг
треугольника (получающуюся при а = 0)
в ломаную гхг^хь (при а = 1). Действи-
Действительно, если положить
0
2
1
то х(^»а) и будет такой функцией. Так как интеграл г не
зависит от а, то
//(*) Лг = //(г)
и следовательно
что и требовалось доказать.
Принципиальное преимущество, сравнительно с этими
доказательствами теоремы Коши, имеет доказательство,
данное Гурса (Соигза*), в котором предполагается только
существование производной, но в котором не пользуются
ее непрерывностью. Изложим сперва два вспомогательных
предложения.
Во-первых, из определения интеграла сразу видно, что
интеграл / 1с/г, который можно обозначить еще коротко
к
44

Через / Aгу взятый по какой-нибудь кривой А^, имеющей
к
начальную точку а и конечную точку 6, равен Ь — а.
Этот же интеграл, взятый по замкнутой кривой, будет
поэтому равен нулю.
Во-вторых, по определению, интеграл / г Aг равен пре-
к
делу суммы
п
и одновременно пределу суммы
п
2
, ^
а поэтому равен пределу их среднеарифметического, т. е.
суммы
и п
~* —I— V
I I ^ —
а2
и значит интеграл будет тоже равен —о"~~"' ^ля замк"
нутой кривой К эта величина будет равна нулю и
-0.
к
Как и выше, можно прежде всего убедиться в том, что
теорему Коши достаточно доказать для треугольника С*
Пусть /0 будет периметр треугольника и пусть 1п=^
п — 1у 2, 3,... Если соединим середины сторон треуголь
ника С попарно, то получим четыре треугольника, у кото
рых периметр равен 1\ = -т? (черт. 12).
45,

п
усть
с
«
о»
Хотя бы один из этих четырех треугольников обладаем
тем свойством, что интеграл, взятый по его контуру Си
удовлетворяет условию
ос,
а
о
С
Действительно интеграл, взятый по
контуру треугольника С, равен сумме
интегралов, взятых по контурам этих
четырех треугольников, а модуль сум-
суммы не больше суммы модулей слагае-
слагаемых. Поступим с треугольником Сх
так же, как поступали с треугольни-
треугольником С, и будем так же продолжать далее.
Таким образом, придем к последователь-
последовательности треугольников С=С0, С1} С2,..., из которых каждый
расположен внутри предыдущего. Каждый из этих треуголь-
треугольЧерт. 12.
ников Сп (п = 0у 1, 2,. ..) имеет периметр, равный 1п = п
и интеграл, взятый по его контуру, будет удовлетворять
условию
а
п
«о.
лП
Так как диаметр треугольников Сп стремится к нулю,
когда п неограниченно возрастает, то эти треугольники
должны иметь одну и только одну общую внутреннюю
точку 7» к которой стремятся все вершины треугольников.
Так.как функция {(г) дифференцируема в точке 7> то для
каждого е > 0 можно найти такое положительное число 5,
чтобы при всяком г, для которого | * — 71 < 5, было бы
где \°{г)\ < г.
В самом деле, ведь это равносильно тому обстоятельству,
46

«1то функция /(г) дифференцируема в точке ?,
величина
. е. Чтб
будет по модулю сколь угодно малой, если только \ \
достаточно мало. Далее, можно задать такое целое поло-
положительное число Л/, чтобы при всяком п^> N наибольшее
расстояние рп между точкой 7 и контуром Сп было
меньшее. Из предыдущего равенства имеем тогда, при пЛ^
/7(*)А*= /" о (*) (* - т) Л + /7(т)
•у гч п
с
п
сп сп
A)
С»
Как мы видели, интегралы / с/г и 2&2 равны нулю;
следовательно равенство A) принимает вид
/(г) 8.2= / о(г)(г — ч)Aг9
откуда на основании § 3, B) выводим, что
Так как
то
а
п
В силу а„ ^- —^ имеем поэтому, что
С
«
о
47

Так как г можно выбрать сколь угодно малым, ?0
/(г) Аг = 0.
/
О
Таким образом, теорема Коши доказана вполне. Заметим
еще раз, что в этом доказательстве мы нигде не пользо-
пользовались непрерывностью производной /(г). В § 7 будет
показано, что, обратно, из независимости интеграла
2
от пути будет следовать аналитический характер функ-
функции /(г) в рассматриваемой области. Таким образом, при
определении аналитической функции, данном в § 1, можно
ограничиться требованием дифференцируемости и отбросить
добавочное требование непрерывности производной. Непре-
Непрерывность производной сама собой получается впоследствии,
как следствие ее существования, после того как будет
доказана теорема Коши и обратная -георема.
§ 5. Интегралы в многосвязных областях. Теорема Коши
о вычетах.
Для справедливости теоремы Коши существенную роль
играет предположение об односвязности рассматриваемой
области С. Если функция /(г) регулярна внутри и на кон-
контуре некоторой гс-связной области С, ограниченной п про-
простыми замкнутыми кривыми, то имеет место следующее
обобщение теоремы Коши: Если /(г) регулярная анали-
аналитическая функция внутри и на контуре некоторой
п-связной области С, ограниченной простыми кривыми,
то интеграл I /(г) с1г9 взятый в положительном напра-
направлении по всему контуру области С, будет равен нулю.
Для доказательства гладко аппроксимируем каждую из п
ограничивающих область С кривых при помощи замкнутых
ломаных линий, целиком принадлежащих С и длины кото-
которых ограничены в их совокупности. Эти ломаные можно вы-
выбрать так, чтобы они ограничивали опять гс-связную часть В
области С, которую можно разложить подобно внутренней
43

области простого многоугольного контура на треугольники.
По теореме Коши интеграл, взятый по контуру каждого
такого треугольника в положительном направлении, будет
равен нулю. Складывая все эти интегралы, получим, что
интеграл, взятый в положительном направлении по всему
контуру области 5, равен нулю (так как интегралы по внут-
внутренним сторонам треугольников взаимно сократятся). Пере-
Переходя к пределам, можем, на основании теоремы изложенной
в главе I, § 3, утверждать, что интеграл, взятый в положи-
положительном направлении по всему контуру области С, будет
равен нулю.
Если в частности область С двусвязная, то
//(*)&= //« Л,
где оба интеграла взяты в одинаковом направлении, т. е.
так, что обе кривые С{ и С2 обходят области, лежащие
внутри этих кривых в одинаковом направ-
направлении.
Может случиться, что . функция /(г)
регулярна во всей области С, за исклю-
исключением одной ее определенной внутрен-
внутренней точки г0; о значении функции в этой
точке 2о ничего не предполагается. Пусть
Кх и К2 будут два круга с центром в точ-
точке г09 расположенные целиком внутри об-
области С. Так как функция /(г) регулярна Черт. 13.
внутри и на контуре двусвязной кольце-
кольцевой области, расположенной между кругами К{ и К2
(черт. 13), то по только-что указанному частному случаю
будем иметь, что
где оба интеграла взяты в положительном направлении.
Таким образом имеем такую теорему:
Все инУпегралы, взятые по ^достаточно малым окруж-
окружностям с центром в точке г0, имеют одну и ту же
величину. Произведение этой величины, определенной
вполне, если задана функция /(г) и точка 20, на тг-- назы-
вается вычетом функции /(г) в точке г0.
4 Зак. 1985. Курант. 49

с
Пусть теперь функция /(г) регулярна везде внутри одно*
связной области С и на всем ее контуре, за исключением
конечного числа внутренних ее точек 2и 22>---^г- Опи-
Опишем (черт. 14) около каждой такой точки 2г (г = 1, 2,.. .г)
малый круг Кг-> который весь
расположен внутри С и внутри
которого (а также и на его
окружности) не лежит никакая
из точек 2и 2%,...2Г, кроме
центра круга гг. Кроме того,
эти круги Ки К2,---Кг выбе-
выберем настолько малыми, чтобы
они нигде не пересекались друг
с другом. Если к (/*-|-1)*связной
области, которая получается из О после выкидывания этих г
кругов, приложим теорему, доказанную в начале этого
параграфа, то получим формулу
О Кл Жо К.у
Черт. 14.
где все интегралы взяты в положительном направлении
и следовательно
= //(*)** +//(*)&+... + /
*2
Так как функция /(г) регулярна внутри и на конт-уре
каждого круга К{, за исключением его центра %%, то сла-
слагаемые в правой части этого равенства представляют собой
вычеты функции/(г) в точках ги 2Ъ.. .гг, умноженные на 2^/,
и следовательно получаем теорему Кохии о вычетах:
Если функция /(г) регулярна везде внутри и на контуре
односвязной области С, за исключением конечного числа
внутренних точек 2\у г$,...гг, то интеграл I /BN.2,
взятый в положительном направлении по контуру облат
сти Су равен сумме вычетов функции /(г) в точках 2Х,
2уш.,2г, умноженной на 2тс/.
На стр. 76 будет дан способ для вычисления вычета
аналитической функции в данной точке, практически при-
ложимый в большей части случаев. Тем самым теорема
50

Коши о вычетах приобретет век) свою плодотворность
для вычисления определенных интегралов (см. главу
III, § 5). "
§ 6. Примеры. Элементарные функции.
Полученные нами результаты дают возможность расши-
расширить определение всех так называемых элементарных
функций на область комплексной переменной. Для ра-
рациональных функций это уже сделано в § 1. Процесс диф-
дифференцирования этих функций не дает ничего нового.
Интегрируя же рациональные функции, мы можем получить
новые функции. Простейший и важнейший пример такого
рода дает интегрирование функции /(х) = —.
х
Эта функция регулярна для всех значений г, отличных
от нуля; но если х приближается к нулю, то \{(х)\ неогра-
неограниченно возрастает, так что в точке х = 0 функция уже
не будет регулярной. Поэтому, если замкнутая кривая С
окружает точку х = 0, то теорема Коши не будет уже при-
ложима к интегралу / /(х)<1х. Действительно, если кри-
с
вая С есть окружность радиуса р с центром в начале коор-
координат, то для точек кривой С
х = р(соз9 + «Вт<?), @<<? < 2тг),
= р (— 51п ср -}-1 соз у) с?<р = гр (соз ср —[— г
и, следовательно, при положительном обходе этой окруж-
окружности имеем, что
1 ) ?==
О о
На основании предыдущего параграфа равенство
A)
С
Точнее было бы писать / —6.2 вместо / —. Такие упроще-
упрощения будем себе часто позволять и в дальнейшем.
4* 51

будет *Шеть место не тоАько Для окружности С7, но и для
всякой замкнутой простой кусочно-гладкой кривой, окру-
окружающей начало координат. Действительно, радиус р можно
выбрать настолько малым, чтобы круг С был расположен
весь внутри этой кривой.
Как известно, для вещественных положительных значе-
значений г имеет место равенство
1* * = / ~. B)
Эту формулу примем за определение логарифмической
функции 1% х и при комплексных значениях г. Но при таком
определении функция \%г уже не бу&ет однозначной. Дей-
Действительно, точки 1 и г можно соединить такими двумя
различными кривыми интегрирования, которые не могут
непрерывно перейти друг в друга без того, чтобы не пройти
через исключительную точку х = 0. Например, это будет
тогда, если две такие кривые вместе образуют простой
замкнутый путь, окружающий начало координат, интеграл
по которому уже не будет равен нулю, а по формуле A)
будет равен 2тг/.
Таким образом, логарифмическая функция \%г является
в комплексной области (бесконечно) многозначной функцией
от х. Для того чтобы сделать ее однозначной, разрежем
плоскость комплексных чисел хотя бы вдоль отрицательной
вещественной оси от 0 до оо. Такая разрезанная плоскость
представляет собою область, граница которой состоит
из одной линии и внутри которой функция — будет регу-
2
•лярной. В такой области интеграл С = I — представляет
1
собой однозначно определенную функцию верхнего пре-
- 1
дела г, производная которой — не равна нулю, если путь
х
интегрирования расположен весь внутри области.
Определенное таким способом значение \%х называется
главным значением логарифма. Здесь следует заметить,
что главные значения 1*г х в точках, расположенных на про-
52

тивоположных краях разреза плоскости, в силу формулы A)
отличаются друг от друга на 2тс/.
Основное свойство логарифмической функции выражается
„теоремой сложения"
C)
Это равенство, в силу многозначности логарифма, сле-
следует понимать так: при заданных значениях 1§х1 и 1%г2
одно из значений к(ххх?) равно сумме двух первых лога-
логарифмов. Теорема сложения легко доказывается следующим
преобразованием:
/7/
//7/
у =
%1 ^1*^ _
Пусть
(СО8 ^
где
, р>о, *г? =
Выберем путь интегрирования, состоящий, как указано
на черт. 15, из отрезка вещественной оси от 1 до р и дуги
окружности радиуса р. Тогда
будем иметь, что
D)
о
Черт. 15.
и, следовательно, логарифми-
логарифмическая функция при комплекс-
комплексном г приводится к вещественным функциям. Так как \% р
и © могут принимать все вещественные значения, то \%х
принимает все комплексные значения,
53

На основании теоремы, доказанной в § 2, можно утвер-
утверждать, что в окрестности каждой точки, отличной от г = 0,
существует функция, обратная функции С = 1^2:. Эта функ-
функция называется показательной функцией и обозначается
через г = е\ Из уравнения D) видно, что каждому зна-
значению С —1& р -(- /<р соответствует одна и только одна,
отличная от нуля, точка г, т. е. что функция е* опреде-
определяется однозначным образом во всей плоскости С. В ча-
частности, если \г\== р = 19 то 1&р = 0 и следовательно
или
I 31П ^ === ^ . (у^
В силу формулы D), в которой 2 заменено на С, мы по-
получаем следующее представление дюбого комплексного
числа С:
и так как 1^С может обозначать любое комплексное число,
то для произвольного г получается важное равенство
F)
В силу многозначности логарифма, обратная ему показа-
показательная функция имеет период 2к/, т. е. удовлетворяет
уравнению
е = е .
В частности имеем
2кг л
е = 1.
Из теоремы сложения C) имеем зависимость
е &Ь " • ! /?
Для производной показательной функции, так же как и для
вещественной переменной, получаем
Ае _ 2
~^Г~ — е '
ах
Определив для комплексной переменной логарифм, можем
54

теперь дать общее определение степени г* при помощи
равенства
а а
л* ——— ^
Определенные здесь элементарные функции будут также
исследованы еще в главе IV.
§ 7. Интегральная формула Коши.
Теорема Коши и соответственно более общая теорема,
изложенная на стр. 48 и относящаяся к многосвязным
областям, позволяют доказать основную интегральную фор-
формулу, также принадлежащую Коши, которая дает возмож-
возможность найти значение аналитической функции /(г) в произ-
произвольной внутренней точке г какой-либо замкнутой области,
в которой функция /(г) регулярна, через значения /(г)
на контуре, ограничивающем область1).
Пусть /(г) будет регулярная аналитическая функция
в области С Пусть С будет контур, составленный из про*
стых кусочно-гладких кривых, ограничивающий некоторую
односвязную или многосвязную область, которая вся рас-
расположена внутри области С Пусть точка г0 расположена
внутри области, ограниченной контуром С. Контур С будем
проводить в положительном направлении. Если от области С
отнять круг с центром в точке г0 и достаточно малого
/()
радиуса р, то в оставшейся области функция ~ будет
^ — го
регулярной. Поэтому имеем, что
Г
^ 2
О
где окружность К, ограничивающая круг, описана в поло-
положительном направлении.
Для точек окружности К имеем, что
) Саиску Ь. А. 5иг 1а тёсап1цие сё1ез1е е* зиг ип поиуеаи са!си1
арре1ё са!си1 без НтНез. Тиг1п 1831» Ехегс. сГапаЬ е! с!е рЬуз. та*Ь., Вс1.
2, РаНв 1841,
55

и значит
йг = гре УЛ>,
с/г
X X:
а потому
С
3
A)
О О
Так как функция /(г) в точке г0 непрерывна, то имеет
место неравенство
(где а > 0 — произвольно малое число), справедливое при р
достаточно малом и при всяком ср. Пользуясь неравен-
неравенством B), § 3, можем написать
2к
О
2к
2тг
/(г0
О
о
о
где
Когда р стремится к нулю, то правая часть равенства A)
стремится поэтому к 2^//(г0). Написав г вместо г0 и обо-
обозначив через I переменную интегрирования, получим по-
поэтому интегральную формулу Коши
B)
Эта формула выражает значения аналитической функции
внутри замкнутой области регулярности через „граничные61
или „контурные значения" функции, принимаемые функ-
функцией на контуре области.
Тем же способом, как и при обобщении теоремы Коши (§ 4)>
можно доказать далее, что интегральная формула Коши B)
остается справедливой и в том случае, когда функция /(г)
непрерывна в замкнутой области, ограниченной конту-
контуром С, а аналитический характер имеет только внутри
области.

Предыдущие рассуждения дают возможность просто полу-
получить некоторые принципиально важные результаты.
Докажем прежде всего, что производная аналитической
функции тоже есть функция аналитическая.
Для этого докажем сразу следующую еще более общую
теорему:
Если <р (г) будет какая-нибудь комплексная функция,
непрерывная вдоль простой, замкнутой кусочно-гладкой
кривой С1), то функция, определяемая равенством
будет, внутри кривой С, регулярной аналитической функ-
функцией, все производные которой существуют и опреде-
определяются формулой
0-1.
D,
Действительно, пусть г будет какая-нибудь точка, распо-
расположенная во внутренней области С, ограниченной конту-
контуром С. При произвольных, достаточно малых по модулю,
отличных от нуля значениях К имеем, что
1
1 /• ?
гУ
гJ.
—. Г
С-
Так как нижние пределы расстояний точек г и г~|-/1от то-
точек контура С, при достаточно малом | А |, отличны от нуля,
то абсолютная величина произведения (I — г — К){Ь—гJ
для всех достаточно малых "значений | Н | будет больше
некоторого .постоянного положительного числа. Далее,
функция <?(/) по модулю ограничена на контуре С. Таким
Т. е. величина, непрерывно зависящая от длины дуги.
57

°бразом, правая часть равенства E) стремится [в силу фор
мулы B) § 3] к нулю вместе с Л и следовательно
_, „ _ 1. С ^»
Существование производной /'(г) функции /(г), таким
образом, доказано. Совершенно аналогичным образом дока-
доказывается существование производных высших порядков
Г (г)> 1" (г) • • • и справедливость формулы D). Так как
вторая производная /" (?) существует, то первая произ-
производная /' (г) будет непрерывной, а следовательно /(г) будет
аналитической функцией в С. Здесь следует особенно
отметить, что функция /{г), определенная равенством C),
вовсе не должна в точках контура С иметь значения,
равные <р (г)г). Для того чтобы такое обстоятельство имело
место, комплексная функция <р (г) должна удовлетворять
некоторым вполне определенным условиям, которые будут
указаны далее (глава III, § 11). Но если известно заранее,
что функция у (г) совпадает со значениями аналитической
функции /(г) на контуре, то, основываясь на формуле Коши,
получаем следующую теорему: Аналитическая функция /(г)
имеет непрерывные производные, определяемые формулами
Таким образом, все производные аналитической функ-
функции будут опять функциями аналитическими2). Здесь С
Рассмотрим например круг радиуса 1 и пусть на его контуре С
ср ({) = —. В каждой отличной от 0 точке г внутри этого круга функция,
определяемая формулой C), будет равна
с
т. е. О (таково же значение функции в точке г = 0).
2) Для функций комплексной переменной имеют таким образом место
существенно иные обстоятельства, чем для функций вещественной пере-
переменной, где существование и непрерывность первой производной никоим
образом не влечет за собой существование производных более высоких
порядков.
58

обозначает кривую, окружающую точку г и целиком рас-
расположенную вместе с внутреннею для нее областью внутри
области регулярности функции /(г). Предыдущее доказа-
доказательство остается слово в слово таким же, если С обозна-
обозначает область, внешнюю для кривой С, и если точка г лежит
в С. Формулы C) и D) определяют, поэтому, аналитиче-
аналитическую функцию и ее производные не только для области,
расположенной внутри кривой С, но и для внешней по отно-
отношению к этой кривой области. Однако эти две аналити-
аналитические функции не имеют между собой ничего общего. Напри-
Например, пусть задана функция/(;?), регулярная внутри и на кон-
контуре С, и пусть о (г) совпадает с ее значениями на контуре,
тогда для всех значений г, расположенных вне С, инте-
интеграл C) будет равен нулю. Это непосредственно следует
/ (г)
из теоремы Коши .в силу того, что функция ——— будет
~~~~* о
регулярной аналитической функцией внутри С и на С, если
только го лежит вне контура С. Если же С простая, но не замк-
замкнутая кривая, то формулы C) и D) представляют аналити-
аналитическую функцию, регулярную во всей плоскости, за исклю-
исключением кривой С. Доказательство опять дословно то же
самое. Из полученных результатов получается теорема^
обратная теореме Кошиг): Если функция /(г) непре-
непрерывна в области С и если интеграл функции /(г), взятый
по произвольной замкнутой простой кривой, целиком ле-
лежащей внутри С, равен нулю, то функция /(г) будет
аналитической в области С.
Для доказательства достаточно воспользоваться сообра-
соображениями, изложенными в § 3. Пусть г0 и 2 будут две
точки, расположенные в области С. По условию интеграл
г
I
не зависит * от пути интегрирования и при постоянном х0
и переменном 2 будет функцией Р(%) от одного 2.. Функ-
Функция ГB) имеет непрерывные вещественную и мнимую
части, частные производные от которых существуют, непре-
непрерывны и удовлетворяют уравнениям Коши-Римана (ср.
) В литературе эта теорема называется также теоремой Морера
(Могега).
59

стр.38—39). Следовательно Р{^) будет аналитической функ-
функцией от г и, по только-что доказанной теореме, ее произ-
производная /(х) будет тоже аналитической функцией.
Из этой теоремы видно, что для построения теории
функций комплексной переменной можно было бы исходить
из требования, чтобы функция была интегрируема, вместо
того чтобы исходить из условия дифференцируемости
функции (ср. введение к этой главе).
§ 8. Конформное отображение.
В центре дальнейших рассуждений будет находиться одно
свойство аналитических функций, которое представляет
собой геометрическое выражение свойства дифференцируе-
дифференцируемости,— а именно конформное отображение.
Если каждой точке области С плоскости х сопоставим
ту точку С плоскости С, которая соответствует значению
аналитической в С функции С=/(<г), то мы получим ото-
отображение области С на некоторое множество точек плос-
плоскости С. Изучим ближе характер этого отображения.
Пусть х будет такая точка области С, для которой /'(х)фО.
По доказанной в § 2 теореме об отображении областей,совер-
шаемом аналитической функцией, достаточно малая окрест-
окрестность точки г отображается взаимно однозначным образом
на некоторую окрестность соответствующей точки в плос-
плоскости С.
Проведем через точку х две кривые Сг и С2, снабженные
определенным направлением обхода и имеющие в точке г
соответственно направленные касательные 1Х и *2. Обозна-
Обозначим через 91 и ?2 углы, которые касательные 1у и и обра-
образуют соответственно с положительною осью дг-ов, и че-
через & = ?2 — ?1 угол, заключенный между этими касатель-
касательными. Пусть г1 = г-\- Нг будет точка, расположенная на
кривой С1 и стремящаяся к точке г, когда ^ стремится
по модулю к нулю, а 22 = х-\-к2 — такая же точка на кри-
кривой С2. Тогда имеем, что
И ЧТО
60

Примем, что /*! и А2 имеют одинаковый модуль /*, так ч1'б
** = ге*<\ C)
причем аргументы фх и <Ь очевидно зависят от г. Из ра-
равенств A) и B) имеем тогда в силу /' (г) ф О
Так как, при надлежащем выборе % и ф2 (которые по же-
желанию можно увеличивать на величины, кратные 2тг) имеем
г -> 0 . г ->■ О
ТО
г-*о
Положим теперь
/(г + Аг)-/(г) = р1в*ь, /(*+ А2)
предыдущее равенство принимает тогда вид
1. ро * (у2— у,) «5
г-»0
и распадается на два
Нт ?& = 1, D)
Р
Ит (х2 — /л) = 2, E)
причем при отсчете углов кратные 2^ в случае надобности
должны быть отброигены. Функция /(г) отображает кривые
С1У С2 плоскости г на кривые Гр Г2 плоскости С, которые, как
легко видеть, имеют касательные в точке С=/(г). Из са-
самого определения углов ул и /2 видно, что, когда г стре-
стремится к нулю, эти углы стремятся соответственно к углам,
которые касательные тг и т2 к кривым Г1 и Г2 в точке С
образуют с положительною вещественною осью. Равен-
Равенство E) показывает поэтому, что угол между касатель-
касательными т3 и т2 в плоскости С равен соответственному углу
между касательными 1Х и ^ в плоскости 2. При этом
направления касательных т1 и т2 выбраны соответственно
61

той ориентации кривых Г1 и Г2, какая получается при
бражении снабженных определенным направлением кри-
кривых Сх и С2. Таким образом, если аналитическая функ-
функция ^=/(^) отображает плоскость х на плоскость С, то
углы между соответствующими кривыми и направление
отсчета углов сохраняются в каждой точке, в кото-
которой $'{г) Ф 0. Как говорят, отображение обладает свойством
„консерватизма углов" или, иначе, является „конформным".
Итак, получили следующий результат: аналитическая
функция совершает конформное отображение или, точнее,
конформное отображение с сохранением направления от-
отсчета углов.
Рассуждая в обратном порядке, можно доказать, что если
функция С = /(г) = и -\- IV совершает конформное отобра-
отображение и имеет непрерывные производные от и и от V, то
такая функция будет дифференцируемой. Если еще их и ух
в рассматриваемой области нигде не обращаются одновре-
одновременно в нуль, то и /' (г) будет в этой области везде от-
отлична от нуля.
Конформность отображения, совершаемого функцией,
при соблюдении толъко-что упомянутых предположений
эквивалентна аналитическому характеру функции при
добавочном условии, что производная этой функции не
обращается в нуль.
При отображении с сохранением углов, малый треуголь-
треугольник плоскости г должен отображаться в первом прибли-
приближении на подобный треугольник плоскости С. Поэтому кон-
конформное отображение называют еще „подобным в беско-
бесконечно малом".
Величина
у
как видно из равенства A), представляет собой линейное
растяжение в точке г. Если функция С =/B) отображает
область С плоскости ху конформно на область Г плоско-
плоскости иуу то величина площади области Г, получающейся
при отображении, равна
Г /Аи еЬ = I I (ихуу — иуух)<1х с!у = ^ / (и* + у2х) Ах е/*/=
г ' Ь Ь
= I [\Г (г)\Чх с(у.
62

Эта формула получается из того соображения, что функ-
функциональный определитель функций и и V по х и по у%
в силу уравнений Коши-Римана, равен \/'(г)\2.
Для того, чтобы отображение было бы конформным,
существенно то обстоятельство, чтобы производная была
отлична от нуля. Далее увидим (глава IV, § 1 и 2), какой
характер имеет отображение в тех точках, в которых про-
производная обращается в нуль.
Кроме рассмотренных нами конформных отображений,
при которых сохраняется величина и направление отсчета
углов, встречаются и такие отображения, при которых ве-
величина угла сохраняется, направление же отсчета меняется
на прямо противоположное. Такие отображения будем на-
называть конформными отображениями с изменением на-
направления отсчета угла. Простейшим примером такого
отображения будет
С =*= г,
где г обозначает, как обычно, комплексное число г = х — 1у>
сопряженное с г = х -|- гу. Такое отображение с геометри-
геометрической точки зрения будет зеркальным отображением
в вещественной оси. Если точкам г сопоставлять зна-
значения С, сопряженные со значениями аналитической функ-
функции С = /(г), то будем иметь также конформное ото-
отображение с изменением направления отсчета углов. Так
как, обратно, всякое такое соответствие между точ-
точками С и г определяет аналитическую функцию С = {{г),
то отсюда следует, что таким способом мы можем полу-
получить все конформные отображения с изменением направле-
направления отсчета углов. В качестве простого примера укажем
преобразование обратными радиусами, к которому мы еще
впоследствии вернемся (глава IV, § 3) и которое должно
быть знакомо читателю.
Роль конформных отображений для прикладных областей
математики (картографические проекции и т. д.) достаточно
хорошо известна.

ГЛАВА ТРЕТЬЯ.
СЛЕДСТВИЯ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМУЛЫ КОШИ.
Прежде чем перейти к исследованиям, исходящим из
понятия конформного отображения, докажем в этой главе
ряд общих предложений теории функций комплексной пере-
переменной, которые все будут в большей или меньшей сте-
степени непосредственными следствиями интегральной фор-
формулы Коши.
§ 1. Теорема о среднем арифметическом. Принцип
максимума и лемма Шварца.
Если функция /(г) регулярна внутри и на контуре круга
радиуса р с центром в точке г, то из интегральной фор-
формулы Коши следует формула
2к
О
и, следовательно, значение функции /(г) в точке г равно
среднему арифметическому значений функции на окруж-
окружности круга с центром в точке г.
Если М есть верхняя граница значений 1/(*)| на окруж-
окружности, то из формулы A) непосредственно следует,
что |/(г)|<М
Эта оценка позволяет доказать следующую теорему, на-
называемую „принципом максимума и минимума модуля".
Модуль аналитической функции, регулярной в замкнутой
области С, достигает своего наибольшего, а если функция
внутри области С не обращается в нуль, то и своего
наименьшего значения на контуре этой области С, и
64

притбм только на нем, если только функция /(г) не
является постоянной в области С,
Заметим предварительно, что |/(г)| будет постоянной
величиной тогда и только тогда, когда /(г) = и-\-ю является
постоянной. Действительно, продифференцировав равен-
равенство и2 -\- V2 = сопя! по х и по у, в силу уравнений Коши-
Римана, получим, что иих -\- ююх = О и юих — июх = 0. Из такой
системы уравнений следует, что или ее определитель и2-\-V2
равен нулю, или же их = юу = 0 и
иу = 0. Другое
1/С)
р у у 0 и ух иу
доказательство получим, рассмотрев функцию 1&/С2).
Если /(х) постоянна, то высказанная выше теорема оче-
очевидна. Пусть теперь /(г), а следовательно и |/(г)| не со-
сохраняет постоянного значения. Предположим, что \/(х)
принимает наибольшее значение М внутри области С.
Тогда должна существовать внутренняя точка г*, для кото-
которой \/(г*)\ = М и в произвольно малой окрестности кото-
которой лежат такие точки, для которых | /(г) | < М. Но тогда
около точки 2* можно описать круг радиуса р так, чтобы
он весь лежал внутри С и чтобы на его контуре вели-
величина |/B)| нигде не была бы больше М, а на одной или
нескольких частях' контура была бы меньше М. Но это
противоречит неравенству
B)
0
получаемому из равенства A).
Если функция /(г) не обращается в нуль внутри С, то,
прилагая только-что доказанную теорему к регулярной
в области С функции 2~г\у докажем, что | /(г) \ достигает
Тг)
Т\)
своего наименьшего значения тоже на контуре области С
Из доказанной теоремы непосредственно вытекает так
называемая лемма Шварца (ЗсНголгг):
Пусть /(х) будет аналитическая функция, регулярная
||1 /()
в единичном круге
при \х\<1.
фу ур
причем /(о) = О, и пусть
\
Лемма Шварца утверждает, что при \ г \ < 1, будет дате
!/(*)!<
5 Зак, 1985. Курант.
65

причем, если знак равенства имеет место хотя бы
в одной точке г с \ г | < 1, то он имеет место при
всех г и в этом случае функция /(г) имеет вид:
/ (г) = е{(г (Т вещественное).
/00
Для доказательства рассмотрим функцию —. Разложив
/(г) в ряд по степеням г и разделив на г, мы увидим, что
функция —- является регулярной при | г < 1, в частности
и в нулевой точке !). В каждом круге | г \ ^ /?, где К < 1
модуль этой функции принимает наибольшее значение на
контуре и следовательно, принимая во внимание условия
леммы, получим, что
9
Совершая предельный переход /?—>1, докажем предложение.
Если знак равенства имеет место хотя бы в одной точке,
то везде при |2|<1 должно быть —,—-=1,так как тогда
I ^
функция г- принимает наибольшее значение во внутрен-
ней точке. Но тогда и -— должно быть постоянным и зна-
х
чит /(г) = еП2г, где 7 — вещественное число.
См. §4. Регулярность"^ в любом круге |г|<^^, где
(а следовательно и в круге |г|<^1) можно также доказать, непосред-
непосредственно исходя из интегральной формулы Коши:
~ 2тс/ У г (^ _ г) аг 2тс/ У ^ - г) аГ ^ 2Ш ^
сЕ
где С% есть окружность | х \| = ^. Первый интеграл справа есть регу-
регулярная функция в круге \х\<С^К согласно теоремы главы II, § 7 [в фор-
формуле C) этого параграфа надо положить <р (?) = —т*-]. Второй же интеграл
равен нулю, ибо
С В Прим. ред.
66

§ 2. Некоторые неравенства. Теорема Лиувилля.
Из интегральной формулы F) главы II, § 7, легко вы-
вывести неравенства для производных аналитической функции,
справедливые внутри области регулярности функции.
Пусть С будет простая замкнутая кривая длины Ь9 распо-
расположенная вся вместе с ограниченною ею внутреннею
областью внутри той области, где функция /(г) регулярна.
Пусть, далее, М будет верхней границей значений \/(г)
на кривой С и г — точка, расположенная внутри С, причем
расстояние точки г от кф*вой С не меньше 8.
Из формулы B) главы II, § 7, вытекает оценка
и соответственно из формулы F), главы II, § 7, оценка
B)
содержащая в себе при п = О предыдущую оценку.
Если кривая С есть окружность радиуса р с центром
в точке г, то
Г^ 11 = 0,1,2...). C)
Р
Формула C) при п = 1 принимает вид
у D)
откуда получается теорема Лиувилля (ЫоиюШе): Если
функция регулярна и ограничена во всей плоскости, то
она равна постоянной. Действительно, так как радиус р
можно выбрать в этом случае сколь угодно большим, то из
неравенства D) следует, что /' (г) тождественно равна нулю.
§ 3. Равномерная сходимость. Теорема Вейерштрасса.
Обратимся теперь от исследования отдельных аналити-
аналитических функций к рассмотрению множеств функций и прежде
всего займемся вопросом о сходимости последовательности
функций. Вспомним для этого понятие равномерной сходи-
5* 67

Мости (глава I, § 1). Последовательность функций /г (г),
/2 (г),..., определенная на некотором множестве точек М,
называется равномерно сходящейся на Му если она схо-
сходится в каждой точке г этого множества и притом для
всех этих точек „одинаково хорошо", в следующем точном
смысле: если {(х) = Нт /п (г) будет предельная функция,
П->оо
определенная на М9 то каждому заданному числу г > О
можно сопоставить такое целое положительное число
чтобы при всех п ^ N имело место неравенство
справедливое одновременно для всех точек х9 принадле-
принадлежащих множеству М. Если С есть некоторая область или
С—некоторая непрерывная кривая в плоскости х и если
функции /п (г) непрерывны в области С или вдоль кривой С,
то и предельная функция /(х) = 1\т/п(х) будет непрерывной
п->оо
в области С или вдоль кривой С; это доказывается совер-
совершенно так же как соответствующее предложение в области
вещественной переменной.
Если функции /1 (х), /2 (х),... непрерывны вдоль некото-
некоторой кусочно-гладкой кривой С и если последовательность
этих функций сходится равномерно на кривой С, то
для предельной функции /(г) имеет место равенство
Нт
Действительно, из вышесказанного следует, прежде всего,
непрерывность, а потому и интегрируемость функции /(г).
Так как .далее
С С
у
С
то из равномерной оценки ]/„(*)—/(х) \ < г и из оценки
интеграла, данной в главе И, § 3 B), сразу получается
наша теорема, совершенно так же, как аналогичная теорема
в вещественной области. Эту теорему можно кратко фор-
формулировать так: для равномерно сходящейся последователь-
последовательности знаки интеграла и предела можно переставить.
Среди более глубоких теорем о сходящихся последователь-
68

ностях функций на первом месте стоит следующая теорема
Вейерштрасса (^е1ег81га85):
Если последовательность функций /1 (г), /2 (г), /3 (г),...,
регулярных внутри и на контуре некоторой односвязной
области С, ограниченной контуром С, будет равномерно
сходиться на контуре, то она будет равномерно схо-
сходиться и внутри контура. Предельная функция /(г)
будет аналитической функцией, регулярной в С, и ее
производные будут предельными функциями последова-^
тельностьй соответствующих производных от /г (г),
Равномерная сходимость нашей последовательности
внутри С непосредственно следует из принципа максимума
и минимума, так как модуль разности /п(г)—/ш(я) дости-
достигает своего наибольшего значения на контуре С. Последо-
Последовательность функций — (V = 1, 2, 3 ...) сходится, оче-
видно, вдоль кривой С равномерно, также как и после-
последовательность функций /Д0« В равенстве
/<*) = Нш Л (г) = Ит ~ / Ш.А,
на основании предыдущей вспомогательной теоремы, можно,
следовательно, переставить знаки интеграла и предела и
поэтому предельную функцию /(г) можно представить,
внутри С посредством интегральной формулы Коши
•{
Отсюда непосредственно следует, как это было показано
в главе II, § 7, существование непрерывной производной
предельной функции внутри С и, следовательно, аналити-
аналитический характер последней. На основании того же'^параграфа
имеем формулу для производной предельной функции
69

Из этой формулы, пользуясь равномерной сходимостью
(которая очевидна) последовательности функций
0' = 1,2,3...), опять найдем
/' (г) = Шп -1 [ А^ Л = Нт /, (х).
2^1 С {* )
Таким же путем Найдем формулу для производной п-го
порядка
->ОО
Иногда бывает полезно понятие равномерной сходимости
заменить другим, равносильным ему, понятием. Такое по-
понятие доставляется следующим определением:
Последовательность функций /г (г), /2 (г),..., определенных
в области С, называется непрерывно сходящейся к функ-
функции /(г)у если выполнено следующее условие: какова бы
ни была точка г области С, последовательность /п(^п\
(п = 1, 2, 3,...) сходится к /(г) независимо от выбора
точек гп, если только точки гх, г2, г3,.,. принадлежащие С,
образуют последовательность, сходящуюся к точке г.
В частности, все гп могут совпадать с г. Таким образом,
из непрерывной сходимости получается сходимость в обык-
обыкновенном смысле.
Пусть В будет ограниченной замкнутой областью*
Последовательность непрерывных функций /г (г), /2 (г),...
тогда и только тогда равномерно сходится в В, если
она сходится там непрерывно.
Легко показать, что из равномерной сходимости следует
непрерывная сходимость. Действительно, пусть Нт гп = г,
П->оо
причем гп и г принадлежат В. Первый член в правой части
неравенства
е
в силу равномерной сходимости будет меньше ^, где е > О
заданное число, как только например п ^ Л^(©)- Так как,
кроме того, функция /(г) как предельная функция равно-
равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций,
70

будет непрерывна в В, то при N достаточно большом и
при п>Л^ будем, иметь, что \/(гп) — /ХгI< о и следова-
следовательно
чго и Доказывает непрерывную сходимость.
Обратно, предположим теперь, что последователь-
последовательность /п(г) сходится непрерывно. Пусть А^, Л^, А/я,... будет
неограниченно возрастающая последовательность целых
чисел. Если бы сходимость последовательности /п (г) не была
равномерной, то существовало бы некоторое число а > О
и некоторая последовательность точек г19 г2, г3,..., распо-
расположенных в С, обладающая тем свойством, что при каж-
каждом к = 19 2, 3,... и некотором соответствующем ему под-
подходящем п — п (к) ;> М% имеет место неравенство
1/»(**)-/(**I>«. A)
При каждом постоянном к последовательность /} (г*),
/2 (гк),... сходится к пределу /(гА). В силу неравенства A),
каждому значению к должно поэтому соответствовать такое
число т (которое можно выбрать превосходящим п)9 чтобы
имело место неравенство
I/. (**)-/„. (**)!>«. B)
Так как область В замкнута и ограничена, то последова-
последовательность точек гк должна иметь хотя бы одну принадле-
принадлежащую В точку сгущения г. Не нарушая общности, можно
предположить, что г = Нт гк. Если в неравенстве B)
число к9 а вместе с тем и числа пит неограниченно уве-
увеличивать, то в силу непрерывной (по предположению) схо-
сходимости нашей последовательности функций будем иметь, что
Таким образом имеем противоречие, так что предполо-
предположение о неравномерной сходимости отпадает.
Из этой теоремы непосредственно видно, что последо-
последовательность функций, непрерывных в некоторой ограни-
ограниченной открытой области, тогда и только тогда будет
непрерывно сходящейся в этой области, если она равно-
равномерно сходится в каждой замкнутой ее части,
71

§ 4. Ряды Тэйлора и Лорана.
Интегральная формула Коши дает возможность разложить
аналитическую функцию в степенной ряд и тЬм установить
связь с построением теории функций, данным Вейерштрас-
сом. Приведем здесь вкратце эти рассуждения.
Пусть х0 — заданная точка, расположенная внутри кри-
кривой С. Из интегральной формулы Коши имеем, что
/М) , \ С {(I) 1
2о
где х — какая нибудь точка внутри кривой С
Второй множитель подинтегральной функции можно раз-
разложить в геометрический ряд
I 20
если абсолютная величина отношения меньше I. Это
наверное будет иметь место, если точка х расположена
внутри такого круга К, с центром в точке х0> который весь
вместе с его периферией расположен внутри С. Геометриче-
Геометрический ряд будет тогда сходиться равномерно относительно /.
Такой ряд, умноженный на , можно на основании § 3
почленно проинтегрировать и, пользуясь формулами F)
главы И, § 7, можно получить из формулы (I) следующее
разложение:
B)
п\
Разложение B) будет справедливо для всех значений х,
лежащих внутри круга К с центром г0. По аналогии с из-
известным рядом, встречающимся в элементарном дифферен-
дифференциальном исчислении, такой ряд называют рядом Тэйлора
72

(Тау1ог) для функции /(г) в окрестности точки г09 а полу-
полученный результат называют теоремой Тэйлора.
Ряд Тэйлора B) равномерно сходится в каждом круга
около точки 20, который весь вместе со своей периферией
расположен внутри области регулярности функции /(г). По
теореме Вейерштрасса из § 3 сумма этого ряда будет там
аналитической функцией, совпадающей в окрестности точки
го с данной функцией /(г).
В связи с рядом Тэйлора, введем следующее опреде-
определение. Если в точке г — 20 функция /(г) и все ее произ-
производные / (г),... / {п~1) (г) до порядка (п — 1) равны нулю,
а / (г0) Ф 0, т. е. если в окрестности точки г0 разложение
функции /(г) в ряд Тэйлора имеет вид
то точка г0 называется п-кратной нулевой точкой или
п-кратным нулем, или п-кратным корнем функции /(г.)
Из разложения в ряд Тэйлора можно вывести вжаное
следствие, которым часто будем пользоваться. Пусть функ-
функция /(г) регулярна в окрестности точки г = г0 и разлагается
там в степенной ряд
/(г) = со-\-с1(х — г0)-\- с2(г — 20J+- • •
Предположим, что этот ряд имеет хотя бы один отличный
от нуля коэффициент. Пусть ск (к !> 0) будет первый из не-
необращающихся в'нуль коэффициентов. Функция
в окрестности точки г = г0, за исключением самой этой
точки, будет определена и регулярна. Вместе с тем она
может быть разложена в этой области в степенной ряд
поэтому если положить еще #B0) = с#, то функция §{г)
будет регулярной везде в окрестности г0 и будет удовле-
удовлетворять условию
причем только в случае к = 0 надо считать, что значение
{г — г0) при г = 20 также равно 1. Так как функция
73

в точке х0 имеет значение ск9 отличное от нуля, то в силу
ее непрерывности можно отграничить такую окрестность г0,
в которой везде §(х)ф-0. Из равенства C) видно, что везде
в этой окрестности, за исключением только самой точки х0,
функция /(х) ф 0.
Таким образом имеем теорему:
Если функция /(г) в точке х = х0 регулярна и в окрест-
окрестности этой точки не равна тождественно нулю, то
точка х0 не может быть точкой 'сгущения нулей функ-
функции /(г).
Пользуясь теоремой Тэйлора, легко видеть, что извест-
известные разложения в бесконечные ряды функций е, \%(\ -\-х\
(\-\-х)* будут справедливы и для комплексных значений г.
На основании сделанного выше замечания о сходимости
ряда B) эти разложения будут иметь место во всей плос-
плоскости или соответственно внутри единичного круга \х\ < 1.
Обобщением ряда Тэйлора B), при выводе которого пред-
предполагалась регулярность функции /(х) в некотором круге К
около х0, будет ряд Лоранъ (Ьаигеп*). 'Пусть функция /(г)
будет регулярна внутри и на границах кольцевой области,
ограниченной двумя окружностями Кг и К%, с центром
в точке х0. Если точка х расположена внутри кольца, то
интегральная формула Коши принимает вид
где интегралы по окружностям Кх и К2 взяты в таком
направлении, чтобы ограниченная ими кольцевая область
была расположена слева.
Для внешнего круга К% имеем, что
00 • хп
о
с ~~— % Т
1 в 1 _ 1 у (х — дг0
и для внутреннего круга Кг
1 1 1_у /*
— г0 л I — 2г0 г — х0 ^ ' г
1 п~ о
-г*
X Хо
74

Интегрируя почленно, получим разложение
*6)"А, D)
где оба интегрирования как по кругу АГ15 так и по кругу
К2 совершаются в одном и том же (положительном) напра-
направлении, или еще
2 <-
-со
оо
п = — оо
ся(*-*б)и, E)
где кривая интегрирования С есть произвольная простая
замкнутая кривая, окружающая точку г0 и расположенная
внутри кольца. Полученный результат называют теоремой
Лорана. Разложения D) или E) называются рядом Лорана
для функции /(г). Эти разложения полезны в том случае,
когда функция /(г) регулярна во всех точках окрестности
г0, за исключением самой точки го. В этом случае разло-
разложение E) будет справедливо везде внутри некоторого круга,
описанного около точки Го, за исключением самой точки
Если за кривую С взять окружность с центром в точке 0
и радиусом р и если М будет верхней границей значений
|/(г)| на кривой С, то из формулы E) будем иметь нера-
неравенства для коэффициентов сп ряда Лорана
\сп\ ^ ~~п" > (п = ..., 1, и, 1, 2,...). (о)
Далее, коэффициент стт_1 равен
75

Коэффициент с_1 является таким образом (в смысле § 5,
главы II) вычетом функции /(г) в точке г0. Докажем
такую теорему:
Если выражение (г—2:0)/(г) имеет предел, когда г стре-
стремится к г0, то этот предел равен вычету функции /(г)
в точке 20.
Действительно, так как функция (г — 20)/(г)> в силу пред-
предположения, ограничена в окрестности гс, то в разложении
этой функции в ряд Лорана в окрестности точки г0 коэф-
коэффициенты всех членов с отрицательными показателями
должны равняться нулю. Это видно из того, что в фор-
формуле F) можно брать р сколь угодно малым. Из разложе-
разложения же
О У V / — О I ^1 V ^0/ I ^2 V
имеем
0
и следовательно вычет функции /(г) в точке ^0 будет ра-
равен со='НтB: — го)/(г). Если в разложение функции /(г)
в ряд Лорана в окрестности точки г0 входит только
конечное число членов, но не меньше одного, с отрица-
отрицательными степенями и не равными нулю коэффициен-
коэффициентами, то точка г0 называется полюсом функции /(г). Если
, (ю!>1,с=^=0) будет членом этого разложения с са-
мой низкой степенью, то точка г0 называется полюсом
п-го порядка или п-кратным полюсом.
Около каждого полюса функции /(г) можно отграничить
такую окрестность, в которой эта функция везде, за исклю-
исключением ее центра, будет по модулю больше заданного напе-
наперед положительного постоянного числа С. Действительно,
пусть ряд Лорана функции /(г) в окрестности точки г0
имеет вид
(г — г0) (г — г0)
С1 (* — 2о)
76

Функция
= с
_п
с_(п_г) (г - г0) + ...) +■
с0 (г — 20)п + ^ (г —
в некоторой окрестности точки г0
G)
будет регулярна и во
всех ее точках, за# исключением центра, будет равна
(г — г0) /(г). Имеем далее §B0) = с-П' В силу непрерыв-
непрерывности §B) должна существовать такая окрестность г0, в ко-
которой везде
Выберем, кроме того, эту окрестность настолько малой,
чтобы в ней везде было
—п
26'
тогда будет
п
С
•о
п
\П*)
с
Таким образом, во всех точках этой окрестности за
исключением ее центра го, будем иметь, что
В частности, полюс никогда не может быть точкой сгуще-
сгущения нулей функции.
Изложенное в этом параграфе устанавливает связь с точ-
точкой зрения Вейерштрасса на теорию функций комплексной
переменной. Класс функцищ определенных при помощи
степенных рядов, вполне тождествен с классом функцищ
имеющих непрерывные производные и названных нами
аналитическими.
§ 5. Приложения теоремы Коши и теоремы о вычетах.
Теорема Коши (глава Н, § 4) и ее обобщение, теорема
о вычетах (глава II, § 5) имеют не только бесчисленные
приложения в теории функций, но и для других математи-
математических дисциплин являются часто важным вспомогательным
средством. Мы дадим сейчас несколько примеров из ве-
вещественного анализа.
77

Обе теоремы часто с пользой употребляются в анализе
при вычислении (путем перехода в комплексную область)
несобственных вещественных интегралов с бесконечными
пределами, с трудом поддающихся или
вовсе не поддающихся вычислению
в вещественной области. Последующие
примеры приводятся в этом параграфе,
^1>^ л а не ранее, только потому, что при
— приложении теоремы о вычетах надо
будет воспользоваться одной теоремой
предыдущего параграфа.
В качестве первого примера рассмот-
Черт. 16. рим интеграл
взятый по контуру области, указанной на черт; 16, в поло-
положительном направлении. Подинтегральная функция регу-
регулярна внутри и на контуре этой области. Разлагая путь
интегрирования на части, можно следующим образом пред-
представить У как сумму интегралов с вещественными преде-
пределами интегрирования:
—/? э^ <р -{- гЕ соз «р
е т^ ^гс/ср. A)
Пусть г стремится к нулю, а /? неограниченно возрастает
независимо от г. Второй член в правой части равенства A)
стремится тогда к нулю, так как
е
— Е 91П сс -{- гЕ соз
Е 9111
есть величина, монотонная в каждом из промежутков 0,-~-
и —, тг и везде в этих промежутках, за исключением кон-
78

цов 0 и т:,
мится К
стремится к нулю. Четвертый интеграл стре-
о
тег.
Наконец, сумма первого и третьего интегралов равна в силу
главы И, § 6 E)
^
Е
С* гх —гх
/ е —е
Е
51П X
Ах.
х л х
г г
С другой стороны, по теореме Коши, значение интеграла/
равно нулю. Переходя к пределу, получаем поэтому, что
оо
51П X
ах = —
х I
о
В качестве второго примера рассмотрим интеграл
У—
е * &%>
взятый в положительном направлении по контуру кругового
сектора, имеющего вершины в точках 0, г, ге* и центр
в точке 0, причем г>0,
те
(черт. 17). По теореме Коши значение ин-
интеграла/равно 0. Вдоль дуги круга имеем
(СО8 2а
у ( {
+1 81П 2а), @ < а < ?), 0
и, следовательно, в силу главы II, § 6, F) Черт. 17.
г
= е
г2 СО8 2а
отсюда получается для интеграла, взятого по дуге, оценка
ге1
I
9
I
г
<> I е
о
•г2 0082а
79

Правая часть этОгб Неравенства стремится к нулю,
когда г неограниченно возрастает, ото очевидно, если ? <С -г*;
в случае же ? = т" доказывается особым рассуждением,
относящимся к вещественному анализу 1). Таким образом,
интеграл, взятый по дуге круга> стремится к нулю при
/"-> оо. Но тогда, очевидно, теорема Коши приводит к ра-
равенству
Нт е~г(/г = Нт | е~% с1г, B)
о о
если только один из этих пределов существует. Правый
предел действительно существует, так как из веществен-
вещественного анализа известно, что несобственный интеграл
оо
О
сходится и равен — у тт . Так как при всяком г
те 1г г
е аг = е I е аг,
о о
I е, аг= I е ах,
е
о о
Если
И
Т
Г
с
111 2Т
Т
2 с03
з1п 2т
и следовательно Нт А = 0. Прим. ред.
г -у со
80

, переходя в пдслёДнем равенстве к пределу при г~>66,
пользуясь равенством B) и сравнивая вещественные и мни-
мнимые части, получаем формулы
оо
— а?2 сое 2ф
е т соз
81П
1 т/
У К С08
оо
/
а?2 сов 2?
81П (Х2 81П 2?) И
7С 81П
О
о частности, при ср = -—, имеем формулу
оо
I
СОЗ
о
оо
Г 1 /* *
7 2 1/2
о
Френеля (Рге8пе1)].
В качестве приложения теоремы
о вычетах, рассмотрим интеграл
ге
, 2
к
Лг, (А: — вещественное
Черт. 18.
и положительное),
взятый в положительном направ-
направлении по всему контуру С полукруга,
изображенного на черт. 18.
Этот интеграл равен произведению суммы соответствую-
соответствующих вычетов на 2тс/. Так как единственная особая точка,
расположенная внутри этой области, будет кг и так как
соответствующий вычет, по § 4, равен
Ит (г-гкг)
%
гг
кге
*"■• К.
2к
е
2 '
ТО
/.
1Я
хе , . - и
ах ъ
с
6 Зак. 1985. Курант.
81

Интеграл, взятый йо Диаметру пблукруга от — г до-)-г, |
в силу формулы E) главы II, § 6, равен I
у у
гх — гх\
/1х 1 л / гх — гх\
— г о о
Интеграл, взятый по полуокружности, по абсолютной,
величине, равен
/
п к
Ф — г 8Ш ф + %г соа <р • гср
ге г^ г 1ге
1ге
2
о о
и, следовательно, при неограниченном возрастании г стре-
стремится к нулю. Таким образом, переходя к пределу при
г -> оо , получаем:
со
их = тсге ,
Г
о
оо
Г X 81П
О
оо
-г ах = -у е
Обобщением интеграла I е х <1х будет несобственный ин-
-оо
теграл
со
/ е СО8 ах ах у
—со
где а — вещественное. Для вычисления этого интеграла
полезно следующее соображение. Пусть с=г-{-13 будет
произвольное не вещественное число и пусть а > 0.
Интеграл
х.
взятый по контуру параллелограмма Р с вершинами ± а и
с±а (черт. 19) будет, по теореме Коши, равен нулю. При
постоянном с и неограниченно возрастающем а длина не
горизонтальных сторон параллелограмма остается без
82

изменения, в то время как модуль подинтегральной функции
на этих сторонах будет равен
_
и, следовательно, остается меньше некоторой величины,
которая стремится к нулю, когда а неограниченно воз-
возрастает. Переходя к пределу, при а~>оо, будем поэтому
иметь
-оо оо
-Г'
-оо
с-а
оо
]е их
о
С
а
Полагая с = г ~тс, найдем
2 Черт. 19.
. а
—оо —оо
наконец, сравнивая вещественные части, получим, что
оо С^_
е~~х соз ах 6.x = е у тс .
—оо
Следующая теорема дает возможность вычислить очень
общий класс интегралов:
Пусть функция /(г) регулярна во всей верхней полу-
полуплоскости $г > 0, за исключением конечного числа осо-
особых точек 2г, 22, 2п, . . . . , и пусть функция /(г) регу-
регулярна всюду на вещественной оси. Далее> пусть суще-
существует три таких положительных числа г, С и а, чтобы
при | г | ^ г везде в верхней полуплоскости имело бы место
неравенство
C)
При этих условиях несобственный^ вещественный ин-
интеграл
оо
—оо
6* 83

существует и равен сумме вычетов функции /(г)9 соот-
соответствующих особым точкам 2^, умноженной на 2ъг.
Доказательство. Существование интеграла непосред-
непосредственно видно из того обстоятельства, что при больших \х\
для функции /(х) существует усиливающая функция
Черт. 20.
1-Н
и что интеграл
Aх сходится.
Можно представить себе, что в ра-
равенстве
оо
К
Г
число К неограниченно растет и при том так, что верх-
верхняя половина круга |2г| = /? никогда не проходит через
особую точку функций /(г). Если К будет полукруг, про*
ходимый от точки — /? до точки -}-/? (черт. 20), то на
основании теоремы о вычетах имеем равенство
-К
К
где гч обозначает вычет функции /(г) в точке г^ и сумма
распространена на все значения V, для которых точки гч
расположены внутри полукруга. При /? !> г, по формуле B)
главы II, § 3 имеем, что
к
/(г) Лг
«с
Интеграл, взятый по полукругу, следовательно, стремится
к нулю, когда К неограниченно возрастает.
84

Переходя к пределу /2 -* оо, имеем, что
оо
где знак суммы распространен на все значения V *).
Пример. Функция
У Куранта теорема сформулирована сразу как для конечного, так и
для бесконечного числа особых точек функции / (г), лежащих в верхней
полуплоскости. Однако, в виду допущенных Курантом в этом послед-
последнем случае неточностей, мы позволяем себе несколько уточнить форму-
формулировку теоремы.
Пусть /[г) функция, регулярная в верхней полуплоскости $2^0 за ис-
исключением бесконечного, но исчислимого множества особых точек 2^, 22,
2Л . . . , не имеющего точек сгущения на конечном расстоянии, так
что эти точки могут быть расположены в порядке возрастания их
модулей | 21 | <^ | 22 | <С | 2% | <С . . . На вещественной оси функция
/(г) пусть будет всюду регулярна.
Пусть наконец существует последовательность простых контуров
Кп (п = 1, 2, 3, ...)» опирающихся на вещественную ось, лежащих в
верхней полуплоскости, заключающих начало координат и п особых
точек г±, 22,.. . 2$, но не заключающих других особых точек и та-
таких, что если Кп есть минимальное расстояние от контура Кп до
начала координат (причем Нщ Кп = со), а Ьп есть длина кон-
П ■> оо
тура Кп> то Ьп <^ АКП, а функция / (г) удовлетворяет на контуре
Кп неравенству
и на вещественной оси при \ 2 \ !> г неравенству
2
где А, С, г, г некоторые положительные числа, не зависящие от п.
оо
Тогда § / (х) их существует и равен 2п^кратной сумме вычетов
оо
функции /(г) относительно точек 2^.
оо оо
/ / (х) ах = 2т
—оо
Доказательство, очевидно, совершенно аналогично вышеприведенному
только вместо контура К надо взять последовательность контуров Кп[
Прим, ред.
35

где коэффициенты а, 6, с вещественны и удовлетворяют
условию
б2 — 4ас < О,
будет регулярна во всей верхней полуплоскости $г>0, за
исключением точких = ^—\—Ь-\-1]/ 4ас — У1\ = х1) где у
квадратного корня надо выбрать знак тот же, что и знак
числа а. Для достаточно больших значений \х\ эта функция
будет удовлетворять условию C) при 8 = 1 и при подхо-
подходящем С. Вычет функции ]{х) в особой точке х = хх будет
равен
Нт
ах2 -\- Ьх
1
а(Х1— 2\)
По доказанной только-что теореме получаем поэтому
Ах 2*
ах2 + Ьх + с У4ас—Ь2'
Здесь можно только упомянуть о большом значении,
какое имеет теорема Коши и теорема о вычетах для ана-
аналитической теории чисел. Для нас же важно одно прило-
приложение теоремы о вычетах к теории функций. Речь идет
о подсчете числа нулей и полюсов аналитической функции.
Пусть функция }(х) регулярна внутри простой замкнутой
кривой С везде, за исключением конечного числа полюсов
аъ а2---аг Вдоль самой кривой С функция /(х) пусть
тоже будет регулярна и отлична от нуля. Пусть Ь19 Ь.29.. .Ь8
будут нули функции / (х), расположенные внутри кривой
С. Число их должно быть конечно, так как в противном
случае они имели бы хоть одну точку сгущения, располо-
расположенную внутри или на кривой С, а по § 4 точка сгущения
нулей функции не может быть ни регулярной точкой функ-
функции, ни ее полюсом.
Функция „ V очевидно регулярна как на кривой С,
так и внутри этой кривой, за исключением точек а19 а2» • • • аг>
86

Ь29".Ь8. Если в окрестности точки г0 функция / (г)
имеет вид
где к—положительное или отрицательное целое число и
ёB) — регулярная и не обращающаяся в нуль в точке
г = г0 функция, то
к ~ 18() + ( )V () ( / ~'
- го)к ~ 18(г) + (г - г0)V (г) = (г - г«/ ~' к (г),
где функция
также регулярна и отлична от нуля в точке г ■=
Поэтому будет
Пг)__ 1
/(г) г — г0
точке г = г0 функция ~т~\ равна к и, следовательно,
может быть разложена в окрестности этой точки в такой
ряд:
= к \ с(г — г0) + с2(г — г0J + • • •»
но тогда
г
" С1 "г С2 и го; -г —
Таким образом, точка г = г0 будет полюсом функции пА
)\х)
и число к — соответствующим вычетом. Если к — положи-
положительное число, То г0 будет нулем &-го порядка функции /(г).
Если же к отрицательное, то г0 будет полюсом порядка —к
этой функции. Теорема о вычетах дает теперь (глава И,
§5)
С
где ки к2,-*'к8 кратности нулей Ьи Ь2у--ЬУ9 а Лх, ^
кратности полюсов а19 а29»»»аг функции /(г) и интеграл
взят по С в положительной направлении. Если каждый
87

нуль и каждый полюс считать столько раз, какова его
кратность, то сумма кх -\- к2 -{- • • • -}- к8 дает полное число
нулей, а сумма ЛА —1— Л^ —|— • •. -\~К число полюсов функции /(г)
внутри кривой С. Итак: если N число ну лещ а Р число
полюсов функции /4%), расположенных внутри кривой С,
то
с
причем интеграл берется по С в положительном напра-
направлении. Подобным же образом можно вывести следующее
более общее предложение:
Если X ;> 0 целое число, то
х
7с = 1
где опять а{, а2,. . .аг полюса, а Ь19 Ь29• - -Ь3 нули функции /(г)9
лежащие внутри кривой С.
§ б. Принцип сходимости для аналитических функций.
Результаты § 2 позволяют доказать одно глубокое общее
предложение, которое с общей точки зрения освещает ряд
различных на первый взгляд вопросов- теории функций.
На этом основании мы приведем здесь это доказательство,
хотя дальнейшие наши рассуждения будут проведены неза-
независимо от этого предложения.
Многие рассуждения и доказательства анализа основы-
основываются на элементарной теореме Вейерштрасса о суще-
существовании точки сгущения: каждое множество чисел, со-
состоящее из бесконечного числа элементов и«расположенное
в ограниченной области, имеет по крайней мере одну точку
сгущения. Многие трудности, встречающиеся при доказа-
доказательствах анализа, в особенности при доказательствах суще-
существования, зависят часто от того, что не всегда возможно
установить соответствующее предложение для множеств
других математических объектов. Так например, является
неправильным утверждение, что из всякого бесконечного
множества вещественных функций, заданных и непрерывных
в определенном интервале и ограниченных в нем в своей
совокупности (так что абсолютное значение всех функций

не превосходит в этом интервале заданной величины),
можно выбрать частичную последовательность функций,
сходящуюся во всем интервале к предельной функции.
Для теории аналитических функций комплексной пере-
переменной имеет большое значение то обстоятельство, что
здесь существует в широком смысле принцип сгущения.
Существование такого принципа естественно обусловли-
обусловливается тем, что понятие аналитической функции комплексной
переменной гораздо уже понятия непрерывной вещественной
функции вещественной переменной.
Мы сформулируем принцип сходимости следующим обра-
образом1). Если дана бесконечная последовательность анали-
аналитических функций }\{г), /2B),.. . регулярных в области С,
и если их модули равномерно2) ограничены в С, то из этой
последовательности можно выбрать такую частичную
последовательность функций, которая, в каждой замк-
замкнутой области^ расположенной целиком внутри С, равно-
равномерно сходится к некоторой предельной регулярной ана-
аналитической функции.
Мы разобьем доказательство этой теоремы на несколько
частей. Прежде всего докажем, что если В есть замкнутая
и ограниченная простой кусочно-гладкой кривой часть
области С, то все функции /„ (г) равномерно непрерывны
в В в своей совокупности, т. е. докажем, что каждому
числу й > О соответствует некоторое положительное, не за-
зависящее от л и стремящееся к нулю вместе с Л число 8 = 8(с/),
такое, что неравенство \/п(гг)—/м(^) I < ^(°0 имеет место
при всяком п для всяких двух точек хх и 2г2, лежащих в В,
если только | гх — г2 | < Л. Для доказательства обозначим
через р такую положительную величину, чтобы каждый
круг радиуса р с центром в любой точке В весь при-
принадлежал С. Тогда, на основании неравенства D), § 2
этой главы, для любой точки г области В имеет место не-
неравенство
х) Об этой теореме, ее обобщениях и приложениях см. например
работы Монтеля (Моп1е1) и Жюлья ^иКа) (МопШ: Апп. Ее. Ыогт. вир.
1912» 1916; /нйа: ]оигп. а. та*Ь. 1918 и Апп. Ее. Ыогт. вир. 1919, 1920).
2) Т. е. существует верхняя граница, общая для модулей всех этих
функций,
89

где М — верхняя граница для модулей всех функций /п(г).
Если точки гх и 2г2 области В соединить кривой длины /,
которая вся расположена в В, то, интегрируя вдоль такой
кривой, найдем, что
М1
Но если расстояние A между точками гх и г2 можно
выбирать произвольно малым, то и длину / этой кривой
можно сделать зависящей только от с1 и притом вместе с Л
сколь угодно малой *)•
Теперь докажем следующее предложение: Если последо-
последовательность функций 91 (^), '■?*{*)*- • •> аналитических и равно-
равномерно ограниченных в области С, сходится в замкнутой
части В этой области или даже только на некотором то-
точечном множестве, повсюду плотном в В, то она сходится
равномерно во всей области В. Воспользуемся доказатель-
доказательством от противного.
Действительно, если равномерная сходимость не имеет
места, то должно существовать такое положительное число а,
такая бесконечная последовательность точек ги 2:2,.*., рас-
расположенных в В, и такие целые числа р = р (т) и <7 = Я (/и),
неограниченно растущие вместе с ту что
I % (**) — ?9 СО I > а > ° (т = 1, 2,... )•
По теореме Вейерштрасса о точках сгущения последо-
последовательность точек гт должна иметь хотя бы одну точку
сгущения г в В. Можно принять, опуская, если нужно
некоторые точки и меняя порядок нумерации, что
Нт гп — г.
п -» со
По условию существует сколь угодно близко от точки г
такая точка 2, для которой последовательность функций ®п(
Действительно, в противном случае в В существовала бы последо-
последовательность пар таких точек, расстояние между которыми стремится
к нулю и которые нельзя соединить в В кривою, длиною меньше неко-
некоторого положительного числа а. Эти пары точек должны иметь точку
сгущения, принадлежащую В. Так как точки каждой пары, принадле-
принадлежащей В и лежащей в достаточно малой окрестности этой точки сгущения,
можно соединить кривой, расположенной в В, длина которой сколь угодно
мала, то получаем противоречие*
90

сходится (может оказаться, что такая сходимость имеет
место в самой точке г).
По только что доказанному, точку I можно выбрать
настолько близко от точки *г, чтобы при всяком п было бы
I ?» (*) — ?« (О I < у >
где з — заданное произвольно малое положительное число.
С другой стороны, при т достаточно большом имеем,
что
в 3
К "д- И I ?« B>п) — <Р» (*) К
и, следовательно,
<\ъ
Так как по условию последовательность функций уп схо-
сходится в точке г и р и 9 неограниченно растут вместе с /п,
то при т достаточно большом будем иметь
в К 4"
и следовательно
что противоречит предположению, если принять е < а.
Теорема будет теперь доказана, если только из множества
функций /{(г), /2 (г),. .. мы выделим такую частичную по-
последовательность, которая сходится на некотором исчи-
исчислимом, повсюду плотном в С, множестве точек. Таким
множеством точек, например, является совокупность всех
принадлежащих С точек с рациональными координатами.
Обозначим точки этого множества через ^, 12, /д,...
Так как значения функций /Й(О ограничены в своей сово-
совокупности, то, по теореме Вейерштрасса о точке сгущения
из множества функций /{(г)9 /2(г), /30О, • • • можно выбрать
такую частичную последовательность функций ^ (г), 4*2 О)
ФзG)»-**» значения которых в точке г = г1У т. е. ФЛ(
имеют определенный предел. Из последовательности функ-
функций $г (г)у ^2B), ФзС^)»'-- аналогично можно выбрать ча-
частичную последовательность функций ^1 (*)> Х2BГ)э У.в(г\- • •
91

так, чтобы последовательность значений ХпD) имела
определенный предел. Так же из последовательности функ-
функций Хп (х) можно выделить такую частичную последователь-
последовательность <»! (г), о^О2), <°зB)>- • •» чтобы последовательность зна-
значений «)п (?3) имела определенный предел и т. д. Если
составим теперь „диагональную последовательность" <Р1(г) =
= ^1 О2), ?2 (*) = /2 (^)» ?з (г) = шз (*), • • • • то такая последо-
последовательность будет очевидно сходиться во всех точках ^,
Так как в каждой замкнутой части области С множество
точек 1ч будет повсюду плотным, то, по вышедоказанному,
эта диагональная последовательность будет частичной по-
последовательностью, выделенной из первоначальной после-
последовательности функций /{(г), Л(г)> /в(г)>--- и обладающей
тем свойством сходимости, о котором идет речь в теореме.
Непосредственным приложением этой теоремы является
теорема Витали (УпаН): Последовательность аналити-
аналитических функций /1B)9 /2BI- • I равномерно ограниченных
в области С, сходится в этой области равномерно, если
она сходится на некотором множестве точек М, которое
имеет точку сгущения С, принадлежащую С. Пусть после-
последовательность точек хъ г2, 2г3,..., принадлежащих М, схо-
сходится к точке С. Так как последовательность функций /г (г)9
/2(г),... равномерно ограничена в С, то по предыдущей
теореме из нее можно выделить такую частичную после-
последовательность ^г (г), §2 (г)> • • •, равномерно сходящуюся
в каждой замкнутой части области С, которая сходится
в С к регулярной в этой области функции §(г)ш Эта пре-
предельная функция совпадает в точках гп (п — 1> 2, 3,...)
с существующими там пределами
ОО
Если из последовательности /г (г), /2 (г), /2 (г),. .. выделим
какую-нибудь другую частичную последовательность /^(г),
Лг(^), Нд(г),... тоже сходящуюся равномерно в каждой
замкнутой части области С, то эта последовательность
будет тоже сходиться в С к регулярной там функции Л (г),
которая удовлетворяет условиям кBп)=/(гп). Разность
Л (г)—§(г) будет следовательно регулярной в С функцией,
равной нулю в точках г1У г2у 2:3,.... По § 4 этой главы
(стр. 72) эта разность будет равна нулю во всей области С,
т. е. §(г)=^=Н(г) для всех значений г в области С.
92

Таким образом, все частичные последовательности, р&внб-
мерно сходящиеся в каждой замкнутой части области С,
выделенные из данной последовательности функций, стре-
стремятся в области С к одной и той же предельной функции.
Поэтому, первоначальная последовательность /г (х)у /2 (г)}
/з (^), • • • имеет в С только одну функцию сгущения и, сле-
следовательно,, будет сходящейся в этой области и притом
равномерно в каждой замкнутой ее части.
§ 7. Связь с теорией потенциала.
В главе И, § 7, было доказано, что аналитическую функ-
функцию можно неограниченное число раз дифференцировать
в той области, где она регулярна. Отсюда непосредственно
следует, что вещественную и мнимую части и (х, у) и
V (дг, у) аналитической функции от г = х -{- щ тоже можно
неограниченное число раз дифференцировать по х и по у;
в частности, дифференциальные уравнения Коши-Римана
также можно продифференцировать по х и по у. Так как
дЧ дЧ
при этом производные \ >— и ———\— непрерывны и
поэтому не зависят от порядка дифференцирования, то
легко получаются следующие дифференциальные уравнения
дЧ , дЧ п -1/,^^ -
Таким образом, вещественная и мнимая части аналитиче-
аналитической функции будут решениями дифференциального ура-
уравнения в частных производных второго порядка
где для сокращения положено
дх*
Это дифференциальное уравнение играет большую роль
в многочисленных приложениях и называется „уравнением
Лапласа", а его решения называются гармоническими функ-
функциями или потенциалами. Гармоническая функция назы-
называется регулярной в области С, если она вместе со своими
частными производными первого и второго порядка непрет
93

рывна в Этой области. Таким образом, вещественная и
мнимая части аналитической функции будут регуляр-
регулярными гармоническими функциями. Функция г/, связанная
с регулярной гармонической функцией и уравнениями Коши-
Римана, будет тоже регулярной гармонической функцией и
называется гармонической функцией, сопряженной с и.
Сопряженная гармоническая функция определяется при
помощи и однозначно с точностью до постоянного слагае-
слагаемого. По этому определению функция и будет сопряжен-
сопряженной с гармонической функцией—V.
Если V сопряженная с и гармоническая функция, то каж-
каждая кривая семейства и (х, у) = сопз*. пересекает каждую
кривую семейства V (х, у) = сопз!. под прямым углом, за
исключением тех точек, в которых их = пи = 0. Это сле-
следует непосредственно из общего свойства конформного
отображения, так как эти кривые будут отображениями
взаимно перпендикулярных прямых и = сопз*. и V = сопз*.
ПЛОСКОСТИ 1ДО Х).
Мы можем исходить не из аналитической функции /(г),
а из какой-нибудь регулярной гармонической функции
и (х, у); тогда, при помощи дифференциальных уравнений
Коши-Римана, можно составить сопряженную с ней гармо-
гармоническую функцию г/(х, у) и затем построить аналитиче-
аналитическую функцию /=и-)-/г;. Таким образом, теория регуляр-
регулярных гармонических функций эквивалентна с теорией ана-
аналитических функций 2). В то время, как до сих пор при
исследовании аналитических функций вещественная и мни-
мнимая части по существу не разделялись, дальнейшие части
этой главы будут излагаться больше с точки зрения теории
гармонических функций.
*) Впрочем, это непосредственно видно и из равенства
и V + и V = — и и 4- и и =0.
ххх у у х у ' ух
2) В связи с этим находится следующая теорема: Если р (г, у) ре*у-
лярная гармоническая функция в области С плоскости ху и. и-\- IV =
= /(г) =/(лг -}- 1у) аналитическая функция от г, регулярная в этой
области и отображающая область С на некоторую область Г
плоскости иг>, то функция р (х,у) перейдет, при введении новых не-
независимых переменных и, г>, в некоторую регулярную гармоническую
в областиТ функцию р* (и,у) = р(х,у). Действительно, если <7(л:,#) бу-
будет сопряженная с р гармоническая функция, то р 4~ мд будет аналити-
аналитическая в С функция от г и, следовательно, аналитическая функция от
С = и + 1о в Г. Введение новых переменных и, «у вместо х,у будем на-
называть переносом гармонической функции р из С в Г.
94

§ 8. Представление аналитических и гармонических
функций интегралом Пуассона.
Пусть функция /(г) = и-|-ш будет регулярна внутри и
на контуре круга К радиуса /?, с центром хотя бы в на-
начале координат. Для произвольной точки х = х -\- У* — ге^>
лежащей внутри К, в силу интегральной формулы Коши
имеет место равенство
К О
Если же мы рассмотрим какую-нибудь точку 2*, располо
женную вне Ку например точку
* _ _ *Ф
х ——=г-— е 9
X Г
то функция — ^' будет регулярной внутри и на кон-
X ' X
туре круга К и поэтому будем иметь равенство
2ге
/
К О
Вычитая из равенства A) равенство B), получим, что
2ге
1 Г
— ге
о
ИЛИ
ал
и -}-г<у = —— I
2тг ^
соз
о
Сравнивая вещественные части в этом равенстве, найдем
формулу
2ге
I
?7оТуч г
— 2/сг соз (^ — ср) -)-
о
95

которая называется интегральной формулой Пуассона.
Так как каждую регулярную гармоническую функцию
можно рассматривать как вещественную часть некоторой
аналитической функции, то эта формула выражает значение
любой гармонической функции внутри круга, через ее гра-
граничные значения. Заметим еще, что частные производные
от и по /• и по ф (или по х и по у) для внутренней точки
круга получаются из формулы C) дифференцированием под
знаком интеграла.
Особенно простой вид формула C) принимает приг =
тогда оказывается
2тс
и @) = и @, ф) = ~^^ и
0
Таким образом значение регулярной гармонической функ-
функции в центре круга равно среднему арифметическому ее
значений на контуре этого круга.
Понятно, что имеет место и аналогичная формула, полу-
получающаяся путем замены и сопряженной гармонической
функцией. Функцию г/, сопряженную с и, можно также вы-
выразить, с точностью до постоянного слагаемого, через зна-
значения функции и на контуре круга. Для этого сложим оба
равенсхва A) и B); тогда получим
ИЛИ
соз (ф-
Сравнивая в этом равенстве мнимые части и замечая,
2тс
,,, 1
что
по формуле D) -^— I г; (/?, ср) с/? = г; @), выводим формулу
Г /о \ 51П
о
дающую искомое выражение.
96

Путем соединения этого равенства с рабенством C) полу
чим для функции / (х) = / (ге ) = и-{-IV
2тс
@) +• -^] а
о
0
2тс ...
о
2тс
= IV @)
0
Раз\агая дробь -1— в геометрический ряд
г х
п / \
гп (ф-<
\ П /
=1 + 2^ ТГ
умножая на и (К, у) и интегрируя почленно, что здесь воз
можно, получим:
ОО . V П
г \
где
1- Г и (/?, <р) е~'п ?с/?, ("=0,1,2, ...) G)
п
0
ИЛИ
оо
«о , ^ /-^-, са_ со8
с08 "'
-1
7 Зак. 1985, Курант.

где
2Я
1 С (V
— I и (К* ф
ап=\ » и 1/х« '^' ССM
о
2тс
= ■—/ " (^ ?) 5*п л? <*'?> (л = 1, 2,
о
Так как каждый член в формуле (8) или (9) сам по себе
представляет гармоническую функцию, (например г соз п§
есть вещественная часть аналитической функции гп)> т0 в
формулах (8) и (9) мы имеем перед собой разложение произ-
произвольной регулярной гармонической функции и и сопряжен-
сопряженной с ней гармонической функции V в сходящиеся ряды по
особенно простым гармоническим функциям.
Заменяя в формулах C) и E) функцию и (/?, <р) какою-
нибудь произвольною непрерывною или только кусочно-
непрерывною г) на контуре круга функциею #(?), получим
две функции, определенные формулами
И
81П
-» @) + —;
о
Эти функции тоже будут внутри круга гармоническими
функциями. Действительно, мы можем составить выраже-
выражения Аи и А<у, дифференцируя под знаком интеграла, причем
получим тождественно нуль, так как мнбжители при #(ф)
сами являются гармоническими функциями. В § 10 мы увидим,
что определенная формулою A0) функция и имеет гранич-
граничные значения, равные как раз #(?), но предварительно
выведем из полученных результатов некоторые следствия.
*■) Ср. стр. 11 сноску.
93

% 9. Следствий.
Из предыдущего можно вывести ряд следствий, которые
соответствуют результатам, полученным выше из инте-
интегральной формулы Коши.
Из формулы D) § 8, дающей значение гармонической
функции в центре круга, вытекает теорема о максимуме и
минимуме гармонической функции:
Гармоническая функция, регулярная внутри и на кон-
контуре области С, принимает свое наибольшее и наимень-
наименьшее значения* на этом контуре. Если же такая функция
принимает экстремальное значение внутри контура, то
она является постоянной. Доказательство совершенно
аналогично доказательству § 1 теоремы о максимуме и
минимуме модуля аналитической функции. Вместо модуля
|/(г)| надо рассматривать гармоническую функцию, причем
формула, аналогичная формуле B) § 1, имеет место даже
со знаком равенства.
Точно также теорема Вейерштрасса о сходимости из § 3
может быть перенесена на гармонические функции в следую-
следующей форме („теорема Нагпаск'а"): Пусть дана последова-
последовательность гармонических функций щ (г,<|>), и2(л4>)> иь(гЛ)у • • •
регулярных внутри и на контуре круга К, и пусть после-
последовательность граничных значений этих функций §х (?),
йС?)» 1Гз(?)> • • • равномерно сходится к непрерывной функ-
функции #(<р). Тогда последовательность гармонических функ-
функций ип равномерно сходится во всем круге К к гармони-
гармонической регулярной функции и с граничными значе-
значениями § (<р).
Эта теорема доказывается также, как и теорема Вейер-
Вейерштрасса из § 3.
Разность \ип — ит\ 'принимает наибольшее значение на
контуре, где, по условию, разность \§п — цт\ сколь угодно
мала при достаточно большом п и всех т > п, притом
равномерно относительно <р« Последовательность функций
ип сходится, поэтому, равномерно во всем круге К к не-
непрерывной предельной функции и, имеющей граничные зна-
значения §(<?)• Функцию и можно выразить интегралом Пуас-
Пуассона C) § 8, так как в силу равномерной сходимости по-
последовательности ип возможен переход к пределу под зна-
знаком интеграла. Но, как было замечено выше, такой инте-
7* 99

р представляет собой гармоническую фуйкфпд, Eёгулйр-
ную внутри К.
Дальнейшим следствием результатов предыдущего параг-
параграфа является следующая теорема о сходимости последо-
последовательности аналитических функций, которой мы восполь-
воспользуемся в дальнейшем (глава VI, § 2):
Если в одной точке области С, например в точке г = О,
последовательность аналитических в С функций о>х (г),
Ш2 (г)> ^з (г)> • • • стремится к нулю и если веществен-
вещественные части этих функций сходятся к нулю равномерно
во всей оЬлгсти С, то последовательность функций шл (г)
стремится к нулю равномерно в каждой замкнутой
области, принадлежащей С.
Действительно, пусть С* будет какая-нибудь замкнутая
область, принадлежащая С; обозначим через К такое поло-
положительное число, что каждый круг радиуса /? с центром в
любой точке С* весь вместе со своим контуром лежит
в области С (ср. главу I, § 2, стр. 15). Произвольную
точку Р из С* возьмем за центр круга радиуса /?, к кото-
которому приложим формулу C) § 8; продифференцировав
последнюю по г и положив г = 0, получим:
ди.
Отсюда следует, что если во всей области С вещественные
|| С М
части ип удовлетворяют неравенствам
дой точке Л принадлежащей С*, будет
и
я
щ
Мп, то в каж
п,
ди
п
дх
К
и
ди.
П
я
В силу же дифференциальных уравнений Коши-Римана
частные производные от мнимых частей Vп не превосходят
по абсолютному значению того же числа и, следовательно,
В силу того, что в точке Р
дил, да @, 0) ди ди @,2)
дх
дг
ду дг
Прим. ред.
100

колебание функции V^^ в замкнутой области С* х) стремится
к нулю 2), что и доказывает нашу теорему.
Далее, формулы A0) и A1) § 8 позволяют указать точ-
точные границы для вещественной и мнимой частей функции
{(г) = и -|- ю, регулярной внутри и на контуре круга \х \
При этом мы предполагаем, что граничные значения
вещественной части функции на периферии круга по абсо-
абсолютной величине не превосходят 1.
Предположим сначала, что оба выражения
1 Г Кг СО5 (Ъ У) Г2
гЛ)-и@) = —)? (9) ^-—Л-^-^-^, A)
положительны. Они приобретают наибольшее абсолют-
абсолютное значение, при условии, что |#(?)|^1 в том случае,
если принять #(<р) = 1, там> гДе второй множитель под-
интегральной функцией положителен, а в остальных точках
принять § (<р) = — 1.
Так как всегда К2-{-г2 — 2/?гсо5(ф — ?)^>0, то остается
рассмотреть только числители указанных множителей. Та-
Таким образом, в равенстве A) надо принять
= 1, если СО8 (ф — <р)>
=—1» если сое (ф — ?)< ~^Г •
Точно также получаем граничные значения, которые надо
принять в равенстве B)
= 1, еслиО<ф
= — 1, если тс
Если какое-либо из выражений A), B) отрицательно, то
для оценки их абсолютного значения надо принять значе-
Т. е. наибольшее из абсолютных значений разности двух значений
функции.
2) Так как по.предположению 11т М =?0. Прим. ред.
101

ния функции #(?) = 1 и #0р)= — 1» противоположные по
знаку вышеуказанным.
При этих предположениях относительно # (9) оба интеграла
могут быть вычислены непосредственно и мы получаем:
4 г
I и (г/У) — и @) |< — агсзш -^ , C)
Первая из этих оценок называется еще „агсзти8"-фор-
мулой Шварца" !).
§ 10. Решение предельной задачи теории потенциала для
круга.
До сих пор интеграл Пуассона служил нам для пред-
представления гармонической функции, считающейся заранее
известной. Однако значение этого интеграла, как уже упо-
упоминалось, гораздо шире. В самом деле, имеет место сле-
следующая теорема.
Если §(?) произвольная вещественная непрерывная
Функция вещественной переменной <р, имеющая период
то интеграл
Л"
0
который может также быть разложен в бесконечный ряд
где
а, = — / ^ (?) со8^?с/<?, ^==— / ^(?)зт^^с/ср^ ==0,1,2...)
о о
1) Подробные исследования в подобном направлении читатель найдет
у Р. КоеЪе, ОЬег с1аз 5сЬ\^аг25сЬе Ьетта .. .? Ма*Ь. 2е1(зсЬг* В4. 6 A920),
5. 52—84.
102

представляет собою внутри круга радиуса К с центром
в начале координат регулярную гармоническую функцию,
принимающую на контуре круга значения |*(?).
Иными словами, эту теорему выражают, говоря, что
интеграл Пуассона решает для круга предельную за-
задачу теории потенциала 1).
Для доказательства равномерно аппроксимируем, что по
известной теореме Ре]6г'а всегда возможно 2), непрерывную
функцию § (?) последовательностью тригонометрических
полиномов вида
п
Регулярные гармонические функции
( ) ™
(а™ соз Vф + *>{:} 51П
имеют очевидно граничные значения ^п(?). В силу известных
„условий ортогональности тригонометрических функций"
значения интегралов
2тс
— ]
B)
1 Г
— ^
2тс
?П(?)81П V© с?? ^ = 1, 2,...)
О
равны а^ и соответственно Ь™ при V = 0, 1,...,п и нулю
при V > п. Если выражения B) обозначить при всяком
Точнее, первую предельную задачу теории потенциала или, как
еще ее называют иначе, задачу Дирихле. Прим. ред.
2) Теорему Ге^ёг'а можно дока ать следующим образом. Пусть 1(дг)
будет непрерывная функция с периодом 2тт; пусть далее
У /(^ ~'"*Л ( ...,- 2, - 1, 0, 1, 2,...
103

V >0 через а(,п) и Ь™\ то при V > п будем всегда иметь,
(П) / (П) л
что а}, = о) = О, и поэтому можно написать
(П) °° „
+2 () (^ СО! V* + 6» ЙП Ч). C)
V —1
где теперь сумма продолжена до бесконечности. По первой
теореме сходимости из § 9 последовательность функций
и
п
8п ~ 7^ аче ' (л =0,1,2, ),
л-х 1
"ТТ /2 *у ^ Л == А , А, . . . . ) ,
V = 0
Имеем, сперва,
2тс ?1
о у=— п
Д1г)е „ -т— ~1
о
2тс '
о е — е
2
2тс /'г («+1) (9—я?) , — г (п+1) @—а?)\ / г'п(^~ х) —-гп (&—а?),
о \е — е
следовательно,
2 . 2
о \е — е
2тс / „(^„д.) \2 2п
1 /• / 81п 2 \ 1 Г
^ТГл I У^-и/\ ^ х I 271Д1 I
у \ »1п——— / «у
0 \ г у р
104

ип сходится при возрастающем п к регулярной гармони
ческой функции и с контурными значениями Нш #„(?)=#(?)
оо
В неравенствах
2тс
2л:
соз
О
0/
О
2тс
2тс
81П
51П
О
О
О
В частности при /(л:) = 1 имеет место равенство
1--=
а потому в общем случае будет:
(*)
о
8|П
тт/
Разложим промежуток 0, 2тс на промежутки 0, о; 5, 2тг — о; 2тг — 5,
где ^ — некоторое число из промежутка О<^<^
При заданном г ^> 0 можно в силу равномерной непрерывности и
периодичности функции /(л:) выбрать число о = о(е) настолько малым,
чтобы для всех значений & в первом и третьем промежутках и для всех
х имело место неравенство
/(»+*)-/<*)
г
1
Так как для другого множителя подынтегральной функции имеет
место формула (*), то
./><•+•>-
О
2л
4- ^ (/(»
)-Л*))
105

правые чаети не зависят от V и при возрастании п стремятся
к нулю, Так как §п(?) равномерно сходятся к #(<р)« Поэтому
имеют Место равномерно относительно значка V равенства
2л:
Нт
П
а"} = — / § (?) соз V» </?,
О
2л:
Нт
— I
О
В силу равномерного стремления а* и Ъ™ к пределам
в равенстве C) можно в бесконечной сумме произвести по-
почленный переход к пределу при п->оо, и в результате по-
получить для функции и как раз тот ряд, который фигурирует
в теореме. Что этот ряд равен интегралу A), находят со-
совершенно аналогично разложению § 8, в которое входила
гармоническая функция и (/?, <р) вместо § (<?)•
Другие доказательства этой теоремы читатель найдет
в конце следующего параграфа и в главе IV, § 3.
Заметим наконец еще, что интеграл Пуассона решает
предельную задачу и при еще более общем предположении,
что контурная функция §{о) только кусочно-непрерывна.
В этом случае представленная интегралом Пуассона гармо-
гармоническая функция имеет во всех точках непрерывности
функции §(?) заданные контурные значения, а при при-
приближении к точке разрыва 9о принимает значения, имеющие
определенные точки сгущения, лежащие между Н({)
6->0
Зафиксировав о, можно выбрать затем число N=NE) настолько
большим, чтобы при любом п^> N было бы
2 тс-
2
при всяком х имеем, что
Таким образом, при п
Вещественные тригонометрические полиномы Тп(х) сходятся следо-
следовательно равномерно к функции
106

и Нт #(?о —8)- Мы опускаем здесь простое доказательство
6->0
этого предложения, так как оно будет получено дальше
(глава VI, §6) в более общем виде.
§ 11. Граничные значения аналитической функции.
Граничные значения, которые функция, аналитическая
в односвязной замкнутой области, принимает на контуре
этой области, нельзя конечно задавать произвольно. Это
непосредственно видно из теоремы о максимуме и минимуме
гармонической функции. Действительно, если заданы гра-
граничные значения функции и, — вещественной части аналити-
аналитической функции — то этим вещественная часть определена
однозначно. В самом деле, разность двух гармонических
функций их и иъ имеющих одинаковые граничные значения,
будет гармоническая функция, на контуре равная нулю,
а потому, по теореме максимума и минимума, будет то-
тождественно равна нулю во всей замкнутой области. Но,
зная вещественную часть, можно однозначно, до произ-
произвольной аддитивной постоянной, определить мнимую часть
и ее граничные значения. Эти граничные значения не могут
поэтому задаваться произвольно наряду с граничными зна-
значениями вещественной части.
Эти рассуждения показывают нам, что степень произвола,
имеющего место при построении аналитической функции,
может зависеть только от произвольного выбора непре-
непрерывных граничных значений ее вещественной части (и одной
чисто мнимой постоянной). С другой стороны, как показы-
показывает результат предыдущего параграфа, для частного случая
круговой области эта степень произвола как раз имеет место.
Только позднее (глава VI, § 5 и 6), решив предельную
задачу теории потенциала для случая односвязной области,
подчиненной очень общим условиям, мы получим этот ре-
результат во всей его общности. Но мы уже теперь в со-
состоянии указать необходимые и достаточные условия, ко-
которым должны удовлетворять граничные значения функции,
аналитической в односвязной области, которую мы пред-
предположим, для простоты, ограниченной одной единственной
кривой С, имеющей непрерывную кривизну.
Мы будем исходить из формулы C) главы II, § 7, которая
определяет функцию, аналитическую в каждой области,
107

в которой нет точек кривой С Если кривую С разбить на
несколько частей, то каждой такой части будет соответ-
соответствовать функция, определяемая интегрированием вдоль
этой части. Эга функция будет аналитической функцией,
регулярной во всей плоскости за исключением точек рассма-
рассматриваемой части кривой. Складывая такие отдельные функции,
отвечающие всем частям кривой С, получим первоначально
рассмотренную функцию. Дальнейшие рассуждения не будут
зависеть от того, будем ли мы иметь дело с кривой замкну-
замкнутой или нет.
В дальнейшем нам понадобится важное понятие главного
значения Коши некоторого интеграла. Пусть § (х) будет
функция вещественной переменной х, непрерывная вместе
со своими первой и второй производными, в замкнутом
промежутке а <! х <1 Ьу и пусть лг0 будет точка внутри этого
промежутка.
Тогда выражение I -8.к по обычному определению
а
интеграла не имеет, вообще говоря, смысла. Напротив,
существует следующий предел
который и называется главным значением Кош и интеграла.
Здесь существенно симметричное и одновременное прибли-
приближение с обеих сторон к особенной точке х0. Для доказа-
доказательства существования этого предела достаточно заметить,
что при наших предположениях функцию §(х) можно пред-
представить в виде
С* — *б) Л (дг, лг0),
где Л (х, х0) — непрерывная функция от переменных х и х0
в замкнутой области а <[ х <[ Ь, а <! х0 <[ Ъ. Таким образом,
надо только доказать существование главного значения
ъ
Коши для / , что впрочем непосредственно видно.
а
Вместе с тем видно, что в каждом замкнутом промежутке,
108

цёликбл! вйутрй промежутка а, Ь, главное значение
Коши Н(х0) является непрерывной функцией от х0.
Это понятие о главном значении интеграла легко пере-
переносится на комплексную область. Пусть С будет кривая
в комплексной плоскости, обладающая непрерывной кри-
кривизной. Точки этой кривой обозначим при помощи ком-
комплексной переменной * = $-}-г/]. Если 5 обозначает длину
дуги кривой, то I будет комплексной функцией от 5, имеющей
непрерывные первую и вторую производные, причем
|//($)| = 1. Пусть теперь <р@ будет функция комплексной
переменной 1} изменяющейся вдоль кривой С, которая при
замене I на I (з) имеет непрерывные первую и вторую
производные по 5 *). Обозначая через 10 произвольную
внутреннюю точку на кривой С, определим главное значе-
значение Коши интеграла I . . Ж как предел
«/ * ч)
с
/во —е Ъ \
е-> О
10 ч] 1 10
V. " /
где а и Ъ — значения 5 в начале и в конце дуги С и
^0=^($0). Существование такого главного значения легко
доказывается сведением к главному значению в области
вещественной переменной.
Действительно, имеем, что
(з0) (A + (* — 50) а1 E>5о)
и, следовательно, если только 15 — $о | достаточно мал,
где функции «! E, 50) и а2 E, $0), так же как и встречающиеся
дальше функции а3 и а4, непрерывны для всех принадлежащих
С значений 5 и $0. Точно также
(О = ?
При этом следует подчеркнуть, что переменная I изменяется
исключительно вдоль кривой, так что существование производных не
влечет еще за собой аналитического характера функции у (/)•
109

Таким образом, подынтегральная функция принимает
^ аз)
вид —^-^ [- ос4 (^, 50) и, следовательно, достигнуто све-
дение к главному значению вещественных интегралов.
Главное значение опять будет непрерывной функцией от
50, если только соответствующая $0 точка кривой лежит на
внутренней замкнутой части дуги С Определим теперь
функцию /(г) формулой
1 С*М
С
где г—какая-нибудь точка, не лежащая на кривой С Для
точки г = 10 на этой кривой будем понимать выражение
в правой части равенства как главное значение интеграла
и будем это главное значение обозначать через А (/0).
Обозначим через / (*0) и /~~('о) предельные значения
функции /(г) (если они существуют), к которым эта функция
стремится, когда точка г приближается к точке /0, пере-
перемещаясь по „положительной" или „отрицательной" нормали
к. кривой С, проведенной в точке /0. При этом под положи-
положительной нормалью мы понимаем ту, которая при положи-
положительном обходе кривой направлена влево.
Нашей целью является доказательство следующей тео-
теоремы: Предельные значения у (О и /"('о) существуют
и связаны с величинами <р (/0) и к (/0) уравнениями
О - \ ? Со) - л (и, Г (О -+- \ ? Со) = л Со)
/*Со)-ГСо) = <Р('о)-
A)
При доказательстве можно очевидно предположить, что
кривая интегрирования С состоит из произвольно малого
куска, охватывающего точку /0, так как интеграл, взятый
по какой-нибудь другой дуге, представляет собою в окрест-
окрестности точки /0 регулярную и следовательно непрерывную
функцию от г. Выберем координатные оси так, чтобы
и чтобы кривая С касалась в этой точке оси
р
х-ов (черт. 21), причем направление обхода кривой С в ну-
нулевой точке должно совпадать с направлением положи-
положительной оси лг-ов. При отыскании предела / @) надо при-
110

ближать точку г^^1у к нулевой точке по мнимой оси и
притом с положительной ее стороны. Длину дуги 5 будем
отсчитывать от нулевой точки. На основании вышепри-
вышеприведенного замечания длину всей дуги кривой С можно
считать настолько малой,
чтобы ее направление ни- ^
где не отклонялось от оси
л:-ов более чем на 30°.
Исследуемое выражение
о
9@
а
разобьем на два слагаемых С (г, у) и Н(г,у)> где
понимая под е достаточно малое положительное число.
В силу нашего предположения о наклоне касательной имеем,
что на всей кривой С \г — (у|>-с|$|, где с обозначает
положительную, не зависящую от 5 постоянную (с <[ соз 30°);
в частности при 151 > е имеем | г— й/| > сз. Отсюда при
произвольных вещественных уг и у2 получаем оценку
где сх — некоторая постоянная
Вдоль кривой С будет
=?@)
где
А поэтому
означают непрерывные функции от
— е
= I ' ■ ~Ь I Г/ г
^ 8 гУ •/ (($—гу)(
з%(з)
ш

Свяжем теперь величины е независимостью |у|
Положив в неравенстве B) |#1| = е3 и у2=:=0, устремим \у\
и, следовательно, з к нулю. Величина Н(г> у) будет тогда
стремиться к главному значению 2^гА@). Вторая часть
интеграла С (г, у) стремится при этом к нулю.
Действительно, в силу имеющих место на кривой С
оценок
и
модуль подинтегральнои функции не превосходит некоторого
конечного, не зависящего от у числа, в то время как путь
интегрирования стягивается к точке 5 = 0.
Первый член С (г, у) будет равен в пределе
Е
<р@)Нт Г
е>0 ^
/з3
причем знак при /г3 надо взять отрицательным при оты-
отыскании / и положительным при отыскании /~~.
Вводя новую переменную интегрирования о соотношением
5 = е3а, получим
?
@Iпп Г
Но этот предел равен ± я/Ъ @), что и доказывает окон-
окончательно теорему.
Пусть у (г) будет функция, заданная на контуре, состоя-
состоящем из кривых, обладающих кусочно-непрерывной кри-
кривизной, и ограничивающем замкнутую односвязную область.
Из доказанной теоремы легко вывести условие для того,
чтобы значения функции <р@ были граничными значе-
значениями регулярной аналитической функции ®(г). Действи-
тельно> такую аналитическую функцию можно представить
внутри области по формуле Коши интегралом
1 Г ?
ъ} т-
2
с
112

который для Тбчек 2г лежащих Вне койтура, должен тож-
тождественно равняться нулю. Если в предыдущей теореме
отождествить / (^0) с - A0) и принять /~(*0) = 0, то для кон-
контурных значений <р {{) в точках, лежащих на внутренней части
какой-либо замкнутой, имеющей непрерывную кривизну,
дуги кривой С, получится условие
C)
0
где в правой части подразумевается главное значение инте-
интеграла. Условие C) имеет вид так называемого интеграль-
интегрального (/равнения. Это условие необходимо и, как показывает
подстановка в формулу A), достаточног для того, чтобы
функция у (I) представляла контурные значения анали-
аналитической функции ? (г), определенной во внутренней по от-
отношению к контуру области при помощи функции <? (/).
Если кривая С есть окружность5 то легко из наших
результатов получить новое доказательство того, что инте-
интеграл Пуассона действительно решает предельную задачу2).
Согласно § 8 напишем его в виде
С
где 2* = =-, а через <р(*) обозначены заданные (веще-
г
ственные) контурные значения на окружности. Если точка г
приближается к какой-нибудь точке /0 окружности изнутри,
то точка 'г* будет приближаться к той же точке извне.
Из последней из формул A) тогда видно, что предельным
значением разности D) будет действительно <р (/0).
Здесь следует заметить, что можно опустить сделанное выше
предположение о том, что точка г приближается к контуру, перемещаясь
по нормали. Предельные значения / ■" и /~~~, а следовательно и фор-
формулы A), сохраняют свои значения и тогда, когда точка приближается
к точке контура произвольным образом. В этом легко убедиться, заметив,
что все наши оценки имеют место равномерно для всех точек любой
внутренней замкнутой части дуги С.
2 Наше доказательство, основанное на рассуждениях текста, годится
только для радиального стремления к контуру; предыдущее замечание
доказывает его пригодность и для произвольного стремления к контуру.
8 Зак. 1985. Курант. 113

§ 12. Потоки.
Теория потенциала тесно связана с физическими пред-
представлениями. Так как эти представления понадобятся нам
в дальнейшем, как эвристическое вспомогательное средство,
то коснемся их здесь вкратце: полный разбор приложений
теории потенциала выходит из рамок настоящей книги.
Рассмотрим плоское векторное поле в области С пло-
плоскости ху, т. е. систему двух функций
К = Р (•*> У)> *>, = <7 (х, у),
определенных и непрерывных в области С, которые мы
будем рассматривать, как составляющие вектора й. Такое
векторное поле можно наглядно представить себе как поле
распределения скоростей стационарного плоского потока
однородной несжимаемой жидкости1).
Предположим теперь, что область С односвязна и что
поток „свободен от источников", т. е. что через контур
каждой области, принадлежащей С, столько же жидкости
втекает, сколько вытекает. Это предположение приводит
к некоторому условию, которому должен удовлетворять
вектор скорости Ь. Рассмотрим в С простую замкнутую
кусочно-гладкую кривую С, длину дуги которой обозначим
через 5. Обозначим через Ьл нормальную к кривой С
составляющую вектора Ь, причем положительное направ-
направление нормали должно быть направлено внутрь области,
ограниченной кривой.
Выражение
будет тогда пропорционально притоку жидкости в единицу
времени в ту часть области С, которая ограничена кон-
контуром С. В силу предположения об отсутствии источников,
1) Материальную природу текущей жидкости можно ближе не рас-
рассматривать. Математическое представление годится 'как для течения
электричества в тонких пластинках, так и для течения тепла или течения
жидкости или воздуха. Существенно лишь, чтобы все эти течения можно
было рассматривать как перенос некоторой субстанции, о количестве
которой может итти речь,
114

этот интеграл должен равняться нулю, какова бы ни была
кривая С. Ног)
п, х) •+ дсоз(л, У) = — Р
поэтому получаем условие
Если, как мы в дальнейшем будем предполагать, первые
частные производные функций р и ^ существуют и непре-
непрерывны, то отсюда, на основании главы I, § 3, следует:
необходимое и достаточное условие для отсутствия
источников в нашем потоке состоит в том, чтобы
_
дх ~ ду
Пусть &л обозначает составляющую вектора скорости в
по направлению касательной к простой замкнутой кусочно-
гладкой кривой С, лежащей в С. Интеграл
называется циркуляцией вдоль кривой С. Длину дуги
при этом следует отсчитывать так, чтобы ограниченная
кривой С область обходилась в положительном напра-
направлении при возрастании 5. Поток называется безвихревым,
если циркуляция вдоль каждой простой замкнутой кривой С,
лежащей внутри С, равна нулю. Так как2)
6.x . Ау
то из равенства
1) (п, *) и (п, у) обозначают углы, образованные положительной
нормалью с осями *-ов и г/-ов.
2) ($, *) и («, у) — углы, образованные положительной касательной
с осями координат.
8* 115

получаем следующее условие для безвихревого потока:
поток тогда и только тогда безвихревой, если компоненты
скорости удовлетворяют дифференциальному уравнению
др __дд
ду дх'
B)
Уравнения A) и B) совпадают с дифференциальными
уравнениями Коши-Римана.
Из результатов главы I, § 3, следует, что для безвихре-
безвихревого потока в односвязной области компоненты скорости р
и ^ будут частными производными некоторой функции от х
и у, которую обозначим например через —и(х, у):
ди ди
Функция и (х, у) называется потенциалом скорости по-
Г
п 1 /(диУл_1диУ V
тока. Сама скорость равна I/ I 5~ I г I л~ I • Ь<сли, кроме
того, поток свободен от источников, то из равенств A)
и C) следует уравнение
Каждый безвихревой и свободный от источников поток
имеет потенциал скорости и (х, у), удовлетворяющий урав-
уравнению Лапласа D).
Кривые и = сопз!:. называются линиями уровня или экви-
эквипотенциальными линиями. Вдоль этих кривых жидкость
не движется, напротив, она всюду течет перпендикулярно
к ним. Действительно, для составляющей скорости 1\,
в каком-нибудь направлении 5 имеем
с/лг
и в силу уравнений C) будет
116

отсюда видно, что составляющая скорости вдоль кривой
и = сопз!. равняется нулю.
Пусть V гармоническая функция, сопряженная с функ-
функцией и. Эта функция называется функцией тока, а кривые
V — сопи, называются линиями тока. Если V рассматри-
рассматривать как потенциал скорости некоторого потока, а — и
как соответствующую функцию тока, то этот поток будет
называться „сопряженным" с первоначальным.

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ОСОБЫЕ ТОЧКИ.
§ 1. Особые точки и точки скрещивания.
Элементарные функции были определены явными выра-
выражениями для всех значений г за исключением только неко-
некоторых точек. Как раз эти точки и поведение функции
в их окрестности имеют решающее значение для выяснения
ббщего хода изменения функции. Такие точки называются
особыми точками. Столь же важны и те точки, в которых
отображение перестает быть конформным, где следовательно
производная функции обращается в нуль. Такие точки на-
назовем точками скрещивания. Далее будет показано, что
точка скрещивания определяет особую точку обратной
функции.
В этой главе мы рассмотрим на основе типических при-
примеров простейшие явления такого рода. В следующей же
главе будет развита общая теория особых точек. Предпо-
Предпошлем сначала замечание о так называемых устранимых
точках разрыва.
Если регулярная аналитическая функция /(г) определена
во всех точках некоторой односвязной области, например
круга, за исключением одной точки, например центра круга
г = 0 и если, кроме того, значения функции всюду по модулю
меньше некоторого постоянного числа М, то в исключи-
исключительной точке г = 0 можно задать такое значение функ-
функции /@), чтобы функция /(г) во всей области была
регулярной. Это можно сделать, например, разложив функ-
функцию /(г), в окрестности точки г = 0, в ряд Лорана; легко
видеть, что коэффициенты всех членов с отрицательными
показателями будут равны нулю, так как в неравенствах F)
118

главы III, § 4 число р можно выбрать сколь угодно малым 1).
Таким образом, функция /(г) в окрестности точки г = О
представляется регулярным степенным рядом, значение
которого при 2 = 0 и должно принять за определение функ-
функции /@). Особую точку такого типа, не имеющую важного
значения, будем называть устранимой точкой разрыва
или устранимой точкой неопределенности и будем считать
их раз наврегда устраненными при помощи указанного
приема.
Рассмотрим теперь особые точки г = г0 следующего рода:
можно указать окрестность точки г0 такую, что функция ] (г)
будет однозначно определена во всех точках этой окрест-
окрестности, кроме г = 20, и будет там регулярной аналитической
функцией. В окрестности такой изолированной особой
точки функция /(г) может быть разложена в ряд Лорана.
Такую особую точку, как в главе III, § 4, будем называть
полюсом, если в это разложение входит только конечное
число членов с отрицательными показателями. В противном
случае такую точку называют существенно особой точкой2).
Таким образом, в окрестности полюса функция может быть
представлена следующим образом:
где К — целая рациональная функция своего аргумента,
степень которой, в согласии с главой III, § 4, называется
порядком полюса, а §{г) регулярная функция в окрестно-
окрестности точки г0. Полюс можно также характеризовать каждым
из следующих свойств: функция /(г) может быть предста-
представлена в виде ^Ч(г)> гДе ?(г) регулярна при г = г0;
( )
( о)
или: полюс есть изолированная особая точка однозначности
(в окрестности которой функция однозначна) при прибли-
приближении к которой по любому пути модуль функции неогра-
неограниченно растет3) или полюс тг-го порядка функции /(г)
есть такая точка г = г0, которая будет нулем тг-го порядка
) См. аналогичное заключение в главе III, § 4 (стр. 76).
2) По Вейерштрассу всякая особая точка, не являющаяся полюсом,
называется существенно особой.
3) Ср. главу III, § 4.
119

функции тг\* если устранить неопределенность последней
]х)
в точке г = г0 указанным выше способом. Для изолиро-
изолированной существенно особой точки однозначности г0 имеет
место теорема Вейерштрасса, пэ которой в окрестности
такой точки значения функции /(г) подходят как угодно
близко к каждому произвольно заданному числу а. Дока-
Доказательство непосредственно следует из того обстоятельства,
что г, ч — не может быть ограниченной в окрестности г0.
Действительно, в противном случае функция ё(^) = ~7т-\—*-
была бы регулярной б точке х0 и следовательно функция
/B) = я-| — была бы в точке г0 или регулярной или
имела бы там полюс, что противоречит условию теоремы.
Возможность совершенно другого поведения вблизи осо-
особой точки показывает функция ${т) = \%т при г = 0. Здесь
уже нельзя однозначным образом определить функцию
в окрестности точки х = О (ср. главу II, § 6). Точку г = О
назовем логарифмической точкой разветвления,
1
Функция /(г) = у г = хп также имеет особую точку х = 0,
в окрестности которой эта функция не может быть одно-
однозначно определена.
Точка, в которой /г(г) обращается в нуль, где следова-
следовательно отображение, совершаемое функцией /(г), перестает
быть конформным, называется точкой скрещивания. Точка
скрещивания называется п-кратной, если в этой точке
равны нулю все производные до порядка п включительно,
производная же порядка (п-{-1) отлична от нуля. Таким
образом, разложение функции /(г) в ряд Тэйлора в окре-
окрестности п-кратной точки скрещивания х0 функции /(г)
имеет вид:
A)
Функция /(г)—/(г0) имеет, следовательно, в точке 2=
нуль (п-|- 1)-ой кратности.
120

Отображение в окрестности точки скрещивания характе-
характеризуется следующей теоремой: Угол между двумя кри-
кривыми, проходящими через п-кратную точку скрещива-
скрещивания 20 плоскости г, при отображении на плоскость С
увеличивается в п-]-1 раз.
Действительно, пусть
будут две точки, близкие к г0, расположенные соответ-
соответственно на двух кривых плоскости 2, проходящих через
точку г0, а
пусть будут отображения этих точек на плоскость С.
Из формулы A) получается, что углы г>1 и 02 стремятся
к определенным пределам, ести ©1 и ?2 стремятся к пре-
пределам, и далее, что
Р
П-\-1
«?1 !
а/1е "г • • •
откуда
Если Г! и г2 устремить к нулю, то получим
/
Р1
и при подходящем выборе кратного
Нш (», - »2) = (п +1) 11т (?1 - ср2),
откуда и видно, что угол между отображенными кривыми
в плоскости С, проходящими через точку Со, как раз в п -{-1
раз больше соответствующего угла в плоскости г. Можно
высказать еще такую теорему: В окрестности п-кратной
точки скрещивания г0 функции /(г) функция
121

с точностью до множителя, равного корню п-\-1-ой сте~
пени из единицы, определена однозначным образом и регу-
регулярна.
Это доказывается на основании равенства
где § (г) регулярна и обращается в нуль при г = г0.
Действительно, в окрестности г = г0 функция у 1 -{- § (г)
определяется хотя бы при помощи биномиального ряда
с точностью до множителя, равного корню степени п-}-1
из 1, как однозначная регулярная функция, откуда непо-
непосредственно следует доказываемое предложение.
Так как
то функция ср (г) в точке г = г0 имеет нуль первого порядка.
Производная <?' (г) будет следовательно в этой точке отлична
от нуля и при отображении функцией у (г) окрестность г0
перейдет в некоторую область (глава И, § 2). Так как
при отображении 2г=2п область опять переходит
в область, то ясно, что окрестность точки скрещивания
отображается опять на некоторую область, хотя уже
не взаимно однозначным образом. Таким образом, теорему
об отображении областей, изложенную в главе II, § 2,
можно освободить от сделанного там ограничительного
предположения.
Введение понятия бесконечно удаленной точки (глава I,
§ 1 и 2) позволяет сделать следующие обобщения. Поло-
Положим г = -^; вместо того, чтобы рассматривать функцию /(г)
х
в окрестности г = оо, будем рассматривать функцию
7 и*
в окрестности точки г* = 0. Если функция § (г*)
будет регулярной в точке г* = 0 (точнее: имеет только
устранимую точку неопределенности), то будем говорить,
что функция /(г) будет регулярной в точке 2=00. Также
если функция §(г*) имеет полюс /1-го порядка или
другую особую точку или п-кратную точку скрещи-
скрещивания в точке г* = 0, то будем говорить то же самое
122

о функции /(г) в точке 2=оо. Если функция /(г) регу-
регулярна в бесконечно удаленной точке, то производная ^'(г*)
в точке 2* = 0 должна существовать и быть непрерывной.
Но это значит, что величина
должна иметь конечный предел при г -> оо. Следовательно,
производная функции /(г), регулярной при г = оо, должна
быть бесконечно малой величиной не ниже второго по-
рядка для бесконечно больших значений г.
Функция, однозначно определенная во всей плоскости и
имеющая особую точку разве лишь на бесконечности, на-
называется целой функцией. Если при этом точка г = оо бу-
будет только полюсом, то функция называется целой рацио-
рациональной; если же, напротив, точка г = оо будет существенно
особой, то функция называется целой трансцендентной.
Однозначная функция, регулярная в любой конечной части
плоскости всюду крЬме полюсов, называется мероморфной.
§ 2. Наглядное представление простейших особых точек
и точек скрещивания.
Для того, чтобы наглядно представить поведение анали-
аналитической функции вблизи ее исключительных точек, поль-
пользуясь образом текущей жидкости, лучше всего начать с рас-
рассмотрения логарифмической особой точки. В силу равен-
равенства С = \% г = 1*г г-\-1? = и -|- Ьо при отображении функ-
функцией 1$г г плоскости г на плоскость С, система полярных
координат гу <р плоскости г переходит в систему прямоу-
прямоугольных прямолинейных координат и, V плоскости С. Кри-
Кривым и = соп8* соответствуют концентрические окружности
]§г г = соп81, с центром в нулевой точке, кривым г/ —сопз*
соответствуют лучи 9 = сопз1, исходящие из нулевой точки.
Если функцию \%г рассматривать как потенциал скорости
некоторого течения жидкости в плоскости 2, у которого ли-
линии уровня будут 1*г г = сопз!, а линии тока <р = соп81, то
скорость течения — Ьг, направленная радиально внутрь, бу-
будет по формуле E) главы III, § 12, равна
дг г '
123

В таком потоке количество жидкости B, входящей в еди-
единицу времени в круг С радиуса г, пропорционально интег-
интегралу (глава III, § 12)
1
= 2тг,
Г
о
взятому по контуру этого круга. Присутствие логарифми-
логарифмической особой точки г = О вводит следовательно в наше
поле течения источники; эта точка, как говорят, предста-
представляет собою сток мощностью 2к. Жидкость протекает из
бесконечно удаленной точки, где надо представлять себе
источник мощностью 2тс, радиально к нулевой точке, где
она опять исчезает. Представим себе для лучшего уясне-
уяснения соотношений, ято бесконечно удаленная точка отобра-
отображена линейным преобразованием х)
х =
1* г*
*
в конечную точку, тогда получим
Так же как здесь, каждой аналитической функции / (г)
можно сопоставить некоторый поток в плоскости гу рас-
рассматривая вещественную часть функции /(г), как потен-
потенциал скорости. Если мы рассмотрим функцию вида
С =
то точка г1 будет стоком, а точка г2 источником мощно
ностью 2?г. Действительно, если положить
V е> V —— ф У Р "
то будет
Го
Линии тока # = сопз!:. образуют (по теореме элементарной
геометрии о вписанных в окружность углах) пучок К
окружностей, проходящих через точки г1 и 2г2, а линии
уровня и = сопз! образуют пучок АТ' окружностей, ортого-
Ср. § 3.
124

нальных к первой системе. Это наглядно изображено на
черт. 22, который мы еще раз будем обсуждать в § 3.
Вместо того, чтобы кривые V = соп§1 рассматривать как
линии тока, а кривые и = соп8{ как линии уровня, можно,
обратно, заставить жидкость течь вдоль окружностей си-
системы К!. При такой интерпретации точки гх и г2 являются
„вихревыми точками", коим соответствуют циркуляции,
отличающиеся только знаком и численно равные
\
Черт. 22.
Из логарифмических особых точек предельным переходом
получаются полюса. Рассмотрим функцию
, >
отвечающий ей поток имеет сток в точке г = — Ли источ-
ник в точке х = 0 мощностью -г-. При Нт к = 0 получаем
функцию ^ = —, обладающую в точке 2 — 0 полюсом пер-
125

вого порядка. Его можно рассматривать как соединение
источника и стока с „одинаковой бесконечно большой
мощностью". Говорят поэтому также о двойном источ-
источнике (который в физике называется также диполем).
Слияние нескольких двойных источников дает полюса выс-
высших порядков или кратные полюса. Чтобы получить геометри-
геометрическое изображение линий тока V = сопз! и линий уровня
и == сопз* в окрестности полюса п-го порядка г = 20> доста-
достаточно рассмотреть, если ограничиться достаточно малой
окрестностью го> только член
ал
а
5-
(со§ по
= го-\-ге )
ряда Лорана.
В окрестности простого полюса получается в существен-
существенных чертах картина черт. 23, с двумя пучками взаимн0
Черт. 23.
ортогональных окружностей, каждый из которых имеет
общую касательную в полюсе. Для полюсов более высо-
высоких порядков получаются аналогичные, только более слож-
сложные фигуры, например изображенная на черт. 24 для п = 2.
126

Точке скрещивания порядка щ в случаях п = 1 и п = 2,
соответствуют черт. 25, 26, В достаточно малой окрестности
Черт. 24.
точки скрещивания г0 функция /(г) будет типа функции
р
(г — го)п , откуда, например, видно, что при тг = 1 кривые
и = сопз! и V = сопз! будут приближенно равнобочными ги-
гиперболами. Вообще в п-кратной точке скрещивания кри-
кривые и = сопз! и г> = сопз!
не будут перпендикулярны
одна к другой (для п>1),
но будут делить окрест-
\
Черт. 25.
Черт. 26.
127

ность точки скрещивания на 2 (п -\-1) равных угла. Если
эти кривые рассматривать как линии уровня и линии тока
некоторого движения жидкости, то жидкость будет течь
в одних направлениях к точке скрещивания, в других от
нее. В самой точке скрещивания скорость будет равна
нулю.
§ 3. Линейные функции.
Перейдем теперь к более детальному ознакомлению с прос-
простейшими функциями и начнем с изучения линейной функ-
функции
Г-
сг-а11
где а,Ъ,с,A—четыре комплексных постоянных числа, при-
причем а<1—ЬсфО. Такую зависимость называют также ли-
линейным преобразованием или линейной подстановкой. Функ-
Функция С(г) будет регулярной для всех значений г, которые не об-
обращают в нуль знаменателя сг -\- в.. При с = 0 знаменатель
вообще нигде в нуль не обращается, а при сфО обраща-
ется в нуль только в точке г = . Линейная функция С
будет поэтому регулярной во всех точках плоскости, за
исключением самое большое одной точки. Из уравнения A)
имеем, что, обратно,
а
следовательно г будет также однозначной и регулярной
функцией от С во всех точках, за исключением при с ф- О
г а
одной точки , = —.
С-
Названные исключительные точки будут соответственно
простыми полюсами линейной функции С (г) и обратной ей
функции. Если с = 0, то такими полюсами будут беско-
бесконечно удаленные точки плоскостей г и С. Во всяком случае,
причисляя бесконечно удаленную точку к соответствующей
плоскости, можно утверждать, что каждой точке плос-
плоскости г соответствует одна и только одна точка плос-
плоскости ^ и обратно.
Это свойство будет характерным для линейной функции,
128

Я. е. существует теорема: Если функция /(г) отображйегп
полную плоскость х, /п. е. всю плоскость х, включая
точку г — оо, взаимно однозначным образом и кон-
конформно на полную плоскость С, то функция /(г) будет ли-
линейной функцией.
При доказательстве можно предположить, подвергая
в случае надобности х вспомогательному линейному пре-
преобразованию, что точки х = оо и С = оо соответствуют
друг другу, и что точки ^ = 0 и ^ = 0 тоже соответствуют
друг другу. Функция/(г) должна быть тогда целой функцией
от г, а так как точка х== оо является полюсом функции,
то /(х) будет целой рациональной функцией. Если бы сте-
степень ее была больше 1, то ее производная /(х) имела бы
нулевую точку х0. Точка х0 была бы тогда точкой скре-
скрещивания функции /(х) и окрестность точки х0 не отобра-
отображалась бы взаимно однозначным образом на окрестность
точки С0~/(;г:0), что противоречит условию теоремы. Та-
Таким образом, теорема доказана. Для более подробного
изучения конформного отображения, совершаемого функ-
функцией A), рассмотрим окружности плоскости х, причем пря-
прямые будем рассматривать как окружности бесконечно боль-
большого радиуса. Пусть хи х2, х3, х4 будут четыре отличных
друг от друга точки, расположенные в порядке их нумеров
на некоторой окружности плоскости х, и пусть а и Р будут
углы между векторами х%хи х%х2 и х±хи х±х% соответственно,
измеряемые так, чтобы поворот в положительном направ-
направлении на угол а (соответственно C) переводил бы направле-
направление вектора х^х1 (соответственно х±х^) в направление век-
вектора х% 22 (соответственно х± х2) и чтобы было 0 < а < 2я,
0 < р < 2тс. Обозначим еще для краткости
= г1Л (А, к = 1,2, 3, 4).
Тогда будет
2о """""""" 21 Г
91 л* м А 1 11
е . = • е
*Ъ ^2 32 ^4 ^2 ' 42
и так как а = р (как вписанные углы, опирающиеся на
одну и ту же дугу), то „двойное отношение"
ггх
9 Зак. 1985. Курант. 129

будет числом вещественным и положительным. Легко Дб-
казать, что это двойное отношение, в силу преобразования A),
равно двойному отношению
^ Г 'Г Г
г г т
Таким образом последнее двойное отношение буде*г тоже
числом вещественным и положительным и следовательно
на* основании теоремы, обратной теореме о вписанных
углах, можно утверждать, что точки ^, С2, ^3> ^4 также рас-
расположены на некоторой окружности плоскости С. Таким
образом, имеем теорему: При отображенищ совершаемом
линейной функцией (/), все окружности плоскости г пе-
переходят в окружности плоскости С и обратно.
Говорят поэтому коротко, что линейное преобразование
обладает круговым свойством. Часто бывает удобно изоб-
изображать значения функции С не точками другой плоскости,
а точками той же самой плоскости независимой перемен-
переменной х. Особое значение при этом имеют те точки, которые
при преобразовании A) остаются без изменения, так назы-
называемые „неподвижные точки" преобразования. Чтобы точка г
была неподвижной, должно быть
аг-\- Ь
сг
с!'
это дает для х квадратное уравнение
— а)г— Ь = 0. C)
Если а = с?, Ь = 0, с = 0, то имеем тождественное преобра-
преобразование С = г, В этом случае каждая точка плоскости явля-
является неподвижной. Если исключить этот тривиальный слу-
случай, уравнение C) будет иметь или два простых корня
или один двойной корень. Если с = 0, то г=оо следует
также считать корнем уравнения C).
Предположим сперва, что корни гг и г2 уравнения C)
конечны и различны. В этом случае* каждая окружность,
проходящая через точки г{ и г2, переходит при преобразо-
преобразовании A) в некоторую окружность, проходящую через те
же точки, и следовательно все семейство окружностей К,
проходящих через точки г{ и 2^, переходит самое в себя.
Так как отображение, совершаемое функцией A), конформно,
130

то семейство К' окружностей, ортогональных к окружнб-
стям семейства К> тоже должно переходить самое в себя
(см. опять черт. 22, стр. 125). Здесь следует различать три
возможных случая, из которых два первых можно рассмат-
рассматривать как частные случаи третьего.
1) Каждая окружность семейства К переходит в самое
себя. В этом случае отображения точек пересечения какой-
нибудь фиксированной окружности системы К с окружно-
окружностями К' лежат опять на этой же окружности. Таким обра-
образом, окружности К можно рассматривать как те пути, по
которым точки плоскости перемещаются к своим отобра-
отображениям. В этом случае преобразование A) называется ги-
гиперболическим.
2) Каждая окружность семейства Кг переходит в са-
самое себя. В этом случае окружности К! можно рассматри-
рассматривать как траектории точек плоскости. Мы говорим в этом
случае об эллиптическом преобразовании.
3) Ни одна окружность системы К и ни одна окруж-
окружность системы К' не переходит в самое себя. Соответ-
Соответствующее преобразование называется локсодромическим.
Выведем теперь нормальные формы для линейного преобра-
преобразования в этих трех случаях. Пусть г3и2 будут две точки,
лежащие на какой-нибудь окружности, проходящей через
неподвижные точки 2\ и г2 и пусть, С3 и С будут отображе-
отображения точек 2Ъ и 2. Отображения ^ и С3 неподвижных то-
точек 2Х и 22 совпадают с этими точками. Поэтому, по выше-
вышесказанному о двойном отношении, имеет место равенство
~ ~ ~ г г г г г г г г ~
_ ±к : ?з *1 2 П. : 12 ц 2 ±1 . 1§ *1 /д\
/и ^О -6а л**) Ч чо -еЧ ^О "9 ^9 **Ч ^9
В случае гиперболического преобразования точки г19 2.2,
23, С3 лежат на одной и той же окружности и следова-
следовательно двойное отношение . этих точек — : -~ —
& ^9 ^з ' 2о
будет равно вещественной постоянной а ф 0. Из равен-
равенства D) получаем поэтому
1 ^ х (а вещественно и =^0). E)
~^2
Обратно, из равенства E) видно, что отображение ^ точки 2
находится на окружности, проходящей через точки гх, 22,2*
9* 131

Таким образом, формула E), вычисление По которой дает С,
как линейную функцию от х, определяет гиперболическое
преобразование!
Если мы имеем дело с эллиптическим преобразованием,
то на основании известной из элементарной геометрии тео-
теоремы Аполлония (АроПопшз), можем написать равенство
X " Х^
т — т
_ F)
ИЛИ
=1, чф\). G)
Если, обратно, дано преобразование G), то в силу ра-
равенства F) можно утверждать, что точки Сих лежат на
окружности, ортогональной к системе окружностей, прохо-
проходящих через точки х{ и х2> Преобразование G) будет сле-
следовательно эллиптическим *).
Наконец в случае локсодромического преобразования, из
равенства D) имеем
а не вещественно и | а | ф 1). (8)
С
Равенства E), G) и (8) представляют нормальные
формы гиперболического, эллиптического и локсодромиче-
локсодромического преобразований.
Если одна из неподвижных точек, например 22, уходит
в бесконечность, то переписав преобразование в виде
и заставляя в нем г2 неограниченно расти по модулю, по
лучим
Смотря по значению, какое имеет а, мы имеем здесь нор-
нормальную форму гиперболического, эллиптического или
) Таким образом существуют преобразования, являющиеся одновре-
одновременно гиперболическими и эллиптическими. Их нормальной формой
является:
С
г — 2г2 С
132

локсодромического преобразования с одной бесконечно
удаленной неподвижной точкой.
В первом случае имеем преобразование подобия с цен-
центром в точке гх. Каждая прямая, проходящая через
точку г19 переходит сама в себя и система концентри-
концентрических окружностей с центром в точке г{ тоже перехо-
переходит сама в себя. Во втором случае имеем вращение
плоскости около точки г19 причем каждая из концентричес-
концентрических окружностей переходит сама в себя, и пучок прямых,
проходящих через точку 2и тоже переходит сам в себя.
В третьем случае имеем преобразование, составленное из
вращения и преобразования подобия. При этом преобразо-
преобразовании система логарифмических спиралей с асимптотиче-
асимптотической точкой г{ переходит сама в себя. Так как такие кри-
кривые называются также локсодромиями, то отсюда понятно
название локсодромического преобразования.
Наконец, если обе неподвижные точки гх и %<% совпадают
в одну ги то говорят о параболическом преобразовании.
Если неподвижная точка гх лежит на конечном расстоянии,
то нормальная форма такого преобразования будет
2.1
Р, (РФО). (9)
Действительно, если точки х и С связаны параболическим
преобразованием, то точки х — г± и С — г± должны также
быть связаны преобразованием вида A), для которого
уравнение C) имеет двойной корень, равный нулю; отсюда
непосредственно следует формула (9). Все рассуждение
можно проделать в обратном порядке; следовательно (9)
дает действительно нормальную форму параболической под-
подстановки с конечной неподвижной точкой гх. Если же
хх = оо, то нормальная форма параболического преобразо-
преобразования будет иметь вид
* = !:-И, (т^о). (Ю)
Параболическое преобразование можно рассматривать как
предельный случай рассмотренных выше преобразований
с двумя неподвижными точками, достаточно лишь переме-
перемещать точку г1 по прямой до совпадения с точкой г2. Си-
Система окружностей К> проводящих через точки хх и г2, пе-
133

рейдет при этом в систему окружностей, касающихся друг
друга в точке 22, и система окружностей К' в систему
окружностей, ортогональных к первой системе в точке г2
(черт. 23, стр. 126). В случае г2= со, /Сбудет системой
параллельных прямых, К! ортогональной к ней системой
прямых, а преобразование в силу A0) будет преобразова-
преобразованием переноса.
В равенство A) входят, по существу, только три постоян-
постоянных, ибо, не меняя значений линейной функции A), можно
очевидно умножить коэффициенты а, Ь, с, с/ на один и
тот же отличный от нуля множитель. Таким образом, общее
линейное преобразование зависит от трех произвольных
постоянных. Можно потребовать, чтобы преобразование A)
переводило три различные произвольно заданные точки
плоскости г в другие три различные произвольно заданные
точки плоскости С. Это дает три линейных однородных урав-
уравнения с неизвестными а, Ь, с, б/, которые, как известно, всегда
могут быть разрешены. Так как три точки определяют
окружность, то при помощи линейной функции можно отоб-
отобразить произвольный круг плоскости г на произвольный
круг плоскости С. Прежде чем приводить примеры на это,
введем некоторые обозначения и докажем одну вспомога-
вспомогательную теорему.
Пусть К будет окружность радиуса г с центром в точке М.
Под точкой, симметричной с точкой Р относительно
окружности К, или, иначе, под зеркальным изображением
точки Р в окружности К будем понимать такую точку Рг
луча МР, для которой
МР • МР' = г1.
Если точка Р совпадает с М, то Р' будет бесконечно уда-
удаленной точкой. Обратно, если точка Р будет бесконечно
удаленная точка, то точка 7х будет совпадать с М. Тот
же способ выражения мы будем употреблять и тогда, когда
окружность К вырождается в прямую, а точки Р и Р' бу-
будут симметричны относительно этой прямой. Процесс зер-
зеркального изображения в окружности, который иначе назы-
называется преобразованием обратными радиусами или инвер-
инверсией в окружности, можно аналитически представить сле-
следующим образом. Предполагая для простоты, что изобра-
134

жение совершается в окружности радиуса 1 с центром в на-
начале координат, сопоставим каждой точке х = геч точку
г 1 1 гср
—• 1
В силу С = —-и на основании замечания в конце § 8
х
главы II можно утверждать, что преобразование обратными
радиусами есть конформное отображение с изменением
направления отсчета углов.
Для этого преобразования имеет место следующая тео-
теорема: Если точки х и хг взаимно симметричны относи-
относительно окружности К, а точки г, мС' будут отображе-
отображениями точек х и х , полученными при каком-нибудь линей-
линейном гЦэеобразовании, то точки С и С будут взаимно сим-
симметричны относительно окружности К, являющейся
отображением окружности К. Действительно, как изве-
известно из элементарной геометрии, все окружности, прохо-
проходящие через точки х и я', будут ортогональны к К. Обратно,
если все окружности, проходящие через точки С и С, будут
ортогональны к окружности К, то эти точки будут взаимно
симметричными относительно К. Линейное преобразование
отображает систему окружностей проходящих через точки х
и х и ортогональных к К в систему окружностей, проходя-
проходящих через точки С и С и ортогональных к К. Поэтому,
точки С и С будут взаимно симметричными относительно К,
что и требовалось доказать.
В качестве первого примера отображения круга плос-
плоскости х на круг плоскости С найдем общий вид линейных
функций, отображающих верхнюю полуплоскость Зг>0
на внутренность единичного круга К | < 1. Если функция
сх -\
производит искомое отображение, то коэффициент с не
должен равняться нулю, так как в противном случае эта
функция отображала бы прямую $х = 0 в прямую, а не
в окружность. Точка С == оэ будет поэтому отображением
конечной точки х = . По предыдущей теореме, отобра-
135

жением взаимно симметричных относительно окружности
С | = 1 точек С — оо и С = О (т. е.
точки г
и
а
I, должны быть взаимно симметричны относительно
вещественной оси $2 — 0. Таким образом, числа г = —
и х
а
должны быть комплексными сопряженными,
Мы можем поэтому положить
и о
— Р>
а
С =—=
"Г" .. 3
(а ф 0, р не вещественно).
Так как вещественная точка г = 0 должна отображаться
в точку, лежащую на окружности | С
а
-р
а
1,
а
= 1, то
~ вещественно),
и, следовательно,
Так как точка г = $ преобразуется в точку
(И)
и верх-
верхняя полуплоскость должна перейти во внутренность еди-
единичного круга, то мнимая часть числа C должна быть по-
положительной. При условии 9Р > 0 функция A1) при произ-
произвольном вещественном т совершает требуемое отображение.
Прежде всего из равенства A1) видно, что для веществен-
вещественных значений г
С 1 =
1,
так что вещественная ось т, преобразуется в контур круга
С| =1. Далее, точка р верхней полуплоскости переходит
во внутреннюю точку этого круга (в точку С = 0) и, сле-
следовательно, в силу непрерывности, вся верхняя полуплос-
полуплоскость отобразится на всю внутреннюю область единичного
136

круга. (Если т вещественно и 0$ < 0, то A1) отображает
верхнюю полуплоскость на область, внешнюю по отноше-
отношению к единичному кругу.) То, что в формуле A1) три ве-
вещественных постоянных т, 91 C, ^C произвольны, соответ-
соответствует тому факту, что можно трем произвольным различ-
различным точкам вещественной оси г сопоставить три произ-
произвольные различные точки на окружности круга ||
Например, функция
2 I 1 + IX
'С =
Х-\- I 1
IX
$
$2 > 0 на внут-
внутпри этом точки
1
так отображает верхнюю полуплоскость
ренность единичного круга |С|=1, что
2 = 0, 1, оо переходят соответственно в точки
/, — 1. Точка С = 0 соответствует точке
функция будет
С
=1,
г. Обратная
.1
1 С —
В качестве второго примера найдем все линейные пре-
преобразования единичного круга в самого себя. Взаимно сим-
симметричным точкам С = 0 и С = оо должны соответствовать
взаимно симметричные точки г = а и г = —=г-, откуда видно,
а
что искомое преобразование должно иметь зид
У
л
где Т постоянное.
При 2=1 должно быть |С
1 ОС ,
= |ТГ =1,
и следовательно
гх
(" вещественно),
A2)
Но если внутренность круга \х\ < 1 отображается на внутрен-
внутренность единичного круга | С | < 1, то точка 2 = 0 должна
переходить в некоторую точку С, для которой | СI < 1.
Отсюда получаем условие | а | < 1.
Обратно, при этом условии формула A2), при любом ве-
вещественном т, представляет, как легко видеть, искомое
137

преобразование, причем произвольно выбираемая точка г = а
преобразуется в нулевую точку С = 0. Заметим в частности,
что единичный круг можно так отобразить на самого себя,
чтобы при этом заданная точка переходила в нулевую точку
и заданное направление в данной точке переходило бы в
направление положительной вещественной оси.
В качестве последнего примера приведем без доказатель-
доказательства аналитическое представление вращений шара. Предста-
Представим себе, что плоскость г стереографически спроектирована
на сферу радиуса 1 (ср. главу I, § 1), что эта сфера повернутала
некоторый угол вокруг одного из ее диаметров и после
этого опять стереографически спроектирована на плоскость С.
Легко доказать, что соответствующее отображение плоскости
г на плоскость С доставляется линейной функцией вида
и что, обратно, всякой линейной функции такого вида соот-
соответствует вращение сферы.
Прибавим еще две следующие задачи.
1. Доказать, следующим образом, теорему о том, что
интеграл Пуассона решает предельную задачу теории по-
потенциала для круга- Отобразив круг на верхнюю полу-
полуплоскость, дадим интегралу Пуассона вид
, у) = —
ОО
Здесь точка х, у будет точкой верхней полуплоскости, полу-
получающейся при отображении из точки г, ^ круга. Пусть те-
теперь /(<;) будет произвольная вещественная, непрерывная,
ограниченная функция вещественной переменной \ в проме-
промежутке — оо<$<оо. Тогда надо доказать, что определен-
определенная этим интегралом функция и(х,у) будет такая регуляр-
регулярная в верхней полуплоскости гармоническая функция, ко-
которая принимает на вещественной оси граничные значения
/($). Итак, пусть точка лг, у верхней полуплоскости стре-
стремится к точке контура Ео, 0. Разложим интеграл иа три
интеграла
/
— оо ;„— о

из которых средний соответствует некоторой окрестности
рассматриваемой точки контура Ьо. Если например Ь
и если выбрать # = 33, то интеграл в пределах от
до 50"Ь^» в СИЛУ непрерывности /($), будет, при у до-
достаточно малом, сколь угодно мало отличаться от /(?0)>
а два другие интеграла будут сколь угодно малы.
2. Исследовать, что происходит в пределе с конформным
отображением круга в себя, при котором центр круга пе-
переходит в точку а, в том сл'учае, когда эта точка а при-
приближается к какой-нибудь точке контура круга.
Исследовать также поведение линейного преобразования,
переводящего три фиксированные точки круга в три другие
точки того же круга, в том случае, когда две из них или
все три сливаются в одну.
§ 4. Функция 1 = г".
Примером функции, имеющей точку скрещивания, является
функция
С = г при п = 2, 3,...
Так как уже в случае п = 2 видны все существенные свой-
свойства такой функции, то ограничимся сначала рассмотре-
рассмотрением функции
Установим, как отображается сеть полярных координат
с полюсом в нулевой точке плоскости ху на плоскость ию.
Если положить
г = ге ', , = ре ,
то при подходящем нормировании угла будем иметь
Система концентрических окружностей г = сопз! перехо-
переходит, следовательно, в систему концентрических окружно-
окружностей р = сопз! и углы 9 удваиваются. Если при постоян-
постоянном г > 0 угол ^ изменяется от 0 до 2^, то угол & изме-
изменяется монотонно от 0 до 4л и отображенная точка С опи-
описывает окружность р = сопз! два раза, в то время как
точка г пробегает окружность г = соп51 лишь один раз.
139

Таким образом каждому значению
значения г, т. е. функция _
1
соответствуют два
г
будет „двузначной"
обратная нашей функции
функцией от С.
Для того чтобы все эти соотношения сделать нагляд-
наглядными, представим себе плоскость С в двух экземпля-
экземплярах, двух „листах", наложен-
наложенных один на другой. Проведем
в обоих листах конгруэнтные
разрезы от С = 0 до С = оо,
Черт. 27.
хотя бы вдоль положительной
вещественной оси. Образова-
Образовавшиеся при этих разрезах че-
четыре края представим себе
склеенными попарно крест-на-
крест-накрест, так что получается
взаимное пронизывание обоих
листов (черт. 27). В области,
составленной таким способом,
пробегаемая дважды, превра-
окружность плоскости ^
щается в пробегаемую лишь один раз кривую, состоя-
состоящую из двух, соединенных вместе в точках разреза, кон-
конгруэнтных окружностей, расположенных на верхнем и
* (<Р + *)
п
ге
нижнем листах. Отображения точек г = ге
будут теперь представляться точками различных листов.
Нулевые точки обоих листов мы не считаем разъединенными.
Наша двулистная область представляет собой простой
пример Римановой поверхности. Совершаемое функ-
функцией С = г2 отображение плоскости г на эту Риманову по-
поверхность будет взаимно однозначным, тогда как этого не
будет при отображении на обыкновенную „однолистную"
плоскость С. Точку С = 0, которая будет отображением
точки скрещивания х = 0, называют точкой разветвления
(или точкой закручивания) первого порядка Римановой
поверхности функции г = ]/Ч. Так как невозможно в ок-
окрестности этой точки функцию г = У~Ъ определить одно-
однозначным, и непрерывным образом, то точка С = 0 будет
у
особой точкой функции г (С) = У С 1). Эта функция может
2) Точка С = оо также есть точка разветвления функции г = у ^
140

быть ёдёЛана однозначной только на поверхности Ри-
мана.
Исследование степенной функции С = хп при целом и
П /—
положительном показателе п и обратной ей функции х = у
производится аналогичным образом. Соответствующая по-
поверхность Римана состоит из п листов и имеет в точке
С = 0 „точку разветвления (п — 1)-го порядка11 или
„(л— 1)-кратную точку разветвления". Функция С = гп
имеет в точке х = 0 (п — 1)-кратную точку скрещи-
скрещивания.
Представляет также интерес рассмотреть конформное
отображение, совершаемое функцией С = х2, исходя из прямо-
прямоугольной координатной системы плоскости С или соответ-
соответственно плоскости х. Сравнивая вещественные и мнимые
части, получаем
и = хл~—у2, у =
Отсюда видно, что прямым и = сопз! и х/ = сопз! соответ-
соответствуют две системы равнобочных гипербол
х2 — у2 = сопз!:; 2ху = сопз!.
Эти две системы (см. черт. 25, стр. 127) всюду ортого-
ортогональны друг к другу, исключая нулевой точки, в которой
эти кривые пересекаются между собой под углом в 45°,
в соответствии с тем фактом, что точка х = 0 есть простая
точка скрещивания. Если,
с другой стороны, положить
х = с или у = с, то получим
V2 = 4с2 (с2 — и) или
Черт. 28.
Прямым д:=соп51: и у —
= сопз! плоскости ху соот-
соответствуют В ПЛОСКОСТИ XXV
две взаимно ортогональные
системы софокусных пара-
парабол, открытых в левую или в правую стороны соответ-
соответственно (черт. 28).
•Рекомендуем читателю исследовать, как отображается
система полярных координат с полюсом в точке С = 1 на
плоскость г. Концентрические окружности переходят при
этом в софокусные лемнискаты с фокусами в точках х = — 1
141

и г *= 1; лучи, исходящие из точки С = 1, переходят в равно-
равнобочные гиперболы, проходящие через точки г = ±1.
§ 5. Функция С = ^ I 2 + -V
Если положить г = ге\ то для вещественной и мнимой
части функции
получатся равенства
I I СО8
Отсюда следует
1.
Таким образом, при отображении плоскости г на пло-
плоскость С концентрические окружности г = соп81 переходят
в софокусные эллипсы, линейный эксцентриситет которых
1 1/ ; 1\ 1/ 1\ «
равен 1, а полуоси равны т> I ГН—I ИЪ\Г )• Ьсли г
будет монотонно возрастать от 0 до 1, то эти полуоси
будут монотонно убывать от очень больших значений и
эллипсы будут все более и более сжиматься, пока, на-
наконец, при г = 1 эллипс не обратится в отрезок пря-
прямой — 1 <1 С <^ 1 между фокусами, который точка С пробе-
пробегает дважды. Если г продолжает возрастать от 1, то обе
оси будут снова возрастать и вновь появится каждый, по-
полученный уже раньше эллипс. Каждый луч <р—сопз! пло-
и2 V л
скости г переходит в гиперболу т> т-тт- = 1, ортого-
СО529 8Ш ?
гональную к нашим эллипсам и софокусную с ними (черт. 29).
Если плоскость С разрежем вдоль отрезка — 1 <С С <! 1, то
как внутренняя область единичного круга плоскости г, так
и его внешняя область будут отображаться на всю „над-
„надрезанную" плоскость С.
Для того чтобы установить взаимно однозначное со-
соответствие между точками этих областей, воспользуемся
142

Опять поверхностью Римана. Наложим два экземпляра
плоскости С один на другой, разрежем оба листа вдоль
отрезка — 1^С^1 и четыре образовавшиеся при этом
края склеем попарно крест-на-крест. Таким образом, по-
получим двулистную поверхность Римана, у которой один
лист конформно отображается на внутреннюю область
единичного круга плоскости г, а другой лист — на область,
внешнюю для этого круга. Между точками плоскости г и
точками этой поверхности Римана будет существовать
взаимно однозначное соответствие. Обратная функция
г = С -\- У С2 — 1 на такой поверхности определена одно-
Черт. 29.
значным образом, тогда как на однолистной плоскости С
такая функция будет двузначна. В точках г = :±:1. первая
производная
1
обращается в нуль, а вторая производная
г"
1
отлична от нуля; следовательно эти точки будут простыми
точками скрещивания, а их отображения С = ±1 будут
Р
простыми точками разветвления Римановой поверхности
для функции 2 (С).
Формула
-1 1г —1\2
г
+ 1
1
143

тесную связь изученного отображений
с простым отображением при помощи квадратного
корня.
§ 6. Логарифмическая и показательная функции.
Для того чтобы при помощи поверхности Римана сде-
сделать наглядным общий ход функции С = 1%г (ср. главу II,
§ 6), представим себе, что на плоскость я наложен второй
экземпляр этой плоскости, так же как и первый разрезанный
вдоль отрицательной вещественной оси. Точкам первого
листа сопоставим главные значения логарифма, а точкам
второго сопоставим главные значения, увеличенные на 2тг/.
На основании главы II, § 6, значения функции 1& х в точках
нижнего края разреза второго листа совпадают с ее зна-
значениями в соответственных точках верхнего края разреза
первого листа. Соединим поэтому верхний край разреза
первого листа с нижним краем разреза второго листа и
аналогично соединим верхний край разреза второго листа и
нижний край разреза третьего листа и т. д. до бесконеч-
бесконечности. Далее соединим нижний край разреза первого листа
с верхним краем разреза того листа, который лежит под
первым листом и точкам которого соответствуют главные
значения функции, уменьшенные на 2^г. В результате обра-
образуется область, состоящая из бесконечного числа листов,
которая называется „поверхностью Римана для лога-
логарифма". На такой поверхности логарифм будет однозначной
функцией ее точек. Точки х = О и г = оо будут точками
разветвления или точками закручивания бесконечно
большого порядка, так как в этих точках связано беско-
бесконечно много листов.
Из равенств
С = и -{- ю = \% г -{- /?,
и = 1% г, ю = ?, (г = ге )
(см. главу II, § 6) следует, что тот лист Римановой по-
поверхности, который при вышеуказанном построении являлся
первым, отображается функцией 1§^ г взаимно однозначным
образом на бесконечную полосу—^<!г;^тг плоскости С;
при этом нижний и верхний края разреза соответствуют
ограничивающим полосу параллельным прямым V = — я и
144

# = к *). Вся Риманова пбёбр&ность, состоящая из беско-
бесконечного числа листов, будет следовательно отображаться
взаимно-однозначным образом на всю плоскость С, причем
точки поверхности, лежащие одна над другой, будут
переходить в такие точки плоскости С, которые лежат на
одной прямой, параллельной оси х/, и отстоят друг от друга
на расстоянии, кратном 2тг. Так как нулевая точка г —О
плоскости г переходит в бесконечно удаленную точку
плоскости С, то обратная функция г = е не обращается
в нуль ни при каком конечном значени С. Показательная
функция естьу следовательно, отличная от постоянной
целая функция, не имеющая нулей 2).
§ 7. Тригонометрические функции.
Равенства
•
ег
_1
1
— е
21
р _—
* +
•
4 Л»
е
•
—
+
2
е
г'
определяют четыре такие функции, которые при веще-
вещественных значениях переменной совпадают с обыкновен-
обыкновенными тригонометрическими функциями 3), и поэтому назы-
называются тригонометрическими функциями и при адмплексном
значении переменной. Рассмотрим здесь только отобра-
отображение, при помощи функции ^ = 1%2:, плоскости г на
плоскость С. Для этого заменим равенство
е —1
Здесь рассматривается отображение разрезанной плоскости вместе
с ее контуром.
2) Эта функция будет даже в известном смысле простейшей функцией
такого рода. Действительно, если А (С) целая функция без нулевых точек,
то^(С) = Г77ч тоже должна быть целой функцией. Но отсюда следует,
что Л (С) должна быть вида
где §\ (С) функция целая.
3) Ср. главу II, § 6 E).
10 Зак. 1985. Курант. 145

Следующими трепля равенствами
I = 2&, A)
» = е\ B)
Функции A) соответствует преобразование подобия отно-
относительно начала координат с коэффициентом подобия рав-
равным 2, соединенное с вращением плоскости г вокруг на-
нате
чала координат на угол -~. При помощи функции B)
плоскость I отображается конформно на поверхность Ри-
мана для логарифма, т. е. полоса плоскости 1У параллельная
вещественной оси, шириною 2тс, отображается на всю разре-
разрезанную плоскость <*>. Линейное преобразование C) знакомо
нам из § 3. Посредством этого преобразования, единичный
круг плоскости <*> отображается на верхнюю полуплоскость
плоскости С, причем точки <о = 0 и о> = оо переходят
в точки С = г и С = — г. Таким образом, получаем Риманову
поверхность для функции г = агс1§^ С, обратной для С = 1^ г.
Эта поверхность, подобно поверхности Римана для лога-
логарифма, имеет две точки разветвления бесконечно боль-
большого порядка, а именно, точки С = г и С = — и Это об-,
стоятельство заставляет предполагать, что функция агс^ С
сродни логарифму. Действительно из равенств A), B) и C)
следует, что
Совершенно аналогичным образом можно исследовать
отображения, совершаемые остальными тригонометриче-
скиим функциями.
§ 8. Степенная функция с произвольным показателем
степени. Круговые двуугольники.
Общая степенная функция
а
при произвольном вещественном или комплексном пока
зателе а была определена в главе II, § 4, равенством
= е
146

Функция С = х будет слёдоМтёльно однозначной функцией
от \%х. Ее можно представить в параметрической форме
равенствами
или, как говорят, униформизировать однозначными функ-
функциями. *
Если а не рационально, то функция г [ = е* §г, так же
как и логарифм, будет бесконечно многозначной функцией.
Действительно, если точка г обойдет точку 2 = 0 в поло-
положительном направлении один раз, то значение функции
умножится на % , а при п-кратном обходе умножится
на е и для двух различных значении п эти множители
будут всегда различными. На поверхности Римана для ло-
логарифма, имеющей точки разветвления бесконечно боль-
большого порядка при 2 = 0 и 2 = оо, функция х" будет одно-
однозначной.
Напротив, если а = — число рациональное (р, д не
имеют общего делителя, д > 0), то после <7"кРатного
обхода точки г вокруг х = 0 функция в первый раз воз-
возвращается к своему первоначальному значению; поэтому
вместо поверхности Римана с бесконечным числом листов
можно в этом случае построить ^листную поверхность Ри-
Римана, подобно тойг какая рассматривалась в § 4. На этой
поверхности х будет однозначной функцией точки.
Рассмотрим еще конформное отображение, совершаемое
общей степенной функцией. Если а ф 0 число вещественное,
то система концентрических окружностей с центром в начале
координат и система лучей, исходящих из начала, переходят
сами в себя; угол между двумя отдельными лучами умно-
умножается при этом на а. Если точки г и С подвергнуть такому
линейному преобразованию (ср. § 3), при котором точки 0
и оо плоскости х (соответственно плоскости С) переходят
в произвольные различные точки 215 г2 (соответственно С1Э С2),
то мы увидим, что преобразование
С»
(
отображает область плоскости х, ограниченную дугами двух
окружностей, пересекающихся в точках хх и 22 под углом ^,
10* 147

называемый круговой дв^угОлЬнИк С вершинами ±х и 22
и с углом X на такую же область плоскости С, ограничен-
ограниченную дугами двух окружностей, пересекающихся в точ-
точках Сх и С2 под углом аХ, т. е. на круговой двуугольник
с вершинами ^ и С2 и с углом аХ.
Например, любой круговой двуугольник можно всегда
преобразовать в некоторый полукруг. Для этого надо а
выбрать так, чтобы было аХ == —. Например, при преобразо-
преобразовании
верхняя полуплоскость, которую можно рассматривать как
область, ограниченную двумя дугами окружностей, пересе-
пересекающимися в точках г = 0 и г = 1 под углом тс, перейдет
в полукруг плоскости С, построенный на отрезке между
точками С = 0 и С = 1.
Совершенно иначе обстоит дело, если а чисто мнимое
число. Пусть например а = г и следовательно
2 .
Рассмотрим конформное отображение верхней полуплоско
сти ^ г ;> 0. Для этого положим
го *
ге , ^ = ре
тогда
Прямолинейным лучам <р = сопз! = с плоскости г будут со-
ответствовать концентрические окружности р = е плоско-
плоскости С и окружностям Г=соп5* = с плоскости 2: будут со-
соответствовать прямолинейные лучи 0 = 1% с плоскости С.
В частности, полупрямым <р = 0 и ср = тс, ограничивающим
полуплоскость ^52:^0 снизу, будут соответствовать окруж-
окружности р = 1 и Р = е~~ге, которые точка С пробегает неогра-
неограниченное число раз в обоих направлениях. В нулевой и
в бесконечно удаленной точках плоскости г функция С
будет неопределенной. Таким образом, отображением верх-
верхней полуплоскости г будет круговая полоса, которая неогра-
148

ничейное число раз покрывает круговое кольцо е * <! р
плоскости С.
Предоставляем читателю исследовать отображение, со-
совершаемое функцией С = 2:а при произвольном комплекс-
комплексном а. Вместо радиусов и окружностей плоскости г здесь
появляются две системы пересекающихся ортогонально
логарифмических спиралей.
§ 9. Добавление. Геометрическое значение в простран-
пространстве линейных подстановок.
В этом параграфе мы изложим геометрическое предста-
представление линейных подстановок комплексной переменной 2,
сущность которого состоит в том, что кроме точек, лежа-
лежащих на поверхности шара ЛГ, рассматриваются также и точки
того трехмерного пространства /?, в котором расположен
шар. Уравнение сферы К, радиус которой примем равным
хотя бы 1 и центр которой лежит в начале прямоугольной
системы координат, имеет вид
A)
Приняв плоскость 2Г = 0 за плоскость г {г = Х-\- гУ) и про-
проектируя ее стереографически из точки Х= У — 0, 2=1
на сферу, перенесем на последнюю значения г. Между
координатами X, У, 7, точки сферы и соответствующим
значением 2 будут тогда (глава 1, § 1) иметь место соот-
соотношения
•у ^ Г "* ^ т/- . ^ ^ у 2^ ' ■*■ /г\\
22 -\~ 1 ' 22-\~\ 2\\
Так как пространство К мы будем рассматривать с точки
зрения проективной геометрии, то перейдем к однородным
координатам, полагая
У V V
у Л1 у ^Ч у ^_Ч5
•** 4 ^4 4
Формулы A) и B) тогда принимают вид
4
И
. D)
.149

Последнее соотношение можно переписать еще в виде
(X, + IX,): (Х{ — 1Х2) :(Х3+Х4): (X, -Х3)=г:х: гг: 1. E)
Точку пространства К будем называть .вещественной,
если отношения ее координат будут вещественны. Колли-
неацию
4
2 , 3,4) F)
назовем вещественной, если она переводит каждую вещест-
вещественную точку опять в вещественную точку.
Это имеет место тогда и только тогда, если содержа-
содержащийся в а1к произвольный множитель пропорциональности
можно выбрать так, чтобы все а17с были бы вещественны.
В дальнейшем при вещественных коллинеациях мы будем
всегда считать а1к вещественными. Вещественные колли-
коллинеации распадаются на два рода. К первому роду отно-
относятся те, коэффициенты которых аш могут быть непрерыв-
непрерывным изменением при сохранении вещественных значений
переведены в коэффициенты
1 при 1 = к
|0 при I Ф к
тождественной коллинеации и притом так, чтобы колли-
неация во время этого изменения не вырождалась, т. е.
чтобы ее определитель \а{к\ не обращался бы в нуль. Для
коллинеации второго рода это невозможно. Для колли-
коллинеации первого рода определитель преобразования |а^|
будет поэтому положителен, а для коллинеации второго
рода — отрицателен. Коллинеации первого рода преобра-
преобразуют всякую правую систему координат в правую же си-
систему, а коллинеации второго рода всякую правую систему
координат преобразуют в левую.
После этих замечаний сформулируем теорему, доказатель-
доказательство которой составляет главную цель этого параграфа,
следующим образом: Каждой линейной подстановке ком-
комплексной переменной г соответствует одна и только одна
вещественная коллинеация первого рода пространства /?,
которая преобразует сферу К в себя так, что изменения
150

положений отдельных ее точек будут те же как при
коллинеации, так и при линейной подстановке* Обратно,
каждой вещественной каллинеации первого рода, преобра-
преобразующей К в себя, соответствует одна и только одна
линейная подстановка комплексной переменной г, которая
преобразует точки сферы К друг в друга таким же
точно образом, как и эта коллинеация.
Существенно при доказательстве, что мы будем рассмат-
рассматривать действие коллинеации и на комплексные точки
сферы К. Если причислить к сфере и ее комплексные точки,
то на ней будут лежать две системы прямолинейных про-
производящих и притом так, что через каждую точку сферы
проходит одна и только одна производящая каждой системы
и что каждая производящая содержит одну и только одну
вещественную точку х). Это дает нам возможность характе-
характеризовать производящие каждого семейства посредством
значений X и соответственно |а. Каждой производящей пер-
первого еемейства сопоставим такое значение X, которое равно
значению переменной г в вещественной точке производящей
(т. е. в некоторой вещественной точке сферы). Производящей
другого семейства сопоставим комплексное значение |а,
сопряженное со значением г в ее вещественной точке. Про-
Произвольную вещественную или комплексную точку сферы
можно тогда, как точку пересечения некоторой произво-
производящей первой системы с некоторой производящей второй
системы, определять заданием двух чисел X и ^.
1) Существование таких производящих и их важнейшие свойства
легко вывести из уравнения сферы C). Действительно, переписав его
в виде
- Х3) = О,
видим, что оно будет удовлетворяться, если или одновременно
или одновременно
- Х3), ХВ + Х4 = 1>.{Х1 + 1Х2), (**)
где А и ;х произвольные комплексные числа (допустимы и значе-
1 1
ния Х = оо==^г ир- = оо = -^г). Но при заданном X или р- уравнения (*)
или (**) представляют прямые линии, которые следовательно на всем
их протяжении принадлежат сфере К. Параметры X и р- в этих уравне-
уравнениях выбраны как раз так, как указано в тексте,
151

В частности, вещественные точки сферы характеризуются
тем, что для них к и \>< будут комплексными сопряженными
числами.
Докажем сперва вторую часть нашей теоремы и для
этого земетим, что заданная по условию вещественная кол-
линеация первого рода С преобразует не только каждую веще-
вещественную точку сферы в вещественную же точку сферы, но
и вообще каждую точку сферы в некоторую точку сферы.
Так как С, как коллинеация, всякую прямую преобразует
опять в некоторую прямую, то всякая прямолинейная про-
производящая сферы перейдет при коллинеации С опять
в прямолинейную производящую. При этом две произво-
производящие одной и той же системы перейдут в производящие
одной и той же системы. Действительно, каждая произво-
производящая не пересекает никакой другой из производящих той
системы, к которой принадлежит она сама и, напротив,
пересекает всякую производящую другой системы, а свой-
свойство пересечения двух прямых сохраняется при коллинеа-
циях. Поэтому коллинеация С или переставляет между
собой обе системы производящих или производит только
перестановку прямых внутри каждой системы. Первое пред-
предположение невозможно. Действительно, то или иное раз-
различение двух систем производящих как первой и второй
равносильно заданию направления обхода на вещественной
поверхности шара *), и так как коллинеация С, по предпо-
предположению, первого рода, то она сохраняет это йаправление
обхода.
Пусть теперь Р будет произвольная вещественная точка
сферы, §и §2—Две производящих, проходящих через эту
точку, и ги 22 — две произвольные вещественные, каса-
касательные к сфере в точке Р. Коллинеация С преобра-
преобразует точку Р в некоторую вещественную точку Р сферы;
§19 §2 ПРИ этом перейдут в производящие §г и #2, прохо-
дящие через точку * , причем §х и §г (соответственно §2
и #2/ будут принадлежать одной и той же системе произ-
производящих и г19 ^2 перейдут в вещественные касательные
?!> *2 к сФеРе> проходящие через точку Р'. По правилам
Это следует из выражения угла через логарифм двойного отно-
отношения, которым сейчас же воспользуемся в тексте.
152

проективного мероопределения угол 1) между (г и /2 опре-
определяется равенством
где через О обозначено для краткости двойное отношение
четырех, стоящих в скобках, прямых. Точно так же угол
между гх и 12у отсчитываемый в том же направлении, бу-
будет равен
Г г г г т
1» *2> $1>
Так как двойное отношение при проективных преобразо-
преобразованиях остается без изменения, то
Из соображений непрерывности далее ясно, что угол
между двумя касательными 1и 129 обладающими каждая
определенным направлением, измеренный по той 2тс, равен
углу между касательными 119 /2, обладающими соответ-
соответствующими направлениями и тоже измеренному по той 2тг.
Таким образом имеем, что коллинеация С представляет
взаимно однозначное отображение вещественной поверх-
поверхности шара К на самое себя, при котором во всех точ-
точках сохраняются углыу но, как мы видели в § 3, такое
отображение совершается линейной функцией от х.
Первую часть теоремы можно было бы доказать такими
же геометрическими рассуждениями, как и вторую. Для
краткости проведем доказательство путем вычисления.
Вместо координат Х1У Х2у Х%у Х± введем новые координаты
Еи Н2, Е3, Н4 при помощи таких формул
, - (Х2): (Х3 + X,): (X, - Х3).
Уравнение сферы тогда примет вид
Вспомним о том, что рассматриваемый в учении о проективном ме-
мероопределении угол между двумя прямыми есть величина, определенная
только до целого кратного тс, а не до целого кратного 2к.
153

и зависимость, выражаемая формулой E), между коорди-
координатами 3 вещественной точки сферы и значением пере-
переменной г примет простой вид
й1: й2: й3: й4 = г: г: гг: 1. G)
Пусть
?^+* -ЬсфО) (8)
будет данное линейное преобразование.
Если Н1 : Н2: Е3 : Е4 будет отношение координат точки
сферы, соответствующей значению г'3 то в силу равенств
G) и (8) имеем зависимости
%2 + ас Е
ее/ 3
ее
(9)
где р обозначает произвольный, отличный от нуля множи-
множитель пропорциональности.
Если (9) будем рассматривать как преобразование про-
произвольных точек пространства, а не только вещественных
точек сферы, то будем иметь коллинеацию, относительно
которой легко доказать, что она будет вещественной и
первого рода.
Выскажем наконец нашу теорему на языке неэвклидовой
геометрии. Взяв сферу К за основную поверхность, уста-
установим проективное мероопределение. Вещественные колли-
неации первого рода в пространстве, преобразующие
сферу К в себя, будут тогда представлять совокупность
неэвклидовых движений и поэтому можно сказать, что
неэвклидовы движения пространства К и линейные пре-
преобразования комплексной переменной х соответствуют
друг другу взаимно однозначным образом.
Легко составить теперь наглядное представление разли-
различных типов линейных преобразований (гиперболических,
эллиптических, параболических и локсодромических). Остав-
Оставляя сперва в стороне параболические преобразования, мы
знаем об остальных, что они имеют две неподвижные точки,
которые мы обозначим через Рх и Р
154

Коллинеация, у которой две точки остаются без изме-
изменения, преобразует и всю соединяющую их прямую в самое
себя. Прямая §, соединяющая неподвижные точки, имеет
сопряженную относительно сферы К поляру §', а так как
коллинеация преобразует как прямую %, так и сферу К
в самих себя и соотношение полярности инвариантно отно-
относительно коллинеации, то §г переходит тоже сама в себя.
Далее, каждая плоскость, проходящая, через § (соответ-
(соответственно §г), переходит опять в плоскость, проходящую
через § (соответственно §г). Пучок плоскостей, проходящих
через д, вырезает из сферы К пучок окружностей, прохо-
проходящих через точки Рх и Р2, а пучок плоскостей, прохо-
проходящих че|>ез §', перпендикулярных, в неэвклидовом смысле,
к плоскостям первого пучка, вырезает4 из К окружности,
ортогональные к первому пучку окружностей. Принимая
во внимание результаты § 3, мь! получаем поэтому, что:
эллиптическому преобразованию соответствует не-
эвклидово движение, при котором точки прямой § и
плоскости, проходящие через прямую §', остаются без
изменения, а точки прямой %' перемещаются по ней и
плоскости, проходящие через §, вращаются вокруг этой
прямой. В неэвклидовом движении, соответствующем
гиперболическому преобразованию, наоборот, точки пря-
прямой §г и плоскости, проходящие через прямую § оста-
остаются без изменения, а точки прямой § перемещаются
по ней и плоскости, проходящие через прямую §г, вра-
вращаются вокруг этой прямой.
Это можно кратко высказать еще так: эллиптическому
преобразованию соответствует неэвклидово вращение
вокруг прямой §, а гиперболическому преобразованию
соответствует неэвклидов перенос вдоль прямой §. При
локсодромическом преобразовании очевидно комбинируются
оба рода неэвклидовых движений. Произвольная точка про-
пространства будет при этом двигаться по пространственной
кривой, закрученной наподобие винтовой линии, которую
можно назвать локсодромией.
Наконец параболические преобразования можно получить
как предельный случай для эллиптических и гиперболи-
гиперболических. Если обе точки Рг и Р2 будем сближать вдоль
гладкой кривой на К к одной точке Р, то прямая § пе-
перейдет в касательную к. шару в точке Р, а прямая §' пе-
перейдет в касательную к шару в точке Р, перпендикуляр-
155

ную к §. В этом случае эвклидово и неэвклидово аначения
слова „перпендикулярный" совпадают. Самое общее пара-
параболическое преобразование, имеющее неизменяемую точку /%
соответствует опять комбинации неэвклидова вращения
вокруг оси § с вращением вокруг оси §'. Такое двойное
вращение может быть всегда заменено простым вращением
вокруг некоторой касательной §' к шару, проходящей
через Р.
Подобно тому как линейным преобразованиям
соответствуют неэвклидовы движения, так линейным пре-
преобразованиям
г =—-—1—_
сг-\-а
с изменением отсчета углов соответствуют неэвклидовы
отражения. Это будут такие преобразования, при которых
пространственные фигуры переходят в конгруэнтные в не-
неэвклидовом смесле зеркальные изображения. В частности,
преобразованию обратными радиусами относительно окруж-
окружности на сфере К соответствует неэвклидово зеркальное
отражение в плоскости, вырезающей этот круг из К. По-
Понятие неэвклидова зеркального отражения определяется
так же, как и понятие эвклидового. Для того чтобы найти
для некоторой точки Р ее зеркальное отражение в неко-
некоторой плоскости Е, опустим из Р неэвклидов перпенди-
перпендикуляр на Е, т. е. соединим точку Р с полюсом плоскости Е
относительно К и определим на перпендикуляре такую
точку Р\ которая расположена с противоположной от Р
стороны плоскости Е и отстоит от Е на таком же неэвкли-
неэвклидовом . расстоянии, как и точка Р. В силу этой простран-
пространственной интерпретации преобразования обратными ради-
радиусами теорема, доказанная в § 3 (стр. 135), становится
очевидной.

ГЛАВА ПЯТАЯ.
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ И ПОВЕРХНОСТИ
РИМАНА.
Рассмотренные до сих пор аналитические функции были
заданы такими аналитическими выражениями, которые
давали возможность проследить весь ход изменения функ-
функции. В общей же теории мы должны исходить из того, что
функция задана сперва только в данной ограниченной
области Со плоскости 2, например, задана степенным рядом
в его круге сходимости. Тогда возникает проблема анали-
аналитического продолжения, т. е. вопрос о том, можно ли и,
если можно, то как, расширить первоначальную область
определения функции Со. С этой точки зрения функцию,
определенную в некоторой заданной области, мы будем
называть „элементом функции".
§ 1. Понятие аналитического продолжения.
Пусть /(г) будет элемент функции, определенный в дан-
данной области Со. Первым шагом к аналитическому продол-
продолжению /(г) является продолжение при помощи расширения
области:
Если в области Со, содержащей область Со, определена
аналитическая функция 9B), которая в области Со совпа-
совпадает с /(г), то функция ^(х) называется аналитическим
продолжением /(г) в область Со.
Такое аналитическое продолжение возможно, если оно
вообще возможно, только единственным образом. Дей-
Действительно, пусть <р, (г) и <р2 (г) будут две функции, регу-
регулярные в области Со и совпадающие с /(г) в области Со.
157

Разность 91 (*) — ?2 Ы) будет регулярной функцией в
сти Со и будет наверно равняться нулю в области Со.
Пусть С* будет множество всех точек области Со, для
которых разность <рх— <?2 равна нулю. Если множество С*
не совпадает с областью Со, то в и о найдется точка Р, являю-
являющаяся точкой сгущения С*, гГритом такая, что некоторый
круг с центром Р, целиком принадлежащий С'о, будет содер-
содержать также и точки, не принадлежащие С* (быть может самую
точку Р)х).
В этом круге разность <рх — <?2 может быть разложена
в степенной ряд. Так как точка Р является точкой сгу-
сгущения множества С*, то по теореме, изложенной в главе 111,
§ 4, все коэффициенты этого ряда должны равняться нулю
и разность 91 — 92 > следовательно, должна равняться нулю
во всем круге. Так как в этом круге лежат и такие точки,
которые не принадлежат к множеству С*, то получаем
противоречие.
Расширяя таким образом область, в которой определена
функция, мы всегда получаем такие области плоскости г,
в которых функция определена однозначным образом. Для
того, чтобы с помощью аналитического продолжения по-
понять сущность многозначных функций и соответствующих
им Римановых поверхностей, обобщим наши понятия сле-
следующим образом. Пусть, как выше, регулярная функция /(г)
определена в некоторой области Со и пусть эта функция
аналитически продолжена в область Со, охватывающую об-
область Со. Это аналитическое продолжение обозначим
(в силу однозначности этого процесса) также через /(г).
Пусть С1 будет область, принадлежащая Со, и пусть
будет произвольная область, содержащая область
(черт. 30). Если можно найти такую регулярную в области О1
функцию /г (г), которая в области Сх совпадал^ бы с функ-
*) Такую точку Р можно получить, например, следующим образом.
Соединим точку а области Со с точкой Ь области С^, не принадлежа-
принадлежащей С*, ломаной линией, целиком лежащей внутри Со. Пробегая эту
линию от а к Ъ, возьмем за Р ближайшую к а точку, не принадле-
принадлежащую С*, если таких точек на ломаной линии конечное число; если
же таких точек бесконечно много, то найдем их точки сгущения и бли-
ближайшую из них к а и возьмем за точку Р. Прим, ред..
158

Цией / (г), то будем называть эту функцию /х (г) аналити-
аналитическим продолжением функции /(г) в область Сг. При этом
может, конечно, случиться, что области С1 и Со будут иметь
общие части, в которых функции /(г) и /г (г) будут раз-
различны. Вообще, функцию /*(^), регулярную в области С*,
будем называть аналитическим продолжением функции /(г)
в область С*, если возможно составить такую конечную
последовательность областей Со, С'о, С?1, С\. . .Ск, Ск, С*
Черт. 30. Черт. 31.
(черт. 31), которая обладала бы следующими двумя свой-
свойствами:
1) Со принадлежит области С^; С (у = 1,2,... к) принад-
принадлежит как области С^1, так и области С^; С* принадлежит
области Ск.
2) В каждой из областей С[ существует такая регулярная
функция /Дя), которая при V —0,1, .-.к — 1 совпадает
в области С,,+1 с функцией /^г(г); далее, в области Со
имеет место равенство /(^)=/о(^) и в области С* /к(г) =
=/*
Т
/ ()
Такую последовательность областей будем называть
„цепью областей" и будем говорить, что „функция /(г)
продолжена при помощи этой цепи областей". Соответ-
Соответствующие функции /, (г) будем называть цепью элементов
функции.
159

Как и б начале параграфа, МоЖйо показать, ч?о еели при
помощи такого процесса возможно аналитическое продол-
продолжение для заданной цепи областей, то только одним спо-
способом.
Выбрав в каждой области С^ ^ = 0, 1, 2? 3, ... к) неко-
некоторую точку 2^ и в области С* точку г* = тк+1 и соединив
точки гч и г.± (> = О, 1, 2, 3 ... к) непрерывной кривой,
которая вся лежит внутри области Сч, будем говорить, что
функция /*(г) получена посредством аналитического про-
продолжения /(г) вдоль кривой г0, гх, ... гк+1. Обратно,
если дана непрерывная кривая С, соединяющая начальную
точку г0 с конечной точкой г*, то функция / (г) аналити-
аналитически продолжима вдоль кривой С в том случае, если
можно так разложить кривую С на части гог19 гхг29
22*%, ..., гк гк+1 (гк+1 = ^*), заключить каждую дугу гч г^+1
в область СН) а каждую точку хн — в область С^ принад-
принадлежащую как области Сч_х\ так и области Сч 1), что для
полученной цепи областей окажется возможным найти цепь
элементов /, {г) (V = 0, 1, 2, ... к), так, чтобы /^ {г) была
регулярна в С^ и чтобы в области Со было /0(г)==
— {(г), а в области С,+1 было бы /,+1 (г)=^ (г) (у==0»
Из вышеприведенных рассуждений легко видеть, что
если аналитическое продолжение вдоль данной кривой воз-
возможно, то оно возможно только единственным способом 2).
Если функцию можно аналитически продолжить вдоль
двух кривых, соединяющих точки г0 и 2гА+1, при помощи
одной и той же цепи областей, то результат продолжения
начального элемента будет один и тот же, так как продол-
продолжение вполне определяется заданием цепи областей. От-
Отсюда следует, что аналитическое продолжение вдоль
каждой кривой С*, достаточно близкой 3) к кривой С и
соединяющей те же точки, возможно, если оно воз-
С/_1 обозначает то же самое, что Со.
2) Конечно только тогда, если задана наперед та область, в которую
функция должна быть аналитически продолжена. Это тривиальное тре-
требование в дальнейшем мы не будем высказывать в явной форме.
3) Т. е. достаточно точно аппроксимирующей в смысле главы I, § 2.
160

можно вдоль кривой С, и приводим к тому же ру
тату. Таким образом, можно еще сказать, что, если
кривая С, вдоль которой совершается аналитическое
продолжение, непрерывно меняется, причеч ее начальная
точка х0 и конечная точка г* остаются неизменными,
а аналитическое продолжение вдоль С все время остается
возможным, то результат продолжения не изменяется,
т. е. всегда получается один и тот же элемент функ-
функции в конечной точке.
В принципе аналитическое продолжение можно осуще-
осуществить следующим образом *): пусть, при сохранении
прежних обозначений, Л будет кратчайшее расстояние
дуги 2^ 2^+1 от контура области С^. Разделим эту дугу
точками хч0 = гч, г^ 1:.. х^1 = г^1 на такие части, чтобы
диаметр 2) каждой из них был меньше 6. и около
каждой точки деления опишем круг радиуса <1. В каж-
каждом таком круге будет лежать тогда также и следую-
следующая точка деления; поэтому степенной ряд, в кото-
который разлагается функция /, {г) в окрестности точ-
точки ^ х+1, можно получить путем преобразования ряда,
соответствующего точке х^х 3). Применяя этот процесс ко
всем дугам х^г^х, можем сказать, что каждый элемент
аналитического продолжения функции / (г) получается из
некоторого определенного элемента путем повторного пре-
преобразования ряда.
Из предыдущего легко вывести следующую теорему
(„теорема монодромиии): Если функцию /(г) можно ана-
аналитически продолжить в односвязной области С вдоль
всякой непрерывной кривой, то эта функция будет
в области С однозначна, т. е. если ее продолжич вдоль
Этот способ практически мало удобен из-за своей громоздкости.
В § 3 будет дан способ, во многих случаях быстро ведущий к цели.
2) Под „диаметром" кривой подразумевается наибольшее расстояние
между двумя ее точками.
3) „Преобразование" ряда, расположенного по степеням г — а в ряд
по степеням г — 6, где Ь — точка внутри круга сходимосги К первого
ряда, получим, заменив в первом ряде г — а на F — а)-\-(х—6) и
формально разложив его по возрастающим степеням х — Ь. Легко до-
доказать, что полученный ряд будет сходящимся внутри любого круга,
с центром в точке 6, который весь лежит внутри К и будет иметь там
те же значения, что и первоначальный ряд (ср. Гурвиу,, часть I,
глава 2, § 6).
11 Зак. 1985. Курант. 161

любой Замкнутой непрерывнЬй кривой С, лежащей в об-
области С, то придем опять к ее первоначальному зна-
значению.
Доказательство. Кривую С можно аппроксимировать
замкнутым многоугольным контуром П так, чтобы анали-
аналитическое продолжение вдоль П приводило бы к тому же,
результату, что и продолжение вдоль кривой С. По теореме
изложенной в главе I, § 2, каждый замкнутый многоуголь-
многоугольный контур, лежащий внутри односвязной области С,
может быть сведен непрерывным изменением к одной из
его точек, например, Р. По доказанному выше, продолже-
продолжение начального элемента вдоль П дает тот же результат,
что и продолжение вдоль кривой, лежащей как угодно
близко к начальной точке и, следфвательно, в частности,
вдоль такой кривой, которая вся расположена внутри той
области, где начальный элемент определен однозначно.
§ 2. Принцип непрерывности и принцип симметрии.
Прежде чем выводить общие следствия из установлен-
установленных нами понятий, ознакомимся с одним важным обсто-
обстоятельством, касающимся аналитического продолжения и
дающим возможность еще иначе характеризовать этот про-
процесс, не пользуясь цепью налегающих друг на друга обла-
областей. Сверх того, мы получим при этом простой и нагляд-
наглядный способ, позволяющий на самом деле выполнить про-
процесс аналитического продолжения. Этот способ приложим
правда только к определенному классу специальных слу-
случаев, но зато в этих случаях оказывается очень могу-
могущественным.
Докажем прежде всего такую теорему. Пусть две об-
области Сх и Сг граничат друг с другом вдоль некоторой
гладкой кривой В. Пусть внутри области Сх задана ре-
регулярная функция ^х(г), а внутри области С2 задана
регулярная функция /2B). Предположим еще, что при
стремлении к кривой В эти функции стремятся к пре-
предельным значенияму непрерывным на кривой В, причем
предельные значения обеих функций ^{г) и /2B) на В
равны между собой. При этих условиях, каждая из
функций /х(г) и /2 (г) будет аналитическим продолжением
другой.
Коротко говоря, это значит, что непрерывное продол-
162

Аение будет всегда аналитическим продолжением. Эта
теорема позволяет следовательно осуществить аналити-
аналитическое продолжение функции, пользуясь цепью не нале-
налегающих друг на друга, а только граничащих друг с другом
вдоль гладкой кривой областей.
Для доказательства этой теоремы построим криволиней-
криволинейный четырехугольник /?, который кривая В разделяет на
две части Кх и /?2, принадлежащие соответственно обла-
областям Сг и С2 (черт. 32). В этом
четырехугольнике определим функ
цию / (г) так, чтобы она совпадал
в части /?! с функцией /1B), в части
К2 — с функцией /2B), а на отрезке
кривой В, лежащем в /?, — с общими
предельными значениями функций /г (г) и /2 (я). По доказан-
доказанному в главе II, § 7 (см. особенно замечание на стр. 57)
интеграл
1 Г /(С) Л
взятый по контуру области Кх в положительном направ-
направлении, равен / {г) для всех точек г> лежащих внутри Кх, и
равен нулю для точек, лежащих вне Ки и, в частности,
для точек ху лежащих внутри /?2. Точно также интеграл
№ л
-Г
С
к.
равен /(г) внутри области /?2 и равен нулю внутри 1
Если сложим оба интеграла, то части их, соответствую-
соответствующие дуге В, сократятся. Поэтому интеграл
С — х
будет равен /(г) как внутри области Кх, так и внутри
области /?2« Этот интеграл будет аналитической функцией
(глава II, § 7, стр. 57 и след.) от г внутри всего криволиней-
криволинейного четырехугольника К и следовательно теорема доказана.
В качестве важнейшего следствия из этой теоремы, до-
докажем следующий, установленный Риманом и Шварцем
И* 163

^принцип симметрии". Пусть частью контура области С
является прямолинейный отрезок или, общее, дуга окруж-
окружности В, и пусть функция С =/ (г) будет регулярна внутри С
и стремится при приближении к В к предельным значе-
значениям, непрерывным вдоль В 1) и лежащим в плоскости С
также на прямой линии или на дуге окружности Ь.
Если область С* симметрична с С относительно В
и если точке г*, симметричной с г относительно В, при-
приС*
вести в соответствие значение С*, симметричное с С~
— /(г) относительно Ь, то построенная таким образом
функция С*=/* (г*), будет регулярна в С* и будет ана-
аналитическим продолжением функции /(г).
При доказательстве можно предполагать, что речь идет
о симметрии относительно прямых. Действительно, всегда
можно подобрать такое линейное преобразование, которое
преобразует дугу окружности в отрезок прямой, причем
точки, симметричные относительно дуги окружности, пре-
преобразуются в точчи, симметричные относительно этого
отрезка (глава IV, § 3, стр. 135). Функция /* будет аналити-
аналитической в области С*, так как она очевидно имеет там непре-
непрерывные производные. Эта функция принимает на В те же
самые значения, что и функция /(г), и по принципу не-
непрерывности будет поэтому аналитическим продолже-
продолжением /{г).
Пользуясь полученными результатами, можно исследо-
исследовать также и общий случай, когда часть контура области С
и соответствующая часть контура отображенной области
Г будут кривые аналитические 2).
А именно, имеет место следующая теорема: Пусть
функция ^=/(г) регулярна в области С и непрерывна
при стремлении к аналитической дуге В контура этой
области и пусть дуге В соответствует аналитическая
Как мы увидим позднее (ср. гл. VI, § 4) мы могли бы отбросить
предположение о непрерывности предельных значений.
2) Кривая, заданная уравнениями х = <р (/), у = <1» (*), называется „ана-
„аналитической", если функции <р (/) и 6 (/) будут аналитическими функ-
функциями вещественной переменной *, т. е. если они могут быть разло-
разложены в ряды по степеням 1.. Тогда независимую переменную г можно
рассматривать и как величину комплексную, меняющуюся в некоторой
области. Точка кривой, для которой производные 940 и ФЧО» при
надлежащем выборе параметра, не обращаются в нуль одновременно,
называется „регулярной точкой.
164

Луга В' плоскости С. Тогда функцию / {г) можно аналити*
чески продолжить через дугу В.
Доказательство основывается на следующем предложении.
Если г0 — некоторая регулярная точка аналитической дуги В,
расположенной в плоскости г, то окрестность точки 20 можно
отобразить взаимно однозначным образом и конформно на не-
некоторую область плоскости I и притом так, чтобы дуга В пере-
переходила в отрезок вещественной оси. Действительно, пусть кри-
кривая В задана параметрическим уравнением г = х-\-гу, где
х — у (*), у = ф (() (I — вещественное) и <р ((), $ (€) — веще-
вещественные аналитические функции. Пусть значению (= О
соответствует точка 2г0, так что г0 — <р @) -(- г{> @). Если г0
регулярная точка, то <р' @) ф 0 или </ @) ф 0. Если функ-
функцию г = 9 (О ~Ь ^ @ = ш @ рассматривать как функцию ком-
комплексной переменной /, то ее можно разложить в окрест-
окрестности точки / = 0 в сходящийся степенной ряд. Эта функ-
функция будет следовательно аналитической в этой окрестности
и будет поэтому отображать некоторую окрестность
точки * = 0 на некоторую окрестность г = 2о и притом
так, что вещественным значениям I будут соответствовать
точки дуги В. Так как <р' @) ~Ь & @) Ф 0> то такое отобра-
отображение можно однозначно обратить в окрестности
О
р р
что и дает требуемое отображение. Отобразим теперь
окрестность регулярной точки г0 дуги В при помощи
функции г — &{г) на окрестность нулевой точки плоскости I
и притом так, чтобы дуга В перешла в отрезок веще-
вещественной оси. Отобразим также окрестность точки ^о==/(^о)
при помощи функции т = А(С) на окрестность нулевой
точки плоскости т и притом так, чтобы дуга В/ перешла
в отрезок вещественной оси. Пусть г = <о (() и С = X (т)
будут функции, обратные функциям 2 и Л соответственно.
Функция т = Л (/(<*>(/))) = х @ будет тогда регулярной,
с одной стороны вещественной оси, а на самой веществен-
вещественной оси будет вещественной и непрерывной; поэтому, по
принципу симметрии Римана — Шварца, она может быть про-
продолжена через вещественную ось: Функция С = Х (^ B(я)))
будет, поэтому, регулярной в окрестности г = г0 и будет
совпадать в С с функцией /(г).
Только-что рассмотренный принцип аналитического про-
продолжения чере^ данную дугу кривой называется „прин-
„принципом симметрии для аналитической кривой".
165

Если кривая 5 алгебраическая, т. е. задана уравнением вида
где Р—полином с двумя переменными, то бывает иногда
полезно следующее аналитическое представление преобра-
преобразования симметрии в этой кривой1). Пусть опять х = уA),
у = $A), {I — вещественное) будут параметрические урав-
уравнения дуги кривой В. В некоторой определенной области
комплексной переменной ( будем иметь тождественно
A)
Произвольную точку г, близкую к В, можно представить
в виде
где I вообще не будет вещественным, если точка г не ле-
лежит на самой кривой. Симметричной с г относительно В
точкой будет
7
Отсюда следует,
и значит
Подставляя в равенство A), имеем, что
2 ' 2/
Из этого уравнения можно определить г* как аналити-
аналитическую функцию от х\ зная г*, определим симметричную
с г точку 2*.
Заметим наконец, что из первой теоремы этого параграфа
вытекает следующая важная теорема: если функция, анали-
аналитическая в области С, имеет на гладкой дуге контура
предельные значения, равные нулю, то она равна нулю
тождзственно.
]) Указанием на него я обязан устному сообщению С. СагаЖёо<1огу.
166

Действительно, функцию /(г) можно непрерывно про-
продолжить через дугу при помощи функции /} (г) = 0. Но это
продолжение является аналитическим, а так как аналити-
аналитическая функция, равная нулю в произвольно малой области,
должна всюду равняться нулю, то /(г) равна нулю тожде-
тождественно.
Эту теорему можно формулировать еще и так. Две раз-
личные в области С аналитические функции не могут
иметь одинаковых граничных значений на какой-нибудь
гладкой дуге контура.
§ 3. Римановы поверхности аналитических функций *).
Возвращаясь к общим соображениям, поставим вопрос,
каким образом можно исследовать все возможные аналити-
аналитические продолжения данного элемента функции, чтобы
вместе с тем установить в общем виде понятия о всем
ходе изменения аналитической функции, ее особых точках
и ее Римановой поверхности. Заметим уже здесь, что по-
поверхность Римана будет при этом иметь, по существу, более
глубокое значение, чем простое средство для наглядного
представления изменения многозначной функции, как это
было в ранее разобранных примерах.
Напомним общее понятие элемента функции; это есть регу-
регулярная функция, однозначно определенная в некоторой обла-
области С, причем, конечно, может оказаться, что области С при-
принадлежит бесконечно удаленная точка. В этом случае выгодно
перейти от числовой плоскости к числовой сфере. Далее будем
говорить, что элемент функции „лежит над точкой 20", если
точка г0 принадлежит той области С, в которой определен
элемент функции; этот элемент функции будет лежать следо-
следовательно над каждой точкой некоторой достаточно малой
окрестности г0- Два элемента функции, лежащие над одной и
той же точкой, будут называться „эквивалентными", если
они совпадают в достаточно малой окрестности этой точки.
Следовательно, оба элемента будут представлены в окрест-
окрестности этой точки одним и тем же степенным рядом 2). Будем
) В связи с изложенной здесь теорией (в которой нет абсолютной
необходимости для первого понимания дальнейшего) ср. //. \Реу1, О1е
1с1ее A<чг ШетаппзсЬеп ПасЬе; 2. Аи!1., Ье1р21§ ипс! Вег11п, 1923.
2) По Вейерштрассу элемент функции часто отождествляется с этим
стеленным рядом.
167

исходить из точки гОу принадлежащей области (?, и элемента
функции /(г), лежащего над точкой 20. Если точку х0 сое-
соединим в плоскости х с некоторой точкой хи такой непре-
непрерывной кривой, вдоль которой исходный элемент функции
У(х) может быть продолжен в другой элемент, лежащий над
точкой хх, то будем говорить, что точка хх вместе с ле*
^ащим над ней элементом функции1) есть „точка Римановой
поверхности функции /(х)" и именно точка Римановой по-
поверхности, „лежащая над точкой хх плоскости х". Если
элементы функции, лежащие над одной и той же точкой хг,
эквивалентны, то будем говорить, что эти элементы вместе
с точкой хх определяют одну и ту же точку Римановой
поверхности, лежащую над точкой хх.
Множество всех точек, определенных таким способом,
т. е. значениями х и соответствующими элементами функ-
функции, которые получаются аналитическим продолжением из
одного начального элемента /(х) 2), назовем поверхностью
Римана для функции /(х). В дальнейшем понятие Рима-
Римановой поверхности будет несколько расширено. Для того
чтобы сделать наглядной поверхность Римана, рассмотрим
область С, в которой определен какой-нибудь элемент
функции /(г). Точки гх и г2, лежащие в С, вместе с распо-
расположенным над ними элементом функции определяют две
точки Римановой поверхности функции /(х) (лежащие соот-
соответственно над точками хг и г2 плоскости х)9 которые мы
будем считать лежащими в одном и том же „листе". Другими
словами, точки одного и того же листа находятся во взаимно
однозначном соответствии с точками некоторой области
плоскости х 3). Надо подчеркнуть, что такое определение
листа совсем еще не дает возможности вполне определенно
разложить всю поверхность Римана на отдельные листы;
напротив, при таком разбиении остается еще очень много
места для произвола.
Над одной и той же точкой плоскости х может быть располо*
жено несколько „листов" поверхности Римана. Предположим
опять, что элемент функции, лежащий над точкой хх и опреде-
2)
Этот элемент, согласно § 1, можем опять обозначить через /(г).
Само собой понятно, что это множество не зависит от специаль-
специального выбора начального элемента.
3) Функцию, представленную одним листом поверхности Римана, т. е.
элемент функции, будем также называть, как это принято в литературе,
„ветвью* функции.
168

ленный в области С19 получен аналитическим продолжением
в точку хх начального элемента / (г), лежащего над точкой х0.
Может случиться, что, продолжая аналитически тот же самый
начальный элемент вдоль другой кривой, соединяющей те же
точки^оИ^, получим другой элемент, лежащий над точкой хи
не эквивалентный полученному прежде и определенный на-
например в области Сх . Этот второй элемент функции, вместе
с точкой хи определяет другую точку Римановой поверх-
ности, лежащую над точкой хх плоскости х. Пусть Сх будет
область, состоящая из общих точек областей Сх и Сх и
Содержащая точку х1} тогда все точки Римановой поверх-
ности, которые определяются точками области С± и вторым
элементом функции, будем причислять ко второму „листу"
Римановой поверхности, лежащему над точкой х{.
Таким образом, можем получить в некоторых случаях
сколько угодно листов, лежащих над одной и той же точкой.
Надо заметить, что множество точек Римановой поверхности,
лежащих над одной и той же точкой г плоскости, самое
большее, может быть исчислимый бесконечным множеством.
Действительно, всякая точка Римановой поверхности опре-
определяется непрерывной кривой, соединяющей точки г0 и х{
в плоскости г. Рассмотрим сперва только точки хх с рацио-
рациональными координатами. Кривую, соединяющую точки х0 и г\,
можно заменить ломаной, вершины которой лежат в рацио-
рациональных точках, так чтобы при аналитическом продолжении
вдоль ломаной получался тот же самый элемент над точкой
хи что и при продолжении вдоль первоначальной кривой. Так
как множество рациональных чисел исчислимо, то таким
путем можно получить только исчислимое множество эле-
элементов. А так как каждый элемент функции, определяющий
точку Римановой поверхности, лежит хотя бы над одной
рациональной точкой, то предложение доказано.
Название „поверхности" для только что определенного
образования оправдывается тем обстоятельством, что для
Римановой поверхности можно определить понятие окрест-
окрестности и понятие связности, а также тем, что точки такой
окрестности непосредственно *) соответствуют тем точкам
области плоскости х, над которыми они лежат.
И притом взаимно однозначно и непрерывно в том смысле, как
будет сейчас определено.
169

Будем говорить, что точка C Римановой поверхности, ле-
лежащая над точкой г2 плоскости г> принадлежит >,окрестно-
сти\ точнее „р-окрестности" (р > 0) точки Р Римановой
поверхности, лежащей над точкой гх плоскости 2, если
| ^г2 —" ^11 <Г Р и если точки Р и С? принадлежат одному
и тому же листу, покрывающему круг | я-^^ | < р.
Понятие предельной точки на Римановой поверхности
можно теперь, на основе понятия окрестности, определить
следующим образом. Последовательность точек /*!, Р2,/V • •
поверхности Римана сходится к предельной точке Р, если
в каждой окрестности Р лежат все точки Рг, за исключе-
исключением конечного числа их. Вместе с тем получается и опре-
определение непрерывности на поверхности Римана. Непрерыв-
Непрерывной кривой на поверхности Римана будем называть мно-
множество точек Р@ этой поверхности, непрерывно зависящих
от одного параметра и т. е. так, что при Нт 1п = I точка
п->оо
Р{г„) стремится к предельной точке Р{{). Соответствующие
этим точкам значения г образуют тогда .непрерывную
функцию того же параметра *.
Для определения понятия области в плоскости г, доста-
достаточно было иметь только понятие окрестности и понятие
связности (см. главу I, § 2). Определив теперь оба эти по-
понятия для Римановой поверхности, можем следующим обра-
образом дословно перенести определение области на любую Рима-
нову поверхность.
Множество точек называется областью, если окрестность
каждой точки множества также принадлежит этому мно-
множеству и если это множество связное. Поэтому, начиная
отсюда, для обозначения нашего первоначального понятия
области плоскости г будем явно пользоваться термином
„однолистная" область.
Если поверхность Римана некоторой функции 1(г) имеет
над точкой г0 только один единственный лист, то функция
/(г) называется однозначной в точке 2$. Аналитическая
функция называется „однозначной* просто, если она одно-
однозначна во всех точках, для которых она определена. Ее
Риманова поверхность будет тогда „однолистной" областью.
Каждая аналитическая функция будет однозначной функцией
на своей Римановой поверхности даже и тогда, когда она
многозначна в плоскости г.
Аналитическая функция^ совершает „непрерывное ото-
170

бражение" своей поверхности Римана на другую Риманову
поэерхность. При этом однозначное отображение одной
Римановой поверхности на другую называется непрерывным,
если отображения точек некоторой сходящейся последова-
последовательности сходятся к точке, которая будет отображением
предельной точки этой последовательности. Так например,
функция С = /B:) непрерывно отображает свою поверхность
Рямана на однолистную Риманову поверхность, лежащую
над плоскостью С. Такое отображение, однако, не всегда
будет взаимно однозначным, как показывает пример функции
С = 2:2. Если же рассматривать обратную функцию х = <р (У
и ее Риманову поверхность, то точки обеих Римановых по-
поверхностей будут находиться во взаимно однозначном соот-
соответствии, если исключить точки скрещивания функции /(г),
т. е. нули / (г), и соответственно точки скрещивания
функции ? (С).
Имея в виду такие исключительные точки, мы сейчас же
еще несколько расширим понятие Римановой поверхности,
но предварительно займемся изучением понятия „особой
точки* функции.
Ограничимся сперва однозначными функциями. Поверх-
Поверхностью Римана для такой функции будет следовательно
некоторая область С плоскости г. Особые точки такой
функции нужно относить к границе этой области С
Рассмотрим поэтому граничные точки однолистной области
и прежде всего рассмотрим „достижимые" граничные точки.
„Достижимой граничной точкой" области будем называть
всякую, не принадлежащую С точку B, которую можно
соединить с некоторой точкой Р области С непрерывной
кривой, целиком, за исключением точки B, лежащей внутри С.
Но может случиться, что к точке B можно подойти не-
несколькими (существенно) различными путями, как например
в надрезанном круге можно подойти с двух сторон к точке,
лежащей на разрезе. Для того, чтобы в этом случае можно
было говорить о нескольких различных граничных точках,
а не об одной „кратной" граничной точке, мы должны не-
несколько обернуть определение достижимой граничной точки.
Мы не будем теперь говорить, что достижимая граничная
точка „есть" точка B плоскости я, но будем определять
„достижимую граничную точку, лежащею над точкой B
плоскости х", при помощи непрерывной кривой, целиком,
за исключением ее конца, лежащей в С Две различные
171

кривые Сх и С2, соединяющие точку Р с точкой B, тогда
и только тогда определяют одну и ту же, лежащую над B
граничную точку, когда возможно внутри произвольно малого
круга с центром в B соединить некоторую точку кривой С1
с какой-нибудь точкой кривой С2 такой непрерывной кривой,
которая вся лежит внутри С.
Каждую достижимую граничную точку области С будем
теперь называть особой точкой функции.
Надо обратить внимание на то, что по этому определе-
определению не каждая граничная точка области существования
однозначной функции будет особой точкой этой функции,
а только каждая достижимая граничная точка. Пусть на-
например область существования образована всеми внутрен-
внутренними точками квадрата 0 < х < 1, 0 < у < 1 (х = х -\- 1у) за
исключением точек, лежащих на отрез-
1 1
ках х = 2* (л=1,2,...) 0<#<- (черт. 33).
Черт. 33.
Точки л: = О, 0 <;# < — не будут дости-
достижимыми граничными точками и поэтому
не будут особыми точками. Это связано
с тем, что функцию нельзя продолжить
сколь угодно близко к одной из этих
точек, без того, чтобы одновременно не
подойти сколь угодно близко к другим точкам, например,
к точке 2: =-у г.
Нашему определению особой точки легко придать такую
форму, которая легко обобщается на случай многозначной
функции. Предположим, что точку г0, лежащую в области,
где функция /(г) определена, можно соединить с некоторой
точкой а плоскости г непрерывной кривою так, чтобы началь-
начальный элемент, лежащий над точкой г0, можно было продол-
продолжить вдоль всей этой кривой, за исключением одной только
точки а. Такая кривая определяет тогда особую точку
функции, лежащую над точкой а. Две различные кривые
С1 и С2, соединяющие точку г0 с точкой а и обладающие
только что указанным свойством, тогда и только тогда
определяют одну и ту же лежащую над точкой а особую
точку, когда выполняется следующее условие: если гг и 2%
будут две точки, лежащие соответственно на кривых Сг и С2,
172

й если \г1— й|<р и |^ —а| <р (р>0), то два
полученные продолжением вдоль кривых Сх и С2 и лежащие
соответственно над точками 2^ и я^, могут быть аналити-
аналитически продолжены друг в друга вдоль такой кривой, которая
лежит сколь угодно близко к а, как только р выбрано до-
достаточно малым *).
Так как в этом определении никоим образом не упоми-
упоминается об однозначности или многозначности функции,
то его можно принять за определение особой точки и для
многозначной функции.
Чтобы получить естественное обобщение понятия Рима-
новой поверхности, рассмотрим теперь несколько ближе
простейший класс особенностей, а именно так называемые
„изолированные" особые точки. Особая точка 5, лежащая
над точкой а и определенная кривой С, называется изоли-
изолированной, если связный отрезок Сх кривой С, начинающийся
в точке а, можно заключить в такой круг К с центром в а,
чтобы исходя из какого-нибудь элемента функции, лежащего
над некоторой точкой отрезка С19 можно было бы функцию
продолжить вдоль каждого пути, лежащего внутри круга К
с выключенным центром (т. е. не проходящего через центр К).
(Само собой разумеется, что над точкой а или над произ-
произвольно близкой точкой могут лежать другие регулярные
или особые точки, но только, конечно не достижимые при
помощи продолжения внутри круга К). Внутри круга К
с исключенным центром функция /(г) может следовательно
быть неограниченно продолжаема. Если при всех этих про-
продолжениях получается только конечное число элементов
функции, лежащих над некоторой точкой г0 круга К и не
эквивалентных между собой, то это число будет конечно и
одинаково для всех точек гофа. Действительно, если ана-
аналитически продолжить те различные между собой элементы
функции, лежащие над точкой г0, о которых только-что
шла речь, в другую точку ггф а круга ЛГ, то над точкой
г1 получим тоже только различные уежду собой листы,
так как в противном случае исходные элементы не могли
бы быть все различны между собой. Пусть к будет число
) Это определение особой точки в существенных чертах примыкает
к определению Ь. ВгеЬегЬасКа\ Епсус1орас11е с!ег та^ЬетаШсЬеп ^
зеЬаНеп 11 С 4, стр. 401—404; ЬеЬгЬисЬ с!ег Еипк11опеп*Ьеопе I,
ип<1 ВегИп 1921, стр. 213-217.
173

, лёЖ&ЩиХ н&д каждой точкой т0 ф а. Если каждое
из этих к определений функции /(г) при приближении
точки х к точке а стремится к одному и тому же конеч*
ному или бесконечному пределу, то точка *$ называется
алгебраической особой точкой (так как особые точки такого
рода суть единственные особые точки, которые могут встре-
встречаться у алгебраических функций; см. § 4). Пусть г будет
радиус круга К с центром в а и положим
а
и
Функция / (г) = /(а -\- геи) = 9 (и) в полуплоскости ?Ии < О
может быть неограничено продолжаема и поэтому (так как
полуплоскость односвязна), по теореме монодромии будет
однозначной функцией, как только зафиксирован начальный
элемент. Кроме того, значениям и-^Ъпш соответствует
одно и то же значение г. Так как каждому значению г со-
соответствуют только к элементов функции /(г), то для не-
некоторого целого и положительного числа / должно суще-
существовать равенство <? {и-\-2Ы{) = ?(и). Если / будет наи-
наименьшее число такого рода, то точке г будут соответство-
соответствовать / различных элементов функции
/(*) = <? (и + 2ш{), (V = 0, 1, 2,... /— 1).
Таким образом, 1 = к9 т. е. функция /(г) возвращается
к первоначальному значению, после того как точка покру-
покружила к раз точку г = а. Внутри круга | г — а \ < г функция
1
будет поэтому однозначной функцией от V = (г — а) ,
имеющей, по предположению, при V = О конечный или бес-
бесконечный предел. Такая функция в окрестности точки V = О
может быть разложена в ряд по степеням V, содержащий
самое большее конечное число отрицательных степеней
(глава IV, § 1). Для функции /(г) имеет следовательно
место разложение
по ^
7 (п>0) I). A)
V—П
*) Из равенства A) видно, что сумма, разность, произведение и
частное двух функций, имеющих в точке а самое большее алгебраическую
особенность, будут в этой точке тоже иметь самое большее алгебраическую
особенность (то же относится и к производной такой функции).
174

Между рассмотренными особыми точками находятся ТакЖё
полюса. Дая полюса к = 1 и п <^ 0. Распространение изложен-
изложенного на тот случай, когда вместо точки а стоит бесконечно
удаленная точка, не требует особенного исследования.
Введем теперь, на основе вышесказанного, следующее
расширение понятия поверхности Римана. Прежде всего
будем понимать под элементом функции и такие функции,
заданные в области С, которые имеют полюса в этой области.
Еще общее будем допускать в качестве элементов функции
также и функции в окрестности произвольной алгебраи-
алгебраической особенности т. е. функции, представимые рядом
вида A) и переходящие при подстановке V = (г — а)
в обыкновенные элементы функции в плоскости V. Такой
элемент функции определяет „(к— 1)-кратную точку раз-
разветвления" над соответствующей точкой плоскости. Эту
точку отнесем тоже к Римановой поверхности. Поверхность
Римана в окрестности такой точки разветвления можно пред-
представить состоящей из к листов, наложенных на плоскость г
и связанных между собою в точке разветвления так, как
показано в примерах главы IV, § 4.
На основе этих понятий получаем окончательное опре-
определение поверхности Римана аналитической функции.
Следует еще заметить, что поверхность Римана может
быть построена несколько иным способом. Действительно,
к исходной области можно, на основании доказанного в начале
предыдущего параграфа принципа непрерывности, присое-
присоединить такие новые области, в которые начальный элемент
функции может быть аналитически продолжен. Такой процесс
можно повторять подходящим образом вообще говоря не-
неограниченное число раз. Полученные таким способом области
могут покрыть несколько раз плоскость х (всю или только
ее часть) ,и повести к образованию многолистной поверх-
поверхности Римана.
Эта точка зрения позволяет сделать важное обобщение
интегральной теоремы Коши. Заметим сперва, что всякую
функцию 9 {%) можно рассматривать как функцию точки
Римановой поверхности, принадлежащей некоторой функции
/(г), если эта поверхность Римана покрывает область суще-
существования функций 9 (я). Может случиться, что эта функция
9 (г) будет однозначно определена в некоторой области В
поверхности Римана фаже и в том случае, если она много-
175

б плоскости х. Пусть, например, Ё будет область
Римановой поверхности, состоящая из конечного числа
листов, ограниченная кусочно-гладкими кривыми и не
простирающаяся в бесконечность. Предположим далее, что
в этой области нет точек разветвления и что функция 9 (я)
однозначна и регулярна в ней (включая и границы). Такая
область В может быть разбита на конечное число одно-
однолистных областей, ограниченных кусочно-гладкими кривыми.
Так как для таких областей справедлива теорема Коши
(и соответственно, ее обобщение, данное в главе II, § 5)»
то, складывая отдельные интегралы, найдем, что эта теорема
будет справедлива и для многозначной функции от г> если
только путь интегрирования охватывает область, обла-
обладающую только что указанными свойствами.
Но теорема Коши остается справедливой также и для
всякой конечной, лежащей на поверхности Римана области,
состоящей из конечного числа листов и ограниченной кусоч-
кусочно-гладкими кривыми, если только функция регулярна и одно-
однозначна во всей этой области, включая и ее границы. Уста-
Установим прежде всего такое определение: функция, однозначная
в области В Римановой поверхности, называется регулярной
в точке разветвления, если в окрестности точки разветвле-
разветвления она будет регулярна и ограничена *) и, следовательно,
при конформном отображении окрестности точки разветвле-
разветвления на некоторую однолистную область, переходит в функцию,
регулярную в этой однолистной области 2). Справедливость
теоремы Коши можно доказать теперь следующим образом:
вырежем из области В круговые окрестности точек раз-
разветвления; к оставшейся области приложим приведенное
выше доказательство теоремы Коши и, наконец, заставим
радиусы вырезанных кругов стремиться к нулю.
В предыдущих рассуждениях поверхность Римана при-
принадлежала некоторой заранее данной функции, и служила
для представления общего хода этой функции. Для того
чтобы дать понятию Римановой поверхности чисто гео-
Если функция в точке разветвления обращается в бесконечность*
то будем говорить, что она в этой точке имеет полюс.
2) Это определение находится только в кажущемся противоречии с тем,
что сказано было в главе IV, § 1, где точка разветвления рассматри-
рассматривалась всегда как особая точка. Там функция рассматривалась как много-
многозначная функция в плоскости, здесь же она рассматривается как одно-
однозначная функция на поверхности Римана.
176

Метрический смыёл, введем такое определение тожде-
тождественности: Римановы поверхности, принадлежащие двум
функциям, называются „тождественными", если между
точками этих поверхностей можно установить взаимно одно-
однозначное соответствие так, чтобы две соответствующие
точки лежали всегда над одной и той же точкой пло-
плоскости и чтобы обе эти точки были одновременно или
простыми точками или точками разветвления одинаковой
кратности. Ясно, каким образом можно теперь расширить
определение поверхности Римана, не привлекая уже анали-
аналитических функций в общее геометрическое определение.
Глубочайшее значение поверхностей Римана основывается
на том обстоятельстве, что здесь получается только кажу-
кажущееся расширение понятия, что в действительности
„Римановой поверхности" $, определенной независимо
от какой-либо функции, всегда соответствует такая анали-
аналитическая функция, для которой поверхность Римана как раз
и есть поверхность ^. Другими словами, множество всех
однозначных и многозначных аналитических функций
доставляется множеством всех, определенных чисто гео-
геометрически „поверхностей Ричана". Доказательство этого
предложения тесно связано с проблемой конформного ото-
отображения поверхности Римана на определенные области
простого вида. Исследование этих вопросов составит
главное содержание дальнейшей главы (см. главу VIII).
В направлении только-что указанного геометрического
толкования, при котором поверхность Римана задается
раньше функции, естественно сделать еще один шаг дальше,
освободив эту поверхность и от ее связи с плоскостью г
и заменив ее например кривою поверхностью в простран-
пространстве, или, более общим образом, некоторым абстрактным
многообразием. Как это можно сделать, будет изложено
дальше (глава IX, § 7).
§ 4. Алгебраические функции.
Общие соображения предыдущего параграфа можно на-
наглядным образом проследить на алгебраических функциях
и их Римановых поверхностях.
Алгебраическою функцией) будем называть такую много-
многозначную функцию с конечным числом значений /(г), ко-
которая имеет только алгебраические особенности и притом
12 Зак. 1985. Курант. 177

в конечном числе. Если особые точки функции /(г) лежат
над точками г19 г2,- - *гг, то функция /(г) может быть неогра-
неограниченно продолжаема по всем путям, обходящим эти точки.
Если над какой-нибудь точкой г0, отличной от особых*
точек, лежит ровно п различных листов, то путем анали-
аналитического продолжения можно каждый из них распростра-
распространить над любой не особой точкой х и получить там п
различных элементов функции (так как в противном случае
начальные элементы не могли бы быть все различными).
Таким образом, над каждой не особой точкой г будет
лежать то же самое число п различных листов Римановой
поверхности функции /(г).
Поверхность Римана алгебраической функции можно,
поэтому, представить себе состоящей из п экземпляров
I
6
Черт. 34.
полной плоскости 2, или сферы я, лежащих друг над другом,
соединенных между собой в точках разветвления и взаимно
пронизывающих друг друга вдоль разрезов, выбранных
подходящим образом и соединяющих точки разветвления;
каждый из этих экземпляров может быть назван листом
Римановой поверхности. Такую поверхность Римана назы-
называют также „замкнутой" поверхностью. Например функ-
функция }^К(г)9 где К — целая рациональная функция от г,
будет алгебраической функцией, имеющей двулистную по-
поверхность Римана*). На черт. 34 и 35 наглядно пред-
представлен случай •/? (г) = 1—г4 при двух различных системах
разрезов, соединяющих точки разветвления.
Если число листов л = 1, т. е. функция однозначна,
то, как было уже замечено в § 3, особые точки гн будут
1) Если степень целой рациональной функции К (г) равна 3 или 4
и Я (г) не имеет кратных корней, то соответствующую поверхность
Римана называют „эллиптической11. Если степень К (г) больше 4,
то двулистная поверхность Римана называется „гиперэллиптической".
178

полюсами. В окрестности каждого из полюсов имеет место
разложение
и, соответственно, при гч =
оо
где ^ — целая рациональная функция, ^ — степенной ряд.
Если вычтем сумму всех „главных частей" ^ ( ), соот-
\ )
ветственно §^(г), из/(г), то получим функцию, регулярную
Черт. 35.
во всякой конечной части плоскости и ограниченную
на бесконечности; но такая функция будет постоянной.
Однозначная функция, имеющая только алгебраические
особенности, будет поэтому рациональной функцией.
Пусть теперь п]>1. Построим основные симметрические
функции от п значений функции /B) = ^, С2,...Сп, соот-
соответствующих обыкновенной точке г, а именно:
-2
* * ~*п *
Эти функции могут быть неограниченно продолжаемы
вдоль путей, обходящих особые точки. Так как при про-
продолжении вдоль какой-нибудь замкнутой кривой плоскости г
значения С1Э Са,•••Сл могут только оказаться переставлен-
переставленными между собой, то функции с?1> %!•••?»» будут одно-
однозначны. Далее, эти функции будут функции алгебраические,
12*
179

так как они составлены из алгебраических функций Сх,
^2>- • -^п только при помощи действий сложения и умножения
(см. стр. 174 в частности примечание 1). По только-что
доказанному, эти функции будут следовательно рациональ-
рациональными. Но значения ^, С2,...Сл удовлетворяют уравнению
(С-С,) (С-С2).. .
Помножив это уравнение на общий знаменатель рацио-
рациональных функций ?1 (г), % (г)> • • • ?п О*)* будем иметь такую
теорему: Значения алгебраической функции удовлетворяют
алгебраическому уравнению
г {г, с)=ро(г):я+Р1(г):"-'+ • • • +?„(*) = о, A)
где ро(г), р{ (г). . рп(г) полиномы, не имеющие общего дели-
делителя.
Покажем теперь, что уравнение A) неприводимо, т. е.
что Р(г9 С) не разлагается на произведение двух целых
рациональных функций Рх (г, С) и Р2(г> С) от г и С, каждая
из которых отлична от постоянной. В самом деле, пусть
г0, 'Со — некоторая точка нашей Рямановой поверхности
и С — соответствующий этой точке элемент функции.
Из уравнения Рх (г, С) Р*2 (г, С) = 0 видно, что хотя бы один
из множителей /\ (г, ^), /^(^ -)> например /^(г, С), в окре-
окрестности точки г09 Со должен бесконечное число раз обра-
обращаться в нуль; следовательно, этот множитель тождественно
равен нулю на поверхности Римана, т. е. уравнение
Рх(гу С) = 0 при произвольном х должно удовлетворяться
п значениями ^(г), С2(г),. . Хп (г). Функция ^(г, С) будет
поэтому степени п относительно 'С9 так как она, будучи
множителем Р{гу С), не мэжет тождественно равняться нулю
относительно обеих переменных. Функция Р^(г, С) должна,
поэтому, быть нулевой степени относительно С, а так как
полиномы ро(г)9 рДг),. . ра(г) не имеют общих множителей,
то эта функция не может быть функцией от г какой-либо
целой и положительной степени. Таким образом неприво-
неприводимость функции Г(г, ^) доказана.
Докажем теперь обратное предложение: Корни Сх, ^2>- • •»>»
неприводимого алгебраическою уравнения (/) представляют
собой ветви некоторой алгебраической функции. При вся-
180

ком г, не совпадающем с корнем полинома ро(г)} уравнение A)
имеет п корней. Среди этих корней будут равные тогда и
только тогда, когда будет равен нулю дискриминант уравне-
уравнения A), который представляет собой некоторый полином /) (г).
Так как по предположению, функция Р{гу С) не приводима,
то /){г) не может тождественно равняться нулю1); поэтому
во всей плоскости г, за исключением конечного числа ее
точек, уравнение будет иметь п различных конечных корней.
Надо показать, что эти корни будут ветвями одной и той же
аналитической функции от г. Итак, пусть г0 будет точка
плоскости г, отличная от этих исключительных точек,
и пусть С(х , ц° ,. . /^ будут ее отображения на плоскость С.
Около каждой из этих точек Ц опишем такой круг К^ ко-
«, о х@) ЛО) «,@)
торый не содержит ни одной из точек Ц , Ц >• • «Ч > кроме
точки ^0). На основании формулы D), главы III, § 5, имеем,
что
Если г лежит внутри круга \х — 20|<р, где р — доста-
достаточно малое положительное число, то функция Р(г9 С)
не обращается в нуль (как функция от С) на контуре
круга К^; поэтому интеграл
будет непрерывная функция от 2, для всех значений г
внутри круга \г—го\ < р. С другой стороны, этот интеграл
равен числу нулей функции Р(г, С), лежащих внутри
круга К^ т. е. во всяком случае равен целому числу.
Если же непрерывная функция может принимать только
целые значения, то она равна постоянному; поэтому при
достаточно близком к г0 значении г уравнение Г{г> С) = 0
имеет в каждом круге К} один и только один корень С^
) Доказательство см. например у Н. \УеЬег, ЬеЬгЬисЬ с1ег А1деЪг?,
2. АиЯ., Ва. I (ВгаипзсЬуе^ 1898), стр. 168.
181

Этот корень можно выразить через интеграл (глава III,
§ 5, E))
г
откуда одновременно видно, что этот корень будет анали-
аналитической функцией от г.
Функции ^(г) могут быть аналитически продолжены
в каждую точку плоскости г, за исключением конечного
числа ранее указанных исключительных точек. В окрест-
окрестности такой исключительной точки г , которую мы про-
простоты ради предположим лежащей на конечном расстоянии1),
эти функции могут иметь, самое большее, п значений. Для
того чтобы доказать, что эти функции в точках г не могут
иметь никаких других особенностей, кроме алгебраических,
достаточно показать, что произведение функций ^ на неко-
некоторую степень (г — г ) стремится к нулю, когда г стре-
стремится к 2^. Действительно, тогда эти функции можно рас-
рассматривать как частное двух функций, которые в точке г
имеют, самое большее, алгебраические особенности и сле-
следовательно сами имеют, самое большее, алгебраическую
особенность в точке % .
г*
Из уравнения A) видно, что значения
удовлетворяют уравнению
Ро Ро
При достаточно большом к все коэффициенты уравнения,
кроме первого, стремятся к нулю, когда г стремится к г^.
Но тогда и корни \ стремятся к нулю. Действительно»
пусть \ удовлетворяет уравнению
1 D)
Если точка г = оо принадлежит к числу исключительных точек,
то для нее можно провести совершенно аналогичные рассуждения.
182

и пусть
п
тогда из уравнения D) имеем такие неравенства:
•^
п
при
из которых, в силу E), в обоих случаях имеем
п
Таким образом, все корни \ стремятся к нулю вместе
с коэффициентами с^.
Функции С^ (г) будут поэтому конечно-многозначными
аналитическими функциями, имеющими только алгебраиче-
алгебраические особенности и притом в. конечном числе, т. е. будут
алгебраическими функциями. Остается еще только дока-
доказать, что они будут ветвями одной и той же алгебраической
функции. Действительно, если бы путем аналитического
продолжения можно было перейти от функции Сх только
к функциям С2,-..Ст, где т < гс, то согласно с тем, что
было доказано на стр. 180, функция ^ удовлетворяла бы
уже уравнению степени т
= Ро (*) - "+ />1 (^) - + • • • +Рт («) = 0
и функция Р*{г, V) была бы не тривиальным делителем
функции Р(г> С), что противоречит предположению о непри-
неприводимости Г(г> С).
Вернемся к рассмотрению гс-листной поверхности Римана,
принадлежащей какой-нибудь алгебраической функции
С () К К ( )
щ у р фуц
С (г). Каждое выражение К (г, С), рациональное относи-
относительно г и С, будет на такой поверхности очевидно одно-
однозначной функцией, регулярной всюду, кроме конечного
числа полюсов.
Докажем справедливость обратного предложения: Каждая
аналитическая функция ^(г), однозначная на данной
поверхности и регулярная на ней всюду, за исключением
183

конечного числа полюсов, может быть представлена, как
рациональная функция от г и от С.
Для доказательства, пользуясь п-ветвями (одинаковыми или
различными) го19 го2^ . .гип функции щ составим п уравнений
?0
+ . . . + еи,,^ 91 (г), ,
F)
где С|,...СЛ означают соответствующие (различные между
собой) ветви функции С. Как и раньше, можно доказать,
что <р0(г), ^1 (г)>•••?„_!(г) будут рациональные функ-
функции от г. Определитель системы F) равен квадратному
корню из дискриминанта уравнения Р{г> С) = 0, которому
удовлетворяет функция С, и следовательно не равен тожде-
тождественно нулюх). Мы можем поэтому хотя бы хюх предста-
представить как отношение двух определителей, т. е. представить
в виде рациональной функции от г, ^, С2. . .С„, которая, кроме
того, будет симметричной относительно С2...СП. Но рацио-
рациональные симметричные от С2...СЛ функции могут быть ра-
рационально выражены через коэффициенты уравнения
(п — 1)-ой степени
которому удовлетворяют С2,...Сл, т. е. могут быть выра-
выражены рационально через х и Сг Таким образом геI может
быть тоже выражено рационально через г и ^, например
га1=К(гу С^. Но тогда на всей поверхности Римана
будем иметь га — /? {х> С), что и требовалось доказать.
Соответственно тем общим замечаниям, какие были
сделаны в конце предыдущего параграфа, мы обратим
впоследствии (глава IX) полученные здесь выводы в том
смысле, что, задав чисто геометрически „алгебраическую
поверхность Римана*1 (т. е. замкнутую поверхность, покры-
покрывающую п раз всю плоскость или сферу и имеющую
конечное число точек разветвления), поставим вопрос о том,
возможно ли и если возможно, то как, построить „соот-
„соответствующую" этой поверхности алгебраическую функцию.
См. примечание ыа стр. 181.
184

ГЛАВА ШЕСТАЯ.
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ОДНОСВЯЗНЫХ
ОДНОЛИСТНЫХ ОБЛАСТЕЙ.
В конце § 3 предыдущей главы была поставлена про-
проблема: охарактеризовать аналитические функции геометри-
геометрическими свойствами. К этому вопросу мы и хотим теперь
обратиться. В главе II, § 8, было доказано, что функция,
аналитическая в некоторой области, отображает эту область
конформно на некоторую другую область. Можно поста-
поставить обратный вопрос: даны две области С и Г в плоско-
плоскости х\ найти такую аналитическую функцию, которая кон-
конформно отображает область С на область Г.
В этой главе мы рассмотрим только простейший случай,
когда обе области будут односвязными и однолистными.
Можно еще предположить, что одна из этих областей, на-
например Г, будет единичным .кругом. Действительно, если
задача будет решена для этого частного случая, то отобра-
отображение двух произвольных областей друг на друга можно
будет получить, отобразив каждую из них на вспомога-
вспомогательный круг. При этих предположениях имеет место сле-
следующая теорема, которая называется „теоремой Римана
о конформном отображении" и принадлежит к важнейшим
теоремам теории функций:
Всякую односвязную область С, которая отлична от
всей плоскости г и от плоскости г с одной выключенной
точкой, можно взаимно однозначным образом и кон-
формно отобразить при помощи некоторой аналити-
аналитической функции на внутренность единичного круга (центр
которого лежит в начале координат, а радиус равен еди-
единице) и притом так, чтобы некоторой определенной
185

точке в области С и некоторому определенному направ-
направлению в этой точке соответствовали начало коорди-
координат и направление вещественной положительной оси.
В дополнение к этой теореме мы докажем, что функ-
функция, нормированная только что указанным образом, опре-
определяется конформным отображением, совершаемым этой
функцией, однозначным образом.
Таким образом, теорема Римана дает геометрический
принцип для построения аналитических функций, осуще-
осуществление которого мы рассмотрим в следующей главе.
Только в главе VIII мы обобщим, уже на другой основе,
эту теорему возможно широким образом. В рассматрива-
рассматриваемом здесь частном случае мы дополним наши результаты
тем, что проследим отображение вплоть до контура обла-
области и, кроме того, рассмотрим проблему конформного отобра-
отображения с точки зрения теории потенциала. Мы начнем с до-
доказательства теоремы Римана о конформном отображения.
§ 1. Предварительные замечания и вспомогательные
теоремы.
Пусть Г будет единичный круг плоскости С. Прежде всего
мы должны надлежащим нормированием исключить про-
произвол, остающийся при отображении некоторой области
плоскости г на единичный круг. Действительно, как сле-
следует из главы IV, § 3, единичный круг можно помощью
линейного преобразования отобразить на самого себя так,
чтобы при этом два заданных линейных элемента (линей-
(линейный элемент — точка и направление, проведенное через
эту точку) соответствовали друг другу. Поэтому, если
только вообще возможно область С отобразить на еди-
единичный круг, то отображающую функцию наверно можно
так нормировать, чтобы заданный линейный элемент об-
области С переходил в центр единичного круга и в на-
направление вещественной положительной оси. Не нарушая
общности, можем предположить, что область С так распо-
расположена в плоскости г, что заданный линейный элемент
совпадает с началом координат плоскости г и с направле-
направлением вещественной положительной оси; тогда вышеуказан-
вышеуказанная нормировка накладывает на функцию С=/(г), отобра-
отображающую область С в кр>г, условия: /@) = 0, /' @)^>0.
Докажем теперь, что если область С есть вся плоскость
186

г или вся плоскость за исключением одной ее точки, то
она не может быть отображена конформно на внутренность
единичного круга. Для этого предположим, что функция
С=/ {г) отображает взаимно однозначным образом и кон-
конформно всю плоскость г за исключением быть может од-
одной ее точки, которую, без ограничения общности, можем
считать точкой г = оо (так как ь противном случае можно
сперва применить такую линейную подстановку, которая
эту исключительную точку преобразует в точку г = оо)
на внутренность единичного круга плоскости С. Эта функ-
функция С ==/ (г) должна быть целой функцией; с другой сто-
стороны, она ограничена. Такая функция, по теореме Лиу-
вилля (глава III, § 2) должна быть постоянной, что невоз-
невозможно 1).
Будем поэтому с самого начала предполагать, что отобра-
отображаемая область С имеет хотя бы две различные граничные
точки и следовательно в силу того, что область одно-
связна, имеет также связное множество граничных точек,
соединяющих эти две точки. Если а и Ъ — две различные
граничные точка области С, лежащие на конечном рас-
расстоянии, то преобразование
отображает область С в некоторую область С*, которая
не покрывает некоторой части плоскости 2*. Действительно,
по теореме монодромии, можно определить 2* как одно-
однозначную внутри области С функцию; если последняя при-
1) Упомянем еще следующую, несколько более общую теорему: всякая
функция / (г), которая взаимно однозначно и конформно отображает
всю плоскость г за исключением быть может одной точки (или ко-
конечного числа их) на однолистную область и которая нигде в конеч-
конечной части плоскости не делается бесконечно большой, есть целая ли-
линейная функция. Действительно, так как /" {г) нигде в конечной части
плоскости не делается бесконечно большой, то лежащие на конечном
расстоянии исключительные точки должны быть устранимыми точками
разрыва. Поэтому С=/(г) есть целая функция; в силу предположения
о взаимной однозначности отображения / (г) не может быть целой ра-
рациональной функцией степени выше первой; но /(г) не может быть так-
также и целой трансцендентной функцией, так как в противном случае,
по теореме Вейерштрасса (ср. главу IV, § 1) при надлежащем стремле-
стремлении точки г к граничной точке г = оо, можно было бы сколь угодно
близко подойти к любой точке плоскости С.
187

нимает некоторое отличное от 0 значение г* и смежные
с ним значения, то она не может принять значения — х* и
смежных значений, так как оба значения г* и — г* соответ-
соответствуют одному и тому же значению г. Пусть точке а плос-
плоскости г* и некоторая ее окрестность лежат вне области С*.
Функция С = —т отобразит тогда область С* в не-
которую новую область, которая вся будет расположена
внутри некоторого круга конечного радиуса. Эту новую
область параллельным переносом круга и преобразованием
подобия можно преобразовать в область, лежащую внутри
единичного круга, и содержащую внутри себя нулевую
точку. Мы ограничимся поэтому в следующем параграфе рас-
рассмотрением таких областей, которые лежат внутри единич-
единичного круга и содержат внутри себя начало координат.
Для доказательства теоремы Римана надо еще ознако-
ознакомиться со свойствами некоторой простой вспомогательной
функции, которая конформно отображает двулистный еди-
единичный круг с эксцентрически расположенной точкой раз-
разветвления в однолистный единичный круг. Для построения
этой вспомогательной функции представим себе, что круг
радиуса 1 с центром в начале координат плоскости / раз-
разрезан от точки Р% отстоящей от центра на расстоянии ^,
1де 0 < ^ < 1, до некоторой точки на его окружности и
что два наложенных друг на друга экземпляра такого круга
соединены между собой обычным способом вдоль этого
разреза (черт. 36, 37). Этот двулистный круг можно кон-
конформно отобразить на единичный круг плоскости т при
помощи некоторой определенной функции т = ф (/) = Ф (/)
(и притом так, чтобы для одного листа было ф @) = 0,
</ @) > 0).
Нет надобности искать явное выражение этой функции.
Ее можно построить, преобразуя сперва точку разветвле-
разветвления Р в начало координат при помощи линейного преобра-
преобразования, преобразующего круг в себя, извлекая затем квад-
квадратный корень и устанавливая, наконец, при помощи дру-
другого линейного преобразования заданное соответствие
между линейными элементами в нулевых точках.
Пусть функция, обратная функции ^ (/), будет / = / (т);
она однозначна и регулярна в круге |
188
У СО
. Функция-—

будет, очёйидно, Тоже однозначна и регулярна в &том круГё,
ь)
Так как
на контуре этого круга равен 1, то внутри
всего круга, по принципу максимума модуля (гл. III, § 1)
должно быть
< 1, причем должен стоять именно
знак < , потому что эта функция не постоянна. Другими
словами, между величинами г и т всегда существует зави-
зависимость | т | > и|, как только 11 < 1. Таким образом при
рассматриваемом отображении каждая точка внутри круга
| /| < 1 переходит в точку круга |т | <1, более удаленную
от начала координат.
1'плосжть
Тпмююяпь
Черт. 36.
Черт. 37.
Это смещение точек можно точнее характеризовать, если
ограничиться точками некоторого замкнутого концентри-
концентрического круга плоскости (, например всеми точками круга
| /1 ^ {^. Всем этим точкам | Ь | ^ <х будет соответствовать
некоторое постоянное положительное число ц {\*-)^> 1 та-
такое, что
Действительно, достаточно за такое число ц выбрать
т
наименьшее значение, какое величина -— принимает в
круге | 2 | <С !*. По предыдущему, такое наименьшее значе-
значение будет больше 1.
Если в единичном круге | /1" <^ 1 лежит некоторая одно-
однолистная область К, такая, что точка Р находится на ее
контуре (или вне этой области), то функция
189

отображает &ту область К взаимно однозначным образом
на некоторую область К, принадлежащую кругу |х| < 1, и
всякая точка области К будет находиться на большем рас-
расстоянии от начала координат, чем соответствующая точка
области К. Если в области К лежит начало координат, то
область К при этом отображении имеет определенную
тенденцию распространиться на весь круг (т)^!. При
этом отображении К на К нулевая точка и направление
вещественной положительной оси в ней остаются без из-
изменения.
Если К содержит круг | * | < р <^ [*, то К содержит круг
| х -| < р*, где р* = ? (р)Р > Р-
Докажем еще одну вспомогательную теорему. Если по-
последовательность функций /г (г), /о (г),. .., определенная
в некоторой области С, в каждой замкнутой области,
принадлежащей С, сходится равномерно к некоторой
функции /(г), которая не равна постоянной, и если
каждая функция /п(г) этой последовательности отобра-
отображает область С взаимно однозначным образом в неко-
некоторую однолистную область (так что (п (г) в двух раз-
различных точках области С принимает всегда два различных
значения), то и функция / (г) тоже отображает область
С в некоторую однолистную область. Для доказатель-
доказательства рассмотрим некоторую точку г = г0 внутри области С.
Около этой точки опишем достаточно малый круг, ле-
лежащий весь вместе с его контуром х внутри области С и
такой, что в этом круге (за исключением его центра г0) и
на его окружности х функция / (г) не принимает значения
равного /(го) = а, что в силу предположения о непостоян-
непостоянстве / (г) возможно. Тогда имеем, что [глава III, § 5, D)]
1 Г П*)
2г.г ^ /(г) —а
где V целое положительное число, равное кратности кор-
корня г = г0 уравнения /(г)—а=0. Так как последователь-
последовательность /п(г) сходится к функции /(г) равномерно, то по-
последовательность /'п- (г) тоже сходится равномерно к / (г)
(ср. главу III, § 3) и следовательно интеграл
1 г
2*/ { и ()
190

при п достаточно большом будет сколь угодно мило отли-
отличаться от предыдущего интеграла. Так как этот интеграл
может иметь только целые и положительные значения
О, 1, 2, 3,..., то он должен равняться предыдущему ин-
интегралу. Но так как уравнение /п(г)—а = 0, внутри
окружности х, может иметь только один корень и притом
простой, то V=1 и следовательно уравнение /{г) — а —О,
внутри окружности *, имеет только простой корень г = г0
и поэтому /Ч^о) Ф 0. Пусть у/ будет окружность такого
круга, лежащего в С, вне которого расположена точка 20,
и пусть на этой окружности функция /(г) не принимает
значения, равного а. Интеграл
_!_ Г Г(*)
2тгг ] /(г)—а
к
должен равняться нулю, так как в противном случае и функ-
функция /п(г) при любом достаточно большом п принимала бы
где-нибудь внутри круга у' значение, равное а; так как
то же самое имеет место и для окружности *, которую
можно взять сколь-угодно близкой к точке г0, то функ-
функция /п (г), при п достаточно большом, принимала бы в
области С не меньше двух раз значение, равное а, что
противоречит условию теоремы. Таким образом, функция
/ (г) нигде, кроме точки г^=г0, не принимает значения,
равного а.
§ 2. Доказательство теоремы Римана о конформном
отображении.
При доказательстве теоремы Римана можно принять
согласно с тем, что было сказано в § 1, что область С
лежит внутри круга | г \ < 1 и содержит начало коорди-
координат. Искомую отображающую функцию /(г) нормируем
условиями /@) = 0, /'@) > 0. Рассмотрим множество 901
всех функций о (г), уоовлетворяющих условиям о @) = 0,
<р'@) > 0 и конформно отображающих область С в какую-
либо однолистную область, принадлежащую единичному
кругу.
Доказательство теоремы Римана мы будем вести двумя
различными способами, из которых первый опирается на
принцип сходимости из главы III, § 6 и быстро ведет
191

к цели. Идея этого доказательства Состоит* ё Том, чтобы
искомую отображающую функцию С ==/(г) характеризо-
характеризовать некоторым максимальным свойством.
Именно, поставим следующую задачу: пусть а будет
произвольно заданная, отличная от нулевой точка области С;
требуется отыскать такую функцию ?(г)=/ (г) нашего
множества функций ЯК, для которой отображенная точка
а=/(а) отстояла бы как можно дальше от нулевой точки
отображенной области. Другими словами, величина
а
= |/(а)| должна быть не меньше такой же величины <р(а)
для всякой другой функции <р (г) множества 9)?. Пользуясь
принципом сходимости, убедимся сперва в том, что эта
максимальная задача имеет решение / (г), а затем при по-
помощи вспомогательной функции, рассмотренной в § 1, до-
докажем, что эта функция /(г) действительно осуществляет
искомое отображение.
Для доказательства существования решения /(г) нашей
максимальной задачи заметим, что множество всех чисел
1?(а)| [?(г) — любая функция множества 9Л] имеет точную
верхнюю границу а; поэтому существует последователь-
последовательность функций <?1 (я), ?2О2)*?з О2) • • •> принадлежащих нашему
множеству функций, для которой
Пт | оп (а) | = а.
П -> оо
Так как все эти функции в области С по модулю меньше
1, то по принципу сходимости можно из последователь-
последовательности этих функций выбрать такую частичную последова-
последовательность Ф^г), Ф2(;г), Фз(г)> •••» которая сходилась бы
к некоторой аналитической функции (,~/(гУ и притом
равномерно в каждой замкнутой области, целиком лежащей
внутри С. Таким образом имеем, что
| /(а) | = Нш | Ф„ (а)
П -> оо
Так как Фя @) = 0 и Ф^@)>0, то наверно и
/ @)^0. Следовательно, предельная функция ^=/(г) не
может быть постоянной (а отлично от нуля) и по послед-
последней лемме § 1 отобразит область С на однолистную
область Н, которая вся принадлежит замкнутому единич-
единичному кругу |С|=^1, а в силу свойства области даже внут-
внутренности этого единичного круга | С| < 1.
192

Если бы /' @) = 0, то окрестность % = 0 не могла бы
отображаться в окрестность С — 0 взаимно однозначным
образом (по главе IV, § 1); поэтому, /'@) > 0 и следо-
следовательно функция /(г) принадлежит тому множеству функ-
функций Ж, которое было выше определено. Таким образом,
функция /(г) дает решение нашей максимальной задачи.
Теперь легко видеть, что эта функция С =/(г) действи-
действительно отображает ^бласть С на полный круг |С|< 1.Если
бы это было не так, то внутри единичного круга | С | < 1
существовала бы точка Р, не принадлежащая отображен-
отображенной области Н, например граничная точка этой области //,
лежащая внутри единичного круга |С | < 1. Для такой точки
Р, расстояние которой от начала пусть будет ^, построим
вспомогательную функцию С* = Ф (С), определенную в § 1,
с заменой I на С, а ~ на 4*. Такая функция отобразит об-
область Н на некоторую область //*, лежащую в круге
|^*|<1, и для всех точек области Н будем иметь неравен-
неравенство
I с* | > к 1-
Функция
С* = ф (С) = 6 (/ (г)) = Г (г)
принадлежит очевидно также нашему классу функций
действительно, она отображает область С на область, при-
принадлежащую единичному кругу, причем Р @) = 0 и Г' @) =
= </ (о) Г (о) > о.
Но если точка С совпадает с а, то для этой функции
имеем
что противоречит тому обстоятельству, что | а | является
наибольшим модулем | ср (а) | для всего нашего множества
функций о (г). Таким образом, предположив, что в единич-
единичном круге | С | < | существует точка Р, не принадлежащая
области Н, приходим к противоречию; следовательно, об-
область Н тождественна с единичным кругом | С | < 1 и тео-
теорема Римана доказана.
Приведенное доказательство получает свою краткость
за счет того, что оно представляет собою чистое доказа-
доказательство существования и не стремится открыть путь для
теоретического построения отображающей функции /(г).
В этом отношении имеет преимущество следующая моди-
13 Зак. 1985. Курант. 193

фикация доказательства, которая ке опирается на принцип
сходимости.
Рассмотрим какую-либо функцию 9 (^)» принадлежащую
к множеству Ш и отображающую область С конформно
на некоторую область //, принадлежащую единичному кругу.
Обозначим через р радиус того наибольшего круга с цент-
центром в нулевой точке, внутренность которого вся принад-
принадлежит Й. Мы утверждаем, что существует последователь-
последовательность функций <рх (г), <?» (г),..., удовлетворяющих усло-
условиям <?п @) = 0, о'п @) > 0 и для которых Нт [п = 11).
П -» оо
Другими словами, область С можно конформно отобразить
на область, сколь-угодно близко аппроксимирующую из-
изнутри единичный круг. Действительно, допустим против-
противное и пусть верхняя граница а всех чисел р меньше 1.
Рассмотрим какую-нибудь область Н, внутри которой рас-
расположен круг радиуса р = ^ — г > 0, где г — достаточно
малое положительное число, которое определим дальше»
В единичном круге должна тогда существовать точка Р,
не принадлежащая Н, расстояние которой от центра круга
равно ^. Обозначим через I комплексную переменную в
области Н и рассмотрим отвечающую точке Р функцию
т = Ь (/) = фа (/), определенную в § 1. Одна • из ветвей
этой функции отображает область Н в область //*, лежа-
лежащую внутри единичного круга плоскости т, причем //*
целиком содержит внутреннюю область круга радиуса
( —з) д (и).
Отображение С на //*, составленное из двух преды-
предыдущих отображений, удовлетворяет двум указанным выше
условиям нормализации. Так как ^ 0х) >1» то г можно
выбрать настолько малым, чтобы было (у—г) ^ (Iх) > 14
что противоречит предположению, что ^ есть верхняя гра-
граница значений р. Таким образом, ц = 1 и существует еле*
довательно последовательность функций срх (г), ср2 (г), .. . >
обладающая указанном свойством2).
1) Эти функции имеют поэтому в окрестности 2 = 0 разложение вида
<Р» (г) = <*1г + . . ., где аг > 0.
2) Вместо того, чтобы доказывать существование последовательности
функций ^\(г), Ч2B)> ?з^)> * * '» отображающих область С на области
Н\9 И*), . . ., сходящиеся к кругу, путем доказательства существования
верхней границы, можно было бы прямо построить такую последова-
последовательность, переходя от каждой области Кч (А^ = С) к последующей
194

рассмотрим отношение
ф
Остается доказать, что при возрастании п функции у
стремятся к искомой отображающей функции. Для этого
)
» эта функция во всей Обла-
Облати К)
сти С регулярна и отлична от нуля. Поэтому, ее модуль
лежит между верхней и нижней границами контурных зна-
значений модуля и следовательно во всей области С
сти
о
П
1_
A)
а значит мы имеем равномерно в области С, что
Нт
оо
%(*)
1;
B)
кроме того, отношение
ным.
Рассмотрим функцию
( .
при
будет веществен-
вещественен
регулярную во всей области (где к обозначает хотя бы
наименьшее из чисел п и т, а другое число считается за-
зависящим от к) и совершим предельный переход к -> оо. Ве-
Вещественная часть функций <оА, в силу B), будет стремиться
к нулю равномерно во всей области С, а в точке 2 = 0
будем иметь, что Нт сол @) = 0. Из теоремы, изложенной
к -> оо
в главе III, § 9 (стр. 99), следует, что в каждой зам-
замкнутой области, принадлежащей С, будет равномерно
Нт сол (г) = 0, т. е. Нт
к -> оо п, т->с
откуда непосред-
непосредственно видно, что
Нт [?, (г) - <?т (г)] = 0.
оо
ПРИ помощи ветви функции ^р Ц). В том, что такая последова-
последовательность областей сходится к единичному кругу, можно убедиться со-
совершенно подобно тому, как это сделано выше.
13*
195

Таким образом, последовательность функпий ?^(г), в
каждой замкнутой области, принадлежащей С, сходится
равномерно к некоторой предельной функции
{(г) = Цщ <?и {г),
оо
для которой /@) = 0, //@)>0. Модуль значений этой
функции / (г) на контуре области С равен 1. Действи-
Действительно, если в неравенствах A) перейдем к пределу при
п—> оо и при постоянном т, то получим
/(г)
(х \ I о
о
Г VI
Так как функция | от {г) | при достаточно большом т
и для достаточно близких к контуру области С значений
х будет сколь угодно мало отличаться от 1, а величина
— будет тоже при т достаточно большом сколь угодно
близка к 1, то отсюда непосредственно вытекает наше
утверждение о контурных значениях / (г). Так как, кроме
того, / @) = 0, то функция /(г) не будет постоянной. По
лемме § 1 имеем следовательно, что функция / (х) отобра-
отображает область С на некоторую однолистную область; от-
откуда в частности следует, что /'(О) должна быть ^> 0, а не
только ^> 0. Эта отображенная область будет вся лежать
внутри единичного круга, так как из | <рп (х) \ <С 1 следует,
что |/0г:)| ^ 1. Так как, по доказанному выше, все точки
контура отображенной области должны лежать на окруж-
окружности единичного круга, то отображенная область совпа-
совпадает с внутренней областью этого круга.
Этим доказана теорема Римана о конформном отобра-
отображении, которую можно формулировать так:
Каждую односвязную область С, за исключением всей
плоскости х и плоскости х> из которой выделена одна
точка, можно взаимно однозначным образом и конформно
отобразить на внутреннюю область единичного "круга
(радиуса 1 с центром в начале) и при том так, чтобы
произвольной точке области С и произвольному направ-
направлению в этой точке соответствовали нулевая точка
единичного круга и направление вещественной положи-
положительной оси в ней.
196

Если желаем эту теорему сформулировать, не упоминая
об исключительных случаях, то следует только заметить,
что за область Г можно было бы принять также и внешнюю
часть круга. Таким образом, можно сказать, что всякую
односвязную область, имеющую хотя бы одну граничную
точку, можно отобразить при помощи некоторой анали-
аналитической функции на область, внешнюю для крута. При
этом отдельную точку надо рассматривать как предельный
случай круга.
§ 3. Теорема однозначности.
Доказав в теореме Римана существование отображающей
функции, убедимся теперь в том, что функция, совершающая
данное отображение, может быть только одна.
Установим поэтому, следующую теорему однозначности:
функция С =/B:), которая конформно отображает одно-
связную область С плоскости х, содержащую точку
у , рщу у
на единичный круг плоскости С так, чшо/@) = 0 и/\0) > 0
определяется этими условиями однозначно. Действительно,
если бы существовали две таких функции С = / (г) и С* = /* (г),
то можно было бы при помощи этих соотношений вы-
выразить С* как аналитическую функцию от 1, например о (С).
Эта функция С* = 9 С*) отображает единичный круг на самого
себя взаимно однозначным образом и удовлетворяет условиям
( и <?')
Надо доказать, что С* = ? (X) = !1. Действительно, функция
в точке С = 0 положительна, нигде внутри единичного
круга не обращается в нуль и на контуре имеет значения,
равные по модулю 1. Но тогда, по принципу максимума и
минимума, модуль функции —? всюду равен 1 и поэтому
функция тождественно равна 1, что и доказывает теорему
однозначности
*) Для уточнения доказательства лучше воспользоваться леммой Шварца
(глава III, § 1, стр. 65), на основании которой имеем
'С
и
ср ('С)
следовательно ~— = 1. Прим. ред.
197

Этой теореме можно дать другое доказательство, которое
дает возможность сформулировать теорему однозначности
существенно более общим образом, а именно, отбрасывая
предаоложение об односвязности области. Для того чтобы
убедиться, что данную область можно только одним спо-
способом отобразить на другую данную область, достаточно
доказать, что отображение области в себя, при поставленных
выше условиях нормализации, должно быть тождественным
отображением. Докажем поэтому следующую теорему. Если
функция/(г),удовлетворяющая условиям/@) = 0,/д0)>0,
конформно и взаимно однозначно отображает лежащую
в конечной части плоскости г и содержащую точку г=0
область С на себя} то /(г) = г.
Для доказательства можно предположить, что /' @) !>1.
Действительно, если бы было /' @) < 1, то надо было бы
только рассматривать вместо /(г) функцию ей обратную.
Заметим далее, что вместе с /х (г)=/(г) все функции
/2 {г) =/(/1 (г))у /3 (г) = /*(/2 (г)),. . . отображают область С на
себя и удовлетворяют условиям/п @) — 0,/п@)>0. Функция
/(г), по условию, в окрестности г = 0 разлагается в ряд
вида
/(г) —ах-\-Ъх-\- . . .,
где V >2, а > 1.
Разложение в ряд функции /п(г) будет очевидно иметь
вид /п (±) = апг -\~ . . . Если бы было а > 1, то при п до-
достаточно большом производная /п@) = ап было бы больше
произвольно заданного числа Л. Пусть М обозначает радиус
такого круга с центром в 2 = 0, внутри которого целиком
лежит вся область С, так что всюду в области С \/п(г) I < М.
Пусть далее р будет радиус такого круга с центром в г = 0,
который весь лежит внутри С. Тогда по главе III, § 2
имеем, что
Так как это неравенство должно иметь место при всяком
л, то а не может быть больше 1, а должно равняться 1.
Таким образом, или
198

или
При втором предположении имеем, что !)
!
• • •
• • 5
В силу неравенств C) главы III, § 2 будем теперь иметь
I/;; (о) | < и -^
ИЛИ
л > Ь ^ — •
"*" р"
Так как правая часть не зависит от п, а это неравенство
должно иметь место при всяком п, то должно быть 6 = 0,
что противоречит предположению ЬфО и следовательно
/(г) должна равняться г.
§ 4. Соответствие между контурами при конформном
отображении.
Соответственно с тем, что граничные точки не причи-
причисляются к области С, мы не принимали в соображение эти
точки при доказательствах § 2, относящихся к конформному
отображению. Покажем теперь, что отображающие функции
устанавливают взаимно однозначное и непрерывное соот-
соответствие между точками контуров двух областей, если только
эти контуры удовлетворяют определенным весьма общим
условиям
В связи с этим ср. указанную на стр. 217 работу Бибербаха (В1е-
Ьегс1асЬ).
2) Само собою разумеется, что контуры двух конформно отображенных
друг на друга областей С и Г соответствуют друг другу в том смысле,
что отображение точки Р, лежащей в С, приближается к контуру ото-
отображенной области Г, ког^а точка Р приближается к контуру области С;
это приближение отображенной точки происходит даже равномерно, т. е.
каждому е ^> 0 будет соответствовать такое, зависящее только от е число
о = о (е), стремящееся к нулю вместе с е, что отображение каждой
точки Р, отстоящей от контура области С на расстоянии, мень-
меньшем чем е, будет находиться от контура отображенной области Г
199

В самом простом и наглядном случае *) имеем следую-
следующую теорему. Пусть область С плоскости х ограничена
простой замкнутой к сочно-гладкой кривой 3 и пусть
функция С = /(г) отображает эту область взаимно одно-
однозначным образом и конфорлшо на такую же область Г
плоскости С. ограниченную контгуром ^. Тогда функция
ч = {(г)устанавливает взаимно однозначное и непрерывное
соответствие между точками контуре в 5 и И.
Эта теорема позволяет опустить сделанное раньше
(глава V, § 2) в вопросе об аналитическом продолже-
продолжении отображающей функции при помощи инверсии в окруж-
окружности или в аналитической кривдй предположение о непре-
непрерывности отображающей функции на контуре. В частности
мы получаем следующую теорему. Всякая функция, ко-
которая отображает односвязную область, ограниченную
дугами аналитических кривых, взаимно однозначным
образом на такую же область, может быть продолжена
через эти дуги.
Для доказательства приведенной выше теоремы доста-
достаточно убедиться, что отображающая функция /{г) равно-
равномерно непрерывна во всей области С (соответственно,
обратная ей функция в Г). Действительно, тогда функцию
на расстоянии, меньшем о. Действительно, если бы это было не
так, то в области С существовала бы такая последовательность точек
Р±, Р<2, Р%,.-., имеющая точки сгущения на контуре области С, для
которой все соответствующие отображенные точки С^, (Зо, С?з»--.
находились бы от контура отображенной области Г на расстояниях^
больших некоторого постоянного положительного числа а. Пользуясь
теоремой Вейерштпасса о существовании точки сгущения и опуская,
если нужно, некоторые точки множеств Рп и (%п, можем принять, что
точки Рп имеют только одну точку сгущения Р, также как и точки ()?г
только одну точку сгущения (). Точка () должна находиться от кон-
контура области Г на расстоянии не меньшем чем ос, т. е. должна быть
внутренней точкой области Г; но при конформнем отображении
окрестности такой точки () должна соответствовать окрестность неко-
некоторой внутренней точки области G, что несовместимо с тем обстоя-
обстоятельством, что точка сгущения Р точек Рп лежит на контуре области С.
В дальнейшем, говоря о „соответствии" между частями двух контуров»
будем подр зумевать под этим, что каждой последовательности точек
первой области, сходящейся к некоторой точке на рассматриваемой
части первого контура, будет соответствовать в другой области такая
последовательность точек, у которой все точки сгущения расположены
на части другого контура и обратно.
*) Дальнейшие рассуждения остаются справедливыми и для конечно-
кратно связных областей, на чем однако мы не хотим останавливаться»
200

{{г) (соответственно, обратную ей функцию) можно одно-
однозначным образом непрерывно продолжить на контур, сопо-
сопоставляя каждой данной точке контура то однозначно опре-
определенное значение функции, которое получается как предел
значений /(г), соответствующих точкам г некоторой по-
последовательности, сходящейся к этой точке контура (этот
предел очевидно не зависит от выбора последовательности
точек г, сходящихся к данной точке контура).
Если бы функция /(г) не была равномерно непрерыв-
непрерывной в С, то в этой области существовала бы такая последо-
I и г и
вательность пар точек хп , гп (п = 1, 2, 3,. . . ., гп ф гп), для
которой
Нт \гп — г'\ = О,
II П
П—>ОО
в то время как расстояние
■"' ЛО-/О1
п 'п ' -' ^ п
остается больше некоторого постоянного положительного
числа а. На основании теоремы Вейерштрасса (опуская,
если нужно, некоторые пары точек) можно считать, что
эти пары точек гп% х)Ъ имеют одну точку сгущения Р,в то
время как отображенные точки ~п, ~п (которые мы обо-
обозначим через Bп, Bп) имеют две точки сгущения С?' и С?',
расстояние между которыми будет не меньше а. Так как
функция /{г) непрерывна в каждой внутренней точке области
С, то точка Р должна лежать на контуре этой области.
Точки (}' и (/' тоже должны лежать на контуре области Г.
В самом деле, если бы, например, точка С?' была рас-
расположена внутри области Г, то в силу непрерывности
обратной функции г = 9 (С) в области Г последовательность
точек гп = ср (С;2) сходилась бы к внутренней точке области
С, тогда как она сходится к точке Ру лежащей на контуре
этой области.
Введем полярные координаты г и й, принимая точку Р
за полюс. Определим для точки Р последовательность
односвязных областей Кг, принадлежащих области С так,
чтобы каждая из них была расположена внутри преды-
предыдущей. Для этого поступим следующим образом. Пусть Ро
будет какая-нибудь определенная точка внутри С (хотя бы
201

точка х = 0); соединим эту точку с точкой Р непрерывной кри-
кривой Ь, лежащей в С (черт. 38). Пусть А будет число, меньшее
расстояния между точками Ро и Р. Кривая Ь, соединяющая
точки Ро и Р, пересечет где-нибудь в последний раз окру-
окружность радиуса г с центром в Р9 если только 0<г<А
От точки пересечения пойдем вдоль этой окружности в обе
стороны до первых точек встречи с контуром *$ области С
и обозначим через Кг ту часть области С, которая огра-
ограничена полученной дугой окружности радиуса г и тем от-
отрезком контура /5, на котором лежит точка Р. Тогда, если
О < гх < г2 < Л, то область Кг будет частью области КГ2%
Если г стремится к нулю, то области Кг будут стремиться
к точке Р. Если г < А будет некоторое заданное положи-
Черт. 39.
тельное число, то точки хп и хп при достаточно большом п
должны быть внутренними точками области Ке.
Пусть Bг и B2 будут две различные точки, заданные
произвольно внутри области Г, которым в области С со-
соответствуют точки Рг и Р2. Соединим точку Bг с точкой
0п, а точку B2 с точкой Bп соответственно кривыми Сп и Сп
(черт. 39), целиком лежащими в области Г и не пересе-
пересекающими друг друга.
Эти кривые можно выбрать так, чтобы кратчайшее расстоя-
расстояние между ними при всяком достаточно большом тг было
бы больше некоторого положительного числа р, которое
зависит только от а (и от положения точек С?', С?", С^, B2)-
Пусть К такое число, что точки Р1 и Р2 расположены
вне области КЕ. Тогда отображения кривых Сп и Сп, при п
достаточно большом и при всяком г, удовлетворяющем не-
неравенствам г <1 г ^. /?, должны пересечь дугу круга, ограни-
ограничивающую область Кг, так как эти отображения соединяют
202

гг
точки гп и хп с точками Р1 и Р2 соответственно. Разность
двух значений функции /(г), соответствующих этим точкам
пересечения гх и г2, будет по модулю больше постоянного
числа C для всех таких дуг. Для точек г1 и г2 следова-
следовательно имеем, что
Р <!/(**)-/(*,)
где интеграл взят по соответствующей дуге окружности
радиуса г. Пользуясь неравенством Шварца х), получим
I/'
или
Интегрируя это неравенство по гот г = г до г = /?, найдем
^ Г Г
тг Г Г
где последний интеграл распространен на всю область Кв.
Так как этот интеграл измеряет площадь той области,
в которую отображена область Кк, то он будет меньше
некоторого постоянного числа (меньше площади всей
области Г) и следовательно величина р1о; — будет тоже
е
меньше некоторого постоянного числа. С«этим результатом
1) „Неравенством Шварца" называется следующее важное неравенство:
если § и Л две вещественные функции, определенные в области С
(одномерной или многомерной) и с// элемент области то
у
Это неравенство получается из того соображения, что при веще-
вещественных параметрах X и [->< однородное квадратичное выражение
+
не может быть отрицательным.
203

несовместно предположение, что Р не стремится к нулю
одновременно с г. Поэтому, каждой последовательности
точек в С, имеющей точку сгущения Р на контуре 5, на-
наверно соответст ует в области Г последовательность точек,
имеющая только одну точку сгущения, притом лежащую
на контуре Ц.
Так Как такое же рассуждение можно провести и для
обратного отображения области Г на область С, то тем
самым доказано, что точки на контурах этих областей нахо-
находятся во взаимно однозначном и непрерывном соответствии.
Только что проведенные рассуждения о соответствии
контуров при конформном отображении внутренних областей
в сущности не связаны с предположением о том, что эти
контуры образованы кусочно-гладкими или простыми кри-
кривыми. Для перехода к общему случаю, припомним сообра-
соображения, изложенные в главе V, § 3 относительно граничных
точек некоторой области.
Каждая достижимая граничная точка, лежащая над точ-
точкой B, была определена непрерывной кривой, которая вся
за исключением ее конца С? расположена внутри области С.
Две различные достижимые граничные точки /?х и К2
обладают таким свойством: если С\ и Со какие-нибудь
две кривые, определяющее эти точки, и Р} соответственно
Р> точки, лежащ. е на этих кривых и удаленные от границ
области меньше чем на Л, где А — произвольно-малое число,
то диаметр ]) всякой непрерывной кривой, соединяющей
точки Рх и Р% и расположенной в С, при достаточно малом
к, не может быть меньше некоторой положительной вели-
величины /, которая не зависит от выбора кривых С] и С2.
Верхнюю точную, границу значений таких величин можно
назвать „расстоянием" между двумя граничными точками 2).
В выводах, полученных выше, существенную роль играло
построение областей Кг1 принадлежащих к точке Р контура.
Аналогичное построен* е можно теперь провести для каждой
достижимой граничной точки области С. Кривая С, опре-
определяющая граничную точку Р, должна где-нибудь, в по-
■*■) Диаметром кривом называется наибольшее из расстояний между
какими-нибудь двумя точками кривой.
-) Заметим, что при нашем определении „расстояние" между двумя
„противоположными" точками на краях какого-нибудь грямоливегного
сечения равно только половине длины пути, соединяющего их вокруг
сечения.
204

следний раз, пересечь окружность круга радиуса г, с центром
в точке Р, если только г достаточна малое число. Из этой
точки пересечения пойдем вдоль окружности в обе стороны
до первых точек встречи с контуром области, что при до-
достаточно малом г должно иметь место, если только Р не
есть изолированная граничная точка 1).
Полученная таким способом дуга круга определяет вполне
область Кг- Все сделанное раньше выводы остаются без
изменения, если области С и Г имеют только достижимые
граничные точки. Таким образом имеем теорему: Если
контуры областей С и Г состоят исключительно из до-
достижимых граничных точек, то при конформно ы ото-
отображении внутренних областей друг на др/га, контуры
этих областей буд;т тоже находиться во взаимно одно-
однозначной и непрерывном соответствии. Теорема о равно-
равномерной непрерывности отображающей функции в каждой
из этих областей тоже остается справедливой. При этом
понятие о непрерывности следует построить на вышепри-
вышеприведенном обобщенном понятии о расстоянии между точками.
Мы не . останавливаемся на теоретико-множественных
исследованиях о недостижимых точках контура ").
Удовольствуемся указанием на примеры, представленные
черт. 2, 3 и 23 (стр. 16 и 126), где недостижимые граничные
точки составляют отрезок 5С, окружность А и соответственно
отрезок 0, 7) ' Эти чертежи показывают нам (на чем по-
подробно останавливаться не будем), что недостижимые гра-
граничные точки могут быть соединены в простейшие, не-
неразложимые уже более сечениями части контура, так на-
называемые „простые концы". Каждая из только что на-
названных линий представляет собой такой простей конец,
который не имеет ни одной, за исключением точки ~^- на
черт. 23, достижимой граничной точки. Тем же методом,
как и для достижимых граничных точек, можно показать,
что простые концы области, при конформном отображении
Этот тривиальный исключительный случай в дальнейшем не рас-
рассматриваем.
2) Ср. СагагкёоЛогу. ОЬег сНе Ве^гепгип^ ет^асЬ 2и5аттепЬап§епс1ег
СеЫе*е, Ма*Ь. Апп. Вс1. 73 A913), стр. 323—370 и Кегёк]Ы6у 1. с.
3. АЬзсЬшИ, § 2.
205

одной области на другую, будут находиться во взаимно-
взаимнооднозначном соответствии с простыми концами отображен-
отображенной области, причем достижимые граничные точки тоже
надо причислять к числу простых концов 1).
Заметим еще в заключение этого параграфа, что теорема
о конформном отображении и теорема о соответствии кон-
контуров решают также вопрос о существовании таких анали-
аналитических функций, Римановы поверхности которых тожде-
тождественны с данной областью С, другими словами, решают
вопрос о существовании таких функций, которые регулярны
всюду в области С, но не могут быть продолжены за эту
область. Действительно, известны такие регулярные в еди-
единичном круге функции, которые не могут быть продолжены
за этот круг, так как в окрестности каждой точки его
контура они принимают сколь угодно большие значения 2).
Если единичный круг отобразить на область С, то эти
аналитические функции перейдут в такие функции, у ко-
которых Риманова поверхность будет тождественна с С.
В самом деле, такая функция в окрестности каждой гранич-
граничной точки области С будет принимать произвольно большое
значения и следовательно эта функция не может быть про-
продолжена за область С
) Простые концы односвязной области С можно как раз определить
при помощи конформного отображения С на круг, рассматривая все
последовательности точек круга, сходящиеся к некоторой точке /? его
контура и называя принадлежащими простому концу точки сгущения всех
соответствующих последовательностей отображениях точек в области С.
оо
2) Такую функцию представляет например степенной ряд "V гп! •
Действительно, такой ряд внутри единичного круга очевидно сходится.
2тр
Если г приближается по радиусу к корню из 1, равному е (/?, д —
целые и не имеют общего делителя,
к бесконечности, так как (\г\ )
у / д
0), то сумма ряда стремится.
со
п\
п:
11=0
оо
п\
оо
Так как корни из 1 на окружности круга лежат повсюду плотно, то и
всякая другая точка этой линии будет особенной.
206

Функция Грина и предельная задача теории
потенциала.
Пусть аналитическая функция {,=/(г) = и-\-ю отобра*
жает конформно на единичный круг плоскости С односвяз-
ную область С плоскости г, содержащую точку
)
ру у о о\
-)-п/0 и ограниченную одной кусочно-гладкой кривой*,
притом так, что /B0) = 0", /' (го)^>О1). Вещественная
часть §(х,у; х0) у0) функции \%/(г) называется тогда функ-
функцией Грина для области С с полюсом лг0, у0. Функция
Грина есть гармоническая функция, которая в окрестности
точки лг0, у0 имеет вид 1$/•+?(*, у; хф у0), где г —
= V (х — х0Уг + (у — у0J и 7 (х, у; х0, у о) — регулярная в окре-
окрестности полюса гармоническая функция. В остальной
части области С функция % будет регулярной гармониче-
гармонической функцией, обращающейся в нуль на контуре. Эти
свойства однозначно определяют функцию Грина, так как
разность двух таких функций на контуре равна нулю*
а внутри контура регулярна и следовательно равна нулю
тождественно.
Таким образом, функцию Грина можно получить через,
решение следующей предельной задачи: требуется найти
такую гармоническую, регулярную в области С функцию
7 С** У\ хо> Уо)> которая на контуре области имеет те же
граничные значения, что и функция—\%г. Функция Грина
получится прибавлением 1§^ г к этой функции. При конформ-
конформном отображении области С на другую такую область С\
функция Грина переходит в функцию Грина для отобра-
отображенной области. Действительно, если функция г=к(г*}
отображает обратно область С* в область С, то нормиро-
нормированная функция Г(г*), отображающая область С* на еди-
единичный круг, получается из функции /(/1B*)) простым
вращением вокруг начала координат; поэтому ^^(-г*)
и 1§^/(Л (г*)) = \%{{г) имеют одинаковые ' вещественные
части.
Функция Грина имеет простое наглядное физическое
значение. Кривые #=соп81: можно рассматривать как
линии уровня некоторого, получающегося следующим обра-
образом, потока: пусть верхняя и нижняя стороны области*
2) В предыдущих параграфах простоты ради мы брали г0 = 0.
20?

С покрыты проводящими слоями, изолированными друг
от друга всюду, кроме контура, и пусть в точке г0 нахо-
находятся на верхней и нижней сторонах области источники
мощностью —2ъ и -(-2^ соответственно, наличием кото-
которых и обусловливается поток. Если же кривые
будем рассматривать как линии тока, то мы получим вихрь,
окружающий точку г0 так, что одна из линий тока совпа-
совпадает с контуром области С.
Подобно тому как из отображающей функции /(^) полу-
получается функция Грина §(х, у; л0, #0), можно, обратно,
зная функцию Грина, составить отображающую функцию;
для этого надо, обозначая через К сопряженную с § гар-
гармоническую функцию, положить /(г) = еа~ ь\ Входящее
в к произвольное постоянное слагаемое должно при этом
быть определено из нормирующего условия /'(^о)^^-
Хотя построение функции Грина равносильно решению
только некоторой специальной предельной задачи, однако
из этого решения можно получить решение самой общей
предельной задачи, т. е. решение следующей задачи: на кон-
контуре области С заданы непрерывные граничные значения
функции; требуется найти так/ю гармоническую функ-
функцию и(х, у), регулярную в С, которая на контуре при-
принимала бы эти значения. Действительно, достаточно
только отобразить область С конформно на единичный
круг, что возможно сделать, если известна отображающая
функция или, что эквивалентно, если известна функция
Грина. При этом, по теореме о соответствии контуров,
значения на контуре перейдут в непрерывные значения
на окружности круга. Зная эти контурные значения,
можно при помощи интеграла Пуассона решить предельную
задачу для круга (ср. главу III, § 10). Построенная таким
способом гармоническая функция, если ее рассматривать,
как функцию, заданную в С, и будет решением и (х% у)
поставленной предельной задачи.
Мимоходом укажем на следующее предложение, доказа-
доказательство которого предоставляем читателю. Функция Грина
для единичного круга имеет вид
> у;
где
208

х0, у0 — Точки. Ёйутрй круга (полюс), точка л%, у1 симмет-
симметричная ей точка относительно контура круга. Интеграл
Пуассона можно представить в виде
и(х „ч А Го
дп
где через <р E) обозначены граничные значения, рассматри-
д
ваемые как функция от длины дуги 5, через -^ произ-
производная по внутренней нормали и точка лг, у описывает окруж-
окружность круга. При конформном отображении на область С
эта формула остается без изменения и дает решение пре-
предо-
дельной задачи для области С, если только там -т"~ будет
непрерывной функцией длины дуги. Наши рассуждения о пре-
предельной задаче естественно наводят на мысль — нельзя ли,
обратно, попытаться получить теорему Римана о конформ-
конформном отображении, доказав сперва существование решения
предельной задачи теории потенциала для области С или же
существование функции Грина. В следующем параграфе
мы покажем вкратце, каким образом это можно сделать,
пользуясь „знакопеременной методой" Шварца.
§ б* Знакопеременная метода Шварца. Свойства
непрерывности отображающих функций.
Докажем сперва следующую лемму. Пусть^С будет одно-
связная область в плоскости 2, ограниченная одной кусочно-
гладкой кривой, С — кусочно-
гладкое сечение этой области,
соединяющее точки Р и О кон-
контура, причем в точках Ри B оно
не касается контура (черт. 40).
Предположим для простоты,
что направления касательных
к контуру области С в точках
Р и B будут непрерывны. Пусть
А и В будут те части контура, Черт. 40.
на которые он разложен точ-
точками Р и B. Предположим далее, что мы можем решить
предельную задачу теории потенциала для области С при
14 Зак. 1985. Курант. 209

непрерывных или кусочно-непрерыЁных 0 граййчных
чениях2).
Если го — гармоническая функция, регулярная в С, имею-
имеющая на дуге А контура значения, равные нулю, а на дуге В —
значения, по модулю не превосходящие некоторого постоян-
постоянного числа М, то существует такое постоянное положи-
положительное число д < 1, зависящее только от геометрической
конфигурации, но не зависящее от выбора граничных зна-
значений го на дуге В и числа М, что на дуге С имеет место
неравенство
го
При доказательстве можно ограничиться предположением,
что Л/=1, так как в противном случае можно было бы
рассматривать функцию -тт. Пусть IV будет такая гармо-
гармоническая функция, регулярная в С, которая на дуге А
обращается в нуль, а на дуге В имеет постоянное значение,
равное 1, и поэтому всюду в области С, а в частности,
во всех внутренних точках кривой С, будет положительной
и меньше 1.
По теореме о максимуме и минимуме всюду в области С
будет — \У^.го^С\У. Наша лемма будет поэтому дока-
доказана, если убедимся в том, что при приближении к гра-
граничным точкам Р или B вдоль кривой С функция В^ стре-
стремится к пределам, меньшим 1. Рассмотрим для этого
систему полярных координат, начало которых расположено
например в точке Р. Угол <? в этой системе будем отсчи-
отсчитывать от того направления на касательной в Р, которое
направлено в сторону дуги А (черт. 40). Каждой точке
контура области С сопоставим соответствующее ей в этой
системе координат значение угла ?, меняющееся непре-
непрерывно от нуля, если мы обходим контур, выходя из точки Р
и двигаясь сперва вдоль дуги А, причем положительный
отсчет угла <? выбираем так, чтобы значения <р при при-
приближении к точке Р со стороны дуги В стремились
к -}— 'пг, а не к —тс. Внутренним точкам С сопоставим такие
1) Ср. примечание к стр. 11.
2) В последнем случае от решения задачи мы требуем, чтобы при
приближении к точкам, где заданная на контуре функция терпит разрыв,
значения решения имели бы точки сгущения, лежащие между двумя пре-
предельными значениями контурной функции в точке разрыва (р. стр.107).
210

значений <?> которые непрерывно йереходят в значений 9
на контуре. Функция. ? будет тогда гармонической, регу-
регулярной во всей области С функцией и ее значения на кон-
контуре будут непрерывными всюду, кроме точки Р, где они
совершают скачок, равный тс. Но тогда гармоническая,
регулярная в С функция Ш — имеет на контуре зна-
значения, непрерывные в точке Р, и равна нулю в этой точкех).
Эта функция непрерывным образом переходит от значений
внутри области к значению на контуре в точке Р, равному
нулю. Так как в окрестности Р угол <? для точек кривой С
отличен от 0 и от тс, то при приближении вдоль кривой С
к точке Р функция И? будет стремиться к такому гранич-
граничному значению, которое лежит между 0 и 1, с исключением
этих границ. Так как то же самое относится и к точке (?,
то функция Ш на кривой С будет всюду оставаться меньше
некоторого положительного числа а, которое меньше 1.
Таким образом, лемма доказана.
„Знакопеременная метода" Шварца позволяет теперь
решить предельную задачу теории потенциала для области К,
составленной из двух таких
областей Си//, для каждой
из которых эта задача уже мо-
может быть решена. Области
Си// предположим односвяз-
ными и ограниченными кусочно-
гладкими кривыми, состоящими
из гладких кусков (черт. 41).
Пусть эти области имеют общую Черт. 41.
односвязную часть, ограничен-
ограниченную дугой контура С и дугой контура //. Область К со-
состоит из всех точек, которые принадлежат хотя бы одной
из областей С или //. Назовем через В дугу контура
области С, лежащую в //, а оставшуюся часть этого
контура обозначим через А; соответствующие дуги контура
области Н обозначим через Си/). Дуги В и С пусть пе-
Укажем здесь на то, что этот искусственный прием позволяет
считать доказанной возможность решения предельной задачи при к у-
с о ч н о-н епрерывных граничных значениях, как только эта воз-
возможность доказана для непрерывных граничных значений. Действительно,
прибавлением функций вышеуказанного типа кусочно-непрерывные гра-
граничные значения можно превратить в непрерывные.
14* 211

ресекаются между собой под углом, отличным от 0 и от #.
Предположим для простоты, что в точках пересечения
Р и B направления касательных к контурам областей С
и Н непрерывны.
Предположим, что вдоль всего контура области К заданы
какие-нибудь непрерывные граничные значения,' меньшие
по абсолютной величине .постоянного числа М. Эти зна-
значения дополним какими нибудь произвольными значениями,
распределенными непрерывно вдоль Дуги В, однако так,
чтобы вдоль всего контура области С граничные значения
были непрерывны и чтобы все эти значения были по
абсолютной величине меньше М. Решая теперь предель-
предельную задачу для области С с этими граничными зна-
значениями, найдем некоторую регулярную гармоническую
функцию щ. Всюду в области С будем иметь, что {и^КМ.
Значения функции щ на дуге С вместе с заданными раньше
значениями на дуге О образуют на контуре области Н
непрерывную граничную функцию, абсолютная величина
которой меньше Л/. Пользуясь этой функцией, решим
предельную задачу для области Н при помощи гармони-
гармонической функции ю19 регулярной в Н; абсолютные значения
этой функции в Н будут тоже меньше М, а значения
функции Ч)х вдоль дуги В будут опять непрерывны. Эти
последние значения вместе с заданными раньше значениями,
распределенными* вдоль дуги А, определяют в области С
новую гармоническую функцию и2. Таким способом мы
составим бесконечную последовательность функций щ, 1)х
и2, ъ2. . .. Мы утверждаем, что последовательности ип и г/„
равномерно сходятся соответственно в областях С и Н
и что предельная функция в области К будет решением
предельной задачи для заданных первоначально значений
на контуре этой области.
Для доказательства обозначим через ю0 первоначально
выбранные значения на дуге В. Функция и2—и1 на
дуге А принимает граничные значения, равные нулю, а на
дуге В — значения, равные ю1 — Vо, т. е. меньшие по абсо-
абсолютной величине числа 2Л/. На основании нашей леммы,
вдоль дуги С будем иметь, что
где ^ обозначает положительную правильную дробь, зави-
зависящую только от геометрической конфигурации. Точно
212

также граничные значения разности ю2 — V^ вдоль кривой О
равняются нулю, а вдоль кривой С равны и2 — щ и сле-
следовательно будут меньше по абсолютному значению
числа 2дМ. Поэтому вдоль кривой В имеем, что
где ^\—другая правильная положительная дробь.
Рассуждая также далее, получаем на дуге С
и соответственно на дуге В
\юп.1 — ьп\<2{чя')пМ.
Обозначая через ^о наибольшее из чисел ц и ^'» пере-
перепишем эти неравенства так:
Но отсюда непосредственно следует равномерная схо-
сходимость последовательности функций ип в области С
и последовательности функций юп в области //, а также
и совпадение обеих предельных функций в общей части
областей Си//. Эта предельная функция следовательно
и будет той гармонической, регулярной в области К функ-
функцией, которая решает предельную задачу.
Мы воспользуемся теперь этой „знакопеременной ме-
методой", причем будем исходить из круговых областей. Так
как предельная задача для круга уже решена при помощи
интеграла Пуассона, то отсюда следует возможность ее
решения для области, образованной двумя частично нале-
налегающими друг на друга кругами1), а также для области,
образованной несколькими кругами (если только три из
окружностей этих кругов не проходят через одну точку
или две из них не касаются друг друга). В частности,
следовательно, доказано существование функции Грина для
каждой из таких областей.
Для построения функции Грина в произвольной одно-
связной области требуется совершить еще один предельный
переход. Мы имеем в виду доказать следующее предло-
1) В главе IV, § 8, был уже получен простым способом этот результат
кругового двуугольнику.
213

жение. Пусть С19 С2, С3,... будет последовательность
односвязных областей, содержащих нулевую точку, лежащих
в данной области С и сходящихся к области С; это значит,
что при любом достаточно большом п каждая точка кон-
контура области Сп находится от контура области С на произ-
произвольно малом расстоянии, т. е., что то же, что любая
точка области С при всех достаточно больших п будет
лежать внутри Сп (и поэтому каждая точка контура области С
находится на произвольно малом расстоянии от контура
области С„). Пусть /п {г) будет функция, равная нулю
при 2 = 0, имеющая в этой точке положительную произ-
производную и отображающая область Сп конформно на еди-
единичный круг плоскости С. При этих условиях, в области С
существует функция
которая отображает эту область на единичный круг
так, что /@) = 0, /' @) > 0.
Эта теорема позволяет утверждать существование ото-
отображающей функции для предельной области С, если
известно существование таких функций для аппроксими-
аппроксимирующих областей. Так как каждую односвязную область С
можно рассматривать как предельную область последова-
последовательности таких областей Сп, каждая из которых лежит
в С и образована конечным числом кругов !), то из этой
теоремы и из существования функции Грина для каждой
такой круговой области вытекает существование отобра-
1) Такие области Сп можно получить так: покроем всю плоскость
сеткой квадратов, стороны которых параллельны координатным осям»
и будем стороны этих квадратов неограниченно делить пополам, так что
будут получаться квадраты со сторонами 1, тт» • • •— Представим
себе, что около каждого из этих квадратов описан круг; за область Сп,
начиная с некоторого п, возьмем наибольшую область, лежащую в С,
содержащую нулевую точку и образованную кругами, соответствующими
квадратам со стороной —. Для того чтобы были выполнены предпо-
2п
ложения, сделанные выше при изложении знакопеременной методы
Шварца, надо подвергнуть эти круги предварительно некоторому пре-
преобразованию подобия (хотя бы р масштабе 1 : 1,1) относительно их
центров.
214

жающей функции, а вместе с тем и функции Грина' также
и для области С.
Доказательству нашей теоремы предпошлем некоторое
более общее предложение. Пусть Сп, С и /„ (г) будут опре-
определенные выше области и функции, тогда каждому произ-
произвольно малому положительному числу к будет соответство-
соответствовать такое, зависящее только от А, но не зависящее от п
и стремящееся к нулю вместе с к число ^(Л), что отобра-
отображенные точки /н (г) каждой точки г области Сп будут нахо-
находиться от окружности единичного круга на расстоянии не
большем чем 2(Д), если точка г находится от контура
области Сп на расстоянии не большем к.
г-плошШь
Черт. 42.
Проведем доказательство, опираясь на изложенное в § 4
о соответствии контуров. Если бы наше утверждение
было неверным, то существовала бы такая последователь-
последовательность точек гп (где *п — точка области Сп), сходящаяся
к некоторой граничной точке Р области С (мы опускаем,
в случае нужды, некоторбш аппроксимирующие области),
что значения функций ^п=/„(гп) лежали бы внутри круга
радиуса р < 1 с центром в нулевой точке плоскости С
(черт. 42). Соединим точку Сл с точкой С = 0 какой-нибудь
непрерывной кривой, лежащей в круге К | < р. Кривая С,
ее отображение в Области Сп, будет соединять точку г
с точкой г = 0
С другой стороны, при каждом достаточно большом п,
можно выбрать в области Сп такую точку гп, которая
настолько близко расположена к контуру области Сп, что
215

соответствующая точка Сп = /п (гп) находится на сколь
угодно малом расстоянии от окружности единичного круга;
например, лежит вне круга
Н-р
4 2
При этом точки гп можно выбрать лежащими настолько
близко к соответствующим точкам г„„ чтобы
Кш («„ — «,',) = О
П-> ОО
и следовательно чтобы последовательность точек Сп сходи-
сходилась к точке Р. Проведем вне круга
такую замкнутую кривую, проходящую через точку гп> ко-
которая окружает точку С = 0. Этой кривой соответствует
в области Сп некоторая кривая С", проходящая через
точку хп и окружающая точку г = 0. Пусть будет Кг опре-
определенная нами в § 4 часть области С, содержащая на
своем контуре точку Р. Кривой /,, при помощи которой
была построена такая область в § 4, здесь может быть
совершенно произвольная кривая, проходящая внутри С
и оканчивающаяся в точке Р. Пусть К™ будет та часть
области К,, которая принадлежит С„, и пусть К такое
положительное постоянное число, что точка 2 = 0 лежит вне
круга КЕ. Точки 2п и 2п будут тогда лежать в К™\ если
только г не меньше некоторой величины е = г (п), которая
стремится к нулю, когда п возраста-ет до бесконечности.
Для всех достаточно больших значений п будем иметь,
что з(п)</?. Если е(л)-^>^/?, то кривые С и С будут
пересекать дугу окружности, ограничивающую К™\ На этой
дуге окружности колебание функции /п (г) будет, следова-
следовательно, больше чем —^—. Тем же способом, как и в § 4,
можно показать, что это противоречит допущению р < 1.
Таким образом, требуемое свойство равномерности дока-
доказано.
216

Из этой теоремы можно следующим образом вывести
указанное выше свойство непрерывности отображающих
функций. Рассмотрим лежащую внутри С наибольшую
область С", содержащую нулевую точку и такую, что все
ее точки находятся от контура области О на расстояниях,
больших некоторого достаточно малого положительного
числа Л. Число к выберем настолько малым, чтобы по-
построенная выше величина о (к) была бы меньше 1. Если т
и п достаточно большие числа, то область С вместе
со своим контуром будет целиком находиться внутри обла-
областей Ст и Сп. Величины | /п (г) | и | /т (г) | на контуре области С
1 () 1$(к)
т п /п () | | /т () | ур
будут находиться между 1 (исключительно) и 1
(включительно). Отношение / . ч нигде в С" не будет
]т )
обращаться в нуль. При пит достаточно больших,
на основании теоремы о максимуме и минимуме, будем
поэтому иметь равномерно во всей области С", что
8ГЛХ
/. (г)
1
цну
величина
Так как к можно выбрать сколь угодно малым, то отсюда
видно, что в каждой замкнутой области, лежащей внутри С,
, , ч будет равномерно стремиться к 1. Сходй-
1т \Х)
мость последовательности функций /п(г) к некоторой пре-
предельной функции /(г), для которой /@) = 0, /' @) > 0
и которая отображает область С на единичный круг, дока-
доказывается дальше так же, как и в § 21).
Вопрос о непрерывной зависимости отображающей функ-
функции от области, имевший решающее значение в последних
рассуждениях, можно исследовать, пользуясь указанными
методами, значительно дальше. Рассмотрим например по-
последовательность областей, полученных от соединения
областей С и С перекладной шириною — (черт. 43) в одну
п
1) Укажем здесь еще на другой метод доказательства свойств непре-
непрерывности, в котором существенную роль играет принцип сходимости,
примененный как к функциям /п (г), так и к функциям им обратным.
Ср. Ь. ЫеЬегЬеску ОЬег е1пеп 5а1:2 Дез Неггп Сага1:пёос1огзг, СоШпдег
ИасЬпсМеп 1913, 5. 552 — 560,
217

область Сд. Будем затем увеличивать число п до беско-
бесконечности. Если точка 2 = 0 расположена внутри С, то по-
последовательность отображающих функций /п(г) будет схо-
сходиться в * области С к функции /(г), которая отображает
область С на единичный круг (причем /@) = 0, / @) > 0).
Черт. 43. Черт. 44.
В области же С функции будут сходиться к постоянной
величине. Доказательство этого, предложения и его обоб-
обобщений предоставляем читателю 1).
§ 7. Теоремы искажения.
С геометрической точки зрения лемму Шварца из главы III,
§ 1, можно сформулировать так: если функция С =/(г), опре-
определенная в круге |г|<С1, конформно отображает этот круг
на некоторую область, целиком лежащую внутри круга
|С|<1 и притом так, что точке 2 = 0 соответствует
точка С = 0, то расстояние отображаемой точки С от точки
С = 0 не больше расстояния отображаемой точки г от точ-
точки г = 0. Равенство этих расстояний имеет место тогда
и только тогда, если отображение состоит из простого
вращения вокруг точки 2 = 0. Это предложение налагает
определенное ограничение на „искажения", получаемые при
конформном отображении, производимом функцией С =/B).
Это ограничение имеет место равномерно для целого класса
функций, причем указанные границы достигаются на самом
деле некоторыми вполне определенными функциями этого
) Полезно проследить этот процесс в явной форме для конформного
отображения кругового двуугольника, изображенного на черт. 44, когда
угловые точки стремятся сблизиться друг с другом,
218

класса1). Обратно, если точки г0 и Со лежат внутри еди-
единичного круга и если | Со | -^ | г01, то существует всегда
функция из нашего класса, которая точку г0 преобразует
в точку Со; это достигается уже подходящими вращением
и преобразованием подобия относительно точки 2 = 0.
Лемма Шварца выражает таким образом то обстоятельство,
что преобразования, принадлежащие к совокупности тех
конформных отображений С =/{г), которые единичный круг
плоскости г преобразуют в область, лежащую внутри еди-
единичного круга плоскости С, оставляя точку г = 0 непо-
неподвижной, могут отобразить данную точку г0 в любую точку
К | 11
круга К | <С 1201 и только в точку такого круга
Черт. 45.
Комбинируя этот результат с общей теоремой Римана,
непосредственно приходим к обобщению, данному Ып-
сЫбРом, которое имеет многочисленные приложения.
Пусть С будет односвязная область в плоскости г и Н—
такая же область в плоскости С (черт. 45). Пусть обе
области содержат точки г = 0 и С = 0 соответственно.
Рассмотрим множество 9К всех функций С —/(г), регуляр-
регулярных в области С, обращающихся в нуль при г = 0 и ото-
отображающих каждую точку области С в некоторую точку
области Н. Представим себе, что в областях С и Я
) Уже представление производных от функции /(г) при помощи
интеграла, в который входят граничные значения /(г) [глава II, § 7, A6)]
показывает, что должны иметь место теоремы, дающие такие ограни-
ограничения. Из этого представления следует, что если контурные значения
ограничены по модулю числом М, то величины |/'(з)|, 9К/' (г), $/'(г)
будут во всякой замкнутой области, лежащей целиком внутри рассма-
рассматриваемой области, ограничены числами, зависящими только от М\
отсюда, в свою очередь, могут быть найдены границы для искажений,
получающихся при отображении такой замкнутой области какой-либо
функцией из нащего множества функций.
219

около точек г = 0 и С = 0 соответственно проведены линии
уровня функций Грина этих областей для нулевых точек, т. е.
проведены такие кривые, которые при отображении областей
С и Яна единичный круг плоскости г (притом так, что
точки г = О и С = 0 переходят в точку I = 0) соответствуют
концентрическим окружностям | г | = сопз! < 1. Через каждую
точку области С и через каждую точку области Н про-
проходит одна и только одна такая линия уровня. Линии
уровня в области Н соответствуют взаимно однозначным
образом линиям уровня в области С, причем соответ-
соответствующие линии уровня отвечают той же самой окружно-
окружности 1^| = сопз!.
Докажем теперь следующую теорему.
Пусть г0 какая-нибудь точка области С и Со — линия
уровня функции Грина, проходящая через эту точку.
Пусть далее Го линия уровня области Н, соответствую-
соответствующая линии Со. Всякая функция ^—/(г), принадлежащая
множеству УI, преобразует точку г0 в такую точку
области Н, которая лежит внутри или на кривой Го.
При заданной линии Со совокупность всех значений,
которые может принимать /(^о), когда точка г0 лежит
где-либо на кривой Со, а / (%) есть произвольная функция
из множества 9Л, совпадает с замкнутой областью,
ограниченной кривой Го.
Доказательство этой теоремы сразу получится, если
мы отобразим область С на единичный круг |^| < 1, так что
точка 2 = 0 переходит в точку г = 0, а область Н отобразим
таким же образом на единичный круг |т|<1. При этом
отображении функция ^=/(г) перейдет в функцию ^ = <р@>
которая все точки круга 11 \ < 1 преобразует в точки
круга | т | < 1 и удовлетворяет условию 9 @) = 0. Прилагая
к этой функции лемму Шварца и перенося содержание
последней на области С и И, легко получаем высказанную
выше теорему.
Из приложений этого „принципа ЫпАе1о}\и укажем на два
особо важных, подробное исследование которых предоста-
предоставляем читателю.
1) Если /(г) регулярная при \г\ < 1 функция и 9?/(г)<а,
где а — постоянное, то при помощи принципа ЬтсЫоРа
можно получить некоторую оценку для |/(^)| в круге |
где 0< р < 1 (неравенство СагаЬНёЛогу).
2) Если функция /(г) регулярна в круге
220

и — 1 ^С *$/B) ^С 1) то, пользуясь принципом ЬшсЫб^а, можнд
Получить формулы C) и D) из главы III, § 9 *).
Из дальнейших приложений укажем еще на применение
этого принципа при доказательствах теорем ЗсЬоНку,
Ьапс1аи и Р1сагсГа. которые будут .даны нами в гла-
главе VII, § 6.
Несколько иного типа будут следующие предложения
искажения, которые в существенных чертах принадлежат
КоеЬе. Пусть в плоскости х расположен единичный круг
(радиуса 1 с центром в начале координат). Пусть С будет
соответствующая однолистная отображенная область в пло-
плоскости С, содержащая точку С = (}. Отображающую функ-
функцию С=/(г) нормируем условиями /@) = 0 и //@)>0.
Предположим даже, что //@) = 1, что очевидно не огра-
ограничивает общности рассуждений. Функция /(г) будет тогда
иметь вид
... A)
При этих условиях2) докажем следующие предложения
искажения. Если г < 1 и \ г \ — г, то имеет место оценка
B)
и для /(г)
отсюда, переходя к пределу Итг=1, видим, что отобра-
отображенная область С всегда содержит круг \ С | < -г. В обеих
Как раз таким способом протекало старое доказательство КоеЬе
в работе, цитированной на стр. 102, примечание 1.
2) Если не брать нормирующего условия /' @) = 1, то в формулу B)
вместо абсолютного множителя искажения \1'(г)\ войдет Отношение
искажений
221

формулах знак равенства имеет меСтд только Для функ-
функции вида
(
(а — вещественное) *).
Формуле B) соответствует для аргумента {'(г) так назы-
называемая „теорема вращения"
< 2 \% \+1. E)
Доказательству этих предложений2) предпошлем следую-
следующую лемму („теорему пЛощадей"). Если положить
+ ^ + Ь + . . ., F)
где, как легко вычислить
а21 и\ —  "з»
При а = 0 эта функция отображает единичный круг на плоскость С,
разрезанную вдоль вещественной положительной оси от точки г = -д-
Если среди функций вида A), подчиненных условию, чтобы они отобра-
отображали единичный круг на однолистную область, искать такую функ-
функцию, которая дает наибольшее или наименьшее искажение, то решение
такой задачи будет дано функцией, удовлетворяющей еще как раз тому
условию, чтобы при некоторых произвольно малых вариациях она
не давала больше однолистного отображения. Это соответствует не-
некоторому общему принципу, относящемуся к учению о тах1та и пи-
тта при добавочных условиях: если эти добавочные условия имеют
форму неравенств, то эти неравенства или не имеют влияния на решение
или решение должно быть таким, чтобы в тех неравенствах, которые
оказывают влияние на решение, имел бы место знак равенства.
2) Предложенное здесь доказательство этих теорем опирается в главней
своей части на работу ^. МеуапНппа: ОЬег сНе зсЬНсЫеп АЪЫ1-
сЬп^еп с!е8 ЕтЬеКзкгехзез (Оеуегз1к1 ау Г1пзка Уе*епзк.-5ос. ГогЬ. Вс1. 62
Аус1. А., №. 7), где указана и дальнейшая литература. Если отказаться
от явного задания границ для |//(^)| и |/(.гI, т. е. удовольствоваться
только тем, что существуют границы, зависящие только от г, то дока-
доказать эти теоремы искажения можно очень просто, опираясь на принцип
сходимости (глава III, § 6). В таком виде КоеЬе впервые высказал эти
теоремы и, использовав одно соображение Сага1:Ьёос1огу, доказал их,
как вспомогательное средство при исследовании общих проблем кон-
конформного отображения. Однако нам в исследованиях следующей главы
не нужно будет пользоваться теоремами искажения КоеЬе. Теорему-
вращения впервые нашел и доказал ВгеЪегЪаск.
222

то
^—^и
G)
Эта теорема, как увидим, выражает то обстоятельство,
что функция -77-т отображает единичный круг . на одно-
одному
листную область В> содержащую внутри себя точку г=оо.
Для доказательства рассмотрим круговое кольцо р < | г | < 1,
где 0 < р < 1. Функция гт~\~% отображает это кольцо
на некоторую область Во плоскости Е, ограниченную,
с одной стороны, контуром области В, с другой стороны,
некоторой кривой
Л + ) (8)
ре'
заданной в функции параметра о, где <«(р, <?) ограничена
при переменных р и <р. Так как уравнение
+ |1|р , (Ф = аг8г 6,),
1 1
изображает эллипс с полуосями 1- | Ъх \ р, и 1^1 |р»
_ *
то площадь Г области, лежащей внутри кривой (8), будет
отличаться от —^ меньше чем на некоторое ограниченное
число, умноженное на р. Площадь области В равна
1 2л ( со со
/
П яа 1
как показывает простое вычисление. Если эту величину
вычтем из -к и заставим потом р стремиться к нулю,
Р
то получим величину площади той части 'плоскости $, ко-
которая расположена вне области В. Так как эта величина
223

может быть отрицательной, то отсюда непосредственно
и получается формула G).
Воспользуемся теперь формулой G) для того, чтобы
получить некоторую оценку для коэффициента а2. Прежде
всего, мы утверждаем, что
(9)
и что знак равенства имеет место только для функции
/\г) == ~т4 ; ТГТ: (а — вещественное).
A\е 2)г
Для доказательства воспользуемся следующим искус-
искусственным приемом. Функция
тоже
~ I ; ,п 2 '
как легко видеть, отображает единичный круг
на однолистную область. Так как эта функция очевидно
равна 1, деленной на некоторую функцию вида A), то
по теореме 'площадей
откуда и получается оценка (9), так как Ьо = — а2*
В силу формулы G) равенство 1^1 = 1 может иметь
место только тогда, когда р2 = Рз = • • • = 0. Следовательно,
а21 = 2 тогда и только тогда, когда
1 1
77~7п — \~ е г (а — вещественное)
или
1
т. е.
224

Исследуем теперь заданную функцию /(г) в какой-нибудь
внутренней точке г0 единичного круга. Так как отобра-
отображение однолистное, то //(г0)^ЬО. Подстановка
т —— т
°
преобразует круг | г| < 1 в круг \\|< 1 и отображает
точку г0 в точку 5 = 0. Имеем
Положим
Функция /* ($) отображает круг ] I \ < 1 на однолистную
область, оставляя нулевую точку неподвижной. По фор-
формуле Тэйлора имеем
/49 =
Таким образом, функция
г0
регулярна в круге |$ | < 1 и удовлетворяет тем условиям,
при которых мы доказали неравенство | а21 -^ 2. Поэтому
имеем, что
Г
В каждой точке круга | г \ = г (г < 1) имеем таким
образом
я поэтому
4г—2г2
1 —г2
< „
1 —г2 '
'(*)
4г
15 Зак. 1985. Курант,
225

Но
откуда
г8'
Интегрируя от 0 до г, получаем
7
и соответственко
1 + г
1—г'
что и доказывает теорему искажения B) и теорему вра-
вращения E).
Формула C) без труда получается из формулы B) при
помощи еще одного интегрирования 1).
В связи с теоремами КоеЬе укажем еще, что получается
группа еще более общих теорем искажения, если отказаться
от предположения однолистности функции /(г) в единичном
круге. Особую роль в этом круге вопросов играет теорема
ВЬсЬ'а, которую приведем без доказательства.
Пусть функция /(г) регулярна при |г|^1 и пусть
@) = 1. Поверхность Римана, на которую функция /(г)
отображает единичный круг плоскости г9 в одном из
своих листов содержит открытую круговую область
радиуса 5, где В — некоторая абсолютная положительная
постоянная. Например теорема верна при В = —.
о
Для того, чтобы доказать левую часть неравенства C), надо инте-
интегрировать в круге | г | <^ 1 по такому пути, который соответствует прямо*
линейному отреаку плоскости С, соединяющему точку С = 0 с ближайшей
к ней точкой кривой, являющейся отображением окружности | г \ = г
в плоскости С.
226

§ 8. Приложения принципа максимума.
Принцип максимума утверждает (гл. III, § 1), что модуль
функции, аналитической в замкнутой области, будет в этой
области меньше постоянного числа М, если значения функ-
функции на контуре ограничены по модулю этим числом. Для
некоторых приложений таких оценок важно наличие воз-
возможности сделать подобный вывод в одном очень общем
случае и тогда, когда о значениях функции на контуре
делаются более слабые предположения, а именно когда
для одной отдельной точки контура отбрасывается требо-
требование регулярности и ограниченности функции. Особенно
просто можно формулировать такую теорему по РЬга^-
теп'у и ЬтсЫбРу х), если за замкнутую область взять
вертикальную „полуполосу", а за исключительную точку
принять бесконечно удаленную точку этой полуполосы,
что, по теореме Римана, всегда возможно сделать при
помощи подходящего преобразования. Имеем тогда сле-
следующую теорему, которая часто встречается в новейших
исследованиях.
Пусть в плоскости комплексной переменной г = х -|- гу
определена неравенствами
(черт. 46) полуполоса Н. Пусть функция /(г) регулярна
в Н и на контуре Н ограничена:
х = хи у>у0
при | х = хъ У>у0 A)
Пусть наконец существуют две такие независящие
от х постоянные величины С и ч, что в Н имеет место
неравенство
тогда внутри области Н тоже будет иметь место не'
равенство
) 5иг ипе ех*епз1оп <Гип рптмре с1а85^^ие с!е Гапа1у8е' е* 8иг ^ие1^ие8
ргорг!ё1е8 <1е8 {опсМопз топо^епез <1ап8 1е УО18ша$ге сГипрот^зШЕиНег*.
Ас1а та1:Ь. 31 A908), стр. 381.
15* 227

Доказательство. При заданном г > б функций
8 (г) = е'"/(г)
будет тоже регулярной в Я. В этой области Н мы очевидно
имеем, что
(г)
\/(г)\ =
где а обозначает наибольшее из чисел хг и х2 . На контуре
области имеем поэтому, что
е с;
а внутри и на контуре будем иметь, что
(ау2)"у = Се""Е2/2
Так как в квадратном выражении — е^2
||
B)
га, при до-
р
статочно большом |#|, первый член является преобладаю-
преобладающим, то независящая от х пра-
правая часть неравенства B) бу-
будет стремиться к нулю, когда у
/1
Х-Х:
Х-Х1
У'-Уо
Черт. 46.
У'-Уо
Черт. 47.
неограниченно возрастает. Таким образом, при достаточно
большом ух, на „поперечном отрезке"
г2, у=ух
будем иметь оценку (черт. 47)
сеад. C)
Так как это неравенство очевидно будет справедливо
и на остальной части контура прямоугольника Х1.<^х^х2,
^и то по принципу максимума неравенство C)
228

будет справедливо всюду внутри этого прямоугольника и
следовательно
/(г) 1 < сееа ег (гМ) < се«а+у\ D)
Так как всякая заданная точка г = х -{- гу полуполосы Н
будет принадлежать прямоугольнику х1 ^ х ^ х2, у0 ^Су <^#1>
если только у± выбрано достаточно большим, то неравен-
неравенство D) будет справедливо во всей полуполосе Н и при-
притом при всяком положительном г. Оставляя г из Н без
изменения и переходя к пределу при е->0, получаем
О
что и доказывает теорему.
Подобный же характер имеет и другое приложение прин-
принципа максимума, теорема НаАатагсРа о трех кругах
Пусть функция /(г) регулярна в круге \ х \ < /? или во всей
плоскости и не равна тождественно нулю. Пусть при
всяком г, где 0 < г < /? (соответственно, при всяком г > О,
если функция целая) М(г) обозначает наибольшее значе-
значение \%\/(г)\ внутри и на контуре круга \г\^г. Тогда
М(г) есть „выпуклая" функция от \%г; т. е. при
О < гг < г2 < г8 (< /?) всегда имеет место неравенство
М(г2) < М(гг) }Оп|г^ + щГь)
Для доказательства положим
Обозначим через Л/7г наибольшее значение М(гк) (^==1,2,3)
функции и(х,у) на окружности радиуса гд. Составим гар-
гармоническую функцию от х и
и (х, у) + (М, - Мь)
где г обозначает | лг —[— гг/ ]. Эта функция на окружности
круга гх имеет значение и(х,у) и наибольшее ее значение
на' этой окружности будет очевидно Мх\ на окружности
круга г3 эта функция имеет значение и (л:, у) -}- М\ — М3
и следовательно наибольшее ее значение будет опять М
229

(—Мъ-\-Мх — Л/3). Наибольшее ее значение на окружно
сти круга | г ] = г2 равно
Прилагая принцип максимума к круговому кольцу, ограни
ченному окружностями г1 и г3, получим следовательно
м
Но это и есть то неравенство Нас1атагс1'а, которое мы
хотели доказать-

ГЛАВА СЕДЬМАЯ.
СПЕЦИАЛЬНЫЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ.
Хотя в теореме Римана о конформном отображении мы
имеем принцип для образования аналитических функций,
а именно: каждой, произвольным образом геометрически
определенной, односвязной, однолистной области мы можем
сопоставить некоторую отображающую функцию, но об этой
функции, за исключением разве лишь ее существования,
мы мало что можем сказать. Но если в качестве области,
в которую переходит при отображении единичный круг
(или, что здесь будет удобнее, верхняя полуплоскость),
выбрать достаточно простые геометрические фигуры, а
именно области, ограниченные прямолинейными отрезками
или дугами окружностей, то получается большой класс
важных специальных отображающих функций, для которых
при помощи принципа симметрии можно вывести ряд их
характерных свойств непосредственно из геометрических
сзойств отображенных областей. Можно даже дать более
или менее явное выражение для таких функций. Настоящая
глава посвящена исследованию этого класса функций.
§ 1. Отображение произвольного многоугольника.
Займемся сперва разысканием явного выражения такой
функции г = <р (С), которая верхнюю полуплоскость С ото-
отображает конформно на внутренность прямолинейного много-
многоугольника, расположенного в плоскости х. Пусть П будет
такой /г-угольник в плоскости х и пусть ах тс, а2тг,
(О < ад. < 2, ак ф 1) будут его углы, так что «,-{-•••-
— п — 2 (черт. 48). Вершинами П пусть будут точки х =
» ч • % ~— Оф*
231

Для того чтобы найти явное выражение отображающей
функции 2 = ® (С), заметим, что наш многоугольник при
параллельном переносе и при вращении переходит в кон-
конгруэнтную фигуру, в то время как, с другой стороны, выра-
жение
остается инвариантным относительно всех пре-
образований вида
<р*
где а, C—произвольные комплексные постоянные (а =7^0),т.е.
-4г> = -х7-, если <?* и <р связаны между собой преобразова-
Черт. 48.
нием такого вида. Обозначим через аи а^.>.ап п точек
вещественной оси плоскости С, которые соответствуют п
вершинам многоугольника ТТ.
Конформное отображение (на
плоскость С) многоугольни-
многоугольника П продолжим по принципу
симметрии в нижнюю полу-
полуплоскость. Зеркальному изо-
изображению многоугольника П
в одной из его сторон соответ-
соответствует переход от верхнейпо-
луплоскости С к нижней полу-
полуплоскости С. Новое зеркальное отражение П в одной из его
сторон приводит дважды перевернутый многоугольник в такое
положение, которое получается из первоначального враще-
вращением и последующим параллельным переносом. Одновре-
Одновременно переходим в плоскости С опять в верхнюю полу-
полуплоскость, т. е. возвращаемся к первоначальным значе-
значениям С Таким образом, четное число инверсий многоуголь-
многоугольника в его сторонах приводит всегда опять к тем же самым
значениям С, в то время как для функции 2 = <р(С) полу-
получается целое линейное преобразование г* = аг -\- р, где
а ф 0 и даже | а | = 1. Но при таком преобразовании выра-
жение ',
остается инвариантным и будет следовательно
однозначной функцией во всей плоскости С. Так как <р' и у"
во всех точках, отличных от С*=а1, С = а2, .»Д = ап, регу-
регулярны и кроме того <?' может обращаться в нуль только
в точках, являющихся отображениями вершин многоугол^'
232

яика, т. е. опять-таки лишь в точках ^ = аи.. ., С = аЛ, то
функция — только в этих точках может иметь особые
точки. Для того чтобы определить природу таких особых
точек, предположим сначала, что эти точки отличны от
точки С === оо и рассмотрим одну из них: С = щ. В точке
= оо функция <р (С) будет тогда регулярной. Докажем, что
С = ак будет простым полюсом функции —, *). Введем для
этого новую переменную * = (* — Ьк)*к. Углу, равному тс,
с вершиною в точке г = О (обе стороны которого, являясь
продолжением одна другой, образуют прямую линию), со-
соответствует тогда угол, равный аАтг, с вершиной в точке
х = Ьк9 т. е. опять угол, равный *, в точке С = ак. Зеркаль-
Зеркальному отражению полуплоскости С в вещественной оси со-
соответствует такое же отражение полуплоскости I и обратно,
так что г будет в окрестности точки * = 0 взаимно одно-
однозначной функцией от С, которая в точке С = ак (в силу
того, что Нт х = Ьь) должна иметь простой (в силу взаим.-
ной однозначности) нуль. Таким образом, в4 окрестности
точки С = аА имеет место разложение вида
где с ф 0; отсюда следует
* ф О).-
Наконец, для -^ будет иметь место равенство
где ^5 (С — ак) обозначает регулярный в точке ак степенной
ряд Аналогичное разложение имеет место для каждой
из остальных точек аъ а2,...ап (которые предполагаем
сперва отличными от со), так что -^ будет однозначная
функция, регулярная всюду в плоскости С, за исключением
Чем еще раз будет доказана однозначность -у .
233

конечного числа полюсов. По теореме из главы V, § 4
эта функция будет рациональной функцией от С и будет
следовательно в силу равенства A) иметь вид 1)
?"(С) г" «!-! , «г-1 , , «„-1
1^ * * * I »»
9 (С) г С —ах С —а2
Отсюда, интегрируя, получаем для искомой отображаю
щей функции многоугольника
6
где с, с' — произвольные комплексные постоянные.
Поставленное выше ограничение, состоящее в том, что
все точки ак предполагаются отличными от точки С = оо,
можно легко устранить при помощи линейного преобра-
преобразования. Преобразуем, например, точку ап в бесконечно
удаленную точку, заменив (, на а„ — у- и соответственно
вводя в интеграле новую переменную ~ соотношением
1= \- ап. Пользуясь равенством ъг -)- . . . 4~ ап == п — 2,
получим:
Г „
а
п
О
/4
_ау1-1/т_яу»-1 ИЗ)
О
Так как г^> (С) предполагается на бесконечности регулярной, то
в окрестности точки С = оо возможно разложение по степеням -у. Если
- « „ ?
будет первый, отличный от нуля член с положительным V, то в -^
Т
от этого члена войдет слагаемое =— . 1 аким образом, отношение -^
обращается на бесконечности в нуль, так что в приведенном выше выра-
жении для —у не нужно добавлять никакой отличной от нуля постоянной.
234

где а1$ а2,...,ап_х означают некоторые постоянные. Заме-
Заменяя т новой переменной а~ -|- Ь (а ф 0)? мы сможем двум
из постоянных а1,'-«,ап~1 придать произвольные, отлич-
отличные друг от друга, значения.
Пользуясь линейным преобразованием, можно перейти
от верхней полуплоскости к единичному кругу, как к ото-
отображенной области. Так например, для отображения пра-
правильного га-угольника плоскости г с центром в точке
2== 0 (тг^-3) на единичный круг получаем функцию
1У
Заметим далее, что так же легко осуществить конформное
отображение области внешней для многоугольника на полу-
полуплоскость или на единичный круг. В качестве примера,
разобрать который также можно предоставить читателю,
укажем на функцию
.-
которая область, внешнюю для квадрата в плоскости г,
отображает конформно на внутреннюю область единичного
круга и при том так, что точке г = со соответствует точка
§ 2. Функции прямолинейного треугольника.
Как первый частный случай конформного отображения
произвольного многоугольника, рассмотрим функцию, ото-
отображающую прямолинейный треугольник. По формуле C)
§ 1 получим отображающую функцию в виде
A)
6
если примем, что 0^ = 0, а2 = 1.
*) Ср. Н. А. Зскшагг. ЦЪег
АЬЬ. Ва. II, стр. 65-83,
АЬЫЫипдзаи^аЬеп. Сев. Ма*Ь.
235

Функцию A) продолжим аналитически, пользуясь прин-
принципом симметрии. Если мы отразим верхнюю полуплос-
полуплоскость С в одном из отрезков 01 или 1 со или оо 0, то тре-
треугольник плоскости г отразится в. соответствующей одному
из этих отрезков стороне треугольника и мы получим
новый треугольник, примыкающий к одной из сторон перво-
первоначального треугольника. Этот двойной треугольник будет
отображаться на всю плоскость С, разрезанную вдоль
некоторой части вещественной оси. Применяя неограничен-
неограниченное число раз принцип симметрии, мы получим поверхность
Римана функции 2 = 2 (С), состоящую из неограниченного
числа листов, покрывающих всю плоскость С и имеющую
в точках 0, 1, со точки разветвления. Покрытие плоско-
плоскости г двойными треугольниками, вообще говоря, не будет
однократным, а, напротив, приводит к многолистной сложно
разветвленной поверхности Римана для функции С = С (г).
Это покрытие плоскости г тогда и только тогда будет
однократным, когда в каждой вершине ряд примыкающих
друг к другу двойных треугольников замкнется, т. е. когда
2ъ будет нацело делиться на величину соответствующего
угла двойного треугольника. Но так как углы двойных
треугольников равны соответственно 2а1тг, 2а2тс, 2сс3тс, то
условие для однократного покрытия плоскости двойными
треугольниками будет состоять в том, чтобы
I 1 I
были бы целыми числами. Так как, кроме того, а1
-|-а3 = 1, то эти числа должны удовлетворять соотноше-
соотношению
- + —+ - = 1. B)
Для теории функций этот вопрос имеет значение потому,
что в случае однократного покрытия плоскости г обрат-
обратная функция С = С (г) будет однозначной во всей плоско-
плоскости г; в противном же случае вершины треугольника и все
происшедшие из них путем отражения точки будуг точ-
точками разветвления конечного или бесконечно большого по-
порядка.
Все случаи, в которых имеет место это взаимно одно-
однозначное соответствие, можно легко получить, исрледуя
236

ДиофантовО уравнение B), в котором по симметрии МЫ
можем предположить, что гх ^ г2 ^ г3. Первое решение будет
гх = г2 = г3 = 3; в каждом из остальных решений одно из этих
чисел, а следовательно и ги должно быть меньше 3. Если
г« = 1, то необходимо чтобы— = 0 и — = 0, что невоз-
1 Ч г3
можно, если г2 и гз целые. Хотя наши рассуждения, при-
приведшие к уравнению B), в этом случае теряют силу, все-
таки мы будем случай г1 = 1, г2 = г3=оо рассматривать
как предельный случай. Этому случаю отвечает отображе-
отображение полуплоскости на такой прямолинейный треугольник,
у которого две вершины лежат в бесконечно удаленной
точке, так что им можно приписать углы 0, 0, в то время
как угол при третьей вершине, лежащей на конечном рас-
расстоянии, равен тт. Такой треугольник представляет собой
бесконечную параллельную полосу.
Если гх = 2, то 1 = тг» т. е. или п> == г3 = 4 или
Г г3 2
— 3* г3 = 6 или, наконец, как предельный случай, г2 = 2,
7^= со. Эти различные случаи представлены в следующей
таблице:
1
2
3
4
5
3
1
2
2
2
3
со
4
3
2
3
ОО
4
6
ОО
В предельном случае B) отображающая функция при над
лежащем выборе обеих постоянных в формуле A) будет
<л
1
7-"»
Г
что совпадает с выводом, полученным в главе IV, § 6.
Предельный случай E) дает отображение на треуголь-
ник, у которого углы равны —, ^-, 0, т. е. на половину
237

ЙОЛосы. Отображающая функция при Надлежащем Выборе
постоянных будет иметь вид
с
о
//A-0 2 '
Эта функция, как легко убедиться простым дифференци-
дифференцированием, будет функция обратная синусу, т. е.
г = агсзш BС — 1) *).
Случаи 1, 3, 4 выводят нас из области элементар-
элементарных функций. В этих случаях имеем отображения полу-
полуплоскости на равносторонний, равнобедренный прямоуголь-
прямоугольный треугольники и на прямоугольный треугольник, полу-
получающийся делением пополам равностороннего треугольника.
Соответствующие отображающие функции при надлежащем
выборе. постоянных будут
/
о
X —
—О
В следующем параграфе мы увидим, что функции, обрат-
обратные этим функциям, будут „двояко-периодические" функции.
Здесь поэтому уместно привести некоторые простые основ-
основные понятия из теории „периодических" функций. Анали-
Аналитическая функция /{г) называется имеющей период со, если
в каждой регулярной точке имеет место равенство
Если при этом со ф 0, то функция /(г) называется периоди-
периодической. Два периода одной и той же функции называются за-
зависимыми, если их отношение вещественно, в противном
случае они называются независимыми. Как можно пока-
показать 2), однозначная аналитическая функция не может иметь
больше двух независимых периодов. Если все периоды
периодической функции зависимы между собой, то функция
называется просто периодической. В этом случае система
!) Свойства конформного отображения в предельных случаях 2 и 5
могут быть непосредственно получены из приведенных формул.
2) См. здесь и для дальнейшего напр. Гурвиц, часть II, гл. 1, § 2.
238

Шеек йерйодов будет системой всех Целых кра*нкк оДноГб
из них. Если функция /(г) имеет два независимых между
собой периода, то она называется двоякопериодической.
В этом случае могут быть определены (бесконечным чис-
числом способов) два „основных периода" с^ и ш2 так, что все
периоды будут представляться числами
7М2ОJ,
где т1 и т2 — целые числа. Каждый паралеллограмм, вер-
вершины которого лежат в точках м, н + а^, иЦ-ш1-\-^2}
ц-}-аJ, где и — какое-либо комплексное число, называется
параллелограммом периодов функции /(г).
§ 3. Отображение прямоугольника. Эллиптические
функции.
Следующим частным случаем отображения многоуголь-
многоугольника будет конформное отображение прямоугольника пло-
плоскости г на верхнюю полуплоскость С.
Предположим, что вершины прямоугольника лежат в точках
Ш1
(черт. 49), где о^ и <о2 — произ-
произвольные, вещественные поло-
жительные числа. Мы хотим
этот прямоугольник отобра-
отобразить на верхнюю полупло-
полуплоскость С так, чтобы точке 2=0
соответствовала бы точка
ц» = и и точке г = ~ соответ-
ствовала бы точка С = 1. Нормируем наше отображение так,
чтобы точка г — ^ перешла бы в точку С = — 1. Для
этого отобразим правую половину нашего прямоугольника,
лежащую в квадранте 9Ь > 0, $г > 0, на четверть плоско-
плоскости С, §ЯС>0, ЗС>0, так, чтобы точки г = 0 и С == 0, 2 = -тр
и С■■== 1, г ~ г«J и ^ = оо соответствовали бы друг другу.
При помощи отражения в мнимых осях получим отображе*
239

йие йолйоГб ^етырёхугблЬника йа верхнюю пблуплоскость*
0),
При этом вершина г = -~- -|- гю2 перейдет в некоторую точку
вещественной оси С, расположенную справа от 1, например
в точку С = — @ < х < 1). Точка г = — тг ~Ь г#С02 перейдет
х 2
тогда в симметричную относительно мнимой оси точку
С= . Искомая отображающая функция, по формуле B)
§ 1, будет тогда иметь вид:
г
/
г = с
где с — некоторая вещественная постоянная, или, если опять
обозначить *с через с,
Если принять, что при / = 0 корень имеет знак -\-, то
постоянная с будет этим вполне определена и притом будет
положительной. Этот интеграл называется интегралом
Лежандра первого рода.
Величина х определяется отношением сторон
Ч } ^ B)
-/2) A-х
половины прямоугольника, тогда как величина с характери-
характеризует абсолютную величину прямоугольника.
Если, обратно, мы можем распоряжаться двумя вещест-
вещественными положительными числами с и х < 1, то при по-
помощи выражения вида A) мы можем осуществить конформ-
конформное отображение верхней полуплоскости на любой прямо-
прямоугольник полуплоскости г, расположенный как указано
зыше. Действительно, если х изменяется между 0 и 1, то
240

МброП, определяемое формулами B),
от 0 до оо, тогда как значением с определяется величина
прямоугольника.
Для того чтобы ближе выяснить общий ход изменения
аналитической функции, заданной выражением A), приме-
применим принцип симметрии.
Обозначим, как на черт. 50, стороны прямоугольника
через 1, II, 111, IV, а соответствующие им отрезки ве-
вещественной оси плоскости С через Г, 1Г, ИГ, IV. Отра-
Отразим сперва прямоугольник
в отрезке I. Тогда мы по-
получим в плоскости г два кон-
конгруэнтных прямоугольника,
соприкасающихся друг с дру-
другом вдоль стороны I, а в пло-
плоскости С получим полные
верхнюю и нижнюю полу-
полуплоскости, примыкающие
друг к другу вдоль отрезка Г.
Если, с другой стороны, мы
отразим прямоугольник в его
IV
№
/У
ш п
///
11
ш "
, / "
1У
III
ш "
, "
л
III
1
Черт. 50.
сторонах II, III или IV, то получим каждый раз новый пря-
прямоугольник, соединенный с первоначальном вдоль сто-
стороны И, III или IV соответственно. При этом над плоскостью С
получим три нижние полуплоскости, соединенные с верх-
верхней полуплоскостью соответственно вдоль сторон 1Г, ИГ
или IV7. Будем теперь новые прямоугольники отражать
далее в их свободных сторонах и будем так продолжать
до бесконечности, пока вся плоскость г не окажется без
пропусков и при том ровно один раз покрыта этими
прямоугольниками. В плоскости С будет соответственно
получаться бесконечно много новых верхних и нижних
полуплоскостей, соединенных вдоль одного из отрезков
Г, II , ИГ или IV'. Точки С образуют поэтому бесконечно
многолистную поверхность Римана Р\ которая разветвляется
над точками — 1, =Ь— (но не так, как поверхность для
логарифма, ибо здесь бесконечно много точек разветвле-
разветвления первого порядка расположено друг над другом). Проще
всего представить способ соединения листов поверхности,
если рассматривать фигуру, образованную прямоугольни-
прямоугольниками. Двум каким-нибудь прямоугольникам, имеющим общую
16 Зак. 1985. Курант. 241

бтбройу, соответствует полный экземпляр Плоскости С. Если
прямоугольник отражен в одной из его сторон и если при
этом точка гг перешла в точку г2, то соответствующие этим
точкам значения функции будут комплексными сопряженными
величинами. Но геометрически очевидно, что какая-нибудь
точка г0 может перейти сама в себя после некоторого числа
последовательных отражений только тогда, когда число этих
отражений четное. Таким образом, функция С (г) будет
однозначной во всей плоскости х 1). Если прямоугольник/?
отразим два раза в одном и том же направлении, напри-
например в направлении вещественной положительной оси, то
получим такой новый прямоугольник /?ь который может
быть получен из прямоугольника К также параллельным
переносом на величину 2ю1# Точно также двукратному отра-
отражению прямоугольника в направлении положительной мни-
мнимой оси соответствует параллельный перенос его точек на
величину 2г^2« В плоскости С при таком двукратном отра-
отражении мы получаем опять прежние значения. Таким обра-
образом, для обратной функции С (г) должны иметь мерто
равенства
С (г + 2^) ==:(* + 2ш2г) = С (*)
или вообще
С (г + 2кх*\ + 2Л2а>а9 = С (г) (к19 к2 = 0, ± 1, ± 2,.. .).
Как видим, обратная функция С (г) будет следовательно
во всей плоскости г однозначная двоякопериодическая
функция с периодами 2о)х и 2<о2*#- Таким путел! мы получили
простейший наглядный пример „эллиптической функции",
т. е. двоякопериодической мероморфной функции *)•
Таким же способом можно исследовать функции, указан-
указанные в предыдущем параграфе, построив из треугольников
прямоугольники или параллелограммы.
§ 4» Модулярные и автоморфяые функции.
Перейдем теперь к изучению конформного отображения
верхней полуплоскости на простейшие после прямолинейных
многоугольников области, а именно на круговые многоуголь-
См. соответствующие рассуждения в § 2 (стр. 236).
2) Здесь следует подчеркнуть, что в этой главе говорится только о част-
частных случаях эллиптических функций и что в общем случае, при произволь-
произвольном параллелограмме периодов, эллиптические функции не производят
конформного отображения на полуплоскость*
242

пики, т. 6. йа многоугольники, образованные дугами окруж-
окружностей. Случай двуугольника, образованного какими дугами,
был рассмотрен в главе IV, § 8. Следующая по простоте
фигура такого рода будет треугольник, образованный ду-
дугами окружностей, причем простейшим случаем такого тре-
треугольника является в свою очередь равносторонний тре-
треугольник, все углы которого равны нулю.
Пусть такой треугольник С лежит внутри единичного
круга плоскости г (черт» 51). Теорема Римана о конформ-
конформном отображении утверждает, что суще-
существует такая, определенная внутри об-
области С аналитическая функция С =/ (я),
которая эту область отображает на верх-
верхнюю полуплоскость С и при том так, что
вершины треугольника С переходят в три
точки 0, 1, сю вещественной оси.
Не зная явного выражения этой функ-
функции, мы можем, пользуясь принципом сим-
симметрии, почти непосредственно вывести
геометрическим путем ее существенные Черт. 1.
свойства.
Обозначим через I, II, III три стороны треугольника, а их
отображения на вещественную ось обозначим соответственно
через Г, II', III'. Если верхнюю полуплоскость С мы от-
отразим в одном из прямолинейных отрезков Г, 1Г, ПГ, то
мы получим нижнюю полуплоскость, соединенную с верхней
вдоль этого отрезка. Отражая же треугольник С в соответ-
соответствующей стороне, мы получим примыкающий к нему дру-
другой треугольник, составленный дугами окружностей, у ко-
которого углы также будут равны нулю. Этот отображенный
треугольник не будет уже равносторонним, но будет опять
вписан в тот же единичный круг плоскости *, что и перво-
первоначальный треугольник. Действительно, окружность еди-
единичного круга пересекает ортогонально ту окружность,
относительно которой совершается инверсия треугольника;
при инверсии она должна, поэтому, перейти в такую окруж-
окружность, которая пересекает в тех же точках и при том
ортогонально окружность, в которой совершается инверсия
т. е. должна перейти в себя.. Поступая так же далее, т. е.
отражая каждый полученный криволинейный треугольник
плоскости х в его свободных сторонах и аналогично при-
присоединяя одна к другой в плоскости соответствующие
16* 243

йёрхнйе и ншййиё пблупЛоскости, Мы придём, й оДной
роны, к поверхности Римана над плоскостью С, имеющей
бесконечно много листов, и точки разветвления 0, 1, оо;
с другой же стороны получим в плоскости г „модулярную
фигуру", т. е. сеть, образованную бесконечным числом
круговых треугольников, имеющих нулевые углы и впи-
вписанных в единичный круг. Все стороны этих треугольников
ортогональны к окружности единичного круга, а сами эти
треугольники заполняют весь единичный круг, сгущаясь
к каждой точке окружности этого круга.
Последнее геометрическое свойство, наглядно видное из
чертежа, докажем следующим образом. Процесс отражения
в сторонах треугольников будем совершать таким образом,
чтобы при этом всегда сохранялась полная симметрия.
Отразив сперва С одновременно во всех его трех сторонах,
Мы получим вписанный круговой шестиугольник с нуле-
нулевыми углами. Отразив этот шестиугольник в каждой из
его шести внешних сторон, мы получим вписанный в тот
же единичный круг 30-угольник с нулевыми углами и т. д.
Покажем, что окружность единичного круга будет повсюду
плотно покрыта вершинами этих многоугольников. Действи-
Действительно, ебли •/ будет такая дуга окружности единичного
круга, на которой нет вершин наших многоугольников, то
должна существовать бесконечная последовательность таких
дуг окружностей, ортогональных к окружности единичного
круга, что каждая из них объемлет последующую и каждая опи-
опирается (в виде свода) на дугу, часть которой составляет дуга •/.
Эта последовательность дуг должна сходиться к некоторой
дуге окружности, которая тоже опирается на ч или на дугу,
содержащую 7* и вместе с дугой К или вместе с некоторой
большей дугой окружности единичного круга ограничивает
область С*, свободную от наших треугольников. Однако
это невозможно, так как, отражая первоначальный тре-
треугольник или некоторый другой треугольник в одной из
тех ортогональных окружностей, которые достаточно близко
аппроксимируют границу области С*, мы наверно попадем
во внутренность этой области. С другой стороны, вписан-
вписанный /г-угольник с нулевыми углами заполняет при п доста-
достаточно большом сколь угодно полно внутреннюю область
единичного круга, если вершины этого /г-угольника при
возрастании п лежат достаточно плотно.
Таким образом, согласно принципу симметрии, функция
244

отображает конформно всю внутреннюю область единичного
круга плоскости г на описанную выше поверхность Римана.
Двум треугольникам, имеющим общую сторону, соответ-
соответствует при этом всегда целый лист, покрывающий плоскость С.
Функция С (г) принимает следовательно внутри единичного
круга каждое значение, кроме 0, 1, оо, бесконечное число
раз, а самые эти значения не принимает нигде. Все точки
окружности единичного круга будут особыми точками функ-
функции С (г). Действительно, в окрестности каждой такой точки
происходит сгущение круговых треугольников и следова-
следовательно в произвольной близости каждой граничной точки
функция принимает бесконечное число раз всякое значение,
кроме 0, 1, оо, что конечно невозможно, в окрестности
регулярной точки. Окружность единичного круга будет
следовательно особой линией функции С (г), через которую
эта функция никаким способом не может быть продолжена.
Окружность единичного круга будет „естественной гра-
границей" функции С (г).
К обозначениям, установившимся в историческом раз-
развитии теории эллиптических функций, мы придем, отобра-
отображая единичный круг плоскости г на верхнюю полуплоскость
новой переменной т таким образом, чтобы вершины нашего
исходного треугольника С, соответствующие точкам 0,1, оо
вещественной оси плоскости С переходили бы в точки / оо, 0,1
плоскости т, т. е. так, чтобы отображением области С была
бы область, изображенная на черт. 52. Функцию, которая
эту область отображает на верхнюю полуплоскость С, обо-
обозначим через у-2 (т).
Треугольник с нулевыми углами, изображенный на черт. 52,
разделим его „высотами" на 6 треугольников (черт. 53).
За основную область, которую надо отобразить на верхнюю
полуплоскость С, выберем густо заштрихованную область *),
8"
у которой угол в вершине т = е равен т>, в вершине
т == 1 —|— ж равен 7} и наконец в третьей, бесконечно удален
ной вершине равен нулю. Функция, которая так отобра-
отображает эту область на верхнюю полуплоскость С, что ука-
Две другие заштрихованные на чертеже области получаются из
первой двукратным отображением в дуге.
245

занные вершины переходят соответственно в точки 0, 1, оо
вещественной оси плоскости С обозначается в литературе
через / (т).
Из того обстоятельства, что основная область черт. 53
получается делением на 6 частей области черт. 52, можно
вывести, на чем подробнее не останавливаемся, что между
функциями х2(т) и У(т) существует .зависимость,, которая
функцию У (?) выражает как рациональную функцию шестой
степени от х2. Эта зависимость имеет вид
4
Обе функции У и *2 принадлежат к так называемым „мо-
„модулярным функциям". По аналогии с этим названием бу-
/оэ/
Т-ЛЛОСНОСТд
г-ллосю
Черт, 52.
Черт. 53.
дем впредь называть поверхность Римана, лежащую над
плоскостью С и определенную на стр. 241, кратко называть
„модулярной поверхностью".
Важнейшие свойства модулярных функций получаются
прямо из геометрических соображений. Четному числу от-
отражений в вещественной оси верхней полуплоскости У,
соответственно х2, после которых получаются, следова-
следовательно, первоначальные значения, соответствует опреде-
определенное линейное преобразование переменной т. Это обстоя-
обстоятельство выражают словами так: модулярные функции до-
245

пускают линейные преобразования в самих себя. Все лиг
нейиые преобразования модулярной функции в самое себя
получатся, если составить всевозможные композиции из
четного числа инверсий нашей треугольной фигуры. Мно-
Множество этих преобразований образует группу. Группой
преобразований называется при этом совокупность преобра-
преобразований, которая содержит вместе' с каждым преобразо-
преобразованием и обратное ему и которая обладает тем свойством,
что всякое преобразование, составленное из двух преобра-
преобразований совокупности, будет тоже преобразованием, при-
принадлежащим данной совокупности 1).
Такие однозначные функции одной переменной, которые
не изменяются для некоторой группы линейных преобра-
преобразований этой переменной, называются автоморфнычи функ-
функциями.
После эллиптических функций модулярные функции
представляют собой простейший не элементарный пример
функций, принадлежащих к этому важному для более тон-
тонких отделов теории функций классу.
Подобным же образом можно получить и другие авто-
морфцые функции) исходя из рассмотрения произволь-
произвольных криволинейных многоугольников, образованных ду-
дугами окружностей. Рассмотрим такой криволинейный много-
многоугольник, лежащий за исключением разве лишь его верший
целиком внутри единичного круга плоскости г. Вершины
этого многоугольника пусть лежат или на окружности
единичного круга или же внутри его, а все п сторон
1) Представим себе, что фигура, например, на черт. 53 отражением
в ее сторонах продолжена на всю верхнюю полуплоскость т. Можно
убедиться, что полученное разбиение полуплоскости при подстановке
т' = т -(-1 или х' = переходит само в себя. Эти подстановки являются
х
частными случаями так называемых „модулярных подстановок", которые
имеют вид:
(а, р, ?, & — Целые числа и ао — ^ = 1).
Здесь мы не можем останавливаться на доказательстве Того факта, что
вое модулярные подстановки могут быть получены путем повторной
Композиции из двух выше указанных.
По теории модулярных функций следует особо указать на сочинение
КШп шк1 Рпске, Уог1езипуеп йЬег сНе ТЬеоНе с1ег еШрЦзсЬеп Мос1и1-
{кЦя B В<*е„ Ъе\рг1$ 1890 ипс! 1892).
247

многоугольника, сами или после продолжения, пусть
пересекают эту окружность ортогонально. Внутреннюю
область С многоугольника представим теперь себе ото-
отображенной при помощи функции С (г) опять на верхнюю
полуплоскость С, причем п его вершинам будут соответ-
соответствовать п определенных точек на вещественной оси
плоскости С. Так же, как и выше при модулярных функ-
функциях, можно эту функцию аналитически продолжить путем
последовательной инвер-
инверсии многоугольника в его
сторонах и соответствен-
соответственно путем отражения полу-
полуплоскости С в ограничи-
ограничивающих ее отрезках ве-
вещественной оси; при этом
над плоскостью С мы по-
получим поверхность Рима-
на, состоящую из беско-
бесконечного числа листов, а в
плоскости г будут примы-
примыкать друг к другу беско-
бесконечно много круговых
многоугольников, соответ-
Черт. 54.
ствующих полуплоскостям
Римановой поверхности.
На том же основании, что
и выше, все стороны этих многоугольников будут ортого-
ортогональны к окружности единичного круга. Последняя есть
„ортогональная окружность" для функции.
Позаботимся теперь о том, чтобы полученная нами
фигура, образованная круговыми многоугольниками, по-
покрывала бы ровно один раз внутреннюю область еди-
единичного круга и при том так, чтобы около каждой
вершины, лежащей внутри этого круга, находилось бы
четное число многоугольников; для этой цели надо при-
принять углы при вершинах основного га-угольника равными
7Г 7Г ТС
—,—,...,-, где гг, г2, ..., гп — целые положительные числа
или оо. На черт. 54 изображен пример для случая п = 3,
гх = 2, г2 = 7, г3 = 3. Можно элементарным геометрическим
рассуждением доказать, что при этом условии полученные
нами многоугольники будут покрывать ровно один раз и
248

без дыр всю внутренность единичного круга, причем они
будут сгущаться к каждой граничной точке этого „предель-
„предельного круга". Это доказательство мы здесь опускаем* Легко
видеть, что определенная таким образом функция С (г}
будет опять однозначной автоморфной функцией от 2.
Действительно, каждый обход вокруг общей вершины мно-
многоугольников в плоскости г эквивалентен четному числу
инверсий; каждой же двукратной инверсии соответствует воз-
возвращение к первоначальным значениям С. Далее, двукратная
инверсия в плоскости г приводит к некоторому линейному
преобразованию вида
и таким образом будем иметь, что
С (*') = С (г).
Таким образом Для функции С (г), так же как и для моду-
модулярной функции, существует группа линейных преобразо-
преобразований, при которых функция не меняется. Мы не можем
здесь останавливаться на более детальном изучении этих
функций, для чего потребовалось бы знакомство со свой-
свойствами геометрически заданной группы преобразований.
Читатель найдет полное изложение этого вопроса в моно-
монографии Рг1ске-К1е1п'а. „УогЬзип&еп йЬегсНе ТЬеопе с!ег
аиЪэтогрЬеп РипкИопеп" 1).
§ 5. Теорема Пикара.
На существовании модулярных функций основано дока-
доказательство теоремы Пикара, далее приводимое.
Эта теорема, представляющая некоторое уточнение изло-
изложенной в главе IV § 1 теоремы Вейерштрасса, говорит,
что всякая целая функция-) не являющаяся постоянной,
принимает любое заданное наперед конечное значение,
за исключением, быть может, одного.
) 2 Вс1е., Ье1р21& 1897 ипс! 1912. Также следует указать на ориги-
оригинальные работы Н. Рогпсагё и Р? К1ет (Рогпсагё, Оеиугез, уо1. 2; К1егп,
Оез. та!Ь. АЬЬ, В4. 3). В главе IX нам придется еще рассматривать
эти функции,
249

Из примера показательной функции видно, что такое
исключение возможно, так как показательная функция
нигде не обращается в нуль.
Для доказательства теоремы Пикара предположим, что
целая трансцендентная 1) функция С(з) не принимает двух
различных значений, хотя бы в = аиС=Ь. Тогда §($)==
= -тМ будет целой трансцендентной функцией, кото-
рая не принимает значений 0 и 1. Так как С($), будучи
целой функцией, регулярна всюду в конечной части пло-
плоскости, то функция §(з) не принимает и значения равного
оо. Пусть С = к2 (х) = т (г) будет модулярная функция, кото-
которая определена в предыдущем параграфе и которая ото-
отображает единичный круг плоскости г на модулярную по-
поверхность над плоскостью С. Рассмотрим бесконечно мно-
многозначную обратную функцию г (С). Если 50—какая-нибудь
конечная точка, то, как мы видели, § (з0) будет отлично
от 0, 1 и оо. функция г (С) будет поэтому в точке
регулярна, хотя и бесконечно многозначна.
Представим себе, что в окрестности точки 0
выбрана какая-нибудь однозначная ветвь функции г (С), и
сопоставим значения С из этой окрестности точкам окрест-
окрестности 5 = 50, при помощи функции С = § (з). Полученный
таким способом элемент функции Т(з) = г(§($)) можно ана-
аналитически продолжить вдоль всякого лежащего на конеч-
конечном расстоянии пути, выходящего из точки $0, так как
целая функция #($) не принимает значений 0, 1, оо. Вместе
с тем видно, что функция Т ($), полученная всевозмож-
всевозможными аналитическими продолжениями, в каждой конечной
точке 5 равна одному из бесконечного числа значе-
значений г(§{з)).
По теореме монодромии (глава V, § 1) функция Т(з)
в окрестности каждой конечной точки будет однозначной.
Функция Т(з) должна быть, следовательно, опять целой
функцией. Так как все значения Т(з) = г(§(з)) будут лежать
в единичном круге |Г[<;1, то эта функция, по теореме
Лиувилля (глава III, § 2), должна быть постоянной, что
Целая рациональная функция, по основной теореме алгебры, при-
принимает каждое значение.
250

очевидно возможно только тогда, если значение $
будет постоянным* Таким образом теорема Пикара дока-
доказана *)•
§ 6. Другое доказательство теоремы Пикара.
Теоремы Шоттки и Ландау;
Важными выводами из существования модулярных функ-
функций являются? также теоремы Шоттки EсЬо11ку) и
Ландау (Ьапс1аи), из которых, между прочим, снова
может быть получена теорема Пикара.
Теорема Шоттки относится к классу теорем искажения,
изложенных в главе VI, § 7. Эта теорема формулируется
так:
Множество всех функций (*=/(г), регулярных. в круге
\г\ < /?, которые в этом круге не принимают значений
О и 1 и имеют, в нулевой точке, заданное значение Со,
будет равномерно ограничено в своей совокупности в каж-
каждом круве \з\ < /?х < К.
Пусть I = I (С) будет обратная функция для модулярной
функции С = т (I), определенной в § 4. Как и в § 5, сопо-
сопоставим сперва с нулевой точкой плоскости х какое-нибудь
одно из бесконечно большого числа значений *(С0) и по-
построим затем при помощи аналитического продолжения
функцию вида ТB) = 1(/B)), Так как функция /(г) нигде
в круге \г\ < /? не принимает значений 0, 1, со, то анали-
аналитическое продолжение возможно вдоль всякого пути, рас-
расположенного целиком внутри круга \г\ < К. Полученные
таким образом значения функции Т(г), соответствующие
точкам этого круга, лежат внутри единичного круга. Из
теоремы монодромии сразу следует, что функция Т(г)
В этом доказательстве мы пользовались только следующими свой-
свойствами функции х (С):
1) Существует отличная от 0, 1, оо точка Со» в окрестности которой
функция г (С) однозначна и регулярна.
2) Если из точки Со провести какой-нибудь путь, который минует
точки 0, 1, оо, то вдоль такого пути функцию х (С) можно неограниченно
продолжать; в частности, следовательно, каждая ветвь функции г (С)
будет регулярной и однозначной в окрестности каждой точки, которой
при продолжении можно достигнуть.
3) Значения, принимаемые функцией х (С), лежат в такой области
плоскости х% которая часть плоскости оставляет непокрытой,
4) Функция х (С) не равна постоянной,
251

однозначна в круге \г\ < /?. Принцип ЬшсЫбРа (глава VI,
§ 7) утверждает теперь, что если задано число Со, а также
выбранное в соответствии с ним значение ^('-о)^ то для
каждого круга [г]^/?! существует такая, вполне опре-
определенная, замкнутая область Ни содержащая точку ^(Со) и
внутренняя по отношению к единичному кругу, что для всех
допускаемых функций/(г) отображения Т{г) всех точек круга
|г|^#1 будут лежать в Н^ при этом предполагается еще,
что построение функции Т(г) = I (/(г)) всякий раз совер-
совершается при помощи одного и того же начального значения
7*@) = ^(С0). Точки С —т@» соответствующие точкам г из
области Ни образуют в плоскости С такую замкнутую
область, которая не содержит точек 0, 1, оо и, следова-
следовательно, ограничена. С другой стороны, эти точки пред-
представляют как раз множество тех значений С, в которые
отображаются точки круга |г| <!/?!, функцией С=/(г) не-
независимо от специального выбора этой функции. Таким
образом теорема Шоттки доказана.
Из этой теоремы сделаем некоторые важные выводы.
Пусть функция
регулярна в круге \х\ < 1 и пусть 0< р < 1. Из интеграль-
интегрального представления Коши для производной функции
(глава II, § 7, F)) следует тогда, что
Предположим теперь, что функция /(г) нигде в круге
\г\ < 1 не принимает значений 0 и 1. По теореме Шоттки
будем тогда иметь, что тах|/(г:)| должен быть меньше не-
которой величины 6(ао» Р)> которая зависит только от
а0=/@) и от р. Таким обр'азом имеем, что
(«о, р) л
252

Предположим теперь, что функция /(*) ре^улирик у&ё Йё
в круге \г\ < 1, а в круге \г\ < /? (/? > 0) и нигде в этом
круге не принимает значений 0 и 1. Функция
будет тогда регулярна в круге \г\ < 1 и нигде в этом круге
не будет принимать значений 0 и 1. Если, сверх того, ах ф О,
то, применяя только-что полученный результат к функции
§(г), при условии 0< р < 1, будем иметь, что
1*1*1 ^ &1 (*0> ?)>
откуда
«1
Эта величина, ограничивающая радиус того круга \г\ < /?,
где функция /(г) регулярна, зависит в сущности, только от
•начальных коэффициентов а0 и аи так как р произвольно.
Обозначив, например, значение правой части A) при
р = -л" через ^2 (ао? оя)> получаем теорему Ландау:
Еслц а0 и аг — комплексные числа и агф0, то суще-
существует такое положительное число 62 = 62 (а0, ах), зави-
зависящее только от а0 и от аи которое обладает следую-
следующим свойством: если число К > 6.2 и
= «0
будет какой-нибудь степенной ряд, у которого первые
коэффициенты равны а0 и а1У то или ряд У$(г) не схо-
сходится во всем круге |г| < К или функция, представленная
этим рядом, хотя бы в одной точке этого круга прини-
принимает значение 0 или 1.
Отсюда просто получается новое доказательство тео-
теоремы Пикара. Если бы существовала целая функция /(г) =
= ао-{~«1^~Ь* • • > где ах^~-0, не принимающая нигде зна-
значений 0 и 1, то по теореме Ландау степенной ряд ао4~
-\-ах2-\-> . . не мог бы сходиться везде, что представляет
противоречие. Всякая ирелая функция, у которой в точке г = 0
производная не равна нулю, должна, следовательно, где-
нибудь принять значение 0 или 1. Так как параллельным
переносом всякую точку плоскости можно переместить
в нулевую точку, то достаточно предположить, что про-
253

иэводная /(г) не равна йулю, хотя бы в какой-нибудь
одной точке плоскости, т. е. что /(г) не постоянная.
Наконец, числа 0 и 1 могут быть, заменены какими-
нибудь двумя различными между собой числами х и X. Дей-
Действительно, если /(г) — целая функция и не равна по-
постоянной, той §(х) = —~ (см. § 5) тоже есть целая
функция, не равная постоянной; кроме того из §()
и ^К2)^!* следует, что /(х) = у- и соответственно /B:) = X.
Но полученный результат и есть как раз теорема Пикара.
§ 7. Отображающие функции круговых многоугольников
как решение дифференциальных уравнений.
В то время, как мы смогли дать явное представление
функций 2 = ? (С), конформно отображающих прямолиней-
прямолинейный многоугольник плоскости х на верхнюю полуплоскость С,
для произвольных многоугольников, образованных дугами*
окружностей, эта цель нами ни в коей мере не достигнута.
Покажем здесь только вкратце, что эти последние функции
удовлетворяют некоторым дифференциальным уравнениям,
которые могут быть построены из геометрических данных
и являются, обратно, характеристическими для рассматри-
рассматриваемых конформных отображений. На эти дифференциаль-
дифференциальные уравнения, интегрирование которых всегда может быть
выполнено, в случае надобности, при помощи рядов, нужно
глядеть как на замену представления отображающих функ-
функций при помощи формул.
Для составления этих дифференциальных уравнений
обратимся к изложенному в § 1. Представим себе, что
многоугольник 1Т, образованный дугами окружностей и
имеющий углы а1тг, ос^тт, . . ., ос^тг, отображен конформно на
верхнюю полуплоскость С и пусть его вершинам соответ-
соответствуют последовательно точки аХч а2, . . ., ап вещественной
оси. Пользуясь принципом симметрии, мы можем совершать
аналитическое продолжение этого конформного отображе-
отображения, причем после четного числа инверсий в плоскости С
мы придем опять к тем же самым значениям С, в то время
как этой операции в плоскости х соответствует линейное
преобразование
,* = ^|. A)
254

Даже если фигура, образованная двойными многоугольник
ками, покрывающая плоскость 2, не замыкается, т. е. если
функция С (х) не будет однозначной, то все-таки эта функ-
функция будет иметь автоморфный характер, выражаемый
равенством
С (г*) = С (г).
Функцию х (С) обычно называют линейно-полиморфной
функцией* Это свойство „линейной полиморфии" можно
определить так: функция х(С) в окрестности каждой
точки плоскости С, за исключением точек С = аи а2, . . .,
ап, однозначна и нигде не имеет существенно особых
точек. Если точка С обходит одну из точек а^9 то
точка х испытывает линейную подстановку.
Из этого свойства легко видеть, что х должно быть ре-
решением дифференциального уравнения третьего порядка.
Для доказательства этого составим для произвольной ана-
аналитической функции г от г, некоторое дифференциальное
выражение [г];, инвариантное относительно всякого линей-
линейного преобразования, т. е.»такое выражение, для кото-
которого имеет место равенство [г*], = [г];, если г* определено
равенством A), как например выражение х инвариантно
относительно преобразования х* = х-\-ф или выражение —7-
х
инвариантно относительно преобразования х* = &х -{- $ 1).
Для того, чтобы получить искомое дифференциальное
выражение, продифференцируем три раза равенство
2*(Тг-}-5) =
в результате находим уравнения
Т (г*х)' + 8**' — а2' = О,
Т {г*г)" + 8г*" — ах" = О,
8**"^ —а/" =
Исключая отсюда постоянные Т, 8, а, получаем
(Л/ г*' г'
(х*х)" х*" х"
= 0.
Здесь аир означают произвольные постоянные (а :/:{)).
255

После простых преобразований это уравнение примет вид
**'" 3 / г*" \2 *'" Я / *п \2
г*' I \ х" I г
Таким образом, выражение
и является дифференциальным выражением третьего порядка,
обладающим указанным свойством инвариантности.
В литературе это выражение называется дифференци-
дифференциальным параметром Шварца, хотя оно встречается до
Шварца уже у Лагранжа и других авторов 1).
Пусть теперь г = <р (У будет наша линейно-полиморфная
функция. Дифференциальный параметр Шварца, составлен-
составленный для этой функции, будет однозначной функцией во всей
плоскости С, так как четное число отражений полуплоскости
С означает только линейную подстановку для функции
г = 9 (С), а следовательно выражение \г\ остается при этом
без изменения. Как и в § 1, из конформности отображе-
отображения (предполагая, что исходная ветвь г (С) в верхней полу-
полуплоскости не имеет полюсов), пользуясь принципом сим-
симметрии, можно заключить, что выражение [г]; может иметь
особые точки только в точках аи а2, . . ., ап.
Мы утверждаем, что эти особые точки могут быть
только полюсами. Не ограничивая общности, можно при-
принять, что аг = О, Нт <р (С) = 0. Предположим сперва, что
ах > 0. Подстановка 1 = г*1 преобразует развернутый угол
с вершиною в точке / == 0 в развернутый угол с вершиною
в точке С = 0, так что г будет по принципу симметрии
взаимно однозначной функцией от С в окрестности С = 0.
Принимая во внимание, что тс чка С = 0 является простым
нулем для г, найдем для I разложение
с',
) Шварц в своей основной работе „ОЬег A1е]ет^еп ГаНе, т ше1сЬеп
сНе Саизз! зсЬе Ьурег^еоте1г1зсЬе Яе&е ете а1^еЬга!5сЬе ГипкНоп . . ..
с1агб1е111" впервые правильно оценил значение этого выражения (ср
Я. А. Зскгиагг, Сев. Ма*Ь. АЬЬ. Ы. 2, 5. 211).
256

где 6 — постоянная, неравная нулю. Таким образом, ДЛя
имеем, что ,
где с
Дифференциальный параметр Шварца будет, следова
тельно, равен
Это выражение остается в силе и тогда, когда «г = 0.
Действительно, тогда имеет место разложение
из которого получается то же самое выражение для [г]г.
Таким образом мы доказали, что особые точки для [г
могут быть только полюсами, и одновременно определили
главную часть функции в каждом таком полюсе. Так как
функция [%]г однозначна и регулярна всюду в плоскости С,
за исключением конечного числа полюсов, то эта функция
будет рациональной и, следовательно, мы получаем такой
результат:
Каждая линейно-полиморфная функция г (С) удовлетво-
удовлетворяет дифференциальному уравнению третьего порядка
B)
где /? (^) — рациональная функция от С.
Дифференциальное уравнение B) обладает тем замеча-
замечательным свойством, что знание одного его решения позво-
позволяет найти все остальные. Действительно, из предыдущего
непосредственно видно, что всякая линейная функция от
некотсрого решения % уравнения .B) будет опять решением
этого уравнения. Так как обратно, такая линейная функция
содержит три произвольных постоянных, то таким образом
мы получаем общий интеграл дифференциального уравне-
уравнения B).
Теория этого дифференциального уравнения тесно свя-
связана с учением о линейных однородных дифференциаль-
дифференциальных уравнениях второго порядка с рациональными коэф-
коэффициентами.
17 Зак. 1985. Курант 257

Решейиё Дифференциального уравйейия 4 B) можйб пред*
ставить, в виде отношения двух частных интегралов таких
линейных дифференциальных уравнений, и обратно, отно-
отношение двух линейно независимых решений некоторого
линейного однородного дифференциального уравнения вто-
второго порядка удовлетворяет уравнению типа B). В част-
частности, случай п~3 приводит к гипергеометрическому
дифференциальному уравнению.
Если в частности речь идет о функциях круговых тре-
треугольников^ т. е. о функциях,' отображающих треугольник,
образованный дугами окружностей и имеющий угхы о^тг,
а2тс, <х3тг, на верхнюю полуплоскость С, то для дифферен-
дифференциального параметра Шварца для такой функции г = 2(С)
найдем, произведя вычисление постоянных, выражение *)
ав) (а2 — аг
2 (С — я2J(С-а3)(С — ах)
азJ (а
2(С —ав)»(С —^(С —а,)'
где а1? аг, «з будут те точки вещественной оси плоскости С,
в которые отображаются вершины треугольника. Если
Предполагая точки а\, а^, о3 отличными от С = оо, легко найти,
у I С1 I С2 I
исходя из разложения в окрестности С = оо функции г = г^ -\- у- -\~ ^Н*-»
(с^фО), что разложение [г]^ в окрестности бесконечно удаленной точки
начнется с члена, содержащего -у^ Кроме того, мы видели, что [г]^ имеет
полюса второго порядка в точках С = а1} С = а2 и С = аз« Поэтому
должно иметь вид:
1 Г Л Л
(» "~ а1) (^ "~ а%) (^ ~ аз) Ь^ -— а1 ^ — «2
Зная, что разложение [г]г в окрестности точки С = а% (к = 1, 2, 3)
2 а 2 |
начинается с члена ^ , легко найдем Аъ А* и
2 (С - У
Прим. ред.
253

нОркйрОЪа*гь отображение Так, чтобы было ^ = 0, а2 = 1,
а3=оо, то отсюда получится
2-1 2
а 1* а
2С2
Если в частности ах = а2 = а3 — 0, то получаем дифферен-
дифференциальное уравнение модулярной функции *2(т), определен-
определенной в § 4
п = 1 , 1 1
1Т]*2 2*4 *" 2 (*2— I)9. 2*2(*2 — 1)'
Если же ах = -тг, а2 == "о"» аз= 0> то Для соответствующей
функции 1 = т (/), т. е. для функции, отображающей шестую
часть предыдущей области, получим
4, 3 23
8
На эти важные и прекрасные соотношения мы можем здесь
только указать 1).
) Читатель найдет подробности в сочинении р. К1е1п, Уог1езип^еп
йЬег с!аз 1козаес1ег (Ье1рг1^ 1884), а также в литографированных лек-
лекциях „Аиз^е^аЬке КарНе1 аиз с!ег ТЬеоНе Aег Нпеагеп О1^егепиа1^!е1-
сЬип^еп 2\УеНег Огс1пип^" (СоШп^еп 1891) и „11Ьег с!1е Ьурег^еотеМзсЬе
ГипкИоп" (СоШп^еп 1894). Подробные указания литературы имеются
в энциклопедических статьях /?. Ргьске II В. 3 и II В. 4. О затрону-
затронутых здесь вопросах для функций треугольника (названной там „функция 5
Шварца" 5 (а, C, -\\ У)) ср. в особенности главу III тома I монографии
КШп и Рпске о модулярных функциях, упомянутой на стр. 247.
17* 259

ГЛАВА ВОСЬМАЯ.
ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ РИМАНА О КОНФОРМНОМ
ОТОБРАЖЕНИИ. ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ.
В главе VI общая задача о построении аналитических
функций, принадлежащих к заданным областям, была решена
только для частного случая однолистных односвязных
областей. Изложенные там методы, в особенности знако-
знакопеременная метода Шварца, могут быть весьма сильно
обобщены. Обращаясь в этой главе к задаче, поставленной
во всей ее общности, мы будем пользоваться однако с самого
начала совершенно другой методой, не зависящей от резуль-
результатов главы VI, методой, которая ближе примыкает к пер-
первоначальной трактовке вопроса по Риману и которая названа
Риманом принципом Дирихле @шсЫе1). Эта метода
основана существенным образом на соображениях теории
потенциала и теснейшим образом связана с наглядными
представлениями свойств жидкого потока. При изложении
избранной нами методы мы сделаем сперва упрощающее
предположение, что речь идет об однолистной области, а
потом проведем наше доказательство существования при
самых общих предположениях относительно области.
§ 1. Эвристические изыскания. Плоскость с надрезами.
Чтобы найти более целесообразный подход к нашему
кругу вопросов, воспользуемся наглядными представле-
представлениями о свойствах некоторого течения.
Предположим для простоты, что область С, являющаяся
носителем нашего двумерного потока, есть однолистная
область, ограниченная конечным числом кусочно-гладких
кривых.
260

Представим себе, что в какой-нибудь ее точке, хотя бы
в точке О с координатами х = О, у = 0, помещен двойной
источник; тогда образуется некоторый поток. Потенциал
потока и (х, у) должен иметь в точке О, например, осо-
особенность 2 ,—^, а тогда сопряженный потенциал V (х, у)
будет иметь особенность —я~т ^*
Поток должен происходить вдоль кривых V = сопв!,
выходя из двойного источника в О параллельно оси X и
возвращаясь в эту точку в том же направлении, как По-
Показано на черт. 23 стр. 126.
Если замкнутая кривая ю =
= сопз*, не проходит через
точки скрещивания, то вдоль
такой кривой значения и
изменяются монотонно от
-}- оо до —оо, когда точка,
описывающая кривую, выхо-
выходя из О, опять возвращается
в эту точку. Действительно,
в силу уравнений Коши-Ри-
ди
мана имеем, что ^—=
дз
где
Черт. 55.
з — длина дуги, отсчитанная
в направлении потока, а
п — длина на нормали, на-
направленной в левую сторону.
Так как значения V с одной
стороны кривой V = сопз*
больше, а с другой стороны кривой меньше этой постоян-
постоянна
ной, то вдоль всей кривой V = сопз1 производная -л—
имеет постоянный знак.
Можно теперь думать, что картина линий тока выглядит
так, как изображено на чзрт. 55 для случая двусвязной
области С, т. е. что в области С нет критических точек
течения и что все кривые V — соп§1 будут простыми зам-
замкнутыми кривыми, проходящими через О и целиком лежа-
лежащими внутри С. Исключение представляют две кривые
V = с^и у = с2> каждая из которых упирается в одну из
261

двух кривых контура, ограничивающего область С, и раз-
разветвляется на ней на две ветви; последние обходят эту
кривую контура в двух противоположных направлениях,
соединяются вновь в некоторой точке контура и, протекая
вместе по внутренней области С, опять втекают в О.
Аналитическая функция С = и ~\- ш = /{%) отображает
каждую линию тока, которая вся протекает внутри области С,
взаимно однозначным образом на полную прямую V = сопз!
плоскости С, причем точка О переходит в точку С = оо.
Если значение постоянной будет монотонно возрастать
от—со до~{~оо, то прямая г/ = соп51 опишет всю пло-
плоскость С один раз. Отметим, что только для исключитель-
исключительных прямых г/ = с1 и у~с2 не все их точки будут соот-
соответствовать внутренним точкам области С, а именно неко-
некоторому отрезку прямой V = сх и соответственно V = с2
будет соответствовать кривая контура области С
Таким образом, плоскость С надо представить себе над-
надрезанной вдоль двух, а для случая л-связной области
соответственно вдоль п таких прямолинейных отрезков,
параллельных вещественной оси. Назовем такую область
„плоскостью с прямолинейными надрезами*. Аналитическая
функция С = и -\- IV — /(г) отображает, следовательно,
область С на такую область. Подчеркнем, что эта функция
в точке О имеет простой полюс с вычетом, равным 1, т. е.
что она может быть представлена в виде /(г)= \-§ {г),
2
2г
где §{х) регулярная функция при г = 0. Без особых по-
пояснений очевидно, что источник может быть помещен
в любой точке г0 и что можно по произволу задать мощ-
мощность и направление двойного источника. В этом случае
отображающая функция С = {{г) в окрестности точки
х = Го будет иметь вид
х — х0
где <х — некоторая произвольная вещественная или ком-
комплексная постоянная и §{х) — регулярная в точке х = х0
функция.
Для случая односвязной области предыдущие рассужде-
рассуждения содержат теорему Римана о конформной отображе-
отображении. Действительно, если область С не совпадает со всей
262

плоскостью х или плоскостью, из которой удалена одна
точка, то область С можно по предыдущему отобразить
конформно на плоскость С, снабженную одним прямоли-
прямолинейным надрезом. Пользуясь некоторым линейным преоб-
преобразованием, можно перевести этот надрез в отрезок 0 ^ и < со
оси и. Отобразим теперь такую надрезанную плоскость при
помощи функции Сх = У^ на верхнюю полуплоскость С1?
что равносильно отображению на единичный круг.
Кроме потока в области С, производимого двойным
источником, мы можем рассматривать и другие потоки,
например такой, который происходит от двух логарифми-
логарифмических источников, помещенных в точках х0 и х^ и имею-
имеющих равную по величине и обратную по знаку мощность,
или от двух вихрей в тех же точках, имеющих одинако-
одинаковую интенсивность, но противоположное направление вра-
вращения или такой поток, который происходит от помещен-
помещенного в точке 20 источника порядка выше первого. Таким
потокам будут соответствовать аналитические функции,
регулярные в С всюду за исключением точек х09 хх (соот-
(соответственно 2г0) и имеющие особенности вида
\% -или I \% - или-т г^ и т. д
х — хх * х — хх (х — хУ
Наша задача теперь состоит в том, чтобы заменить
предыдущие соображения некоторой математической тео-
теорией и в особенности в том, чтобы доказать существование
введенных выше чисто эвристически гармонических функций,
которые мы будем впредь называть „потенциалами потока".
Для этой цели нам нужно рассмотреть интеграл, взятый
по области С и представляющий собою величину энергии
потока. Если 9 (х, у) будет потенциал скорости некоторого
потока, то кинетическая энергия потока для некоторой
части В области С выражается интегралом
У /
умноженным на некоторый постоянный, независящий от
множитель. Наша метода будет основана на том, что мы
будем пытаться обратить в минимум такое выражение
при надлежаще выбранных добавочных условиях. Прежде
263

чем формулировать эту минимальную задачу, рассмотрим
в следующем параграфе некоторые свойства таких инте-
интегралов.
§ 2. Интеграл Дирихле и формула Грина.
Пусть В будет какая-нибудь однолистная область.- Выра-
Выражение
Г-ч г "| у-ч Г "I ///31 2\/у / -4 \
I I I Т) I ■ II I ("} I ". I I I г0 - ГО I /"/ V /~111 I 1 I
и 1г1 — иВ М — ^ У ^Г^ П^ Чу ) ах аУ \Ч
В
назовем „интегралом Дирихле" от функции 9» распростра-
распространенным по области В 2), причем у(х, у) есть какая-нибудь
вещественная функция от прямоугольных координат х, у,
для которой такой двойной интеграл существует. Если
подинтегральная функция не всюду в области В, включая
и контур, непрерывна или если к области В принадлежит
бесконечно удаленная точка, то интеграл надо рассматри-
рассматривать как несобственный 2).
Если ввести полярные координаты- г и &, то интеграл
Дирихле принимает вид
B)
Значок, указывающий область, мы будем опускать, если от этого
не может возникнуть никакого недоразумения.
2) Несобственный интеграл здесь можно определить так: пусть Вг
будет некоторая замкнутая область, внутренняя к В> или точечное мно-
множество, состоящее из нескольких таких областей. Если функция /"(■*, у)
нигде не отрицательна в В, то под символом / / / (лг, у) с1х ду мы бу-
' В
дем понимать точную верхнюю границу значений всех интегралов
/ / /(*, у) с1хс1у, соответствующих всем рассматриваемым множествам
В
точек В\ Если /(лг, у) принимает также и отрицательные значения, то
разложим ее на сумму / = /*-]-/**, где /* совпадает с / везде, где
/0, а в остальных точках /"* = 0, а /** совпадает с /везде, где /0
/ / / /
и равно нулю в остальных точках. Под символом / / /(х, у) 6.x <1у бу-
В
дем в этом случае понимать разность интегралов от /* и от —/**.
264

Интеграл Дирихле обладает свойством инвариантности
относительно конформного отображения, т. е. если область В
отобразить конформно при помощи функции С=/(г) =
= {{х-\-1у) — и-\-1ю на некоторую область 5*, то для вся
кой функции <?, для которой соответствующие интегралы
имеют смысл, имеет место равенство
//
2 + V
в х
Действительно, в силу уравнений Коши-Римана мы имеем
С другой стороны их -+■ иу2 = н^— иу»д. есть как раз ве-
величина функционального определителя от и, V по х и по #,
величина не отрицательная; следовательно, по известной
теореме интегрального исчисления о замене переменных
в двойном интеграле, вышеуказанная формула действи-
действительно имеет место.
В частности, при 9= и мы получим
в*
Таким образом, интеграл* Дирихле от гармонической
функции и, распространенный по области В, равен величине*
площади той области В*, в которую аналитическая функ-
функция С = и -\- IV отображает область В (ср. главу II, § 8).
Интеграл Дирихле очевидно остается инвариантным
также и при конформном отображении с изменением напра-
направления отсчета углов, как например при инверсии в пря-
прямой или в окружности.
Если X и ^ постоянные, то, обозначив для краткости
Ь,«=//(%Ь+?Л) ** <*у> C)
В
имеем тождество
О[Ц + ^ф] = ^[?] + 2^О[?, ф] + IX2О[ф]. D)
Так как И [Хер -\- |хф] будет не отрицательная однородная
квадратичная функция от X и ^, то
E)
265

где конечно предполагается, что соответствующие инте-
интегралы существуют. Из E) сразу видно, что если 2)[<р] и
)[] существ ют, то существует и !)[<?, <!>].
Интеграл И [<р, ф] также будет инвариантным относительно
конформного отображения, что можно доказать так же, как
и для /)[?] или вывести из тождества D).
В дальнейшем нам понадобится некоторое простое пре-
преобразование интеграла 2)[?, ф], которое называется фор-
формулой Грина,
Предположим, что область В ограничена конечным
числом кусочно-гладких кривых. Пусть <р будет непре-
непрерывная во всей области В функция, имеющая кусочно-
непрерывные производные 1). Пусть далее ф будет непре-
непрерывная вместе со своими первыми и вторыми производ-
производными функция во всей области, включая и контур. Обо-
Обозначим через -т— производную по внутренней нормали к кон-
контуру и через с!з линейный элемент контура, проходимого
в положительном направлении. Формула Грина имеет
тогда вид:
В
Эта формула представляет собой ни что иное, как формулу
интегрирования по частям, примененную к интегралу П [<р, <Д.
Для доказательства достаточно установить эту формулу
для такой последовательности областей, контуры которых
„гладко" аппроксимируют контур области В и имеют длины,
ограниченные в их совокупности (ср. главу I, § 2). Так
как &а такую последовательность можно взять последова-
последовательность многоугольников, целиком лежащих внутри В, то
можно ограничиться доказательством формулы для много-
многоугольников, а так как многоугольники можно разложить на
треугольники, которые можно считать, кроме того, прямо-
прямоугольными (в противном случае их можно было бы разло-
Функция называется кусочно-непрерывной в области С, если
эту область можно разложить на такие части, ограниченные простыми
кусочно-гладкими кривыми, чтобы каждая замкнутая область, внутренняя
к С, имела бы общие точки только с конечным числом этих частей и
кроме того, чтобы в каждой из этих частей функция была бы непре-
непрерывна и имела бы непрерывные контурные значения.
266

жить одною из высот на прямоугольные треугольники),
то можно ограничиться доказательством формулы для прямо-
прямоугольных треугольников. Заметим еще, что доказываемая
формула Грина остается инвариантной при параллельном
переносе или повороте системы координатных осей. Коор-
Координатные оси, следовательно, можно выбрать так, чтобы
вершины рассматриваемого треугольника Д имели бы коор-
координаты 0, 0; а, 0; 0, 6. Интегрируя теперь по частям, по-
получаем
а
Д 0 0
— (а — х) , а ., .
а ак ' Ь х = - (Ь — у)

о о
где последний интеграл взят по контуру треугольника и
положительная нормаль направлена внутрь. Таким образом
формула Грина доказана.
§ 3. Принцип Дирихле.
В теории функций интеграл Дирихле применялся перво-
первоначально не в связи с потенциалами потока. Впервые он
встречается при попытках решить предельную задачу тео-
теории потенциала. Путь, по которому следовал здесь Р и м а н,
можно представить, в простейшем случае, следующим
образом. Пусть С будет область в плоскости хуу ограни-
ограниченная одной кусочно-гладкой кривой *5. Пусть вдоль кон-
контура С заданы непрерывным образом граничные значения
функции. Рассмотрим интеграл Дирихле V [<р], распростра-
распространенный по области С, где <р — какая-нибудь непрерывная
вместе с первыми и вторыми производными внутри и на
267

контуре области С функция, принимающая на контуре за-
заданные значения. Если среди всех таких функций суще-
существует функция и (х,у), для которой интеграл Дирихле
принимает наименьшее значение, то эта функция и должна
удовлетворять дифференциальному уравнению Аи = О и,
следовательно, должна решать предельную задачу теории
потенциала. Действительно, пусть А (х, у) будет функция
которая вместе со своими первыми и вторыми производ-
производными непрерывна в области С, включая контур. Пусть да-
далее А (х, у) везде на контуре обращается в нуль и пусть
интеграл /)[А] остается конечным, в остальном же функ-
функция А (л:, у) пусть будет совершенно произвольна. При
всяком вещественном значении параметра е будем тогда
иметь, что
и следовательно
что при произвольном в возможно очевидно только при
условии
О [ц9 А] = 0.
Применяя формулу Грина, сразу получим
А А и <1х с1ц — 0.
е/
О
Так как А — произвольная функция, то отсюда следует
наличие равенства
//
Действительно, если бы функция Аи, непрерывная в С,
была бы отлична от нуля, например положительна в какой-
нибудь точке этой области, то в С должна была бы суще-
существовать некоторая окрестность этой точки, где Аи была
бы тоже положительна. Если теперь выберем за А такую
непрерывную вместе со своими первыми и вторыми произ-
производными в С функцию, которая внутри этой окрестности
положительна, а вне ее равна нулю, то получим противо-
противоречие с вышенаписанным равенством.
Как указал впервые Вейерштрасс, этого рассуждения,
названного Риманом принципом Дирихле, никоим образом
268

йе достаточно для доказательства существования решения пре-
предельной задачи. Действительно, совсем не очевидно, что при
поставленных условиях интеграл должен иметь минимум; не-
непосредственное же доказательство этого сначала не удава-
удавалось. Вообще говоря, относительно ограниченного снизу
множества чисел можно только утверждать существование
точной нижней границы, а не действительно достигаемого
минимума 1).
Несмотря на это мы увидим дальше, что основная
идея доказательства Римана, состоящая в том, чтобы
характеризовать гармонические функции минимальными
свойствами интеграла Дирихле, все-таки приводит
к цели; мы удержим поэтому здесь название „принципа
Дирихле". Но вместо того, чтобы проводить идею прин-
принципа Дирихле на предельной задаче теории потенциала;
мы приложим этот принцип для доказательства существо-
существования потенциалов потока. Здесь придется однако не-
несколько видоизменить вышеуказанную минимальную задачу.
Необходимость такого изменения видна прежде всего из
того, что интеграл Дирихле не существует, если область
интегрирования содержит источник или какую-нибудь дру-
другую рассмотренную выше особую точку. Рассмотрим сперва
случай, когда в нулевой точке О помещен двойной источ-
источник, и представим себе, что около точки О, как около
центра, описан круг К радиуса а с окружностью *, лежа-
лежащий целиком внутри С. Определим теперь функцию 5(х,у)
следующим образом:
= I Х2^Г + -^ внутри К и на окружности х,
[ 0 вне круга К. A)
Эта функция 5(х,у) имеет ту же особенность, что и
искомая гармоническая функция и 2).
Известный пример неразрешимости минимальной задачи предста-
представляет такая задача. Точки 0 и 1 оси лг-ов надо соединить кривой,
имеющей непрерывную кривизну и ортогональной к оси х в точках О
и 1 так, чтобы длина такой кривой была бы наименьшей. Точная ниж-
нижняя граница длин таких кривых, равная 1, очевидно не достигается ни
одной из допускаемых кривых.
2) Введение, по Вейлю, этой функции ^ вносит, при проведении до-
доказательства, упрощения в сравнении с прежними доказательствами.
269

Подчеркнем, Чтчэ функция -5 также будет гармоничёбкои
функцией, так как везде в круге К, за исключением его
центра, она удовлетворяет дифференциальному уравнению
Д5 = 0. B)
Далее, вдоль окружности * имеет место равенство
0 C)
д
если -т- обозначает производную по внутренней нормали
к кругу. Дая доказательства этого свойства заметим, что
в полярных координатах г, & функция 3(х, у) принимает
СО8& , Г (V
вид 1—5" СО8 "> откуда следует
д3\
дп]г=а
Если мы желаем рассмотреть потенциалы потока, обла-
обладающие другими, рассмотренными выше, особенностями
(для простоты предположим, что соответствующие особые
точки лежат в вышеупомянутом круге К радиуса а), то за
„функцию особенностей" мы выберем такую функцию
*$Ч*>#)> которая в заданных точках имеет требуемые осо-
особенности, в остальных точках внутри круга К является
регулярной гармонической функцией, вне круга К тожде-
тождественно равняется нулю, а на его окружности имеет произ-
производную по нормали, равную нулю. В дальнейшем мы рас-
рассмотрим только случай простого полюса в точке О, но за-
заметим, что наши. рассуждения могут быть приложены и
в других указанных случаях х).
Пусть теперь 9 будет функция непрерывная всюду в С,
включая контур, за исключением только точки О. Пусть
эта функция имеет кусочно-непрерывные производные
и пусть в точке О она обладает заданной особенностью.
Функция Ф = ср — 5 будет тогда непрерывна во всей
области С, за исключением окружности т,, где она претер-
претерпевает скачок, обусловленный функцией 5. Интеграл Ди-
Дирихле й [Ф] может быть поэтому распространен и над
точкой О.
Ср. например главу IX, § 2.
270

Функцию Ф назовем „Д6пуСтимойи:, если 6М уДбвАетво
ряет следующим условиям: 1) функция Ф -|- *$ = <р в области С,
включая и контур, непрерывна везде, за исключением точки О,
и имеет кусочно-непрерывные производные, в точке же О
она обладает особенностью о ,—^-; 2) интеграл
х г У
существует.
Заметим, что допустимая функция Ф, при прибавлении
произвольной постоянной, остается допустимой и что при
этом значение интеграла О[Ф] не меняется. Можно, по-
поэтому, без изменения О[Щ всегда достичь того, чтобы
рассматриваемые функции Ф равнялись бы нулю в точке О.
Такие функции будем называть „нормированными" и такое
название будем прилагать к соответствующей функции
}
Поставим теперь такую минимальную задачу: среди всех
допустимых функций Ф найти такую, для которой
интеграл И (Ф), распространенный по области С, имеет
наименьшее значение.
Эта минимальная задача во всяком случае имеет смысл,
т. е. существует по крайней мере одна допустимая
функция Ф, для которой интеграл' О[Щ имеет конечное
значение. Действительно, пусть К' будет круг радиуса а',
концентрический с кругом К радиуса а и лежащий целиком
внутри С, и пусть аг > а. Функцию Ф определим следую-
следующим образом; Ф = 0 внутри круга К и вне круга К! и Ф =
2 аг г
= -, сое & в кольце а^Сг<!а'. Функция Ф будет
а а —а * * *> *
очевидно допустимой, и соответствующий ей интеграл
Дирихле будет конечным.
Множество всех значений /5[Ф], соответствующих всем
допустимым функциям Ф, следовательно, не будет пустым
и должно иметь точную нижнюю границу, очевидно не
отрицательную и которую мы обозначим через с/.
Если наша минимальная задача может быть решена, напри-
например, при помощи некоторой функции Ц, то для всякой непре-
непрерывной внутри и на контуре С функции Л, имеющей ку-
кусочно-непрерывные производные и для которой существует
271

В \1г\ должно иметь место при произвольном г, неравен-
неравенство
Как и раньше (стр. 268), отсюда получим, что *)
#[ЦЛ] = 0. D)
Если решение V вообще существует, то существует и
некоторое нормированное решение и притом только одно.
Действительно, если существует еще другое нормирован-
нормированное решение О'', то функция V— V будет всюду в С не-
непрерывной и будет иметь в С кусочно-непрерывные частные
производные. Далее существует интеграл
О [Ц— Щ = О [Ц] + О [Щ - 2О [Ц Щ.
В силу равенства D) должно быть, как
так и
Вычитая эти равенства почленно, найдем
В [Ц— Щ = 0.
Частные производные от V— V должны, следовательно,
всюду в области С равняться нулю. Так как в точке О
функции II и V совпадают, то во всей области С функ-
функции С1 и V должны быть тождественны, что мы и хотели
показать.
Заметим, наконец, что произвол в выборе величины а
не имеет влияния на функцию и = [/-{- 3. Действительно,
если а! <^а будет радиус нового круга К! с центром в О
и 3' — соответствующая а функция
X X
I —77——т Л тт внутри К' и на окружности *'
I 0 вне К\
то имеем следующее предложение' решение V новой ми-
минимальной задачи равно 11' = С1^\~3 — 3\ так что и =
= 11-\-3= II' -{- 3'; разрешимость одной минимальной за-
) Из этого уравнения опять можно заключить, что V и соотвествен-
ный и = Ц-{- 3 являются гармоническими функциями, чт.о впоследствии
будет доказано непосредственно.
272

дачи влечет за собой разрешимость другой. Для доказа-
доказательства положим *5 — $'= а; эта функция вне круга К
тождественно равна нулю, внутри же круга К! также как и
внутри кругового кольца /?, расположенного между
* и х', будет регулярной гармонической функцией.
Если Ф будет допустимой функцией первой минимальной
задачи, то Ф' = Ф-)-а будет допустимой функцией второй
задачи и обратно. Мы имеем далее
[ф'] = О Щ 4- О [а] -}- 2й [Ф, а]
и, как сейчас будет доказано,
В [ф, а] = 0. E)
Таким образом, интегралы О [Ф] и О [Фг] отличаются между
собой на величину, не зависящую от выбора функций Ф и
О', и следовательно, обе минимальные задачи эквивалентны.
Для доказательства E) воспользуемся формулой Грина,
заметив, что всюду внутри К' и внутри кольца # Да = 0,
что на окружности "х и внутри К вблизи от окружности х
а = 5 и, следовательно, на этой окружности х будет
да да "
— =0ИЧТО— На окружности х непрерывна.
Таким образом имеем, что
и
Складывая, эти формулы, получаем искомое равенство
О [Ф, а] = 0.
Прежде чем перейти к решению поставленной минималь-
минимальной задачи, освободимся от предположения о том, что С
есть однолистная область. Тогда будет возможно провести
наши рассуждения сразу для самого общего случая. Для
этого прежде всего надо установить геометрическое поня-
18 Зак. 1985. Курант. 273

тие об области самого общего вида (поверхности Римана),
в соответствии с идеями, затронутыми нами в конце § 3
главы V.
§ 4. Постановка задачи в общем виде.
Однолистную область С можно всегда исчерпать кругами,
налегающими друг на друга, т. е. можно задать исчисли-
исчислимую последовательность кругов, Ки ЛГ2, ... так, чтобы
каждая точка С принадлежала бы хотя бы одному из этих
кругов и чтобы всякая замкнутая область, внутренняя к С,
состояла бы из точек, принадлежащих к конечному числу
этих кругов. Аналогичным образом многолистные области,
построенные в главе V, как поверхности Римана для ка-
какой-либо аналитической функции, можно тоже исчерпать
„круговыми областями". Под , круговой областью" мы
будем понимать при этом или однолистный круг, или пло-
плоскость, из который вырезан такой круг или многолистный
круг, состоящий из конечного числа листов и имеющий
точку разветвления в центре или соответствующую область,
к которой принадлежит бесконечно удаленная точка. Мы
будем для удобства предполагать эти круговые области
всегда замкнутыми, не оговаривая этого специально. Такое
исчерпывание римановой поверхности получается само со-
собой при аналитическом продолжении с помощью степенных
рядов, если рассматривать соответствующие этим рядам
круги равномерной сходимости. В частности, замкнутые
поверхности Римана, состоящие из п листов, распростра-
распространенных над всей плоскостью, могут быть вполне исчерпаны
конечным числом таких круговых областей. Однолистную
область С или, соответственно, данную риманову поверх-
поверхность можно при помощи таких круговых областей рассма-
рассматривать как „предел" последовательности таких заключаю-
заключающих друг друга замкнутых областей См, что Сп будет ча-
частью области Сп+1 и что всякая точка С будет лежать
в одной из областей Сп (и значит во всех последующих).
Для этого, достаточно за область Сп выбрать область, со-
составленную из конечного числа подходящих круговых обла-
областей.
Нам надо теперь определить понятие многолистной об*
ласти вне связи с аналитической функцией, чтобы затем
доказать существование соответствующих функций.
274

Для определения самой общей области, распространенной
над плоскостью 2, рассмотрим определенные выше однолист-
однолистные или многолистные круговые области в качестве простей-
простейших элементов. Составим сперва из конечного числа таких
областей замкнутую область С, которая характеризуется
следующими условиями: каждая точка одной из данных
круговых областей называется точкой области С. Некото-
Некоторые из круговых областей, которые покрывают один и тот
же круговой двуугольник плоскости г, должны быть сое-
соединены над этим двуугольником *), причем совпадающие
точки обеих круговых областей считаются тождественными
точками области С. При этом, если одна из двух круговых
областей разветвлена, то другая не должна выступать за ее
центр и сама не должна быть разветвленной. Введем далее
понятное само собою ограничение — если точка Р из кру-
круговой области А тождественна с точкой C из круговой
области В и если точка B тождественна с точкой # из
круговой области С, то точки Р и /? будем считать тоже
тождественными. Предположим наконец, что в результате
такого процесса соединения получается одно единственное
связное множество точек.
Если каждая точка контура одной из данного ко-
конечного числа круговых областей будет внутренней
точкой какой-нибудь другой из этих областей, то мы
будем иметь замкнутую поверхность. В противном слу-
случае мы можем по вышеуказанному правилу присоединить
к области С, которую мы всегда рассматриваем как замк-
замкнутую, еще некоторое конечное число дальнейших круго-
круговых областей и получить такую область С*, которая со-
содержит область С как часть. Рассматривая теперь после-
последовательность Си С2, • • • таких областей, причем Сп
всегда будет содержаться в Сп , 15 скажем, что такая по-
последовательность определяет „область" С Под „обла-
„областью" С мы будем понимать при этом совокупность точек,
принадлежащих хотя бы одной из областей Сп. Мы будем
называть С также „пределом" заключающих друг друга
областей Сп.
г) При наших соглашениях мы исключаем соединение двух круговых
областей, когда они обе покрывают одну и ту Же кольцевую область
или когда одна из них содержится в другой; но это ограничение ни
в коей мере не является существенным.
18*

В результате мы определили геометрическое понятие
самой общей поверхности Римана. На определенной
таким способом области С мы можем рассматривать
функции точки, которые в каждой однолистной области,
принадлежащей С, будут функциями координат х, у плос-
плоскости г и следовательно могут быть обозначены через
/О, у) (или <?(х,у) и т. д.).
Если некоторую область В можно разложить на- конечное
число однолистных областей и если существуют интегралы,
распространенные по каждой такой отдельной области, от
некоторой функции /(х,у), определенной в В, то сумму
таких интегралов мы будем называть интегралом от /(х,у),
распространенным по области В, и будем обозначать через
Г [ !{хуу)с1хAу.
Рассмотрим теперь интегралы, распространенные по на-
нашим областям Сп. Если Нт / / /(х,у)с1х с1у существует,
Оп
то этот предел будем называть интегралом, распростра-
распространенным по области С от функции /(х, у)у и будем обозна-
обозначать его через / / /(х,у) с1хAу.
■V
Если функция /(х} у) в области С нигде не отрицательна
и если все интегралы, распространенные по областям Сп,
не превосходят некоторого независящего от п числа, то
интеграл, распространенный по С, очевидно существует.
Встречающиеся дальше интегралы мы будем понимать в ука-
указанном здесь смысле (см. примечание 2, стр. 264).
Теперь мы можем поставленную в § 3 минимальную
задачу в тех же словах высказать и для области С
только-что определенного рода. При этом будем предпо-
предполагать, что точка О, в которой помещен источник, не сов-
совпадает ни с одной из точек разветвления области С !).
Задачей следующих параграфов является решение нашей
минимальной задачи в этом самом общем смысле. Для
этого предпошлем ряд вспомогательных рассуждений.
От этого предположения легко освободиться, перенеси при помощи
конформного отображения такую точку разветвлений в обыкновенную
точку.
276

§ 5. Предельная задача и минимальный принцип для круга.
Мы начнем с доказательства того, что решение предель-
предельной задачи для круга (которая в главе III, § 10 была уже
решено нами при помощи интеграла Пуассона) эквива-
эквивалентна решению некоторой минимальной задачи типа, рас-
рассмотренного в § 3.
Докажем следующую теорему: пусть го(х^у) будет
функция непрерывная и имеющая кусочно-непрерывные
производные в круге К радиуса /?, включая его контур х,
и такая, что интеграл Дирихле 2) [я/] имеет конечное зна-
значение. Пусть и будет такая регулярная внутри К гармони-
гармоническая функция, которая на . его контуре совпадает с го.
Тогда существует интеграл Т>\и\ *) и имеет место не-
неравенство
#|>]#М A)
Таким образом предельная задача теории потенциала^
т. е. задача об определении гармонической функции по ее
значениям на контуре эквивалентна задаче о минимуме
интеграла П [го] при заданных значениях го на контуре»
Эта теорема была бы сейчас^е доказана, если бы можно
было приложить формулу Грина для круга К к функциям и
и и — го. Действительно, мы имеем
,го — и].
С другой стороны, пользуюсь формулой Грина и замечая,
что Дц ~ 0 и что значения и и го на контуре равны, мы
имели бы
[и, го — и] = — / / (го — и)&ис1хс1у — I (го — и) -г-</$=0,
1) Как раз этот пункт требует доказательства, так как легко задать
такие непрерывные значения на контуре, при которых О [и] будет бес-
бесконечно большим, например:
оо
СО5 п\
Таким образом возможны случаи, когда предельная задача разрешима
при помощи интеграла Пуассона, но не разрешима при помощи мини-
минимального принципа, что было подчеркнуто например Гадамаром
(Нас1атагс1).
277

и следовательно,
О[го] =И [и] + В [го — и]^ В [и].
Однако, вообще говоря, ничего нельзя сказать относи-
относительно значений производных от функции и на окружно-
окружности х. Заметим, что на основании главы III, § 8,(8), функ-
функцию и можно представить как предел и = Нт ип последова-
последовала оо
тельности везде регулярных гармонических функций ип (ко-
(конечных тригонометрических сумм), и то же самое можно
сказать и о производных. Действительно, можно положить
(если г и & обозначают полярные координаты)
П
где коэффициенты
2л:
ак=— ( го.(/?,»)со»кЬ</!> (* = 0,1,2,..., л),
о
2ге
(
го A\  51п у^" с/" ГАг — х 2 л)
о
зависят только от заданных граничных значений го. Так
как при г = /? оба интеграла
2гс 2л:
.1 ^"^ ' ^ ""
О О
равны
\акг -\- о/),
\ Л I Л / г
то при г = К имеем
(«, - «„) ^«/» = 0.
278

Так как функция ип во всем круге К, включая контур *,
имеет непрерывные первые и вторые производные, то теперь
применение формулы Грина дозволено и из равенства
и [ги\ = И [ип -\-(<ш — ип)] получается, как и выше, нера-
неравенство
Пусть теперь Ки /Г2, .. . будет какая-нибудь последова-
последовательность концентрических кругов, сходящихся извнутри
к кругу К\ тогда прежде всего имеем, что
Так как в круге К1г функции ип и их производные любых
порядков равномерно сходятся к функции и и соответ-
соответственно к ее производным, то интеграл ОКп [и] также суще-
существует и
Переходя к пределу К —> со, заключаем, что интеграл Ик [и]
существует и что
что и требовалось доказать.
Полученный результат можно значительно обобщить.
Прежде всего, из инвариантности интеграла Дирихле отно-
относительно конформного отображения следует, что та зави-
зависимость, которая существует для круга между минималь-
минимальной задачей и решением предельной задачи, существует и
для всякой замкнутой области, которую можно отобразить
конформно на круг. Так например, эта зависимость имеет
место для области, внешней по отношению к кругу или для
л-листного круга с точкой разветвления в центре, т. е. для
всех областей, которые в § 4 были названы нами „круго-
„круговыми областями".
В заключение рассмотрим еще одно обобщение выше-
вышеприведенной теоремы о минимуме для круга. Пусть К будет
круг, окружность которого * разделена на две дуги */п и х2.
Пусть хи (л:, у) будет какая-нибудь функция, непрерывная в
круге К и на его окружности, имеющая там кусочно-не-
кусочно-непрерывные частные производные первого порядка и конеч-
конечный интеграл Дирихле О[^].
279

При этих условиях существует гармоническая функция
и(х, у), непрерывная внутри круга К и на его окружности
х, регулярная внутри К и на части контура х2, совпадающая
на л1 с функцией го и имеющая равную нулю производную
по нормали на х2; эта функция обладает тем свойством,
что
[и] </)[«;]. B)
Это значит, что гармоническая функция и решает задачу
о минимуме интеграла Дирихле, распространенного на
область круга) если значения на контуре заданы только
для некоторой части окружности этого круга, на осталь-
остальной же части остаются произвольными.
Для доказательства отобразим конформно круг К на
полукруг так, чтобы дуга х1 переходила бы в полуокруж-
полуокружность, а дуга х2 в диаметр. В силу сказанного в главе IV,
§ 8, такое отображение возможно. Функция го перейдет
при этом в некоторую функцию точки полукруга, которую
обозначим опять через го. Отразим теперь полукруг в его
диаметре и продолжим функцию го в симметричный полу-
полукруг, приписывая симметричным точкам те же самые зна-
значения функции. В этом новом круге мы можем, пользуясь
непрерывными граничными значениями, которые принимает
на его окружности функция го, построить при помощи
интеграла Пуассона соответствующую гармоническую фун-
функцию и. По предыдущей теореме, для этого круга имеет
место неравенство
Рм C)
справедливое (в силу симметричности отражения в диа-
диаметре) и для каждого полукруга. В силу той же симметрич-
симметричности можно утверждать, что на диаметре производная
функции и по нормали к этому диаметру будет равна нулю.
Конформно отобразив полукруг обратно на первоначальный
круг и замечая, что при этом направление нормали к диа-
диаметру перейдет в направление нормали к дуге *2, мы убе-
убедимся в справедливости нашей теоремы.
Едва ли заслуживает особого замечания, что в силу инва-
инвариантности интеграла Дирихле при конформном отображе-
отображении наша обобщенная теорема о минимуме будет иметь
место и в том случае, когда вместо круга будет рассматри-
рассматриваться „круговая область".
280

§ б. Леммы.
Из малости интеграла Дирихле И [<р] мы выведем неко-
некоторые заключения о подинтегральной функции. При про-
произвольной функции ср это, вообще говоря, сделать невоз-
невозможно, но это удается сделать, если принять, что <р есть
гармоническая функция. Тогда имеет место следующая
полезная для многочисленных приложений в теории фун-
функций лемма.
Лемма I. Пусть р(х,у), регулярная в данной области В
гармоническая функция, и пусть ее интеграл Дирихле
Ив [р] меньше некоторого числа М. Пусть В' — какая-нибудь
замкнутая область, лежащая внутри В, и К — такое число,
что всякий круг радиуса /? с центром в какой-нибудь точке
области В' лежит весь вместе с его окружностью внутри В.
Тогда везде в области В' имеет место неравенство
Таким образом, если /(г) — р-\-1д есть такая аналитиче-
аналитическая функция, у которой вещественная часть равна р(х,у),
то для каждой замкнутой области В', лежащей внутри В,
линейное увеличение, получаемое при конформном отобра-
отображении при помощи этой функции, будет не больше некото-
некоторой величины, зависящей только от М и В' и стремящейся
одновременно с М к нулю *)•
Для доказательства рассмотрим производную //(г:) =
= ря.— гру в круге К радиуса /?, лежащем вместе с его
окружностью целиком внутри В. По интегральной формуле
Коши значение производной в центре г0 этого круга будет
равно
_1_ Г / (?)
где интеграл взят в положительном направлении по какой-
нибудь окружности положительного радиуса г<^# с цен-
центром в точке г0. Если положить I — 2:0 = гег, то, умножая
На эту лемму можно в некотором отношении смотреть как на до-
дополнение теорем искажения (глава VI, § 7).
281

это раррнство на г и интегрируя его в пределах от 0 до /?,
получим
ге
и следовательно
1 Г Г
I \Г{г)\ Лх<1у. B)
к
Пользуясь теперь неравенством Шварца (ср. главу VI,
4) из B) получим

К
По предположению, около каждой точки нашей области В',
как около центра, можно описать круг К радиуса /? так,
чтобы этот круг целиком лежал внутри В. Для этого
круга, следовательно, будет Ок[р]^М. Таким образом,
в области В' мы имеем
2 1 п 2^ I {' BЛ\2 <С М -
что и доказывает лемму.
Отсюда непосредственно следует следующая лемма.,
Лемма II. Если последовательность гармонических регу-
регулярных в В функций щ, щ, щ,. . . сходится в некоторой
точке области В и если
C)
П->со
то в каждой замкнутой области В\ целиком лежащей внутри
области В, последовательность функций ип равномерно
сходится к некоторой постоянной.
Если же вместо C) (при тех же предположениях) имеем,
что
\\тОв[ип— и
п >со
то последовательность функций ип сходится в В' равно-
равномерно к некоторой регулярной гармонической функции и,
282

Действительно, по лемме I, в первом случае, производ-
производные функций ип сходятся в В' равномерно к нулю. Так
как, по предположению, последовательность функций ип
сходится в некоторой точке, то эта последовательность
сходится равномерно в Вг к некоторой постоянной. Точно
также и во втором случае последовательность ип сходится
равномерно к некоторой предельной функции и, которая
(глава III, § 9) будет в В! регулярной гармонической фун-
функцией.
Если предположить, что последовательность ии и2,...
сходится на некоторой части контура, а не во внутренней
точке, то то же можно доказать сходимость внутри области.
Действительно, имеет место такая лемма.
Лемма III. Пусть В будет замкнутая область, контур
которой содержит дугу окружности С, и пусть В' будет
такая замкнутая область, принадлежащая В, которая может
содержать из точек контура области В только точки, внут-
внутренние для дуги С. Пусть ии ы2»••• будет такая последо-
последовательность гармонических регулярных в В функций, для
которой, с одной стороны,
Пт йв [и,] = 0, E)
с другой стороны, на дуге С
и\= Щ = • • • ^ 0. F)
При этих условиях последовательность и19 и2,.. . схо-
сходится в В' равномерно к нулю.
Если же
Нт /)в[и„-ит]=0 G)
т -> со
п -> оэ
и на дуге С
= . . ., (8)
то наша последовательность ип сходится в В' равномерно
к некоторой регулярной гармонической функции и.
Для доказательства отразим область В в дуге окружности С.
При условии F) продолжим все гармонические функции ип
в отраженную в дуге С область так, чтобы симметричным
точкам соответствовали бы значения функции ип, равные
283

по величине и противоположные по знаку *). Тогда по § 2
интеграл О [ип] по отраженной области будет иметь то же
значение, что и по области В. Равенство E) будет иметь
место, следовательно, во всей области, состоящей из В и
из отраженной области. Прилагая лемму II, получаем до-
доказываемую теорему. Такие же соображения имеют место
и при условиях G) и (8).
Аналогично доказывается наконец и последняя лемма.
Лемма IV. Пусть В, В' и С имеют те же самые значения,
что и в лемме III, и пусть для области В имеют место
равенства E) или G), а на дуге С
дщ _ дщ _
дп дп
или соответственно
II
дп дп ~ ' ' ' '
где п обозначает нормаль к С. Пусть далее последова-
последовательность ир ы2,. . .сходится в некоторой точке области В.
Для аналитического продолжения гармонической функции и через
дугу круга, пользуясь принципом симметрии для аналитической функ-
функции / (г) = и + IV (глава V, § 2, соответственно глава VI, § 4), можно
доказать следующую теорему: если функция и обращается в нуль на
дуге окружности, то симметричным точкам надо приписать равные
по величине и противоположные по знаку значения функции. Если же
ди
производная —^— по нормали к этой дуге равна нулю, то симметрич-
симметричным точкам надо приписать равные значения и.
Этот „принцип симметрии для гармонических функций" можно до-
доказать и прямо, не пользуясь принципом симметрии для аналитических
функций и при том, можно не предполагать функцию регулярной на
дуге С. Действительно, пусть и будет, например, гармоническая регу-
регулярная в полукруге функция, непрерывная вплоть до контура. Пусть
эта функция на ограничивающем полукруг диаметре имеет постоянное
значение, хотя бы равное нулю. Функцию и можно продолжить в сим-
симметричный полукруг, при помощи отражения. В самом деле, рассмотрим
гармоническую функцию, изображаемую интегралом Пуассона, построен-
построенным при помощи граничных значений, которые равны граничным зна-
значениям и на данной верхней полуокружности и равны по величине, но
противоположны по знаку этим значениям на отраженной полуокруж-
полуокружности. Эта функция на диаметре имеет значения, равные нулю, что
ясно видно из формулы A0) § 8, глава III, в которой надо поло-
положить ф = 0, ^г B71—ср) = — § (ср). Таким образом, на всем контуре дан-
данного полукруга она совпадает со значениями функции и, и следова-
следовательно должна совпасть со значениями функции и и внутри полукруга.

Тогда эта последовательность сходится равномерно в В'
к некоторой постоянной или соответственно к некоторой
регулярной гармонической функции и,-
Для доказательства отразим 1) область В в дуге С, а
затем доказательство заканчивается как и в предыдущей
лемме.
Заметим еще, что получающаяся в случае A0) гар-
гармоническая функция и непрерывна на дуге С круга и имеет
там те же производные по нормали, что и функции ип.
§ 7. Решение минимальной задачи для специальных
областей.
Теперь мы можем приступить к доказательству суще-
существования решения нашей минимальной задачи. Начнем
с того случая, когда область С построена из конечного
числа N тех „круговых областей", которые были опре-
определены в § 4 2;.
Предположим, что тот круг К радиуса а с центром
в нулевой точке О, который служил для определе-
определения нашей „функции особенности" *5, лежит целиком
вместе с его окружностью внутри круговой области Кх,
Предположим еще, что ни одна из круговых областей ЛГ2,
К&...КЫ не имеет общих точек с К. Наконец пусть Кг
лежит целиком внутри С
Существует ли решение нашей минимальной задачи —
пока должно оставаться нерешенным. Но, во всяком случае,
множество значений О [Ф], соответствующих „допустимым"
функциям Ф, имеет точную нижнюю границу с/ ^ 0, так что
для всякой допустимой функции
A)
и, следовательно, существует такая последовательность
функций Ф1э Ф2>--*> Аля которой
B)
п > со
Это непосредственно следует из существования точной
нижней границы множества положительных чисел. (Может
См. предыдущее примечание.
2) Напомним, что такую область надо считать замкнутой.
285

оказаться, что все функции Фп равны одной и той же
функции 1/у в случае, если эта функция действительно дает
значение О [^/] = с/ и следовательно решает задачу). Такую
последовательность Ф19 Ф<>, ... назовем минимальной по-
последовательностью.
Выведем сперва некоторое важное соотношение, кото-
которому подчиняется всякая минимальная последовательность.
Пусть кг, Лг, • • • будут непрерывные в С функции, обла-
обладающие кусочно-непрерывными производными, и такие, что
соответствующие интегралы й [кп] будут меньше неко-
некоторого числа М, не зависящего от п. Тогда, для всякой
минимальной последовательности Ф19 Ф2,...будет
C)
П > оо
причем О[Фп9 кп] будет стремиться к нулю равномерно,
в том смысле, что при заданном М> независимо от спе-
специального выбора последовательности функций Нп9 выра-
выражение О [Фп9 кп] делается пэ модулю меньше всякого
произвольно заданного числа, если только п будет сделано
достаточно большим.
Действительно, построим функцию Фм-|-еЛ„, где е — не-
некоторый параметр. Тогда имеем, что
о 1фп+»л„] = й [ф„] +. Bй [ф„, кл-«д [нп]) >а.
Если бы при некоторых произвольно больших значе-
значениях п было бы
[Ф«, К\ I >«> о,
то, приняв е = ± -^г, мы имели бы, что
Так как О[Фп] стремится к с/, когда п неограниченно
растет, то при некоторых достаточно больших п и при
условии, что знак е противоположен знаку О[Фпъ кп], мы
имели бы
В [Ф„] + в B/) [Ф„, А.] + Ф [А.]) < /5 [Ф„] —^ <
что противоречит вышеприведенному неравенству.
В частности можно принять, что кп = Фт — Фп, где т
286

или остается постоянным или изменяется как-нибудь вместе
с п. Действительно,
[к„] = Г> [Ф„] + й [Фт] -20 1ФП( Фт],
в силу формулы E) § 2, будет наверно меньше некоторого
числа, независящего от п и т. Так как
ф„I = О [Ф,14-
И [Фт - Ф„],
то из равенства
т -> оо п -> оо
принимая во внимание C), выведем, что при пит доста-
достаточно больших, И [Фт — Фп] будет сколь угодно малым.
Таким образом, для каждой минимальной последова-
последовательности имеем соотношение
1ш Я[Ф„-ФЖ]=О, D)
т -> со
П -> оо
играющее основную роль для дальнейшего доказательства1).
Пусть теперь Фо Ф2>«--будет какая-нибудь минимальная
последовательность нашей минимальной задачи. Образуем
при ее помощи новую минимальную последовательность,
Формулу D) можно, как это сделал Верро Ьеу1, доказать следующим
образом, не пользуясь формулой C). Если Фт и Фп допустимые функ-
функции, то (при произвольных постоянных X и р-) функция
будет тоже допустимой для нашей минимальной задачи. Таким образом
имеем, что О [Ф] ^ с/.
Отсюда имеем
т [Фт, Ф„1 - 12) +1*« (О [Ф„] - с/) > 0.
Так как это равенство справедливо при произвольных X и ц, то
Имеем поэтому
- ф»1 КI
„ В [Фп] - </1 + 2 /(О [Фда] - й) ф [Ф„] - «0•
Отсюда следует сейчас же формула D).
287

функции которой получаются из функций первоначальной
последовательности Фа, Ф2 , . . . „процессом сглаживания",
чтобы таким способом приблизиться к решению нашей
задачи.
Дая того, чтобы описать наш процесс сглаживания, пред-
предположим, прежде всего, что Кь будет круговая область,
которая вся лежит внутри С и которая отлична от Кх.
Мы будем говорить, что допустимая функция сравнения Ф
„сглажена" для области Кь, если построена такая функция,
которая вне Кь совпадает с Ф, а внутри Къ будет регулярною
гармоническою функциею, решающей предельную задачу
теории потенциала для круговой области Кь, причем зна-
значениями на контуре являются те значения, какие прини-
принимает на контуре Кь функция Ф. Если же Кп имеет дугу С,
общую с контуром области С, то под сглаживанием для АГЛ
мы будем понимать замену Ф такой допустимой (а значит
непрерывной и на контуре Кь) функцией, которая совпа-
совпадает с Ф вне АГЛ, а внутри Кь будет регулярной гармони-
гармонической функцией, имеющей равные нулю производные по
нормали на дуге С. Наконец под сглаживанием в Кх будем
понимать замену Ф такой допустимой функцией Ф*, что
будет внутри Кх регулярной гармонической функцией, а Ф*
вне Кх и на его контуре будет совпадать с Ф.
Расположим теперь круговые области АГ1? К%,. . .,Ку
в каком-нибудь порядке так, чтобы каждая из них встре-
встречалась бы по крайней мере один раз, и сгладим некоторую
допустимую функцию сравнения Ф сперва для первой из
этих областей; полученную таким путем функцию сгладим
для второй области и т. д., пока этот процесс сглаживания
не будет выполнен, хотя бы один раз, для каждой из кру-
круговых областей ^1,...,ЛГДГ. Мы будем говорить, что по-
полученная таким способом функция ЧГ будет допустимой
функцией сравнения, полученной путем „сглаживания функ-
функции Ф для области С"\ Очевидно, что такая функция оста-
останется сглаженной в С, если присоединим еще одно сгла-
сглаживание для какой-нибудь круговой области Кь. Каждая
сглаженная в С функция будет регулярной гармонической
функцией в каждой части области, не содержащей дуг
288

окружностей, ограничивающих наши круговые области Кн.
При сглаживании величина интеграла Дирихле не уве-
увеличивается, т. е. всегда имеем
Я[ЧГ]<Я[Ф], E)
если Ч7 получено путем сглаживания Ф. Для каждой кру-
круговой области, отличной от К19 это следует из § 5, A).
Для Кх обозначим
функция к будет в К равняться нулю, а внутри кругового
кольца /?, лежащего между перифериями у и х1 кругов К
и ЛГЬ будет удовлетворять уравнению Л& = 0; на окруж-
дк
ности у. производная по нормали —т— обращается в нуль.
Так как хУ-]-к будет гармонической регулярной внутри Кг
функцией, совпадающей на контуре с Ф -\~к> то в силу § 5
имеем для круга Кг:
или
, к).
По формуле Грина
, к\=— Г Лф —
дк
ибо в К удовлетворяется уравнение Л& = 0, на у- везде -т- = О
и на у-1 везде ^ = Ф. Таким образом, как было сказано,
< О [Ф] •
Это неравенство имеет таким образом место при всяком
сглаживании для области С
Прилагая теперь описанный процесс сглаживания к функ-
функциям Фх, Ф2, • • • нашей минимальной последовательности,
перейдем от каждой функции Фп к такой функции Ч^,
которая получается из Фп сглаживанием для области С.
19 Зак. 1985. Курант. 239

Прибавляя Постоянные, нормируем эти функции *РЙ Так,
чтобы они обращались бы в точке О в нуль.
Так как каждая функция ЧГП будет допустимой функцией
сравнения, то мы должны иметь
> <*; из Л [ЧГЙ] < /) [Фй] и из Нш В [Ф„] = с/ следует
-> СО
поэтому, что
Нш
Таким образом, функции ЧЕГ1, ЧГ2> . . . образуют мини'
мальную последовательность и поэтому удовлетворяют
соотношению
Пт ЩУн-Ут]=0. F)
га->-оо
Представим себе, что сглаживание производится так, что
круг Кх будет последним в ряду. Функции ^-[-,5 будут
тогда гармоническими регулярными в круге Кх, за исклю-
исключением нулевой точки, функциями. Но отсюда и из леммы II,
§ 6 непосредственно следует равномерная сходимость функ-
функций ЧГЛ в каждой замкнутой области, лежащей внутри
круга Кх. Действительно, №п — ^т будет такая гармониче-
гармоническая регулярная в круге Кх функция, равная нулю в точке О,
которая удовлетворяет предельному равенству F). Обозначим
через V предельную функцию 1цп Фп; тогда 11-\-3= и будет
П -> со
гармонической регулярной в круге Кх за исключением
нулевой точки функцией.
Пусть К2 будет круговая область, имеющая общую с Кг
замкнутую часть В. Докажем, что последовательность
функций <\РП определяет гармоническую функцию также и
в круговой области ЛГ2, совпадающую в общей области В
с функцией 6/, только-что определенной для Кг. Действи-
Действительно, представим себе, что из минимальной последова-
последовательности функций ЧГ„ образована новая минимальная по-
последовательность Йм, причем 2П получается из *?„ сгла-
сглаживанием для круговой области АГ2; тогда имеем как
равенство
Нш й [9П — 9Ж] = 0, G)
1П ->ОО
11-> СО
290

Гак и равенство
Нт
П
так как последовательность 4?^, йх, №2> 02>---тоже будет
минимальной. Тем более имеем, что
Нт
П -> оо
Так как 2М — ^п равна нулю на дуге окружности, ограни-
ограничивающей К2 и лежащей в Ки то по лемме III из § 6
функция 2М — ^п должна в В стремиться к нулю при
возрастании щ т. е. Яп сходится к определенной раньше
функции I}. В силу равенства G), на основании леммы II,
гармонические функции 2П будут, следовательно, во всем
круге К2 стремиться к гармонической функции Ц, которая
является аналитическим продолжением построенной выше
для Кх функции V.
Тем же путем можно пойти дальше и получить гармони-
гармоническую функцию (/, которая в каждой замкнутой части С*
области о, не содержащей дуг окружностей, производящих
разбиение нашей области на круговые, будет пределом,
к которому равномерно сходится каждая сглаженная мини-
минимальная последовательность и для которой и = Ц-\-5 бу-
будет везде в С, за исключением точки О, регулярной гармо-
гармонической функцией (с заданной особенностью в О).
Надо еще доказать, что V решает нашу минимальную
задачу. Прежде всего легко видеть, что интеграл И [Щ суще-
существует и не может быть больше с?. Действительно, так как
функции *ГЛ в каждой замкнутой части С*, где нет дуг ок-
окружностей, производящих разбиение области, равномерно
сходятся к I] и так как отсюда по § 9, гл. III вытекает
равномерная сходимость их производных, то имеем:
% [Ц] = Нт йш [Ч<„] < Ит
П -> ОО П -> ОО
где йд обозначает сумму интегралов Дирихле, распростра-
распространенных по совокупности С таких частичных областей.
Устремляя С к С, получим в самом деле, что й [Щ <^ А-
Показав еще, что V будет допустимая функция, мы до-
докажем тем самым, что Г)'[Ц] = с/, так как интеграл Ди-
Дирихле для допустимой функции не может быть меньше б/.
19* 291

Чтобы показать, что Ц будет допустимой функцией, надо
только доказать, что V или, что все равно, и имеет на
контуре области С, по предположению замкнутой, непре-
непрерывные значения. Из леммы IV, §. Ь, имеем для каждой
дуги С контура, что на ней и непрерывна и обладает
равными нулю производными по нормали. Сопряженная
гармоническая функция V должна поэтому, в силу диф-
дифференциальных уравнений Коши-Римана, сохранять посто-
постоянное значение вдоль каждой такой дуги х. Покажем
теперь, что на каждой связной части контура это значение
одно и то же, т. е. что граничные значения V остаются
непрерывными в точке Р пересечения двух, следующих
друг за другом круговых дуг Сг и С2 контура С. Для
этого представим себе, что достаточно малая окрестность
точки Р, в части, принадлежащей к С, так отображена на
однолистную область плоскости I ч\, что точка Р переходит
в нулевую точку и сходящиеся в Р части дуг Сх и С2 пе-
переходят в два отрезка Г\ и Г2 оси I. Функция V будет
тогда гармонической функцией также от \ и у\9 которую
мы опять обозначим через V. Эта функция на Г1 и Г2
имеет постоянные граничные значения V! и соответственно^
и может терпеть разрыв, самое большее, в нулевой точке.
В области же //, примыкающей к Г1 и Г2 (области, полу-
получающейся отображением вышеупомянутой части С), ко-
которую можно предполагать лежащей в верхней полу-
полуплоскости, она будет регулярна. Введем теперь полярные
координаты г, & с полюсом в нулевой точке и будем от-
отсчитывать & от положительной оси 5. Если /? выбрано так,
что полуокружность г — К, 0<&<тс лежит вся в области//,
то колебание V на каждой дуге окружности 0<^<тс @<г<!/?)
будет не меньше а = | <у1 — г/2 | • Поэтому имеем
(г,»)
и, в силу неравенства Шварца,
292

Разделив это неравенство на г и проинтегрировав по г
от г = е (е > 0) до г = /?, получим
г*
где Н* обозначает половину кругового кольца е ^ г
О < *> < тт. Так как О[у]=О[и], то выражение в правой
части остается конечным, если интеграл возьмем вплоть
до г = 0, так что а2 1§г — Не превосходит некоторой неза-
независящей от е границы; отсюда имеем, что а = 0, т. е.
)
Теперь легко видеть, что и имеет непрерывные гранич-
граничные значения на всем контуре С. Так как для внутренних
точек каждой дуги С контура С функция и имеет непре-
непрерывные граничные значения, то надо доказать непрерыв-
непрерывность и только для угловых точек контура. Только что
рассмотренное конформное отображение угла на область
плоскости;?] показывает, что аналитическая функция и-\-гь9
как функция ст Ь-\~щ может быть аналитически продол-
продолжена по принципу симметрии в окрестности нулевой точки
через вещественную ось плоскости $т] 2). Итак, в этой
окрестности и будет непрерывна, откуда, возвращаясь
обратно к С, докажем наше утверждение. А тем самым
заканчивается доказательство того, что функция Ц решает
нашу минимальную задачу.
§ 8. Непрерывная зависимость потенциалов
потока от области. Решение общей минимальной задачи.
После того как решена минимальная задача для наших
специальных областей, ее решение в общем случае полу-
получается как простое следствие одного интересного самого
по себе предложения, которое выражает непрерывность
зависимости потенциалов потока от области.
1 Ср. соответствующие рассуждения в главе VI, § 4.
2) См. сноску на стр. 234.
293

Предположим, что область С (соответственно с § 4) опре-
определена как „предел" последовательности заключающих друг
друга областей Сп, причем эти области Сп не должны обя-
обязательно быть того вида, который указан в предыдущем
параграфе. Доказываемое предложение можно тогда фор-
формулировать так: предположим, что точка О (с координа-
координатами х = О, у = 0) принадлежит всем областям Сп; пусть
ип (Х> у) будет соответствующий Сп нормированный Потек-
Потекла
циал потока, имеющий особенность о ,—г- в точке О.
^ х2{у2
{у
Тогда в каждой замкнутой области В, принадлежащей
области С и не содержащей точки О, последовательность
потенциалов ип будет равномерно сходиться к гармони-
гармонической функции и (лг, у), которая представляет собой потен-
потенциал потока области С. Другими словами: из существо-
существования потенциалов потока для областей Сп можно вывести
существование потенциала потока в области С и полу-
получить ею простым переходом к пределу.
Пусть 5 будет опять введенная в § 3 функция, соответ-
ствующая особенности 2 , о. Рассмотрим функции (/=ип —
■*• ~РУ''
— 5 И ПОЛОЖИМ
Так как Цп обозначает потенциал потока для области Сп, то
число с1п будет минимальное значение для этой области Сп-
Пусть Ф будет какая-нибудь допустимая для минимальной
задачи области С функция и с/ точная нижняя граница
всех соответствующих интегралов Дирихле По [Ф]. При вся-
всяком п тогда имеем, что
с/.
Действительно, всякому произвольно малому, положи-
положительному числу е соответствует такая допустимая в С фун-
функция Ф, что ##[Ф]<с/-(-е и тем более Пп [Ф]<</-(-е,
откуда и следует наше утверждение. Если, с другой сто-
стороны, п < т, то так как Цт тоже есть допустимая функ-
функция сравнения в Сп,
Вообще для простоты будем писать всегда Аг [Ф] вместо ИСп [Ф].
294

следовательно Нт <1п = 8 существует и будет не больше </,
П>оо
т е
A)
Если положить {]т — (/„ = к, то, в силу того, что по § 3, D)
А, Шп, Л] = 0, будет
[ип~\-к] = д. [ия]+Д, [Л] =
4М]
Таким образом, при тип достаточно больших интеграл
№т—11Л будет сколь угодно малым, т. е. для всякой
замкнутой области 5, лежащей внутри С, имеем, что
Нт Эв [Цт - Цп] - 0.
«1-> ОО
П -> СО
В силу леммы II, § 6 и условия, что Цп = 0 в точке О,
получаем теперь равномерную сходимость функций []п и
соответственно потенциалов потока ип. Обозначим пре-
предельные функции через II и соответственно и. Так как
сходимость остается равномерной и для производных, то
Ив [Щ = Нт Ов
П -> ОО П -> ОО
Так как 5 произвольная замкнутая область внутренняя к С,
то отсюда сейчас же следует существование И [II] и
зависимость
B)
Так как с/ есть точная нижняя граница значений инте-
интегралов Дирихле И [Ф] для всех допустимых функций Ф,
то из B) следует, что •
И [Ц] = с/. C)
Таким образом, в силу § 3, V представляет собой реше-
решение нашей минимальной задачи, что и доказывает нашу
теорему.
Из этой теоремы непрерывности непосредственно следует
существование решения нашей минимальной задачи для са-
самой общей области, определенной в § 4, так как в § 7
мы доказали существование потенциалов потока для тех
областей Сп которые служили для построения этой об-
области.
295

§ 9. Конформное отображение на плоскость
с надрезами..
Перейдем теперь к изучению конформного отображения,
совершаемого аналитической функцией ^ С =/(г) — и + /и,
„характеристической функцией течения", где и —только-
что найденная гармоническая функция, а ^ — сопряженный
с ней потенциал. Для этого сперва нужно сделать некото-
некоторые замечания геометрического характера относительно
связности области С. Действительно, для многолистных
областей могут встретиться обстоятельства совершенно
иного рода, чем для областей однолистных, а именно могут
существовать такие „цикли-
„циклические сечения" (т. е. про-
простые замкнутые, непрерыв-
непрерывные кривые, лежащие в С),
которые не разлагают об-
область на отдельные части.
церт# 56. Если же область С обладает
тем свойством, что она каж-
каждым циклическим сечением разлагается на отдельные ча-
части, то мы будем называть С „подобною однолистным
областью *)• Примером области, не являющейся подобною
однолистным, может служить изображенная на черт. 56 дву-
двулистная поверхность Римана, которая не разлагается зам-
замкнутой кривой, лежащей в верхнем листе; напротив^область,
полученная отсюда при помощи разреза вдоль этой кривой,
будет подобна однолистной.
Очевидно, что при всяком непрерывном взаимно одно-
однозначном отображении одной области на другую, не раз-
разлагающее циклическое сечение одной области переходит
в такое же другой. Таким образом, конформное отобра-
отображение на однолистную область возможно только тогда,
когда сама отображаемая область С будет подобной одно-
однолистным областям. Мы будем впредь делать это предпо-
предположение.
Область, подобная однолистным, называется (так же, как
и однолистная область) и-связной, если она ограничена п
отдельными кривыми.
1) По теореме Жордана (гл. I, § 2) однолистная область обладает
таким свойством.
296

Главная цель настоящего параграфа состоит в доказа-
доказательстве следующей теоремы: функция С = и -\- 1у = /(г)
отображает п-связную подобную однолистнсй область С.
взаимно однозначно и конформно на всю плоскость С,
разрезанную вдоль п прямолинейных отрезков, парал-
параллельных вещественной оси. Некоторые из этих разрезов
могут при этом сводиться к точкам.
Если „подобная однолистным" область С не будет ко-
нечно-многосвязной областью, то, как будет доказано,
такая область отображается функцией С=/(г) на одно-
однолистную область. Если понятие плоскости с надрезами
надлежащим образом определить и для случая бесконечной
многосвязности области, то приведенная выше теорема
имеет место и в этой случае.
Докажем сперва, что аналитическая функция С = и -р IV
будет однозначна в С. Так как потенциал потока и, по
самому определению, является однозначной функцией точки
в С, то надо только доказать однозначность сопряженной
гармонической функции V. Для этого воспользуемся ра-
венством
которое имеет место, если А — какая-нибудь непрерывная
в С функция, имеющая кусочно-непрерывные первые про-
производные и конечное значение /)[А]. Это равенство выра-
выражает то обстоятельство, что V является решением нашей
минимальной задачи. Это равенство получается или так же
как формула D), § 3 или из C), § 7, если там положить
Ф1 = Ф2 = ... == Ц и П{ = П2 =... = А, Если функцию А выберем
в частности так, чтобы она в круге К тождественно равня-
равнялась бы нулю, то можно V заменить на и и получить
О[и,Н]=0. A)
В силу независимости функции и от радиуса круга К (ср. §3),
равенство A) имеет место и тогда, если А тождественно
равно нулю в сколь угодно малой окрестности точки О.
Из равенства A) можно %вывести однозначность функции V.
Действительно, пусть С будет кусочно-гладкая замкну-
замкнутая кривая, лежащая в С и не проходящая через точку О.
Докажем, что для такой кривой имеет место зависимость
ди , Г ду . ( ч
—~ с{$ = — I -5—аз = 0, B)
дп ^ д$ ' ч 7
297

д , д
где -т- обозначает производную по дуге, а -т- производную
по той нормали, которая поручается положительным вра-
вращением на угол -~- из направления касательной, напра-
направленной в сторону возрастающих дуг 5. По предположению,
кривая С разделяет С на две области С и С", в одной
из которых, хотя бы в С, лежит точка О. Функцию А
выберем в С" тождественно равной 1, а в С так, чтобы
во всяком случае она равнялась бы нулю в окрестности
точки О и в окрестности каждой граничной точки С, ко-
которая является также граничной точкой О'; такой выбор А,
очевидно, возможен 1). Тогда будем иметь, что /)^„[и, А] = О,
а в силу равенства A) и Оо,\и,А] = 0. Прилагая здесь фор-
формулу Грина, сразу получим требуемое равенство B),
а вместе с тем и однозначность V.
Доказательство нашей теоремы об отображении прове-
проведем, предполагая сперва, как и в § 7, что область С состоит
из конечного числа „круговых областей". Переходя потом
к пределу, мы докажем теорему и для общего случая.
Итак, пусть Сбудет область указанного специального вида,
относительно которой предположим еще, что она имеет гра-
граничные точки (например, не состоит из всей плоскости). Тогда
из доказанного в § 7 постоянства граничных значений V на
каждой связной части границы области С легко вывести наше
предложение. Достаточно только показать, что функция
С=/(г) принимает каждое значение а = а.-\- $9 где C не
совпадает ни с одним из п граничных значений с19 с2,..., сп
функции V один и только один раз. Для этого (соответ-
(соответственно со сказанным в гл. III, § 5, D)) рассмотрим измене-
изменение \% [/(г) — а], когда точка г описывает в положительном
направлении всю границу области С. При обходе каждой
связной части границы это изменение равно нулю, так как
значение /(г) колеблется на прямой линии плоскости С,
в ту и другую сторону, и возвращается, наконец, в началь-
начальную точку, между тем как точка а лежит вне этой прямой.
С другой стороны изменением логарифма определяется
разность между числом нулей и числом полюсов функции
) Примем например А отличной от нуля только в узкой полосе,
прилегающей к С,
298

в области С. Так как функция /(г) в С имеет один полюс
первого порядка в точке О, то значение а она прини-
принимает в С один и только один раз. Таким образом отобра-
отображенная область состоит из всей плоскости С, ограниченной
связными граничными точечными множествами числом л,
расположенными нал прямых ю = с1У ю — с&ш.чУ = сп. Таким
образом, отображениями п непрерывных граничных кривых
области С будут п разрезов, что и требовалось доказать.
Мы дадим еще другое доказательство этой теоремы,
основанное на рассмотрении кривых V = сопз1. Пусть с
будет какая нибудь постоянная, отличная от каждого из
граничных значений си с2,..., сп функции V. Рассмотрим
в области С кривую V = с и докажем, что она состоит
из одного замкнутого пути, проходящего через точку О.
Для доказательства заметим сперва, что в силу однознач-
однозначности функции V в области Сив силу сказанного в гла-
главе IV, § 2 о поведении кривых # = соп81: в окрестности
полюса, при всяком с через точку О может проходить только
одна ветвь кривой V = с. Рассмотрим теперь части, на кото-
которые разлагается кривой V = с область С, в одной из которых
V <с, а в другой V > с. Если наше предложение не верно, то,
так как кривая V = с нигде не может подходить к самой грани-
границе, должна существовать замкнутая ветвь кривой V = с,
не проходящая через точку О и ограничивающая, например,
некоторую область V > с. На этой ветви кривой про-
производная от V по внутренней нормали была бы всюду по-
положительной. Производная от и по направлению касатель-
касательной к этой кривой была бы поэтому тоже положительной.
Функция и не возвращалась бы поэтому к первоначальному
значению при обходе этой области и не была бы, поэтому,
однозначной функцией в С, что невозможно.
Следовательно, кривая V =с действительно состоит из
одной единственной замкнутой ветви, проходящей через
точку О. На каждой такой кривой, если ее обходить в одном
направлении, производная от V по нормали, а поэтому
также и производная от и по касательной должны сохра-
сохранять свои знаки. Так как при обходе от точки О до воз-
возвращения опять в эту точку функция и меняется от -|- оо
до — оо,в соответствии с тем обстоятельством, что точка О
является полюсом, то кривая V = с отображается взаимно
однозначным образом на прямую линию плоскости С и это
имеет место при всяком с лежащем между —оо и -|-оо, за
299

исключением п значений с1э с2,...с„. Таким образом наша
теорема о конформном отображении доказана вторично.
Если наша область С не имеет граничных точек и, следо-
следовательно, представляет собой „замкнутую" поверхность Ри-
мана (так как С состоит из конечного числа листов), то не су-
существует никакой исключительной кривой V = соп§1:, и значит
область С отображается навею плоскость С взаимно однознач-
однозначно и конформно. Функция г = ф (С) обратная для /(г), опреде-
определена и однозначна во всей плоскости и может иметь особыми
точками только полюса (и следовательно только конечное
число их), так как каждому значению С соответствует опре-
определенная точка С. В силу главы V, § 4, функция ^(С)
будет, поэтому, рациональной функцией, например степени т,
а С будет замкнутой т-листной поверхностью Римана,
принадлежащей к./(г). Таким образом, множество тех
областей, которые отображают я на полную плоскость С,
тождественно со множеством поверхностей Римана для
функциг, обратных рациональным.
Опуская теперь предположение о том, что область С
построена из круговых областей, рассмотрим произволь-
произвольную область С, подобную однолистной, которая опреде-
определен! (в смысле § 4) как „предел" заключающих друг друга
областей Ст указанного выше специального рода. Для каж-
каждой области СП} мы можем построить „характеристическую
функцию течения" ^„, =/я,0г0, отвечающую заданной осо~
бенности в точке О. По § 8, предельная функция
({г) = Уип/т {г) = Нт (и
т
т->со
будет характеристической функцией течения для об-
области С.
Так как функции /т (г) отображают области \Ст на одно-
однолистные области плоскости С, то, пользуясь надлежаще
обобщенной леммой из главы VI, § 1, получим, что функ-
функция С =/(г) тоже отображает область С на однолистную
область Г плоскости С,
О порядке связности области О мы при этом не делали
никакого предположения. Область может быть и беско-
бесконечно многосвязной.- Таким образом, доказана следующая
общая теорема о конформном отображении: каждая конечно
или бесконечно многосвязная область, подобная одно-
300

листной, может быть отображена взаимно однознач-
однозначным образом и конформно на однолистную область 1).
Покажем теперь, что и в рассмотренном теперь случае
общей, подобной однолистным „предельной" области С,
если она конечно-многосвязна, отображенная область Г
будет опять надрезанной плоскостью. В силу инвариант-
инвариантности интеграла Дирихле при конформном отображении,
из равенства A), если принять в нем за независимые пере-
переменные координаты иуу отображенной области Г, следует,
что
Ц C)
Г
так как ии = 1, иь = 0. Здесь К обозначает любую функцию,
которая в окрестности бесконечно удаленной точки облас-
области Г, являющейся отображением точки О, тождественно
равняется нулю, а в остальных точках области Г непре-
и
Черт. 57.
рывна и имеет кусочно-непрерывные первые производные,
и кроме того такая, что интеграл Иг [Л] существует. Отсюда
легко видеть, что Г будет надрезанной областью- Предпо-
Предположим, что связная часть 2 границы области Г имеет две
точки с различными координатами г^ и г>2> причем пусть
например юх < у2. Так как все точки, для которых модуль С
достаточно велик, принадлежат области Г, то можно выб-
Это важное предложение названо
униформизауии ",
К о е Ь е „общим принципом
301

рать такое положительное *1исло с19 чтобы все точки С*.
у которых и ^ с, принадлежали бы области Г. На прямой
к = с отметим точки А19 А2, у которых V = ю± и соответ-
соответственно V = у2 (черт. 57). Отрезок, соединяющий эти точки,
весь лежит в области* Г.
Проведем теперь влево от отрезка А1 А2 прямые ю = сопз!
до их первой точки пересечения с частью 2 границы. Такая
точка встречи должна существовать во всяком случае, так
как части Е границы принадлежит по крайней мере одна
точка, ордината которой имеет любое значение между уг
и ю2. Пусть Вх и В2 будут такие точки пересечения для
прямых ю=^± и у = у2. Части отрезков А1Ви А2В2,
лежащие в Г, отрезок АХА2 и, в общем случае, другие
части границы области Г, расположенные между АгА2 и Ег
ограничивают одну или несколько частей области Г, сово-
совокупность которых обозначим для краткости через Г'. Рассмо-
Рассмотрим теперь какую-нибудь непрерывную функцию § (г>)
от V в промежутке ух ^ V ^ и2» относительно которой пред-
предположим, что она равна нулю при ю = ю± и V = ю% (но не
тождественно) и что она нигде не отрицательна, например
§ (г>) —(г> — и] J (у — г>2J. Далее определим везде в Г'
функцию Н(щ V) равенством А (и, ^)==§((о). Построим
наконец справа от А1А2 полукруг и представим себе, что
к продолжена в этом полукруге так, что на контуре А
везде равно нулю, например положим, что во всех точках,
одинаково удаленных от центра круга А, имеет одно и то же
значение. Совокупность областей Г', к которой присоединен
полукруг, построенный на АгАъ обозначим • через Г* и
функцию А зададим всюду вне Г* равной нулю. Для этой
функции А очевидно
т. е. не равен нулю, что противоречит равенству C). Таким
образом доказано, что все точки какой-нибудь связной
части границы области Г лежат на одном отрезке, парал-
параллельном оси и, т. е. что Г будет надрезанной плоскостью.
Таким образом, наша теорема для конечно-многосвязных
областей доказана.
В случае бесконечно-многосвязной области назовем
„плоскостью с прямолинейными надрезами" такую однолис-
302

область, Для которой кажДбе сёязнбе множёстёб
граничных точек образует отрезок, параллельный веще-
вещественной оси. Тогда приведенное выше доказательство
легко переносится и на этот случай. Для этого нам нужно
только построить, как выше, совокупность Г' областей
для связной части 2 границы однолистной области Г.
Если представим себе, что область Г заменена такою
ограниченною множеством точек 2 односвязною областью Г
плоскости С, к которой принадлежит бесконечно удаленная
точка, то построение области Г' возможно непосредственно.
Из этой области надо еще удалить все те точки, которые
не принадлежат Г. Оставшееся множество точек и будет
искомым множеством Г'. После построения Г' доказатель-
доказательство того, что 2 имеет характер надреза, будет то же самое
что и раньше.
Заметим, что множество точек, образованное надрезами
плоскости, в случае бесконечной многосвязности области Г,
имеет площадь, равную нулю. Это значит, что все надрезы
области Г можно заключить внутрь конечного числа таких
кусочно-гладких кривых, что ограниченная ими область
имеет произвольно малую площадь. 'Доказательство легко
получается из вышеприведенного равенства C)
Ни Ли Aю = О, D)
г
если его применить к такой функции Л, которая в окрестности
бесконечно удаленной точки равна нулю, в области Г
непрерывна, имеет кусочно-непрерывные производные и
совпадает сив некотором круге, внутри которого лежат
все надрезы области Г. Так как область С определена как
предел последовательности заключающих друг друга
областей Сп, каждая из которых в отдельности отобража-
отображается на однолистную область Гп, ограниченную конечным
числом кусочно-гладких кривых, то область Г можно также
рассматривать как предел таких областей Гп. Из равен-
равенства D) тогда имеем, что
E)
Но каждый из этих интегралов равен конечной сумме
интегралов вида /и (IV, где каждый интеграл взят в поло-
303

жительном направлении по одной из граничных линий
области Гп. Таким образом абсолютная величина интеграла
/ ] Ни Ли с1у = 2и] и
Тп
представляет собой общую величину площади областей,
вырезанных граничными кривыми области Гп из всей плос-
плоскости, что в силу равенства E) и доказывает наше утвер-
утверждение.
Укажем еще в заключение на еще не вполне выясненный
вопрос о том, что происходит с областью С, если один
из надрезов области Г сводится к точке. Если Г — односвяз-
ная область, то существует только одна единственная гра-
граничная точка, которую мы при помощи линейного преобра-
преобразования перенесем в бесконечно удаленную точку. Обрат-
Обратная функция <ХС) будет тогда целой функцией или (если С
покрывает точку г = сю) мероморфной функцией. Таким
образом мы приходим к кругу вопросов, относящихся
к теореме Пикара; эти проблемы мы можем рассматривать
как вопрос о геометрической структуре таких бесконечно-
многолистных, подобных однолистным поверхностей Римана,
которые при их конформном отображении на однолистную
область переходят в плоскость, из которой исключена одна
точка.
§ 10. Единственность конформного отображения на
плоскость с надрезами.
В § 3 мы видели, что характеристическая функция тече-
течения определяется минимальным свойством с точностью до
постоянного слагаемого. Покажем теперь, что эта функция
для конечно-многосвязной подобной однолистным области С
может быть однозначно определена также и только-что
доказанным свойством отображения. В соответствии с этим
сформулируем такую теорему: если ^—/(г) и С* =/*(*:)
две такие аналитические регулярные в области С фун-
функции, каждая из которых отображает область С кон-
конформно на плоскость с надрезами, то разность между
ними будет постоянной.
Для доказательства рассмотрим область Г, состоящую
из плоскости с надрезами, на которую функция С =
304

бтображает область С. Функция х = р -{- гд = С — С* =/(г) —■*
—/* (г) = ?С») будет однозначной и регулярной функцией
от С во всей области Г, включая и бесконечно удаленную
точку. Мнимая часть этой функции должна иметь постоян-
постоянные значения на каждом разрезе области Г. Пусть д = до
будет какое-нибудь значение, которое д принимает в об-
области Г. Рассмотрим кривую д = д^ которая отделяет ту часть
области Г, где д > д0, от той ее части, где.дКд0- Эта
кривая не может быть замкнутой в области Г, так как тогда
при обходе по этой кривой, р не могло бы вернуться
к первоначальному значению (ср. § 9, стр. 299). Таким обра-
образом кривая д = до должно оканчиваться в граничных точ-
точках области Г, так что д должно совпадать с одним из
граничных значений. Так как существует только конечное
число таких граничных значений, то отсюда видно, что все
эти граничные значения тождественны между собой и тож-
тождественны со значением д в произвольной точке области Г.
Таким образом, д и р, а следовательно и <р (С), будут пос-
постоянными, что и требовалось доказать )
) Предоставляем читателю доказать эту теорему единственности при
помощи рассуждений главы VI, § 3.
20 Зак. 1985. Курант. 305

ГЛАВА ДЕВЯТАЯ
ДАЛЬНЕЙШИЕ ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ ТЕОРИИ
ФУНКЦИИ.
Доказанную в предыдущей главе общую теорему суще-
существования мы применим для того, чтобы изложить неко-
некоторые из важнейших более глубоких вопросов теории функ-
функций. В основание наших исследований мы положим алге-
алгебраические римановы поверхности, т. е. (соответственно
со сказанным в главе V, § 4 и в главе VIII, § 4) замкнутые
поверхности, состоящие из конечного числа листов, по-
крывающих всю плоскость {соответственно всю сферу)
и обладающие конечным числом точек разветвления.
В § 1 мы составим более точное представление о виде
этих поверхностей. При этом мы будем сперва широко
опираться на геометрические пространственные предста-
представления. В дополнении мыд^дим аксиоматическое обоснова-
обоснование наших топологических рассуждений 1).
§ 1. Апа1ув18 вНив алгебраических римановых поверхно-
поверхностей.
Уже в главе VIII, § 9, мы установили понятие цикличес-
циклического сечения и заметили, что существуют поверхности,
именно поверхности, не подобные однолистным, которые
не всегда разлагаются такими сечениями на отдельные
области. Так как только такой случай и придется нам
рассматривать в дальнейшем, то мы будем впредь подра-
подразумевать под „циклическим сечениема замкнутую простую
непрерывную кривую на поверхности, которая не делит
поверхность на отдельные области.
*) Ср. здесь книги Вейля (см. стр. 167) и Керекьярто (см. стр. 11).
№

й?
Каждое такое сечение имеет два „края", причём т еа*
мого определения видно, что возможно соединить две
„противоположные" точки краев циклического сечения B
кривой B\ которая больше нигде уже не встречает кри-
кривую ф. Замкнутая кривая (?',
представляет тоже цикличе-
циклическое сечение, потому что B
находится с нею в том же
отношении, как B' с B. Два
таких циклических сечения
называются сопряженными
друг с другом. Примером мо-
могут служить представленные
на черт. 58 пары циклических сечений на гиперэллипти-
гиперэллиптической 1) поверхности с 6 точками разветвления.
Чтобы создать себе наглядное представление о т-лист-
ной римановой поверхности С, вообразим себе, что она
так разобрана на части, что получились т экземпляров
полных плоскостей или, что здесь удобнее, полных сфер,
причем они надрезаны вдоль некоторых кривых надлежа-
надлежащим образом соединяющих точки разветвления, вдоль „се-
„сечений разветвления". Края этих сечений представим себе
Черт. 58.
Черт. 59.
занумерованными таким образом, что те из них, которые
примыкают друг*к другу на С, получают один и тот же
нумер.
Теперь будем деформировать 2) каждый такой „лист",
) Ср. сноску *) на стр. 178.
2) Точки получившейся после деформации фигуры сопоставляются
взаимно однозначным и непрерывным образом с точками первоначаль-
первоначальной фигуры.
20*
307

пока ой не примет формы мешка или трубы, как показы-
показывают черт. 59 — 61 для случаев простой, двойной и трой-
тройной связности листа. Таким образом, мы получаем т про-
пространственных фигур /?!, /?-2,.. . ,/?ш, края которых возникли
Черт. 60.
из сечений разветвления С. Теперь опять соединим эти
фигуры друг с другом так, чтобы края с одинаковыми
нумерами совпали друг с другом; при этом мы должны при
помощи непрерывной деформации позаботиться о том,
чтобы везде совпали как раз те самые точки, которые
совпадали и на первоначальной римановой поверхности.
Черт. 61.
Постепенно соединяя друг с другом /?1Э /?2,..., Кт, мы
можем очевидно достичь (в случае необходимости, при по-
помощи дальнейшей непрерывной деформации) того, что по-
получаемая поверхность нигде не будет сама себя пересе-
пересекать или заузляться. При этом, само собой разумеется,
могут получиться и поверхности типа сферы *); следу-
) Можно наглядно представить себе это, например, на случае рима-
римановой поверхности функции / (г) = у (г — 1) (г~\-1).
308

Черт. 62.
ющий по сложности случай дает важную для теории
эллиптических функций поверхность тора, которая может
быть также деформирована в сферу с ручкой на ней
(черт. 62). Таким образом, можно последовательно полу-
получить поверхности с двумя ручками
(„форма кренделя"), с тремя руч-
ручками и т. д.
Полученную описанным выше спо-
способом пространственную поверх-
поверхность мы называем опять „римано-
вой поверхностью". Она представ-
представляет взаимно однозначное непрерыв-
непрерывное отображение первоначальной по-
поверхности и обладает теми же самы-
самыми соотношениями связности, как
и та. В частности, каждое цикличе-
циклическое сечение сохраняет свое харак-
характерное свойство — не разделять по-
поверхности на части.
С помощью такой наглядной фор-
формы римановой поверхности, экви-
эквивалентной первоначальной поверхности, а именно сферы
с насаженными на неё ручками, мы можем ввести число,
характерное для внутреннего строения римановой поверх-
поверхности: назовем число р ручек римановой поверхности
ее родом.
Чтобы связать это число с характерными свойствами по-
поверхности, обусловленными существованием возвратных
сечений, мы проведем на нашей „поверхности с ручками"
систему р пар взаимно-сопряженных циклических сечений
B19 (?/ (г = 1, 2,..., р), например так, что B/ охватывает
ручку поперек, а С?* идет вдоль ручки и потом переходит
на сферу (черт. 63).
Сразу видно, что, произведя эти 1р сечений, мы пре-
преобразуем поверхность рода р в подобную однолистной по-
поверхность С, потому что после такого рассечения цикличес-
циклических сечений больше не будет. Отсюда:риманова поверхность
рода р может быть преобразована путем проведения
р раздельных пар взаимно сопряженных циклических сече-
сечений в подобную однолистной область С. Поверхности,
подобной однолистной, приписываем род нуль. Мы можем
рассматривать род как число пар циклических сеченищ
309

которые необходимо провести на поверхности для ее
преобразования в поверхность, подобную однолистной.
Легко видеть, что р циклических сечений (^19 С?2>--мр
превращают поверхность С в подобную однолистной об-
область, которая будет не односвязной, а 2/?-связной.
Пусть Р-произвольная точка нашей римановой поверх-
поверхности С рода р} и пусть наша система 2р циклических
сечений С?4,С?/ (г = 1, 2,..., р) выбрана так, что Р не
лежит ни на одной из этих кривых. Проведем из точки Р
к каждой из этих пар циклических сечений (хотя бы
к точке пересечения циклических сечений, принадлежа-
принадлежащих к одной и той же паре) сечение С% (/=1, 2,3,.. .,р)
так, чтобы эти кривые Сх не пересекали бы друг друга
(кроме точки Р\ и нигде больше не пересекали бы ни
Черт. 63.
Черт. 64.
одного из циклических сечений. Эти сечения С{ мы можем
опять уничтожить, если стянем точку пересечения каждой
пары циклических сечений .B4, С?/ по кривой С% к точке
Р (черт. 64).
Такой способ рассечения римановой поверхности назы-
называется „каноническим рассечением.". Края системы цикличес-
циклических сечений Bг, С?/ (г = 1, 2,..., р) образуют при этом
замкнутый контур, который превращает поверхность в
односвязную подобную однолистной область. Можно со-
составить себе удобное представление о рассеченной поверх-
поверхности и соответствии краев сечений, если вообразить, что
область эта непрерывно деформируется в такой прямоли-
прямолинейный правильный многоугольник с 4р сторонами, сто-
стороны которого соответствуют краям 2р циклических сече-
310

ний. Так например случай р = 2 (черт. 65) наглядно пред-
представлен восьмиугольником на черт. 65; при этом, противо-
противоположные края обозначены через B^%B1+, соответственно
^Г> О/ > а их соответствие
указано стрелками. При „ка-
„каноническом" рассечении нашей
поверхности каждые четыре
надлежаще выбранные после-
последовательные стороны ^-уголь-
^-угольника всегда принадлежат паре
сопряженных циклических се-
сечений.
Предшествующее определе-
определение рода поверхности осно-
основано на наглядном предста-
представлении; как выяснится в § 2,
род поверхности есть число
независящее от произвола в
выборе канонического рассе-
рассечения. Что всякая алгебраи-
алгебраическая риманова поверхность
действительно может быть канонически рассечена, будет
сейчас подробно доказано в нижеприводимом допол-
дополнении.
Черт. 65.
Дополнение к § 1. Возможность канони-
канонического рассечения 1).
1. Триангуляция. Соединим неподвижную точку
плоскости, не лежащую на прямой, соединяющей две точки
разветвления, со всеми точками разветвления ги, продол-
продолжим прямые сЬединения до бесконечности, а точки раз-
разветвления соединим циклически между собой (черт. 66).
Линии ги...оо будем считать сечениями разветвления,
вдоль которых будет надрезана сфера г и вдоль которых
будут склеены между собой листы. Каждый лист, а следо-
следовательно и вся поверхость оказывается разбитой на тре-
треугольники, т. е. триангулированной.
1) Это дополнение по своему содержанию принадлежит V а п с! е г ^ а-
е г й е п * у.
311

Черт. 66.
2. Преобразование в выпуклый многоуголь-
многоугольник. После рассечения каждый лист можно растяже-
растяжением треугольников. превратить в выпуклый многоугольник,
разделенный на треугольники. Если далее такой лист
склеить с другим по сечению развет-
разветвления, вдоль которого оба листа на
поверхности переходят друг в друга, то
можно соответствующим образом к пер-
первому многоугольнику присоединить вто-
второй, имеющий с ним общую сторону, но
не имеющий никаких других общих то-
точек (черт. 67). Тотчас же можно вновь
принять, что многоугольник, получив-
получившийся в результате соединения, будет
выпуклым. Продолжая таким образом
далее, мы присоединим последовательно
все листы друг к другу и преобразуем в результате (над-
(надрезанную по некоторым определенным линиям) поверх-
поверхность в единственный (триангулированный) выпуклый мно-
многоугольник. Вообще говоря, при этом склеивании ни в коем
случае не будут произведены все возможные переходы
от листа К листу, которые возможны вдоль сечении. Каж-
Каждому не реализованному переходу между двумя листами
вдоль некоторого сечения соответствуют две стороны
многоугольника, которые нужно склеить,
если желают опять восстановить поверх-
поверхность (следовательно число сторон много-
многоугольника четное). Такие соответствую-
соответствующие друг другу стороны будем обозначать
одинаковыми буквами. Так как одновре-
одновременное соединение всех этих пар сторон
дало бы весьма неотчетливую картину,
то теперь в пп. 3, 4 и 5 мы прове-
проведем соединение сторон последователь-
последовательными этапами и одновременно будем производить еще
смещение треугольников, и тем самым построим на-
наглядный топологический эквивалент римановых поверх-
поверхностей.
3. Операция А. Если две одноименные стороны а,
а следуют одна за другой, то они склеиваются по схеме
черт. 68. При этом число сторон многоугольника умень-
уменьшается. Такое соединение невозможно только в случае,
со
00 \лЛ>
Черт. 67.
313

Черт. 68.
Черт. 69.
когда число сторон равно 4; но это может случиться оче-
очевидно только для однолистной поверхности, т. е. для
обыкновенной сферы я, что является тривиальным слу-
случаем.
Мы можем поэтому, после повторного применения опе-
операции А, принять, что уже нигде две соседние стороны
многоугольника не обозна-
обозначены одинаковыми буквами.
4. Операция В. Можно
теперь добиться того, чтобы
все вершины многоуголь-
многоугольника соответствовали одной
и той же точке поверхности,
т. е. того, чтобы все точки
триангуляции, за исключе-
исключением одной единственной,
представлялись бы исключительно вершинами треугольников,
лежащими внутри многоугольника. Если дело обстоит
еще не так, то будут существовать (черт. 69) две следую-
ющие друг за другом вершины Р и B, принадлежащие к
различным точкам поверхности. Вершина, следующая за Рф,
пусть будет /?. Сторона BЯ = Ь должна встретиться еще
один раз, но не в виде стороны РB, так как все сосед-
соседние стороны многоугольника с теми же названиями уже
соединены нами. Если отрезать треугольник Р(}К и вновь
присоединить его вдоль стороны 0/? ко второму экзем-
экземпляру стороны Ь (черт. 69), то получится новый много-
многоугольник, наглядно показывающий таким же точно обра-
образом, как и старый многоугольник, соотношения связности
римановой поверхности, если только в нем установлено
необходимое соответствие сторон. Деформацией можно до-
добиться того, чтобы новый многоугольник сделался вы-
выпуклым. После этой операции вершина Я будет повторяться
разом больше, а вершина B разом меньше, чем до опера-
операции. Но если только B является еще вершиной много-
многоугольника, то можно опять найти соседнюю с (% и с ней
разноименную вершину (прежде такой вершиной была Р);
можно поэтому повторением операции В вершину (^ пере-
перевести целиком внутрь многоугольника. Если после этого
еще не все вершины соответствуют одной и той же точке
поверхности, то при помощи того же процесса можно опять
удалить одну вершину и т. д. После конечного числа ша-
313

гов получится поэтому выпуклый многоугольник, который
наглядно изображает связность поверхности и все вер-
вершины которого представляют одну и ту же точку этой
поверхности.
5. Операция С. Приведем теперь последовательность
свободных сторон многоугольника перегруппировкой к нор-
Р с Р
Черт. 71.
Черт. 72
4
мальной форме. Конечные точки двух экземпляров с то-
роны а обозначим через Р, B и соответственно Р*9 B';
пусть, например, эти точки при обходе многоугольника
следуют в порядке Р, B, B\ Р* (черт. 70). Тогда должна
существовать сторона 6, которая встречается как на части
контура, идущей от Р к Рг (и не содержащей B и (?'),
так и на части контура, идущей от B к (/ (и не содержа-
содержащей Р и Р'), так как в противном случае вершины первой
части контура нельзя было бы
отожествлять с вершинами вто-
второй части, что противоречит
операции В. Разрежем теперь
многоугольник вдоль прямой
РРГу как показывает черт. 70,
склеим обе части многоуголь-
многоугольника вдоль Ь и деформируем
фигуру так, чтобы получил-
получился выпуклый многоугольник. При этом сторона Ь про-
пропадет, но зато появится новая сторона РРГ = с, второй
экземпляр которой пусть будет РР'.. Если точки Р, Р',
Р\ Р следуют, например, как раз в этом порядке, то по-
повторно разрежем новый многоугольник вдоль прямой Р Р'
(черт. 71) и склеим обе части многоугольника вдоль сто-
стороны а. Если появляющуюся при этом сторону РР обо-
обозначить через с/, то стороны с, с/, с, с/ будут теперь сле-
следовать непосредственно друг за другом (черт. 72), Но этот
314
Черт. 73/

порядок сторон сохранится и тогда, когда операция С бу-
будет применена к какой-нибудь следующей паре сторон вме-
вместо сторон а и Ь. В результате повторения этого процесса
мы получим в качестве нормальной формы поверхности
4р-угольник, образованный р четверками сторон (аг Ьг а1 Ьг),
(а2 Ь2 а2 62),..., (ар Ър ар Ьр). Простейшие примеры пока-
показаны на черт. 73 и 74.
§ 2. Абелевы интегралы и алгебраические функции на
заданной римановой поверхности.
Одним из великих успехов развития идей Римана нужно
считать достигнутую возможность проникнуть в сущность
алгебраических функций и их интегралов. Опираясь на
добытые в предыдущей главе результаты, мы постараемся
развить здесь основания этой теории. Поставим себе
в соответствии с замечаниями, главы V, § 3, задачу по-
построить функции, принадлежащие к данной алгебраической
риановой поверхности С, т. е. алгебраические функции,
однозначные на этой поверхности. Для этого исследования
характерно то обстоятельство, что мы не ищем непосред-
непосредственно самих алгебраических функций, но сначала ищем
их (неопределенные) интегралы. Эти интегралы будут,
вообще говоря, на С бесконечно многозначны, но в дру-
другом отношении часто оказываются проще, чем самые
алгебраические функции. Из них дифференцированием
получаем алгебраические функции. Следуя предложению
Як оби, эти интегралы называют йбелевыми, потому что
Абель (АЬе1) первый подверг их систематическому иссле-
исследованию.
Дадим абелевым интегралам, не принимая во внимание
их образование путем интегрирования алгебраической функ-
функции, такое определение: однозначная или многозначная
аналитическая функция на С называется абелевым
интегралом, принадлежащим к поверхности С, если ее
можно неограниченно продолжать вдоль любого пути на
С, избегающего только конечное число исключительных
точек, если она в исключительных точках не имеет
других особенностей, кроме полюсов или логарифмических
особенностей, и если различные ее ветви, лежащие над
одним и тем же местом поверхности С, различаются
друг от друга только на постоянные. Из этого опре-
315

деления ясно, что производная абелева интеграла на
С однозначна и имеет разве лишь конечное число и при-
притом только алгебраических особых точек, т. е. есть алге-
алгебраическая функция. И наоборот, неопределенный интеграл
принадлежащей к С алгебраической функции имеет все
свойства, перечисленные в нашем определении. В частности,
алгебраические функции сами тоже принадлежат к числу
абелевых интегралов.
Мы различаем, смотря по характеру их особенностей,
три вида абелевых интегралов, к которым, как это об-
обнаружится, может быть приведен самый общий абелев
интеграл.
Интегралы первого вида или всюду конечные интегралы.
Они регулярны на С и поэтому ни в одной точке С не
обращаются в бесконечность.
Интегралы второго вида. Они не имеют на С никаких
других особых точек, кроме полюсов.
Интегралы третьего вида. Они имеют на С логарифми-
логарифмические особые точки.
Прежде чем обратиться к построению абелевых интег-
интегралов, принадлежащих к данной римановой поверхности С,
мы докажем некоторые их свойства, предположив сперва
их существование. Пусть /(г) — абелев интеграл первого или
второго вида и B— циклическое сечение, не проходящее ни
через один полюс функции. Рассмотрим интеграл от /(г),
взятый по B, при непрерывной деформации 0 в другое
такое же циклическое сечение C* интеграл этот не меняется
в силу теоремы Коши, если только при этой деформации
сечение не проходит ни через одну особую точку функции
/'(я), в которой /(г) имеет отличный от нуля вычет* Вычеты
/'(г) должны, однако, все равняться нулю, потому что по
предположению наш интеграл не принадлежит к третьему
виду. Отсюда теорема.' изменение абелева интеграла первого
или второго вида, которое он испытывает при обходе
по любому циклическому сечению C, не проходящему ни
через какую особую точку этого интеграла, равно изме-
изменению при обходе по любому эквивалентному с B цикли-
циклическому сечению C*, также не проходящему ни через
какую особую точку. Это изменение называется модулем
периодичности или циклическим периодом, соответствую-
соответствующим данному циклическому сечению.
Как в предыдущем параграфе, вообразим, что риманова
316

поверхность канойичеекй рассечена системой р пар взаимно
сопряженных циклических сечений (^, B/ (г = 1,2, .. ., р),
выходящих из точки Р и не проходящих ни через какую
особую точку. В результате она превращается в односвязную
область С В С каждый абелев интеграл первого или второго
вида будет однозначен; в этом можно убедиться совершенно
теми же рассуждениями, что и выше, использовав то обсто-
обстоятельство, что вычеты производной в особых точках обра*
щаются в нуль. Следовательно циклическим сечениям B{9
С?/ соответствуют 2р модулей периодичности, из которых
все остальные модули периодичности интеграла могут быть
составлены линейно с целыми коэффициентами х).
Если /(г) — интеграл третьего вида, то кроме многознач-
многозначности, возникающей при обходе циклических сечений, полу-
получается еще многозначность от обхода вокруг логарифмиче-
логарифмических особых точек. Но и здесь изменение при обходе вдоль
двух эквивалентных циклических сечений B, О*, которые
не проходят ни через какую особенность и которые могут
быть непрерывной деформацией переведены друг в друга,
будет одинаковое, если только мы не проходим при дефор-
деформации через логарифмическую особую точку. Если мы
возьмем интеграл //'(г) 6.x по всему контуру С, то найдем,
что сумма вычетов всех особых точек /'(г) в С равна
нулю, так как по каждой части пути интегрирование совер-
совершается один раз в том и один раз в другом направлении.
Впрочем, при суммировании полюса функции /(г) рассмат-
рассматривать не надо, так как вычеты /\г) в этих точках равны 0.
Существование абелевых интегралов, принадлежащих к С,
мы докажем, составив по порядку некоторые особо простые
интегралы, из которых сложением может быть получен
самый общий абелев интеграл. Мы утверждаем прежде
всего: существует на С абелев интеграл второго вида,
который имеет в данной точке О полюс с данной главной
частью, не имеет никаких других особых точек кроме О,
и все модули периодичности которого чисто мнимые.
На канонически рассеченной римановой поверхности такой интеграл
однозначен; переходу через сечение канонической системы соответствует
увеличение (или уменьшение) интеграла, однозначного на рассеченной
римановой поверхности, на тот модуль периодичности, который принад-
принадлежит сопряженному циклическому сечению. Изменение интеграла на
любом замкнутом пути слагается поэтому аддитивно из таких изменений.
317

Докажем сначала один частный случай этой теоремы. Пусть
точка О, которая лежит, например, над г = 0, будет простая
точка, т. е. не точка разветвления римановой поверхности
и заданная особенность пусть будет —. Тогда рассуж-
рассуждения главы VIII сразу приводят нас к существованию
функции /(г) с требуемыми свойствами; они даже принци-
принципиально упрощаются, потому что С, как замкнутая поверх-
поверхность, может быть покрыта уже конечным числом круговых
областей необходимого вида. Наша функция /(г) обладает
действительно, как требуется, чисто мнимыми модулями
периодичности. Это вытекает из того, что гармоническая
функция ы, которая получается как решение нашей мини-
минимальной задачи, однозначна по самому определению, так
что многозначность /(г) может выразиться только в мнимой
части V,
В самом общем случае предшествующей теоремы мы
поступаем в принципе точно так же, только кладем в основу
другую функцию особенности. Пусть О есть (т—1)-кратная
(т >• 1) точка разветвления х) С и заданная главная часть
в точке О пусть будет
—П П—1 1
" A)
Пусть К обозначает т-листный круг с центром О и поло-
положительным радиусом а, который выбран столь малым, что
никакая другая точка разветвления С не находится в К.
Вводя полярные координаты г, & с центром О и полагая
ач~ К!6"' мы определим функцию особенности равенством
с __
п ■ 2 V
^Ы(г-.4-г-а--)с0.((.,-^) ^
в К> включая контур К>
О вне К.
Эта функция составлена так, что она в К, кроме О,
является регулярной гармонической функцией, что она об-
обращается в О в бесконечность таким же образом, как-
вещественная часть (Л), и что на окружности К ее произ-
Под 0-кратной точкой разветвления, в виде исключения» надо
понимать простую точку.
313

ЁОДная & йапрабленйи нормали обращается в йуль. Поэтому
к ней применимо доказательство существования из пред-
предшествующей главы, и мы получаем вещественную часть
требуемого интеграла второго вида.
Конечно, мы можем составить точно так же интеграл
второго вида с единственным заданным полюсом и только
с вещественными модулями периодичности. Для этого до-
достаточно заменить в выражении B) косинус на синус того же са-
самого аргумента и полученную окончательно функцию умно-
умножить на I. Разность двух таких интегралов второго вида с одина-
одинаковыми главными частями, из которых один имеет чисто
мнимые модули периодичности, а другой вещественные, есть
по необходимости интеграл первого вида; при том интеграл
этот наверное не будет постоянным тогда, когда хотя бы
один только модуль периодичности одного из обоих инте-
интегралов второго вида не равняется нулю. Но не будем раз-
развивать это замечание дальше, потому что впоследствии мы
получим интегралы первого вида другим путем.
И интегралы третьего вида удается построить подобным
же образом. Простейшими из них являются указанные
в следующей теореме: пусть Рх и Р2 две отличных друг
от друга точки поверхности С, которые лежат над точ-
точками гъ %2 плоскости х. Тогда существуют два интеграла
третьего вида ^(х\ Р19 Р2) и ^*(х\ Р^ Р2), которые всюду
на С, кроме точек Рх и Р2, остаются конечными и имеют
соответствующие циклическим сечениям 0{, B/ (/ =
= /, 2,..., р) чисто мни чые модули периодичности.
В РгиР2 функция <\> (х; Р\УР^ имеет те же особенности, как
1? (г— г\)> и соответственно —1# (х— 22), а * РРд
как г\%{г — хг) и соответственно И%(х—х2).
Доказательство мы проведем сначала лишь при ограни-
ограничивающем допущении, что точки Рх и Р2 лежат внутри
однолистного круга К принадлежащего С, центр которого не
совпадает ни с Рх ни с Р2. Мы отражаем Рг и Р2 в круге
К; симметричные точки и относящиеся к ним значения х мы
обозначим через Р/, Р/, гг', х^'. Обозначим расстояния от
любой точки Р до Рх, Р2 Р/, /V через г19 гъг{\ г2', а углы,
составляемые направленными прямыми РХР, Р^Р, Р\Р> Р^Р
с положительной осью х> через &1э &2> ^/» ^г'« Чтобы по-
построить <{> (х; Р19 Р2), положим в К, включая и границу,
(к г, - \% г А + 0* г/ -1 * Ъ'), C)
319

МеЖДу тем как вне К опять положим -5 = 0. Тогда — о пред-
представляет в К сопряженную гармоническую функцию для
Так как для точки Р окружности круга, по известной
теореме элементарной геометрии, имеет место соотношение
то сразу видно, что *5 на окружности круга удовлетворяет
усл&вию
дп
Мы можем поэтому и здесь повторить дословно выводы
главы VIII и прийти к абелеву интегралу третьего вида,
обладающему как раз требуемыми от ф (х\ Р19 Р2) свойст-
свойствами.
Для $*(г; Р19 Р2) мы пользуемся следующей функцией
особенности *):
1 —У —(&/—V) в ^включая
контур К9 D)
0 вне К.
Чтобы сделать ее однозначной функцией внутри К, сое-
соединим Рг и Р2 простой непрерывной, целиком лежащей в К
кривой С и наложим на точку, которая служит аргументом,
запрещение переходить эту кривую. Значения 5 на обоих
) Если положить ь основание рассуждений § 9 предыдущей главы
функцию особенности C), соответственно D), то мы уже не получим
„прямолинейно надрезанной области", в качестве отображенной области
для подобной однолистным римановой поверхности С. Исходя например из
функции C), мы получим отображающую функцию С = и -)- ю9 которой
мнимая часть V принимает на каждом связном куске контура постоян-
постоянные значения, но которая сама ведет себя в точках Р± и Р2 как
1& *. Таким образом мы видим, что функция
у, = * = еи ■ е*"
конформно отображает область С на полную ^-плоскость, которая надре-
надрезана вдоль конечного или бесконечного числа отрезков, лежащих на
лучах, проходящих через нулевую точку. В случае функции D) получается
напротив, что С отображается функцией 7] = еи = еги е~ю на полную
"^-плоскость, надрезаньую по конечному или бесконечно большему числу
дуг круга, концентрически расположенных вокруг нулевой точки.
320

Краях С отличаьбтсй йрй ётом на 2 тт. Если мы опять пб-
требуем, как в главе VIII, § 3, непрерывности в К допу-
допускаемых к сравнению функций Ф, то функции <?==Ф-[-*5
получат правда ту же самую многозначность, как ,5, но
это никоим образом не расстроит приведенных в предыду-
предыдущей главе соображений. Остается еще только доказать,
что на контуре К производные от *5, взятые по направле-
направлению нормалей, обращаются в нуль. Это вытекает, как выше,
из того, что сопряженная с — 5 гармоническая функция
г2) — (\% г/ — 1^ га')
постоянна на контуре.
Если Р', Р",..., Р —какие-нибудь точки внутри К, от-
отличные друг от друга, от Рх, Р2, и от центра круга К, то
мы можем провести кривую С так, что она пройдет по
порядку через Р„ Р', Р",..., Р , Р2, и проверить спра-
справедливость формул
"И (г; Р,
Л, П +
^* (г; Р(п\ Р2).
E)
Эти формулы мы применим, чтобы определить ф (г; Рь Р2)
и ^* (г; Р19 Р2) и в том случае, когда нет однолистного
круга, принадлежащего С, внутри которого лежат обе точки
Р\ и ^2- Действительно между Рх и Р2 можно всегда вста-
вставить цепь пар точек Рх Р', Р/ Р",..., Р Р2> для которых
можно образовать функции ф и ^*, как указано выше.
Если бы одна из точек Р! или Р2> хотя бы Рх, пришлась
в (тп — 1)-кратной точке разветвления С, то надо было бы
только взять вместо К тп-листную круговую область
с точкой разветвления в Р1? но с центром, отличным от Р^
Соответствующую функцию особенности мы получим, от-
отобразив сперва т-листный круг на однолистный круг, затем
составив для него функции особенности C) и D) и наконец
Снова перенеся эти функции на т-листную круговую
область.
Должно однако обратить внимание на то, что наше опре-
определение не устанавливает вовсе функций фиф* однознач-
однозначным образом. Различные цепи точек, вставленных между Р
21 Зак. 1985. Курант. 321

и Р2, могут привести к совершенно различным функциям.
Это вполне совместимо с нашей теоремой; указанными
в этой теореме свойствами функции ф (г; Ръ Р2) и
<\>*{г; Р19 Р2) определяются только с точностью до адди-
аддитивно входящих интегралов первого вида с чисто мни-
мнимыми модулями периодичности.
Пусть теперь Ри Р2>---> Р* — любые точки римановой
поверхности С и ах = ах' -)-гах//(* = 1, 2,..., к),— соответ-
соответствующие им комплексные числа, сумма которых равна
нулю. Если Ро обозначает произвольно взятую вспомо-
вспомогательную точку на С, то выражение
(г; Р2, Ро)+. . . + а& (г; Рк, Ро)
представляет собой абелев интеграл третьего вида, кото-
который имеет логарифмические особенности в точках Рг,
Р2, . . . , Р7о между тем как его производная имеет в этих
точках вычеты а19 а2, . . . , ак. В остальных точках обла-
области С он будет регулярным и имеет чисто мнимые модули
периодичности, соответствующие сечениям (^, Bг •
К интегралам первого вида мы придем следующим обра-
образом. Пусть О—произвольное циклическое сечение и Р19
Р2, . . . , Рп_1У Рп —Р\ — замкнутая цепь точек на С?. Эти
точки пусть выбраны так близко друг к другу, что для
каждой пары последовательных точек Р^_19 Р^ можно соста-
составить интеграл ф*(я; /^_р Р^) указанным выше непосред-
непосредственным способом построения. Тогда сумма
, Р1г Р2)+. • • + <{<*(*,• Рп_„ Л)
будет регулярной всюду на С и следовательно конечной
функцией; но ее вещественная часть не будет однозначной,'
как в предыдущих выражениях, но при переходе через воз-
возвратное сечение B претерпевает скачок 2^ или, точнее,
у (я) имеет на каждом сопряженном с B циклическом сече-
сечении B' модуль периодичности с вещественной частью 2*.
Таким образом, у (я) есть интеграл первого вида, отличный от
постоянной. Выполняя наше построение для каждого из 2р воз-
вратных сечений (<л, (^ нашего канонического рассечения,
мы получим 2р интегралов первого вида, которые обозна-
322

ЧЫм Через/1B), у2 (я), . . . , ]%р (г). Они линейно незавидимЫ
друг от друга в том смысле, что не существует никакой
линейной комбинации
с вещественными коэффициентами с19 . . . , с2_р не обра-
обращающимися одновременно в нуль, которая сохраняла бы
постоянное значение. Действительно, каждая такая ком-
комбинация имеет, по меньшей мере, один не равный нулю
модуль периодичности, следовательно не может быть
постоянной. Далее имеет место теорема: каждый конечный
всюду на С интеграл есть с точностью до постоянного
слагаемого линейная комбинация интегралов /х (я), /2 (я),...,
У2 (г) с вещественными коэффициентами. Действительно,
если вещественные части модулей периодичности предло-
предложенного интеграла первого вида ]{г) на 2р циклических
сечениях С^,4 С^ равны 2пс19 2*с2, • • . , 2тсс2^, то
— с1]1 (г) — ... — с2рЬр (г)
будет интеграл первого вида, вещественная часть которого
имеет нулевые модули периодичности на циклических сече-
сечениях С?Р B{ и следовательно однозначна на С. Однознач-
Однозначная же и во всех точках С конечная гармоническая функ-
функция го — постоянна; действительно, применяя формулу Грина
к канонически рассеченной поверхности С, получаем сразу
соотношение
и - о.
Следовательно, вещественная часть ]{х) и потому сама
функция ](г) постоянны.
Только-что доказанную теорему можно высказать еще
так: наибольшее число вещественно линейно независимых
друг от друга интегралов первого вида равно удвоенному
роду поверхности. Этим показано, что число р действи-
действительно есть постоянное число, не зависящее от того или
иного способа рассечения поверхности. Упомянем еще, что
при допущении произвольных комплексных постоянных
в качестве коэффициентов наибольшее число линейно неза-
независимых интегралов первого вида будет р.
21* 323

Теперь Мы установили вбе абелевЫ интегралы на С-
вительно, мы можем, комбинируя линейным образом получен-
полученные функции, составить интеграл, который в данных точках С
имеет полюсы с данными главными частями, в других за-
заданных точках имеет логарифмические разрывы с задан-
заданными вычетами производной 1) (причем, конечно, сумма
всех вычетов должна равняться нулю), и модули периодич-
периодичности которого на 1р циклических сечениях имеют задан-
заданные вещественные части. С другой стороны, эти условия
определяют абелев интеграл с точностью до постоянной;
ибо вещественная часть разности двух таких интегралов
есть гармоническая функция, однозначная и всюду на С
регулярная, следовательно, в силу предыдущего замечания,
постоянная.
Задание совокупности абелевых интегралов на поверх-
поверхности определяет и совокупность алгебраических функций
на поверхности.
Теперь составим такую алгебраическую функцию, для
которойСявляется в точности соответствующей римано-
вой поверхностью. Этим самым мы ответим на вопрос,
поставленный в начале параграфа. Для этого поступим так.
Пусть т—число листов поверхности С и г0 — точка пло-
плоскости 2, которая лежит на конечном расстоянии и над
которой расположены т листов поверхности раздельно,
т. е. без точек разветвления. Составим теперь абелев инте-
интеграл второго вида, который имеет по одному полюсу пер-
первого порядка в т точках Ри Р2$ . . . , Рт, лежащих над
г0У причем вычеты этих полюсов возьмем все отличными
друг от друга.. Производная этого интеграла есть одно-
однозначная на С алгебраическая функция /(я), обладающая
тем свойством, что над г0 лежит в точности т отличных
друг от друга ее ветвей. Такая функция принадлежит как
раз к С. Действительно, она однозначна на С, поэтому
в крайнем случае может разве лишь случиться, что она
уже при ^-кратном обходе вокруг (V — 1)-кратной точки раз-
разветвления ([а < V) получила бы прежнее значение. Отсюда
вытекало бы после соответственного аналитического про-
продолжения, что по меньшей мере два элемента функций,
принадлежащих к Ръ Р2. . . . , Рт, совпали бы, а это про-
противоречит нашему построению.
-1) Эти точки могут частью совпадать с первыми*
324

Дифференцирование абелевых интегралов не является
единственным средством образования алгебраических функ-
функций. К ним, например, можно прийти также путем сложе-
сложения интегралов второго и первого вида, если надлежащим
выбором находящихся в нашем распоряжении постоянных
обратить в нуль модули периодичности. Относительно
дальнейшего развития этой идеи мы отсылаем к специаль-
специальной литературе по алгебраическим функциям 1).
Заметим еще, что можно непосредственно прийти к инте-
интегралам первого вида, разыскивая такую вещественную
функцию и от х и у> конечную во всех точках С, непре-
непрерывную везде, за исключением точек возвратного сечения
B и имеющую кусочно-непрерывные производные первого
порядка, которая при переходе через 0 претерпевает ска-
скачок 2тс и обращает интеграл И [и] в минимум. Функция
эта, если она существует, должна быть, разумеется, гармо-
гармонической и, как сразу получается, должна представлять
вещественную часть рассмотренного выше интеграла пер-
первого вида, принадлежащего циклическому сечению B. Суще-
Существование такой функции легко доказать совершенно так
же, как в главе VIII, § 7, а именно, исходя из минимальной
последовательности допустимых функций ср1э ср2, . . . и
затем сглаживая их. При этом совсем не требуется вводить
функцию, определяющую особенность. Процесс сглажива-
сглаживания производится в точности по образцу названного пара-
параграфа. Риманова поверхность С сперва покрывается конеч-
конечным числом круговых областей, которые подбираются так,
чтобы каждая круговая область, содержащая некоторую
точку С?, разделялась бы B на две односвязные части.
Для круга, не содержащего ни одной точки B, мы пере-
переходим к сглаженной последовательности путем решения
предельной задачи; для такого же круга, который разде-
разделяется B на две части Т1 и 7*2, мы прибавляем к функциям
сглаживаемой последовательности в части Тх постоянную
2тг; благодаря этому мы получаем в круге непрерывные
) Кроме первого тома „МойиНипкМопеп" Клейнан Фрике (см.
стр. 325), укажем еще С. Иеитпапп, УоИезип^еп иЬег К1етапп'в ТЬео-
Не с1ег АЬе1§сЬеп 1п1е#га1е B Аи Л., Ье1рг1# 1884), а также Н. Р. Вакег:
АЬеГз ТЬеогет апс! 1Ье аШес! ТЬеогу, (СатЬгЫ^е 1897) и Непзе1-Ьап<1з-
Ьегд, ТЬеоНе с!ег а1#еЬга15сЬеп ГипкИопеп е1пег Уаг1аЬе1п (Ье1рг1^.
1902). Подробные литературные указания находятся в рефератах Епгу-
кЬЧИ с1ег та!Ь? ^85епзсЬз{1ер, И В 2, II В 7, II С 5.
325

функции, затем решаем с помощью граничных значений
этих функций предельную задачу теории потенциала и
затем опять отнимаем в Тх значение 2 тс. Подробный вывод
и доказательство сходимости предоставляется читателю.
§ 3. Существование автоморфных функций с данной
фундаментальной областью.
Уже в главе VII, § 4 мы определили автоморфные функ-
функции, как такие однозначные функции комплексной перемен-
переменной г, которые не изменяются, когда над г производятся
все линейные преобразования некоторой группы. При-
Примерами, приведшими нас к этому понятию, послужили функ-
функции, которые отображают многоугольник плоскости г> огра-
ограниченный дугами окружностей на верхнюю полуплоскость С.
Продолжение за начальную область было выполнено с по-
помощью принципа симметрии. Область, составленная из
многоугольника, ограниченного дугами окружностей, и нового
многоугольника, получившегося отражением первого в одной
из его сторон, обладает тем свойством, что ее стороны де-
делятся на пары сторон, получающихся друг из друга путем
некоторых линейных подстановок. Эти подстановки будут
„производящие подстановки" группы, к которой принадле-
принадлежат рассматриваемые отображающие функции г).
Теперь будем исходить более общим образом из области,
у которой граничные кривые состоят из нескольких пар
сторон, связанных линейными подстановками, но не будем
требовать, чтобы область эта могла быть разделена на
симметричные относительно некоторой окружности поло-
половины. Затем с помо-щью принципа Дирихле при весьма
общих предположениях мы докажем существование соответ-
соответствующих автоморфных функций и уже после этого уста-
установим связь с изложенным в предыдущем параграфе мате-
материалом.
Пусть задана однолистная односвязная или многосвязная
область В, ограниченная конечным и притом четным числом
аналитических кривых Сх, С2, . . . , Сп; Сх, С2, . . ., Сп. Пред-
Предположим, что 2л кривых Ср . . . , Сп — простые замкну-
1) Т. е. все подстановки группы могут быть составлены из „произ-
„производящих".
336

тые или обладающие двумя конечными точками аналитиче-
аналитические кривые; далее, что каждая пара их не имеет общих
точек, кроме разве конечных точек. Точки, в которых
встречаются две различные из этих кривых, назовем „вер-
„вершинами" области и потребуем, чтобы в каждой вершине
встречались только две дуги. Но важнейшим предположе-
предположением относительно области В будет следующее: существуют
п линейных подстановок *5^ (V = 1, 2, . . . , п), которые
преобразуют соответственно кривую С^ проходимую в по-
положительном направлении, в кривую С^, проходимую в про-
противоположном направлении. Подстановки *5^ вместе с им
обратными подстановками *5~ производят группу © линей-
линейных подстановок. Две точки (соответственно дуги кривых
или области), которые получаются друг из друга посред-
посредством подстановки группы ©, назовем эквивалентными.
Назовем через В8 область, которая получается из В
применением подстановки *5 группы ©. Чтобы потом перейти
к однозначным функциям, предположим, что совокуп-
совокупность областей В8, соответстьующих различным подста-
подстановкам *5 группы ©, не покрывает многократно никакой
части плоскости *)> так чт0 мы можем считать (по крайней
мере, внутри некоторой части плоскости) В фундаменталь-
фундаментальной областью 2) группы ©. Для геометрической формы
фундаментальной области В это предположение обозначает
прежде всего, что те области В8, которые сходятся в вер-
вершине Е области В, покрывают окрестность Е> не больше
одного раза. Поэтому сумма углов в эквивалентных друг
о 2тг
с другом вершинах /> должна равняться—, где п — целое
число или бесконечность. Этого требования однако совсем
недостаточно, как показывает пример на черт. 75. В этом
примере указанное условие выполнено для каждой из че-
четырех вершин, однако применение подстановки *52 при-
) Это предположение несущественно для приводимого ниже построен
ния принадлежащих к В автоморфных функций; даже предположение об
однолистности В можно для этого отбросить.
2) Под „фундаментальной областью" группы понимают область,
которая из каждого множества точек, эквивалентных относительно группы
(по крайней мере, внутри рассматриваемой части плоскости), содержит
одного и только одного представителя,.

водит уже к многократному покрытию некоторой части
плоскости.
Если мы считаем эквивалентные граничные точки В не
различными, то В является замкнутой поверхностью конеч-
конечного рода /?, следовательно
она' топологически эквива-
эквивалентна некоторой алгебраи-
алгебраической римановой поверх-
поверхности. Мы утверждаем, что
(с оговоркой о делаемом в
дальнейшем предположении
относительно В) это спра-
справедливо также и в смысле
конформного отображения;
г1 = е1 г т. е. область В может быть
взаимно однозначна и *а
Черт. 75. исключением разве лишь ко-
конечного числа точек конформно отображена на алгебраиче-
алгебраическую риманову поверхность О так9 что эквивалентным гра-
граничным точкам В соответствует одна и та же точка С-
Прежде чем перейти к этим вопросам, рассмотрим не-
несколько примеров фундаментальных областей. Укажем сна-
сначала те, которые уже встретились в главе VII, § 4. Общим
для них является то, что при размножении исходной области
была покрыта не вся плоскость, но только внутренность
круга (соответственно полуплоскость). Соответствующие
функции не могут быть аналитически продолжены за круг
и потому называются автоморфными функциями с пре-
предельным кругом. Совершенно подобно тому, как в главе IV,
§ 9 мы могли истолковывать все линейные подстановки
как пространственные неэвклидовы движения, здесь те
линейные подстановки, которые преобразуют круг в самого
себя, можно рассматривать как плоские неэвклидовы дви-
движения 1). Взамен понятия эквивалентных областей входит
тогда понятие неэвклидовых конгруэнтных областей.
Если мы применим принятое там толкование линейных подстано-
подстановок как пространственные неэвклидовы движения, то мы увидим, что
эти движения в случае, когда они оставляют неподвижным предельный
круг, преобразуют саму в себя и ту плоскость, которая вырезает из
2-сферы предельный круг. В части этой плоскости, которая лежит
внутри г-сферы, получается разделение, соответствующее группе движе-
движения, на неэвклидо§ы конгруэнтные области с прямолинейными грани-
328

Но существуют еще совершенно иначе образованные
группы линейных подстановок. Например, начнем с области В,
ограниченной 1р отдельно
лежащими окружностями, и
выберем р гиперболических
или локсодромических под-
подстановок, которыми эти
окружности попарно связаны
(черт 76). Соответствующая
этой области В, з смысле
Апа1уз15 511и5, замкнутая по-
поверхность имеет очевидно Черт 76
род р и может быть на-
например по § 1 представлена в виде поверхности с р руч-
ручками. При этом 2р граничным кривым области В соответ-
соответствуют некоторые р циклических
сечений на этой поверхности,
из которых каждое охватывает
одну из ручек.
Если мы размножим область
подстановками соответствующей
группы, то области, эквивале1Т-
ные Ву покроют всю плоскость
за исключением бесконечно боль-
большого числа предельных точек,
которые образуют, по термино-
терминологии учения о множествах, со-
совершенное нигде не связное множе-
множество, но мы не можем на этом
останавливаться ближе х).
Другой пример мы получим,
описав около точки исходного
четырехугольника модулярного де-
деления (черт. 53, где должно пред-
представить себе, что густо заштрихованный треугольник прило-
приложен к левой стороне своего левого отражения), например
цами. Проектируя эту сеть сперва из полюса плоскости на 2-сферу,
потом с нее стереографически на числовую плоскость, мы как раз полу-
получим фигуры текста. Можно и тут говорить о неэвклидовой геометрии
если например понимать под „прямыми" ортогональные к предельному
кругу окружности.
*) Ср. все-таки §5, стр* 354—355,
Черт. 77.

около некоторой точки мнимой оси окружность, целиком ле-
лежащую внутри четырехугольника, и отобразив в ней четырех-
четырехугольник. Область, заключенную между обоими четырех-
четырехугольными контурами (черт. 77), можно считать фундамен-
фундаментальной; она имеет очевидно, если представить себе
соответствующие части контуров соединенными, род нуль.
Если мы размножим ее с помощью соответствующей группы
линейных подстановок, то сеть эквивалентных областей
покроет часть плоскости,ограниченную бесконечным числом
окружностей (между ними одна прямая). Полученную фигуру
можно описать как систему бесконечно большого числа
„входящих друг в друга" модулярных делений.
Этих указаний достаточно; выполнение, только намечен-
намеченных здесь, построений, а равно и другие примеры с разъ-
разъясняющими чертежами читатель найдет в упомянутом уже
сочинении Рпске и КЫп, УоИеяип^еп йЬег сНе ТЬеопе с!ег
аи1:отогрЬеп РипкНопеп".
Обратимся теперь к высказанной выше теореме о
конформном отображении. К упомянутой ограничительной
предпосылке относительно природы области В мы придем
по необходимости, если представим себе, что область В
уже отображена на риманову поверхность С- Каждая точка
B поверхности С имеет то свойство, что некоторая окрест-
окрестность 0 может быть конформно за исключением быть может
самой точки О (в случае,если B есть точка разветвления),
отображена на однолистный круг. Если С конформно отобра-
отображена на В, то то же самое должно быть возможно для
„окрестности" каждой точки Р области В; при этом, конечно,
нужно понимать „окрестность" так, что вследствие отобра-
отображения В на С окрестности точки Р на В соответствует
окрестность отображенной точки B на С. Если Р есть вну-
внутренняя точка 5, то и „окрестность" Р есть очевидно
окрестность Р в обыкновенном смысле. Если же Р лежит
на границе В, то окрестность Р окажется вообще разбитой
на несколько кусков, которые прилегают ко всем граничным
точкам, эквивалентным Р. Если например Р лежит на гра-
граничной кривой С^ но не в вершине, то В имеет в точности
одну отличную от Р и ей эквивалентную граничную точку
Р на С^у так что окрестность Р состоит из двух раздель-
раздельных частей 111 и 1/2 (черт. 78). Эта окрестность наверное
отображается конформно на однолистный круг. Действц-
330

тельно, с помощый линейной функции ^ часть 1/^ кон-
конформно отображается на {/2, и состоящая из Ц1 и Ц2 область
есть однолистная окрестность Р в обыкновенном смысле.
Остается разобрать вопрос о том, что может случиться,
если Р находится в вершине области В. Пусть Сх одна
из двух граничных кривых В, проходящих через Е. Тогда
другая граничная кривая будет либо эквивалентная С\ кри-
кривая Сх или она отлична от С±и В первом случае все приле-
прилегающие к вершине Е области
В применением подстановки
Р'
получаются очевидно из
= 0, —19 —2, . . . ).
Поэтому, кроме самой
точки Е, нет никакой
эквивалентной Е точки на
границе В и под окрест-
окрестностью Е нужно разу-
Черт 78. Черт. 79.
меть область в виде сектора, как показывает черт. 79.
При этом точки С1 нужно отнести к „окрестности", точки
же С1 (кроме самой точки Е) не нужно. Если же вторая
проходящая чрез Е граничная кривая отлична от С\ (на-
(например кривая С2), то на границе В существует, по край-
крайней мере, одна вершина, отличная от Е, но эквивалентная
с Е, а именно вершина *5о (Е). Тогда рядом с областью В
мы расположим область В8—1 и получим новую кривую,
• 2
проходящую через Е> именно граничную кривую области
5—1 (черт. 80). Она либо эквивалентна с Сг$ тогда мы
2
назовем ее С, или она ей неэквивалентна; тогда она экви-
эквивалентна с граничной кривой Сз области В, отличной от
кривых Сх и С2 *). В этом случае мы расположим подле
3) Если бы она была эквивалентна с С2> то получилось бы противо-
противоречие с предыдущими предпосылками*
331

области В8-1 новую область В8—18—1 (черт. 81) и при-
2 3 2
дем к новой кривой, проходящей через Е. Во всяком слу-
случае мы получим наконец после конечного числа, например т,
шагов в первый раз граничную кривую С, эквивалент-
эквивалентную с С\. Тогде на границе В лежит в точности т вершин,
эквивалентных Е, и „окрестность" Е представляется соста-
составленной из т кусков Цъ 1/2, . . . , 1]тУ которые, подобно
тому, как выше, могут быть заменены в смысле конформ-
Черт. 80.
ного отображения секторовидной областью черт. 82. Так
как совокупность областей 58 должна покрыть плоскость
однолистно, то во всяком случае угол между С1 и С
в точке Е равен, самое большее, 2тс. Если он точно равен
2^, то Сх и С покрывают друг друга, и наш сектор будет
однолистной окрестностью Е в обыкновенном смысле,
следовательно может быть конформно отображен на круг.
Если же этот угол меньше 2т:, то Е будет неподвижной
точкой линейной подстановки *5 (которая отлична от
тождественного преобразования) нашей группы ©, и мы
должны поставить такое требование: сектор черт. 82 должен
конформно отображаться, за исключением точки Е, на одно-
однолистный круг К и притом так, чтобы эквивалентные в силу
подстановки 5 точки Сг и С переходили бы э те &е самые
333

К. Здесь Можйо высказать без Доказательствах), что
такое отображение возможно тогда и только тогда, когда
подстановка 5—параболическая или эллиптическая, но не
гиперболическая или локсодромическая. Называя вершину
Черт. 81.
области Ву которая является неподвижной точкой содержа-
содержащейся в группе & подстановки <5, смотря по характеру *5,
эллиптической, параболической, гиперболической или лок-
локсодромической вершиной, мы можем высказать наше допол-
дополнительное предположение следующим обра*
зом: область В должна иметь только
эллиптические и параболические вершины,
и не должна иметь ни гиперболических,
но локсодромических-
В силу последнего предположения мы мо-
можем покрыть область В конечным числом
областей, являющихся частями 5, которые
либо сами будут кругами, либо состоят из нескольких кусков,
которые могут быть конформно отображены на однолист-
однолистный круг, причем конформность может быть нарушена,
Черт. 82.
Ср. например Р» К1ет, Сез. та*Ь. АЪЬ., Вс1. 3, 5. 713.
333

в крайнем елучае, только в центре. Но тогд& рассуждения преДл
шествующего параграфа можно повторить дословно. Начнем
с того, что проведем в области В, которую представим себезам-
кнутой, каноническую систему р пар циклических сечений B г 9
(/= 1, 2, . . . , р); потом составим, как в § 2, потен-
потенциалы второго и третьего вида, что тут так же возможно,
как и там. Эти потенциалы дополним образованием сопря-
сопряженных потенциалов до соответствующих „интегралов";
наконец получим однозначные в В функции посредством
дифференцирования по г или посредством линейного ком-
комбинирования интегралов второго вида. Полученные таким
путем однозначные функции имеют особое свойство, а
именно — иметь особыми точками в В только полюса, если
их рассматривать в каждой точке Р области В в зависи-
зависимости от соответствующей местной униформизирующей
переменной 11). В дальнейшем в этом параграфе мы будем
называть „автоморфными функциями" только такие, инва-
инвариантные относительно нашей группы © функции, которые
ведут себя во всех точках В рационально в только-что ука-
указанном смысле 2).
Если у (г)— одна из только-что составленных одно-
однозначных функций в В, то <р (г) принимает равные зна-
значения в эквивалентных граничных точках В, т. е. она
удовлетворяет на кривой Сч (V = 1, 2, . . . , л), за исклю-
исключением самое большее конечного числа точек, функциональ-
функциональному уравнению
2, ...,«). A)
Отсюда мы сразу выводим возможность аналитического
продолжения функции ср (г) в соседние области В8 , В8-1,
следовательно и в любую область В8. Вместе с тем видна
справедливость функционального уравнения
г)) = ? (г) B)
Местной униформизирующей переменной мы называем такую функ-
функцию г {г\ которая обращается в нуль в Р и которая отображает неко-
некоторую окрестность Р на однолистный круг, описанный вокруг г = 0.
Если мы говорим о порядке полюса или нуля, то разумеем всегда
порядок относительно г.
2) И при определении эллиптических функций требуется непременно
отсутствие существенно особых точек в параллелограмме периодов»
334

для каждой подстановки *$ из ©, т. е. выявляется авто*
морфный характер <р (г). Функция <р (г) в каждой точке В
ведет себя в указанном выше смысле как функция рацио-
рациональная; поэтому <р(я) отображает „окрестность" каждой
точки области В либо на однолистную область, располо-
расположенную над плоскостью <р> либо на окрестность конечно-
многолистной точки разветвления. Наконец <р (г) обращается
в бесконечность первого порядка только в конечном числе,
например, т точек В *).
Пусть теперь с — произвольное комплексное число.
Область 5, без ограничения общности, можно выбрать так,
чтобы на границе В функция ®(г) не принимала бы значе-
значения, равного с, и не имела бы полюсов. Интеграл
2ш ^ о (г) — с
взятый по границе области В в положительном направлении,
равен нулю, в силу автоморфного характера функции о (г).
С другой стороны, в силу главы III, § 5, D), он равен разности
между числом нулевых точек для разности о (г) — си числом
полюсов ®{г), лежащих внутри В. Таким образом <?(г) при-
принимает каждое комплексное значение в точности в т (оди-
(одинаковых или различных) точках области В. Этим доказано,
что <р {г) отображает всю область В конформно за исключе-
исключением конечного числа точек на т-листную алгебраическую
поверхность Римана С расположенную над плоскостью ср.
Пусть теперь С = С (?) алгебраическая функция от <р> кото-
которая принадлежит в точности этой римановой поверхности С
Существование такой функции было доказано в преды-
предыдущем параграфе. Если рассматривать ее как функцию от г,
то очевидно она будет также однозначной автоморфной
функцией ^{г) от г. То же самое имеет место для всякой
рациональной функции от <р и С, т. е. по § 4 главы V для
всякой алгебраической однозначной на С функции от <р*
Если, наоборот, ^(г) есть какая-нибудь из принадлежащих
к В автоморфных однозначных функций, то на поверх-
поверхности С она будет однозначной функцией точки, следо-
следовательно алгебраической функцией от ср, которую можно
представить как рациональную функцию от С и <р. Так как
^-кратная точка бесконечности должна при этом считаться за
простых.
335

и х(г) совершенно Произвольные йрйй&длежащйе к Я
автоморфные функции, то следовательно всякие две такие
функции связаны между собой алгебраическим уравнением»
Отсюда вытекает такой результат: однозначные автоморф-
иые функции от г, принадлежащие группе © и ведущие
себя во всех точках своей фундаментальной области В
как рациональные функции, соответствуют взаимно
однозначным образом системе алгебраических функций,
однозначных на построенной соответственно В римано-
вой поверхности С.
Мы привели доказательство существования автоморфных
функции, которое позволяет теоретически их составить,
но не дает готового аналитического выражения для их вы-
вычисления. Такое аналитическое выражение в виде беско-
бесконечных рядов дал Н. Ро1псагёв своих первых работах,
относящихся ^к этой области. Мысль Пуанкаре была впо-
впоследствии разработана во всех деталях Е. К111 е г'ом х).
§ 4. Униформизация алгебраических и аналитических
функций посредством автоморфных функций с предель-
предельным кругом.
Теория автоморфных функций стоит в тесной связи
с одной важной проблемой теории функций. Мы видели
в предшествующем параграфе, что две автоморфные
функции
2 = ? E), С = •Ь (з) A)
с одной и той же фундаментальной областью в плоскости 5
удовлетворяют алгебраическому уравнению Р{г, С) = 0, т. е.,
что С есть алгебраическая функция от г. Эта алгебраиче-
алгебраическая функция является вместе с тем „униформизированной"
однозначными автоморфными функциями A).
Вообще, мы понимаем под 99униформизациейа аналитиче-
аналитической функции С=/(У) построение двух однозначных ана-
аналитических функций, имеющих разве лишь полярные осо-
особенности,
1) Ср. Н. Ротсагё СЕиугез, том 2, а также КШег, Ма1Ь. Апп.
в томах 41 до 47 A893 —1896); и Рпеке-КЫт, Уогкзипдеп иЬег сИе
ТЬеопе Aег аиЪотогрЬеп Гипкйопеп, Вй. 2.
336

ш некоторой области комплексной числовой плоскости „уни-
формизирующей переменной" 5 и притом таких, что урав-
уравнение
тождественно удовлетворяется относительно 5. Примеры
таких униформизаций встречались у нас часто. Так, функ-
функция С = г* униформизируется при любом а, если задать
функция С = 1/—г'2 униформизируется функциями
2: == 81П 5, С = СОЯ 5
или функциями
2з ,_ 1 —55
функция
где 5 и Й'з означают комплексные постоянные, удовлетво-
удовлетворяющие условию
униформизируется представлением
(<), С = Г (/)
с помощью эллиптической функции ${{) „Вейерштрассо-
вой ^-функции с инвариантами §2 и 8ъ'*
Во всех этих примерах униформизация достигается
с помощью либо рациональнБгх, либо простопериодических
или двоякопериодических функций и каждый раз распро-
распространяется на всю область существования униформизируе-
мой функции.
Возникает теперь вопрос, всегда ли возможно произ-
произвести униформизацию любой алгебраической функции во
всей области ее существования. Это как раз имеет место,
причем одним из прекраснейших и замечательнейших фак-
фактов теории функций является то, что униформизация всегда
может быть достигнута посредством автоморфных функ-
функций. На основании результатов § 3 мы можем высказать
22 Зак. 1885. Курант. 337

&то следующим образом: алгебраические риманобы поёерх-
ности и фундаментальные области автоморфных функ-
функций суть взаимно эквивалентные геометрические образы.
Униформизация посредством автоморфных функций может
быть выполнена, в каждом отдельном случае, разнообраз-
разнообразными способами; а именно можно в довольно широких пре-
пределах задавать тип фундаментальной области применя-
применяемых автоморфных функций. Мы ограничиваемся здесь
простейшим и вместе с тем интереснейшим случаем так
называемой униформизации с предельным кругом. При
ётом мы рассматриваем любую алгебраическую функцию
С = С (г), для которой риманова поверхность пусть будет
С. В следующем параграфе мы разберем еще другой тип
униформизации.
Сначала_мы строим вместо поверхности С новую по-
поверхность С, которая, правда, содержит вообще бесконеч-
бесконечное число листов, но зато в отношении своей связности
гораздо проще О. Эту поверхность, которую мы назовем
универсальной поверхностью наложения для С, мы по-
получим таким образом: если С имеет род /0 = 0, то С сов-
совпадает с С; если же р > 0, то представим себе, что подоб-
подобная однолистной поверхность С, образовавшаяся путем ка-
канонического рассечения поверхности С, существует в бес-
бесконечно большом числе конгруэнтных экземпляров, и обо-
обозначим края циклических сечений везде одинаковым обра-
образом буквами (^т*~, С?т~, B;+, О.'— A = 1, 2,..., р). Склеим
теперь с каждым краем (?+ поверхности С новый экзем-
экземпляр, приложив его соответственным краем B~~, точно также
к каждому краю B~ приложим новый экземпляр краем B+.
Будем продолжать таким образом дальше, присоединяя к
каждому свободному краю B+ или B~ новую поверхность
С соответственным краем B~ или B^. Только в одном
случае не нужно присоединять новые экземпляры С к сво-
свободным краям, а взамен этого должно соединить два уже
имеющихся свободных края. Действительно, склеивая эк-
экземпляры друг за другом, мы получаем все время области,
ограниченные следующими друг за другом краями цикличес-
циклических сечений, принадлежащих склеенным экземплярам С.
И вот как только при обходе границы одной из этих об-
областей два соответственных края С?7+ и B^ (или B'^ и
338

е одним и тем же А будут следовать непосредственно
за другом, они должны быть соединены вместе, и к ним
уже не надо присоединять никаких новых экземпляров
С г). Продолжая этот процесс до бесконечности 2), мы
определим бесконечно многолистную область С; она состоит
из бесконечно многих конгруэнтных экземпляров С и
представляет искомую поверхность наложения.
Эта поверхность наложения С при р > О будет одно-
связной областью, подобной однолистной. Это станет оче-
очевидным из черт. 65 в § 1, если как С, так и конгруэнтные
экземпляры представить плоскими многоугольниками, сто-
стороны которых представляют края сечений. Если мы в точ-
точности повторим с этими многоугольниками тот же про-
процесс соединения, что и с экземплярами С, и позаботимся о
том, чтобы при каждом шаге получался бы плоский про-
простой многоугольник, то непосредственно убедимся в спра-
справедливости нашего утверждения относительно связности
Если мы выберем один из соединенных экземпляров
С за начальный и обозначим его через Со, то каждой точке
Р поверхности С соответствует в точности одна точка Ро
на Со, а именно та точка, положение которой на Со кон-
конгруэнтно с положением Р на экземпляре С, которому
принадлежит сама точка Р. Очевидно, Р и Ро лежат над
одним и тем же местом плоскости г. Каждому замкнутому
пути на С соответствует в этом смысле замкнутый путь
*) Иначе, полученная поверхность имела бы над точкой Р поверхно-
поверхности С, из которой О получена каноническим рассечением, бесконечно
много логарифмических точек разветвления, чего мы желаем избежать.
2) Что процесс в предположении р > 0 действительно может продол-
продолжаться до бесконечности, т. е. что не получится замкнутой поверхно-
поверхности после конечного числа шагов, причем все свободные края по пра-
правилу соединятся попарно, вытекает из того, что число свободных краев
будет все время расти, если надлежащим образом присоединять новые
экземпляры С, а именно сначала присоединить все экземпляры, какие
возможно, ко всем вершинам исходного экземпляра, потом ко всем вер-
вершинам полученной области и т. д.
3) При этом многоугольники вовсе не должны быть конгруэнтными,
поскольку дело идет только о соотношениях связности и могут даже
все быть уложены однолистно в одной плоскости.
22* 339

на Со; т. е. каждая однозначная на С функция тем сймъШ
однозначна и на поверхности наложения С *).
Абстрактное построение понятия римановой поверхности,
данное в § 3 главы V, позволяет нам также абстрактно опре-
определить и понятие поверхности наложения без описанного
выше процесса склеивания. В силу теоремы монодромии
§ 1 (глава V), область В, расположенная над ^-плоскостью,
вполне определена для целей теории функций, если только
задано, возвращаемся ли мы при обходе по любому зам-
замкнутому в ^-плоскости пути к исходной точке также и в
области В, или же при этом мы переходим на второй лист.
Поэтому мы могли^бы определить универсальную поверх-
поверхность наложения С для римановой поверхности С с по-
помощью следующего требования: каждой замкнутой кри-
кривой на С, которая может быть непрерывно стянута в одну
точку, должна соответствовать на С тоже замкнутая кри-
кривая, каждой иной замкнутой кривой на С должна соответ-
соответствовать на С незамкнутая кривая. Этого можно достичь,
если каждой исходящей из точки Р открытой дуге кривой
РB привести в соответствие некоторую точку поверхно-
поверхности наложения, однако так, чтобы всем кривым, которые
при сохранении начальной и конечной точек могут быть
непрерывно переведены в заданную кривую, отвечала бы
одна и та же точка. Нетрудно показать равносильность
этого определения с предыдущим. Преимущество послед-
последнего определения в том, что оно обходится без рассече-
рассечения области С и может быть поэтому приложено к совер-
совершенно произвольным областям, что имеет значение для
униформизации неалгебраических функций.
В силу § 9 главы VIII мы можем взаимно однозначно
и конформно отобразить поверхность наложения С на одно-
однолистную область и при том либо на полную ^-плоскость,
) Вообще называют чповерхностъю наложения" С поверхность
расположенную над заданной римановой поверхностью С, если для каж-
каждой точки Р на С* можно сопоставить однозначно и непрерывно лежа-
лежащую над тем же самым местом точку С, таким образом, чтобы
окрестность каждой точки О1 отображалась бы взаимно однозначно и
взаимно непрерывно на окрестность соответствующей точки С. Каждая
такая поверхность наложения, если она подобна однолистной, годится
для униформизации. Положенная нами в основание поверхность наложе-
наложения представляет самый наглядный случай.
340

либо на 5-плоскость, ограниченную только одной точкой,
например точкой оо, либо наконец на внутренность единич-
единичного круга. Первый случай исключается вследствие заме-
замечания на стр. 300 (§ 9 главы VIII), как только р > 0, по-
потому что тогда С будет иметь бесконечное множество
листов. Если же р = 0, то мы получаем, как изображение С,
полную 5-плоскость и г и С будут рациональными функ-
функциями о E) соответственно ^ (з) переменной 5. Итак: для
поверхностей рода нуль униформизация достигается
через рациональные функции.
В случае р > 0 обозначим отображение С на плоскость 5
через*?, все равно, будет ли это вся плоскость, кромемточки оо,
или единичный круг. Тогда точки поверхности С, а еле"
довательно, и однозначные на этой поверхности значения
г и С, будут однозначно отвечать точкам *5; следовательно,
г и ч станут везде на *5 однозначными функциями от 5;
мы обозначим их опять через о ($) и и ф E); т. е. алге-
алгебраическая функция С = .С (г) униформизирована посред-
посредством функций <р E) и & E). Если униформизирующая пе-
переменная 5 пробегает какой-нибудь путь на *5, то система
значений (г, С) пробегает на поверхности О путь, которому,
как выше объяснено, соответствует определенный путь
на С. Если первый путь замкнут, то наверное замкнут и
последний путь.^Таким образом мы видим, что даже все
однозначные на С функции могут быть представлены одно-
однозначными функциями от 5, хотя бы они были на С много-
многозначны. В частности к ним относятся абелевы интегралы
первого и второго вида поверхности С. .
Чтобы ближе исследовать свойства функций <рE) и *К5)>
рассмотрим периодическое строение поверхности наложе-
наложения С Поверхность С допускает „преобразования нало-
наложения", т. е. конгруэнтные преобразования в себя^К ним мы
приходим следующим образом: каждая точка Р на С лежит на
одном из бесчисленных экземпляров поверхности С; эюму эк-
экземпляру однозначно соответствует определенный следую-
следующий экземпляр, к которому мы приходим, переходя через край
сечения (^ или B~; B , B~\ На этом экземпляре суще-
существует определенная точка, расположенная конгруэнтно
с Р. Для однозначности соответствия точек также и на
краях B мы должны всегда из каждого сечения причислять
341

к С только один край B , B "*" но не другой край О~~9 B ~\ Мы
приводим теперь в соответствие каждой точке Р на С
при каждом значении г = 1,2,..., р конгруэнтную ей точку '
получающуюся при переходе одного из краев С?+ или С?г, ^
С?*~и замечаем приэтом, что С переходить опять в С. Получен-
Полученные таким образом 4р преобразований покрытия и все
получающиеся из них повторным применением образуют
„группу преобразований наложения С."
Что это значит для функций <рE) и ФE)?* Преобра-
Преобразованию наложения нашей группы соответствует взаимно
однозначно на 5-плоскости такое соответствие точек об-
области *5, при котором *5 отображается на себя. Так как пре-
преобразование наложения как конгруэнтное отображение
конформно, то точно так же конформно отображение ,5
на себя; следовательно 1) оно представляет линейное пре-
преобразование
Все линейные преобразования, которые мы получаем та-
таким путем, образуют, разумеется, также группу; она изо-
изоморфна с группой преобразований наложения, т. е. опера-
операции обеих групп взаимно однозначно соответствуют друг
другу так, что операции одной группы, составленной из
нескольких операций, соответствует аналогично составлен-
составленная операция другой группы.
Двумя точкам на С, связанным друг с другом в ука-
указанном выше смысле посредством преобразования, наложе-
наложения, принадлежат одни и те же значения комплексной пе-
переменной х и ее функции С; поэтому для всех преобразо-
преобразований нашей группы имеют силу тождественно в 5 соотно-
соотношения
?1
Если *У есть плоскость с исключенной точкой, то это следует из
§ 3 главы IV. Отображение же единичного круга на себя может быть
преобразовано посредством линейного преобразования в такое отобра-
отображение, которое оставляет неподвижным нулевую точку и положительное
направление оси X, но последнее отображение по § 3 главы VI есть
тождество.
342

Отсюда результат: алгебраическая функция С (г) унифор-
мизируется посредством однозначных автоморфныхфунк-
цт* от з с группой B).
Для более точного исследования функций <р($), ^($)
должно теперь различать, будет ли *5 вся плоскость за
исключением точки оо или внутренность единичного круга.
В первом случае равенства B) должны иметь вид
/ = «5 + р, D)
потому что точка оо переходит сама в себя. Здесь пог
стоянная а должна иметь значение 1; ибо иначе отличная
от оо точка 50 = : — осталась бы неподвижной при пре-
1 —*сс
образовании D), а следовательно соответственная точка
СГ осталось бы неподвижной при соответствующем D)
преобразовании наложения. А преобразование наложения,
отличное от тождественного, не оставляет неподвижной ни-
никакой точки. Следовательно, преобразование D) имеет вид
*' = *+(*• E)
Функции <рE) и ^(з) поэтому будут периодическими. Слу-
Случай простои периодичности, следовательно одной только
производящей подстановки группы, не может иметь места
при р > 0, потому что тогда имеются, по меньшей мере,
4 края сечений, так что по меньшей мере две существенно
различных подстановки образуют группу. С другой стороны
этот случай не может быть и при р =_0, потому что при
этом тождественная с С поверхность С не допускает ни-
никаких отличных от тождественного преобразований нало-
наложения
Заметим, что группа преобразований E) и в случае простой пери-
периодичности дает униформиэацию поверхности рода нуль^_ которой со-
соответствует однако другой вид поверхности наложения О'. Нужно про-
провести внутри С сечение (^ между какими-нибудь двумя точками; потом
взять так разрезанную поверхность С в бесконечном числе экземпляров
и, как выше, присоединять к каждому, свободному краю сечений B~^~ и
B~ новый экземпляр С. При этом в противоположность прежнему
нельзя никогда соединять два уже существующие края. Таким образом
для алгебраических фу н кии и рода нуль существует всегда кроме у ни-
формизауии посредством рациональных функций еще униформизация
посредством однозначных простопериодических функций.
343

Двоякая периодичность наступает пдр р = 1; тогда <?{з)
и <]> (з) становятся эллиптическими функциями с двумя
независимыми периодами со^ со2. Более высокий род рас-
рассматривать не приходится, ибо тогда группа E) имела бы
более двух существенно различных производящих преобра-
преобразований, между тем как однозначная аналитическая функ-
функция имеет самое большее два независимых периода 1).
В самом деле, при /7 = 1 эллиптические функции унифор-
мизируют эллиптические римановы поверхности 2); но можно
вообще показать, что всякая риманова поверхность рода 1
может быть униформизирована посредством двоякоперио-
дических функций 3).
) Ср. Главу VII, § 2.
2) Ср. сноску к стр. 178.
3) Чтобы в этом убедиться, нужно только согласно с прежними заме-
замечаниями показать, чго поверхность наложения С римановой поверх-
поверхности С рода 1 отображается посредством характеристической функции
течения С = / (г), которая отображает С на надрезанную область (ср.
гл. VIII), на С-плоскость с исключенной точкой. Для доказательства бу-
будем рассматривать С как предел заключенных друг в друге областей
Сп , причем Сп состоит из Bтг-|~1J экземпляров канонически рассе-
рассеченной поверхности Си ограничена кривой Сп, образованной 4B п -\- 1)
краями нашей системы циклических сечений. Пусть все эти сечения имеют
длину меньше постоянной границы а и не проходят через точки раз-
разветвления. Мы можем тогда опоясать Сп на С полосой $п, которая по-
получается от того, что обводят вдоль кривой Сп центр однолистного
круга с надлежащими независящим от п радиусом. Далее примем, что
никакая полоса Зп не содержит точки, где находится двойной источ-
источник, и что никакие две полосы не налегают друг на друга. Если мы
обозначим через Ип интеграл от | /' (х) \2 по Зп, то ряд О1 -|- О2 -{-...
во всяком случае сходится. С другой стороны, лемма I главы VIII, § 6,
формула A), позволяет нам заключить о существовании постоянной Ь,
независящей от п и такой, что
/|/(*)|21&1 <ь о
с
п
Для длины Ьп кривой, являющейся отображением Сп на С-плоскость,
получаем с помощью неравенства Шварца
а <
Сп
аЬ Оп<сп йц
344

К существенно иным функциям приходам мы во втором
случае, когда *5 будет единичным кругом 5-плоскости. Все
линейные преобразования группы должны переводить
окружность этого круга в себя, отображая внутренность
его взаимно однозначно на самое себя. Отображение од-
одного из экземпляров С, из которых построен С, будет
однолистной областью, целиком лежащей внутри «5, в ко-
которой функции <р E)> ^ E) принимают в точности по од-
одному разу все пары своих значений. Это есть область та-
такого же рода, как та область, которую в предыдущем
параграфе мы назвали фундаментальной областью группы
B) и поставили в центре рассуждения. Бесчисленные фун-
фундаментальные области, которые получаются из одной из
них при помощи линейных преобразований B), должны за-
похнить весь единичный круг и потому, во всяком случае,
будучи расположены в ряд Ви В2ч В3,. .•. Вп,..., должны иметь
площадь, стремящуюся к нулю. Это возможно только,
если они сами при достаточно большом к помещаются
в произвольно малом круге х). Отсюда мы заключаем, что
в произвольной близости каждой граничной точки единич-
единичного круга лежат целые фундаментальные области. Дей-
Действительно, если мы выберем точку достаточно близко к кон-
контуру круга, то указатель к области Вп, которой эта точка
принадлежит, будет произвольно велик, а поэтому диа-
диаметр Вп произвольно мал. Вместе с тем функции ?E)>
причем с постоянная независящая от п. Отсюда следует, что для из-
известных произвольно больших значений п длина /^должна становиться
как угодно малой потому, что в противном случае ЩОп не могла бы
сходиться. Так как при возрастании п отображения кривых Сп в плос-
плоскости С заключаются друг в друге, то отсюда следует, что отображение
О есть С-плоскость с исключенной точкой. Заметим еще, что наше за-
заключение не имеет силы при р ^> 1, потому что тогда число, краев цик-
циклические сечений, из которых состоит контур выше определенной об-
области G^1 растет быстрее, чем первая степень п.
*) Доказательство этого утверждения вытекает например из леммы I в
главе VIII § 6, если мы ее применим к области, которая целиком ле-
лежит в 3 VI содержит в себе исходную фундаментальною область В и
которая например получается из последней путем присоединения всех
примыкающих фундаментальных областей. И эта область отображается
надлежащим преобразованием на область с произвольно малой площадью.
А тогда из леммы I следует, что в первоначальной фундаментальной
области отображающая функция становится мало отличающейся от по-
постоянной соответственно малости площади отображения.
345

E) принимают там все еще каждое значение; следова-
следовательно каждая точка окружности круга является суще-
существенно особой точкой обеих функций. Иными словами,
круг есть естественная граница для униформизирующих
автоморфных функций. Наши результаты можно высказать
в теореме: униформизация всякой алгебраической функ-
функции всегда может быть достигнута посредством авто-
автоморфных функций с предельным кругом, причем в эту
формулировку мы включаем и случай, когда ,5 есть плос-
плоскость с исключенной точкой 1). Эта теорема называется
теоремой об униформизации с предельным кругом.
Единичный круг в 5-плоскости с его разделением на фун-
фундаментальные области играет такую же роль, как рима-
нова поверхность алгебраической функции с принадлежа-
принадлежащей ей поверхностью наложения. Возвращаясь к упомяну-
упомянутому в последнем параграфе толкованию линейных преобра-
преобразований единичного круга в себя (стр. 328), как неэвкли-
неэвклидовых движений, мы можем сказать' риманова поверхность
алгебраической функции с принадлежащей ей поверхно-
поверхностью наложения представляется куском плоскости, состав-
составленным из бесконечно многих неэвклидовых конгруэнтных
частей, иными словами представляется „неэвклидовым кри-
сталлочи. В случае эллиптических функций место неэвкли-
неэвклидовой конгруэнтности заступает конгруэнтность эвклидова.
Заметим в заключение, что точно таким же путем можно
добиться униформизации любых аналитических функций
при помощи автоморфных функций, ибо построение соответ-
соответственной односвязной поверхности наложения удается на ос-
основании ее абстрактного определения, которое мы дали выше
на стр. 340; и эту поверхность наложения надлежит опять
отобразить конформно на полную плоскость или плоскость
с исключенной точкой или на внутренность круга. В случае,
если риманова поверхность исходной функции уже сама
односвязна и подобна однолистной, то она является своей
собственной поверхностью наложения, и группа преобразо-
преобразований наложения сводится к тождественному. Обозначение
„автоморфные функции" для униформизирующих функций
едва ли оправдывается в этом случае.
1) Это оправдывается, как только вместо 5-плоскости мы положим в
основание 5-сферу; область существования автоморфных функций лежит
тогда внутри некоторого круга на сфере, внешняя область которого в
предельном случае может быть стянута к одной точке,
346

Далее укажем на то, что наши рассуждения приводят
к одновременной униформизации нескольких функций
посредством автоморфных функций с общей группой. Надо
только исходить из такой римановой поверхности, на ко-
которой все рассматриваемые функции одновременно одно-
однозначны.
§ 5. Конформное отображение подобных однолистным
областей на круговые области. Теорема об униформиза-
униформизации с циклическими сечениями.
В заключение укажем еще одно применение общей тео-
теоремы § 9 главы VIII, в силу которой можно конформно
отобразить любую подобную однолистной область на об-
область однолистную. Докажем, что при конечном п возможно
взаимно однозначно и конформно отобразить любую не-
незамкнутую П'Кратно связную подобную однолистной об-
область на полную плоскость за исключением п круговых
дыр („круговая область"). Для этого по § 9 главы VIII
достаточно доказать теорему в предположении, что исход-
исходная область С есть плоскостью, снабженная л прямолиней-
прямолинейными параллельными надрезами, среди которых по край-
крайней мере один не сводится к точке. Действительно так
как мы можем рассматривать надрезы в виде точек как
круги с исчезающим радиусом, то в противном случае не-
нечего было бы доказывать. Излагаемая теорема предста-
представляет обобщение теоремы Римана о конформном отобра-
отображении, при том в формулировке, которую мы ей дали в
главе VI в конце § 2.
Мы можем подойти к доказательству совершенно есте-
естественным путем, если на минуту примем, что уже имеется
готовое конформное отображение С на круговую область
К ^-плоскости и что оно аналитически продолжено по
принципу симметрии. Мы можем следующим образом по-
построить шаг за шагом, ту область, которая образуется про-
процессом отражения над ^-плоскостью- сперва мы перехо-
переходим от С к области Си отражая С в его п разрезах. По-
Полученная область Сг — многолистная, а именно составлена
из (п -\- 1) полных плоскостей, и ограничена п (п — 1) пря-
прямолинейными параллельными вещественной оси разре-
разрезами— зеркальными изображениями каждого из первона-
первоначальных разрезов ^1, Е^ •••> Еп» Из Сг мы производим
347

новую поверхность С2, отражая Сх в каждом из его сво-
свободных краев разрезов, и таким образом переходим к С3,
С4, С5 .. . „Предел, заключающихся друг в друге областей
Су мы обозначим через С^.
Мы сейчас же получим наглядную картину соотношений
связности нелегко поддающихся воображению областей Су.
соответственно
С
оо'
если мы выполним соответственные
отражения в коуговой области К, Областям С19 С2,... со-
соответствуют тогда круговые области К19 К2,..., заключен-
Черт. 83.
ные друг в друге, с возрастающим постоянно числом -кру-
-круговых дыр. Предел этих круговых областей мы обозначим
через К^. На черт. 83 вычерчена для п = 3 область К?,
причем заштрихованы те части К2, которые получаются
из К посредством четного числа отражений, остальные же
части оставлены белыми. Безразлично, получается ли кру-
круговая фигура К^ действительно из С^ путем конформного
отображения или нет, она все-таки делает наглядными
в смысле Апа1у818 зНиз соотношения связности С, (у = 1,2 ...)
и Сое. Мы видим, что Соо во всяком случае подобна одно-
однолистной, хотя уже не обладает связностью конечного по-
порядка.
343

Конформнбе отображение области С^ на область йо
свойствами К^ удастся, если мы построим по главе VIII
для какой-нибудь точки О (г = г0) на С^, которая пусть,
например, лежит в первоначальной области С, характери-
характеристическую функцию течения, которая имеет в О полюс
первого порядка с заданным вычетом. Последняя есть
однозначная на Ст аналитическая функция С = и -\-
-\-ш=/{г) и отображает С^ на однолистную область,
которую мы назовем К^. Заключенные одна в другой об-
области, представляющие отображения С, Си С2,..., назо-
назовем К', К/, К/,... Теперь нам нужно доказать, что по-
последние области имеют точно такие же свойства, что и об-
области, обозначенные выше через К, К1, К2,..., т. е. что
К' состоит из полной плоскости за исключением п кру-
круговых отверстий, и что К/, К2',... происходят из К' выше-
вышеописанным процессом отражения.
Легко доказать этот факт, если мы раньше покажем,
что отображающая функция / (г) определяется до про-
произвольной аддитивной постоянной посредством двух
следующих свойств: 7) / (г) имеет в точке О на С^
простой полюс с заданным наперед вычетом, а во всех
остальных точка к С^ она однозначна и регулярна, 2) ин-
интеграл Дирихле
"оо—
распространенный по области, получающейся из С^ пу-
путем выбрасывания произвольно малого круга Ко с центром
О имеет конечное значение.
Чтобы показать правильность этого утверждения, доста-
достаточно доказать для всякой второй функции С* = и* 4~ *
/* (
р фуц 4
/* (х)у обладающей свойствами 1 и 2, что гармоническая
функция и)==и — и*, регулярная всюду на С^ и ограни-
ограниченная по абсолютной величине, удовлетворяет соотно-
соотношению
^ М = о.
Для этой цели вспомним сначала, что интеграл Во [го],
распространенный по всей области Ст9 должен существо-
349

в&ть, ибо, е одной стороны, существует &к[го], с другой
стороны, существует и ВваГ_Ко[то] в силу соотношения
В[и - и*]
Обведем теперь каждый разрез 2, на С на расстоянии #
прямоугольником Bг (/ = 1,2,. . . > л), причем постоянное
число /? выберем так, чтобы не было ни
одной пары разрезов, отстоящих друг от
друга ближе чем на 4 Л1); точно также
поступим с отражениями этих разрезов.
Однолистную замкнутую область всех
точек, отстоящих от (^ не дальше чем
Черт, 84.
на Ку обозначим через Вг. Для каждого постоянного зна-
значения указателя г A = 1, 2, 3,. . ., п) расположим все отра-
отражения B* соответственно Вг в такой ряд:
г, 2> • • •
что сперва стоят . все изображения, лежащие в Си затем
все вновь появляющиеся из С2 и т. д. Положим
тогда, в силу существования Е>0оо[гй], очевидно имеет место
соотношение
оо
п
По лемме I главы VIII, § 6 имеет место для каждой точки
неравенство
* B)
Если 5 обозначает длину дуги на (^. г, п — нормаль, то
д<ш
дго
Прямоугольники ($4 служат только для того, чтобы можно было
воспользоваться леммой I из главы VIII, § 6.
350

Из первого уравнения бледуёт, если разуметь под до
какое-нибудь значение го на 0{г, Для всех го на (}{ г
где Ь — общая верхняя граница для длин всех Bг.
Рассмотрим теперь вместо области С3 ту область С/, ко-
которая получается из Су, если мы заменим еще незамкнутые
посредством отражения разрезы на Су соответствующими
соседними кривыми 01 г и выбросим из области ^ вну-
внутренние для этих кривых области. С/ содержится в
С С
р р / р ^
но содержит в себе С. 1? так что С^ можно считать также
и пределом С/. По формуле Грина, примененной к области
С/ $ Д О
р /
С/ и к функциям
ги,
получим, в силу До; = О,
причем граничные интегралы распространяются по тем
кривым 0г>г, которые ограничивают С1. Вследствие одно-
однозначности функции V—V*
на С имеем
Ли;
следовательно
(го — го
4
откуда в силу C) и
Поэтому
351

й ^ак как при достаточно большом у все значки гстанбйятдя
произвольно большими, то отсюда, вытекает непосредственно
на основании A)
[ги]=
00 3
Этим доказано утверждение, что ги и вместе с тем /(г)—-
—/*(г) постоянны.
Доказав таким образом что наша функция С =/(г) пол-
полностью определяется с помощью упомянутых выше свойств
1 и 2, мы выводим, что функции, получающиеся при раз-
различном выборе точки 0 на С^ и произвольном задании
вычета в этой точке, отображающие С^ на однолистную
область, суть линейные функции друг от друга. Действи-
Действительно, с одной стороны, если С~/(я) обозначает нашу
функцию, принадлежащую точке г0, то всякая линейная
функция
г%
будет опять функцией от г, отображающей область
на однолистную область 1*-плоскости, именно на ту область,
которая получилась посредством E) из области К'^, являю-
являющейся отображением С^ Кроме того С* обладает очевидно
свойством 2, причем под Ко надо, конечно, понимать произ-
произвольно малый круг с центром в полюсе С*. С другой сто-
стороны, можно надлежащим подбором постоянных а, р, 7, о
в E) построить функцию С*, которая на любом заданном
месте С-плоскости, следовательно и на любом заданном
месте Оот, имеет простой полюс с заданным вычетом.
Согласно доказанной теореме однозначности, линейные функ-
функции от С исчерпывают совокупность всех принадлежащих
&оэ Функций, обладающих для какой-либо точки О на С^
и для какого-либо вычета указанными свойствами 1 и 2.
Этот результат можно высказать и так: всякое конформ-
конформное отображение С^ на однолистную область С*-плоскости,
содержащую внутри себя точку С* = оо х), выполняется ли-
линейной функцией от выше составленной характеристической
-1) Разумеется, это условие несущественно.
352

функции течения С =/(г). Отсюда следует дальше, что
можно выполнить всякое конформное с изменением направле-
направления отсчета углов отображение С^ на однолистную об-
область С^-плоскости, содержащую внутри себя точку оо,
посредством перехода от нашей функции С=/(г) или
от линейной функции от С=/(г) к сопряженной комплек-
комплексной величине, следовательно, посредством соотношения
вида
Г**
где С** означает сопряженное с С** комплексное число.
Пользуясь теперь свойствами симметрии области
мы получаем, что функция /(г) действительно отображает
конформно исходную область С на круговую область
желаемого вида. В самом деле, поверхность Сто допускает
преобразования в себя, она преобразуется сама в себя,
если мы ее станем отражать в одном из разрезов 2 поверх-
поверхности С; при этом переставляются друг с другом обе
области, на которые разлагается С^ посредством 2, между
тем как все точки 2 остаются неподвижными. Мы обо-
обозначим на время через /{Р} нашу функцию С=/(г), рас-
рассматривая ее как функцию точки Р на Сж. Если тогда
Р/ есть точка, происшедшая от отражения точки Р в раз-
разрезе 2, то приведем ей в соответствие в С**-плоскости точку
С** {^>'}==/{Р}. Благодаря такому соответствию точек
определяется конформное отображение ловерхности Ст
с изменением направления отсчета углов на однолистную
область Кот плоскости С**. Так как область К^ содержит
внутри точку оо, то в силу предшествующих рассуждений
С** есть сопряженная комплексная величина с линейной
функцией от /(г) и связана например уравнением F) с С =
Если С и С** представлены в одной и той же плоскости,
то уравнение F) определяет такое отображение плоскости
на себя, при котором круги переходят опять в круги.
Далее, всякая точка изображения С разреза 2 должна
перейти сдма в себя, тогда как обе части, на которые С
разлагает К^, должны между собой переставиться. Это
23 Зак. 1985. Курант. 353

возможно только в том случае, если С есть окружность.
Действительно, если мы проведем через три произвольно
выбранные различные точки С окружность, то при отобра*
жении F) она переходит сама в себя, потому что три ее точки
остаются неподвижными. Так. как внешняя и внутренняя
для этой окружности области переставляются друг с другом,
то, следовательно, кривая С не может иметь никаких
точек внутри или вне круга и должна быть тождественной
со всей окружностью, потому что она рассекает К^ на две
раздельные части. При отображении С^ на С-плоскость
всякий разрез исходной области С отображается следо-
следовательно на окружность. Поэтому на самом деле область С
конформно отображена на однолистную область, ограни*
ченную окружностями. Область эта содержит внутри точку
осу, потому что полюс О выбран в исходной области С.
Этим и доказана высказанная теорема о конформном отоб-
отображении.
Попутно доказано, что это отображение по существу,
т. е. с точностью до линейных преобразований, опреде-
определено однозначно. Ибо, если две различных круговых об-
области 2-плоскости конформно отображены на одну и ту же
п - связную подобную однолистной область, то их можно
конформно отобразить на одну и ту же надрезанную область С
плоскости г. Построив поверхность Ст для этой поверх-
поверхности С и аналитически продолжив отображение С на кру-
круговые области при помощи принципа симметрии, мы уви-
увидим, что наши отображающие функции тождественны
с нашими выше. разобранными функциями С* (г), следо-
следовательно являются линейными функциями друг от друга.
Эту теорему однозначности мы можем сформулировать так:
две круговых области могут тогда и только тогда вза-
взаимно однозначно и конформно отобразиться друг на
друга, если они получаются друг из друга линейными
преобразованиями.
Рассмотрим в заключение строение области К^ 1), на
которую функция С =/(^) отображает поверхность С^. К^
есть предел; как указано на черт. 83, заключенных друг
в друге областей К, (у = 1, 2,.,.), порядок связности
) После того, как наша теорема отображения доказана, мы опускаем
опять верхние значки у К', К/, Ко'...,!^.
354

Кбт*орых растет бесконечно вместе с у. Мы утверждаем^
каждый из кругов, ограничивающих Ку, имеет произвольно
малый радиус при достаточно большом у, при том общая
площадь поверхности, вырезаемой этими кругами из С-плос-
кости, стремится к нулю с возрастанием /. Правда, это
чисто геометрический факт, который имеет отношение
только к образованию области К^ из К путем процесса
отражения, но не имеет никакого отношения к конформному
отображению поверхности С^ на К^. Несмотря на это,
проще всего доказательство получается, если воспользо-
воспользоваться существованием конформного отображения и вспо-
вспомнить упомянутые в главе VIII, § 9 свойства характери-
характеристической функции течения, а именно: наша область
К^ ограничена множеством точек, являющихся точками
сгущения наших кругов, которое имеет „площадь нуль",
т. е. может быть заключено в конечное число областей
произвольно малой площади. Этим наше утверждение до-
доказано. Кроме того граница области К^ „нигде не связна",
потому что любые ее две точки можно разделить кривой,
проходящей целиком вне границы, и в случае п > 3 даже
„совершенна", т. е^. тождественна с множеством ее точек
сгущения.
Рассуждения этого параграфа позволяют нам доказать
весьма просто другую теорему униформизации — „теорему
об униформизации с циклическими сечени ямии, аналогичную
теореме об униформизации с предельным кругом §-4 и
читающуюся следующим образом:
Пусть С — алгебраическая риманова поверхность рода
Р и Оь О.ъ>'*'> Ор — система циклических сечений, не
пересекающихся друг с другом на этой поверхности.
Эти сечения превращают С в подобную однолистной
2/?-связную область С*. Тогда С* может быть кон-
конформно отображена^ на область В9 ограниченную 1р про-
простыми замкнутыми, отдельно друг от друга лежащими
граничными кривыми; притом так, что всякие две гранич-
граничные кривые Сг и Сг> представляющие отображения обоих
краев B1~ и 07 любого циклического сечения 0Дг = 1,2, ...,р),
получаются друг из друга линейным преобразованием. При
этом это линейное преобразование сопоставляет такие
точки Сг и С{, соответствующие точки которых лежат в С* на
23* 355

и С?г одна против другой. Таким образом бЛкЬзнаЧ-
ные на С алгебраические функции униформизируются по-
посредство моднозначных автоморфных функций, которых
фундаментальная область есть только-что описанная
область В 1).
Доказательство этой „теоремы об униформизации с цик-
циклическими сечениями" мы начнем с построения подходящей
поверхности наложения. По образцу § 4 вообразим себе,
что поверхность С* имеется в бесчисленных экземплярах,
и на всех одинаково обозначены края циклических сечений
через B} , С?Г. Затем присоединим к каждому краю С^ со-
соответственно С?Г (/=1, 2, ...,р) какого-нибудь исходного
экземпляра новый экземпляр соответственным краем С^~~или
B} ; этот процесс присоединения продолжим неопределенно.
При этом нужно присоединять все новые и новые экземп-
экземпляры и ни в коем случае не соединять двух уже имеющихся
краев. В пределе получаемая поверхность С** есть наша
искомая поверхность наложения. Она, как легко видеть, по-
подобна однолистной и потому может быть конформно ото-
отображена посредством характеристической функции течения
на однолистную область. Совершенно так же, как в начале
параграфа, можно показать, что все функции, конформно
отображающие С** на однолистную область, внутри которой
содержится точка со, суть линейные функции от одной из
них. Принимая во внимание преобразования наложения, ко-
которые допускает С**, мы сразу выведем наше утверждение.
§ 6. Модули области подобной однолистным.
Полученные результаты мы используем еще для раз-
разрешения вопроса о том, когда две наперед заданные
подобные однолистным области С1 и С2 с конечным
порядком связности могут быть конформно отображены
друг на друга. Если обе области односвязны, то это
всегда возможно; разве только исключается случай, когда
) Пример фундаментальной области того же типа, что и рассмотренная
здесь область В, мы уже упоминали в § 3. Там все граничные кривые
С|_, С%,.. ., С', С19 С2 ,... ,Ср был I окружности, в то время как у областей
нашей теоремы в качестве граничных кривых могут появиться гораздо
более общие замкнутые кривые.
356

одна из областей состоит из полной плоскости или
плоскостл с исключенной точкой или же отображается на
такую плоскость. В случае любого конечного числа связ-
связности п примем, по предыдущему параграфу, что обе области
отображены на круговые области, именно Кх и К2. Вследствие
приведенной на стр. 351, 352 теоремы можно тогда и только
тогда конформно отобразить Сх и С2 друг на друга, когда кру-
круговые области Кх и К2 получаются друг из друга с помощью
линейных преобразований. Если число связности равно двум,
то прежде всего приводим каждую круговую область с по-
помощью линейного преобразования к нормальному виду:
область должна быть круговым кольцом между двумя
концентрическими окружностями с центром в нулевой точке,
причем допускаются предельные случаи, когда внутренний
круг переходит в точку нуль или внешний в бесконечно
далекую точку. Область такого вида мы назовем „параллель-
„параллельное круговое кольцо". Если линейное преобразование пере-
переводит два таких круговых кольца друг в друга, причем
пусть, например, внешние круги соответствуют друг другу *),
то преобразование должно быть вида С1 = схС2, потому'что
всякая прямая, проходящая через центр концентрических
кругов, как общая ортогональная окружность должна перейти
снова в общую ортогональную окружность, т. е. прямую,
проходящую через центр; следовательно нулевая точка,
а также и бесконечно удаленная точка остаются неподвиж-
неподвижными.
При подобном преобразовании не меняется отноше-
отношение радиусов обоих кругов (в предельных случаях этому
отношению надо приписывать значения-*-,— , —). Обратно,
два концентрических параллельных круговых кольца с оди-
одинаковым отношением радиусов можно посредством растя-
растяжения отобразить конформно друг на друга. Отсюда за-
заключаем: две двусвязные подобные однолистным области
могут тогда и только тогда конформно отобразиться друг
на друга, когда отношение радиусов соответствующих
параллельных круговых колец у обеих одинаковое. Поэтому
необходимо и достаточно одно вещественное условие или,
Другой случай приводят к этому с помощью преобразования
г' = — одной из областей.
г
357

как говорят, по Риману, двусвязная подобная однолистной
область имеет один „модуль".
Если число связности п областей С\ и С2 больше 2, то
можно опять линейным преобразованием каждую из соот-
соответствующих круговых областей Кх и Ко сразу преобразо-
преобразовать так, что две окружности будут концентрическими
с общим центром в нулевой точке, а остальные окружности
будут лежать между ними в круговом кольце. Тогда Кг и К2
будут параллельные круговые кольца с круговыми отвер-
отверстиями, причем как предельный случай включен и тот,
когда ряд точек исключен из плоскости. Если вообще су-
существует линейное преобразование, которое переводит К2
в К1? то, не поступаясь общностью, опять можем допустить,
что оба внешних круга, так же как оба внутренних круга
круговых колец, соответствуют друг другу. Линейное пре-
преобразование, которое переводит оба концентрических круга
опять в концентрические, также расположенные круги
с центром в нулевой точке, должны иметь вид
К К
у
г и К2 должны поэтому получаться друг из друга враще-
вращением и преобразованием подобия. Мы находим поэтому,
замечая, что все выводы в данном случае обратимы, такой
результат: две подобные однолистным п связные области
(п > 2) тргда и только тогда могут конформно отображаться
друг на друга при данном порядке граничных кривых, если
у соответствующих кольцевидных областей совпадают друг
с другом: отношения п радиусов, а также углы, под ко-
которыми видны из нулевой точки (п — 2) кругов, лежащих
в круговом кольце, и взаимные расстояния их центров. Так
как отношения радиусов задаются (п—1) числами, углы
первого вида (п—*2) числами и углы второго вида (п — 3)
числами, то необходимым и достаточным условием ото-
бражаемости областей Сг и С2 друг на друга явится требо-
требование, чтобы известные (Зп— 6) вещественных чисел области
Сх совпадали с соответственными числами области С2. Эти
постоянные числа области, характеристические для ее ото-
бражаемости, опять-таки называются „модулями" области.
Поэтому резюмируя, мы можем сказать: подобная одно-
однолистной, п кратно связная область при п = 1 не имеет
вещественного модуля, при п = 2 имеет один веществен-
вещественный модуль, а при п > 2 имеет (Зп — 6) вещественных
модулей.
Что при п = 1 и п = 2 общее выражение (Зп — 6) для
358

числа модулей не годится, объясняется вот чем: при п = 1
область поддается преобразованию в себя с помощью
функции, зависящей от трех произвольных вещественных
постоянных, в случае п = 2 с помощью функции, зависящей
от одной произвольной постоянной; между тем при п > 2
уже более нет таких групп преобразования области в себя,
как показывают выше приведенные соображения.
§ 7. Общее понятие римановой поверхности.
Вначале мы мыслили римановы поверхности распро-
распространенными над числовой плоскостью или числовой сферой.
Для наглядности представления их соотношений связности
мы подвергали их произвольным непрерывным деформациям
и таким образом заменяли их расположенными в про-
пространстве замкнутыми кривыми поверхностями. Последние
служили до сей поры исключительно целям Апа1уз1з зНиз.
Теперь же мы покажем, что они могут служить как „рима-
„римановы поверхности" и в смысле конформного отображения.
Чтобы это выяснить ближе, предположим, что С есть
поверхность, лежащая в обыкновенном пространстве, на
которой можно отграничить некоторое число областей так,
что всякая точка поверхности С лежит по меньшей мере
в одной из этих областей и что точки всякой такой области
могут быть заданы двумя вещественными координатами
х и г/, причем координаты эти изменяются в однолистной
области плоскости ху. Линейный элемент с1з пусть задан
выражением
Л* Е !2 + 2Г1 А С ! A)
где Е, Г, С—функции от л: иг/, вид которых, зависит, ко-
конечно, . от положенных в основу координат х и у. Пред-
Предположим, что они имеют непрерывные частные производные,
и напомним известный из дифференциальной геометрии факт,
что везде имеет место неравенство
ЕС-тГ*>0. B)
Далее, пусть и = и (х, у) и V = V (*, у) две вещественные,
имеющие непрерывные частные производные функции от
х и г/, которых функциональный определитель игюу — ииюх
не обращается в нуль в некоторой точке поверхности С.
Тогда и и V в достаточно малой окрестности этого места
359

так же, как х и у, могут служить координатами точек по-
поверхности, так что эта окрестность будет взаимно одно-
однозначно и непрерывно отображена на однолистную область
и1;-плоскости. Очевидно, отображение это сохраняет углы
тогда и только тогда, когда квадрат линейного элемента,
выражаемый через и, V, принимает вид
C)
где X — положительная непрерывная функция от и и V.
Вводя на поверхности С ]) определенное направление
обхода, мы всегда можем подбором соответственных знаков
при и и V устроить так, что при сохранении углов сохра-
сохранится и направление обхода. Тогда назовем комплексное
выражение и-\-Ьо = ^ аналитической функцией в окрест-
окрестности рассматриваемого места или, короче, аналитической
функцией на поверхности. Если и* 4- гчР = С* — другая
функция на поверхности, то очевидно С* есть аналитическая
функция комплексной переменной С в обычном смысле,
вследствие конформности отображения С-плоскости на
С*-плоскость; иными словами: две какие угодно непостоян-
непостоянные аналитические функции на поверхности С суть ана-
аналитические функции друг от друга. В частном случае плоской
римановой поверхности, распространенной над х-плоскостью,
(Е== С= 1, Р—0), дело обстоит просто так, что х и С суть
функции на поверхности; наша общая точка зрения
устраняет особое положение независимой переменной
в сравнении с зависимой.
Мы преобразуем условие C), вводя Аи = иЛЛх -\- иу<1у>
1\у1 и сравним потом с A). Таким образом
мы получим три условия:
D)
F)
) Это достигается прежде всего в окрестности рассматриваемого
места с помощью произвольного задания. Для того, чтобы можно
было без противоречия распространить выбранное направление обхода
по принципу непрерывности по всей поверхности С, последняя должна
быть ориентируемой поверхностью.
360

откуда прямо следует
G)
причем корень нужно взять со знаком величины ихуц— иуух
(ибо а положительно по определению). Исключая л из D)
и E) с помощью G), получаем два уравнения, линейных
относительно иу, уг Решая их, получим соотношения:
и,
V,.
пользуясь F), мы перепишем их также в виде:
Еун — Еух Ей ч — Еих
у, = —
или
гу,, — КлУг г и,.
\ (8)
Эти уравнения имеют для функций на поверхности точно
такое же значение, как дифференциальные уравнения Коши-
Римана для аналитических функций от одной независимой
комплексной переменной. Действительно, они приводятся
к ним при /Г=С=1, Е=0. Предполагая существование
непрерывных вторых частных производных функций и
и у, мы выведем из (8), что и и у суть решения диффе-
дифференциального уравнения Белыпрами (ВеНгатг)
1 ( д Сюх— Его, д Его., — Его А
Ж +ду 1Г )-°' ^
Уравнение это представляет аналог для нашей поверхности
уравнения потенциала (уравнения Лапласа). Поэтому ре-
решения этого уравнения называют потенциалами на по-
поверхности. Два потенциала и и у, связанные друг с дру-
другом соотношениями (8), называются сопряженными. Все
наши прежние рассуждения относительно плоских течений
непосредственно переносятся на нашу поверхность С с по-
помощью только-что развитых понятий. В частности два со-
сопряженных потенциала могут быть наглядно представлены
с помощью линий тока и эквипотенциальных линий по-
361

тока на поверхности. Формула Грина и теоремы об инте-
интеграле Дирихле сохраняют также свою силу, если мы будем
разуметь под О [<?, $] интеграл
Все эти факты легко доказать, приняв во внимание, что
составленные здесь выражения инвариантны, соответственно
ковариантныг по отношению к любым взаимно однозначным
непрерывным преобразованиям координат и их производ-
производных, что квадрат линейного элемента С всегда принимает
вид Aз2 = к(с1и2-{- Л;2), если мы примем два сопряженных
потенциала и, V на поверхности за координаты, и что при
таком выборе координат наши выражения переходят в преж-
прежние ранее нами разобранные.
На основании этих представлений мы можем прямо рас-
распространить прежде развитые теоремы конформного ото-
отображения и существования на области С, которые распо-
расположены на произвольных кривых поверхностях в простран-
пространстве, потому что можно конформно отобразить только-что
описанным способом окрестность всякой точки С на одно-
однолистную плоскую область. При ртом область С может даже
иметь в пространстве особенности. Так, не нарушают воз-
возможности конформного отображения ребра, вдоль которых
примыкают друг к другу два непрерывно искривленных
куска поверхности, потому что функции Е> Г, С при над-
надлежащем выборе координат могут быть непрерывно про-
продолжены вместе со своими производными через эти ребра.
Даже телесные углы, в которых сходятся три или более
поверхностей под углами, неравными нулю, могут содер-
содержаться внутри области С Ведь, как легко убедиться ме-
методами § 4 главы VI, можно конформно отобразить окрест-
окрестность вершины телесного угла на плоскую область и при
том так, что вершине соответствует единственная точка.
В заключение обобщим понятие римановой поверхности
еще больше, чем до сих пор, устранив все особенности,
которые не имеют никакого отношения к сути дела. Прежде
всего вовсе несущественно, что места нашей римановой
поверхности представляются геометрически точками про-
пространства. Достаточно положить в основу любое ориенти-
ориентируемое двухмерное множество М каких угодно „элементов",
262

которое обладает свойством разложения на частные мно-
множества, внутри которых элементы определяются одно-
однозначно заданием двух вещественных координат х, у. Чтобы
мы могли говорить о конформном отображении, должна быть
задана на таком множестве метрика для „углов", В то время
как у римановых поверхностей в пространстве мы просто
могли принять естественное мероопределение эвклидова про-
пространства, здесь мы должны произвольно задать мероопре-
мероопределение. Для этого, назначив систему координат х, у, мы
произвольно задаем три вещественные непрерывно диффе-
дифференцируемые функции Е(х, у), Р(х, у), С (г, у)> подчи-
подчиненные обязательному условию
ЕС — Г2>0
и установим, чтобы квадрат линейного элемента равнялся
Но дело идет только об углах, а не о длинах, поэтому нет
необходимости задавать Е, Г, С вполне, но только до об-
общего вещественного отличного от нуля множителя пропор-
пропорциональности. Такого рода двумерное множество с задан-
заданным мероопределением углов мы обозначаем как „рима-
ново многообразие". Очевидно, риманово многообразие
способно в той же мере служить основанием для развития
теории функций и теории потенциала, как и риманова по-
поверхность в пространстве.
§ 8. Исторические указания к последним главам.
Теории, которым посвящены были последние главы, все
связаны более или менее косвенно с основными идеями,
которые ввел в анализ Бернгард Риман *) (род. 1826,
ум. 1866). Что Риман взял в основание своих доказательств
теорем существования принцип Дирихле, указывалось уже
раньше; упоминалась также критика со стороны Вейер-
штрасса этой методы, вследствие чего К. Нейман и
1) Прежде всего в его вступительном рассуждении: „СгипсИа^еп Кл-
Клеше а11#ете1пе ТЬеопе с1ег РипсИопеп етег уегапс1егНсЬеп сотр1ехеп
Сговзе" (Сбит^еп, 1351) и в его статье: „ТЬеопе с1ег АЬе1зсЬеп Рипс-
Ыопеп" Уоигп. (. д.. геШе и. ап#е\\г. Ма*Ь. Вс1. 54, 1857). Обе работы
вновь напечатаны в Се5аттеке. Ма1Ь. ^егке В. К1*етапп5, 2. АиЯ.
1892,
363

Г. А. Шварц развили иные методы, с помощью которых
им удалось доказать важнейшие теоремы существования.
Они сумели доказать существование абелевых интегралов
и алгебраических функций для заданной замкнутой рима-
новой поверхности, далее возможность конформного ото-
отображения однолистных односвязных, ограниченных кусочно-
гладкой кривой, областей на внутренность круга. Но еще
не удалось конфорйно отобразить бесконечно многолистные
подобные однолистным области на однолистные нормаль-
нормальные области, потому что доказательство сходимости гармо-
гармонических функций, которые производят отображение аппрок-
аппроксимирующих областей, представляло тогда ещ§ непреодо-
непреодолимые трудности.
Возникли новые вопросы, когда из теории автоморфных
функций, зачатки которой восходят уже до Гаусса и Ри-
мана *), выросла проблема униформизации. Смелый полет
мысли Ф. Клейна и Анри Пуанкаре в начале восьмидеся-
восьмидесятых годов прошлого столетия в самых разнообразных
направлениях проблемы не дал никакого удовлетвори-
удовлетворительного решения, потому что в работах этих не могло
быть дано строгое доказательство возможности униформи-
униформизации. Это доказательство пришло значительно позже, после
того как с одной стороны, в результате интенсивного раз-
развития, преимущественно под влиянием Ф. Клейна, идеи и ме-
методы развития в теории функций Риманом получили широкое
распространение и были продолжены, а с другой стороны
после того как воззрения Вейерштрасса на математическую
строгость во всех вопросах анализа стали общим достоя-
достоянием последующего поколения математиков. Опираясь на
методы Неймана и Шварца, Р. КоеЬе и Н. Ротсагё почти
одновременно в 1907 году смогли доказать важнейшую
теорему униформизации (о ней шла речь в § 4) и с этого
момента главным образом КоеЬе разработал совершенно
удовлетворительно этот круг вопросов по всем направле-
направлениям 2)
) Ср. отчет: „2иг Уог^езсЫсЬ^е с1ег аи{:отогрЬеп РипкЫопеп" в томе 3,
стр. 577 да 586 Сез. Ма*Ъ. АЬЬапс11. Ф. Клейна, ВегИп. 1923.
2) Из большого ряда статей Р. КоеЬе прежде всего имеют значение
следующие: „ИеЬег сНе 11п1^огт181егип^ с1ег а12еЬга18сЬеп Кигуеп",
АЬЬ. 1—IV, Ма*Ь. Аппа1еп Вс1. 67—75, 1909-1914; „11еЪег а!е 11п1Ьг-
гш81егип$г ЬеНеЫ^ег апа!уи§сЬег Кигуеп"; ^игп. ^. д.. ге!пе ип<1 ап&е\у.
Ма*Ь. ВA. 138 и. 139 A910 и. 1911); мА11?ете1пе ТЬеоНе Aег КгетаппзсЬеп
Маптд^аШ^кеКеп (коп^огте АЬЫШипд* ипс! 11п1{опгп51егип2)в, Ас1:а.-
364

Между тем Д. Гильберт вновь вызвал к жизни ранее
заброшенный принцип Дирихле. Прежде всего Гильберт
показал в некоторых простейших случаях, что силы ана-
анализа достаточны для того, чтобы итти до конца по пути
принципа Дирихле, т. е. что можно со всей строгостью
доказать существование минимума интеграла. Но после
этого первого успеха усилия многих математиков привели
к заключению, что путь принципа Дирихле представляет,
быть может, самый удобный подход к новой геометрической
теории функций )
та1Ь. Вс1. 50 A927), также ряд статей, напечатанных в различных местах:
„2л1Г ТЬеопе с1ег копг"огтеп АЪЪПскт^". В этих работах приведена еще
другая литература.
1) Для настоящего изложения можно сравнить следующие работы
автора: „ШЪег (Не АпшепсЫп^ с1ез ЭтсЫеЬсЬеп Ргтх1р5 аи{ сИе
РгоЫете с1ег копЬгтеп АЪЫЫип^", Ма*Ь. Аппа1еп Вс1. 71 A912); „11еЪег
сНе Ех1з1:еп21:Ьеогете с1ег Ро1епИа1- ипс! Гипк11опеп1:Ьеог1е*4, Зоигп. {. Л.
гете и. ап^еш. Ма*Ь. Вс1. 144 A914); „11еЬег ете Е^епзсЬа^! ^ег АЬЫ1-
Aип§згипк1:1опеп Ье1 коп^огтег АЬЬ11Aип§", СоШп^ег ИасЬг1сЬ1:еп, }аЬг#ап#
1914 ипа 1922.
365

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абелев интеграл 315
Абсолютная величина 7
Автоморфная функция 238, 242,
247, 326, 328, 337
Алгебраическая особая точка 1 74
— поверхность Римана 184, 306,
338
— функция 177
Амплитуда 7.
Апа1у818 811Д18 10, 306, 329
Анализ положения 10
Аналитическая кривая 164
— функция 35
Аналитическое продолжение 157,
159
Аполлония (ЛроПопшз) теорема
132
Аппроксимировать кривую 12
Аргумент 7
Безвихревый поток 115
Бельтрами (ВеНгапп) дифферен-
дифференциальное уравнение 361
Бесконечно многосвязная область
300
Бесконечно удаленная точка 10,
21
Вейерштрасса теорема 120, 249
Векторное поле 114
Верхняя полуплоскость 1 37
Вещественная коллинеация 150
— точка пространства 150
Вещественное число 6
Витали (УИаН) теорема 92
Внешняя область 16
Внутренность единичного круга
137
— круга 137
Внутренняя область 15, 16
Вращение плоскости 133
Вычет функции 49
'а неравенство 229, 330
— теорема 229
Гармоническая функция 93
Нагпаск'а теорема 99
Геометрические образцы 338
Геометрический ряд 9
— смысл 1 76
Гиперболическое преобразование
131
Гипергеометрическое дифференци-
дифференциальное уравнение 258
Гиперэллиптическая поверхность
178
Главное значение Коши интеграла
108
логарифма 52
Гладкие кривые 11
Гладко аппроксимировать кривую
13
Голоморфная" функция 35
Граница области 14
Граничная точка области 14
Граничные значения 56
Грина функция 207
Двойной источник 126
Двоякопериодичеокая функция 239
Диаметр кривой 161
Диофантово уравнение 237
Диполь 126
Дирихле интеграл 264, 267
— принцип 267—269
Дифференциальное уравнение Бель-
Бельтрами 361
Коши-Римана 35
366

Дифференциальный параметр
Шварца 256
Дифференцируемость 32
Допустимая функция 271
Достижимая граничная точка 171
Естественная граница функции 245
Жордана (ЛЪгйап) теорема 16
Зависимые периоды 238
Замкнутая кривая 1 2
— область 14, 15, 16
— поверхность 1 78
Замкнутое множество точек 14
Знакопеременная метода Шварца
209, 211
Изолированная особая точка 119,
173
Инверсия в окружности 134
Интеграл Дирихле 264, 267
— Лежандра первого рода 240
Интегральная формула Коши 56
Пуассона 96
Интегральное уравнение 113
Искажения 218
Исключительная точка 344
Источник мощностью 2 тс 124
(Д;—1)-кратная точка разветвления
175
Каноническое рассечение 310
Комплексное число 6
Консерватизм углов 62
Контур области 14
Контурные значения 56
Конформное отображение 60, 135
Коши теорема 41
Кривая, не имеющая двойных точек
12
Криволинейный интеграл 22
Круговая область 274, 285, 298,
347
Круговое свойство 1 30
Кусочно-гладкая кривая 11, 15
Кусочног-непрерывная функция 11,
266
Кусочно-непрерывные граничные
значения 211
Ландау теорема 221, 251, 253
Лапласа уравнение 93
Лежандра интеграл первого рода
240
[лпAе1бГа принцип 1Ы
Линейная тюлиморфия 255
Линейное растяжение 62
Линейно-полиморфная функция 255
Линейные функции 128
Линия тока 117
— уровня 116
Лист поверхности Римана 168
Лиувилля теорема 67, 187
Логарифмическая точка разветвле-
разветвления 120
Локсодромическое преобразование
131
Лорана ряд 74, 75
— теорема 75
Мероморфная функция 123
Местная униформизирующая пере-
переменная 334
Метрика для углов 363
Минимальная последовательность
286
Мнимая часть 6
Модуль 7
— области 358
— периодичности 316
Модулярная поверхность 246
— фигура 244
Модулярные функции 242, 246
Монодромии теорема 161
Морера теорема 59
Направление обхода 21
положительное 21
Независимые периоды 238
тг-кратная нулевая точка 70
(п—1)-кратная точка разветвления
141
тг-кратная точка скрещивания 120
тг-кратный корень функции 1(%) 1Ъ
— нуль 73
— полюс 76
^-связная подобная область 296
Неопределенный интеграл 40
Неподвижные точки 130
Непрерывная кривая 10
— функция 38
Непрерывно сходящаяся последова-
последовательность 70
Непрерывное отображение 1 70
Непрерывность 32
Неравенство НайатагсГа 229, 230
— Ояга1-,Ьбос1огу 220
367

Неравенство Шварца 201
Неэвклидов кристалл 341
Нормированные функции 271
Область в плоскости 14
— конечно-кратной связности 20
— подобная однолистным 296
Обратная функция 36
Общий принцип униформизации
301
Однозначная автоморфная функ-
функция 249
— функция 170, 327
Однолистная область 170, 301
Односвязная ограниченная область
17
Односвязность ограниченной обла-
области 29
Окрестность 7, 330
— точки Р Римановой поверхности
170
Определенный интеграл 39
Ортогональная окружность 248
Особая точка функции 171, 172
Особые точки 118
Открытая кривая 12
Открытый промежуток 12
Отображение окружности 135
Параболическое преобразование
133
Параллелограмм периодов 239
Периодическая функция 238
Пикара теорема 221, 249, 251
Плоские неэвклидовы движения
328
Плоскость с прямолинейными над-
надрезами 262, 302
Поверхность наложения 340
— Римана 19, 144, 168, 177
Подобная однолистным область
296
Подобное в бесконечно-малом ото-
отображение 62
Подстановка линейная 128
Показательная функция 54
Положительное направление вра-
вращения 1 9
Положительный обход области 19
Полюс 119, 176
— п-го порядка 76
— функции /(г) 76
Порядок полюса 119
Последовательность сходящаяся 8
Потенциал 93
— на поверхности 361
— потока 263
— скорости потока 116
— сопряженный 361
Поток безвихревый 115
— свободный от источников 114
Потоки 114
Предел (Нтев) 8, 274, 294,
300
Предельный круг 249
Преобразование линейное 128
— наложения 341
— обратными радиусами 134
— подобия 133
Принцип Дирихле 260, 267—269
220, 252
—■ максимума и минимума модуля
64
— симметрии 164, 165
Производная функции 33
Производящие подстановки 326
Простая замкнутая линия 29
— кривая 12
Простопериодическая функция 238
Простые концы 205
Процесс сглаживания 288
Путь 11
Равномерно-сходящаяся последова-
последовательность 68
Равносходящийся бесконечный ряд
9
Разделение множества точек 14
Разрез области 20
Расстояние 204
Рациональная функция 184, 234
1 Регулярная аналитическая функ-
функция 35
— в точке разветвления функция
176
— гармоническая функция 93
— точка 164
Римана теорема о конформном
отображении 1 85
Риманова поверхность 140, 309
Риманово многообразие 363
Связное множество точек 14
Сечение области 20
— разветвления 307
Соответствие 200
368

Сопряженная гармойнОДская функ-
функция 94
Сопряженное число 6
Сопряженный потенциал 361
Стационарный плоский поток 114
Стереографическая проекция 9
Сток мощностью 2~ 124
Сумма ряда 8
Сходящаяся последовательность Я
Сходящийся бесконечный ряд 8
Существенно особая точка 119
Теорема вращения 222
— монодромии 161
— об униформизации с предель-
предельным кругом 346
— — униформизации с цикличе-
циклическими сечениями 355
— Римана о конформном отобра-
отображении 185
— сложения 53
Топология 1 О
Точка деления 11
— закручивания бесконечно-боль-
бесконечно-большого порядка 144
первого порядка 140
— разветвления бесконечно-боль-
бесконечно-большого порядка 144
— — (и—1)-го порядка 141
первого порядка 140
— Римановой поверхности функ-
функции 168
— сгущения 8, 15
— скрещивания 118, 20
Триангуляция 311
Тэйлора ряд 12
Универсальная поверхность нало-
наложения 338
Униформизация 336
— с предельным кругом 338
Униформизированная алгебраиче-
алгебраическая функция 336
Униформизирующая переменная
337
Устранимая точка неопределенно-
неопределенности 119
^ теорема 103
Формула Грина 266
Френеля интегралы 81
Фундаментальная область 327, 338
Функции круговых треугольников
258
— однозначные 327
Функция Грина 207
— особенностей 270
117
тока
Характеристическая функция тече-
течения 296
Целая рациональная функция 123
— трансцендентная функция 123
— функция 123
Цепь областей 159
— элементов функции 159
Циклические сечения 296, 306
Циклический период 316
Циркуляция 115
Чисто-мнимое число 6
Шварца дифференциальный пара-
параметр 256
— знакопеременная метода 209,
211
— лемма 65, 218
— неравенство 203
Шоттки теорема 221, 251
Эвристические изыскания 260
Эквивалентные точки 327
Эквивалентный элемент функции
167
Эквипотенциальная линия 116
Элемент функции 157, 167, 242,
344
Эллиптическая поверхность 1 78
Эллиптическое преобразование 132
24 Зак. 1985. Курант

ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Введение. 5
Глава I. Предварительные понятия.
§ 1. Комплексные числа 6
§ 2. Основные геометрические понятия 10
§ 3, Криволинейные интегралы 22
Глава И. Основы теории аналитических функций.
§ 1. Условие дифференцируемости 32
§ 2. Обратнаяфункуия 36
§ 3. Определенный интеграл аналитической функции . . 38
§ 4. Теорема Коши 40
§ 5. Интегралы в многосвязных областях 48
§ 6. Примеры. Элементарные функции 51
§ 7. Интегральная формула Коши 55
§ 8, Конформное отображение ^ . . . 60
Глава III. Следствия интегральной формулы
Коши.
§ 1. Теорема о среднем арифметическом Принцип макси-
максимума и лемма Шварца 64
§ 2. Некоторые неравенства. Теорема Лиувилля 67
§ 3. Равномерная сходимость. Теорема Вейерштрасса • • —
§ 4. Ряды Тэйлора и Лорана , 72
§ 5. Приложения теоремы Коши и теоремы о вычетах . . 77
§ 6. Принцип сходимости для аналитических функций . . 88
^ 7. Связь с теорией потенциала 93
§ 8. Представление аналитических и гармонических функ-
функций интегралов Пуассона 95
§ 9. Следствия 99
§ 10. Решение предельной задачи теории потенциала для
круга • . . . . 102
§ 11. Граничные значения аналитической функции .... 107
§ 12. Потоки 114
Глава IV. Специальные функции и их особые
точки.
§ 1. Особые точки и точки скрещивания 118
§ 2. Наглядное представление особых простейших точек
и точек скрещивания 123
370

Стр.
| 3. Линейные функции , 128
§ 4. функция С = хп 139
1 / 1 \
§ 5. Функция С=у [г + ~) * 142
§ 6. Логарифмическая и показательная функции . . . 144
§ 7. Тригонометрические функции 143
§ 8. Степенная функция с произвольным показателем
степени. Круговые двуугольники 14&
§ % Добавление. Геометрическое значение в простран-
пространстве линейных подстановок •...,.. 149
Глав а V. Аналитическое продолжение и поверх-
поверхности Римана.
§ 1. Понятие аналитического продолжения 157
§ 2. Принцип непрерывности и принцип симметрии . . . \Ш
I? 3. Римановы поверхности аналитических функций „ . 1Щ
§ 4. Алгебраические функции • . .,* . . . . 17*7
Глава VI. Конформное отображение односвяз-
ных однолистных областей.
1. Предварительные замечания и вспомогательные
теоремы ^ . . 1
§ 2. Доказательство теоремы Римана о конформном ото-
отображении « . . . . 191
§ 3* Теорема однозначности * 197
§ 4. Соответствие между контурами при конформном ото-
отображений - . • 199
§ 5. Функция Грина и предельная задача теории потенциала 2Ш
§ С Знакопеременная метода Шварца. Свойства непре-
непрерывности отображающих функций . 209
§ 7. Теоремы искажения 213
§ 8. Приложения принципа максимума . . 227
Г л а в а VII. Специальные конформные отображения.
§ 11 Отображение произвольного многоугольника . . . 231
§ 2. Функции прямолинейного треугольника ...... 235
3. Отображение прямоугольника. Эллиптические функции 239
4. Модулярные и автоморфные функции 242
.5. Теорема Пикара . , . 249
6. Другое доказательство теоремы Пикара 251
% Отображение функции круговых многоугольников,
как решение дифференциальных уравнений. . . . . 254
Глава ШЦЯ Обобщение теоремы Римана. Прйн-
цип Д и р и х ле.
§ 1. Эвристические изыскания. Плоскость с надрезами . 260
§ % Интеграл Дирихле и формула Грина • 264
§ 3. Принцип Дирихле* « . . .■♦-■*. . ■• . .« 267

Стр.
§ 4 Постановка задачи в общем виде .... . . , . 274
§ 5. Предельная задача и минимальный принцип для круга 277
§ 6. Леммы * . 281
§ 7. Решение минимальной задачи для специальных
областей , . 285
§ 8. Непрерывная зависимость потенциалов потока от
области. Решение общей минимальной задачи . 293
§ 9. Конформное отображение на плоскость с надрезами . 296
§ 10. Единственность конформного отображения на плос-
плоскость с надрезами . - . 304
Глава IX. Дальнейшие теоремы существования
теории функций.
§ 1. Апа1у515 зИшз алгебраических Римановых поверхностей 306
§ 2. Абелевы интегралы и алгебраические функции на
заданной Римановой поверхности 315
§ 3. Существование автоморфных функций с данной фун-
фундаментальной областью ... 326
§ 4. Униформизация алгебраических и аналитических функ-
функций посредством автоморфных функций с предель-
предельным кругом • 336
§ 5 Конформное отображение подобных однолистных
областей на круговые области. Теорема об унифор-
мизации с возвратными сечениями .... . . 347
§ 6. Модули области, подобной однолистной „ 356
§ 7. Общее понятие Рименовой поверхности 359
§ 8. Исторические указания к последним гда) ам . 363
Предметный указатель 366
Ответственный редактор Е. В. Пулькина. Технический редактор В. Д. Финиши.
Сдана в набор 25/ХП 1933 г. Бум. л стов 57^ . Подписана к печати 9'У1 1934 г.
Формат «2 чИР/зз ГТТИ № 334. Т—22-5-1. Тип. зн. в 1 бум. л. 157.696.
Ленгорлит № 14162. Тираж 5.000—авт. л. 17,77. Заказ №