Р. НЕВАНЛИННА
УНИФОРМИЗАЦИЯ
Перевод с немецкого
Л. И. ВОЛКОВ ЫСКОГО
и
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва — 1955

UNIFORMISIERUNG
von
ROLF NEVANLINNA
BERLIN
1953

ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
Финский академик Рольф Неванлинна — один из наиболее круп-
крупных специалистов нашего времени по теории функций комплексного
переменного. Он является создателем современной теории распреде-
распределения значений мероморфных функций, а также автором большого
количества фундаментальных работ по теории римановых поверхно-
поверхностей и другим вопросам геометрической теории функций. Советские
матем'атики хорошо знают его монографию „Однозначные аналитиче-
аналитические функции", перевод которой выпущен Гостехиздатом в 1941 г.
и уже давно стал библиографической редкостью.
Мы, предлагаем вниманию читателей перевод новой монографии
Р. Неванлинны „Униформизация". Литература, в которой система-
систематически излагается теория римановых поверхностей, исчерпывается
классическими книгами Г. Вей ля (Weyl H., Die Idee der Riemannschen
Flache, 1913) и С. Стойлова (Stoilow S., Legons sur les principes
topologiques de la theorie des fonctions analytlques, 1938), книг же
на русском языке на эту тему нет. Поэтому выход в свет монографии
Неванлинны является большим событием для специалистов по теории
функций комплексного переменного. Книга содержит изложение сов-
современного состояния ряда основных вопросов геометрической теории
функций, которые группируются вокруг общей проблемы униформи-
зации: классификация римановых поверхностей, теория распределе-
распределения значений целых и мероморфных функций, аналитическая теория
обыкновенных дифференциальных уравнений, отчасти теория квази-
квазиконформных отображений и др.
Отметим, что автор посвятил свою монографию памяти выдаю-
выдающегося финского математика Эрнста Линделефа.
Для чтения книги требуется знакомство с университетским курсом
теории функций комплексного переменного.
Перевод выполнен без существенных отступлений от оригинала.
Отдельные изменения, которые все же имеются, указаны в примеча-
примечаниях переводчика. Устранены также мелкие замеченные погрешности.
Кроме того, в список литературы переводчик внес некоторые книги
советских авторов.
1*

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
Настоящее сводное изложение теории униформизации возникло
на основе лекций, которые я читал в университетах Хельсинки и
Цюриха. Насколько это было возможно, учтены достижения геоме-
геометрической теории функций за последние годы, прежде всего теории
открытых римановых поверхностей.
Хельсинки, сентябрь 1952 г. Р- Неванлинна.

ВВЕДЕНИЕ1)
1. В теории униформизации рассматривается вопрос о том, как
может быть однозначно представлено (униформизировано) многознач-
многозначное соотношение (х, у) между элементами х и у двух множеств,
соответственно Rx и Ry. Под проблемой униформизации в собствен-
собственном смысле, которую мы и будем рассматривать в настоящей книге,
понимают более узко и точно ограниченную, хотя все еще весьма
общую задачу униформизации многозначного аналитического соотно-
соотношения (х, у) между точками хну двух комплексных плоскостей,
или, более общо, двух „римановых поверхностей" Rx и Ry, путем
разыскания для данного соотношения (х, у) „параметрического пред-
представления"
x = x(f), y=y{t). A)
Это представление устанавливает однозначное аналитическое соот-
соответствие между парами значений х, у, связанных соотношением (х, у),
и точками t третьей римановой поверхности Rt. Особый интерес
представляет при этом случай, когда поверхность Rt „подобна одно-
однолистным", т.е. когда она может быть представлена в виде подобласти
комплексной ^-плоскости. Если, кроме того, поверхности Rx и Ry —
комплексные х- и _у-плоскости, то соотношение {х, у) представляет
собой так называемый аналитический образ (analytisches Gebilde) и
речь идет о том, чтобы этот образ униформизировать с помощью
двух однозначных аналитических функций x = x(t), y=y(t) не
только в малом (локально), но и в целом.
2. Этот вопрос встречается уже в первых главах анализа, когда
начинают рассматривать функции у = у (х) (действительные или ком-
комплексные), многозначные вместе с их обратными функциями х = х (у).
Простейший класс таких функций образуют алгебраические функ-
функции. Алгебраическая функция у=у(х) определяется алгебраическим,
уравнением
2 o, B)
г) Точные определения ряда понятий, о которых идет речь во введении,
даются в последующих главах. — Прим. пере в.

ВВЕДЕНИЕ
где (а^) — конечная матрица из действительных или комплексных
чисел. Классическая задача интегрирования такой функции у=у(х),
или, несколько более общо, алгебраической функции вида R(x, у),
где R— рациональная функция от переменных х и у, связанных
уравнением B), т. е. изучение так называемых абелевых интегралов
J R(x, y)dx,
принадлежащих уравнению B), связана с вопросом о возможности
однозначного параметрического представления A) кривой B). Развитие
учения об униформизации направляется стремлением найти для алге-
алгебраической кривой простейшие униформизирующие переменные, из ко-
которых можно было бы вывести все остальные, Результатом интенсивного
развития этого учения, в которое много существенного было внесено
большинством великих математиков второй половины прошлого века
(Риманом, Клейном, Пуанкаре, Шварцем, Нейманом и др.), явилось
окончательное решение проблемы униформизации, предложенное почти
одновременно Кёбе и Пуанкаре A908). Решение этой проблемы для
частного случая алгебраической кривой привело к разработке далеко
идущих вспомогательных средств топологии и теории конформных
отображений^ с помощью которых униформизация стала возможной
не только в алгебраическом случае, но и в общей намеченной выше
постановке (в частности, для самого общего аналитического образа).
3. Поясним предыдущие замечания простым примером. Возьмем
в качестве кривой B) „декартов лист"
и ограничимся сначала рассмотрением одних только вещественных
значений х, у. Тогда каждому значению х соответствует одно, два
или три значения у=у(х).
Эти значения могут быть объединены в однозначные непрерывные
ветви функции у=у(х), однозначно обратимые на каждом интер-
интервале, где они изменяются монотонно. Для такого интервала Дж соот-
соответствующий элемент кривой локально униформизируется с помощью
переменной х, так что он предстает как топологический, т. е. взаимно
однозначный и непрерывный, образ интервала Дж. Вместо х в каче-
качестве локально и непрерывно униформизирующей переменной можно
также использовать любую переменную t, непрерывно и монотонно
зависящую от х в Дж. Соотношение t = t(x), x = x(t) определяет
тогда топологическое отображение лг-интервала Дя на ^-интервал At,
и для рассматриваемого элемента кривой униформизирующая t дает
однозначное и непрерывное представление
* = *(*), y=y(t)

ВВЕДЕНИЕ
в Д4.< В частности, в качестве локальной униформизирующей здесь
можно выбрать х или у.
Иначе обстоит дело с окрестностями точек кривой, являющихся
концами рассмотренных интервалов монотонности; это точки О@, 0),
pi(Xv Л) и Paiyv xi)> где xt = Vi и yt = V2. Точка Р±, например,
является „точкой разветвления" кривой относительно оси л:-ов Rx. Эле-
О х Ж
ос
Фиг. 1.
мент кривой, содержащий точку Рл, уже нельзя локально униформизи-
ровать с помощью х, но можно локально униформизировать с по-
помощью ~У хх— х (при подходящем выборе знака). То же спра-
справедливо, более общо, для каждой переменной t, монотонно и
непрерывно зависящей от Vxt — х; в частности, такой переменной
Является и у (что непосредственно видно из фиг. 1). С помощью
каждой такой переменной t соответствующий элемент кривой около Р1
топологически униформизируется в форме A), где, следовательно,
х и у снова являются однозначными и непрерывными функциями от t
в некотором интервале Д4.
4. Задача униформизации декартова листа пока что решена локально,
тогда как требуется найти решение в целом; именно в переходе от
униформизации в малом к униформизации в .целом заключены суще-
существо и трудности теории униформизации. В рассматриваемом про-
простом примере униформизирующая в целом может быть немедленно
'указана. Такой униформизирующей является переменная t = у/х, с по-
помощью которой для декартова листа получается однозначное пара-
параметрическое представление

ВВЕДЕНИЕ
В качестве топологической униформизирующей можно вместо t исполь-
использовать каждую монотонную непрерывную функцию и = и (t), t = t (и),
топологически отображающую ось Rt на всю ось Ru или ее часть
(см. фиг. 1, справа, сверху). Когда и изменяется там монотонно и
непрерывно, точка x = x{t(u% y — y(t(u)) в точности описывает
декартов лист.
Наряду с этими „главными униформизирующими" t, в целях уни-
формизации можно вообще использовать каждую переменную и, от
которой t = t(u) зависит однозначно и непрерывно. На фиг. 1 (справа)
это находит свое выражение в том, что и — монотонная функция
от t (но вообще не однозначная), благодаря чему достигается одно-
однозначность обратной функции t — t(u). Равенства х = x(t(u))=x(u),
y=y(t(u)) = y(u), как и выше, дают однозначное и непрерывное
представление нашей кривой.
б. То существенное и доступное обобщению, что заключено в пре-
предыдущих рассуждениях, состоит в следующем. Благодаря предста-
представлению кривой / = 0 в виде взаимно однозначного и непрерывного
образа оси Rt, содержащей1 главную униформизирующую, Rt оказы-
оказывается многообразием наложения (Oberlagerungsmannigfaltigkeit) как
оси Rx, так и оси Ry: каждой точке t оси Rt однозначно и непре-
непрерывно соответствуют проекция х на Rx и проекция у на Ry, и при
этом выполняется то существенное условие, что эти две проекции х
и у все время связаны заданным соотношением (х, у) [т. е. уравне-
уравнением /(х, .у) = 0]. Среди всех униформизирующих главная унифор-
мизирующая определяет „слабейшее" многообразие наложения (Rt)
одновременно для осей Rx и Ry: а именно, всякая другая униформи-
зирующая и = и (t) в свою очередь определяет многообразие нало-
наложения Ru оси Rt.
6. Перейдем теперь в нашем частном примере, или более общо,
в соотношении (х, у), определяемом каким-либо алгебраическим уравне-
уравнением f(x, у) = 0, к комплексным значениям х и у. Вместо оси л:-ов
и оси _у-ов мы будем теперь иметь дело с двумерными многообра-
многообразиями, или поверхностями Rx и Ry, соответственно представленными
замкнутыми комплексными х- и _у-плоскостями. Главная униформизи-
рующая также будет поверхностью, а именно поверхностью нало-
наложения (Oberlagerungsflache) Rt как поверхности Rx, так и Ry, причем
проекции х и у все время будут связаны соотношением (х, у). Если,
как это пока предполагается, речь идет лишь о непрерывной уни-
формизации, то наряду с Rt в качестве главной униформизирующей
поверхности может быть, вообще говоря, использована любая поверх-
поверхность (/?„), которую можно отобразить взаимно однозначно и непре-
непрерывно на Rt, или которая, как говорят в топологии, гомеоморфна Rt;
следовательно, все главные униформизирующие образуют класс топо-

ВВЕДЕНИЕ 9
логически эквивалентных (гомеоморфных) поверхностей. Рядом с этими
слабейшими униформизирующими существует, однако, бесконечное
множество не эквивалентных униформизирующих Ru, а именно, все
те поверхности, которые в свою очередь являются поверхностями
наложения главной униформизирующей Rf1). Если такая поверхность
наложения Ru построена, то проектирования
*х
дают требуемый однозначный непрерывный переход от и к (х, у),
а с ним и топологическую униформизацию (х, у).
7. В нашем примере главной униформизирующей поверхностью Rt
является просто (замкнутая) ^-плоскость, т. е. поверхность рода нуль
(гомеоморфная сфере). Однако в общем случае главная униформизи-
рующая поверхность Rt алгебраической функции f(x, y) = 0 не при-
принадлежит этому классу: она замкнута, но род ее, вообще говоря,
не равен нулю. Фактически здесь, как показывает классический
пример эллиптической или гиперэллиптической кривой
/С*. y) = y'i — (x — a1) ... (x — a,p+i)
при различных /> = 0, 1, 2, ..., встречаются всевозможные тополо-
топологические типы замкнутых ориентируемых поверхностей. Число р
в этом примере равно роду поверхности Rt. Оно является топологи-
топологической инвариантой, определяющей класс гомеоморфных замкнутых
(ориентируемых) поверхностей. Для р — 0 моделью служит поверх-
поверхность шара, для р = I — поверхность тора (фиг. 2), для р = 2, ... —
/>-кратное кольцо (поверхность шара с р „ручками" без общих
точек).
8. Отсюда вытекает замечательное следствие о топологической
униформизации алгебраической кривой рода р^-l. В этом случае
поверхность Rt не подобна однолистным, т. е. она не гомеоморфна
никакой подобласти Ои комплексной м-пло;косги 8). Но то же самое
!) Среди поверхностей наложения Ru поверхности /?/ в топологии разли-
различают неразветвленные относительно Rt, когда однозначное проектирование
u->t локально взаимно однозначно, и разветвленные относительно Rt, когда
имеются изолированные точки разветвления (того же вида, что при Отобра-
Отображении с помощью степени), вблизи которых, как легко видеть, локальная
взаимная однозначность нарушается.
2) Наглядно это очевидно; строгое же доказательство получается с помощью
следующего свойства поверхностей, подобных однолистным, которое может
даже служить определением подобия однолистным: для таких поверхностей
справедлива теорема Жордана, т. е. всякая простая замкнутая кривая разби-
разбивает такую поверхность на две не пересекающиеся части. Достаточность этого
условия для того, чтобы поверхность была подобна однолистным, может быть

10
ВВЕДЕНИЕ
справедливо и для всяцой замкнутой относительно разветвленной или
неразветвленной поверхности наложения. ¦
В самом деле, все эти поверхности также рода р~^-1; это—Простое
следствие соотношения Римана — Гурвица, связанного с формулой
Эйлера для многогранников. Следовательно, чтобы прийти к унифор-
униформизирующей Ru, подобной однолистным, нужно ввести бесконечно-
листные открытые поверхности наложения главной униформизирую-
униформизирующей Rt. Среди них действительно имеются подобные однолистным. Такой,
P=J
Фиг. 2.
во всяком случае, является универсальная поверхность наложения
Ru поверхности Rt. Это — сильнейшая из всех относительно нераз-
ветвленных поверхностей наложения Rt, в том смысле, что она является
поверхностью наложения не только Rt, но и всех ее неразветвленных
поверхностей наложения; Ru не только подобна однолистным, но даже
односвязна. Так называют поверхность, на которой каждая замкнутая
кривая непрерывно деформируема в точку (гомотопна нулю); такая
поверхность гомеоморфна либо всей числовой сфере, либо числовой
сфере с выколотой точкой. Важной задачей топологии поверхностей
является доказательство того, что всякая замкнутая или открытая
поверхность R имеет вполне определенную односвязную универсаль-
универсальную поверхность наложения R. Вообще говоря (а для замкнутых
поверхностей R рода р >-1 всегда), она бесконечнолистна над R;
исключение составляют лишь открытые односвязные поверхности и
замкнутая поверхность рода нуль, для которых поверхность R совпа-
совпадает с основной поверхностью R.
Кроме этой сильнейшей униформизирующей Ru, для всякой много-
доказана топологическими средствами; необходимость же следует из того, что
теорема Жордана справедлива для плоских областей и, очевидно, остается
в силе при топологических преобразованиях. Так как всякая замкнутая
р-кратная (/>>¦ 1) кольцевая поверхность не разбивается разрезом по меридиану,
то такая поверхность не подобна однолистным.

ВВЕДЕНИЕ 11
связной поверхности Rt существует ряд более слабых поверхностей
наложения Ru, подобных однолистным, но многосвязных.
9. Поверхности наложения, подобные однолистным, играют осо-
особенно важную роль при аналитической, или конформной, унифор-
униформизации. Алгебраическая кривая f(x, у) = 0, где, следовательно, х
и у— соответственно точки комплексных плоскостей Rx и Ry, опре-
определяют между Rx и Ry не только непрерывное, но и аналитическое
соответствие, которое, исключая изолированные точки разветвления
конечного порядка, является конформным. Согласно этому, проблема -
аналитической униформизации требует установления однозначного ана-
аналитического представления x = x(t), y=y(f), где, следовательно,
проектирования Rt~+Rx и Rt~*-Ry конформны с точностью до изо-
изолированных точек разветвления. Эта задача имеет смысл только тогда,
когда понятие конформности определено не только на Rx и Ry, но и на
униформизирующей поверхности Rt. Такая поверхность называется
римановой поверхностью. Топологическая поверхность „непрерывно
связна", риманова же поверхность не только непрерывно, но даже
„конформно связна). У топологической поверхности для каждой
точки Р существует класс локально униформизирующих комплексных
числовых параметров, отображающих окрестность Up точки Р на одно-
однолистную область г-плоскости, так что различные параметры z и z'
связаны между собой топологическим соответствием (в смысле обыч-
обычной топологии на числовой плоскости). У римановой поверхности
на локальные параметры накладывается дополнительное существенно
ограничивающее метрическое требование, состоящее в том, что соот-
соответствующие Up допустимые параметры должны быть связаны между
собой конформным соответствием (причем понятие конформности снова
обычное, определенное для числовой плоскости).
10. Соответственно этому при униформизации аналитического, или
конформного, многозначного соотношения (х, у) между двумя рима-
новыми поверхностями Rx и Ry нужно строить такие униформи-
эирующие поверхности наложения (Rt, Ru и т. д.), которые также
являлись бы ^имановыми поверхностями. Поэтому решение задачи
распадается на следующие две части:
;. 1°. Топологическая часть. Построение топологической унифор-
кмизирующей поверхности наложения Rt (или Ru и т. д.) поверх-
поверхностей Rx и Rv.
| 2°. Конформная часть. Доказательство того, что класс поверхно-
.стей, гомеоморфных Rt (Ru и т. д.), содержит риманову поверхность.
':. 11. С построением такой поверхности Rt (Ru) аналитическая задача
Ьб униформизации в общей постановке п. 1 является принципиально
См. ниже п. 2.23. — Прим. перев,

12 ВВЕДЕНИЕ
решенной. Если же еще потребовать (для униформизации алгебра-
алгебраической кривой или аналитического образа это особенно инте-
интересно), чтобы униформизирующая Ru являлась подобластью комп-
комплексной и-плоскости, то по предыдущему, если главная униформизи-
униформизирующая Rt не подобна однолистным (что имеет место в немногих
случаях), нужно сначала построить для Rt однолистную поверхность
наложения Ru\ такой поверхностью является во всяком случае универ-
универсальная поверхность наложения R. Но это построение выполнимо
сперва лишь абстрактно: исходя из данного соотношения (х, у),
строят сначала Rt, затем как двумерное локально конформно связное
многообразие — риманову поверхность наложения, подобную однолист-
однолистным. Теперь, однако, эту абстрактно определенную риманову поверх-
поверхность следует представить как часть комплексной и-плоскости. Это
приводит к большой проблеме теории конформных отображений:
3°. Основная задача теории конформных отображений. Требу-
Требуется доказать, что всякую риманову поверхность, подобную одно-
однолистным, можно взаимно однозначной конформно отобразить на область
Ог комплексной 2-плоскости.
12. Такое доказательство содержится в центральных теоремах
теории конформных отображений, строгое обоснование которых сде-
сделало возможным униформизацию алгебраической кривой или самого
общего аналитического образа с помощью комплексного параметра и.
Для односвязных поверхностей R (следовательно, в частности, для
универсальной поверхности R) речь идет о так называемой теореме
Римана об отображении, согласно которой каждая такая поверхность
топологически и конформно эквивалентна одному из следующих трех
нормальных типов областей Ог:
1. Замкнутая плоскость |г|-^оо. 2. Открытая плоскость
| г |< со. 3. Единичный круг \ z | < 1.
Для многосвязной римановой поверхности, подобной однолистным,
всегда существует конформно эквивалентная ей область Ог плоско-
плоскости z, ограниченная, например, лишь параллельными отрезками (или
точками) [теорема об областях с параллельными разрезами (Parallel-
schlitztheorem)].
Комбинация шагов 1°, 2°, 3° позволяет аналитически униформизи-
ровать любое многозначное аналитическое соотношение (х, у) между
точками двух заданных римановых поверхностей Rx и Ry так, чтобы
униформизирующий параметр и изменялся в подобласти Ru комплекс-
комплексной числовой плоскости 1).
!) С точки зрения общего подхода к проблеме униформизацин (ср. п. 1)
требование, чтобы /?„ была „разостлана" в числовой плоскости и, представ-
представляет определенное ограничение. Можно было бы поставить более общий
вопрос, выполнима ли униформизация соотношения (х, у) так, чтобы уни-

ВВЕДЕНИЕ 13
13. Введение Риманом в его основополагающих трудах по теории
алгебраических функций и их интегралов идеи римановой поверхно-
поверхности явилось началом интенсивного развития геометрической теории
функций, теории отображений, осуществляемых аналитическими функ-
функциями, и топологии. Концепция Римана, а именно выделение геометри-
геометрических моментов, связанных с теорией аналитических функций, и осо-
особенно— ясное разделение топологических и метрико-конформных
свойств римановых поверхностей,—необычайно стимулировала раз-
развитие теории аналитических функций, и влияние последней распро-
распространилось далеко за пределами этой специальной математической
дисциплины. Для развития геометрической теории функций после Ри-
Римана важным было то, что понятие римановой поверхности было
постепенно освобождено от первоначально связанного с ним пред-
предположения о вложимости в другое или наложимости на другое много-
многообразие. В выработке абстрактного понятия римановой поверхности,
вполне в духе абсолютной римановой дифференциальной геометрии,
существенным был вклад, сделанный Клейном. Однако лишь поздней-
позднейшее развитие внесло здесь окончательную ясность. При этом прежде
всего следует назвать значительную во многих отношениях книгу
Вейля „Идея римановой поверхности" (Weyl H., Die Idee der
Riemannschen Fla'che, 1913). Из более поздних исследований основ
этого понятия я хочу особенно выделить работы Радо и Стойлова.
14. Еще сегодня, спустя четыре десятилетия после выхода в свет
книги Вейля, его изложение теории римановых поверхностей может
служить образцом. Поэтому при работе над настоящей монографией
моей целью было, по возможности без пропусков основных положений
теории униформизации, особенно подробно остановиться на тех вопро-
вопросах, которые получили существенное развитие после появления книги
Вейля. С одной стороны, это относится к основаниям теории. С другой
стороны, казались заслуживающими большого внимания успехи,
достигнутые, особенно за последние годы, в теории открытых рима-
римановых поверхностей. Как раз в .этом мало исследованном и общем
направлении теория функций, повидимому, имеет многообещающее
будущее. Напротив, общеизвестную классическую теорию абелевых
интегралов на замкнутых римановых поверхностях, доступную по
многим превосходным ее изложениям, я рассмотрел лишь в важней-
важнейших чертах.
Наконец, несколько слов о методике. В учении об униформизации
нет недостатка в различных методах. Фундаментальные теоремы
существования я доказывал, опираясь на классический альтернирую-
формизирующая поверхность /?„ была конформно эквивалентна не плоской
области Gu м-плоскости, а некоторой (однолистной) подобласти Gv произволь-
произвольно заданной римановой поверхности Rv. Это ведет к еще очень мало исследо-
исследованным задачам теории конформных отображений.

14 ВВЕДЕНИЕ
щий метод Шварца и Неймана. Для конструктивного построения
теории этот метод по сравнению с другими (методом, основанным
на принципе Дирихле, методом выметания Пуанкаре, методом Пер-
Перрона суб- и супергармонических аппроксимаций и т. д.) представ-
представляет известные принципиальные преимущества, о которых подробнее
будет сказано ниже. Применение аксиомы выбора по возможности из-
избегалось. Доказательства сходимости основаны на общем принципе
монотонности (особенно на важном принципе Харнака) и на систе-
систематическом применении принципа максимума теории потенциала.

Глава 1
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
В настоящей главе с целью получения наглядной основы для общей
теории римановых поверхностей рассматриваются важнейшие свойства
алгебраических функций одного комплексного переменного. Истори-
Исторически общая проблема униформизации уходит своими корнями в класси-
классическую задачу о нахождении однозначного параметрического пред-
представления для данной алгебраической кривой. Вообще, рассмотрение
алгебраических функций естественным образом ведет к общим поня-
понятиям и проблемам теории римановых поверхностей, составляющих
предмет нашего исследования. Эта глава дает ориентировочное пред-
представление об этих вопросах, исследуемых подробно с общей точки
зрения в следующих главах.
§ 1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИИ
1.1. Определение. Пусть
F (г, г») = z»P0 (w)+*»-1 />!(»)+.. •+гРп_! (w) + Рп («)=
(*) ( Л)
— многочлен относительно z и w над полем комплексных чисел, имею-
имеющий степени п по г и т по w. Он предполагается неприводимым:
не существует разложения F^F-yF^, где Ft и F2 — многочлены,
отличные от постоянных. Мы ставим себе задачу исследовать элементы
функции х), принадлежащие уравнению
F(z, «0 = 0.
При этом под регулярным элементом w = w(z) мы понимаем одно-
однозначную регулярную аналитическую функцию, определенную в круге С
плоскости г.
Дробным аналитическим элементом w = w(z) мы называем
однозначную функцию, определенную в круге С плоскости z и ре-
регулярную во всех его точках, кроме центра, который является по-
полюсом.
!) В дальнейшем вместо „элемент функции" (FuncHonselement) мы обычно
будем говорить просто .элемент" — Прим. перев.

16 ГЛ. 1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Мы говорим, что элемент w — w(z), определенный в круге С,
принадлежит уравнению F(z, «0 = 0, если в С имеет место тожде-
тождество F(z, w (z)) = 0.
1.2. Теорема существования. Для дальнейших рассмотрений
важное значение имеет следующая теорема существования:
Теорема 1. Пусть a, b — два таких конечных комплексных
числа, что F(a, b) = 0 и Fw(a, Ь)фО *)¦ Тогда существует круго-
круговая окрестность точки z — a с центром а, в которой имеется
один и только один регулярный элемент w = w (z), принадлежащий
уравнению F(z, w) = 0 и удовлетворяющий условию b = w (a).
Эта теорема напоминает теорему существования неявных действи-
действительных функций и может быть также доказана с ее помощью путем
разделения действительной и мнимой частей. Мы дадим здесь, однако,
чисто теоретико-функциональное доказательство.
Расположим многочлен F(z, w) по возрастающим степеням w — b:
F(z, w) = H0(z) + H1(z)(w — &)+...+//„,(*)(« — ы- A-2)
Согласно предположению,
A.3)
Окружим точки z = а и w = b двумя настолько малыми кругами
\z — а |< Ro, \w — 6|<р0, что для каждой пары {z, w), в которой
z и w принадлежат этим кругам, выполняются следующие условия:
1°. Fw(z,
3°. | H.2{z){w-b)+ .. .
Это возможно в силу A.3) и непрерывности многочленов, входящих
в 1°, 2° и 3°. Определив таким образом положительные постоянные Ro
и р0, выберем еще настолько малое число г0, 0 < r0 ^. Ro, что для
\ 1^ выполняется условие
Существование такого числа г0 также следует из A.3). Условия
1°—4° выполняются тогда для каждой пары значений (z, w), где
\г — а|<г0 и \w — ft|<p0-
Покажем теперь, что для каждого z из круга \z — а|^г0 суще-
существует одно и только одно значение w из круга \w — 6|^р0, такое,
что F(z, ^^O. Это утверждение равносильно следующему: для
произвольной точки z0 круга \z — а | <[ г0 многочлен F (z0, w) в круге
\w — ?|<Сро имеет ровно один простой нуль.
') Fw {z, w) обозначает частную производную от F{z, w) no w.

§ 1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИИ 17
Для доказательства воспользуемся принципом аргумента 1). Дока-
Докажем сначала, что на окружности \w — ?| = р0 многочлен F(z0, w)
отличен от нуля. В самом деле, в силу A.2), имеем
F(z0, w) = (w —
Для | w — ft| = p0, в силу 3° и 4°, абсолютное значение каждой из
величин
меньше |//± (a) j/4, поэтому абсолютное значение их суммы меньше
|Я1(а)|/2. Следовательно, при \w — b\=p0 имеем
F(z0, w) = (w-b)\H^z0)-\-(^Ш1)) A.4)
(для положительного числа М мы через (М) обозначаем комплексное
число, абсолютное значение которого меньше М).
Выражение в фигурных скобках в A.4) отлично от нуля, так как,
в силу 2°, абсолютное значение первого слагаемого больше абсолют-
абсолютного значения второго. Следовательно, F(z0, -ш)Ф0 для | w — b\ = p0.
Для определения числа jj. нулей многочлена F(z0, w) в круге
\w — b | < р0 воспользуемся принципом аргумента. Если через с обо-
обозначить окружность \w — b\=p0, то из A.4) следует, что
где Дс означает приращение аргумента соответствующей функции,
когда точка w пробегает с в положительном направлении. Так как
Дс arg (та — b) = 2u, то для доказательства того, что ^ = 1, нужно
показать, что Acarg {...} =0. Это получается из нижеследующих
известных рассуждений (теорема Руше), где значение &={...} рас-
рассматривается как точка ?-плоскости. Так как в выражении
второй член имеет меньшее абсолютное значение, чем первый, то
точка 6 лежит в круге | \ — Нх (z0) \ < | Нх (z0) |. Положим «J* = arg Н± (z0).
Тогда, если для произвольной точки w на с мы выберем подходящую
ветвь arg? и затем совершим обход вдоль контура с, то для всех w
на с будем иметь
. 0-5)
*) В гл. III этот принцип будет подробно рассмотрен в общем виде,
нужном для теории функций на римановои поверхности.
2 Зак. 295. Р. Неванлинна

ГЛ, I. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИЙ
При указанном обходе точка % возвращается в свое начальное поло-
положение; следовательно, argij получает приращение вида 2uv, где v —
целое число. Но из A.5) видно, что колебание argil (т. е. наибольшее
значение минус наименьшее значение) при таком обходе меньше я,
откуда вытекает, что v = 0.
Этим доказано, что для каждого z0 из круга | z—а j <; г0 существует
одно и только одно w из \w — b | < р0, такое, что эти два значения
удовлетворяют уравнению F{z, «0 = 0. Тем самым для \г — в|О0
определена такая однозначная функция та» = та (г), что
F(z, w (z)) = 0 и ? = та(а).
Значения функции w(z) лежат в круге |та— &|<р0-
Остается еще показать, что построенная таким образом w(z)
является регулярной аналитической функцией в круге \г — а|^>0.
Согласно определению такой функции по Коши, достаточно проверить
ее дифференцируемость.
Сначала мы докажем непрерывность w{z). Непрерывность в точке
г = а следует из предыдущего. Числа р0 и г0 были фиксированы
выше с учетом важных для доказательства условий 1° — 4°; однако
ясно, что эти условия продолжают выполняться, если р0 и соответ-
соответственно (с учетом 4°) г0 уменьшаются. Из того, что \w — #|<ро
для 12 — а | ^ г0, следует непрерывность функции w (z) в точке z = a.
Теперь все предыдущее доказательство можно повторить, исходя
не из пары значений (а, Ь), а из произвольной пары (z0, w0), где
\z0 — й|</"о и чп0 = w(z0), ибо, ввиду 1°, для этой пары значений
выполняются оба предположения F(z0, щ»0) = 0, Fw(z0, T0O)=?O нашей
теоремы. Круговые окрестности точек z0 и w0, в которых выпол-
выполняются условия, аналогичные условиям 1°—4°, можно при этом вы-
выбрать столь малыми, чтобы они лежали соответственно в кругах
\z — а| ^г0 и ] w — b\ < р0. Тогда в окрестности точки z0 получим
непрерывную функцию, совпадающую там с построенной выше функ-
функцией w (г) для \z — а|О0. Это непосредственно следует из дока-
доказанного выше. Следовательно, функция w{z) непрерывна в точке z0,
и тем самым доказана ее непрерывность4 в круге \z — af<r0.
Существование производной w'(z) мы также докажем сначала
для z = a. Из A.2) для \г — а|О0 следует, что
Р{z, w (z)) = Яо(г) + (та (z)-b) [Нг (z) + (w (г)-Ь) Я2 (г) + •.. ] = 0,
откуда
w(z)~b _
г —а — z — a ' H1(z) + (w-b)Hi(z)+... *
Но из A.3) при z-+a вытекает, что
р (г) - Нп (а) . и> ,„ч _ „ ,„ м

§ 1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИИ
В силу непрерывности w (z), мы имеем w-*b, когда z-*a; учиты-
учитывая A.3), заключаем, что
lim [Я, (z) + («> (z) — b)H2(z)+...+(w (г) — bf'1Hm (z)) =
отсюда и из A.6) следует существование предела
,, . .. w(z) — b Fg{a, b)
w' (a) = lim —i-^ = — ¦ * '¦/¦.
z~a P»(a' *>
Это заключение, как выше при доказательстве непрерывности, может
быть повторено, если вместо (а, Ь) исходить из значений z0, w0 =
J. z=w(z0). Отсюда вытекает, что производная
f существует для всех z из круга \z — а|<г0. Тем самым доказано,
;, что w(г) представляет в круге \z—о|<г0 регулярный элемент,
- принадлежащий заданному уравнению F(z, и») = 0.
¦ Остается еще показать, что элемент w (z) определяется единствен-
; ным образом. Пусть w* (z) — другой регулярный элемент, определен-
f ный в круге \z — а| < г0 и принадлежащий уравнению F(z, ¦ш) = 0,
причем w* (a) = b. Так как функция w* (z) непрерывна, то существует
окрестность точки z = а, которую w* (z) отображает в круг | w — b \ < р0.
Из первой части доказательства следует, что элемент w* B) в этой
г окрестности точки z = а должен совпадать с w (z), откуда вытекает,
1 что w (г) и w* (z) тождественно совпадают. Теорема доказана пол-
^ностью.
1.3. Критические точки. Для того, чтобы можно было применять
-теорему существования, нужно определить, для каких пар значений
(а, Ь), удовлетворяющих равенству F(a, b) = 0, выполняются условия
i»TOH теоремы, именно, что а и b — конечные комплексные числа и
'что Fw{a, Ь)фО. Как выяснится ниже, это имеет место всегда, за
Исключением не более чем конечного числа пар значений (а, Ь), удо-
удовлетворяющих равенству F(a, b) = 0. Поэтому проще рассмотреть
Па исключения. Имеются три возможности, при которых пара зна-
т©ний (а, Ь) удовлетворяет равенству F(a, й) = 0, но не удовлетво-
удовлетворяет указанным условиям:
f*r 1. а и b конечны, но Fw(a, b) = 0;
'¦'¦, 2. а конечно, но Ь = оо;
?¦ 3. а = оо.
-g При этом еще подлежит уточнению смысл утверждения, что пара
рачений (а, Ь) удовлетворяет уравнению F(a, b) = 0, когда одно или
значения a, b обращаются в бесконечность.

гл. i. алгёёраичейкиё функций
1.4. Исследуем сначала первый случай. Для каких конечных а
и b одновременно F(a, b) = 0 и Fw(a, b) = 0? Для ответа на этот
вопрос расположим оба многочлена F(z, w) и Fw(z, w) по убываю-
убывающим степеням w и применим алгорифм Евклида. В качестве остатков
мы будем получать при этом многочлены относительно w с коэффи-
коэффициентами, являющимися рациональными функциями от г. Алгорифм
может закончиться только тогда, когда получится не зависящий от w
остаток R(z). В самом деле, иначе F(z, w) и FW{Z\ w) имели бы
в качестве общего делителя многочлен от w степени ^-1 с коэффи-
коэффициентами, являющимися рациональными функциями от z. Но F(z, w) —
многочлен относительно w, коэффициенты которого — многочлены
относительно z. Если бы он имел делителем многочлен относительно w
с коэффициентами, рационально зависящими от z\ то, по известной
теореме алгебры, он имел бы делителем многочлен относительно w
с коэффициентами, являющимися многочленами относительно z. Сте-
Степень этого многочлена по w была бы той же, что у общего дели-
делителя F(z, w) и Fw(z, w), следовательно, меньшей степени т много-
многочлена F{z, w) no w. Но это противоречит предположенной непри-
неприводимости F(z, w).
Итак, алгорифм Евклида для F(z, w) и Fw(z, w) как многочле-
многочленов относительно w приводит к не зависящему от w остатку R(z),
являющемуся рациональной функцией от z. Если теперь F (о, Ь) =
= Fm (а, Ь) = 0 для пары конечных значений (a, b), to многочлены
F(a, w) и Fw(a, w) имеют общий делитель w — b; тогда а должно
быть нулем или полюсом функции R (г) [полюс R (z) в алгорифме Ев-
Евклида- может получиться от деления на многочлен относительно w,
все коэффициенты которого обращаются в нуль при z = а\. Так как
R(z) не обращается тождественно в нуль и является рациональной
функцией от z, то существует лишь конечное число значений а,
а потому и конечное число пар значений (а, Ь), для которых
Р(а, b) = Fw(a, #) = 01). Этим исчерпывается рассмотрение первого
исключительного случая.
1.5. Переходим ко второму случаю. Для каких конечных а пара
z = a, ¦де = оо удовлетворяет уравнению F(z, ги) = 0? Сначала нужно
сказать, что мы под этим понимаем. Вводя в A.1) в качестве новой
переменной
-" = -?-
будем иметь
F(z, w) = (±-)mG(z, и),
J) Неприводимость F (г, w) является необходимым условием этого заклю-
заключения. Если, например, F{z, w)**zw*, то F=/=•«,= & для ю = 0и всех г.

§ 1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИИ 21
где
О (z, и) = u™Qm (z) + «-»-Ч?га_t (z) + . . . + Qo (z). A.8)
Мы условимся говорить, что пара z = а, те» = оо удовлетворяет ура-
уравнению F{z, w) = 0, если G(a, 0) = 0. Из A.8) следует тогда, что
для каждой такой пары выполняется равенство Q0(a) = 0. С другой
стороны, Q0(z)j?0, ибо иначе, в силу A.1),'F{z, w) как многочлен
относительно w не был бы степени т. Отсюда следует, что суще-
существует лишь конечное число пар (а, оо), где а конечно, удовлетво-
удовлетворяющих уравнению F(z, w) = 0.
|; Третий случай может быть рассмотрен аналогично.
1.6. Таким образом, пары значений (а, Ь), для которых имеет место
^равенство F(a, b) = 0, но не выполняются условия теоремы 1, воз-
возможны только тогда, когда а принадлежит к одному из следующих
" трех множеств:
*; 1. Значения z = a, для которых существует такое w = b, что
fF(a, b) = Fw(a, b) = 0, следовательно, для которых уравнение
'•¦ F{a, w) = 0 имеет по крайней мере один кратный корень. Эти зна-
значения z = fl являются нулями и полюсами введенной выше рациональ-
рациональной функции R (z).
1 2. Значения z = а, являющиеся корнями уравнения Qo(z) — 0, где
lQ0(z) — коэффициент при высшей степени по w многочлена F(z, w).
3. Значение а = со.
Множество этих „критических точек" z = a всегда'будет ко-
конечным. Его дополнение на плоскости z представляет собой откры-
открытое связное множество. Это область, и мы обозначим ее через Тг.
Если z0 — какая-либо точка из Tz, то уравнение
и F(zo,w) = w^Qo(zo)-\-...-\-Qm(zo) = 0 A.9)
$шеет ровно m различных корней. В самом деле, если z0 лежит в Tz,
|ч) ?}0(,г0)ф0 и, далее, уравнение A.9) не имеет кратных корней,
для них выполнялось бы условие Fw(z0, w) = 0. Следовательно,
ля z = z0 существует ровно m различных пар значений (z0, bt),
о b.2) (г0, Ьщ), где blf b% bm — корни уравнения A.9),
ля которых выполняются условия теоремы 1. Итак, из теоремы 1
ы получаем следующую теорему:
Теорема 2. Для каждой точки z0 области Tz существует
руговая окрестность с центром в z0, в которой имеется
Нно т различных регулярных элементов wx (z), w2 (z), . . ., wm (z),
^надлежащих уравнению F(z, те») = О.
% Пример. Для уравнения
F(z, w) == да8 —

22 ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
имеем Fw(z, w) = 3w2 — 3z2. Алгорифм Евклида дает
Нулями и полюсами функции R(z) являются точки Х12, —1/2, 0. Для
z = 1/2 уравнение F(z,w) = 0 имеет двукратный корень w = —1/2,
для г = —1/2 — двукратный корень w = V2. для 2 = 0 — трехкрат-
трехкратный корень ге» = О. Так как Q0(z)== 1, то ясно, что уравнение Q0(z)—Q
вовсе не имеет корней.
г
1.7. Аналитическое продолжение. По теореме 2, в области Т.
существуют регулярные элементы. Ближайшей нашей задачей будет
показать, что все они в Тг неограниченно аналитически продолжаемы.
Приведем сначала некоторые определения и теоремы об аналитиче-
аналитическом продолжении, которые будем предполагать известными *).
A. Непосредственное аналитическое продолже-
продолжение. Пусть Д и /а — регулярные или дробные аналитические эле-
элементы, определенные соответственно в кругах Сх и С2> имеющих
общие внутренние точки. Элементы Д и /2 называются непосред-
непосредственными аналитическими продолжениями друг друга, если Д=/2
для всех точек пересечения Сх и С2. Непосредственное аналитическое
продолжение элемента Д из С, в С.2 определяется однозначно.
B. Аналитическое продолжение2). Пусть дано п регу-
регулярных или дробных аналитических элементов Д, /2 /„, опре-
определенных соответственно в кругах Cv С.2, .... Сп. Пусть, далее,
Д+1— непосредственное аналитическое продолжение элемента Д
(v= 1, 2 п—1). Тогда элемент Д, называется аналитическим про-
продолжением элемента Д вдоль цепочки кругов Си С2, • . •, Сп. Конеч-
Конечный элемент Д, однозначно определяется исходным элементом Д и
цепочкой кругов Cv С2, .... Сп.
C. Аналитическое продолжение вдоль пути3). Пусть
z = z(t) — непрерывная (комплекснозначная) функция действительного
параметра t (to-^.l<^.To). Она определяет в г-плоскости путь, со-
соединяющий точки Ро (z = z(t0)) и Р [z = г(Г0))*). Пусть в круговой
окрестности Со точки Ро дан регулярный или дробный аналитический
элемент /0(гM). Говорят, что элемент fo(z) аналитически продолжаем
*) В гл. III мы дадим анализ общего понятия аналитического продолже-
продолжения. В настоящем предварительном исследовании мы удовлетворимся при-
приводимыми ниже фактами из теории функций на плоскости.
2) В оригинале используется термин „mittelbare analytische Fortsetztmg".—
Прим. перев.
8) См. книгу А. И. Маркушевича [1**], гл. VIII, § 5. — Прим. переп.
*) Пути, переводимые друг в друга строго монотонным преобразованием
параметра, рассматриваются как одинаковые.
6) Под круговой окрестностью С точки Р мы понимаем любой круг,
содержащий точку Р внутри себя. Мы не требуем, чтобы точка Р совпадала
с центром круга С.

i 1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИИ 23
вдоль пути z (t) до точки Р, если на этом пути можно указать ко-
конечную последовательность точек Ро, Pt, . . ., Рп_1, Рп = Р, соот-
соответствующих монотонно возрастающим значениям t, и цепочку кругов
Со, Cv . . ., Cn_v Cn, таких, что, во-первых, часть PvPv+i пути z{t)
лежит внутри С, (\ = 0, 1, ..., п—1), во-вторых, точка Рп = Р
лежит в Сп и, в-третьих, элемент fo(z) аналитически продолжаем
вдоль цепочки кругов Со, Сг, . .., Cn_v Cn до круга Сп включи-
включительно.
Заданием исходного элемента fo(z) и пути z{t) аналитическое
продолжение определяется однозначно в следующем смысле: если,
исходя из Со и fo(z), осуществить аналитическое продолжение эле-
элемента fo(z) вдоль пути Р0Р до Р двумя различными способами, т. е.
один раз с цепочкой кругов Со, Cv ..., Сп и соответствующими
элементами /0, Д /„, а другой раз с цепочкой кругов
Со, С*, .. ., С*т и соответствующими элементами /0, /*, . . ., fm, то
элементы / и f* будут непосредственными аналитическими продол-
продолжениями друг друга. Кроме того, аналитическое продолжение не за-
зависит от выбора параметра для пути Р0Р.
При тех же обозначениях из предыдущего определения вытекает
следующее: если элемент /^(z) аналитически продолжаем вдоль
пути z(t) (t0 -^ t <^ Го) до некоторой точки Р*, причем Р* соответ-
соответствует значению параметра t* (t0 ^. t* < То), то аналитическое про-
продолжение возможно еще на некоторой части пути после t*. Поэтому
представляются две возможности: либо элемент fo(z) может быть
аналитически продолжен вдоль z{t) до конечной точки пути z(T0),
либо существует вполне определенная точка z (tt) (t0 < tx <[ Го),
такая, что аналитическое продолжение элемента /0(z) вдоль z(t) воз-
возможно до любой точки z (t) (to-^.t<i t^, но невозможно до самой
точки z(t^.
D. Неограниченная продолжаемость в области.
Пусть Ро — внутренняя точка области О плоскости Z-. Регулярный
, или дробный аналитический элемент, определенный в некоторой кру-
круговой окрестности точки Ро, называется неограниченно аналитически
продолжаемым в области О, если для любого пути Р0Р, целиком
лежащего внутри О, этот элемент аналитически продолжаем до конеч-
конечной точки пути Р.
1.8. Продолжение алгебраического элемента. Имеет место сле-
следующая теорема:
Теорема 3. Пусть z0 — точка области Jz и wo(z)—регу-
wo(z)—регулярный элемент, определенный в некоторой круговой окрестности
точки z0 и принадлежащий уравнению F(z, те») = О. Тогда wo(z)
Рграниченно аналитически продолжаем в области Тг и полу-
мые при аналитическом продолжении элементы все принадле-
принадлежат уравнению F{z, те>) = 0,

24 ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Для доказательства теоремы заметим сначала, что если эле-
элементы Д (z) и /2 (z) являются непосредственными аналитическими продол-
продолжениями друг друга и w =/1B) принадлежит уравнению F(z, w) — О,
то w — f2{z) также принадлежит этому уравнению. В самом деле,
можно считать, что элементы fx{z) и /2(z) определены соответ-
соответственно в кругах Сх и С2 с непустым пересечением, на котором они
совпадают. Так как по условию F(z, /х(г)) — 0, то на пересече-
пересечении Ct и С2 имеем F(z, /2Сг)) —0> откуда следует, что функция
F(z, /2B)) равна нулю во всем круге С2. Отсюда заключаем, что
если ft(z) и /2(z) — какие-либо аналитические продолжения друг
друга и ft(z) принадлежит F(z, i») = 0, то и /2(z) принадлежит
F(z, те») = О1). Тем самым доказана вторая часть теоремы, в кото-
которой утверждается, что каждый элемент, получаемый из wo(z) анали-
аналитическим продолжением, принадлежит уравнению F(z, w) = 0.
Для доказательства первой части теоремы нужно (по п. 1.7, D)
показать следующее: если zozx— произвольный путь, который начи-
начинается в z0, кончается в zx и целиком лежит в Tz, то w0 (z) аналити-
аналитически продолжаем по этому пути до zv Доказательство будем вести от
противного: допустим, что в Тг существует путь zozi, конец кото-
которого z± недостижим при продолжении w0 (z) вдоль zQzv Поп. 1.7, С,
на ZqZx существует тогда вполне определенная точка, являющаяся
первой (в смысле возрастания параметра) недостижимой точкой при
аналитическом продолжении wo(z) вдоль ZqZv He ограничивая общ-
общности, можно считать, что этой точкой является zv
По теореме 2, существует круговая окрестность Сх точки zx
с центром в zv в которой имеется ровно m различных регулярных
элементов wx(z), w.2(z), .... wm(z), принадлежащих F(z, -о») = 0.
Пусть z* Ф zx — точка пути ZqZv для которой часть пути z*zx лежит
целиком внутри Cv По предположению о пути z^lt элемент -wo(z) ана-
аналитически продолжаем до z*. Пусть при этом аналитическом про-
продолжении получается элемент w* (z), определенный в круговой
окрестности С* точки z*. Согласно доказанному выше, элемент w*(z)
принадлежит F(z, w) = 0; z* — внутренняя точка пересечения С*
и Сх и внутренняя точка области Тг. Поэтому существует замкну-
замкнутый круг \z — z*К г*, лежащий целиком в Тг и в пересечении С*
с Cv В этом замкнутом круге элементы wt (z), w^ (z) wm (z)
могут попарно иметь одинаковые значения не более чем для конеч-
конечного числа точек, ибо они между собой различны. Так как w*(z),
wx(z), w.2(z), .. ., wm(z) принадлежат уравнению F(z, ге>) = 0 и это
уравнение для z из Тг имеет в точности ш различных корней, то из
1) Это частный случай теоремы о перманентности функциональных урав-
уравнений [т. е. их сохранении при аналитическом продолжении. — Прим. перев.].

$ I. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИИ 25
предыдущего Следует, что элемент w* (г) по крайней мере с одним
из элементов wx (г), wq (z) wm (z) имеет общие значения на
бесконечном множестве точек круга | z — г* | ^ г*. Отсюда вытекает,
что один из этих элементов является непосредственным аналитическим
продолжением элемента w*(г). Пусть это будет элемент wi(z). Так
как С* и Сх покрывают часть пути z*zv то w1(z) получается также
путем аналитического продолжения w*{z) вдоль z*zv следовательно,
и путем аналитического продолжения wo(z) вдоль z^v Но это
противоречит предположению о недостижимости zv Теорема до-
доказана.
Заметим еще, что функция, получаемая при аналитическом про-
продолжении wo(z) в Тг, регулярна в Тг, так как ни при каком z
из Тг пара значений {z, oo) не удовлетворяет уравнению F(z, те») = О.
1.9. Элементы критических точек. Рассмотрим теперь опреде-
определенные в п. 1.6 критические точки, образующие дополнение к об-
области Тг, причем сначала те конечные точки а, для которых Qo (а) Ф О
и существует такое значение w = b, что F(a, b) — Fw{a, Ь) = 0.
Так как множество критических точек конечно, то можно указать
область G: 0<|z — a\<CR, вместе с окружностью \z — а \ — R
целиком принадлежащую области Tz. Разобьем круг \z — aj-^/?
с помощью диаметра на два полукруга; внутренние их точки обра-
образуют области, которые мы обозначим через Gx и О2; обозначим еще
через гх и г.2 радиусы, составляющие использованный диаметр. Пусть
теперь z0 — произвольная точка области Qv По теореме 2, в неко-
некоторой окрестности точки z0 существует ровно ш элементов w1(z),
w2(z), ..., wm(z), принадлежащих уравнению F{z, w) — Q. По тео-
теореме 3, каждый из этих элементов неограниченно аналитически про-
продолжаем в Gv В § 3 гл. III мы докажем теорему о монодромии,
которая утверждает, что элемент, неограниченно аналитически про-
продолжаемый в односвязной области, определяет в этой области одно-
однозначную аналитическую функцию. Отсюда следует, что при анали-
аналитическом продолжении в области Gt элементов, соответствующих
точке г0, в Ot возникает m однозначных аналитических функций,
которые мы снова обозначим через wt (z), w.2 (z) wm {z). Если
мы будем вместо z0 исходить из другой точки области О1, напри-
например zv то придем к тем же функциям w^z), w.2(z), ..., wm(z).
В самом деле, так же, как при доказательстве теоремы 3, мы убе-
убеждаемся, что каждый из m элементов, соответствующих по теореме 2
точке zv в пересечении области его определения с Gt совпадает
ic одной из функций wt(z), w2(z), ..., wm(z) и что различные эле-
йменты, соответствующие zv не могут в этом пересечении совпадать
|'с одной и той же функцией. Таким образом, заданием области
iGj и уравнения F{z, i») = 0 функции wt(z), w2(z) wm(z)

26 ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
определяются однозначно. Аналогично получаем т однозначных анали-
аналитических функций w*(z), 12>*г(z), ..., "w*m(z) для G2.
Функция w1(z) может быть аналитически продолжена через г1
(за исключением точки z = а) из Gt в G2. Это продолжение опре-
определено однозначно, так как теорему о монодромии можно применить
и к области О с разрезом вдоль г2. Это продолжение должно в G2
совпадать с одной из функций w\{z), та* B) w*m(z)> предполо-
предположим, что оно совпадает там с те»* (г). То же самое справедливо для
w2(z), ..., wm(z), и функции w\{z), w\{z) w*m(z) можно про-
пронумеровать так, чтобы аналитическое продолжение функции w^(z)
через гх в G2 совпадало с w*(z) (ч=1, 2, ..., т). Каждая из
функций w\(z), w*2{z), ..., w*m(z) может быть аналитически про-
продолжена через г2 в Gv причем это продолжение снова определяется
однозначно и совпадает в Gx с одной из функций узх (z), w.2(z), ...,wm (г)
Однако аналитическое продолжение функции w* (z) (ч = 1, 2, . . ., т)
через г3 в Glt вообще говоря, совпадает не с w^(z), а с какой-то
другой из этих функций. Другими словами, если, например, функ-
функцию w±(z) аналитически продолжить через тх в G2 и затем через г2
в Gv то в общем случае мы придем не к w1(z), а с какой-то дру-
другой из функций w1(z), w2(z), ...,wm(z). Следовательно, при аналити-
аналитическом продолжении wt(z) в области G получаем там многозначную
функцию. Если теперь, исходя из какой-либо точки области Gv
будем совершать многократный обход вокруг точки z = а (напри-
(например, по окружности с центром в а), начиная с функции wx{z), то
при каждом возвращении в Gx будем приходить к одной из функ-
функций w1 (z), w2 (z) wm (z). Получаемые таким образом функции
при дальнейших обходах начнут периодически повторяться. Пусть
|х — наименьший из этих периодов A<[[А<^т). Мы можем прону-
пронумеровать функции wx(z), w2(z) "Wmi2) так> чтобы при [А-крат-
ном обходе вокруг z — a, начиная с wx(z), последовательно полу-
получались w.2(z), wa(z), ..., Wp{z), wx(z). Итак, при аналитическом
продолжении функции w±(z) в G получается [А-значная функция.
Положим теперь
Функция t(z) отображает конформно [а-листный кусок поверхности,
получаемый склеиванием в единый связный кусок ]х экземпляров
области G с разрезом, например, вдоль г2, на область 0 < \t\ < r= y~R.
Когда t совершает полный обход вокруг начала, соответствую-
соответствующая точка z совершает [А-кратный обход вокруг z = а. Поэтому
сложная функция от t
w1(z) = wt(

S 1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИИ 27
при аналитическом продолжении в области 0 < 11 | < г остается
однозначной.
Теперь нужно исследовать критическую точку t = О, соответст-
соответствующую z = a. Согласно замечанию в конце п. 1.8, функции та-Дг),
w2(z), ..., wm(z) и та*(г), та*(г), ..., w*m(z) соответственно в Gx
и G2 регулярны. Поэтому точка t = О является для функции таг (а + ^)
либо существенно особой, либо полюсом, либо точкой регулярности.
Докажем, что имеет место последний случай. Как известно, для
этого достаточно доказать ограниченность wt (а -\- №) в области
О < \tI < *" или, что равносильно, ограниченность тах(г) при анали-
аналитическом продолжении в О.
Для доказательства заметим, что многочлены ^(z), Q.2(z)> •••¦ Qm(z)
в уравнении A.1) при \г — a\-^.R ограничены:
\Qt(z)\<M (l=\, 2 т);
далее, многочлен Q0B;) отличен от нуля [так как \г — a\^R лежит
в Tz, то там не содержится точек, для которых Qo (г) = 0] и по-
поэтому имеет положительный минимум т0:
|Q0B)|>m0>0 для \z — a|<#.
Отсюда для \г — о| ^Я и j та| > 1 следует, что
т
i=l
Если теперь выбрать та так, что
/га01 та Iй» > /геТИ | та I,
т. е.
, , . тМ
та > ,
то многочлен F (z, та) ^ Qo (z) wm -j- (Qx B) та"» + ... -f- Qm (z)) будет
отличен от нуля. Следовательно, если взять z в области G и та вне
круга
/ тМ \
то F(z, та) =^= 0. Но функция та!B) и ее аналитическое продолжение
в О удовлетворяют уравнению F(z, та) = 0, поэтому
Это и нужно было доказать.
д.
Следовательно, wt(a-f-^) в круге |^|</- = у /? является одно-
однозначной регулярной функцией от t. Она имеет здесь сходящееся

28 ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
разложение
w± (а -+- #) = Ьо + bf + &,+/•+! + • • • 0, =? 0).
Таким образом, мы униформизировали многозначную при [i > 1 функ-
функцию, полученную из w1(z) аналитическим продолжением в О, т. е.
мы нашли для нее такое параметрическое представление, в котором z
и w являются однозначными аналитическими функциями параметра:
AЛ0)
1.10. Локальная униформизация. Функцию w(z), заданную
в круге |tf|< r парой уравнений A.10), называют регулярным алге-
алгебраическим элементом, параметр t—униформизирующей перемен-
переменной элемента. Такой элемент представляет собой {А-значную функ-
функцию, распадающуюся на ц однозначных ветвей,когда круг \z — а | < rv-
разрезают по радиусу. При обходе вокруг z = а ветви элемента
циклически переходят друг в друга. Точка z = а называется точкой
разветвления порядка \i — 1. Для fi = 1 имеем регулярный элемент
в прежнем смысле.
Функция A.10) может быть аналитически продолжена за пределы
круга \z — а | < п\ Однако в общем случае представление A.10) не со-
сохраняется. Следовательно, для продолженной таким образом функ-
функции w(z) представление A.10) справедливо только локально, т. е. в
некоторой окрестности точки z = a. Поэтому t называют локальной
униформизирующей переменной функции w(z).
Элемент A.10) принадлежит уравнению F{z, w) = 0, т. е. для
каждого t из круга 111 < г справедливо соотношение F{z(f), w(t)) = 0.
В самом деле, это следует из построения при 0 < 111 < г и остается вер-
верным для ? = 0 в силу аналитичности функции F(z(t), w(t)) в кру-
круге 111 < г, поэтому b = b0 является корнем уравнения F(a, w) = 0.
1.11. Отображение, осуществляемое регулярным алгебраиче-
алгебраическим элементом. Отображение z —¦ w, осуществляемое регулярным
алгебраическим элементом A.10), легко обозримо. Если, как выше, по-
построить над \z — а | < г?- [а-листный кусок поверхности О^ с точкой
разветвления z = а, то функция t(z), определяемая первым из уравне-
уравнений A.10), будет отображать его на однолистный круг |?|<г. Это
отображение всюду конформно, исключая точку разветвления z = а
(когда (а>1). Функция w(t), определяемая вторым из уравнений
A.10), отображает круг |^|<г на окрестность точки w=:b0. Если
при этом v = 1 и г достаточно мало, то круг 111< r отображается
взаимно однозначно и конформно на окрестность точки w = b0. Если
же v> 1, то для достаточно малого г образ круга \t|< r предста-
представляет собой n-листный кусок поверхности Gv с точкой разветвления
w = Ьо. Отсюда следует, что алгебраический элемент A.10) отобра-

§ 1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИИ 29
жает кусок поверхности 0^ с точкой разветвления z = а на кусок
поверхности Оч с точкой разветвления w — b0. Для достаточно малых г
отображение взаимно однозначно и, исключая, быть может, z = a,
конформно. При z = а отображение, очевидно, еще остается непре-
непрерывным.
1.12. Для получения соотношений A.10) мы исходили из функ-
функций w1(z), w2(z),..., wm(z). Функции wt{z), w.2(z),..., w^{z)
дали алгебраический элемент A.10). Если ]х < т, то те же рассуж-
рассуждения можно провести для w^+1 (z), .... wm(z). Таким образом по-
получим k(l^.k^.tn) алгебраических элементов, принадлежащих ура-
уравнению F(z, те») = О, которые с помощью униформизирующих пара-
метров tt — Уг — а могут быть представлены в виде
t'i+... (Ь^ФО, 1=1, 2 к).
к
При этом 2 Pi = tn. Числа Ь^, Ь^, ¦•¦, Ь^ являются корнями
»=i
уравнения F (а, те») = О. Из предыдущих рассуждений еще не сле-
следует, что это все корни уравнения F(a, i») = 0. Однако это так.
Точнее, справедливо следующее: если каждому значению Ь§) припи-
приписать кратность |дД/ = 1, 2, ..., k), причем в случае, когда некото-
некоторые из b[^ равны между собой, сложить соответствующие им крат-
кратности, то получим все корни уравнения F (a, w) = 0 с кратностями,
которые они имеют на самом деле.
Для доказательства обратимся снова к введенным выше в области
Gx функциям wt{z), w.2(z), ..., wm(z) и заметим, что в Gx спра-
справедливо соотношениеJ)
F(z, w) = Q0(z)(w — wl(z))(w — w2(z)).,..(w — wm(z)). A.11)
Действительно, F (z, -ну) = 0 для каждого z из Qt имеет только про-
простые корни и никакие две из функций w1(z), даа(г), ..., wm{z) ни
для какого z из Ог не могут принимать одинаковые значения, по-
поскольку в противном случае они, по теореме 1, имели бы общий
регулярный элемент. Как видно из A.10), функции wi(z) остаются
непрерывными в точке z = а, если их там определить как соответ-
соответствующие значения ?<*>. Если теперь z в области О± устремить к а,
то утверждение будет непосредственно следовать из соотношения
1) Оно не противоречит неприводимости многочлена F (г, w), так дак
w((z) при /и>1 не являются рациональными функциями от г.

30 ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
A.11), поскольку левая его часть есть многочлен от w, коэффициенты
которого непрерывно зависят от г.
1.13. Предыдущий результат позволяет во многих случаях опре-
определить числа ja.j. Именно, справедливо такое утверждение: если w = b
является [х-кратным корнем уравнения F(a, те») = О и Fz(a, b)^0,
то существует алгебраический элемент вида
(U2)
принадлежащий уравнению F(z, те») = О, и это единственный эле-
элемент с постоянными членами а и Ь. Для доказательства заметим,
что предыдущие рассуждения проходят без изменений, если z и w
поменять ролями. Так как Рл(а, Ь)фО, то, по теореме 1, суще-
существует ровно один (с точностью до непосредственного аналитического
продолжения) регулярный элемент z = z (w), принадлежащий урав-
уравнению F(z, те») = О и удовлетворяющий условию а = z ф). Из дока-
доказательства теоремы 1 видно также, что это единственный алгебраи-
алгебраический элемент такого рода. Отсюда следует, что не существует
двух различных алгебраических элементов вида A.12), принадлежа-
принадлежащих уравнению F(z, -о») = 0 и имеющих постоянные члены а и Ь,
так как иначе с помощью аналитического преобразования параметра
можно было бы получить соответствующие представления для двух
различных алгебраических . элементов, в которых z рассматривается
как функция от w. Из предыдущего результата следует далее, что
показатель |а в A.12) равен кратности корня w = b уравнения
F{a, 12/) = 0. Заметим еще, что в A.12) коэффициент Ьгф0.
1.14. В п. 1.6 мы видели, что для многочлена
F(z, w) = w* — 3z2w-\-2zs — z
критическими точками, кроме z = оо, являются z = х/2, z — —1/2 и
2 = 0. Для z = Vg уравнение F(z, 12/) = 0 имеет двукратный корень
те» = — Х12 и простой корень ¦8»=1, для 2 = —1/2 оно имеет дву-
двукратный корень to^Vq и простой корень w = — 1, для z = 0 —
трехкратный корень w — 0. Ни для одной пары z, w многочлен
/%(?, w) не обращается в нуль. Следовательно, для z = V2 суще-
существует один (неразветвленный) регулярный элемент и один регуляр-
регулярный алгебраический элемент, для которого z = V2 является точкой
разветвления первого порядка; соответствующее утверждение справед-
справедливо для z = —112. Для 2 = 0 существует только один регулярный
алгебраический элемент, для которого z = 0 является точкой развет-
разветвления второго порядка.
Исследованием случая, когда для конечных пар значений (а, Ь)
одновременно F(a, b) = Fw(a, b)=^Fz{a, b) = 0, мы здесь зани-

§ 1. Алгебраические элементы функции
маться не будем, так как нам это не понадобится. Заметим только1,
что возможен случай, когда такой паре будут соответствовать исклю-
исключительно однозначные элементы. Так, например, если F(z, те») =
гэге»2 — г2 — 24 = 0, то паре z = 0, w = 0, для которой F@, 0) =
= Fw @, 0) = Fz @, 0) = 0, соответствуют два различных регуляр-
регулярных элемента w = rtгY 1 + z2 (|г|<1).
1.15. Точка w = oo. Обратимся теперь к тем конечным критическим
точкам z = а, для которых выполняется условие Qo(a) = 0. Исполь-
Используя, как в п. 1.5, подстановку w=lju, получим
F(z, w) = -L0{z, и),
G (z, a) = u^Qm (г)
Пусть теперь Q0(a) — 0. Возможны два случая: Qm(a)i=Q и
Qm(a) = 0. Начнем с первого. В силу непрерывности полинома
Qm(z), для точки 2 = а можно указать круговую окрестность, в кото-
которой Qm(z)^0, следовательно, и F(z, 0) =? 0. Каждой паре значе-
'Ний (z, w), для которой F(z, w) = 0 и z принадлежит указанной
^окрестности точки а, соответствует тогда взаимно однозначно1 пара
ронечных значений (z, а), удовлетворяющая уравнению G(z, и) = 0.
Тем самым исследование сведено к рассмотрению уравнения
G(z, a) = 0 и можно применить результаты пп. 1.9 и 1.10: в окре-
окрестности z = а для каждого z ф а существует т регулярных эле-
элементов u1(z)i u2(z), ..., um(z), объединяемых в k-^m регулярных
однозначных или многозначных алгебраических элементов. Эти эле-
элементы обладают представлениями вида
# С+С^+... (С^0,/ = 1,2 k).
Так как каждый корень уравнения G (а, и) является одним из с№ и
Q0(a) = 0, то существует по крайней мере одно с^\ равное нулю.
Для такого I величина w обращается в бесконечность при ti = 0;
() имеет полюс Vj-ro порядка:
Напротив, для всех /, для которых сО не равно нулю, функция w
в точке ti = 0 регулярна:

32 ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Единственное отличие от прежних результатов состоит в том, что
для рассматриваемого значения z = а, кроме регулярных алгебраи-
алгебраических элементов, получаются еще „дробные алгебраические элемен-
элементы", у которых w(tt) в точке ^ = 0 имеет полюс и которые отобра-
отображают fj^-листный кусок поверхности с точкой разветвления z = a
на Nj-листный кусок поверхности с точкой разветвления w = оо.
Рассмотрим теперь ¦ случай, когда Qo(a) = Qm(a) = 0. Он легко
сводится к предыдущему случаю. Многочлен
F (a, w) = Qo (a) wm + Qt (a) w»-i +...+<?«•(«)
не может тождественно по да обращаться в нуль, ибо иначе было
бы Q0(a) = Qx(a) = ... = Qm(a) = 0, следовательно, разность z — a
была бы делителем полинома F(z, w), что противоречит предполо-
предположенной неприводимости F(z, да). Пусть w=p — такое значение w,
что F{a, ^=5^0. Полагая те» = 1»1+р и
Р (г, «) = Рг (г, w^Q^z) w? + Qt(z) w? + ... + Qm (г),
имеем QOT(fl) = /r1(fl, 0) = F(a, ф)фО. Следовательно, предыдущие
разложения применимы к уравнению Fx(z, w^ = 0, и для w = wx-\- p
находим в конце концов разложения, которые получаются из рас-
рассмотренных выше добавлением постоянной, что, очевидно, не имеет
значения для интересующих нас свойств элементов функции.
1.16. Точка г = оо. Случай г — оо приводится к предыдущим
случаям преобразованием г =1/5. В качестве униформизирующей пе-
переменной для элементов функции w{z) следует ввести
тогда получаются представления вида
•j- . .. или w = bj-
причем, как правило, jj. = v = i. Областью О^ является теперь
[а-листный кусок поверхности с точкой разветвления z — oo.
1.17. Заключение. Алгебраическое уравнение F (z, w) = 0 опре-
определяет для каждого z = а (ф оо или = оо) некоторое число k-^m
(регулярных или дробных) алгебраических элементов функции w(z),
каждый из которых с помощью локального униформизирующего
v-
параметра t=yz — a (jj, — натуральное число) может быть при
достаточно малых |^| представлен сходящимся разложением
да — b =
,}

§ I. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИИ 33
При этом, если а или b равно оо, то z — а и w — b нужно за-
заменить соответственно на 1/z и 1/да1). С помощью такого элемента
{а-листный кусок римановой поверхности над плоскостью z с точкой раз-
разветвления ([х —1)-го порядка в z = a отображается взаимно одно-
однозначно на v-листный кусок римановой поверхности над плоскостью w
к
с точкой разветвления (v—1)-го порядка в w = b. Сумма 2 Iх* пока-
i=i
зателей [а4, соответствующих z = а, всегда равна от. Как правило,
jx = v = 1 и локальное соответствие между плоскостями z и w, осу-
осуществляемое алгебраическим элементом, взаимно однозначно. Только
для конечного числа точек z = а может случиться, что ]х, или м,
или оба эти числа больше 1.
Как уже было замечено, все предыдущие рассмотрения можно
провести в обратном направлении, считая w независимой переменной.
Тогда вместо разложений вида A.13) получатся аналогичные разло-
жения с униформизирующей переменной и = Yw — b. Их можно и
непосредственно получить из A.13), полагая w — b = w. Второе из
уравнений A.13) определяет тогда в окрестности t = u = O одно-
однолистную аналитическую функцию t(u). Подставляя t{u) в первое
из уравнений A.13), получаем для z — а разложение в степенной
ряд по и, в котором первый не равный нулю член содержит сте-*
пень up.
1.18. Алгебраические элементы. Мы получим вполне симмет-
симметричное представление алгебраического элемента A.13), если вместо ?
введем новую локальную униформизирующую переменную i с по-
помощью соотношения
t-= dx (т — с) + d2 (т — с? + ... {й^Ф 0),
устанавливающего взаимно однозначное соответствие между доста-
достаточно малой круговой окрестностью точки t = 0 и некоторой обла-
областью, содержащей точку т = с. В результате такой замены получим
из A.13) сходящееся в окрестности z = c представление вида
! Таким образом, в зависимости от выбора параметра, для одного
\м того же алгебраического элемента получаются различные предста-
представления. Обратно, если два алгебраических элемента, у которых z—а
1) Если точка а принадлежит области Tt, то т соответствующих регу-
рных однозначных элементов можно, очевидно, представить в виде A.13),
уде v*. = 1.
Зак. 295. Р. Неванлиниа

34 ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
и w — Ь (или же \jz, ij-w) представлены в виде степенных рядов по
(хх — с1) и в виде степенных рядов по (х.2 — с2), причем
где ряд справа сходится в окрестности точки х2 = с2, то эти два
элемента рассматриваются как один и тот же алгебраический элемент.
Следует заметить, что при этом не принимаются во внимание вели-
величина и форма окрестностей точек z ==а и w = b на соответствую-
соответствующих кусках римановых поверхностей G^ вокруг z = а и О„ вокруг
w = b. Выбор указанных окрестностей каждый раз возможен
только для данного параметра. В частности, если два однозначных
регулярных или дробных элемента w(z) и w*(z) определены в кон-
концентрических кругах и представляют собой аналитические продолже-
продолжения друг друга, то их нужно рассматривать как один и тот же
алгебраический элемент.
Необходимо еще заметить, что не каждая пара сходящихся сте-
степенных рядов для z — аи w — Ъ дает алгебраический элемент. Из
представления A.13) следует, что в некоторой окрестности точки
t = 0 различным t соответствуют различные пары (z(t), w(t)). Это
свойство сохраняется при допущенных преобразованиях параметра
(для некоторой окрестности точки х == с). Добавляя это свойство, при-
примем следующее определение алгебраического элемента:
Пусть z и w определены как функции от х в некоторой окрест-
окрестности точки х = с. Эти функции представляют алгебраический
элемент, если выполняются следующие условия:
1. z и w (или Ijz, \jw) в этой окрестности являются регу-
регулярными аналитическими функциями от х.
2. Различным значениям х указанной окрестности соответ-
соответствуют различные пары z(x), w(x).
Определенный таким образом алгебраический элемент не обязан,
конечно, принадлежать некоторому алгебраическому уравнению.
1.19. Продолжение алгебраического элемента. В связи с новым
определением алгебраических элементов, следует по-новому опре-
определить понятие аналитического продолжения. Для этого достаточно
рассмотреть непосредственное аналитическое продолжение.
Пусть z(xt), w(x1) и z(x2), w(x2) — два алгебраических элемента,
определенные соответственно для 1^ — Cil^^i и |<:2 — с2|<г2.
Представленные указанным выше образом элементы будем называть
непосредственными аналитическими продолжениями друг друга, если
для некоторой точки х* круга | хг — сг \ < /\ можно указать целиком
расположенную в этом круге окрестность, которая с помощью одно-
однозначной аналитической функции tg^) отображается взаимно одно-
однозначно в круг |х2 — с2|<г2 так, что
z (Ч) = z (-:2 (xj), « (xt) = w

§ 2. ПОСТРОЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ ПО ЭЛЕМЕНТАМ 35
Такое непосредственное аналитическое продолжение можно себе пред-
представить выполненным путем
1) преобразования степенных рядов относительно (х1 — ct) для z
и да в степенные ряды относительно (х±—т*);
2) перехода к параметру т2;
3) преобразования полученных для z и w степенных рядов в сте-
степенные ряды относительно (т2 — с2).
В том случае, когда у обоих элементов сама переменная z ис-
используется в качестве параметра, данное здесь определение непо-
непосредственного аналитического продолжения равносильно прежнему
(п. 1.7, А). Кроме того, теперь могут быть аналитически продол-
продолжены и многозначные алгебраические элементы. Из A.13) видно, что
алгебраические элементы, принадлежащие уравнению F(z,w) — 0,
могут быть получены непосредственным аналитическим продолжением
из однозначных регулярных элементов.
Два алгебраических элемента, представленные соответственно
с помощью параметров zt и т.2 и являющиеся в этих представлениях
непосредственными аналитическими продолжениями друг друга, не
обязательно остаются такими продолжениями при переходе к другим
параметрическим представлениям. Однако они остаются все же ана-
аналитическими продолжениями друг друга. Поэтому утверждение, что
два алгебраических элемента получаются друг из друга с помощью
аналитического продолжения, непосредственного или нет, не зависит
от выбора используемых параметров.
§ 2. ПОСТРОЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
ПО ЕЕ ЭЛЕМЕНТАМ
1.20. Алгебраическая функция как аналитический образ. После
того как мы рассмотрели алгебраические элементы, принадлежащие
уравнению
F(z, «0 = 0,
мы переходим к вопросу о соединении этих элементов в аналитиче-
аналитическую функцию, аналитический функциональный образ1). Под ана-
аналитическим функциональным образом понимают множество алгебраи-
алгебраических элементов, обладающее следующими свойствами:
1°. Если некоторый алгебраический элемент принадлежит этому
множеству, то ему принадлежат и все алгебраические элементы, яв-
являющиеся аналитическими продолжениями данного элемента.
*/ 2°. Всякие два элемента множества могут быть, получены друг
JB3 друга аналитическим продолжением.
I) К общему понятию аналитического образа мы еще вернемся в гл. III.
3*

36 ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Нам нужно, следовательно, показать, что множество алгебраических
элементов, принадлежащих неприводимому уравнению F(z, w) = Q,
удовлетворяет этим двум условиям. Первое из них выводится непо-
непосредственно из пп. 1.8 и 1.9. Алгебраический элемент, получаемый
аналитическим продолжением из элемента, принадлежащего уравне-
уравнению F{z, те») = О, также принадлежит этому уравнению. Остается
доказать второе свойство.
С этой целью рассмотрим введенную в п. 1.6 область Tz, до-
дополнение к которой состоит из конечного числа критических точек
z = a. Как следует из рассмотрений § 1, каждый принадлежащий
уравнению F(z, w)-=Q алгебраический элемент, соответствующий
такой критической точке z = а, может быть получен непосредствен-
непосредственным аналитическим продолжением из регулярного элемента, принад-
принадлежащего уравнению F (z, w) = 0 и соответствующего точке z0 об-
области Tz. Поэтому достаточно показать, что всякие два элемента,
принадлежащие F{z, w) = О и соответствующие точкам из Tz, мо-
могут быть получены друг из друга аналитическим продолжением в Tz.
Этим будет доказано, что и всякие два элемента, принадлежащие
F(z, гг») = О, связаны друг с другом аналитическим продолжением.
Ограничение областью Тг имеет то преимущество, что в качестве
параметра в ней всюду можно использовать z.
1.21. Элементы, лежащие над Тх. Наше утверждение, что вся-
всякие два элемента, принадлежащие уравнению F {z, w) = 0 и соот-
соответствующие точкам из Tz, можно получить друг из друга аналити-
аналитическим продолжением в Тг, может быть еще упрощено. Пусть z0 —
произвольная, но в дальнейшем фиксированная точка области Тг.
По теореме 2 § 1, в некоторой окрестности С точки z0 существует
ровно m различных элементов wx{z), w2(z), ..., wm{z), принадле-
принадлежащих F(z, isy) = O. Сделанное выше утверждение означает, в част-
частности, что каждый из этих элементов может быть получен из w^z)
аналитическим продолжением в Tz. Если последнее верно, то и наше
утверждение верно. В самом деле, если zl и г.2 — две произвольные
точки области Tz, a w^(z) и w^(z)— элементы, принадлежащие
F{z,w) — Q и соответствующие этим точкам, то г% можно соединить
с z0 путем cv лежащим в Tz, и wW(z) можно (по теореме 3 § 1)
аналитически продолжить по этому пути. При этом мы получим эле-
элемент, принадлежащий F(z, w) = Q, следовательно, совпадающий
(с точностью до непосредственного аналитического продолжения)
с одним из элементов w1 (z), даа (z), ..., wm (z), скажем с wt (z).
Аналогично, можно 22 соединить с г0 путем с2, лежащим в Гг, и при
аналитическом продолжении wB)(z) вдоль с3 мы получим один из
Элементов w^z), w.2(z), .... "Wm(z), скажем wk(z). Если теперь
wt(z) может быть получен из wt(z) аналитическим продолжением
вдоль пути cit лежащего в Тг, nwk(z) может быть получен из wt(z)
-аналитическим продолжением вдоль пути ск, лежащего в Tz, то W(

§ 2. ПОСТРОЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ ПО ЭЛЕМЕНТАМ 37
получается аналитическим продолжением ш'1* (г) вдоль пути CjC^c^1,
целиком лежащего в Tz *).
Таким образом, остается только показать, что элементы wt{z),
w2(z) wm(z) могут быть получены из wt(z) аналитическим
продолжением в Тг.
1.22. По теореме 3 § 1, элемент wt(z) может быть аналитически
продолжен вдоль любого замкнутого пути, который начинается в z0
и лежит в Тг. При аналитическом продолжении элемента w1 (z) вдоль
такого пути в качестве конечного элемента получится один из эле-
элементов w1 (г), гг>2 (г) wm (г) (с точностью до непосредственного
аналитического продолжения). При аналитическом продолжении эле-
элемента wt(z) вдоль всевозможных таких путей в качестве конечных
элементов получатся некоторые из элементов wt(z), w^iz) wm(z),
скажем
wl(z), w2(г), .... w4(z) (v<m).
Наше утверждение состоит в том, что v = щ. Мы увидим, что до-
допущение v < m ведет к противоречию с предположенной неприводи-
неприводимостью многочлена F(z, w).
Образуем из wt(z) (/=1, 2, ...) элементарные симметрические
функции
(z) + .. . + «v (г)
A.14)
Каждая из функций s4(z) (i = 1, 2, ..., v) определена в окрестности С
точки z0 и, по теореме 3 § 1, неограниченно аналитически продол-
продолжаема в Tz2). Если мы яДг) аналитически продолжим вдоль любого
замкнутого пути с, начинающегося в z0 и лежащего в Гг, то мы
вернемся к исходному элементу яДг). В самом деле, различные эле-
элементы w±(z), ге»а(г), ..., w,(z) при аналитическом продолжении
вдоль с приводят к различным конечным элементам и каждый из
Этих конечных элементов должен совпадать с одним из элементов
я»!(г), w.2(z) w4B), так как, очевидно, такой элемент также
может быть получен из w1 (г) аналитическим продолжением вдоль
замкнутого пути, пробегающего в Тг. Отсюда и из симметрии s^z)
*) Если а — направленный (ориентированный) путь, то а-1 означает про-
тивоположно направленный путь. Если конец пути а является началом пути ft,
W ab означает путь, который получается, если сначала пробегать путь а,
-.щ затем путь Ь.
V 2) Аналитическое продолжение суммы элементов равно сумме аналити-
аналитиских продолжений слагаемых (если эти продолжения существуют). Анало-
н утверждение справедливо для произведения.

38 ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
относительно w1(z), w.2(z), ..., w,,(z) следует, что аналитическое про-
продолжение st (z) вдоль с приводит к конечному элементу 54(г).
Так как с — произвольный замкнутый путь, начинающийся в z0 и
принадлежащий Тг, то из предыдущего следует, что при неогра-
неограниченном аналитическом продолжении 5^(г) в Т3 получается однознач-
однозначная функция. В самом деле, имеет место следующая общая теорема.
1.23. Пусть Г—область z-плоскости и f(z)— регулярный эле-
элемент, определенный в окрестности точки z0 области Т. Пусть эле-
элемент f(z) в Т неограниченно аналитически продолжаем и при анали-
аналитическом его продолжении вдоль каждого замкнутого пути, начинаю-
начинающегося в z0 и лежащего в Г, в качестве конечного элемента снова
получается f(z) (с точностью до непосредственного аналитического
продолжения). Тогда аналитическое продолжение элемента f(z) в Т
приводит к однозначной аналитической функции.
Действительно, рассмотрим произвольную точку гг из Т и два
различных лежащих в Т пути сх и с2, начинающихся в z0 и оканчи-
оканчивающихся в zv Пусть при аналитическом продолжении элемента f(z)
вдоль сх и с2 в качестве конечных элементов в zx получаются эле-
элементы ft(z) и /2B). Если /2(z) аналитически продолжить вдоль cj,
то это равносильно аналитическому продолжению f(z) вдоль замкну-
замкнутого пути ctfi1. Но отсюда вытекает, что /2(z) можно также полу-
получить из f(z) аналитическим продолжением вдоль cv Так как при
аналитическом продолжении вдоль некоторого пути конечный элемент
однозначно определяется начальным, то из предыдущего следует,
что ft(z) и /2(г) являются непосредственными аналитическими про-
продолжениями друг друга, и тем самым утверждение теоремы доказано.
1.24. Критические граничные точки. Таким образом, доказано,
что аналитическое продолжение st (z), s2 (z), . . ., s4 (z) в Тг приводит
к однозначным аналитическим функциям, которые мы будем обозна-
обозначать теми же буквами. Эти функции регулярны в Tz, поскольку ана-
аналитические продолжения элементов w1 (z), w.2 (z), . . ., w., (z) в Тг
регулярны, как было замечено в конце п. 1.8. Остается еще иссле-
исследовать поведение функций s4(z) в граничных точках области Тг; это
критические точки z = а, число которых конечно.
Так как функция st(z) в Тг однозначна и регулярна, то для s4(z)
указанные точки являются либо существенно особыми, либо полюсами,
либо точками регулярности. Существенные особенности не могут иметь
места. В самом деле, если рассмотреть аналитическое продолжение
wi(z) A=1, 2 v) в достаточно малой окрестности критической
точки z = a, то оно либо остается ограниченным (если Qo(a)^0,
афоо; см. п. 1.9), либо станет ограниченным после умножения на
достаточно высокую степень z — а (афоо, Q0(a) = 0; см. п. 1.15)
или IJz (если а = оо; см. п. 1.16). Отсюда и из равенств A.14)

S 2. ПОСТРОЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ ПО ЭЛЕМЕНТАМ 39
аналогичное заключение можно сделать для st(z). Поэтому однознач-
однозначные функции Si(z) (t = l, 2, .... v) в точках z = а либо регулярны,
либо имеют полюсы. Это справедливо и для z—oo. Следовательно,
по известной элементарной теоретико-функциональной теореме, st(z)
являются рациональными функциями от z. Мы можем написать
(/ = 1. 2, .... v), A.15)
где po(z), pt(z), . . ., py{z) — многочлены с наибольшим общим дели-
делителем 1, следовательно, без общих нулей.
1.25. Алгебраическое уравнение Ft = 0. В окрестности Сточки z0
образуем теперь произведение
(w — wt (z)). . . (w — ws (z)) = w -f- st (z) w1'1 -\- . . . -f- sv (z) =
_ Ft(z, w) . , )R
при этом мы используем равенства A.14) и A.15). Очевидно, что
F^iz, w) является многочленом относительно г и и степени ч по w.
Элементы wt(z), w.2(z), . . ., w4(z) принадлежат алгебраическому
уравнению Ft{z, те») = О, так как, в силу A.16), Ft(z, Wi(z)) = 0
для каждого i=l, 2, .... ч и каждой точки z из С.
1.26. Связь между F и F±. Таким образом, мы нашли, что эле-
элементы w1(z), Щ(г), .... w^(z) удовлетворяют одновременно алге-
алгебраическим уравнениям F(z, те») = О и Ft(z, те») = О. Используя
неприводимость F{z, w), мы покажем, что F(z, w) и Ft(z, w) отли-
отличаются только на Постоянный множитель, откуда, в частности, сле-
следует, что ч = т.
Аналогично п. 1.4, будем рассматривать F(z, w) и Ft{z, w) как
многочлены относительно w и применим к ним алгорифм Евклида.
Этот алгорифм не может привести к остатку, не зависящему от w,
ибо иначе, как в п. 1.4, можно было бы заключить, что существует
лишь конечное число пар z = a, w = b, для которых F(a, b) = 0,
Fx(a, b) = 0, в то время как существует бесконечно много таких
пар, поскольку элемент wt(z) принадлежит как F{z, w) — 0, так
и Ft(z, i») = 0. Следовательно, F(z, w) и Ft(z, w), как многочлены
относительно w, должны иметь общий делитель, являющийся много-
многочленом относительно w с рациональными коэффициентами от г. Сте-
Степень этого делителя по w не может быть меньше т., ибо иначе,
как в п. 1.4, получилось бы противоречие с неприводимостью F(z, w).
С другой стороны, степень делителя по w не может быть больше v,
откуда, поскольку v^/re, следует, что v = m. Далее, деление F(z, w)
'на Ft(z, w) приводит к рациональной функции от z. Ее можно сразу
Ясе указать путем сравнения коэффициентов при •о/"» в F(z, w) и

40 ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Из тождества
po(z)F(z, w)bsQ0(z)F1(z, «)
следует еще, что р0(z) = cQ0(z), где с-—постоянная. В самом деле,
для каждого нуля многочлена р0 (z) левая часть тождественно по w равна
нулю, функция же F1(z, w) — нет, так как многочленыр0(z), p^{z)
/>,(г), являющиеся, согласно A.16), коэффициентами при степенях w
в полиноме Fx(z, w), не должны иметь общих нулей. Следовательно,
каждый нуль Pq(z) является нулем и Q0(z). Обратное утверждение
вытекает аналогично из неприводимости F(z, w). Следовательно, po(z)
и Q0(z) отличаются только на постоянный множитель.
Результатом v = /те завершается доказательство того, что алгебраи-
алгебраические элементы, принадлежащие неприводимому алгебраическому
уравнению F(z, те») = О, представляют аналитический образ. Это алге-
алгебраическая функция w(z), определяемая уравнением F[z, та») = 0.
Попутно доказано, что если элемент функции удовлетворяет одно-
одновременно двум неприводимым алгебраическим уравнениям F (z, w) = 0
и Fx(z, w) = Q, то F{z, w) и Ft(z, w) отличаются только на постоян-
постоянный множитель.
1.27. Функции, определяемые приводимыми уравнениями. Мы
можем теперь рассмотреть и случай, когда F(z, w) — приводимый
многочлен относительно z и w. Такой многочлен допускает разло-
разложение
Р (z, w) = Q (z) P {w) Ft (z, wp ...Fk (z, w)% A.17)
где Q(z) и P(w)—многочлены только относительно z, соответственно w,
F1(z, w) Fk(z> w) — неприводимые многочлены относительно z
и w и av .. ., ocj. — натуральные числа. При этом предполагается,
что Ft(z, w), .... Fk(z, w) различны, т. е. что никакие два из них
не получаются друг из друга умножением на постоянную. По извест-
известной теореме алгебры, разложение A.17) многочлена F{z, w) опре-
определяется однозначно с точностью до постоянных множителей в членах
разложения.
Алгебраический элемент (не постоянный), удовлетворяющий урав-
уравнению F (z, w) = 0, удовлетворяет уже некоторому уравнению
Fi(z, те») = О (/=1, 2, ..., k). В самом деле, если в A.17) под-
подставить вместо z и w этот элемент, то по крайней мере один мно-
множитель справа должен равняться нулю для бесконечного числа пар
значений (z, w) этого элемента, а следовательно, в силу аналитич-
аналитичности, этот множитель должен равняться нулю тождественно. Из
п. 1.26 следует, что это может иметь место только для одного из

S 2. ПОСТРОЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ ПО ЭЛЕМЕНТАМ 41
неприводимых множителей. Следовательно, все (не постоянные) алге-
алгебраические элементы, удовлетворяющие уравнению F(z, w) = О, полу-
получаются приравниванием нулю неприводимых множителей Ft(z, w),
F2(z, ча), .... Fk(z, w). Приравнивание нулю такого множителя дает
алгебраическую функцию. При этом алгебраические функции, принад-
принадлежащие различным множителям, ничем не связаны друг с другом:
они не могут быть получены друг из друга аналитическим продолже-
продолжением, так как иначе существовал бы элемент, принадлежащий одно-
одновременно различным множителям.
Каждый линейный множитель многочлена P(w) можно рассматри-
рассматривать как постоянную функцию w(z), и аналогично каждый линейный-
множитель полинома Q(z) — как постоянную функцию z(w). Таким,
образом, приводимое алгебраическое уравнение определяет одновре-
одновременно многие алгебраические, в частности постоянные функции, ничем,
не связанные друг с другом. Каждой алгебраической функции, опре~
деляемой неприводимым множителем, приписывают еще кратность»
равную показателю, с которым этот множитель входит в A.17); эта
же касается линейных множителей многочленов Q(z) и P(w).
1.28. Алгебраические образы. Аналитический образ, элементы
которого удовлетворяют алгебраическому уравнению, называется алге-
алгебраическим образом (или алгебраической функцией). Если такое урав-
уравнение приводимо, то элементы алгебраического образа обращают в
нуль уже один неприводимый множитель. В самом деле, согласна
п. 1.27, каждый элемент обращает в нуль такой множитель и все
элементы должны соответствовать одному и тому же множителю, так
как иначе свойство взаимосвязи элементов образа (свойство 2° из п. 1.20}
было бы нарушено. Следовательно, элементы алгебраического образа
всегда удовлетворяют неприводимому уравнению, которое, согласна
п. 1.26, определяется однозначно с точностью до постоянного множи-
множителя. Многочлен, стоящий в левой части этого уравнения, является
делителем многочлена, стоящего в левой части любого уравнения,,
которому удовлетворяют элементы образа.
До сих пор мы исходили из одного (неприводимого) алгебраиче-
алгебраического уравнения и строили принадлежащий ему аналитический образ.
Возникает обратный вопрос: какими свойствами должен обладать,
аналитический образ, чтобы его элементы удовлетворяли алгебраи-
алгебраическому уравнению?
Из того, что до сих пор было сказано, вытекает, что во всяком,
случае необходимы следующие свойства:
1°. Каждый алгебраический элемент образа неограниченно анали-
аналитически продолжаем, с характером регулярного или дробного алге-
алгебраического элемента, над всей замкнутой плоскостью z (включая
г = оо).
2°. Число различных элементов, соответствующих произвольной;
фиксированной точке z0, конечно.

42 ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Так как элементы аналитического образа связаны между собой
аналитическим продолжением, то свойство 1° достаточно потребовать
только для одного элемента. Затем, в силу свойства 1°, достаточно
свойство 2° потребовать только для одной определенной точки; оно
будет тогда выполняться для всех точек. В самом деле, из пред-
представления алгебраического элемента с помощью уравнений A.10)
непосредственно видно, что для каждой точки z = а, которой соот-
соответствует многозначный относительно z алгебраический элемент, суще-
существует окрестность, в которой непосредственные аналитические про-
продолжения этого элемента однозначны и регулярны. Каждой отличной
от а точке этой окрестности отвечает лишь конечное число элемен-
элементов, являющихся непосредственными аналитическими продолжениями
рассматриваемого многозначного элемента. То же самое справедливо,
очевидно, и для однозначных элементов. Пусть теперь z = z*—точка,
которой соответствует лишь конечное число элементов. Она обладает
окрестностью, накрываемой каждым отвечающим ей элементом, и
каждой точке этой окрестности, отличной от z*, соответствует конеч-
конечное число элементов, являющихся непосредственными аналитическими
продолжениями одного из элементов, принадлежащих z*. Эти непо-
непосредственные аналитические продолжения все однозначны и регулярны,
и они содержат все элементы, соответствующие такой точке окрест-
окрестности точки z*. Действительно, если бы существовал еще один элемент,
то, в силу свойства 1°, он был бы аналитически продолжаем в соот-
соответствующей окрестности z* и приводил бы еще к одному элементу,
отвечающему z*. Поэтому число элементов, соответствующих отлич-
отличной от z* точке окрестности z*, однозначно определяется числом
отвечающих z* элементов и порядками их разветвления.
Из предыдущего следует, что множество точек, которым соответ-
соответствует конечное число элементов, открыто. Далее, в этом открытом
множестве точки, которым соответствуют разветвленные относительно z
элементы, не могут иметь точек сгущения1).
Рассмотрим компоненту связности этого открытого множества и
в ней две произвольные точки, которым соответствуют только одно-
однозначные регулярные элементы. Их можно соединить в нашей компоненте
связности путем, точкам которого отвечают лишь однозначные эле-
элементы. Отсюда, в силу свойства 1°, следует, что каждой такой точке
соответствует одинаковое число элементов. Допустим теперь, что эта
компонента связности имеет граничные точки. Такой граничной точке
должно было бы соответствовать бесконечно много элементов. В каж-
каждой ее окрестности существовали бы точки, которым соответствуют
!) Из рассуждений, проведенных для «*, непосредственно следует, что
точка г, которой соответствует лишь конечное число многозначных алгебраи-
алгебраических элементов, не может быть точкой сгущения центров таких элементов.
Дальше, однако, показывается, что вообще число многозначных элементов
лишь конечно. — Прим. перев.

§ 2. ПОСТРОЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ ПО ЭЛЕМЕНТАМ 43
только однозначные элементы, причем число этих элементов не за-
зависело бы от рассматриваемой точки окрестности. В то же время
можно было бы указать окрестность граничной точки, в которой опре-
определено большее число соответствующих ей элементов, что ведет к
противоречию.
Из доказанного следует, что открытое множество точек, которым
соответствует только конечное число элементов, не имеет граничных
точек. Так как это множество, в силу свойства 2°, не пусто, то оно
должно совпадать с замкнутой z-плоскостью (включающей z = оо).
Это и следовало доказать1).
Одновременно доказано, что те точки, которым соответствуют
многозначные относительно z элементы, не имеют точек сгущения.
Следовательно, таких точек имеется только конечное число. Из
предыдущего вытекает далее, что точки, которым соответствуют
дробные элементы, также не имеют точек сгущения. Их число тоже
конечно.
Теперь мы можем показать, что указанные выше условия являются
не только необходимыми, но и достаточными для того, чтобы анали-
аналитический образ был алгебраическим. В самом деле, если мы исключим
из плоскости z конечное множество точек, которым соответствуют
разветвленные или дробные элементы, то для полученной области
мы сможем повторить те же рассуждения, что и выше в пп. 1.3—1.6.
Приведенный там метод изучения граничных точек области сохра-
сохраняется, ибо каждый элемент, соответствующий точке области, анали-
аналитически продолжаем в граничные точки с регулярным или дробным
алгебраическим характером. Таким образом, видно, что по крайней
мере часть элементов аналитического образа удовлетворяет алгебраи-
алгебраическому уравнению 2). В силу связи, даваемой аналитическим продол-
продолжением, это справедливо для всех элементов образа. Таким образом,
указанные выше условия 1° и 2° необходимы и достаточны для
того, чтобы аналитический образ был алгебраическим.
1.29. Римановы поверхности Rx и /?,„. Предыдущее исследование
дало нам полное представление как о поведении отдельного алге-
алгебраического элемента, принадлежащего уравнению F(z, w) = 0, так
и о 'том, каким образом совокупность этих элементов можно
объединить в одну алгебраическую функцию w = w (z) или z = z (w).
Эти две обратные друг другу алгебраические функции многозначны,
если степени тип соответственно по переменным w и z больше 1;
функция w = w(z) имеет т, а обратная функция z = z(w) n раз-
различных ветвей, переходящих друг в друга в окрестностях точек раз-
разветвления.
*) Этот и предыдущий абзац в переводе несколько уточнены. — Прим.
пере в.
3) Это следует хотя бы из приведенных выше, в п. 1.22 и дальше, рас*
суждений об элементарных симметрических функциях. — Прим. перев.

44 ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Именно в связи со своими фундаментальными исследованиями па
теории алгебраических функций и их интегралов Риман развил общую
идею превращения многозначной функции w = w(z) в однозначную
путем рассмотрения в качестве носителя ее значений w не комплекс-
комплексной плоскости z, а построенной определенным образом над ней
многолистной поверхности, листы которой взаимно однозначно соот-
соответствуют ветвям функции. Эта идея Римана явилась поворотным,
пунктом для всего дальнейшего развития теории функций.
Предыдущие рассмотрения содержат все необходимое для построе-
построения над плоскостью z римановой поверхности Rz, на которой алге-
алгебраическая функция w = w(z) однозначна. Соответственно т ветвям
функции, /?г состоит из т различных листов; рассуждения в пп.
1.20—1.26 указывают путь к тому, как соединить эти листы в связ-
связную поверхность Rz. т листов этой поверхности лежат всюду раз-
раздельно, исключая граничные точки области Tz, над которыми лежат
(имеющиеся в конечном числе) точки разветвления Ягг).
Аналогичное справедливо для обратной функции z = z(w). Носи-
Носителями п ветвей этой многозначной функции являются п листов рима-
римановой поверхности Rw, расположенной над плоскостью w.
1.30. Конформная эквивалентность /?г и /?«,. Алгебраическое
уравнение F(z, и) = 0и эквивалентные явные соотношения w = w(z)
и z = z (w) осуществляют взаимно однозначное и конформное2)
отображение соответствующих римановых поверхностей Rz и Rw друг
на друга; поэтому такие две поверхности называются конформно
эквивалентными.
Таким образом, рассмотрение частного случая алгебраической
функции естественным образом ведет к основному вопросу теории
конформных отображений — вопросу о конформной эквивалентности
двух данных римановых поверхностей.
Две конформно эквивалентные римановы поверхности неразличи-
неразличимы с точки зрения понятий, являющихся конформно инвариант-
инвариантными, т. е. сохраняющихся при взаимно однозначных и конформных
отображениях, почему их обычно, по Риману, „отождествляют",
включая в один и тот же конформный класс, состоящий из
!) Точки разветвления Rg соответствуют многозначным алгебраическим
элементам да (г). — Прим. перев.
а) На первый взгляд кажется, что конформность этого отображения
нарушается в точках разветвления поверхности. Следует, однако, заметить,
что понятие конформности (измерение углов) в этих точках определяется
не по отношению к переменным z и w, а по отношению к локальной уни-
формизирующей t; на этом более подробно мы еще остановимся в даль-
дальнейшем.

§ 2. ПОСТРОЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ ПО ЭЛЕМЕНТАМ 45
всех конформно эквивалентных римановых поверхностей; на
отдельные поверхности класса следует тогда смотреть как на
интерпретации или как на конкретные реализации определяемой клас-
классом абстрактной римановой поверхности R. В частности, сказанное
относится к поверхностям Rs и Rw, соответствующим алгебраическому
уравнению F(z, щ;) = 0.
1.31. Поверхности Rz и Rw как поверхности наложения.
При развитой выше общей точке зрения, по которой поверх-
поверхности Rs и Rw представляют одну и ту же абстрактную риманову
поверхность R, побочным является то обстоятельство, что эти
поверхности даны как многолистные поверхности наложения
соответственно z-плоскости и •ш-плоскости; этим устанавливается
отношение каждой из них к другой римановой поверхности, а именно,
к замкнутой г-плоскости, соответственно •ш-плоскости. Но это при-
приводит нас к новому важному моменту, также имеющему важное зна-
значение для общей теории поверхностей, а именно к отношению между
двумя поверхностями, определяющему одну из них как поверхность
наложения другой — основной поверхности.
1.32. Программа дальнейшего исследования. Все эти геометри-
геометрические взаимосвязи можно дальше изучать, рассматривая специальные
вопросы, относящиеся к алгебраическим или аналитическим образам.
Однако такое исследование вскоре приводит к проблемам, истинное
значение которых лишь тогда выступает со всей ясностью, когда
теория римановых поверхностей развивается как самостоятельная гео-
геометрическая дисциплина, сначала совершенно независимо от проблем
теории алгебраических или аналитических функций; последние можно
тогда рассматривать как отдельные приложения общей геометриче-
геометрической теории.
Поэтому вначале наша задача будет состоять в том, чтобы опре-
определить й изучить основные понятия конформной теории поверхностей
независимо от теории аналитических функций; это будет сделано
в следующей главе.
1.33. Униформизация. В настоящей главе мы видели, как можно
локально униформизировать алгебраический, или, более общо, анали-
аналитический образ (z, w) с помощью однозначного локального аналити-
аналитического представления
z — z(t), w=zw(t) A.18)
; каждого элемента (z, •w). Общая проблема униформизации состоит
i втом, чтобы определить такое однозначное аналитическое представление
Z* целом: нужно найти такие две однозначные аналитические функ-

46 ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ции A.18) в некоторой области Ot комплексной ^-плоскости, чтобы
пары значений (z, w) давали все элементы образа.
Фундаментальные исследования Шварца, Пуанкаре и Клейна уста-
установили связь между этой проблемой и намеченными выше основными
вопросами теории конформных отображений. Так был указан путь
к решению общей проблемы униформизации. Таким образом, теория
униформизации предстает в виде особой области приложения фунда-
фундаментальных вопросов теории конформных отображений, которые в даль-
дальнейших главах будут подвергнуты обстоятельному изучению.

Глава II
ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ
§ I. ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО, МНОГООБРАЗИЕ,
РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ
2.1. Комплексная плоскость. Уже в началах теории функций
приходится, наряду с открытой числовой плоскостью гфоо, рассматри-
рассматривать замкнутую комплексную плоскость (числовую сферу), получаемую
присоединением бесконечно удаленной точки г = оо; это понятие
широко было использовано в первой главе. Открытая и замкнутая
плоскости являются простыми примерами общего понятия топологи-
топологического пространства, и мы хотим сначала напомнить некоторые
существенные для этого понятия свойства плоскости.
Множество точек (z) замкнутой плоскости называется открытым,
если вместе с каждой своей точкой афоо оно содержит одновре-
одновременно круг \z— а | < г (г > 0) и вместе с точкой а = оо— внешность
круга 0 < г < | z | ^ оо. Соединение любого числа и пересече-
пересечение конечного числа открытых множеств есть снова открытое мно-
множество.
Окрестностью точки г = а называется всякое открытое множе-
множество 0, содержащее эту точку. Следовательно, соединение любого
числа и пересечение конечного числа окрестностей некоторой точки
снова являются окрестностями этой точки.
2.2. Римановы поверхности Rz и /?«,. Аналогичное построение
возможно для рассмотренной в первой главе римановой поверх-
поверхности Rs, на которой алгебраическая функция w = w (z), опреде-
определяемая уравнением F(z, •a>) = 0, однозначна.
Согласно результатам гл. I, каждой точке z = a (Фоо или = оо)
комплексной z-плоскости можно поставить в соответствие такое число
г = га @ < г < оо), что элементы «>, (г, а) (у = 1, ..., ц < т) алге-
алгебраической функции w(z), дающие совокупность решений уравнения
F(z, w) = 0 в окрестности точки z = a, допускают для \г — я|<г
(соответственно для \z\ > 1/г, если а — оо) сходящееся представление
«,(*, в) = с^ + с^4-... (n=1 V).
[где t означает локальную униформизирующую t=yz — а (соответ-
(соответственно гГ1''1") и 2^ = т' Если да,(а, а) = оо, то ад, нужно заме-
|-нить на 1/щ/.,.

48 ГЛ. И. ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Элементы w4(z, а) принимают за „точки" „поверхности" Rx.
При этом два различных элемента рассматриваются как различные
„точки". Точка z называется проекцией „точки" Р(= w4(z, а)). В каче-
качестве „круговой окрестности" К „точки" Ро принимают любое множе-
множество (Р) элементов, обладающее следующими свойствами:
1. Проекции z точек Р из К заполняют открытый круг \z —а | < р
(соответственно \г\ >р).
2. Точки из (Р) получаются из точки Ро непосредственным анали-
аналитическим -продолжением х).
Если теперь под открытым множеством на Rz понимать такое
лодмножество в Р„ которое вместе с каждой своей точкой содержит
также целую круговую ее окрестность, то соединение любого числа
и пересечение конечного числа открытых множеств будет снова
открытым.
В качестве окрестности точки Ро ? Rz принимают каждое откры-
открытое множество, содержащее эту точку.
Аналогичное построение можно, вообще говоря, провести для
-любой поверхности Rz, на которой произвольно заданная (не
обязательно алгебраическая) аналитическая функция w(z) одно-
однозначна. При этом, если для некоторой точки z = a число лежащих
над ней элементов бесконечно велико, то в общем случае нельзя
обойтись фиксированным значением г — га для всех элементов над а
и его подбирают для каждого элемента в отдельности.
2.3. Топологические пространства а). После этих предваритель-
предварительных рассмотрений мы переходим к общему понятию топологического
пространства.
Пусть дано произвольное множество R элементов Р; множество R
мы называем „пространством", элементы Р—„точками" пространства
R. Множество R становится топологическим пространством после
выделения в нем определенных подмножеств точек, называемых
открытыми множествами, для которых принимается следующая
-аксиома:
А. Соединение любого числа и пересечение конечного числа
открытых множеств есть снова открытое множество.
Из соображений единства и возможности кратких формулировок
постулируется, что все пространство R и пустое множество являются
открытыми; это не нарушает справедливости аксиомы А.
Окрестность U(P) точки Р определяют как произвольное откры-
открытое множество точек, содержащее точку Р. Каждая точка Р имеет,
*) Предполагается еще, что множество (Я) исчерпывает все непосред-
непосредственные аналитические продолжения Ро над кругом \г — «|<Ср (это замеча-
замечание существенно, если w->(z) — многозначный элемент). — Прим. перев.
2) О топологических пространствах см. П. С. Александров [2**], гя. VI,
VII. — Прим. перев.

§ 1. ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО 49
следовательно, по крайней мере одну окрестность, а именно все
пространство R. Окрестности точки обладают, очевидно, следующими
свойствами:
Аг Каждая точка содержится во всех своих окрестностях.
А2. Пересечение двух окрестностей некоторой точки снова является
окрестностью этой точки.
А3. Каждая точка Q окрестности U точки Р имеет окрестность,
содержащуюся в U.
Открытые множества можно охарактеризовать тем, что вместе
с каждой своей точкой они содержат окрестность этой точки *).
Комплексная плоскость и римановы поверхности Rs и Rw являются
топологическими пространствами, правда, весьма частного вида.
Насколько широким является понятие топологического пространства,
видно уже из следующего замечания: каждое множество R становится
топологическим пространством, если все его подмножества считать
открытыми, а также если открытыми множествами считать только
само R и пустое множество.
2.4. Метрические пространства. Под метрическим простран-
пространством понимают множество R точек (оно может еще не иметь ника-
никакой топологии), в котором всяким двум точкам Р и Q поставлено
в соответствие „расстояние", т. е. число PQ, обладающее следую-
следующими свойствами:
1. Всегда PQ^O, причем PQ = 0 тогда и только тогда, когда
p = Q-_ __
2. PQ — QP.
3. Для всяких трех точек О, Р, Q выполняется неравенство тре-
треугольника
Под r-кругом (г > 0) с центром в точке Ро понимают совокуп-
совокупность всех точек Р из R, которые удовлетворяют неравенству
РР0<г.
В метрическом пространстве можно ввести топологию, назвав
множество открытым, если оно вместе с каждой своей точкой содер-
кит также r-круг (при достаточно малом г). При таком определении
Еаксиома А выполняется.
!) Хаусдорф [1*], следуя за Вейлем [1*], определяет топологическое про-
пространство не путем выделения открытых множеств, а путем выделения окрест-
рюстей точек; при этом свойства А1; А2, Аз принимаются в качестве аксиом
IXA однако, с тем изменением, что пересечение двух окрестностей только
fwdepjKum окрестность); к ним присоединяется еще „аксиома отделимости",
< которую мы введем позднее. Открытые множества характеризуются тем, что
Ьместе с каждой своей точкой они содержат ее окрестность; они обладают
. тогда свойством А. Для наших целей данное в тексте определение топологи-
топологического пространства является, однако, более удобным.

ГЛ. II. ПОНЯТИЕ РИМАНОВОИ ПОВЕРХНОСТИ
Если в метрическом пространстве R задана некоторая топология,
то топология, определяемая метрикой, вообще говоря, не совпадает
с первоначальной. Необходимым и достаточным условием эквива-
эквивалентности обеих топологий является следующее требование:
Каждое открытое множество (в смысле первоначальной топологии)
должно вместе с каждой своей точкой содержать некоторый круг,
и наоборот, если множество обладает этим свойством, то оно
открыто.
Возникает вопрос, можно ли „метризовать" произвольное тополо-
топологическое пространство, т. е. ввести в нем такую метрику, которая
определяла бы заданную топологию. В общем случае это не так;
однако, как мы увидим позднее (гл. IV), это возможно для римано-
вых поверхностей.
2.5. Индуцированная топология. Пусть снова дано топологиче-
топологическое пространство R. Если R'— подмножество R, то каждому откры-
открытому множеству М из R можно поставить в соответствие пересечение
М' = R'M. Если полученные таким образом в R' множества считать
открытыми (в R'), то аксиома А будет выполняться и все множество
R' будет открытым (в R'). Тем самым R' само станет топологи-
топологическим пространством. Говорят, что R индуцирует топологию в R'.
В частности, если R' — открытое множество в R, то множество
М' из R' тогда и только тогда открыто в R', когда оно открыто в R.
2.6. Дальнейшие основные топологические понятия. Множество
точек V топологического пространства R называется замкнутым,
если его дополнение R — V есть открытое множество. Пересечение
любого числа и соединение конечного числа замкнутых множеств
есть снова замкнутое множество. Все пространство R и пустое мно-
множество одновременно открыты и замкнуты. Каждая точка, не принад-
принадлежащая V, имеет окрестность, не пересекающуюся с V.
Пусть М — произвольное множество точек в R. Точка P?R
называется точкой сгущения множества М, если в каждой ее окрест-
окрестности содержится отличная от Р точка из М. Множество М тогда
и только тогда замкнуто, когда оно содержит все свои точки сгуще-
сгущения. Если к множеству М присоединить все его точки сгущения, то
получится замкнутое множество М — замыкание множества М.
Точка Р из R называется граничной точкой множества М в R,
если в каждой ее окрестности содержатся точки как из М, так
и из R — М. Множество всех граничных точек множества М назы-
называется его границей.
Топологическое пространство называется компактным, если вся-
всякое бесконечное множество его точек имеет по крайней мере одну
точку сгущения. Замкнутое множество точек компактного простран-
пространства с индуцированной топологией само является компактным про-
пространством.

I 1. ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТЙО 51
Бесконечная последовательность точек (Яч) сходится к точке Р,
Р^-*Р, если каждая окрестность точки Р содержит все точки Я„,
начиная с некоторого номера. Ввиду большой общности понятия
окрестности, не исключена возможность того, что последовательность
одновременно сходится ко многим точкам.
2.7. Отображения. Если каждой точке Р топологического про-
пространства R поставлена в соответствие точка Р' топологического
пространства R', то говорят об отображении R в R'; Р' является
образом Р, Р — прообразом Р'. Если при этом каждая точка из R'
является образом некоторой точки, то говорят, что R отображено на R'.
Если, кроме того, различным точкам из R всегда соответствуют раз-
различные точки из R', то отображение называется взаимно однозначным.
Пусть /—отображение R в R' и g—отображение R' в R; тогда
gf является отображением R в себя *). Если это тождественное пре-
преобразование, то отображение / взаимно однозначно и g является
отображением на R. Если и fg—тождество, то /—взаимно одно-
однозначное отображение R на R' и g—его обращение, g^f'1.
\ Отображение R в R' называется непрерывным, если прообраз
^каждого открытого множества из R' является открытым в R. Имеет
^место теорема:
I Отображение R в R' тогда и только тогда непрерывно, когда
| для каждой точки Р ? R и каждой окрестности W образа Р' точки
<Р найдется такая окрестность U точки Р, образ которой лежит в U'.
¦[ Покажем сначала, что это условие выполняется для всякого непре-
непрерывного отображения ». Пусть Р — произвольная точка пространства
¦/?, Р' — ее образ и U' — произвольная окрестность точки Р1. По
^определению непрерывного отображения, множество <p~1(U') является
^-открытым; очевидно, что оно содержит точку Р. Следовательно, оно
t-является окрестностью точки Р. Образ этой окрестности лежит цели-
целинном в W.
| Обратно, пусть выполнено условие теоремы, и пусть М' —
Произвольное открытое множество в R'. Рассмотрим для каждой
|ЗРочки Р'?М' множество ее прообразов f~1(P/). Так как множество
1' является окрестностью для каждой своей точки, то, по предпо-
предположению, для каждой точки Р^<?~1(Р') найдется окрестность Up,
5раз которой лежит целиком в М'. Соединение всех множеств Up,
це Р для каждой Р' пробегает все ее прообразы и Р' пробегает
множество М', есть прообраз множества М'; с другой стороны,
соединение открытых множеств, оно открыто. Тем самым теорема
азана.
1) .Произведение" gf преобразований fug есть преобразование, кото-
| осуществляется последовательным выполнением сначала /, а затем g. —
Црим. перев.
4*

52 ГЛ. II. ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Если М — подмножество R и /— непрерывное отображение R
в R', то для замкнутой оболочки М множества М имеет место со-
соотношение /(Ж)=/(Ж).
В частном случае, когда пространство-образ R' есть комплексная
плоскость <w, говорят о функции f на R. Функция называется непре-
непрерывной, если определяемое ею отображение непрерывно в указанном
выше смысле.
2.8. Пути, области. Под путем в топологическом пространстве
понимают непрерывный образ Р (t) ориентированного отрезка a^.t <^?.
Точка Р(а) называется началом, точка Р(Ь)— концом пути. Про-
Пространство R называется связным, если всякие две его точки можно
соединить некоторым путем.
Областью называется открытое связное множеств точек в R.
2.9 Дальнейшие свойства непрерывных отображений. Пусть
о — непрерывное отображение ограниченного замкнутого множества
(Р) числовой плоскости в топологическое пространство R. Пусть для
каждого образа Р' указана некоторая окрестность Up'. Тогда суще-
существует число 8 >0, удовлетворяющее следующему условию: для каж-
каждой точки Р из (Р) можно найти такую точку Р', что образ 8-окрест-
ности точки Р целиком лежит внутри Uj».
Для доказательства допустим противное, т. е. что для всякого
8„ (8„ -»¦ 0) существует точка - Рч из (Р), 8,,-окрестность которой не
отображается ни в одну из окрестностей Up<. В силу ограничен-
ограниченности и замкнутости (Р), последовательность Pv обладает точкой
сгущения Q в (Р). Пусть Q' —ее образ в R и Uqi— окре-
окрестность Q'. В силу непрерывности отображения <р, существует
окрестность Uq точки Q, «р-образ которой целиком лежит в Uq/.
Так как Q является точкой сгущения для Р,, то существует
настолько большое ч, что 8,-окрестность Pv целиком лежит
в Uq . Тогда образ этой окрестности содержится в окрестности
Uq', что противоречит построению последовательности Р.,. Тем
самым утверждение доказано.
2.10. Пусть в топологическом пространстве R дано открытое
множество точек Жив нем замкнутое множество В. Пусть <р —
снова непрерывное отображение ограниченного замкнутого множе-
множества А числовой плоскости в пространство R. Тогда существует
такое число в > 0, что образ всякого подмножества Ао множе-
множества А лежит целиком в М, если диаметр Ао меньше е и если
образ Ао имеет общую точку с В.
Допустим, наоборот, что для каждого ev>0 (sv-»-0) существует
подмножество Л, с Л диаметра меньше еч, образ которого имеет
общую точку с В и все же не целиком лежит в М. Пусть Pv —

S 1. ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО 53
точка из А„ образ которой принадлежит В. Множество точек Рч
имеет в А точку сгущения Q. Рассмотрим два случая.
1. Если точка Q' = <р (Q) не принадлежит В, то, в силу замкну-
замкнутости В, существует окрестность Uqr точки Q', не пересекающаяся
с В. Далее, в силу непрерывности <р, существует окрестность Uq
точки Q, образ которой лежит целиком в Uq'. Для некоторых доста-
достаточно больших ч множества Л„ содержатся в Uq, следовательно, <р(А.,)
содержатся в Uqi и поэтому не имеют общих точек с В, что про-
противоречит выбору последовательности в„.
2. Если точка Q' = <p(Q) принадлежит В, то М—окрестность Q'.
Поэтому, в силу непрерывности отображения ср, для некоторых доста-
достаточно больших ч множества <p(/4v) лежат в М, что снова противо-
противоречит выбору sv. Тем самым теорема доказана.
2.11. Введение топологии с помощью отображения. Пусть
R—топологическое пространство и <р — однозначное отображение R
на множество R', еще не имеющее топологии. Введем в R' тополо-
топологию, назвав подмножество М' множества R' открытым, если его
прообраз М в R есть открытое множество. Определенные таким
образом открытые множества удовлетворяют аксиоме А, и все мно-
множество R' открыто. Следовательно, R' — топологическое простран-
пространство. Заданное отображение <р есть непрерывное отображение R
на R'.
2.12. Топологические отображения. Пусть R и R' — два топо-
топологических пространства и z — отображение RmR'. Отображение-:
называется топологическим, если оно взаимно однозначно и непре-
непрерывно вместе со своим обращением. При топологическом отображе-
отображении всякое открытое множество пространства R переходит в откры-
открытое множество пространства R', всякое замкнутое множество R —
в замкнутое множество R'¦ Следовательно, свойство множества быть
открытым или замкнутым топологически инвариантно.
Обратно, если взаимно однозначное отображение R на R', так
же как его обращение, переводит открытые множества в открытые,
то это отображение является топологическим.
Два пространства, которые можно топологически отобразить друг
I.-Jlia друга, называются гомеоморфными. Гомеоморфизм есть соот-
соотношение эквивалентности, т. е. он представляет собой рефлексивное,
^^симметричное и транзитивное соотношение. Следовательно, совокуп-
'jjlocTb всех топологических пространств распадается на непересекаю-
непересекающиеся классы гомеоморфных друг другу пространств.
' 2.13. Отождествление. Пусть точки топологического простран-
пространства R разделены на классы (Р) так, что каждая точка принадлежит
одному и только одному классу; назовем точки одного и того же
Класса эквивалентными точками. Образуем новое множество Rv

54 ГЛ. II. ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ
„точками* я = (Р) которого будем считать классы эквивалентных точек
пространства R. Если каждой точке Р ? R мы поставим в соответ-
соответствие ее класс (Р), то этим будет установлено однозначное отобра-
отображение <р пространства R на Rv Поэтому, согласно п. 2.11, Rt можно
превратить в топологическое пространство так, что <р станет непре-
непрерывным отображением R на Rv Говорят, что пространство Rt полу-
получается из R отождествлением эквивалентных точек. По построению
топологии, множество (я) пространства Rt является открытым тогда
и только тогда, когда множество точек R, входящих в классы, при-
принадлежащие множеству (it), открыто в R.
Отображение о, наряду с непрерывностью, обладает еще следую-
следующим свойством: каждое открытое множество пространства R, кото-
которое вместе со всякой своей точкой содержит и все ей эквивалент-
эквивалентные, оно переводит в открытое множество пространства Rv
Пусть теперь, обратно, дано непрерывное отображение <р про-
пространства R на пространство R'. Оно порождает в R разбиение на
классы, состоящие из точек, имеющих один и тот же образ. Отно-
Относительно отображения <р предположим дальше, что каждое открытое
множество пространства R, которое вместе со всякой своей точкой
содержит и все ей эквивалентные (т. е. все точки, имеющие один и
тот же образ), оно переводит в открытое множество пространства R'.
Тогда пространство Rv которое получается из R отождествлением
эквивалентных точек, гомеоморфно R'.
В самом деле, если каждому классу (Р) поставить в соответствие
образ его точек в R', то этим будет установлено взаимно однозначное
отображение т пространства Rx на пространство R'. Это отображе-
отображение вместе со своим обращением непрерывно: если М' — открытое
множество в R', то, в силу непрерывности <р, его прообраз
Ж = <р~1(Л1/) в R есть открытое множество; это множество вместе
с каждой своей точкой содержит и все ей эквивалентные. Поэтому,
по построению топологии пространства Rv прообраз М' в Rv т. е.
множество z~1(Mf), открыто в Rv
Обратно, если М1 — открытое множество в Rv то множество М
точек R, состоящее из всех точек, входящих в классы множества Mv
является открытым и вместе с каждой своей точкой содержит и все
ей эквивалентные. Тогда, по нашему предположению относительно
отображения ©, и множество <р(ЛГ) открыто, но это есть множе-
множество i(MJ.
2.14. Пространство Хаусдорфа. Топологическое пространство
называется хаусдорфовым, если, наряду с аксиомой А, выполняется
следующая введенная Хаусдорфом [1*] аксиома отделимости:
В. У двух различных точек всегда имеются непересекаю-
непересекающиеся окрестности.
Подмножество хаусдорфова пространства с индуцированной топо-
топологией есть снова хаусдорфово пространство.

S 1. ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО 55
Непрерывный образ А замкнутого ограниченного множества А
числовой плоскости в хаусдорфовом пространстве R есть замкнутое
множество, т. е. множество R— А открыто. В самом деле, если
р—точка из R— А и Q — произвольная точка из А, то, по аксиоме
отделимости, существуют непересекающиеся окрестности Up и Uq
соответственно точек Р и Q. В силу непрерывности отображения,
всякий прообраз Q точки Q имеет окрестность Uq-, образ которой
лежит целиком в Uq. По теореме Гейне — Бореля, существует
конечное число окрестностей Uq, покрывающих все множество А ;
следовательно, их образы покрывают все множество А. Пересечение
(конечного числа) соответствующих окрестностей Up есть окрест-
окрестность точки Р, не пересекающаяся с А. Это означает, что множе-
множество R — А открыто, что и требовалось доказать.
2.15. Двумерные многообразия. Понятие хаусдорфова простран-
пространства также является еще слишком общим и допускает осложнения,
которые невозможны в случаях, поддающихся наглядному представ-
представлению. Для целей теории функций нужно ввести дальнейшие огра-
ограничения. Таким сильно ограничивающим условием является требова-
требование, чтобы пространство было локально евклидовым, т. е. чтобы
в окрестности каждой точки оно обладало топологической структу-
структурой, приближающей его к элементарным линейным пространствам
евклидовой геометрии. В интересующем нас двумерном случае это
условие звучит так:
; С. Каждая точка Р пространства R имеет окрестность Кр,
которая (если ее рассматривать как подпространство) гомео-
морфна открытому кругу числовой плоскости.
.,; Связное пространство R, удовлетворяющее аксиомам А, В и С, на-
нарывается двумерным многообразием, или поверхностью1). Если про-
пространство R компактно, то его называют также замкнутой поверх-
^ностью. Окрестность Кр, о которой говорится в аксиоме С, назы-
называется параметрической окрестностью точки Р, а круг-прообраз Кг
|в числовой плоскости — параметрическим кругом. Топологическое
«^отображение рР(/Ср->- Kz) будем коротко называть параметрическим
^Отображением.
Если Р и Q — две точки поверхности, параметрические окрест-
окрестности которых Кр и Kq являются „соседними", т. е. имеют непу-
непустое пересечение, то этому пересечению в параметрических кругах
№г(Р) и Кг(О) соответствуют два открытых множества DZyp и DZt q,
Ш Рлрр1 есть топологическое отображение Dg p на Dg Q, соотноше-
соотношение соседства (Nachbarrelation) окрестностей Кр к Kq.
J) Следует заметить, что аксиома отделимости В из аксиомы С не вы-
вытекает.

56 ГЛ. II. ПОНЯТИЕ РИМАНОВОИ ПОВЕРХНОСТИ
Множество точек М поверхности R открыто тогда и только
тогда, когда вместе с каждой своей точкой Р оно содержит ее
окрестность относительно параметрической окрестности Кр.
Поверхность R называется ориентируемой, если параметрические
отображения можно выбрать так, чтобы все соотношения соседства
были отображениями, сохраняющими ориентацию1).
Подобласть О поверхности R есть снова поверхность.
2.16. Теперь мы, обратно, покажем, что множество R,
которое еще не имеет топологии, но для точек которого указаны
„параметрические окрестности" с топологическими „соотношениями
соседства", можно превратить в топологическое пространство, удо-
удовлетворяющее аксиомам А и С, перенося топологию этих парамет-
параметрических окрестностей на все множество R.
Пусть R — множество точек, и пусть каждой точке Р поставлено
в соответствие подмножество 7р(Р?Гр), которое содержит точку Р
и с помощью отображения рр может быть взаимно однозначно ото-
отображено на круг Кг(Р). Относительно этих отображений мы пред-
предполагаем следующее: если два подмножества 7> и Tq имеют непу-
непустое пересечение D, то в кругах Кг(Р) и KZ(Q) ему соответствуют
открытые множества Dg р и Dt q соответственно, а РоРр1 есть
топологическое отображение Dz< р на DZt g.
Теперь мы сначала превратим в топологическое пространство каждое
подмножество Тр, перенося на него с помощью отображения р^1
топологию соответствующего круга; тогда рр станет топологическим
отображением Тр на Кг(Р). Пересечение D = TpTq подмножеств ТР
и Tq, как образ DStp, соответственно Ds> q, является открытым мно-
множеством как в Тр, так и в Tq.
Если теперь А—-открытое множество в Тр и В — открытое мно-
множество в Tq, то пересечение АВ открыто в Тр (также и в Tq).
Действительно, так как А открыто в 7>, то AD открыто в D; точно
так же BD открыто в D, следовательно, и пересечение (AD)(BD)—
= АВ; так как D само открыто в Тр, то АВ открыто в Тр.
2.17. Теперь уже все множество R можно превратить в тополо-
топологическое пространство. Для этого подмножество М множества R
назовем открытым в R, если для каждой точки Q?M пересечение
MTq открыто в Tq. Определенные таким образом открытые множе-
множества, очевидно, удовлетворяют аксиоме А; следовательно, R стано-
становится топологическим пространством.
!) Это определение имеет смысл, так как соотношения соседства
являются топологическими отображениями областей г-плоскости; элементар-
элементарное понятие отображения, сохраняющего ориентацию, для числовой пло-
плоскости предполагается известным (Александров и Хопф [1*], XII, § 2).

Я 1. ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО 57
В определенной таким образом топологии R отмеченные подмно-
подмножества ТР открыты; действительно, если Q — произвольная точка Тр,
то, как показано выше, пересечение TpTq открыто в Tq. Отсюда
вытекает, что топология, индуцируемая в Тр пространством R, совпа-
совпадает с уже имеющейся там топологией, ибо, согласно п. 2.5, под-
подмножество множества Тр открыто относительно R тогда и только
тогда, когда оно открыто относительно Тр. Итак, каждая точка P?R
обладает окрестностью Тр, которая (с индуцированной топологией)
гомеоморфна кругу. Следовательно, пространство R удовлетворяет
аксиоме С.
2.18. Аксиома счетности. Согласно определению, двумерное
многообразие может быть покрыто системой параметрических окре-
окрестностей. Возникает важный вопрос, не может ли многообразие быть
покрыто уже счетным числом параметрических окрестностей. Радо
[1] показал, что для произвольных двумерных многообразий это
в общем случае не обязательно.
Доказывается это построением соответствующих противоречащих
примеров. Такой восходящий к Прюферу пример, указанный Радо1),
поучительный также с точки зрения теории конформных отображений,
будет (в несколько измененном виде) рассмотрен в одном из ближай-
ближайших пунктов (п. 2.21).
В этой главе мы впредь будем рассматривать только такие по-
поверхности, которые обладают указанным свойством, и введем его как
добавочное требование, как „аксиому счетности".
D. Существует счетное число параметрических окрестностей,
покрывающих все многообразие.
Многообразие, которое удовлетворяет этой аксиоме и сверх того
компактно, допускает покрытие даже конечным числом параметри-
параметрических окрестностей 2).
2.19. На двумерном многообразии R, удовлетворяющем аксиоме
счетности, всякое несчетное множество точек (Р) имеет точку сгуще-
сгущения. В самом деле, если (К,,) — система покрывающих R параметри-
параметрических окрестностей, то по крайней мере в одной из них должно
находиться несчетное множество точек множества (Р). Эта параме-
параметрическая окрестность допускает покрытие счетным числом компакт-
1 ных множеств; в одном из них должно находиться бесконечно много
-точек множества (Р), а потому и точка их сгущения.
Ь;; 2.20. Критерий свойства счетности. В гл. IV мы покажем, что
УКаждая риманова поверхность обладает свойством счетности (теорема
!) См. Радо [1].
2) См. Александров и Хопф [1*], II, § 1, теорема V. [или П. С. Але-
Александров [2**], Прибавление к гл. VII. — Прим. перев.] .

58 гл. п. понятие римановой поверхности
Радо [1]). В качестве некоторой подготовки к этому докажем сле-
следующую общую теорему (Александров и Хопф [1*], I, § 7, теорема IV1)).
Метризуемая поверхность R, на которой существует счет-
счетное всюду плотное множество точек, допускает покрытие счет-
счетным числом параметрических окрестностей.
Доказательство. Пусть Р — произвольная точка поверх-
поверхности R и К(Р, г) есть r-круг с центром в Я в смысле метрики
(см. п. 2.4). Рассмотрим множество чисел (г), для которых круг К{Р, г)
допускает покрытие счетным числом параметрических кругов. Оно
не пусто, ибо для достаточно малого г круг К(Р, г) лежит в пара-
параметрической окрестности точки Р. Далее, множество (г) вместе
с каждым числом г содержит и все меньшие положительные числа.
Пусть г—верхняя грань множества (г). Тогда еще и „максимальный"
круг Кр = К(Р, г) допускает покрытие счетным числом параметри-
параметрических окрестностей. Действительно, существует такая последова-
последовательность г„ -> г, что это верно для каждого круга К(Р, а\)> следо-
следовательно, и для их соединения; но это и есть Кр-
Итак, достаточно показать, что поверхность R может быть покрыта
счетным числом „максимальных" кругов. Для этого рассмотрим
сначала фиксированный круг КР = К(Р, гр) и точку Q?Kp. Тогда
PQ<rp, так что разность р = Гр— PQ положительна. Из нера-
неравенства треугольника следует, что р-круг с центром в Q лежит в Кр. Сле-
Следовательно, он может быть покрыт счетным числом параметрических
кругов, и поэтому соответствующий Q максимальный радиус г„ больше
или равен р. Следовательно, для каждой точки Q^,KP выполняется
неравенство
Пусть теперь (Рч) — счетное всюду плотное множество точек на R.
Каждой точке Рч соответствует максимальный круг Крг Эти круги
(их счетное число) покрывают всю поверхность R. В самом деле,
если Р — произвольная точка на У? и гр — соответствующий макси-
максимальный радиус, то существует такая точка Рч, что РР^ < гр/2.
Тогда, в силу предыдущего неравенства, для ее максимального
радиуса гр имеем гр > гр/2, т. е. Р лежит в Кр . Тем самым
теорема доказана.
2.21. Пример Прюфера. Чтобы показать, что для некоторого
двумерного многообразия не выполняется аксиома счетности, доста-
достаточно, согласно п. 2.19, указать на этом многообразии несчетное
множество точек, не имеющее точек сгущения.
1) Или П. С. Александров [1**], гл. I, B:36).—Драл, перев.

S 1. ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО
59
Заметив это, проделаем теперь следующее построение1). Рассмотрим
левый полукруг Н(х< 0) единичного круга |z|< 1 и отобразим
его топологически на полный единичный круг ^-плоскости по следую-
следующему правилу, в качестве образа t — v(z) точки z нужно взять ту
точку t на дуге окружности, определяемой точками +1, z, —1,
для которой дуга (— 1, t) в два раза длиннее дуги (— 1, z) (фиг. 3).
Пусть теперь а — число из интервала 0 <! а < 2тс; каждому а поста-
поставим в соответствие круг Кл: \ гл | < 1 г„-плоскости. Преобразованием
полукруг
ный круг
, |г„|< 1) топологически отображается на пол-
полПри этом диаметр xe = 0, |.y«|<l переходит
Фиг. 3.
в единственную точку / —е**, а полуокружность ха^0, |z.|=l —
в окружность | ? | = 1.
Для двух произвольных значений ах и а2 условимся считать экви-
эквивалентными те точки zai и z4 полукругов Нч и Н^, которым соот-
соответствует одно и то же значение t, в то время как точки правых
полукругов хл !> 0, | гл | < 1 будем считать эквивалентными только
самим себе.
Если в системе кругов Кл @ ^ а < 2тг) отождествить определен-
определенные таким образом эквивалентные точки, то, согласно п. 2.13, полу-
получится топологическое пространство R, удовлетворяющее аксиоме А2).
Мы покажем, что R удовлетворяет также аксиомам В и С и, следо-
следовательно, является поверхностью.
Сначала мы покажем, что каждая „точка" пространства R обладает
окрестностью, гомеоморфной кругу. Для точек открытого пра-
правого полукруга это ясно непосредственно. Пусть, далее, z°a — точка
1) Оно является простым видоизменением построения Прюфера — Радо
(см. Радо [1]).
а) Отождествление обеспечивает связность поверхности, которую мы
строим.

60 ГЛ. II. ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ
открытого левого полукруга Нл. В каждом полукруге Щ ей соответствует
ровно одна эквивалентная точка z\. При этом z? представляет „точку"
^@<"с< 2л). Пусть &a(|za—2j|< р)—круг с центром в z\, лежа-
лежащий целиком в полукруге Нл. Тогда каждой точке za из ka в каждом
полукруге Я? @ ^ р < 2тг) соответствует эквивалентная точка z? и
множество точек Zp для фиксированного C и za, пробегающих &„,
открыто в Н$. По построению топологии в R (ср. п. 2.13), это озна-
означает, что множество „точек", представленное точками из кл, открыто.
Следовательно, это множество представляет собой окрестность „точки"
zj), гомеоморфную кругу: если каждой „точке", т. е. классу, поста-
поставить в соответствие ее представителя в кл, то будем иметь топологи-
топологическое отображение этой окрестности на круг кл.
Если, наконец, z° — точка диаметра ха = 0, |_У„|<1> то снова
рассмотрим круг \za-—2°|< р; тогда точки полукруга \гл — z°|<p,
xt~^>0 вместе с классами эквивалентных точек полукруга \гл— гЦ < р,
х% <С 0 образуют окрестность точки z°, гомеоморфную кругу1).
Пространство R удовлетворяет также аксиоме отделимости. Это
непосредственно ясно для двух точек открытого правого полукруга.
Пусть теперь z\ и г\ —две точки двух левых открытых полукругов
Яа1 и Нч. Мы можем считать, что л^Фа^, иначе можно было бы
непосредственно указать непересекающиеся окрестности. Если z\ и z\
представляют различные точки пространства R, то t(zl)=fct(z2). Если
z\—эквивалентная z\ точка полукруга На , то t(z\) — t(z2a), следо-
следовательно, t(z2a) ф t(z\). Поэтому z\ и z\ можно заключить в столь
малые кружки Kt и К2, что ни одна точка из А^ не будет эквива-
эквивалентна никакой точке из Кг Тем самым эти кружки будут представ-
представлять непересекающиеся окрестности „точек" (г*) и (z\^.
Если, далее, z\ и z\ —точки соответственно диаметров ха =0,
\уЛ1 | < 1 и хЛ1 = 0, l^e, | < 1, то в случае ах — а2 они заведомо имеют
непересекающиеся окрестности; если же а1фа2, то рассматриваем
функцию t = e{«<f (za) в „полузамкнутом" полукруге х^ < 0, | г„ | < 1.
Для хЛ = 0 она имеет значение е1", поэтому t BУ)Фг{г\), и непересекаю-
непересекающиеся окрестности строятся, как во втором случае. Так же находим непе-
непересекающиеся окрестности для точки диаметра ха1 = 0, |^«J<1 и
точки левого полукруга хч < 0.
!) Пространство R можно считать состоящим из полукругов |гя|<1,
лга>0 и круга |f|<l. Для точек z\ диаметра хЛ = 0, |yj<l окрестность
определяется как совокупность точек za, \гя — z°a |< р, хЛ >0 и множества
точек t, соответствующих открытому полукругу \гЛ — г^|<р, ^„^О при
отображении t = e*°<t (гЛ). Для остальных точек R окрестность определяется
как обычная окрестность. — Прим. перев.

§ 1. ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО 61
Тем самым показано, что пространство R удовлетворяет аксио-
аксиомам А, В и С. Так как, далее, очевидно, что всякие две точки из R
можно соединить путем, лежащим в R, то R также и связно и потому
является двумерным многообразием. На этом многообразии суще-
существуют несчетные множества точек, не имеющие точек сгущения,
например множество точек гл = 1/2 @ ^ а < 2те). Поэтому много-
многообразие R не удовлетворяет аксиоме счетности*).
2.22. Римановы поверхности. Рассмотренные в гл. I „римановы
поверхности" являются, согласно п. 2.2, двумерными многообразиями.
Аксиомы А и В, очевидно, выполняются, и то же самое можно
сказать об аксиоме С, так как введенные в п. 2.2 „круговые окрест-
окрестности" гомеоморфны „кругам проекций" плоскости г. Но эти „римановы
поверхности" Rz и Rw (и, в частности, г-плоскость), помимо своих
топологических свойств, обладают еще некоторыми более специаль-
специальными свойствами метрического характера, связанными с наложением
ограничений на рассмотренные выше соотношения соседства. Эти
ограничения вызываются требованием, чтобы на римановой поверхности
можно было определять аналитические функции.
Пусть R — двумерное многообразие и (К) — система его пара-
параметрических окрестностей. Пусть, далее, на множестве точек М
многообразия R определена функция f(P): для каждой точки Р?М
задано число /(Р) (действительное или комплексное). Этой функции
соответствуют в параметрических кругах К некоторые „элементы",
которые в эквивалентных точках принимают равные значения. Если
теперь „соотношение соседства" является только топологическим, то
в общем случае не имеет никакого смысла говорить о дифферен-
дифференциальных свойствах функции /(Р). Действительно, если элемент
функции f(z) и дифференцируем по соответствующим переменным
х и у (z = x~\-iy), то по отношению к другому параметру это может
уже не иметь места, если только соотношение соседства не диффе-
дифференцируемо.
2.23. Еще больше требуется для того, чтобы на R имела смысл
аналитичность комплекснозначной функции /(Р). Это свойство сохра-
сохраняется только при аналитических преобразованиях параметров,
и поэтому для функции на R оно имеет смысл только тогда, когда
соотношения соседства являются аналитическими, следовательно,
когда они представляют собой не только топологические, но и кон-
конформные отображения. Это оправдывает введение следующего опре-
определения:
¦.; !) Обобщение примера Прюфера на многообразия произвольной четной
размерности см. в работе Calabi, Rosenlicht, Proc. Amer. Math. Soc,
,4, № 3, 335—340 A953) (P. Ж. .Математика", 1944, № 9, рец. № 4795).—
Прим. перев.

62 гЯ. и. понятие римановой Поверхности ^
Риманова поверхность есть двумерное многообразие, соотно-
соотношения соседства которого являются конформными отображениями
1-го рода.
Так как соотношения соседства римановой поверхности, как кон-
конформные отображения 1-го рода, сохраняют ориентацию, то рима-
новы поверхности всегда ориентируемы.
Комплексная z-плоскость и всякая область г-плоскости являются
римановыми поверхностями. В качестве параметра можно для них
взять само г; соотношения соседства задаются тогда просто тождест-
тождеством или преобразованием w—1/z (для окрестности точки г = оо).
Однозначное отображение римановой поверхности R на риманову
поверхность R' называется конформным в точке Р ? R, если соответ-
соответствующее отображение параметрического круга конформно в точке Рг,
В силу конформности соотношений соседства, это определение имеет
смысл, не зависящий от выбора параметрической окрестности.
Две римановы поверхности называются конформно эквивалент-
эквивалентными, если можно одну из них топологически и конформно отобра-
отобразить на другую.
2.24. Понятие римановой поверхности, которое Риман ввел в связи
со своим открывшим новые пути исследованием по алгебраическим
функциям и их интегралам, имело фундаментальное значение для
всего развития геометрической теории функций и топологии. Разви-
Развитию теории конформных отображений поверхностей содействовали
прежде всего исследования Шварца, Неймана, Клейна, Пуанкаре,
Гильберта, Кёбе, Каратеодори и Куранта. В основоположном труде
Вейля „Идея римановой поверхности" [1*] впервые было дано понятие
абстрактной поверхности1). Новейшее развитие топологии позволило
выкристаллизовать 'это понятие в окончательном виде. Здесь прежде
всего следует назвать замечательную во многих отношениях работу
Радо [1], в которой тополого-метрические свойства римановых поверх-
поверхностей были с исчерпывающей ясностью сформулированы без исполь-
использования понятия аналитического образа.
2.25. Свойство счетности римановых поверхностей. Радо [1]
показал, что ак?иома счетности выполняется для каждой римановой
поверхности. Доказательство этого утверждения требует углубленного
анализа; мы проведем доказательство в гл. IV с помощью некоторых
теорем существования из теории потенциала2).
1) У Вейля [1*] риманова поверхность вводится с помощью понятия
аналитического образа (ср. с этим рассмотрения п. 2.2, которые отличаются
от рассмотрений Вейля только тем, что у нас подчеркнуто свойство поверх-
поверхности быть поверхностью наложения г-плоскости, что нецелесообразно
при абсолютном определении поверхности по Вейлю, при котором имеют дело
с произвольными униформизирующими параметрами).
2) У Радо [1] доказательство дается как следствие теоремы об унифор-
мизации.

;; i 2. группы гомологии 63
f Как заметил Радо, в примере Прюфера решающим моментом
*- является то, что в соотношениях эквивалентности, связывающих полу-
полукруги топологически (и даже неограниченно дифференцируемо) между
;' собой, граничный диаметр переходит в одну граничную точку. Такое
явление, как известно, невозможно при конформном отображении
. внутренности полукруга. Поэтому невозможно найти подобный пример
для римановой поверхности.
§ 2. ГРУППЫ ГОМОЛОГИИ
2.26. Прямолинейные симплексы. Под прямолинейным двумер-
g ним симплексом, или, короче, 2-симплексом (PQR) числовой плос-
плоскости понимают замкнутый треугольник с вершинами Р, Q, R. Ориен-
**' тация такого 2-симплекса устанавливается путем указания порядка
следования его вершин. Две ориентации 2-симплекса рассматриваются
I как одинаковые, если оба порядка следования вершин можно пере-
перевести друг в друга с помощью четного числа перестановок. Поэтому
2-симплекс может иметь только две ориентации.
Прямолинейный одномерный симплекс, или, короче, 1-симплекс
/числовой плоскости есть замкнутый отрезок (PQ). Он ориентируется
¦указанием того, какая из двух граничных точек принимается за начало
'••1 -симплекса и какая — за конец.
Ориентированные симплексы мы обозначаем фигурными скобками,
•например {PQR} и {PQ}- Ориентированный 2-симплекс {PQR} порож-
порождает определенные ориентации на его сторонах, именно, {PQ}, {QR}
"*и {RP}, называемые ориентациями, индуцированными симплексом
*{PQR].
} Полноты ради вводят еще О-симплекс, под которым понимают
|гочку. О-симплекс не ориентируется.
it-
2.27. Особые симплексы. Пусть 'ак (где k имеет одно из значе-
ий 0, 1 или 2) —прямолинейный симплекс числовой плоскости и
-такое непрерывное отображение '<зк в поверхность R, что /('о*)
|ржит целиком в некоторой параметрической окрестности. Множество
H /('ofe) называется особым k-симплексом. Два особых &-симп-
кса равны, если они заполняют на R одно и то же множество
Ьчек и если их симплексы-прообразы можно отобразить друг на
вуга аффинно так, что» соответствующим точкам обоих симплексов
вечаетна /?одна и та же точка. Согласно п. 2.14, fc-симплекс замкнут.
Особый 2-симплекс определяет три особых 1-симплекса — образы
орон симплекса-прообраза. Они называются сторонами особого
римплекса. Вершинами особого 2-симплекса, соответственно 1-сим-
&кса, называются О-симплексы, в которые переходят вершины
еугольника-прообраза, соответственно концы отрезка-прообраза.
ЦТ Ориентированный особый й-симплекс (k= 1, 2) есть непрерыв-
ай образ ориентированного ^-симплекса числовой плоскости. Два

64 ГЛ. II. ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ
ориентированных особых fc-симплекса, которые на R заполняют одно
и то же множество точек, считаются равными, если их симплексы-
прообразы можно отобразить друг на друга аффинно с сохранением
ориентации так, что соответствующим точкам обоих симплексов отве-
отвечает на R одна и та же точка. Не исключено, что особый симплекс ак
может быть равен своему противоположно ориентированному. Это
имеет место тогда, когда симплекс-прообраз можно отобразить на
самого себя аффинно и с изменением ориентации так, что на о*
соответствующим точкам будет отвечать одна и та же точка. Сим-
Симплекс ак называется тогда вырожденным.
Если на сторонах симплекса-прообраза 'а2 взять ориентацию,
индуцированную 'о2, и перенести ее с помощью соответствующего 'о2
отображения в R, то стороны симплекса а2 получат определенные
ориентации, индуцированные о2.
2.28. Особые цепи. Рассмотрим множество особых А-симплексов.
Особой k-цепью (& = 0, 1, 2) называется целочисленная функция на
этом множестве: каждому особому ^-симплексу она ставит в соот-
соответствие целое число (положительное, отрицательное или нуль).
При этом противоположно ориентированным симплексам должны соот-
соответствовать противоположные целые числа; отсюда, в частности, сле-
следует, что для каждого вырожденного симплекса значение функции
равно нулю. Мы будем рассматривать только конечные особые цепи,
т. е. такие, в которых только конечному числу симплексов соответ-
соответствуют отличные от нуля значения функции.
Две особые А-цепи считаются равными, если каждому особому
^-симплексу они ставят в соответствие одно и то же целое число.
Суммой ак-\-$к двух особых &-цепей а* и $к называют особую
ft-цепь, которая каждому ^-симплексу ставит в соответствие сумму
соответствующих ему значений функций ак и р*. Это снова конечная
особая &-цепь. Благодаря этому определению, множество всех &-цепей
(при фиксированном ft) становится абелевой группой Ск. Нулевым
элементом будет цепь, которая каждому ^-симплексу ставит в соот-
соответствие число нуль. Обратным к <хк элементом является цепь — ак,
которая каждому симплексу ставит в соответствие число, противо-
противоположное соответствующему ему числу в ак. Если т — натуральное
число, то так означает сумму т цепей, каждая из которых есть а*.
Каждому невырожденному ^-симплексу, о* можно взаимно одно-
однозначно поставить в соответствие ту особую &-цепь (о*), которая
на о* имеет значение -)-1, на противоположно ориентированном сим-
симплексе zh значение —1 и на всех остальных й-симплексах — значение
нуль. Противоположно ориентированному симплексу о* соответствует
тогда цепь —(рк). В дальнейшем мы каждый симплекс <зк отожде-
отождествляем с соответствующей цепью (а*). Поэтому мы будем писать —з*
вместо з*. Каждую особую &-цепь ак теперь можно записать в виде

I 2. ГРУППЫ ГОМОЛОГИИ 65
суммы
9/ ¦ к
[где ач — значение функции, соответствующее симплексу о".
,к
2.29. Границы, циклы. Под границей до2 ориентированного осо-
особого 2-симплекса о2 = {PQR} понимают 1-цепь, образованную его
сторонами с индуцированными ориентациями:
B.1)
где s, = 1 или = 0, в зависимости от того, является ли соответ-
соответствующий 1-симплекс невырожденным или вырожденным1)..
! Граница ориентированного 1-симплекса о1 = {PQ} есть 0-цепь
-^ da1 = Q — P. B.2)
Тс *ЧП Тс
Граница особой А-цепи а = 2j а-»°ч (? = 1,2) определяется
линейно: да? = 2ач^°» (k=\, 2). Отсюда непосредственно следует,
что
d(aurfc $k) = dak±zd$k. B.3)
Л-цепь ак (& = 1, 2) называется замкнутой, или k-циклом, если
ее граница является нулевой (А—1)-цепью. Каждая 0-цепь считается
[замкнутой по определению. &-циклы (k=l, 2) образуют подгруппу
:Zk группы С*.
А-цепь а* (А = 0, 1) называется гомологичной нулю, ай~-'0, если
"Она является границей особой (&-}-1)-цепи. 2-цепь по определению
называется гомологичной нулю, если она есть нулевая цепь.
Граница особой 2-цепи всегда есть цикл. Чтобы в этом убедиться,
достаточно, учитывая линейность граничного оператора, показать, что
;ля особого 2-симплекса справедливо соотношение <?<?з2 = 0. Согласно
2.1) и B.2),
i Если здесь 81 = ва = в3== 1, то очевидно, что &Ь2 = 0. Если,
тример, 6t = 0, вд = е3 = 1, то симплекс {PQ\ вырожденный, по-
•ому Q = P и снова ддз2 = 0. Если, наконец, Sj = 1, 82 = 83 = 0,
N симплексы {QR} и {RP} — вырожденные, поэтому Q = R, R = P,
едовательно, dd&=-Q — Р = 0. Таким образом, показано, что для
)бой 2-цепи
.'• ¦ дда* = 0.
;¦ !) Среди этих 1-симплексов могут быть вырожденные, даже если сим-
,|екс о2 невырожденный.
ff 5 Зак. 295. Р. Неванлинна

66 ГЛ. И. ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Поэтому гомологичная нулю 1-цепь всегда есть 1-цикл. Далее,
каждая гомологичная нулю 0-цепь, как всякая О-цепь, есть 0-цикл.
Тем самым гомологичные нулю й-цепи (k = 0,1) образуют подмно-
подмножество множества k-циклов. Это подмножество является даже под-
подгруппой Rk группы циклов Zk, так как, в силу B.3), сумма и раз-
разность гомологичных нулю цепей снова гомологична нулю.
2.30. Группы гомологии. Два особых &-цикла z\ и z\(k = 0, 1, 2)
называются гомологичными,
z\ ~ г\,
если их разность гомологична нулю. Из z\ — z\ и z\ — z\ следует,
что z\~z\. Так как гомология является, таким образом, соотноше-
соотношением эквивалентности, т. е. она рефлексивна, симметрична и транзи-
тивна, то она определяет разбиение всех ^-циклов на непересекаю-
непересекающиеся классы гомологичных циклов, k-мерные классы гомологии.
В частности, такой класс образуют гомологичные нулю циклы.
Совокупность k-мерных классов гомологии (для фиксированного k)
можно сделать группой, k-мерной группой гомологии Нк, ставя в соот-
соответствие каждой паре классов (zk) и (г*) в качестве суммы третий
класс гомологии, определяемый следующим образом: если z\ — цикл
из (г\) и z\ — цикл из (zk), то цикл г\-\-г\ входит в определенный
класс, который не зависит от представителей z*f и z\, а зависит
только от классов (zk) и (гф; этот класс и называется суммой
Если (гк)— класс гомологичных нулю циклов, то для каждого
класса гк справедливо соотношение
(**) + (*$) =
Таким образом, (z*j) играет роль нулевого элемента. Далее, каждый
класс (гк) имеет обратный, а именно класс, представляемый —гк.
Следовательно, операция сложения действительно удовлетворяет груп-
групповым аксиомам.
На языке теории групп можно сказать, что группа гомологии Нк
является фактор-группой группы циклов Zk по. подгруппе Rk гомо-
гомологичных нулю А-цепей, и поэтому она обозначается через ZkjRk.
2.31. Топологическая инвариантность групп гомологии. Если
/—непрерывное отображение поверхности R в поверхность R', то
каждой особой цепи 2 а->^ на R соответствует цепь 2 a->f(°*) на R'.
При этом цикл на R переходит в цикл на R' и гомологичная нулю
цепь на R переходит в гомологичную нулю цепь на /?'. Поэтому

§ 3. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА 67
отображение / определяет гомоморфное отображение h группы гомо-
гомологии Нк поверхности R в группу гомологии 'Нк на Rf. Если, в част-
частности, /—топологическое отображение R на R', то его обращение
определяет аналогично гомоморфизм h' группы '№ в группу №.
Тогда h'h переводит классы гомологии из Нк в себя и, следовательно,
это тождество. Точно так же hh' оставляет инвариантным каждый
класс из 'Нк\ отсюда вытекает, что h есть изоморфное отображение
группы Нк на группу 'Нк. Следовательно, гомеоморфные поверхности
имеют изоморфные группы гомологии.
§ 3. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА
2.32. Пути. Пусть w = А В— ориентированный отрезок числовой
плоскости и <р — непрерывное отображение w в поверхность/?. Мно-
Множество te/ = <p('te') называется путем на R (ср. п. 2.8). Точка
А = <в(А) — начало, точка В = со (Я)— конец пути.
Два пути y(w) и 91('ш1) считается равными, если они со-
составляют на R одно и то же множество точек и если отрезки-про-
отрезки-прообразы можно так топологически и с сохранением ориентации ото-
отобразить друг на друга, чтобы соответствующие друг другу точки
отвечали одной и той же точке на R 1). Следовательно, в частности,
равные пути имеют одно и то же начало и один и тот же ко-
конец. Путь называется замкнутым, если его начало и конец совпа-
совпадают. Не исключено, что отрезок-прообраз переходит в единственную
точку, точечный путь.
Если и — путь, ведущий из Р в Q, и v — путь, ведущий из Q
в R, то, располагая соответствующие им отрезки друг за другом и
отображая полученный отрезок с помощью и тл v, получим путь, ве-
ведущий из Р в R. Он называется произведением путей они обо-
обозначается через uv. Обратный путь w~x к пути w получается, если
соответствующий w отрезок-прообраз переориентировать и затем
снова отобразить как раньше. Обратный путь к произведению uv
'есть v~1u~1.
; 2.33. Деформация путей. Два пути <o(w) и ty(w) с одним
•и тем же началом А и одним и тем же концом В называются гомо-
[Шопными, если существует такое непрерывное семейство непрерыв-
непрерывных отображений vt(w) @^.t^.\) отрезка-прообраза w=AB в по-
поверхность R, что «РоО^О — <?(w), q>1(w)=ty(w) и <pt(A)=A, <at{B)=-B
Аля каждого t @<;^<; 1). Если в качестве прообраза пути со* вместо
отрезка w взять параллельный ему отрезок на расстоянии t, то семейство
отображений <pt можно рассматривать как непрерывное отображение в
поверхность R прямоугольника с основанием w и высотой, равной
1) Отметим различие с определением равенства 1-симплексов.
5*

ГЛ. П. ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ
единице, называемого прямоугольником деформации. При этом w
и противоположное ему основание прямоугольника переходят соответ-
соответственно в пути <d(w) и ty(w), в то время как боковые его стороны
переходят соответственно в начало и в конец этих путей.
Если путь и гомотопен пути оно гомотопен w, то и гомотопен w.
Если и, v гомотопны соответственно и'', v' и конец пути и совпадает
с началом пути v, то путь uv гомотопен u'i/. Если в произведении
uv один из множителей есть точечный путь, то произведение гомо-
гомотопно другому множителю. L>
Замкнутый путь называется гомотопным нулю, если он гомото-
гомотопен своему началу (рассматриваемому как точечный путь). Каждое
произведение ww1 гомотопно нулю.
2.34. Классы путей. Фундаментальная группа. Так как гомо-
топия рефлексивна, симметрична и транзитивна, то она определяет
разбиение всех путей, соединяющих друг с другом две фиксирован-
фиксированные точки, на классы гомотопных путей. Рассмотрим, в частности,
замкнутые пути на R, выходящие из фиксированной точки О. Они
распадаются на непересекающиеся классы гомотопных путей. Один
из этих классов образуют пути, гомотопные нулю.
Для этих классов путей следующим образом вводится умножение:
двум классам (и) и (v) ставится в соответствие в качестве произве-
произведения класс пути uv. Класс (uv) не зависит от частного выбора пу-
путей и и v, он зависит только от классов (и) и (v).
Определенное таким образом умножение удовлетворяет групповым
аксиомам: класс гомотопных нулю путей играет при этом роль еди-
единичного элемента, и каждый класс (и) имеет обратный к нему класс,
а именно класс, определяемый путем и~х. Таким образом, классы
замкнутых путей, выходящих из точки О, образуют группу Fo.
Если вместо О взять в качестве начальной точки замкнутых
путей точку О', то аналогично получим группу /V- Покажем, что
группы Fo и Fo' изоморфны. Для этого соединим точки О и О'
произвольным путем / и каждому выходящему из О замкнутому пути w
поставим в соответствие замкнутый путь 1~1гш1, выходящий из О'.
Если w и wt — два гомотопных пути, выходящих из О, то и пути
l~lrwl, l-^wj. гомотопны. Следовательно, каждому классу путей из Fo
соответствует класс путей из Fo». При этом каждый класс из Fo'
является образом класса из Fo- В самом деле, если (wr) — произ-
произвольный класс из Fo', то путь w' гомотопен пути l~xlwЧ~Ч=
= l~1(lwrl~1)l, который является образом пути Iw'h1. Далее, при
нашем отображении произведение классов переходит в произведение
классов, являющихся их образами. Действительно, если и — путь из
(и) и v — путь из (v), то произведению иг» соответствует путь l~xuvl,
гомотопный (/~1a/)(/-1o/). Следовательно, мы имеем гомоморфное
отображение Fo на /V-

I 3. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА 69
Кроме того, это отображение взаимно однозначно. В самом деле,
если образы /-%/, l^wj двух путей w, w1 гомотопны, то, умно-
5-зкая эти образы слева на / и справа на /-1, получаем, что и w, w1
.^гомотопны. Следовательно, различные классы путей переходят в
^различные классы. Поэтому гомоморфизм Fo-^Fo1 является изомор-
изоморфизмом.
|; Группа F = Fo, которая с точностью до изоморфизма не зависит
от выбора точки О, называется фундаментальной группой поверх-
поверхности R.
В общем случае фундаментальная группа не абелева. Например,
как будет выяснено в п. 3.24, фундаментальная группа плоскости
с двумя выколотыми точками является свободной группой с двумя
образующими *).
Если группа F тривиальна 2), то поверхность R называется одно-
связной. Например, поверхность сферы и числовая плоскость одно-
связны. Можно показать, что это единственные односвязные поверх-
поверхности 8).
2.35. Топологическая инвариантность фундаментальной группы.
*5сли <р — непрерывное отображение поверхности R в поверхность/?',
-о оно каждый путь w на R переводит в путь ч/ на /?', причем
ivth, гомотопные на R, — в пути, гомотопные на R'. Поэтому ото-
>ражение <р осуществляет гомоморфное отображение h фундаменталь-
юй группы F поверхности R в фундаментальную группу Fr поверх-
поверхности /?'. Если отображение <о — топологическое, то обратное
отображение определяет аналогично гомоморфное отображение п'
группы F' в F. Последнее является обращением первого, ибо
произведение h'h переводит каждый класс путей на F в себя.
Точно так же hh' сохраняет классы путей на F'. Отсюда следует,
что h есть изоморфное отображение F на всю группу F'. Следова-
Следовательно, гомеоморфные поверхности имеют изоморфные фундаменталь-
фундаментальные группы.
- 2.36. Связь между фундаментальной группой и одномерной
группой гомологии. Каждому замкнутому пути w на поверхности R
Тожно поставить в соответствие особый 1-цикл г1, разбивая для этого
произвольно отрезок-прообраз пути w на конечное число настолько
|елких частей, чтобы образ каждой из них лежал целиком в одной
*|: 1) Имеется в виду числовая плоскость, не включающая бесконечно уда-
рную точку, следовательно, рассматриваемая область трехсвязна. Для дву-
йзной области фундаментальная группа изоморфна бесконечной цикличе-
Jbft группе. — Прим. перев.
ff.-.8) То есть все замкнутые пути на F гомотопны нулю. —Прим. перев.
! 8) Для римановых поверхностей это непосредственно следует из тео-
Римана (гл. VI). Отсюда, согласно п. 2.90, та же теорема получается,
ебо, для каждой ориентируемой триангулируемой поверхности.

70 ГЛ. II. ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ
параметрической окрестности, и переводя их в поверхность /?
с помощью определяющего w отображения. Цикл г1 не определяется
однозначно путем w, поскольку он зависит от способа разбиения
отрезка-прообраза, однако класс гомологии определяется однозначно.
Мы покажем, что вообще два цикла z\ и z\, принадлежащие двум
гомотопным путям w1 и w2, гомологичны.
Для доказательства возьмем в качестве прообразов тх и w% со-
соответственно путей wt и w.2 параллельные стороны прямоугольника
деформации. Затем дополним уже имеющиеся на этих параллельных
сторонах (благодаря циклам z\ и z*) разбиения до разбиения всего
прямоугольника на треугольники; их можно взять настолько мелкими,
чтобы образ каждого из них на R лежал в параметрической окрест-
окрестности. Треугольники можно двумя способами ориентировать так, чтобы
всякие два треугольника, имеющие общую сторону, индуцировали на
ней противоположные ориентации (когерентная ориентация). Мы оста-
остановимся, например, на той, которая на w± индуцирует первоначально
имевшуюся там ориентацию. Ориентированные таким образом тре-
треугольники, отображенные в поверхность R с помощью преобразова-
преобразования деформации, определяют особую 2-цепь с границей z\ — z\. Но это
и означает, что z\ и z\ гомологичны.
Тем самым соответствие w—^z1 определяет однозначное отобра-
отображение фундаментальной группы F в одномерную группу гомологии Я1
поверхности /?. Это — гомоморфное отображение, ибо, как непосред-
непосредственно следует из построения, произведению двух путей отвечает
сумма соответствующих циклов. В частности, гомотопные нулю пути
переходят в гомологичные нулю 1-циклы.
Соответствие W-+Z1 есть отображение на всю группу Н1. В са-
самом деле, по лемме, которая будет доказана в п. 2.39, всякий 1-цикл z1
т
zx = 2
может быть записан в виде суммы симплексов zx = 2°1> гДе на"
г=1
чало о* совпадает с концом <ji([j.= l, 2 /я(mod/и)). Если
каждый 1-симплекс о1 рассматривать как путь w^, то произведение
w = wt• ¦ .wm переходит в 1-цикл г1.
2.37. Мы хотим теперь найти ядро этого гомоморфизма, т. е.
ту подгруппу фундаментальной группы F, классы путей которой
переходят в гомологичные нулю 1-циклы. В это ядро наверное вхо-
входят классы путей, принадлежащих коммутанту С группы F1), ибо
каждый путь, представимый в виде коммутатора, переходит в нулевой
1-цикл, следовательно, и произведение таких путей. Мы покажем,
1) Это подгруппа группы F, образованная коммутаторами аЬа-Ц-Ц она
всегда является нормальным делителем.

I
I 3. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА 71
обратно, что этим исчерпываются все классы путей, переходящих
в гомологичные нулю 1-циклы.
п
Пусть да — путь, соответствующий 1-цикл которого <z1=2°1
1=1
гомологичен нулю. Это значит, что существует такая особая 2-цепь
т
в2 = 2см°2> чт0 dcfi — z1. Выберем теперь в каждом симплексе о3
1
вершину Р^ и соединим ее с началом О пути да путем р^ (ориенти-
(ориентированным в направлении от О к Р^). Если s^ означает замкнутый
путь, образованный тремя сторонами симплекса оа (с индуцирован-
индуцированной о2 ориентацией), то путь р s р~г гомотопен нулю, поэтому
путь w гомотопен пути Wi = W(piSipi1)'0* ... (PmSmPm1)'"™- Но
соответствующий этому пути 1-цикл, как нетрудно проверить, есть цикл
Z1 = O. Поэтому достаточно рассмотреть путь, которому соответствует
1-цикл zl = 0.
2.38. Пусть да—такой путь. Он обладает разложением вида
да = дах ... дап,
где каждый множитель имеет сумму показателей, равную нулю.
Мы построим сначала другое разложение, в котором каждый мно-
множитель есть замкнутый путь, выходящий из О. Для этого со-
соединим конец пути да, с точкой О произвольным путем р.,. Если
концы путей да, и да^ одинаковы, то пусть и пути р, и р^ будут
одинаковы. При этом пусть соответствующий О путь есть сама
точка О. Если тогда в предыдущее разложение включить после каж-
каждого множителя да, соответствующий пробегаемый туда и обратно
путь рч, то получим гомотопный да путь
или, если положить я1 = да1р1, ич=р-}11шчрч и t*n = P^l1wn>
Теперь все множители и, являются замкнутыми путями, выходящими
из О. Далее, каждый путь входит с суммой показателей, равной
нулю. В самом деле, если в разложении да для двух определенных
значений v и ji имеем да, = да , то начала и концы да, и да^ соответ-
соответственно совпадают, поэтому рч-г=^Р^-^ и Рч==Р^> следовательно,
и и, = и^. Точно так же из дач = w1 следует, что и, = и-1.
Теперь переведем w* в произведение коммутаторов. Так как мх
входит с суммой показателей, равной нулю, то в да* должен входить
путь я-1. Если U означает часть разложения между ut и и (она

72 ГЛ. II. ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ /
может отсутствовать), то w* имеет вид UtUu^V, а этот путь |"омо-
топен пути UxUuilU~lUV. Здесь на первом месте уже стоит ком-
коммутатор, а остаток UV имеет двумя множителями меньше, чем w*.
В остаток снова каждый путь входит с суммой показателей, равной
нулю, так как это имеет место для всего пути w* и найденного
коммутатора. Поэтому предыдущее построение можно продолжить,
пока, наконец, мы получим одни лишь коммутаторы.
Этим показано, что ядро гомоморфизма F -*¦ Н1 есть коммутант С
группы F. По теореме о гомоморфизме, группа Я1 изоморфна фак-
фактор-группе F/C-
2.39. Доказательство леммы. Нам нужно еще доказать упомя-
упомянутую в п. 2.36 лемму. Докажем ее в более общем виде:
Особая цепь а1, граница которой является разностью двух
(не обязательно совпадающих) О-симплексов, да1 = 'о°—о0, может
быть записана в виде а* = 2 *?. где конец симплекса т? совпадает
с началом симплекса ^+i ([
п
Для доказательства предположим,' что а1 = 2 С?Ъ сначала можно
о1 записать так, чтобы все с, были положительны, так как этого
можно добиться переменой ориентации отдельных симплексов.
После этого проводим доказательство индукцией по сумме коэф-
п
фициентов s = 2 С1« Если s = 1, то а1 состоит только из одного
симплекса и уже имеет желательную форму. Допустим, что лемма
справедлива для s <! N и а1 — цепь с 5 = N-\- 1. Так как, по пред-
предположению, да1 = 'о0—о0, то среди 1-симплексов oj должен найтись
такой, скажем о1, конец которого есть О-симплекс 'о0. Если мы
обозначим начало а1 через "о0, то
Рассмотрим теперь цепь [31 = <х1 — о1. Для ее границы имеем
(a) dp1 =s да1 — до1 = ('о° — а°) — ('о0 — "о0) = V — о0,
и сумма ее коэффициентов равна N. Поэтому, по предположению
индукции, р1 можно записать в виде суммы

\
\
i 4. ПОВЕРХНОСТИ НАЛОЖЕНИЯ 73
где конец т^ совпадает с началом т?+1 (р.==1, ..., т — 1). Если
— конец симплекса т^ и т? — начало z\, то
Сравним теперь правые части (а) и (Ь). Если "о0 Ф о0, то получается,
что 'тот = "о0; следовательно, конец х1т совпадает с началом о1, и
тогда
/ — требуемое представление цепи а1.
*: Если же "а0 = о0, то dfJ1 =0 и тем самым 'хт = tj. В этом
^случае соединим 'о0 с ъ\ произвольным путем f1 и запишем а1 в виде
(причем f1 следует рассматривать как особую 1-цепь). Это, оче-
очевидно, требуемое представление а1.
§ 4. ПОВЕРХНОСТИ НАЛОЖЕНИЯ
2.40. Неразветвленные поверхности наложения. Пусть R и
v—две произвольные поверхности (компактные или нет) и о — одно-
начное отображение R на R со следующим свойством, описываю-
описывающим взаимную однозначность отображения в малом:
~; Для каждой точка P?R существует окрестность U, кото-
\я топологически отображается на некоторую окрестность U
Проза Р этой точки1).
Под отмеченной окрестностью точки Р мы будем понимать
ipecTHOCTb этой точки, гомеоморфную кругу и отображаемую по-
1едством о топологически2). Предыдущее определение эквивалентно
<му, что каждая точка поверхности R имеет отмеченную окрест-
окрестить. Если в дальнейшем речь идет об отмеченной окрестности
|»нси Р, то под этим подразумевается произвольно выбранная, но
ксированная такая окрестность.
; Говорят, что Р лежит над Р; R называется неразветвленной по-
fXHOcmbm наложения поверхности R. Отображение о называется
Ьектированием, точка Р — проекцией (или следомM) точки Р.
Ы) При этом не требуется, чтобы окрестность U точки Р была одной а
\оке для всех ее прообразов Р.
Иногда и о-образ отмеченной окрестности автор называет отмеченной
гностью. — Прим. перев.
В оригинале SpurabWldung u Spurpunkt. — Прам. перев.

74 ГЛ. И. ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Множество (Р) прообразов точки P?R не может иметь на R
точек сгущения. Действительно, если бы Р* была такой точкой,
то ни в какой ее окрестности проектирование не было бы вза-
взаимно однозначным. Отсюда следует, что если R удовлетворяет аксиоме
счетности, то множество (Р) не более чем счетно. Над каждой точкой
поверхности R лежит тогда самое большее счетное число точек по-
поверхности /?.
2.41. Проектирование or непрерывно. В самом деле, пусть
Р — точка/?, Р — ее образ на R и V — произвольная окрестность
точки Р. Если U — образ отмеченной окрестности 0 точки Р, то
пересечение UV есть окрестность точки Р относительно U, поэтому
существует окрестность W точки Р относительно U, о-образ кото-
которой лежит в UV. Но W—окрестность точки Р относительно R. Ее
а-образ лежит целиком в V, что, согласно п. 2.7, означает непре-
непрерывность проектирования о.
2.42. Проектирование о переводит каждое открытое множество М
поверхности R в открытое множество М поверхности/?. Действительно,
пусть Р — точка М и Р — точка над Р, принадлежащая М. Если
U—отмеченная окрестность точки Р, то пересечение UM открыто
в СУ, а так как отображение U-*U— топологическое, то и образ
этого пересечения есть открытое множество в U. Это означает,
что М открыто в R,
Следовательно, непрерывное отображение о подавно удовлетворяет
условиям п. 2.13. Тем самым поверхность R гомеоморфна простран-
пространству, получаемому из /? отождествлением его точек, имеющих одну и
ту же проекцию,причем этот гомеоморфизм задается тем, что каждому
классу (Р) ставится в соответствие общая проекция Р; другими словами,
поверхность /? получается из поверхности /? отождествлением точек
с одной и той же проекцией.
Если, в частности, отображение о взаимно однозначно, так что
над каждой точкой поверхности /? лежит только одна точка поверх-
поверхности R, то из предыдущего вытекает, что о — топологическое ото-
отображение /? на R *).
2.43. Перенесение путей2). Каждому пути w на R отвечает
на /?, в силу проектирования, путь te; = ow — проекция пути w.
!) Нетривиальное в этом заключении состоит в том, что и обращение
отображения непрерывно.
2) В оригинале „Durchdrticken von Wegen". — Прим. перев.

8 4. ПОВЕРХНОСТИ НАЛОЖЕНИЯ 75
Мы спрашиваем, обратно, нельзя ли путь •ш, заданный на R,
перенести на R; точнее говоря, если w — путь на R и А —
произвольная точка R над началом А пути w, то существует ли путь
наложения w, выходящий из Л и имеющий w своей проекцией?
Сначала мы покажем, что путь w, если он существует, опре-
определяется однозначно путем w и началом А. Пусть w и wx — два
пути над w с началом А. Будем оба эти пути рассматривать как
непрерывные образы единичного отрезка 0<!г^1: w — Р (t),
w± = Рг (t) @ -<! t ^ 1). По предположению, проекции aw и <swt совпа-
совпадают, т. е. существует такое топологическое отображение -z(t) еди-
единичного отрезка на себя, сохраняющее его концы, что sP1 (t) =
— аР (т @). Полагая Q (t) = Р (т @). имеем
о?! (Q = «,$(/) B.4)
и, кроме того, Рг @) = Q @) = А. Нужно показать, что P1(f) — Q(t)
для О-^f-^l. Пусть {t) — множество значений t, для которых это
равенство имеет место. Если t0 — точка из {t}, то существует такое
число S > 0, что и 8-окрестность точки t0 (относительно единичного
отрезка) принадлежит {t}\ достаточно 8 взять настолько малым,
чтобы P1(t) и Q(t) для всех точек 8-окрестности точки t0 принад-
принадлежали отмеченной окрестности точки Pr{t^).
Если, далее, f — точка сгущения множества {t}, то и t* принад-
принадлежит [t]. Так как, наконец, множество {t) не пусто (ибо оно
содержит точку t = 0), то из предыдущих двух свойств следует, что
оно заполняет весь единичный отрезок, что и требовалось доказать.
2.44. Две поверхности наложения Rt и R2 поверхности R рас-
рассматриваются как одинаковые (равные), если существует такое топо-
топологическое отображение R± на R<2, что соответствующие друг другу
'точки имеют одну и ту же проекцию.
Из предыдущей теоремы единственности вытекает, что каждое
такое отображение т однозначно определяется точкой Р1 поверх-
ности Rt и ее образом Р2 на R2-
г Действительно, пусть Qx — произвольная точка поверхности Rt
fja wt — путь, ведущий из Рг в Qv Ему соответствует на ^2 путь w%,
выходящий из Р2 и оканчивающийся в точке Q2 — образе Qv По пред-
предположению относительно отображения -z, оба пути wt и wQ лежат над
щдним и тем же путем w на R. Следовательно, щ—путь на /?2, выхо-
выходящий из Р.2 и лежащий над путем w. По предыдущему, такой путь
¦Однозначно определяется путем w и точкой Р2. Тем самым точка Q2

76 ГЛ. II. ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЯ ПОВЕРХНОСТИ
однозначно определяется точкой Qlt а так как точка Qt была вы-
выбрана произвольно, то это справедливо для всего отображения т.
Для того частного случая, когда поверхности R± и Я2 совпадают,
эта теорема говорит следующее: при заданной основной поверх-
поверхности R топологическое отображение поверхности наложения R на
себя, оставляющее неизменными проекции на R, однозначно опреде-
определяется заданием одной точки и ее образа.
2.45. Безграничные поверхности наложения. Остается выяс-
выяснить, всякий ли путь w на R может быть перенесен на R. В п. 2.52
мы увидим, что в общем случае это не так и что для возможности
такого перенесения проектирование о должно удовлетворять сле-
следующим дополнительным условиям:
I. Если Р — точка поверхности R, то отмеченные окрест-
окрестности 0 ее прообразов Р можно выбрать так, что пересечение
их образов а@) содержит окрестность U точки Р1).
И. Если Q — точка окрестности U, то все лежащие над Q
точки принадлежат, объединению 2 U.
Если эти условия выполняются, то /? называется безграничной
поверхностью наложения поверхности R.
Пусть R — поверхность наложения /? и/?'— поверхность, являю-
являющаяся частью R. Множество прообразов точек поверхности R' на R
есть двумерное многообразие2) R', являющееся поверхностью нало-
наложения R' в силу проектирования R-+R. Если R как поверхность
наложения R безгранична, то это же справедливо для R' как по-
поверхности наложения R'. В самом деле, легко проверить, что оба
условия безграничности переносятся на R'.
2.46. То, что безграничность необходима для возможности не-
неограниченного перенесения путей из R на R, будет доказано, как
уже упоминалось, в п. 2.52. Сначала мы покажем обратное, т. е.
что каждый путь w, заданный на R, можно перенести на безгранич-
безграничную поверхность наложения R; точнее говоря, докажем следующее:
Если R — безграничная поверхность наложения поверхности R,
w — произвольный путь на R и А—точка на R, лежащая над на-
1) Если каждую окрестность U заменить на о (?/), то условие I можно
формулировать так: для каждого прообраза Р точки Р существует окрест-
окрестность U, отображаемая топологически на фиксированную окрестность 1}
точки Р.
8) Если только оно связно.

$ 4. ПОВЕРХНОСТИ НАЛОЖЕНИЯ 77
е^алом А пути w, то существует путь наложения w пути w, выхо-
выходящий из А.
%- Доказательство, а) Предположим сначала, что путь w лежит
|» отмеченной окрестности 0 некоторой точки Q х). Тогда, по усло-
условию II, выбранная над А точка А лежит в отмеченной окрестности О
подходящим образом выбранного прообраза точки Q и путь w можно
топологически перенести из U в U.
в) Если, далее, w — произвольный путь, то, по условию I, каждой
%го точке отвечает отмеченная окрестность. Поэтому вокруг каждой
?очки Р отрезка-прообраза w существует интервал, образ которого
лежит целиком в отмеченной окрестности точки Р. Следовательно,
;по лемме Гейне — Бореля, можно отрезок w разбить на конечное
¦число столь малых интервалов, чтобы образ каждого из них лежал
целиком в отмеченной окрестности некоторой (подходящим образом
выбранной) точки пути w. Соответственно этому путь w распадается
•та конечное число путей: w = ¦о>1'да2 ... wn.
Пусть Pv— конец пути w4 (v= 1, . . ., re). Если А— произволь-
произвольная точка над А, то для пути w1 можно, по а), построить путь на-
наложения wv выходящий из А. Его конец Рг лежит над Рг. Затем
для пути w% строим путь наложения w2, выходящий из Р1г что снова
юзможно по а). После ге шагов получим путь, выходящий из Л и
расположенный над путем w.
2.47. Число листов. Пусть R — поверхность наложения поверх-
юсти R. Пусть Р и Q — две точки R и Рч, Q^—лежащие над ними
¦очки. Между точками А, и Q^ можно следующим образом устано-
ить взаимно однозначное соответствие. Соединим точки Р и Q
утем w и каждой точке Р, поставим в соответствие конец пути,
ыходящего из /\ и расположенного над путем w. Обратно, каждой
Ьчке Qp поставим в соответствие конец пути, выходящего из Q и
неположенного над w~1. Второе отображение, очевидно, является
5ращением первого, и требуемое соответствие установлено.
Если над точкой Р поверхности /? лежит конечное число
^чек R, то, по предыдущему, это справедливо для всех точек
|«ерхности R, причем это число не зависит от выбора Р; оно на-
вается числом листов наложения. Если число точек над какой-
точкой поверхности R бесконечно велико, то R называется
сонечнолистной поверхностью наложения.
) Имеется в виду окрестность U, определяемая дла точки О согласно
пню I. То же для указанных ниже окрестностей точек w. — Прим. перев.

78 ГЛ. П. ПОНЯТИЙ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ
2.48. Если R— безграничная поверхность наложения R и над
точкой Р поверхности R лежит конечное число точек R, то их число,
согласно п. 2.47, не зависит от Р. Пусть теперь, обратно, R— по-
поверхность наложения (не обязательно безграничная) поверхности R.
Предположим, что число g ее точек, лежащих над точкой Р поверх-
поверхности R, конечно и от Р не зависит. Тогда R— безграничная поверх-
поверхность наложения.
Действительно, пусть 0г (г—1, ..., g)— соответствующие Рг
отмеченные окрестности, которые мы предположим не имеющими
общих точек, и V—гомеоморфная кругу окрестность точки Р, содер-
содержащаяся в пересечении образов о (?/,.) (г = 1, .. ., g). В Ur ей соот-
соответствуют гомеоморфные кругу окрестности Vr. Следовательно, V—
не зависящая от г гомеоморфная кругу окрестность точки Р, и тем
самым первое условие безграничности выполняется. Если Q—точка V,
то в каждой окрестности Vr лежит прообраз Qr точки Q. Так как,
по предположению, существуют только g прообразов, то множество
точек Qr должно включать все точки над Q, следовательно, каждый
прообраз точки Q принадлежит множеству 2 Vr. Это—второе усло-
г
вие безграничности.
2.49. Пусть R — поверхность наложения (не обязательно безгра-
безграничная) поверхности R. Предположим, что R компактна; тогда и R
компактна. Мы покажем, что при этом условии поверхность R
необходимо безгранична.
Прежде всего, из компактности R следует, что над каждой точ-
точкой Р поверхности R лежит только конечное число точек Рч. Пусть
Р — точка R и Р, (v = 1, 2 re)— ее прообразы. Каждой точке Р,
отвечает отмеченная окрестность ?/„, топологически отображаемая на
окрестность U4 точки Р. Мы покажем, что существует окрестность U
точки Р, такая, что все прообразы любой ее точки Q принадлежат
объединению V=^U^.
Для доказательства допустим от противного, что в каждой окрест-
окрестности точки Р лежит точка Q, некоторый прообраз которой, назо-
назовем его Q, лежит в R — V. Если тогда Q4 — последовательность
подобных точек, сходящаяся к Р, то соответствующая последователь-
последовательность Q, поскольку она лежит на компактной части R — V поверх-
поверхности R, должна иметь там точку сгущения Ро. Эта точка, в силу,
непрерывности проектирования, должна переходить в Р, поэтому
она должна быть одной из точек Р„, лежащих над Р; с другой сто-

§ 4. ПОВЕРХНОСТИ НАЛОЖЕНИЯ 79
роны, она лежит в дополнительном множестве R— V, что приводит
к противоречию.
Таким образом, как утверждалось, существует окрестность U
точки Р, прообраз которой о-1 (U) лежит в V. Пусть U* означает
теперь гомеоморфную кругу окрестность точки Р, лежащую в пере-
пересечении UUt . . . Un. В каждой окрестности U4 ей отвечает гомео-
морфная кругу окрестность L/v точки Рг Следовательно, первое
условие безграничности выполняется.
Если теперь Q — произвольная точка U*, то каждый ее прообраз
лежит в некоторой окрестности G„ и так как соответствие 0ч -*• U4
взаимно однозначно, то этот прообраз необходимо лежит в ?/* . Это
означает, что и второе условие безграничности выполняется.
2.50. Так как, по предыдущему, из компактности поверхности
'уложения R следует ее безграничность, то она имеет опреде-
определенное конечное число листов. Обратно, справедливо утверждение,
1-что безграничная конечнолистная поверхность наложения компактной
поверхности R сама компактна. Для доказательства рассмотрим беско-
бесконечную последовательность точек Pv на R. Последовательность проек-
:;ций Р\ в силу компактности R, имеет точку сгущения Р. Над Р
: лежит конечное число точек Р1,..., Рт. Относительно последова-
последовательности Ру мы можем предполагать, что она сходится к Р. Тогда
?для достаточно большого v > N точки Pv лежат в отмеченной окрест-
1'ности U точки Р. Все т прообразов такой точки Р\ тем самым
точки Р* (v > Л/), должны поэтому лежать в отмеченных окрестно-
ях Ult ..., Um, расположенных над U. Так как этих окрестно-
ртей конечное число, то по крайней мере одна из них, скажем 0х,
содержит бесконечно много точек Р\ и так как отображение
U — топологическое, то последовательность Pv сходится к
эчке Рх. Таким образом, последовательность Р* имеет на R точку сгу-
Цения, т. е. поверхность R компактна.
2.51. Перенесение деформаций. Пусть R — поверхность наложе-
ря (не обязательно безграничная) поверхности R. Если w0 и w1 —
^ гомотопных пути на R, то, в силу непрерывности проектирования,
^проекции этих путей также гомотопны. Мы покажем, что спра-
чиво обратное.
§ Пусть w0 и wt — два гомотопных пути на R, ведущие из Л в В.
ь Л—точка над Л и все пути wx @<т:<;1) деформации
•wt имеют соответствующие им пути наложения wx, выходящие

80 ГЛ. II. ПОНЯТИЕ РИМАНОВОИ ПОВЕРХНОСТИ
из А. Тогда пути наложения w0 и wv выходящие из А, оканчи-
оканчиваются на R в одной и той же точке и гомотопны.
По предположению, существует непрерывное отображение P(t,x)
прямоугольника (X^^l, О^т.^1 в поверхность /?, производя-
производящее деформацию ¦a>0-»''a>1. Затем, по предположению, для каждого
фиксированного х = х0 путь P(t, т:0) имеет соответствующий ему
путь наложения на /?, выходящий из А, т. е. существует такое не-
непрерывное отображение P(t, т0), что sP(t,x0) — P(t, х0). Этим опре-
определяется однозначное отображение Р (t, т) прямоугольника деформации
в поверхность R. Мы покажем, что это отображение непрерывно.
Пусть (t0, х0)—точка прямоугольника. Рассмотрим путь Р (t, х0)
@<^?<^1); каждой точке P(t, х0) отвечает отмеченная окрест-
окрестность Ut. Так как отображение P(t, х0) (при фиксированном х0) не-
непрерывно, то отрезок 0 ^ t <^ 1 можно разбить на конечное число
настолько малых отрезков t4-^.t^.t4+1, что образ каждого из них
лежит целиком в отмеченной окрестности U^ подходящим образом
выбранной точки Р (t.,, х0). Точка t0 принадлежит одному из отрез-
отрезков разбиения, и можно считать, не ограничивая общности, что она
является внутренней точкой этого отрезка, т. е. *„ < *0 < *ч+1.
Рассмотрим теперь образ U4 окрестности ??, на/?. Пусть P(t,z0)
(?,-^ f-^ *v+i) лежит целиком в U4; тогда, в силу непрерывности
отображения P(t, x), можно выбрать настолько малое число е>0,
чтобы образ прямоугольника ^<^<^+i, \x — то|<е также лежал
еще в (Л,. Мы утверждаем, что точно так же Р-образ этого прямо-
прямоугольника лежит в Оч. Если бы это было показано, то все доказа-
доказательство было бы доведено до конца. Действительно, так как ото-
отображение P(t, х) непрерывно и отображение о в С/ч — топологиче-
топологическое, то отсюда следует непрерывность P(t, х) в (?0, х0).
Чтобы доказать предыдущее утверждение, начнем с ч = 1. Так
как путь P(t, х) (^<^<4> 1Т — ^оК8) выходит из точки А, то
сначала он должен пробегать в Uv С другой стороны, его проекция
P(t, х) .лежит целиком в окрестности Uv Поэтому путь P(t, x)
должен совпадать с (однозначно определенным) путем наложения
пути P(t, т), выходящим из точки А, следовательно, должен цели~
ком лежать в Uv Продолжая так дальше, убеждаемся последова-
последовательно в том, что пути P(f, x) (*,<[*<;*,+!> \х—то1<8) лежат
целиком в t/v. Отсюда следует, что Р-образ прямоугольника
**<!*<;*„+!, \х — т01 <С © должен лежать в С7„, что и требовалось
доказать. Итак, отображение P(t, x) непрерывно. Далее, оно пере-
переводит сторону х = 0 в путь w0 и сторону х = 1 — в путь wv в то

ш S 4. ПОВЕРХНОСТИ НАЛОЖЕНИЯ 81
)время как сторона tf = 0 переходит в точку А. Наконец, так как
точка ЯA, х) @-^x^1) все время лежит над В и непрерывно за-
зависит от •:, то она должна совпадать с точкой В пути P(t, 0). По-
Поэтому P(t, х)— деформация w0 ъ w1.
В частности, если поверхность наложения R безгранична, то усло-
условие переносимости путей с R на R выполняется само собой и может
быть исключено из условий п. 2.51. Тогда теорема звучит так:
Если w0 и w1 — два гомотопных пути на R, то лежащие над
:йими пути Wq и w-y на безграничной поверхности наложения, выхо-
выходящие из одной и той же точки А, также гомотопны.
Ь 2.52. Необходимость требования безграничности для возмож-
возможности перенесения путей. Теперь мы можем показать, что условия
безграничности п. 2.45 необходимы для возможности неограниченного
йеренесения путей с R на R.
Итак, пусть R — поверхность наложения R и каждый путь на R
леет пути наложения, выходящие из каждой точки поверхности R ,
ежащей над его началом. Пусть Р—точка поверхности R, К—ее
|араметрическая окрестность и Р — произвольная точка R над Р.
единим точку Р с каждой точкой Q?K путем q, пробегающим
К, и перенесем этот путь на R так, чтобы он начинался в точке
что возможно по предположению. Конец Qэтого пути, по п. 2.51,
йе зависит от выбора пути q в К и лежит над Q. Соответствием
¦Q устанавливается однозначное отображение х окрестности К
поверхность R. Его обращение есть проектирование з, и, сле-
вательно, отображение i взаимно однозначно. Чтобы доказать, что
5ражение х является топологическим, нам остается доказать
непрерывность. Для этого мы установим следующие два свой-
ва отображения •::
1. Если Q — точка К и Q — ее образ, то существует окрестность
чки Q, образ которой лежит в отмеченной окрестности Uq точки Q.
I;, Действительно, пусть Uq — образ Uq и V—гомеоморфная кругу
Местность точки Q, лежащая в пересечении KUq. Если тогда S —
||чка из V, то точка x(S) получается соединением Q с S путем в V
^построением его пути наложения на поверхности R, выходящего
. Но этот путь лежит в Uq, тем самым — и его конец, точка
Таким образом, требуемая окрестность точки Q найдена.
|'2. Отображение ах есть тождество. Это следует непосредственно
^построения х.
|;Из свойств 1 и 2, в силу леммы, которую мы сейчас докажем,
кает непрерывность •:. Следовательно, это отображение взаимно

82 ГЛ. П. ПОНЯТИЕ РИМАНОЙОЙ ПОВЕРХНОСТИ
однозначно и непрерывно в обе стороны, т. е. является тополо-
топологическим.
Поэтому образ ?(К) окрестности К есть параметрическая окрест-
окрестность на R. Таким образом, фиксированная параметрическая окрест-
окрестность К точки Р отображается топологически на параметрическую
окрестность К произвольно выбранного прообраза Р точки Р, и обра-
обращение этого отображения есть о. Следовательно, условие I п. 2.45
выполняется. Чтобы проверить условие II, предположим, что Q—про-
Q—произвольная точка К и Q — точка на R над Q. Соединим Q с Р путем q
в К и построим его путь наложения на поверхности R, выходящий
из Q. Конец этого пути лежит тогда над Р, следовательно, это вполне
определенный прообраз Р точки Р. Поэтому, по построению отмечен-
отмеченной окрестности К точки Р, точка Q должна лежать в К.
Этим показано, что оба условия п. 2.45 выполняются, т. е. R—
безграничная поверхность наложения R.
2.53. Нам нужно еще доказать упомянутую в п. 2.52 лемму,
которую мы, ввиду ее общего характера и с учетом более поздних
приложений, сформулируем следующим образом:
Лемма. Пусть R — произвольная поверхность наложения
поверхности R и ф — однозначное отображение произвольного
топологического пространства R± в поверхность R, обладающее
следующими свойствами:
1. Каждая точка Рх пространства Rx имеет окрестность Ult
образ которой лежит в отмеченной окрестности 0 точки Р =
= q>(P1) {отвечающей проектированию о: R-+R).
2. Отображение з<р непрерывно.
Тогда и отображение <р непрерывно,.
Доказательство. Пусть Рх—точка из Rv P—-ее образ
на R и V—произвольная окрестность точки Р. Тогда ОV открыто
в R, следовательно, a(UV) открыто в R и поэтому есть окрестность
точки Р = 39 (Px). В силу непрерывности отображения оср, существует
окрестность Vx точки Pv 09-образ которой лежит в з (UV). Рассмо-
Рассмотрим пересечение UjV^ Его аср-образ лежит в o(UV) и <р-образ—•
в О. Поэтому, в силу взаимной однозначности отображения з в 0,
последний образ должен лежать даже в UV. Тем самым для точки
Рх найдена окрестность, а именно, l^V^, <р-образ которой лежит
в V, что согласно п. 2.7, и означает непрерывность отобра-
отображения tp.

I S 4. ПОВЕРХНОСТИ НАЛОЖЕНИЯ 83
I' 2.54. Связь между фундаментальными группами. Пусть R—
?¦• безграничная поверхность наложения R. Выберем на R точку О
*.. и лежащую над ней точку О на R в качестве начал замкнутых путей.
| В силу проектирования, каждому замкнутому пути на R соответ-
соответствует замкнутый путь на R и гомотопные пути на R переходят
» в гомотопные пути на R. Тем самым каждому классу путей на R
I; соответствует класс путей на R. По п. 2.51, различным классам
- путей на R отвечают различные классы путей на R. Отсюда вытекает,
';' что проектирование индуцирует изоморфное отображение фунда-
f ментальной группы F поверхности R в фундаментальную группу F
^поверхности R. Следовательно, группа F изоморфна некоторой под-
* группе G группы F.
Замкнутому пути w, выходящему из О, тогда и только тогда отвечает
.замкнутый путь наложения, выходящий из О, когда класс пути w
-принадлежит подгруппе G. В самом деле, если, во-первых, путь
^.наложения замкнут, то он принадлежит определенному классу путей
|группы F, поэтому его проекция w принадлежит одному из классов путей
^образа F, значит, подгруппе О. Если, обратно, класс пути w входит
*в G, то на R существует замкнутый путь wv выходящий из О, проекция
^которого w1 гомотопна w. Тогда, согласно п. 2.51, пути •а»1 и w
имеют один и тот же конец, значит, путь w замкнут.
2.55. Рассмотрим разложение группы F на классы смежности
подгруппе G. Два элемента (и) и (v) группы F (следовательно, два
асса путей) тогда и только тогда лежат в одном классе смежности,
|ргда элемент (и) (¦у) принадлежит подгруппе G. Каждый элемент
v) лежит в одном и только в одном классе смежности.
Пусть и и v — два замкнутых пути, выходящих из О. Выходящий
О путь наложения пути uv, согласно п. 2.54, тогда и только
|>гда замкнут, когда класс пути иг» [т. е. произведение классов
и (¦и)] принадлежит G, следовательно, когда (и) и (г>) лежат
одном и том же классе смежности. Следовательно, выходящие из О
наложения путей и и v, тогда и только тогда ведут к одной
зй же точке (лежащей над О), когда (и) и (v) принадлежат
аму и тому же классу смежности. Таким образом, классы смежно-
соответствуют взаимно однозначно точкам, лежащим над О.
эму их число, индекс подгруппы G, совпадает с числом листов
врхности наложения. Следовательно, индекс подгруппы G может
¦ конечным или бесконечным. Если G совпадает со всей группой,
цекс, тем самым и число листов, есть 1; тогда проектирование
' однозначно, следовательно, это —топологическое отображение.

84 гл. п. понятие римановой поверхности
2.56. Зависимость от начальной точки. Если в качестве началь-
начальной точки путей на R выбрать другую лежащую над О точку О',
то фундаментальной группе F', отвечающей О', соответствует в общем
случае другая подгруппа Q' группы F. Из изоморфизмов О~Р,
F=F', F' = Qr следует, что G^G'. Этот изоморфизм G-+&
легко построить: если а — произвольный путь, ведущий на R из О
в О', то соответствием
w-+a~xwa,
согласно п. 2.34, задается изоморфное отображение F и& F'. Соединяя
вместе три изоморфизма G-+F, F-+F', F'-+G', получаем изомор-
изоморфизм G-+G', характеризуемый тем, что каждому элементу (w) из О
ставится в соответствие элемент (a)~1(w)(a) из G'', где (а) — класс
пути а. Следовательно,
т. е. подгруппа G' получается из группы О преобразованием с помощью
элемента (а). Группы G и G' называют взаимно сопряженными.
В частности, если G— нормальный делитель F, то все сопряжен-
сопряженные к О группы совпадают и фундаментальная группа F всегда
преобразуется в группу О, независимо от того, какая точка над О
принята за начало путей. Отсюда, согласно п. 2.54, следует, что для
замкнутого пути на /? с началом в О его пути наложения на R,
выходящие из точек О, лежащих над О, либо для всех О замкнуты,
либо для всех — не замкнуты. В этом случае R называется регуляр-
регулярной поверхностью наложения R.
2.57. Перенесение отображений. Пусть R — безграничная поверх-
поверхность наложения R; пусть О — фиксированная точка на R, О — ее образ
и F, соответственно F, — фундаментальные группы поверхностей R,
соответственно R, отвечающие этим начальным точкам. При проектирова-
проектировании з группа F, согласно п. 2.54, отображается изоморфно на подгруппу
G группы F. Пусть теперь Rx — третья поверхность и <р — непрерыв-
непрерывное отображение Rx на R; пусть Ох — один из прообразов О и Fx — фун-
фундаментальная группа Rv соответствующая начальной точке Ov При ото-
отображении <р группа Ft, согласно п. 2.35, переходит в подгруппу Gt
группы F. Теперь мы, далее, предположим, что G1—даже подгруппа G,
и покажем, что тогда отображение <р можно „перенести" на R, т. е.
существует такое непрерывное отображение <р поверхности Rt на R,
что отображение о<р совпадает с отображением ».

§ 4. ПОВЕРХНОСТИ НАЛОЖЕНИЯ 85
Пусть Рх — произвольная точка на Rt и wx — путь, ведущий из Ох
в Рх. Путь w — образ этого пути на R и w — соответствующий ему
путь наложения на R, выходящий из О. Его конец Р не зависит от вы-
выбора пути w{, в самом деле, если wt — другой путь на Rv ведущий из Ох
в Pv то путь ¦да1'а/1~1 замкнут, поэтому класс путей его образа на R
принадлежит подгруппе Qv следовательно, и подгруппе G. Поэтому
соответствующий путь ww'-'1 на R замкнут, следовательно, w и w'
имеют один и тот же конец.
Соответствие Рх -*¦ Р определяет однозначное отображение »
Rx на R. Это отображение непрерывно. Чтобы это доказать, заметим,
что отображение о обладает следующими двумя свойствами, которые
непосредственно вытекают из его построения:
1. Каждая точка Рх поверхности Rx имеет окрестность, образ
которой лежит целиком в отмеченной окрестности образа Р = <р (Рх) х).
2. Отображение а<р совпадает с отображением о и поэтому непре-
непрерывно.
Из этих двух свойств непрерывность <р следует на основании
леммы п. 2.53. Тем самым отображение в перенесено (ist durchge-
druckt) на R.
2.58. Теперь мы предположим, что Rt — поверхность наложения
(не обязательно безграничная) поверхности R, следовательно, что ото-
отображение в удовлетворяет требованию локальной взаимной одно-
однозначности (см. п. 2.40). Тогда и перенесенное отображение © удовле-
удовлетворяет этому требованию; следовательно, Rx в этом случае — даже
поверхность наложения R. Это вытекает из общей леммы:
Лемма. Пусть R — поверхность наложения (не обязательно
безграничная) поверхности R и <э — однозначное отображение
третьей поверхности Rx на /? со свойствами:
1. Каждая точка Рх поверхности Rx имеет окрестность Ult
образ которой лежит в отмеченной окрестности U образа
P = 9(Pi).
2. Отображение оо = <в есть проектирование Rx на R.
Тогда <в есть проектирование Rx на R.
Пусть Ux — отмеченная окрестность Рх относительно проектиро-
проектирования © и Ki — гомеоморфная кругу окрестность точки Рх, принад-
принадлежащая пересечению UxUi. Тогда из соотношения 09 = ® следует,
*) „Отмеченную окрестность" следует понимать как относящуюся к про-
проектированию R -*¦ /?.

86 ГЛ. II. ПОНЯТИЕ РИМАНОВОИ ПОВЕРХНОСТИ
что отображение <р—топологическое в Kt: прежде всего, отображе-
отображение <р—топологическое в Kv затем, образ f(K±) лежит в U, и,
следовательно, отображение а — топологическое в «(/С-^, поэтому
отображение о—топологическое в Kv Итак, для каждой точки Рх
указана гомеоморфная кругу окрестность, в которой отображение <р
является топологическим, следовательно, о — проектирование.
2.59. Тем самым мы имеем следующий результат:
Пусть /?t — произвольная и R— безграничная поверхности нало-
наложения R. Обозначим через Gv соответственно G, подгруппы фунда-
фундаментальной группы поверхности R, изоморфные фундаментальным
группам поверхности Rv соответственно R, и пусть Ot — подгруппа
группы G. Тогда Rx — поверхность наложения R.
Если, в частности, и R± безгранична и группы G и Ог совпа-
совпадают, то Rt при отображении <р становится безграничной поверхностью
наложения R, а именно, такой, что фундаментальная группа поверх-
поверхности Rt переходит во всю фундаментальную группу поверхности R;
следовательно, согласно п. 2.55, отображение <р—топологическое.
Так как, далее, оно удовлетворяет соотношению зо = а±, то это озна-
означает, что R и /?! совпадают в смысле равенства поверхностей нало-
наложения.
Тем самым доказано:
Если Rx и R — две безграничных поверхности наложения R
а их фундаментальные группы при подходящем выборе начальных
точек Oj и б над О переходят при проектированиях в одну
и ту оке подгруппу О группы F, то Rt и R одинаковы.
2.60. Прим'ер. Пусть R — безграничная r-листная (г конечно)
поверхность наложения области К: 0 < [ zt | < 1. Фундаментальная
группа F поверхности R переходит при проектировании^ (согласно
п. 2.54) в подгруппу фундаментальной группы F области К. Но
F—циклическая группа с одной образующей а, и, следовательно,
она имеет единственную подгруппу с индексом г, а именно, поро-
порождаемую аг. Поэтому, если Rx — другая r-листная поверхность нало-
наложения К, то ее фундаментальная группа должна переходить в ту же
подгруппу группы F, а отсюда, согласно п. 2.59, вытекает, что
существует такое топологическое отображение i поверхности R на Rlt
что 0 = 0^; следовательно, в частности, поверхности R и Rt гомео-
морфны.

§ 4. ПОВЕРХНОСТИ НАЛОЖЕНИЯ 87
Если за Rt принять область 0 < | г | < 1 и за зх взять отображе-
отображение г = гг, то из предыдущего следует, что заданная поверхность R
гомеоморфна области 0 < | z | < 1, причем существует такое топо-
топологическое отображение г, что о — о^, где ох означает отображение
2.61. Существование поверхностей наложения. Теперь мы пока-
покажем, что для заданной подгруппы О фундаментальной группы F
поверхности R существует безграничная поверхность наложения,
фундаментальная группа которой при проектировании переходит
в подгруппу G.
Сначала мы предположим, что R— безграничная поверхность
^наложения R, соответствующая подгруппе О. Пусть О и О — начала
f путей соответственно на R и на R. Пусть Р—произвольная точка
¦?на R и w — путь из О в Р. На R ему соответствует путь w, ведущий
^из О к проекции Р точки Р. Если w'—другой путь из О в Р и
lw'~его проекция, то класс путей замкнутого пути wiso'-1 принадлежит
,подгруппе О, ибо путь наложения 4i)w'-x замкнут. Таким образом,,
j/гочке Р соответствует определенный класс путей, ведущих из О в Р
[у&к, что для двух путей даида' класс путей, определяемый путем ww'-'1,
принадлежит подгруппе О. Это соответствие можно установить для
любой точки Р, лежащей над Р; соответствующие классы мы коротко
назовем „G-классами". Различным точкам Р над Р отвечают непере-
непересекающиеся О-классы.
Тем самым установлено взаимно однозначное соответствие между
.точками поверхности R и G-классами поверхности R. Если с по-
этого отображения z перенести топологию R на множе-
множеJC-тво /?x G-классов, то последнее станет топологическим простран-
^ством, гомеоморфным R.
D1 — поверхность наложения R с проектированием з^-1 (где з —
роектирование R -»• R). Это проектирование состоит в том, что каж-
каждому G-классу ставится в соответствие та точка, которой он соот-
тствует. Посмотрим еще, как выглядит на R± отмеченная окрест-
зсть 0х точки Рг Пусть Р — соответствующая точка на R и Р — ее
проекция на R. Если Qt — точка U1 и Q — ее образ в U, то проведем
1уть р из О в Р и удлиним его путем q, пробегающим целиком
%Р, до точки Q. Проекция pq этого пути пробегает тогда сначала от О
Р, а затем целиком в U.' „Точка" Qx есть G-класс пути pq.
Щ Этим описана отмеченная окрестность G-класса Р\: на R выби-
путь р из О к точке Р, принадлежащий G-классу Р^, и точку Р

88 ГЛ. II. ПОНЯТИЕ РИМАНОВОИ ПОВЕРХНОСТИ
соединяют с каждой точкой Q отмеченной окрестности U путем q,
пробегающим в U. Тогда окрестность Ut состоит из О-классов
путей pq.
2.62. Предыдущими рассмотрениями намечен путь к тому, как,
обратно, для заданной подгруппы G фундаментальной группы F по-
поверхности R построить соответствующую поверхность наложения.
Пусть О — начало путей на R и Р — произвольная точка поверх-
поверхности R. Пути, ведущие из О в Р, мы разбиваем на О-классы так,
что два пути wt и wu тогда и только тогда принадлежат к одному
и тому же классу, когда класс путей, определяемый путем ге^-и^1,
принадлежит подгруппе G.
Эти G-классы Р являются точками нашего пространства R. Теперь
нужно в R ввести топологию. Пусть Р—точка R и Р — соответ-
соответствующая точка на R, т. е. точка, которой отвечает G-класс Р. Пусть
U — параметрическая окрестность точки Р. Проведем на R путь р
из О в Р, принадлежащий G-классу Р, и соединим точку Р с каждой
точкой Q окрестности U путем q, пробегающим в U. Тогда G-класс
пути pq не зависит от выбора пути риз Ри пути q. Таким образом,
каждой точке Q из U поставлен в соответствие вполне определенный
G-класс Q. Множество этих классов, взаимно однозначно соответ-
соответствующих точкам из U, мы ставим в соответствие точке Р в качестве
отмеченной „окрестности" Т.
Пусть Р и Р' — две точки, „окрестности" которых f и Г пере-
пересекаются. Мы покажем, что пересечению ТТ' отвечает на R откры-
открытое множество (лежащее в UU'). Действительно, пусть М — „точка"
ТТ' и Ж — ее образ. Он лежит в пересечении UU'. Пусть р озна-
означает путь G-класса Р, ведущий из О в Р, и т — путь, пробегающий
в U из Р в М. Пусть р' и т' — соответствующие пути для точки Р'.
Так как М, по предположению, лежит как в Т, так и в Т", то
G-класс замкнутого пути pmm'~1p'~1 принадлежит подгруппе G.
Пусть теперь V—параметрическая окрестность М, лежащая цели-
целиком в пересечении UU'. Соединим М с каждой точкой Q ? V путем q,
пробегающим целиком в V. Тогда точке Q посредством пути pmq сопо-
сопоставляется „точка" Q в Т, а посредством пути p'm'q—„точка" Q'
в Т'. Эти две „точки" совпадают, так как путь pmq{p'm'qyx гомо-
гомотопен пути pmm'~1p'~1, следовательно, его G-класс принадлежит
подгруппе G. Поэтому точка Q является образом точки Q — Q'
из ТТ'. Этим для каждой точки М ? UU' указана окрестность V,
состоящая из образов точек ff'.

§ 4. ПОВЕРХНОСТИ НАЛОЖЕНИЯ 89
2.63. Итак, каждой точке Р мы сопоставили подмножество Т,
связанное взаимно однозначным соответствием с точками параметри-
параметрической окрестности U точки Р; при этом пересечению соседних под-
подмножеств на поверхности R отвечает некоторое открытое множество.
Тем самым каждое подмножество 7" обходным путем, через U, ото-
отображено на параметрический круг Uz этой окрестности. Пересечению
соседних подмножеств в каждом из обоих параметрических кругов
отвечает открытое множество Dz, соответственно Dz. „Соотношение
соседства" есть топологическое отображение Ds на Ог, так как оно
соответствует соотношению соседства для U и 0'. Поэтому, согласно
п. 2.16, на каждое подмножество Т можно перенести топологию
параметрических кругов, превращая таким образом R в топологиче-
топологическое пространство, удовлетворяющее аксиомам А и С.
Пространство R удовлетворяет также аксиоме отделимости. В самом
деле, пусть сначала Р и Р'—две различные точки R, отвечающие
одной и той же точке Р =: Р' поверхности R. Тогда подмно-
подмножества Г и Г' не пересекаются. В самом деле, допустим от про-
противного, что Т и Т пересекаются; пусть Q —точка пересечения ТТ'
и Q—соответствующая ей точка на R. Проведем на R из О в Р путь w
класса Р и путь w' класса Р'. Пусть q— путь из Р в Q, лежащий
в параметрической окрестности U точки Р. То, что Q лежит в пере-
пересечении ТТ', означает, что пути wq и w'q представляют один и тот же
О-класс, следовательно, путь wqq~lw'~ (т. е. его класс путей) при-
принадлежит подгруппе О. Тогда и класс путей, определяемый путем ww''1,
принадлежит G; но это означает, что Р = Р', вопреки предполо-
предположению.
Если, напротив, точки Р и Р' различны, то выберем для них
непересекающиеся окрестности V и V так, чтобы V лежала в Up
и V — в Up>. Тогда в 7", соответственно f', им отвечают непере-
непересекающиеся окрестности точек Р и Р'.
Следовательно, пространство R удовлетворяет аксиомам А, В и С
и тем самым является поверхностью. Если каждой точке Р поставить
в соответствие отвечающую ей по построению точку Р на R, то этим
"будет определено однозначное отображение з поверхности R на R.
По построению топологии R, оно является топологическим в каждой
окрестности Т. Следовательно, R — поверхность наложения R с про-
проектированием з.
2.64. Построенная таким образом поверхность наложения удовле-
удовлетворяет условиям безграничности п. 2.45. Сначала из построения

90 ГЛ. II. ПОНЯТИЕ РИМАНОВОИ ПОВЕРХНОСТИ
следует, что каждой точке Р соответствует определенная отмеченная
окрестность U, которая топологически отображается на окрестности Т
точек Р, лежащих над Р. Если затем Q — точка U, то все лежащие
над Q точки, т. е. все принадлежащие Q О-классы, принадлежат,
также по построению, одной из окрестностей Т.
2.66. То, что R— связная поверхность, следует из того, что каж-
каждая точка Р может быть соединена на R с О, где О — определяе-
определяемый G класс смежности точки Ог). Пусть Р — проекция Р и P(i) — путь
из О в Р, G-класс которого представлен точкой Р. Если каждой
точке t0 единичного отрезка 0 <! ?<! 1 поставить в соответствие О-класс
пути P(t) @<^<[2y, то этим будет задано взаимно однозначное
отображение отрезка 0<^<[1 в R. Из леммы п. 2.53 следует, что
это отображение непрерывно, следовательно, оно определяет путь P(t)
на R. Его начало, по построению, есть точка О, а конец [это G-класс
всего пути P(t)] есть Р. Таким образом, Р~ и О связаны путем P(t):
2.66. Остается еще показать, что построенная поверхность нало-
наложения отвечает подгруппе О. Пусть w=zP(t) @<!f^l)— замкну-
замкнутый путь на R, выходящий из О. Каждой точке Р(?) пути w ставим
в соответствие G-класс частичного пути wz @ ^ t <! i). Этим отрезок
0 <; t <[ 1 непрерывно отображается в R, следовательно, на R опре-
определяется путь w. Его начало б есть класс выходящих из О замкну-
замкнутых путей подгруппы G; при проектировании путь w переходит
в w. Поэтому он должен совпадать с (однозначно определенным)
выходящим из б путем наложения пути w. Конец пути w, по его
определению, есть G-класс всего пути w. Следовательно, путь w
тогда и только тогда замкнут, когда этот класс равен классу б. Поэтому
выходящий из О замкнутый путь тогда и только тогда имеет за-
замкнутый путь наложения, выходящий из О, когда его класс путей при-
принадлежит подгруппе G. Согласно п. 2.54, это означает, что при
проектировании фундаментальная группа поверхности R переходит
в подгруппу G. Этим существование требуемой поверхности наложе-
наложения доказано полностью.
2.67. Универсальная поверхность наложения. Согласно п. 2.61,
каждой подгруппе G фундаментальной группы F поверхности R отве-
отвечает безграничная поверхность наложения, фундаментальная группа
которой при проектировании изоморфно переходит в G. В частности, если
б обозначает G-класс точки О, совпадающий с G.— Прим. перев.

§ 4. ПОВЕРХНОСТИ НАЛОЖЕНИЯ 91
| за G взять единичный элемент группы F, то соответствующая поверх-
поверхность наложения R будет односвязна (см. п. 2.34). Она называется
4; универсальной поверхностью наложения R.
f R— всегда регулярная1) поверхность наложения. Число листов уни-
д; версальной поверхности наложения равно порядку фундаментальной
. группы. Отсюда следует, если R удовлетворяет аксиоме счетности,
что фундаментальная группа поверхности R состоит не более чем
k- из счетного числа элементов.
Универсальная поверхность наложения R является сильнейшей по-
^.верхностью наложения R, т. е. она является поверхностью наложения
для всякой другой поверхности наложения. В самом деле, если R—про-
i извольная безграничная поверхность наложения R, то проектиро-
* вание R-*-R, в силу односвязности R, может быть (согласно п. 2.57)
. перенесено на R, и тогда R (согласно п. 2.59) в силу проектиро-
проектирования R -> R становится (безграничной) поверхностью наложения R.
к
2.68. Поверхность наложения интегральных функций. Если за
подгруппу G фундаментальной группы F принять коммутант С, то
;получим так называемую поверхность наложения интегральных
функций2), которую мы обозначим через R. Так как С—нормальный
делитель F, то R регулярна.
Замкнутый путь w тогда и только тогда имеет замкнутые пути
наложения на R, когда его класс путей принадлежит коммутанту С,
;т. е., согласно п. 2.37, когда он гомологичен нулю. Классы смеж-
кности коммутанта С, а с ними и точки R, лежащие над точкой R,
^соответствуют взаимно однозначно классам гомологии поверхности R.
Отсюда следует, что число листов поверхности наложения R равно
„порядку группы гомологии поверхности R.
Поверхность наложения интегральных функций тогда и только тогда
совпадает с универсальной поверхностью наложения, когда комму-
коммутант С состоит только из единичного элемента, т. е. когда фунда-
фундаментальная группа F является абелевой. Это имеет место для сферы,
Числовой плоскости, тора и числовой плоскости с выколотой точкой.
<: 2.69. Группа преобразований наложения. Под преобразованием
Наложения (Deckbewegung) поверхности наложения R поверхности R
ронимают топологическое отображение т поверхности R на себя, при
отором точки R, лежащие над одной и той же точкой P?R, пере-
эавляются. Если Рг и Р2 — две точки, лежащие над Р, то существует
} 1) См. выше, п. 2.56. — Прим. перев.
$ 2) ср. Вейль [1*].

92 гл. п. понятие римановой поверхности
самое большее одно преобразование наложения, переводящее Pt в Р2;
это следует из п. 2.44, если там положить Rt = R2. Таким образом,
преобразование наложения, оставляющее неподвижной одну точку
поверхности R, есть тождество.
Совокупность преобразований наложения, допускаемых R, обра-
образует, очевидно, некоторую группу Т, группу преобразований нало-
наложения поверхности R. Она, возможно, состоит из одного только
тождества, самое же большее — из элементов, взаимно однозначно
соответствующих точкам R, лежащим над одной точкой R; последнее
имеет место тогда, когда каждую точку R с помощью преобразова-
преобразования наложения можно перевести в любую другую ее точку с той же
проекцией на R.
У каждой точки Р существует окрестность, в которой лежат только
точки, не эквивалентные Р относительно группы Т, так что эта группа
в каждой точке поверхности R дискретна.
2.70. Пусть Р и Рх — две точки R, лежащие над одной и той же
точкой Р поверхности R. Пусть F, соответственно Fv—фундамен-
Fv—фундаментальная группа R с началом путей в точке Р, соответственно Рг.
При нроектировании эти группы переходят во (взаимно сопряжен-
сопряженные) подгруппы О и G, фундаментальной группы F поверхности R.
Если теперь точки Р и Рг эквивалентны относительно группы Т,
то подгруппы О и Ot даже совпадают. В самом деле, если (w) —
класс путей из G и w — некоторый путь из этого класса, то ему
соответствует на R определенный замкнутый путь наложения w, вы-
выходящий из Р. При преобразовании наложения P-+Pt путь w пере-
переходит в замкнутый путь wv выходящий из Рг и также лежащий над
путем w. С другой стороны, проекция' пути wv т. е. w, должна
принадлежать классу путей Ov Значит, класс путей О лежит в классе
путей Ov Так как Gt и О равноправны, то справедливо и обратное,
следовательно, G = Gv
Если, обратно, группы Ои О, состоят из одних и тех же эле-
элементов, то точки Р и Рх должны быть эквивалентны относительно
группы Т. В самом деле, фундаментальным группам F и F± соответ-
соответствуют тогда одинаковые подгруппы О = Ох, а отсюда, согласно п. 2.59,
следует существование топологического отображения поверхности. R
на себя, переводящего Р в Рх и переставляющего точки R, лежащие
над одной и той же точкой R. Это — требуемое преобразование
наложения.
Итак, две точки Р и Pv лежащие над одной и той же точкой,
тогда и только тогда эквивалентны относительно группы Т, когда

g 4. ПОВЕРХНОСТИ НАЛожЕНИЯ 93
фундаментальные группы F и F~v соответствующие им как начальным
точкам путей, преобразуются в одну и ту же подгруппу фундамен-
фундаментальной группы F.
2.71. Это условие может быть выражено еще иначе. Для этого
соединим точки Р и Рг путем а. Если О — подгруппа группы F,
соответствующая F, то, согласно п. 2.56, группе Fx соответствует
сопряженная подгруппа (a) О (а). Точки Р и Рх тогда и только
тогда эквивалентны относительно Т, когда
B.5)
Это условие всегда выполняется, когда G — нормальный дели-
делитель группы F, т. е. когда поверхность наложения регулярна.
В этом случае все точки над Р эквивалентны Р относительно группы Т.
Обратно, если всякие две точки над Р эквивалентны, то B.5) должно
выполняться для каждого класса путей (а), т. е. G — нормальный
делитель и поверхность наложения R поверхности R регулярна.
2.72. Структура группы преобразований наложения. Пусть (а)—
класс путей, для которого выполняется B.5). Тогда, согласно п. 2.70,
если О — начало путей (а) и О—точка R над О, то классу (а)
можно поставить в соответствие эквивалентную О точку на R и тем
самым преобразование наложения. Для этого нужно взять путь а
из (а), построить его путь наложения на R с началом в б и рас-
рассмотреть конец этого пути О^, он эквивалентен б. Пусть 6X-±O —
отвечающее (а) преобразование наложения. Из предыдущего сле-
следует, что таким образом могут быть получены все преобразования
наложения.
Классы путей (а), для которых выполняется B.5), образуют под-
подгруппу Z группы F, содержащую, в свою очередь, подгруппу G.
Последняя является даже нормальным делителем группы Z. Под-
Подгруппу Z называют промежуточной группой для О в F.
2.73. Построенное выше отображение Z-+T является гомомор-
физмом. Чтобы это доказать, нужно показать, что произведению
..классов путей из Z отвечает произведение соответствующих преобра-
преобразований наложения. Пусть (а) — класс из Z, а — путь из (а) и а —
^соответствующий путь наложения, выходящий из О. Если ба — его
..конец, то 0а-*-0 — преобразование наложения Та. Точно так же дру-
;>гому пути b отвечает преобразование наложения Ть.
t Чтобы получить преобразование наложения, соответствующее про-
;;.изведению (Ьа), нужно для Ьа построить путь наложения с началом в О.

94 ГЛ. it. ПОНЯТИЕ РЙМАНоВОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Строя сначала путь наложения Ъ, придем к точке бь. Строя затем
из Оь путь наложения а, придем к точке бЬа. Соответствующее (Ьа)
преобразование наложения ТЬа задается через ОЬа ->¦ О.
G другой стор_оны, ТаТь(ОЬа) —О, или, что то же, Ть(бЬа) = б^а.
В самом деле, ОЬа — конец пути наложения а, выходящего из бь.
Поэтому Ть(ОЬа) должно быть концом пути наложения а, выходя-
выходящего из точки Тьфь) =0, т. е. точкой ба.
2.74. Поскольку отображение Z-> T есть гомоморфизм, естественно
поставить вопрос о его ядре. Оно состоит из всех классов
путей, которым соответствует тождественное преобразование нало-
наложения. Каждый класс путей подгруппы G принадлежит ядру, ибо
пути а из О на R соответствует замкнутый путь наложения с нача-
началом в О, следовательно, соответствующее преобразование наложения Та
есть тождество. Обратно, класс пути, которому на R соответствует
замкнутый путь наложения с началом в О, принадлежит подгруппе G.
Следовательно, ядро совпадает с подгруппой G. Поэтому из теоремы
о гомоморфных отображениях вытекает, что Tg^Z/G:
Группа преобразований наложения изоморфна фактор-группе
промежуточной группы Z по подгруппе G.
В частности, если О — нормальный делитель группы F, следо-
следовательно, поверхность наложения R регулярна, то промежуточная
группа Z совпадает со всей группой F. В этом случае Г— F/G.
2.75. Критерий гомеоморфности двух поверхностей, выра-
выраженный через группы преобразований наложения. Пусть /?х и R2—
две поверхности и Rt и R.2 — их универсальные поверхности нало-
наложения. Если Rt и /?2 гомеоморфны, то существует топологическое
отображение х /?х на ^2> такое, что точки /?: с одной и той же проекцией
на Rt переходят в точки /?2 с одной и той же проекцией на /?2.
Действительно, пусть а± и о2 — проектирования; если «—топо-
«—топологическое отображение Rt на R2, то /?х является поверхностью нало-
наложения /?2 с проектированием <biv Следовательно, отображения csat
и о2 являются проектированиями соответственно Rt и /?2 на /?2. Эти по-
поверхности наложения соответствуют одной и той же подгруппе фун-
фундаментальной группы поверхности /?2, а именно, единичному элементу
(ибо Rt и /?2 односвязны). Поэтому, согласно п. 2.59, существует
топологическое отображение Rt на /?2 требуемого вида.
Обратно, если существует топологическое отображение х поверх-
поверхности Rt на /?2, которое точки с одной и той же проекцией переводите
точки с одной и той же проекцией, то поверхности R± и /?а гомеоморфны.

I 4, ПОВЕРХНОСТИ НАЛОЖЕНИЙ 95
Действительно, пусть Рх— произвольная точка R1 и Рх— точка
над ней. В силу отображения -с, точке Рх отвечает точка Р2 на /?2,
а последней, в силу проектирования з2,—точка Р2 на R.2. Точку Р2
ставим в соответствие точке Рх в качестве ее образа. Это соответ-
соответствие, по предположению о х, не зависит от выбора точки Pt над Pv
Таким образом, определено взаимно однозначное отображение поверх-
поверхности R± на поверхность /?2, и это отображение, очевидно, тополо-
топологическое.
Этим доказано:
Две поверхности Rt и /?2 тогда и только тогда гомеоморфны,
когда их универсальные поверхности наложения Rx и R.2 могут быть
топологически отображены друг на друга так, что точки с одной
и той же проекцией на Rx переходят в точки с одной и той же
проекцией на /?2.
2.76. Найденное таким образом условие может быть просто вы-
выражено с помощью группы преобразований наложения. Пусть х—топо-
х—топологическое отображение Йг на /?а с указанным выше свойством
и х± — произвольное преобразование наложения Rv Тогда х2 = хх1х~1
, есть преобразование наложения /?а. В самом деле, пусть Р2—произ-
Р2—произвольная точка R.2. Отображение х~г преобразует ее в точку Рг поверх-
поверхности Rv Так как хг — преобразование наложения, то точка х1(Р1)
имеет ту же проекцию, что и Pv По предположению относительно
отображения т, точки xxt (Рх) — т2 (Р2) и х(Р1) = Р2 лежат поэтому
над одной и той же точкой, что и требовалось доказать.
Таким образом получаются все преобразования наложения /?2:
•в самом деле, если х.2 — произвольное такое преобразование, то оно
^получается из преобразования наложения х-Ч^х поверхности /?г По-
Поэтому отображение х индуцирует взаимно однозначное отображе-
отображение Тг на Г2. Это отображение изоморфно, ибо, как можно убедиться,
^произведение переходит в произведение. Таким образом, группа Г2
^получается из группы Tt преобразованием с помощью отображения х.
у Обратно, если, существует топологическое отображение х поверх-
'ности Rt на R2, переводящее группы наложения друг в друга,
¦;Т2 = xTjX*1, то х переводит точки с одной и той же проекцией в точки
i?c одной и той же проекцией. В самом деле, если Рх и Р[ — две
Rv лежащие над одной и той же точкой Rv то они
эквивалентны относительно группы 7^ (ибо Rv как универсаль-
универсальная поверхность наложения, регулярна). Если хх означает преобразо-
|Вание наложения P1->Pi, то xxtx , по предположению об отобра-
отображении х, есть преобразование наложения /?а. Оно переводит образы

96 гл. п. понятие римановой поверхности
точек Pi и Р\ друг в друга; поэтому они должны лежать над одной
и той же точкой /?а. Таким образом, мы получили следующее условие:
Две поверхности R± и R2 тогда и только тогда гомеоморфны,
когда существует такое топологическое отображение т поверх-
поверхности Rx на R.2, что группа преобразований наложения поверхно-
поверхности R2 получается из группы преобразозаний наложения поверх-
поверхности Rx преобразованием с помощью отображения т.
2.77. Разветвленные поверхности наложения. Пусть R и R—два
двумерных многообразия и о — однозначное отображение R на R,
удовлетворяющее условию п. 2.40, исключая некоторые изолированные
„точки разветвления", в которых это условие заменяется следующим1):
Если Р — точка разветвления R, то существует такая гомеоморфная
кругу окрестность 0 точки Р, что Р — единственная точка U, пере-
переходящая в точку Р = о (Р), в то время как исключая Р, имеется
по k точек, переходящих в одну и ту же точку окрестности U.
Каждую такую гомеоморфную кругу окрестность точки Р мы назы-
называем отмеченной окрестностью точки Р.
Если Л=1, то это условие означает то же самое, что условие
п. 2.40, и Р тогда — „обыкновенная" точка R. Если же Л>1, то
соответствующая точка Р называется точкой разветвления порядка
k — 1. Поэтому обыкновенную точку можно рассматривать как точку
разветвления нулевого порядка. Точки разветвления лежат изолиро-
изолированно на R.
Поверхность R называется разветвленной поверхностью нало-
наложения поверхности R.
2.78. Пусть Р — точка разветвления и 0 — область 0 — Р. Тогда
U — неразветвленная поверхность наложения области О—U — Р. При
этом в каждую точку из О переходят k точек из О; поэтому, согласно
п. 2.48, поверхность наложения 0 для U безгранична и имеет k ли-
листов. Тогда, согласно п. 2.60, параметрические отображения I: U ->• Uz
и X : U -*US можно выбрать так, что соответствующее отображение
параметрических кругов с выколотыми центрами Us и Ug есть ото-
отображение г = zk. Так как в обоих параметрических отображениях
точкам Р и Р отвечают соответственно точки z = 0 и z = 0, то пере-
перенесенное на параметрические круги отображение полных окрест-
окрестностей О и U также есть z = zk. Поэтому для проектирования о
!) Следующие понятия, как вообще развитая выше теория поверхностей
наложения, находятся в тесной связи с понятием „внутреннего отображения"
по Стойлову [1].

_ § 4- ПОВЕРХНОСТИ НАЛОЖЕНИЯ 97
окрестности О справедливо соотношение з^ = Хз, где ох означает
отображение z = zk.
Отсюда следует, что проектирование з непрерывно и в точке
разветвления; следовательно, а — непрерывное отображение R на R.
По предположению, точки разветвления расположены изолированно.
2.79. Если из R удалить точки разветвления и отобразить
оставшуюся часть R в R с помощью з, то в качестве проекций полу-
получатся все точки R, исключая те, над которыми расположены только
точки разветвления. Если исключить эти точки из R и обозначить через R
остающуюся часть, то R будет неразветвленной поверхностью нало-
наложения R.
2.80. Разветвленная поверхность наложения R называется безгра-
безграничной, если проектирование удовлетворяет условиям I и II п. 2.45
в каждой точке Р поверхности R, независимо от того, лежат над ней
точки разветвления или нет.
2.81. Если из безграничной разветвленной поверхности наложения
построить соответствующую неразветвленную путем удаления точек
разветвления, как в п. 2.79, то последняя, вообще говоря, уже не
будет безграничной.
Из безграничной разветвленной поверхности наложения можно,
однако, следующим образом получить безграничную же, неразвет-
неразветвленную.
Удалим из R все те точки, над которыми лежит по крайней мере
одна точка разветвления, а из R— все лежащие над ними. В силу
безграничности поверхности наложения, удаляемые точки поверх-
поверхности R расположены на ней изолированно, поэтому остающаяся часть
Щ снова является поверхностью. Отсюда вытекает, что поверхность R,
^полученная из R удалением указанных выше точек, является безгра-
безграничной поверхностью наложения R.
; В самом деле, R — прообраз R на R. Отсюда следует, на осно-
основании последнего абзаца п. 2.45, что R безгранична.
js Итак, над каждой точкой R, над которой не лежит ни одна
точка разветвления, лежит одинаковое число точек R. Их число, т. е.
мело листов неразветвленной поверхности наложения R поверх-
поверхности R, называется числом листов разветвленной поверхности нало-
Кения R поверхности R.
2.82. Пусть R — безграничная конечнолистная разветвленная по-
fepXHOCTb наложения R, Р — точка R и Рч (ч = 1, . . ., п) — точки R,

ГЛ. И. ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ
лежащие над Р. Если среди них нет ни одной точки разветвления,
то их число п равно числу листов g. Но и в других случаях можно
сделать некоторое заключение относительно их числа. Для этого
предположим, что U — отмеченная окрестность точки Р (см. п. 2.45)
и Q — точка U, отличная от Р; над Q лежит ровно g точек, так
как над Q нет точек разветвления. С другой стороны, если &„—¦ 1 озна-
означает порядок точки Р„ то, в силу условия безграничности, над Q
лежит ровно 2 kt точек. Отсюда вытекает, что
4 = 1
Следовательно, для числа п точек Рч имеем неравенство n^g, при-
причем равенство п = g справедливо только тогда, когда над Р нет
точек разветвления.
• 2.83. Результат п. 2.48 можно теперь перенести на разветвлен-
разветвленные поверхности наложения. Если R— безграничная конечнолистная
поверхность наложения R, то, согласно п. 2.82, сумма увеличенных
на единицу порядков лежащих над Р точек Р равна числу листов g.
Обратно, пусть R— такая (не обязательно безграничная) поверхность
наложения R, что над каждой точкой Р лежит только конечное число
точек Рг, ..., Рп (причем п может зависеть от Р) и сумма увели-
увеличенных на единицу порядков точек -Рн равна не зависящему от Р
числу g. Тогда поверхность нало жени R безгранична и g—число ее
листов.
Действительно, пусть Р—точка R и Pv ..., Рп — ее прообразы.
Каждая точка Р, имеет отмеченную окрестность Оч, отображаемую
на окрестность U4 точки Р. При этом, согласно пп. 2.60 и 2.78,
параметрические отображения для них можно выбрать так, что соот-
соответствующие отображения параметрических кругов имеют вид z = z v,
где k^ — 1 означает порядок Рч. Пусть теперь Uz — круг с центром
в Рг, который содержится во всех кругах Uz> ч. Ему соответствует
в 0г> „ круг Og, v. Пусть U* и U*, — соответствующие окрестности Р
и Р„. Тогда t/, с помощью а отображается на окрестность и точки Р
(не зависящую от v). Следовательно, первое условие безграничности
выполняется.
Пусть, далее, Q—отличная от Р точка U*. Для ее прообразов Q^,
если /^ — 1—порядок Q^, имеем, по предположению, 2'|л = й"- Но
~* *
в каждой окрестности U-, лежит ровно Av прообразов точки Q, при-
причем все они имеют нулевой порядок, так что их часть в сумме 2^
равна k4. Поэтому часть прообразов точки Q, лежащих в множе-

j 4. ttOfeEPXHOCTH НАЛОЖЕНИЯ 99
стве 2 U*> равна 2 ^*>a п0 предположению, это число также равно g,
т. е. 2L- Отсюда следует, что все прообразы Q лежат в 2 &•>-
Таким образом, выполнено второе условие безграничности. v
2.84. Рассмотрим, как в п. 2.49, частный случай, когда поверх-
поверхность R компактна. Тогда, вполне аналогично тому, как это было сде-
сделано для неразветвленных поверхностей наложения, доказывается, что R
безгранична и имеет конечное число листов. Кроме того, R может иметь
только конечное число точек разветвления. Обратно, если R— раз-
разветвленная безграничная конечнолистная поверхность наложения ком-
компактной поверхности R, то и /^должна быть компактной поверхностью.
Также и на этот случай непосредственно переносится доказательство
соответствующей теоремы для неразветвленных поверхностей нало-
наложения (см. п. 2.50).
2.85. Для разветвленных поверхностей наложения остается в силе
и лемма п. 2.58.
Пусть R — разветвленная поверхность наложения R и <р — одно-
однозначное отображение третьей поверхности Rt на R со свойствами:
1. Если Pt— точка Rt, Р — ее образ на R и U—отмеченная
окрестность точки Р (относительно проектирования о: R-+R), то
существует гомеоморфная кругу окрестность Ux точки Р1г образ
которой лежит в U.
2. Отображение о<р = ах есть („разветвленное") проектирование
Rt на R.
Тогда <р — разветвленное проектирование Rt на R.
Мы должны каждой точке Pt поверхности Rt поставить в соот-
соответствие отмеченную окрестность и показать, что она топологически
или разветвленно отображается на окрестность точки P = <?(/>i). При
этом достаточно рассмотреть случай, когда хотя бы одна из точек
Рх или Р = <р (Р±) является точкой разветвления относительно про-
проектирования av соответственно о, так как случай, когда они
оба не являются точками разветвления, был уже рассмотрен в п. 2.58.
2.86. Итак, пусть Рг и Р—точки разветвления соответственно
порядков т—1 и »—1. Пусть Uu U—отмеченные окрестности
точек Р и Р относительно проектирования о, a Ux и U' — отме-
отмеченные окрестности точек Рх и Р относительно проектирования ох,
причем <?(Uj) лежит в U, следовательно, U' лежит в U и (/'лежит
'в U. Тогда «(f/j) лежит в U' и, больше того, совпадает с I/'1).
х) Последнее утверждение внесено переводчиком для большей полноты
доказательства. Его нетрудно доказать. — Прим. перев.
7*

lot) Гл. п. понятие римановой поверхности
Отобразив U' на параметрический круг и выбрав подходящие
параметрические отображения для Ux и 0', преобразуем ох и з соот-
соответственно в z — zT и z = zn, откуда следует, что
Так как функция <p(zt) здесь однозначна и непрерывна, то т кратно я,
т. е. т = ?га (я — натуральное число), откуда
где v — целое число A^чя^я). Это означает, что <р в точке Рх
есть разветвленное проектирование /?х на R порядка к — 1. Этим
лемма полностью доказана.
2.87. Универсальная поверхность наложения R является единствен-
единственной односвязной (безграничной) неразветвленной поверхностью нало-
наложения для R. Поставим теперь вопрос о разветвленных односвязных
поверхностях наложения для R. Прежде всего ясно, что каждая раз-
разветвленная поверхность наложения R также является разветвленной
поверхностью наложения R. Но и обратно, каждая односвязная раз-
разветвленная поверхность наложения R является также поверхностью
наложения R. Действительно, пусть Rx— такая порерхность и сх—
проектирование Rx-+R. В силу односвязности Rv это отображение
можно перенести на R, и из леммы п. 2.85 следует, что получаемое
А
отображение Rx—>R будет (разветвленным) проектированием.
Тем самым вопрос об односвязных разветвленных поверхностях
наложения для R сведен к случаю, когда поверхность R сама одно-
связна.
2.88. Поверхности наложения римановых поверхностей. Пусть
R — риманова поверхность и R — (разветвленная или неразветвлен-
ная) поверхность наложения R. Тогда R можно сделать римановой
поверхностью таким образом, что проектирование а, исключая
точки разветвления, становится конформным отображением R на R г).
!) Отсюда и из того, что риманова поверхность удовлетворяет аксиоме
счетности, можно заключить, что фундаментальная группа римановой поверх-
поверхности всегда счетна. Действительно, если R — произвольная риманова по-
поверхность, то ее универсальную поверхность наложения /? можно сделать
римановой поверхностью, и поэтому (гл. IV, § 3) она удовлетворяет аксиоме
счетности. Следовательно, над точкой R может лежать только счетное число
точек R; но, с другой стороны, они взаимно однозначно соответствуют эле-
элементам фундаментальной группы поверхности R.

§ 4. ПОВЕРХНОСТИ НАЛОЖЕНИЯ 101
Действительно, пусть Р — произвольная точка поверхности R и
Р — ее проекция. Пусть U и U — отмеченные окрестности соответ-
соответственно точек Р и Р.
Мы можем считать, что U лежит в параметрической окрестности К
точки Р. Пусть Кг: | г | < 1 (Рч—> z = 0) означает соответствующий
параметрический круг и К — отображение К-+Кг- Построим в Кг
настолько малый круг kz: \z | < г, чтобы его прообраз k в К целиком
принадлежал окрестности U.
Чтобы получить отсюда параметрическую окрестность точки Р,
предположим сначала, что Р не есть точка разветвления. Тогда з
в U — топологическое отображение и о-iX-1 — топологическое отоб-
отображение kg в U. Образ k мы принимаем за параметрическую окрест-
окрестность точки Р.
Нужно показать, что определяемые этим соотношения соседства
конформны. Пусть Рх— другая точка на R с параметрической
окрестностью kv пересекающейся с Ъ. Тогда соотношение соседства
имеет вид (Я1з)(о-1Я-1); оно совпадает с (конформным) соотноше-
соотношением соседства Х1Х~1 проекций Р± и Р.
2.89. Пусть теперь Р — точка разветвления порядка г — 1 (г^-2).
Тогда мы рассматриваем область k = k — Р. Множество к прообра-
прообразов ее точек в U есть безграничная поверхность наложения к с чис-
числом листов г. Поэтому к с проектированием Хз является г-лист-
ной поверхностью наложения области 0<|z|< 1. Согласно п. 2.60,
тогда существует такое топологическое отображение "к области k на
область 0< |г|< 1, что отображение р = ХзХ имеет вид z = zr.
Его можно расширить до топологического отображения к-\-Р на
круг |г|< 1, ставя в соответствие точке Р точку 2 = 0. Теперь
мы'принимаем область ~к-=%-\-Р за параметрическую окрестность
точки Р. Проектирование в параметрических кругах имеет тогда
вид z = zr.
Нужно еще показать, что соотношения соседства конформны.
Пусть Рх — другая точка на R с параметрической окрестностью ~klt
'Пересекающейся с к. Так как точки разветвления расположены на R
изолированно, то мы можем считать, что Рх — не точка разветвле-
разветвления. Далее, так как отображение о в окрестности Ut является топо-
топологическим, то точка разветвления Р не принадлежит пересече-

102 ГЛ. II. ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ
нию UUV Тогда соотношение соседства Р-*-Р1 есть (\|а)(о-1А.-1р) =
= Л1Х~1р, следовательно, оно равно произведению конформного соот-
соотношения соседства л^ и конформного проектирования р*).
Таким образом, R стала римановой поверхностью. Непосред-
Непосредственно из построения следует, что проектирование конформно
всюду, исключая точки разветвления; в точке разветвления порядка
г—1 оно ведет себя как отображение z-=/.
2.90. Из этого результата вытекает, что каждую ориентируемую
триангулируемую2) поверхность R можно сделать римановой поверх-
поверхностью. В самом деле, такую поверхность можно рассматривать как
разветвленную поверхность наложения 2-сферы, и тогда, согласно
п. 2.89, конформная структура 2-сферы может быть перенесена на
поверхность R.
Проектирование о строится с помощью триангуляции Т по-
поверхности /?3). Для этого мы сначала переходим к подразделению Т,
в котором вершинами являются центры тяжести Л„ В^ 2- и 1-сим-
1-симплексов о*, о* и вершины Ср первоначальной триангуляции Г (фиг. 4,
слева). Затем мы определяем ото-
отображение о для вершин, полагая
о (А,) = сю, о (BJ = 1 и о (Ср)=0.
Чтобы это отображение распро-
распространить на 2-симплексы, мы
нормируем сначала прямолиней-
прямолинейные симплексы-прообразы так,
чтобы они все были конгруэнтны.
Затем мы каждый симплекс-про-
. образ отображаем конформно на
верхнюю полуплоскость так, чтобы его вершины перешли в указанные
точки. Это отображение выполнимо элементарно и определено одно-
однозначно для каждого 2-симплекса. Этим устанавливается однозначное
отображение поверхности R на (замкнутую) верхнюю полуплоскость.
Исходя из него, мы строим отображение на всю плоскость, отобра-
отображая дальше некоторые 2-симплексы на нижнюю полуплоскость путем
зеркального отражения относительно оси д:-ов, по следующему пра-
правилу: если 2-симплексы R ориентированы когерентно (см. п. 2.95),
то в каждом 2-симплексе имеются две ориентации: во-первых,
определяемая порядком следования его вершин Л,, В^, С?, во-вторых,
!) Нужно иметь в виду, что точка Р, в которой нарушается конформ-
конформность отображения р, не принадлежит пересечению ft*j.
2) Относительно понятия триангулируемости см. § 5 гл. II.
3) По Радо [1], каждая поверхность, удовлетворяющая аксиоме счет-
ности, триангулируема, поэтому предыдущая теорема имеет место для каж-
каждой ориентируемой поверхности, удовлетворяющей аксиоме счетности.

S 5. ТРИАНГУЛЯЦИЯ МНОГООБРАЗИЯ 103
Определяемая когерентной ориентацией. Теперь мы условимся, что
аждый 2-симплекс, в котором эти ориентации противоположны,
Гображается далее на нижнюю полуплоскость, с другими же
Ц-симплексами ничего больше не происходит. Этим определяется
Однозначное отображение поверхности R на всю 2-сферу. При этом
два 2-симплекса с общей стороной всегда переходят в разные по-
руплоскости, так как общий 1-симплекс получает от обоих поряд-
порядков следования вершин одинаковые ориентации, напротив, от коге-
когерентной ориентации 2-симплексов — противоположные. Из послед-
последнего замечания следует, что в окрестности средней точки 1-сим-
1-симплекса1) отображение локально топологическое. То же самое, по
^построению, заведомо справедливо для средней точки 2-симплекса,
|так как каждый 2-симплекс отображается топологически.
.7, В окрестности вершины триангуляции отображение уже не вза-
взаимно однозначно, но удовлетворяет условию разветвленное™ п. 2.77.
„Таким образом, R — разветвленная поверхность наложения г-сферы
и тем самым, согласно п. 2.89,—риманова поверхность2).
§ 5. ТРИАНГУЛЯЦИЯ МНОГООБРАЗИЯ
i 2.91. Топологические симплексы. Пусть R — двумерное много-
многообразие (аксиомы А, В, С, гл. II, § 1). Особый /г-симплекс (k = 0, 1, 2)
*\на R (см. п. 2.27) называется топологическим k-симплексом, если
^определяющее его непрерывное отображение является топологиче-
топологическим. Этим все понятия, определенные для особых симплексов, пере-
переросятся на топологические симплексы.
| Средней точкой топологического /г-симплекса называется образ
Жутренней точки треугольника-прообраза или отрезка-прообраза.
1редняя точка топологического 2-симплекса является внутренней
очкой этого 2-симплекса относительно многообразия R.
Топологические 2- и 1-симплекс называются инцидентными, если
торой является стороной первого.
2.92. Триангуляция. Система из конечного или счетного числа
топологических 2-симплексов образует триангуляцию многообра-
многообразия R, если выполняются следующие условия:
1. Каждая точка R принадлежит по крайней мере одному сим-
йексу.
2. Каждая точка обладает окрестностью, имеющей общие точки
Олько с конечным числом симплексов.
!) О „средних точках" ^-симплекса см. п. 2.91.
а) На доказанную выше возможность сделать ориентируемую триангули-
триангулируемую поверхность римановой поверхностью обратил мое внимание в уст-
|ом замечании Л. Альфорс. [См. также А. И. Маркушевич [1**], гл. VIII,
fc 2.2. — Прим. перев.]

104 гл. и. понятие римановой поверхности
3. Пересечение двух симплексов либо пусто, либо состоит из
общей вершины, либо — из общей стороны1).
Триангулируемое многообразие удовлетворяет аксиоме счетности D;
нужно лишь каждый из (не более чем счетного числа) симплексов
заключить в соответствующую параметрическую окрестность, чтобы
получить покрытие многообразия счетным числом таких окрестностей.
Обратно, каждое многообразие, удовлетворяющее аксиоме счетности,
триангулируемо2). Мы здесь не будем этого доказывать, так как
триангулируемость римановой поверхности получится из общих ре-
результатов теории униформизации.
Если многообразие R компактно, то каждая триангуляция может
состоять только из конечного числа симплексов, ибо иначе „центры"
отдельных симплексов образовывали бы на R бесконечное множество,
которое, в силу условия 2, не имело бы ни одной точки сгущения.
2.93. Подразделение. Топологический 2-симплекс з2 подразде-
подразделяется путем произвольного разделения его прямолинейного симплекса-
прообраза на конечное число треугольников и последующего отобра-
отображения их на R с помощью соответствующего о2 топологического
отображения. Если 2-симплексы триангуляции подвергнуть такому
подразделению, то получится новая система 2-симплексов, удовле-
удовлетворяющая условиям 1 и 2 п. 2.92 (такая триангуляция называется
подразделением первоначальной). Чтобы выполнялось и третье усло-
условие, требуется следующее: если о1 есть 1-симплекс с прообразами
о} и 02 (в прообразах двух 2-симплексов, которые к нему примы-
примыкают), то при аффинном отображении о} ->• з\ подразделение з{ пере-
переходит в подразделение о\. Это, например, всегда имеет место при
нормальном (барицентрическом) подразделении симплексов, когда
каждый прямолинейный 2-симплекс разделяется медианами на шесть
треугольников (см. фиг. 4, слева).
2.94. Условие инцидентности. 1-симплекс з1 триангуляции R
инцидентен с двумя и только с двумя 2-симплексами.
Прежде всего, о1 инцидентен по крайней мере с двумя 2-симплек-
2-симплексами. Допустим, от противного, что о2 — единственный такой 2-сим-
2-симплекс, и рассмотрим среднюю' точку Р симплекса о1. По условию 2
п. 2.92, существует окрестность U точки Р, имеющая общие точки
!) Если два симплекса имеют пустое пересечение, то в дальнейшем мы
будем называть их (в переводе) непересекающимися. Заметим, что если два
2-симплекса примыкают к одному и тому же 1-симплексу ai (имеют общую
сторону), то отрезки-прообразы, соответствующие с* в треугольниках-про-
треугольниках-прообразах, связаны друг с другом аффинным преобразованием (см. п. 2.27,
равенство симплексов). — Прим. перев.
2) Теорема Радо [1].

§ 5. ТРИАНГУЛЯЦИЯ МНОГООБРАЗИЯ 105
только с конечным числом 2-симплексов ач (ч = 0, ..., п; зо = aJ).
Но так как, по предположению, ни один из симплексов з*(* = 1, ...,»)
не имеет 1-симплекс о1 своей стороной, то ни один такой симплекс
не может, по условию 3, содержать и Р. Поэтому, в силу замкну-
замкнутости о?, существует окрестность U4 точки Р, не пересекаю-
пересекающаяся с з^. Пересечение UUX ... LJn есть снова окрестность Р. Точка Q
этой окрестности, не принадлежащая о2, не может тогда принадле-
принадлежать никакому симплексу триангуляции,в противоречие с условием 1.
Таким образом, 1-симплекс з1 инцидентен по крайней мере с двумя
2-симплексами а\ и о!- Остается показать, что нет других 2-симплек-
2-симплексов. Пусть К—параметрическая окрестность, содержащая з1. Не пред-
представляет ограничения предположение, что все инцидентные с о1 2-сим-
плексы лежат в К, так как этого можно добиться подходящим
подразделением (см. фиг. 4, справа), не меняющим числа инцидент-
инцидентных с о1 симплексов. Так как окрестность К гомеоморфна кругу,
то для каждой средней точки Р симплекса э1 существует окрест-
окрестность U12, лежащая в '^"b0^-
Если бы теперь з| был третий 2-симплекс, инцидентный с о1,
то можно было бы аналогично найти окрестности ?/23> соответ-
соответственно U3V точки Р, лежащие целиком в о| -|— з|, соответственно
в ojj + a^. Тогда окрестность Uv>Ug3U3l должна была бы лежать на
1-симплексе о1, что невозможно. Таким образом, о1 может быть инци-
инцидентен только с двумя 2-симплексами.
Отсюда следует, что инцидентные с 0-симплексом о0 2-симплексы
о* (ч = 1 и) образуют вокруг о0 единственный цикл, т. е. могут
быть расположены так, что о^+1 и о* (ч = 1, ..., и (mod и)) имеют
общий 1-симплекс.
2.95. Когерентная ориентация. Пусть R — триангулируемая по-
поверхность и о* (¦*= 1, .. .) — 2-симплексы триангуляции. Будем счи-
считать их ориентированными. Ориентация этих 2-симплексов называется
когерентной, если на каждом 1-симплексе триангуляции два инци-
инцидентных с ним 2-симплекса индуцируют противоположные ориента-
ориентации. Мы покажем, что в случае ориентируемой поверхности такая
ориентация всегда возможна. Этому мы предпошлем рассмотрение
ориентированных топологических 2-симплексов числовой плоскости.
2.96. Итак, пусть ва={г1 22 гй\—ориентированный топологи-
топологический 2-симплекс числовой плоскости. Его граница, рассматриваемая
как точечное множество, есть жорданова кривая. Введем на ней пара-
параметр t (O=s:f^l); пусть tv t2, t3 — значения параметра, соответ-
соответствующие точкам zv z.2, z&. Тогда произведение

106 ГЛ. II. ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ
отлично от нуля, следовательно, оно положительно или отрицательно *).
Если х — другой параметр, то произведения (х1 — -2)(ta — tg) (т3 — т^)
и (tt — t2)(t2 — t^)(t3 — tt) имеют одинаковые или противоположные
знаки, в зависимости от того, связаны ли т и t монотонно возра-
возрастающим или монотонно убывающим преобразованием. Если мы до-
допустим только такие параметры t, что
ft—к) (к-к) (к—*i)>o,
то ориентированному 2-симплексу {z± z.2 z3] будет соответствовать,
класс параметрических представлений его границы, такой, что каждые
два допустимых параметра связаны между собой монотонно возра-
возрастающим преобразованием.
Пусть теперь t — такой допустимый параметр и z0 — произволь-
произвольная средняя точка о2. Тогда число обходов (Umlaufszahl) кри-
кривой z (t) вокруг точки z0 равно -j- 1 или — 1, независимо от выбора
точки z0 и допустимого параметра t. Таким образом, каждому
ориентированному топологическому 2-симплексу {ztz^ia} отвечает
вполне определенное число, которое мы обозначим через и{г1г.^гй\,
имеющее значение -f- 1 или — 1. Противоположно ориентированным
симплексам отвечают противоположные числа, т. е.
Топологический 2-симплекс {z^z.^} называется положительно
ориентированным, если соответствующее число и равно -f- 1.
2.97. Мы заимствуем из топологии числовой плоскости следующие
три теоремы:
I, Пусть /—топологическое преобразование симплекса
на числовой плоскости и {z'^z'^'A—симплекс-образ. Тогда
или
в зависимости от того, сохраняет ли / ориентацию или меняет ее.
II. Пусть {z&z.^ и {zxz^zk\—два топологических 2-симплекса
числовой плоскости, имеющие общей частью только сторону {z^}.
Тогда
!) Если одна из точек Z{ совпадает с началом z@) = z(l) кривой, то для
знака предыдущего выражения безразлично, положим ли мы tf = 0 или tf = 1.

i 5. триангуляция многообразия 107
IIJ. Пусть {гх2аг3} и {zxz%z^\—два топологических 2-симплекса
числовой плоскости, из которых один является частью другого. Тогда
Щ,'. 2.98. После этих приготовлений мы можем доказать, что 2-симп-
Ш'лексы триангуляции ориентируемой поверхности всегда когерентно
^ориентируемы. Итак, пусть а2 = (.РхР^Ра) есть 2-симплекс на R. Выбе-
«ррем произвольную параметрическую окрестность К, содержащую о2;
2f,пусть (z^gZa) — образ (Р±Р2Рй) в параметрическом круге АГг. Обе
J возможные ориентации о2 зададим в виде ejPjPgPg}, где © = —{— 1
или г = — 1. Выберем г так, чтобы для преобразованного симплекса
в Кг выполнялось условие и(з {zxz.2zu}) — -\~ 1 или, что то же самое,
чтобы было
¦ (а) и {zxz2zu} = г.
Этим устанавливается ориентация каждого 2-симплекса. Мы пока-
«;жем, что эти ориентации когерентны-. Для этого рассмотрим
? любой 1-симплекс, скажем {РХР^. Пусть /о2 = (Р1Р2Р4) — второй
'инцидентный с ним 2-симплекс. Он имеет определенную ориента-
^ цию s' {РХР%Р^ • Индуцированная о2, соответственно, 'о2, ориентация
тт (PiPg). есть е{РхР2}, соответственно s'{P1P2}; поэтому доста-
достат '
точно показать, что е'==—г
Если К-—выбранная для 'о2 параметрическая окрестность, то
; в параметрическом круге К^, в силу (а),
Пусть теперь К" — параметрическая окрестность, содержащая о1.
Предположим сначала, что о2 и 'о3 лежат целиком в К". Тогда
.в соответствующем параметрическом круге К"г симплексам о2
"и 'о3 отвечают два симплекса (z"z'^) и (z'[z'^z'?), пересекающиеся
точности по стороне (z"xz'?)- Так как соотношение соседства К-г+К'^
охраняет ориентацию, то, по теореме I п. 2.97,
точно так же
другой стороны, по теореме II п. 2.97,
|
|Из этих трех равенств следует, что
й и {ZjZ^} = — и {г[г?гг[\, т. е. г' = — е.
¦А.
if-сли сделанное выше предположение не выполняется, то пусть
^qPa)—топологический 2-симплекс в (P^gPg), лежащий целиком

108 ГЛ. II. ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ
в К". Тогда для симплекса-образа (^ZgZjji) в параметрическом
круге Кг имеет место, по теореме III п. 2.97, равенство
и \zxz.2zt} = и \гхг^.
Если (РгР^Р1) означает такой же 2-симплекс в (Р^Р^, то анало-
аналогично
Затем, как уже было доказано,
и из этих трех равенств вытекает, что
т. е. в' = —е, что и требовалось доказать.
2.99. Двубережность симплициальных путей. Пусть R— ориен-
ориентируемая триангулируемая поверхность и f — замкнутый свободный
от двойных точек симплициальный путь (Kantenweg), т. е. путь,
составленный из 1-симплексов триангуляции. Пусть Rt означает
часть поверхности /?, образованную всеми 2-симплексами, имеющими
с f либо общую сторону, либо общую вершину1). Мы покажем,
что путь f (возможно, после подразделения триангуляции) является
„двубережным"; это означает следующее: два 2-симплекса Rv при-
примыкающие к одной и той же стороне f, не могут быть соединены
последовательностью 2-симплексов Rt так, чтобы каждые два из них,
следующие друг за другом, имели общий 1-симплекс, не принадле-
принадлежащий -(.
Для доказательства предположим, что всякая общая сторона всяких
двух 2-симплексов Rt либо лежит на f. либо выходит из f. Этого
можно добиться, в случае необходимости, барицентрическим подраз-
подразделением заданной триангуляции.
Зафиксируем теперь ориентацию пути f- Этим будет определена
ориентация и в каждом 2-симплексе, имеющем общую сторону с f.
Чтобы ориентировать и другие симплексы Rv рассмотрим вершину о0
пути f и цикл 2-симплексов вокруг о0. Выходящие из о0 1-симп-
1-симплексы f разбивают этот цикл на два полу цикла. В каждом из них
два 2-симплекса уже ориентированы, и их ориентация может быть
продолжена до когерентной ориентации всего полуцикла. Построен-
Построенная таким образом ориентация Rt обладает тем свойством, что
*) Предполагается, что нет 2-симплексов, имеющих с i две общие сто-
стороны или общую сторону и противоположную вершину. Это всегда может
быть достигнуто дополнительным подразделением заданной триангуляции R. —
Прим. перев.

I 5. ТРИАНГУЛЯЦИЯ МНОГООБРАЗИЯ 109
¦ на каждом 1 -симплексе, который выходит из f, но сам не лежит
*; на f, примыкающие к нему два 2-симплекса индуцируют противопо-
противоположные ориентации.
? Теперь мы, независимо от Rv ориентируем когерентно всю
^поверхность R. Если о2 и 'о3 — два 2-симплекса, примыкающие
"к 1-симплексу пути f, то в одном из них, скажем в о2, ориентации,
определяемые R и R\, совпадают, в то время как в 'о2 они проти-
противоположны. Предположим теперь, что а2 и 'а2 можно соединить
tцепочкой указанного выше рода. Пусть э„— последний симплекс
|цепочки, в котором R и Rt определяют одинаковые ориентации. Сле-
Следующий за а„ 2-симплекс о^+1 имеет с ним общий 1-симплекс,
в'ыходящий из f, но не лежащий на f. Следовательно, ориентации,
определяемые на о^+1 как R, так и Rv индуцируют на о1 ориента-
ориентации, противоположные той, которая индуцируется на нем ориента-
" цией an, поэтому обе ориентации о^+1 должны совпадать, что про-
противоречит тому, что а„ — последний симплекс с таким свойством.
Этим доказательство завершено.
2.100. Представление двумерного многообразия с помощью
многоугольника. Понятие отождествления (см. п. 2.13) доставляет
нам важное средство для построения двумерных многообразий. Мы
рассматриваем многоугольник числовой плоскости, т. е. замкнутую
внутренность жордановой кривой, разделенной на конечное число дуг,
сторон многоугольника. Общие концы сторон называются вершинами
-многоугольника.
Пусть я — такой многоугольник с четным числом сторон. Пусть
¦эти стороны произвольным образом разбиты на пары и стороны
1каждой пары связаны друг с другом топологическим отображением.
Теперь мы точки я, соответствующие друг другу при таких отобра-
отображениях, будем считать эквивалентными. По этому определению
внутренняя точка к не имеет эквивалентных точек, внутренняя точка
'стороны имеет в точности одну эквивалентную точку, в то время
как вершина и в общем случае имеет несколько эквивалентных точек.
После отождествления определенных таким образом эквивалентных
точек многоугольник и становится топологическим пространством R.
?Мы покажем, что R — двумерное многообразие.
Прежде всего ясно, что R удовлетворяет аксиоме отделимости.
Далее, нам нужно показать, что каждая точка R имеет окрест-
окрестность, гомеоморфную кругу. Для внутренних точек и это непо-
непосредственно ясно. Пусть теперь Р—внутренняя точка стороны а,
"а' — эквивалентная с сторона и Р' —эквивалентная Р точка. Пусть 5
"и Г—две близкие к Р точки, расположенные по обе стороны
от нее на а, и q — жорданова дуга, идущая в я из 5 в Г: оно
отделяет от -к жорданову область В вокруг Р. Пусть, далее, S'

116 гл. ti. понятий римАновой поёёрхности
и Г' —образы 5 и Г на a', q' — жорданова- дуга, идущая в я
из S' в Т, и В'— соответствующая (не пересекающаяся с В) жор-
жорданова область. Рассмотрим теперь, наряду с тс, круг |г|<1, разде-
разделенный диаметром на два полукруга. Тогда области В и В' можно
топологически отобразить на оба полукруга так, чтобы каждая
дуга ST и S'T' переходила в диаметр, причем чтобы точки, связан-
связанные отображением а-*а', переходили в одну и ту же точку диа-
диаметра. Если Up означает подмножество точек R, состоящее из вну-
внутренних точек В я В' и пар эквивалентных точек дуг ST и S'T',
то это множество (представляющее окрестность точки (Р, Р')) тем
самым топологически отображается на круг | z | < 1. Этим для
точки (Р, Р') указана окрестность, гомеоморфная кругу. .
2.101. Пусть, наконец, Ро — вершина я. Пусть а0—одна из сто-
сторон, выходящих из Ро, и а —эквивалентная ей сторона. Тогда один
из ее концов, Pv эквивалентен Pq1). Из Р± выходит вторая сторона
многоугольника av Эквивалентная ей сторона at снова имеет эквива-
эквивалентный Ро конец Р9. Продолжая так дальше, получим цепочку
содержащую все эквивалентные Ро точки и приводящую обратно в Ро.
Теперь мы на каждой стороне ач (ч = 1 г, аг = а0; Рг — Ро)
с помощью достаточно близкой к Pv точки Р, ограничиваем дугу
ЬЧ = РЧРЧ. Пусть Р* —эквивалентная Р, точка на а, и й, — эквива-
эквивалентная ft, дуга на а,. Затем с помощью жордановых дуг, соединяю-
соединяющих в тс точки P4_i с Рч, мы вокруг каждой вершины Р„ вырезаем
сектор о,. Граница его состоит из указанной дуги и обоих „радиу-
„радиусов" Ьч-i И #„.
Таким образом, мы получили множество секторов, причем „ра-
„радиус" Ь., сектора о, каждый раз отображается на „радиус" b\ сек-
сектора о,+1 (v= 1, ..., г (modг)). Это отображение переводит „вер-
„вершину" Pv сектора о, в „вершину" сектора oN+1.
Теперь мы соответственно делим круг | z \ < 1 на г секторов оч и
каждый сектор о, отображаем топологически на ov так, чтобы экви-
эквивалентные точки о, и о„+1 переходили в одни и те же точки. Этим
множество 2°v> B котором эквивалентные точки следует отожде-
ствить, топологически отображается на круг | г \ < 1. Следовательно,
это множество представляет гомеоморфную кругу окрестность точки
1) Р\ может совпадать с

i S, ТРИАНГУЛЯЦИЯ МнОгбоВРАзИЯ _Ш
поверхности R, представленной эквивалентными вершинами. Таким
образом, для каждой точки R , определена гомеоморфная кругу
окрестность, следовательно, R есть двумерное многообразие.
2.102. Ориентируемость полиэдров. Чтобы выяснить, когда
поверхность R, представленная многоугольником тс, ориентируема,
предположим, что многоугольник тс ориентирован т. е. что его вер-
вершины Pv ..,., Рп расположены в циклическом "порядке. Этим опре-
определяется ориентация и на каждой стороне я. Пусть а — {P-J3^ и
а' = (РгРг+1)— две стороны с этими ориентациями. Мы покажем,
что поверхность R тогда и только тогда ориентируема, когда соот-
соответствие сторон а -> а' переводит ориентацию а в ориентацию, про-
противоположную к имеющейся на а'.
Для доказательства мы предположим сначала, что а переходит
в а' вместе с ориентацией, и покажем, что тогда поверхность R не
может быть ориентируемой. Для этого достаточно, согласно п. 2.99,
указать на R однобережную кривую.
Пусть Р и Р' — две эквивалентные точки соответственно на а и с'
и f — жорданова дуга, ведущая из Р в Р' и состоящая из 1-сим-
1-симплексов подходящей триангуляции /?. Эта дуга разбивает it на два
многоугольника тсг = РхРР'Рг+\ ¦ ¦ • рп и яз = РР2 • ¦ ¦ РгР'¦ Пусть
оа, соответственно ta, есть 2-симплекс триангуляции тс, имеющий Р,
соответственно Р', одной из своих вершин и примыкающий вдоль
стороны о1, соответственно т1, к стороне РХР многоугольника тс1,
соответственно к стороне Р,Р' многоугольника тс2. При отображении
а-* а' сторона РХР переходит, по предположению, в РГР', поэтому
1-симплексу о1 соответствует 1-симплекс т1. Следовательно, сим-
;плексы о2 и т2 имеют на R одну общую сторону, не принадлежа-
принадлежавшую т- Отсюда становится ясным, что всякие два 2-симплекса „по-
клоски" вокруг f можно соединить указанным в п. 2.99 образом;
ледовательно, кривая f однобережна.
Обратно, если каждое отображение переводит соответствующие
ороны друг в друга с обращением ориентации, то можно показать,
Piro соотношения Соседства, определяемые согласно пп. 2.100 и 2.101,
{^охраняют ориентацию; это мы предоставляем читателю.
; 2.103. Двумерное многообразие, представленное с помощью мно-
-гоугольника, всегда можно триангулировать; для этого нужно только
триангулировать многоугольник, следя лишь за тем, чтобы с каждой
новой вершиной на одной стороне эквивалентные ей точки также
остановились вершинами.
| Из теории униформизации (гл. VIII) следует, что всякую замкну-
замкнутую риманову поверхность R можно представить с помощью много-
многоугольника, причем соответствия сторон являются аналитическими
^тображениями. Из предыдущего следует тогда и триангулируемость
поверхностей.

112 гл. и. понятие римановой поверхности
2.104. Поверхности с краем. Пусть я— многоугольник числовой
плоскости, число сторон которого не обязательно четное. Пусть в it
отождествляются с помощью топологических отображений только
некоторое пары сторон, в то время как по крайней мере одна сто-
сторона остается свободной. Отождествляя в ти эквивалентные точки,
получаем топологическое пространство, которое не всюду без исклю-
исключений удовлетворяет аксиоме С многообразий. Внутренние точки сво-
свободной стороны не имеют гомеоморфной кругу окрестности, но
имеют окрестность, гомеоморфную полукругу, т. е. окрестность,
которую можно топологически отобразить на полуоткрытый полу-
полукруг |z|<l,_y>-0 (z = x-\-iy). Аналогично тому, как это было
сделано в п. 2.101 для замкнутых поверхностей, можно для кон-
концов свободных сторон показать, что они имеют на R окрестности,
гомеоморфные полукругам. Топологическое пространство R мы на-
называем поверхностью с краем (Berandete Flache)*). Множество точек
с полукруговыми окрестностями, т. е. образ свободных сторон я,
называется краем (Rand) поверхности. Он состоит из конечного числа
замкнутых жордановых кривых. Если представить себе, что поверх-
поверхность R триангулирована и 2-симплексы когерентно ориентированы,
то край этой 2-цепи состоит из края поверхности R.
1) Подробнее см. в книге П. С. Александрова [1**], гл. III, § 2, п. 2.3.—
Прим. пере в.

Глава III
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИКО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
Исследованиями предыдущей главы по основным топологически
и конформно инвариантным свойствам римановых поверхностей по-
' строен фундамент для развития теории функций и теории потенциала
на таких поверхностях. В настоящей главе будут изложены некото-
некоторые общие понятия и принципы теории функций, нужные нам для
: дальнейших более подробных исследований.
§ 1. ФУНКЦИИ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
3.1. Функции на римановых поверхностях. Пусть R — произ-
произвольная открытая или замкнутая риманова поверхность и О—об-
• ласть на R. Пусть каждой точке Р области О поставлено в соот-
¦ ветствие действительное или комплексное число f(P). Тогда / опре-
к делена как функция на О. Если К—параметрическая окрестность
5tточки Р (которую мы можем считать лежащей целиком в (?) и z —
||комплексная переменная в /С(|г|< 1), то /(Я) определена в К как
функция от г, которую мы также будем обозначать через f(z). Для
Другой параметрической окрестности К*, с комплексной переменной
Ц*, / в К* является соответственно функцией f(z*). Если Q — точка
ересечения КК*, a z и z* — ее координаты соответственно в /Си К",
торые, следовательно, связаны конформным соотношением сосед-
ва z+->z*, то выполняется равенство
/(*)=/•(*•). C.1)
% Функцию f(z), определенную в параметрическом круге, называют
Элементом функции (Funktionselement). Таким образом, функции
G соответствуют в отдельных параметрических окрестностях ее
|яементы, связанные соотношением C.1). Обратно, совокупность эле-
ентов f(z), принимающих в эквивалентных точках z<r->z* одина-
»ые значения, образует однозначную скалярную функцию, или
арианту в области О. Функции мы записываем просто в виде
|г), обозначая точку Р в случаях, когда это не может вызвать
|доразумений, через комплексную координату z произвольной со-
[>жащей ее параметрической окрестности.
Ш Зак. 295. Р. Неванлиниа

il4 ГЛ. lit. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИКО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
Аналитическая функция w=f(z), однозначная на поверхности/?,
осуществляет отображение R на область Gw та-сферы. При этом R
становится поверхностью наложения Gw (вообще говоря, разветвлен-
разветвленной и не безграничной).
3.2. Ковариантные векторы. Пусть f(z) — функция, дважды
непрерывно дифференцируемая по действительным координатам х1 и д;2
(z = x1-\-ix.J). Если положить М1=/а,1 и M2=fXa, то дифферен-
дифференциал функции / будет равен
При другом локальном параметре z* = х\-\- 1х\ для df имеем
аналогичное выражение
причем
Ур C.2)
Следовательно, производные MVM2 при переходе к другому
параметру преобразуются согласно C.2), ковариантно. Вообще,
под ковариантным вектором понимают пару чисел {МХ,М^, кото-
которая определяется не одной только точкой Р, а точкой Р и локаль-
локальным параметром z, и которая при переходе к другому параметру
преобразуется по формуле C.2). Производные fXl, fXa скалярной
функции / составляют, следовательно, ковариантный вектор—-
градиент функции /.
Если каждой точке некоторой области поверхности R сопостав-
сопоставлен ковариантный вектор, то говорят о ковариантном векторном
поле. Ковариантному векторному полю ставят в соответствие инва-
инвариантную дифференциальную форму
df = Мх dxx -f- Ж2 dx.2,
где df—только обозначение для суммы, стоящей справа.
Если между компонентами Мх и М2 произвольного ковариантного
вектора имеет место соотношение М2 = iM1 для определенного пара-
параметра г, то, в силу конформности соотношений соседства, оно
имеет место для каждого параметра z, следовательно, оно инвари-
инвариантно. Вектор Mi определяется тогда одним числом, скажем Mt = М,
которое преобразуется по закону
дхг дхх I dz

3 i. ФУНКЦИИ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ 115
Величину, подчиняющуюся этому закону преобразования, мы
называем ковариантой. Коварианте М соответствует инвариантная
дифференциальная форма
df — Mdz.
Если между компонентами Mt,M2 ковариантного вектора имеет
место соотношение Жа = — iMt (также не зависящее от локального
параметра), то величина Mt = М преобразуется по закону
dz
Если М — коварианта, то сопряженное комплексное число М есть
величина этого рода.
3.3. Сопряженный дифференциал. Вместе с ковариантным век-
вектором МХ,М2 пара чисел Мх = —М2, М2 = МХ также образует
ковариантный вектор. В самом деле, при переходе к другому пара-
параметру получается, согласно п. 3.2, с учетом конформности соотно-
соотношений соседства,
но это — закон преобразования ковариантных векторов.
Соответствующая дифференциальная форма
df = — М2 dxx -f- Mx dx%
называется сопряженной к форме df = Midx1-\-M2dxi.
Если, в частности, df—дифференциал, соответствующий кова-
рианте, то сопряженный дифференциал удовлетворяет равенству
df= — t df.
3.4. Ротор. Пусть MVM2 — ковариантное поле, компоненты кото-
которого— непрерывно дифференцируемые функции от хх и х2. Раз-
Разность dMt/dx2 — дМ2/дхх при переходе к новому параметру z* пре-
преобразуется по закону
dz
C.3)
. * , * — I ~г г
дх2 дхх \ дхг дхх
dz
она называется ротором, или вихрем поля Mv M2. Если ротор равен
нулю, что, в силу C.3), имеет не зависящий от параметра z смысл,
то поле называется безвихревым, а соответствующий дифференциал
df = Мх dxt -\- M.2 dx2 — точным.
Поле градиента всегда безвихревое. Обратно, безвихревое поле
является полем градиента, однако лишь локально.
8*

116 гл. m. основные теоретико-функциональные теореМы
3.5. Аналитические коварианты. Для коварианты М равенство
нулю ротора означает, что М — аналитическая функция от z.
В этом случае М называется аналитической ковариантой, a Mdz—
аналитическим дифференциалом. Производная однозначной анали-
аналитической функции по локальному параметру г есть аналитическая
коварианта. Если аналитическая коварианта обращается в нуль в
окрестности некоторой точки, то она тождественно равна нулю.
3.6. Дивергенция. Под дивергенцией ковариантного векторного
поля MVM2 понимают взятый со знаком минус ротор сопряженного
поля, т. е. выражение
dMt , дМ2
dxt ' дх2
Как ротор, оно преобразуется по закону C.3).
Если дивергенция равна нулю, то поле называется полем без
источников, а соответствующий дифференциал — гармоническим.
Следовательно, утверждения, что дифференциал гармонический и что
сопряженный дифференциал точный, означают одно и то же.
В частности, если векторное поле является градиентом скалярной
функции /, т. е.
M1=fXl, M^ = fXi,
то дивергенция равна лапласиану
дх* ' дх\
Скалярная функция, дифференциал которой является гармониче-
гармоническим, удовлетворяет уравнению Лапласа Д/ = 0. Такая функция
называется гармонической функцией или потенциалом. Точный диф-
дифференциал, соответствующий коварианте,—всегда гармонический.
Следовательно, аналитический дифференциал — всегда гармонический.
3.7. Тензоры. Под ковариантным тензором второго порядка
понимают систему из четырех чисел Г„р (a, j3=l, 2), которая при
переходе к новому параметру z* преобразуется по закону
Хи. дх„
х*а dxt >' {дА)
Например, произведение MaN$, где Мл и Л^9 — ковариантные век-
векторы, есть ковариантный тензор. Если для тензора выполняется соот-
соотношение 7ра = —Тар (а, р= 1,2), что, в силу C.4), имеет не зави-
зависящий от параметра смысл, то тензор называется кососимметриче-
ским. Такой тензор имеет только одну существенную компоненту

I I. ФУНКЦИИ, ДИФФЕРЕНЦИАЛА
Г, 2 = — Т21 = Т, и она преобразуется го закону
dz
dz*
C.5)
Так как нам придется рассматривать только кососимметрические
тензоры, то в дальнейшем мы будем опускать индексы и понимать
под тензором одно число Т, которое преобразуется по закону C.5).
Ввиду того, что множитель \dz\dz*^ положителен, понятия действи-
действительных и положительных тензоров имеют инвариантный смысл.
Ротор и дивергенция векторного поля являются тензорами.
Из двух ковариантных векторов Мл и N$ по формуле
M2Nt
получается некоторый тензор.
3.8. Замечание. Ясно, что различие между аналитическими
функциями, с одной стороны, и аналитическими ковариантами (на-
(например, производными от аналитических функций) — с другой, про-
проявляется лишь в различии законов преобразования при переходе
от одного локального параметра к другому. Пока имеют дело с
одним локальным параметром, инвариантность или ковариантность
не играет роли. Поэтому в элементарной теории функций, где обычно
приходится иметь дело с заданной комплексной плоскостью как об-
областью изменения независимого переменного, указанное различие не
играет роли. Правда, и здесь исключение представляет введение
бесконечно удаленной точки, окрестность которой с помощью пре-
преобразования z=l/t переводится в конечную область; для изучения
свойств аналитических функций в бесконечности также рекомендуется
введение понятий инвариантности и ковариантности.
Подчеркнем еще, что всюду в дальнейшем понятия вектора и
тензора будут связаны с группой конформных преобразований коор-
координат, которыми, естественно, ограничиваются в теории римановых
поверхностей.
3.9. Комплексно сопряженные координаты. Предыдущие свойства
дифференциалов выражаются в удобном для многих целей виде, если
ti качестве координат использовать не_д; и у, a z = x-\~iy и
z = x — ty. Тогда dz = dx-\-idy и dz = dx — idy, затем dx —
f и dy = -2f(dz — dz).
Дифференциал _
df=Adz-\-Bdz,
где A[z, z) и B{z, z) — две действительные или комплексные функ-
функции, является точным, если

118 ГЛ. III. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИКО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
Сопряженным дифференциалом является
df=t(— Adz + Bdz);
он будет точным, если
Если оба дифференциала точные, то
Тогда А — аналитическая функция от г, В — аналитическая функция
от г, следовательно, В — аналитическая функция от г.
Оператор Лапласа записывается в виде
§ 2. ФУНКЦИИ И КОВАРИАНТЫ НА ЗАМКНУТЫ К РИМАНОВЫК
ПОВЕРХНОСТЯХ
3.10. Рациональные функции. Пусть R — замкнутая риманова
поверхность. Под рациональной функцией понимают однозначную
аналитическую функцию w = f(z) на R, регулярную с точностью до по-
полюсов. В силу компактности R, число полюсов должно быть конеч-
конечным. Образ R на гу-сфере, как непрерывный образ компактной
поверхности R, сам компактен, следовательно, является замкнутым
подмножеством w-сферы. Так как, с другой стороны, этот образ —
открытое множество *), то он должен охватывать всю сферу. Сле-
Следовательно, поверхность R, в силу отображения w = f(z), яв-
является (вообще говоря, разветвленной) поверхностью наложения
¦да-сферы, и из компактности R следует, что эта поверхность без-
безгранична. Число листов этой поверхности называется порядком
рациональной функции f(z). Следовательно, рациональная функ-
функция принимает каждое значение (считаемое с его кратностью) оди-
одинаковое число раз. Если, в частности, на поверхности R существует
рациональная функция первого порядка, то она отображает R топо-
топологически и конформно на та-сферу. Значит, в этом случае поверх-
поверхность R конформно эквивалентна числовой сфере.
8.11. Абелевы коварианты. Под абелевой ковариантой на замк-
замкнутой поверхности R понимают однозначную аналитическую кова-
1) Это следует из того, что осуществляемое функцией f(z) отображение
е:ть проектирование.

! 2. ФУНКЦИИ И КСВАРИАНТЫ 119
рианту y(z), регулярную с точностью до полюсов. Следовательно,
производная рациональной функции есть абелева коварианта. С дру-
другой стороны, отношение двух абелевых ковариант <p(z) и i(z) есть
рациональная функция.
Доказательство существования абелевых ковариант на заданной
поверхности R, имеющих заданные главные части в полюсах, будет
дано в гл. IV. Этим обеспечивается также существование на поверх-
поверхности R рациональных функций, отличных от постоянных.
3.12. Рассмотрим теперь, в частности, замкнутую поверхность /?,
одномерная группа гомологии которой тривиальна. Пусть © (z)—абелева
коварианта, регулярная на R с точностью до полюса второго по-
порядка. Тогда, как будет показано в п. 3.51, интеграл |e(z)dZHa R
однозначен и, с точностью до полюса первого порядка, регулярен,
следовательно» является рациональной функцией первого порядка.
Таким образом, если считать доказанной теорему существования из
гл. IV, показано, что:
Замкнутая риманова поверхность, одномерная группа гомологии
которой тривиальна, конформно эквивалентна числовой сфере.
Так как, согласно п. 2.36, одномерная группа гомологии каждой
односвязной поверхности тривиальна, то предыдущая теорема спра-
справедлива, в частности, для односвязных замкнутых римановых поверх-
поверхностей. В этой формулировке теорема содержит теорему Римана об
отображении для компактных поверхностей, согласно которой любая
односвязная замкнутая риманова поверхность конформно эквивалентна
числовой сфере.
3.13. Характеристика. Пусть »— абелева коварианта на замк-
замкнутой поверхности R и А, соответственно В, — полная сумма поряд-
порядков ее полюсов, соответственно нулей. Покажем, что разность В—А
от ср не зависит.
Пусть <о*—-другая абелева коварианта на R с полными суммами
порядков' полюсов и нулей А* и В* соответственно. Предположим,
что ни один полюс и ни один нуль са* не совпадает с полюсом или
нулем ср1). Рассмотрим теперь рациональную функцию / = <?/»*. Ее
полюсы состоят из полюсов <р и нулей ср*, а нули — из полюсов о*
и нулей ср. Так как общее число нулей функции / равно общему
числу ее полюсов, то А-\-В* =zA*-\-B, т. е. В* — А*— В—А.
Таким образом, разность В—А=у определена уже поверхно-
поверхностью R и, следовательно, конформно инвариантна. Мы называем ее
(конформной) характеристикой поверхности R.
J) Это ограничение несущественно и вводится лишь для наглядности;
если оно не выполняется,, то доказательство меняется лишь незначительно.

120 ГЛ. Ш. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИКО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
3.14. Примеры. Для числовой сферы характеристика х = — 2,
так как на числовой сфере величина
— \
|
оо)
есть абелева коварианта, имеющая в точке z = 0 нуль «-го порядка
и в точке z = оо полюс (ге + 2)-го порядка.
Обратно, всякая замкнутая риманова поверхность с характери-
характеристикой у_ = — 2 конформно эквивалентна числовой сфере. Действи-
Действительно, пусть ср — абелева коварианта на /?, регулярная с точностью
до полюса Р второго порядка (доказательство существования —
в гл. IV). Тогда полная сумма порядков нулей ср равна В = 0,
ибо В—Л=х — — 2 и А — 2, т. е. <р =? 0 на поверхности R. Если
теперь <]* — абелева коварианта, имеющая в Р полюс третьего по-
порядка и регулярная в остальных точках, то рациональная функция
/ = <{j/tp имеет в точке Р полюс первого порядка и регулярна
в остальных точках; следовательно, это рациональная функция пер-
первого порядка, поэтому она отображает R конформно на числовую
сферу.
3.15. Рассмотрим второй пример — замкнутую риманову поверх-
поверхность R, получаемую из числовой плоскости отождествлением точек,
эквивалентных относительно двоякопериодической группы, порождае-
порождаемой преобразованиями Tt {z -> z + о^) и T2(z-+z^-WzI) (см. п. 2.13).
Каждой однозначной аналитической функции на плоскости с перио-
периодами со1 и <о2 отвечает на R однозначная аналитическая функция, и
наоборот. Следовательно, теория однозначных аналитических функ-
функций на R тождественна с теорией двоякопериодических функций на
г-плоскости.
Рассматриваемую поверхность R можно так покрыть параметри-
параметрическими окрестностями, чтобы все соотношения соседства представ-
представляли сдвиги z-плоскости. Если на R допустить только эти локаль-
локальные параметры, то, в силу инвариантности dz относительно преобра-
преобразования сдвига, не будет никакого различия между инвариантностью
и ковариантностью. Поэтому каждую скалярную функцию на R
можно относительно указанных параметрических окрестностей рас-
рассматривать как коварианту. Так как разность между полной суммой
порядков нулей и полной суммой порядков полюсов для коварианты
равна характеристике поверхности, а для скалярной функции—нулю,
то отсюда следует, что характеристика "/ = 0 2).
1) Im — Ф 0. — Прим. перев.
2) В гл. VIII будет доказано, что таким образом получаются все поверх-
поверхности с характеристикой у_ = 0.

§ 2. ФУНКЦИИ И КОВАРИАНТЫ 121
3.16. Соотношение Римана — Гурвица. Теперь будет выведено
соотношение между характеристиками замкнутой римановой поверх-
поверхности R и ее (конечнолистной) поверхности наложения R.
Пусть <р — коварианта на R с конечным числом полюсов. Пусть
они выбраны так, что над ними не лежат точки разветвления R .
Коварианте ? отвечает на R коварианта
dz
9 = 9 —=г.
dz
Определим полные суммы порядков нулей и полюсов ковари-
?анты 9- Если g—(конечное) число листов поверхности R, то над
Уаждым полюсом (соответственно нулем) <р лежит ровно g полюсов
^соответственно нулей) <р- Так как, по предположению, все они—не
точки разветвления, то в каждой из них dzjdz ф 0, поэтому соот-
соответствующие порядки у 9 и ср совпадают. Этим подсчитаны уже все
полюсы 9- Что касается нулей у, то нужно еще добавить нули в тех
точках поверхности R, где dz/dz = 0. Это как раз точки разветвле-
разветвления, причем в точке разветвления (k—1)-го порядка 9 имеет нуль
в точности этого же порядка. Следовательно, сумма порядков
нулей ю в этих точках равна 2(? — 1). где суммирование произво-
производится по всем точкам разветвления.
Таким образом, в итоге получаем на R
откуда для характеристики •/ поверхности R следует, что
—О-
Так как В — А — характеристика х поверхности R, то мы получили
так называемое соотношение Римана — Гурвица:
В частности, если поверхность наложения неразветвленная, то
В качестве примера рассмотрим отображение 2-сферы на г-сферу,
существляемое многочленом га-й степени
!сли я>1, то это — разветвленное проектирование. Число ли-
|ов g = n. Сумма порядков точек разветвления, расположенных
не 2 = оо, равна числу всех нулей полинома Рп(г), т. е. п—1.

122 ГЛ. III. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИКО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
К этому присоединяется еще точка разветвления 2=oo, имеющая по-
порядок га—1. Таким образом, полная сумма порядков всех точек
разветвления равна 2 (га— 1), как это следует из соотношения Ри-
мана—Гурвица.
3.17. Характеристика и рнакочередующаяся сумма триан-
триангуляции. С помощью соотношения Римана — Гурвица можно вы-
вывести соотношение между характеристикой замкнутой римановой
поверхности и знакочередующейся суммой (Wechselsumme) количеств
симплексов триангуляции. Рассмотрим построенное в п. 2.90 развет-
разветвленное проектирование поверхности R на 2-сферу. Точками раз-
разветвления являются центры тяжести 2- и 1-симплексов и вершины
триангуляции, причем центр тяжести 2-симплекса имеет порядок
k = 2, центр тяжести 1-симплекса — порядок &=1, а вершина —
порядок k — га—1, где га — число инцидентных с ней 2-симплексов.
Число листов равно утроенному числу 2-симплексов, так как каждый
2-симплекс подразделен на шесть меньших и по три из них пере-
переходят в одну и ту же полуплоскость. Если у — характеристика R и
а2, а1, а0 — количества 2-, 1- и 0-симплексов (первоначальной) три-
триангуляции, то из соотношения Римана—Гурвица следует, что
— 1),
и так как 2 п = 3<*9. то
Х = — a0-]-!*1— a2.
Отсюда вытекает, что знакочередующаяся сумма количеств сим-
симплексов не зависит от триангуляции поверхности.
Замечание. Так как, согласно п. 2.90, каждую ориентируе-
ориентируемую триангулируемую поверхность можно сделать римановой поверх-
поверхностью, то предыдущее заключение справедливо для каждой замк-
замкнутой ориентируемой триангулируемой поверхности. Следовательно,
знакочередующаяся сумма количеств симплексов топологически
инвариантна1).
!) Доказательство соотношения Римана — Гурвица предполагает, что
R—риманова поверхность наложения поверхности R. Построение п. 2.90
превращает R, вообще говоря, в другую риманову поверхность Rb а priori
с другой характеристикой xi- Поэтому рассуждения п. 3.17 неубедительны.
Строгое доказательство топологической инвариантности эйлеровой характе-
характеристики поверхности (равной afi—at -(- о?) см. у П. С. Александрова [1**]
или у Зейферта и Трельфалля [1*]. Соотношение Римана — Гурвица для эйле-
эйлеровых характеристик поверхностей R и R, не обязательно римановых, Легко
доказывается (см. Керекьярто [1*] и Р. Неванлинна [1*], гл. ХШ). Отсюда,
исходя из доказываемого позднее существования рациональной функции на
каждой замкнутой римановой поверхности R, легко доказать, что характе-
характеристика х совпадает с эйлеровой характеристикой, взятой со знаком минус
(см. также ниже п.. 3.49)..— Прим. перев.

____^ § 3. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ 123
§ 3. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ
3.18. Определение продолжения. В первой главе мы уже поль-
пользовались аналитическим продолжением и теоремой о монодромии
для исследования алгебраических функций. Теперь мы рассмотрим
эти вопросы с достаточной для теории римановых поверхностей
общностью.
Под аналитическим элементом на римановой поверхности R
понимают определенную в параметрической окрестности однозначную
аналитическую (относительно соответствующего параметра z) функ-
функцию f(z).
Однозначную аналитическую функцию f(z), определенную в об-
области О, можно рассматривать как совокупность элементов f(z),
в которой элементы / и /* соседних параметрических окрестно-
окрестностей в пересечении последних связаны законом инвариантности
C.6)
Соответственно этому однозначная аналитическая коварианта есть
совокупность элементов f{z), из которых любые два соседних связаны
законом ковариантности
f(z)dz=f(z*)dz* (*<->**). C.7)
Пусть К и К" — две соседние параметрические окрестности на R
и f(z), соответственно/*^*),—аналитические элементы в К, соот-
соответственно в К*. Эти элементы называются непосредственными ана-
аналитическими продолжениями друг друга, если пересечение КК* не
пусто и на нем имеет место закон преобразования C.6) (инвариант-
(инвариантное продолжение) или закон C.7) (ковариантиое продолжение). Оба
вида непосредственного аналитического продолжения однозначно
определяются исходным элементом, т. е. если fx и /3 — два (инва-
(инвариантных или ковариантных) продолжения / в К*, то /t ==/;>. Заме-
Заметим, что определенное таким образом понятие непосредственного
^аналитического продолжения не обязательно транзитивно.
Аналогично определяется гармоническое продолжение. Два гар-
'" ионических элемента u{z) и и*(z*) в соседних параметрических
^окрестностях К и К* называются непосредственными гармониче-
гармоническими продолжениями друг друга, если в пересечении КК* для
^эквивалентных точек z*—>z* выполняется равенство u(z) = u*(z*).
^Соответственно этому два гармонических дифференциала df =
|= Mt dxx-f-M2dx.2 и df = M*1dx\-JrM*idx*i называются непосред-
непосредственными продолжениями друг друга, если в пересечении КК* спра-
справедливы равенства
Лй=Уд-^Мк A=1,2).

124 ГЛ. Ш. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИКО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
Если df*— гармоническое продолжение df, то (скалярная) функ-
функция /* является (при подходящем выборе постоянной интегрирования)
гармоническим продолжением функции /. Гармоническое продолже-
продолжение гармонического элемента также однозначно определяется этим
элементом.
3.19. Продолжение вдоль пути. Пусть Р и Q — две точки римано-
вой поверхности/?, a w:P = P(t) @<?<!1)— путь, ведущий из Р
в Q. Говорят, что задано аналитическое покрытие (analytische Bele-
gung) пути w, если каждой точке P(t) сопоставлен аналитический эле-
элемент ft так, что выполняется следующее условие: для каждой точки
t = t0 существует такое число 8 > 0, что в 8-окрестности точки t0
(относительно отрезка 0 •< t <; 1) элемент ft является непосредствен-
непосредственным аналитическим продолжением элемента Д,. Два элемента fag
соответственно в Р и Q называются продолжениями друг друга
вдоль пути w, если существует такое аналитическое покрытие /(
пути w, что /0 = / и f1=g. Очевидно, что если g—продолжение
элемента / вдоль и и А — продолжение элемента g вдоль v, то А — про-
продолжение / вдоль uv.
Множество элементов, получающихся из заданного элемента путем
всевозможных аналитических продолжений, называется аналитическим
образом. В области О, покрытой параметрическими окрестностями,
аналитический образ определяет функцию (в общем случае много-
многозначную). Элемент называется неограниченно продолжаемым на R,
если он продолжаем вдоль любого пути.
Если в области О задана однозначная аналитическая функция
F (z) и каждой точке Р ставится в соответствие элемент fp = F (г),
то каждые два таких элемента являются продолжениями друг друга.
3.20. Перенесение аналитического продолжения. Пусть R и
R — две римановы поверхности; пусть R — неразветвленная и без-
безграничная поверхность наложения R. Тогда каждому аналитическому
элементу f{z) в точке г поверхности R соответствует в каждой
лежащей над z точке z элемент /(/), определяемый равенством
f(z)—f(z). Если w — путь, выходящий из Р, и/t — аналитическое
покрытие пути w, то соответствующие элементы ft образуют анали-
аналитическое покрытие каждого пути наложения w.
Пусть теперь путь w замкнут на R; продолжение элемента ft
вдоль w, вообще говоря, не приводит обратно к начальному эле-
элементу. Возникает вопрос, можно ли для заданного элемента на R
построить поверхность R так, чтобы исключить указанную много-
многозначность, т. е. чтобы продолжение вдоль замкнутого пути w всегда

§ 3. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ 125
тиводило к начальному элементу. Такая поверхность наложения
1 строится в следующем пункте.
3.21. Аналитический образ как поверхность наложения. Итак,
ivcTb /р—заданный элемент в точке Ро поверхности R. „Точками"
юверхности R, которую требуется построить, мы будем считать
¦лементы, получаемые путем продолжения элемента fp *). При этом
т.ва элемента fp и f'pl будем рассматривать как одинаковые, если
ши, во-первых, отвечают одной и той же точке Р = Р' и, во-
.торых, являются непосредственными аналитическими продолжениями
фуг друга, т. е. fp = f'p, в пересечении UpU'p/. Это соотношение
¦ранзитивно, так что оно определяет разбиение всех элементов на
(епересекающиеся классы.
На определенном таким образом множестве элементов R нужно
^еперь установить топологию. Пусть fp—произвольный элемент,
"пределенный в параметрической окрестности Up. Каждой точке Q
•крестности Up отвечает элемент /„ в Up, определяемый соот-
соотношением /„ = fp на Up. Класс этого элемента определяет точку Q мно-
множества R. Этим каждой „точке" P = fp поставлено в соответ-
твие определенное подмножество Up множества R, „точки" кото-
joro взаимно однозначно соответствуют точкам окрестности Uр.
Если каждой „точке" P=fp поставить в соответствие точку Р
юверхности R, то этим будет установлено однозначное отображение
-' множества R на область О поверхности R, покрываемую при
фодолжении элемента fp. Для каждой точки P = fp подмножество
Up содержит Р и взаимно однозначно отображается на параметри-
параметрическую окрестность Up точки Р. Если Up и Up, — два таких под-
подмножества с непустым пересечением UpUp,, то посредством о ему
ставится в соответствие на R открытое множество в пересечении
В самом деле, пусть М = fM — произвольная „точка" пересече-
пересечения UpUp, и М — ее образ в UpUpr Окрестность UM точки М,
Лежащая целиком в UpUpn состоит только из образов. Действи-
Для фиксированной точки Р рассматриваются только такие параме-
ачёские окрестности, попарные пересечения которых связны. [В этом
учае все непосредственные аналитические продолжения элемента fPa
Ц-точку Р являются непосредственными аналитическими продолжениями
Jrr друга, и, следовательно, все они одинаковы в указанном далее
йсле. — Прим. перев.]

126 ГЛ. Ш. ОЙНОВ-ЙЫЁ ТЕОРЕТИКО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
тельно, точке N из UM соответствует в Up, соответственно в Upt>
„точка" fN=fp, соответственно f'N = fP,, и так как fP = fP,
в UpUpn то fN=f'N. Следовательно, N есть образ „точки"
fN=-.f'N пересечения UpUp,.
Поэтому, согласно п. 2.11, множество R можно сделать топо-
топологическим пространством, перенося с помощью отображения о на
каждое подмножество Up топологию окрестности Up. Это про-
пространство удовлетворяет прежде всего аксиомам А и С, но оно
удовлетворяет также и аксиоме отделимости.
В самом деле, пусть Р = /Р и P' = fp,— две различные
точки R. Если точки Р и Р' на R совпадают, то окрестности Up
и Up, не имеют общих точек, так как если бы у них была общая
точка Q = fQ, то мы бы имели fp — fQ в UpUQ и f'p = fQ
в U'pUq, т. е. /р = /р в U'pUp, следовательно, точки РиР' со-
совпадали бы. Если же Р и Р' — различные точки, то пусть VczUp
и VсУр,—не пересекающиеся окрестности соответственно Ри Р'. Им
соответствуют в Up и Up, две непересекающиеся окрестности V и
V соответственно Р и Р'.
Итак, пространство R удовлетворяет аксиомам А, В и С и, сле-
следовательно, является поверхностью. Так как о — локально топологи-
топологическое отображение R на область О, то R — неразветвленная (в об-
общем случае не безграничная) поверхность наложения G. Поэтому R,
согласно п. 2.88, может быть сделано римановой поверхностью.
Поверхность R связна. В самом деле, если Px—fp—произволь-
Px—fp—произвольная точка R, то так как fp — продолжение исходного элемента
Р0=/Ро, существует путь P{t) @<[^<1) из Ро в Р1 и такое ана-
аналитическое покрытие ft этого пути, что fo = fp nfx = fp. Тогда
посредством P(t) = ft определяется путь на R, ибо отображение
t~+ P(t) удовлетворяет условиям леммы п. 2.53 и поэтому непре-
непрерывно. Так как, по построению, начало пути P(t) есть точка fp ,
а конец — точка fp, то P(t) действительно соединяет Ро с Pv
Перенесение элемента fp из области О на построенную таким
образом поверхность наложения R означает теперь просто то, что
каждой точке Р=/р ставится в соответствие число fp. Таким об-
разом, на R действительно получается функция, однозначная
в целом.

i з. Аналитическое продолжение 127
Если, в частности, заданный элемент fp неограниченно продол-
продолжаем в G, то это означает, что каждый путь w, лежащий в G,
можно неограниченноJ) перенести на R; следовательно, в этом слу-
случае R— безграничная поверхность наложения G (см. п. 2.52).
После того, как мы выяснили, что R— поверхность наложения
покрытой элементами области О, мы можем применить результаты
§ 4 гл. II. Прежде всего получаем, что продолжение элемента fp
однозначно определяется исходным элементом и путем (с точностью
до непосредственного аналитического продолжения); точнее: если fp
и f'p—два аналитических элемента в Ро, являющиеся непосред-
непосредственными аналитическими продолжениями друг друга, и /р и f'p —
их продолжения вдоль пути w, то fp и f'p также являются непо-
непосредственными аналитическими продолжениями друг друга.
3.22. Замечание о продолжении элементов заданного анали-
аналитического образа. Обратно, если /—однозначная аналитическая
функция, определенная на заданной римановой поверхности, п'/р —
какой-либо ее элемент, то из однозначности аналитического про-
продолжения следует, что при продолжении элемента /р, в соответ-
соответствии с пп. 3.18 и 3.19, он все время совпадает с/. Следовательно,
в частности, продолжение постоянного элемента fp = С равно по-
постоянной / == С.
3.23. Теорема о монодромии. Далее, из пп. 2.51 и 3.21 сле-
следует:
Если wQ и w± — гомотопные пути на R и элемент fp про-
продолжаем вдоль всех путей гг/х @-^т:-^1) деформации <a»0->«f1,
то продолжение вдоль w0 и вдоль w1 ведет к одному и тому же
конечному элементу.
В частности, если область О односвязна, то отсюда вытекает
Теорема о монодромии. Аналитический элемент, не-
неограниченно продолжаемый в односвязной области G, определяет
в G однозначную аналитическую функцию.
3.24. Замечание. Те соотношения, которые имеют место при
аналитическом продолжении элемента функции, существенно связаны
со свойствами гомотопии путей, а не со свойствами гомологии путей,
как, это, например, имеет место для интегралов однозначных анали-
аналитических ковариант. Может случиться, что элемент функции, про-
продолженный в области ее регулярности вдоль замкнутого пути, гомо-
гомологичного нулю, но не гомотопного нулю, не возвращается обратно
То есть начиная из любой точки над началом w. — Прим. перев.

128 ГЛ. Ш. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИКО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
к исходному элементу. Возьмем, например, в качестве R числовую
плоскость г Ф сю с выколотыми точками z = -f-1 и z = — 1, а за
/0 — элемент функции |Лп [A ~\~z)/2] в точке z = О1). Если а и b
означают соответственно окружности |г+1| = 1 и | .г —11 = * (°^е
положительно ориентированы), то путь aba~1b~1 на R гомологичен
нулю (образует 1-цепь нуль), однако, как легко проверить, продолжение
/0 вдоль этого пути не ведет обратно к исходному элементу. Этим
примером одновременно доказано, что путь aba'^b'H числовой пло-
плоскости с выколотыми точками dz 1 не гомотопен нулю, другими
словами, что пути ab и Ьа не гомотопны. Следовательно, фундамен-
фундаментальная группа числовой плоскости с двумя выколотыми точками —
не абелева.
3.25. Многозначность в целом. Пусть /р0 — элемент функции,
неограниченно продолжаемый в области О. Если область О не одно-
связна, то в общем случае аналитическое продолжение приводит
к функции, многозначной в целом. Имеющиеся здесь возможности
обозримы с помощью теоремы п. 3.23.
Если Ро— фиксированная и Р— произвольная точка области О,
то элементы /р соответствуют, согласно п. 3.23, гомотопным клас-
классам путей, ведущих из Ро в Р. Так как существует только счетное
число таких классов (ср. п. 2.88, примечание), то каждой точке Р
отвечает лишь счетное число элементов.
Многозначная функция, полученная при продолжении /р„ в G,
в каждой односвязной -подобласти О0 области О может быть пред-
представлена однозначными ветвями: в О0 выбирают точку О, продолжают
/р0 из Ро в О вдоль фиксированного пути и полученный таким обра-
образом элемент продолжают затем неограниченно в Go; по теореме о
монодромии, это приводит к функции, однозначной в О0. Таким
образом получаются все элементы многозначной функции / в Go.
В самом деле, если fp (Р ? О0)— произвольный элемент, получен-
полученный продолжением /р0 вдоль пути w, то соединим Р с О в области
О0 путем р. Тогда wp — путь из Ро в О, и продолжение /р0 вдоль
¦wp приводит к определенному элементу /0 в О; отсюда следует, что
/р принадлежит ветви, получаемой продолжением /0 в О0.
3.26. Гармоническое продолжение. Дробные элементы. То, что
выше было сказано о продолжении аналитических функций, остается
в силе и для гармонических функций, а также для аналитических
и гармонических дифференциалов. Существенное для справедливости
предыдущих рассмотрений состоит лишь в том, чтобы операция
I) Берется элемент, соответствующий главному значению логарифма
(In 1=0). — Прим. перев.

i 4. ПРИНЦИП МАКСИМУМА И МИНИМУМА 129
- непосредственного аналитического (соответственно гармонического)
продолжения элемента была определена однозначно.
Отсюда, в частности, следует, что рассмотренные однозначные
аналитические и гармонические элементы не нужно предполагать
регулярными всюду без исключения, но что можно также, как это
уже имело место в гл. I, допустить некоторые особенности. Если
в дальнейшем речь будет идти об аналитическом продолжении,
j то будем включать в рассмотрение однозначные аналитические эле-
"\менты, имеющие не более конечного числа полюсов („дробные" ана-
iйитические элементы).
§ 4. ПРИНЦИП МАКСИМУМА И МИНИМУМА
'?-. 3.27. Принцип максимума. Пусть w — u-\-iv — однозначная
регулярная и отличная от постоянной аналитическая функция в окрест-
окрестности точки Р римановой поверхности R. Тогда из свойства сохра-
я области при отображении z-+w следует, что в точке Р
олютное значение \w\ не может достигать максимума. То же
ое справедливо для максимума (и минимума) действительной часта и,
м самым и для любой гармонической функции, регулярной в точке Р.
Из этой простой теоремы получается принцип максимума в сле-
щей точной форме.
Пусть О — область на римановой поверхности R, Г— ее граница,
иусть замкнутое множество G-f-Г компактно на R. Пусть в Q
делена однозначная гармоническая функция и (г), обладающая
свойством, что для нее в каждой точке С границы Г *)
$рда в каждой точке z области Q
1чем знак равенства имеет место только для постоянной и = 0.
«^Первое утверждение означает, что верхняя граница М функции и
«власти О неположительна. Для доказательства заметим, что функ-
\\imu, в силу компактности G-j-Г, по крайней мере в одной
"е Q, принадлежащей G + Г, становится равной М. Если Q — точка
Щцы Г, то, по предположению, М <0. Если, напротив, Q — точка
_|о функция и достигает своего максимума во внутренней точке Q
Т^тому тождественно равна М, прежде всего в окрестности U
$ Q, но затем и всюду в О (см. п. 3.22). Тогда из предположе-
едует, что М ^ 0.
|им доказано первое утверждение. Если, наконец, функция и
ает своего наибольшего значения 0 в некоторой точке области Q,
Га (С) нужно понимать как lim и {г). —Прим. перев.
» ь Т

130 ГЛ. III. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИКО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
следовательно, в точке регулярности, то она постоянна, а именно,
равна нулю, что и требовалось доказать.
3.28. Обобщенный принцип максимума. Для дальнейших иссле-
исследований нам потребуется принцип максимума в несколько более общем
виде.
Пусть функция u(z), как прежде, однозначна и гармонична
в области О. Пусть, далее, она удовлетворяет на Г условию
lim«(CX0, исключая, возможно, конечное число граничных
точек (С)- Тогда либо u(z)^.O в О, либо
М = sup и (г) = -f- оо.
а
Для доказательства предположим, что М < оо; нужно показать,
что
я(г)<0 в G.
Если lim и {г) = М в точке г области G или в неисключительной
точке z — l. границы Г, то справедливость утверждения непосред-
непосредственно очевидна.
Если же этот случай не имеет места, то для некоторой исключи-
исключительной точки С = Со границы Г имеем
Тогда мы в параметрическом круге \г — Со | < 1 выбираем настолько
малый круг А: \г — С0|О<1, чтобы он не содержал ни одной
исключительной точки, кроме t0. Пусть теперь т—-верхняя грань
функции и {г) на пересечении d окружности a :\z — С„| = г с G-\~T.
По нашему предположению,
Пусть D — пересечение D = GA. В точке С ф Со границы 8 области
D lim и (С) <! 0, если С лежит на Г, и и (С) <! т, если С принадлежит
G; следовательно,
1X111 U, \^%J <^. о
для каждой граничной точки С ф Со области D.
Образуем теперь для произвольно фиксированного положительного
числа г функцию
Тогда <р< и в А, тем самым и

i 8. интегральные теоремы 13i
в каждой точке С ф Со границы 8 области D. Это неравенство имеет
место и для С = Со, так как здесь lim <р = — оо, в силу ограничен-
ограниченности функции и сверху. Поэтому, по принципу максимума, в D
выполняется неравенство
следовательно,
/ \ ^- "* -I- I /Я
—ein |j» —
Так как это соотношение справедливо для любого е > 0, то в D
" т. А~ I т. I
откуда при z -»¦ Со вытекает, что
4о, с другой стороны, М > т; это возможно только в случае, если
(<0, и поэтому Ж^О, следовательно, u(z)^Q в G, что и тре-
эвалось доказать.
§ 5. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
3.29. Дифференцируемые симплексы. Пусть о2 — особый 2-сим-
(см. п. 2.27) римановой поверхности R, лежащий целиком
?.* параметрической окрестности К- В параметрическом круге Кг
ffe = х-\-ty) ему отвечает новый особый симплекс о|, связанный с о2
Топологическим отображением К<—> Kz. Тем самым прямолинейный
симплекс-прообраз 'о2, который мы предполагаем расположенным
^йг»-плоскости, непрерывно отображается на о,. Это отображение
|»кно записать с помощью двух функций
х = х(и, v), y=y(u, v) (z ~x-\~iy).
они непрерывно дифференцируемы, то о2 называется дифферен-
руемым 2-симплексом. Это свойство, в силу непрерывной диф-
1ренцируемости соотношений соседства, не зависит от выбора пара-
5ической окрестности, в которой лежит о2. Если из двух равных
Цймплексов один дифференцируем, то и другой дифференцируем.
Ц§"Пусть дальше о1 — особый {-симплекс в параметрической окрест-
Щбсти К. В К3 ему отвечает особый 1-симплекс of, связанный с пря-
Ш^линейным симплексом-прообразом 'о1 1-симплекса о1 отображением
|1' х = х (t), y = y @.
!РДе t—параметр отрезка-прообраза. Если функции x(t) и y(t) не-
ярерывно дифференцируемы и х'2-^-у'2фО, то о1 называется диффе-
дифференцируемым 1 -симплексом.

132 ГЛ. Ш. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИКО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
3.30. Интегралы по дифференцируемым симплексам. Пусть
oQ — ориентированный дифференцируемый 2-симплекс на римановой
поверхности R и Г—кососимметрическое тензорное поле (см. п. 3.7),
непрерывное на о2. Функции Г соответствует на симплексе-прооб-
симплексе-прообразе 'о2 непрерывная функция Т(и, v). Мы определяем интеграл
поля Т по симплексу о2 соотношением
И Tdxd^ П T(-u'
При этом справа стоит элементарный -двойной интеграл, взятый по
ориентированному симплексу-прообразу 'о2, т. е. интеграл по не-
неориентированному симплексу, взятый со знаком плюс или минус, в за-
зависимости от того, определяет ли ориентация 'о2 в плоскости и, v
положительную или отрицательную ориентацию.
Это определение не зависит от выбора параметрической окрест-
окрестности К. В самом деле, если Кг — другая параметрическая окрест-
окрестность и Тх — поле относительно нового параметра z1 = xl-\-ty1^ то
соответственно
а' 'о"
Так как Т—тензор, то, в силу C.5),
т „ д(х, у)
1— д{хь угу
откуда вытекает совпадение обоих интегралов. Аналогично доказы-
доказывается, что значение интеграла не зависит от выбора симплекса-про-
симплекса-прообраза. Следовательно, интеграл кососимметрического тензора по
2-симплексу имеет смысл, не зависящий от локального параметра,
что, например, не имеет места для скалярной функции.
3.31. Пусть Mv Ж2 и Nv А/2—два непрерывных ковариантных
векторных поля на дифференцируемом 2-симплексе о2 на R. Тогда
и сопряженные комплексные числа Nlt N% образуют ковариантное
поле, и, следовательно, MtN2 — М^Яг есть тензор; интеграл
И1А/2 — M2Nt) dxx dx2
имеет поэтому инвариантный смысл.
Если поля Mv М.2 и Nv N.2 ковариантны (см. п. 3.2), МХ-=М,
М2 = Ш, Nt = N, N2 — iN, то этот интеграл можно записать в виде
I = —2l\ MNdxxdx2, C.9)

§ 5. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
133
ели, наконец, здесь N = M, то он принимает вид
C.10)
«'Последний интеграл называется интегралом Дирихле коварианты М.
ч,
8.32. Неравенство Буняковского — Шварца. Пусть Mv УИ2 и
^ N2— два непрерывных ковариантных векторных поля на диф-
ренцируемом положительно ориентированном 2-симплексе о2 (см.
2.96). Тогда, по определению (см. п. 3.30), если для сокращения
ожить
, v)
^довательно,
MM)dxxdx^ = J f (ЖХЛГ2 —
J/i
dudv,
|сь симплекс-прообраз 'о2 положительно ориентирован относительно
^плоскости, поэтому Д > 0.
-*По элементарному неравенству Буняковского — Шварца,
I мм—м2^11 < VWIf+WJ*
ательно,
|да, снова по неравенству Буняковского — Шварца (для интегра-
гследует, что
КОнчательно
Интегралы по 2-цепям. Особая 2-цепь, состоящая из диф-
Ируемых 2-симплексов, называется дифференцируемой 2-цепью.
рал, непрерывного тензорного поля Т по дифференцируемой

134 ГЛ. Ш. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИКО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
2-цепи а2 = 2о^ определяется линейно:
J J Tdxdy = Sa, J / ГЛсйу.
Тем самым все формулы, выведенные для 2-симплексов, имеют
место и для дифференцируемых 2-цепей.
3.34. Пусть <x = 23v — дифференцируемая 2-цепь на R, состоящая
из дифференцируемых положительно ориентированных симплексов о,.
Пусть Р = 2ха — вторая такого же рода цепь, о которой мы до-
полнительно предположим, что она целиком покрыта первой цепью
и что никакие два ее симплекса не имеют общих внутренних точек.
Пусть на а задано положительное тензорное поле Т. Тогда
j j Tdxdy <C j f Tdxdy.
Действительно, пусть x есть 2-симплекс р и хг— соответ-
соответствующий ему 2-симплекс в параметрическом круге Kz. Построим
второй, лежащий внутри хг топологический 2-симплекс т* так,
чтобы евклидова площадь кольца xg— х* была меньше заданного по-
положительного числа е. т* отвечает на R определенный, лежащий
внутри х 2-симплекс т*. Цепь а мы можем настолько мелко подраз-
подразделить, чтобы каждый ее 2-симплекс, имеющий хотя бы одну общую
точку с х*, лежал в х. При этом подразделении интеграл от Т по а
не изменяется, и мы можем поэтому предположить, что а с самого
начала обладает указанным свойством.
Пусть теперь а* = S °Р обозначает цепь, состоящую из всех тех
симплексов о., входящих в а,'которые имеют хотя бы одну общую
точку с х*. Покажем, что
J j Tdxdy ^. J j Tdxdy. C.11)
Если t* означает симплекс-прообраз ¦:* в их/-плоскости, то, по
определению,
поэтому, по формуле преобразования двойного интеграла на плоско-
плоскости, интеграл Г Г Tdxdy можно рассматривать как обыкновенный

i 5. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ 135
двойной интеграл от функции Г по т*. Точно так же, если о0> г озна-
означает симплекс-прообраз зр в параметрическом круге Кг, то интеграл
Г Г Tdxdy равен двойному интегралу от Т по ор_ г. Отсюда сле-
»р
дует справедливость неравенства C.11), ибо 2°* покрывает т* и
р р'
ее подинтегральная функция положительна.
С другой стороны, если М означает максимум Г в ¦:„, то
J J Tdxdy—- j f Tdxdy < ЛГг. C.12)
•с т*
Из неравенств C.11) и C.12) вытекает, что
J J Tdxdy-4. J f Tdxdy + Ms. C.13)
T «*
Пусть теперь t пробегает все симплексы t^ цепи [3 и а* озна-
означает цепь, состоящую из всех симплексов цепи а, имеющих хотя бы
одну общую точку с т*. Тогда из C.13) следует, что
Никакие две цепи а* не имеют здесь общих симплексов, ибо а* лежат
внутри соответствующих тл, которые, по предположению, попарно
не имеют общих внутренних точек. Поэтому
2 J f Tdx dy < J J Tdxdy.
11 a* a
последних двух неравенств следует, что
j j Tdxdy < J J Tdxdy-\-\
^M
,8 так как г сколь угодно мало, то
|ч f j Tdxdy ^
и требовалось доказать.
3.35. Интегралы по точечным множествам. Пусть М — подмно-
подмножество R и Т—непрерывное тензорное поле на М, которое мы сна-
сначала предположим действительным и положительным. Будем считать,

136 ГЛ. III. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИКО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
что на М существует дифференцируемая 2-цепь р, состоящая из
топологических положительно ориентированных 2-симплексов. Пусть
при этом никакие два симплекса цепи р не имеют общих внутрен-
внутренних точек.
Интеграл
/р = J j Tdxdy
Р
есть положительное число. Множество /р, гд е C пробегает всевоз-
всевозможные 2-цепи описанного выше вида, имеет вполне определенную
верхнюю грань «; оо),. которая принимается в качестве значения
интеграла от 7 по множеству М:
f Г Тdx dy = sup Д.
м Р
Если, в частности, множество М само является цепью а из
множества ф), то, согласно п. 3.34,
J J Tdxdy = J J 7rfx4y.
Отсюда, в частности, следует, что интеграл Г Г Tdxdy зависит
а
не от цепи а, а только от покрытого множества М.
Если заданный тензор действительный, но не всюду положитель-
положительный, то полагаем
и 272 = j7| —Г
и определяем интеграл с помощью соотношения
J J Tdxdy = J J Ttdxdy— J J T^dxdy.
M MM
Если, наконец, тензор Т—комплексный, 7= T'-\-iT", то инте-
интеграл определяется с помощью соотношения
j f Tdx dy — j J Г dx dy+1J J Г dx dy.
MM M
3.36. Интегралы по дифференцируемым 1-симплексам. Пусть
о1 — ориентируемый дифференцируемый 1-симплекс на римановой
поверхности R и М, N—непрерывное ковариантное векторное поле
на о1. Паре функций М, N отвечает на симплексе-прообразе 'о1
(О <! t <; 1) пара непрерывных функций М (t), N(t). Интеграл поля М, N

§ 5. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ 137
вдоль о1 определяется соотношением
1 '
C.14)
f
причем параметр t нужно выбирать так, чтобы при возрастании t
Симплекс-прообраз 'о1 пробегался в направлении его ориентации.
• Определенный таким образом интеграл не зависит ни от выбора
симплекса-прообраза, ни от выбора параметрической окрестности.
<:. Если поле — коварианта, т. е. имеет вид М, Ш, то интеграл
'Записывают в виде
J M (dx-\-ldy) = J Mdz.
Если, напротив, N =— Ш (см. п. 3.2), то пишут
J M (dx — / dy) = J M dz.
Очевидно, что для коварианты М
j Mdz — J Mdz.
В частности, если поле М, N является градиентом дифференци-
дифференцируемой (в окрестности о1) функции f(x, у), то интеграл C.14) пред-
представляет изменение функции / вдоль о1.
В этом случае определение интеграла можно распространить на
особые (не обязательно дифференцируемые) 1-симплексы,^понимая под
интегралом вдоль особого 1-симплекса о1 изменение функции/ вдоль <з1.
Так как аналитическое поле в каждой параметрической окрестно-
; сти является полем градиента, то это, в частности, имеет место для
аналитических функций.
к 3.37. Интегралы по 1-цепям. В соответствии с п. 3.33, под инте-
|т гралом непрерывного ковариантного векторного поля М, N вдоль
| дифференцируемой 1-цепи a1 = 2Gv<'v понимают сумму
\? - ' v
К
J (Mdx+Ndy)z='^la4 J (Mdx + Ndy).
f'¦¦¦_ Если поле М, N является градиентом дифференцируемой (в окрестности
1; а1) функции f(z), то интеграл представляет собой приращение f(z)
¦ ; „вдоль" а1, т. е. сумму 2«ч {/(гт)~/(*v)}. г*е г?игу+1 обозначают

138 ГЛ. III. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИКО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
соответственно начало и конец о*. Если, в частности, а1 — цикл,
а1 = г1, то для поля градиента
т. е. интеграл поля градиента вдоль цикла равен нулю.
Для поля градиента интеграл определен также вдоль особых цепей.
В частности, это имеет место для аналитических ковариант.
3.38. Так как каждый (дифференцируемый) путь w можно, раз-
разбивая подходящим образом его отрезок-прообраз, рассматривать как
дифференцируемую 1-цепь, то интеграл ковариантного поля определен
также вдоль пути. Его значение не зависит от разбиения отрезка-
прообраза.
3.39. Пусть z = z(t) (O^.t^.1) — замкнутый дифференцируемый
путь w на поверхности R и tp — коварианта, которая вдоль w непре-
непрерывна и отлична от нуля. Тогда произведение <р -тт = fz не зависит от
локального параметра, в то время как при изменении действительного
параметра t кривой оно умножается на действительное число1).
Поэтому его аргумент не зависит от обоих параметров. Полное его
изменение вдоль w, с точностью до множителя I, задается интегралом
f(i + i)dt, C.15)
который можно также записать в виде
где tp' означает производную по z. Так как этот интеграл не зависит,
как это видно из его геометрического Значения, от параметра z, то
можно предполагать, что подинтегральное выражение имеет кова-
риантный характер преобразования относительно г. И действительно,
если z* — новый параметр, то первое слагаемое преобразуется по
формуле
<р*? <р' йг . dzs <Рг
а второе — по формуле
z* z dz dz* d2z
i«2 ia dz' dz '
!) Допускаются только такие преобразования t, для которых этот мно-
множитель положителен (см. п. 2.32, равенство путей).— Прим. перее.

§ 5. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ 139
dz* dlz
и при сложении „мешающий член" -г— -г-г уничтожается, так что
закон преобразования имеет ковариантный характер1).
Если, в частности, коварианта <р есть производная от аналитической
функции F' (z), однозначной и регулярной в окрестности пути w, то
интеграл C.15) выражает полное изменение касательного вектора кри-
кривой, получаемой из w при отображении F(z).
3.40. Интегралы и отображения. Пусть R* и R— две римановы
поверхности и <р — однозначное (не обязательно взаимно однозначное)
дифференцируемое2) отображение R на R*. Тогда каждой аналити-
аналитической функции f(z) на R отвечает на R* аналитическая функ-
функция f*(z*), определяемая соотношением
Аналогичным образом ковариантному векторному полю М{ (/ = 1, 2)
на R можно поставить в соответствие поле на /?*, определяемое
соотношением
при переходе к новому параметру на R* эта пара чисел также преобра-
преобразуется по закону ковариантности.
Если, наконец, Т—компонента кососимметрического тензорного
поля, то
У»_ а(лг1, х2) т
д D х*г)
— соответствующее тензорное поле на R*.
Посмотрим, как связаны между собой интегралы соответствую-
соответствующих полей. Пусть о1* — дифференцируемый 1 -симплекс на R* и з1 —
соответствующий ему симплекс на R. Пусть вдоль о1 задано не-
непрерывное ковариантное векторное поле Mt. Тогда
в" i 0 i 0 i, к
следовательно,
к
J) Следует заметить, что подинтегральное выражение, по крайней мере
второе слагаемое, зависит е це, кроме параметра г, от параметра t кривой;
напротив, весь интеграл от параметра t не зависит. Мы считаем параметр t
кривой фиксированным.
2) Это означает, что локальные параметры поверхности R являются диф-
дифференцируемыми функциями локальных параметров поверхности R*.

140 ГЛ. III. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИКО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
т. е. интегралы соответствующих полей по соответствующим сим-
симплексам совпадают. Отсюда для дифференцируемой 1-цепи а1*на/?*
и ее образа а1 на R вытекает аналогичное соотношение
Точно так же для дифференцируемого 2-симплекса з2* на R* и
тензорного поля Т, непрерывного на симплексе-образе о2,
tji 0s*
Отсюда для дифференцируемой 2-цепи следует, что
j j Tdxtdx2 = j j T* dx\dx\.
a» «*•
3.41. Формула Грина. Пусть о2 — ориентированный дифферен-
дифференцируемый 2-симплекс и М, N—ковариантное векторное поле, имею-
имеющее непрерывные производные первого порядка в области О, содер-
содержащей симплекс о2. Относительно дифференцируемого отображения,
определяющего о2, мы предполагаем, что оно определено и диффе-
дифференцируемо в некоторой области G*, содержащей симплекс-про-
симплекс-прообраз а2*. Мы хотим преобразовать интеграл от тензора Му — Nx
по о2 в интеграл по граничной цепи <?з2.
Для этого рассмотрим дифференцируемое отображение области G*
в R. Согласно п. 3.40, полю Му — Nx в G соответствует поле
(Mv-Nx) -^-^ в О', или, что то же самое, поле
g (% % • Согласной. 3.40,
(*>,r) '
Элементарная формула Грина, примененная к прямолинейному
2-симплексу о2*, дает для последнего интеграла значение
которое, согласно п. 3.40, равно
— f (Mdx + Ndy).

8 6. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
Отсюда получается искомая общая формула преобразования для
произвольной 2-цепи а3 (при соответствующих предположениях):
= — f(Mdx+Ndy). C.16)
да'
Если поле М, N—безвихревое, следовательно, My — Nx, то из
формулы Грина следует, что
(Mdx-\-Ndy) = 0.
да»
Следовательно, интеграл безвихревого поля по гомологичной нулю
1-цепи равен нулю. В частности, это имеет место для поля гради-
градиента. В этом случае мы знаем, согласно п. 3.37, что интеграл по
любому 1-циклу (не обязательно гомологичному нулю) равен нулю.
Замечание. В комплексной плоскости формула Грина имеет
место уже в виде
j JMydxdy = — JMdx, J*J
На римановой поверхности, которую нельзя покрыть одной парамет-
параметрической окрестностью, эти отдельные интегралы не имеют инва-
инвариантного смысла, однако такой смысл имеют интегралы от тензора
Му — Nx или ковариантного вектора М, N.
3.42. Дальнейшие интегральные теоремы. Если в C.16) поло-
положить М = ер, Af=i<p, то для коварианты <р получаем интегральную
формулу
//(?» — '?*) dxdy = — J f dz.
Заменяя здесь коварианту <р на «ср, где « означает дифферен-
цируемую по х и у функцию (вообще говоря, комплекснозначную),
получаем формулу
I- J/9(<»y — ^x)dxdy + J J (ty—tvJadxdy = — fvudz. C.17)
|i а.' ос3 дп?
i Пусть, в частности, <р — аналитическая коварианта и т — функ-
:;• ция, комплексно сопряженная к однозначной аналитической функ-
f ции F(z). Тогда второе подинтегральное выражение обращается
|: в нуль, а для первого шу — i<»a> — —2//", .так что
Jf
§yFdz C.17')
Jf §
a» да'

142 ГЛ. III. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИКО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ TEOPEAibf
Переходя здесь к комплексно сопряженным значениям, получаем
=--j ^Fdz. C.18)
да.'
Если, наконец, в C.17') положить коварианту <о равной F', то
для интеграла Дирихле от F' получим следующую формулу:
J [ F'F' dxdy — — ^ J F'Fdz., C.19)
а» да'
Здесь левая часть имеет действительное значение, поэтому инте-
интеграл справа должен иметь чисто мнимое значение; действительно,
полагая F-=u-\-iu', имеем
JF'Fdz= J {udu-\-u' du')-\-i J (и du' — и' du) —
дя.'
= i J (udu' — u'du) = — 2i J u'du,
да' да' да'
9a» 3a>
так как интеграл от полного дифференциала udu-\-u'du' равен
нулю. Тем самым C.19) преобразуется к виду
j J F'F~'dxdy = — j u'du= judu'. C.20)
a* da» da»
Несколько более общие формулы мы получим, если в C.17)
вместо со поставим не функцию, сопряженную к однозначной анали-
аналитической функции F, а действительную гармоническую функцию и.
Если / означает аналитическую коварианту и +''и^,» то вместо C.18)
получается формула
J J ftdxdy — l J uyTz. C.18')
a? 5a»
Соответственно для интеграла Дирихле от коварианты /=ср по-
получается формула
J jlf^dxdy— j udu'. C.200
a» da»
3.43. Вычет. Пусть теперь М — однозначная аналитическая кова-
рианта, регулярная в области О с точностью до изолированных осо-
особых точек. Пусть Р — изолированная особая точка, К—содержащая
ее параметрическая окрестность и z = 0 — соответствующее Р зна-

§ 5. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ 143
чение параметра. Тогда М в окрестности z = 0 имеет разложение
оо
М = 2 Щг\
v = —со
Число т_1 называется вычетом коварианты М в точке Р и обо-
обозначается через
tn_x = res Ж.
р
Вычет не зависит от локального параметра: действительно, если
z* — другой параметр, связанный с z соотношением
г = a±z* + ... (ахф 0),
то в окрестности точки г* = 0 получаем разложениех)
Вычет можно также представить в виде интеграла; именно если
о2 — положительно ориентированный топологический 2-симплекс,
расположенный в параметрической окрестности К, и Р — внутренняя
точка о2, то
f M dz = 2nlnsM.
до» Г
Из этого интегрального представления снова следует независимость
вычета от локального параметра.
В дальнейшем будет установлено соотношение между вычетами
аналитической коварианты на особой 2-цепи и интегралом от нее
по границе этой цепи. Для этого нам потребуется топологическое
понятие индекса симплекса относительно точки.
3.44. Индекс сималекса относительно точки2). Пусть о9 — осо-
особый 2-симплекс на R, К—параметрическая окрестность, содержащая
о2, и Р — точка К, не лежащая на дз3. В параметрическом круге Кг
1) Так как при чф—l выражение [z(z*)f -г-% является производной по г*
от однозначной аналитической функции (с полюсом при м<—1), то в раз-
разложении М* отрицательная степень (г*)" может получиться только за счет
члена rtt-xiz разложения М, что дает т_х/г*. — Прим. перев.
2) В оригинале Schniltzahl. Индексом (порядком) точки г относительно
1 Г
замкнутого пути f называют целое число g— I darg(C — г) (С пробегает y;
к
берется однозначная ветвь arg (? — z)). Это же число называют порядком
ветвления кривой 7 в точке z (см. П. С. Александров [1**]). Мы будем го-
говорить „индекс кривой относительно точки". — Прим. перев.

144 ГЛ. III. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИКО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
этой границе, рассматриваемой как точечное множество, отвечает
непрерывная ориентированная замкнутая кривая ^г> не проходящая
через точку Рг. Под индексом S (а'3, Р) симплекса а2 относительно
точки Р понимают индекс кривой "(г относительно точки Рг.
Пусть теперь «2 = 2а,°! — особая 2-цепь, расположенная в пара-
метрической окрестности К, и Р — точка К, не лежащая на да?.
Чтобы определить индекс цепи а3 относительно точки Р, предпо-
предположим сначала, что Р не лежит на границе ни одного из симплексов
цепи а2. Тогда определены индексы S(a^, P), и мы полагаем
Индекс а2 относительно Р зависит только от граничной цепи <Эа2,
так как если о1 —сторона 2-симплекса, не входящая в da9, то при
образовании цепи da2 она входит одинаковое число раз со зна-
знаками плюс и минус, поэтому ее доля в индексе 5(a2, Р) равна нулю.
Теперь мы можем это определение пополнить: если а2 — особая
2-цепь (в К) и Р не лежит на да2, но, возможно, лежит на границах
некоторых из симплексов цепи а2, то заменяем а2 другой 2-цепью
'а2 предыдущего вида, имеющей ту же границу, что всегда возможно.
Если теперь положить
S(a». Я) = 5 ('а2, Я),
то это определение не будет зависеть от выбора 'а2.
Из определения индекса следует, что он аддитивен:
. P).
Следовательно, если а2 = 2« "* и границы всех о2 не содер-
р
жат Р, то
Если 2-симплекс о3 не содержит Р, то индекс границы дэ3 z
относительно точки Рг равен нулю *), следовательно,
S(o«, Р) = 0,
•откуда вытекает, что для образования индекса 5 (a2, P) имеют зна-
значение только те из симплексов цепи а8, которые содержат Р. Если
о.% означает цепь, составленную из этих симплексов цепи а2, то
S(a2, P) = S(a«, P).
*) Это составляет содержание следующей теоремы топологии плоскости:
если ч> — непрерывное отображение замкнутого треугольника в числовую
плоскость и Р—точка, не принадлежащая образу треугольника, то индекс
кривой, представляющей образ границы треугольника, относительно точки Р
равен нулю.

g В. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ 145
Если а2 — подразделение цепи а2, то из определения следует,
что
5 (а2, Р) = 5(а«, Р).
Индекс до сих пор был определен для цепи а2, лежащей в пара-
параметрической окрестности. Пусть теперь а2 — произвольная 2-цепь
на R, граница которой не содержит Р, и пусть все симплексы
цепи а2, которые содержат Р, лежат в параметрической окрестности К
точки Р. Если а^ — цепь, составленная из этих симплексов (взятых
с надлежащей кратностью), то ее граница не содержит Р. Действи-
Действительно, если а2 = aj-}-aj*, то а^, тем самым и да*, не содержит Р.
По предположению, это же справедливо для <Эаа, тем самым и для
да^ — да*— daj]. Следовательно, индекс S(a^, P) определен. Теперь
мы определяем индекс 5 (а2, Р) первоначальной цепи аа относительно
Р, полагая
Если сделанное выше предположение о симплексах цепи <ха не
выполняется, то заменяем а2 его подразделением и используем его
для определения индекса. Независимость этого определения от под-
подразделения доказывается переходом к общему подразделению.
• 3.45. Теорема о вычетах. Пусть G— область на римановой по-
поверхности R и/—однозначная аналитическая коварианта в G, регуляр-
регулярная с точностью до конечного числа особых точек Рр (р = 1, . .., г).
'.Пусть а2 — особая 2-цепь в G, граница которой не содержит точек Рр.
; Предположим сначала, что каждый 2-симплекс содержит самое боль-
ршее одну точку Рр и что границы всех 2-симплексов о^ не содержат
?точек Pp. Если тогда <за есть 2-симплекс цепи а2, который со-
содержит Рр, и К—содержащая его параметрическая окрестность, то
f-b К имеет место разложение
5.. /— • • • *"г~^г+ • • • + — +регулярная функция.
|При интегрировании по да2 член ajz дает значение ах —, в то
|8ремя как интегралы от всех остальных членов равны нулю. Следо-
Следовательно,
д1 Р д1
\ J
да1 Р да1
Интеграл справа, с точностью до множителя 2та, равен индексу да2
.относительно точки Рр, следовательно, равен индексу 5(а9, Р?),
-так что
Г
J
• = 5(a2, Pp).2it/res/.
X, 10 Зак. 295. Р. Неванлин*1а

146 ГЛ. Ш. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИКО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
Если же симплекс о3 не содержит ни одной из точек Рр, то
да*
Из этих двух равенств суммированием по всем симплексам цепи а9
получаем теорему о вычетах:
J 2та ^ 5 («9, Р?) res /.
да» р Pf>
Теперь мы можем освободиться от сделанных выше специальных
предположений. Если симплекс оа содержит несколько точек Р?, то
переходим к подходящему подразделению; при этом не меняются ни
индексы <ха относительно точек Рр, ни интеграл Г fdz. Если, наконец,
какая-либо из точек Р? лежит на границе симплекса из цепи а9 (но не
на да2), то заменяем а2 цепью с той же границей, для которой это
не имеет места.
Этим теорема о вычетах доказана полностью:
Сумма вычетов аналитической коварианты / на особой 2-цепи
с индексами в качестве коэффициентов равна деленному на 2ici
интегралу от f вдоль границы цепи и тем самым зависит только
от этой границы.
3.46. Интегральная теорема Коши. Если, в частности, кова-
рианта / не имеет на <ха никаких особенностей, то все ее вычеты
равны нулю, и мы получаем интегральную теорему Коши:
J7<te = <
да'
3.47. Рассмотрим, в частности, случай, когда поверхность R за-
замкнута и триангулируема. Пусть /—абелева коварианта на R с полю-
полюсами Яр (р ¦= 1, .... г); тогда за а3 можно принять (когерентно ориен-
ориентированные) 2-симплексы триангуляции R, причем так, чтобы каждый
из полюсов был внутренней точкой 2-симплекса. Тогда, при подхо-
подходящем выборе ориентации S(a2, Яр) = -|- 1 (р= 1, ..., г), и из тео-
теоремы о вычетах следует, что
Этим доказано:
Сумма вычетов абелевой коварианты f на (триангулируемой)
замкнутой поверхности равна нулю.
8.48. Принцип аргумента. Пусть F(z) — функция, регулярная
в области О с точностью до конечного числа полюсов. Предположим,

I 8 8. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ Ш
:• что граница особой цепи а2 не содержит ни полюсов Лр, ни нулей Вв
j функции F(z). Тогда коварианта F'(z)IF(z) в полюсах и нулях функ-
'{ ции F(z) имеет по полюсу с вычетом—j*p, соответственно ve,
Х~ где н-р и \ означают порядки полюсов, соответственно нулей. Поэтому
7 из теоремы о вычетах следует, что
9
т$>dz = -
р
Интеграл слева представляет аналитическое выражение умножен-
ного на i изменения аргумента точки w = F(z) вдоль цикла, пред-
представляющего образ да? в плоскости w. Тем самым доказан принцип
аргумента:
Если, в частности, R — замкнутая поверхность, аа — 2-симплексы
триангуляции и F—рациональная функция, то из C.21) следует,
: что 2 Н> = S ve- Таким образом, мы снова получаем результат п. 3.10:
число всех полюсов рациональной функции равно числу ее нулей.
В п. 3.10 эта теорема была доказана без предположения о возмож-
¦"'ности триангуляции.
',. 3.49. Характеристика замкнутой поверхности. Принцип аргу-
аргумента позволяет снова получить соотношение между (конформной)
.характеристикой замкнутой римановой поверхности R и знакочере-
знакочередующейся суммой —а0—(— ах — <х2 количеств 0-, 1-й 2-симплексов
ее триангуляции (см. п. 3.17).
¦¦ Пусть R — замкнутая (триангулируемая) риманова поверхность и
щ — абелева коварианта на R. Представим себе, что поверхность R
Триангулирована так, что все полюсы и нули <р являются внутренними
>очками 2-симплексов и 1-симплексы триангуляции — дважды непре-
ывно дифференцируемые дуги1). Кроме того, предположим, что
аждый 2-симплекс положительно ориентирован и отнесен к фикси-
фиксированному параметрическому кругу Кг.
,: Пусть Ор есть 2-симплекс триангуляции, а Лр и Bf — полные суммы
|орядков лежащих в ор соответственно полюсов и нулей коварианты ср.
|сли мы будем рассматривать <р как скалярную функцию в Ор, то,
|о принципу аргумента,
J
C.22)
fe !) В гл. VIII выяснится, что каждую риманову поверхность можно триан-
||Лнровать даже так, чтобы 1-симплексы были аналитическими дугами.

H8 ГЛ. Ш. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИКО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
При этом следует заметить, что интеграл слева, вообще говоря,
зависит от локального параметра, поскольку подинтегральная функ*
ция не является ковариантой1).
Будем теперь считать, что все три стороны симплекса о2 отнесены
к фиксированному параметру t, и обозначим производную от z no t
через г. Тогда, согласно п. 3.39, интеграл
Г/У (*) ¦ «\
dz
не зависит от параметра z. Из C.22) вытекает, что
W f p {#
Интеграл — \ ^-dz вдоль стороны симплекса о! равен изменению arg 2
вдоль этой стороны, поэтому интеграл по всей границе дз2 равен
2к—(Зи — «pJr^tOp — я, где <вр означает сумму внутренних углов
симплекса а2. Следовательно, в итоге имеем
При суммировании этого равенства по всем симплексам слева все
уничтожается, в силу инвариантности интеграла и когерентности ориен-
ориентации. Справа из первого слагаемого получается 2itty, где х— харак-
характеристика R (см. п. 3.13). Чтобы подсчитать значение двух других
членов, обозначим соответственно через а0, at и аа количества 0-, 1- и 2-
симплексов триангуляции. Тогда второе слагаемое дает 2тг/а0, ибо,
в силу конформности соотношений соседства, сумма всех углов, инци-
инцидентных с одной вершиной, равна 2тс. Последнее слагаемое дает зна-
значение — та"<ха. В целом получается у= — «о~Ь аа/2. или> так как
Зога = 2а1я у = —о.0-\-а1 — <х2 (см. п. 3.17).
Характеристика (триангулированной) замкнутой римановой по-
поверхности равна знакочередующейся сумме количеств 0-, 1- и 2-
симплексов триангуляции.
Эта знакочередующаяся сумма не зависит поэтому от триангу-
триангуляции поверхности а).
1) См. формулу для <р* /<р* в п. 3.39. — Прим. перев.
2) Предыдущий вывод протекает вполне аналогично выводу того же
соотношения с помощью формулы Гаусса — Боннэ из дифференциальной
геометрии. В самом деле, если на поверхности R ввести метрику с | ч> 11 dz |

§ 5. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ 149
3.50. Применение к поверхностям с краем. В гл. IX нам по-
потребуется соответствующая формула для ,поверхностей с краем".
Под поверхностью с краем мы понимаем множество точек открытой
поверхности, покрытое цепью, составленной из симплексов ее триан-
триангуляции; при этом предполагается, что каждая вершина, лежащая
на границе цепи, имеет на ней в точности два инцидентных с ней
1-симплекса и что эти 1-симплексы не образуют „угла", т. е. об-
образуют гладкое продолжение друг друга 1).
Пусть, следовательно, R*— такого рода цепь и ср — коварианта
на R, не имеющая на границе R* ни полюсов, ни нулей. Тогда для
отдельных симплексов получается то же самое соотношение, что
в п. 3.49. Однако при суммировании нужно отличать „внутренние"
вершины от тех, которые лежат на границе. Ибо каждая из вторых
при суммировании дает только значение тс, так что вся сумма равна
т Botol) -j- oior) — ад), где аог) и a^' означают соответственно количе-
количество внутренних и количество граничных вершин. Эти количества
связаны с <х0, а± и а2 соотношениями аD)+а@'') = а0, а^ = а1/"',
a1 = ait)-f-aAr), За2 = 2ai<)-(- a{[\ и для предыдущей суммы полу-
получается значение —2mN, где N означает знакочередующуюся сумму
— ao-f-a1 — a2. Тем самым имеем формулу
Из этой формулы следует, что сумма N не зависит от триангуля-
триангуляции. Эта знакочередующаяся сумма называется характеристикой
поверхности с краем R*.
3.51. Рассмотрим снова произвольную риманову поверхность R
и на ней однозначную аналитическую коварианту ср, регулярную
с точностью до полюсов; пусть все полюсы — по крайней мере вто-
второго порядка. Если тогда z0—фиксированная и z — переменная
в качестве дифференциала дуги, то для гауссовой кривизны получается вы-
2
ражение К=— -,—^ Д In | <р |; оно равно нулю во всех точках, где <р Ф 0 и
|<р |2
<р Ф оо. Для геодезической кривизны кривой г it) получается соответственно
(ф' z \ •
— -4- -г- 1 г. Если исключить особенности К с помощью
2-симплексов и к оставшейся части поверхности (с краем) применить фор-
формулу Гаусса — Боннэ, то получим то же соотношение, что и выше.
!) Напомним, что цепи рассматриваются только конечные (см. п. 2.28),
а в данном случае еще и связные, т. е. покрывающие связную часть поверх-
поверхности. Первое условие на граничные вершины обеспечивает то, что гранич-
граничные контуры поверхности с краем не .имеют общих точек; второе условие
имеет значение для следующего дальше вывода. — Прим. перев.

150 ГЛ. Ш. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИКО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
точки на R, то интеграл
" y(z)dz,
где w — произвольный путь, ведущий из z0 в г, определяет на R
аналитическую (в общем случае в целом многозначную) функцию Ф (г).
Ее многозначность определяется одномерной группой гомологии по-
поверхности R: действительно, если w1 и w.2 — два пути, ведущие из z0
в г, и путь w^w-1 гомологичен нулю, то из теоремы о вычетах
следует, что интегрирование по обоим путям приводит к одному и
тому же значению функции. Если, в частности, одномерная группа
гомологии тривиальна, т. е. каждый замкнутый путь гомологичен
нулю, то функция Ф{г) однозначна на всей поверхности R.
3.52. Поверхности наложения интегральных функций. Пусть
срB), — как раньше, однозначная аналитическая коварианта, которая
на R регулярна или имеет конечное число полюсов по крайней мере
второго порядка. На поверхности наложения R интегральных функ-
v dz v
ций ей соответствует коварианта ср = ср-^-. Если w — произвольный
dz
V
замкнутый путь на R, то его. проекция w на R гомологична нулю,
поэтому, по интегральной теореме Коши,
Но из определения <р вытекает, что
Г ер dz = J <p dz,
w «о
следовательно,
Это объясняет название „поверхность наложения интегральных
функций": на этой поверхности всякая коварианта,- полученная пере-
перенесением коварианты, заданной на R (с указанными выше свойст-
свойствами), определяет при интегрировании однозначную интегральную
функцию (ср. Вейль [Г]).
§ в. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ И ИНТЕГРАЛЫ
3.53. Ковариантное продолжение. Пусть Ро—точка римановой
поверхности и fp0 — элемент аналитической функции в Ро. Если Fp0
продолжаем (как скалярная функция) вдоль пути w, выходящего из Ро,
то производная Fp0 продолжаема вдоль w ковариантно.

S 6. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ И ИНТЕГРАЛЫ 151
-. Мы докажем обратное утверждение: пусть <рр—ковариантный
элемент в Ро, продолжаемый вдоль w, тогда „интегральный элемент"
от срд , т, е. такой элемент FPo, что F'p = <?р, также продолжаем
вдоль w.
Действительно, пусть (т) означает множество значений t, для ко-
которых элемент Fp0 продолжаем вдоль части wx пути w, соответ-
соответствующей 0 <! t <[ х. Это множество содержит : = 0и, следовательно,
не пусто. Оно открыто: в самом деле, если 10 — точка из (т), то
существует аналитическое покрытие1) Ft пути wXo с начальным элемен-
элементом Fp0. Если выбрать 8 настолько малым, чтобы t для \t— -со|<8
лежало в Кт0, то это покрытие можно распространить на путь wZo+b',
8' < 8, следовательно, все точки интервала \t — т0]<; 8 принадлежат (т).
С другой стороны, множество (?) замкнуто. Действительно, пусть
tt < ^2< .... —сходящаяся последовательность из (с) и f—предель-
f—предельная точка. Точке t* соответствует определенная коварианта ср<*> получен-
полученная продолжением <рРо- Если 8 — число, соответствующее С (относи-
(относительно аналитического покрытия <pf), и я настолько велико, что tn > t*—8.
то tn соответствует элемент <?t ив пересечении KvKt имеет место
соотношение срг dzn = ср<ф dz*. Интеграл Г <pt« dz* отличается здесь
от F. только на постоянную с, так что, положив Ft* = Г <р« dz*-\-c,
п J
получим, что Ft —непосредственное аналитическое продолжение Ft*.
Если произвольной точке t интервала tn<it<.t* мы поставим в соответ-
соответствие элемент Ft*, то этим будет задано аналитическое покрытие пути,
соответствующего tn*Ct-^.t*, тем самым и всего пути чвр; следова-
следовательно, t* принадлежит (т). Из обоих доказанных свойств множе-
множества (т) следует, что оно заполняет весь отрезок O-^^-^l и, сле-
следовательно, элемент Fp0 продолжаем вдоль всего пути w.
Если, в частности, коварианта ер однозначна и аналитична в об-
области G, содержащей весь путь w, то, продолжая интегральный
элемент FPo, получаем интеграл Г ер dz.
W
3.54. Пусть теперь ср — однозначная аналитическая коварианта на
римановой поверхности R, регулярная всюду без исключения. Если
тогда Ро — фиксированная точка R, то, согласно п. 3.53, интеграль-
интегральный элемент Fp0 неограниченно продолжаем на R и определяемая
им многозначная аналитическая функция есть интеграл Г <?dz, где
W
w — произвольный путь, выходящий из Яо. Если w1 и w2 — два
*) См. п. 3.19. — Прим. перев.

152 ГЛ. III. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИКО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
гомологичных друг другу пути, ведущие из Ро в одну и ту же
точку Р, то, по интегральной теореме Коши,
J ер dz = J <p dz;
продолжение Fp0 вдоль wt и даа приводит к одному и тому же ко-
конечному элементу.
Аналитическое продолжение вдоль гомологичных путей инте-
интегрального элемента однозначной регулярной аналитической ко-
варианты приводит к одному и тому же элементу.
3.55. Аналитический образ, порождаемый элементом f(z), задан-
заданным на римановой поверхности R, является однозначной функцией
на универсальной поверхности наложения R. Если ограничиться под-
подклассом интегральных элементов произвольных однозначных аналити-
аналитических ковариант, заданных на R, то для получения однозначности
уже достаточно перейти лишь к поверхности наложения интегральных
функций R. Действительно, если сначала <р — коварианта на R, по-
полученная перенесением коварианты <р с R, то, согласно п. 3.52,
функция I ydz на R однозначна; поэтому продолжение перенесен-
перенесенного на R интегрального элемента от <? ведет к однозначной функции.

Глава IV
ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
В настоящей главе будут рассмотрены важные для наших целей
вопросы существования гармонических функций, удовлетворяющих
определенным граничным условиям или обладающих определенными
особенностями, с общностью, достаточной для построения теории уни-
формизации и для некоторых связанных с ней общих теоретико-функ-
теоретико-функциональных проблем. Мы следуем при этом альтернирующему ме-
методу Шварца и Неймана. По сравнению с другими классическими
методами доказательства рассматриваемых здесь теорем существова-
существования, и прежде всего принципом Дирихле и методом выметания Пу-
Пуанкаре, альтернирующий метод отличается своим конструктивным
характером. Он примыкает также естественным образом к основной
идее теории поверхностей. Подобно тому как поверхность строится
из множества' элементов поверхности с заданными между ними свя-
связями, так и с помощью альтернирующего метода строятся сначала
некоторые элементы функций, между которыми затем путем их про-
продолжения устанавливаются определенные связи, определяющие иско-
искомую функцию в целом. Попутно получается теорема о том, что каж-
каждая риманова поверхность удовлетворяет аксиоме счетности (§ 3).
§ 1. АЛЬТЕРНИРУЮЩИЙ МЕТОД ШВАРЦА
4.1. Краевая задача. Первая краевая задача теории потенциала
требует построения функции и, гармонической в заданной области G
римановой поверхности R и принимающей на границе Г области G
заданные значения /. Мы рассматриваем здесь эту задачу при сле-
следующих предположениях: v
1°. Множество G + Г компактно на R1).
2°. Множество граничных значений /(С), заданных на Г, ограни-
ограничено и, за исключением самое большее конечного числа точек С,
непрерывно.
3°. Искомая функция и z) должна быть в области О гармониче-
гармонической и ограниченной. При приближении к границе Г она должна
непрерывно стремиться к значениям /(С) в точках непрерывности/(У
Если поверхность R компактна, то это условие заведомо выполняется.

154 ГЛ. IV. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
так что функция и, равная u(z) для z?G u /(С) для С?Г, определен-
определенная на G + Г, должна быть непрерывна всюду, исключая самое боль-
большее конечное число точек.
4.2. Решение этой задачи, если оно существует, единственно,
так как разность двух решений ограничена в О и, за исключением,
быть может, конечного числа точек С, равна нулю на границе Г, по-
поэтому, на основании обобщенного принципа максимума (гл. III, § 4),
она тождественно равна нулю.
4.3. При той общности структуры границы Г, которую мы
допустили, задача не всегда разрешима. Могут встретиться так назы-
называемые иррегулярные граничные точки, где граничное условие вы-
выполнимо не при каждом выборе /. Такими точками являются,
например, изолированные граничные точки, в которых всякая ограни-
ограниченная гармоническая функция гармонически продолжаема (устрани-
(устранимые особенности), так что значения /(С) не могут быть заданы
произвольно.
4.4. Альтернирующий метод. С помощью альтернирующего ме-
метода Шварца может быть доказано следующее предложение1):
Пусть Gt a G2— две области на поверхности R, удовлетво-
удовлетворяющие следующим условиям:
A. Краевая задача разрешима для G1-]-T1 и G2-|-F2 при
любых граничных значениях /, обладающих как на Гх, так и на
Г3 свойством 2°.
B. Пересечение GtG2 непусто, а пересечение Т±Т^ состоит из
конечного числа точек.
Тогда краевая задача п. 4.1 разрешима и для области Gt-{-Ga.
4.5. При доказательстве мы можем исключить из рассмотрения
тривиальный случай, когда одна из областей G4 содержится в дру-
другой. Пусть теперь at — (замкнутое) подмножество границы 1\, не
лежащее в G2, и j3x — его дополнение, так что Г1 = а1 + Р1; анало-
аналогично определим ог2 и C2 для G2 (Г2 = а2~|-р.2). Тогда Г = а1-]Га2
является границей области G = G-^-^-G^; пересечение аха2 совпадает с
пересечением Т±Т2 и состоит, следовательно, из конечного числа точек.
Открытое (не обязательно связное) множество G-fi^ имеет своей гра-
границей множество Pi4~p2~r"aia2- Множества ^ и р2 оба непусты.
Пусть теперь /(С) — функция, которая на Г ограничена и, исклю-
исключая самое большее конечное число точек, непрерывна. Мы покажем,
что в G существует ограниченная гармоническая функция и с гра-
1) Для дальнейшего существенно то, что альтернирующий метод ведет
к цели при более общих предположениях относительно областей Gx и <32 и
их границ, чем у Шварца; ср. мою работу [5].

8 !. АЛЬТЕРНИРУЮЩИЙ МЕТОД ШВАРЦА 155
ничными значениями /. Достаточно рассмотреть случай /^-0, так
как это условие может быть удовлетворено добавлением постоянной,
которую затем следует вычесть из найденного решения.
4.6. Из наших предположений следует, что в О, и Оа соответст-
соответственно можно определить последовательности гармонических функций
яо==О, их
й
«о- vv •¦¦
по следующим граничным условиям:
/ на «1 2
'ra-i на В..
/ на <х2
ип на ра > • • • •/•
причем каждый раз выбрасывается множество (конечное) всех исклю-
исключительных точек.
Теперь мы докажем, что, во-первых, в Gt и в Ga соответст-
соответственно существуют предельные значения Нт цп = и и Нт vn = v, во-
вторых, м=г» в GjGg и, в-трет-ьих, эти функции, как продолжения
друг друга, представляют в G искомое решение.
4.7. Выбрасывая множество исключительных точек (С) функции/1),
имеем
{0 на <ха,
ип — «n_j на p<j,
{0
Vn—vn_1
{ на а±
Так как функция v0 на ра равна ао = О и на аа равна /С>0),
то, по обобщенному принципу минимума, она неотрицательна в G2,
следовательно, это же верно для граничных значений их — ио = м1,
;а значит, и для функции их — и0 в Ov Из соотношения и± — ио!>О
аналогично следует, что vx — г>0^-0; повторяя так шаг за шагом,
заключаем, что все разности ип — an_t и vn — vn_x неотрицательны,
; следовательно,
0 = «о < И1 < • • • < ип < • • • в Gv
i 0<г;0<г;1< ...<г>п< ... в G3.
|: С другой стороны, из обобщенного принципа максимума сле-
|,дует, что ип и vn не превосходят верхней границы М функции /.
1) В это множество включаются еще точки пересечения о^, которых
'.может быть также лишь конечное число. — Прим. перев.

156 ГЛ. IV. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
Отсюда вытекает, что последовательности ап и vn сходятся. Пре-
Предельные функции и и v соответственно в Gt и G2 ограничены и, по
принципу Харнака, который будет доказан в п. 4.14, гармоничны.
4.8. Рассмотрим в GXG2 ограниченную гармоническую функцию
vn — ип. На ^ она равна vn — vn_lt а на ?!2 — нулю. Отсюда, на
основании обобщенного принципа максимума (он применим, так как
пересечение а.^ состоит из конечного числа точек), заключаем, что
откуда при я->оо вытекает, что
и — v в Gfi^.
Следовательно, функции и и г» являются гармоническими продолже-
продолжениями друг друга.
4.9. Полученная таким образом в, G ограниченная гармоническая
функция в каждой граничной точке С равна /(С), за исключением
самое большее конечного числа точек. Для доказательства образуем
в Gt ограниченную гармоническую функцию со с граничными значе-
значениями 0 на а1 и М на ^ (снова исключая конечное число точек
на 1\). Эта функция существует в силу разрешимости краевой за-
задачи для Gt; по принципу максимума, в каждой точке области G±
Ml<«ra<Ml+<° (Л=1, 2, ...).
следовательно, и
Но для каждой точки С на av исключая самое большее конеч-
конечное число точек, ях-»¦/(?) и их-j-а> —>/(С) при г->С, поэтому и
и-»¦/(?) в этих граничных точках. Итак, построенная функция и
обладает требуемым поведением на границе av Повторяя те же рас-
рассуждения для G2, докажем аналогично, что м->/ и на дополнитель-
дополнительной части границы с^1).
§ 2. РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ КРУГА
Чтобы можно было применять альтернирующий метод, укажем
решение краевой задачи для некоторых простых канонических областей.
4.10. Случай круга. Для круга |z|<!# z-плоскости, как впер-
впервые строго доказал Шварц, краевая задача решается с помощью
!) Имеющиеся в конечном числе точки пересечения а^ могут быть
точками разрыва для u = v, даже если / там непрерывна. Непрерывность
может быть доказана только при дополнительных предположениях о множе-
множестве я^, например тогда, когда каждая из точек ага2 содержится в конти-
континууме граничных точек на {Т

S 2. РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ КРУГА 157
интеграла Пуассона
+_f2/cosF_,^ с
о
Так как ядро интеграла, как действительная часть функции
для | z | < /? гармонично, то это же справедливо и для и (z) (если
функция / интегрируема). То, что и обладает требуемым поведением
на границе, доказывается сначала для случая, когда функция / на
дуге а окружности | z | = R равна 1, а на дополнительной дуге C
равна нулю. Тогда интеграл равен (Сх = Re^, С2 = /?е*9а — концы
дуги а, 0 < \ < 6а < 2«)
откуда немедленно следует требуемое поведение на границе. Ли-
Линиями уровня ша являются дуги окружностей, соединяющие С1 и Сд.
Имеет место соотношение
<оа + <ор = 1.
«aB) называется гармонической мерой дуги а в точке z (отно-
(относительно круга | яг | <;/?). Если для фиксированной точки СА = Reibi
и переменной точки С = /?ей обозначить гармоническую меру дуги
ot1 = (81, U) через со (С, z), то интеграл Пуассона записывается в виде
интеграла Стильтьеса
и(г)= Г/(С)</ш(С, z). D.2)
eio
4.11. Если функция / ограничена (|/|<!Л1) и интегрируема и
Со — точка, где /(С) непрерывна, то соотношение u(z)-+f(t0) при
z-»-C0 доказывается с помощью следующих простых соображений,
допускающих далеко идущие обобщения.
Пусть задано е > 0 и а — настолько малая граничная дуга вокруг
Со, что на а /(С) =/(Со)+< в >х). Тогда из D.2) вытекает, что
При г-*Cq имеем юр->-0, следовательно, я(г)->-/(Со)-
!) Напомним, что <е> означает комплексное число, которое по абсо-
'¦ лютной величине меньше е. т- Прим. перев.

гЛ. iv- теоремы существований
В частности, если / непрерывна всюду, исключая самое большее
конечное число точек, то и — единственное решение краевой за-
задачи (§ 1).
4.12. Полуплоскость. Для полуплоскости, например для верхней
полуплоскости у^-0, решение первой краевой задачи выражается
еще более простой формулой. Если f(x) — заданные на действитель-
действительной оси лг-ов граничные значения,
то решение и находим в виде инте-
грала (z = x-\-ly)
00
= J f(f)d*(t, z),
t=-oa
Фиг. 5. где (o(t, z) равно деленному на тг
углу, под которым из точки z
виден интервал (—оо, f) действительной оси (см. фиг. 5); о>(^, г)
является „гармонической мерой" этого интервала, т.*е. той регуляр-
регулярной гармонической для у > О функцией, которая на интервале
(—оо, t) равна 1, а на его дополнении (t, +oo) равна нулю.
4.13. Круговое кольцо. Этот случай с помощью элементарного
конформного отображения приводится к случаю полуплоскости. В самом
деле, если, например, кольцо дано в виде 1 -^ \z\ ^.R (R > 1), то
Hi —
с помощью функции w = e laB оно отображается локально одно-
одноl
значно, а в целом многозначно на верхнюю полуплоскость l^
Различные локально взаимно однозначные ветви отображения пере-
переходят друг в друга, когда z в кольце обходит вокруг начала; эти
ветви связаны друг с другом циклической группой линейных преобра-
преобразований Тп, порождаемой преобразованием w ->einBw. Задан-
Заданные граничные значения переходят в граничные значения на дей-
действительной оси плоскости w, не меняющиеся при преобразова-
преобразованиях Тп. Если для этих граничных значений построить решение
краевой задачи для верхней полуплоскости, то оно будет инвариантно
относительно преобразований Тп, и преобразование w-+z переводит
его в решение краевой задачи для кругового кольца.
4.14. Принцип Харнака. Пусть u(z) — неотрицательная (и>0)
гармоническая функция в круге | z | < R. Так как ядро интеграла
Пуассона D.1) удовлетворяет неравенствам
R-r
— 2Rr cos F — <р) ¦** R — г'

1 2. РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЛИ ДЛЯ КРУГА 1б<)
то для z — rei<f имеем
О <] u(z)^ Я + r # 1 Г и ^g«) ^Q _ R + r и фу
о
Аналогичная оценка снизу дает двойное неравенство Харнака
'А и @). D.3)
Отсюда следует важный принцип сходимости Харнака:
Пусть и1, и2, ... — монотонно возрастающая последователь-
последовательность гармонических функций на римановой поверхности R:
Если эта последовательность имеет конечное предельное значе-
. ние в одной точке z = z0, то она сходится равномерно на каждой
компактной части поверхности R и предельная функция и = lim un
- гармонична на R.
Доказательство. Рассмотрим сначала замкнутый параметри-
параметрический круг Кг с центром в z0 (\z— ^ol^r)% Так как разность
; ип+р — ип в этой окрестности гармонична, неотрицательна и в цент-
!' ре z = z0 для достаточно больших п и всех р > 0 сколь угодно
Г,, мала, то из D.3) следует, если там и заменить на ип+р—ип, равно-
,¦ мерная сходимость последовательности ип в круге Кг- Предельная
л функция в этом круге может быть представлена в виде интеграла
- Пуассона, а так как ядро этого интеграла — гармоническая функция,
;то она в этом круге гармонична.
Если мы теперь возьмем произвольную точку z — zx поверхности R,
jro ее можно соединить с z0 некоторым путем и затем покрыть этот
йуть конечным числом параметрических кругов. Следуя по этой
'(цепочке кругов от z0 до zv заключаем с помощью неравенства
|(арнака D.3), что из конечности предела и = lim un в точке z0
вытекает конечность предела lim un в каждой из параметрических
Окрестностей, следовательно, в частности, и в точке zv Точно так
ке доказывается гармоничность предельной функции и в точке zx
f с помощью леммы Гейне-Бореля — утверждение о равномерной
'Сходимости. Этим принцип Харнака полностью доказан.
Ч
Ц/ 4.15. Круговые области. Под круговой областью (Kreisbereich)
щ на римановой поверхности R мы понимаем связное множество точек,
з| представляющее соединение конечного числа областей Вч, каждая
Ж из которых в подходящим образом выбранном параметрическом
^круге имеет своим прообразом замкнутый круг. Краевая задача для
^каждой области В„ разрешима с помощью интеграла Пуассона. Далее

160 ГЛ. IV. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
(аналитические) границы областей Вч имеют попарно не более конеч-
конечного числа общих точек, так что краевая задача разрешима по
альтернирующему методу для каждой круговой области в предположе-
предположении, что она имеет бесконечное граничное множество точек1).
Так как, согласно п. 4.13, краевая задача разрешима также для
области, имеющей в параметрическом круге в качестве прообраза
замкнутое круговое кольцо, то отсюда, как выше, следует, что если
в качестве составляющих Вч круговой области допустить и такие
„кольцевые области" (Kreisringbereiche), то снова получатся области,
для которых краевая задача разрешима. В дальнейшем наименование
„круговая область" нужно будет иногда понимать и в таком расши-
расширенном смысле.
4.16. Решение специальной краевой задачи для поверхности
с двумя вырезанными кругами. Пусть R— произвольная риманова
поверхность, К—параметрическая окрестность и Кг — отвечающий
ей параметрический круг (|г|< 1). В Кг выберем две точки z — a
и z — b и зафиксируем столь малое число г > 0, что замкнутые круги
\г — я|<^/" и \г — # |<1 /" лежат в круге | z | < 1 и не пересекаются.
Этим кругам в К соответствуют две замкнутые области, ограниченные
соответственно кривыми "\а и -\ь, представляющими соответственно
образы окружностей | г — а | = г и \z — b\ = г„ Если удалить
из R обе эти области, останется (связная) поверхность RQ. Требуется
найти однозначную ограниченную гармоническую функцию и на Ro,
принимающую на -\а и -\ъ соответственно значения 1 и 0.
Выберем число гх > г, столь близкое к г, что круговые кольца
/¦•<|2— а|< г1 и г<|«'—#!<>! лежат еще в круге \z\ < 1 и
не пересекаются.
Пусть В— круговая область на Ro. Присоединяя к ней оба
кольца 2), получаем новую круговую область D на R; за исключе-
исключением fa и fu> 0Ha лежит на Ro. Граница D состоит из ^0. Тб и
еще дополнительной границы *(•
Каждая точка Р ? Ro имеет своей окрестностью такого рода кру-
круговую область D. В самом деле, в силу связности Ro, можно каждую ее
точку Р соединить с обоими кольцами конечной цепочкой параметри-
параметрических окрестностей. Эти параметрические окрестности вместе с обо-
обоими кольцами образуют искомую круговую область D.
4.17. Теперь мы каждой области D ставим в соответствие гармо-
гармоническую функцию Up, которая строится с помощью альтернирующего
метода по следующим определяющим ее условиям:
1) Исключаемый этим случай может иметь место для замкнутой поверх-
поверхности.
2) Относительно В предполагается, что такое присоединение дает связ-
связную область. — Прим. перев.

§ 2. РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ КРУГА ]61
1. up внутри D однозначна, гармонична и ограничена.
2. uD = l на f0.
3. up = 0 на "fb. и на ?•
Тогда 0 < «в < 1 внутри D.
Рассмотрим теперь класс всех круговых областей (D), содержа-
содержащих фиксированную точку z, и образуем верхнюю границу
и (-г) = sup Ид (г).
Она однозначно определена для каждой точки Р ? Ro, и
Теперь мы покажем, что и-—гармоническая функция на Ro.
Для этого заметим сначала, что и# обладает следующим свойством
монотонности: если Dt cz D2, то и- ^ uD в каждой точке обла-
области Dv В самом деле, это неравенство выполняется, очевидно,
на границе Dlt поэтому, по принципу максимума, — ив каждой
точке области Dv
Пусть теперь z = z0 — точка Ro и Ао, Av ...—бесконечная
последовательность круговых областей класса (D) (z0 ? А„ n = 0, 1. ..),
такая, что
lim UAn(z0) = и(z0).
n->oo
Тогда, в силу свойства монотонности, то же самое справедливо
п
для множеств Уп = 2^ч (й == 0> '> • ¦ •) и соответствующей монотон-
ной последовательности и у :
lim мг (го) = и(го).
|По принципу Харнака, существует предельная функция
lim и у (z) = uo(z),
П->0О I»
|армоническая в Ло. При этом
«(*„) = «о (г0)- D-4)
4.18. Мы покажем, что последнее равенство справедливо для
каждой точки z ? Ао. Прежде всего для каждой точки z ? Ао имеем
неравенство и„ (z)^Cu(z), поэтому
' п
МОB)<ИB) В Ао.
Пусть теперь z = zt — произвольная точка из Ао и В — круговая
^область класса (D), содержащая zv Тогда всюду в области В
«в (*)¦< в ()<(*)
И Зак. 295. Р. Неванлинна

ГЛ. IV. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЙ
Функция ив+г монотонно возрастает вместе с п, поэтому, по прин-
принципу Харнака, существует предел
Нтив (г) = и1(г).
n-»oo OTVn
Функция ut(z) гармонична в В-\-Ао и
ах (*)<«(«). D.5)
Покажем, что u1(zt) = u0(z1). Для этого будем исходить из имею-
имеющего место в Vn неравенства
Из него при п -*¦ оо следует, что в области Ао
«o(*X«iO)-
Следовательно, гармоническая функция и1 — и0 в Ао неотрицательна.
В точке z = z0 она должна равняться нулю, ибо здесь, с другой
стороны, в силу D.4) и D.5),
«о (zo) = и (zo) > llm ub+v (zo>= ui (zo>>
Я->0О 4
следовательно,
Тогда, по принципу минимума, разность ut(z) — uo(z) равна нулю
во всей области Ао, в частности, и в точке z = ^г
Теперь, поскольку zt лежит в В, имеем
следовательно,
откуда
Таким образом, доказано, что и(-г) = ио(-г) всюду в Ао, откуда выте-
вытекает гармоничность и (z) в Ао, следовательно, и всюду на Ro.
4.19. Остается еще показать, что и обладает требуемым пове-
поведением на границе. Прежде всего, и->1 при z -> то> так как «р -»• 1
При 2Г—*- fa И Ид<И<1.

S ¦З. АКСИОМА СЧЕТНОСТИ 163
Чтобы доказать, далее, что и (z) -> 0 при z -*¦ чь> рассмотрим
произвольную точку z0 кольца Rb: r-^.\z—^I^C^i и круговую
область D из класса (D), содержащую z0. Пусть v (z) — гармони-
гармоническая в Rb функция, которая на ^b(\z— b\ = r), соответственно
\z — b\ = r1, имеет граничные значения 0, соответственно 1. Тогда,
так как гармоническая функция ud на Чь равна нулю и в других
точках D удовлетворяет неравенству Ид -С 1, то
на границе Rb, следовательно, по принципу максимума, и всюду
в Rb. Поэтому
значит, и
О < и (z0) = sup uD (z0) < v (z0).
D
Отсюда вытекает, что и на ^ь имеет граничное значение нуль, что
и требовалось доказать.
§ 3. АКСИОМА СЧЕТНОСТИ
4.20. Теперь мы можем доказать, что каждая риманова поверх-
поверхность удовлетворяет аксиоме счетности. Достаточно, очевидно, дока-
доказать это для рассмотренной в п. 4.16 поверхности Ro. Для этого,
согласно п. 2.20, нам нужно, с одной стороны, построить на Ro
счетное всюду плотное множество точек и, с другой стороны, ввести
метрику, которая определяла бы на Ro уже имеющуюся топологию.
4.21. Построение всюду плотного множества точек. Итак,
сначала на Ro должно быть указано счетное всюду плотное множе-
множество точек. Для этого достаточно указать на Ro счетное множество
параметрических окрестностей, точки которых расположены на Ro
всюду плотно. Если тогда в каждой из этих параметрических окрест-
окрестностей взять счетное всюду плотное множество и все эти множества
соединить вместе, то получим счетное множество, всюду плотное на Ro.
Пусть z0 — произвольная точка Ro. Рассмотрим снова, как в п. 4.16,
все круговые области класса (D), содержащие z0. Каждой такой
области отвечает, согласно п. 4.17, гармоническая функция ц#. Пусть
u(z0) — снова верхняя граница значений этих фУнкЧий в zo и
Dt с D2 с ...—монотонно возрастающая последовательность кру-
круговых областей класса (D), для которых
lim uD (zo) = u(zo). D.6)
> n
n->oo
Мы покажем, что множество О = 2 А, обладает требуемыми
свойствами. Ясно, что О является соединением счетного числа пара-
11*

164 ГЛ. IV. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЙ
метрических окрестностей. Остается, следовательно, показать, что
множество точек G всюду плотно на /?0.
Прежде всего из принципа Харнака вытекает, что последователь-
последовательность uD сходится в каждой точке множества О и предельная
п
функция ив гармонична в G. Далее, так как ил ^ в, то и aff < м
в О. Но для z = z0 имеем uQ= и, и из принципа максимума сле-
следует, что и& = и всюду в О. ^
4.22. Допустим теперь, вопреки утверждению, что существует
точка Ро ? Ro, которая вместе с целой окрестностью не принадле-
принадлежит G. Пусть | z | < 1 — параметрический круг для точки Ро и
I^I^Po — концентрический к нему меньший круг. По нашему пред-
предположению, можно р0 выбрать настолько малым, что образ Ко круга
|г|<р0 лежит вне О. Тогда G лежит в дополнении Ro = Ro— Kq.
Повторением построения п. 4.17 доказывается существование на по-
поверхности /?о гармонической функции v, которая на fo имеет гранич-
граничное значение, равное единице, в то время как на fb и на границе ^о
области Kq она равна нулю. Эта функция получается как верхняя
граница
v(z) = sup uD*(z),
где D* пробегает все те круговые области класса (D). которые
лежат на /?0 и содержат круговое кольцо р0 -^ | z | ^ 1. Поэтому
в Ro
V (Z) = Sup Uj}* (z) ^ SUp Ud (Z) = U (z).
D* D
Рассмотрим, с другой стороны, последовательность D.6). Каждая
область D, лежит в О, тем самым и в #0; следовательно, если
D* — произвольная круговая область подкласса (D*), то D*-|-Dv
принадлежит (D*). Отсюда и из монотонности последовательности Идч
следует, что для произвольной области D* и каждой области D., (v =
= 1, 2, ...)
откуда при ч-> оо вытекает, что
«в (*)<«(*) в О
и, в силу равенства ив —и, неравенство и(г
Таким образом, и = v в G; тогда, согласно принципу гармони-
гармонического продолжения, u = v всюду в #0- Это приводит к противо-
противоречию: с одной стороны, и =v >0 в RQ, следовательно, в частности,
и на f0; с другой стороны, щ = 0 на f0. Тем самым доказательство
закончено.

§ 3. АКСИОМА СЧЕТНОСТИ 165
4.23. Построение метрики. Нам нужно еще построить на по-
поверхности Ro метрику, такую,- чтобы определяемая ею топология
совпадала с первоначальной.
Пусть и — однозначная отличная от постоянной гармоническая
функция на Ro; такая функция существует, согласно п. 4.17. Рас-
Рассмотрим ее дифференциал du и сопряженный дифференциал du'.
Если Р и Q —две точки Ro и р — дифференцируемый путь, веду-
ведущий из Р в Q, то интеграл
J \dw\ — f V
имеет определенное значение, которое положительно, так как
иначе w, следовательно, и и, была бы постоянной. Нижняя гра-
граница р(Р, Q) этих значений по всевозможным путям р также имеет
положительное значение (если Р Ф Q), причем она удовлетворяет
условиям 1, 2, 3 п. 2.4.
4.24. Нам нужно показать, что эта метрика определяет на Ro
первоначальную топологию. Для этой цели предположим, что
Ро—точка R и |г|< 1(Р«—>2 = 0) — ее параметрический круг.
Выберем в нем произвольную однозначную ветвь и' сопря-
сопряженной гармонической функции и образуем аналитическую функцию
f(z) — u-\-iu'. Если Pt<—>zx— точка этого круга, то расстояние
р(Р0, Pt) удовлетворяет неравенству
0- Pi)<f\f(z)\\dz\,
где интегрирование производится по отрезку @, z±). Следовательно,
если М — верхняя граница \f(z)\ в параметрическом круге, то
Чтобы получить оценку снизу, предположим сначала, что/'@) ф 0.
Тогда параметрический круг можно выбрать столь малым, чтобы
значение \f'(z)\ имело там положительный минимум т. Пусть
Pt-*—>zt — снова точка этого круга и z(f) — дифференцируемый
путь на R, ведущий из Ро в Pv Пусть z* — первая точка этого
пути, которая лежит на окружности 121 = 1.^1. Тогда
г^ г* г*
J \f(z)\\dz\>j ]f(z)\\dz\>mf \dz\>m\zx\,
0 0 О
поэтому и

166
ГЛ. IV. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
Если функция /' (z) имеет в точке 2 = 0 нуль лорядка к,
то /' (z) можно записать в виде zk <в (z) (<р @) Ф 0), и, обозначая
через т минимум в |<?(.г)| в параметрическом круге, получаем анало-
аналогично неравенство
р(Л>.
Таким образом, в общем случае справедливо неравенство
Отсюда следует, что каждая окрестность точки Ро содержит
некоторую круговую окрестность (в смысле введенной метрики),
и наоборот. Согласно п. 2.4, это означает, что топология, индуци-
индуцированная метрикой, совпадает с первоначальной топологией.
Таким образом, доказательство аксиомы счетности закончено.
§ 4. РЕШЕНИЯ С ЗАДАННЫМИ ОСОБЕННОСТЯМИ
4.25. Постановка задачи. Во многих вопросах теории функ-
функций основную роль играют некоторые важные гармонические функ-
функции, которые не только, как это имело место выше, удовлетво-
удовлетворяют заданным граничным условиям, но,
кроме того, обладают еще заданными осо-
особенностями. Соответственно расширенная
краевая задача может быть сформулирована
с достаточной для приложений общностью
\г следующим образом.
Пусть U — параметрическая окрестность
на римановой поверхности R и | я|< 1 —со-
—соответствующий параметрический круг. Рас-
Рассмотрим в U два замкнутых „круга":
5(И<г)и Я1A*|<г1)(г1<г< 1). Если
из R удалить Bv то останется открытая ри-
манова поверхность Rv
Пусть на Rt задана круговая область, содержащая внутри кривую
j3 (| z | = г). Тогда соединение А этой круговой области с круговым
кольцом К (rt ^ | z | <; г) (фиг. 6) представляет собой круговую
область на поверхности R J).
Граница области А (на всей поверхности R) состоит из кривой <х
(] z | = г±) и части f, лежащей вне В. Пусть эта часть границы
не пуста и, более того, содержит бесконечно много точек (ср. п. 4.1,5).
Фиг. 6.
За исключением кривой о (| z \ = rj, область А лежит на поверхности

5 4. РЕШЕНИЯ С ЗАДАННЫМИ ОСОБЕННОСТЯМИ 167
При этих предположениях пусть в круговом кольце К задана
регулярная гармоническая функция и0 и, дглее, пусть на гра-
границе f задана ограниченная и с точностью до конечного числа
точек непрерывная функция /. Требуется найти в А однозначную
регулярную и ограниченную гармоническую функцию и, которая
на 7 (исключая конечное число точек) принимает значения f
и определена так, что разность
v — u — и0
может быть продолжена в В как однозначная регулярная гармо-
гармоническая функция.
4.26. Единственность. Эта задача также имеет не более одного
решения, ибо разность двух решений есть регулярная ограничен-
ограниченная гармоническая функция в А-\-В с нулевыми граничными зна-
значениями на f, следовательно, сна тождественно равна нулю.
Далее ясно, что можно ограничиться случаем / = 0. Действительно,
согласно п. 4.15, в Л-j-B существует однозначная регулярная гар-
гармоническая функция «1 с граничными значениями / на х> если теперь
и — решение с заданными особенностями и граничными значениями,
равными нулю на f, то и-\-их является решением задачи с гранич-
граничными значениями /.
4.27. Доказательство существования по Шварцу. Как показал
Шварц, альтернирующий метод легко приводит к искомой функции и;
классическое доказательство сходимости, данное Шварцем, применимо
в настоящем случае непосредственно и имеет особенно простой вид.
Прежде всего следует заметить, что, согласно п. 4.15, для круго-
круговых областей Л и В разрешима краевая задача п. 4.1.
Образуем теперь последовательно функции и„ и vn, однозначные,
регулярные и гармонические соответственно в областях Л и В с гра-
граничными значениями:
1 + И° Га ' <»=!. *.••¦: «Ь-0). D7)
vn — un — ио на Р (я=1. 2, ...).
Тогда для разностей ип+1 — ип и vn+1—vn будем иметь:
vn+i~ vn = un+1 — un на p.
Полагая
max | ип—ип_г | = max | vn—vn_t | = M№,

168
ГЛ. IV. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
заключаем на основании принципа максимума, что \vn — vn-\\
в В, следовательно, в частности, на а. Так как, далее, разность
мп+1 — и„ на 7 равна нулю, то на границе области А, следовательно,
и всюду в А, она мажорируется гармонической функцией Мпа>, где
№ — гармоническая мера а относительно А *). Следовательно,
|и„+1 —«n|<Afnm(*) в А.
Внутри А выполняется неравенство 0 < <о < 1. Поэтому, если q —
максимум о на ,3, то 0 < q < 1 а). По определению q, на 3
следовательно, и
Отсюда
и поэтому в В
\V:
П+f
В частности, это имеет место на а, и из принципа максимума сле-
следует, что
l^i-^Kf^ в А.
Отсюда вытекает равномерная сходимость рядов
2(и,+1 —и,) в А
и
2(«-.+1 — О в В.
4.28. Предельные функции и = lim ип в Л и и = Hm vn в В
являются однозначными, ограниченными и регулярно гармоническими.
Далее, и равна нулю на f.
Покажем теперь, что и — uo — v в В. В силу D.7), u = v-\-u0
на а к v — и — м0 на 8. Следовательно, граничные значения функ-
функций v и и -— и0 в кольцевой области К совпадают, откуда вытекает,
что
и — uo=zv в К.
Так как v в В гармонична и регулярна, то и удовлетворяет всем
поставленным требованиям.
!) То есть и — та вполне определенная однозначная и ограниченная
гармоническая функция, которая равна 1 на о и 0 на f.
2) В этом месте существенно используется то, что граница y области
А -\- В не пуста, ибо в противном случае о>=1, следовательно, и <7=1.
В силу этого, доказательство непосредственно не применимо к случаю, когда
поверхность Я замкнута и А содержит всю поверхность Rx.

§ 5. ЗАМКНУТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 169
§ 5. ЗАМКНУТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
4.29. Постановка задачи. Рассмотрим теперь случай, когда
поверхность R замкнута, и поставим себе задачу построить однознач-
однозначную гармоническую на всей поверхности R функцию с заданными
особенностями.
Решение, если оно вообще существует, определяется заданными
особенностями однозначно с точностью до аддитивной постоянной,
ибо разность двух решений с одними и теми же особенностями есть
регулярная гармоническая функция на всей поверхности R.
Для того, чтобы уточнить задачу, будем, как и в п. 4.25, исходить
из параметрической окрестности U. Круговую область А (ср. п. 4.25)
выберем так, чтобы она покрывала всю поверхность Rt (A == Rt!));
это возможно в силу аксиомы счетности и компактности R2). Пусть
в круговом кольце К снова задана регулярная гармоническая функ-
функция и0 и требуется определить в Rx регулярную гармоническую
функцию и так, чтобы разность и — м0 была гармонически продол-
продолжаема в В.
В настоящем случае построение п. 4.27 непосредственно не про-
проходит, так как для него было существенно наличие границы ?•
Более того, поставленная теперь задача при произвольном задании и0
не всегда разрешима. Функция м0 должна удовлетворять некоторому
дополнительному условию, как мы покажем, опираясь на метод
Шварца и Неймана.
4.30. Условие разрешимости. Чтобы вывести необходимое усло-
условие для разрешимости поставленной задачи8), отметим сначала, что
внешняя граница |3 кольца К на поверхности Rt гомологична нулю.
Это следует из леммы, которая будет доказана в п. 4.36, если там
положить Кх = К, ибо, так как граница К состоит из а и р, а гра-
граница А—только из а4), то из этой леммы вытекает, что а-\-$ — а
на Л и тем самым C~0 на А.
Пусть теперь и — решение задачи; так как функция и на А = Rt
регулярно гармонична, то из предыдущего замечания следует, что
da' — 0.
,з
1) Если исключить кривую о, которая принадлежит А (по определению
п. 4.15, круговые области замкнуты).
а) Ср. Александров и Хопф [1*], стр. 85, теорема III.
3) Искомое необходимое условие и все следующее построение получи-
получились бы легко, если бы мы предположили, что римановы поверхности три-
триангулируемы. Следующим дальше замечанием (особенно леммой 2 п. 4.36)
я обязан Грейбу (W. ОгаеиЬ).
*) При этом кривые я и р нужно ориентировать так, чтобы внутрен-
внутренность К лежала .слева".

170 ГЛ. IV. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
С другой стороны, разность и — а0 гармонична в В, и поэтому
I (da' — du') = 0.
Р
Из обоих равенств следует, что
Этим установлено необходимое условие для функции и0. Оно
состоит в том, что сопряженная гармоническая функция и'о в кру~
говом кольце К должна быть однозначной.
4.31. Это условие также и достаточно для разрешимости задачи.
Если оно выполняется, то, как сейчас будет показано, альтернирую-
альтернирующий метод ведет к цели.
Образуем, как в п. 4.27, последовательности и„ и vn, определен-
определенные граничными значениями
на
на
(в=1, 2, ...; «о
Эти последовательности сходятся равномерно. Для доказательства
рассмотрим колебание sn разности vn — vn_t на р и покажем сна-
сначала, что и максимум абсолютного значения \vn — vn_1\ удовлетво-
удовлетворяет на j3 неравенству
4.32. Для этого можно, по Шварцу и Нейману, воспользоваться
следующим общим замечанием.
Пусть U — однозначная регулярная гармоническая функция в кольце
гх < | z | < г.2, у которой сопряженная гармоническая функция U' также
однозначна. Тогда для гг < г < га имеем
0= j du'=
|г|=г
2г.
следовательно, интеграл Г (У dtp не зависит от г.
4.33. По нашему предположению относительно функции и0, для
нее справедливо сделанное замечание, так что

§ 5. ЗАМКНУТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 171
Но то же самое соотношение имеет место и для каждой функции ип.
В самом деле, так как ип в А однозначна и регулярна и j}-~0 на А,
то
Это означает, что сопряженная гармоническая функция и'п в круго-
круговом кольце К однозначна, следовательно, по предыдущему замечанию,
Точно так же и сопряженные функции v'n регулярны и однозначны,
поскольку функции vn регулярны и однозначны всюду в В; следо-
следовательно,
a (i
Теперь из краевых условий п. 4.31 вытекает, что
«п <*Р = J *п -1 d<? + J «0 <*?
а а
J vn d<? = J ии d«p — J a0 d<?.
Из первого соотношения, в силу предыдущих замечаний, следует,
что
откуда, прибавляя второе соотношение, найдем, что
Отсюда вытекает, что разность vn—vn_1 равна нулю по крайней
мере в одной точке на р, и так как колебание этой разности равно sn,
то имеет место неравенство
прежде всего на р, а поэтому, в силу принципа максимума, и всюду
в В.
4.34. Покажем теперь, с другой стороны, что мажоранта sn при
п -*¦ оо стремится к нулю как общий член сходящегося ряда геомет-

172 ГЛ. IV. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
рической прогрессии. sn означает у нас колебание разности vn — г/„_г
на C. Из доказываемой ниже леммы 1 следует, что колебание
этой разности на а не превосходит qsn, где q = . * < 1. Тем
самым и колебание разности мп+1 — ип на а не превосходит qsn, и,
по принципу максимума, это справедливо и всюду в Л. В частно-
частности, это имеет место на {J, а так как там и„+1 — ип = г/п+1 — «ц,,, то
следовательно,
V-i <
Отсюда заключаем, что последовательность
¦1=1
сходится равномерно в Б и предельная функция v гармонична в В.
Теперь легко получается сходимость последовательности ип. Так
как разность ип+1 — ип = vn — vn_x на а не превосходит qsn, то
прежде всего на «, а поэтому, по принципу максимума, всюду в А.
Этим обеспечена равномерная сходимость последовательности ип в А.
Предельная функция и регулярно гармонична в Л. В пересечении
АВ имеем v = и — м0, и так как v регулярно гармонична всюду в В,
то все поставленные требования выполняются.
4.35. Нам нужно доказать следующую лемму:
Лемма 1. Пусть функция U (г) гармонична в круге [ г
и пусть для 0 ^ г ^ р
Мг = max U, mr = min U.
|»|=г |г|=г
Жг — «r < j— (Жр — ягр).
Доказательство. Можно считать, что (/@) = 0, иначе нужно
было бы только заменить U на U — U@), что не изменяет колеба-
колебания Мг — тг. Тогда Мг^0 и /гег<0. Так как (У — /гер;>0, то для
»

8 5. ЗАМКНУТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 173
Отсюда, в частности, получаем, что
mf p ~r , следовательно,
f , следовательно, mr^> mf J_ .
Повторяя те же рассуждения для Л4р — U, найдем, что
и после вычитания получим указанное в лемме неравенство
Мг — mr < -p-p (Mf — mt).
4.36. В п. 4.30 мы ссылались на следующую лемму:
Лемма 2. Пусть А — круговая область на поверхности R и
Kj, — один из ее кругов, который может также быть и круговым
кольцом. Тогда (при соответствующей ориентации) граница
области А гомологична на А границе круга Kv
Пусть Kv К2 Кп — круги области А. Для простоты мы
предполагаем, что ни один из К*, исключая, быть может, Kv не
является круговым кольцомх). Круги К., занумеруем так, чтобы
каждый круг Кп имел общие точки с соединением предыдущих К.,-
Тогда наше утверждение доказывается повторным применением сле-
следующей теоремы.
Пусть В — область на поверхности R, граница -( которой
состоит из конечного числа кусочно аналитических жордановых
кривых без общих точек. Пусть, далее, К—замкнутый круг,
лежащий в параметрической окрестности U и имеющий общие
точки с В. Тогда граница области В (при подходящей ориента-
ориентации) гомологична на б-f-AT границе области В-\-К-
4.37. Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда граница
k круга К не имеет общих точек с границей f области В. Тогда
или К лежит целиком внутри В, или некоторые граничные кривые
области В лежат внутри К- В первом случае границы В и В~\-К
совпадают, во втором случае они отличаются на граничные кривые
области В, лежащие внутри К. Так как последние гомологичны
в К нулю, то наше утверждение справедливо.
Пусть теперь k имеет общие точки с f. Их число, в силу ана-
аналитичности 1, конечно 2). Каждая из граничных кривых области В
распадается тогда на конечное число жордановых дуг, которые по-
попеременно лежат внутри круга К и в замкнутом его дополнении К1.
*) В приложениях леммы в п. 4.30 это условие выполняется.
2) При этом можно считать, что сюда входят только точки пересечения,
ибо возможные „точки соприкосновения" можно устранить с помощью
произвольно малых деформаций, не изменяющих гомологические свойства.

174 ГЛ. IV. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЙ
Точно так же кривая k распадается на конечное число дуг, лежащих
попеременно в области Вив замкнутом ее дополнении В'. Граница
области В-\-К состоит из дуг границы -у, лежащих в К1, и дуг
границы k, лежащих в В'. Нам нужно, следовательно, показать, что
образованный этими дугами (при подходящей ориентации) 1-цикл
гомологичен (также подходящим образом ориентированной) границе
области В.
Для этого ориентируем граничные кривые (*[) области В так,
чтобы при их обходе область В оставалась „слева", т. е. чтобы
положительное направление касательной получалось из направления
внутренней нормали поворотом на угол —it/2. Пусть теперь у0 —
одна из дуг Yv границы т> лежащих в К. Она разбивает К на две
области Kt и К2; соответственно этому концы ^о разбивают k на
две дуги kt и kr Обозначения мы выбираем так, чтобы внутренняя
нормаль к -у вдоль f0 была направлена в Kv Каждая из остальных
дуг т, лежит либо в Kv либо в АГ2. Каждую из этих дуг мы заме-
заменяем той дугой av, принадлежащей или kx или ?2, которая соединяет ее
концы. Напротив, дугу f0 оставляем сначала без изменения. Таким
образом получился 1-цикл f', гомологичный •{.
Теперь мы хотим выяснить, в каком отношении находится f'
к границе В-\-К. Пусть /—произвольная из дуг, на которые k
разбивается точками пересечения с f; допустим, что / лежит, напри-
например, на kv Пусть alt ..., ar — те из дуг ач, которые содержат /
как часть, причем они занумерованы так, что «р+1 является
частью ар.
Число г — четное или нечетное в зависимости от того, принадлежит
ли / области В или В'. Для доказательства рассмотрим дуги f,,,
из которых возникли дуги ар. Всякие две из них, следующие друг
за другом, ограничивают (вместе с двумя дугами, лежащими
на k±) сегмент, лежащий в Kt, и эти сегменты лежат последова-
последовательно то в В, то в В'. Сегмент, ограниченный первой дугой
и f0, лежит в В (так как / лежит на k± и внутренняя относительно
В нормаль на fo направлена в К{), поэтому внутреннюю точку /
можно соединить с внутренней точкой В путем, проходящим через
все эти сегменты и пересекающим границу -у ровно г раз. Поэтому
-г должно быть четным или "нечетным, в зависимости от того,
принадлежит ли / области В или В', как и утверждалось.
Покажем, далее, что всякие две следующие друг за другом
дуги <хр и <хр+1 определяют на / противоположные ориентации. Пусть
Р? и Q9 означают соответственно начало и конец дуги ар. Тогда
достаточно показать, что четыре точки Pf, Q?, Pp+1, Qp+1 располо-
расположены на kt в порядке Q?, Pp+1,1 Qp+1, Рр (а не в порядке Q?, Qp+1,
Рр+1, Рр). Допустим, например, что сегмент, определяемый ^р и -(f+v
лежит в В. Тогда жорданова кривая Тр*" (в плоскости параметри-
параметрического круга К) положительно ориентирована. Будем ее теперь про-
пробегать в направлении этой ориентации и обозначим через 5 первую

§ 5. ЗАМКНУТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 175
из двух точек Рр+1 и Qp+1, которая при этом встретится. Тогда,
если в точке S положительное направление касательной к k есть хк
и положительное направление нормали к ^ есть \> то хк ~\~ я/2 <^~
< vT < ift + 3it/2. Из направления ч^ мы получаем положительное
направление х^ касательной к f (в силу выбора ориентации f) с по-
помощью соотношения х^ = vT — it/2. Следовательно, хк < тт < т^Ц-и,
и это означает (так как k в параметрической плоскости имеет поло-
положительную ориентацию), что f в точке S вступает в область В.
Значит, S = Pf+v т. е., действительно, рассматриваемые точки
расположены в порядке Qp-Pp+1Qp+1Pp.
Из обоих доказанных выше свойств цикла f' следует:
Если на f' соединить вместе все 1-симплексы (после подходящего
подразделения), лежащие на дуге /, то они все уничтожаются, если
/ принадлежит В; если же / не принадлежит В, то остается ровно
один; другими словами, цикл f' состоит из всех дуг I, лежащих в В'.
Аналогично доказывается, что для дуги /, лежащей на k.2, спра-
справедливо как раз обратное: такая дуга тогда и только тогда остается
в Y> когда она принадлежит В. Если теперь заменить еще f0 на
дугу k.2, то из Y получится новый цикл ^"; он содержит дугу /
(независимо от того, лежит ли / на kt или на k.2) тогда и только
тогда, когда она принадлежит В'. В остальном f" состоит из дуг f,
лежащих в А". Следовательно, f" состоит в точности из граничных
дуг области В-\-К' Этим лемма доказана.
4.38. Дока?ательство теоремы Римана об отображении для
эллиптического случая. Предыдущее общее построение приводит,
в частности, непосредственно к доказательству той части основной
теоремы теории конформных " отображений, которая относится к
замкнутым поверхностям. Мы сформулируем ее следующим образом.
Всякая замкнутая риманова поверхность R, у которой одно-
одномерная группа гомологии тривиальна, конформно эквивалентна
числовой сфере.
Доказательство. В построении п. 4.29 выберем в качестве
сингулярной части «0 = Re —. Тогда условие п. 4.30 выполняется и
соответствующая гармоническая функция и, построенная по методу
Шварца — Неймана, является однозначной и гармонической на всей
поверхности R, исключая точку 2 = 0, где она ведет себя как м0.
В силу сделанного предположения об одномерной группе гомоло-
гомологии поверхности R, сопряженная гармоническая функциям' также одно-
однозначна на R, следовательно, то же самое справедливо для аналити-
аналитической функции u-\~iu' = w, которая регулярна всюду, кроме z = 0,
где она имеет полюс с главной частью 1/2. Она является „рацио-
„рациональной функцией первого порядка" на R и, согласно п. 3.10, ото-
отображает эту поверхность топологически и конформно на таг-сферу,
что и требовалось доказать.

176 ГЛ. IV. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
§ 6. РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ
ЖОРДАНОВОЙ ОБЛАСТИ
4.39. Жордановы области. Для дальнейшего нам достаточно
было бы знать решение первой краевой задачи для „круговых
областей". Однако ввиду большого принципиального значения краевой
задачи мы в заключение этого параграфа рассмотрим некоторые
общие области, для которых разрешима краевая задача п. 4.1. При
этом мы будем также иметь возможность подробнее остановиться на
некоторых понятиях, важных для теории потенциала.
Под жордановой областью мы понимаем подобласть О рима-
новой поверхности с границей Г, такую, что множество О-)-Г ком-
компактно и Г состоит из конечного числа непересекающихся жорда-
новых кривых. Чтобы решить краевую задачу для жордановой
области, полезно, как и в случае круговых областей, рассмотреть
сначала кусочно постоянные граничные значения (С)
4.40. Гармоническая мера. Пусть а — замкнутая или откры-
открытая дуга жордановой кривой т границы Г; а может и совпадать
с ^- Под гармонической мерой <n(z, a, G) дуги а относительно
области G в точке z понимают решение первой краевой
задачи с граничными значениями 1 на а и 0 на дополнительной
части р границы Г. Гармоническая мера, если она существует,
определяется однозначно. Если а — пустое множество или одна
точка, то полагают ш(г, а, О) = 0. Для всей границы а = Г
<a(z, a, G)=\. Во всех остальных случаях 0<ш< 1 в О.
4.41. Аддитивность. Предположим, что гармоническая мера су-
существует для каждой граничной дуги а, и пусть ах = С^ и
а2 = С2Сз —две граничные дуги без общих внутренних точек. Тогда
В самом деле, разность левой и правой частей этого равенства есть
ограниченная гармоническая в О функция, равная нулю на Г, за
исключением, быть может, точек r~,v \, С3. По принципу максимума
и минимума, она, следовательно, тождественно равняется нулю.
Если а1 а.п — произвольные дуги на Г без общих внутрен-
п
них точек, то гармоническую меру множества а = 2 ач можно
v = l
определить как сумму
п
о> (z, а) = 2 «> (*. О-
Эта мера является ограниченной гармонической функцией @<[ш< 1)
в области О с граничным значением 1 в каждой внутренней точке

§ 6. РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЖОРДЛНОВОЙ ОБЛАСТИ 177
множества а и граничным значением 0 в каждой внутренней точке
его дополнения C = Г — «.
Определенная таким образом мера аддитивна для конечного числа
слагаемых.
4.42. Непрерывность. Рассмотрим теперь параметрическое пред-
представление P = P(t) @<^<;1) жордановой кривой f 6 Г. Имеем
P(t')=hP(?) для t'<f, исключая t' — 0 и t"=l. Пусть P(t0) —
произвольная точка f. Пусть 5 > 0 и f8 — дуга на f, для точек которой
К — ^о I -^ ^¦ ПРИ 5->0 дуга 7s стягивается в точку P(t0). Мы утвер-
утверждаем, что
ю О2» Тв) ~* О ПРИ 5 -> О
в каждой точке z ? G.
В самом деле, для фиксированной точки 2 внутри G величина
ш (г, т8) монотонно убывает вместе с 5, так как гармоническая мера
аддитивна и «о > 0. Отсюда следует, что при 5 -*¦ 0 она сходится
к неотрицательному числу o>0(z). По принципу Харнака, сходимость
равномерна в каждой компактной подобласти G и предельная функ-
функция <o0(z) гармонична внутри О. Так как в отличной от P(t0) гра-
граничной точке С все ю(г, f8), начиная с некоторого 5, равны
нулю, то из монотонности последовательности следует, что и
^о (z) ¦"*¦ 0 ПРИ z ~* *•¦ Наконец, функция <о0 (z) ограничена @ ^ а>0 < 1),
поэтому из обобщенного принципа максимума следует, что шо(г) = О,
как это и утверждалось.
4.43. Общая краевая задача для жордановой области. Если
гармоническая мера известна для каждой граничной дуги а, то краевая
задача п. 4.1 может быть решена для любых ограниченных и, за
исключением, быть может, конечного числа точек, непрерывных гра-
граничных значений /(С). Это очевидно, если функция / кусочно посто-
постоянна на Г. В самом деле, если / равна постоянной Д на дуге а^,
то решение, очевидно, дается выражением
¦ Это позволяет написать решение задачи при указанных выше
«общих предположениях относительно /. Так как гармоническая мера
1о)(С, z) (С ? •{) при фиксированном z является монотонной функцией
[параметра граничной кривой1), то интеграл Римана — Стильтьеса
//(С)Л.(С, г) D.8)
t) и (С, г) обозначает гармоническую меру дуги tot, !^= P(t0), С = P(t).—
Прим. перев.

178 ГЛ. IV. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЙ
имеет смысл. Если мы воспользуемся доказанной в п. 4.42 равно-
равномерной непрерывностью а>(С, г), то получим, что интегральные суммы
интеграла D.8) сходятся равномерно в каждой замкнутой области,
лежащей внутри О [даже если /(С) имеет конечное число точек раз-
разрыва]. Так как каждая интегральная сумма является гармонической
функцией от г, то, по принципу Харнака, это же справедливо и
для интеграла D.8).
Интеграл
«(*) = / /(С) *• (С г) = 2 / /(С) *• (С, г) D.9)
г ' * -ц
представляет теперь решение краевой задачи. Для доказательства
этого остается только показать, что определяемая D.9) функция в
точках непрерывности /(С) имеет граничные значения /(С). Но это
получается непосредственным перенесением доказательства для случая
круга (см. п. 4.11).
4.44. Построение гармонической меры. Формула D.9), решающая
задачу, предполагает знание гармонической меры <о(?, z). Для
круговой области она существует, согласно п. 4.15. Теперь путем
предельного перехода гармоническая мера будет построена для про-
произвольной жордановой области1) G + r.
Для этого предположим сначала, что граница- Г области О может
быть разбита на две взаимно дополнительные замкнутые части а и р
без общих точек. Тогда мы исчерпываем О последовательностью
круговых областей Gt с О2 с ... с Gn с: .... что, в силу свойства
счетности, возможно для каждой римановой поверхности, следова-
следовательно, и для О. Пусть Kv К%, ... —конечное число (замкнутых)
параметрических окрестностей, покрывающих а и не имеющих общих
точек с р, и К—их соединение. Тогда, начиная с некоторого п = п0,
граница области Оп распадается на две замкнутые части «„ и р„
без общих точек, так что ап лежит в К, в то время как р„ лежит
вне К. Если Отп означает соединение От с пересечением GnK
{п > т. > п0), то Qm n есть круговая область и Gmn cz Gmn+1c ... с
czGmn+pcz .... Граница области Gmn состоит из а„ и рт.
Образуем теперь гармоническую меру штп дуги ап относительно
области Gmn. Так как »то„+1 на [Зт принимает равные с <отп зна-
значения, а на ап во всяком случае не большие, то, по принципу мак-
максимума, »м»>«|гаш' Следовательно, при й-»-со существует предел
шт = lim (om „, и шт, по принципу Харнака, гармонична в области
GO
0м = 2 Отп- Далее, 0<шж<1.
п=гв+1
1) Мы допускаем при этом, что Г содержит также конечное число (не-
(незамкнутых) изолированных жордановых дуг а.

§ 6. РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЖОРДАНОВОИ ОБЛАСТИ
4.45. Покажем, что шт есть гармоническая мера дуги а относительно
области Gm. То, что ют равна нулю на |Зт, очевидно, так как <от„ = 0
на $т и последовательность штп монотонно убывает. Соотношение
ют-> 1 при z-*a получается из следующих соображений.
Пусть С — произвольная точка на а и К — параметрический круг,
содержащий С. Тогда можно выбрать столь малое число р > 0, что
на окружности \z — С| = р лежит точка ?р, обладающая тем свой-
свойством, что дуга ССр, принадлежащая а, пробегает внутри круга
\z — ?|<р (исключая точку С»).
Для оценки функции ®т(г) введем вблизи ? вспомогательную
переменную t = ln(z — С) и обозначим через o>(t) гармоническую
меру сегмента АВ длины 2ir, лежащего на прямой \n\z-
относительно полуплоскости
Re (f)<lnp, причем орди-
ординату точки А возьмем рав-
равной argCp (mod 2u). Оче-
Очевидно, что
= 1пр,
«> @ < — arctg
In
где справа берется главная
ветвь arctg (ср. п. 4.12).
u(z) = 1 — <o(In(z — С))
для О<С 12г — С|^р гармо-
гармонична, однако не одно-
однозначна. Но в односвязной
области Ос, ограниченной
\z — ?|<р и ?Ср, каждая
ветвь u(z) однозначна; пусть Фиг. 7.
и означает теперь ту ветвь,
которая на границе \z — С| = р {z Ф Ср) равна нулю. Во всех осталь-
остальных точках области О,, тогда 0<и4^1.
Функция и является минорантой для шт при |С—г|<р, z?Gm.
В самом деле, если z0 — точка этого множества, то существует столь
большое п0, что zo?Gmn для п > п0. Пусть Dn — та область пере-
пересечения Gmn с |С — z\ < р, которая содержит точку z0; тогда DncQ^.
Граница области Dn состоит, во-первых, из точек, принадлежащих
окружности \z — С| = р, и, во-вторых, из точек, принадлежащих <хп
(фиг. 7). В первых точках o>mn^0 и и = 0, следовательно, о>тга>-м.
В последних №mn=l и ц^1, следовательно, снова о>тп^м. По-
'Этому, по принципу максимума,
для z = z0. Отсюда
в Dn, следовательно, и

180 ГЛ. iv. теоремы Существования
и так как это справедливо для всех п, то
(zQ) =1 arctg
In р
I «to — С |
для всех точек zo?Gm, если \z0 — С|<р. Это неравенство пока-
показывает, что <лт{г)-*\ при z->C, что и требовалось доказать.
4.46. Показав, что а>т— гармоническая мера а относительно Qm, мы
переходим теперь к пределу при т. -> оо. Функция шт монотонно
возрастает и сходится к функции ш = Шпют (O^m^l), гармони-
гармонической в О.
Легко теперь заключить, что ю — гармоническая мера а относи-
относительно G, ибо ш непрерывна на Г, причем равна 1 на а и 0 на р.
Первое следует из того, что о>от = 1 на а и для каждого г вместе
с т. монотонно возрастает, а второе доказывается повторением рас-
рассуждений п. 4.45.
4.47. Предыдущими рассмотрениями проведено построение гар-
гармонической меры W,, для того случая, когда а — изолированная часть
границы. Построение а>я для произвольной части границы получается
следующим образом.
Выбираем на R компактную круговую область D с границей,
состоящей из конечного числа жордановых кривых 5, так, что
G-j-VcD; если поверхность R компактна, то можно взять D = R.
Пусть <х— граничная дуга G, составляющая часть замкнутой гранич-
граничной кривой 7ч. входящей в Г. Пусть Р и Q (Р ф Q) — концы а.
Заменяем теперь а лежащей целиком внутри нее дугой P'Q' =
= а' с а и удаляем части РР', QQ', принадлежащие а. Тогда суще-
существует вполне определенная жорданова область D' (G с: D' с D),
ограниченная а', |3 = Г — а и кривыми 8.
Согласно п. 4.44, существует гармоническая мера а/ дуги а' отно-
относительно D'. При предельном переходе Р'->Р, Q' -> Q гармоническая
мера а/ монотонно возрастает и сходится к функции ю @^о>^1),
гармонической в О. В каждой внутренней точке дуги а функция ю имеет
граничное значение, равное единице; напротив, в каждой внутренней
точке C — граничное значение, равное нулю, что снова доказывается,
как в п. 4.45.
Следовательно, «о — гармоническая мера а относительно О. Этим
доказано ее существование для произвольной граничной дуги.
Таким образом, все краевые задачи, рассмотренные выше для
круговых областей, разрешимы и для произвольных жордановых
областей.

Глава V
ЗАМКНУТЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
Первая задача теории аналитических и гармонических функций
на заданной римановой поверхности состоит в том, чтобы определить
и исследовать простейшие их классы. При этом простыми следует
считать те функции, которые отличаются четкими свойствами одно-
однозначности и регулярности. Поэтому в первую очередь естественно
рассматривать функции и коварианты, которые с точностью до не
более чем конечного числа полюсов регулярны на всей поверхно-
поверхности. Таким образом, для замкнутой поверхности мы прежде всего
имеем дело с рациональными функциями и абелевыми дифференциа-
дифференциалами; их свойства будут коротко изложены в этой главе.
Для теории функций на замкнутой римановой поверхности тре-
требуются, во-первых, общие результаты гл. IV, используемые для по-
построения абелевых дифференциалов. Во-вторых, требуется специаль-
специальное представление замкнутой поверхности с помощью многоуголь-
многоугольника. То, что каждая замкнутая риманова поверхность может быть
представлена таким образом, является результатом теории униформи-
зации (гл. VI и VIII) и в настоящей главе принимается без доказа-
доказательства.
§ 1. РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ, ПРЕДСТАВЛЕННЫЕ
С ПОМОЩЬЮ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
5.1. Многоугольники с аналитическим соответствием сторон.
Согласно п. 2.100, из каждого многоугольника числовой плоскости,
стороны которого попарно связаны топологическим соответствием,
возникает двумерное многообразие R. Аналогичным образом можно
из многоугольника получить риманову поверхность, правда, только
при некоторых дополнительных условиях, которые будут выяснены
¦дальше.
Пусть я — многоугольник ^-плоскости, стороны которого являются
аналитическими дугами. Пусть эти стороны связаны попарно топо-
топологическим соответствием, аналитическим в каждой внутренней
точке соответствующей стороны.
Согласно п. 2.100, из я отождествлением эквивалентных точек
получается во всяком случае двумерное многообразие R. Для
того, чтобы оно было римановой поверхностью, нужно сделать

182 ГЛ. V. ЗАМКНУТЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
дополнительное предположение о соответствии сторон. Действительно,
риманова поверхность всегда ориентируема, согласно же п. 2.102, при
отождествлении сторон многоугольника я такая поверхность возникает
только тогда, когда после ориентации многоугольника каждая сторона
отображается так, что ее начало (конец) переходит в конец (начало)
стороны-образа. Поэтому мы сделаем далее это предположение об
аналитическом соответствии сторон и покажем, что тогда из тг дей-
действительно возникает (замкнутая или открытая) риманова поверхность.
5.2. Мы хотим каждой точке пространства R поставить в соот-
соответствие параметрическую окрестность так, чтобы соотношения со-
соседства стали конформными отображениями.
Предположим сначала, что t = t0 — внутренняя точка многоуголь-
многоугольника тг; выберем р0 столь малым, чтобы круг \t — ^оКРо лежал еще
внутри тг, и отобразим его конформно с помощью функции
Ро
на единичный круг z-плоскости. Если тогда t1 — другая внутренняя
точка из и и ее параметрическая окрестность | i — tt | < pt имеет непу-
непустое пересечение с параметрической окрестностью \t —101 < р0 точки t0,
то соответствующее соотношение соседства (z<—>z*) определяется
уравнением
следовательно, оно является конформным отображением 1-го рода.
Пусть теперь t0 — внутренняя точка стороны а многоугольника тг
и t0— эквивалентная t0 точка на соответствующей стороне а''. Сторона а
является аналитическим образом отрезка а @<А<1); не будет
ограничением общности, если мы предположим, что и для а' про-
прообразом является тот же отрезок 0 < А < 1 и что точки на а и а',
соответствующие одному и тому же значению X, являются эквива-
эквивалентными точками. Пусть точке t = t0 соответствует значение пара-
параметра Хо @<Х0<1). В силу аналитичности отображения а->а,
в комплексной А-плоскости существует столь малый круг Ко с цен-
центром в точке Хо, что отображение а-*а может быть расширено до
конформного отображения а этого круга на окрестность точки t = ?0.
Точно так же можно и отображение а->аг дополнить до конформ-
конформного отображения круга Ко (в случае необходимости, после еще одного
его уменьшения) на окрестность точки t = ?0. Пусть теперь Но (соот-
(соответственно Но) означает тот полукруг круга Ко, который переходит
в „полуокрестность" /^(соответственно Но) точки t0 (соответственно
точки ?>) в я. Мы покажем, что эти два полукруга не совпадают,
следовательно, вместе они составляют весь круг Ко.

8 !. ПОВЕРХНОСТИ, ПРЕДСТАВЛЕННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКАМИ 183
Для этого рассмотрим граничную кривую fo области Яо и ориен-
ориентируем ее так, чтобы на дуге, лежащей на а, ориентация совпала
с ориентацией я. Если тогда tx — внутренняя точка Яо, то индекс
кривой -уо и границы -у многоугольника я относительно точки t± со-
совпадают (т. е. оба они равны либо +1, либо —1):
и (-у, t±) — и (к0, tj.
Аналогично, ориентируем граничную кривую fo области Н'о в соот-
соответствии с ориентацией а' (определенной ориентацией я). Тогда для
внутренней точки ti области Яо
Так как a(f, ^) ==«(¦(, ^i), то из предыдущих равенств вытекает, что
Допустим, что Я0=зЯ0'; тогда х = а'а-1 будет конформным ото-
отображением 1-го рода Но на Яо. При этом, по нашему предположению
о соответствии сторон, лежащая на а дуга границы f0 переходит
в лежащую на а' дугу границы fo с обратной ориентацией; поэтому
образ x(f0) границы fo есть противоположно ориентированная гра-
граница f0- Следовательно, для внутренней точки t\ области Яо
С другой стороны, для каждой внутренней точки tx области Яо,
в силу того, что х — конформное отображение 1-го рода,
IхПО/' "¦ \ll)\ — и V 10» ll''
и из обоих равенств следует, если в первом из них взять х(^) в ка-
качестве tu
в противоречие с E.1).
Следовательно, Нйф Яо и отображением
а-1 в Яо,
а' в Я»'
устанавливается конформное соответствие между окрестностью Нй-\-Н0
пары точек t0, t0 и кругом Яо+Яо = /(о- Тем самым и все соотно-
соотношения соседства становятся конформными.
Пусть, наконец, t = t0 — вершина яи(, (» = 0,..., г) — экви-
эквивалентные ей вершины. Тогда, согласно п. 2.101, около каждой вер-
вершины t4 можно выделить сектор ov с t^ в качестве вершины так,
'что, при соответствующей нумерации, в двух следующих друг за

184 ГЛ. V. ЗАМКНУТЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
другом секторах <jv, ov+1 (n = 1 г (mod г)) два „радиуса" Ьч и b'4
соответствуют друг другу.
Если у этих секторов отождествить каждые два „радиуса" &ч и Ьч,
то получится гомеоморфная кругу окрестность К точки Р, опреде-
определяемой классом вершин (?,). Теперь задача состоит в том, чтобы
превратить ее в параметрическую окрестность с конформными соот-
соотношениями соседства.
5.3. Отображение окрестности вершины с выколотой верши-
вершиной. Представим себе, что из каждого сектора о, удалили точку t4,
после чего дуги 6„ и b[ отождествили, как раньше (фиг. 8). Тогда
на поверхности R получается некоторая область К; она двусвязна,
ибо возникает из гомеоморфной кругу окрестности К удалением
точки Р. Далее, К уже есть риманова поверхность. Поэтому, по тео-
теореме Римана об отображении, которая будет доказана позднее
(гл. VI, VIII), К конформно эквивалентна либо области 0 < | z | < оо,
либо области г<|г|<1 @<г<1), либо
области 0< \г\ < 1.
Первый случай исключается, так как если
бы г = г (t) было отображение К на область
О < | z | < оо, то функция z(t) на всей кусочно-
аналитической граничной кривой области К
имела бы граничное значение 0 или оо, что для
отличной от постоянной аналитической функции
невозможно.
Фиг. 8. Напротив, оба других случая могут иметь
место. Для случая кругового кольца это будет
показано на примере в п. 5.5; для другого случая @< |г]< 1) это
очевидно.
5.4. Предельные точечные вершины и предельные круговые
вершины. Вершину многоугольника л мы называем предельной кру-
круговой вершиной (Grenzkreisecke) или предельной точечной вершиной
(Grenzpunktecke) в зависимости от того, имеет ли место второй или
третий случай. Это различие не зависит от выбора (топологической)
окрестности К вершины: если К± и /С2 — две такие окрестности, то
для них одновременно получается либо случай предельного круга,
либо случай предельной точки. В самом деле, допустим, что окре-
окрестность Кх ведет к предельной точке. Тогда в качестве конформного
образа Kt имеем 0 < | z± | < 1. Пусть г < ] z2 \ < 1 (г ;> 0) — соответ-
соответствующий конформный образ К%. Тогда г2 в области 0 < \zt |< 1
есть однозначная аналитическая функция от zt и |za|->r при Zj-fr-O.
Следовательно, функция zi(zl) в окрестности гх = 0 ограничена, и

§ 1. ПОВЕРХНОСТИ, ПРЕДСТАВЛЕННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКАМИ 185
тем самым z± = 0 — устранимая особенность. Отсюда вытекает, что
г = 0, так как иначе обратная функция z± = z1(z2) на \г^\^=г1),
следовательно, и всюду, имела бы постоянное значение, что в нашем
случае невозможно. Значит, и АГ2 ведет к случаю предельной точки.
Этим наше утверждение доказано2).
5.5. Пример предельной круговой вершины. В единичном
круге |z|< 1 проведем разрез по аналитической кривой с, имеющей
форму спирали, выходящей из z = 0 и монотонно асимптотически
приближающейся к единичной окружности
|г| = 1 (фиг. 9). Если круг с разрезом
конформно отобразить на полный единич-
единичный круг в плоскости t, то из теоремы
о соответствии границ при конформном
отображении (см., например, Каратео-
дори [2]8) следует, что обоим берегам
разреза соответствуют две дополнитель-
дополнительные друг к другу дуги а и а' с общими
концами А и В; пусть, например, z = О
соответствует точке А. Если в круге
с разрезом устремить г к окружности
|2г| = 1, то образ t будет стремиться Фиг. 9.
к точке В. Внутренние точки дуг а и а'
связаны друг с другом аналитическим преобразованием. Отожде-
Отождествляя эквивалентные точки этих дуг, получаем риманову поверхность,
конформно эквивалентную области 0 < | z |< 1. При этом окрестно-
окрестности точки В соответствует круговое кольцо г<|г|<1. Следовательно,
окрестность точки В с выколотой точкой конформно эквивалентна
круговому кольцу.
5.6. Замыкание предельной точечной вершины. В случае пре-
предельной точечной вершины можно расширить отображение К на область
0<|г|<1 до топологического и (исключая Р) конформного ото-
отображения окрестности К на круг | z | < 1, ставя в соответствие
точке Р точку г = 0. Тогда соотношения соседства со всеми ранее
1) Доказательство можно вести в предположении, что /(% a Ky— Прим.
перее.
а) Интересной задачей является нахождение добавочных ограничений
на аналитические функции соответствия между сторонами, обеспечивающих
случай предельной точки. Критерий, применимый к этому вопросу, имеется
у П. Ю. Мирберга [2]. В одной работе, которая скоро будет опубликована,
мы останавливаемся на этом вопросе подробнее.
[Отображая s4 конформно или квазиконформно на круговые секторы,
заполняющие круг, приходим к одной из задач на конформное склеивание.
См. Л. И. Волковыский [1**], гл. IV, § П.—Прим. перев.]
8) Или А. И. Маркушевич [1**], гл. V, § З. — Прим. перев.

186 ГЛ. V. ЗАМКНУТЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
построенными параметрическими окрестностями будут конформными;
нужно только окрестность второй точки выбирать столь малой, что-
чтобы она не содержала точку Р.
Если многоугольник я имеет только предельные точечные вершины,
то наше построение закончено: пространство R является (замкнутой)
римановой поверхностью.
Если, напротив, я имеет хотя бы одну предельную круговую
вершину Р, то хотя R— Р и является римановой поверхностью, ее
нельзя посредством точки Р дополнить до римановой поверхности R.
Этим вопрос п. 5.1 выяснен полностью.
6.7. Обращение. Согласно п. 5.6, многоугольник с одними лишь
предельными точечными вершинами представляет замкнутую риманову
поверхность R. Обратно, из теории унифор-
мизации (гл. VIII, § 4) следует, что каждую
замкнутую риманову поверхность можно
представить в виде многоугольника с одними
лишь предельными точечными вершинами,
и даже в виде многоугольника специального
вида, так называемого нормального много-
многоугольника (Normalpolygon):
Для каждой (отличной от числовой
сферы) замкнутой римановой поверхности R
существует такой 4^-угольник числовой
Фиг. 10. плоскости (нормальный многоугольник) с ана-
аналитическими сторонами, связанными попарно
друг с другом аналитическим соответствием согласно схеме (фиг. 10)
alb1a[b[...apbpa'/p{p>\), (p)
так, что при отождествлении эквивалентных сторон получается рима-
нова поверхность, конформно эквивалентная R.
5.8. Род поверхности. Число р однозначно определяется поверх-
поверхностью R; оно находится в простой связи с характеристикой у поверх-
поверхности R. Именно, если триангулировать поверхность, разбивая под-
подходящим образом ее нормальный многоугольник я на треугольники,
то для знакочередующейся суммы —ao4-ai — a2 простым подсчетом
получаем значение
— ao + ai — а2 — 2р—2.
С другой стороны, согласно п. 3.49, эта сумма равна характеристике у
поверхности R, так что х = %Р — 2. Следовательно, число р одно-
однозначно определяется характеристикой у поверхности R, тем самым
и поверхностью R. Оно называется родом поверхности R.
Из соотношения y=z2p— 2 видно, что характеристика замкнутой
римановой поверхности всегда равна четному числу.

§ 1. ПОВЕРХНОСТИ, ПРЕДСТАВЛЕННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКАМИ 187
Так как числовая сфера имеет характеристику у = — 2, то ей,
согласно предыдущему соотношению, ставят в соответствие род
р = 0.
Принимая без доказательства теорему п. 5.7, мы можем, следо-
следовательно, при дальнейшем изучении замкнутых римановых поверхно-
поверхностей всегда предполагать, что они представлены . в нормальной
форме (р).
6.9. Базис гомологии. В § 2 гл. II были определены группы
гомологии поверхности, однако не было дано способа их построения.
Как будет показано ниже, одномерную группу гомологии замкнутой
поверхности можно построить с помощью нормального многоуголь-
многоугольника.
Пусть R— замкнутая риманова поверхность, представленная Ар-
угольником в форме (р). 2р сторон ар, bp многоугольника я пред-
представляют на R 2р 1-циклов. Мы покажем, что они образуют базис
одномерной группы гомологии поверхности R.
Это утверждение означает, во-первых, что каждый 1-цикл на R
гомологичен некоторой линейной комбинации этих циклов и, во-вторых,
что эти 2р циклов гомологично независимы. Первое свойство будет
доказано сейчас, для доказательства же второго нам нужны результаты
следующего параграфа (см. п. 5.16).
Итак, пусть г1 — произвольный 1-цикл на R. Не будет ограни-
ограничением общности, если мы предположим, что 1-симплексы цикла zl
являются аналитическими дугами; этого всегда можно достигнуть,
не изменяя класса гомологии цикла гх.
Если теперь z1 лежит целиком внутри многоугольника я, то
внутри я, тем самым и на R, он гомологичен нулю.
Если г1 лежит на границе я, то он, очевидно, гомологичен ли-
линейной комбинации сторон.
Если же, наконец, z1 не лежит целиком ни внутри, ни на гра-
границе я, то (в силу аналитичности дуг) существует конечное число
дуг цикла z1, которые, исключая их концы, лежат внутри я. Заменяя
каждую такую дугу z1 дугой с теми же концами, но лежащей на
границе я, получим гомологичный z1 цикл, расположенный целиком
на граничной кривой. Этим последний случай сводится ко второму.
5.10. Как будет выяснено в п. 5.16, 2р 1-циклов, представленные
сторонами многоугольника я, на R гомологично независимы. Таким
образом, справедливо утверждение:
Одномерная группа гомологии замкнутой римановой поверхности
рода р есть абелева группа с 2р образующими. 2р {-циклов ар, Ьр
составляют базис этой группы.
Построенный таким образом базис ар, Ь? называют каноническим
базисом гомологии, а циклы ар и Ьр— сопряженными друг к другу.

188 ГЛ. V. ЗАМКНУТЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ПЕРВОГО РОДА
5.11. Определение. Пусть R — произвольная замкнутая риманова
поверхность. Под абелевым дифференциалом первого рода понимают
дифференциал « dz, где ср(г) — однозначная и всюду без исключения
регулярная аналитическая коварианта на R. Интегрированием полу-
получается соответствующий абелев интеграл первого рода
Ф (г) = J cp (z) dz,
представляющий функцию, аналитическую на всей поверхности R.
Эта функция в общем случае не однозначна на R. Ее многозначности
характеризуются гомологическими свойствами путей интегрирования.
Значение интеграла Г <?dz вдоль замкнутого пути с, не гомологичного
нулю, называется периодом дифференциала.
Если cv(v=l reI) — базис одномерной группы гомологии
поверхности R, то каждый замкнутый путь с гомологичен некоторой
линейной комбинации базисных путей,
п
С —- ^Л fftvC.,,
ч = 1
где /я, — целые числа (см. гл. II, § 2). Поэтому период <р вдоль с
выражается через базисные периоды в виде
I ф dz = 2 г** I
-> v=i J
Если с*(ч=1, ..., re) — другой базис гомологии, то периоды
преобразуются как базисные циклы, так как из
следует, что
5.12. Теорема единственности. Дифференциал первого рода,
у которого все базисные периоды действительны, тождественно
равен нулю, так как в этом случае мнимая часть функции Г ydz
1) п конечно, так как если R представить 4/>-угольником, то, согласно
п. 5.9, л<2/>.

§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ПЕРВОГО РОДА 189
однозначна и регулярна на всей поверхности и поэтому постоянна,
следовательно, <р =э 0. Точно так же тождественно равен нулю диффе-
дифференциал первого рода с чисто мнимыми базисными периодами. Отсюда
вытекает, что дифференциал первого рода однозначно определяется
как действительными, так и мнимыми частями своих периодов.
5.13. Линейное пространство дифференциалов первого рода.
Если <р и ф — абелевы коварианты первого рода, то это же спра-
справедливо и для их линейной комбинации Х<р + цф с комплексными мно-
множителями к и р. Следовательно, дифференциалы первого рода образуют
некоторое линейное пространство L. В дальнейшем нас будет
интересовать размерность этого пространства, т. е. максимальное
число линейно независимых дифференциалов.
Пусть « — размерность одномерной группы гомологии, т. е. число
базисных циклов в произвольном базисе гомологии av Пусть Ач озна-
означает период коварианты <р вдоль <х„:
, = J <р dz.
E.3)
Если А^ рассматривать как компоненты «-мерного комплексного век-
вектора, то соотношением E.3) (при фиксированном базисе) задается ли-
линейное отображение пространства L дифференциалов первого рода
в комплексное «-мерное векторное пространство Кп. При этом не все
векторы из Кп выступают в качестве образов, и, следовательно, образ
пространства L представляет собой некоторое линейное подпростран-
подпространство Кп. В самом деле, между компонентами вектора-образа имеют место
некоторые соотношения; в частности, мнимые части компонент Ач
однозначно определяются их действительными частями. Действительно,
если
то из А., = 0 (ч = 1, ..., «) следует, согласно п. 5.12, что <р = 0,
тем самым и А, = 0 (у = 1, .. ., к).
Сумме двух действительных частей соответствует при отображении
сумма соответствующих мнимых частей *) и Х-кратной действительной
части соответствует Х-кратная мнимая часть, если X — действительное
.число. Поэтому зависимость вектора А*, от вектора А-, может быть
!) Пусть действительные части периодов (Ач) и (Bv) (v = 1 л) опре-
определяют соответственно мнимые части периодов (А") и (В"), т. е. существуют
^коварианты (рифе периодами A4 = A'4-{-iA" h Bv = B^+/B". Тогда
'ч + В[) определяют (А" + в") с соответствующей ковариантой
Прим. перее.

190 ГЛ. V. ЗАМКНУТЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
записана с помощью матрицы М:
Л" = МА',
где А' и А" следует рассматривать как матрицы-столбцы. Матрица М
определяется выбором базиса гомологии поверхности; ее v-й столбец
представляет мнимую часть вектора, действительная часть которого
имеет компоненты @, .... 1 0), где 1 стоит на v-м месте1).
При переходе к другому базису гомологии, связанному с заданным
базисом (унимодулярной) матрицей А,
v
матрица М преобразуется в матрицу
5.14. Дифференциалы с заданными периодами. Согласно п. 5.12,
каждому действительному вектору Ач соответствует самое большее
одна мнимая часть л', такая, что комплексный вектор Лч = Л.,--)-/Л ч
представляет периоды дифференциала первого рода. Дальше мы пока-
показываем, что каждому произвольно заданному Ач действительно соот-
соответствует мнимая часть, следовательно, что действительные части
периодов могут быть заданы произвольно.
Для доказательства риманова поверхность R представляется с по-
помощью 4/>-угольника я в форме (j>) (см. п. 5.7). Пусть на R задан
абелев дифференциал первого рода <odz. Если zg — фиксированная
и г — переменная точки тг и q — произвольный путь внутри -к, веду-
ведущий из z0 в z, то интеграл
1
определяет функцию Ф(г), однозначную на поверхности с разрезами
вдоль я„ и й, (v= 1, ...,/>) (т. е. на поверхности R — 2flv — 2^v)-
Мы хотим найти скачок этой функции при переходе через
х) Соотношение А" = МА' предполагает существование ковариант
с такими периодами А ч = А'^ -\- 1А'^, что
JO если v
•" \ 1 если v = (л.
__ JO,
•" \ 1,
Тогда коварианта <? с периодами А[-\-1А" может быть записана в виде
п *
<t = 51 Дл > откуда следует соотношение для А". Существование <fv- Д°ка-
,1=1^
зывается дальше (см. п. 5.17). — Прим. перев.

^ § 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ПЕРВОГО РОДА 191
пути ач и йч, например аг. Пусть zx— внутренняя точка ах и
г[ — эквивалентная ей точка на а'х. Если qx и q'x означают пути, веду-
ведущие внутри тс из г0 соответственно в zt и z'x, то Ф (zx) = Г <р (z) dz
и Ф(г[)= Г <o(z)dz, следовательно, скачок функции Ф равен
«1
Ф(г[) — Ф(^)= f<?dz—f<?dz.
Точка zx делит ах на две части; пусть ах — та из них, у которой
второй конец принадлежит стороне Ьх (лежащей между ах и а'х)\
пусть дуга ах ориентирована так, что zx — ее начало, а Ьх — так,
что начало ее лежит на ах. Этим определяется и ориентация экви-
эквивалентной <хх дуги ctj. Тогда путь qx<*xbx<x[~1q[~1 на R (и-даже на
числовой плоскости) гомологичен нулю. Отсюда следует, если еще
учесть, что ах и с^-1 представляют на R противоположные особые
1-симплексы, что
\ <?dz — Г ydz= Г
Скачок интеграла Г <р dz в точке пути ах равен периоду ко-
варианты <р вдоль сопряженного пути Ьх, причем этот путь
должен быть ориентирован так, что его начало лежит на ах и
конец — на a't.
5.15. Существование дифференциала первого рода. Отсюда мы
выведем, что для 2р произвольно заданных действительных чисел А,,
и В' существует дифференциал первого рода, периоды которого на
ач и Ьч имеют соответственно действительные части А,, и 2?v. Для
доказательства достаточно построить дифференциал, период которого
вдоль одного из этих путей, например Ьх, имеет действительную
часть 1, в то время как остальные его периоды чисто мнимые.
Тогда, согласно п. 5.14, на поверхности R с разрезом вдоль ах
действительная часть и соответствующего интеграла I <p dz есть
{Однозначная гармоническая функция, которая при переходе через ах
испытывает скачок, равный 1. Обратно, если имеем на R такую
функцию и, то ^ = «2, — iuy — требуемая коварианта.

192 ГЛ. V. ЗАМКНУТЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
Согласно теоремам существования гл. IV1), такая гармоническая
функция может быть построена. Для этого выберем на а± конечное
число точек гч (v = 1 п) так, чтобы каждая дуга zv2v+1 (у = 1,...
. . ., п (mod я)) лежала в параметрической окрестности Uy. В соот-
соответствующем параметрическом круге Ul выберем круговое кольцо Kl
так, чтобы дуга 2,2V+1 лежала во внутреннем круге, тогда гармони-
гармоническая функция
z — гч+х
в кольце Kl однозначна. Так как сопряженная гармоническая функ-
функция In г~^<+1 в Kl однозначна, то, согласно § 5 гл. IV, на R
существует гармоническая функция ич, которая в R — U однозначна
и регулярна и которая в 0\ с точностью до регулярной функции,
совпадает с arg —~ <+1 . Отсюда вытекает, что гармоническая функ-
ция и, при переходе через z,z,+1 испытывает скачок, равный 2тг.
п
Поэтому сумма -н— >! и, и представляет требуемую гармоническую
функцию.
Б. 16. Из этого результата прежде всего следует, что пути ач и й,
(v = 1, ..., р) гомологично независимы, следовательно, согласно п. 5.9,
они действительно, представляют базис гомологии поверхности R.
Чтобы это доказать, нужно показать, что из гомологии
р . f
vO (\p, Ар,— целые) E.4)
следует, что ^ = 0, Лр. = 0. Для Этого предположим, что y4dz —
тот абелев дифференциал, период которого вдоль av имеет действи-
действительную часть, равную единице, а периоды вдоль всех остальных
путей пу,, так же как и вдоль путей Ь^, имеют действительные части,
равные нулю:
Re Г <р„ dz = 8 , Re Г % dz = 0.
CL Ь
> V-
В силу E.4), по интегральной теореме Коши,
Относительно прямого построения см. Штейнер [1].

12. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ПЕРВОГО РОДА 193
с другой стороны, так как Х^, Х^, действительны, то для действи-
действительной части суммы, стоящей слева, получается значение Х,„ следо-
следовательно, X, = 0. Таким же образом доказывается, что X, = 0. Следо-
Следовательно, пути а, и Ьч на самом деле гомологично независимы.
Поэтому число п циклов базиса гомологии в точности равно 2р.
5.17. Далее, из результата п. 5.14 следует, что вдоль путей кано-
канонического базиса гомологии (а,, #„) можно произвольно задавать
действительные части периодов. Но так как периоды относительно
двух базисов гомологии связаны друг с другом невырожденным дей-
действительным линейным преобразованием А, то отсюда вытекает, что
действительные части периодов можно задавать произвольно и вдоль
любого базиса гомологии.
Этим доказано высказанное в п. 5.14 утверждение о том, что
пространство L дифференциалов первого рода отображается на мно-
множество векторов А = А'-\~ iA" = (Е-\-Ш) А' (Е— единичная мат-
матрица), где А' пробегает все 2р-мерное действительное векторное
пространство R-p. Отсюда легко определить размерность простран-
пространства (А) (тем самым и L). Относительно действительных коэффи-
коэффициентов в (А) имеется ровно 2р линейно независимых векторов, ибо
система векторов (E-j-iM)A' линейно независима относительно дей-
действительных коэффициентов тогда и только тогда, когда это имеет
место для векторов А'.
5.18. Но мы интересуемся и „комплексной" размерностью про-
пространства (А), являющегося линейным подпространством комплекс-
комплексного векторного пространства К'2р- В этом отношении справедливо
вообще следующее: если комплексная размерность линейного под-
подпространства Т пространства Кп равна q, то действительная размер-
размерность равна 2q.
Сначала мы покажем, что если векторы (а±, . . ., аг) „комплексно"
линейно зависимы, то векторы (а1, ..., ar, iav ..., iar) „действи-
„действительно" линейно зависимы, и наоборот. В самом деле, если
2 К,а, = 0
то первое уравнение равносильно уравнению
Если какое-либо число X, отлично от нуля, то по крайней мере одно
из чисел о„ тч отлично от нуля, и наоборот. Это и доказывает наше
утверждение.
13 Зак. 295. Р. Неванлинна

194 ГЛ. V. ЗАМКНУТЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
Если q — комплексная размерность пространства Т, то сущест-
существует q линейно независимых векторов av ..., aq, и тогда векторы
(а± aq, iat iaq) действительно линейно независимы. С дру-
другой стороны, каждый вектор из Т может быть линейно соста-
составлен из ач с комплексными коэффициентами, поэтому из ач и iau —
с действительными коэффициентами, так что действительная размер-
размерность пространства Т равна 1q.
Так как пространство (А) имеет действительную размерность
2р, то для его комплексной размерности получается значение р,
следовательно, то же самое справедливо и для пространства L, изо-
изоморфного (А). Этим доказано:
А1елевы дифференциалы первого рода на замкнутой римано-
вой поверхности рода р образуют линейное пространство (ком-
(комплексной) размерности р1).
5.19. Из п. 5.16 получается интересное свойство матрицы М,
однозначно соответствующей базису гомологии и связывающей соот-
соотношением А" = МА' действительную и мнимую части вектора-пе-
вектора-периода A=A'-\-iA" дифференциала первого рода <?dz. А именно,
iydz также есть дифференциал первого рода с вектором-периодом
1А = — А"-\- 1А', следовательно, А' = — МА", поэтому А' = — М2А',
или А'(Е-\-М'2) = 0. Так как это имеет место для любого вектора
А', то Е-{-М2 — 0,- или
Ж3 = — Е.
Замечание. Как мы видели, рассуждения пп. 5.14—5.19 осно-
основаны на возможности представления поверхности в виде 4/>-уголь-
ника. То, что каждая замкнутая риманова поверхность допускает
подобное представление, будет доказано в § 1 гл. VIII.
5.20. Риманово соотношение. Пусть R — снова риманова поверх-
поверхность, представленная нормальным многоугольником я в форме (р)
(р>0). Пусть ср(гг) и <p*(z) —две абелевы коварианты первого рода
на R и А^, Вч, соответственно Ач, В*, — их периоды вдоль путей
канонического базиса гомологии (о,, ftv). Выясним, как связаны
между собой эти периоды.
С этой целью будем исходить из триангуляции поверхности R,
для которой стороны многоугольника я являются путями, составлен-
составленными из сторон триангуляции 9). Пусть Ф означает интеграл Г <р dz,
!) Заметим, что до сих пор еще не был указан базис этого простран-
пространства, т. е. система из р (комплексно) линейно независимых дифференциалов.
В п. 5.22 выяснится, что такой базис образуют построенные в п. 5.16 диф-
дифференциалы (pv (v = 1 р).
а) Такая триангуляция получается из подходящим образом выбранной
триангуляции многоугольника те.

§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ПЕРВОГО РОДА 195
однозначный на поверхности R с разрезами вдоль а., и Ьч (см. п.
5.14). Тогда произведение Ф'?* — регулярная коварианта в каждом
2-симплексе а3, следовательно, по интегральной теореме Коши,
Отсюда суммированием получаем
2 J Ф<р*Лг = 0. E.5)
При этом 2-симплексы о* ориентированы когерентно. Предыдущую
сумму нужно теперь расположить по 1-симплексам триангуляции.
Для этого последние ориентируются произвольно, независимо от
ориентации а*. Если з1 — произвольный 1-симплекс, не лежащий ни
на одной из сторон ач, b^, то его часть в сумме E.5) равна
8i Г Ф?* dz ~Ь S2 Г
где в< = =t 1, в зависимости от того, совпадает ли ориентация на
о1 с ориентацией, индуцируемой o^(i = 1, 2), или нет. В силу коге-
когерентности, Sj = — s.2 и, следовательно, часть о1 равна нулю.
Чтобы установить части сторон многоугольника в сумме E.5),
зафиксируем на а, и Ьч (у=1, . . ., р) ориентации, индуцируемые
когерентной ориентацией многоугольника л. При этом последняя
пусть выбрана так, что начало каждой стороны ft, лежит на ач (а
не на а'), тогда из когерентности следует, что начало а' лежит на
"¦Ьч (а не на Ь,). Пусть теперь з1 есть 1-симплекс на стороне av
Примыкающие 2-симплексы о^ и а\ пусть занумерованы так, что of
примыкает к аг и о| — к a'v Тогда (уже определенная) ориентация з1
совпадает с индуцируемой a2v и, если Ф и Ф' означают соответ-
соответственно значения Ф(г) в двух эквивалентных точках на аг и а[, то
часть о1 в сумме E.5) равна
f Ф<р* dz — J ФУ dz = J (Ф — Ф') <р* йг,
»' З1 I1
или, согласно п. 5.141),
* t) Заметим, что ориентация была выбрана так, что результаты п. 5.14
Ji применимы и по знаку.

196 ГЛ. V. ЗАМКНУТЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
Следовательно, полная часть в сумме E.5) всех 1-симплексов, лежа-
лежащих на av равна
Аналогично найдем, что часть стороны bt равна AtBi, так что
в целом
2 Г ф<?* dz = 2 (А.,в*—вХ)-
В силу E.5), отсюда следует „первое риманово соотношение"
= 0. E.6)
6.21. Рассмотрим теперь вместо интеграла Г Фсэ* dz интеграл
\Ф<f*dz, взятый по границам симплексов триангуляции, использо-
использованной в п. 5.20. По формуле C.18) найдем, что
Г Г о<р* dx dy ¦=¦ 4f Г Ф?* dz,
откуда суммированием по всем симплексам, аналогично п. 5.20,
получаем
Р —
J j Ф'4'dxdy = -j ^ (АЖ—ВЖ)- E.7)
Полагая здесь, в частности, <р = <?*, получаем „второе риманово
соотношение"
E.8)
связывающее интеграл Дирихле дифференциала первого рода с его
периодами вдоль путей канонического базиса (а„ Ь.,).
В частности, если Л., = 0 (v = 1, ..., р), то из E.8) следует^
что <р = 0, другими словами:
Дифференциал первого рода, периоды которого вдоль р первых
(или р вторых) путей канонического базиса равны нулю, тожде-
тождественно равен нулю.

§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ПЕРВОГО РОДА 197
Дифференциал первого рода, таким образом, однозначно опреде-
определяется уже своими периодами Ач (или 5VI).
5.22. Базис дифференциалов первого рода. Из этого резуль-
результата можно заключить, что рассмотренные в п, 5.16 дифференциалы
9^dz (р- = 1, ..., р) комплексно линейно независимы и тем самым
представляют базис пространства L.
Чтобы в этом убедиться, рассмотрим периоды Аг, и В^,, диф-
дифференциала оа dz вдоль av и ?„. Они имеют вид
Покажем сначала, что определитель \В^.,\ отличен от нуля. Для
этого рассмотрим систему уравнений
S Ву.^ = О
относительно действительных /у (р. = 1, ...,/>). Если Х^ — решение, то
коварианта <? = ^^<р^ имеет вдоль кривых Ьч периоды, равные
нулю, и поэтому должна тождественно равняться нулю. С дру-
другой стороны, действительная часть периода <р вдоль ач равна Xv,
откуда следует, что кч = 0. Отсюда вытекает, что предыдущая
система уравнений имеет только тривиальные решения, поэтому
| В'^,,| Ф 0, следовательно, и |В^\ф 0.
Докажем теперь линейную независимость «у Для этого рас-
рассмотрим коварианту в = 2 V^1 где V — комплексные числа. Диффе-
ренциал «р dz имеет вдоль Ь,, период 2 ^^^-г Если теперь Х^ выбраны
так, что 2 \ЛУ = 0>- следовательно, <? — 0, то SVV"^ откуда
(в силу 1^,1=5^0) ^ = 0, что и требовалось доказать.
5.23. Преобразование базиса. Выполняя линейное преобразование
4=1
с регулярной матрицей С = (сг), мы приходим (при фиксированном
базисе гомологии) к новому базису пространства L с матрицами
периодов СА и СВ. С помощью линейного преобразования С базис
может быть различным образом нормирован.
В п. 5.23 мы покажем, что эти периоды можно задавать произвольно,

198 ГЛ. V. ЗАМКНУТЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
Важная нормировка получается, если взять С —А'1. Если <J>4 —
соответствующий базис, то коварианта
где а., — произвольные комплексные числа, имеет вдоль av период ач,
Следовательно, периоды дифференциала вдоль циклов а., (соответ-
(соответственно ?.,) могут быть заданы произвольно. Согласно п. 5.21, диф-
дифференциал определяется однозначно.
5.24. Ортонормированные системы. Мы переходим к другой
нормировке, которая, в частности, оказалась весьма важной при
обобщении классической теории абелевых интегралов первого рода
на открытые поверхности *). Линейное многообразие дифференциалов
первого рода может быть превращено в гильбертово пространство,
если интеграл
(<р, «!•)= fj^dxdy E.9)
в
принять за скалярное произведение ковариант ® и <|», а положитель-
положительное значение корня из
— за норму ||<р|| коварианты <?.
Из E.9) следует, что (®, ф) = (^, ф). Две коварианты называются
ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.
Произвольный базис cp^([i, = 1, . . ., р) можно с помощью метода
ортогонализации Шмидта перевести в ортонормированную систему
%(Р — 1, ...,/»):
О, если ц Ф v>
[, если \l = v.
Для этого нужно положить
*1 = Ш
n-1
где рп= 2(?п> ФЛФи — „проекции" ср„ на подпространство, порож-
порождаемое ковариантами ^ Фя-i-
Ср. мою работу [3].

§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ПЕРВОГО РОДА 199
Если произвольная коварианта <р представлена в виде
р
<р = 2 сЛ->.
4 = 1
ТО
<\ = (<P. <W>
и норма ||»|| равна B|с, Р//г-
Ортонормированные системы (ф,) определены с точностью до
унитарных преобразований U = (uik) {UU*=zE): если ('!>.,) — какая-
нибудь ортонормированная система, то общий вид ортонормирован-
ной системы есть
?и = 2 VK.
где (в^,)— произвольная унитарная матрица. »
5.25. Дополнение: группы гомологии поверхностей с краем.
В дальнейшем (гл. X) нам потребуются группы гомологии поверх-
поверхности с краем, представленной многоугольником it (см. гл. II). Во
избежание перерывов в изложении, мы коротко разберем здесь этот
вопрос. Пусть поверхность с краем задана в виде нормального
многоугольника с соответствием сторон
.. .a
„Свободные стороны" xt соответствуют граничным контурам поверх-
поверхности R, представленной тт (см. п. 7.31).
Мы покажем, что циклы а.„ b, (v = 1, . .., р) вместе с г — 1
контурами x|ll(p.= 1, . . ., г — 1) представляют базис одномерной груп-
группы гомологии поверхности R. Это означает, во-первых, что каждый
цикл z1 на R гомологичен линейной комбинации этих циклов и,
во-вторых, что эти циклы гомологично независимы.
Сначала заметим, что г контуров х^ гомологично зависимы, так
как они удовлетворяют соотношению 2.х^~0.
Пусть zl — произвольный цикл на R. В силу предыдущей гомо-
гомологии, достаточно показать, что цикл г1 гомологичен линейной ком-
комбинации канонических сечений и всех граничных контуров. Для этого,
аналогично проделанному в п. 5.9, строим гомологичный z1 цикл г*,
состоящий только из сторон Сц, хг av, ft,, следовательно, имеющий
вид
** = 2 v.+2 *л+2 «а,+2 ? А-
|i |i Ч Ч
¦ Для его границы име.ем
fy dz* = 2 *ц ^сг

200 ГЛ. V. ЗАМКНУТЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
и так как г*—цикл, то
2 ^ *> = <>•
и-
1-симплексы с^ (которые сами не являются циклами) представим
себе ориентированными так, что общая для всех с^ начальная точка Р
лежит внутри, а конечная точка Qa на крае поверхности R. Тогда
предыдущее соотношение означает, что
Так как каждая точка Q^ отлична как от других Q4 (у Ф ]х), так
и от Я, то Ху, = 0 (р = 1, .. ., г).
Следовательно, 1-цикл г1 гомологичен линейной комбинации х^_,
а^к Ь^, тем самым первое утверждение доказано.
Чтобы доказать, что циклы xli((i. = l г — 1), а.,, Ьч гомоло-
гомологично независимы, заменим каждую свободную сторону л:^ доста-
достаточно близкой к ней жордановой дугой у , лежащей целиком
внутри it, исключая ее концы, расположенные соответственно на cw
и Ср в точках Лц и Ар, эквивалентных относительно отображения
с^~*-Ср. В силу гомологии Хр~у^, достаточно показать, что циклы
y^([i=l, ..., г—1), в„, Ьч гомологично независимы.
Для этого, как в п, 5.15, построим гармоническую функцию и^,
однозначную на поверхности R — с^ и испытывающую вдоль с^
скачок, равный 1. Тогда коварианта ^ = а^х — 1и^у регулярна внутри
поверхности R, исключая начало Р, где она имеет полюс с выче-
вычетом 1/2тг/. Так же, как в п. 5.15, докажем, что действительная
часть периода коварианты t]^ вдоль у^ равна скачку функции и^
вдоль 0^, следовательно, равна 1, в то время как ее периоды вдоль
остальных уч и вдоль а.„ 6V чисто мнимые; при этом у^ должны
быть соответствующим образом ориентированы.
Далее, для каждого v (v = 1 р) существует дифферен-
дифференциал <?4dz, период которого вдоль я,, имеет действительную часть,
равную 1, в то время как все остальные его периоды чисто мнимые.
Если на R имеет место гомология
г1 ^ 2 ^Л + 2 «А + 2 РА ~ 0.
то, по теореме о вычетах,
,dz = s,
/¦
где s — индекс пересечения цепи, ограниченной г1, относительно
точки Р. С другой стороны, этот период равен коэффициенту 5^,
следовательно, ^ =, . . = Sr

S 3, ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО РОДА 201
В силу того, что 2.)V~0> отсюда следует соотношение
Теперь, как в п. 5.16, заключаем, что 0^ = ^ = 0.
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО РОДА
6.26. Дифференциалы второго рода. Под дифференциалом вто-
второго рода понимают дифференциал ydz, где ср — однозначная ана-
аналитическая коварианта на римановой поверхности R, регулярная
на R всюду, за исключением, быть может, конечного числа полюсов
второго порядка, где она имеет разложение
ср = —¦ — -)- регулярная функция.
Коэффициент а при переходе к другому локальному параметру z*
преобразуется по закону ковариантности.
Соответствующий интеграл
Ф = Г ср dz
представляет на R аналитическую функцию (вообще говоря, много-
многозначную), которая вне полюсов <р регулярна, в полюсах же имеет
разложение
Ф = \- регулярная функция.
6.27. Следовательно, разность двух дифференциалов второго
рода с одинаковыми сингулярными частями есть дифференциал пер-
первого рода и, обратно, при добавлении дифференциала первого рода
особенности дифференциала второго рода не меняются. Отсюда
вытекает, что дифференциал второго рода однозначно определяется
своей сингулярной частью и действительными частями своих периодов.
Обратно, сингулярная часть и действительные части периодов
могут быть заданы произвольно. Для доказательства заметим сначала,
что достаточно к каждому полюсу Р построить нормальный диф-
дифференциал второго рода, т. е. дифференциал, который в точке Р
имеет разложение
ср = --}- регулярная функция,
а вне Р всюду регулярен. В самом деле, если <р„ — нормальный
Дифференциал с полюсом в Рч, то дифференциал

202 ГЛ. V. ЗАМКНУТЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
имеет требуемую особенность, и добавлением подходящего дифферен-
дифференциала первого рода можно достигнуть того, чтобы его периоды
имели заданные действительные части.
6.28. Построение нормального дифференциала <? может быть,
далее, сведено к построению однозначной гармонической функции
на R с заданной особенностью. В самом деле, если мы представим
себе ср нормированным так, что действительные части его периодов
равны нулю, то действительная часть интеграла будет однозначной
гармонической функцией на R, которая вне полюса Р регулярна,
а в Р имеет разложение
и = Re |— j -(- регулярная функция.
Обратно, если на R задана такая гармоническая функция, то
<? = их — 1иу—нормальная коварианта второго рода. В гл. IV такая
гармоническая функция была построена, и тем самым существование
дифференциала второго рода доказано.
5.29". Дифференциал третьего рода. Дифференциал третьего
рода есть дифференциал <?dz, где коварианта <» на R однозначна
и с точностью до конечного числа полюсов первого порядка регу-
регулярна. В таком полюсе имеет место разложение
с? = — -}- регулярная функция (а ф 0).
Соответствующий интеграл
Ф = Г ср dz
является многозначной аналитической функцией на R. Кроме „много-
„многозначности в целом", определяемой одномерной группой гомологии по-
поверхности R, она обладает еще локальными многозначностями в лога-
логарифмических точках разветвления.
Так как, согласно п. 3.47, сумма вычетов коварианты с? по всей
поверхности R равна нулю, то дифференциал третьего рода имеет
не меньше двух полюсов.
5.30. Дифференциал третьего рода также однозначно определяется
своей сингулярной частью и действительными частями своих периодов.
Обратно, последние и сингулярная часть могут быть заданы произ-
произвольно, с тем ограничением, что сумма вычетов равна нулю.
Для доказательства покажем сначала, что снова достаточно по-
построить нормальный дифференциал к двум заданным точкам, т. е.
дифференциал, который в этих точках имеет вычеты, равные соот-
соответственно -f-1 и —1, а в остальных регулярен. В самом деле,

S 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО РОДА 203
пусть odz — заданный дифференциал третьего рода с полюсами Pv
n-l
(\ = 0, ..., я—1) и вычетами с, Bcv —О)- Тогда, если срч— нор-
.=о
мальный дифференциал с полюсами Рч и Pv+1 (v = 0, ..., я—1
(mod л)), то дифференциал
П-1 -I
v=0 р=0
имеет ту же сингулярную часть, что и <?. Добавлением дифференциала
первого рода можно добиться, чтобы и действительные части перио-
периодов у него были бы такими же, как у «рх).
Построение нормального дифференциала с полюсами Р и Q можно
свести к случаю, когда точки Р и Q лежат в одной и той же пара-
параметрической окрестности. В самом деле, соединим Р и Q некоторым
путем и выберем на нем конечное число точек Pv (Po= P, Pn = Q)
так, что две следующие друг за другом точки лежат в одной пара-
параметрической окрестности. Если тогда срч— нормальная коварианта
к точкам Рч и Рч+1, то «р = 2?м — нормальная коварианта к точ-
точкам Р и Q.
5.31. Итак, пусть Р и Q — две точки параметрической окрест-
окрестности, | z | < 1—соответствующий параметрический круг и гг,
z.2 — координаты соответственно точек Р и Q. Если тогда <?dz — нор-
нормальный дифференциал к Р и Q, то в круге |г|< 1 имеет место
разложение
в = —— — (- регулярная функция.
Если коварианта ср нормирована так, что действительные части
ее периодов равны нулю, то действительная часть интеграла \<sdz
¦ есть однозначная гармоническая функция на R, которая в круге | z | < 1
/имеет вид
: и = In
z — z-i
г — z»
Г и у которой нет никаких других особенностей. Этим построение
¦ нормального дифференциала сведено к теоремам существования гар-
Iионических функций гл. IV.
к ¦
;-:
5.32. Связь с дифференциалами первого рода. Риманово соот-
соотношение E.6) можно распространить на дифференциал ®dz первого
!) Так как an_i = 0, то фактически в построении <р участвуют лишь
Дифференциалы <?<> "Рп-а- — Прим. перев.

204 ГЛ. V. ЗАМКНУТЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
рода и дифференциал у* dz третьего рода. Пусть Р^ (ц = 1 т) —
полюсы »* и с^ — соответствующие вычеты. Рассмотрим снова триан-
триангуляцию поверхности /?, для которой стороны ач, Ьч нормального
многоугольника являются путями, составленными из сторон триан-
триангуляции, причем все точки Р^ являются внутренними точками 2-сим-
плексов; пусть, кроме того, различные точки лежат в различных
симплексах. Если Ф означает интеграл Г <sdz, однозначный на поверх-
поверхности R с разрезами вдоль ач и Ь,„ то для каждого 2-симплекса а*,
который не содержит полюса, имеет место, как в п. 5.20, соотношение
J
Ф»* dz = 0.
Если же а3 содержит полюс Рц, то
Из этих соотношений суммированием по всем симплексам получаем
С другой стороны, если Лч, Вч и А*, В* означают соответственно
периоды ковариант о и ср*, то, как в п. 5.20,
Г
откуда следует, что
— ВХ) = 2та S с^Ф (Р^). E.10)
5.33. Перестановка аргумента и параметра. Пусть а и 6 — две
точки римановой поверхности R и <s(z)dz — дифференциал третьего
рода, регулярный вне а и b и имеющий там соответственно разло-
разложения
+
Соответствующий интеграл Ф будем считать нормированным так,
что действительные части его периодов равны нулю. Тогда действи-
действительная часть и (z; a, b) интеграла Ф есть однозначная функция на R,

I 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО РОДА 205
имеющая в а и в Ъ соответственно разложения
и — — \a\z— а|+... и « = ln|? —ft|-f-... .
Пусть zv z2— две точки на R; образуем разность
a(zv z.2; a, b)==u(z1; a, b) — u(z2; a, b).
Тогда, по определению,
«(*!, z2; a, b)-\-u(z2, z^, a, b) = 0.
Менее тривиально соотношение
a(zv z.2; a, b) — u(a, b; zv г2) E.11)
(перестановка аргумента и параметра).
Для доказательства рассмотрим триангуляцию поверхности R,
в которой гг, гя, a, b — внутренние точки 2-симплексов <зг, о2, о3% о4.
Пусть а — цепь, состоящая из всех 2-симплексов триангуляции,
исключая указанные четыре. Так как U(z) = u(z; zv z.2) и K(z) =
= иB", a, b) — две регулярные на а гармонические функции, то
f(UdV — VdU') = 0. E.12)
да.
С другой стороны, да — граница 2-цепи, образованной четырьмя
исключенными симплексами, поэтому
)—V(zJ. E.13)
Из E.12) и E.13) следует, что
т. е. соотношение E.11).
Из этого свойства симметрии заключаем, что u(zv г2; а, Ь)
является гармонической функцией и от а и Ь.
5.34. Дифференциалы высших порядков. Аналогичным образом
проходит построение абелевых дифференциалов с полюсами высшего
порядка. Снова достаточно построить нормальный дифференциал,
т. е. дифференциал, который имеет один полюс с разложением
ср = -jj- -\- регулярная функция (я^-3).
Это удается с помощью однозначной гармонической функции v,
. обладающей полюсом с сингулярной частью
i Существование такой функции было доказано в гл. IV.

206 ГЛ. V. ЗАМКНУТЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
Добавлением подходящего дифференциала первого рода можно
снова придать действительным частям периодов заданные значения.
Между дифференциалами высших порядков также имеют место
многочисленные соотношения, которые могут быть получены мето-
методами, подобными использованным в п. 5.32.
§ 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
б.Зб. Теорема Абеля. На вопрос о том, когда существует
рациональная функция (ср. п. 3.10) с заданными полюсами и
нулями, дает ответ знаменитая теорема Абеля, которую мы сейчас
докажем.
Пусть f(z) — рациональная функция порядка я на поверхности R
и Р^ ([а = 1, . . ., я), соответственно Q^ (j*= 1, . .., я), — ее нули,
соответственно полюсы, которые мы предполагаем простыми. Тогда
ydz = y-dz — абелев дифференциал третьего рода с вычетами, рав-
равными -|-1 в точках Рр и —1 в точках Q^. Если г1 — произвольный
1-цикл на R, не проходящий через точки Р^ и Q^, то
ср dz = A arg / (z) = 2mk {k — целое число).
г1
Обратно, пусть <sdz — дифференциал третьего рода с полюсами Р^
и ^ и вычетами, равными соответственно -f-1 и —1, у которого
все периоды (целочисленно) кратны 2vt. Тогда функция
f(z) = eJ
однозначна и регулярна на поверхности R с выколотыми точками Р^
и Q^ E1 = 1, . .., я) и может быть продолжена в точки Р^ и Q^
так, что там у нее будут соответственно нули и полюсы первого
порядка.
Следовательно, наш вопрос сведен к вопросу о существовании
абелева дифференциала третьего рода с заданными (простыми) полю-
полюсами, у которого все периоды кратны 2irf.
Если f*dz — такой дифференциал, то, в частности, его периоды
вдоль путей канонического базиса а„, #, (см. п. 5.10) имеют соответ-
соответственно вид 2vik4 и 2ir//v (&.,, I., — целые числа). Пусть ydz — про-
произвольный дифференциал первого рода и Ф(г) — интеграл Г ср dz,
однозначный на поверхности R с разрезами вдоль а., и Ь.,. Тогда,
в силу E.10),
I- E.14)

§ 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 20?
*; Следовательно, если на R существует дифференциал требуемого вида,
то для каждого дифференциала первого рода имеет место соотно-
соотношение E.14) с целочисленными А, и Z,1).
% 5.36. Обратно, справедливость соотношения E.14) для некоторой
;' системы целых чисел (&., /,) и всех интегралов Ф первого рода
. достаточна для существования дифференциала rs>*dz третьего рода
с заданными полюсами и периодами, кратными 2тЛ. Для доказатель-
доказательства предположим, что <s*dz — дифференциал третьего рода с полю-
; сами Pf и (J, и вычетами соответственно -f-1 и —1, нормированный
": так, что его периоды А., и В., (\ = 1, . . ., р) чисто мнимые. Нужно
показать, что эти периоды кратны 2к1: если это справедливо для
t периодов вдоль базисных циклов, то это справедливо и для периодов
вдоль каждого произвольного цикла.
Пусть vdz — произвольный дифференциал первого рода; тогда,
J в силу E.10),
С — ВХ) = 2*i 2 [Ф (/у — Ф №„)!
¦ и, по предположению,
*. с целыми числами kH и /v. Из этих соотношений вытекает, что
j4 - в а) = 2
Следовательно, если через д, и Ь^ обозначить действительные числа
А, соответственно yr Bv, то
У 2Hv(t Л) ,(< v)]
и, если перейти к действительной части,
г.- 2 [А, (р* — /У) — В\ {а\ — *.,)] = 0-
Гак как действительные части Ач и Д, можно задавать произвольно,
это соотношение при фиксированных Ь*, — А, и дч — А, должно
«меть место для всех Ач и В.,; поэтому b*H = 1-, и а., = ft-,, т. е.
|t = 2ml, и A* — 2-Rik,. Следовательно, периоды А*, и В*, кратны 2ш,
кто и требовалось доказать.
Заметим, что числа Ач и /., не зависят от выбора дифференциала <р dz.

208 ГЛ. V. ЗАМКНУТЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
6.37. Число Q = ^t(AJ4 — 5А,) есть период интеграла Г ср dz
вдоль цикла 2 = 2(ДЛ— f>4k4). Поэтому теорему Абеля можно фор-
ч
мулировать так:
Для существования рациональной функции с только про-
простыми нулями Р^ и полюсами Q^ необходимо и достаточно,
чтобы для каждого интеграла Ф первого рода выполнялось соот-
соотношение
где Q означает период соответствующего Ф дифференциала вдоль
подходящего \-цикла {не зависящего от выбора Ф).
5.38. Предыдущее условие выполняется для дифференциала ср dz
первого рода тогда и только тогда, когда оно выполняется для диф-
дифференциалов произвольного базиса пространства L. Если «^ ср?) —
такой базис, то предыдущее условие для него означает, что
2[Ф,(/у—ФЛ?,)]=^, (*=!,..., р),
и-
где Q.t—период tpvrfz вдоль некоторого 1-цикла 2 = 2(ap^P— bfkf).
Если у4„р и Вч? — матрицы периодов базисных дифференциалов cpv
вдоль канонической системы путей af, bf, то Qv = 2(^vp^p — B4fkf)
и условие означает тогда разрешимость в целых числах системы
S [ф, (*у—ф, (Q,)i = 2 (\h—я,л>
|Х р
относительно /гр и /р.
Мы покажем еще, что эта система, независимо от выбора точек
Рр и Q^, всегда имеет одно и только одно действительное реше-
решение (kp, /p). Следовательно, условие теоремы Абеля состоит в том,
что это вектор-решение должно иметь определенный вид, а именно,
быть целочисленным.
Чтобы доказать предыдущее утверждение, рассмотрим систему
2 OVp ~'B,Pkf) = с» E.15)
р
где cv — произвольные числа. Так как А„ и 1Ч должны быть дейст-
действительными, то переход к сопряженной системе дает
2OVP —5vp?p) —с*- E.16)
р
Соответствующая однородная система имеет только тривиальное ре-
решение kf = l? = 0, так как, согласно п. 5.22, базис % можно вы-

§ 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 209
брать так. что Л,р-f-Д,р = 28>р и B4f-\-B,f = 0, откуда, складывая
E.15) и E.16), находим, что /р = 0, тем самым, в силу того, что
\В.1р\ф0 и &р = 0. Следовательно, однородная система имеет только
тривиальное решение, и поэтому неоднородная — в точности одно
решение. Это решение (kp, /р), как видно сразу из формы уравне-
уравнений E.15), действительное. Этим показано, что система E.15) имеет
одно и только одно действительное решение, что и требовалось
доказать.
5.39. Если, в частности, применить наш результат к числовой
сфере, то из него следует, что для каждой системы Р„, (?„ полю-
полюсов и нулей существует рациональная функция, ибо единственная
абелева коварианта первого рода есть ср==О.
На поверхности тора (Р=1) пространство дифференциалов пер-
первого рода определяется одной ковариантой <р. Если в качестве ло-
локальных параметров допустить только те, которые получаются друг
из друга преобразованиями z-+ z-\-<av 2-> z-f-ю2, то <р=1, и тем
самым ее периодами являются Л = »1, 5 = ю2. Поэтому условие
существования рациональной функции совпадает с известным из тео-
теории эллиптических функций соотношением
2 = h, — &оа = ? [Ф (/>„) -
5.40. Замечание. Предыдущие свойства имеют также место при
наличии среди Р^ и Q^ кратных нулей и полюсов. Нужно только
в прежних доказательствах каждую точку Р^, Q^ брать столько
раз, какова ее кратность.
Мы не будем здесь вдаваться в дальнейшее исследование взаимо-
взаимосвязей, важных для существования рациональных функций (теорема
Римана — Роха и т. д.), и лишь сошлемся на литературу по этим
классическим проблемам: см., например, Аппель — Гурса [1*1, Фри-
ке —Клейн [1*1, Вейль [1*], Осгуд [Г]1).
Заметим здесь только, что для заданных точек bv ..., bn всегда
можно указать рациональную функцию, которая имеет полюсы самое
большее в этих точках, если только число п достаточно велико.
Для этого строим п абелевых интегралов Ф.„ каждый с одним по-
полюсом b,, (v = 1, .. ., и). Тогда
ф = S с-ф-
м = 1
есть (прежде всего многозначная) функция, которая в точке ?, имеет
полюс, если постоянная с, отлична от нуля. Если теперь а
!) См. также Н. Г. Неботарев [I**]. —Прим, перев,
14 Зак. 296. Р. Неванлинна

210 ГЛ. У. ЗАМКНУТЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
(р= 1 2р)—тбазис гомологии поверхности, то дифференциал ydz
имеет вдоль ар период
и эти периоды при п > 2р можно обратить в нуль с помощью не-
нетривиальной системы с,. Тогда соответствующий интеграл Ф будет
однозначной функцией, которая в некоторых из точек ft, (а именно,
в тех, где cv Ф 0) имеет полюсы, в то время как вне этих точек она
регулярна.
i 5. ИНТЕГРАЛЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
5.41. Гиперэллиптические поверхности. Для римановых поверх-
поверхностей, которые определяются с помощью алгебраического уравнения
F(z, яа) = О, теория абелевых интегралов может быть непосредст-
непосредственно построена алгебраическими методами. В качестве иллюстрации
к предшествующей общей теории приведем здесь некоторые основ-
основные положения классической теории интегралов алгебраических
функций. Сначала рассмотрим простейший случай гиперэллиптической
поверхности, определяемой уравнением
где Р — многочлен степени 2р-\-1 или 2р-\-2. Число р равно
роду поверхностей Rz и Rw, на которых однозначны соответственно
алгебраическая функция w = w(z) и ее обратная функция z = z(w).
В качестве базиса р- мерного линейного пространства абелевых
дифференциалов первого рода проще всего принять дифференциалы
ч = 0, 1, .... р~\).
w
Если в нулях многочлена Р ввести локально униформизирующие
параметры, то немедленно получается, что эти дифференциалы здесь
регулярны, и что то же справедливо также для тех точек поверх-
поверхности, которые расположены над точкой z = оо . Следовательно, эти
дифференциалы регулярны и однозначны на поверхности Rz; тем
самым они представляют абелевы дифференциалы первого рода.
Далее, они линейно независимы, следовательно, образуют базис, и
общее выражение абелгва интеграла первого рода на поверхности /jz
имеет вид
где Рр_! — произвольный многочлен степени не выше р—1.

§ 5. Интегралы алгебраических функций
Теперь мы образуем интеграл второго рода с полюсом в задай*
ной точке z = a, w = b поверхности Rz. За соответствующий диф-
дифференциал можно взять
st_ w (z) + w(a) + wr (a) (z — a) ,
aj —' (z-ayw az>
если 11>(а)Ф0. Если же го(д) = 0, то можно взять дифференциал
df= {z-a)w •
В точке z = oo, где w = YР — а^Р+1-{-axz*'+..., если степень Р
равна 2р-\-2, полагаем
w
а для степени 2р-\~ 1
Непосредственно убеждаемся в том, что эти дифференциалы одно-
однозначны и всюду регулярны, исключая точку z = a, w = b = w(a),
где они имеют полюс второго порядка с вычетом, равным нулю.
Следовательно, df—дифференциал второго порядка.
Элементарный интеграл третьего рода с полюсами (z = a,
•w=-w{a)), (z = b, w = w(b)) получается интегрированием диффе-
дифференциала
/ + K w + w(b)\dz
)
z — a z — b)wy
если полюсы лежат в конечной части плоскости и z = a, z = b не яв-
являются точками разветвления поверхности /?г. Если точки а и b обе
являются точками разветвления, то это выражение переходит в
Если положить а — оо, то
"¦J — (z — b)w
причем w = czp+1-{-... для z->oo, если степень Р равна 2р~{-2.
В частности, для а = оо, w = w (оо) = оо имеем
Для нечетной степени 2р-\-1 многочлена Р получаем, если вы-
выбрать z = а = оо,
': wf w + wjb) dz
i df== г-ь W

212 ГЛ. V. ЗАМКНУТЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
5.42. Общий случай F{z, w) = 0. Сначала мы докажем сле-
следующую теорему:
Каждая рациональная функция f(P) на замкнутой римановой
поверхности, определенной алгебраическим уравнением
F(z, та/) = 0,
является рациональной функцией от переменных г и w:
f(P) = R(z, w).
Доказательство. Пусть пи т — степени неприводимого
уравнения F = 0 соответственно по г и от. Если /(Р) — рациональ-
рациональная функция точки Р соответствующей замкнутой римановой поверх-
поверхности Rz, расположенной да-листно над г-плоскостью, то каждой
точке z, над которой не расположена ни одна точка разветвления
поверхности Rz, отвечает т ветвей Р = Я, (г) (ч = 1, .... т), и мы
полагаем
Пусть, с другой стороны, w = w.,(z) (v=l, ..., m) — ветви алге-
алгебраической функции w = w(z), определяемой уравнением /?=:0.
Образуем выражение
Ф*(*) = 2«?/, (* = 0 я—1).
V
Оно представляет собой однозначную аналитическую функцию от z,
и так как особенностями этой функции могут быть лишь полюсы,
то Фк—рациональная функция от г.
С другой стороны, рассмотрим многочлен F(z, w) и расположим
выражение
F(z, w) — F{z, и)
по степеням и:
w —
jp (z, w) — JF (zt u)
w — и
и
«i-i
k-0
й — многочлены относительно z и w. Для решения u--
уравнения F(z, и) — 0 находим, что
Л5^1=\АкB, w)wk,.
Совершая здесь предельный переход w -> w4, получаем
1И-1
fc=c
где 8 —символ Кронекера.

S 5. ИНТЕГРАЛЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 213
Умножая образованные выше функции Фд. на Ак и затем склады-
складывая их, получаем выражение
ФО, «0=2 Лк(г, т»)Фк(г),
к=о
рациональное относительно г и w. Для w = •©„ имеем
*¦ p.
Отсюда
следовательно, /(Р) — рациональная функция от г я w, что и тре-
требовалось доказать.
S.43. Та же самая теорема справедлива для абелевой ковари-
анты ср(Р) на поверхности Rz. В самом деле, о здесь однозначна,
далее, аналитична и, с точностью до полюсов, регулярна относи-
относительно локально униформизирующей переменной. В качестве таковой
можно принять либо саму переменную г, либо — в точке разветвления
z — a (\> — 1)-го порядка поверхности ?г — корень t—\ г — а. Если
ввести г в качестве единой переменной, то все предыдущие рассуж-
рассуждения применимы к функции, о от г, и получается, что <р — рацио-
рациональная функция от г и w.
5.44. Интегралы первого рода. Теперь нам нужно выяснить,
при каких условиях абелев дифференциал
<?(P)dz — R(z, w)dz
не имеет полюсов. Сначала мы ограничиваем рассмотрение следую-
следующими предположениями:
Г. F(z, w) = wm-\-Q1wm-1+ .. .-\-Qm,
причем степень Q4 не превосходит \.
Из этого условия вытекает, что w для конечных z остается
конечным, так что, следовательно, значения w = со соответствуют
точке z = оо.
2°. Особо предполагается, что над точкой г = оо не лежит ни
одна точка разветвления, так что здесь
t) (n=1 m). E.17)

214 ГЛ. У. ЗАМКНУТЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
С помощью заключений п. 5.42 находим для коварианты ф рацио-
рациональное выражение
Если предположить, что коварианта R(z, w) — первого рода, то
выражения
Ф*(*) = 2«?Л(*. «О
представляют собой многочлены относительно г. Действительно, вы-
выражение R(z, «>.,) регулярно для z Ф а^, оо, где а^ — нули Fw(z, vs.,).
Поэтому полюсами R(z, w) могут быть лишь точки z —ал, оо.
Для z = flj, это может иметь место только тогда, когда а^ — точка раз-
р^
ветвления поверхности Rx. Если t = y z — да — локально униформи-
зирующий параметр и R(z, «»,) имеет разложение
Riz,
то, в силу конечности R,
р —А —1>0, А<р
так что, следовательно,
(г — flj,) /? (г, wv) -*¦ 0 при г
Отсюда заключаем, что /? остается конечным и в точке г = а^.
Следовательно, рациональное выражение Фл(г) конечно для z Ф оо
и поэтому сводится к многочлену.
5.46. Степень Фк получается, если рассмотреть его поведение
при Z-+OO. Так как дифференциал Rdz, по предположению, — пер-
первого рода, то R(z, tt>v) при z-*oo необходимо стремится к нулю
и притом не медленнее, чем 1/z9. Так как, далее, Wv~c4z, w*~— c^z*,
то степень старшего члена разложения «>* R (z, wj в точке Z = оо
не превосходит k — 2.
Следовательно, многочлен Фк(г) имеет степень не выше k — 2.
Поэтому
Ф) Ф(H

S 5. ИНТЕГРАЛЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 215
Далее, Ak(z, w)=Q-)wm~k+1-{-Qiwm-><-*-\-.. ._f_Qm_fc_1 nAk~zm-k-1
при z-*co. Следовательно,
— многочлен, степень которого (определенная с учетом обеих пере-
переменных z и w) не превосходит т — 3.
Интеграл первого рода на поверхности F = О, который удо-
удовлетворяет условиям 1 и 2° я. 5.44, необходимо имеет вид
где 47 — многочлен, старший член которого имеет степень, не
превосходящую т — 3.
', 5.4S. Теперь поставим вопрос, является ли это необходимое усло-
-: вие для y==R(z, w) также и достаточным для того, чтобы инте-
интеграл E.18) был интегралом первого рода.
Оказывается, что:
1°. Интеграл E.18) регулярен в каждой конечной точке P(z Ф оо)
с возможными исключениями в критических точках, где
F=F, = FU) = 0. E.19)
Это утверждение очевидно, если Р не является точкой разветвления,
- так как тогда РКФО, 47 Ф оо, поскольку z и w оба конечны. Если
Р — обыкновенная точка разветвления, где, следовательно, F=FW=O,
, то многочлен W все еще остается регулярным. Далее,
Fzdz.-{-Fv,dw = 0,
1-й если перейти к w как локальному параметру, то найдем, что
\ отношения
dz dw
I w x
Кконечны. Следовательно, интеграл E.18) регулярен для конечных z,
^исключая, возможно, точки E.19).
2°. Если z = оо, то прежде всего для производной
Fw = mwm-1-lr(m—l)Q1wm-2-\- ...
олучается разложение
редовательно, при z = оо она имеет самое большее полюс порядка
\— 1.
Предположим теперь, что этот порядок равен т — 1, т. е. что
Ф 0. Это предположение можно свести к другому, более развер-
эму. Для этого запишем многочлен F в виде суммы однородных

216 гл. v: замкнутые римановы поверхности
многочленов Я, (г, w) степеней v:
F=*>H,(zt w).
v=rO
Пусть здесь старший многочлен есть
us
v=0
Если положить w — cz, то корнями уравнения
Нп (г, cz) = z™Hm (с) — г» 2 «т-^ = О
ч = 0
будут коэффициенты с1( ..., ст разложения E.17).
С другой стороны, имеем
F - \dJh
и старший член получается здесь из
дН.
ОТ
dw
4 = 1
когда учитывается разложение w — cz -|-/?( 1/z); тогда
так что
Следовательно, равенство нулю коэффициента А означает, что
среди коэффициентов с, имеются равные.
5.47. Итак, сделаем теперь следующее предположение:
3°. Коэффициенты с, в E.17) все различны.
Тогда Fw во всех лежащих над z = сю точках поверхности имеет
в точности (т—1)-кратный полюс.
Отсюда вытекает, что интеграл \ Rdz остается конечным и для
z = оо, так как подинтегральное выражение ^iFw имеет тогда в этой
точке нуль по крайней мере второго порядка.
Сделаем теперь еще одно предположение:

g 5. ИНТЕГРАЛЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 217
4°. На поверхности F = 0 нет конечных критических точек г,
где F = Fx — Fw = 0 •
Тогда из предыдущих рассмотрений вытекает, что функция E.18)
на всей поверхности Rz регулярна. Следовательно, она является ин-
интегралом первого рода.
5.48. Для определения числа линейно независимых интегралов E.18)
заметим, что многочлен ,
т-З
где W4 — однородный многочлен степени ч, содержит
и»—8
О
неопределенных постоянных (следовательно, коэффициентов членов
В предположениях 1°—4° число линейно независимых интегра-
интегралов первого рода на поверхности F = 0 равно
С другой стороны, по формуле Римана1), полная сумма порядков
точек разветвления поверхности равна
где р означает род поверхности. В точке разветвления Р (z0, Тод)
алгебраическая функция z{w) имеет разложение
так что
и так как F3(z(w0), та^фО, то
Следовательно, производная Fw имеет здесь нуль (г—1)-го порядка,
откуда вытекает, что полная сумма порядков ее нулей равна 2 (г— !)•
[) Для замкнутой поверхности Rz характеристика х = 2/> — 2 (см. п. 5.8);
подставляя в соотношение Римана — Гурвица X = 5Tt+2^ — 1) (СМ- П- 3-^),
получаем 2р — 2 — — 2т-\-^{к—\), или ^(к—\) = 2т-\-2р— 2 (фор-
(формула Римана). — Прим. перев.

218 ГЛ. V. ЗАМКНУТЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
Полное число ее полюсов (считаемых с их кратностью) также равно
2(г—1)! с другой стороны, этими полюсами являются точки, лежа-
лежащие над z ¦=¦ сю, и все они имеют порядок, в точности равный т — 1.
Отсюда следует, что
2(r— D = m(m— 1),
и из сравнения с формулой Римана получается, что
т \т — 1) = 2т-\- 2р— 2,
откуда
Qw-l)(/n-2)
р_ _ .
Тем самым, в согласии с общей теорией, мы установили, что
существует р и только р линейно независимых абелевых интегралов
первого рода.
Этот результат мы вывели в предположениях 1°—4°. Простыми
рассмотрениями, которые мы здесь проводить не будем, можно от
этих ограничений освободиться, так что предыдущий результат дей-
действительно имеет место в общем случае.
5.49. Конформно эквивалентные поверхности. Бирациональные
преобразования. Рассмотрим два алгебраических уравнения
F^z, w) = 0, F^z, -00 = 0
и определяемые ими римановы поверхности Rt и Rr Важный вопрос
заключается в том, при каких условиях эти поверхности конформно
эквивалентны. Для топологической эквивалентности поверхностей /?t
и R2 необходимым и достаточным условием является равенство их ха-
характеристик Xi и Х-2 (или, что то же, их родов рх и р.2). В простей-
простейшем случае р1=.р.3 = 0, когда обе поверхности — типа сферы, они
к тому же всегда и конформно эквивалентны. Если р1=р.3>0, то
это уже не так, каждый класс топологически эквивалентных поверх-
поверхностей распадается на ряд конформных классов (их даже бесконечно
много).
Допустим теперь, что поверхности Rt и #.3 конформно эквива-
эквивалентны, и пусть Pt<—> Р.3 — взаимно однозначное и конформное
соответствие между ними. Тем самым и между парами значений (zlt te^)
и (г.а, от3), соответствующих этим "точкам, устанавливается взаимно
однозначное соответствие. В самом деле, пусть zx — точка, над
которой поверхность Rt не имеет особенностей, и w^ — одно из соот-
соответствующих значений w. Тогда паре (zv wt) однозначно соответ-
соответствует некоторая точка Рх поверхности Rv последней же посред-
посредством заданного отображения сопоставляется вполне определенная
точка поверхности Rv тем самым и пара значений (г2, w.^, принад-
принадлежащая уравнению F8 = 0. Если, напротив, (zj, i»J) — одна из (имею-

S 5. ИНТЕГРАЛЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 219
щихся в конечном числе) критических пар значений поверхности Fx = О,
то, рассматривая вблизи нее регулярную пару значений (zv wt) и со-
совершая предельный переход zt -*¦ zj, wt -*¦ w^, находим пару значе-
значений (z\, таф поверхности F3 = 0, соответствующую заданной паре
(zv twj) поверхности Ft = 0.
Отображение Рг -> Р.2 определяет, следовательно, на поверхности
Ft = 0 две однозначные функции
Ч = Ч (zv «i). Щ = «а(«1» «i). E.20)
которые, очевидно, рациональны на /?t.
Так как в предыдущем заключении поверхности Rt и /?а равно-
равноправны, то 2Х и wt — рациональные функции от z.3 и w2 на поверх-
поверхности /?2:
z1 = z1(z.2, w.3), w1 = w1(z.2> w.2). E.21)
Отсюда следует, что конформное отображение Rx на Ra осуще-
осуществляется бирациональным преобразованием E.20), E.21). Согласно
результатам п. 5.42, эти функции зависят рационально от каждого
из своих аргументов, причем следует заметить, что рациональная
форма этих выражений достигается, вообще говоря, только при учете
заданных алгебраических соотношений F1 = 0, F2 = 0 J).
«Очевидно, что, обратно, бирациональное преобразование E.20),
E.21) определяет взаимно однозначное и конформное соответствие
между заданными поверхностями Fx = 0, F2 = 0.
; i) В отличие от так называемых кремоновых преобразований, к которым
; относятся, например, проективные преобразования
'где рациональная обратимость не связана с наличием алгебраической зави-
химости между (гь w{). Напротив, преобразование
je допускает рационального обращения без дополнительного соотношения
1ежду («(, Wj), например соотношения Az1-\-Bw1=\ (см. Аппель и
?урса [1*]). — Прим. перев.
I
k

Глава VI
ТЕОРЕМА РИМАНА ОБ ОТОБРАЖЕНИИ
Теорема Римана об отображении является основой всей теории
конформных отображений и униформизации. Мы даем здесь доказа-
доказательство этой фундаментальной теоремы, минимально использующее
топологические свойства римановой поверхности. Из гл. II исполь-
используются только первые два параграфа, в которых введено и рассмотрено
общее понятие римановой поверхности (§ 1), а также понятие группы
гомологии (§ 2). Частные свойства римановых поверхностей (триан-
(триангулируемость с помощью дифференцируемых симплексов и основан-
основанная на этом возможность применения общих интегральных теорем
теории функций) не предполагаются известными; напротив того, они
получаются как следствия из теоремы об отображении.
При такой общности основных понятий из теоретико-функциональ-
теоретико-функциональных средств мы сможем использовать прежде всего принцип макси-
максимума и минимума, позволивший нам уже в гл. IV провести с помощью
альтернирующего метода некоторые основные построения теории
потенциала.
... Приведенное ниже доказательство теоремы об отображении спра-
справедливо и для случая областей числовой плоскости. Таким образом,
мы не будем предполагать заранее известной теорему Римана для
этого частного случая.
§ 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
6.1. Постановка задачи. Пусть R— открытая или замкнутая
риманова поверхность, одномерная группа гомологии которой тривиальна
(гомологически односвязная поверхность). Теорема Римана утверждает,
что поверхность R, если она замкнута, всегда может быть топологи-
топологически и конформно отображена на числовую сферу (эллиптический
случай), в то время как для открытой поверхности R возможны два
случая: R может быть топологически и конформно отображена либо
на числовую плоскость (параболический случай), либо на внутренность
единичного круга (гиперболический случай)г).
1) Обычно теорему Римана об отображении формулируют не для „гомо-
„гомологически односвязной" поверхности, а для „гомотопически односвязной"
поверхности, т, е. для поверхности, фундаментальная группа которой три-

§ 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ 221
Эти три случая взаимно исключают друг друга. То, что эллипти-
эллиптический случай связан с компактностью R, ясно из топологических
соображений. Напротив, то, что для открытой поверхности возможны
два случая, „параболический" и „гиперболический", имеет причиной
метрические свойства поверхности. Эти два случая также несовместны,
ибо если бы некоторую риманову поверхность можно было конформно
отобразить как на числовую плоскость, так и на внутренность еди-
единичного круга, то эти области были бы конформно эквивалентны,
что невозможно, как это известно из элементарной теории функций
(теорема Лиувилля). Следовательно, открытые гомологически одно-
связные римановы поверхности распадаются по конформной эквива-
эквивалентности на два класса, в то время как замкнутые односвязные
поверхности образуют один-единственный класс.
В дальнейшем нам нужно исследовать только случай открытых
поверхностей; для замкнутых поверхностей теорема об отображении
была уже доказана в § 5 гл. IV.
6.2. Из теоремы Римана об отображении следует, в частности,
что все гомологически односвязные области О г-сферы, имеющие
не менее двух граничных точек, конформно эквивалентны; все они
гиперболического типа.
Следуя Кёбе, можно в этом убедиться следующим образом.
С помощью линейного преобразования можно сделать так, чтобы
указанными двумя граничными точками были z = О и z = оо и
чтобы точка z = 1 принадлежала О.
Тогда, по принципу аргумента, та из ветвей функции
в области [G, которая определена условием ]/z = -\-l для z=\,
однозначна и, как сразу видно, ограничена. Если бы область О была
конформно эквивалентна числовой плоскости t ф со, то га была бы
ограниченной непостоянной функцией от t, что невозможно. Следова-
Следовательно, О — гиперболического типа.
6.3. Совокупность всех нормальных отображений. Предполагая
справедливой теорему Римана об отображении, легко указать сово-
совокупность всех конформных отображений односвязной поверхности на
одну из рассмотренных выше нормальных областей (замкнутая плоскость
[га|.<со, открытая плоскость |га|<со, единичный круг |га|<1).
\ Если поверхность R — эллиптическая, то конформное отображение
на га-сферу определено с точностью до конформного отображения
нальна; вторая формулировка следует из первой, согласно п. 2.36. То, что
бе формулировки равносильны, вытекает из теоремы об отображении, так
Как для нормальных областей (сфера, числовая плоскость, круг) эта равно-
равносильность очевидна.

222 ГЛ. VI. ТЕОРЕМА РИМАНА ОВ ОТОБРАЖЕНИЙ
сферы на себя. Самое общее такое отображение осуществляется с
помощью дробно-линейного преобразования
«^¦йППГ (°*-ьсфо) F.1)
(ср. § 1 гл. VII).
Если поверхность R — параболического типа, то конформное ото-
отображение на плоскость w определено с точностью до конформного
отображения открытой та-плоскости на себя, следовательно, с точно-
точностью до целого линейного преобразования (преобразования подобия)
w* = aw-\-b.
В гиперболическом случае конформное отображение на единичный
круг | w | < 1 определено с точностью до конформного отображения
этого круга на себя. Такое отображение снова является линей-
линейным. Действительно, если там—-*гт* — отображение круга |те>|<1
на себя и а*—образ точки а (|с|<1, |а*|<1), то с помощью
линейных преобразований Г и Г*, оставляющих этот круг инвариант-
инвариантным, можно сие* соответственно перевести в нулевую точку. Тогда
функция Т*[W*(w)\jT(w) для |гг/|<1 отлична от нуля, регулярна
и на окружности | w | = 1 по абсолютному значению равна 1. Сле-
Следовательно, по принципу максимума и минимума, она — постоянная,
т. е. w*(w) — линейная функция от w.
§ 2. ФУНКЦИЯ ГРИНА ОТКРЫТОЙ ПОВЕРХНОСТИ
6.4. Функция Грина круговой области. Пусть R — произволь-
произвольная открытая (не обязательно односвязная) риманова поверхность
и В— круговая область на R в смысле определения п. 4.15, следо-
следовательно, (связное) соединение конечного числа „кругов" или „круго-
„круговых колец".
Пусть z — С — произвольная внутренняя точка области В (в даль-
дальнейшем z означает произвольный фиксированный локальный параметр
в окрестности Q. Тогда в В, согласно § 4 гл. IV, существует функ-
функция G(z, С) со следующими свойствами:
1. G(z, С) внутри В однозначна и гармонична, исключая г = С,
где
2. О непрерывна в В для z Ф С и равна нулю на границе
области В 2).
1) [{г — С)] = a(z —0+••!• — Прим. перев.
2) Согласно гл. IV, нельзя, собственно говоря, сделать заключение об этом
свойстве на всей границе f; а priori может случиться, что в конечном числе
точек р функция и не обращается в нуль, а остается лишь ограниченной

§ 2. ФУНКЦИЯ ГРИНА ОТКРЫТОЙ ПОВЕРХНОСТИ 223
Из принципа минимума следует, что О (г, С) однозначно опреде-
определяется этими условиями и, далее, что О (г, С) >0 внутри В.
Постоянная f называется постоянной Робэна области В относи-
относительно точки С, а с = е~1 называется емкостной постоянной. Она
имеет ковариантный характер.
6.5, Функция Грина открытой поверхности. Пусть теперь R —
произвольная риманова поверхность и г = С — точка на R. Чтобы
определить функцию Грина поверхности R, мы исчерпываем R моно-
монотонной последовательностью круговых областей
Bt с В2 с ... сВп с ... (Вп->R),
что возможно в силу аксиомы счетности. Пусть Вг уже содержит
точку С, и пусть (Зп — граница Вп.
Пусть, далее,
Gn(z, С) = 1птг1_г + т1|+[(г-СI
— функция Грина области Вп. Разность Оп — От (п > т) регулярна
в Вм и неотрицательна на J3m. Следовательно, по принципу минимума,
для каждого п > т
я,(г, С)
в Вт; в частности, при г"-* С отсюда вытекает, что
Следовательно, существует предельное значение
Urn fn = Tf < оо.
П->оо
Число с = e-t > 0 называется емкостной постоянной поверхно-
поверхности R относительно точки С.
6.6. Поверхности с положительной емкостной постоянной.
Предположим, что величина f конечна, следовательно, с > 0. Тогда,
по принципу Харнака, последовательность Qn(z, Q сходится к пре-
предельной функции О (z, Q, обладающей следующими свойствами:
1. Q(z, С) однозначна и гармонична на R, исключая г = С, где
О (z, C) = In-i—Vr + T + K* —С)Ь
их окрестности. Мы не будем здесь вдаваться в этот вопрос. Все после-
|ующие рассуждения проходят и в том случае, когда имеется конечное число
;аких исключительных точек. В самом деле, нам придется опираться лишь на
Принцип максимума и минимума, он же, согласно § 4 гл. III, применим и
[огда, когда имеется конечное число граничных точек указанного рода.
I

224 ГЛ. VI. ТЕОРЕМА РИМАНА ОБ ОТОБРАЖЕНИИ
2. О (г, С)>0 на R.
G(z, С) называется функцией Грина поверхности R.
6.7. Минимальное свойство функции Грина. В общем случае,
однако, уже не выполняется соотношение G(zn, ?.)-*¦ О для любой
бесконечной последовательности точек zn, не имеющей точки сгуще-
сгущения на R *).
Поэтому вместо равенства нулю на границе в качестве характер-
характерного свойства функции Грина открытой поверхности выступает мини-
минимальное свойство функции Грина, которое нужно теперь доказать.
Минимальное свойство. Пусть U(z, С) — произвольная
положительная функция на R, гармоническая при z =? С, а при
z — Z. имеющая вид
U {z, ?) = 1п-——=у -j-регулярная функция.
Тогда
G{z, ',)<?/(*, Q.
Если в некоторой точке z Ф С имеет место равенство, то оно
справедливо тождественно.
Доказательство. Пусть z — аф"*. — произвольная точка R,
и пусть и настолько велико, что а?Вп. На Cn U(z, С) — Gn(z, С) >0,
поэтому, по принципу минимума, то же самое должно иметь место
в Вп. Отсюда вытекает, что Gn(a, C)< U(a, С); следовательно, и
G(a,r)= \imGn(a, С)<У(а, I).
П-»оо
Поэтому разность U — О неотрицательна. Если она принимает мини-
минимальное значение, равное нулю, в некоторой точке г, то оно тожде-
тождественно равна нулю, и тем самым теорема доказана.
Из минимального свойства вытекает, в частности, что функция
Грина О (z. С) = lim Gn(z, С) не зависит от способа исчерпания поверх-
поверхности R круговыми областями.
Далее, функция Грина поверхности R', лежащей на R, не пре-
превосходит функции Грина поверхности R.
Дополнение. Предыдущая теорема справедлива a fortiori для
каждой положительной гармонической функции U(z, С), которая
1) Не имеет никакого смысла говорить о границе открытой поверхности R
не расположенной на компактной части другой поверхности, ибо она не имеет
никакого „действительного представления". Поэтому мы говорим только об
„идеальной границе" поверхности.
Для односвязной гиперболической поверхности функция G (г, ?) на иде-,
альной границе обращается в нуль. Это получается, однако, лишь как след-
следствие из теоремы Римана об отображении. Для области, принадлежащей
.числовой плоскости, это следует (без теоремы Римана об отображении) из
л. 6.10.

i 2. функций грина открытой поверхности 225
в точке z = С имеет указанный выше положительный логарифмический
полюс и, кроме того, имеет произвольное множество (С) особых то-
точек, таких, что U —»--f-oo при z -*¦ С. Это дополнение получается
повторением предыдущего рассуждения, причем R нужно заменить
поверхностью R — (С*).
6.8. Критерий существования функции Грииа. Из этого до-
дополнения получается следующий критерий существования функции
Грина поверхности R:
Если на R существует положительная гармоническая функция
U(z, С), имеющая для z = C разложение
U(z, Q —ln-j—;—р-г -f-регулярная функция
и при гфЪ имеющая только такие особенности С*, чтоlim U = -|-со
при z -*¦ С, то существует функция Грина G{z, С).
В самом деле, если U — такая функция, то по принципу мини*
;мума, примененному к области Вп, в каждой точке z ф С, С*
Оп(г, C)<t/(*, С).
..Поэтому предельное значение О {z, ?) = lim On конечно, т. е. функция
Грина О (z, С) существует.
' В частности, отсюда следует, что каждая риманова поверхность R,
Ш которой существует непостоянная ограниченная регулярная анали-
аналитическая функция f(z), обладает функцией Грина О (г, С) для всех
точек С. В самом деле, если |/|<Ж, то гармоническая функция
удовлетворяет предыдущим условиям для каждой точки С, где
(^(Q^O. Если же / имеет в С нуль («—1)-го порядка, то заме-
ием U на — U.
п
Если, в частности, R — ограниченная область числовой плоскости>
можно за / принять функцию / = г. Следовательно, каждая огра-
ченная область плоскости z имеет функцию Грина.
6.9. Функции Грина конформно эквивалентных поверхностей.
рсть R и R — две открытые римановы поверхности и /—однознач-
конформное отображение R -> R. Если тогда R для некоторой
|Ики С обладает функцией Грина О (z, С), то существует и функция
|>ина G(z, Z) поверхности /? для каждого прообраза С точки С.
Для доказательства рассмотрим на R функцию ¦
Зак. 295. Р. Неванлннна

1226 ГЛ. VI. ТЕОРЕМА РЙМАНА 6В ОТОБРАЖЕНИИ
она однозначна и положительна, так как имеет то же самое мно-
множество значений, что и О (z, С). В каждом прообразе С ?R
точки С имеет место разложение
U(z, С) = In —=-—-=г- + регулярная функция = In +
\j\z) — j\s)\ \z — 11
Вследствие этого функция U удовлетворяет предположениям п. 6.8,
и поэтому существует функция Грина G(z, С), что и требовалось
доказать.
В частности, отсюда следует, что каждая неразветвленная поверх-
поверхность наложения поверхности R обладает функцией Грина для любой
из точек, расположенных над точкой С.
Если к тому же отображение R -> R взаимно однозначно, следо-
следовательно, поверхности R и R конформно эквивалентны, то U(z, С)
есть функция Грина поверхности R для точки С*.
Действительно, пусть С — прообраз С на R. Тогда, как было
показано выше, существует функция Грина 8 {г, X) и
0A Q<tf(*. Z)~O{f(z), /?))•
Так как теперь R и R равноправны, то для обратного отображения
справедливо неравенство
или, что то же,
О(/D /Ю)<О(г, С).
Следовательно,
что и требовалось доказать.
Связь между емкостями с = e~i и с = е~Т поверхностей R и R
может быть указана явно. По определению емкости, имеем
О (г. Q^ln^l
и, по построению функции О,
ПОЭТОМУ

8 2. ФУНКЦИЯ ГРИНА ОТКРЫТОЙ ПОВЕРХНОСТИ 227
и для емкостных постоянных сие имеем *)
c = c\f'&\=c
6.10. Поведение на идеальной границе. Как уже было отмечено,
при приближении к идеальной границе поверхности R функция Грина,
вообще говоря, не обращается в нуль всюду без исключений. Напри-
Например, для круга |г|< 1 с выколотой точкой z = a @< |а|< 1) эта
функция (для С = 0) совпадает с соответствующей функцией .Грина
О (z, 0) = In -—- всего круга, что легко вытекает из минимального
Iz I
свойства п. 6.7. Следовательно, О не стремится к нулю при z -> a.
Для дальнейшего важно то, что функция Грина обязательно равна
нулю на границе R, если R — односвязная ограниченная область Rz
числовой плоскости.
При доказательстве этого можно предположить, что Rz лежит
в круге |z|< 1 и что граничная точка z = а, относительно которой
нужно доказать, что в ней функция Грина равна нулю, совпадает
с нулевой точкой z = 0, так как такого расположения всегда можно
добиться линейным преобразованием плоскости z.
Отобразим тогда область R2 с помощью функции га = и -\-1v =
= \nz в га-плоскость. В силу односвязности Rz, это отображение
может быть однозначно нормировано; оно тогда взаимно однозначно
и образ Rw области Rz лежит в полуплоскости и < 0. Согласно п. 6.9
функции Грина конформно эквивалентных поверхностей Rz и Rw,
связаны тождеством
Gz (z, Zn) = Gw (га, га0),
где г, га и z0, w0 — соответствующие друг другу точки. С другой сто-
стороны, согласно п. 6.7, функция Qw мажорируется функцией Грина Qw
полуплоскости и < 0, откуда следует, что
W — Wo
0<Gz(z, zo)<G*0h/, wq) = — In
w-\-w0
Если z -*¦ 0, то и -*¦ —oo, поэтому О* ->• 0, следовательно, и
Gg(z, z0) -*- 0, что и требовалось доказать.
Из этой теоремы вытекает, что функции Грина Ot и О2 двух
областей R± и R2 (R2 с #t) числовой плоскости, из которых #2
односвязна, не могут совпадать, если R2 — правильная часть Rv
В самом деле, тогда существует граничная точка а области /?2>
лежащая внутри /?х; по предыдущему, там О2 -> 0, в то время как
Gx > 0, откуда и следует утверждение.
1) Ср. с указанием в п. 6.4 на ковариантный характер емкостной постоян-
постоянной. — Прим. перев.
i 15*

228 ГЛ. VI. ТЕОРЕМА РИМАНА ОБ ОТОБРАЖЕНИИ
§ 3. ОДНОСВЯЗНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
6.11. Выражение искомой отображающей функции. Пусть
R— поверхность, конформно эквивалентная единичному кругу, и
w = F(z, С)—аналитическая функция, которая отображает R топо-
топологически и конформно на единичный круг Е (|w|<l) так, что
точка z = С переходит в нулевую точку w = 0. Так как единичный
круг обладает функцией Грина О (w, 0) с полюсом w — 0, то, со-
согласно п. 6.9, поверхность R обладает функцией Грина" О (г, С)
с полюсом z = С, причем
О (г, C) = O(w, O) = ln7lj-,
где z и w — точки, соответствующие друг другу при. отображении
# -* ?.
Поэтому для сопряженной к O(z, С) гармонической функции О'
имеем
О' (z, С) =
Следовательно, многозначности О' определяются периодами вида
(« — целое число).
Из этих соотношений вытекает, что отображающая функция имеет
вид
w(z, C) = e-ff-iGF'. F.2)
Следовательно, если поверхность R может быть конформно ото-
отображена на единичный круг |w|<l, то отображающая функция
имеет вид F.2). Теперь мы, обратно, покажем, что эта функция
действительно осуществляет топологическое и конформное отобра-
отображение R на единичный круг Е, если только поверхность R (гомоло-
(гомологически) односвязна и обладает конечной функцией Грина.
6.12. Пусть R — гомологически односвязная поверхность, обладаю-
обладающая для заданной точки С функцией Грина
О {г, Q^ln-j^pH + K* —9Ь
Сопряженная гармоническая функция О' при обходе вокруг точки
z = C имеет период 2х и в остальном однозначна. В самом деле,
О' определена, с точностью до аддитивной постоянной интегрирова-
интегрирования, как мнимая часть интеграла от коварианты
<? = GX — Юу,
которая в точке z = C имеет полюс с вычетом, равным —1, и в
остальном регулярна. Отсюда утверждение следует по теореме о выче-
вычетах, которая, в силу (гомологической) односвязности R, применима к
каждому замкнутому пути интегрирования.

§ 3. ОДНОСВЯЗНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 229
Теперь мы образуем аналитическую функцию
w(z, Q = e-a-ia'. ' F.3)
Она на R однозначна и регулярна всюду, включая полюс z = С
функции О, где она равна нулю и имеет разложение
здесь с = e~'i при подходящем выборе постоянной интегрирования.
Так как О > О, то для абсолютного значения | w | имеем
\w(z, C)| = e-G<l.
6.13. Функция w = w(z, С) осуществляет однозначное отображе-
отображение R в круг | w | < 1. Точка z = С — ее единственный нуль, и здесь
имеет место разложение
Замечание. Таким образом, мы построили на R однозначную
ограниченную аналитическую функцию w. .Из п. 6.8 следует, что
R обладает функцией Грина для каждой, точки С.
Теперь мы покажем, что это отображение взаимно однозначно1);
отсюда будет следовать, согласно п. 2.42, что оно топологиче-
топологическое. Пусть z = a и z = b — две различные точки поверхности R,
O(z, а) и O(z, b) — соответствующие функции Грина и w(z, a),
w(z, b) — соответствующие функции F.3). Тогда функция
w(z; а, Ь) — ' ———— F-4)
1 — о» (я, b) w {г, Ь)
via R по абсолютному значению < 1 и обращается в нуль при z = а
(Л-кратно). Поэтому гармоническая функция —-у In | w (z; a, b) \ =э U (г)
удовлетворяет обобщенным условиям дополнения п. 6.7, и так как
А^-1, то по минимальному свойству функции Грина,
— \n\w(z; a, b)\~^G(z, a)zs — ln\w(z, a)\,
откуда
w(z; a, b)
w(z, a)
F-5)
причем равенство для некоторого значения z может иметь место только
тогда, когда оно выполняется тождественно, следовательно, когда
\w(z; a, b)\ = \w(z, c)|. F.6)
Но для одного значения г, а именно для z — b, равенство дей-
действительно имеет место. Для доказательства этого подставим значение
*) Относительно идеи нижеследующего доказательства см. Хейнс [1].

230 ГЛ. VI. ТЕОРЕМА РИМАНА ОБ ОТОБРАЖЕНИИ
z = b в F.4) и F.5); тогда, учитывая, что w(b, b) = 0, получаем
)w(b; a, b)\ = \w(a, b)\^\w(b, a)\.
Так как точки а и b равноправны, то их можно поменять здесь
местами, что приводит к неравенству
\w(b, о)|<|©(с, Ь)\.
Итак,
\w(a, b)\ = \w(b, a)\ (^ 0),
и, следовательно, отношение F.5) достигает в точке z — b максимума,
равного 1. Этим тождество F.6) доказано.
Из него следует взаимная однозначность рассматриваемого ото-
отображения w = w(z, С). В самом деле, так как, в силу определе-
определения F.3), w(z, а)фО для z ф а, то, в силу F.6),
w(z, а, Ь)Ф0 для z Ф а,
или, ввиду F.4),
w(z, Ь)ф1&(а, Ь) для z Ф а.
Но это и означает взаимную однозначность отображения w = w(z, (.)
для b = Z.
6.14. Остается, наконец, показать, что w = w(z, С) отображает
поверхность R на весь круг | w | < 1.
Для доказательства заметим, что функция Грина Gw(w, 0) образа Rw
поверхности R равна функции Грина О (z, Q = In ¦.—-.—^(см. п. 6.9):
Gw(w, 0) = 1Пг^.
Следовательно, область Rw, которая, как топологический образ R,
односвязна, имеет ту же функцию Грина, что и мажорирующий еди-
единичный круг |и>|<1. Согласно п. 6.10, Rw должна тогда сплошь
заполнять этот круг, что и требовалось доказать.
Этим доказано, что функция w = w(z, С) отображает поверх-
поверхность R топологически и конформно на единичный круг \ w \ < 1.
6.15. Приложение к подобластям плоскости. Доказав теорему
Римана об отображении для гиперболического случая, мы тем самым
полностью обосновали ее для каждой односвязной области z-сферы.
В самом деле, если О — вся сфера или сфера с одной выколотой
точкой, то она уже имеет нормальную форму (эллиптический, соот-
соответственно параболический случай).
Если, напротив, О имеет по крайней мере две граничные точки,
то на О существует, согласно п. 6.2, однозначная ограниченная анали-

S 3. ОДНОСВЯЗНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 231
тическая функция w(z). Поэтому, согласно п. 6.8, О имеет функ-
функцию Грина и, следовательно,.может быть топологически и конформно
отображена на единичный круг.
6.16. Критика доказательства существования. Чтобы облегчить
понимание взаимосвязей, пожалуй, не очень легко обозримых, между
тополого-метрическим определением римановой поверхности и теоре-
теоретико-функциональными принципами, необходимыми для доказательства
теоремы Римана об отображении, сделаем еще несколько замечаний
о проведенном выше доказательстве и его отношении к прежним
доказательствам.
Прежде всего, что касается понятия римановой поверхности, то
предыдущее доказательство применимо при общем определении Вейля—
Радо, по которому такая поверхность есть двумерное многообразие
с конформными соотношениями соседства (п. 2.23).
Триангулируемость римановой поверхности при доказательстве
совершенно не была использована, более того, это свойство каждой
римановой поверхности R мы получим в дальнейшем как следствие
из теоремы об отображении.
В том виде, в котором доказательство было изложено выше, оно
опиралось на аксиому счетности. Она была доказана в § 3 гл. IV
для каждой римановой поверхности, без применения теоремы Римана
об отображении или теории униформизации.
Теоретико-функциональные вспомогательные средства, которыми
нам пришлось воспользоваться, были достаточно простыми. Нужно
было только с помощью альтернирующего метода Шварца решить
краевую задачу для „круговых областей". Это было сделано в гл. IV
с помощью следующих простых вспомогательных средств: 1) реше-
решения первой краевой задачи теории потенциала для круга с помощью
интеграла Пуассона; 2) применения обобщенных принципов максимума
и минимума (гл. III, § 4). При этом существенно было то, что схо-
сходимость альтернирующего метода в случае ограниченных решений
без особенностей получалась из монотонности аппроксимирующих
решений. Первоначальное доказательство сходимости Шварца [1],
которое можно найти в большинстве учебников по теории функций
(см., например, Курант [1*]), опирается, как известно, на лемму,
делающую возможной мажорирование сходящимся рядом геометриче-
геометрической прогрессии. При общности настоящей задачи представляет суще-
существенное преимущество то, что эта лемма становится излишней при
построении ограниченных не имеющих особенностей решений краевой
задачи (ср. гл. IV, § 1). Напротив, метод Шварца для получения
решений с заданными особенностями непосредственно применим при
тех общих предположениях, которые лежат в основе нашей проблемы
(ср. гл. IV, § 4).
Общность наших предположений, очевидно, принципиально исклю-
исключает, применение интегральных теорем, основанных на возможности

232 ГЛ. VI. ТЕОРЕМА РИМАНА ОБ ОТОБРАЖЕНИИ
триангуляции, и прежде всего принципа аргумента', этот принцип
в прежних доказательствах теоремы Римана об отображении играл
решающую роль в доказательстве однолистности отображающей
функции. В предыдущем доказательстве в качестве заменителя прин-
принципа аргумента был использован принцип максимума (см. Хейнс [1]).
Наконец, нужно сказать еще следующее о том, каким образом
при доказательстве было использовано предположение об односвяз-
односвязности поверхности: для проведения доказательства на базе заданных
основных понятий существенным было то, что при исчерпании одно-
связной поверхности можно было обойтись произвольными круговыми
областями, независимо от того, односвязны эти области или нет.
Топологическая же теорема, по которой открытая односвязная поверх-
поверхность исчерпаема односвязными компактными подобластями, требует —
даже в предположении триангулируемости — не совсем простого дока-
доказательства х). Как уже упоминалось, здесь эта топологическая теорема
совершенно не использовалась (даже не предполагалась триангули-
триангулируемость R). Более того, эта топологическая теорема следует из пре-
предыдущего доказательства, пока, однако, только для односвязных
поверхностей, обладающих функцией Грина.
§ 4. ПАРАБОЛИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ
Теперь нужно показать, что (гомологически) односвязная открытая
риманова поверхность R, не обладающая конечной функцией Грина,
конформно эквивалентна открытой числовой плоскости w ф со. Для
этого мы предварительно докажем некоторые леммы, имеющие боль-
большое значение и для более общих вопросов теории открытых (не обя-
обязательно односвязных) поверхностей (ср. гл. X).
6.17. Гармоническая мера идеальной границы. Пусть R— произ-
произвольная открытая риманова поверхность (следовательно, о группе
гомологии поверхности пока никаких предположений не делается).
Пусть U — параметрическая окрестность и К {rx <^ | z | ^ г) — круговое
кольцо в U. Рассмотрим поверхность R±=zR— Bv где Вх означает
круг | z | ^ rv и последовательность
круговых областей на Rv которые исчерпывают эту поверхность;
граница области Ап состоит из кривой a(|z| = rj) и некоторой не
пересекающейся с ней части Гп2).
Построим гармоническую меру <ora(z) этой части Гп относи-
относительно области Ап, т. е. однозначную гармоническую функцию
!) В том строгом доказательстве, которое дал Ван-дер-Варден [1], дока-
доказательство возможности такого исчерпания занимает важное место.
2) Лп -*¦ /?j -\- а. — Прим. перев.

§ 4. ПАРАБОЛИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ 233
на Ап, которая равна 1 на Г„ и 0 на а. Из принципа максимума
вытекает, что последовательность а>„ с возрастанием п монотонно
убывает. По принципу Харнака, существует предельное значение
Нт<а„ = «
на Rv Функция <a(z) гармонична и удовлетворяет неравенству
0<!<о(.г)< 1; при этом ш = 0 на а. Следовательно, возможны два
случая: либо а>=зО на Rlt либо о> на Rt отлична от постоянной и
тогда 0 < о < 1. Это различие не зависит от выбора исчерпывающей
последовательности Ап (см. п. 6.18).
В первом случае мы говорим, что идеальная граница Г поверх-
поверхности /?х — гармонической меры нуль; во втором случае, —что гар-
гармоническая мера w(z) идеальной границы Г положительна.
6.18. Гармоническая мера и функция Грина. Теперь мы пока-
покажем, что если идеальная граница Г открытой поверхности Rt = R — Bt
имеет положительную гармоническую меру, то поверхность R обла-
обладает функцией Грина.
Итак, предположим, что построенная в п. 6.17 гармоническая
мера о (z) — lim wn (г) идеальной границы Г относительно Rt (при
некотором заданном выборе круга 5Х) положительна, и докажем,
что из этого предположения вытекает существование функции Грина
поверхности R.
В самом деле, для построения функции Грина можно тогда при-
применить метод Шварца § 4 гл. IV в точности так, как для компактных
подобластей с краем, причем в качестве „сингулярной части" и0 мы
примем
и0 = — In | z .
6.19. Для того, чтобы в этом убедиться, мы должны несколько
подробнее остановиться на двух основных моментах построения § 4
гл. IV.
1°. Построение нормированного решения первой краевой задачи
для поверхности Rv Для рассмотренного в п. 4.25 случая компакт-
компактной части заданной римановой поверхности, ограниченной а и ч, нор-
нормировка состояла в требовании, чтобы подлежащая построению гар-
гармоническая функция и, принимающая на а произвольно заданные
непрерывные граничные значения, на граничной части ч равнялась
нулю. В настоящем случае, когда граничная часть f = Г не имеет
никакого действительного представления, соответственно нормирован-
нормированное решение строится путем предельного перехода. Для этого
поверхность Rt снова исчерпывают круговыми областями Ап и решают
краевую задачу для компактных областей Ап с произвольно за-
заданными непрерывными значениями f{z) на а и значением нуль
на IV Тогда при п -*¦ со в качестве предела этого нормированного

234 ГЛ. VI. ТЕОРЕМА РИМАНА ОБ ОТОБРАЖЕНИИ
решения ип получают гармоническую функцию и 1), которая на Rx
однозначна, гармонична и принимает на а граничные значения /; и
называется нормированным решением в Rv соответствующим этим
граничным значениям.
2°. Оценка абсолютного значения нормированного решения.
Выражение МA-—в>я), где
М = max |/(*)|,
является, очевидно, мажорантой для \ип\. Отсюда при п-*-оо сле-
следует, что
|и|<МA— ю).
Пусть
q = max(l — ю);
г,
тогда 0 < q < 1 и
\
на Гг Следовательно, справедливо неравенство, аналогичное неравен-
неравенству (имевшему важное значение для доказательства сходимости метода
Шварца), которое было использовано в § 4 гл. IV2).
6.20. Теперь можно непосредственно применить метод § 4 гл. IV.
Принимая за сингулярную часть и0 = In -.— , мы придем к непостоян-
непостоянной функции и, которая на всей поверхности R однозначна, положи-
положительна и гармонична, исключая (положительный) логарифмический
полюс в точке Р, соответствующей значению параметра z = 0. Согласно
критерию п. 6.8, из существования такой функции на R следует,
что R обладает функцией Грина.
Итак, для поверхности с нулевой емкостной постоянной гармони-
гармоническая мера идеальной границы Г относительно R1 = R — Вх должна
равняться нулю 8).
6.21. Обобщение принципа максимума. Рассмотрим случай,
когда Г имеет гармоническую меру нуль, и докажем следующее
обобщение принципа максимума:
!) Если граничные значения /(г) функции ип на а неотрицательны, то
аппроксимирующие функции ип образуют монотонную ограниченную после-
последовательность и доказательство сходимости ведется с помощью принципа
Харнака. Если / меняет знак, то представляем / в виде разности двух неотри-
неотрицательных функций с помощью соотношения /= -~ [ |/| +/] — -к [ |/| — /]•
2) Имеется в виду неравенство |ип+1—«n|<gAfn на р п. 4.27. — Прим.
перев.
8) Справедливо и обратное (см. п. 10.12). — Прим. перев.

8 4. ПАРАБОЛИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ 235
Пусть u(z) — однозначная, регулярная и ограниченная (и<[
^ М < оо) гармоническая функция на поверхности Rlt и пусть
lim и (z) ^ m
в каждой граничной точке на а. Тогда на всей поверхности Rx
выполняется соотношение
Доказательство. В области Ап выражение
образует гармоническую мажоранту для а(г). Если при фиксирован-
фиксированном г мы совершим предельный переход п -> оо, то, в силу юп ->0,
получим требуемое неравенство.
6.22. При тех же предположениях относительно Г докажем сле-
следующую лемму:
Пусть и (г) — однозначная, регулярная и ограниченная с обеих
сторон (| и | < М < оо) гармоническая функция на Rv Тогда на
окружности р (| г \ = г) для сопряженного дифференциала du'
справедливо соотношение
' du' = 0.
Доказательство. Рассмотрим для заданного /и!>1 последо-
последовательность КсАхс ... сЛтс ... (см. п. 6.17); ориентацию границы
области Лч выберем так, чтобы область лежала „слева". Так как
каждая область Л„(^ = 2 т) получается изЛч_1 присоединением
конечного числа „кругов", то из леммы п. 4.36 следует, что граница
области Л„ гомологична на Лч границе области A^_v Тем самым и
граница а-(-Гто области Ат гомологична на Ат границе a-j-p-1
„кольца" К, следовательно, Тт — J3 на Ат. Так как функция и
регулярна в замкнутой области Ат, то
*' = — Г du'.
Применим эту формулу к гармонической функции ит, однозначно
определенной граничными значениями ит-=и на р, ит = М на Тт;
ит (согласно принципу симметрии) гармонична также на Тт и
т
Так как ит^.М в Ат, в то время как ит = М на Гто, то диффе-
дифференциал du'm = —dx-\—jr^dy на Гто неотрицателен и, следова-

236 ГЛ. VI. ТЕОРЕМА РИМАНА ОБ ОТОБРАЖЕНИИ
тельно,
р
Но при /и->оо разность \ит — и\ стремится к нулю, так как на (J
она равна нулю и на Тт не превосходит 2М<от, следовательно, и во
всей области Ат она мажорируется этим выражением.. Поэтому
ит-+и в окрестности р равномерно, следовательно,
Заменяя ит выражением ит — Мтт, найдем аналогичным образом,
что
Р
следовательно, как утверждалось,
6.23. Построение нормального потенциала третьего рода.
Сохраняя все время предположение о равенстве нулю гармонической
меры идеальной границы Г, мы можем теперь, так же как в § 4
гл. IV, построить гармоническую функцию u(z\ a, b) — нормаль-
нормальный потенциал третьего рода — со следующими свойствами:
1°. Функция и всюду на R однозначна и гармонична, исключая
едве точки а и Ь, лежащие в Bv где она становится логарифмически
эбесконечной, так что разность
и — In j~
z — b
гармонична в Bv
2°. Ha Rt абсолютное значение |и| ограничено.
В этом случае можно без изменений применить альтернирующий
метод Шварца — Неймана § 5 гл. IV. В самом деле, при проведении
этого метода существенное значение имели следующие три обстоя-
обстоятельства:^
1. Возможность построения на R± ограниченного решения первой
краевой задачи с непрерывными граничными значениями на а. Это
построение проводится сначала для областей Ап с нулевыми гранич-
граничными значениями на Г„, после чего искомое решение получается
предельным переходом при п-*оо.
2. Справедливость принципа максимума в формулировке п. 6.21.
3. Обращение в нуль вдоль C периода функции а', сопряженной
к однозначной ограниченной гармонической функции и на Rv Это
условие выполняется согласно п. 6.22.

§ 4. ПАРАБОЛИЧЕСКИЙ 'СЛУЧАЙ 237
Опираясь на это, мы можем, следовательно, согласно § 5 гл. IV,
построить на R потенциал u(z; a, b) со свойствами Г, 2°. Кроме
того, так же как в случае замкнутой поверхности R, он этими усло-
условиями определен однозначно с точностью до аддитивной постоянной.
В самом деле, если v(z; a, b) — вторая функция того же вида, то
разность и— v ограничена на R. Если С — та точка на а, в кото-
которой абсолютное значение \и— v\ достигает своего максимума М
(относительно а), то \и— г>|^М в круге Bt и, по обобщенному
принципу максимума п. 6.21, это же неравенство имеет место на
всей поверхности Rv Следовательно,^ | и — v\ достигает максимума
в регулярной точке С поверхности R, откуда следует, что и— v
сводится к постоянной, что и требовалось доказать.
6.24. Доказательство теоремы об отображении для параболи-
параболического случая. Рассмотрим теперь случай, когда R — (гомологически)
односвязная поверхность, не обладающая функцией Грина. Тогда
поверхность Rt имеет, согласно п. 6.18, идеальную границу Г гар-
гармонической меры нуль. Мы утверждаем, что функция
w{z\ a, b)~eu+iu',
где u = u(z; a, b) — нормальный потенциал третьего рода, отобра-
отображает поверхность R на сферу с одной выколотой точкой. Для дока-
доказательства этого мы покажем, что:
A) w(z; a, b) однозначна на R.
Группа гомологии состоит только из нулевого элемента, и много-
многозначность сопряженной к и функции и' определяется поэтому перио-
периодами 2те, соответственно — 2ir, при обходе вокруг а, соответ-
соответственно Ь.
Этим однозначность w(z; a, b) доказана в предположении, что
полюсы а, Ь лежат в параметрической окрестности Вх. Если это не
имеет места, то соединяем а и b конечной цепочкой z4(z1 = a,
zn = b) и полагаем
n-l
w(z; a, b)=TJLw(z; гч, z,+1).
4 = 1
B) w (z; a, b) на R однолистна, т. е. каждое значение w0 она
либо принимает один раз, либо вовсе не принимает. Это утвержде-
утверждение очевидно для wQ = 0 и w0 = оо. Пусть сфа, Ь. Мы образуем
тогда частное
,. ч _ w (г; a, b) — w (с; а, Ь)
JW— w(z;c,b)
и снова заключаем, что функция /(г) на R регулярна. Она даже
ограничена. В самом деле, если исключить полюсы а, Ь, с с по-
помощью маленьких кругов /Q (г = 1, 2, 3), то f(z) на дополнении

238 ГЛ. VI. ТЕОРЕМА РИМАНА ОБ ОТОБРАЖЕНИИ
R—2 Ki ограничена (см. свойство 2° в п. 6.23). Так как а, Ь, с—
устранимые особенности функции /, то / в /Q регулярна. Следова-
Следовательно, однозначная аналитическая функция / ограничена на всей
поверхности R, и из обобщенного принципа максимума п. 6.21
вытекает, что /—постоянная, так что
w(z; а, Ь):—w (с; a, b) = kw(z; с, Ь),
где А означает отличную от нуля постоянную. Так как правая часть
имеет нуль (простой) только в точке z — с, то и уравнение
w(z; a, b) = w(c; a, b) только здесь имеет нуль, также простой.
Этим доказана однолистность w(z; a, b) на поверхности R. Отсюда
следует, согласно п. 2.42, что отображение, осуществляемое функ-
функцией w(z\ a, b), является топологическим.
6.25. Итак, функция w = w(z; а, Ь) отображает R топологи-
топологически на подобласть О замкнутой плоскости w. Эта область есть
открытая плоскость гг/=?оо. Во-первых, ясно, что О, как образ
открытой поверхности R, не может совпадать со всей w-сферой.
С другой стороны, если бы на сфере имелись две точки, не при-
принадлежащие О, то односвязная область О имела бы, согласно
пп. 6.2 и 6.8, функцию Грина, тем самым ее имела бы и поверх-
поверхность R, что противоречит предположению.
Таким образом, доказательство теоремы об отображении для
параболического случая закончено х).
1) Другое построение доказательства (справедливое при столь же общих
предположениях), основанное на возможности выбора сходящейся подпосле-
подпоследовательности из подходящим образом нормированной аппроксимирующей
последовательности, было дано Хейнсом [1].

Глава VII
ГРУППЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Так как теорема Римана об отображении занимает центральное
место в теории униформизации, то чрезвычайно важна задача изуче-
изучения конформных отображений на себя тех нормальных областей Е
(единичный круг, открытая числовая плоскость, числовая сфера), на
которые может быть отображена взаимно однозначно и конформно
каждая односвязная риманова поверхность. Некоторые важные
свойства этих отображений, осуществляемых с помощью дробно-
линейных преобразований, будут изложены в этой главе.
§ 1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
7.1. Классификация линейных преобразований. Самое общее
конформное отображение та-сферы на себя задается формулой
(ad-ЬсфО), G.1)
где а, Ь, с, d — комплексные постоянные. Если такое преобразо-
преобразование переводит три точки гг/„ в точки k>*(v= 1, 2, 3), то
и, в силу G.1),
. * ал» <лм_ ' ^ *
где
-к *
Следовательно, преобразование однозначно определяется тремя точ-
точками и их образами.
Соотношение G.2) выражает инвариантность двойного отношения
четырех точек (w, wv w.2, ws) относительно линейного преобразо-
преобразования. Так как это отношение имеет действительное значение тогда
и только тогда, когда все четыре точки лежат на одной окружности
(или прямой), то отсюда следует, что линейное преобразование G.1)
обладает круговым свойством.

240 ivi. vii. группы линейных Преобразований
Последнее свойство также легко получается, если приравнять,
с одной стороны, абсолютные значения обеих частей G.2), с другой
стороны, — их аргументы. Аргументы остаются постоянными на
соединяющих точки w*, w*, соответственно wv w.2, дугах окруж-
окружностей Л* и А, проходящих соответственно через эти точки, в то
время как абсолютные значения остаются постоянными на окруж-
окружностях В* и В, ортогональных соответственно к А* и А. Отсюда
вытекает, что при преобразовании G.2) пучки окружностей Л и В
переходят соответственно в пучки окружностей А* и В*1).
Точки w1 и w.2 (соответственно w\, кф симметричны относи-
относительно окружностей В (соответственно В*). Следовательно, если две
точки расположены симметрично относительно некоторой окружности,
то это же справедливо для образов этих точек и этой окружности.
7.2. Если преобразование G.1) не есть тождество ¦и/* = 'а/, то
оно имеет две неподвижные точки С^ ?2, определяемые из урав-
уравнения '
cC2-r-(d — в) С — 6 = 0;
они могут быть как различными, так и совпадающими, в зависимости
от того, отличен ли дискриминант
от нуля или равен нулю.
Если Cj^Cg, то для линейного преобразования получается сле-
следующее общее выражение (р > 0, о> — действительное число):
G.3)
Если заменить здесь величины.
w* — Ci w — ?i
w* — С2 w — Са
соответственно на z* и z, то будем иметь
z*--=pe™z. G.30
Если w и w* рассматривать как точки одной и той же пло-
плоскости (фиг. 11), то из G.3) и G.3') следует, что совокупность
окружностей А, проходящих через Ct, Cq, а также совокупность
1) Каждая из окружностей А и А* разбивается точками wb ш2, соответ-
соответственно wlt w2, на две дополнительные дуги. При переходе от одной к дру-
другой аргументы слева и справа в G.2) изменяются на it. Поэтому, если одни
из указанных дуг окружностей А и А* соответствуют друг другу, то — и
дополнительные к ним дуги, следовательно, всей окружности А соответ-
соответствует вся окружность А*. — Прим. перев.

§ 1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
241
ортогональных к ним окружностей В при преобразовании переходят
в себя. Особого внимания заслуживают следующие случаи:
1. Эллиптические преобразования. Если р=1, то преобразо-
преобразование G.3') есть вращение. Следовательно, при G.3) каждая из
окружностей В переходит сама в себя, а каждая из окружностей А
переходит в другую окружность того же пучка. В этом случае пре-
преобразование называется эллиптическим.
2. Гиперболические преобразования. Они соответствуют значе-
значению ю = 0 (mod 2тс); при этом окружности -А остаются инвариантными,
Фиг. 11.
а каждая из окружностей В ^переходит в другую окружность
того же пучка.
3. Параболические преобразования. Если неподвижные точки Сг
и Са совпадают, Ct = ^ — *•> т0
1 = 4 {ad — be), С = •
и для G.1) получается выражение
1 1 ,
2с
ИЛИ
w* = w -\- а
= оо),
G.4)
G.4')
где а — произвольное комплексное число.
Параболическое преобразование оставляет инвариантным пучок
окружностей, касающихся друг друга в точке С. В частности, су-
существует пучок таких окружностей, каждая из которых переходит в се-
себя х). В случае С = соэтот пучок представлен прямыми, параллельными
вектору а; в случае С=?оо он состоит из окружностей, касающихся
прямой arg (w — С) = — arg a (mod я).
1) Заметим, что при этом и внутренность круга переходит сама
в себя. — Прим. перев.
16 Зак. 295. Р. Неванлинна

242 ГЛ. VII. ГРУППЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Если, в частности, преобразование должно оставлять инвариант-
инвариантной единичную окружность, то нужно, чтобы было | С | = 1 и
arg С = — arg а + -у (mod -к)', отсюда следует, что самое общее па-
параболическое преобразование, оставляющее инвариантной единичную
окружность, имеет вид
-——у = ——у -\- tXZ (X—действительное число). G.5)
7.3. Преобразования, оставляющие инвариантным единичный
круг. Рассмотрим, в частности, те линейные преобразования, которые
переводят единичный круг | w | < 1 в себя; они распадаются на три
типа.
При эллиптических преобразованиях неподвижные точки Сх и С2
симметричны относительно единичной окружности I w\ = 1 (С^ = 1);
окружности А, проходящие через точки Ct и Ц, переходят одна
в другую, в то время как ортогональные окружности В переходят
в себя.
При гиперболических преобразованиях неподвижные точки лежат
на единичной окружности | w | = 1 и ю = 0; окружности А являются
инвариантными „линиямитока",окружности/?переходят однавдругую.
При параболических преобразованиях неподвижная точка ? лежит
на единичной окружности |w| = 1, касательные окружности являются
„линиями тока", в то время как ортогональные окружности переходят
одна в другую. *
7.4. Неевклидовы движения. Самое общее линейное преобразова-
преобразование, которое переводит единичный круг в себя так, что внутренняя
точка w0 (|дао|< 1) переходит в точку w0, переводит симметричную
к wQ точку ijwQ в симметричную к wu точку I/wo и, следовательно,
согласно G.2), имеет вид
G.6)
коэффициент А по абсолютному значению должен равняться единице,
так как единичная окружность | w | = 1 переходит сама в себя. Следо-
Следовательно,
— wn 1 — wnw
Отсюда предельным переходом w —>¦ w0, да -> w0 получаем
\dw*\ _ \dw\

I 1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 243
Таким образом, дифференциал
остается инвариантным при конформных отображениях единичного
круга на себя. Если, следуя Пуанкаре [1], принять этот линейный
элемент за длину дифференциала дуги dw, то гауссова кривизна полу-
полученной таким образом геометрии равна, как легко подсчитать, постоян-
постоянной — 4. Следовательно, мы имеем дело с геометрией Лобачевского —
Больяи. Линейные преобразования, оставляющие инвариантным еди-
единичный круг, могут поэтому быть истолкованы как неевклидовы
движения в этом круге („гиперболической плоскости").
7.6. Геодезическими линиями в этой метрике Пуанкаре являются
дуги окружностей, ортргональных к единичной окружности | w \ = 1.
Ввиду инвариантности линейного элемента da, это наиболее просто
доказывается следующим образом: чтобы найти кратчайшую линию,
соединяющую две точки wt и w% единичного круга |w|< 1, переведем
их с помощью неевклидова движения, т. е. преобразования вида G.6),
в положение w^ = 0, wt = р @ < р < 1). При этом каждый линейный
элемент остается инвариантным, а поэтому инвариантна и вся неевкли-
неевклидова длина каждой кривой. Если кривая, соединяющая w± = 0 и
¦а/2 —р, задана в форме w = r (f) е*ч (*), то ее длина равна
С Г VdrZ-\-
J rf5=j П=
\dr\ ^ I С dr
1 т_ 1 -f-P
У1ПГ=7
причём знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда dy = 0
и, следовательно, кривая совпадает с отрезком @, р); это — искомая
геодезическая, соединяющая точки ®i = 0 и ©а = р. При произвольном
положении w± и w% ей соответствует (однозначно определенная) дуга
окружности, соединяющая эти точки и ортогональная к единичной
окружности |«/1 = 1.
Из предыдущего также следует, что круг |w|< 1 представляет
всю неевклидову плоскость, так как неевклидово расстояние G.8)
бесконечно возрастает, когда точка р стремится к предельной окруж-
окружности | w | = 1.
Из вида метрической фундаментальной формы G.7) следует,
что угловая мера в новой метрике совпадает с евклидовой угловой
мерой1).
!) Как известно из дифференциальной геометрии, в неевклидовой геоме-
.трии, определяемой метрической формой rfs2 = Edx%-\-2Fdxdy -\-Gdy2
(EG — /г2>0), угловая мера совпадает с евклидовой тогда и только тогда,
: когда Е = G и F<=0.— Прим. пере в.

244 гл. УН, группы линейных Преобразований
Три сорта циклов неевклидовой геометрии также имеют вид евкли-
евклидовых окружностей (или их дуг) в круге | w | < 1.
В интерпретации Пуанкаре неевклидова окружность с центром
в точке а имеет вид евклидовой окружности, центр которой распо-
расположен на отрезке @, а) так, что точки а и 1/а симметричны отно-
относительно этой окружности. Эквидистанты, или гиперциклы, т. е. гео-
геометрические места точек, равноудаленных от
данной прямой, изображаются дугами окруж-
окружностей, пересекающих окружность | w | = 1.
Касательные же к ней окружности предста-
представляют предельные окружности, или орициклы,
определяемые как ортогональные траектории
семейства параллельных (неевклидовых) прямых
(фиг. 12).
7.6. Вращения сферы. Если замкнутую
Фиг. 12. «/-плоскость отобразить с помощью стереогра-
стереографической проекции на сферу Римана радиуса 1/2,
то группе линейных преобразований будет соответствовать совокуп-
совокупность всех конформных отображений сферы на себя. Особого внимания
заслуживает при этом та подгруппа линейных преобразований, кото-
которая соответствует вращениям сферы. Для определения этой группы
заметим, что точки wt и w% расположены диаметральнЪ противопо-
противоположно на сфере, если ¦о/1?г>2 = — 1. Следовательно, если вращение
сферы переводит точку w0 в точку «/*, то точка —lfw0 переходит
в точку —1/wo и, согласно G.2), соответствующее линейное преобра-
преобразование имеет вид
где снова | X | = 1.
При w-»-w0, w*
w — да0
\-\-w w
-w0 получаем
\dw*\
™ — ™
1-fa; a;
отсюда
\dw\
равенство
выражающее инвариантность сферического элемента дуги
+Tft
при вращениях сферы.
7.7. Евклидовы движения. Евклидовы движения в числовой пло-
плоскости представляются линейными преобразованиями вида
W* z=
где | X | = 1; при (i = 0 получаются вращения плоскости вокруг начала,
при X = 1 — сдвиги.

i 2. ДИСКРЕТНЫЕ ГРУППЫ ОТОБРАЖЕНИЙ КРУГА 111< 1 НА СЕБЯ 245
§ 2. ДИСКРЕТНЫЕ ГРУППЫ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
ЕДИНИЧНОГО КРУГА НА СЕБЯ
7.8. Группы гиперболических движений. В этом параграфе мы
ставим себе целью исследовать некоторые группы конформных ото-
отображений единичного круга Е на себя.
Пусть (Г) —группа конформных отображений единичного круга Е
(|?|<1) на себя, не имеющих неподвижных точек внутри Е;
тогда, согласно п. 7.3, преобразования Т либо гиперболичны, либо
парйболичны; их неподвижные точки лежат на окружности |?| = 1.
Относительно группы (Г) мы далее предполагаем, что она дискретна
в следующем смысле; если t—произвольная фиксированная точка Е,
то множество эквивалентных ей точек T(f), где Г пробегает все пре-
преобразования группы, не имеет в Е точек сгущения.
Такая группа содержит только счетное число преобразований.
В самом деле, в силу отсутствия у преобразований неподвижных
точек в Е, точки T{t) (при фиксированном f) взаимно однозначно
соответствуют преобразованиям Т, поэтому в ? в случае несчетного
числа преобразований имелось бы несчетное множество эквивалентных
ей точек T(t); но несчетное множество необходимо имеет в Е точку
сгущения.
7.9. Фундаментальная область. Под фундаментальной областью
группы G) понимают замкнутое (относительно круга Е) множество
точек F, такое, что каждая точка Е эквивалентна некоторой точке F,
в то время как никакие две внутренние точки F (если только F обла-
обладает внутренними точками) не эквивалентны друг другу.
Фундаментальная область не обязательно должна быть замкнутой
относительно всей ^-плоскости, так как она может иметь точки сгу-
сгущения на окружности 11 | = 1. Если эти точки присоединить к F, то
получится множество F, замкнутое относительно ^-плоскости. Каждая
точка Е эквивалентна некоторой точке F, и никакие две внутренние
точки F не эквивалентны друг другу. Мы называем F замкнутой
фундаментальной областью группы (Г).
Если (Т) рассматривать как группу преобразований замкнутого
единичного круга 11 | ^ 11), то замкнутая фундаментальная область,
вообще говоря, не является фундаментальной областью этой группы,
так как точка на окружности |/| = 1 не обязательно имеет эквива-
эквивалентную точку в F.
*) Это всегда возможно, так как конформное отображение открытого
единичного круга Е на себя одновременно переводит в себя замкнутый круг
UK !

246 ГЛ. VII. ГРУППЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
7.10. Фундаментальный многоугольник. В дальнейшем мы будем
рассматривать замкнутые фундаментальные области специального
вида — фундаментальные многоугольники.
Под многоугольником мы понимаем замкнутую „жорданову об-
область" it в замкнутом круге |*]^1, граничная кривая i которой
разделена на конечное или счетное число жордановых дуг о„ сторон
многоугольника. Что это значит в случае конечного числа сторон,
ясно само собой: 1) дуги о, вместе составляют всю кривую i и
2) пересечение двух ov либо пусто, либо состоит из одной точки,
являющейся их общим концом. Эти точки называются вершинами
многоугольника.
В случае бесконечного числа сторон определение следует несколько
изменить, так как разложение (компактной) кривой у на счетное число
дуг, удовлетворяющее условиям 1) и 2), невозможно. Первое условие
заменяется следующим:
1. Если ov (v= I, 2, ...) — стороны у, то множество 2°ч вместе
с его точками сгущения составляет всю жорданову кривую у.
Второе условие остается без изменения. Под вершиной много-
многоугольника мы в этом случае понимаем либо конец какой-либо сто-
стороны о„ либо точку сгущения таких концов.
Многоугольник it называется фундаментальным многоуголь-
многоугольником группы (Г), если он является замкнутой фундаменталь-
фундаментальной областью группы (Т) и, кроме того, удовлетворяет следующим
условиям:
1°. Сторона вч многоугольника it либо является дугой окружности
|*| = 1, либо доходит до нее одним или обоими своими концами,
либо, наконец, вовсе не имеет с ней общих точек. В первом случае ач
называется свободной стороной, во всех остальных — внутренней
стороной.
2°. Внутренние стороны распадаются на пары эквивалентных.
Это означает следующее: для каждой внутренней точки t внутренней
стороны о существует в -к одна и только одна эквивалентная точка ?,
также являющаяся внутренней точкой некоторой стороны о' (о' Ф о).
При этом преобразование t-+tf переводит всю сторону о в о'.
7.11. Внутренние точки. Если t0 — внутренняя точка фундамен-
фундаментального многоугольника it, то все точки, эквивалентные t0, лежат
вне it. Действительно, пусть t0 — точка, эквивалентная^, и Uo — окрест-
окрестность t0, лежащая целиком в я. При преобразовании Т (to-+to) она
переходит в окрестность U'o точки t'o. Если бы окрестность Uo содер-
содержала точку из it, то она должна была бы содержать внутренние
точки it. Тогда в Uo имелись бы точки, которые после преобразова-
преобразования 7 оставались бы внутренними точками it, что противоречит тому,
что it — фундаментальная область.

§ 2. ДИСКРЕТНЫЕ ГРУППЫ ОТОБРАЖЕНИИ КРУГА | f |< 1 НА СЕБЯ 247
7.12. Свободные стороны. Внутренняя точка t0 свободной сто-
стороны о многоугольника it не имеет в it эквивалентных точек. Для
доказательства допустим, от противного, что для точки /о?ъ су-
существует преобразование Т (to-+t'o). Точку t0 можно окружить
окрестностью относительно [tf|^I, принадлежащей -к; с другой
стороны, в каждой окрестности точки t0 имеются внутренние точки it.
Поэтому обратное преобразование Г переводило бы внутренние
точки it во внутренние точки it, что противоречит тому, что it — фун-
фундаментальная область.
В § 4 мы покажем, что для заданной группы (Т) рассматрива-
рассматриваемого здесь вида всегда существует фундаментальный многоуголь-
многоугольник. Предполагая, что такой многоугольник существует, выведем
сначала некоторые общие его свойства.
7.13. Множество многоугольников T(it). Если к фундаментальному
многоугольнику it применить преобразование Т, то снова получится
фундаментальный многоугольник. Применяя все преобразования 7"N
группы, получим множество конгруэнтных (в смысле неевклидовой гео-
геометрии) многоугольников я, (i = 0, 1, . ..; itosit), которые сплошь
покрывают всю внутренность Е. В самом деле, если t—произвольная
точка Е (|?|< 1)> т0 она эквивалентна точке ^о€ио; если т0ГДа ^
означает преобразование to-+t, то t принадлежит многоуголь-
многоугольнику Г,(я0).
Пересечение 8 двух многоугольников it^ и гсч (ji ф ч) либо пусто,
либо состоит из общих сторон и, возможно, из общих вершин. Дей-
Действительно, пусть 8ц, соответственно 8„ — прообразы 8 в ito = it отно-
относительно преобразования Т^, соответственно Г,. Тогда 8,,, при пре-
преобразовании 7"^= Т^Тр. переходит в 8„. Обратно, если t и f — две
точки, эквивалентные относительно этого преобразования, то точка
T4(t') = T^(t) принадлежит 8. Следовательно, множество 8^ состоит
из всех точек it, которые после преобразований Т^ч остаются в it;
поэтому оно не содержит внутренних точек я. Если 8^ содержит вну-
внутреннюю точку t стороны а, то, по условию 2°, 7^, переводит всю
сторону о снова в сторону многоугольника it. Следовательно, 8^ состоит
из некоторых сторон it и, возможно, еще некоторых изолированных
вершин. При преобразовании 7^., они переходят в соответствующие сто-
стороны, соответственно вершины я; следовательно, то же самое справед-
справедливо и для множества 8. Говорят, что многоугольники ън = 7", (it) обра-
образуют разложение на многоугольники открытого единичного круга.
7.14. Пусть t (|^| < 1) — произвольная вершина этого разложения
и it, tzv ... — инцидентные с ней многоугольники. Преобразование Т~г
(it4 ->¦ it) переводит t в другую (эквивалентную t) вершину я. Этим
¦ каждому многоугольнику it4, инцидентному с t, ставится в соответствие

248 ГЛ. VII. ГРУППЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
эквивалентная t вершина t,, многоугольника -к. Различным многоуголь-
многоугольникам тсч соответствуют различные вершины, так как если бы, напри-
например, было ?, = ^ (\>-Ф ч). то преобразование Т^Т^1 имело бы непо-
неподвижную точку t. Далее, таким образом получаются все эквивалент-
эквивалентные t вершины тс; действительно, если t' — произвольная такая
вершина, то преобразование f -•> t переводит it в многоугольник,
инцидентный с t. Тем самым инцидентные с t многоугольники взаимно
однозначно соответствуют вершинам те, эквивалентным t. В частности,
если число N вершин it, эквивалентных t, конечно, то вокруг вер-
вершины t лежит ровно N многоугольников.
7.16. Система образующих группы (Т). Пусть я0 — фундамен-
фундаментальный многоугольник группы (Г). Под фундаментальным преоб-
преобразованием мы понимаем преобразование Т, которое переводит сто-
сторону многоугольника я0 в эквивалентную сторону. Мы покажем, что
вся группа порождается фундаментальными преобразованиями, или,
иначе говоря, что каждый многоугольник те^ получается из it0
с помощью конечного произведения фундаментальных преобразо-
преобразований.
Пусть сначала т^— многоугольник, имеющий с тг0 по крайней мере
одну общую сторону s. Тогда преобразование ir0 —>• itj является фун-
фундаментальным преобразованием. Действительно, если s' — сторона те0,
которая переходит в сторону s многоугольника -av то s и s' — две
стороны it0, которые соответствуют друг другу при этом преобра-
преобразовании.
Пусть, далее, яа — многоугольник, имеющий по крайней мере
одну общую сторону с itr Как было показано выше, существует
фундаментальное преобразование Тх, переводящее тг0 в itr Преоб-
Преобразование 1Y1 переводит тг2 в многоугольник -к3, имеющий с тг0 по
крайней мере одну общую сторону. Следовательно, тг3 можно полу-
получить из ir0 с помощью фундаментального преобразования Т2. Про-
Произведение TtT2 переводит тогда п0 в it9.
Так как каждый многоугольник itv можно соединит^ с я0 цепоч-
цепочкой многоугольников так, что каждые два следующие друг за дру-
другом имеют по крайней мере одну общую сторону, то из доказан-
доказанного выше следует, что каждый многоугольник it^ получается из it0
с помощью конечного произведения фундаментальных преобразований.
В частности, если фундаментальный многоугольник к0 имеет
конечное число сторон, то группа (Г) имеет конечную систему об-
образующих.
7.16. Ориентирование сторон. Пусть теперь фундаментальный
многоугольник it ориентируется указанием определенного цикличе-
циклического порядка его сторон. Этим устанавливается ориентация и каж-
каждой его стороны.

§ 2. ДИСКРЕТНЫЕ ГРУППЫ ОТОБРАЖЕНИЙ КРУГА 11 |< 1 НА СЕБЯ 249
Пусть а и а' — две эквивалентные стороны те с этими ориента-
циями. Мы покажем, что преобразование Т(а-+а') переводит сто-
сторону а в противоположно ориентированную сторону а'.
Пусть t0—внутренняя точка многоугольника те и t'0=T(tQ) — ее
образ, следовательно, внутренняя точка многоугольника те' = Г (те).
Возьмем для кривой f, ограничивающей многоугольник те, какое-нибудь
параметрическое представление, в котором возрастанию параметра, ска-
скажем А, соответствует заданная ориентация f. Если образ f' кривой f
ориентировать так, что А. вместе с ориентацией переходит в У, то
индексы точек t0 и fQ относительно f, соответственно f', будут равны
между собой:
«Со. Т) = «(С Т').
так как Т сохраняет ориентацию.
Пусть а[ означает сторону а' с ориентацией, полученной при пре-
преобразовании Т. Ориентируем, с другой стороны, кривую -у так, чтобы
на а' ее ориентация совпадала с ориентацией a'v Тогда, если fi
означает таким образом ориентированную кривую f. то ориента-
ориентации it и Y вдоль общей стороны а[ совпадают. Так как области,
ограниченные fi и Y> не пересекаются, то отсюда следует, что
«('с Tfi) = —«(й If')-
Из предыдущих двух равенств вытекает, что и (t0, "() = — и (t0, f J.
Это означает, что стороны а' и а'х противоположно ориентированы;
следовательно, преобразуя а вместе с ориентацией с помощью Т,
получаем сторону-образ а' в противоположной ориентации, что и
требовалось доказать.
В частности, отсюда следует, что если две эквивалентные сто-
стороны а и а' имеют общую точку t0, то она обязательно лежит на
окружности | ? | = 1. В самом деле, как было показано выше, для
одной стороны те точка t0 должна быть началом, а для другой — кон-
концом, поэтому она является неподвижной точкой преобразования
с->а', что возможно только для точек на окружности \t\ = 1.
7.17. Вершины на |f| = l. Начиная отсюда, мы рассматриваем
случай, когда многоугольник те имеет только конечное число
сторон. Кроме того, мы предполагаем, что если некоторая вер-
вершина те лежит на окружности 11 \ = 1, то она принадлежит свобод-
свободной стороне1).
• Пусть при этих предположениях х и а—две следующие друг
iaa другом стороны те и Р—их общий конец; пусть х — свободная
1) Если эти условия выполняются для исходного многоугольника я, то они
Выполняются для всех многоугольников паркета (irv).

250 ГЛ. VII. ГРУППЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
и а — внутренняя сторона. Тогда вдоль акт: примыкает некоторый
многоугольник тсг Вторая сторона многоугольника п1г инцидентная
с Р, должна быть свободной стороной, иначе тс^ вопреки предполо-
предположению, примыкал бы к окружности 111 = 1 изолированной верши-
вершиной Р. Поэтому вершина Р инцидентна только с многоугольни-
многоугольниками тс и тер следовательно, общий конец свободной стороны и
внутренней стороны является вершиной в точности двух много-
многоугольников.
7.18. Теперь мы покажем, что общий конец внутренней сто-
стороны и свободной стороны имеет одну и только одну эквивалентную
вершину на тс.
Сторона а, как внутренняя сторона тс, имеет эквивалентную сто-
сторону а'; при преобразовании а—*-а' вершина Р переходит в конец Р'
стороны а' (расположенный на окружности |/| = 1). Так как. Р при-
принадлежит только одной внутренней стороне (а), то Р Ф Р'. Следо-
Следовательно, общий конец свободной и внутренней сторон имеет по
крайней мере одну эквивалентную точку на тс.
Для доказательства второй части утверждения предположим, что
Р' — произвольная точка я, эквивалентная Р, и Т—преобразование
Р-+Р'. По нашему предположению относительно тс, из Р' должны
выходить свободная сторона и внутренняя сторона b многоуголь-
многоугольника тс. При преобразовании Р-+Р' сторона а переходит в выхо-
выходящую из Р' сторону а' многоугольника тс' = Г (тс). Эта сторона
инцидентна с Р', поэтому, согласно п. 7.17, она должна совпадать
с Ь, т. е. Ь = а'; следовательно, Ь — (однозначно определенная)
эквивалентная а сторона тс. Отсюда следует, что преобразование
Р-+Р' переводит одновременно сторону а в эквивалентную ей сто-
сторону. Поэтому не может существовать более одной точки, эквива-
эквивалентной Р, что и требовалось доказать.
7.19. Пусть а и Ь — две следующие друг за другом внутренние
стороны тс и Р—их общий конец, а и Ъ имеют соответственно
эквивалентные стороны а' и Ь'\ предположим, в частности, что обе
эти пары эквивалентны относительно одного и того же преобразо-
преобразования Т. Тогда Р' = Т(Р) — единственная эквивалентная Р вершина тс.
Действительно, пусть К—столь малый неевклидов круг с цент-
центром в /*, что a -f- Ь разбивает его на два сектора <з± и о2; пусть при
этом ох — сектор, лежащий в тс. При преобразовании Т кругу АГ и
секторам о1, о2 соответствуют неевклидов круг К' с центром в Р' и
секторы Oj( а'2; при этом <з'2 лежит в тс.
Пусть теперь Р[(ф Рг)—эквивалентная Р вершина тс и^ — пре-
преобразование Р-ьР'у Если тогда Q—достаточно близкая к Р^ внут-
внутренняя точка тс, то точка Tf1^) лежит в К, и так как она не при-

I 2. ДИСКРЕТНЫЕ ГРУППЫ ОТОБРАЖЕНИИ КРУГА | < |< 1 НА СЕБЯ 251
надлежит я, то она лежит в о2. Поэтому точка ГГ^1^) должна
лежать в о^, тем самым и в тс, в противоречие с тем, что внутрен-
внутренняя точка многоугольника те не имеет эквивалентных точек в тс.
7.20. Пары эквивалентных точек. Пусть (А, А') и (В, В') — две
пары граничных точек многоугольника тс, эквивалентных относительно
одного и того же преобразования Г. Тогда прежде всего справед-
справедливо следующее утверждение:
Пары (А, В) а (А', В') не могут разделяться на граничном
контуре у многоугольника к.
Допустим, от противного, что указанные точки расположены на f
в порядке А, А', В, В', и рассмотрим многоугольник iz' — T(v).
Общими с it у него являются во всяком случае точки А' и В',
а у многоугольника ic" = Г-1 (it) с it — точки А а В. Многоуголь-
Многоугольники я' и тс" различны, иначе мы бы имели Т'2 = То (тождеству),
что для отображений круга Е на себя без неподвижных точек не-
невозможно.
Пусть теперь q' (соответственно q")— дуга в я' (соответственно
в я"), ведущая из А' в В' (соответственно из А в В); эти дуги,
исключая их концы, лежат целиком вне я. Тогда из сделанного пред-
предположения о порядке следования заданных четырех точек вытекает,
что q' и q" должны иметь общую внутреннюю точку. Она должна
лежать как внутри тс', так и внутри -к"', что невозможно.
7.21. Так как пары точек (А, В) и (А', В') на i не разделяются,
то на f существуют две вполне определенные непересекающиеся
дуги А~В = а а АЧЗ'^Ь.
Мы утверждаем, что преобразование Т переводит всю дугу а
во всю дугу Ь.
Для доказательства допустим противное, т.е. что дуги а' = Т(а)
и ft не совпадают. Не будет ограничением общности, если мы пред-
предположим, что эти дуги, кроме концов А' и В', не имеют общих
точек, ибо иначе мы могли бы их заменить меньшими дугами, об-
обладающими этим свойством. При этом предположении а'-\-Ь есть
замкнутая жорданова кривая и, следовательно, ограничивает неко-
некоторую жорданову область G; кривая а'-\-Ь состоит из конечного
числа сторон многоугольников и, следовательно, содержит также
только конечное число вершин. С другой стороны, каждая вершина
инцидентна только с конечным числом многоугольников (для вершин
внутри круга это следует из п. 7.14, для вершин на окружности
. |tf| = l—из п. 7.17); следовательно, О состоит из конечного числа
многоугольников *); пусть их число равно N.
i nepet.
i) G обозначает замкнутую область, ограниченную а'-\-Ь.—Прим.
9R-

252 ГЛ. VII. ГРУППЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИИ
7.22. Сначала мы предположим, что многоугольник тс не лежит
в G, и покажем, что тогда и многоугольник тс'= Г (тс) не лежит
в О. Точке А' при преобразовании Т соответствует точка А", не
принадлежащая дуге а' (так как А' не принадлежит а). Следова-
Следовательно, преобразование Т2 переводит А в А" и тем самым тс— в мно-
многоугольник тс", на границе которого лежит А". Допустим теперь,
вопреки утверждению, что tc'cG; тогда, в частности, и Л"?С
Так как А" не принадлежит а', то А" — либо внутренняя точка G,
либо внутренняя точка Ь. В обоих случаях А" есть внутренняя
точка G-f-тс, следовательно, (инцидентный с А") многоугольник тс",
отличный от тс, лежит в G. Повторяя это рассуждение, заключаем,
что то же самое справедливо для всех многоугольников V (тс) (кото-
(которые все отличны друг от друга), откуда получается противоречие
с тем, что G содержит только конечное число многоугольников.
Следовательно, тс' лежит вне G, а поэтому дуга а' (исключая ее
концы) — внутри tc'-(-G. Отсюда вытекает, что ни одна внутренняя
точка дуги а' не может лежать на тс, в противном случае много-
многоугольник тс имел бы общие внутренние точки либо с О, либо с тс',
что невозможно.
Пусть теперь тсх — многоугольник, принадлежащий G, и Т1 — пре-
преобразование тс ->• тсг Тогда 7^ ф Т и также Т± Ф Г; в самом деле,
если бы было Тх = Г, то Т± переводило бы точку А' в точку
Т~1(А') = А, не принадлежащую а'^\~Ь, а поэтому (так как она не
лежит внутри G) не принадлежащую и О. С другой стороны, так
как А' ? тс, то Тх (А') принадлежит Tct, тем самым и G. Следовательно,,
равенство Т± = Г невозможно.
Преобразование Tt не оставляет инвариантной пару точек А', В',
так как в противном случае т\ оставляло бы неподвижными каждую
из этих точек в отдельности и, следовательно, было бы тождеством,
что противоречит предположению. Тогда по крайней мере одна из
этих точек, скажем А', преобразуется в отличную от А' и В'
точку С. Эта точка С является внутренней точкой множества
'
Рассмотрим теперь многоугольник тс^ = Т± (тс'). Он содержит
точку С (так как тс' содержит точку А') и отличен от тс и тс', по-
поскольку Т±Ф Г и Т-^ФТц (То—тождественное преобразование).
Так как С—внутренняя точка ic-f-it'-j-G, то тс^ должен лежать в G.
Этим показано, что преобразование Tt переводит в G не только тс,
но и тс'. В частности, следовательно, 7\-образ жордановой кри-
кривой f должен лежать в G, тем самым и ^-образ области G. Но
это ведет к противоречию: G содержит, -во-первых, N многоуголь-
многоугольников области 7\(G), во-вторых, лежащий вне 7\(G) многоугольнику;
следовательно, число многоугольников, входящих в О, больше N,
что противоречит определению этого числа.

§ 2. ДИСКРЕТНЫЕ ГРУППЫ ОТОБРАЖЕНИЙ КРУГА 11 \ <il НА СЕБЯ 253
7.23. Нам нужно, во-вторых, рассмотреть случай, когда те лежит
в G. Рассмотрим снова образ а' дуги а и покажем, что вся дуга а
не может лежать на а'. Если бы было аса', то дуга а"~Т~1(а)
лежала бы на а. С другой стороны, в силу нашего предположения,
дуга a d а' примыкает лишь к двум многоугольникам те и те', в то
время как дуга а" с а граничит с многоугольником те" = Г (те).
Следовательно, те" = те, т. е. Г2 = То, что невозможно.
Следовательно, дуга а', ведущая из А' в В', не может совпа-
совпадать с дугой с, дополнительной к Ъ на границе "\ многоугольника те.
Поэтому на а' существуют две вполне определенные точки А* и В*,
которые еще лежат на с, в то время как дуга а* = А*В* не имеет
общих точек с с (фиг. 13I). Если,
кроме того, с* означает часть дуги с,
ограниченную А* и В*, то а*-\-с* — жор-
данова кривая; ограниченная ею замкну-
замкнутая область О* состоит из конечного
числа многоугольников паркета.
Многоугольник it не лежит в О*.
В самом деле, так как ясО, то" вну-
внутренность it можно соединить с окруж- фиг ^
ностью |^| = 1 путем, который пересе-
пересекает кривую а'-\-Ь в одной и только одной точке и не имеет общих
точек с а' и с; этот путь не имеет тогда общих точек и с а*-\-с*,
откуда следует наше утверждение. Отсюда, аналогично п. 7.22,
заключаем, что и те' не лежит в О*.
Теперь мы найдем в О* многоугольник it*, отличный от те" = Т~г(т:),
для чего рассмотрим два случая.
Если, во-первых, дуга а полностью лежит на дуге с*, то мы
можем в О* указать отличный от it" многоугольник: в самом деле,
если Р' — точка а', не лежащая на границе те, то Р' (кроме ic')
лежит на определенном отличном от я многоугольнике ic*'. Тогда
многоугольник ic* =r~1(ir*') отличен от те и те" и точка Т~1(Р')
лежит на его границе. Так как эта точка лежит на а, следовательно,
по нашему предположению, и на с*, то те* лежит в О*.
Если, во-вторых, одна из точек А, В, скажем А, не лежит на с*,
то А не принадлежит также и О*. Пусть те* — произвольный много-
многоугольник из О* и Т* — преобразование те-»-те*. Оно наверное отлично
от; Г, так как в противном случае оно переводило бы А' в точку А,
которая тогда должна была бы принадлежать О**
Следовательно, в обоих случаях существует преобразование Т*
^Ф Т, Т-1), которое переводит те в многоугольник те*, лежащий в О*.
!) Возможность А* = А', соответственно В* = В', при этом не исклю-
ается.

254 гл. vii. группы линейных преобразований
Так как пара точек А*, В* не может при этом оставаться инвари-
инвариантной, то по крайней мере одна из этих точек, скажем А*, должна
переходить в отличную от А* и В* точку, тем самым — во внут-
внутреннюю точку ir-f-ic'-f-G*. Так как тс' примыкает к А*, то отсюда
следует, что образ тс" многоугольника тс' (который отличен от и'
и тс) содержится в О*. Тем самым и образ кривой а*-\-с* лежит
в G*, поэтому также и образ самой области G* лежит в О*. Кроме
того, в области О* лежит образ многоугольника тс; но это невоз-
невозможно, так как О* содержит только конечное число многоугольни-
многоугольников. Таким образом, и этот случай приводит к противоречию, и тео-
теорема п. 7.21 тем самым доказана полностью: преобразование Т
переводит всю дугу а в дугу Ь.
7.24. В частности, из полученного результата следует, что рас-
рассмотренные на •( четыре точки должны следовать друг за другом
в порядке А, В, В', А', а не (А, В, Л', В').
Таким образом, мы доказали следующую теорему:
Пусть тс — фундаментальный многоугольник, который либо
целиком лежит в круге \t\<_ 1, либо примыкает к окружности
|?| = 1 конечным числом своих сторон. Пусть А, В и А', В' —
две пары точек на граничной кривой у многоугольника тс, экви-
эквивалентных относительно одного и того же преобразования Т.
Тогда эти четыре точки расположены на у так, что А, В и А', В'
ограничивают на у две непересекающиеся дуги а и Ь и преобра-
преобразование Т переводит а в Ь.
В частности, на а и Ь не может лежать ни одна свободная сто-
сторона тс, так как внутренние точки свободной стороны, согласно
п. 7.12, не имеют в тс эквивалентных точек.
§ 3. НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО
МНОГОУГОЛЬНИКА
7.25. Предварительная нормировка. В дальнейшем мы будем
рассматривать случай, когда число образующих группы (Г) конечно.
Пусть тс — снова фундаментальный многоугольник (с конечным числом
сторон), который либо целиком лежит внутри круга 11 | < 1, либо
имеет на окружности 11 | = 1 некоторые свои стороны и не имеет
на ней изолированных вершин. Мы хотим многоугольник тс с помощью
некоторых „элементарных преобразований" перевести в другой много-
многоугольник, у которого расположение эквивалентных сторон было бы
особенно легко обозримым.
Предположим, что тс имеет две пары сторон а, а' и Ь, Ь',
эквивалентность которых устанавливается посредством одного и того
же преобразования Т. Тогда, согласно п. 7.24, у тс имеются такие
две непересекающиеся граничные дуги * и/.составленные из сторон тс,
что эквивалентность следующих друг за другом на s, соответственно

i з, Нормальная форма фундаментального многоугольника 255
на s', сторон устанавливается посредством преобразования Т, причем
никакую другую точку тс преобразование Т не переводит в точку тс. По-
этому каждая вершина тс, лежащая на дуге s и отличная от ее концов,
имеет, согласно п. 7.19, единственную эквивалентную точку в тс, а
именно, ее образ при преобразовании Т. Поэтому стороны тс, ле-
лежащие на s, соответственно на s', могут быть объединены в одну
сторону. Тем самым из тс получается новый многоугольник, обладаю-
обладающий сторонами s и s', эквивалентными относительно преобразования Т,
причем в то же время Т никакую другую сторону или вершину не
переводит в сторону (вершину) тс.
Повторным применением этого метода получаем многоугольник,
обладающий этим свойством для всех пар эквивалентных сторон.
Теперь, следовательно, эквивалентность различных пар сторон
многоугольника я устанавливается посредством различных пре-
преобразований.
7.26. Элементарное преобразование. Пусть тс — многоугольник,
нормированный по методу п. 7.25, и а,а'—две стороны тс, эквива-
эквивалентные относительно преобразования Т. Проведем в многоуголь-
многоугольнике тс диагональ d, т. е. аналитическую жорданову дугу, соеди-
соединяющую две вершины и, исключая эти вершины, лежащую внутри тс.
Она разбивает тс на два многоугольника tcj и тс2. При этом пусть d
выбрана так, что а и а' не принадлежат одному и тому же много-
многоугольнику. Пусть тсх — многоугольник, имеющий а своей стороной.
Так как преобразование Г, кроме стороны а, никакую точку я
не переводит снова в точку тс, то многоугольник Tfa) пересекается
с тс в точности по стороне а'. Следовательно, множество Т{тс^)-\-т^ —
снова многоугольник, и притом фундаментальный многоугольник
группы (Г).
Новый фундаментальный многоугольник может иметь изолиро-
изолированные вершины на окружности 111 = 1. Однако в том преобразо-
преобразовании я, которое будет описано в п. 7.28, мы всегда будем выби-
выбирать диагональ d так, чтобы это не имело места.
7.27. Приведение к нормальной форме. Сначала мы рассматри-
рассматриваем случай, когда многоугольник тс лежит целиком внутри Е. Чтобы
сделать наглядным излагаемое ниже построение, будем описывать
соответствие сторон многоугольника тс с помощью записи их друг
за другом в том порядке, который определяется пробеганием гра-
границы f в определенной ориентации, причем пары эквивалентных
; сторон и впредь будем выделять обозначением а, а'. Согласно п. 7.16,
I две эквивалентные стороны никогда не следуют непосредственно друг
|за другом.
Искомая нормальная форма характеризуется тем, что в ней каж-
|дая пара эквивалентных сторон а, а' расположена следующим обра-
ром: ... аЪа'Ь' ....

256
Гл. vli. группы линейных преобразований
Чтобы прийти к этому с помощью элементарных преобразований,
выберем сперва в первоначальном многоугольнике тс обозначение
сторон так, чтобы в нашей схеме а' всегда стояло правее а. Тогда
найдутся две стороны а и Ь, которые стоят в порядке ... ab ...
... а' ... Ь'. В самом деле, поставим в соответствие каждой сто-
стороне х (положительное) число сторон, стоящих между х и х'. Если
а — сторона (или одна из сторон), для которой это число имеет ми-
минимальное значение, и Ъ — следующая (после а) сторона, то -стороны
а, Ь, а' и Ъ' имеют указанное взаимное расположение.
-Если полученные таким образом пары а, а' и Ь, Ь' уже распо-
расположены скрещенно, т. е. в порядке аЬа'Ь', то многоугольник можно
записать в виде аЬа'Ь' ... (в самом деле, то, что эти четыре сто-
стороны стоят теперь в начале, означает лишь, что обход тс начат,
возможно, с другого места) и к оставшимся сторонам можно при-
применить то же самое рассуждение.
В общем случае мы имеем для те схему
abXa'Yb'Z,
где X, Y, Z— какие-то последовательности сторон (фиг. 14, слева).
Теперь мы соединяем конец а с началом а' *) диагональю d и при-
применяем к ней и паре сторон Ь, Ь' элементарное преобразование
п. 7.26 2)i Таким образом из тс получается новый фундаментальный
многоугольник, лежащий целиком в Е, с расположением сторон,
указанным на фиг. 14 посередине:
ada'YXd'Z.
В нем мы соединяем конец а с началом d' диагональю е и при-
применяем к ней и паре а, а' преобразование п. 7.26. Получаем много-
многоугольник с расположением сторон, указанным на фиг. 14 справа:
ede'd'ZYX.
!) При этом „начало" и „конец" понимаются относительно ориентации
сторон, индуцированной п.
а) То есть многоугольник dbX подвергаем преобразованию b->b'. —
Прим. перее.

i 3. НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО МНОГОУГОЛЬНИКА 25? .
Новый многоугольник имеет столько же сторон, сколько перво-
первоначальный, и содержит последовательность ede'd'. Затем то же самое
преобразование применяем к последовательности ZYX (если она еще
не имеет требуемого вида). При этом последовательность ede'd',
полученная на первом шаге, не нарушается. Поэтому после конеч- -
ного числа шагов придем к многоугольнику с расположением сторон
Это — искомая нормальная форма.
7.28. Нормальная форма многоугольника со свободными сто-
сторонами. Пусть теперь многоугольник я имеет свободные стороны.
Так как они не имеют эквивалентных сторон, то в схеме многоуголь-
многоугольника они встречаются только один раз.
Сначала, согласно п. 7.25, мы можем нормировать многоугольник
так, чтобы эквивалентность различных пар сторон достигалась по-
посредством различных преобразований. Мы хотим, далее, перевести
его в многоугольник, у которого концы каждой свободной стороны
эквивалентны.
Итак, пусть х — свободная сторона, концы которой А к В еще не
эквивалентны (флг. 15 слева). К Л и В соответственно примыкают две
Фиг. 15.
внутренние стороны а и Ъ. Они не эквивалентны, в противном
случае А и В также были бы эквивалентны. Следовательно, экви-
!алентная а сторона а' отлична от Ъ. Разделим а с помощью внутрен-
[ей точки Ах на две части ах и а2, причем пусть at — та из них, кото-
1ая примыкает к А. Точно так же разделим Ъ с помощью внутрен-
[ей точки Вх на две части Ь± и Ь.г и соответственно — эквивалентные
тороны а' и Ъ'. Теперь соединим А1 с В1 диагональю d и при-
геним к ней и паре av at преобразование п. 7.26. При
этом
;з -к получится новый фундаментальный многоугольник, снова не
I 17 Зак. 295. Р. Неванлинна

258 ГЛ. VII. ГРУППЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
имеющий изолированных вершин на окружности 11 \ = 1 и имеющий
одной свободной стороной меньше, чем те (фиг. 15 справа).
Продолжая так дальше, придем к многоугольнику, у которого
концы каждой свободной стороны х эквивалентны. Тогда обе внут-
внутренние стороны а и Ъ, выходящие из х, должны быть эквивалентны,
так как, согласно п. 7.18, А имеет только одну эквивалентную точку
и ею является В.
Следовательно, в схеме полученного многоугольника те каждая
свободная сторона встречается теперь в некоторой последовательности
.. . схс' ...
7.29. Преобразуем теперь многоугольник те так, чтобы все его
„граничные последовательности" схс' следовали непосредственно
друг за другом.
Согласно п. 7.25, мы снова можем предполагать, что эквивалент-
эквивалентность различных пар сторон устанавливается1 посредством различных
преобразований. Пусть тогда х — свободная сторона и схс'—соот-
схс'—соответствующая последовательность. Если второй конец стороны с
также лежит на окружности \t\ = \, то это же справедливо и для
соответствующего конца Р' стороны с'; тогда начинающаяся в Р
(свободная) сторона многоугольника те должна доходить до Р', так
как ее вторым концом является (однозначно определенная) эквива-
эквивалентная Р точка Р'. Многоугольник те имеет тогда форму схс'у,
которую мы уже считаем нормальной. Поэтому этот случай мы
в дальнейшем исключаем.
7.80. Итак, пусть теперь х и у— две свободные стороны и
...схс'..., соответственно .. .dyd'... —соответствующие последо-
последовательности. Второй конец с (соответственно d) лежит тогда внутри
круга 111 < 1. Пусть последовательности схс' и dyd' не следуют
непосредственно друг за другом; в противном случае цель была бы
уже достигнута.
Нам нужно, следовательно, рассмотреть многоугольник вида
Ucxc'Vdyd'.
Соединим конец d, лежащий в круге |/|< 1, с одним из концов х
диагональю е и применим к ней, вместе с парой сторон с, с', пре-
преобразование п. 7.26. Тогда получится многоугольник, который снова
примыкает к окружности j^l^l только вдоль целых сторон и со-
соответствует схеме
exe'dyd'UV.
Следовательно, свободные стороны х и у стоят теперь в нужном
порядке.
В предыдущем преобразовании последовательности U и V не
разрывались; поэтому, если нужно, можно это преобразование при-

§ 4. МЕТРИЧЕСКИЙ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК 259
менить снова, не нарушая уже имеющуюся последовательность
exe'dyd'. Таким образом, после конечного числа шагов мы придем
к многоугольнику с расположением сторон
где последовательность Z состоит только из внутренних сторон.
Эти стороны лежат целиком внутри круга |*|< 1, так как их концы,
в силу предположения, не могут лежать на окружности | /1 = 1.
7.31. К последовательности Z можно теперь применить метод
нормализации п. 7.27. При этом уже нормированная последователь-
последовательность свободных сторон сохраняется, поэтому после конечного числа
шагов мы придем к искомой нормальной форме
§ 4. МЕТРИЧЕСКИЙ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК
7.32. Введение неевклидовой метрики. После этих общих рас-
рассуждений мы, следуя Пуанкаре и Клейну, переходим к фактическому
построению фундаментального многоугольника заданной группы (Г).
Важное значение имеет здесь введение линейного элемента Пуанкаре
остающегося инвариантным при каждом конформном отображении
единичного круга на себя (см. п. 7.2). В дальнейшем, если не будет
оговорено противное, все геометрические понятия: расстояние, прямая
та т. п. — следует понимать в смысле этой гиперболической геомет-
геометрии. При этом неевклидово расстояние между двумя точками а и b
мы будем кратко обозначать через \ab\.
7.33. Построение метрического фундаментального многоуголь-
многоугольника. Пусть (Г) — произвольная дискретная, в смысле п. 7.8, группа
конформных отображений единичного круга 11 | < 1 на себя,
не имеющих в нем неподвижных точек. Мы выбираем произвольную
точку t = t0 этого круга, которую не будем менять в течение
следующего дальше построения.
' Пусть теперь t — произвольная точка круга |*|< 1 и Гу@
;(м = 0, 1, ...) — класс эквивалентных ей точек. Они не могут иметь
:.точек сгущения внутри единичного круга, поэтому неевклидово рас-
расстояние [t0 T^(t)\ (при фиксированном f) достигает своего минимума
самое большее для конечного числа значений м; в частности, при
U = ^0 это имеет место для тождественного преобразования То.
I 17*

. 260 ГЛ. VII, ГРУППЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Рассмотрим теперь для каждого t (|*|< 1) те (имеющиеся в ко-
конечном числе) точки 7\ (f), для которых [t0 Г,, @1 принимает мини-
минимальное значение. Когда t свободно меняется в круге |/|< 1, эти
точки T^(t) образуют вполне определенное множество точек Д, содер-
содержащее точку t = t0.
В дальнейшем будет показано, что Д является фундаментальным
многоугольником группы (Г) в смысле определения п. 7.10.
7.34. Сначала мы покажем, что точки t множества Д характе-
характеризуются также неравенствами
[«oKI^l (v = 0, I,...), G.9)
где t4 означает точку Гч(*0).
Действительно, пусть t—точка Д и ?v — произвольная точка,
эквивалентная *0. Пусть 7^— обратное преобразование, при котором
to->t,. Тогда
в силу инвариантности расстояния, правая часть равна [tj], следо-
следовательно,
ад < од-
Обратно, пусть G.9) справедливо для заданного t и каждого ч.
Так как Г11=771, то ltt^\ = [Tv.(t)t0], следовательно, в силу G.9),
IV1 ^ l^o^i» (*)] Для каждого ji; но это означает, что t принадлежит
множеству Д.
Неравенство G.9) при фиксированном ч определяет множество
всех точек t, расстояние которых от ?0 не превосходит расстояния
от t4, следовательно, замкнутую полуплоскость Яч. Тем самым мно-
множество Д предстает в виде пересечения бесконечного числа замкну-
замкнутых полуплоскостей Н^(у=1, 2, . . .).
7.86. Множество Д выпукло. Если а и ft —две точки Д, то и
соединяющий их отрезок ab также принадлежит Д. Действительно,
точки an b лежат в каждой полуплоскости Д,; в силу выпуклости Н.„
отрезок аЪ также лежит в Нч, следовательно, этот отрезок принад-
принадлежит пересечению всех Д,, т. е. Д.
В частности, вместе с каждой точкой а множеству Д принадлежит
и отрезок at0; следовательно, для t0 = 0 множество Д имеет форму
звездной области с центром в точке ^ = 0.
7.36. Внутренние точки. Внутренние точки t множества Д харак-
характеризуются тем, что для них справедливы строгие неравенства
ltto]<№ (n = 1, 2,...). G.10)

S 4. МЕТРИЧЕСКИЙ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК 2G1
Прежде всего ясно, что эти неравенства имеют место для каждой
внутренней точки, так как если для точки t? А
[«о! = [«,].
то t — граничная точка полуплоскости Нч, тем самым и гранична
точка пересечения Д.
Обратно, пусть t = t* — точка, для которой выполняются нера-
неравенства G.10); следовательно, t* — внутренняя точка каждой полу-
полуплоскости. Отсюда еще нельзя сразу сделать заключение, что t* —
внутренняя точка пересечения бесконечного множества полуплоско-
полуплоскостей Я„; то, что это действительно так, видно из следующего.
Пусть 8— произвольное положительное число. Так как прямые
[tt0] = [tt4] для достаточно больших ч лежат вне круга [tt0] < [t*t0] + 8,
то неевклидов круг- К* вокруг t* радиуса 8, начиная с некоторого
ч = «, содержится во всех полуплоскостях Нч. Но t* — внутренняя
точка каждой полуплоскости Н.,, следовательно, и пересечения
Ht . . . Нп. Каждая окрестность t* относительно этого пересечения,
которая, кроме того, лежит в К*, принадлежит тем самым Д, сле-
следовательно, t* — внутренняя точка Д.
Из предыдущего вытекает, что t = t0—внутренняя точка Д. -
7.37. Внешние точки. Внешние точки Д характеризуются соот-
соответственно тем, что по крайней мере для одного ч > 0 справедливо
неравенство [#0]>[WJ. В самом деле, это неравенство означает,
что t—внешняя точка полуплоскости Нч и тем самым внешняя точка
пересечения Д. Обратно, пусть t — внешняя точка Д. Так как, начи-
начиная с некоторого ч = га, она является внутренней точкой полупло-
полуплоскости Нч, то t должна быть уже внешней точкой для пересечения
#! .. . Нп и тем самым внешней точкой полуплоскости Н^{\ ^ р. ^ п);
поэтому [tt0] > [ttj.
; 7.38. Граничные точки. Из пп. 7.36 и 7.37 следует, что точка t
тогда и только тогда является граничной точкой Д (относительно откры-
открытого единичного круга), когда [tt0] < [tt4] для каждого ч и по край-
left мере для одного ч (v > 0) имеет место знак равенства.
Знак равенства может иметь место только для конечного числа ч,
ак как равенство [tt0] = [#,] означает, что точка t4 лежит на не-
вклидовой окружности с центром в t, а такая компактная линия
ожет содержать лишь конечное число эквивалентных точек ?,.
7.39. Исследуем теперь подробнее границу Д. Пусть <зп означает
ля фиксированного v = п множество точек (t), определяемых соот-
ошениями
l«ol = [«»Ь l«ol <Ш (v = 1, 2, ...);

262 ГЛ. VII. ГРУППЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
следовательно, о„ — пересечение прямой in([tt0] = [ttn]) с полупло-
полуплоскостями #.,. Если а и Ь — две точки ап, то, в силу выпуклости уп
и Нч, все точки fn, лежащие между а и Ь, также принадлежат ап.
Следовательно, если только множество зп не состоит из одной точки,
то оно есть либо отрезок, либо луч, либо, наконец, целая прямая fre.
Пусть t* — внутренняя точка оп относительно прямой -уп. Тогда
для каждого натурального ч ф п справедливо неравенство [?%] <
< \t*t,\.
В самом деле, равенство [t*t0] = [t*t,] (v Ф п) означало бы, что
точка t* лежит еще и на прямой f4; следовательно, она являлась бы
точкой пересечения уп и fv, и так как t* — внутренняя точка оп, то
на о„ имелись бы тогда точки, лежащие вне Яч, что противоречит
определению зп.
Обратно, если для всех чфп справедливо неравенство [t*t0] < [t*tv],
то t* — внутренняя точка оп: действительно, как в п. 7.36, заклю-
заключаем, что эти неравенства справедливы еще в окрестности t* и пе-
пересечение этой окрестности с о„ есть тогда окрестность t* относи-
относительно fn> принадлежащей зп.
7.40. Отсюда заключаем, что внутренняя точка зге не может
лежать на другом отрезке зт. В самом деле, согласно п. 7.39, для
внутренней точки з„ имеем [tt0] < [ttj (v Ф п), следовательно, в част-
частности, [#0]< [ttm], в то время как для ат должно быть [ttQ]^=[ttm].
Предположим теперь, что некоторое ап, скажем о1( не есть вся
соответствующая прямая fi. и рассмотрим конец t* отрезка или луча з1
внутри круга 111 < 1. Тогда t* лежит в точности еще на одном
zm Ф Зг В самом деле, так как t* — конец з^ то по крайней мере
для одного /га Ф 1 [?(/*] —[^,?*]. Рассмотрим все конечное множе-
множество значений т, для которых это^ имеет место; t* лежит тогда на
соответствующих им прямых %т. Пусть обозначения выбраны так,
что это — прямые fi> • • •> tr и чт0 они занумерованы в циклическом
порядке вокруг t* *)¦
Точка t* разбивает каждую прямую fp на два луча ар и f3p; пусть
при этом ар лежит в полуплоскости Яр+1 и ^р —в дополнительной
полуплоскости Яр+1 (р=1,..., г—1). Тогда а, лежит в Нг и
|3Г — в Я!2). Затем а9 лежит в н'9^ и рр — в Яр_! (р = 2, ..., г).
Напротив, о^ лежит в Нг и |3i — в Нг\ следовательно, ац и рг — два
(единственных) луча, которые не лежат ни в одной из дополнитель-
дополнительных полуплоскостей Hf (фиг. 16). Поэтому отрезок о„ может быть
1) Если двигаться из t0 по неевклидовой окружности вокруг t*, то
-ft — первая из встречаемых прямых (в каком направлении совершать обход,
безразлично). Для дальнейшего этот порядок записи цикла flt..., fr имеет
существенное значение. — Прим. перев.
г) Собственно говоря, это определения аг и рг. — Прим. перев.

\S 4. МЕТРИЧЕСКИЙ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК 263
расположен самое большее на at и рг. Луч at действительно содер-
содержит такой отрезок, а именно, зх; чтобы показать, что такой отрезок
лежит и на |3Г, заметим, что |3Г содержится в полуплоскостях Яр
(р = 1, . . ., г) и что для ч > г справедливы неравенства [t*t0] < \t*t,\.
Следовательно, достаточно близкие к t* точки рг принадлежат также
полуплоскостям Я, (v > г). Таким образом, множество аг состоит
не только из точки t*\ следовательно, ог — отрезок или луч, выхо-
выходящий из t*.
Таким образом, граница множества Д со-
состоит из отрезков, лучей и прямых, и и^'
каждого расположенного в круге 11 | < 1
конца отрезка или луча выходит еще один
отрезок или луч.
7.41. Если t*—-конец о„, лежащий на
окружности \t\ = 1, то аналогично доказы-
доказывается, что из t* выходит либо еще один
ЛУЧ °т =? ая> либо ничего не выходит. В
последнем случае множество Д примыкает фИг. 16.
к окружности |^| — 1 вдоль некоторой
дуги, выходящей из точки t*.
Теперь мы дополняем множество Д, возможно, имеющимися у него
предельными точками на окружности 11 \ = 1. Граница полученного
таким образом замкнутого множества состоит из неевклидовых от-
отрезков (соответственно лучей и прямых) и, возможно, дуг окруж-
окружности \t\ = \, причем в каждом конце такой составной части гра-
границы начинается в точности одна другая. Следовательно, Д — много-
многоугольник.
7.42. Теперь мы покажем, что Д — фундаментальный много-
многоугольник группы (Г). Из построения Д в п. 7.33 непосредственно
вытекает, что каждая точка круга 111< 1 имеет в Д эквивалентную
точку. Нам нужно, следовательно, дальше показать, что никакие две
внутренние точки Д не эквивалентны.
Действительно, пусть t — внутренняя точка Д и t' — точка, экви-
эквивалентная t. Пусть tm — точка, которая при преобразовании t-*t'
переходит в точку ^0, и tn — образ tQ. Так как ^ — внутренняя точка Д,
то [tt0] < [ttm\, а отсюда, в силу инвариантности расстояния,
следует неравенство [i'tn] <C [t't0], означающее, что f — внешняя
точка Д.
7.43. Эквивалентные граничные точки. Если в Д вообще имеются
эквивалентные точки, то они должны быть граничными. Две такие
эквивалентные точки tut' имеют одинаковое} расстояние "от точки t0,
так как, согласно п. 7.33, [tto]^.[t'tQ\, а также [^01<Л#0], так что

264 ГЛ. VII. ГРУППЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ /
Мы покажем, что для каждой внутренней точки t стороны ап
многоугольника Д (не лежащей на окружности |?] = 1) имеется одна
и только одна эквивалентная точка.
Пусть t' — произвольная точк'а Д, эквивалентная t (мы предпола-
предполагаем, что такая точка существует), и Т—преобразование t-+t'.
Пусть' tm — точка, которая при этом переходит в t0; тогда
[ttm] = [t%], [tto] = [t%] и тем самым [tfj = [tfob Ta* как/, по
предположению, внутренняя точка стороны <зп, то последнее равен-
равенство может иметь место только тогда, когда т = 'п или /ге = 0.
Второй случай невозможен в силу того, что Т не имеет неподвиж-
неподвижных точек, следовательно, tm — tn, т. е. Т—то преобразование,
которое переводит tn в t0 *). Следовательно, имеется самое большее
одна точка Д, эквивалентная t.
Преобразование tn->t0 действительно переводит t в точку неко-
некоторой стороны <зч. Так как t лежит на ога, то [ttn] = [UQ]', если tr —
образ t0 при этом преобразовании, то отсюда следует, что [t't0] =
= [t'tr]. Напротив, [t't0] < [t%] для чфг, 0. В самом деле, так как
t^ ф tr и t^ ф t0, то прообраз t^ точки t., отличен от ^0 и tn; следо-
следовательно, [#0]<[#,J, ибо t — внутренняя точка <зп, поэтому [t't0] < [t'tj
для ч Ф г, 0. Этим показано, что f — внутренняя точка стороны ог.
Итак, преобразование Т переводит каждую внутреннюю точку зп
во внутреннюю точку <зг. То, что при этом получаются все внутрен-
внутренние точки ог, следует из того, что обратное преобразование tr —> ^0
переводит внутренние точки ог во внутренние точки оп. Наконец,
таким же образом доказывается, что Т преобразует концы о„
в концы ог, тем самым всю сторону <зп в сг.
7.44. Этим показано, что для каждой внутренней точки t (внут-
(внутренней) стороны ап имеется одна и только одна эквивалентная
точка f и что соответствующее преобразование есть то, которое
переводит tn в t0. Если tr—образ ^0, то t' — внутренняя точка сто-
стороны аг и Т переводит всю сторону оп в сторону аг. Следовательно,
стороны Д попарно эквивалентны и Д, как утверждалось, есть фун-
фундаментальный многоугольник группы (Г). Мы называем его метри-
метрическим фундаментальным многоугольником группы.
Заметим еще, что метрический фундаментальный многоугольник обла-
обладает тем свойством, что в различных парах эквивалентных сторон эквива-
эквивалентность устанавливается посредством различных преобразований.
7.45. Примеры. Рассмотрим простой случай, когда группа (Г —
циклическая. Пусть сначала образующее преобразование Т—пара-
Т—параболическое, с неподвижной точкой t — С (К| = 1), и пусть ?0 = 0,
Точки t4 5= Г, @) лежат на окружности К, проходящей через начало О и г,
и касающейся единичной окружности в точке С. Прямыми [#v] = [tt0]
J) tn имеет здесь то же значение, что и в п. 7.39. — Прим. перев.

§ 4. МЕТРИЧЕСКИЙ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК
265
являются ортогональные к [ 11 = 1 дуги окружностей с общей
точкой С.
В последнем можно геометрически убедиться следующим образом:
пусть Р — произвольная точка окружности К и а —угол между на-
направлениями ОР и ОС@<а<^Л. На отрезке ОР выберем точку А.
Тогда существует единственная окружность с центром на продолже-
продолжении ОР, которая ортогональна к окружности 11| = 1 и проходит
через А. Расстояние от центра М этой окружности до О равно
d = -Г .
20A
Для того, чтобы эта окружность проходила через точку С, нужно,
чтобы было l/d=cosa. Но cos a, с другой стороны, есть длина от-
отрезка ОР, так' что это условие означает, что
0X2+1
Но это как раз выражает тот факт, что А делит отрезок ОР на
равные части в смысле неевклидовой метрики. С другой стороны, это
условие содержит указание для построения нашей прямой [#,] = [tt0]:
точка t,, лежит на окружности К; неевклидово расстояние [tot4] нужно
Фиг. 17.
разделить пополам, и через точку деления нужно провести ортого-
ортогональную окружность с центром на продолжении прямой, проходящей
;через t0 и Л,1). *
В этом случае граница метрического фундаментального много-
многоугольника внутри круга |*|< 1 состоит только из прямых [ttj] — [tt0]
!) Пусть К.'—указанная ортогональная окружность. Ее центр М лежит
ра пересечении луча, выходящего из О и проходящего через t4, и прямой,
касательной к окружности 111 = 1 в точке С. То, что К' определяет искомую
Йрямую, становится очевидным сразу, если отобразить круг |<1<1 на полу-
полуплоскость так, что С -> оо. — Прим. перев.

266 ГЛ. VII. ГРУППЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
и \U_X\ = [tt0]. Следовательно, Д — „треугольник", ограниченный
двумя параллельными прямыми 1Х и 1_х и дугой единичной окруж-
окружности (фиг. 17, слева). Стороны 1Х и 1_х связаны преобразованием 7.
Пусть теперь образующее преобразование Т—гиперболическое,
с неподвижными точками Сх и (^ на окружности 11 | = 1. Точки t4
лежат тогда на. окружности, проходящей через Cr t^ и О. Прямые
[#N] = [#ol в этом случае попарно не пересекаются. Следовательно,
метрический фундаментальный многоугольник есть „четырехугольник",
ограниченный прямыми 1Х и 1_х и двумя дугами единичной окруж-
окружности. Стороны /j и 1_х связаны преобразованием Т2 (фиг. 17, справа).
§ 5. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ЧИСЛОВОЙ ПЛОСКОСТИ
НА СЕБЯ
7.46. Группа. В этом параграфе мы рассматриваем дискретную
группу (Т) конформных отображений числовой плоскости на себя,
не имеющих неподвижных точек, следовательно, группу параболиче-
параболических преобразований
Г, (*) = *+*, (N = 0,1,...; 70 (*)«/).
Точки t., сходятся только к t = оо, тек как они эквивалентны
относительно группы (Т).
7.47. Решетка эквивалентных точек. Среди чисел t.t (v = 1, 2, ...)
существует такое ta = <at, которое имеет наименьшую абсолютную
величину | ta; | = гх > 0. Точки t = пш1(п = 0, dc 1, . ..) охватывают
все эквивалентные ^ = 0 точки, расположенные на прямой, опреде-
определяемой точками t = 0 и t = m1. Если преобразования t-t-t-j-n^
(п = 0, ztl, ...) составляют уже всю группу (Г), то замкнутая
полоса, ограниченная двумя проходящими через точки ? = 0, ^ = <о1
параллельными прямыми, есть фундаментальная область группы G).
Можно было бы, аналогично тому, как это было сделано в § 4,
построить „метрическую" фундаментальную область Д; при этом
нужно только вместо понятий неевклидовой геометрии оперировать
с понятиями евклидовой геометрии. Таким образом мы получили бы
полосу Av расположенную перпендикулярно вектору (ог
7.48» Двоякопериодическая решетка. Если, напротив, множе-
множество t^ содержит точки вне прямой @, ч>х), то пусть t* = ш2 — та
из них, расстояние которой ] Ц \ = г2 от точки t = 0 является мини-
минимальным. Группа содержит тогда все преобразования /->/-f-a>, где
(«1( Яа = 0, ±1, ...)• G.11)
С другой стороны, среди этих преобразований содержатся все пре-
преобразования группы. Для доказательства предположим, что oj и о^ —

8 5. ОТОБРАЖЕНИЯ ЧИСЛОВОЙ ПЛОСКОСТИ НА СЕБЯ 267
замкнутые треугольники @, mv <в2) и @, —mv —<в2). Множеству
<jj-f-3o> кроме пяти вершин, не принадлежат никакие точки t4. Пре-
Преобразование t->t-\-w переводит треугольники а* и о2 в два тре-
треугольника о^ и о^. Когда <о пробегает значения G.11), совокупность
этих треугольников покрывает без пропусков всю плоскость t.
Если теперь t-+t~\-t' — произвольное преобразование группы (Т),
то среди точек ш-f-f' [<» пробегает множество G.11)] имеется точка
шо-|-^'. принадлежащая oJ-)-o^. Она должна совпадать с одной из
пяти вершин, следовательно, она, а тем самым и t',—точка решетки.
Итак, преобразования имеют вид ?->-?-|~<о, где да пробегает значе-
значения G.11).
Следовательно, множество sJ-j-a-J есть (замкнутая) фундаменталь-
фундаментальная область. Если к ajj применить преобразование t -»¦ t + <а±-f- <ва и
сохранить oj, то получим новую фундаментальную область группы (Т)
в форме параллелограма
Также и здесь, аналогично § 4, можно построить метрический
«фундаментальный многоугольник. В общем случае он имеет более
четырех сторон. Например, в случае, когда предыдущий параллелограм
есть ромб с острым углом и/3, в качестве метрического фундамен-
фундаментального многоугольника получается правильный шестиугольник
с центром в точке t = О,

Глава VIII
УНИФОРМИЗАЦИЯ ;
Согласно гл. II, каждая риманова поверхность R имеет односвяз-
ную универсальную поверхность наложения R. По теореме Римана
об отображении, эта поверхность может быть отображена взаимно
однозначно и конформно на нормальную область Е замкнутой число-
числовой плоскости. Таким образом не только для универсальной поверх-
поверхности наложения R, но и для основной поверхности R получается
простое нормальное представление в виде евклидовой или неевклидо-
неевклидовой полиэдрической поверхности. Это представление ведет, в част-
частности, к решению общей проблемы униформизации.
Метод универсальной поверхности наложения, восходящий,
к Шварцу1), образует также простую основу для изучения многих
других проблем теории отображений и функций на римановых по-
поверхностях. Некоторые из них будут рассмотрены в §§ 1—3 этой
главы.
§ 1. НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ
8.1. Эллиптический случай. В дальнейшем мы рассматриваем
произвольную риманову поверхность R, строим для нее универсальную
поверхность наложения R и отображаем последнюю топологически и
конформно, по теореме Римана об отображении, на нормальную
область Е. При этом следует различать три случая: поверхность R
может быть эллиптической, параболической или гиперболической.
Эллиптический случай имеет место тогда и только тогда, когда
поверхность R = R замкнута и имеет тип сферы; об этом случае
больше нечего сказать, и мы не будем его рассматривать.
8.2. Параболический случай." Пусть R — риманова поверхность,
универсальная поверхность наложения которой R параболична, т. е.
конформно эквивалентна числовой плоскости t Ф со. R получается
из R отождествлением точек, эквивалентных относительно преобра-
преобразований наложения (Г). Соответственно структуре группы (Г), мы
будем различать следующие случаи (ср. § 5 гл. VII):
Ср. переписку между Клейном и Пуанкаре [2].

S 1. НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ 269
Если (Г) состоит только из тождественного преобразования, то
поверхности R и R конформно эквивалентны; следовательно, R сама
конформно эквивалентна числовой плоскости t ф оо.
Если (Г) состоит из кратных преобразования T(t)~t-\-o)v то с
помощью преобразования
w = e ">
поверхность R отображается топологически и конформно на область
0<|«i|<oo. Следовательно, в этом случае поверхность R кон-
конформно эквивалентна числовой сфере с двумя выколотыми точками.
Пусть, наконец, (Г) — группа, порожденная двумя преобразова-
преобразованиями Гх(t) = t-\-шх и T2(f) = ?-j-«oa. Тогда /? получается из фун-
фундаментального параллелограма отождествлением противоположных
сторон. В этом случае R — замкнутая поверхность с характеристи-
характеристикой у = О (рода 1).
В первых двух случаях класс поверхностей, конформно эквива-
эквивалентных R, однозначно определяется структурой группы преобра-
преобразований наложения, так как всякие две числовые сферы с одной,
соответственно с двумя, выколотыми точками конформно эквивалентны.
Напротив, для замкнутой поверхности с характеристикой нуль это
не так. В п. 8.17 будут перечислены все конформные классы поверх-
поверхностей этого топологического типа.
8.3. Гиперболический случай. Из предыдущего видно, что, за
исключением весьма специальных случаев, универсальная поверхность
наложения R римановой поверхности R является гиперболической.
Этот общий случай мы сейчас и будем рассматривать. При этом
сначала мы ограничимся компактными поверхностями R.
Итак, пусть R — замкнутая поверхность, универсальная поверх-
поверхность наложения которой R гиперболична. Метрический фундамен-
фундаментальный многоугольник ти лежит тогда целиком внутри1) круга |f|< 1,
и соответствующий нормальный многоугольник имеет поэтому форму
(см. п. 7.27)
Таким образом, справедливо предложение:
Каждая замкнутая риманова поверхность R, универсальная
поверхность наложения которой гиперболична, получается из
многоугольника тс отождествлением его сторон согласно схеме (р).
!) В самом деле, если на ^? ввести метрику, определенную неевклидовым
линейным элементом поверхности R (ср. п. 8.8), то расстояние между двумя
точками на ./?, в силу компактности этой поверхности, имеет конечный ма-
максимум. Поэтому каждый фундаментальный многоугольник группы (Г) должен
находиться в некотором круге |^| О< 1.

270 ГЛ. VIII. УНИФОРМИЗАЦИЯ
8.4. Условие для рода. Мы покажем, что случай р = 1 невозмо-
невозможен, другими словами, что род замкнутой римановой поверхности,
универсальная поверхность наложения которой гиперболична, не
меньше 2.
Для этого вернемся обратно к метрическому фундаментальному
многоугольнику тс и обозначим соответственно через я и а число его
сторон и число классов вершин. Тогда, согласно п. 3.17, характе-
характеристика поверхности, представленной тс, равна у =— а-)-я—1.
Нам нужно, следовательно, показать, что при заданных условиях
— а + я—1>1.
Пусть- Q — сумма углов тс. Тогда 2тс<х = Q, так как каждый класс
вершин тс дает для Q в точности величину 2ти. В самом деле, если
ер(р = 1, . .., г) — вершины класса, то для каждой вершины е? суще-
существует преобразование Гр, переводящее ер в ev При этом ти пере-
переходит в многоугольник тгр (тс1 = ти), имеющий с тс общую вершину е1.
Поэтому многоугольники тср образуют цикл вокруг ev Внутренний
угол в вершине ер равен внутреннему углу тср в вершине е±, и, сле-
следовательно, сумма этих внутренних углов действительно равна 2тс.
Чтобы подсчитать число я, учтем, что сумма углов Q неевклидова
(гиперболического) 2я-угольника равна
д = 2тс(я—1) —3,
где 8 означает (положительный) угловой дефект1). Из обоих равенств
для а и п вытекает, что
следовательно, /^-1, что и требовалось доказать.
8.5. Топологическая структура замкнутых поверхностей. Итак,
мы получили обзор всех возм'ожных случаев топологической струк-
структуры замкнутой римановой поверхности R:
Если универсальная поверхность наложения R эллиптична, то R
является сферой.
Если поверхность R параболична, те R получается из параллело-
грама плоскости z отождествлением эквивалентных сторон и, сле-
следовательно, может быть представлена схемой
аЬа'Ъ'.
1) Эту фундаментальную теорему неевклидовой геометрии доказывают
с помощью модели Пуанкаре сначала для треугольника, переводя его с по-
помощью неевклидова движения в частное положение @, tb ?2). Евклидов тре-
треугольник @, tb t%) описан тогда вокруг соответствующего неевклидова и
поэтому имеет большую сумму углов, чем неевклидов. Для неевклидова
многоугольника теорема получается путем его разбиения на треугольники.
[См. А. И. Маркушевич [1**], стр. 116, и Форд [1*], стр. 256, —Прим.
перев.]

§ 1. НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ 271
Если, наконец, поверхность R гиперболична, то R получается из
4/?-угольника {р > 2) числовой плоскости отождествлением его сто-
сторон согласно схеме
a^a'ibi . .. apbpopb'p. (p)
Так как каждая отличная от сферы замкнутая поверхность может
быть представлена в предыдущем виде с помощью 4/?-угольника
(р~^1) и ее характеристика связана с р соотношением ^ = 2(р — 1),
то характеристика всегда четна и ;> 0 (см. п. 5.8).
Две поверхности одного и того же рода хотя и эквивалентны
топологически, однако (если исключить случай р = 0) в общем слу-
случае не эквивалентны конформно. В § 3 для р = 1 будут установ-
установлены все конформные классы этого топологического типа.
8.6. Поверхности с краем. Остается рассмотреть открытые
римановы поверхности R; соответствующий метрический фундамен-
фундаментальный многоугольник 1г доходит тогда до единичной окружности
|?| = 1. Мы ограничимся здесь случаем, когда это происходит вдоль
конечного числа дуг 1{ этой окружности и, напротив, не имеет места
для изолированных вершин. Пусть, далее, общее число сторон и ко-
конечно. Тогда, согласно п. 7.31, многоугольник и может быть при-
приведен к нормальной форме
a^a'tb't . . . a^apbpC^c't .. . crlrc'r. (r)
Поверхность R получается из и удалением лежащих на окруж-
окружности |?| = 1 свободных сторон и отождествлением эквивалентных
относительно группы (Т) сторон, расположенных в круге |^|< 1.
Числа р и г называются соответственно родом и краевым числом
(RSnderzahl) поверхности R. Название „краевое число" оправдывается
следующим образом: если сохранить свободные стороны многоуголь-
многоугольника я и отождествить эквивалентные его стороны, то получится
некоторая компактная поверхность с краем R*; из нее R получается
удалением „края".
8.7. Произвольные открытые поверхности. Триангулируемость.
Остается рассмотреть те некомпактные поверхности R, метрические
фундаментальные многоугольники которых примыкают к единичной
окружности более сложным образом, чем в предыдущем пункте. Для
этих случаев нельзя указать никаких нормальных форм, однако можно
показать, что, каким бы сложным ни был многоугольник тг, такая
поверхность всегда сохраняет очень важное топологическое свойство:
она триангулируема.
Действительно, пусть р<!|?|О — произвольное кольцо, лежа-
лежащее в круге \t\ < 1. Его пересечение с я состоит из конечного
числа многоугольников. Выберем последовательность гх < г2 < ....

272 гл. viii. уМиформизАцйй
гп -*¦ 1, и для каждого v рассмотрим пересечение кольца г, -^ 11 | <^
<! г,+1 с iu. Мы получим счетное множество многоугольников, обра-
образующих замощение многоугольника и. Чтобы отсюда получить три-
триангуляцию, нужно только отдельные составляющие многоугольники
разделить подходящим образом на (криволинейные) треугольники.
При этом нужно еще следить за тем, чтобы с каждой новой точкой
деления стороны я к числу вершин присоединялась и эквивалентная
ей точка.
Для замкнутых римановых поверхностей и римановых поверхно-
поверхностей с краем триангулируемость усматривается непосредственно из
формы метрического фундаментального многоугольника (или также
из предыдущего построения). Этим в общем случае показано, что
каждая риманова поверхность триангулируема.
8.8. Метризация римановой поверхности. В ходе предыдущего
исследования .мы неоднократно использовали неевклидову метрику
римановой поверхности R, если эта поверхность была односвязна и
имела гиперболический тип. Для определения этой метрики мы ото-
отображали R на единичный круг \t\ < 1 и, следуя Пуанкаре, опреде-
определяли линейный элемент с помощью выражения
Построение универсальной поверхности наложения позволяет ввести
соответствующую неевклидову (гиперболическую) геометрию на каждой
замкнутой или открытой римановой поверхности R, если ее универ-
универсальная поверхность наложения R гиперболична. Сначала вводят мет-
метрику Пуанкаре на R; в силу инвариантности линейного элемента dz
относительно конформных отображений единичного круга на себя,
do принимает одинаковое значение во всех точках R, эквивалентных
относительно группы преобразований наложения (Г), благодаря чему
элемент do однозначно определен и на основной поверхности R.
В тех немногих случаях, когда R — не гиперболического типа,
можно основную поверхность R метризовать аналогичным образом.
В параболическом случае естественной метрикой R и R является
обыкновенная евклидова метрика.
В эллиптическом случае, когда поверхность R = R конформно
эквивалентна сфере, имеет место сферическая геометрия с линейным
элементом

§ 2. ПРОДОЛЖАЕМОСТЬ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ 273
§ 2. ПРОДОЛЖАЕМОСТЬ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ
8.9. Продолжение и замыкание. Понятие продолжаемости ра-
мановой поверхности впервые привлекло большое внимание благо-
благодаря Радо [2]. Согласно Радо, риманова поверхность R называется
продолжаемой, если существует другая риманова поверхность Rv
такая, что R конформно эквивалентна подобласти /?t поверхности R*;
при этом Rt должна иметь точки, внешние относительно R1% Если /?t
не имеет внешних точек относительно Rlt но имеет по крайней мере
одну точку, не принадлежащую Rit то мы называем Rt замыканием
поверхности /?t. Вообще говоря, поверхность незамыкаема и непро-
должаема х).
Пусть Rt — продолжение римановой поверхности R. Область на
Rv конформно эквивалентную R, мы снова обозначаем через R. Пусть
Rt — универсальная поверхность наложения Rv Тогда множество R
прообразов точек R на Rt (если только оно связно) представляет
собой безграничную поверхность наложения для R с проектирова-
проектированием Rt —> Rv Так как Rt имеет внешние точки относительно R,
то то же самое справедливо для Rt относительно R. Следовательно,
если к поверхности R± применено риманово отображение, то R
переходит при этом в некоторую область Ow на w-сфере,
такую, что дополнение к ней содержит целый круг. Поэтому ука-
указанное отображение можно нормировать так, чтобы область Gw была
ограничена.
Пусть, с другой стороны, R — универсальная поверхность нало-
наложения R. Она является поверхностью наложения и R, тем самым и
ограниченной области Ow, поэтому она должна быть гиперболической.
Следовательно, универсальная поверхность наложения продолжаемой
поверхности — всегда гиперболического типа.
Отсюда, в частности, следует, что числовая сфера и числовая
плоскость непродолжаемы.
8.10. Критерий продолжаемости. Для продолжаемости римано-
римановой поверхности, очевидно, достаточно, чтобы метрический фунда-
фундаментальный многоугольник it имел свободную „идеальную" граничную
дугу на единичной окружности \t\ — 1.
В самом деле, если многоугольник и имеет свободную граничную
дугу на окружности \t\ = 1, то можно R продолжить, например, с по-
помощью так называемого удвоения, присоединяя многоугольник и*, полу-
получаемый при зеркальном отражении it относительно свободной дуги.
1) Этот вопрос более подробно исследован Сарио в его диссертации [1];
вместо терминов „продолжение" и „замыкание" он использует названия
'.собственное', соответственно „несобственное", продолжение. См. также де
Поссель [1].
18 Зак. 295. Р. Неванлннна

274 ivi. vui. униформизация
Вообще говоря,- нельзя утверждать, что предыдущее условие
также и необходимо для продолжаемости поверхности R. Все же
справедливо следующее.
Пусть R — продолжаемая риманова поверхность и /?х— ее про-
продолжение. Тогда граница R на Rt обязательно содержит континуум
•/. Пусть х содержит свободную жорданову дугу а и М — внутрен-
внутренняя точка а. Вокруг М возьмем столь малый кружок К, располо-
расположенный в параметрической (относительно R±) окрестности М, чтобы
пересечение KR = G было односвязным. Пусть/?—универсальная
поверхность наложения R. Пересечению О соответствуют на R не-
некоторые односвязные области, связанные с О взаимно однозначно
проектированием; пусть О — любая из них. Тогда отображение
G -> 6 может быть продолжено на граничную дугу а области G.
Этой дуге соответствует дуга на границе области О. Она распо-
расположена на окружности 11 \ — 1: в самом деле, внутренним точкам
t \ < 1 при отображении соответствуют всегда точки Я, а же не
принадлежит R.
Пусть теперь Д — фундаментальный многоугольник поверхности/?,
содержащий область G. Внутренние точки Д взаимно однозначно
соответствуют точкам R. Области О соответствует на R область G.
Как показано выше, продолжение отображения G ^>-G переводит
дугу а в дугу на окружности 111 = 1. Поэтому многоугольник Л
должен вдоль всей этой дуги примыкать к окружности 11 \ = 1.
8.11. Примеры. В качестве примера рассмотрим случай, когда
метрический фундаментальный многоугольник Д поверхности R имеет
конечное число сторон и вдоль некоторых из них, но не по отдель-
отдельным вершинам, примыкает к окружности |f| = l. Тогда его всегда
можно привести к указанной в п. 8.6 нормальной форме (г). Если
к Д присоединить многоугольник Д*, симметричный Д относительно
окружности | ? | = 1, и отождествить также и на Д* соответствующие
друг другу стороны, то получится некоторая поверхность Rv содер-
содержащая R как часть. Что касается топологической структуры Rv то
R± — замкнутая поверхность, род которой можно подсчитать непо-
непосредственно, если учесть, что Rt может быть представлена двумя
многоугольниками
• • • apbpapbp,
. . . Cfl, Cy (X\b\d\ b\ ... cipbpCip bp
с указанным выше соответствием сторон. Таким образом найдем,
что oig = 2, аг = Зг-|-4р, ао=:г~(-2 и знакочередующаяся сумма
% = 2г-|-4/? — 4. Отсюда вычисляем род pt через род /? и краевое
число г поверхности R: pL~2p-\-г—1,

§ 2. ПРОДОЛЖАЕМОСТЬ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ 275
Однако предыдущая поверхность Rt определена не только топо-
топологически, но и как риманова поверхность. Чтобы в этом убедиться,
проще всего снова исходить из многоугольника Д и зеркального его
образа Д*. Нужно только рассмотреть точки, являющиеся концами
произвольной свободной стороны. Если А — такая точка, то она
имеет одну и только одну эквивалентную точку А' и преобразование
А-+А' переводит выходящую из А внутреннюю сторону а в выхо-
выходящую из А' внутреннюю сторону а', а также и отраженную сто-
сторону а* в соответствующую сторону а'*, ибо а и а' — дуги окруж-
окружностей, ортогональных к окружности j t \ = 1. Если теперь К—
пересечение достаточно малого круга с центром в А с Д, то „полу-
„полуокрестность" К-\-К* точки А переходит при преобразовании А -> А'
в „полуокрестность" точки А'. Эти полуокрестности при отожде-
отождествлении эквивалентных относительно А -*¦ А' дуг окружностей опре-
определяют параметрическую окрестность точки поверхности, представ-
представленной точками А и А'.
8.12. В качестве другого примера рассмотрим случай, когда мет-
метрический фундаментальный многоугольник есть четырехугольник
с нулевыми углами, у которого противо-
противоположные стороны эквивалентны (фиг. 18).
Поверхность R можно замкнуть. В самом
деле, если присоединить к четырех-
четырехугольнику четыре вершины, лежащие на
окружности |/|=1, и отождествить их,
то получим компактную поверхность рода
р=1. Сначала она не является римано-
вой поверхностью, так как точка Р, со-
соответствующая четырем вершинам, еще
не имеет параметрической окрестности,
связанной конформным отображением фиг- 18-
с ее соседними окрестностями. Нам нужно
и этой точке поставить в соответствие такую окрестность.
Для этого рассмотрим отображение Т., (у = 1, 2), переводящее
сторону /,, в сторону L, (см. фиг. 18); пусть Кг — окружность, про-
проходящая через Рх и ^ = 0 и касающаяся окружности |?| = 1 в Рх.
Окружность Кх при отображениях 77*\ Т^ТТ1, Та переходит
в окружности /С2, /С,, /Q, проходящие через Р2,Р3,Р4. Каждая из окруж-
окружностей Ki(t=i, 2, 3, 4) вырезает из четырехугольника Д сектор
Sit ограниченный дугой этой окружности и двумя боковыми сто-
сторонами. Если к 52 применить преобразование Tv то получим новый
сектор S2, граничащий с Sv Точно так же с помощью преобразо-
преобразований ТХТ% и ТхТ2Тгх получим соответственно из 53 и 54 два сек-
сектора, которые вместе с St и 52 образуют один сектор S вокруг
18*

276 ГЛ. VlII. УНИФОРМИЗАЦЙЯ
точки Pt. Эквивалентность свободных сторон 5 устанавливается тогда
посредством преобразования Г= Т^Т^Т^Т^1.
Из сектора 5 можно теперь построить требуемую параметриче-
параметрическую окрестность точки Р. Для этого отобразим 5 на круг так,
чтобы эквивалентные точки сторон переходили в одинаковые точки
круга. Для предыдущего преобразования Т точка Рх во всяком слу-
случае является неподвижной точкой. Предположим сначала, что пре-
преобразование Т—параболическое, следовательно, может быть пред-
представлено в виде
? р — л f "T" 2tf (Pt < > С),
где X — вполне определенное действительное число. Рассмотрим ото-
отображение
— f
Оно переводит окружность /Q в прямую Re (т) = А и ограниченный
ею круг — в ту полуплоскость, которая не содержит точку т = 0.
Стороны 5 переходят в прямые, параллельные действительной оси,
и тем самым сектор 5 — в параллельную полосу указанной полу-
полуплоскости. Если t и f — эквивалентные точки S, следовательно,
то для их образов справедливо соотношение x' = x-f-2irt. Отсюда
следует, во-первых, что ширина полосы' равна 2тс и, во-вторых, что
точки х и •z-\-2i:i эквивалентны.
Отображение з = е~т, соответственно о — е~ (в зависимости от
того, будет ли X > 0 или < 0), переводит далее нашу параллельную
полосу в область /Q: 0<jo|<e~lxl, причем взаимно однозначно,
исключая граничные прямые, которые переходят в один и тот же
радиус, так что точки х и t-(-2it/ переходят в одну и ту же точку.
Поэтому
_I2JL5
з = е г-~г
есть отображение, переводящее сектор 5 в круг К\ так, что экви-
эквивалентные точки свободных сторон переходят в одинаковые точки.
В случае, когда преобразование Т гиперболическое, искомое
отображение может быть построено аналогично.
Если теперь точке Р, соответствующей четырем вершинам, по-
поставить в соответствие круг К\ в качестве параметрической окрест-
окрестности, то соотношения соседства все будут конформными, независимо
от того, на какой из четырех сторон Д лежит вторая рассматриваемая
точка (соседняя с Р). Этим показано, что R — риманова поверхность.

§ 3. КОНФОРМНЫЕ КЛАССЫ 277
§ 3. КОНФОРМНЫЕ КЛАССЫ
8.13. Постановка проблемы. В этом параграфе будет исследован
вопрос о конформной эквивалентности двух заданных римановых
поверхностей. В частности, для двух конформно эквивалентных поверх-
поверхностей /?х и /?2 нас интересует вопрос о совокупности всех соответ-
соответствующих конформных отображений: это ведет к проблеме описания
всех конформных отображений заданной римановой поверхности
на себя.
Пусть Rt и R2— две конформно эквивалентные римановы поверх-
поверхности и » — взаимно однозначное конформное отображение Rt -*¦ Rr
Если тогда а— конформное отображение Rt на себя, то и оа — кон-
формное отображение ^-^R^. Обратно, если <Ь — другое конформное
отображение #!-»- R2, то ty-^cp — конформное отображение Rt на себя.
Следовательно, совокупность конформных отображений Rt -»¦ /?.2
задается соотношением
? = ?о«.
где <р0— частное отображение R1-*R.2 и а — произвольное конформное
отображение Rt на себя.
Таким образом, проблема нахождения всех конформных отобра-
отображений двух поверхностей Rt и R.2 друг на друга распадается на две
части: во-первых, нужно выяснить, при каких условиях вообще сущест-
существует конформное отображение R1 -»• /?2; во-вторых, нужно найти
совокупность всех конформных отображений римановой поверхности
на себя.
8.14. Критерий конформной эквивалентности. Мы исследуем
сначала первый вопрос. Пусть Rt и R2— две поверхности и Rv
соответственно R,2, — их универсальные поверхности наложения. В каче-
качестве последних можно принять, по теореме Римана об отображении,
нормальные области Е (числовая сфера, числовая плоскость, единич-
единичный круг).
¦¦, Если Rt и R2 конформно эквивалентны, то прежде всего совпа-
совпадают нормальные области: Е1 = Е2 = Е. Затем, согласно п. 2.76,
Существует топологическое отображение 5 области Е на себя, которое
^ереводит друг в друга группы преобразований наложения (Гг) и (Г2):
г _ G^) = 5G\M-1. (8.1)
^Проектирования ot : Е -*¦ Rt и з2 : Е -*¦ R2 и отображение » : Rt ¦*—>¦ R%
^конформны. То же самое, в силу того, что o2S = <?3V справедливо и
;Для отображения 5.
| Обратно, если Е1 = ?а = Е и существует конформное отобра-
отображение 5 области Е на себя, такое, что имеет место равенство (8.1),
|ГО поверхности Rx и R%, согласно п, 2,76, гомеоморфны, и из

278 ГЛ. VIII. УНИФОРМИЗАЦИЯ
формности отображений S, Е -*¦ Rx и Е -*¦ R2 следует, что отобра-
отображение Rt<—*¦ R2 конформно.
8.15. Это условие преобразуемости G^) в (Г2), являющееся решаю-
решающим в вопросе о конформной эквивалентности поверхностей Rt и /?2,
может быть выражено через некоторое свойство фундаментального
многоугольника.
Пусть (8.1) имеет место для некоторого отображения 5 об-
области Е на себя. Если тогда t и t' — две точки Е, эквивалентные
относительно G^), то точки S(t)aS(t') эквивалентны относительно
(Т2), и наоборот. Поэтому каждому фундаментальному многоуголь-
многоугольнику itx группы (Tj) соответствует при отображении 5 фундамен-
фундаментальный многоугольник 1г2 группы (Г2). Если s1 и s't—две экви-
эквивалентные стороны и1 и 7\ — преобразование st->Sj, то стороны-
образы 52 и s'2 эквивалентны относительно преобразования STj^S'1.
В частности, отвечающий точке tt метрический фундаментальный
многоугольник Ttt группы G\) переходит в отвечающий точке t2 = Sft^)
метрический фундаментальный многоугольник те.2 группы (Г2). Следо-
Следовательно, эти метрические фундаментальные многоугольники кон-
конгруэнтны. Обратно, если эквивалентность отвечающих двум точ-
точкам tx и t.2 метрических фундаментальных многоугольников тсх и тто
устанавливается посредством 5 так, что при этом соответствие Tt
сторон itj переходит в соответствие ST^'1 сторон iua, то 5 переводит
группу преобразований наложения (Т^) в группу (Т2); следовательно,
в этом случае поверхности Rt и R.2 конформно эквивалентны.
Итак, для конформной эквивалентности двух римановых поверх-
поверхностей Rt и R2 необходимо и достаточно, чтобы метрические фунда-
фундаментальные многоугольники Uj и ти2 можно было отобразить друг
на друга с помощью конформного отображения 5 области Е на себя,
относительно которого соответствия сторон инвариантны.
Если отображение S присоединить к отображению Rx -> Е, то это
условие можно сформулировать следующим образом:
Две римановы поверхности тогда и только тогда конформно
эквивалентны, когда соответствующие фундаментальные много-
многоугольники при соответствующем нормировании отображений на
нормальные области совпадают, так же как и соотношения их
сторон.
8.16. Мы переходим теперь к фактическому определению клас-
классов конформной эквивалентности, причем должны ограничиться про-
простейшими случаями. В общем случае наш вопрос можно поставить
так: дана одна из трех нормальных областей Е; требуется определить
конформные классы римановых поверхностей, универсальная поверх-

§ 3. КОНФОРМНЫЕ КЛАССЫ 279
наложения которых есть Е. В соответствии с этим нам нужно
различать три случая: Е может быть числовой сферой, числовой
плоскостью и единичным кругом.
8.17. Эллиптический и параболический случаи. Если Е— чи-
числовая сфера, то каждая поверхность R, для которой Е — универ-
универсальная поверхность наложения, конформно эквивалентна числовой
сфере. Следовательно, в этом случае существует лишь один кон-
конформный класс.
Пусть теперь Е—числовая плоскость. Тогда, в соответствии со
структурой группы преобразований наложения (Г), имеются, согласно § 5
гл. VII, три возможности:
1. Группа (Г) тривиальна. Тогда и [изоморфная (Г)] фундамен-
фундаментальная группа поверхности R тривиальна; следовательно, R одно-
связна и тем самым конформно эквивалентна Е, т. е. числовой пло-
плоскости.
2. (Г) есть группа сдвигов с одной образующей:
T(f) = t-\-nm0 (я = 0, ±1, ...)•
Поверхность R получается тогда из параллельной полосы отождест-
отождествлением обеих ограничивающих ее прямых. Поэтому отображение
w = e -'
переводит R в область 0< |гг;|< со. Следовательно, поверхности R,
соответствующие любым двум значениям ш0, конформно эквивалентны;
таким образом, мы получаем в точности один конформный класс,-
в согласии с тем, что две параллельные полосы можно перевести
друг в друга с помощью конформного преобразования плоскости.
3. G) есть группа сдвигов с двумя образующими:
T(t) = t -f- п1ш1 -f- лаа>2 (пи п.} — целые числа).
В этом случае R получается из фундаментального параллелограма
(О, (Oj, ша, (Oj-J-Ojj) отождествлением противоположных сторон. Сле-
Следовательно, R — замкнутая поверхность и ее характеристика -/ = 01).
Теперь нужно только выяснить, когда двум ргшеткам (mv а>а) и
(oi'v сер отвечают конформно эквивалентные поверхности. Со-
Согласно п. 8.14, для этого необходимо и достаточно, чтобы ре-
решетки можно было перевести друг в друга конформным отображением
!) При варьировании пары периодов (<ov ш.л) таким образом действительно
получается совокупность всех замкнутых римановых поверхностей с харак-
характеристикой, равной нулю (рода 1), так как для каждой такой поверхности R
универсальная поверхность наложения R, согласно п. 8.4, параболична.

280 ГЛ. VIII. УНИФОРМИЗАЦИЯ
плоскости на себя, следовательно^ преобразованием вида ? — At-\-B.
Как известно (и как легко доказать), это возможно тогда и
только тогда, когда существуют такие целые числа а, Ь, с, d
с определителем
a b
с d
что
Это условие всегда выполняется, когда решетки подобны, т. е.
когда cOjU^ — (o2<Oj = 01).
8.18. Модулярная группа. Предыдущий критерий позволяет
дать изящное представление конформного класса в случае р = 1.
Если положить г = «Oj/o^ и т' = <»2/%. то предыдущее условие при-
принимает вид
Эти преобразования, где, следовательно, а, Ь, с, d — целые числа
с определителем, равным единице, образуют группу, так называемую
модулярную группу; они конформно отображают верхнюю (и ниж-
нижнюю) полуплоскость Im т > 0 (Im x < 0) на себя. Этим каждому
классу комплексных чисел (-с), эквивалентных относительно модулярной
группы, поставлен во взаимно однозначное соответствие конформный
класс римановых поверхностей с характеристикой, равной нулю. Мно-
Множество этих т-классов теперь может быть само сделано римановой
поверхностью Ят; из предыдущего тогда следует, что имеется взаимно
однозначное соответствие между точками /?т и конформными клас-
классами римановых поверхностей с характеристикой, равной нулю.
Чтобы построить поверхность /?т, будем исходить из фундамен-
фундаментальной области модулярной группы. Такую область представляет
неевклидов2) четырехугольник, составленный из „треугольника"
') Указанное условие подобия решеток (<t>v e>a) и (ч>[, ч>2) связано со спе-
специальным выбором «Oj, o>2 (или ч>[, ч>'г). В общем случае следовало бы писать
* ' г,
o2wi = "¦ где
как известно, решетки (m^, ш2) и (a>v о>2) совпадают (см., например, Н. И. Ахие-
зер [1**]). — Прим. перев.
2) Интерпретация полуплоскости i\)>0 (т = t-\-ii\) как гиперболической
плоскости получается путем линейного конформного преобразования нз мо-

§ 3. КОНФОРМНЫЕ КЛАССЫ
281
-1/2 О +//2
Фиг. 19.
%—-—, i, ooj (фиг. 19) и зеркально симметричного относи-
относительно мнимой оси треугольника Да *). При этом симметрично распо-
расположенные стороны обоих треугольников нужно отождествить.
Определенная этим риманова поверхность /?т конформно эквива-
эквивалентна плоскости С. Чтобы это показать, построим конформное отобра-
отображение четырехугольника на плоскость С так,
чтобы каждые две граничные его точки,
симметричные относительно мнимой оси,
переходили в одну и ту же точку и чтобы
в остальном отображение было. взаимно
однозначным. Сначала можно конформно
отобразить треугольник At на верхнюю полу-
полуплоскость, причем так, чтобы вершины пере-
перешли соответственно в точки @, 1, ооJ).
Продолжая это отображение по принципу
симметрии через действительную полуось
A, оо), получим, очевидно, искомое ото-
отображение.
Этим каждой точке С числовой плоскости (I Ф оо) поставлен в соот-
соответствие класс фундаментальных параллелограмов, определяющих
один и тот же конформный класс. В частности, точке С = 0 соответ-
соответствует параллелограм, составленный из двух равносторонних тре-
треугольников, а точке С = 1 — квадрат. Если С -*¦ оо, то и г -*¦ оо
(в нашей фундаментальной области). Поэтому С = оо естественно по-
поставить в соответствие те поверхности, фундаментальный многоугольник
которых есть параллельная полоса. После замыкания (в смысле п. 8.9)
такая поверхность становится конформно эквивалентной числовой сфере,
поэтому точку С = оо можно также рассматривать как представителя
числовой сферы5).
••. При неограниченном продолжении по принципу симметрии функ-
<ции С СО в верхней полуплоскости 1т(т)>0 получается эллипти-
эллиптическая модулярная функция. Она отображает верхнюю полу-
полуплоскость Im СО > 0 на бесконечиолистную поверхность наложения
{Плоскости с выколотыми точками С = 0, 1, оо. Над С = 0 и С=1
'режат точки разветвления соответственно порядка 2 и 1, а над
| = оо — логарифмические точки разветвления.
дели Пуанкаре, введенной в единичном круге Е. Инвариантный неевклидов
|винейный элемент задается через rfo = '—'; геодезическими линиями являются
|(уги окружностей, ортогональных к действительной оси.
" ») См. Н. И. Ахиезер [1**], п. 9. — Прим. перев.
а) Указанная нормировка отображения At связана со следующим далее
Цэмечанием об эллиптической модулярной функции С(т). — Прим. перев.
8) При изложении случая С = оо мы несколько отступили от ориги-
а. — Прим. перев.

282 ГЛ. VIII. УНИФОРМИЗАЦИЯ
8.19. Гиперболический случай. Этот случай существенно сложнее
обоих уже рассмотренных, так как множество групп конформных
отображений единичного круга на себя, не имеющих там неподвижных
точек, значительно обширнее, чем в случае числовой плоскости.
Однако не легко обозреть даже классы поверхностей, соответствующих
группе (Г) с заданной структурой.
8.20. Простейшие случаи. Рассмотрим две наиболее простые
возможности.
1. Если группа (Г) тривиальна, то поверхность R = R односвязна
и тем самым конформно эквивалентна единичному кругу |ff|< 1. Сле-
Следовательно, все такие поверхности принадлежат одному и тому же
конформному классу.
2. Группа (Г) циклическая.
Пусть сначала образующее преобразование Т гиперболично. Не
будет ограничением общности, если мы предположим, что неподвиж-
неподвижными точками являются Cj = 1 и С2 = — 1, так как этого всегда
можно добиться конформным отображением единичного круга на себя.
Следовательно, преобразование Т имеет вид
где А — действительное положительное число (см. п. 7.3). Так как
преобразование 71 получается из Т заменой А на 1/А, то можно
Т нормировать так, чтобы было А > 1.
Будем теперь рассматривать, наряду с поверхно:тью R, круговое
кольцо К: 1 < |г|<г. Тогда функция
In ^ 1:1 г
г — е ^~
(где логарифм нужно нормировать так, чтобы 0<arg^<7i) oio-
бражает верхнюю полуплоскость Imr, > 0 взаимно однозначно и
конформно на круговое кольцо К. При этом две точки г, и С' тогда
и только тогда переходят в одну и ту же точку z, когда
Если мы отобразим верхнюю полуплоскость Im С > 0 с помощью ли-
линейного преобразования
на единичный круг |?|< 1, то круг в силу отображения t-*-^.-*-z
становится универсальной поверхностью наложения кругового коль-
кольца К- Две точки tut' имеют одну и ту же проекцию, если

§ 3. КОНФОРМНЫЕ КЛАССЫ 283
они эквивалентны относительно циклической группы, порожденной
преобразованием
f 1 ЁИ_ / 1
V ' г)
t' -\- 1 (| 1 '
Следовательно, Tr— образующая группы преобразований наложения.
Если мы выбираем радиус г так, что
е~\пг __ Д1
то группы преобразований наложения Е -у R и Е -у К совпадают.
Согласно п. 8.14, это означает, что поверхность R конформно экви-
эквивалентна круговому кольцу К. Этим показано, что поверхность
с циклической фундаментальной группой конформно эквивалентна
круговому кольцу, если группа преобразований наложения поро-
порождается одним гиперболическим преобразованием.
С другой стороны, две поверхности Rx и R.2 конформно не экви-
эквивалентны, если соответствующие постоянные А1 и А2 различны, так
как оба нормированных круговых кольца 1 < | г |< rt и \ < | г \ < г2
(ri ^ гз) конформно не эквивалентны. Это можно также установить
с помощью фундаментального многоугольника. Согласно п. 7.45,
метрический фундаментальный многоугольник группы (Г)есть четырех-
четырехугольник, ограниченный двумя дугами единичной окружности и двумя
дугами ортогональных к ней окружностей. Двойное отношение четы-
1 д
рех точек имеет значение 2 . . А ; поэтому два таких четырехуголь-
ника тогда и только тогда конформно эквивалентны, когда АХ=А.2.
8.21. Пусть теперь образующее преобразование Т — параболиче-
параболическое, следовательно, вида
y^{A>Q). (8.2)
Рассмотрим, наряду с поверхностью R, область 0 < j ,г | < 1. В силу
отображения z = е''я (а > 0) полуплоскость Re С <С 0 становится уни-
универсальной поверхностью наложения для этой области. Если эту
полуплоскость перевести с помощью отображения
t + 1
в единичный круг, то получится нормальное представление универ-
универсальной поверхности наложения. Группа преобразований наложения
порождается преобразованием
_!_-__! .-,,

284 ГЛ. VIII. УНИФОРМИЗАЦИЯ
Сравнение предыдущих двух выражений показывает, что поверхность R
конформно эквивалентна области 0< |z|< 1, если а = Л/тс.
Таким образом, две поверхности рассматриваемого вида конформно
эквивалентны. В самом деле, два преобразования Т± и Г2 вида (8.2)
могут быть переведены друг в друга с помощью конформного ото-
отображения 5 единичного круга на себя, Т.2 = STj^S, где
^' т-1 — ~ t-\ >
k — (положительное) число, равное AJAt.
Это можно также .установить из рассмотрения фундаментального
многоугольника. В самом деле, согласно п. 7.45, метрический фун-
фундаментальный многоугольник есть „треугольник", ограниченный двумя
параллельными прямыми 1г и 1_х и дугой единичной окружности;
посредством преобразования 7*3 устанавливается эквивалентность 1±
и /_г Для двух таких треугольников А и А' всегда существует кон-
конформное отображение единичного круга на себя, переводящее их друг
в друга так, что соотношение сторон преобразуется требуемым обра-
образом. Действительно, если 5 — однозначно определенное отображение
Д-* Д', то 574S вовсяком случае есть преобразование, переводящее
образ l[ в образ /_ь причем это параболическое преобразование;
в самом деле, если I — неподвижная точка этого преобразования,
то 5~х(?)— неподвижная точка Т'2, следовательно, 5~Х(Е)=1 и
? = 5A). Поэтому преобразование 574S" имеет только одну непо-
неподвижную точку 5A). Отсюда вытекает, что 5Г25-1 есть преобразова-
преобразование, связывающее стороны 1Х и /_i треугольника Д', так как суще-
существует в точности одно параболическое преобразование единичного
круга на себя, переводящее друг в друга две параллельные неевкли-
неевклидовы прямые.
Следовательно, в рассматриваемом случае существует только один
конформный класс, и этот класс представляется областью 0 < | z | < 1.
8.22. Более сложные случаи. Даже в том случае, когда число v
образующих группы (Г) конечно, что для замкнутых поверхностей
имеет место всегда, вопрос о преобразуемое™ двух таких групп
друг в друга с помощью конформного отображения единичного круга
на себя становится сложным уже для v = 2 ввиду некоммутативно-
некоммутативности этих групп.
Мы ограничиваемся здесь указанием простейшего случая, который
может иметь место для групп с двумя образующими. Пусть фунда-
фундаментальный многоугольник — четырехугольник с нулевыми углами,
ограниченный прямыми 11У /2, /8, /4 с соответствием сторон l^-^-l.^
/3-»-/4. Тогда группа G) порождается двумя параболическими пре-
преобразованиями. Такой четырехугольник, следовательно, и представлен-

$ з. кйнфОрмные классы 285
ную им поверхность R всегда можно конформно отобразить на число-
числовую плоскость с двумя выколотыми точками. Так как все такие
области конформно эквивалентны, то в рассматриваемом случае
получаем только один конформный класс.
8.23. Конформное отображение римановой поверхности на себя.
Если две римановы поверхности R и R' конформно эквивалентны
и 90 — конформное отображение /?-»•/?', то, согласно п. 8.13, сово-
совокупность всех конформных отображений R-> R' получается из соот-
соотношения
<? = <Роа>
где а — произвольное конформное отображение поверхности R
на себя. После того, как были указаны условия для существования
частного отображения, мы исследуем теперь конформные отображе-
отображения римановой поверхности' на себя.
Эти отображения а образуют группу Л. Каждому конформному
отображению а поверхности R отвечает, согласно п. 2.75, некоторое
конформное отображение а универсальной поверхности наложения R
на себя, однозначно определяемое заданием двух точек, проекции
которых связаны отображением а. Если з означает проектирование,
то для а имеем
за = аз.
В частности, если за а принять тождество, то соответствующие ото-
отображения а будут состоять из преобразований наложения R и только
из них.
Если а — произвольное отображение R на себя, соответствующее
отображению а поверхности R, и Г— преобразование наложения R, то
Г = аГ«"х (8.3)
— снова преобразование наложения, так как из (8.3), за = аа и аТ = з
вытекает, что з7" = за Га = аз Га = аза" = заа = з.
Следовательно, преобразование Г' переставляет точки с одной и
той же проекцией, поэтому оно является преобразованием наложения.
Множество отображений а, получаемых, если а пробегает все
конформные отображения поверхности R на себя, образует группу Л;
(Г) — подгруппа Л и, в силу (8.3), даже нормальный делитель. Если
каждому отображению а поставить в соответствие относящееся к нему
отображение а, то этим будет определено гомоморфное отображение
Л на Л. Ядром этого гомоморфизма является подгруппа (Г) группы Л г).
i) Отсюда, впрочем, следует, независимо от (8.3), что G") — нормальный
делитель, и тем самым снова получается соотношение (8.3).

''Л. vai. униформизацйя
Поэтому из теоремы о гомоморфизмах следует, что А = А/Т. Таким
образом, группа А конформных отображений поверхности R на себя
изоморфна факторгруппе А по группе преобразований наложения.
8.24. Далее будет показано, что группа А в общем случае
тривиальна: риманова поверхность, исключая некоторые частные
случаи, не допускает конформных отображений на себя, отличных
от тождественного.
Мы укажем те поверхности, которые допускают даже континуаль-
континуальную группу конформных отображений на себя. Кроме них, имеются
еще некоторые симметрично устроенные поверхности с дискретной
нетривиальной группой А.
8.25. Континуальные группы отображений поверхности на себя.
Мы рассматриваем группу конформный отображений поверхности R
на себя, которая в каждой окрестности заданной точки Р обладает
бесконечным числом эквивалентных точек. Изложенное в § 1 гл. VIII
показывает, что поверхности R, у которых универсальная поверхность
наложения R эллиптична или параболична, все обладают этим свой-
свойством: они допускают группы конформных отображений на себя,
которые в каждой точке даже континуальны, т. е. в окрестности
каждой точки имеют континуально много эквивалентных точек.
Впрочем, это легко доказывается и непосредственно. Это следующие
поверхности:
1. Числовая сфера.
2. Числовая плоскость.
3. Числовая плоскость с выколотой точкой.
4. Замкнутые поверхности рода 1.
Среди поверхностей, универсальная поверхность наложения кото-
которых гиперболична, имеется не менее трех видов поверхностей с
континуальными группами отображений на себя:
5. Единичный круг.
6. Круговое кольцо.
7. Круг с выколотой точкой.
В случае 5 эти отображения задаются совокупностью неевклидо-
неевклидовых гиперболических движений. В случаях 6 и 7 мы имеем дело
с вращениями вокруг центра.
Мы покажем, обратно, что это единственные поверхности с кон-
континуальными группами конформных отображений на себя. Отсюда,
в частности, следует, что группа конформных отображений поверх-
поверхности на себя континуальна во всех точках поверхности, если она
континуальна в одной точке.
8.26. Итак, пусть R — риманова поверхность с группой А, кон-
континуальной в точке Ро или, что представляет более слабое требова-

._ Л 3. КОНФОРМНЫЕ КЛАССЫ 2ЙУ
ние, имеющей бесконечно много эквивалентных точек в каждой
окрестности точки Ро. Согласно п. 8.25, мы можем считать, что
универсальная поверхность R гиперболична; нужно показать, что
поверхность R принадлежит одному из классов 5, б или 7. Согласно
пп, 8.20 и 8.21, это равносильно тому, что группа преобразований
наложения (Г) либо тривиальна, либо является циклической группой
с одной образующей.
Для доказательства рассмотрим соответствующую группе А группу А
конформных отображений единичного круга на себя и покажем, что
точки, эквивалентные относительно А, имеют в единичном круге точку
сгущения. Пусть t0— произвольная точка, лежащая над Ро, к 00 —
произвольная окрестность t0. Тогда в окрестности-проекции Uo имеется
бесконечно много эквивалентных точек Р.,. Каждой точке Р., соответ-
соответствует вполне определенная точка t, в Uo. Если тогда а — конформ-
конформное отображение поверхности R на себя, переводящее Р,л в /\, то ему
соответствует вполне определенное отображение а круга \t\ < 1 на себя,
переводящее ^ в t-,. Таким образом, в окрестности Uo точки t0 лежит
бесконечно много эквивалентных точек, что и требовалось доказать.
Пусть теперь t, (v=l, 2, . . .) — последовательность эквивалент-
эквивалентных точек, таких, что t,,->t0. Если Г., — преобразование t^—*-t.,,
то lim Г., (^) = t0. Отсюда по лемме 2, которую мы докажем в п. 8.28,
следует, что для каждого в > 0 существует преобразование Г, из А,
которое каждую точку круга |z|< 1 сдвигает меньше чем на г.
Пусть Г—произвольное преобразование наложения и to — образ t0.
Точка ^0 имеет окрестность U, всякие две точки которой не эквива-
эквивалентны относительно (Г). Пусть W есть Г-образ U. Выберем
настолько малое г ;> 0, чтобы Г-образ 2г-окрестности точки t0 вместе
с 2е-окрестностью самого образа лежали в U'. Тогда точка TT,(t0)
вместе с ее s-окрестностью содержится в U', следовательно, и точка
T~tTTt{t^, и поэтому точка T~lT~sTTb{t0) снова лежит в U. Но
в силу (8.3), Т~гТТ„ а потому и T~lT~iTTt, является преобразованием'
наложения и, следовательно, необходимо, чтобы было Г~1Г"",1ГГ,(^0)=:^0.
Таким образом, это преобразование наложения имеет неподвижную
точку t0, поэтому оно должно быть тождеством, откуда вытекает,
что
ТТ, = TJ. (8.4)
Отсюда по лемме 1, которая будет доказана в п. 8.27, следует, что
Т и Т, имеют одни и те же неподвижные точки; в частности, сле-
следовательно, преобразование Г8 не может быть эллиптическим.
Если теперь 7\ и Г2 — два произвольных преобразования наложе-
наложения, то е можно выбрать столь малым, что (8.4) имеет место для 7\
и Га с одним и тем же Т%. Следовательно, эти преобразования имеют

288 гл. viii. униформизация
те же неподвижные точки, что и Г„ поэтому они имеют одни и те
же неподвижные точки. Таким образом, все преобразования наложе-
наложения (Г) имеют одни и те же неподвижные точки; в частности, сле-
следовательно, либо все Т параболичны, либо все Г гиперболичны.
. Но отсюда следует, что группа (Г) циклическая. Пусть сначала
преобразования (Г) параболические. Если С — общая неподвижная
точка, то точки Г@) лежат на неевклидовой окружности, касающейся
единичной окружности в точке С. Так как группа (Г) в единичном
круге 111 < 1 дискретна, то на этой окружности после t = О должна
иметься первая эквивалентная ей точка tv Тогда преобразование
0-»-^ является образующей, группы (Г).
Аналогичным образом можно найти образующее преобразование Т
в случае, когда все преобразования (Г) гиперболичны.
Так как группа (Г) — циклическая, то должен иметь место один
из случаев 5, 6 или 7, и доказательство будет завершено, как только
будут доказаны обе использованные выше леммы.
8.27. Лемма о перестановочных преобразованиях. Докажем
использованную выше лемму 1:
Лемма 1. Пусть А и В — два нетождественных конформ-
конформных преобразования единичного круга | г | < 1 на себя, переста-
перестановочные между собой:
АВ = ВА. (8.5)
Тогда эти преобразования имеют общие неподвижные точки.
Достаточно показать, что каждая неподвижная точка для А
является также неподвижной точкой и для В. Мы различаем два
случая.
1. Преобразование А параболично. Если z=-r, — неподвижная
точка А, то, в силу (8.5),
следовательно, z = В (?)— также неподвижная точка А. Так как А
имеет только одну неподвижную точку, то В (С) = С, следовательно,
ч — неподвижная точка В.
2. Преобразование А гиперболично или эллиптично. В силу (8.5),'
для обеих неподвижных точек ',t и ^2 преобразования А имеем
ЛВ(С«) = В(У A=1, 2).
Следовательно, B(«i) и ?(У — также неподвижные точки А, по-
поэтому либо В(С4) = С4, т. е. ?х и С2 — неподвижные точки В, либо
5A^) = ^ и B('^) = ',v В этом последнем случае В имеет непо-
неподвижную точку ,, отличную от Сх и ^2, и преобразование В2 имеет
три различные неподвижные точки Zv ^, С Поэтому преобразова-
преобразование В2 — тождество; но для конформного отображения В единичного
круга на себя это возможно только тогда, когда В — либо тожде-

g 3. КОНФОРМНЫЕ КЛАССЫ 289
ство, либо преобразование w = — z. Первый случай невозможен по
предположению. Во втором случае из (8.5) следует, что А—враще-
А—вращение вокруг Z — 0. Следовательно, А и В также имеют общие непо-
неподвижные точки @ и оо).
Этим доказательство закончено1).
8.28. Лемма о бесконечно малых преобразованиях. Докажем
теперь следующую лемму:
Лемма 2. Пусть (Г) — бесконечная группа конформных ото-
отображений единичного круга |z|< 1 на себя, обладающая следую-
следующим свойством: существуют две (не обязательно различные)
точки z = a, z — zt (|а\< 1, |гх|< 1) и бесконечная последова-
последовательность Тп(п = 1, 2, ...) (не совпадающих между собой) пре-
преобразований группы, таких, что
а= Иш rn(zj). (8.6)
П -> оо
Тогда для сколь угодно малого з>0 существует такое нетож-
нетождественное преобразование Г= Tt группы, кто для |г|< 1 выпол-
выполняется неравенство
\Т.{г) — г\<*.
Для доказательства зафиксируем в единичном круге точку z=z.2,
для которой [z1za]=sl, и рассмотрим, наряду с Tll(zi)> последова-
последовательность Tn(z.2). По неравенству треугольника, учитывая инвариант-
инвариантность неевклидова расстояния, получаем
\аТп (гаI = [ Тп (zt) Tn (z.2)] + ([ Тя (гг) а)) = [Zlz.2
для п -* со. Следовательно, множество точек Тп (z.2) имеет точку
сгущения z — Ь на окружности \z, a] = 1, поэтому существует беско-
бесконечная последовательность преобразований Тп группы, для которых
Tn(zJ^a, Тп(гъ)-+Ь (\ab\ = \).
Теперь мы фиксируем произвольное s из интервала 0<s< ~~i
и берем m столь большим, что
Zo)i < 7Г ДЛЯ П>7М.
!) Из леммы 1 вытекает еще, между прочим, то, что риманова поверхность
j(c гиперболической универсальной поверхностью наложения), фундаментальная
Jpynna которой абелева, необходимо принадлежит одному из классов 5, 6
пи 7. В самом деле, группа преобразований наложения—абелева, и поэтому
о лемме все преобразования наложения имеют одни и те же неподвижные
очки. Утверждение следует теперь из п. 8.26.

290 ГЛ. Vin. УНИФОРМИЗАЦИЯ
Пусть T=zTnTml. Тогда
и аналогично
[ЬТ(Ь)\<г
для всех преобразований Т— ТпТ^1, которые, в силу несовпадения
Тт и Тп (пф т), отличны от тождества.
Следовательно, для каждого е существует такое преобразование
Т = Те группы, что
Пусть определенное таким образом преобразование Т имеет не-
неподвижные точки Сх и Cg (|Ci|-<li |С2|>-1). Тогда, если Сх = 0
(Cj = сх>), то Т можно записать в виде
¦до =: кг (А — постоянная), (8.7)
если же Сх ф 0 (и, следовательно, ^ ф сю), то в видех)
— У. (8.7')
Точки а и Л во всяком случае отличны от ?2. Далее, по крайней
мере одна из них ф Сх, и большее из расстояний [aCj, [ft^l не меньше
-^ [ab] = у. Если, например, а обладает этим свойством, то срав-
сравнение выражений для неевклидова и евклидова расстояний пока-
показывает, что существует численная постоянная &(&>1/4), такая, что
Следовательно, если в случае (8.7') положить z — а, то
откуда для любого z (| z ) < 1) вытекает, что
|Г(г) —г| = Я|г —CiH T(z) — r^\
a-C,
3.
2
Первый множитель справа здесь <^ . .. _ .—г- для | z \ ^ 1; второй
множитель не превосходит
, если |С2|>2,
1) Первое равенство очевидно. Второе следует из того, что определяе-
определяемая им функция w = w (г) линейна, имеет неподвижные точки ?} и С2 н
содержит произвольный параметр /. Ф . __. . —Прим. переаА.

§ 4. УНИФОРМИЗАЦИЯ 291
и не превосходит
Г_ | а | — е ^ 1 — | в | — е^Ч — | а | '
если |И3|^2, так что для |z|^l во всяком случае
если Сх =? 0.
В случае Cj = 0 еще проще убедиться в справедливости того же
соотношения, так что лемма доказана полностью,
§ 4. УНИФОРМИЗАЦИЯ
Основные теоремы теории конформных отображений позволяют
решить проблему униформизации в общем виде. Эта проблема.была
уже сформулирована в гл. I для алгебраических функций и, более
общо, для произвольных аналитических образов. Для подго-
подготовки к излагаемому ниже общему построению мы здесь коротко
остановимся на основных идеях проблемы униформизации и методов
ее решения1).
8.29. Многозначные отображения. Рассмотрим две римановы
поверхности R и /?' и представим себе, что они связаны друг
с другом многозначным аналитическим соотношением Р<-+Р' между
их точками Р и Р'. Многозначность может иметь причины двоякого
рода: во-первых, она может быть обусловлена тем, что поверхности
R и R' неодносвязны. Наряду с такими многозначностями в целом
мы будем рассматривать и многозначности локальные, допуская,
однако, только изолированные точки разветвления отображения.
Простейший пример дает нам случай, когда R и R'— числовые
плоскости B-плоскость и w-плоскость) и отображение R<-+R' опре-
определено с помощью алгебраического уравнения F(z, <w) — 0.
8.30. Униформизирующая поверхность наложения. Многознач-
Многозначное отображение /?<—>/?' должно быть теперь униформизировано,
т. е. представлено в виде двух однозначных отображений. Это
достигается тем, что для поверхностей R и R' строится общая по-
поверхность наложения R: тогда заданное соотношение получает одно-
однозначное параметрическое представление с помощью проектирований
Р = Р(Р), Р' = Р'(Р),
!) Наряду с фундаментальными исследованиями Пуанкаре и Кёбе здесь
следует упомянуть метод решения, предложенный почти одновременно с ними
Иоханссоном [1], [2]. См. также Бибербах [3].
19*

292 гл. Via. униформизАция
с прообразом Р соответствующих друг другу точек РиР'в качестве
параметра. При этом, вообще говоря, не всегда различным точкам Р
отвечают различные пары (Р, Р').
В случае алгебраического уравнения F = О такую поверхность
наложения R представляют конформно эквивалентные поверхности
Rz и Rw, введенные в гл. I.
8.31. Униформизация с помощью комплексной переменной.
Предполагая, что поверхность R конформно эквивалентна области Gt
комплексной ^-плоскости, выполним отображение R->Gt(P = P(t)).
После этого соотношение /?<—»/?' задается уравнениями
P = P(P(t)), P' = P'(P(.t)),
так что Р и Р' однозначно и аналитически зависят от униформизи-
рующего параметра t. Тем самым задача униформизации решена.
8.32. Для униформизации с помощью комплексной переменной t
нужно, следовательно, построить униформизирующую поверхность
наложения R, конформно эквивалентную области Ot плоскости t. He
каждая униформизирующая R обладает этим свойством. Рассмотрим
в качестве примера построенную в гл. I замкнутую поверхность на-
наложения R = Rz основной поверхности R (г-сферы), на которой
соответствующая алгебраическая функция w = w(z) однозначна.
Только тогда, когда алгебраическое уравнение F = О — рода нуль,
и соответственно этому поверхность /?г —типа сферы, униформизи-
униформизирующая поверхность R = R, может быть отображена взаимно одно-
однозначно и конформно на плоскость t (а именно, на замкнутую пло-
плоскость) и получается искомое параметрическое представление z = г(^),
w — w(t) алгебраического уравнения. Однако если уравнение F—Q—
более высокого рода (р > 0), однозначное отображение R = Rz+-*Gt
невозможно уже в силу топологических причин.
8.33. Универсальная поверхность наложения. Здесь к цели
ведет теперь следующая общая идея. Если R униформизирует много-
многозначное соотношение R*—>R', то каждая поверхность наложения
поверхности R также является униформизирующей поверхностью
наложения (ср. п. 8.38).
Но каждая риманова поверхность R обязательно имеет по-
поверхность наложения, конформно эквивалентную подобласти число-
числовой плоскости. В самом деле, такой поверхностью всегда является
односвязная универсальная поверхность наложения R. поверхности

S 4. УНИФОРМИЗАЦИЯ 293
R, которая по теореме Римана об отображении может быть тополо-
топологически и конформно отображена на нормальную область Е пло-
плоскости t. Выполним это отображение P = P(t); тогда t-> P-*P ->
—»¦ (Р, Р') дает нам искомое параметрическое представление
P = P(t), P'=P'{t)
соотношения /?<—>/?'.
8.34. Наряду с универсальной (сильнейшей) поверхностью нало-
наложения R для R можно к униформизации привлечь другие (более сла-
слабые) поверхности наложения, а именно, те и только те, которые
удовлетворяют условию подобия однолистным, следовательно, кон-
конформно эквивалентны подобласти Gt ^-плоскости. Теорией римано-
вых поверхностей, подобных однолистным, мы подробно займемся
в гл. IX.
8.35. Совокупность униформизирующих поверхностей. В
дальнейшем намеченное выше решение проблемы униформизации
будет проведено строго. Мы решим, таким образом, проблему
в общем виде путем определения для заданного многозначного соот-
соответствия между двумя римановыми поверхностями R и R' совокуп-
совокупности униформизирующих поверхностей наложения R. Прежде всего
будет построена частная (в общем случае не подобная однолистным)
поверхность, однозначно определяемая добавочным условием, чтобы
все остальные поверхности наложения R являлись поверхностями на-
наложения этой частной поверхности. „Сильнейшей" униформизирующей,
представляющей собой поверхность наложения всех остальных,
является универсальная поверхность наложения.
8.36. Многозначные аналитические соотношения между рима-
римановыми поверхностями. Переходя теперь к точному построению
решения проблемы униформизации, рассмотрим две римановы поверх-
поверхности R и /?', между которыми определено многозначное аналити-
аналитическое соотношение R+-+R' следующим образом. Поставлены в со-
соответствие друг другу точки (Р, Р') соответственно поверхностей R
и R', причем каждая точка как R, так и R' встречается не менее
чем в одной паре (Р, Р'). Это соответствие обладает следующими
свойствами:
А. Если (Р, Р') — пара соответствующих друг другу точек, то
существует конечное или счетное множество пар окрестностей Up и
Up/ соответственно Р и Р', таких, что Up отображается на Up/,
а именно, либо с помощью однозначного конформного отображе-
отображения Ар, либо с помощью разветвленного отображения Ар, которое

294 ГЛ. VIII. УНИФОРМИЗАЦИЯ
может быть записано с помощью параметра t в виде
z = tm, z' = t» (\t\< 1); (8.8)
при этом zy соответственно z', — параметры в отвечающих Up, со-
соответственно Upn параметрических кругах | г | < 1, соответственно
| г' | < 11). В последнем случае Р называется точкой разветвления
локального отображения Up -> UPr.
B. Пусть ХР—соответствующее Р локальное отображение и Q —
точка соответствующей окрестности Up. Тогда среди локальных ото-
отображений, соответствующих Q, существует такое, скажем Xq, что
Х<3 = Хр в пересечении UpUqu).
C. Для двух произвольных неразветвленных локальных отобра-
отображений Аро и kPi существует на R путь P — P(t) @<[^<l), веду-
ведущий из Яо в Я), и покрытие пути неразветвленными отображениями
Xp(t), такое, что Ap(o) = Api( и Xp(i) = Xp1; термин „покрытие" (Bele-
gung) указывает здесь на то, что для каждого *0@ <^0<! 1) суще-
существует такое число 3 > 0, что отображения Ар(г) и Xp(t0) для \t — to\ < о
в пересечении Up^Up^,) совпадают.
Из условия В следует, что отличные от точки разветвления Р
точки окрестности Up не являются точками разветвления относительно
совокупности всех отвечающих им локальных отображений. Таким
образом, те точки, которым отвечают только разветвленные отобра-
отображения, расположены изолированно.
8.37. Все предыдущие условия выполняются, если за R и R'
взять, в частности, соответственно z- и ти-сферу и многозначное со-
соотношение /? <-> R' определить с помощью алгебраического урав-
уравнения F(z, •а>) = 0. Условие С (условие „связности") требует тогда,
чтобы уравнение было неприводимым.
Более общий пример дает аналитический образ (z, w), устана-
устанавливающий многозначное соответствие между числовыми сферами
(или подобластями Oz, Gw этих сфер).
8.38. Униформи?ация. Говорят, что риманова поверхность R
униформизирует многозначное соотношение R <~* R', если R есть
(в общем случае разветвленная и не безграничная) поверхность нало-
наложения R и R', причем выполняются следующие условия:
1. Если Р —¦ произвольная точка R, то проекции Р = а (Р) иР' =
= а(Р) соответствуют друг другу в заданном многозначном соотно-
1) См. Стойлов [1*]. Локальные параметры различных окрестностей
точки Р могут быть различными.
2) Если локальное отображение Хр — разветвленное, то пусть для каж-
каждой однозначной ветви Щ> существует такое отображение Xg.

I 4. УНИФОРМИЗАЦИЯ 295
шении /?«->/?'; с другой стороны, таким образом получаются все
соответствующие друг другу пары точек (Р, Р').
2. Если U — отмеченная окрестность точки Р и U, W — ее об-
образы, то а'з-1 — локальное отображение, однозначное или многознач-
многозначное, отвечающее проекции Р. Обратно, таким образом получаются
все отвечающие Р локальные отображения, соответственно точкам,
лежащим над Р.
Ясно, что вместе с поверхностью R и всякая поверхность наложения
производит униформизацию. Теперь мы покажем, что для заданного
многозначного аналитического соотношения R «--> R' всегда существует
униформизирующая поверхность R.
8.39. Построение поверхности R. Для определения поверхности R
сопоставим каждой точке Р ? R соответствующие локальные отобра-
отображения. Эти отображения будут' „точками" подлежащей построению
поверхности R.. При этом „точки", определяемые двумя отображе-
отображениями \р и \р/, отождествляются, если, во-первых, оба отображения
отвечают одной и той же точке Р — Р' поверхности R и, во-вторых,
в пересечении UpUp они совпадают.
8.40. R как топологическое пространство. Чтобы ввести в этом
множестве R топологию, рассмотрим прежде всего подмножество R
неразветвленных локальных отображений.
Пусть \р — неразветвленное локальное отображение и Up —
!¦ окрестность Р, в которой оно определено. По условию В п. 8.36, для
'каждой точки Q?Up существует такое локальное отображение Xq,
.что Xq=Xp в UqUp. Среди отвечающих Q отображений оно опре-
определяется однозначно, так как если Xq — второе такое отображение,
{'то (в силу аналитичности) Xq = л' в U'qU'q. Если Q пробегает все
точки Up, то этим определяется подмножество f отображений, вза-
взаимно однозначно соответствующих точкам Up. Если точки Up с по-
помощью параметрического отображения сопоставить точкам параметри-
параметрического круга Up , то при помощи Up устанавливается взаимно одно-
однозначное отображение Т на Up . Мы покажем, что эти отображения
^удовлетворяют условию п. 2.16.
< Пусть Р = Хр и Р' = Хрг—две точки R, у которых подмноже-
| ства Г и Г' являются соседними (т. е. имеют непустое пересечение).
|Нам нужно показать, что пересечению 77" в Up и UP' отвечают
Ъящкрытые множества.

296 ГЛ. VIII. УНИФОРМИЗАЦИЯ
Пусть Q = Ад—точка ТТ; тогда соответствующая точка Q ле-
лежит в UpUp', Ар = Ад в UpUq и Ар/ = Ад в UpiUq. Пусть Уд —
окрестность Q, лежащая в пересечении UpUpiUq и гомеоморфная
кругу. Для каждой точки А ? Vq имеется вполне определенная точка
А = \х (^a = ^q)- Тогда Ад = Ар в Vq, следовательно, и в UpVq,
поэтому А ? Т. Аналогично заключаем, что А ? Т', и тем самым А ? 77".
Следовательно, Vq—окрестность Q, состоящая из точек-образов, что
и требовалось доказать.
Поэтому множество R можно, согласно п. 2.17, превратить в то-
топологическое пространство, удовлетворяющее аксиомам А и С
(пп. 2.3 и 2.15).
Пространство R удовлетворяет также и аксиоме отделимости. Дей-
Действительно, пусть Я = Ар и Я' = Ар/ —две различные точки R. Если точ-
точки Я и Я' не совпадают, то пусть Vp и Vpt — две не пересекающиеся их
окрестности, расположенные соответственно в Up и Up/. Тогда в со-
соответствующих Р и Я' подмножествах f и f им отвечают две не
пересекающиеся окрестности точек Я и Я'. Если же Р = Р', то
подмножества Г и Т не пересекаются. В самом деле, если бы они
имели общее отображение Ад, то было бы Ар = Ад в UpUq и Ар = Ад
в UpUq. Следовательно, тогда бы было Ар = Ар в UpUpUq, поэтому
Ар = Ар всюду в UpUp, т. е. Ар и Ар были бы одной и той же точкой.
Таким образом, пространство R удовлетворяет аксиомам А, В и С
и поэтому является поверхностью, а именно, поверхностью наложе-
наложения поверхности R, получающейся из R удалением точек, которым
отвечают только разветвленные отображения. Если каждой точке
Я = Ар поставить в соответствие точку P?R, то этим будет задано
л.
однозначное отображение з поверхности R на R, топологическое
~ ~
в каждой окрестности Т. Поэтому R — поверхность наложения R.
8.41. Далее, поверхность R связна. В самом деле, пусть P0 = kPi
и Я, = APi — две точки R. По условию С (п. 8.36), на R существует
путь P(f) @<><;i), ведущий из Яо в Pv и покрытие />(/):= Ар^,
такое, что лр@) = Ар0 иАРA)=;Ар1. Тогда t-*P(t)—однозначное
отображение отрезка 0 ^ t <^ 1 в R, удовлетворяющее условиям леммы
п. 2.53 и поэтому непрерывное. Следовательно, P(t) @<^<l) -
путь на R, соединяющий точки Яо и Pv
8.42. Замыкание поверхности R. Построенную (неразветвленную)
поверхность наложения R для R нужно еще путем присоединения

% 4. УНИФОРМИЗАЦИЯ 297
разветвленных локальных отображений превратить в (разветвленную)
поверхность наложения для R.
Пусть 1р есть m-кратно разветвленное локальное отображение.
Если Up — соответствующая окрестность Р, то каждой точке Q об-
области Up —Up—Р отвечают (по условию В п. 8.36) локальные
отображения /.jg (|i = 1, ..., /и), совпадающие с однозначными вет-
ветвями Ар. Этим выделяется определенное подмножество Т неразвет-
вленных локальных отображений. Это множество лежит на поверх-
поверхности R и поэтому уже имеет топологию. Мы покажем, что оно
связно.
Для этого запишем отображение кР в параметрической форме
z = tm, z' — tn @< |f| < 1).
Оно выражает многозначное соотношение между областями Up и Up/,
удовлетворяющее условиям А, В и С п. 8.36. При этом все локальные
отображения — неразветвленные. Этому многозначному соотношению
отвечает также определенная униформизирующая поверхность, кото-
которая, по своему построению, состоит как раз из отображений множе-
множества Г. Поэтому Т, согласно п. 8.41, связно.
Поверхность Т, в силу соотношения /.§-> Q, является неразвет-
вленной /и-листной поверхностью наложения области Up. Поэтому,
согласно п. 2.60, существует такое топологическое отображение -:
поверхности f на область 0< |z|< 1, что отображение z-*Q-*Q
есть отображение z = zm. Если еще поставить в соответствие точке
2 = 0 точку Р, то будем иметь взаимно однозначное отображение
всего круга | z | < 1 на Г. С помощью этого отображения перенесем на Т
топологию круга \z\ < 1; тогда топология, индуцируемая Т на Т, со-
совпадет с уже имеющейся на Т.
Таким образом, и для разветвленного отображения \р построена
гомеоморфная кругу окрестность Т. Теперь, так же как и в случае
неразветвленных отображений, доказывается, что пересечению сосед-
соседних окрестностей в параметрических кругах соответствуют открытые
множества и в том случае, когда одна из окрестностей отвечает раз-
разветвленному отображению. Следовательно, пространство R всюду без
исключения удовлетворяет аксиомам А и С. Выполняется и аксиома
•отделимости; это доказывается так же, как и в случае двух нераз-
•ветвленных отображений.
? Таким образом, пространство R есть поверхность, а именно, еди-
единая (нераспадающаяся) поверхность. В силу отображения Ар->Р она

298 ГЛ. VIII. УНИФОРМИЗАЦИЯ
является поверхностью наложения R. Точками разветвления являются
разветвленные локальные отображения Ар; порядок точки разветвления
равен т — 1.
8.43. R как униформизирующая. Наконец, согласно п. 2.88,
поверхность R можно превратить в риманову поверхность так, чтобы
проектирование, исключая точки разветвления, было конформным
отображением R на R.
Если вместо локальных отображений АР исходить из обратных ото-
отображений Ар1, то аналогично получаем поверхность наложения R' по-
поверхности /?'. В силу соответствия Ар1-* Ар, оно конформно эквива-
эквивалентно R. Тем самым R есть поверхность наложения и /?' при про-
проектировании Ар -»• Хр (Я).
Оба проектирования R-+ R и /? -> R' производят униформи-
униформизацию соотношения R*-+R'. Прежде всего непосредственно ясно,
что точки Р и Ар(Р) соответствуют друг другу в многозначном со-
соотношении R*~*R. Если теперь (Р, Р')— произвольная пара, то,
по условию А (п. 8.36), существует локальное отображение Ар, пе-
переводящее Р в Р'; тогда Р и Р' — образы „точки" Ар поверхности R.
Следовательно, первое условие униформизации (п. 8.38) выполняется.
Второе условие также выполняется. Пусть Р = Ар — точка по-
поверхности R и Up — отвечающая Ар окрестность. Отмеченная окрест-
окрестность f состоит из всех отображений Xq, соответствующих Q?Uj>,
для которых Ад = Ар в UqUp. Следовательно, точке Q='kq?T
отвечают в U, соответственно ?/', точки Q, соответственно Ag(Q) =
— \p(Q)> которые действительно соответствуют друг другу в отобра-
отображении Ар. Согласно построению поверхности R, таким образом полу-
получаются все отвечающие Р отображения АР.
8.44. R как слабейшая униформизирующая. Построенная выше
поверхность наложения R дает слабейшую униформизацию соотно-
соотношения R*~*R', т. е. всякая униформизирующая поверхность Rt
является поверхностью наложения R.
Для доказательства предположим, что Rt—произвольная унифор-
униформизирующая поверхность и zv соответственно з[, — проектирования
/?1->/?1 соответственно Rt ->/?'. Нам нужно построить проектирова-
проектирование Rt -*¦ R.
Пусть Рг — точка Rt и Р, соответственно Р', — ее образы на R,
соответственно R'. Если 0х — отмеченная окрестность Pv то окрест-
окрестности a1(f/1) и oi(Uj), согласно условию 2 п. 8.38, связаны между
собой некоторым отвечающим Р (однозначным или разветвленным)

S 4. УНИФОРМИЗАЦИЯ 299
•тображением АР. Поставим его в соответствие точке Pt в качестве
^очки-образа". Этим определяется однозначное отображение
: ?\-> Ар, являющееся отображением на всю поверхность R. Послед -
iee доказывается следующим образом. Пусть Ар— произвольная
точка" R; так как R± производит униформизацию, то, согласно
jTopofl части условия 2 п. 8.38, существует точка Pt над Р, такая,
что Ар = cjpf , следовательно, Ар — образ Pv
Построенное таким образом отображение <р есть проектиро-
проектирование поверхности Rt на R. Для доказательства покажем, что оно
удовлетворяет условиям леммы п. 2.58.
Прежде всего, непосредственно из построения ясно, что отобра-
отображение /?х -*¦ R-*- R есть проектирование av Теперь нам нужно
показать, что отображение R~t-*- R переводит отмеченную окрестность
точки поверхности Rt в отмеченную окрестность точки-образа. Пусть
Рх— точка Rt и Р — ее образ на R. Образы U = а1(О1)и U =zil(U1)
отмеченной окрестности 01 точки Р± связаны между собой отвечаю-
отвечающим Р отображением Ар, являющимся образом точки Рх на /?. Сле-
Следовательно, 3j = XpSj в Uv Пусть теперь Qt—-фиксированная точка
окрестности Ut и V-^-—отмеченная окрестность Qv Точке Qt соот-
соответствует определенная „точка-образ" А„?/?, и выполняется соот-
ношение ot = А^ в Vv Следовательно, в пересечении U1V1 одновре-
,менно в\ — ApOj и 3t = А„о1, поэтому отображения кр и Х„ в UV
должны совпадать. Это означает, что отображение А отвечает соот-
соответствующей точке Ар окрестности Т. Следовательно, w-образ окрест-
окрестности 0х лежит в Т, что и требовалось доказать.
v Из леммы следует теперь, что R± есть поверхность наложения
^поверхности R с проектированием Рг ->¦ Ар, как и утверждалось.
8.45. Униформизация с помощью комплексной переменной.
|-С помощью построенной выше поверхности R многозначное соотно-
.;-шение R<—>¦ Rf униформизируется. При этом переменная точка Р
«на R играет роль униформизирующего параметра. Если, в частности,
* требуется, чтобы униформизирующей была комплексная переменная t,
|то в случае, когда поверхность R сама не эквивалентна конформно
.некоторой области ^-плоскости, ее нужно заменить поверхностью на-
•'ложения R. Самое позднее — в универсальной поверхности наложения
|»ы получаем тогда поверхность наложения, которую можно конформно
"Отобразить на область ^-плоскости.

300 ГЛ. VIII. УНИФОРМИЗАЦИЯ
8.46. При униформизации с помощью универсальной поверхности
наложения R нужно различать три случая: она может быть поверх-
поверхностью эллиптического, параболического или гиперболического типа.
Мы рассмотрим эти три случая в предположении, что заданные поверх-
поверхности R и /?' являются соответственно г- и ад-плоскостью.
Если поверхность R эллиптична, следовательно, это ^-сфера, то
мы получаем параметрическое представление вида
z~z(l), w = w(t),
где z(t) и w(t) регулярны на всей ^-сфере, исключая изолированные
полюсы, следовательно, являются рациональными функциями.
Обратно, если соотношение Rz<—*¦ Rw униформизируемо с по-
помощью числовой сферы, следовательно, с помощью двух рациональных
функций, то построенная выше униформизирующая поверхность R с
самого начала есть числовая сфера. Действительно, так как R производит
слабейшую униформизацию, то числовая сфера является (разветвленной
или неразветвленной) поверхностью наложения R; отсюда следует, что
поверхность R компактна и (в силу соотношения Римана — Гурвица)
что R имеет род нуль, следовательно R—г числовая сфера.
Если, далее; R — открытая /-плоскость (| t\ < оо), то z{t) и w(t)—
мероморфные функции и в точках, эквивалентных относительно группы
преобразований наложения, принимают каждая одни и те же значения.
Если исключить случай, когда группа (Г) тривиальна, z{t) и w{t) —
однопериодические или двоякопериодические функции. Последний слу-
случай встречается при униформизации алгебраического уравнения рода 1.
Обратно, если соотношение R3<—*¦ Rw униформизируемо с по-
помощью двух мероморфных функций, следовательно, с помощью ^-пло-
^-плоскости, то универсальная поверхность наложения R поверхности R дол-
должна быть (открытой) /-плоскостью. В самом деле, тогда /-плоскость
является поверхностью наложения (более слабой униформизирующей)
поверхности/?, тем самым, согласно п. 2.87, и универсальной поверх-
поверхности наложения R. Если бы поверхность R была единичным кругом, то
отображение t ->¦ R представляло бы функцию, ограниченную во всей
плоскости t, следовательно, постоянную, что невозможно. Таким об-
образом, поверхность R должна быть /-плоскостью.
Если, наконец, R—единичный круг, то функции z{t) и w(f) опре-
определены, однозначны и с точностью до полюсов регулярны в круге
|/| < 1. В точках, эквивалентных относительно (Г), каждая из них
принимает одинаковые значения, т. е. z{t) и w\t) — автоморфные
функции относительно группы (Г).

§ 4. УНИФОРМИЗАЦИЯ 30i
8.47. Алгебраические функции. Рассмотрим несколько подробнее
случай, когда многозначное соотношение z-*—>w задано алгебраи-
алгебраическим уравнением F(z, w) == 0. Этот случай мы детально изучали
в гл. I, однако интересно посмотреть, как он включается в общую
теорию униформизации.
Согласно гл. I, каждой точке z отвечает лишь конечное число
локальных отображений Х^\ соответственно ветвей функции F(z, гг))=О.
Это число в общем случае, т. е. тогда, когда точке z не соответ-
соответствуют разветвленные элементы, равно степени т функции F(z, w)
относительно w, если же z соответствуют и разветвленные элементы,
то сумма их порядков, увеличенных на 1, также равна т. Отсюда,
согласно п. 2.83, следует, что поверхность наложения R расположена
безгранично над ^-сферой, имеет т листов и компактна (согласно
п. 2.84). Следовательно, она имеет определенный род р, который
называется родом алгебраической функции F(z, зд») = 0.
Обратно, если задано многозначное соотношение между двумя
.числовыми сферами, для которого униформизирующая поверхность
; замкнута, то каждой точке z отвечает лишь конечное число точек
•до-сферы и, согласно п. 1.28, соотношение z<—>w определяется
алгебраическим уравнением F(z, 10) = 0.
; 8.48. Подсчет рода. Род р поверхности R, определенной алге-
алгебраическим уравнением F(z, w) = 0, может быть определен с помощью
^соотношения Римана—Гурвица. Ради простоты мы предполагаем,
рто частные производные Fz и Fw не обращаются в нуль одновре-
одновременно ни для одной пары значений z, w, удовлетворяющей уравне-
ю F(z, ге>) = 0.
Прежде всего ясно, что число листов поверхности наложения R
яоскости z равно степени т. Чтобы найти полную сумму порядков
очек разветвления, рассмотрим сначала точки гфоо. Пусть z0 — точка,
роторой принадлежат не одни только неразветвленные элементы;
&усть адр(р=1, ..., г) — решения уравнения F(z0, а») = 0и ар — крат-
краткость tt»p (а !> 1), следовательно,
| . FW(z0, w,) = 0 (v = 0, .... а? — 1).
рогда, согласно п. 1.13, точке z0 отвечает г элементов wp(z), при-
рм порядок разветвления wf(z) равен ар — 1. Но, согласно п. 8.42,
го означает, что „точка" w?(z) есть точка разветвления порядка ар—1
z0. С другой стороны, ар есть кратность решения wf уравнения
^o- ¦о»р) = 0. Следовательно, полная сумма порядков точек развет-
вния R, лежащих над точками гфоо, равна сумме А кратностей
аений уравнения Fw(z0, ге>) = 0 относительно w, когда zo пробе-
все значения, для которых уравнения F = 0 и Fw — 0 имеют
Щ решений (z0, w).

§02 ГЛ. VHI. УНЙФОРМИЗАЦИЙ
Остается еще рассмотреть точку z = со. Пусть га— порядок урав-
уравнения Р{г, w) = 0 относительно z. Мы предполагаем, что степень zn
входит только в свободный от w член Qm(z). Тогда в окрестности
z = со уравнение F(z, ¦а>) = 0 ведет себя как wm-\-zn = 0; поэтому,
если t — общий наибольший делитель т и га, то над z = со лежат t
точек R, каждая из которых является точкой разветвления порядка
^-—1. Следовательно, сумма их порядков равна т — t.
Таким образом, для характеристики у поверхности R получаем,
согласно соотношению Римана — Гурвица, значение
Х = (—2)т-\-А-\-т — t = A — m — t. (8.9)
Если R рассматривать не над ^-сферой, а над да-сферой, то ана-
аналогично найдем, что
y = B — n — t. (8.10)
Сравнивая (8.9) и (8.10), заключаем, что между полными сум-
суммами А к В порядков решений F — 0, Fw = 0, соответственно F = 0,
Ft = 0, имеет место соотношение
А — В = т. — «.
8.49. В качестве примера рассмотрим гиперэллиптическое уравне-
уравнение
F(Z, w)==w*—(z—z1)... (z — zr).
Оно удовлетворяет условиям п. 8.48, если только z^ ф z^ при ja =h ч;
затем т = 2. Из FW=Q следует, чтота/=0, тем самым z = 2p(p=l, .. .
..., г). Так как /^ =н 2, то кратность решения w — 0 уравнения
Fw — 0 равна 1 и, следовательно, А = г. Наконец, общий наиболь-
наибольший делитель t равен 2 или 1, в зависимости от того, четно г или
нечетно. Отсюда, в силу (8.9), у = г — 4, если г четно, к у = г — 3,
если г нечетно.
8.50. Универсальная поверхность наложения алгебраических
поверхностей. Мы исследуем дальше для алгебраического случая
универсальную поверхность наложения R поверхности R. Она будет
эллиптической, параболической или гиперболической в зависимости
от того, будет ли р = 0, р = 1 или р > 1.
Согласно п. 8.46, алгебраическое уравнение рода нуль можно
униформизировать с помощью двух рациональных функций; обратно,
исключая t из двух рациональных функций z(t) и w(t), получаем
алгебраическое уравнение рода нуль.
Если R имеет род р=1, то R — числовая плоскость и (Т) —
группа сдвигов с двумя образующими. Следовательно, униформизи-
рующие функции двояко-периодические.

8 4. УНИФОРМИЗАЦИЯ 303
Обратно, если алгебраическое уравнение F(z, да) = 0 униформи-
зируемо с помощью мероморфных функций, то, согласно п. 8.46,
универсальная поверхность наложения R поверхности R параболична
и, следовательно, поверхность R — рода р = 1. Алгебраическое урав-
уравнение рода р^-2 не может быть униформизировано с помощью
мероморфных функций (теорема Пикара, см. Аппель — Гурса [1*]).
Если, наконец, /?>1, то R — единичный круг и униформизация
достигается с помощью двух автоморфных функций.
Сравнительно мало исследован общий случай, когда многозначное
соотношение R<—>R' задается трансцендентным уравнением
F(z, w) = 0. Кое-что известно относительно алгеброидного случая,
когда уравнение рационально по одному переменному и трансцен-
дентно по другому; к этому случаю мы вернемся в п. 8.52 (Мир-
берг П. Ю. [2]).
8.51. Аналитические образы. Униформизация произвольного ана-
аналитического образа {z, w), получаемого продолжением заданного
элемента функции, всегда может быть достигнута с помощью раз-
развитого выше общего метода. В самом деле, элементы удовлетворяют
условиям А, В, С п. 8.36, поэтому их совокупность можно, согласно
п. 8.40, превратить в риманову поверхность. Униформизация снова
получается с помощью универсальной поверхности наложения R. Если
исключить указанные в п. 8.46 частные случаи, поверхность R —
гиперболическая и, следовательно, униформизирующие функции z (t)
и w (t) автоморфны в круге 11 | < 1.
8.52. Теорема об алгеброидных функциях. В заключение этой
Главы докажем еще одно обобщение теоремы п. 5.42. Мы рассмотрим
многозначное соотношение z<—>w, определенное „алгеброидным"
уравнением F(z, w) = 0, которое относительно w алгебраично, а
коэффициентами может иметь мероморфные функции. Пусть R — сла-
бЬЙшая униформизирующая этого соотношения и/(Р) — мероморфная
функция на R. Мы утверждаем, что тогда существует такая функ-
функция <f(z, w), рациональная относительно w и мероморфная относи-
относительно z, что для всех точек Р
Для доказательства рассмотрим R как поверхность наложения (от-
(открытой) ^-плоскости. Из алгебраической структуры F(z, w) следует,
в п. 8.47, что эта поверхность наложения безгранична. Число ее
истов равно степени т функции F относительно w.

304 гл. via. униформизация
Пусть теперь Р\— произвольная точка R и Р2, ...,Рт — экви-
эквивалентные ей точки. Рассмотрим для каждого фиксированного
k (k~0 т — 1) функцию
Она мероморфна на R и в эквивалентных точках принимает одина-
одинаковые значения. Поэтому ей можно поставить в соответствие одно-
однозначную функцию Ф)с(г) от z, полагая
где Р — произвольная точка, лежащая над точкой г. Из условия без-
безграничности поверхности наложения R-+R вытекает, что функция
ФйB) непрерывна всюду, где это справедливо для ФЙ(РJ). Следо-
Следовательно, функция Ф^(г) мероморфна.
Затем, как в п. 5.42, определим функции Ah{z, w), которые теперь
мероморфны относительно z, и, аналогично п. 5.42, образуем из
Фк (z) и Ак (z, w) функцию Ф (z, w).
8.53. Теория функций на римановых поверхностях и теория
автоморфных функций. Теория униформизации позволяет представить
каждую риманову поверхность R фундаментальным многоуголь-
многоугольником группы преобразований наложения (Г), а именно, так, что
преобразования группы являются линейными преобразованиями ком-
комплексной переменной t, оставляющими инвариантной универсальную
поверхность наложения R, причем R — риманова нормальная область Е.
Тем самым одновременно вся теория функций на поверхности R пре-
преобразуется в теорию функций, которые определены в Я и обладают
некоторыми свойствами периодичности относительно группы (Г):
однозначные функции на R становятся автоморфными функциями в Е,
абелевы интегралы переходят в однозначные функции в ? с некото-
некоторыми постоянными аддитивными периодами при преобразованиях (Г).
Наоборот, вся теория римановых поверхностей может быть по-
построена на основе такого частного представления. Исходным
пунктом служит тогда дискретная группа (Г) в круге (или
!) Если среди точек Р^ имеются точки разветвления, то их следует вклю-
включить в сумму с их кратностями.
а) Легко доказывается следующее: если /? — безграничная (разветвленная
или неразветвленная) поверхность наложения R и Ф(Р) — непрерывная функ-
функция на R, принимающая в эквивалентных точках одинаковые значения, то
функция, определяемая на R соотношением Ф (Р) = Ф (Р), непрерывна.

I 4. УМИФОРМИЗАЦИЯ 305
на сфере) Е. Соответствующая риманова поверхность R получается из
л
E=R отождествлением точек, эквивалентных относительно группы (Г).
Большая классическая проблема заключается в том, чтобы вывести
существование и аналитическое представление автоморфных функций
непосредственно, с помощью заданной группы (Г); это — путь вейер-
штрассовой теории периодических функций, к которой методически
близко примыкает теория автоморфных функций Пуанкаре [1].
Мы не можем здесь рассматривать построенные Пуанкаре ряды
(тэта-ряды), с помощью которых он доказал существование авто-
автоморфных функций для заданной группы, и ограничимся указанием на
его оригинальные работы или на более новые изложения общей теории
автоморфных функций (например, Фату [1*], Форд [1*]). Заметим
только, что тогда, когда риманова поверхность R задана, в част-
частности, как фундаментальный многоугольник группы аналитических
преобразований, легко может быть указано покрытие R параметри-
параметрическими кругами, которое позволяет применить данные в нашем изло-
изложении построения и доказательства существования.
I 20 Зяк. 295. Р. Неванлинна

Глава IX
ПОВЕРХНОСТИ, ПОДОБНЫЕ ОДНОЛИСТНЫМ
§ 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
9.1. Задача. Для односвязной римановой поверхности R гипер-
гиперболического типа отображение на единичный круг было получено
с помощью функции Грина 0{z, С) этой поверхности. Отображающая
функция в этом случае просто задается выражением
In w = — О {г, С) —10' (z, С),
где W — сопряженная к О гармоническая функция. При этом точка
z = С переходит в точку w = 0.
Если теперь поверхность R неодносвязна, то, как было показано
в § 1 гл. VI, функция Грина О (z, С) все еще может быть построена,
если только емкостная постоянная поверхности R положительна.
Напротив, сопряженная функция О' в целом теперь уже не будет
однозначной, она будет иметь некоторые периоды при обходе вдоль
путей, не гомологичных нулю. Поэтому для изучения конформных
отображений многосвязных поверхностей должны быть привлечены
новые вспомогательные средства.
Задача настоящей главы — показать, что произвольную поверх-
поверхность, подобную однолистным, можно отобразить взаимно одно-
однозначно и конформно на подобласть числовой w-плоскости. Отобра-
Отображение строится с помощью результатов гл. IV. При этом область-
образ в ^/-плоскости должна быть подходящим образом нормирована.
В качестве такой нормировки образа годится в первую очередь
требование, чтобы он был областью с параллельными разрезами,
т. е. областью, граница которой состоит из параллельных отрезков 1).
Описанный ниже метод в основном был разработан Гильбер-
Гильбертом [1*], Кёбе [1] и Курантом [1*], [2*].
9.2. Поверхности, подобные однолистным. Под поверхностью,
подобной однолистным, понимают поверхность, разбиваемую каждым
циклическим сечением (замкнутой жордановой кривой). Например,
числовая сфера и числовая плоскость подобны однолистным.
Поверхность R', составляющая часть поверхности R, подобной
однолистным, также подобна однолистным. Действительно, пусть
*) Для бесконечносвязных поверхностей это требует уточнения, которое
дается ниже (см. пп. 9.32, 9.33). — Прим. перев.

§ 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ 307
о — произвольная замкнутая жорданова кривая на /?'; покажем, что
она разбивает поверхность. Пусть Р — произвольная точка о и К—
ее параметрическая окрестность. Выберем в К две точки А и В,
лежащие по разные стороны от кривой а. Тогда точки А и В нельзя
соединить на R путем, не встречающим кривую а. В самом деле,
в противном случае кривая а не разбивала бы R, так как, очевидно,
¦всякую точку R — а можно, не встречая а, соединить либо с А,
либо с В. Точки А к В (обе они лежат на /?') нельзя, следовательно,
и на R' соединить путем, не встречающим о, т. е. а разбивает R'.
Таким образом, поверхность R' разбивается каждой замкнутой жор-
дановой кривой, следовательно, она подобна однолистным.
В частности, из предыдущей теоремы следует, что всякая под-
подобласть числовой плоскости есть поверхность, подобная однолистным.
9.3. Из замкнутых поверхностей сфера — единственная поверх-
поверхность, подобная однолистным. В самом деле, если род р замкнутой
поверхности R положителен, то R может быть представлена 4/?-уголь-
ником с соответствием сторон (/?) (гл. V, § 1, п. 5.7), и тогда каждая
сторона многоугольника (после отождествления концов) определяет
неразбивающее циклическое сечение.
Точно так же из нормального представления гл. V видно, что
. поверхность с краем только тогда может быть подобной однолист-
однолистным, когда ее род равен нулю. С другой стороны, каждая поверх-
поверхность с краем рода нуль всегда подобна однолистным, как это непо-
непосредственно видно из того же нормального представления.
9.4. Исчерпание открытой поверхности, подобной однолистным.
Теперь мы переходим к нашей задаче, а именно, к доказательству
;,того, что каждая поверхность, подобная однолистным, конформно
^эквивалентна области числовой плоскости.
|/ Пусть R — произвольная поверхность, подобная однолистным. При
|этом мы исключаем простые случаи, когда универсальная поверхность
наложения R параболична. Итак, пусть R — единичный круг |?|< 1.
ы считаем, что фундаментальный многоугольник тс поверхности R
тангулирован согласно построению п. 8.7. Тогда для произволь-
произвольно г < 1 часть R, соответствующая замкнутому кругу 11 | ^ г,
:ть некоторая поверхность с краем R*, лежащая на R. Поскольку
подобна однолистным, R* также подобна однолистным.
Поверхность R образует аналитическое продолжение поверх-
поверхности R* в смысле § 2 гл. VIII. Отсюда следует, что фунда-
фундаментальный многоугольник тг*, отвечающий R*, на универсальной
Ьверхности наложения R* примыкает к граничной окружности \t* |= 1
?доль (конечного числа) сторон (следовательно, не вдоль изо-
(рованных вершин). Поэтому можно применить нормирующий
оцесс § 3 гл. VII. Следовательно, поверхность R* имеет вполне

308 ГЛ. IX. ПОВЕРХНОСТИ, ПОДОБНЫЕ ОДНОЛИСТНЫМ
определенный (с помощью нормального многоугольника п. 7.31) род р,
а именно, в силу того, что поверхность подобна однолистным,
р = 0.
Отсюда, далее, следует, что каждые (q—1) граничных контура
поверхности R* образуют базис одномерной группы гомологии по-
поверхности R* (см. п. 5.25). Итак, R*—лежащая на R поверх-
поверхность с краем рода нуль. Если число г мы заставим пробегать под-
подходящим образом выбранную последовательность значений г., -> 1, то
получим последовательность поверхностей с краем рода нуль, исчер-
исчерпывающих заданную поверхность R.
Чтобы решить теперь поставленную задачу об отображении для
заданной открытой поверхности R, мы прежде всего, в соответствии
с построенным выше исчерпанием R, рассмотрим лежащие на R
поверхности с краем, решим для них задачу об отображении и затем,
с помощью предельного перехода, перенесем результаты на заданную
поверхность R.
§ 2. ПОВЕРХНОСТИ С КРАЕМ, ПОДОБНЫЕ ОДНОЛИСТНЫМ
9.5. Области с параллельными разрезами. Пусть подобная
однолистным риманова поверхность R с краем задана как часть
объемлющей поверхности Rv Граничные контуры 1^, . . ., Tq поро-
порождают группу гомологии поверхности R; будем предполагать, что
эти граничные контуры на R{ представляют собой кусочно-аналити-
кусочно-аналитические кривые. Мы покажем, что поверхность R конформно экви-
эквивалентна подобласти числовой плоскости (га-плоскости). При этом
областями-образами будут некоторые нормальные области •ш-пло-
•ш-плоскости. В целях упрощения техники доказательства в качестве
таких областей рекомендуется сначала выбрать области с парал-
параллельными разрезами, т. е. области, ограниченные некоторым числом
параллельных отрезков (Кёбе [1]). В дальнейшем будут рассмотрены
и некоторые другие нормированные области.
Задачу об отображении поверхности R мы формулируем теперь
в следующем точном виде:
Пусть Р — произвольная точка на R и К—фиксированная
параметрическая ее окрестность. Требуется найти аналитиче-
аналитическую функцию w = F(z), которая на R однозначна и, исключая
точку P(z=zr,), регулярна; в точке Р она должна иметь раз-
разложение
F (z) = -jZTF ~Ьрегулярная функция, (9.1)
где вычет с задан *). Далее, функция F(z) должна быть одно-
!) Следует заметить, что коэффициент с и тем самым нормировка /'
зависят не только от точки Р, но и (ковариантно) от выбора> локального
параметра г.

, 8 2. ПОВЕРХНОСТИ С КРАЕМ, ПОДОБНЫЕ ОДНОЛИСТНЫМ 309
Г
листной на R и должна иметь на каждой граничной кривой Г,
• предельные значения с постоянной действительной частью.
й
Так как граница Г = 2 Г, состоит из аналитических дуг, то из
4 = 1
принципа симметрии следует, что функция F аналитична в каждой
.внутренней точке такой дуги.
9.6. Единственность решения. Отображающая функция, если
'она существует, определена с точностью до аддитивной постоянной.
В самом деле, если Ft и F2— два решения, то разность F—F±—-Fq=
%—U-\-lU' регулярна в R, поэтому для ее интеграла Дирихле, в силу
C.20'), справедливо соотношение
-!*<»¦
г
^ как U — const на каждой кривой Г„ то последний интеграл
•равен нулю, тем самым и dF/dz = 0, так что F s const, что и тре-
требовалось доказать.
I
| 9.7. Вид отображающей функции. Предположим теперь, что
VF = U-\-ii)'— решение задачи об отображении. Тогда действитель-
действительная часть U в точке г = С имеет разложение
{ с \
'¦¦ t/ = Re(———^-1 —j— гармоническая функция. (9.2)
ja граничной кривой Г., функция U имеет постоянное значение
),(v=l, ..., q).
-ь Образуем гармоническую меру «>.,(z) кривой Г, относительно R.
*, '
«шгда разность t/0=t/ — 2 ТЛ имеет еще разложение вида (9.2)
Щ' 4 = 1
Нравна нулю на всей границе Г.
?' Таким образом, если F=U-\-iU'—решение задачи об ото-
^ажении, то U имеет вид
| ?/=*/<,+ ]??,«.,. (9.3)
5 f4 — действительная постоянная (абсцисса ч-го разреза области-
|раза), w,, — гармоническая мера Г, относительно R и Uo — одно-
Ёчная гармоническая функция, регулярная на R (всюду, кроме
ниоса z = С) и обращающаяся в нуль на границе Г.
\ В полюсе С функция U имеет разложение вида (9.2).
Значение этого представления отображающей функции состоит
|Ьм, что функции о., и Uo, согласно результатам гл. IV, могут быть
Строены непосредственно. Следовательно, все сводится к опреде-
Йю постоянных f4.

310 ГЛ. IX. ПОВЕРХНОСТИ, ПОДОБНЫЕ ОДНОЛИСТНЫМ
9.8. Необходимое и достаточное условие. Необходимое условие
для постоянных fv получается из того, что сопряженная к U функ-
функция U' должна быть однозначной. Если dU'o и dm' — дифференциалы,
сопряженные соответственно к di/0 и dw.(, и если
г.,
do/, Д., = J dU'o (.х, n = 1 7).
то период U' вдоль Г., равен
л
Отсюда следует, что для разрешимости задачи об отображении не-
необходима разрешимость линейной системы уравнений
,, , = 0 (v=l,...,7). (9.5)
и.=1
Это условие также и достаточно. Для доказательства предполо-
предположим, что система (9.5) удовлетворяется значениями х^ = ^^, и обра-
образуем соответствующий потенциал (9.3). Сопряженная к U функция
(определенная с точностью до аддитивной постоянной), в силу (9.4').
однозначна на R, так как кривые Г., порождают группу гомологии
поверхности R. Мы утверждаем, что функция F — U~\-lU' осуще-
осуществляет требуемое отображение.
Прежде всего, эта функция w = F обладает в точке z = ? тре-
требуемой особенностью, характеризуемой разложением (9.1). Далее,
действительная часть U на Г^ равна постоянной ^- Следовательно,
в качестве образа IV получается (конечный) отрезок s^, параллель-
параллельный мнимой оси. Если удалить из w-плоскости q отрезков s^, то
останется область Gw, содержащая точку гг) = со. Мы покажем, что
эта область является образом поверхности R при отображении с по-
помощью w — F.
Пусть w = a (фоб) — точка области Qw. Тогда функция F — а
имеет внутри R один и только один нуль. Это следует из принципа
аргумента: в самом деле, функция F — а на Г отлична от нуля и
бесконечности ив/? регулярна с точностью до полюса z — \. Сле-
Следовательно, для числа п ее нулей имеем
9
Когда z описывает кривую Г^, точка w = F движется по отрезку s^,
причем, в силу однозначности отображения, она должна вернуться
к первоначальному положению. Поэтому каждое слагаемое справа

§ 2. ПОВЕРХНОСТИ С КРАЕМ, ПОДОБНЫЕ ОДНОЛИСТНЫМ
311
равно нулю, следовательно, л=1, и утверждение тем самым дока-
доказано.
Поэтому функция w = F(z) отображает внутренность R тополо-
топологически и конформно на область Gw, ограниченную параллельными
отрезками s^.
9.9. Разрешимость системы уравнений (9.5). Система линейных
уравнений для -^ состоит из q уравнений и содержит столько же
неизвестных. Поэтому ее разрешимость зависит от ранга матрицы Д^.
Сначала покажем, что матрица Д.,., — симметрическая.
Если в формуле преобразования C.16) положить /И =
^
N =
—т-^-,
-~ , то для каждой пары jt, ч будем иметь
J о)^ dw', = J ш.( day
и, так как
= 1 на Г^ и ю^ = 0 на Г., (v Ф \i),
V = J dt0'v- —
как утверждалось.
Ранг матрицы Д
так как, очевидно,
имеет не наибольшее возможное значение (</),
ши.==1> следовательно,
и поэтому
=2 Д =0 (v=l q).
;Значит, однородная система
(v=l, ..., q)
(9.6)
|имеет нетривиальное решение хх = . . . = л;д, и ранг матрицы Д„..,
не превосходит q— 1.
С другой стороны, xY = ... =xq — единственное решение одно-
однородной системы (9.6). В самом деле, если x — (xv.-., xq) — век-
вектор-решение, то функция
2
A=1

312 ГЛ. IX. ПОВЕРХНОСТИ, ПОДОБНЫЕ ОДНОЛИСТНЫМ
регулярна в R и сопряженная к ней функция «>', в силу (9.6), одно-
однозначна. Следовательно, аналитическая функция w-(-to' однозначна
и регулярна в R и ее действительная часть на Г^ равна постоянной х^.
Повторяя рассуждения п. 9.6, заключаем, что эта функция есть по-
постоянная; следовательно, ее граничные значения ху, равны друг другу,
что и требовалось доказать. Поэтому ранг матрицы Д^, в точности
равен q— 1.
Неоднородная система (9.5) тогда и только тогда имеет решение,
когда вектор A = (Aj, ..., Дд) ортогонален к каждому вектору-ре-
вектору-решению транспонированной однородной системы. В силу симметрии
матрицы Д^,, транспонированная система совпадает с первоначальной
и, следовательно, имеет только решение xt = ... = xq. Поэтому
условие разрешимости принимает вид
i д.,=о.
4 = 1
Левая часть этого равенства представляет полную вариацию
вдоль Г сопряженного к Uo потенциала U . Она действительно равна
нулю, так как потенциал Uo также однозначен в окрестности полюса С
Следовательно, условие ортогональности выполняется, и система
(9.5) имеет решение х^_ = f^. Общее решение имеет вид
где f — произвольная постоянная.
9.10. Этим полностью выяснен вопрос о разрешимости задачи
об отображении п. 9.5. Действительная часть отображающей функ-
функции равна
A=1
Она определена с точностью до аддитивной постоянной у, тем самым
и функция F = U-\-iU' определена с точностью до аддитивной по-
постоянной Y + tV> в соответствии с доказанной в п. 9.6 теоремой
единственности.
9.11. Совокупность отображений на области с параллельными
разрезами. Теперь мы можем решить более общую задачу об
отображении поверхности R на область Gw, ограниченную q отрезками,
параллельными произвольно заданному направлению а. Пусть при
этом вычет в полюсе z —г, снова имеет заданное значение с. Нор-

S 3. СВОЙСТВА ОТОБРАЖЕНИЙ НА ОБЛАСТИ С РАЗРЕЗАМИ 313
.мированную таким образом отображающую функцию мы обозначаем
через w — F(z; с, а), причем а @ ^ а < тс) означает угол между
положительным направлением мнимой оси и заданным направлением.
Следовательно, построенное выше отображение соответствует значе-
нию а = 0.
Функция e~hF(z; с, я) отображает R на область с разрезами,
параллельными мнимой оси, и имеет вычет в полюсе z = С, равный
|се~*". Тогда, по теореме единственности п. 9.6,
* F(z\ с, a) = eiaF(z; се~ь, 0)-fconst,
и этим более общая задача об отображении сводится к частной за-
задаче п. 9.5. Отображающая функция w = F(z; с, а) снова опреде-
определена с точностью до аддитивной постоянной.
f 9.12. Линейные комбинации. Между различными дифферен-
дифференциалами dF(z; с, a)=f(z; с, а) имеют место некоторые линейные
Соотношения, из которых для нас важно следующее.
Очевидно, что
ь
. e~<'f(z; 1, «)=/(*; е-*, 0) =
— f(z; cos a, 0)-f-/O; —/ sin «, 0) =
j =f(z; 1, 0)cosa — if(z; 1, -jjsina. (9.7)
вменяя здесь а на a + -к , получаем
i_ fiz; 1, «)+/(«; 1, a+|)=/(z; 1, 0L-/B; 1, j) (9.7')
m каждого направления a.
; § 3. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОТОБРАЖЕНИЙ
НА ОБЛАСТИ С РАЗРЕЗАМИ
f: 9.13. Размах. Для краткости будем писать
I, (z) = dF(z; 1, -J) = A (z) dz, dFt (г) = dF (z; 1, 0) = /а (z) dz,
tt, следовательно, /t и /2 в полюсе z = S имеют разложения
W.Пусть теперь Ф(г) и 4'(z)— функции, определяемые соотноше-
соотношении

314 ГЛ. IX. ПОВЕРХНОСТИ. ПОДОБНЫЕ ОДНОЛИСТНЫМ
Функция W на R регулярна всюду без исключения и имеет
в точке z = С разложение
f = const -\-s(z — C)+ ¦ • ¦> (9.9)
где s = (Cj — с2)/2. Величина 5 называется размахом (Spanne) по-
поверхности R в точке z = r~, (Грунский [1], Шиффер [1], Лехто [1],
Локки [1}).
Размах зависит не только от точки С, но и от локального пара-
параметра z. Если z' — новый параметр и dz/dz' = а в точке z = С, то
функции | а | Z7! и | о | F2 нормированы относительно z' так, как Fl
и F2 относительно z (вычет в точке г—-С равен 1); коэффициенты
при первой степени (z' — С) равны тогда соответственно \а?\с1 и
| а21 с.2> и тем самым размах
?'•¦ «>-'°>
Следовательно, размах имеет ковариантный тензорный ха-
характер х).
9.14. Функция Ф. Функция Ф на R регулярна всюду, исключая
точку z = С, где она имеет полюс с вычетом -f-1:
Мы покажем, что коварианта <о = а"Ф/с1г на R нигде не равна
нулю. Имеем
поэтому равенство о = 0 равносильно тому, что
и __, А 1
/г, как частное двух ковариант, есть скалярная функция. В силу
однолистности F%, коварианта /2 Ф 0, поэтому функция A(z) регу-
регулярна. Затем, в силу однолистности F(z; I, a), коварианта f(z; I, a)
й) Повидимому, подсчет основан на недоразумении. Его можно вести
следующим образом. Рассматривая z как функцию от г', имеем, с точностью
до аддитивных постоянных {а = | а \ е*°):
F (z>; 1, -J) = | а | F (z; e'«, -j) , F {z>; 1, 0) = 1 а \ F (г; в*«, 0);
отсюда, в силу (9.7),
F (z>; l.-^j-F (z>; 1, 0) = | а \ e~*(Ft- F2),
откуда следует правильное соотношение (9.10).—Прим. перев.

i 3. СВОЙСТВА ОТОБРАЖЕНИЙ НА ОБЛАСТИ С РАЗРЕЗАМИ 315
также отлична от нуля. Отсюда с помощью соотношения (9.7) за-
заключаем, что
к{г)ф—ictga
для каждого а, т. е. h(z) вообще не принимает чисто мнимых зна-
значений. Так как А = 1 в общем полюсе ? ковариант /х и /2, то из
соображений непрерывности вытекает, что h может принимать на R
только значения с положительной действительной частью; следо-
следовательно, в частности, пф—1, тем самым ср=/=О на R.
9.15. Поведение на границе. Исследуем теперь подробнее пове-
поведение отображения w = Ф на граничных кривых Г.,. Для этого запи-
запишем функцию Ф в виде [ср. (9.7')]
2Ф(z) =
Когда г описывает кривую Г.„ точка w1 = F(z; 1, я) пробегает
один раз туда и обратно разрез-образ, заданный направлением а,
а точка w.2 = f(z; I, a-f--^-)— перпендикулярный к нему разрез,
причем также один раз туда и обратно. Поэтому геометрическое
место точек <a>1-\-w.3 обладает тем свойством, что каждая прямая,
параллельная а или a -\- -=•, встречается с ним не более чем в двух
точках. Так как это имеет место для каждого направления а, то
образ av кривой Г., есть выпуклая кривая.
9.16. Однолистность Ф. Предположим теперь, что поверхность R
положительно ориентирована (т. е. положительно ориентированы
2-симплексы триангуляции /?). Границу Г можно считать „гладкой", и
тогда
/(!> (эл1)
Это следует из C.50), если учесть, что ср на R не имеет нулей и
имеет в точности один полюс второго порядка и что знакочередую-
знакочередующаяся сумма симплексов триангуляции поверхности R равна у = q — 2,
как это непосредственно видно из фундаментального многоугольника.
Из (9.11) далее следует, что
для -i=\,..., q. В самом деле, этот интеграл, с точностью до
множителя i, означает изменение аргумента Ф вдоль Г„, т. е. полный
поворот касательного вектора кривой ач, являющейся образом Гч при
отображении ¦к/ = Ф (ср. п. 3.39). Так как, согласно п. 9.15,

316 ГЛ. IX. ПОВЕРХНОСТИ. ПОДОБНЫЕ ОДНОЛИСТНЫМ
а,— жорданова кривая, то это изменение может равняться только
rt2it (см. Хопф [2]) и, в силу (9.11), для каждого ч здесь должен
стоять знак минус.
Отсюда заключаем, что функция Ф (z) однолистна. В самом деле,
если w0 — произвольная точка ге>-плоскости, не лежащая на кривых а,,
то Ф — w0 не имеет на Г ни нулей, ни полюсов, поэтому, по прин-
принципу аргумента,
где п — число нулей Ф — w0.
ч-й интеграл слева означает (умноженный на 2тс/) индекс кри-
кривой-образа а., относительно точки w0. Так как а., — жорданова кри-
кривая, то для индекса возможны только значения +1, —1,0. Как
было показано выше, полный поворот вектора касательной к кривой а,
равен — 2тс; поэтому значение -f-1 для индекса невозможно и сумма
интегралов слева в (9.12) имеет значение—2nim @ <[ т < q). Из (9.12)
вытекает теперь, что т-{-п=1, а так как т и п оба неотрица-
неотрицательны, то отсюда, далее, следует, что либо т = 0, п = 1, либо т = 1,
п = 0. Поэтому значение w0 либо принимается один раз, либо вовсе
не принимается, что и требовалось доказать.
Число т означает число жордановых кривых яч, которые содер-
содержат точку w0 внутри себя. Так как т — либо нуль, либо единица,
то это означает, что все кривые лежат вне друг друга.
9.17. Минимальное свойство коварианты ф. Подсчитаем инте-
интеграл Дирихле коварианты 6 = d^/dz по поверхности R. В силу
C.19), имеем1)
/
в
и так как rfW = йФ на Г, то
Этот интеграл можно подсчитать по теореме о вычетах: кова-
рианта ч7<? регулярна всюду, за исключением точки С, где она имеет
вычет —s, поэтому
Следовательно, интеграл Дирихле от ^, с точностью до множи-
множителя тс, равен размаху s. Отсюда видно, что размах действителен и
!) Существенная для дальнейшего идея сведения вычисления интеграла
Дирихле с помощью указанного ниже тождества к теореме о вычетах восхо-
восходит к Грунскому.

! 3. СВОЙСТВА ОТОБРАЖЕНИЙ НА ОБЛАСТИ С РАЗРЕЗАМИ 317
неотрицателен. Далее, значение s = 0 невозможно, так как в про-
противном случае мы бы имели ^s=0, тем самым Ft = F2-f- const, что
невозможно, в силу вида областей-образов Ot и О2, получаемых при
отображениях w = Fv w = F2.
Пусть теперь dF = fdz — полный аналитический дифференциал,
однозначный и регулярный на всей поверхности R и имеющий
в точке z =Y, (относительно фиксированного параметра z) значение
s{r. е. /(ч) = «). Если тогда положить dH = hdz = (f—tydz, то
для интеграла Дирихле от / имеем
f f\f\*dxdy=f fw
R II R
+ 2 Re J J htydxdy.
R
В силу C.18), здесь
Этот интеграл, по теореме о вычетах, равен нулю, так как кова-
рианта №р регулярна для гф", и ее вычет в точке г = ' равен
нулю. Поэтому имеем
J J \f\*dxdy = J J \4/pdxdy + f f\h\*dxdy,
'л R R
следовательно,
||/||a = w+||A||».
Для всех полных регулярных аналитических дифференциалов
dF — fdz, которые в точке z — l имеют значение s, интеграл
Дирихле
ff\f\*dxdy
R
достигает своего минимума us при f = 6.
9.18. Максимальное свойство коварианты <р. Пусть F—одно-
F—однозначная аналитическая функция на R-\-T, регулярная всюду, кроме
точки z — ', где
F — U -4- Ш' = ——? -4- регулярная функция;
z — •«
предположим, далее, что функция w = F отображает поверхность R
взаимно однозначно на область Bw ^-плоскости. Для Г^Ф мы
обозначаем Вш через Gw.

318 гл. ix. поверхности. Подобные однолистным
Область Bw содержит точку w = оо, поэтому дополнительное
к Bw множество точек Bw ограничено. Граница р области Bw и до-
дополнения Bw состоит из q кусочно-аналитических жордановых кри-
кривых р., (ч = 1, . . ., q). Площадь дополнения Bw задается интегралом
UdU',
где кривые pv пробегаются в направлении, отрицательном по отно-
отношению к ге>-плоскости. В силу однозначности F, имеем
j FdF = — 21 j UdU',
г p
причем на р нужно взять ориентацию, соответствующую ориента-
ориентации Г; согласно п. 9.16, она отрицательна по отношению к ге>-пло-
скости 3), следовательно,
J FdF— 211.
г
В частности, если за F принять Ф, имеем
J Ф <*Ф = J Ф dW,
г г
откуда, по теореме о вычетах,
г
Поэтому для дополнительной области Qw получаем значение xs.
Мы покажем, что это — минимальное значение для всех рассмотрен-
рассмотренных выше функций F. Разность H=F — Ф регулярна в R, следо-
следовательно, если dH = h dz, то
J FdF = |(Я+Ф)йG7+Ф) =
г г
J J J J
R г l
По теореме о вычетах, третий интеграл здесь равен нулю:
Г (ф dHA- Hrf<F) = f (— Hdi>-f- Нс1Ф) —
~ " =0.
= 2 Im J ЯйФ = 2 Im J
!) Следует заметить, что при доказательстве п. 9.16 были использованы
только такие свойства функции Ф, которыми обладают и функции F.

§ 3. СВОЙСТВА ОТОБРАЖЕНИЙ НА ОБЛАСТИ С РАЗРЕЗАМИ 319
Тем самым
/ Г = I I
Следовательно, среди всех функций F функция Ф дает „наи-
„наименьшую" область-образ, т. е. область, дополнение которой
имеет наибольшую площадь, и этот максимум достигается
только для F = Ф.
9.19. Случай q = l. Для односвязной поверхности R экстре-
экстремальная область Qw, получаемая с помощью отображающей функ-
функции /7 = Ф, может быть легко определена. Пусть Ft — снова функ-
функция, отображающая R на плоскость с разрезом, параллельным дей-
действительной оси, и имеющая вычет 1 в точке С. Пусть область Q№i
нормирована так, что концами разреза являются точки ±d (d > 0).
Тогда функция F2, отображающая R на плоскость с разрезом,
параллельным мнимой оси, и вычетом 1 в точке г„ может быть вы-
выражена через функцию Fv Для этого заметим, что F^F^1 есть ото-
отображение ад-плоскости на себя, которое переводит первый разрез
во второй, оставляет неподвижной точку w = oo и имеет в ней про-
производную, равную 1. Но такое отображение может быть указано
непосредственно. В самом деле, если положить
1 2 \ ' w
то отображение адх -> w переводит область 0№l во внутренность или
внешность единичного круга, в зависимости от выбора ветви квад-
квадратного корня. Если затем
то внутренность, соответственно внешность, единичного круга пере-
переходит в область О ю, •ш^-плоскости с разрезом вдоль отрезка мнимой
оси, соединяющего точки it: id. Отображение w± ->¦ w -у w2 переводит
поэтому первый разрез во второй; далее, оно, очевидно, оставляет
неподвижной бесконечно удаленную точку и имеет в ней производную,
равную 1.
По определению функций Ф и W,
ф = i {wt+w.2) = ?f = jl-j -f- к* - :)i.
и размах s имеет значение
5 = •
i

320 ГЛ. IX. ПОВЕРХНОСТИ, ПОДОБНЫЕ ОДНОЛИСТНЫМ
Следовательно, функция Ф отображает R взаимно однозначно и
конформно на внешность круга |tt>|>d/2, a W — на внутренность
круга | w\ < rf/2.
Поэтому отображение R, осуществляемое функцией w = —— Ч',
ys
совпадает с фундаментальным отображением R на единичный круг
|«>|< 1, задаваемым функцией w(z, C) = e-°(z- 'i-'O' (»• г-\ и между
размахом sQ и емкостной постоянной с (С) односвязной поверхности
R имеет место соотношение
9.20. Метризация поверхности R. Найденное в конце п. 9.19
соотношение между размахом s и емкостной постоянной с для слу-
случая односвязной поверхности наводит на мысль ввести на R мет-
метрику с инвариантным линейным элементом
В случае q = 1 речь идет о гиперболической геометрии (метрика
Пуанкаре), но и только в этом случае: для q > 1 кривизна предыду-
предыдущей метрики непостоянна. К этому вопросу мы еще вернемся в гл. X.
Ввиду совпадения чисел с (z) и ]/ s (z) для q = 1, возникает
вопрос, не целесообразно ли последнее число считать „емкостью" и
в случае ?> 1. Мы увидим (в гл. X), что это не так: если учи-
учитывать физическое значение понятия емкости, то естественным обоб-
обобщением емкости является нечто другое. Поэтому мы и дальше со-
сохраним для s(z) название „размах".
9.21. Теорема Бибербаха о площадях. Для односвязных поверх-
поверхностей R теорема о минимуме п. 9.17 может быть доказана, как
показал Бибербах [1*], непосредственно путем элементарного под-
подсчета. Именно, справедливо следующее предложение.
Пусть
— регулярная аналитическая функция в единичном круге | z \ < 1.
Тогда для площади / поверхности-образа, измеренной в евклидовой
метрике w-плоскости, имеем {z = re**)
*rdrd<?— f / % гппа^^-Чт-х rdrd<? =
I »I < 1 m, n

S 4. ОТОБРАЖЕНИЯ ОТКРЫТЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ 321
Следовательно,
и равенство здесь имеет место только для функции w = eibaxz, ото-
отображающей единичный круг |z|< 1 на круг Iw^laJ.
Но в настоящем случае это в точности утверждение теоремы
о минимуме п. 9.17.
Аналогично, из так называемой второй теоремы Бибербаха
о площадях [2] вытекает теорема о максимуме п. 9.18:
Если функция
W()
однолистно отображает единичный круг на (содержащую точку
w = оо) область О, то для площади А дополнения к О имеет место
соотношение
Следовательно, А <; тч причем А = тг только для функции
w = eiblz, отображающей единичный круг \z\<C 1 на внешность еди-
единичного круга | w | -^ 1.
§ 4. ОТОБРАЖЕНИЯ ОТКРЫТЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ,
ПОДОБНЫХ ОДНОЛИСТНЫМ
9.22. Исчерпание открытой поверхности. Пусть теперь R —
произвольная открытая поверхность, подобная однолистным. Отобра-
Отображение ее на область с параллельными разрезами получается путем
исчерпания R монотонной последовательностью подобных одно-
однолистным поверхностей с краем (см. п. 9.4):
/\ j с /\g ^— • ¦ • ^ Rn ^~ * • •» Rn ^ ^ *
Для каждого п мы конформно отображаем поверхность Rn с по-
помощью функций w = Fn и w = Fn на две области Sn, Sn ¦до-пло-
скости с разрезами, параллельными действительной, соответственно
мнимой, оси. При этом отображения Rn-+Sn и Rn-+S^ можно
^считать нормированными так, что заданная точка z = С поверх-
поверхности R переходит в точку w = оо, и в г, (по отношению к
[фиксированному параметру г) имеют место разложения:
р В дальнейшем исследовании снова важную роль играют обе
ушнейные комбинации
к их экстремальными свойствами, доказанными в пп. 9.17 и 9.18.

322 ГЛ. IX. ПОВЕРХНОСТИ, ПОДОБНЫЕ ОДНОЛИСТНЫМ
9.23. Размах поверхности R. Рассмотрим интеграл Дирихле
коварианты tyn = d4?Jdz:
в
п
где 5„ > 0 — размах Rn в точке z = r,.
Коварианта
S" ' =Sn(^_C)+...
удовлетворяет на Rn условиям теоремы о минимуме п. 9.17. По-
Поэтому соответствующий интеграл Дирихле не меньше интеграла
Дирихле от tj*n':
следовательно,
sn^ Sn+V
Размах sn с возрастанием п монотонно убывает, следовательно,
существует предел
s = limsn=:- lim ||<j*n||* .
я n-юо Л"
Это число s (^- 0) называется размахом поверхности R.
9.24. Сходимость последовательностей <?п и fyn по норме. Для
т^п как о„ — срот, так и tyn — tym — однозначные регулярные ана-
аналитические коварианты на Rm. Мы покажем, что последовательности
?» и tyn, сходятся „по норме", т. е. выполняется критерий Коши
в следующем виде:
Для всякого s > 0 существует настолько большое п0, что для
интегралов Дирихле от <р„—-«рот и ф„ — tym no Rm имеем
если л !> от >- п0.
В самом деле, в силу C.18),
IЯ
т
Здесь
2
2" J ф">"фп» = У J "' m =
г. г

§ 4. ОТОБРАЖЕНИЯ ОТКРЫТЫХ ПОВЕРХНОСТЕН 323
далее,
Чтобы подсчитать интеграл ^ = -q" Г Фт^Фп> перейдем к комплексно
сопряженным значениям:
Тем самым
t г —
Чтобы оценить Первый интеграл справа в (9.13), заметим, что
так что
с С ~ i Г ~ if
у J ф» афп < у J ф»йгф'> = "г" J ф"d4 » = ~ ™»-
г» г» г»
В итоге получаем неравенство
Так как последовательность sn сходится, то это неравенство выра-
выражает сходимость последовательности «рп »по норме", как это и
утверждалось.
9.25. Обычная сходимость последовательностей срп и ф»< Для
аналитических ковариант справедлива общая теорема о том, что схо-
сходимость по норме влечет за собой обычную сходимость:
Лемма. Пусть fn(z) — последовательность однозначных, ана-
аналитических ковариант на римановой поверхности R, сходящаяся
по норме на каждой компактной подобласти Ro поверхности R:
Wfn— /mllflj<e для n,m>N,.
Тогда существует предел /=lim/n, причем сходимость равно-
равномерна на каждой компактной подобласти поверхности R и f—
однозначная аналитическая коварианта на всей поверхности R.
Доказательство. Если z = t — точка поверхности R и
\г —1\ <^r —отвечающий ей параметрический круг А", то для каждой
21*

324 ГЛ. IX. ПОВЕРХНОСТИ. ПОДОБНЫЕ ОДНОЛИСТНЫМ
регулярной аналитической в К функции w(z), для которой
w(z)dz = 2 an(z — t)n,
t W "= 1
имеет место теорема Бибербаха о площадях (см. п. 9.21):
' 11^11^ = ^ 2«|о»|
Чтобы вывести отсюда лемму, рассмотрим компактную подоб-
подобласть Ro поверхности R и покроем ее конечным числом параметри-
параметрических кругов Kv ..., Кп (Кч: | г., | ^ 1), так, что уже меньшие
концентрические круги К., (|.z., |<1—8) (8 > 0) образуют покры-
покрытие Ro. Если Р — произвольная точка Ro и К-,—содержащий ее круг,
причем точка Р соответствует значению параметра z =^t, то, по тео-
теореме Бибербаха, примененной к «„=/„—fm в круге K(\zS
имеем
для п, т > /V,. Следовательно, по критерию Коши, последователь-
последовательность /„ сходится равномерно на Ro и предельная коварианта /
регулярна и аналитична в каждой точке R. Этим лемма доказана.
9.26. Из леммы вытекает сходимость последовательностей <оп и <{*п:
» и у определены на /? как однозначные аналитические коварианты.
Коварианта tp всюду регулярна, исключая полюс ?, где она имеет
такое же разложение, как коварианты уп:
<р (z) = — г-—гтг + регулярная функция.
(Z — у
Напротив, коварианта <}* регулярна всюду без исключения и в точке
z = С имеет разложение
«К*) = * + [(« —?I.
где s — размах поверхности /?.
9.27. Покажем еще, что коварианта ф имеет конечный интеграл
Дирихле по Л и что этот интеграл равен vs. Если Rm и /?„ — две
поверхности из последовательности, исчерпывающей R (от < я), то

§ 4. ОТОБРАЖЕНИЯ ОТКРЫТЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ 325
откуда при п -* оо следует, что
Это неравенство справедливо для всех т, поэтому и
В частности, отсюда видно, что интеграл Дирихле от 4 по R
конечен.
Чтобы показать, что в предыдущем соотношении должен стоять
знак равенства, заметим, что коварианта — tyn удовлетворяет усло-
виям теоремы о минимуме п. 9.17, примененной к Rm. Поэтому
откуда при и -> оо следует, что
1
а
так как это имеет место для всех т, то, наконец,
Ш1 ?
Итак, действительно ||6||3 =ns, что и требовалось доказать.
9.28. Предельнее функции Ф и ч7. Функции Фп и Wn, имеющие
производными соответственно срп и ^п, сходятся к аналитическим
интегралам
X Ф(г) = f <?(z)dz и W(z
••В точке z = ^ имеют место разложения
= —^j -{- регулярная функция,
1 9.29. Однолистность функции Ф. Докажем теперь, что функ-
Соия Ф однолистна на Л. Это вытекает из общей теоремы:
| Пусть Фп — последовательность однолистных аналитических
Ыункций на римановой поверхности R, сходящаяся равномерно
Щ предельной функции Ф на каждой компактной подобласти R.
1усть функции Фп имеют в точности один и тот же полюс
'• = С первого порядка. Тогда и Ф однолистна на R.
Прежде всего ясно, что Ф имеет один полюс z = г, первого по-
порядка и в остальном регулярна. Пусть, далее, а — произвольное

326 ГЛ. IX. ПОВЕРХНОСТИ, ПОДОБНЫЕ ОДНОЛИСТНЫМ
комплексное число; нужно показать, что Ф — а на R либо имеет
один нуль, либо вовсе не имеет нулей.
Для этого предположим, что М — компактное подмножество R,
содержащее полюс '. Пусть а2 есть 2-цепь, состоящая из симплексов
триангуляции R и покрывающая М. Не представляет ограничения
общности предположение, что Ф — а ф 0 (тем самым и Фп — а ф О
для достаточно больших и) на границе да2, ибо, так как Ф отлична от
постоянной, то Ф — а во всяком случае имеет только изолированные
нули. Применим теперь к функции Фп—-аи цепи а2 принцип аргу-
аргумента. Эта функция имеет на а2 один и только один полюс z = ^.
В силу однолистности Фп, число нулей Ф„— а на а2 равно либо О,
либо 1. Поэтому, по принципу аргумента,
— а
= — 2тс/ или О,
откуда следует, так как Фга на а2 сходится равномерно к Ф, что и
да'
или 0.
С другой стороны, принцип аргумента дает для числа п нулей
Ф — а на а'3 соотношение
л*«¦<»-о.
откуда вытекает, что либо п = 0, либо и = 1. Итак, функция Ф—а
на а2, тем самым и на М, либо имеет один нуль, либо ни одного,
а так как М было произвольным подмножеством R, то это же спра-
справедливо и для всей поверхности R, что и требовалось доказать.
9.30. Отображение гю = Ф(г). По предыдущему, функция
-ю = Ф(г) производит взаимно однозначное и конформное отображе-
отображение римановой поверхности R на подобласть Gw w-плоскости так,
что заданной точке z = С на R соответствует (лежащая в Qw) точка
W = ОО.
9.31. „Идеальная граница" Г поверхности R. Область Ою, по-
получаемая при выполнении отображения ¦ш = Ф, дает частное топо-
топологическое и конформное представление поверхности R, удобное
для исследования структуры R. „Идеальная граница" Г поверх-
поверхности R приобретает при этом отображении действительное предста-
представление в w-плоскости в виде границы Г„, области Qw.
Если число qn граничных контуров поверхности Rn равномерно
ограничено, то существует конечный предел q — lim qn. (Целое)

§ 4. ОТОБРАЖЕНИЯ ОТКРЫТЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ 327
число q называется числом связности (Zusammenhangszahl) поверх-
поверхности R. В этом случае граница Г„, области Qw состоит точно из q
компонент, которые являются либо континуумами, либо точками.
Если же q не конечно, то q = lim qn = оо; тогда поверхность R
бесконечносвязна; граница Tw области Gw имеет бесконечно много
компонент (континуумов или точек).
9.32. Отображения на области с параллельными разрезами.
Предыдущие рассмотрения позволяют также построить отображение
заданной поверхности R, подобной однолистным, на области с парал-
параллельными разрезами. Как мы видели, я-й поверхности Rn из после-
последовательности, исчерпывающей R, отвечают две функции
отображающие Rn взаимно однозначно и конформно соответственно
на области 5^, 5« с параллельными разрезами, причем граница
этих областей состоит из конечного числа отрезков, параллельных
соответственно действительной и мнимой осям, Соответствующими
экстремальными функциями являются
фя = 1 (F* + Fl), Wn = i {Fi - Fl).
Согласно п. 9.28, они сходятся к предельным функциям Ф и Ч'\
поэтому существуют предельные функции
Fx= lim Fn = >
n ->oo
ui = lim Ff, = Ф — T.
Единственной особенностью на R этих аналитических функций
является полюс в точке z —"-.; в нем они имеют разложения
половина разности между коэффициентами а и b равна размаху
поверхности R в точке z = S:
Согласно теореме п. 9.29, функции F1 и F2 однолистны и,
следовательно, отображают поверхность R взаимно однозначно и
конформно на некоторые области S1 и S2 w-плоскости. Ниже мы
эти области исследуем подробнее.

328 ГЛ. IX. ПОВЕРХНОСТИ, ПОДОБНЫЕ ОДНОЛИСТНЫМ
9.33. Области S1 и S'2. Рассмотрим, например, функцию F=sFz,
отображающую поверхность R взаимно однозначно и конформно на
область S = S2 то-плоскости, и покажем, что 5 — область с парал-
параллельными разрезами в следующем расширенном смысле:
Граница области S состоит из конечного или бесконечного
числа отрезков, параллельных мнимой оси, и, возможно, конеч-
конечного или бесконечного числа точечных компонент.
Следуя Кёбе и Куранту [2*], будем вести доказательство с по-
помощью приведенной ниже леммы.
Лемма. Пусть S—рассматриваемая область и k(w) — дей-
действительная или комплексная функция, непрерывная в S вместе
со своими частными производными и тождественно равная нулю
в окрестности w — оо. Затем пусть интеграл Дирихле от К
по S имеет конечное значение (w = и -f- iv):
При этих условиях
, du dv = 0.
J Л
Для доказательства предположим р > 0 настолько большим, что
область K(\w\^p) лежит целиком в 5 и что в ней ХвО. Пусть
тогда So— компактная подобласть 5, такая, что для заданного е > 0
f f (
Рассмотрим теперь последовательность поверхностей t2
с . . . cz Rnc . . ., RA -*¦ R, где Rn с помощью функции
w — Fn (z) == F*n (z) отображается взаимно однозначно и конформно
на подобласть Sn w-плоскости, ограниченную конечным числом раз-
разрезов рп, параллельных мнимой оси. Тогда, начиная с некоторого
п = п0, область Sn содержит So.
Чтобы в этом убедиться, возьмем произвольную точку w = w0
области So. В прообразе Яо области So на R [относительно отобра-
отображения w = F (z)\ w0 имеет одну и тольку одну точку-прообраз z = z0
(w0 = F (z0)). Покроем #0 цепью а так, чтобы точка z0 лежала
внутри некоторого симплекса цепи, и выберем п !> и0 настолько
большим, что \F—Fn\ = \w — wn|<m на да, где т>0 — мини-
минимум \w — wo\ на да. Тогда, используя тождество
мы с помощью принципа аргумента, проводя известные рассуждения
(теорема Руше, ср. п. 1.2), убеждаемся в том, что wn — wo= Fn — wQ

§ 4. ОТОБРАЖЕНИЯ ОТКРЫТЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ 329
имеет на а один и только один нуль, следовательно, и на Rn, как
только /?„гэа. Этим теорема доказана для точки да = да0; то, что
при этом можно обойтись числом п0, не зависящим от w0, следует
из компактности 50.
Рассмотрим теперь интеграл
J Г kvdudv= f f kc dudv-{- Г f At. dw di».
Sn
Так как 5„ — область с разрезами, то, по формуле Грина C.16),
J J\, dudv = — j a da = О,
следовательно,
= — j j \vdadv
so 8n-so
и, по неравенству Буняковского — Шварца,
IJ J At. da dt» 2 < J J \\dudv j J da dv < i:p2e >).
Аналогичная оценка справедлива для Г Г, откуда
s
Теперь теорема, сформулированная на стр. 328, доказывается та-
таким рассуждением (Курант [1*]). Предположив, что граница Г^,
области 5 содержит континуум f, не совпадающий с отрезком,
параллельным мнимой оси, возьмем на f две точки (uv v±) и (а2, v,2)
„так, что их < а3. Пусть р настолько велико, что область |«»|>р
|дежит в S, и пусть Я—полуплоскость v^-p. Будем теперь следовать
|>доль каждой прямой и = а, и^^^а ^.и.2, от f = -)-оо до первой
|гочки встречи с f. В S — Я получим тогда некоторые сегменты; пусть
^S'—множество точек, лежащих на этих сегментах, и S" — квадрат
^р-)-а.2 — av Построим на S функцию
(а —и,) (а —а,) на S',
' Ч на ST,
А ^^ .
О в остальных точках.
J) При интегрировании по Sn функция X преобразуется путем переноса
R и отображения Rn-*Sn. Предельным переходом при л-*-со получается
требуемая е-оценка для интеграла по Sq от заданной функции. — Прим. перев.

330 ГЛ. IX. ПОВЕРХНОСТИ, ПОДОБНЫЕ ОДНОЛИСТНЫМ
Функция к непрерывна на S и тождественно равна нулю в окрест-
окрестности w =- со. Ее первые частные производные ограничены и не-
непрерывны, если исключить граничные отрезки и — их, и = и.2 S' и
стороны S". Поэтому, по лемме1),
\.v da dv = 0,
в
что невозможно, так как, очевидно, ^t. !>0 всюду в S и /.,. > 0
внутри S".
Полученное противоречие показывает, что каждая граничная ком-
компонента области 5 = S2, не являющаяся точкой, есть отрезок, парал-
параллельный мнимой оси.
Аналогично доказывается, что граница предельной области S1
состоит из отрезков, параллельных действительной оси, и, возможно,
еще точечных компонент.
9.34. Теорема Кёбе. Возможность конформного отображения
самой общей поверхности, подобной однолистным, на плоскую об-
область с разрезами была впервые доказана Кебе. Ему же мы обязаны
также следующей теоремой.
Теорема. Граница Yw предельной области с разрезами S
имеет плоскую меру нуль.
Доказательство проводится с помощью леммы п. 9.33. Функцию
А (та») (в области S=S2) выбираем следующим образом. Пусть вся
граница Г№ области S лежит в круге | w ] < р. Тогда полагаем
h(w) — v в части S, лежащей в круге |то|<р, и затем продолжаем
ее каким-нибудь образом на всю область 5 так, чтобы она была
непрерывна вместе со своими производными и равнялась тождест-
тождественно нулю в окрестности w = oo. Тогда, по лемме,
8
Поэтому для каждого s > 0 существует область 50, содержащая
точку w = со и лежащая вместе со своей границей Го, которая со-
состоит из конечного числа кусочно-гладких контуров, внутри области
5, такая, что
Г Г kL,du dv
S-So
и л = v на Го. Но тогда '
Г Г /ч. dudv = —¦ Г v du,
S-So
У) Наличие разрывов первых производных на указанных исключитель-
исключительных отрезках не нарушает рассуждений, с помощью которых была доказана
лемма этого пункта.

3. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА РАЗМАХА 331
следовательно,
v du
Левая часть здесь равна площади дополнения области 50. Тем самым
граница Г№ заключена в область с площадью < г, откуда следует
утверждение теоремы.
§ 5. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА РАЗМАХА
9.35. Для предыдущего исследования существенное значение
имело то, что аппроксимирующие функции Ф„ и ч?„ отличаются
некоторыми свойствами минимальности и максимальности. Мы покажем
в этом параграфе, что эти свойства можно перенести и на предельные
функции Ф и ч7. Эти свойства ведут к интересным теоретико-функ-
теоретико-функциональным следствиям как для поверхностей с положительным раз-
размахом, так и для поверхностей с размахом, равным нулю.
9.36. Лемма. Пусть на открытой римановой поверхности
R задана коварианта f с конечным интегралом Дирихле:
НЛ1д<°°-
Пусть Rn— бесконечная последовательность поверхностей, ком-
компактных на поверхности R а образующих ее исчерпание, и пусть
/„ — коварианта, определенная на Rn и такая, что fn-+f рав-
равномерно в каждой компактной подобласти поверхности R.
Тогда для того, чтобы выполнялось соотношение
необходимо и достаточно, чтобы для каждого г > 0 существо-
существовало такое число п%, при котором
\\1n\\n -в = Н/Лл — Ш1Л <? для п>т>пг. (9.15)
п т п ш
Условие необходимо. В самом деле, если (9.14) выполняется, то
при И-+СО имеем ||/„||д — ||/п||л -Ч1/||л — ||/||л , а это послед-
п in tn
нее выражение меньше з для достаточно больших т.
Условие также достаточно. В самом деле, из (9.15) для я>
> т > п% вытекает, что
Н/ЛЛт<11/»11лп<11/»11дж + в-
Следовательно, границы неопределенности ||/п[[л при п—>• оо лежат
между H/II и II/H +е, и так как т здесь сколь угодно велико,
ат Ят
то и между II/H и H/II -j-s, откуда след}'ет утверждение (9.14).

332 ГЛ. IX. ПОВЕРХНОСТИ, ПОДОБНЫЕ ОДНОЛИСТНЫМ
9.37. Теорема о минимуме для поверхностей с положитель-
положительным размахом. В качестве обобщения теоремы п. 9.17 мы докажем
следующую теорему:
Пусть R — поверхность с положительным размахом s = s (С)
и fdz— полный регулярный аналитический дифференциал на R
с конечной нормой, имеющий в точке z — (, (относительно опре-
определенного локального параметра z) значение sdz. Тогда
(9.16)
и минимум us достигается только для коварианты ty.
Для доказательства положим
А=/—ф, А„ = -?/—фп.
На основании п. 9.17 заключаем, что коварианты hn и tyn взаимно
ортогональны:
и поэтому
4и/11л =\\к\\1 +ш\*я ¦
° П Н fl
Но sn—>s и, согласно п. 9.27,
Ш1л =«.-*«=НФ11|-
п
Поэтому последовательность tyn должна удовлетворять условию (9.15)
предыдущей леммы, и, по неравенству треугольника для hn= — /—^6га,
мы получаем
о< РЛДп-||л„11Лт= \\Khn-Rm<^\\f\\Rn-Rm+U«\\Bn-Rm.
Отсюда на основании той же леммы заключаем, что при и-*оо
и, следовательно,
Отсюда вытекает, во-первых, неравенство (9.16) и, во-вторых, то,
что равенство там имеет место только для Л = 0, т. е. для / = ty,
что и требовалось доказать.
9.38. Теорема о максимуме. Экстремальное свойство функций
Фп, рассмотренное в п. 9.18, также может быть перенесено на пре-
предельную функцию:

i 5. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА РАЗМАХА 353
Пусть на римановой поверхности R, подобной однолистным,
задана однозначная аналитическая функция F(z), регулярная на
R всюду, за исключением точки z = С, где она относительно не-
некоторого локального параметра z обладает разложением
F(z) = j—p-j-регулярная функция.
Если тогда Rn (л=1, 2, . . .) — последовательность, образующая
исчерпание R, и Гп — граница поверхности Rn, компактной HaR, то
lim-?rr
и равенство имеет место только для функции F = Ф.
Для доказательства положим dF—fdz, h—f—<р и Лп = / — «н-
Согласно п. 9.18, имеем
Так как sn->s при я-^оо, то все сводится к изучению асимп-
асимптотического поведения последнего члена. Замечая, что hn = h-\-
-f- (<p — ©и), находим из неравенства треугольника, что
Согласно п. 9.24,
II *?П+Р ®П 11 В ^ " (.*ц ^П+р)>
откуда при р -*• со следует, что
||» — ?п||л <lrc(sn — s)-*0 при п-+оо,
поэтому
Тем самым
Нш ||АЯ||Я =|| А || л (<оо).
П-+ОО Я
lim ff
откуда следуют оба утверждения теоремы о максимуме.
9.39. В частности, если снова предположить, что функция
> = F(z) отображает поверхность R на подобласть Bw ад-плоскости,
) выражение
lim > j>rfF

w
334 гл. ix. поверхности, подобные однолистным
означает внешнюю меру дополнительного к Bw множества точек В
w-плоскости. Следовательно, среди всех допустимых функций F
наибольшую площадь для этого дополнения дает функция F — Ф.
Если поверхность R односвязна, то две последние экстремальные
теоремы снова содержат указанные в п. 9.21 теоремы Бибербаха
о площадях.
9.40. Поверхности с размахом, равным нулю. Из последнего
результата следует, что для подобной однолистным поверхности R,
размах которой s(C) в некоторой точке С положителен, существует
конформно эквивалентная подобласть О w-плоскости, содержащая
точку w = oo, дополнение О' которой имеет положительную пло-
площадь /: действительно, такая область получается с помощью экстре-
экстремальной функции Ф = ФB, '); так как тогда / = iwQ.
Если, напротив, s(C) = O для одной заданной точки z — ^ поверх-
поверхности R, то 1 = 0, причем не только для функции Ф = Ф (z, С), но,
в силу теоремы о максимуме, и для каждой отображающей функции
¦до = F'{г, С) с нормировкой
F = ^Tr+... (9.17)
в точке г = \.
Отсюда следует, что этим свойством обладает вообще каждая
область Gw, конформно эквивалентная R и содержащая точку w = оо:
ее дополнение Ow имеет площадь, равную нулю. В самом деле, если
w = F0(z) — функция, осуществляющая отображение /?->Gw, и при
этом отображении точка z = \ переходит в точку w = w0, то значе-
значение а производной dF0/dz в точке z = 1 отлично от нуля и дробно-
линейная функция
Р = Ч
Fa (z) — w0
от w = Fo осуществляет отображение R на область G, так, что имеет
место разложение (9.17). Следовательно, площадь дополнения О'
равна нулю, и то же самое справедливо для дополнения Ow, которое
получается из G' линейным преобразованием, ограниченным на О'.
9.41. Из предыдущего заключаем:
Если размах sQ равен нулю для одной точки поверхности R,
то он равен нулю для всех точек поверхности.
В самом деле, если бы было s>0 для 2 = 20^^, то экстре-
экстремальная функция w = ФB, zQ) отображала бы R на область О w-пло-
скости, дополнение которой имело бы положительную площадь
что, по предыдущему, при условии s(C) —0 невозможно.
9.42. Из предыдущего следует далее, что равенство нулю пло-
площади дополнения G' экстремальной области G (тем самым и каждой

§ 5. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА РАЗМАХА 335
области О, конформно эквивалентной R) необходимо и достаточно
для равенства нулю размаха поверхности R. Для поверхности R
с положительным размахом площадь дополнения О' для некоторых
областей G положительна, а для некоторых — равна нулю: для экстре-
экстремальной функции w = Ф имеет место первое, для отображений w = F1,
w = F2 на области с разрезами — последнее, согласно п. 9.34.
В частности, отсюда следует, что подобласть G w-плоскости
наверное имеет положительный размах, если ее граница Г содержит
континуум f • В самом деле, с помощью квадратного корня область G
можно перевести в область, имеющую внешние точки; для такой
области дополнение имеет положительную площадь, следовательно,
и размах должен быть положительным.
9.43. Второй критерий для равенства нулю размаха. Из тео-
теоремы о минимуме п. 9.37 следует
Теорема. Для того, чтобы подобная однолистным поверх-
поверхность R имела размах, равный нулю, необходимо и достаточно,
чтобы на R не существовало отличной от f == О однозначной
аналитической коварианты с конечной нормой.
То, что это условие достаточно, следует из того, что экстремаль-
экстремальная функция ty(z, С) имеет норму rcs(C) (см. п. 9.27): следовательно,
если уже ф тождественно обращается в нуль, то s = 0.
Обратно, если s = 0, то каждая однозначная аналитическая кова-
.рианта f{z) на R, не равная тождественно нулю, имеет на R беско-
бесконечную норму. В самом деле, если z = ?— точка, в которой /(?)=?(),
то коварианта sn(C)* ттЦ удовлетворяет на поверхности Rn из после-
последовательности, исчерпывающей R, условиям теоремы о минимуме
п. 9.37, поэтому
откуда при Rn-y R следует, ввиду sn->s = 0, что
что и требовалось доказать.
9.44. Однозначная определенность отображений поверхностей,
подобных однолистным. Последние результаты позволяют сделать
интересное заключение о совокупности всех отображений заданной
рима'новой поверхности, подобной однолистным. Такое отображение,
•очевидно, определено с точностью до взаимно однозначного конформ-
конформного отображения частной конформно эквивалентной области G ад-пло-
ад-плоскости. Подобное отображение во всяком случае осуществляется при
конформном отображении w-плоскости на себя, следовательно, при
линейном преобразовании. Важным дополнением к этому служит сле-
. дующая

336 ГЛ. IX. ПОВЕРХНОСТИ, ПОДОБНЫЕ ОДНОЛИСТНЫМ
Теорема единственности. Для того, чтобы конформное
отображение поверхности, подобной однолистным, на под-
подобласть О плоскости было определено с точностью до линейного
преобразования этой плоскости, необходимо и достаточно, чтобы
размах поверхности был равен нулю.
Доказательство. В предположении, что размах s — 0, пусть
w = wt (z) и w = w.2 (z)—два произвольных отображения рассматривае-
рассматриваемого вида поверхности R и Olt G2 — области-образы. Пусть z = ', —
произвольная точка поверхности; если te^Q и w.2(',) конечны, то мы
выполняем вспомогательные преобразования
Тогда будем иметь взаимно однозначное и конформное отображение
поверхности R на область О1( соответственно О2, такое, что точка
г = С переходит в точку w = со и вычет отображающей функции
в этой точке равен 1. Удалим теперь из R параметрическую окрест-
окрестность К точки С. Тогда оставшейся части R— К соответствуют
в ад-плоскости две области, расположенные в некотором конечном
круге |i»|<p. Разность w = Wi — wt на R регулярна, и ее диффе-
дифференциал dw=fdz имеет конечную норму:
Поэтому из теоремы п. 9.43 следует, что /=аО. Следовательно,
разность tWi — w-z имеет постоянное значение и wv w2 являются
линейными функциями друг от друга.
В частности, из предыдущей теоремы следует, что для поверх-
поверхности R с размахом, равным нулю, оба отображения w = F1 и w = F-
на области с параллельными разрезами тождественны; оба они совпа-
совпадают с экстремальным отображением w = Ф (ч? з 0I).
9.45. Напротив, для поверхности R с положительным размахом
имеются различные взаимно однозначные ее отображения w = F,
которые не получаются друг из друга линейным преобразованием
¦ю-плоскости. Такими двумя отображениями являются отображения
w = F1 и w = F'2 на области с разрезами, разность которых
2ч? = Fl — F* в настоящем случае не есть постоянная.
I) Заметим, что в этом случае соответствующие области G^ и Ga факти-
фактически никаких разрезов не имеют, в противном случае s Ф 0(см. конец п. 9.42).
Однако обратное, вообще говоря, неверно, т. е. эти области могут не иметь
разрезов и при s Ф 0.— Прим. перев.

§ 5. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА РАЗМАХА 337
9.46. Устранимость особенностей. Классический вопрос („про-
(„проблема Пенлеве") о природе особенностей аналитической или гармо-
гармонической функции можно в общем виде сформулировать следующим
образом.
Пусть в некоторой подобласти римановой поверхности (в частно-
частности, числовой плоскости) задана аналитическая или гармоническая
функция, регулярная всюду, исключая некоторое множество точек М,
и ограниченная некоторыми условиями однозначности и возрастания.
Нужно узнать, когда эти требования регулярности и размеры
множества М действуют настолько ограничивающим образом, что
функция может быть продолжена на исключительное множество М
как регулярная аналитическая или гармоническая функция.
Размер множества М определяется при этом в некотором под-
подходящим образом выбранном мероопределении. В качестве ограниче-
ограничений на функции прежде всего встречаются ограничения на абсолютное
значение или на значения некоторых интегральных средних.
9.47. Предыдущие результаты позволяют сделать интересное за-
заключение в направлении этой общей постановки вопроса. Мы докажем
следующую теорему:
Теорема1). Пусть О — область z-плоскости и М — компакт-
компактное множество точек в О, дополнение которого М' относи-
относительно z-плоскости имеет размах, равный нулю. Пусть, далее,
функция F(z) = \ f(z)dz однозначна и аналитична в О—М,
Щ, пусть норма \\f\\e_M конечна. Тогда F(z) продолжаема на всю
рбласть О как регулярная аналитическая функция.
? Действительно, пусть Ли В — две 2-цепи триангуляции G, такие,
|ito А з В з М и дВ не пересекается с М. Тогда из интегралов
—2ni J t-z ' sW~ 2ni J t-
А дВ
F(t)dt
J J
дА дВ
ервый представляет регулярную аналитическую функцию вне дА, а вто-
— вне дВ. В области А — В, по теореме Коши, имеем: F=FX—F2.
ак как F в О — М и F± в В имеют конечную, норму, то это же
*раведливо и для разности F — Ft в области В — М. С другой
ророны, F2 представляет аналитическое продолжение F^ — F на всю
5ласть В, регулярное там всюду, включая границ/ дВ. Следовательно,
родолженная таким образом функция Ft — F регулярна на всем
ополчении М' множества М и имеет там конечную норму. Тогда,
р теореме п. 9.43, функция F—Ft есть постоянная и, следова-
Вльно, F = Fj^-j- const — регулярная аналитическая функция на М.
; 1) Сарио [1].

338 ГЛ. IX, ПОВЕРХНОСТИ, ПОДОБНЫЕ ОДНОЛИСТНЫМ
9.48. Обратно, справедлива теорема: для каждого компактного
множества М точек плоскости, дополнение М' которого имеет поло-
положительный размах s, существует однозначная аналитическая функция,
которая на М' регулярна и имеет конечную норму, но не продолжаема
на все множество М как регулярная функция. Чтобы в этом убе-
убедиться, возьмем внутреннюю точку дополнения М'1) и построим для М'
экстремальную функцию W(z, ?). Она регулярна на М', имеет конеч-
конечную норму its и не может быть регулярной всюду* на М, ибо в про-
противном случае она была бы постоянной, как функция, регулярная
в замкнутой 2-плоскости.
§ 6. ДРУГИЕ НОРМИРОВАННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
ПОВЕРХНОСТЕЙ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМ РАЗМАХОМ
НА ОБЛАСТИ С РАЗРЕЗАМИ
9.49. Для случая, когда размах поверхности R, подобной одно-
однолистным, равен нулю, теорема единственности п. 9.44 решает про-
проблему нахождения всех взаимно однозначных отображений R на под-
подобласть числовой плоскости.
Для поверхностей R с положительным размахом имеем более обшир-
обширную совокупность конформно эквивалентных областей-образов Gw
¦ад-плоскости. Среди них мы выделили некоторые частные области,
прежде всего область О, характеризуемую, согласно определению
п. 9.38, тем, что ее дополнение имеет максимальную площадь (при
заданном вычете отображающей функции в точке z =¦ С). В настоящем
случае, когда s > 0, имеется, однако, бесконечное множество других
нормировок области-образа, которые не получаются друг из друга
конформным отображением всей «(-сферы на себя. Мы здесь рас-
рассмотрим некоторые из них, определяемые различными добавочными
условиями.
9.50. Отображения на области с разрезами. Проблема отобра-
отображения поверхности, подобной однолистным, на области с разрезами
может быть решена методами, близкими к изложенным, и при дру-
другом выборе граничных разрезов области G№> чем у рассмотренных
выше областей S1 и S2, где они проводились по параллельным отрез-
отрезкам. Легко доступными изучению являются, например, две следую-
следующие нормировки:
А. Область Gw содержит точки « = 0 и 10 = 00, и граничные
разрезы производятся по дугам некоторых окружностей |га>| = const.
Отображающую функцию можно построить с помощью простой моди-
модификации метода § 2, как это будет коротко показано в следующем
пункте.
!) Если М' не есть связное множество, то рассматриваем любую связную
его часть.

S б. ДРУГИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМ РАЗМАХОМ 339
В. Область Gto содержит точки да = 0 и а» = оо, и граничные
разрезы производятся по отрезкам некоторых лучей arg w = const.
Сначала мы рассмотрим случай подобной однолистным поверхно-
поверхности R с краем, состоящим из q кусочно-аналитических граничных
контуров Г,.
Предполагая, что функция w = F(z; Сг, С2) отображает R взаимно
однозначно и конформно на область Ow типа А, так, что точки Сх
и ^2 переходят соответственно в« = 0ида = оо, построим потенциал
Он однозначен и регулярно гармоничен на R, исключая точки Ct и 4%,
в которых имеет место разложение (ч = 1, 2)
и = (— l)vln : р— -f-гармоническая функция.
Если и0 — потенциал, имеющий те же особенности и обращающийся
в нуль на контурах Г„; то разность и — и0 на R однозначна и регу-
регулярна всюду без исключений. На контурах Г„ она имеет постоянные
* значения а,, откуда, как в п. 9.7, следует, что
« = ио+2 аЛ>
1
Т.
"где о>,, — гармоническая мера Гч относительно R. Так как функция F,
fno предположению, однозначна, то периоды сопряженной к и фун-
функции и' должны быть кратными 2я.
" Мы видим, что интеграл и имеет в точности те же свойства, что
# потенциал, рассмотренный в § 2, с тем единственным различием,
«то сингулярная часть м0 теперь есть потенциал третьего рода, а не
«торого. Потенциал а0 может быть построен и при настоящих условиях,
именно, аналогично тому, как это было сделано в § 2. Также и
Доказательство однозначности функции F = eu+iu> непосредственно
,ереносится на этот случай, и однолистность снова получается с по-
помощью принципа аргумента. Немногие изменения доказательства § 2,
¦«Ьторые здесь нужны, не вызывают затруднений, и подробности мы
^ожем предоставить читателю.
'^': Аналогичным образом удается решить проблему отображения при
дармировке В областей-образов Gw. Если F -— искомая отображающая
|ункция, то нужно только вместо и = In | F | рассмотреть потенциал
'?== arg F; при нормировке В он имеет постоянные значения на кон-
lypax Гч. В качестве сингулярной части получается потенциал v0,
ногозначный в полюсах С, (у = 1, 2) как (— l)varg(.z — ?„). Построе-
jle v и тем самым F выполняется дальше аналогично тому, как это
ало сделано в случае А.
^22*

340 гл. ix. ПоЁЕрХнббти, Подобные однолистным
9.51. Связь с отображением на область с параллельными раз-
разрезами. Сходство между проблемой отображения на области с парал-
параллельными разрезами и только что рассмотренными отображениями
на области с разрезами указывает на существование аналитической
связи между обоими этими типами отображающих функций. И дей-
действительно, между ними существует простое соотношение. Наиболее
легко это понять, продолжая заданную поверхность R с краем через
ее граничные контуры (в смысле § 2 гл. VIII), так, что получается
объемлющая замкнутая поверхность. Особенно простым предста-
представляется рассмотренное в п. 8.10 „продолжение Шоттки", при кото-
котором R дополняется поверхностью /?*, зеркально симметричной отно-
относительно граничных контуров.
Аналитическое продолжение сингулярной части и0 (соответ-
(соответственно v0) и гармонической меры, используемых для построения
отображения, осуществляется с помощью принципа симметрии. Прини-
Принимая во внимание устройство полюса и сингулярной части на замкнутой
поверхности R-^-R*, мы видим, что в случае областей с параллель-
параллельными разрезами продолженная функция F является интегралом второго
рода с двумя простыми полюсами (в z = С и z = С*), в то время как
в случае нормировок А и В для отображающей функции F функция
In | F | является абелевым интегралом третьего рода с четырьмя полю-
полюсами (Clf Сд, Си ?).
Но между нормальными абелевыми интегралами второго и третьего
рода существуют некоторые простые аналитические соотношения,
частично указанные в гл. V. Они переносятся на оба вида построен-
построенных выше отображающих интегралов. На этом пути нетрудно было бы
выразить эту связь посредством формул. Впрочем, эти формулы,
позволяющие перейти от одной задачи об отображении к другой,
можно вывести и непосредственно (не прибегая к продолжению и
к теории замкнутых поверхностей) (см. Шиффер, „Дополнение",
в книге Куранта [2*]).
9.52. Открытые поверхности. Предельным переходом получаем
решения проблем А и В для случая произвольной поверхности, подоб-
подобной однолистным. Этот предельный переход можно провести либо
с помощью результатов § 4, опираясь на указанное выше отношение
к проблеме отображения на область с параллельными разрезами, либо
вполне аналогично выкладкам настоящего параграфа. Теоремам
о минимуме и максимуме пп. 9.17 и 9.18 соответствуют некоторые
экстремальные свойства рассмотренных функций типа А и В. К этому
вопросу относится работа Гарабедяна и Шиффера [11, где эти
теоремы существования выведены для конечносвязных поверхностей,
подобных однолистным.
9.53. Поверхности с размахом, равным нулю. Из теоремы един-
единственности п. 9.44 следует, что взаимно однозначное и конформное

§ 6. ДРУГИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМ РАЗМАХОМ 341
. отображение подобной однолистным поверхности с размахом, равным
нулю, определено с точностью до конформного отображения ¦ш-сферы
на себя, т. е. с точностью до линейного преобразования. В этом
1 случае нормировка посредством разрезов области-образа вообще не
играет никакой роли: все рассмотренные отображения тождественны,
коль скоро указаны три точки поверхности и их образы. В качестве
, образа идеальной границы поверхности получается всюду разрывное
множество точек плоской меры нуль.
9.54. Круговая нормировка Кёбе. В своих основоположных
исследованиях по теории конформных отображений Кёбе [4] ввел
в рассмотрение еще другую нормировку отображения поверхности,
подобной однолистным, естественную с точки зрения теоремы Римана
об отображении: областью-образом поверхности должна быть круго-
круговая область, т. е. область, ограниченная одними лишь окружностями.
Сначала мы исследуем эту проблему для случая поверхности
R с краем. Следуя Кёбе [1], предположим, что круговая нормировка
выполнима, и обозначим через Ow область-образ. Отображая Ow зер-
зеркально относительно каждой граничной ее окружности, получим новую
область, также ограниченную окружностями. Продолжая это отобра-
отображение дальше, получим в качестве объединения всех образов Ow
. некоторую область О™. Для q = 1 область 0^ есть •ш-сфера, для
. q = 2 — числовая плоскость с выколотой точкой *); для q = 3 об-
' ласть G™ бесконечносвязна.
С другой стороны, независимо от возможности круговой норми-
нормировки, можно, исходя из R, построить риманову поверхность, кон-
конформно эквивалентную области О™. Для этого отображаем сначала R
'на некоторую область с параллельными разрезами z-плоскости. Построив,
.подобно предыдущему, зеркальные отображения этой области Sz
относительно ее граничных сторон, получим некоторую поверх-
поверхность ST, симметричную относительно каждого граничного разреза.
Согласно § 4, область ST можно отобразить взаимно однозначно
ц конформно в «1-плоскость. Пусть 5ю—область-образ. При этом
граничные разрезы переходят в некоторые жордановы кривые Гю,
ограничивающие образы отдельных листов поверхности S?°-
Если бы удалось показать, что кривые Yw — окружности, то преды-
предыдущим отображением была бы достигнута круговая нормировка. Но
Это действительно так, как видно из следующих соображений.
Возьмем на ST две точки Рг и Р*„, симметричные относительно
{произвольно фиксированного) граничного разреза Гг, и обозначим
1ерез Pw, соответственно Pw> их образы в Sw- Тогда соответствие
•" !) Или, что эквивалентно, числовая сфера с двумя выколотыми точ-
ами. — Прим. перев.

342 ГЛ. IX. ПОВЕРХНОСТИ, ПОДОБНЫЕ ОДНОЛИСТНЫМ
PW-*PW есть конформное отображение второго рода области 5^
на себя.
С другой стороны, возьмем на образе Гю кривой Гг три произ-
произвольные точки Pi, (v= I, 2, 3) и проведем через них окружность К^.
Далее, каждой точке Pw области S^ поставим в соответствие точку Рго,
симметричную к ней относительно Kw- Соответствие Pw -> Pw есть
взаимно однозначное конформное отображение второго рода обла-
области $% на себя. Поэтому отображение P*w -> Pw -> Pw — взаимно одно-
однозначное конформное соответствие 1 -го рода между Pw и Рю.
Если теперь размах поверхности S? (тем самым и области S^)
равен нулю, то, согласно п. 9.44, это отображение есть линейное
преобразование; оно должно сводиться к тождеству, так как имеет
три неподвижные точки Р\,, Р\о, Р\.
Таким образом, круговая нормировка построена в предположении,
что размах области S% равен нулю. Но это легко может быть до-
доказано по методу Куранта [Г]. Утверждение о размахе области $%
может быть также выведено из одной общей теоремы (Сарио [1]),
которая будет доказана в гл. X (см. п. 10.108I).
§ 7. ПРИЛОЖЕНИЯ К УНИФОРМИЗАЦИИ
9.55. Поверхности наложения, подобные однолистным. Согласно
§ 4 гл. VIII, общая задача униформизации может быть сформулиро-
сформулирована следующим образом: между двумя римановыми поверх-
поверхностями R и R' задано многозначное соотношение со свойствами
А, В и С п. 8.36. Требуется представить это соотношение в пара-
параметрическом виде, причем с параметром, являющимся переменной
точкой римановой поверхности R. В п. 8.44 была построена по-
поверхность R, дающая слабейшую униформизацию, т. е. такая уни-
формизирующая поверхность, для которой каждая другая унифор-
мизирующая поверхность является (разветвленной или неразветвленной)
поверхностью наложения. Если, в частности, взять универсальную
поверхность наложения R поверхности R, то R, по теореме Римана
об отображении, конформно эквивалентна подобласти числовой сферы
(возможно, и всей сфере) и униформизация осуществляется с помощью
комплексной переменной t. Рассмотренные в этой главе общие тео-
теоремы об отображении позволяют использовать вместо R любую по-
подобную однолистным поверхность наложения Rt поверхности R для
получения униформизации с помощью комплексной переменной.
!) Относительно обобщения принципа круговой нормировки ср. Сарно [1]
и Ш требе ль [1].

§ 7. ПРИЛОЖЕНИЯ К УНИФОРМИЗ\ЦИИ 343
9.561 Группа преобразований наложения. Чтобы выполнить уни-
формизацию с помощью такой поверхности наложения, рассмотрим сна-
сначала произвольную риманову поверхность R и поверхность наложения R
подобную однолистным. Согласно § 4 гл. IX, поверхность R кон-
конформно эквивалентна подобласти Gt ^-плоскости, поэтому не пред-
представляет ограничения общности предположение, что поверхность R
сама есть такая область Gt. Группа преобразований наложения G1)
области Ot (как поверхности R) есть дискретная в Ot группа кон-
конформных ее отображений на себя.
Возникает вопрос, можно ли область Qt нормировать так, чтобы
эти отображения были линейными преобразованиями. Согласно п. 9.44,
это наверное можно сделать, если размах R равен нулю.
9.57. Пример. Поясним предыдущие выводы простым примером.
Если за R взять тор, то фундаментальная группа (Г) поверхности R
будет иметь две образующие 7^ и Г2. Универсальная поверхность
наложения R конформно эквивалентна плоскости {фоо. Подгруппе,
порождаемой одним фундаментальным преобразованием, скажем Tv
соответствует подобная однолистным поверхность наложения R,
а именно, та поверхность, которая получается из R отождествлением
точек, эквивалентных относительно Тх; поверхность R конформно
эквивалентна области 0<|z|<co, и тем самым она подобна одно-
однолистным. Размах поверхности R равен нулю, и соответственно этому
"преобразования наложения являются линейными преобразованиями.
Образующее преобразование группы (Т±)— гиперболическое, с непо-
неподвижными точками z — 0 и z = oo.
9.58. Замкнутые поверхности. Пусть теперь R — произвольная
замкнутая поверхность рода р~^\. Фундаментальная группа поверх-
поверхности R при р ]> 1 не является абелевой, и имеется большее число
возможностей для построения подгрупп, являющихся фундаменталь-
фундаментальными группами поверхностей наложения, подобных однолистным.
Наиболее простой метод состоит в том, что в нормальном многоуголь-
многоугольнике it поверхности R, следовательно, в многоугольнике с соответ-
соответствием сторон
^отождествляются только стороны Ьч, Ьч (м=1, ..., р). Тогда полу-
рчается поверхность Ro рода нуль с 2р граничными контурами; склей-

344 ГЛ. IX. ПОВЕРХНОСТИ, ПОДОБНЫЕ ОДНОЛИСТНЫМ
вая бесконечно много таких „листов" Ro вдоль их контуров *), полу-
получаем подобную однолистным поверхность наложения R поверхности R.
Конформный образ R в ^-плоскости есть бесконечносвязная об-
область Gt.
Можно показать, что размах поверхности Qt равен нулю; следо-
следовательно, ее преобразования наложения являются линейными преобразо-
преобразованиями. Отсюда следует, что кривые ач можно выбрать так, чтобы
им в f-плоскости соответствовали окружности. В самом деле, если
эти образы Лч, соответственно Ач, еще не являются окружностями,
то можно сначала деформировать в окружности кривые Л,, и тогда,
в силу линейности отображений, их образы Ач также будут окруж-
окружностями. Точное построение мы здесь приводить не будем.
Другая возможность нахождения подобных однолистным поверх-
поверхностей наложения заданной замкнутой римановой поверхности R
состоит в том, что в нормальном многоугольнике отождествляются
только некоторые стороны Ьч и затем склеивается бесконечно много
таких листов. Все получаемые таким образом поверхности R имеют
размах, равный нулю, и поэтому — линейные преобразования наложе-
наложения. Что касается деталей этих построений, то мы отсылаем читателя
к Куранту [2*] и Сарио [1].
9.59. Связь с униформизацией с предельным кругом. Пусть
R — подобная однолистным поверхность наложения R и R— универ-
универсальная поверхность наложения R (и R). Группа преобразований нало-
наложения (Г) поверхности R относительно R есть подгруппа группы
преобразований наложения (Т) поверхности R относительно R. Связь
между этими группами становится особенно наглядной, если с помощью
универсальной поверхности наложения R выполнить отображение с пре-
предельным кругом R -> Е. В самом деле, тогда основная поверхность R
получается из Е отождествлением точек, эквивалентных относительно
группы (Г), поверхность же R получается из Е отождествлением
только тех точек, которые эквивалентны относительно подгруппы (Г).
В частности, поверхность R может быть при этом представлена в виде
соединения некоторых (в общем случае бесконечно многих) фунда-
фундаментальных многоугольников группы (Т). Для этого заметим, что два
преобразования 7^ и Г2 принадлежат одному и тому же классу смеж-
смежности подгруппы (Г), когда Т-^Т^1 принадлежит (Г). Пусть теперь
я — фундаментальная область группы (Г). Если тогда из каждого
!) Сначала к контурам одного /?<> (нулевое поколение) приклеиваем sio
экземпляру /?о (первое поколение), затем к свободным краям первого поко-
поколения приклеиваем по новому экземпляру Ro (второе поколение) и т. д.—
Прим. перед.

S 7. ПРИЛОЖЕНИЯ К УНИФОРМИЗАЦИИ . 345
класса смежности выбрать преобразование Г.,, то я -j- 2 71, (я) —
фундаментальная область группы (Г).
9.60. Униформизация. Предыдущие рассмотрения указывают на
многочисленные возможности униформизировать алгебраическую функ-
функцию. Слабейшая поверхность наложения R в этом случае замкнута, и, со-
согласно п. 9.58, если род не меньше единицы, то, кроме универсальной
поверхности наложения R, имеются еще другие многосвязные под-
подобласти Ot числовой сферы, дающие униформизацию. Заданное много-
многозначное алгебраическое соотношение F (z, w) = 0 получает тогда
параметрическое представление
z = z (t), w ¦=¦ w (t),
где t изменяется в области Gt. Функции z{t) и w{t) в области Ot
однозначны и, с точностью до полюсов, регулярно аналитичны; в точ-
точках Gf, эквивалентных относительно группы преобразований наложе-
наложения E), они принимают одинаковые значения. Так как преобразова-
преобразования 5 линейны, то z(t) и w(t) — автоморфные функции от t.
Тот же метод ведет к униформизации произвольного аналитиче-
"ского образа. Каждой подобной однолистным поверхности R соот-
I ветствуют, в силу отображения R -> Gt, униформизирующая пере-
^менная t и параметрическое представление
Z — Z (t), ISO = ISO (t)
заданного аналитического образа. Функции z(t) и w(t) в Gt меро-
-морфны, но не автоморфны (в классическом смысле). Последнее имеет
место только тогда, когда преобразования наложения 5 области Gt
являются линейными преобразованиями. Для этого достаточно, как
мы видели, чтобы размах поверхности R был равен нулю.

Глава X
ОТКРЫТЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
§ 1. СТРОЕНИЕ ОТКРЫТОЙ ПОВЕРХНОСТИ
10.1. Максимальное свойство рода поверхности с краем. В этой
главе, последней в книге, исследуются произвольные, вообще говоря,
не подобные однолистным, римановы поверхности. Первая наша за-
задача состоит в том, чтобы дать общее определение рода такой по-
поверхности.
Для этого рассмотрим сначала поверхность с краем R, являю-
являющуюся компактной частью произвольной заданной поверхности. Для R
мы имеем нормальное представление п. 7.31; входящее в него число
/?!>0 было названо родом поверхности. Мы теперь покажем, что
род р обладает следующим характерным свойством.
Рассмотрим на (произвольным образом) триангулированной по-
поверхности R систему из q замкнутых симплициальных путей
wv ..., wg (без общих сторон), не имеющих двойных точек, не
пересекающихся с граничными контурами и таких, что цикл
w1 -f-... -f- wq не разбивает поверхность R. Тогда удвоенный
род 2р равен наибольшему числу q с этим свойством.
10.2. Чтобы в этом убедиться, нам потребуется следующая
Лемма. Симплициальный путь, не имеющий двойных точек
и не лежащий целиком на крае поверхности R, разбивает R тогда
и только тогда, когда он гомологичен линейной комбинации гра-
граничных контуров.
В одну сторону предыдущее утверждение верно даже для про-
произвольного отличного от нуля 1-цикла, поэтому будем его доказы-
доказывать в этой более общей форме1).
Доказательство. Пусть z есть 1-цикл триангуляции, не ле-
лежащий целиком на крае, но гомологичный линейной комбинации гра-
граничных контуров; покажем, что z разбивает поверхность R.
По предположению, существует 2-цепь а2, такая, что (см. п. 7.31)
1) Обращение справедливо только для замкнутых путей, не имеющих
двойных точек. Например, поверхность тора разбивается тремя меридианами,
не имеющими двойных точек, но образуемый ими цикл не гомологичен нулю.

S 1. СТРОЕНИЕ ОТКРЫТОЙ ПОВЕРХНОСТИ 347
и здесь правая часть отлична от нуля, следовательно, цепь а2 не ну-
нулевая и не состоит из всех симплексов. Поэтому как из аа, так и из
дополнительной 2-цепи можно выбрать по 2-симплексу. Два
таких симплекса нельзя так соединить цепочкой попеременно-
друг с другом инцидентных 1- и 2-симплексов, чтобы один раз
1-симплекс не принадлежал циклу z. В самом деле, на такой цепочке
имеется последний симплекс о2, принадлежащий а2, и следующий за
ним 1-симплекс о1 принадлежит поэтому да2. С другой стороны,
о1 не может лежать на крае R, в противном случае следующий за
ним 2-симплекс снова был бы о2, поэтому принадлежал бы еще а2.
Следовательно, о1 принадлежит циклу г, тем самым последний раз-
разбивает R, что и требовалось доказать.
Обращение справедливо, как замечено выше, только для путей
без двойных точек.
Замкнутый симплициальный путь ¦а/, не имеющий двойных точек
и разбивающий поверхность R, гомологичен линейной комбинации
граничных контуров.
Для доказательства заметим сначала, что путь w разбивает поверх-
поверхность в точности на две части. Зафиксируем одну такую часть и об-
образуем цепь лежащих на ней (когерентно ориентированных) 2-сим-
2-симплексов. Граница этой цепи состоит из пути w и, возможно, еще
из некоторых граничных контуров поверхности R. Следовательно,
путь w гомологичен сумме этих контуров.
Этим лемма доказана полностью.
10.3. Теперь мы можем привести доказательство утверждения
п. ЮЛ о свойстве максимальности рода р поверхности с краем R.
Во-первых, на R во всяком случае имеется 2р замкнутых сим-
плициальных путей без двойных точек, которые вместе не разбивают
поверхность, а именно, канонические сечения а„ #v (v = l, ..., р)
нормального представления п. 7.31. Во-вторых, R обязательно раз-
разбивается более чем 2р такими путями. Действительно, если wv ..., wq
(q > 2р) — такая система, то на R существует 2-цепь .а2, такая, что
SlVWp — SiA = W
Р ч
Здесь слева никакие две 1-цепи не имеют общей стороны, и мы за-
заключаем, что коэффициенты рр и Xv (среди которых заведомо есть
отличные от нуля) все совпадают: [if = \ч = X =f= 0. Следовательно,
цепь а2 имеет форму Х[32. Отсюда, далее, следует, что сумма 2^
^гомологична сумме 2 К> и из леммы вытекает, что цикл wt -f- .. . + wq
разбивает поверхность1).
С *) Гомологическая зависимость системы {и>р, с.,} следует из рассмотре-
рассмотрений п. 5.25; при этом не все |хр равны нулю. Тогда из свойств {wf} следует,
pro a? — ни нулевая цепь, ни цепь, состоящая из всех 2-симплексов. Дальше

348 ГЛ. X. ОТКРЫТЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
Из доказанного таким образом максимального свойства рода по-
поверхности с краем заключаем:'
Если поверхность R составляет часть поверхности с краем R',
то для соответствующих родов pup' справедливо неравенство
В самом деле, на R существует такая система кривых wv .. ., w,ip,
что цикл w1 -f- ... + w2p не разбивает эту поверхность, поэтому и
R'(^> R) также не разбивается, следовательно, необходимо р'^р
10.4. Род открытой поверхности. Род произвольной некомпакт-
некомпактной поверхности R можно теперь определить следующим образом.
Строим исчерпание R последовательностью принадлежащих ей
компактных поверхностей с краем
Последовательность соответствующих родов рп, по предыдущему,
монотонно возрастает, следовательно, существует предел
Это число не зависит от выбора исчерпания. Действительно
если R'm — второе монотонное исчерпание и R'm имеет род р'т, то
для каждого п найдется такое т, что Rn с R'm и тем самым рп ^ р'т,
следовательно, /?„<!// = Мтр'т, поэтому р^.р'. Аналогично дока-
доказывается, что р' *Ср, следовательно, р = р', как это утверждалось.
Число р (<; оо), однозначно определенное поверхностью R, на-
называется родом поверхности R.
10.5. Пространственные модели открытых поверхностей. Для
изучения топологических и конформно инвариантных свойств откры-
открытой римановой поверхности наиболее удобным из средств, имеющихся
в нашем распоряжении, является представление поверхности с по-
помощью метрического фундаментального многоугольника it, к которому
приводит униформизация с предельным кругом универсальной поверх-
поверхности наложения (гл. VIII). Для того, чтобы сделать еще более на-
наглядной топологическую структуру поверхности, полезно с помощью
указанного ниже построения топологически отобразить многоуголь-
многоугольник it на двумерную поверхность F, расположенную в трехмерном
пространстве.
можно рассуждать, как при доказательстве первой части леммы. Заключение
в тексте о равенстве }*р = Х,, = Х=?О предполагает рассмотрение „связной"
части «2, т. е. такой ее части, всякие два симплекса которой соединены це-
цепочкой симплексов, принадлежащих а2. Впрочем, цепь а2 можно с самого
начала предполагать связной. — Прим. перев.

i 1. СТРОЕНИЕ ОТКРЫТОЙ ПОВЕРХНОСТИ
349
Мы предполагаем, что поверхность R замкнута или открыта, но
исключаем простейшие случаи, когда универсальная поверхность на-
наложения R— эллиптического или параболического типа. Тогда R всегда
можно представить с помощью неевклидова фундаментального мно-
многоугольника к внутри единичного круга |t| < 1 (гиперболической
плоскости). Возьмем последовательность значений 0 = го<г1<г2< . ..
с гп -» 1 при п -* со; без ограничения
общности можно предполагать, что окруж-
окружности 111 = гп не проходят через вер-
вершины многоугольника. Если теперь в пе-
пересечении 1гга многоугольника я с коль-
кольцом rn_t ^ | / j ^ гп отождествить эквива-
эквивалентные граничные точки un, которые,
согласно п. 7.43, каждый раз лежат на Фиг. 20.
одной и той же окружности 11 | = г *),
то izn распадется на несколько (во всяком случае только конечное
число) кусков поверхностей, ограниченных сегментами sn_lt соответ-
соответственно sn, окружностей \t\ = rn_v \t\—rn и топологически экви-
эквивалентных сфере, имеющей не менее двух дыр, следовательно,
имеющих топологическую структуру, указанную на фиг. 20.
Если теперь эти куски поверхностей снова соединить вместе вдоль
свободных граничных контуров («„), то в случае замкнутой поверх-
поверхности R рода р получится поверхность, .имеющая форму сферы
с р ручками, в случае же открытой поверхности R получится от-
открытая поверхность, отдельные участки которой показаны на фиг. 21.
Фиг. 21.
Фигура слева не имеет ручек; такая деревообразно разветвлен-
разветвленная поверхность соответствует поверхности, подобной однолистным
(р = 0). Напротив, на фигуре справа имеются „отверстия"; число
таких отверстий равно роду р поверхности; в общем случае оно
бесконечно. Если от поверхности можно отсечь некомпактный кусок,
имеющий деревообразный вид, то мы говорим о „подобном одно-
1) В построении § 4 гл. VII нужно положить to = Q. — Прим. перев.

350
ГЛ. X. ОТКРЫТЫЕ РИМАНО6Ы ПОВЕРХНОСТИ
листным конце" поверхности. Такой конец топологически эквивален-
эквивалентен подобласти плоскости.
Для лучшего обозрения таких пространственных представлений
римановых поверхностей можно элементарные куски поверхностей
Фиг. 22.
(см. фиг. 20) считать составленными из конечного числа кусков тон-
тонких цилиндрических поверхностей. Тогда вся поверхность предста-
представляется в виде некоторого цилиндрического сооружения, как это по-
показано на фиг, 22. Представленные здесь случаи следующие: а —
замкнутая поверхности рода нуль; b — открытая односвязная поверх-
поверхность; с — многосвязная открытая поверхность, подобная однолистным;
d — замкнутая поверхность рода 1; е — открытая поверхность рода
р > 0 (возможно р = оо) с концами, подобными однолистным; /—
открытая бесконечносвязная поверхность, подобная однолистным; g—-
открытая поверхность рода р = оо без концов, подобных одно-
однолистным.
„Отрезки" этих комплексов представляют куски цилиндрических
поверхностей, „узлы" представляют сферы с дырами (ср. Кёбе [5],
Керекьярто [1*])
§ 2. ФУНКЦИЯ ГРИНА, ЕМКОСТЬ, ГАРМОНИЧЕСКАЯ МЕРА
В настоящем параграфе мы коротко остановимся на выводах
§§ 2, 4 гл. VI относительно функции Грина и гармонической меры и
дадим некоторые дополнения к ним, важные для дальнейшего изло-
изложения.
10.6. Функция Грина. Начиная с этого места, мы рассматриваем
открытую риманову поверхность R и исчерпываем ее бесконечной
последовательностью принадлежащих ей поверхностей с краем
RoczR1cR2cz...czRncz...; Rn-* R.

§ 2, ФУНКЦИЯ ГРИНА, ЕМКОСТЬ, ГАРМОНИЧЕСКАЯ МЕРА 351
В качестве Rn можно, например, взять построенное выше пересечение
метрического многоугольника it с кругом 11 | ^ гп. Тогда поверх-
поверхность Rn ограничена конечным числом замкнутых кусочно-аналити-
кусочно-аналитических контуров Ги.
В § 2 гл. VI мы для произвольной открытой поверхности R
построили уже функцию Грина g(z, С) с заданным полюсом z = ?.
Она может быть однозначно определена как нижняя граница всех
положительных гармонических функций на R, которые в точке z = С
имеют сингулярную часть
Эта нижняя граница g{z, С) либо всюду на R бесконечна, либо
всюду, исключая z = С, конечна. Затем мы видели (см. § 2 гл. VI),
что она может быть получена как предел
g(z, С) = limgn(z, С),
где
—функция Грина поверхности Rn из последовательности, исчерпы-
исчерпывающей R. Функция gn обращается в нуль на границе Г„ поверх-
поверхности Rn. Напротив, если даже предельная функция g конечна, то
нельзя утверждать, что на „идеальной границе" Г поверхности R
она равна нулю, т. е. что g(zn, С)-»-0, когда zn пробегает заданную
последовательность точек, не имеющую точки сгущения на R. С
другой стороны, очевидно, что в этом случае inf g- = 0 на R, так
как иначе g—в для достаточно малого е ;> 0 была бы функцией, не
обладающей минимальным свойством функции g.
Функция Грина g(z, С) конечна или бесконечна, в зависимости от
того, конечна или бесконечна постоянная Робэна
1 = 1©= lim-u
п->оо
поверхности R в полюсе z = С, или, что равносильно, положительна
или равна нулю емкостная постоянная
Эта постоянная подчиняется ковариантному закону преобразования
(см. п. 6.4).
10.7. Зависимость от полюса. В п. 6. 13 мы видели, что функ-
функция Грина односвязной поверхности R обладает свойством симметрии
g(z, C) = ^(C, z)

352 ГЛ. X. ОТКРЫТЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
и, следовательно, g зависит гармонически также и от полюса С. Это
свойство, как мы сейчас покажем, справедливо и для каждой рима-
новой поверхности.
В самом деле, пусть а и b— две произвольные точки поверх-
поверхности R, и пусть /?„ — поверхность из последовательности, исчерпы-
исчерпывающей R, содержащая эти точки. Применяя формулу преобразования
интегралов C. 16) к поверхности R., и функциям М — g4{z, а) ^' —-,
Л/ = g4 (z, b) д '—- , причем точки а и b изолируются с помощью
небольших окружностей Ya и Ть> получаем соотношение (ds — элемент
дуги, д/дп — производная, в направлении внешней нормали)
Учитывая, что g, = 0 на Г,, и стягивая уа и -(ь соответственно
в точки а и Ь, выводим отсюда, что #»(я, b) = gsl(b, а). Утвержде-
Утверждение о свойстве симметрии функции g(z, С) получается тогда пре-
предельным переходом при v -> оо х).
Из симметрии g можно легко заключить, что емкостная постоян-
постоянная с (С) либо для каждой точки С?/? положительна, либо для каж-
каждой точки С равна нулю. Согласно п. 10.6, для этого достаточно
показать, что если функция Грина g(z, С) конечна для некоторой
точки С = а, то она конечна и для каждой точки С = Ь. Но g(b, a) =
= g(a, b), и так как левая часть конечна, то и правая часть конечна,
поэтому g(z, b) конечна для каждой точки z, что и требовалось
доказать.
10.8. Гармоническая мера. Рассмотрим некомпактную поверх-
поверхность R — Ro, получаемую из R удалением поверхности Ro (см.
п. 10.6); тогда .компактная часть границы R — Ro состоит из гра-
границы Го поверхности R02). Разложим Го на две дуги, Г0 = <х-г-р,
без общих внутренних точек и образуем, что возможно согласно
гл. IV, гармоническую меру ш„(г, а) дуги а относительно компакт-
компактной части Rn — Ro поверхности R. Следовательно, шп есть та вполне
определенная гармоническая функция на Rn — Ro, которая равна нулю
на Г„ и в каждой внутренней точке дуги C и равна единице в каждой
внутренней точке дуги а. В каждой внутренней точке z поверхности
Rn — Ro имеем 0 < о>„ < 1.
Если теперь п мы будем неограниченно увеличивать, то последо-
последовательность о>п, которая, по принципу максимума, очевидно, моно-
1) Это элементарное и хорошо известное доказательство не могло быть
применено в § 2 гл. VI, так как там в нашем распоряжении еще не было
триангулируемости поверхности /?.
2) Мы предполагаем (впрочем, для дальнейшего это не необходимо), что
поверхность /?о связна [односвязна. — Прим. перев.].

$ 2. ФУНКЦИЯ ГРИНА, ЕМКОСТЬ, ГАРМОНИЧЕСКАЯ МЕРА 353
тонно возрастает, будет стремиться к предельной функции
<o(z, <x)= Шп<о„(г, а),
П-»оо
гармонической, по принципу Харнака, в каждой точке поверхности
R — Ro. Далее, 0<о><1.
Относительно поведения ш на границе можно утверждать следую-
следующее. Так как о>„-» 1 при z->a и ш„ возрастает вместе с га, то ю-» 1,
когда z стремится к внутренней точке дуги а.
Сумма mnBJ, a)-\-a>n{z, Р) — o>n(z, Го) равна нулю на границе
Rn—Ro, исключая, возможно, концы дуг a, f}; так как она ограни-
ограничена, то отсюда вытекает, что она тождественно равна нулю. Следо-
Следовательно,
<•>»(*> «) + »»(*. P) = <»n(*. Го),
откуда при п-*-оо получается соответствующее аддитивное свойство
для предельной функции <о:
(*, р) = (¦>(*, Го).
Отсюда следует, что " а> (г, а) -*¦ 0, когда z стремится к внутренней
точке дуги C. Действительно, по доказанному выше, при этом
ш(г, Р)-»-1 и (в (г, Го)-»1, следовательно, <s>(z, a)->0 при z->-p.
Поскольку a>(z, а), таким образом, не есть постоянная, мы заклю-
заключаем, что в каждой внутренней точке R — Ro она удовлетворяет стро-
строгому неравенству
0<«< 1.
Этот результат предполагает, что дуга а составляет правильную
часть Го, т. е. что Го — а не пусто.
a>(z, а) принимается за гармоническую меру дуги а в точке z
относительно поверхности R — Ro.
10.9. Минимальное свойство. Из предыдущего построения легко
следует, что гармоническая мера <o(z, а) может быть определена как
точная нижняя граница
где u(z) пробегает множество всех гармонических функций, положи-
положительных на R — Ro и имеющих во внутренних точках а граничные
значения ^> 1. В самом деле, для конечного п, по принципу мини-
минимума, примененному к разности и — о>м на Rn — Ro, имеет место
«еравенство и>а>п, откуда следует, что н>-ш в каждой точке z
поверхности R — Ro. Так как ш принадлежит множеству функций и,
то этим все доказано.
, В силу этого минимального свойства, о> не зависит от рыбора
'последовательности Rv #2 использованной при ее построении.
I 23 Зак. 295. Р. Неванлин'на

354 гл. х. открытые рймановы поверхности
10.10. Гармоническая мера идеальной границы. Рассмотрим
теперь случай, когда дуга а совпадает с Го. Тогда гармоническая
мера о {г, а) за ш (z, Го) = lim шп (z, Го) имеет граничное значение 1
ге-^оо
всюду на Го, и 0< «о(г, Го)< 1 в каждой точке поверхности R— Ro.
Разность
<o(z, Г)=1— ш(г, Го)
мы принимаем за гармоническую меру идеальной части границы Г
поверхности R— ко(см. § 4 гл. VI). Следовательно, 0<>(z, Г)< 1
на R— /?0 и, в частности, m(z, Г) = 0 на Го. *
Из п. 10.9 следует, далее, что <о (г, Г) = sup и (z), где u(z) —
произвольная гармоническая функция, которая < 1 на R — Ro и
<0 на Го.
10.11. Нулевые границы. Теперь возможны два случая: либо
ш (г, Г) за 0 на R — RQ, либо о> (г, Г) > 0 в каждой внутренней точке
R — Ro. Как будет показано в п. 10.12, то, какой из этих двух
(взаимно исключающих друг друга) случаев выполняется, не зависит
от выбора Ro и поэтому представляет собой конформно инвариантное
свойство поверхности R. Если io(z, Г) = 0, т. е. если Г имеет гармо-
гармоническую меру, равную нулю, то заданную поверхность R мы назы-
называем коротко „поверхностью с нулевой границей" (nullberandete FlMche).
В п. 6.18 мы видели, что поверхности с положительной границей
обладают функцией Грина и, следовательно, имеют положительную
емкость. Обратное утверждение будет доказано в п. 10.12.
10.12. Сходство между поверхностями с нулевой границей и
компактными поверхностями. Открытые поверхности с нулевой гра-
границей обладают некоторыми конформно инвариантными свойствами,
приближающими их к компактным поверхностям. Некоторые важные
свойства были уже рассмотрены в § 4 гл. VI. Они будут иметь
основное значение и для дальнейших выводов, прежде всего следую-
следующие из них:
1. Для поверхности с нулевой границей справедлив принцип
максимума и минимума в форме п. 6.21.
2. На поверхности с нулевой границей не существует однознач-
однозначной ограниченной с одной стороны гармонической функции, отличной
от const. В частности, такая поверхность не обладает функцией Грина.
3. Гомологическая теорема. Если Го есть 1-цепь на поверх-
поверхности R с нулевой границей, разбивающая R, то для каждой гармо-
гармонической функции, однозначной и ограниченной на компактной или не-
некомпактной части RQ поверхности, ограниченной Го,
J du' = 0,

§ 3. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛИ НЕКОМПАКТНЫХ ПОДОБЛАСТЕЙ 355
где du'— дифференциал, сопряженный к du (доказательство будет
дано в п. 10.26).
Теорема 2 следует из теоремы 1. Если ы^-m (> — оо) на
поверхности R с нулевой границей (при данном выборе Ro), то,
в силу теоремы 1, и достигает минимума на границе Ro и, следова-
следовательно, есть постоянная. Отсюда вытекает, что R не обладает функ-
функцией Грина g(z, С), прежде всего для С ? Ro, затем, в силу сим-
симметрии g, для каждой точки С. Отсюда, далее, следует, что свой-
свойство поверхности иметь нулевую границу не зависит от выбора Ro.
§ 3. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕКОМПАКТНЫХ ПОДОБЛАСТЕЙ
10.13. Постановка задачи. В § 2 этой главы мы уже решили
первую краевую задачу теории потенциала для некомпактной части
R — RQ произвольной римановой поверхности R в простейшем случае,
когда краевые значения на (компактной) границе Го области Ro кусочно-
постоянны (равны либо 1, либо 0); „нормированное" решение этой
задачи дает гармоническая мера. В настоящем параграфе это реше-
решение будет обстоятельно исследовано при следующих общих условиях.
Пусть на открытой римановой поверхности R задана компактная
(замкнутая) подобласть Ro, ограниченная конечным числом жордано-
вых кривых Го1). Пусть, далее, /(С) —кусочно-непрерывная ограни-
ограниченная функция, определенная на Го. Нужно определить совокупность
всех функций и (г), однозначных, ограниченных и гармонических на
дополнении R — Ro и принимающих заданные граничные значения /(С)
в каждой точке С на Го, где /(С) непрерывна:
И («)-*/© ПРИ 2->С
10.14. Нормированное решение. Частное решение ao{z) полу-
получается непосредственно по методу § 6 гл. IV. Зафиксируем на Го
направление обхода и произвольную точку Cq. Пусть С пробегает
в указанном направлении всю границу Го, начиная с точки Со, и пусть
о (С, z) — построенная по п. 10.8 гармоническая мера дуги С0С гра-
границы Го, взятая в точке z области R — Ro. При обходе Го гар-
гармоническая мера о> монотонно возрастает от 0 до 1, следовательно,
мы можем образовать интеграл Стильтьеса
z). * (ЮЛ)
Он получается как предел конечной суммы
¦i) Для дальнейшего существенно рассмотрение некомпактной части /? — /?0>
поэтому область /?0 можно считать односвязной. — Прим. перев.
23*

356 ГЛ. X. ОТКРЫТЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
где А,ш — гармоническая мера дуги Д„Г0 разбиения Г0=
4 — 1
a С„— произвольная точка этой дуги. С помощью принципа Харнака
мы заключаем, что функция A0.1) гармонична в R—RQ. В силу
того, что
функция ио(г) ограничена, и выполнение краевого условия
«о (*)->/(9 ПРИ г-*1^
следует (для каждой точки С, где функция /(С) непрерывна) из рас-
рассуждений п. 4.11, которые в настоящем случае можно повторить без
изменений.
Определяемую A0.1) функцию мы будем называть нормирован-
нормированным решением краевой задачи1).
10.16. Общее решение. Общее решение краевой задачи полу-
получается из частного решения по формуле
в (z) = a0 (*) + «(*), A0.2)
где v(z)— произвольная гармоническая функция, однозначная и огра-
ограниченная (| v | < М < оо) в области R— Ro и равная нулю на ком-
компактной части Го границы R — Rq1).
10.16. Поверхности с нулевой границей. Рассмотрим теперь тот
случай, когда идеальная граница Г поверхности R (и R — Ro) имеет
гармоническую меру нуль. Согласно п. 10.11, это означает, что
J"
Но в этом случае имеет место обобщенный принцип максимума и
минимума п. 6.21. Если его применить к гармонической функции v(z),
входящей в A0.2), то из него следует, так как v в R — Ro ограни-
ограничена и на Го равна нулю, что v(z) = 0. Следовательно, справедлива
теорема:
Если идеальная граница Г поверхности R — Ro имеет гармо-
гармоническую меру нуль, то нормированное решение A0.1) есть един-
единственное ограниченное решение краевой задачи.
!) Если идеальная часть Г границы области /? — /?о имеет „действитель-
„действительное" представление, например в виде множества точек, образованного конеч-
конечным числом жордановых кривых, расположенных на некоторой поверхности /?',
на которой расположена и сама область /? — /?п, то предыдущее нормирова-
нормирование означает просто, что функция щ (г) на Г равна нулю.

§ 3. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕКОМПАКТНЫХ ПОДОБЛАСТЕЙ 357
10.17. Поверхности с положительной идеальной границей. Если
то идеальная граница Г поверхности R—Ro имеет гармоническую
меру (см. п. 10.10)
ю(г,Г)=1—ю(г,Го)>О.
В этом случае, кроме нормированного решения ы0, существует еще
бесконечное множество других решений и краевой задачи. Такое
бесконечное семейство решений дает, например, формула
где к— произвольное действительное число, так как каждая такая
функция удовлетворяет поставленным требованиям ограниченности
в R— Ro и равенства нулю на Го.
10.18. Сингулярные поверхности. Интересно, существуют ли
поверхности, для которых семейство функций
u(z) = u0(z) + k<o(z, Г) A0.3)
исчерпывает совокупность всех решений рассматриваемой краевой
задачи. То, что это обязательно имеет место, если Г — гармониче-
гармонической меры нуль, мы видели в п. 10.16. Труднее решить, суще-
существуют ли и поверхности R с положительной границей (ш > 0), для
которых выражение A0.3) дает общее решение проблемы. Попытки
доказать, что ответ на этот вопрос положителен, до сих пор к цели
не привели, и проблему нужно считать пока не решенной. Во всяком
случае, такую поверхность следует скорее рассматривать как исклю-
исключение, поэтому класс поверхностей R с положительной границей,
для которых выражение A0.3) представляет общее решение краевой
задачи, мы назовем сингулярным, в противоположность регулярному
случаю, когда, кроме семейства A0.3), имеются еще и другие реше-
решения (а тогда их бесконечно много) 1).
Мы дальше (см. п. 10.31) увидим, что сингулярное свойство
поверхности R не зависит от выбора Ro. To, что оно не зависит
от выбора граничных значений /, очевидно.
10.19. Абсолютное значение нормированного решения. Если
М = max
г„
Ср. мою работу [2], а также Сарио [3].

358 ГЛ. X. ОТКРЫТЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
и R — поверхность с нулевой границей, то, по обобщенному прин-
принципу максимума п. 6.21, для единственного ограниченного решения
uo(z) краевой задачи имеет место неравенство
[мо(г)|<М A0.4)
и внутри R — Ro. Это можно и непосредственно вывести из опре-
определения
uo(z) =
Для дальнейшего важно, что в случае поверхности R с положи-
положительной границей для нормированного решения uo(z) имеет место
более точная оценка. Пусть В — компактная часть области R — Ro.
Так как tfco^-O, то в В имеем
f Го)<<7/И, A0.4')
Го
где
</ = max(o(z, Го).
в
Так как 0<а>< 1 в R — Ro, то и 0<?< 1. Эта постоянная за-
зависит только от геометрической конфигурации (Ro, В) и, напротив,
не зависит от заданных граничных значений / (следовательно,
и от М) *).
10.20. Приложение к сингулярным открытым поверхностям.
В п. 10.12 было показано, что на открытой поверхности R с нуле-
нулевой границей не существует ограниченной гармонической функции,
отличной от постоянной. Эту теорему мы можем теперь распростра-
распространить на поверхность R с положительной границей, поскольку она
сингулярна в смысле п. 10.18 (относительно некомпактной области
R — Ro)'.
На сингулярной поверхности R не существует отличной от
постоянной ограниченной гармонической функции 2).
Для доказательства предположим, что однозначная гармоническая
функция и (z) на R ограничена. Тогда, по предположению, суще-
существует такая постоянная X, что на R—Ro
г) См. п. 6.19, где эта теорема была выведена и применена для одно-
связных поверхностей /?, имеющих положительную границу (гиперболиче-
(гиперболического типа).
2) На поверхности R с нулевой границей не существует даже ограни-
ограниченной с одной стороны гармонической функции, отличйой от постоянной.
Верно ли это и для сингулярной (с положительной границей) поверхности R,
остается открытым вопросом [см. примечание к п. 10.92. — Прим. перев.].

§ 3. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕКОМПАКТНЫХ ПОДОБЛАСТЕЙ 359
где и0—нормированный интеграл
г0
Поэтому для функции u{z)— l = ut(z) имеем
J et (С) «Гш С, z) = J и (С) rf<« (С, z) — Хш (z, Го) =
Го Го
= ио(г) — A-j~ W-z, Г) = ы — X = «!
откуда видно, что их(г) — нормированное решение краевой задачи
для краевых значений ы1(С) = н(С) — X на Го- Тогда, если М — ма-
максимум | ul (z) | на Го, то, по принципу максимума,
К (г) |< Л!
на RQ и, согласно п. 10.19, также и на R— Ro, следовательно, на
всей поверхности R. Но % достигает своего максимума М в точке
компактной кривой Го, поэтому uv следовательно, и и, постоянная,
что и требовалось доказать.
10.21. Другие свойства нормированного решения. Частное реше-
решение ы0-может быть также представлено как предел соответствующих
нормированных частных решений для компактных поверхностей после-
последовательности, исчерпывающей R (ср. § 5 гл. VI).
Построим снова указанным в п. 10.6 способом исчерпание поверх-
поверхности R последовательностью RqCzR^ ..., Rn-+R. Граница Rn—Ro
есть Го + Г„. Пусть теперь un(z) (и = 1, 2, . . .) — та гармоническая
и ограниченная в Rn — Ro функция, которая однозначно определена
краевыми условиями
«„ = /(?) на Го, «, = 0 на Г„.
Мы утверждаем, что
lim ап = и0
равномерно в каждой компактной части R — Ro.
По формуле D.8), имеем для ип интегральное представление
Го
где dwn означает гармоническую меру дифференциала дуги (/С в точке z
относительно поверхности Rn — Ro. С другой стороны,
и0 (z) s J и0(С) dm (С, г) = un(z) + J «0(С) й (ш — шп).

360 ГЛ. X. ОТКРЫТЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
По принципу максимума, гармоническая мера произвольной дуги <х
границы Го относительно Rn— Ro меньше, чем соответствующая мера
относительно R~R0, поэтому на Го do>;> d®n. Следовательно, если
М — максимум 1 н01 на Го, то
IJ aod(o) — <о„) | < М J d («о — <ой) = М (о) (г, Го) — <ой (z, Го)).
Го Го
Но, по определению о>, lim <on = <о, причем сходимость здесь равно-
мерна в каждой компактной части R — Ro, поэтому ип-»ы0 при
п -» оо также равномерно, что и требовалось доказать.
10.22. Важно еще заметить следующее. Пусть ы0 — только что
рассмотренное нормированное решение краевой задачи для R — RQ
с граничными значениями /(С) на Го. Образуем для произвольной
компактной области Rt поверхности R с границей 1\, содержащей
область Ro, нормированное решение
краевой задачи в R — Rt с краевыми значениями ио(С) на Гх; здесь
dtot — гармоническая мера дуги Л контура Гг Тогда
в R — R±.
В самом деле, согласно п. 10.21, мы имеем для исчерпания Rn-*R
соотношение н„-*«0, где ип — гармоническая в Rn — Ro функция,
равная ы0 на Го и 0 на Гп. Если построить соответствующие при-
приближения и1п для ы1 на Rn — /^ (uln = ut = и0 на Гр и1п = 0 на Г„),
то, очевидно, и1п — ип и и1п -+• at при п -*¦ сю, откуда следует, что
10.23. Интеграл Дирихле нормированного решения. Будем, как
прежде, рассматривать произвольную компактную часть Ro поверх-
поверхности R, ограниченную конечным числом аналитических кривых Го.
Пусть в связной части О дополнения R — Ro области RQ задан одно-
однозначный потенциал u(z), который еще гармоничен на Го и удовле-
удовлетворяет нормирующему условию
u(z) = J" и (С) dm (С, г),
где d® означает гармоническую меру дифференциала дуги dC гра-
границы Го.

§ 3. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕКОМПАКТНЫХ ПОДОБЛАСТЕЙ 361
При этих предположениях интеграл Дирихле от и по области G
конечен:
Г Г | grad и |2 dx dy < со.
10.24. Доказательство. Теорема тривиальна, если область О
компактна. Если это не имеет места, то строим исчерпание R после-
последовательностью поверхностей Rn (л = 1, 2, . . .), имеющих кусочно
аналитические границы Г„, не пересекающиеся с Го. Пусть, далее,
Оп — пересечение О с Rn(n-—l, ...). Тогда, по формуле преобра-
преобразования C.20'), получаем
§ f | grad ufdxdy— J udu' — f и du', A0.5)
Бп~^о го г»
где а' — сопряженная к и гармоническая функция и направление об-
обхода Го и Г„ при интегрировании — отрицательное по отношению
к области Ro, соответственно Rn. Отсюда следует, что линейный
интеграл
fudu'
с возрастанием л монотонно убывает.
Рассмотрим, с другой стороны, как в п. 10.21, приближения
которые в каждой компактной части области О (вместе со всеми
своими производными) сходятся равномерно к и. Для этих функций,
в силу того, что ип = 0 на Г„, имеем соотношение A ^ т < и)
$$ un\2dxdy = jundu'n>0. A0.6)
Rn—Rm t
Но при л ->• со
следовательно, и
J«fifa'>0 (m = l, 2, ...).
Отсюда, в силу A0.5), вытекает, что для каждого л
| grad и |2 dx dy < J и da',
Bn~Ro

362 ГЛ. X. ОТКРЫТЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
следовательно,
jj |grad a \2 dx dy <C f и du' A0.7)
R—Ro ' Го
и интеграл Дирихле
(( \grau и fdxdy
R-Ro
конечен, что и требовалось доказать.
Мы увидим, что в неравенстве A0.7) в действительности имеет
место равенство.
10.25. Формулы преобразования интегралов. Теперь будет пока-
показано, что для нормированного потенциала и фундаментальные фор-
формулы преобразования гл. III остаются в силе для каждой подобласти
G — R — Ro и тогда, когда О + Г0 некомпактна.
Для этого рассмотрим, как выше, однозначную нормированную
гармоническую функцию и на О + Г0. Согласно п. 10.21, ее можно
представить в виде предела последовательности гармонических функ-
функций ип на Rn—/?0 + Г0, для которых «„ = 0 на Гп. Введем еще
обозначения /(z)dz = du-f-1du' и fn{z)dz = dun-\-idu'n. Тогда
fn~*f равномерно в каждой компактной части области G.
Пусть, с другой стороны, <р¦=— произвольная однозначная аналити-
аналитическая коварианта на G-f-r0 с конечным интегралом Дирихле
<p fdx dy < oo.
в
При этих предположениях формула преобразования C.18') имеет
место в виде
J J fvdxdy — i J uydz, A0.8)
где интеграл справа берется в положительном направлении (относи-
(относительно области О).
Для доказательства заметим, что для компактных подобластей
эта формула обязательно справедлива. Поэтому в Rn — Rm, учитывая,
что ип = 0 на Гга, имеем:
J$ fnvdxdyz=ijunvdz-+i J uvd~z A0.9)
Rn-Rm Гт гт
при и-»- oo.

§ 3. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕКОМПАКТНЫХ ПОДОБЛАСТЕЙ 363
С другой стороны, по неравенству Буняковского — Шварца, с уче-
учетом формулы C.20'), имеем
undu'n- Jf \<f\*dxdy. A0.10)
При л-*оо из A0.9) и A0.10) следует, что
< f udu'• jj \<?\2dxdy.
Так как интеграл Дирихле от <р по # конечен, то имеем, наконец
при /и -»схэ
lim f«»dz = O.
Я»->00
'«I
Если мы теперь применим доказываемую формулу преобразования
к паре ковариант /, о и поверхности Gm = Rm — Ro, что мы вправе
сделать, то получим
J J ftdxdy = i J uydz — i J «cprfJ. A0.11)
В силу абсолютной сходимости, интеграла, стоящего слева в A0.8),
левая часть в A0.11) при /и-»-оо сходится к
J f fodxdy,
в то время как правая часть сходится к ее первому члену. Этим
доказательство формулы преобразования A0.8) при сделанных выше
предположениях доведено до конца.
В частности, для <р=/ получается формула
Г J [gnu и \*dxdy = f udu?. A0.7')
а ' г„
Следовательно, в A0.7) имеет место равенство, как это утверждалось.
10.26. Приложение к поверхностям с нулевой границей. Если
поверхность R имеет нулевую границу, то постоянная и = 1 есть
нормированное решение в G. Тогда, согласно п. 10.8, для любой
интегрируемой с квадратом аналитической коварианты <р в О + Г0,

364 . ГЛ. X. ОТКРЫТЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
в силу /esO, справедливо равенство
' <р dz = 0.
/¦
Таким образом, мы пришли к гомологической теореме п. 10.12,
согласно которой периоды интегрируемой с квадратом коварианты
равны нулю на Го. Существенным для этого заключения является
только предположение о том, что Го разбивает поверхность R.
§ 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ С ЗАДАННЫМИ
ОСОБЕННОСТЯМИ
10.27. Постановка задачи. Так же как и в теории функций
на замкнутых поверхностях, в теории функций на открытых рима-
новых поверхностях важно построить некоторые основные потенциалы,
которые служат затем элементами построения общих систем гармо-
гармонических и аналитических функций. В качестве обобщения проблем
существования, рассмотренных в гл. IV и § 4 гл. VI, мы рассмотрим
здесь следующий вопрос.
Пусть на произвольной римановой поверхности R дана замкнутая
жорданова кривая -f. разбивающая ее на две раздельные (компактные
или некомпактные) части Яг и /?2- Заключим f в двусвязную область О,
ограниченную двумя аналитическими жордановыми кривыми а и й 1),
так что а лежит в #а, а р в Rv и обозначим через А (соответ-
(соответственно В) ограниченную а (соответственно й) область /1з^ (соот-
(соответственно В э /?2) поверхности R; О есть пересечение АВ 2).
Пусть теперь в области O + a-f-8 заданы две однозначные гар-
гармонические функции и0 и v0. Требуется построить в О также одно-
однозначную и гармоническую функцию а так, чтобы выполнялись сле-
следующие условия:
1°. Разность U—-и — а0 гармонически продолжаема на поверхности
А так, что в А она удовлетворяет нормирующему условию
где da>a означает гармоническую меру элемента дуги на а (отно-
(относительно А).
!) В возможности такого покрытия проще всего убедиться, переводя Р,
с помощью универсальной поверхности наложения и опираясь на теорему
Римана об отображении, в нормальную область Е; прн этом -\ переходит
в жордаиову кривую, замкнутую или соединяющую две эквивалентные точки.
Теперь покрытие f выполнимо и переносится на R.
2) Решение нижеследующей задачи проходит без существенных изменений
и тогда, когда разбивающий У? цикл f состоит из нескольких непересекаю-
непересекающихся жордановых кривых Yi>--->Tg- Здесь мы проводим рассмотрение для
случая 0=1.

§ 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ С ЗАДАННЫМИ ОСОБЕННОСТЯМИ 365
2°. Разность V= и—v0 обладает аналогичным свойством на поверх-
поверхности В1).
10.28. Случай, когда хотя бы одна из поверхностей А-\-а,
$ некомпактна и ее идеальная граница имеет положительную
меру. В этом случае можно показать, что если решение существует,
то оно единственно.
Для доказательства предположим, что, например, поверхность
А-\-а некомпактна и что гармоническая мера компактной части гра-
границы, а, удовлетворяет условию
(следовательно, отлична от постоянной на А).
Пусть их и и.2 — два решения задачи. Из условий 1° и 2° следует,
что разность их— и.2 = и гармонически продолжаема на всю поверх-
поверхность R и нормирована как в А, так и в В.
Следовательно, по теореме о максимуме (п. 10.19), и принимает
свое максимальное значение на Л-f-a в некоторой точке z = zo?a.
Далее, функция и, по теореме п. 10.22, нормирована и в (дополни-
(дополнительной к А) подобласти В — О области В и, следовательно, дости-
достигает своего максимума на В — G + a также в точке z = z0. Отсюда
вытекает, что значение u(z0) есть абсолютный максимум и на R,
следовательно, функция и равна некоторой постоянной С.
Теперь на поверхности А имеем:
«! (z) — и0 (z) = J (и, С) — и0 (С)) </«. (',, z) =
a
= J (иа — Мо + С) do)« = «2—"о +
а
Слгдо зательно, постоянная С — и± — и2 равна
и так как последний интеграл не есть постоянная, то С = 0 и их ¦=. и.2,
что и требозалось доказать.
10.29. Доказательство существования. Аналогично § 4 гл. IV,
решение и строится с помощью альтернирующего метода Шварца
следующим образом.
Сначала образуем на А, соответственно В, последовательность
гармонических функций Uo = и0, Ut, . .., Un, . . ., соответственно
1) Сходные построения — у Сарио [3].

ГЛ. X. ОТКРЫТЫЕ РИМАНОВЫ Г1оВЕРХНОСТЙ
V0 = v0, Vv .... Vn однозначно определенных требованием,
чтобы они были нормированными решениями для граничных значе-
значений (га> 1)
Un = Vn_1 + v0-u0 на «
Vn = Un + uQ-v0 на р.
Применяя принцип максимума A0.4'), мы в точности так же,
как в § 4 гл. IV, получаем для сумм
в Л, соответственно В, ряд геометрической прогрессии, являющийся
для них мажорантой, откуда следует, что в А и В существуют
предельные гармонические функции U = lim Un, соответственно
V = lim Vn, удовлетворяющие нормирующему условию. В пересечении
Эта функция и обладает, очевидно, всеми требуемыми свойствами,
и доказательство существования закончено.
10.30. Поверхности с нулевой границей. Если R принадлежит
этому классу поверхностей, то можно применить, без существенных
изменений, метод Шварца — Неймана § 5 гл. IV. Сначала из прин-
принципа максимума (см. п. 10.12) получается, что решение и определено
с точностью до аддитивной постоянной.
Затем для сопряженной функции мЛ решения и из гомологического
свойства п. 10.12 следует необходимое условие
f d(a' — u')= f d(u' — v')
t т
на кривой f в АВ (гомологичной а и [3). Следовательно, для
решения задачи необходимо, чтобы было
Г du'0= Г dv'o, A0.13)
1 т
т. е. чтобы и функция и'о — v'Q, сопряженная к и0 — v0, была
однозначна в кольцевой области АВ.
Теперь доказывается, что это условие также и достаточно для
существования решения. Чтобы его получить, снова применяем
алгорифм A0.12). Если учесть, что и в некомпактной области В спра-
справедливы гомологическое свойство п. 10.12 и принцип максимума
A0.4), то в точности также, как в § 5 гл. IV *),'получается сходимость
1) Чтобы применить лемму п. 4.35, нужно сначала отобразить кольцевую
область G = АВ на круговое кольцо, согласно теореме Римана об отображении.

§ 4, НОРМИРОВАННЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ С ЗАДАННЫМИ ОСОБЕННОСТЯМИ 36*7
последовательностей Un-*U, Vn-*-V в А, соответственно В, и
функция
определенная в АВ, обладает всеми требуемыми свойствами.
Заметим, что разности U = u — и0 и V = a — v0, в силу норми-
нормирующих условий 1°, соответственно 2°, имеют конечный интеграл
Дирихле по А, соответственно В (теорема п. 10.23).
10.31. Приложение к сингулярным поверхностям. Пусть R — по-
поверхность с положительной границей, сингулярная в смысле п. 10.18
относительно некоторой компактной подобласти Ro. Мы можем теперь
привести обещанное ранее доказательство того, что свойство сингу-
сингулярности поверхности не зависит от выбора „дыры" Ro.
В п. 10.20 мы видели, что из сингулярности поверхности R
относительно Ro следует, что на R не существует отличной от по-
постоянной однозначной ограниченно гармонической функции. Справед-
Справедливо и обратное утверждение, а именно:
Для того, чтобы на поверхности R с положительной границей
не существовало отличной от постоянной однозначной ограни-
ограниченной гармонической функции, необходимо и достаточно, чтобы
для некоторой компактной области RocR дополнение было син-
сингулярным1).
Нам остается доказать необходимость. Для этого мы покажем
следующее:
Если поверхность R — Ro при компактной области Ro не сингу-
сингулярна, то на R существует отличная от постоянной однозначная
ограниченная гармоническая функция.
Для доказательства предположим, что поверхность R — /?оне син"
гулярна; тогда, согласно определению, на R — Ro-\-To существует
однозначная ограниченная гармоническая функция uo(z), которая
ни при каком значении постоянной А не совпадает с потенциалом
A0.14)
где d<o — гармоническая мера дифференциала дуги границы Го
(относительно R — Ro).
Теперь мы решаем задачу п. 10.27, выбирая а=Г0, A = R — Ro
и полагая vo = Q. Таким образом, мы находим однозначную и гар-
гармоническую на всей поверхности R функцию и, для которой разность
и — и0 в R — Ro нормирована так, что
(и — uo)d<a.
г«
*) При этом мы предполагаем, что дополнение связно.

368 гл. х. открытые римановы поверхности
Отсюда видно, что, во-первых, и на А, следовательно, и на В
ограничена и, во-вторых, отлична от постоянной. В самом деле,
если бы и равнялась постоянной с, то uo(z), вопреки предположению,
имела бы вид A0.14) с А = с. Этим построением доказана необхо-
необходимость указанного выше условия.
Отсюда также следует, что сингулярный характер R не зависит
от выбора /?0.
10.32. Нормальные абелевы потенциалы. Предыдущие теоремы
существования позволяют построить на произвольной римановой по-
поверхности R некоторые нормированные гармонические функции, кото-
которые в случае замкнутой поверхности совпадают с нормальными
интегралами, имеющими основное значение в теории абелевых инте-
интегралов (ср. гл. V), и образуют также фундамент для обобщения этой
теории на открытые римановы поверхности. Ниже мы составим важ-
важнейшие из таких интегралов.
10.33. Нормальные потенциалы третьего рода. Нормальным
потенциалом третьего рода мы называем нормированную функцию а
на R, которая, исключая конечное число логарифмических полюсов,
гармонична.
При этом существенно различны случай, когда заданная поверх-
поверхность имеет положительную границу, и случай, когда граница поверх-
поверхности нулевая.
В первом случае для каждой заданной точки z = С существует
одна и только одна нормированная функция на R, которая в точке z=r,
имеет логарифмический полюс с вычетом ji, т. е. имеет разложение
— (j.ln|z — Ч | -|- гармоническая функция. Для ft = 1 это не что иное,
как функция Грина g(z, С) поверхности R.
Если, напротив, R имеет нулевую границу, то из теоремы о выче-
вычетах, примененной к коварианте ux-\-ia'x в ограниченной области R
содержащей полюсы С1( • • -, Сд, следует, согласно п. 10.12, что соот-
соответствующая сумма вычетов должна равняться нулю:
Это условие также достаточно для существования гармонической
функции с заданными особенностями. Ее можно построить либо не-
непосредственно с помощью альтернирующего метода, либо построив
сначала нормированный элементарный потенциал u(z; zv z.2) с раз-
разложениями
и = (— 1)' In | z — г., | -f-гармоническая функция
в полюсах г = г,(ч— I, 2) и представив затем более общую гармо-
гармоническую функцию в виде линейной комбинации таких элементарных
потенциалов.

g 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ С ЗАДАННЫМИ ОСОБЕННОСТЯМИ 369
Во всяком случае заданными условиями (особенностями и норми-
нормировкой) решение задачи определяется однозначно. Для поверхностей
с нулевой границей последнее условие можно даже заменить более
слабым требованием ограниченности решения (в окрестности идеальной
границы) (ср. п. 10.16I).
10.34. Нормальные потенциалы второго рода. Такой потенциал
должен обладать полюсом z = С с сингулярной частью
и -\~ lu'Q = ——^ (с — постоянная).
В силу однозначности «0 и и'о в окрестности особой точки z — С,
здесь непосредственно применим метод Шварца — Неймана пп. 10.29
и 10.30. Нормированный потенциал и снова однозначно определен,
если поверхность имеет положительную границу Г. Для поверхности
с нулевой границей остается неопределенной аддитивная постоянная.
Аналогично получается нормированный потенциал с полюсом выс-
высшего порядка:
+
где п — целое положительное число.
10.35. Дифференциалы первого рода. Также и эти потенциалы
могут быть построены, как в п. 5.15. Сначала для пары точек Z=QV
г = С2 некоторого параметрического круга А строим к сингулярной
части
у которой сопряженная функция однозначна, нормированную гармо-
гармоническую функцию
Она однозначна вне жордановой дуги ?12, пробегающей в Л и со-
соединяющей точки Cj и ?2> н0 ПРИ переходе через эту кривую испы-
испытывает скачок, равный 1.
Если теперь f — замкнутая жорданова кривая, не разбивающая
поверхность R, то выбираем на ней л точек Сх ?ге и обозначаем
ДУГУ OUi (v=1 п> Cn+i = 1n) чеРез Tfw+i- Тогда
п
v(z;t)= !>(*; С,. С,+1)
4=1
1) Подобное построение имеется у Сарио [3].
24 Зак. 295. Р. Неванлинна

370 ГЛ. X. ОТКРЫТЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
— гармоническая функция, однозначная и нормированная в области
R— f. Она неограниченно гармонически продолжаема на R и имеет
период, равный 1, на каждом замкнутом пути -j', соединяющем
в R—т оба берега кривой т
§ 5. АВТОМОРФНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ 1)
10.36. Метод универсальной поверхности наложения. Важней-
Важнейшие из исследованных выше проблем существования могут также
быть решены с помощью теории конформных отображений посред-
посредством следующего метода.
Пусть требуется найти гармоническую функцию а, которая на
заданной римановой поверхности R или, более общо, на компактной
или некомпактной области Rocz R обладает некоторыми заданными
свойствами (гранитными свойствами, особенностями). Тогда строим
универсальную поверхность наложения Ro поверхности Ro и отобра-
отображаем ее по теореме Римана об отображении на круг Е: |?|<р(р< оо
или р = оо). Если исключить некоторые элементарные случаи, будет
иметь место гиперболический случай; тогда за Е можно принять еди-
единичный круг |^|<1. Посредством отображения Е -*¦ Ro искомый
потенциал и переносится на ? и будет там однозначной гармониче-
гармонической функцией и (t), автоморфной относительно группы преобразо-
преобразований наложения (Т) поверхности Ro (оставляющих инвариантной ос-
основную поверхность Ro). Заданные особые условия для и приводят
к некоторым соответствующим условиям для автоморфного потен-
потенциала u(t). To обстоятельство, что потенциал и теперь определен
в круге, во многих случаях позволяет легко построить его.
10.37. Нормированные решения краевой задачи. В качестве пер-
первого примера применим предыдущий метод к задаче, рассмотренной
в § 3. Пусть, следовательно, Ro снова есть компактная область на
римановой поверхности R, ограниченная некоторой кривой Го, и
Ro— ее дополнение: R0=zR — Ro. Пусть на жордановой кривой Го
задана непрерывная функция /0(С) и требуется построить нормиро-
нормированное решение соответствующей краевой задачи в Ro.
Следуя описанному выше методу, отобразим теперь универсальную
поверхность наложения Ro поверхности Ro, которая при предыдущих
условиях является поверхностью гиперболического типа, взаимно одно-
однозначно и конформно на единичный круг Е : 11 | < 1. По основным
теоремам о соответствии границ при конформном отображении, наше
!) Рассматриваемые в этом параграфе вопросы, имеющие сами по себе
столь большое значение, что их нельзя не учесть в общей теории униформи-
зации, в дальнейших параграфах не играют существенной роли. Поэтому
читатель может без затруднений продолжать чтение прямо с § 6.

S 5. АВТОМОРФНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ 371
отображение еще непрерывно на граничной кривой Го. Последней
на окружности 11 | = 1 соответствует открытое множество точек (т),
распадающееся на счетное число дуг а„, связанных друг с другом
преобразованиями наложения (Г). Поэтому элементу дуги на Го соот-
соответствует бесконечно много элементов db±, d'J2, ... (х = еш), и гар-
гармоническая мера da>(?, z) этого элемента на Го с помощью отобра-
отображения Ro -*¦ Е (z -> t, С -¦> т) переходит в сумму
Это выражение инвариантно относительно преобразований Т, что также
следует из формы dm, так как дифференциал
l+/4_2rcos(e-<rt A0.15)
остается инвариантным при каждом конформном отображении круга Е
на себя.
Если
(С, z) A0.16)
Го
— решение поставленной задачи, то при преобразовании R0-*E
оно переходит в функцию
где <во(т) = /0(С) для каждой точки ¦: = eif', соответствующей точке L, и
<ро(-:) = О на (замкнутом) дополнении J3 к множеству a =: 2 av отно-
относительно окружности 11 ] = 1.
Это рассмотрение можно теперь провести в обратном порядке:
сначала строим соответствующие граничным значениям/0 (С) граничные
значения сро(г) = /о(С) и затем применяем интеграл Пуассона A0.17).
Согласно теории интеграла Пуассона, он представляет собой регу-
регулярную гармоническую функцию в круге |?|< 1, принимающую
в каждой точке открытого множества a = ^ ач требуемое граничное
значение <р0 (•:) = /0 {(,). Далее, он автоморфен относительно преобра-
преобразований группы Т, в силу инвариантности <ро(т:) и ядерного диффе-
дифференциала A0.15). Следовательно, если теперь вернуться к поверх-
поверхности Ro, то он перейдет в однозначный потенциал с заданными
граничными значениями /0 на Го. Далее, он может быть представлен
в виде A0.16) и, следовательно, совпадает с нормированным реше-
решением.
24*

372 ГЛ. X. ОТКРЫТЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
10.38. Мы хотим еще посмотреть, что означает требование нор-
мированности для поведения автоморфного потенциала u(t) на гра-
границе. Нормировка соответствует свойству граничных значений сро>
заключающемуся в том, что <ро(т) = О в каждой точке дополнения
Р к а ~ 2 а->' Предположим теперь, что C имеет внутренние точки;
тогда потенциал u(t) в такой точке еще непрерывен и имеет гра-
граничное значение, равное нулю. Но в общем случае f} не имеет вну-
внутренних точек. Согласно теории интеграла Пуассона, и стремится
тогда к нулю почти во всех точках C, т. е. исключая множество точек
(линейной) меры нуль, причем в общем случае только при радиаль-
радиальном (или угловом) приближении к этим точкама).
Особого внимания заслуживает случай, когда мера дуг а = 2 «„
равна 2« и, следовательно, |3 имеет лебегову меру, равную нулю.
Этот случай имеет место тогда и только тогда, когда гар-
гармоническая мера идеальной границы Г поверхности R равна нулю.
В самом деле, для гармонической меры кривой Го имеем выра-
выражение
Го а
и это выражение тогда и только тогда есть постоянная, равная 1,
когда а имеет меру, равную 2тг, и, следовательно, {3 — меру, равную
нулю. Но условие <n(z, Го)= 1 эквивалентно обращению в нуль гар-
гармонической меры идеальной границы Г поверхности R, а отсюда
следует справедливость утверждения.
10.39. Функция Грина. Метод универсальной поверхности нало-
наложения, по крайней мере в простейших случаях, можно также приме-
применить к построению дифференциалов с заданными особенностями. Мы
покажем это на примере функции Грина.
Рассмотрим открытую поверхность R и предположим, что она
имеет функцию Грина g(z, С). Тогда емкость границы поверхности R
положительна и универсальная поверхность наложения R поверхно-
поверхности R — гиперболического типа. При фундаментальном отображении
R-* E(\t\< I) g(z, С) переходит в некоторую функцию u(t) со сле-
следующими свойствами:
Г. и (t)—однозначная положительная гармоническая функция в круге
|^| < 1, исключая точки t = t^ (v = 1, 2, . . .), соответствующие по-
полюсу z = С.
2°. В каждой точке t4 функция и имеет логарифмический полюс:
и (t) = In -г;—гт -(- гармоническая функция.
См. мою монографию [1*], а также работу П. Ю. Мирберга [1].

§ 5. АВТОМОРФНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
373
Образуем теперь для каждой точки t., функцию Грина g(t, t.)
единичного круга:
Разность
t-t,
4=1
для каждого « гармонична в круге |/|< 1, исключая точки t — tn+1,
?п+9 Далее, по принципу максимума, она положительна для
|^|<1. Функции ип («=1, 2, . . .) образуют, очевидно, моно-
монотонно убывающую последовательность, и по принципу Харнака
существует предел
Нт «„(*) = «„(*),
представляющий собой регулярную неотрицательную гармоническую
функцию в круге 11 | < 1.
В частности, отсюда вытекает сходимость ряда
. Q
A0.18)
и @ =2^. *,
10.40. Рассмотрим теперь несколько подробнее сумму A0.18).
Для t = 0 получается сходимость ряда х)
Но для сходимости последней суммы необходимо и достаточно,
чтобы расстояния от точек t., до окружности |tf| = l имели конеч-
конечную сумму:
2A— |М)<оо. A0.20)
ч
С другой стороны, это условие достаточно для того, чтобы сумма
A0.18) сходилась для всех |*|< 1, притом равномерно для \t\ •</"< 1.
Следовательно, если ряд A0.20) сходится, то выражение A0.18)
представляет собой регулярную положительную гармоническую функ-
функцию в круге U|< 1, исключая полюсы t,,. Если выполнить преоб-
преобразование группы (Г), то t4 только меняются местами, следовательно,
и члены в A0.18), откуда вытекает, что это выражение автоморфно
относительно группы (Г). Если теперь с помощью отображения
• !) Штрих у 2 означает, что исключается значение.
имеется. — Прим. пере в.
= 0, если оно

374 ГЛ. X. ОТКРЫТЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
Е -*¦ R-± R вернуться к поверхности R, то A0.18) преобразуется
в функцию U(z), которая на R однозначна, положительна и, с точ-
точностью до полюса z = ', гармонична. Так каки^^-О, то, в силу A0.19),
g(z, 0)>U(z).
Отсюда, на основании минимального свойства функции Грина,
вытекает, что #=?/. Поэтому ««, = 0 и, следовательно, функция
Грина g(z, С) в круге |f|< 1 представляется суммой A0.18).
Этим доказано следующее:
Для того, чтобы открытая риманова поверхность R имела
нулевую границу, необходимо и достаточно, чтобы расходился ряд
где ?,("' = 1, 2, ...) — точки Е, лежащие над произвольной фик-
фиксированной точкой z = * поверхности.
10.41. Автоморфные функции. Все, что выше было сказано
о взаимосвязи между гармоническими функциями на римановой по-
поверхности R и соответствующими автоморфными потенциалами на
универсальной поверхности наложения Е = R поверхности R, может
быть соответственно перенесено на аналитические функции (кова-
рианты) и автоморфные функции (коварианты). Следовательно, общие
теоремы существования для функций на римановой поверхности
содержат также доказательство существования и для фундаменталь-
фундаментальных классов автоморфных функций. Наоборот, в основанной Пуан-
Пуанкаре общей теории автоморфных функций исходным пунктом служит
группа преобразований наложения поверхности R, и. автоморфные
функции строятся аналитически с помощью Й-рядов Пуанкаре. В это
прямое построение теории автоморфных функций мы здесь углубляться
не можем.
§ 6. АБЕЛЕВЫ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА
10.42. Определение интегралов. Под абелевым интегралом пер-
первого рода на заданной римановой поверхности R в общем случае
понимают интеграл
F(z)=ff(z)dz A0.21)
от коварианты f(z), однозначной и регулярной всюду на R. Инте-
Интеграл, вообще говоря, многозначен: на замкнутых путях, не гомоло-
гомологичных нулю, он обладает периодами.
Коварианты f(z) первого рода образуют линейное пространство А:
вместе с / также и kf является ковариантой пространства А, вместе
с Л и Л —и их сумма Л+Д. В то время как в случае замкнутой

$ 6. АБЕЛЕВЫ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА 375
поверхности R пространство А имеет конечную размерность (рав-
(равную роду р поверхности), число линейно независимых элементов /
для открытой поверхности в общем случае бесконечно велико.
10.43. Если ставится задача построить теорию абелевых интегра-
интегралов первого рода для открытых поверхностей так, чтобы сохранились
существенные черты классической теории, справедливой для замкну-
замкнутых поверхностей, то предыдущее определение абелева интеграла,
очевидно, будет слишком общим. В самом деле, естественным тре-
требованием к обобщенной теории будет следующее условие: если замк-
замкнутая поверхность R превращается в открытую поверхность R' путем
удаления произвольной ее точки z = С, то подлежащая построению
теория, справедливая для открытых поверхностей, для поверх-
поверхности R' должна быть тождественной с классической теорией,
имеющей место для R.
Это условие при общем определении п. 10.42 еще, очевидно, не
выполняется. Действительно, пусть, например, R — замкнутая по-
поверхность рода р @-^р<оо); тогда пространство А имеет раз-
размерность р: оно строится с помощью базиса, имеющего р линейно,
независимых элементов. Рассмотрим теперь открытую поверхность R'',
получаемую из R удалением точки z = С. На этой поверхности
имеется более р линейно независимых ковариант /, которые (на R')
удовлетворяют условиям п. 10.42. Кроме р линейно независимых
ковариант fv . . ., fp первого рода на R, элемент пространства А
на R' определяет, например, каждая коварианта второго рода на R,
имеющая полюс в точке z = С.
Это элементарное замечание показывает, что сохранение основ
классической теории возможно только при наложении на кова-
рианты / некоторых ограничений, которые так регуляризуют пове-
поведение / в окрестности идеальной границы Г, что достигается тре-
требуемое согласие с классической теорией. Например, для случая
поверхности с выколотой точкой из этих добавочных условий должна
следовать устранимость особенности в точке г = С и, следовательно,
регулярная продолжаемость ковариант / на R.
10.44. Такое естественное конформно инвариантное ограничение
состоит в требовании интегрируемости с квадратом коварианты /
(ср. мою работу [3]):
Интеграл Дирихле от f no всей поверхности R должен быть
конечен, т. е.
ff\f\*dxdy <оо.
Определенный таким образом подкласс А ковариант снова является
линейным пространством.

ГЛ. X. ОТКРЫТЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
10.45. Гильбертово пространство Н. В предыдущем исследо-
исследовании мы уже неоднократно использовали конформно инвариантный
интеграл Дирихле в качестве квадрата нормы ||/|| коварианты /.
Эта идея имеет важное значение для систематического построения
теории абелевых интегралов первого рода. Итак, в дальнейшем мы
рассматриваем подпространство А ковариант с конечной нормой и
определяем здесь произведение двух ковариант как интеграл
(A- f.2) =
R
Тогда норма ||/|| определяется как положительный квадратный
корень из
Абсолютная сходимость интеграла, определяющего произведение,
следует из конечности норм сомножителей, в силу неравенства
Буняковского — Шварца
КА. /2)!<11Л11 • ИЛИ1).
ив которого также следует неравенство треугольника
11Л+/9К11ЛИ + Ш|.
Метризованное таким образом подпространство А, которое
будет предметом нашего дальнейшего исследования, мы обозначим
через Н.
10.46. Полнота пространства Н. Чтобы показать, что Н есть
гильбертово пространство, нам нужно еще доказать, что Н сепа-
рабельно и полно.
Полнота означает справедливость критерия Коши для сходимости
„по норме": если fv /2, ...—бесконечная последовательность эле-
элементов из Н, для которой при любом е > 0 существует такое и = га„
что
Wfn+p—/»||<« Д^ n>nt, p>0, A0.22)
то существует предельный элемент
принадлежащий Яа).
1) Равенство здесь стоит только тогда, когда /j и /2 линейно зависимы.
2) Обычное определение полноты требует, чтобы из A0.22) следовало
существование элемента /g И, такого, что ||/—/ге||-»-0 при л->оо. В тек-
тексте доказывается равномерная сходимость /„ (по компактным подобластям
GdR) к элементу /6 Н; отсюда легко следует сходимость /п к / по
норме. — Прим. перев.

9 6. АБЕЛЕВЫ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА 377
Это свойство играло уже важную роль в исследованиях гл. IX.
Ввиду его значения, мы хотим еще коротко остановиться на его
доказательстве при сделанных общих предположениях.
10.47. В качестве леммы используется теорема Бибербаха о пло-
площадях (ср. п. 9.21): если F(z) — регулярная аналитическая функция
в круге |г|<1, то для производной f(z) = F'{z) справедливо
неравенство
ДЛЯ | Z |< Г < 1.
Следовательно, если имеет место A0.22), то в любом параметри-
параметрическом круге | z | < г < 1
Так как любую компактную часть О поверхности R можно покрыть
конечным числом параметрических кругов, то отсюда вытекает, что
для последовательности /„ выполняется обычный критерий сходи-
сходимости Коши. Следовательно, она сходится к величине
/(*) = lim fn(z),
являющейся регулярной аналитической ковариантой на поверхности R.
Далее*), для фиксированного п > л, имеем
11/11в<11/»11о+11/-/»Но<11/«11в+ lim И/,*, —/Я||о<||/Л-И,
J3->oo
а так как это имеет место для каждой компактной части GczR, то и
Следовательно, норма / конечна и / принадлежит пространству Н.
Этим полнота пространства Н доказана.
10.48. Сепарабельность. Сепарабельность пространства озна-
означает, что оно имеет счетное всюду плотное множество элементов.
Это свойство также можно было бы доказать для Н прямо, исполь-
используя аналитичность элементов /. Однако мы здесь заметим, что сепа-
сепарабельность Я непосредственно следует из теоремы Фишера — Рисса.
Согласно этой теореме, система всех функций, определенных в не-
некоторой области R и интегрируемых по Лебегу на этой области
вместе со своими квадратами, образует гильбертово, поэтому,
!) Как и раньше, мы обозначаем через \\f\\g интеграл Дирихле от / по
области О.

378 ГЛ. X. ОТКРЫТЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
в частности, и сепарабельное пространство. Следовательно,если вместо
аналитических ковариант / рассматривать более общее множество всех
комплекснозначных ковариант на R, интегрируемых по Лебегу на R
вместе со своими квадратами, то это множество сепарабельно. Но
подпространство сепарабельного метрического пространства само
сепарабельно.
10.49. Ортогональные системы. По предыдущему, существует
последовательность ковариант, всюду плотная в пространстве И.
Ортогонализируя эту последовательность по методу Шмидта 1), полу-
получаем ортонормированный базис
/l> /э> ¦ • • > /п (/<• fk) ~ §ik>
пространства Н.
Каждая коварианта /?# может быть одним и только одним спо-
способом разложена в ряд по элементам базиса (/п):
/=2с»/«. с» = (/./«)• (Ю.23)
и
Этот ряд сходится не только по норме, но, согласно п. 10.47, даже
в обычном смысле, и притом равномерно на каждой компактной
части О пространства R.
Сумма квадратов модулей коэффициентов
равна квадрату ||/||2 нормы /.
Обратно, каждый ряд A0.23) со сходящейся суммой квадратов
модулей коэффициентов определяет элемент /, норма которого равна
квадратному корню из этой суммы. Следовательно, формула A0.23)
при условии
S
дает совокупность всех элементов пространства Н.
С помощью унитарных преобразований
»< = Ц
к
где _
2 aihakh — ^>ik<
h
получаем совокупность всех ортонормированных базисов про-
пространства Н 2).
!) Тривиальный случай Н=0 мы здесь исключаем; в дальнейшем мы
еще вернемся к соответствующему ему классу поверхностей.
2) Доказательство этого известного факта из общей теории ортогональ-
ортогональных систем читатель может найти в соответствующей литературе.

§ 6. АБЕЛЕВЫ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА 379
Позднее мы еще исследуем подробнее взаимосвязь между числом
элементов базиса и топологическими свойствами поверхности R. При
этом, в частности, получится, что для замкнутой поверхности R
с выколотой точкой это число конечно и равно роду р поверх-
поверхности R. Построенный выше базис совпадает тогда с системой,
рассмотренной в гл. V, и пространство Н в этом частном случае
действительно совпадает с пространством классических абелевых
ковариант, что выше было уже выставлено в качестве требования
к обобщенной теории.
10.50. Бергманова билинейная форма. Бергман |1*] и Бох-
нер [1] ввели в теорию аналитических ортогональных систем били-
билинейную форму, имеющую важное значение для теории таких систем.
Эта форма получается в результате решения следующей задачи.
Пусть I — произвольная точка поверхности R. Требуется
найти коварианту «(г, С) переменной z, которая принадлежит
пространству Н и устроена так, что для каждой коварианты
/? Н значение /(С) при фиксированном выборе локального пара-
параметра точки г, равно скалярному произведению f и в:
Решение этого интегрального уравнения легко получается при-
применением следующей известной теоремы из общей теории линейных
операторов х): если /.(/)— ограниченный линейный функционал,
определенный на гильбертовом пространстве:
I М/)| ^ МЦ/11 (М — конечная постоянная),
то существует один и только один элемент g из Н, такой, что а)
Если положить /.(/) =/(С), то L будет линейным функциона-
функционалом от /, ограниченным в силу теоремы Бибербаха о площадях.
Следовательно, для каждой точки С и соответствующего локального
параметра действительно существует один и только один элемент
<o(z, С)?Я, такой, что
= (/. ?)•
!) Мы следуем здесь методу Лехто [1J; им было показано, что этот
.метод ведет к бергмановои форме и при более общих условиях, чем здесь
предположенные.
2) Единственность g очевидна. Для определения g рассматривают под-
подпространство, на котором Z,(/) = 0. Если оно совпадает со всем простран-
пространством, то g = 0; если же нет, то
s ЦАП» '
где пфО — элемент из Н, ортогональный к подпространству, на котором
/.(/) = О [см. Ахиезер и Глазман [1**1, п. 1&, — Прим. перев.]

380 ГЛ. X. ОТКРЫТЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
Пусть теперь ft(z), f2(z), ...—полная ортонормированная си-
система пространства Н. Тогда коэффициенты Фурье элемента <s(z, С)
по этой системе равны
с„ = (<р, /„) = (/„, ?)=/„(С) (я=1, 2, ...).
Поэтому
Следовательно, этот ряд, „ядро" *), сходится равномерно в каждой
компактной части G поверхности R и
= ||<s||2<oo. A0.25)
n
Бергманова форма удовлетворяет соотношению симметрии
о (г, С) = ч» (С, z).
Следовательно, <р(,г, ?) является ковариантой пространства Н отно-
относительно сопряженного значения параметра ?.
Заметим, что, в силу единственности <р, суммы A0.24) и A0.25)
не зависят от выбора базиса (/„).
10.51. Экстремальное свойство ядра. Введенная Бергманом и
Бохнером коварианта обладает следующим важным минимальным
свойством:
Среди всех ковариант f(z) пространства Н, которые в задан-
заданной точке z = С {при фиксированном выборе локального пара-
параметра z) удовлетворяют условию /@ = 1, коварианта
JoKZ, ч>- 9(С> С) - и||2
имеет наименьшую норму.
Доказательство. Из основного свойства ядра «р(г, С) сле-
следует, по неравенству Буняковского — Шварца, что
поэтому
И/о11< 11/11.
что и требовалось доказать.
Равенство ||/0|1 = ||/|| возможно только при наличии линейной зави-
зависимости между /0 и /, откуда, учитывая условие / = /0 = 1 для г=ч,
следует, что /=/0-
1) Бергман называет эту форму „ядерной функцией" (Kernfunktion);
учитывая ковариантный характер формы, пожалуй, предпочтительнее назы-
называть ее ядром.

8 6. АВЕЛЕВЫ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА 381
Замечание. Предыдущая задача, очевидно, предполагает, что
пространство Н не сводится к нулевому элементу; этот исключи-
исключительный случай действительно возможен: например, он имеет место
для каждой замкнутой поверхности рода нуль. Мы дальше (§ 8)
увидим, что класс поверхностей R рода нуль, для которых Н есть
нулевое пространство, совпадает с классом поверхностей, подобных
однолистным, у которых емкость границы равна нулю.
10.52. Размах. Предыдущая экстремальная теорема указывает на
ее связь с минимальным свойством п. 9.37, имеющим место для по-
поверхностей R, подобных однолистным. И действительно, это послед-
последнее свойство непосредственно следует из теоремы п. 10.51. Для
того, чтобы в этом убедиться, рассмотрим для произвольной поверх-
поверхности R, подобной однолистным, вместо гильбертова пространства всех
интегрируемых с квадратом ковариант подпространство Нх тех из этих
ковариант, которые являются полными, т. е. у которых интегралы
Fz= Г fdz однозначны на R. Это подпространство замкнуто1) и, сле-
следовательно, само является гильбертовым пространством. Поэтому
к нему непосредственно применимы результаты п. 10.51. Отсюда
заключаем, что образованная с помощью полной ортонормированной
системы ft fn, ... пространства Ht билинейная форма
разделенная на <р(С, С), имеет наименьшую норму среди всех кова-
ковариант / пространства Ht, удовлетворяющих условию /(С) = 1
в точке z = С; это предполагает, что Ht не есть нулевое про-
пространство, т. е. что HL содержит хотя бы одну коварианту /фО.
Для минимума имеем тогда значение
Нт-1!! = (S I/» (t) | a)-v«.
п
Сравнение с теоремой о минимуме п. 9.37 показывает, что ко-
варианта wp(z, С) совпадает с экстремальной ковариантой п. 9.37
и что размах s(C) поверхности R имеет значение
Следовательно, подобные однолистным поверхности R с нулевым
размахом — это те и только те поверхности, для которых подпро-
!) Действительно, если <р„ — сходящаяся последовательность полных
дифференциалов, уп-*¦<?, то I fdz = 0 вдоль каждого 1-цикла и поэтому
Ч — также полный дифференциал; в самом деле, коварианта полна тогда и
только тогда, когда ее интеграл равен нулю вдоль каждого 1-цикла.

382 ГЛ. X. ОТКРЫТЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
странство полных дифференциалов с конечной нормой содержит
только нулевой элемент / = 0. Поверхности, подобные однолистным,
с нулевой границей образуют правильную часть множества поверх-
поверхностей с нулевым размахом.
10.53. Метрика Бергмана. Если пространство И не есть нулевое
пространство, норма
является неотрицательной ковариантной величиной; поэтому она при-
пригодна для введения римановой метрики на поверхности /?. Инвариант-
Инвариантный дифференциал
мы определяем вместе с Бергманом [1*] как „длину" элемента
дуги dz.
10.54. Между метрикой Бергмана и рассмотренной в п. 7.4
метрикой Пуанкаре имеется следующее соотношение (Бергман [1*1):
Для односвязной римановой поверхности гиперболического
типа обе метрики совпадают.
Доказательство. Так как и в метрике Пуанкаре, и в ме-
метрике Бергмана длина дуги rfa, соответственно d-z, инвариантна отно-
относительно конформных отображений, то, по теореме Римана об ото-
отображении, доказательство достаточно провести для случая, когда R
есть единичный круг E(\z\<_ 1). Множество всех функций, анали-
аналитических в Е, строится с помощью степеней zn (п = 0, 1, . . .).
Полагая
получаем ортонормированный (в смысле метрики пространства Н)
базис пространства Н:
(U /*) = »«.
Тогда бергманово ядро есть
и мы имеем
I г I
Но это (с точностью до множителя —-?=, который не играет
у*
существенной роли) —линейный элемент в метрике Пуанкаре. Кри-
Кривизна в этом случае постоянна и отрицательна ( = — 4я).

5 Й. АВВЛЁВЫ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА
10.SS. Теперь мы рассмотрим совершенно произвольную рима-
нову поверхность, для которой пространство не вырождается в ну-
нулевое пространство (см. пп. 10.49 и 10.51). Для кривизны К имеем
выражение
\dz\)
Если здесь написать
^)9=2'•
то, согласно формуле (см. п. 3.9)
Аи = 4-
дг-дг
и соотношению df/dz = 0 для аналитической функции от z, полу-
получаем для К выражение1) (Бергман [1*])
Но, по тождеству Лагранжа, числитель здесь равен
<, ft
следовательно,
Итак, кривизна метрики Бергмана неположительна.
Нулю она равна в том и только в том случае, если
dln/, = dln/fc (i, k=\, 2, ...);
но это имеет место тогда и только тогда, когда отношение/х :/2 : ...
постоянно. Так как ортонормированные коварианты /„ линейно неза-
!) Здесь положено /n = dfjdz. Абсолютная сходимость следующих ря-
рядов получается из сходимости ряда 21 /»I2- Если z — заданная точка, то рас-
рассматриваем некоторый параметрический ее круг К и образуем двойной инте-
интеграл &того рода по К- Тогда применение теоремы Бибербаха о площадях
к каждому члену показывает, что ряды 2 I fi? la> образованные с помощью
п
производных /^ от ковариант /и> сходятся для каждого \.

384 ГЛ. X. ОТКРЫТЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЁР.ЧНОСГИ
висимы, то в этом случае базис (/и) состоит из одного-единственного
элемента ft и все пространство Н образовано ковариантами / = АД,
где А— постоянная. Если /? — замкнутая поверхность, то отсюда
следует, что ее род р = 1. И действительно, для поверхности тора
метрика Бергмана имеет нулевую кривизну. Если R— открытая
поверхность, то, как мы увидим (см. п. 10.86), ее род снова равен 1
и идеальная граница есть нулевая граница. Следовательно, соответ-
соответствующая геометрия тогда евклидова.
Другой экстремальный случай представляют односвязные поверх-
поверхности R гиперболического типа. Как было показано в п. 10.54, в этом
случае метрика Бергмана совпадает с метрикой Пуанкаре и соответ-
соответствующая геометрия на R гиперболична.
§ 7. ПОДПРОСТРАНСТВА ИНТЕГРИРУЕМЫХ
С КВАДРАТАМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ
10.56. Разложение пространства Я. Рассмотренное в предыду-
предыдущем параграфе линейное пространство интегрируемых с квадратами
абелевых ковариант /, превращенное в гильбертово пространство
путем введения в качестве нормы квадратного корня из интеграла
Дирихле, будет теперь разложено на некоторые важные подпро-
подпространства 1).
Во-первых, рассмотрим множество [/] тех ковариант из Н, кото-
которые полни, т. е. для которых интегралы F— Г fdz на заданной
поверхности R однозначны, так что, следовательно, все их периоды
равны нулю. Вместе с бесконечным множеством этих ковариант
к множеству [/] принадлежат и их предельные (в смысле тополо-
топологии Н, определяемой нормой) элементы. В силу замкнутости, мно-
множество [/] снова является гильбертовым пространством (ср. п. 10.48).
Во-вторых, рассмотрим множество всех элементов, ортогональ-
ортогональных к [/]; они также образуют замкнутое гильбертово подпростран-
подпространство Н' пространства Н. За исключением нулевого элемента / = 0,
коварианты этого ортогонального дополнения [/] уже не полны.
Теперь мы разлагаем дополнение Н', выделяя множество [ср]
ковариант из Н, которые ортогональны к полным ковариантам [/] и
удовлетворяют дополнительному условию, состоящему в том, что инте-
интеграл Ф= Г fdz вдоль путей, разбивающих R, равен нулю. Мно-
*) В связи с последующим исследованием укажем на работу Вирта-
нена [2], где теоремы разложения мы находим в несколько ином представ-
представлении. Доказательства Виртанена основаны на применении бергмановой били-
билинейной формы. Относительно' частных случаев поверхностей с нулевой
границей и сингулярных поверхностей ср. мою работу [3], а также работу
Альфорса [1].

§ 7. ПРОСТРАНСТВА ИНТЕГРИРУЕМЫХ С КВАДРАТАМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ 385
жество [ф] замкнуто, следовательно, также является гильбертовым
пространством.
Наконец, пусть [<}]— множество всех ковариант из Н, ортого-
ортогональных к [/] и [ф].
С помощью этих трех попарно ортогональных „осей" [/], [<р],
Щ пространства Н каждую коварианту поверхности R можно един-
единственным образом представить в виде суммы /+<p + ty, члены кото-
которой означают проекции данной коварианты на три указанные оси.
В дальнейшем мы хотим это разложение Н получить конструк-
конструктивно, путем представления подпространств [ф] и Щ с помощью не-
некоторых систем нормальных ковариант.
10.57. Системы образующих группы гомологии. Для дальней-
дальнейшего мы нуждаемся в системе образующих (fv) группы гомологии
римановой поверхности R, обладающей таким частным свойством:
В каждом классе гомологии (if,) имеется простой {не имею-
имеющий двойных точек) путь („циклическое сечение"—Riickkehr-
schnltt) -у/).
Такой системой является, например, множество всех классов
гомологии (f) поверхности R, которые содержат циклическое сече-
сечение f- В самом деле, если исчерпывать R с помощью монотонной
последовательности компактных на ней поверхностей Rn с краем, то
каждый цикл z содержится в Rn, начиная с некоторого и, и, сле-
следовательно, гомологичен линейной комбинации соответствующих ка-
канонических разрезов а", Ь" и граничных контуров с". Множества
соответствующих классов гомологии порождают тогда уже всю группу
гомологии.
10.58. Пусть (f.,) — система образующих указанного выше вида.
Среди классов (f,) мы выделяем теперь множество тех классов,
которые содержат циклические сечения, разбивающие поверхность.
Тогда, по лемме, которая будет доказана в п. 10.59, каждое сече-
сечение такого класса разбивает R; поэтому имеет смысл говорить
о разбивающих классах (fv)- Эти классы мы обозначаем через (J3);
к ним, во всяком случае, принадлежит класс путей, гомологичных
нулю. Остающиеся „неразбивающие" классы (f4) мы обозначаем
через (а). Для поверхностей R, подобных однолистным (и только
для них), это множество пусто.
Рассмотрим в качестве простого примера поверхность с краем
рода р. За (Р) в этом случае (после удаления граничных контуров)
можно принять классы гомологии граничных контуров, а за (а) —
классы канонических сечений.
1) Не будет ограничением общности предположение, что циклические
сечения кусочно-аналитичны; ниже мы будем это предполагать.
25 Зак. 295. Р. Неванлиниа

386 ' ГЛ. X. ОТКРЫТЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
10.59. Теперь докажем использованную выше лемму.
Лемма. Пусть f и ?' — два гомологичных сечения на поверх-
поверхности R. Если путь -у не разбивает поверхность, то путь к'
также ее не разбивает.
Для доказательства сначала покажем, что не разбивающий путь if
не разбивает также каждую достаточно большую компактную по-
поверхность с краем R* с R. В самом деле, пусть Р — точка на f.
В соответствующей параметрической окрестности мы выбираем две
точки Р1 и Р.2 на различных сторонах пути f (относительно этой
окрестности). По предположению, на R имеется тогда путь РХР3,
соединяющий Pt и Р.3 и не встречающий путь f. Пусть теперь R*—
компактная поверхность с краем на R, которая содержит f и PtPv
Тогда f не разбивает R*. Для того, чтобы это доказать, нужно по-
показать, что всякие две точки Qt и Q3 поверхности R*, не лежащие
на f> можно соединить на R* путем w, который не пересекается
с f. Но каждая точка Q?R* может быть соединена либо с Pv
либо с Р.2 путем, не встречающим f. Если, например, точка Qt может
быть таким образом соединена с Pt путем QtPt и если Q.2P., (^=1. 2)—
подобный же путь для пары Q.2, Р.„ то QiPjQ^ для v=l и QxP^Qi
для ч = 2 есть путь на R*, соединяющий Qt и Q^ и не встречающий
путь у, следовательно, -у не разбивает поверхность R*.
Чтобы теперь доказать лемму, возьмем поверхность R*, кото-
которую -у также не разбивает, столь большой, что гомология -у.— Y
имеет место уже на R*. По лемме п. 10.21), циклическое сечение f
не гомологично никакой линейной комбинации граничных контуров
R*, следовательно, то же самое справедливо для пути f'. Следова-
Следовательно, по той же лемме п. 10.2, он не разбивает поверхность R*.
Тогда Y не разбивает и объемлющей поверхности R, что и требо-
требовалось доказать.
10.60. Нера?бивающие пути. Потенциалы иа. Теперь мы из
каждого неразбивающего класса (а) выбираем кусочно-аналитический
путь а, не имеющий двойных точек, и строим, согласно п. 10.35,
соответствующий нормальный потенциал иЛ первого рода, однозначно
определенный следующими условиями:
1. «„ однозначен и гармоничен на поверхности R с разрезом
вдоль а.
2. При переходе через циклическое сечение а потенциал иЛ испы-
испытывает скачок, равный 1.
3. Если Ro — компактная часть R, содержащая а, то ал на допол-
дополнительной части R — Ro поверхности удовлетворяет нормирующему
условию A0.1) п. 10.14.
1) Всегда можно указать триангуляцию поверхности R, в которой за-
заданный (кусочно-аналитический) путь является симплициальным путем. По-
Поэтому лемма п. 10.2 применима. .

S 7. ПРОСТРАНСТВА ИНТЕГРИРУЕМЫХ С КВАДРАТАМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ 387
Согласно п. 10.23, интеграл Дирихле дифференциала йал коне-
конечен; следовательно, если к йил добавить сопряженный дифференциал
du'a, то йил-\-1йал будет дифференциалом пространства И.
10.61. Разбивающие пути. Пусть теперь C)— разбивающий
класс и р—кусочно аналитическиЧ путь из этого класса, не имею-
имеющий двойных точек. Пусть R^ и R$ означают соответствующие вза-
взаимно дополнительные части R. Нас интересует тот случай, когда /?р
и /?3 обе некомпактны. Тогда, кроме общей граничной части [3,
они имеют еще идеальные граничные компоненты Г? и соответст-
соответственно Гр, которые вместе образуют всю идеальную границу Г поверх-
поверхности R. В нижеследующем исследовании учитывается, понятно, и
тот (тривиальный) случай, когда область R^ или R$ компактна и,
следовательно, идеальная граница Г?, соответственно Г^, отсутст-
отсутствует.
10.62. Потенциалы щ. Каждому разбивающему циклу C мы ста-
ставим в соответствие гармоническую функцию Ир с помощью следую-
следующего построения.
Аппроксимируем R$ и /?р двумя последовательностями компакт-
компактных областей Rn, Rn (я=1, 2, ...; R4cRn+i-+ R? и fl^ctf^1-»-
-»-/?р), для которых C является общей граничной кривой. Дополни-
Дополнительные к р части границы Rn и Rn пусть будут соответственно Ги
и Г_„ (и=1, 2, ...).
Пусть тогда Rmn означает ту (ограниченную Гт и Г_и) компакт-
компактную часть R, которая получается соединением Rm и Rn вдоль C.
Рассмотрим гармоническую меру штп Тт относительно Rmn, т. е. ту
гармоническую функцию на Rmn, которая однозначно определена
граничными значениями 1 на Тт и 0 на Г_и. Повторением уже мно-
многократно применявшегося предельного перехода (принцип Харнака)
докажем сначала, что ®тп при »—»-оо сходится к некоторой пре-
предельной функции <um, которая есть не что иное, как определенная
в п. 10.8 гармоническая мера кривой Гто относительно некомпактной
области Rm= Hm Rmn, ограниченной Гт и идеальной граничной
_ П->00
компонентой Гр. Устремляя теперь т к оо и еще раз применяя прин-
принцип Харнака, найдем, что шт стремится к пределу
ал(г)= lim шт~ lim lim <ат„,
представляющему собой ограниченную гармоническую функцию
@<^Ир^1) на заданной поверхности R; Ир принимается за гармо-
гармоническую меру граничной компоненты Гр относительно R.
25*

388 ГЛ. X. ОТКРЫТЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
Согласно п. 10.21, каждая функция <о„ в /?, (v <;») является
нормированной, и то же самое справедливо тогда для предельной
функции в каждой области й„ и в частности в R$.
10.63. Теперь мы различаем два основных случая, соответственно
тому, равна ли нулю или положительна гармоническая мера гранич-
граничной компоненты Гэ относительно /?р.
В первом случае <отза1 в Rm (т — 1, 2, ...), следовательно, и
«pss 1.
Во втором случае имеет место теорема:
Гармоническая мера граничной компоненты Гр относительно R$
равна нулю тогда и только тогда, когда «э есть постоянная, притом
равная нулю.
В самом деле, если мы сначала предположим, что гармоническая
мера Гр относительно /?? равна нулю, то, согласно п. 10.12, в /?р
будет справедлив принцип максимума, и так как функция ил в R$
является нормированной, то для нее этот принцип справедлив и
в R$. Следовательно, потенциал м? на кривой C достигает макси-
максимума, и поэтому Ир есть постоянная. Но, так как ар — нормирован-
нормированное решение на поверхности R$ с положительной граничной ком-
компонентой Гр, то (ср. п. 10.28) йрн=0.
Если, напротив, гармоническая мера ш граничной компоненты Г$
относительно R$ положительна, то, по принципу максимума,
wmn>w в пересечении R$Rmn, откуда вытекает, что и?>-а> в R$.
Следовательно, в силу того, что <о > 0, потенциал щ также поло-
положителен и, в силу нормированности в /?3, обязательно отличен от
постоянной. Этим теорема доказана.
10.64. В итоге имеем, следовательно, такой результат: потен-
потенциал Ир тогда и только тогда есть постоянная, когда хотя бы одна
из гармонических мер ш и <о граничных компонент Гр и Гр относи-
относительно областей /?р, соответственно /?э, равна нулю.
Обе меры » и <о одновременно равны нулю тогда и только тогда,
когда вся поверхность /? =/?р +/?р + [3 имеет нулевую границу.
В самом деле, если R имеет нулевую границу, то (по принципу
максимума) как да, так и <о мажорируются гармонической мерой <о0
любой фиксированной (не замкнутой дуги) ро, принадлежащей р,
относительно поверхности R — C0, и эта мера о>0=э0, откуда сле-
следует, что <о = ш = 0.
Обратно, если ш = (»==0, то из обобщенного принципа макси-
максимума п. 10.12 вытекает, что каждая ограниченная гармоническая
функция на R достигает там максимума и, следовательно, есть по-

8 7. ПРОСТРАНСТВА ИНТЕГРИРУЕМЫХ С КВАДРАТАМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ 389
стоянная. Поверхность R не может тогда иметь конечной функции
Грина и, следовательно, имеет нулевую границу.
10.65. Для дальнейшего важно еще такое замечание. Меняя
ролями области /?3 и /?р, приходим к построению „гармонической
меры" Ир граничной компоненты Гр относительно поверхности R.
Если исключить случай, когда R имеет нулевую границу, то
up + up'sssl. A0.26)
В самом деле, это соотношение имеет место для определенных в Rmn
аппроксимирующих функций, которые при т, п. -*¦ оо сходятся к по-
потенциалам йр и йр. Если проследить за этим предельным переходом
указанным в п. 10.62 образом, то в случае, когда R не есть по-
поверхность с нулевой границей (тогда йр = Ир за 1), устанавливается
справедливость соотношения п. 10.261).
10.66. Дифференциалы d/p = dap-}-/ dap, где Ир и «р — сопря-
сопряженные гармонические функции, интегрируемы с квадратом на R.
В самом деле, в силу соотношения A0.26), имеем du$ = —dap,
grad ир | = |grad«p |, и_так как а? является нормированной гармони-
гармонической функцией на Rp, а и? — на /?р, то, в силу A0.7), имеем
(учитывая направление обхода C в криволинейных интегралах)
[ [|grada3|2djtd.y = f J \grnuu<i\idxdy-{-§ J |gradap \*dxdy =
= f йр du'& — f up dap = J du'p
? P P
что и доказывает утверждение.
!) Для построения гармонической меры Ир (соответственно Ир = 1 — Ир)
в случае поверхности /? с положительной границей напрашиваются и другие
методы. Один из них состоит в применении альтернирующего метода п. 10.29,
причем нужно принять кривую р в качестве сечения f и положить «оЗО
(ср. Бадер [1]). Другой метод получается из теории униформизации (ср. § 5
гл. X). Если конформно отобразить универсальную поверхность наложе-
наложения /? поверхности /? на единичный круг |f|<l, то граничные точки
"|f| = l распадаются на два (линейно) измеримых множества точек fi и fa
так, что точка P(t) поверхности /?, соответствующая некоторой точке t
C(U|< О. при радиальном приближении t к точке fi стремится к Гр, вто
: время как fa таким же образом соответствует граничной компоненте Г«-
^Дополнительное к fi + Тз множество точек на 111 = 1 имеет (линейную)
меру нуль. Потенциалы up и up определяются тогда с помощью интегралов
Пуассона (t = rei<f):
- 1 Г 1— г* м ~ -1 С
uV~2t:J 1+/-3—2rcosF—ч-) ' M?~2nJ
т»

390 гл. х. открытые римановы поверхности
10.67. Пространство (/«, /р]. Теперь с помощью дифференциалов
мы строим (замкнутое) пространство [/„, /р) и доказываем следую-
следующую теорему:
Пространство [/«, /р] есть ортогональное дополнение Н' к про-
пространству [/] полных ковариант.
Для доказательства нужно показать, что выполнение условий
(/. /«) = // fh d**У = 0, (/, /„) = J f //, dxdy = 0 A0.27)
л л
// J
л л
для каждого к и р необходимо и достаточно для того, чтобы инте-
интегрируемая с квадратом коварианта / была полной. Чтобы в этом
убедиться, запишем fdz = da~\-idu' = dF и применим A0.8) к по-
потенциалу иа, однозначному и нормированному на поверхности /?«,
полученной из R проведением разреза вдоль а. Тогда будем иметь
(fa,f) = t f a.dF, A0.28)
где интегрирование производится по обоим берегам а.' и а" сечения а
в положительном направлении относительно поверхности /?а. Если
учесть, что значения иЛ на этих берегах отличаются на постоянную,
равную 1, то отсюда, далее, вытекает, что
(Л. f) =
Следовательно, первое условие ортогональности A0.27) необхо-
необходимо и достаточно для того, чтобы период F= Г fdz вдоль а был
равен нулю:
jfdz — O. A0.29)
10.68. Теперь мы выбираем произвольную коварианту /^; так как
действительная часть Ир интеграла F$ = Г /р dz = Ир -)- /а' есть нор-
нормированная гармоническая функция на R$, то, в силу A0.8), имеем
J j

8 7. ПРОСТРАНСТВА ИНТЕГРИРУЕМЫХ С КВАДРАТАМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ 391
и, повторяя те же рассуждения для Ир = 1—м? на /?р, получаем
Криволинейные интегралы вдоль A берутся в положительном на-
направлении относительно R?, соответственно Rp, следовательно, в про-
противоположных направлениях. Вычитая обе формулы почленно, получаем
й 9
следовательно, второе условие ортогональности A0.27) эквивалентно
тому, что
jF = O. A0.30)
Таким образом, для того, чтобы коварианта / была ортогональна
к ковариантам /„ и /р, необходимо и достаточно, чтобы все периоды
A0.29) и A0.30) равнялись нулю. Так как (а, Р)— система обра-
образующих группы гомологии поверхности R, то последнее условие
равносильно тому, что все периоды интеграла F равны нулю. Этим
показано, что пространство [/„, /р], порожденное ковариантами./„ и fp
и пространство [/] полных интегрируемых с квадратом ковариант
являются ортогональными дополнениями друг друга, что и требова-
требовалось доказать.
10.69. Разложение пространства [/а, f$\. Согласно п. 10.56,
нам нужно сейчас выделить в пространстве [fa, fo] подпространство [<р]
тех ковариант, периоды которых равны нулю вдоль всех путей, раз-
разбивающих поверхность R. Для ортогонального дополнения [>)] под-
подпространства [<р] относительно [/а, /р] справедлива следующая тео-
теорема:
Ортогональное дополнение [^] подпространства [<р] порождается
ковариантами [/р].
Доказательство. Пусть / — произвольная коварианта про-
пространства Н. Тогда, согласно п. 10.68, обращение в нуль периодов
A0.30) интеграла F= Г y_dz на каждом пути C необходимо и до-
достаточно для того, чтобы х была ортогональна ко всем ковариантам /р.
Но, так как пути C порождают все пути, разбивающие R, то это
равносильно тому, что периоды ^ обращаются в нуль вдоль каждого
разбивающего пути. Следовательно, ортогональное дополнение к |/р]
есть пространство [/] + [<?]• Но это означает, что пространство [/р]
есть ортогональное дополнение к пространству, образованному [<р] и [/].

392 гл. х. открытые римановы поверхности
10.70. Заключение. Итак, мы нашли следующее соотношение
между тремя дополнительными пространствами [/], [<р] и [ty], с одной
стороны, и ковариантами /„, f$, с другой:
1. Пространство [^] порождается ковариантами (/р).
2. Ортогональное дополнение пространства [<Ъ] — [/р], образованное
всеми интегрируемыми с квадратами ковариантами, периоды которых
вдоль всех разбивающих путей равны нулю, распадается на два орто-
ортогональных дополнения [/] и [<р]; первые коварианты — полные, вто-
вторые— неполные. Последнее пространство, [»],¦ порождается „норма-
„нормалями" векторов /в к пространству Щ = [/р], т. е. ковариантами
/«? = /« —Vp. <10-31)
где
*э = Т7]Г или =0>
в зависимости от того, /р^О или /р = 0. Член л„р/р дает при этом
проекцию /а на /р.
10.71. Поверхности конечного рода. Для открытой поверхно-
поверхности R конечного рода р образующая система (а), (^) может быть
представлена особенно наглядным образом. Этот случай приводит
к интересным результатам относительно разложения [Я-ЫтИ-ВД.
о котором говорилось выше, поэтому мы более подробно исследуем
этот класс поверхностей, которые могут быть наглядно представлены
с помощью пространственных моделей п. 10.5 с конечным числом
„колец" и некоторыми (в общем случае бесконечно разветвленными)
„концами, подобными однолистным".
. 10.72. Система л, р. Для того, чтобы для произвольной откры-
открытой поверхности R конечного рода р построить образующую си-
систему а, {3, мы докажем сначала следующее утверждение.
Если R исчерпывается монотонной последовательностью компакт-
компактных поверхностей Rn с краем, то для достаточно большого и каж-
каждый граничный контур с поверхности Rn разбивает поверхность R.
Для доказательства заметим, что (см. п. 10.4) род рп поверх-
поверхности Rn, начиная с некоторого и, равен р. Пусть п настолько велико,
что рп=р. Чтобы теперь показать, что каждый граничный контур с
поверхности Rn разбивает R, достаточно показать, что каждый та-
такой контур разбивает /?т(т>и). Дополнение Rm — Rn состоит из
некоторых поверхностей, которые, согласно лемме, доказываемой
в п. 10.74, все рода нуль и примыкают каждая к поверхности Rn
в точности вдоль одного граничного контура. Пусть с — произволь-
произвольный такой контур. Так как примыкающая к нему поверхность до-
дополнения Rm — Rn рода нуль, то с гомологичен сумме остальных
граничных контуров этой поверхности. Но все они являются также
граничными контурами Rm; следовательно, контур с гомологичен ли-

8 7. ПРОСТРАНСТВА ИНТЕГРИРУЕМЫХ С КВАДРАТАМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ J93
нейной комбинации граничных контуров Rm и поэтому, согласно
лемме п. 10.2, разбивает Rm. что и требовалось доказать.
10.73. Мы переходим теперь к построению образующей системы а, р.
Для этого начнем исчерпание R с поверхности Rv уже имеющей
род р. Тогда в качестве кривых а возьмем каноническую систему
а„ ?N(\=1, ..... р) поверхности Rv а в качестве кривых ?3 — все
граничные контуры Rt вместе со всеми граничными контурами сле-
следующих поверхностей Rm последовательности, исчерпывающей R.
Согласно п. 10.72, соответртвующие классы (J3) являются разбиваю-
разбивающими классами R. Напротив, классы (а) — неразбивающие, так как
канонический разрез а,,, соответственно Ь.„ не разбивает даже Rv
Далее, классы (а) и (J3) вместе порождают всю группу гомологии
поверхности R. В самом деле, если г — произвольный цикл на R и
он лежит уже на Rv то он является линейной комбинацией а и гра-
граничных контуров р поверхности Rv Если же цикл г не лежит на Rv
то пусть т настолько велико, что г лежит на Rm. По лемме п. 10.74,
дополнение Rm — Rt распадается на непересекающиеся поверхности Ач
рода нуль, каждая из которых имеет в точности один общий с Rt
граничный контур. Следовательно, цикл z может быть записан в виде
,,, где z' лежит на Rv а г., — на Ач. Так как Ач —^
нуль, то zv гомологичен линейной комбинации ее граничных конту-
контуров. Но каждый такой контур есть граничный контур Rt или /?,„,
и тем самым доказательство сведено к уже рассмотренному случаю.
10.74. Лемма. Нам нужно теперь доказать следующую исполь-
использованную выше лемму.
Пусть R и /?'(=>/?)— компактные поверхности с краем одного
и того же рода р. Если и граничные контуры R лежат внутри R',
то дополнение R' — R состоит из конечного числа поверхностей рода
нуль, каждая из которых имеет один и только один общий гранич-
граничный контур с R.
Доказательство. Каждая составляющая поверхность
Ач(ч=1, . . ., q) дополнения R' — R имеет не менее одного общего
граничного контура с R, следовательно, число г всех граничных кон-
контуров R удовлетворяет неравенству r~^q. Пусть р,, и г„ — соответ-
соответственно род и число граничных контуров поверхности Л„; следова-
следовательно, ее характеристика /., = 2/7, — 2-}-Л,- Поверхность R' имеет
2 г, —г граничных контуров, следовательно, ее характеристика
ч
¦%'z=2p—2-f-2/\ — г- Присоединении R и R' — R характеристики
складываются, следовательно,

394 гл. х. открытые римановы поверхности
поэтому имеем
Так как r~^q, р,,^0, то это возможно только тогда, когда /?,,== О
и q = г. Первое означает, что поверхности А, — рода нуль, а вто-
второе— что каждая поверхность А, может граничить с R только вдоль
одного контура; таким образом, лемма доказана.
10.76. Гармонические дифференциалы. То, что выше было вы-
выведено для интегрируемых с квадратами аналитических дифферен-
дифференциалов, с небольшими изменениями справедливо и для гармонических
дифференциалов du, интегрируемых с квадратом на римановой по-
поверхности /?, т. е. для которых интеграл Дирихле
j* j* | grad и
д
конечен.
Прежде всего множество (da) превращают в гильбертово про-
пространство, определяя скалярное произведение дифференциалов da и dv
как (абсолютно сходящийся) интеграл
(da, dv) = j jfe +
я
Далее снова рассматривают подпространства [du1], [du4 и [duu]
дифференциалов, где [du1] состоит из всех полных дифференциалов da;
[da2] — из дифференциалов du, которые ортогональны к [du*] и имеют
равные нулю периоды вдоль всех разбивающих путей, и, наконец,
[dud] — ортогональное дополнение первых двух пространств.
С помощью интегральной формулы A0.8) доказывают, что [duc]
порождается рассмотренными выше дифференциалами [du^] и что
[du2] получается с помощью проектирования нормальных дифферен-
дифференциалов dua на пространство [dub] = [du$]\ тогда [du2] порождается
„нормалями" дифференциалов dux относительно du$ (т. е. разностями
между dua и указанными их проекциями).
§ 8. НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
10.76. Конформно инвариантные классы. В проблеме конформ-
конформной эквивалентности римановых поверхностей нужно для каждого
класса эквивалентных римановых поверхностей установить систему
конформных инвариант, однозначно определяющих этот класс.
Полное решение этой задачи до сих пор удалось лишь для простей-

§ 8. НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ 395
ших римановых поверхностей. Ввиду большой общности проблемы
едва ли можно ожидать, что с помощью известных в настоящее
время методов удастся существенно продвинуться вперед. При таком
положении вещей нужно пока удовлетвориться определением отдель-
отдельных конформных инвариант, совпадение которых, следовательно,
необходимо, но еще далеко не достаточно для конформной эквива-
эквивалентности двух поверхностей. Такие неполные системы инвариант
не определяют тогда один конформный класс, но выделяют из сово-
совокупности всех конформных классов некоторые характерные их под-
подмножества. Конформно инвариантными свойствами, определяющими
такие множества классов, являются прежде всего существование или
несуществование некоторых простых классов аналитических или гар-
гармонических функций.
10.77. Классы поверхностей Re и Re. Пусть С—множество
аналитических или множество гармонических дифференциалов, обла-
обладающих некоторым заданным конформно инвариантным свойством.
Некоторые такие множества С мы уже рассматривали в ходе
предыдущего исследования; напомним здесь только следующие
классы:
1. Полные аналитические коварианты / с конечной нормой.
2. Полные гармонические дифференциалы du с конечной нормой.
3. Полные гармонические дифференциалы с ограниченным (или
полуограниченным) интегралом.
4. Полные аналитические дифференциалы с ограниченным интег-
интегралом.
Все эти классы С содержат своим элементом дифференциал dF,
тождественно равный нулю: dF = 0 (такие классы составляют предмет
нашего дальнейшего исследования). Это условие всегда выполняется,
если С—линейное многообразие.
По отношению к такому классу С дифференциалов множество всех
римановых поверхностей R можно разделить на два дополнительных
друг к другу подмножества: класс поверхностей Re, содержащий все
поверхности R, на которых dF==Q — единственный дифференциал
класса С, и класс поверхностей Re, на каждой поверхности R кото-
которого, кроме дифференциала dFs=0, существует еще по крайней
мере один дифференциал dF фО.
10.78. Класс поверхностей /?ая. Для класса С, указанного
в п. 10.77 под номером 1, мы используем (ср. Сарио [1], Альфорс [1],
Ройден [1]) обозначение C = AD (полные аналитические коварианты
с конечным интегралом Дирихле).
Рассмотрим теперь класс R\d поверхностей R, которые, кроме
dFsszQ, не имеют ни одного полного интегрируемого с квадратом

396 гл. х. открытые римановы поверхности
дифференциала dF1). Пусть R—такая поверхность класса R'ad и
И—гильбертово пространство всех интегрируемых с квадратом ана-
аналитических дифференциалов на R = RAp. Мы разбиваем Я указанным
в § 7 образом на три ортогональные компоненты: W=[/]-]-[»]-j-[^].
В нашем случае [/] = 0, поэтому Н = [«] 4- [ty] ¦
10.79. Классы поверхностей /?#/?. Мы переходим к тому классу С
ковариант, который в п. 10.77 определен под номером 2: класс С= HD
всех полных гармонических интегрируемых с квадратом дифферен-
дифференциалов da.
Соответствующий аналитический дифференциал dF = du-\- Ida'
в общем случае имеет мнимую часть, не являющуюся полным диф-
дифференциалом2), откуда следует, что класс AD есть подмножество
класса HD. Отсюда, далее, заключаем, что множество поверхностей
R = Rsd, на которых класс HD сводится к нулевому элементу du — 0,
составляет, наоборот, подкласс класса Rad-
Если теперь R — поверхность Rhd, to в соответствующем гиль-
гильбертовом пространстве Н обращается в нуль не только „ось" [/],
но и „ось" [ОД, порождаемая построенными в § 7 ковариантами (/<0,
т. е. на Rsd каждая коварианта /psO. В самом деле, эти кова-
рианты были поставлены в соответствие неразбивающим сечениям |3
поверхности R, а именно, в общем случае /рз=0, исключая случай,
когда обе части /?э и Лр> на которые р разбивает R, некомпактны
и имеют идеальную границу Гр, соответственно Гр, положительной
гармонической меры относительно соответствующей части R (ср.
пп. 10.63 и 10.64). Только в этом случае /р отлична от нуля, и
интеграл Г f^dz = ир-f-iu^ имеет тогда своей действительной частью щ
ограниченную однозначную гармоническую функцию на R с конечным
интегралом Дирихле. Следовательно, дифференциал du§ принадлежит
классу HD; поэтому для поверхности R = Rsd имеем du? == 0, f9 == 0,
следовательно, и [4] =s [/3] == 0, что и требовалось доказать.
Таким образом, на поверхности R°bd пространство
я=[/] 4-[?]
интегрируемых с квадратом аналитических ковариант сводится
к средней компоненте [«].
') Этот класс поверхностей был обстоятельно исследован Сарио в его
диссертации [1] („поверхности с устранимой границей"). См. также мою
работу [2].
2) Напомним, что дифференциал называется полным (total), если он
является дифференциалом функции, однозначной всюду на R (ср. п. 10.56).
— Пром. перев.

I 8. НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ЗЙ7
Отсюда, в частности, вытекает такое обращение теоремы п. 10.691):
Если f(z) есть однозначная аналитическая коварианта, интегри-
интегрируемая с квадратом на поверхности R = R%s, то на каждом сече-
сечении •[, разбивающем R, период
ff(z)dz = 0.
10.80. Класс поверхностей /?#в. Мы обозначаем через НВ класс
полных гармонических дифференциалов du, у которых интеграл и
ограничен на поверхности R (случай 3 п. 10.77). Класс /?яз
состоит из всех поверхностей с нулевой границей и еще, возможно,
сингулярных поверхностей с положительной границей (ср. п. 10.18).
Из п. 10.70 следует тогда, что в гильбертовом пространстве И
интегрируемых с квадратом ковариант во всяком случае отсутствует
компонента Щ, так как порождающие ее дифференциалы du$ при-
принадлежат классу НВ и tfwp==0 на каждой поверхности /?яв-
В пп. 10.92 и 10.101 мы увидим, что каждая поверхность Rbb есть
также поверхность Rmd- Отсюда тогда будет следовать, что на Rhb
компонента [/]. Значит, для класса /?яв имеет место тот же результат,
что и для R°bd (см. п. 10.79): пространство Н состоит только из
подпространства [«], порождаемого нормальными ковариантами /«
п. 10.70.
То же самое, как было замечено выше, заведомо справедливо для
поверхностей N с нулевой границей, так как, согласно п. 10.12,
N с R°HB;
на поверхности N не существует отличного от нуля дифференциала
класса ЯВ2)
¦v
10.81. Размерность пространства Н интегрируемых с квад-
квадратом аналитических дифференциалов. Для компактных римановых
поверхностей R справедлива классическая теорема (гл. V) о том, что
размерность пространства Я, т. е. пространства всех абелевых диф-
дифференциалов первого рода, равна роду р поверхности. Эту теорему
можно обобщить на открытие римановы поверхности следующим
образом:
Если род р поверхности R бесконечен, то и размерность q
пространства Н бесконечна.
I) Альфорс [1], Неванлинна [2].
8) По поводу этого результата см. мою работу [2], а также работу
Альфорса [1].

398 ГЛ. X. ОТКРЫТЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
Если же род р конечен, то либо q = р, либо q = оо, причем
первый случай имеет место в том и только в том случае, когда
поверхность R имеет нулевую границу.
10.82. Для доказательства мы сначала покажем, что в случае р = оо
для каждого натурального числа и в пространстве Н существует
не менее и линейно независимых дифференциалов. По определению
рода (см. п. 10.4), в случае р = оо для каждого и имеется принад-
принадлежащая R поверхность с краем R*, такая, что число т соответст-
соответствующих пар канонических сечений (а.„ Ь.) больше п. Если теперь
к этим 2т сечениям (а) построены нормальные дифференциалы йиЛ
п. 10.60, то они линейно независимы (если рассматривать действи-
действительные коэффициенты), и соответствующие аналитические дифферен-
дифференциалы dFa = dua,-\-idu'<i порождают подпространство Нт простран-
пространства Н размерности т > п. Так как п можно взять сколь угодно
большим, то Н имеет размерность q = оо, что и требовалось доказать.
Это рассмотрение показывает далее, что q^-p также и в случае
конечного р. Достаточно лишь повторить предыдущее построение
с каноническими сечениями (а) настолько большой поверхности с краем
R* с R, что ее род уже равен р; такая поверхность R* сущест-
существует, согласно п. 10.4.
10.83. Теперь мы покажем, что в случае конечного р равенство
q = р обязательно имеет место, если поверхность R имеет нулевую
границу. Если пространство Н разложить на подпространства [/],
[?]. Щ> то. согласно п. 10.80, обращаются в нуль как [/], так и [ф],
и, следовательно, #==['.?]. Но так как род р поверхности R конечен,
то, согласно п. 10.73, пространство [»] может быть построено с по-
помощью в точности р линейно независимых ковариант /а, и, следова-
следовательно, q = p, как это и утверждалось.
10.84. Нужно еще показать, что если род р конечен и R имеет
положительную границу, то размерность q = со. Для обоснования
этого утверждения мы должны здесь ограничиться лишь главными
моментами, в подробное рассмотрение которых мы здесь входить
не можем.
Пусть сначала для простоты р — 0, т. е. поверхность R подобна
однолистным. Согласно гл. IX, поверхность R может быть отобра-
отображена топологически и конформно на некоторую подобласть Rz числовой
плоскости |z|<:оо. Идеальная граница Г поверхности R получает
действительное представление в виде множества Гг граничных точек
области /?г, и так как Г имеет положительную гармоническую меру,
то и Гг имеет положительную гармоническую меру. Согласно теории
гармонической меры плоских множеств (ср. мою монографию [1*]),
Г2 можно тогда бесконечным числом способов разбить на два непере-
непересекающихся множества Г^ и Г», которые оба имеют положительную

§ 8. НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ 399
гармоническую меру. Дифференциалы этих мер (дополненные до
аналитических дифференциалов) принадлежат пространству Н, и так
как таким образом можно построить сколько угодно линейно не-
независимых дифференциалов, то размерность q = oo.
10.85. Аналогично можно поступить в случае 0</?<оо. Для
достаточно большой поверхности с краем RocR дополнение R— Ro
распадается на конечное число попарно не пересекающихся ча-
частей R1, . . ., Rm, которые все подобны однолистным. Методом
п. 10.63 доказывается, что хотя бы одна из этих частей, скажем R1,
имеет положительную границу Г1. Теперь R1 отображается тополо-
топологически и конформно на некоторую область Rl г-плоскости. Тогда
в качестве представления Г1 получается, как и выше, множество Т\
положительной гармонической меры на z-плоскости, и с помощью
подходящего разбиения Т\ на два подмножества положительной гармо-
гармонической меры строится сначала на R1 бесконечное множество линейно
независимых ковариант f1 с ограниченной нормой. В настоящем случае
(р > 0) эти коварианты нужно еще „продолжить" на всю поверхность R
так, чтобы получилось бесконечное множество линейно независимых
ковариант пространства Н. Построение такой системы, исходя из
системы f1, совершается с помощью метода п. 10.62 (альтернирую-
(альтернирующего методаI), и этим утверждение, что q = oo, наконец, доказано.
10.86. Замечание относительно метрики Бергмана. Мы можем
теперь доказать высказанное в п. 10.55 утверждение о том, что
единственные римановы поверхности R, для которых метрика Бергмана
есть евклидова метрика, это поверхности, конформно эквивалентные
тору, из которого исключено множество точек самое большее
емкости нуль.
Согласно п. 10.55, достаточно показать, что пространство Н
. одномерно в точности для указанного класса поверхностей R. Но тео-
теорема п. 10.81 показывает, что Н тогда и только тогда имеет раз-
размерность q=l, когда поверхность R имеет род р = 1 и в случае,
если она некомпактна, имеет нулевую границу. Но, далее, такая
открытая поверхность конформно эквивалентна поверхности тора,
из которого исключено множество точек емкости нуль. Чтобы в этом
убедиться, представим R, согласно п. 10.85, в виде R~R°-{-
-\-Rl-{- ... -\-Rm, где R° компактна на R, a /?4(v >0) некомпактны,
но подобны однолистным. Каждый такой „подобный однолистным
конец" R* (v = 1, ..., т) отображаем конформно на некоторую
область Rl числовой сферы ?„, и идеальные границы Г' поверхно-
поверхностей R4, которые все имеют гармоническую меру, равную нулю,
!) Можно было бы также применить здесь .метод универсальной поверх-
поверхности наложения" § 5.

400 ГЛ. X. ОТКРЫТЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
получают при этом „действительное" представление в виде точечных
множеств Г^ емкости нуль на ?.,. Если теперь вместо этих множеств
рассмотреть расширенные области RI = Rl +TJ на Еч) то объеди-
ш
ненное множество /?°+2 Ri образует компактную риманову поверх-
ность R рода р —\. Поверхность R конформно эквивалентна той
части поверхности R, которая получается из нее исключением мно-
жества точек 2 Г^. Так как R имеет нулевую границу, то это
4 = 1 ''
множество имеет, гармоническую меру нуль (емкость нуль), и доказа-
доказательство закончено.
10.87. Вторая краевая задача. Для дальнейшего исследования
соотношений между различными классами R° сделаем предварительно
некоторые замечания о так называемой второй краевой задаче теории
потенциала.
Пусть G — компактная часть римановой поверхности R, ограни-
ограниченная q замкнутыми кусочно-аналитическими жордановыми кри-
з
выми 1\ Гд. Пусть на границе Г = 2Г( задана непрерывная
действительная функция »(?). Требуется построить в G однозначную
гармоническую функцию и, которая на Г непрерывна и имеет
производную по внутренней нормали, равную <р.
10.88. Единственность. Если решение существует, то оно опре-
определено с точностью до аддитивной постоянной. В самом деле, произ-
производная по нормали от разности и0 двух решений равна нулю на Г,
поэтому интеграл Дирихле от и0 должен равняться нулю:
Следовательно, grad и0 = 0, и0 = const, и утверждение доказано.
Необходимым условием для существования решения и является
обращение в нуль интеграла
J O. A0.32)
10.89. Существование. Предположим, что и — решение задачи.
Тогда при заданных граничных условиях а имеет конечный интег-
интеграл Дирихле, и, следовательно, дифференциал da принадлежит рас-
рассмотренному в п. 10.75 классу дифференциалов; то же самое спра-
справедливо для сопряженного дифференциала du'. Поэтому из обоих

S 8. НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСГЕИ 401
ортогональных друг к другу пространств [йиЦ и [йиЦ -f- [dub\ можно
выбрать вполне определенные дифференциалы du1 и dU, такие, что
du' — du^ + dU, A0.33)
где du1 — полный дифференциал.
Пространство [dU] в настоящем случае имеет конечное число изме-
измерений. В самом деле, если представить О в канонической форме
п. 7.31, то канонические (неразбивающие) разрезы a.t, b^(y=l, . . ., р)
вместе с q граничными кривыми 1\ Гд образуют порождающую
систему группы гомологии области О, и пространство [dU] поро-
порождается следующими дифференциалами:
1. Гармоническими дифференциалами dub (v=l, ...,p), инте-
интегралы которых tit, являются однозначными и нормированными в об-
области О с разрезом вдоль 6„ и испытывают скачок, равный 1, при
переходе через Ьч.
2. Гармоническими дифференциалами d«0(N=l, ..., р), обла-
обладающими аналогичными свойствами в области О с разрезом вдоль aN.
3. Дифференциалами гармонической меры d<a^ (jj. = 1 q) гра-
граничных кривых Ть относительно области О.
Каждая ветвь потенциала U имеет постоянное значение на гранич-
dU'
ных кривых Г4, и, следовательно, на Г справедливы равенства -г— =
= -г- = 0. Потенциал и1 в О однозначен, и так как
то для производной по нормали от сопряженной функции а1 в точке ",
границы имеют место равенства
ди ди\' диХ
дп дп ds ™"
Пусть теперь С, начиная с граничной точки ц,, пробегает всю гра-
границу Г. Тогда на Г
Э1
следовательно,
и1(С) = — Г yds-{- const.
Поэтому, если мы обозначим последний интеграл через /(С), то каж-
каждая ветвь функции и1 (z) в О будет отличаться только на постоянную
от гармонической функции
26 Зак. 396. Р. Неванлинна

402 ГЛ. X. ОТКРЫТЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
и, следовательно,
/р р й
/(С)Л»(С, z)+2 M\-b2 №. +2 V»< + const,
где kit \iit v^ — действительные постоянные.
Итак, если задача имеет решение, то оно имеет вид1)
u(z)= f/(C)do/(C, г)~ S (Mb. + iW) — 2v,<°<H-const.
Теперь, наоборот, можно прямо построить это выражение и по-
показать, что оно представляет собой искомое решение задачи. Непо-
Непосредственно видно, что и гармонична в О и что на Г выполняется
граничное условие дц/дп = <р, причем это верно при любом выборе
неопределенных постоянных kt, \kt, v^. Остается лишь показать, что
эти постоянные можно выбрать так, чтобы а была однозначна. Для
этого необходимо и достаточно, чтобы периоды функции и на кри-
кривых а„ Ь,„ Гц равнялись нулю. Это условие приводит к системе 1p-\-q
линейных уравнений со столькими же неизвестными. То, что эта си-
система разрешима, доказывается, с учетом условия A0.32), аналогично
тому, как это делалось в п. 9.9, и предоставляется здесь читателю.
10.90. Функция Неймана. Пусть, как и выше, О — компактная
з
часть римановой поверхности R и Г= 2 Г* — ее граница. Для двух
<=i
заданных точек z = av a2 поверхности G мы ищем функцию
1 (z; alt a2), обладающую следующими свойствами:
1. fCz; av a2) в О однозначна и гармонична, исключая г = а.,
(v = 1, 2), где она имеет разложение
Y(z; alf a.2) = (— l)vIn \z — С| + гармоническая функция.
2. На Г производная по нормали равна нулю:
Функцию -\{z\ av a2) называют функцией Неймана поверхности О.
Ее существование следует из п. 10.89, если ее записать, например,
в виде -f {z; а±, а2) == g(z, a^ — giz, a^-\-u(z), где g— функция Грина
поверхности О. Регулярная гармоническая функция и с учетом задан-
заданного граничного условия может быть построена согласно п. 10.89,
причем следует заметить, что необходимое условие A0.32) выпол-
выполняется по теореме о вычетах.
1) ш' обозначает здесь функцию, сопряженную к ш относительно пере-
переменной г.

8 8. НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ 403
10.91. Переход к открытым поверхностям. Мы строим исчерпа-
исчерпание заданной некомпактной римановой поверхности R последователь-
последовательностью компактных на ней поверхностей Rn
fioc^c...c/),c,..; R..-+R,
ограниченных кусочно-аналитическими контурами, и образуем для
заданной пары точек z = a, z — b поверхности Ro функцию Ней-
Неймана -fv(z; а> Ь) и функции Грина g.t(z, a), g\,(z, b) поверхности Rr
Выражение
(z) = f,(z; a, b) — g,(z, a) + g.,(z, b)
определяет на R., однозначную регулярную гармоническую функцию.
Чтобы v., определить однозначно, мы выбираем входящие в -[•-, адди-
аддитивные постоянные согласно условию
«,(с) = 0 (v = 0, 1, ...)•
Чтобы исследовать поведение последовательности i»v, мы сначала
покажем, что она сходится „по норме". Для этого заметим, что если
и (г) — произвольная однозначная гармоническая функция на /?,-f-F4
(Г., — граница /?,), то из формулы Грина следует, что (z = x-\-iy)
*+i/¦<
= и(Ь) — а(а). A0.34)
Отсюда, в частности, для u=v.t следует, что
(*>„ dv.)R = f f Igradv,]*dxdy = vjb) > 0, A0.34')
и для а — v^ ((a > v)
{dv,u, dv.,)R =vv_
Поэтому
Я | grad (v — ©.,) | rfx d^ = {dv , d© )B
,, dv.t)R =(dv^, dvl/)R -\-v4(b) — 2v^(b)<.
Значит, числовая последовательность v^(b) с возрастанием ч
монотонно убывает; поэтому существует предел \imv., (b)^>0
V-X»
26*

4о4 гл. x. открытые римановы поверхности
[ср. A0.34')], откуда вытекает, что двойной интеграл слева в A0.35)
стремится к нулю при м->-оо, (х—>-оо. Итак, гармонические дифферен-
дифференциалы dv4 сходятся „в среднем", поэтому и в обычном смысле.
Предельная функция
v (z) = \imv,,(z)
однозначна и гармонична на R. Она равна нулю в точке z = а, и
из A0.34') следует, что ее интеграл Дирихле
(dv> dv)R = Г Г | grad v |2 dx dy = v (b).
в
Далее, согласно A0.34), для каждой однозначной гармоничной
функции и с конечным интегралом Дирихле по R имеем
(du, dv)R = u(b) — u(a). A0.36)
10.92. Классы поверхностей R°hb и Ля»1). Пусть теперь R—
поверхность класса Red, т. е. на R существует отличный от по-
постоянной однозначный потенциал и с конечным интегралом Дирихле.
Тогда на R имеются такие две точки z = a, z = ft, что и (Ь)—и (а) Ф 0.
Из соотношения A0.36) видно, что функция v(z), однозначная и гар-
гармоническая на R, не есть постоянная. Мы утверждаем, что она огра-
ограничена.
Для этого заметим сначала, что в рассматриваемом случае R имеет
положительную границу, так как иначе на R не могло бы существовать
отличной от постоянной функции и класса HD (доказательство в п.
10.79). Но отсюда тогда вытекает, что функции gn(z, а) и gn(z, ft)
при п -> оо сходятся соответственно к функциям Грина g(z, а) и g(z, b)
поверхности R и, следовательно, существует предел
lim Yn = T(.z; a, b) = 2v:v(z)-{-g(z, a) — g(z, b).
Рассмотрим теперь некомпактное дополнение R—Ro поверхно-
поверхности Ro. На этой поверхности функции g(z, а) и g(z, b) ограничены.
Но то же самое справедливо и для f (z\ a, b). В самом деле, функ-
функция in на поверхности Rn — Ro, ограниченной Г„ и Го, регулярна, и
ее производная по нормали равна нулю на Г„. Максимум и минимум
этой функции на (Rn — Ro)-\-Го + Г„ достигается в некоторых точ-
точках на Го-(-Г„. Мы утверждаем, что эти точки обязательно лежат
на Го. В самом деле, допустим, что такая точка С лежит на Г„. Тогда
1„, рассматриваемая на Г„, также имеет в С экстремальное значение,
следовательно, в этой точке d^Jds = 0, и так как d^Jdn = 0 на Г„,
1) Нижеследующее изложение примыкает к Виртанену [3]. Другой метод
использует Ройден [1]; ср. также Альфорс [2].

S ft. МЕТРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ 405
то производная от аналитической функции -(n-\-i-('n в точке С равна
нулю. Из этого следует, что функция fn-\-iYn отображает окрест-
окрестность точки С на многолистный кусок римановой поверхности, от-
откуда заключаем, что fn внутри Rn принимает значения как большие,
так и меньшие, чем значение чп(С), что приводит к противоречию.
Итак, т„ принимает свои наибольшее и наименьшее значения на Го,
и, следовательно, то же справедливо и для предельной функции у.
Поэтому v ограничена на R — Ro, и так как это справедливо и на RQ,
то гармоническая функция v ограничена всюду на R.
Этим показано, что существование на R отличной от постоянной
однозначной гармонической функции и с конечным интегралом Дири-
Дирихле влечет за собой существование отличной от постоянной ограни-
ограниченной гармонической функции v. Следовательно, класс поверхно-
поверхностей Rsb содержится в классе Rbd — результат, которым мы уже
воспользовались в п. 10.801).
§ 9. МЕТРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ
10.93. Постановка задачи. Рассмотренные в ходе предыдущего
исследования конформно инвариантные свойства римановой поверх-
поверхности имеют в большинстве случаев столь общую природу и сфор-
сформулированы столь неявно, что они не могут быть непосредственно
применены к поверхностям, заданным каким-либо частным образом.
Если поверхность определена с помощью некоторых конкретных усло-
условий, например особыми свойствами поверхности наложения или как фун-
фундаментальная область группы аналитических преобразований, то на осно-
основании такого определения в общем случае невозможно непосредственно
узнать, принадлежит ли поверхность к конформному классу /& или
Re, если класс дифференциалов С имеет столь же общую природу,
что выше, как правило, имело место; вспомним, например, рас-
рассмотренные выше классы НВ, HD и т. д.
Поэтому имеет большое значение задача установить соотношение
между общими конформно инвариантными свойствами и специальными
!) Добавление при корректуре. Вопрос о том, существуют ли „сингу-
„сингулярные поверхности" с положительной границей (т. е. шире ли класс Rjjg
класса поверхностей с нулевой границей), до сих пор не решен (см. п. 10.18).
Как сообщил мне Альфорс, ему удалось показать, что поверхности с нуле-
нулевой границей образуют правильный подкласс класса ##д. [В настоящее
время для рода р = со поверхности R доказаны строгие включения R%[pC
с^яв с^нл и класса поверхностей с нулевой границей в Я°Вр{НР —
положительные гармонические функции ) (см. рец. № 2107 в Р. Ж. „Мате-
„Математика", 1954, № 2, и работу Tokiy, Osaca Math. J., 1953, 5, № 2, 267—280).
Этим утвердительно решаются поставленные выше вопросы о сингулярных
поверхностях (ср. пп. 10.18, 10,20, 10.31 и ЮЩ. — Прим. перев.]

406 ГЛ. X. ОТКРЫТЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
геометрическими или аналитическими свойствами, более непосред-
непосредственно учитывающими частные элементы построения, которые могут
быть явно заданы при конкретном определении римановой поверхно-
поверхности. Некоторые частные такие критерии метрического характера бу-
будут указаны в этом последнем параграфе.
10.94. Введение метрики. Для исследования очерченного круга
вопросов целесообразно надлежащим образом метризовать заданную
поверхность, как это делалось выше в некоторых частных случаях.
Пусть на римановой поверхности R задана компактная область
G-f-f> граница которой f состоит из некоторого числа <7^>2 зам-
замкнутых аналитических жордановых кривых. Мы разбиваем ч на две
части ^1 и Т-2 бгз общих точек и предполагаем, что на G-f-f задана
инвариантная метрика
A0.37)
обладающая следующими свойствами1).
1°. [>.(z) непрерывно дифференцируема и неотрицательна.
2°. Уравнение Гамильтона — Якоби
имеет решение p.(z), такое, что линии уровня p(z) = p (= const) одно-
однолистно и бзз пропусков покрывают O-j-f, когда р изменяется на
отрезке at ^ р <^ ос2, причем линии уровня р (г) = «,, совпадают с f.,
0>=1. 2).
3°. Геодезические линии, являющиеся ортогональными траекто-
траекториями линий уровня р (z) = р, образуют поле.
При этих условиях в О
где интегрирование производится по той части экстремали поля,
определяемой г, которая соединяет z с точкой zx ее пересечения с ft.
10.95. Оценка интеграла Дирихле. После этой подготовки мы
рассматриваем аналитический дифференциал
dw = fdz = du-j-tdu',
однозначный, регулярный и не обращающийся тождественно в нуль
!) Если Yi выбирается произвольно, то указанные ниже условия, как из-
известно, выполнимы в общем случае лишь локально при надлежащем выборе
примыкающей к Yi области поля G. Поэтому полное поле, рассматриваемое
в приложениях, должно быть в общем случае составлено из нескольких мень-
меньших частей. Если кривизна метрики da отрицательна, то с помощью семей-
семейства геодезических линий, выходящих из произвольно выбранной начальной
точки, строится даже поле, покрывающее всю поверхность /?,

i 9. МЕТРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ 407
на O + f. Мы измеряем длину рассматриваемой линии уровня
р(г) = р (а1<р<«2) один раз в „евклидовом" мероопределении, где
длина элемента дуги dz определяется в обычной метрике ад-плоско-
ад-плоскости, другой раз — в заданной метрике A0.37), и полагаем
I(p)= J \dw\, A(p)= J do. A0.37')
р (s)=p р(*) = р
С помощью этих величин 'нужно теперь оценить интеграл Дирихле
G
Применяя неравенство Буняковского — Шварца, имеем
!• = ( J |/||*|)a</*/l/|-? = A<p)^, A0.38)
р(«)=р
гд« ?>(р) означает интеграл Дирихле
по поверхности аг <; р(z)<! р.
Отсюда получаем искомую оценку:
A0.39)
10.96. Применение к поверхностям с нулевой границей. 6 не-
неравенстве A0.39) мы выбираем в качестве dw дифференциал
da>-\-tda>' гармонической меры m(z) части границы Та (р С2)== аа)
относительно поверхности G, и тогда для «t < р ^ а2 имеем
dx dy — Do.
I(p)= J |d«>|> J da>' = J ев rfw' — J <o doi' =
Ts Ti
«to
= /J
Ив неравенства A0.38) вытекает, что
и, следовательно,
-L> f
Dn J
Предположим теперь, что метрика A0.37) определена на всей
некомпактной части Rt поверхности R, лежащей вне небольшой

408 ГЛ. X. ОТКРЫТЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
кривой fj1), что здесь задано поле экстремалей, удовлетворяющее
условиям п. 10.94 и покрывающее поверхность Rv и что поверх-
поверхности aj^pOzX^p с возрастанием р, р-^р^ (^оо), исчерпывают
всю поверхность Rv Тогда интеграл
при р -¦¦ рда обязательно будет конечным, если интеграл Дирихле D (р)
гармонической меры свр (г) линии уровня fp (р (г) — р) относительно
поверхности at <^ р (г) -^ р при р -*¦ р^ не обращается в нуль. В самом
деле, <ор стремится при этом к гармонической мере о> идеальной
границы Г поверхности R относительно поверхности р(г) > av
и (о s= 0 или (о > 0 в зависимости от того, является ли R поверх-
поверхностью с нулевой границей или нет. В первом случае limD(p) = 0,
во втором limD(p)>0, откуда следует утверждение.
Отсюда заключаем2):
Если интеграл
Роо
<|0-40>
расходится, то поверхность R имеет нулевую границу.
10.97. В качестве примера возьмем за da евклидову метрику
d<j = \dt\ единичного круга Е (|<|< 1)> на который можно взаимно
однозначно и конформно отобразить универсальную поверхность
наложения R поверхности R, если исключить (тривиальный с точки
зрения рассматриваемой задачи) случай, когда R — параболического
типа. В качестве поля экстремалей тогда можно принять множество
радиусов а = const {t = rei<f), и линии уровня р(z) = const оказы-
оказываются окружностями \t\-=r. Если мы предположим, что поверх-
поверхность R представлена в круге Е метрическим фундаментальным
многоугольником те, то величина Л будет равна интегралу
взятому по дугам окружности |/| = р< 1, попадающим в я. Тогда
расходимость интеграла
dp
Л(Р)
достаточна для того, чтобы поверхность R имела нулевую границу.
1) Ср. с этим примечание" в п. 10.94.
2) См. Лаасонен [1].

§ 9. МЕТРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ 409
10.98. В качестве второго приложения определим do с помощью
соотношения
где ш(г), как выше, означает гармоническую меру Ya относительно О
и Ж — положительная постоянная:
А A0.41)
Тогда, согласно неравенству A0.39), в силу того, что Л(р)=1
и р2 = М, имеем
if
j* i2 rfp < OG,
о
где Dg означает интеграл Дирихле однозначной аналитической кова-
рианты /, взятый по О.
Если мы теперь предположим, что / интегрируема с квадратом
по всей поверхности R, то интеграл, стоящий слева, равномерно
ограничен для всех компактных частей GczR. Если при фиксирован-
фиксированном fi устремить Ya K идеальной границе Г поверхности R, то
в случае, когда R имеет нулевую границу, число М неограниченно
возрастает, и из предыдущего следует, что величина 1(р) при боль-
больших р может быть сделана сколь угодно малой. Следовательно, мы
имеем такую теорему1):
Если /—интегрируемая с квадратом однозначная аналитическая
коварианта на поверхности R с нулевой границей, то для каждого
е>0 и произвольно выбранной компактной части RocR всегда
существует такая система кривых y> отделяющая Ro от идеальной
границы Г поверхности R, что
/I/I I<&!<«.
10.99. Одна теорема о среднем. Мы рассматриваем однозначную
и регулярную гармоническую функцию и, определенную в области
О4-7i4-7з (ср. п. 10.94), и образуем вспомогательную функцию
Т[ -f- ti\' = М (ш-f- /ш') (ср. п. 10.98), где о> — гармоническая мера Чч
и М имеет значение A0.41), так что
т] = OOHSt
См. мою работу [3].

410 ГЛ. X. ОТКРЫТЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
Пусть теперь т (р) для 0 <] р < М есть среднее значение
При этих условиях /ге(р) есть выпуклая функция от f.
Доказательство. Для интеграла Дирихле
D(p)= J | grad ufdxdy
0<rj<p
имеем выражение
D(p)= j udu' — J udu',
где интегрирование производится в том направлении на кривых к)
которое положительно относительно области и < р, Так как
то соотношение для ?)(р) можно записать в виде
D (р) = т (р) т' (р) — т @) /и' @),
где штрих означает производную по р.
По неравенству Буняковского — Шварца, имеем
< т* (?) j I grad a |* <*V = wt2 (p) ^^ = wt2 (p) \m'* (p) + /и (p) m" (p)j,
следовательно, /ге"(р)^-0, и утверждение о выпуклости доказано.
Равенство /w"sO имеет место только тогда, когда ди/дг\' = 0 и,
следовательно, « зависит только от г\ = р, т. е. и = и(р). В этом
случае не только w(p), но и сама функция и является линейной
функцией от р1).
10.100. Приложение к поверхностям с нулевой границей. Мы
снова предполагаем, что R — поверхность с нулевой границей, и
исчерпываем ее последовательностью компактных на ней поверхно-
поверхностей Rn-fTn (/1=1, 2, ...). Пусть на поверхности Rn — /?i + I\,
ограниченной двумя непересекающимися системами аналитических
кривых Гх и Г„, задана однозначная регулярная гармоническая функ-
См. мою работу [6], далее, Раух [1],

i 9. МЕТРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ 411
ция и. Тогда
Dn= j j \grad и \>dxdy = J udu' — j udu'. A0.42)
Rn~Rl , rn ri
Если теперь Rn+1=> Rn (ft=l, 2, ...), то криволинейный интеграл
fudu>
с возрастанием п монотонно возрастает и, следовательно, при п -» оо
имеет конечный предел, если, как мы это сейчас предположим,
интеграл Дирихле
D = JJ | grad uf dx dy
R-Rt
конечен.
Мы докажем следующее предложение:
Если величина D конечна и поверхность R имеет нулевую
границу, то
Г udu'-^-O при га->-оо. A0.43)
г»
Для доказательства введем на поверхности Rn — R± рассмотрен-
рассмотренную в п. 10.99 вспомогательную функцию
где шп — гармоническая мера Г„ относительно Rn — Rt и
г,
Тогда кп возрастает вместе сии стремится к бесконечности при
п —*¦ оо.
Для среднего значения
являющегося выпуклой функцией от р на интервале О^р^л„, имеем,
согласно п. 10.99,
Dn =/я (AJ »»'(*„) — т@)т'@). A0.44)
Мы утверждаем теперь, что
Jerfe/=m@)m/@)<0. A0.45)
г.

412 ГЛ. X. ОТКРЫТЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
В самом деле, если бы значение этого интеграла, тем самым и т' @),
было положительным, то, в силу выпуклости т(р), мы имели бы
т' (кп) > т' @), т (кп) > т @) + *»«' @),
следовательно,
J и du' = т (лп) /и' (а„) > /и' @) (/и @) + 1пт! @)),
и при л-*-со, Ая-юо криволинейный интеграл справа в A0.42)
неограниченно возрастал бы, вопреки нашему предположению, что
D = Hm Dn < со.
Итак, неравенство A0.45) должно выполняться. Теперь анало-
аналогично заключаем, что
<0 A0.46)
для всех и=1, 2, .... В самом деле, если бы для некоторого зна-
значения п = п0 этот интеграл имел положительное значение, то, повто-
повторяя предыдущее доказательство для области Rn—R^ (вместо Rn— Rt),
мы пришли бы к тому же противоречию, что и выше.
Вернемся теперь к формуле A0.44). Так как величина
/¦
и du' = т (р) т' (р)
ч-р
для р = лп неположительна и производная /ге'(р) монотонно возра-
возрастает вместе с р, то значение /ге'(р). в СИЛУ того, что /к^-0, непо-
неположительно не только для р = кп, но и всюду на интервале 0<1р^Х„.
Следовательно, среднее значение т(р) есть убывающая функция и,
в частности,
Мы утверждаем, что производная т'(\п) при и->-оо стремится
к нулю. В самом деле, в противном случае существовало бы поло-
положительное число 8, такое, что для сколь угодно больших значений п
Но тогда, в силу выпуклости /ге(р) на интервале @, Хп), мы имели бы
m@»m@) — ffi(Xn)>5Xn,
что при )-п -*¦ оо невозможно. Следовательно,
т/ (Хп) ->• 0 при п -*¦ со.
Отсюда вытекает, что и
Г и da' = т (Кп) т' (кп) -*¦ 0 при п -*¦ со,

§ 9. МЕТРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ 413
и, в силу A0.42),
D— J j* | grad « ]aй?лг <у = — Jada', A0.47)
. R-R, Г,
где криволинейный интеграл берется в отрицательном направлении
по отношению к поверхности Rv
Из этого результата следует важное дополнение к теореме п. 10.23.
Там было показано, что для поверхности R с нулевой границей
каждая ограниченная гармоническая функция и на R — /?t имеет
конечный интеграл Дирихле, который можно вычислить по формуле
A0.47); здесь же, наоборот, эта формула была выведена в предпо-
предположении, что функция и имеет конечный интеграл Дирихле по
*\ — Ai )•
10.101. В п. 10.92 мы видели, что если поверхность с положи-
положительной границей „сингулярна", то она принадлежит классу R^D
(т. е. на ней не существует интегрируемого с квадратом полного
гармонического дифференциала du ф 0) и классу R^g (т. е. на ней
не существует ограниченной гармонической функции и ф const). Из
предыдущего результата то же самое следует для поверхности R
с нулевой границей: на такой поверхности всякая ограниченная гар-
гармоническая функция сводится, согласно п. 10.12, к постоянной; но
это же справедливо для каждой однозначной гармонической функции
с конечным интегралом Дирихле. В самом деле, если и — такая
функция, то, в силу A0.47), для любой компактной части /?0-)-Г0
поверхности R имеем
J J | grad и la dx dy = — J udu',
Я-Яо Г„
в то же время, очевидно,
Г Г 1 grad ufdxdy—\ udu'.
-До f*o
Складывая, получаем для полного интеграла Дирихле от а по R зна-
значение нуль, откуда, как утверждалось, следует, что и = const.
10.102. Полные дифференциалы. Данную в п. 10.95 оценку
интеграла Дирихле полного гармонического дифференциала du можно
значительно усилить, если и сопряженный дифференциал du', тем
!) Более подробный анализ предыдущего доказательства показывает, что
гармоническая функция и, относительно которой предполагается, что она
имеет конечный интеграл Дирихле, в действительности также и ограничена
и, следовательно, вполне определяется в #— Rt своими граничными значе-
значениями на Г1! (см. мою работу [5]). [/? — поверхность с нулевой границей.—
FIdum. перев.]

414 ГЛ. X. ОТКРЫТЫЕ РЙМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
самым и весь аналитический дифференциал dF—-fdz = da-\-tdu',
является полным. Такая оценка была дана Сарио [1] с помощью
метода, обобщающего одну идею Куранта [1*]; нижеследующее уси-
усиление метода принадлежит Пфлюгеру [1].
Мы снова исходим из компактной части О, в которой определена
метрика, обладающая указанными в п. 10.94 свойствами. Пусть
р — некоторое число из интервала «1^р^а2. Тогда
где А (р) означает криволинейный интеграл
А(р)= J.udu',
р(*)=р
взятый в положительном направлении относительно области аг <
< р(г)< р. Этот интеграл является монотонно возрастающей функцией
от р.
Теперь требуется из заданных условий вывести возможно более
точную оценку для А. Для этого заметим сначала, что линия уровня
р(г) = р распадается на конечное число q = q? замкнутых кривых
-ft (/ = 1, 2, . . ., <7р). Полагая х)
= Г и da,
имеем, прежде всего, по неравенству Буняковского — Шварца, оценку
для «{ =•- и — at:
its аи, = I Uj-t- ds = I tii , • — <.
Ч Ч ~^i
A0.47')
//(
10.103. Сравним значение последнего криволинейного интеграла
со средним значением
Л
A0.48)
') Нужно положить
Ч
где Ii определяется, как в A0.50). — Прим. перев.

i 9. МЕТРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИЙ 415
Для этого воспользуемся следующим общим элементарным неравен-
неравенством (неравенство Виртингера):
Если у(х)— действительная непрерывно дифференцируемая функ-
функция от х в интервале 0 ^ х <^ /, для которой среднее значение
A0.49)
о
то
I I
^JV2 A0.49')
где у' — dy/dx. Равенство здесь имеет место только для функции
у — с cos-j-(jc —лг0), где х0 и с — произвольные постоянные1).
10.104. Применим неравенство A0.49') к функции ui=y, которая
на кривой Yi. как функция переменной
z
х
= J do,
где z0 — фиксированная и z — переменная точки на f4, удовлетворяет
всем условиям п. 10.103. Тогда / равно
A0.50)
, du ди \
И у — Ш = Ш J' следовательно,
J B;do<4srJ \ш) i?< 45SJ
\»da
где
/ = /(p) = max/< A0.52)
означает наибольшую из длин /4 для / = 1 qf.
1) Доказательство (ЮЛУ) получается путем решения вариационной задачи
минимизации интеграла от у'2, когда известно значение интеграла от у2 и
выполняется дополнительное условие A0.49). Справедливость A0.49') усма-
усматривается еще более непосредственно, если исходить из частного случая
/ = 2я; тогда неравенство равносильно тому, что
где а{, bt — коэффициенты Фурье функции у. [См., например, X а р д и,
Литтльвуд, Полна, Неравенства, М., 1948, стр. 223. — Прим. перев.]

416 ГЛ. X. ОТКРЫТЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
10.105. Если мы теперь вернемся обратно к неравенству A0.47').
то из A0.51) следует, что
/Jp) f [70
4п J [\d
\dsj ^{дп) J (хя 4тс dp
Суммируя здесь по i = 1, . . ., q?, получаем
Таким образом, мы имеем теорему Сарио — Пфлюгера:
Если аналитический дифференциал f dz — du-\-i du' является
в G полным, то для каждого р из интервала at ^ р -^ а2 выпол-
выполняется неравенство
^^ A0-53)
10.106. Рассмотрим теперь открытую риманову поверхность R.
Зафиксируем на R произвольную точку z = С и рассмотрим на /?
метрику do = [i.ds с неположительной кривизной; примером может
служить метрика Пуанкаре или метрика Бергмана. Соответствующая
функция р (г) определяется тогда для каждой точки z ? R как нижняя
граница
где интегрирование производится по всевозможным дугам, соединяю-
соединяющим С и г.
Мы, как раньше, обозначаем через Л(р) длину геодезической
„ окружности" р (г) = р
А(р)= J do
р(*)=р
и снова полагаем
= max J do,
где fi (/ = I g?) — замкнутые кривые, из которых составлена
линия уровня р (z) = р. При этом мы предполагаем, что эта линия
для каждого конечного р @ < р < pj <! со) расположена на компакт-
компактной части поверхности R и при р —> pt стремится к идеальной ее
границе.

§ 9. МЕТРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ 417
Пусть теперь на R задан полный регулярный аналитический диф*
ференциал dw = du-\-idu' =fdz. Тогда
и, интегрируя неравенство A0.53) в пределах от р0 до о@ < р0 < р),
получаем оценку
Аг
4л.' по
D(p)>D(Po)e к . A0.54)
10.107. Возьмем теперь р0 столь малым, чтобы поверхность
Р()^Ро лежала в некотором параметрическом круге Кг (\z— С| < 1)
с центром в точке z = С. Тогда, если коварианта / в точке z =",
не равна нулю и нормирована так, что /(С)=1, то1)
и мы имеем неравенство
J w
D(p)>7tpje * , A0.540
которое и при р0->0 дает положительную границу для D(p). Соот-
Соотношение A0.54') можно рассматривать как обобщение теоремы Би-
бербаха о площадях, имеющей место для круга \z — С |< 1: оно
переходит в эту теорему, если поверхность R односвязна и за da
принимается величина \dw\, где w = w{z, С) — функция, конформно
отображающая поверхность R на круг {да|<й^оо так, что z = С
переходит в точку щ = 0 и
¦—¦
¦= 1 при z = ... Отсюда следует,
что постоянная 4тг в показателе справа в A0.54) не может быть
увеличена, ибо это неравенство переходит в равенство для диффе-
дифференциала dw(z, С).
10.108. Для размаха s = s(",) поверхности R имеем, согласно
пп. 9.37 и 10.52, определение
где dw = fdz — полный дифференциал на R, удовлетворяющий усло-
условию /(С)=1, и минимум s(?) (если он положителен) достигается для
бергмановой коварианты _,
2/
1) Это верно только при некотором ограничении на выбор «fa, например
при da =в | dw |. Для дальнейшего (п. 10.108 и след.) это не имеет значе-
значения. — Прим. перев.
27 Зак. 295. Р. Неванлннна

418 ГЛ. X. ОТКРЫТЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
где ft (/=1, 2, ...) — полная ортонормированная система подпро-
подпространства [/] полных аналитических ковариант с конечной нормой на
поверхности R. Применяя соотношение A0.54') к этой экстремальной
коварианте, получаем оценку
Отсюда следует критерий Сарио [1]:
Для того, чтобы поверхность R имела размах, равный нулю,
таточно, чтобы интеграл
достаточно, чтобы интеграл
1т A0-55)
расходился *).
10.109. Сравнение с теоремой п. 10.95, содержащей достаточное
условие для того, чтобы емкость равнялась нулю, показывает, что
критерий A0.55) представляет собой существенное усиление преды-
предыдущего условия: в самом деле, / (р) ^ А (р),> и порядок роста вели-
величины / существенно меньше, чем у Л, если кривая р (z) = p при воз-
возрастании р быстро разветвляется, так, что длины отдельных частей •\i
имеют одинаковый порядок роста. Простые примеры таких поверх-
поверхностей могут быть указаны в виде подобластей числовой плоскости
с помощью принципа построения канторовых множеств. Таким путем
легко убедиться в том, что, как утверждалось в п. 10.52, суще-
существуют поверхности, для которых емкость положительна, в то время
как размах равен нулю 2).
10.110. Регулярное покрытие. Для исследования метрической
структуры римановой поверхности иногда бывает полезно ограничить
параметрическое представление поверхности некоторыми добавочными
регуляризующими условиями а). Мы говорим, что последовательность
параметрических окрестностей поверхности R образует регулярное
покрытие R, если эти окрестности покрывают поверхность так, что
соответствующие параметрические круги К1, К*, ... удовлетворяют
следующим двум дополнительным условиям:
1. Существует конечное число покрытия т, которое для каждого
параметрического круга К указывает наибольшее возможное чи;ло
соседних с ним параметрических кругов заданной последовательности.
!) Из этсй теоремы следует, что упомянутые в п. 9.58 поверхности R
имеют размах, равный нулю (Сарио [1], Курант [1*]).
2) Относительно таких примеров см. Сарио [1] и Альфорс и Бёйрлинг [1].
*) Относительно следующих пп. 10.110—10.114 ср. мою заметку [2].

§ 9. МЕТРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ 419
2. Существует постоянная покрытая d (О < d < 1), такая, что
круги &? (l2j<l—d) и kl^ (|2Ч|<1—d), принадлежащие двум
соседним параметрическим кругам й1* (\г^\ < 1) и А" (|2V| < 1), всегда
содержат точки, эквивалентные относительно соответствующего соот-
соотношения соседства z^ ч—>¦ z4.
То, что каждая риманова поверхность R допускает такое регу-
регулярное покрытие, получается немедленно, если отобразить универ-
универсальную поверхность наложения R поверхности R согласно основной
теореме Римана; в нормальном представлении Е можно тогда непо-
непосредственно указать регулярную покрывающую систему (К) метри-
метрического фундаментального многоугольника it. Также и при других
представлениях поверхности R, например, когда она задана в виде
многолистной поверхности наложения некоторой области комплексной
числовой плоскости, в общем случае легко путем „перенесения"
найти регулярное параметрическое представление поверхности.
10.111. Регулярные комплексы отрезков. Если поверхность R
уже представлена „регулярно", как было указано выше, то системе (К)
можно поставить в соответствие комплекс отрезков следующим обра-
образом. В каждом параметрическом круге К? берем точку, например
центр z^ = 0, и соединяем соответствующую „узловую точку" Р^
на R с узловыми точками Я„ соседних кругов К' с помощью путей Х^,
прообразы которых лежат в Kt -\-Kl ¦ Систему всех таких „отрез-
„отрезков" К мы называем комплексом отрезков, соответствующим (К).
Комплекс (л) называется регулярным, если выполняется следую-
следующее условие: пусть К? — параметрический круг системы (К) и
А^ — некоторый отрезок, выходящий из соответствующей узловой
точки Яр,. Тогда длина Г | dz^ | части А^, пробегающей в К?, не
должна превышать некоторой постоянной L, не зависящей от [а.
Для регулярного параметрического представления (К) всегда можно
построить регулярный комплекс (А.) так, что L< 1. В самом деле,
если /Сг и К'3 —соседние круги, то берем в первом какую-либо
точку Zy. (|2,J<] I—d), которая в Kl имеет эквивалентную точку г\
A2<|<!1—d). Если тогда отрезок \±, составить из прямолинейных
параметрических отрезков @, z') и @, г'ч), то, очевидно, L <! 1 — d < 1.
10.112. Критерий для нулевой границы. Для открытой римано-
вой поверхности, представленной регулярно системой (/С11), имеет
место следующая
27*

420
ГЛ. X. ОТКРЫТЫЕ РНМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
Теорема. Пусть Оп (я=1, 2, ...) — последовательность
множеств, состоящих из конечного числа параметрических кру-
кругов (К^) и обладающих следующими свойствами:
1°. Множества Оп отделяют заданную точку Ро поверхности R
от идеальной границы.
2°. Существует конечное число N, такое, что каждая точка
поверхности принадлежит не более чем N различным множествам
кругов Оп.
Пусть тогда Ап — число параметрических кругов, входящих
в Оп. Если ряд
расходится, то поверхность R имеет нулевую границу.
10.113. Доказательству этой теоремы предпошлем простую лемму.
Пусть О — соединение некоторого числа заданных параметри-
параметрических кругов К^. Пусть на О определен однозначный аналитиче-
аналитический дифференциал dw и, далее,
D
С С \dw
= ) J |dF
dxdy
— интеграл Дирихле от dw no G.
Если тогда
qt = max
dw
Ж,
на К'1), то
где т — число покрытия, d — постоянная покрытия системы (К)
и суммирование производится по кругам К', входящим в О.
Доказательство. В каждом круге Кг (|z\ <; 1 — d) мно-
множества О возьмем точку z = z0, где достигается максимум q вели-
dw
чины
Чг
Если
...+ncn(z-z0)n-1-{-...,
то, согласно теореме Бибербаха о площадях, имеем
IF
! г- г-» К d
n='t
перев.
Нужно брать часть К4, соответствующую |г.,|<^Л — d. — Прим.

§ 9. МЕТРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ 421
и так как каждая точка О принадлежит не более чем т кругам К?,
то
что и требовалось доказать.
10.114. Чтобы теперь доказать критерий п. 10.112, рассмотрим по-
последовательность RqCzR-lC . .cR.tc.., /?,-»/?, исчерпывающую R, где
/?, ограничена конечным числом жордановых кривых ^ (' = 0, 1, ..., л,).
Тогда для каждого п существует столь большое число р, что R9
содержит объединение множеств Gx Gn; не нарушая общности,
можно предположить, что все Оч отделяют f° от Г.
Мы образуем гармоническую меру ш^р, Р) части у? границы
куска поверхности R?— Ro и рассматриваем соответствующий инте-
интеграл Дирихле1)
= / •*•'= /*•'¦
Пусть теперь (X) — регулярный комплекс отрезков, принадлежащий
истеме (/С) и построенный согласно п. 10.111. Рассмотрим часть Lv
комплекса отрезков, принадлежащую множеству кругов О, (ч <; п);
гак как L, отделяет границу f° от fP, то можно найти некоторую
ее часть Ц, которая также разделяет f° и fp и вместе с f° огра-
ограничивает некоторую часть F4 поверхности Rf—-Ro. Дифференциал dm'
на R9 — Ro однозначен и регулярен, и, следовательно, его полное
приращение по всей границе поверхности R9 — Ro равно нулю. По-
Поэтому
J dm' — J dm' = J dm' = Df,
следовательно,
-т~ \dz\.
dz ' '
Если теперь л — отрезок комплекса Ln, соединяющий два сосед-
соседних параметрических круга /С* и К3, то, сохраняя обозначения леммы
п. 10.113, имеем
t) Вся граница Rf — Rn состоит из -ff> и f; dw = d<o-\- irfm'. — Прим.
пере в.
28 Зак. 295. Р. Неванлиниа

. x. открытые римАновы поверхности
и так как из каждого узла выходит не более чем т отрезков, то
Dp < m
где суммирование производится по кругам К\ входящим в G.,. Число
этих кругов равно Av, и из леммы следует, что
где Dv означает интеграл Дирихле по G,. Следовательно,
п
и, в силу 2 В'ч -
l
Если теперь ряд
и
расходится, то Df -»• 0 при р ->¦ оо, и тогда гармоническая мера
идеальной границы Г должна равняться нулю. Таким образом, кри-
критерий п. 10.112 доказан.
10.115. Критерий для полных дифференциалов. Предыдущий
метод ведет к аналогичному критерию для того, чтобы поверхность R
имела размах, равный нулю, т.. е. чтобы на R не существовало ни-
никакого полного аналитического дифференциала dw с конечным инте-
интегралом Дирихле, кроме dwizsQ (полное обоснование см. у Сарио [1]).
Этот критерий состоит в следующем (см. теоремы пп. 10.96 и
10.108).
В предположениях теоремы п. 10.112 рассмотрим в каждой це-
цепочке кругов Gn количества А„, Л^,.. . кругов, которым соответ-
соответствуют связные части соответствующего комплекса iftB А» = Лп),
и обозначим через /„ максимальное их значение,
Если тогда ряд
У-
п
расходится, то поверхность R имеет размах, равный нулю.

$ 9. МЕТРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ 423
Очевидно, в предыдущих критериях не предполагается, что вся
поверхность R представлена „регулярно"; достаточно, чтобы условие
регулярности выполнялось в цепочках кругов О„.
10.116. Теория открытых римановых поверхностей в течение
последних лет чрезвычайно интенсивно развивалась, и поэтому я не
мог полностью учесть результаты, частично полученные во время
редактирования настоящей монографии. В заключение я хочу лишь
коротко указать на следующие исследования, тесно связанные с рас-
рассмотренной выше проблематикой теории открытых римановых поверх-
поверхностей.
Изложенная в гл. X несколько абстрактная теория абелевых инте-
интегралов на открытых римановых поверхностях дополняется более кон-
конкретными исследованиями для частных классов поверхностей. См.
Хорних [1], П. Ю. Мирберг [1]—[6], Л. Мирберг [1].
Проблемой Пенлеве существования ограниченных аналитических
функций на открытых римановых поверхностях занимались Альфорс [1],
П. Ю. Мирберг [7], Альфорс и Бёйрлинг [1].
Относительно попыток перенести риманово билинейное соотноше-
соотношение на абелевы интегралы на открытых римановых поверхностях сле-
следует указать на работы Альфорса [2] и Виртанена [1].
Наконец, упомяну исследования Бенке и Штейна по открытым
римановым многообразиям, и в случае одной комплексной переменной
содержащие далеко идущие результаты, касающиеся существования
на открытых поверхностях абелевых интегралов с заданными периодами.
28*

ЛИТЕРАТУРА1)
Александров П. С.
!1**] Комбинаторная топология, М. — Л., 1947.
2**] Введение в теорию функций и теорию множеств, М. — Л., 1948.
Александров П. С. и Хопф (Alexandroff P., Hopf H.)
[1*] Topologie, Bd. I, Berlin, 1935.
Альфорс (Ahliors L. V.)
[1] Open Riemann surfaces and extremal Problems on compact subregions,
Comment Math. Helvet., 24 A950).
[2] Norraalintegrale auf offenen Rieraannschen Flachen, Ann. Acad. Sci.
Fenn., Ser. A, I, 35 A947).
Альфорс и Бёйрлинг (A hlfors L., Beurling A.)
[1] Conformal invariants and functions theoretic null-sets, Acta math., 83
A950).
Аппель и Гурса (AppelP., OoursatE.)
[1*] Theorie des functions algebriques et de leurs integrates, tt. I — II,
Paris, 1929—1930.
Ахиезер Н. И.
[1**] Элементы теории эллиптических функций, М. — Л., 1948.
Ахиезер Н. И. иГлазманИ. М.
[1**] Теория линейных операторов, М. — Л., 1950.
Бадер (Bader R.)
[11 La theorie du potentiel sur une surface de Riemann, Comptes rendus,
228 A949).
Бергман (Bergman S.)
Г 1*1 The karnel function and conformal mapping, Math, surveys, New
York, 5 A950).
[2] Ober die Entwicklung der harmonischen Funktionen der Ebene und
des Raumes nach Orthogonalfunktionen, Math. Ann., 96 A922).
Бёйрлинг (BeurlingA.)
См. Альфорс и Бёйрлинг.
!) Литература по теории конформных отображений и теории униформи-
зации настолько обширна, что мне пришлось ограничиться приведением
списка лишь тех работ, на которые в настоящей монографии имеются пря-
прямые ссылки.
[В список литературы переводчиком внесено несколько названий книг
советских авторов. Эти названия отмечены двумя звездочками. — Прим.
перев.]

ЛИТЕРАТУРА 425
Бибербах (Bieberbach L.)
[1*] Lehrbuch der Funktionentheorie, 2. Aufl., Bd. II, Berlin, 1931.
[2] Zur Theorie und Praxis der konformen Abbildung, Rend, circolo mat.
Palermo, 38 A914).
[3] Ober die Einordnung des Hauptsatzes der Uniformisierung in die
Weierstrassische Funktionentheorie, Math. Ann., 78 A918).
Бохнер (Bochner S.)
[1] Ober orthogonale Systeme analytischer Funktionen, Math. Z., 14 A922).
[2] Fortsetzung Riemannscher Flachen, Math. Ann., 98 A928).
Брело (Brelo t M.)
[1] Families de Perron et Probleme de Dirichlet, Acta Szeged, 9 A939).
В ан-дер-В арден (van der WaerdenB. L.)
[1] Topologie und Uniformisierung der Riemannschen Flachen, Ber. sachs.
Akad. Wiss., Math.-phys. KU 93 A941).
Вейль (Weyl H.)
[1*] Die Idee der Riemannschen Flache, 2. Aufl,, Leipzig und Berlin, 1923.
Виртанен (VirtanenK. J.)
[1] Ober Abelsche Integrale auf nullberandeten Riemannschen Flachen
von unendlichem Qeschlecht, Ann. Acad. Sci. Fenn., Ser A, I, 56 A949).
[2] Ober eine Integraldarstellung von quadratisch integrierbaren analyti-
schen Differentialen, Ann. Acad. Sci. Fenn., Ser. A, I, 69 A950).
[3] Ober die Existenz von beschrankten harmonischen Funktionen auf
offenen Riemannschen Flachen, Ann. Acad. Sci. Fenn., Ser. A, I, 75
A950).
Волковыский Л. И.
[1**] Проблема типа односвязной римановой поверхности, Труды матем.
ни-та им. В. А. Стеклова, 34 A950).
ГарабедяниШиффер(ОагаЬеA1ап P., Schiffer M.)
[1] Identities in the theory of conformal mapping, Proc. Amer. Math.
Soc, 65 A949).
Гильберт (Hi lbert D.)
[1*] Orundziige einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen,
Leipzig und Berlin, 1912.
Голузин Г. М.
[1**] Геометрическая теория функций комплексного переменного, М. — Л.,
1952.
Грунский (Grunsky H.)
[1] Neue Abschatzungen zur konformen Abbildung mehrfachzusammen-
hangender schlichter Bereiche, Schr. Math. Inst. Univ. Berlin, 1 A932).
Гурвиц (Hurwitz A.)
[1*] Теория аналитических и эллиптических функций, М. — Л., 1933.
у р с а (О о u rs a t E.)
См. Аппель и Гурса.
ю л и a (Julia О.).
[1*] Prlncipes geometriques de l'Analyse, tt. I —II, Paris, 1930—1932.
Зейферт и Трельфалль (SeifertH., ThrelfallW.)
[1*] Топология, М. —Л., 1938.
Йоханссон (Johansson S.).
[1] Beweis der Existenz linear-polymorpher Funktionen vom Grenzkreis-
typus auf Riemannschen Flachen, Math. Ann., 62 A906).

426 ЛИТЕРАТУРА
[2] Zur Theorie der Uniformisierung RIemannscher Flachen, Acta Soc.
Sci. Fenn., 40 A910).
Каратеодори (CaratheodoryC.)
[1*J Конформное отображение, М. — Л., 1934.
[2] Ober die Begrenzung einfach zusammenhangender Oebiete, Math.
Ann., 73 A913).
KepeKbHpTo(Kerekj5rt6B. V.)
fl*] Vorlesungen fiber Topologie, Berlin, 1923.
Кёбе (Koebe P.)
fl] Ober die Uniformisierung der algebraischen Curven, Math. Ann., 69
A910).
[2] Ober die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven, III, Nachr.
Akad. Wiss. Oottingen, 1908.
[3] Abhandlungen zur Theorie der konformen Abbildung, IV, Acta math.,
41 A918).
[4] Abbildung beliebiger mehrfach zusammenha'ngenderschlichter Bereiche
auf Kreisbereichen, Math. Z., 7 A922).
[5] Riemannsche Mannigfaltigkeiten und nichteuklidische Raumformen, I,
Ber. preuss. Akad. Wiss., 1927.
Клейн (Klein F.)
[1*] Oesammelte Abhandlungen, Bd. Ill, Berlin, 1923.
[2] Briefwechsel zwischen Klein und Poincare. См. Klein [1*], S. 615—618.
Курант (Courant R.)
[1*] Геометрическзя теория функций комплексной переменной, М. — Л.,
1934.
[2*] Принцип Дирихле, конформные отображения и минимальные по-
поверхности, М., 1953.
Лаасонен (Laasonen P.)
[1] Zum Typenproblera der Riemannschen Flachen, Ann. Acad. Sci. Fenn.,
Ser. I, 52 A942).
Лехто (Lehto O.)
[1] Anwendung orthogonaler Systeme auf gewisse funktionentheoretische
Extremal- und Abbildungsprobleme, Ann. Acad. Sci. Fenn., Ser. A. I,
67 A949).
[2] On Hilbert spaces with a kernel function, Ann. Acad. Sci. Fenn., Ser
A, I, 74 A950).
Л о к к и (L о k k i O.)
[1] Ober Existenzbeweise einiger mit Extremaleigenschaft versehenen ana-
lytischen Funktionen, Ann. Acad. Sci. Fenn., Ser. A, I, 76 A950).
Люстерник Л. А. и Соболев В. И.
[1**] Элементы функционального анализа, М.—Л., 1951.
Маркушевич А. И.
[1**] Теория аналитических функций, М. — Л., 1950.
Мнрберг Л. (MyrbergL.)
[1] Normalintegrale auf zweiblattrigen Riemannschen Fla'chen mit reellen
Verzweigungspunkten, Ann. Acad. Sci. Fenn., Ser. A, I, 71 A950).
Мирберг П. Ю. (My r berg P. J.)
[1] Ober die Existenz der Oreenschen Funktion auf einer gegebenen Rie-
Riemannschen Flache, Acta math., 61 A933).

ЛИТЕРАТУРА 427
[2] Ober die Bestimmung des Typus einer Riemannschen Flache, Ann
Acad. Sci. Fenn., Ser. A, 45, 3 A935).
[3] Ober transzendente hyperelliptische Integrale erster Gattung Ann
Acad. Sci. Fenn., Ser. A, I, 14 A943).
[4] Ober Integrale auf transzendenten Flachen, Ann. Acad. Sci Fenn.
Ser. A, I, 31 A945).
[5] Ober analytische Funktionen auf transzendenten zweiblattrigen Rie-
Riemannschen Flachen mit reellen Verzweigungspunkten, Acta math., 76
A944).
[6] Ober analytische Funktionen auf transzendenten Riemannschen Fla-
Flachen, X. Congr. math, scand., Copenhague, 1946.
[7] Ober die analytische Fortsetzung von beschrankten Funktionen, Ann.
Acad. Sci Fenn., Ser. A, I, 58 A949).
Неванлинна (Nevanlinna R.)
[1*] Однозначные аналитические функции, М. — Л., 1941.
[21 Ein Satz ilber offene Riemannsche Flachen, Ann. Acad. Sci. Fenn.,
Ser. A, I, 54 A940).
[3] Quadratisch integrierbare Differentiale auf einer Riemannschen MannJg-
faltigkeit, Ann. Acad. Sci. Fenn., Ser. A, I, 1 A941).
[4] Eindeutigkeitsfragen in der Theorie der konformen Abbildung, 10,
Congr. math, scand.» Copenhague, 1946.
[5] Ober die Anwendung einer Klasse von Integralgleichungen fur Exis-
tenzbeweise in der Potentialtheorie, Acta Szeged, A, 12 A950).
[6] Ober Mittelwerte von Potentialfunktionen, Ann. Acad. Sci. Fenn.
Ser. A, I, 57 A949).
Нейман (Neumann С.)
[1*] Vorlesungen tiber Riemanns Theorie der Abelschen Integrale, 2. Aufl.,
Leipzig, 1884.
Осгуд (Osgood W. F.)
[1*] Lehrbuch der Funktionentheorie, Bd. 11/2, Leipzig und Berlin, 1932.
Парро (ParreauM.)
[11 Moyennes des fonctions harmoniques et analytiques, Ann. Inst. Fourier,
3 A951).
Перрон (Perron O.)
fl] Ober die Behandlungderersten Randwertaufgabe fur Ди = 0, Math. Z., 18
A928).
Поссель (de Possel R.)
[1] Sur le prolongement des surfaces de Riemann, Comptes rendus, 186,
187 A928).
[2] Sur les ensembles du type maximum et le prolongement des surfaces
de Riemann, Comptes rendus, 194 A932).
Пуанкаре (PoincareH.)
[1*1 Oeuvres, t. 1, Paris, 1916.
[2] См. Клейн [2].
П флюгер (Pfluger A.)
[1] Ober das Anwachsen eindeutiger analytischer Funktionen auf offenen
Riemannschen Flachen, Ann. Acad. Sci. Fenn., Ser. A, I, 64 A949).
Радо (Rad6 T.)
[1] Ober den Begriff der Riemannschen FISche, Acta Szeged, 2 A925).
[2] Ober eine nichtfortsetzbare Riemannsche Mannigfaltigkeit, Math. Z.,
20 A924).

428 ЛИТЕРАТУРА
Раух (Rauch H. Е.)
[1] Generalizations of some theorems of R. Nevanlinna, Ann. Acad. Sci.
Fenn., Ser. A, I, 51 A948).
Риман (Riemann B.)
[1*] Gesammelte mathematische Werke, 2. Aufl., Leipzig, 1892.
Ройден (Roy den H. L.)
[1] Some remarks on open Riemann surfaces, Ann. Acad. Sci. Fenn.,
Ser. A, I, 85 A951).
С а р и о (S a r i о L.)
[1] Ober Riemannsche Flachen mit hebbarem Rand, Ann. Acad. Sci.
Fenn., Ser. A, I, 50 A948).
[2] Existence des fonctions d'allure donnee sur une surface de Riemann,
Comptes rendus, 229 A949).
[3] Existence des integrates abeliennes sur les surfaces de Riemann arbit-
raires, Comptes rendus, 230 A950).
Стойлов (Stoilow S.)
[1*] Lecons sur les principes topologiques de la theorie des fonctions ana-
lytiques, Paris, 1938.
Трельфалль (Th re If all W.)
См. Зейферт и Трельфалль.
Фату (F a t о u P.)
[1*1 Fonctions automorphes. См. Аппель и Гурса [1*], t. 2.
Форд (Ford L. R.)
[1*] Автоморфные функции, М. — Л., 1936.
фрике и Клейн (Fricke, Klein)
[1*] Vorlesungen liber die Theorie der automorphen Funktionen, Bd. I — II,
Leipzig und Berlin, 1897.
Хаусдорф (Hausdorff F.)
[1*] Grundziige der Mengenlehre, 2. Auil., Berlin, 1927.
См. также: Теория множеств, М. — Л., 1937.
Хейнс (Heins M.)
[1] The conformal mapping of simply-connected Riemann surfaces, Ann.
of Math., 50 A949).
Хопф (Hopf H.)
[1*] См. Александров и Хопф.
[2] Ober die Drehung der Tangenten und Sehnen ebener Kurven, Com-
positio Math., 2 A935).
Хорних (Hornich H.)
[1] Integrale erster Gattung auf speziellen transzendenten Riemannschen
Flachen, Mh. Math. Phys., 40 A933).
Чеботарев Н. Г.
[1**] Теория алгебраических функций, М. — Л., 1948.
Шварц (Sc h warz H. A.)
[1*] Gesammelte mathematische Abhandlungen, Bd. II, Berlin, )890.
Ш и ф ф e p (S с h i f f e r M.)
[1] См. Гарабедян и Шиффер.
[2] Приложение, см. Курант [2*].

ЛИТЕРАТУРА 429
Ш о т т к и (S с h о 11 k у F.)
[1] Ober die konforme Abbildung mehrfachzusammenhangender ebener
Flachen, Crelles J., 83 A877).
Ш т е й н e p (S t e i n e r A.)
[1] Eine direkte Konstruktion der Abelschen Integrale ers'.er Oattung,
Diss., Zurich, 1950.
Штребель (S t r e b e 1 К.)
[11 Ober das Kreisnormierungsproblem der konformen Abbildung, Ann.
Acad. Sci. Fenn., Ser. A, I, 101 A951).

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абелевы дифференциалы на замкну-
замкнутых римановых поверхностях 181
второго рода 201
первого рода 188
третьего рода 202
Абелевы интегралы, см. абелевы диф-
дифференциалы
— потенциалы 370
Автоморфные функции 300, 303, 374
Аксиома отделимости 54
— счетности 57, 102, 163, 166, 231
Алгебраические функции 15,33,35,210
— образы 41
— элементы функции 15, 33
Алгеброидные функции 303
Александров 56, 57, 58
Альфорс 384, 395, 397, 404, 405, 418,
423
Аналитические образы 303
Аппель 209
Бадер 389
Базис дифференциалов первого рода
197
— группы гомологии 187
Бенке 423
Бергман 379, 380, 383, 384, 399, 416
Бергмана билинейная форма 379
— ядро 380
Бёйрлинг 418, 423
Бибербах 291, 320, 324, 334, 377, 383,
417, 420
Больяи 243
Бохнер 379, 380
Брело 425
Ван-дер-Варден 232
Вейерштрасс 305
Вейль 13, 49, 62, 91, 209, 231
Виртанен 384, 404, 423
Вычеты 142
Гарабедян 340
Гармоническая мера 157, 176, 233, 352
Гармонический дифференциал 116,394
Гильберт 62, 306
Гильбертово пространство 198, 376
Гиперцикл 244
Гиперэллиптические поверхности 210
Гомеоморфность 53, 94
Гомотопия 67
Грейб 169
Грунский 314, 316
Группа гомологии замкнутой поверх-
поверхности 187
, инвариантность 66
— —, определение 66
.открытой поверхности 385
поверхности с краем 199
— преобразований наложения 92,343
Гурвиц 10, 121, 122
Гурса 209
Двумерные многообразия 55
Деформации 67
Дивергенция 116
Дискретная группа линейных преоб-
преобразований 245
Емкостная постоянная 223, 351
Замыкание предельной точечной вер-
вершины 185
— римановой поверхности 273, 296
Зейферт 425
Индекс кривой относительно точки
143
Индуцированная топология 50
Интеграл Дирихле 133, 142
— Пуассона 157, 389
Интегральная теорема Коши 146
Йоханссон 291
Каратеодори 62, 185
Кёбе 6,62,221,306,308,328,330,341,350
Классы поверхностей 394
Клейн 6, 13, 46, 62, 209, 259, 268
Ковариантные векторы 114
— тензоры 116

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
431
Конформные классы 44, 277
— соотношения соседства 55, 62
Краевая задача 153, 160
вторая 400
для жордановой области 176
для круга 156
— — для кругового кольца 158
для полуплоскости 158
с особенностями 166, 169
, нормированные решения 355
Круговая нормировка 341
Курант 62, 231, 306, 328, 340, 342,
344, 414
Лаасонен 408
Лехто 314, 379
Линейные преобразования 239
бесконечно малые 289
, классификация 242
перестановочные 288
Лобачевский 243
Локки 314
Метод выметания 14
Метрика Бергмана 382, 383, 384, 399,
416
— Пуанкаре 243, 272, 320, 382, 384,
416
— сферическая 244, 272
— топологического пространства 49,
50
Метрические критерии 405
— пространства 49
Мирберг Л. 423
Мирберг П. Ю. 372, 423
Модулярная группа 280
Неевклидовы движения 242
Нейман 6, 13, 62, 169, 170, 175, 366
Неподвижные точки линейных пре-
преобразований 240
Нормальная форма 257
абелевых потенциалов 368
многоугольника 254, 257, 258
Нулевая граница 354, 356,363,366, 419
Области жордановы 176
— с параллельными разрезами 306,
308
Осгуд 209
Ориентация индуцированная 63
— когерентная 105
.— поверхности 56
— римановой поверхности 62
Орицикл 244
Ортонормированные абелевы диффе-
дифференциалы 198
Отображения конформные 62
Отображения многозначные 291
— на области с разрезами 312, 313,
338
— поверхностей на себя 285
— топологические 53
Отождествление 53
i
Перенесение аналитического продол-
продолжения 124
— деформаций 79
— отображений 84
— путей 74
Перрон 14
Поверхности односвязные 69
—, подобные однолистным 9, 306, 308
—, пространственная модель 348
Поверхность с краем 112, 271, 308,346
Поверхность наложения безгранич-
безграничная 76
интегральных функций 91
, определение 73
разветвленная 96
римановой поверхности 100
, существование для заданной
группы 87
универсальная 90, 292
Полнота пространства //376
Поссель 273
Предельные вершины круговые и то-
точечные 184
Представление поверхности с по-
помощью многоугольника 109, 181 '
Преобразования бесконечно малые 289
— наложения 91
Пример Прюфера 58, 61
Принцип аргумента 17, 146, 310, 316,
326
— Дирихле 14
— максимума и минимума 129, 234
— Харнака 14, 156, 159, 164, 178, 223,
234, 356
Проблема Пеилеве 337
Продолжаемость поверхностей 273
Проектирование 73
Пространства компактные 50
— топологические 48
— Хаусдорфа 49, 54
Прямоугольник деформации 68
Пуанкаре 6, 46, 62, 243, 244, 268, 281,
305, 374, 382, 416
Пфлюгер 414, 416
Радо 13, 57, 58, 59, 62, 63, 102, 104,
231, 273
Размах 322, 381, 417, 422
—, экстремальные свойства 331
Раух 410

432
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Рациональные функции 118, 206, 300
Регулярное покрытие 418
Регулярные комплексы отрезков 419
Решетка двоякопериодическая 266
— эквивалентных точек 266
Риман 6, 10, 12, 13, 44, 121, 122, 175,
301
Римановы поверхности замкнутые 181
, некоторые классы 394
, определение 62
открытые 346
сингулярные 357, 358, 367, 405
с краем 271, 346
— соотношения 194, 196, 203
Род поверхности 9, 186, 270, 274, 301,
348
Ройден 395, 404
Сарио 273, 337, 342, 344, 365, 395, 414
Свободные стороны 247
Сепарабельность 377
Симплексы дифференцируемые 131
— особые 63
— прямолинейные 63
— топологические 103
Соотношение Римана—Гурвица 121,
301
Стойлов 12, 96, 294
Теорема Абеля 206
— о вычетах 145
— о монодромии 25, 127
— Руше 17, 328
— Римана об отображении 175
, гиперболический случай 228
— —, параболический случай 232
, эллиптический случай 175
Точки разветвления 96, 298
Трельфалль 425
Триангулируемость римановой поверх-
Триангуляция 103, 271
Угловой дефект 270
Униформизация, общее определение
294
—, построение униформизирующей
поверхности 295
— с помощью комплексной перемен-
переменной 292, 299
— с помощью поверхностей, подоб-
подобных однолистным 342
Униформизация с помощью слабей-
слабейшей поверхности наложения
298
— с помощью универсальной поверх-
поверхности наложения 292
Уравнение Гамильтона — Якоби 406
Устранимые особенности 337
Фату 305
Форд 305
Формула Гаусса — Боннэ 148
— Грина 140
— Эйлера для многогранников 10
Формулы преобразования интегра-
интегралов 141
Фрике 209
Фундаментальная группа, определение
69
, топологическая инвариантность
69
Фундаментальная область 245
Фундаментальный многоугольник 246,
278
метрический 259
, нормальная форма 254
, элементарное преобразование
255
Функция Грина 222, 233, 350, 372
Характеристика ' поверхности 119,
122
Хейнс 229, 232
Хопф 56, 57, 58, 169, 316
Хорних 423
Цепи особые 64
Циклы 65
Четырехугольник с нулевыми углами
275
Шварц 6, 13, 16, 46, 62, 133, 154, 167,
170, 175, 231, 268, 366
Шиффер 314, 340
Шоттки 340
Штейн 423
Штейнер 192
Штребель 342
Эквивалентность конформная 44, 62
- 218, 278
Экстремальные свойетва отображений
на области с разрезами 313

ОГЛАВЛЕНИЕ
От издательства 3
Из предисловия автора 4
Введение 5
Глава 1. Алгебраические функции 15
§ 1. Алгебраические элементы функции 15
§ 2. Построение алгебраической функции по ее элементам ... 35
Глава II. Понятие римановой поверхности 47
§ 1. Топологическое пространство, многообразие, риманова по-
поверхность 47
§ 2. Группы гомологии 63
§ 3. Фундаментальная группа 67
§ 4. Поверхности наложения 73
§ 5. Триангуляция многообразия 103
Глава III. Основные теоретико-функциональные теоремы 113
§ 1. Функции, дифференциалы 113
§ 2. Функции и коварианты на замкнутых римановых поверхно-
поверхностях 118
§ 3. Аналитическое продолжение 123
§ 4. Принцип максимума и минимума 129
§ 5. Интегральные теоремы 131
§ 6. Аналитическое продолжение и интегралы 150
Глава IV. Теоремы существования 153
§ 1. Альтернирующий метод Шварца 153
§ 2. Решение краевой задачи для круга 156
§ 3. Аксиома счетности 163
§ 4. Решения с заданными особенностями 166
§ 5. Замкнутые поверхности 169
§ 6. Решение краевой задачи для произвольной жордановой об-
области 176
Глава V. Замкнутые римановы поверхности 181
§ 1. Римановы поверхности, представленные с помощью много-
многоугольников 181
§ 2. Дифференциалы первого рода 188
§ 3. Дифференциалы второго и третьего рода 201
§ 4. Рациональные функции 206
§ 5. Интегралы алгебраических функций 210
Глава VI. Теорема Римана об отображении 220
§ 1. Предварительные замечания 220
§ 2. Функция Грина открытой поверхности 222

43\
§ 3. Односвязные поверхности гиперболического типа 228
§ 4. Параболический случай 232
Глава VII. Группы линейных преобразований 239
§ 1. Линейные преобразования 239
§ 2. Дискретные группы конформных отображений единичного
круга на себя 245
§ 3. Нормальная форма фундаментального многоугольника . . . 254
§ 4. Метрический фундаментальный многоугольник 259
§ 5. Конформные отображения числовой плоскости на себя . . 266
Глава VIII. Униформизация 268
§ 1. Нормальная форма римановой поверхности 268
§ 2. Продолжаемость римановой поверхности 273
§ 3. Конформные классы 277
§ 4. Униформизация 291
Глава IX. Поверхности, подобные однолистным 306
§ 1. Предварительные замечания 306
§ 2. Поверхности с краем, подобные однолистным 308
§ 3. Экстремальные свойства отображений на области с разре-
разрезами 313
§ 4. Отображения открытых поверхностей, подобных одно-
однолистным 321
§ 5. Экстремальные свойства размаха 331
§ 6. Другие нормированные отображения поверхностей с поло-'
жительным размахом на области с разрезами 338
§ 7. Приложения к униформизации 342
Глава X. Открытые римановы поверхности 346
§ 1. Строение открытой поверхности 346
§ 2. Функция Грина, емкость, гармоническая мера 350
§ 3. Краевые задачи для некомпактных подобластей 355
§ 4. Нормированные потенциалы с заданными особенностями . 364
§ 5. Автоморфные потенциалы 370
§ 6. Абелевы интегралы первого рода 374
§ 7. Подпространства интегрируемых с квадратами дифферен-
дифференциалов 384
§ 8. Некоторые классы римановых поверхностей 394
§ 9. Метрические критерии 405
Литература 424
Предметный указатель 430

Р. Неванлинна
УНИФОРМИЗАЦИЯ
Редактор М. С. АГРАНОВИЧ
Технический редактор А. Н. Никифорова
Корректор И. Ф. Рождественская
Сдано в производство 4/IV 1955 г.
Подписано к печати 14/VII 1955 г.
Т06304. Бумага 60x92V,»=l3,6 бум. л.
27,3 печ. л.
Уч.-издат. л. 23,8. Изд. N> 1/2309.
Цена 18 р. 65 к. Зак. 295.
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ1ЛИТЕРАТУРЫ
Министерство культуры СССР.
Главное управление полиграфической
промышленности.
4-я тип. им. Евг. Соколовой.
Ленинград, Измайловский пр., 29.